Strukturdynamik diskreter Systeme 9783486711523, 9783486597387

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Strukturdynamik diskreter Systeme von Prof. Dr.-Ing. Friedrich U. Mathiak

Oldenbourg Verlag München

Prof. Dr.-Ing. Friedrich U. Mathiak war nach seinem Studium des Bauingenieurwesens an der Technischen Universität Berlin Wissenschaftlicher Assistent am 2. Institut für Mechanik. Dort promovierte er über Einflussflächen isotroper schubelastischer Rechteckplatten. Es folgten Forschungstätigkeiten in der Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfung (BAM) in Berlin auf dem Gebiet des Strahlungsaustausches schwarzer isothermer Flächen und der dynamischen Untersuchung von Kernkraftwerken. In der sich anschließenden Tätigkeit in der Automobilindustrie war er schwerpunktmäßig auf dem Gebiet der Simulation der Blechumformung tätig. Im Jahre 1994 folgte der Ruf an die Hochschule Neubrandenburg, an der er eine Professur für Technische Mechanik und Bauinformatik inne hat.

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© 2010 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Anton Schmid Herstellung: Anna Grosser Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Grafik + Druck GmbH, München ISBN 978-3-486-59738-7

Vorwort Dieses Buch ist vorgesehen zum Gebrauch in Lehrveranstaltungen der Ingenieurwissenschaften, etwa der Technischen Mechanik, des Bauwesens, des Maschinenbaus, der Elektrotechnik und der Luft- und Raumfahrt. Der Inhalt orientiert sich dabei an den klassischen Schwerpunkten dieser Veranstaltungen. Es gibt zunächst eine gründliche Darstellung der Kinematik des Massenpunktes und der allgemeinen Bewegung des starren Körpers. Im Kapitel Grundlagen der Kinetik erfolgt die Behandlung von Schwerpunktsatz, Drallsatz und Impuls. Anschließend werden die Begriffe Arbeit und Energie eingeführt sowie der Arbeitssatz für starre Körper und die wichtigen Lagrangeschen Bewegungsgleichungen vorgestellt. Beispiele zum mathematischen und physikalischen Einfach- und Doppelpendel zeigen die Herleitung der Schwingungsdifferenzialgleichungen und deren Linearisierung durch Anwendung der abgeleiteten Sätze. Ein wesentlicher Teil der Ingenieurtätigkeit besteht in der Modellbildung technischer Systeme, die dann mittels mathematischer Methoden einer Lösung zugeführt werden. Um hier unterstützend zu wirken, werden die linearen Grundmodelle Feder, viskoser Dämpfer und deren Reihen- und Parallelschaltungen ausführlich behandelt. Mit diesen Konzepten erfolgt die Herleitung der Grundgleichungen der freien Schwingungen für ungedämpfte und gedämpfte Systeme mit einem und mehreren Freiheitsgraden, die durch eine Fülle von Beispielen abgerundet werden. Die erzwungenen Schwingungen, die wieder ungedämpft oder gedämpft ablaufen können, nehmen einen breiten Rahmen ein. Spezielle Systemerregungen, dazu gehören der Stoß und die Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte, sind ausführlich abgehandelt. In diesem Zusammenhang ist die Darstellung der äußeren Erregung durch Fourierreihen und die nummerische Berechnung der Fourierkoeffizienten von großer Bedeutung. Die Algebraisierung der Bewegungsgleichungen erfordert Integraltransformationen, von denen in der Schwingungslehre die Fouriertransformation und die Laplacetransformation von großer Bedeutung sind. Sie werden deshalb eingehend behandelt und deren Handhabung an Beispielen erklärt. Das Kapitel Schwingungsisolierung von Gebäuden und Maschinen enthält die beiden Aufgabenstellungen der Quellen- und Empfängerisolierung. Bei sehr kurzen Einwirkungszeiten nichtperiodischer Belastungen, die durch das Versagen von Bauteilen oder den Aufprall eines Festkörpers auf ein Bauwerk entstehen, wird von Stoß- oder Schockbelastungen gesprochen. Diese plötzlich einsetzenden Einwirkungen können zu hohen Beanspruchungen der Konstruktion führen und werden deshalb gesondert betrachtet.

VI

Vorwort

Eine spezielle Systemstruktur bilden die Schwingerketten, die im gesamten Ingenieurwesen von großer praktischer Bedeutung sind. In diesem Zusammenhang wird ein Blockschaltbild zur nummerischen Abarbeitung der Bewegungsgleichungen in einem blockorientierten grafischen Simulationssystem für dynamische Systeme entwickelt. Bei den gedämpften Bewegungen ist aus rechentechnischen Gründen die Entkopplung der Bewegungsgleichungen von Nutzen, da in diesem Fall die Eigenschwingungsformen des ungedämpften Systems erhalten bleiben. Es wird gezeigt, unter welchen Bedingungen eine solche Entkopplung überhaupt möglich ist und sodann an Beispielen zur Modalanalyse dokumentiert. Für den Praktiker sind die Ausführungen zur näherungsweisen Berücksichtigung der Dämpfung von Bedeutung. Neben der Schwingungsisolierung besteht durch Anbringung eines Absorbers eine weitere Möglichkeit, Systeme vor unerwünschten Schwingungen zu schützen. In diesem Zusammenhang erfolgt die Bemessung eines Tilgers sowie eines Schwingungsdämpfers. Für die Bemessung von Torsionswellen und deren Schwingungsreduzierung ist die Wirkung des viskosen Dämpfers von Interesse. Für die Aufgabengebiete der Restaurierung und Modernisierung von Maschinenfundamenten, der elastischen Aufstellung von Gas- und Dieselaggregaten, der Aufstellung von Pressen und Druckmaschinen und der Gründung von Pfahlrostplatten des Bauwesens, stellt das Kapitel Fundamentschwingungen die allgemeinen Grundgleichungen bereit, die unmittelbar in einem Computerprogramm Verwendung finden können. Neben den räumlichen Systemen wird auch das ebene Problem behandelt. Die Schwingungsuntersuchungen kontinuierlicher Systeme wie Stäbe, Balken und Platten sind nicht Bestandteil des vorliegenden Buches. Allerdings gestatten die für die diskreten Strukturen entwickelten Grundgleichungen eine näherungsweise Untersuchung von Kontinuumsproblemen. Am Beispiel des Balkens wird ein vielseitig einsetzbares Diskretisierungsverfahren hergeleitet und dessen Güte an Beispielen getestet. Das Buch schließt mit einem Kapitel zur nummerischen Behandlung der Bewegungsgleichungen. Neben der Herleitung einiger erforderlicher Differenzenquotienten werden die für die Strukturdynamik wichtigen Integrationsalgorithmen bereitgestellt und beispielhaft getestet. Die Auflistung der in ihrer Grundstruktur relativ einfach zu programmierenden Integrationsalgorithmen, kann den Studierenden als Anregung zur Erstellung von Parameterstudien dienen. Da die Aufgaben der Strukturdynamik i. Allg. sehr rechenintensiv und damit überaus fehleranfällig sind, wird den Studierenden empfohlen, sich in ein Computeralgebraprogramm (CAP) einzuarbeiten, was übrigens der Autor auch getan hat. Diese Systeme haben mittlerweile einen hohen Reifegrad erreicht und gestatten dem Anwender, neben der Erzeugung analytischer Lösungen, auch die grafische Ausgabe der Ergebnisse, womit grundsätzliche Einsichten in die Problemstellung vermittelt werden können. Außerdem gestatten sie die für die praktische Anwendung wichtige nummerische Bearbeitung von Schwingungsproblemen mittleren Schwierigkeitsgrades. Viele der hier vorgestellten Beispiele, einschließlich der zugehörigen Abbildungen, sind mit einem CAP bearbeitet worden. Neubrandenburg, den 15.08.2010

Friedrich U. Mathiak

Inhalt Vorwort

V

1

Die Bewegung des Massenpunktes

1

1.1

Die Bogenlänge ..........................................................................................................2

1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6

Geschwindigkeit und Beschleunigung .......................................................................3 Kartesische Koordinaten ............................................................................................4 Natürliche Koordinaten (Begleitendes Dreibein) .......................................................4 Zylinderkoordinaten ...................................................................................................6 Die Kreisbewegung ....................................................................................................7 Die geradlinige Bewegung .........................................................................................8 Freiheitsgrade ...........................................................................................................12

2

Die Bewegung des starren Körpers

2.1 2.1.1

Ebene Bewegungen ..................................................................................................15 Der Satz vom Momentanzentrum.............................................................................16

2.2

Die Kinematik der Relativbewegung eines Punktes.................................................19

2.3

Drehtransformationen...............................................................................................23

3

Grundlagen der Kinetik

3.1

Newtons Gesetze ......................................................................................................27

3.2

Der Schwerpunktsatz................................................................................................28

3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7

Der Drallsatz ............................................................................................................29 Der Drallsatz für starre Körper bei reiner Drehung um einen raumfesten Punkt .....31 Der Drallsatz bei einer allgemeinen Bewegung des starren Körpers .......................35 Der Drallsatz für die ebene Bewegung eines starren Körpers ..................................35 Unwuchtwirkungen ..................................................................................................38 Transformationsformeln für Massenmomente .........................................................40 Hauptachsentransformation......................................................................................43 Beispiele zur Berechnung von Massenträgheitsmomenten ......................................45

3.4

Der Impuls................................................................................................................48

13

27

VIII

Inhalt

4

Der Arbeits- und Energiebegriff

51

4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4

Die Arbeit einer Kraft .............................................................................................. 51 Die Arbeit eines Kräftepaares .................................................................................. 52 Das Potenzial einer Kraft ......................................................................................... 52 Das Potenzial einer Gewichtskraft ........................................................................... 53 Das Potenzial einer Federkraft ................................................................................. 54

4.2 4.2.1

Die Kinetische Energie ............................................................................................ 55 Die Leistung einer Kraft........................................................................................... 58

4.3

Der Arbeitssatz für starre Körper ............................................................................. 59

4.4

Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen............................................................ 61

4.5

Das Prinzip der virtuellen Verrückung..................................................................... 64

4.6

Das d’Alembertsche Prinzip .................................................................................... 68

5

Das Pendel

5.1

Das mathematische Pendel....................................................................................... 71

5.2

Das mathematische Doppelpendel ........................................................................... 77

5.3 5.3.1

Das physische Pendel............................................................................................... 78 Die Schnittlasten in einem schwingenden Stab........................................................ 82

5.4

Das physische Doppelpendel ................................................................................... 84

6

Modellbildung

6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.1.7 6.1.8

Grundmodelle........................................................................................................... 91 Die lineare Feder (Hooke-Modell)........................................................................... 92 Der lineare Dämpfer (Newton-Modell).................................................................... 93 Das Trockenreibungselement (St.-Vénant-Modell) ................................................. 93 Reihen- und Parallelschaltung von Federn............................................................... 94 Reihenschaltung von Feder und Dämpfer (Maxwell-Modell) ................................. 95 Parallelschaltung von Feder und Dämpfer (Kelvin-Modell).................................. 100 Parallelschaltung von Feder und Maxwell-Modell (Standard-Modell).................. 103 Reihenschaltung von Feder und Trockenreibungselement (Prandtl-Modell)......... 107

7

Schwingungen

7.1

Darstellung von Schwingungsvorgängen............................................................... 111

7.2

Einteilung der Schwingungen ................................................................................ 112

7.3 7.3.1

Harmonische Schwingungen.................................................................................. 113 Überlagerung harmonischer Schwingungen .......................................................... 114

7.4

Die komplexe Zeigerdarstellung bei harmonischen Schwingungen ...................... 121

71

89

109

Inhalt

IX

8

Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

125

8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4 8.1.5

Der ungedämpfte Einmassenschwinger..................................................................125 Berücksichtigung des Eigengewichts der Masse m................................................127 Kontinuierliche Systeme und ihre äquivalenten Einmassenschwinger ..................131 Angenäherte Berücksichtigung der Federmasse.....................................................134 Angenäherte Berücksichtigung der Masse eines Biegeträgers ...............................135 Angenäherte Berücksichtigung der Masse eines Torsionsstabes............................138

8.2

Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger ..........................................................139

9

Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad

9.1

Erzwungene ungedämpfte Schwingungen..............................................................153

9.2

Die Vergrößerungsfunktion....................................................................................156

9.3

Erzwungene gedämpfte Bewegungen ....................................................................159

9.4

Die komplexe Zeigerdarstellung bei erzwungenen gedämpften Schwingungen ....166

9.5

Näherungsweise Ermittlung des Dämpfungsgrades ...............................................172

10

Spezielle Systemerregungen

10.1

Randerregung einer Masse über Feder und Dämpfer .............................................175

10.2

Fußpunkterregung ..................................................................................................179

10.3

Bewegungsmessungen............................................................................................183

10.4

Felderregung von Feder und Dämpfer durch eine Unwucht ..................................188

10.5

Erregung durch eine Sprungfunktion .....................................................................192

10.6

Erregung durch einen Rechteckstoß .......................................................................196

10.7

Der ideale Rechteckstoß.........................................................................................199

10.8

Die Diracsche Delta-Funktion................................................................................200

10.9

Allgemeine Erregerfunktionen ...............................................................................202

10.10 10.10.1 10.10.2 10.10.3 10.10.4

Der Stoß .................................................................................................................209 Der gerade zentrale Stoß ........................................................................................211 Der schiefe zentrale Stoß........................................................................................213 Der exzentrische Stoß.............................................................................................214 Stoßbelastungen an Trägern ...................................................................................216

11

Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

11.1

Fourierreihen ..........................................................................................................221

11.2

Nummerische Berechnung der Fourierkoeffizienten..............................................234

11.3

Die Fouriertransformation......................................................................................239

11.4

Die Laplacetransformation .....................................................................................252

153

175

221

X

Inhalt

12

Schwingungsisolierung von Gebäuden und Maschinen

257

12.1

Quellenisolierung ................................................................................................... 258

12.2

Empfängerisolierung .............................................................................................. 261

12.3

Isolierung von Stößen ............................................................................................ 263

13

Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

13.1

Freie ungedämpfte Schwingungen mit speziell zwei Freiheitsgraden ................... 273

13.2 13.2.1 13.2.2

Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden ..................... 286 Das allgemeine und das spezielle Matrizen-Eigenwertproblem............................. 293 Entkopplung der Bewegungsgleichungen .............................................................. 297

13.3 13.3.1 13.3.2 13.3.3 13.3.4

Erzwungene ungedämpfte Bewegungen ................................................................ 311 Entwicklung der Lösung nach Eigenvektoren........................................................ 311 Harmonische Belastungen...................................................................................... 318 Periodische Belastungen ........................................................................................ 323 Anwendung der Modalanalyse............................................................................... 324

14

Gedämpfte Bewegungen

14.1 14.1.1 14.1.2 14.1.3

Freie gedämpfte Bewegungen................................................................................ 329 Transformation in ein System 1. Ordnung ............................................................. 335 Entkopplung der Bewegungsgleichungen .............................................................. 339 Näherungsweise Berücksichtigung der Dämpfung ................................................ 350

14.2 14.2.1 14.2.2 14.2.3

Erzwungene gedämpfte Bewegungen .................................................................... 358 Transformation in ein System 1. Ordnung ............................................................. 362 Entkopplung der Bewegungsgleichungen .............................................................. 363 Periodische Erregerbelastungen ............................................................................. 366

14.3

Schwingerketten..................................................................................................... 371

15

Schwingungsabsorption

15.1

Der Tilger............................................................................................................... 377

15.2

Der Schwingungsdämpfer...................................................................................... 387

15.3

Der viskose Dämpfer.............................................................................................. 395

16

Fundamentschwingungen

16.1

Die Bewegungsgleichungen................................................................................... 399

17

Näherungsverfahren für den Balken

17.1

Ein einfaches Diskretisierungsverfahren................................................................ 417

17.2

Näherungsweise Berechnung der Eigenfrequenzen nach Rayleigh-Ritz ............... 424

17.3

Näherungslösung mit dem d’Alembertschen Prinzip............................................. 427

273

329

377

399

417

Inhalt

XI

18

Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen

433

18.1

Differenzenquotienten ............................................................................................436

18.2

Das Eulersche Polygonzugverfahren......................................................................438

18.3

Die Sehnen-Trapezregel (Verfahren von Heun).....................................................442

18.4

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren..................................................................443

18.5

Das Verfahren der finiten Differenzen für Differenzialgleichungen 2. Ordnung...446

18.6

Das Newmark-Verfahren .......................................................................................448

18.7

Das Verfahren von Adams-Bashforth ....................................................................453

Literaturverzeichnis

457

Sachverzeichnis

467

1

Die Bewegung des Massenpunktes

Die Kinematik oder Bewegungslehre beschäftigt sich, im Unterschied zur Dynamik und Kinetik, mit der Untersuchung und Beschreibung von Bewegungen, ohne Bezug auf ihre Ursachen zu nehmen, nämlich die sie bewirkenden Kräfte. Die einfachste Körperstruktur im Bereich der Kinematik ist der Massenpunkt, eine abstrahierte Form eines Volumens ohne räumliche Ausdehnung. Die Beschreibung der Lage eines Punktes P im Raum erfolgt durch einen Vektor, der relativ zu einem festen Punkt 0 gemessen wird Abb. 1.1 Punktbewegung im Raum (Abb. 1.1). Beim Durchlaufen des Parameters t beschreibt die Spitze des Ortsvektors r(t) eine Raumkurve, die Bahnkurve genannt wird. Zur Festlegung von Betrag und Richtung wird eine Basis benötigt, die rechtwinklig (orthogonal) oder auch schiefwinklig sein kann. Im Fall orthogonaler Einheitsvektoren e j ( j  1, 2, 3 ) sprechen wir von einer kartesischen Basis. Die Lage des Punktes P, und damit auch seine Bewegung, ist für alle Zeiten t bekannt, wenn beispielsweise seine kartesischen Koordinaten x j ( t ) bekannt sind. Der Ortsvektor erscheint dann in der Darstellung 3

r  r(t) 

 x (t) e j

j

 x1(t) e1  x 2(t) e 2  x 3(t) e3  [ x1(t), x 2(t), x 3(t)]T

j1

Den Betrag des Vektors r, also seine Länge, ermitteln wir bei einer orthonormalen Basis zu r ( t )  r(t)  r(t)  r(t)  x12 ( t )  x 22 ( t )  x 32 ( t ) . Seine Richtung können wir festlegen, in-

dem wir die Winkel  j angeben, die r mit den Basisvektoren ej einschließt. Wir erhalten mit r  e j  x j  r cos  j und unter Beachtung von r 2  r  r 

3

 j 1

x 2j  r 2

3

 cos

2

 j die Bedin-

j 1

gung cos 2 1  cos 2  2  cos 2  3  1 , womit die drei Winkel  j nicht unabhängig voneinander sind.

2

1 Die Bewegung des Massenpunktes

1.1

Die Bogenlänge

Eine weitere Möglichkeit zur Beschreibung der Bewegung eines Punktes besteht darin, den Parameter t (die Zeit) in der Beschreibung der Bahnkurve durch die Bogenlänge s zu ersetzen (Abb. 1.2), die von einem beliebigen Anfangspunkt (A) gemessen werden kann. Die Bewegung ist dann durch die Vorgabe der Weg-Zeit-Funktion s  s( t ) eindeutig festgelegt. Die Herstellung des Zusammenhangs zwischen den Parametern t und s erfolgt mathematisch durch die Parametertransformation t  t (s) , wobei immer dt / ds  0 Abb. 1.2 Die Bogenlänge unterstellt wird. Die neue Darstellung der Kurve lautet dann r ( t (s))  rˆ s  . Die Verbindung des abgeleiteten Vektors drˆ (s) / ds  rˆ (s) mit dem Vektor der Geschwindigkeit dr ( t ) / dt  r ( t ) gelingt mithilfe der Kettenregel drˆ d dr dt dt  r ( t (s))   r , also drˆ (s)  rdt  dr ( t ) , womit das 1. Ortsvektords ds dt ds ds differenzial parameterinvariant ist. Beachten wir dr ( t )  r ( t ) dt und drˆ (s)  rˆ (s) ds , dann

folgt r 2 ( t ) dt 2  rˆ  2 (s) ds 2 . Der ausgezeichnete Parameter s, für den rˆ  2 (s)  1 gilt, heißt Bogenlänge der Bahnkurve. Der Tangentenvektor rˆ  hat die feste Länge 1, und für das Quadrat des Bogendifferenzials folgt ds 2  r 2 ( t ) dt 2 und damit ds  r dt . Durch Summation aller Linienelemente ds zwischen den Zeitpunkten t0 und t erhalten wir die Länge der Bahnkurve t

s

 r ()

d  s ( t )

(1.1)

t0

Der Punkt t0 bezeichnet den willkürlich festgelegten Anfangspunkt (Punkt A in Abb. 1.2) der Kurve, womit die Bogenlänge s nur bis auf eine Konstante festgelegt ist. Die abgeleiteten Vektoren r und rˆ  haben die geometrische Bedeutung des Tangentenvektors an die Bahnkurve. Wird also die Bogenlänge s als Parameter gewählt, so hat rˆ  bereits den Betrag 1. Ist r ( t ) oder auch rˆ (s) für alle Zeiten t bekannt, so kann die (relative) Lage des Punktes P zu jeder Zeit ermittelt werden. Beispiel 1-1: Abb. 1.3

Beispiel zur Bogenlänge

Die Bewegung eines Punktes P wird durch den Ortsvektor r  t   [a  bt 2 a  ct bt 2 ]T mit a  2,0 m , b  0,1 ms 2 ,

c  0, 2 ms 1 beschrieben. Gesucht wird die Bogenlänge s zur Zeit t  5 s , wenn wir diese

bei t  0 zu zählen beginnen. Mit r  t   2bt c 2bt T ist

1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung t

s( t ) 



t

r () d 

t0

 0

3 t

8b 2 2  c 2 d  c

 

2

8 b / c  1 d 

0

c 

t



~ 2  1 d~ ;

0

~  ;   8 b  1,41s 1; s( t )  c [ t ( t ) 2  1  arc sinh( t )] c 2

und mit den Werten des Beispiels folgt s(t  5 s)  3,76 m .

1.2

Geschwindigkeit und Beschleunigung

Im Zeitintervall Δt gelangt der Punkt P (Abb. 1.4) von der durch r(t) gekennzeichneten Stelle zum durch den Ortsvektor r ( t  t )  r(t)  r beschriebenen Punkt P'. Der Ortsvektor r ändert dabei nicht nur seinen Betrag, sondern auch seine Richtung. Der Differenzenquotient v  r/t wird Vektor der mittleren Geschwindigkeit genannt, und der dem Zeitpunkt t zugeordnete Geschwindigkeitsvektor v ist durch den Grenzwert r dr Abb. 1.4 Die Geschwindigkeit v( t )  lim v  lim   r t 0 t 0 t dt definiert, wobei wir die Zeitableitung im Folgenden durch einen aufgesetzten Punkt kennzeichnen. Der Geschwindigkeitsvektor v ist also ein Maß für die zeitliche Lageänderung von P. Er tangiert die Bahnkurve im Punkte P. Geometrisch ist dann sofort einleuchtend, dass e t  r/ r

(1.2)

den Tangenteneinheitsvektor an die Bahnkurve darstellt. Für v  v  konst. liegt eine gleichförmige Bewegung vor. Hat der Geschwindigkeitsvektor v während des Bewegungsvorganges eine konstante Richtung, so handelt es sich um eine geradlinige Bewegung.

r   Länge , Einheit: m; v   Länge / Zeit , Einheit: ms-1 Bei Zunahme der Zeit t um Δt ändert mit v ( t  t )  v( t )  v der Geschwindigkeitsvektor v i. Allg. sowohl seinen Betrag als auch seine Richtung. Wir definieren zunächst den Vektor der mittleren Beschleunigung b  v/t , aus dem durch Grenzübergang t  0 der dem Zeitpunkt t zugeordnete Beschleunigungsvektor v d v d 2r   v  r  2 t 0 t dt dt

b( t )  lim b  lim t 0

4

1 Die Bewegung des Massenpunktes

hervorgeht. Der Beschleunigungsvektor b(t) ist definiert als die zeitliche Änderung des Geschwindigkeitsvektors v(t). Er tangiert die Bahnkurve i. Allg. nicht. Ist r(t) gegeben, so ist auch b(t) bekannt. Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes können nun in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden.

Abb. 1.5

Die Beschleunigung

1.2.1

Kartesische Koordinaten

Wir beziehen uns auf eine Orthonormalbasis ej ( j  1, 2, 3 ), deren Einheitsvektoren zeitlich konstant sind, dann gilt für den Ortsvektor r  x1 ( t ) e1  x 2 ( t ) e 2  x 3 ( t ) e 3  x1 ( t ) x 2 ( t ) x 3 ( t )T

Geschwindigkeit und Beschleunigung folgen daraus durch Ableitung nach der Zeit t dr  x 1e1  x 2 e 2  x 3e 3  x 1 x 2 x 3 T dt dv b  x1e1  x 2 e 2  x 3 e 3  x1 x 2 x 3 T dt v

1.2.2

Abb. 1.6

Natürliche Koordinaten (Begleitendes Dreibein)

Natürliche Koordinaten

Um bei einer allgemeinen räumlichen Bewegung eine Vorstellung von der Lage des Beschleunigungsvektors zur Bahnkurve zu bekommen, beziehen wir uns auf die spezielle Orthonormalbasis e t , e n , e b (Abb. 1.6). Diese Einheitsvektoren sind mit dem sich auf der Bahnkurve bewegenden Punkt P fest verbunden. Wie wir sehen werden, erscheinen dann Geschwindigkeit und Beschleunigung in einer sehr einfachen Form. Der Geschwindigkeitsvektor v  r tangiert bekanntlich im Punkt P die Bahnkurve. Durch Normierung auf den Betrag 1 folgt daraus der Tangenteneinheitsvektor

1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung

5

et  r/ r . Beachten wir de t2 / dt  1  0  2e t  e t , dann folgt mit e t  et unmittelbar de t  e t dt , und damit ergibt sich wegen de t  e t dt der Hauptnormaleneinheitsvektor en  e t / e t . Die Vektoren et und en liegen in der Schmiegungsebene. Der Binormaleneinheitsvektor eb soll nun senkrecht auf et und en stehen, was durch eb  e t  en erreicht wird, und die Basisvektoren e t , e n , e b bilden dann in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Aus dem Betrag des Geschwindigkeitsvektors

Abb. 1.7

Der Beschleunigungsvektor

v  v  r 

dr ds   s dt dt

folgt mit der Kenntnis, dass v die Bahnkurve tangiert der Geschwindigkeitsvektor v  s e t . Durch Ableitung nach der Zeit erhalten wir daraus zunächst b  v  s e t  s e t . Die Darstellung von e t durch die Einheitsvektoren selbst, gelingt mittels der Frénetschen Formeln dr de t de b  et ;   en ;    en ; ds ds ds r  r (r  r) r  3 ;  r r  r 2

de n   eb   et ds

(1.3)

Sie beschreiben die Änderungen der Basisvektoren e t , e n , e b mit der Bogenlänge s. κ:

Krümmung, ein Maß für die Änderung des Tangentenvektor et

τ:

Torsion, ein Maß für die Änderung des Binormaleneinheitsvektor eb

Beachten wir

de t de t ds   s  e n , dann folgen für Geschwindigkeit und Beschleunigung dt ds dt

v  s e t ,

b  s e t   s 2 e n

(1.4)

Während der Geschwindigkeitsvektor v die Bahnkurve tangiert, liegt der Beschleunigungsvektor b zwar in der durch die Einheitsvektoren et und en aufgespannten Schmiegungsebene (Abb. 1.7), er tangiert jedoch die Bahnkurve i. Allg. nicht. Man nennt die Komponenten b t  s e t  v e t

Tangentialbeschleunigung

b n   s 2 e n  v 2 e n

Normal- oder Zentripetalbeschleunigung

6

1 Die Bewegung des Massenpunktes

Da  v 2 stets positiv ist, zeigt der Vektor der Normalbeschleunigung bn immer zur konkaven Seite der Bahnkurve, er ist also stets im Sinne von en zum momentanen Krümmungsmittelpunkt M (Abb. 1.6) hin gerichtet. Dagegen zeigt bt in Richtung von t oder entgegengesetzt, je nachdem ob b t  0 oder  0 ist.

1.2.3

Zylinderkoordinaten Das Basissystem der Koordinaten r, ϕ, z des Punktes P besteht aus den drei orthogonalen Einheitsvektoren (e r , e  , e z ) .

Die Koordinaten r und ϕ entsprechen den ebenen Polarkoordinaten des Punktes P´, die wir aus der Projektion von P in die (x1,x2)-Ebene erhalten. Die Flächen r  konst. sind Kreiszylinder mit einer gemeinsamen Zentralachse x3. Damit ist r(P,t)  r( t ) e r ( t )  x 3 ( t ) e 3 wobei noch   ( t ) zu beachten ist. Formales differenzieren liefert unter Beachtung von e 3  0 und e3  0 v  r e r  r e r  x 3 e3 ; b  re r  2r e r  r er  x3 e3 Abb. 1.8

Zylinderkoordinaten

Wegen e r  cos  e1  sin  e 2 , e   sin  e1  cos  e 2 und

  ( t ) sind diese Einheitsvektoren ebenfalls Funktionen der Zeit, und es gelten die folgenden Differenziationsregeln

de r de r d   ( sin  e1  cos  e 2 )   e  dt d dt de de d   ( cos  e1  sin  e 2 )   e r e    dt d dt

e r 

er    e   e     e   2e r ,

e   e r   2e 

 e    2 e r )  x 3 e 3 und in Damit erhalten wir v  r e r  r  e   x 3 e 3 , b  r e r  2r  e   r(

Komponenten v  [v r

v

v3 ]T  [r r x 3 ]T

b  [b r

b

b3 ]T  [r  r 2

  2r x3 ]T r

(1.5)

1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung

1.2.4

7

Die Kreisbewegung

Bewegt sich ein Punkt P auf einer ebenen Bahn (Normalenvektor e3) mit konstanten Werten für x3 und r  a (Abb. 1.9), dann handelt es sich um eine Kreisbewegung, für die x 3  x 3  0 und r  r  0 gelten. Von (1.5) verbleiben v  [vr

v

v3 ]T  0 a 0T , b  [b r

b

b3 ]T  [ a 2

 0]T a

Die zeitliche Änderung des Winkels ϕ, also   d / dt , heißt Winkelgeschwindigkeit.

   1 / Zeit , Einheit: s-1.

Abb. 1.9

Kreisbewegung eines Punktes P

Abb. 1.10

Kreisbewegung mit ω0 = konst.

Sie wird auch mit ω bezeichnet. Die Geschwindigkeit von P ist dann v  a e   a  e   v  e 

v   a  a heißt Bahngeschwindigkeit des Punktes P. Durch Einführung des Winkelgeschwindigkeitsvektors ω   e3 , der senkrecht auf der Bahnebene steht (Abb. 1.9), lässt sich die Geschwindigkeit des Punktes P auch wie folgt schreiben v    r   e 3  (a e r  x 3 e 3 )  a  e 

und für die Beschleunigung ergibt sich  e   a e   a  e   a 2 e r b  v  a

  d / dt  d 2  / dt 2    , heißt Die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit, also  Winkelbeschleunigung.

  1 /( Zeit) 2 , Einheit: s-2

8

1 Die Bewegung des Massenpunktes

  0 verbleiben Für den Sonderfall   0  konst. und damit  v  [vr

v

v3 ]T  [0 a0

0]T , b  [b r

b

b3 ]T  [ a02

0 0]T

(1.6)

Der Quotient f  n / t aus der Anzahl n der Umläufe und der dazu benötigten Zeit t, wird Frequenz genannt. Die Umlaufdauer T  t / n einer Kreisbewegung ist der Kehrwert der Frequenz. Für die Bahngeschwindigkeit einer gleichförmigen Kreisbewegung erhalten wir v  2a / T  2af . Für die Winkelgeschwindigkeit gilt   2 / T  2f , und ist n die minütliche Drehzahl, dann können wir dafür auch   n / 30 schreiben.

1.2.5

Die geradlinige Bewegung

Obwohl sie die einfachste Form der Bewegung darstellt, so kommt ihr doch eine große praktische Bedeutung zu. Bewegt sich ein Punkt auf einer Geraden, beispielsweise der xAchse (Abb. 1.11), dann hat der Ortsvektor r  x ( t ) e x nur Abb. 1.11 Geradlinige Bewegung eine Komponente, und wir können in diesem Fall auf den Vektorcharakter von Geschwindigkeit und Beschleunigung verzichten. Wir erhalten v  x und b  v  x . Ist das Weg-Zeit-Gesetz x  x ( t ) gegeben, dann können Geschwindigkeit und Beschleunigung durch Ableitungen nach t ermittelt werden. Ist die Beschleunigung vorgegeben, dann lassen sich folgende Grundaufgaben stellen: 1. b  0 Aus b  0 folgt wegen b  dv dt  0 durch Integration sofort v  konst.  v 0 . Eine geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit wird gleichförmige Bewegung genannt. Zur Ermittlung des Weges gehen wir von dx dt  v 0 aus. Diese einfache Differenzialgleichung wird durch Integration gelöst. Dazu benötigen wir Aussagen über den Anfangszustand der Bewegung. Die Anfangsbedingungen werden mit dem Index 0 bezeichnet. So wird zum Zeitpunkt t  t 0 der Ort x  x 0 festgelegt. Nach Trennung der Veränderlichen erhalten wir aus dx dt  v 0 den Zuwachs dx  v 0 dt , und eine unbestimmte Integration ergibt

 dx   v dt 0

 x  v 0 t  C1

Die Konstante C1 ermitteln wir aus dem Anfangswert für den Weg x x ( t  t 0 )  x 0  v0 t 0  C1  C1  x 0  v0 t 0

Damit folgt der gesuchte Weg x  x 0  v 0 ( t  t 0 ) .

1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung

9

2. b  b 0 Eine geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung b  b 0 wird gleichmäßig beschleunigte Bewegung genannt. Wir beginnen die Zeitzählung bei t  t 0  0 und gehen von folgenden Anfangswerten aus: x ( t  0)  x 0 ; v( t  0)  v 0 . Trennung der Veränderlichen und Integration ergibt





 v  b 0 t  C1





 x  b0

dv  b 0dt

 dv  b 0dt

dx  vdt  (b 0 t  C1 )dt

 dx  (b 0 t  C1 ) dt

Mit den Anfangsbedingungen erhalten wir v  b 0 t  v 0 , x  b 0

t2  C1t  C 2 2

t2  v0 t  x 0 . 2

Beispiel 1-2: Der freie Fall eines schweren Körpers K stellt bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung dar. Die Beschleunigung ist hier die Erdbeschleunigung g mit näherungsweise g = 10 ms-2. Unter Beachtung des Vorzeichens von g (g zeigt in die negative z-Richtung) folgt z  b  g, z  v  gt  v0 , z  

Abb. 1.12

Der freie Fall

gt 2  v0 t  z0 . 2

Wird der Körper K zum Zeitpunkt t  0 aus der Höhe z 0  h ohne Anfangsgeschwindigkeit ( v 0  0 ) losgelassen, dann ist

gt 2  h . Wenn wir zusätzlich die Zeit T 2 berechnen wollen, die der Körper zum Durchfallen der Höhe h benötigt, dann müssen wir in das Weg-Zeit-Gesetz z  0 einsetzen und nach T auflösen, also b  g, v  gt; z  

z  0  gT 2 / 2  h  T  2h / g

Beim Aufschlag bei z  0 hat der Körper dann die Geschwindigkeit v( t  T )  gT  g 2h / g   2gh

10

1 Die Bewegung des Massenpunktes

3. b  b( t ) Geschwindigkeit und Beschleunigung lassen sich durch bestimmte Integration ermitteln. Mit den Anfangsbedingungen v( t  t 0 )  v 0 , x ( t  t 0 )  x 0 erhalten wir t



dv  b( t )dt  v  v 0 

t

b()d, dx  v( t )dt  x  x 0 

t 0

 v()d

t 0

4. b  b( v) Ist die Beschleunigung eine Funktion der Geschwindigkeit, dann erfolgt die Lösung durch dv dv und bestimmte Integration liefert  dt  Trennung der Veränderlichen b( v)  dt b( v ) t



v



d 

 t 0

v0

dv b( v )

v

 t  t0 

dv

 b( v )  f ( v)

v0

Damit ist die Zeit t in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v bekannt. Durch Invertierung kann die obige Gleichung nach v  F( t ) aufgelöst werden, woraus durch Integration t

x (t )  x 0 

 F() d

 t 0

folgt. Damit ist auch der Weg als Funktion der Zeit bekannt. Beispiel 1-3: Die Bewegung eines Körpers in einer reibungsbehafteten Flüssigkeit erfolgt nach dem Gesetz b( v)  x( v)   v . Die Proportionalitätskonstante κ hängt von der Masse und der Form des Körpers sowie der Viskosität der Flüssigkeit ab. Als Anfangsbedingungen sollen zum Zeitpunkt t 0  0 die Auslenkung x (0)  x 0 und die Geschwindigkeit v(0)  v 0 vorgegeben v

sein. Dann gilt t 



v0

dv  b( v )

v



v0

v dv 1 1 v   ln v   ln  f ( v) . Die Auflösung dieser  v   v0 v0

Gleichung nach der Geschwindigkeit v ergibt v  v 0 exp( t )  F( t ) und damit t

x (t )  x 0 



t

F() d  x 0 

 t 0

v

 t 0

0 exp( ) d

 x0 

v0 1  exp( t ) 

1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung

Abb. 1.13

11

Bewegung eines Körpers in einer viskosen Flüssigkeit

5. b  b( x ) Ist die Beschleunigung eine Funktion des Ortes, dann gilt nach der Kettenregel dv dv dx dv v b   dt dx dt dx

und die Trennung der Variablen ergibt v dv  b( x ) dx . Mit den Anfangsbedingungen v( t  t 0 )  v 0 ; x ( t  t 0 )  x 0 liefert die Integration v



x



v dv 

v v0

b( x ) dx 

xx0

1 2 1 2 v  v0  2 2

x

 b(x) dx  f (x)  v(x) 

2f ( x )

x x0

Damit ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Weg x bekannt. Um die Zeit t als Funktion des Weges x zu ermitteln, beachten wir v  dx / dt und trennen die Veränderlichen dt 

dx  v( x )

x

dx 2f ( x )



 t  t0 

xx0

dx 2f ( x )

 h(x )

Beispiel 1-4:

Wir betrachten einen Punkt, der sich nach dem Beschleunigungsgesetz b( x )  2 x mit 2  konst. bewegt. Die Anfangsbedingungen lauten x ( t 0  0)  x 0 , v( t 0  0)  v 0  0 . 1 Dann folgt v 2  2

x

1

   x dx  2  ( x 2

2

2 0

 x 2 )  f ( x ), v( x )   2f ( x )   x 02  x 2 und

x x0

durch Umkehrung mit t 0  0 x

t(x)  



xx0

dx 

x 02

x

2



1 x arcsin  x0

x

 x0

1 x  1 x     arccos  arcsin   x0 2   x0

Die Auflösung nach x liefert das Weg-Zeit-Gesetz, das hier einer harmonischen Schwingung

12

1 Die Bewegung des Massenpunktes x ( t )  x 0 cos t

entspricht. Geschwindigkeit und Beschleunigung erhalten wir durch Ableitung nach t v  x   x 0 sin t , b  x  2 x 0 cos t

Um die Geschwindigkeit als Funktion des Weges darzustellen, quadrieren wir x(t) und v(t) und addieren dann beide Ausdrücke. Das Ergebnis ist die Gleichung der Phasenkurve einer harmonischen Schwingung 2

2

 x   v        1,  v( x )   x 02  x 2  x 0   x 0 

1.2.6

Freiheitsgrade Die Zahl der Koordinatenangaben, die benötigt werden, um die Lage eines Punktes P zu einer bestimmten Zeit t festzulegen, ist die Zahl seiner Freiheitsgrade. Ein Punkt hat n Freiheitsgrade, wenn seine Lage durch n voneinander unabhängige skalare Angaben (z.B. Koordinatendifferenzen, Winkel usw.) festgelegt ist. Die Lage eines frei im Raum beweglichen Punktes ist durch drei Koordinaten, etwa die kartesischen Koordinaten festgelegt. Der frei im Raum bewegliche Punkt hat also n  3 Freiheitsgrade.

Abb. 1.14 Fläche

Punktbewegung auf einer

Abb. 1.15 Kurve

Punktbewegung auf einer

Werden dagegen die Bewegungsmöglichkeiten eines Punktes eingeschränkt, so reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf n  3 . Wir sprechen in diesen Fällen von geführten Bewegungen. Ein sich auf einer Fläche (gekrümmt oder eben) bewegender Punkt besitzt n  2 Freiheitsgrade. Bewegt sich ein Punkt P auf einer beliebigen Kurve, dann hat er einen Freiheitsgrad ( n  1 ). Es kann also nur noch eine skalare Größe gewählt werden, beispielsweise die Bogenlänge s.

2

Abb. 2.1 pers

Die Bewegung des starren Körpers

Bewegung eines starren Kör-

v  r  rA  x  v A  x

Bei der räumlichen Bewegung beschreibt jeder Punkt des Körpers eine Raumkurve, wobei jedem Punkt ein Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor zugeordnet werden kann. Der Bewegungsvorgang eines Körpers ist dann bekannt, wenn die Bewegung jedes einzelnen Körperpunktes P bekannt ist. Unterstellen wir, dass die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes A des Körpers bekannt ist, das kann zum Beispiel der Schwerpunkt des Körpers sein, dann stellt sich die Frage, welche zusätzlichen Informationen erforderlich sind, um die Bewegung eines beliebigen anderen Körperpunktes festlegen zu können. Bezeichnet r(t) den Ortsvektor zum Punkt P und x(t) die Lage von P relativ zu A (Abb. 2.1), dann sind r(t)  rA ( t )  x(t) und (2.1)

Die zeitliche Änderung des Verbindungsvektors x , also x , kann beim starren Körper wegen d x / dt  0 nur aus einer reinen Drehung um A herrühren und mit dx 2 /dt  2x  x  0 muss x  x erfüllt sein. Es ist deshalb sinnvoll x  ω  x

(2.2)

zu schreiben. Dabei ist ω der Vektor der Winkelgeschwindigkeit, der mit ω   e  zwar i. Allg. zu jedem Zeitpunkt einen anderen, aber für alle Körperpunkte denselben Wert hat. Damit ist ω am starren Körper ein freier Vektor. Das können wir uns auch wie folgt klarmachen. Wählen wir statt A einen anderen Punkt A ' mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor ω' , dann erhalten wir die Geschwindigkeit des Punktes P zu v  v A '  ω' x' , die selbstverständlich unabhängig vom Bezugspunkt sein muss, was einerseits v A'  ω'  x'  v A  ω  x und andererseits v A'  v A  ω  (x  x') erfordert.

14

2 Die Bewegung des starren Körpers

Aus der ersten Beziehung resultiert v A'  v A  ω  x - ω'  x' und aus der zweiten folgt v A'  v A  ω  (x  x') , was bei Gleichheit beider Beziehungen ω'  ω erfordert und mit (2.1) zur Geschwindigkeit v  r  rA  x  v A  ω  x

(2.3) des Punktes P führt. Die Geschwindigkeit von P setzt sich also zusammen aus der Geschwindigkeit eines anderen beliebig gewählten Körperpunktes A und einem zusätzlichen Anteil, der eine Drehung um A darstellt. Diese Geschwindigkeitsformel für starre Körper geht auf d’Alembert und Euler zurück. Aus (2.3) erhalten wir mit ω   e  nach Multiplikation mit dt

Abb. 2.2

Wechsel des Bezugspunktes

dr  drA  d e   x

die berühmte Eulersche Formel, die besagt, dass sich eine infinitesimale Lageänderung eines starren Körpers additiv aus einer Translation drA und einer Drehung d e   x um die durch e  festgelegte Drehachse zusammensetzen lässt. Weiterhin ermitteln wir mit (2.3) unter Beachtung von (2.2) die Beschleunigung

b  v 

d d   x  ω  x  v A  ω   x  ω  (ω  x) (v A  ω  x)  v A  (ω  x)  v A  ω dt dt

und nach Zusammenfassung folgt   x  ω  (ω  x) b  v A  ω

(2.4)

d ω e ω   x  ω e ω  ω e ω   x enthält im ersten Glied mit  e   x die dt Tangentialbeschleunigung der Kreisbewegung des Punktes P um eine Achse durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor e  , und das zweite Glied berücksichtigt mit e  die zeitliche Änderung der Drehachse. Zerlegen wir gemäß x  x   x|| den Vektor x, was immer mög x  Der Term ω

lich ist, in Komponenten senkrecht und parallel zum momentanen Winkelgeschwindigkeitsvektor ω, dann ist v  v A  ω  (x   x || )  v A  ω  x 

(2.5)

Wir können noch die Frage anschließen, ob für den starren Körper eine ausgezeichnete Achse existiert, zu der der Geschwindigkeitsvektor v und der Winkelgeschwindigkeitsvektor ω

2.1 Ebene Bewegungen

15

parallel sind (Abb. 2.3). Dann ist ω  v  0  ω   v A  ω  x   und aufgelöst nach x    ergibt sich 0  ω  v A  ω  ω  x    ω  v A  x   ω ω ω  x   und damit   ω   2 0 ω x 

ω vA

(2.6)

ω2

Mit (2.6) ist diejenige Achse festgelegt, deren Punkte nur eine Geschwindigkeit in Richtung dieser Achse aufweisen. Die Bewegung des Körpers lässt sich als inkrementelle Abfolge einer Drehung um die Momentanachse und Verschiebung in Richtung dieser Achse darstellen. Diese räumliche Bewegung wird in der Kinematik als Schraubung bezeichnet. Wir wollen abschließend noch die Frage untersuchen, ob es einen ausgezeichneten Punkt P des starren Körpers gibt, für den momentan die Geschwindigkeit verschwindet, und es muss dann Abb. 2.3 Momentanachse v  0  v A  ω  x erfüllt sein. Fassen wir diese Beziehung als Bestimmungsgleichung für die Koordinaten von x auf, dann erhalten wir mit ω  [1, 2 , 3 ]T , x  [ x1AP , x 2 AP , x 3AP ]T und v A  [ v1A , v 2 A , v3A ]T das lineare inhomoge2   x1AP   v1A   0  3     0  1  x 2 AP    v 2 A  oder symbolisch A  x   v A , ne Gleichungssystem        3 0  x 3AP  1  v 3A   2 das wegen det A  0 nur dann eine nichttriviale Lösung besitzt, wenn sämtliche Zählerdeterminanten verschwinden. Das ist der Fall für eine 1.) Kreiselbewegung um den festen Punkt A mit v A  0 , oder eine 2.) Ebene Bewegung, etwa in der (1,2)-Ebene mit 1  2  0 und v 3A  0 .

2.1

Ebene Bewegungen

In diesem Fall bewegt sich der starre Körper parallel zu einer festen Ebene. Der Abstand eines jeden Körperpunktes von dieser Ebene ist zeitlich konstant. Ist beispielsweise die (x1,x2)-Ebene diese Bewegungsebene (Abb. 2.4), dann besitzt der Winkelgeschwindigkeitsvektor mit   3e 3 nur eine Komponente. Wie im räumlichen Fall, so ist auch dieser Vektor ein freier Vektor. Betrachten wir neben dem Punkt P einen weiteren Punkt A, der von P,

16

2 Die Bewegung des starren Körpers

aufgrund der vorausgesetzten Starrheit des Körpers, den zeitlich konstanten Abstand x  x besitzt, dann hat der Punkt P die Geschwindigkeit r  v  v A    x und mit v A  x 1A

x 2 A

0T ,   0 0 3 T ,

x  r  rA  x1  x1A

x 2  x 2A

x 3  x 3A T

erhalten wir mit (2.3) die Komponenten der Geschwindigkeit des Punktes P in kartesischen Koordinaten

Abb. 2.4

2.1.1

Ebene Bewegung

x 1  x 1A  3 ( x 2  x 2 A ) x 2  x 2 A  3 ( x1  x1A ) x 3  0

Der Satz vom Momentanzentrum

Abb. 2.5

Das Momentanzentrum M

Abb. 2.6

Konstruktion des Momentanzentrums

Dieser Satz besagt, dass die ebene Bewegung eines starren Körpers momentan als reine Drehung um eine zur Bewegungsrichtung senkrechte Achse aufgefasst werden kann. Diese Achse wird Momentanachse genannt. Zur Bestätigung zeigen wir, dass ein Punkt M existiert (Abb. 2.5), der momentan die Geschwindigkeit null besitzt und Momentanzentrum heißt. Gehen wir von (2.3) aus, dann ist v M  0  v A    rAM . Zur Auflösung dieser Vektorgleichung nach rM multiplizieren wir zunächst von links vektoriell mit ω und erhalten 0    v A    (  rAM )    v A  ω (  rAM )  2rAM sowie mit rAM  rM  rA  0

rM  rA 

  vA 2

und in Komponenten hinsichtlich einer kartesischen Basis

(2.7)

2.1 Ebene Bewegungen

x1M  x1A 

17

v 2A v , x 2 M  x 2 A  1A 3 3

(2.8)

Ohne Anwendung von (2.8) können wir das Momentanzentrum im Falle der ebenen Bewegung eines starren Körpers auch dadurch finden, indem wir in 2 Punkten auf die dort vorhandenen Geschwindigkeitsvektoren v das Lot errichten. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist das Momentanzentrum M (Abb. 2.6), das bei einer reinen Translationsbewegung im Unendlichen liegt. Wählen wir also als Bezugspunkt anstelle von A das Momentanzentrum M, so gilt für die Geschwindigkeit des Punktes P mit M statt A

v  ω  m und v   m sin  M   m oder in Komponenten x 1  3 ( x 2  x 2 M ), x 2  3 ( x1  x1M ); x 3  0

Abb. 2.7

Geschwindigkeitsfeld

Abb. 2.8

(2.9)

Geschwindigkeit des Punktes C

Mit den obigen Beziehungen steht uns eine elegante Methode zur Beschreibung der Bewegung von Starrkörpern zur Verfügung (Abb. 2.8). Sind die Geschwindigkeitsvektoren vA und vB der beiden Punkte A und B bekannt, dann liegt auch das Momentanzentrum fest, womit dann der Betrag der Geschwindigkeit von C mit Abb. 2.9 Rollendes Rad, Rastpolbahn und Gangpolbahn v C   MC folgt. Das Momentanzentrum kann, wie bereits erwähnt, auch außerhalb des Körpers liegen und ist i. Allg. kein fester Punkt, sondern verändert seine Lage während der Bewegung. Sein geometrischer Ort im raumfesten Koordinatensystem wird Spurkurve oder Rastpolbahn (Polhodie) genannt, während der geometrische Ort von M im körperfesten System als Rollkurve oder Gangpolbahn (Herpolhodie) bezeichnet wird. Bei einer ebenen Bewegung rollt die Rollkurve ohne zu gleiten auf der Spurkurve ab, da M momentan stets in Ruhe ist.

18

2 Die Bewegung des starren Körpers

Im Zusammenhang mit der Bewegung von Starrkörpersystemen ist der folgende Satz von Bedeutung, der als Dreipolsatz in der Statik zur Ermittlung von Einflusslinien benutzt wird. Dieser Satz besagt, dass die Pole (i,0), (i,j) und (j,0) des in Abb. 2.10 skizzierten Körpersystems auf einer Geraden liegen müssen. Die Körper (i) und (j) sind im Punkt (i,j), der als Relativpol bezeichnet wird, gelenkig miteinander verbunden. Da der Gelenkpunkt (i,j) sowohl zum KörAbb. 2.10 Der Dreipolsatz per (i) als auch zum Körper (j) gehört, muss die Bewegung des Gelenkes (i,j) senkrecht auf den Polstrahlen i,0  i, j sowie j,0  i, j stehen. Abb. 2.11 zeigt die Anwendung des Dreipolsatzes auf ein Gelenkviereck.

Abb. 2.11

Gelenkviereck, Anwendung des Dreipolsatzes

Wir können hier noch zwei Sonderfälle betrachten. Rotiert ein starrer Körper um eine feste Achse, dann beschreibt jeder Punkt des Körpers eine Kreisbahn, und daher gilt das zur Kreisbewegung eines Punktes Gesagte. Die Bewegung ist durch den Freiheitsgrad ( t ) gekennzeichnet.

Abb. 2.12

Rotation um eine feste Achse

Abb. 2.13

Translation

Der Geschwindigkeitsvektor v  ω  r eines jeden Punktes P des Körpers steht senkrecht zum Ortsvektor r und hat den Betrag v  r (Abb. 2.12).

2.2 Die Kinematik der Relativbewegung eines Punktes

19

Die Translation einer starren Körpers ist durch n  2 Freiheitsgrade gekennzeichnet. Das können beispielsweise die beiden Lagekoordinaten x1(t), x2(t) oder auch r(t), ϕ(t) eines beliebigen Punktes P sein. Alle Punkte des Körpers haben den selben Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor (Abb. 2.13).

2.2

Die Kinematik der Relativbewegung eines Punktes Die folgenden Untersuchungen beschäftigen sich mit dem Problem, den Bewegungsablauf eines Punktes P in einem bewegten Bezugssystem darzustellen. Ist A ein körperfester Punkt, dann wird die relative Lageänderung zwischen P und A durch den Vektor x beschrieben (Abb. 2.14). Im Körperpunkt A wird eine körperfeste, und damit mitbewegte, orthogonale Einheitsvektorbasis ejk  ( j  1, 2, 3) befestigt. Wir beobachten

Abb. 2.14

Relativbewegung eines Punktes P

nun die Bewegung eines Punktes P. Dazu können wir zwei Beobachterstandpunkte einnehmen:

1.) Befinden wir uns im Punkt 0, also im Ursprung eines raumfesten Inertialbasissystems ej ( j  1, 2, 3) , dann wird die Lage des Punktes P durch die Absolutkoordinaten des Vektors rP, t  beschrieben. 2.) Nehmen wir auf dem Körper den Beobachtungsstandpunkt A ein, dann registrieren wir als mitbewegte Beobachter lediglich die Relativbewegung zwischen A und P. Die Lage des Punktes P hinsichtlich des raumfesten Punktes 0 beschreiben wir durch r ( t )  rA ( t )  x( t )

(2.10)

wobei nun aber i. Allg. d x / dt  0 ist. Differenzieren wir nach t, dann folgt v  r  v A  x . Um die Relativbewegung zwischen den Punkten A und P aufzudecken, muss der Verbindungsvektor x(P,t)  x1 k e1 k   x 2k e 2k   x 3k e 3 k  

3

 x  e   k j

k j

in Komponenten hinsichtlich

j1

der mit dem Fahrzeug mitbewegten Basis ejk  dargestellt werden. Bei der Bildung der zeitli3

chen Änderung von x ist die Produktregel zu beachten: x 

 j1

x jk ejk  

3

 x  e   . Da die j1

k j

k j

20

2 Die Bewegung des starren Körpers

Einheitsvektoren jeweils konstante Längen besitzen, kann die zeitliche Änderung der körperfesten Basis ejk  nur aus einer Drehung bestehen, also e jk     e jk 

(2.11)

ω bedeutet hier die im raumfesten Bezugssystem ej registrierte Winkelgeschwindigkeit des in A installierten Basissystems ejk  . Beachten wir diesen Zusammenhang, dann folgt 3

x 



x jk ejk  

j1

3



x jk   ejk  

j1

3

 j1

x jk ejk    

3

 x e  k j

k j

j1

und zusammengefasst 

(2.12)

x  x  ω  x

Der erste Summand 

x

3

 x  e   v k j

k j

r

(2.13)

j1

beschreibt die zeitliche Änderung der Koordinaten bei zeitlich konstanter Basis, also die von A aus zu beobachtende Relativgeschwindigkeit vr. Der zweite Term 3

 x 

 x   e   k j

k j

(2.14)

j1

berücksichtigt die Drehung des körperfesten Basissystems ejk  . Handelt es sich bei dem Fahrzeug um einen starren Körper, dann ist ω dessen Winkelgeschwindigkeit. (2.12) ist die allgemeine Differenziationsregel für Vektoren, die in einem mitbewegten Basissystem dargestellt sind, und für die wir symbolisch d ( )  ( )  ω  ( ) dt

(2.15)

schreiben können. Insbesondere gilt für die Ableitung des Vektors ω   d   ω  ωω  ω ωω dt

(2.16)

Wir bekommen dann für die Absolutgeschwindigkeit des sich auf dem Fahrzeug bewegenden Punktes P

2.2 Die Kinematik der Relativbewegung eines Punktes

21



(2.17)

v  v A  x  v A  ω  x  x

Ist F ein fester und P derjenige Punkt des Fahrzeuges, in dem sich der die Relativbewegung ausführende Punkt P gerade befindet (Abb. 2.14), dann ist vf  v A  ω  x

(2.18)

die allein aus der Fahrzeugbewegung herrührende Führungsgeschwindigkeit und 

(2.19)

vr  x

die vom Beobachter im Punkt A allein registrierte Relativgeschwindigkeit. Entsprechend erhalten wir durch formales Differenzieren die Beschleunigung

b  r 

d d  v A  ω  x  v r   v A  ω  x  ω  x  v r dt dt

(2.20)

Im Folgenden benötigen wir die Teilergebnisse 

x  x  ω  x  v r  ω  x ;   x     v r    x     v r      x  ;

 d vr  vr   vr dt

Damit erhalten wir die Absolutbeschleunigung des Punktes P    x      x   v r  2  v r  b f  b r  b c b  bA  

(2.21)

mit den Einzeltermen der auf die raumfeste Basis ej bezogenen Führungsbeschleunigung

  x      x  bf  b A  

(2.22)

und der vom Punkt A aus zu beobachtenden Relativbeschleunigung

  br  v r  x

(2.23)

bc  2ω  v r

(2.24)

sowie der Coriolisbeschleunigung1

Hinweis: Die Coriolisbeschleunigung verschwindet immer dann, wenn entweder ω  0 oder v r  0 sowie auch  parallel zu v r ist.

1

Gaspard Gustave de Coriolis, frz. Ingenieur und Physiker, 1792-1843

22

2 Die Bewegung des starren Körpers

Beispiel 2-1: Für das in Abb. 2.15 skizzierte Fahrgeschäft sind unter der Voraussetzung konstanter Winkelgeschwindigkeiten  und  Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes P zu berechnen. Den Ursprung des raumfesten und auch des körperfesten Koordinatensystems legen wir in den Punkt A. Damit sind rA  rA  rA  0 . Mit x  (a  r cos t )e1( k )  (h  r sin t )e3( k )

erhalten wir unter Beachtung von ω   e 3( k ) nach (2.18) die Abb. 2.15

Fahrgeschäft

Führungsgeschwindigkeit v f  ω  x   (a  r cos t )e (2k ) 

sowie mit (2.19) die Relativgeschwindigkeit v r  x  r (sin t e1( k )  cos t e 3( k ) ) und daraus mit (2.17) die Absolutgeschwindigkeit v  v f  v r  r sin t e1( k )   (a  r cos t ) e (2k )  r cos t e3( k )

  0 und    0 zu Die Beschleunigungskomponenten errechnen sich unter Beachtung von  b f      x   ω(ω  x)  x(ω 2 )   2 (a  r cos t ) e1( k )

  2 (cos t e1( k )  sin t e 3( k ) ) , b c  2  v r  2r   sin t e (2k ) b r  v r  r  2 ) cos t e1( k )  2r   sin t e(2k )  r  2 sin t e3( k ) ] b  b f  br  b c  [a 2 r ( 2  

Abb. 2.16

Fahrgeschäft, Draufsicht

Abb. 2.17

Raumkurve r(t)

Für einen Beobachter, der sich im Ursprung A des raumfesten Inertialbasissystems ej befindet, wird die Lage des Punktes P durch die raumfesten Koordinaten des Vektors rP, t  beschrieben. Mit e1( k )  cos t e1  sin t e 2 und e 3( k )  e 3 erhalten wir r(t)  (a  r cos t ) cos t e1  s(a  r cos t ) sin t e 2 )  h  r sin t e3

2.3 Drehtransformationen

23

In Abb. 2.17 ist die Raumkurve r(t) aufgezeichnet. Die Zeit t erscheint in dieser Darstellung nur als Parameter. Zum Zeitpunkt t  0 ist r(t  0)  (a  r ) e1  h e3 .

2.3

Drehtransformationen Aus rechentechnischen Gründen ist es oft zweckmäßig, eine Drehung des ursprünglichen Koordinatensystems vorzunehmen. Um eine vektorielle Größe, etwa den Vektor a  a 1 e1  a 2 e 2

in Abb. 2.18 im gedrehten Koordinatensystem darzustellen, bedarf es einer Koordinatentransformation. Wir veranschaulichen uns diesen Vorgang am Beispiel der Drehung des Koordinatensystems in der (1,2)-Ebene um den Winkel ϕ. Dazu stellen wir a in beiden orthonormalen Basissystemen e j und e j dar:

Abb. 2.18 Drehung des Basissystems, ebener Fall

a  a1 e1  a 2 e 2    a1 e1  a 2 e 2  a1 e1  a 2 e2 a  a1 e1  a 2 e2 

Um die Koordinaten a1 und a 2 im gedrehten System zu berechnen, multiplizieren wir die letzte Gleichung nacheinander skalar mit e1 sowie e2 und erhalten a 1 e1  e1  a 2 e 2  e1  a1 a 1 e1  e2  a 2 e 2  e2  a 2

oder

 a1   e1  e1 a   e  e  2  1 2

e 2  e1   a1   e 2  e2  a 2 

Die obige Beziehung können wir symbolisch in der Form a  Λ a

(2.25)

schreiben. Mit e1  e1  cos ; e 2  e1  cos( / 2  )  sin ; e1  e2  cos( / 2  )   sin ; e2  e2  cos   cos  sin  ist dann Λ    und das Ausrechnen von (2.25) ergibt  sin  cos  a1  a1 cos   a 2 sin ; a 2  a1 sin   a 2 cos 

Die Drehmatrix Λ ist eine orthogonale Matrix, für die Λ T  Λ 1 und det Λ  1 gilt. Damit vereinfacht sich die Rücktransformation

24

2 Die Bewegung des starren Körpers a  ΛT  a

(2.26)

erheblich.

Abb. 2.19

Drehung des Basissystems, räumlicher Fall

Erweitern wir formal auf den räumlichen Fall (Abb. 2.19), dann ist  e1  e1 Λ  e1  e2  e1  e3

e 2  e1 e 2  e2 e 2  e3

e3  e1  e3  e2   e3  e3 

(2.27)

und für den ebenen Fall der Drehung um die 3-Achse mit dem Winkel ϕ verbleibt  e1  e1 Λ 3  e1  e2   0

e 2  e1 e 2  e2 0

0  cos  sin  0 0   sin  cos  0 .    1  0 0 1

Abb. 2.20 Drehung eines starren Körpers um eine Raumachse mit dem Winkel ϕ

In einem weiteren Schritt soll die Drehung eines starren Körpers um eine raumfeste Achse mit dem Winkel ϕ untersucht werden (Abb. 2.20). Infolge dieser Drehung wandert der Körperpunkt P mit dem Ortsvektor r auf einer Kreisbahn mit dem Radius AP von P nach P*. Die Drehachse verläuft durch den Punkt 0 und deren Orientierung wird durch den Einheitsvektor n festgelegt, der senkrecht auf der Drehebene steht. Der Drehvektor kann dann im Sinne der Rechtsschraubenregel in der Form    n angegeben werden. Für den Vektor r* folgt nach etwas längerer Rechnung r*  R  r mit

 n12  (1  n12 ) cos  n1n 2 (1  cos )  n 3 sin  n1n 3 (1  cos )  n 2 sin    n 22  (1  n 22 ) cos  n 2 n 3 (1  cos )  n1 sin  R  n1n 2 (1  cos )  n 3 sin   n1n 3 (1  cos )  n 2 sin  n 2 n 3 (1  cos )  n1 sin  n 32  (1  n 32 ) cos  

Auch die Drehmatrix R erweist sich als orthogonale Matrix, was r  R T  r * ermöglicht.

2.3 Drehtransformationen

25

Für kleine Drehwinkel     1 und damit cos   1 sowie sin    erhalten wir eine linearisierte Form der Drehmatrix 1  n 3  n 2    1  n 1   R lin   n 3    n 1  1  n 2 

Damit können Lageänderungen r  r *  r  (R lin - I)  r als Folge kleiner Drehungen immer als Kreuzprodukt r  r  Δ geschrieben werden, wobei zu beachten ist, dass im Falle endlicher Drehungen die Verschiebungen nicht Komponenten eines Vektors sein können. Wir wollen noch einige Sonderfälle betrachten. Drehung um die 1-Achse (   ) ( n  e1 , n1  1, n 2  0, n 3  0 ) Drehung um die 2-Achse (   )

( n  e 2 , n1  0, n 2  1, n 3  0 ) Drehung um die 3-Achse (    )

( n  e 3 , n1  0, n 2  0, n 3  1 )

 R1    

1 0 0

 cos  R2   0   sin 

0

0 cos   sin    sin  cos  

0

sin  0  cos 

 cos   sin  R 3   sin  cos   0 0 

0 0  1

0 1

Die Winkel (, ,  ) heißen Cardanwinkel. Werden die Drehungen um die Achsen (1, 2, 3) aufeinanderfolgend ausgeführt, dann ergibt die Matrizenmultiplikation die Drehmatrix als Funktion der Cardanwinkel cos  cos  cos  sin  sin   sin  cos  cos  sin  cos   sin  sin   R K  R 3  R 2  R1   sin  cos  sin  sin  sin   cos  cos  sin  sin  cos   cos  sin     cos  sin  cos  cos    sin  

Für kleine Drehwinkel kann wieder linearisiert werden

R K,lin

  1     1     1   

Ein Vergleich zeigt, dass zwischen den Koordinaten der allgemeinen Drehmatrix und den Cardanwinkeln folgender Zusammenhang besteht

26

2 Die Bewegung des starren Körpers

sin   R 3,1; sin   R 3, 2 / cos  ; cos   R1,1 / cos  .

(2.28)

Beispiel 2-2:

Ein starrer Körper wird um die Raumdiagonale n 0  1 / 3 1 1 1T mit dem Drehwinkel  0   / 3  60 ( sin  0  1 / 2 3 , cos  0  1 / 2 ) gedreht. Die Drehachse verläuft durch den Ursprung. Es sind die Cardanwinkel (, ,  ) zu bestimmen. Wir gehen in Schritten vor. Bei Drehung um die Raumdiagonale ist  1  2 cos  1  cos   3 sin  1  cos   3 sin   1 R(n 0 )  1  cos   3 sin  1  2 cos  1  cos   3 sin  3 1  2 cos  1  cos   3 sin  1  cos   3 sin 

und speziell mit    0   / 3 folgt  2 1 2 1 R(n 0 ,  0 )  2 2  1 .  3  1 2 2

Eine eindeutige Lösung erhalten wir mit:   arcsin(1 / 3)  0,3398 (19,47)  cos   0,9428, sin   0,3333 ,   arcsin[2 /(3 cos )]  0,7854 (45)  cos   sin   0,7071 ,   arccos[2 /(3 cos )]  0,7854 (45)  cos   sin   0,7071 .

3

Grundlagen der Kinetik

Die Kinematik hat die Aufgabe, die Bewegung eines Punktes oder eines ausgedehnten Körpers zu untersuchen. Dabei wird nicht nach der Ursache der Bewegung gefragt. Aus der Erfahrung ist bekannt, dass Kräfte für die Bewegung und die Bewegungsänderung verantwortlich sind. Die Kinetik beschäftigt sich mit der Wechselwirkung zwischen dem Bewegungszustand eines Körpers und den vorgegebenen Kräften. Die in den Grundlagen der Statik behandelten Begriffe behalten auch in der Kinetik ihre Gültigkeit. Da aber die charakteristische Größe aller kinematischen und kinetischen Probleme die Zeit ist, können viele dieser Größen jetzt auch zeitabhängig sein, beispielsweise die Kräfte F(t), Momente M(t) und Verschiebungen u(t). Einige Begriffe, die sich speziell auf die Kinetik beziehen, kommen allerdings noch zu den Grundlagen der Statik hinzu und sollen nun formuliert werden.

3.1

Newtons Gesetze

Neben dem Gravitationsgesetz gehören die drei als Axiome ausgesprochenen Bewegungsgesetze Isaac Newtons zu seinen bedeutendsten Beiträgen auf dem Gebiete der Mechanik. 1. Gesetz: Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange er nicht von eingeprägten Kräften zur Änderung seines Zustandes gezwungen wird. Bei einer translatorischen Bewegung ist entweder v = konst. oder im Sonderfall auch v = 0. 2. Gesetz: Die Änderung der Bewegung ist der bewegenden eingeprägten Kraft proportional und erfolgt in der Richtung, in der jene Kraft ausgeübt wird. Unter Bewegung verstand Newton das Produkt mv, das heute Impuls genannt wird. Die skalare Größe m bezeichnet die (träge) Masse des Körpers, die ein Maß für den Widerstand gegenüber einer Änderung seines Bewegungszustandes ist. Dieses Gesetz, das sich ebenfalls nur auf die Translation eines Körpers bezieht, wird heute in der Form

F

d  v  mv (m v )  m dt

angegeben, woraus bei der Annahme zeitlich unveränderlicher Masse m

28

3 Grundlagen der Kinetik F  mv  mb

(3.1)

folgt. (3.1) wird kurz als Newtonsches Grundgesetz bezeichnet, und für F  0 geht daraus wieder das Trägheitsgesetz hervor, denn dann ist v  0 oder v = konst. 3. Gesetz: Der Wirkung ist die Gegenwirkung stets gleich und entgegengerichtet, oder die wechselseitigen Wirkungen zweier Körper aufeinander sind immer gleich und entgegengerichtet.

Abb. 3.1

Schnittprinzip

Abb. 3.2

Einwirkende Kräfte

3.2

Diese Axiome bilden die Grundlagen zur Formulierung der Bewegungsgesetze eines beliebig bewegten Körpers, was allerdings erst Leonhard Euler gelang. Euler zeigte, wie man das Newtonsche Grundgesetz auf ein nach seinem Schnittprinzip freigelegtes Element des Körpers mit der Masse dm anwenden kann (Abb. 3.1). Das Ergebnis ist dF  dm r , wobei dF die am Volumenelement angreifende resultierende äußere Kraft bezeichnet, die sich aus Volumen- und Oberflächenkraft zusammensetzt, und r ist die Beschleunigung des Teilchens mit der Masse dm. Durch Integration von dF  dm r über den gesamten Körper gelangt man zu den Bewegungsgesetzen eines beliebig bewegten Körpers, wobei wir uns im Folgenden ausschließlich mit der Kinetik des starren Körpers beschäftigen. Die Ursache für die Bewegung eines Körpers sind die auf ihn einwirkenden äußeren Kräfte. Das können Einzelkräfte Fi, Oberflächenkräfte dK O  sdO und Volumenkräfte dF V  fdV sein (Abb. 3.2). Für einen derart belasteten starren Körper werden nun die Bewegungsgesetze formuliert.

Der Schwerpunktsatz

Durch Integration von dF  dm r über den gesamten Körper folgt

 dF   dF   dF V

(m)

(m)

(m)

O

 dF   rdm . Dabei ist (m)

( m)

a

 F die resultierende äußere Kraft aus Volumen- und Oberflächen-

kräften, denn diejenigen Kräfte, die aus den Oberflächenspannungen der Elementarwürfel resultieren, heben sich bei der Summation, unter Beachtung des Reaktionsprinzips, gegenseitig auf. Auf den Randelementen verbleiben lediglich die Kräfte aus den Oberflächenspannungen. Mit der Definition des Massenmittelpunktes rM 

1 m



(m)

r dm

(3.2)

3.3 Der Drallsatz

schreiben wir für

29



rdm 

d2



rdm 

dt 2 ( m )

d2 2

(mrM )  mrM . Damit ist zunächst F a  m rM . In

dt einem homogenen Schwerefeld, in dem die Beschleunigung als konstant angesehen werden kann, fallen Massenmittelpunkt und Schwerpunkt zusammen, womit der Schwerpunktsatz (m)

F a  mrS

(3.3)

folgt. In Worten besagt dieser Satz, dass der Schwerpunkt eines ausgedehnten Körpers, oder eines Systems solcher Körper, eine Beschleunigung erfährt, als ob sämtliche äußeren Kräfte an ihm angreifen würden. Hinweis: Die Bewegung des Schwerpunktes eines Körpers wird nicht durch innere, sondern nur durch äußere Kräfte bestimmt. So kann ein Turner nach dem Absprung vom Boden die etwa parabolische Bahn seines Schwerpunktes nicht mehr durch irgendwelche Bewegungen beeinflussen, da als äußere Kräfte (abgesehen vom Luftwiderstand) nur Gewichtskräfte auf seine einzelnen Körperteile wirken. Die Vektorgleichung (3.3) zerfällt im räumlichen Fall in drei skalare Gleichungen. Beispielsweise folgt für die Koordinaten hinsichtlich einer kartesischen Basis

Fxa1  mx1S ; Fxa2  mx 2S ; Fxa3  mx3S

(3.4)

Greifen nicht alle äußeren Kräfte im Schwerpunkt S an, so erfolgt noch eine Drehung des Körpers um S, über die der Schwerpunktsatz nichts aussagt. Hierzu benötigen wir einen weiteren Satz.

3.3

Der Drallsatz

Wir gehen wieder von dF  dm r aus. Die vektorielle Multiplikation von links mit r liefert zunächst r  dF  r  r dm , und anschließende Integration über den gesamten Körper ergibt

 r  dF   (m)

(m)

r  r dm . Links ist

 r  dF  M (m)

a 0

das resultierende Moment aller Volumen-

und Oberflächenkräfte bezogen auf den raumfesten Punkt 0, denn die von den Kräften aus den Oberflächenspannungen am Element herrührenden Anteile heben sich nach dem Reaktionsprinzip gegenseitig auf. Für die Normalspannungen ist das ohne weiteres ersichtlich, für die Schubspannungen verbleibt jedoch ein Versetzungsmoment, das nur dann verschwindet, wenn wir nach Boltzmann auch in der Dynamik das Axiom von der Symmetrie des Spannungstensors als gültig unterstellen. Die rechte Seite ergibt



(m)

r  r dm 



(m)

d d (r  r )dm  dt dt



(m)

r  v dm 

dD0   D0 dt

und somit lautet der auf den festen Punktes 0 bezogene Drallsatz

30

3 Grundlagen der Kinetik

  d M a0  D 0 dt



(m)

r  v dm

(3.5)

In (3.5) ist D0 



( m)

r  v dm

(3.6) der auf den Punkt 0 bezogene Drallvektor. Wählen wir als Bezugspunkt für den Momenten- und Drallvektor nicht den raumfesten Punkt 0, sondern mit Abb. 3.3 einen im Inertialsystem beliebig bewegten Punkt A, dann gilt mit

Abb. 3.3

Wechsel des Bezugspunktes

r ( t )  rA ( t )  rAP ( t ) v( t )  r ( t )  rA ( t )  rAP ( t )  v A ( t )  rAP ( t ) und unter Beachtung von (3.5)

d rA ( t )  rAP ( t ) v A ( t )  rAP ( t ) dm dt ( m ) d  [mrA  v A  rA  rAP dm  v A  rAP dm  ( m) ( m) dt    

M a0 







mrAS



(m)

rAP  rAPdm]

mrAS

d d d   mrA  v A  rA  rAS  v A  rAS   D A   m  (rA  v A )  (rA  rAS  v A  rAS )  D A dt dt  dt 

In der obigen Beziehung ist DA 



( m)

rAP  rAPdm

(3.7)

der auf den Punkt A bezogene Drallvektor. Beachten wir weiterhin d rA  v A   rA  v A  rA  v A  rA  v A  rA  b A dt dann können wir folgt zusammenfassen d  M a0  m rA  b A  (rA  rAS  v A  rAS )  D A dt  

(3.8)

Bezeichnet M aA das Moment der äußeren Belastung bezogen auf den Punkt A, dann ermitteln wir unter Berücksichtigung des Versetzungsmomentes und des Schwerpunktsatzes das Moment bezogen auf den Punkt 0 M a0  M aA  rA  F a  M aA  mrA  rS

(3.9)

3.3 Der Drallsatz

31

Einsetzen dieses Sachverhaltes in (3.8) ergibt mit rS  b S d  M aA  m rA  (b A  b S )  (rA  rAS  v A  rAS )  D A dt  

(3.10)

Aus dieser Beziehung lassen sich spezielle Formen des Drallsatzes herleiten. Befindet sich beispielsweise der Punkt A in Ruhe oder in einer geradlinig gleichförmigen Bewegung, dann ist b A  0 und es verbleibt

  d M aA  D A dt

Abb. 3.4 Bezugnahme auf den Schwerpunkt S



(m)

rAP  rAPdm

Ist der Punkt A speziell der beliebig bewegte Schwerpunkt S des Körpers (Abb. 3.4), für den



(m)

x dm  0 gilt, dann ist

mit rA  rS und rAS  0   d M aS  D S dt



(m)

x  x dm

(3.11)

eine zu (3.5) formal gleichwertige Darstellung. Schwerpunktsatz und Drallsatz gelten in dieser Form auch für deformierbare Körper.

3.3.1

Der Drallsatz für starre Körper bei reiner Drehung um einen raumfesten Punkt

Vollzieht der starre Körper mit v    r eine reine Drehung um den Punkt 0, dann folgt aus (3.5)   d M a0  D 0 dt d  dt



r  v dm 



2

( m)

( m)

d dt



( m)

r  (  r) dm

(3.12)

[ r   r (r  ] dm

Zur Darstellung des Drallvektors



D0  r  vdm  (m)



(m)

[ r 2 )  r (r   ]dm

können verschiedene Koordinatensysteme eingeführt werden.

(3.13)

32

3 Grundlagen der Kinetik

Bezugnahme auf ein ruhendes Koordinatensystem Wir führen ein im Inertialraum ruhendes kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt 0 ein (Abb. 3.5). Für den Drallvektor D0 in (3.13) gilt dann mit r  [ x1 , x 2 , x 3 ]T 0 0 0  111   212  313   0 0 D0  [ r )  r (r  ]dm  D0, je j  2 22  112  3023  (m) 0 0 j1  333  113  2023  



3



2

(3.14)

Mit der Matrix des Massenmomententensors Θ0 und dem Winkelgeschwindigkeitsvektor ω 0 0  11  12  0 022 Θ 0   12 0   13  023 

0   13 0    23  0  33 

 1  ω   2    3 

(3.15)

können wir (3.14) auch symbolisch in der Form D0  Θ 0  ω

(3.16)

schreiben. In (3.14) wurden mit (s.h. auch Abb. 3.5) 0jk  

(m)

0jj 



(m)

x j x k dm; x j  r  e j (r 2  x 2j )dm 



(m)

( j  1, 2, 3  k)

r2 jdm

die Massenmomente 2. Grades eingeführt. Beispielsweise ist 022  Abb. 3.5 Ruhendes Koordinatensystem in 0



( m)

(r 2  x 22 )dm 



( m)

( x12  x 32 )dm 



( m)

r2 2dm

Die axialen Massenträgheitsmomente 0jj sind stets größer

oder gleich null. Die Zentrifugal- oder Deviationsmomente  0jk können dagegen größer, kleiner oder auch gleich null sein.

  Masse (Länge) 2 , Einheit: kgm2 Der Drallsatz lautet dann in Komponenten d d 0 0 0 0  212  313  3023 ) (111 ); M a0, 2  (2022  112 dt dt d 0 0  (333  113  2023 ) dt

M a0,1  M a0,3

oder symbolisch

(3.17)

3.3 Der Drallsatz

33

  d (Θ 0  ω) M a0  D 0 dt

(3.18)

Bei der Ableitung der rechten Seite von (3.18) ist darauf zu achten, dass die Massenmomente Θ0 Funktionen der Zeit sind. Bezugnahme auf ein körperfestes Koordinatensystem Um den Nachteil der zeitabhängigen Massenmomente zu umgehen, installieren wir im Punkt 0 ein körperfestes Koordinatensystem mit der kartesischen Basis e (jk ) ( j  1, 2, 3 ). In diesem

Koordinatensystem hat der Drallvektor formal die gleiche Darstellung wie in (3.14) D0 



3

(m)

r  (  r) dm 

 j1

D (0k, j)e(jk )

0( k ) 0( k ) 0( k ) 1( k ) 11   (2k ) 12  3( k ) 13  ( k ) 0( k ) ( k ) 0( k ) ( k ) 0( k )   2  22  1 12  3  23  0( k ) 0( k ) 3( k ) 33  1( k ) 13  (2k )  023( k )  

(3.19)

oder 0( k )  11  0( k ) D 0   12   0( k )  13

0( k )  12

 022( k )   023( k )

0( k )  1( k )   13      023( k )   (2k )   Θ 0(k)  ω (k) 0( k )   ( k )   33   3 

(3.20)

Die Massenmomente (jkk ) 

x

(k ) (k ) j x k dm

( j  k ); (jjk ) 

(m)

 (r

2

 x (jk ) 2 ) dm 

(m)

r

2  j dm

(m)

(3.21)

sind nun, aufgrund der vorausgesetzten Starrheit des Körpers, zeitlich konstant. Bei der Ableitung des Drallvektors ist aber darauf zu achten, dass die Basisvektoren körperfest sind und dadurch i. Allg. während der Bewegung ihre Richtungen ändern. Mit der Differenziationsvorschrift für Vektoren in mitbewegten Koordinaten erhalten wir  (k)  ω(k) D(k)  ω(k) D(k)  D 0,1 2 0 ,3 3 0, 2   D0  ω  D  D  (k)  ω(k) D(k)  ω(k) D(k)  D 0 0 3 0,1 1 0, 3   0, 2  (k)  ω(k) D(k)  ω(k) D(k)  D 1 0, 2 2 0,1   0 ,3 

(3.22)

In (3.22) sind 0( k ) 0( k ) 0( k )  (k)    1( k ) 11  (2k ) 12  3( k ) 13 D   0,1 0( k )  (k)    (2k ) 022( k )    1( k )12  3( k ) 023( k ) D  0, 2 0( k ) 0( k )  (k)    3( k ) 33  1( k ) 13  (2k ) 023( k ) D   0 ,3

(3.23)

34

3 Grundlagen der Kinetik

Beachten wir in (3.22) noch (3.20), dann führt das auf eine sehr komplizierte Darstellung des Drallsatzes. Eine wesentliche Vereinfachung der obigen Beziehung lässt sich erreichen, wenn wir die körperfesten Koordinaten so wählen, dass sie parallel zu den Hauptachsen mit den Basisvektoren ~ej ( j  1, 2, 3 ) verlaufen. In diesem Hauptachsensystem gilt ~ (jkk )  ~ (jjk )

 

(m)

(m)

~ x (jk ) ~ x (kk ) dm  0,

~ x (jk )  r  ~ej(k)

( j  k)

(r 2  ~ x (jk ) 2 )dm

(3.24)

~ ~ Die Deviationsmomente (jkk ) verschwinden also, und die Trägheitsmomente (jjk ) nehmen

extremale Werte an. Berücksichtigen wir diesen Sachverhalt in (3.22), dann ist ~ (k ) ~ ~ (k )  1( k ) 11   (2k ) 3( k ) ( (22k )   33 ) ~ (k )   (k ) ~ (k ) (k ) (k ) ~ (k )   2  22  3 1 ( 33  11 ) D 0   ~ ~ (k )  (k ) (k ) ~ (k )   (k ) (k )  3  33  1 2 (11   22 )

(3.25)

und der Drallsatz geht über in die Eulerschen Kreiselgleichungen ~ ~ (k ) ~ ~ (k )  1( k ) 11 M (01k )    (2k ) 3( k ) ( (22k )   33 ) ~ ~ ~ ~ (k )   (k )   (k ) (k ) (k ) (k ) (k )  2  22  3 1 ( 33  11 ) M 02    ~ (k )   (k ) ~ (k ) ~ (k )  (k ) (k ) ~ (k ) M   03  3  33  1 2 (11   22 )

(3.26)

Mit (3.26) liegen drei gekoppelte, inhomogene, nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung zur Berechnung des Winkelgeschwindigkeitsvektors ω vor. Verschwinden die Momen~ te M (0k ) der äußeren Kräfte bezüglich des Punktes 0, dann sprechen wir von einem kräftefreien Kreisel und erhalten ~ (k ) ~ ~ (k )  1( k ) 11   (2k ) 3( k ) ( (22k )  33 )  0  ~ ~ (k )     (k ) ~ (k ) (k ) (k ) (k )  2  22  3 1 (33  11 )  0  ~ (k )    (k ) ~ (k ) (k ) (k ) ~ (k )          ( 0 3 33 1 2 11 22 )  

(3.27)

Unter bestimmten Bedingungen lassen sich die obigen Gleichungen entkoppeln. Ist der Krei~ ~ (k) sel beispielsweise mit  (22k )   33 symmetrisch, dazu braucht er übrigens keine geometri(k ) sche Rotationssymmetrie aufzuweisen, dann erfordert dies 1( k )  10  konst. Aus der zweiten Gleichung in (3.27) folgt durch Ableitung nach der Zeit t und unter Beachtung der dritten Beziehung

 (2k )  

(k )2 (k ) (k )  3( k ) 10 10 2 ~ ( k ) ~ ( k ) ~ ( k ) ~ ( k )  ~ (k ) ~ (k ) 2 (k ) ( )     ~ (k ) ~ ( k ) ~ ( k ) (11   22 )( 33  11 )   2 33 11  22  33  22

3.3 Der Drallsatz

35

~ ~ (k ) ~ (k )  (2k )  2 (2k )  0 wobei zur Abkürzung 2  [10 (11   (22k ) ) /  (22k ) ]2 gesetzt wurde. Mit 

liegt eine Schwingungsdifferenzialgleichung mit der Lösung (2k )  A1 cos(t )  A 2 sin(t ) (k ) (k ) (k ) (k )  3( k )  10 vor. Aus der dritten Beziehung folgt mit  2 (11   (22k ) ) / 33  (2k ) durch

Integration 3( k )  A1 sin(t )  A 2 cos(t )  C .

3.3.2

Der Drallsatz bei einer allgemeinen Bewegung des starren Körpers

Zur Beschreibung der allgemeinen Bewegung eines Körpers, die also weder eine ebene noch eine Bewegung um einen festen Punkt ist, wird in der Regel der beliebig bewegte Schwerpunkt S als Bezugspunkt gewählt. Handelt es sich um einen starren Körper, dann kann die zeitliche Änderung des Vektors x wegen d x / dt  0 nur aus einer reinen Drehung bestehen, was x  ω  x bedingt und mit dem Drallvektor DS 



(m)

x  x dm 



(m)

x  (ω  x)dm 



(m)

[ω(x 2) - x(x  ω)]dm

(3.28)

zur Spezifizierung

  M aS  D S

d dt



( m)

x  (ω  x)dm 

d dt



( m)

[ω(x 2) - x(x  ω)]dm

(3.29)

des Drallsatzes führt. (3.29) stimmt formal mit (3.12) überein, wir haben dort lediglich r durch x zu ersetzen. Damit bleiben alle für die reine Drehbewegung abgeleiteten Beziehungen erhalten, wenn wir noch den Index 0 durch S ersetzen.

3.3.3

Abb. 3.6 gung

Der Drallsatz für die ebene Bewegung eines starren Körpers

Der Drall, ebene Bewe-

Im Fall der ebenen Bewegung, etwa parallel zur (1,2)-Ebene (Abb. 3.6), besitzen Geschwindigkeit und Beschleunigung nur Komponenten parallel zur Bewegungsebene, und vom Winkelgeschwindigkeitsvektor verbleibt mit ω  3e 3 nur eine Komponente senkrecht dazu. Wir beschränken uns zunächst auf den Fall der Drehung eines starren Körpers um eine raumfeste Achse durch den Punkt 0. Dann reduziert sich der Drallvektor bei Bezugnahme auf eine raumfeste Einheitsvektorbasis ej ( j  1, 2, 3 ) mit (3.13) gemäß

36

3 Grundlagen der Kinetik 0   313   0  D0  [3e 3  r )  r (r  3e 3 ]dm  D0, je j   3 23  (m) 0  j1  333  



2

3



(3.30)

Beziehen wir die Vektoren auf ein im Punkt 0 installiertes körperfestes Koordinatensystem mit der kartesischen Basis e (jk ) , dann erhalten wir in formaler Übereinstimmung

D0 



(m)

[3e 3  r 2 )  r (r  3e 3 ]dm 

3

D

(k ) (k ) 0, j e j

j1

0( k )  313   0( k )    3 23  0( k )   333  

(3.31)

Gleichwertige Beziehungen erhalten wir auch, wenn wir den Drall auf den beliebig bewegten Schwerpunkt S beziehen. S   313   2 S  DS  [3e 3 (x )  x(x  3e 3 ]dm  DS, je j   3 23  (m) j1  3S33    3





(3.32)

und bei Bezug auf körperfeste Koordinaten DS 



(m)

2

[3e 3 (x )  x(x  3e 3 ]dm 

3



( k ) (k) DSj ej

j1

S( k )   313  S( k )    3 23   3S33( k )   

(3.33)

Die zeitliche Änderung des Drallvektors in mitbewegten Koordinaten lautet dann S( k )  313    32S23( k )  S( k ) 2 S( k )    DS  ω  D    D S S   3 23  3 13    3S33( k )     

(3.34)

und für den Drallsatz bezogen auf den beliebig bewegten Schwerpunkt S erhalten wir in Komponenten S( k )  313 MS( k1)     32S23( k )    (k )  S( k )   3S23( k )  3213  M S2      S( k )  MS( k3)      3 33    

(3.35)

S( k ) Ist die 3-Achse eine Hauptträgheitsachse, dann verschwinden die Deviationsmomente 13

und S23( k ) , und es verbleibt mit M S( k1)  0 und M S( k2)  0  3S33( k ) M S( k3)  

(3.36)

3.3 Der Drallsatz

37

Schwerpunktsatz und Drallsatz liefern zusammen 6 skalare Gleichungen, die es gestatten, die räumliche Bewegung eines starren Körpers zu berechnen. Bei einem deformierbaren Körper kommen noch weitere Bedingungsgleichungen hinzu, die sein Deformationsverhalten beschreiben. Für den Fall der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung sind die Gleichgewichtsbedingungen F a  0 und M a  0 der Statik als Spezialfall in den Bewegungsgleichungen enthalten. Beispiel 3-1: Der Förderkorb eines Aufzugs mit der Masse m wird aus der Ruhelage heraus durch ein konstantes Antriebsmoment M0 aufwärts bewegt (Abb. 3.7). Gesucht werden der Bewegungszustand der Masse m, die Lagerkraft A der Trommel und die Seilkraft S. Geg.: M0, m, mTr, a,  0 . Zur Lösung des Problems stehen uns Schwerpunktsatz und Drallsatz zur Verfügung. Wie wir Abb. 3.7 Förderkorb der Masse m gesehen haben, gehen in diese Sätze nur äußere Kraftgrößen ein. Um die Lagerkraft A und die Seilkraft S berechnen zu können, benötigen wir zusätzlich das Befreiungs- und das Schnittprinzip, da beide Kräfte zunächst innere Kräfte darstellen. Abb. 3.7 (rechts) zeigt das freigeschnittene System. Die Antriebswalze mit dem Radius a führt eine reine Drehbewegung um den Punkt 0 aus. Zur Beschreibung dieser Bewegung reicht der Drallsatz aus. Sind wir zusätzlich an der Auflagerreaktionskraft A interessiert, so muss zusätzlich der Schwerpunktsatz für diese Teilmasse notiert werden. Unterstellen wir ein undehnbares Seil, dann besitzt das System nur einen Freiheitsgrad, der beispielsweise durch die Lagekoordinate x(t) der Masse m repräsentiert wird. Die Anwendung der Sätze auf die Teilmassen liefert: 1.) Schwerpunktsatz in x-Richtung angewandt auf die freigeschnittene Masse m (G = mg): mx  S  G (3.37) 3   ) 2.) Drallsatz für die Trommel bezogen auf den Drehpunkt 0 (    M 0  aS 0 

(3.38)

, S ) vor. Es fehlt Mit (3.37) und (3.38) liegen zwei Gleichungen für drei Unbekannte ( x,  also noch eine Gleichung. Das ist die kinematische Beziehung zwischen der Lagekoordinate x und dem Drehwinkel ϕ. Aufgrund der getroffenen Voraussetzungen (starre Walze, undehnbares Seil) kann x  a

  x  a

(3.39)

38

3 Grundlagen der Kinetik

gefordert werden. Einsetzen von (3.39) in (3.38) und Elimination der Seilkraft S mittels a (M 0  aG) (3.37) ergibt x   konst. Diese gewöhnliche Differenzialgleichung 2. Ordnung  0  ma 2 wird durch Integration gelöst: x 

a (M 0  aG ) 0  ma

2

t  C1 , x 

a (M 0  aG ) t 2  C1t  C 2 0  ma 2 2

Startet der Förderkorb aus der Ruhelage, dann lauten die Anfangsbedingungen x ( t  0)  0  C1  0, x ( t  0)  0  C 2  0 und damit x 

a (M 0  aG ) 0  ma

2

t, x 

a (M 0  aG ) 2(0  ma 2 )

t2 .

 a (M 0  aG )  Die Seilkraft folgt mit S  mx  G  G 1  aus (3.37). 2   g( 0  ma ) 

Zur Berechnung der Lagerreaktionskraft A notieren wir den Schwerpunktsatz für die freigeschnittene Trommel und erhalten:  m Tr yS  0  A y , also A y  0 ,  m Tr xS  0  A x  G Tr  S und damit A x  G Tr  S .

3.3.4

Unwuchtwirkungen

Abb. 3.8 zeigt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit 3   um die 3-Achse rotierenden Körper der Masse m, der beidseitig momentenfrei gelagert ist. Zur Beschreibung der ebenen Bewegung des als starr angenommenen Körpers verwenden wir körperfeste Koordinaten. Jedes Massenelement dm führt dabei eine ebene Bewegung in der ( x1( k ) , x (2k ) )-Ebene aus. Als Ursprung des Koordinatensystems wird der raumfeste Punkt 0 am Lager A gewählt. Die Auflagerkräfte A (k)  [A1( k ) , A (2k ) ]T und B (k)  [B1( k ) , B(2k ) ]T werden im mitbewegten (körperfesten) Koordinatensystem dargestellt.

Abb. 3.8

Rotor mit beidseitig momentenfreier Lagerung, Unwuchtwirkung

3.3 Der Drallsatz

39

Sehen wir vom Eigengewicht des Körpers ab, dann gilt für das Moment der äußeren Kräfte bezogen auf den Punkt 0: M 0  rAB  B(k)  [B(2k ) , B1( k ) ,0]T , und der Komponentenvergleich mit (3.35) unter Beachtung von (23k ) 



(m)

(k ) x (2k ) x 3dm und 13 



(m)

x1( k ) x 3dm ergibt

die Lagerkräfte B1( k )  

(k ) 213 2(23k ) , B(2k )    

(3.40)

die auch als kinetische Drücke bezeichnet werden, und die dritte Komponente ist dann we 3( k )     0 auch erfüllt. Die Auflagerkraft A(k) ermitteln wir aus dem Schwerpunktgen  satz mrS   m 2 [ x 1(Sk ) e1( k )  x (2kS) e (2k ) ]  A (k)  B (k) zu   ( k )   ( k ) A1( k )  2  13  mx1(Sk ) , A (2k )  2  23  mx (2kS)       

(3.41)

In einem raumfesten Koordinatensystem sind die umlaufenden Lagerdrücke harmonisch. Sie verschwinden immer dann, wenn (k ) 1.) die Drehachse mit 13  0;  (23k )  0 eine Hauptträgheitsachse ist, und (k) 2.) die Drehachse durch den Körperschwerpunkt S verläuft ( x 1(k) S  0; x 2S  0 ).

Die Beträge der Auflagerkräfte wachsen mit dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit. Das kann zu unangenehmen Wirkungen auf den Rotor selber oder die angrenzenden Bauteile führen. Man ist deshalb bestrebt, diese Unwuchten in einem begrenzten Toleranzbereich nachträglich zu beseitigen. Dazu existieren Auswuchtverfahren. Das statische Auswuchten eines Rotors stellt sicher, dass die Drehachse durch den Schwerpunkt S verläuft. Zusätzlich ist ein Rotor auch kinetisch ausgewuchtet, wenn die Drehachse eine Hauptzentralachse ist. Die Berechnung von Unwuchtwirkungen an deformierbaren Körpern ist wesentlich aufwendiger, da hier die Abstände der Körperelemente von der Drehachse zunächst nicht bekannt sind, sondern von den noch zu berechnenden Verformungen abhängen. Dazu werden zusätzlich Materialgleichungen der zum Einsatz kommenden Werkstoffe benötigt. Noch relativ einfach zu behandeln ist dagegen das Problem der biegekritischen Drehzahlen. Es wird beobachtet, dass zunächst gerade elastische Wellen bei bestimmten kritischen Drehzahlen kr in einen ausgelenkten Zustand übergehen und damit ihre anfängliche Unwuchtfreiheit verlieren. Hierbei handelt es sich um ein Instabilitätsproblem, verAbb. 3.9 Gekrümmte Welle, Biegelinie im stationären Zustand gleichbar mit dem der Stabknickung. In Anlehnung an die Vorgehensweise

40

3 Grundlagen der Kinetik

bei der Stabknickung, wird die Welle in einer stationär ausgelenkten Lage betrachtet und dann die kinetischen Grundgleichungen notiert. Als Beispiel wird hier der einfache Fall der ursprünglich geraden Welle (E: Elastizitätsmodul, I: Flächenträgheitsmoment) mit einer Einzelmasse m in Feldmitte behandelt (Abb. 3.9). Nach den Grundgleichungen der Festigkeitslehre ist die Verschiebung f infolge einer Kraft F in Feldmitte f  F3 /( 48EI) . Da sich die Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius f bewegt, wird die Welle durch die Fliehkraft F  mf2 belastet. Von der Wirkung der Wellenmasse selbst wird abgesehen. Damit  m23  F3  . Eine Lösung dieser Gleichung ist für f  0 nur dann folgt f   0  f 1  48EI 48EI  

gegeben, wenn kr 

48EI

(3.42)

m 3

erfüllt ist. Da hier die Welle als lineare Feder mit der Federsteifigkeit k  48EI /  3 approximiert wird, kann über die Auslenkung f keine Aussage getroffen werden. Es ist lediglich mit   kr eine Angabe über das Eintreffen des Instabilitätsfalls möglich. Befinden sich beispielsweise auf der Welle n konzentrierte Einzelmassen, dann liefert die Lösung des zugehörigen Eigenwertproblems n kritische Drehzahlen und Eigenformen.

3.3.5

Transformationsformeln für Massenmomente

Zur Berechnung der Massenmomente 2. Grades sind Integrale auszuwerten, die sich über den gesamten Körper erstrecken. Dabei sind die Bezugsachsen bestimmte Achsen, die in der Regel durch den Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) verlaufen, oder auch Symmetrieachsen, falls solche vorhanden sind. Werden die Massenmomente hinsichtlich anderer Achsen benötigt, so muss nicht neu integriert werden. Hier gelten die folgenden Transformationsformeln für Massenmomente. Transformation hinsichtlich paralleler Achsen Mit den kartesischen Koordinaten ~ xj  ~ r  e j ( j  1, 2, 3)

des Massenelementes dm (Abb. 3.10) sind die Deviationsmomente bezogen auf die durch den Punkt 0 verlaufenden Achsen wie folgt definiert:  (jk0)  Abb. 3.10 Transformation hinsichtlich paralleler Achsen



(m)

~ x j~ x k dm 



(m)

(~ r  e j )(~ r  e k )dm ( j  k )

Entsprechend errechnen sich die Deviationsmomente bezüglich der durch den Schwerpunkt S verlaufenden Achsen

3.3 Der Drallsatz



 (jkS)  x j x k dm 

41



(m)

( j  k ).

(r  e j )(r  e k )dm

Der Abb. 3.10 entnehmen wir ~ r  r  rS0 mit rS0 

3

x

S0 je j

. Setzen wir diese Beziehung

j1

in (jk0) ein, dann erhalten wir unter Beachtung von

 [(r  r )  e ][(r  r   (r  e )(r  e )dm  (r 

 (jk0) 

S0

( m)

j

(m)

 rdm  0 (m)

S0 )  e k ]dm

j

k

S0

ej)

(r  e )dm  (r    k

(m)

S0

0

 (jkS )

 ek )



(r  e j )dm  m(rS0  e k )(rS0  e j )   (m)      m x x S0 j S 0 k

0

den Satz von Steiner für die Deviationsmomente  (jk0)   (jkS)  m x S0 j x S0 k

(3.43)

Für die axialen Momente folgt entsprechend

 

(jj0) 

( m)

( m)

~ r2jdm 



(m)

(~ r2 ~ x 2j )dm 



( m)

[(r  rS0 ) 2  ( x j  x S0 j ) 2 ] dm

(r 2  x 2j )dm  m (rS20  x S20 j )  2rS0 

dm  2x  x dm r     (m)

0



(r 2

( m)

 x 2j ) dm  m(rS20

S0 j

j

( m)

0

 x S20 j )



  (jjS )

 rS20 j

und damit  (jj0)   (jjS)  m rS20  j

(3.44)

In (3.44) bedeutet rS20  j das Abstandsquadrat der parallelen Achsen durch 0 und S. Sind also die auf die orthogonalen Achsen durch den Schwerpunkt S des Körpers bezogenen Träg( S) heitsmomente (S) mit  j, k  1, 2, 3, j  k  bejj ( j  1, 2, 3) und Deviationsmomente  jk kannt, so lassen sich die auf ein parallel verschobenes Koordinatensystem bezogenen Massen- und Deviationsmomente leicht errechnen. Schreiben wir die Steinerschen Sätze in Komponenten, dann erhalten wir ( 0) (S) 11  11  m( x S202  x S203 ), (220)  (22S)  m( x S201  x S203 ) ( 0) (S) 33  33  m( x S201  x S202 )

(3.45)

42

3 Grundlagen der Kinetik

Für die Deviationsmomente gilt ( 0) ( S) ( 0) (S) 12  12  m x S01x S02 , 13  13  m x S01x S03

(3.46)

(230)   (23S)  m x S02 x S03

Transformation hinsichtlich gedrehter Achsen Auch bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern sich die Massenmomente. Sind diese hinsichtlich des orthogonalen Achsensystems ej mit Θ jk

Abb. 3.11 Drehung des Koordinatensystems

 11  12    12  22   13   23 

 13     23  33 

bekannt (Abb. 3.11), und werden die Massenmomente  jk

in Bezug auf das gegenüber ej gedrehte orthogonale Koordinatensystem e j gesucht, dann gehen wir wie folgt vor. Wir stellen zunächst die Einheitsvektoren

ej

als Linearkombination der gedrehten Einheitsvektoren

e j  (e j  e1 ) e1  (e j  e2 ) e2  (e j  e3 ) e3

( j  1, 2, 3) . Die Skalarprodukte

ej

dar, also

e j  ek  cos  jk

( k  1, 2, 3 ) fassen wir entsprechend (2.27) in der Transformationsmatrix e1  e1 Tjk  e 2  e1  e 3  e1

e1  e2 e 2  e2 e 3  e2

e1  e3  e 2  e3   e 3  e3 

(3.47)

3

zusammen. Die Einheitsvektoren können dann in der Form e j 

T

jr er

geschrieben wer-

r 1

den, und für die Matrix der Massenmomente im gedrehten Koordinatensystem erhalten wir 3

Θ rs 

 1 1   jk Tjr Tks     1 2 k 1    13 3

 j1

 1 2  22  23

 1 3     2 3  ( r , s  1, 2, 3 )  3 3 

(3.48)

Beispiel 3-2: Gesucht werden die Massenmomente  jk bezüglich des gegenüber ej um 30° um die 3-Achse gedrehten orthogonalen Koordinatensystems e j . Die Transformationsmatrix (3.47) lautet

3.3 Der Drallsatz

43 1 / 2 3  1 / 2 0   Tjk   1 / 2 1 / 2 3 0 .  0 0 1 

Abb. 3.12 Drehung des Koordinatensystems um die 3-Achse

Θ jk

3.3.6

Die in der dritten Zeile und Spalte stehende 1 deutet darauf hin, dass die 3-Achse die Drehachse ist. Werten wir damit (3.48) aus, dann erhalten wir die Matrix des symmetrischen Massenträgheitsmomententensors

 1 (3  2 3   )  1 ( 3  2  3 )  1 ( 3   ) 11 12 22 11 12 22 13 23  4 4 2   1 1  (11  2 312  3 22 )  ( 3 23  13 )  4 2   33 sym.    

Hauptachsentransformation

Für jeden Körper existieren drei orthogonale Achsen, die als Hauptachsen des symmetrischen Trägheitstensors Θ bezeichnet werden. In diesem Koordinatensystem erscheint die Matrix des Trägheitstensors als Diagonalmatrix 1 0 Θ   0 2  0  0

0 0   3 

(3.49)

Die Größen 1 ,  2 ,  3 heißen Hauptträgheitsmomente, die so angeordnet werden, dass 1   2   3 gilt, und die zugeordneten Achsen ein Rechtssystem bilden. 1 und  3

nehmen dabei Extremwerte an. Die Deviationsmomente sind definitionsgemäß null. Zur Berechnung der Hauptträgheitsmomente gehen wir wie folgt vor. Da die Matrix dieses Tensors ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein soll, lösen wir zunächst das spezielle Eigenwertproblem Θ  I   eˆ  0 , wobei I  diag[1] die Matrix des Einheitstensors bezeichnet, deren Hauptdiagonale nur mit Einsen besetzt ist. Mit eˆ  [eˆ1 , eˆ 2 , eˆ 3 ]T folgt 12 13   eˆ1  0 11     Θ  I   eˆ    12  22      23   eˆ 2   0  23  33    eˆ 3  0   13

(3.50)

was als ein lineares, homogenes Gleichungssystem zur Bestimmung von eˆ1 , eˆ 2 , eˆ 3 angesehen werden kann. Da aber wegen

44

3 Grundlagen der Kinetik eˆ 2  eˆ12  eˆ 2 2  eˆ 3 2  1

(3.51)

die Triviallösung eˆ  0 ausscheidet, muss die Koeffizientendeterminante des Gleichungssystems (3.50) verschwinden, also 11   12 13 D  12  22    23  0 13  23  33  

erfüllt sein. Dies führt auf die charakteristische Gleichung 3  J1 2  J 2   J 3  0

(3.52)

worin J1  11   22   33 2 2  13   223 ) J 2  11 22   22  33   3311  (12

J3 

11 22  33  212  2313  11 223

2   22 13

(3.53)

2   3312

die drei Grundinvarianten der Matrix des Trägheitstensors Θ bedeuten. Die Anwendung der Cardanischen Formel liefert mit den Hilfsgrößen

p

1 2 1 3 3 (J1  3J 2 ), q  (2J13  9J1J 2  27J 3 ), u  q  q 2  p3 v  q  q 2  p3 9 54

unter Beachtung von i 2  1 die, als Folge der Symmetrie von Θ , immer reellen Lösungen 1 J1  u  v 3 1 1 i  2  J1  (u  v)  3 ( u  v) 3 2 2 1 1 i  3  J1  (u  v)  3 ( u  v) 3 2 2 1 

(3.54)

Zu jedem Eigenwert  j ( j  1, 2, 3 ) gehören drei Richtungskosinusse eˆ j1 , eˆ j2 , eˆ j3 , die wir aus zwei beliebigen Gleichungen von (3.50) unter Berücksichtigung von (3.51) ermitteln können. Insgesamt erhalten wir also 3 Eigenvektoren eˆ 1, eˆ 2 , eˆ 3 , die die Hauptachsen festlegen. Zur Herleitung der Eigenvektoren gehen wir von den beiden ersten Gleichungen in (3.50) aus und ermitteln zunächst eˆ j1 und eˆ j2 als Funktion von eˆ j3 (11   j ) eˆ j1  12eˆ j2  13eˆ j3 ;  12eˆ j1  ( 22   j ) eˆ j2   23eˆ j3

3.3 Der Drallsatz

45

und aufgelöst eˆ j1 ( j )  eˆ j2 ( j ) 

( 22   j )13  12 23 2 ( j  11 )( j   22 )  12

(11   j ) 23  1213 2 ( j  11 )( j   22 )  12

eˆ j3  a jeˆ j3

(3.55) eˆ j3  b jeˆ j3

wobei zur Abkürzung aj 

( 22   j )13  12 23 2 ( j  11 )( j   22 )  12

, bj 

(11   j ) 23  1213

(3.56)

2 ( j  11 )( j   22 )  12

gesetzt wurde. Einsetzen von (3.55) in (3.51) ergibt eˆ jz ( j )  1 / 1  a 2j  b 2j und damit eˆ j1 ( j )  

aj 1  a 2j

 b 2j

, eˆ j2 ( j )  

bj 1  a 2j

 b 2j

, eˆ j3 ( j )  

1 1  a 2j  b 2j

(3.57)

Plus- und Minuszeichen in (3.57) deuten an, dass neben eˆ j auch eˆ j eine Hauptrichtung ist.

3.3.7

Beispiele zur Berechnung von Massenträgheitsmomenten

Hinweis: In den folgenden Beispielen wird auf den Index k für körperfest verzichtet. Beispiel 3-3:

Für den homogenen geraden Stab der Länge  und der Querschnittsfläche A(x) in Abb. 3.13 ist das Massenträgheitsmoment  0zz zu berechnen. Mit (3.21) ist (zz0)  Abb. 3.13

Dünner homogener Stab



(m)

r2 z dm 



(m)

( x 2  y 2 ) dm

wobei dm  dV  dAdx zu setzen ist. Unter der Voraussetzung konstanter Dichte erhalten wir

          y 2dA  dx    [ x 2 A( x )  I zz ( x )] dx (zz0)    x 2dA  dx      x  0 A ( x ) x  0 A ( x ) x 0   

 

 



46

3 Grundlagen der Kinetik

In dieser Beziehung sind A(x) die Querschnittsfläche und I zz ( x ) 



A(x )

y 2dA das axiale

Flächenträgheitsmoment der Fläche A(x) bezüglich der z-Achse. Für den Sonderfall des prismatischen Stabes mit A  konst. und I zz  konst. liefert die Integration  (zz0)

   2  1 3I   A x dx  I zz dx   m 2 1  zz2   A   x 0  3 x 0 





In einem dünnen Stab sind die Querschnittsabmessungen klein gegenüber der Länge  .

Dann gilt näherungsweise (zz0)  1 / 3m 2 , und mit dem Steinerschen Satz (3.45) folgt das Massenträgheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes S  2 1 1 1 (zzS)  (zz0)  m   m 2  m 2  m 2 3 4 12 2

Beispiel 3-4:

Abb. 3.14

Für den homogenen Kreiszylinder in Abb. 3.14 sind die Massenträgheitsmomente zu bestimmen. Aufgrund der weitreichenden Symmetrie sind die Achsen ( x , y, z ) mit Ursprung im Schwerpunkt S Hauptzentralachsen. Bezüglich dieser Achsen verschwinden die Deviationsmomente. Zur Ermittlung des axialen Massenmomentes (xxS) betrachten wir das in Abb. 3.14 invers dargestellte Massenelement dm  dV  dA x dx . Dann gilt unter

Homogener Kreiszylinder (Radius a, Länge  )

Beachtung von y 2  z 2  r 2 : (xxS)

worin I p 







(m)

(A x )

r2 x dm





(m)

2



2

2

( y  z ) dm  r dm   (m)

/2

 dx 

x   / 2

(A x )

r 2dA x   I P

r 2dA x  a 4 / 2 das polare Flächenträgheitsmoment bezüglich der x-Achse

bedeutet. Mit der Gesamtmasse m  V  a 2  erhalten wir  (xxS)  1 / 2ma 2 . Die Massenmomente bezüglich der Achsen y und z sind aufgrund der vorliegenden Totalsymmetrie identisch (  (zzS)   (yyS) ). Es gilt (zzS) 



(m)

r2 z dm 



(m)

( x 2  y 2 ) dm und damit

3.3 Der Drallsatz

(zzS)

47

/2  /2  /2       2 2     x dA x dx  y dA x dx    [A x x 2  I zz ] dx       x    / 2 ( A x ) x    / 2 ( A x ) x   / 2   











2 2     2  3 2    A x x dx  I zz dx    a 2     I zz   32      2   2 





und unter Berücksichtigung des axialen Flächenträgheitsmomentes I zz  a 4 / 4 folgt 2   a   . Für das um x   2 und y  z  0 parallel ver 1 3     S0 S0 S0    schobene Koordinatensystem erhalten wir mit dem 1. Satz von Steiner (3.45)

 (zzS)   (yyS) 

m 2 12

(yy0)  (zz0)  (zzS)  mx S20  (xx0)  (xxS) 

m 2 12

2 2 2 2   a    m  m 4  3 a   1 3          4 12      

1 ma 2 2

Beispiel 3-5: Für den homogenen Quader der Masse m sind die Massenträgheitsmomente und die Massendeviationsmomente bezüglich der Achsen durch den Schwerpunkt S und die parallel in den Punkt 0 verschobenen Achsen zu berechnen. Geg.: a, b, c,  Die kantenparallel verlaufenden Achsen (x, y, z) sind Symmetrieachsen und stellen deshalb Hauptzentralachsen dar. Abb. 3.15

Homogener Quader

Mit dA x  dydz, dA y  dxdz, dA z  dxdy erhalten wir das axiale Massenträgheitsmoment (xxS) bezo-

gen auf die Hauptzentralachsen

48

3 Grundlagen der Kinetik

(xxS) 



( m)

 a (

r2 x dm 



a/2

(m)

( y 2  z 2 )dm  

 dx  ( y

2

 z 2 )dA x

a / 2 (A x )

 cb3 c3b  m 2 2  z 2dA x )  a   b c 12 12  12  (A x ) Ax )   (  



y 2dA x 





 I zz



 I yy

Entsprechend bekommen wir (yyS)  m(a 2  c 2 ) / 12, (zzS)  m(a 2  b 2 ) / 12 . Alle Deviationsmomente verschwinden. Für einen Würfel der Kantenlänge a folgen aus den obigen Gleichungen  xx   yy   zz  ma 2 / 6 . Beziehen wir die massengeometrischen Größen auf die parallel verschobenen Achsen mit Ursprung in 0, dann gilt mit x S0  a / 2, yS0  b / 2, zS0  c / 2 m 2 2 (b  c ) 3 m  (yyS)  m( x S20  zS20 )  (a 2  c 2 ) 3 m  (zzS)  m( x S20  yS20 )  (a 2  b 2 ) 3

m ab 4 m  bc 4 m  ac 4

(xx0)  (xxS)  m( yS20  zS20 ) 

 (xy0)   (xyS)  m x S0 y S0 

(yy0)

 (yz0)   (yzS)  m y S0 z S0

(zz0)

3.4

 (yz0)   (yzS)  m x S0 z S0

Der Impuls Für ein Volumenelement der Masse dm eines beliebig bewegten Körpers (Abb. 3.16) wird der differentielle Impulsvektor dI  vdm definiert. Der Impuls des gesamten Körpers ist dann I

Abb. 3.16 Impuls bezogen auf den beliebig bewegten Schwerpunkt S

I  



(m)

v dm .

Masse  Länge , Einheit: kgms-1 Zeit

Die Geschwindigkeit des Massenelementes dm lässt sich bekanntlich für eine beliebige Bewegung des starren Körpers unter Beachtung des Vektors der Winkelgeschwindigkeit  in der Form v  v S  ω  x angeben, wobei vS die Geschwindigkeit des beliebig bewegten Schwerpunktes S bedeutet. Der Impuls des gesamten Körpers ist dann

3.4 Der Impuls I



(m)

49 v dm 



(m)

( v S  ω  x)dm 



( m)

v S dm 



( m)





ω  x dm  vS dm  ω  x dm ( m) ( m)     m

0

und unter Beachtung der Definition des Körperschwerpunktes erhalten wir I  mv S , I  I  mvS

(3.58)

Bei einer reinen Translation besitzen alle Körperpunkte dieselbe Geschwindigkeit v, und für den Impuls I folgt dann I  mv

(3.59)

4

Der Arbeits- und Energiebegriff

Unter Energie1 wird die Fähigkeit eines physikalischen Systems verstanden, Arbeit zu verrichten. Wird einem physikalischen System Arbeit zugeführt oder entzogen, so führt das zu einer Änderung seines Bewegungszustandes oder seiner Lage. Bei mechanischen Systemen wird deshalb zwischen Bewegungsenergie oder kinetischer Energie und Lageenergie oder potenzieller Energie unterschieden. Werden elastische Körper deformiert, tritt mit der Deformation eine Formänderungsenergie auf. Der Energiebegriff ist in der Mechanik von fundamentaler Bedeutung, obwohl ihm selbst keine physikalische Bedeutung zukommt, da es sich hierbei um eine reine Rechengröße handelt.

4.1

Die Arbeit einer Kraft Für die Kraft F, deren Angriffspunkt sich auf einer Bahnkurve C bewegt (Abb. 4.1), definieren wir die differenzielle Arbeit längs des Verschiebungsweges dr als das Skalarprodukt dA a  F(r )  dr  F(r ) dr cos (r )  F(r ) cos (r ) dr

Die skalare Größe dAa ist das Produkt aus der lokalen Kraftkomponente F cos  in Wegrichtung und dem VerAbb. 4.1 Arbeit einer Kraft längs schiebungszuwachs dr, wenn Kraft- und Wegrichtung den eines Verschiebungsweges Winkel α miteinander einschließen. Der Verschiebungszuwachs dr tangiert dabei an jeder Stelle r die Bahnkurve C. Auf dem endlichen Verschiebungsweg von r1 nach r2 verrichtet die Kraft dann die Arbeit Aa 

A a  

1



r2

r1

F(r )  dr

Masse  (Länge) 2 ( Zeit)

2

(4.1)

, Einheit: kgm 2s 2  Nm  J

von griech. enérgeia ›wirkende Kraft‹

52

4 Der Arbeits- und Energiebegriff

Die Arbeit kann sowohl positiv, negativ oder auch null sein. Die Definition wurde gerade so gewählt, dass bei positiver Arbeit ( A a  0 ) die Kraft F Arbeit verrichtet, während bei negativer Arbeit ( A a  0 ) Arbeit gegen die Kraft aufgewendet werden muss. Für F  dr ist der differenzielle Arbeitsanteil dAa gleich null.

4.1.1

Abb. 4.2

Die Arbeit eines Kräftepaares

Arbeit eines Kräftepaares

Die Arbeit eines Kräftepaares mit dem Moment M  r  F nach Abb. 4.2 leiten wir wie folgt her. Nach Euler kann die infinitesimale Lageänderung eines Punktes P des starren Körpers darstellt werden als die Hintereinanderschaltung einer für alle Körperpunkte identischen Translation drA und einer Rotation um den Punkt A mit dem differenziellen Drehwinkel dϕ, also dr  drA  d  rAP . Dabei ist A ein beliebiger Punkt des Körpers und rAP der Verbindungsvektor von A nach P. Damit ist die differenzielle Arbeit des Kräftepaares:

dA a  F  dr1  (  F)  dr2  F  dr1  dr2   F  [drA  d  a1  (drA  d  a 2 )]  F  [d  (a1  a 2 )]  F  (d  r)  F  (r  d  F  r   d  M  d

Der translatorische Anteil hebt sich offensichtlich heraus, und es verbleibt dA a  M ()  d . Dreht sich der Körper mit dem Kräftepaar von 1 nach  2 , so wird die Arbeit Aa 



2 1

M()  d

(4.2)

verrichtet.

4.1.2

Das Potenzial einer Kraft

Zur Auswertung des Integrals in (4.1) ist in aller Regel die explizite Angabe der Bahnkurve C erforderlich, da sich mit der Lageänderung des Körpers auch die Kraft F nach Lage, Richtung und Orientierung ändern kann. Wir sprechen in diesem Fall von einem Kraftfeld F(r). In einem stationären Kraftfeld ist F(r) nur vom Ort r abhängig, in einem instationären Kraftfeld hängt F(r,t) zusätzlich noch von der Zeit t ab. Betrachten wir Abb. 4.3, dann ist i. Allg. A1( a)2  A1( b )2 . Ist jedoch die Arbeit vom Weg unabhängig, dann hängt sie nur vom Anfangsund Endpunkt der Bahnkurve ab. Wir sprechen dann von einem konservativen Kraftfeld. Wegunabhängigkeit A1( a)2  A1( b )2 oder



A a  F  dr  0 . (C)



2

F  dr 

1( a )



1

F  dr  0 ist dann gegeben, wenn gilt

2( b )

4.1 Die Arbeit einer Kraft

53 Die Arbeit verschwindet demnach längs eines beliebigen geschlossenen Weges C. Allgemein kann gezeigt werden, dass für ein konservatives Kraftfeld ein Potenzial U(r) existieren muss, aus dem durch Gradientenbildung das Kraftfeld F selbst gewonnen werden kann, also U U   U F  gradU(r )  U(r )   e1  e2  e3  . x 2 x 3   x1

Abb. 4.3 Arbeit einer Kraft F längs einer geschlossenen Bahnkurve

   e1  e2  e 3 ist ein symbolix1 x 2 x 3 scher Vektor, der Nabla-Operator genannt wird. Unter Beachtung von

Der Gradient  

U U   U U(r )  dr   e1  e2  e 3   dx1 e1  dx 2 e 2  dx 3 e 3     x x x 3   1 2 U U U  dx1  dx 2  dx 3  dU x1 x 2 x 3

kann dann die Arbeit der Kraft F längs des Verschiebungsweges von (1) nach (2) auch in der Form A1 2 



r2 r1

F(r )  dr  



r2 r1

U(r )  dr  



r2 r1

dU(r )  U1  U 2 geschrieben werden.

Die Wegunabhängigkeit eines konservativen Kraftfeldes begründet sich aus dem Sachverhalt, dass die Arbeit allein aus der Potenzialdifferenz der Orte r2 und r1 gewonnen werden kann.

4.1.3

Abb. 4.4

Das Potenzial einer Gewichtskraft Als Beispiel einer Kraft, der ein Potenzial zugeordnet werden kann, betrachten wir die Gewichtskraft G eines schweren Körpers in der Nähe der Erdoberfläche (Abb. 4.4), die in dem gewählten Koordinatensystem mit G  Ge 3 nur eine von null verschiedene Komponente besitzt. Mit dem Ortsvektordifferenzial dr  dx1 e1  dx 2 e 2  dx 3 e 3 erhalten wir zunächst dA a  G  dr  Gdx 3 . Integrieren wir diesen Ausdruck längs des Verschiebungsweges von r1 nach r2, also

Arbeit der Gewichtskraft G

A1 2 



r2 r1

G  dr   G



x 3( 2 ) x 3(1)

dx 3  G ( x 3(1)  x 3( 2) )  U1  U 2

(4.3)

54

4 Der Arbeits- und Energiebegriff

dann erhalten wir die Arbeit der Gewichtskraft G längs ihres Verschiebungsweges von (1) nach (2), die nur von der Differenz der x3-Koordinaten der beiden Endpunkte abhängt. Nehmen wir das Nullniveau (NN) bei x 3( 2)  0 an, dann konnte der Körper mit dem Gewicht G die Arbeit A  Gh verrichten. Er besitzt somit bezüglich der Ebene (NN) die Energie der Lage oder die potenzielle Energie U  Gh

U  

(4.4)

Masse  (Länge) 2 ( Zeit) 2

, Einheit: kgm2s-2 = Nm = J

Die potenzielle Energie ist positiv, wenn sich der Körperschwerpunkt oberhalb des Nullniveaus befindet, null, wenn der Schwerpunkt im Nullniveau liegt, und negativ, wenn er sich unterhalb desselben befindet.

4.1.4

Das Potenzial einer Federkraft

Wird eine lineare Feder um das Maß x aus der entspannten Lage ausgelenkt (Abb. 4.5), dann ist dazu eine äußere Kraft F  kx erforderlich. Die Kraft F leistet dabei die Arbeit Aa 



x x 0

F( x ) dx 



x x0

kx dx 

1 2 1 k x  Fx 2 2

(4.5)

Die Federkraft FF ist eine innere Kraftgröße, sie leistet als Reaktionskraft die innere Arbeit AF  



x x 0

1 1 F( x ) dx   k x 2   Fx 2 2

(4.6)

Die Federkonstante k hängt auch von der Bauart der Feder ab.

k  

Masse ( Zeit)

2

, Einheit: kg s 2  N / m

Zur Berechnung des Potenzials der Federkraft beachten wir FF   UF 



x x 0

kx dx 

1 2 kx 2

dU F  kx und damit dx

(4.7)

4.2 Die Kinetische Energie

55 Geometrisch entspricht dem Potenzial der Federkraft die in (Abb. 4.5) schraffierte Dreieckfläche. Auch dieses Potenzial ist nur bis auf eine additive Konstante festgelegt, wobei UF als die in der Feder gespeicherte Formänderungsenergie gedeutet werden kann.

Abb. 4.5

Entsprechende Beziehungen lassen sich auch für eine lineare Drehfeder mit der Federkonstanten kd herleiten. Ist M  k d  das äußere Moment, das die Drehfeder aus der ungespannten Lage   0 in die Lage  dreht, dann errechnet sich die dabei vom äußeren Moment geleistete Arbeit

Lineare Wegfeder

Aa 



 0

M (  )d  



 0

k d  d 

1 1 k d 2  M 2 2

(4.8)

Mit dem inneren Federmoment M F   M folgt dann analog zu (4.7) UF 

1 k d 2 2

(4.9)

Zu den Kräften, die sich nicht aus einem Potenzial ableiten lassen, gehören die geschwindigv keitsabhängigen Reibungskräfte, die dem Materialgesetz R  f ( v) mit f ( v)  0 genüv gen. Unter Beachtung von dr  rdt  v dt folgt nämlich





A a  R  dr   f ( v)

v  vdt   f ( v) v dt  0 v



eine Arbeit, die immer negativ ist. Damit lässt sich für Reibungskräfte ein Potenzial nicht nachweisen, und da diese Kräfte Arbeit zerstreuen, werden sie auch dissipative Kräfte genannt. Zur Berechnung der Arbeit einer dissipativen Kraft muss der vollständige Verschiebungszustand des Kraftangriffspunktes bekannt sein.

4.2

Die Kinetische Energie

Die kinetische Energie ist die Energie der Bewegung. Besitzt das Massenelement dm des bewegten Körpers in Abb. 4.6 die Geschwindigkeit v, dann definieren wir dessen kinetische Energie dE  1 / 2 v 2 dm . Die gesamte kinetische Energie des Körpers ist dann



E  dE 

1 v 2dm  0 2 m



(4.10)

56

E  

4 Der Arbeits- und Energiebegriff Masse  (Länge) 2

Abb. 4.6

( Zeit)

2

, Einheit: kgm2s-2 = Nm = J

Massenelement dm, Geschwindigkeit v

Abb. 4.7

Kinetische Energie, Bezugspunkt A

Zur Berechnung der kinetischen Energie eines beliebig bewegten starren Körpers (Abb. 4.7) benutzen wir die Eulersche Geschwindigkeitsformel v  v A  ω  x . Das Quadrat der Geschwindigkeit ist dann v 2  v  v  v 2  ( v A    x) 2  v 2A  2 v A  (  x)  (  x) 2 , und mit der Definition (4.10) erhalten wir unter Beachtung von v A  (  x)  ( v A     x E

1 2 



(m)

v 2A dm  2( v A  ω) 



(m)

x dm 



(  x) 2dm  

(m)

(4.11)

Durch geeignete Wahl des Punktes A können wir den mittleren Term auf der rechten Seite zum Verschwinden bringen, denn es ist ( v A  ω) 



(m)

x dm  0 für

1.) A ist ein raumfester Punkt, dann ist vA = 0 2.) A ist der beliebig bewegte Körperschwerpunkt S, dann ist



(m)

x dm  0

3.) vA ist parallel zu ω, dann ist v A    0 Ist A der beliebig bewegte Körperschwerpunkt S, dann verbleibt von (4.11) E

1 2



( m)

vS2dm 

1 2



( m)

(  x) 2dm

(4.12)

Die kinetische Energie setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, dem translatorischen Anteil E tra  1 / 2



( m)

vS2 dm und einem Anteil E rot  1 / 2



(m)

(  x) 2dm , der die Drehung des

starren Körpers berücksichtigt. Werten wir (4.12) bezüglich einer körperfesten Basis e (jk ) ( j  1, 2, 3 ) mit   [1( k ) , (2k ) , 3( k ) ]T und x  [ x1( k ) , x (2k ) , x 3( k ) ]T sowie   x  [(2k ) x 3( k )  3( k ) x (2k ) , 3( k ) x1( k )  1( k ) x 3( k ) , 1( k ) x (2k )  (2k ) x 3( k ) ] und damit

4.2 Die Kinetische Energie 2

2

57 2

2

2

2

2

2

2

(  x) 2  1( k ) (x (2k )  x 3( k ) )  (2k ) ( x1( k )  x 3( k ) )  3( k ) ( x1( k )  x (2k ) ) 21( k ) (2k ) x1( k ) x (2k )  21( k ) 3( k ) x1( k ) x 3( k )  2(2k ) 3( k ) x (2k ) x 3( k )

aus, dann folgt 1 2 1  2

E

mvS2 

2 2 2 ( k ) 2 ( x (2k )  x 3( k ) )dm  (2k )  1 ( m) x1( k ) x (2k ) dm  1( k ) 3( k )  1( k ) (2k ) (m) 







2

( m)



(m)

2

( x1( k )  x 3( k ) )dm 3( k ) x1( k ) x 3( k ) dm  (2k ) 3( k )

2 2 ( x1( k )  x (2k ) )dm  x (2k ) x 3( k ) dm (m) 

2





( m)

Die Integrale entsprechen den auf körperfeste Achsen durch den Schwerpunkt S bezogenen Massenmomenten. Damit erhalten wir für die beiden wichtigen Fälle 1.) Der Punkt A ist ein raumfester Punkt 2 (k ) 2 2 (k ) 1 (k ) (k ) E rot  [1( k ) 11  (2k ) (22k )  3( k ) 33 ]  [1( k ) (2k ) 12  1( k ) 3( k ) 13  (2k ) 3( k ) (23k ) ] 2

2.) Der Punkt A ist der beliebig bewegte Schwerpunkt S des starren Körpers E

2 (k ) 2 2 (k ) 1 1 (k ) (k ) mvS2  [1( k ) 11  (2k )  (22k )  3( k ) 33 ]  [1( k ) (2k ) 12  1( k ) 3( k ) 13  (2k ) 3( k ) (23k ) ] 2 2

Abb. 4.8

Ebene Bewegung einer Scheibe

Abb. 4.9

Rotation eines starren Körpers um die 3-Achse

Bei einer ebenen Bewegung einer starren Scheibe in der (1,2)-Ebene (Abb. 4.8) verbleibt von der letzten Beziehung wegen 1( k )  0 und (2k )  0 sowie 3( k )  3 die kinetische Energie E

1 1 (k ) mv S2  32  33 2 2

(4.13)

Bei Bezugnahme auf das Momentanzentrum M kann die kinetische Energie auch als reine Rotationsenergie dargestellt werden. Dann ist E  1 / 232  M was auch aus (4.13) hergeleitet werden kann, denn mit v S  3 und damit vS2   2 32 folgt unter Beachtung des Satzes

58

4 Der Arbeits- und Energiebegriff

von Steiner für parallele Achsen E  1 / 2m 232  1 / 2S32  1 / 2(S  m 2 )32 . Liegt eine   M

reine Rotation des Körpers um eine feste Achse vor (Abb. 4.9), so ist mit v  r3 E

1 2 (k ) 3  33 2

(4.14)

Für den Sonderfall der reinen Translation eines starren Körpers (   0 ) haben alle Massenelemente dm dieselbe Geschwindigkeit v. Dann ist E

4.2.1

1 mv 2 2

(4.15)

Die Leistung einer Kraft

Als Leistung einer Kraft wird die je Zeiteinheit geleistete Arbeit definiert L

L 

dA F  dr dr   F  Fv dt dt dt

Masse  (Länge) 2 ( Zeit) 3

(4.16)

, Einheit: kg m2s-3 = Js-1 = W (Watt ) Die Leistung eines Kräftepaares (Abb. 4.10) mit dem Moment M  x  F folgt aus der Definition für die Leistung einer Kraft. Unter Berücksichtigung der Eulerschen Geschwindigkeitsformel folgt L  F  v A  F  v B  F  [ v A  (v A  ω  (  x))]  F  (ω  x)  (F  x)  ω  (x  F)  ω

Abb. 4.10

Leistung eines Kräftepaares

L  M 

Die Leistung eines Kräftepaares mit dem Moment M ist also (4.17)

4.3 Der Arbeitssatz für starre Körper

4.3

59

Der Arbeitssatz für starre Körper Abb. 4.11 zeigt einen starren Körper, der unter dem Einfluss äußerer Kräfte aus der Lage (1) in die Lage (2) gebracht wird. Seine kinetische Energie ist E

Abb. 4.11 Der Arbeitssatz für starre Körper

1 2



(m)

v 2 dm

Berechnen wir deren zeitliche Änderung, dann folgt

dE dA  v  v dm   v  r dm   v  dF   dL  L  (m) (m) (m) dt  (m) dt  dF

Aus der obigen Beziehung folgt der Arbeitssatz für starre Körper in differenzieller Form

dA  dE

(4.18)

und die Integration zwischen den Zuständen (1) und (2) ergibt A1 2  E 2  E1

(4.19)

Damit kann folgender Satz formuliert werden: Die Zunahme der kinetischen Energie in einem beliebigen Zeitintervall Δt  t 2  t1 ist gleich der Arbeit aller äußeren Kräfte in diesem Zeitintervall.

Falls an äußeren Kräften nur die Schwerkraft wirkt, so verrichtet nur die Gewichtskraft G Arbeit und mit (4.3) ist A1 2  U1  U 2 . Der Arbeitssatz (4.19) geht dann über in den Energiesatz der Mechanik oder den Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie (Energieerhaltungssatz) E1  U1  E 2  U 2

(4.20)

E  U  konst.

(4.21)

oder

und in differenzieller Form

60

4 Der Arbeits- und Energiebegriff d  0 (E  U )  E  U dt

(4.22)

Damit kann folgender Satz formuliert werden: Für ein mechanisches System, das nur unter dem Einfluss konservativer Kräfte steht, ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie konstant. Beispiel 4-1:

Abb. 4.12 Ebene

Walze auf einer schiefen

Zustand (1):

E1 = 0

Zustand (2):

E2 =

Welche Geschwindigkeit hat der Schwerpunkt einer Walze (Masse m, Massenträgheitsmoment  S ), nachdem diese die Höhe h durchlaufen hat? Der Körper soll sich im Zustand (1) aus der Ruhe heraus in Bewegung setzen. Da er nur unter dem Einfluss der Schwerkraft steht, lässt sich hier vorteilhaft mit dem Energieerhaltungssatz für Schwerekräfte (4.20) arbeiten. Dieser Satz kann auch als 1. Integral des Schwerpunktsatzes angesehen werden, da er direkt die Geschwindigkeit liefert. Wir notieren potenzielle und kinetische Energien für beide Zustände: U1 = mgh

1 1  M 2  ( S  ma 2 )2 2 2

Energiesatz:

0  mgh 

Kinematik für reines Rollen:

v S  a

U2 = 0

1 (S  ma 2 )2  0 2

(a) (b)

Die Berücksichtigung von (b) in (a) liefert die Schwerpunktgeschwindigkeit vS 

2gh 1  S /( ma 2 )

.

Hinweis: Die Bewegung der Walze geht umso langsamer vor sich, je größer ihr Massenträgheitsmoment  S ist.

4.4 Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen

4.4

61

Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen lassen sich prinzipiell herleiten, wenn wir für jeden Teilkörper eines Systems, bestehend aus m starren Körpern mit n Freiheitsgraden, Schwerpunktsatz und Drallsatz notieren. Aus diesen Grundgleichungen folgen insgesamt 6m Gleichungen, in denen zunächst die n Freiheitsgradparameter qj(t), ( j  1,, n ) unbekannt sind. Überdies unbekannt sind die Kontaktlasten, etwa die Gelenkkräfte zwischen den Körpern sowie die Lagerreaktionslasten, die mittels 6m  n der insgesamt 6m Gleichungen durch die Freiheitsgradparameter qj(t) ausgedrückt werden können. Anschließend lassen sich die eigentlichen n Bewegungsgleichungen des Systems generieren, die als Unbekannte nur noch die Freiheitsgradparameter und deren zeitliche Ableitungen bis zur Abb. 4.13 Örtlich variierte Bahnkurzweiten Ordnung enthalten. Wir werden im Folgenden ve des Massenelementes dm sehen, dass sich die Bewegungsgleichungen eines konservativen Systems direkt herleiten lassen, und zwar ohne vorherige Elimination der Kontaktund Lagerreaktionslasten. Dazu benutzen wir energetische Aussagen in Form des Arbeitsund Energieerhaltungssatzes. In diesen Sätzen treten Auflagerlasten a priori nicht auf, da diese keine Arbeit leisten. Befinden sich im System deformierbare Kontaktelemente (Federn), so kann die Arbeit der Kontaktlasten mittels der Materialgesetze der Kontinuumsmechanik durch Elementdeformationen ausgedrückt werden. Für den Fall einer linearelastischen Feder ist beispielsweise mit deren Längenänderung  die Arbeit der Kontaktkraft gleich der potenziellen Energie U F  1 2 k 2 der Feder. Diese Arbeit lässt sich dann wieder durch die Freiheitsgradparameter qj(t) des Systems ausdrücken. Zur Herleitung der Lagrangeschen1 Bewegungsgleichungen gehen wir aus vom Hamiltonschen2 Prinzip, auf das man durch folgende Fragestellung geführt wird (Abb. 4.13): Durch welche Eigenschaft zeichnet sich eine im endlichen Zeitintervall t1  t  t 2 durchlaufene Bahn r  r ( t ) eines Massenelementes dm gegenüber anderen kinematisch möglichen (virtuellen) Bahnen r  δr aus? Diese Frage wird durch das Hamiltonsche Prinzip beantwortet. Es lautet für ein nicht konservatives System



t2 t  t1

(A ( e )  E) dt  0

(4.23)

Darin bezeichnen A ( e ) die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und E die virtuelle Änderung der kinetischen Energie. Lassen sich die äußeren eingeprägten Kräfte aus einem Potenzial ableiten, ist also A (e )  U ein totales Differenzial, dann lautet das Hamilton1

Joseph Louis de Lagrange, eigtl. Giuseppe Ludovico Lagrangia, frz. Mathematiker und Physiker italien. Herkunft, 1736-1813

2

Sir William Rowan Hamilton, irischer Mathematiker und Physiker, 1805-1865

62

4 Der Arbeits- und Energiebegriff

sche Prinzip für ein konservatives System, wenn wir beachten, dass beim -Prozess die Zeit nicht variiert wird



t2 t  t1

(E  U) dt 



t2 t  t1

(E  U) dt 



t2 t  t1

L dt  0

(4.24)

wobei LEU

(4.25)

Lagrangesche Funktion genannt wird. Das Hamiltonsche Prinzip besagt, dass das Zeitintegral über die Lagrangesche Funktion für die wirklich eintretende Bahn stationär ist, es nimmt also einen Extremwert (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) an. Die in der Lagrangeschen Funktion L auftretende Energiedifferenz E  U kann bei einem konservativen System immer durch die n Freiheitsgradparameter und deren Ableitung L  L(q1 , q 2 ,  , q n ; q 1 , q 2 ,  , q n )

(4.26)

ausgedrückt werden, und die Variation von L ist n

L 

L

 ( q q i 1

i



i

L q i ) q i

(4.27)

dq d Unter Beachtung der Schwarzschen Vertauschungsregel gilt q i   i   q i  . Für  dt  dt den weiteren Rechengang bilden wir folgende Ableitung

d  L d  L  L d  L  L  d  L  q i   q i   q i   q i     q i ,  q i     dt  q i  q dt  q  q dt  q   i  i  dt  q i  i i Einsetzen der rechten Seite der obigen Beziehung in (4.27) liefert n

L 

 L

  q i 1

q i 

i

d  L  d  L   q i     q i  dt  q i  dt  q i  

(4.28)

Das Hamiltonsche Prinzip geht damit über in



n

t2

 L  Ldt  q i    t  t1 q i  t1 i 1  t2



t2

n

 L

   q t  t1

i 1

i



d  L     q i d  0 dt  q i  

(4.29)

Da zu den Zeitpunkten t1 und t2 die wirklichen und die virtuellen Bahnendpunkte übereinstimmen (Abb. 4.13), also q i ( t1 )  q i ( t 2 )  0 zu fordern sind, verschwindet im obigen

4.4 Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen

63

Ausdruck die erste Summe. Im Übrigen sollen die virtuellen Verschiebungen q i ( t ) willkürlich sein. Damit ist die obige Gleichung nur dann identisch erfüllt, wenn jeweils die Inhalte der n Klammerausdrücke unter dem Integral je für sich verschwinden. Dies führt zu den n Lagrangeschen Bewegungsgleichungen für konservative Systeme d  L  L 0   dt  q i  q i

(i  1,, n )

(4.30)

Berücksichtigen wir noch, dass die potenzielle Energie U  U(q1 ,, q n ) nur von den Freiheitsgradparametern qi abhängt, nicht jedoch von deren Geschwindigkeiten q i , dann können wir mit L  E  U die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen auch in der Form d  E  E U   Qi   dt  q i  q i q i

(i  1,, n )

(4.31)

notieren, die auch Lagrangesche Bewegungsgleichungen 2. Art genannt werden. Die negative Ableitung der potenziellen Energie U nach den generalisierten Koordinaten qi wird generalisierte Kraft Qi genannt. Beispiel 4-2: Es sind die Bewegungsgleichungen für den Zweimassenschwinger in Abb. 4.14 mithilfe der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen aufzustellen. Lösung: Das System besitzt genau zwei Freiheitsgrade. Als generalisierte Koordinaten wählen wir Abb. 4.14 Schwinger mit 2 Freiheitsgraden die beiden Auslenkungen der Einzelmassen q1  x1 und q 2  x 2 . Für x1  0 und x 2  0 sind beide Federn entspannt. (4.31) geht dann über in d  E  E U d  E  E U  ,        dt  x1  x1 x1 dt  x 2  x 2 x 2 Wir benötigen in einem ersten Schritt die kinetische und die potenzielle Energie des Gesamtsystems ausgedrückt durch die generalisierten Koordinaten x1 und x2. Für die kinetische Energie folgt E  1 / 2m1x 12  1 / 2m 2 x 22 , und die potenzielle Energie der Federkräfte ist U  1 / 2k1x12  1 / 2k 2 ( x 2  x1 ) 2 . Wir benötigen ferner folgende Ableitungen

E  0, x1

E  m1 x 1, x 1

d  E     m1x1, dt  x 1 

U  k1x1  k 2 ( x 2  x1 ) x1

64

4 Der Arbeits- und Energiebegriff

E  0, x 2

E  m 2 x 2 , x 2

d  E    m 2 x 2 ,  dt  x 2 

U  k 2 ( x 2  x1 ) x 2

Damit erhalten wir die beiden gekoppelten Bewegungsdifferenzialgleichungen m1x1  k1x1  k 2 ( x 2  x1 ), m 2 x 2   k 2 ( x 2  x1 )

die wir auch in Matrizenschreibweise notieren können m1 0   x1  k1  k 2  0 m  x     k  2  2   2

4.5

 k 2   x1   0   k 2   x 2  0

(4.32)

Das Prinzip der virtuellen Verrückung

Dieses Energieprinzip der Statik bietet folgende Vorteile: – –

Angewandt auf starre Körper oder Systeme von starren Körpern erlaubt es eine schnelle Herleitung der Gleichgewichtsbedingungen ohne Kenntnis der Schnittlasten. Angewandt auf deformierbare Körper ermöglicht es die Ermittlung von Kräften oder Verschiebungen an einzelnen Körperpunkten ohne Kenntnis der Lösung der Grundgleichungen (Sätze von Castigliano).

Außerdem bildet es die Grundlage zur Herleitung von Näherungsverfahren, etwa dem Verfahren von Ritz und der Methode der Finiten Elemente (FEM), die beide eng miteinander verwandt sind. Zur Kennzeichnung der Zustände eines mechanischen Systems führen wir die folgenden Bezeichnungen ein: – – –

Die Ausgangslage des Systems, die auch als Referenzkonfiguration bezeichnet wird, definieren wir als den unbelasteten und spannungsfreien Zustand des Körpers. Die Gleichgewichtslage, oder auch aktuelle Lage, nimmt der Körper nach quasistatischer Aufbringung der äußeren Lasten ein. Die variierte Lage mit der virtuellen Verrückung δu ist eine der Gleichgewichtslage zusätzlich überlagerte Verschiebung.

Die Variation des Verschiebungszustandes δu hat dabei folgende Eigenschaften: –

– –

δu ist geometrisch möglich, d.h. bei der virtuellen Verrückung wird der Zusammenhang des Körpers gewahrt, und δu ist verträglich (kompatibel) mit den Lagerungsbedingungen. Die Verrückung u ist differentiell klein. Damit können in allen Rechnungen die von höherer Ordnung kleinen Terme gestrichen werden. Sämtliche inneren und äußeren Kraftgrößen werden bei der Durchführung der Variation δu konstant gehalten, also nicht variiert.

4.5 Das Prinzip der virtuellen Verrückung –

65

Die virtuelle Verrückung ist eine gedachte Verrückung bei festgehaltener Zeit. Dabei ist es uninteressant, in welcher Zeit wir uns diese virtuelle Verrückung entstanden denken.

Zur Herleitung des Prinzips betrachten wir den deformierbaren Körper in Abb. 4.15, der sich unter der Einwirkung äußerer Kräfte gegenüber der Ausgangslage in einer verformten Gleichgewichtslage befindet. Die Verschiebung eines materiellen Punktes P relativ zu einer festen Ausgangslage r, wird durch den Verschiebungsvektor u(r) beschrieben. Auf den Körper wirken Oberflächenkräfte sO und Volumenkräfte f. Wir erteilen dem Körper eine virtuelle Verrückung δu(r) und notieren sodann die von den äußeren Kräften geleistete Arbeit und erhalten A a 



(V)

f  u dV 



O( V )

Abb. 4.15

Virtuelle Verrückung eines deformierbaren Körpers

s o  u dO

(4.33)

Durch identische Umformoperationen unter Einbeziehung der Gleichgewichtsbedingungen folgt aus (4.33) nach etwas längerer Rechnung das Prinzip der virtuellen Verrückung A a  A i

(4.34)

In Worten besagt (4.34): Befindet sich ein Körper im Gleichgewicht, dann ist bei einer virtuellen Verrückung des Körpers die Arbeit der äußeren Kräfte gleich der Arbeit der inneren Kräfte. Der Ausdruck A i 

 (

xx  xx

  yy  yy   zz  zz   xy  xy   xz  xz   yz  yz ) dV

(4.35)

(V)

wird innere Arbeit genannt (  jk : Spannungen,  jk : Verzerrungen). Werden bei der virtuellen Verrückung die Lagerungsbedingungen des Systems berücksichtigt, dann kann statt A a (Arbeit der äußeren Kräfte) auch A (ae ) (Arbeit der eingeprägten Kräfte) geschrieben werden, da bei kompatiblen Verrückungsvariationen die Reaktionskräfte keine Arbeit leisten. Führen wir mit W



(V)

 1   G 112   22 2  332   2  ( 12 2   232   312 ) dV 1  2 2  

(4.36)

66

4 Der Arbeits- und Energiebegriff

die Formänderungsenergie eines Körpers ein, dessen Material im isothermen Fall dem Hookeschen Gesetz (G: Schubmodul, ν: Querdehnungszahl)





  , 1  2  jk  G jk  2G jk ,  jj  2G  jj 

( j  1, 2, 3)

(4.37)

( j  1, 2, 3  k)

  11   22  33

gehorcht, dann ist wegen W 

W W W W W W 11   22   33  12   23   31 11  22  33 12  23  31

und unter Beachtung von (4.36)

W 



(V)

                      11 1  2  11  22 1  2  22  33 1  2  33  2G   dV  1             2 12 12 13 13 23 23 

Ein Vergleich mit (4.35) zeigt A i  W

(4.38)

und (4.34) geht damit über in W  A a   W  A a     0

(4.39)

Verwenden wir für die Variation der äußeren Arbeit den Ausdruck m

Aa 

 j1

Fj  u j 



M

k

 k 

k 1



(V)

f  u dV 



O(V)

s O  u dO

(4.40)

worin Fj und Mk Einzelkraft- bzw. Einzelmomentenbelastungen, f Belastungen durch Massenkräfte und s O Belastungen durch Oberflächenspannungen bedeuten, dann wird der Ausdruck    (u)  Wu  

m



n

F u  M j

j1

j

k 1



k

 k 





(V)

f  u dV 





O( V)

s O  u dO

(4.41)

elastisches Potenzial genannt, und (4.39) heißt Satz vom Extremum des elastischen Potenzials.

4.5 Das Prinzip der virtuellen Verrückung

67

In (4.41) wird im Ausdruck für die äußere Arbeit durch die aufgesetzten Pfeile angedeutet, dass allein die Verrückungsgrößen zu variieren sind. In Worten besagt (4.41): Von allen möglichen Verschiebungszuständen eines elastischen Körpers tritt derjenige wirklich ein, für den die Energiegröße Π einen stationären Wert annimmt. Beim starren Körper entfällt die innere Arbeit A i , da sämtliche Verzerrungen verschwinden, und von (4.34) verbleibt A a  0

(4.42)

Wenn nur Kräfte Fj und Kräftepaare Mk an einem System starrer Körper angreifen, dann wird bei der Variation einer Verrückung aus der Gleichgewichtslage heraus die virtuelle äußere Arbeit m

δA a 



 F  δu   M j

j

j1

k

 δ k  0

(4.43)

k 1

geleistet. Besitzt das Starrkörpersystem insgesamt p Freiheitsgrade qs ( s  1,..., p ), wobei diese Freiheitsgrade die Lage des Körpers eindeutig beschreiben müssen, dann lassen sich die Verschiebungen uj und die Verdrehungen ϕk der Lastangriffspunkte in Abhängigkeit der Freiheitsgradparameter qs in der Form u j  u j (q1,, q p ) und  k   k (q1 , , q p ) darstelp

len, und für die Variationen folgen δu j 

u j

 q s 1

p

δq s und δ k 

s

 k

 q s 1

δq s . Die Parame-

s

tervariationen q s (s  1,, p) sind hierbei beliebig. Einsetzen dieser Beziehungen in (4.43)  m u j    M k  k  δq s  0 , und da die q s beliebig gewählt  Fj  q s k 1 q s  s 1   j1 werden können, ist p

führt auf δA a 

m

 j1

Fj 



u j q s







M k 1

k



 k  0 (s  1,..., p) q s

(4.44)

Damit liegen insgesamt p lineare Gleichungen zur Bestimmung aller p Parameter qs der Gleichgewichtslagen vor. Übrigens kann anstelle von u j q s mit den Ortsvektoren rj der Lastangriffspunkte auch rj q s geschrieben werden. Wir wollen noch den Spezialfall betrachten, bei dem nur konservative Kräfte Fj   U j mit den Kraftangriffspunkten rj am Starrkörpersystem angreifen. Dann wird aus (4.43) A a   U  0

(4.45)

68

4 Der Arbeits- und Energiebegriff

Beispiel 4-3: Auf den starren Balken in Abb. 4.16, der sich in horizontaler Lage im Gleichgewicht befindet, wirken die beiden Kräfte F1  [F1x F1y ] und F2  [F2 x F2 y ] . Es sind die Bedingungen für das Gleichgewicht zu ermitteln. Lösung: Das System besitzt mit dem Drehwinkel ϕ nur einen Freiheitsgrad. Wir stellen zunächst die Ortsvektoren der Kraftangriffspunkte als Funktion von ϕ auf:

Abb. 4.16 Prinzip der virtuellen Verrückung

r1  [ a cos   a sin ] , r2  [b cos  b sin ] . Wir benö-

tigen noch die Ableitungen r1 /   [a sin   a cos ] und r2 /   [ b sin  b cos ] . Die Reaktionslast am Auflager A leistet bei kompatibler Verrückung keine Arbeit. Von (4.44) verbleibt 2

rj

r1

r2

 F    F    F    F j

1

2

1x a sin   F1y a cos   F2 x b sin   F2 y b cos 

0

j1

und für die Gleichgewichtslage   0 folgt das Hebelgesetz F1y a  F2 y b .

4.6

Das d’Alembertsche Prinzip

Dieses Prinzip besagt, dass an einem bewegten System die verlorenen Kräfte und Momente im Gleichgewicht stehen. Als verlorene Kraft eines sich im Massenverbund befindenden Massenelementes dm wird dV  dK ( a )  b dm definiert. Dabei ist dK ( a ) die auf das freigeschnittene Element einwirkende äußere Kraft und b die Beschleunigung des Konvergenzpunktes des Massenelementes. Im Sinne der Statik lauten dann die Gleichgewichtsbedingungen



V  dV  ( m)



( m)

(dK ( a )  b dm)  0 ;

M (V) 0 0

(4.46)

wobei M (V) das Moment aller verlorenen Kräfte bezüglich des Punktes 0 bedeutet. Besteht 0 das System aus Teilmassen mk ( k  1,..., n ), die in Form von kinematischen Gelenkketten miteinander verbunden sind, dann liefert die Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen auf das Gesamtsystem

4.6 Das d’Alembertsche Prinzip n



(K (ka )  m k bSk )  0,

k 1

69 n

[(M

(a ) Sk

 )  r  (K ( a )  m b )]  0 D Sk Sk k Sk k

k 1

Es sind also an jeder Teilmasse mk des Massenverbandes ein verlorenes Moment (a )  M Vk  M Sk D Sk

und im jeweiligen Schwerpunkt S eine verlorene Kraft Vk  K (ka )  m k bSk

anzubringen und sodann für diese Belastung die Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem zu formulieren. Beispiel 4-4:

Für das ebene System in Abb. 4.17 ist mit dem d’Alembertschen Prinzip die Winkelbeschleuni der Rolle zu berechnen. Die reibungsfrei gung  gelagerten Massen m1 und m2 sind über ein undehnbares Seil miteinander verbunden, das über eine in A drehbar gelagerte Rolle mit dem Massenträgheitsmoment Θ geführt wird. Lösung: Das System besitzt nur einen Freiheitsgrad, das ist der Drehwinkel ϕ. Aus der Kinematik folgt, dass beide Massen die Schwerpunktbe besitzen. An jeder Masse sind schleunigung r Abb. 4.17 Verlorene Kräfte u. Momente die verlorenen Kräfte und Momente anzubringen.  e1 , wohingegen das Auf die Masse m1 wirkt die verlorene Kraft V1  ( N1  G1 )e 2  m1r  verlorene Moment verschwindet, da einerseits m1 eine reine Translationsbewegung durchführt und andererseits die verlorene Kraft durch den Schwerpunkt verläuft. Das trifft auch  )e 2 angreift. Für die auf die Masse m2 zu, an der die verlorene Kraft V2   (G 2  m 2 r  Rolle ist mit der unbekannten Lagerreaktionskraft R die verlorene Kraft VR  R  G r e 2 zu  e 3 . Schreiben wir nun das notieren, und für das verlorene Moment verbleibt M VR   Momentengleichgewicht bezüglich des Punktes A an, und beachten, dass Seile keine Quer     r m 2 r   G 2 r  0 und damit kräfte übertragen können, dann erhalten wir  r m1r    

G 2r 2

  r (m1  m 2 )

, ohne die Seilkraft selbst berechnet zu haben.

70

4 Der Arbeits- und Energiebegriff

Wird das Prinzip der virtuellen Verrückungen auf das d’Alembertsche Prinzip angewandt, dann folgt daraus das d’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung  u A aV   u W

wobei  u A aV   u A a 

(4.47)



(m)

dm b  u die virtuelle Arbeit der verlorenen Kräfte und  u W

den Zuwachs an Formänderungsenergie bezeichnet.

5

Das Pendel

Als Pendel wird ein um einen Punkt oder um eine Achse drehbar gelagerter Körper bezeichnet, der nach Aufbringung einer Anfangsstörung, das kann eine Auslenkung oder auch Anfangsgeschwindigkeit sein, unter dem Einfluss äußerer Kräfte (meist der Schwerkraft) periodische Schwingungen ausführt.

Abb. 5.1 Pendel: 1) mathematisches Pendel (A Drehachse, ϕ Auslenkungswinkel,  Fadenlänge, m Pendelmasse); 2) Kegelpendel (A Drehpunkt, α Öffnungswinkel, h Kegelhöhe); 3) physisches Pendel (S Schwerpunkt, M Schwingungsmittelpunkt); 4) mathematisches Doppelpendel

5.1

Das mathematische Pendel Das mathematische Pendel ist ein idealisiertes Pendel, bei dem in der Modellvorstellung eine konzentrierte Masse m (idealerweise eine Punktmasse) an einem masselosen starren Stab befestigt ist (Abb. 5.2). Auf die freigeschnittene Masse, die in der (x,y)-Ebene eine Kreisbewegung mit dem Radius  durchführt, wirken die Gewichtskraft G und die Stabkraft S. Beziehen wir uns auf die kartesische Basis, dann gilt G  mg e x , und

für

die

Einheitsvektoren

folgt

e  [cos , sin ]T ,

n  [ sin , cos ]T . Zur Herleitung der Bewegungsgleichung wenden wir das Newtonsche Grundgesetz auf die freigeschnit n -  2 e) geht tene Masse m an und erhalten mr  G  S . Mit der Beschleunigung r  (

Abb. 5.2 Pendel

Das mathematische

 n -  2e)  G  S  0 . Wir eliminieren aus dieser Gleidas Bewegungsgesetz über in m( chung die Stabkraft S, indem wir von der vorstehenden Gleichung nur die skalare Kompo-

72

5 Das Pendel

nente in n-Richtung berücksichtigen. Das Ergebnis ist die nichtlineare Differenzialgleichung 2. Ordnung ( t )  2 sin ( t )  0 

(5.1)

(  g /  )

Ein erstes Integral dieser Gleichung beschaffen wir uns mittels des Energieerhaltungssatzes in der Form E  U  C  konst. Wir benötigen dazu die kinetische Energie E  1 / 2m( ) 2 der Punktmasse m und die potenzielle Energie U   mg cos  der Gewichtskraft G  mg , die wir auf das Nullniveau bei x  0 beziehen. Die Auswertung des Energieerhaltungssatzes liefert 1 / 2m( ) 2  mg cos   C . Die Konstante C bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t  t 0 . Zu diesem Zeitpunkt sind ( t  t 0 )   0 und  ( t  t 0 )   0 , also 2C /( m 2 )   02  22 cos  0 und damit  2   02  22 (cos   cos  0 ) . Setzen wir  0  0 , was keine Einschränkung bedeutet, dann ist  2   02  22 (1  cos )   02 [1   2 sin 2 ( / 2)]

(   2 /  0 )

(5.2)

In den Umkehrpunkten kommt das Pendel mit   0 zur Ruhe, und der größte Ausschlagwinkel errechnet sich zu max    2 arcsin ~ 

Abb. 5.3

[~   1 /    0 /(2)]

(5.3)

Phasenportrait eines mathematischen Pendels

Abb. 5.3 zeigt das Phasenportrait eines mathematischen Pendels mit den Anfangsbedingungen  0  0 und  0  4s 1 . Die Eigenkreisfrequenz beträgt ω  2,71s 1 . Die ϕ-Achse, hier gilt   0 , wird in den Punkten ϕ mit der Bedingung sin 2 ( / 2)  ~  2 geschnitten. Mit

5.1 Das mathematische Pendel

73

sin 2 ( / 2)  1 ist das allerdings nur für ~   1 möglich. Im Grenzfall ~   1 ist  02  42

und (5.2) liefert  2  42 [1  sin 2 ( / 2)]  42 cos 2 ( / 2) . oder    2 cos( / 2) . Die oberen und unteren Grenzkurven  /   2 cos( / 2) sind in Abb. 5.3 dick ausgezogen. Alle Phasenbilder innerhalb dieser Grenzkurven entsprechen periodischen Schwingungen. Phasenkurven außerhalb der Grenzkurven haben keinen Stillstand. Die Auslenkung  wächst oder fällt monoton. Mit diesen Kurven wird demzufolge das umlaufende Pendel beschrieben. Die Ruhelagen   0 mit   0,  2,  4  stellen

stabile Gleichgewichtslagen dar. In den Ruhelagen    ,  3 steht das Pendel aufrecht. Diese Stellungen sind instabil, denn eine kleine Störung würde sofort dazu führen, dass sich das Pendel von diesen Gleichgewichtslagen entfernt. Zur weiteren Diskussion von (5.2) sind folglich drei Fälle zu unterscheiden:

1.) Für  2  1 und damit  0  2 wird  nie Null, das Pendel überschlägt sich, läuft also immer im gleichen Sinne um. Im höchsten Punkt (hier ist    ) erreicht die Winkelgeschwindigkeit mit  2   02 (1   2 ) ihr Minimum. 2.) Für  2  1 und damit  0  2 wird  für sin 2 ( / 2)  ~  . Das Pendel kommt bei einem maximalen Ausschlagwinkel  zum Stehen und kehrt dann seine Bewegungsrichtung um. Es liegt ein hin- und herschwingendes Pendel vor. 3.) Für  0  2 kommt das Pendel in der Lage    (Höchstlage) zur Ruhe. Zur Integration von (5.2) lösen wir nach  auf und erhalten     0 1   2 sin 2 ( / 2) . Durch Trennung der Variablen und nachfolgender Integration folgt daraus die Zeit 1 t ()   0





0

d

(5.4)

1   2 sin 2 (  / 2)

Im 1. Fall des umlaufenden Pendels ist  2  1 . Mit der Abkürzung    2 ist mit (5.4) 2 t  t ( )   0

2



 0

d 1   2 sin 2 



2 F(2, )  0

(5.5)

2

Die Werte des elliptischen Normalintegrals 1. Gattung F(2, ) 



 0

d 1   2 sin 2 

kön-

nen Tafeln entnommen werden. Aus (5.5) erhalten wir die für einen vollen Umlauf benötigte

74

5 Das Pendel

Zeit T  4t (   / 2)  4t (   4)  /2



Integral K ( ) 

 0

d 1   2 sin 2 

8  0

/2



 0

d 1   2 sin 2 



8  8 F( , )  K ( ) . Das  0 2  0

heißt vollständiges elliptisches Integral 1. Gattung. Zur

Abschätzung der Umlaufzeit T kann folgende Reihenentwicklung genutzt werden: T

4  1 2 9 4   O(  6 ) 1    0  4 64 

Im 2. Fall ist  2  1 und damit  0  2 . Um hier zu einer Lösung zu kommen, ersetzen wir in (5.4) die Variable  durch  nach der Vorschrift sin( / 2)  ~  sin 

   arcsin[  sin( / 2)]

(5.6)

 cos  d 2~  sin  ) folgt d  , womit (5.4) übergeht in Mit   2 arcsin(~ 1 ~  2 sin 2  t

1  0





d

0

2

2

1   sin (  / 2)



2~   0





0

cos  d  1 ~  2 sin 2  1  sin 2 



2~   0





 0

d ~ 1   2 sin 2 

und nach Zusammenfassung t ( ) 

1 





 0

d 1  F(, ~ ) 2 2 1 ~  sin  

(5.7)

Zur Bestimmung der Dauer einer vollen Schwingung haben wir viermal die Zeit von der tiefsten Lage   0 bis    max    2 arcsin ~  zu rechnen, wobei max nach (5.6) dann ~ ~ erreicht wird, wenn sin( / 2)  sin arcsin    und damit sin   1 bzw.   arcsin 1   2 ist. Damit errechnet sich die Schwingungsdauer 4   4 T  F , ~    2  

2



 0

d 4  K (~ ) 1 ~  2 sin 2  

(5.8)

für die noch folgende Reihenentwicklung T

2  1 ~ 2 9 ~ 4   O( ~  6 )  1    64  4 

(5.9)

5.1 Das mathematische Pendel

75

angegeben werden kann. Beachten wir weiterhin, dass   2 arcsin ~   2~   O( ~  3 ) und ~ damit    2 gilt, können wir für Winkel   20 in erster Näherung auch

T

2  1 2 1      16 

(5.10)

schreiben. Bei großen Ausschlägen hängt damit die Schwingungszeit T von der Amplitude ab, allerdings ist diese Abhängigkeit sehr gering. In praktischen Anwendungen ist meist nicht die Funktion t(ϕ), sondern die Umkehrung   ( t ) gesucht. Dazu führen wir in (5.7) die neue Variable    t ein und erhalten 





 0

d . Der Winkel   Am  wird Amplitude genannt, und die Funktion 1 ~  2 sin 2 

sn   sin  heißt Jacobische elliptische Sinusfunktion. Unter Beachtung von (5.6) ist dann sin( / 2)  ~  sn  und damit ( t )  2 arcsin[~  sn (t , ~ )]

(5.11)

und die Winkelgeschwindigkeit folgt durch Ableitung nach der Zeit t  ( t ) 

2~  cn (t, ~ ) dn (t , ~ ) 2 2 ~ ~ 1   sn (t , )

(5.12)

cn (t , ~ )  cos 

Jacobische elliptische Cosinusfunktion

dn (t , ~ )  1  ~  2 sin 2 

Jacobische elliptische Deltafunktion.

Im 3. Fall kommt das Pendel für  0  2 (   1 ) in der Höchstlage bei    zur Ruhe und (5.5) ergibt t () 

1  0





0

d 2  cos(  / 2)  0

/2



0

d 2  . Trennen wir die   ln tan cos  4  0

   exp( 0 t ) . Am vorstehenden Ausdruck ist zu erVeränderlichen, dann folgt tan 4 2  kennen, dass die Höchstlage mit    wegen lim exp( 0 t )  0 nie erreicht werden t  2 kann, da hierzu eine unendlich lange Zeit erforderlich wäre.

Die Stabkraft S (Abb. 5.2) können wir aus der Beziehung S  Se  mr  G ermitteln, indem wir skalar mit dem Einheitsvektor e multiplizieren. Das Ergebnis ist S  G  e  mr  e  mg cos   m 2 .

76

5 Das Pendel

Eliminieren wir mittels (5.2) das Quadrat der Winkelgeschwindigkeit, dann erhalten wir ( G  mg) S()  G (4~  2  3 cos   2 cos 0 )

(5.13)

Die Stabkraft wird beim Nulldurchgang extremal Smax  S(  0)  G (4~  2  3  2 cos 0 )

(5.14)

Unterstellen wir kleine Auslenkungen ( t ) , dann gilt näherungsweise sin    und (5.1) geht über in die gewöhnliche lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung ( t )  2 ( t )  0 

(5.15)

Sind zum Zeitpunkt t  0 die Anfangsbedingungen ( t  0)   0 und  ( t  0)   0 gegeben, dann ist ( t )  0 cos t 

 0 sin t; 

 ( t )   0 sin t   0 cos t

(5.16)

die vollständige Lösung von (5.15) Diese harmonische Schwingung hat die Schwingungsdauer T  2 /   2  / g und besagt, dass bei kleinen Auslenkungen die Schwingungsdauer eines Pendels unabhängig von der Amplitude  0 ist. Abb. 5.4 zeigt den Vergleich von linearer (5.16) und nichtlinearer Lösung (5.11) für die Parameterkombination  0  0 ,  0  4 s 1 , ω  2,71 s 1 κ  0,737 ). Beide Lösungen unterscheiden sich (~

Abb. 5.4 Die Auslenkung ϕ(t), Vergleich von linearer und nichtlinearer Lösung

erheblich in den Ausschlägen und der Schwingungsdauer T. Eine praktische Verwertung der Ergebnisse aus der linearen Rechnung wäre hier also nicht statthaft.

5.2 Das mathematische Doppelpendel

5.2

77

Das mathematische Doppelpendel

Das mathematische Doppelpendel besteht aus zwei Punktmassen m1 und m2 (Abb. 5.5), die durch masselos gedachte starre Stäbe untereinander und mit dem Lager A gelenkig verbunden sind. Das System besitzt die beiden Freiheitsgrade 1 und  2 . Zur Herleitung der Bewegungsgleichung wenden wir auf jede Teilmasse das Newtonsche Grundgesetz an. Dazu ist es erforderlich, beide Massen vollständig freizuschneiden, und wir erhalten

Abb. 5.5

Das mathematische Doppelpendel

m1r1  m1g  S1  S 2 , m 2r2  m 2g - S 2

(5.17)

Die Addition beider Gleichungen ergibt m1r1  m 2r2  (m1  m 2 ) g  S 1

(5.18)

Die unbekannten Stabkräfte werden eliminiert, indem wir von (5.18) nur die skalare Komponente in n1-Richtung und von der zweiten Beziehung in (5.17) nur die skalare Komponente in n2-Richtung berücksichtigen [m1r1  m 2r2  (m1  m 2)g ]  n1  0, [m 2r2  m 2g]  n 2  0

(5.19)

Es sind im Einzelnen: 1n1   12e1 ) , r2  1e1   2e 2 , r2   1 ( 1n1   12 e1 )   2 (  2 n 2   22e 2 ) r1  1e1 , r1  1 (

e1  cos 1e x  sin 1e y , n1   sin 1e x  cos 1e y e 2  cos  2 e x  sin  2e y , n 2   sin  2 e x  cos  2 e y

Mit dem Massenverhältnis

78

5 Das Pendel



m2 m1  m 2

(5.20)

folgen dann aus (5.19) die beiden nichtlinearen Bewegungsgleichungen 1   2   2 cos(1   2 )   2  22 sin(1   2 )  g sin 1  0  1  2   1 1 cos(1   2 )   1 12 sin(1   2 )  g sin  2  0  2

(5.21)

Für das langsam schwingende Doppelpendel mit kleinen Ausschlägen kann linearisiert werden. Mit cos(1   2 )  1 , sin 1  1 ,  12 sin(1   2 )  0 und  22 sin(1   2 )  0 erhalten wir die linearisierten Bewegungsgleichungen des mathematischen Doppelpendels 1   2  2  g1  0 1  2  1 1  g2  0  2

(5.22)

oder in Matrizenschreibweise 1  g 0   1  0  1  2          2   0 g   2  0  1  2  

(5.23)

Auf die nummerische Lösung der nichtlinearen Bewegungsgleichungen werden wir in Kap. 18 noch ausführlicher eingehen.

5.3

Abb. 5.6

Das physische Pendel

Das physische Pendel

Ein starrer Körper der Masse m (Abb. 5.6), der sich in einem homogenen Schwerefeld reibungsfrei um den Punkt A dreht, wird physisches Pendel genannt. Wir behandeln den Fall der ebenen Bewegung. Die Verbindungsgerade von A nach S liege in der (x,y)-Ebene, und der Schwerpunkt S hat den Abstand s vom Auflager A. Da der Körper reibungsfrei gelagert ist, verbleibt als äußeres Moment bezüglich des Aufhängepunktes A allein das Moment M (Aa )   mgs sin  der Gewichtskraft G. Notieren wir den Drallsatz bezüglich dieses Punktes, dann erhalten wir ( t )   mg s sin ( t )   ( t )  A

mg s sin ( t )  0 . A

5.3 Das physische Pendel

79

Dabei bezeichnet  A das Massenträgheitsmoment des Körpers bezogen auf die Achse senkrecht zur Ebene durch den Drehpunkt A. Führen wir mit  r   A /(ms) die reduzierte Pen( t )  g /  r sin ( t )  0 . Verdellänge ein, dann folgt die nichtlineare Bewegungsgleichung  gleichen wir diese Beziehung mit (5.1), dann schwingt das physische Pendel wie ein mathematisches mit der reduzierten Pendellänge  r . Setzen wir noch r  g /  r , dann bekommen wir ( t )  2r sin ( t )  0 

(5.24)

Beispiel 5-1: Eine homogene dünne Stange (   2 m ) wird aus der Ruhelage ( t  0)  0  0 mit einer Anfangsgeschwindigkeit  0  4 s 1 angestoßen. Gesucht werden:

Abb. 5.7

Physisches Pendel

1.) Die reduzierte Pendellänge  r 2.) Die Eigenkreisfrequenz r des linearisierten Pendels 3.) Die Schwingungsdauer T 4.) Die Phasenkurve  () 5.) Die Zustandsgrößen ( t ) und  ( t ) Lösung:

Zu 1.)  A  1 / 3m 2 , s   / 2 ,  r   A / (ms)  2 / 3  1,33 m Zu 2.) r  g /  r  9,81 / 1,33  2,71 s 1

Abb. 5.8

Zustandsgrößen

80

5 Das Pendel

Zu 3.)   2r /  0  1,355 , ~   1 liegt hier der 2. Fall vor.   1 /   0,738 . Wegen ~ T  4 K(  )  4 1,893 s  2,79 s . Die Näherungsformel liefert uns den kleineren Wert r 2,71





T  2 1  1  2  9  4  2,73 s . r 4 64

Der maximale Ausschlag berechnet sich zu  max    2 arcsin ~   1,66 ( max  95 ). Zu 4.) Aus (5.2) folgt die Gleichung der Phasenkurve (Abb. 5.9):  ()    02  42r sin 2 ( / 2) oder ( /  0 ) 2   2 sin 2 ( / 2)  1 .

Zu 5.) Die aus nichtlinearen nummerischen Berechnungen resultierenden Größen Drehwin( t ) können Abb. 5.8 kel ( t ) , Winkelgeschwindigkeit  ( t ) und Winkelbeschleunigung  entnommen werden.

Abb. 5.9

Phasenkurve

Abb. 5.10

Lagerreaktionskraft A

Zur Berechnung der Lagerreaktionskraft befreien wir das Pendel von der Unterlage und bringen als äußere Kraft die Schnittkraft -A an (Abb. 5.10). Auf das Lager selbst wirkt dann nach dem Reaktionsprinzip die Kraft A. Die Anwendung des Schwerpunktsatz auf das so freigeschnittene Pendel liefert zunächst m rs  G  A , was unter Beachtung von rs  se , n   2e) auf A  G  ms( n   2 e) führt. Beachten wir weirs  se  s n sowie rs  s( terhin e  cos  e x  sin  e y ; n   sin  e x  cos  e y , dann folgt

 ( sin  e x  cos  e y )   2 (cos  e x  sin  e y )] . Diese VektorA x e x  A y e y  G e x  ms[

gleichung zerfällt in die beiden skalaren Gleichungen  sin    2 cos ) ; A y   ms(  cos    2 sin ) A x  G  ms(

 cos   1 / 22r sin 2 sowie  sin   2r sin 2   1/ 2r2 1  cos 2  und  Mit   2  2r2 [2  2  cos   1]  2r2 [(1  cos )  (1  cos )]  2r2 (cos   cos )

5.3 Das physische Pendel

81

 und  2 durch den Drehwinkel ϕ ersetzen können wir in den obigen Beziehungen 

A x ()  G  1 / 2ms2r (1  3 cos 2  4 cos  cos ); A y ()  1 / 2ms2r (3 sin 2  4 cos  sin ) Führen wir noch mit ms 2r  msg /  r  Gms 2 /  A  Gc den Faktor c  ms 2 /  A ein, dann folgen abschließend die bezogenen Komponenten der Lagerkraft A G 1 ~ A x (, ) : x  (1  3 cos 2  4 cos  cos ) Gc 2 Ay ~ A y (, ) :  (3 cos   2 cos  ) sin  Gc

(5.25)

~ ~ In Abb. 5.11 sind die bezogenen Auflagerkraftkomponenten A x und A y nach (5.25) für

den maximalen Auslenkungswinkel   1,66 wiedergegeben.

Abb. 5.11

Bezogene Lagerkraftkomponenten

Abb. 5.12 Extremwerte der Lagerkräfte

Für praktische Anwendungen sind noch die Extremwerte der Kraftkomponenten von Interesse. Notwendige Bedingung für deren Existenz ist das Verschwinden der 1. Ableitungen der Kraftkomponenten in (5.25), also ~ ~ dA y dA x  0  2(cos   3 cos ) sin ,  0  3 cos 2  2 cos  cos  d d ~ Das Maximum für A x tritt offensichtlich bei   0 auf (Abb. 5.11). Hier ist

~ max A x  2(1  cos )

(5.26)

82

5 Das Pendel

~ Bei der Ermittlung des Minimums von A x ist zu beachten, dass für    / 2 der Extremwert am Rand bei    liegt. Wir erhalten

~ min A x   sin 2 

~ 1 min A x   (3  cos 2 ) 3

(    / 2;    ) (5.27) (    / 2;   arccos(1 / 3 cos ) )

Die horizontale Lagerkraftkomponente Ay wird dort extremal, wo der Winkel  der Bedingung 3 cos 2  2 cos  cos   0 genügt. Für Winkel    6 existiert kein Extremwert im Gebiet, und mit z  1 / 6(cos   cos 2   18 ) sind 1 ~ max A y  sin 2 2 ~ max A y  (3 cos   2 cos ) sin 

(    6;   ) (5.28) (    6 ;   arccos z )

~ Für   1,66 erhalten wir A x  2(1  cos )  2,18 , und mit   arccos z  0,806 folgt

~ A y  (3 cos   2 cos ) sin   1,63 (Abb. 5.12).

5.3.1

Abb. 5.13

Die Schnittlasten in einem schwingenden Stab

Schnittlasten in einem schwingenden Stab

Die Berechnung der Schnittlasten in einem schwingenden Stab gehört in die Problemklasse der Kinetostatik. Um hier zu einer Lösung zu kommen, schneiden wir den Stab an der Stelle x auf (Abb. 5.13) und wenden auf den so freigeschnittenen Tragwerksteil Schwerpunktsatz und Drallsatz an. Der dünne Stab werde aus der Horizontallage ( 0   / 2 ) ohne Anfangsgeschwindigkeit (  0  0 ) losgelassen. Der Schwerpunkt Sx des bei x abgeschnittenen Trägerteils bewegt sich auf einer Kreisbahn mit Radius x s  1 / 2(  x ) . Ist rx  1 / 2(  x ) e r der Ortsvektor zum Schwerpunkt der freigeschnittenen Masse mx, dann führt die Anwendung des Schwerpunktsatzes zu: m x rx   N( x , ) e  Q( x, ) n  G x cos  e  G x sin  n . Beach-

5.3 Das physische Pendel

83

 n   2e) , dann ten wir rx  1 / 2(  x ) e  1 / 2(  x ) n und rx  1 / 2(  x ) e  1 / 2(  x )( zeigt ein Komponentenvergleich

N( x , ) 

mx m   G x sin  (  x ) 2  G x cos , Q( x, )  x (  x ) 2 2

(5.29)

Der Drallsatz bezüglich des Schwerpunktes Sx liefert das Schnittmoment   M( x, )   Sx 

1 Q( x , )(  x ) 2

(5.30)

Mit der dimensionslosen Koordinate   x /  sind m x  m(1  ) , G x  m x g  m(1  )g ,  .  Sx  m x (  x ) 2 / 12  m 2 (1  ) 3 / 12 . Wir eliminieren aus (5.29) und (5.30)  2 und 

Dazu benötigen wir  r  2 / 3 und  2r  g /  r  3g /( 2) . Beachten wir in (5.2) die Anfangsbedingungen  0   2 und  0  0 , dann ist  2  22r cos   3g /  cos  , und mit ( t )   g /  r sin ( t )  6g /  sin ( t ) . Damit erhalten wir nach kurzer Rech(5.24) folgt  nung ( G  mg ) G G (1  )(5  3) cos , Q(, )  (1  )(1  3) sin  2 4 G M(, )  (1  ) 2 sin  4 N(, ) 

Abb. 5.14

Bezogene Schnittlasten in einem schwingenden Stab ( 0   / 2 ,0  0 )

(5.31)

84

5 Das Pendel

Am freien Rand (   1 ) verschwinden sämtliche Schnittlasten, und die Auflagerkräfte am drehbaren Lager (   0 ) ergeben sich zu N(0, ) 

5 1 G cos , Q(0, )  G sin , M(0, )  0 2 4

(5.32)

Die extremalen Schnittkräfte sind N extr  N(  0,   0) 

5 1 G, Q extr  Q(  0,     2)   G 2 4

(5.33)

Die Querkraft verschwindet an der Stelle   1 / 3 und mit     / 2 hat dort das Biegemoment die Extremwerte M extr  M(  1 / 3,     / 2)  

5.4

Abb. 5.15

1 G 27

(5.34)

Das physische Doppelpendel

Das physische Doppelpendel

Für das in Abb. 5.15 skizzierte Doppelpendel sollen die Bewegungsgleichungen aufgestellt werden. Dazu benutzen wir in diesem Fall die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen. Das System besitzt zwei Freiheitsgrade, das sind beispielsweise die beiden Drehwinkel ϕ1 und ϕ2. Zur Bestimmung des Potenzials der Gewichtskräfte G1  m1g und G 2  m 2g führen wir das Nullniveau bei x  0 ein. Dann erhalten wir mit AB   und BS2  s 2 das Potenzial der Gewichtskräfte

U  U1  U 2   G1s1 cos 1  G 2 ( cos 1  s 2 cos 2 )  [(G1s1  G 2) cos 1  G 2s 2 cos 2 ]

Die kinetische Energie des Gesamtsystems ist E  E1  E 2  1 / 2(A1)  12  1 / 2m 2 vS22  1 / 2S( 22)  22 (A1) :

Massenträgheitsmoment des Stabes 1 bezogen auf den Punkt A

S( 22) :

Massenträgheitsmoment des Stabes 2 bezogen auf den Schwerpunkt S2

Wir benötigen das Quadrat der Schwerpunktsgeschwindigkeit des Stabes 2. Mit

5.4 Das physische Doppelpendel

85

rS2  ( cos 1  s 2 cos  2 ) e x  ( sin 1  s 2 sin  2 ) e y folgt durch Ableitung nach der Zeit t v S2  rS2   ( 1 sin 1  s 2  2 sin  2 )e x  ( 1 cos 1  s 2  2 cos  2 )e y

und damit v S22  ( 1 sin 1  s 2  2 sin  2 ) 2  ( 1 cos 1  s 2  2 cos  2 ) 2  ( 1 ) 2  (s 2  2 ) 2  2s 2  1 2 cos(1   2 )

Damit ist die kinetische Energie des Systems 1 1 2 1 1  A  1  m 2 [( 1 ) 2  (s 2  2 ) 2  2s 2  1 2 cos(1   2 )]  S 22  22 2 2 2 1 1 1  2 2 2 2 2  ( A  m 2  ) 1  (S2  m 2s 2 ) 2  m 2 s 2  1 2 cos(1   2 ) 2 2

E

Für den weiteren Rechengang werden zur Vereinfachung der Schreibweise die folgenden Abkürzungen eingeführt A  A1  m 2 2 , B  S 22  m 2s 22  B2  , C  m 2 s 2 ,

(5.35)

D  G1s1  G 2  g(m1s1  m 2) , E  G 2s 2

Dann ist L  E  U  1 / 2A 12  1 / 2B 22  C 1 2 cos(1  2 )  D cos 1  E cos 2 . Die Bewegungsgleichungen folgen aus

d  L  L d  L  L  0 und 0.     dt   1  1 dt   2   2

Im Einzelnen sind: L  C 1 2 sin(1  2 )  D sin 1 , 1

L  C 1 2 sin(1  2 )  E sin 2 2

L  A 1  C 2 cos(1  2 ) ,  1

L  B 2  C 1 cos(1  2 ) ,  2

d  L  1  C  2 cos(1  2 )  C 2 ( 1   2 ) sin(1  2 ) .    A dt   1 

d  L   2  C 1 cos(1  2 )  C 1 ( 1   2 ) sin(1  2 ) ,   B  dt   2  und damit

86

5 Das Pendel 1  C  2 cos(1   2 )  C 22 sin(1   2 )  D sin 1  0 A

(5.36)

 2  C 1 cos(1   2 )  C 12 sin(1   2 )  E sin  2  0 B

Dieses nichtlineare gekoppelte Differenzialgleichungssystem 2. Ordnung lässt sich unter allgemeinen Anfangsbedingungen analytisch nicht mehr lösen. Die Integration erfolgt nummerisch (s.h. auch Kap. 18). Beschränken wir uns auf kleine Ausschläge ϕ1 und ϕ2, dann kann (5.36) linearisiert werden. Mit cos(1   2 )  1 , sin 1  1 , sin  2   2 ,  12 sin(1   2 )  0 ,  22 sin(1   2 )  0

erhalten wir die linearisierten Bewegungsgleichungen des Doppelpendels  1  C  2  D1  0 A  1  B  2  E 2  0 C

1   D 0   1   A C           C B     2   0 E  2 

0 0  

(5.37)

Auf die Lösung dieses linearen homogenen Differenzialgleichungssystems werden wir später näher eingehen. Wir wollen hier lediglich den Spezialfall 1   2   untersuchen. Mit diesen Annahmen folgt aus (5.37)   D  0 ( A  C)    E  0 (B  C)

  0  A  C D        B  C E     0 

(5.38)

Notwendige Bedingung für die Lösbarkeit dieses Gleichungssystems ist das Verschwinden der Determinante der Koeffizientenmatrix, also ( A  C) E  ( B  C) D  0

(5.39)

Mit (5.35) und der Einführung der reduzierten Pendellängen  r1   (01) /( m1s1 ) sowie  r 2   (02) /( m 2 s 2 ) erfordert (5.39) 

 r1   r 2 m2  r2  s2 1 m1 s1

(5.40)

Glocken bilden mit dem Klöppel ein Doppelpendel, wobei die Klöppelmasse m2 in der Regel wesentlich kleiner als die Glockenmasse m1 ist ( m 2  m1 ). Führen wir in die obige Gleichung das Massenverhältnis   m 2 m1 ein, dann liefert eine Reihenentwicklung 

 r1   r 2   s   ( r1   r 2 ) 1  r 2 2   O( 2 )   r1   r 2  r2  s2 s   1 1  s1

(5.41)

5.4 Das physische Doppelpendel

87

Ist also bei einer langsam schwingenden Glocke mit kleinen Ausschlägen, für die näherungsweise 1   2   zutrifft, die Bedingung    r1   r 2 gegeben, dann läutet diese Glocke nicht. Hinweis: Zur Herleitung der nichtlinearen Bewegungsgleichungen des mathematischen Doppelpendels haben wir in (5.35) lediglich   1 , s1  1 , s 2   2 , A1  m112 zu setzen. Dann sind A  (m1  m 2 ) 12 , B  m 2  22 , C  m 21 2 ,

(5.42)

D  (m1  m 2 )g1 , E  m 2 g 2

Mit   m 2 /( m1  m 2 ) entsprechend (5.20) folgen damit unmittelbar die nichtlinearen Bewegungsgleichungen des mathematischen Doppelpendels nach (5.21).

6

Modellbildung

Der Lösungsweg der meisten strukturdynamischen Probleme gliedert sich grob in die folgenden Teilschritte, wobei die sequenzielle Abarbeitung des Ablaufplans zum Teil auch parallel erfolgen muss: 1.) Formulierung der Aufgabenstellung 2.) Abstrahieren des Problems durch Schaffung eines mechanischen Ersatzmodells 3.) Übersetzung des mechanischen Ersatzmodells in die Sprache der Mathematik durch Schaffung eines mathematischen Ersatzmodells 4.) Lösen des Problems im mathematischen Umfeld 5.) Rücktransformation der mathematischen Lösung in den Bereich der Mechanik 6.) Diskussion und Interpretation der Ergebnisse Ziel des letzten Punktes ist die Beantwortung der Frage, ob das erzielte Ergebnis physikalisch sinnvoll ist. Bestehen hier Zweifel, so muss die Prozedur an entsprechender Stelle (meist bei 2.) wiederholt werden. Gerade dieser Punkt macht erfahrungsgemäß den Studierenden die größten Schwierigkeiten, da das Herausarbeiten eines effektiven mechanischen Ersatzmodells in den Vorlesungen und Übungen gar nicht gelehrt wird, weil zu jeder Aufgabe dieses gewöhnlich gleich mitgeliefert wird.

Abb. 6.1

Stockwerkrahmen, mechanisches Ersatzmodell

Qualitative Erfahrungen mit den strukturdynamischen Eigenschaften der betrachteten Konstruktionen, einschließlich ihrer materiellen Eigenschaften, sind unabdingbar, um ein möglichst einfaches und effektives mechanischen Ersatzmodell zu entwickeln. Wir wollen das an einem Beispiel dokumentieren. Der Stahlbetonrahmen in Abb. 6.1 besteht aus zwei eingespannten Stützen und einem Riegel der Masse m. Es soll die Bewegung dieser Konstruktion in der Rahmenebene beschrieben werden. Wir fassen die Stützen als trägheitslos und den Riegel als starren Körper auf, der damit in der Ebene drei Freiheitsgrade besitzt, das sind zwei Translationen und eine Verdrehung. Da im Massivbau die Stützen i. Allg. hohe Dehn-

90

6 Modellbildung

steifigkeiten besitzen, können die Vertikalbewegung und Verdrehung des Riegels vernachlässigt werden. Es verbleibt somit lediglich die Ermittlung der Bewegung in horizontaler Richtung. Auf die horizontale Auslenkung des Riegels reagiert jede Stütze mit einer Rückstellkraft, die der Querkraft am oberen Ende der Stütze entspricht. Unter der Voraussetzung kleiner Verformungen verhält sich der Stahlbeton näherungsweise linear elastisch, und wir können jede beidseitig eingespannte Stütze als lineare Feder ansehen, für die mit baustatischen Methoden die Steifigkeit k / 2  12 EI yy / h 3 ermittelt werden kann. Das Ergebnis dieser Betrachtungen ist das in Abb. 6.1, rechts dargestellte mechanische Ersatzmodell, welches aus einer reibungsfrei gelagerten Masse m besteht, die an einer Feder mit der Federsteifigkeit k  24 EI yy / h 3 befestigt ist. Für x  0 sei die Feder entspannt, und die Federkraft ist FF ( t )  kx ( t ) . Aufgrund der angenommenen Starrheit spielt hier die Verteilung der Riegelmasse keine Rolle und kann deshalb als konzentrierte Einzelmasse angenommen werden.

Abb. 6.2

Mechanisches u. mathematisches Ersatzmodell

Im nächsten Schritt beschaffen wir uns ein mathematisches Ersatzmodell. Da es sich um ein konservatives System handelt, dürfen wir den Energieerhaltungssatz anwenden. Ist E  1 / 2mx 2 die kinetische Energie der Masse m und U  1 / 2kx 2 das Potenzial der Federd d 1 1 kraft, dann ist (E  U)  ( mx 2  kx 2 )  x (mx  kx )  0 , und für beliebige Gedt dt 2 2 schwindigkeiten ist diese Gleichung nur dann erfüllt, wenn mx  kx  0 gilt. Mit Einführung

der Eigenkreisfrequenz   k / m führt das auf die gewöhnliche homogene Differenzialgleichung x( t )  2 x ( t )  0 , die durch Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t  0 zu ergänzen ist. Damit wird eine mathematische Behandlung des Problems ermöglicht. Die Lösung x ( t )  A cos(t  ) (A: Amplitude, ϕ: Nullphasenverschiebungswinkel) entspricht bei allgemeinen Anfangsbedingungen einer phasenverschobenen harmonischen Schwingung, die nie zum Stillstand kommt. Ein solches Verhalten wird jedoch in der Natur nicht beobachtet, vielmehr würde unser Rahmen nach gewisser Zeit zur Ruhe kommen. In der Strukturdynamik wird dieser physikalische Sachverhalt allgemein als Dämpfung bezeichnet. Dem System wird Energie entzogen, die beispielsweise in Form von Wärme oder Schall irreversibel an die Umgebung abgegeben wird. Die Dämpfung kann verschiedene Ursachen haben, etwa durch Reibung zwischen der schwingenden Struktur und dem umgebenden Medium (Luft, Wasser, Boden), durch Reibung in Verbindungen oder Kontaktflächen und durch den Werkstoff selbst. Bei der Werk-

6.1 Grundmodelle

91

stoffdämpfung entsteht die Energiedissipation durch die Verformung des Materials. Diese Form der Dämpfung wird auch als innere Dämpfung bezeichnet. Beispiele für Materialien, die Dämpfungseigenschaften besitzen, sind Beton, Elastomere und Kork. Um das Materialverhalten eines Tragsystems nachzubilden, wird eine phänomenologische1 Theorie eingesetzt, welche die Verknüpfung von Ein- und Ausgabe beschreibt, ohne auf die innere Struktur des Systems Abb. 6.3 System als black-box einzugehen und damit das System als black-box behandelt. Abb. 6.3 zeigt eine solche black-box, an der als Eingangsgröße (input) der zeitliche Verlauf der Weggröße x ( t ) angelegt wird, und die Ausgabe (output) den zeitlichen Verlauf der Kraftgröße F(t) liefert. Eine solche Situation tritt beispielsweise bei einer weggesteuerten Zugprobe auf. Wesentliche Bausteine einer elementaren phänomenologischen Theorie sind die rheologischen2 Modelle, deren Grundelemente sich aus einer endlichen Anzahl von Federn, Dämpfern und Reibungselementen zusammensetzen. Diese Grundelemente werden selbst als trägheitslos betrachtet. Um das im Experiment beobachtete mechanische Verhalten nachzubilden, werden in einem theoretischen Modell diese Elemente in geeigneter Weise miteinander kombiniert. Damit sind folgende Vorteile verbunden: Die so erzeugten Modelle besitzen einen einfachen Aufbau und haben den Vorteil einer großen Anschaulichkeit, die zum Einsatz kommenden mathematischen Mittel sind überschaubar und durch geeignete Experimente lassen sich auch quantitative Aussagen treffen.

6.1

Grundmodelle

Die drei rheologischen Grundmodelle in Abb. 6.4 sind a) die lineare Feder, b) der lineare Dämpfer und c) das Trockenreibungselement. Für diese Grundmodelle haben sich spezielle Symbole herausgebildet, etwa für den linearen Dämpfer die stilisierte Form eines Stoßdämpfers mit einem perforierten Kolben, der sich in einem Zylinder mit einer zähen Flüssigkeit bewegt. Zur mechanischen Realisierung Abb. 6.4 Rheologische Grundmodelle des Trockenreibungselements können wir uns einen Stein auf rauher Unterlage vorstellen. Mit diesen Grundmodellen lassen sich elastische, viskose und plastische Materialeigenschaften beschreiben. Rheologische Modelle werden in der Kontinuumsmechanik mit großem Erfolg zur Entwicklung von Materialgesetzen benutzt.

1

die äußere Erscheinung (›Phänomen‹) oder auch Messgrößen betreffend

2

rheo.. griechisch rhéos ›das Fließen‹. Mit dem Begriff Rheologie wird die Wissenschaft vom Verformungs- und Fließverhalten der Körper bezeichnet

92

6 Modellbildung

6.1.1

Die lineare Feder (Hooke-Modell)

Für eine lineare Feder gilt das Werkstoffgesetz F  k (   0 )

(6.1)

wobei  die aktuelle Federlänge,  0 die entspannte Federlänge und k die lineare Federkonstante bezeichnet, eine für jede Feder charakteristische Größe. [k ] 

Abb. 6.5

Masse ( Zeit)

2

, Einheit: kgs  2 

N m

Ein Modell, das durch (6.1) beschrieben werden kann, wird Hooke-Modell und das Verhalten des Modells elastisch genannt. Beim Hooke-Modell unterliegen der zeitliche Verlauf von F und  keinerlei Beschränkung. Die Funktionen F(t) und ( t ) dürfen somit auch unstetig verlaufen. Neben der Feder mit linearer Kennlinie existieren nichtlineare Federgesetze, auf die hier nicht näher eingegangen wird. In der Strukturdynamik werden unterschiedliche Federformen eingesetzt. Weit verbreitet sind zylindrische Schraubendruckfedern aus runden Drähten und Stäben. Sie besitzen eine hohe Lastaufnahme und eignen sich deshalb in besonderem Maße für weite Bereiche der Schwingungsisolierung. Für die Schraubendruckfeder mit Kreisquerschnitt nach Abb. 6.6 gelten die Materialgesetze

Lineare Feder

F  ks ; Abb. 6.6 Schraubendruckfeder nach EN 13906-1

k

Gd 4 8 n D3

FQ  k Qs Q

(6.2)

In (6.2) sind die Federkonstante k und die Querfederkonstante kQ aus folgenden Beziehungen zu berechnen

k Q  k

(6.3)

In (6.3) sind G: Schubmodul, d: Nenndurchmesser des Drahtes, D: mittlerer Windungsdurchmesser und n: Anzahl der federnden Windungen. Der Proportionalitätsfaktor

 2E  1  G  G  1    tan   1  G  G  1          1          k       (2G  E)  2 E  E  2 E  E   kQ

1

6.1 Grundmodelle

93

in der Querfederkonstanten kQ enthält mit   L 0 / D den Schlankheitsgrad und mit   s / L 0 den bezogenen Federweg, wobei normale Auslegungsdaten 0,1    0,67 sind. Hinweis: Axial belastete Federn können bei Erreichen einer bestimmten Länge ausknicken. Darum muss bei der Konstruktion von Federn eine ausreichende Knicksicherheit gewährleistet sein (s. h. EN 13906-1, 9.14 Knickung).

6.1.2

Abb. 6.7

Der lineare Dämpfer (Newton-Modell) Bewegt sich ein Körper in einer zähen Flüssigkeit oder in einem reibungsbehafteten Gas, so ist die dazu erforderliche Kraft F bei hinreichend kleinen Geschwindigkeiten mit guter Näherung der Geschwindigkeit proportional. Ein Modell, das durch die Beziehung

Linearer Dämpfer

F  c 

(6.4)

beschrieben wird, nennt man Newton-Modell (Abb. 6.7). Die Proportionalitätskonstante c heißt Dämpfungskonstante [ c] 

Masse kg , Einheit: Zeit s

Die zeitliche Änderung der Elementlänge ist ( t ) , und das Verhalten des Modells wird viskos genannt. Das Newton-Modell setzt voraus, dass die Zeitableitung ( t ) existiert. Sprunghafte Längenänderungen sind damit ausgeschlossen. Wegen der Proportionalität zwischen der Kraft F(t) und der zeitlichen Änderung der Elementlänge ( t ) nennt man das Dämpfungsgesetz linear.

6.1.3

Das Trockenreibungselement (St.-Vénant-Modell) Das Reibungsverhalten des Trockenreibungselementes in Abb. 6.8 können wir uns mithilfe der Coulombschen Reibung veranschaulichen, wobei der Haftreibungskoeffizient  0 und der Gleitreibungskoeffizient μ gleichge-

Abb. 6.8

Das Trockenreibungselement

F  R, F  R sgn(),

setzt werden (  0   ). Der Betrag der Kraft, bei der Gleiten einsetzt, ist R und es gilt:

wenn   0 wenn   0

(6.5)

94

6 Modellbildung

Das Verhalten dieses Modells wird starrplastisch genannt. In (6.5) liefert die SignumFunktion sgn das Vorzeichen von  , wobei sgn(0) nicht definiert ist. Werden die vorab behandelten Elementarmodelle unter Verwendung einer Reihen- bzw. Parallelschaltung kombiniert, dann erhalten wir weitere rheologische Modelle (s.h. VDIRichtlinie 3830, Werkstoff- und Bauteildämpfung, 5 Einzelblätter). Bei der Reihenschaltung sind die Kräfte in allen Elementen gleich, und die Verschiebungen addieren sich. Im Fall der Parallelschaltung ist das genau umgekehrt. Die aus diesen Kombinationen hervorgehenden Grundmodelle zeigen sowohl elastische wie auch viskose Eigenschaften. Zu den Stoffen, die viskoelastische Materialeigenschaften aufweisen, gehört beispielsweise der Stahlbeton. Das Verhalten solcher Stoffe wird durch Materialfunktionen festgelegt, die aus Experimenten bestimmt werden.

6.1.4

Abb. 6.9

Reihen- und Parallelschaltung von Federn

Reihen- und Parallelschaltung von Federn

Im Fall der Reihenschaltung (Abb. 6.9a) ist die Gesamtauslenkung wegen der gleichen Längskraft F in allen Federn s 

F F F   F k1 k 2 kn

n

1

k i1

i



F . Aus dieser Beziehung k res

lesen wir den Kehrwert der resultierenden Federsteifigkeit

1  k res

n

1

k i 1

(6.6)

i

ab. Insbesondere errechnen wir für n  2 die resultierende Steifigkeit k res 

k1k 2 . k1  k 2

Sind sämtliche Federn parallel geschaltet, dann erfahren alle dieselbe Auslenkung s1  s 2  ...  s n  s , und ihre Federkräfte Fi  k i s addieren sich zur Gesamtkraft

6.1 Grundmodelle n

n

n

F

95



Fi  k1s  k 2s    k n s 

i 1

 i 1

k is  s

k

i

 k res s , was

i 1

n

k res   k i

(6.7)

i 1

ergibt, und speziell für n  2 erhalten wir die resultierende Steifigkeit k res  k1  k 2 . Übungsvorschlag 6-1:

Abb. 6.10

Resultierende Federsteifigkeiten

Ermitteln Sie für die skizzierten Systeme in Abb. 6.10 die resultierenden Federsteifigkeiten.

6.1.5

Reihenschaltung von Feder und Dämpfer (MaxwellModell)

Abb. 6.11

Das Maxwell-Modell

F  k ( F   F0 )  c  D

Viskoelastisches Materialverhalten zeigt das aus Federn und Dämpfern zusammengesetzte Modell nach Abb. 6.11, das Maxwell-Modell genannt wird. Hierbei sind Feder und Dämpfer in Reihe geschaltet. Die Elementlängen    F   D addieren sich, und die Kräfte sind in beiden Elementen gleich (6.8)

In (6.8) bezeichnet  F0 die entspannte Federlänge. Die Funktion  D ( t ) muss stetig und stückweise stetig differenzierbar sein. Führen wir mit

96

6 Modellbildung ( t )   D ( t )   F0

(6.9)

die momentan entspannte Elementlänge ein1, dann folgt aus (6.8) F  k (   )

(6.10)

sowie aus (6.9) mit (6.8)  

1 F c

(6.11)

und die Integration zwischen den Zeitpunkten t0 und t ergibt ( t )  ( t 0 ) 

1 c

t

 F() d

(6.12)

 t 0

Einsetzen von (6.12) in (6.10) liefert F( t ) 1 ( t )  ( t 0 )   k c

t

 F() d

(6.13)

 t 0

Ist ( t ) stetig und stückweise stetig differenzierbar, dann folgt aus (6.10) mit (6.11) und der Abkürzung   k / c die inhomogene Differenzialgleichung F  F  k

(6.14)

d t d [e F( t )]  et (F  F)  F  F  e  t [et F( t )] und setzen diese Bedt dt d t t  ziehung in (6.14) ein, dann folgt [e F( t )]  e k . Integrieren wir nun zwischen den Zeitdt punkten t0 und t, so erhalten wir

Beachten wir

t

F( t )  F( t 0 )e  ( t  t 0 ) 

 ke

 ( t  )

() d

(6.15)

 t 0

Lässt sich  nicht bilden, dann kann wie folgt vorgegangen werden. Aus (6.10) und (6.11) resultiert die Differenzialgleichung

1

s.h. Krawietz, A.: Materialtheorie. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer-Verlag 1986

6.1 Grundmodelle

97

    

(6.16)

Diese Gleichung hat denselben Aufbau wie (6.14), und die Integration zwischen den Zeitt

punkten t0 und t führt auf ( t )  ( t 0 )e  ( t  t 0 ) 

 e

 ( t  )

() d . Setzen wir diese Be-

 t 0

t

ziehung in (6.10) ein, dann erhalten wir F( t )  k[( t )  ( t 0 )e  ( t  t 0 ) ] 

 ke

 ( t  )

() d .

 t 0 t

Diese Gleichung kann unter Beachtung von

 ke

  ( t  )

( t ) d  k( t )[1  e  ( t  t 0 ) ] noch

 t 0

identisch umgeformt werden, was auf t

F( t )  k[( t )  ( t 0 )] ( t  t 0 ) 

 ke

 ( t  )

[( t )  ()] d

(6.17)

 t 0

führt. Ist F(t) als Eingabe bekannt, dann liefert (6.13) die Ausgabe ( t ) , oder ist umgekehrt in (6.17) die Eingabe ( t ) bekannt, dann folgt daraus F(t). Typische Standardversuche, die Aufschluss über das Materialverhalten geben sollen, sind Schwingungsversuche mit harmonischen Beanspruchungen, Kriech- und Relaxationsversuche. In Schwingungsversuchen können als Eingangsgröße entweder Verschiebungen oder auch Kräfte gewählt werden. Beim Kriechversuch wird auf die Materialprobe zu einem Zeitpunkt t0 eine konstante Kraft F0 aufgebracht und zu einem späteren Zeitpunkt t1 wieder entfernt. Gemessen wird die sich einstellende Längenänderung. Im Relaxationsversuch erfolgt die Belastung der Materialprobe durch eine zum Zeitpunkt t0 sprunghaft aufgebrachte konstante Verlängerung  , die zum Zeitpunkt t  t1 wieder entfernt wird. Gemessen wird der sich einstellende Kraftverlauf. Beispiel 6-1: (Schwingungsversuch am Maxwell-Modell) Wir bringen auf das Maxwell-Modell in Abb. 6.11 eine harmonische Kraft F( t )  A cos t auf (A: Amplitude; Ω: Erregerkreisfrequenz) und berechnen die sich dazu einstellende Längenänderung ( t ) des Modells. Vor dem Aufbringen der Kraft hat das Element die Länge ( t 0 )   0 , und wählen wir speziell t0  0 , dann ist nach (6.13)

( t )  ( t )   0 

F( t ) 1  k c

t

 F() d 

0

A cos t A sin t . Mit    /   k /(c) sowie  k c

sin   1 / 1   , cos    / 1   2 und damit tan   1 /  können wir dafür auch 2

98

6 Modellbildung ( t ) 

A 1  2 sin(t  ) k

(6.18)

schreiben. Die Längenänderung des Modells setzt sich aus den beiden Anteilen 1.)  F 

A cos t : k

Längenänderung der Feder

2.)  D 

A sin t : c

Längenänderung des Dämpfers

zusammen. Im Augenblick der Lastaufbringung reagiert die Feder mit einer Längenänderung  F  A / k , wohingegen der Dämpfer wie ein starrer Körper wirkt, der erst mit zunehmender Zeit seine Länge ändert (Abb. 6.12 mit A = 1, Ω = 1, k = 1, c = 3/4).

Abb. 6.12

Längenänderungen

Abb. 6.13

Kraft-Verschiebungsdiagramme

Die Kraft-Verschiebungsdiagramme (Abb. 6.13 mit A = 1, Ω = 1, k = 1, c = 3/4) zeigen das lineare Federgesetz FF  k F , die Funktion F(  ) für das Gesamtmodell sowie die Abhängigkeit der Dämpferkraft FD vom Verschiebungsweg  D . Die Zeit t, deren Fortschritt durch einen Pfeil angedeutet wird, tritt in dieser Darstellung nicht mehr explizit auf, sondern nur noch als Parameter. Die geschlossenen Kurven werden im Falle zyklischer Belastungen Hysteresisschleifen1 oder kurz Hysteresen genannt. Die Kraft-Verschiebungsdiagramme für das Gesamtmodell und den Dämpfer stellen im vorliegenden Beispiel Ellipsen dar, deren Flächeninhalte gleich sind. Sie entsprechen einerseits der Energie, die durch die Arbeit der Kraft F am Verschiebungsweg  in das System eingetragen wird, und andererseits derjenigen Energie, die dem System durch Reibung im Dämpfer bei jedem Zyklus wieder entzogen wird. Berechnen wir die äußere Arbeit der Kraft F(t) am Verschiebungsweg ( t ) für einen vollen Zyklus der Dauer T  2 /  , dann erhalten wir

1

griech., eigtl. ›das Zurückbleiben‹

6.1 Grundmodelle



99 2 / 



A a  F( t )d () 

2 / 

F( t )( t ) dt 

t 0



A 2 FD ( t ) D ( t ) dt  0 c

(6.19)

t 0

Damit lässt sich die Kraft F nicht aus einem Potenzial ableiten. Wir zeigen, dass dieser Arbeitsanteil identisch ist mit der Arbeit der Dämpferkraft FD  F an der Verschiebung  D . Beachten wir nämlich FD  F  A cos t  A 1  sin 2 t  A 1  (c D / A) 2 , dann erhalten wir durch Umformung die Beziehung 2

2  FD    D   1     A   A /(c) 

(6.20)

Das ist die Normalform einer Ellipse mit den Halbachsen A und A /(c) . Ihr Flächeninhalt E  A 2  /(c) ist identisch mit dem Arbeitsausdruck Aa aus (6.19). Der im Ausdruck für ( t ) in (6.18) auftretende Phasenverschiebungswinkel tan   1 /  entspricht, bis auf den

Faktor 1 /( 2) , dem Verhältnis von elastischer Energie kA 2 / 2 bei der Maximallängung  F der Feder zur Dämpfungsenergie E  A 2  /(c) nach (6.19).

Beispiel 6-2: (Kriechversuch am Maxwell-Modell)

Mit (6.13) und ( t 0 )   0 ist F0 F0  (t  t 0 ) k c

 

Abb. 6.14

Maxwell-Modell, Kriechversuch

Unmittelbar nach Lastaufbringung zeigt sich eine elastische Verlängerung   F0 / k , die nach der Entlastung sofort wieder verschwindet. Unter Dauerlast stellt sich eine zeitlich zunehmende Verlängerung ein, die nach der Entlastung teilweise erhalten bleibt. Dieser Vorgang wird Kriechen1 genannt.

Beispiel 6-3: (Relaxationsversuch am Maxwell-Modell) t

Mit      0 folgt aus (6.17): F( t )  ke

 ( t  t 0 )



 ke

 t 0

die abschnittsweise Integration ergibt

1

engl.: creep

( t  )

[( t )  ()] d und

100

6 Modellbildung

t 0  t  t1 :

F( t )  ke ( t  t 0 )

t  t1 :

F( t )  k[et 0  e t1 ]e t

Das Modell reagiert zunächst rein elastisch mit einem Kraftsprung F( t 0 )  k  . Mit anwachsender Zeit dehnt sich der Dämpfer bei einem gleichzeitigen Zusammenziehen der Feder, und die Kraft nimmt exponentiell ab. Wird die Verlängerung zum Zeitpunkt t1 wieder rückgängig gemacht, dann entsteht ein Kraftsprung F  F( t1 )  F( t1 )   ke  ( t  t1 ) .

Plus- und Minuszeichen bedeuten hier den rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert der Kraft F an der Unstetigkeitsstelle t1. Mit weiter anwachsender Zeit klingt die Kraft exponentiell auf null ab. Dieser Vorgang wird Relaxation1 genannt. Ein Maß für die Schnelligkeit des Abklingens der Kraft F(t) ist die Relaxationszeit t Re l  1 /  . Nach dieser Zeit beträgt die Kraft nur noch 1/ e  37 % des Ausgangswertes zum Zeitpunkt t0. Abb. 6.15

6.1.6

Maxwell-Modell, Relaxationsversuch

Parallelschaltung von Feder und Dämpfer (KelvinModell)

Abb. 6.16

Kelvin-Modell

Bei einer Parallelschaltung von Feder und Dämpfer (Abb. 6.16) sind die Längen beider Elemente gleich und die Kräfte addieren sich zu F( t )  k[( t )   0 ]  c( t ) . Dieses rheologische Modell wird Kelvin-Modell genannt. Sprunghafte Längenänderungen sind bei diesem Modell nicht möglich. Wir formen die obige Beziehung noch etwas um und erhalten k 1 ( t )  ( t )  [F( t )  k 0 ] . c c

Die Integration zwischen den Zeitpunkten t0 und t ergibt ( t )  ( t )   0  [( t 0 )   0 ] e

1

k  (t t 0 ) c

lat. relaxatio ›das Nachlassen‹, ›Abspannung‹



1 c

t



F()e

 t 0

k  ( t  ) c d .

(6.21)

6.1 Grundmodelle

101

Ist die Feder zum Zeitpunkt t  t 0 entspannt, dann ist ( t 0 )   0 , und es verbleibt 1 ( t )  c

t



k  ( t  ) F()e c d

(6.22)

 t 0

Beispiel 6-4: (Schwingungsversuch am Kelvin-Modell) Wir belasten das Kelvin-Modell in Abb. 6.16 mit der harmonischen Kraft F( t )  A cos t . (A: Amplitude; Ω: Erregerkreisfrequenz). Zum Zeitpunkt t  t 0 sei die Feder entspannt, und es kommt (6.22) zur Anwendung. Setzen wir noch t 0  0 , dann ist ( t ) 

1 c

t



e

k  ( t  ) c A cos  d

0



k   t k c  cos t sin t e      c c(2   2 )  

A

Beachten wir    /   k /(c) , sin    / 1  2 , cos   1 / 1  2 und tan    , dann können wir dafür auch k

A 2  c t  A sin(t  )  e ( t )  k 1  2 k 1  2

(6.23)

schreiben. Die Kraft in der Feder ist FF ( t )  k( t ) 

A

2

k  t e c

sin(t  )  A . 1  2 1  2 Zur Berechnung der Dämpferkraft benötigen wir die zeitliche Änderung von  oder  . Wir

erhalten FD ( t )  c( t )  c 

A

cos(t  ) 

A 2

k  t c

. Unmittelbar nach Aufbrin1  2 1  2 gung der Kraft übernimmt der Dämpfer die volle Belastung. Erst mit zunehmender Längung des Elementes wird auch die Feder beansprucht. Der stationäre Zustand (Index p) ist durch A   p ( t )  sin(t  ) gegeben, und die zeitliche Änderung der Modelllänge ist k 1  2 e

A 1 cos(t  ) . Die äußere Kraft leistet am Verschiebungsweg dann  p ( t )  c 1  2  p ( t ) in einem vollen Zyklus die Arbeit



A a  F( t )d ( p) 

2 / 



F( t ) p ( t ) dt 

t 0

2 / 



FD, p ( t ) p ( t ) dt 

t0

A 2c A 2  0 k 2  (c) 2 k (1  2 )

102

6 Modellbildung

Unter dem letzten Integral ist FD, p ( t )  A / 1  2 cos(t  ) der partikuläre Anteil der Dämpferkraft. Die Kraft-Verschiebungsrelation für den Dämpfer folgt unmittelbar aus der obigen Beziehung, wenn wir mit der Abkürzung D  A / 1  2 wie folgt umformen:  k    FD, p ( t )  D cos(t  )  D 1  sin 2 (t  )  D 1    D  2

2

oder

2

A 2  FD, p    p  und entspricht       1 . Der Flächeninhalt dieser Ellipse ist E  k (1  2 )  D   D / k  der dissipierten Energie pro Zyklus. Die schräg liegende Ellipse, die die äußere Kraft F in Abhängigkeit von  p zeigt, hat denselben Flächeninhalt wie die in Normalform vorliegen-

de Ellipse für den Dämpfer. Die Kräfte F(t) und die Kraft-Verschiebungskurven können für die Parameterkombination (A = 1, Ω = 1, k = 1, c = 3/4) Abb. 6.17 und Abb. 6.18 entnommen werden.

Abb. 6.17

Kräfte F(t)

Abb. 6.18

Kraft-Verschiebungskurven

Beispiel 6-5: (Kriechversuch am Kelvin-Modell) Ist die Feder zum Zeitpunkt t 0 entspannt, dann ist ( t 0 )   0 , und der Kriechversuch am Kelvin-Modell liefert gemäß (6.22) die Längenänderungen k

t 0  t  t1 :

( t ) 

 (t t 0 ) F0 [1  e c ] k

t  t1 :

( t ) 

t0  t F0 c t1 [e  e c ] e c k

k

k

k

6.1 Grundmodelle

103

Ein Maß für das Anwachsen der Verlängerung ist die Retardationszeit1 t Re t 

Abb. 6.19

Kelvin-Modell, Kriechversuch

1 c  . ( k / c) k

Beim Kelvin-Modell tritt nach der Entlastung keine bleibende Verformung auf. Das KelvinModell verhält sich unmittelbar nach Lastaufbringung viskos, langfristig dagegen elastisch. Dieser Effekt wird verzögerte Elastizität, elastische Nachwirkung oder auch Anelastizität genannt. Wird die Last entfernt, dann tritt Rückkriechen (Kriecherholung) des Modells auf die Länge  0 (   0 ) ein. Wird die Länge  konstant gehalten (   0 ), dann resultiert daraus wegen F( t )  k[( t )   ]  c( t ) eine Kraft mit 0

dem festen Wert F  k . Relaxation gibt es demzufolge beim Kelvin-Modell nicht.

6.1.7

Parallelschaltung von Feder und Maxwell-Modell (Standard-Modell)

Die bisher vorgestellten einfachen Ersatzmodelle sind nicht immer in der Lage, das Verhalten viskoelastischer Materialien hinreichend genau zu beschreiben. Ein komplexeres Modell, das wir Standard-Modell nennen, besteht aus einer Parallelschaltung von Hookeund Maxwell-Modell. Damit sind die Längenänderungen beider Modelle gleich (    H   M ) und die Kräfte addieren sich ( F  FH  FM ). Gemäß (6.11) Abb. 6.20 Standard-Modell genügt das Maxwell-Element der Differenzialgleichung  1  1 / c1FM mit der Lösung 1 ( t )  1 ( t 0 ) 

1 c1

t

F

M ( ) d .

Berücksichtigen wir (6.13), dann folgt

 t 0

 M ( t )  ( t )  1 ( t 0 ) 

FM ( t ) 1  k1 c1

t

F

M ( ) d .

 t 0

Sind zum Zeitpunkt t0 beide Federn kräftefrei, dann ist 1 ( t 0 )   0 und wegen FM  F  FH  F  k erhalten wir

1

zu lat. retardare ›verzögern‹

104

6 Modellbildung t

t

k  F( t ) 1 k  ( t )1     F() d  () d . Die Lösung dieser Integralgleichung ist c1  k1  k1 c1   t t





0

0

k  F ( t ) 1 k  ( t ) 1     F( t )  ( t ) . Mit den Abkürzungen 1  k1 / c1 , k 0  k  k1 , k1 c1 c1  k1  1    1k / k 0 können wir noch zusammenfassen zu     (F  1F) . Die Struktur k0 dieser Gleichung entspricht derjenigen von (6.21). Integrieren wir unter der Voraussetzung, dass Hooke- und Maxwell-Modell zur Zeit t 0 entspannt sind, dann erhalten wir die Längen-

änderung 1 ( t )  k0

t   F( t )  (1   ) e   ( t  ) F()d    t 0  



(6.24)

Unter dem Integral wurde F durch partielle Integration beseitigt. Die Umkehrung ergibt t   F( t )  k 0 ( t )  (1   ) e 1 ( t  ) ()d    t 0  



(6.25)

Beispiel 6-6: (Schwingungsversuch am Standard-Modell) Wir belasten das Standard-Modell nach Abb. 6.20 zur Zeit t  0 mit der harmonischen Kraft F( t )  A cos t . (A: Amplitude; Ω: Erregerkreisfrequenz). Damit ergibt sich gemäß (6.24) ( t ) 

A (   1 ) k 0 ( 2  2 )

e  t 

A[( 2  1 ) cos t  (1   ) sin t ]

(6.26)

k 0 ( 2  2 )

Mit den Abkürzungen 1  1 /  ,    /  sowie sin  

Abb. 6.21

Längenänderung 

1  1 (1  12 )(1   2 )

, cos  

1   (1  12 )(1  2 )

tan  

1  1 können wir auch kürzer 1  

( t ) 

A 1  12 A(1  )  t sin(t  )  e 2 k0 1  k 0 (1   2 )

,

schreiben. Zu Beginn der Lastaufbringung reagieren nur die parallel geschalteten Federn mit einer Längenänderung ( t  0)  A / k 0 . Auch hier wirkt der Dämpfer zunächst wie ein starrer Körper. Unter

6.1 Grundmodelle

105

Beachtung von (6.9) ist 1 ( t )   D1 ( t )   F10

1  1 ( t 0 )  c1

t

F

M ( ) d ,

und mit 1 ( t 0 )   0 erhalten wir die Län-

 t 0

genänderung des Dämpfers zu  D1

1  c1

t

F

M ( ) d .

Für die Kraft im Maxwell-Element

 t 0

errechnen wir FM  F  FH  F  k . Integrieren wir diesen Ausdruck unter Berücksichtigung von (6.26), dann folgt die Längenänderung des Dämpfers zu  D1 

A k1  k (  ) cos t   0 (1  2 )  (1  1) sin t  (1  )e  t  2  1 k 0 k1 (1   )  k  

und die Längenänderung der Feder im Maxwell-Element ist  F1     D1 . Abb. 6.21

zeigt für die Parameterkombination (A = 1, Ω = 1, k = 1, c = 3/4) die Längenänderungen der Einzelkomponenten des Standard-Modells. Im stationären Zustand verbleibt

 p ( t ) 

A k0

1  12 1  2

(6.27)

sin(t  )

und die Längenänderung des Dämpferelementes im Maxwell-Modell errechnet sich zu

 D1 

k1 A   k  (  ) cos t   0 (1   2 )  (1  1) sin t  2  1 k 0 k1 (1   )   k 

Abb. 6.22

Kräfte F(t)

Abb. 6.23

Mit (6.27) liegt auch die Kraft FH , p im Hooke-Element fest

Kraft-Verschiebungskurven

(6.28)

106

6 Modellbildung

FH ,p  k p 

Ak 1  12 sin(t  ) k 0 1  2

(6.29)

und die Kraft im Maxwell-Element ergibt sich zu FM ,p ( t )  F( t )  FH ,p . Die äußere Kraft F(t)

leistet am Verschiebungsweg  p ( t ) in einem vollen Zyklus die Arbeit



A a  F( t )d (  p ) 

2 / 

A 2 (1   ) A 2 (1  )  F( t ) p ( t ) dt   0 k 0 ( 2   2 ) k 0 (1   2 ) t 0



(6.30)

Die Kräfte F(t) und die Kraftverschiebungskurven für das Standard-Modell können für die Parameterkombination (A = 1, Ω = 1, k = 1, c = 3/4) Abb. 6.22 und Abb. 6.23 entnommen werden. Beispiel 6-7: (Kriechversuch am Standard-Modell)

Mit (6.24) erhalten wir abschnittsweise die Längenänderungen t 0  t  t1 : ( t ) 

F0 k0

t  t1 :

F0 k1 t1 (e  e t 0 ) e  t k0 k

( t ) 

1  k1 (1  e   ( t  t 0 ) )   k

Die Retardationszeit ist t Re t  Abb. 6.24

1  1 1    c .   k1 k 

Standard-Modell, Kriechversuch

Beispiel 6-8: (Relaxationsversuch am Standard-Modell)

Zum Zeitpunkt t 0 wird dem kräftefreien Standard-Modell sprunghaft eine konstante Verlängerung  eingeprägt und zurzeit t  t1 wieder entfernt. Vor der Belastung ist das Modell kräftefrei. Entsprechend (6.25) erhalten wir abschnittsweise t 0  t  t1 : F( t )  [k  k1e 1 ( t  t 0 ) ] Abb. 6.25

Standard-Modell, Relaxationsversuch

t  t1 : F( t )  k1[e 1t 0  e 1t1 ) ]e 1t Bei kurzzeitiger Belastung besitzt das Modell die Steifigkeit k  k1 , die in die Langzeitsteifigkeit k

6.1 Grundmodelle

107

übergeht (Abb. 6.25). Die Schnelle dieses Übergangs wird durch die Relaxationszeit t Re l  1 / 1  c1 / k1 festgelegt.

6.1.8

Reihenschaltung von Feder und Trockenreibungselement (Prandtl-Modell)

Abb. 6.26

Das Prandtl-Modell in Abb. 6.26 besteht aus einer linearen Feder mit einem in Reihe geschalteten Trockenreibungselement nach St.-Vénant. Dabei ist k die Federkonstante und R diejenige Grenzkraft, bei der das Reibungselement zu rutschen beginnt. Ein solches Modell zeigt plastisches Verhalten. Für die Feder gilt F  k (   0 ) . Das Reibungselement kennt nur zwei Zustände

Prandtl-Modell

1.) F  R ,

wenn  R ( t )  0

2.) F  R sgn( R ) ,

wenn  R ( t )  0

Eine Längenänderung dieses Elementes ist also nur möglich, wenn F die Streckgrenzen  R oder  R erreicht. Dann gilt für die Kraft F F R

(6.31)

Führen wir mit ( t )   R ( t )   F0 die momentan entspannte Länge des Trockenreibungselementes ein, dann ist F( t )  k ( F   F0 )  k (  )

Abb. 6.27 Verschiebungs-Kraftdiagramm des Prandtl-Modells

(6.32)

Solange F  R ist, verhält sich das Reibungselement mit  R ( t )  0 wie ein starrer Körper, und mit (6.32) folgt   0 . Das Verhalten des PrandtlModells verdeutlichen wir uns anhand des Verschiebungs-Kraftdiagramms in Abb. 6.27. Im Ausgangszustand hat das Modell die Länge  0   F0   R 0 . Verlängern wir das Modell (Pfad 1), dann verhält es sich unterhalb der Streckgrenze rein elastisch. Wegen   0 gilt hier   F / k  0 . Versuchen wir durch weitere Verlängerung die

108

6 Modellbildung

Kraft in der Feder über die Streckgrenze hinaus zu steigern, dann entzieht sich das Modell dieser Beanspruchung durch plastisches Fließen (Pfad 2). Es gilt F  0 und     0 . Bei einer Verkürzung (Pfad 3) verhält sich das Modell wieder rein elastisch. Mit (6.32) ist hier   F / k  0 . An den Umkehrpunkten 2 und 4 wechseln die Verschiebungen ihr Vorzeichen. Der in Abb. 6.27 dargestellte Sachverhalt kann wie folgt formuliert werden   0 , wenn F  k     R oder F  R und F   0

(6.33)

   , wenn F  R und F   0

oder abgekürzt

  0 , wenn

k (  ) sgn()  1 R

(6.34)

k    , wenn (  ) sgn()  1 R

Diese abschnittsweise formulierten Differenzialgleichungen lassen sich nicht mehr geschlossen integrieren. Die Kraft F(t) kann aus dem Verlauf von ( t ) eindeutig bestimmt werden. Das Umgekehrte ist jedoch nicht möglich, da für F( t )  R die Länge ( t ) beliebig anwachsen kann. Hinweis: Relaxation gibt es beim Prandtl-Modell nicht, denn wird die Länge zeitlich konstant gehalten, dann ändert sich gemäß (6.33) und (6.34) auch die Kraft nicht. Außerdem ist das plastische Fließen vom Kriechen zu unterscheiden.

7

Schwingungen

Unter Schwingungen1 verstehen wir mehr oder weniger regelmäßig erfolgende zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen. Als Schwingung kann in mathematischem Sinne jede zeitabhängige Funktion bezeichnet werden, die mehrfach das Vorzeichen wechselt. Schwingungen können in der Natur und in vielen Bereichen der Technik beobachtet werden. Beispielsweise als Hin- und Herbewegung eines Pendels, als Wellengang der See oder die zufällige Schwingung eines durch Windböen erregten Gebäudes, als Geräusch oder auch als Ton. Die Kenntnis über die Ursachen von Schwingungen und deren Auswirkungen erlaubt es dem Ingenieur, Schwingungen in erträglichen Grenzen zu halten. Der Zustand eines schwingenden Systems kann durch geeignet ausgewählte Zustandsgrößen, beispielsweise durch Lagekoordinaten, Geschwindigkeiten, Winkel, Druck, Temperatur, elektrische Spannung oder Ähnliches gekennzeichnet werden. Sei y eine derartige Zustandsgröße, so interessiert bei der Schwingungsuntersuchung die zeitliche Änderung von y  y( t ) . Eine wichtige Klasse von Schwingungen sind die periodischen Schwingungen. Diese sind dadurch gekennzeichnet, dass sich der Vorgang y(t) nach Ablauf einer bestimmten Zeit, der Schwingungsdauer oder Periodendauer T, jeweils vollständig wiederholt. Die Zustandsgröße y(t) erfüllt dabei die Periodizitätsbedingung y( t )  y( t  T)  y( t  nT)

( n  1, 2, 3, )

(7.1)

Ein Ausschnitt dieser Schwingung von der Dauer T heißt eine Periode2 der Schwingung. Der Kehrwert der Schwingungsdauer T ist die Frequenz3 f

1 T

(7.2)

Die Frequenz gibt an, wie oft sich der Vorgang in der Zeiteinheit abspielt, also die Zahl der Schwingungen in einer Sekunde.

f  

1 , Einheit: s 1  Hz (Hz = Hertz ) Zeit

1

s.h. DIN 1311-1: 2000-02, Schwingungen und schwingungsfähige Systeme

2

lat. periodus ›Gliedersatz‹, von griech. periodos ›das Herumgehen‹, ›Umlauf‹, ›Wiederkehr‹

3

lat. frequentia ›Häufigkeit‹, allgemein Synonym für Häufigkeit

110

7 Schwingungen

Für die rechnerische Behandlung der Schwingungen wird neben der Frequenz f noch die Kreisfrequenz ω verwendet. Darunter wird die Zahl der Schwingungen in 2 Sekunden verstanden   2f 

 

2 T

(7.3)

1 , Einheit: s-1 (auch rad/s: siehe DIN 1301-1: 2002-10) Zeit

Hinweis: Die Einheit für die im Bogenmaß gemessene Größe eines ebenen Winkels ist der Radiant (Abk. rad), der Winkel, für den die Bogenlänge des Einheitskreises den Wert 1 hat: 1 rad = 360°/2  57 17' 44,8' ' . Tab. 7.1

Mechanische Größen und Einheiten nach DIN 1080 Größe

Länge Masse Zeit Kraft Federkonstante Dämpfungskoeffizient Frequenz Periodendauer

Einheiten Durch SI-Basiseinheiten ausgedrückt m kg s kg m s-2 kg s-2 kg s-1 s-1 auch rad/s s

Zeichen

N k c f T

Periodendauer und Frequenz bestimmen den Rhythmus einer Schwingung. Ihre Größe wird durch die Amplitude A angegeben. Darunter verstehen wir den halben Wert der gesamten Schwingungsweite, das ist der Bereich, den die Zustandsgröße y im Verlauf einer Periode durchläuft. Ist ymax der Größtwert und ymin der Kleinstwert von y während der Periode T, so gilt A  1 / 2( y max  y min ) . Der Wert der Zustandsgröße y schwankt bei periodischen Schwingungen um die Mittellage Abb. 7.1 Periodische Schwingung, Periodendauer T y 0  1 / 2( y max  y min ) . Bei symmetrischen Schwingungen entspricht diese Mittellage zugleich der Ruhelage oder Gleichgewichtslage. Weiterhin wird die Schwingungsweite y S  y max  y min definiert. Durch eine einfache Koordinatentransformation y  y  y 0 kann immer erreicht werden, dass y 0  0 gilt. Tab. 7.1 enthält mechanische Größen und Einhei-

7.1 Darstellung von Schwingungsvorgängen

111

ten nach DIN 1080 und aus den SI-Einheiten abgeleitete Größen, die für die Schwingungsuntersuchungen von Bedeutung sind. Hinweis: Im amtlichen und geschäftlichen Verkehr sind vorgeschriebene Einheiten zu verwenden. In der Bundesrepublik Deutschland gelten die Eichgesetze sowie das Gesetz über Einheiten im Messwesen und die Zeitbestimmung, kurz Einheitengesetz, durch das die SIBasiseinheiten (Système International d’Unités) eingeführt wurden.

7.1

Darstellung von Schwingungsvorgängen

Abb. 7.2

Das Ausschlag-Zeit-Diagramm

Abb. 7.3

Phasenkurve einer Schwingung

Zur Darstellung zeitabhängiger Zustandsgrößen werden verschiedene Diagramme verwendet. Die wichtigsten sind das Ausschlag-Zeit-Diagramm (Abb. 7.2) und die Darstellung in der Phasenebene (Abb. 7.3). Im Ausschlag-Zeit-Diagramm wird die Zustandsgröße y(t) über der Zeit t aufgetragen. Aus diesem Diagramm lassen sich sofort charakteristische Größen der Schwingung wie Amplitude und Mittellage ablesen. Die Phasenkurve einer Schwingung erhalten wir, wenn wir die Geschwindigkeit y ( t )  v( t ) über der Auslenkung y(t) auftragen. Bei einem Einmassenschwinger legen die Auslenkung und die Geschwindigkeit den mechanischen Zustand des Systems fest, weshalb y(t) und y ( t ) auch Zustandsgrößen genannt werden. Die Beschleunigung ist übrigens keine Zustandsgröße im eigentlichen Sinne, da sie sich mittels des Newtonschen Grundgesetzes durch die Resultierende der äußeren Kräfte angeben lässt. Da die Darstellung der Phasenkurve in der Form v  v( y) erfolgt, kann der zeitliche Verlauf einer Schwingung aus dem Phasenbild selbst nicht entnommen werden. In der Phasenebene erscheint nämlich die Zeit t lediglich als Bahnparameter. Über den Durchlaufsinn der Phasenkurve kann Folgendes gesagt werden: Da bei positiver Geschwindigkeit y die Auslenkung y zunehmen muss, verläuft die Phasenkurve im oberen Bereich von links nach rechts und im unteren Bereich von rechts nach links. dy dy dt y   schneidet die Phasenkurve die y-Achse immer senkrecht, denn an Wegen dy dt dy y diesem stationären Punkt gilt y  v  0 . Ausgenommen sind Fälle, für die neben y  0 auch y  0 ist. Solche Punkte heißen singuläre Punkte der Phasenkurve, sie stellen Gleichge-

112

7 Schwingungen

wichtslagen des Schwingers dar. Aus der Gleichung einer Phasenkurve y ( y) folgt durch Trennung der Variablen dy dt  y ( y)

y

 t  t0 



y y0

dy y( y)

(7.4)

Die Gesamtheit aller möglichen Phasenkurven eines Schwingers wird Phasenportrait genannt.

7.2

Einteilung der Schwingungen

Schwinger mit nur einem Freiheitsgrad werden als einfache Schwinger bezeichnet. Schwingungssysteme mit endlich vielen Freiheitsgraden heißen mehrfache Schwinger und ein Schwingungssystem mit unendlich vielen Freiheitsgraden ist ein kontinuierlicher Schwinger. Je nachdem, ob die zugehörigen Differenzialgleichungen linear oder nichtlinear sind, wird rein formal nach linearen und nichtlinearen Schwingungen unterschieden. Reale Schwingungen verlaufen in der Regel immer nichtlinear, jedoch kann sehr oft die Differenzialgleichung linearisiert und damit die Untersuchungen auf lineare Schwingungen zurückgeführt werden. Abb. 7.4 zeigt eine Einteilung der Schwingungen nach ihrem Entstehungsmechanismus. In den folgenden Kapiteln werden wir uns mit den in dieser Abbildung invers dargestellten Schwingungen näher beschäftigen.

Abb. 7.4

Einteilung der Schwingungen nach dem Entstehungsmechanismus (DIN 1311-1 : 2000-02)

Wir bezeichnen ein schwingungsfähiges System, dem keine Energie zugeführt oder entzogen wird, als freien Schwinger. Überlassen wir einen solchen Schwinger sich selbst, so führt er freie Schwingungen aus, die gedämpft oder ungedämpft ablaufen können. Die zugehörigen Differenzialgleichungen sind stets homogen mit zeitinvarianten Koeffizienten. Treten bei einem schwingungsfähigen System dagegen äußere Erregungen auf, dann sprechen wir von

7.3 Harmonische Schwingungen

113

einer erzwungenen Schwingung, die wieder gedämpft oder ungedämpft ablaufen kann. Die diesen Schwingern zugeordneten Differenzialgleichungen besitzen stets zeitabhängige Funktionen, die mit den Zustandsgrößen des Schwingers nicht in Verbindung stehen. Abb. 7.5 zeigt eine mögliche Einteilung der Schwingungen hinsichtlich des Zeitverlaufs.

Abb. 7.5

7.3

Einteilung der Schwingungen hinsichtlich ihres Zeitverlaufs (DIN 1311-1: 2000-02)

Harmonische Schwingungen

Die einfachste periodische Schwingung ist die harmonische Schwingung. Sie lässt sich durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion beschreiben y( t )  A sin(t  1 )  A cos(t  2 )

Abb. 7.6

Gleichförmige Kreisbewegung, harmonische Schwingung

(7.5)

114

7 Schwingungen

Dabei ist A die Amplitude der Schwingung. Die Argumente der Sinus- bzw. Kosinusfunktion 1  t  1 bzw.  2  t  2 heißen Phasenwinkel, weil sie den momentanen Zustand der Schwingung, ihre Phase, festlegen. Die Winkel 1 und  2 werden Nullphasenwinkel genannt, weil sie die Phase zum Zeitpunkt t  0 angeben. Sie sind nur bis auf Vielfache von 2π festgelegt. Zwischen einer gleichförmigen Kreisbewegung und einer harmonischen Schwingung kann folgender Zusammenhang hergestellt werden. Wir projizieren dazu den mit konstanter Winkelgeschwindigkeit    rotierenden Zeiger der Länge A entsprechend Abb. 7.6 auf die vertikale Achse, was uns die y-Koordinate des rotierenden Zeigers liefert. Besitzt der Schwinger zum Zeitpunkt t  0 eine dem Nullphasenwinkel ϕ0 entsprechende Auslenkung, so lautet die Beziehung y  A sin(t   0 )

(7.6)

und die Anwendung des Additionstheorems sin(  )  sin  cos   cos  sin  ergibt y  A(sin t cos 0  cos t sin 0 )  A cos 0 sin t  A sin 0 cos t und damit       A1

A 2

y  A1 sin t  A 2 cos t

(7.7)

Eine Sinusschwingung mit beliebigem Phasenwinkel   t   0 lässt sich also stets aus einer Sinus- und Kosinusschwingung aufbauen. Für die Amplitude und den Nullphasenwinkel folgen mit A1  A cos  0 und A 2  A sin 0 A  A12  A 22 , cos 0 

A1 A A , sin 0  2 , tan 0  2 A A A1

(7.8)

Hinweis: Die Funktion tan 0  A 2 / A1 allein ist ungeeignet, den Winkel  0 zu bestimmen, da sie im ersten und dritten bzw. im zweiten und vierten Quadranten die gleichen Werte annimmt.

7.3.1

Überlagerung harmonischer Schwingungen

In den meisten Fällen sind an einem Bewegungsvorgang mehrere Schwingungen beteiligt. Wir beschränken uns zunächst auf den Fall der Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz , etwa y1  A1 sin t und y 2  A 2 sin(t  ) . Ist   0 (Abb. 7.7), dann sind die Schwingungen phasengleich und gemäß y  y1  y 2  A1 sin t  A 2 sin t  (A1  A 2 ) sin t

7.3 Harmonische Schwingungen

115

addieren sich die Amplituden, und die Verstärkung wird maximal. Abb. 7.8 zeigt den Fall der Überlagerung zweier um    phasenverschobener Schwingungen. Wegen y  y1  y 2  A1 sin  t  A 2 sin(t  )  (A1  A 2 ) sin t

subtrahieren sich die Amplituden, und für A1  A 2 heben sich die Schwingungen sogar auf.

Abb. 7.8

Addition phasenversch. Schwingungen

Abb. 7.7

Addition phasengleicher Schwingungen

Abb. 7.9

Überlagerung zweier gleichfrequenter harmonischer Schwingungen (   0 )

Abb. 7.9 zeigt die Überlagerung zweier gleichfrequenter harmonischer Schwingungen mit    0 . Ihre Addition ergibt y  y1  y2  A1 sin t  A 2 sin(t  )  A1  A 2 cos  sin t  A 2 sin  cos t

Unter Beachtung von (7.6) und (7.7) lässt sich aber die resultierende Schwingung y immer als phasenverschobene Sinusschwingung y  A sin(t  )  A cos  sin t  A sin  cos t

darstellen. Aus dem Koeffizientenvergleich der beiden vorangegangenen Gleichungen mit A cos   A1  A 2 cos  und A sin   A 2 sin  folgen die resultierende Amplitude A und die Phasenverschiebung α zwischen y und y1 (Abb. 7.9)

116

7 Schwingungen A  A12  A 22  2A1A 2 cos  cos  

A1  A 2 cos  A sin  A 2 sin  , sin   2 , tan   A A A1  A 2 cos 

(7.9)

Etwas umständlicher als die Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Frequenz ist die Addition zweier Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen y( t )  y1  y 2  A1 sin(1t  1 )  A 2 sin(2 t  2 ) . Um das Wesentliche zu zeigen, reicht es aus, die beiden Nullphasenwinkel zu null zu setzen, also y( t )  y1  y 2  A1 sin 1t  A 2 sin 2 t

(7.10)

Wir sind zunächst an der Periodendauer T der resultierenden Schwingung interessiert. Mit dem Frequenzverhältnis   2 1 und   1t geht (7.10) über in y( t )  A1 sin 1t  A 2 sin 2 t  A1 sin   A 2 sin   y()

(7.11)

Ist das Frequenzverhältnis  rational, lässt es sich also durch den Bruch   p q ausdrücken ( p, q  Ù, teilerfremd), dann hat die resultierende Schwingung die Periode T  2q . Es gilt nämlich p  y(  T)  A1 sin(  2q )  A 2 sin    2q   A1 sin   A 2 sin    y(). q 

Wir sehen das am Beispiel   3 2 . Mit q  2 ist dann T  2q  4  12,57 s (Abb. 7.10). Nach der Periode T wiederholt die Bewegung sich exakt. Ist das Verhältnis der beiden Eigenkreisfrequenzen nicht rational, dann existiert keine Periode T. Allerdings kann jede irrationale Zahl  durch eine Folge rationaler Zahlen  n  p n q n dargestellt werden, die mit wachsendem n gegen den Grenzwert  konvergiert. Die Schwingung wiederholt sich dann näherungsweise nach der Zeit Tn  2q n , und zwar um so genauer, je größer n gewählt wird. In diesen Fällen wird von einer fastperiodischen Schwingung gesprochen. Ist beispielsweise Abb. 7.10 Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen(A1 = A2 = 1, λ = 3/2, ω1 = 2s-1)

  5 , dann liefert die Kettenbruchentwicklung die 9 38 161 682 2889 12238 Folge [2, , , , , , , ...] . Erset4 17 72 305 1292 5473

zen wir nun den Wert   5 durch die zweite Näherung   9 / 4 der Kettenbruchentwick-

7.3 Harmonische Schwingungen

117

lung, dann ist mit q 2  4 die Schwingungszeit T2  2  4  8 . In Abb. 7.11 ist noch eine auffallende Abweichung der Näherung von der exakten Lösung zu erkennen, die mit wachsender Zeit t zunimmt. Für   38 / 17 ( q 3  17 ) ist T3  2 17  34 s im dargestellten Bereich nahezu deckungsgleich mit der Ausgangskurve (Abb. 7.12). In beiden Abbildungen sind A1  A 2  1 und 1  2 s 1 gesetzt worden.

Abb. 7.11

Fastperiodische Schwingung (   9 / 4 )

Abb. 7.12

Fastperiodische Schwingung (   38 / 17 )

Wir versuchen nun für die Summe der harmonischen Teilschwingungen nach (7.10), die Darstellung der resultierenden Schwingung y entsprechend (7.6) zu erreichen. Dazu wird (7.10) identisch umgeformt A1  A 2 A A sin 1t  sin 2 t   1 2 sin 1t  sin 2 t  2 2 (  2 ) t (   2 ) t (  2 ) t (   2 ) t sin 1 cos 1  (A1  A 2 ) cos 1  (A1  A 2 ) sin 1 2 2 2 2 Mit den Abkürzungen y

m 

1  2   2 , d  1 , C1 ( t )  (A1  A 2 ) cos d t, C 2 ( t )  (A1  A 2 ) sin d t 2 2

kann dann zunächst zusammengefasst werden   y  C1 ( t ) sin m t  C 2 ( t ) cos m t  A ( t ) sin[m t  ( t )]

(7.12)

Da die Amplitude  A( t )  A12  A 22  2A1A 2 cos 2d t

(7.13)

118

7 Schwingungen

 und auch der Nullphasenverschiebungswinkel  mit C ( t ) A1  A 2  tan ( t )  1  tan d t C 2 ( t ) A1  A 2

(7.14)

zeitabhängig sind, liegt keine harmonische Schwingung vor. Es wird in diesem allgemeinen Fall auch von einer amplituden- und phasenmodulierten Schwingung gesprochen.

Abb. 7.13

Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Frequenz

Abb. 7.13 zeigt die Überlagerung der Schwingungen y1  A1 sin 1t und y 2  A 2 sin 2 t mit A1  1,5 cm , 1  1,7 s 1 , A 2  1,0 cm , 2  1,0 s 1 . Die Periodendauern der Einzelschwingungen errechnen sich zu T1  2 / 1,7 s  3,7 s und T2  2 / 1 s  6, 28 s . Weiterhin

sind m  1 / 2(1  2 )  1,35 s 1 und d  1/ 2(1  2 )  0,35 s 1 sowie  A ( t )  A12  A 22  2A1A 2 cos 2d t  3,25  3 cos 0,7 t cm . Für den Nullphasenwinkel

A  A2   tan d t  0,2 tan 0,35t  ( t )  arctan(0,2 tan 0,35t ) . erhalten wir tan ( t )  1 A1  A 2

Wir betrachten noch einmal die Addition zweier harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Frequenz nach (7.10) und unterstellen im Folgenden, dass sich die Kreisfrequenzen 1 und 2 nur geringfügig unterscheiden. Diese Schwingungsüberlagerung (Addition) wird Schwebung genannt. Mit (7.12) gilt   y  A ( t ) sin[ m t  ( t )]  y M ( t ) y T ( t )

(7.15)

7.3 Harmonische Schwingungen

119

In der Nachrichtentechnik heißt  y M  A( t )  A12  A 22  2A1A 2 cos 2d t

(7.16)

Modulationssignal. Es hat die Modulationsfrequenz M  2d  1  2 und die Modulationsperiode TM  2 / M . Das Modulationssignal y M ( t ) ist die Hüllkurve der Schwebung. Der eigentliche Schwingungsterm ist das Trägersignal  y T  sin[m t  ( t )]

(7.17)

das mit der Trägerfrequenz T  m  (1  2 ) / 2 und der Periodendauer der Trägerperiode TT  2 T schwingt. Das Trägersignal ist i. Allg. nullphasenverschoben um den Winkel  ( t ) . Die Schwingung nimmt Amplitudenwerte zwischen A1  A 2 und A1  A 2 an. Für den Sonderfall gleicher Amplituden A1  A 2  A erhalten wir aus (7.14) den Nullphasenver schiebungswinkel   0 und mit (7.16) y M ( t )  A 2(1  cos 2d t )  A 4 cos 2 d t  2A cos d t

(7.18)

sowie unter Berücksichtigung von (7.15) y( t )  y M ( t ) sin m t

(7.19)

Mit (7.19) liegt eine einfache Schwebung vor, die nur noch harmonisch amplitudenmoduliert ist. Die multiplikative Zerlegung der resultierenden Schwingung y(t) zeigt mit yM(t) ein sich nur langsam veränderndes Argument der Kosinusfunktion. Dagegen schwingt das Trägersignal yT = sin wmt mit einer erheblich höheren Frequenz. Diese Zerlegung spielt in der Nachrichtentechnik und Elektroakustik eine große Rolle. Hinweis: Die aus der Summe zweier harmonischer Schwingungen mit dicht benachbarten Frequenzen resultierenden kleinen Schwebungsfrequenzen führen bei Bauwerken zu Störungen des menschlichen Wohlbefindens und können überdies in Tragkonstruktionen hohe Beanspruchungen nach sich ziehen. Abb. 7.14 zeigt die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen y1  A1 sin 1t und y 2  A 2 sin 2 t mit A1  A 2  A  1,0 cm und den beiden dicht benachbarten Frequenzen 1  1,8 s 1 und 2  1,7 s 1 . Damit errechnen sich 1  2 1,8  1,7 1   2 1,8  1,7 1   s  1,75 s 1 , d  1 s  0,05 s 1 2 2 2 2   sowie A M ( t )  2A cos d t  2 cos(d t ) cm  2 cos(0,05t ) cm , ( t )  0 . m 

120

7 Schwingungen

Die Modulationsperiode ist TM  2 / 0,05 s  125,66 s . Die Periodendauer des Trägersignals ergibt sich zu TT  2 / 1,75 s  3,59 s . Die Schwebung nimmt Werte zwischen A1  A 2  2,0 cm und A1  A 2  0 cm an.

Abb. 7.14

Schwebung (A1 = A2 = A)

Zusammenfassend kann Folgendes gesagt werden: –

–

–

Besitzen zwei harmonische Schwingungen dieselben Phasenwinkel, so addieren sich ihre Amplituden. Bei gleichen Amplituden und Schwingung in Gegenphase heben sich die Schwingungen auf. Aus der Summe zweier harmonischer Schwingungen mit gleicher Frequenz und verschiedenen Amplituden wird wieder eine harmonische Schwingung derselben Frequenz, jedoch mit veränderter Amplitude und Phase. Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen unterschiedlicher Frequenz, so ist die resultierende Schwingung i. Allg. nicht mehr harmonisch.

Die Umkehrung des letzten Satzes lautet: –

Jede harmonische oder nichtharmonische periodische Schwingung lässt sich als Überlagerung von harmonischen Schwingungen darstellen, deren Frequenzen Vielfache einer ausgezeichneten Frequenz, der Grundfrequenz f0, sind. Eine Schwingung mit der Grundfrequenz f0 heißt Grundschwingung. Schwingungen, deren Frequenzen Vielfache der Frequenz der Grundschwingungen f0 sind ( f n  nf 0 ) heißen Oberschwingungen.

7.4 Die komplexe Zeigerdarstellung bei harmonischen Schwingungen

121

Die Methode zur Bestimmung der Grund- und Oberschwingungen einer vorgegebenen Schwingung wird harmonische Analyse oder Fourieranalyse1 genannt.

7.4

Die komplexe Zeigerdarstellung bei harmonischen Schwingungen Harmonische Schwingungen lassen sich vorteilhaft als Projektionen eines rotierenden Zeigers darstellen. Dabei wird die enge Verbindung zwischen einer gleichförmigen Kreisbewegung und einer harmonischen Schwingung genutzt (Abb. 7.15). Ein mit der Kreisfrequenz   2f  2 T rotierender Zeiger der Länge A besitzt die Projektionen x  A cos t und y  A sin t .

Soll der Phasenwinkel t für t  0 nicht verschwinden, dann sind die Argumente um den Nullphasenwinkel ϕ zu ergänzen, also x  A cos(t  ), y  A sin(t  ) . Abb. 7.15 Projektionen einer gleichförmigen Kreisbewegung

Aus diesen Beziehungen ermitteln wir durch Ableitungen nach der Zeit t die Geschwindigkeiten

x  A sin(t  ), y  A cos(t  )

(7.20)

In der komplexen Zahlenebene kann die harmonische Schwingung anschaulich mittels des rotierenden komplexen Zeigers z dargestellt werden (Abb. 7.15, unten rechts). Unter Beachtung der Euler-Identitäten exp(i)  cos   i sin  lautet der rotierende komplexe Zeiger z  x  iy  A[cos(t  )  i sin(t  )]  A exp[i(t  )]  A exp(i) exp(it ) .

Umgekehrt sind Re(z)  A cos(t  ) , Im(z)  A sin(t  ) und z  x 2  y 2  A cos 2 (t  )  sin 2 (t  )  A .

1

Jean-Baptiste Joseph Fourier, frz. Mathematiker und Physiker, 1768-1830

122

7 Schwingungen

ˆ  A exp(i) für den ruhenden komplexen Zeiger kann der rotierende Mit Einführung von A komplexe Zeiger auch in der Form ˆ exp(it ) zA

(7.21)

geschrieben werden.

Für den ruhenden komplexen Zeiger, der auch komplexe Amplitude genannt wird, werden für spätere Untersuchungen noch folgende Bezeichnungen eingeführt (Abb. 7.16) ˆ )  A  , Im(A ˆ, ˆ )  A || , A ˆ  A , sin   A|| / A Re(A Abb. 7.16 Der ruhende komplexe Zeiger

ˆ , tan   A || / A  . cos   A  / A

Ist z  x  iy die zu z konjugiert komplexe Zahl, dann können Real- und Imaginärteil von z auch wie folgt ermittelt werden x  Re(z)  1 / 2(z  z )  A cos(t  ), y  Im(z)  1 / 2i(z  z )  A sin(t  )

Die komplexe Zeigerdarstellung eignet sich besonders zur Herleitung rechnerischer Beziehungen zwischen gleichfrequenten harmonischen Schwingungen. Sind zwei Schwingungen z1 und z2 vorgegeben, dann ist deren Summe z  z1  z 2  A1 exp(i1 ) exp(i1t )  A 2 exp(i 2 ) exp(i2 t ) ,

und sind beide Kreisfrequenzen mit 1  2   gleich, dann können wir auch ˆ A ˆ ) exp(it )  A ˆ exp(it ) z  z1  z 2  A1 exp(i1 )  A 2 exp(i 2 ) exp(it )  (A 1 2

schreiben.

Abb. 7.17

Addition gleichfrequenter Schwingungen

Abb. 7.18

Die komplexe Geschwindigkeit

ˆ A ˆ A ˆ erhalten wir also durch geometrische Addition Die komplexe Gesamtamplitude A 1 2 der komplexen Einzelamplituden. In der komplexen Ebene läuft das auf eine Vektoraddition

7.4 Die komplexe Zeigerdarstellung bei harmonischen Schwingungen

123

ˆ und A ˆ hinaus (Abb. 7.17). Die komplexe Geschwindigkeit folgt dann durch Ableivon A 1 2 tung des komplexen Zeigers z nach der Zeit t, also d ˆ ˆ exp(it )  iz   exp(i / 2)A exp(i) exp(it ) [A exp(it )]  iA dt ˆ exp(it )  A exp[i(   / 2)] exp(it )  B  

z 

(7.22)

ˆ B

Um die Geschwindigkeit z zu erhalten, ist also der Zeiger z zunächst um 90° in der komplexen Ebene zu drehen und sodann mit der Winkelgeschwindigkeit  zu strecken (Drehstreckung). Die Geschwindigkeit eilt folglich der Auslenkung um den Phasenverschiebungswinkel    / 2 voraus. ˆ exp(it ) Für die Integration gilt mit z  A exp(i) exp(it )  A 1

1

i

1

 z(t)dt  i Aˆ exp(it)  i z    z   exp(i / 2)A exp(i) exp(it) 

1 ˆ exp(it ) A exp[i(   / 2)] exp(it )  C  

(7.23)

ˆ C

Die Integration von z entspricht also geometrisch einer Drehstauchung in der komplexen Ebene.

8

Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

Wird der Gleichgewichtszustand eines schwingungsfähigen Systems durch inhomogene Anfangsbedingungen (Auslenkung und/oder Geschwindigkeit) gestört und danach sich selbst überlassen, so sprechen wir bei der dann einsetzenden Bewegung von einer freien Schwingung. Diese Schwingung kann gedämpft oder ungedämpft ablaufen.

8.1

Abb. 8.1

Der ungedämpfte Einmassenschwinger

Der ungedämpfte Einmassenschwinger

Wir betrachten das in Abb. 8.1 skizzierte System, bestehend aus einer linearen Feder der Federsteifigkeit k und einer konzentrierten Masse m, die reibungsfrei gelagert ist. Die Lagekoordinate x beschreibt die horizontale Auslenkung der Masse. Für x  0 sei die Feder entspannt. Zur Herleitung der Bewegungsgleichung wenden wir das Newtonsche Grundgesetz auf die freigeschnittene Masse m an und erhalten mx   F  k x . Mit der Eigenkreisfrequenz   k/m

des ungedämpften Systems folgt

(8.1)

126

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad x( t )  2 x ( t )  0

(8.2)

Dies ist eine gewöhnliche homogene Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, für die in der Mathematik eine abgeschlossene Theorie existiert. Im Zusammenhang mit linearen Differenzialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip, welches besagt, dass bei Kenntnis zweier linear unabhängiger Lösungen x1(t) und x2(t) auch jede Linearkombination x ( t )  C1 x1 ( t )  C 2 x 2 ( t ) mit beliebigen Konstanten C1 und C2 Lösung der Differenzialgleichung ist. Wie durch Einsetzen leicht nachgewiesen werden kann, ist x ( t )  C1 cos t  C 2 sin t  A cos(t  )

(8.3)

die vollständige Lösung von (8.2). Die Ableitung von x(t) nach der Zeit t liefert die Geschwindigkeit x ( t )  C1 sin t  C 2  cos t  A sin(t  )

(8.4)

Die beiden noch freien Konstanten (C1, C2) oder (A, ) werden aus den Anfangswerten des Systems bestimmt. Wir lösen also ein Anfangswertproblem (AWP). Es sei x ( t  0)  x 0

 C1  x 0 ;

x ( t  0)  v 0

 C2  v0 / 

und mit diesen Werten für C1 und C2 erhalten wir die vollständige Lösung unseres Problems

x ( t )  x 0 cos t 

v0 sin t; x ( t )   x 0 sin t  v 0 cos t 

Schwingungsdauer:

T

2 m  2  k

Eigenfrequenz:

f

 1 1   T 2  2

Amplitude:

v A  C12  C 22  x 02   0  

Nullphasenwinkel:

cos  

(8.5)

k m 2

C1 x 0 C v C v ; sin   2  0 ; tan   2  0  A A A A C1 x 0

Da die Frequenz f nur von den Systemwerten k und m abhängt, und nicht etwa von den Anfangsbedingungen, wie das bei nichtlinearen Schwingungen der Fall ist, wird f auch Eigenfrequenz genannt.

8.1 Der ungedämpfte Einmassenschwinger

127

Beispiel 8-1: Der Schwinger in Abb. 8.1 habe die Steifigkeit k  4 N / m und die Masse m  1 kg . Damit sind   k / m  2 s 1 , T  2 /   3,14 s , f  1/ T  0,32 s 1 . Mit den Anfangsbedingungen x 0  1,05 cm und v 0  2,15 cm / s folgen A  x 02   v0 /   1,052   2,15 / 2   1,5 cm 2

2

1,05 2,15  0,7, sin    0,72, tan   1,02    0,8 , womit dann für die 1,5 1,5  2 Auslenkung x(t)  A cos(t  )  1,5cos(2t  0,8) [cm] notiert werden kann.

und cos  

Abb. 8.2

Harmonische Bewegung des Einmassenschwingers

Der mechanische Zustand des Einmassenschwingers wird, wie bereits in Kap. 7.1 ausgeführt, vollständig durch seine Lagekoordinate x(t) und Geschwindigkeit x ( t ) beschrieben. Nach (8.3) und (8.4) sind x ( t )  A cos(t  ) und v( t )  Asin(t  ) . Quadrieren und addiex 2 v 2 ren beider Gleichungen ergibt       1 . In der Phasenebene stellt diese Schwin A   A  gung eine Ellipse mit den beiden Halbachsen A und A dar. Bei harmonischen Schwingungen ist die Phasenkurve geschlossen.

8.1.1

Berücksichtigung des Eigengewichts der Masse m

Wirkt auf eine Masse m das Eigengewicht G  mg in Bewegungssrichtung, dann ist wie folgt zu verfahren. Wir betrachten dazu den Einmassenschwinger nach Abb. 8.3 mit einer masselosen Feder, die bei x  0 entspannt ist. Zur Herleitung der Bewegungsgleichung wenden wir das Newtonsche Grundgesetz auf die freigeschnittene Masse an und erhalten mx  F  G  kx  mg  mx  kx  mg . Mit 2  k / m folgt zunächst

128

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad x( t )  2 x ( t )  g

Abb. 8.3

(8.6)

Abb. 8.4

Berücksichtigung des Eigengewichtes G der Masse m

Harmonische Schwingung um die statische Ruhelage

Die Konstante g auf der rechten Seite von (8.6) können wir noch zum Verschwinden bringen, wenn wir die Bewegung durch die Transformation x ( t )  x st  xˆ ( t ) auf die statische Ruhelage x  G / k  g / 2 mit x  0 beziehen, was xˆ( t )  2 xˆ ( t )  g  2 x  0 liefert. st

st

st

Damit geht (8.6) über in die bekannte homogene Bewegungsgleichung xˆ( t )  2 xˆ ( t )  0 . Mit xˆ ( t )  K cos t  K sin t und xˆ ( t )  K  sin t  K  cos t führt die Masse m 1

2

1

2

Schwingungen um die statische Ruhelage aus (Abb. 8.4). Von besonderem Interesse ist noch die Federkraft F( t )  k x ( t )  kx st  xˆ ( t )  kx st  K1 cos t  K 2 sin t  . Sie nimmt an den Umkehrpunkten von xˆ ( t ) Extremwerte an. Wird beispielsweise die Masse m bei entspannter Feder ( x  0 ) ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen, so gelten die Anfangsbedingungen xˆ (0)   x und xˆ (0)  0 . Das erfordert K   x sowie K  0 und damit unter Berückst

1

st

2

sichtigung von x st  G / k F( t )  k  x st  K1 cos t   G(1  cos t )

(8.7)

Die Federkraft schwankt also zwischen den Werten 0  F( t )  2G . Sie wächst im dynamischen Fall auf den doppelten Wert der statischen Belastung. Das trifft auch auf die Verschiebung zu. An dieser Stelle zeigt sich besonders deutlich der Unterschied zwischen statischer und dynamischer Beanspruchung. In statischen Berechnungen ist deshalb das plötzliche Aufbringen von Belastungen stets zu berücksichtigen. Wir wollen noch eine für praktische Anwendungen wichtige Näherungsformel herleiten, die bei Kenntnis der statischen Auslenkung eine näherungsweise Berechnung der 1. Eigenfrequenz f gestattet. Wir erhalten mit k  G / x st und G = mg

8.1 Der ungedämpfte Einmassenschwinger



g x st

f 

 1  2 2

129 g x st

(8.8)

Setzen wir mit guter Näherung g  1002 cms 2 und xst in [cm], dann folgt 

31,4 x st [cm]

[s 1 ], f 

5 x st [cm]

[Hz]

(8.9)

Mit (8.9) liegt eine einfache Abschätzung für die 1. Eigenfrequenz f eines Einmassenschwingers vor, sofern die Schwingung in Kraftrichtung erfolgt. Der Abb. 8.5 entnehmen wir, dass zur Erreichung niedriger Eigenfrequenzen relativ große Federwege erforderlich sind. Beispielsweise erfordert eine Eigenfrequenz von f  1 Hz eine statische Auslenkung der Feder von 25 cm. Hinzu kommt noch die Schwingungsamplitude ˆ   x  mg / k 2   v / 2 A 0 0

Abb. 8.5 Eigenfrequenz f als Funktion der statischen Auslenkung xst

Abb. 8.6

Starrer Stab mit Einzelmassen

Dieser Sachverhalt ist bei der konstruktiven Auslegung von schwingungsfähigen Systemen zu berücksichtigen.

Abb. 8.7

Starrer Stab, elastisch auf Federn gelagert

Beispiel 8-2:

Der starre Stab in Abb. 8.6 ist bei A drehbar und bei x  a federnd (Federsteifigkeit k) gelagert. Der Stab trägt n Punktmassen mi ( i  1 n ) mit den Abständen xi vom drehbar gelagerten Rand. Für dieses System sind die Bewegungsgleichung, die Eigenkreisfrequenz  und die Eigenfrequenz f zu bestimmen.

130

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

Lösung: Der Stab besitzt mit dem Drehwinkel  nur einen Freiheitsgrad. Wir befreien ihn von seinem Auflager und schneiden die Feder frei. Dann wirken als äußere Kraftgrößen die unbekannte Auflagerkraft, die Gewichtskräfte Gi und die Federkraft FF  kw  ka . Auf das so freigeschnittene System wenden wir den Drallsatz bezüglich des raumfesten Punktes A an   M (Aa ) . und erhalten  A 



n

Mit  A 





m i x i2 und

i 1

M (Aa ) 

n

n



G i x i  FFa  g

i 1

 m x  ka  2

i i

geht diese Gleichung

i 1

n

n

n

    g m i x i  ka 2 oder    über in  mi x i2    i 1  i 1





i i

ka 2 n



m x

g

mi x i2

i 1

i 1 n



. Ein Vergleich

mi x i2

i 1

mit der Normalform (8.2) zeigt: 2 

ka 2 n



mi x i2

i 1

,

ka 2 n

 i 1

mi x i2

, f

1   2 2

ka 2 n



.

mi x i2

i 1

   n  n Ersetzen wir noch die rechte Seite durch die Konstante r  g mi x i  /  mi x i2  , dann    i 1  i 1 2 ( t )   ( t )  r . Die Konstante r können wir noch zum Verschwinden bringen, wenn folgt  wir die Bewegung mit ( t )  st  ˆ ( t ) auf die statische Ruhelage st beziehen. Dann er-





n

ˆ( t )  2 ˆ ( t )  r  2   0    r  g halten wir  m i x i , und es verbleibt die st st 2 ka 2 i 1 ˆ( t )  2ˆ ( t )  0 . bekannte homogene Differenzialgleichung 



Beispiel 8-3:

Der starre Stab in Abb. 8.7 ist bei A drehbar und an den Stellen xi elastisch gelagert (Federsteifigkeiten ki, Abstände xi). Der Stab trägt bei x  a eine punktförmige Masse m. Für dieses System sind die Bewegungsgleichung, die Eigenkreisfrequenz  und die Eigenfrequenz f zu bestimmen. Lösung: Wir wählen als Freiheitsgrad wieder den Drehwinkel . Die Anwendung des Drallsatzes bezüglich des Punktes A führt auf die gewöhnliche Differenzialgleichung

8.1 Der ungedämpfte Einmassenschwinger

  A



M (Aa ) und mit  A  ma 2 sowie n

  geht diese über in  n

2 



k x

2 i i

i 1

ma n

k i x i2

i 1

ma

2

, 



2

k i x i2

i 1

ma 2



131



M (Aa )  mga 

n



n

k x

FF,i x i  mga  

i 1

2 i i

i 1

g . Ein Vergleich mit der Normalform (8.2) zeigt a n

1  , f  2  2

k x

2 i i

i 1

ma 2

.

n

Die Koordinatentransformation   ˆ  st mit st  mga /

k x

2 i i

führt auf die bekannte

i 1

ˆ( t )  2ˆ ( t )  0 . homogene Differenzialgleichung 

8.1.2

Kontinuierliche Systeme und ihre äquivalenten Einmassenschwinger

Auch elastischen Stäben, bei denen Masse, Steifigkeit und Dämpfung kontinuierlich verteilt sind, können Federsteifigkeiten zugeordnet werden. Wir betrachten dazu den in Abb. 8.8 skizzierten Stab, der an seinem Ende eine konzentrierte Masse m trägt. Diese Masse soll nur reibungsfreie Bewegungen in horizontaler Richtung ausführen können.

Abb. 8.8

Der Dehnstab und sein äquivalenter Einmassenschwinger

Für x  0 sei der Dehnstab spannungsfrei, und nach Hooke gilt dann das lineare Werkstoffgesetz  xx  E xx  E /   Ex /  , (  xx : Spannung ,  xx : Dehnung , E: Elastizitätsmodul), und die längs der Stabachse konstante Normalkraft ist N   xx A  EAx /   k *x mit k *  EA /  . Die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes auf die freigeschnittene Mas-

132

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

se m liefert mx( t )  k *x ( t ) und mit der Eigenkreisfrequenz   k * / m  EA /(m) die bekannte Normalform x( t )  2 x ( t )  0 , deren Lösung bereits bekannt ist. Eine entsprechende Untersuchung kann auch für den Biegestab durchgeführt werden. Wir betrachten dazu den Kragträger in Abb. 8.9, der am rechten Rand um das Maß w(t) ausgelenkt wird. Aus dieser Verschiebung resultiert nach der elementaren Biegetheorie des geraden Balkens die konstante Querkraft Q  3EI yy w / 3  k *w (Iyy: Flächenträgheitsmoment).

Der Träger wirkt also wie eine lineare Translationsfeder mit der Federkonstanten k *  3EI yy / 3 . Die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes auf die freigeschnittene Masse

m

ergibt

 ( t )  k *w ( t ) mw

und

mit

der

Eigenkreisfrequenz

 ( t )  2 w ( t )  0 .   k * / m  3EI yy /(m3 ) wieder die bekannte Normalform w

Abb. 8.9

Der Kragträger und sein äquivalenter Einmassenschwinger

Neben der Längs- und Biegesteifigkeit ist noch die äquivalente Torsionssteifigkeit eines geraden Stabes von Interesse, die wir uns wie folgt beschaffen. Wir betrachten dazu das System in Abb. 8.10, das aus einem bei x  0 eingespannten kreisförmigen Stab mit dem Radius a und der Länge  besteht, der an seinem Ende eine starre Scheibe (Masse m und Massenträgheitsmoment ) trägt. Die Scheibe führt nur Drehbewegungen mit dem Torsionswinkel (t) um die x-Achse aus. Der Stab besitzt die Torsionssteifigkeit GIp (G: Schubmodul, Ip: polares Flächenträgheitsmoment). Wird dieser Stab am rechten Rand um den Drehwinkel t verdreht, dann resultiert daraus das Rückstellmoment M x  GI p  /   k * . Der Stab wirkt also bei einer Verdrehung wie eine lineare Drehfeder mit der Federkonstanten k *  GI p /  . Notieren wir für die freigeschnittene Masse m den Drallsatz bezüglich des Punktes A, dann erhalten wir die Gleichung

  M  k * , die wir mit  x

 ( t )  2 ( t )  0 bringen können. Das polare   k * /   GI p /() in die Normalform 

Flächenträgheitsmoment eines kreisförmigen Stabes mit dem Radius a ist I p  1 / 2a 4 , und für das Massenträgheitsmoment einer homogenen Kreisscheibe mit dem Radius b ist

8.1 Der ungedämpfte Einmassenschwinger

133

  1 / 2mb 2 . Bei dünnen Stäben kann der Schubmodul G noch durch G  E / 2 ersetzt

werden, womit für die Eigenkreisfrequenz  

Abb. 8.10

Ea 4 2mb 2

errechnet wird.

Der Torsionsstab und sein äquivalenter Einmassenschwinger

Hinweis: Bei der hier vorgestellten einfachen Betrachtungsweise wird die Eigenfrequenz f nur dann hinreichend genau bestimmt, wenn die Trägermasse wesentlich kleiner als die Einzelmasse m ist und damit unberücksichtigt bleiben kann. Übungsvorschlag 8-1: Ermitteln Sie für den beidseitig eingespannten Träger mit Einzelmasse m in Abb. 8.11 die Ersatzsteifigkeit k* des äquivalenten Einmassenschwingers, und tragen Sie die Ergebnisse grafisch auf. Abb. 8.11

Der beidseitig eingespannte Träger

Wir hätten im Übrigen die Bewegungsgleichung (8.2) des ungedämpften Einmassenschwin  0 auch direkt gers mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes in der differenziellen Form E  U herleiten können. Dazu muss das System nicht freigeschnitten werden, wie dies bei der Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes gefordert wird. Im Fall des Masse-Feder-Systems nach Abb. 8.1 ist E  1 2 mx 2 die kinetische Energie der Masse m und U  1 / 2kx 2 das   k x x folgt x (mx  kx )  0 . Da i. Allg. für Potenzial der Federkraft. Mit E  m x x und U beliebige Zeiten t x ( t )  0 gefordert werden muss, verbleibt mit mx  kx  0 die bereits bekannte homogene Bewegungsgleichung des ungedämpften Einmassenschwingers.

134

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

8.1.3

Angenäherte Berücksichtigung der Federmasse

Abb. 8.12

Angenäherte Berücksichtigung der Federmasse

Bei den bisherigen Berechnungen zur Ermittlung der Eigenfrequenz f wurde die Federmasse mF gegenüber der Einzelmasse m vernachlässigt. Wir werden sehen, dass der Fehler immer dann gering ausfällt, wenn m F  m ist. Um eine Abschätzung im integralen Mittel vornehmen zu können, bietet sich die Energiemethode an. Ausgangspunkt für unsere Untersu  0 . Die Koordinate chungen ist der Energieerhaltungssatz in der differenziellen Form E  U x(t) bezeichnet die Auslenkung der Masse m aus der entspannten Federlage und damit auch die Auslenkung des Federendpunktes, für den    F gilt. Für die zeitabhängige Federverschiebung u(,t) wählen wir einen geeigneten Näherungsansatz, etwa in Produktform u (, t )  x ( t ) h ()

 u ( t , )  x ( t ) h ()

(8.10)

Dabei ist  die vom Aufhängepunkt der Feder aus zählende materielle Koordinate des Massenelementes dmF der Feder (Abb. 8.12). Über die nur vom Ort abhängige Verteilungsfunkdm F u  tion h () kann noch verfügt werden. Die kinetische Energie E  1 / 2 mx 2  (m F )   des Systems resultiert aus der kinetischen Energie der Masse m und der Summe der kinetischen Energien der Massenelemente dmF. Die Berücksichtigung von (8.10) liefert E  1 / 2 x 2 m  dm F h 2 () . Das Potenzial U wird aus den Potenzialen von Feder- und (m F )   Gewichtskraft gebildet: U  U F  U G  1 / 2kx 2  mgx . Aus dem Energieerhaltungsatz folgt





  x x m  dann E  U 

m  



(m F )



(mF )

dm F h 2 ()  k x x  mgx  0 und mit x  0 

dm F h 2 () x  k x  mg  0 . 

8.1 Der ungedämpfte Einmassenschwinger

135

Das ist formal dieselbe Bewegungsgleichung wie (8.6), allerdings mit 

k , m   mF



1 mF



(m F )

dm F h 2 ()

(8.11)

Wählen wir die lineare Verteilungsfunktion h ()   /  F , und damit u  t ,    x ( t ) /  F , wobei 0     F zu beachten ist, dann wird mit diesem Ansatz, in Analogie zum statischen Fall, die Federverschiebung u(t,) linear veränderlich über die Federlänge F angenommen. Ist die Massenbelegung der Feder in Längsrichtung konstant, dann können wir näherungsweise m F /  F  dm F / d bzw. dm F  m Fd /  F schreiben. Die Integration ergibt dann



1 mF



(m F )

dm F h 2 () 

1 mF



mF 1 2 1  d  3 0  F 2 F F F



F 0

 2 d 

1 3

und für die Bewegungsgleichung folgt (m  1 / 3m F )x  kx  mg  0 , so dass wir mit dem Massenverhältnis   m F / m und 

k  m  1 / 3m F

k m

1  1   1 2  O(3 )    6  24

eine erste Abschätzung des Einflusses der Federmasse auf die Eigenkreisfrequenz des Einmassenschwingers vornehmen können. Für den Dehnstab in Abb. 8.8 hätten wir beispielsweise m F  A zu setzen. Hinweis: Um also bei Longitudinalschwingungen die Federmasse angenähert zu berücksichtigen, ist zur Einzelmasse m ein Drittel der Federmasse mF hinzuzufügen. Das gilt übrigens auch für m  0 . Dann schwingt die massebehaftete Feder so, als ob ein Drittel ihrer Masse am Ende befestigt wäre.

8.1.4

Angenäherte Berücksichtigung der Masse eines Biegeträgers

Die im vorigen Abschnitt für die Longitudinalschwingungen einer Feder durchgeführten Untersuchungen lassen sich mit entsprechenden Näherungen auch auf die Transversalschwingungen eines Biegeträgers übertragen. Wir betrachten dazu den Träger in Abb. 8.13 mit der Gesamtmasse mB. An der Stelle x0 ist eine konzentrierte Masse m befestigt, deren Auslenkung wir mit w(t) bezeichnen. Näherungsweise soll unterstellt werden, dass zur Berechnung der 1. Eigenkreisfrequenz die Biegelinie w(x,t) dieselbe Form haben soll wie die statische Auslenkung wst(x) des Trägers unter der Gewichtskraft der Masse m, also w (x) w (t ) w (x, t )   w ( x , t )  st w (t)  f (x )w (t ) w st ( x 0 ) w st ( x ) w st ( x 0 )

(8.12)

136

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

Die Funktion f ( x )  w st ( x ) / w st ( x 0 ) entspricht der bezogenen statischen Auslenkung des Trägers infolge einer Einzelkraft an der Stelle x  x 0 . An der Lastangriffsstelle ist f ( x 0 )  1 . Bei konstanter Massenverteilung längs der Stabachskoordinate x entfällt auf die inkrementelle Länge dx der Anteil dm B  dx m B /  . Dabei ist mB die Gesamtmasse des als Feder betrachteten Trägers.

Abb. 8.13

Balken mit konzentrierter Einzelmasse m

Die kinetische Energie des Systems setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie der konzentrierten Einzelmasse m und der Summe der kinetischen Energien der Massenelemente 1  2 (t)  dE B . Beachten wir mit dmB des Balkens, also E  m w ( B) 2



dE B 

1 1 mB 1 mB 2  2 (x, t )   ( t )]2   2 ( t )dx dm B w dx [f ( x ) w f (x ) w 2 2  2 

die kinetische Energie des Balkenelementes, dann ist  1 1 mB 2 1  2 (t)   ( t ) f 2 ( x )dx . Die potenzielle Energie U  k w 2 ( t ) entspricht mw w 0 2 2  2 der Formänderungsenergie des als Feder benutzen Balkens. Aus dem Energieerhaltungssatz     m  w   m  B f 2 ( x )dx  w   kw   0 . Bringen wir diese Gleichung unter folgt dann E  U      x 0



E



Einführung von  

1 



f

2

  ( x )dx auf die bekannte Normalform w

x 0

k w0, m  m B

dann erhalten wir mit dem Massenverhältnis   m B / m 

k  m  m B

k m

1  1    3  2  O 3     2  8

(8.13)

8.1 Der ungedämpfte Einmassenschwinger

137

eine Annäherung der kleinsten Eigenkreisfrequenz eines als Feder betrachteten Balkens mit einer Einzelmasse m, die offensichtlich kleiner ist als die Eigenkreisfrequenz ohne Berücksichtigung der Balkenmasse mB. Beispiel 8-4: Für den in Abb. 8.13 skizzierten Balken auf zwei Stützen ist näherungsweise die 1. Eigenkreisfrequenz unter Berücksichtigung der Trägermasse mB zu berechnen. Der Träger wird durch die Masse m mit der Gewichtskraft G  mg belastet. Lösung: Mit den dimensionslosen Größen   x / ,   a / ,   b /   1   ist die statische Auslenkung unter der Einzelmasse w st  G3 2 1  2 /(3EI yy ) . Aufgrund der unstetigen Belastung muss zur Berechnung von  das Lösungsgebiet in zwei Bereiche geteilt werden. (0    ) : w st () 

G3 (1  2   2 ) , 6EI yy

(    1) : w st () 

G 3 1 (1  )[1   2  (1  ) 2 ] 1   [1   2  1   2 ] , f 2 ()  2 6EI yy (1  ) 2

 I1 

1 







 x 0

0

f 2 ( x )dx 

f12 ()d 

  I1  I 2 



1 0

f 2 ()d 



 0

f1 () 

f12 ()d 

1 (23 2  56  35) , I2  105 (  1) 2





1  

1



1 [1  (1  ) 2   2 ] 2  2 (1  )

f 22 ()d  I1  I 2

f 22 ()d 

1 2  8  13 2  23 3 105 2

1 3 4  6 3   2  4  2 ( 0    1 ). 105  2 (  1) 2

Befindet sich die konzentrierte Masse in Feldmitte, dann sind   1 2 und   17 35  1 2 . Die statische Auslenkung an dieser Stelle ist w st ( x   2)  G 3 /( 48EI yy ) , was auf eine Federsteifigkeit k  48EI yy /  3 schließen lässt, und wir erhalten dann näherungsweise 

k m

1  1       2 

48EI yy  1 m B  1   m3  4 m 

Auch bei fehlender Masse m lassen sich die obigen Beziehungen anwenden. Wegen m  0 verbleibt dann mit der konstanten Massebelegung  0  m B    k /( m B )  35  48 EI yy /(17 0  4 )  9,94 EI yy /(μ 0  4 ) ,

138

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

was dem exakten Wert der 1. Eigenkreisfrequenz    2 EI yy /(μ 0  4 )  9,87 EI yy /(μ 0  4 ) eines Trägers auf zwei Stützen schon recht nahe kommt. Beispiel 8-5:

Abb. 8.14

Kragträger mit Einzelmasse m

Der Kragträger nach Abb. 8.14 mit der gleichmäßig verteilten Trägermasse mB trägt am rechten Rand eine konzentrierte Masse m. Die statische Auslenkung infolge der Gewichtskraft G  mg ergibt sich nach den Grundgleichungen der Statik zu 3 G w st ()   2 3    , und am rechten Rand ist 6EI yy

w st (  1)  G 3 /(3EI yy ) . Nach (8.12) errechnet sich dann die dimensionslose Verteilungsfunktion f ()  w st () / w st (  1)  1 / 2 2 3    , und mit  



0

f 2 ()d  33 / 140  1 / 4 erhalten wir eine Abschätzung der 1. Eigenkreisfre-

quenz, indem wir zur Einzelmasse m noch das 33/140-fache der Trägermasse mB hinzufügen, was auf   k /( m  33 / 140m B ) führt. Fehlt die Einzelmasse m, dann schwingt der Träger so, als ob das 33/140-fache, also etwa 25 % der Trägermasse mB am Ende befestigt wäre, was   140  3 EI yy /(33 0 4 )  3,56 EI yy /(μ 0 4 ) liefert. Der nach der Kontinuumstheorie errechnete exakte Vorfaktor ist 3,52.

8.1.5

Angenäherte Berücksichtigung der Masse eines Torsionsstabes

Um die Masse mT des Torsionsstabes in Abb. 8.10 bei der Berechnung der kleinsten Eigenfrequenz näherungsweise zu berücksichtigen, wird für den Torsionswinkel an der Stelle x der Produktansatz ( x, t )  ( t ) x /  gemacht. Dieser Ansatz unterstellt auch im dynamischen Fall einen linear mit x anwachsenden Torsionswinkel ( x, t ) . Wir wenden wieder den Ener  0 an. Das Massenelement dm  m dx /  des Torgieerhaltungssatz in der Form E  U T

T

sionsstabes (Index T) mit der Länge dx und dem Massenträgheitsmoment d T  1 / 2 dm T a 2  m T a 2dx /(2)  T dx /  erfährt eine reine Drehung um die x-Achse. Die kinetische Energie dieses Masseteilchens ist 1 / 2 d  2   x 2 2 ( t ) dx /( 23 ) und T

1  2 (t) damit gesamt E    2 ( t )  T3  2 2



T

1 1 x 2dx     T  2 ( t ) . Fassen wir den Stab x 0 2 3  

als lineare Drehfeder auf, dann ist seine potenzielle Energie U  1 / 2k *2 ( t )  GIp 2 ( t ) /(2)

8.2 Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger  ( t )  und der Energieerhaltungssatz fordert   1 / 3T  

139 GI p

( t )  0 . Mit   GI p /()  und dem Verhältnis    T /  der Massenträgheitsmomente erhalten wir näherungsweise die Eigenkreisfrequenz des Torsionsstabes



GI p (  1 / 3T )



GI p 

1

1 1   1    2  O(3 )   6 24   1  1 / 3

 ( t )   2( t )  0 , deren Lösung bereits und die Normalform der Bewegungsgleichung lautet  bekannt ist.

Hinweis: In allen bisher betrachteten Fällen haben wir festgestellt, dass sich mit Berücksichtigung der Federmasse die Eigenkreisfrequenz verringert, ein Ergebnis, das auch physikalisch sofort einleuchtet.

8.2

Abb. 8.15

Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger

Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger

Wird dem System während der Bewegung Energie entzogen, dann nehmen die Amplituden mit der Zeit ab. Ursache für die Dämpfung können äußere oder auch innere Kräfte sein. Ein einfacher Ansatz, der für viele praktische Anwendungen genügend genaue Ergebnisse liefert, ist die Annahme einer viskosen Dämpfung. Wir betrachten dazu das System nach Abb. 8.15. Es besteht aus einer Masse m, die an ein Kelvin-Modell gefesselt ist. Zum Zeitpunkt t  0 sei das Modell mit x  0 entspannt. An der freigeschnittenen Masse m, die reibungsfrei gelagert sein soll, greifen dann lediglich die Federkraft FF  kx und die Dämpferkraft FD  c x an. Wir beschaffen uns zunächst die dem Problem zugeordnete Bewegungsgleichung, indem wir für das freigeschnittene System das Newtonsche Grundgesetz in xRichtung notieren und erhalten mx  k x  cx . Mit Einführung der Abklingkonstanten   c /(2m) und des Dämpfungsgrades D   /   c /(2m)  c /(2 k m ) können wir für die Bewegungsgleichung die beiden Formen

140

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad x  2x  2 x  0

oder

x  2Dx  2 x  0

(8.14)

notieren. [ ] 

1 , Einheit: s-1 Zeit

Zur Ermittlung der Fundamentallösungen von (8.14) wird der Ansatz x ( t )  e t

(8.15)

gemacht, der die Zeitableitungen x ( t )  e t   x ( t ) und x( t )   2e t   2 x ( t ) besitzt. Einsetzen von (8.15) in (8.14) führt auf ( 2  2  2 )et  0 . Da die Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt, muss  2  2  2  0

(8.16)

erfüllt sein. Die Gleichung (8.16) wird charakteristische Gleichung genannt. Sie hat die beiden Lösungen 1, 2     2  2    

(   2  2 )

(8.17)

Nach dem Superpositionsprinzip für lineare Differenzialgleichungen ist dann x ( t )  C1e1t  C 2e 2 t

( 1   2 )

(8.18)

die vollständige Lösung von (8.14). Die beiden noch freien Konstanten C1 und C2 werden aus den Anfangsbedingungen x ( t  0)  x 0  C1  C 2 , x ( t  0)  v 0  C1(  )  C 2 (  ) zu

C1 

(  ) x 0  v 0 (   ) x 0  v 0 , C2  ermittelt. Damit folgt für die Auslenkung 2 2

 x [    et      e  t ] v 0 (et  e t )   t  x (t )   0 e 2 2  

und die Geschwindigkeit

(8.19)

8.2 Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger

141

 x 2 (e  t  et ) v 0 [(  )et  (  )e  t )]   t  x ( t )   0 e 2 2  

(8.20)

Je nachdem, ob die Lösungen 1, 2 der charakteristischen Gleichung (8.16) reell oder komplex sind, werden folgende Fälle unterschieden: Fall a: Starke Dämpfung (D > 1)

Abb. 8.16 Auslenkungen

Abb. 8.17

Geschwindigkeiten

Dieser Fall liegt vor, wenn  2  2 und damit    2  2   D 2  1 reell und positiv ist. Es gelten dann die bereits in (8.19) und (8.20) angegebenen reellwertigen Lösungen. Die Auslenkungen nehmen mit wachsendem t ab und für große t gehen x(t) und x ( t ) gegen null. Den Nulldurchgang der Auslenkung x(t) mit t  0 ermitteln wir nach (8.18) unter Beachtung von 1   2  2 aus der Bedingung C1e 1t1  C 2 e  2 t1  0  C 2 / C1  e t1  0 . Aufgelöst nach t1 unter Beachtung von t1 

1 (   ) x 0  v 0 ln 2 (  ) x 0  v 0

C2 (   ) x 0  v 0 erhalten wir  C1 (   ) x 0  v 0

(8.21)

Wegen 0     ist eine Lösung für positive Zeiten t1 nur unter der Bedingung (   ) x 0  v 0 1 x  1 möglich, also wenn   0  0 gilt, so dass im Falle x 0  0 nur (   ) x 0  v 0    v0 für große Beträge negativer Anfangsgeschwindigkeiten v0 genau ein Nulldurchgang von x(t) möglich ist. Der größte Ausschlag findet dort statt, wo die Geschwindigkeit verschwindet,

142

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

also für C11e1t 2  C 2 2e 2 t 2  0   erhalten wir unter Beachtung von 

t2 

C 2 2  e( 1   2 ) t 2  e 2 t 2  0 und aufgelöst nach t2 C11

C 2 2 2 x 0  (   ) v 0  C11 2 x 0  (  ) v0

1 2 x  (    ) v 0 ln 2 0 2  x 0  (  ) v 0

(8.22)

Ein Nulldurchgang der Geschwindigkeit ist nur für x 0 / v 0  1 /(  ) möglich. In Abb. 8.16 und Abb. 8.17 sind die Bewegungen eines stark gedämpften Einmassenschwingers für die Parameterkombination   1,0 s 1 ,   1, 2 s 1 , D  1, 2  1,   0,663 s 1 bei verschiedenen Anfangsgeschwindigkeiten gezeigt. Die Anfangsauslenkung beträgt in allen Fällen x 0  1 cm . Bei einer positiven Anfangsgeschwindigkeit von v 0  1 cm / s existiert für positive t kein Nulldurchgang (Abb. 8.16). Das Maximum liegt bei t2 = 0,47 s mit x(t 2 )  1,19 cm . Erst bei Anfangsgeschwindigkeiten v 0   x 0 (  ) (hier v 0  1,863 m / s ) besitzt die Bewegung einen Nulldurchgang. Beispielsweise tritt für v 0  3 m / s der Nulldurchgang bei t1  0,583 s und der Extremwert (Minimum) der Auslenkung bei t 2  1,52 s auf. Der zugehörige Funktionswert ist x(t 2 )  0, 27 cm . Unabhängig von der Anfangsgeschwindigkeit v0

verlaufen in Abb. 8.17 alle Kurven durch den Punkt mit den Koordinaten t 3 

1  ln 2   

und x ( t 3 )   x 02 /(   ) . Fall b: Der Grenzfall (D = 1)

Dieser Fall trennt die schwingenden Lösungen von den Kriechbewegungen. Er tritt für    und damit   0 auf. Eine Auswertung von x(t) nach (8.19) ist jetzt wegen der Unbestimmtheit 0/0 nicht möglich. Wir ersetzen deshalb die obige Lösung nach der Regel von BernoulliL’Hospital durch ihren Grenzwert

lim

 0

  et    e  t 

d [  e t    e  t )] d   lim  2(1  t ) d  0 ( ) d

d t ( e  e  t ) e  t  e  t d  lim  lim  lim  t (et  e  t )  2 t und damit d  0  0  0  ( ) d x ( t )  x 0 (1  t )  v 0 t  e  t ; x ( t )  [ 2 t x 0  (1  t ) v 0 ] e  t

(8.23)

8.2 Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger

143

Die Kurven x(t) haben einen ähnlichen Verlauf wie die in (8.16) im Fall der starken Dämpfung. Für  /   1  c krit /( 2m) heißt c krit  2m kritischer Dämpfungskoeffizient. Fall c: Schwache Dämpfung (D < 1) Im Fall 2   2 hat die charakteristische Gleichung (8.16) zwei komplexe Wurzeln 1, 2    id

(d  2  2   1  D 2 )

(8.24)

und d heißt Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems. Im Vergleich zum ungedämpften System führt die Dämpfung zu einer kleineren Eigenkreisfrequenz. Einsetzen von (8.24) in (8.18) liefert x(t)  C1 e (  δ iωd )t  C 2 e ( δ iωd )t  (C1e iωd t  C 2 e iωd t )e t . Unter Beachtung der Eulerschen Formeln e  i  cos   i sin  folgt x(t)  C1( cos ω d t  i sin ω d t)  C 2 ( cos ω d t  i sin ω d t) e  t  (C1  C 2 ) cos ω d t  i(C1  C 2 ) sin ω d t  e  t

Damit die Bewegung x(t) reell wird, müssen C1 und C2 konjugiert komplex gewählt werden. Nennen wir C1  C 2 wieder C1 und i(C1  C 2 ) entsprechend C2, dann erhalten wir x(t)  C1 cos ω d t  C 2 sin ω d t) e  δt  Ae  δt cos (ω d t  )

(8.25)

wobei mit C1  A cos  und C 2  A sin  die beiden neuen Konstanten A und  eingeführt wurden. Aus (8.25) folgt durch Ableitung nach der Zeit t die Geschwindigkeit        x (t)  ω d e δt C1  cos ω d t  sin ω d t   C 2  sin ω d t  cos ω d t     d  d      Aω d e δt  cos(ω d t  )  sin (ω d t  )  d 

(8.26)

Die beiden noch freien Konstanten C1 und C2 bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen

x ( t  0)  x 0  C1 1  v0  x 0    C1  x 0 , C 2  x ( t  0)  v0  C1 d C 2  d sodass wir mit

144

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 2

 v  x 0  A    0   d  C C C v  x 0 cos   1 , sin   2 , tan   2  0 A A C1 d x 0 C12

 C 22

x 02

(8.27)

schließlich die Auslenkung x ( t )  e  δt ( x 0 cos d t   e  δt

v 0  x 0 sin d t ) d 2

 v  x 0  x 02   0  cos(d t  )  d 

(8.28)

und die Geschwindigkeit 2

  v  x 0   x ( t )  e  δt x 02   0  cos(d t  )  d sin(d t  )    d  

(8.29)

erhalten. Ein Vergleich dieser Lösung mit der freien ungedämpften Schwingung zeigt, dass wir (8.29) als Schwingung auffassen können, deren Amplitude mit dem Exponentialgesetz e  t abnimmt (Abb. 8.18).

Abb. 8.18

Auslenkungen für den Fall der schwachen Dämpfung (D < 1)

Die Exponentialkurven x H ( t )   Ae t hüllen gleichsam die Funktion x(t) ein. Die Berührungspunkte dieser Hüllkurven mit der Funktion x(t) fallen im Übrigen nicht mit den Extremalstellen von x(t) zusammen. Beide Kurven berühren sich zu Zeitpunkten, die aus der Gleichung cos(d t  )  1 zu berechnen sind. Die Nullstellen von x(t) ergeben sich aus der Beziehung cos(d t  )  0 . Die vorliegende Bewegung wird auch pseudo-periodisch ge-

8.2 Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger

145

nannt, da im Gegensatz zur periodischen Bewegung x ( t  T )  x ( t ) ist. Abb. 8.19 zeigt die obere Hüllkurve x H ( t )  Ae t . Die Tangente x H ( t  0)   A schneidet die Zeitachse bei t 0  1 /   1 /(D) . Dieses Zeitmaß hängt nur von den Systemwerten  und D ab, nicht aber von den Anfangsbedingungen. Sie kann somit als Systemzeit bezeichnet werden. Zum Zeitpunkt t0 besitzt die Hüllkurve nur noch den Wert x H ( t 0 )  A / e  0,37 A , sie hat also in dieser Zeit um 63% abgenommen. Wie leicht zu zeigen ist, schneidet die Tangente in t0 die Zeitachse bei t  2 t 0 und der Funktionswert der Hüllkurve ist x H  A / e 2  0,14A . Ferner kann gezeigt werden, dass die Tangente an die Kurve xH(t) für jeden beliebigen Punkt t die Zeitachse im Punkt t  t 0 schneidet (Abb. 8.19, rechts), der zeitliche Abstand zum Punkt t beträgt damit ebenfalls t0.

Abb. 8.19 Die Systemzeit t0

Eine weitere Kenngröße der gedämpften Schwingung ist die Schwingungszeit Td 

2 2 2  1 2   1  D  O(D 4 )  2 d  1  D   2 

(8.30)

die immer größer ist als diejenige der ungedämpften Schwingung. Das Dämpfungsverhältnis ϑ, als Quotient zweier aufeinander folgender gleichsinniger Extremwerte, errechnet sich dann unter Beachtung von d Td  2 zu 

cos(d t  ) x (t ) e t  ( t  T )  e Td  konst. d x ( t  Td ) e cos(d t  d Td  )

(8.31)

Der natürliche Logarithmus des Dämpfungsverhältnisses wird nach Gauß1 logarithmisches Dekrement genannt

1

Carl Friedrich Gauß, Mathematiker, Astronom und Physiker, 1777-1855

146

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

  ln   Td 

2

2  d

2   2



2D

(8.32)

1 D2

und die Auflösung nach D ergibt D

Abb. 8.20

Tab. 8.1



(8.33)

2

4  2

Abklingverhalten einer gedämpften Schwingung

Dämpfungsgrad D und logarithmisches Dekrement Λ einiger Baustoffe

Baustoff

D

Stahl Stahlbeton

0,003...0,016

Λ 0,02...0,10

ungerissen gerissen Mauerwerk Holzkonstruktionen

0,006...0,032 0,01...0,05 0,020 0,024

0,04...0,20 0,06...0,3 0,12 0,15

Die Beziehung (8.33) kann zur experimentellen Bestimmung des Dämpfungsgrades D benutzt werden. Liegt aus einem Versuch ein Schwingungsdiagramm vor, etwa mit Abb. 8.18, dann sind lediglich jeweils zwei beliebige aufeinanderfolgende Amplituden x ( t1 )  x1 und x ( t 2 )  x 2 auszumessen und ihre Quotienten zu bilden. Aus (8.32) folgt dann das logarithmische Dekrement  und mit (8.33) der Dämpfungsgrad D. Ergeben sich für verschiedene

8.2 Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger

147

Zeiten t gleiche Dekremente  , dann kann praktisch von einer linearen Dämpfung ausgegangen werden. Bei schwach gedämpften Systemen mit D  1 ist noch folgende Näherung von praktischem Interesse. Mit (8.32) ist   ln  

2D 1 D

2

 2D[1  D 2 / 2  O(D 4 )]  2D

(8.34)

und damit   e   1    O(2 )  1  2D

D

1 x ( t )  x ( t  Td ) 2 x ( t  Td )

(8.35)

In der Praxis ist oftmals die Fragestellung von Interesse, welcher Dämpfungsgrad D erforderlich ist, damit bei einer vorgegebenen Anzahl von Zyklen k die Amplitude xk nur noch das fache von x0 beträgt. Zur Beantwortung dieser Frage gehen wir von (8.31) aus, wonach die aufeinander folgenden gleichsinnigen Amplituden x ( t  Td ) / x ( t )  e Td  q eine geometrische Reihe bilden. Mit der Kurzschreibweise x ( t k )  x k erhalten wir x k  x 0e  kTd  x 0q k . Mit ln(x k / x 0 )  k ln q  kTd und Td  2D / 1  D 2 nach (8.32) folgt dann k

1 1  D2 x 0 1 1  D2 ln ln   2 D xk 2 D

( x k  x 0 )

(8.36)

Soll beispielsweise die Amplitude xk nur noch 50 % der Maximalamplitude x0 betragen, dann ln 2 1  D 2 Zyklen erforderlich, und bei schwacher Dämpfung ( D  1 ) ist 2 D k  0,11 / D . Lösen wir (8.36) nach D auf, dann erhalten wir

sind dazu k 

D

1 1  [2k / ln ]2

0

(8.37) Um beispielsweise nach 3 Zyklen (k = 3) die Auslenkung x3 auf die Hälfte des Wertes von x0 zu reduzieren, ist ein Dämpfungsgrad von D  1 / 1  (6 / ln 0,5) 2  0,0367

erforderlich. Bilden wir noch das Verhältnis d /   1  D 2  d / 2  D 2  1 Abb. 8.21 Frequenzverhältnis in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad D

der Eigenkreisfrequenzen von gedämpfter und ungedämpfter Schwingung und tragen d  über dem Dämpfungsgrad D auf, so erhalten wir einen Viertel-

148

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

kreis mit dem Radius 1. Der Abb. 8.21 entnehmen wir, dass sich bei schwach gedämpften Systemen die Eigenkreisfrequenz d von der Eigenkreisfrequenz  des ungedämpften Systems nur geringfügig unterscheidet. In baupraktischen Anwendungen wird deshalb bei kleinen Dämpfungsgraden mit hinreichender Genauigkeit d   gesetzt. Bei Annäherung an den Grenzfall D  1 nimmt dieses Verhältnis jedoch sehr stark ab. Beispiel 8-6:

Abb. 8.22

Auslenkversuch an einem einstöckigen Rahmen

Um die dynamischen Eigenschaften des einstöckigen Rahmens in Abb. 8.22 zu ermitteln, wird ein Auslenkversuch durchgeführt werden. Dazu wird die Decke durch eine Seilvorspannung horizontal um x 0  0,5 cm ausgelenkt. Anschließend wird das Seil gekappt. Der Rahmen führt dann freie gedämpfte Schwingungen aus. Zur Auslenkung der Deckenscheibe wird eine Kraft von 100 kN benötigt. Eine Messung ergibt nach der ersten Rückschwingung, die in einer Zeit von 1,5 s abläuft, eine Auslenkung von nur noch 0,4 cm. Lösung: Es werden folgende Idealisierungen vorgenommen: 1.) Die Deckenscheibe wird als starrer Körper betrachtet, 2.) die Massen der Stützen werden vernachlässigt und 3.) wird eine schwache Dämpfung unterstellt. Unter der Voraussetzung schwacher Dämpfung können die Schwingungsdauer und die Frequenz des gedämpften Systems näherungsweise mit den Werten des ungedämpften Systems gleichgesetzt werden, also Td  T  1,5 s  2 /  und damit f  1/ T  0,667 Hz . Die Eigenkreisfrequenz   2 / T  2 / 1,5  4,19 s 1 des ungedämpften Systems unterscheidet sich nur geringfügig von der des gedämpften Systems. Aus dem Federgesetz einer linearen Feder errechnen wir die Federsteifigkeit k  F / x 0  100 / 0,5  200 kN / cm  200 10 5 N / m . Wegen m  k /  2  1,139 10 6 kg kann damit auf die Masse des Riegels geschlossen werden. Das logarithmische Dekrement ist   ln   ln(x 0 / x 2 )  ln(0,5 / 0,4)  0,223 . Beachten wir die für kleine Dämpfungsgrade gültige Beziehung D   / 2  0,223 / 2  0,0355  1 , dann erhalten wir die Dämpfungskonstante

c  2Dm  2  0,0355 1,139 106  4,19  338841,1 kgs 1 1

sowie die Abkling-

konstante   D  0,0355  4,19  0,149 s . Damit lässt sich auch näherungsweise die Ei-

8.2 Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger

149

genkreisfrequenz des gedämpften Schwingers d   1  D 2   1  (0,0355) 2   überprüfen. Mit den Konstanten C1  x 0  0,5 cm und C 2 

  x 0  x 0  Dx 0  0,018 cm d 

sowie A  C12  C22  0,5 cm , sin   C 2 / A  0,036 , cos   C1 / A  1 , tan   0,036 und damit   0,036 können wir für die Auslenkung einerseits x ( t )  e  δt C1 cos ω d t  C 2 sin ω d t)  e 0,149 t (0,5 cos 4,19 t  0,018 sin 4,19 t )

und andererseits x(t)  Ae  δt cos (ω d t  )  0,5 e 0.149 t cos(4,19 t  0,0355)

notieren.

Abb. 8.23

Auslenkung x(t)

Abb. 8.24

Phasendiagramm

Die Geschwindigkeit erhalten wir durch Ableitung nach der Zeit t. Wird beispielsweise zusätzlich die Auslenkung nach dem 3. Zyklus gesucht, dann folgt unter Beachtung von q  e Td  e 0,1491,5  0,8 und damit x 3  x 0 q 3  0,5  0,83  0,256 cm. Die Systemzeit t0

errechnet sich zu t 0  1 /   1 / 0,149  6,71 s . Von Interesse ist noch das Phasendiagramm der gedämpften Schwingung. Tragen wir die Geschwindigkeit x ( t ) über der Auslenkung x(t) auf, dann erhalten wir für die Werte des Beispiels die Darstellungen nach Abb. 8.24. Die Phasenkurve stellt eine einwärts geschwungene Spirale dar. Sie ist im Vergleich zum ungedämpften Fall nicht mehr geschlossen. Der Schwinger kommt erst für t   zur Ruhe, was durch den Strudelpunkt im Ursprung dokumentiert wird.

150

8 Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

Fall d: Die allgemeine Kriechbewegung (k = 0)

Abb. 8.25 Die allgemeine Kriechbewegung

Entfernen wir aus dem Kelvin-Modell das elastische Element, dann verbleibt ein linearer Dämpfer (Newton-Modell). Damit ist k  0 und somit auch   0 , was    erfordert. Von (8.19) und (8.20) verbleiben x(t)  x 0 

v0 (1  e  2t ), x ( t )  v 0 e  2t 2

(8.38)

Für die Abklingkonstante   2,0 s 1 und die Anfangsbedingungen x 0  1 cm und v 0  1 cm / s sind die Auslenkung und die Geschwindigkeit in Abb. 8.26 und Abb. 8.27 dargestellt. Die Grenzwerte von (8.38) sind lim x ( t )  x 0 

t 

Abb. 8.26

v0 , 2

(8.39)

lim x ( t )  0

t 

Kriechbewegung x(t) in [cm]

Abb. 8.27

Geschwindigkeit v(t) in [cm/s]

Fall e: Der ungedämpfte Fall (c = 0)

Dieser Fall tritt ein, wenn   0 und   i ist. Von den Lösungen (8.19) und (8.20) verbleiben

8.2 Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger

x (t ) 

151

x 0 (eit  e it ) v 0 (eit  e it ) x 2 (e it  eit ) v 0 (eit  e it )   , x ( t )  0 2 2i 2i 2

und unter Beachtung von eit  e it  2 cos t , eit  e it  i 2 sin t schließlich die bereits

bekannten Lösungen x ( t )  x 0 cos t 

v0 sin t , x ( t )   x 0 sin t  v 0 cos t . 

9

Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad

Das Charakteristikum erzwungener Schwingungen ist das Auftreten äußerer Erregungen. Verändert die Erregung die Systemeigenschaften nicht, so heißt die Erregung Quellenerregung. Dabei unterscheiden wir zwischen Erregungen durch zeitabhängige Belastungen, die an der Masse angreifen, wir sprechen in diesem Fall von Felderregungen, und Randerregungen, bei denen die Lagerung des Schwingers Bewegungen erfährt. In den Differenzialgleichungen erzwungener Bewegungen treten immer zeitabhängige Funktionen (Quellenfunktionen) auf, die mit der Zustandsgröße des Schwingers, beispielsweise der Lagekoordinate x(t), nicht in Verbindung stehen. Bei den Erregerfunktionen sind für die Praxis periodisch-harmonische Funktionen der Form F( t )  F0 cos(t  ) von besonderer Bedeutung. Für die Untersuchung allgemeiner Erregerfunktionen sind auch Sprung- und Stoßfunktionen von Interesse. Die Bewegungen können wieder ungedämpft oder auch gedämpft ablaufen.

9.1

Abb. 9.1

Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

Der ungedämpfte Einmassenschwinger mit Felderregung

Abb. 9.1 zeigt den Fall der Felderregung mit einer an der Masse m angreifenden zeitabhängigen Erregerkraft FE(t). Die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes auf die freigeschnittene Masse m führt auf mx  kx  FE , und die Division mit m ergibt x( t )   2 x ( t )  f E ( t )

(9.1)

154

9 Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad

Im Vergleich zur Bewegungsgleichung der freien ungedämpften Schwingung steht nun auf der rechten Seite mit der auf die Masse m bezogenen Erregerkraft f E  FE / m eine zeitabhängige Funktion. Diese lineare inhomogene Differenzialgleichung 2. Ordnung setzt sich additiv aus der Lösung xh der homogenen Differenzialgleichung x h  2 x h  0 und einem Partikularintegral xp der inhomogenen Differenzialgleichung

x p  2 x p  f E

(9.2)

zusammen, sodass wir für die Gesamtlösung x ( t )  x h ( t )  x p ( t ) erhalten. Ist die vollstän-

dige Lösung gefunden, dann wird diese an die Anfangswerte angepasst. Die Lösung der homogenen Gleichung ist bereits bekannt. Wir konzentrieren uns deshalb auf die Ermittlung des Partikularintegrals in (9.2). Dazu unterstellen wir eine harmonisch-periodische Quellenerregung FE ( t )  F0 cos t mit der Kreisfrequenz    und der Amplitude F0. Dann ist x p  2 x p  f 0 cos t

( f 0  F0 / m )

(9.3)

Zur Lösung dieser Gleichung machen wir, in Anlehnung an die rechte Seite, den Ansatz x p  A cos t

(9.4)

Die Konstante A ist zunächst noch unbekannt. Einsetzen von (9.4) in (9.3) liefert [A(2   2 )  f 0 ] cos t  0 . Soll diese Gleichung für alle Zeiten t erfüllt sein, so muss A  f 0 /( 2   2 ) gefordert werden. Führen wir noch die Abstimmung

  /

(9.5)

als bezogenes Frequenzverhältnis ein, dann erhalten wir A

f0

1

(9.6)

2

 1  2

Die vollständige Lösung lautet dann x(t)  x h (t)  x p (t)  C1 cos t  C2 sin t  A cos t

  x h (t)  x p (t)  (C1 sin t  C2 cos t)  A sin t x(t)

(9.7)

Die Ermittlung der Integrationskonstanten erfolgt für die vollständige Lösung aus den Anfangsbedingungen x ( t  0)  x 0  C1  A   x ( t  0)  v 0  C 2 

 C1  x 0  A, C 2 

Einsetzen der Konstanten in (9.7) ergibt

v0 

9.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

x ( t )  x 0 cos t 

155

v0 f sin t  2 0 2 (cos t  cos t )   

(9.8)

und im Fall homogener Anfangsbedingungen mit x 0  0 und v 0  0 x (t )  

f0 2

 

2

(cos t  cos t )  

2f 0 2

 

2

sin

   t sin t 2 2

(9.9)

Die Schwingung nach (9.8) setzt sich aus Anteilen harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen und Amplituden zusammen. Das Bewegungsgesetz ist, wie bereits gezeigt wurde, jedoch nur dann periodisch, wenn  und  in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen.

Abb. 9.2

Auslenkung für  = 3

Abb. 9.3

Auslenkung für = 2,24

Abb. 9.2 zeigt die Auslenkung x(t) für die Abstimmung      3 / 1  3 , und in Abb. 9.3 ist die Auslenkung für   5 / 1  2,24 dargestellt. Ein periodisches Verhalten der Funktion x(t) ist hier nicht zu erkennen. Die Anfangsbedingungen sind für beide Darstellungen mit x 0  2 mm , v 0  5 mm / s sowie der bezogenen Belastung f0 = 30 mm/s2 gleich. Tritt der Fall ein, dass die Erregerkreisfrequenz  identisch ist mit der Eigenkreisfrequenz , f dann nimmt der Term 2 0 2 (cos t  cos t ) die unbestimmte Form 0/0 an, und (9.8) ist   nicht direkt auswertbar. Nach der Regel von Bernoulli-L’Hospital folgt aber unter Beachtung f (cos t  cos t ) f von ( )  d / d : lim 2 0 2  cos t  cos t   f 0 lim   0 t sin t , 2 2        2 (   ) und die vollständige Lösung lautet nun

156

9 Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad v0 f v f sin t  0 t sin t  x 0 cos t  ( 0  0 t ) sin t  2  2 f0 f0 x ( t )  ( x 0   ) sin t  ( v 0  t) cos t 2 2 x ( t )  x 0 cos t 

(9.10)

Im Sonderfall homogener Anfangsbedingungen verbleiben

x (t) 

f0 f t sin t , x ( t )  0 (sin t  tcos t ) 2 2

(9.11)

Diesen Fall bezeichnen wir als Resonanzfall, denn die Auslenkung x(t) wächst mit der Teillösung t sin t bei zunehmender Zeit t über alle Grenzen (Abb. 9.4). Das trifft auch auf die Geschwindigkeit zu. Mit den obigen Untersuchungen liegt die Lösung für den ungedämpften Einmassenschwinger bei beliebigen Anfangsbedingungen vor.

Hinweis: Bei realen Bewegungen, die in der Regel gedämpft ablaufen, nimmt die durch xh(t) gegebene Eigenlösung im Laufe der Zeit exponentiell ab. Das bedeutet, dass nach einer geAbb. 9.4 Der Resonanzfall (x0 = 0, v0 = 0) wissen Zeit, die als Einschwingzeit bezeichnet wird, von der Gesamtlösung nur noch der partikuläre Anteil verbleibt. Dieser Lösungsanteil wird auch stationäre Lösung genannt. Beim realen Schwinger gilt dann im stationären Zustand x ( t )  x p ( t )  A cos t mit der Konstanten A nach (9.6).

9.2

Die Vergrößerungsfunktion

Wir hätten zur Beschaffung einer partikulären Lösung auch sofort den Ansatz x p ( t )  x st V1 cos(t  1 )

( x st  F0 / k )

(9.12)

machen können. Die Funktion V1 wird Vergrößerungsfunktion oder auch Amplitudenfrequenzgang genannt. Sie hat offensichtlich die Bedeutung eines Faktors, mit dem die statische Auslenkung xst multipliziert werden muss, um die dynamische Amplitude zu erhalten, weshalb dieser Faktor im angelsächsischen Raum auch als dynamic magnification factor bezeichnet wird. Einsetzen von (9.12) in (9.3) ergibt [V1 (2   2 ) cos 1   2 ] cos t  [V1 ( 2   2 ) sin 1 ] sin t  0

Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der trigonometrischen Funktionen ist diese Beziehung nur dann für alle Zeiten t erfüllt, wenn die beiden Gleichungen

9.2 Die Vergrößerungsfunktion

157

V1 (2   2 ) cos 1  2  0, (2   2 ) sin 1  0

bestehen. Die Auflösung nach sin 1 und cos 1 ergibt sin 1  0 und cos 1 

1 V1 (1  2 )

. Quadrieren wir beide Beziehungen und addieren an-

schließend, so erhalten wir zunächst

V1 () 

1 V12 (1   2 ) 2

 1 , woraus

1 (1   2 ) 2

(9.13)

berechnet wird. Weiterhin sind sin 1  0 und cos 1  (1  2 ) 2 /(1  2 ) .

Abb. 9.5

Erregung und Antwort eines Einmassenschwingers

Für   1 ist 1  0 . Dann hat die partikuläre Lösung x p ( t )  x st V1 cos t dasselbe Vorzeichen wie die Erregerkraft F(t). In diesem Fall wird im Bauwesen von einer hohen Abstimmung gesprochen und wir sagen, die Bewegung ist in Phase mit der Erregerkraft. Für   1 ist 1   und x p ( t )  x st V1 cos(t  )   x st V1 cos t hat das umgekehrte Vorzeichen von F(t). Wir befinden uns im Bereich der tiefen Abstimmung, und die Bewegung ist in Gegenphase zur Erregerkraft F(t). Die Phasenlage des Schwingers, also der Phasenwinkel 1, um den Erreger und Antwort gegeneinander verschoben sind, wird durch die Funktion 1() beschrieben (Abb. 9.7), die Phasenverschiebungsfrequenzgang genannt wird. Die Vergrößerungsfunktion in Abb. 9.6 zeigt, dass für   1 die Verschiebungen xp(t) über alle Grenzen wachsen. Das ist der bereits angesprochene Resonanzfall. Bei einem realen Schwinger werden die Verschiebungen aufgrund der immer vorhandenen Dämpfung selbstverständlich nicht unendlich groß. Allerdings gibt es in der Umgebung der Resonanzstelle einen kritischen Bereich, in dem x(t) so große Werte annimmt, dass das System Schaden erleiden kann.

158

9 Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad

Dieser Bereich sollte deshalb unbedingt gemieden werden, was durch entsprechende Wahl der Abstimmung  immer erreicht werden kann.

Abb. 9.6

Vergrößerungsfunktion V1()

Abb. 9.7

Phasenfrequenzgang 1()

Hinweis: Im Zusammenhang mit der Lage der Eigenkreisfrequenz  zur Erregerkreisfrequenz  werden im Maschinenbau die Bezeichnungen unterkritische und überkritische Abstimmung verwendet (Tabelle 9.1). Von einer unterkritischen Abstimmung wird gesprochen, wenn die Erregerkreisfrequenz tiefer liegt als die Eigenkreisfrequenz des abgefederten Schwingungssystems. Bei einer überkritischen Abstimmung liegt die Erregerkreisfrequenz oberhalb der Eigenkreisfrequenz. Tab. 9.1

Der Begriff Abstimmung im Vergleich Maschinenbau/Bauwesen

Maschinenbau

Bauwesen

   /  1

Unterkritische Abstimmung

1/    /   1

Hohe Abstimmung

  / 1

Überkritische Abstimmung

1/    /   1

Tiefe Abstimmung

Um Beeinträchtigungen des Systems auszuschließen, sollte der andauernde Betrieb im Bereich großer Amplituden vermieden werden. Setzen wir für diesen kritischen Bereich beispielsweise die Grenzen etwa bei V1 ()  2 , dann liegt dieser innerhalb des Streifens 1 2 2    3 2 . Um die Amplitude möglichst klein zu halten, wird eine überkritische Abstimmung angestrebt. Dazu muss allerdings die Resonanzstelle   1 durchfahren werden. Das ist immer dann ungefährlich, wenn dies relativ schnell erfolgt, denn, wie der lineare Amplitudenanstieg in Abb. 9.4 zeigt, benötigt das System eine gewisse Zeit, um sich aufzu-

9.3 Erzwungene gedämpfte Bewegungen

159

schaukeln, womit das zügige Durchfahren des kritischen Bereichs erst ermöglicht wird. Ferner ist lim V1 ()  0 . Bei einer sehr großen Erregerfrequenz findet demzufolge überhaupt  

keine Schwingung statt. Von Interesse ist noch die Federkraft. Im stationären Fall gilt FF ( t )  kx p ( t ) und mit (9.12) FF ( t )  kx st V1 () cos(t  1 )  F0 V1 () cos(t  1 )

(9.14)

Diese Kraft muss von den angrenzenden Bauteilen sicher aufgenommen werden können.

9.3

Abb. 9.8

Erzwungene gedämpfte Bewegungen

Erzwungene gedämpfte Schwingung

Wir unterstellen wieder eine harmonisch-periodische Störkraft FE ( t )  F0 cos t mit der Erregerkreisfrequenz . Die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes auf die freigeschnittene Masse m liefert nun die inhomogene Bewegungsgleichung x  2Dx  2 x  f 0 cos t

(9.15)

Die vollständige Lösung setzt sich wieder zusammen aus der allgemeinen Lösung der homogenen Differenzialgleichung der freien gedämpften Bewegung x h  2Dx h  2 x h  0 , deren Lösung x h  exp( Dt )[C1 cos d t  C 2 sin d t ] wir im Fall der schwachen Dämpfung kennen, sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung

x p  2Dx p  2 x p  f 0 cos t

(9.16)

Mit f 0  F0 / m  F0 2 / k  x st 2 ist x st  F0 k diejenige Auslenkung, die sich bei Aufbringung einer statischen Last F0 einstellt, und (9.16) geht dann über in x p  2Dx p  2 x p  x st 2 cos t

Zur Beschaffung einer partikulären Lösung versuchen wir den Ansatz

(9.17)

160

9 Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad

x p  K1 cos t  K 2 sin t

(9.18)

mit noch unbekannten Koeffizienten K1 und K2. Einsetzen von (9.17) in (9.18) führt auf das Gleichungssystem [K1 (2   2 )  2K 2 D  x st 2 ] cos t  [K 2 (2   2 )  2K1D] sin t  0

Da die trigonometrischen Funktionen linear unabhängig sind, ist diese Gleichung für alle Zeiten t nur dann erfüllt, wenn das lineare Gleichungssystem K1 (2   2 )  2K 2 D  x st 2  0, K 2 (2   2 )  2K1D  0

besteht. Wir erhalten die Lösungen K1  x st

1  2 2 2

(1   )  (2D)

2

, K 2  x st

2D 2 2

(1   )  (2D) 2

(9.19)

Die noch freien Konstanten C1 und C2 der homogenen Lösung werden so bestimmt, dass die vollständige Lösung den Anfangsbedingungen x (0)  x h (0)  x p (0)  x 0 , x (0)  x h (0)  x p (0)  v 0

genügt. Nach kurzer Rechnung folgen C1  x 0  K1 , C 2 

1 D( x 0  K1 )  K 2  v0  d

(9.20)

Damit ist die Lösung von (9.15) für allgemeine Anfangsbedingungen bekannt. Einsetzen von (9.20) in die vollständige Lösung liefert 1   D( x 0  K1 )  ( v0  K 2 )sin d t   x ( t )  e  Dt ( x 0  K1 ) cos d t  d   K1 cos t  K 2 sin t

(9.21)

Startet das System mit x 0  0 und v 0  0 aus der Ruhelage, dann verbleibt 1   x ( t )  e  Dt K1 cos d t  (DK1  K 2 ) sin d t   d   K1 cos t  K 2 sin t

(9.22)

Der Lösungsanteil der homogenen Differenzialgleichung ist nach gewisser Zeit so gedämpft, dass er gegenüber dem partikulären Anteil praktisch vernachlässigt werden kann. Der Einschwingvorgang ist bei realen Systemen nach kurzer Zeit beendet und es setzt die stationäre Lösung ein, die dann praktisch der partikulären Lösung entspricht.

9.3 Erzwungene gedämpfte Bewegungen

161

Erreicht die Erregerkreisfrequenz  die Eigenkreisfrequenz  ( = 1), dann sind K1  0 und K 2  x st /(2D) , und das System antwortet mit 1   x R ( t )  e  Dt  x 0 cos d t  (Dx 0  v 0  K 2 ) sin d t   K 2 sin t d  

(9.23)

Liegen außerdem homogene Anfangsbedingungen vor, dann ist  1  e  Dt ~  sin t  x R (t)  sin d t  2D  d 

xR ) x st

x R (t)  (~

(9.24)

x R asymptotisch dem Wert 1 (2D) . Für große Zeiten t (Abb. 9.10) nähert sich ~

Abb. 9.9 Einschwingvorgang

Abb. 9.10

Auslenkung ~ xR ( t ) für D = 0,05

Wir hätten übrigens den Ansatz für die partikuläre Lösung auch sofort in der Form x p  x st V2 cos(t   2 ) 

F0 V2 cos(t   2 ) k

(9.25)

mit noch unbekannter Vergrößerungsfunktion V2 und unbekanntem Nullphasenverschiebungswinkel 2 machen können. Dieser Ansatz muss (9.17) erfüllen, was





x st V2 [(2   2 ) cos  2  2D sin  2 ]  2 cos t  x st V2 [(2   2 ) sin  2  2D cos  2 ] sin t  0

erfordert. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der trigonometrischen Funktionen ist der obige Ausdruck für alle Zeiten t nur dann erfüllt, wenn die beiden Gleichungen V2 [(2   2 ) cos 2  2D sin 2 ]  2  0, (2   2 ) sin 2  2D cos 2  0

bestehen. Die Auflösung nach sin  2 und cos  2 ergibt

162

9 Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad

sin 2 

2D V2 [(1  2 ) 2  (2D) 2 ]

, cos 2 

1  2 V2 [(1  2 ) 2  (2D) 2 ]

Quadrieren wir beide Beziehungen und addieren anschließend, so erhalten wir

1 V22 [(1  2 ) 2

 (2D) 2 ]

V2 (, D) 

 1 , woraus sich 1 2 2

(1   )  (2D)

2

 1  (1  2D 2 ) 2  O( 4 )

(9.26)

ermitteln lässt und damit weiterhin sin 2 

2D (1  2 ) 2  (2D) 2

, cos 2 

1  2 (1  2 ) 2  (2D) 2

Im Falle   1 ist  2   / 2 unabhängig vom Dämpfungsgrad D, und für die partikuläre Lösung erhalten wir x p  x st V2 cos(t   / 2)  x st V2 sin t

Abb. 9.11

Vergrößerungsfunktion V2

Abb. 9.12

Phasenverschiebungswinkel 2

Die Vergrößerungsfunktion V2(η,D) ist für die Beurteilung einer erzwungenen Schwingung von großer Bedeutung. Betrachten wir Abb. 9.11, dann nimmt die Funktion V2 bei festgehaltenem D dann ein Maximum an, wenn V2 (, D) /   0 erfüllt ist. Diese Gleichung hat die physikalisch sinnvollen Lösungen 1  0 und 2  1 2D 2 . Damit haben alle Kurven V2(η,D) für 1  0 einen Extremwert und beginnen dort mit einer horizontalen Tangente. Die Hochpunkte der Kurven liegen bei

9.3 Erzwungene gedämpfte Bewegungen

163

 2  1  2D 2  1  D 2  O ( D 4 )

(9.27)

was V2,max 

1 2D 1  D

2



1 1  D  O( D 3 ) 2D 4

(9.28)

ergibt. Damit V2 für diese Kurven reell bleibt, muss D  1 2 sein. Für D  1 2 wird 2 imaginär, es existiert dann nur ein Maximum V2  1 bei 1  0 . Die Hochpunkte der Vergrößerungsfunktion sind umso ausgeprägter, je kleiner die Dämpfung ist. Sie liegen mehr oder weniger links von der Geraden  = 1 (9.27). Schwinger mit einem kleinen Dämpfungsgrad D sind also gegen Schwankungen der Erregerfrequenz  besonders empfindlich.

Abb. 9.13 ( = 0,5; V2 = 1,29; 2 = 0,26)

Abb. 9.14 ( = 1; V2 = 2,5; 2 = /2)

Abb. 9.15 ( = 1,5; V2 = 0,72; 2 = 0,43)

Abb. 9.16 Filterwirkung, idealer Tiefpassfilter

Im Grenzfall der ungedämpften Bewegung wächst mit D  0 die Auslenkung bei Übereinstimmung von Eigen- und Erregerfrequenz ( = 1) über alle Grenzen. Dieser Fall wird Reso-

164

9 Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad

nanzfall genannt, wobei in der Schwingungstechnik auch bei kleinen Dämpfungsgraden von Resonanz gesprochen wird. Da die Amplituden des Schwingers bei der Resonanzfrequenz  R   1 2D 2 um ein Vielfaches über der Erregeramplitude liegen können, liegt hier ein besonders gefährlicher Fall vor. Konstruktiv ist also sicherzustellen, dass die Erregerfrequenz außerhalb des Resonanzgebietes liegt, oder wenn das nicht erreicht werden kann, die Eigenkreisfrequenz des Schwingers durch Veränderung der Masse m und/oder der Feder-

steifigkeit k positiv beeinflusst wird. Für D  1 2 verläuft die Vergrößerungsfunktion V2 relativ gleichmäßig. Damit also ein Schwinger in einem größeren Bereich von  möglichst abgestimmt, also ohne ausgeprägtes Maximum der Amplitude reagiert, ist D  1 wählen. Für Dämpfungsgrade D  1

2 zu

2 tritt mit V2  1 Isolierwirkung erst ein, wenn das

System mit   2(1  2D 2 ) abgestimmt ist. Wie bereits erwähnt, gibt der Phasenverschiebungswinkel 2 an, um welchen Winkel die erzwungene Schwingung der erregenden Schwingung nacheilt. Tragen wir 2 über dem Abstimmungsverhältnis  auf, so ergeben sich für verschiedene Dämpfungsgrade D die Verhältnisse entsprechend Abb. 9.12. In Abb. 9.13 bis Abb. 9.15 sind die Erregerkräfte und die daraus resultierenden partikulären Lösungen xp(t) als Antwort für verschiedene Abstimmungen  dargestellt. Bei der Interpretation der Grafiken ist auf die unterschiedlichen Skalierungen der Achsen links (Erregung F) und rechts (Antwort xp) zu achten. Allen Darstellungen liegen die Parameter xst = 1, F0 = 1,  = 2 und D = 0,2 zugrunde. Unterhalb der Resonanzstelle  = 1 (Abb. 9.13) schwingt bei kleinen Dämpfungswerten, und damit kleinen Phasenverschiebungen, die Masse mit der Störkraft nahezu in Phase, oberhalb der Resonanzstelle dagegen fast in Gegenphase (Abb. 9.15). Bei  = 1 beträgt die Phasenverschiebung zwischen Masse und Störkraft für alle Dämpfungsgrade  2   2 . Hinweis: Ein Schwinger mit einem Dämpfungsgrad D  1 / 2 hat folgende Eigenschaften: Tiefe Eingangsfrequenzen  führen zu einer fast unveränderten Amplitude der Antwort. Die Frequenzen passieren das System praktisch ohne Veränderungen. Eingangssignale höherer Frequenzen geben dagegen eine nahezu verschwindende Antwort, werden also herausgefiltert. Dementsprechend wird ein Filter mit diesen Eigenschaften als Tiefpassfilter bezeichnet. Bei einem idealen Tiefpassfilter (Abb. 9.16) verschwinden die Amplituden der Antwort oberhalb einer Eingangsfrequenz vollständig. Von besonderem Interesse ist noch die im stationären Zustand vom Lager aufzunehmende Kraft A( t )  kx p ( t )  cx p ( t ) , die wir in der Form A( t )  F0 V3 cos(t  3 )

ansetzen. Unter Beachtung von (9.25) erhalten wir die Beziehung

kx st V2 cos  2  cx st V2 sin  2  F0 V3 cos 3  cos t  [kx st V2 sin  2  cx st V2 cos  2  F0 V3 sin 3 ] sin t  0

(9.29)

9.3 Erzwungene gedämpfte Bewegungen

165

die für alle Zeiten t nur dann erfüllt ist, wenn die Gleichungen kx st V2 cos  2  cx st V2 sin  2  F0 V3 cos 3  0 kx st V2 sin  2  cx st V2 cos  2  F0 V3 sin 3  0

bestehen. Die Auflösung nach sin 3 und cos 3 ergibt sin 3 

x st V2 (k sin 2  c cos 2 ) x V (k cos 2  c sin 2 ) , cos 3  st 2 F0 V3 F0 V3

Quadrieren wir beide Beziehungen und addieren anschließend, so erhalten wir ( x st V2 ) 2 (k 2  c 2  2 ) (F0 V3 ) 2

V3 

 1 und unter Berücksichtigung von (9.26)

1  (2D) 2 2 2

(1   )  (2D)

2



1 2 2

(1   )

 O( D 2 )

(9.30)

und somit die folgenden Beziehungen zur Ermittlung von 3 2D3

  [1  (2D) 2 ][(1  2 ) 2  (2D) 2 ]  2D3  tan 3   1  2  (2D) 2 1  2  (2D) 2  cos 3   [1  (2D) 2 ][(1  2 ) 2  (2D) 2 ] 

sin 3 

Abb. 9.17

Vergrößerungsfunktion V3

Abb. 9.18

Phasenverschiebungswinkel 3

Die Vergrößerungsfunktion V3 (, D) ist ein Maß für den Betrag der Auflagerkraft A(t). Bei   2 haben alle Kurven den Wert V3  1 . Eine Auflagerkraft kleiner als F0 ist offensicht-

166

9 Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad

lich nur für eine Abstimmung   2 zu erreichen. Erstaunlicherweise führt in diesem Bereich eine Dämpfung zur Vergrößerung der Auflagerkraft. Für   2 besitzen die Kurven ein mehr oder weniger ausgeprägtes Maximum an den Stellen 1  0 ,

2 

1  1  1  8D 2  1  D 2  O(D 4 ) 2D

(9.31)

Alle Kurven beginnen bei 1  0 mit einer horizontalen Tangente. Das Maximum

V3, max 

2 2 D2 1  8D 2  4D 2 (2D 2  1)  1



1  O( D) 2D

(9.32)

liegt immer etwas links von   1 .

9.4

Die komplexe Zeigerdarstellung bei erzwungenen gedämpften Schwingungen

Abb. 9.19

Erzwungene gedämpfte Schwingung

Abb. 9.19 zeigt einen gedämpften Einmassenschwinger, der durch eine harmonische Kraft F( t )  Fˆ cos(t   F )  Fˆcos(t ) cos  F  sin(t ) sin  F 

erregt wird. Die dem Problem zugeordnete Differenzialgleichung lautet x( t )  2Dx ( t )   2 x ( t ) 

F( t ) Fˆ  cos(t   F ) m m

(9.33)

Zur Lösung der Aufgabe soll nun die komplexe Zeigerrechnung zur Anwendung kommen, wobei im Folgenden die komplexen Größen mit einem Unterstrich gekennzeichnet werden. F(t) entspricht dann dem Realteil der komplexen Erregerfunktion

9.4 Die komplexe Zeigerdarstellung bei erzwungenen gedämpften Schwingungen

167

F( t )  Fˆ exp(i F ) exp(it )  Fˆ exp(it )

mit dem ruhenden komplexen Zeiger Fˆ  Fˆ exp(i F ) . Anstelle der reellen Größen der gesuchten Verschiebung x(t) sowie der eingeprägten Kraft F(t), werden zur Lösung von (9.33) nun ihre rotierenden komplexen Zeiger x ( t ) und F( t ) eingesetzt, und wir erhalten x( t )  2D x ( t )  2 x ( t ) 

F( t ) Fˆ  exp(it ) m m

(9.34)

Zur Ermittlung der komplexen Verschiebung x(t) wird mit x ( t )  xˆ exp(i x ) exp(it )  xˆ exp(it )

und dem ruhenden komplexen Zeiger xˆ  xˆ exp(i x ) ein zur Belastung F(t) gleichartiger Ansatz gemacht. Dieser Ansatz berücksichtigt den Sachverhalt, dass nach dem Abklingen des Einschwingvorganges die Auslenkung x(t) und die Erregung F(t) demselben Zeitgesetz gehorchen. Einsetzen dieses Ansatzes in (9.34) liefert eine Gleichung zur Bestimmung des ruhenden komplexen Zeigers xˆ [(i) 2 xˆ  (i)2D xˆ  2 xˆ ] exp(it ) 

Fˆ exp(it ) m

mit der Lösung xˆ 

Fˆ 1 Fˆ 1   Fˆ H (k, , D) 2 2 2 m  (1    i 2D) k 1    i 2D

(9.35)

In (9.35) heißt H(k , , D) 

1 1 1 1  2  i 2D  2 k 1    i 2D k (1  2 ) 2  (2D) 2

(9.36)

komplexe Übertragungsfunktion oder auch komplexer Frequenzgang. Der Betrag von H, also H  H(k, , D) 

1 k (1   )  2D2 2 2

(9.37)

wird Amplitudenfrequenzgang genannt, der offensichtlich bis auf den Faktor 1/k mit der Vergrößerungsfunktion V2 identisch ist. Eine Zerlegung von H in Real- und Imaginärteil ergibt Re[H(, D)] 

1 1  2 1 2D , Im[H(, D)]   k (1  2 ) 2  (2D) 2 k (1  2 ) 2  (2D) 2

Der Phasenfrequenzgang von H ist

168

9 Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad tan  H 

Im[H] 2D  Re[H] 1  2

(9.38)

Abb. 9.21 Real- und Imaginärteil der komplexen Übertragungsfunktion B (k = 1, = 1, D = 0,10)

Abb. 9.20 Real- und Imaginärteil der komplexen Übertragungsfunktion H (k = 1, D = 0,10)

Beachten wir H  xˆ / Fˆ , dann ist bei einer erzwungenen linearen Schwingung die Übertragungsfunktion H der frequenzabhängige komplexe Quotient aus dem (ruhenden) Zeiger der Zustandsgröße xˆ und dem (ruhenden) Zeiger der Quellenerregungsgröße Fˆ . Bei einer festen Abstimmung  wird der Wert der Übertragungsfunktion H auch als Übertragungsfaktor bezeichnet. Den Betrag des ruhenden komplexen Zeigers ermitteln wir zu xˆ  xˆ  Fˆ H  Fˆ H  Fˆ H 

Fˆ k (1   2 ) 2  2D2

(9.39)

Als weitere Zustandsgröße wird noch die Geschwindigkeit benötigt. Es gilt v( t )  x ( t )  i xˆ exp(it )  vˆ exp(it ) und damit

 i 1 i  Fˆ  Fˆ B vˆ  i xˆ  i Fˆ H  Fˆ 2 2 k 1    i 2D k 1    i 2D

(9.40)

mit der komplexen Übertragungsfunktion zwischen Krafterregung und Geschwindigkeitsantwort B  i H 

i 1  2  i 2D  [2D  i(1  2 )]  k (1  2 ) 2  (2D) 2 k (1  2 ) 2  (2D) 2

Den Betrag der Geschwindigkeit ermitteln wir zu

(9.41)

9.4 Die komplexe Zeigerdarstellung bei erzwungenen gedämpften Schwingungen vˆ  vˆ  Fˆ B  Fˆ B  Fˆ B  Fˆ

frequenzgang B(k , , , D) 

 2 2

k (1   )  (2D)  2 2

k (1   )  (2D) 2

2

169

 Fˆ B(k, , , D) mit dem Amplituden-

. Zerlegen wir B in Real- und Imaginär-

teil, dann erhalten wir Re[B] 

 2D2  (1  2 ) , Im[ B ]  k (1  2 ) 2  (2D) 2 k (1  2 ) 2  (2D) 2

(9.42)

und der Phasenfrequenzgang von B ist tan  B 

Im[B] 1   2 1   Re[B] 2D tan  H

(9.43)

Tab. 9.2 Zusammenstellung der Beziehungen für Krafterregung und Antworten eines Systems mit einem Freiheitsgrad Erregung und Schwingungsantwort Krafterregung und Wegantwort

Krafterregung und Geschwindigkeitsantwort

Komplexe Übertragungsfunktion

Amplitudenfrequenzgang

H

1 1 k 1  2  i 2D

H

1 k

B

1 i k 1  2  i 2D

B

 k

Phasenfrequenzgang

1 (1  2 ) 2  2D2  2 2

(1   )  (2D)

2

tan  H  

tan  B 

2D 1  2

1  2 1  2D tan  H

Tab. 9.2 zeigt eine Zusammenstellung der bisher erzielten Ergebnisse. Den Realteil der stationären Lösung x(t) erhalten wir durch Projektion des rotierenden Zeigers auf die reelle Achse, also x ( t )  Re[x ]  Rexˆ exp(it )  Rexˆ exp(ix ) exp(it )  xˆ cos(t  x )

(9.44)

Andererseits ist mit (9.35) x ( t )  xˆ exp(it )  Fˆ H exp(it )  FˆH exp(it  i F  i H )  xˆ exp(it  i F  i H )

und damit x ( t )  Re[ x ]  xˆ cos(t   F   H )

(9.45)

170

9 Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad

Ein Vergleich mit (9.44) zeigt  x   F   H . Setzen wir  F  0 , dann stimmt wegen  x   H   arctan

2D

  2 die Lösung (9.45) mit (9.25) überein. Entsprechend erhal1  2 ten wir die Geschwindigkeit v( t )  x ( t )  i xˆ exp(it )  Fˆ B exp(it )  FˆB exp(it  i F  i B )  vˆ exp(it  i F  i B )

Für die partikulären Lösungen des eingeschwungenen (stationären) Zustandes folgt mit v  F  B

x ( t )  xˆ cos(t   F   H )  xˆ cos(t   x ) v( t )  vˆ cos(t   F   B )  vˆ cos(t   v ) Wir haben uns bisher mit dem eingeschwungenen Zustand beschäftigt. Von Interesse ist jetzt noch der Einschwingvorgang selbst, also die Zeitspanne vom Start des Schwingungsvorganges bis zum eingeschwungenen (stationären) Zustand. Dazu müssen Anfangswerte vorgegeben werden. Um diesen Ausgleichsvorgang zu beschreiben, dürfen wir die rechte Seite von (9.33) nicht mehr verändern. Wir nutzen also die für die freien, schwach gedämpften Schwingungen hergeleiteten Beziehungen x h (t)  exp(Dt )C1 cos ω d t  C 2 sin ω d t) x h ( t )   exp( Dt )C1 (D cos ω d t  ω d sin ω d t )  C 2 (ω d cos ω d t  D sin ω d t ) die wir den Lösungen für den eingeschwungenen Zustand überlagern. Die beiden noch freien Konstanten C1 und C2 bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t  0 x (0)  x 0  x h (0)  x p (0)  C1  xˆ cos  x x (0)  v 0  x h (0)  x p (0)   DC1  ω d C 2  vˆ cos  v

und die Konstanten errechnen sich zu C1  x 0  xˆ cos x , C 2 

1 D( x 0  xˆ cos x )  vˆ cos v  v0  ωd

womit das Problem als vollständig gelöst angesehen werden kann. Beispiel 9-1:

Der Schwinger in Abb. 9.19 wird durch die harmonische Kraft F( t )  F0 cos(t   F ) mit F0  100 N und  F   / 6 beansprucht. Weiterhin sind m  100 kg , c  100 kgs 1 und

k  5000 N / m . Gesucht wird die stationäre Lösung x(t) und die vom Lager aufzunehmende Lagerkraft.

9.4 Die komplexe Zeigerdarstellung bei erzwungenen gedämpften Schwingungen

171

Lösung: Mit den Systemwerten erhalten wir   c / (2m)  0,5 s 1 ,   k / m  7,07 s 1 , D   /   0,071  1 ,    /   1,4142  1 . Damit folgen: H

1 k

1 (1   )  2D

2

2 2

 0,000196

m  , B   0,00196 ms 1 / N k (1  2 ) 2  (2D) 2 N

ˆ  F H  0,0196 m , vˆ  FB ˆ  F B  0,1961 ms 1 . Wegen   1 sind xˆ  FH 0 0

 2D  H   arctan 2 1 

     3,339 ,  x   F   H  3,863 

 1   B   arctan   1,373 ,  v   F   B  0,850  tan  H  x p ( t )  xˆ cos(t   x )  0,0196 cos(10 t  3,863)  0,0147 cos(10 t )  0,0129 sin(10 t )[m] v p ( t )  vˆ cos(t   v )  0,1961cos(10 t  0,850)  0,1473 sin(10 t )  0,1295 cos(10 t )[m / s]

Die im stationären Zustand vom Lager aufzunehmende Kraft A( t )  kx ( t )  cx ( t ) stellt übrigens auch für Fragen der Körperschalldämmung eine entscheidende Größe dar. Wir ˆ exp(it ) , deren Realteil A(t) entersetzen die Kraft A(t) durch ihre komplexe Größe A  A ˆ exp(it )  k xˆ exp(it )  ci xˆ exp(it ) . Kürzen wir den spricht. Damit erhalten wir A  A Faktor exp(it ) , dann verbleibt mit c / k  2D ˆ  k xˆ  ci xˆ  k (1  ic / k ) xˆ  k (1  i 2D) xˆ A  Fˆ

2 2 3 ˆ 1    (2D)  i(2D )  F 1  2  i 2D (1  2 ) 2  (2D) 2

1  i 2D

2 2 3 2D3 ˆ  1    (2D)  i(2D ) , dann folgt mit tan    Setzen wir noch K k (1   2 ) 2  (2D) 2 1   2  (2D) 2

ˆ K ˆ  und K

1  (2D) 2 (1   2 ) 2  (2D) 2

ˆ exp(it )]  Re[Fˆ K ˆ exp(it )]  Re[Fˆ exp(i )K ˆ exp(i ) exp(it )] A  Re[A F K ˆ ˆ  FK cos(t     ) F

K

ˆ cos(t   ) identisch Für den Sonderfall  F  0 ist mit Fˆ  F0 die Lagerkraft A  F0 K K mit der Lösung (9.29).

172

9 Erzwungene Schwingungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad

9.5

Näherungsweise Ermittlung des Dämpfungsgrades

Im Folgenden werden Methoden zur näherungsweisen Bestimmung des Dämpfungsgrades D vorgestellt. Die erste Methode stützt sich darauf, den Dämpfungsgrad aus den Extremwerten ~ des Realteils der Übertragungsfunktion H  k H zu ermitteln. Abb. 9.22 zeigt die Funktion ~ Re[H(, D)] 

1  2

, die an den Stellen 1  1  2D und 2  1  2D zwei (1   )  (2D) 2 ausgeprägte Extremwerte besitzt. Sind diese Stellen aus der Grafik entnommen, dann kann daraus der Dämpfungsgrad D

2 2

 2 2  12 4

(9.46)

berechnet werden.

Abb. 9.22 Ermittlung des Dämpfungsgrades aus den Extremwerten des Realteilfrequenzganges

Abb. 9.23

Ermittlung des Dämpfungsgrades aus der Vergrößerungsfunktion V2

Eine andere häufig benutzte Methode ist in Abb. 9.23 dargestellt. Dabei werden aus der Vergrößerungsfunktion V2 die Abszissen a und b mit den Funktionswerten 1 abgelesen. Es wird nun behauptet, dass damit b  a  2D  D 

b  a 2

2 V2 (1, D)

(9.47)

folgt. Der rechnerische Nachweis dieser Behauptung wird wie folgt geführt. Für   1 ist V2 (  1, D)  1 /(2D) . An den Stellen a  1  D und  b  1  D errechnen wir für kleine Dämpfungsgrade näherungsweise

9.5 Näherungsweise Ermittlung des Dämpfungsgrades

V2 (a , D) 

1 D 8  12D  5D 2



1 2 2D

173

, V2 (b , D) 

1 D 8  12D  5D 2



1 2 2D

und damit V2 (a , D)  V2 (b , D)  1 / 2 V2 (  1, D) , womit (9.47) bewiesen ist. Eine weitere Möglichkeit zur näherungsweisen Ermittlung des Dämpfungsgrades, besteht in der Auswertung der Ortskurve, die auch Nyquist-Diagramm1 genannt wird.

Abb. 9.24

Ortskurve, D = 0.10

Abb. 9.25

Ortskurve mit Vergrößerungsfunktion V2

Zur Konstruktion der Ortskurve wird auf der Abszisse der Real- und auf der Ordinate der ~ Imaginärteil von H  k H aufgetragen. Es ergibt sich dann die Darstellung nach Abb. 9.24. In dieser Darstellung tritt die Abstimmung  nicht mehr explizit auf, sondern nur noch als Bahnparameter. Der Ortsvektor vom Ursprung zu einem Punkt auf der Ortskurve hat die ~ ~ ~ ~ Länge H  H  V2 . Insbesondere gilt für   1 : Re[H (1, D)]  0, Im[H (1, D)]  1 /( 2D) und 1 ~ damit H(1, D)  2D

D

1 . ~ 2 H(1, D)

Die Darstellung der Ortskurve lässt sich noch erweitern, wenn wir senkrecht zur Kurven~ ebene den Betrag von H (, D)  V2 auftragen (Abb. 9.25).

1

Harry Nyquist, amerikan. Elektrotechniker, 1889-1976

10

Spezielle Systemerregungen

10.1

Randerregung einer Masse über Feder und Dämpfer

Abb. 10.1

Randerregung einer Masse über Feder und Dämpfer

Abb. 10.1 zeigt ein schwingungsfähiges System, welches durch die harmonische Randerregung u ( t )  u 0 cos t

(10.1)

in Bewegung versetzt wird. Die Wahl der beiden Kelvin-Modelle links und rechts neben der Masse m gestattet uns später die Betrachtung von Sonderfällen. Für x  0 und u  0 sind beide Federn entspannt. Die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes auf die freigeschnittene Masse liefert mx  k1 x  c1 x  k 2 ( x  u )  c 2 ( x  u ) und nach Zusammenfassung x 

c1  c 2 k  k2 c k x  1 x  2 u  2 u . Mit den Abkürzungen m m m m 2 

c1  c 2 k  k2  c2 k2 ; 2  1 ; D ;  ;  m m  c1  c 2 k1  k 2

(10.2)

erhalten wir die inhomogene Differenzialgleichung 2. Ordnung x  2x  2 x  2u 2 u

(10.3)

176

10 Spezielle Systemerregungen

Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist bekannt. Wir konzentrieren uns deshalb auf das Aufsuchen einer partikulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung und probieren dazu den Ansatz x p ( t )  u 0 V4 cos(t  4 )

(10.4)

mit noch unbekannter Vergrößerungsfunktion V4 und Phasenverschiebung 4. Einsetzen von (10.4) in (10.3) ergibt {[(2   2 ) cos 4  2 sin 4 ] V4  2 } cos t 

(10.5)

{[(2   2 ) sin 4  2 cos 4 ] V4  2}sin t  0

Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der trigonometrischen Funktionen ist die obige Gleichung für alle Zeiten t nur dann erfüllt, wenn die Ausdrücke in den geschweiften Klammern je für sich verschwinden, was [(2   2 ) cos 4  2 sin 4 ] V4  2  0 [(2   2 ) sin 4  2 cos 4 ] V4  2  0

erfordert. Damit liegen zwei Gleichungen zur Bestimmung von V4 und 4 vor. Wir lösen zunächst beide Gleichungen nach sin  4 und cos 4 auf und erhalten sin 4 

2D[(2  1)   ] 2 2

2

V4 [(1   )  (2D) ]

, cos 4 

 (1  2 )  (2D) 2 V4 [(1  2 ) 2  (2D) 2 ]

Quadrieren und Addieren beider Beziehungen führt auf

 2  (2D) 2 V42 [(1   2 ) 2  (2D) 2 ]

 1 , woraus

sich die Vergrößerungsfunktion V4 (, D, , ) 

 2  (2D) 2 (1  2 ) 2  (2D) 2

(10.6)

berechnen lässt und damit sin  4 (, D, , )  cos  4 (, D, , ) 

2D[(2  1)   ] [  2  (2D) 2 ][(1   2 ) 2  (2D) 2 ]  (1   2 )  (2D) 2 [  2  (2D) 2 ][(1   2 ) 2  (2D) 2 ]

In Abb. 10.2 und Abb. 10.3 sind für die Parameterkombination   0,4 und   0,4 der Amplitudenfrequenzgang V4 und der Phasenverschiebungsfrequenzgang 4 aufgetragen.

10.1 Randerregung einer Masse über Feder und Dämpfer

Abb. 10.2

Vergrößerungsfunktion V4  0,4)

Abb. 10.3

177

Phasenverschiebung 4  0.4)

Extremwerte der Vergrößerungsfunktion treten an den Stellen 1  0, 2 

1   2   4  8D 22 [  2  2D 2 (  2  2 )]  1  D 2  O(D 4 ) 2D

auf, und das Maximum liegt bei 2. Alle Kurven starten bei   0 mit dem Funktionswert  und haben dort eine horizontale Tangente. Weiterhin besitzen alle Kurven bei   1   /  den Funktionswert V4   . Die Hochpunkte liegen etwas links von   1 , und für    nähert sich der Amplitudenfrequenzgang V4 asymptotisch dem Wert null. Beschreiben wir das Problem mit Hilfe der Relativkoordinate z( t )  x ( t )  u ( t ) , dann geht (10.3) unter Beachtung von 2 

c1  c 2 k  k2 c1 k1  ~ ; 2  1 ; D ;    1  ; ~   1  m m  c1  c 2 k1  k 2

über in z  2z  2 z  u  2~ u 2 ~ u

(10.7)

Zur Beschaffung einer partikulären Lösung wird der Ansatz z p ( t )  u 0 V5 cos(t  5 )

(10.8)

gemacht. Einsetzen von (10.8) in (10.7) ergibt {[(2   2 ) cos 5  2 sin 5 ] V5  ~ 2   2 } cos t  ~} sin t  0 {[(2   2 ) sin   2 cos  ] V  2 5

5

5

178

10 Spezielle Systemerregungen

und da sin t und cos t linear unabhängig sind, müssen [(2   2 ) cos 5  2 sin 5 ] V5  ~ 2   2  0 ~  0 [(2   2 ) sin   2 cos  ] V  2 5

5

5

erfüllt sein. Lösen wir nach sin 5 und cos 5 auf, dann folgen sin 5 

(1  2 )  ~  2 ] 2D[~ V5[(1  2 ) 2  (2D) 2 ]

, cos 5 

~ (2D) 2 (2  ~ )(1  2 )   V5[(1  2 ) 2  (2D) 2 ]

Quadrieren und Addieren beider Gleichungen ergibt

) 2 ( 2  ~ ) 2  (2D ~ V52 [(1  2 ) 2  (2D) 2 ]

 1 und aufge-

löst nach V5 V5 (, D, ~ , ~ ) 

( 2  ~ ) 2  (2D ~ ) 2 (1   2 ) 2  (2D) 2



( 2  ~ ) 2 (1   2 ) 2

 O( D 2 )

(10.9)

Damit sind )  sin 5 (, D, ~ , ~

(1   2 )  ~  2 ] 2D[~ [(2  ~ ) 2  (2D ~ ) 2 ][(1   2 ) 2  (2D) 2 ]

cos 5 (, D, ~ , ~ ) 

( 2  ~ )(1  2 )  ~ (2D) 2 [( 2  ~ ) 2  (2D ~  ) 2 ][(1   2 ) 2  (2D) 2 ]

Abb. 10.4

Vergrößerungsfunktion V5 ( ~γ  ~ ρ  0,6 )

Abb. 10.5

Phasenverschiebung 5 ( ~γ  ~ ρ  0,6 )

10.2 Fußpunkterregung

179

In Abb. 10.4 und Abb. 10.5 sind für die Parameterkombination ~γ  0,6 und ~   0,6 der Amplitudenfrequenzgang V5 und der Phasenverschiebungsfrequenzgang 5 aufgetragen. Die Vergrößerungsfunktion V5 besitzt in der Umgebung von   1 zwei Extremwerte, links von   1 ein Minimum und rechts davon ein Maximum.

10.2

Fußpunkterregung Wir betrachten die Masse m in Abb. 10.6, die über den Fußpunkt von Feder und Dämpfer durch die harmonische Verschiebungsfunktion u ( t )  u 0 cos t

Abb. 10.6

beansprucht wird. Dieses System stellt einen Sonderfall von Abb. 10.1 dar, wenn wir dort k1 und c1 zu null setzen und für c2 und k2 wieder c und k schreiben. Notieren wir das Problem unter Verwendung der Absolutkoordinate x, dann sind 2  c / m , 2  k / m ,   1 und   1 zu wählen, woraus sich unmittelbar die Vergrößerungsfunktion V3 nach

Fußpunkterregung

(9.30) ergibt, und (10.4) geht damit über in x p ( t )  u 0 V3 cos(t  3 )

(10.10)

Bedeutet x 0  u 0 V3 die Amplitude der Auslenkung x p ( t ) , dann wird das Verhältnis x 0 / u 0  V3 auch als Durchgängigkeit1 der Verschiebung u(t) bezeichnet.

Beschreiben wir das Problem mit Hilfe der Relativkoordinate z( t )  x ( t )  u ( t ) , dann lautet unter Beachtung von ~   ~  0 die Bewegungsgleichung (10.7) z  2z  2 z  u

(10.11)

und aus (10.9) wird V6 (, D) 

2 2 2

(1   )  (2D)

2

  2 V2 (, D) 

Für den Phasenverschiebungswinkel 6 gilt

1

engl. transmissibility

2 2  1

 O( D 2 )

(10.12)

180

10 Spezielle Systemerregungen sin  6 (, D)  cos  6 (, D) 

2D (1   2 ) 2  (2D) 2 1  2 (1   2 ) 2  (2D) 2

 sin  2 (, D)

(10.13)  cos  2 (, D)

und (10.8) geht über in z p ( t )  u 0 V6 cos(t   6 )

(10.14)

Abb. 10.7 Vergrößerungsfunktion V6

Abb. 10.8

Phasenverschiebung 6

Die Lage der Extremwerte der Vergrößerungsfunktion V6 beschaffen wir uns aus der Bedingung V6 (, D) /   0 und erhalten die beiden physikalisch sinnvollen Lösungen

1  0, 2 

1 1  2D

 1  D 2  O( D 4 )

2

(10.15)

Damit 2 reell bleibt, muss D  1 / 2 sein. Die Hochpunkte V6,max  V2,max 

1 2D 1  D 2



1 1  D  O( D 3 ) 2D 4

(10.16)

liegen im Vergleich zu V2,max jetzt alle ein wenig rechts von   1 . Betrachten wir den Phasenfrequenzgang  6 in Abb. 10.8, dann haben alle Funktionen für   1 den Wert  6 (  1, D)   2 , was z( t )  u 0 V6 cos(t   / 2)  u 0 V6 sin t bedeutet, und  6 (  1, D) wird Phasenresonanzwinkel genannt. Wir beschaffen uns noch die auf den Unterbau (Abb. 10.6) wirkende Kraft A( t )  c( x  u )  k ( x  u )  mx p ( t ) . Mit (10.10) erhalten wir

10.2 Fußpunkterregung

181

x p  u 0 2 V3 cos(t  3 ) und damit A ( t )  mu 0 2 V3 cos(t  3 ) . Beachten wir noch m  k / 2 , so folgt mit A 0  u 0 k die Auflagerkraft A( t )  A 0 2 V3 cos(t  3 ) . Führen wir noch die Vergrößerungsfunktion V7 (, D)  2 V3 

2 2

 1



26 (2  2) 2

 1

3

D 2  O( D 4 )

(10.17)

ein, dann können wir die Auflagerkraft auch in der bezogenen Form ~ A( t ) A( t )   V7 cos(t  3 ) A0

(10.18)

notieren. Die Auflagerkraft ist damit in Phase mit der Verschiebung xp(t) nach (10.10).

Abb. 10.9

Vergrößerungsfunktion V7

Abb. 10.10

V7 , halblogarithmische Darstellung

Wie Abb. 10.9 zeigt, haben alle Vergrößerungsfunktionen V7 beim Abstimmungsverhältnis   2 den Wert V7  2 . Betragsmäßig große Auflagerkräfte sind bei schwacher Dämp-

fung in der Umgebung von   1 und im Fall starker Dämpfung für Werte   2 zu erwarten. Wie der halblogarithmischen Darstellung der Abb. 10.10 zu entnehmen ist, nähert sich im ungedämpften Fall V7 asymptotisch dem Wert V7  1 . Beispiel 10-1: Abb. 10.11 zeigt ein stark vereinfachtes Fahrzeugmodell, bestehend aus der Fahrzeugmasse m, einer Feder mit der Federsteifigkeit k und einem Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten c. Als Folge des welligen Straßenprofils wird die Fahrzeugmasse über den Fußpunkt von Feder und Dämpfer zu Bewegungen angeregt, die sich negativ auf den Fahrkomfort der In-

182

10 Spezielle Systemerregungen

sassen auswirken können. Das Straßenprofil wird näherungsweise durch die Funktion y(s)  u 0 cos(2s / L) dargestellt.

Abb. 10.11

Fahrzeug auf welliger Straße, Fußpunkterregung

Lösung: Bewegt sich das Fahrzeug, ohne abzuheben, mit einer konstanten Geschwindigkeit 2v 0 t . Mit   2v 0 / L können wir v0, dann ist s  v 0 t und damit y(s( t ))  u ( t )  u 0 cos L dann für die Fußpunkterregung u ( t )  u 0 cos t schreiben. Sie entspricht derjenigen in Abb. 10.6, womit wir die dort erzielten Ergebnisse direkt übernehmen können.

Abb. 10.12 Vergrößerungsfunktionen V3, V6 und V7

In Abb. 10.12 sind für die dort angegebene Parameterkombination die Vergrößerungsfunktionen V3 (absolute Verschiebung xp der Masse m), V6 (Relativverschiebung zwischen m und

10.3 Bewegungsmessungen

183

dem Fußpunkt) sowie V7 als Maß für die von der Radaufhängung aufzunehmende Kraft als Funktion der Geschwindigkeit v0 dargestellt. Mit den obigen Zahlenwerten erhalten wir   k / m  18,09 s 1 und D  c /(2m)  0,3 . Die Erregerkreisfrequenz   2v 0 / L hängt übrigens linear von der Geschwindigkeit v0 ab. Beispielsweise erhalten wir für v 0  5 m / s mit den Werten aus Abb. 10.12:   2  5 / 6  5, 24 s 1 und    /   0,29 . Werten wir damit die Vergrößerungsfunktionen aus, dann sind V3 

1  (2  0,3  0,29) 2 (1  0,29 2 ) 2  (2  0,3  0,29) 2

 1,09 , V6 

0,29 2 (1  0,29 2 ) 2  (2  0,3  0,29) 2

 0,09 und

V7  0,29 2 V3  0,09 . Die betragsmäßig größte Auslenkung der Fahrzeugmasse m tritt mit 1  1  1  8D 2  0,93 auf. Dazu gehört die 2D 2 L 0,93 18,09  6   13,36 m / s  48,1 km / h . Bei dieser kritische Geschwindigkeit v kr  2 2 Geschwindigkeit würde das Befahren des Straßenprofils mit einer Wellenhöhe u 0  2 cm zu

V3,max  1,995 bei der Abstimmung 2 

einer absoluten Verschiebung x p,max  u 0 V3,max  2 1,995  3,99 cm der Masse m (und damit der Fahrzeuginsassen) führen. Die Vergrößerungsfunktion V3 stellt somit ein Maß für den Fahrkomfort des Fahrzeugs dar.

10.3

Bewegungsmessungen

Zur Messung absoluter Größen wie Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, wird ein Festpunkt benötigt. Ist ein solcher Festpunkt nicht vorhanden oder nur schwer erreichbar, dann müssen die absoluten Größen näherungsweise aus Relativmessungen zwischen zwei Punkten gewonnen werden. Solche Relativmessungen können mit modernen Verfahren sehr Abb. 10.13 Empfindliches Messgerät präzise durchgeführt werden. Grundsätzlich wird zwischen tastenden und berührungslosen Wegaufnehmern unterschieden. Dazu zählen Aufnehmer mit Widerstandsänderung, induktive und kapazitive Wegaufnehmer sowie digitale Längenaufnehmer. Wie aus relativen Verschiebungsgrößen innerhalb eines Messgerätes näherungsweise auf die absolute Bewegung eines Körpers geschlossen werden kann, soll nun gezeigt werden. Dazu betrachten wir das in Abb. 10.13 skizzierte Messgerät. Es besteht aus einem starren Gehäuse, in dem sich eine Masse m befindet, die über eine Feder (Federsteifigkeit k) und einen Dämpfer (Dämpfungskonstante c) mit dem Gehäuseboden fest verbunden ist. Infolge einer Gehäusebewegung u(t), die hier harmonisch unterstellt wird, erfolgt eine Relativverschiebung

184

10 Spezielle Systemerregungen

z( t )  x ( t )  u ( t ) zwischen Masse und Gehäuse, die in geeigneter Form aufgezeichnet wird. Die Relativverschiebung z p ( t )  u 0 V6 cos(t   6 )

(10.19)

genügt der Differenzialgleichung (10.11). Betrachten wir nun (10.19), dann würde mit V6  1 und  6   die Relativverschiebung z p ( t )  u 0 cos(t  )  u 0 cos t mit der Absolutverschiebung u ( t )  u 0 cos t übereinstimmen, was sich mit einem Blick auf Abb. 10.7 und Abb. 10.8 jedoch nur für    exakt erfüllen lässt. Allerdings können wir uns eine sehr gute Näherung beschaffen. Dazu wird das Verhalten von V6 und 6 in der Umgebung von    betrachtet, und wir setzen im Folgenden mit   1 eine tiefe Abstimmung voraus. Dann ergibt eine Reihenentwicklung von V6 um den Punkt    V6  1 

1  2D 2 

 1  O 4 

2

   1  R (, D) 

(10.20)

und entsprechend für den Phasenverschiebungswinkel 6 sin  6 

 1   1  2D 2D(1  2D 2 ) 2D 2   , O cos 1        O 4  6  3 5  2       

(10.21)

In (10.20) ist das Restglied R (, D)  V6 (, D)  1 ein Maß für die Abweichung der Vergrößerungsfunktion vom gewünschten Wert V6  1 . R hängt von der Abstimmung  und dem Dämpfungsgrad D ab und geht mit der Ordnung O(1 /  2 ) für    gegen null. Wählen wir D  1 / 2 , dann ist R sogar von der Ordnung O(1 /  4 ) , und für den Phasenwinkel folgt sin  6 

 1   1 2 1  O 5  , cos  6  1  2  O 4     

  

(10.22)

Legen wir um V6  1 einen Streifen der Breite 2F (Abb. 10.14), dann existiert eine ausgezeichnete Vergrößerungsfunktion V6 (, D* ) , die die obere Grenze V6  1  F in   * 2

tangiert. Mit (10.16) errechnen wir D* aus der Bedingung 1 /( 2D* 1  D* )  1  F zu D* 

2 F(F  2) 1 2 (F  1) 2

(10.23)

Das Maximum der Vergrößerungsfunktion V6 (, D * ) tritt an der Stelle 2

*  1 / 1  2D*  4

(F  1) 2 F(F  2)

(10.24)

10.3 Bewegungsmessungen

185

auf. Die Funktion V6 (, D* ) schneidet die untere Grenze V6  1  F bei * 

0,541 4

Abb. 10.14

(10.25)

F

Vergrößerungsfunktion V6

Abb. 10.15

Vergrößerungsfunktion V2

Mit den bisher erzielten Ergebnissen können wir folgende Aussage treffen: Besitzt das Messgerät einen Dämpfungsgrad D  D* , dann weicht die gemessene Amplitude vom Idealwert V6  1 für Abstimmungsverhältnisse   * maximal um  F ab. Über F kann noch verfügt werden. Das Gerät kann auch zur näherungsweisen Beschleunigungsmessung u( t ) einer Struktur benutzt werden. Um dies zu zeigen, beachten wir, dass wir V6 (, D)  2 V2 (, D) und  6   2 schreiben können. Für die Relativverschiebung gilt z p ( t )  u 0  2 V2 cos(t   2 )

oder umgestellt  2 z p ( t )  u 0  2 V2 cos(t   2 ) . Mit V2  1 und  2  0 würde diese Beziehung übergehen in  2 z p ( t )  u 0  2 cos t  u( t ) . Damit stimmt  2 z p ( t ) mit der

absoluten Fußpunktbeschleunigung u( t ) des Gerätes überein. Unter welchen Bedingungen dies näherungsweise möglich ist, wollen wir nun untersuchen. Wir betrachten dazu das Verhalten von V2 und  2 in der Umgebung von   0 , und eine Reihenentwicklung für die Vergrößerungsfunktion ergibt V2 (, D)  1  (1  2D 2 ) 2  O( 4 )

und entsprechend für den Phasenverschiebungswinkel

(10.26)

186

10 Spezielle Systemerregungen sin 2  2D  2D(1  2D 2 )3  O(5 ) cos 2  1  2D 22  O(4 )

(10.27)

Offensichtlich können wir für   1 näherungsweise V2  1 und  2  0 setzen. Auch in diesem Fall lässt sich ein Grenzdämpfungsgrad D* ermitteln, der identisch ist mit (10.23). Das Maximum der Vergrößerungsfunktion V2 (, D * ) tritt an der Stelle (s.h. Abb. 10.15) 2

 *  1 / *  1  2D*  4

F(F  2)

(10.28)

(F  1) 2

auf, und V2 (, D* ) schneidet die untere Grenze V2  1  F bei *r  1 / *  1,848 4 F

(10.29)

Soll also das Gerät zur Beschleunigungsmessung eingesetzt werden, dann ist bei einem gewählten Dämpfungsgrad D  D * für Abstimmungsverhältnisse   *r die größte Abweichung der Vergrößerungsfunktion V2 vom gewünschten Wert V2  1 gerade  F und dies auch wieder nur an zwei Punkten (Abb. 10.15).

Abb. 10.16

Grenzdämpfungsgrad D*

Abb. 10.17

Grenzabstimmungen 

Wir haben in den vorangegangenen Untersuchungen Bedingungen für eine gute Wiedergabe der Amplituden der zu messenden Größen bereitgestellt. Um auch den vollständigen Zeitverlauf der Messgrößen möglichst exakt darzustellen, sollten die Phasenverschiebungswinkel  6   und  2  0 möglichst genau eingehalten werden. Das ist exakt jedoch nur für D  0 zu erfüllen. Da wir aber mit D  0 rechnen, ergibt sich hier ein Widerspruch, der nicht aufzuheben ist. Wir wollen deshalb die sich im Messprotokoll immer einstellende Phasenverschiebung etwas genauer untersuchen. Dazu wird die Phasenverschiebungszeit t   2 /  eingeführt, und eine Abschätzung von t gelingt, wenn wir beachten, dass für   1

10.3 Bewegungsmessungen 2  arctan

2D 1  2

187

 2D  2D(1  4 / 3D 2 )3  O(5 ) gilt. Wählen wir speziell D  1 / 2 3 ,

dann ist  2   3  O(5 ) . Schneiden wir nach dem linearen Glied ab, dann können wir  3 3 3 0,28 . Besitzt bei     2f f spielsweise das Messgerät eine Eigenfrequenz von f  1000 Hz , dann ist die Phasenverschiebungszeit t  0, 28 s /1000  0,00028 s , was bei einer Eigenkreisfrequenz der zu mes-

näherungsweise  2   3 setzen, und es folgt t 

senden Struktur von beispielsweise   50 s 1 zu einer Phasenverschiebung von lediglich  2  50  0,00028  0,014 führt. Dieser Wert verspricht eine hohe Messgenauigkeit des vollständigen Beschleunigungs-Zeitverlaufes. Beispiel 10-2: Das Messgerät nach Abb. 10.13 soll zur Messung von Strukturverschiebungen u(t) und Strukturbeschleunigungen u( t ) eingesetzt werden, wobei im stationären Zustand eine Abweichung F  2 % vom gewünschten Wert R  0 in Kauf genommen wird. Gesucht ist der zulässige Einsatzbereich des Gerätes.

Abb. 10.18

Einsatzbereich des Messgerätes (D = D*)

Abb. 10.19

Das Restglied R = V2 - 1

Lösung: Aus (10.23) oder Abb. 10.16 erhalten wir für F  2 % den Grenzdämpfungsgrad D*  0,634 . Die Vergrößerungsfunktion V6 (, D* ) tangiert die obere Grenze 1 F bei *  2,25. Die linksseitige Grenze des Einsatzbereiches für die Wegmessung ermitteln wir

nach (10.25) oder aus Abb. 10.17 zu *  1,44 . Im Fall der Beschleunigungsmessung ist die rechtsseitige Grenze *r  1 / *  0,69 .

188

10 Spezielle Systemerregungen

Hinweis: In der Praxis wird vorzugsweise 0,6  D  1 / 2  0,707 gewählt. Entscheiden wir uns für D  1 / 2 , dann geht das Restglied R  V2  1 mit der Ordnung O(4 ) für   0 gegen null. Das zeigt sich auch in Abb. 10.19. R weicht für   0,1 praktisch kaum vom Wert null ab. Noch bis zu einer Abstimmung   0,21 ist die Abweichung kleiner als 0,1 %.

10.4

Abb. 10.20

Felderregung von Feder und Dämpfer durch eine Unwucht

Erregung durch eine Unwucht

Wir betrachten dazu eine auf einem Feder-Dämpfer-System aufgestellte Maschine mit unwuchtigem Läufer (Abb. 10.20). Das kann beispielsweise eine Kolbenkraftmaschine mit nicht vollständig ausgewuchteten schnell rotierenden Teilen einer Turbine oder Druckmaschine sein. Dadurch treten Kräfte auf, die auf die Umgebung übertragen und störend wirken können. Um diese unangenehmen Einflüsse zu vermeiden, werden zwischen Maschine und Fundament elastische Elemente (beispielsweise Schraubenfedern oder Gummimatten) und Dämpferelemente geschaltet. Dieses Verfahren wird Schwingungsisolierung genannt, auf das wir später noch näher eingehen werden. Hinweis: Nur wenn die Drehachse eines Rotors durch seinen Schwerpunkt verläuft und diese Achse eine Hauptträgheitsachse ist, dann üben seine Trägheitskräfte auf die Lager weder eine resultierende Kraft noch ein resultierendes Moment aus. Man nennt den Rotor dann ausgewuchtet. Am Bewegungszustand des Systems nach Abb. 10.20 interessieren uns hier nur die Vertikalbewegungen der Maschine, die horizontalen Verschiebungen und Kippbewegungen werden durch geeignete Führungsschienen unterbunden. Die Maschine hat die Gesamtmasse

10.4 Felderregung von Feder und Dämpfer durch eine Unwucht

189

m  m u  m 0 . Die Unwuchtmasse mu rotiert dabei relativ zum Punkt S mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit  auf einer Kreisbahn mit dem Radius a. Diese nicht ausgewuchtete Masse führt zu Lagerreaktionskräften A(t), die die Maschine zu Schwingungen anregen. Zwischen Maschine und Fundament sind ein Federelement mit der Federsteifigkeit k und ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten c geschaltet. Zur Ermittlung der unbekannten Lagerreaktionskraft A wird das Newtonsche Grundgesetz für die freigeschnittene Masse mu angeschrieben (Abb. 10.20, Mitte). Wir benötigen dazu deren   0 und   t erhalten wir mit r  x e x  a e r Beschleunigung r . Unter Beachtung von 

r  x e x  a 2e r  (x  a 2 cos t ) e x  a 2 sin t e y

und das Newtonsche Grundgesetz liefert m u r  A  m u g e x und damit A  m u r  m u g e x sowie in Komponenten A x  m u (x  a 2 cos t  g ) und A y   m u a 2 sin t . Die so er-

rechnete Lagerreaktionskraft wird im Sinne des Reaktionsprinzips in umgekehrter Richtung auf den Rest der Maschine aufgebracht. Die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes liefert dann (Abb. 10.20, rechts) m 0 x  A x  m 0 g  kx  cx  m u (x  a 2 cos t  g)  m 0 g  kx  cx

Unter Beachtung von m  m u  m 0 folgt nach Zusammenfassung mx  cx  kx  mg  am u  2 cos t oder x  2x  2 x  g  a

mu 2  cos t m

Die Konstante g lässt sich noch mittels der Transformation x  x  x st  x  g /  2 zum m Verschwinden bringen, und wir erhalten x  2x  2 x  a u  2 cos t . m

Mit f 0  a

mu 2 u k   u 0 2  2  0  2 und u 0  am u / m folgt dann abschließend m m

x  2x  2 x  f cos t 0

(10.30)

was (9.15) entspricht, wobei hier zu beachten ist, dass f0 quadratisch mit  anwächst. Die Lösung der partikulären Differenzialgleichung ist mit x p  u 02 V2 cos(t  2 )  u 0 V6 cos(t  6 )  x 0 cos(t  6 )

(10.31)

bereits bekannt. Vernachlässigen wir zunächst das Eigengewicht der Masse m, dann wirkt im stationären Zustand auf die starre Unterlage die Kraft A( t )  kx p ( t )  cx p ( t ) . Nach kurzer Rechnung folgt

190

10 Spezielle Systemerregungen A( t )  u 0 kV7 cos(t  3 )  A 0 cos(t  3 )

( A 0  u 0 kV7 )

(10.32)

Beispiel 10-3: Auf dem starren Riegel eines eingespannten Rahmens ist ein Elektromotor der Masse m (einschließlich des Läufers) montiert. Der Motorläufer (Masse mL, Drehzahl n0) liegt um das Maß a außerhalb der Wellenmitte. Die Masse des Rahmens sowie gegebenenfalls vorhandene Dämpfungen sollen näherungsweise vernachlässigt werden. Welche Biegesteifigkeit B  EI yy besitzen die Stützen, wenn für die Amplitude A der erzwungenen Schwingung der Wert A0 gemessen wird? Geg.: m = 700 kg, mL = 250 kg, a = 0,05 mm, A0 = 0,1 mm, n0 = 1500 U/min, h = 2,75 m.

Abb. 10.21

Unwuchterregung eines einstöckigen Rahmens

Lösung: Messen wir die horizontale Auslenkung aus der statischen Ruhelage mit x(t), dann lautet unter Beachtung von u 0  a m L / m die Bewegungsgleichung x  2 x  u 0  2 cos t . Sie hat die partikuläre Lösung x p ( t )  u 0 V6 cos(t   6 )  A 0 cos(t   6 ) . Führen wir die ~ ~ bezogene Amplitude A 0  A 0 / u 0 ein, dann gilt A 0  V6 . Bezeichnet n0 die Anzahl der Umdrehungen je Minute, dann ist   2n 0 / 60 s 1 die Erregerkreisfrequenz des unwuchti-

gen Motorläufers. Wegen D  0 verbleibt von (10.12) V6  2 / (1  2 ) 2 , und wir haben zwei Lösungen, eine für   1 (hohe Abstimmung) und eine für   1 (tiefe Abstimmung).   1 : V6,1 

2 1  2

,

  1 : V6, 2 

2 . 2  1

Da wir zwei Lösungen für V6 haben, können auch zwei Abstimmungsverhältnisse  ermittelt ~ werden, für die V6  A 0 erfüllt ist.

10.4 Felderregung von Feder und Dämpfer durch eine Unwucht ~ A0 ~ 2   1:  A 0  1  ~ , A0 1 1  12 12

191

~ A0 ~ 2  1: 2  A 0  2  ~ A0 1 2  1  22

Damit existieren auch zwei Eigenkreisfrequenzen, nämlich 12   2 / 12 für die hohe und 22   2 / 22 für die tiefe Abstimmung. Wegen k  2 m  24B / h 3 (Gesamtsteifigkeit bei-

der Stützen) erhalten wir auch zwei Lösungen für die Biegesteifigkeiten: B1  12 mh 3 / 24 und B 2  22 mh 3 / 24 . Mit den Werten des Beispiels folgen im Einzelnen: A ~ 250  1,7857 10 5 m , A 0  0  5,6 ,   2 1500 s 1  157,08 s 1 60 700 u0 ~ ~ A A 5,6 5,6 12  ~ 0   0,8485 ,  22  ~ 0   1,2174 , A 0  1 5,6  1 A 0  1 5,6  1 u 0  5,0 10 5

2 (157,08) 2 12  2   29080 s 2 , 1  170,53 s 1 0,8485 1

2 (157,08) 2 22  2   20268 s 2 , 1, 2174 2

2  142,37 s 1

12 mh 3 29080  700  2,753   1,7639 10 7 Nm 2 (für die hohe Abstimmung) 24 24 2 mh 3 20268  700  2,753 (für die tiefe Abstimmung) B2  2   1,2294 10 7 Nm 2 24 24 Bestehen die Stützen aus Stahl ( E  2,1 10 7 N / cm 2 ), dann ergeben sich in der Summe für beide Stützen folgende Flächenträgheitsmomente: B1 

I yy,1 

B1 1,7639 1011   8400 cm 4 E 2,1 10 7

(für die hohe Abstimmung)

B 2 1,2294 1011 (für die tiefe Abstimmung)  5854 cm 4  E 2,1 10 7 In Abb. 10.22 sind die Amplituden für die beiden möglichen Betriebszustände dargestellt. Resonanzstellen treten bei 1  1 und  2  1 auf. Dazu gehören die Drehzahlen: I yy, 2 

60 1  1628 U / min (hohe Abstimmung) , 2 60 2 n2   1360 U / min (tiefe Abstimmung) 2 n1 

192

10 Spezielle Systemerregungen

Abb. 10.22

Amplitude in Abhängigkeit von der Motordrehzahl

Die Arbeitsdrehzahl n0 = 1500 U/min liegt zwischen beiden möglichen Betriebszuständen. Ist das System tief abgestimmt, dann muss zur Erreichung der Betriebsdrehzahl n0 die Resonanzdrehzahl n2 = 1360 U/min möglichst zügig durchfahren werden. Das gilt in entgegengesetzter Richtung auch für das Abschalten der Maschine.

10.5

Erregung durch eine Sprungfunktion

Abb. 10.23

Sprungfunktion mit der Intensität F0

Das System in Abb. 10.23 wird durch die Sprungfunktion

0 F( t )   F0

für

t0

für

t0

belastet. Um eine einheitliche Darstellung der Belastung über den gesamten Wertebereich von t zu erhalten, kann diese unstetige Funktion formal mittels der Heaviside-Funktion1

1

Oliver Heaviside, brit. Physiker und Elektroingenieur, 1850-1925, Autodidakt

10.5 Erregung durch eine Sprungfunktion 0 H( t )   1

193

t0 t0

für für

(10.33)

ausgedrückt werden. Die Erregerkraft erscheint dann in der Form F( t )  F0 H( t ) , und die das Problem beschreibende Bewegungsgleichung können wir mit dem bisher Gesagten sofort notieren. Es gilt unter Beachtung von f0 = F0/m x( t )  2x ( t )  2 x ( t )  f 0 H( t )

(10.34)

Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist für D     1 mit x h  Ae  t cos(d t  )

( t  0)

(10.35)

( t  0)

(10.36)

bekannt. Die partikuläre Lösung

x p  f 0 / 2

ist einfach zu erraten und mit (10.34) auch sofort zu bestätigen. Damit erhalten wir für t  0 die vollständige Lösung x ( t )  Ae  t cos(d t  )  f 0 / 2 x ( t )  Ae  t  cos(d t  )  d sin(d t  )

(10.37)

Die beiden noch freien Konstanten A und  ermitteln wir mit der vollständigen Lösung aus den Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = 0. Befand sich das System zu diesem Zeitpunkt in Ruhe, dann gilt x ( t  0)  0  A cos  

Damit sind sin()  

f0 2

f 0

und cos()  

Ad 2 f0

chungen liefert A 

, x ( t  0)  0  A( cos   d sin )

und sin()  

2 1  D 2 erhalten somit die vollständige Lösung x(t) 

. Quadrieren und Addieren beider Glei-

  D sowie cos()   1  D 2 . Wir 

 f0  1 1 exp( t ) cosd t   2  2    1 D

Beachten wir noch dann folgt

f0 A2

(10.38)

f0 

2



F0 m

2



F0  x st und führen die dimensionslose Zeit   t ein, k

194

10 Spezielle Systemerregungen   1 x ( t )  x st 1  e  D cos( 1  D 2  ) 2   1 D

(10.39)

Beziehen wir die Auslenkung x(t) noch auf die statische Auslenkung xst, dann erhalten wir die Sprungübergangsfunktion

x ü (t ) 

1 x(t )  1 e  D cos( 1  D 2  ) 2 x st 1 D

(D 1)

(10.40)

des Einmassenschwingers, die deshalb so genannt wird, weil sie den Übergang des Schwingers aus der alten in die neue Gleichgewichtslage beschreibt.

Abb. 10.24

Sprungübergangsfunktionen xü für verschiedene Dämpfungsgrade D

Ist der Dämpfungsgrad D sehr klein gegenüber 1, dann gilt noch folgende Abschätzung x ü  1  e  D cos(  D)

( D  1 )

(10.41)

Beispiel 10-4:

Der Kragträger in Abb. 10.25 mit der Endmasse m und dem Gewicht G  mg wird im Montagezustand durch eine Hilfsstütze in horizontaler Lage gehalten. Zum Zeitpunkt t  0 wird die Stütze herausgeschlagen. Gesucht werden die dynamischen Beanspruchungen des Trägers nach dem plötzlichen Entfernen der Stütze.

10.5 Erregung durch eine Sprungfunktion

Abb. 10.25

195

Kragträger mit Hilfsstütze, freigeschnittenes System

Lösung: Das mechanische Schwingungsmodell für den Kragträger besteht aus einer masselosen Feder (Federsteifigkeit k  3EI yy  3 ) und einer Endmasse m. Die innere Werkstoffdämpfung beträgt D  0,05 . Freischneiden der Masse und Anwendung des Newtonschen

Grundgesetzes liefert mx  k x  cx  mg und damit x  2x   2 x  g . Mit f 0  g können wir die Lösung (10.39) übernehmen.

Abb. 10.26

Abb. 10.27 Sprungübergangsfunktion xü(t)

Auslenkung x(t) [cm]

Systemwerte: Endmasse: Federsteifigkeit: Eigenkreisfrequenz: Schwingungsdauer: Eigenfrequenz: Phasenverschiebung: Statische Auslenkung:

Stahlträger IPE 300 (DIN 1025)  = 3,75 m; Iyy = 8360 cm4; E = 210000 N/mm2 m = 5000 kg k  3EI yy / 3  9987, 4 N / cm   k m = 14,13 s-1 T  2 /   0,44 s f  1 / T  2,25 Hz sin   D  0,05 , cos    1  D 2  1 ,     0,05    D x st 

f0 

2



g 

2



9,81 14,13 2

 0,0491 m

196

10 Spezielle Systemerregungen

Die Sprungübergangsfunktion in Abb. 10.27 zeigt, dass kurz nach dem Entfernen der Hilfsstütze die Auslenkung der Masse m nahezu auf den doppelten Wert der statischen Auslenkung anwächst, ein Sachverhalt, der bei einer möglichen Spannungsberechnung des Trägers berücksichtigt werden sollte.

10.6

Erregung durch einen Rechteckstoß

Abb. 10.28

Der Rechteckstoß

Die einfachste Form einer Stoßfunktion ist der in Abb. 10.28 skizzierte Rechteckstoß, der analytisch durch 0  F( t )  F0 0 

für für

t0 0t

für

t

gegeben ist. Diese Funktion beschreibt im Zeitintervall 0 < t <  die Einwirkung einer konstanten Kraft F  F0 auf ein schwingungsfähiges System. Das Zeitintegral t 

S

 F(t)dt  F  0

(10.42)

t 0

wird Kraftstoß oder auch kurz Stoß genannt. Die Lösung des Problems erfolgt durch das bereichsweise Aufstellen und Lösen der maßgebenden Bewegungsgleichungen sowie das Anpassen dieser Lösungen an die Anfangs- und Übergangsbedingungen. Wir unterstellen, dass sich das System zur Zeit t < 0 in Ruhe befand. Damit gilt hier die Triviallösung x ( t )  0 und x ( t )  0 . Für die Bereiche II und III ergeben sich dann folgende Lösungen. Bereich II (0 < t < ): Im Bereich II wirkt die konstante Kraft F0. Die Differenzialgleichung x  2x  2 x  f 0 (f 0  F0 m) ist bereits bekannt, und die allgemeine Lösung für Dämpfungsgrade D  1 lautet

10.6 Erregung durch einen Rechteckstoß

197

x ( t )  e t D1 cos d t  D 2 sin d t   f 0 / 2 x ( t )  e t D1  d D 2  cos d t  d D1  D 2  sin d t 

Da sich das System zur Zeit t < 0 in Ruhe befand, müssen die Anfangsbedingungen x ( t  0)  0  D1  f 0 / 2 und x ( t  0)  0  D1  d D 2 erfüllt sein. Das liefert die Konstanten D1   x(t ) 

f0 

2

, D2  

f0  und damit 2 d

f0  f    1  e  t  cos d t  sin d t , x ( t )  0 e  t sin d t 2  d d    

und für den rechten Rand t =  folgen x ( t  ) 

f0  f    1  e    cos d   sin d  , x ( t  )  0 e   sin d  2        d d

Diese Lösungen entsprechen den Anfangswerten der Bewegung im Zeitbereich III. Bereich III (t > )

Aufgrund fehlender äußerer Belastung gilt hier die homogene Bewegungsgleichung x  2x   2 x  0

mit den bekannten Lösungen

x ( t )  e t C1 cos d t  C2 sin d t  x ( t )  e  t C1  d C2  cos d t  d C1  C2  sin d t  Die beiden noch freien Konstanten C1 und C2 werden so bestimmt, dass zum Zeitpunkt t =  die Anfangsbedingungen f0     1  e   cos d   sin d   2       d f  e   C1  d C 2  cos d   d C1  C 2  sin d   0 e   sin d  d e  C1 cos d   C 2 sin d  

erfüllt sind. Das obige Gleichungssystem besitzt die Lösungen  f 0      e  cos d    sin d    1 2     d f 0        C 2  2 e  cos d   sin d        d  d  C1 

(10.43)

198

10 Spezielle Systemerregungen

Mit den dimensionslosen Größen I  f 0 

S D ,   t ,    ,   1 D 2 ,   ; d t  1  D 2     m

lautet die vollständige Lösung, getrennt nach beiden Bereichen Bereich II (0 <  < ) x

I 2

1  e D cos    sin ;

x 

I  D e sin  

Bereich III ( > ) x

I 2

e  D exp(D)cos (  )   sin (  )  cos    sin 

 I  D x  e exp(D) sin (  )  sin  

Abb. 10.29

Rechteckimpulserregung, Einfluss der Lasteinwirkungsdauer

Abb. 10.29 zeigt den Einfluss der Dauer der Rechteckimpulserregung auf das Schwingungsverhalten des gedämpften Einmassenschwingers. Nach dem Entfernen der Last setzt eine Schwingung um die spätere Ruhelage x(t) = 0 ein.

10.7 Der ideale Rechteckstoß

10.7

199

Der ideale Rechteckstoß Von besonderem Interesse ist die Lösung im Bereich III, wenn bei festgehaltenem Kraftstoß S die Einwirkungsdauer  der Kraft F0 sehr klein wird und im Grenzfall mit  gegen null strebt (Abb. 10.30). Um hier zu einer Lösung zu kommen, entwickeln wir die Konstanten in (10.43) in eine Potenzreihe um den Punkt   0 und erhalten mit I  f 0  I I C1     O( 2 ), C 2   O( ) 2 d

Der Grenzprozess   0 wird nun derart durchgeführt, dass der auf die Masse m bezogene Stoß I  S / m  f 0 während des Grenzprozesses konstant bleibt. Damit erhalten wir die Lösung für den idealen Rechteckstoß Abb. 10.30

Rechteckimpulse, S = F0

x (t ) 

I  t e sin d t , x ( t )  Ie t cos d t   / d sin d t  d

(10.44)

die offensichtlich folgenden Anfangsbedingungen genügt: x ( t  0)  0, x ( t  0)  I .

Abb. 10.31

Rechteckstoßbelastung, bezogene Auslenkungen ~ x   x(  ) / I (D = 0,1)

Abb. 10.32 Stoßübergangsfunktionen xü für verschiedene Dämpfungsgrade D

Abb. 10.31 zeigt die bezogenen Auslenkungen ~ x  x () / I für unterschiedliche Einwirkungszeiten    . Offensichtlich sind die Amplituden der Auslenkungen umso größer, je kürzer die Einwirkungszeiten  sind. Kurze Stöße führen im Vergleich zu langen weichen Stößen zu größeren Auslenkungen und damit auch zu größeren Beanspruchungen des Trag-

200

10 Spezielle Systemerregungen

werks. Im Grenzfall   0 (idealer Rechteckstoß) ergibt sich die größte Amplitude aus x (   e )  0 nach (10.44) zum Zeitpunkt  e 

 1 1  D2 1 . arctan  arctan  D D 1 D2

Ist D  1 , dann kann mit guter Näherung  e   / 2  D gesetzt werden. Für D = 0,1 und damit   1  0,12  0,995 ist beispielsweise e  1,48 , und die diesem Zeitpunkt zugeordnete größte Auslenkung ist unter Beachtung von sin  e  sin(arctan  / D)   D  ~ x ( e )  exp  arctan   0,863 . D  

Die bezogene Auslenkung x ü () 

 1 1 x ()  e  D sin   e  D sin 1  D 2  2 I  1 D

wird Impulsübergangsfunktion oder auch Stoßübergangsfunktion genannt.

10.8

Die Diracsche Delta-Funktion

Diese auf Dirac1 zurückgehende verallgemeinerte Funktion (Abb. 10.33) ist wie folgt definiert ( t )  0 ( t )  

für t  0 für t  0

(10.45)

Offensichtlich ist die Delta-Funktion keine Funktion im Sinne der klassischen Analysis. Sie wird deshalb auch als Distribution oder verallgemeinerte Funktion bezeichnet. Ihr werden folgende Eigenschaften zugeordnet 











 (t) dt  lim  (t) dt  1,  f (t)(t) dt  lim  f (t)(t) dt  f (0)



 0

 0



Der Flächeninhalt unter der Kurve soll also den Wert 1 haben. Aus diesem Grunde wird die Delta-Funktion auch als Einheitsstoß bezeichnet. Für davon abweichende Intensitäten muss die Delta-Funktion noch mit entsprechenden Konstanten multipliziert werden. Sie eignet sich im Besonderen zur Darstellung konzentrierter Lasten oder auch sehr kurzzeitiger Vorgänge.

1

Paul Adrien Maurice Dirac, brit. Physiker, 1902-1984

10.8 Die Diracsche Delta-Funktion

201

Es gelten folgende Rechenregeln: 

 f (t)(t  t' ) dt  f (t' ) ,

 







d ( t ) f ( t ) dt   ( t ) f ( t ) dt  f (0)  t ( t )  ( t ) dt





1  t  ( c  0 ) c 1 Die Delta-Funktion hat die Dimension [δ] = . Zeit ( t  t ' )  ( t ' t ) ,

(ct ) 

Abb. 10.33 Die Diracsche Delta-Funktion

Abb. 10.34

Stoßartige Belastung zum Zeitpunkt t = t'

Bringen wir auf den Einmassenschwinger nach Abb. 10.34 zum Zeitpunkt t = t' einen bezogenen Stoß mit der Intensität I = S/m auf, dann wird die Bewegung durch die Differenzialgleichung x  2x   2 x  I ( t  t ' )

(10.46)

beschrieben. Da auf der rechten Seite von (10.46) eine Distribution steht, ist die Integration der Differenzialgleichung im üblichen Sinne nicht möglich. Wir ordnen ihr die Lösung für den idealen Rechteckstoß zu, wobei lediglich t durch t  t ' zu ersetzen ist. Für t  t ' gilt dann mit I = S/m x(t) 

I  ( t  t ') e sin d  t  t ' d

x ( t )  Ie

  cos d ( t  t ' )   sin d ( t  t ' )   d

 ( t  t ') 

(10.47)

Befand sich das System für t  t ' in Ruhe, dann führt der Schwinger für t  t ' Eigenschwingungen mit den Anfangsbedingungen x ( t  t ' )  0 und x ( t  t ' )  I aus. Als Impulsantwort oder Gewichtsfunktion des geschwindigkeitsproportional gedämpften Einmassenschwingers wird der Ausdruck

202

10 Spezielle Systemerregungen

g( t  t ' ) 

1   ( t  t ') e sin d  t  t ' d

(10.48)

bezeichnet. Die Impulsantwort g drückt die Antwort eines gedämpften Einmassenschwingers auf einen Impuls I der Intensität "1" zum Zeitpunkt t  t ' aus.

10.9

Allgemeine Erregerfunktionen

Wir betrachten die lineare inhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung x( t )  p( t ) x  q ( t ) x ( t )  f ( t )

(10.49)

Die Koeffizientenfunktionen p(t), q(t) und die bezogene Erregerkraft f(t) sind mindestens abschnittsweise stetige Funktionen. Die zugeordnete homogene Differenzialgleichung x h ( t )  p( t ) x h  q( t ) x h ( t )  0

besitzt die linear unabhängigen Lösungen x1, h ( t ) und x 2, h ( t ) . Aufgrund der Linearität der Differenzialgleichung ist dann die Linearkombination

x h ( t )  C1 x h ,1 ( t )  C 2 x h , 2 ( t )

(10.50)

mit beliebigen Konstanten C1 und C2 auch Lösung der homogenen Differenzialgleichung. Sind zwei linear unabhängige Lösungen bekannt, dann können wir auch eine partikuläre Lösung und damit die allgemeine Lösung von (10.49) finden. Dazu wenden wir das auf Lagrange zurückgehende Verfahren der Variation der Konstanten an. Zur Beschaffung einer partikulären Lösung der Gleichung x p ( t )  p( t ) x p  q ( t ) x p ( t )  f ( t )

(10.51)

setzen wir deren Lösung in derselben Form wie (10.50) an, allerdings nicht mit konstanten Koeffizienten C1 und C2, sondern als gesuchte Funktionen der Zeit t, also x p ( t )  C1 ( t ) x h ,1 ( t )  C 2 ( t ) x h , 2 ( t )

(10.52)

 x  C x . Da der AnDiese Gleichung besitzt die Ableitung x p  C 1x h ,1  C1x h ,1  C 2 h ,2 2 h ,2

satz (10.52) mit C1 ( t ) und C 2 ( t ) zwei Funktionen enthält, können wir eine zusätzliche Bedingung vorgeben. Wir fordern C 1x h ,1  C 2 x h , 2  0 , was zu x p  C1x h ,1  C 2 x h , 2 und  x  C x  C  x  C x führt. Beachten wir diese Ableitungen in (10.51) dann x p  C 1 h ,1 1 h ,1 2 h ,2 2 h ,2

erhalten wir  x  C  x  f ( t ) C1[x h ,1  p( t ) x h ,1  q( t ) x h ,1 ]  C 2 [x h , 2  p( t ) x h , 2  q ( t ) x h , 2 ]  C 1 h ,1 2 h ,2   0

0

10.9 Allgemeine Erregerfunktionen

203

Da x h ,1 ( t ) und x h , 2 ( t ) je für sich die homogene Differenzialgleichung erfüllen, verbleibt das lineare Gleichungssystem

 x h ,1  x  h ,1

x h ,2   C 1   0   x h ,2  C 2  f ( t )

zur Bestimmung der beiden unbekannten Funktionen C 1 und C 2 . Wegen der linearen Unabhängigkeit der beiden Teillösungen x1, h ( t ) und x 2, h ( t ) gilt für die Koeffizientendeterminante   x h ,1x h , 2  x h ,1x h , 2  0 , womit das System immer die eindeutige Lösung x h ,2 ( t )   x h ,1 ( t ) f ( t ) f ( t ), C C 1   2 ( t ) ( t ) besitzt. Wir schreiben die daraus folgenden Stammfunktionen als Integrale mit veränderlichen oberen Grenzen und bezeichnen die Integrationsvariable mit  t

C1 ( t )  



 t 0

x h , 2 ()  ()

t

f () d, C 2 ( t ) 



 t 0

x h ,1 () ()

f () d

(10.53)

Dabei ist t0 ein fester Wert. Für t = t0 fallen obere und untere Grenze der Integrale zusammen, die damit verschwinden. Somit genügt die partikuläre Lösung (10.52) den Anfangsbedingungen x p ( t  t 0 )  0 , und wegen x p  C1 ( t ) x h ,1  C 2 ( t ) x h , 2 gilt dann auch für die erste Ableitung x p ( t  t 0 )  0 . Wir konkretisieren die bisherigen Untersuchungen und betrachten dazu die inhomogene Differenzialgleichung der gedämpften Bewegung x  2x  2 x  f ( t ) . Ein Vergleich mit (10.51) zeigt: p  2 und q  2 . Die homogene Differenzialgleichung x h  2x h  2 x h  0 besitzt die beiden linear unabhängigen Lösungen (    2  2 ) x h ,1 ( t )  e( δ   )t und x h , 2 ( t )  e ( δ   )t . Deren Ableitungen sind x h ,1  (δ  )e (  δ   )t  (δ  ) x h ,1, x h ,1  (δ  ) 2 e( δ   )t  (δ  ) 2 x h ,1 x h , 2  (δ  )e(  δ   )t  (δ  ) x h , 2 , x h ,2  (δ  ) 2 e( δ   )t  (δ  ) 2 x h ,2

und für die Koeffizientendeterminante folgt   2e 2t  0 . Damit sind 1 f ( t ) e(   ) t 1 f (t ) e(   ) t , C 2  x h ,1f ( t )   C 1   x h , 2f ( t )    2 2

und mit (10.53) folgen 1 C1 ( t )  2

t

 f () e

 t 0

(   ) 

1 d, C 2 ( t )  2

t

 f () e

 t 0

(   ) 

d

204

10 Spezielle Systemerregungen

Damit ergibt sich die partikuläre Lösung x p (t)  e

(  δ   )t

1 2

t

 f ( ) e

( ) 

d  e

(  δ   )t

 t 0

1 2

t

 f ( ) e

(   ) 

d

 t 0

Ziehen wir noch die von der Integrationsvariablen  unabhängigen Funktionen unter das Integral, dann liefert die Zusammenfassung x p (t) 

1 2

t

 [e

 ( t   )(    )

 e ( t  )(   ) ]f () d

(10.54)

 t 0

Hinweis: In (10.54) tritt auf der rechten Seite die Variable t einerseits als obere Grenze des Integrals und andererseits unter dem Integral als Parameter auf. Führen wir noch die Gewichtsfunktion e ( t  )(  )  e ( t  )(   ) 2

g ( t  ) 

(10.55)

ein, dann erscheint (10.54) in der kompakten Form t

x p (t ) 

 f () g(t  ) d

(10.56)

 t 0

Die durch die Beziehung (10.56) definierte Funktion xp(t) wird als Faltung (engl. convolution) der beiden Funktionen f () und g ( t  ) bezeichnet und dafür die Schreibweise t



x p ( t )  f ()  g( t  )  f () g( t  ) d

(10.57)

0

gewählt. Für die Faltung gilt x p ( t )  f ()  g ( t  )  f ( t  )  g ()

(10.58)

Substituieren wir nämlich t '  t   , dann folgt aus (10.57) mit d  dt ' und veränderten 0



t



Grenzen x p ( t )   f ( t  t ' ) g( t ' ) dt '  f ( t  t ' ) g ( t ' ) dt ' , und wenn wir t' wieder durch  t

0

ersetzen, die Behauptung (10.58). Befindet sich das System zum Zeitpunkt t = t0 nicht in Ruhe, dann ist dem Partikularintegral ein Integral der homogenen Differenzialgleichung hinzuzufügen. Mit den beiden Konstanten aus der homogenen Lösung lässt sich dann die Gesamtlösung an beliebige inhomogene Anfangsbedingungen anpassen.

10.9 Allgemeine Erregerfunktionen

205

Es können nun folgende Fälle auftreten: 1.) Im Fall fehlender Dämpfung ist   0 und   i . Für die Gewichtsfunktion erhalten wir g ( t  ) 

e( t  )i  e  ( t  )i sin ( t  )  . 2i 

2.) Im Fall schwacher Dämpfung ist 2   2 . Das bedeutet   i  mit   2   2  d , und wir erhalten g ( t  ) 

e ( t  )( i )  e  ( t  )( i ) e ( t  ) sin  ( t  ) e  ( t  ) sin d ( t  )   d 2i  

3.) Der stark gedämpfte Fall ist gekennzeichnet durch  2  2 . Damit wird    2  2 reell und die Lösung liegt mit (10.55) bereits vor. 4.) Im Grenzfall D  1 ist    und   0 . Damit scheitert zunächst die Auswertung von (10.55). Nach der Regel von Bernoulli-L’Hospital erhalten wir den Grenzwert e  ( t  )(   )  e ( t  )(   )  ( t  )e  ( t  ) .  0 2

g ( t  )  lim

5.) Schließlich ergibt sich für die allgemeine Kriechbewegung mit   0 und    g ( t  ) 

1  e 2( t  ) . 2

Beispiel 10-5: Das System in Abb. 10.23 wird zum Zeitpunkt t = 0 aus der Ruhe heraus durch eine sprunghafte Belastung mit der Intensität F0 beansprucht. Die partikuläre Lösung (10.54) ist mit t 0  0 und f ()  f 0  F0 / m dann auch die vollständige Lösung. Diese Lösungen können, je nach Dämpfungsgrad, unterschiedlich sein. 1. Schwache Dämpfung x p (t) 

t

F0 md

e

0

( t  )

sin d ( t  ) d 

F0 m2

[1  e t (cos d t   / d sin d t )]

2. Starke Dämpfung x p (t) 

F0 2m

t



[e ( t  )(   )  e ( t  )(   ) ] d 

0

F0 e  (   ) t ( /   1)  e (    ) t ( /   1)  2 m 2(2   2 )

206

10 Spezielle Systemerregungen

3. Grenzfall F x p (t)  0 m

t



[( t  )e  ( t  ) ] d 

 0

F0 1  e  t (1  t ) m 2

Beispiel 10-6 Das System nach Abb. 10.28 wird durch den in Abb. 10.35 skizzierten Rechteckstoß der Intensität F0 und der Dauer   t F belastet. Gesucht wird die dynamische Antwort, wenn das System zum Zeitpunkt t  0 in Ruhe war. Geg.: k  50 kN / m , m  400 kg , D  0,05 , t F  2 s , F0  10 kN . Abb. 10.35

Der Rechteckstoß

Lösung: Wegen D  0,05  1 ist das System schwach gedämpft. Die Erregerkraft F( t )  F0 [H( t )  H( t  t F )] können wir uns aus zwei zeitversetzten Sprungfunktionen zusammengesetzt denken (Abb. 10.35). Im Fall der schwachen Dämpfung erhalten wir x (t) 

F0 md

t

 [H()  H(  t

F )] e

 ( t  )

sin d ( t  )d

0

 t F  1  e (cos d t   / d sin d t )   02  m  H( t  t F ) 1  exp  ( t  t F ) (cos d ( t  t F )   / d sin d ( t  t F ))





und damit abschnittsweise x (t ) 

x (t ) 

F0 m2

[1  e  t (cos d t   / d sin d t )]

( t  t F ) cos d ( t  t F )   / d sin d ( t  t F ) F0  e  2  m  e t (cos d t   / d sin d t ) 

Im ungedämpften Fall mit   0 ist x(t)  

F0 m F0 m2

t

 [H()  H(  t

F )] sin ( t  )d

0

1  cos t  H( t  t F )1  cos ( t  t F ) 

( 0  t  tF ) ( t  tF )

  

10.9 Allgemeine Erregerfunktionen

207

und damit abschnittsweise x (t ) 

x (t ) 

Abb. 10.36

F0 m2

F0 m2

1  cos t 

( 0  t  tF )

cos ( t  t F )  cos t 

( t  tF )

Der Rechteckstoß (D = 0,05, tF = 2 s)

Abb. 10.37

Der Rechteckstoß (D = 0, tF = 2 s)

Beispiel 10-7:

Abb. 10.38

Sendemast unter Dreiecklast F(t)

Abb. 10.39 Auslenkung x(t) infolge Dreiecklast F(t)

Der Sendemast in Abb. 10.38 wird durch eine Last F(t) belastet, die durch einen Dreieckimpuls angenähert wird. Gesucht wird die dynamische Antwort des Systems, wenn in einem ersten Schritt von einer Systemdämpfung abgesehen werden kann. Geg.: k  50 kN / m , m  400 kg , t F  0,1 s , F0  10 kN .

208

10 Spezielle Systemerregungen

Lösung: Die Belastung F( t )  F0 1  t / t F H( t )  H( t  t F ) wird mittels der HeavisideFunktion dargestellt. Im ungedämpften Fall ist g ( t  ) 

1 sin  t    und die Auswertung 

des Integrals liefert 1 x(t)   

t



F0 f () sin ( t  ) d  mt F

0

F0 m3 t F

t

 H()  H(  t

F)

1   / t F  sin ( t  ) d

0

H( t  t F )  1( t  t F )  H( t  t F ) sin ( t  t F )  sin t  t F cos t

und damit abschnittsweise x (t ) 

x(t) 

F0 m3 t F F0 m3 t F

sin t  t F cos t  ( t  t F )

( 0  t  tF )

sin t  t F cos t  sin ( t  t F )

( t  tF )

Die analytische Darstellung der Verschiebung des gedämpften Systems ist schon recht aufwendig, weshalb hier darauf verzichtet wird. Zum Vergleich wurde in Abb. 10.39 aus einer nummerischen Berechnung das Ergebnis für den Dämpfungsgrad D  0,05 hinzugefügt. Beispiel 10-8:

Der schwach gedämpfte Schwinger in Abb. 10.40 wird zum Zeitpunkt t  t1 durch einen Einheitsstoß I  S / m  1 m / s belastet. Gesucht wird die Antwort des Systems. Geg.:   1,0 s 1 ,   0,1 s 1 und t1  1 s .

Lösung: Die dem Problem zugeordnete Differenzialgleichung x  2x  2 x  I  t  t1  entspricht (10.46). Wir beschränken uns auf die partikuläre Lösung t



x p ( t )  f ()  g( t  )  f () g( t  ) d . 0

Abb. 10.40

Der Einheitsstoß

10.10 Der Stoß

209

Im vorliegenden Fall der schwachen Dämpfung ist die Gewichtsfunktion g ( t  ) 

e  ( t  ) sin d ( t  ) zu verwenden, und die Integration liefert (Abb. 10.41): d

I x p (t)  d

t

 (   t ) e 1

  ( t  )

sin d ( t  ) d 

0

I   ( t  t1 ) e sin d ( t  t1 )H( t1 )  H( t1  t ) d

Abb. 10.41 Auslenkung x(t) infolge eines Einheitsstoßes

10.10

Der Stoß

Prallen zwei oder auch mehrere feste Körper mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aufeinander, dann kommt es in kürzester Zeit zu erheblichen Geschwindigkeitsänderungen, bei denen sich die Bewegungszustände der am Stoß beteiligten Körper quasi augenblicklich ändern. Das passiert auch bei plötzlichen Fixierungen von Körpern, und in all diesen Fällen sprechen wir vom Stoß. Der nächstliegende Fall ist das Zusammentreffen lediglich zweier Körper. Zur Terminologie des Stoßes ist folgendes anzumerken. Wir sprechen vom zentralen Stoß, wenn die Stoßkraft in der Verbindungsgeraden der Schwerpunkte der beiden Körper liegt. Von einem geraden zentralen Stoß (Abb. 10.42, links) wird gesprochen, wenn zusätzlich die Geschwindigkeitsvektoren der Körperschwerpunkte auch in die Verbindungsgerade fallen, andernfalls handelt es sich um den schiefen zentralen Stoß (Abb. 10.42, rechts). Historisch ist anzumerken, dass die ersten quantitativen Ergebnisse zum Stoßproblem auf Galilei, Huygens und Newton zurückgehen.

210

10 Spezielle Systemerregungen

Abb. 10.42 Der zentrale Stoß

Fallen weder die Stoßkräfte noch die Geschwindigkeitsvektoren in die Verbindungsgerade, dann liegt ein schiefer exzentrischer Stoß vor (Abb. 10.43). Ausgangspunkt für die Herleitung der Grundgleichungen sind Schwerpunkt- und Drallsatz. Mit diesen Sätzen erfassen wir in integraler Form die am Stoß beteiligten Kräfte

Fa 

n

F

a j

und Momente

j1

M a0 

n



rj  Fja . Aus dem Schwerpunktsatz F a 

j1

n

F

a j

m

j1

dv s ermitteln wir durch Indt

tegration über die Stoßdauer t  t1  t 0 t1

v  v )  m v  F dt  S  m(   a

0 S

(10.59)

S

 v S

t0

Abb. 10.43 Stoß

1 S

Der schiefe exzentrische

Das Zeitintegral über die äußere Kraft Fa vom Beginn t0 bis zum Ende t1 des Stoßvorganges wird, wie bereits in (10.42) definiert, Kraftstoß S oder auch kurz Stoß genannt. Da das Produkt m v S eine endliche Größe darstellt, und die Stoßdauer t i. Allg. sehr klein ist, müssen die unter dem Integral stehenden Stoßkräfte Fa sehr groß sein, was dazu Veranlassung gibt, alle sonstigen äußeren Kräfte, etwa die Schwerkraft, zu vernachlässigen. Ausgehend vom Drallsatz d d r  v dm  r  v dm erhalin der Form M a  D  dt dt





(m)

(m)

ten wir durch Multiplikation mit dt zunächst M a dt  dD 

    d  r  v dm dt   r  v dm dt        dt   (m)   (m) 





n

r  F j

j1

a j

 dt  

10.10 Der Stoß

211

und die anschließende Integration über die Stoßzeit t  t1  t 0 führt auf t1

1

0

D -D 

t1

 

[ r  v dm] dt 

n

 r  F

a j

j

dt

t  t 0 j1

t  t 0 (m)

Wir können während der sehr kurzen Stoßphase näherungsweise von stetigen und konstanten Vektoren rj ausgehen, womit wir unter Berücksichtigung von (10.59) D1 - D 0  D 

t1

n

 j1

(rj 



Fja dt ) 

tt0

n

r S j

j

j1

erhalten. Die Änderung des Drallvektors D  D1 - D 0 vor und nach dem Stoß ist somit identisch mit der Summe der Momente der Teilstöße.

10.10.1

Der gerade zentrale Stoß

Wir betrachten die beiden zum Stoß kommenden Kugeln in Abb. 10.44. Der Kontakt beider Körper soll punktförmig erfolgen. Sowohl die Stoßkräfte wie auch die Geschwindigkeitsvektoren liegen in der Verbindungsgeraden der beiden Schwerpunkte. Da hier ein eindimensionales Problem vorliegt, die Stoßnormale haben wir in die x-Achse gelegt, verzichten Abb. 10.44 Der gerade zentrale Stoß wir auf den Vektorcharakter und ersetzen im Folgenden die Vektoren durch ihre Koordinaten. Die Geschwindigkeiten der beiden Kugelschwerpunkte unmittelbar vor dem Stoß sind v1 und v2, und die Geschwindigkeiten direkt nach dem Stoß werden mit c1 und c2 bezeichnet. Wenden wir den Schwerpunktsatz auf beide Massen an, dann ist zunächst das Befreiungsprinzip auf beide Kugeln anzuwenden, womit die inneren Kontaktkräfte zu äußeren Kräften werden. Wir erhalten für die Kraftstöße beider Massen unter Beachtung des Reaktionsprinzips t1

Masse m1:



S1  F1 dt  m1 (c1  v1 ) t0

t1

Masse m2:



t1



S2  F2 dt   F1 dt  m 2 (c 2  v 2 ) t0

t0

Durch Addition beider Gleichungen folgt m1 (c1  v1 )   m 2 (c 2  v 2 ) oder m1c1  m 2 c 2  m1v1  m 2 v 2

(10.60)

212

10 Spezielle Systemerregungen

und das ist die Erhaltung des Impulses. Da (10.60) die beiden unbekannten Geschwindigkeiten c1 und c2 nach dem Stoß enthält, benötigen wir zur Lösung des Problems eine weitere Beziehung. Dazu denken wir uns beide Körper als deformierbar und zerlegen den Stoßvorgang in eine Kompressions- und eine Restitutionsphase. Die Kompressionsphase findet in der Zeit von t  t 0 bis t  t ' und die Restitutionsphase von t ' bis t1 statt. Die Kompressionsphase soll dann beendet sein, wenn die beiden Schwerpunkte den geringsten Abstand d x 2 ( t )  x1 ( t ) haben. Das erfordert [ x 2 ( t )  x1 ( t )] t  t '  0  x 2 ( t ' )  x 1 ( t ' ) . Kürzen wir die dt Schwerpunktsgeschwindigkeiten x 1 ( t ' )  x 2 ( t ' ) mit u ab und werten die Kompressionsphase beider Massen mit (10.59) aus, dann erhalten wir unter Beachtung des Reaktionsprinzips t'

t'





m1 (u  v1 )   F1 ( t )dt  J1, m 2 (u  v 2 )  F1 ( t )dt  J1 t0

(10.61)

t0

Die Addition beider Gleichung liefert die gemeinsame Schwerpunktsgeschwindigkeit am Ende der Kompressionsphase u

m1v1  m 2 v 2 m1  m 2

(10.62)

Entsprechend erhalten wir für die Restitutionsphase t'

t'





m1 (c1  u )   F1 ( t )dt  J 2 , m 2 (c 2  u )  F1 ( t )dt  J 2 t0

(10.63)

t0

Zur Berechnung von c1 und c2 reichen auch diese Gleichungen nicht aus. Wir benötigen noch die auf Newton zurückgehende Stoßhypothese, nach der die Kraftstöße der Kompressionsund Restitutionsphase in einem festen Verhältnis stehen J 2  J1

(   konst. )

(10.64)

Aus (10.63) unter Beachtung von (10.64) mit (10.61) erhalten wir die beiden Gleichungen c1  u  (u  v1 ) und c 2  u  (u  v 2 )

(10.65)

aus denen wir durch Subtraktion 

c 2  c1 v 2  v1

(10.66)

folgt, wonach die Relativgeschwindigkeiten der Schwerpunkte nach und vor dem Stoß in einem festen Verhältnis stehen. Die materialabhängige Konstante 0    1 wird Stoßzahl genannt. Für   1 heißt der Stoß ideal elastisch und für   0 ideal plastisch. Die Geschwindigkeiten c1 und c2 errechnen sich aus (10.65) mit (10.62) zu

10.10 Der Stoß c1  v1 

213 (1  )( v1  v 2 ) (1  )( v 2  v1 ) , c2  v2  1  m1 / m 2 1  m 2 / m1

(10.67)

und für die Grenzfälle gilt   0 : c1  c 2    1 : c1 

m1v1  m 2 v 2 u m1  m 2

2m 2 v 2  (m 2  m1 ) v1 2m1v1  (m1  m 2 ) v 2 ; c2  m1  m 2 m1  m 2

Infolge des Stoßes verliert das System die Energie E 

1 1 1   2 m1m 2 m1 ( v12  c12 )  m 2 ( v 22  c 22 )  ( v1  v 2 ) 2 2 2 2 m1  m 2

Beispiel 10-9: Eine Stahlkugel fällt aus einer Höhe h auf eine ruhende starre Platte ( v 2  0, c 2  0 ). Beim ersten Rückprall erreicht die Kugel eine Höhe von h1  0,65h . Gesucht wird die Stoßzahl . Lösung: Mit v1  2gh und c1   2gh1 ist unter Beachtung von (10.66):   c1 / v1  h1 / h  0,65  0,81 .

10.10.2

Abb. 10.45

Der schiefe zentrale Stoß

Der schiefe zentrale Stoß

Ein schiefer zentraler Stoß liegt vor, wenn die Stoßkräfte in der Verbindungslinie beider Schwerpunkte liegen, nicht aber die Geschwindigkeitsvektoren selbst. Um hier zu einer praktikablen Lösung zu kommen, wird von Kräften senkrecht zur Stoßnormalen, beispielsweise von immer vorhandenen Reibungskräften, abgesehen. Unter dieser Voraussetzung können dann senkrecht zur Stoßnormalen keine Geschwindigkeitsänderungen

auftreten, was v1 sin   c1 sin ' , v 2 sin   c 2 sin '

(10.68)

erfordert. Für die Geschwindigkeiten in Richtung der Stoßnormalen folgt mit (10.67), wenn wir dort v1, v2, c1 und c2 durch v1 cos  , v 2 cos  , c1 cos ' und c 2 cos ' ersetzen

214

10 Spezielle Systemerregungen c1 cos '  v1 cos  

(1  )( v1 cos   v 2 cos ) 1  m1 / m 2

c 2 cos '  v 2 cos  

(1  )( v 2 cos   v1 cos  ) 1  m 2 / m1

(10.69)

Aus (10.68) und (10.69) können ' , ' , c1 und c2 berechnet werden.

10.10.3

Abb. 10.46

Der exzentrische Stoß

Abb. 10.47

Der gerade exzentrische Stoß

Kraftstoß auf das Lager A

Der exzentrische Stoß soll hier nur für einen ebenen Sonderfall behandelt werden, nämlich für den in Abb. 10.46 dargestellten geraden exzentrischen Stoß einer Masse m1 gegen einen drehbar gelagerten Körper mit der Masse m2 und dem Massenträgheitsmoment  A bezüglich der Achse durch den Aufhängepunkt A. Vor dem Stoß hat der Körper die Winkelgeschwindigkeit 0. Der Abstand des Schwerpunktes S vom Aufhängepunkt beträgt s. Die Stoßkräfte und die Geschwindigkeit der Masse m1 liegen in der Stoßnormalen. Damit ist hier der Stoß lediglich hinsichtlich des drehbar gelagerten Körpers exzentrisch. Wir erhalten aus dem über die Stoßzeit integrierten Schwerpunktsatz für die Masse m1 t1



m1 (c1  v1 )   F1 dt  S1 t0

und durch Integration des Drallsatzes, den wir bezüglich des raumfesten Punktes A notieren t1

 A (1  0 ) 



t1

M A ( t )dt 

t t 0

 F (t) dt  S  2

t t 0

1

10.10 Der Stoß

215

wobei 1 die Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoß bedeutet. Die Newtonsche Stoßhypothese (10.66) lautet für diesen Fall   

1  c1 . Damit können c1, 1 und S1 ermittelt 0   v1

werden c1 

S1 

 A 0 (1  )  v1 (m1 2   A )  A  m1

2

, 1 

m1v1 (1  )  0 ( A  m1 2 )  A  m1 2

(1  )m1 A ( v1  0 )

(10.70)

 A  m1 2

Insbesondere folgt mit 0  0 c1 

v1 (m1 2   A )  A  m1

2

, 1 

m1v1 (1  )  A  m1

2

, S1 

(1  )m1v1 A  A  m1 2

(10.71)

Den vom Lager A aufzunehmenden Kraftstoß SA ermitteln wir aus dem Schwerpunktsatz in x-Richtung für die Masse m2 (Abb. 10.47). Denken wir uns die Hebelarme während der sehr kurzen Stoßzeit konstant und die Kräfte richtungstreu, dann liefert unter Beachtung von S2  S1 der über die Stoßdauer integrierte Schwerpunktsatz in tangentialer Richtung m 2 s(1  0 )  S1  SA . Berücksichtigen wir noch (10.70), dann folgt SA 

m1 (1  )(0   v1 )(m 2 s   A )  A  m1 2

(10.72)

und speziell für 0  0 SA 

(1  )m1v1 ( A  m 2s)  A  m1 2

(10.73)

Gleichung (10.72) oder auch (10.73) entnehmen wir, dass der durch den Aufprall der Masse m1 hervorgerufene Stoßvorgang dann keinen Kraftstoß im Lager A hervorruft, wenn die  Masse m1 im Abstand    r  A auf den drehbar gelagerten Körper trifft. Dieser durch m 2s die reduzierte Pendellänge  r festgelegte Punkt heißt Stoßmittelpunkt.

216

10 Spezielle Systemerregungen

Beispiel 10-10: Das in Abb. 10.48 skizzierte Pendel wird von einem Körper der Masse m1 mit der Geschwindigkeit v1 im Abstand  vom Drehpunkt A getroffen. Der sich dabei einstellende maximale Ausschlagwinkel ist . Gesucht wird die Auftreffgeschwindigkeit v1 der Masse m1.

Abb. 10.48

Das ballistische Pendel

Lösung: Die Lösung erfolgt mittels des Energieerhaltungssatzes. Der Zustand (1) bezeichne den Auftreffzeitpunkt der Masse m1, vor dem sich das Pendel in Ruhe befand, und der Zustand (2) den Zeitpunkt des Maximalausschlages des Pendels. Dann sind

Zustand 1:

E1  1 / 2 A 12 ,

U1   m 2 gs

Zustand 2:

E2  0 ,

U 2   m 2 gs cos 

und damit 1 / 2 A 12  m 2 gs(1  cos ) . Beachten wir noch 1 aus (10.71) und lösen nach v1 auf, dann erhalten wir v1 

1   2 2gs(1  cos ) mit   (1  ) 

A m 2

2

und  

m2 . m1

Für   0 (inelastisches Pendel, Sandsack) und   1 verbleibt v1  (1  ) 2gs(1  cos ) . Liegt der Winkel  aus einer Messung vor, dann kann mit den obigen Beziehungen die Auftreffgeschwindigkeit v1 der Masse m1 berechnet werden.

10.10.4

Stoßbelastungen an Trägern

Auf den Biegeträger in Abb. 10.49 mit der Masse mB und der Biegesteifigkeit B y  EI yy schlägt an der Stelle x0 eine Masse m1 mit der Geschwindigkeit v1 auf. Gesucht wird die maximale Auslenkung wmax der Trägerachse an der Stelle x  x 0 unter angenäherter Berücksichtigung der Trägermasse. Vereinfachend soll angenommen werden, dass der Stoßvorgang am Ende der Kompressionsphase zum Zeitpunkt t  t ' abgeschlossen ist, und ein Ablösen beider Körper findet nach der Kompressionsphase nicht mehr statt.

10.10 Der Stoß

Abb. 10.49

217

Querstoß auf einen Träger

Zu diesem Zeitpunkt haben dann nach (10.62) die Masse m1 und das darunter liegende Träm1v1 . Der Impuls gerelement dmB die gemeinsame Geschwindigkeit u 0  m1  m



m u 0  J 0  dJ 0 des Biegeträgers zum Zeitpunkt t  t ' kann näherungsweise durch Sum-

mation aller durch den Stoß hervorgerufenen Elementarimpulse  ( x, t ' )  dJ 0  dm B w

mB  ( x, t ' ) dx w 

der einzelnen Massenelemente ermittelt werden. Die Vergleichsmasse m muss noch ermit ( x, t ' ) benötigen. Es soll ferner unterstellt telt werden, wozu wir die Geschwindigkeiten w werden, dass die aus dem Stoß resultierende Biegelinie dieselbe Form wie die statische Ausw (t ) w (x, t )  und damit lenkung infolge einer Einzelkraft an der Stelle x0 besitzt, also w st ( x 0 ) w st ( x ) w ( x, t ) 

w st ( x ) w (t )  f (x)w (t) w st ( x 0 )

(10.74)

Die Ortsfunktion f (x) 

w st ( x ) w st ( x 0 )

(10.75)

entspricht der bezogenen statischen Auslenkung der Trägerachse infolge einer Kraft an der  (x, t )  f (x ) w  ( t ) die Geschwindigkeit des MasseneleStelle x  x 0 . Mit (10.74) ist dann w  ( x, t ' )  f ( x ) w  ( t ' )  f ( x )u 0 . Für den Impuls mentes dmB, und zum Zeitpunkt t  t ' ist w



erhalten wir m u 0  dJ 0  ab: m  1m B mit 1 

1 

mB u0  



 f (x)dx  m

B 1u 0 .

Aus der obigen Beziehung lesen wir

x 0

 f (x)dx . Damit liegt auch die gemeinsame Geschwindigkeit

x 0

218

10 Spezielle Systemerregungen

m1v1 am Ende der Kompressionsphase fest. Zur Berechnung der maximalen m1  1 m B Auslenkung wmax werten wir den Energieerhaltungssatz am Ende der Kompressionsphase (Zustand 1) zum Zeitpunkt t  t ' und zum Zeitpunkt der maximalen Auslenkung (Zustand 2) aus. Dabei wird der in Wirklichkeit ausgelenkte Zustand 1 näherungsweise mit der gestreckten Lage des Biegeträgers identifiziert, was eine durchaus sinnvolle Annahme ist, wenn von einer kurzen Stoßdauer ausgegangen werden kann. Wir notieren zunächst die kinetische Energie eines Trägerelementes und erhalten u0 

1 1 mB 1 mB 2  2 (x, t )   ( t )]2   ( t ) f 2 ( x )dx . Die kinetische Enerdm B w dx [f ( x ) w w 2 2  2  gie des Trägers folgt dann durch Summation dE B 



E B  dE B 

1 mB 2  (t) w 2 





f 2 ( x )dx 

x 0

1 1  2 (t )2 ,  2  mBw  2



f

2

( x )dx .

x 0

Zur Berechnung der potentiellen Energie des Biegeträgers ersetzen wir diesen gedanklich durch eine lineare Feder und erhalten so die Formänderungsenergie U  1 / 2kw 2 ( t ) . Insbesondere gilt für die Zustände 1 und 2 Zustand 1: E1 

1 1 m1u 02  m B u 02  2 , 2 2

Zustand 2: E 2  0 ,

U1  0 U 2  m1gw max 

1 k w 2max 2

Mit der Energiebilanz E1  U1  E 2  U 2 ist dann 1 1 1 m1u 02  m B u 02  2   m1gw max  k w 2max . 2 2 2

Die Auflösung der obigen Gleichung nach w max ergibt w max 

v 2 m1   2 m B m1g  1  1  k 12 k  g (m1  1m B ) 2 

wobei zur Abkürzung w 0,st 

   w 1  1      2 0,st   (  1 ) 2  

   

(10.76)

kv12 m1g G1 m  ,  und   1 eingeführt wurden. 2 k k mB m Bg

Hinweis: Wird die Masse m1 plötzlich auf den Träger aufgebracht ( v1  0 ), dann ist w max  2w 0,st und damit doppelt so groß wie im statischen Fall.

10.10 Der Stoß

219

Beispiel 10-11: Auf das Ende eines Kragträgers (Abb. 10.50) fällt aus der Höhe h eine Masse m1. Gesucht wird die maximale Durchbiegung wmax am Trägerende. Lösung: Wenn der Körper mit der Masse m1 die Höhe h durchfallen hat, besitzt er die GeschwindigAbb. 10.50

w st () 

P 3 2  (3  ) . Mit    0  1 erhalten wir die Durchbiegung des Kontaktpunk6EI yy

tes w st (0 ) 

2 

1 

3EI yy P 3 . Die Steifigkeit des als Feder benutzten Balkens ist k  , und 3EI yy 3

kv12

damit   1 1  

m Bg

2



w () 1 2 2kh 2kh  . Mit (10.75) folgt f ()  st   (3  ) und weiter m Bg G B w st ( 0 ) 2



1

x 0

0

 f (x)dx   



keit v1  2gh . Die statische Durchbiegung des Kragträgers unter einer Kraft P am Trägerende ist

Querstoß auf einen Kragträger

1 f ()d  2

1

x 0



f 2 ()d 

0

2

(3  )d 

0

1

f 2 ( x )dx 

 1 4

3  0,375 8

1

 [

2

(3  )]2 d 

0

33  0,236 140

Um eine Vorstellung von der Größe der Durchbiegung wmax zu erhalten, wird eine Zahlenrechnung durchgeführt ( g  10 m / s 2 ). Wir wählen: m1  50 kg , G1  50 10  500 N , h  1 m , v1  2gh  2 10 1  4, 47 m / s . Stahlträger HEB 240 nach DIN 1025-2:

  5 m , E  210000 N / mm 2 , I yy  11260 cm 4 , B y  EI yy  2,365 108 kNcm2 . k

G 3  2,1 104 11, 26 103  5,675 kN / cm , G B  0,832  5,0  4,16 kN ,   1  0,12 , 5003 GB



2kh 2  5,675 10 5 1   272,84 . Die maximale Auslenkung des Trägerendes beträgt GB 4160

 0,12  0,236 w max  w 0,st 1  1  272,84 (0,12  0,375) 2 

w 0,st 

   20,93w 0,st , und unter Beachtung von  

G1 500   8,81 104 m  0,088 cm ergibt das w max  20,93w 0,st  1,84 cm . k 5,675 105

220

10 Spezielle Systemerregungen

Beispiel 10-12: Der in Abb. 10.51 skizzierte Stab wird in Längsrichtung durch die anprallende Masse m1 mit der Geschwindigkeit v1 belastet. Unter der Voraussetzung gerade bleibender Stabachse (kein Knicken), ist die maximale Kopfpunktverschiebung wmax zu berechnen. Lösung: Wir verwenden wieder (10.76), haben aber jetzt zu beachten, dass für die LängsverP  gilt, und die Federkonstante ist k  EA /  . schiebung w st ()   EA

Am Kontaktpunkt   0  1 wird w st (0 )   erhalten wir f ()   , was 1

1 



1

f ()d 

 0



d 

 0

1 2

P , und damit EA

1

und

2 



1

f 2 ()d 

0

1

  d  3 2

 0

ergibt. Weiterhin sind 

Abb. 10.51 einen Stab

Längsstoß auf

kv12 2



EAv12 2

und w 0,st 

m Bg m Bg  die Aufgabe als gelöst gelten kann.

G1 G1  festzustellen, womit k EA

11

Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

In der Schwingungstechnik treten häufig zeitabhängige Funktionen f(t) auf, die sich nach dem Durchlaufen der Zeit T periodisch wiederholen, für die also f ( t )  f ( t  T ) erfüllt ist. Die Zeit T wird Periode genannt. Innerhalb der Periode kann die Funktion beliebig verlaufen. Für die rechnerische Behandlung bietet es sich an, die Periode T durch die lineare Transformation x  2t / T auf den festen Wert 2 zu transformieren (Abb. 11.1). Die Periodizitätsbedingung in der neuen dimensionslosen Veränderlichen x lautet dann f ( x )  f ( x  2) .

Abb. 11.1

11.1

2-periodische Funktion f(x)

Fourierreihen

Zur näherungsweisen Berechnung von f(x) wählen wir die durch Linearkombination trigonometrischer Funktionen gebildete Funktion n

 n (x) 

a0  (a k cos kx  b k sin kx ) 2 k 1



(11.1)

Die noch unbekannten Koeffizienten a0, ak und bk werden aus der Forderung kleinster quadratischer Abweichungen zwischen  n ( x ) und f(x) innerhalb einer Periode nach der Vorschrift

222

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte 

 

n

(x)  f (x)  2 dx  F(a 0 ,a k , b k )  Min!

(k  1, 2, 3,, n)



(11.2)

ermittelt. Notwendige und hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes ist das Verschwinden der partiellen Ableitungen der Funktion F nach den Koeffizienten a0, ak und bk. Das liefert genau 2n  1 Gleichungen, die erforderlich sind, um alle Fourierkoeffizienten zu bestimmen. Wir demonstrieren das Vorgehen am Beispiel der Bestimmung von a0. Hier muss F   a 0 a 0 

a0 2





 



2

n  a0  (a k cos kx  b k sin kx )  f ( x ) dx    2 k 1 

dx 

    2



n









(a k cos kx  b k sin kx )dx  f ( x )dx  0

k 1  





0

erfüllt sein. Aus der obigen Beziehung kann direkt a 0 

1 



 f (x) dx

abgelesen werden. Die



verbleibenden 2n Konstanten ak und bk (k = 1, 2,…, n) werden entsprechend ermittelt, und wir erhalten 

a k  1  f (x)cos kx dx  

(k  0, 1, 2,, n)

(11.3)



b k  1  f (x)sin kx dx  

(k  1, 2,, n)

Die Koeffizienten ak und bk heißen Fourierkoeffizienten der 2-periodischen Funktion f(x), wobei a0 den Mittelwert von f(x) im Bereich der Periode 2 darstellt. Die Berechnung der Fourierkoeffizienten wird harmonische Analyse genannt. Die Fouriertransformierte  n ( x ) gibt anschaulich an, aus welchen harmonischen Schwingungen die Funktion f(x) zusammengesetzt ist und mit welchem Einfluss die einzelnen Frequenzen zum Funktionsverlauf beitragen. Besitzt die Funktion f(x) spezielle Eigenschaften, dann vereinfacht sich die Berechnung der Koeffizienten: 1.) f(x) ist symmetrisch bezüglich x = 0, dann verbleiben wegen f ( x )  f ( x ) 

a0 



2 2 f ( x )dx , a k  f ( x ) cos kx dx, b k  0  

 0



(k  1,  , n )

0

2.) f(x) ist schiefsymmetrisch bezüglich x = 0, dann verbleiben wegen f ( x )  f ( x )

11.1 Fourierreihen

223



bk 

2 f ( x ) sin kx dx, a 0  0, a k  0 



(k  1, , n)

0

Der Fehler bei der Approximation der Funktion f(x) durch ihre Fouriertransformierte  n ( x ) lässt sich mit wachsendem n beliebig klein machen. Man sagt, dass die Funktion 

( x ) 

a0  (a k cos kx  b k sin kx ) 2 k 1



(11.4)

im Mittel gegen f(x) konvergiert. An Sprungstellen von f(x) liefert  ( x ) den dortigen Mittelwert. Eine weitere Darstellung der Näherungsfunktion ist mit 

(x ) 

ck 

a0  c k cos(kx  k ) , 2 k 1



a 2k

 b 2k

,

(11.5)

b sin k  k , ck

a cos k  k , ck

b tan k  k ak

gegeben. Die Fouriertransformierte der Funktion f(x) kann auch in der komplexen Form 

( x ) 



cˆ k exp(i kx ) ,

cˆ k 

k  

1 2



 f (x) exp(i kx) dx

(11.6)



geschrieben werden, wobei in dieser Darstellung der Index k nicht nur positive, sondern auch negative ganzzahlige Werte annimmt. Unter Beachtung von exp( i)  cos   i sin  gilt für die komplexen Fourierkoeffizienten  a k  ib k  2  cˆ k  a 0 / 2  a  ib k  k  2

für k  0 für k  0 für k  0

Einsetzen der Koeffizienten in (11.6) und summieren über die positiven und negativen Indi

zes ergibt  ( x ) 



a k  ib k a0 a k  ib k  exp(i kx ) . Wir betrachten in exp(i kx )  2 2 k 1 2 k 1





beiden Summen diejenigen Glieder, die zu gleichem k gehören. Sie sind konjugiert komplex a  ib k a  ib k mit dem Realteil k exp(i kx )  a k cos kx  b k sin kx . Ein Verexp(i kx )  k 2 2 gleich zeigt die Übereinstimmung der Darstellungen (11.6) und (11.4). Die Gesamtheit der komplexen Amplituden wird komplexes Fourierspektrum genannt.

224

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Beispiel 11-1:

Abb. 11.2

Rechteckimpuls der Intensität F0

Der in Abb. 11.2 skizzierte Rechteckimpuls f(t) ist schiefsymmetrisch bezüglich t  0 . Transformieren wir mit t  xT /(2) , dann ist f(x) analytisch durch f ( x  2)  f ( x ) und

 F0 für x  [ , 0] f (x)    F0 für x  (0, ) für alle x  — gegeben. Für diese Funktion ist eine harmonische Analyse durchzuführen. Lösung: Da f(x) eine schiefsymmetrische Funktion ist, sind alle ak gleich null. Die Koeffizienten bk errechnen sich zu bk 

 4F0  2F0 2F0 2F0 k         sin kx dx 1 cos k [1 1 ]      k  0 k k 0

(k  1, 3, 5,) (k  2, 4, 6,)

Die Fouriertransformierte der Funktion f(x) lautet somit  n (x ) 

4F0 

n

sin kx 4F0 sin 3x sin 5x sin 7 x sin nx  (sin x      ) k  3 5 7 n k 1,3,5



 n ( x ) stellt näherungsweise die Funktion f(x) in allen Punkten x dar, und für x  k

kommt  n (k)  0 . Im Rechteckimpuls f(t) sind mit x  t (  2 / T ) folgende Komponenten enthalten: 1.) Die Grundschwingung mit der Kreisfrequenz  und der Amplitude 4F0 /  2.) Sinusförmige Oberschwingungen mit den Kreisfrequenzen 3, 5, 7, ... und den Amp4 F 4F 4 F lituden 0 , 0 , 0 ,  3 5 7 Für praktische Fälle reicht oftmals die Beschränkung auf wenige Reihenglieder aus. Abb. 11.3 zeigt die Auswertung von  n ( x ) im Intervall 0  x  2 für n  1 (1 Reihenglied) und n  9 (5 Reihenglieder). In der Nähe der Unstetigkeitsstellen ist ein Aufsteilen der Par-

11.1 Fourierreihen

225

tialsummen zu beobachten. Diese Erscheinung ist eine Folge der ungleichmäßigen Konvergenz in der Umgebung dieser Punkte und wird als Gibbssches1 Phänomen bezeichnet. Die Gesamtheit der Amplituden ck bzw. Phasenwinkel  k über den diskreten Stellen k aufgetragen, wird diskretes Amplituden- bzw. Phasenspektrum der Funktion f(x) genannt. In Abb. 11.4 ist das diskrete Amplitudenspektrum c k  b k  4F0 /( k ) (k = 1, 3, 5,...) in Abhängigkeit von der k-ten Harmonischen (bis k = 15) dargestellt.

Abb. 11.3

Φn(x)/F0 für n = 1 und n = 9

Abb. 11.4

Diskretes Amplitudenspektrum

Beispiel 11-2: Für die in Abb. 11.5 skizzierte Dreieckbelastung soll eine harmonische Analyse durchgeführt werden. Die Funktion f ( x ) ist analytisch durch f ( x  2)  f ( x ) und

Abb. 11.5

0  f ( x )  F0 x /  F / 2  0

Dreieckfunktion

für x  (,0] für x  [0, ) für x  

für alle x  — gegeben. Sie ist weder symmetrisch noch schiefsymmetrisch. Es sind darum Fourierkoeffizienten ak und bk zu erwarten. Wir beginnen mit der reellen Darstellung nach (11.4) und erhalten a k 

1 





f ( x ) cos kx dx  F0



cos k  1  k sin k 2 2

k 

 2F0 (k  1,3,5,)  a k   k 2 2 0 (k  2,4,6,) 1

Josiah Willard Gibbs, amerikan. Mathematiker und Physiker, 1839-1903

 F0

(1) k  1 k 22

oder

226

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Den Koeffizienten a 0 beschaffen wir uns entweder aus einer Grenzwertbetrachtung nach der Regel von Bernoulli-L’Hospital, hier gilt a 0  lim a k  F0 lim

cos k  1  k sin k 2 2



F0 , 2

k 0 k  1 1 oder auch aus der Potenzreihenentwicklung a k  F0   k 2  2  O(k 4 ) , indem wir hier  2 8 k  0 setzen. Weiterhin sind k 0



F b k  1  f (x)sin kx dx  F0 sin k 2k2 cos k   0 (1) k k   k 

Abb. 11.6

n(x)/F0 für n = 5 und n = 9

Abb. 11.7

(k  1, 2, 3,)

Phasenverschiebungswinkel ϕk

Die Fouriertransformierte der Funktion f(x) ist damit

 n (x) 

n n n 1  a0 2 (1) k (a k cos kx  b k sin kx )  F0   cos kx   sin kx  2 2 2 k 1 k  4 k 1,3,5 k   k 1, 2,3







1 2 2 2 1 1 1 cos 5x    sin x  sin 2x  sin 3x   F0   2 cos x  2 cos 3x  2 2 3  4   9 25 Abb. 11.6 zeigt die Annäherung von f(x) durch die beiden Näherungsfunktionen Φ5 und Φ9, womit offensichtlich in beiden Fällen noch kein optimales Ergebnis vorliegt. Dazu sind erheblich mehr Reihenglieder erforderlich. Zur Darstellung der Näherungsfunktion nach (11.5) sind die Amplituden  F 4  k 2 2 1 k 2 2  0 2 2     F 2 2( 1) k k   c k  a 2k  b 2k  0  k 2 2  F0  k

(k  1, 3, 5,) (k  2, 4, 6,)

bereitzustellen. Da für große Werte von k die Amplituden ck lediglich mit O(1/k) gegen null gehen, erfordert diese schwache Konvergenz die Mitnahme einer Vielzahl von Reihenglie-

11.1 Fourierreihen

227

dern. Weiterhin benötigen wir die Phasenverschiebungswinkel k. Weil für gerade k sämtliche Koeffizienten ak verschwinden, sind wegen b k  0 alle Phasenverschiebungswinkel k   / 2 (Abb. 11.7). Für ungerade k liegen angesichts b k  0 und a k  0 sämtliche Winkel ϕk im 2. Quadranten. Zur Darstellung der Fourierreihe in ihrer komplexen Form (11.6), benötigen wir die komplexen Amplituden cˆ k 

1 2



 f (x) exp(i kx) dx 



F0   2k 2 2 (2  ik) cˆ k    i F0  2k



F0 [1  ki  exp(ki)] exp( ki) F   20 2 1  (1) k  ik(1) k 2 k 22 2k 



(k  1,  3,  5,) (k  2,  4,  6,)

Den Koeffizienten cˆ 0 beschaffen wir uns entweder aus einer Grenzwertbetrachtung nach der Regel von Bernoulli-L’Hospital mit cˆ 0  lim cˆ k  k 0

F0 [1  ki  exp(ki)] exp( ki) F0 , lim  2 k 0 4 k 22

 1 k 2  2  k k 3 3     O(k 4 ) , indem wir dort oder aus der Reihenentwicklung cˆ k  F0    i  16 60  4  6  k  0 setzen. Die Zerlegung von cˆ k in Real- und Imaginärteil ergibt Re(cˆ k )  

F0 k 2 2

, Im(cˆ k ) 

F0 (1) k 2k

(k  1,  2,  3,)

Wenden wir das bisher Gesagte auf den gedämpften Einmassenschwinger an, dann lautet die Bewegungsgleichung mit der auf die Masse m bezogenen periodischen Erregerkraft f ( t )  F( t ) / m sowie   2 / T x( t )  2x ( t )  2 x ( t )  f ( t ) 

n  1  a0 a k cos kt  b k sin kt    m  2 k 1 



(11.7)

Der Term mit a0 entspricht einer konstanten (statischen) Beanspruchung. Wir wenden uns zunächst der partikulären Lösung zu. Dazu probieren wir in Anlehnung an die rechte Seite den Ansatz 

x p (t )  x p0 

 D

k

cos kt  E k sin kt 

(11.8)

k 1

mit noch unbekannten Koeffizienten Dk und Ek sowie der ebenfalls unbekannten zeitunabhängigen Auslenkung xp0. Einsetzen dieses Ansatzes in die Bewegungsgleichung (11.7) ergibt

228

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte 

 ( E k 

2 x po 

2

k

2

 2D k k 

n 1 

 (2E k   D



2

k

k



n 1



a0 1  2m m



 a

k

bk  2 E k ) sin kt m

ak  k 2  2 D k ) cos kt m

cos kt  b k sin kt 

n 1

Die obige Beziehung muss für alle Zeiten t erfüllt sein, was E k k 2 2  2D k k  2 E k  

bk a a , 2E k k  2 D k  k 2 2 D k  k , 2 x po  0 m m 2m

erfordert. Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die Lösungen (  k  k /   k ) Dk  Ek 

(1  2k ) a k  2Dk b k

1 m

(1  2k ) 2  2Dk 2

1

(1  2k ) b k  2Dk a k

2

m2 (1  2k ) 2  2Dk 2

,

(11.9)

a0

, x po 

2m2

Die Teillösungen x pk ( t )  D k cos kt  E k sin kt können auch in der Form x pk ( t )  C k cos(kt   k )

(11.10)

notiert werden. Dabei ist C k  D 2k  E 2k 

1 m

ck 2

(1  2k ) 2

 (2Dk )

( c k  a 2k  b 2k )

2

(11.11)

die dem Index k zugeordnete Amplitude, und aus sin  k 

E (1  2k ) b k  2Dk a k Ek D , cos  k  k , tan  k  k  D k (1  2k ) a k  2Dk b k Ck Ck

(11.12)

kann der entsprechende Nullphasenverschiebungswinkel k ermittelt werden. Für den Fall der schwachen Dämpfung lautet dann die vollständige Lösung x ( t )  A exp( t ) cos(d t  ) 

a0 2m2

n



C

k

cos(kt   k )

(11.13)

k 1

Mit den beiden noch freien Konstanten A und  kann die Gesamtlösung an die Anfangsbedingungen angepasst werden. Im eingeschwungenen Zustand ist wieder nur die partikuläre Lösung von Interesse und hier auch nur die zeitabhängigen Lösungsanteile, da der konstante

11.1 Fourierreihen

229

Term mit a0 lediglich zu einer Verschiebung der Schwingungs-Nulllage führt. Die Diskussion der Lösungsanteile x pk ( t )  x 0 Vk cos(kt   k )

(11.14)

wobei x 0  F0 / k F (kF: Federsteifigkeit) die Auslenkung des Systems gemessen aus der entspannten Federlage infolge der Kraft F0 bedeutet, geschieht nun genauso wie beim Schwinger mit einfacher harmonisch periodischer Erregung. Für festes k erhalten wir die Vergrößerungsfunktion Vk (, D) 

1 F0

ck (1  2k ) 2

(11.15)

 (2Dk ) 2

die bei   0 mit einer horizontalen Tangente startet. Wir wollen uns die Vergrößerungsfunktion Vk noch etwas näher anschauen. Dazu entwickeln wir Vk (k , D) für große Werte von k in eine Potenzreihe und erhalten Vk 

 1 1 ck  1 1  (1  2D 2 ) 2  O 4 2  F0 k  k  k

  

(  k  k )

(11.16)

Die Funktion Vk geht für große Werte von k mit der Ordnung 1 / k 2 gegen null, und für kleine Dämpfungsgrade D wachsen die Amplituden immer dann sehr stark an, wenn die Frequenz k der k-ten Oberschwingung in die Nähe der Eigenkreisfrequenz  des ungedämpften Systems kommt, also k etwa zu 1 wird. Die Hochpunkte Vk* 

ck 1 c 1  k  (2  D 2 )  O(D3 ) F0 2D 1  D 2 F0  4D 

(11.17)

von Vk treten an den Stellen *k  1  2D 2  1  D 2  O(D 4 ) auf. Sie liegen also immer etwas links von k  1 und häufen sich bei Annäherung an   0 . Da sich für große Werte von k nur kleine Koeffizienten ak und bk ergeben, sind diese Anteile praktisch bedeutungslos. Hinsichtlich des Resonanzverhaltens des Systems haben die ersten Oberschwingungen jedoch denselben Stellenwert wie die Grundschwingung selbst. Die Darstellung des zeitlichen Verlaufs einer Schwingung wird auch als Darstellung im Zeitbereich und die dazu gleichwertige Darstellung des diskreten Amplituden- und Phasenspektrums als Darstellung im Frequenzbereich bezeichnet. Beispiel 11-3: Gesucht ist das Schwingungsverhalten eines gedämpften Einmassenschwingers mit D  0,15 infolge der Rechteckimpulsbelastung aus Beispiel 11-1. Lösung: Die Fourier-Koeffizienten a k  0 und b k  4F0 /( k ) ( k  1, 3, 5 ) wurden dort bereits berechnet. Damit erhalten wir

230

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Dk  

Ck 

4x 0 2Dk 4x 0 (1  2k ) , E ,  k k (1  2k ) 2  2Dk 2 k (1  2k ) 2  2Dk 2

4x 0 k

1 (1  2k ) 2  (2Dk ) 2

Ek D E , cos  k  k , tan  k  k Ck Ck Dk

, sin  k 

Der Schwinger antwortet mit den Vergrößerungsfunktionen Vk 

Abb. 11.8

4 k

1 (1  2k ) 2  (2Dk ) 2

Vergrößerungsfunktionen Vk (D = 0,15)

Die Hochpunkte Vk* 

2 1 4,29 1 0,977 1  2D 2   treten an den Stellen *  2 k D 1  D k k k n

auf (Abb. 11.8). Beziehen wir x p ( t ) 



n

x pk ( t )  x 0

k 1,3,5

 V cos(kt   ) k

k

noch auf den

k 1,3,5

n xp 2kt konstanten Wert x0, dann folgt mit   2 T : ~    k  . xp  Vk cos x 0 k 1,3,5  T 



In Abb. 11.9 ist die bezogene Auslenkung ~ x p  x p / x 0 des gedämpften Einmassenschwingers über der bezogenen Zeit t / T im stationären Zustand dargestellt. Mit der Eigenperiode T0  2 /  errechnet sich die Abstimmung zu      T0 / T . Für kleine Werte von  ist die Eigenperiode T0 klein gegenüber der Periode T der Erregerkraft. Das System empfindet die Belastung als Stöße. Es reagiert darauf mit mehr oder weniger ausgeprägten Schwingungen um die Ruhelagen ~ x p  1 . Für ansteigende Werte von  sind die Schwingungen weniger ausgeprägt, und das System schwingt dann näherungsweise harmonisch.

11.1 Fourierreihen

231

Abb. 11.9 Bezogene Auslenkung xp/x0

Beispiel 11-4:

Abb. 11.10

Balken mit periodischer Einzellast in Feldmitte, System und Belastung

Der Stahlträger in Abb. 11.10 wird in Feldmitte durch die Kraft

G 0 sin t F( t )   0

Abb. 11.11 am Ort

Periodische Einzellast, Hüpfen

für t  [0, t k ] für t  [ t k , Tk ]

belastet, die einen periodischen Hüpfvorgang am Ort mit der Periode Tk approximieren soll. In der Mitte der Kontaktphase der Dauer tk erreicht die Belastung ihren Maximalwert G0.

232

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Es sind folgende Systemwerte gegeben:

Balkenmasse: Ersatzmasse: Dämpfungsgrad:

I 400 nach DIN 1025-1,   10,10 m , A = 118 cm2, Iyy = 29210 cm4 kN kg E  21000 2  2,1 10 9 cm cm s 2 mB = 933,24 kg ~   m  17 / 35m  453,29 kg m B B D  0,01

Federsteifigkeit:

kF 

Stahlträger: Elastizitätsmodul:

Eigengewicht der Person: Kontaktdauer: Periode: Erregerfrequenz:

48EI yy 3

 G  0,75 kN



48  2,1109  29210 1010,0

3

 2857774,5

kg s

2

 2857,77

kN m

t k  0, 2 s Tk  0, 4 s  2t k f F  1 / Tk  2,5 Hz

Erregerkreisfrequenz: Stoßfaktor:

  2f F  2  2,5  5  15,708 s 1

Maximale Erregerkraft:

G 0  k p G  3,1  0,75 kN  2,325 kN

t k / Tk  1 / 2  0,5  k p  3,1 1

Wir beschaffen uns zunächst die Fouriertransformierte der Last F(t) und ersetzen dazu die Zeit t durch dimensionslose Variable x  2t / Tk . Dann gilt F( x  2)  F( x ) und F sin x für x  [0, ] F( x )   0 für x  [,2] 0

Für die Fourierkoeffizienten folgt 2

ak 



1 G G 1  cos k G 1  (1) k F( x ) cos kx dx  0 sin x cos kx dx   0 ,  0 2    k 1  k 2 1 0 0





2



1 G G sin k bk  F( x ) sin kx dx  0 sin x sin kx dx   0 2 .    k 1 0 0





Für k  1 ist eine Sonderbetrachtung erforderlich, da in diesem Fall a1 und b1 den unbestimmten Ausdruck 0/0 annehmen. Die Grenzwertbetrachtung nach Bernoulli-L’Hospital G G 1  cos k sin k G 0 ergibt: a 1  lim a k   0 lim  0 , b1  lim b k   0 lim 2  . 2 k 1 k 1 2  k 1 k  1  k 1 k  1

1

s.h. Bachmann, H.: Vibration Problems in Structures, Birkhäuser Verlag Basel, Boston, Berlin (1995), S. 186

11.1 Fourierreihen

233

 2G 0 1  Damit erhalten wir a k    k 2  1 0

(k  0, 2, 4,) (k  1, 3, 5,)

Bis auf den Koeffizienten b1 verschwinden alle bk, und die Fouriertransformierte der Hüpffunktion ergibt sich zu (Abb. 11.12) n 1 1 2 cos kx  2G 0  1  cos 2 x cos 4 x cos 6 x       n ( x )  G 0   sin x    sin x  2   2 2 4 3 15 35     k 1  k  2, 4 , 6  



Im nächsten Schritt notieren wir die Bewegungsgleichung mit der soeben ermittelten rechten n  F( t ) 1 a Seite: x( t )  2D x ( t )  2 x ( t )  ~  f ( t )  ~  0  b1 sin t  a k cos kt  . Darin sind m m  2  k  2, 4 , 6



k ~  m

Eigenkreisfrequenz:



Stationäre Lösung:

x p (t )  x p0 

2857774,5  79,4 s 1  2  6304,5 s  2 453,29 n

 D

k

cos kx  E k sin kx 

k 1

x p0 

a0 G 2,325  0   2,5897 104 m 2k F k F  2857, 77

1 (1  2k ) a k  2Dk b k 1 (1  2k ) b k  2Dk a k Dk  ~ 2 , E  k ~ 2 (1  2 ) 2  2D 2 m (1  2k ) 2  2Dk 2 m k k

k=1

2b D D1   ~ 12 , E1  m (1  2 ) 2  2D2

b1 1  2 , 2 ~ 2 2 m (1   )  2D2

1 (1  2k ) a k 1 2Dk a k . Dk  ~ 2 , Ek  ~ 2 2 2 2 2 2 m (1  k )  2Dk  m (1  k )  2Dk 2 Das System ist wegen    /   15,71 / 79,40  0,198  1 hoch abgestimmt. Die Darstellung der stationären Lösung in Abb. 11.13 erfolgte unter Mitnahme von sechs Reihengliedern, was sich für die Praxis als durchaus ausreichend erweist.

k = 2, 4, 6,…

234

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Abb. 11.12

11.2

Belastungsfunktion n(x)/G0

Abb. 11.13

Stationäre Lösung der Verschiebung xp(t)

Nummerische Berechnung der Fourierkoeffizienten

Wir haben in den vorangegangenen Beispielen das Problem der Fouriertransformation analytisch gelöst. Dazu mussten zur Berechnung der Koeffizienten Integrale ausgewertet werden. Eine geschlossene Berechnung dieser Integrale ist jedoch nur in denjenigen Fällen möglich, in denen für den analytisch vorliegenden Integranden eine Stammfunktion angegeben werden kann. Liegt die zu transforAbb. 11.14 2-periodische Funktion g(x), Trapezre- mierende Funktion beispielsweise nur tabellagel risch in Form einer Zeitreihe vor, so muss auf nummerische Verfahren zurückgegriffen werden. Das erfordert zunächst eine Diskretisierung des Problems. Dazu wird das Intervall [ x 0 , x 2 N ] der 2-periodischen Funktion g(x) in 2N gleichlange Teilintervalle der Länge x  2 / 2 N   / N zerlegt (Abb. 11.14). Günstig für die Berechnung ist 2N als Vielfaches von 4 zu wählen. Die Teilungspunkte sind dann mit x j  x 0  x j ( j  0,1,  ,2 N ) gege2

ben. Die Aufgabe besteht nun darin, eine Näherung für das bestimmte Integral

 g(x) dx zu

x 0

2 N 1 1  1 finden. Dazu bietet sich die Trapezsumme ST  x  g 0  g j  g 2 N  an. Mit g 0  g 2 N 2  2  j1 ist dann



11.2 Nummerische Berechnung der Fourierkoeffizienten

235

2 N 1

g

ST  x

(11.18)

j

j 0

Die nummerische Integration der Fourierkoeffizienten mit der Trapezregel (11.18) ergibt 2

2 N 1

1 1  ak  f ( x ) cos kx dx   N

f



2

1 1  f ( x ) sin kx dx   N

 0



j 0

0

bk 

j cos kx j

2 N 1



f j sin kx j 

j 0

1 N

1 N

2 N 1

f

j cos kx j

( k  0, 1, 2, , n )

j 0

2 N 1

 f sin kx j

j

( k  1, 2,, n )

j 0

womit wir die Näherungswerte a *k  1 N b  1 N * k

2 N 1

 f cos kx j 0

j

j

(11.19)

2 N 1

 f sin kx j 0

j

(k  0, 1, 2,, n)

j

(k  1, 2, , n)

erhalten, und (11.1) geht damit über in *n ( x ) 

n

a *0  (a *k cos kx  b*k sin kx ) 2 k 1



( k  1, 2,, n )

(11.20)

Die nach (11.19) berechneten Koeffizienten gestatten eine Approximation von f(x) im quadratischen Mittel auf der Basis von 2n  1 Koeffizienten. Da aber an den Stützpunkten lediglich 2N Funktionswerte fj ( j  0, 1,, 2N  1 ) vorliegen, existiert nur dann eine Lösung, wenn die Anzahl der Koeffizienten die Anzahl der Unbekannten nicht übersteigt. Das erfordert 2n  1  2 N . Für den Fall n  N ist b*N  0 , und statt der 2 N  1 Koeffizienten verbleiben nur noch 2N. Damit stimmt die Anzahl der Stützstellen mit der Anzahl der zu berechnenden Koeffizienten überein, und es liegt dann mit

 *n ( x ) 

N 1

a *0 a* (a *k cos kx  b*k sin kx )  N cos( Nx )  2 k 1 2



(11.21)

der Fall der trigonometrischen Interpolation vor. Für die Koeffizienten gilt a *0  1 N a *k  1 N

2N 1

f , j 0

2N 1

j

 f j cos kx j , j 0

a *N  1 N b*k  1 N

2 N 1

 (1) f , j 0

2N 1

j

j

 f j sin kx j , j 0

(11.22) (k  1, 2,, n)

236

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Hinweis: Eine effiziente Berechnung der Fourierkoeffizienten wurde von Runge1 angegeben. Unter der Voraussetzung N  4m und m  N wird ein Rechenschema vorgeschlagen, dass unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen mit relativ wenigen Rechenoperationen auskommt.

Beispiel 11-5: Für die 2-periodische Hüpffunktion F sin x für x  [0, ] F( x )   0 für x  [,2] 0

aus Beispiel 11-4 sind die Fourierkoeffizienten nummerisch zu berechnen. Dazu wurde F(x) innerhalb der Periode an 2 N  18 äquidistanten Stützpunkten abgetastet2. Die konstante Schrittweite errechnet sich damit zu x   / N   / 9 und die Teilungspunkte liegen bei x j  x j ( j  0, 1,, 2N ). Die Fourierkoeffizienten nach (11.19) können für G 0  1 der Tab. 11.1 entnommen werden. Im Vergleich zum theoretisch exakten Wert

a0 

2 1  0,63662 ergibt sich hier mit a *0   N

17

 F  0,63014 ein etwas kleinerer Wert. Für j

j 0

n  9  N liegt mit *9 ( x )  0,31507  0,5 sin x  0,21885 cos 2x  0,04961cos 4x  0,02640 cos 6x  0,02022 cos 8x

der Fall der trigonometrischen Interpolation nach (11.21) und (11.22) vor. Die im Sinne der Theorie exakte Transformation nach (11.4) ergibt  9 ( x )  0,31831  0,5 sin x  0,21221cos 2x  0,04244 cos 4 x  0,01819 cos 6x  0,01011cos 8x Hinweis: Das Interpolationspolynom *9 nimmt an den Stützpunkten genau die Stützwerte an.

1

C. Runge: Über die Zerlegung einer empirischen Funktion in Sinuswellen. Z. Math. Phys. 52 (1905) 117-123

2

engl. sampling, allgemein das Abtasten eines kontinuierlichen Signals

11.2 Nummerische Berechnung der Fourierkoeffizienten Tab. 11.1

237

Fourierkoeffizienten für F(x) aus Beispiel 11-4 n=7

n=8

n=9=N

k

a*k

b*k

a*k

b*k

a*k

b*k

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 -0,21885 0 -0,04961 0 -0,02640 0

0,5 0 0 0 0 0 0

0 -0,21885 0 -0,04961 0 -0,02640 0 -0,02022

0,5 0 0 0 0 0 0 0

0 -0,21885 0 -0,04961 0 -0,02640 0 -0,02022 0

0,5 0 0 0 0 0 0 0 0

Beispiel 11-6:

Abb. 11.15

2-periodisches Signal f(x)

Das Signal f(x) in Abb. 11.15 wurde innerhalb der Periode 2 an 2 N  8 äquidistanten Stützpunkten abgetastet und liegt mit Tab. 11.2 zahlenmäßig vor. Tab. 11.2

Zeitreihe des Signals aus Abb. 11.15

j xj

0 0

1

2

3

6

/ 2

3 / 4

4 

5

/ 4

5 / 4

3 / 2

7 7 / 4

fj

3,0

-1,0

-2,0

1,0

1,5

0,75

2,0

3,5

Für dieses zeitdiskrete Signal sind die Fourierkoeffizienten nach (11.22) und das trigonometrische Interpolationspolynom nach (11.21) zu berechnen. Lösung: Mit der konstanten Schrittweite x   / N   / 4 liegen die Teilungspunkte bei x j  x j ( j  0, 1,, 2N ).

238

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Tab. 11.3 Tabellarische Berechnung der Fourierkoeffizienten a*k k=0

k=1

k=2

k=3

k=4=N

j

fj

fj

fj cos(j /4)

fj cos(2j /4)

fj cos(3j /4)

(-1)j fj

0

3,0000

3,0000

3,0000

3,0000

3,0000

3,0000

1

-1,0000

-1,0000

-0,7071

0,0000

0,7071

1,0000

2

-2,0000

-2,0000

0,0000

2,0000

0,0000

-2,0000

3

1,0000

1,0000

-0,7071

0,0000

0,7071

-1,0000

4

1,5000

1,5000

-1,5000

1,5000

-1,5000

1,5000

5

0,7500

0,7500

-0,5303

0,0000

0,5303

-0,7500

6

2,0000

2,0000

0,0000

-2,0000

0,0000

2,0000

7

3,5000

3,5000

2,4749

0,0000

-2,4749

-3,5000

4 a*k

8,7500

2,0303

4,5000

0,9697

0,2500

a*k

2,1875

0,5076

1,1250

0,2424

0,0625

Tab. 11.4

Tabellarische Berechnung der Fourierkoeffizienten b*k k=1

k=2

k=3

j

fj

xn sin(j /4)

xn sin(2j /4)

xn sin(3j /4)

0

3,0000

0,0000

0,0000

0,0000

1

-1,0000

-0,7071

-1,0000

-0,7071

2

-2,0000

-2,0000

0,0000

2,0000

3

1,0000

0,7071

-1,0000

0,7071

4

1,5000

0,0000

0,0000

0,0000

5

0,7500

-0,5303

0,7500

-0,5303

6

2,0000

-2,0000

0,0000

2,0000

7

3,5000

-2,4749

-3,5000

-2,4749

4 b*k

-7,0052

-4,7500

0,9948

b*k

-1,7513

-1,1875

0,2487

Für unser Beispiel ist N  4 und (11.19) kann aufgrund der geringen Anzahl der Stützwerte noch tabellarisch ausgewertet werden. Für umfangreichere Datensätze werden Datenverarbeitungsanlagen eingesetzt. Mit den oben berechneten Koeffizienten ergibt sich folgendes Interpolationspolynom *4 ( x ) 

3

a *0 a*  (a *k cos kx  b*k sin kx )  4 cos 4x 2 k 1 2



 1,0938  0,5076 cos x  1,125 cos 2x  0,2424 cos 3x  0,0315 cos 4 x 1,7513 sin x  1,1875 sin 2x  0,2487 sin 3x

11.3 Die Fouriertransformation

239

Es stellt sich noch die Frage, mit welcher Abtastdichte ein zeitkontinuierliches Signal der Dauer T mit begrenztem Frequenzspektrum ohne Informationsverlust zu digitalisieren ist. Diese Frage wird durch das Nyquist-Abtasttheorem beantwortet. Beschränken sich die Frequenzen des Analogsignals auf eine Bandbreite B, so ist das Signal durch eine Auswahl von äquidistanten Punkten eindeutig bestimmt, wenn diese Punkte zeitlich nicht weiter als t  1 /( 2B) voneinander entfernt sind. Wenn beispielsweise die Signalbandbreite 200 Hz beträgt, dann muss mindestens alle 1 / (2  200 Hz)  2,5 ms (Millisekunden) ein digitaler Wert aufgenommen werden. Damit also aus den abgetasteten Werten das ursprüngliche Signal ohne Informationsverlust rekonstruiert werden kann, muss die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch sein wie die Frequenzbreite des abgetasteten Signals, und für die Anzahl der abzutastenden Werte gilt N

Nt T   2BT t t

Das Abtasttheorem ist von fundamentaler Bedeutung, da es die Darstellung eines kontinuierlichen Signals endlicher Dauer durch eine endliche Anzahl von Signalpunkten gestattet. In der praktischen Anwendung ist zunächst die Bandbreite B unbekannt und deshalb näherungsweise zu bestimmen. Das gelingt beispielsweise durch eine Fourieranalyse des hochfrequent abgetasteten Signals.

11.3

Die Fouriertransformation

Abb. 11.16

Nichtperiodische Funktion f(x)

Um für die in Abb. 11.16 dargestellte nichtperiodische Funktion f(x) im Sinne der Fouriertransformation zu einer Lösung zu kommen, denken wir uns f(x) zunächst gemäß Abb. 11.1 periodisch nach links und rechts fortgesetzt. Für diese Funktion gilt dann (11.3), und die Koeffizienten sind nach (11.4) zu berechnen. Von der Funktion f(x) verlangen wir absolute Integrierbarkeit im



Intervall (, ) , was

 f (x) dx  Q

bedeutet, und bereits an dieser Stelle wird die ein-



schränkende Verwendbarkeit der Fouriertransformation deutlich, die beispielsweise für konstante oder harmonische Funktionen nicht existiert. Für die weiteren Untersuchungen ersetzen wir die Variable x  2t / T durch die Variable t und erhalten 

( t ) 



a a0 2 2 2 2 t)  t  b k sin k (a k cos k t)   0  t  b k sin k (a k cos k T T 2 k 0 T T 2 k 1





240

ak 

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

2 T

T/2



f ( t ) cos k

T / 2

2 2 t dt , b k  T T

T/2

2

 f (t) sin k T t dt .

T / 2

Das Einsetzen der Fourierkoeffizienten in die Fourierreihe ergibt T/2

T/2 T/2    2   2 2  2 2  f ( t ) dt    f ( t ) cos k t dt  cos k t f ( t ) sin k t dt  sin k t ) T  k 0  T T T T    T / 2  T / 2 T / 2

1 ( t )   T

 





Es ist nun die Frage zu beantworten, was aus dieser Formel wird, wenn T   strebt. Das erste Integral geht offenbar wegen 1 T

T/2

T/2



T / 2

T / 2





1 f ( t ) dt  T



1 f ( t ) dt  T

Q

 f (t) dt  T

gegen null. Es verbleibt noch die Berechnung der beiden Summen. Dazu führen wir die neue Veränderliche  ein, die im Intervall (0, ) die äquidistanten Werte 1 

2 4 2 k , 2  ,,  k  , T T T

annimmt. Ihr Zuwachs ist    k 1   k  2 / T , womit sich die beiden Summen in der Form T/2  1   f ( t ) cos t dt  cos t       ()   T / 2

 

 T/2    f ( t ) sin t dt  sin t )   T / 2 

  ()

darstellen lassen. Nun wird der Grenzübergang T   vollzogen, wobei   0 geht. Für große T unterscheiden sich die unter den Summenzeichen stehenden Integrale nur wenig von 





f ( t ) cos t dt und



 f (t) sin t dt , und die Summen streben für T  

gegen die Grenz-



werte

1    

a ( ) 

1 



        f ( t ) cos t dt  cos t d   f ( t ) sin t dt  sin t d . Mit den Abkürzungen      0  0 

 

 





f ( t ) cos t dt und b() 

 



1 



 f (t) sin t dt erhalten wir dann







( t )  a () cos t d  b() sin t d 0

0

(11.23) wird Fouriersche Formel genannt, die auch in der komplexen Form

(11.23)

11.3 Die Fouriertransformation

(t ) 

1 2

241



   f ( t ) exp(it )dt  exp(it )d    

 

(11.24)

notiert werden kann. Die Übereinstimmung von (11.24) mit (11.23) kann leicht nachgewiesen werden, wenn wir in (11.24) exp(it )  cos t  i sin t beachten. Damit folgt (t ) 

1 2



     1  f ( t ) exp(it ) dt  exp(it )d   f ( t )(cos t  i sin t ) dt  (cos t  i sin t )d 2       

 



 

und ausmultipliziert (t )  

1 2 i 2



     i  f ( t ) cos t dt  cos t d   f ( t ) cos t dt  sin t d 2       

 

 

 

   1  f ( t ) sin t ) dt  cos t d  2    

 



 



Da

   f ( t ) sin t dt  sin t d   

 f (t) cos t dt



eine gerade und

 f (t) sin t dt

eine ungerade Funktion in  darstellt,





1 verbleibt lediglich  ( t )  



   1  f ( t ) cos t dt  cos t d     0

  0

   f ( t ) sin t dt  sin t d , was  

 

mit (11.23) übereinstimmt. Zur Schematisierung des Berechnungsablaufs der Fouriertransformation führen wir die Bildfunktion 

F() : F [f ( t ); ] 

 f (t) exp(it)dt

(11.25)



ein, aus der durch Anwendung der Umkehrformel die Originalfunktion f (t) 

1 2



 F() exp(it)d

(11.26)



folgt. Das Formelpaar (11.25), (11.26) wird Fourier-Inversionstheorem genannt. Ist die zeitabhängige Funktion f(t) nur für t  0 definiert, dann heißt 

F() : F [f ( t ); ] 

 f (t) exp(it)dt

(t > 0)

(11.27)

0

einseitige Fouriertransformierte der Funktion f(t). Für die Umkehrung gilt wieder (11.26).

242

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Wir geben im Folgenden einige Rechenregeln für die Fouriertransformation an. Sie ist linear im folgenden Sinne: F [f ( t )   g( t ); ]  F()  G () .

(11.28) 

 f (t) exp(it)dt , so dass gilt

Ist f(t) eine reelle Funktion von t, dann ist F [f ] 



F [f ( t ); ]  F [f ( t );] . Für a  0 folgt mit   at und dt  a 1d 

F [f (at ); ] 







f (at ) exp(it )dt  a 1 f () exp(i / a ) d  a 1F [f ( t );  / a ] .









Ist a  0 , dann folgt F [f (at ); ] 





f (at ) exp(it )dt  a 1 f () exp(i / a ) d  a 1F [f ( t );  / a ] .





Im Allg. erhalten wir also für reelles a F [f (at ); ] 

1 F [f ( t );  / a ] . a

(11.29)

Auf ähnliche Weise finden wir mit   t  a und dt  d 

F [f ( t  a ); ] 



f ( t  a ) exp(it ) dt 





 f () exp[i(  a)] d



und F [f ( t  a ); ]  exp(ia ) F [f ( t ); ]

(11.30)

wird Verschiebungssatz im Originalraum genannt. Ist  eine Konstante, dann gilt 

F [exp(it )f ( t ); ] 



f ( t ) exp(it ) exp(it )dt 





 f (t) exp[i(  )t]dt



und F [exp(it )f ( t ); ]  F [f ( t );   ]

wird Verschiebungssatz im Bildraum genannt.

(11.31)

11.3 Die Fouriertransformation

243

Beispiel 11-7: Gesucht ist die Fouriertransformierte X() der Funktion x ( t )  x 0 exp(t ) cos t mit t  0 . Lösung: Mit 2 cos t  exp(it )  exp(it ) können wir für x(t) auch x ( t )  1 / 2x 0 exp(t )[exp(it )  exp(it )] schreiben. Setzen wir f ( t )  1 / 2 x 0 exp(t ) ,

dann ist x ( t )  f ( t )[exp(it )  exp(it )] . Unter Beachtung der Linearität des Fourieroperators (11.28) und der Rechenregel (11.31) folgt für die Fouriertransformierte von x(t) X()  F [ x ( t ); ]  F [f ( t ),   ]  F [f ( t ),   ] .

Abb. 11.17

Die Fouriertransformierte X()

Wir benötigen die Fouriertransformierte der Funktion f ( t )  1 / 2 x 0 exp(t ) . Es gilt 

F()  F [f ( t ); ] 

x0 x 1 und damit exp[(  i) t ] dt  0 2 2   i

 0

X()  F [f ( t ),   ]  F [f ( t ),   ] 

x0 2

1 1      i(  )    i(  )  .  

Nach Zusammenfassung erhalten wir X ()  x 0

  i mit [  i(  )][  i(  )]

Re[X()]  x 0

(  2   2   2 ) [ 2  (  ) 2 ][ 2  (  ) 2 ]

, Im[X ()]   x 0

( 2   2   2 ) [ 2  (  ) 2 ][ 2  (  ) 2 ]

.

244

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Beispiel 11-8: Der in Abb. 11.18 skizzierte Sinusimpuls der Dauer tk und der Intensität G0 soll mittels der Fouriertransformation in den Frequenzbereich transformiert werden.

Sinusimpuls

Abb. 11.18

G sin t f (t )   0 0

Lösung: Im Vergleich zur periodischen Hüpffunktion aus Beispiel 11-4 tritt der Impuls hier nur einmal in der Zeitspanne 0  t  t k auf. Die Funktion f(t) ist also nicht mehr periodisch. Mit    / t k kann f(t) analytisch durch die Funktionsgleichung

für t  [0, t k ] sonst

angegeben werden, und f(t) ist weder symmetrisch noch schiefsymmetrisch. Mit (11.27) tk



folgt F() 

 f (t)exp(it )dt  G  sin t exp(it)dt  G t 0

tk

Mit S 

 f (t) dt 

t 0

F() 

0

0

0

k

1  cos t k   i sin t k   2  ( t k ) 2

.

2G 0 t k (das Integral kann auch als Stoß interpretiert werden) folgt 

S2 1  cos t k   i sin t k  2  2  ( t k ) 2

oder

F() 2 1  cos t k   i sin t k  ~ F() :  . S 2  2  ( t k ) 2

~ Abb. 11.19 (a)Realteil, (b)Imaginärteil und (c)Betrag der bezogenen Fouriertransformierten F (  )

11.3 Die Fouriertransformation

245

~ Zerlegen wir F() in Real- und Imaginärteil und bilden den Betrag, dann erhalten wir (s. h. Abb. 11.19)

 2 1  cos t k  2 sin t k  2 2 ~ ~ ~ Re[ F()]  , Im[ F (  )]   , F (  )  2  2  ( t k ) 2 2  2  ( t k ) 2 2

1  cos t k  [  2  ( t k ) 2 ] 2

Offensichtlich laufen bei Verkürzung der Kontaktzeit tk die Kurven nach links und rechts auseinander. Für   0 verschwindet der Imaginärteil und für den Realteil gilt ~ Re[ F(  0)]  1 .

Abb. 11.20 Die Dirac-Funktion und ihre Fouriertransformierte

Verringern wir bei festgehaltenem Stoß S die Kontaktzeit tk, dann erhalten wir im Grenzfall ~ lim F()  1 , und die Funktion t k 0



F [( t ); ] 

 (t) exp(it)dt  1

(11.32)



stellt die Fouriertransformierte der Dirac-Funktion (t) dar. Ihr Amplitudenspektrum ist konstant (Abb. 11.20, rechts), was bedeutet, dass alle Frequenzen mit derselben Amplitude vorhanden sind. Im Fall S  1 sprechen wir auch vom Einheitsstoß. Wird die Lösung für den in Abb. 11.21 skizzierten Kosinusimpuls gesucht, dann muss nicht erneut integriert werden. Das Koordinatensystem in Abb. 11.21 können wir uns nämlich durch Verschiebung aus Abb. 11.18 um  t k / 2 entstanden denken. Die Anwendung des Verschiebungssatzes (11.31) ergibt dann tk / 2

F()  G 0

 cos t exp(it) dt

tk / 2

Abb. 11.21

Kosinusimpuls



S 2 1  cos t k   i sin t k  cos( t  / 2)  exp(it k / 2)  S2 2 k 2 2 2   ( t k )   ( t k ) 2

Aufgrund der Symmetrie von f(t) ist die Transformierte F() reell.

246

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Beispiel 11-9: Für den Rechteckimpuls der Dauer 2tk und der Intensität F0 (Abb. 11.22) ist die Fouriertransformierte gesucht. Die Funktion f(t) ist analytisch gegeben durch

für t  [ t k , t k ]

F f (t )   0 0

Abb. 11.22 Rechteckimpuls

sonst

Wir können diese stückweise stetige Funktion auch mittels der Heaviside-Funktion in der Form f ( t )  F0 H( t k  t ) ausdrücken. Mit (11.25) folgt dann unter Beachtung von S  2F0 t k tk



F() : F [f ( t ); ] 

 f (t)exp(it)dt  F  exp(it)dt  2F 0



0

t k

sin t k  sin t k  S  t k

Als Folge der Symmetrie der Funktion f(t) bezüglich t  0 , ist die Fouriertransformierte reell. Wir ersetzen F() an der Stelle   0 durch den Grenzwert lim F()  S . Beziehen 0

F() sin t k  ~ wir F() auf den konstanten Wert S, dann ist F()    sinc(tk), und die sincS t k Funktion (Abb. 11.23), auch Kardinalsinus oder Spaltsinus genannt, besitzt eine hebbare ~ Singularität bei t k   0 . Die Nullstellen von F( t k ) liegen bei t k *  n ( n  1,  2,  3 ). Die Lösung für den idealen Rechteckstoß der Intensität S beschaffen wir uns nun derart, dass wir bei festgehaltenem Stoß S die Zeit tk gegen null gehen lassen, und wir erhalten F [f ( t ); ]  S .

Abb. 11.23

sinc(tk x)

Abb. 11.24 |sinc(tk x)|

11.3 Die Fouriertransformation

247

Beispiel 11-10: Für die gedämpfte Bewegung x ( t )  exp(t )(C1 cos d t  C 2 sin d t ) mit t  0 in Abb. 11.25 ist die einseitige Fouriertransformierte zu bestimmen. 

Lösung: Wir erhalten F()  F [ x ( t ); ] 

C1 (  i)  C 2 d

 x(t) exp(it)dt  [  i(   )][  i(   )] . d

t 0

d

Die Zerlegung von F() in Real- und Imaginärteil ergibt Re[F()] 

C1( 2  d2   2 )  C 2 d ( 2  d2   2 ) , C ( 2  d2   2 )  2C 2 d . Im[F()]   2 1 2 2 2 2 [  (  d ) ][  (  d ) ] [  (  d ) 2 ][ 2  (  d ) 2 ]

Für die Parameterkombination d  5 s 1 ,   0, 2 s 1 , x 0  1 cm und v0  0 sind die Ergebnisse in Abb. 11.26 dargestellt.

Abb. 11.25

Gedämpfte Bewegung x(t) [cm]

Abb. 11.26

Fouriertransformierte von x(t)

Ist f(t) nur für positive Werte der reellen Variablen t definiert, dann können wir uns f(t) entweder symmetrisch oder auch schiefsymmetrisch (Abb. 11.27) in den negativen Bereich fortgesetzt denken.

248

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Abb. 11.27

Symmetrische und schiefsymmetrische Fortsetzung einer Funktion f(t)

Wir behandeln zuerst den Fall der symmetrischen Fortsetzung von f(t) und nennen diese t0  f (t ) . Dann gilt Funktion f  ( t )    f ( t ) t  0 





0



f  ( t ) exp(it ) dt 





f ( t ) exp(it ) dt  f ( t ) exp(it ) dt

 

0







 f ( t )exp(it )  exp(it ) dt  2 f ( t ) cos(t ) dt 0

0

und FC () : F C [f(t); ] 

2 



 f (t) cos(t) dt

(11.33)

0

wird die Fourier-Kosinustransformierte von f(t) genannt, die mit FC ()  FC () eine gerade Funktion in  darstellt. Das Inversionstheorem (11.26) liefert dann

f (t ) 

2 



 F () cos(t) d C

(t > 0)

0

Das Formelpaar (11.33), (11.34) wird Fourier-Kosinus-Inversionstheorem genannt. Setzen wir die Funktion f(t) mit t  0 dagegen schiefsymmetrisch entsprechend  f (t ) f  (t)    f (  t )

t0 t0

in den negativen Bereich fort (Abb. 11.27, rechts), dann ist

(11.34)

11.3 Die Fouriertransformation 

249 

0







f  ( t ) exp(it ) dt   f ( t ) exp(it ) dt  f ( t ) exp(it ) dt





0





0

0





 f ( t )exp(it )  exp(it ) dt  i 2 f ( t ) sin(t ) dt

und wir nennen

2 

FS () : F S [f(t); ] 



 f (t) sin(t) dt

(11.35)

0

die Fourier-Sinustransformierte von f(t), die mit FS ()  FS () eine ungerade Funktion in  darstellt, und das Inversionstheorem (11.26) führt auf f (t) 

2 



 F () sin(t) d S

(t > 0)

(11.36)

0

Das Formelpaar (11.35), (11.36) wird Fourier-Sinus-Inversionstheorem genannt. Hinweis: Die gerade fortgesetzte Funktion f+(t) ist eine stetige Funktion in t, die für t = 0 den richtigen Wert liefert. Die schiefsymmetrisch fortgesetzte Funktion f  ( t ) hat jedoch für f (0)  0 eine Unstetigkeit, und (11.36) liefert dann für t = 0 nicht f(0), sondern null. Als Beispiel zur Berechnung der Fourierkosinus- und der Fouriersinustransformation der 

Funktion e

 at



betrachten wir die Integrale I  e

  at



cos(t )dt und J  e  at sin(t )dt . Die

0

0

Konstante a wird als reell und positiv vorausgesetzt. Partielle Integration von I liefert



1  at

I  a e

cos(t )





 0

1   at e sin(t )dt   J . a a a

 0

Andererseits führt die partielle Integration von J auf



J   a 1e at sin(t )



 0  a  e at cos(t )dt  a I . 0

Die Auflösung beider Gleichungen ergibt I  sofort schließen

a 2

a 

2

und J 

 2

a  2

, woraus wir für a > 0

250

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte 2 a , F S [e -at;]  2 2  a 

F C [e -at;] 

2  . 2  a  2

(11.37)

Übungsvorschlag 11-1: Für die in Abb. 11.28 skizzierte Funktion f(t), die durch die Funktionalgleichung

F f (t )   0 0 Abb. 11.28 Rechteckimpuls, symmetrisch fortgesetzt

für t  [0, t k ] sonst

angegeben werden kann, sind ihre Fourier-Kosinus- und Fourier-Sinustransformierte zu berechnen.

In Anwendungen der Theorie der Fouriertransformationen zur Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen, benötigen wir die Fouriertransformationen der Ableitungen von f(t). Setzen wir genügend oft stetige Differenzierbarkeit voraus, so lassen sich, wie die folgenden Rechnungen zeigen, die Fouriertransformierten der Ableitungen von f(t) durch die Fouriertransformierten der Funktion f(t) selbst ausdrücken. Wir beginnen mit F [f ( t ); ] 













f ( t ) exp(it ) dt  f ( t ) exp(it )   i f ( t ) exp(it ) dt .

Damit der Term in der eckigen Klammer verschwindet, muss lim f ( t )  0 gefordert wert 





den. Dann verbleibt F [f ( t ); ]  i f ( t ) exp(it ) dt  i F [f ( t ); ] . Die Transformierte der 

zweiten Ableitung von f(t) erhalten wir entsprechend mit lim f ( t )  0 t 





F [f( t ); ]  f ( t ) exp(it )

   i  f (t) exp(it) dt 



 f ( t ) exp(it )













   if (t ) exp(it)   i  f (t ) exp(it ) dt   2 F [f (t); ]

Weiterhin sind 

F C [f(t); ]  2 

 f (t) cos(t) dt   0

2  f ( t  0)  F S [f(t); ] ,

11.3 Die Fouriertransformation

251





F C [f(t); ]  2  f( t ) cos(t ) dt   2  f ( t  0)   2 F C [f(t); ] , 0



F S [f(t); ]  2 

 f (t) sin(t) dt  F

C [f(t); ] ,

0





F S [f(t); ]  2  f( t ) sin(t ) dt  2  f ( t  0)   2 F S [f(t); ] , 0

Für die einseitige Fouriertransformation mit 0  t   gelten die folgenden Ableitungsregeln 



0

0





F [f(t); ]  f ( t ) exp(it ) dt  f ( t ) exp(it ) 0  i f ( t ) exp(it ) dt  f ( t  0)  iF [f(t); ] , 



F [f(t); ]  f( t ) exp(it ) dt  f ( t  0)  if ( t  0)   2 F [f(t); ] . 0

Hinweis: Den obigen Beziehungen entnehmen wir, dass einer Zeitableitung im Originalraum eine Multiplikation mit dem Faktor i im Bildraum entspricht. Beispiel 11-11:

Die Bewegungsgleichung mx( t )  cx ( t )  kx ( t )  p( t ) des gedämpften Einmassenschwingers soll in den Frequenzraum transformiert werden. Die Funktion x(t) und ihre Ableitungen bis zur zweiten Ordnung sind nur für t  0 definiert. Zum Zeitpunkt t  0 sind die Anfangswerte x ( t  0)  x 0 und x ( t  0)  v 0 vorgegeben. Die einseitige Fouriertransformation liefert unter Einarbeitung der Anfangsbedingungen mit

F [mx( t )  cx ( t )  kx ( t ); ]  F [mx( t ); ]  F [cx ( t ); ]  F [kx ( t ); ]  F [p( t ); ]





 m  v 0  ix 0   2 X()  c x 0  iX()  kX()  P() eine algebraische Gleichung für die unbekannte Transformierte X()  F [ x ( t ); ] . Der Bewegungsgleichung im Zeitbereich (Originalraum) entspricht demzufolge eine algebraische Gleichung im Frequenzbereich (Bildraum), womit das AWP erheblich vereinfacht wurde. Wir erhalten für die Transformierte X() die Lösung X ( ) 

mv 0  x 0 (c  im)



P ( )

, die bereits die Anfangsbedingungen enthält.  m  ic  k  m  ic  k P()  F [p( t ); ] bezeichnet die einseitige Fouriertransformation der Belastung p(t). Im eingeschwungenen Zustand verbleibt im Bildraum lediglich die partikuläre Lösung 2

2

252 X ( ) 

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte 1 2

P()  H()P() . Die Übertragungsfunktion H() 

1 2

 m  ic  k  m  ic  k enthält nur die Systemwerte m, c und k. Zur Berechnung der Systemantwort im Frequenzraum ist die fouriertransformierte Erregung P() lediglich mit der komplexen Übertragungsfunktion H() zu multiplizieren.

Hinweis: Im Falle des Dirac-Stoßes mit p( t )  ( t ) ist P( = 1, und der Frequenzgang entspricht der fouriertransformierten Stoßübergangsfunktion.

11.4

Die Laplacetransformation

Bei der Anwendung der Fouriertransformation wurde die absolute Integrierbarkeit der Funktion f(t) gefordert, andernfalls existiert die Fouriertransformierte F() nicht. In der Schwingungstechnik treten aber häufig Funktionen auf, die diese Forderung nicht erfüllen. Dazu zählen, wie bereits erwähnt, alle konstanten und auch die harmonischen Funktionen, die zu divergenten Integralen der Fouriertransformation führen. Eine Abhilfe bietet hier die Laplacetransformation1, die wie folgt definiert ist 



F(s)  L f ( t ); s : f ( t )e st dt .

(11.38)

0

Wir können uns die Laplacetransformation aus der einseitigen Fouriertransformation entstanden denken, wenn wir dort f(t) durch f ( t )e  t ersetzen und die komplexe Variable s    i einführen. Die Funktion f(t) wird als Originalfunktion bezeichnet, und F(s) heißt Bildfunktion. Durch Anwendung des Inversionstheorems f ( t )  L -1 F(s); t  

1 2i

  i

 F(s)e

st

ds

(11.39)

  i

folgt wieder die Originalfunktion, wobei die Integration in der komplexen Ebene erfolgt, was funktionentheoretische Methoden erfordert. Für f ( t )  1 erhalten wir beispielsweise

1

Pierre Simon Marquis de Laplace, frz. Mathematiker und Physiker, 1749-1827

11.4 Die Laplacetransformation 





L 1; s  e st dt   s 1e st 0



253

 0  1s . Auf ähnliche Weise gewinnen wir durch partielle Integra-











tion L t; s  te st dt   s 1e st t 0  s 1 e st dt , also L t; s  0

0

1 s2

. Insbesondere erhalten

wir für f ( t )  e at





at

 

 at  st

L e ;s  e e



dt  e  (s  a ) t dt  (s  a ) 1

0

Re(s)  Re(a )

(11.40)

0

und in der inversen Form 1 L -1  ; t   eat  s  a 

(11.41)

Mit (11.40) folgen die Laplacetransformationen der Funktionen sin t und cos t L cos t; s 

s s2  2

, L sin t; s 



(11.42)

s2  2

Mit Hilfe des Verschiebungstheorems lässt sich die Laplacetransformation der Funktion e  at f ( t ) sofort hinschreiben, wenn die Transformierte von f(t) bekannt ist 



L[e  at f ( t ); s]  f ( t )e  s  a t dt  L [f ( t ); s  a ]

(11.43)

0

Die Laplacetransformation der Funktion f(ct) mit c > 0 errechnen wir zu 





L[f (ct ); s]  f (ct )e

 st

dt  c

1

0

 f ()e

 s / c

d  c 1L[f ( t ); s / c]

(11.44)

0

Benutzen wir dieses Ergebnis in Verbindung mit (11.42), dann sind L cos(ct ); s 

s 2

s c

2

, L sin(ct ); s 

a

(11.45)

2

s  c2

Die Kombination von (11.43) und (11.44) liefert L [f (ct )e  at ; s]  c 1L [f ( t ); (s  a ) / c]

Re(s)  a , c  0

und speziell für die folgenden Fälle L [e  at sin(ct ); s] 

c

s  a   c 2

2

, L [e  at cos(ct ); s] 

sa

s  a 2  c 2

.

254

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Die obige Formeln werden zur Rücktransformation in den Originalraum oft in der inversen Form gebraucht   1 L -1  ; t  c 1e  at sin(ct ) 2 2   s  a   c 

(11.46)

  s a L -1  ; t  e  at cos(ct )  sin(ct ) 2 2  c    s  a   c 

Ist die Bildfunktion mit F(s) 

b m s m    b1s  b 0 n

s    c1s  c 0



F1 (s) F2 (s)

(11.47)

eine gebrochen rationale Funktion, so lässt sich eine allgemeine Darstellung zur Ermittlung der Originalfunktion L1 F1 (s) / F2 (s); t  herleiten. Die Funktion F1 (s) sei dabei ein Polynom vom Grade m und F2(s) ein Polynom vom Grade n ( n  m ). Das Nennerpolynom F2 (s) besitze die einfachen Nullstellen a1 , a 2 ,, a n . Um die gebrochen rationale Funktion (11.47) in einer standardisierten Form darzustellen, die die weitere Verarbeitung hinsichtlich der Integration erheblich erleichtert, wird für F(s) die Partialbruchzerlegung n

F(s) 

 A s  a  r

r

1

Ar 

r 1

F1 (a r ) n

 a

r

(11.48)

a j

j1, j r

vorgenommen. Damit erhalten wir unter Berücksichtigung von (11.41)  F (s)  L1  1 ; t    F2 (s) 

n

A e r

art

(11.49)

r 1

In Anwendungen der Theorie der Laplacetransformationen zur Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen benötigen wir die Transformationen der Ableitungen der Funktion f(t). Durch partielle Integration folgt



L f ( t ); s  f ( t )e st



  st 0  s f ( t )e dt .

 0

Die Existenz der Laplacetransformierten von f ( t ) erfordert lim f ( t )e st  0 . Damit ist t 

L f ( t ); s   f (0)  sF(s) .

Durch Wiederholung dieses Prozesses erhalten wir mit der Forderung lim f ( t )e st  0 t 

11.4 Die Laplacetransformation



255



L f( t ); s  sf (0)  f (0)  s 2 F(s) .

Allgemein gilt mit der Forderung lim f ( t )( n 1) e st  0 t 





L f ( n ) ( t ); s  s n F(s)  s n 1f (0)  s n  2 f (0)   f ( n 1) (0)

(11.50)

Insbesondere erhalten wir bei homogenen Anfangswerten f (r) (0)  0 (r  0, 1, 2,, n  1)





L f ( n ) ( t ); s  s n F(s)

(11.51)

Beispiel 11-12:

Die Bewegungsgleichung mx  cx  kx  F( t ) soll mittels der Laplacetransformation unter Beachtung der Anfangsbedingungen x (0)  x 0 und x (0)  v 0 in den Bildraum transformiert werden. Lösung: Die Transformation beider Seiten der inhomogenen Bewegungsgleichung ergibt m[sx 0  v 0  s 2 X (s)]  c[ x 0  sX (s)]  kX (s)  F(s) . Diese algebraische Gleichung für

X(s) hat die Lösung X(s) 

(ms  c) x 0  mv 0

1



F(s) . Im homogenen Fall verms  cs  k 1 schwindender Anfangsbedingungen verbleibt X(s) 2 F(s)  H(s)F(s) mit der ms  cs  k 1 , die nur von den Systemwerten abhängt und mit Übertragungsfunktion H(s)  2 ms  cs  k s  i identisch ist mit H() aus Beispiel 11-11. 2

ms  cs  k

2

Beispiel 11-13:

Die Bewegungsgleichung x( t )  2 x ( t )  k 0 sin t des periodisch erregten ungedämpften Einmassenschwingers soll mittels der Laplacetransformation für die Anfangsbedingungen x ( t  0)  x 0 , x ( t  0)  v 0 gelöst werden. Die Transformation beider Seiten der Bewe . Das ist eine algebraische s2  2 sx  v k 0 Gleichung für X(s) mit der Lösung X(s)  20 20  2 . Auf der rechten s  (s  2 )(s 2   2 ) Seite stehen die gebrochen rationalen Funktionen

gungsgleichung liefert s 2 X(s)  sx 0  v 0  2 X(s)  k 0

X1 (s) 

sx 0  v 0 2

s 

2

und X 2 (s) 

k 0 2

(s  2 )(s 2   2 )

.

256

11 Erregung durch nichtharmonische periodische Kräfte

Wir betrachten zunächst die Funktion X1 (s) . Das Nennerpolynom s 2  2 hat die beiden komplexen Nullstellen a1  i und a 2  i . Mit (11.48) erhalten wir die Koeffizienten A1 

a1x 0  v 0 ix 0 v 0 x 0  iv 0 x 0  i v 0 und damit   , A2  a1  a 2 i 2 2 2 2

X1 (s) 

 A (s  a ) r

r

1



r 1

x 0  i v 0 x 0  iv 0  2 (s  i) 2 (s  i)

Die Rücktransformation von X1(s) in den Originalraum liefert unter Beachtung von (11.49) L1 q1 (s); t  

2

A e r

art



r 1

x 0  iv 0 it x 0  iv 0 it v e  e  x 0 cos t  0 sin t . 2 2 

Die Funktion X2(s) hat die Nennerfunktion (s 2  2 )(s 2   2 ) und die Nullstellen a 1  i, a 2  i, a 3  i, a 4  i . Die Koeffizienten lauten mit (11.48) A1 

ik 0  2( 2  2 )

, A2  

ik 0 2( 2  2 )

, A3 

ik 0 2( 2  2 )

, A4  

ik 0 2( 2  2 )

und damit i i    2( 2  2 )s  i  2( 2  2 )s  i   X 2 (s)  k 0  i i      2 2 2 2 2 ( ) s i 2 ( ) s i                

sowie nach Rücktransformation und Zusammenfassung L1 q 2 (s); t  

4

A e r

r 1

art



sin t   sin t        k0

2

2

was zur bekannten Gesamtlösung x(t)  L 1 X1 (s)  X 2 (s); t   x 0 cos t 

führt.

v0 k sin t  2 0 2   

 sin t   sin t      

12

Schwingungsisolierung von Gebäuden und Maschinen

Bei der Schwingungsisolierung – statt von Isolierung wird auch von Entstörung oder Abschirmung gesprochen – sind grundsätzlich zwei Aufgaben zu unterscheiden: 1.) Die Quellenisolierung (oder auch aktive Isolierung) und 2.) Die Empfängerisolierung (oder auch passive Isolierung). Die Quellenisolierung dient dazu, Maschinen, etwa Schmiedehämmer, Pressen, Kohlemühlen und Dieselmotoren so aufzustellen, dass die von ihnen erzeugten Kräfte nur in verträglichem Maße an den Aufstellort übertragen werden. Dazu ist man bestrebt, mögAbb. 12.1 Quellen- und Empfängerisolierung lichst schwingungsarme Maschinen aufzustellen, was durch gutes Auswuchten und Massenausgleiche bewegter Teile erreicht werden kann. Bei der Empfängerisolierung sollen Menschen und empfindliche Maschinen (Druckmaschinen, Walzenschleifmaschinen, Messgeräte für den Laborbereich) vor Schwingungen aus der Umgebung geschützt werden. Beide Aufgaben werden dadurch gelöst, dass die Maschinen oder Geräte und Gebäude auf elastische und dämpfende Unterlagen, die sogenannte Schwingungsisolierung, gestellt werden. Das dynamische Verhalten der Isolierung hängt von den Eigenschaften der Störungsquelle, den dynamischen Eigenschaften der Maschine, dem Maschinenaufstellort und den mechanischen Eigenschaften der elastischen und dämpfenden Elemente der Isolierung selbst ab1. Durch eine geeignete Abstimmung von Massen, Federn und/oder Dämpfern kann für jede Anforderung eine optimale Lösung gefunden werden. Dazu ist bereits in der Planungsphase ein Informationsaustausch zwischen dem Maschinenhersteller, dem Lieferanten der Isolierung und dem Nutzer der Anlage zwingend erforderlich. Eine vollständige Entstörung ist jedoch nicht möglich.

1

DIN EN 1299:2000-02: Mechanische Schwingungen und Stöße, Schwingungsisolierung von Maschinen, Angaben für den Einsatz von Quellenisolierungen.

258

12 Schwingungsisolierung von Gebäuden und Maschinen

Zur grundlegenden Vorgehensweise bei der Auslegung der Isolierung, beschränken wir uns im Fall der Quellensolierung auf eine harmonische Krafterregung und die Erregung durch eine Unwucht. Im Fall der Empfängerisolierung untersuchen wir die Fußpunkterregung eines Einmassenschwingers.

12.1

Quellenisolierung

Abb. 12.2 zeigt den Fall einer harmonischen Krafterregung mit FE ( t )  F0 cos t . Die Isolierung besteht aus einem elastischen Element (Federkonstante k) und einem Dämpfer (Dämpfungskoeffizient c). Die Aufgabe besteht nun darin, die Systemparameter (Masse, Steifigkeit, Dämpfung) so zu wählen, dass die auf das Fundament übertragene Kraft A(t) möglichst klein gehalten wird. Dabei interessiert das EigengeAbb. 12.2 Aktive Schwingungsisolierung wicht der Maschine zunächst nicht. Gehen wir vom eingeschwungenen Zustand aus, dann ist die im stationären Zustand vom Lager aufzunehmende Kraft unter Beachtung von (9.29)

A( t )  kx p ( t )  cx p ( t )  F0 V3 cos(t  3 )  A 0 cos(t  3 ) . Beziehen wir die Kraftamplitude A 0  F0 V3 auf die Erregerkraftamplitude F0, dann wird A 0 / F0  V3 als Kraftdurchgängigkeit bezeichnet. Die Vergrößerungsfunktionen V3 können Abb. 9.17 entnommen werden. Ist das System hoch abgestimmt (   1 ), dann ist V3  1 . Eine etwa vorhandene Dämpfung führt in diesem Bereich zwar zu einer Verringerung der Auflagerkraft, eine Isolierung findet jedoch nicht statt. Bei   2 haben alle Resonanzkurven den Wert V3  1 . Eine Auflagerkraftamplitude A 0  F0 ist nur für ein tief abgestimmtes System mit   2 zu erreichen. Von Interesse ist noch das Verhalten der Vergrößerungsfunktion V3 für große Werte von . Entwickeln wir V3 um den Punkt    , dann erhalten  1  2D 1  8D 2  16D 4   O 5  . Wie wir diesem Ausdruck entnehmen, führt bei 3  4D   einer weichen Aufstellung eine Dämpfung zur Vergrößerung der Auflagerkraft. Andererseits wird die Isolierung dann umso besser, je größer  gewählt wird. Das kann durch Verringe-

wir V3 

rung der Eigenkreisfrequenz   k m erreicht werden, wenn entweder die Feder weicher ausgelegt, oder aber durch Aufbringen einer Zusatzmasse die Gesamtmasse vergrößert wird. Hinweis: Eine weiche Lagerung der Maschine hat selbstverständlich dort ihre Grenzen, wo die damit verbundenen statischen Auslenkungen unverhältnismäßig groß werden.

12.1 Quellenisolierung

259

Die Betriebskreisfrequenz  sollte etwa den drei- bis vierfachen Wert der Eigenkreisfrequenz  haben. Da eine Dämpfung bei tiefer Abstimmung zur Vergrößerung der Auflagerkraft führt, werden in der Praxis nur geringe Dämpfungswerte gewählt, und das Resonanzgebiet wird beim Anfahren und Abschalten der Maschine möglichst zügig durchfahren, um größere Beanspruchungen zu vermeiden. Eine Variante besteht darin, während des Hochfahrens einen Dämpfer hinzuzuschalten, der nach Durchfahrt des Resonanzgebietes wieder abgeschaltet werden kann. Das führt zu folgenden Auslegungskriterien für die Quellenisolierung: 1.) D möglichst klein wählen, 2.) Die Abstimmung sollte im Bereich   3 4 gewählt werden (weiche Aufstellung). Beispiel 12-1: Eine Maschine mit der Masse m erzeugt eine harmonische Erregerkraft FE ( t )  F0 cos t . Gesucht wird die auf das Fundament übertragene Kraft A(t). Es sind folgende Systemwerte gegeben: F0  1 N ,   60 s 1 , m  20 kg , k  8000 kg / s 2 , c  80 kg / s .

Lösung: Mit den Systemwerten erhalten wir   k / m  20 s 1 ,    /   60 / 20  3 , womit eine tiefe Abstimmung (weiche Lagerung) der Maschine vorliegt. Der Dämpfungsgrad errechnet sich zu D  c /( 2m)  0,1 . Mit V3 (, D)  0,145 und 3 (, D)  2,53 liegen dann auch die Durchgängigkeit und der Phasenverschiebungswinkel fest. Die gesuchte Auflagerkraft ergibt sich zu A( t )  F0 V3 cos(t  3 )  0,145 cos(60 t  2,53) [ N] , eine Kraft, die im Maximum nur noch 14,5 % von A(t) beträgt. Die vorhandene Isolierung führt zu einer statischen Auslenkung x st  g / 2  10 / 400 m  2,5 cm . Die Rechengröße W

F0  Fmax 1  (2D) 2  1  V3 (, D)  1  F0 (1  2 ) 2  (2D) 2

(12.1)

wird Wirkungsgrad der Isolierung oder auch kurz Isolierungsgrad genannt. Für V3  1 ist die Isolierwirkung gleich null, und die Kraft FE wird ohne Minderung auf das Fundament übertragen. Werten wir die obige Gleichung im tief abgestimmten Bereich mit   2 für D  0 aus, dann erhalten wir W ()  1  V3 (, D  0)  1 

1 2

 1



2  2 2

 1



( ) 2  2 ( ) 2  1

(12.2)

und aufgelöst nach  (, I)  

1 W . 2W

(12.3)

260

12 Schwingungsisolierung von Gebäuden und Maschinen

Die Änderung des Wirkungsgrades ist mit (12.2) W ' () 

dW 2  2 d (  1) 2

(12.4) Aus (12.3) kann bei gewünschtem Isolierungsgrad W die erforderliche Eigenkreisfrequenz  oder Steifigkeit k der Isolierung ermittelt werden.

Abb. 12.3

W() und W’()

In Abb. 12.3 sind der Wirkungsgrad W (linke Skala) und dessen Änderung W’ (rechte Skala) in Abhängigkeit von  dargestellt. Beispielsweise erhalten wir 3 den Wirkungsgrad für W  87,5 % und W '  0,094 . In der Praxis wird die Abstimmung üblicherweise bis   4 vorgenommen, denn für größere Werte verflacht die Kurve W()

zunehmend. Zwischen   2 und   3 führt eine geringe Änderungen der Abstimmung, beispielsweise als Folge von Drehzahlschwankungen der erregenden Maschine, zu beachtlichen Änderungen des Wirkungsgrades. Oberhalb von   4 kann der Wirkungsgrad nur noch mit erheblichem Materialaufwand für das federnde Material verbessert werden. So wird beispielsweise der für   4 erzielte Wirkungsgrad von W  93 % durch eine Abstimmung auf   6 nur um 4 % verbessert. Allerdings ist dazu eine um den Faktor 36 / 16  2,25 vergrößerte Masse erforderlich. Außerdem lassen sich in diesem Bereich die zu erwartenden Schwingungsamplituden nur minimal verringern. Beispiel 12-2:

Eine Maschine soll derart zu einem starren Fundament abgefedert werden, dass im Betriebszustand nur noch 10 % der maximalen Erregerkraft F0 an das Fundament übertragen wird. Der gewünschte Isolierungsgrad beträgt somit W  90 % . Die Maschine selbst, einschließlich ihres Unterbaus, besitzt eine Masse von 2500 kg und wird bei einer Erregerkreisfrequenz von   120 s 1 betrieben. Wir unterstellen eine harmonische Anregung. Lösung: Aus (12.2) folgt durch Umstellung   (2  W ) /(1  W ) . Mit dem geforderten Wirkungsgrad von 90 % ist die erforderliche Abstimmung   3,32 . Daraus ergibt sich die Eigenkreisfrequenz der Isolierung zu    /   36,18 s 1 sowie f   / (2)  5,76 Hz . Aus dem Eigengewicht G  mg der Maschine ermitteln wir mit g  10 m / s 2 die statische

12.2 Empfängerisolierung

261

Auslenkung x st  g / 2  0,76 cm , und die erforderliche Federsteifigkeit ergibt sich aus der Beziehung k  m2  32,73 kN cm . Im Fall der Unwuchterregung ist nach (10.32) die im stationären Zustand auf die starre Unterlage wirkende Kraft (ohne Eigengewicht) A( t )  u 0 kV7 cos(t  3 )  A 0 cos(t  3 )

Das bezogene Verhältnis

Abb. 12.4

( A 0  u 0 kV7 )

A0  V7 wird Kraftdurchgängigkeit genannt. u 0k

Vergrößerungsfunktion V7

Ein Blick auf Abb. 12.4 zeigt, dass eine Entstörung mit V7  1 , und damit einer Lagerkraftamplitude A 0  u 0 k , nur für hoch abgestimmte Isolierungen zu erreichen ist. Diejenige Abstimmung   gr , für die V7  1 erfüllt ist, kann für kleine Dämpfungsgrade D  0,3 2 3 (1  D 2 ) abgeschätzt werden. Für D  0 ist gr  1 / 2 2  0,71 . Soll 2 4 beispielsweise bei einem Dämpfungsgrad D  0,4 die Kraftdurchgängigkeit nur 50 % betragen, dann liegt das Abstimmungsverhältnis mit   0,6 fest (Abb. 12.4, rechts).

durch gr 

12.2

Empfängerisolierung

Als Modell für die Empfängerisolierung stellen wir uns ein empfindliches Messinstrument vor, das gegenüber der Erschütterung der Unterlage geschützt werden soll. Besondere An-

262

12 Schwingungsisolierung von Gebäuden und Maschinen

forderungen an die Empfängerisolierung stellen übrigens Laborbetriebe dar. Für die Bewegung des Schwingers in Abb. 12.5 mit harmonischer Fußpunkterregung u ( t )  u 0 cos t gelten dann die bereits bekannten Beziehungen x p ( t )  u 0 V3 cos(t  3 )  x 0 cos(t  3 ) . Beziehen wir die Wegamplitude x 0  u 0 V3 auf die Amplitude u0 der Fußpunkterregung, dann wird x 0 / u 0  V3 Wegdurchgängigkeit genannt. Somit sind bei der Empfängerisolierung dieselben Prinzipien wie bei der Quellenisolierung anzulegen. Das bedeutet: 1.) D möglichst klein wählen, 2.) Die Abstimmung sollte im Bereich   3 4 liegen (weiche Aufstellung).

Abb. 12.5 Empfängerisolierung, empfindliches Messgerät

Hinweis: Sind die Erschütterungen allerdings zu stark, dann genügt oft eine direkte Abfederung nicht. Die Maschinen müssen dann auf relativ schwere abgefederte Betonfundamente gestellt werden. Beispiel 12-3: Im Laborraum einer Forschungseinrichtung soll ein Messgerät (Masse m  2 kg ) aufgestellt werden. Der Raum befindet sich in der Nähe einer Durchgangsstraße mit Schwerlastverkehr. Messungen haben ergeben, dass der (starre) Boden näherungsweise eine harmonische Bewegung u ( t )  u 0 cos t  0,008 cos 30 t [m] durchführt. Vom Betreiber wird die dynamische Amplitude x 0  u 0 V3  0,003 m akzeptiert. Die dazu erforderliche Isolierung, bestehend aus einem elastischen Element (Steifigkeit k) und einer Dämpfung (Dämpfungskoeffizient c), ist zu ermitteln. Lösung: Die Wegdurchgängigkeit berechnen wir mit der geforderten maximalen Amplitude zu x 0 / u 0  V3  0,003 / 0,008  0,375 . Wie wir Abb. 12.6 entnehmen können, hängt die Lösung noch vom Dämpfungsgrad ab. Entscheiden wir uns beispielsweise für D  0,02 , dann liegt mit   1,92 auch die Abstimmung fest (Abb. 12.7). Unter Beachtung von

  30 s 1 folgt die Eigenkreisfrequenz     57,6 s 1 und mit k  m2 die Federsteifigkeit k  2  57,6 2  6635,5 kg / s 2  6,64 kN / m . Den Dämpfungskoeffizienten c ermitteln

12.3 Isolierung von Stößen

263

wir aus c  2mD  2  2 kg  57,6 s 1  0,02  4,61 kg / s . Mit den berechneten Werten für k und c kann dann eine Isolierung gewählt werden.

Abb. 12.6

12.3

Vergrößerungsfunktion V3(,D)

Abb. 12.7

Abstimmung (D), V3 = 0,375

Isolierung von Stößen

Wie wir im Folgenden sehen werden, kann auch bei nichtperiodischen Erregerkräften deren Übertragung auf die Unterlage (Fundament) durch eine weiche Abfederung gemindert werden. Ist bei einer konstanten Belastung F( t )  F0 die Einwirkungsdauer 0  t   hinreichend klein, dann sprechen wir von einer Stoß- oder Schockbelastung. Solche plötzlich einsetzenden Belastungen Abb. 12.8 Der Rechteckstoß treten beispielsweise beim Versagen von Bauteilen oder beim Anprall von Festkörpern auf Bauwerke auf und können zu hohen Beanspruchungen der Konstruktion führen. Wir betrachten zunächst den Rechteckstoß in Abb. 12.8. Befindet sich die Masse für t  0 in Ruhe, dann können wir die Auslenkung x(t) und die Geschwindigkeit x ( t ) der Masse m dem Kap. 10.6 entnehmen. Die dort bereitgestellten Lösungen werden hier noch einmal notiert. Mit den dimensionslosen Größen I

F0  D  f 0  ,   t ,    ,   1  D 2 ,   , d t  1  D 2    , m 

264

12 Schwingungsisolierung von Gebäuden und Maschinen

erhielten wir bereichsweise

Bereich II (0 <  < ) x

I 2

1  exp(Dτ)cos    sin   x 

I exp(Dτ) sin  

Bereich III ( > ) I

exp(Dτ)exp(Dμ )cos (  )   sin (  )  cos    sin  2 I x  exp(Dτ)exp(Dμ ) sin (  )  sin   x

Die auf das Fundament übertragene Kraft K(τ) setzt sich additiv aus der Federkraft K F  k x und der Dämpferkraft K D  c x zusammen. Auch hier muss wieder in zwei Bereiche unterteilt werden. Kräfte im Bereich II (0 <  < ) K F  F0 1  exp( Dτ)cos ντ  γ sin ντ , K D  2F0 γ exp(Dτ) sin ντ K  K F  K D  F0 1  exp( Dτ)cos ντ  γ sin ντ 

Kräfte im Bereich III ( > ) K F  F0 exp(Dτ) exp(Dμ )cos ν(μ  τ)  γ sin ν(μ  τ)  cos ντ  γ sin ντ K D  2F0 γ exp(Dτ)exp(Dμ ) sin ν(μ  τ)  sin ντ

K  K F  K D  F0 exp(Dτ) exp(Dμ )cos ν(μ  τ)  γ sin ν(μ  τ)  cos ντ  γ sin ντ

Insbesondere gilt für die Kräfte im Bereich III an der Grenze  =  K F  F0 [1  exp(D)(cos ν  γ sin ν)] K D  2F0 γ exp(D) sin ν K  K F  K D  F0 [1  exp(D)(cos ν  γ sin ν)]

In Abb. 12.9 sind die bezogene Feder- und Dämpferkraft für eine Stoßanregung mit   2 und D  0,1 gezeigt. Die Extremwerte dieser Kräfte treten nicht zur selben Zeit auf, sondern immer um die Phase  2 versetzt. Der Verlauf der Dämpferkraft hat am Ende der Einwirkungszeit der Kraft F0 einen Knick. Das ist verständlich, da die zur Beschleunigung proportionale äußere Belastung am Übergang vom Bereich II zum Bereich III eine Unstetigkeit besitzt. Der Einfluss der Dämpfung auf die übertragene Kraft ist in Abb. 12.10 dargestellt. Mit anwachsender Dämpfung nehmen bei gleicher Einwirkungsdauer  die bezogenen Kraftamplituden ab. Eine gute Schockisolierung erfordert somit eine hohe Dämpfung. Allerdings liegen die ersten Hochpunkte für alle Dämpfungsgrade noch oberhalb von K / F0  1 . Das

12.3 Isolierung von Stößen

265

Ergebnis einer so vorgenommenen Isolierung wäre also schlechter, als wenn darauf gänzlich verzichtet würde.

Abb. 12.9 Verlauf von bezogener Feder- und Dämpferkraft bei Stoßanregung ( = 2, D = 0,1)

Abb. 12.10 Einfluss der Dämpfung auf die übertragene Kraft K ( = 2)

Abb. 12.11 Bezogene übertragene Kraft für unterschiedliche Stoßzeiten (D = 0,1)

Abb. 12.12 Bezogene übertragene Kraft für unterschiedliche Stoßzeiten (D = 0)

Wie wir in den nachstehenden Untersuchungen feststellen werden, hängt der Größtwert der übertragenen Kraft auch wesentlich von der Einwirkungsdauer der Stoßbelastung ab (Abb. 12.11 und Abb. 12.12). Wir wollen den Ort und die Intensität dieser Kraftspitzen in Abhängigkeit von der Stoßdauer  etwas genauer untersuchen. Aufgrund der übersichtlicheren Darstellung führen wir diese Untersuchungen an einem abgefederten System ohne Dämpfung durch. Unter Beachtung von D    0,   1 verbleiben folgende Kraftgrößen

266

12 Schwingungsisolierung von Gebäuden und Maschinen

Bereich II (0 <  < ) K  K F  F0 (1  cos τ)

Bereich III ( > ) K  K F  F0 [(cos   1) cos   sin  sin ]  K 0 cos(   ) K 0  2F0 sin  2 , sin  

sin  cos   1 , cos   2 sin  2 2 sin  2

Ist    , dann liegt der erste Hochpunkt der Federkraft im Bereich II und für    am rechten Rand. Für    liegen sämtliche Hochpunkte im Bereich III. Der Lösung im Bereich III entnehmen wir, dass für Stoßzeiten  = 2k (k = 1, 2, 3...) cos   1 und sin   0 wird, und damit verschwindet K für alle . Der erste Hochpunkt im Bereich III ergibt sich mit K  K 0 an der Stelle   *   . Beachten wir noch     2f   2  / T sowie ~   /(2)   / T , dann erhalten wir  K0  ~  2 sin    2 sin  2 sin  F0 2 T

Abb. 12.13

~  1/ 2 ) (

(12.5)

Kraftspitzen in Abhängigkeit von der Stoßdauer (D = 0)

Dieser Sachverhalt ist in Abb. 12.13 wiedergegeben. Dort sind die bezogenen Kraftspitzen   K 0 / F0 , die in der Literatur auch als Stoßfaktoren, Stoßspektren oder Schockspektren ~   / T aufgebezeichnet werden, in Abhängigkeit von der bezogenen Einwirkungsdauer  ~ tragen. Isolierwirkung tritt erst bei   1 / 6 ein. Dies bedeutet, dass die Eigenschwingzeit T  2 /  des Systems mindestens das 6fache der Dauer des Rechteckstoßes  betragen

12.3 Isolierung von Stößen

267

muss. Um die übertragenen Kräfte also gering zu halten, muss die Eigenschwingzeit T möglichst groß (weiche Lagerung) oder die Eigenfrequenz f des Systems möglichst klein gewählt ~  1 / 6 sind die übertragenen Kraftamplituden A größer als F , und damit ist werden. Für  0 0 ~  0,5 ist K  2F . eine Isolierwirkung nicht gegeben. Für  0 0 Bei extrem kurzen Stößen kann mit guter Näherung die Lösung für den idealen Rechteckstoß benutzt werden. Wir beziehen uns auf Kap. 10.7 und erhalten

x

F0 exp(D) sin , k

x 

2F0D exp(D)(cos    sin ) . c

Für die Feder- und Dämpferkraft folgt K F  kx 

F0 exp(D) sin , K D  cx  2F0D exp(D)(cos    sin ) . 

Die auf das Fundament wirkende Kraft ist dann K  KF  KD 

F0 exp(D)[(1  2D 2 ) sin   2D cos ] . 

(12.6)

Insbesondere gilt für   0 : K F  0, K  K D  2F0D , und bei fehlender Dämpfung folgt aus (12.6) mit D  0 und   1 K  F0 sin 

(12.7)

Beispiel 12-4:

Die Stanzpresse in Abb. 12.14 hat eine Masse von m  750 kg . Zur Vordimensionierung des Fundamentes wird die reale stationäre Belastung durch einen einmaligen Rechteckimpuls mit der Kraftintensität F0  10 kN und der Dauer   50 ms angenähert. Die Stanze Abb. 12.14 Rechteckstoß einer Stanzpresse soll zunächst nur durch Federn mit einer Gesamtsteifigkeit k  200 kN / m gegen das starre Fundament abgefedert werden. Gesucht werden die vom Fundament aufzunehmenden Kräfte. In einem zweiten Schritt ist die resultierende Federsteifigkeit so einzustellen, dass lediglich 50% der Kraftamplitude F0 auf das Fundament übertragen wird. Außerdem soll eine Dämpfung mit D  0,6 zugeschaltet und deren Einfluss auf die Lagerkraft untersucht werden. Lösung: Mit der Eigenkreisfrequenz   k / m  200000 / 750  16,33 s 1 ermitteln wir die dimensionslose Stoßdauer     16,33  0,050  0,816 . Zur Berechnung des Stoß~   /(2)  0,13 , der kleiner als 1/6 ausfällt. Damit tritt faktors  benötigen wir den Wert  Isolierwirkung ein, und die Amplitude der Federkraft ergibt sich nach (12.5) (oder auch aus

268

12 Schwingungsisolierung von Gebäuden und Maschinen

~  0,8 und damit K  0,8  F  8 kN . Der Betrag des Abb. 12.13) zu K 0 / F0  2 sin  0 0 Kraftverlaufs K(τ) ist in Abb. 12.15 dargestellt. Außerdem werden zum Vergleich die Belastungsfunktion selbst und die Lagerkraft infolge des idealen Rechteckstoßes nach (12.7) gezeigt. Der Kraftverlauf K(τ) entspricht einer ungedämpften harmonischen Schwingung mit der Eigenkreisfrequenz . Um das unerwünschte Nachschwingen möglichst kurz zu halten, wird zusätzlich eine Dämpfung mit dem Dämpfungsgrad D  0,6 aktiviert. Wie Abb. 12.16 zeigt, kann damit das Maximum der Kraftamplitude nicht verringert werden, allerdings fällt die Lagerkraft relativ schnell ab. Wesentlich effektiver erweist sich der Einbau weicherer Federn.

Abb. 12.15

Lagerkraft K(τ), μ = 0,816, D = 0

Abb. 12.16

Lagerkraft K(τ), μ = 0,816, D = 0,6

Abb. 12.17

Lagerkraft K(τ), μ = 0,505, D = 0

Abb. 12.18

Lagerkraft K(τ), μ = 0,505, D = 0,6

12.3 Isolierung von Stößen

269

Um nun die Amplitude K0 auf 50 % von F0 und damit auf 5 kN zu bringen (Abb. 12.17), ist im ungedämpften Fall     2 arcsin(0,5 / 2)  0,5054 erforderlich, was eine Eigenkreisfrequenz von    /   0,5054 / (0,05 s)  10,11 s 1 notwendig macht. Daraus kann dann die erforderliche Federsteifigkeit k  2 m  76617 N / m ermittelt werden. Um auch hier das Nachschwingen der Lagerkraft möglichst kurz zu halten, wird wieder eine Dämpfung D  0,6 aktiviert. Allerdings zeigt sich bei    ein geringfügiger Anstieg der Lagerkraft im Vergleich zum ungedämpften Fall (Abb. 12.18). Von Interesse sind noch die maximalen Federwege.

Fall I ( D  0, k  200 kN / m ) mg 750 10,0 x st  G    0,038 m k k 200000 K 0,8  F0 Aus Impulsbelastung: xF  0   8000  0,040 m k 200000 200000 Der maximale Federweg beträgt damit x  x st  x F = 7,8 cm.

Aus Eigengewicht:

Fall II ( D  0, k  76,62 kN / m ) mg 750 10,0 x st  G    0,098 m k k 76617 K 0,5  F0 Aus Impulsbelastung: xF  0   5000  0,065 m k 76617 76617 Der maximale Federweg beträgt hier x  x st  x F = 16,4 cm.

Aus Eigengewicht:

Abb. 12.19

Weitere Stoßfunktionen

Neben dem Rechteckstoß sind in der Praxis noch die in Abb. 12.19 skizzierten Stoßfunktionen von Interesse, für die im Folgenden die Stoßspektren angegeben werden. Wir benötigen dazu die den Belastungen zugeordneten Auslenkungen. Dabei gehen wir in allen Fällen von ungedämpften Systemen aus.

270

12 Schwingungsisolierung von Gebäuden und Maschinen

Dreieckstoß I Verschiebungen: F0 sin t   cos t  ( t  ) k F x ( t )  0 sin t   cos t  sin ( t  ) k Auf das Fundament übertragene Federkräfte: x(t) 

K () 1  sin    cos   (  ) F0  K () 1  sin    cos   sin(  ) F0  Dreieckstoß II

0t t

0 

Verschiebungen: F0 (t  sin t ) k F x ( t )  0  cos ( t  )  sin t  sin ( t  ) k Auf das Fundament übertragene Federkräfte: x (t) 

K ( ) 1  (  sin ) F0 

K () 1   cos(  )  sin   sin(   ) F0  Halbsinusstoß

0t t

0 

Verschiebungen: x (t ) 

F0

t     sin t   sin    k (   )  2

2

F0 

sin t  sin ( t  ) k ( 2   2 ) Auf das Fundament übertragene Federkräfte: x(t) 

K ()      2   sin    sin  F0    2  K ()   2 sin   sin(  ) F0   2

0t t

0 

12.3 Isolierung von Stößen

271

Durch Auswertung der obigen Funktionen ergeben sich die in Abb. 12.20 dargestellten Stoßfaktoren . Alle Werte liegen unterhalb des Rechteckstoßes, was aus energetischen Gründen so sein muss. Der Stoßfaktor  für den Dreieckstoß I hat kein ausgeprägtes Maximum, hier ~)  2 . gilt ~lim (  

Abb. 12.20

Stoßfaktoren  ausgewählter Stoßfunktionen

13

Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

Wie wir in den vorangehenden Kapiteln gesehen haben, lassen sich grundlegende Untersuchungen schwingungsfähiger Systeme bereits an Modellen mit einem Freiheitsgrad durchführen. Werden die Systeme jedoch komplexer, dann müssen die Modelle verfeinert werden. Dies bedeutet in der Regel eine Erhöhung der Anzahl der Freiheitsgrade oder auch den Übergang zu Kontinuumsmodellen. Die Modellverfeinerung führt dazu, dass der Rechenaufwand erheblich zunimmt. Aus diesem Grunde ist es erforderlich, die Rechnungen mit Unterstützung von Computerprogrammen durchzuführen. Die Problemaufbereitung ist dann rechnergerecht vorzunehmen, um die zur Verfügung stehenden Gleichungslöser effektiv einsetzen zu können.

13.1

Abb. 13.1

Freie ungedämpfte Schwingungen mit speziell zwei Freiheitsgraden

Freie ungedämpfte Schwingungen mit zwei Freiheitsgraden

Wir erweitern das Modell des Einmassenschwingers, indem wir der Masse m1 über eine zusätzliche Feder mit der Federsteifigkeit k2 eine zweite Masse m2 hinzufügen (Abb. 13.1). Diese Anordnung wird als Schwingerkette bezeichnet. Die Koordinaten werden dabei so gewählt, dass für x1  0 und x 2  0 beide Federn entspannt sind. Dieses System kann als Vorstudie zur Berechnung von Systemen mit einer größeren Anzahl von Freiheitsgraden

274

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

angesehen werden. Der Vorteil der Abhandlung eines Systems mit lediglich zwei Freiheitsgraden liegt darin, dass alle auftretenden Gleichungen analytisch gelöst und die charakteristischen Begriffe wie Eigenwerte und Eigenvektoren eines Mehrmassenschwingers grundsätzlich diskutiert werden können. Das vorliegende System kann durch Anfangsauslenkungen und/oder Anfangsgeschwindigkeiten der Massen m1 und m2 zu Eigenschwingungen angeregt werden.

Abb. 13.2

Der ungedämpfte Zweimassenschwinger, freigeschnittenes System

Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen (s.h. auch Beispiel 4-2) werden die Teilmassen m1 und m2 freigeschnitten (Abb. 13.2). Anschließend wird für jede dieser Teilmassen das Newtonsche Grundgesetz in x-Richtung angeschrieben, also m1x1  k1 x1  k 2 ( x 2  x1 ), m 2 x 2  k 2 ( x 2  x1 )

(13.1)

Für unser System mit zwei Freiheitsgraden erhalten wir auch genau zwei Bewegungsgleichungen, die in den Lagekoordinaten x1 und x2 gekoppelt sind. Zur weiteren Behandlung formen wir (13.1) noch etwas um. Mit den Abkürzungen 21 

k1  k 2 k , 22  2 m1 m2

(13.2)

erhalten wir x1  21 x1 

k2 x 2  0, x 2  22 ( x 2  x1 )  0 . m1

(13.3)

Da wir für das vorliegende System harmonische Schwingungen vermuten, versuchen wir, in Anlehnung an den freien Schwinger mit einem Freiheitsgrad, den Lösungsansatz

x1 ( t )  a1 cos(1t  1 ), x 2 ( t )  a 2 cos(2 t   2 ) Einsetzen von (13.4) in (13.3) ergibt a 1 (21  12 ) cos(1t  1 )  a 2

k2 cos(2 t   2 )  0 m1

a 122 cos(1t  1 )  a 2 (22  22 ) cos(2 t   2 )  0

(13.4)

13.1 Freie ungedämpfte Schwingungen mit speziell zwei Freiheitsgraden

275

Dieses Gleichungssystem ist für alle Zeiten t nur dann erfüllt, wenn wir 1  2   und 1   2   fordern und damit (13.4) weiter konkretisieren x1 ( t )  a1 cos(t  ), x 2 ( t )  a 2 cos(t  )

(13.5)

Einsetzen in (13.3) führt auf das lineare homogene Gleichungssystem 21  2  2   2

 k 2 / m1   a1  0    22  2  a 2  0

(13.6)

Dieses Gleichungssystem besitzt neben der Triviallösung a 1  a 2  0 nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix 2  2 D  det  1 2   2

 k 2 / m1   (2 ) 2  (21  22 ) 2  22 (21  k 2 / m1 )  0 2 2  2   

(13.7)

verschwindet. Diese als Frequenzgleichung bezeichnete Beziehung hat die beiden Lösungen 12  1 2 2 1 2 2 2 2 2 k2 ) (1   2 )   2 (1    (1   2 )  2 m1 4 2  2

(13.8)

oder nach Umordnung 12  1 2 k 1 2 2 (1  22 ) 2  2 22   ( 1   2 )  2 m1 4 2  2

(13.9)

Beide Lösungen 12  22 sind reell und positiv. Die Platzziffern der Eigenkreisfrequenzen wurden dabei nach aufsteigender Reihenfolge geordnet. Den Nachweis, dass beide Lösungen reell sind, entnehmen wir (13.9). Um zu zeigen, dass auch 12 positiv ist, beachten wir in (13.8), dass 21  k 2 m1  0 , und damit der Wurzelausdruck immer kleiner als (21  22 ) / 2 ausfällt. Mit den Lösungen für 12 und 22 erhalten wir jeweils zwei Eigenkreisfrequenzen mit positiven oder negativen Vorzeichen, von denen nur die beiden Eigenkreisfrequenzen mit positiven Vorzeichen

1   2 





k 1 2 1 2 1  22  (1  22 ) 2  2 22 2 4 m1

(13.10)

physikalisch sinnvoll sind. Aus (13.6) folgt noch, dass auch das Verhältnis der beiden Amplituden 2 a 2 21  2 m1  2 2 2  a1 k2 2  

(13.11)

276

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

festliegt. Merkwürdigerweise hängt dieses Verhältnis nur von den System- und nicht von den Anfangswerten ab. Die Größen der Amplituden selbst lassen sich dagegen nicht berechnen. Das Amplitudenverhältnis (13.11) muss für beide Werte von  erfüllt sein, so dass wir 1 

a 2,1 a 1,1



a 2, 2 21  22 21  12 2 2 m1  2 2 2 ;  2   m1  2 2 2 k2 a 1, 2 k2  2  1  2  2

(13.12)

erhalten. Die beiden Bewegungsgleichungen (13.5) gestatten somit die Angabe von jeweils zwei Zeitfunktionen x1,1 ( t ), x1, 2 ( t ) und x 2,1 ( t ), x 2, 2 ( t ) . Aufgrund des Superpositionsprin-

zips für lineare Differenzialgleichungen lassen sich diese Teillösungen zur Gesamtlösung x1 ( t )  x1,1 ( t )  x1, 2 ( t )  a1,1 cos(1t  1 )  a 1, 2 cos(2 t   2 ) x 2 ( t )  x 2,1 ( t )  x 2, 2 ( t )  a 2,1 cos(1t  1 )  a 2, 2 cos(2 t   2 )

(13.13)

oder unter Beachtung von (13.12) zu x1 ( t )  x1,1 ( t )  x1, 2 ( t ) 

a 1,1 cos(1t  1 )  a1, 2 cos(2 t   2 )

x 2 ( t )  x 2,1 ( t )  x 2, 2 ( t )  1a 1,1 cos(1t  1 )   2 a1, 2 cos(2 t   2 )

(13.14)

zusammenfassen. Für die Geschwindigkeiten folgt x 1 ( t )   1a 1,1 sin(1t  1 )  2 a 1, 2 sin(2 t   2 ) x 2 ( t )   11a 1,1 sin(1t  1 )   2 2 a1, 2 sin(2 t   2 )

(13.15)

Damit besteht zwischen den Zeitfunktionen der folgende lineare Zusammenhang x 2,1 ( t )  1 x1,1 ( t ), x 2, 2 ( t )   2 x1, 2 ( t )

(13.16)

Zur kleineren Eigenkreisfrequenz 1 gehört das positive Amplitudenverhältnis 1 

 m1 2 m 1 k 1 2 (1  12 )  1  (21  22 )  (1  22 ) 2  2 22   0 k2 k2 2 4 m1 

(13.17)

und zur größeren Eigenkreisfrequenz 2 das negative Amplitudenverhältnis 2 

 m1 2 m 1 k 1 2 ( I  22 )  1  (21  22 )  (1  22 ) 2  2 22   0 k2 k2 2 4 m1 

(13.18)

Um das Problem vollständig zu lösen, müssen noch die Konstanten an die Anfangswerte angepasst werden. Sind zum Zeitpunkt t = 0 die Anfangswerte für die Auslenkungen x10 und x20 sowie die Geschwindigkeiten v10 und v20 der Massen m1 und m2 gegeben, dann erhalten wir mit den Abkürzungen ~ ~ ~ a1  a1,1 cos 1, ~ a 2  a1, 2 cos  2 , b1  a1,1 sin 1 , b2  a1, 2 sin  2 (13.19) das lineare Gleichungssystem

13.1 Freie ungedämpfte Schwingungen mit speziell zwei Freiheitsgraden

277

x1 ( t  0)  x10  a1,1 cos 1  a1, 2 cos  2  ~ a1  ~ a2

x 2 ( t  0)  x 20  1a1,1 cos 1   2a1, 2 cos  2  1~ a1   2 ~ a2 ~ ~ x 1 ( t  0)  v10  1a1,1 sin 1  2a1, 2 sin  2  1b1  2 b2 ~ ~ x 2 ( t  0)  v 20  11a1,1 sin 1  2  2a1, 2 sin  2  11b1  2  2 b2

Es besitzt die Lösungen  x  x 20 ~  x  x 20 ~  v  v 20 ~  v  v 20 ~ a1   2 10 , a 2  1 10 , b1   2 10 , b2  1 10 1   2 1   2 1 ( 1   2 ) 2 ( 1   2 )

(13.20)

und die Amplituden errechnen sich zu ~ a1,1  ~ a12  b12 

12 (  2 x10  x 20 ) 2  (  2 v10  v 20 ) 2

~ a 22  b22   ~

22 ( 1x10  x 20 ) 2  ( 1v10  v 20 ) 2

a1, 2

12 ( 1   2 ) 2

(13.21)

22 ( 1   2 ) 2

Für den Sonderfall verschwindender Anfangsgeschwindigkeiten v10  0 und v 20  0 verbleiben a1,1 

(  2 x10  x 20 ) 2 ( 1   2 )

2

, a1, 2 

( 1x10  x 20 ) 2 ( 1   2 ) 2

(13.22)

Beispiel 13-1:

Abb. 13.3

Zweistöckiger Rahmen, Auslenkversuch

An dem in Abb. 13.3 skizzierten zweistöckigen Rahmen soll ein Auslenkversuch derart durchgeführt werden, dass zum Zeitpunkt t = 0 die Masse m2 durch eine Seilvorspannung um 3 cm ausgelenkt wird. Anschließend wird das Seil gekappt. Die Rahmenkonstruktion führt dann freie Schwingungen aus. Der Rahmen besitzt starre Riegel, die aufgrund der dehnstar-

278

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

ren Stiele nur eine kleine Horizontalbewegung durchführen können. Damit lässt sich die Rahmenkonstruktion durch das System nach Abb. 13.1 ersetzen. Geg.: Stockwerkhöhe h = 3,25 m, Rahmenabstand  = 6 m, Stützweite a = 6 m. Decken aus Stahlbeton: d1 = 30 cm, d2 = 25 cm. Quadratische Stützen aus Stahlbeton: b1 = d1 = 25 cm, b2 = d2 = 20 cm, E = 30000 N/mm2. Gesucht: a) Die Eigenkreisfrequenzen 1 und 2 des Systems b) Die Amplitudenverhältnisse 1 und 2 c) Die Bewegungsgleichungen der Massen m1 und m2 d) Änderung der Eigenkreisfrequenzen, wenn die Stiele in (A) drehbar gelagert sind. Lösung: m1  0,30  6,0  6,0  2500  27000 kg , m 2  0, 25  6,0  6,0  2500  22500 kg Steifigkeiten: I1  254 / 12  32552 cm 4 , I 2  204 /12  13333 cm 4 ,

k1  2 21 

12EI1 h

3

 68274,75 N / cm , k 2  2

12EI 2 h3

 27965,41 N / cm ,

k1  k 2 6827475  2796541 k 2796541   356,45 s  2 , 22  2   124,29 s  2 . m1 27000 m2 22500

zu a) Eigenkreisfrequenzen: k 1  1  12   22   1 (12   22 ) 2  2  22  8,83 s 1 2 4 m1 k 2  1  12   22   1 (12   22 ) 2  2  22  20,07 s 1 . 2 4 m1 Zu b) Amplitudenverhältnisse: 1 

m1 2 m (1  12 )  2,688,  2  1 (21  22 )  0,446 k2 k2

Zu c) Bewegungsgleichungen: Das System startet aus der Ruhelage mit x 20  3 cm . Mit (13.19) und (13.22) errechnen wir a 1 

x 20 3 cm   0,957 cm, a 2  a 1 , b 1  0, b 2  0 . 1   2 2,688  0, 446

a1,1  a1,2 

x 20 2  0,957 cm . ( 1   2 ) 2

13.1 Freie ungedämpfte Schwingungen mit speziell zwei Freiheitsgraden

cos 1 

279

~ ~ a1 a  1, sin 1  0  1  0, cos  2  2  1, sin  2  0   2   a1,1 a1, 2

Abb. 13.4 Verschiebungen des zweistöckigen Rahmens, Stiele eingespannt

Abb. 13.5 Verschiebungen des zweistöckigen Rahmens, Stiele drehbar gelagert

Abb. 13.6 Phasendiagramm der Masse m1 (t < 2s), Stiele eingespannt

Abb. 13.7 Phasendiagramm der Masse m2 (t < 2s), Stiele eingespannt

Damit liegen die Bewegungsgesetze für beide Riegel vor (Abb. 13.4) x1 ( t )  0,957cos 8,83t  cos 20,07 t  x 1 ( t )  0,9578,83 sin 8,83t  20,07 sin 20,07 t 

x 2 ( t )  0,9572,688 cos 8,83t  0,446 cos 20,07 t  x 2 ( t )  0,95723,74 sin 8,83t  8,95 sin 20,07 t 

[cm] [cm / s] [cm] [cm / s]

Zu d) Stiele drehbar gelagert: Werden die Stiele bei (A) drehbar gelagert, dann verringert sich die Federsteifigkeit k1. Die Steifigkeiten der Stiele 2 bleiben dagegen unverändert. Im Einzelnen erhalten wir:

280

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

k1  2

3EI1

 17068,69 N / cm , k 2  27965,41 N / cm (unverändert) h3 21  166,79 s 2 , 22  124,29 s 2 , 1  5, 49 s 1 , 2  16,15 s 1 , 1  1,320,  2  0,909

a 1 

x 20 3 cm   1, 293 cm, a 2  a 1 , b 1  0, b 2  0 . 1   2 1,320  0,909

a1,1  a1,2 

Abb. 13.8

x 20 2 ( 1   2 ) 2

 1,293 cm, 1  0,  2   .

Phasendiagramm der Masse m1 (t < 2s), Stiele drehbar gelagert

Abb. 13.9

Phasendiagramm der Masse m2 (t < 2s), Stiele drehbar gelagert

Nach (13.14) lässt sich die Bewegung des Systems grundsätzlich aus zwei trigonometrischen Lösungen cos( j t   j ) mit verschiedenen Eigenkreisfrequenzen (1 , 2 ) und Nullphasenverschiebungswinkeln (1 ,  2 ) aufbauen. Diese Grundformen der Schwingung werden Eigenschwingungsformen genannt. Wegen des Vorzeichenwechsels von  2 kann die allgemeine Lösung durch eine synchrone Bewegung1 des Systems, also eine Bewegung im gleichen Takt, nicht dargestellt werden. Für zwei spezielle Anfangsbedingungen lässt sich jedoch eine solche Synchronbewegung erzeugen. Dann schwingen beide Massen harmonisch nur mit der 1. oder 2. Eigenkreisfrequenz. Diese Schwingungen werden auch Hauptschwingungen genannt. Fall 1: Wählen wir speziell a 1,2  0 und 1   , dann verbleiben von (13.14)

1

x1 ( t )  a1,1 cos(1t  )  a 1,1 cos 1t

 x 1 ( t )  a 1,11 sin 1t

x 2 ( t )  1a 1,1 cos(1t  )   1a1,1 cos 1t

 x 2 ( t )  1a1,11 sin 1t

zu griech. chrónos ›Zeit‹, gleichzeitig, zeitgleich, gleichlaufend

13.1 Freie ungedämpfte Schwingungen mit speziell zwei Freiheitsgraden

281

Bei dieser Wahl der Konstanten schwingt das System in beiden Koordinaten mit der 1. Eigenkreisfrequenz 1 . Die Schwingungen genügen dabei den Anfangswerten x1 ( t  0)  a1,1

x 1 ( t  0)  0

x 2 ( t  0)   1a1,1

x 2 ( t  0)  0

Da das Amplitudenverhältnis 1 positiv ist, handelt es sich um eine symmetrische Synchronschwingung. Beide Riegel schwingen gleichsinnig (in Phase), wenn sie ohne Anfangsgeschwindigkeiten aus den Lagen x1 ( t  0)  a 1,1 und x 2 ( t  0)   1a 1,1 losgelassen

werden.

Abb. 13.10

Symmetrische Synchronbewegung

Abb. 13.11

Schwingung in Phase, a1,1 = 0,01m

Fall 2: Wählen wir speziell a 1,1  0 und  2   , dann verbleiben von (13.14) x1 ( t ) 

a1, 2 cos(2 t  )   a1, 2 cos 2 t  x 1 ( t ) 

a1, 22 sin 2 t

x 2 ( t )   2a1, 2 cos(2 t  )    2a1, 2 cos 2 t  x 2 ( t )   2a1, 22 sin 2 t

Das System schwingt nun in beiden Koordinaten mit der größeren Eigenkreisfrequenz 2 . Es gelten die folgenden Anfangswerte x1 ( t  0)  a1, 2

x 1 ( t  0)  0

x 2 ( t  0)    2a1, 2

x 2 ( t  0)  0

Da das Amplitudenverhältnis  2 negativ ist, sprechen wir hier von einer antimetrische Synchronbewegung, beide Riegel schwingen in Gegenphase. Durch eine besondere Vorgabe der Anfangsstörungen lassen sich offensichtlich Schwingungsfiguren erzeugen, deren Formen sich mit der Zeit nicht verändern. Sie sind formerhaltend. Im vorliegenden Fall sind die zu den Eigenkreisfrequenzen 1 und 2 gehörenden Funktionen x11(t), x12(t) oder x21(t), x22(t) die beiden Eigenschwingungsformen (engl. modes) des Systems.

282

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

Abb. 13.12 Antimetrische Synchronbewegung

Abb. 13.13

Schwingung in Gegenphase, a1,2 = 0,01m

Hinweis: Die Lösungen x1(t) und x2(t) sind bekanntlich nur dann periodisch, wenn die beiden Eigenkreisfrequenzen 1 und 2 ein rationales Verhältnis bilden. Im Hinblick auf die Lösung von Systemen mit einer größeren Anzahl von Freiheitsgraden, wollen wir im Folgenden den vorher beschrittenen Lösungsweg kompakter notieren. Wir bedienen uns dazu der Vektor- und Matrizenschreibweise. Das Differenzialgleichungssystem (13.1) erscheint dann in der Form

m1 0   x1  k1  k 2  0 m  x     k  2  2   2

 k 2   x 1  0   k 2   x 2  0

oder symbolisch M x  K  x  0

(13.23)

0  m k  k 2  k 2  mit M   1  diag(m1 , m 2 ) und K   1 . Die Massenmatrix M erweist  k 2   0 m2    k2 sich hier als Diagonalmatrix und die Steifigkeitsmatrix K ist symmetrisch. Die Kopplung der beiden skalaren Gleichungen erfolgt über die Steifigkeitsmatrix. Zur Lösung des obigen Gleichungssystems machen wir in Anlehnung an (13.4) den Eigenfunktionsansatz x  a cos(t  ) mit x T  x1

x 2  , a T  a1 a 2 

(13.24)

Beachten wir diesen Ansatz in (13.23), dann führt das auf das allgemeine Eigenwertproblem ( K   2 M)  a  0

(13.25)

was nur dann eine nichttriviale Lösung a besitzt, wenn D  det(K  2M)  (2 ) 2  (21  22 ) 2  22 (21 

k2 )0 m1

13.1 Freie ungedämpfte Schwingungen mit speziell zwei Freiheitsgraden

283

erfüllt ist. Diese Frequenzgleichung entspricht (13.7), wenn wir noch die Abkürzung (13.2) beachten. Die symmetrische Matrix K D  K  2M wird auch dynamische Steifigkeitsmatrix genannt. Die Frequenzgleichung liefert entsprechend (13.10) die beiden positiven und reellen Eigenkreisfrequenzen 1 und 2 . Da wir zwei Eigenwerte ermitteln, können wir (13.24) konkreter angeben

 a 1,1   a 1, 2  x  a1 cos(1t  1 )  a 2 cos(2 t   2 )    cos(1t  1 )    cos(2 t   2 ) a 2,1  a 2 , 2  Mit bekannten Eigenkreisfrequenzen erhalten wir aus (13.25) ein lineares homogenes Gleichungssystem zur Bestimmung der Koordinaten der Eigenvektoren a1 und a 2 . Den zum 1. Eigenwert 1 gehörenden Eigenvektor bestimmen wir aus (K  12 M)  a1  0 , also  k 1  k 2    k 2

 k2  m  12  1 k 2  0

0    a 1,1  k1  k 2  12 m1   m 2   a 2,1    k2

 k 2   a 1,1  0    k 2  12 m 2  a 2,1  0

oder ausmultipliziert (k1  k 2  12 m1 ) a1,1  k 2a 2,1  0,  k 2a1,1  (k 2  12 m 2 ) a 2,1  0 . Beide Gleichungen sind linear abhängig. Lösen wir beispielsweise die 1. Gleichung nach a 2,1 auf, m1  k1  k 2 m   12  a1,1  1 (21  12 ) a1,1 , und somit den Eigenvek k 2  m1 k2  tor a1 zum ersten Eigenwert 1

dann erhalten wir a 2,1 

1    a1,1  1 a1     a1,1  m1 (2  2 )  a1,1   1 1 a  k   1   2,1  2

der allerdings nur bis auf eine freie Konstante bestimmt ist. Eine entsprechende Rechnung liefert den Eigenvektor a2 zum zweiten Eigenwert 2 1    a1, 2  1  a1,2  m1 (2  2 )  a1, 2   a2    1 2 a  k  2   2, 2  2

Die allgemeine Lösung des Problems setzen wir jetzt als Linearkombination der beiden Eigenfunktionen mit beliebigen Konstanten A1 und A2 an 2

x( t ) 

a j1

j

1 1 cos( j t   j )  A1   cos(1t  1 )  A 2   cos(2 t   2 ) ,  1   2 

die offensichtlich identisch ist mit der Lösung (13.14).

284

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

Übungsvorschlag 13-1:

Abb. 13.14

Gekoppeltes System mit zwei Freiheitsgraden

Die Massen m1 und m2 in Abb. 13.14 sind über eine Feder (Federsteifigkeit k12) miteinander gekoppelt. Notieren Sie die Bewegungsgleichungen unter Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes sowie der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen. Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems. Untersuchen Sie die Fälle m1  m 2  m , k1  k 2  k sowie die Sonderfälle k12 = 0, k12   , k12 = k1 = k2 = k.

Beispiel 13-2: Der in Abb. 13.15 skizzierte starre Balken (Masse m, Massenträgheitsmoment ΘS) ist auf zwei Federn (Federsteifigkeiten k1, k2) elastisch gelagert. Unter der Voraussetzung kleiner Auslenkungen sind für den Fall der ebenen Bewegung die Bewegungsgleichungen aufzustellen. Dazu sind 1.) die beiden Koordinaten xs (vertikale Auslenkung des Schwerpunktes) und  (Drehung um eine Achse senkrecht zur Bewegungsebene (Abb. 13.15, links) und 2.) die Koordinaten x1 und x2 der vertikalen Federkopfverschiebungen (Abb. 13.15, rechts) zu verwenden.

Abb. 13.15

Auf zwei Federn gelagerter starrer Balken

Lösung: Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen verwenden wir die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen, also

13.1 Freie ungedämpfte Schwingungen mit speziell zwei Freiheitsgraden d  E dt  q i

 E U   q   q i i 

285

(i  1, 2)

Wir benötigen die kinetische Energie E und die potenzielle Energie U des Systems als Funktion der generalisierten Koordinaten qi (i = 1, 2). Da wir den Balken als starren Körper betrachten, und nur kleine Auslenkungen zulassen, gilt folgender kinematischer Sachverhalt: x1  x s   1 ,

x 2  x s   2 .

Wir wählen im ersten Schritt xs und  als unabhängige Koordinaten. 1 1 mx S2  S 2 2 2

Kinetische Energie:

E

Potenzielle Energie:

U  mgx s 

1 1 k1 ( x s   1 ) 2  k 2 ( x s   2 ) 2 2 2

Die Auswertung der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen ergibt

d  E     mxS , dt  x S 

U  mg  k1 ( x s   1 )  k 2 ( x s   2 ) , x S

d  E   ,    S dt   

U  k1 1 ( x s   1 )  k 2  2 ( x s   2 ) . 

Damit folgen die Bewegungsgleichungen mxS  mg  k1 ( x s  1 )  k 2 ( x s   2 )  0   k11 ( x s  1 )  k 2 2 ( x s   2 )  0 S  oder kompakter in Matrizenschreibweise k 2 2  k11   x s  m 0  xS   k1  k 2 mg  0      k   k  k  2  k  2         0         S  2 21 1  1 1  2 2           q q g K M   K  q  g . Die Massenmatrix M ist eine Diagosowie auch in symbolischer Form M  q nalmatrix, und die symmetrische Steifigkeitsmatrix K ist voll besetzt. Eine Kopplung der Bewegungsgleichungen erfolgt bei dieser Wahl der Koordinaten über die Steifigkeitsmatrix allein. Dieser Sachverhalt wird auch als Steifigkeitskopplung bezeichnet. Der auf der rechten Seite stehende Vektor g enthält in der ersten Zeile die Gewichtskraft G des Balkens, er wird Totlastvektor genannt.

Beschreiben wir die Bewegung in den generalisierten Koordinaten x1 und x2, dann müssen die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen nicht noch einmal ausgewertet werden. Führen

286

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

~  x x T den Vektor der neuen Koordinaten ein, dann gilt folgender wir nämlich mit q 1 2 Zusammenhang zwischen den neuen und alten Koordinaten

1   2 1   x1   x1  1 1   x S  xS   x   1                1 1    x   1         2 2 2 2  ~ ~ -1 q q q q T T ~  g . Durch Linksmultipli~  K  T  q Berücksichtigen wir dies, dann erhalten wir M  T  q T T ~ ~   TT  K  T  q kation mit TT erhalten wir T Tq  g oder zusammengefasst: M      T  ~ ~ ~ M K g

~ ~ ~ ~   K M q  q  ~ g

~ mit M 

 m 22  S 1  ( 1   2 ) m 1 2  S

m1 2  S  ~ T ~ k1 M , K  2 m1  S  0

0 , k 2 

sowie ~ g  TT  g . Offensichtlich ist bei dieser Wahl der Koordinaten die Massenmatrix voll besetzt und die Steifigkeitsmatrix eine Diagonalmatrix. Man spricht in diesem Fall auch von einer Massenkopplung. In welcher Form sich eine Kopplung der Bewegungsgleichungen ergibt (Massen- oder Steifigkeitskopplung), ist demnach keine Systemeigenschaft, sondern hängt lediglich von der Wahl der das Problem beschreibenden Koordinaten ab. Es existieren im Übrigen auch Koordinatenkombinationen, bei denen sich Kopplungen der Bewegungsgleichungen sowohl über die Massen- als auch über die Steifigkeitsmatrix einstellen. Hinweis. Durch die Linksmultiplikation mit TT ist sichergestellt, dass bei symmetrischen ~ ~ Matrizen M und K auch M und K symmetrisch sind.

13.2

Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden

Wir verwenden im Folgenden zweckmäßigerweise die Vektor- und Matrizenschreibweise. Dazu werden wir in einem ersten Schritt die n Freiheitsgrade des Systems im Freiheitsgradvektor q( t )  q1 ( t )  q n ( t )T mit den generalisierten Koordinaten qj(t) (j = 1,..., n) zusammenfassen. Die potenzielle Federenergie kann immer als Bilinearform1 n

UF 

1 T 1 q K q  k jk q jq k 2 2 j, k 1



geschrieben werden, wobei die symmetrische Feder- oder auch Steifigkeitsmatrix

1

Im Falle symmetrischer Matrizen heißen die Bilinearformen auch quadratische Formen

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden  k11 k12  k1n  k k 22  k 2 n   K  K T   21         k n1   k nn 

k jk  k kj 

287

2UF q jq k

eingeführt wurde. Entsprechend lässt sich die kinetische Energie des Systems immer als Bilinearform der generalisierten Geschwindigkeiten q darstellen n

E

1 T 1 q  M  q  m jk q jq k 2 2 j, k 1



wobei  m11 m12  m1n  m m 22  m 2 n  , M  M T   21         m n1   m nn 

m jk  m kj 

 2E q jq k

die symmetrische Massenmatrix bezeichnet. Die potenzielle Lageenergie (etwa von Gewichtskräften) führen wir als lineare Funktion der Freiheitsgradparameter qj ein UL  qT  g

Darin bezeichnet g   g1 ,  , g n 

T

gj 

U L q j

j  1,..., n

den Totlastvektor. Aus E  U  E  UF  UL 

1 T 1 q  M  q  q T  K  q  q T  g 2 2

erhalten wir mit dem Energie-Erhaltungssatz   q T  (M  q   K  q  g )  0 E  U

(13.26)

wobei zur Darstellung von (13.26) die Symmetrie von M und K vorausgesetzt wurde. Für beliebige Geschwindigkeiten q ist (13.26) nur dann erfüllt, wenn   K  q  g M q

(13.27)

(t)  0 und aus gilt. Befindet sich das System mit q( t )  q st in (relativer) Ruhe, dann ist q

(13.27) folgt die statischen Ruhelage q st  K 1  g . Setzen wir q( t )  q st  qˆ ( t ) , so verbleibt die homogene Bewegungsgleichung

288

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden ˆ  K  qˆ  0 M q

(13.28)

Der Vektor qˆ beschreibt die Bewegung um die statische Ruhelage. Zur Lösung wird der Ansatz qˆ  a cos(t  )

(13.29)

mit konstantem Amplitudenvektor a gemacht. Einsetzen in (13.28) führt auf (K   2 M )  a  0

(13.30)

Dieses lineare homogene Gleichungssystem kann nur dann nichttriviale Lösungen a j liefern, wenn det(K  2 M )  0

(13.31)

erfüllt ist. Diese Eigenwertgleichung liefert genau n reelle und positive Eigenkreisfrequenzen  (  1, , n ) , womit wir dann (13.29) mit qˆ  a  cos( t    )

(13.32)

weiter konkretisieren können. Die Eigenkreisfrequenzen  legen diejenigen Eigenformen a  des Mehrmassenschwingers fest, die während der Bewegung ihre Konfiguration nur proportional ändern. Wegen (13.31) können die Konstanten a j, (j = 1,..., n) nicht unabhängig voneinander sein. Wie wir nämlich bereits beim Schwinger mit zwei Freiheitsgraden gesehen haben, stehen die Koordinaten der Eigenvektoren in dem festen Verhältnis a j, a k ,

  jk ( , K , M ) ,

das vom jeweiligen Eigenwert  und der Steifigkeits- und Massenverteilung des Systems abhängt. Der -te Eigenvektor lässt sich dann letztlich immer in der Form a  A  e

(13.33)

mit einer beliebigen Konstante A  darstellen. Die passend normierten Eigenvektoren  e1,  e       h ( , K, M ) e n, 

(13.34)

etwa mit e  1 , sind dabei Funktionen, die vom jeweiligen Eigenwert  und den Systemwerten K und M abhängen. Sie besitzen übrigens die wichtigen Orthogonalitätseigenschaften

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden

289

e T  M  e m  0

(  m )

(13.35)

e T  K  e m  0

(  m )

(13.36)

und

Wie bereits beim Zweimassenschwinger nachgewiesen wurde, lässt sich auch beim Mehrmassenschwinger eine durch die Anfangswerte qˆ ( t  0)  qˆ 0 , qˆ ( t  0)  qˆ 0

(13.37)

eingeleitete freie Schwingung durch Superposition der Synchronbewegungen1 darstellen n



qˆ ( t )  qˆ ( t )  

 1 n

n

a  cos( t    ) 

a   1





A e  1 n

sin( t    )  

 

cos( t    )

A  e  1



 

sin( t    )

Sie besitzen zum Zeitpunkt t = 0 die Anfangswerte n

qˆ 0 

  1

A e cos   , qˆ 0 

n

 A  e sin   1



 



Multiplizieren wir diese Beziehungen von links mit e Tj  M und beachten (13.35), dann erhalten wir cos  j 

T T  1 e j  M  qˆ 0 1 e j  M  qˆ 0   , sin j A j j eTj  M  e j A j eTj  M  e j

(13.38)

und damit Aj 

(e Tj  M  qˆ 0 ) 2  1 2j (e Tj  M  qˆ 0 ) 2 e Tj  M  e j

(13.39)

Abschließend soll noch gezeigt werden, dass die Eigenvektoren tatsächlich den Orthogonalitätsbedingungen genügen, wobei sich der folgende Beweis auf (13.35) beschränkt. Mit (13.30) ist nämlich K  e   2 M  e 

1

(13.40)

das ist der wichtige Entwicklungssatz der Vektorrechnung, der besagt, dass sich ein beliebiger n-dimensionaler Vektor immer als Linearkombination der Eigenvektoren einer n-reihigen reellen Matrix darstellen lässt.

290

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

und für einen anderen Eigenvektor K  em  2m M  em

(13.41)

T Multiplizieren wir (13.40) von links mit e m sowie (13.41) mit eT , also

T T em  K  e   2 e m  M  e T T e T  K  e m  2m e T  M  e m  e m  K  e   2m e m  M  e und ziehen beide Gleichungen voneinander ab, dann erhalten wir T (2  2m ) e m  M  e  0

was für   m offensichtlich nur dann möglich ist, wenn (13.35) besteht. Berechnen wir die Eigenkreisfrequenzen mittels (13.30) aus eT  (K  2 M )  e  0 , also 2 

e T  K  e 

e T  M  e 

0

(13.42)

dann sehen wir, dass aufgrund der positiv definiten Matrizen M und K die Eigenwerte alle reell und positiv sein müssen. Eine Matrix A heißt übrigens positiv definit, wenn für beliebige Vektoren p T  p1,, p n  die Beziehung p T  A  p  0 erfüllt ist. Die Berechnung von 2 aus (13.42) wird Rayleighscher Quotient genannt, er liefert zum ten Eigenvektor das Quadrat der -ten Eigenkreisfrequenz. Dieser Quotient kann zur näherungsweisen Berechnung der Eigenkreisfrequenzen benutzt werden, wenn bei vorgegebenen Systemwerten K und M für den entsprechenden Eigenvektor eine brauchbare Abschätzung möglich ist. Beispiel 13-3: Für die Schwingerkette in Abb. 13.1 sind folgende Systemwerte gegeben:  4 0  3 1 4 7 2 M  m0   , K  k 0  1 1 , m 0  10 kg , k 0  10 kg / s . 0 1    

Das System startet aus der Ruhelage mit xˆ T0  0,02 0,01 [m] . Gesucht sind die Auslenkungen xˆ T ( t )  [ x1 ( t ) x 2 ( t )] . Lösung: 1.) Berechnung der Eigenwerte det(K  M )  2k 02  7k 0 m 0  42 m 02  0 mit

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden 1  1  0 (7  17)  359,612 s 2 , 8

1  18,96 s 1 ,

 2  1  0 (7  17)  1390,388 s 2 , 2  37, 29 s 1 , 8

291

1  3,02 Hz 2  f 2  2  5,94 Hz 2

f1 

2.) Eigenvektor zum 1. Eigenwert 1  359,612 s 2 Aus (K  1M )  a1  0 folgt mit  0  k 0 / m 0  10 3 s 2

 3k 0   k 0

 k0   4m  1  0 k 0   0

0   a 1,1  3 0  41    0 m 0  a 2,1  

Setzen wir a 1,1  1 , dann folgt a 2,1  3  4

  0   a1,1  0   0  1  a 2,1  0

1  1   1,562 und damit a1   . 0 1,562

0,539 Der auf den Betrag 1 normierte 1. Eigenvektor ist e1   . 0,842

3.) Eigenvektor zum 2. Eigenwert  2  1390,388 s 2 Aus (K   2M )  a 2  0 folgt  3k 0   k 0

 k0  4m  2  0 k 0   0

0   a 1, 2  3 0  4 2   m 0  a 2, 2    0

Setzen wir a 1, 2  1 , dann folgt a 2,2  3  4

  0   a1, 2  0   0   2  a 2, 2  0

2  1   2,562 und damit a 2   . 0  2,562

 0,364 Der auf den Betrag 1 normierte 2. Eigenvektor ist e 2   .  0,932

Hinweis: Die Eigenvektoren besitzen die Orthogonalitätseigenschaften (13.35) und (13.36), sind aber wegen e1T  e 2  0,589  0 untereinander nicht orthogonal. 4.) Verschiebungen Mit beliebigen Konstanten (A1, A2) und ( 1, 2 ) erhalten wir allgemein  x1 ( t )   0,364 0,539  x ( t )  A1 0,842 cos(18,96t  1 )  A 2  0,932 cos(37,29t   2 )      2  5.) Lösung des Anfangswertproblems Mit (13.39) erhalten wir A1 

(e1T  M  xˆ 0 ) 2 (eT2  M  xˆ 0 ) 2  0,0275 m , A 2   0,01416 m T e1  M  e1 eT2  M  e2

292

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

und mit (13.38) folgen cos  j  1 , sin  j  0 ,   j  0 (j = 1,2) Die Verschiebungen sind dann  x1 ( t )  0,539  0,364  x ( t )  0,02750,842 cos18,96 t  0,01416  0,932 cos 37,29 t [m]      2 

und ausmultipliziert  x1 ( t )  0,01485  0,00515  x ( t )  0,02319 cos18,96 t   0,01319 cos 37,29t [m]     2  

Durch Ableitung nach der Zeit t erhalten wir daraus die Geschwindigkeiten  x 1 ( t )   0,28162   0,19200 1  x ( t )   0,43977  sin 18,96t   0,49183 sin 37,29 t [ms ]     2  

Für t = 0 liefern die obigen Gleichungen die vorgegebenen Anfangsbedingungen. Die Auslenkungen sowie die Geschwindigkeiten können Abb. 13.16 und Abb. 13.17 entnommen werden.

Abb. 13.16

Auslenkungen [m]

Abb. 13.17

Geschwindigkeiten [m/s]

Aufschlussreich kann auch die Darstellung der Pfade in der (x1,x2)- bzw. ( x 1 , x 2 )-Ebene sein (Abb. 13.18, Abb. 13.19). In diesen Darstellungen ist die Zeit ein Kurvenparameter und tritt nicht explizit auf.

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden

Abb. 13.18

13.2.1

Pfad in der (x1, x2)-Ebene

Abb. 13.19

293

Pfad in der ( x1 , x 2 )-Ebene

Das allgemeine und das spezielle MatrizenEigenwertproblem

In den vorangegangenen Untersuchungen haben wir die allgemeine Lösung der homogenen Bewegungsgleichung M x  K  x  0 für den ungedämpften Mehrmassenschwinger zur Verfügung gestellt. Dabei waren M und K symmetrische positiv definite Matrizen. Mit dem Eigenfunktionsansatz x  a cos(t  ) wurden wir auf das allgemeine Eigenwertproblem (K   M )  a  0

(13.43)

geführt. Die Aufgabe bestand darin, dessen Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen. Viele Eigenwertlöser kommerzieller Programmsysteme erwarten als Eingabe jedoch nicht die Struktur (13.43), sondern die Aufbereitung als spezielles Eigenwertproblem ( A  I )  v  0

(13.44)

Darin ist I  diag [1] die Einheitsmatrix. Eine naheliegende Vorgehensweise zur Erzeugung dieser Struktur besteht darin, (13.43) von links mit M-1 zu multiplizieren. Das führt zunächst auf (M 1  K  I )  a  0 und mit A  M 1  K auf ein spezielles Eigenwertproblem, allerdings mit einer unsymmetrischen Matrix A, weshalb diese Aufgabe auch als unsymmetrisches Eigenwertproblem bezeichnet wird. Für die Systemwerte in Beispiel 13-3 würde das A  M 1  K 

0 4

1 0  3 1 0  3 1 T 0 4  1 1  4  4 4  A     

294

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

bedeuten. Wegen det[M 1  (K  M )]  0  det(M 1 ) det(K  M )  det(K  M ) sind die Eigenwerte identisch mit denen aus (13.31). Das trifft auch auf die Eigenvektoren zu. Für die nummerische Behandlung wesentlich effektiver als der soeben beschriebene Weg, ist die Überführung des allgemeinen Eigenwertproblems (13.43) in ein spezielles der Form (13.44) mit symmetrischer Matrix A, weshalb diese Aufgabe auch als symmetrisches Eigenwertproblem bezeichnet wird. Das gelingt wie folgt: Ist M symmetrisch und positiv definit, dann kann nach Cholesky1 immer die Zerlegung M  L  LT

(13.45)

vorgenommen werden, wobei L eine untere Dreicksmatrix darstellt. Beachten wir diese Zerlegung in (13.43), dann erhalten wir (K  L  LT )  a  0  (K  L-T  L)  LT  a und nach 1 T Linksmultiplikation mit L1 folgt (L  K   L-T  I )  L  a  0 das spezielle Eigenwert  A v problem ( A  I )  v  0 . Wegen A T  (L1  K  L T ) T  L1  K  L T  A ist einerseits die Matrix A symmetrisch, und andererseits sind die Eigenwerte identisch mit denjenigen aus (13.43), denn es gilt: det( A  I )  0  det(L1 ) det(K  M ) det(L T )  det(K  M ) .

Die Eigenvektoren aj errechnen wir mit bekannten vj aus der Transformation a j  LT  v j . Ist M  diag[m jj ] eine Diagonalmatrix, dann ist auch L  LT eine Diagonalmatrix, was zu M  L2 oder

L  diag[ m jj ]  M1/2

( j  1,..., n )

(13.46)

führt. Auf der Hauptdiagonale der Matrix L stehen die positiven Wurzeln der Massen mjj. Auch die Inverse von L ist dann eine Diagonalmatrix L-1  diag[1 / m jj ]  (L-1 )T  M -1 2

( j  1,..., n )

(13.47)

Beispiel 13-4: Das allgemeine Eigenwertproblem aus Beispiel 13-3 soll in ein spezielles übergeführt werden. M ist eine Diagonalmatrix. Wir erhalten unter Beachtung von 0  200 0  0,005 M1 2   , M -1 2    0,010  0 100  0 A  L1  K  LT  M 1 2  K  M 1 2 

1  3 2  750 500 0  4  2 4  500 1000

Die Eigenwerte folgen aus der Frequenzgleichung det  A  I   0  2 02  7 0  42 zu 1

André-Louis Cholesky, frz. Mathematiker, 1875-1918

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden 1  1 0 (7  17)  359,612 s 2 8  2  1  0 (7  17)  1390,388 s 2 8

295

 1  18,96 s 1  2  37, 29 s 1

Die Eigenvektoren ermitteln wir aus der Gleichung  A  I   v  0 , also 500  v1  0 750     500 1000      v   0    2  

1.) Eigenvektor zum ersten Eigenwert 1  359,612s 2 aus  A  1I   v 1  0 1   0,788 und normiert: e1   v1    .  0,781  0,615

2.) Eigenvektor zum zweiten Eigenwert  2  1390,388s 2 aus  A   2 I   v 2  0 1   0,615 und normiert: e 2   v2    .  1,281   0,788

Hinweis: Die Eigenvektoren e1 und e2 wurden auf den Betrag 1 normiert. Aufgrund der Symmetrie von A sind die Eigenwerte reell und die Eigenvektoren mit e1T  e 2  0 orthogonal. Wir sprechen deshalb von orthonormierten Eigenvektoren. Die Eigenvektoren in physikalischen Koordinaten erhalten wir mit a  M 1 2  v zu 0,539 0,364 , a2   a1    , 0,842  0,932

und a1 und a2 sind angesichts a 1T  a 2  (M 1 2  v 1 ) T  (M 1 2  v 2 )  v 1T  M 1  v 2  0 i. Allg. nicht orthogonal.

In Beispiel 13-4 sind M 1/2 und M -1 2 als Matrizenfunktionen zu verstehen, zu deren Berechnung bei allgemein unsymmetrischen Matrizen M deren Eigenwerte und Eigenvektoren aus dem speziellen Eigenwertproblem (M  mI )  e  0 benötigt werden. Fassen wir die Eigenvektoren von M spaltenweise in der Eigenvektormatrix  zusammen und bilden damit die Spektralmatrix D  Φ 1  M  Φ  diag[m jj ] , dann stehen auf der Hauptdiagonale von D die Eigenwerte von M. Damit ist M  Φ  D  Φ 1  M 1/2  M 1/2  Φ  D1/2  D1/2  Φ 1  (Φ  D1/2  Φ 1 )  (Φ  D1/2  Φ 1 )

und der Koeffizientenvergleich ergibt

296

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden M 1/2  Φ  D1/2  Φ 1

(13.48)

Entsprechend erhalten wir M -1  Φ  D-1  Φ 1  M -1/2  M -1/2  Φ  D-1/2  D-1/2  Φ 1  (Φ  D-1/2  Φ 1 )  (Φ  D-1/2  Φ 1 )

und damit M -1/2  Φ  D -1/2  Φ 1





(13.49)





wobei D1/2  diag m jj und D-1/2  diag 1 / m jj zu setzen sind. Beispiel 13-5: 2 1 T Gesucht ist M1/2 der symmetrischen Matrix M   M . 1 1  

1.) Eigenwerte der Matrix M: m1  0,382 , m 2  2,618  0,526 0,851 2.) Eigenvektormatrix: Φ    . Damit ist  0,851 0,526 0  0  0,382 0,618 3.) D  Φ 1  M  Φ  Φ T  M  Φ   , D1/2   ,  1,618 2,618  0  0 1,342 0,447 2 1 4.) M 1/2  Φ  D1/2  Φ 1   . Kontrolle: M 1/2  M 1/2  M    . 0,447 0,894  1 1

Beispiel 13-6: 4 4 T Gesucht ist M 1/2 der nicht symmetrischen Matrix M   M 1 2 

1.) Eigenwerte der Matrix M: m1  5,236 , m 2  0,764 ,  0,955 0,936 2.) Eigenvektormatrix: Φ   , 0,295 0,757  0  0  5,236 2,288 3.) D  Φ 1  M  Φ   , D1/2   ,  0,874 0,764  0  0 1,897 1,265  4 4 4.) M 1/2  Φ  D1/2  Φ 1   . Kontrolle: M 1/2  M 1/2  M    . 0,316 1,265 1 2 

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden

13.2.2

297

Entkopplung der Bewegungsgleichungen

Wie die vorangegangenen Untersuchungen gezeigt haben, sind die Bewegungsgleichungen der freien ungedämpften Schwingungen eines Mehrmassenschwingers in den physikalischen Koordinaten qˆ gekoppelt. Das Ziel der folgenden Untersuchungen ist die Entkopplung der Bewegungsgleichungen. Gelingt dies, dann können sämtliche Lösungen des ungedämpften Schwingers mit einem Freiheitsgrad direkt übernommen werden. Die Berechnung der dazu erforderlichen Eigenwerte und Eigenvektoren wird Modalanalyse1 genannt. Es sind grundsätzlich zwei Lösungswege möglich. 1. Lösungsweg Das Einsetzen des Eigenfunktionsansatzes qˆ  a cos(t  ) in das Bewegungsgesetz ˆ  K  qˆ  0 führte auf das allgemeine Eigenwertproblem (K  2 M )  a  0 . Die LöM q sung liefert n reelle und positive Eigenwerte j und die diesen Eigenwerten zugeordneten Eigenvektoren e j , die eine linear unabhängige Basis im n-dimensionalen Vektorraum bil-

den. Die Eigenvektoren werden in der regulären Matrix P  [e1 , e 2 ,, en ]

(13.50)

zusammengefasst. In der j-ten Spalte ( j  1,, n ) steht der zum j-ten Eigenwert gehörende und auf den Betrag 1 normierte Eigenvektor e j . Die Eigenvektoren entsprechen den Eigenschwingungsformen des Systems, und die so zusammengestellte Matrix P heißt Eigenvektoroder auch Modalmatrix. Mit Hilfe der Modalmatrix werden sodann die physikalischen Bewegungskoordinaten qˆ mittels ~(t ) qˆ ( t )  P  q

(13.51)

~ ( t ) transformiert, die auch Modalkoordinaten genannt werden. in die Hauptkoordinaten q ~ ~  0 , und nach Links  K  P  q Die Bewegungsgleichung (13.28) geht dann über in M  P  q ~ ~  0 . Mit den Abkürzungen   P T  K  P  q multiplikation mit P T erhalten wir P T  M  P  q

~ ~ ~ ~ ], K M  P T  M  P  diag[m  P T  K  P  diag[ k jj ] jj

(13.52)

~ ~ ~ ~ ~   K  q  0 oder nach Linksmultiplikation mit M -1 können wir dann kürzer M  q ~2 ~ ~   Ω q q  0

(13.53)

schreiben. In (13.53) wurde die Spektralmatrix 1

Die Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen, Eigenvektoren, modalen Massen und Steifigkeiten wird allgemein als Modalanalyse bezeichnet

298

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

~ ~ ~ ~ 2]  diag[2] Ω 2  M -1  K  diag[ j j

(13.54)

~ ~ eingeführt. M heißt modale Massenmatrix und K wird modale Steifigkeitsmatrix genannt. ~ ~2 ~ ~ 2M )P]  det(P T ) det(K   ~ 2M) det(P )  det(K   ~ 2 M) Da det(K   M )  0  det[P T (K   ~   . Aufgrund der Orthogonaligilt, besitzen (13.53) und (13.31) identische Eigenwerte  j j ~ ~ tät der Eigenvektoren ej im Sinne von (13.35) und (13.36), zeigen die Matrizen M und K ~2 Diagonalgestalt. Das trifft dann auch auf Ω zu. Somit liegen n entkoppelte homogene Differenzialgleichungen 2. Ordnung der Form

~ q  ~ ~ k11 / m 0 1 11 ~ ~ ~ q   0 k 22 / m 22  2        ~    0  qn   0

q1   0   ~ 0  ~     0    q2    0        ~    ~  ~ qn   0   k nn / m nn  

oder ~2 ~ ~ q j   j qj  0

(j = 1,..., n)

(13.55)

vor, wobei ~  ~ ~   k jj m j jj j

(j = 1,..., n)

(13.56)

die Eigenkreisfrequenzen des Systems bezeichnen. Die Lösungen von (13.55) sind mit ~ ~ ~ ~ ~ t  ~ ) und ~ ~ ~ q j  A j cos( q j  A j j j j sin( j t   j ) bereits bekannt. Die noch freien Kon~ ~ ~ ~ ~ sind aus den Anfangswerten ~ ~ und ~ ~ stanten A j und  q j0  A j cos  q j0  A j j j j sin  j zum ~ ~2 ~ 2 q 2j0  1  Zeitpunkt t = 0 zu bestimmen, woraus A j  ~ j q j0 folgt.

Zwischen den Anfangswerten in physikalischen Koordinaten und denjenigen in Hauptkoordinaten, besteht folgender Zusammenhang ~( t  0)  P  q ~ ; qˆ ( t  0)  qˆ  P  q ~ ( t  0)  P  q ~ qˆ ( t  0)  qˆ 0  P  q 0 0 0

und damit ~  P -1  qˆ , q ~  P -1  qˆ q 0 0 0 0

(13.57)

wobei die Bildung der Inversen von P bei großen Systemen einen erheblichen Rechenaufwand erfordert. Die Rücktransformation auf die physikalischen Koordinaten gelingt mit (13.51).

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden

299

Beispiel 13-7: Wir erläutern das Vorgehen wieder am Beispiel 13-3. Massen- und Steifigkeitsmatrix sind 4 10 4 3 10 7 0  , K M 4 7 10   0   10

 10 7   10 7 

Das System startet aus der Ruhelage mit xˆ 0  0,02m 0,01mT und xˆ 0  0 . Zur Lösung des Problems gehen wir in Schritten vor. 1.) Eigenwerte und Eigenvektoren des allgemeinen Eigenwertproblems (K  2 M )  a  0 . Dem Beispiel 13-3 entnehmen wir die bereits berechneten Teillösungen 0,539  0,364 1  18,96 s 1 , 2  37, 29 s 1 , e1   , e2     . Diese Eigenvektoren legen die 0,842  0,932 Eigenschwingungsformen fest.

2.) Aufstellen der Modalmatrix P und Berechnung ihrer Inversen P-1 0,364 0,450 0,539 1,152 , P -1   P    0,842  0,932  1,041  0,667 

In P stehen spaltenweise die Eigenformen, die Abb. 13.20 entnommen werden können.

Abb. 13.20

Eigenformen, Beispiel 13-7

3.) Berechnung der modalen Massen- und Steifigkeitsmatrix sowie der Spektralmatrix 0 0,673 107 ~ 18724,87  ~ M  PT  M  P   , K  PT  M  P    0 13967,44 0   2 0 ~ ~ ~ 359,611  1 Ω 2  M 1  K     1390,388  0  0

0 .  22 

4.) Darstellung der Anfangsbedingungen in Hauptkoordinaten 0,02753 ~ 0  ~ x0  P 1  xˆ 0   , x0    ,   0,01416 0 

   0, 02753 A 1    A  2  0, 01416 

 0 , 0,194 108 

300

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

~  1 , sin  ~ 0,  ~   , cos  ~  1 , sin  ~  0,   ~ 0 cos  1 1 1 2 2 2

0,02753 cos(1t  ) 0,02753 cos(18,96 t ) ~  0,522 sin(18,96 t ) ~  , x(t)   x(t)       0,528 sin(37,29 t )  0,01416 cos(2 t )  0,01416 cos(37,29 t )

5.) Lösung in physikalischen Koordinaten  0,00515 0,01485 cos(18,96 t )   xˆ ( t )  P  ~ x(t)    cos(37,29 t ) [m]   0,01319 0,02319  0,19200 0,28162 -1 sin(18,96 t )   xˆ ( t )  P  ~ x (t)    sin(37,29 t ) [ms ]   0,49183 0,43977 

Der soeben dargestellte Lösungsweg zeigt zwei gravierende Nachteile. Erstens mussten die Eigenwerte und Eigenvektoren aus einem allgemeinen Eigenwertproblem berechnet werden, und zweitens benötigten wir zur Darstellung der Anfangswerte in den Hauptkoordinaten die Inverse der Modalmatrix P. Bei großen Systemen erfordern beide Aufgaben einen beachtlichen nummerischen Aufwand, der beim folgenden Lösungsweg gemildert werden kann. 2. Lösungsweg Wir führen dazu mit qˆ ( t )  M -1/2  pˆ (t)

(13.58)

ˆ  K  qˆ  0 die neue Variable pˆ ein. Durch Linksmultiplikation mit M -1/2 geht dann M  q

unter Beachtung von M -1/2  M  M -1/2  I und Ω 2  M -1/2  K  M -1/2 über in ˆ  Ω 2  pˆ  0 p

(13.59)

Die Matrix Ω 2 kann als massennormalisierte Steifigkeitsmatrix aufgefasst werden. Sie hat i. Allg. keine Diagonalgestalt, die Bewegungsgleichungen sind also noch nicht entkoppelt. Das Einsetzen des Eigenfunktionsansatzes pˆ  a cos(t  ) in das Bewegungsgesetz (13.59) führt auf das spezielle Eigenwertproblem (Ω 2  2 I )  a  0 . Da Ω 2 symmetrisch und positiv definit ist, sind alle n Eigenwerte  j reell und positiv. Die orthogonalen Eigenvektoren werden auf den Betrag 1 normiert, und damit liegen auch n orthonormale Eigenvektoren ej vor. Mit diesen linear unabhängigen Eigenvektoren wird die reguläre Modalmatrix Φ  e1 , e 2 ,  , e n 

(13.60)

gebildet. Für diese gilt die wichtige Beziehung1

1

Matrizen mit diesen Eigenschaft heißen orthonormale Matrizen. Sie stellen Kongruenzabbildungen dar, das sind Spiegelungen oder Drehungen

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden Φ T  Φ 1

301 (13.61)

Mit dieser Matrix werden sodann die bezogenen Bewegungskoordinaten pˆ ( t ) mittels ~(t ) pˆ ( t )  Φ  q

(13.62)

~ transformiert, womit (13.59) übergeht in Φ  q ~ ~ 0,   Ω 2  Φ  q in die Hauptkoordinaten q

und nach Linksmultiplikation mit Φ T unter Beachtung von Φ T  Φ  I erhalten wir ~  0 . Die Matrix ~  Φ T  Ω 2  Φ  q q

~ ~2] Φ T  Ω 2  Φ  Ω 2  diag[ j

(13.63)

ist eine Diagonalmatrix, auf deren Hauptdiagonale die Quadrate der modalen Eigenkreisfrequenzen stehen, die mit den Eigenkreisfrequenzen in physikalischen Koordinaten überein~   ), womit wir dann kürzer stimmen (  j

j

~2 ~ ~   Ω q q  0

(13.64)

schreiben können. Mit (13.64) liegen n entkoppelte homogene Differenzialgleichungen 2. Ordnung der Form ~2 q   ~ 1 1 ~   q 0  2     ~   qn   0

0 ~ 2 2

 0

~  0   q1   0   ~     0  q2   0              ~ 2  ~ qn   0    n 

oder ~2 ~ ~ q j   j qj  0

( j  1, , n )

(13.65)

~ ~ ~ ~ t  ~ ) und ~ ~ ~ vor. Die Lösungen sind mit ~ q j  A j cos( q j  A j j j j sin(  j t   j ) bekannt. ~ ~ ~ sind aus den Anfangswerten ~ ~ und Die noch freien Konstanten A j und  q j0  A j cos  j j ~ ~ ~ sin  ~ zum Zeitpunkt t = 0 zu bestimmen, woraus q j0  A j j j ~ ~ ~ ~  q j0 , sin  ~  q j0 ~2 ~  2 , cos  Aj  ~ q 2j0  1  q ~ ~ ~ j j j0 j Aj A j j

( j  1,, n )

(13.66)

folgen. Zur vollständigen Lösung des Problems sind noch die Anfangswerte zu transformieren. Für den weiteren Rechengang führen wir die Matrix S  M -1/2  Φ

(13.67)

302

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

ein. Sie legt die Eigenformen fest, und ihre Inverse ist S -1  Φ T  M1/2

(13.68)

Unter Beachtung von ~ ( t )  Φ T  pˆ (t)  Φ T  M 1/2  qˆ (t)  S 1  qˆ (t) q

(13.69)

erhalten wir die modalen Anfangsbedingungen ~  S 1  qˆ , q ~  S 1  qˆ q 0 0 0 0

(13.70)

Hinweis: Diese Gleichung hat denselben Aufbau wie (13.57), allerdings mit dem großen nummerischen Vorteil, dass sich die Inverse von S entsprechend (13.68) aus einer einfachen Matrizenmultiplikation berechnen lässt. ~ ( t ) und q ~ ( t ) bekannt, dann erfolgt mittels Sind die Lösungen q ~ ( t ), qˆ (t)  S  q ~ ( t ) qˆ (t)  S  q

(13.71)

die Transformation der Bewegungsgleichungen in die physikalischen Koordinaten.

Abb. 13.21

Entkoppelung der Bewegungsgleichungen, Modalanalyse

Abb. 13.21 zeigt schematisch den Weg zur Entkopplung der Bewegungsgleichung mittels der Modalanalyse, der im folgenden Beispiel verdeutlicht wird. Beispiel 13-8: Wir erläutern den zweiten Lösungsweg wieder am System nach Beispiel 13-3. 1.) Berechnung der Matrizen M 1/2 und M 1/2

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden 0  200 0  0,005 , M -1 2   M1 2    0,010  0 100  0

2.) Berechnung der normalisierten Steifigkeitsmatrix 2 Ω 2  M 1 2  K  M 1 2 

1  3 2  750 500 0  4  2 4  500 1000

3.) Lösung des speziellen Eigenwertproblems (Ω 2   2 I )  a  0 12  1  0 (7  17)  359,612 s 2 8 2 2  1  0 (7  17)  1390,388 s 2 8

 1  18,96 s 1  2  37, 29 s 1

0,788 0,615 e1   , e2     0,615  0,788

4.) Bildung der Eigenvektormatrix 0,788 0,615 mit Φ T  Φ 1 Φ  0,615 0,788

5.) Berechnung von S und S-1 0   0,788 0,615 0,00394 0,00308 0,005 S  M -1/2  Φ      0,615  0,788  0,00615 0,00788 0 0 , 010        0,788 0,615 200 0   155,641 61,541 S -1  Φ T  M 1/2       0,615  0,788  0 100  123,082 78,821

6.) Berechnung der modalen Anfangsbedingungen  155,641 61,541 0,02  3,768 ~ x0  S 1  xˆ 0     ,  123,082 78,821  0,01  1,673 0  ~ x 0  S 1  xˆ 0    0 

7.) Lösung der Bewegungsgleichung in Modalkoordinaten ~ 2 ~  1 , sin  ~ 0  ~ 0, A1  ~ x10  3,768 , cos  1 1 1 ~ 2 ~  1 , sin  ~ 0  ~  , A2  ~ x 20  1,673 , cos  2 2 2

~t 3,768 cos    3,768 cos18,96t  1  ~ x(t)    ~   1,673 cos(2 t  )  1,673 cos 37,29t 

303

304

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

8.) Lösung der Bewegungsgleichung in physikalischen Koordinaten 0,00394 0,00308  3,768 cos18,96 t  xˆ (t)  S  ~ x(t)     0,00615 0,00788  1,673 cos 37,29 t  0,01485  0,00515 cos18,96t      cos 37,29 t[m] 0,02319  0,01319

Beispiel 13-9: Der dreistöckige elastische Rahmen in Abb. 13.22 besitzt näherungsweise starre Riegel, die nur kleine Horizontalbewegungen ausführen. Dämpfung ist nicht vorhanden. Die Stiele können als dehnstarr angenommen werden. Gesucht wird das Bewegungsgesetz des Systems, wenn die Masse m3 zum Zeitpunkt t = 0 um 3 cm ausgelenkt und der Rahmen dann sich selbst überlassen wird. Welche Anfangsauslenkungen müssen gegeben sein, damit das System nur in der kleinsten Eigenkreisfrequenz schwingt? Geg.: m1 = 1,5m0, m2 = 1,2m0, m3 = m0, k1 = 2,5k0, k2= 2k0, k3 = 0,8k0, m0 = 22500 kg, k0 = 90000 N/cm.

Abb. 13.22

Dreistöckiger Rahmen, Modalanalyse

Lösung: a) Potentielle Federenergie und Steifigkeitsmatrix UF  k11  k 22 

1 1 1 k 1 q1 2  k 2 ( q 2  q 1 ) 2  k 3 ( q 3  q 2 ) 2 2 2 2 2UF q12  2UF q 2 2

 k1  k 2 , k12  k 21   k 2  k 3 , k 23  k 32 

 2UF  2UF  k 2 , k13  k 31  0 q1q 2 q1q 3  2UF 2UF  k 3 , k 33   k3 q 2q 3 q 32

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden k 2  k1  k 2  K  k2 k2  k3  0  k3 

305

0 0  4,5 2,0    k 3  k 0  2,0 2,8  0,8    k 3  0,8  0  0,8

b) Kinetische Energie und Massenmatrix E

1 1 1 m1 q 12  m 2 q 2 2  m 3 q 3 2 2 2 2

m11 

 2E  m1 , q 1q 1

m12  m 21 

 2E  2E  0, m13  m31  0 q 1q 2 q 1q 3

m 22 

 2E  m2 , q 2q 2

m 23  m32 

 2E  2E  0, m33   m3 q 2q 3 q 3q 3

m1 M 0   0

0 m2 0

0  1,5 0 0  0  m 0  0 1,2 0    m 3   0 0 1

ˆ  K  qˆ  0 . Die Lösung erfolgt mittels Damit erhalten wir die Bewegungsgleichung M  q Modalanalyse. Wir gehen wieder in Schritten vor.

1.) Berechnung von M 1/2 und M -1/2 0 0 0 0  183,71 0,00544 0 164,32 0 , M -1/2   0 0,00608 0  M 1/2       0 0 150,00 0 0,00667    0

2.) Berechnung der normalisierten Steifigkeitsmatrix 2

Ω M

1 2

K M

1 2

0 12,00 5,96   9,33  2,92   3,20  sym.

3.) Lösung des speziellen Eigenwertproblems (Ω 2  2 I )  a  0 . Das charakteristische Polynom der Matrix 2 ist mit 2   : 3  24,5332  136,178  142,222  (  1,3584)(  6,149)(  17,026)  0 .

Damit besitzt die Matrix 2 die Eigenwerte 1  1,166 s 1 (f1  0,186 Hz), 2  2, 480 s 1 (f 2  0,395 Hz), 3  4,126 s 1 (f 3  0,657 Hz)

306

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

und die orthogonalen Eigenvektoren 0,2863  0,5865  0,7577     e1  0,5110 , e 2   0,5755 , e 3   0,6386;        0,5700 0,8105  0,13492

4.) Bildung der Eigenvektormatrix 0,7577 0,2863 0,5865  Φ  0,5110  0,5755  0,6386   0,5700 0,13492  0,8105

5.) Berechnung von S und S-1 0,0041242 0,0015585 0,0031925 S  M -1/2  Φ  0,0031096  0,0035022  0,0038861   0,0037998 0,0008995 0,0054034 83,960 121,578  52,599 S -1  Φ T  M 1/2   107,747  94,558 85,494    139,190  104,926 20,238

Abb. 13.23

Auslenkungen des dreistöckigen Rahmens

Abb. 13.24

Symmetrische Synchronschwingung mit (f1 = 0,186 Hz)

6.) Berechnung der modalen Anfangsbedingungen 83,960 121,578 0  364,73  52,599 ~  S 1  qˆ   107,747  94,558 85,494  0  256,48 . q 0 0        139,190  104,926 20,238 3  60,71

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden

307

7.) Lösung der Bewegungsgleichung in Modalkoordinaten ~  0 und cos  ~  1 sind alle  ~  0 ( j  1, 2, 3 ). Wegen sin  j j j

~  364,73 cos 1t   364,73 cos1,166 t  ~(t)  256,48 cos  ~ t   256,48 cos 2,480 t  q 2     ~  60,71cos 3t   60,71cos 4,126 t 

8.) Berechnung der Bewegungsgleichung in physikalischen Koordinaten 0,0041242  364,73 cos1,166t  0,0015585 0,0031925 ~ ( t )  0,0031096  0,0035022  0,0038861  256,48 cos 2,480t  ˆq(t)  S  q     0,0037998 0,0008995  60,71cos 4,126t  0,0054034 0,568  0,819  0,250      1,134 cos1,166t   0,898 cos 2,480t   0,236 cos 4,126t [cm]        1,971   0,975  0,055

Die Verschiebungen der Riegel sind in Abb. 13.23 dargestellt. In der Matrix S stehen spaltenweise die Eigenschwingungsformen (Abb. 13.25). Mit der ersten Eigenform schwingen die Massen gleichphasig, mit der zweiten und dritten in Gegenphase.

Abb. 13.25

Dreistöckiger Rahmen, Eigenformen und Frequenzen

Wählen wir speziell die Anfangsbedingungen qˆ T0  1,56 cm 3,11 cm 5, 40 cm  , dann 1,558  schwingt das System nach dem Bewegungsgesetz qˆ ( t )   3,110  cos1,166t [cm] nur in der   5,403 Grundeigenkreisfrequenz 1 mit der Frequenz f1  0,168 Hz . Hierbei handelt es sich um eine symmetrische Synchronschwingung. Alle drei Riegel schwingen mit derselben Eigenkreisfrequenz 1 in Phase (Abb. 13.24).

308

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

Beispiel 13-10:

Abb. 13.26

Schwingerkette mit Starrkörperbewegung

Das System in Abb. 13.26 besteht aus zwei reibungsfrei gelagerten Massen m1  m  1 kg und m 2  m , die über eine Feder (Federsteifigkeit k = 100 N/m) miteinander gekoppelt sind. Für x1  0 und x 2  0 ist die Feder entspannt. Die Massen starten aus der Ruhelage

mit x T0  1 cm 0 cm  . Gesucht sind die Bewegungsgleichungen.

Lösung: Im Vergleich zu Abb. 13.1 fehlt hier die Fesselung der Masse m1 an den linken Rand. Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen werden beide Massen freigeschnitten (Abb. 13.26) und anschließend für jede Masse das Newtonsche Grundgesetz angeschrieben. Wir erhalten mx1  k ( x 2  x1 ), mx 2  k ( x 2  x1 ) oder in Matrizenschreibweise m 0   x1   k k   x1  0 m 0   k k   , M , K    0 m x    k   k   x 2  0  k    2    0 m  k

(13.72)

Die Massenmatrix M hat die Eigenwerte 1  m und  2  m . Sie ist positiv definit. Die Steifigkeitsmatrix K besitzt die Eigenwerte 1  0 und  2  2k . Ihre Determinante verschwindet, und ihre Inverse K-1 existiert damit nicht. Der Rang r von K, das ist die Anzahl der nicht verschwindenden Reihen nach einer Gauß-Elimination, ist 1 und damit kleiner als n  2 . Man bezeichnet die Matrix K deshalb als positiv semidefinit vom Range 1. Zur mechanischen Deutung dieses Rangabfalls notieren wir die potenzielle Federenergie U F  1 / 2( x 2  x1 ) 2 . Im Fall einer Starrkörperbewegung mit x1  x 2  0 ist U F  0 , und der Rangabfall d  n  r  2  1  1 ist gleich der Anzahl der möglichen unabhängigen Starrkörperbewegungen. Wir gehen wieder in Schritten vor.

1.) Berechnung der Matrizen M1/2 und M-1/2  m M1 2    0

0  , m 

1 / m 0  M -1 2    1 / m   0

13.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit allgemein n Freiheitsgraden

309

2.) Berechnung der massennormalisierten Steifigkeitsmatrix Ω 2  M 1 2  K  M 1 2

 k   m k   m 



k  m  k   m 

3.) Lösung des speziellen Eigenwertproblems (Ω 2  2 I )  a  0 12  0  1  0, 22  e1 

k 1  m 

 2 

1  

k m

1    1  , e1  e 2  1, e1  e 2  0     , e2  1 1   1    1

4.) Bildung der Eigenvektormatrix Φ

0  0  1   ~2 T 1 T 2  mit Φ  Φ und Ω  Φ  Ω  Φ  0 1   k   1 1      m  1

5.) Berechnung von S 1 / m 1  1   0  S  M -1/2  Φ      1 / m  1     1  0

1      m(1  ) 1 1 /   1

Die beiden Eigenbewegungen verlaufen demnach folgendermaßen: a) Mit 1  0 liegt eine Translation der gesamten Schwingerkette vor. Ein solcher Verschiebungszustand wird Starrkörperbewegung genannt. 1  k schwingt die Masse m1 nach links (oder rechts) und die Masse m2  m mit dem Kehrwert des Ausschlages der Masse m1 nach rechts (oder links). Für    , und

b) Mit 2 

damit 2  k / m , bleibt die Masse m2 in Ruhe. 6.) Berechnung der modalen Anfangsbedingungen ~ x0  S  1  x 0 

1 m   1    

 1 1 m         0  1     

7.) Lösung der Bewegungsgleichung in Modalkoordinaten x1  0 und damit wird Die Bewegungsgleichung für den Eigenwert 1  0 lautet ~

~ x10  ~ x1 ( t  0)  a  x1  a  bt . Mit ~

m und ~ x 10  0  b erhalten wir 1 

310 ~ x1  a 

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden m  konst. Die Lösung für den zweiten Eigenwert lautet 1 

m m ~   x2   cos 2 t , und damit erhalten wir insgesamt x(t) 1  1 

1        cos 2 t 

8.) Lösung der Bewegungsgleichung in physikalischen Koordinaten   x(t)  S  x(t)

1    m   1    1 1 m(1  )    1

1   1  1   cos 2 t           [cm]    cos 2 t  1    1   cos 2 t  

Bei einer sehr großen Masse m2, im Grenzfall also    , ist die zweite Eigenkreisfrequenz cos 2 t  2  k / m und damit x(t)    [cm] . Die Masse m2 bleibt in diesem Fall in Ruhe,  0  und die Masse m1 führt harmonische Schwingungen mit der Eigenkreisfrequenz 1  0,091 . Für 2  k / m aus. Beide Massen schwingen um den Mittelwert q m  1    10 sind die Amplituden A1    0,91 cm und A 2  1  0,091 cm (Abb. 13.27) 1  1 

Abb. 13.27

Bewegung der Massen m1 und m2 (ε = 10)

Übungsvorschlag 13-2:

Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für das System in Beispiel 13-10 mittels der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen auf.

13.3 Erzwungene ungedämpfte Bewegungen

13.3

311

Erzwungene ungedämpfte Bewegungen

Sie werden entweder durch Kräfte oder Lagerverschiebungen verursacht, wobei im letzten Fall auch von Randerregungen gesprochen wird. Zur Formulierung des Problems wird der Arbeitssatz benötigt, den wir hier in der Form   E  U  A k

(13.73)

 ist dabei die am System erbrachte Leistung der Erregerbelastung. Sie kann notieren. A k immer als Skalarprodukt   q T (t)  k(t) A k

(13.74)

der Parametergeschwindigkeiten q (t) und der allgemeinen Erregerkraftfunktion k T ( t )  [K1 ( t ), , K n ( t )] , K j ( t ) 

 A K q j

( j  1,, n )

(13.75)

dargestellt werden. In Erweiterung zur freien ungedämpften Schwingung, erhalten wir die inhomogene Bewegungsgleichung ˆ(t)  K  qˆ (t)  k(t) M q

(13.76)

für die Bewegung um die statische Ruhelage. Die Lösung von (13.76) ist an die Anfangsbedingungen qˆ (t  0)  qˆ 0 , qˆ (t  0)  qˆ 0

(13.77)

anzupassen.

13.3.1

Entwicklung der Lösung nach Eigenvektoren

Mit den normierten Eigenvektoren em des allgemeinen Eigenwertproblems (13.30) machen wir zur Lösung von (13.76) den Ansatz n

qˆ (t) 

f

m ( t ) em

m 1

mit zunächst noch unbekannten Zeitfunktionen fm(t). Damit erhalten wir n

[f (t) M  e m

m

 f m (t) K  e m ]  k(t)

m 1

Durch Skalarmultiplikation von links mit eTj folgt

(13.78)

312

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden n

[f (t) e m

T j

 M  em  f m (t) eTj  K  em ]  eTj  k(t)

m 1

Beachten wir die Orthogonalitätsrelationen (13.35) und (13.36), dann verbleibt lediglich der Term fj(t) e Tj  M  e j  f j(t) e Tj  K  e j  e Tj  k(t) . Berücksichtigen wir außerdem noch mit

(13.42) e Tj  K  e j  2j e Tj  M  e j , dann erhalten wir die entkoppelten inhomogenen Bewegungsgleichungen für die gesuchten Zeitfunktionen fj(t) f ( t )  2 f ( t )  K ( t ) j j j j

( j  1,, n )

(13.79)

( j  1,, n )

(13.80)

mit den rechten Seiten K j (t ) 

eTj  k(t) eTj  M  e j

Die Lösung von (13.79) setzt sich wieder zusammen aus der Lösung der homogenen Differenzialgleichung (Index h) und einer partikulären Lösung (Index p) der inhomogenen Differenzialgleichung. Die vollständige Lösung kann sofort notiert werden t

1 f j ( t )  f j, h ( t )  f j, p ( t )  A j cos( jt   j )  K j () sin  j ( t  )d   j 0   hom . Lösung  part. Lösung



(13.81)

Die Konstanten A j und  j der homogenen Lösung bezeichnen Integrationskonstanten zur Erfüllung allgemeiner Anfangswerte. Die partikulären Lösungen f j, p ( t ) und f j, p ( t ) verschwinden für t  0 , so dass im Falle homogener Anfangsbedingungen qˆ 0  qˆ 0  0 von (13.81) lediglich der partikuläre Lösungsanteil f j ( t )  f j,p ( t ) 

1 j

t

 K () sin  (t  )d j

j

(13.82)

0

verbleibt. Zur Erfüllung allgemeiner inhomogener Anfangsbedingungen werden also nur die homogenen Lösungen f j,h ( t )  A j cos( j t   j ) und f j,h ( t )   A j j sin( j t   j ) benötigt. Diese sind mit (13.78) an die Anfangsbedingungen n

qˆ 0  qˆ 0 



n

f m, h ( t  0) em 

m 1 n

 f

m, h ( t

m 1

A

m

A

m m sin  m e m

cos  m em

m 1 n

 0) em 

m 1

13.3 Erzwungene ungedämpfte Bewegungen

313

anzupassen. Multiplizieren wir die obigen Gleichungen von links mit e Tj  M und beachten (13.35), dann verbleiben von den Summen nur die Terme A j cos  j 

eTj  M  qˆ 0 eTj  M  e j

, A j j sin  j 

eTj  M  qˆ 0

(13.83)

eTj  M  e j

und damit Aj 

(e Tj  M  qˆ 0 ) 2  1 2j (e Tj  M  qˆ 0 ) 2

(13.84)

e Tj  M  e j

Im Fall inhomogener Anfangsbedingungen ist dann die vollständige Lösung

 1 A m cos(m t   m )  m  m 1  n

qˆ ( t ) 



t

K



m () sin m ( t  )d em

0



(13.85)

Beispiel 13-11:

Abb. 13.28

Erzwungene Schwingungen, Schwingerkette mit zwei Freiheitsgraden

Der skizzierte Zweimassenschwinger in Abb. 13.28 wird durch eine an der Masse m1 angreifende Kraft F1 ( t )  F0 [H( t )  H( t  t F )] mit der Lastintensität F0  1 N und der Einwirkungsdauer t F  10 s belastet. Die Darstellung dieser stückweise stetigen Funktion erfolgt mittels der Heaviside-Funktion H(t). Weiterhin sind gegeben: m1  10 kg , m 2  5 kg , k1  17 N / m , k 2  3 N / m . Gesucht ist die Antwort des Systems, wenn beide Massen zum Zeitpunkt t  0 in Ruhe waren. Lösung: 1.) Aufstellen der Massen- und Steifigkeitsmatrix und des Kraftvektors m M 1 0

0  10 0 k  k 2  , K 1   m 2   0 5   k2

k 2   20 3 F ( t )  , k (t )   1    k 2   3 3  0 

2.) Lösen des allgemeinen Eigenwertproblems (K  2 M )  a  0

314

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

3  20  10 det(K  M)  det   0  502  130  51 3  5   3

1  2,1185

 1  1,4555

 f1  0,232Hz

 2  0,4815

 2  0,6939

 f 2  0,110Hz

 0,1938   0,9300 e1   , e 2   0,9810; 0 , 3675     

3.) Berechnung der modalen Belastungen K1 ( t ) 

e1T  k(t) e1T  M  e1

 0,0997H( t )  H( t  10) , K 2 ( t ) 

e T2  k(t) eT2  M  e 2

 0,0374H( t )  H( t  10)

Obwohl im Ausgangssystem nur die Masse m1 mit der Kraft F1(t) beansprucht wird, greifen am entkoppelten System mit K1 ( t ) und K 2 ( t ) an jeder Masse äußere Belastungen an. 4.) Beschaffung der Partikulären Lösungen Da die Partikularintegrale bereits die geforderten Anfangsbedingungen erfüllen, entfällt der homogene Lösungsanteil und von (13.85) verbleiben 1 1

f1 ( t ) 

t

 K () sin  (t  )d 1

1

0

 0,0471H( t )1  cos(1,4555t )  H( t  10)0,0471  0,01911cos(1,4555t )  0,0430 sin(1,4555t ) f 2 (t) 

1 2

t

 K () sin  (t  )d 2

2

0

 0,0776 H( t )1  cos 0,6939t   H( t  10)0,0776  0,0615 cos(0,6939t )  0,0473sin(0,6939t )

5.) Berechnung der Verschiebungen nach (13.78)

 0,9300  0,1938  x( t )  f1(t) e1  f 2 ( t ) e 2    f1(t)   0,9810 f 2 ( t )  0 , 3675     und in Komponenten x1 ( t )  0,0588  0,0150 cos(0,6939 t )  0,0438 cos(1,4555t )H( t )

 0,0588  0,0150 cos(0,6939 t  6,9388)  0,04378 cos(1,4555t  14,5551)H( t  10)

x 2 ( t )  0,0588  0,0761 cos(0,6939 t )  0,0173 cos(1,4555t )H( t )

 0,0588  0,0761 cos(0,6939 t  6,9388)  0,0173 cos(1,4555t  14,5551)H( t  10)

Wie wir den obigen Gleichungen entnehmen können, führen beide Massen gleichzeitig zwei harmonische Eigenschwingungen mit den Eigenkreisfrequenzen 1 und 2 aus.

13.3 Erzwungene ungedämpfte Bewegungen

315

6.) Geschwindigkeiten Die Geschwindigkeiten folgen aus den Verschiebungen durch Ableitung nach der Zeit t. Wir erhalten in Komponenten x 1 ( t )  0,0104 sin(0,6939 t )  0,0637 sin(1,4555t )H( t )

 0,0637 sin(1,4555t  14,5551)  0,0104 sin(0,6939 t  6,9388)H( t  10)

x 2 ( t )  0,0528 sin(0,6939 t )  0,0252 sin(1,4555t )H( t )

 0,0252 sin(1,4555t  14,5551)  0,0528 sin(0,6939 t  6,9388)H( t  10)

Wie leicht nachgeprüft werden kann, erfüllen die obigen Lösungen die geforderten homogenen Anfangswerte x( t  0)  0 und x ( t  0)  0 .

Abb. 13.29

Auslenkungen [m]

Abb. 13.30

Geschwindigkeiten [m/s]

Beispiel 13-12:

Abb. 13.31

Anfahrvorgang eines Zweimassenschwingers, Lagerverschiebung w(t)

Es soll das Anfahren eines Zweimassenschwingers aus der Ruhelage simuliert werden (Abb. 13.31). Dazu wird die linke Federhalterung im Zeitintervall [0, t1] linear von null auf den

316

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

Wert a verschoben und anschließend konstant gehalten. Die aus dieser Lagerverschiebung resultierende Schwingung soll berechnet werden. Weiterhin sind m1  10 kg , m 2  5 kg , k1  17 N / m , k 2  3 N / m , a  1 m , t1  10 s . Lösung: Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen liefern mit E  U

1 1 m1x 12  m 2 x 22 und 2 2

1 1 k1 ( x1  w ) 2  k 2 ( x 2  x1 ) 2 die beiden Bewegungsgleichungen 2 2

0   x1  k1  k 2  m 2  x 2    k 2

m1 0 

 k 2   x1  k1 w   k 2   x 2   0 

Der Ausdruck k1w ( t ) erscheint als Inhomogenität auf der rechten Seite und wird verallgemeinerte Kraft genannt. Zur anstehenden Integrationen wird die Funktion w(t) über den gesamten Wertebereich von t mittels der Heaviside-Funktionen ausgedrückt, also w (t ) 

at  t  H( t )  a   1H( t  t1 ) t1  t1 

Damit erhalten wir 10 0  20 3 17 w ( t ) , K , k (t)   M     0 5  3 3  0 

Die Eigenwerte und Eigenvektoren stimmen mit denen aus Beispiel 13-11 überein. Wir beginnen mit 3.) Berechnung der modalen Belastungen K1 ( t ) 

K 2 (t ) 

e1T  k(t) e1T

  t    1,6955a 1    1H ( t1  t )  M  e1   t1  

e T2  k(t) e T2

  t    0,6351a 1    1H ( t1  t )  M  e2   t1  

4.) Berechnung der partikulären Lösungen

f1 ( t ) 

1 1

t

 K () sin  (t  )d 1

0

1

 0,08t  0,0550 sin 1,4555t  H( t  10)0,0800t  0,0550 sin(1,4555t  14,5552)  0,8

13.3 Erzwungene ungedämpfte Bewegungen

f 2 (t) 

1 2

317

t

 K () sin  (t  )d 2

2

0

 0,1319t  0,1901sin 0,6939t  H( t  10)0,1319t  0,1901sin(1,4555t  6,9388)  1,3191 5.) Berechnung der Verschiebungen

 0,9300  0,1938  x( t )  f1(t) e1  f 2 ( t ) e 2   f1(t)    f 2 (t )  0,3675  0,9810 In Komponenten erhalten wir x1 ( t )  0,1t  0,0368 sin 0,6939 t  0,0511sin 1,4555t 

1  0,1t  0,0368 sin(0,6939 t  6,9388)  0,0511sin(1,4555t  14,5552)H( t  10)

x 2 ( t )  0,1t  0,1865 sin 0,6939 t  0,0202 sin 1,4555t 

1  0,1t  0,1865 sin(0,6939 t  6,9388)  0,0202 sin(1,4555t  14,5552)H( t  10)

Auf die formelmäßige Angabe der Geschwindigkeiten wird hier verzichtet.

Abb. 13.32

Verschiebungen [m] ( t1= 10 s)

Abb. 13.33

Geschwindigkeiten [m/s] ( t1= 10 s)

318

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

Abb. 13.34

Verschiebungen [m] (t1 = 2 s)

Abb. 13.35

Geschwindigkeiten [m/s] (t1 = 2 s)

In Abb. 13.34 und Abb. 13.35 wurde das Zeitintervall t1 auf 2 s verkürzt, was offensichtlich erhebliche Veränderungen in den Zustandsgrößen nach sich zieht.

13.3.2

Harmonische Belastungen

Handelt es sich bei den Erregerkräften speziell um harmonische Belastungen K i ( t )  A i cos  i t  Bi sin  i t

( i  1,..., n )

dann können wir die Erregerkraftfunktionen unter Einführung der Diagonalmatrizen A  diag[A i ] und B  diag[Bi ] auch in folgende Form bringen  A1   cos 1t  B1   sin 1t    cos  t    sin  t  A2 B 2  2 2      k (t)                       A n  cos  n t   B n  sin  n t           A c(t) B s(t)

oder symbolisch k ( t )  A  c(t)  B  s(t) . Mit (13.80) erhalten wir dann die modalen Kräfte K j (t ) 

eTj  k(t) eTj  M  e j



eTj  [ A  c(t)  B  s(t)] eTj  M  e j

Die partikulären Lösungen errechnen sich nach (13.82) zu

(13.86)

13.3 Erzwungene ungedämpfte Bewegungen

f j,p ( t )  

1 j

319

t

 K () sin  (t  )d j

j

0

t

e Tj  A e Tj  M  e j



t

e Tj  B 1 1  c() sin  j ( t  )d  T s() sin  j ( t  )d j    e M e j j j     0  0       ~s (t) ~c (t)





j

j

In der obigen Darstellung für ~cj ( t ) und ~sj ( t ) treten Integrale der Form

1 j

t

cos( i )

  sin( )  sin  (t  )d   j

i

0

1 2 i

 2j

cos  j t  cos  i t   ( /  ) sin  t  sin  t  j i   i j

(13.87)

auf. Mit den Abkürzungen  cos  jt  cos 1t   (1 /  j ) sin  jt  sin 1t      2 2 1   j i2  2j      cos  jt  cos  2 t   ( 2 /  j ) sin  jt  sin  2 t  ~c (t)   , ~s (t)    j j  22  2j  22  2j            cos  jt  cos  n t   ( n /  j ) sin  jt  sin  n t       2n  2j  2n  2j    

können wir dann kürzer schreiben f j, p ( t ) 

e Tj  [ A  ~cj(t)  B  ~sj(t)]

(13.88)

e Tj  M  e j

Sind die Zeitfunktionen fj,p(t) bekannt, dann werden mit (13.78) die Verschiebungen qˆ ( t ) berechnet. Mit (13.87) laufen wir in ein Problem, wenn die Erregerkreisfrequenz i die Eigenkreisfrequenz j, erreicht, denn dann sind die Integrale wegen der unbestimmten Form 0/0 nicht direkt auswertbar. Nach der Regel von Bernoulli-L’Hospital können wir diese jedoch durch ihre Grenzwerte lim

i  j

lim

i  j

cos  jt  cos i t i2

 2j



 jt sin  jt 22j

(i /  j ) sin  jt  sin i t i2

 2j



sin  jt   jt cos  jt 22j

ersetzen, also durch linear in t anwachsende Funktionen, was die Amplituden mit zunehmender Zeit über alle Grenzen wachsen lässt. Wir sprechen dann vom Resonanzfall.

320

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

Beispiel 13-13:

Abb. 13.36

Erzwungene Schwingungen

Der skizzierte Zweimassenschwinger in Abb. 13.36 wird durch die an den Massen m1 und m2 angreifenden harmonischen Kräfte F1 ( t )  F10 cos( t   / 6) und F2 ( t )  F20 sin(2 t ) belastet. Gesucht ist die Antwort des Systems, wenn beide Massen zum Zeitpunkt t  0 in Ruhe waren. Geg.: F10  5 N , F20  2 N , m1  10 kg , m 2  5 kg , k1  17 N / m , k 2  3 N / m . Lösung: Die in Beispiel 13-11 erzielten Ergebnisse können für die Schritte 1 und 2 übernommen werden. Dort waren 1  1, 456 s 1 , 2  0,694 s 1 , und die zugehörigen normierten  0,9300  0,1938  , e2   Eigenvektoren ergaben sich zu e1     . Wir setzen dann bei 3.)  0,3675  0,9810 wieder neu an.

3.) Berechnung der modalen Belastungen Unter Beachtung von F1 ( t )  5 cos( t   / 6)  4,33 cos t  2,5 sin t und F2 ( t )  2 sin( 2 t ) erhal sin t  cos t  ten wir c   , s  sin 2 t  , A  diag4,33 0, B  diag2,5 2 und damit 0     K1 ( t )  K 2 (t ) 

e1T  [ A  c(t)  B  s(t)] e1T  M  e1 e T2  [ A  c(t)  B  s(t)] e T2  M  e 2

 0,4319 cos t  0,2493 sin t  0,0788 sin 2t  0,1618 cos t  0,0934 sin t  0,3782 sin 2t

4.) Berechnung der partikulären Lösungen ~c   0,8940cos t  cos1,456t , 1 0,5315cos1,456 t  cos 2t     0 , 8940 sin t 0 , 6142 sin 1 , 456 t ~s   1 0,7303 sin 1,456t  0,532 sin 2t ,   f1,p ( t ) 

~c   1,9285cos 0,694 t  cos t  2 0,2842cos 0,694 t  cos 2t     2 , 7793 sin 0 , 694 t 1 , 929 sin t ~s   2 0,8192 sin 0,694t  0,284 sin 2 t   

e1T  [ A  ~c1(t)  B  ~s1(t)] e1T  M  e1

 0,3861cos t  cos 1,456 t   0,2107 sin 1,456 t  0,223 sin t  0,042 sin 2 t

13.3 Erzwungene ungedämpfte Bewegungen f 2, p ( t ) 

321

e T2  [ A  ~c2 (t)  B  ~s2 (t)] e T2  M  e 2

 0,3120cos t  cos 0,694 t   0,5694 sin 0,694 t  0,1801sin t  0,1075 sin 2 t

5.) Berechnung der Verschiebungen  0,9300  0,1938  f1, p(t)   x( t )  f1, p(t) e1  f 2, p ( t ) e 2     f 2, p ( t )  0,3675  0,9810

0,3591  0,2986 0,1960  0,1724 x( t )   sin 1,456 t   cos t   cos1,456 t       sin t  0,1419  0,4479  0,0774  0,2586  0,0181 0,0605  0,1104  sin 2t   cos 0,694 t       sin 0,694 t  0,1208  0,3061 0,5586

Auf die formelmäßige Angabe der Geschwindigkeiten wird verzichtet, sie können Abb. 13.38 entnommen werden.

Abb. 13.37

Auslenkungen [m]

Abb. 13.38

Geschwindigkeiten [m/s]

Beispiel 13-14: Wir betrachten wieder das Beispiel 13-11, jedoch diesmal nur mit der harmonischen Kraft F2 ( t )  5 sin(1,456 t ) , deren Erregerkreisfrequenz 2 mit der Eigenkreisfrequenz 1 übereinstimmt, es ist also  2  1 . Die im Beispiel 13-11 erzielten Ergebnisse können für die Schritte 1 und 2 übernommen werden. Dort waren  0,9300  0,1938  1  1, 456 s 1 , 2  0,694 s 1 , e1   , e 2   0,9810 .  0 , 3675    

322

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

Wir setzen dann bei 3.) wieder neu an. 3.) Berechnung der modalen Belastungen Wegen F1 ( t )  0 und F2 ( t )  5 sin(1,455t ) verbleibt 0  k ( t )  B  s(t) mit B  diag0 5 und s(t)    . Damit sind sin 1,455t  K1 ( t ) 

e1T  B  s(t) e1T

 M  e1

 0,1970 sin 1,456t , K 2 ( t ) 

e T2  B  s(t) e T2  M  e 2

 0,9455 sin 1,456t

4.) Berechnung der partikulären Lösungen ~c  0,4720  0,4720 cos1,456 t , 1  0,3435t sin 1,456 t  

2,0770(1  cos 0,694 t ) ~c   2 0,6108cos 0,694 t  cos1,456 t   

0 ~s   1 0,2360 sin 1,456 t  0,3435 cos1,456 t ,  

0 ~s   2 1,2814 sin 0,694 t  0,6108 sin 1,456 t   

f1, p ( t )  f 2, p ( t ) 

e1T  B  ~s1(t) e1T  M  e1 e T2  B  ~s2 (t ) e T2  M  e 2

 0,0465 sin 1,456 t  0,0677 t cos1,456 t

 1,2115  sin 0,694 t  0,5776  sin 1,456 t

5.) Verschiebungen

 0,9300  0,1938  x( t )  f1,p (t) e1  f 2, p ( t ) e 2   f1,p (t)     f 2, p ( t )  0,3675  0,9810 0,2348  0,0630 t   0,1552  sin(1,456 t )   cos(1,456 t )   x( t )    sin(0,694 t ) [m]    1,1886   0,0249 t   0,5495

13.3 Erzwungene ungedämpfte Bewegungen

Abb. 13.39

Auslenkungen (2 = 1)

323

Abb. 13.40

Auslenkungen (2 =  )

6.) Geschwindigkeiten Die Geschwindigkeiten folgen aus den Verschiebungen durch Ableitung nach der Zeit t.  0,1629  0,0916 t   0,1629  cos(1,456 t )   sin(1,456 t )   x ( t )    cos(0,694 t ) [m/s]   0,8247  0,0362 t   0,8247

Wie leicht nachgeprüft werden kann, erfüllen die obigen Lösungen die homogenen Anfangswerte x( t  0)  0 und x ( t  0)  0 . Die Verschiebungen für den Fall  2  1 können Abb. 13.39 entnommen werden, und Abb. 13.40 zeigt die Auslenkungen beider Massen im Fall  2  2 . Speziell in dieser Darstellung kann das lineare Anwachsen der Amplituden mit zunehmender Zeit t gut beobachtet werden.

13.3.3

Periodische Belastungen

Handelt es sich bei den Erregerkraftgrößen mit k ( t )  k ( t  TF ) speziell um periodische Lasten mit der Periode TF, dann können diese immer als Fourier-Entwicklung 

k (t ) 

 (a

k

cos  k t  b k sin  k t )

k 1

mit den Koeffizienten

(  k  k  k

2 ) TF

(13.89)

324

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

ak 

2 TF

TF



k ( t ) cos  k t dt, b k 

t 0

2 TF

TF

 k (t) sin  t dt k

t 0

dargestellt werden. Berücksichtigen wir in (13.85) die Form (13.89), dann treten Integrale nach (13.87) auf, und die partikuläre Lösung errechnet sich zu T  t   k () em sin m ( t  )d e m  T   0 m e m  M  e m m 1   n

qˆ p ( t ) 

 

   T  e (a k cos  k t  b k sin  k t )  m n  t  e k 1      sin ( t ) d m T   m    e M e m m m m 1   0    n   t T T   a k cos  k t  e m  b k sin  k t em  sin m ( t  )d e m  T m e m  M  e m  k 1 0 m 1  

 





Nach Durchführung der Integration erhalten wir T T   e m  a k (cos m t  cos  k t )  e m  b k ( k m sin m t  sin  k t )   em  T   e m  M  e m ( 2k  2m ) m 1  k 1 n

qˆ p ( t ) 



Dieser Beziehung entnehmen wir, dass qˆ p ( t ) immer dann über alle Grenzen wachsen kann,

wenn einerseits  k  m ist, wenn also ein ganzzahliges Vielfaches der Erregerkraftfrequenz  mit einer Eigenkreisfrequenz m übereinstimmt, und nicht gleichzeitig die Erregerkraftamplituden ak und bk zum m-ten Eigenvektor em orthogonal sind, d.h. sofern nicht T T  a k  0 und e m  b k  0 verschwinden. Wir sprechen gleichzeitig die Skalarprodukte e m dann vom Resonanzfall.

13.3.4

Anwendung der Modalanalyse

Zur Lösung des Problems der erzwungenen ungedämpften Schwingungen mittels der Modalanalyse führen wir mit qˆ ( t )  M -1/2  pˆ (t) entsprechend (13.58) eine neue Variable pˆ ein. Durch Linksmultiplikation mit M -1/2 geht dann (13.76) unter Beachtung von M -1/2  M  M -1/2  I und Ω 2  M -1/2  K  M -1/2 über in ˆ  Ω 2  pˆ  M -1/2  k(t) p

(13.90)

Bezeichnet  die Eigenvektormatrix nach (13.60), dann transformieren wir die bezogenen ~( t ) in die Hauptkoordinaten q ~ . (13.90) Bewegungskoordinaten pˆ ( t ) mittels pˆ ( t )  Φ  q

13.3 Erzwungene ungedämpfte Bewegungen

325

~ ~  M -1/2  k(t) , und nach Linksmultiplikation mit Φ T   Ω 2  Φ  q geht dann über in Φ  q ~ ~  Φ T  M -1/2  k(t) . Auf der   Φ T  Ω 2  Φ  q unter Beachtung von Φ T  Φ  I erhalten wir q ~ ~ 2 ] stehen die Quadrate der Hauptdiagonale der Spektralmatrix Φ T  Ω 2  Φ  Ω 2  diag[ j

modalen Eigenkreisfrequenzen, die mit denjenigen in physikalischen Koordinaten überein~ ). Setzen wir noch für die rechte Seite stimmen (  j   j ~ Φ T  M -1/2  k(t)  k(t)

(13.91)

dann folgt ~2 ~ ~ ~  Ω q  q  k(t)

(13.92)

Mit (13.92) liegen n entkoppelte inhomogene Differenzialgleichungen 2. Ordnung der Form ~2  ~ q1   1  ~   0 q  2      ~   qn   0

0 ~ 2 2

 0

~ ~ 0   q1   k1   ~  ~   0  q2  k 2            ~  ~ 2  ~ q n  k n    n  

oder ~ ~2 ~ ~ q j   j qj  k j

( j  1,..., n )

(13.93)

vor, deren Lösungen t

~ ~ ~ t  ~ ) 1 ~ ~ ( t  )d q j (t )  ~ q j, h ( t )  ~ q j,p ( t )  A j cos( k j () sin  j j j ~   j 0  hom . Lösung  part. Lösung



~ ~ in der homogenen Lösung (13.81) entsprechen. Die Amplituden A j und Phasenwinkel  j ~ q bezeichnen wieder Integrationskonstanten zur Erfüllung allgemeiner Anfangswerte. Die j, h

partikulären Lösungen ~ q j, p sowie ~ q j, p verschwinden an der Stelle t = 0, so dass im Falle homogener Anfangsbedingungen qˆ 0  qˆ 0  0 lediglich

1 ~ q j (t )  ~ j

t

~

 k () sin  (t  )d j

~

j

(13.94)

0

verbleibt. Zur Erfüllung allgemeiner inhomogener Anfangsbedingungen werden also nur die Lösungen der homogenen Bewegungsgleichung

326

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

~ ~ ~ ~ ~ t  ~ ) und ~ ~ ~ q j, h ( t )  A j cos( q j, h ( t )  A j j j j sin( j t   j ) benötigt. Zur Beschreibung der Anfangswerte ist mit (13.67) die Matrix der Eigenformen ~(t)  S  q ~(t) S  M -1/2  Φ zu bilden. Unter Beachtung von qˆ ( t )  M -1/2  pˆ (t)  M -1/2  Φ  q ~ ( t )  S 1  qˆ (t) und damit die modalen Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = 0 folgt q ~  S 1  qˆ , q ~  S 1  qˆ q 0 0 0 0 ~( t ) und q ~ ( t ) bekannt, dann erfolgt mittels Sind die Lösungen q ~( t ), qˆ (t)  S  q ~ ( t ) qˆ (t)  S  q

die Transformation der Verschiebungen in die physikalischen Koordinaten. Beispiel 13-15:

Abb. 13.41

Erzwungene Schwingungen

Der skizzierte Zweimassenschwinger in Abb. 13.41 wird durch die an der Masse m2 angreifende harmonische Kraft F2 ( t )  F20 sin(t ) belastet. Gesucht ist die Antwort des Systems, wenn beide Massen zum Zeitpunkt t = 0 in Ruhe waren. Geg.: F20  5 N ,   2 s 1 , m1  10 kg , m 2  5 kg , k1  17 N / m , k 2  3 N / m Lösung: Wir gehen wieder in Schritten vor. 1.) Berechnung der Matrizen M1/2 und M 1/2 0  3,122 M1 2   , 2,236  0

0  0,316 M -1 2   0,447   0

2.) Berechnung der massennormalisierten Steifigkeitsmatrix  2,000 0,424 Ω 2  M 1 2  K  M 1 2   0,600  0,424

3.) Lösung des speziellen Eigenwertproblems (Ω 2   2 I )  a  0

13.3 Erzwungene ungedämpfte Bewegungen

327

12  0, 4815

 1  0,6939

 f1  0,1104 Hz

  2,1185

 2  1, 4555

 f 2  0, 2317 Hz

2 2

 0,2691 0,9631 e1   , e2      0,9631  0,2691

4.) Bildung der Eigenvektormatrix Φ und der Spektralmatrix Ω 2 0   0,2691 0,9631 ~ 2 0,4815 T 2 Φ  , Ω  Φ Ω Φ   0   0 , 9631 0 , 2691 2 , 1185    

5.) Berechnung von S und S-1  0,0851 0,3046  0,8509 2,1536 S  M -1/2  Φ   , S -1  Φ T  M 1/2     0,1203  0,4307  3,0456 0,6017 

Die Eigenbewegungen können spaltenweise der Matrix S entnommen werden. 6.) Berechnung der modalen Belastungen ~  0,0851 0,4307   0  2,1536 sin( 2t )  k(t)  S T  k(t)    0,1203 5 sin( 2t )  0,6017 sin( 2t )  0,3046

7.) Partikuläre Lösungen 1 ~ q1 ( t )  1

t



~  2,1536 k1 () sin 1 ( t  )d  0,6939

 0

t

 sin(2) sin 0,6939(t  )d

0

 1,7764 sin(0,6939 t )  0,61207 sin( 2 t ) 1 ~ q2 (t)  2

t



~ 0,6017 k 2 () sin 2 ( t  )d  1,4555

0

t

 sin(2) sin 1,4555(t  )d

0

 0,4394 sin(1,4555t )  0,3198 sin( 2 t )

8.) Verschiebungen ~ ( t )   0,0851 0,4307  1,7764 sin 0,6939t  0,6121sin 2 t  x(t)  S  q  0,3046 0,1203  0,4394 sin 1,4555t  0,3198 sin 2 t     0,1338 sin 1,4555t  0,0453 sin 2 t  0,1501sin 0,6939t     0,0529 sin 1,4555t  0,3021sin 2 t  0,7599 sin 0,6939t 

Auf die formelmäßige Angabe der Geschwindigkeiten wird hier verzichtet. Die Auslenkungen der Massen m1 und m2 sind in Abb. 13.42 dargestellt, und Abb. 13.43 zeigt die Pfaddarstellung der Massen m1 und m2 in der (x1,x2)-Ebene.

328

13 Ungedämpfte Schwingungen für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

Abb. 13.42

Auslenkungen [m]

Abb. 13.43

Pfad in der (x1, x2)-Ebene [m]

14

Gedämpfte Bewegungen

Wir beschränken uns auf den Fall der linearen viskosen Dämpfung. Dann kann die Dissipationsleistung R immer als positiv-definite Bilinearform R  q T  C  q der Parametergeschwindigkeiten q mit einer symmetrischen konstanten Dämpfungsmatrix  c11 c12  c1n  c c 22  c 2 n   C  C T   21         c n1   c nn 

c jk  c kj 

 2 R q jq k

geschrieben werden. Bezeichnet E die kinetische Energie und U  U F  U L die Feder- bzw.   q T ( t )  k ( t ) die Leistung der Erregerkräfte, dann lautet der ArbeitsLageenergie sowie A k

  0 und wir erhalten q T  M  q   R  A   C  q  K  q  g - k(t)  0 . Diese satz E  U k Gleichung ist für beliebige Parametergeschwindigkeiten q nur dann erfüllt, wenn die Bewe-

gungsgleichung   C  q  K  q  g  k(t) M q

(14.1)

besteht.

14.1

Freie gedämpfte Bewegungen

Handelt es sich um freie gedämpfte Bewegungen, dann verbleibt von (14.1)   C  q  K  q  g M q

(14.2)

Beziehen wir die Bewegung mit q( t )  q st  qˆ ( t ) auf die statische Ruhelage q st  K 1  g , so folgt die homogene Bewegungsgleichung ˆ  C  qˆ  K  qˆ  0 M q

(14.3)

Um hier zu einer Lösung zu kommen, wird die Auslenkung qˆ (t) mittels der Transformation

330

14 Gedämpfte Bewegungen qˆ (t)  M -1/2  pˆ ( t )

(14.4)

in pˆ ( t ) übergeführt. Einsetzen in (14.3) und Linksmultiplikation mit M 1/2 liefert die Bewegungsgleichung ˆ  2 Δ  pˆ  Ω 2  pˆ  0 p

(14.5)

Zur Abkürzung wurden die symmetrischen Matrizen Δ

1 1/2 M  C  M 1/2 , Ω 2  M 1/2  K  M 1/2 2

(14.6)

eingeführt. Sollen von (14.5) wieder Synchronlösungen gesucht werden, dann wird folgender Ansatz gemacht  pˆ ( t )  c  exp(t )

pˆ ( t )  c exp(t )

(14.7)

Einsetzen von (14.7) in (14.5) liefert ( 2 I  2  Δ  Ω 2 )  c  0

(14.8)

Die noch unbekannten charakteristischen Exponenten  j ( j  1,..., 2n ) sind aus det( 2 I  2  Δ  Ω 2 )  0

(14.9)

und die den 2n Eigenwerten charakteristischen 2n Eigenvektoren ek aus ( 2k I  2  k Δ  Ω 2 )  e k  0

(14.10)

mit einer passenden Normierungsbedingung (etwa e k2  1 ) zu berechnen. Hinweis: Im Vergleich zum ungedämpften Fall enthält die charakteristische Gleichung jetzt auch ungerade Potenzen von . Damit gibt es genau 2n Eigenwerte, die aufgrund der reellen Koeffizienten des charakteristischen Polynoms entweder reell oder paarweise konjugiert komplex sind. Die Lösungen (14.7) können dann entsprechend 2n

pˆ ( t ) 



a k exp( k t ) e k , pˆ ( t ) 

k 1

2n

a 

k k

exp( k t ) e k

(14.11)

k 1

verallgemeinert werden, wobei die skalaren Konstanten ak ( k  1,..., 2n ) noch aus den Anfangsbedingungen 2n

pˆ ( t  0)  pˆ 0 

 k 1

a k ek ,

pˆ ( t  0)  pˆ 0 

2n

a  e

k k k

k 1

(14.12)

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

331

zu bestimmen sind. Zur Lösung dieses Anfangswertproblems beschaffen wir uns folgende Orthogonalitätsbedingungen. Einerseits folgt aus (14.10) durch Linksmultiplikation mit e Tj

eTj  ( 2k I  2  k Δ  Ω 2 )  ek   2k eTj  ek  2  k eTj  Δ  ek  eTj  Ω 2  ek  0

(14.13)

Vertauschen wir in der obigen Gleichung j mit k und ziehen diese unter Beachtung von e kT  Δ  e j  e Tj  Δ  e k und e kT  Ω 2  e j  e Tj  Ω 2  e k von (14.13) ab, dann erhalten wir nach dem Herauskürzen von  j   k  0 ( j   k ) e Tj  e k  2 e Tj  Δ  e k  0

(  j  k )

(14.14)

Andererseits folgt durch Linksmultiplikation von (14.10) mit 1 /  k e Tj 1 T 1 T 2 e j  ( 2k I  2  k Δ  Ω 2 )  e k   k e Tj  e k  2 e Tj  Δ  e k  e j  Ω  ek  0 k k

(14.15)

Vertauschen wir auch hier j mit k und ziehen diese von (14.15) ab, dann erhalten wir  j k e Tj  e k  e Tj  Ω 2  e k  0

(  j  k )

(14.16)

Zur Berechnung der Konstanten ak werten wir nun die folgende Bedingung aus 2n

Ω 2  pˆ 0   jpˆ 0   a k (Ω 2  e k   j k e k )

( j  1,..., 2n)

(14.17)

k 1

Skalarmultiplikation von links mit e Tj ergibt unter Beachtung von (14.16) ak 

e kT  Ω 2  pˆ 0   k e kT  pˆ 0 e kT  Ω 2  e k   2k e k2



e kT  Ω 2  pˆ 0   k e kT  pˆ 0

(14.18)

2e kT  ( k Δ  Ω 2 )  e k

Die zweite Beziehung folgt aus (14.10) durch Skalarmultiplikation von links mit e kT , also e kT  ( 2k I  2  k Δ  Ω 2 )  e k  0 oder   2k e k2  2  k e kT  Δ  e k  e kT  Ω 2  e k . Damit sind die freien Bewegungen eines gedämpften Mehrmassenschwingers bekannt und es gilt 2n

2n

pˆ ( t ) 

a

k

exp( k t ) e k 

k 1

 k 1

e kT  Ω 2  pˆ 0   k e kT  pˆ 0 e kT  Ω 2  e k   2k e k2

exp( k t ) e k

(14.19)

oder kürzer pˆ ( t )  Z 0 ( t )  pˆ 0  Z1 ( t )  pˆ 0

(14.20)

332

14 Gedämpfte Bewegungen

mit  2n  ek  ek exp( k t )  Ω 2 Z 0  Z 0 (Δ, Ω 2 , t )   2 2 T 2  k 1 ek  Ω  ek   k ek 

 2n

 k ek  ek

dZ exp( k t )   0  Ω - 2 Z1  Z1 (Δ, Ω , t )   2 2 T 2 dt k 1 ek  Ω  ek   k ek 2



(14.21)

Hinweis: Das dyadische Produkt D  a  b zweier Vektoren a und b ist ein Spezialfall des Tensors 2. Stufe. Die Komponentenmatrix von D ergibt sich als Matrizenprodukt von a mit bT, das auch äußeres Produkt genannt wird (s.h. auch Kap. 16, Fundamentschwingungen). Unter Beachtung von (14.5) genügen die Funktionen Z0 und Z1 den homogenen Differenzialgleichungen   2Δ  Z  Ω 2  Z  0, Z   2Δ  Z  Ω 2  Z  0 Z 0 0 0 1 1 1

(14.22)

und als Folge der Anfangsbedingungen (14.12) müssen Z 0 (Δ, Ω 2 , t  0)  I;

 Z 0

Z1 (Δ, Ω 2 , t  0)  0;

 Z 1 t 0  I

t 0

0

(14.23)

erfüllt sein. Ist pˆ (t) berechnet, dann folgt mit (14.4) die Rücktransformation qˆ (t)  M -1/2  pˆ ( t ) in physikalische Koordinaten. Beispiel 14-1:

Abb. 14.1

Gedämpfter Zweimassenschwinger

Für die Schwingerkette in Abb. 14.1 sind die Auslenkungen und die Geschwindigkeiten zu ermitteln, wenn die Massen m1 und m2 aus der Ruhelage um jeweils 5 cm ausgelenkt und dann sich selbst überlassen werden. Geg.: m1  27 kg , m 2  22,5 kg , c1  c 2  21,6 kg / s , k1  6800 kg / s 2 , k 2  2800 kg / s 2 . Lösung: Wenden wir das Newtonsche Grundgesetz auf die freigeschnittenen Massen m1 und m2 an, dann erhalten wir die beiden Bewegungsgleichungen

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

333

m1x1  k1 x1  c1x 1  k 2 ( x 2  x1 )  c 2 ( x 2  x 1 ) m 2 x 2  k 2 ( x 2  x1 )  c 2 ( x 2  x 1 ) Mit dem Verschiebungsvektor

x T  x 1

x2

der Massenmatrix

m M 1 0

0  27 0    m 2   0 22,5

der Dämpfungsmatrix

c  c C 1 2   c2

und der Steifigkeitsmatrix

k  k 2 K 1   k2

folgt symbolisch

M  x  C  x  K  x  0

c 2   43,2 21,6  c 2   21,6 21,6

k 2   9600 2800  k 2   2800 2800

1.) Berechnung von M1/2 und M -1/2 0  0  5,196 0,192 M 1/2   , M -1/2    4,743 0,211  0  0

2.) Berechnung von Δ und Ω 2 Δ

355,555 113,602 1 1/2  0,800 0,438 , Ω 2  M 1/2  K  M 1/2   M  C  M 1/2     2  0,438 0,480  113,602 124,444

Hinweis: Die Matrizen  und 2 haben nicht dieselben Eigenvektoren. 3.) Berechnung der Eigenwerte det( 2I  2  Δ  Ω 2 )  0  ( 2  2,122  401,845)( 2  0,437  77,994)

1, 2  0,219  i  8,829,  3, 4  1,061  i  20,018 .

Die Eigenwerte 1, 2 und  3, 4 sind jeweils konjugiert komplex. Sie haben die Struktur  k   k  i k mit  k  2k   2k . Die Realteile  k beschreiben das Abklingverhalten der

Lösung, und die Imaginärteile  k entsprechen den Eigenkreisfrequenzen des gedämpften Systems. 4.) Berechnung der Eigenvektoren Aus ( 2k I  2  k Δ  Ω 2 )  e k  0 folgen  0,0553   0,0196  0,0150 0,0327  i e1,2   , e 3,4        i  0,0221  0,0096 0,0392 0,0787

334

14 Gedämpfte Bewegungen

Damit sind auch die Eigenvektoren jeweils paarweise konjugiert komplex. 5.) Berechnung der Anfangswerte 0,05m  ˆ 0,260  0  1/2 1/2 x0    , p 0  M  x 0  0,237  , pˆ 0  M  x 0  0 0 , 05 m      

6.) Berechnung der Matrix Z0

 4  ej  ej Z0   exp( j t )  Ω 2 und in Komponenten 2 2 T 2  j1 e j  Ω  e j   j e j 



Z 0 [1,1]  e 1,061t 0,856 cos(20,02 t )  0,056 sin( 20,02 t )  e 0, 219 t 0,144 cos(8,82 t )  0,020 sin(8,82 t ) Z 0 [1,2]  e 1,061t  0,351 cos(20,02 t )  0,018 sin( 20,02 t )  e  0, 219 t 0,351 cos(8,83t )  0,007 sin(8,83t ) Z 0 [2,1]  e 1,061t  0,353 cos(20,02 t )  0,002 sin( 20,02t )  e  0, 219 t 0,353 cos(8,83t )  0,038 sin(8,83t ) Z 0 [2,2]  e 1,061t 0,145 cos(20,02 t )  0,003 sin( 20,02 t )  e  0, 219 t 0,856 cos(8,83t )  0,045 sin(8,83t )

Die Matrix Z0 ist unsymmetrisch. Da das System aus der Ruhelage ohne Anfangsgeschwindigkeiten startet, wird Z1 nicht benötigt. 7.) Berechnung von pˆ ( t )  0,1392   0,0102   pˆ ( t )  Z 0 ( t )  pˆ 0  e 1,061t  sin(20,02t )  cos(20,02 t )      0,0002  0,0574   0 , 0034 0 , 1206      e 0, 219 t   cos(8,83t )   0,0008  sin(8,83t ) 0 , 2946     

8.) Rücktransformation in physikalische Koordinaten  x (t)   0,0268  0,0020 x(t)   1   M -1/2  pˆ ( t )  e 1,061t  cos(20,02 t )    sin( 20,02 t )    0,0121 0,0000   x 2(t)  0 , 0232 0 , 0007       e  0, 219 t   cos(8,83t )   0,0002 sin(8,83t )  0,0621   

9.) Berechnung der Geschwindigkeiten Durch Ableitung von x(t) nach der Zeit t folgt

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

335

 x (t)  0,0109 0,5383  x (t)   1   e 1,061t  cos(20,02 t )     sin(20,02 t )   x (t) 0 , 2424 0 , 0122       2  0 , 2048 0 , 0109       e 0,219 t   cos(8,83t )   0,5483 sin(8,83t )   0,0122 

Abb. 14.2 und Abb. 14.3 zeigen die Auslenkungen und Geschwindigkeiten beider Massen, wobei in beiden Abbildungen deutlich der Einfluss der Dämpfung zu erkennen ist.

Abb. 14.2

14.1.1

Auslenkungen [m]

Abb. 14.3

Geschwindigkeiten [m/s]

Transformation in ein System 1. Ordnung

Im Zusammenhang mit der nummerischen Abarbeitung der zuvor hergeleiteten Beziehungen sind noch einige Umformungen von Interesse. Da in kommerziellen Programmsystemen vorwiegend Integrationsalgorithmen und Eigenwertlöser für Differenzialgleichungssysteme 1. Ordnung zur Verfügung stehen, sind wir bestrebt, das System 2. Ordnung (14.5) ˆ(t)  2 Δ  pˆ (t)  Ω 2  pˆ (t)  0 p

in ein solches 1. Ordnung zu überführen. Allgemein ist festzustellen, dass sich jede Differenzialgleichung n-ter Ordnung in n Differenzialgleichungen 1. Ordnung überführen lässt. Dazu werden die Hilfsfunktionen zˆ 1 ( t )  pˆ ( t ), zˆ 2 ( t )  pˆ ( t )

(14.24)

eingeführt, womit (14.5) in das äquivalente Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung

336

14 Gedämpfte Bewegungen zˆ 2 ( t )  zˆ 1 ( t )      2  ˆ ˆ  2  (t)   (t) Δ z Ω z 2 1  zˆ 2 ( t ) 

(14.25)

transformiert wird. Mit I   zˆ  pˆ   zˆ ( t )  ˆ  0  , zˆ 0   10     0  zˆ   1 , A 2  ) pˆ 0  Ω  2Δ  zˆ  zˆ 20   2 ( t    

(14.26)

2 n 1

2n 2n

2 n 1

können wir (14.25) auch kürzer in symbolischer Form ˆ  zˆ (t) zˆ (t)  A

(14.27)

schreiben. Da die Auslenkungen zˆ 1 ( t )  pˆ ( t ) und die Geschwindigkeiten zˆ 2 ( t )  pˆ ( t ) den physikalischen Zustand des Systems vollständig beschreiben, wird (14.27) auch Darstellung der Bewegungsgleichung im Zustandsraum genannt. Zum Auffinden von Synchronlösungen probieren wir in Anlehnung an (14.7) den Ansatz  zˆ (t)   exp(t ) cˆ

zˆ (t)  exp(t ) cˆ

(14.28)

Mit (14.28) geht (14.27) über in das spezielle Eigenwertproblem

 0  2  Ω

I   I 0  cˆ 1  0     2Δ 0 I   cˆ 2  0

(14.29)

oder symbolisch  I 0 ˆ c1  ˆ 0 Iˆ   , c  c , 0  0   0 I   2

ˆ   Iˆ )  cˆ  0ˆ (A

(14.30)

Sind die charakteristischen Exponenten  k sowie die Eigenvektoren ek aus ˆ   Iˆ )  0 det( A

und

ˆ   Iˆ )  e  0 (A k k

(14.31)

berechnet, dann kann (14.28) verallgemeinert werden. Dazu fassen wir vorab die Eigenwerte in der Diagonalmatrix Z  diag [ k ] ,

( k  1,..., 2n )

zusammen und bilden damit die Exponentialmatrix1

1



exp(Z t ) :

 k!(Z t) k 0

1

k

I

Z t (Z t ) 2 (Z t )3    1! 2! 3!

(14.32)

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen Eˆ (t)  exp( Z t ) ,

337

Eˆ ( t  0)  Iˆ

(14.33)

Schreiben wir die Eigenvektoren und Eigenwerte in die Eigenvektormatrix e2  e 2n  ˆ   e1 Φ  e  e   e   1 1 2 2 2n 2n 

(14.34)

dann kann (14.28) wie folgt verallgemeinert werden ˆ Ε ˆ (t)  cˆ zˆ ( t )  Φ

(14.35)

Berücksichtigen wir zum Zeitpunkt t  0 die Anfangsbedingungen (14.12), dann erhalten wir ˆ  cˆ zˆ 0  zˆ ( t  0)  Φ

(14.36)

Aus dieser Gleichung folgt ˆ 1  zˆ cˆ  Φ 0

ˆ 1  Φ ˆ T) (Φ

(14.37)

und mit (14.35) ist dann ˆ  Εˆ (t)  Φ ˆ 1  zˆ zˆ (t)  Φ 0

(14.38)

womit das Problem als gelöst gelten kann. Allerdings muss bei dieser Vorgehensweise die ˆ invertiert werden, was bei großen Systemen einen erheblichen komplexwertige Matrix Φ nummerischen Mehraufwand im Vergleich zu Lösung (14.18) bedeutet, bei der lediglich Matrizenmultiplikationen durchzuführen sind. Hinweis: Im ungedämpften Fall ( Δ  0 ) ist (14.27) entkoppelt. Die Matrix A ist zwar immer noch unsymmetrisch, aber ihre Eigenwerte sind konjugiert rein imaginär und die Eigenvektoren reell. Wir hätten selbstverständlich (14.27) durch Trennung der Veränderlichen, also dzˆ ˆ ˆ t  aˆ  zˆ  exp (A ˆ t)  cˆ  A dt  ln zˆ  A zˆ

auch direkt integrieren können, und mit der Anfangsbedingung zˆ (t  0)  zˆ 0  cˆ folgt ˆ t)  zˆ zˆ (t)  exp (A 0

(14.39)

Vergleichen wir diese Lösung mit (14.38), dann ist offensichtlich ˆ t)  Φ ˆ Ε ˆ (t)  Φ ˆ 1 exp (A

(14.40)

Im nachfolgenden Beispiel soll (14.38) zur Lösung des Problems in Beispiel 14-1 angewandt werden.

338

14 Gedämpfte Bewegungen

Beispiel 14-2: Wir übernehmen die bereits in Beispiel 14-1 erzielten Ergebnisse. 0  27  43,2 21,6  9600 2800 M  , C   21,6 21,6 , K   2800 2800 0 22 , 5       0  0  5,196 0,192 -1/2 M 1/2    , M  0 4 , 743 0 0 , 211      0,800 0,438  355,555 113,602 2 Δ  , Ω   113,602 124,444 0 , 438 0 , 480     

ˆ (14.26) 1.) Aufstellen der Matrix A 0 0 1 0   0 I 0 0 0 1 ˆ    A  Ω 2  2Δ   355,555 113,602  1,600 0,876      113,602  124,444 0,876  0,960 2.) Berechnung der Eigenwerte (14.31)

1, 2  0,219  i  8,829,  3, 4  1,061  i  20,018 ˆ 3.) Berechnung der Eigenvektoren und Aufbau der Eigenvektormatrix Φ ˆ   Iˆ )  e  0 folgen Aus ( A k k

 0,0534 0,0129  0,0189  0,0360  0,0216  0,0068  0,0434  0,0893  , e 3,4      i   i e1,2    0,3147   1,0557    0,3138   0,1747           0,1597   0,4242  0,7790  0,4023 Auch die Eigenvektoren sind jeweils konjugiert komplex. Damit folgen 0,0129 0,0360 0,0360  0,0534 0,0534 0,0189 0,0189  0,0129   0,0068  0,0068  0,0216 0 , 0216 0 , 0434 0 , 0434 0,0893  0,0893   ˆ    i  Φ 0,3147  0,3138  0,3138  1,0557 1,0557  0,1747 0,1747   0,3147     0,4023  0,1597  0,1597  0,7790  0,7790  0,4242  0,4242  0,4023 3,0645 0,0989 0,0297   2,3202 0,9083 0,3762 0,1573  7,4518   7,4518  3,0645 0,0989  0,0297 0,9083  0,3762 0,1573  2,3202 ˆ -1     i  Φ 0,0834 0,2174   0,6045  2,0847  0,1820  0,4378   1,6825  3,7776     3,7776  0,0834  0,2174   0,6045  2,0847  0,1820  0,4378  1,6825

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

339

4.) Berechnung der Anfangswerte mit (14.4) und (14.36) 0,260   ˆ p  0,237  0,05m  ˆ 0,260 ˆ 0  x0   , p 0  M 1/2  x 0   , p 0  M1/2  x 0    , zˆ 0    0      0,05m  0,237  0  pˆ 0   0     0  5.) Berechnung der Konstanten cˆ (14.37)  1,209  0,387      ˆ 1  zˆ    1,209  i  0,387  cˆ  Φ 0  0,651   1,333      0,651  1,333

6.) Berechnung von zˆ (t) (14.38)  0,0102  0,1392    0,0002  0,0574   ˆ Ε ˆ (t)  Φ ˆ 1  zˆ  e 1,061t      cos( 20 , 02 t ) sin( 20 , 02 t ) zˆ (t)  Φ  0  0 , 0568 2 , 7970          0,0576   1,1496   0,0034  0,1206   0,0008  0,2946    cos(8,83t )    sin(8,83t ) e 0, 219 t    1,0642   0,0568     0,0576   2,6010

7.) Rücktransformation in physikalische Koordinaten 1/2

 x  M x       0

14.1.2

 0,0268  0,0020        0,0000 0  1, 061t   0,0121   sin( 20,02t )  ˆ    z (t) e cos( 20 , 02 t )    0,5383 M 1/2   0,0109       0,0122  0 , 2424    0,0232  0,0007   0,0621  0,0002    cos(8,83t )    sin(8,83t ) e  0, 219 t    0,2048  0,0109       0,0122   0 , 5483  

Entkopplung der Bewegungsgleichungen

Eine Entkopplung der homogenen Bewegungsgleichung (14.5) gelingt immer dann, wenn die symmetrischen Matrizen Δ und Ω 2 gleiche Eigenvektoren besitzen, also koaxial sind.

340

14 Gedämpfte Bewegungen

Hinweis: Jede normale ( n  n )-Matrix C, das kann eine symmetrische, eine schiefsymmetrische, eine Diagonalmatrix oder auch eine orthogonale Matrix sein, ist einer Diagonalmatrix Λ  diag [1 ,  2 ,...,  n ]  Φ 1  C  Φ ähnlich. Damit zwei Matrizen A  Φ  Λ A  Φ -1 und B  Φ  Λ B  Φ -1 gleiche Eigenvektoren besitzen, muss A  B  Φ  Λ A  Λ B  Φ -1  B  A erfüllt sein, wobei  die Eigenvektormatrix bezeichnet.

Sind Δ und Ω 2 koaxial, dann wird von modaler Dämpfung gesprochen. Die Eigenschwingungsformen des ungedämpften Systems bleiben dann erhalten, womit ein erheblicher Vorteil bei der mathematischen Behandlung des Problems gegenüber dem allgemeinen Fall vorliegt, da sich alle Eigenwerte und Eigenvektoren als reell erweisen. Koaxialität der Matrizen Δ und Ω 2 ist dann mit dem obigen Hinweis gegeben, wenn Δ  Ω2  Ω2  Δ

(14.41)

erfüllt ist, und für die Matrizen M, C und K muss C  M -1  K  K  M -1  C M  K -1  C  C  K -1  M

(14.42)

M  C -1  K  K  C -1  M

gefordert werden. Betrachten wir die durch (Δ  I )  eˆ  0 ,

(Ω 2  2I )  eˆ  0

(14.43)

definierten speziellen Eigenwertprobleme, dann liefern diese genau n reelle Eigenwerte  j bzw. 2j sowie n reelle Eigenvektoren eˆ j , die aufgrund der vorausgesetzten Koaxialität für beide Eigenwertprobleme identisch und im Sinne von eˆ Tj  eˆ k  eˆ Tj  Δ  eˆ k  eˆ Tj  Ω 2  eˆ k  0

( j k )

(14.44)

orthogonal sind. Fassen wir die Eigenvektoren spaltenweise in der orthonormalen Modalmatrix  zusammen und führen mit ~(t) pˆ (t)  Φ  q (14.45) ~ ein, dann folgt aus (14.5) nach Linksmultiplikation mit Φ T  Φ 1 die Modalkoordinaten q ~ ~  Φ T  Ω 2  Φ  q ~0   2 Φ T  Δ  Φ  q q

Die Matrizen ~ ~ Δ  ΦT  Δ  Φ  diag[ k ] , Ω 2  ΦT  Ω 2  Φ  diag[2k ]

(14.46)

(k  1,..., n )

(14.47)

besitzen Diagonalgestalt. Auf ihren Hauptdiagonalen stehen die modalen Abklingkonstanten  k bzw. die Quadrate der modalen Eigenkreisfrequenzen k und (14.46) schreibt sich dann

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

341

~ ~ ~ 2 ~ ~  2 Δ q q  Ω q  0

(14.48)

Damit liegen n entkoppelte homogene Differenzialgleichungen 2. Ordnung der Form ~ qk  2 k ~ q k  2k ~ qk  0

(k  1,..., n )

vor. Zu deren Lösung wird der Ansatz ~ q ( t )  c exp(t ) k

(14.49)

(14.50)

k

gemacht. Das führt auf die charakteristischen Gleichungen  2  2 k   2k  0

(k  1,..., n )

(14.51)

(k  1,..., n )

(14.52)

mit den 2n Eigenwerten

 k 1, 2   k   k ,  k   2k  2k

Zu jedem Eigenvektor gehören jetzt zwei Eigenwerte, die sich im Vorzeichen vor dem Wurzelausdruck unterscheiden. Damit kann (14.50) weiter konkretisiert werden ~ q k ( t )  c k1 exp( k1t )  c k 2 exp( k 2 t ) (k  1,..., n ) (14.53) Die noch unbekannten Koeffizienten ck1 und ck2 werden aus den Anfangsbedingungen ~ q k ( t  0)  ~ q k 0  c k1  c k 2 ,

~ q k ( t  0)  ~ q k 0  c k1 k1  c k 2 k 2

(14.54)

ermittelt. Wir erhalten c k1 

( k   k ) ~ qk0  ~ (   k ) ~ qk0  ~ q k 0 q k 0 , ck2  k 2 k 2 k

(14.55)

und damit ~  q k 0 [( k   k ) exp( k t )  ( k   k ) exp( k t )]    2 k   ~ q k (t)   ~  exp( k t ) q [exp( t )  exp( t )]  k0  k k   2 k

(14.56)

Führen wir die Matrizen S  M 1/2  Φ und S 1  Φ T  M 1/2 ein, dann können wir die modalen Anfangsbedingungen in der Form ~  S 1  qˆ , q 0 0

~  S 1  qˆ q 0 0

notieren. Liegt die Lösung in Modalkoordinaten vor, dann erfolgt mit

(14.57)

342

14 Gedämpfte Bewegungen ~(t) , qˆ (t)  S  q

~ (t) qˆ (t)  S  q

(14.58)

die Rücktransformation in physikalische Koordinaten. Es lassen sich für die synchronen q k ( t ) einige Sonderfälle betrachten. Teillösungen ~ 1.) Der ungedämpfte Fall tritt dann ein, wenn  k  0 und  k  ik ist. Von (14.56) verbleibt zunächst ~ q [exp(ik t )  exp(ik t )] ~ q [exp(ik t )  exp(ik t )] ~ q k (t )  k 0  k0 2 2ik

und mit exp(ik t )  exp( ik t )  2 cos k t sowie exp(ik t )  exp( ik t )  i 2 sin k t folgt ~ q ~ q k (t )  ~ q k 0 cos k t  k 0 sin k t k

2.) Der schwach gedämpfte Fall Ist die synchrone Teillösung schwach gedämpft, dann ist 2k   2k und damit  k  i k mit  k   2k   2k , und von (14.56) verbleibt     q  ~ ~ qk ( t )  ~ qk 0  cos k t  k sin k t   k 0 sin  jt  exp( k t ) k  λk   

3.) Der stark gedämpfte Fall Im Fall der starken Dämpfung ist  2k   2k und damit  k   2k  2k reell. Es gilt dann die bereits reellwertig angegebene Lösung (14.56). 4.) Der Grenzfall Dieser Fall tritt auf, wenn für eine Eigenform (etwa diejenige mit dem Index k  j )  k   j  0 erfüllt ist. Dann ist zunächst mit  ~ q j0[( j   j ) exp( jt )  ( j   j ) exp( jt )] ~ q j0[exp( jt )  exp( jt )]  ~ q j(t)     exp( jt ) 2 j 2 j  

wegen der Unbestimmtheit 0/0 eine Auswertung nicht möglich. Nach der Regel von Bernoulli-L’Hospital erhalten wir die Grenzwerte

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

lim

( j   j ) exp( jt )  ( j   j ) exp( jt ) j

 j 0

343 d [( j   j ) exp( jt )  ( j   j ) exp( jt )] d j  lim  d  j 0 ( j ) d j

lim [1  ( j   j ) t ] exp( jt )  [1  ( j   j ) t ] exp( jt )  2(1   jt )

 j 0

d [exp( jt )  exp( jt )] exp( jt )  exp( jt ) d j lim  lim  2t d  j 0  j 0 j ( j ) d j

und damit ~ q j ( t )  [~ q j0 (1   j t )  ~ q j0 t ] exp( j t ) .

5.) Die allgemeine Kriechbewegung Bei einer allgemeinen Kriechbewegung ist K  0 was für alle k  0 bzw.  k   k (k  1,..., n ) zur Folge hat, und von (14.56) verbleibt ~ q ~ qk (t)  ~ q k 0  k 0 [1  exp(2 k t )] 2 k

Beispiel 14-3: Für das System in Abb. 14.1 sind die Zustandsgrößen x(t) und x ( t ) zu berechnen. Geg.: m1  10000 kg , m 2  20000 kg , c11  98000 kg / s c12  c 21  32000 kg / s ,

k11  120000 kg / s 2 , k12  k 21  40000 kg / s 2 , k 22  40000 kg / s 2 . 0 10000  98000 32000  120000 40000 , C , K Damit folgen M     . 0 20000   32000 36000  40000 40000 0 1m   . Die Anfangsbedingungen sind x 0 (t)    und x 0 (t)   0 1 m / s     c 22  36000 kg / s ,

Lösung: Wir gehen wieder in Schritten vor. 1.) Berechnung von M1/2 und M -1/2 0 0 100 0,01000 M 1/2   , M 1/2    0 0,00707   0 141,421 

344

14 Gedämpfte Bewegungen

2.) Berechnung von Δ und Ω 2 Δ

1 1/2  12,0000 2,8284  4,9000 1,1314 , Ω 2  M 1/2  K  M 1/2   M  C  M 1/2     2  2,8284 2,0000  1,1314 0,9000

 62,000 16,122 Mit Δ  Ω 2    Ω 2  Δ sind Δ und Ω 2 koaxial. 5,000  16,122

3.) Lösung des Eigenwertproblems für Δ

Δ  I   e  0 , 1  0,6022, 2  5,1978 ,

 0,255  0,967  , e2   e1      0,967   0,255

4.) Lösung des Eigenwertproblems für Ω 2 (Ω 2  2 I )  e  0 , 12  1,2554, 22  12,7446 ,

 0,255  0,967  e1   , e2      0,967   0,255

Die reellen Eigenvektoren von Δ sind identisch mit denen von Ω 2 . Die Eigenkreisfrequenzen ergeben sich zu 1  1,1205, 2  3,5670 . 5.) Aufbau der Eigenvektormatrix  0,255 0,967  T Φ Φ  0 , 967 0 , 255  

6.) Berechnung der Matrizen S und S 1

0  0,2546 0,9671  0,00255 0,00967 0,01000   S  M 1/2  Φ   0 0,00707  0,9671 0,2546  0,00967 0,00180  0  25,4570 136,7621  0,2546 0,9671 100 S -1  Φ T  M 1/2      36,0016  0,9671 0,2546  0 141,421  96,7054 7.) Berechnung der modalen Anfangsbedingungen ~  S 1  x   25,4570 136,7621  1   25,4570 q 0 0  96,7054 36,0016 0  96,7054  ~  S 1  x   25,4570 136,7621  0  136,7621 q 0 0  96,7054 36,0016 1  36,0016 

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

345

8.) Lösung in Modalkoordinaten 12  1,2554 , 1  0,6022 , 12  0,3626 . Wegen 12  12 liegt in dieser Modalkoordinate

eine schwache Dämpfung vor: 1  i 1 , 1  12  12  0,9449 . ~ q ( t )  25,457 cos(0,9449t )  160,9618 sin(0,9449 t ) exp(0,6022 t ) 1

22  12,7446;  2  5,1978 ,  22  27,0171 . Wegen  22  22 liegt in dieser Modalkoordinate

eine starke Dämpfung vor:  2   22  22  3,778 . ~ q ( t )  110,1134 exp(1,4199 t )  13,4080 exp(8,97576 t ) 2

9.) Transformation in physikalische Koordinaten ~ ~(t)   0,00255 0,00967   q1 ( t )  x(t)  S  q  0,00967 q 2 ( t ) 0,00180 ~ 

Wir erhalten (Abb. 14.4)   0,0648 0,4098 cos(0,945t )   sin(0,945t )e  0,6022 t  x( t )         0,1741  1,1007  1 , 0649 0 , 1297    1, 4199 t   8,9758 t   0,1982 e e 0 , 0241     Die Geschwindigkeiten (Abb. 14.5) folgen aus den Verschiebungen durch Ableitung nach der Zeit t  0,3482 0,3080  0,6022 t x ( t )     cos(0,945t )     sin(0,945t )e  0,8273  0,9352   1,5120 1, 4199 t  1,1638 8,9758 t   0,2814 e e    0,2166

Abb. 14.4

Auslenkungen [m]

Abb. 14.5

Geschwindigkeiten [m/s]

346

14 Gedämpfte Bewegungen

Entscheiden wir uns im Fall der Koaxialität für die Darstellung nach (14.19), dann ist mit (14.56) und jeweils zwei Lösungen  k1, 2   k   k n

pˆ ( t ) 

 k 1

eˆ kT  Ω 2  pˆ 0   k1, 2 eˆ kT  pˆ 0 eˆ kT  Ω 2  e k   k21, 2 eˆ k2

exp( k1,2 t ) eˆ k

Aus (14.43) ermitteln wir eˆ kT  Ω 2   2k eˆ kT und damit n

pˆ ( t ) 



2k eˆ kT  pˆ 0   k1, 2eˆ kT  pˆ 0 eˆ k2 (2k   2k1, 2 )

k 1

exp( k1, 2 t ) eˆ k

Für den weitere Rechengang sind noch 2k 2k

  2k



 k  2 k , 2( k   k )

k 2k

  2k



1 2(  k   k )

festzustellen, was dann zu  eˆ kT  pˆ 0   k       1   exp( k t )  1  k  exp( k t )   2  n   k     2eˆ k   k  pˆ ( t )   exp( k t ) eˆ k  T  ˆ k  pˆ 0  k 1  e   2 eˆ 2 exp( k t )  exp( k t )    k k



(14.59)

oder abkürzend pˆ ( t )  Z 0  pˆ 0  Z1  pˆ 0

(14.60)

mit n

eˆ k  eˆ k eˆ k2 k 1

Z 0 (Δ, Ω 2 , t ) 

1 2



Z1 (Δ, Ω 2 , t ) 

1 2

n



(1   k /  k ) exp( k t )   (1   /  ) exp( t )  exp( k t )  k k k 

eˆ k  eˆ k [exp( k t )  exp( k t )] exp( k t ) ˆ2 k 1 λ k e k



(14.61)

dZ 0  Ω-2 dt

führt. Die Rücktransformation in den Originalraum erfolgt mit (14.4), wozu M1/2 und M-1/2 benötigt werden. Auf deren Berechnung kann übrigens verzichtet werden, wenn wir zur Lösung der Eigenwertprobleme (14.43) einen anderen Weg beschreiten. Beachten wir (14.6), dann erhalten wir (Δ  I )  eˆ  M 1/2  C / 2  M   M 1/2  eˆ  0 und damit die Eigenwertgleichung

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

C  2M   ~e  0

347 (14.62)

wobei jetzt Eigenvektoren ~e  M -1/2  eˆ  eˆ  M 1/2  ~e

(14.63)

eingeführt wurden. Weiterhin folgt aus (Ω 2   2 I )  eˆ  M 1/2  (K  ω 2 M )  M 1/2  eˆ  0 und damit (K  ω 2 M )  ~e  0

(14.64)

Beachten wir die Determinantenregel det( A  B)  det( A ) det(B) , dann liefern die Eigenwertprobleme (14.62) und (14.64) wegen det(Δ  I )  0  det[M 1/2  C  2M   M 1/2 ]  detC  2M 

und det (Ω 2  2 I )  0  det[M 1/2  (K  ω 2 M )  M 1/2 ]  det(K  ω 2 M )

dieselben Eigenwerte  j und 2j wie (14.43). Die Eigenvektoren ~ej sind nun untereinander nicht mehr orthogonal. Im Sinne von (14.44) erhalten wir in diesem Fall die Orthogonalitätsrelationen ~e T  M  ~e  ~e T  C  ~e  ~e T  K  ~e  0 j k j k j k

(14.65)

Sind die Eigenwertprobleme (14.62) und (14.64) gelöst, dann stehen die Eigenwerte δk 

1 2

~e T  C  ~e ~e T  K  ~e 2 k k k k ~e T  M  ~e , k  ~e T  M  ~e k k k k

(14.66)

und die Eigenvektoren ~ek (k  1,..., n ) zur Verfügung. Zur Entkopplung der Bewegungsgleichung fassen wir die Eigenvektoren in der regulären Matrix P  ~e1 , ~e2 ,..., ~en  (14.67) zusammen, mit deren Hilfe sodann die physikalischen Bewegungskoordinaten qˆ mittels ~(t ) qˆ ( t )  P  q

(14.68)

~( t ) transformiert werden. Die Bewegungsgleichung (14.3) geht in die Modalkoordinaten q ~  K Pq ~  0 und nach Linksmultiplikation mit P T erhal~  2C  P  q dann über in M  P  q ~ ~  PT  K  P  q ~  0 . Mit   2P T  C  P  q ten wir zunächst P T  M  P  q

348

14 Gedämpfte Bewegungen ~ ~ ] M  P T  M  P  diag[m kk ~ C  P T  C  P  diag[~ckk ] ~ ~ K  P T  K  P  diag[ k kk ]

(14.69)

~ und Linksmultiplikation mit M 1 können wir dann

~ ~ ~ 2 ~ ~  2 Δ q q  Ω q  0

(14.70)

notieren, wobei in (14.70) zur Abkürzung   diag[ ], Ω 2 M  -1  C  -1  K   diag[2 ] Δ  M k k

(k  1, , n)

(14.71)

gesetzt wurde. Unter Beachtung von (14.62) und (14.4) geht dann (14.59) über in     k   1   exp( k t )     ~T   ek  M  qˆ 0   k    ~ n  ~T   2 ek  M  ek 1   k  exp(  t )  ~  qˆ ( t )  k   exp(  k t ) ek       k  k 1    ~e T  M  qˆ k 0  (exp( k t )  exp(  k t )) T ~ ~   2 k ek  M  ek



(14.72)

Zur Lösung von (14.72) werden also lediglich die Eigenwerte  k und k sowie die Eigenvektoren ~ek aus (14.62) oder (14.64) benötigt. Die Werte  k ergeben sich dann aus (14.52). Eine Entkoppelung der Bewegungsgleichung kann übrigens immer erreicht werden, wenn die Dämpfungsmatrix als Linearkombination von Massen- und Steifigkeitsmatrix mit reellen Konstanten  und  in der Form C  M   K

(14.73)

angesetzt wird. Der erste Summand ist proportional zu M und der zweite proportional zu K, weshalb diese Form der Dämpfung auch proportionale Dämpfung oder Rayleigh-Dämpfung genannt wird. Mit (14.6) erhalten wir 2Δ  M 1/2  C  M 1/2  M 1/2  (M  K )  M 1/2  I  Ω 2

(14.74)

Wegen Δ  Ω 2  Ω 2  Δ erweisen sich Δ und Ω 2 als koaxial. Sind die Eigenwerte k (k  1,..., n ) des Eigenwertproblems (Ω 2  2 I )  eˆ  0 beschafft, dann kennen wir wegen (Δ  I )  eˆ  0  [(I  Ω 2 )  2I ]  eˆ  [Ω 2  1  (2  ) I ]  eˆ auch die Abklingkonstanten  2 2 k     2k

(k  1,..., n )

(14.75)

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

349

des entkoppelten Systems nach (14.49), und mit  k  D k k können wir für (14.75) auch 2D k 

   k k

(k  1,..., n )

(14.76)

schreiben. Über die Parameter  und  kann noch verfügt werden. Wird beispielsweise   0 gewählt, dann ist 2D k   k , womit der Dämpfungsgrad des k-ten Freiheitsgrades proportional zur k-ten Eigenkreisfrequenz des zugeordneten ungedämpften Systems ist. Wir sprechen in diesem Fall von steifigkeitsproportionaler Dämpfung, und die Dämpfungsmatrix erscheint in der Form C  K . Im Fall   0 wird von massenproportionaler Dämpfung gesprochen, und wir erhalten entsprechend (14.75) für jede Teillösung dieselbe Abklingkonstante 2 k   . Die Dämpfungsmatrix ist in diesem Fall C  M . Soll also eine Dämpfungsmatrix aufgebaut werden, die eine Entkopplung der Bewegungsgleichungen ermöglicht, dann kann bei Beschränkung auf den Zweimassenschwinger wie folgt vorgegangen werden: 1.) Unter Vernachlässigung der Dämpfung werden mit geschätzten Massen und Steifigkeiten die beiden Eigenkreisfrequenzen 1 und 2 berechnet. 2.) Zu diesen Freiheitsgraden werden modale Dämpfungsgrade D1 und D2 gewählt. Daraus ergeben sich mit (14.76) die Parameter 

212 (D 21  D12 ) 12

 22

, 

2(D11  D 22 ) 12  22

(14.77)

und mit (14.73) die Dämpfungsmatrix C  M   K . Sollen beide Teillösungen mit D1  D 2  D denselben Dämpfungsgrad D aufweisen, dann sind 

2D12 2D ,  1  2 1  2

(14.78)

zu wählen. Beispiel 14-4: Für einen Schwinger mit zwei Freiheitsgraden soll im Sinne der Rayleigh-Dämpfung eine Dämpfungsmatrix C aufgebaut werden. Massen- und Steifigkeitsmatrix  24 8 2 0 M , K     8 8 0 1 

sind aus Vorbetrachtungen bekannt. Damit folgen 0   12,000 5,657  0,707 M -1/2   , Ω 2  M -1/2  K  M -1/2    1,000 8,000  5,657  0

350

14 Gedämpfte Bewegungen

Wir beschaffen uns die Eigenwerte und Eigenvektoren des allgemeinen Eigenwertproblems (K  ω 2 M)  a  0 . Die Eigenwerte sind 1  2, 2  4 , und die reellen orthogonalen Eigen 0,5773 0,8165 vektoren werden in der Modalmatrix Φ    zusammengefasst. Wir wäh 0,8165 0,5773 len die modalen Dämpfungsgrade D1  0,15 und D 2  0,1 . Mit (14.77) folgen die Parameter   0,533 sowie   0,0167 und damit die Dämpfungsmatrix  1,4667 0,1333 C  M   K   .  0,1333 0,6667 

ˆ  2 Δ  pˆ  Ω 2  pˆ  0 nach (14.5) mit Zum Nachweis, dass sich die Bewegungsgleichung p der oben berechneten Dämpfungsmatrix C entkoppeln lässt, transformieren wir auf Haupt~ ~ ~ 2 ~ ~  2 Δ  q  Ω  q  0 . Wir benötigen koordinaten und erhalten mit (14.48): q 1 1/2  0,3667 0,0471 ~ 0,3 0  T M  C  M 1/2    , Δ  Φ  Δ  Φ  diag[ k ]   0 0,4 und  0 , 0471 0 , 3333 2     2 4 0   ~ 0   1 Ω2  Φ  Ω2  Φ   .  2 0 16  0 2 

Δ

Damit liegen zwei entkoppelte Bewegungsgleichungen ~ qk  2 k ~ q k  2k ~ q k  0 ( k  1,2 ) vor, deren Lösungen bekannt sind. In 1  D11  0,3 und damit D1  0,3 / 2  0,15 sowie  2  D 2 2  0,4 bzw. D 2  0,4 / 4  0,1 erkennen wir die vorab gewählten Dämpfungsgrade wieder.

14.1.3

Näherungsweise Berücksichtigung der Dämpfung

Die bisherigen Ausführungen haben gezeigt, dass die Berücksichtigung der Dämpfung im Vergleich zu ungedämpften Bewegungen einen erheblichen mathematischen Mehraufwand bedeutet. Das trifft insbesondere auf Bewegungsgleichungen zu, deren Matrizen nicht koaxial sind. Außerdem ist die Wahl eines Dämpfungsgesetzes bei vielen Konstruktionen mit Unsicherheiten behaftet. Zusätzlich kommt hinzu, dass wir es bei realen Konstruktionen mit äußeren und inneren Dämpfungseinflüssen zu tun haben, deren direkte Bestimmung aufgrund der Komplexität des Problems ohnehin nicht möglich ist. Unter Beachtung dieser Umstände ist es sicherlich gerechtfertigt, Näherungsverfahren zu benutzen, von denen hier zwei vorgestellt werden sollen. Verfahren 1 Wir unterstellen nichtkoaxiale Systemmatrizen M, C und K. Der Näherungscharakter dieses ~ Verfahrens besteht darin, die modale Dämpfungsmatrix Δ zwangsweise zu diagonalisieren. Wir setzen bei der transformierten Bewegungsgleichung (14.5) an und beachten (14.6). Un-

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

351

ter Vernachlässigung des Dämpfungsanteils lösen wir zunächst das Eigenwertproblem (Ω 2  2 I )  a  0 . Die daraus resultierenden reellen Eigenvektoren werden spaltenweise in der Eigenvektormatrix Φ mit Φ T  Φ 1 geschrieben. Durch die Transformation ~ ( t ) geht dann (14.5) über in Φ  q ~ ~  Ω 2  Φ  q ~  0 und nach Linksmul  2Δ  Φ  q pˆ ( t )  Φ  q tiplikation mit Φ T unter Beachtung von Φ T  Φ  I erhalten wir ~ ~  Φ T  Ω 2  Φ  q ~ 0.   2Φ T  Δ  Φ  q q ~ Die Matrix Φ T  Ω 2  Φ  Ω 2  diag[2k ] ist eine Diagonalmatrix, auf deren Hauptdiagonale die Quadrate der Eigenkreisfrequenzen des ungedämpften Systems stehen. Dagegen wird die ~ modale Dämpfungsmatrix Δ  Φ T  Δ  Φ i. Allg. keine Diagonalmatrix sein. Der Nähe~ rungscharakter dieses Verfahrens besteht nun darin, die Matrix Δ durch die Diagonalmatrix ~ Δ zu ersetzen, die wir auf einfachste Weise aus Δ durch Streichen der Nebendiagonalglieder erhalten, was zu

~2 ~ ~ ~  Ω   2 Δ  q q q  0

(14.79)

führt. Mit (14.79) liegen n entkoppelte homogene Bewegungsgleichungen der Form ~2 ~ ~ qk  2k ~ q k   k qk  0

(k  1,..., n )

(14.80)

vor, deren Lösungen mit  k  k2   2k sofort notiert werden können q k 0 [( k  k ) exp( k t )  ( k  k ) exp( k t )]  ~   2 k   ~ q k (t )    exp(  k t ) ~ q [exp( t )  exp( t )]  k0  k k    2   k

(14.81)

Zur Transformation der Anfangswerte benötigen wir die Matrix S  M -1/2  Φ und deren Inverse S -1  Φ T  M 1/2 . Unter Beachtung von ~ ( t )  Φ T  pˆ (t)  Φ T  M 1/2  qˆ (t)  S 1  qˆ (t) q ~  S 1  qˆ und q ~  S 1  qˆ . Sind die folgen damit die modalen Anfangsbedingungen q 0 0 0 0 ~ ~ ~ ~ ( t )   Lösungen q ( t ) und q ( t ) bekannt, dann erfolgt mittels qˆ (t)  S  q ( t ) bzw. qˆ (t)  S  q die Transformation der Bewegungsgleichungen in die physikalischen Koordinaten.

Beispiel 14-5: Für einen Zweimassenschwinger sind folgende Systemwerte gegeben: m1  1 kg , m 2  2 kg , c1  0, 25 kg / s , c 2  0, 25 kg / s , k1  2 kg / s 2 , k 2  1 kg / s 2 .

352

14 Gedämpfte Bewegungen

1 0   0,50 0,25  3 1 , C , K M   . 0 2   0,25 0,25  1 1

Die Anfangsbedingungen sind xT0 (t)  1 cm 0 und x T0 (t)   0 1 cm / s  . Die Matrizen M, C und K erweisen sich als nicht koaxial. Zur näherungsweisen Berücksichtigung der Dämpfung ist Verfahren 1 anzuwenden. Lösung: 1.) Berechnung von M 1/2 und M -1/2 0 0 1 1 M 1/2   , M -1/2     0 1,4142 0 0,7071

2.) Berechnung von Δ und Ω 2 Δ

3,0000 0,7071 1 1/2  0,2500 0,0884 , Ω 2  M 1/2  K  M 1/2   M  C  M 1/2     2  0,0884 0,0625  0,7071 0,5000

3.) Lösung des Eigenwertproblems für Ω 2  0,2546  0,9671 (Ω 2  2 I )  e  0 , 12  0,3139, 22  3,1861 , e1   , e2      0,9671  0,2546

4.) Aufbau der Eigenvektormatrix  0,2546 0,9671 T Φ Φ 0 , 9671 0 , 2546    ~ ~ 5.) Berechnung von Δ , Δ und Ω 2

~  0,0311 0,0308 Δ  ΦT  Δ  Φ   ,  0,0308 0,2814

0 0,0311 Δ 0 0,2814 

0 ~ 0,3139 Ω2  ΦT  Ω2  Φ   0 3,1861 

Zum Vergleich: Die Eigenwerte von Δ sind 1  0,0274 und  2  0,2851 . 6.) Berechnung der Matrizen S und S 1 0  0,2546 0,9671  0,2546 0,9671 1 S  M 1/2  Φ      0 0,7071  0,9671 0,2546  0,6838 0,1800

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

353

0  0,2546 1,3676  0,2546 0,9671  1  S -1  Φ T  M 1/2       0,9671 0,2546 0 1,4142  0,9671 0,3600

Abb. 14.6

Abb. 14.8

Auslenkungen [cm]

Geschwindigkeiten [cm/s]

Abb. 14.7

Abb. 14.9

7.) Berechnung der modalen Anfangsbedingungen ~  S 1  x   0,2546 1,3676  1   0,2546 q 0 0  0,9671 0,3600 0  0,9671      

Auslenkungsdifferenzen [cm]

Geschwindigkeitsdifferenzen [cm/s]

354

14 Gedämpfte Bewegungen

~  S 1  x   0,2546 1,3676  0  1,3676 q 0 0  0,9671 0,3600 1  0,3600      

8.) Lösung in Modalkoordinaten 12  0,3139 , 1  0,0311 . Wegen 12  12 liegt in dieser Modalkoordinate eine schwache q ( t )   0,2546 cos(0,5594 t )  2,4591sin(0,5594 t )e 0,0311t . Dämpfung vor: ~ 1

22  3,1861 , 2  0,2814 . Wegen 22  22 liegt auch in dieser Modalkoordinate eine q 2 ( t )  [0,9671 cos(1,7627 t )  0,0499 sin(1,7627 t )]e 0, 2814 t . schwache Dämpfung vor: ~

9.) Transformation in physikalische Koordinaten ~ ~(t)   0,00255 0,00967    q1 ( t )  x(t)  S  q  0,00967 q 2 ( t ) 0,00180 ~  0,0648 0,6260  0,0311t x(t)    cos(0,5594t )     sin(0,5594t ) e 1 , 6816 0 , 1741      0,9352  0,0482  sin(1,7627 t ) e 0, 2814 t cos(1,7627 t )       0,0090  0,1741 

Die Geschwindigkeiten erhalten wir durch Ableitung der Auslenkungen nach der Zeit t.  0,0557 0,3482  0,0311t x (t)     sin(0,5594t )  0,9352 cos(0,5594t )e  0 , 1497       1,6349  0,3482  cos(1,7627 t )e 0, 2814 t sin(1,7627 t )       0,0648  0,3043 

In Abb. 14.6 sind die Auslenkungen x1(t) und x2(t) und in Abb. 14.8 die Geschwindigkeiten x 1 ( t ) und x 2 ( t ) beider Massen m1 und m2 dargestellt. Zum Vergleich wurden die im Sinne der Theorie exakten Lösungen mit durchgezogenen und die Näherungslösungen mit gestrichelten Linien abgebildet. In Abb. 14.7 sind zur besseren Beurteilung der Näherung zusätzlich die Verschiebungsdifferenzen x k ( t )  x k ,nä  x k ,ex und in Abb. 14.9 die Geschwindigkeitsdifferenzen x k ( t )  x k , nä  x k ,ex (k = 1,2) von Näherung und exakter Lösung

aufgezeigt. Verfahren 2 Bei diesem Verfahren werden auf modaler Ebene die Dämpfungswerte direkt zugewiesen. Es wird zunächst wieder nur das ungedämpfte Problem betrachtet. Wir gehen von der transforˆ  Ω 2  pˆ  0 mit Ω 2  M 1/2  K  M 1/2 aus. Die Lösung des mierten Bewegungsgleichung p

Eigenwertproblems (Ω 2  2 I )  a  0 liefert die reellen Eigenwerte k und Eigenvektoren

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen

355

ek ( k  1,..., n ), mit denen wir die Eigenvektormatrix Φ bilden, für die Φ T  Φ 1 gilt. Mit ~ ( t ) geht dann p ~ ~0 ˆ  Ω 2  pˆ  0 über in Φ  q   Ω 2  Φ  q der Transformation pˆ ( t )  Φ  q und nach Linksmultiplikation mit Φ T unter Beachtung von Φ T  Φ  I erhalten wir die bereits bekannte Bewegungsgleichung in Modalkoordinaten ~2 ~ ~   Ω q q  0 . ~ Die Matrix Φ T  Ω 2  Φ  Ω 2  diag[2k ] ist eine Diagonalmatrix, auf deren Hauptdiagonale die Quadrate der modalen Eigenkreisfrequenzen des ungedämpften Systems stehen. Damit liegen n entkoppelte homogene Bewegungsgleichungen 2. Ordnung der Form

~ q  2 ~ k k qk  0

(k  1,..., n )

vor. Wir erweitern nun diese modalen Bewegungsgleichungen um die Dämpfungsterme. Dann lauten die entkoppelten Bewegungsgleichungen 2 ~ ~ q  2 ~  k k q k  k q k  0

(k  1,..., n )

deren Lösungen ~  q k 0 [( k   k ) exp( k t )  ( k   k ) exp( k t )]    2 k   ~ q k (t)   ~  exp( k t )  [exp( t )  exp( t )] q   k0 k k   2 k

wir sofort notieren können. Die Abklingkonstanten  k  D k k , und damit  k   2k  2k , werden nach ingenieurmäßigen Kriterien festgelegt. Es sind noch die Anfangswerte zu transformieren. Dazu benötigen wir die Matrix S  M -1/2  Φ und ihre Inverse S -1  Φ T  M 1/2 . ~ ( t )  Φ T  pˆ (t)  Φ T  M 1/2  qˆ (t)  S 1  qˆ (t) folgen die modalen AnUnter Beachtung von q ~( t ) und q ~ ( t ) be~  S 1  qˆ . Sind die Lösungen q ~  S 1  qˆ und q fangsbedingungen q 0

0

0

0

~( t ) bzw. qˆ (t)  S  q ~ ( t ) die Rücktransformation der kannt, dann erfolgt mittels qˆ (t)  S  q Bewegungsgleichungen in die physikalischen Koordinaten.

Beispiel 14-6: Zur Berechnung der Schwingerkette in Abb. 14.10 mit den Systemwerten m1  10 kg , m 2  50 kg , m3  200 kg , k1  20 kN / m , k 2  2 kN / m und k 3  10 kN / m soll das Verfahren 2 zur Anwendung kommen, indem auf modaler Ebene Dämpfungswerte zugewiesen werden. Die Anfangsbedingungen sind xT0  1cm 1cm 0 und x T0   0 1cm / s 1cm / s .

356

Abb. 14.10

14 Gedämpfte Bewegungen

Gedämpfter Dreimassenschwinger, Zuweisung von modalen Dämpfungswerten

Es ergeben sich die folgenden Systemmatrizen: 0  k1  k 2 10 0   M  0 50 0 , K    k 2     0  0 0 200

k 2 k 2  k3  k3

0   22000 2000 0   12000  10000  k 3   2000    k 3   0  10000 10000

Lösung: Wir gehen wieder in Schritten vor. 1.) Berechnung von M1/2 und M 1/2 0 0  0 0  3,162 0,3162 7,071 0  , M 1/2   0 M1/2   0 0,1414 0      0 14,142 0 0,0707  0  0

2.) Berechnung der massennormalisierten Steifigkeitsmatrix 2

Ω M

1/2

K M

1/2

89,443 0 2200,000    89,443 240,000  100,000   0  100,000 50,000 

3.) Lösung des speziellen Eigenwertproblems (Ω 2  2 I )  a  0 12  6,495 , 1  2,549 ,  22  279,422 , 2  16,716 , 32  2204,083 , 3  46,948 .

 0,9990  0,0427   0,0163  e1   0,3989, e 2   0,9159, e 3   0,0456        0,3992  0,0021  0,9169

4.) Bildung der Eigenvektormatrix 0,0427 0,9990  0,0163  Φ   0,3989 0,9159  0,0456 mit Φ T  Φ 1   0,0021  0,9169  0,3992

14.1 Freie gedämpfte Bewegungen 5.) Modale Bewegungsgleichungen für das ungedämpfte System ~ x ( t )  6,495 ~ x ( t )  279,422 ~ x1 ( t )  0 , ~ x 2 ( t )  0 , ~ x3 ( t )  2204,083 ~ x3 (t)  0 1 2

6.) Berechnung von S und S-1 0,01349 0,31589  0,00514 S  M 1/2  Φ    0,05641 0,12952  0,00645   0,00015  0,06483  0,02822 0,0514 2,8205 12,9663 S 1  Φ T  M 1/2   0,1349 6,4762  5,6456   0,0299  3,1590  0,3224

7.) Berechnung der modalen Anfangsbedingungen 0,0514 2,8205 12,9663 0 12,9663 0  1 1 ~ ~        x0  S  x 0  0,1349 6,4762  5,6456  0   5,6456 , x0  S  x 0  0         0,0299 1  0,0299  3,1590  0,3224 0

8.) Wahl der Abklingkonstanten  j  D j j

Aufgrund ingenieurmäßiger Überlegungen werden folgende Abklingkonstanten gewählt: D1  0,05

 1  D11  0,05  2,549  0,127 ,

D 2  0,10

  2  D 2 2  0,10 16,716  1,672 ,

D 3  0,05

  3  D 33  0,05  46,948  2,347 ,

9.) Modale Bewegungsgleichungen und deren Lösungen für das gedämpfte System ~ x ( t )  0,2548 ~ x 1 ( t )  6,495 ~ x1 ( t )  0 , 1 ~ x ( t )  3,3432 ~ x 2 ( t )  279,422 ~ x 2 (t)  0 , 2 ~ x ( t )  4,6948 ~ x 3 ( t )  2204,083 ~ x3 (t)  0 , 3 ~ x1 ( t )  12,9663 cos 2,545t  0,6491sin 2,545t  exp(0,127 t ) , ~ x 2 ( t )  5,6456 cos16,632 t  0,5674 sin 16,632 t  exp(1,672 t ) , ~ x 3 ( t )  0,0299 cos 46,889 t  0,0015 sin 46,889t  exp(2,347 t ) .

357

358

14 Gedämpfte Bewegungen

10.) Berechnung der Auslenkungen in physikalischen Koordinaten ( x  S  ~ x)  0,0667  0,0033    x( t )   0,7314 cos 2,545t  0,0366 sin 2,545t  exp(0,127 t )        0,8406     0,0421    0,0761  0,0077   cos16,632 t   0,0735 sin 16,632 t  exp(1,672 t )  0 , 7312         0,1594 0 , 0160         9,5 10 3   50,0 10 5      4  6   2,0 10  cos 46,889 t   9,7 10  sin 46,889 t  exp(2,347 t )  4,5 10  6    2,2 10 7      

Auf die formelmäßige Wiedergabe der Geschwindigkeiten wird verzichtet und dagegen auf Abb. 14.12 verwiesen.

Abb. 14.11

14.2

Auslenkungen [cm]

Abb. 14.12

Geschwindigkeiten [cm/s]

Erzwungene gedämpfte Bewegungen

Fassen wir die an den Massen mi angreifenden Kräfte Ki(t) ( i  1,, n ) in der Erregerkraftfunktion k T ( t )  [K1 ( t ),, K n ( t )]

(14.82)

14.2 Erzwungene gedämpfte Bewegungen

359

zusammen und betrachten Bewegungen um die statische Ruhelage, dann erhalten wir in Erweiterung zu (14.3) die inhomogene Bewegungsgleichung ˆ(t)  C  qˆ (t)  K  qˆ (t)  k(t) M q

(14.83)

Die Auslenkungen qˆ (t) werden mittels der Transformation qˆ (t)  M -1/2  pˆ ( t )

(14.84)

in pˆ ( t ) übergeführt. Einsetzen in (14.83) und Linksmultiplikation mit M 1/2 liefert ˆ(t)  2 Δ  pˆ (t)  Ω 2  pˆ (t)  kˆ (t) p

(14.85)

mit den Abkürzungen Δ

1 1/2 M  C  M 1/2 , Ω 2  M 1/2  K  M 1/2 , kˆ (t)  M 1/2  k(t) 2

(14.86)

Die Lösung von (14.85) setzt sich aus der Lösung pˆ h ( t ) der homogenen und einer partikulären Lösung pˆ p ( t ) der inhomogenen Differenzialgleichung zusammen. Mit beliebigen Konstanten c0 und c1 lautet die Lösung der homogenen Differenzialgleichung pˆ h (t)  Z 0 ( t )  c 0  Z 1 ( t )  c1

(14.87)

und die partikuläre Lösung ist t

pˆ p ( t ) 

 Z (Δ, Ω , t  )  kˆ(τ) d 1

2

(14.88)

 0

die den Anfangsbedingungen pˆ p ( t  0)  0 und pˆ p ( t  0)  0 genügt. Damit lautet die vollständige Lösung t

pˆ (t)  Z 0 ( t )  c 0  Z 1 ( t )  c1 

 Z (Δ, Ω , t  )  kˆ(τ) d 1

2

(14.89)

 0

Startet das System nicht aus der Ruhelage, dann kann mit den Konstanten c0 und c1 die Lösung an allgemeine Anfangsbedingungen angepasst werden. Beispiel 14-7: Der zweistöckige Rahmen in Abb. 14.13 wird aus der Ruhelage durch eine harmonische Kraft F2 ( t )  F0 sin 2 t beansprucht. Es sind folgende Systemwerte gegeben: m1  27000 kg , m 2  22500 kg , k1  6800 kN / m , k 2  2800 kN / m , c1  21600 kg / s , c 2  c1 . Die Lastamplitude beträgt F0  30 kN .

360

Abb. 14.13

14 Gedämpfte Bewegungen

Zweistöckiger Rahmen mit äußerer Belastung F2(t)

Lösung: Die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes auf jede Teilmasse liefert die Bewegungsgleichung M  x  C  x  K  x  k ( t ) . Nach entsprechender Normierung folgen

0   x1   0   9600 2800  43,2 21,6 27,0 M , C   21,6 21,6, K   2800 2800, x   x , k  30 sin 2 t  0 22 , 5          2 Die Matrizen M, C und K stimmen mit denjenigen aus Beispiel 14-1 überein. Dort waren 0  0  5,196 0,192  0,800 0,438 -1/2 M 1/2    , M  , Δ   0,438 0,480 0 4 , 743 0 0 , 211        355,555 113,602 Ω2     113,602 124,444

1.) Eigenwerte:

1,2  1,061  i  20,018,  3, 4  0,219  i  8,829

2.) Eigenvektoren:

 0,0553   0,0196  0,0150 0,0327 e1,2   , e 3,4    i      i  0,0221  0,0096 0,0392 0,0787

3.) Berechnung von kˆ ( t ) 0   0   0 0,192  kˆ  M 1/2  k     F ( t )  6,32 sin 2t  0 0 , 211    2   

4.) Berechnung der Matrix Z1 Da die partikuläre Lösung bereits die geforderten homogenen Anfangsbedingungen erfüllt, t

liegt mit pˆ (t) 

 Z (Δ, Ω , t  )  kˆ(τ) d 2

1

die vollständige Lösung vor. Wir benötigen also

0

4

nur die Matrix Z1  

e k 1

 k ek  ek T k

 Ω 2  e k   2k e k2

exp( k t ) . In Komponenten erhalten wir:

14.2 Erzwungene gedämpfte Bewegungen

361

Z1[1,1]  e 1,0613t  0,0009 cos(20,02 t )  0,04275 sin( 20,02 t )  e  0, 2187 t 0,0009 cos(8,83t )  0,0163 sin(8,83t ) Z1[1,2]  e 1,0613t  0,0009 cos(20,02 t )  0,0176 sin( 20,02 t )  e  0, 2187 t 0,0009 cos(8,83t )  0,0397 sin(8,83t )

Z1[2,1]  e 1,0613t  0,0009 cos(20,02 t )  0,0176 sin( 20,02 t )  e 0, 2187 t 0,0009 cos(8,83t )  0,0397 sin(8,83t ) Z1[2,2]  e 1,0613t 0,0009 cos(20,02 t )  0,0072 sin( 20,02 t )  e 0, 2187 t  0,0009 cos(8,83t )  0,0971sin(8,83t ) Die Matrix Z1 ist symmetrisch.

5.) Berechnung der partikulären Lösung t

pˆ p ( t ) 

 Z (Δ, Ω , t  )  kˆ(τ) d  1

2

0

0,0172 2,4406 cos(2 t )       sin(2t )  0,1011 7,5516   1,0613t 0,0032  0,0558 cos(20,02 t )       sin(20,02 t )e 0 , 0003 0 , 0230       0,0204 0,6793 cos(8,83t )   sin(8,83t )e 0, 2187 t       0,1014  1,6560 

Abb. 14.14

Auslenkungen [cm]

Abb. 14.15

Geschwindigkeiten [cm/s]

362

14 Gedämpfte Bewegungen

6.) Transformation in physikalische Koordinaten x( t )  M 1/2  pˆ p ( t )  0,0033 0,4697   cos(2t )     sin(2 t ) 0,0213 1,5920   0,0006  0,0107   1,0613t   5  cos(20,02 t )    sin(20,02 t )e  0,0048 6,54 10   0,0039 0,1307     sin(8,83t )e 0, 2187 t cos(8,83t )     0,3491 0,0214 

14.2.1

Transformation in ein System 1. Ordnung

Mit den Hilfsfunktionen (14.24) geht in Erweiterung zu (14.27) die inhomogene Bewegungsgleichung (14.85) mit der äußeren Kraftanregung  0  yˆ ( t )   ˆ  k ( t )

(14.90)

ˆ  zˆ (t)  yˆ ( t ) zˆ (t)  A

(14.91)

über in

Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist bereits bekannt. Wir konzentrieren uns deshalb auf das Aufsuchen eines Partikularintegrals und benutzen dazu die Methode der Variation der Konstanten. Dazu setzen wir die partikuläre Lösung ˆ t )  u( t ) zˆ p ( t )  exp( A

(14.92)

in einer zu (14.27) analogen Form an, wobei die Funktion u(t) noch zu bestimmen ist. Einsetzen von (14.92) in (14.91) erfordert

ˆ t )  y ( t )  u( t )  u ( t )  exp( A

t

 exp(Aˆ )  y() d

(14.93)

0

Dabei haben wir das unbestimmte Integral durch ein bestimmtes mit variabler oberer Grenze ersetzt. Berücksichtigen wir u(t) in (14.92), dann folgt nach Zusammenfassung ˆ t)  zˆ p ( t )  exp( A

t



ˆ )  y () d  exp( A

0

t

 exp[(Aˆ (  t)]  y() d

(14.94)

0

Sind allgemeine inhomogene Anfangsbedingungen zu erfüllen, so ist (14.94) eine Lösung der homogenen Bewegungsgleichung hinzuzufügen.

14.2 Erzwungene gedämpfte Bewegungen

14.2.2

363

Entkopplung der Bewegungsgleichungen

Nach Kap. 14.1.2 gelingt eine Entkoppelung der Bewegungsgleichung (14.83) immer dann, wenn die Matrizen M, C, und K koaxial sind, was wir im Folgenden unterstellen wollen. Wir beginnen unsere Untersuchungen mit der Lösung der beiden Eigenwertprobleme (14.43), die uns die reellen Eigenwerte  k bzw. 2k sowie die reellen Eigenvektoren eˆ k (k  1,..., n ) liefern. Mit diesen Eigenvektoren bilden wir die orthonormale Eigenvektormatrix Φ und ~(t) die Modalkoordinaten q ~(t) ein. Nach Linksmultiplikation mit führen mit pˆ (t)  Φ  q Φ T  Φ 1 folgt

~ ~ (t)  Φ T  Ω 2  Φ  q ~(t)  Φ T  kˆ (t)  Φ T  M 1/2  k ( t ) (t)  2 Φ T  Δ  Φ  q q

Mit den Abkürzungen ~ ~ ~ Δ  Φ T  Δ  Φ  diag[ k ] , Ω 2  Φ T  Ω 2  Φ  diag[2k ] , k ( t )  Φ T  M 1/2  k ( t ) erhalten wir ~ ~ ~ ~ ~ ~(t)  2 Δ q  q(t)  Ω 2  q (t)  k(t)

(14.95)

Damit liegen n entkoppelte inhomogene Differenzialgleichungen 2. Ordnung der Form ~ ~ qk  2 k ~ q k  2k ~ q k  k k ( t ) (k  1,, n )

(14.96)

vor. Die vollständige Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Differenzialgleichung (Index h) ~  q k 0 [( k   k ) exp( k t )  ( k   k ) exp( k t )]    2 k   ~ q k ,h ( t )   ~  exp( k t )  (exp( t )  exp( t )) q  k0  k k   2 k und einer partikulären Lösung (Index p) 1 ~ qk , p (t )  2 k

t

 exp[(t  )(

k

~   k )]  exp[( t  )( k   k )] k k () d

0

der inhomogenen Differenzialgleichung zusammen. Zur vollständigen Lösung des Anfangswertproblems benötigen wir noch die modalen Anfangsbedingungen. Mit den Matrizen S  M 1/2  Φ und S 1  Φ T  M 1/2 können wir diese in der vektoriellen Form ~  S 1  qˆ , q 0 0

~  S 1  qˆ q 0 0

notieren. Liegt die Lösung in Modalkoordinaten vor, dann erfolgt mit

(14.97)

364

14 Gedämpfte Bewegungen ~(t) , qˆ (t)  S  q

~ (t) qˆ (t)  S  q

(14.98)

die Rücktransformation in physikalische Koordinaten. Beispiel 14-8: Wir betrachten wieder den zweistöckigen Rahmen nach Abb. 14.13 mit der harmonischen Kraft F2 ( t )  F0 sin 2 t am oberen Riegel sowie: m1  27000 kg , m 2  22500 kg , k1  6800000 kg / s 2 , k 2  2800000 kg / s 2 ,

c1  68000 kg / s , c 2  28000 kg / s . Die Lastamplitude beträgt F0  30 kN .

Lösung: Nach entsprechender Normierung erhalten wir 0  27  96 28  9600 2800 M , C , K   , F2 ( t )  3000 sin 2 t .  0 22,5  28 28  2800 2800

Hier liegt offensichtlich der Fall der steifigkeitsproportionalen Dämpfung mit   0,01 vor. 1.) Berechnung von M1/2 und M -1/2 0 0 5,1962 0,1925 1/2 M 1/2    , M  0 0 , 2108 0 4 , 7434    

2.) Berechnung von Δ und Ω 2  1,7778 0,5680  355,5555 113,6017  2 Δ  , Ω   113,6017 124,4444 0 , 5680 0 , 6222     

Mit Δ  Ω 2  Ω 2  Δ erweisen sich die Matrizen Δ und Ω 2 als koaxial. 3.) Lösung des Eigenwertproblems für Δ  0,3787  0,9255 , e 2   0,3787   0 , 9255    

Δ  I   e  0 , 1  0,3898 ,  2  2,0102 , e1   4.) Berechnung der Eigenwerte von Ω 2 (Ω 2   2 I )  e  0 , 12  77,9555, 22  402,0446

Die reellen Eigenvektoren von Δ sind identisch mit denen von Ω 2 . Die Eigenkreisfrequenzen ergeben sich zu 1  8,829, 2  20,051 .

14.2 Erzwungene gedämpfte Bewegungen

365

5.) Aufbau der Eigenvektormatrix  0,3787 0,9255 T Φ Φ  0,9255 0,3787

6.) Berechnungen der modalen Erregerkräfte ~ k ( t )  Φ T  M 1/2  k ( t ) 0  0   585,34 sin 2 t   0,3787  0,9255 0,1925    3000 sin 2 t    239,54 sin 2 t   0 , 9255 0 , 3787 0 0 , 2108          7.) Berechnung der Matrizen S und S 1  0,00255 0,00967   25,4570 136,7621 S  M 1/2  Φ   , S -1  Φ T  M 1/2    36,0016 0,00180  0,00967  96,7054

8.) Berechnung der modalen Anfangsbedingungen Wegen x 0  0 und x 0  0 verbleiben nur die Partikularintegrale, die dann die vollständige Lösung darstellen. 9.) Lösung der modalen Bewegungsgleichungen 12  77,9555 , 12  0,1519 . Wegen 12  12 liegt in dieser Modalkoordinate eine schwache

Dämpfung vor: 1  i1 , 1  12  12  8,8206 . 1 ~ q1, p ( t )  21

t

~

 exp[(t  )(   )]  exp[(t  )(   )] k () d 1

1

1

1

1

0

 exp(0,39 t )[1,7864 sin(8,821t )  0,1668 cos(8,821t )]  7,9112 sin(2 t )  0,1668 cos(2 t )] 22  20,0510 ,  22  4,0410 . Wegen  22   22 liegt auch in dieser Modalkoordinate eine

schwache Dämpfung vor:  2  i 2 , 2  22   22  19,95 .

1 ~ q 2, p ( t )  2 2

t

 exp[(t  )(

2

~   2 )]  exp[( t  )( 2   2 )] k 2 () d

0

 exp( 2,01t )[0,0591 sin(19,95t )  0,0122 cos(19,95t )]  0,6015 sin( 2 t )  0,0122 cos(2 t )]

366

14 Gedämpfte Bewegungen

10). Transformation in physikalische Koordinaten ~ (t)  0,4695 sin( 2t )  0,0100 cos(2t )  x(t)  S  q p 1,5916  0,0335      0 , 0 , 1302    0122  sin(8,82 t )      cos(8,82 t ) exp(0,39 t )   0 , 0325 0 , 3486       0,0105  0,0022  cos(19,95t ) exp(2,01t ) sin(19,95t )       0,0010  0,0047 

Die Geschwindigkeiten folgen aus den Verschiebungen durch Ableitung nach der Zeit t. Wir verzichten auf deren explizite Angabe und verweisen auf Abb. 14.17.

Abb. 14.16

14.2.3

Auslenkungen [cm]

Abb. 14.17

Geschwindigkeiten [cm/s]

Periodische Erregerbelastungen

Handelt es sich bei den Erregerbelastungen k(t) speziell um periodische Beanspruchungen mit der Periode TE  2 / E , dann können diese nach Fourier durch Überlagerung periodischer Funktionen mit derselben Periode angenähert werden, also 

k (t) 

 k 1



k k (t) 

 (a

k

cos Ek t  b k sin Ek t ) , Ek  kE  k

k 1

2 TE

(14.99)

und damit kˆ ( t )  M 1/2  k ( t ) 



 (aˆ k 1

k

cos Ek t  bˆ k sin Ek t ) ( k  1,...,  )

(14.100)

14.2 Erzwungene gedämpfte Bewegungen

367

Die Fourierkoeffizienten aˆ k  M 1/2  a k , bˆ k  M 1/2  b k

(14.101)

ermitteln wir wie folgt aˆ k 

2 TE

 kˆ (t) cos 

Ek t

( TE )

2 dt , bˆ k  TE

 kˆ (t) sin 

Ek t

dt

(14.102)

( TE )

Zur Beschaffung einer partikulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung ˆ (t)  2 Δ  pˆ (t)  Ω 2  pˆ (t)  kˆ ( t ) p p p p

ersetzen wir zunächst die rechte Seite durch (14.100), also

ˆ (t)  2 Δ  pˆ (t)  Ω 2  pˆ (t)  p p p p



 (aˆ

k

cos Ek t  bˆ k sin Ek t )

(14.103)

k 1

und machen mit 

pˆ p (t) 

 k 1



pˆ pk ( t ) 

 (aˆ

pk

cos Ek t  bˆ pk sin Ek t )

(14.104)

k 1

einen gleichartigen Ansatz für die gesuchte Funktion pˆ p (t) . Setzen wir diesen Ansatz in (14.103) ein, dann erhalten wir nach Zusammenfassung

(Ω 2  2Ek I)  aˆ pk  2Ek Δ  bˆ pk  aˆ k  cos Ek t  (Ω 2  2Ek I)  bˆ pk  2Ek Δ  aˆ pk  bˆ k  sin Ek t  0 Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der trigonometrischen Funktionen kann die obige Gleichung nur dann bestehen, wenn die Ausdrücke in den eckigen Klammern je für sich verschwinden. Das erfordert aˆ k  (Ω 2  2Ek I )  aˆ pk  2Ek Δ  bˆ pk bˆ k  (Ω 2  2Ek I )  bˆ pk  2Ek Δ  aˆ pk und aufgelöst nach aˆ pk und bˆ pk

 1  aˆ k  2Ek Δ  (Ω 2  2Ek I) 1  bˆ k  1 bˆ pk  Ω 2  2Ek I  42Ek Δ  (Ω 2  2Ek I ) 1  Δ  bˆ k  2Ek Δ  (Ω 2  2Ek I ) 1  aˆ k 

aˆ pk  Ω 2  2Ek I  42Ek Δ  (Ω 2  2Ek I) 1  Δ

368

14 Gedämpfte Bewegungen

Die vollständige Lösung ist dann pˆ (t)  Z 0 ( t )  c0  Z1 ( t )  c1  pˆ p ( t )

(14.105)

 (t)  c  Z  ( t )  c  pˆ ( t ) pˆ (t)  Z 0 0 1 1 p

mit Z0 und Z1 nach (14.21) und pˆ p (t) 





pˆ pk ( t ) 

k 1





ˆ pk Ek ( a

sin Ek t  bˆ pk cos Ek t )

k 1

Die partikulären Lösungen (14.104) nehmen zum Zeitpunkt t = 0 folgende Werte an 

pˆ p0  pˆ p (t  0) 



aˆ pk , pˆ p0  pˆ p (t  0) 

k 1





ˆ

Ek b pk

k 1

Durch spezielle Wahl der beiden Konstanten c0 und c1 können nun beliebige Anfangsbedingungen erfüllt werden

pˆ 0  pˆ (t  0)  c0  pˆ p0

 c0  pˆ 0  pˆ p0

pˆ 0  pˆ (t  0)  c1  pˆ p0

 c1  pˆ 0  pˆ p0

Überschaubarer wird das Problem, wenn die Matrizen Δ und Ω 2 koaxial sind. Wir beschaffen uns dazu eine partikuläre Lösung der Differenzialgleichung ~ ~ ~ ~ ~ ~  2 Δ q  qp  Ω 2  q p p k

Damit liegen n entkoppelte inhomogene Differenzialgleichungen 2. Ordnung der Form ~ 2~ ~ q  2 ~  pj j q pj   j q pj  k j

( j  1,, n )

(14.106)

vor. Zur Lösung der obigen Gleichungen setzen wir für die rechte Seite ~ k j (t ) 



 (~a

k , j cos Ek t 

k 1

~ Ak, j 

~ bk , j sin Ek t ) 



~

A

k , j (cos Ek t  Ek , j )

k 1

(14.107)

~ ~ bk , j ak, j ~ ~ a k2, j  bk2, j , sin Ek , j  ~ , cos Ek , j  ~ Ak, j Ak, j

und für die Bewegung ~ q pj ( t ) machen wir den gleichartigen Ansatz ~ q pj(t) 



 k 1

~ (~ a pk,j cos ωEk t  bpk,j sin ωEk t) 



~

A k 1

pk,j cos (ω Ek t  Ek , j

 k , j)

~ bpk,j ~2 ~ 2 A pk,j  ~ a pk  b , sin(     )  , cos(Ek , j  k , j )  ~ ,j pk , j Ek , j k, j A pk,j

~ bpk,j ~ A pk,j

(14.108)

14.2 Erzwungene gedämpfte Bewegungen

369

Ein Koeffizientenvergleich in den trigonometrischen Funktionen und die anschließende Auf~ lösung nach ~ a pk , j und bpk , j führt mit k , j  Ek  j auf ~ 2 ~ 1 (1  k , j ) a k , j  2( j /  j )k , j bk , j ~ , a pk , j  2  j (1  2k , j ) 2  (2 j /  j ) 2 2k , j 2 ~ ~ ~ 1 (1  k , j ) bk , j  2( j /  j )k , j a k , j bpk , j  2  j (1  2k , j ) 2  (2 j /  j ) 2 2k , j

(14.109)

~ Der Zusammenhang zwischen der Bewegungsamplitude A pk , j und der Belastungsamplitude ~ ~ ~ ~ A pk , j  A k , j Vk , j in der Form A pk , j  A k , j Vk , j , wird durch die Vergrößerungsfunktion Vk , j  V( j ,  j , Ek ) 

1 2j

(1  2k , j ) 2

 ( 2D j  k , j ) 2

( D j   j / j )

beschrieben. Der Phasenverschiebungswinkel  k , j , um den die Teilharmonische der Be~ wegung der entsprechenden Erregerbelastung A pk,j cos (ωEk t  Ek , j  k , j) ~ A k , j (cos Ek t  Ek , j ) nachläuft, errechnet sich zu tan  k , j 

2D j  k , j 1  2k , j

(14.110)

Hinweis: Bei Annäherung der Erregerkreisfrequenz Ek an die Eigenkreisfrequenz  j wird k , j  Ek  j  1 . Die Vergrößerungsfunktion Vk , j wächst in diesem Fall rasch an. Wie wir

bereits wissen, tritt die sich dabei einstellende Resonanz nur bei schwacher Dämpfung deutlich in Erscheinung. Ob alle möglichen Resonanzsituationen auch tatsächlich eintreten, hängt entscheidend von den Erregerbelastungen ab. Zur Erfüllung allgemeiner Anfangsbedingungen ist dem Partikularintegral eine Lösung der homogenen Differenzialgleichung hinzuzufügen. Anschließend erfolgt in bekannter Weise die Rücktransformation in die physikalischen Koordinaten. Beispiel 14-9:

Wir betrachten wieder den zweistöckigen Rahmen nach Abb. 14.13 mit der am oberen Riegel angreifenden harmonischen Kraft F2 ( t )  F0 sin 2 t und beschränken uns auf die Beschaffung der stationären Lösung. Die Systemwerte entnehmen wir Beispiel 14-8 und beginnen mit den dort erzielten Ergebnissen bei

370

14 Gedämpfte Bewegungen

6.) Berechnung der modalen Erregerkräfte

~ k ( t )  Φ T  M 1/2  k ( t ) 0  0  0,3787  0,9255 0,1925   585,34 sin 2 t        0,3787  0 0,2108 3000 sin 2 t   239,54 sin 2 t    0,9255 ~ ~ und damit k1 ( t )  585,34 sin 2 t , k 2 ( t )  239,54 sin 2 t . Von der Summe in (14.107) verbleibt nur der Term mit k  1 . Die Fourierkoeffizienten können direkt abgelesen werden: ~ ~ ~ a1,1  0, b1,1  585,34, ~ a1, 2  0, b1, 2  239,54 .

7.) Ermittlung der partikulären Lösung 1  0,3898 , 1  8,8292 , D1  1 / 1  0,044 , E1  2 s 1 , 1,1  E1 / 1  0,2265 ~ ~ (1  12, j ) b1,1  2D11,1b1,1 ~ 1 1 ~ a p1,1  2 0 , 1668 , b    7,9112 p1,1 12 (1  12,1 ) 2  (2D11,1 ) 2 1 (1  12,1 ) 2  (2D11,1 ) 2

 2  2,0102 , 2  20,0510 , D 2   2 / 2  0,100 , E1  2 s 1 , 1, 2  E1 / 2  0,09975 ~ ~  2D 21, 2 b1, 2 (1  12, 2 ) b1, 2 ~ 1 1 ~ a p1, 2  2 0 , 0122 , b     0,6015 p1, 2 2 (1  12, 2 ) 2  (2D 21, 2 ) 2 22 (1  12, 2 ) 2  (2D 21, 2 ) 2

Mit (14.106) folgt dann die partikuläre Lösung in Modalkoordinaten ~ ~ qp1(t)  ~ a p1,1 cos ωEk t  bp1,1 sin ωE1t  0,1668 cos 2 t  7,9112 sin 2 t ~ ~ q (t)  ~ a cos ω t  b sin ω t  0,0122 cos 2t  0,6015 sin 2 t p2

p1, 2

Ek

p1, 2

E1

oder in Vektorschreibweise: ~ (t)   0,1668 cos 2 t  7,9112 sin 2t q p  0,0122  0,6015    

~ (t)  0,3336 sin 2t  15,8226 cos 2 t q p  1,2031  0,0243    

Wie leicht nachgeprüft werden kann, erfüllen die Lösungen ~ q p1(t) und ~ q p 2 (t) die inhomogene Differenzialgleichung (14.106). Sie genügen den Anfangsbedingungen ~  q ~ (t  0)  15,8226 ~ q ~ (t  0)   0,1668 , q q p0 p p0 p  0,0122  1,2031    

14.3 Schwingerketten

371

8.) Transformation in physikalische Koordinaten ~ (t)  0,4695 sin( 2 t )  0,0100 cos(2 t ) x p (t)  S  q p 0,0335 1,5916     

Die Geschwindigkeiten folgen aus den Verschiebungen durch Ableitung nach der Zeit t.

14.3

Schwingerketten

Als Schwingerkette wird ein System bezeichnet, das aus einer Reihenschaltung gleichartiger Elemente besteht. Abb. 14.18 zeigt ein solches Element, bestehend aus einer geradlinig bewegten Masse mi, die an eine Feder (Federkonstante ki) und einen Dämpfer (Dämpferkonstante ci) gekoppelt ist, wobei Feder und Abb. 14.18 Element einer Schwingerkette Dämpfer parallel geschaltet sind (Kelvin-Material). Die Länge des entspannten Elementes ist i. Die Elementgrenzen heißen Knoten, hier mit i und i  1 bezeichnet. Die Knoten sind masselos. An ihnen greifen die äußeren eingeprägten Kräfte Fi(t) an. Im Rahmen einer Modellbildung sind andersartig vorgegebene Belastungen konsistent auf die Knoten zu verteilen. Der Knoten und das links vom Knoten liegende Element haben denselben Index i. Werden nun mehrere dieser Elemente kettenähnlich verbunden, dann ergibt sich ein System nach Abb. 14.19. Solche Systeme besitzen eine große baupraktische Bedeutung.

Abb. 14.19

Schwingerkette, bestehend aus drei gleichartigen Elementen

Um die mechanischen Zusammenhänge zwischen den einzelnen Elementen aufzudecken, beschaffen wir uns die Bewegungsgleichung für eine innerhalb der Kette liegende Masse mi.

Abb. 14.20

Freigeschnittene Masse mi

Abb. 14.21

Dämpfer mit festem Fußpunkt

372

14 Gedämpfte Bewegungen

Wir schneiden dazu gedanklich die Masse aus der Kette heraus und bringen dann die Schnittlasten als äußere Kräfte an (Abb. 14.20). Die Bezugslage für die Knotenverschiebung xi ist die entspannte Systemlage. Notieren wir für dieses Teilsystem das Newtonsche Grundgesetz, dann folgt m i x i  (FF,i  FD,i )  FF,i 1  FD,i 1  Fi

Unter Beachtung der Werkstoffgesetze ergeben sich die Schnittgrößen zu FF,i  k i ( x i  x i 1 ) , FD,i  c i ( x i  x i 1 ) ,

FF,i 1  k i 1 ( x i 1  x i ) , FD,i 1  c i 1 ( x i 1  x i ) , was zur Knotengleichung m i x i  k i (x i  x i 1 )  c i ( x i  x i 1 )  k i 1 ( x i 1  x i )  c i 1 ( x i 1  x i )  Fi

(14.111)

führt. Wirkt der Dämpfer ci gegen einen raumfesten Punkt (Abb. 14.21), dann verbleibt m i x i  k i (x i  x i 1 )  c i x i  k i 1( x i 1  x i )  c i 1( x i 1  x i )  Fi

(14.112)

Die auf der rechten Seite in (14.111) stehenden Feder- und Dämpferkräfte resultieren aus den Relativverschiebungen der links ( i  1 ) und rechts ( i  1 ) angrenzenden Knoten. Die Schnittlastgrößen lassen sich also berechnen, wenn die Zustandsgrößen x und x vom Nachfolgerund Vorgängerelement bekannt sind. Gleichung (14.111) ist nun für jeden Knoten anzuschreiben. Das führt auf das gekoppelte Gleichungssystem m1x1  k1 (x1  x 0 )  c1 ( x 1  x 0 )  k 2 ( x 2  x1 )  c 2 ( x 2  x 1 )  F1 m 2 x 2  k 2 (x 2  x1 )  c 2 ( x 2  x 1 )  k 3 ( x 3  x 2 )  c 3 ( x 3  x 2 )  F2 

(14.113)

m n x n  k n (x n  x n 1 )  c n ( x n  x n 1 )  Fn

Die in der ersten Gleichung stehenden Zustandsgrößen x 0 und x 0 können sofort eliminiert werden. Sind nämlich die Anfangsbedingungen mit x 0  u 0 und x 0  v 0 vorgegeben, dann sind diese bekannt und müssen deshalb auch nicht mehr berechnet werden. Wir schlagen sie der rechten Seite zu und erhalten m1x1  k1x1  c1 x 1  k 2 ( x 2  x1 )  c 2 ( x 2  x 1 )  F1  k1u 0  c1 v 0

Ist der Knoten frei gelagert, dann sind FF,1  0 und FD,1  0 und es verbleibt m1x1  k 2 ( x 2  x1 )  c 2 ( x 2  x 1 )  F1

Für den rechten Rand gilt folgendes: Sind x n  u n und x n  v n vorgegeben, dann ist m n x n  k n x n 1  c n x n 1  Fn  k n u n  c n v n

14.3 Schwingerketten

373

Hinweis: Für den Fall, dass innerhalb der Kette Knotenverschiebungen und/oder Knotengeschwindigkeiten vorgegeben sind, ist der Belastungs- und Verschiebungszustand entsprechend zu reduzieren. Das erfordert eine geschickte Umsortierung des Gleichungssystems, worauf hier nicht näher eingegangen wird. Für den weiteren Rechengang führen wir folgende Vektoren und Matrizen ein Knotenverschiebungsvektor:

x T  x1

x2  xn 

Knotenlastvektor:

F T  F1 F2  Fn 

Massenmatrix:

M  diagm1 m 2  m n 

Dämpfungsmatrix:

c1  c 2  c 2  C 0     0

Steifigkeitsmatrix:

k1  k 2  k 2  K 0     0

c 2 c 2  c3

0  c3

 c3  0

c3  c 4  0

k 2 k 2  k3  k3  0

0  k3 k3  k4  0

0 0   0     c n   

 0  0   0      k n 

Die Massenmatrix stellt eine Diagonalmatrix dar, und Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrix sind symmetrische Tridiagonalmatrizen. Damit können wir statt (14.113) auch symbolisch M  x  C  x  K  x  F

(14.114)

schreiben. Eine sehr allgemeine Darstellung der Wirkungsweise des Elementes in Abb. 14.18 erhalten wir, wenn wir den mechanischen Sachverhalt in einer black box (Abb. 14.22) verschwinden lassen und links und rechts jeweils einen Ein- bzw. Ausgang zur Verfügung stellen. Das von links einlaufende Signal E heißt Eingangssignal und das aus der Box auslaufende Signal A wird Ausgangssignal genannt.

Abb. 14.22

1

Black Box

Kommerzielle grafische Simulationssysteme1 gestatten die Abbildung von Bewegungsgleichungen in Form von Blockschaltbildern, die dann unmittelbar zur nummerischen Simulation verwendet werden können. Um die Erstellung eines solchen Blocks für ein Feder-Masse-Dämpfer-System (FMDBlock) entsprechend Abb. 14.18 aufzuzeigen, sind einige Vorarbeiten erforderlich. Zunächst fassen wir die aus dem Nachfol-

etwa MATLAB®/Simulink® oder MapleSim®

374

14 Gedämpfte Bewegungen

gerelement (Abb. 14.20) kommenden Schnittkräfte zur resultierenden Kraft R i 1  FF,i 1  FD,i 1  k i 1( x i 1  x i )  ci 1( x i 1  x i )

(14.115)

zusammen. Damit geht (14.111) über in x i 

Abb. 14.23

1 [(FF,i  FD,i )  R i 1  Fi ] mi

(14.116)

Blockschaltbild, FMD-Elemente

Um nun (14.116) integrieren zu können, sind an den Block mit dem Index i folgende Größen zu übergeben: 1.) Die resultierende Kraft Ri+1 des Nachfolgerblocks (engl. successor) 2.) Die Zustandsgrößen x i 1 und x i 1 des Vorgängerblocks (engl. predecessor) zur Berechnung der Kräfte FF,i  k i ( x i  x i 1 ) und FD,i  c i ( x i  x i 1 ) und 3.) Die äußere eingeprägte Knotenkraft Fi.

Abb. 14.24

Belegung der Ein- und Ausgabeports für den FMD-Block

In einem Blockschaltbild würde sich dieser Sachverhalt wie in Abb. 14.23 darstellen. Mit diesen Informationen können innerhalb des Blocks mit dem Index i die Zustandsgrößen x i

14.3 Schwingerketten

375

und x i berechnet und an den Nachfolgerblock weitergegeben werden. In Abb. 14.24 ist eine mögliche Belegung der Ein- und Ausgabeports für den FMD-Block dargestellt1.

Abb. 14.25

Schaltbild für den Block FMD in Abb. 14.24

Eingabe: E1

Vektor(3)

E2 E3

Skalar Vektor(4)

1

E1(1) Verschiebung des Vorgängers E1(2) Geschwindigkeit des Vorgängers E1(3) nicht belegt Äußere Erregerkraft Rückführung der Daten des Nachfolgerblocks E3(1) Feder- und Dämpferkraft E3(2) Federkonstante E3(3) Dämpferkonstante E3(4) Masse

s.h. Handbuch MECHMACS der Fa. Bausch-Gall GmbH München

376

14 Gedämpfte Bewegungen

Ausgabe: A1

Vektor(3)

A1(1) Verschiebung der Masse A1(2) Geschwindigkeit der Masse A1(3) Beschleunigung der Masse A2 Skalar Federkraft A3 Vektor(4) A3(1) Feder- und Dämpferkraft A3(2) Federkonstante A3(3) Dämpferkonstante A3(4) Masse Über eine zusätzliche Eingabemaske können die erforderlichen Parameter (k: Federkonstante, c: Dämpferkonstante, m: Masse, x0: Anfangsauslenkung, v0: Anfangsgeschwindigkeit) für den aktuellen Block festgelegt werden. Unter der Maske enthält der FMD-Block aus Abb. 14.24 das in Abb. 14.25 dargestellte Schaltbild. Über einen Schalter (switch) kann auch die Wirkung des Dämpfers gegen einen raumfesten Punkt behandelt werden.

Abb. 14.26

Dreistöckiger Rahmen mit Blockschaltbild

Dieser einmal programmierte Block ist dann in vielfältiger Weise verwendbar. Abb. 14.26 zeigt als Beispiel einen dreistöckigen Rahmen, der im oberen Stockwerk durch die Kraft F3(t) zu Schwingungen angeregt wird. Rechts daneben befindet sich das zugehörige Blockschaltbild.

15

Schwingungsabsorption

Die zuvor behandelten Maßnahmen zur Schwingungs- oder auch Stoßisolation dienten hauptsächlich der Minderung der auftretenden Lagerkräfte. Eine weitere Möglichkeit, Systeme vor unerwünschten Schwingungen zu schützen, und insbesondere die Verschiebungswege zu minimieren, besteht in der Anbringung eines Absorbers an die Hauptkonstruktion. Ein Absorber ist ein schwingungsfähiges Zusatzsystem, das im einfachsten Fall aus einem Feder-Masse-System besteht. Wir sprechen in diesem Fall von einem einfachen Tilger. Enthält der Absorber zusätzlich einen Dämpfer, dann wird dieses Zusatzsystem auch Schwingungsdämpfer genannt. Bei den hier vorgestellten Absorbern handelt es sich um passive Systeme, zu deren Aktivierung Schwingungen der Absorbermasse erforderlich sind. Die Methoden der aktiven Schwingungskontrolle werden hier nicht behandelt. Durch Optimierung des Absorbers kann die Hauptkonstruktion erheblich beruhigt oder bei spezieller Beanspruchung sogar vollständig unterdrückt und damit gänzlich getilgt werden. Das Prinzip der Schwingungsabsorption wird vorwiegend bei schlanken und weichen Konstruktionen wie Brücken, Stegen, Bühnen, freitragenden Treppen oder Stadiondächern aber auch bei schlanken hohen Bauten, beispielsweise Schornsteinen, Sendemasten und Fernsehtürmen, angewandt. Aufgrund ihrer besonderen Bauweise besitzen diese Bauwerke in der Regel niedrige Eigenfrequenzen und eine geringe Dämpfung.

15.1

Abb. 15.1

Der Tilger

Der einfache Tilger

378

15 Schwingungsabsorption

Ein Absorber, der nur aus einem Feder-Masse-System besteht, wird Tilger genannt. Zur Erläuterung des Prinzips der Schwingungstilgung betrachten wir das Hauptsystem (Abb. 15.1, links) mit einer Masse m, die über zwei Federn (Federsteifigkeiten k/2) abgestützt ist. Das System wird durch eine harmonische Kraft F( t )  F0 cos t mit der Erregerkreisfrequenz  zu harmonischen Schwingungen angeregt. Das Hauptsystem besitzt die Eigenkreisfrequenz   k / m und die partikuläre Lösung x p ( t )  A cos t mit der Konstanten A  x 0 /(1  2 ) , wobei x 0  F0 / k die statische Auslenkung der Masse m unter der kon-

stanten Last F0 und    /    / k m die Abstimmung des Hauptsystems bezeichnet. Im Fall   1 tritt Resonanz auf. Das Vermeiden dieser Resonanzstelle geschieht durch Hinzufügen eines einfachen Tilgers (Abb. 15.1, rechts).

Abb. 15.2

Der einfache Tilger, freigeschnittenes System

Der einfache Tilger besteht aus einer Feder mit der Federsteifigkeit ka und einer Tilgermasse ma (Abb. 15.2). Wir beschaffen uns zunächst die Bewegungsgleichungen. Die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes auf die freigeschnittene Hauptmasse m und die Tilgermasse ma liefert, wenn wir x und xa aus den entspannten Federlagen messen, mx  F  mg  kx  k a ( x a  x ) m a x a  m a g  k a ( x a  x )

(15.1)

Führen wir die Abkürzungen 2 

k k  ka m , 2a  a  a2 ,   a m ma m

ein, dann können wir (15.1) auch in Matrizenschreibweise 2 1 0  x      0  x     a   2a 

oder symbolisch in der Form

 2a   x  F( t ) / m   g        2a   x a   0  g 

(15.2)

15.1 Der Tilger

379

M  x  K  x  f  g

(15.3)

mit  2 x  1 0  x   , M   ,K   2 0   x a    a

 2a  F( t ) / m   g ,f  , g  g  2 0  a     

(15.4)

notieren. Den Totlastvektor g bringen wir durch die Koordinatentransformation x  x st  xˆ mit m  ma   g   x st  k 1 x st   K g      m  ma ma    x a ,st    g  k a    k

(15.5)

zum Verschwinden. Die Bewegungsgleichung (15.3) geht dann über in M  xˆ  K  xˆ  f

(15.6)

Dieses gewöhnliche inhomogene Differenzialgleichungssystem 2. Ordnung setzt sich zusammen aus der Lösung xˆ h der homogenen und einem Partikularintegral der inhomogenen Differenzialgleichung. Wir beschränken uns im Folgenden auf die Bereitstellung der partikulären Lösung. Mit dem Verschiebungsansatz ˆ  V  xˆ p  ˆ xˆ p ( t )    V cos t    cos t  ˆ   xˆ a ,p  V a

 xˆp ( t )   2 xˆ p ( t )

folgt aus (15.6) 2 ˆ cos t  fˆ cos t mit fˆ   x 0 k / m    x 0   und 2  k . (K   2 M )  V   0   m    0 

Diese Gleichung ist für alle Zeiten t nur dann erfüllt, wenn 2 2 2 ˆ  (K   2M ) 1  fˆ   x 0  a    V   D  2a 

(15.7)

gilt, wobei abkürzend D  (2   2 )(2a   2 )  4a  ( 2  12 )( 2   22 )

(15.8)

gesetzt wurde. In (15.8) sind 12  1 2 2 2 2 2 4   [(   a )  (   a )  4a ] 2 2 2 

(15.9)

380

15 Schwingungsabsorption

die Nullstellen von D. Mit den Abkürzungen

1 

2 2 1  , 2  2 ,  2  a2  a2    

(15.10)

können wir für (15.8) auch D   4 [(1  2 )( 2   2 )   2  2 ]   4 ( 2  12 )( 2  22 )

(15.11)

schreiben, womit dann abschließend aus (15.7) die bezogenen Amplitudenfunktionen ˆ  2  2  2  2 ~ V V   x 0 (1  2 )( 2  2 )   2  2 ( 2  12 )( 2  22 ) ˆ V ~ 2 2 Va  a   x 0 (1  2 )( 2   2 )   2  2 ( 2  12 )( 2  22 )

(15.12)

folgen.

Abb. 15.3

~ ~ Amplitudenfunktionen V und Va

Abb. 15.4

~ Amplitudenfunktion Va

~ ~ In Abb. 15.3 sind V und Va in Abhängigkeit von  dargestellt. Es können folgende Sachverhalte festgestellt werden:

1.) Aufgrund des zusätzlichen Freiheitsgrades besitzt das System mit 1 und 2 nun zwei Eigenkreisfrequenzen und damit auch zwei Resonanzstellen. In der Umgebung von   1 schwingen beide Massen in Phase, da dort die Amplitudenfunktionen dasselbe Vorzeichen ~ ~ besitzen und in der Nähe von    2 in Gegenphase, denn V und Va haben hier unterschiedliche Vorzeichen.

15.1 Der Tilger

381

2.) Beide Amplitudenfunktionen starten bei   0 mit dem Funktionswert eins und einer horizontalen Tangente. Für    nähern sich beide Funktionen asymptotisch dem Wert null. 3.) Für  2  2 oder 2a  k a / m a   2 und damit k a  m a  2  2 k

(15.13)

folgt aus (15.12) 1 ~ ~ V  0, Va   2 

(15.14)

~ Die Amplitude V wird in diesem Fall offensichtlich vollständig getilgt. Das passiert immer dann, wenn die Erregerkreisfrequenz  mit der Eigenkreisfrequenz a des Tilgersystems übereinstimmt. Die Hauptmasse bleibt dabei in vollständiger Ruhe, und genau dieser Effekt wird zur Konstruktion von Schwingungstilgern genutzt. Die Amplitudenfunktion ~ Va  1 /(2 ) kann für das Massenverhältnis   0,25 Abb. 15.4 entnommen werden. Für die stationäre Bewegung der Tilgermasse folgt dann ˆ cos t   x a ,p  V a

F0 k cos t   x 0 cos t ka ka

(15.15)

Von praktischem Interesse ist nun derjenige Fall, bei dem das Hauptsystem mit der Erregung in Resonanz ist und nachträglich ein Tilger eingebaut werden soll. Dann ist   1 und mit (15.13) folgt einerseits die Tilgersteifigkeit k a  k

(15.16)

und andererseits mit (15.14) die bezogene Amplitudenfunktion der Tilgermasse ˆ V 1 ~ Va  a   x0 

(15.17)

Da sich die Hauptmasse in Ruhe befindet, muss die auf sie einwirkende resultierende Kraft R verschwinden, was mit R  F( t )  mg  kx  k a ( x a  x )  0 (s.h. Abb. 15.2) leicht nachgewiesen werden kann. Eine sinnvolle Annahme zur Tilgerbemessung ist die Beschränkung der Amplitudenfunktion ~ ~ ~ V auf Werte V  1 . Aus (15.12) erhalten wir mit der Forderung V  1 die hier interessierenden Bereichsgrenzen

382

15 Schwingungsabsorption

1 (, ) 

2 2   2 (1  )  4[1   2 (1  )]   4 (1  ) 2 2

(15.18)

2 (, )   1  

und insbesondere folgt für   1 (Abb. 15.5) 1 () 

2 1 7 3    1  6   2  1     2  O( 3 ) 2 2 8

(15.19)

1 1 2 ()  1    1     2  O( 3 ) 2 8

Abb. 15.5

~ Amplitude V

Abb. 15.6

Abstand der Resonanzstellen ( = 1)

~ Solange sich die Abstimmung    /  im Bereich 1    2 befindet, ist V  1 erfüllt.

Die Resonanzfrequenzen ergeben sich aus den Nullstellen der Nennerfunktion, also aus (1   2 )( 2   2 )   2  2  0 zu  R1 ( ,  )  2 1   2 (1  )  ( 2   2  2  1)( 2   2  2  1)   R 2 (,  )  2

und speziell für   1 (Abb. 15.6) sind

(15.20)

15.1 Der Tilger

383

 R1 ()  2   R 2 () 2

1 1 2    ( 4  )  1      O( 2 ) 8 2

(15.21)

Der Abstand beider Resonanzstellen errechnet sich damit zu  R  R 2  R1  

(15.22)

Mit wachsendem Massenverhältnis μ vergrößert sich demnach der Einsatzbereich des Tilgers. Kleine Massenverhältnisse führen zu einer Situation, bei der die Eigenkreisfrequenz des Hauptsystems unmittelbar einer Eigenkreisfrequenz des Systems benachbart ist. In diesen Fällen versagt das Tilgerkonzept. Beispiel 15-1:

Abb. 15.7

Kragträger mit periodischer Erregerkraft, Ersatzsystem mit einfachem Tilger

Der in Abb. 15.7 skizzierte Stahlträger wird durch den Betrieb einer Maschine mit der periodischen Kraft F( t )  F0 cos t belastet. Im stationären Zustand stellen sich infolge dieser Belastung unvertretbar große Auslenkungen ein. Um diese zu vermindern, wird ein einfacher Tilger eingebaut, den es zu bemessen gilt. Geg.: E  21000 kN / cm 2 , I yy  541 cm 4 ,   6 m , F0  100 N ,   28,50 s 1 .

Lösung: Wir ersetzen zunächst den Kragbalken durch seinen äquivalenten Einmassenschwinger (Abb. 15.7, Mitte). Die Ersatzmasse m, bestehend aus der anteiligen Balkenmasse und der Masse der Maschine, wird bauseitig mit 19,35 kg angegeben. Die Federsteifigkeit ergibt sich zu k  3EI yy / 3  157,8 N / cm , und für die Eigenkreisfrequenz des Ersatzsystems folgt   k m  28,56 s 1 , womit die Erregerkreisfrequenz mit    /   0,998  1 in unmittelbarer Nähe der Eigenkreisfrequenz liegt. Für x  0 sei die Feder entspannt. Die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes auf die freigeschnittene Masse m liefert die Bewegungsgleichung mx  kx  mg  F0 cos t . Nach Division mit m und der Koordinatentransformation x  x  xˆ erhalten wir xˆ  2 xˆ  f cos t . Zur Abkürzung wurden die st

0

384

15 Schwingungsabsorption

bezogene Kraft f 0  F0 / m und die statische Auslenkung x st  g / 2  gm / k der Masse m eingeführt. Die stationäre Lösung ist mit xˆ  x 0

1

cos t sowie x 0  F0 / k  0,634 cm 1  2 bereits bekannt. Wir rechnen im Folgenden in guter Näherung mit   1 .

Abb. 15.8

~ ~ Vergrößerungsfunktionen V und Va

Um die Hauptmasse m zu beruhigen, wird ein Tilger eingebaut. Wir wählen das Massenverhältnis   m a m  0,25 . Damit liegen die Tilgermasse m a  m  4,84 kg und mit (15.16) auch die Federsteifigkeit k a  k  39, 4 N / cm fest. Die normierten Amplituden ergeben ~ ~ sich zu V  0 und Va  1 /   4,0. Mit (15.21) erhalten wir die beiden Resonanzstellen  R1  0,78 und R 2  1,28 . Deren Abstand beträgt  R    0,5 . Die Erregerkreisfrequenz  muss also im Betriebszustand immer weit genug von den beiden Resonanzfrequenzen 1  0,78  22,30 s 1 und  2  1, 28  36,57 s 1 entfernt sein.

~ ~ Soll die Vergrößerungsfunktion V auf V  1 begrenzt werden, dann ist nach (15.19) mit   0,25 für die Abstimmung 0,91    1,12 oder 25,93 s 1    31,93 s 1 zu fordern. Zur Berechnung der Verschiebungen benötigen wir noch die statischen Auslenkungen beider Massen. Rechnen wir mit der Erdbeschleunigung g  10 m / s 2 , dann erhalten wir

x st 

m m(1  ) g  1,53 cm , x a ,st  x st  a g  2,76 cm ka k

15.1 Der Tilger

385

ˆ cos t  2,76  2,54cos 28,56t [cm] , und damit: x(t)  x st  1,53 cm, x a (t)  x a,st  V a ˆ x V  wobei V a 0 a  0,634  4,0  2,54 cm berücksichtigt wurde.

Abb. 15.9

Auslenkungen in [cm]

Abb. 15.10

Federkräfte in [N]

Die größte Auslenkung der Tilgermasse ma beträgt x a,max  2,76 cm  2,54 cm  5,30 cm (Abb. 15.9). Von Interesse sind noch die Federkräfte (Abb. 15.10)

FF  kx  k x st  241,88 N  konst., FF,a  k a (x a  x)  48,37  100cos 28,56t [N] . ~ Im Folgenden betrachten wir noch die beiden Grenzfälle, für die V  1 erfüllt ist. Die Hauptmasse m erfährt nun eine Auslenkung aus der statischen Ruhelage. Für den linken Grenzwert folgt mit 1  0,91 bzw.   25,93 s 1 ~ V

1  12 (1 

12 ) 2

  12

 1 ,

~ Va 

1 (1 

12 ) 2

  12

 5,70

und somit x ( t )  1,53  0,63 cos 25,93t [cm], x 2 ( t )  2,76  3,61cos 25,93t [cm] . Beide Massen schwingen in Phase. Die größte Auslenkung der Tilgermasse ma beträgt in diesem Fall x a,max  6,37 cm (Abb. 15.11), und die Federkräfte (Abb. 15.12) errechnen sich zu FF  k x  241,88  100 cos 25,93t [ N], FF, a  k a ( x a  x )  48,37  117,54 cos 25,93t [ N] Für den rechten Grenzwert 2  1,12 und damit   31,93 s 1 erhalten wir entsprechend

386 ~ V

15 Schwingungsabsorption 1  22 (1  22 ) 2

  22

~  1 , Va 

1 (1 

22 ) 2

  22

 4,0 .

Damit folgen die Auslenkungen x ( t )  1,53  0,63 cos 31,93t [cm], x a ( t )  2,76  2,53 cos 31,93t [cm]

Abb. 15.11

Auslenkungen in [cm] ( η = 0,91)

Abb. 15.12

Federkräfte in [N] ( η = 0,91)

Abb. 15.13

Auslenkungen in [cm] ( η = 1,12)

Abb. 15.14

Federkräfte in [N] ( η = 1,12)

Die Massen schwingen in Gegenphase (Abb. 15.13), und die größte Auslenkung der Tilgermasse ma ist x a,max  5, 29 cm . Die Federkräfte errechnen sich zu (Abb. 15.14)

FF  k x  241,88  100 cos 31,93t [ N], FF, a  k a ( x a  x )  48,37  125 cos 31,93t [ N] .

15.2 Der Schwingungsdämpfer

387

In der hier beschriebenen Form ist der einfache Tilger sehr gut geeignet, wenn die Last nahezu mit einer konstanten Frequenz  einwirkt. Dann stellt dieses System eine ausgezeichnete Lösung zur Verminderung der Schwingungen dar. Für den in der Praxis häufig vorkommenden Fall, dass die Erregerkreisfrequenz  in einem größeren Bereich Schwankungen unterworfen ist, und somit die Gefahr besteht, dass die Erregerkreisfrequenz in die Nähe einer Eigenkreisfrequenz des Systems kommt, empfiehlt es sich, das Tilgersystem zusätzlich zu dämpfen.

15.2

Der Schwingungsdämpfer

Abb. 15.15

Der Schwingungsdämpfer, freigeschnittenes System

In Erweiterung zum einfachen Tilger wird an die zu beruhigende Masse m ein Schwingungsdämpfer angebracht (Abb. 15.15), der aus einer Masse ma, einem Dämpfer (Dämpfungskoeffizient ca) und einer Feder (Federsteifigkeit ka) besteht. Die Hauptmasse m ist hier lediglich federnd gelagert. Im Sonderfall c a  0 liegt der einfache Tilger vor. Das Newtonsche Grundgesetz, angewandt auf die Hauptmasse m und die Dämpfermasse ma, liefert bei Bezugnahme auf die statische Ruhelage das gekoppelte Differenzialgleichungssystem mxˆ  c a xˆ  c a xˆ a  (k  k a ) xˆ  k a xˆ a  F( t ) m xˆ  c xˆ  c xˆ  k xˆ  k xˆ  0 a

a

a

a

a

a

a

a

bzw. in Matrizenschreibweise m 0   xˆ1   c a  0 m  ˆ    c  a  x a   a oder symbolisch

M  xˆ  C  xˆ  K  xˆ  F

 c a   xˆ  k  k a   c a   xˆ a    k a

 k a   xˆ  F( t )  k a   xˆ a   0 

(15.23)

388

15 Schwingungsabsorption

mit m 0   c , C a M   0 ma   c a

c a  k  k a , K  ca    ka

k a  F  , F   0  cos t  ka  0

Wir beschränken uns wieder auf die Herleitung einer partikulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung. Dazu probieren wir den Lösungsansatz  B cos t  C sin t   V cos(t  )  xˆ p ( t )     Ba cos t  C a sin t  Va cos(t   a )

Die Amplituden und Phasenverschiebungswinkel sind V  B2  C 2 , Va 

Ba2

 Ca2 ,

sin   C / V,

cos   B / V

(15.24)

sin a  Ca / Va , cos a  Ba / Va

Wir benötigen noch die Ableitungen

 B sin t  C cos t   2 xˆ p ( t )     , xˆ p ( t )   xˆ p ( t ) Ba sin t  Ca cos t 

(15.25)

Berücksichtigung von (15.25) in (15.23) liefert das lineare Gleichungssystem  m 2  k  k a   ca     ka  ca  

ca   m 2  k  k a

 ka ca 

 ca   ka

 ma 2  k a  ca 

  B  F0        C    0    Ba   0  ca       2  m a   k a  C a   0   ca   ka

Mit den Abkürzungen 2 

k , m

a2 

ka m ca 2 F  ,   ,   a ,  2  a2 ,   , x0  0  m 2m a  k  ma

erhalten wir 1   2  2 2  1   2  2   2 2    2  2  2 

  2

2  2  2  2

 2   B   x 0         2   C   0    2  Ba   0        2  2   C a   0 

(15.26)

Das Gleichungssystem (15.26) zeigt, dass die Auslenkung der Hauptmasse m durch die vier Größen : :

Verhältnis von Dämpfermasse ma zur Hauptmasse m Verhältnis der Eigenkreisfrequenzen des entkoppelten Systems

15.2 Der Schwingungsdämpfer

389

: Verhältnis der Absorberdämpfung ca zu 2m a  : Verhältnis von Erregerkreisfrequenz zur Eigenkreisfrequenz des Hauptsystems charakterisiert ist. In der praktischen Anwendung kommt es darauf an, diese Größen möglichst optimal zu wählen. Die Lösungen von (15.26) sind B  x0

[(1  2 )( 2  2 )   22 ]( 2  2 )  4 22 [1  (1  )2 ] , D

Ba  x 0 C  x0

[(1   2 )( 2   2 )   2  2 ] 2  4 2  2 [1  (1  ) 2 ] , D

25 , D

Ca  x 0

(15.27)

23 (1  2 ) , D

wobei in (15.27) D  [(1  2 )( 2  2 )   2 2 ]2  4 2 2 [1  (1  )2 ]2

(15.28)

die Determinante der Koeffizientenmatrix aus (15.26) bedeutet. Speziell gilt für   1 B  x0 C  x0

Abb. 15.16

 2 (1   2 )  4 2 ( 4  4 2 ) 2  (  4  4 2 )

,

~ Normierte Amplituden V

,

Ba  

x0 

(15.29) Ca  0

390

15 Schwingungsabsorption

Mit diesen frequenzabhängigen Konstanten können nach (15.24) die Amplituden V und Va sowie die Phasenverschiebungswinkel  und a berechnet werden. Abb. 15.16 zeigt den ~ Verlauf der normierten Amplitude V  V / x 0 bei Variation der bezogenen Dämpfung  . Wir stellen fest, dass ~ 1.) V nicht mehr verschwindet. Damit kann die Hauptmasse nicht vollständig zur Ruhe gebracht werden, wie das beim einfachen Tilger der Fall war, ~ 2.) V nur endliche Werte besitzt und damit keine ausgeprägten Resonanzstellen auftreten, 3.) bei der hier dargestellten größten bezogenen Dämpfung   0,3 offensichtlich nicht die ~ kleinste Amplitude V zu beobachten ist, und 4.) unabhängig von der Dämpfung , sämtliche Kurven durch die Punkte P und Q verlaufen. Zur Bestimmung der Abstimmungen P ,Q der ausgezeichneten Punkte P und Q ist es rechentechnisch günstig, folgende Grenzfälle der Dämpfung zu betrachten: 1. ζ  0 ~ Das System ist ungedämpft. Aus (15.27) folgen die Konstanten (s.h. auch V in (15.12)) B(  0)  x 0

 2  2 2

(1   )( 2  2 )   22

, C(  0)  0

2. ζ   Bei unendlich großer Dämpfung kann keine Relativverschiebung zwischen der Hauptmasse m und der Dämpfermasse ma auftreten. Das blockierte System besitzt dann nur noch einen Freiheitsgrad. Dieser Grenzfall kann einerseits aus der Lösung für den Einmassenschwinger gewonnen werden, indem dort m durch m  m a ersetzt wird, oder schneller aus (15.27), wenn wir dort den Grenzübergang    durchführen. Das Ergebnis ist lim B  x 0

 

1 1  (1  )2

,

lim C  0

(15.30)

 

Wir ermitteln zunächst die beiden Abstimmungen P und Q (Abb. 15.16). Nach etwas längerer Rechnung erhalten wir  2P ,Q (, ) 



1 1  (1  ) 2  (1   ) 2 (1  ) 2   4 (2  ) 2



(15.31)

wobei 2P  Q2  2

1  (1  ) 2 2 2 , 2P Q2  2 2

(15.32)

15.2 Der Schwingungsdämpfer

391

zu beachten sind. Eine von mehreren Möglichkeiten der Optimierung des Dämpfers, besteht in der Forderung nach Gleichheit der Amplituden V an den Stellen P und Q. Für die beiden Grenzfälle der Dämpfung   0 und    ist dann zu fordern V(P ,   0)  V(Q ,   0), V (P ,   )  V(Q ,   )

Werten wir die letzte Beziehung in (15.33) aus, dann muss

1 1  (1  )2P

aber 1  (1  ) 2P  (1  )Q2  1 erfüllt sein, was  2P  Q2  sichtigung von (15.32) erhalten wir mit 2

(15.33) 

1 (1  )Q2  1

oder

2 erfordert. Unter Berück1 

1  (1  ) 2 2  eine Gleichung zur Berech2 1 

nung von . Die Auflösung ergibt 

1 . 1 

(15.34) a2

k 1  a  , dann folgt bei bekann2 k (1  ) 2 tem Massenverhältnis μ die Federsteifigkeit des Schwingungsdämpfers zu

Beachten wir noch das Frequenzverhältnis  2 

ka 

 (1  ) 2

k

(15.35)

Einsetzen von (15.34) in (15.31) liefert  2P ,Q ( 

1 1     1  ) 1   1    2   

(15.36)

Mit (15.30) erhalten wir für den so optimierten Schwingungsdämpfer die Amplituden V ( P )  V ( Q )  x 0 1  2 

(15.37)

die offensichtlich umso kleiner ausfallen, je größer das Massenverhältnis  gewählt wird. In Abb. 15.17 sind für das Massenverhältnis   0,25 und damit   0,8 nach (15.34) die ~ normierten Amplituden V bei Variation des Parameters  dargestellt. Die Punkte P und Q ~ besitzen jetzt mit V  1  2 /   3,0 dieselben Ordinaten, allerdings verlaufen die Kurven zwischen beiden Punkten noch sehr unruhig. Dieser Sachverhalt kann gemildert werden, wenn es gelingt, die Dämpfung, und damit , so einzustellen, dass die Tangente an die Kurve ~ V in den Punkten P und Q möglichst flach verläuft. Dazu werden an den Punkten P und Q ~ die Ableitungen von V nach  gebildet und dort zu null gesetzt. Mit festem  nach (15.34) und    P bzw.   Q folgen

392

15 Schwingungsabsorption

 opt , P 

[3   /(  2) ] 8(1  )3

,  opt , Q 

[3   /(  2) ] 8(1  )3

Es macht nun Sinn, den Mittelwert von  opt , P und  opt ,Q , also  opt 

3

(15.38)

8(1  ) 3

als optimale Dämpfung für den Fall der günstigsten Abstimmung   1 /(1  ) anzusehen. Für diesen Fall sind die Auslenkungen der zu beruhigenden Masse m in einem breiten Bereich der Erregerfrequenz relativ gleichmäßig, wie Abb. 15.18 zeigt.

Abb. 15.17

~ Normierte Amplituden V

Abb. 15.18

~ Amplitudenfunktionen V

Ausgehend von den Systemwerten des Hauptsystems mit m, k und damit   k / m , kann somit der Entwurf des Schwingungsdämpfers wie folgt vorgenommen werden:

Wahl eines Massenverhältnisses μ. Damit liegt m a  m fest Berechnung des Frequenzverhältnisses  nach (15.34) Berechnung der Federsteifigkeit ka nach (15.35) Berechnung von  opt nach (15.38) ~ ~ In Abb. 15.19 ist neben V auch die normierte Amplitude Va der Dämpfermasse ma für das Massenverhältnis   0,3 bei optimaler Dämpfung dargestellt. Von Interesse sind noch die ~ ~ maximalen Amplituden max V der Hauptmasse m und max Va der Dämpfermasse ma. Bei Vorgabe des Massenverhältnisses μ liegen das Frequenzverhältnis  und  opt nach (15.38) ~ fest. Damit sind die Konstanten in (15.27), und somit auch die normierten Amplituden V 1.) 2.) 3.) 4.)

15.2 Der Schwingungsdämpfer

393

~ und Va , nur noch Funktionen der Abstimmung . Dabei ist zu beachten, dass mit konstantem Massenverhältnis μ die Maxima in Abb. 15.20 bei unterschiedlichen Abstimmungs~ graden  auftreten. Muss beispielsweise aus konstruktiven Gründen max Va  10 erfüllt sein, dann ist dazu ein Massenverhältnis   0,14 erforderlich, womit dann ma,  und nach (15.35) auch die Federsteifigkeit ka ermittelt werden können.

Abb. 15.19

~ ~ Amplitudenfunktionen V und Va

Abb. 15.20

Bemessungsdiagramm

Beispiel 15-2:

Abb. 15.21

~ ~ Bezogene Amplituden V und Va

In diesem Beispiel soll in Abänderung zu Beispiel 15-1 der dort skizzierte einfache Tilger durch einen Schwingungsdämpfer ersetzt und dieser dann optimiert werden. Wir überneh-

394

15 Schwingungsabsorption

men mit m  19,35 kg , k  157,8 N / cm und   28,56 s 1 die Werte des Hauptsystems und wählen wieder das Massenverhältnis   0,25 . Damit liegen dann auch die Dämpfermasse m a  m  4,84 kg und die Federsteifigkeit k a  sowie  

 k  0,16 k  25, 25 N / cm (1  ) 2

3 1  0,8 fest. Nach (15.38) folgt mit    opt   0,22 der Dämp1  8(1  ) 3

fungskoeffizient ca  2m a   60,55 kg / s . Die bezogenen Amplituden können Abb. 15.21 entnommen werden. Wir nähern die Abstimmung wieder ausreichend genau mit   1 an, und erhalten mit (15.29) unter Beachtung von x 0  0,634 cm die Amplituden B  0, 255x 0  0,16 cm , C  2,913x 0  1,85 cm , Ba  4,0x 0  2,54 cm , C a  0

und mit (15.24) V  B2  C2  2,92x 0  1,85 cm , Va  Ba2  Ca2  4,0x 0  2,54 cm ~ ~ Die bezogenen Amplituden sind dann V  V / x 0  2,92 , Va  Va / x 0  4,00 .

Für die Phasenverschiebungswinkel folgt: sin   C V  0,966 , cos   B V  0,087

   1,48

sin  a  C a Va  0 , cos  a  Ba Va  1 ,

 a  

Abb. 15.22

Auslenkungen in [cm] ( = 1)

Abb. 15.23

Federkräfte in [N] ( = 1)

Damit liegen die Weg-Zeit-Gesetze für beide Massen vor (Abb. 15.22) x ( t )  x st  xˆ ( t )  x st  V cos(t  )  1,53  1,85 cos(28,56 t  1,48) [cm]

15.3 Der viskose Dämpfer

395

x a ( t )  x a ,st  xˆ a ( t )  x a ,st  Va cos(t  a )  2,76  2,54 cos(28,56t ) [cm] Die Federkräfte errechnen sich zu (Abb. 15.23) FF  k x  241,88  25,54 cos(28,56t )  291,47 sin( 28,56t ) [ N]; FF,a  k a ( x a  x )  30,96  68,12 cos(28,56t )  46,64 sin( 28,56t ) [ N]

15.3

Der viskose Dämpfer

Abb. 15.24

Hauptsystem mit viskosem Dämpfer

Der Dämpfer in Abb. 15.24 besitzt keine elastische Komponente. Er besteht nur aus einer Masse ma, die über einen viskosen Dämpfer mit der Konstanten ca an die Hauptmasse m angekoppelt ist. Er wird deshalb viskoser Dämpfer genannt. Dämpfer dieser Art werden vorzugsweise zur Reduzierung von Torsionsschwingungen rotierender Wellen eingesetzt. In den kinematischen Grundgleichungen treten dann anstelle von Verschiebungen Drehwinkel auf. Setzen wir in (15.27) die Steifigkeit k a  0 , dann erhalten wir mit den Koordinaten nach Abb. 15.24 m 0  x   c a  0 m  x    c  a  a   a

c a   x  k 0  x  F( t )   c a   x a   0 0  x a   0 

(15.39)

Wegen k a  0 und damit auch   0 verbleiben von (15.27) B  x0

(1   2 )2  4 2 [1  (1  ) 2 ] , D

23 C  x0 D

mit

Ba  x 0

4 2 [1  (1  )2 ] D

2(1   2 ) Ca  x 0 D

(15.40)

396

15 Schwingungsabsorption D  (1   2 ) 2  2  4 2 [1  (1  )2 ]2

(15.41)

und somit ~ V V  x0

V ~ Va  a  x0

Abb. 15.25

4 2   2 (1  2 ) 2  2  4 2 [1  (1  )2 ]2

(15.42)

2 (1   2 ) 2 2  4 2 [1  (1  ) 2 ]2

~ Amplitude V (  , ) , μ  0 ,25

Abb. 15.26

~ Höhenlinien, V (  , ) , μ  0 ,25

~ ~ Bei vorgegebenem Massenverhältnis  hängen V und Va nur noch von den beiden Variab~ len  und  ab. Tragen wir V (,  ) über der ()-Ebene auf, dann erhalten wir die Darstel~ lung nach Abb. 15.25. Es zeigt sich, dass die Funktion V(,  ) die Form einer Sattelfläche besitzt. Aus der Differenzialgeometrie ist bekannt, dass eine solche Funktion innerhalb des offenen Gebietes keinen Extremwert (Maximum, Minimum) besitzt. Die Höhenliniendarstellung in Abb. 15.26 verdeutlicht die Lage des Sattelpunktes in der ()-Ebene. Dessen Bedeutung wird klar, wenn wir uns den Betrieb einer Maschine in einem größeren Abstimmungsbereich von  vorstellen. Wählen wir nämlich  identisch mit der Koordinate des ~ Sattelpunktes, dann kann sichergestellt werden, dass V den dortigen Wert nicht überschreitet. Es sind also zunächst die ()-Koordinaten des Sattelpunktes aus dem Verschwinden V(,  ) ~ 2 des Gradienten von V zu berechnen. Aus  0  opt (2  )  2 folgt die positive  Lösung

15.3 Der viskose Dämpfer

opt 

2 1 3  1     2  O(3 ) 2 4 32

und mit (15.43) aus

 opt 

397

V(,  ) 

1 2(2  )(1  )

(15.43)

 0   2 (2 2  6  4)  1 die ebenfalls positive Lösung  opt



1 3 19     2  O(3 ) 2 8 64

(15.44)

Am Sattelpunkt nehmen die bezogenen Amplituden folgende Werte an ~ 1 V (opt ,  opt )  (2  ) , 

1 ~ Va (opt ,  opt )  2 

(15.45)

~ Abschließend soll noch geprüft werden, ob mit V(opt ,  opt ) tatsächlich ein Sattelpunkt

vorliegt. Das kann beispielsweise durch Bestimmung der Definitheit der Hesse-Matrix1 ~   2V  2  H   2~  V   

~  2V       2880  402,5  H( ηopt,ζ opt , μ  0,25)   2~ 0   V  402,5   2 

erfolgen. Die Matrix H besitzt für das Massenverhältnis   0,25 mit 1  2935,19 und  2  55,19 einen negativen und einen positiven Eigenwert. Die Eigenwerte der HesseMatrix entsprechen übrigens den linearen Hauptkrümmungen und ihre Eigenvektoren den Hauptkrümmungsachsen. Sie ist damit indefinit2, was auf einen Sattelpunkt schließen lässt. Die Richtungen der Hauptkrümmungen werden durch die orthogonalen Eigenvektoren 0,991 0,136 Φ  0,136 0,991

festgelegt (Abb. 15.26). Beispiel 15-3: ~ Die bezogene Amplitude V (,  ) der Hauptmasse m des Schwingers in Abb. 15.24 soll den

2 ~ Wert V * nicht überschreiten. Nach (15.45) ist dazu ein Massenverhältnis   ~ * zu V 1 ~ wählen, was beispielsweise für V *  5   0,5 erfordert. Entscheiden wir uns für   0,5 ,

1

Ludwig Otto Hesse, deutsch. Mathematiker, 1811-1874

2

Eine Matrix heißt indefinit, wenn sie weder positiv noch negativ semidefinit ist.

398

15 Schwingungsabsorption

dann liefert (15.44)  opt 

1 2(2  )(1  )

 0,365 . Tragen wir die bezogenen Amplituden

~ ~ V und Va über  auf, dann erhalten wir die Darstellungen nach Abb. 15.27, und wir sehen, ~ ~ dass V den geforderten Wert V*  5 an keiner Stelle überschreitet.

Abb. 15.27

Bezogene Amplituden ( = 0,5)

16

Fundamentschwingungen

Wir betrachten den auf Stäben gelagerten starren Körper in Abb. 16.1. Hierbei kann es sich um ein Blockfundament oder auch die Rostplatte eines Pfahlrostes handeln. Pfahlroste sind eine spezielle Form der Tiefgründung. Sie bestehen aus einer Anzahl von Pfählen oder Pfahlgruppen, die an ihren Kopfpunkten durch eine Rostplatte verbunden sind und so zu einer gemeinsam tragenden Gründung herangezogen werden. Auf der Rostplatte wird dann das eigentliche Bauwerk errichtet. Früher wurden Holzpfähle verwendet, daher auch die Bezeichnung Pfahlrost.

Abb. 16.1

16.1

Starrer Fundamentkörper auf Stäben gelagert

Die Bewegungsgleichungen

Wir nehmen an, dass sämtliche Stäbe aus Kelvin-Material bestehen, also aus der Parallelschaltung von linearer Feder (Federsteifigkeit kk) und viskosem Dämpfer (Dämpferkonstante ck). Die Fußpunkte der Stäbe seien unverschieblich gelagert. Wenn wir von einer Querbelastung absehen, und eine drehbare Lagerung der Kopf- und Fußpunkte unterstellen, dann können die Stäbe nur Normalkräfte (Zug oder Druck) übertragen. Wir zerlegen die auf den Schwerpunkt S des Fundamentkörpers reduzierte äußere Belastung in statische Lasten [F0, M0] und zeitabhängige Lasten [F(t), M(t)]. Im Kraftvektor F0 steht beispielsweise auch das Eigengewicht G des Fundamentes. Das Fundament betrachten wir näherungsweise als starren Körper, der im Raum sechs Freiheitsgrade besitzt, das sind drei

400

16 Fundamentschwingungen

Verschiebungen wS des Körperschwerpunktes und drei Verdrehungen, die im Drehwinkelvektor  zusammengefasst werden. Diese Verformungsgrößen, die es im Folgenden zu berechnen gilt, sollen voraussetzungsgemäß klein sein im Vergleich zu den Fundamentabmessungen, sodass Linearisierungen der anfallenden Gleichungen gerechtfertigt sind. Bei kleinen Verformungen setzt sich im Sinne von Euler die Bewegung eines starren Körpers additiv aus einer Translation und einer Rotation zusammen.

Abb. 16.2

Fundament mit angeschlossenem Stab

Abb. 16.3

Verschiebung des Pfahlkopfes

Ist wS(t) die Verschiebung des Schwerpunktes S und (t) der freie Vektor der Fundamentdrehung, dann gilt für die Verschiebung des Stabkopfes mit dem Index k (Abb. 16.3) w k  w S    xk

(16.1)

Der Einheitsvektor ek legt die Orientierung des betreffenden Stabes fest (Abb. 16.2). Sind  k ,  k ,  k die Neigungswinkel der Stabachse gegenüber den Koordinatenachsen, dann ist e kT  [cos  k ; cos  k ; cos  k ]

(16.2)

Infolge der Verschiebung des Stabkopfpunktes ändert sich die Stablänge näherungsweise um das Maß  k (Abb. 16.3), wofür mit dem Verschiebungsvektor wk nach (16.1)  k  w k  ek  (w S    xk )  ek  w S  ek  (  xk )  ek

(16.3)

 k  ek  w k  e k folgt dann bei notiert werden kann, und für die zeitliche Änderung  k  w Vernachlässigung von e k  k  ek  k  w

(16.4)

Damit gilt für die Stabkraft (als Druckkraft positiv) S k  k k  k  c k  k

(16.5)

Beachten wir noch (16.3) und (16.4), so erhalten wir  k  ek Sk  k k w k  e k  c k w

(16.6)

16.1 Die Bewegungsgleichungen

401

Für die vom Stab auf das Fundament ausgeübte Kraft folgt nach dem Reaktionsprinzip  k  ek ) ek S k  S k e k  (k k w k  e k  c k w

(16.7)

und unter Beachtung von (16.1)

 k  ek ) ek -S k  (k k w k  e k  c k w  S    x k    x k )  e k ] e k  [k k (w S    x k )  e k  c k (w

(16.8)

Da die zeitliche Änderung des Vektors xk nur aus einer reinen Drehung besteht, für die x k    x k geschrieben werden kann, wird der damit entstehende nichtlineare Term   x k    (  x k )   (  x k )  x k (   )

vernachlässigt. Dann verbleibt

 S    x k )  e k ] e k  (S k,F  S k,D ) -S k  [k k (w S    x k )  e k  c k (w

(16.9)

Die Stabkraft setzt sich somit aus zwei Anteilen zusammen, der Federkraft -S k,F  k k [(w S    x k )  e k ] e k

(16.10)

und der Dämpferkraft  S    x k )  e k ] e k -S k,D  c k [(w

(16.11)

Wir schreiben beide Anteile im Sinne der Matrizenschreibweise noch etwas um und beginnen mit dem Anteil der Federkraft, wobei in den folgenden Rechnungen von der aus der Tensoralgebra bekannten Rechenregel (a  b)c  a  (b  c)  a  D mehrfach Gebrauch gemacht wird. In kartesischen Koordinaten kann die lineare Dyade D  b  c als 3 3 -Matrix in folgender Form angeschrieben werden c1 D  b c 

c2

c3

b1

b1c1

b1c 2

b1c 3

b2

b 2 c1

b 2c2

b 2c3

b3

b 3c1

b 3c 2

b 3c 3

Damit erhalten wir die Federkräfte n

-



n

S k,F 

k 1



n

[k k (w S    xk )  ek ] ek 

k 1 n



 k [e k

k

 w S  (xk  ek )  ] ek

k 1

 k {(e k

k

 ek )  w S  [ek  (xk  ek )]  }

k 1

Entsprechend folgt für die Dämpferkräfte

(16.12)

402

16 Fundamentschwingungen n

n

-



 c {(e

S k,D 

k

k 1

k

 S  [e k  (x k  e k )]   }  ek )  w

(16.13)

k 1

Führen wir noch die Matrizen A k  k k (e k  e k ) ,

B k  k k e k  (x k  e k )

E k  c k (e k  e k ) ,

H k  c k e k  (x k  e k )

(16.14)

ein und ziehen die Verformungsgrößen wS und  aus den Summen heraus, dann können wir auch abkürzend n

  n   n S k,F   A k   w S   B k     A  w S  B     k 1 k  1  k  1     A B n   n   n  S   S  H   S k,D   E k   w H k     E  w      k 1   k 1 k 1     E H -













(16.15)

schreiben, wobei zu beachten ist, dass A und E symmetrisch sind. Mit den berechneten Stabkräften werten wir nun den Schwerpunktsatz n

 S ( t )  mw

S

k (t )

 F0  F ( t )

(16.16)

k 1

aus. Ersetzen wir in (16.16) die Stabkräfte durch (16.15), dann erhalten wir  S ( t )  A  w S ( t )  B  ( t )  E  w  S ( t )  H   ( t )  F0  F ( t ) mw

(16.17)

 S ( t ) die Beschleunigung des Fundamentschwerpunktes S. Es verbleibt Darin bezeichnet w die Auswertung des Drallsatzes. Bei Benutzung einer körperfesten Basis mit Ursprung im beliebig bewegten Schwerpunkt, lautet der Drallsatz für den starren Körper

  D S

n

x

k

 S k  M 0  M( t )

(16.18)

k 1

Für die Ableitung des Drallvektors in körperfesten Koordinaten gilt die Differenziationsregel    d D  DS    D D S S S dt

Vernachlässigen wir den nichtlinearen Term   DS , dann verbleibt

16.1 Die Bewegungsgleichungen

403

   DS  d (Θ   )  Θ    D S dt

(16.19)

In (16.19) bezeichnet  11  Θ   12    13

 13     23   33 

 12  22   23

(16.20)

die Matrix des Massenträgheitsmomententensors in kartesischen Koordinaten. Damit lautet der Drallsatz n

  Θ

x

k

 S k  M 0  M( t )

(16.21)

k 1

Zur Konkretisierung der obigen Gleichung benötigen wir die Momente der Stabkräfte bezüglich des Schwerpunktes S. Es gilt n





n

xk  Sk  

k 1

x

k

 (S k,F  S k,D )

k 1 n





n

xk  [k k (w S    xk )  ek ] ek 

k 1

x

k

 S    xk )  ek ] ek  [c k ( w

k 1

Beachten wir n





n

xk  Sk,F 

k 1

x

k

 [k k (w S    xk )  ek ] ek

k 1 n



 k {[(x k

k

 ek )  ek ]  w S  (xk  ek )  (xk  ek )]  }

k 1

dann folgen in Analogie zur obigen Beziehung die Momente der Dämpferkräfte n



x k 1

n

k

 S k,D 

 c {[(x k

k

 S  (xk  ek )  (xk  ek )]   }  ek )  e k ]  w

k 1

Führen wir noch die Matrizen L k  k k (x k  e k )  e k ,

N k  k k (x k  e k )  (x k  e k )

Q k  c k (x k  e k )  e k ,

Tk  c k (x k  e k )  (x k  e k )

ein, dann können wir auch abkürzend

(16.22)

404

16 Fundamentschwingungen  n   n   Sk,F   Lk   w S   N k     L  w S  N     k  1  k  1  k 1    T N LB n n n      S   Tk     Q  w  S  T   xk  Sk,D   Q k   w       k  1  k 1 k 1      T Q  HT n

-

x

k











(16.23)

schreiben. Die Matrizen N und T sind symmetrisch. Der Drallsatz lautet dann   B T  w S  N    H T  w  S  T    M 0  M ( t ) Θ

(16.24)

Führen wir mit w  x   S 

(16.25)

den neuen Vektor der Unbekannten ein, dann können wir unter Beachtung von L  BT sowie Q  H T für (16.17) und (16.24) auch  S   E H  w  S   A B  w S   F0   F( t )  mI 0  w   H T T       B T N       M   M ( t )  0 Θ                   0           f(t) M C K g

(16.26)

oder symbolisch M  x(t)  C  x (t)  K  x(t)  g  f(t)

(16.27)

schreiben. Den Totlastvektor g eliminieren wir durch die Transformation x  xˆ  x st mit x st  K 1  g . Es verbleibt dann die inhomogene Bewegungsgleichung

M  xˆ(t)  C  xˆ (t)  K  xˆ (t)  f(t)

(16.28)

wobei xˆ ( t ) nun aus der statischen Ruhelage zählt. Eine Entkopplung dieser Gleichung ist i. Allg. nicht möglich. Reagieren die Stäbe rein elastisch, dann ist C  0 und es verbleibt M  xˆ(t)  K  xˆ (t)  f(t)

(16.29)

Sind aus (16.28) die Verschiebungen wS und die Drehwinkel  ermittelt, dann können mit (16.9) auch die Stabkräfte berechnet werden, womit das Problem als gelöst gelten kann.

16.1 Die Bewegungsgleichungen

405

Beispiel 16-1: Grundriß e2

4 6,7

S

b = 2,50

3

0,75

5

e3

e1 2

0,50

2,3,4

1

1,50

1,50

0,50

  4,00

e3 Ansicht e2

+

h = 1,00

S

Anlenkpunkt 1 2 3 4

x 1 [m]

x 2 [m]

x 3 [m]

-1,50 1,50 1,50 -1,50

-0,75 -0,75 0,75 0,75

-0,50 -0,50 -0,50 -0,50

0,75

1

0,50

0,50

e1

0,50

Feder

Anlenkpunkt

Federorientierung

Federkonstante k [N/m] 2  10 7

1

1

-e3

2

2

-e3

2  10 7

3

2

e1

0, 2 107

4

2

e2

0 ,5 107

5

3

-e3

2  10 7

6

4

-e3

2  10 7

7

4

e2

0 ,5 107

0,50 Anlenkpunkte der Translationsfedern

Abb. 16.4

Blockfundament, Federlagen, Maße in [m]

Das für einen Bauteilprüfstand gefertigte Blockfundament aus Stahlbeton in Abb. 16.4 wird elastisch auf Translationsfedern gelagert. Die Dämpfung soll so gering sein, dass sie vernachlässigt werden kann. Das Fundament wird neben der Gewichtskraft G  mg durch die statischen Kräften P1 und P2 (Abb. 16.5) belastet. Gesucht werden die Eigenkreisfrequenzen, die Eigenschwingungsformen und die Bewegung des Fundamentes infolge der Anfangswerte w S,0  [0,01 m;  0,01 m;  0,01 m] T und  0  0 . Außerdem ist die Frage zu beantworten, wie die Steifigkeitsverhältnisse der Translationsfedern gewählt werden müssen, damit das Fundament unter der angegebenen statischen Beanspruchung ohne Verdrehung lediglich eine Verschiebung in vertikaler Richtung erfährt. Lösung: Die körperfesten Achsen (1, 2, 3) mit Ursprung im Schwerpunkt S stellen die Hauptzentralachsen (HZA) des Fundamentkörpers dar. Damit verschwinden sämtliche Deviationsmomente. Fundamentmasse: m  V  2500 kg / m3  4,00 m  2,50 m 1,00 m  25000 kg Massenträgheitsmomente: 11  m (b 2  h 2 )  15104, 2 kg m 2 , 12  22  m ( 2  h 2 )  35416,7 kg m 2 , 33  m ( 2  b 2 )  46354, 2 kg m 2 12 12

Aufgrund der fehlenden Dämpfung verbleibt von (16.26) mit C  0

406

16 Fundamentschwingungen

 S   A B  w S   F0   F( t )  mI 0  w      0 Θ      B T N     M 0  M ( t )         f(t) M K g

Wir beginnen mit dem Zusammenbau der Matrix M. Da die Matrix des Massenträgheitsmomententensors Diagonalgestalt hat, ist auch M  104 diag[2,5 kg 2,5 kg 2,5 kg 1,5104 kgm 2

3,5417 kgm 2

4,6354 kgm 2 ]

eine Diagonalmatrix. Zur Berechnung der Steifigkeitsmatrix müssen die Teilmatrizen A, B und N zur Verfügung gestellt werden. Wir geben hier nur die Endergebnisse an. Es sind 0 0,2 0 A k  10 7 kgs  2  0 1,0 0  , B    k 1 0 8,0  0 7

 0 0,1 0,15 B k  10 7 kgms  2 0,5 0 0    k 1 0 0   0 7

A





N

0 0  4,75 N k  10 7 kgm 2 s  2  0 18,05  0,075 .   k 1  0,075 2,363   0 7



Damit folgen die Steifigkeitsmatrix und ihre Inverse 0 0 0 0,03 0,33 0 0 0,10 0,15  0,2 0  5,26   1,06 0  0,11 0 0  1,0 0 0,50 0 0     0,13 0 0 0   8,0 0 0 0 , -1 7  K  107  K 10     0,22 0 0  4,75 0 0     0,06 0  18,05  0,08     0,44  2,36 sym. sym.

Der Totlastvektor g enthält, neben dem Fundamenteigengewicht G  mg , die ebenfalls in negativer 3-Richtung wirkenden Kräfte P1  25 kN und P2  10 kN , deren Angriffspunkte in der (1,2)-Ebene der Abb. 16.5 entnommen werden können. Wir reduzieren dieses Kräftesystem auf den Schwerpunkt S und erhalten: M1  r1  P1  P10,75 1,5 0 , M 2  r2  P2  P2 0,75 1,5 0

was zu g T  [0; 0;  (G  P1  P2 );  0,75(P1  P2 ); 1,5(P1  P2 ); 0] führt. Mit den Werten des Beispiels ist g T  [0; 0;  2,85 10 5 N;  2,625 10 4 Nm; 2,25 10 4 Nm; 0] . Damit liegt auch die rechte Seite des Gleichungssystems fest. Wir berechnen zunächst die statische Auslenkung und erhalten



xst  K 1  g  6,25 105 m 2,92 104 m  3,563 10 3 m  5,83 104 1,25 10 4

0

T

16.1 Die Bewegungsgleichungen

Abb. 16.5

407

Angriffspunkte der Lasten P1 und P2

Im nächsten Schritt sollen die Eigenwerte und die Eigenvektoren beschafft werden. Dazu transformieren wir die Gleichung M  x  K  x  g zunächst auf die statische Ruhelage, was auf die homogene Bewegungsgleichung M  xˆ(t)  K  xˆ (t)  0 führt. Zur Entkopplung dieser Gleichung gehen wir in Schritten vor. 1.) Berechnung der Matrizen M1/2 und M 1/2 M 1/2  diag[158,11; 158,11; 158,11; 122,90; 188,19; 215,30] M 1/2  10 2 diag[0,632; 0,632; 0,632; 0,814; 0,531; 0,464]

2.) Berechnung der normalisierten Steifigkeitsmatrix Ω 2

Ω 2  M 1/2  K  M 1/2

33,61 44,06  0 0 0 80,00  400,00 0 257,31 0 0    3200,00 0 0 0     3144,82 0 0    5096,47  18,51   509,66  sym.

3.) Lösung des speziellen Eigenwertproblems (Ω 2  2I )  a  0 , Berechnung der Eigenwerte  j und der Eigenvektormatrix  12  75,33 s 2

 1  8,68 s 1

22  376,09 s 2  2  19,39 s 1

32  514,03 s 2

 3  22,67 s 1

24  3168,73 s 2  4  56, 29 s 1

52  3200,00 s 2  5  56,57 s 1

62  5096,77 s 2  6  71,39 s 1

408

16 Fundamentschwingungen

0  0,9949  0 0,9957  0 0  Φ  0 0 , 0925   0,0063 0  0   0,1007

0,1006

0

0

0  0,0925 0 0

0 1

0  0,9957

0

0,0048

0

0

0,9949

0

0

0,0067  0  0  0 0,9999  -0,0041

4.) Berechnung von S und S-1 0 6,365 0 0 0,426  62,923  0 62,974 0  5,852 0 0   0 0 0 0 63,246 0 1/2 4  SM  Φ  10   0  7,529 0  81,018 0 0   0,33411 0 0,2528 0 0 53,135   0 46,210 0 0  0,190  4,6756

S -1  Φ T  M 1/2 

0 0 0 1,183 21,673 157,308  0 157,435 0 0 0  11,372   0 0 0 0,895 214,205  15,912   0  14,631 0  122,372 0 0   0 0 158,114 0 0 0   0 0 0 188,187  0,883   1,065

Hinweis: Die Matrix S legt die Eigenformen fest. Der Eigenvektor zum 5. Eigenwert ( ω5  56,57 s 1 , f 5  9,0 Hz ) enthält nur in der dritten Zeile einen Wert ungleich null, womit die 3-Richtung eine Hauptschwingungsrichtung darstellt.

5.) Berechnung der modalen Anfangsbedingungen x0   w S,0

φ0  T  [0, 01 m 0, 01 m 0, 01 m 0 0 0] T ,

xˆ 0  x 0 - xst  102 [1, 006 m 1, 029 m 0, 644 m 0, 058 0, 013 0] T , ~  S 1  xˆ   1,583  1,627  0,160 0,079  1,018  0,013 T , q 0 0 ~  S 1  xˆ  0 q 0 0

16.1 Die Bewegungsgleichungen

409

6.) Lösung der Bewegungsgleichungen in Modalkoordinaten ~ ~  q01 cos 1t   1,583 cos 8,68t  ~ t    1,627 cos19,39 t  ~ q cos  2   02   ~ t   0,160 cos 22,67 t  q03 cos  ~ 3 ~ q ( t )  ~  ~   q04 cos 4 t   0,079 cos 56,29 t  ~ t    1,018 cos 56,57 t  ~ q05 cos  5 ~  ~    q06 cos 6 t    0,013 cos 71,39 t  ~(t )  S  q ~(t )  xˆ ( t )  M 1/2  Φ  q  0,996  0   0,010  0   1,024  0        0  0  0  2  2  2   10   cos 8,68t  10   cos19,39 t  10   cos 22,67 t  0   0,122   0   0,005  0   0         0,074   0   0,074  0   0   0    0,005  0   0        0  0  2   2  0,644 2   10   cos 56,29t  10   cos 56,57 t  10   cos 71,39 t  0,064  0   0   0   0   0,007        0 0      0 

Abb. 16.6

Verschiebungen x(t) [cm]

Abb. 16.7

Drehwinkel (t)

Die Auslenkungen aus der entspannten Federlage (Abb. 16.6, Abb. 16.7) errechnen sich dann zu x(t)  xˆ (t)  x st .

410

16 Fundamentschwingungen

Zur Ermittlung der Federkräfte ist (16.9) auszuwerten. Beispielsweise folgt für die Kraft in der Feder 1 (als Druckkraft positiv) S1,F  k11  k1[(w S    x1 )  e1 ]  58750,00  1586,77 cos 8,68t  18374,18 cos19,39 t  121,50 cos 22,67 t   9624,18 cos 56,29t  128750,00 cos 56,57 t  2041,73 cos 71,39 t

Abb. 16.8

Kraft in der Feder 1 [kN]

Abb. 16.9

Kraft in der Feder 4 [kN]

Soll sich das Fundament unter den statischen Lasten G, P1 und P2 ohne Verdrehung lediglich in negativer 3-Richtung verschieben, also mit x H  0 0  w 0 0 0 0 T in horizontaler Lage verbleiben, dann ist mit allgemeinen Steifigkeiten kk das lineare Gleichungssystem K (k k )  x H  g , oder in Matrizenschreibweise k  1 1  1  1   1  0,75 0,75  0,75  0,75  k 2    1  k   w0 1,5 1,5  1,5  5   1,5 k  6

zu lösen. Wir erhalten: k1 

 285000  26250    22500

135000 160000 10000  k6 , k2    k6 .  k 6 und k 5  w0 w0 w0

Beispielsweise resultieren aus der Wahl w 0  4,0 10 3 m und k 6  1,375 10 7 N / m die dann eindeutigen Lösungen k1  2,0 10 7 N / m , k 2  1,125 10 7 N / m , k 5  2,625 10 7 N / m .

Die verbleibenden Federn beeinflussen die Verschiebung in 3-Richtung nicht, weshalb über deren Steifigkeiten keine Aussage getroffen wird.

16.1 Die Bewegungsgleichungen

411

Im Sonderfall der planaren Fundamentbewegung (Index p), etwa in der (1,2)-Ebene, verbleibt von (16.26)  S,p  E p h p   w  S,p   A p b p   w S,p   F0,p   Fp ( t )  mI p 0   w  0     h T t        b T n       M    M (t)    Θ 0 ,3   3  p  p   3   p 3   p 3   3        f p (t) gp Mp Kp Cp

(16.30)

Sämtliche Kraft- und Verschiebungsvektoren liegen in einer zur (1,2)-Ebene parallelen Ebene. Die aus den Stabkräften resultierenden Momente und der Momentenvektor aus äußerer Belastung sowie auch der Verdrehungsvektor besitzen dann nur eine Komponente in 3Richtung. Das führt auf folgende Matrizen und Vektoren  w S,1  n n  e2  e2 e k ,1e k , 2  1 0  , Ap  k k  k ,1 xp   w S, 2 ; I p   , Ep  c k  k ,1  2    e k ,2  0 1  e k ,1e k , 2 e k ,1e k , 2 k 1 k 1  3  n n  e k ,1 ( x k ,1e k , 2  x k , 2e k ,1 )   e k ,1 ( x k ,1e k , 2  x k , 2e k ,1 )  ck  , kk  hp  b  p   e k , 2 ( x k ,1e k , 2  x k , 2e k ,1 ) e k , 2 ( x k ,1e k , 2  x k , 2e k ,1 ) k 1 k 1





 n

tp 





c k ( x k ,1e k , 2  x k , 2e k ,1 ) 2 ,

k 1

 F0,1  g p   F0, 2 , M 0,3 

e k ,1e k , 2   e 2k , 2 

n

np 

k

k ( x k ,1e k , 2

 x k , 2e k ,1 ) 2

k 1

 F1 ( t )  fp   F2 ( t )    M 3 ( t )

Beispiel 16-2: Die Pfahlrostplatte in Abb. 16.10 lagert auf 4 viskoelastischen Stahlbetonpfählen. Für den Fall der ebenen Bewegung in der (1,2)Ebene sind die Eigenkreisfrequenzen, die Eigenvektoren und die Bewegungsgleichungen zu berechnen. Der Elastizitätsmodul des für die Pfähle verwendeten Betons ist E b  3,4 1010 N / m 2 . Sämtliche Pfähle besitzen die Querschnittsfläche 2 A  0,09 m . Die Masse der Pfahlrostplatte beträgt m  40000 kg , und das Massenträgheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt senkrecht zur BeAbb. 16.10 Ebene Bewegung einer Pfahlrostplatte wegungsebene wird mit 33  216667 kgm 2 angegeben. Die Materialdämpfung kann näherungsweise proportional zur Steifigkeit angenommen werden, womit

412

16 Fundamentschwingungen

die Eigenschwingungsformen des ungedämpften Systems erhalten bleiben. Gesucht wird die Bewegung der Pfahlrostplatte, wenn diese zum Zeitpunkt t  0 ohne AnfangsT   0, 01 m 0, 01 m 0 verschoben geschwindigkeit aus der statischen Ruhelage um xˆ p,0 und dann sich selbst überlassen wird. Lösung: Pfahllängen:

1   4  5,002  3,753  6, 25 m ;  2   3  5,00 m

Pfahleinheitsvektoren:

e1 

1  3,75   0,60   0,60  0  , e4   , e 2  e3   1 0 , 80  1  5,00  0,80    

 1, 25 m   1, 25 m  , x 3  x4   Anlenkpunkte der Pfähle: x1  x 2      0,50 m   0,50 m 

Federsteifigkeiten ( k k  E b,k A k /  k ) k1  k 4 

34000  0,09 34000  0,09  489,6 MN / m , k 2  k 3   612,0 MN / m 6, 25 5,00

0  0 0  m 0 4,00 Massenmatrix: M p   0 m 0   10 4  0 4,00 0      0 21,67  0 0  33   0

Submatrizen zum Aufbau der Steifigkeitsmatrix: 4

Ap 

 e2 k k  k ,1 e k ,1e k , 2 k 1

 4

bp 

k k 1

 e k ,1 ( x k ,1e k , 2  x k , 2 e k ,1 )   0,411  10 9     0  e k , 2 ( x k ,1e k , 2  x k ,2 e k ,1 )

k

4

np 

k

0  e k ,1e k , 2  9 0,353   10  2 1,851 e k ,2   0

k ( x k ,1e k , 2

 x k , 2 e k ,1 ) 2  0,2392 1010

k 1

Steifigkeitsmatrix: Ap Kp   T  bp

0,411 0 0,610 0  0,353  3,548 bp  9 -1 9    10 , K p  10 0 0,540 0  0 1,851 0     n p  0 0,523 0 2,392   0,411 0,610

16.1 Die Bewegungsgleichungen

413

Die Dämpfungsmatrix 0 0,411  0,353 0 1,851 0  Cp  10   0 2,392   0,411 6

wird proportional zur Steifigkeitsmatrix angesetzt.  0   0     5  Totlastvektor (hier nur Eigengewicht): g p   mg   10  4, 0 N   0   0     

Statische Ruhelage: xp,st

  0    K  g p  10  2,161 m    0   1 p

4

Bewegungsgleichung: M p  xˆp  C p  xˆ p  K p  xˆ p  0 Wir gehen weiter in Schritten vor: -1/2 1.) Berechnung von M1/2 p und M p

M 1/2 p

0  0 0  2,00 5,0 0 -1/2 3   0 5,0 0   10 0 2,00 0 , M p  10     0 2,15 0 4,65  0  0 2

2.) Berechnung von Δ und Ω 2

0 2,21  4,41 1 -1/2 -1/2  Δ  M p  Cp  M p  0 23,13 0    2 0 5,52   2,21 0 4,42  8,81 2 -1/2 -1/2 3 Ω  M p  K p  M p  10 0 46,27 0    0 11,04   4,42 Hinweis: Die Matrizen Δ und Ω 2 sind koaxial. 3.) Lösung des Eigenwertproblems Δ  I   e  0 0,789 0  0,615     1  2,67,  2  7,24, 3  23,13 , e1  0 , e2  0 , e  1     3    0,615 0  0,789 

414

16 Fundamentschwingungen

4.) Lösung des Eigenwertproblems (Ω 2   2 I )  e  0 12  5371,05, 22  14483,15, 32  46267,20 , 1  73,29, 2  120,35, 3  215,10 .

Die Eigenvektoren von Δ sind identisch mit denen von Ω 2 . 5.) Aufbau der Eigenvektormatrix  0,789 0 0,615 0,789 0,615 0 -1   Φ 0 0 1 , Φ   0,615 0 0,789  Φ T     1 0   0 0,615 0,789 0

6.) Berechnung der Matrizen S und S-1 S

M p1/2  Φ

-1

T

S Φ

0  3,944 3,073  10 0 0 5,000 ;   0  1,320 1,694

 M1/2 p

3 

0 2,861  1,578  10  1,229 0 3,672   2,000 0   0 2

7.) Berechnung der modalen Anfangsbedingungen 0 2,861  1,578  1  1,578 0  1 2 2  1 ~ ~      ˆ  q0  S  xp,0  10  1,229 0 3,672 10  1   1,229 , q 0  S  x p,0  0         2,000 0   0  0  2,000 0

8.) Lösung in Modalkoordinaten Wegen 2j   j ( j  1, 2, 3 ) liegt in jeder Modalkoordinate eine schwache Dämpfung vor. Im Einzelnen erhalten wir: 1  i1 , 1  12  12  5371,052  2,6852  73,24

   ~ q1 ( t )  ~ q1,0  cos 1t  1 sin 1t  exp(1t ) 1,578(cos 73,24t  0,03 sin 73,24t ) exp(2,685t ) 1    2  i 2 ,  2  22   22  14483,152  7,242 2  120,13    ~ q2 ( t )  ~ q20  cos 2 t  2 sin 2 t  exp(2 t )   1,229(cos120,13t  0,06 sin 120,13t ) exp(7,242t ) 2  

 3  i 3 , 3  32  32  46267,22  23,134 2  213,85

16.1 Die Bewegungsgleichungen

415

   ~ q3 ( t )  ~ q30  cos 3t  3 sin 3t  exp(3t )   2,0[cos(213,85t )  0,108 sin( 213,85t )] exp(23,134 t ) 3  

9.) Transformation in physikalische Koordinaten ~ ˆ S,1  w 3,944 3,073 0   q1 ( t )  ~(t)  10 3  0 ˆ   Sq xˆ p (t)   w 0 5,0  ~ q ( t )  S, 2     2   ˆ 3  0   ~ q 3 ( t )  1,320 1,694

In Komponenten erhalten wir ˆ S,1 ( t )  (6,222 10 3 cos 73,24 t  2,282 10 4 sin 73,24 t ) exp(2,686 t ) w  (3,777 10  3 cos120,13t  2,277 10  4 sin 120,13t ) exp(7,242 t ) ˆ S,2 ( t )  (1,000 10 2 cos 213,85t  1,082 10 3 sin 213,85t ) exp(23,134 t ) w

ˆ 3 ( t )  (2,083 10 3 cos 73,24t  7,638 10 5 sin 73,24 t ) exp(2,686 t )  (2,083 10  3 cos120,13t  1,256 10  4 sin 120,13t ) exp(7,242 t )

Die Geschwindigkeiten folgen aus xˆ p ( t ) durch Ableitung nach der Zeit t.

Abb. 16.11

Auslenkungen [m]

Abb. 16.12

Drehwinkel 3

Die drei Eigenschwingungsformen des Systems entnehmen wir spaltenweise der Matrix S. Eine Normierung der Eigenformvektoren auf die Länge 1 ergibt

416

16 Fundamentschwingungen

0,948 0,876 0      s1  0 , s2  0 , s 3  1         0,483  0,317  0

Die dritte Eigenform hat augenscheinlich nur eine Komponente in 2-Richtung, die damit eine Hauptschwingungsrichtung darstellt, wohingegen die ersten beiden Eigenformen in der ersten und dritten Koordinate gekoppelt sind.

Abb. 16.13

Eigenschwingungsformen

17

Näherungsverfahren für den Balken

Bei einem Balken sind Masse und Steifigkeit kontinuierlich verteilt. Die Lösung solcher Schwingungsprobleme erfordert die Integration partieller Differentialgleichungen unter Beachtung spezieller Anfangs- und Randbedingungen. Bei komplizierten Systemen gestaltet sich deren Abb. 17.1 Durchbiegung eines Balkens Lösung recht aufwendig, und für viele praktische Fälle kann eine geschlossene Lösung gar nicht angegeben werden. In solchen Fällen sind wir auf nummerische Verfahren angewiesen. Im Folgenden soll ein Verfahren vorgestellt werden, das sehr vielseitig einsetzbar ist und als elementarer Vorläufer der Methode der Finiten Elemente (FEM) angesehen werden kann.

17.1

Ein einfaches Diskretisierungsverfahren

Wir betrachten dazu den Balken in Abb. 17.1. Die Transversalbewegung dieses Tragwerks wird in der Kontinuumstheorie in Form einer orts- und zeitabhängigen Verschiebungsfunktion w(x,t) angegeben. Da das Kontinuumsmodell unendlich viele Freiheitsgrade besitzt, liefert die Analyse selbstverständlich auch unendlich viele Eigenfrequenzen und Eigenformen. Die Grundidee besteht nun darin, das Kontinuumsmodell Abb. 17.2 Diskretisierter Balken mit unendlich vielen Freiheitsgraden in einen Schwinger mit endlich vielen Freiheitsgraden zu überführen. Dazu teilen wir den Stab in n Abschnitte, die Elemente genannt werden. Die Aufteilung kann bei einfachen Systemen äquidistant erfolgen. Existieren Unstetigkeiten in der Belastung, der Geometrie oder auch der Materialverteilung, dann liegen die Elementgrenzen an diesen Unstetigkeitsstellen. Als Folge der Elementierung entstehen an den Elementgrenzen xi ( i  0,..., n ) genau n  1 Knoten. Wir ersetzen nun die kontinuierlich verteilte Balkenmasse durch konzentrierte, an den diskreten Stellen xi angebrachte Einzelmassen

418

17 Näherungsverfahren für den Balken

(engl. lumped-mass-procedure), also Punktmassen ohne Ausdehnung. Den Stab selbst betrachten wir fortan als masselos mit der Biegesteifigkeit B  EI yy . An einem innen liegenden Knoten wird die Knotenmasse mi aus dem Mittelwert der angrenzenden Elementmassen gebildet. Auf die Randknoten entfällt dann jeweils nur der halbe Anteil der entsprechenden Elementmassen. Die Anzahl der Knoten ist entscheidend für den zu leistenden Rechenaufwand. Mit wachsender Knotenzahl erwarten wir selbstverständlich eine Abb. 17.3 Knotenfreiheitsgrade und Verbesserung der Ergebnisse. Jedem Knoten des disRückstelllasten kretisierten Systems werden Knotenfreiheitsgrade zugeordnet. Das sind Verschiebungen wi und Verdrehungen i. Die aus dem Verbund der Elemente resultierenden Rückstellkräfte FRi und Rückstellmomente MRi werden als äußere Kräfte auf die Knoten aufgebracht (Abb. 17.3). Als Reaktionsgrößen wirken sie entgegengesetzt zu den positiv eingeführten Knotenfreiwerten. Für jede Teilmasse mi werden nun die Sätze angeschrieben, wobei wir uns im Folgenden auf die freien Schwingungen konzentrieren 1. Schwerpunktsatz:

 i  FRi mi w

2. Drallsatz:

 i   M Ri i 

Da für praktische Anwendungen der Balkentheorie der Einfluss der Drehträgheit der Massen auf das Schwingungsverhalten des Systems i. Allg. vernachlässigt werden kann, wird lediglich der translatorische Anteil betrachtet. Für das Gesamtsystem folgt dann in Matrizenschreibweise  m1  0   0   0  0

0  0

0 0 mi

0 0 0

0 0

0 0

 0

 1   FR1   w              i     FRi  w      0         n  m n   w FRn  0 0 0

oder symbolisch   FR Mw M:

Massenmatrix (Diagonalmatrix)

 : w

Beschleunigungsvektor der Massepunkte

FR :

Vektor der resultierenden Rückstellkräfte

(17.1)

Es verbleibt noch die Bestimmung des Vektors der Rückstellkräfte FR. Nach Abb. 17.4 erzeugt eine Kraft F1 am Knoten 1 die Verschiebung w 1  11F1 und am Knoten j die Ver-

17.1 Ein einfaches Diskretisierungsverfahren

419

schiebung w j   j1F1 . Umgekehrt verursacht eine Kraft Fj am Knoten j die Verschiebung w j   jj Fj und entsprechend am Knoten 1 die Verschiebung w 1  1 j Fj . Betrachten wir ein

System, das unter der Einwirkung von n äußeren Kräften Fj ( j  1,..., n ) im Gleichgewicht steht, dann gilt zwischen den Kräften Fj und den Verschiebungen wi der folgende Zusammenhang n

w1  11F1  12 F2    1n Fn 



1 jFj

j1

n

w 2   21F1   22 F2     2 n Fn 



2 jFj

j1

(17.2)

 n

w n   n1F1   n 2 F2     nn Fn 

Abb. 17.4



njFj

j1

Definition der Einflusszahlen ij

Die Einflüsse auf die Verschiebung wi infolge Lasten an den Stellen j ergeben sich bei elastischen Systemen nach Maxwell1 und Betti2 durch Superposition. Die Zahlen α ij   ji heißen Einflusszahlen. Sie werden nach bekannten baustatischen Verfahren berechnet oder Tabellen der Ingenieurliteratur entnommen und beschreiben allgemein den Einfluss der Verformung (Verschiebung oder Verdrehung) an der Stelle i infolge einer Lastgröße (Kraft oder Moment) an der Stelle j. Fassen wir die Einflusszahlen in der Matrix A zusammen, dann erhalten wir mit (17.2) für die Verschiebungen w  A  FR

und aufgelöst nach den Rückstellkräften 1

James Clerk Maxwell, britischer Physiker, 1831-1879

2

Enrico Betti, italien. Mathematiker, 1823-1892

(17.3)

420

17 Näherungsverfahren für den Balken FR  A 1  w  K  w

(17.4)

A: Matrix der Einflusszahlen (symmetrisch) K: Steifigkeitsmatrix (symmetrisch) Einsetzen von (17.4) in (17.1) liefert   K  w  0 Mw

(17.5)

Die Lösung von (17.5) ist bekannt. Beispiel 17-1: The Spire of Dublin1, ein bekanntes Denkmal der irischen Hauptstadt, besteht aus einer h  120 m hohen Stahlnadel (   7850 kg / m3 , E  2,1 1011 N / m 2 ), die an ihrem Fuße einen mittleren Durchmesser von d u  3,00 m und an der Spitze einen solchen von d o  0,15 m besitzt. Der Durchmesser d(x) ist linear mit der Höhe veränderlich (Abb. 17.5). Die Blechdicke beträgt einheitlich t  2,5 cm . Für dieses Tragwerk sind näherungsweise die Eigenfrequenzen und die Eigenformen zu berechnen. Etwa vorhandene Dämpfungseffekte können vernachlässigt werden.

Abb. 17.5

The Spire of Dublin, Ersatzmodell (n = 4 Elemente)

Lösung: Das statische System entspricht einem Kragträger mit veränderlicher Masse und Biegesteifigkeit, den wir in n gleichlange Elemente der Länge  ( e)  h / n teilen. Mit dem in Abb. 17.5 eingeführten Koordinatensystem liegen die Elementknoten an den Stellen x i  i  ( e) ( i  1,..., n ). Der Knoten 0 ist an der Einspannstelle festgehalten und kann sofort eliminiert werden. Im Einzelnen erhalten wir

1

heißt offiziell Monument of Light und steht in der O’Connell Street

17.1 Ein einfaches Diskretisierungsverfahren

421

Volumen:

do  du x  d u (1  ) (   1 d o / d u ,   x /  ) h dV( x )  d( x ) t dx , V   dV  1 2 ht(d u  d o )  14,84 m3

Gesamtmasse:

m  V  116525,6 kg .

d  du 

Durchmesser:

Das Element mit dem Index i besitzt die untere Elementgrenze x u  (i  1) ( e) . Sein Volux u (e)

 d(x)dx 

men ist Vi  t

xu

m i( e)  Vi 

htd u 2n 2

2n  (2i  1) , und seine Masse ermitteln wir zu

htd u

[2n  (2i  1)] . Bei einer Teilung mit n  4 sind die Elementmassen 2n 2 (e) (e) m1(e)  48899,14 kg , m (e) 2  13508,36 kg , m 3  22542,15 kg , m 4  9363,66 kg , die nun auf die Knoten zu verteilen sind. Auf innere Knoten i ( i  1,..., n  1 ) entfällt die Knotenmas-

htd u 1 (e) (m  m i(e1) )  (n  i) , und der Endknoten ( i  n ) bekommt die Hälfte 2 i n2 htd u 1 [2n (1  )  ] . Für die Teilung der Masse des Elementes i  n , also m (nk )  m (ne)  2 4n 2 n  4 errechnen wir die Knotenmassen se m i( k ) 

) (k ) (k) m1(k )  42309,89 kg, m(k 2  29131, 40 kg, m 3  15952,91 kg, m 4  4681,83 kg , die in der Massenmatrix M  diag[42309,89 29131,40 15952,91 4681,83] angeordnet werden.

Zur Berechnung der Einflusszahlen benötigen wir die Auslenkung des Kragträgers infolge einer Kraft Fj  1 an der Stelle x  a . Dazu ist die Differenzialgleichung der Biegelinie d 2 w (x ) dx

2



 M y (x) EI yy ( x )

w ( x  0)  0 ,

dw ( x ) dx

x 0

(17.6)

unter den Randbedingungen einer Einspannung bei x  0 zu integrieren. Das Schnittlast(a  x ) für 0  x  a moment M y   sonst 0 folgt bei diesem statisch bestimmten System aus dem Momentengleichgewicht am freigeschnittenen System allein. Da sich der Durchmesser d(x) linear mit x verändert, ist nun auch d 3 ( x ) t das Flächenträgheitsmoment I yy ( x )  eine Funktion von x. Dieser Sachverhalt ist 8 bei der Integration der Differenzialgleichung (17.6) zu beachten. Mit der neuen Variablen z  1  

(17.7)

422

17 Näherungsverfahren für den Balken

h sowie   a / h ist das Biegemoment M y  (a  x )   h (  )     1  z  und die 

Biegesteifigkeit B  EI yy  Bu z3 , Bu  (Ed 3u t ) / 8 . Unter Beachtung der Ableitungsregel d2 dx

2



2 d 2 2

h dz

2

d 2 w (z) dz 2

und der Abkürzung  



  1  z z3

h3 Bu 3

geht (17.6) über in

w (z  1)  0

dw (z) dz

0

(17.8)

z 1

Die Lösung ist

w ( z) 

 {2z ln z  (z  1)[z(  1)    1)]}, 2z

dw   2 (z  1)[z(  1)    1)] dz 2z

und die Rücktransformation mit (17.7) liefert w ( ) 

 {2(1  ) ln(1  )   [(1  )(  1)    1)]} 2(1  )

dw  2  [(1  )(  1)    1)]  d 2(1  ) 2

Abb. 17.6

(17.9)

Kragträger mit F3 = 1 an der Stelle x = a

Unterhalb der Last ist w (  )  1 / 2[(  2)  2 ln(1  )] . Für den über die Höhe h konstanten Radius (   0 ) folgt mit d o  d u  d aus einer Grenzwertbetrachtung w ( ) 

h 3 2 (3  ) 6B

B  (Ed 3 t ) / 8

(17.10)

Mit der Verschiebungsfunktion w() aus (17.9) können nun die Einflusszahlen ermittelt werden. Wir stellen dazu nacheinander die Kraft Fj  1 an die Stelle xj und berechnen dazu die Verschiebungen an den Knoten xi ( i  1,..., j ). Abb. 17.6 zeigt die Laststellung F3  1 und die Interpretation der zugehörigen Einflusszahlen. Die Einflusszahl  43   34 wird aus der Laststellung F4  1 berechnet. Das Ergebnis ist in Tab. 17.1 zusammengestellt.

17.1 Ein einfaches Diskretisierungsverfahren Tab. 17.1

423

Einflusszahlen für den Kragträger in Abb. 17.5

Last am Knoten j

x1  0,25

1

11  0,1973  106

2

12  0,5154 10 6

 22  0,2047 10 5

3

13  0,8334 10 6

 23  0,3895 10 5

 33  0,1015 10 4

4

14  0,1151  10 5

 24  0,5743 10 5

 34  0,1773  104

x 3  0,75

x 2  0,5

x4   sym.

 44  0,5773 10 4

Damit liegt die Matrix A der Einflusszahlen fest, auf deren Wiedergabe hier verzichtet wird. Durch Invertierung von A erhalten wir die Steifigkeitsmatrix 1,0273 0,0492 16,8199 6,0505   4 , 1402 1 ,2605 0,0961  K  10 6  0,6800  0,1040    0,0407  sym.

  K  w  0 geht mit dem Eigenfunktionsansatz Die homogene Bewegungsgleichung M  w w  a cos(t  ) in das allgemeine Eigenwertproblem (K  2M )  a  0 über. Aus der

Eigenwertgleichung det(K  2 M )  0 resultieren genau 4 reelle und positive Eigenkreisfrequenzen  j ( j  1,  ,4) und ebenso viele reelle Eigenvektoren. 1. Eigenwerte: 1  1,56 s 1

 f1  0, 25 s 1 ,

2  3,67 s 1

 f 2  0,58 s 1

3  9,06 s 1

 f 3  1, 44 s 1 ,

4  22, 20 s 1

 f 4  3,53 s 1

2. Eigenvektoren:  0,0323   0,1499 , e1    0,4052     1,0000

 0,0909   0,3336 , e2    0,4796    1,0000

 0,4565   0,8331 , e3    1,0000    0,4701

 1,0000  0,6238  e4    0,2533    0,0598

424

17 Näherungsverfahren für den Balken

Abb. 17.7

Eigenformen des diskretisierten Systems (n = 4 Elemente)

Zum Vergleich der Lösung mit der Teilung n  4 , wurden Vergleichsrechnungen mit n  2 und einer verfeinerten Elementierung bis n  128 durchgeführt. Die Ergebnisse sind in Tab. 17.2 zusammengestellt. Um hier zu einem brauchbaren Ergebnis auch für die höheren Eigenfrequenzen zu kommen, ist offensichtlich eine hinreichend feine Elementierung erforderlich. Tab. 17.2

n 2 4 8 16 32 64 128

17.2

Eigenfrequenzen f [Hz] für verschiedene Elementteilungen

f1 0,16 0,25 0,28 0,29 0,30 0,30 0,30

f2 0,55 0,58 0,77 0,86 0,88 0,89 0,89

f3 1,44 1,49 1,74 1,84 1,86 1,86

f4 3,53 2,68 2,96 3,18 3,23 3,25

f5 4,56 4,55 4,91 5,03 5,06

f6 7,37 6,59 7,05 7,26 7,32

f7 11,54 9,17 9,59 9,92 10,01

f8 18,31 12,35 12,53 13,00 13,14

Näherungsweise Berechnung der Eigenfrequenzen nach Rayleigh-Ritz

Dieses auf dem Energieerhaltungssatz basierende Verfahren gestattet die Berechnung der ersten Eigenkreisfrequenz, ohne die Verformung des Systems genau zu kennen. Wir gehen von einer dämpfungsfreien Bewegung aus und wählen für die zeit- und ortsabhängige Verschiebung des Balkens den Produktansatz w ( x , t )  f ( x ) u ( t )  f ( x ) cos(t  )

(17.11)

der einer ungedämpften Bewegung mit der gesuchten Eigenkreisfrequenz  und der Phasenverschiebung  entspricht. Über die Ortsfunktion f(x) muss noch sinnvoll verfügt werden. Die maximale Auslenkung w max  max w ( x , t )  f ( x ) folgt aus (17.11), wenn wir dort cos(t  )  1 setzen. Ausgehend vom Energieerhaltungssatz in der Form

17.2 Näherungsweise Berechnung der Eigenfrequenzen nach Rayleigh-Ritz E  U  E  W  konst.  E max  U max  Wmax

425 (17.12)

ist U max  U( w max ) diejenige potenzielle Energie des Trägers, die sich bei der maximalen Auslenkung w(x,t) einstellt. Die potenzielle Energie U entspricht der Formänderungsenergie W, die bei reiner Biegung eines Balkens aus (hier ohne Beweis) 1 2

UW

2

  2 w ( x, t )  1  dx  cos 2 (t  ) EI yy ( x )f 2 ( x ) dx EI yy ( x ) 2 2  x  ( ) ()





(17.13)

berechnet wird. Die Ableitung nach x wurde mit ( ) abgekürzt. Damit folgt U max  Wmax 

1 2

 EI

yy ( x )f 

2

( x ) dx

(17.14)

()

Die kinetische Energie des Systems ist E 

1 2



v 2 dm 

(m)

1 w ( x , t )  2 cos 2 (t  ) ( x )A( x )dx   2  t 



( )

1 2 2  sin (t  ) ( x )A( x )f 2 ( x )dx 2



()

mit ihrem Maximum E max 

1 2  ( x )A( x )f 2 ( x )dx 2



(17.15)

()

Führen wir noch die bezogene kinetische Energie E

E max

(17.16)

2

ein, dann erhalten wir mit (17.12) U W   max  max  E E 2

 EI

yy ( x )f 

2

( x ) dx

()

 (x)A(x)f

2

( x )dx

(17.17)

()

Die Auswertung dieser als Rayleigh-Ritz-Formel bezeichneten Beziehung, erfordert die Konkretisierung der Funktion f(x). Dabei ist auf Folgendes zu achten: Die Funktion f(x) muss mit den kinematischen Lagerungsbedingungen verträglich sein, sie muss also mindestens die geometrischen Randbedingungen erfüllen. In der Regel werden die Ansatzfunktionen aus der Erfahrung heraus gewählt. Allgemein kann hinsichtlich der Güte der mit (17.17)

426

17 Näherungsverfahren für den Balken

erzielten Approximation gesagt werden, dass diese um so besser ist, je vollständiger mit der Ansatzfunktion f ( x ) die Randbedingungen und die Massenverteilung des Systems erfüllt werden. Bei unserer Problemstellung ist mit der Auswahl von f ( x ) darauf zu achten, dass diese möglichst wenig gekrümmt ist, denn nach (17.17) wird die kleinste Eigenkreisfrequenz dann berechnet, wenn der Zähler möglichst klein gehalten wird. Beispiel 17-2: Es soll für das System in Beispiel 17-1 näherungsweise die erste Eigenfrequenz unter Anwendung der Rayleigh-Ritz-Formel (17.17) mit den beiden Ansatzfunktionen 1.) f1  c  2 (6  4   2 ) 2.) f 2  f1 (1  )  c  2 (6  4   2 )(1  ) berechnet werden. Wir verwenden weiterhin die Abkürzungen   1 d o / d u , B  EI yy  B u (1  ) 3 , B u  (Ed 3u t ) / 8 ,   x /  .

In beiden Verschiebungsansätzen bedeutet c eine dimensionsbehaftete Konstante. Die Querschnittsfläche des Balkens A  A u (1  ) , mit A u  d u  t , ändert sich linear. Die Funktion f1 entspricht der Auslenkung eines Kragträgers mit konstantem Flächenträgheitsmoment unter Gleichstreckenlast. Sie erfüllt mit f1  c  2 ( 6  4    2 ) ,

f1 

4c (3  3   2 ) h

die kinematischen Randbedingungen der Einspannung bei   0 und wegen f1 

12c h

2

(1  2   2 ) ,

f1  

24c h3

(1  )

auch die dynamischen Randbedingungen der Momenten- und Querkraftfreiheit bei   1 , wobei zu beachten ist, dass die Querkraft nicht proportional zu f1 ist. Im Einzelnen sind Wmax 

1 E  2

1 2

 EI

yy ( x )f1

2

( x ) dx 

()

h



A( x )f12 ( x )dx 

x 0

9B u c 2 35h 3

(56  28  8 2  3 )

W 81B u ( 3  8 2  28   56) 4hA u (91  73) , 2  max  E 315 4h 4A u (73   91)

Mit den Werten des Beispiels folgen 2  4,85 s 2 ,   2, 20 s 1 und damit die Eigenfrequenz f  0,35 s 1 , die um 16 % größer ausfällt, als im Fall der Elementteilung mit n  32 nach Tab. 17.2.

17.3 Näherungslösung mit dem d’Alembertschen Prinzip

427

Die Verschiebungsfunktion f 2  f1 (1  ) berücksichtigt mit dem Faktor 1   die zur Spitze hin abnehmende Steifigkeit. Für   0 (konstanter Querschnitt) sind beide Ansätze identisch. Die entsprechende Rechnung für f2 liefert etwas aufwendiger Wmax  

E

2 

2Bu c 2 (4455  1686  4  2079 3  408  2  714   756) 105h 3

hA u c 2 (18333 3  21412 2  25696  32032) 27720 528B u 445 5  1686  4  2079  3  408  2  714   756 h 4A u

18333 3  21412 2  25696  32032

und mit den Werten des Beispiels sind 2  3,76 s 2 ,   1,94 s 1 , f  0,31 s 1 . Dieses Ergebnis kommt der Lösung in Tab. 17.2 bei einer Teilung n  32 schon recht nahe. Hinweis: Ist der Querschnitt über die Höhe h konstant (   0 ), dann liefern beide VerschieB 162B u und damit   3,53 4 u , einen mit der Lösung der Konh A u 13h 4 A u tinuumstheorie übereinstimmenden Wert.

bungsansätze 2 

17.3

Abb. 17.8

Näherungslösung mit dem d’Alembertschen Prinzip

Träger auf zwei Stützen mit Querlast q(x,t)

Im Folgenden sollen mittels des d’Alembertschen Prinzips in der Lagrangeschen Fassung Näherungslösungen für stationäre erzwungene Transversalschwingungen am elastischen Balken zur Verfügung gestellt werden. Wir betrachten dazu den Träger in Abb. 17.8, der durch die orts- und zeitabhängige Belastung

428

17 Näherungsverfahren für den Balken q ( x , t )  q ( x ) cos t

(17.18)

beansprucht wird. Die Biegesteifigkeit B  EI yy , die Dichte  und auch die Querschnittsfläche A werden als mit der Ortskoordinate x veränderlich angenommen. In Abb. 17.8 bezeichnet w(x,t) die wirklich eintretende Verschiebung und w deren Variation. Nach Kap 4.6 erfordert das Prinzip  u A aV   u A a 

 dm b  u   W . Unter Beachtung u

( m)





von dA a  q ( x , t )dx w ( x, t ) ist  u A a   w dA a   w

 q(x, t)w (x, t) dx . Die Auslenkung

x 0

des Balkens findet nur in z-Richtung statt, und damit ist





dm b  u 



x 0

( m)

Adx

2w w . t 2

Zur Auswertung der virtuellen Spannungsarbeit  u W benötigen wir auch hier die Formänderungsenergie eines Biegebalkens nach (17.13). Damit lautet das Prinzip 



x 0

x 0

w

2w

 q cos(t)w dx   Adx t

2

2



EI yy   2 w    dx w   w 2  x 2  x 0



(17.19)

Für die unbekannte Funktion w(x,t) wählen wir einen zur Belastung gleichartigen Produktansatz der Form w ( x , t )  w ( x ) cos t

(17.20)

Unter Beachtung von 2w t

2

2w x 2

1 w ( x, t )   w ( x ) 2 cos(t )  w cos(t )    2 cos 2 (t ) w ( w 2 ) 2  w  cos(t )

folgt dann nach dem Kürzen mit cos 2 t     EI yy  A 2 w   w 2 dx   2 w dx  q w dx   0 2  x  0 2  x 0 x 0







(17.21)

Führen wir mit  w 





EI yy

x 0

2

 w 2 dx   2





x 0

A 2 w dx  2



 q w dx  0

x 0

(17.22)

17.3 Näherungslösung mit dem d’Alembertschen Prinzip

429

das elastische Potenzial ein, dann können wir für (17.21) auch kürzer  w  w (x )  0

(17.23)

schreiben. In Worten besagt die obige Beziehung, dass von allen denkbaren Verschiebungszuständen w ( x ) des Balkens derjenige wirklich eintritt, für den die Energiegröße  einen stationären Wert (Maximum oder Minimum) annimmt. Zur Beschaffung einer Näherungslösung wird in (17.21) im Sinne von Ritz1 mit n

w (x ) 

c w k

k (x)

(17.24)

k 1

ein Näherungsansatz für w ( x ) gemacht, wobei die w k (x) bekannte Funktionen von x darstellen. Bei der Auswahl der Funktionen ist das im Zusammenhang mit der Anwendung der Rayleigh-Ritz-Formel Gesagte zu beachten. Einsetzen von (17.24) in (17.22) ergibt den Näherungswert ˆ (c )  w  k 

2



2



n EI yy  n    n  A   c k w k  dx   2  c k w k  dx   c k w k  dx  0  q       2  k 1 2  k 1    x 0 x 0 x  0  k 1









 

(17.25)

ˆ Π ˆ (c ) nur noch eine Funktion der Sind die Ansatzfunktionen w k (x) gewählt, dann ist Π k

Ritz-Parameter c k . Damit ist das funktionalkinematisch unbestimmte Problem zur Ermittlung der Durchbiegung w(x) auf ein algebraisches zur Ermittlung der n Unbekannten c k zurückgeführt, was die Problemlösung erheblich vereinfacht. ˆ  ˆ ein Extremum des Variationsintegrals ist, muss δΠ Da 

n

j1

wegen der Beliebigkeit der c j folgt ˆ Π  c j



j

 0 erfüllt sein, und

j

ˆ Π  0 (j  1,..., n) . Mit (17.25) erhalten wir c j 



  n   n EI yy  c k w k  w j dx   2 A c k w k  w jdx  q w jdx  0   k 1   k 1 x 0 x 0 x 0









Führen wir die Abkürzungen

1

ˆ Π

 c δc

Walter Ritz, schweizer. Mathematiker und Physiker, 1878-1909



430

17 Näherungsverfahren für den Balken

k jk 







EI yy w k w jdx, m jk 

x 0



Aw k w jdx, f j0 

x 0



 q w dx j

(17.26)

x 0

ein, dann können wir dafür auch kürzer n

c k k

jk

k 1

 2

n

c m k

jk

 f j0  0

(j  1,..., n)

(17.27)

k 1

schreiben. Das sind n lineare Gleichungen zur Bestimmung der n unbekannten Koeffizienten c k . Fassen wir die Werte k jk und m jk in den symmetrischen Matrizen K und M sowie die unbekannten Ritzparameter ck im Vektor c und die Lastanteile f j0 im Vektor der rechten Seite f zusammen, also  k11 k K  K T   21     k n1

k12  k1n   m11 m k 22  k 2 n   , M  M T   21         k n 2  k nn   m n1

m12  m1n   f10   c1  f  c  m 22  m 2 n   , c   2  , f   20               m n 2  m nn  f n 0  c n 

dann kann das Gleichungssystem (17.27) auch in der Form (K   2 M )  c  f

(17.28)

geschrieben werden. Eine eindeutige Lösung für die Ritz-Parameter ck ist immer dann gegeben, wenn det (K   2 M )  0 erfüllt ist. Verschwindet mit det (K   2 M )  0

(17.29)

die Determinante, dann existiert keine stationäre Lösung, und es tritt der Resonanzfall ein. Wird insbesondere ein eingliedriger Ritzansatz w ( x )  c1w 1 ( x ) gewählt, dann verbleibt von (17.28) (k 11   2 m11 )c1  f10 ,

 c1 

f10 k11   2 m11

(17.30)

Fassen wir (17.29) als Bestimmungsgleichung zur Berechnung der Eigenkreisfrequenzen des Systems auf, dann erhalten wir im Rahmen der Näherungsrechnung auch genau n Näherungswerte der Eigenkreisfrequenzen für den transversal schwingenden Balken. Bei einem eingliedrigen Ritzansatz ist das

17.3 Näherungslösung mit dem d’Alembertschen Prinzip 

12

k  11  m11

 EI

x 0 



yy w 1

2

431

dx

(17.31) Aw 12 dx

x 0

ein Ergebnis, das mit der Rayleigh-Ritz-Formel (17.17) übereinstimmt. Beispiel 17-3:

Abb. 17.9

Balken mit pulsierender Belastung

Der Balken in Abb. 17.9 wird durch eine linear veränderliche pulsierende Streckenlast q(x,t) beansprucht. Er besteht aus einheitlichem Material (Dichte ) und konstanter Biegesteifigkeit B  EI yy . Für die angegebene Belastung soll die stationäre Transversalschwingung mit dem d’Alembertschen Prinzip in der Lagrangeschen Fassung bestimmt werden. Dazu ist der zweigliedrige Verschiebungsansatz w ( x )  c1w 1 ( x )  c 2 w 2 ( x ) mit den beiden Ansatzfunktionen w 1 ( x )  sin

2x x und w 2 ( x )  sin zu verwenden.  

Lösung: Wie leicht nachgeprüft werden kann, erfüllen die Funktionen w 1 ( x ) und w 2 ( x ) neben den geometrischen auch die dynamischen Randbedingungen. Man spricht in diesem Fall von Vergleichsfunktionen, die ein besonders gutes Ergebnis erhoffen lassen. Mit q  q 2  q1 können wir für die linear veränderliche Belastung q ( x )  q1  q x /  schreiben. Zur Auswertung der Integrale benötigen wir die Ableitungen

x 2 2 2x  2 und w 2    sin . Damit sind w1    sin       k11  B





w 1 2 dx 

x 0

B 4 2 3

, k 22  B





w 2 2 dx 

x 0

8B 4 3

, k12  k 21  0 ,

432

17 Näherungsverfahren für den Balken

m11  A





w 12 dx 

x 0

f10 





q w1dx 

x 0

A , m 22  A 2

(2q1  q) , f 20  



 w dx  2 2

x 0

A , m12  m 21  0 , 2



q

 q w dx   2 . 2

x 0

Die Lösung des Gleichungssystems (17.28) liefert die Ritz-Parameter c1 

q 2(2q1  q) , c2   4  16B4  B     2    2  A A 4 4   A  A     

und damit w ( x , t )  w ( x ) cos(t )  [c1w 1 ( x )  c 2 w 2 ( x )] cos(t ) .

In den Fällen 1  2

B A 4

und  2  4 2

B A 4

tritt Resonanz auf.

18

Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen

Wie wir in den vorangegangenen Kapiteln gesehen haben, sind in der Strukturdynamik Anfangswertprobleme (AWP) in Form von Differenzialgleichungen oder Systeme von Differenzialgleichungen 2. Ordnung zu lösen. Dabei können die Gleichungen linear oder auch nichtlinear sein. Eine analytische Lösung ist nur in seltenen Fällen möglich, das gilt insbesondere für die nichtlinearen Anfangswertprobleme. Ein Beispiel für eine hochgradig nichtlineare Differenzialgleichung ist die Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels ( t )  2 sin ( t )  0, 

( t  t 0 )  0 ,  ( t  t 0 )   0

(18.1)

die durch Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t  t 0 ergänzt wird. In der Regel kommen für derartige Aufgaben nummerische Verfahren zum Einsatz. Sie liefern eine Näherung für die im Sinne der Theorie exakte Lösung, falls eine solche überhaupt existiert. Die Güte des Ergebnisses ist vom Benutzer durch Auswahl geeigneter Verfahren und Festlegung der verfahrensbedingten Parameter beeinflussbar. Bevor wir die für die Strukturdynamik interessanten Verfahren vorstellen, sollen noch einige Vorbetrachtungen angestellt werden. Wie bereits erwähnt wurde, lässt sich jede Differenzialgleichung n-ter Ordnung in n Differenzialgleichungen 1. Ordnung überführen. Durch Einführung der Hilfsfunktionen z1 ( t )  ( t ), z 2 ( t )   ( t )

(18.2)

wird beispielsweise (18.1) in das äquivalente Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung z 2 (t )  z 1 ( t )    z ( t )  f [ t , z ( t ), z ( t )]  2    1 2

(18.3)

übergeführt. Mit den Vektoren  z (t )  z   1 , z 2 ( t )

z 2 (t )   f  , f [ t , z ( t ), z ( t )]   1 2

 z    z 0   10    0  z 20   0 

(18.4)

können wir (18.3) auch kürzer in der Form z (t)  f(t, z(t)) ,

z(t  t 0 )  z 0

(18.5)

434

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen

schreiben. Die Lösung ist  t

z(t)  z 0 

 f(τ, z(τ))d

(18.6)

 t 0

Damit lassen sich alle Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen 1. Ordnung auch auf AWP für Differenzialgleichungen n-ter Ordnung anwenden.

Abb. 18.1

Richtungsfeld einer gewöhnliche Differenzialgleichung 1. Ordnung

Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung z (t)  f(t,z(t)) ordnet jedem Punkt ( t, z(t) ) der Ebene einen Vektor [1, f ( t , z( t ))] mit der Steigung f ( t , z( t )) zu. Durch Festlegung des Anfangswertes z( t  t 0 )  z 0 wird aus der Fülle der Integralkurven genau eine Lösung herausgefiltert. Abb. 18.1 zeigt das Richtungsfeld und einige Lösungskurven der Differenzialgleichung z ( t )  f ( t )  e  t  2z( t ) . Ein unerlässlicher Schritt bei der Entwicklung nummerischer Verfahren besteht zunächst darin, die unabhängige Variable t zu diskretisieren (Abb. 18.2). Erstreckt sich das Lösungsgebiet beispielsweise über den endlichen Zeitraum t 0  t  t E , dann zerlegen wir dieses Gebiet in n Subintervalle [ t i , t i 1 ] (i  0,, n  1) . Die Schrittweite t  t i 1  t i wird dabei gewöhnlich konstant gewählt. Die diskreten Werte t i  t 0  i t heißen Stützpunkte. An den Stützpunkten nimmt die zu berechnende Funktion z(t) die Stützwerte z ( t  t i )  z i an. Die Lösung wird also nicht kontinuierlich für jeden Zeitpunkt t berechnet, sondern lediglich an diskreten Stellen.

17.3 Näherungslösung mit dem d’Alembertschen Prinzip

Abb. 18.2

435

Diskretisierung des Lösungsgebietes

Wir beschaffen uns nun eine Vorschrift zur näherungsweisen Berechnung von z i1 , wenn die Lösung z i vorliegt. Dazu integrieren wir (18.5) zwischen den Zeitpunkten ti und ti+1 und erhalten t i1

z i 1  z i 

 f (t, z(t)) dt

(18.7)

ti

Da die Funktion f ( t, z ( t )) im Intervall t i , t i 1  nicht bekannt ist, kann die Integration nur näherungsweise durchgeführt werden, und genau in diesem Punkt unterscheiden sich im Wesentlichen die verschiedenen Lösungsverfahren. In der Nummerik der Anfangswertaufgaben wird zwischen expliziten und impliziten Integrationsverfahren unterschieden. In einem expliziten Verfahren werden zur Berechnung der Näherungslösung nur Werte herangezogen, die zeitlich vor der zu berechnenden Größe liegen, wohingegen bei impliziten Verfahren der zu berechnende Wert selbst benutzt wird, was in einem jeden Schritt die Lösung eines linearen oder auch nichtlinearen Gleichungssystems erfordert. Wird die Näherungslösung z i 1 im Stützpunkt ti+1 allein aus der des Punktes ti gewonnen, dann wird dieses Verfahren als Einschrittverfahren bezeichnet. Im Gegensatz dazu verwenden die Mehrschrittverfahren zur Berechnung von z i 1 die Informationen der vorhergehenden Stützstellen t i 1 , t i  2 ,  , t i  m . Wir bezeichnen im Folgenden die Näherungslösungen an den diskreten Gitterpunkten ti mit ~z (t )  ~z  z(t )  z i i i i

(18.8)

Die Differenz ε i 1  z ( t i 1 )  ~z ( t i 1 )

(18.9)

heißt lokaler Verfahrensfehler an der Stelle ti+1, der bei der Integration der Differenzialgleichung über das Intervall t i , t i 1  entsteht. Der globale Verfahrensfehler e i 1  z ( t i 1 )  ~z ( t i 1 )

(18.10)

436

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen

an der Stelle ti+1 ist derjenige Fehler, der sich ergibt, wenn bei der Integration über das Intervall t i , t i 1  alle vorangegangenen Fehler berücksichtigt werden. Hinsichtlich der Fehlerbetrachtungen wird auf die Spezialliteratur verwiesen.

18.1

Differenzenquotienten

Zur Herleitung einiger wichtiger Differenzenquotienten entwickeln wir die skalarwertige Funktion f(t) in eine Taylor-Reihe. Es gilt allgemein f (t )  f (t 0 ) 

f( t ) f ( t 0 ) 0 ( t  t 0 )1  (t  t 0 ) 2   1! 2!

(18.11)

Der Punkt t0 heißt Entwicklungspunkt. Mit t  t i 1 und t 0  t i folgt aus (18.11) unter Beachtung von t i 1  t i  t in Kurzschreibweise 2

(t )  f i 1  f i  t fi  f i  O((t ) 3 ) 2

(i  0,, n  1)

(18.12)

Entwickeln wir dagegen an der Stelle t  t i 1 , dann ist 2

(t )  f i 1  f i  t fi  f i  O((t ) 3 ) 2

(i  0,, n  1)

(18.13)

Brechen wir nach den linearen Termen in t ab, dann folgt aus (18.12) der vorwärts genommene Differenzenquotient (VDQ)

~ f  f fi  fi  i 1 i t

(18.14)

Entsprechend folgt aus (18.13) der rückwärts genommene Differenzenquotient (RDQ) ~ f  f fi  fi  i i 1 t

(18.15)

Da wir zur Herleitung des vorwärts und rückwärts genommenen Differenzenquotienten in der Reihenentwicklung nach dem linearen Glied abgeschnitten haben, spricht man in diesen Fällen von einer Genauigkeit 1. Ordnung. Wir können die Genauigkeit der 1. Ableitung erhöhen, wenn wir (18.13) von (18.12) subtrahieren  (t ) 2  f i  O((t ) 3 )  2 3   f i 1  f i 1  2t fi  O((t ) ) 2 ( t )   f  O((t ) 3 )  f i  t fi  i  2

f i 1  f i  t fi   f i 1

18.1 Differenzenquotienten

437

Aus der letzten Gleichung erhalten wir den zentralen Differenzenquotienten (ZDQ) ~ 1 f i 1  f i 1  fi  fi  2t

(18.16)

Da wir in der Reihenentwicklung alle quadratischen Glieder berücksichtigt haben, ist der zentrale Differenzenquotient von der Genauigkeit 2. Ordnung und damit um eine Ordnung höher als vorwärts und rückwärts genommener Differenzenquotient. Abb. 18.3 zeigt einen Vergleich der lokalen Ableitung f  df / dt im Punkte ti (durchgezogene Linie) mit den aus den finiten Differenzen berechneten Differenzenquotienten (unterbrochene Linien).

Abb. 18.3

Differenzenquotienten

Addieren wir (18.12) und (18.13), dann erhalten wir eine Näherung für die zweite Ableitung von fi  (t ) 2  f i 1  f i  t fi  f i  O((t )3 )   2 2 3   f i 1  f i 1  2f i  (t ) fi  O((t ) ) 2 ( t )  f  O((t )3 ) f i 1  f i  t fi  i  2

Bei Vernachlässigung der Terme mit O((t ) 3 ) folgt  f  ~ fi  i

1 (t ) 2

f i 1  2f i  f i 1 

(18.17)

Dieser Differenzenquotient ist von der Genauigkeit 2. Ordnung. Wir integrieren nun (18.5) zwischen den Zeitpunkten ti und ti+1 und erhalten t i1

z i 1  z i 

 f (t, z(t)) dt ti

Ersetzen wir in (18.7) die Funktion f durch ihre Taylor-Reihe, also

(18.18)

438

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen 1 f(t)  f i  fi ( t  t i )  fi ( t  t i ) 2   2

und integrieren über t, dann folgt 1 z i 1  z i  f i t  fi (t ) 2  O((t ) 3 ) 2

18.2

(18.19)

Das Eulersche Polygonzugverfahren

Brechen wir die Taylor-Reihe (18.19) nach dem linearen Glied in t ab und bezeichnen die Näherungslösung von z i1 zum Zeitpunkt t i 1  t i  t mit ~zi 1 , dann erhalten wir die Rekursionsformel ~z  ~z  t ~ (i  0,, n  1) fi (18.20) i 1 i

Abb. 18.4

Polygonzugverfahren von Euler

Dieses Verfahren wird wegen seiner anschaulichen geometrischen Deutung (Abb. 18.4) Eulersches Polygonzugverfahren1 oder auch Euler-Vorwärts-Verfahren genannt und in die Klasse der expliziten Verfahren eingeordnet. Man erhält die Näherung im Stützpunkt ti+1 allein aus der des Punktes ti, womit auch die Bezeichnung Einschrittverfahren gerechtfertigt ist. Da die Reihenentwicklung nach dem linearen Glied abgebrochen wurde, handelt es sich hier um ein Verfahren der Genauigkeit 1. Ordnung. Die Steigung ~ ~ ~z  zi 1  zi  ~ fi t

(18.21)

~ wird allein aus dem Funktionswert fi am linken Rand berechnet. Um ein akzeptables Ergebnis zu erreichen, muss deshalb die Schrittweite t sehr klein gewählt werden, was den prak1

Leonhard Euler, Institutiones Calculi Integralis. Volumen Primum, Opera Omnia XI, 1768

18.2 Das Eulersche Polygonzugverfahren

439

tischen Nutzen dieses Verfahrens erheblich einschränkt. Außerdem verhält es sich bei großen Schrittweiten instabil. Algorithmus 18-1: Das Eulersche Polygonzugverfahren Eingabe: Funktion F(t0,..., tn-1), Masse m, Dämpferkonstante c, Federkonstante k, Schrittweite t, Anfangswert ~z0 . Setze i = 0  Berechne den Zustandsvektor ~zi 1  ~zi  t f ( t , ~zi ) gehe zu Ausgabe falls i  n  1 Setze i = i + 1 Gehe zu  Ausgabe: Näherungslösung ~zi (i = 0,..., n-1)

Wir wenden das Eulersche Polygonzugverfahren auf den gedämpften Einmassenschwinger m x( t )  c x ( t )  k x ( t )  F( t )

an und beschaffen uns zunächst die Zustandsraumdarstellung ( z1  x, z 2  x ) 1   z1   0   z 1   0 z    k / m  c / m   z   F / m    2    2 

(18.22)

oder symbolisch z ( t )  A  z ( t )  b( t )  f ( t , z ( t ))

Abb. 18.5

(18.23)

Abb. 18.6

Euler-Vorwärts-Verfahren

Euler-Rückwärts-Verfahren

t i1

Die Formel (18.20) approximiert das Integral

 f (t, z(t)) dt

auf eine sehr einfache Weise

ti

durch die Untersumme (Abb. 18.5). Der Quadraturfehler entspricht anschaulich den dreieck-

440

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen

förmigen Zwickelflächen. Wird das Integral durch die Obersumme (Abb. 18.6) approximiert, dann erhalten wir das implizite Eulerverfahren ~z  ~z  ~ fi 1 t (i  0,, n  1) (18.24) i 1 i ~ ~ Wegen fi 1  f (t i 1,~z (t i 1)) steht die noch unbekannte Funktion ~zi 1 auch im Argument von f, was die Lösung einer nichtlinearen Gleichung erfordert. Auch dieses Verfahren, das EulerRückwärts-Verfahren genannt wird, ist aufgrund der geringen Genauigkeit für die praktische Anwendung wenig geeignet.

Eine Steigerung der Genauigkeit des einfachen Polygonzugverfahrens kann durch eine gegenüber (18.21) verbesserte Annäherung der Steigung z im Intervall t i , t i 1  erreicht werden, etwa durch die Steigung z i1/ 2 in Intervallmitte. Dieser Wert kann zwar nicht exakt berechnet werden, allerdings können wir uns eine Näherung beschaffen. Dazu ersetzen wir im Ausdruck z ( t i  t / 2)  f ( t i  t / 2, z ( t i  t / 2)) die Funktion z ( t i  t / 2) im Argument von f durch den nach der einfachen Eulerschen Polygonzugmethode ermittelten Wert t z ( t i  t / 2)  ~z i  f ( t i , ~z ( t i )) . Auf diese Weise erhalten wir das verbesserte Eulerverfah2 ren t t ~ ~z  ~z  t ~ f (t i  , ~zi  f ( t i , ~zi )) i 1 i 2 2

Dieses Verfahren (s.h. Algorithmus 18-2) hat die Fehlerordnung O((t ) 2 ) . Algorithmus 18-2: Das verbesserte Eulersche Polygonzugverfahren Eingabe: Funktion F(t0,..., tn-1), Masse m, Dämpferkonstante c, Federkonstante k, Schrittweite t, Anfangswert ~z0 . Setze i = 0 t ~  Berechne k1  ~zi  f ( t i , ~zi ) 2 ~ Δt Berechne den Zustandsvektor ~zi 1  ~zi  t f (t i  ,k 1) 2 gehe zu Ausgabe falls i  n  1 Setze i = i + 1 Gehe zu  Ausgabe: Näherungslösung ~zi (i = 0,..., n-1)

(18.25)

18.2 Das Eulersche Polygonzugverfahren

441

Beispiel 18-1:

Abb. 18.7

Sendemast mit Impulsbelastung F(t)

Abb. 18.8

Näherungslösungen x(t) [m]

Wir wenden das verbesserte Eulersche Polygonzugverfahren auf den Sendemast in Abb. 18.7 an. Der Mast wird im Intervall 0  t  t F durch einen Dreieckimpuls F(t) belastet, der mittels der Heaviside-Funktion F( t )  F0 1  t / t F  H( t )  H( t  t F ) dargestellt werden kann. Der Dämpfungsgrad ist D = 0,05. Gesucht wird die dynamische Antwort, wenn sich das System zum Zeitpunkt t 0  0 in Ruhe befand. Geg.: m  400 kg , k  50 kN / m , D  0,05  c  447,21 kg / s , t F  0,1s , F0  10 kN . Lösung: Die dem Problem zugeordnete Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (m: Masse, c: Dämpfungskoeffizient, k: Federsteifigkeit) hat die Zustandsraumdarstellung

0 1 x   z (t )   0   z(t)   1 , A   , b(t)   , z0   0    1 / mF( t )  k / m  c / m  z 2 ( t )  v0  oder symbolisch z (t)  f ( t , z ( t ))  A  z(t)  b(t)

z(t  t 0 )  z 0 .

Abb. 18.5 zeigt die mit dem Algorithmus 18-2 erzielten Ergebnisse für die Zeitschrittweiten t  0,05 s (Rechenzeit 0,125 s) und t  0,01 s (Rechenzeit 0,311 s). Die Rechenzeiten wurden auf einem handelsüblichen Laptop gemessen. Beide Lösungen unterscheiden sich erheblich voneinander. Die Lösung zur kleineren Schrittweite t  0,01 s kommt dem theoretisch exakten Verlauf (nicht dargestellt) schon recht nahe. Die mit der größeren Schrittweite erzielten Ergebnisse sind dagegen unbrauchbar.

442

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen

18.3

Die Sehnen-Trapezregel (Verfahren von Heun)

Eine wesentliche Verbesserung des expliziten Eulerschen Polygonzugverfahrens kann erreicht werden, wenn die Taylor-Reihe in (18.19) erst nach dem quadratischen Glied in t abgebrochen wird, was zu 1 ~ ~z  ~z  ~ fi t  fi (t ) 2 i 1 i 2 ~ führt. Die Zeitableitung fi ersetzen wir durch den vorwärts genommenen Differenzenquo~ ~ ~ fi 1  fi tienten fi  . Damit entsteht die Rekursionsformel t ~ ~z  ~z  1 t [~ f (t i , ~zi )  f (t i 1 , ~z i 1)] i 1 i 2

Abb. 18.9

(18.26)

Sehnen-Trapezregel

Geometrisch entspricht die Quadratur in (18.26) der Fläche des der Kurve f(t) eingeschriebenen Sehnentrapezes (Abb. 18.9). Wie wir (18.26) entnehmen, erscheint die zu berechnende ~ Größe ~zi 1 auch auf der rechten Seite im Argument von f (t i 1 , ~zi 1) . Diese implizite Gleichung muss i. Allg. iterativ gelöst werden. Dazu benötigen wir einen Startwert, der entweder null gesetzt oder aber als Praediktor1 nach dem einfachen Eulerschen Polygonzugverfahren (18.20) berechnet wird, also ~z ( 0)  ~z  t ~ f (t i , ~z i ) i i 1 Diese erste Näherung wird dann durch den Korrektor

1

zu lat. praedictus ›vorhersagen‹

18.4 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren ~ ~z ( 1)  ~z  t [~ f (t i , ~z i )  f (t i 1 , ~z i(1) )] i i 1 2

443 (   0, 1, 2, )

(18.27)

verbessert. Bei hinreichend kleiner Schrittweite t reichen meist zwei Iterationsschritte. Der globale Verfahrensfehler ist von der Größenordnung O((t ) 2 ) . Algorithmus 18-3: Die Sehnen-Trapezregel (Verfahren von Heun) Eingabe: Funktion F(t0,...,tn-1), Masse m, Dämpferkonstante c, Federkonstante k, Schrittweite t, Anfangswert ~z0 Setze i = 0 ~  1. Schritt: Berechne ~zi(01)  ~z i  t f (t i ,~zi )





t ~ ~ ~ 2. Schritt: Berechne ~zi(ν11)  ~zi  f (t i, zi )  f (t i 1,~zi(νν 1) für   0,1 2 Setze nach der 2. Iteration ~zi 1  ~z i(21) falls i  n  1 gehe zu Ausgabe Setze i = i + 1 Gehe zu  Ausgabe: Näherungslösung ~zi (i = 0,..., n-1)

Bei Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten kann ~zi 1 in jedem Schritt direkt t berechnet werden. In diesem Fall ist ~z i 1  ~z i  [ A  ~z i  b i  A  ~z i 1  b i 1 ] und aufgelöst 2  t ~z  B 1  C  ~z  (b  b ) , B  I  Δt A, C  I  Δt A (18.28) i 1 i i i 1   2 2 2 

18.4

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren

Das klassische Verfahren von Runge1 und Kutta2, das auch zu den Einschrittverfahren gehört, kombiniert mehrere explizite Schritte, um so ein Verfahren möglichst hoher Ordnung zu konstruieren. Auf die Herleitung dieses Verfahrens gehen wir hier nicht näher ein und verweisen auf die in den Fußnoten angegebenen Originalarbeiten. Es zeichnet sich durch seine einfache Programmierung und hohe Genauigkeit aus. Die Fehlerordnung ist O(t ) 4 ) . Das Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung hat die Gestalt 1

Carl David Tolmé Runge, Math. An. Bd. 46 (1895) S. 167-178

2

Martin Wilhelm Kutta, Z. Math. Phys. Bd. 46 (1901) S. 435-453

444

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen ~z  ~z  t k ( t , ~z ) i 1 i i i 1 k ( t i , ~zi )  k 1,i  2(k 2,i  k 3,i )  k 4,i  6

(18.29)

mit den Koeffizienten k1,i  f ( t i , ~zi ),

Δt Δt k 2,i  f  t i  , ~zi  k1,i  2 2  

Δt Δt k 3,i  f  t i  , ~zi  k 2,i , 2 2  

k 4,i  f t i  Δt , ~zi  Δtk 3,i 

(18.30)

Algorithmus 18-4: Das klassische Runge-Kutta-Verfahren Eingabe: Funktion F(t0,...,tn-1), Masse m, Dämpferkonstante c, Federkonstante k Schrittweite t, Anfangswert ~z0 Setze i = 0  Berechne k j,i ( j  1...4) 1 Berechne k ( t i , ~zi )  k1,i  2(k 2,i  k 3,i )  k 4,i  6 Berechne ~zi 1  ~zi  t k ( t i , ~zi ) falls i = n – 1 gehe zu Ausgabe Setze i = i + 1 Gehe zu  Ausgabe: Näherungslösung ~zi (i = 0,..., n-1)

Das Runge-Kutta-Verfahren erfordert in jedem Zeitschritt vier Auswertungen der Funktion f. Aufgrund der hohen Genauigkeit kann dieser Zeitnachteil jedoch durch eine größere Schrittweite kompensiert werden. Da die Fehlerordnung des Verfahrens von vierter Ordnung ist, nimmt der Fehler bei einer Schrittweitenverkleinerung rasch ab und im Gegenzug bei einer Schrittweitenvergrößerung entsprechend stark zu, was die Ergebnisse bei zu großer Schrittweite unbrauchbar werden lässt. Es ist deshalb von Vorteil, nicht mit einer konstanten Schrittweite zu rechnen, sondern diese im Verlaufe des Rechenprozesses zu steuern. Zur Berechnung einer genauen Fehlerabschätzung beim klassischen Runge-Kutta-Verfahren wird auf die Spezialliteratur verwiesen. Beispiel 18-2: Die linearisierten Bewegungsgleichungen des mathematischen Doppelpendels sind

1  g 0  1  0  1  2          2  0 g   2  0  1  2  

(18.31)

18.4 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren

445

oder mit  g   1    1 , Φ   1 (  1)       2 

( 1)

(18.32)

in Matrizenschreibweise   Φ     

(18.33)

Um (18.33) in ein Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung zu überführen, führen wir den Zustandsvektor  1    z       z   1      2 z 2      1     2 

ein, dann können wir (18.33) in der Form z (t)  A  z(t)

(18.34)

mit   A  

I   

(18.35)

notieren. Im Folgenden rechnen wir mit den Systemgrößen 1   2  1 ,   9 / 25 und g  10 . Damit bekommen wir 0 0   0 0 A 5,625  15,625   15,625  15,625

1 0 1  0 0  0 0 0

Die Anfangsgeschwindigkeiten  1,0 und  2,0 werden null gesetzt. Für die Anfangslagen wählen wir 1,0  1 / 15, 2,0  1 / 9 . Die analytische Lösung dieses Anfangswertproblems ist 1 ( t ) 

1 5 cos t  , 15 2 

2 (t) 

1 5 cos t  9 2 

Abb. 18.10 und Abb. 18.11 zeigen die mit dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren erzielten ~ ( t ) und  ~ ( t ) bei Wahl unterschiedlicher Schrittweiten. In beiden Näherungslösungen  1 2 Grafiken wurden zum Vergleich auch die analytischen Lösungen 1 ( t ) und  2 ( t ) dargestellt. Bei einer Schrittweite von t  0,1 s sind die Näherungen praktisch identisch mit den analytischen Lösungen.

446

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen

Das math. Doppelpendel (t = 0,4 s)

Abb. 18.10

18.5

Abb. 18.11

Das math. Doppelpendel (t = 0,1 s)

Das Verfahren der finiten Differenzen für Differenzialgleichungen 2. Ordnung

Wir beschränken uns im Folgenden auf das Anfangswertproblem mx( t )  cx ( t )  kx(t)  F( t ), x ( t  t 0 )  x 0 , x ( t  t 0 )  v 0

(18.36)

Die Ableitungen x( t ) und x ( t ) werden durch geeignete Differenzenquotienten ersetzt. Mit (18.16) ist der ZDQ x i  ~ x i 

1 q i 1  q i 1  2t

(18.37)

Die zweite Ableitung ersetzen wir nach (18.17) durch x  x i  ~ i

1 (t ) 2

x i 1  2x i  x i 1 

(18.38)

Wir fügen nun diese Differenzenquotienten in (18.36) ein und erhalten m

1 ( t ) 2

 x i 1  2x i  x i 1   c

1  x i 1  x i 1   kx i  Fi , (i  0,, n  1) 2 t

Die Gleichung (18.39) gilt zunächst nicht für i  0 , denn dann ist

(18.39)

18.5 Das Verfahren der finiten Differenzen für Differenzialgleichungen 2. Ordnung

m

1 (t )

2

 x1  2x 0  x 1   c

1  x1  x 1   kx 0  F0 2t

447

(18.40)

Der Funktionswert x 1 liegt außerhalb des Lösungsgebietes. Er lässt sich jedoch durch den zentralen Differenzenquotienten (18.37) eliminieren, wenn wir daraus x 1  x1  2tx 0

ermitteln. Damit folgt

(18.41) 2m

(t ) 2

x1  x 0  t x 0 

 x1  x 0  x 0 t   F0  cx 0  kx 0 und aufgelöst nach x1

(t ) 2 1 (t ) 2 x 0 (F0  cx 0  kx 0 )  x 0  t x 0  2  m  2  x 0

(18.42)

Algorithmus 18-5: Das Finite-Differenzen-Verfahren

Eingabe: Funktion F(t0,...,tn-1), Masse m, Dämpferkonstante c, Federkonstante k, Schrittweite t, Anfangswerte x 0 , x 0 . Startphase: x 0 

1 F0  cx 0  kx 0  m

 x1  x 0  t x 0 

(t ) 2 x 0 2

Setze i = 1  Berechne Verschiebung x i 1 aus

1  Dt  x i 1  fi (t ) 2  [2  (t ) 2 ] x i  Dt  1 x i 1 1 x i 1  x i 1  2t 1 x i  Berechne Beschleunigung x i 1  2x i  x i 1  (t ) 2 falls i = n – 1 gehe zu Ausgabe Setze i = i + 1 Gehe zu  Ausgabe: Näherungslösungen x i , x i , x i (i = 0,..., n-1)

Berechne Geschwindigkeit

x i 

In einer Startphase ist also zunächst der Wert x1 nach (18.42) zu berechnen. Für die Folgeschritte i  0 gilt dann  1  1   1  2 1  m c x i 1  k  m x i   m c x i 1  Fi  2 2 2 2t  2t  (t )  (t )  (t )  

Nach Multiplikation mit (t ) 2 und Division mit m erhalten wir

448

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen 1  c t  x  f (t ) 2  2  k (t ) 2  x   c t  1 x  2m  i 1 i   i  2m  i 1 m

und abschließend unter Beachtung von 2  k / m , c /(2m)  D , f i  Fi / m

 1 t  x i 1  f i (t ) 2  [2  (t ) 2 ] x i  [Dt  1] x i 1  D   a

b

(18.43)

Aus dieser Gleichung kann sofort x i 1  b / a berechnet werden, da xi und xi-1 bekannt sind.

18.6

Das Newmark-Verfahren Der Grundgedanke dieses Verfahrens besteht in der Vorgabe des Beschleunigungsverlaufes x( t ) im Zeitintervall t i  t  t i 1 (Abb. 18.12). Die Geschwindigkeiten und Verschiebungen erhalten wir dann durch Integration. Im Folgenden wird mit einer konstanten Schrittweite t  t i 1  t i gerechnet.

Abb. 18.12

In Vorbereitung auf die Herleitung des eigentlichen Newmark-Verfahrens1 sollen zwei Ansätze für die Beschleunigungen im Intervall t verfolgt werden, die sich dann später als Sonderfälle des allgemeinen Verfahrens identifizieren lassen:

Beschleunigungsverlauf

Näherung 1: Konstanter Beschleunigungsverlauf (Abb. 18.13) Näherung 2: Linear veränderlicher Beschleunigungsverlauf (Abb. 18.14) Wir untersuchen zuerst Näherung 1 und nehmen als konstante Beschleunigung den Mittelwert aus den beiden Beschleunigungen an den Intervallgrenzen x( t ) 

1 (x i  x i 1 )  konst. 2

(18.44)

Die unbekannten Geschwindigkeiten folgen dann durch Integration  t

x ( t )  x i 



x()d  x i  x

 t i

1

 t

 d  x

 t i

i

1  (x i  x i 1 )( t  t i ) 2

(18.45)

Newmark, N. M.: A Method of Computation for Structural Dynamics, A.S.C.E. Journal of Engineering Mechanics Division, Vol. 85, 1959, pp. 67-94

18.6 Das Newmark-Verfahren

449

Nochmalige Integration liefert die Verschiebung  t

x (t )  x i 

 x ()d  x

 t i

i

1  x i ( t  t i )  (x i  x i 1 )(t  t i ) 2 4

(18.46)

Für den rechten Rand mit t  t i 1 und t i 1  t i  t sind dann t (x i  x i 1 ) 2 (t ) 2  x i  x i t  (x i  x i 1 ) 4

x i 1  x i  x i 1

Abb. 18.13

Konstante Beschleunigung

(18.47)

Abb. 18.14

Linear veränderliche Beschleunigung

Im Fall der Näherung 2 wird zwischen den Zeitpunkten ti und t i 1 die linear veränderliche Beschleunigung x( t )  x i 

x i 1  x i (t  t i ) t

(18.48)

gewählt. Die Integration führt auf x i 1  x i (t  t i ) 2 2t x x  x i x ( t )  x i  x i ( t  t i )  i ( t  t i ) 2  i 1 (t  t i )3 2 6t

x ( t )  x i  x i ( t  t i ) 

(18.49)

Werten wir die obige Gleichung für den rechten Rand mit t  t i 1 aus, dann folgt t (x i  x i 1 ) 2 (t ) 2  x i  x i t  (2x i  x i 1 ) 6

x i 1  x i  x i 1

(18.50)

450

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen

Beide Näherungen ergeben am rechten Rand dieselben Geschwindigkeiten, doch in den Verschiebungen unterscheiden sie sich. Zur Konkretisierung des Problems betrachten wir das AWP x( t ) 

1 [F( t )  cx ( t )  kx(t)], x ( t  t 0 )  x 0 , x ( t  t 0 )  v 0 m

und schreiben die Bewegungsgleichung zur Zeit t  t i 1 an x i 1 

1 [Fi 1  cx i 1  kx i 1 ] m

(18.51)

Setzen wir beispielsweise die Ergebnisse der Näherung 2 (linear veränderliche Beschleunigung) aus (18.50) in (18.51) ein, dann erhalten wir  (t ) 2  t xi 1  Fi 1  c ~  m  c  k vi 1  k ~ x i 1 2 6   2

(t ) t ~ xi x i 1  x i  x i t  vi 1  x i  xi , ~ 3 2

(18.52)

Eine identische Rechnung für die Näherung 1 (konstante Beschleunigung) ergibt  (t ) 2  t xi 1  Fi 1  c ~  m  c  k vi 1  k ~ x i 1 4 2   2

(t ) t ~ xi vi 1  x i  xi , ~ x i 1  x i  x i t  2 4

(18.53)

Das ursprüngliche Newmark-Verfahren verwendet für die Geschwindigkeiten und Verschiebungen die folgenden Ansätze x i 1  x i  [(1  )x i   x i 1 ] t x i 1  x i  x i t  [(1 / 2  ) x i   x i 1 ](t ) 2

(18.54)

Darin sind  und  noch freie Parameter, die sinnvoll zu wählen sind. So approximieren wir im Zeitintervall t i  t  t i 1 die Beschleunigung mit   0 und   0 :

Konstante Beschleunigung x( t )  x i (Untersumme) und

  1 und   1 / 2 : Konstante Beschleunigung x( t )  x i 1 (Obersumme)

Bei der Wahl von   1 / 2 geht (18.54) über in

18.6 Das Newmark-Verfahren

451

t 2  x i  x i t  [(1 / 2  ) x i   x i 1 ](t ) 2

x i 1  x i  (x i  x i 1 ) x i 1

(18.55)

und aus (18.55) ergeben sich dann im Zeitintervall t i  t  t i 1 folgende Approximationen für die Beschleunigungen   1 / 4 : Konstante Beschleunigung entsprechend Näherung 1   1 / 6 : Linear veränderliche Beschleunigung entsprechend Näherung 2

Berücksichtigen wir die Ansätze (18.54) in (18.51), dann erhalten wir die Formel von Newmark [m  ct  k(t ) 2 ] xi 1  Fi 1  c ~vi 1  k ~ x i 1 ~v  x  (1  ) t x i 1

i

i

(18.56)

~ x i 1  x i  x i t  (1 / 2  )(t ) 2 xi

Algorithmus 18-6: Das Newmark-Verfahren Eingabe: Funktion F(t0,..., tn-1), Masse m, Dämpferkonstante c, Federkonstante k, Schrittweite t, Anfangswerte x 0 , x 0 , ( x 0 aus der Differenzialgleichung). Wahl der Newmark-Parameter  und  Setze i = 0  Berechne ~vi 1  x i  (1  ) t x i ; ~ x i 1  x i  x i t  (1 / 2  )(t ) 2 x i Berechne Beschleunigung x i 1 aus [m  ct  k(t ) 2 ] x  F  c ~v  k ~ x i 1

i 1

i 1

i 1

Berechne Geschwindigkeit aus x i 1  x i  [(1  )x i   x i 1 ] t Berechne Verschiebung x i 1  x i  x i t  [(1 / 2  ) xi   xi 1 ](t ) 2 falls i = n – 1 gehe zu Ausgabe Setze i = i + 1 Gehe zu  Ausgabe: Näherungslösungen x i , x i , x i (i = 0,..., n-1) Nähere Untersuchungen zeigen, dass für die Parameterkombination   1 / 2 und   1 / 4 Stabilität des Verfahrens vorliegt. Bei hinreichend kleiner Schrittweite lassen sich damit ausreichend genaue Ergebnisse erzeugen. Das Newmark-Verfahren besitzt jedoch einige Eigenarten, die im folgenden Beispiel deutlich gemacht werden sollen.

452

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen

Beispiel 18-3:

Abb. 18.15

Stoßbelastung auf einen ungedämpften Einmassenschwinger

Für das skizzierte System in Abb. 18.15 sind die Verschiebungen x(t) infolge eines Rechteckstoßes der Intensität F0 mit dem Newmark-Verfahren zu berechnen. Geg.: m  5000 kg , k  998740 N / m , t F  0,5 s , F0  50 kN .

Abb. 18.16

Newmark-Verfahren (;  = 0,25)

Abb. 18.17

Newmark-Verfahren (;  = 0,4)

Abb. 18.16 zeigt die mit dem Newmark-Verfahren berechneten Auslenkungen x(t) in [m] für die Parameterkombination   0,6 und   0,4 . Ein Vergleich mit der exakten Lösung zeigt: 1.) Innerhalb der kurzen Belastungszeit ist die Lösung nach Newmark nahezu identisch mit der analytischen Lösung 2.) Nach der Entlastung liefert die nummerische Lösung kleinere Amplituden als die analytische. 3.) Bei der Parameterkombination   0,6 und   0,4 (Abb. 18.17) nehmen die Amplituden sogar mit der Zeit ab. Dieser Effekt wird nummerische Dämpfung genannt.

18.7 Das Verfahren von Adams-Bashforth

18.7

453

Das Verfahren von Adams-Bashforth

Dieses Verfahren gehört in die Klasse der Mehrschrittverfahren. Ausgangspunkt ist (18.18), also t i1

z i 1  z i 

 f (t, z(t)) dt

(18.57)

ti

Abb. 18.18

Verfahren von Adams-Bashforth, Polynomfortsetzung

Zur Auswertung des Integrals legen wir durch die vier Stützpunkte ( t i 3 , f i 3 ) , ( t i  2 , fi  2 ) , ( t i 1 , f i 1 ) und ( t i , f i ) im Sinne von Lagrange das Interpolationspolynom 3. Grades 3

P3 ( t ) 

~

f

ik

~ ~ ~ ~ L i  k ( t )  fi L i  fi 1 L i 1  fi  2 L i  2  fi 3 L i 3

(18.58)

k 0

Die Stützstellenverteilung t i  k  t i  k t ( k  0, 1, 2, 3 ) wird konstant angenommen (Abb. 18.18). In (18.58) sind Li (t) 

t  t i 3 t  t i  2 t  t i 1 , t i  t i 3 t i  t i  2 t i  t i 1

L i 1 ( t ) 

t  t i 3 t  t i  2 t  ti t i 1  t i 3 t i 1  t i  2 t i 1  t i

t  t i 3 t  t i 1 t  ti t  t i2 t  t i 1 t  ti , L i 3 ( t )  t i  2  t i 3 t i  2  t i 1 t i  2  t i t i 3  t i  2 t i 3  t i 1 t i 3  t i die Lagrangeschen Interpolationspolynome. Zur Approximation des Integrals im überhängenden Zeitintervall t i  t  t i 1 wird das Polynom P3 in diesen Bereich fortgesetzt (Abb. 18.18). Dann erhalten wir Li2 (t ) 

~z  ~z  i 1 i

3

~ fi -k

t i1

 L k 0

ti

i  k ( t ) dt

(18.59)

454

18 Nummerische Behandlung der Bewegungsgleichungen

Die Auswertung der elementaren Integrale erfolgt analytisch. Im Einzelnen ergeben sich mit t  t i  t  ( 0    1 ) und dt  t d t i 1

Ii 

1

 L (t)dt  t  i

t ti

t L i ( t )d  6

0

t i1

I i 1 

Ii2 

I i 3 

L

1

i 1 ( t )dt



 t

1

55

 (  3)(  3)(  1)d  24 t

0

t L i 1 ( t )d   2

tti

0

t i1

1

t ti



0

t i1

1

t L i 3 ( t )d   6

L

tti

i  2 ( t )dt

i 3 ( t )dt

 t

 t



59

 (  3)(  2) d   24 t

0 1

t L i  2 ( t )d  2

L

1

37

 (  3)(  1) d  24 t

 0

0

1

3

 (  2)(  1) d   8 t

0

und damit ~ ~ ~ ~z  ~z  t (55 ~ fi  59 fi-1  37 fi- 2  9 fi-3 ) i 1 i 24

(18.60)

Algorithmus 18-7: Das 4-Schrittverfahren von Adams-Bashforth Eingabe: Funktion F(t0,..., tn-1), Masse m, Dämpferkonstante c, Federkonstante k, Schrittweite t, Anfangswerte z 0 . Berechne Startwerte n, z1 , z 2 , z 3 mit dem klassischem Runge-Kutta-Verfahren Setze i = 3 ~ ~ ~ ~ t  Berechne ~zi 1  ~zi  (55 fi  59 fi-1  37 fi- 2  9 fi-3 ) 24 falls i = n – 1 gehe zu Ausgabe Setze i = i + 1 Gehe zu  Ausgabe: Näherungslösungen ~zi (i = 0,..., n-1) Da zur Berechnung des Näherungswertes z i 1 die Werte von f an vier Stellen linear kombiniert werden, wird (18.60) als explizites lineares 4-Schrittverfahren bezeichnet. Ein großer ~ Vorteil dieses Verfahrens besteht darin, dass für jeden Integrationsschritt mit fi nur eine ~ Funktionsauswertung an der Stelle ti erforderlich wird, da die vorhergehenden Werte fi 1 , ~ f und f bereits bekannt sind. Um das 4-Schrittverfahren anwenden zu können, sind i2

i 3

neben den Anfangsbedingungen z ( t 0 )  z 0 noch drei weitere Startwerte z1 , z 2 , z 3 erforderlich. Diese Werte sind so zu berechnen, dass ihre Fehler der Ordnung des verwendeten

18.7 Das Verfahren von Adams-Bashforth

455

Mehrschrittverfahrens nach Adams-Bashforth entsprechen. Zur Beschaffung dieser Größen eignet sich beispielsweise das klassische Runge-Kutta-Verfahren. Hinweis: Ein Vergleich der Genauigkeit des lokalen Fehlers zeigt, dass das AdamsBashforth-Verfahren dem expliziten Runge-Kutta-Verfahren unterlegen ist. Um vergleichbare Fehler zu erhalten, ist darum beim Mehrschrittverfahren immer eine kleinere Schrittweite erforderlich. Durch Veränderung der zurückliegenden Stützstellen können weitere Methoden hergeleitet werden. Wird zur angenäherten Berechnung des Integrals in (18.57) neben den vier Stützpunkten ( t i 3 , f i 3 ) , ( t i  2 , fi  2 ) , ( t i 1 , f i 1 ) und ( t i , f i ) zusätzlich noch der Wert fi 1 an der Stelle t i 1 verwendet, dann kann durch die fünf Stützwerte fi 3 , f i  2 , f i 1 , f i und fi 1 ein Polynom 4. Grades gelegt werden. Nach Auswertung der Integrale folgt die Methode von Adams-Moulton

~z  ~z  t (251~f ( t , ~z )  646 ~f  264 ~f  106 ~f  19 ~f ) i 1 i i 1 i 1 i i-1 i- 2 i-3 720 Mit (18.61) liegt eine implizite 4-Schrittmethode vor.

(18.61)

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Ausgabe 2005-03 1986-08 2001-03 2009-01 1985-12 1988-05 2000-02 2000-08 2000-02 1974-02 1995-01 1980-01 1996-05 1999-02 1988-04 1991-04 1955-08 1984-07 1983-02 1985-03 1991-11

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Literaturverzeichnis

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DIN 25445 Auslegung von Kernkraftwerken gegen seismische Einwirkungen; Seismische Instrumentierung; Sicherheitstechnische Anforderungen 1978-02 DIN 25449 Auslegung der Stahlbetonbauwerke von Kernkraftwerken unter Belastung aus inneren Störfällen 1987-05 DIN 45661 Schwingungsmeßeinrichtungen, Begriffe 1998-06 DIN 45662 Schwingungsmeßeinrichtungen, Allgemeine Anforderungen und Prüfung 1996-12 DIN 45667 Klassierverfahren für das Erfassen regelloser Schwingungen 1969-10 DIN 45669 Messung von Schwingungsimmissionen Teil 1 Schwingungsmesser; Anforderungen, Prüfung 1995-06 Teil 2 Meßverfahren; 1995-06 DIN 45672-1 Schwingungsmessung in der Umgebung von Schienenverkehrswegen; Meßverfahren 1991-09 DIN 45672-2 Schwingungsmessung in der Umgebung von Schienenverkehrswegen; Auswerteverfahren 1995-07 DIN 55303-2 Statistische Auswertung von Daten; Testverfahren und Vertrauensbereiche für Erwartungswerte und Varianzen 1984-05 DIN 55303-2 Beiblatt 1, Statistische Auswertung von Daten; Operationscharakteristiken von Tests für Erwartungswerte und Varianzen 1984-05 DIN 55303-5 Statistische Auswertung von Daten; Bestimmung eines statistischen Anteilsbereichs 1987-02 DIN 55303-7 Statistische Auswertung von Daten; Schätz- und Testverfahren bei zweiparametriger Weibull-Verteilung 1996-03 DIN EN 60651 Schallpegelmesser 1994-05 Änderungen 2003-03 DIN 45671 Messung mechanischer Schwingungen am Arbeitsplatz Teil 1 Schwingungsmesser; Anforderungen, Prüfung 1990-09 Teil 2 Messverfahren; Änderung 1997-10 DIN 50100 Werkstoffprüfung; Dauerschwingversuch, Begriffe, Zeichen, Durchführung, Auswertung 1978-02 VDI, Technische Regeln u. Richtlinien VDI 2057 Einwirkung mechanischer Schwingungen auf den Menschen Bl. 1 Ganzkörper-Schwingungen Bl. 2 Hand-Arm Schwingungen Bl. 3 Beurteilung (zurückgezogen) Bl. 4.1 Messg. und Beurteilung von Arbeitsplätzen in Gebäuden Bl. 4.2 Messung und Bewertung von Arbeitsplätzen auf Landfahrzeugen Bl. 4.3 Messung und Beurteilung für Wasserfahrzeuge (zurückgezogen) VDI 2059 Bl.1: Wellenschwingungen von Turbosätzen; Grundlagen für die Messung und Beurteilung

Ausgabe 2002-09 2002-09 1987-05 1987-05 1987-05 1987-05 1981-11

464

VDI 2236 VDI 3673 VDI 2062 VDI 2149 VDI 3830

VDI 3831 VDI 3831 VDI 3833 VDI 3839

VDI 3840 VDI 3840 VDI 3841 VDI 3842

Literaturverzeichnis Bl.3: Wellenschwingungen von Industrieturbosätzen; Messung und Beurteilung 1985-10 Staubbrände und Staubexplosionen; Gefahren, Beurteilungen, Schutzmaßnahmen 1992-05 Druckentlastung von Staubexplosionen 2002-11 Schwingungsisolierung Bl. 1 Begriffe und Methoden 1976-01 Bl. 2 Isolierelemente 1976-01 Blatt 1, Getriebedynamik - Starrkörper-Mechanismen 1999-11 Werkstoff- und Bauteildämpfung Bl. 1 Einteilung und Übersicht 2004-08 Bl. 2 Dämpfung von festen Stoffen 2004-10 Bl. 3 Dämpfung von Baugruppen 2004-07 Bl. 4 Modelle für gedämpfte Strukturen 2005-05 Bl. 5 Versuchstechniken zur Ermittlung von Dämpfungskenngrößen 2005-11 Schutzmaßnahmen gegen die Einwirkung mechanischer Schwingungen auf den Menschen, allgem. Schutzmaßnahmen, Beispiele 1985-11 Schutzmaßnahmen gegen die Einwirkung mechanischer Schwingungen auf den Menschen 2003-07 Dämpfer Bl. 1 Begriffe und Kenngrößen - Realisierung, Anwendung 2001-06 Schwingungen von Maschinen Bl. 1 Allgemeine Grundlagen Bl. 2 Schwingungsbilder für Anregungen aus Unwuchten, Montagefehlern, Lagerungsstörungen und Schäden an rotierenden Bauteilen 2003-05 Bl. 5 Typische Schwingungsbilder bei elektrischen Maschinen 2001-09 Bl. 8 Typische Schwingungsbilder bei Kolbenmaschinen 2002-11 Schwingungen von Wellensträngen; Erforderliche Berechnungen 1989-01 Schwingungstechnische Berechnungen 2002-09 Schwingungsüberwachung von Maschinen; Erforderliche Messungen 2002-11 Schwingungen in Rohrleitungssystemen 2002-09

VDI Berichte VDI Berichte 627: Dämpfung von Schwingungen bei Maschinen und Bauwerken: Tagung, Nürnberg, Düsseldorf: VDI-Verlag, 1987 Groß, V.: Numerische Simulation des Seiltanzens von Hochspannungs-Freileitungen. Fortschr.-Ber. VDI-Reihe 11 Nr. 285. Düsseldorf: VDI Verlag 2000. KTA-Regeln KTA 2201 (Kerntechnische Anlagen): Auslegung von Kernkraftwerken gegen seismische Einwirkungen

Ausgabe

Literaturverzeichnis

KTA 2202 KTA 2203

465

Teil 1 Grundsätze 1975-06 Teil 2 Baugrund 1982-11 Teil 4 Auslegung der maschinenelektrotechnischen Anlagenteile 1983-11 Teil 5 Seismische Instrumentierung 1977-01 Schutz von Kernkraftwerken gegen Flugzeugabsturz, Grundsätze und Annahmen Schutz von Kernkraftwerken gegen Flugzeugabsturz, Auslegung und bauliche Annahmen

DIN-Fachberichte DIN Fachbericht 101 DIN Fachbericht 102 DIN Fachbericht 103 DIN Fachbericht 104

Einwirkungen auf Brücken Betonbrücken Stahlbrücken Verbundbrücken

2001 2001 2002 2002

Internationale Regelwerke OENORM B 4014-1 Belastungsannahmen im Bauwesen 1993-10 Beiblatt 1 ,Statische Windwirkungen (nicht-schwingungsanfällige Bauwerke) Berechnungsbeispiele OENORM B 4014-1 AC 1, Belastungsannahmen im Bauwesen 1998-07 Statische Windwirkungen (nicht schwingungsanfällige Bauwerke), Berichtigung OENORM EN 40-3-2, Lichtmaste: 2002-07 Teil 3-2: Bemessung und Nachweis - Nachweis durch Prüfung

Sachverzeichnis A Abschirmung 257 Absolutbeschleunigung 21 Absolutgeschwindigkeit 21 Absorber 377 Abstimmung 154 hohe 157 tiefe 157 überkritische 158 unterkritische 158 Achse raumfeste 24 Adams-Moulton-Methode 455 Amplitude 114 Amplitudenfrequenzgang 156, 167 Analyse harmonische 222 Anelastizität 103 Anfangswertproblem 126 Arbeit 51 einer Kraft 51 eines Kräftepaares 52 Ausschlag-Zeit-Diagramm 111 Auswuchtverfahren 39 B Bahngeschwindigkeit 7, 8 Bahnkurve 1, 53 Basis orthonormale 1 Basisvektoren 1 Beobachtungsstandpunkt 19 Bernoulli-L’Hospital Regel von 142

Beschleunigung mittlere 3 Beschleunigungsvektor 3, 5 Bewegung 1, 13 geradlinige 8 gleichförmige 3, 8 gleichmäßig beschleunigte 9 Bewegungen freie gedämpfte 329 Bewegungsebene 15 Bewegungsenergie 51 Bewegungsgesetze 27 Bewegungsgleichung entkoppelte 339 nichtlineare 79 Bewegungsgleichungen nummerische Behandlung 433 Bezugssystem bewegtes 19 raumfestes 20 Biegestab 132 Bildfunktion 241 Binormaleneinheitsvektor 5 black box 91, 373 Blockfundament 399 Blockschaltbild 374 Bogenlänge 2, 5, 12 Bogenmaß 110 C Cardanwinkel 25 Coriolisbeschleunigung 21 d’Alembertsches Prinzip 68

468 D Dämpfer linearer 91 viskoser 395 Dämpfung linear viskose 329 massenproportionale 349 modale 340 nummerische 452 steifigkeitsproportionale 349 Dämpfungsgrade modale 349 Deviationsmomente 32 Diagonalmatrix 43 Differenzenquotient 436 rückwärts genommener 436 vorwärts genommener 436 zentraler 437 Differenzialgleichungssystem äquivalentes 335 Diskretisierung 234 Diskretisierungsverfahren 417 Dissipationsleistung 329 Doppelpendel mathematisches 77 physisches 84 Drallsatz 29 Drallvektor 30 Drehachse 14 Drehmatrix 25 Drehungen kleine 25 Drehzahlen kritische 40 Dreipolsatz 18 Durchgängigkeit 179 E Eigenfrequenzen nach Rayleigh-Ritz 424 Eigenkreisfrequenz 125 Eigenvektoren 44 Eigenvektormatrix 337, 338, 340, 344, 351, 352, 355, 356, 363, 365, 407, 414 Eigenwertproblem 43

Sachverzeichnis Eigenwertprobleme spezielle 340 Einflusslinien 18 Einflusszahlen 419 Einheitsstoß 200 Einschrittverfahren 435 Einschwingvorgang 160, 170 Einschwingzeit 156 Empfängerisolierung 257 Energie 51 kinetische 55 Energieerhaltungssatz 59 Energiemethode 134 Entstörung 257 Erregerbelastungen periodische 366 Ersatzmodell mathematisches 90 mechanisches 90 Eulerverfahren implizites 440 verbessertes 440 F Fall freier 9 Faltung 204 Feder lineare 91 Federmasse 134 Felderregungen 153 Fliehkraft 40 Fließen plastisches 108 Flüssigkeit reibungsbehaftet 10 FMD-Block 373 Förderkorb 37 Formänderungsenergie 51 Formel Cardanische 44 Eulersche 14 Formeln Frénetsche 5 Fourieranalyse 121

Sachverzeichnis Fourier-Inversionstheorem 241 Fourierkoeffizienten 222 Fourier-Kosinustransformierte 248 Fourier-Sinustransformierte 249 Fourierspektrum komplexes 223 Fouriertransformation 239 Fouriertransformierte einseitige 241 Freiheitsgrade 12 Frequenz 8, 109, 110 Frequenzgang komplexer 167 Führungsbeschleunigung 21 Führungsgeschwindigkeit 21 Fundamentallösungen 140 Fundamentschwingungen 399 Funktion verallgemeinerte 200

469 Integration nummerische 235 Integrationsverfahren explizite und implizite 435 Interpolation trigonometrische 235 Isolierungsgrad 259

H Hamiltonsches Prinzip 62 Hauptachsen 43 Hauptnormaleneinheitsvektor 5 Hauptträgheitsmomente 43 Hauptzentralachse 39 Heaviside-Funktion 192 Hooke-Modell 92 Hüllkurve 145

K Kardinalsinus 246 Kelvin-Modell 100 Kettenbruchentwicklung 117 Kinetik 27 Kinetostatik 82 Knicksicherheit 93 Koaxialität 340, 346 Kompressionsphase 212 Konstanten Variation der 202 Koordinaten physikalische 332 Körper starrer 13 Kosinusschwingung 114 Kraft dissipative 55 Kraftdurchgängigkeit 258, 261 Kräfte verlorene 68 Kraftfeld konservatives 52 Kraftstoß 196, 215 Kreisbewegung 7, 8, 14, 71, 113, 122 gleichförmige 122 Kreisel 34 Kreisfrequenz 110 Kriecherholung 103 Kriechversuch 97

I Impuls 27, 48 Impulsantwort 201 Impulsübergangsfunktion 200 Impulsvektor 48 Inertialraum 32

L Lageenergie 51 Lagrangesche Funktion 62 Leistung einer Kraft 58 eines Kräftepaares 58

G Gewichtsfunktion 204 Gleichgewichtslage 110 Gleichung charakteristische 44, 140 Gradient 53 Gravitationsgesetz 27 Grundmodelle 91

470 Lösung stationäre 156 M Massenmomente zeitabhängige 33 Massenpunkt 1 Massenverhältnis 77 Matrix des Einheitstensors 43 des Massenträgkeitstensors 32 orthogonale 24 Maxwell-Modell 95 Mehrschrittverfahren 435 Mittellage 110 Modalkoordinaten 340, 341, 345, 347, 354, 355, 363, 370, 409, 414 Modulationsfrequenz 119 Modulationsperiode 119 Modulationssignal 119 Moment verlorenes 69 Momentanachse 15 Momentanzentrum 16, 17, 57 N Nachwirkung elastische 103 Näherungslösung mit dem d'Alembertschen Prinzip 427 Näherungsverfahren für den Balken 417 Newmark-Verfahren 448 Nullphasenwinkel 114 Nyquist-Diagramm 173 O Originalfunktion 241 Orthogonalitätsbedingungen 331 Orthogonalitätsrelationen 347 Ortsvektor 1 P Parametergeschwindigkeiten 329 Parametertransformation 2

Sachverzeichnis Partialbruchzerlegung 254 Pendel 71 mathematisches 71 physisches 78 Pendellänge reduzierte 79 Periode 109 Pfahlrost 399 Phasenebene 111 Phasenkurve 111 Phasenportrait 112 eines mathematischen Pendels 72 Phasenverschiebungsfrequenzgang 157, 176, 179 Phasenverschiebungszeit 186 Phasenwinkel 114 Polarkoordinaten 6 Polygonzugverfahren von Euler 438 Potenzial einer Federkraft 54, 55 einer Gewichtskraft 53 eines konservativen Kraftfeldes 53 Potenzialdifferenz 53 Prandtl-Modell 107 Prinzip der virtuellen Verrückung 65 Punkte singuläre 111 Q Quader homogener 47 Quellenerregung 153 Quellenisolierung 257 R Randerregungen 153 Rayleigh-Dämpfung 348, 349 Rechteckstoß 196 Reihenschaltung 94 Relativbeschleunigung 21 Relativbewegung 19, 21 Relativgeschwindigkeit 21 Relativpol 18 Relaxation 100, 103

Sachverzeichnis Relaxationsversuch 97 Relaxationszeit 100, 107 Resonanzfall 156 Restitutionsphase 212 Retardationszeit 103, 106 Richtungskosinusse 44 Rollkurve 17 Rotationsenergie 57 Ruhelage statische 329 Runge-Kutta-Verfahren 443 S Sätze Steinersche 41 Schockspektren 266 Schraubendruckfeder 92 Schraubung 15 Schwebung 119 Schwebungsfrequenzen 120 Schwerpunktsatz 29 Schwinger einfache 112 kontinuierlicher 112 mehrfache 112 Schwingerkette 332, 371 Schwingung erzwungene 113 fastperiodische 117 harmonische 11, 90 periodische 113 phasenmodulierte 118 Schwingungsabsorption 377 Schwingungsdämpfer 377, 387 Schwingungsdauer 74 Schwingungsisolierung 257 Schwingungstilgung 378 Schwingungsweite 110 Sehnen-Trapezregel 442 SI-Basiseinheiten 111 Simulation nummerische 373 Sinusschwingung 114 Spaltsinus 246 Sprungübergangsfunktion 194

471 Spurkurve 17 Standard-Modell 103 starrplastisch 94 Stoß gerader zentraler 209 schiefer exzentrischer 210 schiefer zentraler 209 zentraler 209 Stoßfaktoren 266 Stoßspektren 266 Stoßübergangsfunktion 200 Superpositionsprinzip 126 Synchronlösungen 330 Systemzeit 145 T Tangenteneinheitsvektor 3, 4 Tangentialbeschleunigung 5 Taylor-Reihe 436 Tiefpassfilter 164 Tilger 378 Torsionssteifigkeit 132 Trägerfrequenz 120 Trägersignal 119 Trägheitsgesetz 28 Translation 19 Trapezsumme 234 Tridiagonalmatrizen 373 Trockenreibungselement 91 U Übertragungsfaktor 168 Übertragungsfunktion komplexe 167 Unwuchten 39 Unwuchtfreiheit 39 Unwuchtwirkungen 39 V Vektor der mittleren Geschwindigkeit 3 Verfahren der finiten Differenzen 446 Verfahren von Adams-Bashforth 453 Vergrößerungsfunktion 156

472 Verschiebungssatz im Bildraum 242 im Originalraum 242 W Walze 60 Wegdurchgängigkeit 262 Wegunabhängigkeit 52 Winkelbeschleunigung 7 Winkelgeschwindigkeit 7, 13, 20 Wirkungsgrad 259

Sachverzeichnis Z Zahlenebene komplexe 122 Zeiger rotierender komplexer 122 ruhender komplexer 123 Zentripetalbeschleunigung 5 Zustand stationärer 156 Zylinderkoordinaten 6