Theoretische mechanica 3de graad (incl. Scoodle) 9030149124, 9789030149125

Citation preview

TH£OR£TIS

-

Leer Leef- Beleef

Plantyn I per •I ppf • Rplppf

Opmaak omslag: Crius Group Ontwerp en opmaak binnenwerk: Crius Group lllustratieverantwoording: © asiana - Fotolia.com, © Bastos - Fotolia.com, © costy_francu - Fotolia.com, © Key Technology, © pumpchn - Fotolia.com Met dank aan: Hörmann, Daniel Philippe, Deman, Electrabel, iStockphoto, Jeroen Lemmens, Marc Lemmens

NUR 178 © Plantyn nv, België

Alle rechten voorbehouden. Behoudens de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, op welke wijze dan ook, zonder de uitdrukkelijke voorafgaande en schriftelijke toestemming van de uitgever. Uitgeverij Plantyn heeft alle redelijke inspanningen geleverd om de houders van intel¬ lectuele rechten op het materiaal dat in dit leermiddel wordt gebruikt, te identificeren, te contacteren en te honoreren. Mocht u ondanks de zorg die daaraan is besteed, van oordeel zijn toch rechten op dit materiaal te kunnen laten gelden, dan kunt u contact opnemen met uitgeverij Plantyn.

Ær j

Dit boek werd gedrukt op papier van verantwoorde herkomst.

ISBN 978-90-301-4912-5

23640/2

D2019/0032/0685

Voorwoord Dit handboek 'Theoretische mechanica' is bestemd voor leerlingen van de derde graad indus¬ triële wetenschappen en elektromechanica van het secundair onderwijs en voor bachelorstudenten van het hoger onderwijs. De algemene doelstelling van dit handboek is het verruimen en verdiepen van de kennis van de kinematica, de statica en de dynamica. Het is de bedoeling om een stevig fundament te leggen om enerzijds de sterkteleer op verantwoorde wijze te kunnen geven en anderzijds de meer 'toegepaste mechanica' voldoende wetenschappelijk te kunnen benaderen.

De vectorenleer helpt een juiste en eenvoudige begripsbepaling vormen. Ze reikt ook oplos¬ singen ten gronde aan. Bovendien leert ze algemene verbanden zien en oplossingen in structuurverband maken. Aan de hand van eenvoudige experimenten en proefopstellingen kan de leerling de wetmatigheden uit de mechanica wiskundig onderbouwen. De uitgewerkte voorbeelden illustreren de verschillende wijzen van probleemoplossend denken. Wiskunde en ICT-middelen zijn hier geen hoofdcomponenten, maar hulpmiddelen om leerlingen te laten ervaren datje oefeningen op verschillende manieren kunt oplossen.

Belangrijke formules, definities, voorbeelden, extra wiskundige uitwerkingen ... zijn duidelijk gestructureerd en herkenbaar weergegeven.

Mare Lemmens

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

3

Inhoudsopgave Voorwoord

3

Grootheden en eenheden

11

Basisgrootheden

11

Afgeleide grootheden

11

Decimale voorvoegsels

13

Deel I: KINEMATICA

15

1

Samenstellen en ontbinden van bewegingen

17

1.1

Samenstellen van eenparige rechtlijnige bewegingen

17

1.2

1.1.1

Beweging

17

1.1.2

Relatieve, sleep- en absolute verplaatsing

17

1.1.3

Relatieve, sleep- en absolute snelheid

18

1.1.4

Voorbeeld

.........................................................................................19

Een beweging ontbinden in twee eenparige rechtlijnige

bewegingen

1.3 1.4

1.5

24

1.2. 1

Grafische bepaling van de twee deelsnelheden

24

1.2.2

Analytische bepaling van de twee deelsnelheden

26

Samenstellen van twee rechtlijnige bewegingen Horizontale worp

27 28

1.4.1

Analyse van de horizontale worp

28

1.4.2

Snelheid en verplaatsing in x- en y-richting

29

1.4.3

Baanvergelijking

30

1.4.4

Worpafstand

31

1.4.5

Voorbeeld .........................................................................................32

Schuine worp (kogelbaan)

34

1.5.1

Analyse van de schuine worp

35

7.5.2

Baanvergelijking

38

7.5.3

Worpafstand en culminatiepunt .........................................................38

1.6

Te onthouden

42

1.7

Opdrachten

44

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

2

Beweging van lichamen

51

2.1

De beweging van een star lichaam

52

2.1.1

Star lichaam

52

2.1.2

Translatiebeweging

52

2.1.3

Rotatiebeweging ............................................................................... 53

2.2

Splitsing van een vlakke beweging in een translatie en een rotatie...55

2.3 2.4

Ogenblikkelijke rotatiepool (ogenblikkelijk rotatiecentrum) Wiskundige analyse van de beweging

69

2.5

Te onthouden

73

2.6

Opdrachten

75

Deel II: STATICA

62

83

3

Samenstellen van samenlopende krachten

85

3.1

Samenstellen van samenlopende krachten in een vlak

85

3.1.1 3.1.2

3.1.3

3.2

Ontbinden van een kracht in een vlak ............................................... 86 Samenstellen van samenlopende coplanaire krachten ........................87 Ontbinden van een kracht in twee willekeurige richtingen 89

Samenstellen van samenlopende krachten in de ruimte

91

3.2.1

Ontbinden van een kracht in de ruimte

91

3.2.2

Ontbinden van een kracht door middel van een eenheidsvector

96

3.2.3

Samenstellen van samenlopende niet-coplanaire krachten

98

3.2.4

Voorbeeld

3.2.5

Ontbinden van een kracht in willekeurige richtingen

........................................................................................ 99 102

3.3

Te onthouden

105

3.4

Opdrachten

107

4

Moment van een kracht Moment van een kracht ten opzichte van een punt Moment van een kracht ten opzichte van een as

115

4.1 4.2

4.2.1

|

118

Moment van een kracht ten opzichte van de as bij een tandwiel met schuine tanden

4.2.3

117

Moment van een kracht ten opzichte van de as bij een tandwiel met rechte tanden

4.2.2

115

Voorbeeld

119

....................................................................................... 121

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

4.3

4.4

Moment van een kracht in de ruimte

123

4.3.1

Momentvector bepalen volgens de coördinaatassen

123

4.3.2

Momentvector bepalen met behulp van de determinant

125

4.3.3

Moment van een kracht ten opzichte van een willekeurige as

128

Stelling van Varignon

131

4.4.1

Resulterende kracht van coplanaire krachten

131

4.4.2

Resulterende kracht van evenwijdige niet-coplanaire krachten

134

4.4.3

Niet-coplanaire krachten samenstellen

136

4.5

Te onthouden

139

4.6

Opdrachten

141

5

Evenwicht van lichamen

151

5.1

Vrij en gebonden lichaam

151

5.2

151

5.8

Evenwichtsvoorwaarden van lichamen Tweedimensionale verbindingen Evenwicht in een vlak Evenwicht door wrijvingskrachten Driedimensionale verbindingen Evenwicht in de ruimte Te onthouden

5.9

Opdrachten

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

152 153

159 163

167

172

173

Deel III: DYNAMICA

193

6.1

Dynamica van een lichaam Stoffelijk punt - star lichaam

195

6.2

Wetten van Newton

196

6

195

6.2.1

Eerste wet van Newton of traagheidswet ........................................ 196

6.2.2

Tweede wet van Newton

6.2.3

Derde wet van Newton

197

...................................................................200

6.3

Dynamisch evenwicht met de tweede wet van Newton

201

6.4

Principe van d'Alembert

204

6.4.1

Traagheidsvector

204

6.4.2

Evenwichtsvergelijking van d'Alembert

205

6.4.3

Voorbeeld

206

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

6.5

Te onthouden

208

6.6

Opdrachten

209

7

Centripetale kracht

221

7.1

De normaalversnelling

221

7.2

Centripetale of middelpuntzoekende kracht Centrifugale of middelpuntvliedende kracht

224

7.3

227

7.6

Voorbeelden Te onthouden Opdrachten

8

Rotatie van een lichaam

239

8.1

239

8.2

Normaal- en tangentiële versnelling Moment en hoekversnelling

8.3

Massatraagheidsmoment van een lichaam

243

7.4 7.5

231 232

241

8.3.1

Bepaling

243

8.3.2

Voorbeeld

245

8.3.3

Verschuivingsstelling van Steiner

246 250

8.6

Voorbeeld Evenwichtsvergelijking bij rotatie Voorbeeld

8.7

Te onthouden

256

8.8

Opdrachten

258

9

Arbeid, vermogen en rendement Arbeid

263

8.4 8.5

9.1

253

263

Bepaling

9.1.2

Arbeid van een kracht bij een rechtlijnige beweging ........................264

9.1.3

Grafische voorstelling van de arbeid in een (s; F)-assenstelsel 265 Arbeid van een tangentiële kracht bij een cirkelvormige beweging ...266 267 Arbeid van een koppel van krachten

9.1.5

9.2

252

9.1.1

9.1.4

8

226

Vermogen

263

269

9.2.1

Vermogen van een kracht bij een eenparige rechtlijnige beweging...269

9.2.2

Vermogen van een tangentiële kracht bij een eenparige cirkelvormige beweging

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

269

9.6

Rendement Voorbeeld Te onthouden Opdrachten

10

Energie

279

10.1

Energievormen

279

10.2

Mechanische energie

280

Potentiële energie door de zwaartekracht 10.2.2 Potentiële energie door elasticiteit 10.2.3 Kinetische energie bij translatie 10.2.4 Kinetische energie bij rotatie 10.2.5 Voorbeeld

280

9.3

9.4 9.5

271 272 275 276

10.2.1

10.3 10.4

Energieomzetting Energievergelijking

280 282 282 284 285 287

10.7

Voorbeelden Te onthouden Opdrachten

294

11

Impuls - krachtstoot

299

11.1

De begrippen impuls en krachtstoot

299

11.2

Voorbeelden Behoud van impuls Centrale botsing

302

10.5

10.6

11.3

11.4

289 293

306 310

11.4.1

Volkomen plastische botsing

310

11.4.2

Volkomen elastische botsing

312

11.4.3

Onvolkomen elastische botsing

314

11.5

Te onthouden

315

11.6

Opdrachten

316

BIJLAGEN

323

Bijlage A: driehoeksmeting

325

Rechthoekige driehoek

325

Willekeurige driehoek

325

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

10

Bijlage B: vectorenleer

326

Eenheidsvector

326

Vector in de ruimte

326

Scalair product

327

Vectorieel product

327

Bijlage C: enkele vlakke figuren

328

Bijlage D: enkele ruimtelichamen

329

Bijlage E: massatraagheidsmomenten

330

Bijlage F: niet-SI-eenheden

331

Bijlage G: Grieks alfabet

333

Antwoorden

335

Trefwoordenregister

339

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Grootheden en eenheden Basisgrootheden Er zijn zeven basisgrootheden waarvan je alle andere grootheden afleidt.

|

Basisgrootheid

Symbool

|

I Gronddimensie

Eenheid

lengte

/

de meter

m

L

massa

m

het kilogram

kg

M

tijd

t

de seconde

s

T

temperatuur

T

de kelvin

K

e

elektrische stroom

/

de ampère

A

i

stof hoeveelheid

n

de mol

mol

N

de candela

cd

J

lichtsterkte

De dimensie van een grootheid is het product van de machten van de gronddimensies. Zo is de dimensie van snelheid: dim(v)

_ dim(s) “

dim(f)

_L

“T

= LT’1 Met behulp van de dimensie kun je nagaan of in de vergelijking van de grootheden geen fouten zitten.

De eenheden radiaal (rad) voor een vlakke hoek en steradiaal (sr) voor een ruimteboek zijn twee aanvullende eenheden. Ze zijn dimensieloos.

Afgeleide grootheden Alle andere grootheden kun je rechtstreeks afleiden van de bovenstaande basisgrootheden. Sommige afgeleide grootheden uit de mechanica1 hebben een specifieke eenheid. Afgeleide grootheid

1

I

Symbool

Specifieke Sl-eenheid

Dimensie

kracht

F

newton

N

kg • m/s2

MLT-2

druk

P

pascal

Pa

N/m2

ML-’T-2

arbeid

W

joule

J

Nm

ML2T-2

vermogen

P

watt

W

J/s

ML2T-3

In de elektriciteit en ander toepassingsgebieden gebruiken ze regelmatig afgeleide grootheden met een specifieke eenheid (volt, hertz, ohm, farad, coulomb, weber, tesla, lux, sievert, becquerel ...).

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

11

De andere afgeleide grootheden en eenheden kun je afleiden uit bovenstaande grootheden. De afgeleide grootheden die we in dit boek gebruiken, vind je in onderstaande tabel.

Afgeleide grootheid

||

Symbool

Sl-eenheid

breedte

b

meter

m

hoogte

h

meter

m

straal

r

meter

m

d, D

meter

m

afgelegde weg

s

meter

m

oppervlakte

A

vierkante meter

m2

volume

V

kubieke meter

m3

snelheid

V

meter per seconde

m/s

versnelling

a

meter per seconde kwadraat

m/s2

aardversnelling (9,81 m/s2)

9

meter per seconde kwadraat

m/s2

doorlopen hoek

0

radialen

rad

hoeksnelheid

O)

radialen per seconde

rad/s

hoekversnelling

a

radialen per seconde kwadraat

rad/s2

rotatiefrequentie

n

per seconde

/S, S"1

aantal omwentelingen

N

-

massadichtheid

P

kilogram per kubieke meter

veerstijfheid, veerconstante

k

newton per meter

N/m

diameter

kg/m3

moment

M, T

newtonmeter

Nm

moment van F t.o.v. punt 0

MOF

newtonmeter

Nm

M0FF'

newtonmeter

Nm

moment van koppel FF' t.o.v. 0

joule

J

joule

J

f.P

-

-

rendement

1

-

-

massatraagheidsmoment

J

kilogram meter kwadraat

oppervlaktetraagheidsmoment

/

meter tot de vierde

m4

meter

m

potentiële energie

E.

kinetische energie wrijvingsfactor

gyrostraal, traagheidsstraal

12

|

k, i

impuls, bewegingshoeveelheid

P

krachtstoot, impulsverandering

^P

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

kilogram meter per seconde newton seconde

kg • m2

kg • m/s N•s

Decimale voorvoegsels Om de grootteorde van de eenheden aan te passen, mag je voorvoegsels gebruiken. Symbool

Naam

Waarde

Voorbeeld 20 Om = 20 • 10-6 m = 0,000 020 m

0,5 GJ = 0,5 • 109J

= 500 000 000 J

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

13

KINEMATICA

1

ontbide bewgine

Samensteller! en ontbinden van bewegingen

en

1.1

Samenstellen van eenparige rechtlijnige bewegingen

1.1.1

Beweging

Samenstl

1

De beweging van een last aan een rolkraan in een grote fabriekshal moet gebeuren van po¬ sitie A naar positie B zoals aangegeven op de tekening.

Figuur 1.2 Grafische voorstelling

Figuur 1.1 Rolbrug

Ar^

De beweging van de last van A naar B: kan gebeuren door gelijktijdig de volgende be¬ wegingen uit te voeren: • een eenparige rechtlijnige beweging van loopkat C t.o.v. de dwarsliggers: • een eenparige rechtlijnige beweging van last A t.o.v. loopkat C:

Ar^

Ar^

Arcen ArCA zijn twee verplaatsingsvectoren. Vector ArA is de somvector van de verplaatsingsvectoren

Ar^ en Ar^. Aangezien je hier met vectoren te maken hebt, geldt:

A^ = AQ + Ar^ 1.1.2

Relatieve, sleep- en absolute verplaatsing

• Relatieve verplaatsing De verplaatsing van de last ten opzichte van een waarnemer op de loopkat, noem je de relatieve verplaatsing (figuur 1.3).

De relatieve verplaatsing is de verplaatsing van een punt ten opzichte van een bewe¬

gend geheel.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

17

van

1

Sbewgine amenstl van

Sleepverplaatsing De verplaatsing van de loopkat ten opzichte van de dwarsligger, noem je de sleepverplaat¬ sing (figuur 1.3).

en

ontbide

De sleepverplaatsing is de verplaatsing van het geheel ten opzichte van een vast refe¬ rentiepunt.

Figuur 1.3 Vectoriële voorstelling van de verplaatsing

Absolute verplaatsing De beweging van de last van A naar B in de hal noem je de absolute verplaatsing. Het is im¬ en de sleepverplaatsing mers de vectoriële som van de relatieve verplaatsing

Ar^

ArJ.

a7>a7>A^ De absolute verplaatsing is de beweging van een punt ten opzichte van een vast refe¬ rentiepunt.

1.1.3

Relatieve, sleep- en absolute snelheid Als je in de vectoriële gelijkheid

Ar>A^+Ar^ beide leden van de gelijkheid deelt door eenzelfde scalar At, een tijdsverschil, vind je:

A^ A^+Ar^ At

At

18

At

At

At

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

ontbide bewgine

Het tijdsverschil is voor de drie verplaatsingen hetzelfde; de bewegingen gebeuren immers gelijktijdig. Verplaatsingsvector Ar gedeeld door At geeft ons vector v, die je de snelheid noemt. Je vindt dan:

en

Samenstl

1

De absolute snelheid is de vectoriële som van de sleep- en de relatieve snelheid. De vec¬ en toren v^Aycenv^ hebben dezelfde richting en zin als respectievelijk Ar^,

ArJ Ar^.

1.1.4

Voorbeeld De last aan een rolbrug moet 8,0 m omhoog en 15 m naar rechts bewegen. De hijssnelheid bedraagt 1,6 m/s en de horizontale snelheid bedraagt 3,0 m/s. Bepaal de zin, richting en grootte van de absolute verplaatsing en snelheid,

zowel grafisch als analytisch.

Figuur 1.4 Verplaatsing

Figuur 1.5 Snelheid

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

19

van

1

Sbewgine amenstl van

Gegeven:

en

ontbide

figuur 1.4 en figuur 1.5 \AD\ = 15 m \DB\ = 8,0 m

vc = 3,0 m/s vCA = 1,6 m/s

Ar^ (grafisch) 2. Ar^ (analytisch) 3. ?A (grafisch)

Gevraagd: 1.

(analytisch)

4. 1

Ar^

Grafische uitwerking van Kies een gepaste afstandsschaal en teken de verplaatsingsvectoren. 1 mm = 0,2 m

Ar^ teken je dan 1 5 Ar^ teken je dan 8

[m ^r] = 75 mm lan9

•

’

[m

•

*

= 40 mm lan9

Teken nu de positievectoren op schaal in een orthonormaal assenstelsel (figuur 1.6). Bepaal de vectoriële som: ArJ = + Arl

Ar^

yï

Figuur 1.6 Absolute verplaatsing

De werkelijke grootte van

De grootte van

^

Ar^ vind je door de diagonaal te meten: 85 mm.

Ar^

= 85 0,2

[mm

= 17 m De richting van

De zin van

20

Ar^ meet je met een gradenboog: arA = 28°

Ar^ zie je op figuur 1.6.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Besluit:

vector

ontbide bewgine en

A/^ heeft als

Samenstl

• grootte: 17 m • richting: arA = 28° • zin: zie figuur 1.6. 2

Analytische uitwerking van ArJ Schrijf en met de eenheidsvectoren / en j . Maak nu de vectoriële som om te berekenen.

1

Ar^ ArJ Ar^

yï

Figuur 1.7 Absolute verplaatsing

-4

=A

'

Of

i

= 15/ +8,0/ De grootte van

-4

j + A r^A CAy J

[m]

Ar^

A rA = V1 52 + 8, 02

[ Vm^+m2]

= 17m De richting van

Ar^

«M = 28°4'21" De zin van Besluit:

Ar^ zie je op figuur 1.7. A/^

heeft als vector • grootte: 17 m • richting: arA = 28°4'21" • zin: zie figuur 1.7.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

21

van

1

Sbewgine amenstl van

3

en

Grafische uitwerking van vA Kies een gepaste afstandsschaal en teken de snelheidsvectoren.

ontbide

1 mm = 0,05 m/s

ütc teken Jie dan 3, 0

•

0,05

teken je dan 1,6-

Lfm/s m/sj = [m . mm] = 32 mm lang *

60 mm lang

Teken nu de snelheidsvectoren op schaal in een orthonormaal assenstelsel (figuur 1.8). Bepaal de vectoriële som: = +

ü^ ü^ v^.

Figuur 1.8 Absolute snelheid

De werkelijke grootte van vA vind je door de lengte van de diagonaal te meten: 68 mm. De grootte van

^

v*A

= 68 0,05

[mm-^l

= 3,4 m/s

De richting van meet je met een gradenboog: avA = 28° De zin van zie je op figuur 1.8.

Besluit:

vector

• • •

22

heeft als

grootte: 3,4 m/s richting: avA = 28° zin: zie figuur 1.8.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

4

Analytische uitwerking van vA Schrijf en met de eenheidsvectoren om te berekenen.

v*A

V^A

ontbide bewgine en

/

Samenstl

en j . Maak de vectoriële som

1

Figuur 1.9 Absolute snelheid

= 3,0-Z+1,6j

[m/s]

De grootte van

vA = V3,02 + 1,62

[V(m/s)2 + (m/s)2]

= 3,4 m/s De richting van

=44

tanavA 3,0 [^1 Lm/sJ avA =28°4'21"

De zin van

Besluit:

zie je op figuur 1.9.

heeft als vector • grootte: 3,4 m/s

• •

richting: aA = 28°4'21" zin: zie figuur 1.9.

v^, en hebben dezelfde richting en zin als de vectoren Ar^, Ar^ en Ar^.

Opmerking: de vectoren

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

23

van

1

Sbewgine amenstl van

1.2

en

ontbide

Een beweging ontbinden in twee eenparige rechtlijnige bewegingen Op een CNC-draaibank maak je een werkstuk zoals in figuur 1.10. De machine beschikt over twee gestuurde sledes die met elkaar een hoek van 90° maken. De snelheid van de beweging van de beitel langs de helling van 20° is 0,05 m/s. Hoe groot is de snelheid van de langs- en dwarsslede?

Figuur 1.10 Conisch werkstuk

1.2.1

Grafische bepaling van de twee deelsnelheden

Gegeven:

zie figuur 1.10 v = 0,05 m/s a = 20°

Gevraagd:

v.

Uitwerking Kies een gepast assenstelsel en teken 7 op schaal.

1 mm = 0,001 m/s

24

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

ontbide bewgine en

Teken v en laat vanuit het eindpunt van deze vector streeplijnen loodrecht neer op de x- en y-as. Zo ontstaat een rechthoek met als diagonaal de te ontbinden snelheidsvector v (figuur 1.12). De rechthoekzijden zijn de snelheidsvectoren van de langs- en dwarsslede, v, en

Samenstl

v^.

1

Meet in figuur 1.12 op de x-as de lengte van snelheidsvector lengte van snelheidsvector

v, en op de y-as de

= 47 mm

â 17 mm Grootte van

en

v, = 47 • 0,001 [mm •

= 0, 047 m/s

vó = 17-0,001 [mm • ^] =0,017 m/s Besluit:

de grootte van de snelheidsvectoren

v,

en vd is 0,047 m/s en

0,017 m/s.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

25

van

1

Sbewgine amenstl van

1.2.2

Analytische bepaling van de twee deelsnelheden

en

ontbide

Gegeven:

zie figuur 1.10 v = 0,05 m/s a = 20°

Gevraagd:

v, vd

Uitwerking

Teken de snelheid in een orthonormaal assenstelsel.

Bereken de projecties op de x- en y-as.

v, = v

•

cosa

= 0, 05 • cos20°

[Ç -]

= 0, 0470 m/s u

a

= v sina = 0, 05-sin20° [£--] = 0,0171 m/s

Besluit:

de grootte van de snelheidsvectoren 0,017 m/s.

26

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

en

is 0,047 m/s en

1.3

ontbide bewgine

Samensteller! van twee rechtlijnige bewegingen

en

Samenstl

1

Figuur 1.14 Schuine worp

De beweging van de bal gebeurt in twee richtingen; de bal verplaatst zich gelijktijdig hori¬ zontaal en verticaal. Bij de analyse van dit soort beweging ga je de beweging in twee richtin¬ gen bekijken. Je bekijkt de verplaatsing, snelheid en versnelling in elke richting afzonderlijk. Daarbij maak je gebruik van de formules van de eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging:

v=v0 + at

^

s = s0 + v0-t + Grootheid

snelheid op tijdstip t

| Symbool | Sl-eenheid V

beginsnelheid

|

meter per seconde

m/s

meter per seconde

m/s

m/s2

versnelling

a

meter per seconde kwadraat

verplaatsing, positie

s

meter

m

beginpositie

so

meter

m

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

27

van

1

Sbewgine amenstl van

1.4

en

Horizontale worp In een groentebedrijf worden erwten gecontroleerd met camera's. De erwten gaan over een horizontale transportband. Het camerasysteem detecteert slechte erwten of vreemde voorwerpen. Die worden in de vluchtweg van de erwten uitgestoten met behulp van een blaassysteem. De vluchtweg van de erwten ziet eruit als een bergparabool.

ontbide

Figuur 1.15 Sorteermachine

Figuur 1.16 Voorstelling

Als je een horizontale worp filmt, kun je die analyseren met gepaste software. In figuur 1.17 is de beweging van een bal die van een tafel rolt geanalyseerd.

Figuur 1.17 Analyse van de horizontale worp

1.4.1 Analyse van de horizontale worp

Figuur 1.18 Horizontale worp

28

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

ontbide bewgine

De bal vertrekt horizontaal vanaf hoogte h0 met beginsnelheid v0. De bal beschrijft een bepaalde baan, de horizontale worp. Om de horizontale worp te analyseren, voer je een (x; y)-assenstelsel in, figuur 1.18.

en

Samenstl

Wanneer een bal de horizontale tafel verlaat, heeft hij een horizontale snelheid Door de aardversnelling krijgt de bal een snelheid naar beneden, waardoor de grootte van de snel¬ heid in de verticale richting verandert, figuur 1.19.

1

1.4.2 Snelheid en verplaatsing in x- en y-richting Als je met behulp van de software de horizontale snelheid analyseert, zie je dat die snelheid bijna constant is.

Figuur 1.20 Horizontale snelheid

De horizontale snelheid neemt een beetje af door de luchtweerstand. Als je die gaat ver¬ waarlozen, blijft de horizontale snelheid gedurende de hele beweging even groot. De bal maakt in de horizontale richting een eenparige rechtlijnige beweging. De snelheid en de verplaatsing in de x-richting zijn:

vx = ic0

S,= V„t

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

29

van

1

Sbewgine amenstl van

In onderstaande figuur zie je dat de verticale snelheid lineair afneemt met 9,8 m/s per se¬ conde (richtingscoëfficiënt van de regressielijn). Er is een verticale versnelling van 9,8 m/s2.

en

ontbide Door de aardversnelling, g = 9,81 m/s2, ondergaat de bal in verticale richting een eenparig veranderlijke beweging. De snelheid en de verplaatsing in dey-richting zijn:

ay-t2

vr=-gt

.

sy-h0

ay = -g met

^=0 ƒOy = ^0

g t2 2

De snelheid op ogenblik t is: v = v x • / + vy ji

De grootte en richting van de snelheid op ogenblik t zijn:

tana =

-^

_-g:t %

"

-g t a = atan—2— *n

30

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

1.4.3

ontbide bewgine

Baanverge lij king

en

Samenstl

Met behulp van de verplaatsing in de x- en y-richting van de bal kun je de baan van de hori¬ zontale worp afleiden.

sx = v0-t

c

t=^vo

(1)

1

(2)

Elimineer t door vergelijking (1) in te vullen in vergelijking (2).

0

\=

~2^S>ho

De laatste vergelijking is de baanvergelijking van de horizontale worp. Je kunt die

baanvergelijking vergelijken met de parabool y = a • x2 + c uit de wiskunde. De

coëfficiënt van

.t

js altijd negatief

en de onafhankelijke term is gelijk aan

hQ. Je hebt dus te maken met een bergparabool met de y-as als symmetrieas en die snijdt in (0; hQ).

De baan die de bal volgt bij een horizontale worp is een bergparabool.

1.4.4 Worpafstand De plaats waar de bal op de grond valt, bepaalt de worpafstand. Bij die plaats is de hoogte nul meter, sy = 0 m. De tijd dat de bal in de lucht is, noem je de vluchttijd, t.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

31

van

1

Sbewgine amenstl van

Om rechtstreeks de worpafstand te bepalen, vervang je in de vergelijking

en

n

sy = hQ-

ontbide

0= t

•

t2

g t

door 0 en t door

tv

2

^0-^

s g

Met de formule van de verplaatsing in x-richting en vluchttijd t kun je worpafstand sxworp berekenen. 5xworp

= v0 tv

Bij het oplossen van opdrachten pas je de basisvergelijkingen toe in x- en y-richting.

v-vQ + at s = s3 0 + v

°

1.4.5

1Tt+

t2 2 •

! vx=v0

vy = -gt

;; s

sy =h "o - —2—

X

= v0 • 1t

Voorbeeld Zand verlaat een horizontale transportband met een snelheid van 6 m/s. De hoog¬ te van de band ten opzichte van de grond is 1,2 m. Bepaal de baanvergelijking en de plaats waar het zand op de grond valt. v = 6 m/s

h = 1,2 m

Figuur 1.23 Horizontale worp

Gegeven:

v0 = 6m/s

h0 = 1,2 m g = 9,81 m/s2

32

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

ontbide bewgine en

Gevraagd: sxwûrp

Samenstl

Uitwerking

•

Opstellen van de basisvergelijkingen van de baan

1

= 6-t ,

g

s,-h0 =

—t2 •

V2-9-^

= 1,2-4,9-t2

•

Berekenen van de vluchttijd Als het zand neerkomt is de hoogte 0 m. Dus moet sy = 0 0 = 1,2-4,9-tJ

tv = 0,495 •

s

Berekenen van de worpafstand

—

$xworp

v

= 6 • 0,495[Ç • s] = 2,97 m

• Baanvergelijking

sx

=6 •t

f

4

(1)

Sy =1,2 -4,9- t2 (2) (1) in (2)

sy = 1,2-4,9.(|)2 = 1,2-0,136-$/ = -0,136- $/+ 1,2

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

33

van

1

Sbewgine amenstl van

Dit is de vergelijking van een bergparabool met de y-as als symmetrieas en met

en

top 7(0; 1,2).

ontbide Figuur 1.24 De baan van de horizontale worp met behulp van een grafisch rekentoestel (Tl-Nspire™)

Besluit:

het zand komt 2,97 m verder neer en de baanvergelijking is sy =-0,136-s 2+1,2 ' *

1.5

Schuine worp (kogelbaan) Een motorcrosser springt met een snelheid v0 onder een hoek weg. Door de luchtweerstand te verwaarlozen werkt op de motor en motorcrosser alleen de zwaartekracht. De baan die de motor beschrijft, noem je de schuine worp of kogelbaan. De hoek a0 is de elevatiehoek.

Figuur 1.25 Schuine worp

34

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

1.5.1

ontbide bewgine

Analyse van de schuine worp

en

Samenstl

Als je een bal schuin naar de grond werpt, maakt de gekaatste bal een schuine worp. De bal vertrekt onder een hoek met een beginsnelheid.

1

Figuur 1.26 Schuine worp

Om de schuine worp te analyseren, voer je een (x; y)-assenstelsel in. De oorsprong leg je in

het vertrekpunt.

Figuur 1.27 Schuine worp

• Ontbinden van de beginsnelheid De beginsnelheid kun je ontbinden volgens een horizontale en een verticale richting.

v0x = v0cosa0

% = Vsin«o

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

35

van

1

Sbewgine amenstl van

• Verplaatsing en snelheid in x- en y-richting Als je met software de horizontale snelheid gaat bestuderen, zie je dat die bijna constant is. Door de luchtweerstand is er een kleine afname van de horizontale snelheid.

en

ontbide

o

Tim» (»)

Figuur 1.28 Horizontale snelheid

Als je de luchtweerstand verwaarloost, beweegt de bal in horizontale richting eenparig. De snelheid en de verplaatsing in de x-richting zijn:

S„ =V0« f

V, ^Ox = V0C°Sa0

= V0fCOSa0

De verticale snelheid is een dalende rechte die een bepaalde beginsnelheid heeft.

2.» 2.40

2.40

2.30

2»

Figuur 1.29 Verticale snelheid

36

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

2.00

2 45 T«m« (a>

2.70

2.73

2 00

2 03

2.90

ontbide bewgine

Door de aardversnelling ondergaat de bal in verticale richting een eenparig veranderlijke beweging. De snelheid en de verplaatsing in dey-richting zijn:

1/ t1 + — =S

s

Vy =

ay

•

= vosinao-gt

=

.

en

Samenstl

t2 2

.

g • t2

vorsinao-^-

1

De snelheid op ogenblik t is:

v=

vxï + vyj

= v0

cosa07 +(vo

sinao-g t) ~j

De grootte van de snelheid op ogenblik t is:

v=

^2 + v2

= ^(v^coFri^^

(A -

=

^/v02 cos2a0 + %2 sin2a0 - 2

=

^v02

•

•

•

•

(cos2a0 + sin2a0) - 2 v0 •

v0 •

•

sina0

sina0

•

BY = A2 - 2AB + B2

g • t + g2 • t2

g t + g2 -t2

cos 2 a0 + sin 2 a0 = 1

De richting van de snelheid op ogenblik t is:

v

tana = -ƒ

_%sina0-gt Vo COSa0 •

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

37

van

1

Sbewgine amenstl van

1.5.2

Baanverge Lij king

en

ontbide

Wil je de baanvergelijking van het lichaam kennen, dan moetje t elimineren uit de vergelijkingen:

s* = V0 ’ f cos«0

f=

'

Cl

•

v0-cosa0

t2

sy=votsmaQ-^-

(2)

Vergelijking (1) invullen in vergelijking (2) levert de baanvergelijking van de schuine worp.

9' sy = 1/v0 •

v0 COSa0

•

sin a

0

sx = tan«o\- 2 u02 •

g 2 • v02 • COS2a0

Go cosa0 '

2

g

COS2a0

•s2 + tana0-sx

Je kunt die baanvergelijking vergelijken met de parabool y = a • x2 + b • x uit de wis¬

kunde. De coëfficiënt van s2 -

«

5

, is altijd negatief en de onafhanke-

lijke term is nul. Je hebt dus te doen met een bergparabool die door de oorsprong gaat.

De baan die het lichaam volgt bij een schuine worp is een bergparabool die door de oorsprong gaat.

1.5.3

Worpafstand en culminatiepunt

x worp

Figuur 1.30 Worpafstand en culminatiepunt

De worpafstand en het culminatiepunt vind je door de vergelijking van de baan te analyse¬ ren. Op het eindpunt van de schuine worp is de horizontale verplaatsing de worpafstand. De verticale verplaatsing is bij het eindpunt nul, dus sy = 0. Dat kun je toepassen op de concrete

basisvergelijkingen of de algemene basisvergelijkingen.

38

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

sy = tana0

9

sx- 2 VV COS2a0 '

^xworp

q_

”

«

_

sin «o

2 • v02

•

cos2a0

COS2a0

s2xworp

g 2 v02 cos2 a0 •

•

2 • cos2a0

2

Samenstl

'

cosa0

^xworp

en

2

9 Q

ontbide bewgine

• sin a. O

•

cosan -

g

0iz2

6in2a0-A-S Ko X

V0

1

•

smn xworp

sin 2a = 2 sina cosa •

•

/

Smo,p = 0 (vertrekpunt)

v„2-sin2a.5 ,

. , (eindpunt)

^„p = —g

De worpafstand is maximaal als sin

2a0 maximaal is:

sin 2a0= 1

2a0 = 90° «0 = 45°

Het culminatiepunt vind je door de top van de parabool te berekenen of de tijd te bepalen wanneer de snelheid in verticale richting nul is.

Bij het oplossen van opdrachten pasje altijd de basisvergelijkingen toe inx- eny-richting.

v=vQ + a t S=S

'/y = '/o,-9f

+ V t+

Sx=»Vf

•

Sy=h0 + V0,-t

g t2

2

Voorbeeld Je gooit een steen weg onder een hoek van 35° met een snelheid van 15 m/s. • Stel de vergelijking van de baan van de steen op. • Bepaal de worpafstand en het culminatiepunt. • Maak een schets van de baan van de steen. Gegeven: aQ = 35° v0 = 1 5 m/s

g = 9,81 m/s2 Gevraagd: sy = f(s ) *

\ worp

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

39

van

1

Sbewgine amenstl van

Uitwerking

en

• Opstellen van de baanvergelijking

ontbide

v0l = vcos«0 = 15co$35°

= 15sin35°

= 12,3 m/s

= 8, 6 m/s . s = ^Oy v t1 •

(1)

= 12,3 t

=

• f2 9 ——2

8,6.f_18^

= 8,6t-4,9t2

(2)

Haal uit vergelijking (1) t en vul die in vergelijking (2) in. Dan bekom je: sy

-M.c “12,3

= 0,7

*

sx

-

4,905 2 12, 32 * 0,0324 s2

sx

= -0,0324 s2 + 0, 7

Dit is de baanvergelijking van de worp. Hierin herken je de vergelijking van de parabool y = -0,0324 x2 + 0,7 • x. •

• Culminatiepunt Het hoogste punt van de steen kun je bepalen door de top van de baanvergelij¬ king te berekenen. Je kunt ook het tijdstip bepalen waarop de verticale snelheid nul is. Met behulp van die tijd bepaal je het culminatiepunt.

= 8,6-9,81 t 0 = 8,6-9,81 t

f=^r y,

«■

oi

= 0, 877s

sxc en syc, vind je door tc in te vullen in de vergelijking van sx en sy. =12,3

=8,6-

fc

= 12, 3 • 0, 877 = 10,8m

tc-4,905 - tc2

= 8, 6 • 0, 877 - 4, 905 • 0, 877 =3,77 m

De coördinaten van het culminatiepunt zijn 7(10,8; 3,77).

• Worpafstand Als de steen op de grond is, is de hoogte 0 m. Je moet de baanvergelijking dus gelijkstellen aan nul.

sx- 0,0324

s2

Sy

= 0, 7

0

=0,7 s -0,0324 s2

= 5,(0, 7-0, 0324 sx)

40

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

ontbide bewgine en

Deze vergelijking heeft twee oplossingen:

Samenstl

sx = 0 (vertrekpunt) 0, 7 - 0,0324 sx = 0 0, 7 = 0, 0324 sx •

•

0,0324

1

«

^orp = 21-6 m (eindpunt) De worpafstand is 21,6 m.

• Schets van de baan

Figuur 1.32 Voorstelling van de baan met behulp van een grafisch rekentoestel (TI-NspireTM)'

Besluit:

• • •

1

De steen volgt de baan sy= 0, 7 • - 0,0324 • s*. De worpafstand is 21,6 m. Het culminatiepunt van de steen is 7(10,8; 3,77).

sx

Je kunt de baan ook tekenen op een grafische rekentoestel als parametervergelijking, xft) = sK en y ft) = sy.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

41

van

1

Sbewgine amenstl van

1.6

Te onthouden

en

ontbide

• Gebruikte grootheden en eenheden Symbool

Grootheid

Sl-eenheid

tijd

t

seconde

s

hoogte

h

meter

m

s, r

meter

m

afgelegde weg, positie

snelheid

V

meter per seconde

m/s

versnelling

a

meter per seconde kwadraat

m/s2

aardversnelling (9,81 m/s2)

g

meter per seconde kwadraat

m/s2

hoek

a

radiaal (graad)

rad (°)

• Samenstellen van eenparige rechtlijnige bewegingen

Figuur 1.33 Samenstellen van twee eenparige rechtlijnige bewegingen

De relatieve beweging is de beweging van een punt ten opzichte van een be¬

wegend geheel. De sleepbeweging is de beweging van het geheel ten opzichte van een vast referentiepunt. De absolute beweging is de beweging van een punt ten opzichte van een vast referentiepunt.

—

1/ * =

*A

42

—vVC> 4- v

)

CA

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

ontbide bewgine en

• Ontbinden van een beweging

Samenstl

1

Figuur 1.34 Ontbinden van de snelheid

• Horizontale worp Basisvergelijkingen = ^0 Vy = -9-t

.

.

g t2

Worpafstand, sy = 0 m

Figuur 1.35 Horizontale worp

• Schuine worp Basisvergelijkingen v =v0cosa0 vy=vQ-s\naQ-gt .

sK = v0cosaQt

,

sy = ho +

.

g t2

vosmaot-^~

Worpafstand, sy = 0 m Culminatiepunt T, vy = 0 m/s

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

43

van

1

Sbewgine amenstl van

en

ontbide 1.7

Opdrachten 1.1

Bij een draaibank voeren de langs- en dwarsslede gelijktijdig een beweging uit, waardoor een conisch werkstuk ontstaat. Omschrijf en teken de relatieve, sleep- en absolute snelheid bij het conisch draaien.

Figuur 1.37 Draaibank

1.2

Wat is het verschil, in snelheid, tussen de horizontale worp en de schuine worp?

1.3

Laat een bal van een tafel rollen, zodat hij bij het verlaten van de tafel een hori¬ zontale worp beschrijft. Film de beweging en maak een verslag dat onderstaande

elementen bevat. 1 Duidelijke omschrijving van de proef en van wat je gaat meten 2 Gebruikte materiaal en opbouw 3 Uitvoering van de proef 4 Meetresultaten weergegeven in grafieken: • horizontale snelheid in functie van de tijd • verticale snelheid in functie van de tijd • baan 5 Interpretatie van de meetresultaten: • Hoe groot is de beginsnelheid? • Komt de worpafstand overeen met de theoretische berekening? 6 Besluit

44

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

1.4

Wat zijn de vier basisvergelijkingen bij een schuine worp?

1.5

Kaats een bal tegen de grond, zodat hij vervolgens een schuine worp beschrijft. Film de beweging en maak een verslag dat onderstaande elementen bevat. 1 Duidelijke omschrijving van de proef en van wat je gaat meten 2 Gebruikte materiaal en opbouw 3 Uitvoering van de proef 4 Meetresultaten weergegeven in grafieken: • horizontale snelheid in functie van de tijd • verticale snelheid in functie van de tijd

ontbide bewgine en

Samenstl

1

•

baan 5 Interpretatie van de meetresultaten: • Hoe groot is de beginsnelheid? • Hoe groot is de beginhoek? • Komen de worpafstand en het culminatiepunt overeen met de theoretische berekening? 6 Besluit 1.6

Een man roeit loodrecht de Maas over met een snelheid van 2 m/s. De roeiboot wordt echter meegenomen door de stroming van de Maas. De stroomsnelheid be¬ draagt 1 m/s. Bepaal grafisch en analytisch de absolute snelheid van de boot, de afgelegde weg als de breedte van de Maas 160 m bedraagt en de tijd die de man nodig heeft om de Maas over te steken. Hoe ver is de man verwijderd van de plaats waar hij zou aankomen als er geen stroming zou zijn?

1.7

Een boot met een snelheid van 36 km/h wil een rivier recht oversteken. Het water in de rivier stroomt met een snelheid van 3 m/s. Bereken de hoek waarmee de boot de rivier moet aansnijden om recht over te steken. Hoelang duurt de oversteek als de rivier 200 m breed is?

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

45

van

1

Sbewgine amenstl van

1.8

Je wilt een rivier met een breedte van 100 m overzwemmen. Omdat je loodrecht wilt oversteken, zwem je onder een hoek van 75° stroomopwaarts. De relatieve zwemsnelheid is 0,6 m/s en de stroomsnelheid is 0,2 m/s. Bij aankomst merk je dat de overtocht niet loodrecht is gebeurd. Hoeveel meter van je doel kom je aan? Hoeveel tijd heb je nodig gehad om de rivier over te zwemmen?

1.9

Een cabrio rijdt door de regen. Met welke snelheid moet de auto rijden zodat het interieur niet nat wordt? Veronderstel dat de regen verticaal naar beneden valt met een snelheid van 9 m/s.

en

ontbide

Figuur 1.41

1.10

46

Op een draaibank moet je een werkstuk maken zoals op figuur 1.42. De draaibank heeft een langs- en een dwarsslede die loodrecht op elkaar staan. De snelheid van de langsslede is 5 mm/s. Hoe groot moet de snelheid van de dwarsslede zijn om de beitel het werkstuk over 30° uit en 10° in te laten draaien?

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

1.11

ontbide bewgine

Een knikker rolt van een tafel met een hoogte van 1 m met een horizontale snelheid van 2 m/s. Waar komt de knikker neer? Teken de baan van de knikker op figuur 1.43.

en

Samenstl

1

1.12

Een kanon op een citadel aan zee vuurt horizontaal een kogel af met een snelheid van 800 m/s. De hoogte van het kanon boven de zeespiegel bedraagt 80 m. Waar en wanneer komt de kogel in zee terecht? Welke snelheid heeft de kogel als hij in het water komt?

Figuur 1.44

1.13

Een auto komt bij een brug aangereden, maar de bestuurder negeert de signalisatie en ziet niet dat de brug is opgehaald. Hij komt 4 m lager in het water en 20 m ver¬ wijderd van de oever in het kanaal terecht. Bereken de snelheid waarmee de auto kwam aangereden en de invalsnelheid.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

47

van

1

Sbewgine amenstl van

1.14

en

Een kogel wordt onder een hoek van 60° omhooggeschoten met een snelheid van 100 m/s. Maak een schets van de baan die de kogel volgt. Bepaal het culminatiepunt en de worpafstand.

ontbide 1.15 Een man trapt een voetbal weg met een snelheid van 20 m/s. De bal komt 40 m verder op de grond. Bereken de hoek waaronder de bal wordt weggetrapt. Bere¬ ken het hoogste punt van de bal.

Tip: 2 • sina • cosa = sin(2 a)

48

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

ontbide bewgine en

1.16 Een stuntpiloot moet met zijn motorfiets over een muur springen. De muur is 3 m hoger dan het einde van de schans. De helling van de schans bedraagt 25°. Bereken de snelheid van de motorfiets en de afstand waar de schans moet staan zodat de stuntpiloot juist over de muur springt (muur = culminatiepunt).

Samenstl

1

1.17

Vanaf een 15 m hoge toren werp je een steen onder een hoek van 20° naar beneden met een snelheid van 10 m/s. Op hoeveel meter van de voet van de toren komt de steen neer?

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

49

van

1

Sbewgine amenstl van

1.18

Vanaf een podium moet je een bal wegtrappen onder een hoek van 30° De bal moet juist op de middenstip terechtkomen. Het podium bevindt zich op een hoogte van 5 m en op een afstand van 25 m van de middenstip. Met welke snelheid moet je de bal wegtrappen?

119

Je staat in een dal dat 5 m diep is en slaat een golfbal onder een hoek van 65° weg met een snelheid van 17 m/s. Bepaal de plaats waar de golfbal neervalt en het hoog¬ ste punt van de golfbal.

en

ontbide

50

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

2

Beweging van lichamen

lichvaamenn

Bewgin 2

Figuur 2.1 Verbrandingsmotor

In een motor of compressor wordt een kruk-drijfstangmechanisme gebruikt om een rechtlij¬ nige beweging om te zetten in een ronddraaiende beweging of omgekeerd. Hieronder be¬ spreken we hoe een ronddraaiende beweging wordt omgezet in een rechtlijnige beweging. Door de ronddraaiende beweging van kruk 1, beweegt zuiger 3 naar links en rechts. Die overbrenging gebeurt met behulp van drijfstang 2. Hoe sneller de kruk ronddraait, hoe snel¬ ler de zuiger beweegt.

Figuur 2.2 Schematische voorstelling van een kruk-drijfstangmechanisme

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

51

2.1

De beweging van een star lichaam

2.1.1

Star lichaam Een star lichaam is een verzameling stoffelijke punten (massapunten) waarvan de onderlinge

afstanden altijd dezelfde blijven. Je noemt de beweging van zo'n lichaam een vlakke beweging als al de punten van het li¬ chaam evenwijdig blijven met een gegeven vlak. De verschillende punten van het lichaam doorlopen dan vlakke banen in evenwijdige vlakken. Door de onvervormbaarheid van het lichaam is de beweging volledig bepaald als je de beweging kent van de punten van een doorsnede van het lichaam evenwijdig aan het vlak.

2

Bewgin van

2.1.2

lichamen

Translatiebeweging Bij het kruk-drijfstangmechanisme (figuur 2.3) beweegt de zuiger horizontaal; de zuiger maakt een translatiebeweging.

Een lichaam heeft een translatiebeweging als de beweging volledig bepaald is door de bewe¬ ging van een enkel punt van het lichaam. Alle punten van het lichaam doorlopen congruente banen en hebben gelijke verplaatsingen en gelijke snelheden (figuur 2.4).

Figuur 2.4 Translatie

Bij een translatiebeweging heeft elk punt van het lichaam dezelfde snelheids- en verplaatsingsvector.

52

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

2.1.3

Rotatiebeweging Bij het kruk-drijfstangmechanisme (figuur 2.5) maakt de kruk een rotatiebeweging.

lichvaamenn

Bewgin

Een lichaam heeft een rotatiebeweging als alle punten draaien om hetzelfde middelpunt O.

De verschillende punten draaien in concentrische cirkels over eenzelfde hoek. De punten hebben dezelfde hoeksnelheid en dezelfde hoekversnelling. De hoeksnelheid, m, van het lichaam kun je voorstellen door een vector loodrecht op het rotatievlak. De zin van de hoeksnelheidsvector bepaal je met de rechterhandregel. De omtreksnelheid raakt aan de cirkel waar het punt zich over beweegt. De omtreksnelheden van de verschillende punten verhouden zich als de stralen van de cirkels die de punten doorlopen (figuur 2.6).

v

2

v

û?=îôâï=îœi De stralen, OA en OB, noem je poolstraten. Een snelheidsvector staat altijd loodrecht op zijn

bijhorende poolstraat.

Figuur 2.6 Rotatie

Bij een rotatiebeweging heeft elk punt van het lichaam, op een willekeurig ogenblik, dezelfde hoeksnelheid. De poolstraten staan loodrecht op de snelheidsvectoren.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

53

Voorbeeld Op een slijpmachine wordt een slijpschijf met een diameter van 230 mm gemonteerd. De snijsnelheid van de schijf bedraagt 35 m/s. Bepaal analytisch en grafisch de snijsnelheid als je een schijf met een diameter van 150 mm ge¬

2

Bewgin

bruikt. Figuur 2.7 Slijpen

van

lichamen

Gegeven:

dA = 230 mm rA=115mm dö=150mm re = 75mm vA = 35 m/s

Gevraagd: vB (analytisch en grafisch)

Analytische uitwerking

Figuur 2.8 Snelheid

De hoeksnelheid van punt A is gelijk aan de hoeksnelheid van punt B. vA _ vB ~ r ~ rb 'a ' 35 _ vb 0,115 "0,075

vB = 23 m/s

54

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Grafische uitwerking De verhouding

v

v

= 7^ vind je ook door de gelijkvormigheid van de driehoeken 7^ 'B ’ ’ C

A A

AOAC en &OBD (figuur 2.9).

|04|

\OB\

~

rA rB

Teken de figuur op schaal. Schaal: snelheid: 1 mm 1 m/s afstand: 1 mm 5 mm

lichvaamenn

teken je dan 35 mm lang r. teken je dan

rRB teken je dan

J

Bewgin

= 23 mm lang USrM I /mmj

D

L

/mmj

1 5 mm lang

2

Figuur 2.9 Grafische uitwerking

De lengte van

v>B is 23 mm, de grootte van v>B is dus: ug = 23-l[mm -^=23 m/s vB = 23 m/s

Besluit:

2.2

een schijf met een diameter van 150 mm heeft een snijsnelheid van 23 m/s.

Splitsing van een vlakke beweging in een translatie en een rotatie Een ladder staat tegen een muur. De ladder schuift op de vloer weg. Hoe groot is de snelheid waarmee de ladder tegen de muur naar beneden schuift?

De snelheid van punt B is de vectoriële som van de snelheid van punt A en de rotatiesnelheid van punt B ten opzichte van punt A.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

55

y

y

y

VA 4- V AB = VB

2

Bewgin van

Figuur 2.10 Schematische voorstelling

lichamen

vB

absolute snelheid

sleepsnelheid

y^

relatieve snelheid, de snelheid van punt B, ten gevolge van de rotatie, ten opzichte van punt A (dit wordt ook geschreven als

Snelheid vA is de snelheid van punt A ten opzichte van de oorsprong, O. Je kunt vA en vB ook schrijven als Daardoor krijg je:

ü^en v^.

y

OA

4- yAB = vy OB

Je ziet de relatie van de formule van Chasles en Möbius1 uit de wiskunde: OA + AB = OB

Voorbeeld 1

- ladder

Een ladder van 8 m staat tegen een muur onder een hoek van 60°. De ladder schuift op de vloer weg met een snelheid van 1 m/s. Bepaal de snelheid waar¬ mee de ladder tegen de muur naar beneden schuift. Gegeven:

|/AB| = 8 m

vA = 1 m/s figuur 2.11 Gevraagd: vB (grafisch en analytisch)

1

56

Deze stelling is genoemd naar de Franse wiskundige Michel Chasles (1793-1880) en de Duitser August Ferdinand Möbius (1790-1868).

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Grafische uitwerking

Teken de figuur op schaal.

Afstand:

1 mm = 0,01 m

Snelheid:

1 mm = 0,025 m/s

teken je

^[^]= 40 mm lang

De richting en zin van

en

lichvaamenn

kun je aanduiden op de figuur.

Bewgin 2

Figuur 2.12 Relatieve snelheid vAB

De snelheid van punt B is de vectoriële som van de snelheid van punt A en de rotatiesnelheid van punt B ten opzichte van punt A. De vectoriële som kun je tekenen met een parallellogram.

Figuur 2.13 Snelheid vB = vA + vAB

In figuur 2.13 meetje de lengte van

= 24-0,025

^ = 0, 6 m/s

v^, 24 mm.

[mm-^]

Grafisch besluit: de grootte van de snelheid

is 0,6 m/s.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

57

Analytische uitwerking De snelheidsvectoren zijn:

K

=

1-7

=

-^-7

= -vab-^60°-i-vab-cos60°-j

= -0,866-^. 7-0,

2

Bewgin

is de vectoriële som van —*

van

lichamen

—*

5-^-7

v*A en

>

VB

“^A^^AB

-vB-l

=1 7-0,866

0

=(1-O,866-vJ.7 + (-O,5-^ + ve).7

•^•7-0,5- ^-7

of 1 -0,866- vab = Q

-0,5.^ + Vs = 0 vAB= 1,155 m/s vB = 0, 58 m/s Analytisch besluit: de grootte van de snelheid

Voorbeeld

2

-

is 0,58 m/s.

rolbewegmg

Een fietser rijdt met een snelheid van 18 km/h. Bepaal grafisch en analytisch de grootte, de richting en de zin van de snelheidsvector in de punten A B en C die op de omtrek van het wiel liggen. De diameter van het wiel bedraagt 60 cm.

Figuur 2.14 Fietswiel

58

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Figuur 2.15 Schematische voorstelling

u = 18 km/h = 5 m/s

Gegeven:

d = 0,6 m

v^,

Gevraagd:

en

grafisch en analytisch

Uitwerking Neem punt M als referentiepunt, terwijl alle punten van de omtrek van het wiel rond punt M roteren in wijzerzin. De grootte van de snelheid waarmee de punten rond M roteren is gelijk aan de grootte van de snelheid van punt M.

lichvaamenn

1 Grafische uitwerking van vA

V^A stelt de snelheid voor van punt A ten opzichte van punt M. Bij een rotatie staat de snelheidsvector loodrecht op de voerstraal. Ten opzichte van punt M beweegt punt /4 verticaal naar beneden.

Bewgin

Teken de figuur op schaal.

Schaal:

snelheid: 1 mm

2

0,2 m/s

afstand: 1 mm e 10 mm en

teken je

= 25 mm lang

Teken een cirkel met diameter 60 mm.

De snelheid van punt A ten opzichte van referentiepunt O is de vectoriële som en vTt. van vt MA M > > —vA = — VKA + VhAA A

MA

M

Op figuur 2.16 meet je als lengte van

va = 35

35 mm:

0,2

= 7 m/s

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

59

2

Analytische uitwerking van vA

v! is de vectoriële som van üt en A

M

^=5-7 y

MA

^

[m/s] “4

K

“4

=

-57

^A = V52 + (-5)2 = 7,07 m/s

2

Bewgin

tan a.a

3

van

a. = -45°

5

Grafische uitwerking van vB

lichamen

en v..D. vB is de vectoriële som van v.. M Md d

Op figuur 2.17 meet je als lengte van vB 46 mm:

^46-0,2

[mm.g]

= 9, 2 m/s 4

Analytische uitwerking van

vt is de vectoriële som van 7* en M

d

7^ = 5 M

•

/

VB MB

[m/s]

7

= 5 cos45°- + 5 • sin45°- j

= 3,54 -7 + 3, 54

60

•/

[m/s]

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

[m/s]

InVs]

= 8,54-7 + 3,54

J

[m/s]

vB = V8, 542 + 3, 542 = 9, 24 m/s +

tanore

_ 3, 54

aB

g $4

_ ^2, 5

t-Q

lichvaamenn

Bewgin 2

Op figuur 2.18 zie je dat 6

vc een nulvector is. De grootte van vc is dus 0 m/s.

Analytische uitwerking van

Vc

vt is de vectoriële som van 77 en 777. M

C

v^=5-i

ML

7^ = -5

[m/s]

•/

[m/s]

—> —> —> = 5 •i - 5 • i

=0 •i =0

Besluit:

[m/s]

[m/s] [m/s]

7^

De snelheid van punt A is met: • grootte: vA = 7,07 m/s; • richting en zin: = 5 • / - 5 •;

7^

[m/s], zie figuur 2.16.

De snelheid van punt B is met: • grootte: vB = 9, 24 m/s; • richting en zin: = 8, 54 • / + 3, 54 •ƒ

7^

[m/s], zie figuur 2.17.

De snelheid van punt C is 7j met: • grootte: vc = 0m/s; [m/s], zie figuur 2.18. • richting en zin:

7^=0

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

61

2.3

Ogenblikkelijke rotatiepool (ogenblikkelijk rotatiecentrum) Een willekeurige verplaatsing van een lichaam kun je beschouwen als een opeenvolging van zeer kleine rotaties van de ene stand naar de andere. Iedere rotatie heeft plaats om een punt: de ogenblikkelijke rotatiepool of het ogenblikkelijk rotatiecentrum, P.

Zoals bij een gewone rotatiebeweging staat de poolstraat loodrecht op de snelheidsvector. Op de rechte die loodrecht op de snelheidsvector staat, en door het bijhorende punt van het lichaam gaat, ligt ergens de ogenblikkelijke rotatiepool.

2

Bewgin

Als je de richting kent van twee snelheidsvectoren van het lichaam, kun je op elke snelheids¬ vector een rechte tekenen die loodrecht op die snelheidsvector staat. De rotatiepool is het snijpunt van die rechten.

van

lichamen

Op grond van deze eigenschap kun je de snelheidsvectoren van alle punten van een lichaam vinden, zodra van twee punten A en B van het bewegende lichaam: • de richting van de snelheden in A en B gekend is; • de grootte en zin van één snelheid gekend zijn.

Figuur 2.19 Rotatiepool P - poolstraten PA en PB

De ogenblikkelijke rotatiepool geldt slechts ogenblikkelijk. Bij een andere stand behoort meestal een andere rotatiepool.

Elke willekeurige verplaatsing van een lichaam kun je beschouwen als een opeenvolging van zeer kleine rotaties rond een ogenblikkelijk rotatiecentrum. Het ogenblikkelijk rotatiecentrum is het snijpunt van de poolstralen. De poolstralen staan loodrecht op de snelheidsvectoren.

62

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Voorbeeld 1 Een binnendraaiende kantelpoort van 3,0 m hoog draait open. De poort schuift horizontaal weg met een snelheid van 0,5 m/s. De hoek die de poort met de muur maakt, is 30° Bepaal de snelheid waarmee de poort verticaal beweegt. Gegeven:

figuur 2.20

|4B| = 3,0 m

lichvaamenn

a = 30°

vB = 0,5 m/s

Bewgin 2

Gevraagd: vA

Grafische uitwerking

•

Bepalen van het ogenblikkelijk rotatiecentrum Construeer in A en B loodlijnen op de richting van de respectievelijke snelheidsen vB. Het snijpunt van die loodlijnen is het ogenblikkelijk rotatie¬ vectoren centrum of de ogenblikkelijke rotatiepool, P (figuur 2.22). y

Figuur 2.22 Rotatiecentrum P

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

63

• Opstellen van de snelhei’dsvergelijking Punten A en B hebben als ogenblikkelijke rotatiepool P. De punten hebben dezelfde hoeksnelheid. De vector van de hoeksnelheid staat loodrecht op de beweging, dus volgens de negatieve z-as. A

=

=

VB

Punt A' vind je door punt A met de passer over te halen rond rotatiepool P op het lijnstuk PB. Daardoor is poolstraal |E4| gelijk aan poolstraal |PA'|.

2

Bewgin van

lichamen Figuur 2.23 Snelheid

De snelheidsvergelijking kun je grafisch weergeven in de gelijkvormige driehoe¬ ken &AA"Pen &BB"P. Door het gelijkvormigheidskenmerk is: &AA"P ~ &BB"P

m_jwi |BB"|

|PB|

i^i_m

of

|PÆ|

|PB|

|/A'Æ'| en |BB"| stellen op schaal de grootte van de snelheidsvectoren en voor. V V —£-=/*\PA'\ \PB\

V

of —

V

\PA\ \PB\

Deze verhouding is gelijk aan de ogenblikkelijke hoeksnelheid a)p. _ p

Als

A

_ VB

\PA\ \PB\ op schaal wordt getekend, kun je

op schaal aflezen.

Snelheidsschaal: 1 mm ± 0,025 m/s

vtB teken Jje 0, 5

•

n

0,025

[m/s L

•

20 mm lang. m/sj =

vind je door de lengte van digen met de schaal.

De grootte van

vÆ = 12.0,025[mm-^] = 0,30 m/s

64

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

te meten en te vermenigvul¬

De grootte van vA is gelijk aan de grootte van üj

VA

De richting van snelheidsvector is loodrecht op poolstraal PA, dus verticaal. De zin kun je afleiden uit de rotatie rond punt P.

v*A

Grafisch besluit: snelheidsvector heeft als • grootte: v4 = 0,3 m/s • richting: verticaal naar boven, zie figuur 2.23 • zin:

lichvaamenn

Analytische uitwerking

•

Bepalen van het ogenblikkelijk rotatiecentrum Schets de poolstralen en bepaal de ogenblikkelijke rotatiepool, P (figuur 2.23).

•

Opstellen van de snelheidsvergelijking Punten A en B hebben als ogenblikkelijke rotatiepool P. De hoeksnelheid van de punten rond rotatiepool P moet gelijk zijn. _ v _ vg p

vB en de poolstralen \PA\ en

Berekenen van de poolstralen IPAI en \PB\ In de rechthoekige driehoek APAB is: \PB\ = \AB\ COSa \PA\ = \AB\ sin a [m] = 3,0 • sin 30° = 3,0 cos 30° = 1,5 m = 2,6 m •

•

2

\PA\ \PB\

Je kunt de snelheid van punt A berekenen als je \PB\ kent.

•

Bewgin

[m]

Berekenen van de snelheid in A De grootte van bereken je door de snelheidsvergelijking toe te passen.

A_=_ü_ l«4| 1/ A

R = VB •

|«4|

-

\PB\

=o' 5 . 2,6ls

mj

= 0,29 m/s De richting van is loodrecht op poolstraal PA, dus verticaal. De zin kun je aflei¬ den uit de rotatie rond punt P.

Analytisch besluit:

snelheidsvector^ heeft als

• grootte: vA = 0,29 m/s • richting: verticaal naar boven, zie figuur 2.23 • zin:

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

65

Voorbeeld 2 Kruk OA van een drijfstangmechanisme is 60 mm lang. De kruk draait eenparig rond met een rotatiefrequentie van 60 /min. Bepaal de snelheid van zuiger B op het ogen¬ blik dat de kruk een hoek van 30° met de horizontale as maakt. De lengte van drijfstang AB is 150 mm.

2

Bewgin

Gegeven:

van

lichamen

r = 60mm er = 30° 1= 150 mm n = 60/min

Figuur 2.24 Drijfstangmechanisme

n = 1,0/s

Figuur 2.25 Schematische voorstelling van een drijfstangmechanisme

Gevraagd:

vB

Grafische uitwerking

•

Berekenen van v.A

MxF

Uitwerking

•

kracht

— Bepalen van de componenten van F

FX=F- COSa

en van

= 2 000 • 0 [N • -] = 0N

Moment

Fy=F-cosp

—

= 2 000 -(-0,86) [N - ]

= -1 720 N

4

Fz=F- cosy = 2 000-0,51

[ N • -]

= 1 020 N F

=0-7-1 720-7+1 020-7

[N]

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

121

•

Moment van de kracht

Teken de krukas in het (y; z)-vlak. Omdat kracht F in een vlak evenwijdig met het (y; z)-vlak ligt, is Fyz = F .

Figuur 4.16 Rechterzijaanzicht van figuur 4.15

Moment MxF is even groot als het moment van kracht

MxF=M0Fyz

F^ ten opzichte van punt O.

= |FJ- 0,090 + ^-0,120 = 1 020-0,090+ 1 720-0,120 [ N • m + N • m]

= 298Nm

4

Mvoamnent

en

Vectorieel kun je dit schrijven als: MxF = 298 • i

kracht

Besluit:

het moment van kracht F ten opzichte van de x-as heeft als:

• • •

122

[Nm]

grootte:

M/=298 Nm

richting: zin:

volgens de x-as volgens de positieve x-as

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

4-3

Moment van een kracht in de ruimte

4.3.1 Momentvector bepalen volgens de coördinaatassen Het moment van een kracht ten opzichte van de oorsprong kun je bepalen door het moment te bekijken volgens de drie coördinaatassen. Het totale moment is dan de vectoriële som van de momenten ten opzichte van de verschillende coördinaatassen.

'M^=MxF-'i +MyF-j +MzF-k De grootte van M0À is:

MOF=

+

M^P + WP

Voorbeeld Op een buisconstructie (hoogte 3 m, breedte 2 m) werkt een kracht van 400 N zoals in figuur 4.18. Bepaal het moment van kracht F ten opzichte van punt O.

kracht Gegeven:

en van

/4(2; 3; 0)

F = 400N a = 30°

Gevraagd:

Moment

M0F

Uitwerking

4

F =0 N

Fy = -F- cosa = -400 • cos30° [N • -]

= -346 N

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

123

Fz = F- sina = 400-sin30° [N -] = 200 N

y.

FÏ

A

Figuur 4.19 Moment ten opzichte van de x-as

M/ = 3-|FJ

[m-N]

= 3-200 [m N) = 600 Nm

F.k Figuur 4.20 Moment ten opzichte van de y-as

MyF = -2^FJ

[m-N]

= -2 • 200 [m • N] = -400 Nm 4

Mvoamnent

3m

en

kracht

Figuur 4.21 Moment ten opzichte van de z-as

MzF = -2-^

[m-N]

= -2-346 [m-N] = -692 Nm

124

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

De momentvector kun je dus schrijven als:

=

MxF-î + MyF-j +M2F-k

= 600-î-400-j-692-k De grootte van

[Nm]

is:

[V(Nm)2 + (Nm)2 + (Nm)2]

M0F = = 999 Nm

De richting en zin worden bepaald door: -692-k [Nm], =

600-7-400 /

M0F heeft als grootte: M0F = 999 Nm, de richting en zin worden bepaald door = 600 i - 400 ƒ - 692 k [Nm].

Besluit:

•

•

•

4.3.2 Momentvector bepalen met behulp van de determinant Het moment van een kracht ten opzichte van een punt is het vectorieel product van de positievector en de krachtvector. Je kunt dus de regels van het vectorieel product toepassen.

Een vectorieel product kun je berekenen door middel van de determinant.

/

j

k

kracht

Mo

De tweede en derde rij zijn de componenten van positievector ? = kracht ~F = Fx- i + Fy-j + Fz- k .

r^'i + ry- j + rz- k

en van

en

Moment

Deze determinant kun je uitwerken door hem te ontwikkelen naar de eerste rij.

4

F

Fy

M^=M2F-Ï +MyF-j +MzF-k 1

Zie wiskunde: bijlage B.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

125

Bepaal je het moment van een kracht met behulp van een determinant, dan zijn de coëfficiënten bij de eenheidsvectoren i ,j en k de momenten van de kracht ten opzichte van de x-, y- en z-as.

Voorbeeld Op een buisconstructie (hoogte 3 m, breedte 2 m) werkt een kracht van 400 N zoals in figuur 4.22. Bepaal het moment van kracht F ten opzichte van punt O met behulp van het vectorieel product.

Gegeven:

A(2; 3; 0)

F=400N a = 30°

Gevraagd: Uitwerking 4

Mvoamnent

en

•

Bepalen van positievector 04 ÖA = 2^ + 3-J +Q-k

•

Bepalen van kracht F Fx = 0N

Fy = -F- cosa = -400-cos30° [N - -]

kracht

= -346 N

Fz = F- sina = 400-sin30° [N • -]

= 200 N

F=o7-346j + 2OO?

126

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

[N]

•

Momentvector De momentvector bereken je nu met het vectorieel product.

M^=ÖAxF 7 =

k

J

OAx OAy OA, F. Fy Fz

'Jk

- 2 3 0 -346

0 200

3 °|-/-l2 =7.11-346 3I °I+7I2lo -346l 2001 J lO 200l

= 7 • (3 • 200 - 0 • (-346)) -j • (2 • 200 - 0 • 0) + k • (2 • (-346) -3-0) = 600 • 7-400 -y- 692 • 7 [Nm] De grootte van M0F is:

M0F = V6002 + (-400)2 + (-692)2 [V(Nm)2 + (Nm)2 + (Nm)2] = 999 Nm De richting en zin worden bepaald door: [Nm].

M0A = 600 i - 400 j - 692 •

•

•

k

Het aangrijpingspunt van M0F ligt in O.

Besluit:

M0F heeft als grootte: M0F = 999 Nm, de richting en zin worden bepaald door

= 600 • i

- 400 -j - 692 • k

[Nm].

kracht

en van

Moment

4

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

127

4.3.3 Moment van een kracht ten opzichte van een willekeurige as Om het moment van kracht F ten opzichte van as CD te berekenen, bereken je eerst het moment van de kracht ten opzichte van een punt op de as.

Figuur 4.23 Moment van een kracht ten opzichte van as CD

McF=rxF =

'

j

k

ry r: F' F, F>

De grootte van het moment van kracht F ten opzichte van as CD is de projectie van de mo¬ mentvector op de as. 4

Mvoamnent

Bereken het scalair product2 van eenheidsvector

~ü?D MCF = uCD MCF •

•

•

cos#

met:

van de as en momentvector MCF.

uCD = 1

= McF2 • cos0

en

kracht De grootte van de projectie kun je dus berekenen met behulp van het scalair product van van de as en momentvector MCF. eenheidsvector

ü~^D

2

128

Zie wiskunde: bijlage B.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Voorbeeld Op een arm van een robot werkt een kracht, F = 500 • i + 200 • j - 600 • k [NL Bepaal de grootte van het moment van de kracht ten opzichte van scharnier a. De richting van scharnier a is evenwijdig met het (x; z)-vlak en maakt een hoek van 45° met de x-as. De arm AB is 0,5 m lang en wordt bepaald door À5 = 0,25 7 + 0,35 0,25 -k [m].

7-

Figuur 4.24 Schematische voorstelling van een robotarm

figuur 4.24

Gegeven:

F = 500 7 + 200

7 ~ 600 k [N] AB = 0,25 7 + 0,35 7 -0,25«? [m] •

= 0,5 m Gevraagd:

MaF

kracht

Uitwerking De richting van het scharnier kun je schrijven als

^

= 0,707

7

+ 0,707

en van

?

Moment

4

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

129

Het moment van kracht F ten opzichte van punt A kun je berekenen met behulp van onderstaande determinant.

M^ = ABxF

'

= AB x

F.

-4

—4

Fy

Fz

k j ABy ABz

lik

= 0,25 0,35 -0,25 500 200 -600 =i

0,35 200

-0,25 -600

7

= -160 • + 25

J

'

0,25 500

•/- 125 ? •

-0,25 r 0,25 0,351 +k • -600 500 200 [Nm]

De grootte van het moment van kracht F ten opzichte van as a is de projec¬ tie van momentvector MAF op de as. De grootte van de projectie kun je be¬ rekenen met behulp van het scalair product van momentvector met de eenheidsvector ïZ van de as.

= U„-MXF + U^'M,F + ub-MzF = 0, 707 • (- 1 60) + 0 25 + 0, 707 -(-125) [Nm] = -201,5 Nm Het minteken geeft aan dat de zin van momentvector M. F tegengesteld is aan de zin van de eenheidsvector van de a-as, ü*. O

4

Mvoamnent en

kracht Figuur 4.25 Moment van een kracht ten opzichte van as a

Besluit:

130

de grootte van het moment ten opzichte van as a bedraagt -201,5 Nm.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

k.lt

Stelling van Varignon Om een stelsel van krachten samen te stellen: • bepaal je de resulterende kracht door alle krachten in één punt samen te brengen; • bepaal je de ligging van de resulterende kracht met de stelling van Varignon:3 'Het mo¬ ment van een stelsel van krachten is gelijk aan het moment van de resulterende kracht van dat stelsel ten opzichte van hetzelfde punt.'.

-

•

Als je volledig vectorieel werkt, kun je de momentvergelijking rechtstreeks oplossen met behulp van determinanten. Bij willekeurige niet-coplanaire krachten kun je maar in zeer uitzonderlijke gevallen de resul¬ terende kracht bepalen. Meestal worden alle krachten herleid naar de oorsprong en wordt het resulterend moment bepaald.

4.4.1 Resulterende kracht van coplanaire krachten Voorbeeld Op een HEM 240-balk werken twee krachten, Fy = 15 kN en F2 = 10 kN, figuur 4.26. Bepaal de resulterende kracht op de balk, rekening houdend met het eigen ge¬ wicht van de balk, namelijk 1600 N/m.

kracht

en van

Moment

4

3

Pierre Varignon (1654-1722). Varignons bekendste werk is Projet d'une nouvelle mécanique (1687); in hetzelfde jaar publiceerde Newton zijn werk Principia.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

131

Gegeven:

^=15 kN F2= 10 kN Q = 1 600 N/m (tabellenboek) figuur 4.26

Gevraagd:

FR

Uitwerking Het gewicht van de balk kun je vervangen door één kracht die aangrijpt in het zwaartepunt van de balk.

F^Q'I = 1 600 •

8^ -m]

= 12 800 N = 12,8 kN Vervang de balk door kracht F^en voer een (x; y)-assenstelsel in.

4

Mvoamnent

De grootte van de resulterende kracht vind je met:

en

= -F2-sin30°

= -10 -sin 30° [kN]

kracht

= -5 kN

F^F. = -Fy-F^-F2-cos30° = -15- 12,8- 10-cos30° = -36, 5kN

132

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

IkN + kN + kN]

F^jF^ = V(-5)2 + (-36,5)2

[VW+kN2]

= 36,8 kN

a = 82, 2°

Het aangrijpingspunt van de resulterende kracht vind je door de stelling van Varignon toe te passen.

mZ= 2MZ -N-^ = -f.-2-^k-4-F2-cos30°.6 -36, 5 -/^ = -15 • 2 - 12,8 -4- 10 • cos30°- 6

= 3,65 m

Besluit:

kracht

en van

de resulterende kracht heeft als: • grootte: FR = 36,8 kN a = 82,2° • richting: zie figuur 4.28 • zin: • aangrijpingspunt: (3,65; 0)

Moment

4

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

133

4.4.2 Resulterende kracht van evenwijdige niet- co planaire krachten

Voorbeeld Op een plaat zijn drie machines gemonteerd. Elke machine werkt met een verticale kracht op de plaat. Bepaal de resulterende kracht op de plaat. = 20 kN

Figuur 4.29 Machines op een plaat

F, = 20 kN

Gegeven:

F2 = 30 kN F3 = 15 kN

figuur 4.26 Gevraagd:

FR

Uitwerking 4

•

Mvoamnent

Resulterende kracht

F^

en

=0

(geen componenten in de x-richting)

F*=~F,-F2-F3 = -20-30- 15 [kN]

kracht

= -65 kN

• F^F, =0

^ 134

= 0-Z-657 + 0-k

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

[kN]

(geen componenten in de z-richting)

F*

+Q

=

= Vœ + G^WTo2 [V kN2+kN2+kN2] = 65 kN

• Aangrijpingspunt

= F^+F2^ + F3-2

=20- 1 + 30-4+15-2

iï-A2

_ 170

[kN-m] 65 L kN J =2,62 m

a

“

Az

kracht

en van

(geen moment ten opzichte van de y-as)

• MyFR =

-F, A = -F, • 1 - F, • 3, 5 - F, • 6 lx

X

-65-Ax Ax Besluit:

I

2

Moment

j

= -20-1 -30-3,5- 15-6 =3,31 m

4

de resulterende kracht heeft als:

• • • •

grootte:

FR = 65 kN

richting: zin: aangrijpingspunt:

verticaal naar beneden A(3,31; 0; 2,62)

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

135

4.4.3 Niet- co planai re krachten samenstellen. Voorbeeld Op een paal werken drie krachten. Herleid de krachten tot een resulterende kracht en een resulterend moment in punt O. De trekkrachten zijn: Fa = 4 000 N, Fb = 2 000 N en Fc = 2 500 N.

Figuur 4.31 4

Mvoamnent

en

Gegeven:

FA = 4 000 N Fb = 2 000 N Fc = 2 500 N

Gevraagd:

F^,

kracht

136

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Uitwerking

•

Bepalen van de componenten van de krachten = -4 000-7 [NI

^

DB = B-D

= (1 -0)- 7 + (0-1,2) •ƒ + (1,5-0)-? = 1 -7-1, 2-y + 1,5?

—

1 -7-1,

u„„ 08 = —.

2-7+1, 5-k

Vl2 + (-1,2)2+1,52

= 0,462 -7-0,554-7 + 0,693 -k

^B~ ^b'

DB

= 2 000- (o, 462 = 924-7-1

-7 - 0,554 -7 + 0,693-?)

108-7+1 385-?

[N]

Op een analoge manier kun je Fc bepalen. 1

348-Z-1 617-/-1 348-?

[N]

kracht

en van

Moment

4

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

137

• Resulterende kracht

k=ïf,

F =y F

[NI

= -4 000 + 924+1 348

= -1 728 N

FRr=Y,Fiy

^ K

= 0-1 108- 1 617 = -2 725 N

[N]

= 0+1 385- 1 348 = 37 N

[N]

= -1 728-7-2 725-y+37 k

[N]

=y

ny

nX

+

r\Z

[\/N2+N2+N2]

= 3 227 N

• Resulterend moment De resulterende momentvector kun je berekenen volgens de coördinaatassen (zie 4.3.1) of met behulp van de determinant (zie 4.3.2).

k / j k 2,5 0 + 0 0 0 1,2 -4 000 0 0 924 -1 108 1 385

;

/

4

/

i

—k>

0

1,2 -1 617

0 -1 348

1 348

Mvoamnent

662-7-1 109 = 44-7 + 7 273- T [Nm] = 10 000- T+ 1

en

1

618-7-1 618

Æ

= 7 273 Nm

kracht

Besluit:

De resulterende kracht heeft als: = 3 227 • grootte:

•

richting en zin:

-1 728 -

7- 2 725 J+ 37

Het resulterend moment heeft als: • grootte: M0FR = 7 273 Nm;

•

138

richting en zin:

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

44 • i +7 273 • k [Nm].

N; •

k

[Ni.

4.5

Te onthouden

• Gebruikte grootheden en eenheden Symbool | Sl-eenheid 1 Grootheid kracht

F

afstand

newton

N

/

meter

m

positie

r

meter

m

moment

M0F

newtonmeter

Nm

newton

N

resulterende kracht

• Moment in de ruimte MOF=±I-F

M^=rx? ïjk ry G = F, Fy Fz

^=MxF-7 + MyFj + M,F-k M0F = ^KTP + M ,F2 + MT'

kracht

en van

Moment

4

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

139

x

MCF

Figuur 4.34

• Samenstellen van krachten Om een stelsel van krachten in de ruimte samen te stellen:

4

Mvoamnent

•

bepaal je de resulterende kracht door alle krachten in één punt samen te brengen;

•

bepaal je het resulterend moment of de ligging van de resulterende kracht met de stelling van Varignon. M x FR =YM X F I

My F,R = YMy Fi

en

kracht

140

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

4.6

Opdrachten 4.1

Geef een voorbeeld van een moment van een kracht ten opzichte van een as. Maak een figuur van het voorbeeld en duid de momentarm, de kracht en de momentvec¬ tor aan.

4.2

Hoe bereken je het moment van een kracht ten opzichte van een coördinaatas?

4.3

Hoe bereken je het moment van een kracht ten opzichte van een willekeurige as?

4.4

Omschrijf met eigen woorden de stelling van Varignon.

4.5

Bepaal de grootte van kracht F3 zodat het resulterend moment rond scharnierpunt 5 nul is, F} = 1 000 N en F2 = 2 500 N.

kracht

en van

Moment

4

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

141

4.6

Op een tandwiel met schuine tanden werkt een kracht, = 200 • i + 300 -j - 100 • k [N]. De kracht grijpt aan in punt A(0; 200; 400) [mm]. Bepaal het moment t.o.v. de z-as.

F

Figuur 4.37

4.7

Op een krukas werkt een kracht van 1 500 N. De kracht heeft als richtingscosinussen cos a = 0; cos p = -0,86 en cos y = -0,51 en grijpt aan in punt >4(150; 45; 60) mm. Bepaal het moment van de kracht ten opzichte van de x-as.

4

Mvoamnent en

kracht

Figuur 4.38 Krukas

142

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

4.8

Bepaal het moment t.o.v. punt O van kracht F = 60 • i - 100 j -40 • k [N] die aangrijpt in punt 4(4; -3; -2) [m]. Teken de kracht en de momentvector in figuur 4.39.

4.9

Bepaal met behulp van de determinant het moment ten opzichte van punt O van kracht F = -50 • 7 + 30 • j - 80 • k [N] die aangrijpt in punt 4(5; -4; 2) [m].

4.10

Op een transmissieas werken twee krachten, F, = 8,0 kN en F2 = 6,0 kN. De richtingscosinussen van kracht F2 zijn: cos a = -0,729; cos p = 0,270 en cos y = 0,629. De diameter van de kleine schijf bedraagt 200 mm en die van de grote schijf 400 mm. Bepaal het moment van de krachten ten opzichte van punt O.

kracht

en van

Moment

4

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

143

7

4.11

Op een platform werken drie krachten, F} = 60 kN, = -80 • + 40 - 25 • k [kN] en F3 = 50 kN. Bepaal het totale moment van de krachten ten opzichte van de z-as.

4.12

Bepaal het moment van de krachten in opgave 4.11 ten opzichte van punt O.

4.13

Op een arm van een robot werkt een kracht, F— = -200 >

->

—

i + 300 •; - 1 50 • k [N]. Bepaal de grootte van het moment van de kracht ten opzichte van scharnier a. De richting van scharnier a is evenwijdig met het (x; z)-vlak en maakt een hoek van 40° met de x-as. /4(0; 1,5; 0) en £(0,4; 2,06; -0,4)

4

Mvoamnent en

kracht Figuur 4.42

144

-4

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

•

4.14

Bepaal met behulp van de stelling van Varignon de resulterende kracht (grootte, rich¬ ting, zin en aangrijpingspunt) van het krachtenstelsel van figuur 4.43. Het gewicht van de balk is hier verwaarloosbaar. Teken de resulterende kracht op de figuur. F, = 200 N, F2 = 400 N, F3 = 300 N en FA = 250 N

Figuur 4.43

4.15

Op een HEB 200-balk4 werken drie krachten, F} = 10 kN, F2 = 15 kN en F3 = 8 kN, figuur 4.44. Bepaal de resulterende kracht op de balk, rekening houdend met het eigen gewicht van de balk.

kracht

en van

Moment

4

4

Soms spreekt men van IPB 200.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

145

4.16

Op paal AB werken drie krachten, F} = 30 kN, F2 = 15 kN en F3 = 12 kN. Bereken en teken de resulterende kracht in figuur 4.45.

Figuur 4.45

4.17

Bereken de resulterende kracht van het stelsel evenwijdige krachten (figuur 4.46).

4

Mvoamnent en

kracht

146

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

4.18

Op een horizontale muur werken vier krachten. Bepaal de resulterende kracht (figuur 4.47).

4.19

200 •ƒ [N] en Op een paal werken drie krachten, = 300 • k [N], = 400 = 300 • - 300 -j + 150 • k [NI. Herleid de krachten tot een resulterende kracht en een resulterend moment in punt O.

F^

Z

F^

-Z-

kracht

en van

Moment

4

Figuur 4.48

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

147

4.20

Op een metalen T-stuk werken drie krachten. Herleid de krachten tot een resulte¬ rende kracht en een resulterend moment in de oorsprong. Teken de drie krachten, de resulterende kracht en de resulterende momentvector.

Kracht

Aangrijpingspunt

= -2-7 + 4j-2-k [kN]

^ 4-7-3-7 ^ 7 2-7+ ^

+ 2k [kN]

=

= -3

+

1 -k [kN]

4

Mvoamnent en

kracht

Figuur 4.49

148

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

A(0,2; 0; 0,1) [m] 6(0,4; 0,2; -0,2) [m]

C(0,4; 0,2; -0,5) [m]

4.21

Op een metalen L-profiel werken drie krachten. Herleid de krachten tot een resulte¬ rende kracht en een resulterend moment in de oorsprong. Teken de drie krachten, de resulterende kracht en de resulterende momentvector.

Kracht

J+l-f = 4-7 + 2-7 + 3-k ^=1 -7-3-7 [kN]

^ ^

= 2-7 + 3

Aangrijpingspunt [kN]

A(0,2; 0; 0,1) [m]

[kN]

6(0,4; -0,3; 0) [m]

C(0,4; 0; -0,5) [m]

kracht

en van

Moment

Figuur 4.50

4

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

149

5

Evenwicht van Lichamen

5.1

Vrij en gebonden lichaam Wordt een lichaam in een bepaalde richting verhinderd te bewegen, dan is dat lichaam met de omgeving gebonden. Een lichaam is vrij als het op geen enkele wijze verhinderd wordt om in een bepaalde richting te bewegen.

Vrijmaken van lichamen Om een lichaam vrij te maken moet je alle verbindingen met de omgeving verbreken en in plaats daarvan de juiste krachten - reactiekrachten - of momenten invoeren die alle eigen¬ schappen van de verbroken verbindingen overnemen.

Figuur 5.1 Vrijmaken van de bovenarm

5.2

Evenwichtsvoorwaarden van lichamen Een lichaam is in evenwicht als de krachten en/of momenten die op het lichaam inwerken geen verandering veroorzaken in de toestand van rust of beweging waarin het lichaam zich bevindt. De versnelling en hoekversnelling5 moeten dus gelijk zijn aan nul. Als je dat toepast op de tweede wet van Newton, krijg je: F = m-a

en

F=m-Q

-* -* F=Q 5

lichvaamenn

M = J-a M = J-0

—M> = 0—

Zie hoofdstuk 8.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

151

Evenwicht

5

Anders uitgedrukt: • De som van alle uitwendige krachten moet gelijk zijn aan nul. Projecteer alle uitwendige krachten die op een lichaam inwerken op de x-, y- en z-as. Zo krijg je: =0

2^ = 0 •

De som van alle momenten moet gelijk zijn aan nul.

£m = o De neiging tot draaien druk je uit door de momenten rond de x-, y- en z-as te nemen.

W =o

M=o 2M=o Deze voorwaarden moeten gelijktijdig vervuld zijn.

1

1^ = 0

4

£M=0

2

2^ = 0

5

3

Sf

6

jx=o SK =

=0

°

Als aan de zes evenwichtsvoorwaarden voldaan is, verandert de toestand van rust of beweging van een lichaam niet t.o.v. zijn omgeving.

5.3

Tweedimensionale verbindingen

5

Evveanwnicht

lichamen

152

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Gebonden

I Symbolisch

I Vrijgemaakt

Koord- of kettingverbinding Tabel 5.1 Enkele tweedimensionale verbindingen

5.4

Evenwicht in een vlak

Voorbeeld 1 Aan een takel hangt een last van 100 kg. De takel wordt in evenwicht gehouden door middel van een ketting. Bereken de reactiekracht in de punten A en B.

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

153

Evenwicht

5

Gegeven:

m = 100 kg figuur 5.2

Gevraagd:

RA

K Uitwerking

•

Zwaartekracht van de last

= m9 = 100 9,81 [kg • m/s2] = 981 N

•

Vrijmaken van de takel

•

Evenwichtsvergelijking

X?=o

p>o

-^+^=0 =

Z^ = 0

ra

^~F^O = 981 N

5

Evvaenwnicht

lichamen

154

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

(1)

Om het moment van de zwaartekracht ten opzichte van punt O te bepalen, moet je de loodrechte afstand van de werklijn van de zwaartekracht tot punt O kennen. Die afstand is |OD|. De loodrechte afstand van de werklijn van RA tot punt O is |O/A|.

\OD\ = \OB\ + \BD\ = |OB| + \BC\

|OA| = 1 • sin 60° •

cos 60°

= 1 + 4 cos 60° =3m

XM0F = 0

=0

= 0,866 m

[m + m • -]

Ra ’ IOAI + R^

*

- F™ * l°D| = 0

Ra-Q, 866 + 981 • 1-981 -3 = 0

Ra = 2 265 N Uit (1) volgt: /?eh = 2 265 N

• Bepalen van RB

^

= 22657 +

= V2

981/

[N]

2657+98F [VKF+N7]

= 2 468 N p

-^

tan^ = ’’Bh

_ “

^ Besluit:

981 2 265

[Ni

Ln J

= 23°25' De reactiekracht in punt A is RA met: • grootte: 2 265 N; • richting: horizontaal; naar links. • zin: De reactiekracht in punt B is RB met: • grootte: 2 468 N; • richting: een hoek van 23°25' met de x-as; zie figuur 5.3. • zin:

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

155

Evenwicht

5

Voorbeeld 2 Op een houten balk werkt een kracht van 5 000 N verticaal naar beneden, figuur 5.4. Bepaal de grootte van de reactiekracht in de punten A en B. Het gewicht van

de balk is verwaarloosbaar.

Figuur 5.4

Gegeven:

F= 5 000 N figuur 5.4

Gevraagd:

RA

Uitwerking

•

Vrijmaken van het lichaam Steunpunt A kan enkel een kracht opvangen loodrecht op het vlak. Steunpunt B kan horizontale en verticale krachten opvangen.

5

Evveanwnicht

lichamen

156

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

• Evenwichtsvergelijking 2/,=o Z?=o !Fy = 0

YMaF=0

£M = 0

Ra • sin30° - RSh = 0 -F+RA-cos30° + R^ = 0 -5 000 + Ra- cos30° + R^ = 0 -F-4 + V7 = 0

(1)

(2)

-5 000 • 4 + R, • 7 = 0

^

Vul (3) in vergelijking (2) in:

= 2 857 N (3)

(2)

-5 000 + RA, • cos30° + R. = 0 D'J

-5 000 + RA • cos30° + 2 857 = 0 0,866

RA = 2 143 Ra = 2 474 N

Bepaal R^ door RA = 2 474 in te vullen in vergelijking (1): (1)

RA-s\n30°-RBh = 0 2 474 • sin30° - /?on = 0 /?on =1 237 N

Reactiekracht RB kun je schrijven als:

7

[N] = -1 237-7 + 2 857 RS = V(-1 237)2 + 2 8572 [VN2+N2]

^

= 3 1 13 N Besluit:

de grootte van de reactiekracht in de punten A en B is respectievelijk

RA=2 474Nen/?e = 3 113 N.

Voorbeeld 3 Op een balk werkt een gelijkmatige belasting van 0,5 kN/m en in punt C een puntlast van 6 kN. Bepaal de reactiekracht in de punten A en B.

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

157

Evenwicht

5

Gegeven:

figuur 5.6 Q = 0,5 kN/m F2 = 6 kN

Gevraagd:

RA

Uitwerking

• Gelijkmatige belasting Je mag de gelijkmatige belasting vervangen door een puntlast die aangrijpt in het zwaartepunt van de belasting.

0,5.6[^-m]

= = 3 kN

De kracht grijpt 3 m rechts van punt A aan.

• Evenwichtsvergelijking

^F=Q

2^=0

Er zijn geen krachten in de x-richting.

^y=o

Xm=6 %maf=o 5

-F2

•

(1)

2 - F, • 3 + Rb • 5 = 0

-6 -2-3-3 + Rb -5 = 0

Evveanwnicht

lichamen

^^-F.-F^O Ra + Rb-6-3 = 0 Ra + Rb = 9^

/?s = 4,2kN

158

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

(2)

Vergelijking (2) in (1):

Ra + Rb = 9 kN RA = 9-RB = 9-4,2

[kN]

[kN]

= 4,8 kN

Besluit:

De reactiekracht in punt A is RA met: • grootte: 4,8 kN;

• •

richting: zin:

verticaal; naar boven.

De reactiekracht in punt B is RB met: • grootte: 4,2 kN; • richting: verticaal; naar boven. • zin:

5.5

Evenwicht door wrijvings krachten De eerste wet van Newton luidt: 'Een lichaam dat aan geen enkele kracht onderworpen is, beweegt en blijft bewegen met een constante snelheid, of is en blijft in rust.'

Die uitspraak is in tegenspraak met je dagelijkse ervaring. Een voorwerp dat met een ze¬ kere beginsnelheid over een ruwe vloer beweegt, komt na enige tijd tot stilstand. Hier is de wrijvingskracht oorzaak van de snelheidsvermindering.

Als je een voorwerp over een vloer wilt bewegen, moet je een kracht uitoefenen die groter is dan de wrijvingskracht. De grootte van de wrijvingskracht is afhankelijk van: • het gewicht van het voorwerp; • het materiaal en de oppervlaktetoestand van het voorwerp; • het materiaal en de oppervlaktetoestand van de vloer of ondersteuning; • de eventuele aanwezigheid van een smeermiddel in de contactzone;

•

uitwendige krachten.

Een voorwerp dat op een vlak rust, oefent op dat vlak een kracht uit: de zwaartekracht, F^. Zoals beschreven in de wet van actie en reactie oefent dat vlak ook op het lichaam een kracht uit. Die tegengestelde kracht staat altijd loodrecht op het aanrakingsvlak van het lichaam en het steunvlak. Je noemt die kracht de normaalkracht, F^.

lichvaamenn

Op het voorwerp werkt ook een kracht F, die bij een bepaalde grootte het voorwerp doet bewegen. Kracht F wordt tegengewerkt door wrijvingskracht Fw.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

159

Evenwicht

5

Figuur 5.8 Voorwerp op een vlak

Figuur 5.9 Vrijgemaakt

Met behulp van een proefopstelling kun je de invloed van de wrijvingskracht op een lichaam

bepalen6.

Figuur 5.10 Proefopstelling

: wrijvingskracht Fws : statische wrijvingskracht Fwd: dynamische wrijvingskracht F : inwerkende of drijvende kracht 1 F=0 Het voorwerp is in rust. Er is geen wrijving. 2 F ^Wd werkende kracht. Er blijft een tegenwerkende wrijvingskracht. Je noemt die wrijving de dynamische wrijving.

5

Evveanwnicht

lichamen

6

160

Zie theoretische mechanica 2de graad.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Om een voorwerp te verplaatsen op een horizontaal vlak moet er een kracht, F , op worden uitgeoefend die groter is dan de maximale wrijvingskracht. Hoe groter de normaalkracht FN, hoe groter de wrijvingskracht, vermits de oneffenheden van

de vlakken dieper in elkaar grijpen.

F^f-FN Factor ƒ is de wrijvingsfactor die kenmerkend is voor elk paar wrijvende vlakken.

Voorbeeld Een persluchtcilinder duwt een blok omhoog. De wrijvingsfactor bedraagt 0,4 en de persluchtcilinder heeft een diameter van 50 mm. Bepaal de persluchtdruk van de cilinder als het blok een massa van 150 kg heeft.

Gegeven:

figuur 5.12 ƒ =0,4 d = 50 mm m = 150 kg a =20°

d = 0,050 m

Gevraagd: p Uitwerking

•

Vrijmaken van het blok

lichvaamenn

Figuur 5.13 Vrijmaken van het blok

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

161

Evenwicht

5

•

Bepalen van de componenten van

Fzw

F™=m-g

[kg-^]

= 150-9,81 = 1 471 N

^x = -fzw-Sin« = -1 471 -sin20° = -503 N

[N

- —]

[N

- —]

F™y = -F™«*a = -1 471 -cos20° = -1 382 N

Bepalen van de wrijvingskracht

F.=f-FN = 0.4-Fn

•

Opstellen van de evenwichtsvergelijking

YF=Q

YF=0

F.-F+F =0 ^-0,4^-503 = 0

lFy^

(1)

F^Fmy^

Fn- 1 382 = 0 Fn= 1 382 N

Vul vergelijking (2) in (1)

(2)

F^-0,4-1 382-503 = 0 Fal. = 1 056 N

•

Bepalen van de persluchtdruk

=

Imq

= 0,001 963 m2

1 056 “0,001 963

F_N_1

Lm2J

= 537 714 Pa = 538 kPa 5

Besluit:

Evveanwnicht

lichamen

162

de persluchtdruk in de cilinder moet 538 kPa zijn om het blok omhoog te duwen.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.6

Driedimensionale verbindingen Een lichaam vrijmaken in de ruimte gebeurt op dezelfde manier als in het vlak. In de ruimte zijn er tal van mogelijkheden om een lichaam te verbinden met zijn omgeving. We bespreken de voornaamste verbindingen.

• Contact met een glad oppervlak

Figuur 5.14 Contact op een glad oppervlak

Figuur 5.15 Vrijgemaakt

Een voorwerp kan zich vrij bewegen over het gladde oppervlak. Er is alleen een reactiekracht

mogelijk loodrecht op het oppervlak.

• Kogel- of bolscharnier De trekhaak van een personenwagen is uitgerust met een kogel- of bolscharnier. Ook in het menselijk lichaam zijn tal van gewrichten kogelscharnieren: heup, schouder ... Een lichaam op een ruw oppervlak kun je ook beschouwen als een kogelscharnier. Er ont¬ staan wrijvingskrachten die evenwijdig zijn met het vlak.

lichvaamenn

Figuur 5.1 7 Vrijgemaak t kogelscharnier

Een kogelscharnier kan volgens de drie assen reactiekrachten opnemen. Het kan geen momenten opnemen. De reactiekracht kun je schrijven als: R = R*- i + R -j + Rz-k. Volgens figuur 5.17 is Rx = R,, Ry = -R2 en Rz = -R3.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

163

Evenwicht

5

• Scharnier

Een scharnier kan in alle richtingen een kracht opnemen en in twee richtingen een klein moment opnemen.

• Geleiding

Figuur 5.20 Geleiding

Figuur 5.21 Vrijgemaakt

Als een wiel over een geleiding rolt, dan kan het door de flenzen niet van de geleiding af¬ schuiven. Bij het vrijmaken van het wiel moeten er horizontale en verticale reactiekrachten ingevoerd worden.

5

Evveanwnicht

lichamen

164

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

• Vaste inklemming

Figuur 5.22 Vaste inklemming

Figuur 5.23 Vrijgemaakt

Een vaste inklemming kan niet bewegen en kan dus in alle richtingen krachten en momenten opnemen.

•

Lagers die radiale krachten kunnen opnemen Een lager gebruik je als je een verbinding moet maken tussen een (ronddraaiende) as en een vast lichaam. Het lagertype is afhankelijk van de soort belasting. Een groefkogellager kan

radiale krachten en kleine axiale krachten opnemen. radiale belasting

Figuur 5.24 Groefkogellager

Omdat de axiale reactiekracht klein is, is die bij het vrijmaken van het groefkogellager in figuur 5.25 verwaarloosd.

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

165

Evenwicht

5

•

Lagers die axiale krachten kunnen opnemen Kogeltaatslagers of axiale kogellagers zijn geschikt om axiale krachten op te nemen. Ze mogen niet radiaal worden belast.

Figuur 5.26 Kogeltaatslager

• Lagers die axiale en

radiale krachten kunnen opnemen

Figuur 5.28 Hoekcontactkogellager

Hoekcontactkogellagers kunnen zowel radiale als axiale krachten opnemen. Bij een eenrijige hoekcontactkogellager of een tandemopstelling is de zin van de axiale kracht bepaald. Bij een O- of X-opstelling kunnen axiale krachten volgens elke zin worden opgenomen. 5

Evvaenwnicht

lichamen

166

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.7

Evenwicht in de ruimte

Voorbeeld Op een werktafel werken twee krachten, = 2 000 N en = 3 000 N. Bepaal de reactiekracht in staaf OA en staaf OB. Scharnier S is een bolscharnier en kan dus geen momenten opnemen.

Gegeven:

Fy = 2 000 N

F2 = 3 000 N figuur 5.30 Gevraagd:

RA

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

167

Evenwicht

5

Uitwerking

• Vrijmaken van de werktafel Met behulp van de figuur kun je de coördinaten van de punten bepalen. 4(1; 0,9; 0,6) 8(1; 0,9; -0,6)

C(0,5; 0,9; -0,6) 5(0; 0,9; 0)

Figuur 5.31 Vrijmaken van de werktafel

• Vectoriële schrijfwijze van de krachten

000-7 = -3 000*7

^^ ^5 ”^S1

[N]

= -2

=

•

i + R$2'j

5

Evveanwnicht

lichamen

168

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

[N] ~

R$3' k

Bepaal de eenheidsvector van rechte OA.

^

= (XA-Xo)'i +(yA-y0)‘J +{zA-zoYk =1

-7 + 0, 9-7 + 0, 6-7

IIÔA II =

(norm van O/0

= 1,473 m 0A

IIöaII _ 1 -7 + 0,

9-7 + 0, 6-7

1,473

= 0,679-7 + 0,611

-7 + 0,407-7

De reactiekracht in staaf OA'.

R^ = RAA

A

OA

= 0,679 • Ra -7 + 0,611 • RA -j + 0,407 • RA • k Op dezelfde manier bereken je de reactiekracht in staaf OB.

ÖB = 1 -7 + 0,9

-0,6 -"k

ïT=^L llöfill 0B

= 0,679-7 + 0,611

£ = 0,679 D

•

D

-/-0,407-/

+ 0,611 R.-j -0,407 -R.k D

J

D

Evenwichtsvergelijkingen

Z?=6

—> —> —> + + + ^2 + ^B -2 000

=0

-/- 3 000 •/+ 0, 679 /?A -7+ 0, 611 RA -/ + 0,407 RA •

7

k

-R.-J -0,407 R.-k-R„-7 + R„-j-R„-k=Ü RB - R„) - 7+

+0,679 R. • + 0,611

(0, 679 Ra + 0, 679 (-5 000 + 0,611 • Ra + 0, 611 -Re + RS2)-J + •

(0, 407 Ra - 0, 407 • Rb - RS3) -k = 0 •

of 0,679 -Ra + 0. 679 -R^R^O

(1)

-5 000 + 0,611 • Ra + 0,611 -Rb + R52 = 0 (2) 0,407

Ra- 0,407 -RB-Rn = 0

(3)

lichvaamenn

Deze drie vergelijkingen vind je ook terug door de som van de componenten te nemen, = 0. = 0, = 0 en

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

169

Evenwicht

5

De som van alle momenten moet ook nul zijn. Voor we dat toepassen, gaan we de momenten van elke kracht berekenen. 4

-4

-4

k

j

/

= 1 0,9 0,6 0 -2 000 0 0,9 0,61+11 0,6l = I-2 000 0 I lo 0 I

7-|

=1

200-7-2 000

; |0|1

0,9 I -2 OOOl

k [Nm]

^OF2~^C^F2 4

4

4

k

j

/

= 0,5 0

=

0,9 -0,6 -3 000 0 0,9 |0,5 -0.6I J 1-3 000 0 I I0

;

7-|

-0.6I 0

I

£

|0,5

I0

0,9 I -3 OOOl

= -1 800-7- 1 500- k [Nm] O

A

= rA x R A 4

=0

De werklijnen van reactiekrachten RA en RB gaan door de oorsprong:

4

i

= 0

4

j 0,9

4

k

0

-RS1 FS2 ~FS3 = -0,9

RS3-7 + O,9-RS1 -7

2M?=o 1

200-7-2 000-7- 1 800-7-1 500 -k- 0,9

(-600-0,9 -^) -7 + (-3 500 + 0,9 RS1) -7 = 0 •

of -600-0,9-^ = 0

RS3 = -667 N

5

Evveanwnicht

lichamen

(4)

-3 500 + 0, 9 • RS1 = 0

RS} = 3 889 N

170

(5)

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

^

-7 + 0,9 RsC 7 = 0

Omdat de grootte van kracht 5.31 foutief.

RS3 negatief is, is de zin van kracht RS3 in figuur

Vul (4) en (5) in vergelijking (1), (2) en (3) in:

0,679-KA + 0,679-/?fi 0,611 -Ra + 0,611 -Rb + 0,407 -Ra - 0,407- Rb

RS2

= 3 889 = 5 000 = -667

Voor het oplossen van dit stelsel kun je gebruikmaken van een grafisch reken¬ toestel of computer.

Ra 0 Ra 0 • Ra 1

• •

+ 0 • Rb + 0 • R^ = 2 044 + 1 • Rb + 0 • R^ = 3 683 + 0 • Rb + 1 • R^ = 1 500

Daaruit volgt:

Ra = 2 044 N Rb = 3 683 N RS2 = 1 500 N Besluit:

de grootte van de reactiekracht in de staven is: Ra = 2 044 N

Rb = 3 683 N

Opmerking De problemen die we hier behandelen, zijn alle statisch bepaald, dat wil zeggen dat er juist voldoende verbindingen zijn om een lichaam of voorwerp in evenwicht te houden. Zo'n evenwicht is isostatisch of statisch bepaald en kun je oplossen door de evenwichtsvergelijkingen toe te passen.

Zijn er te veel verbindingen, dan spreek je van een hyperstatisch evenwicht. Bij een hyperstatisch evenwicht kun je een of meerdere verbindingen wegnemen zonder dat het evenwicht verbroken wordt.

A

IWMWWIMIIWIWIWWIHIWI F2

lichvaamenn

Figuur 5.32 Hyperstatisch evenwicht

Bij het oplossen van een hyperstatisch evenwicht moetje naast de evenwichtsvergelijkingen ook ondersteuningsvoorwaarden gebruiken. Die voorwaarden worden behandeld in het vak sterkteleer.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

171

Evenwicht

5

5.8

Te onthouden

• Gebruikte grootheden en eenheden

I Grootheid

Symbool

Sl-eenheid

kracht

F

newton

N

reactiekracht

R

newton

N

moment

M

newtonmeter

Nm

wrijvingsfactor

f

dimensieloos

-

massa

m

kilogram

aardversnelling

g

meter per seconde

kg m/s2

kwadraat

(9,81 m/s2)

• Vrijmaken Voer krachten en momenten in om een voorwerp vrij te maken. Die krachten en momenten nemen alle eigenschappen van elke verbroken verbinding over.

Mogelijke verbindingen: • inklemming • roloplegging • mesoplegging • koord- of kettingverbinding • lagers • scharnieren

• Evenwicht Een voorwerp is in evenwicht als alle evenwichtsvoorwaarden vervuld zijn.

1 2 3

2Z = 0 1^=0 D>0

4 5

=°

^=0

6

=o

Als aan de zes evenwichtsvoorwaarden voldaan is, verandert de toestand van rust of beweging van een lichaam niet t.o.v. zijn omgeving.

• Wrijving 5

Evveanwnicht

lichamen

172

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.9

Opdrachten 5.1

Wat betekent 'een lichaam vrijmaken'? Geef een voorbeeld.

5.2

Waarvan is de grootte van de wrijvingskracht afhankelijk?

5.3

Wat is een hyperstatisch evenwicht?

5.4

Een massa van 200 kg hangt aan twee koorden. De richting van de koorden is zoals in figuur 5.33. Bereken de reactiekrachten die in de twee koorden ontstaan.

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

173

Evenwicht

5

5.5

Een massa van 150 kg moet 2 m van de muur gehouden worden door een man die aan een koord trekt. Bereken de trekkrachten in beide koorddelen.

Figuur 5.35

Figuur 5.36 Vrijmaken

5

Evveanwnicht

lichamen

174

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.6

Op een ligger, IPE 220, werken drie krachten. Maak de ligger vrij rekening houdend met het eigen gewicht van de balk en bepaal de reactiekrachten in de punten A en D. Zoek het gewicht van de ligger op in een tabellenboek.

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

175

Evenwicht

5

5.7

Bereken van de wandkraan de reactiekrachten in A en B. Scharnier A kan enkel horizontale krachten opnemen. Scharnier B kan horizontale en verticale krachten opnemen.

5

Evveanwnicht

lichamen

176

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.8

Een ladder van 8 m staat tegen een muur en maakt met de grond een hoek van 75°. Het gewicht van de ladder grijpt in het midden aan en is 500 N. Op 1,5 m van de bovenkant van de ladder staat een persoon van 700 N. Er is geen wrijving tussen ladder en vloer en ladder en muur. De ladder wordt zodanig met een koord aan punt O bevestigd, dat de koord loodrecht op de ladder staat. Bereken de spankracht in de koord en de steunpuntreactie in de punten A en B.

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

177

Evenwicht

5

5.9

Een houten balk van 4 m ligt met één uiteinde op een stevig steunpunt en wordt aan het andere uiteinde omhooggehouden door een touw. De balk weegt 80 N/m en het touw breekt bij 600 N. Tot waar mag een persoon van 70 kg op de balk lopen, opdat het touw juist niet breekt?

5.10

Een balk van 4 m met een gewicht van 100 N/m ligt op een steunpunt en wordt aan het andere uiteinde omhooggehouden door een touw. Op die balk mag een persoon met een massa van 80 kg 3 m lopen, figuur 5.43. Welke kracht moet het touw opvangen, opdat dat op een veilige manier gebeurt?

5

Evveanwnicht

lichamen

178

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.11

Twee cilinders liggen tegen elkaar in een smalle gleuf. Bepaal de reactiekrachten tegen de wand in de punten A, B en C. Bepaal ook de kracht in contactpunt D van de cilinders. Cilinder 1 heeft een diameter van 1 m en een massa van 10 000 kg en cilinder 2 heeft een diameter van 0,5 m en een massa van 2 500 kg.

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

179

Evenwicht

5

5.12

Een hydraulische handkraan moet een verbrandingsmotor met een massa van 400 kg opheffen. Maak de bovenarm vrij en bepaal de kracht in de cilinder.

5

Evveanwnicht

lichamen

180

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.13

Een man duwt horizontaal tegen een kist, massa 200 kg, die op een hellend vlak ligt. Bepaal de minimale grootte van kracht F zodat de kist niet naar beneden schuift. De wrijvingsfactor tussen de kist en het hellend vlak bedraagt 0,2.

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

181

Evenwicht

5

5.14

Een blok van 300 kg ligt op een horizontaal vlak. Een tweede blok is met een koord met dat blok verbonden. Bepaal de massa van het tweede blok zodat het eerste blok juist niet beweegt. De wrijvingsfactor tussen de blokken en de vlakken bedraagt 0,15.

5

Evveanwnicht

lichamen

182

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.15

Twee kisten zijn met elkaar verbonden zoals in figuur 5.53. De massa van kist 1 is 90 kg en die van kist 2 bedraagt 40 kg. Welke kracht heb je nodig om kist 2 omhoog te trekken? De wrijvingsfactor tussen kist 1 en de ondergrond is 0,25.

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

183

Evenwicht

5

5.16

Twee dozen zijn op elkaar gestapeld en verbonden met een koord. Bepaal de kracht op de onderste doos zodat die doos naar rechts beweegt. De massa's van de dozen zijn m1 = 50 kg en m2 = 200 kg, de wrijvingsfactor tussen de dozen is 0,3 en die tus¬ sen doos 2 en de vloer 0,4.

5

Evveanwnicht

lichamen

184

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.17

Een brandkast van 5 000 N moet worden verplaatst. Daarvoor gebruik je een spie die een hoek van 10° heeft. Welke kracht moet je op de spie uitoefenen om de brandkast te verplaatsen? De wrijvingsfactor tussen de kast en de spie is 0,3; tussen de schuine aanslag en de spie 0,1 en tussen de kast en de vloer 0,4.

Figuur 5.58 Maak de spie en de brandkast vrij

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

185

Evenwicht

5

5.18

Een man die 720 N weegt, staat 3,5 m hoog op een ladder. De ladder weegt 350 N. Bepaal de minimale wrijvingsfactor tussen vloer en ladder. De wrijving tussen de muur en de ladder wordt verwaarloosd.

5

Evveanwnicht

lichamen

186

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.19

De beitelslede van een gereedschapswerktuig beweegt langs een V-vormige gelei¬ ding. De beitelslede heeft een gewicht van 200 N. Bereken de kracht om de slede eenparig te bewegen. Druk de kracht uit in functie van ƒ en a. Vergelijk die kracht met de kracht als de slede op een vlakke geleiding ligt.

Figuur 5.61 V-vormige geleiding

Teken in figuur 5.63 de kracht in functie van hoek a voor verschillende waarden van de wrijvingsfactor (0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 en 1).

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

187

Evenwicht

5

5.20

Een steun is tegen een muur bevestigd (figuur 5.64). Bepaal de reactiekrachten in de punten A 5 en C als de grootte van de verticale kracht in punt D gelijk is aan 2 kN. A(0; 0; 2), 8(0; 0; -2), C(0; 3; 0) en D(3; 0; 0)

5.21

Op de steun in figuur 5.64 werkt in punt D kracht F, die bepaald wordt door F= 2 • i - 5 •; + 1 • k [kN], Bepaal de reactiekrachten in de punten A, B en C. >4(0; 0; 2), 8(0; 0; -2), C(0; 3; 0) en D(3; 0; 0)

5.22

Een takel is aan een muur bevestigd zoals in figuur 5.65 en moet een last van 20 kN ophalen. Bepaal de kracht in ketting AB en AC en in steunpunt O. /4(4; 4; 0), 8(0; 4; 3), C(0; 4; -3) en D(8; 8; 0)

—*

5

Evveanwnicht

lichamen

188

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.23

De kracht op de takel van figuur 5.65 werkt niet verticaal naar beneden, maar wordt bepaald door F= 7,8 • / - 18 • j + 3,9 • k. Bepaal de kracht in ketting AB en AC en in steunpunt O. 4(4; 4; 0), B(Q; 4; 3), C(0; 4; -3) en 0(8; 8; 0)

5.24

Op de tandwielen van een aangedreven transmissieas werken twee krachten, Fc = 5 kN en FD = 4 kN. De as is gelagerd in punt A met een hoekcontactkogellager en in B met een groefkogellager. Lager B kan geen axiale krachten opnemen. Bepaal de radiale en axiale krachten in beide lagers.

Figuur 5.66 Transmissieas

lichvaamenn © Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

189

Evenwicht

5

5.25

Aan een HEB 200-balk7 is een takel bevestigd die een last van 5 000 N heft. Bereken de reactiekrachten in kogelscharnier A en de kabels waarmee de HEB-balk is opgehangen. Je moet rekening houden met het gewicht van de balk: zoek dat op in een tabellenboek.

Figuur 5.69 Vrijmaken 5

Evvaennwicht

lichamen

7

190

Soms spreekt men van IPB 200.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

5.26

Een schuifdeur heeft een massa van 540 kg. De deur is opgehangen aan twee wie¬ len in A en B. In C is een geleidingsrol aangebracht om de deur in een verticaal vlak te houden. Bepaal de reactiekrachten van de wielen en rol op de deur.

lichvaamenn

Figuur 5.71 Vrijmaken

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

191

Evenwicht

5

5.27

Een modern afdak wordt in evenwicht gehouden door twee kabels. Bepaal de maxi¬ male trekkrachten in de kabels als het afdak 15 m lang en 4 m breed is. Het ge¬ wicht van het dak bedraagt 500 N/m2 en de sneeuwbelasting bedraagt maximaal 400 N/m2. Bij het vrijmaken van het afdak is het moment in de verbinding, punt O in figuur 5.73, van het dak met de steunpilaar verwaarloosbaar. >4(0; 4;0) 5(10; 0; 2.5) C(10; 0; -1.5)

5

Evveanwnicht

lichamen

192

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

6

Dynamica van een lichaam

6.1

Stoffelijk punt

en van

lDynamic icham

- star lichaam

6

Als je in de mechanica een lichaam met verwaarloosbare afmetingen behandelt, spreek je over een stoffelijk punt of kortweg een punt. Symbolisch stel je een punt met een hoofdletter voor.

Een star of onvervormbaar lichaam is een verzameling van punten waarvan de onderlinge afstand niet verandert (figuur 6.2), ook niet als er krachten op het star lichaam inwerken (figuur 6.3). Je spreekt kortweg over een lichaam.

Figuur 6.3 Star lichaam onder invloed van krachten

In de statica behandel je niet de vervormingen die een lichaam ondergaat onder invloed van krachten. Die vervormingen bestudeer je in de sterkteleer.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

195

6

Dlicham ynamic

6.2

van en

Wetten van Newton1 De wetten van Newton zijn postulaten en steunen op

proefondervindelijke feiten.

6.2.1

Eerste wet van Newton of traagheidswet

Als op een punt of lichaam de som van alle uitwendige krachten gelijk is aan nul, dan blijft het punt of lichaam bewegen met een constante snelheid, of is en blijft het punt of lichaam in rust.

In werkelijkheid is er een wrijvingskracht aanwezig. Die wrijvingskracht is de oorzaak van een snelheidsvermindering. De vertraging verklein je door het lichaam over een zeer gladde vloer te bewegen. Als je de wrijvingskracht kon uitschakelen, zou het lichaam de eenparige

beweging behouden. Volgens Isaac Newton kan een lichaam zijn toestand van rust of beweging niet uit zichzelf veranderen. De eigenschap dat een lichaam uit zichzelf zijn toestand niet kan wijzigen, noem je traag¬ heid of inertie van het lichaam. Om de bewegingstoestand te veranderen, is een uitwendige oorzaak nodig, die je kracht noemt. Het gevolg daarvan is dat een kracht nodig is om: • de grootte van de snelheid te veranderen; onder invloed van een kracht versnelt of ver¬ traagt het lichaam (figuur 6.4); • de richting van de beweging te wijzigen (figuur 6.5); • de zin van de beweging om te keren (figuur 6.6).

Figuur 6.4 De kracht van de cilinder zorgt ervoor dat de cilinder beweegt 1

196

Figuur 6.5 De pneumatische cilinder zorgt voor een richtingsverandering van de slechte flessen

Isaac Newton (1642-1727). Hij is een van de grootste wis- en natuurkundigen en tevens een bekend astronoom. Newton formuleerde in zijn werk Principia (1687) de drie grondwetten van de mechanica. Uit de stijl kan men de persoonlijkheid van Newton afleiden: rechtlijnig en koel.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

en van

lDynamic icham 6

Figuur 6.6 Een kracht zorgt ervoor dat de zin van de zaag telkens omkeert

6.2.2 Tweede wet van Newton Bepaling van een kracht Je noemt 'kracht' elke uitwendige oorzaak die de bewegingstoestand van een lichaam wij¬ zigt of probeert te wijzigen. Een kracht is een vectoriële grootheid. Symbolisch: F (force). Je leest: kracht F.

Kracht F is de uitwendige oorzaak van het feit dat een lichaam met massa m een ver¬ snelling (vertraging) ? krijgt. Massa m is de hoeveelheid materie die een lichaam bevat. Je kunt het opvatten als een maat voor de weerstand die het lichaam biedt tegen elke toestandsverandering. De eenheid van massa is het kilogram (kg). Een massa koppelt de oorzaak, namelijk de kracht, aan het gevolg, nl. de versnelling (vertraging). Volgens Newton is:

—>

F = m •a

Uit deze vergelijking volgt dat kracht F en versnellingsvector

à* dezelfde richting

en zin

hebben.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

197

6

Dlicham ynamic

Opmerkingen 1 Wil een lichaam versnellen, dan moet op dat lichaam een kracht werken met dezelfde zin als de bewegingszin (figuur 6.7).

van en

° Figuur 6.7 Versnelling

Figuur 6.8 Vertraging

2 Wil een lichaam vertragen, dan moet op dat lichaam een kracht werken tegengesteld aan de bewegingszin (figuur 6.8).

Eenheid van kracht De grootte van een kracht is: F=m a 1 N(ewton) =1-1

[kg

•

|dim F

= Massa

•

= MLT

Om een massa van 1 kg een versnelling van 1 m/s2 te geven, heb je een kracht van 1 N nodig.

Kenmerken van een kracht Een kracht is een vectoriële grootheid die je voorstelt door middel van een glijdende vector. De grootte is het maatgetal gevolgd door de eenheid. Het geeft aan hoe dikwijls de eenheidsvector in de gegeven kracht F begrepen is. Symbolische voorstelling: of F.

Hf II

Grafische voorstelling: de grootte van de kracht stel je op schaal voor door de lengte van lijnstuk |/A8| (figuur 6.9).

|/A8| = 40 mm

F=400N De richting van kracht F wordt bepaald door hoek G die F met een gegeven as maakt. In figuur 6.9 is 0 gelijk aan 30°.

De zin geeft aan naar welke kant van de werklijn de kracht het lichaam wil verplaatsen. De zin geef je aan door middel van een pijlpunt.

198

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

en van

lDynamic icham 6

Figuur 6.9 toont de werklijn of drager van kracht F . Omdat de uitwerking van kracht F op een onvervormbaar lichaam niet verandert als je de kracht over haar werklijn verschuift, stel je een kracht voor door een glijdende vector. De uitwerking van de kracht wijzigt niet als je een wagentje met een kort of met een lang touw trekt.

• Vectoriële schrijfwijze Om een kracht vectorieel te schrijven, maak je gebruik van de componenten van de kracht en de eenheidsvectoren.

^

=

FJ + Fy-j

met:

Fx = F

•

Fy = F sin#

cosO

= 400 • cos 30° = 346 N

F =346-7 + 200-;

= 400 • sin 30° = 200 N [N]

Kracht F is eenduidig bepaald door: de grootte, de richting, de zin en de ligging van de werklijn.

De zwaartekracht op een lichaam Zwaartekracht F^ is de kracht waarmee een lichaam door de aarde wordt aangetrokken. Daarbij krijgt het lichaam een constante versnelling g, de versnelling bij een vrije val. De grootte van die versnelling bedraagt in onze streken 9,81 m/s2. Aan de evenaar is de versnel¬ ling kleiner dan aan de polen (gevenaar = 9,780 m/s2 en gpool = 9,832 m/s2).

F™ =m-g

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

199

6

Dlicham ynamic

Fzw : zwaartekracht [N] m: massa [kg] versnelling bij een vrije val, ook valversnelling genoemd [m/s2] g: grijpt altijd aan in het zwaartepunt van het lichaam. De werklijn van zwaartekracht

van en

Als je volume V en massadichtheid p van een lichaam kent, kun je de grootte van de zwaar¬ tekracht berekenen. Fzw =m • q P=

^

of m = p-V

Fzw = P'v’9 met g = 9,81 m/s2 V\ volume [m3] p\

massadichtheid [kg/m3]

Gewicht van een lichaam Het gewicht van een lichaam met massa m is de kracht die het lichaam uitoefent op zijn ondersteuning, als gevolg van de zwaartekracht.

6.2.3 Derde wet van Newton Als lichaam A een kracht uitoefent op lichaam B (de actiekracht), oefent lichaam B tege¬ lijkertijd een kracht uit op lichaam A (de reactiekracht). Reactiekracht R heeft dezelfde grootte en werklijn als actiekracht F. De zin van beide krachten is tegengesteld. R =-F

Voorbeelden

Figuur 6.10

200

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Figuur 6.11

en van

lDynamic icham 6

Figuur 6.12: Trekproef

6.3

Dynamisch evenwicht met de tweede wet van Newton Als op een lichaam de som van de krachten niet gelijk is aan nul, zal de resulterende kracht volgens de tweede wet van Newton het lichaam een versnelling geven.

x? = m

•a

Voorbeeld Aan de haak van een kraan hangt een blok van 200 kg. Bepaal de spankracht in de kabel als het blok wordt opgehaald met: 1 een eenparig versnelde beweging, a1 = 1 m/s2; 2 een eenparige beweging, a2 = 0 m/s2; 3 een eenparig vertraagde beweging, a3 = -2 m/s2.

Gegeven:

m = 200 kg ai = 1 m/s2 a2 = 0 m/s2 a3 = -2 m/s2

Gevraagd:

Rr R2; R3

Figuur 6.13 Schematisch

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

201

6

Dlicham ynamic van en

Uitwerking

•

Bepalen van de zwaartekracht

K = m'9 F™ = m'9 = 200 9,81 [kg • m/s2] = 1 962 N •

•

Versnelling van a, = 1 m/s2 yf

Figuur 6.14 Vrijgemaakt bij een versnelling van 1 m/s2

ÏF=m-a^ R,~F™ = m-^

- 1 962 = 200

•

1

R, = 2 162 N

•

Eenparige beweging, a2 =

O

m/s2

a = 0 m/s

Figuur 6.15 Vrijgemaakt bij eenparige beweging

Bij een eenparige rechtlijnige beweging is er geen versnelling, a2 = 0 m/s2.

£F=m-a2 R2-F2„ = m.O

R2 - 1 962 = 0 R, = 1 962 N

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

en van

• Vertraging

lDynamic icham

van 2 m/s2

6

Figuur 6.16 Vrijgemaakt bij een vertraging van 2 m/s2

Omdat de zin van de versnellingsvector naar beneden is, is a3 negatief of a3 = -2 m/s2.

F3-^ = m-a3 R3 - 1 962 = 200 R3 = 1 562 N Besluit:

•

(-2)

de spankracht in de kabel is bij: • een versnelling van 1 m/s2 2 162 N • een eenparige beweging 1 962 N • een vertraging van 2 m/s2 1 562 N

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

203

6

Dlicham ynamic

6.4

van en

Principe van d'Alembert2

6.4.1 Traagheidsvector Als de lift stilstaat, werken er op de lift twee krachten: zwaartekracht F^ (van de man en de lift) en kabelkracht (figuur 6.17).

Figuur 6.1 7 Lift in rust

Figuur 6.18 Lift met een versnelling naar boven

Om de lift omhoog te laten bewegen, zul je hem een versnelling moeten geven (figuur 6.18),

waardoor de kabelkracht zal toenemen, Fk2 > Fkr Newton formuleerde in zijn tweede wet: F =m •'a Omdat de som van de krachten niet meer nul is in figuur 6.18, ga je een vector invoeren met grootte m • a , maar in de tegengestelde zin van de versnelling (figuur 6.19). Die vector noem je traagheidsvector F^ (denkbeeldige schijnkracht). In je benen voel je bij het vertrek van de lift een gedeelte van die schijnkracht ten gevolge van de massa van je eigen lichaam.

—> = -m • a Ft

2

204

Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783). D'Alembert werd beroemd door zijn werk Traité de dynamique (1743).

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

en van

lDynamic icham —> — +

^ ^

—* —> + ^=0

6

Figuur 6.19 Traagheidsvector

De grootte van de kracht in de kabel is gelijk aan de zwaartekracht en de kracht die oorzaak is van de versnelling.

Ondergaat een lichaam een versnelling, dan werkt op dat lichaam een traagheidsvector (schijnkracht).

Ft = -m a* •

Traagheidsvector F1 heeft als: grootte: m • a; richting: dezelfde als de versnelling; tegengesteld aan de zin van de versnelling. zin:

6.4.2 Evenwichtsvergelijking van d'Alembert Als de som van alle krachten van een stelsel nul is, spreek je van een statisch evenwicht.

£F=0 Als een lichaam een versnelling ondergaat, voer je een traagheidsvector in tegengesteld aan de versnelling. Bij de evenwichtsvergelijking van d'Alembert moet de som van alle krachten en de traagheidsvector nul zijn.

+"^=0

met

Fr = -m-'a

Om dynamische problemen op te lossen, heb je twee mogelijkheden:

• •

dynamisch evenwicht met de tweede wet van Newton, ^F = m •a'; evenwichtsvergelijking van d'Alembert, ^F + FT = 0 met FT = -m • a\

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

205

6

Dlicham ynamic

6.4.3 Voorbeeld

van en

Twee lichamen hangen aan een takelsysteem zoals in fi¬ guur 6.20. De massa van lichaam 1 bedraagt 90 kg en de massa van lichaam 2 bedraagt 50 kg. Welke versnelling ondervindt lichaam 2 als je het loslaat? Gegeven:

m1 = 90 kg m2 = 50 kg figuur 6.20

Gevraagd: a2

Uitwerking Figuur 6.20 Takel

• Verplaatsing en versnelling Als lichaam 2 1 m omlaaggaat, gaat lichaam 1 0,5 m omhoog. Algemeen kun je schrijven:

2x,=x2 Omdat er een lineair verband bestaat tussen de afgelegde weg en de versnel¬ ling, geldt:

2a,=a2

(1)

• Lichaam 1 ^=^,■9 = 90-9,81 = 883 N

[kg -^]

= 90 -a,

Evenwicht (figuur 6.21)

£Fy = 0

-F^-^ + Fk + Fk = 0 -883-90-a,+2-Fk = 0

Figuur6.21 Lichaam 1

206

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

(2)

•

en van

lDynamic icham

Lichaam 2

F^2 = m2-9 = 50-9,81 = 490 N

6

Fu = m2'a2 = 50 • a2

Evenwicht (figuur 6.22)

ÏF=Q^ %Fy = 0

-Fm2 + Fn + F^0 -490 + 50-a2 + Fk = 0

Figuur 6.22 Lichaam 2

•

(3)

Stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden

.

(1)

2-a1=a2 -883 - 90 • a, + 2

•

Fk = 0

-490 + 50 • a2 + Fk = 0

(2) (3)

Als je dit stelsel oplost bekom je: Fk = 457 N ay = 0,33 m/s2 a2 = 0,66 m/s2

Besluit:

de versnelling van lichaam 2 bedraagt 0,66 m/s2.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

207

6

Dlicham ynamic

6.5

van en

Te onthouden

• Gebruikte grootheden en eenheden | Grootheid

Symbool

Sl-eenheid

massa

m

kilogram

kg

versnelling

a

meter per seconde

m/s2

kwadraat

kracht

F

traagheidsvector

reactiekracht

R

newton

N

newton

N

newton

N

• Wetten van Newton Eerste wet van Newton Als op een punt of lichaam de som van alle uitwendige krachten gelijk is aan nul, dan blijft het punt of lichaam bewegen met een constante snelheid, of is en blijft het punt of lichaam in rust.

Tweede wet van Newton Kracht F is de uitwendige oorzaak van het feit dat een lichaam met massa m een versnelling (vertraging) à* krijgt. Massa m is de hoeveelheid materie die een lichaam bevat. Je kunt het opvatten als een maat voor de weerstand die het lichaam biedt tegen elke toestandsverandering.

Derde wet van Newton Als lichaam A een kracht uitoefent op lichaam B (de actiekracht), oefent lichaam B tegelijkertijd een kracht uit op lichaam A (de reactiekracht). Reactiekracht R heeft dezelfde grootte en werklijn als actiekracht F . De zin van beide krachten is tegengesteld.

—R» = -F—>

• Dynamisch evenwicht met de tweede wet van YF = m

•

Newton

a

• Evenwichtsvergelijking van d'Alembert Ondergaat een lichaam een versnelling, dan werkt op dat lichaam een traagheidsvector.

F^ = -m-'a

208

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

en van

Traagheidsvector

lDynamic icham

heeft als:

•

grootte:

• •

richting: dezelfde als de versnelling; tegengesteld aan de zin van de versnelling. zin:

m- a;

6

Bij een dynamisch evenwicht moet de som van alle krachten en de traagheids¬ vector nul zijn.

Z?+^=o

6.6

Opdrachten 6.1

Leg de drie wetten van Newton uit aan de hand van een voorbeeld.

6.2

Wat is een traagheidsvector?

6.3

Formuleer het principe van d'Alembert in woorden.

6.4

Aan de haak van een hijskraan hangt een kist met een massa van 500 kg. De kist daalt met een snelheid van 1,2 m/s. Om veiligheidsredenen moet de kist in 0,5 s

stilstaan. Bereken de spankracht in de kabel.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

209

6

Dlicham ynamic

6.5

Bereken de versnelling van lichaam 1 als je lichaam 2 loslaat. De massa van de licha¬ men is respectievelijk 20 kg en 18 kg. Na hoeveel tijd komt lichaam 1 op de grond?

van en

Figuur 6.25

210

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

6.6

en van

Twee massa's zijn met elkaar verbonden. De wrijvingsfactor tussen het horizonta¬ le vlak en massa my is 0,3. Alle andere verliezen zijn te verwaarlozen. Bereken de versnelling van het systeem en de spankracht in de kabel.

lDynamic icham 6

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

211

6

Dlicham ynamic

6.7

van en

Twee kisten zijn met elkaar verbonden zoals in figuur 6.29. De massa van kist één is 90 kg en die van kist twee 30 kg. Bepaal de versnelling van kist 2. De wrijvingsfactor tussen kist 1 en de ondergrond is 0,25.

Figuur 6.29

212

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

6.8

en van

Een kast van 120 kg staat op een vlakke laadvloer van een wagen. De wrijvingsfactor tussen de kast en laadvloer is 0,25. Met welke versnelling mag de wagen vertrekken opdat de kast niet verschuift?

lDynamic icham 6

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

213

6

Dlicham ynamic

6.9

van en

Een auto heeft een massa van 1 150 kg. Het zwaartepunt ligt op 1,2 m van de vooras, op 1,4 m van de achteras en op een hoogte van 0,75 m. Bij een snelheid van 90 km/h is er een luchtweerstand van 1 200 N die aangrijpt in het zwaartepunt. Bereken de reactiekrachten op de voor- en achteras als: • de auto in rust is; • de auto eenparig rijdt met een snelheid van 90 km/h; • de auto bij een snelheid van 90 km/h versnelt met een versnelling van 2 m/s2.

Figuur 6.32

Figuur 6.33

214

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

6.10

en van

Een passagier in een trein houdt een draad vast waaraan een massa m = 1,0 kg hangt. De trein heeft een versnelling van 3,0 m/s2. Bereken de hoek en de spankracht in de draad.

lDynamic icham 6

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

215

6

Dlicham ynamic

6.11

Op de oplegger van een vrachtwagen ligt een betonblok met een massa van 5 000 kg. De wrijvingsfactor tussen het betonblok en de oplegger bedraagt 0,25. De vrachtwagen rijdt met een snelheid van 72 km/h en moet plots remmen, waar¬ door hij na 50 m stilstaat. Om te voorkomen dat het betonblok naar voren schuift, wordt het op zijn plaats gehouden door een verticale kracht, F . Bepaal de minimale grootte van die kracht zodat het blok niet verschuift.

6.12

De vrachtwagenchauffeur merkt dat de spanriemen van opgave 6.11, die zorgen voor de verticale kracht, gescheurd zijn. Bepaal de vertraging bij het remmen zodat dat op een veilige manier gebeurt. Na hoeveel meter staat de vrachtwagen nu stil?

van en

216

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

6.13

en van

Twee massa's, m] = 20 kg en m2 = 50 kg, zijn verbonden zoals in figuur 6.38. Bepaal de versnelling van massa 2 als de dynamische wrijvingsfactor tussen de massa's en de ondergrond 0,3 is. Bepaal ook de kracht in de kabel.

lDynamic icham 6

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

217

6

Dlicham ynamic

6.14

van en

Op een transportband staan doosjes met een hoogte van 240 mm en een breedte van 60 mm. Bij het opstarten van de transportband mogen de lege doosjes, massa 40 g, niet omvallen. Door de snelheid van de transportband werkt op het doosje een luchtweerstand van 0,06 N. Bepaal de minimale tijd die je op de frequentieregelaar moet instellen zodat de transportband vanuit rust een snelheid van 90 m/min be¬ reikt. Bepaal ook de minimale aanlooptijd als de doosjes gevuld zijn en een massa van 1 kg hebben.

Figuur 6.40 Transportband

218

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

6.15

en van

lDynamic icham

Twee massa's, m, = 50 kg en m2 = 30 kg, zijn verbonden met een veer, l0 = 0,3 m en k = 500 N/m (figuur 6.42). Links op het systeem werkt een kracht van 100 N. Er is geen wrijving. Bereken de versnelling van het systeem en de lengte van de veer als beide massa's met dezelfde snelheid en versnelling bewegen en niet meer bewegen ten opzichte van elkaar.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

6

219

6

Dlicham ynamic

6.16

van en

220

Twee massa's, m, = 60 kg en m2 = 40 kg, zijn verbonden met een veer, l0= 0,3 m en k = 500 N/m (figuur 6.42). Links op het systeem werkt een kracht van 200 N. De wrijvingsfactor tussen massa 1 en de vloer is 0,2; die tussen massa 2 en de vloer 0,1. Bereken de versnelling van het systeem en de lengte van de veer als beide massa's met dezelfde snelheid en versnelling bewegen en niet meer bewegen ten opzichte van elkaar.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

7

Centripetale kracht

7.1

De normaalversneUing

kracht

ipetale Figuur 7.1 Centrifugaalkoppeling van een bromfiets

De richting van de omtreksnelheid van een punt dat een eenparige cirkelvormige beweging doorloopt, verandert voortdurend. De grootte van v bepaal je met de formule: v = w • r.

Figuur 7.2 Positievector en snelheidsvector

Punt P, dat eenparig cirkelvormig beweegt rond punt O met straal r, kun je be¬ schrijven door positievector r p. Na een bepaalde tijd is de doorlopen hoek van punt P gelijk aan m • t.

r p = r- cos(tw • t) • i + r- sin(ry • t) • j =r

- (cos(

v p = —-

dt

=r

- (-o?

= œ • r-

•

sin(q L = 100-9,81

= 981 N

254

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

Evenwicht (figuur 8.15) = m- a

=*

ZFy = m-af

Fk~F^ = -^O-aL Fk-981 =-100-at

(1)

• Vrijmaken, van de trommel

licehanm

Figuur 8.16 Vrijmaken van de trommel

Een punt op de omtrek van de trommel heeft dezelfde versnelling als de last.

van

Rotaie

“0,15

8

Evenwicht (figuur 8.16) = m • a geen bruikbare vergelijking

= J -a

=> a,

0,15-Fk=11,25aL

(2)

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

255

•

Bepalen van de versnelling Los het stelsel van vergelijking (1) en (2) op.

= -100 • aL + 981 (1)

in (2) 0, 1 5 • (-100

aL + 981)= 11,25 • a£

-15 - aL+ 147 = 1 1,25 - a£ 26,25 -aL= 147

aL = 5,6 m/s2 Besluit:

de last zal met een versnelling van 5,6 m/s2 naar beneden vallen.

8

Rvoatanie

8.7

en

Te onthouden

• Gebruikte grootheden en eenheden

licham

Grootheid

256

Symbool

Sl-eenheid

massa

m

kilogram

kg

straal

r

meter

m

versnelling

a

meter per seconde kwadraat

m/s2

hoekversnelling

a

radialen per seconde kwadraat

rad/s2

massatraagheidsmoment

J

kilogram meter kwadraat

kg m2

gyrostraal

k

meter

m

koppel

M

newtonmeter

Nm

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

• Massatraagheidsmoment Het massatraagheidsmoment is een maat voor de weerstand die een lichaam biedt tegen elke roterende toestandsverandering. i "'volle cil

_m

»

r2

2

Verschuivingsstelling van Steiner:

Jâ = Jx + m-ra2

• Koppel Ondergaat een lichaam een hoekversnelling, dan werkt op dat lichaam een koppel.

~M=J-a

licheamn

Koppel M heeft als:

•

grootte: J • a;

•

richting: dezelfde als de hoekversnelling;

•

zin:

van

Rotaie

dezelfde zin van de hoekversnelling.

De dynamische evenwichtsvergelijking voor het moment is:

8

= J -a (rotatievergelijking)

• Vergelijking met de rechtlijnige beweging Rechtlijnige beweging

Cirkelvormige beweging

Kracht - moment

F

M

Versnelling - hoekversnelling

a

a

Massa - massatraagheidsmoment

m

J

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

257

8.8

Opdrachten 8.1

Leg het verschil uit tussen normaalversnelling en tangentiële versnelling. Duid beide aan op figuur 8.17.

8.2

Waarom kun je de formule M =J • a vergelijken met de tweede wet van Newton?

8.3

Wat is een massatraagheidsmoment?

8.4

Wanneer pas je de stelling van Steiner toe?

8.5

Wat is de gyrostraal van een lichaam?

8.6

Een vliegwiel van een pers heeft een diameter van 1,1 m en een breedte van 0,40 m. Bepaal het massatraagheidsmoment en de gyrostraal van het homogene vliegwiel (p = 7 800 kg/m3).

8

Rvoatnaie en

licham

Figuur 8.18 Pers

258

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

8.7

Bereken het massatraagheidsmoment en de gyrostraal van de rotor van een asyn¬ chrone motor. Veronderstel dat de massadichtheid van de rotor homogeen is en 6,9 kg/dm3 bedraagt.

Figuur 8.19 Asynchrone motor

licheanm

Figuur 8.20 Afmetingen van de rotor

8.8

van

Bereken het massatraagheidsmoment en de gyrostraal van onderstaand stalen vlieg¬ wiel. De massadichtheid is 7 800 kg/m3.

Rotaie

8

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

259

8.9

Een slijpsteen moet in 3,0 s een rotatiefrequentie van 2 880 /min hebben. De massadichtheid van de slijpsteen is 4,0 kg/dm3 en het massatraagheidsmoment van de as en de rotor is 0,10 kg • m2. De diameter van de as bedraagt 55 mm. Bepaal het aandrijfmoment van de motor.

8.10

Wanneer een last met een massa van 50 kg vanuit rust naar onderen valt, dan is de versnelling 1,6 m/s2 naar onderen. Bepaal het massatraagheidsmoment van het vliegwiel, figuur 8.23.

8.11

Aan een vliegwiel, met een gyrostraal van 750 mm en een massa van 100 kg, hangt een last van 20 kg, figuur 8.23. Bepaal de versnelling waarmee de last naar beneden

8

Rvoatnaie en

licham beweegt.

260

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

8.12

Bepaal het massatraagheidsmoment van verschillende voorwerpen aan de hand van een proefopstelling. Maak een verslag dat onderstaande elementen bevat. 1

Duidelijke omschrijving van de proef en van wat je gaat meten

2

Gebruikte materiaal en opbouw

3

Uitvoering van de proef

4

Verwerking van de meetresultaten en bepaling van het massatraagheidsmo¬ ment van de voorwerpen

5

Bepaling van het massatraagheidsmoment met de algemene formules

6

Besluit

licehanm van

Figuur 8.25 Proefopstelling

8.13

Rotaie

Maak een proefopstelling, zodat je proefondervindelijk de stelling van Steiner kunt aantonen. Maak een verslag met de bekende elementen.

8

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

261

9

Arbeid, vermogen en rendement

9.1

Arbeid

9.1.1

Bepaling Om een last op te halen, moet de hijskraan een kracht uitoefenen op die last, figuur 9.1. Bij een constante hijssnelheid - versnelling is dan nul - is die kracht constant en verplaatst die kracht de last. De kraan levert mechanische arbeid.

en Figuur 9.1 Hijskraan

vermogn rendmt

Figuur 9.2 Verbrandingsmotor

Een tractor probeert de kraan vooruit te trekken met een ketting. De kracht blijft constant. De kraan verplaatst zich niet ondanks de kracht. De tractor levert hier geen arbeid.

Arbeid,

Een verbrandingsmotor, figuur 9.2, oefent een moment uit op de wielen van een auto. De wielen maken daardoor een ronddraaiende beweging en de auto verplaatst zich. De verbran¬

9

dingsmotor levert mechanische arbeid.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

263

Om mechanische arbeid bij een rechtlijnige beweging te verrichten, moet er aan drie

voorwaarden worden voldaan.

•Er moet een kracht zijn. •Er moet een verplaatsing zijn. •De verplaatsing moet het gevolg zijn van de kracht. Om mechanische arbeid bij een cirkelvormige beweging te verrichten, moet er aan drie

voorwaarden worden voldaan.

•Er moet een moment zijn. •Er moet een hoekverplaatsing zijn. •De hoekverplaatsing moet het gevolg zijn van het moment.

9.1.2

Arbeid van een kracht bij een rechtlijnige beweging Een man trekt op een vlak een blok voort. Het blok voert een horizontale verplaatsing uit over het vlak. Kracht F kun je ontbinden in deelkracht FN, loodrecht op het vlak, en F^ even¬ wijdig aan het vlak.

Figuur 9.3 Arbeid bij een rechtlijnige beweging 9

Deelkracht levert geen arbeid, zij zorgt niet voor de verplaatsing. Deelkracht Fy levert de arbeid. Om de arbeid te berekenen, projecteer je kracht F op de werklijn van verplaatsingsvector s (figuur 9.4). De arbeid is dan het product van kracht F^ en verplaatsingsvector s. Dit is de definitie van het scalair product van twee vectoren, F en1

Arbeid,

rendmt vermogn

en Figuur 9.4 Scalair product

W=F^S

of

W=F-S

264

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

De arbeid is een scalaire grootheid; ze heeft dus een grootte en een zin. • De grootte van de arbeid is het product van de verplaatsing en de projectie van de kracht op de werklijn van de verplaatsingsvector.

[J]

W = F • 5 • cosO

[J]

De eenheid van arbeid is joule (J).1 De zin van de arbeid kan positief of negatief zijn. De zin is afhankelijk van de hoek tussen de verplaatsingsvector en de kracht.

s

>■ Figuur 9.6 Negatieve arbeid

De arbeid heeft dezelfde zin als de cosinus van hoek 0. De arbeid is nul als de kracht en de verplaatsing loodrecht op elkaar staan.

9.1.3

Grafische voorstelling van de arbeid in een (s; F)-assenstelsel Kies een orthogonaal assenstelsel en laat de x-as samenvallen met de werklijn van de ver¬ plaatsingsvector. Laat de y-as samenvallen met de werklijn van de deelkracht die arbeid levert.

en

vermogn rendmt

F • cos 0 [N]

Arbeid, 9

s[m] Figuur 9.7 Grafische voorstelling van de arbeid bij een constante kracht

1

James Prescott Joule (1818-1889) was een Brits fysicus, die bekend werd door o.a. de wet van Joule uit de elektri¬ citeit. Hij is een van de grondleggers van de mechanische warmtetheorie.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

265

De kracht is constant en geeft op het (s; F)-assenstelsel een rechte evenwijdig met de x-as. De verplaatsing wordt door |OA| voorgesteld. Het oppervlak van de rechthoek OABC stelt op schaal de arbeid voor.

In een (s; F)-assenstelsel stelt de oppervlakte onder de curve met vergelijking op schaal de arbeid voor.

fT = f(s)

Is de kracht in functie van de positie niet constant (figuur 9.8), dan kun je deze arbeid berekenen met integralen.

Figuur 9.8 Grafische voorstelling van de arbeid

9.1.4

Arbeid van een tangentiële kracht bij een cirkelvormige beweging

9

Arbeid,

rendmt vermogn

en Figuur 9.9 Arbeid van een tangentiële kracht bij een cirkelvormige beweging

s is de verplaatsing op de boog. Je kunt dit schrijven als:

s = r-0

266

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

De grootte van scalar W:

W=F-s = Fr‘O

met

MoF=r-F

De arbeid bij een cirkelvormige beweging kun je ook schrijven als het scalair product van het moment en de doorlopen hoek.

W=MoF-0 9.1.5

Arbeid van een koppel van krachten De arbeid van een krachtenkoppel bereken je op dezelfde manier.

en

vermogn rendmt

Arbeid, 9

Figuur 9.11 Arbeid bij een koppel van krachten

W=2-F -s

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

267

De grootte van scalar W:

W=2-F-s = 2-F-r-3 = d •F •3 = M0FF • 3

De arbeid van een koppel van krachten bij een cirkelvormige beweging is het scalair product van het moment en de doorlopen hoek.

w=m^-3 Voorbeeld Een verbrandingsmotor levert een moment van 180 Nm gedurende 50 omwente¬

lingen. Bepaal de geleverde arbeid. Gegeven:

M=180Nm A/=50

Gevraagd: W Uitwerking 0=2^N = 2-æ-50 9

Arbeid,

= 314 rad

rendmt vermogn

W=M-3 = 180-314 [Nm--] = 56 549 J

en

= 56, 5 kJ

Besluit:

268

de verbrandingsmotor heeft een arbeid van 56,5 kJ geleverd.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

9.2

Vermogen De hoeveelheid arbeid die per tijdseenheid wordt geleverd noem je het vermogen.

W t

Hierin is: P: vermogen in joule per seconde of watt (W)2 W: arbeid in joule (J) t: tijd in seconden (s)

9.2.1

Vermogen van een kracht bij een eenparige rechtlijnige

beweging p_ W

t

P = F -v

Het vermogen van een constante kracht die een eenparige rechtlijnige beweging uit¬ voert, is het scalair product van de kracht en de snelheidsvector.

9.2.2

en

Vermogen van een tangentiële kracht bij een eenparige

vermogn rendmt

cirkelvormige beweging

Arbeid, 9

P=M^-v

2

James Watt (1736-1819) was een Brits uitvinder en constructeur. Zijn naam is onafscheidelijk verbonden met de ontwikkeling van de stoommachine.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

269

Het vermogen van een constante tangentiële kracht die een eenparige cirkelvormige beweging uitvoert, is het scalair product van het moment en de hoeksnelheidsvector.

De relatie tussen de rechtlijnige beweging en de cirkelvormige beweging zie je in tabel 9.1. Rechtlijnige beweging

Cirkelvormige beweging

Afgelegde weg - doorlopen hoek

s

0

Snelheid - hoeksnelheid

V

Kracht - moment

F

—>

w=~m^-3

Arbeid

'ni

Vermogen

Tabel 9.1 Vergelijking van de arbeid en het vermogen van een rechtlijnige en een cirkelvormige beweging

Voorbeeld Het maximale moment van een verbrandingsmotor is 168 Nm bij een rotatiefrequentie van 4 600 /min. Bepaal het vermogen van de verbrandingsmotor bij dat moment.

Gegeven:

M = 168 Nm n = 4 600 /min

n = 76,7 /s

Gevraagd: P

Uitwerking 9

w = 2 •n - n

Arbeid,

[rad -|]

= 2^-76, 7

rendmt vermogn

= 482 rad/s P=M-a>

= 168-482

en

[Nm-^]

= 80 976 W = 81 kW

Besluit:

270

het vermogen van de verbrandingsmotor is 81 kW.

© Plantyn - Theoretische mechanica 3de graad & BA

9.3

Rendement Bekijk onderstaande transportband met zijn aandrijving.

Figuur 9.12 Transportbanden op een baggermolen

Om kiezel met een snelheid omhoog te verplaatsen heb je een kracht nodig. Het vermogen datje nodig hebt om kiezel omhoog te brengen is p

transportband=

F-v

Het vermogen, Ptransportband, moet hier 5 000 W zijn. Dat vermogen komt van een elektromotor en gaat via een kettingoverbrenging naar de aandrijfas van de transportband. Het 3-fasige vermogen, Pmotor, dat de elektromotor afneemt van het net meetje aan de aansluitklemmen.

U, = 400 V /|= 15 A cosrp = 0,75

en

vermogn rendmt

V3 • U. • /. • cos