Stralcio del Manuale d'uso di Microsap per gli utenti di EdiLus-CA

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Microsap

Stralcio del Manuale d’Uso di Microsap per gli utenti di EdiLus-CA

EdiLus-CA utilizza una versione personalizzata del solutore ad elementi finiti Microsap di proprietà di Tesys s.n.c.. Il presente documento è uno stralcio del Manuale d’Uso di Microsap contenente informazioni utili per l’Utente di EdiLus-CA. Non vengono, pertanto, riportate informazioni e procedure relative all’installazione, al formato dei dati di input, ecc., che non sono di alcun interesse per l’utilizzo di EdiLus-CA. Il presente manuale si riferisce alla release 8.2A del solutore Microsap; nell’Appendice vengono descritte le caratteristiche degli aggiornamenti apportati alle release successive. Il solutore Microsap fornito con il programma EdiLus-CA non può essere utilizzato separatamente da quest’ultimo.

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III ORGANIZZAZIONE E CONTENUTO DEL PACKAGE MICROSAP

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1. INTRODUZIONE Microsap32 (Structural Analysis Program for MICROcomputers) è una procedura modulare per il calcolo strutturale, espressamente sviluppata per personal computer con microprocessore 486 e Pentium. Il programma può eseguire l'analisi lineare statica e dinamica di differenti tipi di problemi strutturali tridimensionali e piani. Il suo campo di applicazione riguarda principalmente l'Ingegneria Meccanica e Civile. In particolare, il programma rende possibili la verifica e il dimensionamento ottimale di strutture complesse, quali: ♦ CAPANNONI INDUSTRIALI ♦ PONTI ♦ TORRI ♦ TRALICCI ♦ TELAI PIANI E SPAZIALI ♦ STRUTTURE AD ASTE CON CARICHI E GEOMETRIA GENERICA ♦ DIGHE ♦ GALLERIE ♦ CUPOLE ♦ SERBATOI ♦ ORGANI DI MACCHINE ♦ STRUTTURE A GUSCIO GENERICHE ♦ STRUTTURE SOLIDE A GEOMETRIA GENERICA E CON QUALUNQUE TIPO DI CARICO

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2. STRUTTURA GENERALE DEL PACKAGE L'architettura e le capacità offerte dal package, grazie alle speciali tecniche di programmazione impiegate, sono confrontabili e in alcuni casi superiori a quelle in dotazione ai più noti programmi di calcolo strutturale ad elementi finiti implementati su minicomputer e mainframe. Intento del Microsap è quello di permettere l'uso di un mezzo di analisi sofisticato anche su personal computer, senza imporre alcun limite alle caratteristiche geometriche del modello, alle proprietà dei materiali, ai carichi e alle condizioni di vincolo. I limiti sono molto spesso rappresentati solo dall'intuizione e abilità del progettista nello scegliere il tipo di schematizzazione più adatto a rappresentare il problema fisico reale. L'intero sistema è strutturato secondo le seguenti unità principali:

A) Pre-Processor B) M I C R O S A P C) Post-Processor

2.1 Pre-Processor Ogni programma complesso di analisi strutturale, per mantenere una completa generalità, ha sempre limitate capacità di generazione dati on-line. La fase di input dati invece è di solito indipendente e non avviene contemporaneamente all'esecuzione, come è invece il caso per programmi di tipo interattivo. Ciò perchè alcune fasi del calcolo, come la fattorizzazione della matrice di rigidezza o la risoluzione del problema di autovalori, può richiedere parecchio tempo. E' bene perciò che il programma si autogoverni e completi l'esecuzione senza alcun intervento esterno, facendo uso di un file dati preparato in precedenza (risoluzione in batch). Il file dati può essere preparato direttamente dall'utente con un text editor di sistema o un word processor seguendo il formato voluto dal programma, oppure può essere generato da un apposito programma (preprocessor). Il flusso e le caratteristiche dei dati di input sono inoltre intimamente legati ai metodi di risoluzione impiegati. Il pre-processor è quindi un'interfaccia che permette anche all'ingegnere con limitata o nessuna esperienza nell'analisi strutturale ad elementi finiti di accedere, soprattutto all'inizio, con facilità all'unità di calcolo B) secondo gli schemi a lui più familiari. Un compito importante del pre-processor è la generazione della geometria del modello e delle sue membrature, oltre al controllo preliminare dei dati introdotti. Tramite un ausilio grafico o attraverso dei semplici comandi l'utilizzatore può perciò descrivere in modo interattivo l'intero modello della struttura: caratteristiche geometriche, condizioni di vincolo, carichi, proprietà dei materiali. Ogni pre-processor è sostanzialmente un programma di edit orientato alla classe di problemi da risolvere: esso non eseguirà alcun calcolo e si limiterà eventualmente a trasformare le quantità introdotte in altre equivalenti come volute dal programma strutturale.

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Oltre ai pre-processor rilasciati col Microsap, altri per usi particolari possono essere scritti direttamente dall'utente, in linguaggio BASIC, FORTRAN, ecc. Questi termineranno sempre con la generazione del file dati per il Microsap nel formato richiesto (v. cap.IV e cap.V).

2.2 MICROSAP L'unità B) costituisce il vero programma di analisi strutturale. La struttura è descritta attraverso una serie di nodi ai quali possono essere connessi elementi di tipo diverso, ognuno suddiviso eventualmente in più gruppi. Il modello strutturale può inoltre avere un qualunque numero di materiali, condizioni di carico e di vincolo. Le principali caratteristiche tecniche del solutore Microsap32 sono riassunte nel seguito: • Libreria Elementi: 3/D TRUSS

(asta con 6 gradi di libertà)

3/D BEAM

(asta con 12 g.d.l.)

3/D BOUNDARY (elemento di contorno con 6 g.d.l.) Q4,Q6,QM5

(assialsimmetrici quadr. e triang. con 8 g.d.l.)

Q4,Q6,QM5

(plane stress, quadr. e triang. con 8 g.d.l.)

Q4,Q6,QM5

(plane strain, quadr. e triang. con 8 g.d.l.)

Q4,Q6,QM5

(plane stress membranali, quadr. e triang., definiti nello spazio con 12 g.d.l.)

3/D SHELL

(elementi di lastra piana o curva, quadrangolari e triangolari definiti nello spazio, con 24 g.d.l.)

3/D SOLID

(elementi esaedrici o pentaedrici con 24 g.d.l.)

• Nessuna limitazione sul numero di nodi, elementi, gradi di libertà, larghezza di banda, condizioni di carico, ecc.. • Struttura modulare del programma con possibilità di risoluzione parziale, restart e ripetizione di alcuni moduli. Direttive assegnabili sulla stessa linea di comando. • Allocazione dinamica dei differenti tipi di dati. Virtualizzazione della memoria estesa a tutti i moduli di programma. Files di lavoro registrati con tecniche di impaccamento (eliminazione dei termini nulli e costruzione della bit-map del blocco) per ridurre al minimo l'impegno di memoria su disco ed il tempo di input/output. • Possibilità di utilizzare tutta la memoria RAM estesa installata ed eventualmente, se necessario, lavorare in memoria virtuale impiegando lo spazio disponibile su disco per la risoluzione di problemi di grandi dimensioni.

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• Input dati interattivo attraverso pre-processor grafico oppure manuale in formato libero. Output in formato compatto o impaginato riproducibile su stampante, video o disco. • Risolutore di equazioni a banda ottimizzato, con tecnica a blocchi e "a matrice sparsa", sia per le operazioni in memoria centrale che per l'archiviazione su disco. Ottimizzazione di banda CuthillMcKee. • Schematizzazione della struttura utilizzando tutti gli elementi di libreria, eventualmente suddivisi in più gruppi. Possibilità di esaminare contemporaneamente un qualunque numero di condizioni di carico. Combinazione lineare di carichi. Qualunque numero e tipo di condizioni di vincolo, compresi supporti elastici e cedimenti. Legame master/slave e vincoli interni per gli elementi Beam. Combinazione di differenti condizioni di vincolo nei diversi casi di carico. • Carichi di gravità, carichi termici, presollecitazioni e interferenza, pressioni, carichi idrostatici, accelerazioni, forze centrifughe. Input facilitato dei carichi distribuiti su più campi e delle sezioni per l'elemento Beam. Qualunque numero di materiali, isotropi o ortotropi, con caratteristiche dipendenti dalla temperatura. • Suolo elastico alla Winkler definibile per gli elementi shell e beam. La trave su suolo elastico può ricevere qualunque tipo di carico. • Per l’elemento beam, possibilità di definire estremità rigide comunque orientate nello spazio, offset del centro di taglio, sezione variabile lungo l’asse e comporre i carichi secondo i tipi predefiniti (interferenza, precarico, salto termico, gradiente termico, forze e momenti concentrati, carichi e momenti ripartiti parzialmente sull’asta e con legge lineare, precompressione con cavi a tratti parabolici e rettilinei. • Analisi modale col metodo "Subspace Iteration" su un massimo di 90 frequenze proprie e modi di vibrare. Il controllo sull'overflow attraverso la normalizzazione delle matrici proiezione ed un particolare innesco automatico della procedura, consentono sempre una convergenza stabile. Possibilità di calcolo dei modi di vibrare su strutture non vincolate. • Analisi spettrale. Input sismico assegnato analiticamente mediante i parametri di forma dello spettro di progetto (di accelerazione, velocità o spostamento). Un opportuno fattore di scala permette la variazione delle ordinate per tener conto di coefficienti di smorzamento, di struttura, di intensità sismica, di pendio. Lo spettro di risposta può anche essere assegnato per punti. Direzione del sisma fornita dall'utente. Calcolo dei coefficienti di partecipazione, del fattore modale e della massa equivalente per ogni direzione. Gli sforzi, gli spostamenti e le forze sismiche equivalenti possono essere ottenute per ogni modo separatamente o con composizione SRSS. • Analisi della risposta armonica. Calcolo degli spostamenti e degli sforzi nella struttura soggetta a qualunque input dinamico di tipo sinusoidale con frequenza assegnata, a regime (non transitorio) e in assenza di smorzamento. • Calcolo degli sforzi per tutti gli elementi e condizioni di carico. Deformazioni e verifica a carico di punta per strutture reticolari. Calcolo di azioni interne e spostamenti su un massimo di 11 sezioni lungo l’asta per gli elementi Beam. Sforzi riferiti al sistema globale o locale, sforzi principali, sigma di von Mises e taglio massimo per gli elementi finiti piani Q4,Q6,QM5. Sforzi riferiti al sistema globale o locale e sigma di von Mises al centroide o sulle facce, per gli elementi Solid. Azione normale, flessione e taglio al centroide, sforzi globali, sforzi principali, sigma di von Mises sulla faccia superiore e inferiore per gli elementi Shell.

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• Calcolo dei massimi e minimi in valore assoluto e algebrico, suddivisi per condizione di carico e tipo di materiale.

2.3 Post-Processor I post-processor sono in genere programmi interattivi orientati al problema e hanno il compito di facilitare l'esame dell'output prodotto dall'unità B), o di elaborarlo ulteriormente, secondo il tipo di analisi eseguita. Un programma di analisi strutturale ad elementi finiti produce sempre una gran quantità di informazioni sullo stato di sollecitazione della struttura. E' quindi necessario un programma indipendente che permetta all'ingegnere di accedere di volta in volta ai risultati di un certo tipo e in determinate zone della struttura. Un altro problema risolvibile da un post-processor può essere la rappresentazione degli sforzi e degli spostamenti su plotter o video-grafico. Se il programma è di impiego generale, come il Microsap, esso fornirà per alcuni tipi di strutture, dei risultati che possono aver bisogno di un ulteriore trattamento. Si pensi ad esempio all'elemento Beam. Esso è sostanzialmente un'asta definita dai due nodi di estremità, dalle caratteristiche geometriche della sezione e dai carichi agenti. Le incognite del problema sono rappresentate dagli spostamenti e rotazioni nodali. Note queste, la fase finale di calcolo per il programma strutturale consiste nella determinazione degli "sforzi", cioè in tal caso, delle reazioni agli estremi. Se l'asta è però una membratura in cemento armato, può essere richiesto il progetto dell'armatura, con eventuale rappresentazione dei disegni esecutivi su plotter o stampante. Il post-processor può far uso di dati generati da un pre-processor associato, oppure servirsi dello stesso file dati del Microsap per conoscere le caratteristiche della struttura. Oltre ai post-processor rilasciati col Microsap, altri per usi particolari possono essere scritti dall'utente, in linguaggio BASIC, FORTRAN, ecc. Questi inizieranno sempre l'esecuzione leggendo il file risultati (MSPTAPE6), contenente sforzi e spostamenti, prodotto dal modulo STRES del Microsap (v. Appendice Manuale d'Uso del Post-Processor Grafico Interattivo).

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3. LA PROCEDURA MICROSAP L'intera procedura Microsap può essere pensata come suddivisa in cinque sezioni principali. Ogni sezione si riferisce ad una fase di calcolo ben determinata e per certi versi indipendente dalle altre. Una sezione può essere composta da più moduli eseguibili. A seconda delle caratteristiche del problema da risolvere può rendersi necessaria l'esecuzione di tutte le sezioni o parte di esse. Analogamente, entro una sezione, uno, tutti o nessun modulo potrebbe essere eseguito.

3.1 Sezione n.1 - Input Proprietà Topologiche La sezione di calcolo n.1 è sempre presente ed è costituita dal solo modulo INPUT. Esso contiene il codice di inizializzazione dell'intera procedura e le routine di assegnazione delle caratteristiche geometriche e di vincolo. Il modulo INPUT possiede delle proprie capacità elementari di generazione delle coordinate nodali che semplificano la descrizione della topologia del modello quando l'input dei dati è preparato manualmente senza l'aiuto del Pre-Processor. Le condizioni di vincolo sono imposte sopprimendo uno o più gradi di libertà in alcuni o eventualmente tutti i nodi. Se i nodi sono connessi ad elementi Beam è possibile anche l'uso del legame di vincolo master-slave col quale i nodi designati "slave" vengono costretti a seguire rigidamente nei loro spostamenti i nodi "master", relativamente a uno o più gradi di libertà. Nella sezione di calcolo n.1 è anche compresa l'assegnazione di campi di temperatura. Le temperature nodali possono essere utilizzate infatti nei moduli della sezione n.2 per la valutazione di eventuali carichi termici.

3.2 Sezione n.2 - Definizione degli Elementi di Libreria La sezione n.2 comprende attualmente i moduli BOUND, TRUSS, BEAMX, PLANE, SOLID, SHELL. I moduli della sezione n.2 contengono la definizione degli elementi di libreria. Uno stesso modulo può contenere più tipi di elementi simili. Così, il modulo BOUND contiene la definizione degli elementi Boundary, il modulo TRUSS permette la definizione degli elementi Truss; il modulo BEAMX contiene i soli elementi Beam; PLANE possiede invece gli elementi Q4, Q6 e QM5, simili per geometria, i quali possono essere usati per la schematizzazione di strutture assialsimmetriche, plane strain, plane stress e membranali; il modulo SOLID contiene la definizione degli elementi solidi esaedrici o prismatici; il modulo SHELL contiene la definizione degli elementi di lastra piana o curva. A seconda del modello strutturale il programma caricherà il modulo o i moduli corrispondenti. In ogni modulo sono costruite, per ogni elemento, le matrici di rigidezza, le matrici dei carichi, le matrici di massa e le matrici sforzi-spostamenti. Queste sono poi registrate su disco "impaccate", con la tecnica che verrà descritta in un successivo paragrafo.

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L'ordine con cui i moduli della sezione n.2 sono eseguiti non è fisso, ma dipende dalla sequenza scelta dall'operatore nella assegnazione dei dati. Se l'utilizzatore ha assegnato prima i dati relativi all'elemento Q6 e poi quelli relativi all'elemento Beam, sarà caricato ed eseguito per primo il modulo PLANE e successivamente il modulo BEAMX. Nelle future release altri moduli potranno essere contenuti nella sezione n.2 per ampliare la libreria elementi.

3.3 Sezione n.3 - Assemblaggio e Fattorizzazione delle Matrici La sezione di calcolo n.3 è costituita dal modulo SOLVE. Il modulo SOLVE esegue l'assemblaggio delle matrici di rigidezza, di massa e dei carichi dei singoli elementi della struttura. Il risultato è la matrice globale di rigidezza, la matrice globale dei carichi e la matrice globale di massa, relative cioè all'intera struttura. Per la soluzione del problema statico e di quello dinamico, la matrice di rigidezza globale deve sempre essere fattorizzata e questa è quasi sempre l'operazione che richiede il maggior tempo di esecuzione. Il sistema globale di equazioni relativo al problema statico è risolto con un particolare algoritmo a banda ("bandsolver"), mentre la fase di assemblaggio e fattorizzazione avviene per blocchi. Ad esclusione di problemi relativamente piccoli, le matrici globali dei coefficienti sono suddivise in blocchi caricati ed elaborati di volta in volta entro la memoria RAM. Tale tecnica di gestione di memoria "virtuale" è riscontrabile in tutti i moduli Microsap ed avviene in modo trasparente all'utente. Il tempo di fattorizzazione della matrice di rigidezza varia linearmente col numero di equazioni (ordine della matrice), ma anche col quadrato della semibanda. Microsap utilizza comunque un algoritmo che prevede l'identificazione e la esclusione delle operazioni inutili su coefficienti nulli, per cui si ha un risparmio sensibile di tempo che è rilevante soprattutto sui problemi tri-dimensionali. La tecnica "a matrice sparsa" è ripresa in fase di memorizzazione su disco, mediante un algoritmo di impaccamento dei dati. In tal modo, anche per problemi tri-dimensionali, che normalmente conducono a matrici di ordine e banda notevoli, si ottiene un risparmio considerevole di spazio su disco. Generalmente, a parità di dimensioni del problema, il Microsap ha necessità di appena ¼ dello spazio su disco richiesto da altri codici che non effettuano la compattazione delle matrici.

3.4 Sezione n.4 - Analisi Dinamica (Estrazione Modale e Spettro di Risposta) La matrice di rigidezza globale, fattorizzata nella sezione precedente e la matrice di massa dell'intera struttura, sono riprese nel modulo EIGEN per la soluzione del problema di autovalori, nel caso sia richiesta anche l'analisi dinamica. EIGEN è l'unico modulo della sezione n.4. Esso è suddiviso in due parti principali: nella prima parte sono trovate le frequenze proprie e i modi di vibrare della struttura; nella seconda parte sono invece trovati gli spostamenti in regime dinamico mediante spettro di risposta assegnato analiticamente o per punti. L'opzione Spettro di Risposta può essere attivata contemporaneamente all'Estrazione Modale, oppure successivamente. Il primo passo nell'analisi dinamica di un sistema a più gradi di libertà è quello di trovare le sue frequenze proprie e i modi di vibrare (forme modali). Tra le varie tecniche di soluzione è stata scelta quella nota come "Subspace Iteration", che meglio si adatta alle esigenze reali dell'ingegnere, alla generalità del

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programma e alle caratteristiche dei personal computer. Il programma consente il calcolo dei primi 90 modi di vibrare della struttura, anche se generalmente non ne sono necessari più di una decina. Il modulo EIGEN è abilitato per operare su strutture con caratteristiche singolari. La matrice di massa è di tipo diagonale e può essere semidefinita positiva. Non è infatti richiesto che le masse agiscano su tutti i gradi di libertà della struttura. Particolari precauzioni sono inoltre assunte nel caso esistano forti variazioni di rigidezza o di massa. Notevoli sono anche i problemi che si presentano, nell'analisi modale, per assicurare una convergenza stabile e per la generazione dei vettori base ed iniziali e per evitare errori di overflow durante l'ortogonalizzazione. Nel Microsap i vettori iniziali sono generati senza l'aiuto dell'utilizzatore ed in tal caso è assicurata una convergenza stabile con sole 3~5 iterazioni per ottenere una precisione dell'1% sul valore della frequenza più elevata. L'utente ha comunque facoltà di intervento e può suggerire i gradi di libertà che meglio possono rappresentare le forme modali richieste. Grande cura è inoltre dedicata al controllo degli overflow durante la fase di diagonalizzazione degli operatori proiezione Kp e Mp (rigidezza e massa). Kp ed Mp sono scalate ad ogni iterazione in modo tale che i coefficienti presentino un minimo valore assoluto dell'esponente. Le operazioni eseguite nella prima parte del modulo EIGEN sono di basilare importanza per ottenere gli sforzi e spostamenti in regime dinamico ma non forniscono alcuna indicazione sui coefficienti di partecipazione modale e sulle modalità di sovrapposizione delle forme modali. In altri termini, niente ancora si conosce sugli spostamenti reali nodali i quali saranno determinati dalla composizione, in quantità ancora da definire, dei vari modi, peraltro con andamento variabile nel tempo. Mentre il calcolo dei coefficienti di partecipazione non presenta eccessive difficoltà e può essere facilmente condotto partendo dal sistema dinamico disaccoppiato nella prima parte del modulo EIGEN, non altrettanto si può dire quando deve essere affrontata la sovrapposizione dei modi al variare del tempo ed eventualmente in presenza di smorzamento. L'approccio rigoroso della sovrapposizione modale vera e propria è più laborioso, ma permette di seguire nel tempo la risposta della struttura in seguito ad un input variabile anch'esso col tempo. In teoria, in ogni istante possono essere calcolati gli spostamenti nodali della struttura e gli sforzi corrispondenti. L'input dinamico può essere costituito da spostamenti o forze nodali imposte. Tale metodo di calcolo è noto come "Risposta Forzata". Un mezzo di analisi approssimato ma generalmente sufficiente e conservativo consiste nell'eseguire il calcolo separato degli spostamenti e degli sforzi MASSIMI relativi ai vari modi e comporli poi in modo probabilistico. Questo approccio è confortato dal fatto che di norma il primo modo è preponderante rispetto agli altri e d'altra parte la brutale sovrapposizione dei massimi sarebbe in eccessiva sicurezza. Su tali ipotesi si basa il metodo noto come "Spettro di Risposta". Tali metodi si basano sulla separazione dei modi (come ottenuta ad esempio nella prima parte del modulo EIGEN) e sovrapposizione degli effetti, valida in campo lineare. Un mezzo più generale e potente è comunque rappresentato dall'integrazione diretta delle equazioni del moto. Questa tecnica è comunque estremamente onerosa ed applicabile solo nell'analisi di strutture particolari. Nel Microsap è attualmente implementata l'opzione "Spettro di Risposta", con sovrapposizione dei modi mediante la tecnica SRSS (radice quadrata della somma dei quadrati). Il Microsap consente anche il calcolo della "Risposta Armonica" della struttura in condizioni di regime e assenza di smorzamento. Qualunque forzante di tipo sinusoidale (carico di elemento, forze nodali,

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spostamenti nodali) può essere assegnata in frequenza e ampiezza in modo analogo ad una comune analisi statica. Per l'analisi della risposta armonica non è necessaria l'esecuzione del modulo EIGEN.

3.5 Sezione n.5 - Output degli Spostamenti e degli Sforzi La sezione n.5 è costituita dal solo modulo STRES che contiene la fase finale dell'intera procedura. Esso ha il compito di generare l'output dei risultati. Dagli spostamenti e rotazioni nodali calcolati nella sezione n.3 o n.4, sono trovati gli sforzi elemento per elemento e per ogni condizione di carico. Se è stata eseguita l'analisi modale può essere richiesta la stampa della tabella degli autovalori ed autovettori. Se inoltre è stata utilizzata l'opzione Spettro di Risposta, è possibile ottenere spostamenti e sforzi relativi ad ogni modo di vibrare, le forze sismiche nodali equivalenti e quelle totali agenti sulla struttura ("Taglio al piede"). Spostamenti, forze e sforzi modali possono poi essere combinati mediante il metodo della radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS). Le caratteristiche dell'output degli sforzi dipendono ovviamente dal tipo di elemento e saranno descritte in un successivo paragrafo. Il modulo STRES ha inoltre il compito di generare il file MSPTAPE6 dei risultati (spostamenti e sforzi), per l'aggancio col Post-Processor Grafico Interattivo e col Pre/Post-Processor per Telai Piani.

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4. LA LIBRERIA ELEMENTI La libreria attualmente disponibile comprende quei tipi di elementi che garantiscono le migliori prestazioni in rapporto all'impegno richiesto all'utente nella preparazione dei dati. La loro efficienza è provata dalla numerosa bibliografia esistente e dal loro ampio impiego nei più noti programmi di analisi strutturale. Nello stesso modello strutturale possono coesistere più gruppi di elementi affini (ad esempio Q4 con Q6 e QM5 in una struttura assialsimmetrica), o di differente tipologia (ad esempio Truss con QM5 in un modello plane strain).

4.1 Boundary E' un elemento di contorno, utilizzato in unione agli altri tipi per imporre dei gradi di libertà (vincoli cedevoli) o delle rigidezze (supporti elastici) o per ottenere delle reazioni vincolari. L'elemento possiede rigidezza estensionale e torsionale. Gli elementi Boundary permettono di vincolare al suolo, generalmente in maniera elastica, ma anche in modo rigido o anelastico, qualunque nodo e essere presenti in qualunque numero. In uno stesso nodo possono essere definiti più elementi con differenti caratteristiche (ad esempio, cedimento in direzione X e supporto elastico di rigidezza torsionale assegnata, attorno a Z). L'elemento può essere orientato in qualunque direzione nello spazio o semplicemente lungo gli assi globali X,Y,Z. Opportuni codici di controllo consentono di applicare differenti condizioni di vincolo per diversi casi di carico (v. Problem 1.1). Come risultato del calcolo, per tale elemento è trovata la azione assiale e torcente.

4.2 Truss Elemento definito dai due nodi di estremità, è il classico puntone-tirante o biella, atto a trasmettere azioni assiali. Possiede solamente rigidezza estensionale, ma può essere comunque orientato nello spazio. Come gli altri tipi di elementi, ha un impiego generale, anche se è principalmente usato nell'analisi di strutture reticolari piane e tri-dimensionali. E' possibile assegnare un numero qualunque di materiali e di sezioni. L'utilizzatore può definire carichi termici, di interferenza o presollecitazioni nelle aste, carichi concentrati ai nodi, forze di gravità o componenti di accelerazione variabili nei diversi casi di carico. L'analisi dinamica può essere condotta assegnando la densità dei materiali, la massa per unità di lunghezza, o attribuendo masse nodali concentrate. In output, per ogni elemento e caso di carico, è fornita la deformazione e lo sforzo assiale, l'azione assiale, il coefficiente di sicurezza riferito al carico critico euleriano e la snellezza dell'asta (per gli elementi compressi).

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4.3 Beam E' un elemento tri-dimensionale a due nodi e sezione prismatica. Può trasmettere azione assiale, momento torcente, taglio e momento flettente biassiali per un totale di 12 gradi di libertà. E' consentita la presenza di vincoli interni e il legame master-slave con altri nodi della struttura. E' possibile, oltre all'usuale vincolo di continuità, svincolare qualunque spostamento o rotazione agli estremi. La definizione master-slave consente invece la schematizzazione di una gran varietà di situazioni strutturali particolari. L'elemento Beam ha un vasto impiego in differenti tipi di strutture e, principalmente, nell'analisi di telai piani e spaziali, strutture a geometria generica basata su membrature trave/pilastro, travi continue, e così via. E' possibile definire un qualunque numero di caratteristiche geometriche delle sezioni e dei materiali e qualunque tipo di carico concentrato o ripartito. Per sezioni o carichi particolari e più ricorrenti nella pratica, l'input dei dati è notevolmente semplificato. Molto versatile e spedita si presenta inoltre l'introduzione di carichi di gravità o, più in generale, di componenti di accelerazione in più direzioni e secondo fattori moltiplicativi. L'analisi dinamica può essere condotta assegnando la densità dei materiali, la massa per unità di lunghezza, o attribuendo masse nodali concentrate. La trave può essere definita su suolo elastico alla Winkler agente in due direzioni ortogonali contemporaneamente. I carichi possono essere assegnati senza alcuna limitazione entro l’asta, senza ricorso a nodi intermedi. La trave su suolo elastico può ricevere tutti i carichi di libreria, con le stesse modalità impiegate per le travi senza suolo elastico (forze e momenti concentrati, carichi ripartiti con legge lineare e parzialmente estesi sull’asta, salti termici e gradienti termici, precompressione). Definizione di trave con offset rigidi. La trave può essere dotata di estremità rigide comunque orientate nello spazio e non necessariamente sull’asse dell’elemento. Definizione di offset del centro di taglio. Il centro di taglio o di torsione può essere definito in posizione qualunque nello spazio per i due nodi di estremità e decentrato rispetto all’asse baricentrico. Definizione di aste a sezione variabile. E’ possibile assegnare due sezioni caratteristiche agli estremi della trave. Il calcolo effettuato utilizza l’ipotesi che le dimensioni trasversali della sezione varino gradualmente (con legge lineare) lungo l’asse. Libreria di carichi di elemento. Ogni set di carico sull’asta può essere composto con un qualunque numero e tipo di carico scelti tra i seguenti: ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Interferenza assiale. Precarico assiale. Salto termico assiale. Gradiente termico lungo due direzioni trasversali. Forza concentrata assiale. Momento torcente concentrato. Momento torcente parzialmente ripartito con legge lineare. Carico assiale parzialmente ripartito con legge lineare. Forza concentrata perpendicolare all’asta e definibile secondo due direzioni principali ortogonali. Carico perpendicolare all’asta, parzialmente ripartito con legge lineare e orientato secondo due direzioni principali ortogonali.

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♦ ♦ ♦

Momento flettente concentrato agente lungo due direzioni principali ortogonali. Precompressione con cavi a tratti rettilinei e parabolici disposti su due piani ortogonali e con estremità comunque posizionate lungo l’asta ed entro la sezione. Calcolo delle azioni interne e degli spostamenti fino ad un massimo di 11 sezioni lungo l’asta (estremità + 9 stazioni interne). La posizione delle sezioni interne può essere definita in modo automatico (equispaziate) oppure assegnata esplicitamente, eventualmente per ogni singola asta

4.4 Assialsimmetrici Q4, Q6, e QM5 La libreria di elementi per la schematizzazione di strutture a geometria e carichi assialsimmetrici comprende il quadrilatero isoparametrico Q4, il Q6 con modi incompatibili ed il QM5 con nodo centrale. Essi possono coesistere nello stesso modello strutturale ed ognuno ha un suo specifico impiego. Come caso particolare gli elementi sono degenerabili a triangolari. La definizione geometrica è comune ai tre tipi ed inoltre i modi incompatibili del Q6 e i gradi di libertà associati col nodo interno del QM5 (generato da programma) inseriti per migliorare la risposta alle azioni flettenti e di taglio, sono condensati a livello di elemento. E' possibile definire un qualunque numero di materiali, a comportamento isotropo o ortotropo, e con caratteristiche meccaniche eventualmente dipendenti dalla temperatura. Sono assegnabili carichi termici, pressioni e carichi di volume (accelerazioni centrifughe e assiali). L'analisi dinamica può essere eseguita assegnando la densità dei materiali o mediante la definizione di masse concentrate ai nodi. Il calcolo degli sforzi può essere effettuato al centro dell'elemento e sulle mezzerie dei lati, nel sistema di assi globale (radiale-assiale-circonferenziale, Y-Z-T) o ruotato (normale-tangenziale-circonferenziale, N-S-T). Sono inoltre forniti gli sforzi principali, l'angolo, la sigma di Von Mises e il taglio massimo, per l'applicazione dei criteri di resistenza di comune impiego.

4.5 Plane Stress Q4, Q6, QM5 Gli elementi hanno sezione quadrilatera o triangolare e sono definiti in modo analogo ai precedenti. Sono però utilizzati per la schematizzazione di strutture piane, di spessore assegnato, eventualmente variabile da elemento a elemento, in cui è nullo o costante lo sforzo in direzione perpendicolare al piano. Gli elementi di plane stress sono definiti nello stesso sistema di riferimento globale e con gli stessi criteri degli elementi assialsimmetrici. In tal modo essi possono essere assemblati con gli assialsimmetrici (definendo gruppi elementi diversi) per la schematizzazione di strutture in condizioni di fondamentale assialsimmetria (per geometria e carichi) che presentino dei rinforzi radiali distribuiti con regolarità circonferenzialmente. I materiali, le possibilità di carico e le caratteristiche dell'output sono le stesse definite al paragrafo precedente.

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4.6 Plane Strain Q4, Q6, QM5 La schematizzazione del modello strutturale è la stessa vista al paragrafo precedente, tranne il fatto che è considerata nulla o costante la deformazione in direzione perpendicolare al piano e lo spessore è indefinito.

4.7 Plane Stress Membranali Q4, Q6, QM5 Sono elementi simili a quelli descritti al paragrafo 4.5, con spessore assegnato e plane stress, definiti nello spazio.

4.8 Pseudo Assialsimmetrico e Pseudo Plane Strain Il programma Microsap consente la schematizzazione di strutture che sono fondamentalmente in condizioni di assialsimmetria o di plane strain, ma che presentano delle discontinuità locali distribuite con regolarità lungo lo spessore (plane strain) o in senso circonferenziale (assialsimmetrico). Casi tipici sono ad esempio: scanalature, ringrossi, nervature, fori, incavi per bulloni, ecc.

4.9 Elementi Solidi Esaedrici e Prismatici Gli elementi descritti al par.4.4 sono elementi solidi toroidali a sezione quadrangolare o triangolare e possono essere impiegati solo quando la geometria è assialsimmetrica e la struttura è soggetta a carichi esclusivamente assialsimmetrici. Gli elementi descritti al par.4.6 possono essere utilizzati nei casi in cui la terza dimensione è indefinita e può ad esempio essere assunta unitaria, con carico sul piano dell'elemento. Gli elementi di cui al par.4.8 costituiscono una variante dei precedenti in quanto consentono di tener conto "globalmente" di discontinuità della struttura lungo la terza dimensione, quando queste sono distribuite con una certa regolarità e non sono di entità tale da giustificare una schematizzazione 3/D quando lo scopo dell'analisi non è l'indagine sulla situazione di sforzo nell'intorno della discontinuità, ma in zone ragionevolmente distanti da essa. Se si eccettua anche il caso particolare d'uso degli elementi plane stress visto al par.4.5, quando il carico sulla struttura non è distribuito in modo assialsimmetrico, quando la geometria non è assialsimmetrica, oppure quando la struttura non è assimilabile ad una lastra o ad un guscio a spessore sottile, essa (o parte di essa) deve essere schematizzata con un insieme di elementi solidi (brick). L'elemento solido contenuto nella libreria Microsap è esaedrico a 8 nodi, con tre gradi di libertà per nodo. Alla normale definizione isoparametrica sono aggiunti altri 9 gradi di libertà addizionali che consentono all'elemento una corretta rispondenza alle azioni flettenti e di taglio senza ricorrere all'impiego di elementi a più alto numero di nodi. L'elemento esaedrico può anche essere degenerato a prismatico, con due facce opposte triangolari. Oltre a poter ricevere gli usuali carichi concentrati ai nodi, i carichi sull'elemento possono essere costituiti da pressioni costanti su qualunque faccia, da pressioni idrostatiche, definendo i livelli del pelo libero di

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riferimento e peso specifico del fluido, da accelerazioni lungo le tre direzioni globali, da forze centrifughe, definendo la velocità angolare. Particolare attenzione è stata rivolta alla descrizione del campo termico entro l'elemento che permette di ottenere una notevole precisione anche con mesh con numero ridotto di elementi. I materiali possono essere isotropi o ortotropi, con caratteristiche dipendenti dalla temperatura. Il materiale ortotropo può essere orientato in modo del tutto arbitrario rispetto al sistema globale. Esiste anche una speciale opzione per l'orientazione del materiale in modelli pseudo assialsimmetrici, che permette di definire un asse locale in direzione circonferenziale. L'analisi dinamica può essere eseguita assegnando le densità dei materiali oppure attraverso la definizione di masse concentrate ai nodi. In output sono forniti sia gli sforzi riferiti al centroide e sulla superficie di una qualsiasi faccia, sia gli sforzi principali e la sigma di von Mises.

4.10 Plate/Shell (Lastre Piane e Curve) Sono simili, per geometria e per modalità di input, agli elementi di Plane Stress descritti al paragrafo 4.7. L'elemento può essere definito di forma quadrangolare o triangolare ed è composto da quattro triangoli a deformazione lineare, con 25 gradi di libertà interni condensati a livello di elemento. Ogni nodo dell'elemento può trasmettere tre componenti di traslazione e tre rotazioni. E' possibile definire un qualunque numero di materiali a comportamento isotropo o ortotropo e con qualunque orientazione, con caratteristiche meccaniche eventualmente dipendenti dalla temperatura. Sono assegnabili carichi termici (mediante l'assegnazione delle temperature nodali), pressioni costanti o idrostatiche sulle facce, accelerazioni, gradiente termico lungo lo spessore. E’ possibile la definizione dell’elemento su suolo elastico. L'analisi dinamica può essere eseguita attribuendo la densità dei materiali o masse concentrate ai nodi. In uscita sono date le forze e i momenti riferiti al centroide dell'elemento e al suo sistema locale. Sono inoltre calcolati gli sforzi totali, gli sforzi principali e la sigma di von Mises sulla faccia superiore e inferiore.

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5. CONDIZIONI DI CARICO Col Microsap è possibile esaminare contemporaneamente qualunque numero di condizioni di carico strutturale. Ciascuna di queste è, nel caso più generale, formata da una serie di carichi nodali (forze e momenti concentrati ai nodi) più una combinazione lineare di un massimo di 8 casi di carico di elemento denominati A,B,C,D,E,F,G,H. Indicando con N(i) i carichi nodali della condizione iesima e con a(i), b(i), c(i), d(i), ...,h(i) i moltiplicatori dei casi A,B,C,D,...,H si ha: Carico (i) = N(i) + a(i)A + b(i)B + c(i)C + d(i)D + .... + h(i)H I carichi A,B,C,D,...,H sono definiti nei moduli elementi (BOUND, TRUSS, BEAMX, ecc.) mentre i vettori di carico nodale N(i) e i coefficienti della combinazione lineare (a(i), b(i), ecc.) sono assegnati entro il modulo SOLVE. E' possibile definire tutti gli otto casi di carico di elemento, o eventualmente nessuno di essi. Se nello stesso modello esistono elementi di tipo diverso può verificarsi il caso in cui alcuni dei carichi A,B,C,D,...,H siano definiti solo per un tipo e non per l'altro. I carichi di elemento possono avere differenti significati per i diversi tipi di elemento. Il vettore carichi nodali N(i) della iesima condizione di carico strutturale è assegnato dall'operatore solo parzialmente, per le componenti non nulle. Se non è assegnata alcuna forza o momento concentrato in nessun nodo, il vettore N(i) risulta nullo. Con i moltiplicatori a(i), b(i), c(i) e d(i) è possibile amplificare o eventualmente escludere uno o tutti i casi di carico A,B,C,D,...,H. Quando l'utilizzatore desidera esclusivamente il calcolo delle frequenze proprie e modi di vibrare, solo le caratteristiche di rigidezza e massa sono richieste in input, ma nessuna forza esterna che, se presente, è ignorata. Nel caso che non sia dichiarata alcuna condizione di carico il calcolo è più rapido e le richieste di memoria su disco sono minori in quanto le matrici sforzi-spostamenti non sono generate.

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6. INPUT DEI DATI Il programma Microsap, a causa delle sue particolari caratteristiche è abilitato per l'esecuzione in batch. Tutti i dati occorrenti per la risoluzione del problema sono cioè scritti, prima dell'esecuzione, su un file ASCII in formato libero, come descritto nei prossimi capitoli. Ogni modulo Microsap accederà quindi al file in modo automatico, senza ulteriori interventi esterni. Il file dati è visto dal programma come entità unica, anche se utilizzato da diversi moduli. Esso, nel caso di piccole strutture con geometria semplice, può essere preparato con l'ausilio di un normale editore di testi di sistema o con un word processor. Nei casi pratici esso sarà invece generato attraverso il PreProcessor Grafico Interattivo in dotazione, che consente la costruzione di modelli comunque complessi. Le specifiche del file di input sono attribuite dall'utilizzatore direttamente nella linea di comando, all'atto del caricamento in memoria del programma o di qualunque modulo. Entro il file dati si distinguono due tipi di linee di input: a) Linee di controllo della procedura. b) Linee dati del problema.

Le linee di controllo regolano l'esecuzione della procedura e il caricamento dei moduli. Una linea di controllo contiene semplicemente il nome del modulo da eseguire. Essa è seguita da una o più linee dati che sono lette dal modulo durante la sua esecuzione.

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7. OUTPUT L'output del programma è in forma di tabelle e comprende la lista dei dati in ingresso e i risultati finali. L'unità di uscita può essere assegnata al terminale video, alla stampante o a qualunque unità a disco. In quest'ultimo caso l'output può essere riprodotto in qualunque numero di copie, editato, e listato col comando TYPE o ancora meglio col COPY. Indipendentemente dall'unità di destinazione, l'output è visto dal programma come entità unica, anche se generato da più moduli in successione. Le specifiche dell'output sono attribuite dall'utilizzatore direttamente nella linea di comando, all'atto del caricamento in memoria del programma o di qualunque suo modulo. L'output è prodotto con un massimo di 75 caratteri per linea, per poter essere contenuto nel formato A4 e per permettere l'impiego di stampanti a 80 caratteri per riga o per essere listato su video in forma leggibile. Esso può essere richiesto in formato compatto o impaginato. L'output "impaginato" inviato su video si interrompe in corrispondenza di ogni argomento listato: l'esecuzione è poi ripresa su comando dell'operatore. Attualmente l'output dei moduli delle sezioni 1-4 comprende solo la lista dei dati di input assegnati dall'utente o generati da programma, oltre ad informazioni accessorie sull'andamento dell'elaborazione e sulle caratteristiche del problema (ad esempio, larghezza di banda del sistema di equazioni, numero di blocchi, e così via). Il listato dei risultati è invece prodotto solo nella sezione 5, dal modulo STRES, la cui esecuzione è piuttosto rapida. Ciò permette all'utilizzatore di esaminare l'output su video e successivamente, ripetendo l'esecuzione di STRES, di ottenere la copia su stampante. I risultati finali comprendono, nel caso più generale, gli spostamenti e rotazioni dei nodi per ogni condizione di carico, le frequenze proprie e le forme modali. Per ogni gruppo, elemento e condizione di carico sono quindi trovati gli sforzi generalizzati, come già detto al paragrafo 4. Per ogni gruppo di elementi e suddivisi per materiale, sono inoltre trovati i massimi e minimi valori delle componenti di sforzo, sia in senso algebrico che in valore assoluto. Quando si accede al Microsap tramite un pre-processor e si esaminano i risultati con un post-processor, l'output può risultare superfluo e può essere eliminato completamente, assegnando un file fittizio di nome NUL.

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8. TEMPI DI CALCOLO E' noto che, limitatamente all'analisi statica, la parte più onerosa è spesso la risoluzione del sistema globale, il cui tempo di fattorizzazione varia linearmente col numero di equazioni (uguale al numero di gradi di libertà attivi) e col quadrato della larghezza di semibanda. Ciò è comunque strettamente valido solo nell'ipotesi di matrici "dense", cioè con nessun coefficiente nullo o comunque non riconosciuto come tale dall'algoritmo impiegato. Al fine di ridurre la larghezza di banda del sistema e quindi il tempo di fattorizzazione della matrice globale e lo spazio su disco, è possibile assegnare una sequenza di numerazione interna. In tal modo la numerazione delle equazioni entro il programma non segue l'ordine di numerazione nodale e il numero di nodo può essere visto unicamente come contrassegno (label). Nel Microsap la sequenza di ottimizzazione può essere creata dal Pre-Processor Grafico PREPMSP e passata al solutore insieme alle coordinate nodali oppure l’intera procedura di ottimizzazione può essere eseguita dallo stesso solutore (modulo INPUT). Quest’ultima possibilità è da preferire in quanto più efficiente. Nel Microsap ogni operazione che non conduce a variazioni dei coefficienti in fase di fattorizzazione, è evitata. In tal caso, soprattutto per strutture tri-dimensionali, i tempi di elaborazione sono relativamente contenuti anche con rilevanti larghezze di semibanda. Come verrà detto in un successivo capitolo la larghezza di semibanda dipende dalla suddivisione in elementi adottata, dal tipo di struttura in esame, ma soprattutto dal criterio di numerazione dei nodi. Poichè non è possibile, per strutture complesse, adottare un criterio di numerazione nodale che sia contemporaneamente efficiente per la generazione della geometria e la minimizzazione della banda, l’ottimizzazione è un’operazione che nella quasi totalità dei casi è indispensabile. Quando è eseguita l'analisi dinamica modale altre considerazioni devono essere fatte sui tempi di calcolo. Anzitutto esiste sempre la fase di fattorizzazione precedente. Il sistema dinamico fattorizzato è quindi risolto con successive iterazioni, partendo da una serie di vettori iniziali che costituiscono una approssimazione degli autovettori. La diagonalizzazione non è però eseguita sull'intero sistema, ma su uno "proiezione" estratto da questo a ogni iterazione e che possiede gli stessi autovalori. L'ordine del sistema proiezione deve essere non minore del numero di frequenze richieste. Il tempo di risoluzione del problema dinamico è quindi governato da queste due fasi. La prima ha un tempo di elaborazione che dipende soprattutto dalle dimensioni delle matrici (numero di equazioni e larghezza di banda). Per la seconda fase il tempo è funzione cubica dell'ordine degli operatori proiezione. Il Microsap consente il calcolo di un massimo di 90 frequenze proprie e relativi autovettori, ma i tempi di risoluzione possono essere rilevanti e dell'ordine di parecchie ore. Entro il programma esistono delle particolari routines codificate in Assembly per ridurre i tempi di calcolo e algoritmi particolari sono stati sviluppati allo scopo di ottenere una notevole precisione nei risultati ed assicurare sempre la convergenza. Il problema è comunque di notevole portata e l'analisi modale di grossi sistemi con un gran numero di frequenze è estremamente impegnativa anche quando affrontata su mainframe. Con parecchie migliaia di equazioni e una larghezza di semibanda di 1000÷1200 può essere ragionevole richiedere 10 o 15 frequenze. Richiederne 80 o 90 può essere necessario in qualche caso particolare, ma la risoluzione non può essere ottenuta a buon mercato. Un'altra fase che può dare origine a consistenti tempi di calcolo è la creazione delle matrici di rigidezza, di massa, dei carichi e sforzi-spostamenti relative agli elementi (sezione n.2: libreria elementi). Tale tempo è però facilmente quantificabile ed è funzione lineare del numero di elementi della struttura. La versione MS-DOS a 32 bit ha accesso esclusivo a tutta la RAM di sistema e su PC dotati di una quantità di memoria limitata (8÷12 Mbytes) può presentare tempi di esecuzione inferiori alla versione WIN95. Nella versione WIN95 il codice di programma a 32 bit è del tutto uguale al codice a 32 bit sotto DOS-

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Extender, con l’unica differenza che anche il codice delle funzioni del sistema operativo è a 32 bit, (mentre in MS-DOS è a 16 bit), ma le funzioni di sistema sono più complesse. Il risultato è che non esiste differenza nei tempi di esecuzione delle due versioni. Nell’uso della versione per Windows95 è necessario tenere presente due considerazioni importanti. La prima è legata alla quantità di RAM a disposizione, che anche col solo Microsap in esecuzione esclusiva, deve essere almeno 4 Mbytes superiore a quella altrimenti necessaria sotto MS-DOS. Se il PC è dotato di meno di 16 Mbytes di RAM, astenersi dall’eseguire, in contemporanea, altri programmi che richiedano un uso massiccio di RAM (ad esempio, programmi con largo uso di grafica), o anche un altro run Microsap di grandi dimensioni. La seconda considerazione riguarda l’uso del processore. Un’elaborazione Microsap ha ben pochi tempi morti per cui, eseguendo contemporaneamente un altro programma con simili caratteristiche, i tempi di elaborazione possono raddoppiare o triplicare. In ogni caso, se anche in esecuzione esclusiva i tempi dovessero risultare drammaticamente eccessivi, ciò che sta probabilmente accadendo è che, il sistema operativo, per mancanza di RAM disponibile, stia usando il disco come memoria virtuale. In questo caso, con dotazione RAM ridotta, usare preferibilmente il solutore DOS e ridurre il buffer di memoria come detto al cap.I, par.3.3 (ver. MS-DOS) oppure il cap.II, par.2.2 (ver. WIN95). Viceversa, se si dispone di maggiori quantità di RAM, espandere al massimo il buffer di memoria per ottimizzare le prestazioni.

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9. LIMITI IMPOSTI DALLA MEMORIA DI MASSA L'uso del metodo ad elementi finiti implica l'impiego di grandi quantità di memoria di massa. Il metodo ad elementi finiti comporta tuttavia la generazione di matrici di tipo particolare. Nei programmi strutturali di elevate prestazioni, ad esempio, queste sono trattate in forma vettoriale, per ridurre i tempi di esecuzione, e le caratteristiche a banda e di simmetria sono sfruttate sia nelle operazioni in memoria centrale che nell'archiviazione su disco. Un'altra notevole caratteristica, quasi mai riconosciuta in fase di archiviazione nei solutori ad elementi finiti, è la sparsità delle matrici, le quali contengono spesso un elevato numero di termini nulli o, più in generale costanti. Questo è particolarmente vero per la matrice di rigidezza globale della struttura, soprattutto in problemi tri-dimensionali. In misura minore, ma ugualmente importante, ciò si verifica anche per la matrice fattorizzata, anch'essa residente su disco e spesso costituita da parecchie centinaia di migliaia o milioni di coefficienti. Le stesse considerazioni valgono per le matrici di rigidezza degli elementi, per le matrici dei carichi e per altre quantità, nei casi particolari di strutture piane, elementi scarichi, e così via. Nel Microsap la quasi totalità dei file di lavoro è creata attraverso apposite routine di impaccamento che provvedono all'eliminazione dei coefficienti nulli, alla creazione della "bit-map" del record (coeff. nullo = bit 0 - coeff. non nullo = bit 1) e alle relative operazioni di codifica e decodifica. Tale notevole caratteristica permette di installare il programma ed utilizzarlo al massimo delle sue capacità anche su personal computer con disponibilità di spazio su disco limitata. Un modesto inconveniente di tale tecnica consiste nel non poter prevedere in modo semplice e in anticipo l'esatto impegno sulle memorie di massa. La dimensione del bit-pointer è solo pari all'1.56% di quella del vettore mappato, mentre l'overhead per la codifica e decodifica è irrilevante e nettamente inferiore al minor tempo "meccanico" richiesto nelle operazioni di Input/Output. Lo spazio richiesto su disco è comunque strettamente legato al tipo di problema da risolvere attraverso numerosi parametri (numero di nodi, elementi, condizioni di carico, tipo di elementi usati, criterio di numerazione dei nodi, tipo di output richiesto).

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10. TIPI DI ANALISI Tutte le versioni del Microsap consentono l’esecuzione dei seguenti tipi di analisi: a) Analisi Statica. b) Analisi Dinamica. • Analisi Modale • Analisi Sismica (Spettro di Risposta) • Analisi Armonica (Risposta in Frequenza)

10.1 Analisi Statica L'analisi statica è condotta nell'ipotesi di linearità geometrica e di materiale. Per ogni elemento della struttura sussistono le relazioni:

[ K] e { u} e = { F} e

1)

[ S] e { u} e − {σo} e = {σ} e

2)

dove: [K]e

= matrice di rigidezza dell'elemento

{u}e

= vettore spostamenti e rotazioni nodali dell'elemento

{F}e

= vettore delle forze generalizzate nodali dell'elemento

[S]e

= matrice sforzi-spostamenti dell'elemento

{σ}e

= vettore degli sforzi generalizzati dell'elemento

{σo}e

= vettore degli sforzi da campo termico

La prima relazione è quella che origina il sistema globale di equazioni risolto nel modulo SOLVE, con le incognite costituite dagli spostamenti dei nodi. La seconda relazione è quella che permette il calcolo degli sforzi nel modulo STRES, una volta noti gli spostamenti nodali. [K]e, [S]e, {F}e e {σo}e sono costruite nei moduli elementi (BOUND, TRUSS, BEAMX, PLANE, SOLID, SHELL) in base alle coordinate dei nodi assegnate nel modulo INPUT, alla numerazione degli elementi, alle caratteristiche dei materiali e ai carichi di elemento. Attraverso funzioni di interpolazione, generalmente diverse per i diversi tipi di elemento (funzioni di forma) è possibile descrivere il comportamento elastico in ogni punto solamente attraverso quantità

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definite in punti discreti, generalmente i nodi degli elementi, ma non necessariamente solo questi. La bontà della soluzione dipende da diversi fattori come: • Le caratteristiche delle funzioni di forma anche al variare delle coordinate dei nodi dell'elemento. • Il metodo di integrazione adottato. • La perdita di precisione dell'algoritmo in generale, dovuto alla forma dell'elemento (singolarità per gli angoli, rapporto tra le lunghezze dei lati, non complanarità dei nodi). • Le dimensioni assolute dell'elemento in rapporto al gradiente di sforzo locale. • La vicinanza o meno per l'intera struttura a condizioni di singolarità (presenza di moti rigidi, alti gradienti di rigidezza). • Lo scostamento dalle ipotesi iniziali di linearità con variazioni differenziali nella matrice di rigidezza e nel vettore dei carichi che non possono più ritenersi costanti (plasticizzazione del materiale, grandi spostamenti con variazione nella geometria dell'elemento e della reale situazione di carico). Le dimensioni della matrice di rigidezza [K]e e del vettore {F}e dipendono dal numero totale di gradi di libertà dell'elemento, cioè dal numero di nodi e dal numero di gradi di libertà per nodo. Le dimensioni di [S]e dipendono anche dal numero di componenti di sforzo richieste. Per gli elementi di tipo 2 (Beam) le dimensioni di [K]e e [S]e aumentano a seconda dei gradi di libertà di tipo master/slave utilizzati. Per gli elementi tipo 2,3,4,5,6 le dimensioni di [S]e dipendono dal numero di locazioni nell'elemento in cui è richiesto il calcolo degli sforzi. Il vettore delle forze nodali di elemento {F}e è il contributo di vari termini, spesso dipendenti dal tipo di elemento. Nel Microsap contribuiscono alla formazione di {F}e i carichi elencati nella tabella seguente. Tipo Elemento 1 2

3

4

5

6

7

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• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Carichi di Elemento Accelerazione lungo X,Y,Z Carico termico Accelerazione lungo X,Y,Z Qualunque altro carico sull’elemento ottenuto con la composizione dei diversi carichi base Accelerazione lungo X,Y,Z Pressione sul piano Carico termico Forza centrifuga Accelerazione sul piano Y,Z Pressione Carico termico Pressioni sulle facce Carico termico Accelerazione lungo X,Y,Z Forza centrifuga Accelerazione lungo X,Y,Z Forza centrifuga Pressione normale al piano Carico dovuto a campo termico sul piano e a gradiente termico lungo lo spessore Spostamento e rotazione imposti

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Oltre ai termini sopra elencati entro {F}e devono intendersi inglobate le reazioni mutue tra gli elementi, che però non sono di fatto considerate poichè svaniscono al momento dell'assemblaggio degli elementi della struttura, e le forze concentrate ai nodi che però nel Microsap non sono assegnate a livello di elemento ma direttamente a livello di struttura, dopo l'assemblaggio. Entro il programma inoltre {F}e e {σo}e sono in realtà delle matrici a 8 colonne, una per ogni caso di carico di elemento A,B,C,D,...,H. Nel modulo SOLVE le matrici di rigidezza e dei carichi dei vari elementi sono assemblate assieme: con questa operazione sono così imposte le condizioni di congruenza ed equilibrio ai nodi ed è finalmente ottenuto il sistema lineare di equazioni:

[ K] { u} = { F}

3)

dove: [K] = matrice di rigidezza della struttura {u} = vettore spostamenti e rotazioni nodali della struttura {F} = vettore forze nodali della struttura In questa fase {F} riceve il contributo delle forze concentrate ai nodi, che erano state trascurate a livello di elemento. Entro il programma in effetti {u} e {F} sono delle matrici, con tante colonne quante sono le condizioni di carico sulla struttura. Ogni colonna della matrice dei carichi è costruita nel modo già visto al par.5. La risoluzione del sistema globale è suddivisa in due fasi distinte: a) Fattorizzazione della matrice dei coefficienti [K] nella forma:

[ K] = [ L][ D][ L] T

4)

in cui il fattore [L] è triangolare inferiore e [D] è diagonale. La matrice [K] è simmetrica e a banda, per cui può essere memorizzata solo la semibanda. Anche [L] conserva questa caratteristica. Entro il programma, la stessa area può essere utilizzata per la memorizzazione di [K], per il fattore [L] in formazione e per [D] che è ospitato sulla diagonale di [L]. La semibanda di [K] o di [L][D] occupa un buffer che è vettorizzato entro il programma, per ragioni di spazio e velocità di calcolo. Se inoltre le dimensioni della matrice superano quelle del buffer il sistema è suddiviso in blocchi. La fattorizzazione di [K] permette di scrivere il sistema originario come:

[ L]{ x} = { F}

5)

{ x} = [ D] { y}

6)

{ y} = [ L] T { u}

7)

con:

e:

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conduce alla risoluzione di tre sistemi banali in quanto il primo, che consente il calcolo di {x}, può essere affrontato contemporaneamente alla formazione di [L] ed è una semplice sostituzione poichè [L] è triangolare. Gli altri due sistemi sono risolti nella fase successiva di "sostituzione all'indietro". Anche il vettore {x} in formazione può essere ospitato nello stesso buffer che contiene i termini noti {F}. Sostanzialmente il calcolo di [L] o più esattamente, quello di [L]T consiste nel rendere nulli i coefficienti sottostanti la diagonale principale e in tal senso l'algoritmo non è altro che il metodo di eliminazione di Gauss. Anche operativamente la fase di fattorizzazione consiste nella graduale modifica della matrice [K] che diventa [D][L]T e di {F} che diventa {x}. b) Sostituzione all'indietro con:

{ x} = [ D][ L] T { u}

8)

Il calcolo di {u} è ottenuto a partire dall'ultima equazione. L'ultima incognita un è ottenuta semplicemente da xn/dnn e le altre per progressiva sostituzione nelle equazioni che precedono, delle incognite già trovate e dividendo per dii. Entro il programma, il vettore {u} in formazione occupa lo stesso buffer di {x}. La fase di fattorizzazione di [K] costituisce una tappa obbligata anche durante un'analisi modale e l'analisi sismica presuppone l'esecuzione dell'estrazione modale. Tuttavia in un'analisi modale {F} è tutto nullo. Non esiste quindi alcuna ragione per non effettuare l'analisi statica contemporaneamente ad un'analisi modale o sismica con spettro di risposta. In tal caso, se sono assegnate delle condizioni di carico, in questa fase il programma risolve anche il sistema statico: l'unica operazione, altrimenti non necessaria, che il programma effettua è il calcolo di {x} e la fase b) di sostituzione all'indietro, entrambe di veloce esecuzione.

10.2 Analisi Modale L'estrazione dei modi di vibrare del sistema non smorzato e non forzato, rappresentato dall'equazione di equilibrio:

Mü + Ku = 0

9)

KΦ = MΦΩ2

10)

in cui: Mü sono le forze d'inerzia e Ku sono le forze elastiche è ottenuta risolvendo il problema ad autovalori:

dove: Φ

è la matrice degli autovettori

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Ω² è la matrice diagonale degli autovalori Nelle ipotesi suddette la forma della soluzione della 9) è infatti:

u = U ⋅ sin( ωt )

9a)

dove: U

è il vettore delle ampiezze di spostamento

ω

è una pulsazione propria del sistema, da determinarsi con la soluzione della 10).

Generalmente parlando, se nel sistema sono assenti moti rigidi, K ed M sono entrambe definite positive, sono dello stesso ordine e hanno la stessa larghezza di banda. Considerando invece le masse concentrate ai nodi degli elementi, la matrice di massa globale è diagonale. Questa è la schematizzazione adottata nel Microsap. Le matrici di massa di ogni elemento sono costruite nei moduli elementi e possono essere nulle se la densità del materiale è posta uguale a zero. Se l'elemento possiede anche gradi di libertà di rotazione, questi non hanno nessuna massa associata. Per queste due ragioni la matrice globale M può presentare termini diagonali nulli, ma ciò è consentito dall'algoritmo impiegato nella soluzione del sistema modale. Esiste un altro modo per inserire masse nel sistema ed è quello di introdurle esplicitamente sui nodi con lo stesso sistema con cui sono assegnati i carichi concentrati. In questo modo è possibile definire sia masse traslanti lungo le tre direzioni globali X,Y,Z, sia componenti rotazionali attorno a questi assi. In ogni caso le masse concentrate ai nodi si aggiungono a quelle eventualmente derivanti dall'assemblaggio delle matrici di massa di elemento. La schematizzazione a masse concentrate con matrice diagonale e semidefinita positiva è una procedura piuttosto comune e giustificata dal fatto che il comportamento dinamico della struttura è più sensibile alle approssimazioni sulle rigidezze di quanto non lo sia per le caratteristiche inerziali. Il metodo di soluzione del problema di autovalori adottato nel Microsap è quello noto come "Subspace Iteration". La sua scelta trae origine dal fatto che esso è convenientemente applicabile per sistemi di grandi dimensioni e ben si adatta alla risoluzione a blocchi necessaria su un personal computer. E' inoltre preservata la disposizione a banda delle matrici e la fase di fattorizzazione è eseguita una sola volta. Il metodo è più efficiente quando devono essere trovati solo pochi modi di vibrare e comunque un numero di gran lunga inferiore ai gradi di libertà dinamici del sistema ed inoltre quelli a frequenza più bassa. Fortunatamente ciò è anche quel che si richiede nella maggior parte dei casi. Generalmente in un problema strutturale dinamico i modi di vibrare possono essere ottenuti come sovrapposizione di pochi modi propri ed il contributo degli altri è trascurabile. Inoltre, nei casi comuni, l'input dinamico attaverserà i campi di frequenza propria più bassi, ma difficilmente interesserà le frequenze più elevate che inoltre sono anche quelle più smorzate. Se si indica con p il numero di autovettori richiesti, la soluzione può essere ottenuta per iterazione simultanea di q vettori, con q≥p, per una più rapida convergenza. Indicando in sottoscritto le dimensioni delle matrici, la 10) può anche essere riscritta come:

K nn ⋅ Φnq = M nn ⋅ Φnq ⋅ Ω2qq

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11)

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Sia ora Gnq una matrice di trasformazione che consenta di porre in relazione ogni autovettore a n dimensioni con uno a gradi di libertà ridotti a q:

Φnq = G nq ⋅ Φqq

12)

Sostituendo la 12) nella 11) e premoltiplicando per GnqT si ha: 2 G Tnq ⋅ Knn ⋅ G nq ⋅ Φqq = G Tnq ⋅ Mnn ⋅ G nq ⋅ Φqq ⋅ Ωqq

13)

2 Kqq ⋅ Φqq = Mqq ⋅ Φqq ⋅ Ωqq

14)

Kqq = G Tnq ⋅ Knn ⋅ G nq

15)

Mqq = G Tnq ⋅ M nn ⋅ G nq

16)

ovvero:

con:

e:

La trasformazione Gnq conduce quindi dal sistema originario di ordine n a quello "proiezione" nel sottospazio di ordine q. La trasformazione Gnq può essere scelta in modo che Kqq sia diagonale. Per le 15) e 16) e per il principio di ortogonalità tra gli autovettori, Gnq viene a coincidere proprio con la matrice Φ nq degli autovettori e Φ qq è una matrice identità. Ovviamente Gnq non è nota inizialmente e deve essere scelta in modo appropriato, garantendo almeno che i q vettori siano linearmente indipendenti. In tal modo può essere innescata una procedura iterativa e se Φ nq è ancora solo una approssimazione ai reali autovettori, una nuova Gnq può essere ottenuta risolvendo il sistema 11) che può essere riscritto come:

K nn ⋅ G nq = M nn ⋅ Φnq ⋅ Ω2qq

17)

Nel Microsap l'intera sequenza si articola nei seguenti step: a) Composizione dei vettori iniziali Gnq secondo una procedura automatica basata sull'esame dei coefficienti di Knn e Mnn ed eventualmente ai numeri di equazioni base dichiarati dall'utente. b) Calcolo di Kqq e Mqq iniziali con le 15) e le 16). c) Risoluzione del sistema proiezione 14) e calcolo di tutti i suoi autovettori Φ qq e autovalori associati Ω²qq. La diagonalizzazione di Kqq e Mqq è affrontata col metodo di Jacobi eseguendo fino ad un massimo di 20 iterazioni, se necessario. L'andamento della diagonalizzazione può essere mostrato su video, se richiesto. d) Calcolo di Φ nq con la 12): se è raggiunta la precisione richiesta o il numero massimo di iterazioni assegnato, la procedura ha termine. Di ogni autovettore è noto solamente il rapporto tra le componenti

III-28

Organizzazione e Contenuto del Package Microsap

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per cui αΦ, con α un qualunque numero reale, rappresenta la stessa forma modale. Nel Microsap gli autovettori sono normalizzati rispetto alla componente maggiore in valore assoluto. e) Calcolo di X nq = M nn ⋅ Φnq ⋅ Ω2qq f) Risoluzione del sistema 17) utilizzando la matrice Knn fattorizzata:

( LTnn ⋅ Dnn ⋅ Lnn) G nq = Ynq g) Col nuovo valore Gnq sono trovate, con la 15) e 16):

Kqq = G Tnq ⋅ Ynq Mqq = G Tnq ⋅ M nn ⋅ G nq h) Ritorno al punto c) per un'altra iterazione.

La risoluzione del sistema 14) deve essere effettuata in memoria centrale così, generalmente la massima dimensione q è determinata dallo spazio disponibile per allocare Kqq, Mqq, Φ qq e Ω²qq. Poichè Kqq e Mqq sono simmetriche, di esse è registrata solo la parte superiore, compresa la diagonale ed inoltre Ω²qq è diagonale. Nel Microsap un'area di 8190 locazioni è riservata per contenere Φ qq e Ω²qq, mentre un'altra area delle stesse dimensioni contiene Kqq e Mqq. Deve perciò essere:

q 2 + q ≤ 8190 cioè la dimensione del sottospazio non può essere maggiore di 90. Entro i vari step le stesse aree di memoria sono condivise da altre quantità. Nel passo f), ad esempio essa sarà riservata per contenere i blocchi della matrice, fattorizzata entro SOLVE, che transitano in memoria durante la soluzione del sistema. Quando q=n il sistema proiezione risolto al punto c) coincide con quello completo: in questo caso particolare la procedura termina sempre al punto d) alla prima iterazione e si riduce al metodo di Jacobi applicato per trovare tutte le frequenze proprie del sistema. L'analisi modale può eventualmente essere condotta su un corpo libero, dotato cioè di moti rigidi. Tale situazione può essere simulata sopprimendo la singolarità con una serie di supporti elastici (elementi Boundary) dotati di piccola rigidezza.

10.3 Analisi Sismica (Spettro di Risposta) L'equazione di equilibrio di una struttura non smorzata, soggetta all'accelerazione del terreno üg o generalmente vincolata ad una base vibrante è:

Mü + Ku = Müg

18)

Nel paragrafo precedente si è visto come la matrice Φ degli autovettori, goda di particolari proprietà dovute all'ortogonalità tra le forme modali. In altri termini, Φ può essere vista come una particolare

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III-29

Manuale d’Uso Microsap

trasformazione di coordinate che disaccoppia il sistema dinamico: se lo spostamento u è espresso in questo sistema di coordinate (dette principali), la soluzione della 18) è particolarmente semplice. La relazione tra lo spostamento u e lo stesso in coordinate principali è quindi:

u = ΦX

19)

Premoltiplicando la 18) per Φ T e sostituendo la 10) e la 19) si ha:

ΦT MΦ X + ΦT MΦΩ2 X = ΦT Müg

20)

la matrice M* = Φ T MΦ è diagonale e la 20) è disaccoppiata: ogni modo è rappresentato con un'equazione indipendente analoga a quella di un sistema ad un solo grado di libertà. La 20) può essere riscritta per il modo iesimo come:

 ΦTi MD   üg Xi + ω Xi =  T  Φi MΦi  2 i

21)

dove si è indicato con D un vettore colonna rappresentante la direzione di eccitazione e ottenuto dal vettore direzione del sisma con componenti nulle per i gradi di libertà di rotazione. Riducendo il calcolo della risposta per ciascun modo al solo massimo, la soluzione della 21) può essere posta nella forma:

 ΦTi MD  Ui = ( ui ) max = Φi ( Xi) max = Φi  T ⋅ SD = αi Φi  Φi MΦi 

22)

Il coefficiente modale αi, calcolato nella seconda parte del modulo EIGEN per ogni modo di vibrare rappresenta quindi un moltiplicatore dell'autovettore che consente di ottenere l'ampiezza assoluta degli spostamenti. Il coefficiente SD è lo spostamento spettrale corrispondente al sistema ad un grado di libertà con pulsazione ωi. L'utente può assegnare il diagramma SD(ω) sia per punti che in forma analitica. In luogo dello spettro di spostamento è possibile introdurre lo spettro di velocità o accelerazione, essendo:

SD =

SV SA = 2 ω ω

10.4 Analisi Armonica (Risposta in Frequenza) Un altro caso in cui la soluzione della risposta forzata di un sistema è particolarmente semplice, si ha quando la struttura è soggetta ad un carico variabile nel tempo con legge sinusoidale ed è trascurabile lo smorzamento. L'equazione di equilibrio è allora:

Mü + Ku = Fo ⋅ sin( ωt ) Se ci si limita allo studio della risposta a regime la soluzione è della forma:

III-30

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23)

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u = U ⋅ sin( ωt )

24)

Derivando la 24) e sostituendo nella 23), semplificando e riordinando si ha:

( K − ω2 M) U = Fo

25) La 25) è simile alla 3) del par.10.1 e le ampiezze U dello spostamento u(t) della 24) possono essere trovate in modo simile ad un'analisi statica. Sarà infatti sufficiente, in fase di assemblaggio, aggiungere alla matrice di rigidezza K, la matrice di massa M moltiplicata per -ω². L'unica differenza rispetto all'analisi statica è che l'operatore dovrà fornire il valore di frequenza della forzante Fo e porre un pò di attenzione nell'assegnazione dei carichi. Il vettore totale dei carichi, che è il risultato dei contributi dei carichi di elemento e delle forze concentrate ai nodi deve essere inteso in questo caso come vettore delle ampiezze della forzante globale, come compare a secondo membro nella 23). I carichi di elemento introdotti (v. par.10.1) e quelli concentrati ai nodi varieranno quindi con la stessa legge sinusoidale, come frequenza e fase. E' anche possibile introdurre più condizioni di carico, ma queste saranno considerate tutte con la stessa frequenza e fase. Poichè la matrice di rigidezza K originaria risulta alterata, non è possibile eseguire alcun altro tipo di analisi contemporaneamente a quella armonica. Gli spostamenti ottenuti sono da considerarsi come ampiezza: in ogni istante il vettore spostamento reale è dato dalla 24). Gli sforzi calcolati entro il modulo STRES sono quelli relativi allo spostamento massimo e sono anche gli sforzi massimi.

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III-31

Manuale d’Uso Microsap

V DESCRIZIONE DEI DATI DI INPUT

Descrizione dei Dati di Input

V-1

Manuale d’Uso Microsap

V-2

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

1. MODULO INPUT Linea A.

Titolo del Lavoro. Numero richiesto: Una.

Campo Tipo 1

A

Descrizione Titolo del problema

NOTE: a) Questa prima linea dati ha lo scopo di fornire una breve descrizione del problema. Essa è l'unica linea dati contenente un campo alfanumerico (A). La lunghezza del titolo non può superare i 72 caratteri. Eventuali caratteri oltre la colonna 72 della linea sono ignorati. Il titolo del problema è riportato sulla prima pagina dell'output, contenente l'intestazione del programma, e su ogni pagina stampata, accanto alla data e all'ora. La stampa su ogni pagina può essere soppressa inserendo nel titolo uno o più spazi bianchi iniziali (blank a colonna 1).

Descrizione dei Dati di Input

V-3

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Linea B.

Informazioni di Controllo. Numero richiesto: Una.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di nodi della struttura

2

I

Numero totale di gruppi di elementi

3

I

Numero di condizioni di carico

4

I

Codice per ottimizzazione di banda (ICRT)

5

I

Codice analisi

6

I

Massima dimensione sottospazio

7

R

Frequenza per risposta armonica

NOTE: a) Elemento tipo 1 = Truss. Elemento tipo 2 = Beam. Elemento tipo 3 = Membranale Q4,Q6,QM5. Elemento tipo 4 = Assialsimmetrico, Plane stress, Plane strain. Elemento tipo 5 = Solid (Brick esaedrico o prismatico). Elemento tipo 6 = Plate/Shell. Elemento tipo 7 = Boundary. Ogni serie di elementi di diverso tipo forma sempre un gruppo. L'utilizzatore può anche formare più gruppi dello stesso elemento ed utilizzare più tipi di elementi per descrivere il modello della struttura. Gli elementi tipo 7 sono trattati nel modulo BOUND. Gli elementi tipo 1 sono trattati nel modulo TRUSS. Gli elementi tipo 2 nel modulo BEAM. Gli elementi tipo 3 e 4 nel modulo PLANE. Gli elementi tipo 5 nel modulo SOLID. Gli elementi tipo 6 nel modulo SHELL. Se il numero è posto negativo, si ha la soppressione automatica delle tre rotazioni in tutti i nodi. Tale opzione dovrebbe sempre essere usata in presenza di soli elementi tipo 1,3,4 e 5 per ridurre lo spazio richiesto in memoria centrale. b) A seguito della lettura delle linee C contenenti le coordinate di nodi e i codici di vincolo, il programma può procedere alla generazione di coordinate di nodi intermedi, alla ottimizzazione di banda e alla stampa dei dati generati. La tabella seguente mostra le diverse opzioni possibili in funzione del valore attribuito al codice ICRT al campo n.4. Se l’indice ICRT è posto uguale a zero (default) o a -1 il programma funziona come nella release precedente. Col valore zero la fase di ottimizzazione viene totalmente soppressa ed è effettuata sia la stampa dei dati nodali in ingresso (NODAL POINT INPUT DATA), sia la stampa dei dati generati dal programma (GENERATED NODAL DATA).

V-4

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

ICRT >1 =1 =0 =-1 0 (v. campo n.4, linea A).

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Caso di carico (1÷8)

2

I

Set di carico

3

I

Elemento iniziale (eli)

4

I

Elemento finale (elf)

5

I

Incremento di elemento (incr)

NOTE: a) Le linee H non devono essere assegnate se non esiste alcun carico di elemento definito con le linee G. b) Col campo n.1 si indica a quale tra gli 8 casi di carico (A÷H) deve essere attribuito il set di carico. Con una linea dati il carico è assegnato dall’elemento iniziale eli all’elemento finale elf, con incremento di elemento incr. Se incr non è assegnato, è assunto un incremento unitario. Se elf non è assegnato, è assunto elf=eli e il carico è attribuito al solo elemento eli specificato al campo n.3. c) E’ buona norma comporre prima il caso A (campo n.1 =1), assegnando tutti i carichi agenti sulle aste nella condizione A, poi il caso B, e così di seguito, fino a comprendere tutti i casi di carico che interessano. d) Al campo n.2, per ogni caso di carico A÷H, andranno attribuiti i set di carico scelti tra quelli presenti al campo n.1 delle linee G. e) Esempio. Con le seguenti linee dati: 1,2,2,4 1,1,6 1,3,9,13,2 2,1,1,8 2,4,11,12 • (bianca) la struttura presenta i due casi di carico A e B. Nel caso di carico A gli elementi dal n.2 al n.4 sono caricati col set di carico n.2, l’elemento n.6 col set n.1 e gli elementi 9,11 e 13 col set n.3. Tutti gli altri elementi sono scarichi (o comunque su essi agiscono solo i carichi globali di gravità assegnati con le linee F). Nel caso di carico B, gli elementi dal n.1 al n.8 sono caricati col set n.1 (stesso carico attribuito all’elemento n.6 nel caso A), e gli elementi n.11 e n.12 col set n.4.

V-38

Descrizione dei Dati di Input

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Linee I.

Definizione Sezioni Interne. Numero richiesto: una per differente set di sezioni (NSZI linee - v. campo n.8, linea A). Lette solo se NSZI>0.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di identificazione del set

2

R

Ascissa normalizzata α1

3

R

Ascissa normalizzata α2

•

“

•

•

“

•

•

“

•

10

R

Ascissa normalizzata α9

NOTE: a) Le linee I sono utilizzate quando in una o più aste del gruppo devono essere specificate esplicitamente le posizioni di un max di 9 sezioni interne all’asta, per il calcolo di azioni interne e spostamenti. Se le sezioni per le quali si desidera il calcolo sono semplicemente equispaziate lungo l’asta, non è necessario fornire la linea I (v. campo n.8, linee J). Ogni linea può contenere da 1 a 9 sezioni. Poichè le ascisse delle sezioni sono normalizzate rispetto alla lunghezza dell’asta, uno stesso set di sezioni può essere applicato a più aste, eventualmente di lunghezza differente. Si noti che αi = ai/Lf, ascissa della sezione interna iesima, è normalizzata rispetto alla lunghezza flessibile Lf dell’asta. Le ascisse αi hanno sempre un valore compreso tra 0. e 1.. In caso di errore nella compilazione delle linee I, il programma invierà il nuovo codice di errore n.79. b) Se l’utente desidera effettuare la rappresentazione grafica delle azioni interne lungo l’asta con il PostProcessor, è necessario che le ascisse αi siano assegnate in ordine crescente, e possibilmente nel numero massimo permesso (9).

Descrizione dei Dati di Input

V-39

Manuale d’Uso Microsap

Linee J.

Definizione degli Elementi. Numero richiesto: qualunque, fino al completamento della descrizione di tutti gli elementi beam.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero dell'elemento

2

I

Numero nodo I

3

I

Numero nodo J

4

I

Numero nodo K

5

I

Numero del materiale

6

I

Numero proprietà geometriche sezione I’

7

I

Numero proprietà geometriche sezione J’

8

I

Codice di calcolo azioni interne (-9÷NSZI)

9

I

Numero set estremità rigide

10

I

Numero set proprietà estese

11

I

Codice vincolo interno R1,R2,R3,M1,M2,M3 - nodo I

12

I

Codice vincolo interno R1,R2,R3,M1,M2,M3 - nodo J

13

I

Parametro di generazione automatica (KN)

NOTE: a) Per l'elemento beam deve essere definita una terna di assi locali x e,ye,ze per individuarne l'asse e l'orientazione della sezione, come spiegato alla nota a) relativa alla linea A. Essendo l'asse xe individuato dai nodi d'estremità, la terna è univocamente determinata una volta che è fissato l'asse ye. Sono possibili due modi per individuare l'asse locale ye: • Assegnando il nodo K giacente su un qualunque punto del piano xe-ye, ma non sull'asse xe. K può appartenere alla struttura o essere un nodo fittizio. In quest'ultimo caso ogni grado di libertà deve essere soppresso (ponendo tutti i codici di vincolo uguali a 1), al fine di eliminarli dal sistema di equazioni (fig.V.1). • Ponendo K = -1,-2,-3 l'asse ye è assunto su un piano parallelo rispettivamente agli assi globali X,Y,Z e verso concorde con essi. Ponendo K = -4,-5,-6 l'asse ye è assunto su un piano parallelo rispettivamente agli assi globali X,Y,Z e verso discorde con essi (fig.V.14). In altre parole, se al campo n.4 è assegnato il valore -6, ciò equivale ad aver assegnato implicitamente un nodo K posizionato su una retta passante per la mezzeria dell’asta e parallela all’asse globale Z, e ad una distanza pari alla lunghezza dell’asta, nel verso delle Z negative.

V-40

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Z

K=-6 K=-3

K=-2 Y K=-5

K=-4

K=-1

X

FIG. V.14 - Orientazione semplificata della sezione. b) Con le linee B,C,D,E sono state create le librerie dei materiali, sezioni, proprietà estese, e offset rigidi. Con le linee F e G si sono definiti i carichi in gioco ed infine con le linee H si sono assegnati i carichi locali alle singole aste (i carichi globali definiti con le linee F sono automaticamente assegnati a tutti gli elementi del gruppo). Le aste sono effettivamente definite solo con le linee J come geometria (nodi I,J,K), materiale (campo n.5), sezioni (campi n.6 e n.7) e proprietà (campi n.8÷12). In effetti non è obbligatorio che tutti i materiali, sezioni, ecc., definiti siano poi effettivamente attribuiti alle aste. c) Se il numero di materiale dell'asta (campo n.5) è lasciato uguale a zero, il programma assegna il materiale n.1. d) Ai campi n.6 e n.7 sono assegnati i numeri di proprietà geometriche, cioè il numero identificativo delle sezioni di estremità scelte tra quelle definite alle linee C. L’elemento può essere a sezione moderatamente e gradualmente variabile, con dimensioni variabili linearmente lungo l’asse dell’asta. Il rapporto tra le dimensioni lineari delle sezioni di estremità dovrebbe essere non superiore a 2:1, quello tra le aree non maggiore di 5:1 e quello tra i momenti d’inerzia non superiore a 20:1. Se il campo n.7 non è definito o è posto uguale a zero, la trave è considerata a sezione costante. e) Al campo n.8 può essere specificato un codice per ottenere il calcolo delle azioni interne e la successiva stampa, effettuata dal modulo STRES (tabella STRESS OUTPUT). Se il codice ni non è assegnato o è nullo, il calcolo delle azioni interne all’asta è soppresso e sono trovate solamente le azioni di estremità (come nella Rel.01.92). Se ni0 le ascisse delle sezioni interne sono quelle del set ni assegnato con le linee I. Oltre alle azioni interne (R1, R2, R3, M1, M2, M3) sono anche calcolati i relativi spostamenti dei punti interni (traslazioni u1, u2, u3 e rotazioni α1, α2, α3) e fino a sei ulteriori componenti di “sforzo”. Queste sei generiche componenti di sforzo saranno attivate nelle prossime release. Nell’attuale release è attivato il calcolo della pressione pt sul suolo elastico, definita come forza per unità di lunghezza. Da essa è possibile ricavare immediatamente la pressione sul terreno σt2 = pt2/B*o σt3 = pt3/H*, essendo B* e H* le larghezze delle suole di fondazione in direzione 2 e 3.

Descrizione dei Dati di Input

V-41

Manuale d’Uso Microsap

f) Al campo n.9 deve essere posto il numero identificativo del set di estremità rigide da applicare, scelto tra quelli delle linee E. Se il campo è nullo o non è definito, la trave non ha estremità rigide. g) Al campo n.10 è posto il numero identificativo delle proprietà estese, tra quelle definite con le linee D. Se la trave non ha proprietà estese, cioè se per essa non si desidera introdurre deformazioni a taglio, suolo elastico o offset del centro di taglio, il campo n.10 deve essere posto uguale a zero o non definito. h) Il codice di vincolo interno al campo n.11 è un intero composto di 6 cifre che possono essere 0 o 1. Normalmente è lasciato uguale a zero (000000) e l'elemento trasmette le reazioni R1,R2,R3,M1,M2,M3. La prima cifra è relativa alla componente R1: se è 1, l'elemento non la trasmette. Se è 1 la seconda cifra, la reazione R2 non è trasmessa, ecc.. Per il nodo J il significato dei codici è lo stesso. Esempio: Campo n.11 = 10001 = 010001 Campo n.12 = 100101 Al nodo I è nulla la reazione R2 e la reazione M3 (codice 010001): vi è un carrello con cerniera che permette la traslazione lungo l'asse 2 e la rotazione attorno all'asse 3. Al nodo J è nulla la reazione R1 e le reazioni M1 e M3 (codice 100101): è possibile la traslazione e la rotazione assiale e la rotazione attorno a 3. i) Il primo elemento assegnato deve essere sempre il n.1 ed i seguenti in ordine crescente. Se tra una linea e la successiva si ha un salto nel numero di elemento, gli elementi intermedi sono generati incrementando i nodi I e J di KN dato al campo n.13 della linea iniziale della serie. Gli elementi saranno generati con la stessa orientazione e le stesse caratteristiche (stesse proprietà del materiale, stesse proprietà geometriche della sezione, stessi carichi e stessi vincoli interni). L'elemento finale della serie non è comunque generato, ma ad esso sono attribuiti tutti i valori assegnati dall'utilizzatore. In tal modo l'ultimo elemento di una serie può essere usato per la generazione della serie successiva. Se KN è lasciato zero, il programma pone sempre KN = 1. j) Se nella linea è attribuito il solo campo n.1 (numero dell’elemento), l’elemento è ignorato (elemento fittizio). Ciò consente di escludere facilmente elementi intermedi o permette di creare una interruzione sulla numerazione progressiva. Se tra una linea e la successiva si ha un salto nel numero di elemento, anche tutti gli elementi intermedi non saranno generati. k) In output, per l'elemento beam sono fornite le reazioni di estremità ai nodi I e J. Queste sono riferite al sistema locale 1-2-3 e particolare attenzione va posta alla corretta interpretazione delle componenti di taglio e dei momenti. Per ogni gruppo di elementi il programma ricerca i massimi e minimi di ogni reazione, effettuando una suddivisione per materiali entro lo stesso gruppo. Nessuna distinzione può però essere fatta dal programma riguardo all'orientazione delle sezioni. In generale quindi i massimi e minimi sono ottenuti dal confronto di quantità non necessariamente omogenee. E' compito dell'operatore suddividere gli elementi in classi omogenee. Ciò può essere ottenuto in due modi: a) definendo un gruppo differente per ogni tipo di orientazione (ad esempio, "gruppo travi orizzontali" e "gruppo pilastri" in una struttura a telaio a maglie ortogonali); b) attribuendo un materiale differente per le aste con la stessa orientazione.

V-42

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

4. MODULO PLANE - ELEMENTO TIPO 3 Linea A.

Informazioni di Controllo. Numero richiesto: Una.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Il numero 3

2

I

Numero totale di elementi tipo 3

3

I

Numero di differenti materiali

4

I

Numero massimo di temperature per le quali sono date le proprietà dei materiali.

5

I

Flag per rigidezza normale (0 o 1)

6

I

0 = Q4; 1 = Q6; 2 = QM5;

7

I

Numero carichi di elemento NLD (pressioni sui lati)

NOTE: a) L'elemento tipo 3 è formulato per problemi di plane stress membranale. Esso è definito nello spazio (X,Y,Z assegnate ad ogni nodo e tre componenti di spostamento u,v,w per nodo) e spessore costante assegnato. L'elemento tipo 3 può essere usato nella schematizzazione di strutture tridimensionali a piccolo spessore, per le quali siano trascurabili i momenti flettenti e lo sforzo normale lungo lo spessore. Essendo nulla la rigidezza normale, non è possibile introdurre pressioni perpendicolarmente al piano degli elementi, ma solo sul bordo di essi e nel loro piano. b) E' selezionato l'elemento Q4 (quadrilatero isoparametrico a 4 nodi) se il campo n.6 è posto uguale a 0. Se il codice è posto uguale a 1, è scelto l'elemento quadrilatero con modi incompatibili Q6. Se il codice è posto uguale a 2, è selezionato l'elemento QM5, quadrilatero con nodo centrale. L'utilizzatore definisce i tre differenti tipi di elemento nello stesso modo. I tre elementi Q4,Q6,QM5 sono caratterizzati dai quattro nodi d'angolo I,J,K,L: l'aggiunta dei modi incompatibili o del nodo centrale è un processo interno al programma. I tre elementi Q4,Q6,QM5 possono anche essere definiti triangolari: l'utilizzatore dovrà in tal caso porre semplicemente il numero di nodo K uguale al numero di nodo L. Per gli elementi triangolari si ha la soppressione dei modi incompatibili e del nodo centrale e l'elemento è sempre del tipo Q4 degenere. c) L'uso dell'elemento Q4 dovrebbe essere ristretto al caso particolare in cui non sono previsti forti momenti flettenti e forze di taglio sul piano. La risposta degli elementi Q4,Q6,QM5 è tanto migliore quanto più la loro forma è prossima ad un quadrato. Comunque ottimi risultati si ottengono anche con rapporti di 1/10 delle misure dei lati. Maggior attenzione va posta invece per evitare la presenza di elementi eccessivamente distorti, con angoli interni prossimi a 180 gradi. Gli elementi triangolari dovrebbero essere usati solo per schematizzare situazioni particolari dove non è possibile l'impiego dell'elemento quadrangolare. Spesso ciò accade in prossimità di variazioni di geometria, vicino agli spigoli, o quando occorre infittire la suddivisione. Si ricordi che l'elemento triangolare è sempre un Q4 degenere: esso tende ad essere piuttosto rigido rispetto al quadrilatero Q6 o QM5. La suddivisione in

Descrizione dei Dati di Input

V-43

Manuale d’Uso Microsap

elementi deve essere più fitta dove sono previsti maggiori gradienti di sforzo e generalmente in prossimità di carichi concentrati, discontinuità geometriche o di materiale, vincoli, ecc. Una suddivisione più rada può tuttavia impiegarsi man mano che ci si allontana dalla zona di indagine. d) L'elemento tipo 3 può essere definito nello spazio ed avere qualunque giacitura, non necessariamente coincidente con un piano globale. L'elemento non trasmette rotazioni e queste devono essere soppresse con i codici di vincolo delle linee C del modulo INPUT. Questa operazione può comunque essere effettuata automaticamente dal Pre-Processor PREPMSP durante l'esecuzione del comando DATAFILE. L'elemento non trasmette neppure lo spostamento in direzione perpendicolare al piano. Questo grado di libertà può essere soppresso con i codici di vincolo delle linee C del modulo INPUT solo se la struttura giace completamente su un piano globale. In caso contrario, quando vi sono elementi giacenti in piani differenti e connessioni tra elementi giacenti sullo stesso piano che danno origine a rigidezze normali nulle (v. ad esempio il Problem 3.1, per i nodi non giacenti sugli spigoli), una piccola rigidezza normale deve essere introdotta attraverso l'uso degli elementi Boundary. Se la normale all'elemento è diretta secondo un asse globale questa singolarità può essere riconosciuta e soppressa durante la fase di assemblaggio mediante l'introduzione automatica di una piccola rigidezza (v. nota c), linea A, modulo SOLVE). In caso contrario la singolarità è rilevata in fase di fattorizzazione ma non può essere corretta e provoca l'arresto dell'esecuzione. Se al campo n.5 è posto il valore 1, l'elemento è dotato di una piccola rigidezza normale proporzionale al suo volume e al modulo elastico Et del materiale (ordine di grandezza = 1.E-6 volte il valore degli altri coefficienti di rigidezza dell'elemento). La rigidezza è introdotta su ogni nodo degli elementi del gruppo sotto forma di un supporto elastico ed è perciò del tutto equivalente all'uso di elementi Boundary. L'uso di tale opzione automatica risulta particolarmente conveniente quando la struttura si sviluppa su superfici qualsiasi e su piani diversi da quelli globali. Tranne casi del tutto particolari si consiglia sempre l'uso dell'introduzione automatica della rigidezza normale, al fine di evitare l'utilizzo dei Boundary ed errori nella loro definizione. e) Al campo n.7 vanno indicate il numero di linee C impiegate per assegnare i carichi di pressione sui lati. Se esso è nullo o non assegnato, non è letta alcuna linea C. Si noti che nella Rel. 01.92 i carichi di pressione erano assegnati direttamente sulle linee elementi.

V-44

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee B.

Caratteristiche dei Materiali. Numero richiesto: Una serie di linee B1 e B2 deve essere fornita per ogni materiale.

B1. Linea di identificazione materiale. Numero richiesto: Una.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di identificazione materiale

2

I

Numero di differenti temperature per le quali sono date le proprietà del materiale.

3

R

Peso specifico (solo per carichi dovuti ad accelerazione di gravità)

4

R

Densità (solo per analisi dinamica o accelerazione centrifuga)

5

R

Angolo di orientazione del materiale (ß)

NOTE: a) Il massimo numero riportato al campo n.2 tra ogni materiale, deve essere trascritto al campo n.4 della precedente linea A. b) Per i materiali ortotropi, viene definito un sistema locale N-S-T al quale le proprietà sono riferite. Il sistema di assi locale dell'elemento è invece U-V-W. Gli assi T e W coincidono e sono perpendicolari al piano dei nodi I,J,K,L. L'asse U ha verso da I a J. ß è l'angolo (in gradi) tra l'asse U e l'asse N, misurato in senso orario o antiorario da U, a seconda del verso di numerazione dei nodi dell'elemento. L'angolo ß si porrà uguale a zero per i materiali isotropi (fig.V.15 e fig.V.16).

V

U

J

L

K

K β

S

N

N β

L

J

U I S

FIG.V.15

V

FIG. V.16

Descrizione dei Dati di Input

V-45

Manuale d’Uso Microsap

c) L’assegnazione del campo n.3 è necessaria solo se esistono carichi di gravità (v. linee D1, D2, D3). Il campo n.4 deve essere assegnato se si tratta di analisi dinamica oppure se sono presenti forze centrifughe (v. linea D5). Se è assegnata la densità del materiale il programma calcola sempre la matrice di massa.

V-46

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

B2.

Proprietà del Materiale. Numero richiesto: 2 per ogni differente temperatura.

Linea 1. Campo Tipo

Descrizione

1

R

Temperatura alla quale si riferiscono le proprietà.

2

R

Modulo di elasticità in direzione N (En)

3

R

Modulo di elasticità in direzione S (Es)

4

R

Modulo di elasticità in direzione T (Et)

5

R

Modulo di Poisson νns

6

R

Modulo di Poisson νnt

7

R

Modulo di Poisson νst

Linea 2. Campo Tipo

Descrizione

1

R

Modulo di elasticità trasversale (Gns)

2

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione N (αn)

3

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione S (αs)

4

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione T (αt)

NOTE: a) Nel Plane Stress, la matrice elastica del materiale è corretta ponendo la condizione σt = 0 (per defininizione sono nulli gli sforzi in direzione perpendicolare al piano degli elementi). b) Ovviamente, per i materiali isotropi è per definizione: En = Es = Et = E νns = νnt = νst = ν Gns = E/[2⋅(1+ν)] αn = αs = αt = α

Descrizione dei Dati di Input

V-47

Manuale d’Uso Microsap

c) In casi particolari il programma provvede a fornire valori di default per le caratteristiche dei materiali, se i relativi campi sono lasciati nulli. In ogni caso, En (campo n.2, linea 1) deve sempre essere assegnato. Se Es=0 o Et=0 i loro valori sono posti uguali a En dal programma. Se νnt=0 o νst=0, essi sono posti uguali a νns. Se Gns=0 è posto Gns=En⋅Es/(En+Es+2⋅νns⋅Es) Se αs=0 o αt=0, essi sono posti uguali a αn.

V-48

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee C.

Carichi di Pressione sugli Elementi. Numero richiesto: Una linea per ogni differente carico di pressione e il cui numero NLD è stato specificato al campo n.7 della linea A.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di identificazione del set

2

I

Tipo di carico (1 = pressione costante; 2 = pressione idrostatica)

3

R

Valore della pressione (per carico tipo 1) o peso specifico del fluido (per carico tipo 2)

4

R

Quota Zref del pelo libero del fluido

NOTE: a) I carichi di pressione possono essere introdotti solo sul lato I-J dell’elemento: l’utilizzatore ne deve tener conto nella numerazione dei nodi attribuita all’elemento con le linee F seguenti. La pressione è positiva se tende a comprimere l’elemento. b) Se il valore specificato al campo n.2 è uguale a 1 il carico di pressione, applicato sul lato I-J, è costante. Il valore di pressione è assegnato al campo n.3, mentre il campo n.4 non è usato. Il carico è effettivamente applicato solo se esso è assegnato agli elementi con le linee E. c) Se il tipo specificato al campo n.2 è uguale a 2 la pressione varia con legge idrostatica: Pi = γ⋅(Zref - Zi) Pi = 0.

se Zref ≥ Zi se Zref < Zi

In questo caso l'utente dovrà assegnare al campo n.3 il peso specifico γ del fluido e al campo n.4 il valore della coordinata Zref corrispondente al pelo libero. Se γ ha valore negativo il carico applicato è una tensione sulla faccia. Il programma calcola la pressione corrispondente alla quota del punto medio Zi del lato I-J e assegna tale valore di pressione su tutto il lato: se il punto è ad una quota Zi superiore a quella del pelo libero la pressione è nulla. Quando l'utente prevede di far uso di pressioni idrostatiche deve tenerne conto nella disposizione del modello rispetto agli assi globali. Le pressioni idrostatiche definite con le linee C sono infatti calcolate assumendo che la gravità agisca secondo la direzione globale -Z. d) Se è effettuata l'analisi armonica si veda la nota i) alle linee F.

Descrizione dei Dati di Input

V-49

Manuale d’Uso Microsap

Linee D.

Moltiplicatori di Carico Globale. Numero richiesto: 5.

Linea 1. Accelerazione di gravità nella direzione globale X. Campo Tipo

Descrizione

1

R

Moltiplicatore del caso di carico A

2

R

Moltiplicatore del caso di carico B

3

R

Moltiplicatore del caso di carico C

4

R

Moltiplicatore del caso di carico D

5

R

Moltiplicatore del caso di carico E

6

R

Moltiplicatore del caso di carico F

7

R

Moltiplicatore del caso di carico G

8

R

Moltiplicatore del caso di carico H

Linea 2. Come la linea 1, per l’accelerazione di gravità nella direzione globale Y. Linea 3. Come la linea 1, per l’accelerazione di gravità nella direzione globale Z. Linea 4. Come la linea 1, per i moltiplicatori del carico termico. Linea 5. Come la linea 1, per le velocità angolari attorno all’asse globale Z.

NOTE: a) Ogni caso di carico di elemento A÷H, può essere composto da una combinazione (mediante i moltiplicatori) del carico principale termico, da accelerazione lungo i tre assi globali X,Y,Z e da accelerazione centrifuga. Il campo di temperature nodali è assegnato con le linee C del modulo INPUT, da cui sono estratte le temperature ai nodi di ogni elemento. La temperatura di riferimento per il calcolo del salto termico è assegnata al campo n.7 delle linee F seguenti. Il carico termico è quindi applicato ad ogni caso di carico con i moltiplicatori della linea n.4. Le componenti di accelerazione di gravità lungo X,Y,Z sono calcolate tenendo conto del peso specifico definito al campo n.3 delle linee B1 ed applicate ad ogni caso di carico secondo i moltiplicatori delle linee n.1,2,3. Un moltiplicatore di valore unitario applica una componente di accelerazione pari a 1 volta l’accelerazione di gravità (1g). Con la linea n.5 è possibile introdurre per ogni caso di carico A÷H una componente centrifuga assumendo, come asse di rotazione, l’asse globale Z. Nella linea n.5 andranno specificate le velocità angolari in rad/sec. Se l’utilizzatore desidera introdurre forze centrifughe, deve tenerne conto nel posizionamento dell’asse globale Z rispetto al modello.

V-50

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

b) Se è effettuata la sola analisi modale o sismica senza la contemporanea analisi statica, le linee D possono essere lasciate bianche. c) Se è effettuata l'analisi armonica si veda la nota i) alle linee F.

Descrizione dei Dati di Input

V-51

Manuale d’Uso Microsap

Linee E.

Assegnazione dei Carichi di Pressione agli Elementi. Numero richiesto: Qualunque, fino alla assegnazione di tutti i carichi sugli elementi. Le linee E terminano con una linea bianca finale. Lette solo se NLD>0 (v. campo n.7, linea A).

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Caso di carico (1÷8)

2

I

Numero carico di pressione

3

I

Elemento iniziale (eli)

4

I

Elemento finale (elf)

5

I

Incremento di elemento (incr)

NOTE: a) Le linee E non devono essere assegnate se non esiste alcun carico di elemento definito con le linee C. b) Col campo n.1 si indica a quale tra gli 8 casi di carico (A÷H) deve essere attribuito il carico di pressione. Con una linea dati il carico è assegnato dall’elemento iniziale eli all’elemento finale elf, con incremento di elemento incr. Se incr non è assegnato, è assunto un incremento unitario. Se elf non è assegnato, è assunto elf=eli e il carico è attribuito al solo elemento eli specificato al campo n.3. c) E’ buona norma comporre prima il caso A (campo n.1 =1), assegnando tutti i carichi agenti sugli elementi nella condizione A, poi il caso B, e così di seguito, fino a comprendere tutti i casi di carico che interessano. d) Al campo n.2, per ogni caso di carico A÷H, andranno attribuite le pressioni scelte tra quelle presenti al campo n.1 delle linee C. e) Esempio. Con le seguenti linee dati: 1,2,2,4 1,1,6 1,3,9,13,2 2,1,1,8 2,4,11,12 • (bianca) la struttura presenta i due casi di carico A e B. Nel caso di carico A gli elementi dal n.2 al n.4 sono caricati con la pressione n.2, l’elemento n.6 con la pressione n.1 e gli elementi 9,11 e 13 con la n.3. Tutti gli altri elementi sono scarichi (o comunque su essi agiscono solo i carichi globali assegnati con le linee D). Nel caso di carico B, gli elementi dal n.1 al n.8 sono caricati con la pressione n.1 (stesso carico attribuito all’elemento n.6 nel caso A), e gli elementi n.11 e n.12 con la pressione n.4.

V-52

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee F.

Definizione degli Elementi. Numero richiesto: Qualunque, fino al completamento della descrizione di tutti gli elementi tipo 3.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di elemento

2

I

Numero del nodo I

3

I

Numero del nodo J

4

I

Numero del nodo K

5

I

Numero del nodo L

6

I

Numero di identificazione del materiale

7

R

Temperatura di riferimento (T0)

8

I

Codice n per il calcolo degli sforzi

9

I

Parametro di generazione automatica KN

10

R

Spessore dell'elemento

NOTE: a) L'ordine di numerazione dei nodi I,J,K,L dell'elemento può essere antiorario (fig.V.15) o orario (fig.V.16). Per gli elementi triangolari il numero di nodo L deve essere posto uguale al numero di nodo K. b) Se il numero di identificazione del materiale è lasciato uguale a zero, viene assegnato il materiale n.1. Le proprietà del materiale sono ricavate, per ogni elemento, per interpolazione (o estrapolazione) lineare, considerando la temperatura dell'elemento come media aritmetica delle temperature dei nodi I,J,K,L:

Te =

Ti + Tj + Tk + Tl 4

c) I carichi termici sono comunque ottenuti considerando variabile la temperatura secondo le coordinate locali s,t, con l'uso delle stesse funzioni di forma dell'elemento isoparametrico:

T( s, t ) = Hi( s, t ) ⋅ Ti + Hj( s, t ) ⋅ Tj + Hk( s, t ) ⋅ Tk + Hl( s, t ) ⋅ Tl Il salto termico utilizzato nell'integrazione è quindi:

δT( s, t ) = T( s, t ) − T0

Descrizione dei Dati di Input

V-53

Manuale d’Uso Microsap

T0, assegnata al campo n.7 è la temperatura di free-strain. Spesso il vettore temperature definito al campo n.11 delle linee C del modulo INPUT è posto costante e uguale a zero: in tal caso δT = -T0. d) Nella Rel. 01.92 non era possibile definire pressioni idrostatiche. I carichi di pressione potevano variare nei diversi casi di carico solamente attraverso i moltiplicatori di carico. Nell’attuale release i carichi di pressione sono assegnati in modo più generale con le linee C ed E. e) Il calcolo degli sforzi può essere ottenuto in diversi punti dell'elemento, assegnando un opportuno valore al codice n. Tale codice può essere composto con un massimo di cinque cifre, ognuna con valore compreso tra 0 e 4. Ogni cifra individua un differente punto nel quale è richiesto il calcolo degli sforzi, secondo la seguente tabella: 1 = mezzeria lato L-I 2 = mezzeria lato J-K 3 = mezzeria lato I-J 4 = mezzeria lato K-L 0 = centroide dell'elemento Le cifre che compongono il codice n devono essere assegnate secondo l'ordine sopra riportato. Ad esempio, lasciando n = 0 (default) si otterrà il calcolo degli sforzi al centro dell'elemento; assegnando n = 130 si otterrà invece il calcolo al centro dell'elemento e nelle mezzerie dei lati L-I e I-J. Il calcolo degli sforzi può essere soppresso totalmente assegnando n = -1. Se l'elemento è triangolare, il codice 4 (mezzeria lato K-L) è soppresso. Maggiore è il numero di punti nei quali è richiesto il calcolo degli sforzi, maggiore è lo spazio occupato su disco dal file MSPTAPE1. f) Gli sforzi normali sono positivi se di trazione e, al centro dell'elemento, vengono calcolati in un sistema di riferimento con assi paralleli agli assi locali U,V,W. S11 sarà perciò lo sforzo normale parallelo al lato I-J e S22 lo sforzo normale perpendicolare a I-J. S12 è lo sforzo di taglio sul piano dell'elemento. S33 è lo sforzo normale perpendicolare al piano dell'elemento.

V S 22

1 L

S 12

2 K

2

2 2

1

1

1

1

2 2 I

J

U

1

FIG. V.17

V-54

FIG. V.18

Descrizione dei Dati di Input

S 11

Manuale d’Uso Microsap

Sulle mezzerie dei lati il sistema locale 1-2-3 è assunto con l'asse 1 perpendicolare al lato, l'asse 2 parallelo al lato e l'asse 3 perpendicolare al piano (fig.V.17 e fig.V.18). S-MAX ed S-MIN sono gli sforzi principali sul piano dell'elemento 1-2, mentre S33 viene a coincidere con lo sforzo principale perpendicolare a tale piano (asse 3). ANGLE è l'angolo (in gradi) tra l'asse locale 1 e la direzione dello sforzo principale massimo (in senso algebrico). T-MAX è il taglio massimo. S-MIS è la Sigma di Von Mises. g) Il primo elemento assegnato deve essere sempre il n.1 ed i seguenti in ordine crescente. Se tra una linea e la successiva si ha un salto nel numero di elemento, gli elementi intermedi sono generati incrementando i nodi I,J,K,L del valore KN dato al campo n.9 della linea finale della serie. In tal caso tutte le caratteristiche degli elementi generati saranno poste uguali a quelle specificate nella linea finale. Se KN è lasciato uguale a zero, esso è posto uguale a 1 dal programma. h) Per ogni gruppo di elementi il programma ricerca i massimi e i minimi di ogni componente di sforzo, effettuando una suddivisione per materiali, entro lo stesso gruppo. Nessuna distinzione è però fatta dal programma riguardo alla diversa orientazione dei sistemi locali rispetto ai quali gli sforzi sono calcolati. In generale quindi, i massimi e i minimi sono ottenuti dal confronto di quantità non necessariamente omogenee. Per la corretta interpretazione della tabella "STRESS SUMMARY" (RIEPILOGO SFORZI) occorre tenere presente che: • I confronti per il calcolo dei massimi e minimi sono effettuati solo sugli elementi per i quali è stato richiesto il calcolo degli sforzi (codice n maggiore o uguale a zero). • Per ogni elemento, il confronto è esteso a tutti i punti nei quali è stato richiesto il calcolo degli sforzi. Per alcune componenti di sforzo il confronto può perciò essere stato effettuato su quantità non coerenti perchè ottenute su sistemi di riferimento diversi. • Tra i diversi elementi il confronto può essere stato effettuato su quantità non coerenti perchè ottenute su sistemi di riferimento diversi, anche se per tutti gli elementi del gruppo è stato richiesto il calcolo degli sforzi in un solo punto. Ciò per due ragioni: perchè i lati corrispondenti dei diversi elementi possono essere diversamente orientati e perchè i lati corrispondenti (ad es. lato I-J) possono aver cambiato orientazione in seguito ad una variazione nel sistema di numerazione dei nodi degli elementi. L'operatore può forzare il confronto a classi omogenee creando diversi gruppi di elementi oppure attribuendo materiali differenti, o ripetendo il calcolo variando il codice n e limitando l'esame degli sforzi ad un solo punto per volta. i) Se è richiesta l'analisi armonica, un pò di cautela deve essere usata nella definizione dei carichi. Se sono assegnati carichi di gravità (se il peso specifico dei materiali e i moltiplicatori delle linee C sono diversi da zero) oppure se sono assegnati carichi termici o di pressione (con i moltiplicatori diversi da zero), tutti questi saranno considerati variabili nel tempo con legge sinusoidale con ampiezze assegnate e frequenza uguale a quella specificata al campo n.7 della linea B del modulo INPUT. j) Se nella linea è attribuito il solo campo n.1 (numero dell’elemento), l’elemento è ignorato (elemento fittizio). Ciò consente di escludere facilmente elementi intermedi o permette di creare una interruzione sulla numerazione progressiva. Se tra una linea e la successiva si ha un salto nel numero di elemento, anche tutti gli elementi intermedi non saranno generati.

Descrizione dei Dati di Input

V-55

Manuale d’Uso Microsap

5. MODULO PLANE - ELEMENTO TIPO 4 Linea A.

Informazioni di Controllo. Numero richiesto: Una.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Il numero 4

2

I

Numero totale di elementi tipo 4

3

I

Numero di differenti materiali

4

I

Numero massimo di temperature per le quali sono date le proprietà dei materiali.

5

I

0 = Assialsimmetrico 1 = Plane Strain 2 = Plane Stress

6

I

0 = Q4; 1 = Q6; 2 = QM5;

7

I

Numero carichi di elemento NLD (pressioni sui lati)

NOTE: a) L'elemento tipo 4 è utilizzato per la risoluzione di tre tipi di problemi strutturali: l'assialsimmetrico, il plane strain e il plane stress. • Gli elementi assialsimmetrici Q4,Q6,QM5 sono toroidali a sezione quadrilatera. L'asse globale Z deve sempre essere l'asse di simmetria, mentre l'asse globale Y rappresenta la direzione radiale (indicato anche con R). Le coordinate globali X non hanno nessun impiego nell'analisi. Gli elementi assialsimmetrici Q4,Q6,QM5 possono essere impiegati per la schematizzazione di strutture assialsimmetriche per geometria e carichi. Il programma esegue il calcolo su un arco di 1 radiante. L'operatore deve tener conto di ciò solo al momento della assegnazione di eventuali forze ( o masse) concentrate ai nodi. Poichè nell'assialsimmetrico un "nodo" rappresenta in realtà la traccia di una circonferenza sul piano trasversale (piano dell'elemento), la forza concentrata al nodo è in realtà una forza distribuita sull'intera circonferenza. Il valore che l'operatore dovrà assegnare sarà quello che compete ad un arco di 1 radiante (v. Problem 4.3). Riguardo alla geometria, si deve invece notare che il Microsap consente anche la schematizzazione di strutture che sono fondamentalmente assialsimmetriche nel senso appena visto, ma che presentano delle discontinuità locali distribuite con regolarità in senso circonferenziale. Questo è il caso di scanalature, ringrossi, nervature, fori, incavi per bulloni, ecc. che in qualche modo interrompono la continuità dell'elemento lungo il suo "spessore", cioè in tal caso, circonferenzialmente. In questa ipotesi è possibile tener conto globalmente delle discontinuità del materiale degli elementi interessati, attribuendo ad essi un materiale (v. linee B2) con caratteristiche ortotrope (isotropia trasversa) e nel contempo assegnando uno "spessore" inferiore ad 1 radiante (v. linee D, Fattore di Solidità).

V-56

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Il programma tiene conto della discontinuità dell'elemento nel calcolo delle matrici di rigidezza e di massa, dei vettori dei carichi relativamente agli effetti termici e alle forze di volume, ma non ai carichi nodali esterni e alle pressioni, che agiscono sempre nella loro totalità. Questa tecnica consente di ottenere il calcolo degli sforzi in misura pressochè esatta in regioni sufficientemente distanti dalle discontinuità. Gli sforzi relativi agli elementi discontinui sono però da intendersi come valori medi: in realtà in prossimità dei fori, ringrossi, ecc. possono nascere delle concentrazioni di sforzo non trascurabili, che vanno indagate per altra via (ad esempio servendosi di un secondo modello plane stress, se non sono presenti carichi normali - v. Problem 4.2). • Gli elementi Plane Strain Q4,Q6,QM5 sono a sezione quadrilatera e spessore unitario. Essi sono definiti nel piano globale Y-Z Le coordinate X non sono utilizzate nell'analisi. Per definizione tali elementi hanno deformazione nulla in direzione perpendicolare al loro piano. Solitamente il modello plane strain è il risultato di una schematizzazione piana di un oggetto reale di dimensione "indefinita" (o che possa ritenersi tale, in prima approssimazione), lungo lo spessore. In tal modo lo spessore della "fetta" costituente il modello è irrilevante ai fini dell'analisi ed è assunta pari all'unità dal programma. L'operatore deve tener conto di ciò nell'assegnazione delle forze (o masse) nodali concentrate: il valore da introdurre è la forza agente sul bordo di lunghezza unitaria. Anche per il plane strain è possibile tener conto di discontinuità lungo lo spessore dell'elemento, come visto per l'assialsimmetrico, attribuendo ad esso un materiale a caratteristiche ortotrope (v. linee B2) e uno spessore inferiore all'unità (v. Linee D). • Gli elementi Plane Stress Q4,Q6,QM5 sono a sezione quadrilatera e spessore definito dall'utilizzatore. Essi giaciono sul piano globale Y-Z. Le coordinate X non sono utilizzate nell'analisi. Per definizione, tali elementi hanno sforzo nullo in direzione perpendicolare al loro piano. Essi sono simili agli elementi tipo 3, con l'unica differenza che sono sempre definiti sul piano. • I tre tipi di elementi (assialsimmetrici, plane strain, plane stress) sono formulati in modo identico ed in sistemi di riferimento (globale e locale) analoghi. E' perciò possibile assemblare elementi di natura diversa semplicemente definendo più gruppi. Un caso frequente nella pratica si presenta con strutture assialsimmetriche dotate di rinforzi radiali distribuiti con continuità circonferenzialmente. Questi, considerati separatamente, sono schematizzabili con elementi plane stress. Il gruppo elementi di plane stress costituenti il rinforzo sarà semplicemente definito con spessori ridotti ad 1 radiante. In altre parole, poichè la struttura su cui il programma effettuerà il calcolo sarà ristretta ad uno spicchio di 1 radiante (condizione adottata dal Microsap per gli assialsimmetrici), l'utente assegnerà agli elementi plane stress uno spessore pari allo spessore totale dei rinforzi sull'intera circonferenza, diviso per 2π. b) E' selezionato l'elemento Q4 (quadrilatero isoparametrico a 4 nodi) se il campo n.6 è posto uguale a 0. Se il codice è posto uguale a 1, è scelto l'elemento quadrilatero con modi incompatibili Q6. Se il codice è posto uguale a 2, è selezionato l'elemento QM5, quadrilatero con nodo centrale. L'utilizzatore definisce i tre differenti tipi di elemento nello stesso modo. I tre elementi Q4,Q6,QM5 sono caratterizzati dai quattro nodi d'angolo I,J,K,L: l'aggiunta dei modi incompatibili o del nodo centrale è un processo interno al programma. I tre elementi Q4,Q6,QM5 possono anche essere definiti triangolari: l'utilizzatore dovrà in tal caso porre semplicemente il numero di nodo K uguale al numero di nodo L. Per gli elementi triangolari si ha la soppressione dei modi incompatibili e del nodo centrale e l'elemento è sempre del tipo Q4 degenere. c) L'uso dell'elemento Q6 assialsimmetrico dovrebbe essere evitato quando le sue dimensioni sono confrontabili col raggio. In tal caso l'elemento QM5 da risultati migliori (v. Problem 4.5).

Descrizione dei Dati di Input

V-57

Manuale d’Uso Microsap

L'uso dell'elemento Q4 dovrebbe essere ristretto al caso particolare in cui non sono previsti forti momenti flettenti e forze di taglio sul piano. La risposta degli elementi Q4,Q6,QM5 è tanto migliore quanto più la loro forma è prossima ad un quadrato. Comunque ottimi risultati si ottengono anche con rapporti di 1/10 delle misure dei lati. Maggior attenzione va posta invece per evitare la presenza di elementi eccessivamente distorti, con angoli interni prossimi a 180 gradi. Gli elementi triangolari dovrebbero essere usati solo per schematizzare situazioni particolari dove non è possibile l'impiego dell'elemento quadrangolare. Spesso ciò accade in prossimità di variazioni di geometria, vicino agli spigoli, o quando occorre infittire la suddivisione. Si ricordi che l'elemento triangolare è sempre un Q4 degenere: esso tende ad essere piuttosto rigido rispetto al quadrilatero Q6 o QM5. La suddivisione in elementi deve essere più fitta dove sono previsti maggiori gradienti di sforzo e generalmente in prossimità di carichi concentrati, discontinuità geometriche e di materiale, vincoli, ecc. Una suddivisione più rada può tuttavia impiegarsi man mano che ci si allontana dalla zona di indagine. d) L'elemento tipo 4 può trasmettere esclusivamente gradi di libertà di spostamento sul piano globale YZ. Se un nodo è connesso a soli elementi tipo 4, le rotazioni lungo i tre assi globali e lo spostamento lungo X dovrebbero essere soppressi utilizzando i codici di vincolo delle linee C del modulo INPUT. Questa operazione può comunque essere effettuata automaticamente dal Pre-Processor PREPMSP durante l'esecuzione del comando DATAFILE. e) Al campo n.7 vanno indicate il numero di linee C impiegate per assegnare i carichi di pressione sui lati. Se esso è nullo o non assegnato, non è letta alcuna linea C. Si noti che nella Rel. 01.92 i carichi di pressione erano assegnati direttamente sulle linee elementi.

V-58

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee B.

Caratteristiche dei Materiali. Numero richiesto: Una serie di linee B1 e B2 deve essere fornita per ogni materiale.

B1. Linea di identificazione materiale. Numero richiesto: Una. Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di identificazione materiale

2

I

Numero di differenti temperature per le quali sono date le proprietà del materiale.

3

R

Peso specifico (solo per carichi dovuti ad accelerazione di gravità)

4

R

Densità (solo per accelerazione centrifuga o analisi dinamica)

5

R

Angolo di orientazione del materiale (ß)

NOTE: a) Il massimo numero riportato al campo n.2 tra ogni materiale, deve essere trascritto al campo n.4 della precedente linea A. b) Per i materiali ortotropi, viene definito un sistema locale N-S-T al quale le proprietà sono riferite. Il sistema di assi locale dell'elemento è invece U-V-W. Gli assi T e W coincidono e sono perpendicolari al piano dei nodi I,J,K,L. L'asse U ha la direzione di Y. ß è l'angolo in gradi tra l'asse U e l'asse N, misurato in senso orario o antiorario da U, a seconda del verso di numerazione dei nodi dell'elemento. L'angolo ß si porrà uguale a zero per i materiali isotropi (fig.V.19 e fig.V.20). V

U

L K

J K

S

N β N J

β

L

I

U

z

I

V

y(r)

S

y(r)

z

FIG. V.19

FIG. V.20

Descrizione dei Dati di Input

V-59

Manuale d’Uso Microsap

B2.

Proprietà del Materiale. Numero richiesto: 2 per ogni differente temperatura.

Linea 1. Campo Tipo

Descrizione

1

R

Temperatura alla quale si riferiscono le proprietà.

2

R

Modulo di elasticità in direzione N (En)

3

R

Modulo di elasticità in direzione S (Es)

4

R

Modulo di elasticità in direzione T (Et)

5

R

Modulo di Poisson νns

6

R

Modulo di Poisson νnt

7

R

Modulo di Poisson νst

Linea 2. Campo Tipo

Descrizione

1

R

Modulo elasticità trasversale (Gns)

2

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione N (αn)

3

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione S (αs)

4

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione T (αt)

NOTE: a) Ovviamente, per i materiali isotropi, è per definizione: En = Es = Et = E νns = νnt = νst = ν Gns = E/[2⋅(1+ν)] αn = αs = αt = α b) In casi particolari il programma provvede a fornire valori di default per le caratteristiche dei materiali, se i relativi campi sono lasciati nulli. In ogni caso, En (campo n.2, linea 1) deve sempre essere assegnato.

V-60

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Se Es=0 o Et=0 i loro valori sono posti uguali a En dal programma. Se νnt=0 o νst=0, essi sono posti uguali a νns. Se Gns=0 è posto Gns=En⋅Es/(En+Es+2⋅νns⋅Es) Se αs=0 o αt=0, essi sono posti uguali a αn. c) Per problemi pseudo assialsimmetrici o di plane strain, con discontinuità distribuite circonferenzialmente o lungo lo spessore (v. nota a, linea A) è possibile schematizzare gli elementi discontinui fornendo un materiale ortotropo con moduli elastici Et, νnt e νst molto piccoli (ma diversi da zero, per evitare che il programma usi valori di default di cui alla precedente nota b). Nel caso di materiale isotropo si assegnerà per esempio: En = E Es = E Et = E⋅1.E-5 νns = ν νnt = νst = 1.E-5 Gns = E/[2(1+ν)] Tale materiale va attribuito a tutti gli elementi interrotti dalle discontinuità.

Descrizione dei Dati di Input

V-61

Manuale d’Uso Microsap

Linee C.

Carichi di Pressione sugli Elementi. Numero richiesto: Una linea per ogni differente carico di pressione e il cui numero NLD è stato specificato al campo n.7 della linea A.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di identificazione del set

2

I

Tipo di carico (1 = pressione costante; 2 = pressione idrostatica)

3

R

Valore della pressione (per carico tipo 1) o peso specifico del fluido (per carico tipo 2)

4

R

Quota Zref del pelo libero del fluido

NOTE: a) I carichi di pressione possono essere introdotti solo sul lato I-J dell’elemento: l’utilizzatore ne deve tener conto nella numerazione dei nodi attribuita all’elemento con le linee F seguenti. La pressione è positiva se tende a comprimere l’elemento. b) Se il valore specificato al campo n.2 è uguale a 1 il carico di pressione, applicato sul lato I-J, è costante. Il valore di pressione è assegnato al campo n.3, mentre il campo n.4 non è usato. Il carico è effettivamente applicato solo se esso è assegnato agli elementi con le linee E. c) Se il tipo specificato al campo n.2 è uguale a 2 la pressione varia con legge idrostatica: Pi = γ⋅(Zref - Zi) Pi = 0.

se Zref ≥ Zi se Zref < Zi

In questo caso l'utente dovrà assegnare al campo n.3 il peso specifico γ del fluido e al campo n.4 il valore della coordinata Zref corrispondente al pelo libero. Se γ ha valore negativo il carico applicato è una tensione sulla faccia. Il programma calcola la pressione corrispondente alla quota del punto medio Zi del lato I-J e assegna tale valore di pressione su tutto il lato: se il punto è ad una quota Zi superiore a quella del pelo libero la pressione è nulla. Quando l'utente prevede di far uso di pressioni idrostatiche deve tenerne conto nella disposizione del modello rispetto agli assi globali. Le pressioni idrostatiche definite con le linee C sono infatti calcolate assumendo che la gravità agisca secondo la direzione globale -Z. d) Se è effettuata l'analisi armonica si veda la nota j) alle linee F.

V-62

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee D.

Moltiplicatori di Carico Globale. Numero richiesto: 5.

Linea 1. Bianca (non usata).

Linea 2.

Accelerazione di gravità nella direzione globale Y (usata solo per Plane Stress e Plane Strain).

Campo Tipo

Descrizione

1

R

Moltiplicatore del caso di carico A

2

R

Moltiplicatore del caso di carico B

3

R

Moltiplicatore del caso di carico C

4

R

Moltiplicatore del caso di carico D

5

R

Moltiplicatore del caso di carico E

6

R

Moltiplicatore del caso di carico F

7

R

Moltiplicatore del caso di carico G

8

R

Moltiplicatore del caso di carico H

Linea 3. Come la linea 2, per l’accelerazione di gravità nella direzione globale Z. Linea 4. Come la linea 2, per i moltiplicatori del carico termico. Linea 5. Come la linea 2, per le velocità angolari attorno all’asse globale Z.

NOTE: a) Ogni caso di carico di elemento A÷H, può essere composto da una combinazione (mediante i moltiplicatori) del carico principale termico, da accelerazione lungo gli assi globali Y e Z e da accelerazione centrifuga. Il campo di temperature nodali è assegnato con le linee C del modulo INPUT, da cui sono estratte le temperature ai nodi di ogni elemento. La temperatura di riferimento per il calcolo del salto termico è assegnata al campo n.7 delle linee F seguenti. Il carico termico è quindi applicato ad ogni caso di carico con i moltiplicatori della linea n.4. Le componenti di accelerazione di gravità lungo Y e Z sono calcolate tenendo conto del peso specifico definito al campo n.3 delle linee B1 ed applicate ad ogni caso di carico secondo i moltiplicatori delle linee n.2 e n.3. Un moltiplicatore di valore unitario applica una componente di accelerazione pari a 1 volta l’accelerazione di gravità (1g). Con la linea n.5 è possibile introdurre per ogni caso di carico A÷H una componente centrifuga assumendo, come asse di rotazione, l’asse globale Z. Nella linea n.5 andranno specificate le velocità

Descrizione dei Dati di Input

V-63

Manuale d’Uso Microsap

angolari in rad/sec. Se l’utilizzatore desidera introdurre forze centrifughe, deve tenerne conto nel posizionamento dell’asse globale Z rispetto al modello. b) Se è effettuata la sola analisi modale o sismica senza la contemporanea analisi statica, le linee D possono essere lasciate bianche. c) Se è effettuata l'analisi armonica si veda la nota j) alle linee F.

V-64

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee E.

Assegnazione dei Carichi di Pressione agli Elementi. Numero richiesto: Qualunque, fino alla assegnazione di tutti i carichi sugli elementi. Le linee E terminano con una linea bianca finale. Lette solo se NLD>0 (v. campo n.7, linea A).

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Caso di carico (1÷8)

2

I

Numero carico di pressione

3

I

Elemento iniziale (eli)

4

I

Elemento finale (elf)

5

I

Incremento di elemento (incr)

NOTE: a) Le linee E non devono essere assegnate se non esiste alcun carico di elemento definito con le linee C. b) Col campo n.1 si indica a quale tra gli 8 casi di carico (A÷H) deve essere attribuito il carico di pressione. Con una linea dati il carico è assegnato dall’elemento iniziale eli all’elemento finale elf, con incremento di elemento incr. Se incr non è assegnato, è assunto un incremento unitario. Se elf non è assegnato, è assunto elf=eli e il carico è attribuito al solo elemento eli specificato al campo n.3. c) E’ buona norma comporre prima il caso A (campo n.1 =1), assegnando tutti i carichi agenti sugli elementi nella condizione A, poi il caso B, e così di seguito, fino a comprendere tutti i casi di carico che interessano. d) Al campo n.2, per ogni caso di carico A÷H, andranno attribuite le pressioni scelte tra quelle presenti al campo n.1 delle linee C. e) Esempio. Con le seguenti linee dati: 1,2,2,4 1,1,6 1,3,9,13,2 2,1,1,8 2,4,11,12 • (bianca) la struttura presenta i due casi di carico A e B. Nel caso di carico A gli elementi dal n.2 al n.4 sono caricati con la pressione n.2, l’elemento n.6 con la pressione n.1 e gli elementi 9,11 e 13 con la n.3. Tutti gli altri elementi sono scarichi (o comunque su essi agiscono solo i carichi globali assegnati con le linee D). Nel caso di carico B, gli elementi dal n.1 al n.8 sono caricati con la pressione n.1 (stesso carico attribuito all’elemento n.6 nel caso A), e gli elementi n.11 e n.12 con la pressione n.4.

Descrizione dei Dati di Input

V-65

Manuale d’Uso Microsap

Linee F.

Definizione degli Elementi. Numero richiesto: Qualunque, fino al completamento della descrizione di tutti gli elementi tipo 4.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di elemento

2

I

Numero del nodo I

3

I

Numero del nodo J

4

I

Numero del nodo K

5

I

Numero del nodo L

6

I

Numero di identificazione del materiale

7

R

Temperatura di riferimento (T0)

8

I

Codice n per il calcolo degli sforzi

9

I

Parametro di generazione automatica KN

10

R

Spessore dell'elemento (plane (assialsimmetrico e plane strain)

stress)

o

Fattore

di

Solidità

NOTE: a) L'ordine di numerazione dei nodi I,J,K,L dell'elemento può essere antiorario (fig.V.19) o orario (fig.V.20). Per gli elementi triangolari il numero di nodo L dovrà essere posto uguale al numero di nodo K. b) Se il numero di identificazione del materiale è lasciato uguale a zero, viene assegnato il materiale n.1. Le proprietà del materiale sono ricavate, per ogni elemento, per interpolazione (o estrapolazione) lineare, considerando la temperatura dell'elemento come media aritmetica delle temperature dei nodi I,J,K,L: Te = (Ti + Tj + Tk + Tl)/4. c) I carichi termici sono comunque ottenuti considerando variabile la temperatura secondo le coordinate locali s,t, con l'uso delle stesse funzioni di forma dell'elemento isoparametrico:

T( s, t ) = Hi( s, t ) ⋅ Ti + Hj( s, t ) ⋅ Tj + Hk( s, t ) ⋅ Tk + Hl( s, t ) ⋅ Tl Il salto termico utilizzato nell'integrazione è quindi:

δT( s, t ) = T( s, t ) − T0 T0, assegnata al campo n.7 è la temperatura di free-strain. Spesso il vettore temperature definito al campo n.11 delle linee C del modulo INPUT è posto costante e uguale a zero: in tal caso δT = -T0.

V-66

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

d) Nella Rel. 01.92 non era possibile definire pressioni idrostatiche. I carichi di pressione potevano variare nei diversi casi di carico solamente attraverso i moltiplicatori di carico. Nell’attuale release i carichi di pressione sono assegnati in modo più generale con le linee C ed E. e) Il calcolo degli sforzi può essere ottenuto in diversi punti dell'elemento, assegnando un opportuno valore al codice n. Tale codice può essere composto con un massimo di cinque cifre, ognuna con valore compreso tra 0 e 4. Ogni cifra individua un differente punto nel quale è richiesto il calcolo degli sforzi, secondo la seguente tabella: 1 = mezzeria lato L-I 2 = mezzeria lato J-K 3 = mezzeria lato I-J 4 = mezzeria lato K-L 5 = centroide dell'elemento Le cifre che compongono il codice n devono essere assegnate secondo l'ordine sopra riportato. Ad esempio, lasciando n= 0 (default) si otterrà il calcolo degli sforzi al centro dell'elemento; assegnando n= 130 si otterrà invece il calcolo al centro dell'elemento e nelle mezzerie dei lati L-I e I-J. Il calcolo degli sforzi può essere soppresso totalmente assegnando n = -1. Se l'elemento è triangolare, il codice 4 (mezzeria lato K-L) è soppresso. Maggiore è il numero di punti nei quali è richiesto il calcolo degli sforzi, maggiore è lo spazio occupato dal file MSPTAPE1. f) Gli sforzi normali sono positivi se di trazione e, al centro dell'elemento, vengono calcolati in un sistema di riferimento con assi paralleli agli assi locali U,V,W. S11 sarà perciò lo sforzo normale parallelo all'asse Y e S22 lo sforzo normale parallelo all'asse Z (oppure R). S12 è lo sforzo di taglio sul piano dell'elemento. S33 è lo sforzo normale perpendicolare al piano dell'elemento. Sulle mezzerie dei lati il sistema locale 1-2-3 è assunto con l'asse 1 perpendicolare al lato, l'asse 2 parallelo al lato e l'asse 3 perpendicolare al piano (fig.V.21 e fig.V.22). S-MAX ed S-MIN sono gli sforzi principali sul piano dell'elemento 1-2, mentre S33 viene a coincidere con lo sforzo principale perpendicolare a tale piano (asse 3). ANGLE è l'angolo (in gradi) tra l'asse locale 1 e la direzione dello sforzo principale massimo (in senso algebrico) T-MAX è il taglio massimo. S-MIS è la Sigma di Von Mises. 1 2

L

K

S 22

2

2

1

1

S 12

1 2

2

1

2 z

I

S 11

J

1

y(r)

FIG. V.21

FIG. V.22

Descrizione dei Dati di Input

V-67

Manuale d’Uso Microsap

g) Il primo elemento assegnato deve essere sempre il n.1 ed i seguenti in ordine crescente. Se tra una linea e la successiva si ha un salto nel numero di elemento, gli elementi intermedi sono generati incrementando i nodi I,J,K,L del valore KN dato al campo n.9 della linea finale della serie. In tal caso tutte le caratteristiche degli elementi generati saranno poste uguali a quelle specificate nella linea finale. Se KN è lasciato uguale a zero, esso è posto uguale a 1 dal programma.

R

s

r

h

S ≈ 1−

Z

n⋅s 8r

FIG. V.23 h) Per strutture assialsimmetriche lo spessore dell'elemento è assunto dal programma uguale a 1 radiante. Per il plane strain lo spessore è ininfluente ed è considerato unitario dal programma. Nel caso normale perciò, lasciando uguale a zero il campo n.11, il programma assume, per default il valore 1. Esiste tuttavia una particolare classe di problemi che è assimilabile all'assialsimmetrico o al plane strain (v. nota a, linea A). Quando sono presenti discontinuità distribuite circonferenzialmente o lungo lo spessore, è possibile schematizzare gli elementi discontinui assegnando ad essi un materiale con speciali caratteristiche ortotrope (v. nota c, linea B2) e nel contempo ponendo uno "spessore efficace" (fattore di solidità) inferiore all'unità, calcolato come:

Fattore di Solidità =

Ve V t − V v = Vt Vt

essendo Ve il volume efficace dell'elemento, Vt il volume totale e Vv il volume dei vuoti. Per gli elementi assialsimmetrici sarà Vt = A⋅c, avendo indicato con A l'area racchiusa dall'elemento (I,J,K,L) e con c la lunghezza della circonferenza passante per il baricentro dell'elemento. Per il plane strain sarà invece semplicemente Vt = A⋅s = A, essendo lo spessore s = 1. In fig.V.23 è riportato l'esempio di un disco di spessore h, su cui sono praticati 12 fori di diametro s lungo la circonferenza di raggio r. La corona circolare interessata dai fori ha perciò uno spessore

V-68

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

efficace inferiore all'unità (l'intera circonferenza). A tratteggio è infatti rappresentato il volume efficace in questa zona. Nell'esempio si verifica il caso particolare di una sola fila di elementi entro lo spessore s della corona, per cui il calcolo del fattore di solidità S risulta piuttosto semplice. Se lo spessore s è suddiviso in più file di elementi, ogni fila avrà un diverso fattore di solidità. Nella fig.V.24 è invece rappresentato un altro caso tipico: un disco dotato di 12 nervature radiali di spessore t e altezza h, situate su una sola faccia. Per ogni elemento di nervatura (zona punteggiata) deve essere assegnato un diverso fattore di solidità. In particolare, è riportato il calcolo di S per l'elemento (evidenziato in nero) con raggio baricentrico r. Si noti comunque che il modello di fig.V.24 è più efficacemente schematizzabile attraverso due gruppi di elementi. Il primo gruppo elementi sarà costituito dalla parte assialsimmetrica del modello. Il secondo gruppo costituente le nervature (parte ombreggiata) sarà invece definito con elementi di plane stress di spessore S = n⋅t/2π.

R h t

s

r

Z

S ≈ 1−

n⋅ t 2πr

FIG. V.24 i) Per ogni gruppo di elementi il programma ricerca i massimi e i minimi di ogni componente di sforzo, effettuando una suddivisione per materiali, entro lo stesso gruppo. Nessuna distinzione è però fatta dal programma riguardo alla diversa orientazione dei sistemi locali rispetto ai quali gli sforzi sono calcolati. In generale quindi, i massimi e minimi sono ottenuti dal confronto di quantità non necessariamente omogenee. Per la corretta interpretazione della tabella "STRESS SUMMARY" (RIEPILOGO SFORZI) occorre tenere presente che: • I confronti per il calcolo dei massimi e minimi sono effettuati solo sugli elementi per i quali è stato richiesto il calcolo degli sforzi (codice n maggiore o uguale a zero). • Per ogni elemento, il confronto è esteso a tutti i punti nei quali è stato richiesto il calcolo degli sforzi. Per alcune componenti di sforzo il confronto può perciò essere stato effettuato su quantità non coerenti perchè ottenute su sistemi di riferimento diversi. • Tra i diversi elementi il confronto può essere stato effettuato su quantità non coerenti perchè ottenute su sistemi di riferimento diversi, anche se per tutti gli elementi del gruppo è stato richiesto

Descrizione dei Dati di Input

V-69

Manuale d’Uso Microsap

il calcolo degli sforzi in un solo punto. Ciò per due ragioni: perchè i lati corrispondenti dei diversi elementi possono essere diversamente orientati e perchè i lati corrispondenti (ad es. lato I-J) possono aver cambiato orientazione in seguito a una variazione di numerazione dei nodi degli elementi. • L'operatore può forzare il confronto a classi omogenee creando diversi gruppi di elementi oppure attribuendo materiali differenti o ripetendo il calcolo variando il codice n e limitando l'esame degli sforzi ad un solo punto per volta. j) Se è richiesta l'analisi armonica, un pò di attenzione deve essere usata nella definizione dei carichi. Se sono assegnati carichi di gravità (se il peso specifico dei materiali e i moltiplicatori delle linee C sono diversi da zero) o forze centrifughe (se la densità dei materiali e la velocità angolare è diversa da zero), oppure se sono assegnati carichi termici o di pressione (con i moltiplicatori diversi da zero), tutti questi saranno considerati variabili nel tempo con legge sinusoidale con ampiezze assegnate e frequenza uguale a quella specificata al campo n.7 della linea B del modulo INPUT. k) Se nella linea è attribuito il solo campo n.1 (numero dell’elemento), l’elemento è ignorato (elemento fittizio). Ciò consente di escludere facilmente elementi intermedi o permette di creare una interruzione sulla numerazione progressiva. Se tra una linea e la successiva si ha un salto nel numero di elemento, anche tutti gli elementi intermedi non saranno generati.

V-70

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

6. MODULO SOLID Linea A.

Informazioni di Controllo. Numero richiesto: Una.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Il numero 5

2

I

Numero totale di elementi tipo 5

3

I

Numero di differenti materiali

4

I

Numero massimo di temperature per le quali sono date le proprietà dei materiali

5

I

Numero di carichi di elemento (pressioni sulle facce)

6

I

Numero faccia per output addizionale stress

NOTE: a) L'elemento tipo 5 è un solido 3D (Brick) per impieghi generali, esaedrico a 8 nodi o pentaedrico a 6 nodi. L'elemento ha 3 gradi di libertà (traslazioni) per nodo. Esso possiede inoltre 9 gradi di libertà addizionali (modi incompatibili) che lo rendono idoneo a trasmettere azioni flettenti e di taglio: è evitato in tal modo il ricorso ad elementi quadratici con nodi interni ai lati. La matrice di rigidezza 33x33 è poi condensata a 24x24. L'elemento esaedrico può essere degenerato a prismatico a 6 nodi. In questo caso i gradi di libertà addizionali non consentono un buon comportamento dell'elemento e sono quindi automaticamente eliminati dalle funzioni di forma. In fig.V.25 è mostrata la numerazione dei nodi per l'elemento esaedrico ed il sistema locale r-s-t, utilizzato internamente al programma. Il sistema locale determina comunque il codice di identificazione delle facce secondo la tabella seguente: Faccia 1 2 3 4 5 6

Nodi I-J-N-M L-K-O-P K-O-N-J L-P-M-I P-M-N-O L-I-J-K

Direzione Locale +r -r +s -s +t -t

La corretta numerazione dell'elemento è ottenuta percorrendo per prima la faccia 6 in senso antiorario quando vista dall'interno (nodi I,J,K,L). Successivamente è numerata la faccia 5 superiore (nodi M,N,O,P). La fig.V.26 mostra la numerazione dell'elemento prismatico a 6 nodi, ottenuto dalla fusione dei nodi L con K e P con O (la faccia n.2 degenera nel segmento K-O).

Descrizione dei Dati di Input

V-71

Manuale d’Uso Microsap

I materiali possono essere assegnati con caratteristiche isotrope o ortotrope, con proprietà meccaniche generalmente dipendenti dalla temperatura. I materiali ortotropi possono essere orientati genericamente nello spazio definendo una terna N-S-T di assi di riferimento. Il programma possiede comunque due speciali opzioni per orientare il materiale sia secondo gli assi globali X,Y,Z sia secondo un sistema di riferimento cilindrico con asse T in direzione circonferenziale (per modelli solidi con un asse di rotazione). Il programma esegue un test sulle proprietà del materiale e quando questo ha caratteristiche isotrope la formazione delle matrici avviene secondo una codifica specializzata di più rapida esecuzione. In caso contrario è eseguito il codice generale. O

P 5

M

t 2

N

Z s

4

3 K

L r 1 6

I

J

Y

X

FIG. V.25 Il calcolo degli integrali di volume (ad esempio, nella formazione della matrice di rigidezza) è condotto con quadratura di Gauss in 8 punti (2x2x2). Il calcolo degli integrali di superficie (pressioni sulle facce) è invece sempre condotto in 16 punti (4x4). I carichi sull'elemento possono essere costituiti da pressioni costanti o pressioni idrostatiche sulle facce, da carichi termici, da componenti di accelerazione lungo gli assi globali X,Y,Z, da forze centrifughe derivanti da rotazione attorno all'asse globale Z. La forza centrifuga agente sull'elemento è calcolata dal programma in base alla densità fornita per il materiale (v. linee B1) e alla velocità angolare assegnata con le linee D. Le componenti delle forze di gravità dovute ad accelerazione lungo X,Y,Z sono calcolate in base al peso specifico del materiale fornito con le linee B1 e ai moltiplicatori (accelerazione in g) assegnati con le linee D. Il carico termico è determinato dalla temperatura di riferimento dell'elemento (linee E), dai coefficienti di dilatazione termica e dalle altre caratteristiche meccaniche del materiale (linee B2) e dalle temperature nodali assegnate con le linee C del modulo INPUT. Per evitare il ricorso ad una fitta suddivisione in aree dove sono presenti elevati gradienti termici (spesso non possibile utilizzando la schematizzazione generale con elementi solidi per le dimensioni del modello e le risorse richieste), nel Microsap è stata introdotta una accurata descrizione del campo termico entro l'elemento basandosi ancora sulle temperature agli 8 nodi d'angolo.

V-72

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

O,P

5 M N Z 4

3 K,L

1

6 I

J

Y

X

FIG. V.26 La assegnazione dei carichi di pressione sulle facce è effettuata attraverso le linee C. Se devono essere specificati dei carichi concentrati ai nodi (forze o masse concentrate) questi debbono essere introdotti attraverso le linee A del modulo SOLVE. Poichè il nodo trasmette solo traslazioni non è possibile assegnare direttamente momenti concentrati. I momenti vanno perciò introdotti attraverso una coppia di forze equivalenti. Per quanto detto, nodi connessi solamente ad elementi solidi di tipo 5, dovranno avere le tre rotazioni soppresse (codici di vincolo uguali a 1 ai campi n.5,6,7 delle linee C del modulo INPUT. b) Al campo n.3 deve essere indicato il numero dei materiali presenti nel gruppo e al campo n.4 il numero massimo di valori di temperatura per le quali sono definite le caratteristiche (v. linee B). Le caratteristiche possono essere definite per un numero di temperature differente per ogni materiale, ma al campo n.4 andrà introdotto il numero massimo. Se i campi n.3 e n.4 sono lasciati nulli essi sono sempre riconvertiti all'unità dal programma (almeno un materiale presente, definito per un valore di temperatura). c) Il campo n.5 contiene il numero di linee C impiegate per assegnare i carichi di pressione sulle facce. Se esso è nullo non è letta alcuna linea C. d) Il Microsap esegue sempre il calcolo e la stampa degli sforzi al centroide di ogni elemento (default). E' anche possibile ottenere il calcolo e la stampa addizionale (effettuata durante l'esecuzione del modulo STRES) anche su una qualunque faccia. Per ottenere la stampa addizionale degli sforzi di superficie è sufficiente indicare il numero di faccia al campo n.6 (valore compreso tra 1 e 6). Gli sforzi al centroide sono riferiti al sistema locale x,y,z parallelo al sistema globale X,Y,Z e comprendono gli sforzi normali

Descrizione dei Dati di Input

V-73

Manuale d’Uso Microsap

σxx, σyy, σzz, gli sforzi di taglio σxy, σxz, σyz, gli sforzi principali σ1 e σ3 (minimo e massimo), e la sigma di von Mises ottenuta come:

σe =

(

1 ( σ1 − σ2) 2 + ( σ2 − σ3) 2 + ( σ3 − σ1) 2 2

)

Gli sforzi superficiali sono invece riferiti al sistema locale x,y,z con origine nel centroide della faccia, numerata come alla precedente nota a). L'asse locale x è orientato secondo la congiungente i punti medi dei lati con nodi 4-1 e 2-3. L'asse locale y giace sul piano dei nodi della faccia, ha direzione perpendicolare all'asse x e verso secondo il lato 4-3. L'asse locale z è perpendicolare al piano xy con verso tale da formare con essi una terna destra (v. fig.V.30). Se l'elemento è triangolare e la faccia su cui si desidera il calcolo degli sforzi è la n.2, il programma procede al calcolo degli sforzi solamente al centroide dell'elemento.

V-74

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee B.

Caratteristiche dei Materiali. Numero richiesto: Una serie di linee B1 e B2 deve essere fornita per ogni materiale.

B1. Linea di Identificazione Materiale. Numero richiesto: Una. Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di identificazione materiale

2

I

Numero di differenti temperature per le quali sono date le proprietà del materiale

3

R

Peso specifico (solo per carichi dovuti ad accelerazione di gravità)

4

R

Densità (solo per accelerazione centrifuga o analisi dinamica)

5

R

Angolo di orientazione del materiale (ß)

6

I

Numero del primo nodo (N1) utilizzato nella orientazione del materiale ortotropo

7

I

Numero del secondo nodo (N2) utilizzato nella orientazione del materiale ortotropo

8

I

Numero del terzo nodo (N3) utilizzato nella orientazione del materiale ortotropo

NOTE: a) Il massimo numero riportato al campo n.2 tra ogni materiale, deve essere trascritto al campo n.4 della precedente linea A. Se il valore al campo n.2 è lasciato nullo, esso è riconvertito a 1 dal programma. b) Il peso specifico assegnato al campo n.3 è utilizzato solamente per il calcolo del peso proprio dell'elemento. Questo è anche impiegato nel calcolo delle forze di inerzia lungo X,Y,Z le cui componenti sono ottenute attraverso i valori di accelerazione (in g) specificati nelle linee D. c) La densità al campo n.5 è utilizzata per il calcolo della massa dell'elemento. Questa è anche impiegata nel calcolo delle componenti centrifughe lungo X e Y (se è fornita la velocità angolare attorno a Z con le linee D) e nella costruzione della matrice di massa se si tratta di analisi dinamica. Anche in quest'ultimo caso tuttavia non è strettamente necessario che l'utente assegni la densità. La massa può anche essere introdotta assegnando una o più masse concentrate ai nodi (linee A del modulo SOLVE). Per poter effettuare l'analisi dinamica è appena sufficiente che sia definito un valore di massa in almeno un nodo della struttura, o eventualmente che per almeno un elemento sia specificata la densità. d) Se il materiale ha caratteristiche isotrope i campi 5,6,7,8 non devono essere assegnati. Se il materiale è ortotropo le sue proprietà meccaniche sono riferite ad una terna locale N-S-T. Il sistema locale del materiale, nel caso più generale, può essere definito attraverso la posizione di tre nodi N1,N2,N3 i cui numeri sono assegnati ai campi 6,7,8, mentre l'angolo ß (campo n.5) non è usato. I nodi N1,N2,N3

Descrizione dei Dati di Input

V-75

Manuale d’Uso Microsap

possono essere nodi strutturali connessi ad elementi oppure dei punti geometrici utilizzati solamente per questo scopo. In quest'ultimo caso le coordinate saranno ancora introdotte con le linee C del modulo INPUT, ma tutti i 6 codici di vincolo dovranno essere posti uguali a 1, al fine di eliminarli dal sistema di equazioni della struttura. L'origine del sistema locale del materiale è irrilevante in quanto di esso è utilizzata solo l'orientazione degli assi. L'asse locale N è determinato dalla congiungente N1N2. L'asse locale T è perpendicolare al piano dei nodi N1,N2,N3. L'asse S giace sul piano dei nodi N1,N2,N3, dalla parte del nodo N3, rispetto alla congiungente N1-N2 (fig. V.27). Nel caso particolare in cui il materiale ortotropo sia orientato secondo gli assi globali X,Y,Z, non è necessario assegnare il sistema locale ed i campi 5,6,7,8. Quando il campo n.6 è uguale a zero il programma assume gli assi N,S,T coincidenti rispettivamente con gli assi globali X,Y,Z. T Z

S

N3 N1

N2 N

Y

X

FIG. V.27 Un altro caso particolare (fig. V.28) di orientazione del materiale ortotropo può aversi in modelli con un asse di rotazione, quando il materiale è stratificato con l'asse T in direzione circonferenziale (anisotropia cilindrica). Questa situazione obbligherebbe l'utente a definire un diverso sistema N-S-T al variare della posizione circonferenziale di ogni elemento e alla duplicazione delle linee B2. Assegnando invece il valore -1 al campo n.6 (i campi n.7 e n.8 non sono usati) il programma effettua per ogni elemento il calcolo delle direzioni N-S-T assumendo come angolo θ quello corrispondente alla posizione del centroide. L'asse N è inclinato rispetto al piano trasversale (perpendicolare all'asse Z di rotazione) di un angolo ß il cui valore (in gradi) deve essere assegnato al campo n.5. Quando l'utente prevede di dover utilizzare questa opzione deve obbligatoriamente disporre il modello con l'asse globale Z coincidente con l'asse di rotazione del materiale.

V-76

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

R

Y R β

N

N c

c

S

T

θ X Z

FIG. V.28a

FIG. V.28b

Descrizione dei Dati di Input

V-77

Manuale d’Uso Microsap

B2.

Proprietà del Materiale. Numero richiesto: 2 per ogni differente temperatura.

Linea 1. Campo Tipo

Descrizione

1

R

Temperatura alla quale si riferiscono le proprietà

2

R

Modulo di elasticità in direzione N (En)

3

R

Modulo di elasticità in direzione S (Es)

4

R

Modulo di elasticità in direzione T (Et)

5

R

Modulo di Poisson νns

6

R

Modulo di Poisson νnt

7

R

Modulo di Poisson νst

Linea 2. Campo Tipo

Descrizione

1

R

Modulo di elasticità trasversale Gns

2

R

Modulo di elasticità trasversale Gnt

3

R

Modulo di elasticità trasversale Gst

4

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione N (αn)

5

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione S (αs)

6

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione T (αt)

NOTE: a) Per i materiali isotropi è, per definizione: En

= Es = Et = E

νns = νnt = νst = ν Gns = Gnt = Gst = E/[2⋅(1+ν)] αn

V-78

= αs = αt = α

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

b) In casi particolari il programma provvede a fornire valori di default per le caratteristiche dei materiali, se i relativi campi sono lasciati nulli. In ogni caso, En (campo n.2, linea 1) deve sempre essere assegnato. Se Es=0 o Et=0 i loro valori sono posti uguali a En dal programma. Se νnt=0 o νst=0, essi sono posti uguali a νns. Se Gns=0 è posto Gns=En⋅Es/(En+Es+2⋅νns⋅Es) Se Gnt=0 è posto Gnt=En⋅Et/(En+Et+2⋅νnt⋅Et) Se Gst=0 è posto Gst=Es⋅Et/(Es+Et+2⋅νst⋅Et) Se αs=0 o αt=0, essi sono posti uguali a αn. c) Il programma considera isotropo il materiale, e utilizza un codice semplificato e di rapida esecuzione, quando: En=Es=Et; νns=νnt=νst; Gns=Gnt=Gst. Lo stesso codice semplificato è anche utilizzato quando sussistono le condizioni precedenti pur essendo αn≠αs≠αt. Quando il materiale è ortotropo è invece eseguito il codice generale.

Descrizione dei Dati di Input

V-79

Manuale d’Uso Microsap

Linee C.

Carichi di Pressione sugli Elementi. Numero richiesto: Una linea per ogni differente carico di pressione e il cui numero è stato specificato al campo n.5 della linea A.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di identificazione del set

2

I

Tipo di carico (1 = pressione costante; 2 = pressione idrostatica)

3

I

Faccia sulla quale è applicata la pressione (1÷6)

4

R

Valore della pressione (per carico tipo 1) o peso specifico del fluido (per carico tipo 2)

5

R

Quota Zref del pelo libero del fluido

NOTE: a) Se il valore specificato al campo n.2 è uguale a 1 il carico di pressione è costante ed è applicato sull'intera faccia il cui numero è assegnato al campo n.3. Quando l'elemento è prismatico la faccia n.2 degenera in un segmento (area uguale a zero) e la pressione non ha alcun effetto. Il valore di pressione è assegnato al campo n.4, mentre il campo n.5 non è usato. La pressione può agire su una qualunque delle 6 facce ed è positiva quando comprime l'elemento (diretta verso l'interno). Un valore negativo introdotto al campo n.4 induce tensione sulla faccia. Il carico è effettivamente applicato agli elementi attraverso le linee E di assegnazione del carico. Uno stesso elemento può essere soggetto a pressione su più di una faccia, ma per ottenere questo è necessario sfruttare i diversi casi di carico A,B,C,D,...,H. b) Se il tipo specificato al campo n.2 è uguale a 2 la pressione, sulla faccia specificata al campo n.3, varia con legge idrostatica: Pi = γ⋅(Zref - Zi) Pi = 0.

se Zref ≥ Zi se Zref < Zi

In questo caso l'utente dovrà assegnare al campo n.4 il peso specifico γ del fluido e al campo n.5 il valore della coordinata Zref corrispondente al pelo libero. Se γ ha valore negativo il carico applicato è una tensione sulla faccia. Il programma effettua l'integrazione sulla superficie calcolando la pressione in 16 punti: se il punto i è ad una quota Zi superiore a quella del pelo libero la pressione è nulla. Ciò permette di rappresentare il carico di pressione anche su facce parzialmente immerse. Il carico di pressione idrostatica può essere applicato su una qualunque delle 6 facce dell'elemento e rimangono valide tutte le considerazione della nota a). Quando l'utente prevede di far uso di pressioni idrostatiche deve tenerne conto nella disposizione del modello rispetto agli assi globali. Le pressioni idrostatiche definite con le linee C sono infatti calcolate assumendo che la gravità agisca secondo la direzione globale -Z (fig.V.29). c) Se è effettuata l'analisi armonica si veda la nota g) alle linee F.

V-80

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Z z ref

zi Y

X

FIG. V.29

Descrizione dei Dati di Input

V-81

Manuale d’Uso Microsap

Linee D.

Moltiplicatori di Carico Globale. Numero richiesto: 5.

Linea 1. Accelerazione di gravità nella direzione globale X. Campo Tipo

Descrizione

1

R

Moltiplicatore del caso di carico A

2

R

Moltiplicatore del caso di carico B

3

R

Moltiplicatore del caso di carico C

4

R

Moltiplicatore del caso di carico D

5

R

Moltiplicatore del caso di carico E

6

R

Moltiplicatore del caso di carico F

7

R

Moltiplicatore del caso di carico G

8

R

Moltiplicatore del caso di carico H

Linea 2. Come la linea 1, per l’accelerazione di gravità nella direzione globale Y. Linea 3. Come la linea 1, per l’accelerazione di gravità nella direzione globale Z. Linea 4. Come la linea 1, per i moltiplicatori del carico termico. Linea 5. Come la linea 1, per le velocità angolari attorno all’asse globale Z.

NOTE: a) Ogni caso di carico di elemento A÷H, può essere composto da una combinazione (mediante i moltiplicatori) del carico principale termico, da accelerazione lungo i tre assi globali X,Y,Z e da accelerazione centrifuga. Il campo di temperature nodali è assegnato con le linee C del modulo INPUT, da cui sono estratte le temperature ai nodi di ogni elemento. La temperatura di riferimento per il calcolo del salto termico è assegnata al campo n.11 delle linee F seguenti. Il carico termico è quindi applicato ad ogni caso di carico con i moltiplicatori della linea n.4. Le componenti di accelerazione di gravità lungo X,Y,Z sono calcolate tenendo conto del peso specifico definito al campo n.3 delle linee B1 ed applicate ad ogni caso di carico secondo i moltiplicatori delle linee n.1,2,3. Un moltiplicatore di valore unitario applica una componente di accelerazione pari a 1 volta l’accelerazione di gravità (1g). Con la linea n.5 è possibile introdurre per ogni caso di carico A÷H una componente centrifuga assumendo, come asse di rotazione, l’asse globale Z. Nella linea n.5 andranno specificate le velocità angolari in rad/sec. Se l’utilizzatore desidera introdurre forze centrifughe, deve tenerne conto nel posizionamento dell’asse globale Z rispetto al modello ed assegnare la densità dei materiali con le linee B1.

V-82

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

b) Se il modello è soggetto a forze centrifughe esso deve essere disposto con l'asse di rotazione coincidente con l'asse globale Z e deve essere assegnata la densità dei materiali con le linee B1. Se al modello sono applicate componenti di accelerazione di gravità lungo X,Y,Z deve anche essere assegnato il peso specifico dei materiali con le linee B1. I valori ai campi 3,4,5 sono quindi le componenti di accelerazione misurate in g. c) Se è effettuata la sola analisi modale o sismica senza la contemporanea esecuzione dell'analisi statica, le linee D possono essere lasciate bianche. d) Se è effettuata l'analisi armonica si veda la nota g) alle linee F.

Descrizione dei Dati di Input

V-83

Manuale d’Uso Microsap

Linee E.

Assegnazione dei Carichi di Pressione agli Elementi. Numero richiesto: Qualunque, fino alla assegnazione di tutti i carichi sugli elementi. Le linee E terminano con una linea bianca finale. Lette solo se NLD>0 (v. campo n.5, linea A).

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Caso di carico (1÷8)

2

I

Numero carico di pressione

3

I

Elemento iniziale (eli)

4

I

Elemento finale (elf)

5

I

Incremento di elemento (incr)

NOTE: a) Le linee E non devono essere assegnate se non esiste alcun carico di elemento definito con le linee C. b) Col campo n.1 si indica a quale tra gli 8 casi di carico (A÷H) deve essere attribuito il carico di pressione. Con una linea dati il carico è assegnato dall’elemento iniziale eli all’elemento finale elf, con incremento di elemento incr. Se incr non è assegnato, è assunto un incremento unitario. Se elf non è assegnato, è assunto elf=eli e il carico è attribuito al solo elemento eli specificato al campo n.3. c) E’ buona norma comporre prima il caso A (campo n.1 =1), assegnando tutti i carichi agenti sugli elementi nella condizione A, poi il caso B, e così di seguito, fino a comprendere tutti i casi di carico che interessano. d) Al campo n.2, per ogni caso di carico A÷H, andranno attribuite le pressioni scelte tra quelle presenti al campo n.1 delle linee C. e) Esempio. Con le seguenti linee dati: 1,2,2,4 1,1,6 1,3,9,13,2 2,1,1,8 2,4,11,12 • (bianca) la struttura presenta i due casi di carico A e B. Nel caso di carico A gli elementi dal n.2 al n.4 sono caricati con la pressione n.2, l’elemento n.6 con la pressione n.1 e gli elementi 9,11 e 13 con la n.3. Tutti gli altri elementi sono scarichi (o comunque su essi agiscono solo i carichi globali assegnati con le linee D). Nel caso di carico B, gli elementi dal n.1 al n.8 sono caricati con la pressione n.1 (stesso carico attribuito all’elemento n.6 nel caso A), e gli elementi n.11 e n.12 con la pressione n.4.

V-84

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee F.

Definizione degli Elementi. Numero richiesto: Qualunque, fino al completamento della descrizione di tutti gli elementi tipo 5.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di elemento

2

I

Numero del nodo I

3

I

Numero del nodo J

4

I

Numero del nodo K

5

I

Numero del nodo L

6

I

Numero del nodo M

7

I

Numero del nodo N

8

I

Numero del nodo O

9

I

Numero del nodo P

10

I

Numero di identificazione del materiale

11

R

Temperatura di riferimento (T0)

12

I

Parametro di generazione automatica KN

NOTE: a) La corretta numerazione dell'elemento si ottiene percorrendo la faccia con i nodi I,J,K,L in senso antiorario quando vista dall'interno dell'elemento. I nodi M,N,O,P sono sulla faccia opposta, in corrispondenza dei nodi I,J,K,L (fig.V.25). E' anche possibile definire l'elemento a forma prismatica, ponendo il numero di nodo K uguale al numero di nodo L e il numero di nodo P uguale al numero di nodo O (fig.V.26). Se desidera, l'utente può anche numerare l'elemento prismatico assegnando i nodi I,J,K,M,N,O sui campi 2÷7, lasciando nulli i campi 8 e 9. L'uso dell'elemento prismatico va ristretto ai casi di effettiva necessità (ad esempio per poter infittire la suddivisione della mesh) in quanto la sua formulazione è semplificata e non sono utilizzati i modi incompatibili addizionali. L'elemento prismatico ha un comportamento piuttosto rigido nel riguardo delle azioni flettenti. La numerazione dei nodi dell'elemento determina anche la numerazione delle sue facce (v. nota a), linea A), che ha una ripercussione diretta sull'orientazione dei sistemi locali rispetto ai quali sono calcolati e stampati gli sforzi alla superficie e sulla assegnazione dei carichi di pressione (v. note alle linee C). b) Se il numero di identificazione del materiale è lasciato uguale a zero al campo n.10, è assegnato il materiale n.1. Le proprietà del materiale sono ricavate per interpolazione lineare dalla tabella assegnata con le linee B2 e considerando la temperatura dell'elemento come media aritmetica delle temperature dei nodi.

Descrizione dei Dati di Input

V-85

Manuale d’Uso Microsap

c) I carichi termici sono ottenuti con una descrizione del campo termico entro l'elemento, definendo la temperatura Tεo al punto di integrazione tale da assicurare la libera dilatazione dell'elemento senza indurre alcuna componente di sforzo. Il salto termico utilizzato nell'elemento è quindi:

δT( r , s, t ) = Tεo ( r , s, t ) − T0 T0, assegnata al campo n.11 è la temperatura di riferimento. La funzione Tεo è definita, in coordinate globali, come:

Tεo = a 0 + a1 x + a 2 y + a 3 z I coefficienti a0,a1,a2,a3 sono calcolati a partire dalle temperature ai nodi T(I),T(J),T(K),...,T(P) (v. linee C del modulo INPUT) minimizzando l'energia potenziale sul volume dell'elemento. La temperatura all'interno dell'elemento, utilizzata nel calcolo di Tεo è ottenuta impiegando le stesse funzioni di forma degli spostamenti, prive dei termini relativi ai gradi di libertà incompatibili. d) Il primo elemento assegnato deve essere sempre il n.1 ed i seguenti in ordine crescente, fino a raggiungere l'ultimo elemento del gruppo. Se tra una linea e la successiva si ha un salto nel numero di elemento, gli elementi intermedi sono generati incrementando i nodi I,J,K,...,O,P del valore KN assegnato al campo n.12 della linea iniziale della serie. Tutte le altre caratteristiche degli elementi generati (materiale, carichi di pressione, ordine di integrazione, temperatura T0) saranno poste uguali a quelle specificate nella linea iniziale. Se KN è lasciato uguale a zero, esso è posto uguale a 1 dal programma. e) Gli sforzi nell'elemento sono sempre calcolati al centroide e in un sistema di riferimento parallelo al sistema globale X,Y,Z. E' possibile ottenere il calcolo addizionale e la stampa (durante l'esecuzione del modulo STRES) anche sulla superficie di una qualunque faccia, al centroide e in un sistema locale con piano xy sulla faccia (v. nota d), linea A). E' inoltre calcolata la sigma massima, minima e la sigma di von Mises (fig.V.30). f) Durante l'esecuzione del modulo STRES il programma ricerca, per ogni gruppo di elementi, i massimi e i minimi di ogni componente di sforzo, effettuando una suddivisione per materiali, entro lo stesso gruppo. La ricerca dei massimi e minimi è ristretta solamente agli sforzi al centroide dell'elemento e non interessa invece gli eventuali sforzi richiesti alla superficie delle facce. g) Se è richiesta l'analisi armonica, un pò di attenzione deve essere usata nella definizione dei carichi. Se sono assegnati carichi di gravità (se il peso specifico dei materiali e i moltiplicatori di gravità delle linee D sono diversi da zero) o forze centrifughe (se la densità dei materiali e la velocità angolare sono diverse da zero), oppure se sono assegnati carichi termici o di pressione, tutti questi saranno considerati variabili nel tempo con legge sinusoidale con ampiezze assegnate e frequenza uguale a quella specificata al campo n.7 della linea B del modulo INPUT.

V-86

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

z

y

4

3

3 y Z

x

4

1 2

x

Y

1

2

X

FIG. V.30a

FIG. V.30b

h) Se nella linea è attribuito il solo campo n.1 (numero dell’elemento), l’elemento è ignorato (elemento fittizio). Ciò consente di escludere facilmente elementi intermedi o permette di creare una interruzione sulla numerazione progressiva. Se tra una linea e la successiva si ha un salto nel numero di elemento, anche tutti gli elementi intermedi non saranno generati.

Descrizione dei Dati di Input

V-87

Manuale d’Uso Microsap

7. MODULO SHELL Linea A.

Informazioni di Controllo. Numero richiesto: Una.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Il numero 6

2

I

Numero totale di elementi tipo 6

3

I

Numero di differenti materiali

4

I

Numero massimo di temperature per le quali sono date le proprietà dei materiali.

5

I

Flag per rigidezza torsionale

6

I

Numero carichi di elemento NLD (pressioni sulle facce)

7

R

Rigidezza specifica di fondazione

NOTE: a) L'elemento tipo 6 è simile all'elemento tipo 3, ma le sue caratteristiche ne consentono un impiego più generale. E' anch'esso considerato in situazione di "plane stress", ma ha la possibilità di trasmettere momenti e forze normali e di ricevere carichi di pressione perpendicolarmente al suo piano. E' inoltre possibile imporre dei gradienti di temperatura lungo lo spessore. L'elemento è di forma quadrangolare generica e definito nello spazio (coordinate X,Y,Z definite ad ogni nodo). Ad ognuno dei quattro nodi sono associate tre componenti di spostamento (u,v,w) e tre rotazioni (uu,vv,ww), per un totale di 24 gradi di libertà. L'elemento può anche essere definito triangolare, facendo coincidere il nodo L col nodo K. L'elemento quadrangolare è in effetti formato dall'assemblaggio di quattro triangoli a deformazione lineare (fig. V.31) ottenuti congiungendo i quattro nodi d'angolo I,J,K,L col nodo centrale C costruito dal programma in posizione baricentrica. I 18 gradi di libertà interni, dovuti alla presenza del nodo C e alle funzioni di forma aggiuntive, sono condensati a livello di elemento. L'elemento quadrangolare possiede un sistema locale (fig.V.32) e ad esso occorre far riferimento per la corretta orientazione dei materiali ortotropi e per l'interpretazione dei risultati finali (forze e sforzi). L'origine del sistema locale è situato al baricentro dei quattro nodi d'angolo. L'asse locale x è orientato secondo la congiungente i punti medi dei lati LI e JK. L'asse locale y giace sul piano I,J,K,L, ha direzione perpendicolare all'asse x e verso secondo il lato LK. L'asse locale z è perpendicolare al piano xy con verso tale da formare con essi una terna destra. La direzione positiva di z determina anche la faccia superiore (t) e inferiore (b) dell'elemento ed il verso delle pressioni. L'elemento triangolare (fig.V.33) non è un elemento composto, ma è semplicemente un triangolo a deformazione costante: esso deve essere utilizzato solo per schematizzare zone limitate per le quali la geometria del modello non consente l'impiego dell'elemento quadrangolare. Nell'elemento triangolare l'asse locale x è orientato secondo la congiungente il nodo I ed il punto medio del lato JK.

V-88

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

z

Z

y K

L

K

L C I

J

Y

x

I X

J

FIG. V.31

t

FIG. V.32

b) La risposta dell'elemento shell è tanto migliore quanto più la sua forma è prossima ad un quadrato. Comunque ottimi risultati si ottengono anche con rapporti di 1/10 delle misure dei lati. Maggior attenzione va invece posta per evitare la presenza di elementi eccessivamente distorti, con angoli interni prossimi a 0 gradi o 180 gradi: finchè possibile, l'ampiezza degli angoli interni non dovrebbe essere inferiore a 45 gradi e superiore a 135 gradi. Gli elementi triangolari dovrebbero essere usati solo per schematizzare situazioni particolari o di transizione, dove non è possibile l'impiego dell'elemento quadrangolare. Spesso ciò accade in prossimità di variazioni di geometria, vicino agli spigoli o quando è necessario infittire la suddivisione. Si ricordi che l'elemento triangolare a deformazione costante ha una formulazione notevolmente semplificata rispetto al quadrangolare e tende ad essere piuttosto rigido. Grande cura deve essere posta nella schematizzazione del modello nell'intorno della zona di indagine: qui la suddivisione in elementi deve essere generalmente più fitta e regolare, soprattutto in prossimità di carichi concentrati, alti gradienti di sforzo, discontinuità geometriche e di materiale, vincoli. c) Se il campo n.3 o n.4 è nullo, il programma assume comunque il valore 1 per default. d) L'elemento tipo 6 può essere definito nello spazio ed avere qualunque giacitura, non necessariamente coincidente con un piano globale. L'elemento di lastra non trasmette la rotazione attorno alla perpendicolare al suo piano. Questo grado di libertà può essere soppresso con i codici di vincolo delle linee C del modulo INPUT solo se la struttura giace completamente su un piano globale. In caso contrario, quando vi sono elementi giacenti in piani differenti e connessioni tra elementi giacenti sullo stesso piano che danno origine a rigidezze torsionali nulle, una piccola rigidezza attorno alla normale deve essere introdotta attraverso l'uso degli elementi Boundary. Se la normale all'elemento è diretta secondo un asse globale questa singolarità può essere riconosciuta e soppressa durante la fase di assemblaggio mediante l'introduzione automatica di una piccola rigidezza (v. nota c), linea A, modulo SOLVE). In caso contrario la singolarità è rilevata in fase di fattorizzazione ma non può essere corretta e provoca l'arresto dell'esecuzione. Se al campo n.5 è posto il valore 1, l'elemento è dotato di una piccola rigidezza proporzionale al suo volume e ai moduli elastici En e Es del materiale (ordine di grandezza = 1.E-6 volte il valore degli altri coefficienti di rigidezza dell'elemento). La rigidezza così introdotta non altera l'equilibrio della struttura, come invece avviene con l'uso degli elementi Boundary che sono connessi al terreno. L'uso di tale

Descrizione dei Dati di Input

V-89

Manuale d’Uso Microsap

opzione automatica risulta particolarmente conveniente quando la struttura si sviluppa su superfici qualsiasi e su piani diversi da quelli globali. Tranne casi del tutto particolari si consiglia sempre l'uso dell'introduzione automatica della rigidezza torsionale, al fine di evitare l'impiego dei Boundary ed errori nella loro definizione. e) Al campo n.6 vanno indicate il numero di linee C impiegate per assegnare i carichi di pressione sugli elementi. Se esso è nullo o non assegnato, non è letta alcuna linea C. f) L'elemento shell può essere definito giacente su fondazione elastica. Per ottenere questo è sufficiente assegnare la rigidezza della fondazione per unità di area al campo n.7. Il programma provvede ad introdurre la rigidezza di fondazione in direzione normale all'elemento, su ciascun nodo e secondo l'area di competenza. I supporti elastici introdotti, che agiscono ovviamente in entrambi i versi, sono applicati a tutti gli elementi del gruppo ed equivalgono a Boundary di rigidezza appropriata (rigidezza specifica x area di competenza del nodo). z

K,L

Z

y K,L

J

I

I

x

Y

J

X

FIG. V.33

V-90

FIG. V.34

Descrizione dei Dati di Input

t

Manuale d’Uso Microsap

Linee B.

Caratteristiche dei Materiali. Numero richiesto: Una serie di linee B1 e B2 deve essere fornita per ogni materiale.

B1. Linea di Identificazione Materiale. Numero richiesto: Una.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di identificazione materiale

2

I

Numero di differenti temperature per le quali sono date le proprietà del materiale.

3

R

Peso specifico (solo per carichi dovuti ad accelerazione di gravità)

4

R

Densità (solo per analisi dinamica o accelerazione centrifuga)

5

R

Angolo di orientazione del materiale (ß)

NOTE: a) Il massimo numero riportato al campo n.2 tra ogni materiale, deve essere trascritto al campo n.4 della precedente linea A. b) Per i materiali ortotropi, viene definito un sistema locale N-S-T al quale le proprietà sono riferite. L'asse T coincide con l'asse locale z ed è perpendicolare al piano dei nodi I,J,K,L. ß è l'angolo (in gradi) tra l'asse locale x e l'asse N, misurato in senso orario o antiorario da x, a seconda del verso di numerazione dei nodi dell'elemento. L'angolo ß si porrà uguale a zero per i materiali isotropi (fig.V.35 e fig.V.36). x

y

K

K L N

N

J β

S β

y

x S

I L

J

I

FIG. V.35

FIG. V.36

Descrizione dei Dati di Input

V-91

Manuale d’Uso Microsap

B2.

Proprietà del Materiale. Numero richiesto: Una per ogni differente temperatura.

Campo Tipo

Descrizione

1

R

Temperatura alla quale si riferiscono le proprietà.

2

R

Modulo di elasticità in direzione N (En)

3

R

Modulo di elasticità in direzione S (Es)

4

R

Modulo di Poisson νns

5

R

Modulo di elasticità trasversale (Gns)

6

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione N (αn)

7

R

Coefficiente di dilatazione termica in direzione S (αs)

NOTE: a) In base alle caratteristiche assegnate il programma costruisce la matrice elastica del materiale in situazione di plane stress. Le caratteristiche in direzione T non sono usate. La legge costitutiva del materiale è corretta per la condizione σt=0 (per definizione sono nulli gli sforzi in direzione perpendicolare al piano degli elementi). b) Ovviamente, per i materiali isotropi è per definizione: En

= Es = E

νns = ν Gns = E/[2⋅(1+ν)] αn

= αs = α

c) In casi particolari il programma provvede a fornire valori di default per le caratteristiche dei materiali, se i relativi campi sono lasciati nulli. In ogni caso, En (campo n.2) deve sempre essere assegnato. Se Es=0 il suo valore è posto uguale a En dal programma. Se Gns=0 è posto Gns=En⋅Es/(En+Es+2⋅νns⋅Es) Se αs=0 esso è posto uguale a αn.

V-92

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee C.

Carichi di Pressione sugli Elementi. Numero richiesto: Una linea per ogni differente carico di pressione e il cui numero NLD è stato specificato al campo n.6 della linea A.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di identificazione del set

2

I

Tipo di carico (1 = pressione costante; 2 = pressione idrostatica)

3

R

Valore della pressione (per carico tipo 1) o peso specifico del fluido (per carico tipo 2)

4

R

Quota Zref del pelo libero del fluido

NOTE: a) Se il valore specificato al campo n.2 è uguale a 1 il carico di pressione è costante. Il valore di pressione è assegnato al campo n.3, mentre il campo n.4 non è usato. Il carico è effettivamente applicato solo se esso è assegnato agli elementi con le linee E. b) Se il tipo specificato al campo n.2 è uguale a 2 la pressione varia con legge idrostatica: Pi = γ⋅(Zref - Zi) Pi = 0.

se Zref ≥ Zi se Zref < Zi

In questo caso l'utente dovrà assegnare al campo n.3 il peso specifico γ del fluido e al campo n.4 il valore della coordinata Zref corrispondente al pelo libero. Se γ ha valore negativo il carico applicato è una tensione sulla faccia. Il programma calcola la pressione corrispondente alla quota Zi del centroide dell’elemento e assegna tale valore di pressione su tutta la superficie: se il punto è ad una quota Zi superiore a quella del pelo libero la pressione è nulla. Quando l'utente prevede di far uso di pressioni idrostatiche deve tenerne conto nella disposizione del modello rispetto agli assi globali. Le pressioni idrostatiche definite con le linee C sono infatti calcolate assumendo che la gravità agisca secondo la direzione globale -Z. c) Se è effettuata l'analisi armonica si veda la nota h) alle linee F.

Descrizione dei Dati di Input

V-93

Manuale d’Uso Microsap

Linee D.

Moltiplicatori di Carico Globale. Numero richiesto: 5.

Linea 1. Accelerazione di gravità nella direzione globale X. Campo Tipo

Descrizione

1

R

Moltiplicatore del caso di carico A

2

R

Moltiplicatore del caso di carico B

3

R

Moltiplicatore del caso di carico C

4

R

Moltiplicatore del caso di carico D

5

R

Moltiplicatore del caso di carico E

6

R

Moltiplicatore del caso di carico F

7

R

Moltiplicatore del caso di carico G

8

R

Moltiplicatore del caso di carico H

Linea 2. Come la linea 1, per l’accelerazione di gravità nella direzione globale Y. Linea 3. Come la linea 1, per l’accelerazione di gravità nella direzione globale Z. Linea 4. Come la linea 1, per i moltiplicatori del carico termico. Linea 5. Come la linea 1, per le velocità angolari attorno all’asse globale Z.

NOTE: a) Ogni caso di carico di elemento A÷H, può essere composto da una combinazione (mediante i moltiplicatori) del carico principale termico, del gradiente termico nello spessore, da accelerazione lungo i tre assi globali X,Y,Z e da accelerazione centrifuga. Il campo di temperature nodali è assegnato con le linee C del modulo INPUT, da cui sono estratte le temperature ai nodi di ogni elemento. La temperatura di riferimento per il calcolo del salto termico è assegnata al campo n.8 delle linee F seguenti. Il carico termico è quindi applicato ad ogni caso di carico con i moltiplicatori della linea n.4. I moltiplicatori del carico termico sono anche utilizzati come moltiplicatori del gradiente termico. b) Le componenti di accelerazione di gravità lungo X,Y,Z sono calcolate tenendo conto del peso specifico definito al campo n.3 delle linee B1 ed applicate ad ogni caso di carico secondo i moltiplicatori delle linee n.1,2,3. Un moltiplicatore di valore unitario applica una componente di accelerazione pari a 1 volta l’accelerazione di gravità (1g). Con la linea n.5 è possibile introdurre per ogni caso di carico A÷H una componente centrifuga assumendo, come asse di rotazione, l’asse globale Z. Nella linea n.5 andranno specificate le velocità angolari in rad/sec. Se l’utilizzatore desidera introdurre forze centrifughe, deve tenerne conto nel posizionamento dell’asse globale Z rispetto al modello e assegnare la densità dei materiali con le linee B1.

V-94

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

c) Se le caratteristiche dei materiali sono assegnate per più valori di temperatura, l'interpolazione è eseguita considerando le temperature nodali dell'elemento, senza alcun riferimento al moltiplicatore del carico termico. d) Se è effettuata la sola analisi modale o sismica senza la contemporanea analisi statica, le linee C possono essere lasciate bianche. e) Se è effettuata l'analisi armonica si veda la nota h) alle linee F.

Descrizione dei Dati di Input

V-95

Manuale d’Uso Microsap

Linee E.

Assegnazione dei Carichi di Pressione agli Elementi. Numero richiesto: Qualunque, fino alla assegnazione di tutti i carichi sugli elementi. Le linee E terminano con una linea bianca finale. Lette solo se NLD>0 (v. campo n.6, linea A).

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Caso di carico (1÷8)

2

I

Numero carico di pressione

3

I

Elemento iniziale (eli)

4

I

Elemento finale (elf)

5

I

Incremento di elemento (incr)

NOTE: a) Le linee E non devono essere assegnate se non esiste alcun carico di elemento definito con le linee C. b) Col campo n.1 si indica a quale tra gli 8 casi di carico (A÷H) deve essere attribuito il carico di pressione. Con una linea dati il carico è assegnato dall’elemento iniziale eli all’elemento finale elf, con incremento di elemento incr. Se incr non è assegnato, è assunto un incremento unitario. Se elf non è assegnato, è assunto elf=eli e il carico è attribuito al solo elemento eli specificato al campo n.3. c) E’ buona norma comporre prima il caso A (campo n.1 =1), assegnando tutti i carichi agenti sugli elementi nella condizione A, poi il caso B, e così di seguito, fino a comprendere tutti i casi di carico che interessano. d) Al campo n.2, per ogni caso di carico A÷H, andranno attribuite le pressioni scelte tra quelle presenti al campo n.1 delle linee C. e) Esempio. Con le seguenti linee dati: 1,2,2,4 1,1,6 1,3,9,13,2 2,1,1,8 2,4,11,12 • (bianca) la struttura presenta i due casi di carico A e B. Nel caso di carico A gli elementi dal n.2 al n.4 sono caricati con la pressione n.2, l’elemento n.6 con la pressione n.1 e gli elementi 9,11 e 13 con la n.3. Tutti gli altri elementi sono scarichi (o comunque su essi agiscono solo i carichi globali assegnati con le linee D). Nel caso di carico B, gli elementi dal n.1 al n.8 sono caricati con la pressione n.1 (stesso carico attribuito all’elemento n.6 nel caso A), e gli elementi n.11 e n.12 con la pressione n.4.

V-96

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee F.

Definizione degli Elementi. Numero richiesto: Qualunque, fino al completamento della descrizione di tutti gli elementi tipo 6.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di elemento

2

I

Numero del nodo I

3

I

Numero del nodo J

4

I

Numero del nodo K

5

I

Numero del nodo L

6

I

Numero di identificazione del materiale

7

R

Spessore dell'elemento

8

R

Temperatura di riferimento (T0)

9

R

Gradiente di temperatura medio lungo lo spessore (δT/δz)

10

R

Parametro di generazione automatica KN

NOTE: a) L'ordine di numerazione dei nodi I,J,K,L dell'elemento può essere antiorario o orario. Per gli elementi triangolari il numero di nodo L deve essere posto uguale al numero di nodo K. I nodi I,J,K,L, dovrebbero essere assegnati complanari. b) Se il numero di identificazione del materiale è lasciato uguale a zero, viene assegnato il materiale n.1. Le proprietà del materiale sono ricavate, per ogni elemento, per interpolazione lineare, considerando la temperatura dell'elemento come media aritmetica delle temperature dei nodi. c) I carichi termici sono comunque ottenuti considerando variabile la temperatura secondo le coordinate locali s,t, con l'uso delle stesse funzioni di forma di ogni elemento triangolare componente. Ad esempio (v. fig.V.31), per il triangolo I,J,C è:

T( s, t ) = H i ( s, t ) ⋅ Ti + H j ( s, t ) ⋅ T j + H c ( s, t ) ⋅ Tc Il salto termico utilizzato nell'integrazione è quindi:

δT( s, t ) = T( s, t ) − T0 T0, assegnata al campo n.10 è la temperatura di free-strain. Spesso il vettore temperature definito al campo n.11 delle linee C del modulo INPUT è posto costante e uguale a zero: in tal caso δT = -T0.

Descrizione dei Dati di Input

V-97

Manuale d’Uso Microsap

d) Il gradiente termico lungo lo spessore (campo n.9) è positivo se induce una curvatura negativa nell'elemento, cioè se tende a far diventare convessa la faccia superiore e concava la faccia inferiore dell'elemento. Indicando con Tt la temperatura della faccia superiore, con Tb quella della faccia inferiore e con t lo spessore dell'elemento (campo n.7), il valore da introdurre al campo n.9 sarà:

δT Tt − Tb = δz t Il gradiente termico ed il salto termico a cui è assoggettato l'elemento (v. nota c) sono trattati in maniera indipendente dal programma: il primo provoca solamente la curvatura dell'elemento ed il secondo una sua dilatazione. Nella realtà, se esiste un gradiente termico, la temperatura media dell'elemento (Tt+Tb)/2 sarà in generale diversa da T0. Tuttavia, se si desidera introdurre anche tale effetto, il campo di temperatura deve essere descritto separatamente. e) Il primo elemento assegnato deve essere sempre il n.1 ed i seguenti in ordine crescente. Se tra una linea e la successiva si ha un salto nel numero di elemento, gli elementi intermedi sono generati incrementando i nodi I,J,K,L,C del valore KN dato al campo n.10 della linea iniziale della serie. In tal caso tutte le caratteristiche degli elementi generati saranno poste uguali a quelle specificate nella linea iniziale. L'elemento finale della serie non è comunque generato, ma ad esso sono attribuiti i valori assegnati dall'utente. L'ultimo elemento della serie può quindi essere usato per la generazione della serie successiva. Se KN è lasciato uguale a zero, esso è posto uguale a 1 dal programma. f) Forze, Momenti e Sforzi sono calcolati al baricentro dell'elemento e sono riferiti al sistema locale (fig.V.37). Nella Rel.8.2 il programma calcola sempre queste quantità anche in corrispondenza dei nodi. I risultati ai nodi sono meno accurati di quelli al centroide ed è quindi generalmente richiesta una suddivisione con numero maggiore di elementi. Il programma riporta (modulo STRES) per ogni elemento nella prima riga le quantità: Txx, Tyy, Txy, Mxx, Myy, Mxy. Esse sono riferite al segmento di lunghezza unitaria (forze e momenti per unità di lunghezza). Nella seconda riga sono stampati gli sforzi sulla faccia superiore prodotti dalle sollecitazioni precedenti: σxx(t), σyy(t), σxy(t), gli sforzi principali σmax e σmin e la sigma di von Mises σmis. Nella terza riga sono stampati gli stessi sforzi relativi alla faccia inferiore. Le relazioni che legano queste quantità sono qui riportate (v. fig.V.37): Txx Tyy Txy Mxx Myy Mxy σxx(t) σyy(t) σxy(t) σxx(b) σyy(b) σxy(b)

= σxx ⋅ t = σyy ⋅ t = σxy ⋅ t = σbxx ⋅ t²/6 = σbyy ⋅ t²/6 = σbxy ⋅ t²/6 = σxx + σbxx = σyy + σbyy = σxy + σbxy = σxx - σbxx = σyy - σbyy = σxy - σbxy

Dove: σxx σbxx σxx(t) σxx(b) t

V-98

= sforzo diretto = sforzo dovuto a flessione = sforzo sulla faccia superiore = sforzo sulla faccia inferiore = spessore dell'elemento

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

y K

L

y

I

x

J

z

(t)

Txx M xy Txy

t

x

M xx

Txy M yy

Tyy

(b)

M xy

FIG.V.37 g) Per ogni gruppo di elementi il programma ricerca i massimi e i minimi di ogni componente di sforzo, effettuando una suddivisione per materiali, entro lo stesso gruppo. Nessuna distinzione è però fatta dal programma riguardo alla diversa orientazione dei sistemi locali rispetto ai quali gli sforzi potrebbero essere calcolati. In generale quindi, i massimi e i minimi sono ottenuti dal confronto di quantità non necessariamente omogenee. Per la corretta interpretazione della tabella "STRESS SUMMARY" (RIEPILOGO SFORZI) occorre tenere presente che: • Il programma calcola solamente i massimi e minimi degli sforzi (seconda e terza riga di ogni elemento). • Tra i diversi elementi il confronto può essere stato effettuato su quantità non coerenti perchè ottenute su sistemi di riferimento diversi. Ciò per due ragioni: perchè i lati corrispondenti dei diversi elementi possono essere diversamente orientati e perchè i lati corrispondenti (ad es. lato I-J) possono aver cambiato orientazione in seguito ad una variazione nel sistema di numerazione dei nodi degli elementi. L'operatore può forzare il confronto a classi omogenee creando diversi gruppi di elementi oppure attribuendo materiali differenti. h) Se è richiesta l'analisi armonica, un pò di cautela deve essere usata nella definizione dei carichi. Se sono assegnati carichi di gravità (se il peso specifico dei materiali e i moltiplicatori delle linee C sono diversi da zero) oppure se sono assegnati carichi termici o di pressione (con i moltiplicatori diversi da zero), tutti questi saranno considerati variabili nel tempo con legge sinusoidale con ampiezze assegnate e frequenza uguale a quella specificata al campo n.7 della linea B del modulo INPUT. i) Se nella linea è attribuito il solo campo n.1 (numero dell’elemento), l’elemento è ignorato (elemento fittizio). Ciò consente di escludere facilmente elementi intermedi o permette di creare una interruzione sulla numerazione progressiva. Se tra una linea e la successiva si ha un salto nel numero di elemento, anche tutti gli elementi intermedi non saranno generati.

Descrizione dei Dati di Input

V-99

Manuale d’Uso Microsap

8. MODULO BOUND Linea A.

Informazioni di Controllo. Numero richiesto: Una.

Campo Tipo

V-100

Descrizione

1

I

Il numero 7

2

I

Numero totale di elementi Boundary

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linea B.

Moltiplicatori del Carico di Elemento. Numero richiesto: Una.

Campo Tipo

Descrizione

1

R

Moltiplicatore caso di carico A

2

R

Moltiplicatore caso di carico B

3

R

Moltiplicatore caso di carico C

4

R

Moltiplicatore caso di carico D

5

R

Moltiplicatore caso di carico E

6

R

Moltiplicatore caso di carico F

7

R

Moltiplicatore caso di carico G

8

R

Moltiplicatore caso di carico H

NOTE: a) Gli otto valori assegnati con la linea B sono i moltiplicatori degli spostamenti imposti con l'impiego dei Boundary, per gli otto casi di carico d'elemento. Se gli spostamenti imposti sono uguali a zero il moltiplicatore non ha effetto. Tali moltiplicatori sono utili per assegnare diverse condizioni di vincolo per gli otto casi di carico (v. Problem 1.1). Ciò non significa che il vincolo può esistere solo in alcuni casi di carico, ma semplicemente che lo spostamento (campi n.9 e n.10, linea C) può essere differente. b) Se è effettuata solamente l'analisi modale o l'analisi sismica, la linea può essere lasciata bianca poichè il vettore delle forze è considerato nullo (v. par.10, cap.III). Se invece esse sono accompagnate dalla contemporanea analisi statica la linea B deve essere riferita a quest'ultima. c) Se è effettuata l'analisi armonica si veda la nota i) alle linee C.

Descrizione dei Dati di Input

V-101

Manuale d’Uso Microsap

Linee C.

Definizione degli Elementi. Numero richiesto: Qualunque, fino alla completa descrizione di tutti gli elementi dichiarati al campo n.2 della linea A.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Nodo N in cui l'elemento è applicato

2

I

Nodo I

3

R

Nodo J

4

R

Nodo K

5

R

Nodo L

6

I

Codice di spostamento (KD)

7

I

Codice di rotazione (KR)

8

I

Indice di generazione automatica (KN)

9

R

Spostamento imposto

10

R

Rotazione imposta

11

R

Rigidezza estensionale e torsionale

NOTE: a) L'elemento è sostanzialmente una molla dotata di rigidezza estensionale e torsionale, connessa ad un estremo fisso. b) Il verso dell'elemento è definito dal vettore "n" orientato dal nodo N (punto di applicazione della molla) verso l'estremo fisso. La molla può avere una rigidezza estensionale, torsionale od entrambe (uguali). La forza agente sulla estremità N è positiva (concorde col vettore n) se tende a comprimere la molla. Il momento torcente agente è positivo secondo la "regola della mano destra" (fig.V.41). c) Sono possibili quattro modi per definire la direzione e il verso dell'elemento, cioè per assegnare il vettore n: 1) Detto "r" il vettore che dal nodo I va al nodo J ed "s" il vettore che dal nodo K va al nodo L, il vettore "n" è ottenuto dal prodotto vettoriale: "n" = "r" x "s" (fig.V.38). 2) Posti J=K=L=0, il vettore "n" è quello che dal nodo N va al nodo I (fig.V.39). 3) Con direzioni uguali a quelle degli assi globali, posto (fig.V.40): I = -1 , "n" ha verso uguale all'asse globale X. I = -2 , "n" ha verso uguale all'asse globale Y. I = -3 , "n" ha verso uguale all'asse globale Z.

V-102

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

I = -4 , "n" ha verso opposto all'asse globale X. I = -5 , "n" ha verso opposto all'asse globale Y. I = -6 , "n" ha verso opposto all'asse globale Z.

n-

s-

L

I N

k

J

r I

K n-

FIG. V.38

FIG. V.39

4) Posto I=0, i campi J,K,L sono utilizzati per assegnare direttamente le tre componenti del vettore n (che può avere lunghezza arbitraria): nx,ny,nz. Nella stampa dei dati di elemento sono invece sempre riportati i coseni direttori del vettore n. I nodi I,J,K,L usati nei casi 1) e 2) per definire il verso dell'elemento, possono appartenere alla struttura o essere solamente dei nodi fittizi (assegnati con le linee C del modulo INPUT). In quest'ultimo caso ogni grado di libertà deve essere soppresso (ponendo tutti i codici di vincolo uguali a 1), al fine di eliminarli dal sistema di equazioni. d) Se il codice di spostamento è posto uguale a zero, l'elemento non ha rigidezza estensionale (non è applicato ai gradi di libertà di spostamento). e) Se il codice di spostamento è posto uguale a 1, all'elemento è attribuita la rigidezza estensionale k assegnata al campo n.11 ed una forza F applicata ottenuta come prodotto tra la rigidezza e lo spostamento d assegnato al campo n.9 (F = k⋅d). Normalmente, quando l'elemento è usato come supporto elastico di rigidezza assegnata, il precarico della molla è nullo ed il campo n.9 è posto uguale a zero. Se la rigidezza è elevata rispetto a quella della struttura nell'intorno del nodo N, lo spostamento globale di quest'ultimo sarà uguale a quello assegnato al campo n.9. Questo è un caso frequente nell'uso dell'elemento, quando devono essere imposti degli spostamenti di alcuni nodi della struttura in determinate direzioni. Lo spostamento imposto può anche essere zero: questo è un caso più generale di gradi di libertà soppressi (cfr. linee C, modulo INPUT), quando sono richieste anche le reazioni vincolari. Le condizioni di vincolo assegnate con le linee C del modulo INPUT devono permettere lo spostamento di cui sopra, anche se questo è zero. Per convenienza dell'utilizzatore, per questo caso così

Descrizione dei Dati di Input

V-103

Manuale d’Uso Microsap

frequente, il programma assegna una rigidezza elevata pari a 1.E10, quando questa è lasciata uguale a zero. Quando l'elemento Boundary è impiegato per imporre degli spostamenti utilizzando il valore di default di 1.E10 per la rigidezza, un pò di attenzione è richiesta all'utilizzatore. In generale la rigidezza dell'elemento è bene che sia di parecchi ordini di grandezza superiore a quella massima della struttura ma non troppo elevata rispetto a quella minima. Durante la risoluzione del modulo SOLVE è stampato il massimo e minimo valore di rigidezza riscontrato sulla diagonale principale della matrice globale. Il rapporto tra il massimo e il minimo non dovrebbe essere superiore a 1.E8. Il valore "elevato" di rigidezza assunto o assegnato all'elemento Boundary dovrebbe quindi essere confrontato con questi due valori forniti da SOLVE. Se, a causa delle unità di misura impiegate, il valore minimo è prossimo al valore massimo dovuto alla presenza dei Boundary o se addirittura il valore massimo è superiore come ordine di grandezza alla rigidezza dei Boundary, queste vanno assegnate di valore più elevato. Se il rapporto tra il massimo e il minimo è superiore a 1.E8 la rigidezza dei Boundary è troppo alta e ad essi va assegnata una rigidezza più piccola. Una situazione di mal-condizionamento della matrice di rigidezza può aversi quando si impiegano elementi Boundary con elevata rigidezza e inclinati rispetto agli assi globali. Questi introducono infatti delle componenti fuori-diagonale che possono dare origine ad una scarsa precisione nei risultati. Z F

n-

M

I=-6 I=-3

N

I=-2 I=-5

Y

n-

k

I=-4 I=-1

X

FIG. V.40

FIG. V.41

f) Se il codice di rotazione è posto uguale a zero, l'elemento non ha rigidezza torsionale (non è applicato ai gradi di libertà di rotazione). g) Se il codice di rotazione è posto uguale a 1, si può ripetere per analogia quanto detto al punto e). h) Nell'analisi modale su strutture dotate di moti rigidi l'elemento Boundary può essere utilizzato per sopprimere la condizione di singolarità nella matrice di rigidezza globale. Poichè il modello può presentare da uno a sei moti rigidi, non sono necessari più di tre elementi Boundary per eliminare la singolarità. Ad esempio, se la struttura presenta sei moti rigidi, questi possono essere simulati dotando la struttura di 6 piccole rigidezze addizionali in corrispondenza di un qualunque nodo. In pratica,

V-104

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

l'utente assegnerà su uno stesso nodo scelto arbitrariamente, tre elementi Boundary di rigidezza tanto piccola da non introdurre perturbazioni sul sistema, ma sufficiente ad eliminare la singolarità numerica. Ognuno dei tre elementi sarà applicato sia al grado di libertà di traslazione che di rotazione (KD=KR=1). Se la struttura è dotata di sei moti rigidi, l'estrazione modale produrrà altrettante frequenze proprie uguali a zero (ovvero di valore molto piccolo e vicino allo zero) e altrettanti autovettori con elementi tutti uguali a 1. I rimanenti autovalori, successivi a quelli banali di moto rigido, saranno invece quelli di reale interesse per l'utente. E' ovvio perciò che, in presenza di moti rigidi, è necessario richiedere il calcolo di un numero di frequenze superiore al numero di moti rigidi presenti nella struttura. i) Durante l'esecuzione dell'analisi modale o dell'analisi sismica, qualunque siano i valori di spostamento e rotazione assegnati ai campi n.9 e n.10, essi sono considerati nulli. Se una di queste analisi è svolta contemporaneamente all'analisi statica, a quest'ultima saranno applicati i valori di spostamento assegnati. j) Quando è eseguita l'analisi armonica occorre prestare un pò di attenzione quando i campi n.9 e n.10 sono posti diversi da zero. Ciò infatti equivale ad imporre gli spostamenti variabili nel tempo con legge sinusoidale, ampiezza pari a quella specificata ai campi n.9 e n.10 e frequenza uguale a quella del campo n.7 della linea B del modulo INPUT. k) Quando ad una serie di nodi sono connessi degli elementi Boundary con la stessa orientazione e le stesse caratteristiche meccaniche (uguali spostamenti e rotazioni e uguali rigidezze), questi possono essere generati specificando il valore KN al campo n.8 della prima linea della serie. KN è l'incremento al nodo N per gli elementi generati, fino a raggiungere il nodo N specificato nell'ultima linea della serie. Tale linea può terminare col campo n.1, poichè solo il numero di nodo N è usato dal programma. Si noti che per gli elementi generati il programma pone uguali a zero i nodi I,J,K,L, poichè per essi sono privi di significato: gli elementi hanno infatti tutti la stessa direzione e verso del primo elemento della serie. l) Se il campo n.1 è uguale a zero o non è assegnato, o semplicemente se la linea è bianca, è creato un elemento fittizio. Ciò consente di escludere facilmente elementi intermedi o permette di creare una interruzione sulla numerazione progressiva.

Descrizione dei Dati di Input

V-105

Manuale d’Uso Microsap

9. MODULO SOLVE Linee A.

Carichi e Masse Nodali. Numero richiesto: Una per ogni caso di carico e per ogni nodo che possiede carichi o masse nodali concentrati. Le linee devono essere assegnate in ordine di nodo. La sequenza termina sempre con una linea bianca.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di nodo

2

I

Numero di condizione di carico

3

R

Forza in direzione X

4

R

Forza in direzione Y

5

R

Forza in direzione Z

6

R

Momento attorno a X

7

R

Momento attorno a Y

8

R

Momento attorno a Z

NOTE: a) I carichi sono ovviamente applicati solo lungo direzioni in cui gli spostamenti NON sono vincolati (codici di vincolo uguali a 0). Di conseguenza, solo nodi connessi ad elementi Boundary, Beam e Shell possono avere momenti applicati. Per simulare l'effetto del momento su una struttura schematizzata con elementi solidi, assialsimmetrica, plane stress o plane strain, l'utilizzatore applicherà una opportuna coppia di forze sul piano degli elementi. Se la struttura è assialsimmetrica il carico nodale concentrato (o la massa) è in effetti quello applicato su un arco pari a 1 radiante (il nodo su cui è applicato è la traccia della circonferenza sul piano. Nel plane strain il carico nodale (o la massa) è invece riferito ad uno spessore unitario. b) Le stesse linee utilizzate per assegnare carichi concentrati ai nodi sono impiegate per assegnare masse nodali. Se il numero di condizione di carico (campo n.2) è posto uguale a zero, i valori contenuti nei campi seguenti sono interpretati come masse agenti nelle direzioni indicate e vengono direttamente assemblati, nella matrice di massa, alle equazioni corrispondenti per nodo e direzione (v. tabella EQUATION NUMBERS (NUMERI DI EQUAZIONE) prodotta da INPUT). Se ad esempio la stessa massa agisce nelle tre direzioni X,Y,Z, il suo valore deve essere introdotto non solo al campo n.3, ma anche ai campi n.4 e n.5. c) Durante la fase di assemblaggio della matrice globale il programma controlla i valori sulla diagonale principale. Se la struttura è sufficientemente vincolata, se i moti rigidi interni sono stati rimossi, se i materiali sono stati definiti correttamente e gli elementi sono stati correttamente assegnati, la matrice globale è definita positiva. I coefficienti sulla diagonale sono tutti positivi e di valore preponderante rispetto a quelli fuori diagonale. Se tuttavia esiste qualche moto rigido interno dovuto a rigidezze non assegnate all'elemento (v. elementi Plane Stress membranale, elementi Shell ed elementi Truss) ed i

V-106

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

relativi assi locali non coincidono con un asse globale, tale problema non può essere rilevato in questa fase e diverrà manifesto solo durante la fattorizzazione della matrice. Se in fase di assemblaggio il programma rileva la presenza di coefficienti nulli sulla diagonale, la singolarità viene rimossa attribuendo ad essi il valore 1.E-10 e la risoluzione continua. Il seguente messaggio è comunque inviato all'operatore: WARNING - SINGULARITY SUPPRESSED IN xxxx EQUATIONS d) Perchè la matrice globale sia ben condizionata e non si abbia una perdita di precisione durante la fase di fattorizzazione, non vi devono essere brusche variazioni di valore tra i coefficienti diagonali. In altri termini, la struttura non deve presentare parti con elevate variazioni di rigidezza. Ciò può accadere se nella struttura esistono materiali con forti differenze nei moduli elastici (es. gomma-acciaio), oppure elementi con eccessiva differenza di rigidezza (forti variazioni di sezione, oppure elementi Boundary eccessivamente rigidi o viceversa, rispetto alle zone circostanti). Se inoltre è eseguita l'analisi dinamica, non devono essere presenti delle masse concentrate eccessive in rapporto alla rigidezza. Si noti comunque che la matrice di massa può essere semidefinita positiva, con coefficienti nulli. Terminata la fase di assemblaggio, il programma stampa i valori massimi e minimi riscontrati sulla diagonale principale delle matrici globali di rigidezza e massa. L'utente dovrebbe sempre verificare che il massimo e minimo valore di rigidezza siano innanzitutto positivi e che il loro rapporto di rigidezza non sia superiore a 1.E8 ÷ 1.E10. In caso contrario si deve temere una perdita di precisione durante la risoluzione del sistema. e) Talvolta, e specialmente quando si impiegano gli elementi Boundary (v. par.8), può rendersi necessario l'esame globale delle rigidezze diagonali, non essendo sufficiente la conoscenza del valore massimo e minimo. Il Microsap può fornire una stampa addizionale in cui sono riportate, per ogni equazione, i valori dei coefficienti diagonali delle matrici di rigidezza e di massa. Per ottenere tale stampa è sufficiente porre il valore -1 sulla linea bianca che chiude sempre la sequenza delle linee A. L'utente può associare il numero di equazione al grado di libertà attraverso la tabella "EQUATION NUMBERS" prodotta dal modulo INPUT. f) Durante la fase di fattorizzazione della matrice di rigidezza (risoluzione del sistema globale di equazioni) il Microsap invia su video un messaggio sullo stato di avanzamento della fattorizzazione a blocchi. In generale la matrice globale non può essere contenuta interamente nella memoria di lavoro e deve essere suddivisa per blocchi che sono letti da disco e transitano in memoria centrale per essere poi archiviati ancora su disco. Nel messaggio inviato all'operatore è riportato il numero di blocchi che deve ancora subire il processo di fattorizzazione. g) Se durante la fase di fattorizzazione è stata riscontrata la presenza di coefficienti diagonali negativi, il programma produce il messaggio: WARNING - NEGATIVE DIAGONAL VALUES IN xxxx EQUATIONS La presenza di valori diagonali negativi è irrilevante ai fini della risoluzione del sistema, ma è indice della possibile presenza di moti rigidi nella struttura o di elementi definiti in modo errato. I risultati possono essere privi di significato. La presenza di elementi diagonali piccoli (vicini a zero o eventualmente anche negativi) può anche verificarsi quando la struttura è prossima alla situazione di moto rigido (elementi Boundary con rigidezza insufficiente usati nella soppressione del moto rigido) o con vincoli insufficienti (ad esempio, trave schematizzata con elementi solidi e incastrata solo ad un nodo di estremità). Infine, una situazione apparente di moto rigido può essere provocata dalla presenza di elementi (ad esempio Boundary) di rigidezza estremamente elevata rispetto agli altri presenti nella struttura. I coefficienti di rigidezza ad essi associati possono produrre termini prossimi a zero nel fattore diagonale [D] (v. Cap.III, par.10.1).

Descrizione dei Dati di Input

V-107

Manuale d’Uso Microsap

Se si sta eseguendo un'analisi armonica la presenza di coefficienti diagonali negativi in corrispondenza di particolari valori di frequenza della forzante è un fatto normale: questo perchè i coefficienti diagonali Kii* della matrice sono in effetti ottenuti come Kii* = Kii-ω²Mii (v. par.10.4, Cap.III). h) La dimensione del sistema globale (numero di coefficienti) dipende sia dal numero di equazioni che dalla sua larghezza di banda. Se la numerazione degli elementi è correttamente eseguita, i coefficienti non nulli si dispongono lungo una banda diagonale. A causa della simmetria della matrice di rigidezza, solo la semibanda è di fatto considerata dal programma. Essa transita in memoria centrale per blocchi. Ogni blocco inoltre è registrato su disco in forma "impaccata", privo cioè di eventuali coefficienti nulli entro la banda. Nel caso più generale il tempo di fattorizzazione della matrice è proporzionale al numero di equazioni, ma dipende in ragione quadratica dalla larghezza di banda. Il Microsap è dotato di un algoritmo "a matrice sparsa", che evita gran parte delle operazioni superflue entro la banda. Tuttavia un errato criterio di numerazione della struttura (dovuto ad esempio, alla mancata effettuazione dell’ottimizzazione di banda su una struttura complessa - v. nota b), linea B, modulo INPUT) può condurre a larghezze di semibanda non ragionevoli. Una stessa struttura potrebbe perciò essere risolta in pochi minuti oppure in parecchie ore, a seconda della larghezza di semibanda del sistema globale. Si consiglia di contenere la larghezza di semibanda entro il valore di 1000÷1500. Si ricorda che la larghezza di semibanda (Sb) è data, per ogni elemento, dalla relazione:

Sb = ( d + 1) ⋅ n essendo d la massima differenza tra i numeri di nodo dell'elemento e n il numero di gradi di libertà per nodo. La larghezza Sb si riduce se qualche nodo è vincolato. La larghezza di semibanda del sistema globale è il massimo valore Sb tra tutti gli elementi della struttura. i) La risposta armonica è un'analisi dinamica, anche se viene svolta entro il modulo SOLVE e non è richiesta l'esecuzione del modulo EIGEN. La massa deve quindi essere introdotta mediante le densità dei materiali e/o attraverso l'assegnazione di masse concentrate ai nodi con la presente linea dati. Se la forzante è costituita da carichi dinamici concentrati ai nodi, la loro ampiezza deve essere fornita con la presente linea. Essi saranno sommati agli eventuali carichi di elemento secondo i moltiplicatori delle linee B seguenti e tutti insieme formeranno "la forzante" che sarà considerata variabile nel tempo con legge sinusoidale di frequenza assegnata al campo n.7 della linea B del modulo INPUT. Se sono assegnate più forzanti, cioè più condizioni di carico, esse saranno considerate tutte variabili con questa frequenza.

V-108

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee B.

Combinazioni di Carico. Numero richiesto: Una per ogni condizione di carico. Lette solo se il numero di condizioni di carico strutturale è maggiore di zero.

Campo Tipo

Descrizione

1

R

Moltiplicatore del carico tipo A

2

R

Moltiplicatore del carico tipo B

3

R

Moltiplicatore del carico tipo C

4

R

Moltiplicatore del carico tipo D

5

R

Moltiplicatore del carico tipo E

6

R

Moltiplicatore del carico tipo F

7

R

Moltiplicatore del carico tipo G

8

R

Moltiplicatore del carico tipo H

NOTE: a) Le linee B vanno assegnate in ordine di condizione di carico. b) A,B,C,D,E,F,G,H rappresentano gli otto casi di carico di elemento consentiti dal Microsap. Questi sono combinati assieme per mezzo dei precedenti moltiplicatori, per formare una delle condizioni di carico della struttura (il cui numero totale è assegnato nella linea B al campo n.3, modulo INPUT). Ad ogni condizione di carico della struttura sono inoltre aggiunti i carichi nodali introdotti con le linee A (v. par.5, cap.III). c) Se l'utilizzatore desidera solamente il calcolo delle frequenze proprie e modi di vibrare, solo le caratteristiche di rigidezza e di massa sono richieste in input, ma nessuna forza esterna che, se presente (per es. nelle linee A) è ignorata. In tal caso è conveniente porre uguale a zero il numero di condizioni di carico (campo n.3, linea B, modulo INPUT). In questo modo le matrici sforzi-spostamenti dei singoli elementi non sono generate ed inoltre le linee B non devono essere assegnate.

Descrizione dei Dati di Input

V-109

Manuale d’Uso Microsap

10. MODULO EIGEN Linea A.

Linea di Controllo "Subspace Iteration". Numero richiesto: Una. Letta solo se il codice di analisi (campo n.5, linea B, modulo INPUT) è uguale a 1 o 3.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero di frequenze richieste

2

I

Codice di stampa

3

I

Dimensione del sottospazio assegnata dall'utente

4

I

Numero di equazioni base segnalate dall'utente

5

I

Numero massimo di iterazioni

6

R

Tolleranza richiesta

NOTE: a) Di norma solo il numero di frequenze (NF) al campo n.1 è richiesto, mentre gli altri campi sono posti uguali a zero. Se NF è assegnato nullo viene sempre posto NF=1. Se NF è superiore all'ordine effettivo della matrice di massa, ad NF viene assegnato dal programma quest'ultimo valore. Se la struttura presenta moti rigidi (v. nota h, linee C, modulo BOUND) il valore assegnato ad NF deve essere maggiore del numero di moti rigidi. Le prime frequenze proprie trovate saranno infatti in tal caso quelle banali di moto rigido (uguali a zero). Il modulo EIGEN può essere ripetuto senza alcun limite (eventualmente dopo STRES) apportando qualunque variazione alle sue linee dati. Ciò può essere necessario ad esempio per richiedere un maggior numero di frequenze o per variare la tolleranza. In questo caso si ha solamente la ripetizione della risoluzione del sistema dinamico senza dover ripetere l'intero calcolo. Il programma permette inoltre di convertire una analisi modale (codice analisi = 1) ad analisi spettrale (codice analisi = 3) o di ripetere l'analisi spettrale senza ripetere la parte iniziale di EIGEN che risolve il problema dinamico. Per ottenere ciò è sufficiente, prima di ripetere l'esecuzione del modulo, cambiare segno al campo n.1. La ripetizione di EIGEN si ottiene poi nel modo usuale: C:\>MSP32 EIGEN Quando il programma esegue il controllo sul campo n.1 della linea A (n. frequenze), se questo è negativo, è risolta la seconda parte del modulo EIGEN. Le linee B, se indicate come presenti al campo n.4 (v. nota e) devono essere lasciate. Esse comunque sono semplicemente saltate mediante una lettura fittizia. La conversione da codice analisi = 1 a codice analisi = 3 permette di trovare le frequenze proprie del sistema e di assegnare solo successivamente lo spettro di risposta. Se assegnato per punti, esso può essere definito in modo rigoroso solo nell'intorno delle frequenze di interesse. La ripetizione dell'analisi spettrale può invece essere necessaria per variare alcuni dati nelle linee C,D,E. Un caso tipico si ha quando sono richiesti i risultati per una diversa direzione di eccitazione o con diversi parametri di forma dello spettro di risposta. L'analisi spettrale è sempre di veloce esecuzione.

V-110

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

b) Il modulo EIGEN è attualmente suddiviso in due parti. Nella prima parte si ha la risoluzione del problema ad autovalori e sono trovate le frequenze proprie e i modi di vibrare richiesti. Questa prima parte è sempre eseguita quando il codice di analisi è uguale a 1 o 3 e se il numero di frequenze al campo n.1 della linea A è indicato maggiore di zero. La prima parte di EIGEN legge le linee A e B. La seconda parte del modulo EIGEN esegue l'analisi sismica ed è svolta solo col codice analisi = 3, oppure se il numero di frequenze al campo n.1 della linea A è negativo. In quest'ultimo caso il programma assume che trattasi di una ripetizione dell'analisi spettrale. Si noti che per eseguire l'analisi spettrale è necessario avere già eseguito la prima parte del modulo EIGEN almeno una volta. La seconda parte di EIGEN legge le linee C,D,E. c) Se il codice di stampa è 0, nessuna informazione è riportata da EIGEN sull'andamento dell'iterazione. Specificando il codice di stampa uguale a 1, ad ogni iterazione è riportata su video la tabella degli autovalori e lo scarto percentuale massimo stimato sulle frequenze richieste. Il codice di stampa uguale a 2 permette anche il controllo dell'andamento della diagonalizzazione degli operatori proiezione Kp e Mp scalati come già detto. Questi sono rappresentati su video per diagonali, ad iniziare dalla principale. Solo la parte superiore delle matrici è rappresentata: essendo queste simmetriche, la parte inferiore non è neppure presente in memoria. Le iterazioni di Jacobi procedono fino a quando entrambe le matrici sono diagonalizzate alla precisione consentita (16 cifre significative). Generalmente alla prima iterazione nel sottospazio occorrono 7~8 iterazioni di Jacobi. Nelle iterazioni successive tale numero diminuisce e aumenta contemporaneamente anche la velocità di convergenza. d) La dimensione NQ del sottospazio, che coincide con l'ordine di Kp e Mp, deve essere almeno pari al numero di frequenze richieste. In tali condizioni però la velocità di convergenza è piccola. Per ridurre il numero di iterazioni in cui è coinvolto l'intero sistema spesso di parecchie centinaia di equazioni, il calcolo deve essere condotto con un numero di vettori superiore al numero di autovettori richiesti. D'altra parte la diagonalizzazione di Kp e Mp richiede un tempo di calcolo che aumenta rapidamente con l'ordine delle matrici. Quando il campo n.3 è uguale a zero, il programma provvede al calcolo di un valore NQ di compromesso, come segue (N = numero di gradi di libertà della struttura):

N − NF   NQ = NF + min NF, ,8   2 e) La creazione dei vettori base avviene mediante la scelta dei nodi e delle direzioni che meglio possono rappresentare le forme modali richieste. Attraverso i vettori base è estratta la sottomatrice minore della matrice di rigidezza globale. Analoga è la costruzione del minore della matrice di massa. Il numero dei vettori base è nel Microsap sempre pari a NQ. Scopo di ciò è la generazione, attraverso un'applicazione di Jacobi, di vettori iniziali non ortogonali agli autovettori richiesti. L'utilizzatore ha comunque la possibilità di "consigliare" alcuni o tutti i gradi di libertà significativi, assegnando il numero delle equazioni base associate, ricavabile ad esempio dalla tavola "EQUATION NUMBERS". Al campo n.4 è posto il numero di equazioni base assegnate (NQG). Se queste sono inferiori a NQ, il programma procede alla generazione delle rimanenti. Un caso in cui è necessaria l'assegnazione (totale o parziale) delle equazioni base con le linee B si verifica nell'eventualità di fallimento della sequenza automatica (v. nota alle linee B) di avvio della procedura iterativa. f) Quando non fornito dall'utente al campo n.5, il numero massimo di iterazioni eseguito dal programma è 10. Se all'ultima iterazione non è raggiunta la precisione richiesta sull'ultimo valore di frequenza, il programma termina comunque regolarmente. g) Al campo n.6 può essere assegnato lo scarto percentuale massimo ammesso per le frequenze richieste. Se non assegnato, il programma lo assume pari all'1% (1.E-2). Tutti i valori inferiori a 1.E-15

Descrizione dei Dati di Input

V-111

Manuale d’Uso Microsap

sono equivalenti e producono un risultato con 15 cifre significative esatte. L'assegnazione di un valore superiore o uguale a 1. provoca sempre l'arresto dopo la prima iterazione. h) E' possibile il calcolo di frequenze proprie e modi di vibrare per strutture non vincolate, a condizione che l'ordine delle matrici globali di rigidezza e massa sia lo stesso e che siano richieste tutte le frequenze proprie del sistema. In altre parole, perchè ciò sia possibile, il calcolo deve esaurirsi con la prima iterazione e coincidere con il metodo di Jacobi. La prima frequenza propria del sistema non vincolato sarà ovviamente uguale a zero.

V-112

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee B.

Equazioni Base. Numero richiesto: (NQG-1)/14+1. Ogni linea può contenere fino a 14 valori. Lette solo se NQG è maggiore di zero (campo n.4, linea A).

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Numero della prima equazione base

"

"

•

"

"

•

"

"

•

14

I

Numero della 14a equazione base

NOTE: a) L'innesco della procedura iterativa "Subspace Iteration" avviene con una sequenza automatica standard. Il programma sceglie i gradi di libertà apparentemente più significativi (per rigidezza e massa), attraverso i quali estrae le matrici proiezione Kp e Mp di partenza (prima iterazione). Può tuttavia accadere che la matrice Kp si riveli singolare, durante la diagonalizzazione di Jacobi (codice di errore = 60). Tranne il caso di errata definizione della struttura, ciò può anche essere dovuto al fallimento della sequenza di innesco. In tal caso è necessario che l'utente specifichi, con le linee B, delle equazioni base diverse da quelle scelte con la sequenza automatica ed eventualmente più rappresentative (scegliere, ad esempio, i g.d.l. di traslazione rappresentativi del primo modo di vibrare).

Descrizione dei Dati di Input

V-113

Manuale d’Uso Microsap

Linea C.

Linea di Controllo Spettro di Risposta. Numero richiesto: Una. Letta solo se il codice di analisi (campo n.5, linea B, modulo INPUT) è uguale a 3, oppure se il codice di analisi è uguale a 1, il campo n.1 della precedente linea A è negativo e si sta ripetendo l'esecuzione di EIGEN.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Tipo spettro q (0 = SD, 1 = SV, 2 = SA)

2

I

Numero di punti Np dello spettro (Np≤60)

3

R

Componente Dx della direzione di eccitazione

4

R

Componente Dy della direzione di eccitazione

5

R

Componente Dz della direzione di eccitazione

6

R

Fattore di scala Sf (accelerazione)

NOTE: a) Il campo n.1 contiene l'indice q che vale 0,1,2 a seconda del tipo di spettro assegnato con le linee D o E: 0 = Spettro di spostamento 1 = Spettro di velocità 2 = Spettro di accelerazione Lo spettro sarà assegnato per punti (campo n.2>0) o analiticamente (campo n.2=0) e conterrà in ascisse il periodo T e in ordinate lo spostamento (SD), velocità (SV) o accelerazione (SA) spettrale a seconda dell'indice q. Come noto sussiste la relazione:

SD =

SV SA = Ω Ω2

b) Nel Microsap lo spettro di risposta può essere assegnato per punti oppure analiticamente. Si utilizzerà l'input tabulare quando si vuole sottoporre la struttura ad uno spettro relativo ad un terremoto specifico, o quando si tratta di uno spettro di progetto non riproducibile con i parametri di forma della linea E. Si utilizzerà il secondo metodo, più rapido, quando si deve assegnare uno spettro di progetto "mediato" eventualmente estratto da normative vigenti. Se lo spettro è assegnato per punti con le linee D seguenti, al campo n.2 andrà riportato il numero di punti, mentre nel caso di spettro fornito analiticamente con la linea E seguente, si porrà il valore zero. c) I campi 3,4,5 contengono il vettore direzione dell'input sismico, definito dalle sue componenti nel sistema globale X,Y,Z. Il modulo e il verso del vettore è irrilevante. Ad esempio, i vettori 1.,0.,0. e 3.,0.,0. indicano entrambi un input sismico lungo l'asse globale X. Alle componenti lungo X,Y,Z è applicato lo stesso spettro che sarà definito con le linee D o E.

V-114

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

d) Il fattore di scala (Sf) al campo n.6 permette di assegnare l'accelerazione di gravità g ed eventuali fattori correttivi generalmente derivanti da normativa ed in unione a spettri standard mediati. Esempio 1:

Utilizzando le Norme Tecniche Sperimentali proposte dal G.N.D.T., il fattore di scala potrebbe essere introdotto come:

Sf = g ⋅ p ⋅

τ k

p = coefficiente di pendio. τ = coefficiente correttivo per smorzamento (se lo spettro è relativo ad un coefficiente di smorzamento critico diverso da quello della struttura). k = coefficiente di struttura. Esempio 2:

Utilizzando la normativa vigente, il fattore di scala potrebbe essere definito semplicemente come:

Sf = g Si fa tuttavia notare che, in base alla normativa applicata e alla definizione dello spettro analitico di progetto, il fattore di scala potrebbe assumere forme differenti da quelle indicate o anche diventare unitario, se tutti i fattori sono conglobati nell'espressione di ao della linea E. e) Il vettore spostamento massimo del nodo iesimo è ottenuto come prodotto tra l'autovettore Φ i normalizzato ed il coefficiente modale Ai:

ui = A i ⋅Φi Il coefficiente modale Ai è calcolato come somma dei contributi parziali dovuti alle componenti di accelerazione lungo X,Y,Z:

A i = A ix + A iy + A iz La componente Aix è ottenuta come prodotto tra il coefficiente di partecipazione lungo la direzione X, lo spostamento spettrale ed il coseno direttore tra il vettore di eccitazione e quest'asse:

A ix = SDi ⋅ Lix ⋅

Dx D

con:

D = D 2x + D 2y + D 2z Il fattore di partecipazione del modo iesimo lungo la direzione globale X è definito come:

Lix =

ΦTi ⋅ M ⋅ Ix ΦTi ⋅ M ⋅ Φi

Descrizione dei Dati di Input

V-115

Manuale d’Uso Microsap

dove si è indicato con M la matrice di massa e con Ix un vettore colonna con termini unitari in corrispondenza delle sole masse traslanti lungo X e nulli negli altri gradi di libertà. Lo spostamento spettrale relativo al modo iesimo è ottenuto dallo spettro di risposta R(T) definito con le linee D o E:

SDi = Sf ⋅ R( Ti) ⋅ Ωi− q dove Sf rappresenta il fattore di scala assegnato al campo n.6, e q l'indice (0,1,2) introdotto al campo n.1. R(Ti) è il valore dell'ordinata corrispondente alla ascissa Ti (periodo proprio del modo i) e Ωi la pulsazione propria. Per permettere all'utente un maggior controllo del calcolo, il modulo EIGEN stampa i fattori di partecipazione, i coefficienti modali e gli spostamenti spettrali SD. Sono inoltre riportate le masse effettive:

Meix = ΦTi ⋅ M ⋅ I x ⋅ Lix Le relazioni per le direzioni globali Y e Z si ottengono in modo analogo.

V-116

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Linee D.

Definizione Spettro di Risposta in Forma Tabulare. Numero richiesto: (Np-1)/3+1 Ogni linea può contenere fino a tre coppie T,R. Lette solo se Np>0 (campo n.2, linea C). Campo Tipo

Descrizione

1

R

T(1) - Periodo punto n.1

2

R

R(1) - Valore spettro punto n.1

3

"

•

4

"

•

5

R

T(3) - Periodo punto n.3

6

R

R(3) - Valore spettro punto n.3

NOTE: a) La tabella rappresentante la funzione R(T) deve essere scritta in ordine crescente di T. b) Se si indica con Ti il periodo proprio del modo i, R(Ti) è ottenuto per interpolazione lineare tra i valori in tabella. L'ordinata R è lo spostamento, la velocità o l'accelerazione spettrale, a seconda del codice indicato al campo n.1 della linea C. Lo spettro di risposta può perciò essere descritto con accuratezza solo nell'intorno delle frequenze proprie considerate (v. Esempio Test 2.4). c) Alle tre componenti del vettore direzione di eccitazione lungo gli assi globali X,Y,Z è applicato lo stesso spettro di risposta.

Descrizione dei Dati di Input

V-117

Manuale d’Uso Microsap

Linea E.

Definizione Spettro di Risposta in Forma Analitica. Numero richiesto: Una. Letta solo se Np = 0 (campo n.2, linea C). Campo Tipo

Descrizione

1

R

T0

2

R

a0

3

R

b0

4

R

T1

5

R

a1

6

R

b1

NOTE: a) Lo spettro di risposta definito in forma analitica è descritto con la seguente funzione:

 a 0 ⋅ Tb 0  R (T) =  a1 ⋅ Tb1   a1 ⋅ T1b1

T ≤ T0 T0 < T < T1 T ≥ T1

b) L'ordinata R è lo spostamento, velocità o accelerazione spettrale, a seconda del codice indicato al campo n.1 della linea C. c) I parametri di forma T0,a0,b0,T1,a1,b1 possono essere definiti sulla base della normativa vigente. Esempio 1: T0 a0 b0 T1 a1 b1

= 0.8 = C⋅R0 = 0.0 = 2.0 = a0⋅T02/3 = 0.862⋅a0 = -2/3

Col precedente esempio è descritta la forma dello spettro di progetto S2 proposto nelle Norme Tecniche Sperimentali del G.N.D.T. Si è indicato con C il coefficiente di intensità sismica (valore efficace della accelerazione massima del terreno, in g) e con R0 il fattore di amplificazione. Per C = 0.35 e R0 = 2.2 i parametri da fornire con la linea E sarebbero: T0 a0 b0 T1

V-118

= 0.800 = 0.770 = 0.000 = 2.000

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

a1 b1

= 0.664 = -0.667

Esempio 2: T0 a0 b0 T1 a1 b1

= 0.8 = C⋅I = 0.0 = 1.E3 = a0⋅T02/3 = 0.862⋅a0 = -2/3

Il precedente esempio (v. anche definizione di Sf alla linea C) contiene la definizione dello spettro di progetto secondo la normativa vigente. Si è indicato con C il coefficiente di intensità sismica (definito come (S-2)/100, essendo S il grado di sismicità), e con I il coefficiente di protezione sismica. T1 è semplicemente un valore elevato del periodo, in corrispondenza del quale la risposta è uguale a zero. Per C = 0.1 e I = 1., i parametri da fornire con la linea E sarebbero (v. Esempio Test 2.6): T0 a0 b0 T1 a1 b1

= 0.800 = 0.100 = 0.000 = 1000. = 0.0862 = -0.667

d) Alle tre componenti del vettore direzione di eccitazione lungo gli assi globali X,Y,Z è applicato lo stesso spettro di risposta.

Descrizione dei Dati di Input

V-119

Manuale d’Uso Microsap

11. MODULO STRES Linee A.

Linee di Controllo Stampa. Numero richiesto: Massimo 10. La sequenza termina sempre con una linea bianca.

Campo Tipo

Descrizione

1

I

Codice tipo stampa (1-10)

2

I

Numero prima condizione di carico da stampare

3

I

Numero seconda condizione di carico da stampare

"

"

•

"

"

•

"

"

•

13

I

Numero 12a condizione di carico da stampare

NOTE: a) Il tipo di stampa può essere scelta tra le seguenti: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

= Spostamenti Statici = Forme Modali (autovettori) = Spostamenti Modali = Spostamenti Modali SRSS = Forze Modali = Forze Modali SRSS = Sforzi Statici = Sforzi Modali = Sforzi Modali SRSS = Tabelle Riassuntive

Le stampe sono eseguite solo se è attiva la direttiva /H (default). Se invece è attiva la direttiva /N esse non vengono prodotte anche se sono presenti le linee A. Al loro posto è invece generato il file dei risultati .RST (oppure MSPTAPE6 nelle release precedenti alla 8.2), contenente i risultati 1,2,3,7,8 dell'analisi, in formato compatibile con quello richiesto dal Post-Processor POSTMSP. Si noti che le direttive /H e /N sono utilizzate solo entro il modulo STRES. L'utente può quindi, se desidera produrre sia le stampe che il file dei risultati, eseguendo due volte il modulo STRES prima con una direttiva e poi con l'altra (v. par.3, cap.I e Manuale d'Uso PREPMSP/POSTMSP). b) Le stampe richieste sono effettivamente eseguite solo se l'analisi effettuata prevede il calcolo delle quantità da stampare.

V-120

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

• Analisi Statica (codice analisi = 0): possono essere richieste solamente le stampe 1,7,10. Le stampe 7 e 10 possono essere prodotte solo se è stato richiesto il calcolo degli sforzi negli elementi. • Analisi Modale (codice analisi = 1): può essere effettuata solo la stampa n.2. • Analisi Armonica (codice analisi = 2): possono essere prodotti gli stessi tipi di stampa dell'Analisi Statica. • Analisi Sismica (codice analisi = 3): possono essere richieste tutte le stampe, con esclusione di 1 e 7. c) Se non è compilata alcuna linea ma è posta solamente la linea bianca finale, il modulo STRES esegue tutte le stampe che è possibile produrre in base al tipo di analisi eseguita. Se viceversa è fornita almeno una linea oltre quella bianca finale, sono prodotte solamente le stampe indicate. Ogni linea contiene il tipo di stampa (campo n.1) ed il numero delle condizioni di carico da stampare, fino ad un massimo di 12. Le condizioni di carico da stampare devono essere assegnate in ordine crescente, in caso contrario la stampa si arresta all'ultima condizione valida. Se in una linea bianca è assegnato solo il tipo di stampa (campi nulli 2-10), sono stampate tutte le condizioni di carico. Il modulo STRES può essere ripetuto senza limitazioni: è così possibile nei diversi run variare le richieste di stampa ed eventualmente cambiare l'unità di uscita (video, stampante, disco). Esempio 1: ⋅ ⋅ STRES ⋅ END Sono prodotte tutte le stampe contemplate dal tipo di analisi eseguita (le linee dati terminano con la linea di controllo STRES seguita da una riga bianca). Esempio 2: ⋅ ⋅ STRES 1 7,2,5 ⋅ END Sono stampati gli spostamenti relativi a tutte le condizioni di carico e gli sforzi della seconda e quinta condizione di carico. d) Per le stampe n.2,3,5,8 ai campi 2-13 andranno indicati i modi per i quali le stampe devono essere prodotte. e) Le stampe n.4,6,9 contengono la composizione effettuata col metodo della radice quadrata della somma dei quadrati ed estesa a tutti i modi vibrare. Per cui, nelle linee A per queste stampe deve essere assegnato solo il primo campo. I rimanenti, anche se attribuiti, non sono considerati.

Descrizione dei Dati di Input

V-121

Manuale d’Uso Microsap

f) Per la stampa tipo 10 i campi 2-13 non sono considerati. Essa, se richiesta, è sempre effettuata per tutte le condizioni di carico. g) Spostamenti Statici. Ogni tabella contiene 7 colonne. In prima colonna è stampato il numero di nodo. Nelle colonne 2,3,4 sono riportati gli spostamenti del nodo (X,Y,Z) e nelle colonne 5,6,7 le rotazioni (XX,YY,ZZ), sempre riferiti al sistema di riferimento globale. L'utente dovrebbe sempre verificare che nei nodi vincolati i valori degli spostamenti coincidano con quelli imposti. Si noti che le release a 32 bit, contrariamente alle release a 16 bit (ultima, Rel.01.92), effettuano il calcolo degli spostamenti anche per i nodi slave. I gradi di libertà dei nodi slave sono legati a quelli del nodo master attraverso le relazioni seguenti: 1) uxs = uxm + (zs - zm) Θym - (ys - ym) Θzm

(Spostamento lungo x)

2)uys = uym - (zs - zm) Θxm + (xs - xm) Θzm

(Spostamento lungo y)

3)uzs = uzm + (ys - ym) Θxm - (xs - xm) Θym

(Spostamento lungo z)

4) Θxs = Θxm

(Rotazione attorno a x)

5)Θys = Θym

(Rotazione attorno a y)

6) Θzs = Θzm

(Rotazione attorno a z)

Nel caso di analisi armonica, gli spostamenti stampati sono da intendersi come ampiezze (valori massimi) delle componenti variabili nel tempo con legge sinusoidale. Se si indica con U una qualunque componente di ampiezza di spostamento, la componente all'istante t sarà:

u = U ⋅ sin( ωt ) con ω = 2πf ed essendo f la frequenza assegnata al campo n.7 della linea B del modulo INPUT. h) Forme Modali. Le tabelle sono simili a quelle degli spostamenti statici. Il modo di vibrare deve essere inteso solamente come "forma" della struttura: l'intero vettore costituito da tutti i gradi di libertà può essere moltiplicato per un numero reale positivo o negativo. Nel Microsap esso è normalizzato secondo la componente maggiore in valore assoluto che assume perciò valore unitario. I risultati Microsap, se confrontati con quelli ottenuti con altri codici, potrebbero perciò differire per un fattore costante. Le tabelle delle forme modali sono sempre precedute da un quadro riassuntivo contenente le seguenti informazioni: • Iterazione finale e precisione raggiunta nell'estrazione modale (da confrontare con i parametri assegnati nella linea A) del modulo EIGEN). • Modo, autovalore (Ω²), pulsazione (Ω), frequenza (f) e periodo (T) in ordine crescente di frequenza. i) Spostamenti Modali. Derivano attualmente solo da una analisi spettrale. Essi rappresentano la deformata "reale" massima della struttura (ampiezza) per il modo di vibrare in oggetto. Ovviamente, quando la struttura vibra nel modo rappresentato, ogni grado di libertà percorre tutti i valori tra il massimo e il minimo. La deformata "minima" può essere ottenuta semplicemente con l'inversione del segno di tutti gli spostamenti modali. I risultati Microsap, se confrontati con quelli ottenuti con altri codici, potrebbero perciò differire per il fattore costante -1.

V-122

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

j) Spostamenti Modali SRSS. Il modo di vibrare reale della struttura è in generale, nell'ipotesi di linearità, una sovrapposizione dei vari modi naturali. L'applicazione dello spettro di risposta conduce al calcolo della risposta massima della struttura per ogni modo separatamente, ma è perso ogni riferimento di fase. Nel Microsap è attualmente implementato il metodo SRSS di composizione dei vari modi, secondo la radice quadrata della somma dei quadrati dei valori massimi di spostamento, azione interna, sforzo, ecc.. Nel caso, ad esempio, degli spostamenti modali, la singola componente di spostamento SRSS è ottenuta come radice della somma dei quadrati della stessa componente estesa a tutti i modi richiesti. Il vettore spostamenti SRSS così ottenuto non ha nel suo insieme un significato reale (suscettibile, ad esempio, di una rappresentazione grafica). Per una corretta interpretazione, ogni componente di spostamento va invece esaminata separatamente e intesa come "valore assoluto massimo". k) Forze Modali. Per ogni modo di vibrare, la forza relativa al grado di libertà jesimo è ottenuta come:

f j = u j ⋅ m j ⋅ Ω2 essendo uj lo spostamento, mj la massa e Ω la pulsazione propria. La tabella prodotta dal programma contiene in prima colonna il numero di nodo e, nelle tre colonne seguenti, le forze sismiche Fx, Fy, Fz riferite al sistema globale. Sono considerati solo i nodi che possiedono masse traslanti applicate. Nella riga finale sono riportati i totali delle tre colonne. Essi rappresentano le componenti della forza che nella terminologia corrente è identificata come "Taglio al piede". l) Forze Modali SRSS. La stampa è simile a quella descritta nella nota precedente e contiene la composizione SRSS delle forze sismiche relative ai modi richiesti. Come già detto alla nota j, la tabella non contiene informazioni omogenee, ma ogni singolo argomento deve essere esaminato indipendentemente dagli altri. In altre parole, la tabella, al contrario di quelle descritte alla nota precedente, non rappresenta "il sistema di forze che gravano sulla struttura, derivanti dalla composizione di quelle relative ai singoli modi". Al contrario, essa è un elenco di componenti massime Fx, Fy, Fz, che su ogni nodo agiscono, in un istante imprecisato del moto vibratorio. Si noti a questo proposito che anche i totali sull'ultima riga non rappresentano la somma di ogni colonna, ma piuttosto il valore SRSS dei totali relativi ad ogni modo. m) Sforzi Statici. Per ogni condizione di carico statico e per ogni elemento sono stampati gli "Sforzi" generalizzati o altre informazioni legate ad essi. Il contenuto di queste stampe varia secondo il tipo di elemento ed è descritto nelle note relative alle linee elementi dei moduli interessati. Gli sforzi relativi ad una analisi armonica sono da intendersi come ampiezze (valori massimi) e variano nel tempo con legge sinusoidale. Se si indica con s la generica componente di sforzo e con S l'ampiezza massima, all'istante t sarà:

s = S ⋅ sin( ωt ) con ω = 2πf ed essendo f la frequenza assegnata al campo n.7 nella linea B del modulo INPUT. n) Sforzi Modali. Le stampe degli sforzi modali possono essere richieste solo nel caso di analisi spettrale, per ogni modo di vibrare incluso nell'analisi. Esse sono simili a quelle degli sforzi statici (v. nota precedente) e rappresentano le condizioni di sforzo della struttura sottoposta al vettore spostamento modale di cui si è parlato alla precedente nota i). o) Sforzi Modali SRSS. Ogni singola componente di sforzo di ogni elemento è il risultato della composizione SRSS, della stessa componente, estesa a tutti i modi considerati. Come già detto alle note j) e l), ogni componente di sforzo SRSS deve essere interpretata a parte.

Descrizione dei Dati di Input

V-123

Manuale d’Uso Microsap

p) Tabelle di Riepilogo. Sono sempre stampate dopo le tabelle degli sforzi e contengono i valori massimi e minimi delle componenti di sforzo, sia algebrici che in valore assoluto, ed i relativi elementi in cui sono stati riscontrati. Le tabelle sono suddivise per materiale. q) Per l’elemento BEAMX, oltre alle azioni di estremità è possibile ottenere anche il calcolo delle azioni interne in ni sezioni lungo il tratto flessibile dell’asta (v. Modulo BEAMX, linea A e linee I). Attivando questa opzione è inoltre possibile ottenere gli spostamenti nelle sezioni interne e altre caratteristiche di sforzo. La tabella “STRESS OUTPUT” in questo caso contiene tre gruppi di risultati per ogni elemento. Ogni gruppo è composto da ni+2 linee: la prima e ultima linea riporta i risultati degli estremi, così come si otterrebbero senza l’attivazione del calcolo nelle sezioni interne. Le ni linee intermedie contengono invece i risultati relativi alle sezioni interne. Il primo gruppo di risultati è costituito dalle azioni interne vere e proprie R1, R2, R3, M1, M2, M3. Si noti che le azioni dei punti interni devono essere interpretate come quelle dell’estremo sinistro. Esse sono le azioni che il concio sinistro esercita sul concio destro. L’ultimo punto contiene le azioni sull’estremo destro per cui esiste un’inversione di segno nelle azioni rispetto ai precedenti punti (v. Problem 2.9). Il secondo gruppo di risultati contiene le componenti di spostamento e rotazione u1, u2, u3, α1, α2, α3. Il terzo gruppo è riservato all’output di altre caratteristiche di sforzo. Nella attuale release sono utilizzate le prime due componenti per contenere le pressioni sul terreno, pt2 e pt3, nel caso di trave su suolo elastico. Le altre quattro componenti saranno attivate nelle future release. r) Nella Rel. 8.2 la denominazione dei file dei risultati (MSPTAPE6 nelle release precedenti) è cambiata. Il nome coincide col “Nome Lavoro” e l’estensione è “.RST”. I risultati sono scritti nello stesso ordine impiegato nella release 01.92 (v. Appendice al presente manuale e anche il Manuale d’Uso Prepmsp/Postmsp - Appendice, par.2.4), tranne che i record dei risultati degli elementi sono 13 per elemento anzichè uno solo. I primi due record sono riservati per contenere delle informazioni generali utili ai Post-Processor. Per tutti i tipi di elemento, ad esclusione di Beamx e Shell, è usato il solo record n.3, mentre i primi due e gli ultimi dieci sono vuoti. Il tracciato dei record per l’elemento Beamx, si sviluppa come segue: Record n.1:

Campo Tipo

V-124

Descrizione

1

R4

ni (n° sezioni interne sull’asta)

2

R4

a1 (ascissa sezione interna n1)

•

“

•

•

“

•

•

“

•

ni+1

R4

ani (ascissa sezione interna ni)

ni+2

R4

Lf (lunghezza flessibile dell’asta)

Descrizione dei Dati di Input

Manuale d’Uso Microsap

Si noti che tutti i campi sono scritti in Real*4 (numeri reali di 4 bytes), incluso il campo n.1 che contiene il numero di valori ai seguenti. Si noti che le ascisse ai non sono normalizzate, ma sono scritte nella loro reale dimensione. Le ascisse degli estremi non sono riportate in quanto il primo estremo ha sempre ascissa uguale a zero, mentre il secondo estremo ha sempre ascissa Lf. Record n.2

: non usato

I record seguenti contengono i risultati per un massimo di 11 sezioni lungo l’asta (estremo sinistro, 9 sezioni interne max, estremo destro). Record n.3

: risultati R1, R2, R3, M1, M2, M3, u1, u2, u3, α1, α2, α3, pt2, pt3, estremo sinistro

Record n.4÷ni+3

: risultati sezioni interne

Record n.ni+4

: risultati estremo destro

Record n.ni+5÷13

: (eventuali) non usati

Il tracciato dei record per l’elemento Shell è il seguente: Record n.1: Campo Tipo 1

R4

Descrizione ni (numero nodi dell’elemento - può essere 4 o 3)

Record n.2

: non usato

Record n.3

: risultati relativi al centroide (come nella Rel.01.92)

I record seguenti sono sempre scritti dalla Rel.8.2, mentre sono vuoti (contengono cioè risultati tutti nulli) se scritti dalla Rel.8.1B. Record n.4÷ni+3

: risultati relativi ai nodi I, J, K, L, (o I, J, K)

Record ni+4÷13

: non usati

Nota: • Il file dei risultati è scritto con lo stesso formato sia dalla Rel.8.1B MS-DOS che dalla Rel.8.2 WIN95. Pertanto i risultati trovati con la Rel.8.2 possono essere rielaborati senza inconvenienti dal PostProcessor Grafico POSTMSP Rel.8.1B attualmente ancora sotto MS-DOS.

Descrizione dei Dati di Input

V-125

INDICE

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1

PAG.

CAP. III - ORGANIZZAZIONE E CONTENUTO DEL PACKAGE MICROSAP 1. Introduzione .............................................................................................................................. III-3 2. Struttura Generale del Package ................................................................................................ III-4 3. La Procedura Microsap ............................................................................................................. III-8 4. La Libreria Elementi ................................................................................................................ III-12 5. Condizioni di Carico ................................................................................................................ III-17 6. Input dei Dati .......................................................................................................................... III-18 7. Output .................................................................................................................................... III-19 8. Tempi di Calcolo ..................................................................................................................... III-20 9. Limiti Imposti dalla Memoria di Massa .................................................................................... III-22 10. Tipi di Analisi ........................................................................................................................ III-23

CAP. V - DESCRIZIONE DEI DATI DI INPUT 1. Modulo INPUT .......................................................................................................................... V-3 2. Modulo TRUSS ....................................................................................................................... V-11 3. Modulo BEAMX ...................................................................................................................... V-16 4. Modulo PLANE - Elemento Tipo 3 - ........................................................................................ V-43 5. Modulo PLANE - Elemento Tipo 4 - ........................................................................................ V-56 6. Modulo SOLID ........................................................................................................................ V-71 7. Modulo SHELL ....................................................................................................................... V-88 8. Modulo BOUND ..................................................................................................................... V-100 9. Modulo SOLVE ...................................................................................................................... V-106 10. Modulo EIGEN ..................................................................................................................... V-110 11. Modulo STRES .................................................................................................................... V-120

2

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Microsap

Appendice Aggiornamenti

MODIFICHE INTRODOTTE NELLA NUOVA REL.8.2B DEL SOLUTORE MICROSAP RISPETTO ALLA PRECEDENTE REL.8.2A

• Rispetto alla Rel.8.2A, la Rel.8.2B contiene le seguenti modifiche. 1. Miglioramento della procedura di calcolo degli sforzi ai nodi degli elementi shell quadrangolari (come sotto descritto). 2. Correzione nel calcolo degli sforzi ai nodi degli elementi shell dovuti a campo termico (temperature nodali o gradiente termico nello spessore). 3. Correzione di un errore durante la fase di scrittura del file dei risultati in modalità testo e in presenza di analisi dinamica. • L’attuale elemento shell quadrangolare contenuto nel Microsap è ottenuto dall’assemblaggio di quattro elementi triangolari, con 5 nodi interni (nodo centrale + 4 nodi nella mezzeria dei lati interni comuni) i cui gradi di libertà sono condensati all’atto della costruzione della matrice di rigidezza di ogni elemento. Ogni triangolo componente è a sua volta ottenuto come sovrapposizione di un elemento a comportamento membranale (soli sforzi e deformazioni sul piano) e da uno a comportamento flessionale (momenti flettenti e deformazione fuori piano). • Questo tipo di elemento è usato da quasi tutti i codici ad elementi finiti per la schematizzazione di shell a piccolo spessore. La formulazione è complessa, ma permette di ottenere buoni risultati con elementi definiti con i soli quattro nodi d’angolo. Viceversa, l’elemento quadratico a 8 nodi ha una formulazione più semplice, ma la schematizzazione della struttura risulta più complicata. Gli elementi a 8 e 6 nodi saranno inseriti nelle future release. • Generalmente gli sforzi sono calcolati separatamente per ogni elemento, al centroide e/o ai punti d’integrazione. A livello di post-processing sono quindi ottenuti i valori nodali (più comodi da visualizzare). Le modalità con cui questa operazione è eseguita variano da programma a programma. Così, programmi differenti, utilizzanti lo stesso tipo di elemento, possono fornire spostamenti nodali uguali (perchè uguale è la matrice di rigidezza) ma sforzi nodali differenti. • Il Microsap forniva, in origine, solo gli sforzi al centroide. Successivamente è stato aggiunto il calcolo degli sforzi ai nodi. Questo era ottenuto calcolando il valore al nodo comune di ogni triangolo componente attraverso le stesse funzioni di forma dell’elemento ed effettuando la media. • Il metodo sopra descritto fornisce buoni risultati quando la mesh non è eccessivamente rada e quando gli sforzi sono dovuti principalmente al comportamento flessionale. Quando gli sforzi sono originati principalmente dalla componente membranale dell’elemento, essi sono rappresentativi dello stato di sforzo che si ha sul lato, ma triangoli adiacenti possono fornire risultati piuttosto differenti (v. figura).

η c

L

K 1

2 1

2

III

3 d

IV

3

3

b

II

ξ

3 I 1

2 1 I

2 a

J

• Gli sforzi calcolati ai nodi 1 e 2 del triangolo I e nel punto medio a sono esatti e rappresentativi della situazione di sforzo che si ha sul lato η=-1. (ξ,η = coordinate locali). Viceversa, gli sforzi calcolati ai nodi 1 e 2 del triangolo IV e nel punto medio d sono anch’essi esatti, ma rappresentativi della situazione di sforzo che si ha sul lato ξ=-1.. Nella situazione del test, lo sforzo massimo è sul lato η=-1. ed il triangolo I ne fornisce il valore esatto. Tuttavia, la media calcolata con l’intervento del valore sul lato ξ=-1. fornisce una risposta che è congruente con lo stato di sforzo del punto (ξ=-0.5 ; η=-0.5) piuttosto che del vertice I del lato IJ. • Nella nuova Rel.8.2B la strategia di calcolo degli sforzi ai nodi è stata modificata nel modo seguente. 1. La modalità di calcolo degli sforzi al centroide dell’elemento (ξ=0. ; η=0.) è rimasta invariata e coincide con quella classica universalmente adottata per questo tipo di elemento. In pratica il valore σo al centroide è ottenuto come media dei valori del punto 3 di ogni triangolo. 2. Per ogni triangolo è calcolato lo sforzo alla mezzeria dei lati esterni (punti a,b,c,d). ∂σ ∂σ 3. Con gli sforzi σo, σa, σb, σc, σd sono calcolate le derivate parziali e per i due ∂ξ ∂η versi sugli assi locali ξ e η a partire dal centroide. Con tali quantità sono infine ottenuti gli sforzi ai nodi I, J, K, L. • Ovviamente ciò vale per l’elemento quadrangolare. L’elemento triangolare è a deformazione (e sforzo) costante. Esso dovrebbe essere usato solo in casi di necessità per ottenere una variazione nella suddivisione e preferibilmente in zone in cui non si hanno elevate variazioni di sforzo e lontano dalle zone di indagine. • Lo stesso nodo, appartenente ad elementi diversi da origine a valori di sforzo diverso, soprattutto se la mesh è eccessivamente rada. Lo sforzo al nodo può essere ottenuto eseguendo la media dei valori letti su tutti gli elementi concorrenti. Si noti che tale procedura è valida solo se tutti gli elementi hanno lo stesso materiale e le stesse proprietà (spessore).

MODIFICHE INTRODOTTE NELLA NUOVA REL.8.2C DEL SOLUTORE MICROSAP RISPETTO ALLA PRECEDENTE REL.8.2B

a)

Nel calcolo degli sforzi modali su elementi BEAMX e per i punti interni venivano considerate le azioni dovute ai carichi interni (che in questo caso devono essere nulli). Se il codice di analisi è 3 e l’analisi sismica è preceduta da una analisi statica, gli sforzi relativi a ogni modo di vibrare sono errati. L’errore è stato corretto nella Rel.8.2C. Per ottenere il calcolo esatto con le vecchie release occorre eseguire l’analisi sismica separatamente, oppure, predisporre un numero di casi di carico statico uguale al numero di modi calcolati (coincidente col numero di frequenze proprie richieste) e porre uguali a 0 tutti i moltiplicatori di carico di struttura.

b) Nel calcolo degli sforzi SRSS degli elementi BEAMX, le vecchie release producono le tabelle anche per i punti interni, ma solo i risultati agli estremi avevano significato. Nella Rel.8.2C i risultati sui punti interni sono calcolati correttamente.

Microsap 8.3A – Release Notes – 01.03.2004

Nuova Release Microsap 8.3A Modulo INPUT Linea B E’ stato aggiunto il campo n.8, di tipo intero. Esso indica lo spazio, in Megabytes, del buffer da riservare durante la soluzione del sistema di equazioni. Normalmente, in qualunque altra fase del programma, viene allocato dinamicamente lo spazio necessario. Tuttavia, il modulo SOLVE attualmente utilizza un metodo di fattorizzazione diretto a blocchi. Esiste quindi la possibilità di risolvere il problema con molti blocchi utilizzando un buffer piccolo o viceversa. L’algoritmo attuale si dimostra generalmente più efficiente se sono utilizzati blocchi piccoli. Nelle release precedenti la grandezza del buffer veniva stabilita in fase di setup. Il valore di default (che si ottiene inserendo un valore uguale a zero) era fissato in 0.76 Mbytes con un valore massimo assegnabile di 4 Mbytes. Esiste, per ogni problema un valore minimo indispensabile. Se il buffer assegnato è insufficiente, il programma terminava con un messaggio di errore e occorreva aumentare la grandezza del buffer. Nella Rel.8.3 il valore massimo del buffer può arrivare a 128 Mbytes. Inoltre, la grandezza del buffer è assegnabile, per ogni problema separatamente sfruttando appunto il campo n.8 della linea A di INPUT, che sovverte temporaneamente la assegnazione di setup. Inoltre il funzionamento per la situazione di default è cambiato. Assegnando il valore zero il programma non termina più per memoria insufficiente, ma è invece ricercata la grandezza ottimale per poter risolvere il problema. Generalmente quindi il consiglio è di usare il valore di default in fase di setup e di non assegnare il campo n.8 citato (se questo è nullo, vale il valore di setup). Eventualmente, a scopo di test e per problemi impegnativi, può essere assegnato il campo n.8. Le versioni LT e Demo continuano ad avere un buffer fisso.

Linee C I codici di vincolo ai campi 2-7 possono essere ora usati per imporre il legame master-slave su tutti i tipi di elemento. Nelle release precedenti i nodi slave potevano appartenere solo ad elementi beam. E’ stato inoltre implementato un nuovo legame di vincolo (nodal coupling) con cui è possibile accoppiare uno o più gradi di libertà di gruppi di due o più nodi. Ad esempio, è ora possibile schematizzare dei contatti striscianti tra due parti di strutture. E’ sufficiente che l’interfaccia sia costituita da coppie di nodi diversi, ma con uguale posizione. Accoppiando quindi i nodi per tutti i gradi di libertà si ottiene una condizione uguale a quella di continuità. Viceversa, accoppiando solamente uno o due gradi di libertà di traslazione, le due parti sono libere di slittare su un piano o su una linea. I gradi di libertà non accoppiati sono invece liberi di assumere spostamenti o rotazioni indipendenti. Nel seguito si riportano le relazioni che legano gli spostamenti dei nodi slave rispetto a quelli del nodo master, sia nel legame master-slave sia nell’accoppiamento nodale. Master-Slave Ux S Uy S Uz S Θx S Θy S Θz S

Nodal Coupling

= Ux M + ( Z S − Z M )Θy M − (YS − YM )Θz M = Uy M − ( Z S − Z M )Θx M + ( X S − X M )Θz M = Uz M + (YS − YM )Θx M − ( X S − X M )Θy M = Θx M = Θy M = Θz M

Ux S Uy S Uz S Θx S Θy S Θz S

1

= Ux M = Uy M = Uz M = Θx M = Θy M = Θz M

Microsap 8.3A – Release Notes – 01.03.2004

Il legame master-slave è attivato, come nelle precedenti release, assegnando il valore del codice di vincolo slave uguale al numero del nodo master. Se tale valore è assegnato negativo è invece attivato il nodal coupling. Su uno stesso nodo possono coesistere codici di vincolo di tipo diverso. Ad esempio, uno stesso nodo può avere una rotazione soppressa, una traslazione con legame master-slave, un’altra con nodal coupling e i restanti gradi di libertà indipendenti. Si noti che nel legame master-slave il nodo slave è trascinato rigidamente dal master. Il suo spostamento dipende quindi non solo dallo spostamento del master nella stessa direzione, ma anche dalle rotazioni del master attorno agli assi perpendicolari e dalla posizione di master e slave. Nel legame nodal coupling gli spostamenti o rotazioni del nodo slave sono invece uguali a quelli del master, indipendentemente dalla reciproca posizione. Se perciò due o più nodi hanno un grado di libertà accoppiato, uno qualunque di essi può essere designato come master. Nel legame master-slave o nodal coupling è più esatto parlare di legame tra gradi di libertà più che di legame tra nodi. Uno stesso nodo può infatti essere connesso a master diversi nei diversi gradi di libertà. Si ricordi che i gradi di libertà slave non hanno equazione. Per questa ragione, nelle precedenti release, in tali direzioni non potevano essere assegnati carichi o masse concentrate. Se presenti, essi dovevano essere spostati sul nodo master, con l’aggiunta degli eventuali momenti di trasporto. Il programma attualmente esegue questa operazione in modo automatico (v.seguito, Modulo Solve). Inoltre, se un elemento possiede anche carichi di elemento i loro effetti sono correttamente gestiti in modo automatico. Generalmente un grado di libertà è slave ad uno master dotato di equazione, cioè con codice di vincolo uguale a zero. Tuttavia il programma gestisce correttamente anche la situazione in cui il master ha il grado di libertà soppresso (cioè con codice di vincolo uguale a 1). Un grado di libertà non può invece essere slave ad un altro slave. I legami master-slave e nodal coupling possono collegare tra loro elementi di tipo diverso dotati di differenti gradi di libertà. Ad esempio, un elemento Truss, dotato solo di gradi di libertà di traslazione, può avere lo spostamento Ux slave a quello appartenente ad un elemento Shell, dotato di spostamenti e rotazioni. In tal caso, lo spostamento del Truss è influenzato ovviamente anche dalle rotazioni dello Shell. Anche nella nuova release i vincoli (gradi di libertà soppressi, master-slave, nodal coupling) possono essere assegnati solo lungo gli assi globali. In caso contrario, è necessario interporre elementi Boundary, Truss o Beam per ottenere gli stessi effetti su assi non paralleli a quelli globali. Nel caso in cui la struttura contenga elementi Beam che non trasmettono tutti i gradi di libertà agli elementi adiacenti, non è necessario l’impiego del legame master-slave o nodal coupling. E’ invece più opportuno utilizzare i campi n.11 e n.12 delle linee J del modulo BEAMX, per rilasciare le componenti di azione interna non trasmesse. L’output della tabella “Equation Numbers” è stato leggermente modificato. I codici di vincolo dei gradi di libertà slave sono stampati con l’indicazione del numero di nodo master seguito dalla lettera “s”. Viceversa se il legame è di nodal coupling, esso è contrassegnato con la lettera “c”. Nota. Nel legame Nodal Coupling, l’accoppiamento di gradi di libertà tra nodi con posizione non coincidente può introdurre dei vincoli impliciti le cui reazioni non sono evidenziate dal programma. Nota Importante. Nel caso di analisi dinamica e di uso di regioni rigide con legame master-slave il nodo Master deve essere posizionato in corrispondenza del baricentro delle masse della regione rigida (v. Manuale, Modulo INPUT, Linee C, nota g). Quindi, tutta la massa della regione rigida può essere concentrata sul Master (su cui devono essere anche specificati i momenti di inerzia polare risultanti). Viceversa, la massa può essere specificata solo sui nodi Slave (e in tal caso, la Rel.8.3 effettua automaticamente le opportune trasformazioni). Sia i nodi Slave che il Master possono anche non appartenere ad alcun elemento. La soluzione migliore è quella di costruire un 2

Microsap 8.3A – Release Notes – 01.03.2004

nodo master separato, baricentrico e privo di massa e specificare le masse solo sui nodi slave, anche non appartenenti ad alcun elemento. Nessuna limitazione sulla posizione dei Master sussiste invece nel caso di sola analisi statica.

Modulo BEAMX Linea A E’ stato aggiunto il campo n.9, di tipo reale e (nella Rel.8.3A) il campo n.10 intero. Al campo n.9 può essere specificato il valore di default da assegnare al Fattore di Taglio (χ) alle aste a cui non è associato un set di proprietà estese (Linee J, campo n.10 uguale a zero) oppure il cui Fattore di Taglio è stato specificato nullo (Linee D, campo n.2 oppure n.3). Se è assegnato un valore (maggiore o uguale a 1.) al parametro, la deformabilità a taglio è attivata per tutte le aste del gruppo. Ad esempio, assegnando il valore 1.2, se non è specificato esplicitamente un fattore di taglio con il set proprietà estese, l’area di taglio sarà AS=A/χ, senza alcuna distinzione riguardo alla direzione locale 2 o 3. Il campo n.10 (KOP) stabilisce la convenzione utilizzata per l’orientazione delle sezioni degli elementi. Sono contemplati i casi seguenti. a) KOP = 0 Se il campo n.10 é uguale a zero o non é assegnato, il comportamento è quello della precedente Release, descritto nel Manuale. L’asse locale 1 coincide con l’asse I-J dell’elemento. Gli assi 2 e 3 definiscono invece la posizione degli assi principali d’inerzia della sezione, e quindi la sua orientazione. Per definire la posizione dell’asse 2 deve essere assegnato il nodo K, giacente sul piano locale 1-2 (come nei vari SAP). Esiste un metodo alternativo al nodo K, che consente di orientare la sezione secondo le direzioni degli assi globali. Se il campo n.4 delle linee J è positivo, esso indica il nodo K da usare per la definizione dell’asse 2. Viceversa, se sono assegnati i valori -1,-2,-3 il piano principale 1-2 sarà orientato parallelamente agli assi globali X,Y,Z e con l’asse 2 concorde con X,Y,Z. I valori –4,-5,-6 producono lo stesso risultato, ma con l’asse 2 con verso discorde a X,Y,Z. Ad esempio, se l’asse Z è verticale e verso l’alto, col valore –3 la sezione sarà orientata con il piano principale 1-2 anch’esso verticale e con l’asse 2 verso l’alto. b) KOP=1,2 Nella Rel.8.3A è stato introdotto un metodo generale di orientazione alternativo al nodo K. Tale metodo è da preferire poiché evita la definizione di nodi non strutturali. Se al campo n.4 delle linee J è inserito un valore positivo, esso è trattato nel modo usuale, come numero di nodo K. Un valore minore o uguale a zero è invece interpretato come angolo di rotazione attorno all’asse dell’elemento rispetto alla giacitura standard. Se KOP=1 l’angolo è assegnato in gradi. Se invece è posto KOP=2, l’angolo è in centesimi di grado. Poichè il campo n.4 è di tipo intero, col primo metodo è possibile orientare la sezione con precisione di 1 grado, mentre col secondo metodo la precisione è di 0.01 gradi. La giacitura standard per la sezione (angolo zero) è quella con il piano 1-2 parallelo all’asse Z (cioè con l’asse 3 parallelo al piano XY) e l’asse 2 dalla parte di +Z (coincide con K=-3 del metodo a) precedente). L’angolo è positivo in senso antiorario attorno al vettore I-J = 1. Ad esempio, con KOP=1, se al campo n.4 delle linee J è indicato il valore –30, gli assi 2-3 saranno ruotati di 30 gradi in senso antiorario attorno all’asse 1 rispetto alla giacitura iniziale. Con KOP=2 la rotazione sarebbe invece di soli 0.3 gradi. Per gli elementi con asse parallelo a Z (e fino a 0.5 gradi) la giacitura di default è col piano 1-2 parallelo all’asse X e con l’asse 2 opposto al verso +X, come con K=-4 del caso a). Vedi figura.

3

Microsap 8.3A – Release Notes – 01.03.2004

2 Z 1

J 2

θ

J I

3

I

1 2

θ 3

θ

1

3

Y

I

X

Orientazione degli assi locali e rotazione rispetto alla giacitura standard per KOP=1 e 2

c) KOP=-1,-2 Le opzioni KOP=-1 e KOP=-2 sono simili al caso b), ma utilizzano la seguente logica. Il nodo K, se usato, deve essere definito sul piano principale 1-3. Utilizzando il metodo di orientazione alternativo (valore nullo o negativo al campo n.4 delle linee J), l’asse 2 è parallelo a XY e l’asse 3 è dalla parte di +Z. Se l’elemento è verticale l’asse 2 è parallelo a YZ e l’asse 3 è opposto a +X. Questa è la convenzione usata ad esempio da Ansys. L’orientazione Microsap (caso b) precedente) si può ottenere da quella Ansys ruotando il sistema locale di 90 gradi in senso antiorario attorno all’asse 1.

Linee C Nella Rel.8.3A l’elemento Beamx può simulare il comportamento di una parete di taglio. In particolare, l’elemento può avere un duplice comportamento di tipo Shear Panel lungo uno degli assi locali 2 e 3 (o entrambi) e di tipo Flexural Beam lungo l’altro asse. Il comportamento Shear Panel è attivabile solo per la sezione di tipo 0 (generica). Rispetto alle Release precedenti, i campi delle linee C sono modificati come segue. 1) L’area della sezione (campo n.3) deve essere sempre assegnata 2) Se un momento d’inerzia non è assegnato o è nullo, il comportamento dell’elemento nella direzione di inflessione è di tipo Shear Panel. Ad esempio, se I3=0 (campo n.4) l’elemento è di tipo Shear Panel lungo l’asse 2. Analogamente, se I2=0 (campo n.5) l’elemento è di tipo Shear Panel lungo l’asse 3. Se entrambi i campi sono nulli, esso sarà un pannello di taglio in entrambe le direzioni. 3) La normale rigidezza a Flessione e Taglio dell’elemento Beam in una direzione principale può essere espressa come: A 1 con As = K fs = 3 L L χ + 12 EI GAs Se il fattore di taglio non è assegnato (v. linee D) il secondo termine a denominatore non è incluso. Si noti che includendo la deformabilità a taglio l’elemento si deforma maggiormente rispetto al caso in cui è presente il solo termine flessionale. Tranne il caso di travi tozze, il termine tagliante è generalmente trascurabile rispetto a quello flessionale, per cui:

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Microsap 8.3A – Release Notes – 01.03.2004

12 EI L3 Quando il momento di inerzia è nullo, il primo termine a denominatore non è inserito e l’elemento è di tipo Shear Panel, con rigidezza: GAs K fs = K s = L L’elemento Shear Panel è quindi piuttosto rigido e scarsamente deformabile. Un’altra sua caratteristica è che esso non presenta rigidezza alla rotazione attorno all’asse perpendicolare a quello di taglio. Tale rigidezza può essere fornita da altri elementi che la trasmettano. In ogni caso, il programma assegna una piccola rigidezza alla rotazione. K fs ≈ K f =

4) Anche se l’elemento è di tipo Shear Panel in una o entrambe le direzioni, esso possiede l’usuale rigidezza a compressione/trazione e la rigidezza torsionale. Se si desidera sopprimere quest’ultima, è sufficiente assegnare il momento di inerzia torsionale J (campo n.6) uguale a zero. Anche in questo caso il programma introdurrà una piccola rigidezza. 5) Come visto, se l’elemento è di tipo Shear Panel in una direzione, l’area resistente a taglio è ridotta del fattore 1/χ. Tuttavia, se χPREPMSP DATI,INPUTPRE.043/N/B PREPMSP eseguirà in batch tutti i comandi, incluso DATAFILE che genera il file DATI contenente l'input per il Microsap. Se l'esempio contiene rappresentazioni grafiche, queste sono mostrate su video seguite da un comando PAUSE. Ogni file batch di pre-processing termina col comando FINISH. Se però l'utente sostituisce tale comando col comando INPUT, egli può riacquistare il controllo interattivo della sessione e può effettuare ulteriori esercitazioni interattivamente prima di terminare la sessione. Successivamente, il Microsap può essere eseguito col comando: C>MSP32 INPUT,DATI/N Si noti che le sessioni di pre-processing non sono ottimizzate per quanto riguarda il numero minimo di comandi richiesto per la preparazione dell'analisi. Si è infatti cercato, finché possibile, di riprodurre esattamente l'input dei riferimenti. Le stesse analisi possono essere preparate facendo uso di un numero inferiore di comandi, eventualmente modificando la numerazione di nodi ed elementi o il numero totale di essi. In tutti i casi, le sessioni di pre-processing producono dei file dati equivalenti a MSPDATxy, tranne per i file INPUTPRE.042 e INPUTPRE.045. INPUTPRE.042 risolve la stessa analisi con un numero leggermente differente di nodi ed elementi e con mesh solamente simile a quella del riferimento. INPUTPRE.045 prepara invece una mesh con lo stesso numero di nodi ed elementi, ma con differente suddivisione (il codice strutturale di confronto utilizza una suddivisione con legge cosinusoidale, mentre PREPMSP adotta la suddivisione a proporzione geometrica). • Sessione di post-processing. Per ogni esempio test è fornito il testo dei comandi relativi ad una tipica sessione di post-processing, contenuto nei file INPUTPOS.0xy, e l'hard-copy dei disegni prodotti su video. L'unica differenza consiste nell'aver sostituito tutti i comandi PAUSE (che introducono semplicemente una pausa per consentire la lettura del disegno su video), con i comandi PRSCR che producono l'hard-copy del video grafico su stampante. Si noti che gli esempi test di post-processing tendono a dimostrare l'uso del maggior numero di comandi e l'effetto grafico risultante sul video a colori. In realtà, per ottenere solamente l'hard-copy su stampante è sufficiente un numero di comandi notevolmente minore. La maggior parte delle rappresentazioni è basata sul contrasto tra i diversi colori e perde parte del suo significato nella riproduzione su stampante monocromatica. L'esigenza di dover mettere subito in grado l'utente di eseguire gli esempi test senza alcun intervento ha suggerito l'impiego di comandi totalmente batch. Si è perciò evitato l'uso, ad esempio, del comando ZOOM che in una sessione di lavoro reale è invece di impiego frequentissimo. Un'altra considerazione riguarda i cicli ripetitivi per ottenere, ad esempio, riproduzioni simili sullo stesso viewport o su viewport diversi e riguardanti differenti condizioni di carico (v. ad es. Problem 2.3). Nell'esecuzione in batch l'utente non fa altro che ricopiare, con il programma di edizione testi, più volte la stessa sequenza di comandi, variando ad esempio il numero di condizione di carico. In interattivo è invece possibile eseguire più volte la stessa sequenza ed introdurre le variazioni necessarie con l'editor di programma. Per eseguire, ad esempio, la sessione batch di post-processing del Problem 4.3 precedentemente considerato, si procederà col seguente comando: C>POSTMSP DATI,INPUTPOS.043/N/B

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Manuale Esempi Test Microsap

PROBLEM 1.1

PROBLEM 1.1 -- PLANE TRUSS -Caratteristiche Generali del Problema La struttura è rappresentata in fig. E1.1. Le coordinate dei nodi si deducono dall'esame della tabella "NODAL POINT INPUT DATA" (“DATI NODALI ASSEGNATI”). Vi sono in totale 14 aste, tutte con sezione trasversale di area A=2 in². Il materiale ha modulo elastico E = 30 E6 psi (1 psi = 1 lb/in²), e coefficiente di dilatazione termica α = 6.5 E-6 in/in/F. Devono essere analizzate due condizioni di carico per la struttura: 1) Aumento uniforme di temperatura pari a 70 F, a struttura scarica (carichi P = 0) e incastro perfetto ai nodi 1 e 9. 2) Diminuzione uniforme di temperatura pari a 40 F, a struttura carica (carichi P = 10000 lb) con incastro perfetto al nodo 1 e vincolo anelastico al nodo 9 (cedimento orizzontale e verticale di 0.01 ft = 0.12 in).

P

P 207.846"

9

6

4

P

P 11

8

6

5

10 8 4

5

138.564 103.923

12

7 13

7 2

3

3

14

u 69.282

9

2

11

2

1

v

y

1

10 0.

1 x

0.

60.

120.

240.

360."

Fig. E1.1

Manuale Esempi Test Microsap

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PROBLEM 1.1

Schematizzazione della Struttura Si schematizza la struttura reticolare con 14 elementi Truss. Il nodo 1 è perfettamente incastrato in entrambi i casi di carico, per cui è sufficiente sopprimere spostamenti e rotazioni mediante i codici di vincolo delle linee dati C del modulo INPUT. Al nodo 9 sono invece imposti degli spostamenti nulli per la prima condizione di carico, ma diversi da zero per la seconda condizione: è perciò necessario l'uso di elementi Boundary, servendosi dei moltiplicatori di carico (linee dati B del modulo BOUND) per variare il valore degli spostamenti nei due casi. Poiché i salti termici sono differenti per le due condizioni di carico, occorre porre Dt = 1. per tutti gli elementi e far uso di diversi moltiplicatori di carico. Col moltiplicatore del carico termico per il caso A pari a +70.0 e per il caso B pari a -40.0 (linea dati C-4 del modulo TRUSS) si hanno i salti termici richiesti: Dt(A) = (1F)·(+70.0) = +70 F

Dt(B) = (1F)·(-40.0) = -40 F

I carichi nodali P si attribuiscono per la condizione 2 con le linee dati A del modulo SOLVE. Con le linee dati B del modulo SOLVE si compongono le due condizioni di carico di struttura. La prima condizione è priva di carichi nodali ma è composta dal caso A (moltiplicatore = 1.0). La seconda condizione di carico è formata dai carichi nodali e dal caso B (moltiplicatore = 1.0), essendo annullato l'effetto del caso A (moltiplicatore = 0.0).

Analisi dei Risultati Trattandosi di struttura piana, sono soppressi gli spostamenti lungo l'asse globale Z. Sono anche soppresse le tre rotazioni attorno agli assi globali in quanto l'elemento Truss possiede solo g.d.l. di traslazione. Sono soppressi tutti i gradi di libertà al nodo 1 (vincolo rigido) e ai nodi 10 e 11 che sono dei nodi fittizi usati per definire l'orientazione degli elementi Boundary. Nessuna linea Dati Nodali è generata, per cui è omessa la stampa della tabella GENERATED NODAL DATA (DATI NODALI GENERATI). La tabella EQUATION NUMBERS (NUMERI DI EQUAZIONE) contiene i numeri di equazione attribuiti per ogni grado di libertà attivo. L'ultimo numero in tabella che risulta maggiore di zero rappresenta il numero di equazioni del sistema globale (in questo caso devono essere risolte 16 equazioni). Segue la stampa dei dati relativi agli elementi Boundary: questi sono applicati ad un unico nodo della struttura e non modificano la larghezza di banda del sistema di equazioni. Per gli elementi Truss è riportata invece anche la larghezza di semibanda (diagonale compresa) del sistema in dipendenza del numero di equazione posseduto da ogni nodo appartenente all'elemento. Nella struttura ogni nodo non può essere connesso a tutti i rimanenti, ma solo a quelli che appartengono all'elemento o agli elementi che contengono quel nodo. In ogni equazione del sistema globale vi sono quindi certamente dei coefficienti nulli. Se in particolare si numera la struttura in modo da rendere minima la differenza tra il massimo e il minimo numero di nodo negli elementi, i coefficienti non nulli si concentrano lungo la diagonale principale della matrice globale ed il sistema è "a banda". Il massimo numero di banda determina, assieme al numero di equazioni, lo spazio su disco richiesto per

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Manuale Esempi Test Microsap

PROBLEM 1.1

la memorizzazione della matrice globale e di quella ridotta (dopo la fattorizzazione). Il tempo di fattorizzazione varia linearmente col numero di equazioni e col quadrato della semibanda, ma dipende anche dalla sparsità della matrice. Le routine di assemblaggio del sistema forniscono la massima larghezza di semibanda, il numero di equazioni per blocco e il numero di blocchi in cui il sistema deve essere suddiviso per la risoluzione e l'archiviazione sulle memorie di massa. La matrice globale è definita positiva e, se la struttura è vincolata in modo sufficiente i termini diagonali sono positivi e prevalgono sugli altri in valore. Durante la fase di assemblaggio sono stampati i valori massimi e minimi dei termini diagonali della matrice globale di rigidezza e di massa. Tale informazione è utile per giudicare il grado di precisione dei risultati finali. La routine di risoluzione invia un messaggio su video all'operatore nel caso in cui coefficienti negativi compaiono sulla diagonale principale. L'operatore può anche controllare su video l'andamento della risoluzione, poiché il programma visualizza il numero di blocchi rimanenti che devono ancora subire il processo di fattorizzazione. Questo può richiedere da pochi secondi a qualche ora. Segue la "sostituzione all'indietro", che è sempre di veloce esecuzione. Nel riferimento del Timoshenko è riportato il solo spostamento verticale del nodo n.5, mentre i risultati completi possono essere confrontati con quelli del manuale degli esempi test del SAP IV. Lo spostamento del nodo n.5 può essere letto alla colonna Y della tabella "NODE DISPLACEMENTS AND ROTATIONS" (“SPOSTAMENTI E ROTAZIONI NODALI”). Il nodo si solleva nella prima condizione di carico, mentre subisce un abbassamento nella seconda condizione di carico. I valori sono comunque qui riportati: Carico 1 2

Timoshenko +0.158” -0.223”

SAP IV +0.15762” -0.22280”

Microsap +0.15762” -0.22280”

Riferimenti • S.P. Timoshenko, D.H. Young - Theory of Structures - 2nd ed. McGraw-Hill, New York, 1965 pp. 266-267. • R.L. Norton - SAP IV Sample Problems - Prob. 1.1 - Univ. of South. Calif. - Dept. of Civil Engin. Aug. 1974.

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5

PROBLEM 1.1

Pre/Post Processing e Rappresentazioni Grafiche TITLE,PROBLEM 1.1 -- PLANE TRUSS -PROB,11,2,2 N,1 N,4,,207.846097 N,8,360.,207.846097 N,9,360.,69.282032 N,10,360.,-100. N,11,460.,69.282032 NFILL,1,4,1,2 NFILL,4,8,2,5 NFILL,1,5,1,3 NFILL,5,9,1,7 GROUP,1,2,7 PROP,3*,.12,,,1 E,1,9,10 E,2,9,11 EMULT,2,1. GROUP,2,14,1 MAT,1 PROP,1. E,1,1,2 E,2,1,3 E,3,2,3 E,4,2,4 E,5,3,4 E,6,4,5 E,7,3,5 E,8,5,7 E,9,5,6 E,10,6,7 E,11,6,8 E,12,7,8 E,13,8,9 E,14,7,9 EMAT,1,30.E6,6.5E-6,2. EMULT,1,3*,70. EMULT,2,3*,-40. NLOAD,4,6,2,2,-10000 NLOAD,8, ,2,2,-10000 BCOND,1,11,,,0,0,4*1 BCOND,1,,,,6*1 BCOND,10,11,,,6*1 LCOMB,1,1 LCOMB,2,,1 DATAFILE SHOW,1 /Rappresentazioni Grafiche BOUND,0,360,0,210,,,-1 HIDDEN ERASE PLELEM PLBC,1,,,1 REP , ,,,1 PLLD,1,11,2 SUBTIT PLTIT PAUSE FINISH

PURGE SHOW,1 AXES,1 SHRINK,,20 ENUM,,2 ERASE PLELEM NNUM,1 PLNOD PLTIT PAUSE VWRPT,180,100 ERASE SHRINK ENUM ESTYL,,1 PLELEM PLNOD ESTYL ECOL,2,155 PLDEF PLTIT,Struttura Deformata - Condizione di Carico n. 1 PAUSE SLOAD,,2 ERASE ECOL,2,26 ESTYL,,1 PLELEM PLNOD ESTYL ECOL,2,155 PLDEF PLTIT,Struttura Deformata - Condizione di Carico n. 2 PAUSE FINISH

INPUTPOS.011

INPUTPRE.011

6

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PROBLEM 1.1

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7

PROBLEM 1.1

8

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PROBLEM 1.2

PROBLEM 1.2 -- SPACE TRUSS -Caratteristiche Generali del Problema La struttura, rappresentata in fig. E1.2, possiede 7 aste, tutte con sezione trasversale di area unitaria (1.0 in²). Il materiale ha modulo elastico E = 30 E6 psi e coefficiente di dilatazione termica α = 6.5 E-6 in/in/F. Vi sono due differenti condizioni di carico strutturale: 1) Struttura soggetta al solo carico P = 1000 lb. 2) Struttura scarica (P = 0), soggetta ad un aumento uniforme di temperatura pari a 50 F. Per entrambi i casi di carico la struttura è vincolata con incastri perfetti ai nodi 3,4,5,6.

36'' 48''

3 1

1 2

P 4 3 4

2 5

48'' 5 6

z

y

6 x

Fig. E1.2

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PROBLEM 1.2

Schematizzazione della Struttura La struttura reticolare viene rappresentata con 7 elementi Truss. Poiché devono essere soppressi tutti i g.d.l. ai nodi 3,4,5,6, è sufficiente utilizzare i codici di vincolo delle linee C del modulo INPUT. Essendo presente un salto termico uniforme, come per il precedente problema 1.1, si pone Dt=+1. per tutti gli elementi, ed i moltiplicatori di temperatura uguali a 0. e 50. rispettivamente nei due casi di carico A e B. Dt(A) = (+1F)⋅(0.0) = 0.0 F

e:

Dt(B) = (+1F)⋅(+50.0) = +50.0 F

Con le linee B del modulo SOLVE si compongono i casi di carico strutturale con le frazioni dei casi di carico d'elemento. La condizione 1) è composta dal solo carico nodale P e i moltiplicatori A,B,C,...,H sono tutti nulli. La condizione 2) non possiede invece nessun carico nodale diverso da zero, ma solamente il caso di carico di elemento B (moltiplicatore = 1).

Analisi dei Risultati Il solo risultato riportato dal Timoshenko è la forza nell'asta n.2: questa agisce da tirante per il carico n.1 e da puntone per il carico n.2. I risultati possono essere letti nella colonna "FORCE" (“FORZA”) della tabella "STRESS OUTPUT - TRUSS ELEMENT" (“OUTPUT SFORZI - ELEMENTI TRUSS”). In questo caso gli sforzi sulle aste (F/A) coincidono con le forze poiché ogni elemento ha sezione di area unitaria. Carico 1 2

Timoshenko +56.0 lb -1295.0 lb

SAP IV +55.921 lb -1292.400 lb

Microsap +55.921 lb -1292.4 lb

Riferimenti • S.P. Timoshenko, D.H. Young - Theory of Structures - 2nd ed. McGraw-Hill, New York, 1965 pp. 330-331. • R.L. Norton - SAP IV Sample Problems - Prob. 1.2 - Univ. of South. Calif. - Dept. of Civil Engin. Aug. 1974.

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PROBLEM 1.2

Pre/Post Processing e Rappresentazioni Grafiche TITLE,PROBLEM 1.2 -- SPACE TRUSS -PROB,6,1,2 N,2,36,,48 N,4,,,48 N,6 NGEN,1,-1,2,6,2,,48 GROUP,1,7,1 MAT,1 PROP,1. E,1,1,3 E,2,1,4 E,3,2,4 E,4,1,5 E,5,2,5 E,6,2,6 E,7,1,2 EMAT,1,30.E6,6.5E-6,1. EMULT,2,3*,50. NLOAD,1, ,1,3,-1000 BCOND,1,2,5*,3*1 BCOND,3,6,,,6*1 LCOMB,2,,1 DATAFILE SHOW,1 /Rappresentazioni Grafiche BOUND,,36,,48,,48,-1 HIDDEN MAGN,.8 VWROT,80,25 ERASE AXES,1 PLELEM PLBC,1,6,,1 REP2, ,,,1 PLLD,1,6,1 SUBTIT PLTIT PAUSE FINISH

INPUTPRE.012

PURGE SHOW,1 VWPORT,1 COLVW,24,90 ERASE ECOL,,16 ENUM,,2 VWROT,80,25 MAGN,.8 PLELEM PLNOD PLTIT CVWP,2 CVWP,3 CVWP,4 VWPORT,2 COLVW,130,25 ERASE ECOL,,44 SHRINK,,20 ENUM PLELEM NNUM,1 PLNOD PLTIT VWPORT,3 COLVW,,25 ERASE SHRINK ESTYL,,1 PLELEM ECOL,,135 ESTYL PLDEF PLTIT,Deformata Carico n.1 VWPORT,4 COLVW,,90 ERASE SLOAD,,2 ESTYL,,1 ECOL,,44 PLELEM ECOL,,135 ESTYL PLDEF PLTIT,Deformata Carico n.2 PAUSE FINISH

INPUTPOS.012

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PROBLEM 1.2

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PROBLEM 1.3

PROBLEM 1.3 -- HARMONIC RESPONSE OF A TWO-MASS-SPRING SYSTEM -Caratteristiche Generali del Problema La struttura rappresentata in fig. E1.3a è un sistema composto da tre molle con uguale rigidezza estensionale k1=k2=kc=200 lb/in e due masse m2=m3=0.5 lb-sec²/in accoppiate tramite la molla di rigidezza kc. Le molle di rigidezza k1 e k2 sono rigidamente vincolate all'altro estremo. Deve essere trovata la risposta a regime del sistema in assenza di smorzamento, sottoposto alla forzante F2 sin(ωt), di ampiezza F2=200 lb e applicata alla massa m2, come in figura.

F2 sin(ωt) k1

kc

k2 m3

m2

Fig. E1.3a

Schematizzazione della Struttura La forzante è di tipo sinusoidale per cui può essere utilizzato il codice di analisi 2, da introdurre al campo n.5, linea B del modulo INPUT. La frequenza della forzante è assegnata al campo n.7 della stessa linea dati. La preparazione dei dati procede poi in modo analogo a quello di un'analisi statica. Il diagramma di risposta del sistema (spostamenti delle masse in funzione della frequenza) può essere ottenuto ripetendo l'esecuzione del Microsap e variando ogni volta il valore al campo n.7 della linea B del modulo INPUT. Il presente esempio è risolto per un valore di frequenza f=ω/2π=1.5 Hz. Sono però qui riportati anche i valori per f=4.0 Hz e f=6.5 Hz. La struttura è schematizzata con quattro nodi, connessi a 3 elementi Truss. Per le molle di estremità potrebbe essere usato l'elemento Boundary, ma per quello centrale ciò non è possibile. L'elemento Boundary consente infatti di assegnare valori di rigidezza su un solo punto essendo l'altro estremo vincolato per quello spostamento. Il secondo nodo del Boundary serve unicamente per l'orientazione dell'elemento. Poiché i tre elementi hanno uguali caratteristiche elastiche e solo rigidezza estensionale, si utilizzano solamente elementi Truss e si decide di assegnare la rigidezza tramite, ad esempio, il modulo elastico del materiale. La lunghezza l degli elementi è perciò arbitraria e può essere assunta unitaria per semplificare l'introduzione delle coordinate dei nodi. Sono soppressi i gradi di libertà in tutti i nodi, tranne le traslazioni lungo X per le quali gli elementi e il carico sono attivi. La rigidezza degli elementi elastici può essere introdotta semplicemente considerando che la relazione che la lega all'allungamento δ e alla forza F applicata è: K⋅δ = F cioè:

K⋅ε⋅l = ε⋅E⋅A

quindi: K = EA/l

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PROBLEM 1.3

avendo indicato con ε la deformazione, con E il modulo elastico e con A l'area della sezione trasversale. Essendo già l=1 in, si assegna anche A=1, così la rigidezza K assume lo stesso valore numerico del modulo E ed è introdotta al campo n.2 della linea B del modulo TRUSS. Le linee C sono lasciate bianche, non essendovi carichi di elemento. Particolare attenzione deve essere posta nella assegnazione dei carichi di elemento: essi, se introdotti, saranno considerati variabili tutti con la stessa frequenza assegnata nella linea B del modulo INPUT. Ad esempio, assegnando il peso specifico del materiale e moltiplicatori di gravità diversi da zero, la struttura sarà soggetta ad accelerazione di tipo armonico e ampiezza assegnata. Analogamente, se sono introdotti moltiplicatori di carico termico diverso da zero e salto termico non nullo nelle linee elementi. z

F2 k1 1

1

m2

kc 2

2

m3

k2 3

3

4

x

Fig. E1.3b Con la linea A del modulo SOLVE è assegnato il valore della massa (attiva in questo caso solo lungo X) e dell'ampiezza della forzante al nodo 2 e la massa concentrata al nodo 3. La linea B del modulo SOLVE è lasciata bianca in quanto non vi è alcun carico di elemento da sommare alla condizione di carico globale n.1 che è costituita dalla sola forza concentrata al nodo 2. Si noti che pur rappresentando l'analisi di tipo 2 un problema dinamico, essa è svolta dal programma con una procedura simile ad un'analisi statica: operativamente con una semplice modifica dei coefficienti diagonali della matrice di rigidezza. Non è quindi richiesta l'esecuzione del modulo EIGEN.

Analisi dei Risultati L'utilizzatore può preventivamente eseguire l'analisi modale del sistema semplicemente ponendo il codice di analisi uguale a 1 e inserendo la linea A del modulo EIGEN, con numero di frequenze uguale a 2. La condizione di carico può essere lasciata, ed in tal caso il programma oltre ad eseguire l'analisi modale eseguirà contemporaneamente anche l'analisi statica. Le frequenze proprie del sistema sono: f1 = 3.18310 Hz f2 = 5.51329 Hz Se si risolve il problema assegnando come frequenza della forzante un valore uguale o prossimo a una delle due frequenze proprie del sistema, la matrice [K-ω²M] tende a divenire singolare e gli spostamenti calcolati risultano numericamente elevati. La risoluzione con i tre valori di frequenza anzidetti fornisce i seguenti spostamenti:

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PROBLEM 1.3

f = 1.5 Hz (f