Strutture in cemento armato: Basi della progettazione [1 ed.]

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Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI 1

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Sicurezza e affidabilit` a strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Necessit`a di un approccio probabilistico alla valutazione della sicurezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Differenziazione dell’affidabilit` a delle costruzioni . . . . . . . . 1.2 Variabili aleatorie e distribuzioni di probabilit` a .............. 1.3 Funzione stato limite e collasso convenzionale . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Metodi di analisi della sicurezza strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Metodi di livello III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Metodi di livello II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Affidabilit` a e codici per le costruzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Metodi di I livello e metodo semi-probabilistico agli stati limite secondo la norma italiana . . . . . . . . . . . . . .

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Materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Comportamento in compressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Comportamento in trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Effetti della temperatura, ritiro e viscosit` a ............. 2.1.4 Legami costitutivi pluriassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Acciaio di armatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Comportamento in trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Comportamento in compressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Aderenza acciaio-calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Modello fisico del legame di aderenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Modello teorico per il legame di aderenza . . . . . . . . . . . . . .

29 29 30 35 38 41 45 46 49 50 50 57

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Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Valutazione delle azioni di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Materiali e ipotesi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Calcolo delle tensioni in condizioni di esercizio . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Verifica delle sezioni sottoposte a flessione semplice e composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Flessione composta con grande eccentricit`a . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Flessione semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Flessione composta con piccola eccentricit`a . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Limitazione delle tensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Analisi locale dello stato deformativo e tensionale . . . . . . . . . . . . 3.5 Stato limite di fessurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Calcolo tecnico dell’ampiezza delle lesioni . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 La verifica indiretta dell’ampiezza delle fessure . . . . . . . . . 3.5.3 Minimi di armatura nelle travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Stato limite di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Analisi media della sezione e il calcolo delle frecce . . . . . . 3.6.2 Calcolo tecnico delle frecce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Effetti differiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4 Verifica indiretta delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione . . . . . . . . . 4.1 Legame costitutivo del calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Legame costitutivo dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Sezioni soggette a tensioni normali: ipotesi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Valutazione della sezione inflessa: metodo dello stress block . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Valutazione della sezione inflessa: modellazione del calcestruzzo parabola-rettangolo ed elasto-plastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Limitazione dei quantitativi di armatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Valutazione della sezione inflessa in presenza di legame elastico-incrudente per l’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Valutazione della sezione pressoinflessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Verifica in pressoflessione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Costruzione semplificata dei domini di pressoflessione retta su sezioni ad armatura simmetrica . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3 Sezione con doppia armatura non simmetrica . . . . . . . . . . . 4.9 Verifiche in pressoflessione deviata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Duttilit` a e progetto di sezioni inflesse e pressoinflesse . . . . . . 5.1 Duttilit` a ................................................ 5.2 Duttilit` a in curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Valutazione della duttilit` a degli elementi inflessi (travi) . .

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5.2.2 Valutazione della duttilit` a degli elementi pressoinflessi (pilastri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Limitazioni normative per la duttilit` a degli elementi pressoinflessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Progettazione delle sezioni inflesse per resistenza e duttilit`a . . . . 5.5 Progettazione delle sezioni pressoinflesse per resistenza e duttilit` a ...............................................

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Stato Limite Ultimo per taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Trattazione elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Travi senza armatura a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Travi armate a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Meccanismo di Ritter-M¨ orsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Meccanismo a inclinazione variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Verifica e progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Verifica della sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Progetto delle armature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Traslazione del momento flettente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Stato Limite Ultimo per torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Impostazione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Modello a traliccio spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Verifica e progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Verifica della sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Progetto delle armature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Sollecitazioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Aste snelle in cemento armato e Stato Limite Ultimo di stabilit` a.................................................... 8.1 Aste compresse e non linearit`a geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Aste compresse e non-linearit`a meccanica del calcestruzzo . . . . . 8.3 Aste compresse e viscosit`a del calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Vincoli e snellezza limite delle aste compresse . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Metodi di verifica nelle strutture complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Metodo generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Metodo della rigidezza nominale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Metodi di analisi delle colonne isolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Metodo della colonna modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Metodo della curvatura nominale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Sollecitazioni di pressoflessione biassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269 270 274 276 279 289 289 290 295 296 300 304

Durabilit` a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Cause del degrado del c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Degrado del calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Attacco dei solfati e solfuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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VIII

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9.2.2 Attacco di Acidi e Cloruri (Cl− ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Carbonatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Degrado per cause fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Degrado dell’acciaio: la corrosione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Progettazione basata sul ciclo di vita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Parametri significativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Approccio progettuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Dettagli costruttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4 Materiali innovativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Prefazione

Alcuni anni addietro, in occasione del mio distacco dall’Universit` a per limiti di et`a, gli Autori di questo libro vollero raccogliere e dare alle stampe gli appunti delle mie lezioni tenute al Corso di Tecnica delle Costruzioni sullo studio delle strutture in cemento armato calcolate agli “Stati Limite”. La prefazione di quel piccolo volume, che Edoardo Cosenza, Gaetano Manfredi e Marisa Pecce vollero redigere, era caratterizzata dall’affetto che essi avevano per me, tanto che essi, ricordando gli anni trascorsi insieme e l’entusiasmo e l’intensit` a con cui si lavorava, si erano voluti riconoscere come miei allievi. Mai bugia fu pi` u grande e generosa: eravamo allora, e lo siamo ancora, solamente legati da un’aperta ed affettuosa amicizia e dal desiderio di tutti noi di approfondire attraverso la ricerca le nostre conoscenze degli argomenti che ci appassionavano. Sono stato perci` o particolarmente lieto quando i miei amici mi hanno chiesto di redigere una breve prefazione a questo loro libro, che conferma la dedizione e l’entusiasmo che continuano a coltivare per un capitolo straordinariamente attuale della Tecnica delle Costruzioni, quale `e la progettazione delle strutture in cemento armato. Attuale, dicevo, perch´e negli ultimi decenni si sono significativamente modificati e approfonditi i procedimenti di calcolo e di verifica, cos`ı come si sono realizzati materiali con caratteristiche estremamente pi` u elevate, che permettono di realizzare strutture sempre pi` u ardite e pi` u sicure. Il libro che ho il piacere di presentare, e che ho letto con grande interesse, tratta compiutamente e con esemplare chiarezza i principi base della progettazione delle costruzioni in cemento armato, anche sotto gli aspetti, di significato particolarmente attuale, della loro duttilit` a, criterio fondamentale soprattutto nell’ingegneria sismica, e della loro durabilit` a, che `e divenuto un parametro essenziale di una moderna progettazione. Gli Autori hanno avuto il merito, infine, di mettere a disposizione dei lettori, ingegneri e studenti, un testo che permetter` a di acquisire le conoscenze necessarie per applicare, e soprattutto interpretare e comprendere, le nuove Norme Tecniche per le Costruzioni contenute nel D.M. 14.1.2008, che regoler` a,

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Prefazione

fra l’altro, in un prossimo futuro la progettazione delle strutture in cemento armato. Con l’affetto di sempre vadano ad Edoardo Cosenza, Gaetano Manfredi e Marisa Pecce i miei complimenti ed il mio augurio. Carlo Greco

Introduzione

Scrivere un libro sulle basi della progettazione delle strutture in cemento armato due secoli dopo la casa in Rue Franklin a Parigi di Auguste Perret pu` o sembrare un esercizio accademico. Ma il cemento armato dimostra, ancora oggi, di essere un materiale moderno in continua evoluzione, capace di dare risposte convincenti alle prestazioni sempre pi` u avanzate che il mondo dei progettisti richiede. Per il progettista strutturale rispondere alle sfide delle modernit` a richiede un mix di tre ingredienti che vanno continuamente innovati: materiali pi` u avanzati, metodi di progettazione pi` u evoluti, norme tecniche pi` u sicure. Relativamente ai materiali che costituiscono il cemento armato, negli ultimi anni sono stati realizzati enormi progressi e si sono aperti nuovi orizzonti creativi e tecnologici, sorretti dall’apporto dell’Ingegneria dei Materiali. Una delle prime strutture-simbolo `e rappresentata dalle famose Petronas Twin Towers a Kuala Lumpur realizzate con calcestruzzo ad alte prestazioni caratterizzato da una resistenza a compressione fino a 80 MPa. Ma le nuove sfide sono orientate principalmente a garantire una maggiore durabilit` a al cemento armato. Esistono calcestruzzi ad altissime prestazioni come il reactive power concrete RPC che raggiunge resistenze di 200 MPa, dove la tradizionale armatura metallica `e completamente assente, oppure calcestruzzi autocompattanti SCC caratterizzati da un grado di porosit` a bassissimo. Esistono armature in acciaio inossidabile o armature in materiale composito che risultano praticamente inattaccabili dalla corrosione. Allo stesso modo i metodi di progettazione si sono profondamente modificati nel corso degli anni. Nel dopoguerra, con Nervi, Dishinger e Torroja, la nuova frontiera del cemento armato `e stata rappresentata dalla progettazione dei ponti di grande luce e di grandi coperture. Negli anni settanta vi `e stato un affrancamento delle forme strutturali dalla rappresentazione matematica: da un lato hanno trovato spazio i metodi numerici di soluzione delle strutture, dall’altro il design by testing `e diventato approccio diffuso. A partire dagli anni novanta, con l’evoluzione della progettazione antisismica, il calcolo non lineare

XII

Introduzione

`e diventato strumento di progettazione operativa ed, al dimensionamento per resistenza, si `e affiancata la progettazione per duttilit` a. La normativa tecnica ha progressivamente recepito, con un ritardo a volte eccessivo, le innovazioni che provenivano dal mondo della ricerca e della progettazione. In Italia il cemento armato inizi` o a diffondersi a cavallo fra il XIX e il XX secolo, ma una legislazione specifica per regolarne l’utilizzo fu emanata solo a partire dal novembre 1939 (R.D.L. n.2229 del 16.11.1939). Allo stesso modo si `e dovuto attendere prima l’OPCM n. 3274 del 20 marzo 2003 e poi le nuove Norme Tecniche per le Costruzioni, approvate dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici e pubblicate in Gazzetta Ufficiale il 14 gennaio 2008, per abbandonare definitivamente il metodo alle tensioni ammissibili e consentire solo la progettazione basata sul metodo semi-probabilistico agli stati limite. In questo contesto il testo fornisce le conoscenze e gli strumenti operativi alla base della progettazione delle strutture in cemento armato seguendo un approccio moderno e aggiornato alle normative nazionali e internazionali pi` u recenti. Si rivolge agli studenti delle scuole di Ingegneria e Architettura e ai professionisti che avvertono la necessit` a di aggiornarsi alla luce dei recenti cambiamenti metodologici e normativi. Il libro `e utile tanto per le Lauree triennali, facendo una adeguata scelta degli argomenti, quanto per le Lauree di secondo livello, in alcuni approfondimenti degli argomenti trattati. L’obiettivo `e stato di coniugare impostazione didattica, aggiornamento dei contenuti e capacit` a operativa. Per questo motivo a fianco a i classici capitoli relativi alla progettazione degli elementi per flessione, taglio e torsione, vi sono due capitoli specifici relativi alla progettazione per duttilit` a e per durabilit` a delle strutture. Dal punto di vista normativo il testo fa riferimento alle nuove Norme Tecniche per le Costruzioni (D.M. 14.1.2008) e agli Eurocodici, che rappresentano i riferimenti pi` u recenti in sede nazionale ed europea. Per quanto riguarda i contenuti, nel Capitolo 1 sono presentati i principi della sicurezza strutturale con riferimento ai diffenti approcci metodologici fino al metodo semi-probabilistico agli stati limite secondo la norma italiana. Nel Capitolo 2 sono descritte le principali propriet` a fisiche e meccaniche del calcestruzzo e dell’acciaio da armatura. Nel Capitolo 3 vengono mostrate le verifiche in esercizio per fessurazione, deformazione e stato tensionale. Nei Capitoli 4 e 5 sono presentati i criteri di progetto e verifica di elementi in c.a soggetti a sollecitazione di flessione e pressoflessione con riferimento sia alla resistenza sia alla duttilit` a. Nei Capitoli 6 e 7 si discutono le verifiche a taglio e torsione con particolare riferimento al metodo delle bielle a inclinazione variabile. Nel Capitolo 8 si tratta il comportamento delle aste snelle in cemento armato. Nel Capitolo 9, infine, si presentano le problematiche relative alla durabilit` a del cemento armato con la descrizione delle principali cause del degrado e la presentazione della progettazione basata sul ciclo di vita della struttura. Mancano alcuni argomenti anch’essi importanti per la progettazione delle strutture in cemento armato, come i problemi di punzonamento, l’analisi degli

Introduzione

XIII

elementi tozzi con i meccanismi tirante e puntone, la resistenza all’incendio, il comportamento delle strutture bidimensionali piane e curve e altri ancora. Ma, come precisa il titolo del volume, vengono trattate solo le “basi della progettazione”. Ogni capitolo `e corredato, inoltre, di esempi ed esercizi che accompagnano il lettore nell’applicazione dei principi e dei metodi che sono esposti.

Collaborazioni Questo testo raccoglie parte del lavoro svolto dagli autori nell’ambito della scuola napoletana di ingegneria strutturale fondata da Adriano Galli e continuata da Elio Giangreco e da Carlo Greco. Alcuni ricercatori hanno collaborato alla stesura dei diversi capitoli e a loro va il nostro ringraziamento, con una particolare menzione a Marco Di Ludovico che ha curato il coordinamento editoriale dell’intero testo: Sicurezza e affidabilit` a strutturale

Iunio Iervolino

Materiali

Francesca Ceroni

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

Francesca Ceroni

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

Marco Di Ludovico

Duttilit` a e progetto di sezioni inflesse e pressoinflesse

Marco Di

Ludovico Stato Limite Ultimo per taglio

Gerardo Verderame

Stato Limite Ultimo per torsione

Gerardo Verderame

Aste snelle in cemento armato e Stato Limite Ultimo di stabilit` a

Giovanni Fabbrocino

Durabilit` a

Andrea Prota

1 Sicurezza e affidabilit` a strutturale

Il fine ultimo della progettazione delle strutture `e quello di garantire che l’opera assolva alla funzione per cui `e stata concepita mantenendo un prefissato livello di sicurezza. Per sicurezza strutturale in genere si intende il grado di protezione di persone e beni rispetto alle conseguenze del collasso strutturale, il che non necessariamente indica la distruzione dell’opera, bens`ı il raggiungimento di una qualunque condizione (nel seguito stato limite) che determini il malfunzionamento del sistema strutturale o di una sua parte e che, quindi, possa potenzialmente determinare delle perdite. Nel caso dei crolli tale concetto `e evidente, ma si pensi anche al caso di una struttura che ospiti un processo industriale a grande valore aggiunto, come per esempio la produzione di microprocessori. Se le macchine per tale produzione sono molto sensibili alle vibrazioni, il progetto della costruzione deve assicurare un determinato grado di sicurezza rispetto alla rigidezza dei solai che ospitano gli impianti. Chiarito il concetto di sicurezza va subito precisato che esso si fa sempre dipendere dal periodo di “funzionamento” o, per meglio dire, dalla vita della costruzione. Questo sia perch´e generalmente garantire la sicurezza per una vita pi` u lunga `e pi` u costoso, sia perch´e `e praticamente impossibile assicurare un certo livello di protezione indefinitamente, per esempio, perch´e i sistemi ingegneristici sono spesso soggetti a degrado delle prestazioni nel tempo. Nella pratica dell’ingegneria, non solo civile, i concetti appena discussi si sintetizzano nell’affidabilit` a del sistema in oggetto. Essa si pu`o definire come la capacit`a di un sistema di assolvere alla propria missione durante l’intero periodo temporale per cui deve funzionare. Nel caso delle strutture il periodo di tempo `e spesso riferito alla vita nominale definita anche “utile” o “tecnica”, che `e quel periodo per cui la costruzione deve assolvere alla sua funzione in base alla corretta progettazione e alla normale manutenzione programmata.

1.1 Necessit` a di un approccio probabilistico alla valutazione della sicurezza I fattori endogeni ed esogeni che interagiscono e determinano le condizioni di funzionamento di una costruzione durante l’intera vita utile, come per esempio

2

Capitolo 1

le resistenze dei materiali o i carichi e le azioni a cui essa `e sottoposta, non `e certo che assumano i valori considerati per i calcoli di progetto. Per esempio, le effettive propriet` a del calcestruzzo in un edificio non coincidono mai con quelle di calcolo perch´e esse variano sia nel tempo, per fenomeni di interazione del materiale con l’ambiente, sia nello spazio, nel senso che non tutte le parti di una stessa struttura sono soggette allo stesso processo di “invecchiamento”. Inoltre, anche le propriet` a iniziali dell’opera appena costruita possono differire in una certa misura da quelle di progetto per effetto della qualit` a del processo costruttivo. Allo stesso modo il carico da neve o le sollecitazioni imposte da eventuali terremoti che interesseranno la struttura, per forza di cose, non sono noti con certezza al momento del progetto. ` chiaro che l’ingegnere sar` E a tanto pi` u confidente nella sicurezza della struttura progettata quanto meglio sar` a possibile quantificare le variabilit` a delle grandezze che ne influenzano il comportamento. Si pu` o gi`a intuire quindi, ma sar`a comunque chiarito di qui a poco, come la valutazione dei margini di sicurezza di una costruzione sia un problema legato al grado di conoscenza dei fattori che regolano la meccanica strutturale. D’altra parte, lo stato delle conoscenze dei fenomeni che interessano il sistema `e sempre inevitabilmente incompleto o noto con incertezza e quindi affetto da aleatoriet` a. Per questo `e necessario ricorrere a un metodo per tenere in conto tale incertezza razionalmente e quindi in modo economicamente opportuno. Il calcolo delle probabilit` a `e una disciplina nata proprio allo scopo di rendere matematicamente quantificabile lo stato di conoscenze limitato relativo a un certo fenomeno di interesse. In altre parole, la teoria delle probabilit` a non fa altro che tradurre in un linguaggio matematico (e quindi codificato) la fiducia che si ha sull’esito di un certo fenomeno sulla base di quanto si `e in grado di descriverlo in tutti i suoi aspetti. In questo contesto la sicurezza strutturale assume, attraverso il concetto di affidabilit` a, una definizione quantitativa. Si pu` o dire che l’affidabilit` a di un sistema, R(T ), `e la probabilit` a che la sua missione sia portata a termine con successo nell’intervallo di tempo di interesse (0, T ). Nel caso di un’opera d’ingegneria civile, per esempio, una possibile missione `e il mantenimento della funzionalit` a nella vita (T ). Da ci`o consegue che l’affidabilit` a `e la probabilit` a che la struttura sia funzionante, secondo i criteri stabiliti, al tempo T . R (T ) = Pr {La struttura non ha raggiunto il collasso prima di T }

(1.1)

Per comprendere meglio la probabilit` a al secondo termine della (1.1) si pu` o dire che essa `e la frazione del nostro patrimonio che saremmo disposti a scommettere, per ricevere ritorno unitario sul capitale, sul fatto di trovare la costruzione funzionante al tempo T . La stessa probabilit` a `e anche suscettibile di una interpretazione frequentistica. Essa, in un parco di strutture che per quanto ne sappiamo sono tutte eguali, `e la frazione di queste che ci aspettiamo siano ancora funzionanti al tempo T . Coerentemente con queste definizioni l’affidabilit` a `e un numero sempre compreso tra zero e uno ed `e esprimibile anche in termini percentuali.

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

3

Il complemento a uno (1.2) dell’affidabilit` a esprime, dunque, il rischio di raggiungimento di uno stato limite per cui la struttura non garantisce pi` u le prestazioni necessarie e quindi assume il nome di probabilit` a di collasso (o failure probability, Pf ). Pf = 1 − R (T ) = 1 − Pr {Sopravvivenza al tempo T }

(1.2)

Il controllo della probabilit` a di collasso per una struttura nuova e la sua valutazione per una struttura esistente `e l’obiettivo della sicurezza strutturale. Pf , una volta calcolata, consente una misura della sicurezza attraverso il confronto a fissato a priori in relazione al rischio con Pf∗ che `e un valore di tale probabilit` accettato del collasso e delle conseguenze che possono derivarne. Come si discuter`a nel seguito, la struttura rispetta i requisiti in relazione a un particolare stato limite se la probabilit` a, Pf , di raggiungimento di tale stato `e al di sotto di Pf∗ , cio`e se `e verificata la disuguaglianza Pf ≤ Pf∗ . 1.1.1 Differenziazione dell’affidabilit` a delle costruzioni La determinazione del rischio accettato e quindi della probabilit` a di collasso per le costruzioni, `e un problema estremamente complesso che riveste aspetti tali da richiedere competenze politiche e socio-economiche prima che strutturali. Rispondere alla domanda “quale livello di sicurezza `e abbastanza sicuro per una costruzione? ” ha riflessi non trascurabili. Infatti, sebbene le costruzioni abbiano generalmente una bassa probabilit` a di collasso, quando questo avviene anche per una sola struttura rispetto alle moltissime che sono sicure, l’impatto mediatico sull’intera societ` a `e molto forte e amplifica significativamente le conseguenze dirette, seppur gravi, dell’evento. Ci` o sembrerebbe spingere affinch´e siano molto basse le probabilit` a di collasso accettate e quindi imposte dai codici per le costruzioni. D’altra parte per` o, a bassi valori di Pf∗ corrispondono strutture (case, ponti, scuole ecc.) comparativamente pi` u costose. Poich´e il settore delle costruzioni `e economicamente importante, sia per quanto riguarda la spesa pubblica sia dal punto di vista dell’economia privata, non `e possibile definire il livello di rischio accettato senza tenere in debito conto le condizioni economiche e di sviluppo del paese in questione. Infatti, razionalmente il legislatore, nel definire Pf∗ , dovrebbe tendere a livellare la sicurezza in modo da ripartire opportunamente le risorse da investire per aumentare il livello generale di qualit` a della vita del paese. In altre parole, `e quasi inutile, se non proprio errato, garantire una bassissima probabilit` a di collasso delle costruzioni in un paese in cui c’`e un elevato rischio legato agli incidenti stradali o a ragioni sanitarie quali le epidemie. Per questo, un grosso lavoro di ricerca `e stato portato avanti negli ultimi quarant’anni per calibrare le probabilit` a di collasso per diversi stati limite e per diversi tipi di costruzione. Infatti, `e ragionevole che la probabilit` a accettata che un solaio vibri troppo in una abitazione (Stato Limite di Esercizio) sia pi` u alta che la probabilit` a che la costruzione crolli (Stato Limite Ultimo). Allo stesso modo, `e maggiore il rischio di collasso accettato per un edificio

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Capitolo 1

residenziale rispetto a una struttura a grande affollamento come uno stadio ` questo, in sintesi, il concetto di differenziazione dell’affidabilit` sportivo. E a, mentre per una breve discussione sui valori accettati di Pf∗ nel contesto europeo si rimanda al seguito del capitolo. Si vedr` a, altres`ı, nel prosieguo che `e altrettanto complicato definire procedure di progetto codificate in apposite normative che garantiscano il livello di rischio fissato. Infatti, diversamente da quanto avviene in altri contesti di applicazione come quello industriale, la valutazione dell’affidabilit` a strutturale per le costruzioni civili deve necessariamente basarsi sull’analisi e sul calcolo invece che sulla sperimentazione, sia per la scala sia per l’unicit` a dei processi e delle pratiche costruttive. Per questo le procedure di progettazione moderne come quelle adottate dalle normative italiane sono sempre legate, seppur tale legame e poco visibile, a metodi di analisi della sicurezza strutturale.

1.2 Variabili aleatorie e distribuzioni di probabilit` a Si `e accennato a come il funzionamento delle strutture sia regolato da enti che, per motivi diversi, non sono noti con certezza, o per meglio dire, sono noti con incertezza. Tra questi ci sono: le azioni, le propriet` a dei materiali, in qualche caso le geometrie degli elementi che costituiscono il sistema, le caratteristiche della risposta della struttura rispetto alle sollecitazioni, le leggi che regolano l’evoluzione nel tempo di fenomeni di degrado o di invecchiamento ecc. Tutte queste grandezze sono rappresentabili da variabili aleatorie (VA) in altre parole grandezze che, pur essendo determinate, non sono note allo stato delle conoscenze del progettista. La locuzione di variabile aleatoria verr` a utilizzata nel seguito perch´e usata frequentemente. Tuttavia, essa non `e del tutto propria, bens`ı si dovrebbe parlare di numeri aleatori in quanto le grandezze in questione non sono variabili. Basti pensare all’esempio della resistenza dell’acciaio in un pilastro di una certa struttura in cemento armato; esso esiste ed `e unico, ma non `e noto a meno di indagini specifiche che migliorino lo stato di conoscenza (Erto, 1999). L’incertezza sul valore di ciascuna variabile aleatoria si pu` o caratterizzare attraverso la cosiddetta funzione distribuzione cumulata (CDF), che si indica spesso come F (x). Essa `e una funzione che associa a ogni possibile valore della variabile X la probabilit` a che essa assuma valore inferiore a x (con la lettera minuscola si indica un particolare valore possibile della variabile aleatoria e come tale esso prende anche il nome di realizzazione della VA). Un’altra funzione che spesso si usa per caratterizzare una variabile aleatoria `e la funzione densit`a di probabilit` a (PDF) che si indica come f (x) e non `e altro che la derivata della CDF. La PDF se moltiplicata per l’infinitesimo dx, associa a ogni ` chiaro, specifico valore x la probabilit` a che X sia compresa tra x e x + dx. E quindi, come l’area sottesa dalla f (x) alla sinistra di x sia proprio F (x). Esistono molti modelli di VA che si usano comunemente per descrivere le incertezze di un certo fenomeno. Uno dei modelli pi` u semplici `e quello di VA uniforme la cui PDF `e costante in un intervallo e nulla al di fuori. Parlando

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

5

in modo grossolano, essa rappresenta il caso in cui diamo eguale credito al fatto che la variabile assuma uno qualunque dei valori nell’intervallo, mentre siamo certi che essa non pu`o assumere uno dei valori al di fuori di questo. Le espressioni della PDF e della CDF sono fornite nella (1.3) e rappresentate nella Figura 1.1a per una VA uniforme definita nell’intervallo [1,7]. Si noti come la CDF valga 0 prima di dell’estremo inferiore dell’intervallo ed `e 1 dopo l’estremo superiore. Un altro modello molto comune `e quello di VA gaussiana o normale, descritto nella (1.4), la cui PDF ha la nota forma a campana e la cui CDF, nota anche come funzione di Gauss e indicata con la lettera greca Φ, ha il tipico andamento ad esse (fig. 1.1b ). ⎧ ⎨f (x) = ⎩0

1 b−a

f (x) = √

1 2πσ 2

⎧ ⎪ 0 ⎪ ⎨ x−a F (x) = ⎪ b−a ⎪ ⎩1

x ∈ [a, b] x∈ / [a, b] e− 2 ( 1

F (x) = Φ (x) = √

x−μ σ

1 2πσ 2

xb

2

)

x

e− 2 ( 1

x−μ σ

2

) dx

(1.4) x ∈] − ∞, +∞]

−∞

Si noti che la PDF e la CDF della VA gaussiana dipendono solo da due parametri μ e σ, che prendono il nome di media (o valore atteso) e deviazione standard rispettivamente. La media `e il valore centrale nella PDF di Figura 1.1 e cio`e il valore attorno al quale ci si aspetta che si trovi il valore vero di X. Infatti, si vede come siano pi` u probabili i valori attorno alla media e meno frequenti quelli lontano da questa. La deviazione standard `e una misura della “larghezza” della campana (`e la distanza della media dal punto di flesso della curva) e quindi misura l’incertezza sul valore di X, infatti se fossimo certi assolutamente che la VA assume il valore medio, la deviazione standard tenderebbe a zero, mentre pi` u grande `e σ pi` u grande `e la probabilit` a che si attribuisce a valori lontani dalla media della variabile. Media e deviazione standard sono calcolabili per qualunque variabile (anche su base sperimentale), per esempio la media della VA uniforme coincide con il valore centrale dell’intervallo di definizione mentre la σ `e proporzionale all’ampiezza di tale intervallo. Una misura comunemente usata per l’incertezza associata a una variabile aleatoria `e il coefficiente di variazione (CoV) definito come la deviazione standard diviso la media. Il suo carattere adimensionale consente, in linea di principio, di confrontare le incertezze di differenti VA. Dopo aver definito le funzioni che permettono di quantificare l’incertezza su di una variabile aleatoria `e opportuno soffermarsi brevemente sul concetto di percentile o frattile. Esso `e semplicemente il possibile valore della VA associato a una precisa probabilit` a di minoramento e cio`e a un particolare

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Capitolo 1

(a) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 F(x) f(x)

0,3

F(x)

0,2 0,1 0 0

1

2 x 3

4

5

6

7

8 X

4

5

6

7

8 X

(b) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3

F(x)

0,2 f(x) F(x)

0,1 0 0

1

2 x 3

Figura 1.1 PDF e CDF di due esempi di variabile aleatoria (a) uniforme (b) gaussiana.

valore della F (x). Per esempio, il quinto percentile della VA aleatoria resistenza del calcestruzzo `e quel particolare valore di resistenza tale che solo il 5% delle volte si riscontrano casi in cui la resistenza `e uguale o pi` u bassa e quindi `e quel particolare valore x per cui F (x) = 0,05. Allo stesso modo il cinquantesimo percentile (detto anche mediana) `e quel valore per cui la met`a dei campioni avr` a resistenza inferiore o uguale (x : F (x) = 0,5) e l’altra met`a superiore ecc. Le variabili aleatorie che tipicamente entrano nella valutazione della sicurezza delle strutture sono legate ai carichi, di cui si discuter` a brevemente alla fine del capitolo, e alle propriet` a dei materiali. Queste ultime entrano in gioco

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

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per la caratterizzazione probabilistica della resistenza degli elementi strutturali. Talvolta anche le dimensioni geometriche delle sezioni degli elementi possono essere caratterizzate come variabili aleatorie a causa di una non perfetta realizzazione o variabilit` a di costruzione, tuttavia queste incertezze sono spesso trascurabili rispetto alle altre e non considerate in fase di progetto. Diverso `e il caso della valutazione probabilistica della sicurezza degli edifici esistenti per cui l’incertezza sull’effettiva geometria degli elementi e delle armature pu` o essere molto significativa se non si dispongono informazioni dettagliate sul progetto originale. Le incertezze sulle propriet` a meccaniche dei materiali possono dipendere, per esempio, dalle variabilit` a connaturate al processo produttivo e dalla realizzazione della costruzione stessa. Se si prende per esempio un materiale eterogeneo come il calcestruzzo la cui produzione spesso `e un processo che avviene a pi`e d’opera senza un rigido controllo di qualit` a industriale, le sue propriet` a possono presentare variabilit` a significative. Simili considerazioni sono valide per l’acciaio il quale essendo, per sua natura, meno eterogeneo del calcestruzzo e prodotto in stabilimento gode tipicamente, di incertezza inferiore. Ci` o nonostante, se si eseguono delle misure di resistenza di barre di acciaio provenienti da uno stesso lotto, si ottengono risultati diversi per ogni campione. Tradizionalmente i modelli di variabile aleatoria pi` u utilizzati per caratterizzare le resistenze di acciaio e calcestruzzo sono le distribuzioni normale, lognormale e Weibull. Del modello normale si `e gi`a discusso, esso `e spesso usato per descrivere la variabilit` a della resistenza a compressione (cilindrica) del calcestruzzo (Nowak e Szerszen, 2003). Nella Tabella 1.1 si riportano i valori dei parametri della distribuzione normale della resistenza stimati su dei campioni di calcestruzzo pre-miscelato in stabilimento con diversi valori caratteristici, fck . Si noti che il coefficiente di variazione `e nell’ordine del 10 ÷ 15 % per quelli a resistenza inferiore mentre per quelli a pi` u alta resistenza, il CoV si riduce a circa il 5%. Tabella 1.1 Medie e coefficienti di variazione della resistenza a compressione per calcestruzzi con diversi valori caratteristici f ck (MPa) 21 28 34 41

μ (MPa) 28 34 39 46

CoV 0,10 0,15 0,06 0,04

Un’altra distribuzione tipicamente usata per descrivere le propriet` a dei materiali `e quella lognormale. Una VA si pu` o definire lognormale quando si assume che il suo logaritmo, che ovviamente `e ancora una variabile aleatoria perch´e trasformazione matematica di una variabile aleatoria, sia caratterizzato da una distribuzione normale. Questo modello si usa spesso quando la variabile

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Capitolo 1

di interesse pu`o assumere valori di un solo segno come accade nel caso delle resistenze. Infatti, definendo la distribuzione della variabile attraverso quella del suo logaritmo si ottiene che la distribuzione della variabile di partenza non sia ` facile dimostrare che se il logaritmo della variadefinita per valori negativi. E bile `e distribuito normalmente le PDF e CDF della variabile di interesse sono date dalle espressioni nella (1.5) in cui μlog(x) e σlog(x) sono, rispettivamente, la media e la deviazione standard del logaritmo. 

1

− 12

e f (x) =  2 x 2πσlog(x)

log(x)−μlog(x) σlog(x)

2

x ∈ [0, +∞[ (1.5)

1

F (x) = 

x

2 2πσlog(x) −∞



1 − 12 e x

log(x)−μlog(x) σlog(x)

2

dx

x ∈ [0, +∞[

La resistenza allo “snervamento” (si vedano i Capitoli 2 e 4 per maggiori dettagli su questo fenomeno dell’acciaio da costruzione) `e anch’essa modellata in modo normale o lognormale. Nella Tabella 1.2 si riportano i risultati di media, e il coefficiente di variazione della resistenza di campioni di barre di diverso diametro con resistenza caratteristica dichiarata dal produttore di 420 MPa. Si noti come il coefficiente di variazione sia sistematicamente ridotto rispetto a quello della resistenza a compressione del calcestruzzo essendo nell’ordine del 5%. Anche per l’acciaio, cos`ı come per il calcestruzzo, le qualit`a a pi` u alta resistenza sono pi` u controllate e quindi presentano un CoV inferiore, infatti trefoli per cemento armato precompresso con resistenze caratteristiche di 1800 MPa hanno un CoV tra l’1% e il 3%. Tabella 1.2 Medie e coefficienti di variazione per la resistenza allo snervamento dell’acciaio con valore caratteristico nominale 420 MPa Diametro (mm) 9 16 22 32

μ (MPa) 496 465 482 470

CoV 0,04 0,04 0,05 0,04

Il modello Weibull, infine, `e stato dimostrato adattarsi meglio a descrivere l’andamento sperimentale delle resistenze di materiali cosiddetti “fragili” e cio`e che si rompono improvvisamente non dando alcun preavviso quando la risposta `e ancora sostanzialmente elastica e lineare. In tali materiali la crisi `e dovuta generalmente alla propagazione di un difetto intrinseco (discontinuit` a, fessura ecc.) divenuto instabile. Tale comportamento `e ben diverso da quello duttile, come nel caso dell’acciaio, in cui la rottura avviene a seguito di un forte allungamento plastico. Anche il modello Weibull `e definito per valori non

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

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negativi della variabile. Esso dipende ancora da due parametri α e k detti parametri di scala e forma che ovviamente dipendono dal materiale considerato proprio come la media e la deviazione standard f (x) =

k x k−1 −( αx )k e α α

k

F (x) = 1 − e−( α ) x

x ∈ [0, +∞[

(1.6)

Alcuni studi hanno anche verificato l’adattamento di distribuzioni di tipo Weibull ai risultati di prove di compressione a rottura per il calcestruzzo soprattutto ad alta resistenza, attribuendo un comportamento fragile al materiale (Tumidajski et al., 2006). Questo tipo di distribuzione sembra, invece, particolarmente adatto ai materiali innovativi che cominciano ora ad essere usati ` questo il caso dei materiali compositi come quelli plastici nelle costruzioni. E rinforzati con fibre di carbonio o vetro. Barre di questi materiali si stanno proponendo come alternativa rispetto all’acciaio per costruzioni in calcestruzzo armato grazie alla loro elevata resistenza e ridotta sensibilit`a agli agenti aggressivi. La rottura a trazione di una barra in materiale composito avviene con le modalit` a caratteristiche di un materiale fragile. Nella Tabella 1.3 si riportano i parametri della distribuzione Weibull per barre in fibra di vetro o GFRP (Glass Fiber Reinforced Plastics) di diverso diametro (Zureick et al. 2006). Tabella 1.3 Medie e coefficienti di variazione per la resistenza a trazione di barre in fibra di vetro Diametro (mm) 9 16 22 32

μ(MPa) 894 785 660 529

CoV 0,13 0,08 0,05 0,08

k 10 15 26 15

α (MPa) 938 813 673 548

Si nota un significativo “effetto scala” per cui le resistenze medie delle barre si riducono al crescere del diametro seppur il materiale sia lo stesso. Questo perch´e in sezioni pi` u grandi, la probabilit` a che si verifichino imperfezioni a livello microscopico – che influenzano la resistenza del provino – aumenta. Nella realt`a infatti, a causa della natura multifase nonch´e dei processi di produzione utilizzati, un materiale composito `e sempre sede di difetti. In particolare, nella matrice si possono trovare porosit` a dovute sia alla presenza di bolle d’aria sia a gas che si sviluppano durante il processo di produzione del materiale e microfessure dovute sia a tensioni residue indotte da fenomeni di ritiro sia da cause di origine termica (dilatazioni termiche differenziali fra le varie fasi). L’evoluzione di tali micro-fessure porta a una progressiva perdita di rigidezza nella risposta del materiale. In prossimit` a dei difetti si hanno infatti concentrazioni tensionali che provocano l’estensione dei difetti stessi e il loro progressivo collegarsi fino a formare macrofessure.

10

Capitolo 1

1.3 Funzione stato limite e collasso convenzionale Nel definire la probabilit` a nella (1.2) si `e implicitamente assunta una modalit` a, o criterio, di collasso del sistema. Come discusso, esso in realt`a non `e necessariamente unico e non rigidamente connesso allo scompaginamento strutturale, per cui `e pi` u opportuno parlare di attingimento di uno stato limite indesiderato. Si definiscono stati limite le situazioni a partire dalle quali una struttura, o una delle sue parti, cessa di assolvere alla funzione alla quale era destinata e per la quale era stata progettata e costruita. La sicurezza, pertanto, `e legata al possibile raggiungimento di uno o pi` u di questi stati e la probabilit` a di collasso `e proprio la probabilit` a di occorrenza della condizione limite di interesse per il sistema che stiamo considerando. Per definire matematicamente il raggiungimento di uno stato limite ci si serve di una cosiddetta funzione limite, G, dipendente dal vettore di variabili aleatorie che riguardano la struttura (X1 , X2 , ..., Xn ). Convenzionalmente, si fa in modo che la funzione limite sia positiva se la struttura `e in condizioni di sicurezza e assuma valori non positivi nel caso di raggiungimento o superamento della condizione limite, come rappresentato dalla (1.7). La condizione G = 0 nello spazio a n dimensioni della variabili definisce una superficie definita superficie di collasso. ⎧ ⎪ G > 0 se la struttura `e in condizioni ⎪ ⎪ ⎨ di sicurezza (1.7) G (X1 , X2 , ..., Xn ) : ⎪ G ≤ 0 se la struttura ha raggiunto o ⎪ ⎪ ⎩ superato la condizione limite Le azioni che agiscono sulle strutture variano nel tempo cos`ı come le propriet`a dei materiali e le relative resistenze. In generale, quindi, l’affidabilit` a dovrebbe esprimersi come la probabilit` a espressa dalla (1.8), ovvero come probabilit` a che la funzione limite sia positiva in tutto l’intervallo temporale d’interesse.  (1.8) R (T ) = Pr G X (t) , t > 0 ∀t ∈ (0, T ) Tuttavia, nel caso in cui la dipendenza dal tempo delle distribuzioni di probabilit` a delle azioni e delle resistenze sia non significativa, o facendo in modo che il parametro tempo non compaia esplicitamente nella G, per esempio calibrando tali distribuzioni proprio sull’intervallo di tempo di interesse, la probabilit` a di collasso si calcola semplicemente secondo la (1.9).    (1.9) Pf = Pr G X ≤ 0 La condizione per cui la funzione limite `e non positiva definisce una regione nello spazio delle variabili che si pu` o definire dominio di collasso, F , in quanto `e l’insieme dei valori del vettore X per cui G `e non positiva. Qualora sia nota la funzione densit` a di probabilit` a congiunta fX (x1 , x2 , ..., xn ) che caratterizza l’incertezza del vettore X nel suo insieme, dalla relazione (1.9) segue immediatamente che il calcolo della probabilit` a di collasso si riduce al calcolo dell’integrale di tale funzione esteso alla regione F .

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

Pf = P



X∈F



11

 =

fX (x1 , x2 , ..., xn ) dx

(1.10)

F

Per fissare le idee si immagini che il vettore X sia composto da due sole ` evidente, quindi, variabili aleatorie: la resistenza R e la sollecitazione S. E come G (R, S) = R−S rappresenti la funzione limite, dato che se S `e maggiore o uguale a R ci si trova in condizioni di collasso, Pf `e Pr {R − S ≤ 0} = Pr {R ≤ S}. Nella Figura 1.2 `e rappresentata una possibile distribuzione di probabilit` a congiunta dei numeri aleatori R ed S, nonch´e il suo insieme di definizione in cui `e possibile individuare il dominio di collasso F . L’equazione G = 0 (che corrisponde a R − S = 0), nel piano delle variabili definisce, la separazione tra dominio di sicurezza (in cui R `e maggiore di S) e di collasso F .

S

R

Figura 1.2 Distribuzione congiunta e dominio di collasso.

Vale la pena osservare anche che la forma G = R − S non `e l’unica possibile, per esempio, una definizione equivalente `e G = R/S, per cui il collasso `e rappresentato dalla condizione R/S ≤ 1.

1.4 Metodi di analisi della sicurezza strutturale Si discutono nel seguito i possibili approcci al calcolo dell’affidabilit` a strutturale. Ciascuno di essi corrisponde a una diversa strategia per il calcolo di Pf con un crescente livello di approssimazione a cui corrisponde, tuttavia, una maggiore efficienza computazionale. I metodi dell’affidabilit` a strutturale rivestono un ruolo di grande importanza in quanto, come si vedr` a nel paragrafo 1.5,

12

Capitolo 1

sono alla base delle procedure di calcolo dei moderni codici di progettazione strutturale. 1.4.1 Metodi di livello III I cosiddetti metodi di livello III dell’affidabilit` a strutturale hanno come obiettivo il calcolo dell’integrale (1.10) per via analitica o con metodi approssimati. Come discusso, un esempio semplice `e fornito dal modello in cui G dipende da due sole variabili R ed S, condizione che si pu` o ottenere, per esempio, definendo due relazioni funzionali Gr e Gs ottenute separando le variabili aleatorie di ¯ che influenzano la resistenza (X ¯ R ) e quelle che influenzano la sollecitazione X ¯ (XS ) (si noti che alcune VA compariranno sia in GR sia in GS ):  R = Gr (X1 , X2 , ..., Xm ) (1.11) S = Gs (Xm+1 , Xm+2 , ..., Xn ) ` chiaro che R ed S sono anch’esse variabili aleatorie perch´e funzioni di vaE riabili aleatorie. Per esempio, se nel calcolo di una sezione inflessa l’unica variabile aleatoria che influenza la resistenza `e la tensione ultima di collasso, anche il momento ultimo della sezione sar`a conseguentemente una VA. Allo stesso modo, se la sezione in questione appartiene a una trave semplicemente appoggiata su cui agisce un carico distribuito di intensit` a incerta, anche il momento massimo sulla trave, che rappresenta la sollecitazione per la sezione, sar`a una VA. Se nel modello descritto, che nella teoria dell’affidabilit` a `e noto come sollecitazione-resistenza (fig. 1.3), S ed R sono anche stocasticamente indipendenti il problema del calcolo della probabilit` a di collasso pu` o essere particolarmente agevole. In questo caso fortunato la distribuzione congiunta che compare nella (1.10) `e data dal prodotto delle due distribuzioni marginali di R ed S e consente, talvolta, di eseguire il calcolo di Pf in forma chiusa. Infatti, si pu` o dimostrare che la probabilit` a di collasso si pu`o calcolare come la somma f(s)

f(r)

Pr{R ≤ r} Pr{s < S ≤ s + ds}

ds

Figura 1.3 Modello sollecitazione-resistenza.

R, S

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

13

delle probabilit` a di collasso calcolate condizionatamente a ogni specifico valore della sollecitazione. Questo corrisponde a scomporre il problema in compiti pi` u semplici. Calcolando, cio`e, la probabilit` a di collasso nell’ipotesi che la sollecitazione assuma un valore preciso (cio`e la probabilit` a di collasso calcolata condizionatamente a un certo valore della sollecitazione), Pr {R ≤ S|S = s}, ripetendo il calcolo per qualunque valore della sollecitazione e poi sommandone i risultati pesandoli con la probabilit` a che ciascuno di quei valori della sollecitazione ha di verificarsi, Pr {S = s}. In pratica:  Pr {R ≤ S|S = s} Pr {S = s} (1.12) Pf = ogni s

Se R ed S sono anche stocasticamente indipendenti e cio`e Pr {R ≤ S|S = s} = Pr {R ≤ s}, il primo termine della somma (1.12) non dipende da S e nel caso di VA continue, non `e altro che la CDF della resistenza, mentre il secondo termine rappresenta la PDF della sollecitazione. Si pu` o quindi scrivere la (1.13) che pu`o portare al calcolo della probabilit` a di collasso in forma chiusa come nell’applicazione che segue. +∞ +∞ Pr {R ≤ S|S = s} d Pr {S = s} = FR (s) fS (s) ds Pf = Pr {R ≤ S} = −∞

−∞

(1.13) Esempio 1.1 Si consideri la trave della Figura 1.4; l’abbassamento massimo o freccia (in corrispondenza della mezzeria) “richiesto” dai carichi vale: f = vS =

1 P l3 48 EI x

con l = 6 m, E = 2 · 107 kN/m2 , Ix = 2 · 10−5 m4 , e P caratterizzata da una distribuzione aleatoria uniforme nell’intervallo [2 kN, 6 kN]. Di conseguenza, f `e una variabile aleatoria uniforme nell’intervallo [∼ 0,02 m, ∼ 0,06 m] ovvero circa [2 cm, 6 cm]. Si supponga che il massimo abbassamento “capace” (cio`e che si pu` o tollerare), vR – per specifiche esigenze legate al funzionamento della trave – sia caratterizzato da una distribuzione aleatoria uniforme nell’intervallo [5 cm, 9 cm]. Per calcolare la probabilit`a di collasso della trave secondo la (1.13), `e necessario calcolare la PDF della sollecitazione e la CDF della resistenza. La PDF della sollecitazione vale 1/4 nell’intervallo di definizione e 0 al di fuori; la CDF della resistenza vale 0 prima di 5 cm, 1 dopo 9 cm e varia linearmente all’interno dell’intervallo. s FR (s) =

s fR (s) ds =

0

5

1 s−5 ds = 4 4

5≤R≤9

(1.14)

14

Capitolo 1

A

PDF

P B

V

0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

fS(s)

0 1

2

3

4

fR(r)

5 6 7 v (cm)

8

9

10

Figura 1.4 Schema statico e funzioni densit` a di probabilit` a di sollecitazione e resistenza.

+∞ 5 6 Pf = FR (s)f S (s)ds = FR (s) fS (s)ds + FR (s)f S (s)ds =    −∞

6 = 5

2



5

=0

(1.15)

s−5 1 s2 ds = − 5s 16 16 2

6 = 0,0313 5

L’integrazione della (1.10) `e raramente cos`ı immediata in quanto la scomposizione della distribuzione di probabilit` a del vettore X nelle distribuzioni delle singole variabili non `e sempre cos`ı agevole, anche perch´e non sempre i numeri aleatori che lo compongono sono stocasticamente indipendenti. Inoltre, l’individuazione del dominio di collasso, F , pu` o essere un compito affatto semplice. Pi` u in generale sono estremamente rari i casi in cui l’integrale nella (1.10) `e risolvibile analiticamente ossia giungendo alla soluzione esatta. Esistono, tuttavia, metodi numerici per risolvere il problema del calcolo di Pf . Tra questi metodi vale la pena citare quelli cosiddetti di simulazione perch´e virtualmente replicano un gran numero di volte l’evento di cui si vuole calcolare la probabilit` a di accadimento. Tali procedure, pi` u o meno raffinate, sono tutte caratterizzate da un’accuratezza inversamente proporzionale al numero di simulazioni, per cui richiedono l’impiego di calcolatori elettronici. Il metodo di simulazione pi` u semplice ma anche pi` u conosciuto `e il cosiddetto metodo Montecarlo. Esso calcola l’integrale (1.10) definendo una funzione ausiliaria I, la funzione indicatrice, che assume valore nullo per i valori del vettore X per cui G `e positiva e valore unitario per quei valori del vettore per cui la funzione stato limite assume valori negativi e quindi nel caso del collasso. L’introduzione della funzione indicatrice consente di calcolare la probabilit` a di collasso estendendo l’integrale a tutto lo spazio Rn di definizione di X, liberandosi del problema di dover determinare quale sia F . Infatti `e facile

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

15

riconoscere che la probabilit` a di collasso coincide con il valore dell’integrale ` altres`ı facile mostrare che l’ultimo membro di tale integrale `e nella (1.16). E approssimato dal rapporto tra il numero di volte in cui ripetendo l’esperimento esso ha dato esito negativo (kf ), per cui risulta G ≤ 0, e il numero totale di prove eseguite (k).  I (x) :

I (x) = 0 se G (x) > 0 I (x) = 1 se G (x) ≤ 0

 ⇒

Pf =

fX (x) dx = 

F

I (x) fX (x) dx ≈

=

kf k

(1.16)

Rn

Esempio 1.2 Per illustrare il metodo Montecarlo si faccia riferimento al caso della trave di cui all’Esempio 1.1. Il metodo consiste dei seguenti passi: 1. si estraggono a caso due valori, uno per la resistenza e uno per la sollecitazione dalle rispettive distribuzioni; 2. si calcola la differenza dei valori estratti, se la differenza `e positiva si va al passo successivo se essa `e, invece, negativa vuol dire che in questa particolare simulazione si `e osservato il collasso e si incrementa un contatore che tiene conto proprio dei collassi; 3. si torna al passo 1. Ripetendo questo processo 10 000 volte si ottiene la distribuzione simulata delle frequenze della differenza R−S nella Figura 1.5. Nel caso in esame tale simulazione ha portato a 317 casi in cui questa era minore o eguale a 0, per cui la probabilit`a stimata `e pari a kf /k = 0, 0317, che `e circa pari al valore trovato con la soluzione in forma chiusa. Dall’esempio appena illustrato `e evidente il vantaggio dei metodi di simulazione: se si riesce a ripetere molte volte l’esperimento, basta contare il numero di volte in cui esso finisce in un collasso rispetto al numero totale; ci` o per`o ha un prezzo. Si dimostra che il numero di simulazioni necessarie per ottenere una buona approssimazione della probabilit` a di collasso `e dell’ordine di grandezza a di 10−3 sono necessarie almedi 10/Pf per cui per stimare una probabilit` 4 a di collasso delle strutture sono no 10 simulazioni. Visto che le probabilit` generalmente molto basse e che ogni simulazione richiede una analisi strutturale completa, l’onere computazionale richiesto pu` o essere proibitivo anche per delle macchine. Sono stati sviluppati, quindi, metodi di simulazione detti “intelligenti”, i cui dettagli si tralasciano in questa sede, che rappresentano evoluzioni del metodo Montecarlo per cercare di ridurre il numero di simulazioni necessarie per calcolare l’affidabilit` a con una data accuratezza.

16

Capitolo 1

1200

1200

1000

1000

800

800

600

600

400

400

200

200

0 4,5 5

5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

0 1,5 2

9 9,5

2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

VR (cm) Estrazione di un valore di ciascuna delle variabili aleatorie, VR e VS, secondo le rispettive distribuzioni

6 6,5

VS (cm) i=i+1

no

Verifica della condizione di collasso G = 0 per i valori estratti

sì kf = kf + 1

250

200

150

100

50

0 −1

0

1

2

3

4

5

6

7

VR − VS (cm) Figura 1.5 Diagramma di flusso del metodo Montecarlo per l’esempio 1.1 e distribuzione della differenza R − S proveniente dalla simulazione.

1.4.2 Metodi di livello II   Si `e gi`a discusso come la condizione G X = 0 rappresenti la separazione del dominio di collasso dal dominio di sopravvivenza. Nel caso semplice del modello sollecitazione resistenza, assumendo che il vettore di variabili aleatorie (R, S) abbia distribuzione normale, la funzione G ha ancora distribuzione normale. Nell’ipotesi che R ed S siano anche non correlate, la media e la deviazione standard di G sono date dalle (1.17).

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

μG = μR − μS ;

σG =

 2 σR + σS2

17

(1.17)

In questo caso particolare allora la probabilit` a di collasso, cio`e la probabilit` a che G sia minore o eguale a zero, si calcola semplicemente ricordando l’integrale di Gauss, per cui:   0 2 g−μ 1 μR − μS − 12 ( σ G ) G e dg = Φ −  2 = Pf = Pr {G ≤ 0} = √ 2πσG σR + σS2 −∞ (1.18)   μR − μS = 1 − Φ (β) =1−Φ  2 σR + σS2 Nella (1.18) si `e indicato con β il valore in cui si calcola la funzione di Gauss per ottenere la probabilit` a di collasso. Questo risultato `e suscettibile di una interpretazione geometrica. Infatti, posto y2 = (r − μR )/σR e y1 = (s − μS )/σS la funzione limite si esprime come segue: G (R, S) = y2 σR − y1 σS + μR − μS = 0

(1.19)

Nello spazio delle variabili standardizzate la distanza della superficie limite (che resta lineare) `e quella rappresentata nella Figura 1.6. Si pu` o facilmente dimostrare che la lunghezza del segmento OP `e proprio pari a β; quindi la probabilit` a di collasso `e legata alla distanza della superficie di stato limite dall’origine. In tale contesto il punto P assume il nome di punto di progetto, mentre β `e detto indice di sicurezza.

y1 r= s O

β y2

P

F

Figura 1.6 Traccia della superficie limite lineare nel piano delle variabili standardizzate.

Generalizzando, si pu` o dire che in tutti quei casi in cui la funzione stato limite, G, `e una combinazione lineare delle variabili aleatorie che influenzano il

18

Capitolo 1

comportamento strutturale le quali hanno distribuzione congiuntamente gaussiana, il calcolo della probabilit` a di collasso secondo la (1.19) `e esatto. Infatti se G dipende da X attraverso n + 1 costanti reali {a0 , a1 , a2 , ..., an }, risulta:   G X = a0 + a1 X1 + a2 X2 + ... + an Xn (1.20) Per la linearit` a si ottiene immediatamente la media di G come combinazione lineare delle medie delle componenti di X. Allo stesso modo si pu`o calcolare la varianza (quadrato della deviazione standard) di G attraverso la (1.22) avendo supposto le variabili che compongono il vettore X anche non correlate: μG = a0 + a1 μX1 + a2 μX2 + ... + an μXn

(1.21)

2 2 2 2 σG = a21 σX + a22 σX + ... + a2n σX 1 2 n

(1.22)

Per cui l’indice di sicurezza `e dato dalla (1.23) e rappresenta ancora la distanza della superficie limite dall’origine nello spazio delle variabili aleatorie standardizzate yi = (xi − μXi )/σXi .

β=

n  ai μXi a0 + i=1 = n  2 2 ai σXi

μG σG

(1.23)

i=1

Esempio 1.3 Si consideri la pensilina della Figura 1.7 caratterizzata da due elementi portanti ciascuno dei quali costituito da un ritto verticale e da un traverso orizzontale. Su di essi `e poggiata una piastra secondaria, che con buona approssimazione pu` o essere studiata come trave appoggiata. Su tale piastra agisce un carico distribuito per unit`a di superficie qs gaussiano con media 12 kN/m2 e deviazione standard 1, 8 kN/m2 . Si supponga di trascurare il peso proprio della struttura e si assuma una tensione massima che il materiale pu` o sopportare (σam ) anch’essa gaussiana sez. A

qs

q = qs a / 2

10 cm

M

14 cm

a h A l

M = ql2 /2

N = ql

Figura 1.7 Struttura oggetto dell’esempio 1.3.

0,8 cm 1 cm

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

19

Distribuzione Normale Standard

caratterizzata da una media di 2 · 105 kN/m2 e una deviazione standard di 4 · 104 kN/m2 . Le dimensioni a ed l si assumano deterministicamente pari a 2 m e 1 m rispettivamente, e si consideri, inoltre, che la sezione trasversale degli elementi, a doppio T, `e costante e di area A = 2960 mm2 e di momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico Ix = 961 cm4 . 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 β = 4,7 0 −5

0 (G −μG)/σG

5

Figura 1.8 Distribuzione della funzione limite G.

Il carico qs si ripartisce sulle due travi come carico a metro lineare q = qs · a/2; q sar`a ancora gaussiano con media 12 kN/m2 e deviazione standard pari a 1, 8 kN/m2 . Se si assume una formulazione della superficie limite del tipo G = R − S, si pu` o scrivere: G = σam − σmax ⇒ Pf = Pr {σam − σmax ≤ 0}

(1.24)

In cui σmax `e la massima tensione sulla struttura. Riscrivendo l’espressione di G in funzione delle variabili aleatorie del problema, si ha:

 ⎡ ⎤ q·l2 − 2 (−q · l) G = σam − σmax = σam − ⎣ + · ymax ⎦ = σam − k · q (1.25) A Ix l l2 1 ` + · ymax = 3982 . E quindi immediato ricavare l’indice di A 2·I m sicurezza e poi la probabilit`a di collasso come Pf = 1−Φ (β) (si noti che l’integrale di Gauss di gauss Φ, non risolvibile in forma chiusa, per diversi valori dell’argomento `e tabellato in quasi tutti i libri di statistica). dove k =

2 · 105 − 3982 · 2 μσ − kμq  = = 4,7 β =  am 2 + k2 σ 2 2 2 σam q (4 · 104 ) + (3982) · (1,8) Pf = 1 − Φ (β) = 1 − Φ (4,7) = 1, 3 · 10−6

20

Capitolo 1

I metodi di livello II sono caratterizzati dalla stima dell’indice di sicurezza β e dal calcolo della probabilit` a di collasso attraverso la relazione Pf = 1 − Φ (β), sebbene esso non conduca sempre a un risultato esatto (se non a nelle condizioni descritte), bens`ı a una un’approssimazione di Pf . L’entit` dell’approssimazione dipende strettamente dalla forma della funzione di stato limite, dalla natura delle variabili aleatorie coinvolte e dalla eventuale correlazione. Per equazioni di stato limite non lineari, come per esempio G (R, S) = R2 − S 2 la distanza (β) della superficie limite dall’origine dello spazio della o ancora utilizzare per stimare Pf attraverso variabili standardizzate Y , si pu` o dire che i metodi di secondo livello sono Pf = 1 − Φ (β). In pratica, si pu` tesi alla ricerca del punto di progetto, cio`e quello che verifica le due condizioni espresse dalla (1.26).  $  d d G y 1 , yn  , ..., ynd = 0   d d y d = y1 , yn , ..., ynd : (1.26) 2 2 2 β = min (y1d ) + (ynd ) + ... + (ynd ) Per capire come nel caso di funzioni di stato limite non-lineari la probabilit` a di collasso relativa sia approssimata basta linearizzare G intorno a y d (fig. 1.9) ` attraverso un’espansione in serie di Taylor che si arresti al primo ordine. E facile intuire come l’approssimazione sia tanto maggiore quanto sia l’area interposta tra l’approssimazione lineare e la reale superficie limite. Inoltre nel caso la funzione sia convessa rispetto all’origine calcolare la probabilit` a di collasso in questo modo equivale a sovrastimare la probabilit` a stessa; nel caso di concavit`a rispetto all’origine la probabilit` a di collasso `e sottostimata. Sottostima proporzionale a quest'area

y1

G=0

β yd F

y2

Sovrastima proporzionale a quest'area

y1

G=0

β

y2

yd F

Figura 1.9 Rappresentazione degli errori dei metodi di secondo livello per funzioni stato limite non lineari.

Vale la pena notare, infine, che se le variabili Xi sono non normali (ma indipendenti altrimenti il caso `e molto pi` u complesso da affrontare) `e ancora possibile valutare la probabilit` a di collasso attraverso i metodi di secondo livello. In pratica, ci si riconduce a distribuzioni normali “equivalenti” per ogni variabile Xi .

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

21

1.5 Affidabilit` a e codici per le costruzioni Fino agli anni sessanta la sicurezza strutturale nei codici di tutto il mondo era basata sul concetto di tensione ammissibile che sottintendeva il principio che le strutture fossero elastiche, sebbene fosse molto raro che esse si comportassero elasticamente fino al collasso. Le incertezze erano tenute in conto nelle verifiche utilizzando dei valori delle tensioni ammissibili ridotti da coefficienti di sicurezza ben maggiori di uno, definiti in molti casi senza una calibrazione particolarmente approfondita dal punto di vista affidabilistico. ` chiaro che utilizzare dei coefficienti di sicurezza sulle tensioni non dava E alcuna possibilit` a di controllare il livello di rischio dell’intera struttura. Tra la fine degli anni sessanta e gli anni settanta, tuttavia, si ebbe un cambio di filosofia nella progettazione per la sicurezza strutturale. Una serie di collassi di strutture nel mondo dovuti ad azioni per neve, vento e soprattutto a causa di terremoti, rivelarono una serie di deficienze nell’approccio alla sicurezza dei codici del tempo, richiedendo un progresso soprattutto per quanto riguardava la protezione rispetto agli eventi naturali potenzialmente catastrofici. Per questo motivo nasceva la necessit`a di distinguere le condizioni di funzionamento delle strutture nel caso di eventi pericolosi (ma rari) e nel quotidiano. Allo stesso tempo si andavano sviluppando i metodi dell’affidabilit` a di livello II e basi dati di osservazioni per la modellazione delle incertezze sulle azioni. 1.5.1 Metodi di I livello e metodo semi-probabilistico agli stati limite secondo la norma italiana Il processo descritto produsse all’inizio degli anni ottanta la prima ufficializzazione della necessit`a di adottare nei codici un approccio alla sicurezza secondo il modello sollecitazione-resistenza e che solo le strutture che rispettavano una certa probabilit` a di collasso accettata erano da considerarsi sicure. Siccome fu subito riconosciuto che i professionisti avrebbero avuto difficolt` a ad applicare direttamente i metodi dell’affidabilit` a strutturale di livello III e II, venne proposto un formato pi` u semplice poi noto come metodo semi-probabilistico agli stati limite che si formalizza nella relazione (1.27). Essa rappresenta una verifica tra scalari in cui la resistenza nominale, Rn , viene stabilita sulle basi della meccanica strutturale e ridotta da opportuni coefficienti (γm ), mentre le azioni nominali, Qi , fornite dai codici vengono anch’esse amplificate (da coefficienti γq ) per tenere conto delle incertezze e garantire in qualche modo una certa probabilit` a di collasso strutturale.  (1.27) γq Qi ≤ Rn /γm Un approccio di questo tipo `e di livello I ed `e detto in inglese load-resistance factor design (LFRD). Esso, sostanzialmente, rinuncia al calcolo della probabilit` a di collasso attraverso la (1.10) e anche indirettamente attraverso il calcolo dell’indice di sicurezza come per i metodi di livello II. Al livello I della sicurezza strutturale semplicemente s’individuano dei valori fattorizzati delle

22

Capitolo 1

resistenze e degli effetti delle azioni. Progettando la struttura considerando tali valori di calcolo ci si garantisce, in linea di principio, che la probabilit` a di collasso sia compatibile rispetto ai criteri di accettabilit` a discussi. In pratica, i valori di progetto per le sollecitazioni e le resistenze si ottengono minorando i termini da cui dipende R e maggiorando quelle da cui dipende S attraverso, i cosiddetti fattori parziali di sicurezza. Si noti che, minorare una variabile aleatoria `e in linea di principio impossibile in quanto essa `e, per definizione, ignota. In realt` a si considerano percentili molto bassi per le resistenze (molto alti per le sollecitazioni) in modo che tali valori siano molto probabilmente superati (non superati). Ci`o si traduce nella trasformazione della condizione di sicurezza da R > S, valutata in termini probabilistici, alla (1.28) che `e un confronto tra scalari e in cui il pedice d sta per design. Rd e Sd sono, appunto, i valori di progetto e rappresentano rispettivamente il limite superiore dei valori delle resistenze da attribuire ai materiali e il limite inferiore degli effetti delle azioni che si possono considerare. (1.28) Rd > Sd Si potrebbe, dunque, affermare che con i metodi di primo livello si confrontano due numeri e non si calcolano probabilit` a. Tuttavia, i termini confrontati sono indirettamente legati alla probabilit` a di collasso attraverso le distribuzioni delle variabili di cui rappresentano particolari percentili come descritto nella Figura 1.10.

f(s)

f(r)

sk

sd

rd

rk

R, S

Figura 1.10 Significato probabilistico dei valori di progetto.

Per capire meglio il significato dei valori di progetto `e opportuno ragionare sui cosiddetti valori caratteristici, definiti come i percentili tali che si abbia una

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

23

probabilit` a del 5% che la resistenza effettiva sia minore di quella caratteristica Rk e che la sollecitazione effettiva sia maggiore di Sk . Sembra cos`ı logico individuare la posizione relativa delle curve di distribuzione S ed R attraverso il fattore di sicurezza caratteristico γk = Rk /Sk che pu`o essere inteso come inversamente proporzionale alla probabilit` a di collasso. I valori di progetto hanno lo stesso significato di quelli caratteristici ma si riferiscono a frattili di circa un ordine di grandezza inferiore. In genere, i frattili sono assunti pari al 5%. Per le grandezze con piccoli coefficienti di variazione, ovvero per grandezze che non riguardino univocamente resistenze o azioni, si possono considerare frattili al 50% (valori mediani). In conclusione, il tipo di verifica di sicurezza espressa dalla (1.28) `e del tutto analoga a una verifica di tipo deterministico, tuttavia, i valori che si confrontano derivano da una caratterizzazione probabilistica delle azioni e delle caratteristiche strutturali; per questo motivo si parla di metodi semi-probabilistici. Esempio 1.4 Per comprendere meglio il legame tra metodi semi-probabilistici e probabilit`a di collasso, si pu`o prendere per esempio una sezione inflessa in cemento armato rettangolare 60 × 30 cm2 semplicemente armata con 10 cm2 acciaio. Considerando le resistenze caratteristiche dei materiali calcestruzzo e acciaio pari a 29 MPa e 440 MPa rispettivamente, `e possibile ricavare il momento ultimo in funzione dei fattori parziali di sicurezza. Inoltre, utilizzando i parametri della Tabella 1.4, `e anche possibile ottenere la distribuzione di probabilit`a del momento massimo che la sezione pu`o sopportare considerando anche una certa variabilit`a delle dimensioni geometriche dovuta, per esempio, alla pratica costruttiva. Tabella 1.4 Distribuzioni delle variabili dell’esempio 1.4 Variabile Aleatoria Base Altezza Resistenza acciaio Resistenza calcestruzzo Momento dovuto ai carichi permanenti Momento dovuto ai carichi accidentali

Distribuzione Normale Normale Normale Normale Normale Gumbel

Media 30 [cm] 60 [cm] 500 [MPa] 35 [MPa] 1,05·Valore nominale 1,00·Valore nominale

CoV 0,03 0,03 0,07 0,10 0,10 0,25

Eguagliando il momento ultimo al momento sollecitante secondo la (1.28), si ottiene il valore nominale della sollecitazione. Assumendo che la sollecitazione derivi da carichi permanenti e accidentali (in rapporto costante tra loro pari a 2) le cui distribuzioni si possono parametrizzare in funzione proprio di tale valore, come descritto ancora nella Tabella 1.4, `e anche nota la distribuzione del momento sollecitante la sezione. Con tali informazioni si pu` o eseguire il calcolo della sicurezza secondo il discusso modello sollecitazione-resistenza con un metodo di II livello e quindi ottenere l’indice di sicurezza per un particolare valore dei fattori parzia-

24

Capitolo 1

li. Rappresentando β in funzione del coefficiente lato acciaio, γf (si `e supposto costante quello del calcestruzzo, γC = 1,5), si ottiene un andamento come nella Figura 1.11.

8,5 8 7,5 7

β

6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5

2

1,8

1,6

γf

1,4

1,2

1

Figura 1.11 Andamento dell’indice di sicurezza al variare del coefficiente parziale di sicurezza dell’acciaio per una sezione inflessa.

Si noti come la sicurezza aumenti al decrescere del coefficiente parziale di sicurezza, questo `e un risultato atteso. Si pensi, infatti, come dal punto di vista del progetto, un coefficiente maggiore porti a sovra-dimensionare la sezione, che quindi avr`a una affidabilit`a maggiore di una progettata con un minore coefficiente parziale a parit`a di distribuzioni di resistenze e sollecitazioni.

Sebbene, alcuni progressi recenti dell’ingegneria strutturale lascino prevedere che si vada verso codici internazionali di progetto a base completamente probabilistica in cui si richieda di calcolare l’effettiva sicurezza della costruzione, i metodi di livello I sono stati recepiti da molti codici normativi che prescrivono i valori di progetto garantendo nominalmente a priori la probabilit` a di collasso. Tale approccio, come `e evidente, semplifica fortemente l’analisi dell’affidabilit` a strutturale evitando al professionista di dover affrontare un’onerosa caratterizzazione e trattamento delle incertezze. D’altra parte `e facile intuire come in tal modo sia critica la fase di calibrazione di Rd ed Sd dai quali dipende completamente il margine d’affidabilit` a; `e anche per questo che il livello I si conf`a a un approccio normativo in cui i valori di progetto siano imposti dall’alto derivando, in linea di principio, da considerazioni politico/economiche sul livello di sicurezza accettabile per il parco del costruito.

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

25

Si `e fin qui illustrato, molto sinteticamente, l’attributo semi-probabilistico del procedimento di calcolo che si sta trattando. Esso si riferisce a un valore della probabilit` a di collasso definito a priori, Pf∗ , per ciascuno stato limite. Il progettista non verifica che sia Pf ≤ Pf∗ ma garantisce implicitamente la compatibilit` a con questa relazione. Resta da chiarire il significato degli stati limite da considerarsi, che per la normativa italiana (Min.LL.PP., NTC 2008) possono dividersi in due categorie: 1. Stati Limite Ultimi (SLU) sono irreversibili e corrispondono al valore estremo della capacit` a portante come per esempio: perdita di equilibrio della struttura o di una sua parte; spostamenti o deformazioni eccessive; raggiungimento della massima capacit` a di resistenza di parti di strutture, collegamenti, fondazioni ecc.; 2. gli Stati Limite di Esercizio (SLE) possono essere reversibili o irreversibili e riguardano le esigenze di utilizzazione normale dell’opera in esame: eccessiva fessurazione del calcestruzzo o altri fenomeni che possano ridurre la durabilit` a della struttura, la sua efficienza o il suo aspetto; spostamenti e deformazioni che possano limitare l’uso della costruzione; spostamenti e deformazioni che possano compromettere l’efficienza e l’aspetto di elementi non strutturali, impianti, macchinari; vibrazioni che possano compromettere l’uso della costruzione; corrosione o eccessivo degrado dei materiali in funzione dell’ambiente di esposizione ecc. Il codice europeo per le costruzioni (Eurocodice; CEN, 2002), da cui quello italiano `e derivato, classifica i valori minimi raccomandati di affidabilit` a fornendo valori di riferimento dell’indice di sicurezza in relazione alle conseguenze del raggiungimento di un determinato stato limite. Infatti, a seconda che le conseguenze siano elevate in termini di vite umane o molto gravi dal punto di vista economico e sociale (collasso di edifici pubblici affollati) il β minimo raccomandato `e 4,3 avendo come riferimento un periodo di tempo di 50 anni, a cui corrisponde una probabilit` a di collasso secondo la (1.18) pari a 8,5 10−6 . Se il collasso interessa edifici residenziali o uffici le conseguenze si considerano medie e il β minimo `e 3,8 la cui probabilit` a di collasso in 50 anni `e 7 · 10−5 . Se le conseguenze sono invece basse (per esempio costruzioni agricole o magazzini) β minimo `e 3,3 la cui probabilit` a di collasso in 50 anni `e circa 5·10−4 . Per quanto riguarda gli stati limite di esercizio il β minimo `e 1,5 la cui probabilit` a ` importante notare, tuttavia, che tali valori non debbano di collasso `e 0,067. E considerarsi come rappresentativi della probabilit` a di collasso effettiva di una struttura progettata in questo modo, ma abbiano carattere necessariamente comparativo. Per la determinazione dei valori di progetto Rd ed Sd , il metodo semiprobabilistico agli stati limite amplifica i carichi e ridurre le resistenze in base alla rispettiva statistica e probabilit` a di occorrenza. Dal lato delle resistenze questo risultato si pu` o ottenere passando dai valori caratteristici a quelli di progetto, (1.29), adottando coefficienti parziali di sicurezza. La normativa italiana stabilisce per il calcestruzzo γc = 1,5 e per l’acciaio γf = 1,15.

26

Capitolo 1

Rd =

Rk γM

(1.29)

Per quanto riguarda le azioni da utilizzare nelle verifiche agli stati limite esse si classificano, secondo la modalit` a di applicazione, in dirette, indirette e da degrado in relazione a che siano derivanti da forze (o carichi), da spostamenti (o anche forze di precompressione o variazioni di temperatura) o da alterazioni delle propriet` a dei materiali rispettivamente. Si possono anche distinguere per la modalit` a di risposta nella struttura come statiche, se non provocano accelerazioni, dinamiche, in caso contrario, e pseudo-statiche, se sono dinamiche ma rappresentabili da forze statiche equivalenti. La classificazione pi` u importante, tuttavia `e quelle relativa alla variazione d’intensit` a nel tempo, in tal caso la normativa italiana fa la seguente distinzione: • come azioni permanenti (G) quelle che agiscono durante tutta la vita nominale della costruzione e la cui variazione di intensit`a `e tale da poterle considerare costanti (es. pesi propri, spostamenti differenziali, azioni dovuti a effetti reologici, precompressione ecc.); • come azioni variabili (Q) quelle che hanno valori istantanei che possono variare significativamente nel tempo. Tali azioni si dicono di lunga durata se agiscono per un tempo non trascurabile rispetto alla vita nominale della struttura; di breve durata altrimenti; • come azioni eccezionali quelle che si verificano solo eccezionalmente nel corso della vita nominale (per esempio incendi, esplosioni, impatti ecc.); • come azioni sismiche quelle derivanti dai terremoti. Le combinazioni delle azioni ai fini delle verifiche degli stati limite sono le seguenti: • combinazione fondamentale, generalmente impiegata per gli SLU: γG1 · G1 + γG2 · G2 + γQ1 · Qk1 + γQ2 · ψ02 · Qk2 + γQ3 · ψ03 · Qk3 + . . . • combinazioni rara, per SLE irreversibili: G1 + G2 + Qk1 + ψ02 · Qk2 + ψ03 · Qk3 + . . . • combinazioni frequente, per SLE reversibili: G1 + G2 + ψ11 · Qk1 + ψ22 · Qk2 + ψ23 · Qk3 + . . . • combinazione quasi permanente, generalmente impiegata per gli SLE relativi ad azioni che hanno effetti a lungo termine: G1 + G2 + ψ21 · Qk1 + ψ22 · Qk2 + ψ23 · Qk3 + . . . Altre combinazioni esistono per casi specifici come quello sismico o derivante da azioni eccezionali. Nelle combinazioni i coefficienti γ sono coefficienti parziali amplificativi dei carichi e ψi sono coefficienti di combinazione che servono

Sicurezza e affidabilit` a strutturale

27

a tenere conto della probabilit` a di accadimento contemporaneo di azioni di diversa natura. Con Qk1 si indica la azione variabile dominante e Qk2 , Qk3 ecc. azioni variabili che possono agire contemporaneamente a quella dominante. Le azioni variabili Qkj vengono combinate con i coefficienti di combinazione ψ0j , ψ1j e ψ2j , i cui valori sono forniti nella Tabella 1.5. I valori dei coefficienti γ da assumere per la determinazione degli effetti delle azioni nelle verifiche agli SLU sono riportati nella Tabella 1.6. Tabella 1.5 Coefficienti di combinazione Categoria/Azione variabile

ψ0

ψ1

ψ2

Categoria A Ambienti a uso residenziale

0,7

0,5

0,3

Categoria B Uffici

0,7

0,5

0,3

Categoria C Ambienti suscettibili di affollamento

0,7

0,7

0,6

Categoria D Ambienti a uso commerciale

0,7

0,7

0,6

Categoria E Biblioteche, archivi, magazzini e ambienti a uso industriale

1,0

0,9

0,8

Categoria F Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso ≤ 30 kN)

0,7

0,7

0,6

Categoria G Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso > 30 kN)

0,7

0,5

0,3

Categoria H Coperture

0,0

0,0

0,0

Vento

0,6

0,2

0,0

Neve (a quota ≤ 1000 m s.l.m.)

0,5

0,2

0,0

Neve (a quota > 1000 m s.l.m.)

0,7

0,5

0,2

Variazioni termiche

0,6

0,5

0,0

Tabella 1.6 Coefficienti parziali per le azioni nelle verifiche agli SLU Coefficiente Carichi permanenti Carichi permanenti non strutturali Carichi variabili

favorevoli sfavorevoli favorevoli sfavorevoli favorevoli sfavorevoli

γG1 γG2 γQi

1,0 1,3 0,0 1,5 0,0 1,5

Dal punto di vista probabilistico i carichi che danno luogo ad azioni permanenti sono modellati con distribuzioni di tipo normale. Per quanto riguarda le azioni variabili invece la distribuzione pi` u utilizzata e quella di Gumbel che `e una distribuzione che ben si adatta a descrivere la distribuzione dei massimi delle azioni e che quindi `e di interesse dal punto di vista della progettazione. Infatti, il valore caratteristico, Qk , di un’azione variabile `e il valore corrispondente

28

Capitolo 1

a un frattile relativo al 95 % della popolazione dei massimi, in relazione al periodo di riferimento dell’azione variabile stessa. Con riferimento alla durata percentuale relativa ai livelli di intensit` a dell’azione variabile, si definiscono: • valore quasi permanente ψ2j · Qkj : la media della distribuzione temporale dell’intensit` a; • valore frequente ψ1j · Qkj : il valore corrispondente al frattile 95 % della distribuzione temporale dell’intensit` a e cio`e che `e superato per una limitata frazione del periodo di riferimento; • valore raro (o di combinazione) ψ0j ·Qkj : il valore di durata breve ma ancora significativa nei riguardi della possibile concomitanza con azioni variabili. Vale la pena ricordare che il valore frequente viene definito a livello europeo in modo da garantire che risulti superato un dato numero di volte in un anno (per gli edifici si assume questo numero pari a 300), oppure per un intervallo di tempo piccolo rispetto al periodo di interesse per esempio il 5%. Il valore quasi-permanente pu` o essere considerato come un particolare valore frequente che viene superato per un intervallo tempo paragonabile al tempo di interesse, di solito il 50% del tempo, oppure come un valore assimilabile al valor medio della distribuzione dei valori istantanei. Il valore raro `e necessariamente un percentile superiore in una ipotetica distribuzione (fig. 1.12).

Valore Valore Valore Quasi Perm. Frequente Raro

Q

Figura 1.12 Posizioni relative dei frattili in una ipotetica distribuzione dell’azione nel tempo.

Quindi, si pu` o dire che nella combinazione caratteristica (o rara) si considerano i valori caratteristici delle azioni permanenti e dell’azione variabile dominante e i valori di combinazione delle altre azioni variabili. Nella combinazione frequente si considerano i valori caratteristici delle azioni permanenti, il valore frequente dell’azione variabile dominante e i valori quasi permanenti delle altre azioni variabili. Nella combinazione quasi permanente, infine, si considerano i valori caratteristici delle azioni permanenti e i valori quasi permanenti delle azioni variabili.

2 Materiali

Il calcestruzzo armato `e composto da calcestruzzo e da acciaio in barre e pertanto i meccanismi resistenti e deformativi dipendono sia dalle caratteristiche dei due componenti, sia dalla loro interazione mediante i meccanismi di aderenza che nascono all’interfaccia. I due materiali componenti presentano propriet` a molto diverse tra loro e proprio per tale motivo il loro accoppiamento consente di ottenere un materiale con buone prestazioni per diversi aspetti, considerato che nella progettazione si possono modificare le quantit` a e la disposizione delle armature in modo da massimizzare le caratteristiche ritenute pi` u significative per il tipo di progetto. Tuttavia si pu` o affermare, in modo generale, che mentre del calcestruzzo si sfrutta la capacit` a di resistenza a compressione, dell’acciaio si sfrutta la resistenza a trazione, dando vita a meccanismi resistenti pi` u o meno complessi. Alla base della collaborazione tra i due materiali vi `e comunque l’aderenza, che assume un ruolo fondamentale nelle prestazioni strutturali ed `e importante che i meccanismi di trasferimento delle tensioni che la caratterizzano siano efficaci anche in condizioni ultime. Nel seguito si introdurranno le caratteristiche meccaniche e le propriet` a principali del calcestruzzo e dell’acciaio, inoltre, si illustreranno i meccanismi di trasferimento che condizionano l’aderenza tra i due materiali.

2.1 Calcestruzzo Il calcestruzzo `e un materiale non omogeneo le cui caratteristiche meccaniche dipendono dai suoi componenti (inerte, cemento e acqua) e dai loro rapporti relativi in termini di quantit` a in volume o in peso. Un’importante propriet` a del calcestruzzo `e la densit` a, che determina anche l’aliquota di peso proprio da introdurre nella valutazione dei carichi in fase di progettazione; per il calcestruzzo si pu` o assumere un valore di circa 24 kN/m3 , a meno che non si utilizzino miscele particolari per produrre calcestruzzi di densit` a inferiori (calcestruzzi leggeri) o superiori (calcestruzzi pesanti), per specifiche applicazioni. Si deve tuttavia tenere conto che la densit` a `e collegata alla porosit`a del ma-

30

Capitolo 2

teriale e al tipo di inerti e pertanto condiziona le propriet` a meccaniche; in generale una riduzione di densit` a comporta una riduzione della resistenza e un incremento della deformabilit` a influenzando anche i meccanismi di crisi. Il comportamento meccanico descritto in questo capitolo si riferisce a calcestruzzi con densit` a normale e senza particolari additivi nelle miscele, ma non sempre gli aspetti illustrati si possono estendere ad altri casi. Nonostante la disomogeneit` a, il comportamento macroscopico del calcestruzzo, con riferimento cio`e a elementi di dimensioni molto maggiori degli inerti pi` u grandi che lo compongono, pu` o essere schematizzato in modo affidabile come quello di un materiale omogeneo e isotropo. Viceversa la sua composizione, che lo rende un materiale sostanzialmente lapideo anche se di origine artificiale, gli conferisce un comportamento fortemente diverso in presenza di sollecitazioni di compressione o di trazione. Per tale motivo i legami costitutivi vengono nel seguito analizzati principalmente con riferimento al caso di stato tensionale monoassiale, distinguendo i casi di sollecitazione di compressione e trazione, e facendo cenno anche agli stati tensionali pluriassiali. 2.1.1 Comportamento in compressione Il fenomeno microscopico pi` u significativo nel calcestruzzo consiste in una microfessurazione diffusa gi` a per livelli tensionali modesti, che dipende dalla scarsa resistenza agli sforzi di trazione dell’interfaccia matrice-inerte. D’altra parte `e necessario sottolineare che l’evoluzione della tecnologia del calcestruzzo consente oggi la realizzazione, senza modificare i componenti ma solo le loro proporzioni, di calcestruzzi con una matrice cementizia di resistenza comparabile a quella dell’inerte, cosicch´e non solo la resistenza del calcestruzzo aumenta sfruttando a pieno quella dell’inerte, ma il meccanismo microscopico di crisi diventa molto pi` u simile a quello di un materiale lapideo omogeneo con fenomeni fessurativi che riguardano indistintamente entrambi i componenti. In presenza di uno stato di sollecitazione di compressione monoassiale tale microfessurazione determina un legame sperimentale tensione-deformazione, σ-ε, che si presenta non lineare per valori di carico anche molto pi` u bassi di quello di rottura. In particolare, quando il calcestruzzo ha una resistenza cosiddetta normale (fino a 50 MPa), le prove monoassiali di compressione mostrano un andamento della relazione σ-ε pressoch´e lineare fino a valori di tensioni pari a circa il 30 ÷ 40% di quella massima; successivamente, la microfessurazione interna si diffonde determinando un progressivo abbattimento della rigidezza. In questo primo tratto pressoch´e lineare `e possibile definire una deformabilit` a elastica, necessaria per alcune verifiche di servizio di elementi in cemento armato (per esempio calcolo degli spostamenti) che sono condotte mediante analisi in campo elastico lineare. In particolare si pu` o stimare un valore del modulo elastico sulla base di apposite prove sperimentali di compressione monoassiale considerando valori di tensione inferiori al 40% della resistenza; tuttavia poich´e la prova di compressione per la determinazione della resistenza

Materiali

31

`e la pi` u comune per la sua semplicit` a di esecuzione, sono disponibili diverse formulazioni che consentono di valutare il modulo elastico in funzione della resistenza a compressione. La formulazione indicata dalla Normativa Italiana (NTC, 2008), che coincide anche con l’Eurocodice 2 (EC2, 2004), `e:  Ecm = 22 000 ·

fcm 10

0,3 [MPa]

(2.1)

In questa fase in cui il comportamento `e elastico-lineare il coefficiente di Poisson si assume generalmente pari a 0,15 − 0,2. Quando si raggiunge la resistenza massima a compressione fc si manifestano delle macrofessure e il legame costitutivo (σ-ε) comincia a percorrere un ramo discendente. Quanto descritto si ritrova anche per calcestruzzi di resistenze maggiori, ma con una progressiva variazione della forma del legame costitutivo. All’aumentare della resistenza l’andamento iniziale si presenta lineare fino a una percentuale della resistenza sempre pi` u elevata, la deformazione corrispondente al punto di picco aumenta e il ramo discendente diventa sempre pi` u ripido, come si pu` o vedere nella Figura 2.1, dove sono riportati tipici legami costitutivi ottenuti da prove sperimentali di compressione su provini cilindrici realizzati con calcestruzzi di resistenza crescente. 120

Tensione σ (MPa)

100 80 60 40 20 0 0

0,002

0,004

0,006

Deformazione ε (mm/mm) Figura 2.1 Tipici legami costitutivi del calcestruzzo al variare della resistenza a compressione.

Questo risultato `e la logica conseguenza di un meccanismo di rottura sempre pi` u fragile al crescere della resistenza della matrice, che non consente un danneggiamento graduale e diffuso. Tale aspetto del comportamento del calcestruzzo `e rappresentativo della duttilit` a del materiale, che in un moderno ap-

32

Capitolo 2

proccio progettuale assume un ruolo rilevante nella definizione della sicurezza strutturale. A tale scopo nella tecnologia di produzione del calcestruzzo `e stata introdotta la possibilit` a di aggiungere nella miscela fibre di diversa natura che consentono proprio una diffusione delle microfessure. In questo modo si incrementa l’energia di frattura del materiale e si ottiene a livello macroscopico un ramo post-picco del legame costitutivo meno ripido, anche per calcestruzzi al alta resistenza (HSC) (fig. 2.2). 1,0 0,8 HSC con fibre σ/σmax

0,6 0,4 0,2 0 0

0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009

0,01

ε Figura 2.2 Effetto della resistenza e di fibre sul legame costitutivo del calcestruzzo compresso.

Tuttavia si deve fare cenno anche a un altro aspetto che riguarda il tratto discendente della relazione σ-ε; infatti per tracciare questa relazione il carico applicato e l’accorciamento del provino di calcestruzzo misurati sperimentalmente si traducono in tensione e deformazione con riferimento all’area e alla lunghezza del provino, considerando quindi un comportamento uniforme dell’intero elemento. In realt` a, si pu` o osservare che le macrofessure interessano solo una zona limitata del provino, la cui estensione `e pressoch´e indipendente dalle dimensioni del provino stesso, cosicch´e i risultati sono influenzati da un effetto scala, con tratti discendenti apparentemente pi` u ripidi all’aumentare della lunghezza del provino. In realt` a l’andamento post-picco del legame costitutivo dovrebbe essere rappresentato in termini di relazione tensione-accorciamento, σ-w. Si osserva quindi che la modellazione del tratto discendente del legame tensione-deformazione, ottenuto sperimentalmente su provini di una certa dimensione, deve tenere conto dell’effetto scala nelle applicazioni su elementi di dimensione diversa, soprattutto nel caso in cui si voglia valutare la duttilit` a. In particolare la rottura nel calcestruzzo avviene, indipendentemente dalle dimensioni dell’elemento sottoposto a prova, per la formazione di una frattura che presenta all’incirca sempre le medesime dimensioni (circa 1 mm) e pertanto

Materiali

33

la deformazione ultima, che `e il rapporto tra l’allungamento e la dimensione iniziale, dipende molto dall’altezza del provino. Si pu` o introdurre un metodo molto semplice per tener conto di tale aspetto come suggerito da Hilsdorf (1991) e riportato nella Figura 2.3, dove il ramo di softening del legame costitutivo `e rappresentato da un diagramma (σ, w), essendo w l’ampiezza della frattura; il classico legame costitutivo (σ, ε) si tramuta quindi in un legame (σ, ε ), dove ε = ε + w/L, con L altezza del provino.

σ fc

σ fc

σ fc

w/L

wc

ε

ε' = ε + w/L

w

Figura 2.3 Legami costitutivi tensione-accorciamento in compressione.

Si ottengono in tal modo dei legami per il calcestruzzo variabili, per quello che riguarda il ramo decrescente, al variare dell’altezza del provino. La Figura 2.4 mostra delle tipiche curve relative a prove di compressione monoassiale (le tensioni sono normalizzate rispetto alla tensione massima) su prismi di altezza, H, diversa, evidenziando l’effetto scala descritto. I diagrammi indicano, come 1,2 H = 200 mm H = 100 mm H = 50 mm

1,0

σ/σmax

0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

ε Figura 2.4 Curve tensione-deformazione in compressione al variare della dimensione del provino.

34

Capitolo 2

si `e detto che il comportamento post-picco diventa apparentemente pi` u fragile all’aumentare delle dimensioni del provino. Per quanto riguarda, infine, le modalit` a di determinazione sperimentale della resistenza a compressione, le prove di rottura si possono effettuare sia su elementi cubici sia cilindrici, in base alle quali si definiscono rispettivamente la resistenza cubica Rc e quella cilindrica fc . Le prove devono essere realizzate conformemente alle norme UNI EN pi` u aggiornate. Nella progettazione di strutture in c.a. si fa riferimento a valori delle resistenze ottenuti dopo 28 giorni di maturazione, salvo una differente specifica indicazione, e inoltre si utilizzano valori caratteristici sia nel caso di resistenza cubica, Rck , sia cilindrica, fck . Il concetto di resistenza caratteristica (Cap. 1), inteso come il valore che ha il 5% di probabilit` a di essere minorato, `e fondamentale in un approccio probabilistico, anche se non essendo sempre possibile effettuare una qualificazione del calcestruzzo con un elevato numero di provini, sia nella letteratura sia nella NTC 2008 si suggerisce la seguente relazione tra valore medio e caratteristico della resistenza cilindrica a compressione: fcm = fck + 8

[MPa]

(2.2)

Si deve inoltre considerare che le resistenze cilindrica e cubica ottenute dalle prove di compressione risultano differenti a causa dei diversi effetti di bordo che insorgono nelle prove sulle due tipologie di provino. In particolare l’elemento cubico, sicuramente tridimensionale, risente fortemente delle condizioni di vincolo esercitate dalla macchina di prova ed `e caratterizzato da una resistenza pi` u alta. Il maggior valore ottenuto nella prova su elementi cubici dipende da un effetto di bordo pi` u forte nell’elemento tridimensionale che consiste in una compressione trasversale ai bordi dovuta all’impedimento della dilatazione trasversale per effetto dell’attrito offerto dalle piastre di carico (fig. 2.5). Nell’elemento cilindrico, caratterizzato in genere da un rapporto altezza/diametro uguale o maggiore di due, l’effetto di bordo non si risente nella parte centrale del provino.

Figura 2.5 Prove di compressione su un cubo di calcestruzzo.

Materiali

35

La letteratura tecnica suggerisce generalmente di utilizzare un coefficiente riduttivo pari a 0,83 per passare dalla resistenza cubica caratteristica a quella cilindrica caratteristica, entrambe ottenute su provini di dimensioni che rispettano gli standard di prova delle normative UNI, cio`e su un elemento cubico di lato 100 ÷ 150 mm o su un elemento cilindrico di diametro 100 ÷ 150 mm e altezza pari al doppio del diametro. La NTC 2008 consente, per la realizzazione di opere in calcestruzzo armato, l’utilizzazione di calcestruzzo con resistenza cilindrica da 16 a 90 MPa ovvero con resistenza cubica da 20 a 105 MPa, stabilendo una suddivisione in calcestruzzo normale fino a una classe C50/60 e ad alta resistenza per classi superiori fino a C90/105, e fornendo apposite indicazioni per legami costitutivi e altre propriet` a. Le rappresentazioni analitiche del comportamento costitutivo del calcestruzzo compresso, reperibili in letteratura, sono molteplici. Il modello pi` u semplice `e il legame parabola-rettangolo adottato da numerose normative, tra cui anche quella italiana (NTC 2008), di cui si parler` a nel Capitolo 4 dove si introduce il calcolo della resistenza a flessione della sezione; tuttavia si deve sottolineare che anche legami di tipo elasto-plastico o rigido-plastico sono efficaci per valutare la resistenza della sezione, come confermato dalla normativa stessa. 2.1.2 Comportamento in trazione La disomogeneit` a del materiale e la presenza di microfessure all’interfaccia tra inerti e matrice cementizia giocano un ruolo fondamentale nella definizione del legame costitutivo del calcestruzzo e del suo meccanismo di rottura, anche in presenza di azioni di trazione. L’applicazione di uno stato monoassiale e uniforme di sforzi di trazione non determina una significativa microfessurazione fino a circa il 70% della resistenza a trazione fct , per cui il legame tensione-deformazione `e pressoch´e lineare fino a tale livello. Per tensioni pi` u elevate, la microfessurazione interna comincia a crescere e tende a concentrarsi in una zona del provino dove si innesca il processo di rottura che consiste in un sistema di microfessure pi` uo meno parallele tra loro, ma discontinue e normali alla direzione del carico. In tale zona si continuano a trasmettere sforzi di trazione, ma l’intensit` a di tali sforzi diminuisce con il crescere dell’apertura delle fessure fino alla formazione di una fessura continua. Come per la compressione, lo sviluppo del processo di rottura si concentra nella maggior parte dei casi in una zona limitata con fessure di maggiore estensione o in corrispondenza di un intaglio preesistente, rendendo discreto il fenomeno della rottura a trazione. Anche in tale caso quindi il legame costitutivo `e caratterizzato da un ramo discendente che, in termini di relazione tensione-deformazione, `e influenzato dall’effetto scala. La resistenza a trazione si presenta molto pi` u bassa di quella a compressione, pari a circa il 10%, e pu` o essere determinata con varie metodologie.

36

Capitolo 2

La prova di trazione diretta, sebbene sembri la pi` u adatta a valutare tale resistenza, viene raramente impiegata per le difficolt`a di afferraggio del provino. La prova di trazione per flessione viene effettuata su provini prismatici generalmente sollecitati a flessione su 3 punti; la resistenza a trazione viene calcolata in corrispondenza della fibra pi` u tesa in ipotesi di elasticit` a lineare e conservazione della sezione piana, sicch´e il valore risulta, in genere, sovrastimato. Nella prova di trazione per spacco (prova brasiliana) la resistenza si valuta su provini cilindrici sollecitati a compressione su due generatrici diametralmente opposte. In tal modo l’azione del carico determina uno stato di tensione biassiale con trazione normale alla direzione del carico applicato. Proprio per le difficolt` a di valutare sperimentalmente la resistenza a trazione, sono state messe a punto, e adottate dai codici normativi, diverse formulazioni per correlare la resistenza a trazione con quella a compressione, pi` u semplice da misurare sperimentalmente. Si riportano le formule suggerite dalla NTC 2008 per valutare la resistenza media a trazione diretta fctm in funzione della resistenza a compressione caratteristica: fctm = 0,30 · fck  fcm fctm = 2,12 · ln 1 + 10 2/3

per classi ≤ 50/60

(2.3)

per classi > C50/60

(2.4)

I valori caratteristici corrispondenti ai frattili 5% e 95% sono assunti, rispettivamente, pari a 0,7fctm , e 1,3fctm , pertanto la resistenza caratteristica risulta: (2.5) fctk = 0, 7 · fctm Il valore medio della resistenza a trazione per flessione si pu` o assumere in mancanza di sperimentazione amplificando la resistenza a trazione diretta: fcf m = 1, 2 · fctm

(2.6)

In generale si pu` o osservare che la resistenza a trazione aumenta in maniera meno che proporzionale di quella a compressione. La modellazione analitica del legame costitutivo deve partire ovviamente ` stato gi`a rilevato che il comportamento `e dalle osservazioni sperimentali. E lineare fino al 70% della resistenza a trazione, fct , ma uno scostamento sostanziale si osserva solo per tensioni superiori al 90% di fct . Una volta raggiunta la resistenza massima fct si osserva un ramo decrescente con un comportamento ancora lineare. Il comportamento del provino prima del picco pu` o essere descritto con un legame σct -ε, mentre il ramo di softening deve essere analizzato in termini di relazione σct -w (adesione coesiva). Le tensioni di trazione nel ramo discendente si chiamano “tensioni coesive” perch´e sono collegate ai fenomeni di ingranamento degli inerti nella fase di microfessurazione.

Materiali

37

La relazione σct -w pu` o essere interpretata fisicamente come il risultato di una prova di trazione dove si misura la deformazione in una zona qualsiasi del provino (punto B) e in corrispondenza della fessura (punto A) (fig. 2.6). La deformazione misurata `e uguale nei due punti fino al raggiungimento di una tensione pari alla resistenza a trazione, fct , poi la fessura si apre in corrispondenza del punto A e, mentre nel punto A la deformazione aumenta, nel punto B la deformazione decresce. σ σct

Strain A e B

fct

Strain gauge A Strain gauge A w

Strain gauge B

Gf Strain gauge B ε wc

0

σ w

Figura 2.6 Modello coesivo della fessurazione.

L’area al di sotto del ramo di softening del grafico tensione-deformazione ottenuto dall’estensimetro disposto in A si definisce energia di frattura Gf ed `e pari a: wc (2.7) Gf = σct (w)dw 0

dove wc `e l’apertura della fessura corrispondente all’annullamento della tensione di coesione (σct = 0, fig. 2.6). Il modello analitico della fessurazione coesiva `e rappresentato nella Figura 2.7 (Model Code, 1993). σct

σct

fct

fct

Gf

Ect 1 0,15fct εct (a)

w1

wc

w

(b)

Figura 2.7 Modello del legame costitutivo del calcestruzzo in trazione: (a) sezione integra (σct < fct ); (b) sezione fessurata (σct > fct ).

38

Capitolo 2

Una modellazione dell’apertura della fessura `e stata proposta da Hillerborg et al. (1976), e utilizzata anche dal Model Code-CEB (1993); l’apertura della fessura in fase di formazione corrisponde a una certa distribuzione di tensioni coesive di trazione, σct , sulla faccia di rottura della fessura (fig. 2.8).

fct

σct w

w

Figura 2.8 Modello di ampiezza di apertura della fessura in un materiale quasi fragile.

In particolare si assume che le tensioni coesive lungo l’interfaccia della fessura, σct siano una funzione decrescente dell’apertura della fessura, w, variabile lungo la sezione; la tensione coesiva diventa uguale alla resistenza a trazione a della fessura, dove w = 0. del calcestruzzo, fct , alla sommit` 2.1.3 Effetti della temperatura, ritiro e viscosit` a Quanto introdotto precedentemente prescinde dagli effetti ambientali e dal tempo, ma in taluni casi questi effetti possono produrre stati tensionali aggiuntivi o modificare quelli esistenti. In particolare la variazione di temperatura provoca distorsioni che su strutture iperstatiche danno origine a sollecitazioni la cui entit` a dipende dalla geometria della struttura stessa. Per valutare gli effetti della variazione di temperatura `e necessario conoscere il coefficiente di dilatazione termica del materiale, che per il calcestruzzo assume un valore medio di 10−5 ◦ C−1 . Le propriet` a fisiche del calcestruzzo comportano anche lo sviluppo di fenomeni dipendenti dal tempo (ritiro e viscosit` a) che, poich´e influenzano il comportamento strutturale, devono essere considerati nella progettazione. Il ritiro `e la diminuzione di volume dovuta alla perdita di acqua durante la maturazione del materiale. La deformazione da ritiro `e isotropa e si pu` o suddividere in due aliquote che si sommano: ritiro autogeno e ritiro per essiccamento.

Materiali

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L’aliquota dovuta al ritiro autogeno dipende fondamentalmente dalla miscela del calcestruzzo e pu`o essere sinteticamente valutata in funzione della resistenza a compressione; per un calcestruzzo di resistenza fck = 25 MPa assume a tempo infinito valori di circa 4 · 10−5 . Il ritiro per essiccamento dipende dalla geometria dell’elemento, dall’umidit` a e dalla temperatura ambientale e assume valori dello stesso ordine di grandezza di quello autogeno in condizioni normali, ma pu` o presentare notevoli variazioni in condizioni di umidit` a estreme. Negli elementi in calcestruzzo armato si pu` o assumere una deformazione inferiore per tenere conto della presenza dell’armatura, che tende a contrastare il fenomeno di ritiro. Un altro fenomeno che si sviluppa nel tempo e che caratterizza in modo sostanziale il comportamento del calcestruzzo `e la viscosit`a, a causa della quale in presenza di carichi di lunga durata, le deformazioni subiscono un incremento nel tempo rispetto al valore iniziale. Infatti quando si applica un carico a un elemento in calcestruzzo si possono manifestare tre tipi di deformazione (fig. 2.9): elastica, plastica e viscosa

ε

carico

scarico

tempo ε

elastica elastica differita viscosa plastica

deformazione reversibile deformazione irreversibile

tempo Figura 2.9 Deformazioni nel calcestruzzo al variare del tempo.

La deformazione viscosa non `e completamente reversibile a causa della componente plastica che modifica la microstruttura della matrice cementizia. Tuttavia per livelli di carico dell’ordine del 30 ÷ 40% della resistenza il fenomeno viscoso si pu`o assumere lineare e applicare il principio di sovrapposizione degli effetti; mentre per tensioni maggiori l’evoluzione della microfessurazione rende non trascurabili effetti non lineari.

40

Capitolo 2

L’intensit` a del fenomeno viscoso dipende da numerosi fattori: composizione del calcestruzzo, geometria dell’elemento strutturale, umidit` a e temperatura ambientale, et`a del calcestruzzo al momento dell’applicazione del carico, tipo e livello dello stato tensionale. Quando il materiale `e sollecitato in campo elastico e lo stato tensionale `e pressoch´e costante o aumenta in maniera monotona, le deformazioni viscose in linea di massima assumono valori pari a 2 o 3 volte quelli delle deformazioni istantanee elastiche e possono essere calcolate con metodologie semplificate. In particolare si pu` o assumere che, sotto carico costante nel tempo (fig. 2.10a), la deformazione viscosa sia pari a una aliquota della deformazione elastica dovuta al carico applicato al tempo t0 , secondo l’espressione seguente (fig. 2.10b): εv (t, t0 ) = ϕ (t, t0 ) ·

σ(t0 ) E(t0 )

(2.8)

La NTC 2008 fornisce i valori del coefficiente ϕ(∞, t0 ) a tempo infinito per valutare la deformazione viscosa del calcestruzzo in diverse condizioni di umidit` a ambientale (tab. 2.1 e 2.2), in base al tempo t0 di applicazione del carico e alla dimensione fittizia h0 della sezione espressa come rapporto 2Ac /u, essendo Ac l’area della sezione e u il perimetro esposto all’aria. (a) σ

σ(t0) t

t0

tempo

(b) ε εv(t0) = ϕ(t, t0) . εel(t0)

εel(t0) = t0

t

σ(t0) E(t0)

tempo

Figura 2.10 Modellazione dell’andamento delle deformazioni nel calcestruzzo compresso nel tempo.

Materiali

41

Tabella 2.1 Valori di ϕ(∞, t0 ) per atmosfera con umidit` a relativa di circa il 75% h 0 ≤ 75mm 3,5 2,9 2,6 2,3 2,0

t0 3 giorni 7 giorni 15 giorni 30 giorni ≥ 60 giorni

h 0 = 150mm 3,2 2,7 2,4 2,1 1,8

h 0 = 300mm 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7

h 0 ≥ 75mm 2,8 2,3 2,1 1,8 1,6

Tabella 2.2 Valori di ϕ(∞, t0 ) per atmosfera con umidit` a relativa di circa il 55% h 0 ≤ 75mm 4,5 3,7 3,3 2,9 2,5

t0 3 giorni 7 giorni 15 giorni 30 giorni ≥ 60 giorni

h 0 = 150mm 4,0 3,3 3,0 2,6 2,3

h 0 = 300mm 3,6 3,0 2,7 2,3 2,1

h 0 ≥ 75mm 3,3 2,8 2,5 2,2 1,9

2.1.4 Legami costitutivi pluriassiali Prima di introdurre il comportamento del calcestruzzo in presenza di uno stato tensionale pluriassiale si deve ricordare che sotto l’azione di una tensione monoassiale, oltre alla deformazione nella direzione della tensione applicata, nasce una deformazione trasversale. Nel caso di compressione monoassiale questa deformazione trasversale mostra un andamento non lineare in funzione della tensione applicata analogo a quello della deformazione longitudinale (fig. 2.11). 1,00

0,75

Deformazione volumetrica

σ/σmax

Deformazione trasversale

Deformazione longitudinale

0,50

0,25

0

6

4 2 Trazione

0

2 ε . 10−4

4

6

8 10 Compressione

Figura 2.11 Deformazione longitudinale e trasversale del calcestruzzo compresso.

12

42

Capitolo 2

Nel caso di uno stato tensionale biassiale si verifica che, in caso di compressione trasversale, la resistenza a compressione si incrementa fino a circa il 30%, mentre quella a trazione diminuisce; la presenza di tensione di trazione trasversale invece lascia praticamente inalterata la resistenza a trazione e riduce in modo sostanziale quella a compressione. Nella Figura 2.12 `e rappresentato il dominio resistente biassiale descritto dalla formulazione di Kupfer & Gerstle (1973). − 0,2

σ2/σmax

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

− 0,2

− 0,2 − 0,4

σ1

− 0,6 σ2

σ2

− 0,8 σ1

− 1,0 − 1,2

σ1/σmax

Figura 2.12 Legame biassiale di Kupfer & Gerstle (1973).

Nel caso di un legame triassiale `e importante sottolineare che la compressione laterale determina un sostanziale miglioramento del comportamento nella direzione longitudinale di applicazione del carico sia in termini di resistenza sia di capacit`a deformativa ultima. Infatti nella Figura 2.13 si osserva l’incremento della resistenza e della duttilit` a delle curve tensionedeformazione in una direzione, quando si applica anche una compressione trasversale; tale effetto `e crescente all’aumentare della tensione trasversale applicata. L’osservazione della dilatazione trasversale in un elemento compresso e dell’effetto benefico della tensione trasversale consentono di comprendere il ben noto effetto delle staffe in acciaio negli elementi in calcestruzzo armato (c.a.). Infatti negli elementi in c.a. compressi, le staffe esercitano una compressione laterale con un’azione di confinamento passivo che aumenta al crescere della dilatazione trasversale del calcestruzzo compresso. L’efficacia di tale azione dipende principalmente dal diametro delle staffe, dalla loro disposizione longitudinale (passo), dalla distanza delle barre longitudinali a cui le staffe sono

Materiali

28,2 MPa

120 100 80

13,9 MPa

Compressione trasversale

60

σ

longitudinale (MPa)

43

7,52 MPa 40 3,79 MPa 20

Calcestruzzo non confinato fc = 25,2 MPa 0

0,01

0,02

0,03 ε

0,04

0,05

0,06

0,07

longitudinale

Figura 2.13 Legame costitutivo del calcestruzzo compresso in presenza di compressione trasversale.

collegate e dall’efficacia dei collegamenti tra i ferri longitudinali, come evidenziato nella Figura 2.14, che mostra la presenza di zone di calcestruzzo non confinato in funzione dei suddetti parametri, di cui si parler` a in dettaglio nel Capitolo 5.

Calcestruzzo non confinato s

Copriferro Figura 2.14 Effetto di confinamento delle staffe.

x z

44

Capitolo 2

Numerosi studi sperimentali hanno mostrato che la modifica del legame costitutivo del calcestruzzo a seguito del fenomeno di confinamento dovuto alle staffe pu`o risultare essenziale per una corretta valutazione della sicurezza strutturale, sia in termini di resistenza per taluni problemi sia soprattutto in termini di duttilit` a. Si deve sottolineare che attualmente questo aspetto entra esplicitamente nella progettazione delle strutture in zona sismica attraverso indicazioni sulle modalit` a di esecuzione dei dettagli costruttivi relativi alle staffe, sulla disposizione dei ferri longitudinali e sull’uso di legature per rendere efficace il confinamento e incrementare cos`ı la duttilit` a del calcestruzzo compresso. Modelli sofisticati consentono di interpretare bene il comportamento sperimentale del calcestruzzo compresso includendo anche gli effetti del confinamento. Tra questi si ricorda il legame di Mander et al. (1988); in cui l’incremento di resistenza e duttilit` a dovuto al confinamento dipende dalla percentuale di staffe e dalla loro disposizione geometrica in relazione ai ferri longitudinali e alle legature. Un tipico legame costitutivo del calcestruzzo confinato si presenta qualitativamente come quello riportato nella Figura 2.15, dove `e confrontato con quello non confinato; gli incrementi di resistenza e duttilit` a possono essere notevoli e influenzare il comportamento strutturale soprattutto degli elementi prevalentemente compressi, quali i pilastri. In questo legame costitutivo la tensione massima fcc e la deformazione ultima εccu dipendono dalla percentuale geometrica volumetrica di staffe nelle due direzioni ortogonali ρx e ρy .

Calcestruzzo confinato

Rottura delle staffe

fcc Esec

Ec fc

Calcestruzzo non confinato Legame copriferro εc0 2εc0 εsp ft'

εcc

εccu ε

Figura 2.15 Confronto tra legame costitutivo del calcestruzzo confinato e non confinato.

In particolare la deformazione ultima si pu` o assumere pari a: εccu = 0,004 + 0,003 · (ρx + ρy ) · fy essendo fy la tensione di snervamento delle staffe.

(2.9)

Materiali

45

Anche nell’EC2 2004 viene fornita una formulazione per considerare l’effetto del confinamento che non `e molto diversa dal legame di Mander et al. (1988). Poich´e il confinamento consente di incrementare la duttilit` a del calcestruzzo, nell’Eurocodice 8 (2003) che si occupa di costruzioni in zona sismica per le quali la duttilit` a `e una risorsa fondamentale per la risposta della struttura, la deformazione ultima del calcestruzzo confinato viene fornita con una formula analoga a quella indicata da Mander et al. (1998). In particolare in accordo con la simbologia del suddetto codice, la deformazione ultima del calcestruzzo `e: (2.10) εccu = 0,0035 + 0,1 · α · ωwd essendo ωwd la percentuale meccanica delle staffe, che, secondo quanto introdotto in precedenza, equivale a ωwd = (ρx + ρy ) · fy /fc , dove le resistenze dei materiali devono essere quelle di progetto, mentre α `e un coefficiente che dipende dalla disposizione delle staffe in funzione del passo, della posizione e del numero dei ferri longitudinali a cui sono collegate; la (2.10) `e illustrata in dettaglio nel Capitolo 5 anche con applicazioni numeriche. Calcolando α per i valori minimi di armatura trasversali prescritti nella NTC 2008 e con riferimento a una sezione quadrata di lato 500 mm e a un calcestruzzo di resistenza fck =20 MPa, l’aliquota di deformazione dovuta al confinamento (cio`e il secondo contributo dell’espressione) risulta analogo a quello calcolato con la (2.9). Tuttavia si osserva che attraverso la formula dell’EC2 2004 la deformazione ultima pu` o essere incrementata oltre che con il volume delle staffe anche mediante la disposizione delle armature longitudinali, e che all’aumentare della resistenza del calcestruzzo l’effetto diminuisce. Quest’ultimo aspetto `e coerente con il fatto che la dilatazione trasversale del calcestruzzo nella fase post-elastica risulta decrescente con la resistenza.

2.2 Acciaio di armatura L’acciaio utilizzato per la costruzione di strutture in calcestruzzo armato `e una lega di ferro e carbonio prodotta in forma di barre. I diametri disponibili sul mercato europeo sono numerosi e attualmente presentano una misura pari espressa generalmente in millimetri. L’identificazione dell’acciaio di armatura riguarda anche la tipologia di superficie dell’acciaio, in quanto si distinguono barre con superficie liscia e barre con superficie dotata di risalti per ottenere un effetto di miglioramento dell’aderenza tra acciaio e calcestruzzo. Le barre lisce sono state utilizzate diffusamente fino agli anni settanta, quando la tecnologia ha permesso di immettere sul mercato le barre ad aderenza migliorata, in quanto si `e dimostrato, sulla base di studi sperimentali e analisi teoriche, che forniscono una migliore risposta strutturale sotto vari aspetti legati fondamentalmente al meccanismo di aderenza, di cui si parler` a successivamente. Il trattamento superficiale non influenza il comportamento meccanico della barra nuda che presenta un legame

46

Capitolo 2

costitutivo uguale in trazione e in compressione, anche se in questo secondo caso il comportamento meccanico `e governato dal fenomeno dell’instabilit` a, per cui raramente si percorre l’intero legame costitutivo. Si deve anche sottolineare che il coefficiente di dilatazione termica `e quasi uguale a quello del calcestruzzo (10−5 ◦ C−1 ), e questo consente di non avere stati di coazione tra acciaio e calcestruzzo negli elementi in c.a. per effetto delle variazioni termiche. 2.2.1 Comportamento in trazione Le prove sperimentali sull’acciaio evidenziano in generale in trazione un comportamento elastico lineare fino allo snervamento, seguito da una fase plastica che si presenta diversa a secondo del tipo di acciaio. Nel caso di acciai del tipo cold worked, in corrispondenza dello snervamento, il legame presenta un gomito con successivo incrudimento, mentre gli acciai del tipo heat treated mostrano dopo lo snervamento un tratto plastico e un successivo incrudimento (incremento di tensione) fino alla rottura. In entrambi i casi la rottura `e preceduta dalla strizione della barra. Nella Figura 2.16 `e riportato un legame costitutivo tensione-deformazione sperimentale per un acciaio tipo heat treated e nella Figura 2.17 si osserva la strizione che si verifica in condizioni di rottura. 500

σ (MPa)

400 300 200 100 0 0

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30 ε

Figura 2.16 Legame costitutivo sperimentale dell’acciaio in trazione (tipo heat-treated).

Anche per l’acciaio, come per il calcestruzzo, la caratterizzazione in soli termini di resistenza non `e sufficiente, attesa l’importanza dei requisiti di duttilit` a delle strutture. Pertanto i parametri sperimentali che caratterizzano l’acciaio sono la tensione di snervamento fy , la tensione di rottura ft e la deformazione ultima εu , essendo il modulo elastico Es praticamente una costante. Il rapporto

Materiali

(a)

47

(b)

Figura 2.17 Fenomeno della strizione e rottura di una barra in trazione.

ft /fy rappresenta un indice della capacit` a di incrudimento, che condiziona significativamente il comportamento strutturale, soprattutto in zona sismica. o essere effettuata in diversi La definizione della deformazione ultima εu pu` modi in quanto, sebbene l’ente fisico misurato sia sempre la variazione della distanza tra due punti posti a una distanza Δl iniziale nota, la sua misura in condizioni ultime risulta profondamente influenzata dalla presenza o meno del fenomeno della strizione nel tratto di barra individuato da questi due punti. Se da un lato si definiscono le deformazioni εs,5φ e εs,10φ , riferite rispettivamente a una base di misura pari a 5 e 10 volte il diametro a cavallo della strizione, dall’altro si definisce la deformazione uniforme εu , generalmente misurata su una base pari a 5 volte il diametro fuori dalla zona di strizione e a una conveniente distanza dalla zona di ammorsamento del provino nelle ganasce della macchina di prova. Per quanto riguarda la modellazione analitica del legame costitutivo, il modello pi` u semplice adottato da numerosi codici `e il legame elasto-plastico ideale. Leggi analitiche pi` u sofisticate possono essere impiegate per analisi pi` u dettagliate (CEB 1998). La formulazione secondo il modello di Ramberg e Osgood, che appare molto adatta a simulare la relazione tensione-deformazione delle barre lavorate a freddo (cold worked ), ha la seguente espressione analitica (fig. 2.18):  ft εu − Es ln 

n σ fy σ 0,002  ; B= + n= (2.11) ε= ft Es B 0,002(1/n) ln fy Un secondo tipo di relazione tensione-deformazione si dimostra invece pi` u idoneo a rappresentare il comportamento delle barre trafilate e trattate a cal-

48

Capitolo 2

ft fy

εu

ε

Figura 2.18 Legame costitutivo dell’acciaio secondo il modello Ramberg-Osgood.

do (heat treated ) e pu` o essere descritto dalla seguente espressione analitica riportata nella Figura 2.19: σ = Es · ε σ = fy

per ε < εy per εy < ε < εsh

(2.12) (2.13)

σ = fy + (fu − fy ) · [1 − e(εsh −ε)/k ] εsh − εs,u k = 0,028 · εsh − 0,16

per ε > εsh

(2.14)

dove εsh`e la deformazione alla fine del ramo piatto che precede l’incrudimento e εy `e la deformazione allo snervamento. σ ft fy

εsh

εu

ε

Figura 2.19 Legame costitutivo tipico per l’acciaio lavorato a caldo (heat treated).

Anche per l’acciaio i valori della tensione di snervamento e di rottura da considerare nella progettazione sono quelli caratteristici, cio`e corrispondenti a una

Materiali

49

probabilit` a del 5% di essere minorati e sono indicati rispettivamente con i simboli fyk e ftk . Per quanto riguarda gli acciai da utilizzare nella progettazione delle strutture in calcestruzzo armato, la NTC 2008 indica due qualit` a di acciaio: B450A e B450C. Entrambi devono avere una tensione di snervamento caratteristica minima di 450 MPa, ma si differenziano per il rapporto di incrudimento e la deformazione a rottura, ovvero per i parametri che ne definiscono la duttilit` a. In particolare per tali parametri la normativa fornisce una definizione con significato probabilistico indicando il frattile del 10% come valore caratteristico del rapporto di incrudimento (ft /fy )k e della deformazione ultima indicata con il simbolo (Agt )k . L’acciaio B450A `e caratterizzato da un rapporto di incrudimento minimo (frattile 10% inferiore) e massimo (frattile 10% superiore) e da una deformazione ultima pari rispettivamente a 1,05, 1,25 e 2,5%; l’acciaio B450C invece presenta per gli stessi parametri i valori di 1,15, 1,35 e 7,5%. Infine nella suddetta norma viene sottolineato anche il concetto di limitare la differenza tra la tensione di snervamento caratteristica, utilizzata per valutare la resistenza di progetto delle strutture, e il suo valore nominale; infatti un’eccessiva sovra-resistenza non rappresenta una garanzia di maggiore sicurezza, ma sicuramente introduce una maggiore aleatoriet`a della coerenza del comportamento della struttura con il modello di calcolo allo Stato Limite Ultimo (SLU), in cui `e importante il comportamento post-elastico e la conseguente ridistribuzione di tensioni e sollecitazioni. In particolare il rapporto (fy /fynom )k , riferito a un frattile del 10%, non deve essere maggiore di 1,25. Maggiori dettagli sul legame costitutivo dell’acciaio previsto dalla NTC 2008 sono forniti nel Capitolo 4. 2.2.2 Comportamento in compressione Il comportamento dell’acciaio in compressione `e teoricamente uguale a quello in trazione, anche se raramente il legame costitutivo in compressione viene percorso interamente poich´e si manifestano fenomeni di instabilit` a prima del raggiungimento della crisi per superamento della resistenza. Gli effetti della instabilit` a delle barre sono esemplificati nella Figura 2.20a dove si confronta una prova di trazione con tre prove di compressione sullo stesso tipo di barra e con tre lunghezze del provino in termini di rapporto lunghezza/diametro, L/D. Si osserva che dopo lo snervamento la barra in compressione non riesce a percorrere la stessa curva di quella in trazione e presenta un ramo discendente per una deformazione pi` u bassa all’aumentare della snellezza. Nella Figura 2.20b si pu` o osservare la deformazione della barra instabilizzata in campo plastico. Si deve tuttavia sottolineare che il fenomeno dell’instabilit` a in compressione delle barre nelle strutture in calcestruzzo armato non influenza il calcolo della resistenza flessionale della sezione allo Stato Limite Ultimo poich´e la presenza del calcestruzzo e delle armature trasversali consente comunque il raggiungimento della tensione di snervamento nelle armature compresse.

50

Capitolo 2

(a)

(b)

500

Tensione (MPa)

400

Trazione

300

Compressione L/D = 6

200 Compressione L/D = 8 100 0 0,00

Compressione L/D = 11 0,05

0,10 Deformazione

0,15

0,20

Figura 2.20 (a) Legame costitutivo di barre in acciaio compresse; (b) barra deformata.

2.3 Aderenza acciaio-calcestruzzo Il trasferimento degli sforzi tra la barra di armatura e il calcestruzzo avviene al livello dell’interfaccia ed `e influenzato dalle caratteristiche della superficie della barra, che pu` o essere corrugata (barre ad aderenza migliorata) o liscia, e dalla composizione del calcestruzzo (dimensione e tipo di inerte, rapporto acqua/cemento, rapporto inerte/cemento). Tuttavia il problema pu` o essere affrontato a un livello macroscopico, come gi` a `e stato fatto per il comportamento del calcestruzzo in termini di legame tensione-deformazione, introducendo un macro legame tra la tensione tangenziale all’interfaccia (tensione di aderenza τb ) e lo spostamento relativo tra la barra di acciaio e il calcestruzzo (scorrimento s). In questo macro-legame si tiene conto in modo globale dei meccanismi che si verificano a livello microscopico all’interfaccia e degli effetti dei diversi parametri che influenzano il fenomeno. 2.3.1 Modello fisico del legame di aderenza Lo studio del meccanismo di aderenza tra acciaio e calcestruzzo `e strettamente legato all’introduzione di un modello fisico che ne descriva il comportamento reale e alla successiva rappresentazione analitica dello stesso. A tale proposito si pu` o affermare che per valori bassi delle sollecitazioni esiste una perfetta adesione, di tipo chimico-fisico, tra matrice cementizia e barra di acciaio; al crescere del carico, si verifica la fessurazione dell’interfaccia e si innesca un meccanismo resistente costituito da bielle di calcestruzzo inclinate di un angolo θ rispetto all’asse della barra (fig. 2.21). La componente tangenziale dello sforzo esercitato dalla biella costituisce la tensione tangenziale τb , mentre la componente radiale (τb · tan θ) sollecita gli anelli di calcestruzzo concentrici alla barra, instaurando in essi uno stato tensionale di trazione.

Materiali

Trazioni circonferenziali

51

Regione non fessurata Regione fessurata

N θ

τb

Azioni sul calcestruzzo τb tanθ

Azioni sul calcestruzzo Figura 2.21 Meccanismo resistente di aderenza per barre ad aderenza migliorata.

Il legame di aderenza si sviluppa completamente quando la crisi avviene per collasso delle bielle resistenti con conseguente formazione di un cilindro costituito dalla barra e dal calcestruzzo circostante, che scorre internamente all’elemento in c.a. (crisi per pull-out). Tuttavia prima di arrivare a questa condizione, la crisi dell’aderenza si pu` o manifestare prematuramente quando le fessure longitudinali, dovute alla distribuzione anulare delle trazioni, raggiungono la superficie esterna dell’elemento (crisi per splitting). Sulla base delle prove sperimentali effettuate da diversi studiosi, il legame o essere rappresentato in maniera qualitativa con il diadi aderenza τb − s pu` gramma riportato nella Figura 2.22 introdotto da Tassios (1979), in cui sono indicate le diverse modalit` a di rottura che possono manifestarsi e sono evidenziate le differenze di comportamento tra barre ad aderenza migliorata e barre lisce. τb Possibili (τb, s) per barre lisce

Possibili (τb, s) per barre nervate C

τbu ° B

τbu

τbr

τbA

A

τb0

τbr Splitting completo

0

Splitting completo s (split)

Figura 2.22 Modello teorico del legame di aderenza (Tassios, 1979).

52

Capitolo 2

In tale diagramma si possono individuare alcuni valori significativi della τb . In particolare il valore limite della tensione tangenziale di adesione, τbA , segnala l’innescarsi del fenomeno di microfessurazione all’interfaccia acciaiocalcestruzzo, mentre il valore limite della tensione tangenziale di aderenza, τbu , contraddistingue l’attingimento della crisi del legame. Il valore limite della tensione di aderenza residua, τbr , caratterizza la fase immediatamente precedente al collasso definitivo del legame con il distacco del cilindro di calcestruzzo. Passando all’esame dettagliato del legame si osserva un primo tratto, fino a τb0 , dove si manifestano valori di scorrimento dell’ordine di pochi micron, tali da potersi considerare praticamente nulli. La natura del legame in questa fase `e di tipo chimico-fisico e dipende anche dalla geometria della superficie di acciaio (interlocking chimico-fisico). La tensione di adesione τb0 presenta per calcestruzzi ordinari valori compresi tra 0,4 e 1,0 MPa. Per tensioni tangenziali di poco maggiori della τb0 (nel grafico fino alla τbA ), il meccanismo `e di tipo sostanzialmente attritivo ed `e legato al contributo dell’ingranamento degli inerti nelle nervature (interlocking meccanico) nel caso di barre ad aderenza migliorata. In tutta questa prima fase il legame `e molto rigido poich´e non si `e ancora sviluppata una fessurazione all’interfaccia e quindi i valori degli scorrimenti si possono considerare trascurabili; in queste condizioni il meccanismo di aderenza `e influenzato principalmente dalla tipologia di calcestruzzo e dalle sue modalit` a di confezionamento, in quanto le modalit` a di maturazione e l’effetto del ritiro possono creare un regime tensionale di compressione normale alla superficie della barra. Inoltre in tale fase hanno una certa influenza la presenza di armatura di confinamento, lo spessore del copriferro e le modalit` a di carico. Al raggiungimento della tensione τbA si innesca all’interfaccia acciaiocalcestruzzo una microfessurazione diffusa; ci`o comporta che la rigidezza del calcestruzzo all’interfaccia diminuisce progressivamente con incrementi di scorrimento sempre maggiori a parit` a di incremento di carico. La misura sperimentale della tensione limite di adesione τbA non si presenta facile, ma una sua misura approssimata `e proprio data dalla tensione di resistenza a trazione del calcestruzzo. Per poter meglio comprendere l’innesco e lo sviluppo dei fenomeni di microfessurazione all’interfaccia tra acciaio e calcestruzzo `e necessario valutare la distribuzione delle tensioni nel calcestruzzo che circonda la barra e che dipendono sia dalle condizioni di sollecitazione, sia dalle condizioni al contorno (fig. 2.23). Lo stato tensionale del calcestruzzo all’interfaccia con la barra al momento della fessurazione (fig. 2.23) `e caratterizzato da tensioni di trazione nel calcestruzzo parallele alla barra di acciaio, σx , da tensioni di trazione nel calcestruzzo normali all’asse della barra, σy , e da tensioni tangenziali, τb ; si generano inoltre anche delle tensioni di trazione σt (legate alle σy ) negli anelli di calcestruzzo concentrici alla barra. Per effetto di questo regime tensionale al crescere della sollecitazione nell’acciaio si innescano due fenomeni fessurativi:

Materiali

53

σy σx

σt τ σs

Figura 2.23 Stato tensionale all’interfaccia acciaio-calcestruzzo.

1. formazione di fessure diagonali a partire dall’interfaccia a causa del raggiungimento di una tensione principale di trazione maggiore della resistenza del calcestruzzo, fct , su di una giacitura inclinata all’incirca di 45◦ (diagonal cracking), che individuano bielle compresse. 2. formazione di fessure radiali ortogonali alla barra dovute alla crisi per trazione (σt > fct ) degli anelli di calcestruzzo che avvolgono la barra (radial cracking o innesco dello splitting). Le sperimentazioni mostrano che, a parit` a di scorrimento, la tensione radiale σt `e, in genere, molto minore delle tensioni principali che nascono lungo le diagonali, per cui la formazione delle fessure diagonali dovrebbe in ogni caso precedere eventuali fenomeni di crisi per splitting. Il meccanismo resistente descritto si forma anche nel caso di barre lisce; le bielle compresse inclinate all’incirca di 45◦ rispetto all’asse della barra, esercitano uno sforzo di compressione sull’acciaio, le cui componenti tangenziali sono le τb . Tuttavia quando la superficie delle barre `e liscia il meccanismo di trasferimento per interlocking `e profondamente degradato e viene sostituito progressivamente da un meccanismo di trasferimento di tipo attritivo. ◦ (fig. 2.22), Incrementando ulteriormente le sollecitazioni, si raggiunge la τbu che rappresenta la resistenza ultima per le barre lisce. Per tale livello di tensione tangenziale, qualora non sopraggiunga la crisi per splitting, si verifica la crisi per pull-out dovuta al superamento della resistenza attritiva causata dal progressivo degrado dell’interfaccia acciaio-calcestruzzo al crescere degli scorrimenti. In tale caso il legame decade rapidamente imboccando, a seconda delle modalit` a di rottura, uno dei rami decrescenti indicati nella Figura 2.22. Qualora la crisi avvenga per splitting, il degrado `e molto rapido e non vi `e resistenza residua. La crisi per splitting `e caratterizzata dalla rottura degli anelli di calcestruzzo che avvolgono la barra per superamento della loro resistenza a trazione con conseguente formazione di fessure longitudinali che, raggiungen-

54

Capitolo 2

do la superficie esterna dell’elemento strutturale, comportano il collasso del meccanismo di aderenza (fig. 2.24). Lesione da splitting Trazione circonferenziale

Figura 2.24 Trazioni circonferenziali negli anelli di calcestruzzo e fessurazione lungo la barra (rottura per splitting ).

Per valutare la resistenza di tali anelli, si possono formulare tre diverse ipotesi di condizione ultima schematizzate nella Figura 2.25: 1. che essa sia raggiunta quando si attinge la resistenza a trazione fctm nella fibra circonferenziale pi` u tesa di calcestruzzo, cio`e quella adiacente alla barra (fig. 2.25a); 2. che essa sia raggiunta quando, estesasi la fessurazione fino a un certo tratto dello spessore dell’anello, nella prima fibra circonferenziale ancora integra si attinge la resistenza fctm (fig. 2.25b); 3. che essa sia raggiunta in corrispondenza della plasticizzazione (raggiungimento della resistenza fctm ) dell’intero spessore dell’anello (fig. 2.25c). fctm

fctm

fctm

c (a)

(b)

(c)

Figura 2.25 Stato tensionale in condizioni di splitting.

Nel grafico riportato nella Figura 2.26, in ordinata `e riportato il rapporto τbs /fctm tra la tensione di aderenza limite per crisi da splitting e la resistenza a trazione del calcestruzzo, mentre in ascissa `e riportato il rapporto geometrico c/φ tra il copriferro e il diametro della barra.

Materiali

55

τbs/fctm 9

fet ta, ipo tes i

c)

8 7

ità

per

6

stic

Eligehausen

Pla

5 4 3

Ipo

)

ib

tes

2 1

Elasticità, ipotesi a)

0

1

2

3

4

5

6

c/φ

Figura 2.26 Valutazione della tensione tangenziale limite τbs in funzione del rapporto c/φ.

Un’analisi elastica agli elementi finiti svolta da Eligehausen (1983) a partire dall’ipotesi che la crisi per splitting avvenga quando la trazione media circonferenziale calcolata su uno spessore di anello pari a 0,5 · φ raggiunge il valore della resistenza a trazione del calcestruzzo, ha condotto alla relazione:  c (2.15) τbs = fctm · 1,3175 · φ che ben interpreta i risultati sperimentali come si evince dai confronti nella Figura 2.26 (curva tratteggiata), in cui sono riportati anche gli andamenti delle funzioni corrispondenti alle tre ipotesi (1, 2 e 3) di situazione ultima illustrate nella Figura 2.25. In conclusione utilizzando l’espressione (2.15) suggerita da Eligehausen (1983) per un calcestruzzo con resistenza cilindrica fc = 30 MPa, si ottiene, per c/φ = 1,5 un valore della τbs pari a 3,12 MPa. Anche per le barre ad aderenza migliorata, se le condizioni geometriche e meccaniche consentono di non avere una crisi prematura per splitting, si ◦ e il collasso si verifica con la rottura per comraggiunge il valore ultimo τbu pressione delle bielle di calcestruzzo delimitate da due fessure consecutive. Questa modalit` a di crisi viene indicata come pull-out poich´e si conclude con l’estrazione della barra dal calcestruzzo. Per un calcestruzzo di resistenza ca-

56

Capitolo 2

◦ ratteristica a compressione cubica pari a 30 MPa il valore della τbu `e di circa 10 ÷ 15 MPa. Nel caso di barre ad aderenza migliorata, il meccanismo di aderenza ha maggiori capacit` a di resistenza e rigidezza. In particolare, la differenza `e sintetizzabile in due punti:

• l’interlocking tra inerti e nervature della barra `e pi` u efficace rispetto al fenomeno analogo che si verifica nelle barre lisce e tende a degradarsi meno rapidamente; • le bielle di calcestruzzo contrastano con i denti delle nervature dando luogo a delle plasticizzazioni locali (fig. 2.27).

Denti di calcestruzzo

F

F + ΔF

Figura 2.27 Effetto locale delle barre ad aderenza migliorata.

Le sperimentazioni disponibili mostrano che la crisi avviene con un rapido decadimento del legame di aderenza sino al raggiungimento di una tensione residua τbr che rimane in pratica costante, mentre gli scorrimenti acciaio-calcestruzzo continuano ad aumentare rapidamente. Il meccanismo resistente in questa fase ultima `e puramente attritivo e anticipa lo sfilamento della barra. Nel caso di barre ad aderenza migliorata il pullout avviene con lo sfilamento di un cilindro costituito dalla barra di acciaio e dalle bielle di calcestruzzo tranciate (fig. 2.28a). Il meccanismo resistente che si oppone a questo scorrimento `e costituito dall’attrito calcestruzzo-calcestruzzo lungo la superficie fessurata che delimita il cilindro interno e la matrice esterna di calcestruzzo. (a)

N

(b)

N Barre ad aderenza migliorata

Figura 2.28 Crisi per pull-out delle barre.

Barre lisce

Materiali

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Il valore della resistenza residua τbr `e calcolabile partendo dalla condizione di tranciamento delle bielle di calcestruzzo e assumendo un opportuno coefficiente di attrito calcestruzzo-calcestruzzo; in tale ipotesi si pu`o porre che τbr = 0, 12 · fc , a cui si possono aggiungere come termini additivi i contributi relativi a una eventuale pressione di confinamento. Nel caso, per esempio, di un calcestruzzo con resistenza cilindrica fc = 30 MPa si ottiene τbr = 3, 6 MPa. Nel caso di barre lisce, invece, si ha che il meccanismo resistente `e legato all’attrito acciaio-calcestruzzo connesso allo scorrimento della sola barra di acciaio rispetto alla matrice cementizia e quindi assume valori pi` u modesti (fig. 2.28b).

2.3.2 Modello teorico per il legame di aderenza Per quanto riguarda la modellazione del legame di aderenza, la relazione teorica tra tensioni di aderenza e scorrimento proposta da Bertero-EligehausenPopov (1983) `e pi` u raffinata rispetto ad altri legami che si ritrovano in letteratura, sia per il dettaglio con cui sono state eseguite le prove su cui `e stato calibrato, sia per l’ampio spettro di variabilit` a dei parametri analizzati. Occorre infatti considerare che le modalit` a di prova influiscono sul risultato soprattutto per le differenti condizioni di sollecitazione del calcestruzzo. In particolare nelle prove sperimentali di aderenza realizzate su tiranti o attraverso lo schema del beam test, il calcestruzzo intorno alla barra viene sollecitato solo dalle tensioni trasferite dalla barra stessa, mentre se si esegue la prova utilizzando la procedura di pull-out il calcestruzzo risulta anche compresso da una azione esterna. Sebbene quest’ultima condizione sia meno rispondente alle effettive condizioni di lavoro della barra in acciaio, tuttavia, poich´e si tratta di una procedura sperimentale pi` u semplice e meno influenzata da imperfezioni del sistema di prova, rappresenta la modalit` a pi` u comune di esecuzione delle prove, ed `e quella su cui sono stati tarati i modelli di legami di aderenza disponibili in letteratura. Le prove di aderenza su cui si basa il legame di Bertero et al. (1983) sono state effettuate mediante la procedura di pull-out su elementi dotati delle seguenti caratteristiche: • • • • • • •

diametro delle barre: 25 mm resistenza del calcestruzzo: fc = 30 MPa; interasse tra le barre: 4 φ; armatura di confinamento: presente; compressione trasversale: assente; velocit`a di deformazione nelle barre: 1,7 mm/min; posizione della barra rispetto al getto: orizzontale.

58

Capitolo 2

La schematizzazione del legame `e riportata nella Figura 2.29 e la sua formulazione analitica `e la seguente: τb = τ1 · (s − s1 )a τb = τ1 τ 1 − τ3 τb = τ1 − · (s − s2 ) s1 − s3 τb = τ3

s ≤ s1 s1 ≤ s ≤ s2

(2.16) (2.17)

s2 ≤ s ≤ s3

(2.18)

s ≥ s3

(2.19)

τb τ1

τ3

s1

s2

s3

s

Figura 2.29 Legame di aderenza acciaio-calcestruzzo proposto da Bertero et al. (1983).

I parametri che caratterizzano il legame di aderenza in una zona di elemento lontana dagli estremi o da sezioni fessurate in cui possono nascere effetti locali di degrado assumono i valori indicati nella Tabella 2.3 relativi a un legame integro. Tabella 2.3 Valori significativi dei parametri presenti nel legame B.E.P. s1 s2 s3 τ1 τ3 A

(mm) (mm) (mm) (N/mm2 ) (N/mm2 )

Legame integro 1,0 3,0 10,5 13,5 5,0 0,4

Per condizioni di carico diverse da quelle di prova si possono utilizzare dei fattori correttivi, mentre per la zona di calcestruzzo vicina agli estremi dell’elemento, che per una trave pu` o corrispondere a una sezione fessurata, si pu` o

Materiali

59

assumere una formulazione degradata del legame per una distanza dall’estremo pari a circa 5 volte il diametro della barra. La NTC 2008 fornisce invece delle indicazioni sui requisiti dei risultati di eventuali prove di aderenza: τm

≥ 0, 098(80 − 1, 2φ)

(2.20)

τr

≥ 0, 098(130 − 1, 9φ)

(2.21)

essendo φ il diametro della barra in mm, τm il valor medio della tensione di aderenza in MPa calcolata in corrispondenza di uno scorrimento pari a 0,01, 0,1 e 1 mm; e τr la tensione di aderenza massima al collasso. ` importante inoltre sottolineare che il fenomeno dell’aderenza non solo E determina il comportamento strutturale degli elementi in c.a. (par. 2.3.4), ma anche la definizione di alcuni dettagli costruttivi tra cui il pi` u importante `e la “lunghezza di ancoraggio”, cio`e il tratto terminale di una barra tesa, misurato oltre la sezione nella quale la barra viene ritenuta efficace nella valutazione della resistenza della sezione stessa. In accordo con l’approccio allo Stato Limite Ultimo si assume che nella barra di acciaio possa esservi al massimo la tensione di calcolo, fyd , pari alla tensione caratteristica di snervamento, fyk , divisa per il coefficiente parziale di sicurezza γs (Cap. 4). La lunghezza di ancoraggio deve essere tale da consentire per aderenza il trasferimento al calcestruzzo della forza resistente, F , presente nella barra in acciaio in corrispondenza della tensione fyd F = fyd π

φ2 4

(2.22)

Assumendo l’ipotesi semplificata di distribuzione costante della tensione tangenziale di aderenza lungo la barra nel tratto di ancoraggio, ld , posta pari a un valore di resistenza tangenziale di calcolo, τd , la condizione suddetta `e espressa dall’equazione di equilibrio delle forze agenti nella barra nella direzione del suo asse: φ2 (2.23) τd · π · φ · ld = fyd · π · 4 da cui si ricava l’espressione della lunghezza di ancoraggio ld : ld = fyd ·

φ 4 · τd

(2.24)

Per barre ad aderenza migliorata la NTC 2008 pone la resistenza tangenziale di aderenza di calcolo τd = fbd e pari a: τd = fbd =

fbk γc

(2.25)

60

Capitolo 2

dove γc `e il coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo (γc = 1,5), e fbk `e la resistenza tangenziale caratteristica di aderenza data da: fbk = 2,25 · h · fctk in cui • h = 1,0 per barre di diametro φ minore di 32 mm; 132 − φ per barre di diametro superiore; • h= 100 • fctk `e la resistenza a trazione caratteristica.

(2.26)

3 Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

Si definisce come Stato Limite di Esercizio (SLE) un qualsiasi stato, anche di danneggiamento locale (per esempio eccessiva fessurazione del calcestruzzo) al di l` a del quale non sono pi` u soddisfatte le prestazioni necessarie per il corretto funzionamento in esercizio della struttura, anche in termini di durabilit` a della struttura o di aspetto. Gli Stati Limite di Esercizio da tenere presenti in ciascun progetto vanno considerati di volta in volta di comune accordo fra progettista e committente e sono sicuramente correlati al concetto di durabilit` a della struttura e alla definizione di vita utile della stessa. Gli SLE generalmente pi` u importanti sono: • stato limite di fessurazione: a secondo dell’utilizzo della struttura e delle condizioni ambientali in cui `e inserita, con diversa gradualit` a possono intervenire problemi di fessurazione del calcestruzzo tali da compromettere il corretto utilizzo della struttura; • stato limite di deformazione: eccessive deformazioni possono compromettere l’utilizzo della struttura, creando danni a tramezzature, finiture ecc. . . ; • stato limite di tensione: elevate tensioni di compressione nel calcestruzzo possono comportare microfessurazione, con conseguenti problemi di durabilit` a, o eccessive deformazioni viscose; elevate tensioni nell’acciaio teso possono determinare formazione di fessure troppo ampie e permanentemente aperte con possibili problemi di durabilit` a; • stato limite di vibrazione: soprattutto in presenza di particolari fonti di vibrazioni, le caratteristiche dinamiche della struttura possono essere inadeguate al suo corretto utilizzo, arrecando disturbo agli occupanti, danneggiamento all’edificio o a beni in esso contenuti; • stato limite per fatica: in alcune particolari tipologie strutturali, come per esempio i ponti, i carichi in condizioni di servizio sono ciclici e possono indurre un degrado prematuro dei materiali. Nel seguito si concentrer`a l’attenzione sullo stato limite di tensione, fessurazione e di deformazione. Per quanto concerne il problema delle vibrazioni, il

62

Capitolo 3

calcolo pu`o in generale essere complesso, anche se in talune situazioni la valutazione delle deformazioni dinamiche in esercizio pu` o dare informazioni sul periodo proprio della struttura in esame. Analogamente per i fenomeni di fatica `e necessario conoscere il comportamento ciclico sia dei materiali costituenti sia dell’elemento in c.a. nel suo insieme, per il quale pu` o intervenire il degrado dell’aderenza a seguito della ciclicit` a dei carichi. Il problema degli stati limite di servizio `e comunque fortemente correlato alle azioni di progetto da prendere in esame per le verifiche, che si illustrano brevemente nel seguito e alla durabilit` a strutturale, di cui si daranno alcuni cenni e maggiori dettagli nel Capitolo 9.

3.1 Valutazione delle azioni di progetto Le azioni da considerare per le verifiche dello SLE sono strettamente correlate alla probabilit` a di superamento dello SLE che si vuole accettare. Nelle verifiche allo Stato Limite Ultimo (SLU) si considerano probabilit` a di collasso u alti corrispondenti a condizioni di dell’ordine di 10−5 ÷ 10−7 , con i valori pi` rottura duttile e i valori pi` u bassi a condizioni di rottura fragile, mentre nel caso degli SLE si accettano in genere probabilit` a dell’ordine di 10−2 ÷ 10−3 . La probabilit` a decisamente pi` u alta che si accetta `e evidentemente legata alla definizione stessa dello Stato Limite di Esercizio, il cui superamento non implica perdita di vite umane, ma solo perdita di funzionalit` a. Il costo monetario diretto pu` o dunque essere rilevante, ma `e chiaro che pu` o accettarsi una maggiore probabilit` a di rischio non essendo in gioco vite umane. Da un punto di vista operativo le verifiche si effettuano considerando oltre al carico permanente (G), tre combinazioni delle azioni accidentali Qk : rara, frequente e quasi permanente. Le combinazioni, i coefficienti riduttivi di combinazione ψ (tab. 1.4) e i coefficienti di sicurezza γ (tab. 1.5) forniti dalla NTC 2008 per calcolare i carichi sono stati gi` a introdotti e illustrati nel Capitolo 1 poich´e sono basati su concetti probabilistici. Esempio 3.1 Nel caso di un edificio per abitazioni il valore caratteristico del sovraccarico `e Qk = 2000 N/m2 e pertanto per le diverse combinazioni risulta: • combinazione rara: Qk = 2000 N/m2 ; • combinazione frequente: ψ11 · Qk = 0,5 · 2000 = 1000 N/m2 ; • combinazione quasi permanente: ψ21 · Qk = 0,3 · 2000 = 600 N/m2 . Un aspetto a cui si deve fare riferimento per comprendere meglio le verifiche necessarie allo Stato Limite di Esercizio `e la durabilit` a, che sta assumendo un’importanza sempre crescente nelle problematiche strutturali. Poich´e la trattazione esula dallo scopo del presente capitolo, si sottolinea solo che le normative pi` u avanzate, come l’intero corpo degli Eurocodici o il Model Code

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

63

(CEB, 1993), il Manuale per la progettazione di calcestruzzo durevole (CEB, 1992), i suggerimenti (CEB-RILEM, 1983) forniscono dettagliate informazioni su tale problematica. In particolare secondo l’EC2 2004 la progettazione deve tenere in conto, mediante opportuni dettagli costruttivi e verifiche in esercizio, che la struttura sia in grado di garantire anche una certa durata della sua vita senza perdere la funzionalit` a o richiedere eccessivi interventi di manutenzione. A tale scopo vengono definite le seguenti classi di esposizione per introdurre nelle verifiche in esercizio il tipo di ambiente in cui la struttura `e inserita: 1. ambiente secco (interno di abitazioni o uffici); 2. ambiente umido, dove la corrosione delle armature `e dovuta fondamentalmente alla carbonatazione del calcestruzzo; 3. ambiente umido con cloruri, esclusi quelli presenti in ambiente marino (per esempio sali per lo scioglimento del ghiaccio); 4. ambiente marino, distinguendo i casi di strutture poste in prossimit` a del mare o a diretto contatto con l’acqua del mare; 5. ambiente con cicli di gelo e disgelo; 6. ambiente aggressivo chimicamente. Le classi 2, 3 e 4 possono subire aggravio dalla presenza di ghiaccio e comunque riguardano fenomeni di degrado legati sostanzialmente alla corrosione dell’acciaio; le classi 5 e 6 si riferiscono invece a fenomeni di degrado per attacchi al calcestruzzo e si possono verificare da sole oppure insieme con le precedenti. In fase di progettazione la conoscenza della tipologia di ambiente pu` o condurre alla scelta di calcestruzzi con caratteristiche specifiche o di classe diversa, considerato che a una maggiore resistenza del calcestruzzo corrisponde in genere una minore porosit` a e quindi una maggiore durabilit` a. Nella NTC 2008 si fa riferimento alle classi di esposizione definite nelle Linee Guida per il calcestruzzo strutturale emesse dal Servizio Tecnico Centrale del Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici. Tra i dettagli costruttivi tutte le normative sottolineano l’importanza dello spessore di copriferro, in quanto il calcestruzzo rappresenta la protezione dell’acciaio dalla corrosione e quindi l’entit` a del copriferro governa la velocit` a di penetrazione degli agenti aggressivi verso l’armatura. La tematica connessa alla durabilit` a `e sicuramente complessa, ma pu`o essere trattata con rigore scientifico; nel Capitolo 9 si riporta un quadro sintetico delle problematiche e delle indicazioni normative di riferimento.

3.2 Materiali e ipotesi di calcolo Le verifiche in condizioni di servizio si eseguono assumendo per i materiali un comportamento elastico lineare. Per l’acciaio tale ipotesi `e chiaramente corrispondente al reale comportamento poich´e i livelli tensionali considerati agli SLE sono inferiori alla tensione limite di snervamento. Per il calcestruzzo invece, che presenta un comportamento non lineare anche nella parte iniziale del

64

Capitolo 3

suo legame costitutivo, si tratta di un’approssimazione comunque soddisfacente per il campo di tensioni considerato (inferiore a 0,6 · fck ) ed `e opportuno introdurre nei calcoli il modulo elastico secante. Altre ipotesi di calcolo dipendono dal problema trattato; in particolare per la verifica delle tensioni e il calcolo tecnico delle frecce occorre valutare le caratteristiche della sezione trasversale assumendo l’ipotesi di conservazione piane delle sezioni, la perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo e la non resistenza a trazione del calcestruzzo, mentre per le verifiche allo stato limite di fessurazione e la valutazione puntuale della curvatura occorre rimuovere l’ipotesi di perfetta aderenza per tenere conto della relazione aderenza-scorrimento tra calcestruzzo e acciaio e si introduce esplicitamente la resistenza a trazione del calcestruzzo. In ogni caso le ipotesi saranno ribadite come premessa a ciascuna trattazione.

3.3 Calcolo delle tensioni in condizioni di esercizio Nel calcolo delle tensioni in condizioni di esercizio si considera l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane e di calcestruzzo non reagente a trazione, mentre per i materiali si assumono legami costitutivi elastico-lineari e perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo. Con tali assunzioni lo studio delle sezioni in condizioni di esercizio diviene particolarmente semplice, poich´e `e possibile introdurre il concetto di omogeneizzazione dei materiali. Infatti per l’ipotesi di perfetta aderenza in corrispondenza di ogni armatura si ha l’uguaglianza della deformazione delle barre di acciaio e della fibra di calcestruzzo posta alla stessa quota: εs = εc

(3.1)

Avendo assunto legami elastico-lineari per i materiali, la relazione tra tensioni e deformazioni e funzione dei rispettivi moduli elastici attraverso la ben nota legge di Hooke: σs σc e εc = (3.2) εs = Es Ec per cui dalla (3.1) si ha σs σc = Es Ec

e quindi

σs =

σc Es = n · σc Ec

(3.3)

avendo definito il coefficiente di omogeneizzazione come n = Es /Ec . Il valore del coefficiente n `e quindi legato ai moduli elastici dei due materiali componenti, ma mentre per l’acciaio il valore del modulo di Young `e pressoch´e invariante al variare del tipo di acciaio, per il calcestruzzo la sua definizione `e pi` u complessa. In primo luogo essendo la legge σc − εc non lineare anche per bassi livelli tensionali, esso dovrebbe dipendere dal valore della tensione, ma

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

65

con buona approssimazione si pu` o assumere un valore secante valutato in corria spondenza di circa 0,5 · fck . Per quanto riguarda invece l’influenza della qualit` del calcestruzzo, nella letteratura tecnica e nelle normative si trovano correlazioni tra il modulo elastico e la resistenza a compressione del calcestruzzo (Cap. 2). Infine per portare in conto anche gli effetti differiti di carichi a lungo termine, si pu` o assumere per il calcestruzzo nelle verifiche a lungo termine un modulo elastico efficace ridotto per introdurre in maniera semplificata e senza differenziare la procedura di calcolo gli effetti della viscosit` a nella ripartizione delle tensioni tra l’acciaio e il calcestruzzo. Per considerare globalmente tutti gli aspetti in modo semplificato, le normative (sia NTC 2008 sia EC2 2004) stabiliscono di assumere per il coefficiente n un valore intermedio pari a 15 (circa il doppio del rapporto tra i moduli elastici reali) indipendentemente dalla classe del calcestruzzo, dal livello di compressione da cui `e sollecitato e dalla durata del carico. La conservazione delle sezioni piane comporta che il diagramma delle deformazioni nella sezione sia lineare. L’ipotesi di elasticit`a lineare implica, inoltre, che anche il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo sia lineare in quanto ottenuto moltiplicando il diagramma delle deformazioni per il modulo elastico del calcestruzzo. Sulla stessa retta `e possibile riportare anche il valore delle tensioni nell’acciaio divise per il coefficiente di omogeneizzazione n (fig. 3.1 con riferimento a una sollecitazione di flessione semplice), in quanto la tensione nelle barre di armatura si calcola moltiplicando la deformazione di ciascuna armatura, che `e la stessa della fibra di calcestruzzo posta alla stessa quota, per il modulo elastico dell’acciaio. Infine nel diagramma delle tensioni si assumono nulle le tensioni nella zona di calcestruzzo teso per l’ipotesi di calcestruzzo non reagente a trazione, quindi la linea tratteggiata ha solo un significato di costruzione grafica per segnalare la linearit` a tra le tensioni nel calcestruzzo e la tensione nelle armature tese a meno del coefficiente n.

σc c

σs /n x

h

d M

σs /n

b Figura 3.1 Distribuzione delle tensioni in una sezione in c.a. soggetta a flessione semplice.

66

Capitolo 3

3.3.1 Verifica delle sezioni sottoposte a flessione semplice e composta Il calcolo dello stato tensionale in una sezione in calcestruzzo armato sottoposta a flessione composta deve essere condotto con due differenti approcci a secondo dei seguenti casi che si possono verificare, per effetto dello stato di sollecitazione applicato: 1. la sezione `e caratterizzata da un asse neutro che taglia la sezione e che individua una parte di calcestruzzo teso non reagente risultando quindi parzializzata; 2. l’asse neutro `e esterno alla sezione e quindi questa risulta interamente reagente a compressione (tutta l’area di calcestruzzo e l’acciaio) o a trazione (solo l’area di acciaio). Nel primo caso si parla di flessione composta con grande eccentricit`a, intendendo per eccentricit` a il rapporto tra momento flettente M e sforzo normale N applicati (e = M/N ), mentre nel secondo caso si parla di flessione composta con piccola eccentricit`a. La procedura `e differente nei due casi, perch´e se l’asse neutro `e esterno, si pu` o trattare la sezione con le formulazioni utilizzate per le sezioni omogenee e di materiale isoresistente e applicando il principio di sovrapposizione degli effetti per sforzo normale e flessione. Quando l’asse neutro taglia la sezione invece occorre considerare la sezione parzializzata e quindi lo sforzo normale e il momento flettente non possono essere considerati separatamente perch´e una parte della sezione (calcestruzzo teso) non reagisce. Per definire la condizione di lavoro della sezione si deve valutare la posizione del punto di applicazione dello sforzo normale (centro di pressione) rispetto al nocciolo centrale di inerzia. Infatti se il punto di applicazione `e interno al nocciolo l’asse neutro `e esterno alla sezione, si tratta di piccola eccentricit`a e la sezione `e tutta reagente, mentre se il centro di pressione `e esterno al nocciolo l’asse neutro taglia la sezione, si parla di grande eccentricit`a e la sezione `e parzializzata. Nel caso di flessione retta `e sufficiente conoscere i raggi di nocciolo lungo la direzione di sollecitazione e verificare se l’eccentricit`a `e minore. Con riferimento alla flessione retta, per il calcolo dei raggi di nocciolo, ρn , superiore e inferiore (ρs e ρi ) si utilizzano le seguenti relazioni ben note dalla geometria delle masse:  ρn,s = ρ · yG,i ; 2

ρn,i = ρ · yG,s ; 2

ρ=

I A

(3.4)

in cui yG,i e yG,s sono le distanze del baricentro della sezione omogeneizzata dal bordo inferiore e superiore della stessa, ρ e I sono il raggio di inerzia e l’inerzia della sezione omogeneizzata rispetto al proprio asse baricentrico ortogonale a quello di flessione e A `e l’area della sezione omogeneizzata.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

67

Il caso della flessione semplice rappresenta una situazione limite di grande eccentricit`a (infinita) in cui la presenza di sforzo normale nullo (da cui eccentricit`a infinita) consente di risolvere il problema mediante equazioni pi` u semplici. 3.3.2 Flessione composta con grande eccentricit` a La presenza di uno sforzo normale e di un momento flettente che comportano la parzializzazione della sezione, perch´e l’asse neutro `e interno alla sezione stessa, si verifica qualora il centro di pressione non ricada all’interno del nocciolo di o essere costituita inerzia della sezione omogeneizzata reagente (e > ρn ) che pu` dalla intera sezione in calcestruzzo e dalle armature omogeneizzate in caso di compressione o dalle sole armature in caso di trazione. Si parla in tal caso di grande eccentricit` a e il problema, rappresentato nella Figura 3.2, `e governato da un’equazione di equilibrio alla traslazione e una alla rotazione: x σi · b(y) · dy +

k 

As,i · σs,i = N

(3.5)

i=1

0

x σi · b(y) · yi · dy +

k 

As,i · σs,i · ys,i = N · dn

(3.6)

i=1

0

essendo k il numero delle armature disposte nella sezione, x la distanza dell’asse neutro dal bordo compresso, e avendo scritto l’equazione di equilibrio alla rotazione rispetto all’asse neutro della sezione parzializzata. N

σc dn σi

x dy

yi

n b(y) ys,i As,i

σs,i /n

Figura 3.2 Distribuzione delle tensioni in una generica sezione pressoinflessa.

68

Capitolo 3

Per la linearit` a del diagramma delle tensioni `e possibile scrivere la relazione tra le tensioni in qualunque fibra, anche nell’acciaio, e quella nel calcestruzzo al bordo compresso σc (fig. 3.2): σs,i σc σc σc (3.7) · yi = · ys,i → σs,i = n · · ys,i σi = x n x x Le (3.7), sostituite nelle (3.5) e (3.6) forniscono rispettivamente: ⎡ x ⎤  k  σc ⎣ (3.8) yi · b(y) · dy + n · As,i · ys,i ⎦ = N x i=1 ⎡ σc ⎣ x

0

x yi2 · b(y) · dy + n · 0

k 

⎤ 2 ⎦ = N · dn As,i · ys,i

(3.9)

i=1

Nella (3.8) il termine contenuto nella parentesi quadrata `e il momento statico Sn della sezione reagente omogeneizzata (calcestruzzo compresso e armature metalliche) rispetto all’asse neutro, mentre nella (3.9) il termine in parentesi rappresenta il momento d’inerzia della sezione reagente omogeneizzata, In , sempre rispetto all’asse neutro, da cui risultano le seguenti formule di verifica: N N · dn ·x σc = ·x (3.10) σc = Sn In queste due equazioni contengono due incognite, la tensione massima nel calcea dell’asse neutro, x, che compare sia esplicitamente struzzo, σc , e la profondit` che nelle caratteristiche inerziali della sezione, Sn e In . Facendo riferimento al caso di una sezione rettangolare con due armature (fig. 3.3a) si ha: b · x3 + n · As (x − c)2 + n · As · (d − x)2 (3.11) 3 b · x2 Sn = + n · As · (x − c) − n · As · (d − x) (3.12) 2 Dividendo la seconda equazione delle (3.10) per la prima, si ottiene una equazione nella sola incognita x: In =

In = dn Sn

(3.13)

Se si pone dn = x + a, con a la distanza del centro di pressione dal bordo compresso, l’espressione (3.13) in forma esplicita fornisce un’equazione di terzo grado in x: x3 + 3 · a · x2 +

6·n · [As · (c + a) + As · (d + a)] · x+ b

6·n − · [As · c · (c + a) + As · d · (d + a)] = 0 b

(3.14)

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

69

che ammette una sola soluzione in campo reale e conduce alla valutazione della profondit` a dell’asse neutro x rispetto al lembo compresso. La (3.14) si pu` o ottenere anche direttamente scrivendo un equilibrio alla rotazione della sezione intorno al punto di applicazione dello sforzo normale, cio`e a distanza dn dall’asse neutro. Qualora lo sforzo normale sia di trazione, ma si tratti sempre di un caso di grande eccentricit` a (asse neutro che taglia la sezione) si modificano solo i segni dello sforzo normale e della distanza a di esso dal bordo compresso, che risultano entrambi negativi (fig. 3.3b). (a)

(b) N

N a dn

c A's

As

x

d a

h

d

h

d

x

As c As' b b

Figura 3.3 Sezione rettangolare soggetta a sforzo normale di compressione o trazione in grande eccentricit` a.

3.3.3 Flessione semplice Nel caso di flessione semplice, la risultante delle forze esterne si riduce a un momento M con asse di sollecitazione normale all’asse neutro; essendo N = 0 dalla (3.8) si trae che `e nullo il momento statico della sezione reagente rispetto all’asse neutro: (3.15) Sn = 0 da cui si evince che l’asse neutro coincide con l’asse baricentrico della sezione reagente. In tal caso l’asse neutro si ricava direttamente dall’equazione (3.15) e la tensione massima di compressione si valuta dall’equazione di equilibrio alla

70

Capitolo 3

rotazione (3.9) dove al secondo membro c’`e M , che si scrive: σc =

M ·x In

(3.16)

essendo In il momento d’inerzia della sezione reagente rispetto all’asse neutro e quindi rispetto al baricentro della suddetta sezione. Inoltre per linearit` a si pu` o ricavare la tensione nell’armatura metallica posta alla distanza ys,i dall’asse neutro: σs,i = n ·

M · ys,i In

(3.17)

Con riferimento al caso particolare di sezione rettangolare a doppia armatura, come quella rappresentata nella Figura 3.4 sollecitata da un momento flettente M , la posizione dell’asse neutro si valuta imponendo la condizione (3.15): b · x2 + n · As · (x − c) − n · As · (d − x) = 0 2

(3.18)

Le tensioni si calcolano introducendo nelle (3.16) e (3.17) il momento d’inerzia baricentrico della sezione omogeneizzata reagente, calcolato come segue: In =

b · x3 + n · As · (x − c)2 + n · As · (d − x)2 3

(3.19)

σc c A's

h

σs' /n x

d

M As

σs /n

b Figura 3.4 Distribuzione delle tensioni in una sezione rettangolare soggetta a flessione semplice.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

71

3.3.4 Flessione composta con piccola eccentricit` a Qualora il centro di pressione ricada all’interno del nocciolo d’inerzia della sezione reagente (intera sezione in c.a. nel caso di compressione e sole armature in acciaio in caso di trazione), l’asse neutro risulta esterno alla sezione e si parla di piccola eccentricit` a. In entrambe le situazioni le tensioni nei materiali si possono calcolare applicando la sovrapposizione degli effetti prodotti dalla flessione e dallo sforzo normale, considerando reagente l’intera sezione in c.a. in caso di sforzo normale di compressione e le sole armature in caso di trazione. In presenza di compressione (fig. 3.5) le tensioni nelle fibre di calcestruzzo a distanza y dal baricentro della sezione si calcolano con le seguenti formule: σi =

N M ± ·y Ai Ii

(3.20)

mentre le tensioni nell’armatura metallica distante ys,i dal baricentrico si calcolano come:  N M σs,i = n · ± · ys,i (3.21) Ai Ii essendo Ai e Ii rispettivamente l’area e il momento d’inerzia baricentrico dell’intera sezione reagente (calcestruzzo + armature in acciaio omogeneizzate) ed M = N · e. σc, max c σs' /n

As'

h

d

e

C

N G

As σs /n b

σc, min

Figura 3.5 Sezione rettangolare soggetta a sforzo normale di compressione.

Nel caso di trazione con piccola eccentricit`a la verifica `e analoga, ma l’area e l’inerzia si riferiscono alle sole armature in acciaio, per cui le tensioni nelle armature poste a distanza di dal baricentro, Gs , delle sole armature in acciaio (fig. 3.6) si calcolano come:

72

Capitolo 3

σs,i =

N k 

±

As,i

i=1

N ·e k 

As,i ·

· di

(3.22)

d2i

i=1

nella quale anche l’eccentricit` a e dello sforzo di trazione `e calcolata rispetto al baricentro delle sole armature in acciaio.

σs' /n

A's N d1 e Gs d2 As

σs /n

Figura 3.6 Sezione generica soggetta a flessione composta con sforzo normale di trazione in piccola eccentricit` a.

3.3.5 Limitazione delle tensioni La verifica delle tensioni consiste nel confrontare le tensioni che si attingono nei materiali in condizioni di esercizio con alcune limitazioni fissate dalle normative per contenere i fenomeni di microfessurazione e di viscosit`a nel calcestruzzo compresso, e lo snervamento nell’acciaio. La presenza di elevate compressioni in condizioni di esercizio pu` o dare luogo a due fenomeni particolarmente dannosi per le strutture in cemento armato: da un lato nelle combinazioni di carico pi` u gravose, quali quelle rare, possono determinarsi microfessurazioni che favoriscono l’apertura di lesioni longitudinali lungo le isostatiche di compressione, dall’altro, nelle combinazioni di carico quasi permanente, si possono esaltare le deformazioni viscose nel calcestruzzo. Al fine di preservare la durabilit` a strutturale nelle condizioni ambientali maggiormente onerose, le NTC 2008 prescrivono che la massima tensione di compressione nel calcestruzzo debba rispettare:

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

73

• combinazioni di carico rare σc,max ≤ 0,60 · fck

(3.23)

• combinazioni di carico quasi permanente σc,max ≤ 0,45 · fck

(3.24)

essendo fck la resistenza cilindrica caratteristica a compressione del calcestruzzo. Tali limitazioni devono essere ridotte del 20% per elementi di spessore inferiore a 50 mm. Le limitazioni poste dall’EC2 2004 sono analoghe, ma si riferiscono solo al caso di ambienti aggressivi per le combinazioni di carico rare, mentre per quelle quasi permanenti si indica la possibilit` a di non rispettare le limitazioni fornite introducendo direttamente nel calcolo gli effetti della viscosit` a non lineare. Per quanto attiene la massima trazione nell’acciaio delle armature le stesse normative pongono il seguente limite: σs ≤ 0,80 · fyk

(3.25)

Ovviamente il calcolo delle sollecitazioni e delle relative tensioni deve essere condotto attraverso un’analisi elastica, con le ipotesi introdotte e le modalit` a illustrate nei paragrafi precedenti. Con riferimento a una sezione rettangolare, si introducono i seguenti valori adimensionali dello sforzo normale e del momento flettente: N ; b · h · fck

M b · h2 · fck

(3.26)

Nelle Figure 3.7 si riportano due esempi di domini di resistenza in termini di sforzo normale e momento flettente normalizzati secondo le (3.26) considerando come condizioni di verifica i valori limite delle tensioni forniti dalle NTC 2008, per la combinazione di carico rara e quasi permanente. Gli esempi sono riferiti a un caso di armatura simmetrica, che generalmente viene impiegata in un pilastro, copriferro pari al 10% dell’altezza utile e percentuale geometrica di armatura complessiva pari all’1% disposta simmetricamente agli estremi. La figura 3.7a si riferisce alla condizione di verifica σc = 0,6 · fck e σs = 0,8 · fyk , mentre la Figura 3.7b si riferisce alla condizione di verifica σc = 0,45 · fck e σs = 0,8 · fyk . Nel dominio sono evidenziati 3 tratti ottenuti per le seguenti condizioni: 1. sezione parzializzata e raggiungimento della tensione massima in compressione; 2. sezione parzializzata e raggiungimento della tensione massima in trazione; 3. sezione interamente reagente e raggiungimento della tensione massima in compressione.

74

Capitolo 3

(a) 0,1

M fck h2b

Limitazione cls grande eccentricità

0,08

1

0,06 Limitazione cls piccola eccentricità

0,04

Limitazione acciaio

3

0,02 2

−0,2

−0,1

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

(b)

0,6 N fck hb

0,1 M fck h2b

1

0,08 Limitazione cls grande eccentricità 0,06 3

0,04 Limitazione acciaio

−0,1

Limitazione cls piccola eccentricità

2

0,02

0

0,2

0,4

0,6

0,8 N fck hb

Figura 3.7 Dominio di verifica tensionale riferito a valori adimensionali di momento e sforzo normale (a) σc =0,6 · fck ; (b) σc =0,45 · fck .

Per il caso di flessione semplice si riporta nella Figura 3.8 il valore del momento flettente adimensionalizzato secondo la (3.26), per il caso di doppia armatura simmetrica e di semplice armatura, al variare della percentuale di armatura tesa; nei grafici sono distinti i tratti in cui la verifica `e governata dal raggiungimento della tensione massima nel calcestruzzo e nell’acciaio.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

75

0,6 Limitazione calcestruzzo 0,5

Limitazione acciaio

Doppia armatura

0,4 M fckh2b

0,3 Semplice armatura

0,2 0,1 0

0

0,01

0,02 0,03 % geometria armatura tesa

0,04

0,05

Figura 3.8 Valori adimensionali del momento flettente al raggiungimento dei limiti pensionali nei materiali.

Esempio 3.2 Verifica tensionale in una sezione soggetta a flessione semplice Si assume una trave di sezione rettangolare (fig. 3.26) con le seguenti propriet`a: • • • • • • • • •

base b = 1000 mm; altezza totale h = 3200 mm; altezza utile d = 2900 mm; copriferro c = 300 mm; lunghezza L = 6 m; armatura in trazione 14 φ 16 per un area di acciaio As = 2814 mm2 ; armatura in compressione 14 φ 16 per un area di acciaio As = 2814 mm2 . fck = 20 MPa; acciaio B450C con fyk = 450 MPa.

Si consideri una verifica in combinazione di carico quasi permanente, per cui assumendo che i valori caratteristici dei carichi siano pari a 20 kN/m per il permanente e 20 kN/m per l’accidentale e adottando un coefficiente ψ2 = 0,3 per civile abitazione, si avr`a un carico totale pari a: Fk = Gk + Qk = 20 + 0,3 · 20 = 26 kN/m Con riferimento a uno schema di trave semplicemente appoggiata di lunghezza L = 6 m si ottiene un momento flettente massimo in mezzeria: M=

26 · 62 Fk · L2 = = 117 kNm 8 8

Si considera un valore del coefficiente di omogeneizzazione n = 15.

76

Capitolo 3

14 φ 16

320

30

M

14 φ 16

30

1000

Figura 3.9 Sezione a doppia armatura soggetta a flessione semplice.

L’asse neutro della sezione parzializzata omogeneizzata, x, si calcola attraverso l’annullamento del momento statico della sezione rispetto al baricentro della sezione reagente utilizzando l’espressione (3.18) e la corrispondente inerzia attraverso l’espressione (3.19): Sn = 0 :

b · x2 + n · As · (x − c) − n · As · (d − x) = 0 2

1000 · x2 + 15 · 2814 · (x − 30) − 15 · 2814 · (290 − x) = 0 2 → x = 100 mm b · x3 + n · As · (x − c)2 + n · As · (d − x)2 In = 3 1000 · 1003 + 15 · 2814 · (100 − 30)2 + 15 · 2814 · (290 − 100)2 In = 3 → In = 2064, 6 · 106 mm4 Le tensioni nell’acciaio teso e compresso si possono calcolare con l’espressione (3.17): M 117 · 106 · (d − x) = 15 · · (290 − 100) = In 2064,6 · 106 = 161 MPa < 0,8 · fyk = 0,8 · 450 = 360 MPa M 117 · 106 · (x − c) = 15 · (100 − 30) = 60 MPa σs = n · In 2064,6 · 108

σs = n ·

La tensione al lembo compresso di calcestruzzo si calcola con l’espressione (3.16) ed `e pari a: σc =

M 117 · 106 ·x= · 100 = 5,7 MPa < 0,45 · fck = 0,45 · 20 = 9,0 MPa In 2064,6 · 108

Tutte le tensioni rientrano nei limiti previsti dalla NTC 2008 per le combinazioni di carico quasi permanente.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

77

Esempio 3.3 Verifica tensionale in una sezione soggetta a pressoflessione in piccola eccentricit` a Si considera una sezione rettangolare (fig. 3.10) con le seguenti propriet`a: • • • • • •

base b = 300 mm; altezza totale h = 600 mm; copriferro c = 30 mm; altezza utile d = h − c = 600 mm − 30mm = 570 mm; armatura in trazione 6 φ 16 per un area di acciaio As = 1206 mm2 ; armatura in compressione 4 φ 16 per un area di acciaio As = 804 mm2 .

Lo sforzo normale di compressione, pari a 500 kN, `e applicato con un’eccentricit`a di 80 mm. Si procede alla valutazione dei raggi di nocciolo dell’intera sezione sia considerando l’armatura sia trascurandone la presenza.

30

4 φ 16

600

G

570

80

500 kN

6 φ 16

300 Figura 3.10 Sezione a doppia armatura soggetta a flessione in piccola eccentricit` a.

Calcolo del raggio di nocciolo considerando le armature • Calcolo dell’area omogeneizzata: Ai = b · h + n · As + n · As = 300 · 600 + 15 · (804 + 1206) = 210,14 mm2 • Calcolo della posizione del baricentro della sezione omogeneizzata rispetto al lembo superiore:

78

Capitolo 3

yGi = =

Ss bh2 /2 + n · As · d + n · As · c = = Ai b · h + n · As + n · As 300 · 6002 /2 + 15 · 1206 · 570 + 15 · 804 · 30 = 308 mm 300 · 600 + 15 · 1206 + 15 · 804

• Calcolo dell’inerzia della sezione omogeneizzata b · h3 2 + b · h · (0,5h − yG,i ) + n · As · (yG,i − c)2 + 12 + n · As · (d − yG,i )2 300 · 6003 2 Ii = + 300 · 600 · (0,5 · 600 − 308) + 15 · 804 · (308 − 300)2 + 12 + 15 · 1206 · (570 − 308)2 = 6655 · 106 mm4

Ii =

• Calcolo del raggio di inerzia: ρ2 =

Ii 6655 · 106 = 31 667 mm2 = Ai 210 144

• Calcolo del raggio di nocciolo superiore e inferiore: ρ2 31 667 = 103 mm > 80 mm = yG,i 308 ρ2 31 667 = = = 108 mm (h − yG,i ) (600 − 308)

ρn,s = ρn,i

Calcolo del raggio di nocciolo trascurando le armature • Calcolo dell’area della sola sezione in calcestruzzo: A = b · h = 300 · 600 = 180 000 mm2 • Calcolo dell’inerzie della sola sezione in calcestruzzo: 300 · 6003 b · h3 = = 5400 · 106 mm4 12 12 • Calcolo del raggio di nocciolo: I=

h2 I = = 3 · 104 mm2 A 12 h = yG,s = = 300 mm 2 h 600 ρ2 h2 2 · = = = 100 mm > 80 mm (eccentricit`a) = ρn,i = = yG,i 12 h 6 6

ρ2 = yG,i ρn,s

Si tratta dunque di “piccola eccentricit`a” in cui lo sforzo normale risulta applicato all’interno del nocciolo della sezione omogeneizzata.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

79

La sezione `e tutta compressa e la verifica fornisce i seguenti valori delle tensioni rispettivamente al lembo superiore, a quello inferiore e alla quota dell’acciaio superiore calcolati utilizzando le espressioni (3.20) e (3.21): N ·e h 500 · 1000 500 · 100 · 80 600 N + · = + = · A I 2 180 000 5400 · 106 2 = 2, 8 + 2, 2 = 5,0 MPa < 0,45 · fck = 0,45 · 20 = 9,0 MPa

σc,max =

N ·e h 500 · 1000 500 · 100 · 80 600 N − · = − = · A I 2 180 000 5400 · 106 2 = 2,8 − 2,2 = 0,6 MPa  h N ·e 500 · 1000 N +n· · − c = 15 · + σs = n · A I 2 180 000  600 500 · 1000 · 80 + 15 · − 30 = 71,7 MPa · 5400 · 106 2

σc,min =

La tensione rientra nei limiti previsti dalla NTC 2008 per le combinazioni di carico quasi permanente.

Esempio 3.4 Verifica tensionale in una sezione soggetta a pressoflessione in grande eccentricit` a Si considera una sezione rettangolare (fig. 3.11) con le seguenti propriet`a: • • • • • • • •

base b = 300 mm; altezza totale h = 600 mm; copriferro di entrambe le armature c = 30 mm; altezza utile d = h − c = 600 − 30 = 570 mm; armatura inferiore 6 φ 16 per un’area di acciaio As = 1206 mm2 ; armatura superiore 6 φ 16 per un’area di acciaio As = 1206 mm2 ; fck = 20 MPa; fyk = 450 MPa.

Lo sforzo normale di compressione, pari a 300 kN, `e applicato a una distanza dal bordo superiore a = 200 mm che corrisponde a un’eccentricit`a rispetto al baricentro geometrico di 500 mm (300 mm + 200 mm). La posizione dell’asse neutro si calcola risolvendo l’espressione (3.13):  b · x2  + n · As · (x − c) − n · As · (d − x) · (x + a)+ In = (x + a) · Sn → 2  b · x3  2 2 + n · As · (x − c) + n · As · (d − x) = 0 − 3

80

Capitolo 3

6 φ 16

x

600

G

570

30

200

300 kN

6 φ 16

300 Figura 3.11 Sezione a doppia armatura soggetta a pressoflessione in grande eccentricit` a.

Tale espressione, ricordando la (3.14), che si riscrive qui per chiarezza di esposizione, diventa: x3 +3·a·x2 +

6·n  6·n  ·[As ·(c+a)+As ·(d+a)]·x− ·[As ·c·(c+a)+As ·d·(d+a)] = 0 b b

e sostituendo i valori numerici del caso in esame si ha: x3 + 3 · 200 · x2 +

6 · 15 · [1206 · (30 + 200) + 1206 · (570 + 200)] · x+ 300

6 · 15 · [1206 · 30 · (30 + 200) + 1206 · 570 · (570 + 200)] = 0 300 → x3 + 600 · x2 + 361 800 − 161 290 440 = 0

−

La risoluzione dell’equazione cubica in x si pu`o eseguire rapidamente con un numero ridotto di iterazioni adottando il metodo della tangente per la ricerca degli zeri della funzione F (x) definita come: F (x) = x3 + 600 · x2 + 361 800 · x − 161 290 440 = 0 Se si definisce la sua funzione derivata F  (x): F  (x) = 3x2 + 1200 · x + 361 800

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

81

si pu`o trovare la soluzione dell’equazione partendo da un valore di tentativo dell’asse neutro, xi , e calcolando il valore successivo che si avvicina maggiormente alla soluzione eguagliando la tangente della funzione F (x) nel punto xi come rapporto tra il valore della funzione F (xi ) e la differenza (xi+1 − xi ): xi+1 = xi −

F (xi ) F  (xi )

La procedura si itera fin quando lo scarto tra due valori successivi di tentativo si riduce al di sotto di un valore prefissato (per esempio 5%). In genere bastano tre iterazioni per arrivare a convergenza partendo da un valore di tentativo pari all’altezza utile della sezione. Nel caso della sezione in esame si ottiene: per x1 = 570 mm

`e:

x2 = 570 −

F (570) = 570 − 210 = 360 mm F  (570)

per x2 = 360 mm

`e:

x3 = 360 −

F (360) = 360 − 79 = 281 mm F  (360)

per x3 = 281 mm

`e:

x4 = 281 −

F (281) = 281 − 10,6 = 270,4 mm F  (281)

per x4 = 270,4 mm `e:

x5 = 270,4 −

F (270,4) = 270,4 − 0,2 = 270,2 mm F  (270,4)

Si assume perci` o x = 270 mm e si pu` o calcolare il momento statico secondo l’espressione (3.12) e le tensioni nei materiali usando le (3.10): B · x2 + n · As · (x − c) − n · As · (d − x) = 2 300 · 2702 + 15 · 1206 · (270 − 30) − 15 · 1206 · (570 − 270) = = 2 = 9850 · 103 mm3

Sn =

σc =

N 300 000 · 270 = 8,2 MPa < 0,45 · fck = 0,45 · 20 MPa = ·x= Sn 9 850 000

= 9,0 MPa 15 · 8,2 σc · (d − x) = · (570 − 270) = 137,1 MPa < 0,8 · fyk = x 270 = 0,8 · 450 MPa = 360 MPa

σs = n ·

Tutte le tensioni rientrano nei limiti previsti dalla NT 2008 per le combinazioni di carico quasi permanente.

82

Capitolo 3

Esempio 3.5 Verifica tensionale in una sezione soggetta a tensoflessione Si considera una sezione rettangolare (fig. 3.12) con le seguenti propriet`a: • • • • • • • •

base b = 300 mm; altezza totale h = 600 mm; copriferro di entrambe le armature c = 30 mm; altezza utile d = h − d = 600 − 30 = 570 mm; armatura superiore 6 φ 16 per un area di acciaio As = 1206 mm2 ; armatura inferiore 6 φ 16 per un area di acciaio As = 1206 mm2 ; fck = 20 MPa; fyk = 450 MPa.

Lo sforzo normale di trazione, pari a 200 kN, `e applicato a una distanza dal bordo superiore di 200 mm che corrisponde a un’eccentricit`a rispetto al baricentro geometrico di 500 mm (300 mm + 200 mm) e a un valore della distanza a dello sforzo normale dal lembo compresso (che in questo caso `e quello inferiore) pari a 800 mm.

30

200

200 kN

x

570

G

600

6 φ 16

6 φ 16

300 Figura 3.12 Sezione rettangolare a doppia armatura soggetta a tensoflessione.

L’equazione determinatrice dell’asse neutro `e sempre la (3.14), in cui il segno della distanza a `e negativo: 6·n  [As · (c − a) + As · (d − a)] · x+ x3 − 3 · a · x2 + b 6·n − · [As · c · (c − a) + As · d · (d − a)] = 0 b

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

83

Nel caso della sezione da verificare si ha: x3 − 240 · x2 − 3895 · x + 71 586 = 0 La risoluzione dell’equazione cubica in x si pu`o eseguire rapidamente con un numero ridotto di iterazioni adottando il metodo della tangente per la ricerca degli zeri della funzione F (x). Infatti con riferimento alla funzione F (x): F (x) = x3 − 240 · x2 − 3895 · x + 71 586 = 0 e alla sua funzione derivata F  (x): F  (x) = 3x2 − 480 · x − 3895 Operando come nel caso precedente si ha: per x1 = 570 mm per x2 = 224 mm per x3 = 129 mm per x4 = 112 mm

F (570) = 570 − 346 = 224 mm F  (570) F (224) = 224 − 95 = 129 mm `e: x3 = 224 −  F (224) F (129) = 129 − 17 = 112 mm `e: x4 = 129 −  F (129) F (112) = 112 − 0,8 = 111,2 mm `e: x5 = 112 −  F (112) `e:

x2 = 570 −

Si assume perci` o x= 111 mm; con tale valore si pu`o calcolare il momento statico secondo la (3.12) e le tensioni nei materiali secondo le (3.10): b · x2 + n · As · (x − c) − n · As · (d − x) = 2 300 · 1112 + 15 · 1206 · (111 − 30) − 15 · 1608 · (570 − 111) = = 2 = 7743 · 103 mm3

Sn =

N 200 000 · 111 = 2, 9 MPa < 0,45 · fck = ·x= Sn 7 743 000 = 0,45 · 20 MPa = 9,0 MPa 15 · 2,9 σc σs = n · · (d − x) = · (570 − 111) = 177, 8 MPa x 111 < 0,8 · fyk = 0,8 · 450 MPa = 360 MPa σc =

Tutte le tensioni rientrano nei limiti previsti dalla NTC 2008 per le combinazioni di carico quasi permanente.

84

Capitolo 3

3.4 Analisi locale dello stato deformativo e tensionale Il comportamento di una trave inflessa in calcestruzzo armato `e governato da fenomeni fessurativi che si manifestano generalmente per bassi livelli di carico, e quindi anche in condizioni di esercizio, a causa della limitata resistenza a trazione del calcestruzzo. Sottoponendo, infatti, una trave a un carico verticale, dopo una prima fase in cui l’elemento rimane integro, cominciano a formarsi delle fessure nella parte tesa disposte verticalmente nelle zone dove prevale la sollecitazione di flessione e inclinate quando la sollecitazione tagliante diventa pi` u importante (fig. 3.13).

Figura 3.13 Quadro fessurativo su un elemento in c.a. inflesso.

Le fessure si presentano disposte a una certa distanza tra loro e si formano progressivamente riducendo tale distanza fino a un certo valore del carico, per il quale restano pressoch´e stabili in termini di distanza e mostrano solo un incremento dell’apertura. L’analisi del fenomeno fessurativo di una trave si pu` o ricondurre anche a quello che accade in un tirante in calcestruzzo, cio`e un prisma di calcestruzzo in cui `e annegata una barra di acciaio all’estremit` a della quale sono applicate azioni di trazione (fig. 3.14).

Figura 3.14 Quadro fessurativo su un elemento in trazione.

Infatti in una trave inflessa si pu` o individuare una zona di calcestruzzo teso il cui comportamento `e quello di un tirante nel quale si sono aperte delle fessure a una certa distanza (fig. 3.15); nelle fessure la trazione `e applicata direttamente all’acciaio poich´e le due facce di calcestruzzo si sono distaccate.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

Concio tra due fessure

Tirante σs

calcestruzzo teso

85

σs

zona tesa

barra

Figura 3.15 Schematizzazione del comportamento di un tratto di trave inflessa tra due fessure.

I problemi degli stati limite di fessurazione e di deformazione sono strettamente legati al meccanismo con cui, dopo essersi verificata la fessurazione di alcune sezioni, il calcestruzzo teso, tramite l’aderenza con le barre di armatura, scambia sforzi con l’acciaio. L’impostazione razionale del problema richiede pertanto uno studio a livello “locale”, ossia considerando i legami costitutivi dei materiali e analizzando ci` o che accade puntualmente nell’elemento armato. L’approccio locale che pu` o, allo stato attuale, effettivamente perseguirsi parte dalla definizione di un “legame costitutivo di aderenza”, ovvero dalla relazione fra gli scorrimenti s che si manifestano fra acciaio e calcestruzzo teso e la tensione tangenziale τ che si sviluppa all’interfaccia. In realt` a `e possibile un approccio ancora pi` u raffinato che parte dall’analisi di ci` o che accade effettivamente all’interfaccia fra acciaio e calcestruzzo, considerando in dettaglio la geometria delle nervature e gli sforzi locali che nascono. Nel seguito non si considera tale approccio di tipo “microscopico” e si fa diretto riferimento al legame τ -s. Ci`o premesso, indicando con: • • • • • • • •

us lo spostamento assiale della barra; εs , σs la deformazione e la tensione assiale nella barra; uct lo spostamento assiale del calcestruzzo teso; εct , σct la deformazione e la tensione assiale nel calcestruzzo teso; εc , σc la deformazione e la tensione nel calcestruzzo compresso; s lo scorrimento fra acciaio e calcestruzzo teso; τ la tensione di aderenza; φ il diametro della barra;

si ha: s = us − uct

(3.27)

86

Capitolo 3

da cui, derivando rispetto all’ascissa assiale dz di una barra di acciaio di diametro φ: ds (3.28) = εs − εct dz L’equilibrio di un tratto elementare dz di una barra di acciaio di diametro φ fornisce la seguente equazione: π · φ · τ · dz = π

φ2 dσs 4

(3.29)

da cui:

φ dσs · (3.30) 4 dz Lo studio di un tirante in cemento armato caricato da una forza di trazione T , `e inoltre governato dall’equazione di equilibrio alla traslazione che pu` o scriversi, nell’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, nel seguente modo:  σct · dA + As · σs = T (3.31) τ=

Ac

essendo Ac l’area del calcestruzzo teso e As l’area di acciaio. A titolo di esempio, nella Figura 3.16 `e illustrato l’andamento dello scorrimento, della tensione di aderenza, della tensione nell’acciaio e della tensione nel calcestruzzo teso in un tirante in cemento armato. T

T s

τ

σs

σct

Figura 3.16 Analisi locale di un tirante in c.a. nel tratto tra due fessure.

Nel caso dell’elemento soggetto a compressione N e flessione baricentrica M , all’equazione (3.31) vanno sostituite le due equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione della sezione, che, nell’ipotesi di conservazione delle

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

sezioni piane, possono scriversi:  σc · dA + As · σs = N

87

(3.32)

Ac

 σc · y · dA + As · ys · σs = M

(3.33)

Ac

essendo Ac l’area di calcestruzzo compresso, y la distanza della generica fibra di calcestruzzo compresso dall’asse baricentrico e ys la distanza dell’armatura dall’asse baricentrico. Il sistema di equazioni (3.28), (3.30) e (3.31) nel caso del tirante e (3.28), (3.30), (3.32) e (3.33) nel caso dell’elemento inflesso consente di risolvere il problema una volta assegnati i legami costitutivi dei materiali. Trattandosi di una condizione di esercizio, `e in genere lecito considerare calcestruzzo compresso e acciaio teso mediante un legame lineare definito rispettivamente dai moduli di elasticit` a Ec ed Es . Tanto il calcestruzzo teso quanto l’aderenza non rispondono invece linearmente. In particolare il legame costitutivo fra tensione di aderenza e scorrimento che si assume, con riferimento al solo tratto che interessa in condizioni di esercizio, `e il seguente: α  s (3.34) τ = τmax · smax dove il valore della τmax dipende essenzialmente dalla resistenza a compressione del calcestruzzo. Per esempio nel Model Code 90, il valore di τmax dipende dalla qualit` a dell’aderenza e dalla condizione di confinamento del calcestruzzo; √ √ in particolare assume il valore 1.0 · fck nel caso peggiore e 2, 5 · fck (fck `e la resistenza cilindrica a compressione caratteristica in MPa) in quello pi` u favorevole. Inoltre smax varia da 0,6 a 1 mm passando da calcestruzzo non confinato a confinato, mentre il valore di α `e constante e pari a 0,4. Inoltre nel bollettino CEB (1995), relativo all’estensione delle raccomandazioni del CEB al calcestruzzo ad alte prestazioni, `e suggerito, nel caso dei carichi di servizio, la diretta proporzionalit` a fra τmax ed fck ; per il caso di calcestruzzo confinato e media qualit` a dell’aderenza viene infatti fornita la seguente relazione: τmax = 0,22 · (fck + 8) MPa

α = 0,21

smax = 1 mm

(3.35)

La relazione (3.35) `e rappresentata nel diagramma della Figura 3.17 per i due valori α = 0,21 e α = 0,4. Si osserva la pendenza di valore infinito all’origine che da un lato rende plausibile, per limitati valori di τ , l’ipotesi di perfetta aderenza, mentre dall’altro rende il problema analitico estremamente non lineare. Per quanto riguarda il calcestruzzo teso, una notevole semplificazione si ottiene trascurando la sua deformazione rispetto a quella dell’acciaio.

88

Capitolo 3

1

τ / τmax

0,8

α = 0,21

0,6 α = 0,4 0,4 0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

s / smax Figura 3.17 Andamento della relazione τ -s in termini adimensionali.

Tale ipotesi `e in genere largamente verificata, e consente di disaccoppiare le due equazioni (3.28) e (3.20) dalle equazioni di equilibrio (3.31) o (3.32)-(3.33) della sezione. Infatti nelle ipotesi di linearit` a del comportamento di calcestruzzo compresso e acciaio teso e utilizzando il legame costitutivo dato dalla (3.34), le due equazioni (3.28) e (3.30) forniscono l’unica equazione: 4 · τmax d2 s − sα = 0 2 dz Es · φ · sαmax

(3.36)

L’interazione fra calcestruzzo teso e barra tesa, che `e il principale meccanismo che influenza i diversi problemi in esercizio, `e dunque governata da un’unica equazione fortemente non lineare. Per risolvere il problema differenziale `e necessario conoscere la distanza fra due successive fessure, che si indica con sr . In teoria tale distanza potrebbe calcolarsi imponendo il raggiungimento delle resistenza a trazione nel calcestruzzo teso; in pratica si utilizza una espressione semi-empirica, che si discute nel Paragrafo 3.5. Stabilito l’intervallo di integrazione, rimane il problema delle condizioni al contorno; in particolare il problema si presenta del tipo “condizioni ai limiti” in quanto, in prossimit` a delle sezioni fessurate un’usuale analisi elastica lineare fornisce lo sforzo nella barra e quindi la relativa tensione e deformazione σs ed εs ; in definitiva in entrambe le sezioni fessurate `e nota la derivata prima dello scorrimento s, mediante la (3.28). La risoluzione semplice della (3.36) richiede per` o che siano noti i valori iniziali di s e della sua derivata, altrimenti si deve ricorrere a soluzioni particolarmente onerose dal punto di vista computazionale.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

89

In particolare molto semplice `e la risoluzione quando esiste una sezione in cui: s=0 ds =0 (3.37) dz Infatti, assumendo l’origine dell’asse z in tale sezione, `e immediato verificare che la (3.36) ammette una soluzione del tipo: s = A · zB

(3.38)

e infatti, effettuando le derivate, sostituendo nella (3.36) e utilizzando il principio di identit` a dei polinomi, si ha che: &1/(1−α) % 2 2 2 · τmax · (1 − α) (3.39) B= A= α Es · φ · smax · (1 + α) 1−α La condizione espressa dalla (3.37) si verifica solo se la barra `e perfettamente ancorata fra due fessure, ma non costituisce la regola generale e pertanto sono necessarie altre tecniche risolutive. Per esempio `e piuttosto semplice la risoluzione mediante discretizzazione alle differenze finite. A tal proposito `e stato mostrato (Ciampi et al., 1983) che `e molto pi` u efficiente trasformare il problema ai limiti nella risoluzione iterativa di problemi di valori iniziali; `e conveniente cio`e assegnare arbitrariamente lo scorrimento alla sezione iniziale e iterare fino al soddisfacimento della condizione ai limiti nell’altra estremit` a. Una volta risolto localmente il problema, e quindi valutata la distribuzione delle deformazioni nell’acciaio e nel calcestruzzo teso, `e immediata la valutazione dell’ampiezza w delle fessure poste a una distanza sr e che si verificano proprio per lo scorrimento fra acciaio e calcestruzzo:  sr (εs − εct )dz (3.40) w= 0

` inoltre possibile calcolare le curvature locali delle sezioni, di cui si parler` E a in dettaglio nel Capitolo 5, mediante l’espressione: 1 εs + ε c = r d

(3.41)

essendo εc la deformazione del calcestruzzo al lembo maggiormente compresso e d l’altezza utile della sezione inflessa. Integrando le curvature `e poi possibile passare al calcolo delle rotazioni e degli spostamenti della struttura. Infine una modellazione analoga si pu` o effettuare mediante un codice di calcolo agli elementi finiti utilizzando una discretizzazione del sistema acciaiocalcestruzzo di tipo bidimensionale o tridimensionale e introducendo il legame di aderenza con appositi elementi di interfaccia distribuiti o concentrati.

90

Capitolo 3

Si osservi che spesso, in presenza di forti gradienti di momento, si ha la formazione di singole fessure e il problema va opportunamente specializzato. Si osservi ancora che in certe situazioni la fessurazione va seguita nella sua progressione introducendo un approccio per la modellazione del calcestruzzo in trazione basato sui principi della meccanica della frattura e quindi sulla definizione di un’energia di frattura. La metodologia esposta `e da ritenersi solo di riferimento e spesso non `e utilizzabile nella pratica tecnica. Pertanto nel seguito, dopo avere introdotto i principi generali che governano gli stati limite di fessurazione e di deformazione, si illustrano metodi applicativi di difficolt`a decrescente per risolvere i problemi dello stato limite di fessurazione e di deformazione.

3.5 Stato limite di fessurazione In accordo con le normative pi` u avanzate (per esempio l’EC2 2004) pu` o dirsi che la fessurazione deve essere limitata a un livello tale da non pregiudicare il corretto funzionamento della struttura e da renderne accettabile l’aspetto da un punto di vista estetico. Viene cos`ı introdotto un concetto centrale di tutte le verifiche allo SLE: un aspetto inaccettabile per la committenza va trattato alla stessa stregua di un malfunzionamento strutturale. Un secondo concetto rilevante `e che la fessurazione delle strutture in cemento armato `e quasi inevitabile. Infatti la modesta resistenza a trazione del calcestruzzo, insieme alla presenza di deformazioni imposte (ritiro, piccoli cedimenti dei vincoli ecc.) renderebbe del tutto antieconomica una progettazione che abbia come obiettivo l’eliminazione di tensioni di trazione elevate. D’altra parte nella teoria convenzionale del cemento armato si fa costante riferimento all’ipotesi di “calcestruzzo non reagente a trazione” e pertanto, coerentemente con tale ipotesi, in genere la fessurazione viene accettata. Lo Stato Limite di Fessurazione si prefigge di inquadrare in un contesto razionale la problematica, definendo di volta in volta le eventuali verifiche in base alle prestazioni che la struttura deve garantire. Un terzo concetto di notevole rilevanza applicativa `e che la fessurazione `e legata totalmente alle azioni solo in taluni casi che quindi possono essere studiati in un contesto “strutturale”. Viceversa molto spesso la formazione delle fessure `e collegata a ritiro, calore di idratazione, qualit` a delle casseforme, reazioni chimiche ecc. In tal caso solo una corretta progettazione dei dettagli costruttivi, delle modalit` a di getto e maturazione, della posa in opera e utilizzo delle casseforme ecc., facendo poi riferimento al particolare ambiente in cui la struttura `e inserita, possono limitare il fenomeno. A titolo esemplificativo nella Figura 3.18 sono riportate varie tipologie di fessure dovute a diversi fenomeni che si verificano nelle strutture in cemento armato; le diverse tipologie di fessure sono individuate da lettere differenti, per ognuna delle quali nella Tabella 3.1 sono riportati il tipo o la causa, la posizione in cui compaiono pi` u comunemente e il tempo in cui appaiono (CEB-RILEM, 1983).

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

91

Con riferimento invece agli stati fessurativi indotti da azioni strutturali, si distinguono i tre seguenti stati: a) stato limite di decompressione; b) stato limite per formazione delle fessure; c) stato limite di apertura delle fessure.

A I

A

B K

E

C

F N B

G

H H

B L I D M

Figura 3.18 Schema delle diverse tipologie di fessure.

Per quanto riguarda la decompressione, in talune situazioni non `e ammessa alcuna trazione nel manufatto; il calcolo si riconduce dunque a una usuale Tabella 3.1 Classificazione delle fessure intrinseche Tipo o causa

Posizione usuale

sudorazione

A

sopra le armature

(bleeding)

B

testa delle colonne

C

cambio sezione

Ritiro plastico

D

sulle diagonali

(evaporazione rapida)

E

casuali

F

sopra le armature

Contrazioni termiche

G

pareti spesse

(calore di idratazione)

H

solette spesse

Ritiro eccessivo

I

elementi spessi con giunti inefficienti

Irregolarit` a

J

calcestruzzo a vista

(casseforme impermeabili)

K

solette

Corrosione delle armature

L

in corrispondenza

M

delle armature

Reazioni alcali-inerti

N

parti umide

Tempo di apparizione 10 minuti ÷ 3 ore

30 minuti ÷ 6 ore 1 giorno ÷ 3 mesi

mesi e settimane 1 ÷ 7 giorni talvolta molto pi` u tardi > 2 anni > 5 anni

92

Capitolo 3

analisi elastica con calcestruzzo reagente tanto a trazione quanto a compressione, verificando che non si manifestino tensioni di trazione. Analogamente nel caso b) si considera il calcestruzzo reagente a trazione, e quindi si procede con le stesse modalit`a di calcolo del caso precedente; la verifica consiste nel controllare che la trazione massima non superi quella ammissibile, eventualmente con un certo coefficiente di sicurezza. Nel caso di flessione, la fessurazione si manifesta quando il momento applicato raggiunge il valore del momento di fessurazione, Mcr ; quest’ultimo si pu` o calcolare assumendo la sezione tutta reagente e imponendo che al lembo teso la tensione nel calcestruzzo sia pari alla sua resistenza a trazione fct,f l . In generale nel calcolo del momento di fessurazione si pu`o trascurare il contributo dell’armatura (vedi esempio 3.6) e fare riferimento alla sola sezione geometrica di calcestruzzo oppure considerare l’armatura omogeneizzata. In entrambi i casi non si pu` o trascurare del calcestruzzo teso. Pi` u complesso `e il caso c), cui sono dedicati i successivi Paragrafi 3.5.1, 3.5.2 e 3.5.3. 3.5.1 Calcolo tecnico dell’ampiezza delle lesioni Si `e gi`a visto come da un’analisi locale `e possibile risalire all’ampiezza delle ` stato anche sottolineato fessure utilizzando i legami costitutivi dei materiali. E che questa `e sicuramente una procedura di tipo raffinato molto spesso troppo complessa per applicazioni tecniche, per le quali si pu` o invece procedere in modo semplificato come segue. Introducendo le deformazioni medie εsm e εcm , in senso integrale, dell’acciaio e del calcestruzzo teso fra due fessure successive, la (3.40) si pu`o esprimere come: (3.42) wm = srm · (εsm − εcm ) essendo srm la distanza media fra le fessure e: ' srm εs · dsr εsm = 0 srm

(3.43)

La (3.42) fornisce l’ampiezza media delle fessure wm come prodotto della distanza media fra le fessure per la differenza tra la deformazione media nell’acciaio e quella nel calcestruzzo; tale procedura diviene operativa disponendo di espressioni esplicite per i due fattori; in effetti entrambi possono essere calcolati sulla base delle considerazioni sviluppate nel paragrafo precedente. Si osservi infatti che la distanza fra le fessure pu` o calcolarsi teoricamente imponendo che la tensione nel calcestruzzo teso raggiunga la sua resistenza a trazione. Tuttavia poich´e nella pratica si tratta di una grandezza molto incerta da valutare, sono pi` u affidabili formule semi-empiriche basate sull’analisi statistica di risultati sperimentali. La formulazione sviluppata fornisce l’ampiezza “media” delle fessure mentre nella verifica normativa si deve far riferimento all’ampiezza “caratteristica”.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

93

L’analisi del problema richiede dunque un’impostazione di tipo probabilistico; per esempio, disponendo delle statistiche del comportamento dei materiali, `e possibile sviluppare un’analisi di Monte Carlo, come si `e introdotto nel Capitolo 1. In maniera approssimata il valore caratteristico, assunto come valore di calcolo, `e correlato direttamente al valore medio attraverso un coefficiente β: wd = wk = β · wm

(3.44)

Cautelativamente alcune normative assumono il valore β = 1,7. La verifica si effettua confrontando il valore caratteristico con una valore di progetto wlim : wk ≤ wlim

(3.45)

L’ultima versione dell’EC2 2004, da cui sono tratte anche le indicazioni della circolare NTC 2008, fornisce direttamente il valore di calcolo dell’ampiezza tra due fessure con riferimento alla distanza massima tra le fessure: wk = sr,max · (εsm − εcm )

(3.46)

La differenza tre le deformazioni medie della barra di acciaio e del calcestruzzo nel tratto tra due fessure viene calcolata secondo la seguente espressione: εsm − εcm =

σs − kt · fct,ef f /ρp,ef f [1 + αe · ρp,ef f ] Es

≥ 0,6

σs Es

(3.47)

che essendo αe = Es /Ecm diventa: εsm − εcm

  fct,ef f σs fct,ef f = − kt + Es Es · ρp,ef f Ecm

(3.48)

dove: • ρp,ef f `e la percentuale di armatura rispetto all’area effettiva in trazione, Ac,ef f ; quest’ultima `e l’area di calcestruzzo intorno alle barre definita dall’EC2 2004 come valore minimo tra (2, 5 · b · (h − d), b · (h − x)/3, b · h/2) essendo b, h e d rispettivamente larghezza, altezza e altezza utile della trave, intendendo l’altezza utile come distanza tra il bordo compresso e il baricentro delle armature; • Es `e il modulo elastico dell’acciaio; a del calcestruzzo; • Ecm `e il modulo secante di elasticit` • fct,ef f `e il valore medio dell’effettiva resistenza a trazione del calcestruzzo al momento in cui avviene la fessurazione (al di sotto dei 28 giorni fct,ef f ≤ fctm ); • kt `e un fattore funzione della durata del carico applicato, pari a 0,6 per carichi di breve durata e 0,4 per carichi di lunga durata.

94

Capitolo 3

Nell’espressione della percentuale di armatura `e possibile portare in conto anche l’eventuale presenza di armature di acciaio pretese. Per la distanza massima tra le fessure, sr,max , l’EC2 2004 fornisce la seguente formulazione, per il caso di distanza tra le armature inferiore a 5 · (c + φ/2): φ (3.49) sr,max = k3 · c + k1 · k2 · k4 ρp,ef f dove: • c `e il copriferro delle armature; • φ `e il diametro delle barre; nel caso in cui vi siano barre di diametri differenti si considera un diametro equivalente φeq esprimibile per una sezione avente n1 barre di diametro φ1 ed n2 barre di diametro φ2 come: n1 φ21 + n2 φ22 (3.50) n1 φ1 + n2 φ2 • k1 `e un coefficiente che tiene conto della qualit`a dell’aderenza delle barre e assume valori pari a 0,8 per le barre ad aderenza migliorata e 1,6 per le barre lisce; • k2 `e un coefficiente che tiene conto della distribuzione delle deformazioni ed `e pari a 0,5 per la flessione e 1 per la trazione pura; • k3 e k4 sono coefficienti i cui valori possono essere fissati da ciascuna normativa nazionale, anche se i valori consigliati sono rispettivamente 3,4 e 0,425. φeq =

Se la distanza tra le armature `e maggiore di 5(c + φ/2) o le armature sono inclinate rispetto alla direzione principale delle tensioni di trazione, nell’EC2 2004 vengono suggerite apposite espressioni per sr,max . Dalla (3.48) si evince chiaramente che la deformazione media dell’acciaio `e inferiore al valore della deformazione massima, che si attinge in corrispondenza della fessura, a causa del cosiddetto fenomeno di tension stiffening e cio`e dell’effetto irrigidente del calcestruzzo teso fra due successive fessure. Si osservi inoltre come l’aderenza, che `e responsabile del fenomeno del trasferimento degli sforzi fra i materiali, viene considerata nelle (3.48) e (3.49) in maniera molto semplificata, mediante i coefficienti kt , k1 e k2 . Si sottolinea che la NTC 2008 fornisce anche la possibilit` a di valutare l’apertura delle fessure con riferimento a formule consolidate suggerite nella letteratura tecnica; alcune di tali formule trascurano la deformazione del calcestruzzo nella (3.42) e forniscono quindi solo le espressioni per calcolare εsm ed srm . Per quanto riguarda i valori limite dell’apertura delle fessure le NTC 2008 fanno riferimento alla Tabella 3.2, dove il valore wd coincide con il valore caratteristico definito in precedenza (3.46) e i valori limite sono: w1 = 0,2 mm w2 = 0,3 mm w3 = 0,4 mm

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

95

Tabella 3.2 Limitazione dell’apertura delle fessure secondo NTC 2008 Gruppi Condizioni Combinazione esigenze ambientali di azioni Sensibile Stato limite A Ordinarie Frequente ap. fessure

B

Aggressive

Molto aggressive

C

Armatura Poco sensibile wd Stato limite wd ≤ w2 ap. fessure ≤ w3

Quasi permanente

ap. fessure

≤ w1 ap. fessure

≤ w2

Frequente

ap. fessure

≤ w1 ap. fessure

≤ w2

Quasi permanente

decompressione

–

ap. fessure

≤ w1

Frequente

formazione fessure –

ap. fessure

Quasi permanente

decompressione

ap. fessure

–

≤ w1 ≤ w1

Esempio 3.6 Verifica dell’apertura delle fessure Nel seguito si riporta un esempio numerico per il calcolo dell’ampiezza delle fessure, a cui si far`a riferimento anche nei paragrafi successivi per la verifica allo Stato Limite di Deformazione. Si considera la stessa trave di sezione rettangolare esaminata nell’esempio 3.2, caratterizzata dalle seguenti propriet`a: • • • • • • •

base b = 1000 mm; altezza totale h = 320 mm; altezza utile d = 290 mm; copriferro c = 30 mm; lunghezza L = 6 m; armatura in trazione 14 φ 16 per un area di acciaio As = 2814 mm2 ; armatura in compressione 14 φ 16 per un area di acciaio As = 2814 mm2 .

30

14 φ 16

1000

Figura 3.19 Sezione a doppia armatura soggetta a flessione semplice.

320

30

M 14 φ 16

96

Capitolo 3

Per quanto riguarda i materiali si utilizza un calcestruzzo di resistenza cilindrica caratteristica fck = 20 MPa, cui corrisponde una resistenza media a trazione del calcestruzzo, fctm e fctm,f l pari a: fctm = 0,3 · fck = 0,3 · 202/3 = 2,2 MPa 2/3

fctm,f l = 1,2 · fctm = 1,2 · 2,2 = 2,64 MPa Il modulo elastico del calcestruzzo risulta: Ecm = 22 000 · (fcm /10)0,3 = 22 000 · (28/10)0,3 = 29 936 MPa essendo fcm = fck + 8 MPa = 28 MPa. Si considera un acciaio B450C caratterizzato da un tensione di snervamento fyk = 450 MPa, cui corrisponde un valore di progetto fyd = fyk /1,15 = 391 MPa, si assume per l’acciaio un modulo elastico Es = 200 000 MPa. I valori caratteristici dei carichi sono pari a 20 kN/m per il permanente e 20 kN/m per l’accidentale; pertanto nella condizione rara si ha un carico totale di 40 kN/m: Fk = Gk + Qk = 20 + 20 = 40 kN/m Con riferimento a uno schema di trave semplicemente appoggiata di lunghezza L = 6 m si ottiene un momento flettente massimo in mezzeria pari a: M = Fk · L2 /8 = 180 kNm In primo luogo si valuta il momento di prima fessurazione in modo semplificato facendo riferimento alla sola sezione di calcestruzzo: Mcr = fctm,f l

b · h2 1000 · 3202 = 2, 64 · = 45,0 kNm 6 6

da cui si ha:

Mcr 45,0 = = 0,25 → M > Mcr M 180 La tensione nell’armatura in trazione, σs , si pu` o calcolare mediante la formula semplificata: σs =

M 180 · 106 = 245 MPa = 0,9 · d · As 0,9 · 290 · 2814

Oppure con la formula esatta (3.17): σs = n ·

M M 180 · 106 · ys = n · (d − x) = 15 · · (290 − 100) = 248 MPa In In 2064, 6 · 106

avendo calcolato l’asse neutro x attraverso l’annullamento del momento statico della sezione parzializzata omogeneizzata (3.18) e successivamente l’inerzia corrispondente (3.19):

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

97

b · x2 + n · As · (x − c) − n · As · (d − x) = 0 2

Sn = 0 :

1000·2 + 15 · 2814 · (x − 30) − 15 · 2814 · (290 − x) = 0 → x = 100 mm 2 b · x3 + n · As · (x − c)2 + n · As · (d − x)2 In = 3 1000 · 1003 + 15 · 2814 · (100 − 30)2 + 15 · 2814 · (290 − 100)2 In = 3 → In = 2064, 6 · 106 mm4 La percentuale di armatura ρp,ef f risulta: ρp,ef f =

2814 As = = 0,0384 b · min (2, 5 · c; [d − x]/3) 1000 · min (75000; 73217)

Avendo inoltre fissato: k1 = 0,8 per barre ad aderenza migliorata; k2 = 0,5 per sollecitazione di flessione; k3 = 3, 4; k4 = 0,425; kt = 0,4 per carichi di lunga durata e fct,ef f = fctm = 2,2 MPa si ha: sr,max = k3 · c + k1 · k2 · k4

εsm − εcm

φ ρp,ef f

= 3, 4 · 30 + 0,8 · 0,5 · 0,425

16 = 0,0384

= 173 mm   fct,ef f 248 σs fct,ef f − = = − kt + Es Es · ρp,ef f Ecm 200 000   2,2 2,2 + = 0,00110 + 0,6 · 200 000 · 0.0384 29 936

da cui: wk = sr,max · (εsm − εcm ) =

173 · 0,00110 = 0,189 mm

L’ampiezza caratteristica non `e dunque trascurabile, anche se risulta accettabile in ambiente aggressivo.

3.5.2 La verifica indiretta dell’ampiezza delle fessure In molti casi non `e necessario utilizzare le metodologie introdotte nei paragrafi precedenti, bens`ı `e sufficiente procedere a una verifica indiretta dell’ampiezza delle fessure. Facendo riferimento alle indicazioni dell’EC2 2004, che coincidono con quelle della circolare alla NTC 2008, `e necessario che venga disposta un armatura minima, di cui si parla nel paragrafo successivo, e che siano verificati i seguenti punti: 1. in corrispondenza dei diametri prescelti siano soddisfatte alcune limitazioni tensionali riportate nella Tabella 3.3, che si riferiscono a un copriferro di

98

Capitolo 3

25 mm, a una resistenza a trazione del calcestruzzo fct,ef f = 2,9 MPa, ai valori dei coefficienti k = 1 e kc = 0,4 per il calcolo dell’armatura minima (par. 3.7.3), ai valori dei coefficienti k1 = 0,8, k2 = 0,5 e kt = 0,4 per le verifiche di fessurazione. 2. siano rispettate le distanze minime fra le barre indicate nella Tabella 3.4.

Tabella 3.3 Limitazione dell’apertura delle fessure secondo NTC 2008 Tensione nell’acciaio (MPa) 160 200 240 280 320 360 400 450

Massimo diametro delle barre (mm) w k =0,4 mm 40 32 20 16 12 10 8 6

w k =0,3 mm 32 25 20 16 12 10 8 6

w k =0,2 mm 25 16 12 8 6 5 4 –

Tabella 3.4 Limitazioni delle distanze tra le barre per il controllo dell’apertura delle fessure Tensione nell’acciaio (MPa) 160 200 240 280 320 360

Massima distanza delle barre (mm) w k =0,4 mm 300 300 250 200 150 100

w k =0,3 mm 300 250 200 150 100 50

w k =0,2 mm 200 150 100 50 – –

Si osservi che dall’analisi della (3.48) `e importante limitare la tensione nell’acciaio e dalla (3.49) limitare il diametro delle barre, a parit` a di area di armatura. La limitazione del diametro (requisito 2) garantisce inoltre che le barre siano sufficientemente diffuse. In pratica se sono soddisfatti i requisiti presentati nelle Tabelle 3.3 e 3.4, analisi numeriche sviluppate in precedenza garantiscono che l’ampiezza delle fessure non `e superiore ai limiti 0,4, 0,3 e 0,2 mm. Con riferimento all’esempio 3.6 si osserva che tutte le limitazioni sono ampiamente soddisfatte (armatura di diametro 16 mm che lavora a una tensione di 248 MPa; distanza fra le armature di circa 56 mm) e infatti l’ampiezza massima delle fessure `e ben al disotto di 0,3 mm.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

99

3.5.3 Minimi di armatura nelle travi Il rispetto dei minimi di armatura nelle sezioni in cemento armato `e un problema di particolare rilevanza. Infatti per evitare situazioni di elevata fragilit` a `e necessario imporre che all’inizio della fessurazione la sezione abbia un’armatura sufficiente a sopportare la forza di trazione che il calcestruzzo teso deve trasmettere. In particolare in una sezione semplicemente tesa si deve avere: Ny ≥ Ncr

(3.51)

essendo Ncr l’azione assiale che induce la fessurazione e Ny lo sforzo di snervamento dell’armatura. Limitando, all’atto della fessurazione, la tensione nell’acciaio a un valore cautelativo σs inferiore alla tensione di snervamento, si ha: (3.52) Ny = σs · As ≥ Ncr = fct · Act da cui: As ≥

fct · Act σs

(3.53)

In una sezione inflessa si ha invece: My ≥ Mcr

(3.54)

essendo Mcr e My : fct · h · Act fct · h b · h2 Mcr ∼ = = · Act = fct · 6 6 3 My ∼ = 0,9 · d · σs · As ∼ = 0,8 · σs · h · As

(3.55) (3.56)

con Act l’area di calcestruzzo in trazione. Si trae pertanto : fct · Act (3.57) As ≥ 0,4 · σs La formula normativa suggerita dall’EC2 2004 che effettivamente si utilizza `e la seguente: fct,ef f · Act,ef f (3.58) As ≥ k · kc · σs dove: • kc `e un coefficiente che tiene conto della distribuzione delle tensioni nella sezione prima della fessurazione ed `e pari a 1 per trazione pura, mentre per la flessione sono fornite le formule che dipendono dalla forma della sezione (sezione rettangolare, a cassone, a T) e che forniscono valori del coefficiente inferiori a 1,0; • k `e un coefficiente che tiene conto delle tensioni intrinseche presenti nel calcestruzzo (per esempio per effetto del ritiro) e assume valori compresi tra 0,65 e 1,0, in particolare:

100

Capitolo 3

– k = 1 per solette con h ≤ 300 mm o flange con larghezza ≤ 300 mm; – k = 0,65 per solette con h ≥ 800 mm o flange con larghezza ≥ 800 mm, mentre valori intermedi possono essere interpolati; • fct,ef f il valore medio dell’effettiva resistenza a trazione del calcestruzzo al momento in cui avviene la fessurazione (al di sotto dei 28 giorni fct,ef f ≤ fctm ). Per quanto riguarda invece la NTC 2008 viene fornita la seguente formula: As ≥ 0,26 ·

fctm · bt · d fyk

ma comunque non inferiore a 0,0013 · bt · d (3.59)

essendo bt la larghezza media della zona tesa; per una trave a T con piattabanda compressa, nel calcolare il valore di bt si considera solo la larghezza dell’anima. La (3.59) definisce valori della percentuale di armatura minima molto pi` u bassi (0,13% e 0,24 % per un calcestruzzo di resistenza fck 20 MPa e 50 MPa rispettivamente). Tuttavia si deve sottolineare che per le costruzioni in zona sismica viene introdotto nella stessa normativa italiana un minimo di armatura tesa decisamente maggiore e pari a: As ≥

1,4 · bt · d fyk

(3.60)

che per un acciaio con tensione di snervamento 450 MPa (per esempio tipo B450C) fornisce un valore della percentuale minima del 0,3% indipendentemente dalla classe del calcestruzzo. Il rispetto del minimo di armatura deve garantire l’assenza di rottura di tipo “fragilissimo” all’atto della fessurazione; si osservi peraltro che la formulazione normativa illustrata `e comunque il risultato di una trattazione estremamente semplificata di una problematica molto pi` u complessa che pu`o essere affrontata con maggiore dettaglio nell’ambito della meccanica della frattura.

3.6 Stato limite di deformazione Il soddisfacimento dello Stato Limite di Deformazione `e basato sulla necessit`a che la deformazione di un elemento o di una struttura sia tale da non comprometterne la funzionalit` a e l’aspetto estetico. Adeguati valori limite della deformazione devono tenere conto della natura delle finiture, dei tramezzi nonch´e della funzione della struttura. I valori limite, in perfetta analogia con lo Stato Limite di Fessurazione, vanno concordati con il committente. In pratica le limitazioni non riguardano direttamente le frecce, bens`ı il rapporto freccia/luce (f /l). Infatti gli elementi fragili che possono essere posizionati al di sopra delle travi sono in genere sensibili alle distorsioni angolari, di cui una misura significativa `e appunto il rapporto f /l. Fermo restando che i limiti accettati di f /l vanno concordati con il committente, indicazioni di massima sono le seguenti:

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

101

• per garantire l’aspetto e la fruibilit` a in condizioni standard, per i carichi quasi permanenti `e necessario che f /l sia inferiore a 1/250; • nel caso in cui siano temuti danni a tramezzi, finiture o infissi, `e necessario limitare f /l a 1/500. In alcuni casi la limitazione delle frecce pu` o essere fatta in modo implicito limitando il rapporto luce/altezza dell’elemento strutturale, ma in generale si deve procedere al calcolo dello spostamento verificandone la compatibilit` a con le limitazioni che ne garantiscono la funzionalit` a. Nel seguito, sulla falsariga di quanto sviluppato per la fessurazione, si presenteranno diverse metodologie di calcolo delle frecce di diversa difficolt` a applicativa. 3.6.1 Analisi media della sezione e il calcolo delle frecce L’analisi locale presentata nel Paragrafo 3.4 consente anche il calcolo delle deformazioni; infatti dall’analisi locale delle deformazioni pu` o calcolarsi la curvatura in ciascuna sezione e dall’integrazione delle curvature lungo l’elemento `e poi possibile passare al calcolo delle rotazioni e degli spostamenti. Qualche ulteriore difficolt` a si presenta nel caso delle strutture iperstatiche. In pratica ben difficilmente si fa riferimento a una tale procedura in quanto `e troppo onerosa dal punto di vista computazionale. La procedura pi` u raffinata che pu` o effettivamente considerarsi si basa invece sulla definizione di una curvatura “media” delle sezioni; tale concetto `e del tutto simile, e pertanto collegato agli stessi parametri, a quello definito nel Paragrafo 3.4 per la deformazione media nell’armatura. Infatti esaminando un concio di trave fessurato (fig. 3.20a) si individua la situazione di sezione parzializzata (stadio 2) nelle sezioni in cui `e localizzata la fessura, mentre all’interno del concio tra due fessure per l’effetto irrigidente del calcestruzzo teso ancora reagente (tension stiffening) il comportamento tende a quello di sezione interamente reagente (stadio 1). L’effettivo comportamento dell’elemento si pu`o quindi modellare facendo riferimento a una curvatura media, 1/rm , della sezione ricavata a partire dalle curvature valutate nello stadio 1 non fessurato, 1/r1 , e nello stadio 2 fessurato, o porsi nella seguente forma: 1/r2 , con una formula che in generale pu` 1 1 1 = · (1 − ζ) + ·ζ rm r1 r2 2  σcr ζ =1−β· σs essendo:

(3.61)

(3.62)

1 1 M M = = 0≤1−ζ ≤1 (3.63) r1 Ec I1 r2 Ec I2 dove I1 e I2 sono le inerzie della sezione nello stadio 1 e 2 (con I1 = I e I2 = In secondo la simbologia precedentemente introdotta). La relazione momento

102

Capitolo 3

curvatura media M − 1/rm `e riportata qualitativamente nella Figura 3.20b, insieme alle curvature 1/r1 e 1/r2 . (a) A

B

x2

x1

A

B

A-A

B-B x2

x1

I1

I2

Ig

(b) M

Stadio1 Stadio 2

EcI1 1

Mcr

EcI2 1 1/rm

Figura 3.20 Comportamento medio dell’elemento. (a) Schema del concio. (b) Relazione momento-curvatura media.

Per esempio la formulazione del CEB (1985) pu` o porsi in tale forma analoga alla (3.61) definendo: 2  Mcr 1 − ζ = β1 · β2 · (3.64) M essendo: • β1 un coefficiente che tiene conto della qualit`a dell’aderenza delle barre (1,0 per le barre ad aderenza migliorata, 0,5 per le barre lisce); • β2 un coefficiente che tiene conto della durata dei carichi (1,0 per carichi di breve durata, 0,5 per carichi di lunga durata o ciclici). Analogamente si pu` o procedere introducendo il concetto di inerzia media (o efficace, equivalente): (3.65) Im = I1 · γ + I2 · (1 − γ)

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

103

` questo il caso del modello introdotto dall’ACI 435 (1984) che pu` E o mettersi nella forma della (3.65) ponendo: 4  Mcr (3.66) γ= M In realt` a i modelli di tension stiffening possono essere tutti espressi ponendo il termine 1/EI m nella seguente forma (Greco e Cosenza, 1988; Cosenza e Greco, 1991):    Mcr I1 1 1 , , β1 , β2 = · 1 − Fts (3.67) Ec Im Ec I2 M I2 dove EI 2 `e la rigidezza caratteristica dello stadio 2, mentre Fts `e un funzione adimensionale che introduce l’effetto di tension stiffening e dipende dalle variabili Mcr /M , I1 /I2 , β1 e β2 . L’espressione di Fts , considerando le proposte del CEB (1985) e dell’ACI 435 (1984), assume rispettivamente la seguente forma: 2   Mcr I2 (3.68) · 1− Fts = β1 · β2 · M I1 4

Fts = 1 −

(Mcr /M ) · (I1 /I2 − 1) 4

1 + (Mcr /M ) · (I1 /I2 − 1)

(3.69)

Per passare al calcolo dello spostamento in mezzeria, freccia f , si pu` o applicare il principio dei lavori virtuali come segue:  MM · dz (3.70) f= Ec I l

essendo M il diagramma del momento flettente sulla trave di cui si vuole calcolare lo spostamento, M  quello della trave ausiliaria caricata con la forza unitaria ed l la lunghezza dell’intero elemento. La (3.70) consente di valutare la freccia tenendo conto della fessurazione e del tension stiffening, e pu` o porsi nella seguente forma: f = f1 + Δf2 − Δfts

(3.71)

in cui: f1 `e la freccia nell’ipotesi di struttura non fessurata (stadio 1); Δf2 `e l’incremento di freccia dovuta al tratto fessurato considerato nello stadio 2 e Δfts `e il decremento dovuto al tension stiffening nel tratto fessurato. Infatti, indicato con l la lunghezza dell’intero elemento strutturale, con l1 il tratto non fessurato e con l2 il tratto fessurato, dalla (3.70) si ha immediatamente:   MM MM · dz f2 = · dz (3.72) f1 = Ec I1 Ec I2 l

l

104

Capitolo 3

  Δf2 =

1 1 − Ec I2 Ec I1

· M M  · dz

(3.73)

l2

 Δfts =

MM Fts · dz Ec I1

(3.74)

l2

La (3.73) si pu` o in generale esprimere come: 

I2 Δf2 = f2 · 1 − I1

F1

(3.75)

essendo F1 funzione del rapporto l∗ /l tra la lunghezza del tratto non fessurato e la luce della trave. Inoltre nel caso della formulazione del CEB si ha:   M 1 I2 2 dz · · (Mcr ) · β1 · β2 · 1 − Δfts = Ec I2 I1 M

(3.76)

l2

che si pu`o porre nella forma: 

I2 Δfts = f2 · β1 · β2 · 1 − I1

· F2

(3.77)

dove F2 `e ancora una funzione del rapporto tra la lunghezza del tratto non fessurato e la lunghezza totale. Nella Tabella 3.5 sono riportati i valori di F1 , F2 ed l∗ /l per gli schemi statici di trave semplicemente appoggiata e di mensola, considerando la condizione di carico uniformemente distribuito q eventualmente insieme a una forza concentrata in mezzeria F ; quest’ultima viene introdotta in termini adimensionali come F = F/ (q · l). In particolare con l∗ si `e indicata la distanza fra l’appoggio e la prima sezione fessurata nel caso della trave appoggiata; la distanza fra l’estremo non vincolato e la prima sezione fessurata nel caso della mensola. Un’ulteriore espressione per la valutazione della freccia si ottiene sostituendo nella (3.71) le (3.76) e (3.77) e considerando che I2 /I1 = f1 /f2 :  f1 f1 f = f1 + f2 · 1 − · F1 − f2 · β1 · β2 · 1 − · F2 = f2 f2 = f1 + (f2 − f1 ) · (F1 − β1 · β2 · F2 ) 

(3.78)

q

q

F = F/(q . l)

F

q

F = F/(q . l)

F

q

Schema statico

%  3 &  ∗ 4 l l∗ 8 1− + ·F · 1− l 3 l 8 1+ ·F 3

 ∗ 4 l 1− l

   l∗ 3 48 l∗ 4 8 64  1+F · 1+ F + 5 5 l 5 l 8 1+ F 5

 3  4 64 l∗ 48 l∗ 1− · + · 5 l 5 l

F1

 ∗ 2&2    l l∗ 1+F −l∗/l 1+F − ·ln 2 l l 1+2·F   5 8 · 1+ ·F 192 5

 ∗ 4 l l 4· ·ln ∗ l l % 2 &2 l∗ l∗ 1+2·F 4· +2·F · ·ln ∗ l l l +2·F l 8 1+ ·F 3

%

 ∗ 2 &2    l 192 l∗ l∗ · − ·ln 2· 1− 5 l l l

%

F2

Tabella 3.5 Espressioni di F1 , F2 , l∗ /l per gli schemi di trave appoggiata e di mensola



F+

2

1−

Mcr Mmax

Mcr Mmax

 Mcr  · 1+2 · F Mmax



2 Mcr    1+F − 1+2F Mmax 2

F+





1+F −



1−



l∗ /l

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio 105

106

Capitolo 3

che avendo posto: γ = F1 − β1 · β2 · F2

(3.79)

f = f1 · (1 − γ) + f2 · γ

(3.80)

si pu` o mettere nella forma :

e cio`e in una forma duale alla (3.61). (a) 1 1− γ

F

q

β1β2 = 1

0,8 l 0,6 F = F / (q . l)

0,4

5 2 1.5 F 1 0.5 0

0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Mcr /Mmax

(b) 1 1− γ

F

q

0,8

β1β2 = 0,5

l 0,6 F = F / (q . l)

0,4

5 2 1.5 F 1 0.5 0

0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Mcr /Mmax Figura 3.21 Andamento della funzione γ: (a) trave appoggiata con β1 · β2 = 1; (b) trave appoggiata con β1 · β2 = 0,5.

La funzione 1 − γ `e diagrammata nelle Figure 3.21 e 3.22 per i due schemi statici considerati e per i due casi β1 · β2 =1 e β1 · β2 = 0,5. Si `e assunto come variabile il rapporto fra il momento di prima fessurazione Mcr e il momento massimo Mmax che agisce sullo schema considerato.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

107

(a) 1 1− γ

q

F

β1β2 = 1

0,8 l 0,6 F = F / (q . l)

0,4

5 2 1.5 F 1 0.5 0

0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Mcr /Mmax

(b) 1 1− γ

q

F

β1β2 = 0,5

0,8 l 0,6 F = F / (q . l)

0,4

5 2 1.5 F 1 0.5 0

0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Mcr /Mmax Figura 3.22 Andamento della funzione γ: (a) mensola con β1 · β2 = 1; (b) mensola con β1 · β2 = 0,5.

I diagrammi consentono l’immediato calcolo delle frecce per i due schemi, particolarmente ricorrenti nella pratica. Si osservi come le due famiglie di curve siano estremamente raccolte. 3.6.2 Calcolo tecnico delle frecce La procedura illustrata precedentemente pur essendo gi` a una modellazione semplificata per la valutazione delle frecce pu` o risultare comunque onerosa da un punto di vista applicativo nel caso di schemi pi` u complessi, pertanto le normative forniscono anche la possibilit` a di effettuare una valutazione diretta degli spostamenti senza calcolare le curvature. In pratica sia il CEB (1985) sia l’EC2 2004 suggeriscono formule dello stesso tipo delle (3.61), ma che forniscono direttamente gli spostamenti.

108

Capitolo 3

Nel caso dell’EC2 2004 si ha: f = f1 · (1 − ζ) + f2 · ζ  2 σcr ζ =1−β· σs

(3.81)

dove: • f1 e f2 sono i valori delle frecce calcolati con riferimento all’inerzia rispettivamente della sezione integra e della sezione fessurata; • β `e un coefficiente che tiene conto della durata dei carichi (1,0 per carichi di breve durata, 0,5 per carichi di lunga durata o ciclici); • σs `e la tensione nell’armatura nella sezione fessurata in corrispondenza dei carichi applicati; • σcr `e la tensione nell’armatura nella sezione fessurata in corrispondenza dei carichi applicati che causano la prima fessurazione. o essere sostituito dal rapporto Mcr /M per elementi Il rapporto σcr /σs pu` inflessi o Ncr /N per elementi tesi, essendo Mcr ed Ncr il momento e lo sforzo normale di fessurazione, per cui la (3.81) diventa: % 2 2 &   Mcr Mcr (3.82) + f2 · 1 − β · f = f1 · β · M M La (3.82) esplicita la forma della (3.80) mediante una dipendenza funzionale da Mcr /Mmax estremamente semplificata. Si osservi per`o che nella scelta di formulazioni di diversa approssimazione si deve sempre tenere conto dell’affidabilit` a dei parametri meccanici necessari per le valutazioni. In particolare il calcolo delle frecce `e fortemente condizionato dalla valutazione del modulo di elasticit`a del calcestruzzo Ec e del momento di fessurazione Mcr , ovvero della resistenza a trazione del calcestruzzo media fctm e caratteristica fctk . Infatti l’utilizzo di formulazioni raffinate risulta inefficace se le valutazioni di Ec e Mcr non sono adeguatamente affidabili, ed `e certamente sufficiente utilizzare formule approssimate del tipo della (3.81). La normativa americana (ACI 318-02, 2002) fornisce una formulazione per il calcolo dell’inerzia media equivalente, Ie : % 3 3 &   Mcr Mcr (3.83) + Icr · 1 − Ie = Ig · Ma Ma essendo Ig e Icr i valori dell’inerzia rispettivamente della sezione integra (Ig = I1 ) e della sezione fessurata (Icr = I2 ), Ma il momento agente in sezione dovuto ai carichi applicati. Per quanto riguarda il modulo elastico e la resistenza a trazione le formule maggiormente adottate nella pratica forniscono le suddette grandezze a partire dalla resistenza del calcestruzzo in compressione fck ; come per esempio le seguenti suggerite dall’EC2 2004 e gi` a illustrate nel Capitolo 2:

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

 Ec = 22 000 ·

fcm 10

1/3

fctm = 0,30 · fck MPa 2/3

 = 22000 ·

fck + 8 10

109

1/3

fctk = 0,7 · fctm MPa

MPa

(3.84) (3.85)

Dalla resistenza a trazione si ricava poi la resistenza a trazione per flessione, talvolta indicata come modulo di rottura fr , mediante un coefficiente maggiore di 1 tarato sulla base dei risultati sperimentali. Nelle Figure 3.23 sono riportati numerosi risultati sperimentali relativi alla dipendenza del modulo elastico Ec e del modulo di rottura fr dalla resistenza a compressione; `e evidente la notevole dispersione dei risultati e quindi il grado di affidabilit` a che possono avere le formulazioni. (b) fr (MPa)

Ec (GPa)

(a) 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 fc (MPa)

6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 M fc ( Pa)

Figura 3.23 Risultati sperimentali relativi al calcestruzzo in funzione della resistenza a compressione. a) Modulo elastico; b) Modulo di rottura.

L’influenza della modellazione e delle incertezze sperimentali nella valutazione delle frecce `e stata studiata da diversi autori (Beeby, 1974; Ramsay et al., 1978; Cosenza, 1988; Espion e Halleaux, 1990; Cosenza e Greco, 1990;, Cosenza e Rizzano, 1994), cui si rimanda per ulteriori approfondimenti. Ad esempio in Cosenza e Greco (1990) e Cosenza e Rizzano (1994) `e mostrato, su base statistica, come una migliore aderenza ai risultati sperimentali si abbia considerando nella (3.82) l’esponente 1,5 invece di 2; in tal caso l’affidabilit` a statistica della formula pu` o addirittura essere superiore a quella del metodo pi` u raffinato che parte dalla integrazione delle curvature. 3.6.3 Effetti differiti Il calcolo delle deformazioni nelle strutture in cemento armato non pu` o assolutamente prescindere dagli effetti “lenti”, e cio`e dagli effetti che si svilup-

110

Capitolo 3

pano nel calcestruzzo nel tempo; nel seguito viene fatto un breve cenno alla problematica in relazione alla valutazione delle deformazioni. Nel tempo si manifestano nel calcestruzzo fenomeni sia deformativi in assenza di carico dovuti al “ritiro”, sia in presenza di carico dovuti alla “viscosit`a”. Tanto il ritiro quanto la viscosit` a sono collegati agli stessi parametri, di cui i principali sono il tempo di maturazione, il perimetro esposto all’aria rispetto all’area della sezione, l’umidit` a relativa dell’ambiente. Tanto il ritiro quanto la viscosit`a, essendo sostanzialmente legati agli scambi di acqua con l’esterno, aumentano in presenza di ridotti tempi di maturazione, di elevati perimetri esposti all’atmosfera, di ambienti secchi. Ritiro e viscosit` a possono essere trattati sovrapponendo gli effetti nelle singole fibre, mentre nell’intera sezione vi `e un’approssimazione legata alla variazione della profondit` a dell’asse neutro. Il ritiro `e una deformazione imposta al calcestruzzo e il problema pu` o essere studiato in maniera semplice dividendo in due fasi la soluzione. Nella prima fase si sottopone alla distorsione da ritiro l’intera sezione, acciaio compreso; si valuta cos`ı lo sforzo che nasce nell’acciaio (nel calcestruzzo la deformazione `e atensionale) e per equilibrio si applica l’azione uguale e contraria all’intera sezione. Ne consegue immediatamente che se l’armatura `e simmetrica, l’acciaio contrasta la deformazione da ritiro senza alcun effetto flessionale. Se invece l’armatura non `e simmetrica allora lo sforzo che si sviluppa provoca anche curvatura e quindi inflessione. Indicando con εsh la deformazione da ritiro, e con riferimento al comune caso di sezione semplicemente armata, si ottiene il seguente sforzo: Nsh = εsh · Es · As

(3.86)

applicato alla quota delle armature in trazione poste a distanza ys dall’asse neutro; si ha dunque un momento flettente pari a: Sc (3.87) = εsh · Ec · Sc n essendo Ss ed Sc i momenti statici rispetto all’asse neutro dell’acciaio teso e del calcestruzzo compresso rispettivamente, essendo Sc + n · Ss = 0. La curvatura dovuta al ritiro `e pari quindi a : Msh = εsh · Es · As · ys = εsh · Es · Ss = εsh · Es ·

1 Msh Sc = εsh · = rsh Ec · I I

(3.88)

dove I `e il momento di inerzia I1 o I2 della sezione a seconda della condizione di carico in esame. Se la sezione `e costante lungo l’intero elemento, lo spostamento assume il seguente valore: c1 · Msh · l2 Sc · l2 = c1 · εsh · (3.89) fsh = Ec · In In dove c1 vale 1/8 per la trave appoggiata e 1/2 per la mensola.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

111

Per quanto concerne l’effetto della viscosit`a, per stati tensionali non superiori al 30 ÷ 40% della resistenza a compressione del calcestruzzo `e valida la teoria lineare della viscosit` a, per cui la deformazione viscosa εv si assume proporzionale, secondo un coefficiente di viscosit`a ϕ, alla deformazione elastica εel . Da tale assunzione si ottiene immediatamente il metodo EM (Effective Modulus), in quanto si ha: ε = εel + εv = εel · (1 + ϕ) =

σc · (1 + ϕ) Ec

(3.90)

e pertanto, in termini equivalenti, il problema si risolve introducendo nelle formulazioni di calcolo il modulo elastico efficace del calcestruzzo Ec,ef f : Ec,ef f =

Ec 1+ϕ

(3.91)

Il problema a questo punto pu` o essere trattato secondo le procedure illustrate nei paragrafi precedenti. In realt` a la metodologia `e approssimata, in quanto lo stato tensionale nel calcestruzzo varia nel tempo; in tal caso un potente strumento ingegneristico `e costituito dal metodo “algebrizzato” detto anche “AAEM” e cio`e del modulo elastico modificato per l’et` a (Age Adjusted Effective Modulus). Tuttavia nel caso in esame, analisi numeriche e confronti sperimentali svolti da Cosenza et al. (1990) hanno mostrato che l’influenza del metodo `e minimo, in quanto lo stato tensionale `e poco variabile, e comunque l’incertezza nella valutazione dei parametri meccanici che definiscono il modello `e di gran lunga superiore. Per esempio nelle Figure 3.24 e 3.25 `e riportato un confronto teoricosperimentale con riferimento alle prove effettuate da Bakoss et al. (1982) e Jaccoud e Favre (1982) e considerando diverse metodologie teoriche. In particolare la metodologie considerate sono la procedura EM innanzi definita, quelle 14

f (t, t0) (mm)

12 10 8 6

M / Mcr = 0,7

4

φmax = 2,39 εcmax = 0,000377

2

sperimentale AAEM EMr EM

0 0

100

200

300

400

500

t − t0 (giorni) Figura 3.24 Confronto teorico-sperimantale: prove di Jaccoud e Favre (1982).

600

112

Capitolo 3

28

f (t, t0) (mm)

24 20 16 12

M / Mcr = 0,7 φmax = 2,42 χ = 0,935 εcmax = 0,000377

8 4

sperimentale AAEM EMr EM

0 0

100

200

300

400

500

600

t − t0 (giorni) Figura 3.25 Confronto teorico-sperimentale: prove di Bakoss et al. (1982).

EMr in cui, pi` u rigorosamente, ritiro e viscosit` a sono considerati contemporaneamente e non si applica l’effetto del ritiro sulla sezione gi` a affetta dalla viscosit`a e la procedura AAEM in cui si considera la variabilit` a dello stato di compressione del calcestruzzo. I risultati teorici sono praticamente coincidenti tra loro e l’accordo con i risultati sperimentali `e sicuramente soddisfacente. In conclusione si pu` o affermare che `e sufficiente utilizzare la formulazione EM, essendo inutile ricorrere a procedure pi` u raffinate. Esempio 3.7 Verifica di deformabilit` a a breve termine (t = 0) Con riferimento alla stessa trave introdotta negli esempi 3.2 e 3.6 si procede alla valutazione della freccia istantanea (tempo 0) per una condizione di carico rara. Al tempo t = 0 si considera un coefficiente di omogeneizzazione, n, pari all’effettivo rapporto tra i moduli elastici dei materiali: • calcestruzzo: Ecm = 29 936 MPa (come gi`a calcolato nell’esempio 3.6); • acciaio: Es = 200 000 MPa; da cui si ottiene n = 6,7. La sezione presenta le stesse caratteristiche geometriche riportate nella Figura 3.26. Come gi`a visto nell’esempio 3.6 il carico distribuito agente sulla trave appoggiata di lunghezza 6,0 m in condizione rara `e q = 40 kN/m. Calcolo delle caratteristiche della sezione non fessurata (stadio 1): Trascurando la differenza tra calcestruzzo teso e compresso ed essendo la sezione armata simmetricamente, il baricentro della sezione omogeneizzata coincide con quello geometrico della sola sezione in calcestruzzo. Tuttavia a titolo di esempio si

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

113

320

30

M 14 φ 16 14 φ 16

30

1000

Figura 3.26 Sezione a doppia armatura soggetta a flessione semplice.

riporta il calcolo della posizione del baricentro della sezione omogeneizzata come x1 = Ss /A, essendo Ss il momento statico della sezione omogeneizzata rispetto al lembo superiore della sezione: b · h2 /2 + n · As · d + n · As · c = b · h + n · As + n · As 1000 · 3202 /2 + 6, 7 · 2814 · 290 = 160 mm = 1000 · 320 + 2 · 6, 7 · 2814

x1 =

che coincide con la posizione del baricentro geometrico. L’inerzia della sezione non fessurata `e quindi pari a: I1 =

b · h2 2 + b · h · (0.5h − x1 ) + n · As · (x1 − c)2 + n · As · (d − x1 )2 2

I1 =

1000 · 3202 2 + 6, 7 · 2814 · (290 − 160) + 6, 7 · 2814 · (160 − 30)2 = 12

= 3049 · 106 mm4 La freccia nello stadio 1 al tempo t = 0 `e quindi pari a: f1 =

q · L4 5 · 384 Ecm · I1

=

40 · 60004 5 · = 7, 4 mm 384 299 36 · 3049 · 106

Calcolo delle caratteristiche della sezione fessurata (stadio 2): L’asse neutro della sezione fessurata si calcola, come gi`a fatto nell’esempio 3.2, mediante l’annullamento del momento statico rispetto al baricentro della sezione parzializzata attraverso la (3.18) ma assumendo il coefficiente di omogeneizzazione pari all’effettivo rapporto tra i moduli, n = 6,7: b · x22 + n · As · (x2 − c) − n · As · (d − x2 ) = 0 2 1000 · x22 + 6, 7 · 2814 · (x2 − 30) − 6, 7 · 2814 · (290 − x2 ) = 0 2 → x2 = 78 mm

114

Capitolo 3

L’inerzia della sezione parzializzata si calcola con la (3.19): I2 =

b · x32 + n · As · (x2 − c)2 + n · As · (d − x2 )2 3

I2 =

1000 · 783 + 6, 7 · 2814 · (78 − 30)2 + 6, 7 · 2814 · (290 − 78)2 3

→ I2 = 1049 · 106 mm4 La freccia nello stadio 2 al tempo t = 0 `e quindi pari a: f2 =

5 5 q · L4 40 · 60004 = = 21,5 mm · · 384 Ecm · I2 384 299 36 · 1049 · 106

Il momento massimo agente in campata `e: M=

Fk · L2 40 × 62 = = 180 kNm 8 8

Il momento di prima fessurazione gi`a calcolato nell’esempio 3.6 `e pari a: Mcr =

fctm,f l · b · h2 = 45,0 kNm 6

da cui si ottiene: Mcr 45,0 = = 0,250 M 180



Mcr M

2 = 0,0625

Volendo applicare la modellazione “raffinata” illustrata nel Paragrafo 3.8.2 e con riferimento agli schemi riportati nella Tabella 3.6, si ha per la trave appoggiata con carico distribuito:    Mcr 

√ 1− 1− 1 − 1 − 0,250 l∗ Mmax = = = 0,067 l 2 2  ∗ 3  ∗ 4 l l 64 48 F1 = 1 − · · + = 0,996 5 l 5 l %    ∗ 2 &2  l 192 l∗ l∗ F2 = · ln 2 · 1 − · − = 0,094 5 l l l e quindi avendo assunto β1 · β2 =1 si ottiene: γ = 1 − F1 + β1 · β2 · F2 = 1 − 0,996 + 0,094 = 0,098

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

115

da cui: f0 = f1 · γ + f2 · (1 − γ) = 7,4 · 0,098 + 21,5 · (1 − 0,098) = 20,1 mm Utilizzando la formula applicativa (3.82) proposta dall’EC2 2004 si ha:  f = f1 · β ·

Mcr Ms

%

2

+ f2 · 1 − β ·



Mcr Ms

2 &

f = 7, 4 · 0,0625 + 21,5 · (1 − 0,0625) = 20,6 mm avendo assunto β = 1 per carichi di breve durata. I risultati dimostrano l’affidabilit`a delle formulazioni di calcolo diretto delle frecce.

Esempio 3.8 Verifica di deformabilit` a a lungo termine Per effettuare invece la verifica a lungo termine `e necessario valutare la freccia tenendo conto della viscosit`a. Con il metodo EM la procedura `e estremamente semplice: si utilizzano le espressioni e i metodi dei paragrafi 3.6.1 e 3.6.2 semplicemente sostituendo al modulo elastico “istantaneo” Ecm quello effettivo Ec,ef f e dunque al coefficiente di omogeneizzazione istantaneo n quello effettivo nef f = Es /Ec,ef f . Per quanto concerne l’influenza della viscosit`a sull’aderenza, solo recentemente sono stati effettuati studi sperimentali; in pratica il fenomeno `e introdotto in maniera estremamente semplificata assumendo il valore 0,5 per il coefficiente β2 nella (3.64) e per il coefficiente β nella (3.81). Nel caso in esame si assume per il coefficiente di viscosit`a ϕ = 2,40 e per la deformazione da ritiro εsh = 0,00025; la valutazione della freccia viene effettuata per la condizione di carico quasi-permanente, assumendo un coefficiente riduttivo ψ2 = 0,3 per civile abitazione, da cui si ottiene un carico pari a: qd = 20 + 0,3 · 20 = 26 kN/m Procedendo con il calcolo della freccia mediante la stessa metodologia utilizzata per il calcolo a breve termine si ha: Ec,ef f = nef f =

Ecm 29 936 = = 8804 MPa (1 + ϕ) (1 + 2, 40) 210 000 = 22,7 8804

116

Capitolo 3

Calcolo delle caratteristiche della sezione non fessurata (stadio 1): Come gi`a rilevato nell’esempio numerico precedente il baricentro della sezione omogeneizzata coincide con il baricentro della sezione geometrica, per cui: x1 = 160 mm L’inerzia della sezione non fessurata `e pari a: I1 =

b · h3 2 + b · h · (0,5h − x1 ) + nef f · As · (x1 − c)2 + nef f · As · (d − x1 )2 12

I1 =

1000 · 3202 2 + 22,7 · 2814 · (290 − 160) + 22,7 · 2814 · (160 − 30)2 = 12

= 3810 · 106 mm4 La freccia in stadio 1 al tempo t = 0 `e quindi pari a: f1 = =

q · L4 5 · f1 = 384 Ec,ef f · I1 5 26 · 10−3 · 60004 = 13,1 mm · 384 8804 · 3810 · 106

Calcolo delle caratteristiche della sezione fessurata (stadio 2): L’asse neutro della sezione fessurata si calcola mediante l’annullamento del momento statico rispetto al baricentro della sezione parzializzata attraverso la (3.18) in cui si assume n = nef f = 22,7: b · x22 + nef f · As · (x2 − c) − nef f · As · (d − x2 ) = 0 2 1000 · x22 + 22, 7 · 2814 · (x2 − 30) − 22, 7 · 2814 · (290 − x2 ) = 0 2 → x2 = 111 mm L’inerzia della sezione parzializzata si calcola con la (3.19): I2 =

b · x32 + nef f · As · (x2 − c)2 + nef f · As · (d − x2 )2 3

I2 =

1000 · 1113 + 22, 7 · 2814 · (111 − 30)2 + 22, 7 · 2814 · (290 − 111)2 3

→ I2 = 2921 · 106 mm4

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

117

La freccia nello stadio 2 al tempo t = ∞ `e quindi pari a: 5 384 5 = 384

f2 =

q · L4 = Ec,ef f · I2 26 · 60004 · = 17,1 mm 8804 · 2921 · 106 ·

Il momento massimo agente in campata `e: Mmax = 26 · 62 /8 = 117 kNm  2 Mcr 45,0 Mcr = = 0,42 per cui = 0,174 M 108 M Utilizzando direttamente l’espressione semplificata dell’EC2 2004 si ha: %   2 2 & Mcr Mcr f = f1 · β · + f2 · 1 − β · Ms Ms f∞ = 13,1 · 0,5 · 0,174 + 17,1 · (1 − 0,5 · 0,174) = 16,7 mm Per quanto concerne l’effetto del ritiro, applicando direttamente l’intera deformazione da ritiro sulla sezione fessurata (I = I2 ), si ha: Sc =

1112 · 1000 x22 · b = = 6 160 500 mm3 2 2

εsh = 0,00025 fsh =

1 Msh Sc · L2 6 160 500 · 60002 · · L2 = εsh · = 0,00025 · = 2,4 mm 8 Ec I 8 · I2 8 · 2921 · 106

e quindi la freccia totale a tempo infinito risulta: f∞ = 16,7 + 2,4 = 19,1 mm Si ha pertanto anche un rapporto freccia/luce pari a: f∞ 19,1 = = 0,0032 < 0,004 = 1/250 l 6000

3.6.4 Verifica indiretta delle deformazioni Il calcolo presentato nei paragrafi precedenti non `e particolarmente complesso. Tuttavia `e comunque comodo, dal punto di vista progettuale, mettere a punto delle tabelle di rapida utilizzazione per effettuare il controllo indiretto delle frecce.

118

Capitolo 3

A tal proposito si osservi che, considerando in vantaggio di sicurezza il solo stadio 2 di sezione fessurata, che peraltro rappresenta in molti casi l’introduzione di una piccola approssimazione, la freccia pu` o scriversi in generale: Mmax · l2 f∼ = f2 = c2 · Ec · I2

(3.92)

dove per la trave semplicemente appoggiata c2 assume i valori 40/384 e 1/12 rispettivamente nel caso di carico distribuito e forza concentrata in mezzeria, mentre per la mensola assume i valori 1/4 e 1/3 rispettivamente per i due tipi di carico. Ponendo: Mmax · (d − x) (3.93) σs = n · I2 da cui: Mmax =

σs · I2 n · d · (1 − ξ)

con

ξ=

x d

(3.94)

dove, nel caso di sezione rettangolare a semplice armatura, ξ dipende unicamente dal prodotto di n per la percentuale geometrica dell’armatura ρd = As /bd:    2 (3.95) ξ = −n · ρd · 1 − 1 + n · ρd pu` o in definitiva scriversi: f = c2 ·

l2 σs 1 · · Es 1 − ξ d

(3.96)

da cui: f c2 σs l = · · l 1 − ξ Es d

(3.97)

La (3.97) `e approssimata, perch´e trascura l’effetto del tension stiffening e non considera il ritiro ed `e inoltre valida unicamente per la sezione rettangolare a ` per` semplice armatura. E o utile per individuare i parametri che governano il problema e la loro influenza, in quanto si evidenzia che per limitare il rapporto f /l `e sufficiente limitare l/d avendo fissato il valore della tensione di lavoro nell’acciaio e la posizione dell’asse neutro, che a sua volta `e univocamente definita dalla percentuale geometrica di armatura. L’EC2 2004 fornisce un’espressione di l/d in funzione dei parametri meccanici e della percentuale di armatura per effettuare la verifica senza il calcolo delle frecce. Con riferimento ai valori limiti di l/d, valutati considerando una tensione nell’armatura di 310 MPa e un calcestruzzo con fck = 30 MPa, per garantire un valore di f /l inferiore a 1/250 per la condizione di carico quasi permanente, si riporta nel seguito la Tabella 3.6.

Calcolo elastico e Stato Limite di Esercizio

119

Tabella 3.6 Valori di l/d limite per garantire la verifica di deformabilit` a (σs = 310 MPa, fck = 30 MPa) Elemento strutturale

ρd = 1,5% calcestruzzo molto sollecitato

ρd = 0,5% calcestruzzo poco sollecitato

1.

travi semplicemente appoggiate, solette ordite in una o due direzioni semplicemente appoggiate

14

20

2.

estremit` a di travi continue o di solette continue lungo un lato ordite in una o due direzioni

18

26

3.

campata interna di trave o di soletta ordita in una o due direzioni

20

30

4.

solette appoggiate su pilastri senza travi

17

24

5.

mensole

6

8

Essa `e costituita da due colonne relative a due intervalli di percentuali di armatura: ρd = 1,5% (definito calcestruzzo molto sollecitato) e ρd = 0,5% (calcestruzzo poco sollecitato) che rappresentano in pratica l’influenza di ξ. Si osservi come la tabella prescinda dai valori del coefficiente di viscosit` ae dalla deformazione da ritiro; va quindi ritenuta valida per valori medi di tali parametri.

4 Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

4.1 Legame costitutivo del calcestruzzo La Normativa italiana, NTC 2008, prevede diversi modelli del legame costitutivo fra cui il progettista pu` o scegliere. Tutti i legami sono caratterizzati dallo stesso valore della resistenza di progetto σcd e della deformazione ultima del calcestruzzo εcu . In particolare σcd si calcola a partire dalla resistenza cilindrica caratteristica (5◦ percentile) fck , con la seguente formula: σcd = αcc

fck γc

(4.1)

dove αcc tiene conto della differenza di modalit` a di rottura in laboratorio e nelle strutture reali, e γc `e il coefficiente parziale del materiale calcestruzzo; a, perch´e la velocit`a di prova in laboratorio `e αcc `e in genere minore dell’unit` in genere maggiore di quella con cui pu` o collassare la struttura, pertanto si assume pari a 0,85. In caso di azioni eccezionali la NTC 2008 suggerisce di assumere il valore unitario, nel caso di azioni sismiche prevede, cautelativamente, l’utilizzo di αcc =0,85. Per quanto riguarda γc , in passato in Italia si utilizzava il valore 1,6. Nella nuova normativa, in coerenza con quanto suggerito dall’Eurocodice 2 (EC2, 2004), si assume γc = 1,5, con un vantaggio di circa il 7%. Nella tabella che segue, per le diverse Classi di calcestruzzo previste in Italia, `e riportato il valore di σcd . Tabella 4.1 Valori di σcd al variare della Classe di calcestruzzo Classe σ cd (MPa)

16/20 9,07

20/25 11,33

25/30 14,17

28/35 15,87

35/45 19,83

40/50 22,67

Classe σ cd (MPa)

50/60 28,33

55/67 31,17

60/75 34,00

70/85 39,67

80/95 45,33

90/105 51,00

45/55 25,50

122

Capitolo 4

Per quanto concerne εcu , si assume il valore di 3,5%. Tale valore `e realistico considerando calcestruzzi non confinati e cio`e in presenza di staffe poco fitte. In presenza di confinamento efficace (staffe chiuse e fitte, confinamento con compositi ecc.), la deformazione ultima pu` o aumentare, anche sostanzialmente. Si discuter` a dell’argomento nel Capitolo 5. I modelli normativi invece sono decisamente diversi per l’andamento σc -εc . Il legame di riferimento `e di tipo parabola-rettangolo, descritto da un tratto parabolico che raggiunge σcd per una deformazione εc2 = 2%, per poi manteu nersi con una tensione costante fino a εcu = 3,5% (fig. 4.1). Tale legame `e il pi` realistico, in quanto modella la non linearit` a che `e presente fin dal principio. σ σcd

εc2 = 2 ‰

ε εcu = 3,5 ‰

Figura 4.1 Legame parabola-rettangolo per il calcestruzzo.

Le equazioni che lo descrivono sono:  εc σcd σc (εc ) = 2 = · εc 1 − εc2 2εc2 = 1000σcd εc (−250εc + 1) per εc ≤ εc2 = 2% σc (εc ) = σcd per εc2 = 2% ≤ εc ≤ εcu = 3, 5%

(4.2)

Nel caso che la Classe di resistenza sia superiore a C50/60, il modello si modifica per tener conto della minore duttilit` a del materiale, nel seguente modo: 0,53 εc2 = 2% + 0,0085% (fck − 50) εcu = 2, 6% + 3, 5% [(90 − f ck ) /100]

4

(4.3)

Tipici diagrammi tensione deformazione sono riportati nella Figura 4.2. Nel caso di calcestruzzo con Classe di resistenza non superiore a C50/60, `e immediato dimostrare che l’area al di sotto della curva risulta pari a:  2 4 3 17 · + = σcd εcu ∼ (4.4) A(σ − ε) = σcd εcu = 0,8094σcd εcu 3 7 7 21

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

123

Tale area rappresenta l’energia che, in un problema monodimensionale, si immagazzina nel volume unitario di calcestruzzo, e cio`e nel cubetto dai lati unitari centrato nel punto in esame. 60 σ (MPa) C 90/105 εc2 = εcu

50

C 70/85

40

εc2 εcu 30

εc2 C 45/55

C 55/67 εcu

C 35/45

20

C 20/25 10 εc2 0 0,0‰

1,0‰

2,0‰

εcu ε 3,0‰

4,0‰

Figura 4.2 Tipici diagrammi tensione deformazione per il calcestruzzo al variare della classe di resistenza.

Si osservi ancora che la distanza del baricentro dell’area del diagramma parabola-rettangolo dall’origine degli assi vale: 20 33 5 4 2 4 11 3 + + 139 εcu = d(σ − ε) = 8 7 3 7 14 7 εcu = 147 98 εcu = 17 17 238 21 21  99 = 1− εcu ∼ = 0,5840εcu = (1 − 0,4160)εcu 238

(4.5)

Un altro legame che il progettista pu` o utilizzare `e quello elasto-plastico (fig. 4.3). In particolare, il legame previsto dalla normativa `e lineare fino alla deformazione di εc3 = 1,75% e costante fino a εcu = 3,5%. Dunque il legame fornisce una duttilit` a pari a 2,0. L’area al di sotto della curva `e:  1 1 1 3 · + = σcd εcu = 0,75σcd εcu (4.6) A(σ − ε) = σcd εcu 2 2 2 4 dunque l’area `e pari a 63/68 volte e quindi il 7% in meno del diagramma parabola-rettangolo; evidentemente si considera un diagramma in vantaggio di

124

Capitolo 4

σ σcd

εc3 = 1,75 ‰

εcu = 3,5 ‰

ε

Figura 4.3 Legame elasto-plastico per il calcestruzzo.

sicurezza rispetto a quello pi` u rigoroso, trattandosi di un legame maggiormente semplificato. Si osservi ancora che per avere la stessa area al di sotto della curva e ottenere cio`e un legame elasto-plastico perfettamente equivalente, dal punto di vista energetico, a quello parabola-rettangolo, il limite di snervamento εc3 dovrebbe essere: 1 17 8 εc3 + (3, 5% − εc3 ) = 3, 5% ⇒ εc3 = 3, 5% ∼ = 1, 333% 2 21 21

(4.7)

a cui corrisponderebbe una duttilit` a pari a 2,63; anche in questo caso la scelta normativa `e dal lato della sicurezza. Considerando il modello normativo, il baricentro dell’area dista evidentemente: 21 31 + 13 4 13 εcu = εcu ∼ d(σ − ε) = εcu 3 4 4 2 = = 0,7222εcu 1 1 24 3 18 + 4 2

(4.8)

Per Classi di resistenza superiore a C50/60 il valore di εc3 aumenta nel seguente modo: (4.9) εc3 = 1, 75% + 0,55% [(fck − 50)] /40 Il modello elasto-plastico, introdotto di recente nelle normative, `e molto utile nel caso si sviluppino analisi agli Elementi Finiti. Infatti, modellando sia calcestruzzo sia acciaio con tale legame, `e possibile rientrare in programmi di uso generale; meno utile `e l’utilizzo in casi monodimensionali, come si vedr` a nel seguito. Il modello normativo pi` u semplice `e evidentemente quello costante fra i limiti εc4 ed εcu (fig. 4.4). Per calcestruzzi di resistenza normale, si assume εc4 =0,2 εcu . Pertanto tale legame presenta un’area pari a 0,8εcu σcd e una distanza dall’origine degli assi pari a 0,6εcu . Dunque `e ottima l’approssimazione

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

125

σ σcd

ε εcu = 3,5 ‰

εc4 = 0,7 ‰

Figura 4.4 Legame rettangolo (stress block) per il calcestruzzo.

rispetto al diagramma parabola-rettangolo, se il diagramma `e completamente sviluppato.

4.2 Legame costitutivo dell’acciaio Gli acciai che si usano in Italia e in Europa per elementi inflessi o presso inflessi in zona sismica devono soddisfare importanti requisiti di duttilit` a. In particolare, `e richiesta una deformazione “caratteristica” a rottura εuk pari ad almeno il 7,5%. Tale deformazione deve essere letta come deformazione corrispondente al massimo della tensione in un diagramma tensione-deformazione. Dunque si tratta di una grandezza ben diversa da quella usata in passato e pu` o dedursi solo da una prova effettuata in controllo di spostamento. Inoltre si osservi che il valore `e caratteristico con il frattile del 10%, e cio`e almeno il 90% dei provini deve presentare un valore superiore. Un tipico risultato sperimentale per una barra disponibile sul mercato italiano `e presentato nella Figura 4.5. 800 700

σ (MPa)

600

ft = 600 MPa fy = 520 MPa

500 400 300 200 100 0 0,00

εy = 0,0029

0,02

εsh = 0,0230

0,04

εu = 0,1073

0,06

0,08

0,10

0,12

ε 0,14

Figura 4.5 Legame costitutivo di una barra nervata ottenuto da una prova sperimentale.

126

Capitolo 4

L’acciaio deve soddisfare anche ulteriori requisiti sull’incrudimento. Ovvero il rapporto di tensione massima e tensione allo snervamento, valutato come valore caratteristico inferiore al 10 ◦ percentile, deve essere maggiore di 1,15. Tale importante requisito di “duttilit` a” dell’elemento `e necessario negli elementi in cemento armato inflessi o pressoinflessi per avere adeguate estensioni della zona plasticizzata. Inoltre il valore caratteristico superiore al 10 ◦ percentile deve essere inferiore a 1,35, cos`ı come il rapporto fra tensione di snervamento effettiva e tensione di snervamento nominale (percentile del 10%) non deve essere superiore a 1,25.    ft fy ft ≥ 1, 15 ≤ 1, 35 ≤ 1, 25 (4.10) fy k fy k fy,ef f k La deformazione associata alla tensione di rottura dell’acciaio `e molto grande rispetto a quella limite del calcestruzzo compresso. Dunque `e pressocch´e impossibile con tali acciai che la crisi della sezione avvenga per crisi dell’acciaio. Sulla base di questa considerazione, le nuove norme considerano un legame elasto-plastico per l’acciaio (fig. 4.6). La grande novit` a `e che non viene limitata la deformazione ultima dell’acciaio (precedentemente si limitava al valore 1%). Ne consegue che il calcolo delle resistenze delle sezioni inflesse e pressoinflesse si semplifica enormemente, come si vedr`a nel seguito. σ fyd

arctg Es

ε εyd

εud εuk

Figura 4.6 Legame elasto-plastico per l’acciaio.

Ne consegue che la crisi di una sezione inflessa o pressoinflessa avviene sempre per schiacciamento del calcestruzzo. Un tipico esempio `e riportato nelle Figure 4.7 e 4.8 Si osserva lo schiacciamento del calcestruzzo compresso e la conseguente instabilizzazione dell’armatura compressa. Sulla base di questa considerazione il calcolo delle resistenze delle sezioni inflesse e pressoinflesse si semplifica enormemente, come si vedr`a nel seguito. Un’altra possibilit` a offerta al progettista consiste nell’adottare opportuni modelli rappresentativi del reale comportamento del materiale; in tali modelli

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

127

Figura 4.7 Schiacciamento del calcestruzzo.

Figura 4.8 Instabilizzazione dell’armatura compressa.

si considera un ramo incrudente nel legame tensione deformazione dell’acciaio definito in base al valore di calcolo εud = 0,9 εuk (εuk = (Agt )k ) della deformazione uniforme ultima, al valore di calcolo della tensione di snervamento fyd pari a fyk /γS con γS = 1,15, e al rapporto di sovra-resistenza k = ft /fy come rappresentato dalla Figura 4.9. σ kfyd fyd

arctg Es

ε εyd Figura 4.9 Legame tensione deformazione con ramo incrudente per l’acciaio.

εud

εuk

128

Capitolo 4

4.3 Sezioni soggette a tensioni normali: ipotesi di calcolo Le ipotesi di calcolo su cui si basa la trattazione sono le seguenti: 1. conservazione delle sezioni piane, considerando calcestruzzo compresso e acciaio teso; 2. perfetta aderenza fra calcestruzzo compresso e acciaio compresso; 3. calcestruzzo non reagente a trazione. L’ipotesi 1 `e rigorosa, ed `e in realt` a un risultato teorico facilmente dimostrabile, nel caso di un solido alla De Saint Venant, con materiale caratterizzato da comportamento elastico lineare, e assenza di taglio o torsione. Nel caso in esame, con materiali dal comportamento non lineare, `e un’ipotesi che trova unicamente un conforto sperimentale. L’ipotesi 2 `e senz’altro giustificata dal basso livello deformativo che pu` o esserci in compressione, stante la limitata capacit`a deformativa del calcestruzzo. In verit` a piccoli scorrimenti potrebbero anche esserci, ma sono sicuramente tecnicamente trascurabili. L’ipotesi 3 `e in realt` a sempre soddisfatta, in quanto le sezioni che si verificano sono le pi` u sollecitate, e in tali sezioni la limitata resistenza a trazione che il calcestruzzo comunque possiede `e sicuramente vinta. In altri termini, poich´e la verifica viene effettuata in una sezione fessurata, l’ipotesi `e perfettamente corrispondente alla realt` a. Nel seguito a tali ipotesi “classiche”, si aggiungono le seguenti ulteriori ipotesi: 4. la crisi avviene con il calcestruzzo schiacciato, cio`e che raggiunge la deformazione ultima εcu ; 5. l’armatura in trazione `e snervata. L’ipotesi 4 `e giustificata dalla rimozione del limite di rottura dell’acciaio teso: l’acciaio non pu` o andare in crisi e dunque il collasso della sezione `e necessariamente collegato al calcestruzzo compresso. L’ipotesi 5 `e collegata alle limitazioni sui quantitativi di armatura, che la rende rigorosa nel caso di sezioni inflesse, e verr`a discussa successivamente. Il complesso delle ipotesi assunte rende particolarmente semplici le procedure di calcolo, come si mostra nel seguito.

4.4 Valutazione della sezione inflessa: metodo dello stress block Nell’ipotesi che la crisi della sezione avvenga comunque con il calcestruzzo schiacciato, il calcolo della sezione inflessa risulta molto semplice. Infatti, nel calcestruzzo il legame costitutivo risulta completamente sviluppato. Pertanto si pu` o rigorosamente fare riferimento a uno stress block valutato

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

129

con un rettangolo equivalente di altezza y. L’area vale circa 0,8 volte quella del rettangolo che inscrive la parabola-rettangolo, e il baricentro `e posto a circa met`a dello stress block. Si osservi che volendo essere pienamente rigorosi, il baricentro andrebbe posto a una distanza dal lembo superiore pari a 0,4160/0,8095 = 0,5138 volte l’altezza dello stress block. Inoltre il raggiungimento del momento resistente si otterr` a sicuramente con l’acciaio teso snervato a causa delle prescrizioni normative sui massimi quantitativi di armatura, come verr` a evidenziato nel Paragrafo 4.6, peraltro senza che esso possa arrivare alla rottura data la grande deformazione ultima che la norma richiede. Dunque `e nota la risultante di trazione che si sviluppa, che `e evidentemente pari all’area dell’acciaio teso As moltiplicato la tensione di calcolo dell’acciaio: (4.11) T = fyd As Poich´e la crisi si ha con il calcestruzzo alla deformazione limite, la risultante di compressione C vale: (4.12) C = σcd by avendo indicato con b la base della sezione e y l’altezza del block stress. 3,5‰ ε

σ cd

σ

σ cd

x y h

σ C

d

d* c

As

>εyd

fyd

fyd

T

b Figura 4.10 Sezione inflessa a semplice armatura.

Per l’equilibrio alla traslazione della sezione, la risultante di compressione C deve essere uguale a T . L’equilibrio alla rotazione si raggiunge con una coppia di forze T e C uguali e contrarie, che agiscono con un “braccio” pari alla distanza d∗ che `e naturale battezzare come “braccio della coppia interna”; tale coppia deve uguagliare il momento resistente di progetto MRd della sezione stessa. Per valutare tale momento si deve determinare d∗ . Indicando con d, l’altezza utile della sezione, si ha evidentemente: d∗ = d − 0,5 · y

(4.13)

Dunque la valutazione di y consegue immediatamente dall’eguaglianza di C e T e la valutazione di d∗ dalla (4.13): y=

As fyd As fyd =h =h·ω bσcd bhσcd

d∗ = d − 0,5hω

(4.14)

130

Capitolo 4

avendo introdotto la percentuale meccanica di armatura: ω=

As fyd bhσcd

(4.15)

Conseguentemente MRd vale: MRd = T · d∗ = As fyd (d − 0,5hω)

(4.16)

Si osservi che il calcolo `e semplicissimo, sostanzialmente privo di approssimazioni e non necessita di alcuna ipotesi sullo stato deformativo. Si osservi che l’errore che si commette arrotondando 0,8095 a 0,8 e 0,4160 a 0,4 fornisce un’approssimazione minima, molto inferiore di quella che il confronto fra tali numeri suggerirebbe; infatti, il termine moltiplicativo che fornisce il braccio della coppia interna a partire dall’altezza utile, varia nelle due ipotesi nel seguente modo: d − 0,5hω ⇒ d − 0,5138hω Al variare di ω in un intervallo realistico, per esempio 0,08-0,025, l’errore che si commette `e nell’intervallo 1% ÷ 3%, ovvero del tutto trascurabile. c

A's

3,5‰

ε

σcd

σ

σcd

x y h

σ C2 C1

C

d

d* c

As

> εyd

fyd

f yd

T

b Figura 4.11 Sezione inflessa a doppia armatura.

In presenza di armatura compressa, la risultante di compressione ha due o essere valutata con: componenti C1 e C2 . C1 pu` C1 = σcd by

(4.17)

Per valutare C2 si deve fare un’ulteriore ipotesi deformativa, per esempio che l’acciaio compresso sia snervato. In tal caso C2 `e evidentemente pari a: C2 = fyd As

(4.18)

e dunque l’equilibrio alla traslazione si ottiene con la seguente relazione: byσcd + As fyd − As fyd = 0

(4.19)

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

131

da cui ancora una volta si trae y: y A fyd = ω − ω  con ω  = s h bhσcd

(4.20)

Per valutare d∗ si deve trovare la posizione di C, che evidentemente dipende da C1 e da C2 ; la distanza della forza risultante di compressione C dal bordo superiore della sezione risulta, indicando con c il copriferro: dC = da cui:

C1 0,5y + C2 c C1 + C2

d∗ = d − dC

(4.21)

(4.22)

Si osservi per`o che il momento resistente che si ottiene `e poco diverso da quello che si ottiene trascurando l’armatura compressa. Infatti la somma di C1 e C2 deve essere in ogni caso uguale a T indipendentemente dal quantitativo di armatura compressa. Dunque nella valutazione di o variare `e d∗ . Ma a sua volta la posizione della riMRd l’unica cosa che pu` sultante varia poco per la presenza dell’armatura compressa. In particolare `e compresa fra c e 0,5y e al limite non cambia affatto se C2 `e posizionata esattamente in coincidenza di C1 . In ogni caso i valori di dc sono sempre contenuti rispetto a d e l’errore che si ottiene inserendo il valore valutato in assenza di armatura compressa `e molto piccolo. Dunque l’armatura compressa fa variare di poco il momento resistente della sezione. Nel calcolo rigoroso si osservi comunque che l’ipotesi di armatura compressa snervata va controllata. In particolare indicando con c il copriferro, la deformazione nell’acciaio compresso risulta: x−c y − 0,8c = εcu (4.23) εs = εcu x y Imponendo che la deformazione εs raggiunga lo snervamento, si ottiene il valore della profondit` a dell’asse neutro x al di sotto della quale l’acciaio compresso `e in campo elastico: x=

εcu 3, 5% εcu c≤ c= c = 2, 1c εcu + εs εcu + εy 3, 5% − 1, 86%

(4.24)

avendo introdotto i valori riferiti a calcestruzzi di Classe non superiore a C50/60 e acciaio tipo B450C. Ovvero, esprimendo la formula in termini di altezza y dello stress block (y = 0,8x), si ottiene che l’armatura compressa `e in campo elastico se e solo se: y ≤ (2,10 · 0,8)c = 1,68c

(4.25)

Si osservi che `e impossibile che l’armatura compressa sia snervata se l’armatura compressa `e identica a quella tesa, perch´e altrimenti si arriverebbe all’assurdo

132

Capitolo 4

che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo compresso per l’equilibrio. Dunque in caso di armatura simmetrica sicuramente la profondit` a y deve rispettare la disuguaglianza (4.25) e pertanto l’armatura compressa non risulta snervata. Se l’armatura compressa non `e snervata, la soluzione del problema `e leggermente pi` u complessa, in quanto l’equazione di equilibrio alla traslazione diviene: (4.26a) byσcd + As Es εs − As fyd = 0 Da cui: byσcd + As Es εcu

y − 0,8c − As fyd = 0 y

(4.26b)

e dunque y si ricava da una equazione di 2◦ grado: y 2 bσcd − y (As fyd − As Es εcu ) − 0,8cAs Es εcu = 0

(4.27)

Lo sforzo di compressione nell’acciaio compresso risulta: C2 = Es εs As = Es As εcu

y − 0,8c y

(4.28)

e si pu`o procedere al calcolo di MRd utilizzando le (4.21), (4.22) e la (4.29) che segue: (4.29) MRd = T d∗ = T (d − dc ) Esempio 4.1 Per esemplificare il calcolo si esamina una sezione in cemento armato (fig. 4.12), caratterizzata da: • b = 30 cm; • h = 50 cm; • c = 4 cm.

h = 50 cm

d = 46 cm

A's = 4 φ 16

c = 4 cm

As = 4 φ 16 b= 30 cm Figura 4.12 Sezione esaminata.

c = 4 cm

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

133

Si utilizza calcestruzzo di Classe 25/30, per cui: • σcd = 0,85 × 25/1, 5 = 14,17 MPa; • εcu = 0,0035; e acciaio B450C caratterizzato da: fyk = 450 MPa

fyd = fyk /γs = 391, 3 MPa

Es = 210 000 MPa

Considerando un’armatura in trazione e in compressione pari a 4 φ 16, si ottiene: y 2 300 · 14,17 − y · 804 (391,3 − 210 000 · 0,0035) + − 0,8 · 40 · 804 · 210 000 · 0,0035 = 0 4251y 2 + 276 335y − 18 910 080 = 0 y = 41,70 mm y − 0,8c 41, 7 − 0,8 · 40 = 210 000 · 0,0035 = 170,82 MPa y 41, 7 La risultante in compressione `e suddivisa nelle due componenti: σs = Es εcu

C1 = σcd by = 14,17 · 300 · 41,7 = 177,3 · 103 N C2 = σs As = 170,82 · 804 = 137,4 · 103 N con risultante posizionata a distanza dal lembo superiore pari a: dC =

C1 0,5y + C2 c 177,3 · 103 · 0,5 · 41,7 + 137,4 · 103 · 40 = = 29,2 mm C1 + C2 314,6 · 103 MRd = T · d∗ = T · (d − dc ) = 314, 6 · 103 · (460 − 29, 2) =

= 135, 52 · 106 Nmm Si osservi che, molto semplicemente, si pu`o affidare l’intero momento flettente alla sola armatura, ottenendo: steel MRd = As fyd (h − 2c) = 804 · 391, 3 · (500 − 80) =

132, 13 · 106 Nmm = 0,975MRd Se invece si trascura l’armatura compressa si ottiene: T = fyd As = 391,3 · 804 = 314,6 · 103 N 804 · 391,3 As fyd = 74,0 mm = y= bσcd 300 · 14,17 d∗ = d − 0,5 · y = 460 − 0,5 · 74,0 = 423,0 mm 

A s=0 = 314,6 · 103 · 423 = 133,07 · 106 Nmm = MRd = 0,982 MRd

Dunque l’errore che si commette affidando tutto il momento alle armature, oppure trascurando l’armatura compressa, `e di poche unit`a percentuali. Il risultato `e generalizzato nel paragrafo che segue.

134

Capitolo 4

4.5 Valutazione della sezione inflessa: modellazione del calcestruzzo parabola-rettangolo ed elasto-plastico Nel seguito si confronta il comportamento a rottura della sezione in c.a. qualora il calcestruzzo venga modellato con stress block, legame costitutivo parabolarettangolo e legame elasto-plastico. Il legame costitutivo dell’acciaio si considera idealmente elasto-plastico, rimandando al Paragrafo 4.7 l’analisi con legame elastico-incrudente. Si fa riferimento al caso di sezione di forma qualsiasi. c

A’s

x

yG

G

d

h

b(y)

c

As y Figura 4.13 Sezione di forma qualsiasi doppiamente armata.

Per la soluzione del problema `e necessario scrivere le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione rispetto al baricentro geometrico della sezione: x σc (εc ) b(y)dy + As σs (εs ) − As σs (εs ) = 0 (4.30) 0

x

σc (εc )b(y)(yG − y)dy +As σs(εs )(yG − c) + As σs (εs )(d − yG ) = MRd (4.31)

0

con yG distanza del baricentro geometrico della sezione rispetto al suo lembo superiore. Considerando che comunque il calcestruzzo compresso pervenga allo schiacciamento, le ipotesi citate al Paragrafo 4.3 consentono di esprimere in relazione lineare tutte le deformazioni in funzione di εcu : x−y x−c d−x ; εs = εcu ; εs = εcu (4.32) εc (y) = εcu x x x e dal legame costitutivo di calcestruzzo, acciaio compresso e acciaio teso si passa alle tensioni presenti nelle relazioni (4.30) e (4.31). L’equazione di equilibrio alla traslazione consente di determinare la profondit` a dell’asse neutro x e, successivamente, l’equazione di equilibrio alla rotazione consente di determinare MRd .

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

135

` interessante verificare i risultati ottenuti utilizzando diversi legami costiE tutivi per il calcestruzzo; in particolare parabola-rettangolo, stress block ed elasto-plastico. A tal proposito si considera una sezione rettangolare b = 30 cm, h = 50 cm a semplice armatura, copriferro c = 4 cm, classe di calcestruzzo C25/30 (σcd = 14,17 MPa) e acciaio B450C (fyd = 391, 3 MPa) (fig. 4.14). Legame parabola-rettangolo

σcd

1,75‰ 0,7‰

d = 46 cm

h = 50 cm

ε 3,5‰

σ

Legame rettangolo

σcd

σ

Legame elasto-plastico

σcd

σ

x y

c = 4cm

fyd

> εyd

As

fyd

b = 30 cm

Figura 4.14 Sezione a semplice armatura: calcolo di M Rd adottando diversi legami costitutivi per il calcestruzzo.

I risultati in termini di momento resistente di progetto ottenuti adottando diversi legami costitutivi per il calcestruzzo sono sintetizzati nella Tabella 4.2, al variare della percentuale geometrica di armatura tesa, ρ = As /bh, e compressa, ρ = As /bh. Tabella 4.2 Valori di MRd al variare del legame costitutivo del calcestruzzo (sezione a semplice armatura) σ

σ

σ

ρ = 0 ε

(1) ρ = As /bh (%)

MRd(1) (kNm)

ε

ε

(2)

(3)

MRd(2) (kNm)

MRd(2) MRd(1)

MRd(3) (kNm)

MRd(3) MRd(1)

0,30

77,26

77,35

1,0012

77,22

0,9995

0,40

101,35

101,51

1,0016

101,27

0,9992

0,60

147,01

147,41

1,0027

146,87

0,9990

0,80

189,35

190,06

1,0037

189,10

0,9987

1,00

228,36

229,47

1,0049

227,97

0,9983

1,20

264,04

265,64

1,0061

263,47

0,9978

1,40

296,39

298,56

1,0073

295,62

0,9974

1,60

325,41

328,23

1,0087

324,40

0,9969

1,80

348,27

352,51

1,0122

333,88

0,9587

2,00

353,96

363,56

1,0271

339,43

0,9590

136

Capitolo 4

Si osserva che le differenze fra stress block e parabola-rettangolo sono del tutto trascurabili, nell’intero campo di variazione. Il legame elasto-plastico fornisce risultati in leggero vantaggio di sicurezza, inferiore al 1% nel caso, rispettoso della normativa, di percentuale inferiore a 0,8%; di poche unit` a percentuali per armature superiori. Considerando la doppia armatura simmetrica, ρ = ρ , si ottengono i risultati riportati nella Tabella 4.3, dove sono confrontati i risultati ottenuti considerando i tre legami costitutivi di normativa e anche la semplice formula (MRd = fyd As (h−2c)); l’errore di tutti i metodi approssimati, rispetto al legame costitutivo parabola-rettangolo, `e molto piccolo in un campo di armature estremamente vasto. Tabella 4.3 Valori di MRd al variare del legame costitutivo del calcestruzzo e con formula semplificata (sezione a doppia armatura) σ

σ

σ

ρ = ρ

MRd = fyd As (h − 2c) ε

ε

ε

(1)

(2)

(3)

(4)

ρ = As /bh (%)

MRd(1) (kNm)

MRd(2) (kNm)

MRd(2) MRd(1)

MRd(3) (kNm)

MRd(3) MRd(1)

MRd(4) (kNm)

MRd(4) MRd(1)

0,30 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00

77,24 101,92 151,19 200,38 249,60 298,82 348,02 397,24 446,47 495,69

77,30 102,00 151,29 200,53 249,76 298,98 348,21 397,44 446,68 495,92

1,0008 1,0008 1,0007 1,0007 1,0006 1,0005 1,0005 1,0005 1,0005 1,0005

77,18 101,88 151,18 200,43 249,67 298,9 348,14 397,38 446,63 495,88

0,9992 0,9996 0,9999 1,0002 1,0003 1,0003 1,0003 1,0004 1,0004 1,0004

73,96 98,61 147,91 197,22 246,52 295,83 345,13 394,43 443,74 493,04

0,9575 0,9675 0,9783 0,9842 0,9877 0,9900 0,9917 0,9929 0,9939 0,9947

4.6 Limitazione dei quantitativi di armatura La NTC 2008 impone delle limitazioni alle percentuali geometriche di armatura tesa ρ e compressa ρ , definite nel seguente modo: ρ=

As bh

ρ =

As bh

(4.33)

In particolare in una sezione inflessa la percentuale geometrica dell’armatura tesa ρ deve rispettare la limitazione che segue:

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

ρ ≤ ρ +

3, 5 fyk

137

(4.34)

La relazione normativa impone implicitamente che la profondit` a dell’asse neutro a rottura non sia eccessiva, conferendo adeguata duttilit` a alla sezione. In particolare, considerando un acciaio del tipo B450C si ha: ρ − ρ ≤

3, 5 = 0, 778% fyk

(4.35)

dalla (4.20) ricordando che y = 0,8x si ottiene: fyd x = 1, 25(ω − ω  ) = 1, 25 (ρ − ρ ) h σcd

(4.36)

Utilizzando la limitazione (4.35) si ottiene pertanto: x x fyd 3, 5 1, 25 · 3, 5 ∼ 3, 8 ≤ = 1, 25 = (MPa) = h h max σcd fyk 1, 15σcd σcd

(4.37)

Da cui, per le varie classi di calcestruzzo si ottiene la limitazione che segue: Tabella 4.4 x/h limite al variare della Classe di calcestruzzo Classe

16/20

20/25

25/30

28/35

35/45

40/50

45/55

50/60

σ cd (MPa)

9,07

11,33

14,17

15,87

19,83

22,67

25,50

28,33

(x/h)max

0,419

0,335

0,268

0,239

0,192

0,168

0,149

0,134

Si osservi come la profondit` a dell’asse neutro in corrispondenza della quale si ottiene la crisi con l’acciaio al limite elastico, (x/h)y `e:

x h

y

=

d 3,5% d εcu d = = 0,653 εcu + εy h 3,5% + 1,86% h h

(4.38)

dunque un valore ben maggiore di quelli che si ottengono dalla Tabella 4.4. Pertanto ne consegue che l’acciaio teso in una sezione rettangolare inflessa, a semplice o doppia armatura, `e sempre ampiamente snervato. Viene dunque confermata l’ipotesi 5 del Paragrafo 4.3. Viceversa, in corrispondenza del massimo di armatura di normativa, si ottiene una deformazione nell’acciaio teso non inferiore a: εs =

d−x d/h − x/h d/h − 3, 8/σcd εcu = εcu ≥ εs,min = εcu x x/h 3, 8/σcd

(4.39)

da cui, approssimando h/d ∼ = 1,1, si ottengono i valori riportati nella tabella che segue:

138

Capitolo 4

Tabella 4.5 (εs )min al variare della Classe di calcestruzzo Classe σ cd (MPa) (εs )min

16/20

20/25

25/30

28/35

35/45

40/50

45/55

50/60

9,07

11,33

14,17

15,87

19,83

22,67

25,50

28,33

0,57%

0,80%

1,09%

1,26%

1,66%

1,95%

2,23%

2,52%

La crisi avviene dunque con l’acciaio ampiamente in campo plastico, garantendo una adeguata duttilit` a alla sezione; tale argomento verr`a ripreso nel Capitolo 5. Si osservi ancora che dalla (4.13) e dalla limitazione (4.37) su x/h consegue che, in semplice armatura, il braccio della coppia interno minimo sia: 

x 1, 52 h ∗ ∗ ≥ dmin = d 1 − (4.40) d = d 1 − 0, 4 d σcd d e quindi, al variare della classe di calcestruzzo, la minima altezza del braccio della coppia interna `e riportata nella Tabella 4.6, dove si `e approssimato h/d ∼ = 1,1. Tabella 4.6 (d ∗ /d)min al variare della Classe di calcestruzzo Classe σ cd (MPa) ∗

(d /d)min

16/20

20/25

25/30

28/35

35/45

40/50

45/55

50/60

9,07

11,33

14,17

15,87

19,83

22,67

25,50

28,33

0,816

0,852

0,882

0, 895

0,916

0,926

0,934

0,941

Dunque, la limitazione del massimo di armatura impone anche che, in pratica, il braccio della coppia interna non possa scendere al di sotto di 0,9 d, tranne che per le Classi di calcestruzzo meno resistenti. Tale affermazione, unitamente alla scarsa variabilit` a del braccio della coppia interna con la presenza di armatura in compressione, `e molto utile per le applicazioni. In particolare per effettuare rapide verifiche sommarie della sezione, con formule del tipo: MRd ∼ = 0, 9dAs fyd

(4.41)

4.7 Valutazione della sezione inflessa in presenza di legame elastico-incrudente per l’acciaio Come visto nel Paragrafo 4.2, la NTC 2008 e l’EC2 2004 consentono di utilizzare un legame elastico incrudente per l’acciaio; la massima deformazione risulta pari a εud = 0,9εuk = 6, 75%, mentre il rapporto di incrudimento da utilizzare `e quello caratteristico al 10 ◦ percentile. In particolare il legame costitutivo `e riportato nella Figura 4.15, dove k = ft /fy , ed `e definito dalle seguenti relazioni:

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

σs = Es εs per εs ≤ εy    εs − εy ft −1 per εs ≥ εy σs = fyd 1 + εud − εy fy

139

(4.42)

σ kfyd fyd

arctg Es

ε εyd

εud

εuk

Figura 4.15 Legame tensione deformazione con ramo incrudente per l’acciaio.

Poich´e il minimo rapporto di incrudimento `e k = 1,15 (mentre il massimo di normativa `e pari a k = 1,35) apparentemente si potrebbe ottenere un aumento di almeno il 15% del momento resistente, sfruttando tale possibilit` a. In realt` a ci`o `e praticamente impossibile nelle sezioni rettangolari con elevati percentuali di armature, in quanto lo sfruttamento dell’intero incrudimento porta a posizioni dell’asse neutro assolutamente incompatibili con l’equilibrio. Se invece l’armatura si avvicina ai minimi, allora il valore di x/h diminuisce ed `e possibile un maggiore sfruttamento dell’incrudimento, ma comunque sempre ben lontano dai rapporti di incrudimento. Si osservi inoltre che l’armatura compressa usufruisce pochissimo dell’incrudimento. Infatti la massima deformazione nell’acciaio compresso non pu` o superare εcu = 3,5% ; dunque la massima tensione nell’acciaio risulta:       ft εcu − εy ft  −1 = fyd 1 + 0, 02498 −1 (4.43) σs = fyd 1 + εud − εy fy fy avendo introdotto per le diverse deformazioni i valori normativi. Dunque l’incremento varia dal 3,7% al 8,7%, al variare del rapporto di incrudimento fra 1,15 e 1,35: si tratta di un aumento inferiore al punto percentuale, in genere tecnicamente trascurabile. Nel caso di sezioni a semplice armatura, per valutare il momento resistente `e necessario considerare per l’acciaio teso il legame (4.42). Dalla linearit`a del diagramma delle deformazioni consegue: εs =

d−x εcu x

(4.44)

140

Capitolo 4

e la seguente equazione di equilibrio alla traslazione:   ft d − x εcu 0,8σcd bx = As fyd 1 + −1 + x εud − εy fy   ft εy −1 − εud − εy fy Da cui la seguente equazione di secondo grado in x:    εcu + εy ft 2 0,8σcd bx − As fyd 1 − − 1 x+ εud − εy fy  ft εcu −1 d=0 − As fyd εud − εy fy 0,8

x 2 h

(4.45)

(4.46)

    ft x d εcu εcu + εy ft −ω = 0 (4.47) −ω 1 − −1 −1 εud − εy fy h εud − εy fy h

Dalla (4.47) si ottiene il valore di x/h in funzione di ω e del rapporto di incrudimento, ft /fy avendo assegnato i parametri dei materiali. In particolare, considerando calcestruzzo di Classe non superiore a C45/55 e acciaio del tipo B450C si ha:    

x 2 ft ft x d − ω · 0,05332 = 0 (4.48) − ω 1 − 0,08170 −1 −1 0,8 h fy h fy h Determinato x/h, il momento resistente si trae immediatamente da: MRd = 0,8σcd bx(d − 0,4x)

(4.49)

Esempio 4.2 Per esemplificare il calcolo si esamina una sezione a semplice armatura in cemento armato (fig. 4.14), caratterizzata da: • • • •

b = 30 cm; h = 50 cm; c = 4 cm; As = 4 φ 16 = 803,84 mm2 .

Si utilizza calcestruzzo di Classe 25/30, per cui: • σcd = 0,85 × 25/1,5 = 14,17 MPa; • εcu = 0,0035 e acciaio B450C: • fyk = 450 MPa; fyd = fyk /γs = 391,3 MPa; Es = 210 000 MPa.

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

141

Si determinano i valori dei momenti resistenti nel caso di rapporto di incrudimento k = 1, e k = 1,15 Caso a) k = ft /fy = 1, kfyd = 391,3 MPa Per la sezione in esame si ha: ω=

As fyd 803, 84 · 391, 3 = 0,148 = bhσcd 300 · 500 · 14,17

y = h · ω = 500 · 0, 148 = 74 mm e il braccio della coppia interna vale pertanto: d∗ = d − 0,5 · y = 460 − 0,5 · 74 = 423 mm conseguentemente il momento resistente di progetto vale: MRd = T · d∗ = As fyd (d − 0,5hω) = 803,84 · 391,3 · 423 = 132,97 · 106 Nmm Caso b) k = ft /fy = 1,15, kfyd = 449,9 MPa il rapporto x/h `e determinabile attraverso la (4.48):

x 2

x − 0,148 · [1 − 0,08170 (1,15 − 1)] + h h 460 − 0,148 · 0,05332 (1,15 − 1) =0 500

x 2 x − 0,146 · − 0,001089 = 0 0,8 h h

0,8

x/h = 0,190 da cui x = 0,190 · 500 = 95 mm MRd = 0,8σcd bx(d − 0, 4x) = 0,8 · 14,17 · 300 · 95 · (460 − 0,4 · 95) = = 136,33 · 106 Nmm dunque nel passaggio da k = 1 a k = 1,15 si `e avuto un incremento di momento resistente pari a MRd(k=1,15) 136,33 = 1,025 = Δ= MRd(k=1,0) 132,97 ovvero un incremento percentuale pari al 2,5%. Con riferimento alla sezione della Figura 4.14 si riportano di seguito i valori di MRd ottenuti utilizzando tre diversi legami σ-ε del calcestruzzo (parabolarettangolo, elastico-plastico e stress block ) e facendo variare la percentuale di armatura tesa e il rapporto di incrudimento (k = ft /fy = 1,15, Tabella 4.7, e k = ft /fy = 1,35, Tabella 4.8).

142

Capitolo 4

Tabella 4.7 Valori di MRd al variare del legame costitutivo del calcestruzzo con acciaio con rapporto di incrudimento k = 1,15 (sezione a semplice armatura) σ

σ

σ

ρ = 0 ε

ρ (%)

ε

ε

(1)

(2)

MRd(1) (kNm)

MRd(2) (kNm)

(3)

Δ=

MRd(2) MRd(1)

MRd(3) (kNm)

Δ=

MRd(3) MRd(1)

0,30

82,06

81,34

0,9912

80,96

0,9866

0,40

105,80

105,21

0,9945

104,67

0,9893

0,60

151,00

150,39

0,9959

149,55

0,9904

0,80

192,82

192,36

0,9976

191,11

0,9911

1,00

231,36

231,14

0,9991

229,37

0,9914

1,20

266,59

266,75

1,0006

264,35

0,9916

1,40

298,53

299,2

1,0022

296,04

0,9917

1,60

327,17

328,47

1,0040

324,45

0,9917

1,80

348,29

348,92

1,0018

333,88

0,9586

2,00

353,98

354,81

1,0024

339,43

0,9589

Tabella 4.8 Valori di MRd al variare del legame costitutivo del calcestruzzo con acciaio con rapporto di incrudimento k = 1,35 (sezione a semplice armatura) σ

σ

σ

ρ = 0 ε

ρ (%)

MRd(1) (kNm)

ε

ε

(1)

(2) MRd(2) (kNm)

(3)

Δ=

MRd(2) MRd(1)

MRd(3) (kNm)

Δ=

MRd(3) MRd(1)

0,30

87,72

86,11

0,9816

85,34

0,9729

0,40

111,43

109,63

0,9838

108,74

0,9758

0,60

156,16

154,05

0,9865

152,86

0,9789

0,80

197,49

195,23

0,9886

193,63

0,9805

1,00

235,52

233,26

0,9904

231,16

0,9815

1,20

270,25

268,18

0,9924

265,47

0,9823

1,40

301,70

300,02

0,9944

296,58

0,9830

1,60

329,88

328,78

0,9967

324,51

0,9837

1,80

348,29

348,92

1,0018

333,88

0,9586

2,00

353,98

354,81

1,0024

339,43

0,9589

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

143

Nella Tabella 4.9 sono, inoltre, riportati i risultati in termini di MRd ottenuti con rapporto di incrudimento k = ft /fy pari rispettivamente a 1, 1,15 e 1,35 con riferimento al solo legame del calcestruzzo di tipo parabolarettangolo e per valori di percentuale geometrica di armatura tesa variabili tra 0,3% e 1,0%; in parentesi sono riportati i rapporti tra i momenti resistenti ottenuti con k = 1, 15 o 1,35 e i momenti resistenti nel caso k = 1. Tabella 4.9 Confronto MRd ottenuti con diversi valori del rapporto di incrudimento (sezione a semplice armatura) ρ = 0

k=1

k = 1, 15

MRd (kNm)

MRd (kNm)

MRd (kNm)

0,30%

77,26

82,06 (1,062)

87,72 (1,135)

0,40%

101,35

105,80 (1,043)

111,43 (1,099)

0,60%

147,01

151,00 (1,027)

156,16 (1,062)

0,80%

189,35

192,82 (1,018)

197,49 (1,043)

1,00%

228,36

231,36 (1,013)

235,52 (1,031)

ρ = As /bh

k = 1, 35

Da tale tabella si evince che si hanno aumenti percentuali del momento resistente pari a circa il 6% per k = 1,15 e 14% per k = 1,35, nel caso di armatura minima (0,3%), e che tali aumenti si riducono a valori del 1%-3% nel caso di armatura massima (1,0%). Dunque, con riferimento ai risultati ottenuti per k = 1 riportati nella Tabella 4.2, si ottengono aumenti significativi solo per le percentuali di armature pi` u piccole, e comunque ben lontani dall’aumento di resistenza dell’acciaio. Le considerazioni sinora svolte con riferimento alla sezione semplicemente armata della Figura 4.14, possono essere estese considerando la presenza di armatura anche in compressione. In particolare, nelle Tabelle 4.10 e 4.11 si riportano i valori di MRd ottenuti per armatura in compressione pari al 25% dell’armatura in trazione (ρ = 0,25ρ) e per rapporti di incrudimento pari a k = 1,15 e k = 1,35. Con riferimento ai risultati ottenuti mediante il legame del calcestruzzo parabola-rettangolo, l’utilizzo di un legame elastico-incrudente per l’acciaio comporta aumenti percentuali di momento resistente pari a circa il 7% per k = 1,15 e il 15% per k = 1,35, nel caso di armatura minima (0,3%); tali incrementi si riducono a valori dell’ordine del 0,7%-1,7% nel caso di armatura massima (2,0%) come mostrato nella Tabella 4.12. Analogamente, considerando la presenza del 50% di armatura in compressione (ρ = 0,5ρ) i valori di MRd , ottenuti al variare del legame costitutivo del calcestruzzo e per valori del rapporto di incrudimento pari rispettivamente a k = 1,15 e k = 1,35, sono riportati nelle Tabelle 4.13 e 4.14.

144

Capitolo 4

Tabella 4.10 Valori di MRd al variare del legame costitutivo del calcestruzzo con acciaio con rapporto di incrudimento k = 1,15 (sezione a doppia armatura, ρ = 0,25ρ) σ

σ

σ

ε

ρ = 0, 25ρ (%)

ε

ε

(1)

(2)

(3) MRd(2) MRd(1)

MRd(2) (kNm)

0,30

82,62

74,95

0,9072

84,21

1,0192

0,40

107,38

99,12

0,9230

109,78

1,0223

0,60

155,72

146,68

0,9420

158,83

1,0200

0,80

201,56

200,74

0,9959

205,8

1,0211

1,00

245,45

244,69

0,9969

250,92

1,0223

1,20

287,49

286,85

0,9978

294,19

1,0233

1,40

327,68

327,25

0,9987

335,62

1,0242

1,60

366,03

365,87

0,9996

375,21

1,0251

1,80

402,53

402,73

1,0005

412,98

1,0260

2,00

437,18

437,83

1,0015

448,92

1,0269

Δ=

MRd(3) (kNm)

MRd(3) MRd(1)

MRd(1) (kNm)

Δ=

Tabella 4.11 Valori di MRd al variare del legame costitutivo del calcestruzzo con acciaio con rapporto di incrudimento k = 1,35 (sezione a doppia armatura, ρ = 0,25ρ) σ

σ

σ

ε

ρ = 0, 25ρ (%)

MRd(1) (kNm)

ε

ε

(1)

(2) MRd(2) (kNm)

(3)

Δ=

MRd(2) MRd(1)

MRd(3) (kNm)

Δ=

MRd(3) MRd(1)

0,30

89,00

81,30

0,9135

89,95

1,0107

0,40

114,21

105,66

0,9251

115,70

1,0130

0,60

162,79

153,19

0,9410

164,09

1,0080

0,80

208,20

205,58

0,9874

210,36

1,0104

1,00

251,68

248,8

0,9886

254,73

1,0121

1,20

293,28

290,24

0,9896

297,27

1,0136

1,40

333,02

329,95

0,9908

338,02

1,0150

1,60

370,92

367,94

0,9920

376,99

1,0164

1,80

406,99

404,23

0,9932

414,20

1,0177

2,00

441,23

438,82

0,9945

449,65

1,0191

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

145

Tabella 4.12 Confronto MRd ottenuti con diversi valori del rapporto di incrudimento (sezione a doppia armatura,ρ = 0,25ρ) ρ = 0,25ρ

k=1

k = 1, 15

ρ = As /bh

MRd (kNm)

MRd (kNm)

k = 1, 35 MRd (kNm)

0,30%

77,28

82,62 (1,069)

89,00 (1,152)

0,40%

101,65

107,38 (1,056)

114,21 (1,124)

0,60%

149,65

155,72 (1,041)

162,79 (1,088)

0,80%

196,01

201,56 (1,028)

208,20 (1,062)

1,00%

240,34

245,45 (1,021)

251,68 (1,047)

1,20%

282,80

287,49 (1,017)

293,28 (1,037)

1,40%

323,40

327,68 (1,013)

333,02 (1,030)

1,60%

362,13

366,03 (1,011)

370,92 (1,024)

1,80%

399,00

402,53 (1,009)

406,99 (1,020)

2,00%

434,00

437,18 (1,007)

441,23 (1,017)

Tabella 4.13 Valori di MRd al variare del legame costitutivo del calcestruzzo con acciaio con rapporto di incrudimento k = 1,15 (sezione a doppia armatura, ρ = 0,5 ρ) σ

σ

σ

ε

ρ = 0, 5ρ (%)

MRd(1) (kNm)

ε

ε

(1)

(2) MRd(2) (kNm)

(3)

Δ=

MRd(2) MRd(1)

MRd(3) (kNm)

Δ=

MRd(3) MRd(1)

0,30

82,94

82,17

0,9907

85,06

1,0256

0,40

108,26

107,35

0,9916

111,43

1,0293

0,60

158,28

157,07

0,9924

163,59

1,0335

0,80

207,75

206,26

0,9928

213,77

1,0290

1,00

255,98

254,55

0,9944

262,76

1,0265

1,20

302,58

301,10

0,9951

310,90

1,0275

1,40

348,35

346,85

0,9957

358,21

1,0283

1,60

393,30

391,81

0,9962

404,71

1,0290

1,80

437,42

435,99

0,9967

450,40

1,0297

2,00

480,72

479,39

0,9972

495,28

1,0303

Dalla Tabella 4.15 si evincono aumenti percentuali del momento resistente variabili da 7% a 16% nel caso di armatura minima (0,3%), che si riducono a 1%-3% nel caso di armatura massima (2,0%). Analizzando, infine, il caso di armatura simmetrica si ottengono i risultati riportati nelle Tabelle 4.16 e 4.17. In questo caso si hanno incrementi per-

146

Capitolo 4

Tabella 4.14 Valori di MRd al variare del legame costitutivo del calcestruzzo con acciaio con rapporto di incrudimento k = 1,35 (sezione a doppia armatura, ρ = 0,5 ρ) σ

σ

σ

ε

ρ = 0, 5ρ (%)

ε

ε

(1)

(2)

MRd(1) (kNm)

MRd(2) (kNm)

(3)

Δ=

MRd(2) MRd(1)

MRd(3) (kNm)

Δ=

MRd(3) MRd(1)

0,30

89,91

88,01

0,9788

91,79

1,0209

0,40

116,09

113,81

0,9804

118,90

1,0242

0,60

167,51

164,42

0,9816

171,80

1,0256

0,80

218,05

214,20

0,9823

221,35

1,0151

1,00

265,58

261,82

0,9858

269,83

1,0160

1,20

311,90

307,79

0,9868

317,37

1,0175

1,40

357,41

352,91

0,9874

364,05

1,0186

1,60

402,02

397,23

0,9881

409,90

1,0196

1,80

445,77

440,78

0,9888

454,95

1,0206

2,00

488,71

483,56

0,9895

499,22

1,0215

Tabella 4.15 Confronto MRd ottenuti con diversi valori del rapporto di incrudimento (sezione a doppia armatura, ρ = 0,5 ρ) ρ = 0,5ρ ρ = As /bh

ft /fy = 1

ft /fy = 1,15

ft /fy = 1,35 MRd (kNm)

MRd (kNm)

MRd (kNm)

0,30%

77,26

82,94 (1,074)

89,91 (1,164)

0,40%

101,75

108,26 (1,064)

116,09 (1,141)

0,60%

150,57

158,28 (1,051)

167,51 (1,113)

0,80%

199,14

207,75 (1,043)

218,05 (1,095)

1,00%

247,44

255,98 (1,035)

265,58 (1,073)

1,20%

294,44

302,58 (1,028)

311,90 (1,059)

1,40%

340,6

348,35 (1,023)

357,41 (1,049)

1,60%

385,94

393,3 (1,019)

402,02 (1,042)

1,80%

430,46

437,42 (1,016)

445,77 (1,036)

2,00%

474,13

480,72 (1,014)

488,71 (1,031)

centuali del momento resistente dal 8% al 18% nel caso di armatura minima (0,3%), che si riducono a 5% - 11% nel caso di armatura massima (2,0%) come mostrato nella Tabella 4.18. Nel grafico di riepilogo (fig. 4.16) si riportano le tre curve relative ai differenti valori di incrudimento k = 1, k = 1,15 e k = 1,35 per le quattro diverse condizioni di percentuale di armatura compressa, con la percentuale di arma-

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

147

Tabella 4.16 Valori di MRd al variare del legame costitutivo del calcestruzzo con acciaio con rapporto di incrudimento k = 1,15 (sezione a doppia armatura, ρ = ρ) σ

σ

σ

ε

ρ = ρ (%)

ε

ε

(1)

(2)

MRd(1) (kNm)

MRd(2) (kNm)

(3)

Δ=

MRd(2) MRd(1)

MRd(3) (kNm)

Δ=

MRd(3) MRd(1)

0,30

83,29

82,48

0,9903

82,23

0,9873

0,40

109,19

108,18

0,9907

107,91

0,9883

0,60

160,73

159,30

0,9911

159,02

0,9893

0,80

212,10

210,25

0,9913

209,96

0,9899

1,00

263,40

261,11

0,9913

260,82

0,9902

1,20

314,64

311,94

0,9914

311,65

0,9905

1,40

365,86

362,73

0,9914

362,44

0,9907

1,60

417,07

413,51

0,9915

413,22

0,9908

1,80

468,26

464,28

0,9915

463,99

0,9909

2,00

519,46

515,04

0,9915

514,76

0,9909

Tabella 4.17 Valori di MRd al variare del legame costitutivo del calcestruzzo con acciaio con rapporto di incrudimento k = 1,35 (sezione a doppia armatura, ρ = ρ) σ

σ

σ

ε

ρ = ρ (%)

MRd(1) (kNm)

ε

ε

(1)

(2) MRd(2) (kNm)

(3)

Δ=

MRd(2) MRd(1)

MRd(3) (kNm)

Δ=

MRd(3) MRd(1)

0,30

90,91

88,90

0,9779

88,49

0,9734

0,40

118,35

115,81

0,9786

115,37

0,9748

0,60

172,74

169,16

0,9793

168,67

0,9764

0,80

226,79

222,18

0,9797

221,66

0,9774

1,00

280,69

275,03

0,9798

274,49

0,9779

1,20

334,48

327,78

0,9800

327,22

0,9783

1,40

388,22

380,46

0,9800

379,90

0,9786

1,60

441,90

433,10

0,9801

432,53

0,9788

1,80

495,52

485,71

0,9802

485,13

0,9790

2,00

549,16

538,30

0,9802

537,71

0,9791

148

Capitolo 4

Tabella 4.18 Confronto MRd ottenuti con diversi valori del rapporto di incrudimento (sezione a doppia armatura, ρ = ρ) ρ = 0,25ρ

k=1

k = 1, 15

ρ = As /bh

MRd (kNm)

MRd (kNm)

k = 1, 35 MRd (kNm)

0,30%

77,24

83,29 (1,078)

90,91(1,177)

0,40%

101,92

109,19 (1,071)

118,35 (1,161)

0,60%

151,19

160,73 (1,063)

172,74 (1,143)

0,80%

200,38

212,1 (1,058)

226,79 (1,132)

1,00%

249,6

263,4 (1,055)

280,69 (1,125)

1,20%

298,82

314,64 (1,053)

334,48 (1,119)

1,40%

348,02

365,86 (1,051)

388,22 (1,116)

1,60%

397,24

417,07 (1,050)

441,9 (1,112)

1,80%

446,47

468,26 (1,049)

495,52 (1,110)

2,00%

495,69

519,46 (1,048)

549,16 (1,108)

tura tesa compresa tra 0% e 2%; i valori di momento resistente riportati nel diagramma sono ottenuti adottando per il calcestruzzo il legame rettangolo (stress block ).

600 ρ' = ρ

k= 1

Mrd (kNm)

450

ρ' = 0,5 ρ ρ' = 0,25 ρ

k = 1,15 k = 1,35

ρ' = 0

300

150

0 0,2% 0,4% 0,6% 0,8% 1,0% 1,2% 1,4% 1,6% 1,8% 2,0% 2,2% 2,4% ρ% Figura 4.16 Valori di MRd al variare di percentuale armatura geometrica, rapporto di incrudimento e percentuale di armatura geometrica in compressione.

Dal grafico e le tabelle riportate emerge con chiarezza che, specie nel caso di armature simmetriche, all’aumentare di k si possono ottenere significativi incrementi di momento resistente, sebbene inferiori al corrispettivo rapporto di incrudimento (k = 1,15 e k = 1,35 comportano in ogni caso incrementi percentuali di momento resistente di progetto inferiori al 15% e al 35%, rispettivamente). Tali incrementi evidenziano come l’utilizzo di un legame tensione

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

149

deformazione con ramo incrudente possa comportare, a parit` a di momento resistente, la necessit`a di una minore quantit` a di armatura e conseguentemente, almeno in certi casi, un significativo risparmio. Si osservi che uno sfruttamento ancora maggiore pu` o invece essere realizzato in sezioni con forma a T o analoghe, con spessore dell’ala superiore ridotta. Infatti, la presenza di una larga parte superiore di calcestruzzo compresso spinge l’asse neutro verso l’alto, con conseguente aumento della deformazione nelle barre tese. Tale effetto `e chiaramente mostrato nella Tabella 4.19 dove si riportano, con riferimento alla sezione di Figura 4.17, i valori dei momenti resistenti ottenuti in corrispondenza di valori di incrudimento k = 1, k = 1,15 e k = 1,35 nonch´e, in parentesi, i rapporti tra i momenti resistenti ottenuti con k = 1,15 o 1,35 con quelli ottenuti nel caso k = 1 (in ogni caso i valori dei momenti resistenti sono stati ottenuti adottando per il calcestruzzo un legame di tipo parabola-rettangolo). Tabella 4.19 Confronto MRd ottenuti con diversi valori del rapporto di incrudimento (sezione a T doppia armatura, ρ = ρ) ρ = ρ

k=1

k = 1, 15

MRd (kNm)

MRd (kNm)

MRd (kNm)

0,30%

106,75

117,58 (1,101)

130,96 (1,226)

0,40%

139,94

152,76 (1,091)

168,64 (1,205)

0,60%

205,95

222,44 (1,080)

242,77 (1,178)

0,80%

271,76

294,60 (1,084)

316,03 (1,162)

1,00%

337,45

360,50 (1,068)

388,80 (1,152)

1,20%

403,12

429,25 (1,064)

461,24 (1,144)

1,40%

468,73

497,88 (1,062)

533,52 (1,138)

1,60%

534,36

566,44 (1,060)

605,62 (1,133)

1,80%

599,96

634,95 (1,058)

677,61 (1,129)

2,00%

665,56

703,40 (1,056)

749,54 (1,126)

ρ = As /Ac

k = 1, 35

Dalla Tabella 4.19 emerge che per la sezione in esame gli incrementi percentuali del momento resistente raggiungono valori compresi tra il 10% e il 23% nel 80 cm

c = 4 cm 10 cm

d = 46 cm

h = 50 cm

A's

40 cm c = 4cm As b = 30 cm

Figura 4.17 Sezione a T.

150

Capitolo 4

caso di armatura minima (0,3%), riducendosi a valori pari al 6% ÷ 14% nel caso di armatura massima (2,0%). In tale caso, dunque, la presenza della soletta induce effettivamente una traslazione verso l’alto dell’asse neutro e pertanto `e possibile ottenere incrementi di momento resistente pi` u significativi all’incrementare del rapporto di incrudimento. Di seguito si riporta, un esempio numerico di calcolo su una sezione a T. Esempio 4.3 Si analizza il caso di una sezione a T armata simmetricamente (fig. 4.17) e si determinano i valori dei momenti resistenti nel caso di rapporto di incrudimento k = 1, e k = 1,35. Si utilizza calcestruzzo di Classe 25/30, per cui: • σcd = 0,85 × 25/1, 5 = 14,17 MPa; • εcu = 0,0035 e acciaio B450C caratterizzato da: fyk = 450 MPa

fyd = fyk /γs = 391, 3 MPa

Es = 210 000 MPa

Armatura simmetrica pari a 4 φ 16 (As = As = 4 φ 16 → ρ = As /Ac = 8,038/2000 ∼ = 0,40% = ρ , Caso a) k =

ft fy

= 1, kfyd = 391, 3 MPa

nel caso di sezione a T, l’asse neutro pu` o avere profondit`a tale da essere interno alla soletta o interno all’anima della sezione. Si ipotizza in prima istanza che l’asse neutro sia interno alla soletta; in tale caso la sezione a T pu` o essere trattata come una sezione rettangolare con base B = 80 cm e pertanto y pu` o essere calcolato attraverso la relazione (4.27): y 2 800 · 14,17 − y · 804 (391,3 − 210 000 · 0,0035) + − 0,8 · 40 · 804 · 210 000 · 0,0035 = 0 11 336y 2 + 276 335y − 18 910 080 = 0 y = 30, 43 mm (dunque x = 1,25 y = 38,08 mm < 100 mm e risulta verificata l’ipotesi assunta di asse neutro interno alla soletta) σs = Es εcu

y − 0,8c 30,43 − 0,8 · 40 = 210 000 · 0,0035 = −37,92 MPa y 30,43

da cui si evince che l’armatura superiore non risulta compressa ma tesa. La risultante in compressione dovuta al calcestruzzo e quella di trazione dovuta all’armatura superiore valgono rispettivamente: C1 = σcd by = 14,17 · 800 · 30,43 = 344,9 · 103 N C2 = T2 = σs As = −37,92 · 804 = −30,4 · 103 N

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

151

e il momento resistente di progetto pu`o essere calcolato come:

y − T2 · (d − c) = MRd = C1 · d − 2 30,43 3 = 344,9 · 10 · 460 − − 30,4 · 103 · (460 − 40) = 140,63 · 106 Nmm 2 Caso b) k = ft /fy = 1,35, kfyd = 528,3 MPa Anche in questo caso si ipotizza in prima istanza che y sia interno alla soletta per cui la sezione a T pu` o essere considerata come una sezione rettangolare con base B = 80 cm; avendo considerato un acciaio con rapporto di incrudimento k = 1,35, trascurando l’armatura in compressione, la profondit`a dell’asse neutro pu` o essere ricavata attraverso la (4.47). Se si vuole tenere in conto anche il contributo dell’acciaio in compressione l’espressione (4.47) si modifica come segue:    

x 2 x x εcu + εy ft  εcu + ω + −ω 1− −1 0,8 h εud − εy fy h fyd h  d ft εcu c εcu − ω =0 −1 −ω εud − εy fy h fyd h avendo ipotizzato l’armatura superiore non snervata (ipotesi da verificare una volta determinata la profondit`a dell’asse neutro), dove: A fyd 804 · 391, 3 As fyd = 0, 0554; = ω = s = Bhσcd Bhσcd 800 · 500 · 14,17 εcu + εy 0, 0035 + 0, 001863 = 0, 08170; = εud − εy 0, 0675 − 0, 001863 εcu 0, 0035 = = 0, 0533; εud − εy 0, 0675 − 0, 001863 εcu 0, 0035 = 8, 94 · 10−6 = fyd 391, 3 ω=

da cui si evince che i termini (ω  εcu /fyd ) x/h e ω  εcu /fyd c/h possono essere trascurati ai fini del calcolo (il che equivale a trascurare l’armatura superiore), e pertanto l’equazione di secondo grado in x/h diventa:

x 2 460 x =0 − 0,0554 [1 − 0, 08170 (1,35 − 1)] − 0,0554 · 0,0533 (1,35 − 1) 0,8 h h 500 da cui si ricava x = 0,0818 ⇒ x = 0,0818 · h = 0,0818 · 500 = 40,9 mm h (dunque risulta verificata l’ipotesi assunta di asse neutro interno alla soletta) inolx−c 40,9 − 40 tre εs = εcu = 0,0035 = 0,000077 < εsy = 0, 001863 per cui, x 40,9

152

Capitolo 4

nel caso in esame, l’ipotesi di armatura superiore non snervata e trascurabile `e ampiamente soddisfatta. A questo punto la risultante in compressione dovuta al calcestruzzo vale: C1 = σcd b0,8x = 14,17 · 800 · 0,8 · 40, 9 = 370, 9 · 103 N e il momento resistente di progetto pu`o essere calcolato come: MRd = C1 · (d − 0, 4x) = 370, 9 · 103 · (460 − 0, 4 · 40, 9) = 164, 55 · 106 Nmm dunque nel passaggio da k = 1 a k = 1,35 si `e avuto un incremento di momento resistente pari a MRd(k=1,35) 164, 55 = 1, 17 = Δ= MRd(k=1,0) 140, 63 ovvero un incremento percentuale pari al 17%.

4.8 Valutazione della sezione pressoinflessa Con riferimento a sezioni soggette ad azioni di pressoflessione retta si discutono di seguito le problematiche connesse alla verifica e alla costruzione del dominio di rottura. 4.8.1 Verifica in pressoflessione retta Nel caso di pressoflessione si opera esattamente come per la flessione, solo che C e T non sono uguali e contrari ma devono avere come risultate lo sforzo normale NSd che effettivamente agisce nella sezione. Si consideri la sezione rettangolare della Figura 4.18 con armatura compressa As e armatura tesa As . Il calcolo `e molto semplice se si considerano entrambi gli acciai snervati; infatti l’equilibrio alla traslazione immediatamente fornisce: byσcd + As fyd − As fyd = NSd c

A's

3,5‰ ε M Sd

h

σcd

σ

σcd

x y

N Sd

d

(4.50)

σ

C2 C

C1

d*

c As

> b

Figura 4.18 Sezione pressoinflessa.

f yd

f yd

T

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

153

da cui

NSd + As fyd − As fyd bσcd da cui, introducendo lo sforzo normale adimensionale: y=

ν=

NSd bhσcd

(4.51)

(4.52)

si ottiene:

y = ν + ω − ω (4.53) h Dall’equilibrio alla rotazione intorno al baricentro geometrico della sezione si ricava immediatamente il momento resistente MRd che la sezione pu`o sopportare in caso di presenza di sforzo normale NSd :   h−y h + fyd (As + As ) −c (4.54) MRd = ybσcd 2 2 La (4.54) si basa evidentemente su alcune ipotesi semplificative che vanno verificate alla fine del calcolo. ` evidenInnanzitutto la sezione `e stata ipotizzata come parzializzata. E te che se l’armatura inferiore `e compressa, e cio`e x > d, allora il calcolo va rifatto in altre ipotesi. Inoltre nella (4.54) entrambe le armature sono ` un caso molto frequente, ma che va comunstate considerate snervate. E que verificato; in particolare le armature risultano non snervate se risulta rispettivamente: y ≤ (2,10 · 0,8)c = 1,68c ⇒ armatura compressa in campo elastico 3,5% εcu d = 0,8 d = 0, 522d εcu + εy 3,5% + 1,86% ⇒ armatura tesa in campo elastico

y ≥ 0,8

(4.55)

(4.56)

4.8.2 Costruzione semplificata dei domini di pressoflessione retta su sezioni ad armatura simmetrica La costruzione del dominio di rottura in pressoflessione per la sezione a doppia armatura simmetrica si pu` o fare molto semplicemente, considerando i diagrammi a stress block. Infatti, con riferimento al grafico della Figura 4.19, i due punti che caratterizzano rispettivamente la trazione centrata (punto A) e compressione centrata (punto B) sono caratterizzati da: (A)

NRd = 2As fyd = 2F

con F = As fyd

(4.57)

NRd = 2As fyd + bhσcd = NRd + Nc = 2F + Nc con Nc = bhσcd

(4.58)

(B)

(A)

avendo indicato con Nc la resistenza della sezione in calcestruzzo.

154

Capitolo 4

A's = As

F M

c N

h

As

σcd

Nc /2

F

M

D

F = As σsd Nc = bhσcd

c

b

F

F σcd

F

F

C

E

As f yd(h−2c) F

Nc

As f yd(h−2c) σ F cd 2

F

bhσcd /8

Nc

F

A

B 2As f yd

bhσcd /2

Nc /2

bhσcd /2

Nc 2A f s yd

N

Figura 4.19 Costruzione per via semplificata del dominio di rottura in pressoflessione per sezioni a doppia armatura simmetrica.

Il punto C corrisponde alla flessione semplice; vale quanto detto nel Paragrafo 4.4, e in termini approssimati si ha: (C)

(C)

MRd = MRd,f lessione NRd = 0 con MRd,f lessione ∼ = As fyd (h − 2c) = F (h − 2c)

(4.59)

Il punto E `e il simmetrico di C rispetto al massimo; `e dunque evidente che il momento `e identico a quello della flessione semplice, mentre lo sforzo normale `e proprio coincidente con la resistenza del solo calcestruzzo: (E)

NRd = Nc

(E)

MRd = MRd,f lessione

(4.60)

Ci`o si deduce sia per simmetria, sia perch´e lo stress block esteso all’intera altezza fornisce una compressione Nc centrata, mentre il momento flettente `e dato dalle sole due armature. Infine il massimo momento flettente corrisponde al punto D: (D)

NRd =

Nc 2

(D)

MRd = MRd,f lessione +

Nc h 2 4

(4.61)

per il quale `e evidente che lo stress block si estende esattamente a met`a sezione; infatti aumentando il valore di y oltre h/2, si aggiunge un contributo di compressione che ha braccio al di sotto di met`a sezione e dunque fa diminuire il momento flettente complessivamente applicato. Dal dominio si rileva che la presenza di sforzo normale inferiore a Nc produce necessariamente un aumento della resistenza flettente rispetto alla flessione semplice; al massimo tale valore `e fornito dal punto D e dunque il massimo aumento rispetto al caso di flessione semplice risulta:

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

(D) MRd (C) MRd

bh2 σcd MRd,f lessione + Nc h/8 ∼ 8 = = =1+ MRd,f lessione As fyd (h − 2c) 1 0, 15 0, 125 ∼ 1+ =1+ ω 1 − 2c/h ω

155

(4.62)

avendo considerato valori medi del rapporto c/h. Si osservi ancora che tutto l’aumento di resistenza fra i punti C e D `e ascrivibile al contributo del calcestruzzo, infatti, se si riporta il dominio resistente della sola sezione in calcestruzzo, si ha quanto riportato nella Figura 4.19, ovvero un dominio che parte dall’origine, e arriva fino al punto caratterizzato da Nc ; il massimo si ha lungo la verticale passante per D, e cio`e per N = Nc /2, e il momento corrispondente `e pari all’incremento di resistenza Nc h/8. In realt` a si perviene al dominio della sezione in cemento armato, dilatando il dominio della sezione in solo calcestruzzo a sinistra e a destra del contributo 2F e facendo traslare verso l’alto il dominio della sezione in calcestruzzo della quantit` a MRd,f lessione . Il dominio della sola sezione in calcestruzzo ha evidentemente equazione:  h y − (4.63) M =N 2 2 dove y si calcola immediatamente come: y=

N bσcd

(4.64)

Per N = 0 e per N = Nc la sezione non ha alcuna resistenza flessionale. Nei casi intermedi si ottiene immediatamente la seguente forma parabolica:  N h 1− (4.65) M =N 2 Nc Dunque nella zona C-D-E il dominio approssimato della sezione in cemento armato ha la seguente forma:  h h N 1− = As fyd (h − 2c) + N (1 − ν) (4.66) MRd = As fyd (h − 2c) + N 2 Nc 2 Tale espressione coincide con la (4.54) nel caso di As = As . Esempio 4.4 Si consideri la sezione dell’esempio precedente (30 × 50 cm, copriferro 4 cm, calcestruzzo Classe C25/30, acciaio B450C) armata con 4 φ 16 simmetrici. Si ottiene: NRd = 2As fyd = 2 · 804 · 391, 3 = 629.210 N (A)

NRd = 2As fyd + bhσcd = 2 · 804 · 391, 3 + 300 · 500 · 14, 16 = = 629 210 + 2 125 500 = 2 754 710 N (B)

156

Capitolo 4

MRd,f lessione ∼ = As fyd (h − 2c) = 804 · 391, 3 · (500 − 80) = 132, 13 · 106 Nmm (contro un valore calcolato “rigorosamente” di 135, 53 · 106 Nmm) NRd = 0 MRd = MRd,f lessione = 132,13 · 106 Nmm 2 124 000 Nc (D) NRd = = = 1 062 750 N 2 2 Nc h 500 (D) MRd = MRd,f lessione + = 132,13 · 106 + 1 062 000 · = 2 4 4 = 132,13 · 106 + 132,84 · 106 = 264.97 · 106 Nmm (C)

(C)

(E)

NRd = Nc = 2 125 500 N;

MRd = MRd,f lessione = 132,13 · 106 Nmm (E)

M (kNm)

Nella Figura 4.20 sono tracciati i domini di pressoflessione con la formulazione semplificata appena descritta e integrando esattamente il diagramma parabolarettangolo considerando anche la possibilit`a che le armature, tese e compresse, possano rimanere in campo elastico (“metodo rigoroso”); con linea tratteggiata, inoltre, `e riportato il dominio che si ottiene semplicemente congiungendo i punti A-C-D-E-B. 300 D

"Metodo Rigoroso" "Formulazione semplificata"

250 200 150 C

E

100 50 −1000

A

−500

0

ν=0 0

500

ν = 0,5 1000 1500

2000

ν=1 B 2500 3000 N (kN)

Figura 4.20 Dominio di pressoflessione con metodo rigoroso e formulazione semplificata.

Si osserva che i punti A, B, C, D ed E si collocano con buona precisione sul dominio calcolato “rigorosamente”. La forma del dominio `e ottimamente approssimata dall’equazione (4.66) nel tratto C-D, mentre `e in svantaggio di sicurezza nel tratto D-E, in quanto l’armatura inferiore non `e snervata. Si osservi peraltro che il tratto D-E `e ottimamente approssimato da una retta, che `e anche in vantaggio di sicurezza e la stessa considerazione pu` o effettuarsi nei riguardi dei tratti B-E e C-A. In ultimo si osservi che nella pratica `e ben difficile che ν risulti superiore a 0,5. Dunque il tratto pi` u importante nelle verifiche `e proprio C-D dove la semplicissima espressione (4.66) fornisce un risultato ottimamente approssimato.

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

157

4.8.3 Sezione con doppia armatura non simmetrica Nel caso di sezione con armatura non simmetrica il dominio non `e simmetrico rispetto all’asse delle N . Infatti in presenza del massimo sforzo di trazione assorbibile: (A) (4.67) NRd = As fyd + As fyd il momento resistente non risulta nullo, perch´e le due armature sono sollecitate da due forze diverse, bens`ı pari a : (A)

MRd =

As − As fyd (h − 2c) 2

(4.68)

Analogamente in compressione si ha: NRd = As fyd + As fyd + bhσcd (B)

(4.69)

e il momento resistente non risulta nullo, bens`ı negativo e pari a: MRd = − (B)

As − As (A) fyd (h − 2c) = −MRd 2

(4.70)

M (kNm)

Dunque il dominio ha sempre i punti di cuspide su di una retta del fascio che passa per il punto di coordinate (Nc /2, 0). La forma `e analoga a quella del caso di sezione simmetrica. Nella Figura 4.21 si riportano i domini della stessa sezione esaminata precedentemente, nei quattro casi di As /As = 1, 0,5, 0,25 e 0. Si osservi come, coerentemente con quanto detto in precedenza, i domini siano molto raccolti nella zona della tensoflessione e della flessione semplice, mentre si differenziano decisamente all’aumentare dello sforzo normale di compressione. 300

A's = A's = A's = A's =

250 200

As 0,5As 0,25As 0

150 100 50

N (kN) −1000

−500

0 0

500

1000

1500

2000

2500

−50 −100

Figura 4.21 Domini di pressoflessione per sezione con doppia armatura non simmetrica.

3000

158

Capitolo 4

4.9 Verifiche in pressoflessione deviata Una sezione `e soggetta a pressoflessione deviata in caso di presenza contemporanea di sforzo normale e momento flettente secondo una direzione non principale di inerzia della sezione. Il procedimento per la costruzione del dominio limite nel caso di pressoflessione deviata ricalca concettualmente quello gi`a descritto per la pressoflessione retta, ma si presenta notevolmente pi` u complicato in quanto l’asse neutro (n-n) non risulta essere pi` u ortogonale rispetto all’asse di sollecitazione (s-s). ss

NSd

y

n

εε σσ

n

x

x

s

nn

Figura 4.22 Sezione soggetta a pressoflessione deviata.

In un problema di pressoflessione deviata, la profondit` a dell’asse neutro e la sua inclinazione rispetto all’orizzontale possono essere determinate mediante la risoluzione di due equazioni non lineari: • di equilibrio tra lo sforzo normale sollecitante e lo sforzo normale interno (ottenuto come integrale del campo tensionale sull’intera sezione):   (4.71) NSd = σc dAc + σs dAs Ac

As

• di uguaglianza tra l’inclinazione del piano della sollecitazione esterna e l’inclinazione del piano di sollecitazione interno: βest. = tan−1

MSd,x Mx = βint = tan−1 MSd,y My

(4.72)

con MSd,x ed MSd,y pari rispettivamente al momento sollecitante lungo l’asse x e l’asse y, e Mx ed My pari rispettivamente al momento interno rispetto agli assi baricentrici x e y dovuti al campo tensionale presente nella sezione:

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

 Mx =

 σc ydAc +

Ac

 σs ydAs ;

My =

As

159

 σc xdAc +

Ac

σs xdAs

(4.73)

As

Le procedure di calcolo inerenti la verifica di sezioni soggette a sollecitazioni di pressoflessione deviata sono, pertanto, iterative e richiedono una integrazione al passo delle tensioni agenti sulla sezione. Il dominio di resistenza della sezione in regime di pressoflessione deviata `e costituito da una superficie rappresentabile in uno spazio tridimensionale NRd -MRdx -MRdy , come riportato nella Figura 4.23. NRd

MRdx

MRdy

Figura 4.23 Dominio tridimensionale NRd -MRd,x -MRd,y .

Sezionando il dominio tridimensionale con un piano a MRd,x =cost, MRd,y =cost e NRd =cost si ottengono i domini NRd -MRd,y , NRd -MRd,x e il diagramma di interazione, MRd,x -MRd,y come rappresentato nella Figura 4.24. Il dominio MRd,x -MRd,y pu` o essere rappresentato, in via approssimata, alla “Bresler” (Bresler, 1960) secondo una curva del tipo: 

MRdx MRdx,0

α

 +

MRdy MRdy,0

β =1

(4.74)

in cui MRdx e MRdy indicano i momenti resistenti lungo x e y nel caso di pressoflessione deviata, MRd,x0 e MRd,y0 indicano i momenti resistenti rispetto agli assi x e y nel caso di pressoflessione retta, e α e β sono due coefficienti da assumersi maggiori o al pi` u uguali a 1. Per analizzare le propriet` a della (4.74), `e possibile utilizzare la seguente notazione semplificata:

160

Capitolo 4

(a)

(b) NRd NRd

MRdx MRdx

NRd

MRdy

MRdy (c) MRdx

MRdy

Figura 4.24 Dominio tridimensionale NRd -MRd,x -MRd,y (a); sezione del dominio nel piano NRd MRd,x e NRd -MRd,y (b); sezione del dominio nel piano MRd,x -MRd,y .

x=

MRdx MRdx,0

y=

MRdy MRdy,0

(4.75)

per cui la (4.74) si scrive: xα + y β = 1

(4.76)

Ovvero, esplicitando rispetto a y: 1/β

y = (1 − xα )

(4.77)

La derivata rispetto a x risulta: 1−β dy = −αxα−1 (1 − xα ) β dx

(4.78)

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

161

Per x = 0 la derivata vale evidentemente 0; per x = 1, poich´e l’esponente (1 − β)/β `e negativo, la derivata `e infinita. Dunque la funzione (4.78), nel caso α, β > 1, parte dalle coordinate (0,1) e (1,0) con tangente ortogonale agli assi. Naturalmente se α = β = 1, il dominio degenera in un quadrilatero (in un quadrato nel caso di sezione simmetrica rispetto agli assi x e y). Se α = β = 2 la curva degenera in un cerchio nel caso di sezione simmetrica rispetto agli assi x e y, viceversa in un ellisse. Considerando l’approssimazione α = β, una stima di α si pu` o effettuare studiando il solo caso: MRdx MRdy = =m (4.79) MRdx,0 MRdy,0 ovvero considerando il punto del dominio che corrisponde alla intersezione con la bisettrice del quadrante. Si ottiene immediatamente: 2mα = 1

(4.80)

da cui: α=

ln (1/2) ln m

(4.81)

che consente la stima di α dallo studio di un solo caso di pressoflessione deviata; dalla (4.80) si trae anche:  1/α 1 (4.82) m= 2 Dalla (4.79) si ottiene immediatamente che per α che tende all’infinito m tende a 1 e pertanto la curva degenera in un quadrato (se la sezione `e simmetrica rispetto agli assi x e y ovvero MRdx,0 = MRdy,0 ) o in un rettangolo. Diverse forme della curva MRd,x -MRdy nel quadrante dei momenti positivi sono rappresentate al variare di α con riferimento a una sezione quadrata (fig. 4.25) o rettangolare (fig. 4.26) con armatura simmetrica nelle due direzioni. Si osservi ancora che molti autori suggeriscono la stima: α = 1, 4 ÷ 1, 5

(4.83)

che risulta conservativa in molti casi. (B) L’EC2 2004 suggerisce diversi valori di α al variare del rapporto NSd /NRd come riportato nella Tabella 4.20: (B)

NRd = As,tot fyd + bhσcd dove As,tot rappresenta l’area totale dell’armatura longitudinale.

(4.84)

162

Capitolo 4

45

α=1 α = 1,2

α=2

Armatura: 4 φ 16 h = 30 cm

α = 1,75

MRdy (kNm)

30 α = 1,5

15 α=5

c = 4 cm h=30cm

α= ∞ b = 30 cm Calcestruzzo classe 25/30 Acciaio B450C

0 0

15

30

45

MRdx (kNm) Figura 4.25 Dominio MRdx -MRdy al variare dell’esponente α per sezione quadrata con armatura simmetrica.

150

α = 1,2 α = 1,5 α = 1,75

120 MRdy (kNm)

α= 1

90 Armatura: 12 φ 16 h = 30 cm

60 α= 2 α= 5

h=50cm

c = 4 cm

30

α= ∞

b = 30 cm

0 0

60

30

90

120

150

MRdx (kNm) Figura 4.26 Dominio MRdx -MRdy al variare dell’esponente α per sezione rettangolare con armatura simmetrica. (B)

Per valori intermedi di NSd /NRd `e suggerita l’interpolazione lineare. Stime pi` u raffinate si possono effettuare valutando α in funzione delle altre variabili del problema. In particolare a partire dalle percentuali geometri-

Stato Limite Ultimo per flessione e pressoflessione

163

(B)

Tabella 4.20 Valori di α al variare di NSd /NRd (B)

NSd /NRd

0,1

0,7

1,0

α

1,0

1,5

2,0

che di armatura nella direzione x e nella direzione y e dallo sforzo normale adimensionalizzato: ωx =

Asx fyd bhσcd

ωy =

Asy fyd bhσcd

ν=

Nsd bhσcd

(4.85)

Monti e Alessandri (2007) suggeriscono di calcolare l’esponente α secondo la seguente espressione:  γ b ϕ ψ ϑ (ωx ) (ωy ) (ν) α=c h

(4.86)

Tabella 4.21 Valori di c,γ, ϕ, ψ, θ per la valutazione di α N sd

c

γ

ϕ

ψ

θ

>0

1,15

−0, 01

−0, 03

−0, 03

−0, 07

=0

1,18

−0, 02

−0, 06

−0, 14

(0,33 · 0,35 · 1,3) − 0,035 = 0,115

Duttilit` a e progetto di sezioni inflesse e pressoinflesse

185

e dunque le due limitazioni forniscono una duttilit` a non inferiore a 6, nel caso di ν non superiore a 0,35 e b/b0 non superiore a 1,3. Ulteriore conseguenza della prescrizione normativa `e che la deformazione ultima del calcestruzzo confinato garantita dalla norma risulta, ipotizzando α = 0,5: εccu = 3,5% + 0,1α · ωst = 3,5% + 0,1α · (ωst,x + ωst,y ) ≥ ≥ 3,5% + 0,1 · 0,5 · (0,12 + 0,12) ∼ = 1,5% Dunque viene garantito al calcestruzzo delle zone critiche una deformazione a rottura non inferiore a 1,5%, ovvero almeno quattro volte superiore a quella del calcestruzzo non confinato. Si osservi che, considerata l’elevata deformazione che raggiunge il calcestruzzo, l’acciaio `e praticamente sempre snervato stante l’elevata pendenza della retta delle deformazioni.

5.4 Progettazione delle sezioni inflesse per resistenza e duttilit` a Nel seguito si svilupperanno formule di progetto per sezioni inflesse in cemento armato, considerando tanto i requisiti di resistenza quanto di duttilit` a. In particolare si considera il caso della sezione rettangolare, a cui si riduce la maggioranza dei casi strutturali. La sezione `e definita dalla resistenza dei due materiali, calcestruzzo e acciaio, e da cinque parametri geometrici: dimensioni della base (b), altezza utile (d), copriferro (c), quantitativo di armatura tesa (As ) e quantitativo di armatura compressa (As ). La resistenza dell’acciaio `e definita dalla norma, mentre la resistenza del calcestruzzo `e definita a priori all’inizio della progettazione. La dimensione del copriferro `e scelta in base a problemi di durabilit` a, come riportato nel Capitolo 9. Rimangono dunque quattro parametri. In generale le equazioni a disposizione sono due equazioni di equilibrio indipendenti, e pertanto le incognite vanno ridotte a due. In pratica una delle due dimensioni, base b o altezza utile d, sono assegnate a priori per problemi architettonici; inoltre si `e visto che l’armatura compressa non influenza in maniera significativa la resistenza flessionale, mentre invece `e determinante per la duttilit` a. Poich´e il progetto viene svolto inizialmente “per resistenza”, in prima approssimazione l’armatura compressa si pu` o trascurare. Dunque il progetto si riduce effettivamente ad avere solo due incognite. In particolare si presentano due alternative in cui le icognite sono: 1. l’altezza h della sezione e il quantitativo di armatura tesa As ; 2. la larghezza b della sezione e il quantitativo di armatura tesa As .

186

Capitolo 5

In entrambi i casi, dall’equazione di equilibrio alla rotazione intorno al baricentro dell’armatura tesa, per il soddisfacimento della verifica di resistenza, si trae: (5.39) 0,8σcd bx(d − 0,4x) = MRd ≥ MSd Nel caso 1 si ottiene: ( d≥

1 · 0,8σcd ξ(1 − 0,4ξ)

avendo posto



M Sd = r∗ b



MSd b

(5.40)

( x ξ= d

e r∗ =

1 0,8σcd ξ(1 − 0, 4ξ)

(5.41)

Pertanto, nota la larghezza della sezione e assegnata la posizione dell’asse neutro, ξ, dalla disequazione (5.40) `e possibile determinare il valore dell’altezza utile della trave e quindi della sua altezza totale. In maniera del tutto analoga, ipotizzando che sia nota l’altezza della sezione, si pu` o determinare, a partire dalla (5.39), la disequazione che consente di progettare la larghezza, b, della sezione (caso 2): b≥

MSd MSd 1 = r∗∗ 2 2 0, 8σcd ξ(1 − 0, 4ξ) d d

essendo:

r∗∗ = (r∗ )

2

(5.42)

(5.43)

Dunque il progetto dell’altezza utile o della base, scelti i materiali, dipende unicamente dalla posizione ξ. In entrambi i casi, il quantitativo di armatura tesa si trae dall’equilibrio alla rotazione intorno alla risultante di compressione: As fyd (d − 0,4x) = MRd ≥ MSd

(5.44)

MRd MRd = ∗ d(1 − 0, 4ξ)fyd t dfyd

(5.45)

da cui As ≥ essendo:

t∗ = (1 − 0,4ξ)

(5.46)

In definitiva la progettazione si effettua assegnando a priori i materiali e la profondit` a adimensionalizzata dell’asse neutro. Quindi si determina r∗ oppure r∗∗ , a secondo del caso, valutando la geometria complessiva della sezione. Dalla (5.45) poi si trae l’armatura tesa mediante il coefficiente t∗ , che peraltro, come visto nel Capitolo 4, `e in genere ottimamente approssimato da 0,9. Un’altra importante variabile che deve entrare nella progettazione `e la duttilit` a richiesta μ.

Duttilit` a e progetto di sezioni inflesse e pressoinflesse

A partire dalle relazioni (5.7) e (5.9) si ha:   1 1 εcu εcu εsy εsy = = = = r u x ξ·d r y d − xe d (1 − xe /d)

187

(5.47)

Pertanto la duttilit` a in termini di curvatura, nel caso di elementi inflessi a doppia armatura, pu` o valutarsi mediante la seguente espressione: μb1/r =

(1/r)u 1 − ξe εcu = (1/r)y ξ εsy

(5.48)

dove ξe = xe /d si calcola con l’analisi elastica esposta al Capitolo 3. Dalla relazione (5.48) si evince che la variabile ξ `e direttamente collegata alla duttilit` a μ. Esempio 5.2 Si analizza, a titolo di esempio, il caso di una sezione: • di base prefissata b = 30 cm; • copriferro c = 4 cm; calcestruzzo di Classe 25/30: • σcd = 0,85 × 25/1,5 = 14,17 MPa; • εcu = 0,0035; sollecitata a flessione semplice con MSd = 150 kNm di cui si voglia progettare l’altezza, h, e l’area di armatura tesa, As . Utilizzando acciaio B450C caratterizzato da fyk = 450 MPa

σsd =

fyk = 391,3 MPa γs

Es = 210 000 MPa

Applicando le equazioni sopra riportate si ottengono i valori di progetto di altezza utile della sezione, d, di armatura tesa As , e di duttilit`a in termini di curvatura, μb1/r , al variare della profondit`a dell’asse neutro adimensionalizzato rispetto a d, ξ (Tabella 5.1). Nelle Figure 5.14 e 5.15 sono riportati, al variare di ξ, i valori di progetto minimi da assegnare all’altezza utile, d, e all’area di armatura tesa, As , che consentono di ottenere un momento resistente maggiore del momento sollecitante; sono inoltre riportati i valori di duttilit`a di sezione, μ, che si ottengono per tali valori di progetto. Per ξ > 0,2946 si ottengono valori di As che comporterebbero il progetto di sezioni con percentuale geometrica di armatura maggiore di quella indicata come limite nella prescrizioni normativa e pari a 0,778% (caso sezione semplicemente armata, Paragrafo 4.6, equazione (4.35)); i diagrammi delle Figure 5.14 e 5.15 vanno pertanto analizzati per valori di ξ < 0,2946. Nei grafici `e anche segnalata la posizione di ξ1% corrispondente alla limitazione della deformazione dell’acciaio pari all’1%. Tale limite, imposto dalla precedente normativa nazionale, pu` o essere

188

Capitolo 5

Tabella 5.1 Valori di d, As al variare della profondit` a dell’asse neutro ξ 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,2593 0,26 0,28 0,2946 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50

r∗

d (cm)

εs

σs (MPa)

t∗

As (cmq)

ρ (%)

μb1/r

0,959 0,879 0,817 0,767 0,727 0,692 0,663 0,638 0,616 0,615 0,596 0,583 0,578 0,562 0,548 0,535 0,523 0,512 0,502 0,493 0,485 0,477 0,470

67,78 62,14 57,77 54,27 51,39 48,96 46,89 45,09 43,56 43,51 42,12 41,20 40,87 39,76 38,75 37,83 37,00 36,23 35,53 34,88 34,28 33,72 33,21

0,0315 0,0257 0,0215 0,0184 0,0159 0,0140 0,0124 0,0111 0,0100 0,0100 0,0090 0,0084 0,0082 0,0074 0,0068 0,0062 0,0057 0,0053 0,0048 0,0045 0,0041 0,0038 0,0035

391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3 391,3

0,960 0,952 0,944 0,936 0,928 0,920 0,912 0,904 0,896 0,896 0,888 0,882 0,880 0,872 0,864 0,856 0,848 0,840 0,832 0,824 0,816 0,808 0,800

5,89 6,48 7,03 7,55 8,04 8,51 8,96 9,40 9,82 9,83 10,25 10,55 10,66 11,06 11,45 11,84 12,22 12,60 12,97 13,34 13,70 14,07 14,43

0,274 0,327 0,379 0,432 0,484 0,536 0,587 0,639 0,688 0,690 0,741 0,778 0,792 0,842 0,893 0,943 0,993 1,044 1,094 1,144 1,193 1,243 1,293

14,00 11,35 9,48 8,10 7,04 6,21 5,53 4,98 4,53 4,51 4,12 3,86 3,78 3,48 3,23 3,00 2,80 2,63 2,47 2,32 2,19 2,07 1,97

significativo se si vuole limitare il danneggiamento della zona tesa della sezione in condizioni di rottura. In genere in zona sismica, data l’eccezionalit`a delle azioni di verifica, tale limitazione non `e significativa e infatti `e stata rimossa dalla nuova norma, NTC 2008. Il valore numerico del limite ξ1% si trae immediatamente dalla linearit`a del diagramma delle deformazioni e risulta pari a: ξ1% =

7 ∼ εcu 3, 5 = = = 0, 2593 1% + εcu 10 + 3, 5 26

(5.49)

Dai grafici si evince che bassi valori della profondit`a dell’asse neutro comportano il progetto di sezioni alte e debolmente armate con valori massimi di duttilit`a (la deformazione ultima del calcestruzzo con acciaio ampiamente in campo plastico), viceversa incrementare la profondit`a dell’asse neutro implica il progetto di sezioni di altezza inferiore ma fortemente armate e caratterizzate da valori di duttilit`a via via decrescenti.

Duttilit` a e progetto di sezioni inflesse e pressoinflesse

189

80

d (cm); As (cm2); μ

70

ξ1% = 0,2593

d

ξ = 0,2946

As μ

60 50 40 30 x

x=0,29

=0,25

20 10 0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

ξ

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

d

d (cm); As (cm2); μ

70

As

μ

60

3

x

ξ = 0,2946

80

ξ1% = 0,2593

Figura 5.14 Valori di progetto di d, As e μ.

50 40 30 20 10 0 0,10

0,14

0,18

ξ

0,22

0,26

0,30

Figura 5.15 Valori di progetto di d, As e μ ( 0,10 ≤ ξ ≤ 0,3).

Il coefficiente r∗ consente di valutare altezza utile e area di acciaio in trazione di progetto una volta assegnata la profondit` a adimensionalizzata dell’asse neutro e le resistenze di calcolo di calcestruzzo e acciaio; al fine di rendere indipendenti dalle resistenze di calcolo dei materiali tale coefficiente pu`o essere opportuno considerare la seguente posizione, avendo scelto acciaio tipo B450:

190

Capitolo 5

√ r1 = r∗ σcd per cui:

(5.50)



MSd (5.51) bσcd a dell’asse neutro ξ, sono I valori di r1 e t∗ , dipendenti solo dalla profondit` riportati nella Tabella 5.2. d = r1

Tabella 5.2 Valori di r1 e t∗ al variare della profondit` a dell’asse neutro ξ 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,2593 0,28 0,2946 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50

r1 3,608 3,308 3,075 2,889 2,736 2,606 2,496 2,400 2,319 2,316 2,242 2,193 2,176 2,117 2,063 2,014 1,970 1,929 1,891 1,86 1,825 1,795 1,768

t∗ 0,960 0,952 0,944 0,936 0,928 0,920 0,912 0,904 0,896 0,896 0,888 0,882 0,880 0,872 0,864 0,856 0,848 0,840 0,832 0,824 0,816 0,808 0,800

Gli andamenti di r1 , t∗ e μ al variare di ξ sono riportati nella Figura 5.16 e Figura 5.17. Si osservi che spesso non `e possibile pervenire alla duttilit` a richiesta considerando la sola armatura tesa; in tali casi si deve ricorrere all’introduzione di armatura compressa. Poich´e si `e visto nel Capitolo 4 e nel Paragrafo 5.3 del presente capitolo che l’armatura compressa altera poco la resistenza flessionale della sezione, in genere aumentandola, si pu` o progettare direttamente l’armatura compressa per conferire la duttilit` a richiesta senza alterare significativamente la resistenza.

Duttilit` a e progetto di sezioni inflesse e pressoinflesse

191

r

16

x

r1; t*; μ

14

r1 ξ2 = 0,2946

18

ξ1% = 0,2593

20 t* μ

46

12 10 8 6 4 2 0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5 0,6 ξ

0,7

0,8

0,9

1,0

r1

18

t*

r1; t* ; μ

16

μ

14

ξ = 0,2946

20

ξ1% = 0,2593

Figura 5.16 Valori di progetto di r1 , t∗ e μ.

12 10 8 6 4 2 0 0,10

0,14

0,18

ξ

0,22

0,26

0,30

Figura 5.17 Valori di progetto di r1 , t∗ e μ (0,10≤ ξ ≤ 0,3).

In particolare il progetto si pu` o effettuare utilizzando la (5.12) che per comodit`a si riporta: ρ − ρ ≤ 0, 51

εcu σcd 1 0,0018 · σcd = εsy fyd μmin εsy · fyd · μmin

(5.52)

192

Capitolo 5

Si trae che per pervenire alla duttilit` a richiesta μmin , avendo progettato per resistenza la percentuale di armatura tesa ρ, `e necessaria la seguente percentuale geometrica in compressione: ρ ≥ ρ −

0,0018 · σcd εsy · fyd · μmin

(5.53)

Naturalmente se risulta ρ ≤ 0 significa che la duttilit` a della sezione a semplice armatura `e adeguata, senza necessit`a di inserire armatura compressa. Esempio 5.3 Si consideri una sezione di base prefissata • b = 30 cm; calcestruzzo di Classe 25/30: • σcd = 0,85 × 25/1,5 = 14, 17 MPa; • εcu = 0,0035 sollecitata a flessione semplice con MSd = 150 kNm di cui si voglia progettare l’altezza, h, e l’area di armatura tesa, As utilizzando acciaio B450C fyk = 450 MPa

fyd = fyk /γs = 391, 3 MPa

Es = 210 000 MPa

Per evitare danneggiamenti alla zona tesa non si vuole superare la limitazione ` per` dell’1% all’armatura in trazione. E o anche richiesta una duttilit`a flessionale μmin non inferiore a 8. Imponendo la limitazione 1% all’acciaio teso, si ha ξ1% = 0,2593 da cui consegue: (  1 Msd = d≥ 0,8σcd ξ(1 − 0,4ξ) b (  1 150 · 106 = = 0,8 · 14, 17 · 0,2593(1 − 0, 4 · 0,2593) 300  150 · 106 = 436 mm = 0,616 · 300 A tale altezza corrisponde il seguente quantitativo di armatura tesa: As ≥

MRd 150 · 106 = 981 mm2 = d(1 − 0,4ξ)fyd 436 · (1 − 0,4 · 0,2593) · 391,3

Si ha quindi una percentuale geometrica di armatura pari a (copriferro complessivo posto pari a 35 mm) : ρ=

981 As = = 0,694% bh 300 · 471

Duttilit` a e progetto di sezioni inflesse e pressoinflesse

193

Per raggiungere la duttilit`a 8 `e necessario aggiungere la seguente percentuale geometrica di armatura: ρ ≥ ρ −

0,0018 · σcd 0,0018 · 14, 17 = 0, 249% = 0, 694 · 10−2 − εsy · fyd · μmin 1, 86 · 10−3 · 391, 3 · 8

ovvero un’armatura in compressione pari a: As = ρ bh = 0, 294 · 10−2 · 300 · 471 = 351 mm2

5.5 Progettazione delle sezioni pressoinflesse per resistenza e duttilit` a Nel seguito si svilupperanno formule di progetto per sezioni pressoinflesse in cemento armato, considerando tanto i requisiti di resistenza quanto di duttilit` a. Anche in questo caso si considera il caso pi` u comune di sezione rettangolare. La sezione `e sollecitata dalla coppia MSd , NSd . Il comportamento meccanico della sezione `e definito dalla resistenza dei due materiali, calcestruzzo e acciaio, e dai seguenti sette parametri geometrici: dimensioni della base (b), altezza totale (h), copriferro (c), quantitativo di armatura tesa (As ) e quantitativo di armatura compressa (As ), volume delle staffe (Vst ) e passo delle staffe (s). La resistenza dell’acciaio `e definita dalla norma, mentre la resistenza del calcestruzzo `e definita a priori all’inizio della progettazione. Si considera il solo caso di armatura simmetrica: As = As . La dimensione del copriferro `e scelta in base a problemi di durabilit` a, come riportato nel Capitolo 9. Restano da definire, dunque, cinque parametri geometrici. In primo luogo si possono determinare le dimensioni della sezione b e h. A tal fine si pu` o prefissare un valore dello sforzo normale adimensionale ν; pi` u `e piccolo tale valore, tanto migliore sar` a il comportamento della sezione in termini di duttilit` a. Si pu` o per esempio scegliere un valore pari a 0,3. Fissato ν, il prodotto delle due dimensioni della sezione si trae immediatamente da: NSd NSd ⇒ bh = (5.54) ν= σcd bh νσcd La scelta di b e h fra le infinite coppie che soddisfano la (5.54) `e spesso dovuta a motivi architettonici. Dal punto di vista strutturale, se sono presenti sollecitazioni flessionali paragonabili nelle due dimensioni, si tende alla forma quadrata; se l’elemento `e prevalentemente sollecitato in unico piano, si tende al rettangolo allungato. Una volta stabilite le due dimensioni b e h, l’armatura viene progettata per resistere alla flessione, tenendo conto che una parte della resistenza `e garantita

194

Capitolo 5

dallo sforzo normale. In particolare, il momento resistente di progetto `e dato dalla somma di due contributi:  h ∼ (5.55) − 0, 4x + As fyd (h − 2c) MRd = N 2 e ricordando l’espressione (4.53) si ha: x = 1, 25νh

(5.56)

MRd ∼ = 0, 5N h (1 − ν) + As fyd (h − 2c)

(5.57)

Pertanto per ottenere una resistenza maggiore della sollecitazione si deve avere che il momento portato dalle armature soddisfi la diseguaglianza: As fyd (h − 2c) ≥ MSd − 0, 5N h(1 − ν) e quindi: As ≥

MSd − 0, 5N h (1 − ν) fyd (h − 2c)

(5.58)

(5.59)

La sezione cos`ı progettata, tuttavia, potrebbe non avere adeguate caratteristiche di duttilit` a. Si deve, pertanto, intervenire con quantitativi di staffe che confinino adeguatamente il calcestruzzo. In particolare dalla (5.33) si trae: αωst ≥ 30μcmin εsy ν

b − 0,035 b0

(5.60)

Dunque fissato un valore della duttilit` a richiesta, note le dimensioni geometriche e lo sforzo normale adimensionale, si ottiene il parametro α · ωst che definisce il volume delle staffe. Operativamente si pu` o stabilire a priori il diametro delle staffe e quindi l’area della sezione trasversale Ast ; in base alla geometria della sezione si pu`o anche scegliere una disposizione di staffe e legature, in modo da definire il perimetro delle staffe nella sezione, pst . L’unica variabile progettuale rimane il passo delle staffe s che deve soddisfare la relazione:   Ast pst fyd s s 1− = αωst (5.61) αh 1 − 2b0 2h0 sb0 h0 σcd dove αh `e dato dalla (5.25): αh = 1 −

 n

b2i 6b0 h0

(5.62)

La (5.61) rappresenta un’equazione non lineare in s, che si pu` o risolvere per tentativi. In alternativa si pu` o fissare a priori un valore di α, per esempio

Duttilit` a e progetto di sezioni inflesse e pressoinflesse

195

0,5, calcolare dalla (5.60) il valore di ωst e risolvere direttamente la seguente espressione: Ast pst fyd s≥ (5.63) b0 h0 σcd ωst Salvo controllare a posteriori che il valore di α ipotizzato era conservativo. Esempio 5.4 Si vuole progettare una sezione che deve resistere alle seguenti sollecitazioni: NSd = 1000 kN e MSd = 800 kNm e deve avere una duttilit`a non inferiore a 6. Si utilizza calcestruzzo di Classe 25/30 e acciaio B450C. Scegliendo ν = 0, 3 si ottiene: ν=

NSd 1 000 000 NSd ⇒ bh = = 235 238 mm2 = σcd bh νσcd 0, 3 · 14, 17

Si sceglie b = 300 mm e h = 800 mm, a cui corrisponde: ν=

1 000 000 NSd = = 0, 294 σcd bh 14, 17 · 300 · 800

L’aliquota di momento portata dallo sforzo normale risulta: MRd = 0, 5N h (1 − ν) = 0, 5 · 1 000 000 · 800 · (1 − 0, 294) = 2, 824 · 108 Nmm (1)

Pertanto l’armatura deve portare la seguente aliquota di momento: MRd = As fyd (h − 2c) = MRd − MRd = 8 · 108 − 2, 824 · 108 = 5, 176 · 108 Nmm (2)

(1)

Si deduce che `e necessario disporre, su ciascun lembo della sezione, un’armatura pari a: (2) 5, 176 · 108 MRd = = 1837 mm2 As ≥ fyd (h − 2c) 391, 3(800 − 2 · 40) avendo ipotizzato un copriferro teorico dell’armatura pari a c = 40 mm. Si dispongono 5 barre del diametro di 22 mm per ciascun lato, ovvero As = 1900 mm2 Per verificare la bont`a della procedura proposta, nella Figura 5.18 `e riportato il dominio M -N per la sezione progettata, costruita con i metodi del Capitolo 4, unitamente al punto di progetto; si verifica che il punto `e adeguatamente interno del dominio. Per progettare le staffe in modo da ottenere una duttilit`a non inferiore a 6, si deve progettare un quantitativo di staffe tale che: αωst ≥ 30μcmin εsy ν

b − 0,035 b0

196

Capitolo 5

1000 "Metodo Rigoroso" "Formulazione semplificata" Punto di Progetto

D

900 800

M (kNm)

700 600 C

E

500 400 300 200 100 A

−2000

−1000

0

0

ν=1

ν = 0,5

ν =0 1000

2000

3000

4000

B

5000

6000

N (kN) Figura 5.18 Dominio M-N per la sezione progettata.

Si ipotizza un copriferro netto di 20 mm e staffe del diametro di 8 mm; Risulta: b0 = 300 − 2 · 24 = 252 mm h0 = 800 − 2 · 24 = 752 mm da cui αωst ≥ 30μcmin εsy ν

b 300 − 0,035 = 0,0822 − 0,035 = 30 · 6 · 1, 86% · 0, 294 · b0 252

Ipotizzando in prima approssimazione α = 0,5, si ottiene: ωst ≥ 0, 164 Disponendo di una legatura intermedia nella direzione lunga e due nella direzione corta (fig. 5.19), trascurando nella resistenza i relativi ferri verticali perch´e di modesto diametro, si ha: pst = 4 · 252 + 3 · 752 = 1754 mm Vst = Ast · pst = 50,24 · 1754 = 88,121 mm2 Vst fyd 88,121 · 391,3 s≥ = = 78,3 mm b0 h0 σcd ωst 252 · 752 · 14,17 · 0,164 Si approssima tale passo a: s = 80 mm Per verifica si ha:  b2 4 · 1112 + 6 · 2412 i =1− = 0,650 αh = 1 − 6b0 h0 6 · 252 · 752 n

Duttilit` a e progetto di sezioni inflesse e pressoinflesse

197

252 111 111 5 φ 22 240,6

staffe φ 8 752

240,6

800

240,6 5 φ 22 300 Figura 5.19 Sezione progettata.



   s 80 s 80 1− = 0,797 1− = 1− 2b0 2h0 2 · 252 2 · 752 α = 0,650 · 0,797 = 0,518

αv =

1−

Ast pst fyd 88,121 · 391,3 = 0,1605 = b0 h0 sσcd 252 · 752 · 80 · 14,17 Da cui la seguente deformazione ultima del calcestruzzo confinato: ωst =

εccu = 3,5% + 0,1α · ωst = 3,5% + 0,1 · 0,518 · 0,1605 = 1,18% Per valutare la curvatura ultima si considera resistente il solo nucleo confinato, da cui: b 300 xu = 1,25hν = 1,25 · 800 · 0,294 = 350 mm b0 252 Le curvature in condizioni ultime e di snervamento valgono:  1 εconf in 1,18% = 3,37 · 10−5 mm−1 = cu = r u xu 350  1 2εsy 2 · 1,86 · 10−3 ∼ = = 5,17 · 10−6 mm−1 = r y h − 2c 800 − 2 · 40 Da cui si ottiene la seguente duttilit`a ultima, che soddisfa i requisiti di progetto: μ1/r =

(1/r)u 3,37 · 10−5 = = 6,52 > 6 (1/r)y 5,17 · 10−6

6 Stato Limite Ultimo per taglio

La sollecitazione tagliante `e presente nella maggior parte degli elementi strutturali ed `e generalmente accoppiata alla sollecitazione flessionale. Solo in casi isolati pu` o verificarsi la presenza di flessione in assenza di taglio (momento costante) ovvero la presenza di taglio in assenza di flessione (sezione a momento nullo). In generale, se la trave evidenzia una crisi per un momento flettente minore del corrispondente momento ultimo MRd si afferma che la crisi `e governata dal taglio. La prematura crisi a taglio conduce da un lato a una riduzione della capacit`a flessionale della trave ma soprattutto ne limita la capacit` a di deformazione in campo post-elastico; in tal senso, la crisi a taglio pu` o definirsi una crisi fragile. I meccanismi resistenti a taglio, infatti, non sono caratterizzati da elevati impegni plastici dell’acciaio di armatura ma coinvolgono soprattutto il calcestruzzo, sia in compressione sia in trazione, che possiede limitate capacit`a deformative rispetto all’acciaio. Pertanto, le crisi a taglio possono avvenire bruscamente con repentine cadute di resistenza e senza segni premonitori soprattutto in elementi privi di specifica armatura a taglio.

6.1 Trattazione elastica La teoria elastica relativa ai solidi omogenei e isotropi applicata agli elementi in c.a. conduce nell’ipotesi di sezione trasversale interamente reagente, ossia con calcestruzzo reagente a trazione, a valutazioni attendibili dello stato tensionale. Tuttavia, poich´e il taglio, V , non si presenta disaccoppiato dal momento flettente M la valutazione dello stato tensionale non pu` o prescindere dalla parzializzazione della sezione conseguente alla violazione della resistenza a trazione del calcestruzzo. L’estensione della trattazione elastica alla fase postfessurativa `e comunemente impiegata considerando la sezione reagente fessurata composta dal calcestruzzo compresso e dalle armature opportunamente omogeneizzate.

200

Capitolo 6

La classica trattazione elastica del taglio per elementi in c.a. si basa sulla teoria approssimata dello Jourawsky che consente di poter valutare, con riferimento alla sezione trasversale, la tensione tangenziale della generica corda assunta costante e pari al valor medio. Con riferimento a un concio di trave a sezione costante di lunghezza dz (fig. 6.1), `e possibile ricavare la tensione tangenziale τzy = τyz della generica corda mediante un equilibrio alla traslazione lungo z della parte di concio al di sopra o al di sotto della corda:   σz dA − (σz + dσz )dA + τyz bdz = 0 (6.1) Ac

Ac

dalla quale si ottiene:

 dσz dA = τyz bdz

(6.2)

Ac

D’altra parte `e possibile ricavare la tensione normale σz della generica fibra posta a una distanza y dall’asse baricentrico in funzione del momento flettente M e del momento di inerzia Ix della sezione rispetto all’asse baricentrico cos`ı come segue: dM dσz = y (6.3) Ix e tenendo conto che: dM = Vy dz

(6.4)

q

q M

M + dM

z Vy dz

V y+ dVy dz

y σz

σz + dσz

Ac corda τzy

τyz x

x

x

y dz Figura 6.1 Condizioni di equilibrio di un concio di trave.

b

h

Stato Limite Ultimo per taglio

la (6.2) diventa:

201



Vy dz ydA = τyz bdz (6.5) Ac Ix da cui:  Vy V y Sx τzy b = ydA = (6.6) Ix Ac Ix dove Sx `e il momento statico, rispetto all’asse baricentrico, della parte di sezione Ac al di sopra della corda. Pertanto, la tensione tangenziale τzy = τyz relativa alla generica corda pu` o esprimersi come: V y Sx (6.7) τzy = Ix b Nella Figura 6.2 sono riportate, con riferimento a una sezione rettangolare in c.a., le distribuzioni delle tensioni tangenziali τzy relative al caso di sezione interamente reagente e al caso di sezione parzializzata cio`e con calcestruzzo non reagente a trazione. A's

σc σ's /n

C

x

x

σs /n As

τmax

d*

T

σt (a)

A's

σc C

σ's /n

x

x d*

As

τmax

σs /n

T

(b) Figura 6.2 Distribuzione delle tensioni tangenziali su sezione rettangolare (a) interamente reagente, (b) parzializzata.

Per sezioni definite da una larghezza di corda b costante lungo l’altezza, la distribuzione delle tensioni tangenziali τzy attinge il suo valore massimo in

202

Capitolo 6

corrispondenza dell’asse baricentrico della sezione reagente: Vy Sx∗ Ix b

(τzy )max =

(6.8)

dove Sx∗ `e il momento statico, rispetto all’asse baricentrico della sezione reagente, della parte di sezione al di sopra della corda posta in corrispondenza dell’asse baricentrico. Si ricorda che nel caso di sollecitazione di flessione semplice l’asse baricentrico della sezione reagente coincide con l’asse neutro (cap. 3). Si osservi che al di sopra dell’asse neutro la risultante delle tensioni di compressione `e pari alla risultante di compressione C – uguale alla forza di trazione T – della Figura 6.2; cos`ı come le due parti superiore e inferiore della Figura 6.1, nel tratto elementare dz si scambiano, in corrispondenza del piano orizzontale definito dall’asse neutro, una forza elementare dQ pari a: dQ = dC = dT

(6.9)

che prende il nome di “forza elementare di scorrimento”, in quanto tende a far scorrere le due parti. Pertanto, la (6.2) pu` o essere riscritta direttamente come:  dσz dA = dC = dT = dQ = τyz bdz (6.10) Ac

Poich´e sussistono le seguenti relazioni, avendo introdotto il braccio della coppia interna d∗ (vedi anche Capitolo 4): C=

M d∗

Vy =

dC dM = d∗ dz dz

(6.11)

si trae direttamente che:

Vy (6.12) bd∗ La (6.8) e la (6.12) coincidono, potendosi dimostrare con considerazioni geometriche che: Ix (6.13) d∗ = ∗ Sx (τzy )max =

Si osservi inoltre che la forza elementare di scorrimento, valutata nel tratto dz, vale: Vy dz (6.14) dQ = ∗ d ` bene evidenziare che la (6.12) e la (6.14) sono ottenute senza alcuna ipotesi di E linearit` a dei materiali. Dunque valgono anche se i materiali escono dal campo elastico e verranno utilizzate nel seguito del capitolo, in condizioni di Stato Limite Ultimo. Per sezioni rettangolari di solo calcestruzzo e caratterizzate da una sezione interamente reagente il braccio della coppia interna risulta eguale a d∗ = 2/3h

Stato Limite Ultimo per taglio

203

con h altezza geometrica della sezione. Per sezioni rettangolari in c.a. e caratterizzate dalla parzializzazione del calcestruzzo, il braccio della coppia interna si pu` o calcolare in fase elastica in base alle formule illustrate nel Capitolo 3 (e risulta pari a (d − x)/3) e in fase non lineare secondo quanto illustrato nel Capitolo 4; in entrambi i casi risulta possibile assumere l’approssimazione d∗ ∼ = 0,9d con d altezza utile della sezione. ` possibile estendere le considerazioni sin ora fatte in termini puramente E sezionali all’intero elemento. Si faccia riferimento alla trave riportata nella Figura 6.3, e soggetta a un carico uniformemente distribuito q.

b

q σ

τ

σ

τ

isostatiche di trazione isostatiche di compressione (a) b

q

isostatiche di trazione isostatiche di compressione (b) Figura 6.3 Andamento delle linee isostatiche relative (a) al caso di sezione totalmente reagente, (b) sezione parzializzata.

Se l’entit` a del carico esterno `e modesta `e possibile ipotizzare che in nessun punto della trave venga violata la resistenza a trazione del calcestruzzo; in tal caso, il comportamento della generica sezione trasversale `e riconducibile a quello della sezione interamente reagente. Il taglio e il momento flettente

204

Capitolo 6

sono quindi equilibrati da un sistema di tensioni normali che si sviluppa nel calcestruzzo lungo delle direzioni principali, individuabili mediante le linee isostatiche, di trazione e compressione, tra loro ortogonali cos`ı come riportate ` facile osservare che lungo l’asse baricentrico (anche asse nella Figura 6.3a. E neutro) l’inclinazione delle isostatiche di compressione (ovvero di trazione) `e pari a 45◦ ; la presenza di sole tensioni tangenziali τ conduce a uno stato tensionale denominato di taglio puro. Al di sopra dell’asse baricentrico le isostatiche di compressione sono definite da inclinazioni via via minori sino a divenire orizzontali in corrispondenza della mezzeria della trave. La presenza congiunta di tensioni tangenziali τ e di tensioni normali σ di compressione riduce l’inclinazione della direzione principale di compressione; tale effetto `e tanto pi` u rilevante quanto maggiore `e l’entit` a della tensione normale di compressione. Viceversa, al di sotto dell’asse baricentrico le isostatiche di compressione sono caratterizzate da inclinazioni via via maggiori sino a divenire verticali all’intradosso della trave. Al crescere del carico le tensioni principali di trazione superano la resistenza a trazione del calcestruzzo fct con la conseguente formazione di fessure lungo direzioni ortogonali alle isostatiche di trazione ovvero lungo le isostatiche di compressione. In via teorica `e, quindi, possibile ipotizzare che il comportamento della generica sezione trasversale sia riconducibile a quello della sezione parzializzata. Analogamente al caso precedente si procede all’analisi delle linee isostatiche che si sviluppano nell’elemento (fig. 6.3b). In primo luogo l’asse baricentrico (asse neutro) della sezione parzializzata non coincide con l’asse geometrico della stessa; infatti, la parzializzazione della sezione conduce a un asse baricentrico pi` u alto. Inoltre, si registra un andamento singolare delle isostatiche presenti nella zona tesa della trave. L’ipotesi di calcestruzzo non reagente a trazione, infatti, conduce a uno stato tensionale nella zona al di sotto dell’asse baricentrico definito dalla presenza di sole tensioni tangenziali τzy con tensioni normali di trazione nulle; l’intera porzione di trave `e caratterizzata da uno stato tensionale di taglio puro. Le isostatiche di compressione ovvero di trazione sono cos`ı definite da una inclinazione costante e pari a 45◦ . Esempio 6.1 Con riferimento a una sezione rettangolare in solo calcestruzzo (fig. 6.4), si vuol determinare il diagramma delle tensioni tangenziali agenti lungo la sezione trasversale e sottoposta a una sollecitazione tagliante V = 100 kN. Le caratteristiche geometriche della sezione sono: • altezza geometrica h = 500 mm; • base b = 300 mm. La posizione dell’asse baricentrico rispetto al bordo maggiormente compresso `e pari alla semidimensione dell’altezza: x ¯ = 250 mm Il momento di inerzia Ix della sezione rispetto all’asse baricentrico `e valutato come:

205

500

Stato Limite Ultimo per taglio

300

Figura 6.4 Sezione in solo calcestruzzo.

Ix =

bh3 = 3125 · 106 mm4 12

La distribuzione delle tensioni tangenziali lungo l’altezza della sezione `e ricavata mediante la (6.7), ossia come: τzy =

V y Sx Ix b

dove Sx `e il momento statico rispetto all’asse baricentrico, della parte di sezione o al di sopra della corda distante y dal bordo compresso. Il momento statico Sx pu` esprimersi come:    h y − per 0 ≤ y ≤ h Sx = b · y · 2 2 L’espressione parabolica del momento statico attinge il proprio massimo per un valore di y = h/2 e risulta pari a: Sx∗ =

b · h2 8

La tensione tangenziale massima `e pertanto attinta in corrispondenza dell’asse baricentrico risultando:  b · h2 Vy · 10 000 Vy Sx∗ V 8 = 1,00 MPa y =  ·=  = (τzy )max = 3 2 2 b·h Ix b h 500 b· 300 · b· 3 3 12 dalla quale si evince che per sezioni rettangolari di solo calcestruzzo e caratterizzate da una sezione interamente reagente il braccio della coppia interna `e d∗ = 2/3h con h altezza geometrica della sezione.

206

Capitolo 6

Con riferimento alla sezione in c.a. riportata nella Figura 6.5, sottoposta a una sollecitazione tagliante V = 100 kN, si vuol determinare il diagramma delle tensioni tangenziali agenti lungo la sezione trasversale. Sono considerate entrambe le condizioni: sezione interamente reagente e sezione parzializzata. Le caratteristiche geometriche della sezione sono: • • • • • •

altezza geometrica h = 500 mm; altezza utile h = 460 mm; copriferro c = 40 mm; base b = 300 mm; armatura longitudinale superiore As = 2 φ 16 = 402 mm2 ; armatura longitudinale inferiore As = 4 φ 16 = 804 mm2 .

40

500

460

2 φ 16

4 φ 16 300

Figura 6.5 Sezione in c.a.

Si adotta un coefficiente di omogeneizzazione delle armature in acciaio rispetto al calcestruzzo compresso n = Es /Ec = 15 Caso di sezione interamente reagente La posizione dell’asse baricentrico `e determinata imponendo che il momento statico della sezione reagente rispetto all’asse baricentrico risulti: Sx =

bx2 b(h − x)2 + n · As · (x − c) − n · − n · As · (d − x) = 0 2 2

dove n `e il coefficiente di omogeneizzazione del calcestruzzo teso rispetto a quello compresso. Dalla precedente espressione si ottiene una equazione di 2◦ grado nell’incognita x da intendersi come la posizione dell’asse baricentrico rispetto al bordo maggiormente compresso. Nell’ipotesi di adottare un coefficiente di omogeneizzazione n = 1 la precedente espressione si semplifica in una equazione lineare

Stato Limite Ultimo per taglio

207

nell’incognita x. In particolare, la posizione dell’asse baricentrico rispetto al bordo maggiormente compresso risulta pari a: x ¯ = 257,53 mm Il momento di inerzia Ix della sezione reagente rispetto all’asse baricentrico `e valutato come: b¯ x3 b(h − x ¯ )3 + n · + n · As · (¯ x − c)2 + n · As · (h − x ¯)2 = 3 3 300 · (500 − 257,53)3 300 · 257,533 +1· + 15 · 402 · (257,53 − 40)2 + = 3 3 + 15 · 804 · (460 − 257,53)2 = 3913 · 106 mm4

Ix =

La distribuzione delle tensioni tangenziali lungo l’altezza della sezione `e ricavata mediante la (6.7), ossia come: τzy =

V y Sx Ix b

dove Sx `e il momento statico rispetto all’asse baricentrico, della parte di sezione al di sopra della corda distante y dal bordo compresso. In particolare, il momento o cos`ı esprimersi: statico Sx pu` )

y * per 0 ≤ y ≤ c ¯− Sx = b · y · x 2 )

* y + n · As · (¯ ¯− x − c) per c ≤ y ≤ d Sx = b · y · x 2 )

* y + n · As · (¯ ¯− x − c) − n · As · (h − x ¯) per d ≤ y ≤ h Sx = b · y · x 2 Nella Figura 6.6a `e riportato il diagramma delle tensioni tangenziali. L’andamento parabolico `e da imputarsi alla funzione momento statico Sx . Quest’ultima in x −c)] causato prossimit`a del copriferro superiore registra un incremento [n · As ·(¯ dalla presenza dell’armatura superiore omogeneizzata mentre in prossimit`a del co¯)] causato dalla presenza priferro inferiore registra un decremento [n · As · (h − x dell’armatura inferiore omogeneizzata. La massima tensione tangenziale pu` o valutarsi come: (τzy )max =

Vy Vy Sx∗ = ∗ Ix b bd

dove d∗ , definito braccio della coppia interna, `e pari al rapporto tra il momento di inerzia Ix e il momento statico Sx∗ , rispetto all’asse baricentrico della sezione reagente, della parte di sezione al di sopra della corda posta in corrispondenza dell’asse baricentrico, ossia:

208

Capitolo 6

d∗ =

Ix = Sx∗

Ix

= x ¯  + n · As · (¯ b· x − c) 2 3913 · 106  = 347,53 mm = 257,532 + 15 · 402 · (257,53 − 40) 300 · 2 2

che per effetto della presenza delle armature risulta circa pari a d∗ ∼ = 0,70 · h ossia maggiore di d∗ = 2/3 · h. (a) 0,00 0

0,25

0,50

0,75 1,00 copriferro

50

1,25

1,50

τ (MPa)

(y = 40 mm)

100 150 asse baricentrico

200 τmax = 0,96 MPa

250

(y = 257,53 mm)

300 350 400

y (mm)

altezza utile

450

(y = 460 mm)

500 (b) 0,00 0

0,25

0,50

0,75

1,00

copriferro

50

1,25 τ (MPa)

(y = 40 mm)

100

asse baricentrico

150

(y = 145,19 mm)

200

1,50

τmax = 0,81 MPa

250 300 350 400 450 500

y (mm)

altezza utile (y = 460 mm)

Figura 6.6 Distribuzione delle tensioni tangenziali: (a) sezione interamente reagente, (b) sezione parzializzata.

Stato Limite Ultimo per taglio

209

La tensione tangenziale massima `e pertanto pari a: (τzy )max =

Vy 100 000 = 0,96 MPa = ∗ bd 300 · 347,53

Caso di sezione parzializzata La posizione dell’asse neutro (asse baricentrico della sezione reagente in caso di flessione semplice) `e determinata imponendo che il momento statico della sezione reagente rispetto all’asse neutro risulti: bx2 + n · As · (x − c) − n · As · (d − x) = 0 2 dalla quale si ottiene una equazione di 2◦ grado nell’incognita x da intendersi come la posizione dell’asse neutro rispetto al bordo maggiormente compresso. La radice positiva risulta pari a: Sx =

x ¯ = 145,19 mm Il momento di inerzia Ix `e valutato come: Ix = =

b¯ x3 + n · As · (¯ x − c)2 + n · As · (d − x ¯)2 = 3 300 · 145,193 + 15 · 402 · (145,19 − 40)2 + 15 · 804 · (460 − 145,19)2 = 3

= 1568 · 106 mm4 La distribuzione delle tensioni tangenziali lungo l’altezza della sezione `e ricavata mediante la (6.7) ossia come: V y Sx τzy = Ix b dove Sx `e il momento statico rispetto all’asse baricentrico della parte di sezione al di sopra della corda distante y dal bordo compresso. In particolare, il momento o cos`ı esprimersi: statico Sx pu` )

y * per 0 ≤ y ≤ c ¯− Sx = b · y · x 2 )

* y + n · As · (¯ ¯− x − c) per c ≤ y ≤ x ¯ Sx = b · y · x 2   x ¯2  Sx = b · x − c) per x ¯≤y≤d + n · As · (¯ 2 Nella Figura 6.6b `e riportato il diagramma delle tensioni tangenziali. L’andamento parabolico sino all’asse neutro `e da imputarsi alla funzione momento statico Sx . Quest’ultima in prossimit`a del copriferro superiore registra un incremenx − c)] causato dalla presenza dell’armatura superiore omogeneizzato [n · As · (¯

210

Capitolo 6

ta mentre rimane costante al di sotto dell’asse neutro dove il calcestruzzo non reagisce. In maniera analoga, la massima tensione tangenziale pu` o valutarsi come: (τzy )max =

Vy Vy Sx∗ = ∗ Ix b bd

dove il braccio della coppia interna d∗ `e pari: d∗ =

Ix = Sx∗

Ix

= x ¯ + n · As · (¯ x − c) 2 1568 · 106  = 413,00 mm = 145,192 + 15 · 402 · (145,19 − 40) 300 · 2 b·

2

circa pari a d∗ ∼ = 0,90 · d. La tensione tangenziale massima `e pertanto pari a: (τzy )max =

Vy 100 000 = 0,81 MPa = ∗ bd 300 · 413,00

6.2 Travi senza armatura a taglio Il meccanismo resistente di travi in calcestruzzo armate solo longitudinalmente risulta, in realt` a, di non facile interpretzione; infatti, l’insorgere delle prime fessure, conduce a una ridistribuzione tensionale dipendente da numerosi fattori. La formazione delle fessure avviene in corrispondenza del superamento da parte delle tensioni principali della resistenza a trazione del calcestruzzo. Nelle zone caratterizzate da un regime prevalentemente flessionale si registra la presenza di fessure verticali mentre nelle zone di massimo taglio si rileva la formazione di fessure inclinate a 45◦ ; queste ultime salvo rare eccezioni sono l’estensione di fessure flessionali. Inoltre, la presenza di fessure per ritiro e la ridistribuzione dello sforzo di taglio in seguito all’insorgere di fessure flessionali conduce a una prematura comparsa di fessure inclinate rispetto all’analisi delle tensioni principali. Tuttavia, dopo l’instaurarsi della fessurazione, lo studio delle direzioni e delle tensioni principali `e di scarsa rilevanza, dato che si sviluppano meccanismi resistenti totalmente differenti. Per tal motivo, si premette, che stante la complessit`a del fenomeno e i numerosi parametri in gioco le espressioni di capacit`a proposte in letteratura sono in genere di natura semisperimentale.

Stato Limite Ultimo per taglio

211

La capacit`a tagliante di travi non armate trasversalmente pu` o ricondursi principalmente a due meccanismi tra loro interagenti come riportato nella Figura 6.7. C

C

ΔT V

T

T V

(a)

(b)

Figura 6.7 Meccanismi resistenti a taglio: (a) meccanismo a trave, (b) meccanismo ad arco.

La fessurazione della trave divide la zona tesa in blocchi facilmente individuabili da due fessure consecutive. I singoli blocchi possono riguardarsi come mensole incastrate nella zona compressa della trave e collegate tra loro dall’armatura longitudinale tesa; tale comportamento `e denominato effetto “pettine”. La singola mensola (o dente) `e sollecitata da una forza di scorrimento Q: Q = T − (T − ΔT ) = ΔT

(6.15)

indotta dalla variazione dello sforzo di trazione dell’armatura longitudinale lungo lo sviluppo della trave. Nell’ipotesi di un meccanismo a trave la forza di scorrimento Q `e indotta dalla variazione del momento flettente ΔM e come gi`a indicato dalla (6.14) risulta facilmente riconducibile al taglio V , come: Q = ΔT =

V Δz ΔM = d∗ d∗

(6.16)

con d∗ braccio della coppia interna e Δz lunghezza di un tratto di trave. Il generico dente pu` o quindi schematizzarsi come una mensola incastrata nel corrente compresso della trave e sollecitato dalla forza di scorrimento Q. Per effetto della forza di scorrimento Q, nella sezione di incastro del dente, si viene a instaurare uno stato di sollecitazione che pu` o condurre alla crisi della sezione per superamento della resistenza a trazione del calcestruzzo. L’azione prodotta dalla forza di scorrimento `e contrastata da una serie di meccanismi resistenti (fig. 6.8) che garantiscono l’equilibrio del dente quali: • la resistenza offerta dalla sezione di incastro; • le azioni mutue che sorgono all’interfaccia della fessura, Vai ; • l’azione di spinotto esercitata dalle barre longitudinali in corrispondenza della fessura, Vd . A integrazione di tali meccanismi, che si innescano solo in presenza di una fessura, va considerato il meccanismo costituito dalle tensioni tangenziali presenti nel calcestruzzo non fessurato della zona compressa, Vcz . Il contributo

212

Capitolo 6

di tale meccanismo `e connesso all’entit` a dell’asse neutro; la presenza di uno sforzo assiale contribuisce all’incremento di siffatto meccanismo. Nin C Vcz d

Vai,2 T−ΔT

T Vd

θ

V

Vai,1

d*

Vai

Min

Vin

Vd,1

T Vd,2

d* cot θ Figura 6.8 Meccanismo a trave: contributi resistenti a taglio.

Il trasferimento del taglio all’interfaccia della fessura `e dovuto principalmente all’ingranamento degli inerti presenti all’interfaccia della fessura. Infatti, la superficie fessurata non si presenta liscia e la presenza degli inerti contribuisce all’instaurarsi di una azione mutua che si oppone allo scorrimento relativo dei due conci di trave. Tale meccanismo dipende da numerosi fattori quali l’area di contatto, l’ampiezza della fessura, la presenza di tensioni normali nonch´e le caratteristiche degli inerti. Il meccanismo si instaura solo se si registra uno spostamento relativo lungo la fessura, cos`ı come riportato nella Figura 6.9a. w δ Vai

Vai δ w

(a)

(b)

Figura 6.9 Contributo dovuto (a) all’ingranamento degli inerti e (b) all’effetto spinotto.

Il contributo dell’effetto spinotto (fig. 6.9b) dipende principalmente dall’ammontare dell’armatura longitudinale; infatti, la resistenza a taglio aumenta all’aumentare della percentuale geometrica di armatura longitudinale. A parit` a di carico esterno e all’aumentare della percentuale di armatura diminuisce la richiesta deformativa della stessa; ci` o conduce a una minore ampiezza della fessura incrementando i contributi ad essa connessa come l’ingranamento

Stato Limite Ultimo per taglio

213

degli inerti e l’effetto spinotto. Tuttavia, il contributo dovuto all’effetto spinotto risulta in genere limitato dalla resistenza a trazione del copriferro in calcestruzzo, che rappresenta l’unico vincolo in assenza di staffe. Il meccanismo ad arco consente di trasferire una aliquota del taglio direttamente nella sezione di appoggio attraverso compressioni inclinate (fig. 6.10). L’effetto arco `e principalmente governato da parametri dimensionali della trave. In particolare, il contributo dell’effetto arco aumenta al diminuire del rapporto (a/d) dove a `e la luce di taglio, ossia la distanza tra l’appoggio e la sezione di taglio nullo mentre d `e l’altezza utile della sezione. Tale fenomeno risulta significativo per travi definite da un rapporto (a/d) ≤ 2,5. V C

d jd T V a Figura 6.10 Meccanismo ad arco.

Le risultanze sperimentali hanno, inoltre, identificato i principali parametri che mostrano una significativa influenza sui menzionati meccanismi resistenti a taglio: resistenza del calcestruzzo, effetto scala, presenza di sforzo assiale ecc. La resistenza a taglio aumenta con la resistenza a compressione del calcestruzzo. Nelle principali normative internazionali la resistenza a taglio `e solitamente proporzionale a (fc )α con α compreso nell’intervallo (0,33 ÷ 0,50); risulta verosimile ipotizzare che il parametro che governa il fenomeno `e la resistenza a trazione del calcestruzzo. Il fenomeno dell’effetto scala (size effect) evidenzia una diminuzione della resistenza a taglio all’aumentare dell’altezza della sezione; numerose prove sperimentali (Kani, 1967; Shioya et al., 1989) dimostrano tale effetto. Le cause vanno ricercate nella riduzione del contributo connesso all’ingranamento degli inerti causato dalla elevata ampiezza della fessura che caratterizza travi di maggiore altezza (Bazant et al. 1989; Reineck, 1990, 1991; Collins et al., 1998). Risulta evidente che l’utilizzo di formulazioni semi-empiriche `e indispensabile per lo sviluppo di procedure progettuali di elementi in c.a. senza armature a taglio.

214

Capitolo 6

La prima formulazione utilizzata in sede progettuale si basava sulla semplice limitazione della tensione principale di trazione ση alla resistenza a trazione del calcestruzzo fct . Nell’ipotesi di un comportamento elastico e di sezione parzializzata la tensione principale di trazione pu` o valutarsi come: ση = τ =

V ≤ fct 0,9 · b · d

(6.17)

dove b `e la base della sezione trasversale e d la sua altezza utile. Le attuali formulazioni semi-empiriche finalizzate alla valutazione del taglio resistente, VR , e adottate dalla maggior parte dei codici normativi sono riconducibili alla seguente espressione (Zsutty, 1971): 1/3  d b·d (6.18) VR = 2,2 fc · ρl · a nella quale si possono scorgere i contributi legati alla resistenza del calcestruzzo fc , all’ammontare della percentuale geometrica di armatura longitudinale ρl e all’effetto arco attraverso il parametro (a/d). Solo pi` u tardi si `e preso in considerazione l’effetto scala (ovvero l’ingranamento degli inerti) attraverso la formulazione (Okamura, 1980): 1/3  1,40 (100 · ρl · fc )1/3 0,75 + b·d (6.19) VR = 0,2 (d/1000)1/4 a/d mediante il parametro (d/1000)1/4 . La normativa italiana NTC 2008 consente l’impiego di elementi sprovvisti di armature trasversali resistenti a taglio per solette, piastre e membrature a comportamento analogo, a condizione che questi elementi abbiano sufficiente capacit`a di ripartire i carichi trasversalmente, mentre per gli elementi monodimensionali sono prescritti quantitativi minimi di armatura trasversale. Nel seguito si fa riferimento al calcolo allo Stato Limite Ultimo effettuato secondo le indicazioni della NTC 2008 che `e pressoch´e coincidente con l’EC2 2004. Il taglio resistente di progetto VRd , di un elemento fessurato `e fornito dalla seguente formula: & % 1/3 0,18 · k · (100 · ρl · fck ) (6.20) + 0,15 · σcp · b · d VRd = γc con un minimo pari a: VRd ≥ VRd,min = (vmin + 0,15 · σcp ) · b · d dove:

200 ≤ 2; d 1/2 = 0,035k 3/2 ·f ck ;

• k =1+ • vmin



(6.21)

Stato Limite Ultimo per taglio

215

• • • • •

d `e l’altezza utile della sezione (in mm); b `e la larghezza minima della sezione (in mm); NSd `e lo sforzo assiale di progetto (in N); Ac `e l’area della sezione di solo calcestruzzo (in mm2 ) ρl = Asl /(b · d) ≤ 0,02 `e la percentuale geometrica di armatura longitudinale; • σcp = NSd /Ac ≤ 0,2fcd `e la tensione media di compressione della sezione (compressione positiva). ` interessante osservare come sia possibile ricondurre ciascun termine delE la (6.20) ai meccanismi resistenti precedentemente discussi: il termine (fck )1/3 al contributo legato alla resistenza del calcestruzzo (reazione della sezione di incastro); k all’effetto scala ossia al contributo offerto dall’ingranamento degli inerti; ρl all’azione spinotto dell’armatura longitudinale e infine 0,15 · σcp alla presenza dello sforzo assiale che incrementa il contributo offerto dalle tensioni tangenziali nel calcestruzzo della zona compressa. Esempio 6.2 Al fine di esemplificare il calcolo della resistenza a taglio di travi non armate si effettua la verifica a taglio di un solaio latero-cementizio riportato nella Figura 6.11, di caratteristiche geometriche: • • • • • • •

luce di calcolo L = 5,00 m; altezza geometrica h = 240 mm; altezza utile d = 210 mm; copriferro c = 30 mm; interasse travetti i = 500 mm; spessore travetti t = 100 mm; altezza soletta s = 40 mm.

Sono impiegati un calcestruzzo di classe 25/30, caratterizzato da • fck = 25 MPa; • σcd = 0,85 · 25/1,50 = 14,17 MPa; e un acciaio B450C, caratterizzato da fyk = 450 MPa

fyd = fyk /γs = 391,30 MPa

Es = 210 000 MPa

Dall’analisi dei carichi permanenti strutturali e non strutturali deriva che i carichi agenti su una striscia di solaio di 1,00 m di larghezza (comprensiva di due travetti) risultano: G1 = 3,30 kNm−1 G2 = 1,70 kNm−1

216

Capitolo 6

500 mm

500 mm

1 φ 12

2 φ 12

2 φ 12

200

240

1 φ 12

40

L = 5000 mm

200 100

400

100 200

Figura 6.11 Solaio latero-cementizio.

mentre dall’uso residenziale del manufatto deriva che il carico variabile caratteristico `e pari: Qk = 2,00 kNm−1 Pertanto, il carico da considerare allo SLU `e: Fd = γG1 G1 + γG2 G2 + γQ Qk = 1,30 · 3,30 + 1,50 · 1,70 + 1,5 · 2,00 = 9,84 kNm−1 Il progetto a flessione del solaio conduce a una: • armatura inferiore per singolo travetto in mezzeria: As = 2 φ 12 mm = 226 mm2 ; • armatura inferiore per singolo travetto all’appoggio: As = 1 φ 12 mm = 113 mm2 . Il taglio massimo valutato a filo della trave a spessore (z = 0,25 m) vale: Fd · L 9,84 · 5,00 − Fd · z = − 9,84 · 0,25 = 22,14 kN 2 2 mentre il taglio massimo per travetto `e pari: VSd =

1 · 22,14 = 11,07 kN 2 La valutazione del taglio resistente per singolo travetto `e effettuata mediante la (6.20) ossia: % & 1/3 0,18 · k · (100 · ρl · fck ) + 0,15 · σcp · b · d VRd = γc VSd =

Stato Limite Ultimo per taglio

217

In relazione alle caratteristiche geometriche, di armatura e dei materiali si specializzano i singoli parametri che caratterizzano la formulazione del taglio resistente: • la base b `e assunta pari allo spessore del singolo travetto, B = t = 100 mm; • l’altezza utile d `e assunta uguale a d = (h − c) = (240 − 30) = 210 mm; • il fattore k:   200 200 =1+ = 1,98; k =1+ d 210 • la percentuale geometrica di armatura ρl in prossimit`a dell’appoggio: ρl =

113 As = = 0,00538; b·d 100 · 210

• la resistenza caratteristica cilindrica a compressione fck = 25 MPa; • il fattore parziale di sicurezza del calcestruzzo γc = 1,50; • la tensione media a compressione della sezione, essendo NSd = 0, risulta σcp = 0,00. Per cui si ottiene: & % 1/3 0,18 · 1,98 · (100 · 0,00538 · 25) · 100 · 210 = 11 764 N = 11,76 kN VRd = 1,50 ` necessario verificare che tale risultato risulti non minore di: E VRd,min = (vmin + 0,15 · σcp ) · b · d con: vmin = 0,035k 3/2 ·f ck = 0,0035 · 1,983/2 · 251/2 = 0,49 Nmm−2 1/2

da cui deriva che: VRd,min = 0,488 · 100 · 210 = 10 248 N = 10,25 kN ≤ VRd = 11,76 kN Il confronto tra la sollecitazione tagliante VSd e la resistenza a taglio VRd : VRd = 11,76 kN > VSd = 11,07 kN consente di affermare che la verifica a taglio `e soddisfatta.

218

Capitolo 6

6.3 Travi armate a taglio La presenza di apposite armature trasversali conduce a un incremento della capacit`a portante della trave. L’armatura trasversale migliora i contributi resistenti del meccanismo a trave in quanto costituisce un collegamento tra i blocchi (denti), individuati tra due fessure consecutive, trasformandole in mensole reciprocamente vincolate. In particolare, incrementa il contributo dell’effetto spinotto, mediante un’azione di vincolo sull’armatura longitudinale; limita l’apertura delle fessure diagonali, aumentando l’effetto dell’ingranamento; produce un’azione di confinamento sul calcestruzzo compresso migliorando la resistenza a compressione delle zone interessate dall’effetto arco. La presenza di armatura trasversale consente soprattutto di incrementare ulteriormente la resistenza alla forza di scorrimento Q mediante un meccanismo denominato “a traliccio”. La forza di scorrimento Q viene assorbita da un semplice meccanismo puntone e tirante (strut and tie), ossia con una risultante di trazione che insorge nelle armature trasversali e una azione di compressione inclinata di θ che agisce all’interno del dente individuato da due fessure consecutive (fig. 6.12).

Ss

Sc Sc T − ΔT

T

Ss

Q = ΔT

Figura 6.12 Meccanismo di strut and tie, dovuto alla presenza di armatura trasversale.

I modelli a traliccio rappresentano complessivamente uno strumento progettuale molto efficace e consentono una visualizzazione fisica dei meccanismi resistenti considerando contemporaneamente gli effetti di taglio e flessione. Nel seguito sono presentati due modelli a traliccio: il meccanismo di RitterM¨orsch, da considerarsi storicamente il primo dei meccanismi a traliccio e il traliccio a inclinazione variabile da considerarsi tra i pi` u significativi e moderni che conduce a soluzioni progettuali maggiormente economiche. 6.3.1 Meccanismo di Ritter-M¨ orsch Ritter (1899) e M¨ orsch (1902) postulano in maniera indipendente che il meccanismo di una trave in c.a., successivamente alla formazione di fessure diagonali, si possa direttamente dedurre dal suo comportamento post-fessurativo come riportato nella Figura 6.13a.

Stato Limite Ultimo per taglio

219

(a) V

a

V

c

a V

V (b) corrente compresso

θ

armatura a taglio

α corrente teso

biella compressa

Figura 6.13 Meccanismo resistente di travi armate a taglio: (a) quadro fessurativo di una trave soggetta a taglio e flessione, (b) idealizzazione del meccanismo reticolare.

La trave viene schematizzata come una trave reticolare ideale. L’asse neutro, sin dove si propagano le lesioni che partono dal lembo inferiore dell’elemento, individua il corrente compresso, l’armatura inferiore rappresenta il corrente teso e le bielle compresse di calcestruzzo delimitate dalle fessure costituiscono le aste diagonali. Le armature trasversali disposte completano la struttura reticolare resistente, dando luogo alla schematizzazione indicata nella Figura 6.13b. L’inclinazione delle bielle compresse, individuata dall’andamento delle isostatiche di compressione, `e posta pari a θ = 45◦ mentre le armature sono inclinate di α. L’assunzione sull’inclinazione delle bielle risulta compatibile con l’andamento delle isostatiche di compressione presenti in una trave in c.a. nell’ipotesi di calcestruzzo non reagente a trazione. Inoltre, le aste del traliccio si considerano tutte incernierate nei nodi, sicch´e `e particolarmente semplice calcolare gli sforzi che esse sono chiamate ad assorbire. Se si fa riferimento alla maglia elementare della struttura reticolare della Figura 6.14 di lunghezza Δz e si indica con d∗ il braccio della coppia interna, lo sforzo Q che sollecita i due correnti ha il seguente valore gi` a introdotto con la (6.16):

220

Capitolo 6

C+ΔC

C α

M

M+ΔM

d*

θ

Sc

Ss

θ

α Q

T

T+ΔT Δz

Figura 6.14 Maglia elementare della struttura reticolare.

ΔM V · Δz = (6.22) d∗ d∗ Dall’applicazione del teorema dei seni `e possibile calcolare gli sforzi nelle diagonali compressa e tesa, ottenendo: Q = ΔC = ΔT =

sin α sin(α + θ) sin θ Ss = Q · sin(α + θ) Sc = Q ·

Nell’ipotesi di Ritter-M¨ orsch di θ = 45◦ , la (16) e la (17) divengono: √ √ 2·Q sin α = Sc = 2 · Q · sin α + cos α 1 + cot α Q Ss = sin α + cos α

(6.23) (6.24)

(6.25) (6.26)

Le espressioni (6.25) e (6.26) si semplificano ulteriormente se le armature a taglio sono costituite da sole staffe (α = 90◦ ): √ Sc = 2 · Q (6.27) (6.28) Ss = Q Nel caso di armature trasversali costituite da soli ferri sagomati (α = 45◦ ) gli sforzi assorbiti rispettivamente dal diagonale compresso Sc e da quello teso Ss divengono uguali e pari a: √ 2·Q (6.29) Sc = √2 2·Q (6.30) Ss = 2 Infine, ricordando la (6.22) `e possibile valutare dalla (6.25) l’aliquota del taglio Vc assorbito dal puntone compresso e dalla (6.26) l’aliquota del taglio Vs assorbita dall’armatura trasversale:

Stato Limite Ultimo per taglio

1 + cot α d∗ √ Sc 2 Δz d∗ Vs = (sin α + cos α) Ss Δz Vc =

221

(6.31) (6.32)

ricavate nell’ipotesi di θ = 45◦ . ` possibile muovere una serie di considerazioni critiche sull’analogia adotE tata da Ritter-M¨ orsch che sono alla base delle successive variazioni del modello originale. Nel meccanismo di Ritter-M¨orsch il traliccio `e considerato l’unico meccanismo con cui una trave fessurata `e in grado di resistere; tale assunzione conduce a non considerare il taglio sopportato dalla zona compressa Vcz , dall’ingranamento degli inerti Vai e dall’effetto spinotto Vd . Per ovviare a tale inconveniente, nelle verifiche allo SLU la resistenza a taglio si ottiene sommando all’aliquota del taglio assorbito dall’armatura trasversale (meccanismo a traliccio) l’aliquota assorbita dai meccanismi di resistenza del calcestruzzo. Tuttavia, tale soluzione risulta inconsistente in quanto lungo le direzioni principali di compressione possono esplicarsi solo tensioni normali; pertanto, non risulta corretto tener conto di ulteriori contributi tangenziali prodotti dai meccanismi resistenti del calcestruzzo. Tale risultato `e subordinato all’ipotesi che le isostatiche di compressione risultino inclinate di 45◦ rispetto all’asse geometrico dell’elemento mentre le evidenze sperimentali hanno mostrato inclinazioni di valore inferiore. ` proprio l’insorgere dei meccanismi resistenti del calcestruzzo che conduE ce a una inclinazione del campo di compressione diagonale minore di 45◦ . Pertanto, nell’ipotesi di considerare variabile l’inclinazione dei puntoni compressi e coincidente con le reali linee isostatiche di compressione `e possibile affidare la resistenza a taglio al solo contributo delle armature trasversali senza considerare in maniera approssimata alcun contributo resistente del calcestruzzo. Tale assunzione caratterizza il meccanismo a traliccio a inclinazione variabile. 6.3.2 Meccanismo a inclinazione variabile In alternativa al procedimento illustrato nel paragrafo precedente, nella letteratura tecnica `e stato introdotto il traliccio a inclinazione variabile, che si ritiene fornisca una stima pi` u realistica della capacit`a portante a taglio. Una prima impostazione del metodo, che deriva dalla teoria della plasticit`a, si basa sull’ipotesi che l’inclinazione delle fessure a taglio coincida con l’inclinazione delle direzioni principali a compressione. In questo modo non vi `e tensione tangenziale agente lungo le fessure e, quindi, non vi `e contributo del calcestruzzo alla capacit`a portante a taglio. L’inclinazione delle bielle compresse, definita dall’angolo θ, `e peraltro condizionata dal reale comportamento a rottura dell’elemento strutturale che dipende dalle condizioni di carico e soprattutto dai dettagli costruttivi.

222

Capitolo 6

Con riferimento alla maglia elementare della struttura reticolare rappresentata nella Figura 6.15 si analizza in primo luogo la resistenza degli elementi diagonali del traliccio. fessure diagonali

armature a taglio corrente compresso

θ d*

σξ

α

tensioni principali di compressione

Δz

corrente teso t = Δ z . sinθ

Figura 6.15 Meccanismo a inclinazione variabile: maglia elementare.

Si ha la crisi della biella compressa quando si verifica: Scd = b · t · αc · ν · σcd = b · (Δz · sin θ) · αc · ν · σcd

(6.33)

essendo: t = Δz · sin θ Il coefficiente ν, tiene conto della reale distribuzione delle tensioni lungo la biella (che in realt` a `e inflessa); la normativa italiana prescrive ν = 0,50. Il coefficiente αc tiene conto degli effetti dovuti alla presenza di uno sforzo assiale di compressione; la normativa italiana prescrive che αc sia: • • • •

αc αc αc αc

= 1 per membrature non compresse; = 1 + σcp /σcd per 0 ≤ σcp < 0,25; = 1,25 per 0,25σcd ≤ σcp ≤ 0,50σcd ; = 2,50(1 − σcp /σcd ) per 0,50fcd ≤ σcp ≤ σcd ;

dove σcp `e la tensione media di compressione della sezione. Nella Figura 6.16 `e riportato l’andamento del coefficiente αc con la tensione adimensionalizzata (σcp /σcd ). Ricordando la (6.22) e la (6.23) `e possibile porre in relazione lo sforzo assorbito dalla biella compressa Sc con l’azione tagliante V : Sc =

V · Δz sin α · ∗ d sin(α + θ)

(6.34)

Stato Limite Ultimo per taglio

223

1,50 αc 1,25 1,00 0,75 0,50 0,25 σcp/ σcd 0,00 0,0

0,25

0,50

0.,75

1,00

1,25

Figura 6.16 Andamento del coefficiente αc .

Uguagliando la (6.33) con la (6.34): Scd = b · Δz · sin θ · αc · ν · σcd = Sc =

VRcd · Δz sin α · ∗ d sin(α + θ)

(6.35)

si ricava il taglio VRcd che provoca la crisi della biella compressa (tagliocompressione): VRcd = b·d∗ ·ν·αc ·σcd ·sin2 θ·(cot α+cot θ) = b·d∗ ·ν·αc ·σcd ·

cot α + cot θ (6.36) 1 + cot2 θ

In presenza di sole staffe (α = 90◦ ) la (6.36) diviene: VRcd = b · d∗ · αc · ν · σcd

1 cot θ + tan θ

(6.37)

La massima resistenza si ha per θ = 45◦ ; qualora il taglio esterno VSd abbia valore inferiore a VRcd calcolato per θ = 45◦ si possono avere soluzioni equilibrate con θ < 45◦ . In maniera analoga si ha la crisi dell’armatura trasversale, con il raggiungimento della tensione di snervamento, quando risulta: Ssd = Ωsw · fyd

(6.38)

essendo Ωsw l’armatura trasversale disposta nel tratto Δz. Indicando con Asw l’area della singola armatura trasversale, l’area Ωsw pu` o valutarsi come Ωsw = Asw · Δz/s dove s sta a indicare la distanza tra due armature trasversali consecutive (passo).

224

Capitolo 6

D’altra parte, ricordando la (6.22) e la (6.24) `e possibile porre in relazione lo sforzo assorbito dalla armatura trasversale Ss con l’azione tagliante V : V · Δz sin θ (6.39) · Ss = ∗ d sin(α + θ) Uguagliando la (8.30) con la (6.39): Ssd =

Asw · Δz VRsd · Δz sin θ · fyd = Ss = · ∗ s d sin(α + θ)

(6.40)

si ricava il taglio VRsd che determina la crisi delle armature (taglio-trazione): VRsd = Asw · fyd ·

d∗ · sin α · (cot α + cot θ) s

(6.41)

Se l’armatura trasversale `e costituita da sole staffe (α = 90◦ ) la (6.41) diviene: d∗ · cot θ (6.42) VRsd = Asw · fyd · s La (6.42) fornisce una resistenza decrescente all’aumentare dell’inclinazione θ. La normativa italiana prescrive che l’inclinazione θ dei puntoni di calcestruzzo rispetto all’asse della trave rispetti i seguenti limiti: 1 ≤ cot θ ≤ 2,5

(6.43)

45◦ ≥ θ ≥ 21,81◦

(6.44)

corrispondente a un angolo θ:

Pu` o essere conveniente procedere alle seguenti adimensionalizzazioni dividendo per b · d∗ · σcd : • il taglio sollecitante VSd tSd =

VSd b · d∗ · σcd

(6.45)

• il taglio compressione VRcd fornito dalla (6.36) tRcd = ν · αc ·

cot α + cot θ 1 + cot2 θ

(6.46)

Stato Limite Ultimo per taglio

225

• il taglio trazione VRsd fornito dalla (6.42) tRsd =

Asw · fyd · sin α · (cot α + cot θ) = ωsw · sin α · (cot α + cot θ) (6.47) b · s · σcd

dove ωsw individua la percentuale meccanica di armatura trasversale. La crisi contemporanea delle bielle di calcestruzzo a compressione e dell’armatura a taglio per trazione avviene se si verifica: tRcd = tRsd

(6.48)

che ricordando la (6.46) e la (6.47) diviene: ν · αc ·

cot α + cot θ = ωsw · sin α · (cot α + cot θ) 1 + cot2 θ

(6.49)

Nel caso di armature trasversali costituite da sole staffe (α = 90◦ ) la (6.49) pu` o scriversi: 1 = ωsw · cot θ (6.50) ν · αc · tan θ + cot θ dalla quale `e possibile ricavare la cot θ in corrispondenza della quale si registra la contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo e dell’armatura a taglio:  ν · αc −1 (6.51) cot θ = ωsw Nella Figura 6.17 `e riportato l’andamento della tRcd e tRsd , fornite rispettivamente dalla (6.46) e dalla (6.47), nell’ipotesi di membratura non compressa (αc = 1), di armatura trasversale costituita da sole staffe (α = 90◦ ) e ricordando che la normativa italiana prescrive ν = 0,50. Il taglio-trazione adimensionalizzato tRsd `e valutato per diversi valori della percentuale meccanica dell’armatura trasversale ωsw . ` palese osservare che per bassi valori ωsw (0,03 ÷ 0,06), la resistenza miE nima, nell’intervallo di definizione dell’angolo di inclinazione θ indicato dalla normativa italiana, `e da attribuirsi all’armatura trasversale. Viceversa, al crescere della percentuale meccanica di armatura trasversale ωsw , per elevati valori di θ compresi nell’intervallo di prescrizione, la minima resistenza `e attribuibile alla crisi delle bielle compresse. In generale, la resistenza a taglio di una trave armata `e fornita dalla minore tra la resistenza a taglio-compressione e quella a taglio-trazione: VRd = min(VRsd , VRcd )

(6.52)

La verifica di resistenza `e soddisfatta se la resistenza a taglio VRd risulta non minore della corrispondente azione tagliante di progetto VSd : VRd ≥ VSd

(6.53)

226

Capitolo 6

0,30

t Rsd t Rcd

0,25

0,18 0,15 0,12

0,20 t Rsd

0,09

0,15

0,06 ωsw

0,10 t Rcd

0,03

0,05 θ

0,00 0 0,30

5

10

15

20

t Rsd

0,18

t Rcd

0,25

25 30

0,15

35

40

45

50

0,12 0,09

0,20 0,06

t Rcd 0,15 ωsw 0,10

0,03

0,05

t Rsd

cot θ

0,00 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Figura 6.17 Andamento della resistenza taglio specifica t Rcd e tRsd con l’inclinazione delle bielle compresse θ.

6.4 Verifica e progetto Con riferimento al meccanismo di traliccio a inclinazione variabile `e di seguito discussa la verifica a taglio di una sezione in c.a. e successivamente il progetto delle armature. 6.4.1 Verifica della sezione Nel caso di verifica a taglio di una sezione in c.a. sono note: • la geometria della sezione; la base b, l’altezza geometrica h e l’altezza utile d (ovvero d∗ ∼ = 0,9d);

Stato Limite Ultimo per taglio

227

• l’armatura metallica trasversale Asw , il passo s nonch´e l’inclinazione α; • le propriet` a meccaniche del calcestruzzo σcd e dell’acciaio fyd . Calcolata la percentuale meccanica di armatura trasversale ωsw = (Asw · fyd )/(b · s · σcd ) ed eguagliando la resistenza a taglio-compressione VRcd (ovvero tRcd ) con la resistenza a taglio-trazione VRsd (ovvero tRsd ) si ottiene la (6.49) che per armature trasversali costituite da sole staffe (α = 90◦ ) si specializza nella (6.51) di seguito riportata:  ν · αc −1 (6.54) cot θ = ωsw dalla quale si ricava la cot θ∗ , in corrispondenza della quale si registra la contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo e dell’armatura a taglio (fig. 6.18). • Se la cot θ∗ `e compresa nell’intervallo (1,0 ÷ 2,5) `e possibile valutare il taglio resistente VRd (= VRcd = VRsd ) mediante la (6.37) ovvero la (6.42). • Se la cot θ∗ `e maggiore di 2,5 la crisi `e da attribuirsi all’armatura trasversale e il taglio resistente VRd (= VRsd ) coincide con il massimo taglio sopportato dalle armature trasversali valutabile mediante la (6.37) per una cot θ = 2,5. • Se la cot θ∗ `e minore di 1,0 la crisi `e da attribuirsi alle bielle compresse e il taglio resistente VRd (= VRcd ) coincide con il massimo taglio sopportato dalle bielle di calcestruzzo valutabile mediante la (6.42) per una cot θ = 1,0. Le diverse condizioni possono generalizzarsi assumendo quale resistenza a taglio VRd (ovvero tRd ), la massima resistenza desunta dall’inviluppo minimo effettuato sugli andamenti delle resistenze specifiche tRcd , tRsd , nell’intervallo 1,0 ≤ cot θ ≤ 2,5, come pu` o osservarsi dal grafico della Figura 6.18. La verifica `e soddisfatta se il taglio resistente VRd (ovvero tRd ) `e non minore del taglio sollecitante VSd (ovvero tSd ). 0,30 0,25

tRsd tRcd

tRd tRcd(θ)

0,20 0,15

tRd tRd

0,10 0,05

tRsd(θ) cot θ *

cot θ

0,00 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Figura 6.18 Valutazione del taglio resistente t Rd per diversi valori della cotθ*,

228

Capitolo 6

Esempio 6.3 Con riferimento alla sezione in c.a. riportata nella Figura 6.19 `e valutata la massima resistenza a taglio VRd . Le caratteristiche geometriche della sezione sono: • • • • • • •

altezza geometrica h = 500 mm; altezza utile d = 460 mm; base b = 300 mm; armatura longitudinale superiore As = 2 φ 16 = 402 mm; armatura longitudinale inferiore As = 4 φ 16 = 804 mm; armatura trasversale Asw = 100 mm2 (staffe a due bracci φ8); passo delle staffe s = 100 mm.

40

500

460

2 φ 16

4 φ 16 300 Figura 6.19 Sezione in c.a.

Sono impiegati un calcestruzzo di classe 25/30, caratterizzato da • fck = 25 MPa; • σcd = 0,85 · 25/1,50 = 14,17 MPa e un acciaio B450C, caratterizzato da fyk = 450; MPa

fyd = fyk /γs = 391,30 MPa

Es = 210 000 MPa

Si calcola la percentuale meccanica di armatura trasversale: ωsw =

Asw · fyd 100 · 391,30 = 0,092 = b · s · σcd 300 · 100 · 14,17

Successivamente eguagliando il taglio resistente delle bielle compresse VRcd (ovvero il taglio specifico tRcd ) con il taglio resistente dell’armatura trasversale VRsd (ovvero il taglio specifico tRsd ) nel caso di α = 90◦ (presenza di staffe) si ottiene:  ν · αc cot θ = −1 ωsw

Stato Limite Ultimo per taglio

229

dalla quale si ricava la cot θ∗ , in corrispondenza della quale si registra la contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo e dell’armatura a taglio. Ricordando che la normativa italiana prescrive ν = 0,50 e nell’ipotesi di membratura non compressa αc =1 si ricava:  ∗

cot θ =

ν · αc −1= ωsw



0,5 · 1 − 1 = 2,105 0,092

che risulta compresa nell’intervallo (1,0 ÷ 2,5). Infine dall’espressione del taglio resistente dell’armatura trasversale VRsd o analogamente dall’espressione del taglio resistente delle bielle compresse VRcd `e possibile calcolare il taglio resistente della sezione VR , ossia: d∗ 0,9 · 460 · cot θ = 100 · 391,3 · · 2,105 = s 100 = 341 040 N = 341,04 kN 1 = = b · d∗ · αc · ν · σcd cot θ + tan θ 1 = 300 · 0,9 · 460 · 1,0 · 0,5 · 14,17 = 341 040 N = 341,04 kN 1 2,105 + 2,105 = VRsd = VRcd = 341,04 kN

VRsd = Asw · fyd ·

VRcd

VRd

Si assuma di aumentare (raddoppiare) il passo delle staffe, s = 200 mm, comunemente riscontrabile negli edifici esistenti in c.a., e di lasciare invariate le restanti caratteristiche geometriche e meccaniche L’aumento del passo delle staffe conduce a una diminuzione della percentuale meccanica di armatura trasversale che diviene: Asw · fyd 100 · 391,30 = = 0,046 ωsw = b · s · fcd 300 · 200 · 14,17 con conseguente aumento della cot θ∗ in corrispondenza della quale si registra la contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo e dell’armatura a taglio:  ∗

cot θ =

ν · αc −1= ωsw



0,5 · 1 − 1 = 3,141 0,046

non compresa nell’intervallo (1,0 ÷ 2,5). Risulta, quindi, necessario valutare la resistenze a taglio delle bielle compresse VRcd e dell’armatura trasversale VRsd in corrispondenza del massimo valore ammissibile della cot θ∗ = 2,5. In corrispondenza di tale valore i due tagli resistenti non risultano eguali e in particolare la crisi `e attinta per snervamento delle armature trasversali (fig. 6.17), cos`ı come di seguito calcolato:

230

Capitolo 6

0,9 · 460 d∗ · cot θ = 100 · 391,3 · · 2,5 = s 200 = 202 498 N = 202,50 kN

VRsd = Asw · fyd ·

VRcd = b · d∗ · αc · ν · σcd

1 = cot θ + tan θ

= 300 · 0,9 · 460 · 1,0 · 0,5 · 14,17

1 2,5 +

1 2,5

= 303 433 N = 303,43 kN

Pertanto, per valori della cot θ∗ ≥ 2,5 la crisi a taglio `e attinta per lo snervamento dell’armatura trasversale con conseguente resistenza taglio VRd eguale a: VRd = min(VRsd , VRcd ) = VRsd (cot θ = 2,5) Viceversa se si aumenta la percentuale meccanica di armatura trasversale, ωsw , costituita per esempio da staffe φ10 a due bracci (Asw = 156 mm2 ) con passo s = 50 mm: Asw · fyd 156 · 391,30 = 0,287 = ωsw = b · s · fcd 300 · 50 · 14,17 si registra una diminuzione della cot θ∗ :   ν · αc 0,5 · 1 ∗ −1= − 1 = 0,861 cot θ = ωsw 0,287 che non risulta compresa nell’intervallo (1,0-2,5). In questo caso risulta necessario valutare la resistenza a taglio delle bielle compresse VRcd e dell’armatura trasversale VRsd in corrispondenza del minimo valore ammissibile della cot θ∗ = 1,0. In corrispondenza di tale valore i due tagli resistenti non risultano eguali e in particolare la crisi `e attinta per eccessiva compressione delle bielle, cos`ı come di seguito valutato: d∗ 0,9 · 460 · cot θ = 156 · 391,3 · · 1,0 = s 50 = 505 434 N = 505,43 kN 1 = = b · d∗ · αc · ν · σcd cot θ + tan θ 1 = 300 · 0,9 · 460 · 1,0 · 0,5 · 14,17 = 439 979 N = 439,98 kN 1 1,0 + 1,0

VRsd = Asw · fyd ·

VRcd

Pertanto, per valori della cot θ∗ ≤ 1,0 la crisi a taglio `e attinta per eccessiva compressione delle bielle con conseguente resistenza taglio VRd eguale a: VRd = min(VRsd , VRcd ) = VRcd (cot θ = 1,0)

Stato Limite Ultimo per taglio

231

6.4.2 Progetto delle armature Per il progetto delle armature la teoria plastica suggerisce che in presenza di una sufficiente duttilit` a le forze interne alla trave subiscono una ridistribuzione in modo da raggiungere la massima capacit` a portante compatibile con la resistenza dei materiali. Dalla relazione (6.42) si osserva che al diminuire dell’angolo θ cresce la resistenza a taglio-trazione dell’armatura, ma contemporaneamente dalla (6.37) la resistenza a taglio-compressione delle bielle di calcestruzzo progressivamente diminuisce. Pertanto la massima capacit`a portante si ha quando la resistenza a taglio dell’armatura VRsd risulta uguale a quella delle bielle di calcestruzzo VRcd . Da questa considerazione `e possibile trarre come condizione di progetto delle armature a taglio la condizione che si attinga la crisi per contemporaneo raggiungimento dello snervamento dell’armatura trasversale e di eccessiva compressione nelle bielle. Calcolato con la (6.45) il taglio specifico sollecitante tSd provocato dai carichi esterni, si pu` o procedere come segue: • se il taglio sollecitante specifico tSd risulta maggiore del valore massimo di tRcd , ottenuto per θ = 45◦ , occorre modificare la sezione o adottare un calcestruzzo di classe pi` u elevata; • se il taglio sollecitante specifico tSd `e compreso fra il minimo e il massimo valore di tRcd , ottenuti rispettivamente per θ = 21,81◦ e θ = 45◦ , dall’eguaglianza della (6.45) con la (6.46) ossia del taglio sollecitante VSd con la resistenza a taglio-compressione VRcd : tSd =

VSd cot α + cot θ = tRcd = ν · αc · ∗ b · d · σcd 1 + cot2 θ

(6.55)

che per armature trasversali costituite da sole staffe (α = 90◦ ) diviene: VSd 1 = ν · αc · b · d∗ · σcd tan θ + cot θ

(6.56)

si ricava l’inclinazione delle bielle compresse θ∗ . Noto il valore della cot θ∗ `e possibile calcolare l’armatura trasversale Asw (ovvero ωsw ) eguagliando il taglio sollecitante Vsd (ovvero tsd ) con la resistenza a taglio trazione VRsd (ovvero tRsd ): tSd =

VSd = tRsd = ωsw · cot θ b · d∗ · fcd

(6.57)

tSd cot θ

(6.58)

VSd · s 1 d∗ · fyd cot θ

(6.59)

dalla quale si ottiene: ωsw = ovvero: Asw = per θ = θ∗ ;

232

Capitolo 6

• viceversa, se il taglio sollecitante specifico tSd risulta minore del valore minimo di tRcd , ottenuto per θ = 21,81◦ , la resistenza delle bielle compresse o ottenersi `e sovrabbondante. L’armatura trasversale Asw (ovvero ωsw ) pu` dall’eguaglianza del taglio sollecitante VSd (ovvero tSd ) con la resistenza a taglio trazione VRsd (ovvero tRsd ) per una cot θ = 2,5: tSd =

VSd = tRsd = ωsw · 2,5 b · d∗ · σcd

(6.60)

tSd 2,5

(6.61)

VSd · s 1 d∗ · fyd 2,5

(6.62)

dalla quale si ricava che: ωsw = ovvero: Asw =

Esempio 6.4 Con riferimento alla trave della Figura 6.20 si effettua la progettazione delle armature trasversali necessarie a sostenere il massimo taglio sollecitante di progetto VSd . La trave `e caratterizzata da: • luce di calcolo L = 5,00 m; • base b = 300 mm; • carico di progetto Fd = 50 kN/m uniformemente distribuito.

Fd = 50 kN /m

L = 5000 mm Figura 6.20 Trave in c.a.

Sono impiegati un calcestruzzo di classe 25/30, caratterizzato da • fck = 25 MPa • σcd = 0,85 · 25/1,50 = 14,17 MPa e un acciaio B450C, caratterizzato da fyk = 450 MPa

fyd = fyk /γs = 391,30 MPa

Es = 210 000 MPa

Stato Limite Ultimo per taglio

233

La progettazione a flessione conduce a: (  1 Mmax d= ξ · 0,80 · fcd · (1 − 0,40 · ξ) b con:

50 · 50002 Fd · L2 = = 156,25 · 106 Nmm 8 8 e assumendo ξ = 0,25; si ottiene: (  1 156,26 · 106 = 451 mm d= 0,25 · 0,80 · 14,17 · (1 − 0,40 · 0,25) 300 Mmax =

da cui si assume un’altezza geometrica h = 500 mm, con altezza utile d = 460 mm e copriferro c = 40 mm. L’armatura longitudinale As `e valutata come: As =

0,80 · ξ · d · b · fcd 0,80 · 0,25 · 460 · 300 · 14,17 = 981,84 mm2 = fyd 391,30

a cui corrispondono per eccesso 5 φ 16 = 1005 mm2 . La progettazione delle armature trasversali (staffe) `e condotta con riferimento al massimo taglio: VSd =

50 · 5000 Fd · L = = 125 · 103 N = 125 kN 2 2

Sono quindi valutati il taglio specifico sollecitante tSd : tSd =

VSd 125 · 103 = = 0,071 b · d∗ · σcd 300 · 0,9 · 460 · 14,17

il minimo valore di tRcd ricavato per θ = 21,81◦ ovvero cot θ = 2,5: tRcd = ν · αc ·

1 1 = 0,172 = 0,50 · 1 · 1 tan θ + cot θ + 2,5 2,5

e il massimo valore di tRcd ricavato per θ = 45◦ ovvero cot θ = 1,0: tRcd = ν · αc ·

1 1 = 0,25 = 0,50 · 1 · 1 tan θ + cot θ +1 1

Il taglio sollecitante specifico tSd risulta minore del valore minimo di tRcd , ottenuto per θ = 21,81◦ ovvero cot θ = 2,5. o ottenersi dall’eguaglianza del taglio specifico L’armatura trasversale Asw pu` sollecitante tSd con la resistenza specifica a taglio trazione tRsd specializzata per una cot θ = 2,5 dalla quale si ottiene la (6.61) di seguito riportata:

234

Capitolo 6

ωsw =

0,071 tSd = = 0,0284 2,5 2,5

Ricordando l’espressione della percentuale meccanica di armatura: ωsw =

Asw · fyd b · s · fcd

nell’ipotesi di adottare staffe φ8 a due bracci (Asw = 100 mm2 ) si ricava il minimo passo delle staffe da utilizzare: s=

100 · 391,3 Asw · fyd = 324 mm = b · ωsw · fcd 300 · 0,0284 · 14,17

6.5 Traslazione del momento flettente La formazione delle fessure inclinate di θ rispetto all’asse dell’elemento comporta un aggravio dello stato tensionale nell’armatura tesa longitudinale, che talvolta, soprattutto nel caso di debole armatura trasversale, risulta non trascurabile. Se si fa riferimento allo schema della Figura 6.21, si pu` o analizzare l’equilibrio alla rotazione del concio, delimitato proprio dalla lesione inclinata, rispetto al punto P .

C P d */2

α

d

V

θ

Vcotα S

d* d */2

T

V a

d *cot θ

Figura 6.21 Forze agenti su una porzione di trave in c.a. fessurata a taglio.

Indicando con S la risultante degli sforzi nelle armature trasversali inclinate dell’angolo α rispetto all’asse della trave, la sua componente verticale `e il taglio V che sollecita la sezione, mentre la sua componente orizzontale `e pari a V · cot α. Dall’equilibrio alla rotazione rispetto al punto P si ha: T · d∗ − V · (a + d∗ · cot θ) − V ·

d∗ d∗ · cot θ + (V · cot α) · =0 2 2

(6.63)

Stato Limite Ultimo per taglio

235

dalla quale si ricava lo sforzo nell’armatura tesa:   V d∗ T = ∗ · a+ · (cot θ − cot α) d 2

(6.64)

che, essendo M = V · a pu` o scriversi: T =

V M + · (cot θ − cot α) ∗ d 2

(6.65)

In generale, questa ultima relazione mostra come, a causa delle lesioni diagonali, lo sforzo nell’armatura tesa all’ascissa z = a dall’asse d’appoggio si debba valutare per un momento flettente che si verifica nella sezione di ascissa z = a + d∗ /2 · (cot θ − cot α). In realt`a quindi l’effetto della fessurazione diagonale comporta la traslazione del momento flettente calcolato nelle condizioni di carico allo Stato Limite Ultimo di una quantit` a d∗ /2·(cot θ −cot α) e quindi un’armatura longitudinale integrativa fornita dalla relazione: As =

V cot θ − cot α · 2 fyd

(6.66)

La (6.66) mette in evidenza che quanto maggiore `e l’inclinazione delle bielle compresse, tanto pi` u elevato `e l’incremento dello sforzo di trazione nell’armatura inferiore tesa. Nel caso si sia prevista un’armatura trasversale costituita da sole staffe, nella sezione di appoggio, pur essendo nullo il momento flettente, deve prevedersi un’armatura inferiore opportunamente ancorata, come pu` o facilmente dedursi dalla (6.63) per a = 0: As =

T V cot θ · = fyd 2 fyd

(6.67)

Viceversa, nel caso di elementi in c.a. sprovvisti di armatura trasversale a taglio, nella sezione di appoggio (a = 0), pur essendo nullo il momento flettente deve prevedersi un’armatura inferiore opportunamente ancorata in grado di assorbire il taglio V dell’appoggio come pu` o facilmente dedursi dalla (6.63) per a = 0 e S = 0: As =

T V = · cot θ fyd fyd

(6.68)

Per elementi sprovvisti di armatura trasversale la normativa italiana prescrive una cot θ = 1,0

236

Capitolo 6

Esempio 6.5 Con riferimento alla trave della Figura 6.20 si vuol determinare la traslazione del momento flettente da doversi effettuare per effetto della formazione di fessure inclinate di θ nonch´e l’entit`a dell’armatura longitudinale da prevedersi nella sezione di appoggio. Dalla progettazione a taglio effettuata in precedenza si `e pervenuti a una condizione progettuale definita da una cot θ = 2,5. Pertanto, la traslazione del diagramma del momento flettente specializzata al caso di armature trasversali costituite da sole staffe, cot α = 0, `e definita da una entit`a pari a: d∗ d∗ · cot θ = · 2,5 2 2 nella quale indicando d∗ ∼ = 0,9d si perviene a una traslazione pari a: 0,9 · d 0,9 · 460 · 2,5 = · 2,5 = 517,50 mm 2 2 La traslazione del diagramma del momento flettente da considerare nella progettazione delle armature longitudinali `e riportata nella Figura 6.22. L’assunzione di una traslazione simmetrica e costante lungo l’asse della trave `e rispettosa delle indicazioni della NTC 2008.

momento M (kNm)

−1000 −500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 0 20 x (mm) 40 60 517,50 mm 517,50 mm 80 100 120 140 Mmax = 156,25 kNm 160 180 517,50 mm 517,50 mm 200 Figura 6.22 Traslazione del diagramma del momento flettente per effetto delle fessure inclinate.

Infine in prossimit`a dell’appoggio va prevista una armatura longitudinale inferiore opportunamente ancorata pari a: As =

2,5 V cot θ 125 000 · · = 399,31 mm2 = 2 fyd 2 391,30

a cui corrispondono per eccesso 2 φ 16 = 402 mm2 .

7 Stato Limite Ultimo per torsione

Nell’analisi delle strutture intelaiate si trascura in genere il contributo legato alla rigidezza torsionale degli elementi e solo in alcuni casi, in cui il regime torsionale `e prevalente come la trave a ginocchio della scala o le travi perimetrali con sbalzi laterali, si effettuano specifiche verifiche. Lo studio sperimentale degli elementi sollecitati a torsione risulta particolarmente complesso per le difficolt`a di ricostruire in laboratorio le reali condizioni di lavoro sia nell’applicazione dei carichi sia nella realizzazione dei vincoli; queste due circostanze hanno rallentato la ricerca e solo negli ultimi anni lo studio del comportamento torsionale degli elementi in cemento armato ha ricevuto un notevole impulso. Il comportamento di travi in calcestruzzo armato soggette a torsione `e molto differente al variare del livello di sollecitazione; per bassi livelli del momento torcente T la trave reagisce seguendo con buona approssimazione la classica teoria del De Saint Venant. Al crescere del momento torcente T la trave comincia a fessurarsi evidenziando una improvvisa riduzione della rigidezza torsionale. In particolare, la capacit` a resistente viene fornita da una sezione cava di modesto spessore armata dai ferri perimetrali, mentre il nucleo centrale `e praticamente scarico.

7.1 Impostazione del problema Le travi in calcestruzzo armato sottoposte a un momento torcente T presentano un comportamento definito da due fasi assai diverse e ben distinte: 1. la fase pre-fessurativa durante la quale le armature presenti risultano sostanzialmente inefficaci; 2. la fase post-fessurativa durante la quale la risposta della trave `e governata proprio dalle armature longitudinali e trasversali presenti. La risposta di una trave sottoposta a un momento torcente costante `e riportata nel diagramma momento T -rotazione Θ della Figura 7.1. Per bassi valori del momento torcente T , la trave mostra un comportamento pressoch´e lineare,

238

Capitolo 7

fase post-fessurata

T

fase pre-fessurata

Tcr

Θ

Figura 7.1 Risposta di un elemento sottoposto a momento torcente.

assimilabile a quello di una trave non armata e confermato dalla modesta richiesta tensionale nelle armature presenti. All’atto della fessurazione la trave ricerca una configurazione di equilibrio definita da un diverso meccanismo resistente che coinvolge le armature longitudinali e trasversali, il cui stato tensionale diventa rilevante rispetto alla precedente fase pre-fessurativa. Lo studio teorico delle travi in c.a. in fase pre-fessurata pu` o essere effettuato mediante una teoria puramente elastica assimilando la trave a un solido del De Saint Venant. La trattazione elastica nel caso di sezioni compatte, quali le sezioni rettangolari definite da una base b e una altezza geometrica h, fornisce la seguente espressione della massima tensione tangenziale, agente in corrispondenza del punto medio del lato maggiore della sezione: T (7.1) (τmax ) = ψ 2 b h dove il coefficiente ψ dipende dal rapporto di allungamento h/b ≥ 1 tra i lati e pu` o essere espresso mediante espressioni approssimate; la formulazione proposta dal De Saint Venant risulta: ψ =3+

2,60 0,45 +

h b

(7.2)

In assenza di altre sollecitazioni alla tensione tangenziale fornita dalla (7.1) corrisponde una tensione principale di trazione ση di eguale modulo. Se la massima tensione tangenziale attinge il valore di resistenza a trazione del calcestruzzo teso fct si instaura la condizione di fessurazione della trave. In tal o senso, il momento torcente Tcr corrispondente alla fessurazione della trave pu` cos`ı ricavarsi: b2 h fct T = (7.3) ψ

Stato Limite Ultimo per torsione

239

Una trave soggetta a un momento torcente costante presenta una stato tensionale caratterizzato da direzioni principali di trazione inclinate approssimativamente di 45◦ rispetto all’asse longitudinale dell’elemento. Pertanto, quando la tensione principale di trazione ση supera la resistenza a trazione del calcestruzzo fct , si formano delle fessure diagonali che assumono l’andamento di una spirale intorno all’elemento come evidenziato nella Figura 7.2. fessure diagonali T

T

armatura longitudinale

armatura trasversale

Figura 7.2 Fessurazione a torsione.

Dopo la formazione delle fessure, il meccanismo resistente `e fornito da un traliccio spaziale che viene a costituirsi sulla parte esterna della trave; le evidenze sperimentali inducono a ritenere che il nucleo interno della trave non contribuisca alla resistenza. Il traliccio pu` o schematizzarsi composto da puntoni inclinati di calcestruzzo, individuati da due fessure inclinate consecutive, e tiranti costituiti dalle barre di armatura longitudinale e trasversale. La prima formalizzazione del traliccio spaziale `e da attribuirsi a Rausch (1929) il quale forn`ı una versione semplificata assumendo un traliccio isostatico con aste, puntoni in calcestruzzo e tiranti in acciaio, tra loro incernierati e con inclinazione θ dei puntoni in calcestruzzo costante e pari a 45◦ , come riportato nella Figura 7.3. Esso costituisce l’estensione al caso torsionale del traliccio piano introdotto da M¨ orsch utilizzato per l’analisi di travi in calcestruzzo armato sottoposte ad azioni taglianti. Da tali considerazioni scaturisce che la schematizzazione pi` u idonea all’assorbimento del momento torcente di una trave in c.a. in condizioni postfessurate del calcestruzzo `e quella di un elemento tubolare a parete sottile localizzato sul perimetro della sezione; alla sezione piena reagente nella fase pre-fessurata si sostituisce una sezione cava in fase post-fessurata. Una sezione in c.a. in fase post-fessurata sottoposta a un momento torcente T fa insorgere delle tensioni tangenziali τ costanti lungo le corde ortogonali

240

Capitolo 7

puntoni in calcestruzzo

T

T θ armatura longitudinale

armatura trasversale

Figura 7.3 Meccanismo a traliccio spaziale.

alla linea media della sezione cava fornite dalla classica relazione (formula di Bredt): T (7.4) τ= 2·t·A dove A `e l’area racchiusa dalla linea media della sezione cava mentre t `e lo spessore della parete della sezione cava; risulta quindi A = (b − t) · (h − t). Nella Figura 7.4 sono riportate le distribuzioni delle tensioni tangenziali di una sezione rettangolare prima e dopo la fessurazione. (a)

(b)

τ max

τ

h

b

t

t

Figura 7.4 Distribuzione delle tensioni tangenziali in (a) fase pre-fessurata e (b) post-fessurata.

Esempio 7.1 Con riferimento a una sezione rettangolare e sottoposta a un momento torcente T = 12 kNm si vuol determinare la massima tensione tangenziale in condizione pre-fessurata.

Stato Limite Ultimo per torsione

241

Le caratteristiche geometriche della sezione sono: • • • •

altezza geometrica h = 500 mm; altezza utile d = 460 mm; copriferro c = 40 mm; base b = 300 mm.

La massima tensione tangenziale `e valutata secondo la (7.1): (τmax ) = ψ

T b2 h

nella quale va inteso h ≥ b mentre il coefficiente ψ pu` o valutarsi come: ψ =3+

2,60 0,45 +

h b

=3+

2,60 = 4,23 500 0,45 + 300

da cui si ottiene: (τmax ) = 4,23 ·

12 · 106 = 1,13 MPa 3002 · 500

7.2 Modello a traliccio spaziale Un modello a traliccio pi` u evoluto assume l’ipotesi di inclinazione variabile delle bielle di calcestruzzo, traducendo le evidenze sperimentali di inclinazione delle fessure dipendenti dalle percentuali di armatura longitudinale e trasversale presenti. Le equazioni che governano la progettazione a torsione si desumono da un modello di calcolo in fase post-fessurata dove si assume che la sezione di calcestruzzo resistente a torsione sia una sezione cava a parete sottile di spessore t. Tale struttura in parete sottile `e armata con ferri longitudinali posti in ogni angolo e armatura trasversale costituita da staffe, mentre il calcestruzzo compreso tra due staffe consecutive rappresenta le bielle compresse. Si assume che le bielle compresse abbiano un’inclinazione pari a θ. Allo scopo di determinare gli sforzi che insorgono nelle armature longitudinali, trasversali e nelle bielle di calcestruzzo compresso si faccia riferimento alla trave della Figura 7.5. Per valutare lo sforzo totale che agisce sull’armatura longitudinale per effetto del momento torcente T , si pu` o considerare la Figura 7.5 che fa riferimento al singolo elemento del profilo cavo del traliccio. Lo sforzo di scorrimento trasversale Qv1 agente sulla faccia verticale `e pari a: Qv1 = τ · t · a

(7.5)

242

Capitolo 7

τ T τ 1

τ T τ

Qh

t

θ Ss Sc

puntoni in calcestruzzo

τ

τ

S l1 θ τ

a

Q v1 Sc

θ armatura longitudinale

a

·c

os

Δz =a · cot θ

armatura trasversale

θ

Figura 7.5 Meccanismo a inclinazione variabile: maglia elementare.

e si decompone in una azione di compressione Sc nel puntone di calcestruzzo e in una azione di trazione Sl1 nella armatura longitudinale As1 che risulta: Sl1 = Qv1 · cot θ = τ · t · a · cot θ

(7.6)

Tale sforzo agente nell’armatura longitudinale di ogni faccia, moltiplicato per le quattro facce, fornisce lo sforzo totale Sl : Sl =

a  i=1

Sli = cot θ ·

4 

τ · t · ai = τ · t · p · cot θ =

i=1

T · p · cot θ 2·A

(7.7)

4 nella quale p = i=1 ai rappresenta la lunghezza della linea media della sezione cava, chiamata anche perimetro medio. Il massimo sforzo di trazione che o assorbire `e pari a: l’armatura longitudinale complessiva Asl pu` Sld = fyd · Asl

(7.8)

Uguagliando la (7.8) con la (7.7): Sld = fyd · Asl = Sl =

TRld · p · cot θ 2·A

(7.9)

Stato Limite Ultimo per torsione

243

si ricava il momento torcente TRld che determina la crisi delle armature longitudinali: 1 2·A · (7.10) TRld = fyd · Asl · p cot θ Lo sforzo totale che agisce nell’armatura trasversale per effetto del momento torcente T pu` o valutarsi con riferimento al singolo elemento del profilo cavo del traliccio riportato nella Figura 7.5, in modo analogo a quanto fatto per i ferri longitudinali, ma considerando lo scorrimento longitudinale. Lo sforzo di scorrimento longitudinale Qh agente sulla faccia orizzontale `e pari a: Qh = τ · t · Δz

(7.11)

Tale sforzo si decompone in un’azione di compressione Sc nel puntone di calcestruzzo e in una azione di trazione Ss nell’armatura trasversale che risulta: Ss = Qh · tgθ = τ · t · Δz · tgθ =

T · Δz · tgθ 2·A

(7.12)

Il massimo sforzo di trazione che l’armatura trasversale pu` o assorbire si ottiene dalla seguente relazione: (7.13) Ssd = fyd · Ωs essendo Ωs l’armatura trasversale disposta nel tratto Δz. Indicando con As l’area della singola armatura trasversale e con s la distanza tra due armature o valutarsi come Ωs = As Δz/s. trasversali consecutive (passo), l’area Ωs pu` Uguagliando la (7.13) con la (7.12): Ssd = fyd ·

As · Δz TRsd = Ss = · Δz · tgθ s 2·A

(7.14)

si ricava il momento torcente taglio TRsd che determina la crisi delle armature trasversali: 2 · As · cot θ (7.15) TRsd = fyd · A · s Si evidenzia che con As si indica l’area dell’armatura trasversale presente nel singolo elemento del profilo cavo del traliccio. Pertanto, se l’armatura trasversale della trave `e costituita da staffe φ8 a due bracci, As `e da intendersi come l’area del singolo ferro φ8 ossia As = 50 mm2 . Infine `e necessario che per effetto del momento torcente T non si abbia la crisi strutturale per cedimento delle bielle compresse. Lo sforzo di scorrimento trasversale Qv1 agente sulla faccia verticale (o in maniera equivalente lo sforzo di scorrimento trasversale Qh agente sulla faccia orizzontale) determina una azione di compressione Sc nella biella di calcestruzzo inclinato dell’angolo θ: τ ·t·a Qh τ · t · Δz τ · t · a · cot θ Qv1 = = = = = sin θ sin θ cos θ cos θ cos θ τ ·t·a T a = = · sin θ 2 · A sin θ

Sc =

(7.16)

244

Capitolo 7

Si ha la crisi del puntone compresso quando si verifica: Scd = αc · ν · σcd · t · a · cos θ

(7.17)

dove, in maniera analoga a quanto illustrato nel Capitolo 6, il coefficiente ν, tiene conto della reale distribuzione delle tensioni lungo la biella mentre il coefficiente αc tiene conto degli effetti dovuti alla presenza di uno sforzo assiale di compressione. Uguagliando la (7.17) con la (7.16): Scd = αc · ν · σcd · t · a · cos θ = Sc =

a T · 2 · A sin θ

(7.18)

si ricava il momento torcente TRcd che provoca la crisi della biella compressa: TRcd = 2 · A · αc · ν · σcd · t · cos θ · sin θ

(7.19)

che pu`o equivalentemente scriversi come: TRcd = 2 · A · αc · ν · σcd · t ·

cot θ 1 + cot2 θ

(7.20)

La massima resistenza si ottiene per un’inclinazione θ = 45◦ . Occorre definire lo spessore t della sezione cava resistente. La normativa italiana indica che, per sezioni piene, lo spessore t = Ac /u dove Ac `e l’area della sezione e u `e il suo perimetro. In ogni caso lo spessore t non pu` o risultare inferiore al doppio del copriferro c: t=

Ac ≥ 2c u

(7.21)

dove il copriferro `e da intendersi come la distanza fra il bordo e il baricentro dell’armatura longitudinale. La normativa italiana prescrive che l’inclinazione θ dei puntoni di calcestruzzo rispetto all’asse della trave sia contenuta tra i seguenti limiti: 0,4 ≤ cot θ ≤ 2,5

(7.22)

68,22◦ ≥ θ ≥ 21,81◦

(7.23)

corrispondenti a un angolo θ:

Per comprendere meglio globalmente l’approccio di verifica e di progetto pu` o essere conveniente procedere alle seguenti adimensionalizzazioni dividendo per 2 · A · t · σcd : • il momento torcente sollecitante TSd tSd =

Tsd 2 · A · t · σcd

(7.24)

Stato Limite Ultimo per torsione

245

• il momento torcente TRcd fornito dalla (7.20) cot θ 1 + cot2 θ fornito dalla (7.15)

tRcd = ν · αc · • il momento torcente TRsd

(7.25)

fyd · As · cot θ = ωs · cot θ (7.26) s · t · σcd dove ωs rappresenta la percentuale meccanica di armatura trasversale presente lungo la faccia orizzontale del generico elemento cavo di lunghezza pari al passo s delle staffe. • il momento torcente TRld fornito dalla (7.10): tRsd =

fyd · Asl 1 1 = ωsl · (7.27) · p · t · σcd cot θ cot θ dove ωsl rappresenta la percentuale meccanica di armatura longitudinale nella sezione cava di area p · t. tRld =

Nella Figura 7.6 sono riportati gli andamenti tRcd , tRsd e tRld forniti rispettivamente dalle (7.25), (7.26) e (7.27), nell’ipotesi di membratura non compressa (αc = 1) e ricordando che la normativa italiana prescrive ν = 0,50. Il momento torcente prodotto dalla crisi delle armature metalliche `e valutato per diversi valori della percentuale meccanica ωs e ωsl . ` interessante osservare come la resistenza offerta dalle bielle di calceE struzzo risulti crescente con l’inclinazione, sino a θ = 45◦ per poi decrescere. La resistenza prodotta dalle armature metalliche mostra un andamento in controfase tra le staffe e i ferri longitudinali; il momento resistente delle armature trasversali risulta decrescente con l’inclinazione θ nell’intero intervallo di definizione indicato dalla normativa italiana, mentre il momento resistente delle armature longitudinali risulta decrescente con l’inclinazione θ. Inoltre, solo per elevate percentuali di armatura metallica, sia in termini di ωs sia ωsl , la minima resistenza `e attribuibile alla crisi delle bielle compresse.

7.3 Verifica e progetto Con riferimento al modello di traliccio spaziale `e di seguito discussa la verifica a torsione di una seione in c.a. e, successivamente, il progetto delle armature. 7.3.1 Verifica della sezione Nel caso di verifica a torsione di una sezione in c.a. sono note: • • • •

la geometria della sezione; la base b, l’altezza geometrica h; l’armatura metallica trasversale As nonch´e il passo s; l’armatura metallica longitudinale Asl ; le propriet` a meccaniche del calcestruzzo σcd e dell’acciaio fyd .

246

Capitolo 7

0,50

tRcd 0.40

tRsd tRld

0,40

0.30

0.20 0.10

0.20 0.10

ωsl

ωs

0.05 0,30

0.40

0.30

tRld

tRsd

0.05 0,20 tRcd 0,10 θ 0,00 0

10

20

30

tRcd

0.40 0.30

tRsd 0,40

tRld

40

50

80

0.30 0.20

ωsl

ωs

0,30 0.05 0,20

70

0.40

0.20 0.10

60

0.10

tRsd tRcd

tRld

0.05 0,10 cot θ 0,00

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Figura 7.6 Andamento della resistenza a torsione specifica tRcd , tRsd e tRld con l’inclinazione delle bielle compresse θ.

In generale, la resistenza a torsione TRd di una trave in calcestruzzo armata `e fornita dalla minore tra le resistenze: TRd = min(TRsd , TRld , TRcd )

(7.28)

Nota la percentuale meccanica di armatura trasversale ωs e longitudinale ωsl :

Stato Limite Ultimo per torsione

As · fyd t · s · σcd Asl · fyd ωsl = t · p · σcd ωs =

247

(7.29) (7.30)

ed eguagliando la resistenza a torsione TRld (ovvero tRld ) prodotta dallo snervamento delle armature longitudinali con la resistenza a torsione TRsd (ovvero tRsd ) prodotta dallo snervamento delle armature trasversali: tRsd = ωs · cot θ = tRld = ωsl ·

1 cot θ

(7.31)

si ottiene la cot θ∗ in corrispondenza della quale si registra la crisi contemporanea dell’armatura trasversale e di quella longitudinale:  ωsl ∗ (7.32) cot θ = ωs Pertanto, il momento torcente resistente fornito dalle armature metalliche, trasversali e longitudinali, `e facilmente desumibile sostituendo la (7.32) nella (7.26) e (7.27), dalle quali si ricava che: √ (7.33) tRsd = tRld = ωsl · ωs Il massimo momento torcente resistente delle bielle compresse tRcd , valutato in corrispondenza del contemporaneo snervamento delle armature metalliche, `e fornito dalla (7.25) per un valore di cot θ = cot θ∗ , ossia: tRcd = ν · αc ·

cot θ∗ 1 + cot2 θ∗

(7.34)

Se il momento resistente tRcd (θ∗ ) risulta superiore alla resistenza prodotta dalle armature metalliche, valutabile mediante la (7.33), allora la resistenza specifica a torsione tRd coincide proprio con la resistenza offerta dal contemporaneo snervamento delle armature metalliche, trasversali e longitudinali. Viceversa, se il momento resistente tRcd (θ∗ ) `e inferiore al momento torcente corrispondente alla crisi delle armature metalliche, la crisi si verifica in corrispondenza di un’altra inclinazione delle bielle ed `e caratterizzata da due possibili condizioni: • cedimento delle bielle compresse e contemporaneo snervamento delle armature trasversali; • cedimento delle bielle compresse e contemporaneo snervamento delle armature longitudinali. La prima condizione si verifica per un valore della cot θ valutabile imponendo la contemporanea crisi delle bielle compresse e delle armature trasversali: tRsd = tRcd

(7.35)

248

Capitolo 7

da cui risulta:

 cot θs∗

=

ν · αc −1 ωs

(7.36)

La seconda condizione si verifica per un valore della cot θ valutabile imponendo la contemporanea crisi delle bielle compresse e delle armature longitudinali: tRld = tRcd da cui risulta:

 cot θl∗

=

ωsl ν · αc − ωsl

(7.37)

(7.38)

La resistenza specifica a torsione tRd `e fornita dal massimo valore della resistenza offerta dalle bielle compresse valutata per cot θ = cot θs∗ e per cot θ = cot θl∗ , ossia: tRd = max[tRcd (θs∗ ), tRcd (θl∗ )]

(7.39)

Nella Figura 7.7a `e riportato il caso di contemporanea crisi delle armature metalliche, trasversali e longitudinali mentre nella Figura 7.7b `e mostrato il caso di contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo e delle armature trasversali. Tale procedura risulta valida solo se la 0,4 ≤ cot θ∗ ≤ 2,5; diversamente, in via teorica, possono presentarsi ulteriori condizioni e in particolare: • se la cot θ∗ ≥ 2,5, dalla (7.32) si evince che la percentuale di armatura longitudinale ωsl risulta sovrabbondante rispetto alla percentuale di armatura trasversale ωs ; pertanto, il massimo momento resistente `e fornito dalla contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo e dell’armatura trasversale, come mostrato nella Figura 7.7c. Esso pu` o valutarsi attraverso la (7.25) o equivalentemente attraverso la (7.26) per un valore della cot θ = cot θs∗ fornito dalla (7.36). Se anche la cot θs∗ ≥ 2,5, allora la resistenza a torsione tRd `e fornita dal massimo momento torcente offerto dalle armature trasversali valutabile mediante la (7.26) per una cot θ = 2,5, come mostrato nella Figura 7.7d; • analogamente se la cot θ∗ ≤ 0,4, dalla (7.32) si desume che la percentuale di armatura trasversale ωs risulta sovrabbondante rispetto alla corrispondente armatura longitudinale ωsl ; pertanto, il massimo momento resistente `e fornito dalla contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo e dell’armatura longitudinale. Esso pu` o valutarsi attraverso la (7.25) o equivalentemente attraverso la (7.27) per un valore della cot θ = cot θl∗ fornito dalla (7.38): Se anche la cot θl∗ ≤ 0,4, allora la resistenza a torsione tRd si ottiene dal massimo momento torcente fornito dalle armature longitudinali, valutabile mediante la (7.27) per una cot θ = 0,4.

Stato Limite Ultimo per torsione

249

0,50

0,50

tRcd tRsd 0,40 tRld

tRcd tRsd 0,40 tRld

tRld (θ) tRsd (θ)

tRld (θ) 0,30

0,30

t Rd

tRcd (θ)

tRcd (θ)

0,20

0,20 tRd

0,10

0,10 tRsd (θ) 0

0,5

1

cot θ* 1,5 (a)

0,50 t Rcd tRsd 0,40 tRld

cot θ 2

2,5

cot θ*s

0,00 3

0

0,30

0,30 t Rd tRcd (θ)

0,10

0

0,5

1

1,5 (b)

2

2,5

3

tRld (θ) tRcd (θ)

0,20 tRsd(θ)

1,5 (c)

t Rd

0,10

cotθs*

0,00

1

0,50 t Rcd tRsd 0,40 tRld

t Rld (θ)

0,20

0,5

cot θ* cot θ*l cotθ

cotθ* cotθs*

0,00

tRsd (θ)

cotθ* 0,00 2

2,5

3

0

0,5

1

1,5 (d)

2

2,5

3

Figura 7.7 Verifica della sezione. Condizione 0,4≤ cot θ∗ ≤ 2,5: (a) contemporanea crisi delle armature metalliche, (b) contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo e delle armature trasversali. Condizione cot θ∗ ≥ 2,5: (c) contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo e delle armature trasversali, (d) crisi delle sole armature trasversali.

Le diverse condizioni possono generalizzarsi assumendo quale resistenza specifica a torsione tRd , la massima resistenza desunta dall’inviluppo minimo effettuato sugli andamenti delle resistenze specifiche tRcd , tRsd , tRld nell’intervallo 0,4 ≤ cot θ ≤ 2,5, come pu` o osservarsi dai grafici della Figura 7.7. Si evidenzia, infine, che per la normativa italiana e l’Eurocodice 2 la reo sistenza a torsione, fornita dalla minore tra le resistenze tRcd , tRsd , tRld , pu` valutarsi per un valore qualsiasi della cot θ compresa tra i limiti indicati. La verifica `e soddisfatta se il momento torcente resistente TRd (ovvero tRd ) `e non minore del momento torcente sollecitante TSd (ovvero tSd ). Esempio 7.2 Con riferimento alla sezione rettangolare in c.a. riportata nella Figura 7.8 e sottoposta a un momento torcente T = 12 kNm si vuol determinare il diagramma delle tensioni tangenziali in condizione post-fessurata.

250

Capitolo 7

Le caratteristiche geometriche della sezione sono: • • • •

altezza geometrica h = 500 mm; altezza utile d = 460 mm; copriferro c = 40 mm; base b = 300 mm;

40

500

t

300

Figura 7.8 Sezione in c.a.

Il momento torcente T fa insorgere delle tensioni tangenziali τ costanti lungo le corde ortogonali alla linea media della sezione cava fornite dall’espressione (7.4), ossia: T τ= 2·t·A dove A `e l’area racchiusa dalla linea media della sezione cava mentre t `e lo spessore della parete della sezione cava. Lo spessore t della sezione `e valutato nel rispetto delle prescrizioni normative come: 300 · 500 Ac = = 94 mm t= u 2 · (300 + 500) dove Ac `e l’area della sezione e u `e il suo perimetro, e in ogni caso non inferiore a: t = 2c = 2 · 40 = 80 mm con c (copriferro) inteso come la distanza fra il bordo e il baricentro dell’armatura longitudinale. Noto lo spessore t `e possibile valutare l’area A racchiusa dalla linea media della sezione cava, come: A = (b − t) · (h − t) = (300 − 93,75) · (500 − 93,75) = 83 789 mm2

Stato Limite Ultimo per torsione

251

per cui si ottiene che: 12 · 106 T = = 0,76 MPa 2·t·A 2 · 93,75 · 83 789

τ=

Si valuta la massima resistenza a torsione TRd considerando la seguente armatura: • • • •

armatura armatura armatura armatura 100 mm.

longitudinale superiore As = 4φ16 = 804 mm2 ; longitudinale inferiore As = 4φ16 = 804 mm2 ; di parete costituita da (3 + 3)φ16; trasversale costituita da staffe a due bracci φ8 con passo s =

Sono impiegati un calcestruzzo di classe 25/30, caratterizzato da • fck = 25 MPa • σcd = 0,85 · 25/1,50 = 14,17MPa e un acciaio B450C, caratterizzato da fyk = 450 MPa

fyd = fyk /γs = 391,30 MPa

Es = 210 000 MPa

Si calcola la lunghezza della linea media della sezione cava p: p = 2 · (b − t) + 2 · (h − t) = 2 · (300 − 93,75) + 2 · (500 − 93,75) = 1225 mm Si valutano le percentuali di armatura trasversale ωs e di armatura longitudinale ωsl come segue: As · fyd 50 · 391,30 = 0,147 = t · s · σcd 93,75 · 100 · 14,17 Asl · fyd (8 · 201) · 391,30 ωsl = = 0,387 = t · p · σcd 93,75 · 1225 · 14,17 ωs =

460

3 φ 16

3 φ 16

40

500

4 φ 16

4 φ 16

300 Figura 7.9 Sezione in c.a.

252

Capitolo 7

La cot θ∗ in corrispondenza della quale si registra la contemporanea crisi dell’armatura trasversale con l’armatura longitudinale risulta pertanto:   ωsl 0,387 ∗ = 1,620 = cot θ = ωs 0,147 e quindi `e compresa nell’intervallo 0,4 ≤ cot θ∗ ≤ 2,5. Il momento torcente resistente adimensionale fornito dalle armature metalliche, trasversali e longitudinali, `e pari a:  √ tRsd = tRld = ωsl · ωs = 0,387 · 0,147 = 0,239 La resistenza a torsione adimensionale dovuta alla crisi delle bielle compresse, valutata per un valore di cot θ = cot θ∗ , risulta: tRcd = ν · αc ·

cot θ∗ 1,620 = 0,223 2 ∗ = 0,50 · 1 · 1 + 1,6202 1 + cot θ

Il momento torcente resistente adimensionale tRcd risulta minore del momento resistente offerto dalla contemporanea crisi delle armature metalliche, per cui la crisi della sezione `e caratterizzata da due possibili condizioni: • cedimento delle bielle compresse e contemporaneo snervamento delle armature trasversali; • cedimento delle bielle compresse e contemporaneo snervamento delle armature longitudinali. La prima condizione si verifica per un valore della cot θ:   ν · αc 0,5 · 1 ∗ − 1 = 1,550 −1= cot θs = ωs 0,147 viceversa, la seconda condizione si verifica per un valore della cot θ:   ωsl 0,387 ∗ = 1,851 = cot θl = ν · αc − ωsl 0,5 · 1 − 0,387 La resistenza a torsione specifica tRd `e fornita dal massimo valore della resistenza offerta dalle bielle compresse valutata per cot θ = cot θs∗ e per cot θ = cot θl∗ , ossia: cot θs∗ 1,550 tRcd = tRsd = ν · αc · = 0,228 2 ∗ = 0,5 · 1 · 1 + 1,5502 1 + cot θs cot θl∗ 1,851 = 0,209 tRcd = tRld = ν · αc · 2 ∗ = 0,5 · 1 · 1 + 1,8512 1 + cot θl o facilmente dedursi come: Il massimo momento torcente TRd pu` TRd = 2 · A · t · σcd · tRd = 2 · 83 789 · 94 · 14,17 · 0,228 = 50,76 kNm

Stato Limite Ultimo per torsione

253

7.3.2 Progetto delle armature Dalle precedenti espressioni si `e osservato che al diminuire dell’angolo θ cresce la resistenza a torsione prodotta dall’armatura trasversale, diminuisce quella offerta dalla armatura longitudinale mentre la resistenza offerta dalle bielle di calcestruzzo manifesta un andamento dapprima crescente e poi decrescente registrando il proprio massimo per un valore dell’angolo θ = 45◦ . Da queste considerazioni `e possibile trarre come condizione di progetto delle armature a torsione la condizione che si raggiunga la contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo, delle armature longitudinale e di quelle trasversali. Valutato con la (7.24) il momento torcente specifico sollecitante tSd provocato dai carichi esterni, si pu` o procedere come segue: • se il momento torcente sollecitante specifico tSd risulta maggiore del valore massimo di tRcd , ottenuto per θ = 45◦ , occorre modificare la sezione o adottare un calcestruzzo di classe pi` u elevata; • se il momento torcente sollecitante specifico tSd `e compreso fra il minimo e il massimo valore di tRcd , ottenuti rispettivamente per θ = 21,81◦ (ovvero θ = 68,22◦ ) e θ = 45◦ , dall’eguaglianza della (7.24) con la (7.25), ossia del momento torcente sollecitante TSd con la resistenza a torsione offerta dalle bielle di calcestruzzo TRcd : tSd =

VSd cot θ = tRcd = ν · αc · 2 · A · t · fcd 1 + cot2 θ

(7.40)

si ricava la seguente equazione di 2◦ nell’incognita cot θ: tSd · cot2 θ − ν · αc · cot θ + tSd = 0

(7.41)

L’equazione ammette due soluzioni reali e ambedue comprese nell’intervallo di prescrizione normativo (0,40-2,50). In particolare, la prima soluzione (cot θ)d1 risulta caratterizzata da un valore minore di 1 mentre la seconda a, come si evince dalla Figura 7.10. (cot θ)d2 superiore all’unit` Le resistenze torcenti offerte dalle armature metalliche, trasversali e longitudinali, si eguagliano in corrispondenza di cot θ pari a:  ωsl ∗ (7.42) cot θ = ωs offrendo una resistenza torcente pari a: tRsd = tRld =

√ ωsl · ωs

(7.43)

Le soluzioni progettuali si ottengono eguagliando la (7.42) alle radici della (7.41) e la resistenza offerta dalle armature metalliche, valutabile mediante la (7.43), al taglio sollecitante tSd ossia:

254

Capitolo 7

0,50

t R cd t R sd t R ld

0,40

0,30 t Rcd

t Sd

0,20

0,10 (cot θ) d1

(cot θ)d2

0,00 0

0,5

1

1,5

2

cot θ 2,5

3

Figura 7.10 Condizioni di tRcd = tSd .



ωsl con i = 1,2 ωs √ = ωsl · ωs

(cot θ)di = tSd

(7.44) (7.45)

La (7.41), (7.44) e (7.45) esprimono l’eguaglianza delle tre resistenze torcenti al momento torcente sollecitante. In particolare, si perviene a due soluzioni progettuali, quante sono le radici della (7.41). La soluzione progettuale definita da una (cot θ)d ≤ 1 `e caratterizzata da una prevalenza di armatura trasversale, come facilmente desumibile dalla (7.42); viceversa la soluzione progettuale definita da una (cot θ)d ≥ 1 ` evidente `e caratterizzata da una prevalenza di armatura longitudinale. E che il problema progettuale presenta un’unica soluzione solo se l’eguaglianza tra il momento torcente sollecitante tSd e quello resistente offerto dalle bielle di calcestruzzo tRcd avviene per una (cot θ)d1 = (cot θ)d2 = 1; per tale condizione le due percentuali di armatura, trasversale e longitudinale, risultano eguali tra loro; • se il momento torcente sollecitante specifico tSd `e minore del minimo valore di tRcd , ottenuto per θ = 21,81◦ (ovvero θ = 68,22◦ ), la crisi `e da attribuirsi alle sole armature metalliche, longitudinali e trasversali. La condizione progettuale `e espressa dall’eguaglianza della (7.26) con la (7.27) e con il taglio sollecitante tSd che si formalizza in: √ (7.46) tSd = tRsd = tRld = ωsl · ωs Che produce infinite soluzioni equivalenti, come pu` o facilmente evincersi dalla Figura 7.11.

Stato Limite Ultimo per torsione

0,50

t Rcd t Rsd t Rld

0,40

t Rld

0,30

255

t Rsd

ω sl

ωs t Rcd

0,20 t Sd

0,10

cot θ 0,00 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Figura 7.11 Soluzioni progettuali: caso di tSd < (tRcd )min .

Esempio 7.3 Con riferimento alla sezione in c.a. riportata nella Figura 7.12 e sottoposta a un momento torcente sollecitante di TSd = 45 kNm, si vuole procedere alla progettazione delle armature metalliche longitudinali e trasversali. Le caratteristiche geometriche della sezione sono: • • • •

altezza geometrica h = 500 mm; altezza utile d = 460 mm; copriferro c = 40 mm; base b = 300 mm;

Sono impiegati un calcestruzzo di classe 25/30, caratterizzato da • fck = 25 MPa; • σcd = 0,85 · 25/1,50 = 14,17 MPa e un acciaio B450C, caratterizzato da fyk = 450 MPa

fyd = fyk /γs = 391,30 MPa

Es = 210 000 MPa

Per rendere pi` u agevole il calcolo delle grandezze necessarie alla fase progettuale si ricavano preventivamente lo spessore t della sezione cava come massimo valore tra: 300 · 500 Ac = = 94 mm u 2 · (300 + 500) t = 2c = 2 · 40 = 80 mm t=

256

Capitolo 7

40

500

t

300 Figura 7.12 Sezione in c.a.

l’area A racchiusa dalla linea media della sezione cava, come: A = (b − t) · (h − t) = (300 − 93,75) · (500 − 93,75) = 83 789 mm2 nonch´e la lunghezza della linea media della sezione cava p: p = 2 · (b − t) + 2 · (h − t) = 2 · (300 − 93,75) + 2 · (500 − 93,75) = 1225 mm Si procede alla valutazione del momento torcente specifico sollecitante: tSd =

TSd 45 000 000 = 0,202 = 2 · A · t · σcd 2 · 83 789 · 93,75 · 14,17

e contemporaneamente al massimo e al minimo valore di resistenza offerto dalla bielle di calcestruzzo: 0,40 2,50 = 0,50 · 1 · = 0,172 2 1 + 0,40 1 + 2,502 1 = 0,50 · 1 · = 0,250 1 + 12

(tRcd )min = 0,50 · 1 · (tRcd )max

Il momento torcente sollecitante risulta (tRcd )min ≥ tSd ≥ (tRcd )max . Si eguaglia il momento torcente sollecitante tSd con la resistenza a torsione offerta dalle bielle di calcestruzzo tRcd e si ottiene l’equazione di 2◦ grado: tSd · cot2 θ − ν · αc · cot θ + tSd = 0,202 · cot2 θ − (0,5 · 1) · cot θ + 0,202 = 0 le cui radici risultano: (cot θ)d1 = 0,508 (cot θ)d2 = 1,967

Stato Limite Ultimo per torsione

257

Le due soluzioni progettuali si ottengono eguagliando la (7.42) alle radici della (7.41) e la resistenza offerta dalle armature metalliche, valutabile mediante la (7.43), al momento torcente sollecitante tSd , ossia dal sistema di equazioni:  ωsl (cot θ)di = con i = 1,2 ωs √ tSd = ωsl · ωs La prima soluzione progettuale, valutata in corrispondenza di (cot θ)d1 = 0,508, si ottiene ricavando la percentuale ωsl dalla prima equazione, e sostituendola nella seconda si calcola una percentuale di armatura meccanica trasversale ωs : (ωs )1 =

tSd 0,202 = 0,398 = (cot θ)d1 0,508

che, sostituita nella prima equazione, fornisce una percentuale di armatura meccanica longitudinale ωsl : (ωsl )1 = (ωs )1 · (cot θ)2d1 = 0,398 · (0,508)2 = 0,103 In maniera analoga la seconda soluzione progettuale, ottenuta in corrispondenza di (cot θ)d2 = 1,967, `e definita da: tSd 0,202 = 0,103 = 2 (cot θ)d2 1,967 ωsl = ωs · (cot θ)2d2 = 0,103 · (1,967)2 = 0,398

(ωs )2 =

Ricordando le definizioni delle percentuali meccaniche: As · fyd s · t · σcd Asl · fyd ωsl = p · t · σcd ωs =

e, adottando staffe φ8 definite da una As = 50 mm2 , si perviene a una: • prima soluzione progettuale s=

50 · 391,30 As · fyd = 37 mm = (ωs )1 · t · σcd 0,398 · 93,75 · 14,17

p · t · σcd 1225 · 93,75 · 14,17 = 428,36 mm2 ∼ = 0,103 · = fyd 391,30 ∼ = 4 φ 12 = 4 · 113 = 452 mm2

Asl = (ωsl )1 ·

258

Capitolo 7

• seconda soluzione progettuale s=

As · fyd 50 · 391,30 = 143 mm = ωs · t · σcd 0,398 · 93,75 · 14,17

p · t · σcd 1225 · 93,75 · 14,17 = 1655 mm2 ∼ = 0,103 · = fyd 391,30 ∼ = 16 φ 12 = 16 · 113 = 1808 mm2

Asl = ωsl ·

7.4 Sollecitazioni composte In generale, la sollecitazione torsionale `e sempre accoppiata ad altre sollecitazioni quali la flessione, con o senza sforzo normale, e il taglio. Infatti elementi quali la trave a ginocchio delle scale o le travi perimetrali con sbalzi laterali, sono caratterizzati da un carico distribuito trasmesso dagli elementi aggettanti, che provoca un regime di taglio e flessione, e una sollecitazione torsionale prodotta dallo stato di flessione presente negli elementi aggettanti, come pu` o ` possibile supporre, in via teorica, che gli effetti evincersi dalla Figura 7.13. E delle singole sollecitazioni siano tra di loro additivi.

Fd

Figura 7.13 Trave con sbalzo.

Torsione, flessione e sforzo normale In termini progettuali, le armature longitudinali calcolate per resistere alla sollecitazione torcente e a quella flessionale devono essere sommate. In particolare:

Stato Limite Ultimo per torsione

259

• nella zona tesa, prodotta dalla sollecitazione di flessione semplice o composta, all’armatura longitudinale richiesta da tale sollecitazione deve essere aggiunta l’armatura longitudinale richiesta dalla torsione. Infatti, alla trazione indotta dalla flessione va a sommarsi la risultante di trazione Sl conseguente alla forza di scorrimento Q, presente sulla porzione della sezione cava della zona tesa, causata dalla torsione; • nella zona compressa, prodotta dalla sollecitazione di flessione, se la risultante di trazione Sl , conseguente alla forza di scorrimento Q presente sulla porzione della sezione cava della zona compressa e causata dalla torsione, `e minore della risultante di compressione, valutata sulla medesima porzione e indotta dalla flessione, non `e necessaria un’armatura longitudinale aggiuntiva per torsione. Torsione e taglio La sollecitazione composta da torsione e taglio `e caratterizzata dalla somma algebrica delle forze di scorrimento Q prodotte dalle tensioni tangenziali causate dalle due distinte sollecitazioni. Alla forza di scorrimento QT associata alla torsione T e agenti nello spessore t del profilo cavo della sezione: QT = τ T · t · Δz· =

T · Δz 2·A

(7.47)

va a sommarsi l’aliquota della forza di scorrimento QV , prodotta dalle tensioni tangenziali presenti nello spessore t del profilo cavo, associata al taglio V : QV = τ V · t · Δz =

V · Δz t · d∗ b

(7.48)

t τV

t

QT

QV τT

QT

QV τT

τT

τV

τV

τT

Δz

Δz b

b

Figura 7.14 Distribuzioni delle tensioni tangenziali e delle forze di scorrimento conseguenti alle sollecitazioni del momento torcente T e del taglio V.

260

Capitolo 7

Pertanto, lungo le due facce orizzontali del profilo cavo, vedi Figura 7.14, agiscono due forze di scorrimento Q composte dagli effetti della torsione T e del taglio V , ossia: (7.49) QT +V = QV ± QT In maniera analoga, anche l’azione risultante Ss che sollecita l’armatura trasversale tesa e l’azione Ss che sollecita la biella di calcestruzzo compresso pu`o valutarsi come somma delle due corrispondenti aliquote, ossia: SsT +V = SsV ± SsT = QV · tgθ ± QT · tgθ V

(7.50)

T

Q Q ± (7.51) cos θ cos θ Dalla (7.50) `e evidente che, nell’ipotesi di assumere un’unica inclinazione θ delle bielle compresse di calcestruzzo sia per il taglio sia per la torsione, la progettazione delle armature trasversali (staffe) pu` o effettuarsi separatamente, sommando o sottraendo alla armatura a taglio le aree di armatura metallica richiesta dalla torsione sulla base del verso delle relative tensioni tangenziali. In sede progettuale, la scelta della cot θ va effettuata nell’intervallo 1 ≤ cot θ ≤ 2,5; in particolare, l’opzione cot θ = 2,5 conduce a minimizzare i quantitativi di armatura trasversale necessari ad assorbire il momento torcente e il taglio sollecitante. Dalla (7.51) si evince che la resistenza massima di un elemento in c.a. soggetto a torsione e taglio `e limitata dalla resistenza delle bielle compresse di calcestruzzo. Infatti, alla tensione di compressione σcV , causata dalla azione di compressione ScV conseguente taglio V , si somma la tensione di compressione σcT , causata dalla azione di compressione ScT indotta dalla torsione T , che non pu` o, in ogni caso, eccedere la resistenza specifica a compressione (α · ν · σcd ), ossia: σcV σcT + ≤1 (7.52) (α · ν · σcd ) (α · ν · σcd ) Definendo con VSd e TSd il taglio e il momento torcente di progetto sollecitante, che induce nella biella compressa, rispettivamente, la tensione σcV e σcT , e con VRcd e TRcd la resistenza a taglio e a torsione, rispettivamente, per cedimento delle bielle compresse ossia per attingimento di una tensione di compressione pari a (α · ν · σcd ) la (7.52) diviene: ScT +V = ScV ± ScT =

VSd TSd + ≤1 VRcd TRcd

(7.53)

Esempio 7.4 Al fine di esemplificare il progetto a flessione, taglio e torsione di una trave in c.a. si consideri la trave con sbalzo laterale della Figura 7.15 definita dalle seguenti caratteristiche geometriche: • luce sbalzo Ls = 1,65 m; • altezza geometrica sbalzo h = 160 mm;

Stato Limite Ultimo per torsione

261

• luce trave L = 5,50 m; • copriferro trave c = 30 mm. Sono impiegati un calcestruzzo di classe 25/30, caratterizzato da fck = 25 MPa con σcd = 0,85 · 25/1,50 = 14,17 MPa e un acciaio B450C, caratterizzato da fyk = 450 MPa con fyd = fyk /γs = 391,30 Mpa e Es = 210 000 MPa. Fds

1,0

0m

L s =1,65 m

Fd

Td L=5,50 m Figura 7.15 Sbalzo laterale su trave perimetrale.

Dall’analisi dei carichi permanenti strutturali e non strutturali deriva che i carichi agenti su un metro quadrato di sbalzo risultano: G1 = 4,00 KNm−2 G2 = 0,50 KNm−2 mentre il carico variabile caratteristico `e pari Qk = 4,00 KNm−2 . Il carico agente su un metro quadrato di sbalzo da considerare allo SLU `e: Fds = γG1 G1 +γG2 G2 +γQ Qk = 1,30·4,00+1,50·0,50+1,5·4,00 = 11,95 kNm−2 Pertanto, il carico e il momento trasmesso alla trave di bordo risulta, rispettivamente: Fds · Ls = 11,95 · 1,65 = 19,72 kNm−1 Fds · L2s 11,95 · 1,652 = = 16,27 kNm/m 2 2 Al carico (Fds · L) trasmesso dallo sbalzo va aggiunto il peso proprio della trave di bordo e della tamponatura presente su di essa, valutabili allo SLU in 14,85 kNm−1 . In definitiva sulla trave di bordo agisce un carico uniformemente distribuito: Fd = Fds · Ls + 14,85 = 19,72 + 14,85 = 34,57 kNm−1 e una distribuzione di coppie torcenti trasmesse dallo sbalzo laterale pari a:

262

Capitolo 7

Td = 16,27 kNm/m Nell’ipotesi che i pilastri di estremit`a forniscano un vincolo flessionale di semiincastro e torsionale di incastro, si ottengono come valori massimi e minimi i seguenti: 34,57 · 5,002 Fd · L2 = = 72,02 kNm 12 12 34,57 · 5,002 Fd · L2 = = 36,01 kNm = 24 24 34,57 · 5,00 Fd · L − = = 86,42 kN = Vmax = 2 2 16,27 · 5,00 Td · L − = = 40,67 kNm = Tmax = 2 2

+ = Mmax − Mmax + Vmax + Tmax

La sezione maggiormente sollecitata a flessione risulta quella di mezzeria mentre quella maggiormente sollecitata a taglio e torsione quella di estremit`a. Il progetto dell’altezza geometrica h della sezione viene dapprima effettuato a taglio-torsione e successivamente verificato a flessione. Dalla (7.53) si evince che la resistenza alla sollecitazione composta di tagliotorsione `e limitata dalla crisi delle bielle compresse ossia dalle dimensioni della sezione. Esplicitando, i termini VRcd e TRcd presenti nella (7.53) si ottiene: VSd 1 b · d∗ · αc · ν · σcd cot θ + tan θ

TSd

+

2 · A · αc · ν · σcd · t ·

1 tgθ + cot θ

≤1

dove: d∗ = 0,9 · d = 0,9 · (h − c) A = (b − t) · (h − t) Ricordando che t ≥ 2 · c e ponendo, rispettivamente, (h − t) = (h − 2c) e (h − 2c) ∼ = 0,9 · (h − c) mediamente valida nell’intervallo h ∈ [400, 700] mm con c = 40 mm si ottiene: VSd b · 0,9 · (h − c) · αc · ν · σcd +

1 cot θ + tan θ TSd

+

2 · (b − t) · 0,9 · (h − c) · αc · ν · σcd · t ·

1 tgθ + cot θ

≤1

dalla quale `e possibile esprimere l’altezza geometrica h:  VSd cot θ + tan θ TSd h≥c+ + · αc · ν · σcd 0,9 · b 2 · 0,9 · (b − t) · t

Stato Limite Ultimo per torsione

263

Pertanto, ponendo: + VSd = Vmax = 86,42 kN + TSd = Tmax = 40,67 kNm

`e possibile progettare l’altezza geometrica h che soddisfi la (7.53) nella sezione maggiormente sollecitata a taglio e torsione (sezione di estremit`a) mediante la seguente espressione:  86,42 · 103 40,67 · 106 cot θ + tan θ · + h ≥ 40 + 1 · 0,50 · 14,17 0,9 · 300 2 · 0,9 · (300 − 80) · 80 Le altezze cos`ı ricavate sono leggermente sovrastimate, stante la posizione t = 2·c. Nella Figura 7.16 `e riportato l’andamento dell’altezza h al variare della cot θ nell’intervallo 1 ≤ cot θ ≤ 2,5; risulta palese come al crescere della cot θ aumenti l’altezza h necessaria. Tale risultato `e riconducibile all’andamento decrescente della resistenza specifica a taglio e a torsione all’aumentare della cot θ nell’intervallo 1 ≤ cot θ ≤ 2,5. 800

altezza, h (mm)

h max = 696 mm

700 600 500

h min = 493 mm 400 300 200 100 cot θ 0 1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

Figura 7.16 Altezza geometrica h al variare della cotθ.

Stante la necessit`a di dover adottare un’unica inclinazione θ, a taglio e a torsione, sia per la progettazione dell’altezza geometrica h sia per le armature metalliche si vuole indagare l’influenza della cot θ sull’ammontare delle armature metalliche da progettare. Il taglio e il momento torcente assorbito dalle armature trasversali risultano: d∗ · cot θ VRsd = Asw · fyd · s 2·A TRsd = fyd · As · · cot θ s

264

Capitolo 7

dai quali ponendo VRsd = VSd e TRsd = TSd `e possibile valutare il passo delle staffe necessarie ad assorbire il taglio e il momento torcente sollecitante, ossia: d∗ · cot θ Vsd 2·A sT = fyd · As · · cot θ TSd

sV = Asw · fyd ·

Utilizzando l’altezza geometrica h(cot θ) precedentemente valutata, nell’ipotesi di t = 2·c = 2·40 = 80 mm e adottando staffe φ8 a due braccia, `e possibile valutare i parametri A e d∗ per ciascun valore della h(cot θ). Il passo minimo necessario ad assorbire il taglio sollecitante VSd e il momento torcente TSd di progetto, al variare della cot θ, pu` o valutarsi mediante le seguenti espressioni: 0,9 · (h(cot θ) − 40) · cot θ 86,42 · 103 2 · 50 · cot θ sT = 391,30 · (300 − 80) · (h(cot θ) − 80) · 40,67 · 106

sV = 2 · 50 · 391,30 ·

Nella Figura 7.17 `e riportato l’andamento, al variare della cot θ, del passo delle staffe φ8 a due braccia da adottarsi per la sollecitazione a taglio e a torsione; risulta evidente come al crescere della cot θ aumenti il passo minimo necessario o in maniera equivalente diminuisca l’ammontare dell’armatura trasversale necessaria. Tale risultato `e riconducibile all’andamento crescente della resistenza specifica a taglio e a torsione all’aumentare della cot θ nell’intervallo 1 ≤ cot θ ≤ 2,5. 800

passo delle staffe, s (mm)

700 600

sV (taglio)

500 400

sT (torsione)

300 200 100

s V +T (taglio + torsione) cot θ

0 1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

Figura 7.17 Passo delle staffe al variare della cot θ.

Dalla (7.50) `e evidente che la progettazione delle armature trasversali pu` o effettuarsi separatamente, sommando o sottraendo all’armatura a taglio le aree di

Stato Limite Ultimo per torsione

265

armatura metallica richiesta dalla torsione sulla base del verso delle relative tensioni tangenziali. Pertanto, la massima armatura necessaria a contrastare la sollecitazione composta taglio e torsione `e fornita dalla somma delle corrispondenti armature a taglio e a torsione; tale condizione equivale in termini di passo delle staffe a: 1 1 1 = + sV +T sV sT Nella Figura 7.17 `e riportato l’andamento del passo delle staffe della sollecitazione composta taglio e torsione. In maniera analoga si vuole calcolare l’ammontare dell’armatura longitudinale necessaria ad assorbire il momento torcente sollecitante, al variare della cot θ, mediante la seguente espressione: TRld = fyd · Asl ·

1 2·A · p cot θ

dalla quale, ponendo TRsd = TSd , `e possibile ricavare l’armatura longitudinale, ossia: TSd TSd · p · cot θ = · 2 · [(h − t) + (b − t)] · cot θ Asl = 2 · A · fyd 2 · (h − t) · (b − t) · fyd Utilizzando l’altezza geometrica h(cot θ), precedentemente valutata, e nell’ipotesi di t = 2 · c = 2 · 40 = 80 mm, si ha: Asl =

40,67 · 106 ·2 ·[(h(cot θ)−80)+(300−80)]·cot θ 2 · (300−80) · (h(cot θ)−80) · 391,30

Nella Figura 7.18 `e riportato l’andamento, al variare della cot θ, dell’armatura longitudinale necessaria ad assorbire il momento torcente sollecitante; essa non risulta particolarmente variabile con la cot θ. Infine, con riferimento all’altezza geometrica h progettata, al variare della cot θ, per la sollecitazione composta di taglio e torsione, si procede al calcolo dell’armatura longitudinale e dell’asse neutro adimensionalizzato necessari ad assorbire il momento flettente di progetto che caratterizza la sezione di mezzeria (massimo momento flettente). Nell’ipotesi di flessione semplice e di sezione semplicemente armata risulta: MRd = 0,80 · b · ξ · d · σcd · (d − 0,40 · ξ) 0,80 · b · ξ · d · σcd − As · fyd = 0 Pertanto, ponendo per la sezione di mezzeria: + = 72,02 kNm MRd = MSd = Mmax

e ricordando che d = h − c = (h(cot θ) − 40) mm, `e possibile valutare l’asse neutro ξ dall’equazione di 2◦ grado: 0,80 · 300 · ξ · (h(cot θ) − 40) · 14,17 · [(h(cot θ) − 40) − 0,40 · ξ] − 72,02 · 106 = 0

266

Capitolo 7

2000

armatura longitudinale, Asl (mm 2 )

1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200

cot θ

0 1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

Figura 7.18 Armatura longitudinale necessaria ad assorbire il momento torcente sollecitante al variare della cotθ.

e l’armatura longitudinale: As =

0,80 · b · ξ · d · σcd 0,80 · 300 · ξ · (h(cot θ) − 40) · 14,17 = fyd 391,30

al variare della cot θ nell’intervallo 1 ≤ cot θ ≤ 2,5. Nella Figura 7.19 sono riportati, al variare della cot θ, gli andamenti dell’asse neutro ξ e dell’armatura longitudinale As necessari ad assorbire la sollecitazione flessionale di progetto; `e evidente che i due parametri diminuiscano al crescere della cot θ. 0,30

600

asse neutro ξ

0,25

500

0,20

400

0,15

300

0,10

200

0,05

armatura a flessione, As(mm2)

100 cot θ

0,00 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 (a)

cot θ 0 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 (b)

Figura 7.19 Andamento al variare della cot θ (a) dell’asse neutro ξ e (b) dell’armatura longitudinale As .

Stato Limite Ultimo per torsione

267

Alla luce dei risultati sin ora esposti si sceglie quale soluzione progettuale, quella che minimizza l’entit`a delle armature metalliche, corrispondente a una inclinazione delle bielle compresse definita da una cot θ = 2,5. A tale valore corrisponde un’altezza geometrica di circa 700 mm; tuttavia, tenendo conto dell’approssimazione connessa alla posizione t = 2c si adotta un’altezza geometrica h = 650 mm. Con riferimento alla sola sezione di estremit`a, le sollecitazioni di progetto risultano: MSd = 36,01 kNm VSd = 86,42 kN TSd = 40,67 kNm Per rendere pi` u agevole il calcolo delle grandezze necessarie alla fase progettuale si ricavano preventivamente lo spessore t della sezione cava come massimo valore tra: 300 · 650 Ac = = 103 mm u 2 · (300 + 650) t = 2c = 2 · 40 = 80 mm t=

l’area A racchiusa dalla linea media della sezione cava, come: A = (b − t) · (h − t) = (300 − 103) · (650 − 103) = 108 033 mm2 nonch´e la lunghezza della linea media della sezione cava p: p = 2 · (b − t) + 2 · (h − t) = 2 · (300 − 103) + 2 · (700 − 103) = 1489 mm e infine l’altezza utile d = h − c = 650 − 40 = 610 mm Verifica delle bielle compresse 86,42 · 103 300 · 0,9 · 610 · 1 · 0,5 · 14,17

1 2,5 + 0,4

+

40,67 · 106

+

2 · 108 033 · 1 · 0,5 · 14,17 · 103 ·

1 2,5 + 0,4

= 0,96 ≤ 1

Calcolo passo armature trasversali (passo) d∗ 0,9 · 610 · cot θ = 2 · 50 · 391,30 · · 2,5 = 621 mm Vsd 86,42 · 103 2 · As 2 · 50 · cot θ = 391,30 · 108 033 · · 2,5 = 260 mm sT = fyd · A · TSd 40,67 · 106 1 1 = 183 mm = sV +T = 1 1 1 1 + + sV sT 621 260 sV = Asw · fyd ·

268

Capitolo 7

Calcolo armature longitudinali a torsione Asl =

TSd 40,67 · 106 · 1489 · 2,5 = 1791 mm2 · p · cot θ = 2 · A · fyd 2 · 108 033 · 391,3

Tale armatura viene distribuita nella sezione, in relazione alla quota parte che ciascun lato ha sulla valutazione del perimetro p, ossia: Asl 1791 · (b − t) = · (300 − 103) = 237 mm2 p 1489 1791 Asl · (h − t) = · (650 − 103) = 658 mm2 Asl (h) = p 1489 Asl (b) =

Calcolo armature longitudinali a flessione MSd = 0,80 · b · ξ · d · σcd · (d − 0,40 · ξ) = = 0,80 · 300 · ξ · 610 · 14,17 · (610 − 0,40 · ξ) = 36,01 · 106 dalla quale ξ = 0,0288. L’armatura longitudinale a flessione, risulta As =

0,80 · b · ξ · d · σcd 0,80 · 300 · 0,0288 · 610 · 14,17 = 153 mm2 = fyd 391,30

In definitiva, nella zona tesa va adottata un’armatura longitudinale, somma delle due aliquote a torsione e a flessione, ossia: As = 237 + 153 = 390 mm2 Nella zona compressa, va dapprima verificato che la risultante di trazione, che nasce per effetto della torsione, sia maggiore della risultante di compressione causata dalla flessione. La risultante di trazione conseguente alla torsione pu` o valutarsi come: Sl = Asl (b) · fyd = 237 · 391,3 = 92 738 N mentre la risultante di compressione dovuta alla flessione risulta: C = 0,80 · b · ξ · d · σcd = 0,80 · 300 · 0,0288 · 610 · 14,17 = 59 717 N Pertanto, anche in zona compressa risulta necessaria l’armatura longitudinale a torsione: As = 237 mm2

8 Aste snelle in cemento armato e Stato Limite Ultimo di stabilit` a

Il calcestruzzo strutturale `e generalmente caratterizzato da un ridotto rapporto fra resistenza e peso specifico. Pertanto, al contrario di quanto accade per strutture in acciaio o in alluminio, la progettazione strutturale ha portato in genere a dimensioni degli elementi tale da rendere secondari i problemi di instabilit` a dell’equilibrio e gli effetti della non linearit` a geometrica. Dunque gli studi connessi a questa problematica sono stati per molto tempo ritenuti di interesse essenzialmente teorico, con limitate applicazioni nel settore delle strutture prefabbricate e delle grandi infrastrutture. Con il passare del tempo si `e avuto un progressivo miglioramento della qualit` a dei conglomerati cementizi, che ha consentito di ottenere resistenze crescenti con componenti tradizionali, non solo negli elementi prefabbricati, ma anche nelle realizzazioni gettate in opera. Si `e passati, infatti, da resistenze ordinarie di 20 ÷ 25 MPa, a valori di 50 ÷ 60 MPa. La nuova Norma Tecnica sulle Costruzioni (NTC, 2008), al pari dell’Eurocodice 2 (EC2, 2004), prevede l’uso di calcestruzzi fino alla classe C90/105, seppur con speciali autorizzazioni; dunque `e prevedibile sempre di pi` u l’utilizzo di elevate resistenze. Nello stesso tempo, gli studi finalizzati alla caratterizzazione delle azioni e alla loro quantificazione, il continuo perfezionamento delle tecniche di analisi strutturale, la diffusione delle tecniche di verifica a rottura delle sezioni hanno condotto a dimensioni strutturali degli elementi in cemento armato sempre pi` u contenute. Pertanto, il problema dell’instabilit` a `e divenuto progressivamente pi` u rilevante, per la riduzione delle sezioni trasversali dei pilastri e il contestuale aumento dei valori delle snellezze. Dunque il problema della non linearit` a geometrica `e diventato rilevante anche per molte strutture in cemento armato. L’esame del comportamento e dei principi di verifica della sicurezza nei confronti dell’instabilit` a delle strutture in cemento armato si presenta piuttosto complesso; infatti, si deve non solo far riferimento a una teoria di ordine superiore al primo (non linearit` a geometrica), ma anche considerare gli effetti delle non linearit` a meccaniche connesse alla fessurazione del calcestruzzo

270

Capitolo 8

teso e allo scorrimento viscoso del calcestruzzo sottoposto a carichi di lunga durata. Nel seguito si svilupperanno tali tematiche, seppur spesso in maniera semplificata. Si sottolinea che, per semplicit` a, non si riporter` a il pedice “Sd” per definire le sollecitazioni di progetto; ci` o per non appesantire troppo la notazione.

8.1 Aste compresse e non linearit` a geometrica A causa degli spostamenti trasversali connessi alle sollecitazioni flettenti, l’azione normale agente sull’elemento strutturale pu` o essere caratterizzata da eccentricit`a non trascurabile, generando momenti flettenti addizionali crescenti con la snellezza dell’elemento. In presenza di tali sollecitazioni, la capacit` a portante degli elementi diminuisce ed essi possono raggiungere la crisi per valori delle sollecitazioni inferiori rispetto a quelle che provocano la crisi della sezione per sole tensioni normali. Per tener conto di tale fenomeno, `e necessario riferirsi alla configurazione deformata nella scrittura delle equazioni di equilibrio; pertanto non sussiste pi` u un legame lineare tra azioni e sollecitazioni, dipendendo queste ultime dagli spostamenti subiti dalla struttura. Quanto sopra riportato pu` o essere illustrato con riferimento alla Figura 8.1, nella quale `e rappresentata una mensola rettilinea, a sezione costante, di altezza pari a L, soggetta a un carico P parallelo all’asse della mensola e caratterizzato da un’eccentricit`a pari a e0 . P e0

e0

v(z)

L

z y f Figura 8.1 Stato di deformazione di una colonna caricata assialmente in modo eccentrico.

Aste snelle in cemento armato e Stato Limite Ultimo di stabilit` a

271

L’analisi strutturale condotta trascurando gli effetti del secondo ordine fornisce evidentemente i seguenti risultati: N =P M = P · e0

(8.1a) (8.1b)

Gli effetti del secondo ordine connessi agli spostamenti trasversali possono essere valutati semplicemente a partire dallo spostamento f in sommit`a e da quello v(z) della generica sezione; infatti operando sulla configurazione deformata si ha: N =P M (z) = P · [e0 + f − v(z)]

(8.2a) (8.2b)

Nell’ipotesi di materiali linearmente elastici e avendo assunto P · e0 positivo come nella Figura 8.1, la relazione tra il momento flettente e la funzione spostamento `e M (z) = EId2 v(z)/dz 2 , dove EI `e la rigidezza flessionale dell’elemento strutturale, in questa circostanza assunta costante e indipendente dallo stato di sollecitazione. L’equazione (8.2b) pu` o essere quindi scritta nel modo seguente: EI

d2 v(z) = P · [e0 + f − v(z)] dz 2

(8.3)

che, ponendo: α2 =

P EI

(8.4)

diventa

d2 v(z) + α2 · v(z) = α2 · (e0 + f ) dz 2 La soluzione della (8.5) `e: v(z) = C1 · sin(α · z) + C2 · cos(α · z) + (e0 + f )

(8.5)

(8.6)

Per z = 0, imponendo le condizioni cinematiche di incastro su spostamento e rotazione, si ottiene C1 = 0; C2 = −(e0 + f ) e quindi: v(z) = (e0 + f ) · [1 − cos(αz)]

(8.7)

Per z = L deve essere v(L) = f per cui: f = (e0 + f ) · [1 − cos(α · L)]

(8.8a)

1 − cos(α · L) cos(α · L)

(8.8b)

f = e0 · e ancora:

f + eo =

e0 cos(α · L)

(8.8c)

272

Capitolo 8

Sicch´e sostituendo nella (8.7) si ottiene: v(z) = e0 ·

1 − cos(α · z) cos(α · L)

(8.9)

L’andamento dello spostamento di sommit` a f , definito dall’equazione (8.8b) al variare dello sforzo assiale applicato sulla colonna, `e rappresentato nella Figura 8.2. L’andamento iniziale `e approssimato dalla freccia f1 corrispondente all’usuale relazione lineare fra spostamento dell’estremo della mensola e coppia applicata: P e0 · 4L2 (8.10) f1 = 8 · EI All’aumentare dell’azione P a tale freccia si somma un crescente contributo del secondo ordine f2 . In particolare f2 , e dunque f , tende all’infinito, e il diagramma presenta un asintoto orizzontale, allorquando αL = π/2; in tale condizione, infatti, la funzione (8.9) tende all’infinito e ci` o corrisponde alla circostanza che lo sforzo normale applicato P assume il valore critico euleriano PE :  N π π 2 · EI π 2 EI · L = ⇒ P = PE = = (8.11) αL = EI 2 4 · L2 L20 avendo introdotto la lunghezza libera di inflessione (distanza fra due punti di flesso della deformata o equivalentemente fra due punti di momento flettente nullo) L0 = 2L. P PE

f1

f2

f f Figura 8.2 Legame sforzo assiale-spostamento in sommit` a di un’asta snella.

Il momento che complessivamente agisce al piede risulta costituito da due aliquote, in quanto l’equazione (8.2b) pu` o essere scritta nel modo seguente: M = MI + MII

(8.12)

Aste snelle in cemento armato e Stato Limite Ultimo di stabilit` a

273

nella quale il momento del primo ordine MI = P · e0 `e una funzione lineare delle azioni applicate, mentre MII = P · [f − v(z)] `e una funzione non lineare della forza P , che tenendo conto delle (8.8) e (8.9) assume la forma:   cos(α · z) − cos(α · L) (8.13) MII = P · e0 · cos(α · L) Al piede dell’asta, per z = 0, la (8.13) fornisce:   1 − cos(α · L) MII = P · e0 · cos(α · L)

(8.14)

Anche la relazione tra il momento flettente e la forza esterna applicata `e non lineare e presenta un asintoto, in questo caso verticale; infatti, la funzione (8.14) non `e definita e in particolare tende a infinito allorquando αL = π/2, cio`e ancora una volta nel caso in cui lo sforzo normale P assume il valore critico euleriano PE. Nella Figura 8.3, la relazione non lineare tra carico esterno e momento flettente nella sezione al piede dell’elemento strutturale `e rappresentata qualitativamente. M

M II

M I = P · e0

MI PE

N

Figura 8.3 Legame sforzo assiale-momento flettente in un’asta snella.

Si deve peraltro osservare che la trattazione svolta sinora `e valida nell’ipotesi di elasticit`a lineare dei materiali; quindi nel caso delle aste in cemento armato ha un valore puramente teorico. D’altro canto, la resistenza delle sezioni trasversali dell’elemento strutturale `e limitata; pertanto anche nell’ipotesi di rigidezza flessionale costante lungo l’asse e indipendente dal livello di sollecitazione, il valore del carico critico euleriano non costituisce il limite superiore della capacit` a portante, giacch´e la crisi si attinge per tensioni normali per valori della forza PU < PE , come si

274

Capitolo 8

M

I PU P U

PE N

Figura 8.4 Resistenza e sollecitazione nella sezione critica di un’asta snella.

osserva nella Figura 8.4, nella quale `e riportato schematicamente il dominio di resistenza (M, N ) allo Stato Limite Ultimo (vedi Capitolo 4). Si osservi che in assenza di non linearit` a geometrica la crisi sarebbe avvenuta in corrispondenza di PUI > PU . Dunque la crisi dell’elemento in presenza di non linearit` a geometrica si ottiene per un valore dell’azione che `e inferiore tanto del carico critico PE quanto del carico ultimo PUI .

8.2 Aste compresse e non-linearit` a meccanica del calcestruzzo L’equazione (8.14) `e stata ricavata nell’ipotesi di elasticit` a lineare. L’esame della formula, estremamente semplice, fornisce un quadro degli aspetti pi` u rilevanti del problema, ma non considera che la non linearit` a del calcestruzzo `e presente anche per modesti valori delle deformazioni. Nel seguito si esamina l’influenza del legame tensione-deformazione del calcestruzzo sul valore del carico critico di un’asta in cemento armato. Si assume per il calcestruzzo il legame costitutivo parabola-rettangolo gi` a presentato nell’ambito del Capitolo 4 e descritto dalla (4.2). Quest’ultima nel tratto parabolico, si pu` o scrivere nel modo che segue:  σcd εc · εc · 1 − (8.15) σc (εc ) = 2 · εc2 2 · εc2 Il calcolo del modulo elastico tangente si pu` o eseguire derivando la (8.15):  dσc 2 · σcd εc Et = = · 1− (8.16) dεc εc2 εc2

Aste snelle in cemento armato e Stato Limite Ultimo di stabilit` a

275

Il modulo elastico all’origine `e dato invece dal valore assunto dal modulo elastico tangente valutato in corrispondenza della deformazione εc nulla: E0 = e quindi

2 · σcd εc2

(8.17)

εc Et = E0 · 1 − (8.18) εc2 Il valore della deformazione εc corrispondente alla tensione generica σc si ricava facendo riferimento alla (8.15):    σc (8.19) εc = εc2 · 1 − 1 − σcd 

Pertanto, sostituendo la (8.19) nella (8.18), si ottiene la relazione che sussiste tra il valore del modulo elastico tangente e il generico valore della tensione nel calcestruzzo, σc :  σc Et = E0 · 1 − (8.20) σcd Analogamente, il modulo di elasticit` a secante valutato in corrispondenza della deformazione εc risulta:  σc 2 · σcd εc (8.21a) = · 1− Es = εc εc2 2εc2 e quindi, considerando la (8.19):  Es = E0 · 0,5 1 +



σc 1− σcd

(8.21b)

Dunque `e possibile fare due distinte stime del carico critico tenendo in conto le non linearit` a meccaniche; indicando rispettivamente con PEt e PEs il carico critico valutato con il modulo tangente e con il modulo secante, si ottiene immediatamente:   π2 · I π 2· Eo · I σc σc · Et = · 1− = PE · 1 − (8.22a) PE,t = 2 2 Lo Lo σcd σcd   π2 · I π 2· Eo · I σc = PE,s = · Es = · 0,5 1 + 1 − L2o L2o σcd (8.22b)   σc = PE · 0,5 1 + 1 − σcd Il grafico di PE,t /PE e PE,s /PE al variare del rapporto σc /σcd `e riportato nella ` evidente in ogni caso il notevole abbattimento di carico critico Figura 8.5. E per effetto della non linearit` a del calcestruzzo.

276

Capitolo 8

1,0 P E,s /P E

0,9 0,8

P E,t /P E

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

σc / σcd

0,0 0,0 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7 0,8

0,9

1,0

Figura 8.5 Legame PE,t /PE e PE, s /PE in funzione di σc /σcd .

Si deduce quindi che il comportamento non lineare del calcestruzzo non interviene solo limitando la resistenza al valore PU che si ottiene dal dominio M -N , come visto nel paragrafo precedente, ma anche nella diminuzione del carico critico.

8.3 Aste compresse e viscosit` a del calcestruzzo La stabilit` a delle strutture compresse in cemento armato `e altres`ı influenzata dai fenomeni reologici che caratterizzano il calcestruzzo e in particolare dalla viscosit`a. La valutazione degli effetti prodotti dalla viscosit` a sullo stato di sforzo e di deformazione delle strutture `e argomento molto complesso e spesso di difficile soluzione per due ordini di motivi. In primo luogo perch`e `e intrinsecamente difficile la rappresentazione del fenomeno viscoso e in secondo luogo perch´e la soluzione `e strettamente connessa alle modalit`a costruttive della struttura e alla sua evoluzione nel tempo, `e questo il caso delle costruzioni realizzate per fasi, e alla natura delle azioni applicate. A causa della viscosit`a del calcestruzzo, seppure in presenza di azioni costanti nel tempo, le deformazioni aumentano progressivamente per viscosit` a. In particolare, in presenza di solo calcestruzzo le frecce aumentano con un andamento riportato nella Figura 8.6: per effetto della viscosit` a, la funzione f (t) non `e costante, ma cresce nel tempo ed `e caratterizzata da un asintoto orizzontale al tendere del tempo di osservazione a infinito. In particolare nella figura (analoga alla fig. 2.10, che rappresenta il comportamento del materiale) sono

Aste snelle in cemento armato e Stato Limite Ultimo di stabilit` a

277

evidenziati i due contributi, quello elastico (fel ) e quello viscoso (fvis ), a un generico istante di tempo. e0

P f(t)

f(∞) f(t) f vis

f(t0 )

f el

P

t0

e0

t

t

Figura 8.6 Variazione nel tempo della freccia della struttura esemplificata.

In particolare, in maniera semplificata, gli effetti della viscosit` a a tempo infinito possono essere valutati introducendo un valore equivalente del modulo di elasticit`a Ec∗ che si definisce “efficace”, definito secondo la seguente espressione: Ec Ec = (8.23) Ec∗ = 1 + ϕef (∞, t0 ) 1 + c · ϕ (∞, t0 ) nella quale ϕef (∞, t0 ) `e il coefficiente di viscosit`a “efficace”, ϕ(∞, t0 ) `e il coefficiente finale di viscosit`a (fig. 2.10) e c ≤ 1 definisce l’aliquota di carico che interviene nella viscosit` a, che `e solo la parte permanente; in particolare c si valuta in genere con riferimento ai momenti flettenti nel seguente modo: c=

MI,p ≤1 MI

(8.24)

essendo MI,p il momento flettente del primo ordine sotto la condizione di carico quasi permanente e MI il momento flettente del primo ordine complessivo. Dunque, il comportamento in termini di relazione fra carico verticale P e a spostamento f pu` o essere valutato al tempo t0 , in cui l’effetto della viscosit` non agisce e il modulo del calcestruzzo `e pari a Ec , e al tempo infinito in cui l’effetto `e completamente sviluppato, usando in maniera equivalente il modulo di elasticit`a ridotto Ec∗ . Tali due casi limite sono sempre rappresentati da grafici del tipo della Figura 8.2, dove il comportamento a tempo infinito ha una tangente iniziale caratterizzata da maggiore deformabilit` a e il carico critico `e pi` u basso, avendo utilizzato il modulo di elasticit` a ridotto dato dalla (8.23). I due comportamenti sono schematizzati nella Figura 8.7.

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Capitolo 8

P Pmax (1) (3) t