Toegepaste mechanica Sterkteleer Leerwerkboek 3de graad en BA 9030149132, 9789030149132

Citation preview

DIT BOEK BIEDT MEER SCOOÜLE

ACTIVEER ONLINE IN 3 STAPPEN

DIGITAAL LESMATERIAAL Bij dit boek hoort digitaal lesmateriaal. Met de code hiernaast kun je dit lesmateriaal activeren.

CODE PT-STKT-HYGW-63D9-QR

ACTIVEER i Ga naar www.plantyn.com/activeer en volg de instructies.

KLAAR! Nu is je boek online geactiveerd. Zo heb je toegang tot de digitale content bij deze uitgave.

VOORWAARDEN Nadat je de code geactiveerd hebt, heb je een schooljaar lang toegang tot de digitale content bij deze uitgave. Bij vragen over de activatie of het gebruik kun je steeds terecht bij onze helpdesk, via helpdesk.plantyn.com.

Leerwerkboek

Toegepaste mechanica

Sterkteleer 3de graad en BA

Auteurs: AA. Lemmens W. Willen

Plantyn

Plantyn I per •I ppf • Rplppf

Opmaak omslag: Crius Group Ontwerp en opmaak binnenwerk: Crius Group lllustratieverantwoording: © Alexander Erdbeer - Fotolia.com, © mariakraynova - Fotolia. com, © praisaeng - Fotolia.com, © Ruud Morijn - Fotolia.com, © salamahin - Fotolia.com, © Stephen Meese - Fotolia.com, © VanderWolf Images - Fotolia.com, Deman, Imageselect, iStockphoto, Mare Lemmens, Wikipedia, Wikipedia/Maersk Line, Wikipedia/Testometric NUR 178 © Plantyn nv, België

Alle rechten voorbehouden. Behoudens de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, op welke wijze dan ook, zonder de uitdrukkelijke voorafgaande en schriftelijke toestemming van de uitgever. Uitgeverij Plantyn heeft alle redelijke inspanningen geleverd om de houders van intel¬ lectuele rechten op het materiaal dat in dit leermiddel wordt gebruikt, te identificeren, te contacteren en te honoreren. Mocht u ondanks de zorg die daaraan is besteed, van oordeel zijn toch rechten op dit materiaal te kunnen laten gelden, dan kunt u contact opnemen met uitgeverij Plantyn. j

Dit boek werd gedrukt op papier van verantwoorde herkomst.

ISBN 978-90-301-4913-2

23641/1

D2019/0032/0686

Voorwoord Toegepaste mechanica/Sterkteleer 3de graad en BA' is bestemd voor de leerlingen van de derde graad industriële wetenschappen en elektromechanica van het secundair onderwijs en

voor bachelorstudenten van het hoger onderwijs. De algemene doelstelling van dit boek is het verruimen en verdiepen van de kennis van de sterkteleer. Het is de bedoeling om een stevig fundament te leggen om op verantwoorde wijze constructies te ontwerpen of controleren, en anderzijds om de techniek op een vol¬

doende wetenschappelijke wijze te kunnen benaderen. De structuur van dit boek is zo opgebouwd dat algemene verbanden en oplossingsmethodes duidelijk naar de voorgrond komen. Mechanica, wiskunde en ICT-middelen zijn hier geen hoofdcomponenten, maar hulpmiddelen om leerlingen te laten ervaren datje problemen op verschillende manieren kunt oplossen. Realistische toepassingen en uitgewerkte voorbeelden illustreren de verschillende wijzen van probleemoplossend denken.

Dit handboek sluit nauw aan bij de reeks 'Theoretische mechanica'. Door de projecten is het mogelijk dat de volgorde van de hoofdstukken niet ideaal is. Iedere leerkracht kan de logi¬ sche volgorde van de hoofdstukken bepalen in functie van de projecten. We zijn ervan overtuigd dat ‘Toegepaste mechanica/Sterkteleer 3de graad en BA' een oplos¬ sing biedt om de leerplandoelstellingen te realiseren en om efficiënt te kunnen werken aan projecten.

Mare Lemmens Wouter Willen

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

3

Inhoudsopgave Voor woord

3

Grootheden en eenheden

11

1

Inleiding tot de sterkteleer

13

1.1

Soorten evenwicht

13

1.2

Uit- en inwendige krachten

15

1.3

Reactiekrachten op een lichaam

16

1.3.1

Vrijmaken van lichamen

16

1.3.2

Evenwichtsvoorwaarden Voorbeeld

17

1.3.3

1.4 1.5

Staafkrachten in vakwerken Soorten belastingen

18

21 25

.....................................................................................28

1.5.1

Trek en druk

1.5.2

Afschuiving

29

1.5.3

Buiging

30

1.5.4

Wringing

30

1.5.5

Knik

31

1.5.6

Samengestelde belastingsgevallen

31

1.6

Te onthouden

32

1.7

Opdrachten

33

2

Trekproef

41

2.1

Spanning

41

2.2

Trekproef

44

2.3

2.2.1

Trekbank en proefstaven

44

2.2.2

Uitvoering

45

2.2.3

Treksterkte

45

2.2.4

Rek

47

Spanning-rekdiagram

48

2.3.1

Proportionaliteitsgrens

49

2.3.2

Elasticiteitsgrens

49

2.3.3

Vloeigrens

49

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

2.3.4

0,2 %-rekgrens

50

2.3.5

Treksterkte en breekpunt

51

2.3.6

Verlenging bij breuk

52

2.3.7

Andere mechanische eigenschappen

52

2.8

Materialen Sterkteklasse van bouten Grondmechanica Te onthouden Opdrachten

60

3

Trek- en drukspanning

65

3.1

Trek en druk

65

3.2

Verlenging

67

3.3

Invloed van het eigen gewicht Toelaatbare spanning

68

2.4

2.5 2.6

2.7

3.4

53

56 58 59

71

3.4.2

Veiligheidsfactor Wijze van belasting

72

3.4.3

Toelaatbare spanning volgens normen

74

3.4.1

71

3.5

Berekeningen

74

3.6

Te onthouden

75

3.7

Opdrachten

76

4

Afschuiving

83

4.1

Schuifspanning

83

4.2

Toelaatbare schuifspanning Eensnedige en meersnedige afschuiving Stuikdruk of vlaktedruk Toepassingen

84

4.3

4.4

4.5

85 87 88

4.5.1

Blindklinknagel

88

4.5.2

Afschuiving bij een spieverbinding

91

4.5.3

Lijmverbinding

94

4.6

Te onthouden

96

4.7

Opdrachten

97

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

5

Buiging

103

5.1

Buigspanning

103

5.2

Buigspanning in een balk met rechthoekige doorsnede

104

5.3

106

5.4

Maximaal buigmoment Voorbeeld

5.5

Weerstandsmoment

108

5.6

5.7

107

5.5.1

Symmetrische balken

5.5.2

Gestandaardiseerde profielen ..........................................................109

5.5.3

Samengestelde balken .................................................................... 110

5.5.4

Voorbeeld

108

111

Lineair oppervlaktetraagheidsmoment

112

5.6.1

Rechthoekige doorsnede

114

5.6.2

Cirkelvormige doorsnede

115

5.6.3

Stelling van Steiner .......................................................................... 116

5.6.4

Voorbeeld

118

Doorbuiging

122

5.7.1

Buigingsformule .............................................................................. 123

5.7.2

Voorbeeld

125

5.8

Te onthouden

127

5.9

Opdrachten

127

6

Dwarskrachten- en momentenlijnen

133

6.1

Opstellen van dwarskrachten- en momentenlijnen

133

6.2

6.3 6.4

6.5 6.6

6.1.1

Puntbelastingen op een eenzijdig Ingeklemde balk

135

6.1.2

Maximaal moment

141

6.1.3

Gelijkmatige belasting

144

Dwarskrachten- en momentenlijn tekenen met software Doorbuiging Doorbuiging bepalen met software Te onthouden Opdrachten

149 150 155 156 157

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

7

Wringing of torsie

167

7.1

Wringbelasting Wringingsformule

167

7.2

Z2.1

Polair traagheidsmoment

7.2.2

Weerstandsmoment tegen wringing

7.2.3

Voorbeeld

170

................................................ 170 172

7.6

Wringingshoek Wringspanning bij dunwandige gesloten profielen Te onthouden Opdrachten

180

8

Samengestelde belastingen

187

8.1

Superpositiemethode

187

7.3 7.4 7.5

8.2

8.3

8.1.1

Buiging gecombineerd met trek of druk

8.1.2

Dubbele buiging

174

177

179

188

.............................................................................190

Hüber-Hencky

192

8.2.1

Trek en afschuiving

192

8.2.2

Buiging en wringing

193

Eindige elementen-methode

195

8.3.1

Principe

8.3.2

Constructie-elementen verdelen

8.3.3

Lineaire statische sterkteberekening

8.3.4

Eindige elementen-methode met een CAD-pakket ........................... 198

8.3.5

Samengestelde belasting

195

......................................................196 198 200

8.4

Te onthouden

202

8.5

Opdrachten

203

9

Knik

209

9.1

Knikverschijnsel

209

9.2

Knikformule van Euler

210

9.2.1

9.2.2 9.2.3

8

168

211 Kritische knikspanning Kniklengte ...................................................................................... 213 213 Voorbeeld

9.3

Te onthouden

214

9.4

Opdrachten

216

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

BIJLAGEN

219

Bijlage A: enkele vlakke figuren

221

Bijlage B: Grieks alfabet

222

Bijlage C: Balken

223

HEA-balk ........................................................................................ 224 HEB-balk

225

HEM-balk

226

IPE-balk

227

INP-balk

228

Antwoorden

229

Trefwoordenregister

233

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

9

Grootheden en eenheden Symbool

Eenheid

Breedte

b

mm (of m)

Hoogte

h

mm (of m)

Straal

r

mm (of m)

Diameter

d

mm (of m)

s, t

mm (of m)

Lengte1

L

mm (of m)

Verlenging

AL

mm (of m)

Grootheid

Dikte (plaatdikte, wanddikte ...)

mm2 (of m2)

Oppervlakte

Aantal

N

—

Massadichtheid

P

kg/m3

Kracht

F

N

Gelijkmatige belasting

Q

N/m

Gelijkmatig verdeelde massa

Q

kg/m

Elasticiteitsmodulus

E

MPa (of N/mm2)

Glijdingsmodulus of schuifmodulus

G

MPa (of N/mm2)

e (epsilon)

—

Proportionaliteitsgrens of rekgrens

Rp

MPa (of N/mm2)

Elasticiteitsgrens

Re

MPa (of N/mm2)

vl

MPa (of N/mm2)

Relatieve verlenging of rek

Vloeigrens

1

Voor lengte wordt de hoofdletter L gebruikt, zo is er geen verwarring met het oppervlaktetraagheidsmoment I.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

11

Grootheid

Symbool

0,2%-rekgrens

^p0,2

i/(nu)

Veiligheidsfactor t.o.v. Re (1,5 ... 8) Trekspanning Schuifspanning

MPa (of N/mm2)

-

rr (sigma)

t

(tau)

MPa (of N/mm2) MPa (of N/mm2)

Oppervlaktetraagheidsmoment

/

mm4

Gyrostraal

/

mm

Weerstandsmoment

W

mm3

Afstand van de neutrale lijn tot de buitenste vezel

V

mm

^max

mm (of m)

y

mm (of m)

Maximale doorbuiging

Doorbuiging

Normaalkracht

N

Dwarskracht

N

Moment

12

Eenheid

MPa (of N/mm2)

Treksterkte Veiligheidsfactor (2 ... 10)

|

M

Nm

Polair traagheidsmoment

mm4

Polair weerstandsmoment

mm3

Wringingshoek

e

rad

Slankheid

2

-

Bevestigingsfactor

k

—

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

1

sterkl

Inleiding tot de sterkteleer

de tot

leidng

Om machine-, constructie-elementen of bouwwerken te ontwerpen heb je sterkteleer no¬ dig. Het ontwerp moet met zo weinig mogelijk materiaal de krachten die erop inwerken kunnen weerstaan. De berekende afmetingen zijn minimum-afmetingen. Om praktische en veiligheidsredenen worden die afmetingen vaak vergroot. Dergelijke berekeningen noem je ontwerpberekeningen. Het is ook mogelijk dat je de maximale belasting van machine-, constructie-elementen of bouwwerken moet berekenen. In dit geval spreek je van controleberekeningen. Het is belangrijk datje inzicht krijgt in de sterkte van materialen, spanningen, doorbuiging in balken ... die je bestudeert. De vormveranderingen in materialen ten gevolge van de krach¬ ten moeten de nodige aandacht krijgen. Het aspect 'veiligheid' speelt ook een belangrijke rol bij het berekenen van machine-, constructie-elementen of bouwwerken.

Figuur 1.1

1.1

Soorten evenwicht Je kunt je de vraag stellen wat er gebeurt wanneer je aan een lichaam in rust een kleine verplaatsing geeft. Als de oorzaak van de verplaatsing ophoudt te bestaan, kunnen er zich drie gevallen voordoen. 1 Als je op een bal die aan een koord hangt, horizontaal een kracht uitoefent, dan zal de bal horizontaal een verplaatsing maken. Als de kracht wegvalt, zal de bal terugkeren naar zijn oorspronkelijke toestand. Je spreekt van een stabiel evenwicht.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

13

1

Inleidng tot de

sterk h Figuur 1.2 Stabiel evenwicht

2 Door een kleine kracht te laten inwerken op onderstaande bal, zal de bal zich steeds ver¬ der van zijn oorspronkelijke evenwichtstoestand verwijderen, ook als de kracht niet meer inwerkt op de bal. Dit noem je een labiel evenwicht.

Figuur 1.3 Labiel evenwicht

3 Als een kracht inwerkt op een lichaam dat op een horizontaal vlak ligt, dan zal het lichaam

een verplaatsing maken. Als de kracht wegvalt, blijft het lichaam in zijn nieuwe positie liggen. Je spreekt van een onverschillig of indifferent evenwicht.

Figuur 1.4 Onverschillig evenwicht

Een lichaam of constructie moet onder invloed van uitwendige krachten steeds een stabiel evenwicht hebben. Stabiliteit is een belangrijk onderdeel bij het ontwerpen en toepassen van constructies.

Figuur 1.5 Omgevallen kraan door de onstabiele ondergrond

14

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

1.2

sterkl

Uit- en inwendige krachten

de tot

• Uitwendige krachten zijn krachten die van buiten op het lichaam inwerken, bv. een last

leidng

aan een kraankabel of sneeuw op een dak. Hier wordt een onderscheid gemaakt tussen een puntbelasting (figuur 1.6) en een gelijkmatige belasting (figuur 1.7). Reactiekrachten die inwerken op een vrijgemaakt lichaam zijn uitwendige krachten.

Bron: Deman

Figuur 1.6 Puntbelasting

Figuur 1.7 Gelijkmatige belasting

• Inwendige krachten ontstaan in het lichaam als gevolg van de uitwendige krachten, die aanleiding geven tot spanningen in het lichaam. Als de inwendige krachten groter zijn dan de cohesiekrachten van het materiaal, dan treedt er blijvende vervorming of breuk op. Als een lichaam belast wordt op krachten die allemaal in één vlak liggen (figuur 1.8), dan kun je in een snedevlak drie soorten inwendige krachten krijgen (figuur 1.9): • inwendige krachten loodrecht op de doorsnede, normaalkrachten N of FN;

• •

inwendige krachten evenwijdig met de doorsnede, dwarskrachten D of FD; een koppel van inwendige krachten loodrecht op de doorsnede, moment M.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

15

1

Inleidng

De snedekrachten zorgen ervoor dat het afgesneden deel van het lichaam in evenwicht is.

tot de

5

sterk l

V

V

Figuur 1.8 Uitwendige krachten

Figuur 1.9 Inwendige snedekrachten

Omdat de inwendige krachten in evenwicht zijn, zijn de snedekrachten van het linkerdeel tegengesteld aan de respectievelijke snedekrachten van het rechterdeel. Bij het invoeren van de snedekrachten kun je ook gebruikmaken van onderstaande teken¬ afspraak. Snij je het rechterdeel van de balk weg, dan moet je de snedekrachten invoeren zoals aangegeven aan de rechterzijde van het balkje (figuur 1.10).

Figuur 1.10 Tekenafspraak

1.3

Reactie krachten op een lichaam Reactiekrachten die inwerken op een balk zijn ook uitwendige krachten. Het is daarom zeer belangrijk om die krachten te bepalen.’

1.3.1

Vrijmaken van lichamen Om een lichaam vrij te maken, moet je alle verbindingen met de omgeving verbreken en in plaats daarvan de juiste krachten - reactiekrachten - of momenten invoeren die alle eigen¬ schappen van de verbroken verbindingen overnemen.

1

16

Theoretische mechanica 3de graad en BA

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

sterkl

• Tweedimensionale verbindingen

de tot

leidng

Tabel 1.1 Enkele tweedimensionale verbindingen

1.3.2

Evenwichtsvoorwaarden Een lichaam is in evenwicht als de krachten en/of momenten die inwerken op het lichaam geen verandering veroorzaken in de toestand van rust of beweging waarin het lichaam zich bevindt. Anders uitgedrukt voor lichamen in een vlak (2D): • De som van alle uitwendige krachten moet gelijk zijn aan nul:

£F=0

of

£F=0 £Fy = 0

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

17

1

Inleidng

•

tot de

De som van alle momenten ten opzichte van een punt moet gelijk zijn aan nul:

£M = 0

stei

of

2M = 0

Als aan deze drie evenwichtsvoorwaarden voldaan is, verandert de toestand van rust of be¬ weging van een lichaam niet ten opzichte van zijn omgeving. De problemen die we hier behandelen, zijn alle statisch bepaald. Dat wil zeggen dat er juist voldoende verbindingen zijn om een lichaam of voorwerp in evenwicht te houden. Zo een evenwicht is isostatisch of statisch bepaald en kun je oplossen door de evenwichtsvergelijkingen toe te passen.

Zijn er te veel verbindingen, dan spreek je van een hyperstatisch evenwicht. Bij een hyperstatisch evenwicht kun je een of meerdere verbindingen wegnemen zonder dat het evenwicht wordt verbroken.

immumiüBMmimMm

Figuur 1.11 Hyperstatisch evenwicht

Bij het oplossen van een hyperstatisch evenwicht moet je naast de evenwichtsvergelijkingen ook gebruikmaken van ondersteuningsvoorwaarden.

1.33

Voorbeeld Op een balk werkt een gelijkmatige belasting van 0,5 kN/m en in punt C een puntlast van 6 kN. Bepaal de reactiekrachten in de punten A en B en de inwendige krachten in punt D (figuur 1.12).

18

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

sterkl

de tot

figuur 1.12 Q = 0,5 kN/m F2 = 6 kN

Gegeven:

Gevraagd:

nleidng

RA en RB en M in punt D F.„ N F^ 1

L)

Uitwerking

•

Gelijkmatige belasting Je mag de gelijkmatige belasting vervangen door een puntlast die aangrijpt in het zwaartepunt van de belasting.

F, = Q-L =

0,5.6[^.m]

= 3 kN

Deze kracht grijpt 3 m rechts van punt A aan.

•

Vrijmaken van de balk

Figuur 1.13 Vrijlichaamsschema van de balk

Evenwichtsvergelijking =0

YM = 0 ZMaF = 0

Er zijn geen krachten in de x-richting.

Ra + Rb-6-3 = 0 RA + RB = 9kN (1) -F2-2-F,-3 + Rb-5 = 0 -6 - 2- 3- 3 + Re - 5 = 0 /?. = 4,2kN (2) D

Vergelijking (2) in (1): Ra + Rb = 9 kN [kN] = 9-4,2

[kN]

= 4,8 kN

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

19

1

Inleidng tot de

• Inwendige krachten In punt D voer je de inwendige krachten toe volgens de tekenafspraak.

sterk h

Je mag de gelijkmatige belasting, vanaf linker steunpunt A tot aan de snede D, vervangen door een puntlast die aangrijpt in het zwaartepunt van de belasting.

F^QL' =

0,5.3[^. m]

= 1,5 kN

• Evenwichtsvergelijking

2?=o

n=o =o

^/-^ = 0 4,8 - 1, 5 - 6 - D = 0

D = -2,7 kN Het totale moment ten opzichte van het snedepunt is 0 Nm. Als je een ander punt neemt, moet je ook rekening houden met het moment van de verticale snedekracht, D.

=0

^^=0

-Ra-3 + F}'- 1,5 + F2- 1 + M = 0 -4,8 • 3 + 1,5 • 1,5 + 6 • 1 + M = Q M = 6,15 kNm

Besluit:

De reactiekracht in punt A is RA met: 4,8 kN; • grootte:

• •

richting: zin:

verticaal; naar boven.

De reactiekracht in punt B is RB met: 4,2 kN; • grootte:

• •

richting: zin:

verticaal; naar boven.

De inwendige krachten in punt D zijn: • normaalkracht: N = 0; D = -2,7 kN (2,7 kN naar boven); • dwarskracht: M = 6,15kNm. • moment:

20

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

1.4

sterkl

Staaf krachten in vakwerken

de tot

Een vakwerk is een constructie van balken of profielen om een ruimte of afstand te overspan¬ nen (dak, kraan, brug Door de juiste keuze van de staven is een vakwerk even sterk als een volle constructie, maar is er veel minder materiaal nodig. Daardoor is een vakwerk veel lichter en goedkoper dan volle constructies. Om vervormingen te voorkomen, gebruik je bij

leidng

vakwerken steeds driehoeken.

Figuur 1.15 Vakwerk

Omdat de uitwendige krachten bij een vakwerk steeds aangrijpen in de knooppunten, zullen er alleen trek- en drukkrachten ontstaan in het vakwerk. Een vakwerk is isostatisch als het aantal staven s en het aantal knooppunten k voldoen aan:

s = 2k-3

Er zijn verschillende manieren om de krachten in de staven te bepalen. Grafisch kun je het cremonadiagram tekenen, analytisch zijn de knooppuntmethode en de snedemethode vrij eenvoudig bij het bepalen van de staafkrachten. Deze methodes steunen op het principe van 'evenwicht van lichamen'. Bij het bepalen van de staafkrachten veronderstel je dat alle staven scharnierend bevestigd zijn in de knooppunten en dat de staven massaloos zijn.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

21

1

Inleidng tot de

Voorbeeld

stei

-

knooppuntmethode

Bepaal alle staaf krachten in het vakwerk in figuur 1.16 als de last in het midden van het vakwerk 20 kN is.

Gegeven:

figuur 1.16 F=20 000 N

Gevraagd: staafkrachten

Uitwerking

Vrijmaken van het vakwerk Maak het vakwerk vrij en bepaal de reactiekrachten in de steunpunten. Met behulp van de evenwichtsvoorwaarden vind je dat RA = 10 000 N en R = 10 000 N.

*A

Figuur 1.17 Vrijlichaamsschema

22

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

sterkl

de tot

• Staafkrachten Veronderstel dat in elke staaf een trekkracht werkt. Teken vervolgens de invloed van de trekkracht op elk knooppunt. De invloed van de trekkracht op het knooppunt is tegengesteld aan de trekkracht in de staaf!

leidng

In figuur 1.18 zijn de trekkrachten op elk knooppunt getekend. Op de knoop¬ punten, die verbonden zijn met een staaf, krijg je twee krachten met een tegengestelde zin, FAB = -FBA. Merk op dat de grootte van die krachten gelijk

^BD

^DB

Figuur 1.18 Knooppuntkrachten

• Evenwicht in de knooppunten Omdat het vakwerk isostatisch (s = 2 • k - 3, 7 = 2 • 5 - 3), star en in evenwicht is, moet ook elk knooppunt in evenwicht zijn. Bekijk elk knooppunt apart en pas de evenwichtsvoorwaarden toe, ^F= 0. Door de volgorde van de knoop¬ punten oordeelkundig te kiezen, heb je soms minder rekenwerk. Daarom kies je als eerste knooppunt een knooppunt met minstens één bekende kracht en maximaal twee onbekende krachten. Knooppunt A voldoet daaraan.

• Knooppunt A y

Figuur 1.19 Knooppunt A

XFr = 0

Ra + ^-sin60°=0 10 000 +

Fab = -11

• sin60°= 0

547 N (drukkracht)

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

23

1

Inleidng tot de

^

sterkl

=0

FAB^os60^FAC=0 -11 547 cos60° + Fac= 0 Fac=5 774N •

Omdat Fab negatief is, heb je op de knooppunten A en B of in staaf AB geen trekkracht, maar een drukkracht. Omdat de grootte van de krachten in elke staaf gelijk is, is: = = -11 547 N = ^c=5 774N

^^ ^

Omdat in alle knooppunten de trekkrachten op de knooppunten getekend zijn, reken je verder met FBA = FAB = -11 547 N.

• Knooppunt

B

yf

Figuur 1.20 Knooppunt B

£Fy=0 -FM-cos30°-Fsc-sin60°=0 -(-11 547) • 0, 866

0,866 = 0

Frc=U 547 N 2»0 Fbd + Fbc'COs60°-Fba-cos6Q = Q

Fbd+V 547 cos60°-(-11 547) Fbd = -11 547 N (drukkracht) •

• Knooppunt C

24

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

•

cos60°= 0

sterkl

%Fy = 0 Fcd • sin 60° + FCB

Fcd

•

•

de tot

sin60°-F= 0

0, 866 + 11 547 • sin60°-20 000 = O

nleidng

547 N

=0 - Fcb • cos60° - F^ + Fce + Fcd • cos60°= O -11 547 • 0, 5 - 5 774 + FCE + 1 1 547 • 0, 5 = O

FCf=5 774N • Knooppunt D

en E Door de symmetrie van het vakwerk en de symmetrische belasting zijn de krachten in staaf AB gelijk aan die van DE ...

Fab = Fdc = -^ 547 N Fk = Fdc=U 547 N ^=^=5 774N • Staafkrachten De groene krachten in figuur 1.22 zijn de krachten die de staven uitoefenen op de knooppunten. De inwendige krachten in de staaf of staafkrachten, rode krachten, zijn tegengesteld aan de knooppuntkrachten.

Besluit:

op staaf AB, DE en BD werkt een drukkracht van 11,5 kN; op staaf BC en DC werkt een trekkracht van 11,5 kN en op staaf AC en CE werkt een trekkracht van 5,8 kN.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

25

1

Inleidng

1.5

tot de

Soorten belastingen Afhankelijk van de richting van de kracht ten opzichte van de oppervlaktedoorsnede heb je een andere belasting. De kabel van een kraan wordt op een andere manier belast dan een klinknagel. De kabel van de kraan wordt uitgetrokken en de klinknagel zal afschuiven. De arm van een kraan zal doorbuigen onder invloed van een last.

stei

Figuur 1.23 Kraan

Figuur 1.24 Klinknagels

Een lichaam kan op verschillende manieren worden belast: 1 trek of druk 2 afschuiving 3 buiging 4 wringing 5 knik 6 samengestelde belastingsgevallen

26

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

sterkl

Door de belasting op een constructie zal die constructie vervormen. De stijf heid van de con¬ structie geeft aan in welke mate ze bestand is tegen een elastische vervorming (figuur 1.25).

de tot

nleidng

Figuur 1.25 Vervorming

Als in een lichaam of constructie de belasting te groot is, zal dat lichaam of die constructie breken. Het lichaam of de constructie is niet voldoende sterk om de belasting op te vangen (figuur 1.26 en 1.27).

Figuur 1.26 Breuk in de bovenarm

Figuur 1.27 Breuk

Een constructie moet voldoen aan drie belangrijke kenmerken. Ze moet:

• • •

stabiel zijn; sterk genoeg zijn; stijf genoeg zijn.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

27

1

Inleidng

1.5.1

tot de

Trek en druk De hijskabel van een kraan wordt belast op trek. De kabel zal langer worden onder invloed van de last.

stei

Figuur 1.29 Trekkracht

Een lichaam wordt op druk (figuur 1.30) belast wanneer het een rechtlijnige as bezit en op ieder uiteinde krachten werken in tegengestelde zin, volgens die aslijn, zodat de oorspronke¬ lijke lengte kleiner probeert te worden, bv. kolom, pers, zuigerstang.

Figuur 1.30 Drukkracht in een kolom

28

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

sterkl

De inwendige normaalkrachten zorgen voor trek of druk in een constructie.

de tot

Een lichaam wordt belast op trek/druk wanneer het een rechtlijnige as bezit en op ieder uiteinde krachten werken in tegengestelde zin, volgens die aslijn, zodat de oorspronke¬ lijke lengte groter/kleiner probeert te worden.

1.5.2

nleidng

Afschuiving Een constructie-element wordt op afschuiving belast als de kracht in hetzelfde vlak ligt als de oppervlaktedoorsnede.

Figuur 1.32 Afschuiving bij een klinknagel

Bij een hijshaak wordt de as van het loopwiel belast op afschuiving.

F

Y Figuur 1.33 Hijshaak met loopwiel

Figuur 1.34

De inwendige dwarskrachten zorgen voor afschuiving in een constructie.

Een lichaam wordt belast op afschuiving wanneer er twee tegengestelde krachten op werken die loodrecht staan op de aslijn en in hetzelfde vlak gelegen zijn.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

29

1

Inleidng

1.5.3

tot de

Buiging Door het moment in de arm van een kraan ontstaat er buiging.

sterkl Figuur 1.35 Buiging

Figuur 1.36

De inwendige momenten zorgen voor buiging in een balk of constructie.

Een lichaam wordt belast op buiging wanneer er een koppel van krachten op inwerkt waarvan het vlak de aslijn bevat. De materiaalvezels worden aan de ene zijde op trek belast en aan de andere zijde op druk.

1.5.4 Wringing Een aandrijfas, draadtap ... wordt belast op wringing.

Figuur 1.37 Wringing op een draadtap

Een lichaam wordt belast op wringing of torsie wanneer er een koppel van krachten op werkt waarvan het vlak loodrecht gericht is op de aslijn.

30

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

1.5.5

sterkl

Knik

de tot

Knik komt voor bij lange staven die op druk worden belast. Ook de drukstaven in vakwerken zijn onderhevig aan knik.

nleidng

M

Figuur 1.38 Knik bij een verticale kolom

Wanneer een lange, dunne staaf op druk wordt belast, dan zal hij bij een voldoende grote kracht plotseling zijdelings uitwijken. Dat verschijnsel noem je knik.

1.5.6 Samengestelde belastingsgevallen In de vorige belastingsgevallen kwamen altijd spanningen van dezelfde soort voor. In de praktijk heb je meestal een combinatie van spanningen die gelijktijdig optreden. Zo ontstaat

er regelmatig: • buiging en trek of druk; • buiging en knik; • wringing en trek of druk; • dubbele buiging; • buiging en wringing; • dubbele buiging en wringing.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

31

1

Inleidng

1.6

tot de

sterk h

Te onthouden

• Soorten evenwicht 1 Stabiel evenwicht 2 Labiel evenwicht 3 Onverschillig evenwicht

• Evenwichtsvoorwaarden YF=Q

£/>0

£m = 0

YMo = 0

• Inwendige krachten

• Kenmerken van een constructie Stabiliteit Sterkte Stijfheid

• Soorten belastingen Belasting waar twee tegengestelde krachten op een rechtlijnige as lig¬ gen, zodat de oorspronkelijke lengte groter/kleiner probeert te worden. Afschuiving: Twee tegengestelde krachten die loodrecht staan op de aslijn van het constructie-element en in hetzelfde vlak gelegen zijn. De krachten liggen in het schuifvlak. Belastingsgeval waarbij de materiaalvezels aan de ene zijde op Buiging: trek worden belast en aan de andere zijde op druk. Wringing: Of torsie; een lichaam wordt belast op wringing wanneer er een koppel van krachten op werkt waarvan het vlak loodrecht gericht is op de aslijn. Plotseling zijdelings uitwijken van een lange, dunne staaf die be¬ Knik: last wordt op druk.

Trek/druk:

32

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

sterkl

Opdrachten

de tot

1.1

Geef een voorbeeld van een uitwendige kracht.

1.2

Wat zijn inwendige krachten?

1.3

Wat is het verschil tussen een ontwerpberekening en een controleberekening?

1.4

Omschrijf de drie soorten evenwicht.

1.5

Omschrijf de drie kenmerken waaraan een constructie moet voldoen.

1.6

Op een ligger, IPE 220, werken drie krachten. Maak de ligger vrij en bepaal de reactiekrachten in de punten A en D. Zoek het gewicht van de ligger op in een tabel¬ lenboek of in de bijlage.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

nleidng

33

1

Inleidng tot de

sterkl 1.8

34

Een houten balk wordt gelijkmatig belast zoals in figuur 1.43. Op de balk werkt ook een puntbelasting, F = 5 kN. Maak de balk vrij en bepaal de reactiekrachten in de steunpunten A en B.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

sterkl

de tot

nleidng

1.10

Een hydraulische handkraan moet een verbrandingsmotor van 400 kg opheffen. Maak de bovenarm vrij in figuur 1.47 en bepaal de reactiekrachten in de punten B en C

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

35

1

Inleidng

1.11

Een zolder heeft een breedte van 10 m. Daarop worden kisten gestapeld met een gewicht van 2 000 N/m zoals in figuur 1.48. Op sommige plaatsen staan de kisten op elkaar. Bepaal de reactiekrachten in de steunpunten.

1.12

Bepaal de inwendige krachten in het midden van de balk van de zolder (figuur 1.48).

1.13

Bereken alle staafkrachten van onderstaand vakwerk als kracht F een grootte heeft van 15 kN.

tot de

sterkl

36

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

sterkl

de tot

nleidng

1.14

Op een wandsteun werken twee krachten, = 4 000 N en F2 = 8 000 N. Bepaal de staafkrachten in elke staaf van de wandsteun.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

37

1

Inleidng

1.15

tot de

Op een vakwerk werken een horizontale kracht van 5 000 N en twee verticale krach¬ ten van elk 7 500 N (figuur 1.55). Bepaal de staafkrachten in elke staaf van het vak¬

werk.

sterkl

B

D

1.16

Wanneer spreek je van trek?

1.17

Omschrijf afschuiving aan de hand van een voorbeeld.

1.18

Welke soorten belastingen treden op als je onderstaande lagerpers gebruikt?

Figuur 1.57 Lagerpers

38

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

sterkl

de tot

nleidng

1.19

1.20

Zoek een constructie of toestel en omschrijf de verschillende spanningen die voorko¬ men.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

39

1

Inleidng

1.21

Los onderstaand kruiswoordraadsel op.

tot de

sterk h

Horizontaal 1. Belastingsgeval waarbij de krachten in het doorsnedevlak liggen 4. Kenmerk waaraan een constructie moet voldoen 7. Soort berekening die je maakt als je de minimale afmetingen van een construc¬ tie bepaalt 8. Constructie-element dat alleen maar trekkrachten kan opvangen 11. Materiaal dat veel wordt gebruikt om constructies te maken 13. Plotseling zijdelings uitwijken van een staaf die belast wordt op druk 14. Belastingsgeval waarbij de oorspronkelijke lengte groter wordt 15. Krachten die binnen in het lichaam werken (... krachten) 16. Torsie 17. ... krachten werken op het lichaam Verticaal 2. Zeer belangrijk aspect bij het berekenen van machine-, constructie-elementen of bouwwerken 3. Plaatselijke belasting 5. Aantrekkingskracht tussen moleculen 6. Belasting op de zadelpen van een fiets 9. Situatie waarin een lichaam zich bevindt 10. Belastingsgeval waar de materiaalvezels aan de ene zijde op trek en aan de an¬ dere zijde op druk worden belast 12. Constructie voor grote overspanningen Vorm met de letters in de gekleurde vakjes een woord.

40

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

2

Trekproef

2.1

Spanning Een kabel met een doorsnede van 100 mm2 haalt een last van 8 000 N op. De inwendige normaalkracht in de kabel is 8 000 N.

Trekpoef 2

Door de uitwendige kracht ontstaan in de kabel inwendige krachten. De inwendige kracht per oppervlakte-eenheid noem je spanning.

spanning = —kracht oppervlakte

Omdat de kracht loodrecht staat op de doorsnede, normaalkracht, spreek je van gemiddelde trekspanning. Als je veronderstelt dat de spanning op elke plaats in de doorsnede even groot is, spreek je van gemiddelde trekspanning. Uit die definitie kun je onmiddellijk de eenheid afleiden: N/mm2. Soms wordt er ook gebruikgemaakt van kN/cm2, 1 kN/cm2 = 10 N/mm2. Omdat N/mm2 ook de eenheid van druk is, wordt de spanning tegenwoordig uitgedrukt in Pa of MPa, 1 MPa = 106 Pa = 1 N/mm2.

, t

=

A A

N = MPa mm2

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

41

Als de last te groot wordt, zal de kabel breken. Dat gebeurt als de spanning groter wordt dan de maximale spanning die de kabel kan opvangen. De maximale spanning noem je de treksterkte van het materiaal. Neem je een stalen kabel en een gewone koord met dezelfde diameter, dan kun je met de stalen kabel een veel zwaardere last optrekken dan met de koord. De koord zal sneller bre¬ ken dan de stalen kabel. De treksterkte van de kabel is groter dan die van de koord.

2

Trekpoef Figuur 2.2 Breuk van een bout

Spanningen kun je met behulp van software visueel weergeven aan de hand van kleuren. In figuur 2.3 is een proefstaat belast met een kracht van 4 kN. De diameter van de proefstaat is 16 mm. Unit: MPa

Figuur 2.3 Simulatie van trekspanningen

42

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

Voorbeeld Aan een stalen kabel, diameter 15 mm, van een kolomzwenkkraan hangt een last. Bepaal de spanning in de kabel als de last 20 kN is.

Trekpoef 2

Figuur 2.4 Kolomzwenkkraan

Gegeven:

d=15mm Fn = 20 000 N

Gevraagd: er

Uitwerking A

_n-d2

152 [mm2] 4 = 177 mm2

=

fü ^0

20 000

= 177

r_N^=MPai J Lmm2

= 113 MPa Besluit:

de trekspanning in de kabel van de takel bedraagt 113 MPa.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

43

2.2

Trekproef

2.2.1

Trekbank en proefstaven Met de trekproef1 kun je verschillende materiaaleigenschappen bepalen: de treksterkte, de vloeigrens, de elasticiteitsmodulus, de rek bij breuk ... Om de trekproef uitte voeren, heb je een trekbank en een proefstaat nodig. Omdat de proefstaat breekt en niet meer bruikbaar is na de proef is dit een destructief materiaalonderzoek. De trekproefstaven hebben een ronde, vierkante of rechthoekige doorsnede. Op de proef¬ staat is, met twee merktekens, meetlengte Lo aangegeven. De meetlengte is bij proportionaliteitsproefstaven genormaliseerd. De uiteinden van de proefstaat kunnen voorzien zijn van inspankoppen of schroefdraad, om ze te monteren in de trekbank.

2

Trekpoef

Figuur 2.5 Proefstaven met schroefdraad

Figuur 2.6 Trekbank Testometric

Mogelijke vormen van trekproefstaven zijn weergegeven in figuur 2.7. De staven A en B zijn bestemd voor het bepalen van de treksterkte van staal, proefstaat C dient voor het bepalen van de treksterkte van gietijzer.

1

44

Labo Mechanica, Plantyn, Meten van treksterkte NBN EN 10002-1

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

B

Figuur 2.1 Trekproef staven

2.2.2

Trekpoef

Uitvoering Een proefstaat wordt aan een veranderlijke trekkracht onderworpen. De staaf wordt daarbij uitgetrokken en zal bij een bepaalde kracht breken. Met de krachtmeter, die op de trekbank is gemonteerd, kun je de maximale kracht aflezen waaraan de proefstaat is onderworpen. De kracht en de verlenging zijn ook afhankelijk van de afmetingen van de proefstaat. Omdat je de materiaaleigenschappen wenst te bepalen ga je de kracht omzetten naar spanning en de absolute verlenging naar de relatieve verlenging of rek. Hierdoor bepaal je de treksterkte, rekgrens en rek na de breuk van het materiaal. Bij moderne trekbanken wordt de kracht be¬ paald met rekstrookjes en continu geregistreerd.

2

Voor spanningen die betrekking hebben op een materiaaleigenschap gebruik je R (met een index) en niet o.

2.2.3

Treksterkte De treksterkte,

Rm, is de maximale spanning die in het materiaal optreedt als het

plastisch vervormd wordt.

Uit deze definitie kun je de formule en eenheid van treksterkte afleiden.

_

D

m

—

/\

[-tL MPa]J Lmm2 =

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

45

Als er een grote kracht nodig is om het materiaal stuk te trekken, noem je het materiaal sterk. Wordt het materiaal door een kleine kracht stukgetrokken, dan noem je het zwak. Deze materiaaleigenschap kun je onderzoeken met de trekproef.

Voorbeeld Op een rechthoekige proefstaat met breedte 10 mm en hoogte 25 mm is de maxi¬ maal uitgeoefende trekkracht 100 kN. Bereken de treksterkte van het materiaal.

2

Trekpoef Gegeven:

b=10mm h = 25 mm Fm = 100 000 N

Gevraagd:

Rm

Uitwerking

b-h = 10-25 [mm • mm] = 250 mm2

=

100 000 250

N mm2

MPa

= 400 MPa

Besluit:

46

de treksterkte van het materiaal is 400 MPa.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

2.2.4 Rek Tijdens de trekproef zal de proefstaat voordat hij breekt, worden uitgerekt. Bij het begin van de proef kun je op de proefstaaf de lengte LQ meten of aflezen. Op de proefstaaf bevinden zich twee merktekens om die lengte te bepalen.

Trekpoef 2

Figuur 2.9 Verlenging

Leg je na de proef de delen van de proefstaaf tegen elkaar, dan blijkt dat de afstand tussen de merktekens groter is geworden (figuur 2.9). De meetlengte na de proef wordt aange¬ geven met Lu (lengte na de breuk, uitrekking). De absolute verlenging, Lu - Lo of AL, ten opzichte van de oorspronkelijke lengte Lo wordt de relatieve verlenging of de rek na de breuk genoemd. Een trekbank meet AL meestal automatisch. De rek na de breuk bereken je als volgt:

rek na de breuk =

_ b”

AL LLo

_ £u

”

verlenging na de breuk oorspronkelijke meetlengte

Lo

Meestal wordt de rek uitgedrukt in %. Je vermenigvuldigt dan bovenstaande waarde met 100. Algemeen definieer je de rek of relatieve verlenging als:

AL

[mm

[mm

Grootheid

Symbool

Eenheid

Rek, relatieve verlenging

e (epsilon)

-

AL

m

Absolute verlenging Oorspronkelijke lengte

m

Lengte na de uitrekking

m

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

47

Voorbeeld Een proefstaat met een diameter van 5 mm heeft een proeflengte van 50 mm. Na de breuk is de lengte 58 mm. Bepaal de rek na de breuk van het materiaal van

deze proefstaat. Gegeven:

Lo = 50 mm L = 58 mm ii

Gevraagd: Eb 2

Uitwerking

Trekpoef

_ 58 - 50 ”

50

[mm - mm] mm J

l

= 0,16 = 16%

Besluit:

2.3

de rek na de breuk bedraagt 16 %.

Spanning-rekdiagram De trekproef kun je vastleggen in een spanning-rekdiagram (figuur 2.10). Daarin is de span¬ ning verticaal uitgezet en de rek (de relatieve verlenging) horizontaal. De gebogen lijn noem

je de trekkromme.

48

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

2.3.1

Proportionaliteitsgrens Als de spanning kleiner is dan Rp zal de relatieve verlenging £ evenredig zijn met spanning o. Je noemt punt P in de grafiek de proportionaliteitsgrens. De evenredigheidsfactor tussen de spanning en de rek is de elasticiteitsmodulus E.

a=

E e

Wet van Hooke2

In het (e; ^-assenstelsel komt de richtingscoëfficiënt van de rechte door de oorsprong (y = m • x) overeen met de elasticiteitsmodulus. Grootheid

Symbool

Trekpoef

Eenheid

2

Spanning

1

Stap 3

138

[N]

Dwars krachtenlijn

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

en

D[N]

mDwarskchten- oentlij

Schaal: horizontaal: 1 mm = 0,025 m verticaal: 1 mm = 200 N

6 000 4 000

3 000

6

*[m] Figuur 6.11 Dwarskrachtenlijn

Stap 4

Momeatfuacties

Ook om de momentfuncties te bepalen, moet je de balk opsplitsen in dezelfde drie interval¬ len. interval AB 0 x < 1 interval BC 1 x < 3,5 interval CE 3,5 ≤x 5 I - 5 000

[N]

D[N]

Schaal: horizontaal: 1 mm = 0,10 m 1 mm = 200 N verticaal:

3 000 -

x[m]

-2 000 Figuur 6.19 Dwarskrachtenlijn

Stap 3

{

Momentenlijn

0 x < 5

M = -7 000 + 3 OOOx

[Nm]

5

M= 18 000-2 OOOx

[Nm]

I -5 000(x-5)

[Nm]

x < 9

Korte schrijfwijze:

M = -7 000 + 3 OOOx

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

143

6

moentlij Dwarskchtenen

Het maximale moment bevindt zich bij kracht F, (x = 5 m) en heeft een grootte van 8 000 Nm, bij de inklemming is het moment 7 000 Nm.

6.1.3 Gelijkmatige belasting Je wilt een afdak ontwerpen dat links tegen een muur wordt gemonteerd en aan de rech¬ terzijde steunt op een muur. De twee muren staan 7 meter uit elkaar en het afdak moet aan de rechterzijde 3 meter oversteken. De verbinding van het afdak aan de linkerzijde tegen de muur kan geen moment opvangen, de steun van het afdak op de rechtermuur neemt alleen een verticale kracht op. Het dak wordt gedragen door drie balken. De dakbedekking per balk bedraagt 1 200 N/m, 's winters kan daarop nog een sneeuwlaag komen die een gewicht heeft van maximaal 1 250 N/m. Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn van de balk. Bepaal ook de plaats en grootte van het maximale moment. Welke balk zou je kiezen die dit moment kan opvangen?

144

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

en

mDwarskchten- oentlij

6

• Oplossing Stap 1

Vrijmaken van het lichaam

Maak de balk vrij door in de steunpunten A en B reactiekrachten in te voeren. De gelijk¬ matige belasting kun je vervangen door een kracht die verticaal naar beneden is gericht en aangrijpt in het zwaartepunt van de gelijkmatige belasting.

= 2 450-10

[^-m]

= 24 500 N

De steunpuntreacties bereken je met de evenwichtsvoorwaarden.

Z?=o

^Fx = 0

(geen horizontale krachten)

RA + RS = 24 500 N

£Mo = 0

(1)

-Q-I--L + Rb-7 = 0 Rb= 17 500 N

(2)

Vergelijking (2) in vergelijking (1):

Ra = 7 000 N © Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

145

6

moentlij Dwarskchten-

Dwarskrachtfuacties

Stap 2

De balk splits je op in twee intervallen.

en

interval AB

0

intervalHC

7≤x 93, 9

De formule van Euler mag bij constructiestaal S235 alleen toegepast worden als de slankheid van de staaf groter is dan 93,9. Bij S355 is de minimale slankheid 76,4.

Knik 9

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

Omdat bij de overgang van de drukbelasting naar de knikcurve van Euler de afwijking ten op¬ zichte van de werkelijke knikcurve groot is, kunnen hier meer wiskundige methodes worden toegepast (Von Tetmajer, Ritz, Galerkin, secansformule .. .) of worden knikfactoren (in functie van de slankheid en instabiliteit) toegepast.

Ook wordt op de berekende knikkracht nog een veiligheidsfactor (3 ... 8) toegepast.

9.2.2

Kniklengte Afhankelijk van de bevestiging van de staaf wordt de vrije kniklengte van de staaf bepaald in functie van de lengte en bevestigingsfactor.

Lk

= k-L

Lk=L

Lk=2l

Lk=0,7-L

Lk=Of5-L

k=l

k-2

k = 0,7

k = 0,5

Figuur 9.5 Bevestigingsfactor

Grootheid

Symbool

Maximale knikkracht, kniklast

Elasticiteitsmodulus

N

E

Vloeigrens

9

Knik

MPa MPa

Kleinste oppervlaktetraagheidsmoment

^min

mm4

Kleinste gyrostraal

^min

mm

2

-

Slankheid Vrije kniklengte

mm

Lengte van de staaf

L

mm

Bevestigingsfactor

k

-

Kracht

F

N

Veiligheidsfactor (3 ... 8)

212

Eenheid

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

-

9.2.3

Voorbeeld Een vakwerk wordt belast met een kracht van 20 kN (zie blz. 22). De staafkrachten in dit vakwerk zijn berekend (figuur 9.6). Bepaal een geschikt buisprofiel, materiaal S275, voor staaf BD als veiligheidsfactor vk = 4.

Gegeven:

F= 11,5kN L = 4 m (gelijkzijdige driehoeken) =4 S275

^

Gevraagd: geschikt buisprofiel voor staaf BD

Uitwerking Omdat in een vakwerk de knooppunten scharnierend zijn, is de kniklengte gelijk aan de lengte van de staaf. Door de veiligheidsfactor is de knikkracht:

Fk = F^k = 11 500-4 [N] = 46 000 N Volgens de formule van Euler is:

^2-F-^

Fk ”

Lk2

. ~

Knik

_F_^ "

n2 • E

46 000 4 0002 = ;r2210 000

9

FN-mm2' N

mm2 = 355 107 mm4 In een tabellenboek kun je opzoeken welk profiel voldoet aan dit oppervlaktetraagheidsmoment. Het buisprofiel EN 10 210-S275JOH-60x60x3 heeft een oppervlaktetraagheidsmoment van 362 000 mm4. De oppervlakte van de doorsnede bedraagt 674 mm2.

© Plantyn - Toegepaste mechanica - Sterkteleer - 3de graad en BA

213

Er moet steeds gecontroleerd worden of de kritische knikspanning kleiner is dan

de vloeigrens.

2

/min

^-210 000-362 000 4 0002 • 674

mm2

mm4

.mm2 • mm2.

= 69,6 MPa