Stoff- und Formleichtbau: Leichter Einstieg mit eindimensionalen Strukturen [1. Aufl.] 9783658307134, 9783658307141

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Andreas Öchsner

Stoff- und Formleichtbau Leichter Einstieg mit eindimensionalen Strukturen

Stoff- und Formleichtbau

Andreas Öchsner

Stoff- und Formleichtbau Leichter Einstieg mit eindimensionalen Strukturen

Andreas Öchsner Fakultät für Maschinenbau Hochschule Esslingen Esslingen am Neckar, Deutschland

ISBN 978-3-658-30713-4 ISBN 978-3-658-30714-1  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Thomas Zipsner Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

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Vorwort Leichtbaukonzepte können als Anwendung klassischer Ingenieurkonzepte und Disziplinen zur Reduzierung des Strukturgewichts verstanden werden. Hierbei kommen insbesondere Grundkenntnisse aus der technischen Mechanik, der Werkstoffkunde, der Fertigungstechnologie als auch der Konstruktionslehre zum Einsatz. Neben klassischen Anwendungen in der Luft-und Raumfahrtindustrie oder im Automobilbau erstrecken sich diese heutzutage auch auf recht unterschiedliche Bereiche, wie zum Beispiel auf Sportgeräte oder medizinische Prothesen. Auf Grund des reduzierten Gewichts kann im Transportwesen eine Reduzierung des Treibstoffverbrauchs und somit auch eine Reduzierung von Schadstoffen erzielt werden. Damit ergeben sich ökonomische wie auch ökologische Vorteile. In der Ingenieurpraxis werden jedoch in der Regel recht komplexe Systeme, auch unter der Verwendung kommerzieller Programmpakete, optimiert. Zur Einführung der unterschiedlichen Leichtbaukonzepte im Rahmen eines Hochschulingenieurstudiums kann jedoch auch zuerst auf einfache Strukturelemente, die im Rahmen der technischen Mechanik vorgestellt werden, zurückgegriffen werden. Die einfachsten Elemente sind hierbei Stäbe und Balken, die neben Federn den eindimensionalen Strukturelementen zugerechnet werden. Anhand dieser Elemente können recht anschaulich Fragestellungen zur Werkstoffauswahl und der geometrischen Gestaltung und Optimierung von lasttragenden Strukturen diskutiert werden. Somit bietet dieses Lehrbuch eine einfache und umfassende „Anleitung“ zur Anwendung der unterschiedlichen Leichtbaukonzepte, wobei der Schwerpunkt auf dem Stoff- und Formleichtbau, beziehungsweise der Kombination dieser beiden Konzepte, liegt. Angemerkt sei hier, dass zum gleichen Thema auch eine kompakte Darstellung als essential zur Verfügung steht, siehe Öchsner (2018). Wird im Rahmen einer Leichtbauvorlesung auf die klassischen eindimensionalen Strukturelemente zurückgegriffen, werden die Grundlagen der technischen Mechanik weiter gefestigt und ein Beitrag zur vertikalen Integration des Ingenieurwissens geleistet. Die in der ersten Ausgabe vorgeschlagene pädagogische Methodik, d. h. die Fokussierung auf klassische eindimensionale Strukturelemente, wurde von den Studenten im Rahmen der Vorlesungen Strukturoptimierung (Bachelor-Programm) und Lightweight Design (Master-Programm) gut angenommen, siehe Öchsner (2019). Die zweite Auflage wurde um ungefähr 90 Seiten erweitert. Es wurden viele zusätzliche Beispiele aufgenommen, um die verschiedenen Leichtbaukonzepte rechnerisch einzuüben. Darüber hinaus wurde eine Einführung in klassische Optimierungsprobleme, d. h. die Formulierung einer Zielfunktion (z. B. das Gewicht einer Struktur) und entsprechenden Restriktionen, aufgenommen. Jedoch ist hierbei die Betrachtung auf ein- oder zweidimensionale Entwurfsräume, d. h. mit maximal zwei Designvariablen, beschränkt. Für solche einfacheren Fälle kann das Minimum der Zielfunktion

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Angaben zum Autor

oft mittels analytischer oder graphischer Methoden bestimmt werden. Nicht zuletzt wurde der gesamte Inhalt kritisch durchgesehen. Mai 2020

Andreas Öchsner

Literaturverzeichnis Öchsner, A.: Leichtbaukonzepte: Eine Einführung anhand einfacher Strukturelemente für Studierende. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2018 Öchsner, A.: Leichtbaukonzepte anhand einfacher Strukturelemente: Neuer didaktischer Ansatz mit zahlreichen Übungsaufgaben. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2019

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1

Einleitung und Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3

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Grundlagen der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Zug-, Druck- und Torsionsbelastung beim Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Biegebalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Theorie nach Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Theorie nach Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Theorie nach Levinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Vergleichsspannungshypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 9 9 12 16 19 23 27

3

Stoffleichtbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Technische Fragestellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Abschätzung mittels spezifischer Energieabsorption . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 30 45 56 58

4

Formleichtbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Abschätzung mittels spezifischer Energieabsorption . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Abschätzung als klassisches Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 61 74 75 82 98

5

Sandwichelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1 Einführende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2 Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

VIII

Inhaltsverzeichnis

5.3 5.4 5.5

Zug-/Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Schubbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Technischer Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.5.1 Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.5.2 Zug-/Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.5.3 Schubbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.5.4 Biegung von Sandwichbalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6

Grenzbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.1 Versagensmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.1.1 Globales Instabilitätsversagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.1.2 Schubversagen der Verbindungsschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.1.3 Lokales Knittern der Druckdeckschicht (Biegelastfall) . . . . . 149 6.1.4 Lokales antisymmetrisches Knittern beider Deckschichten (Drucklastfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.1.5 Lokales symmetrisches Knittern beider Deckschichten (Drucklastfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.2 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7

Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.1 Optimaldimensionierung von Sandwichbalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.1.1 Zug- oder Druckbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.1.2 Biegebelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.2 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8

Weitere Leichtbaukonzepte und Berechnungsmethoden . . . . . . . . . . . . 195 8.1 Weitere Leichtbaukonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.2 Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

9

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 9.1 Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.2 Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 9.3 Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.4 Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 9.5 Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 9.6 Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Inhaltsverzeichnis

10

IX

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.1 Mechanik und Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.2 Computerprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

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Formelzeichen und Abkürzungen

In den folgenden Aufstellungen sind die wichtigsten Formelzeichen und Abkürzungen erläutert, die im Verlaufe des vorliegenden Buches Verwendung finden. Lateinische Formelzeichen (Großbuchstaben) 𝐴 𝐴s 𝐴𝐺 𝐵1 𝐵1′ 𝐶 𝐸 𝐸𝐴 𝐸𝐼 𝑦 𝐹 𝐹G 𝐹K 𝐺 𝐼 𝐼p 𝐾 𝐿 𝑀 𝑁 𝑄 𝑅p0,2 𝑆𝐸𝐴 𝑉

Fläche, Querschnittsfläche Schubfläche Schubsteifigkeit Faktor Faktor Konstante Elastizitätsmodul mittlere Dehnsteifigkeit mittlere Biegesteifigkeit Kraft, Vergleichsspannungshypothese Gewichtskraft kritische Kraft (Knickkraft) Schubmodul axiales Flächenmoment 2. Ordnung polares Flächenmoment 2. Ordnung Beulbeiwert Länge Leichtbaukennzahl, Moment Normalkraft Querkraft 0,2-%-Dehngrenze spezifische Energieabsorption Volumen

XII

Formelzeichen und Abkürzungen

Lateinische Formelzeichen (Kleinbuchstaben) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑔 ℎ ℎc Δℎ ΔℎD ΔℎD,n ΔℎK ΔℎK,n 𝑘s

𝑘t 𝑘init t 𝑚 𝑚n 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧

geometrische Abmessung geometrische Abmessung Dämpferkonstante, Integrationskonstante Durchmesser Funktion Erdbeschleunigung, Funktion geometrische Abmessung mittlere Sandwichdicke Schichtdicke (Sandwich) Deckschichtdicke (Sandwich) längenspezifische Deckschichtdicke (Sandwich) Kerndicke (Sandwich) längenspezifische Kerndicke (Sandwich) Federsteifigkeit, Geometrie- und Stoffparamter, Schubfließgrenze, Schubkorrekturfaktor Zugfließgrenze Anfangsfließgrenze auf Zug Masse, längenspezifisches Moment längenbezogene Masse Streckenlast in 𝑥-Richtung Streckenlast in 𝑧-Richtung Radius geometrische Abmessung geometrische Abmessung Verschiebung geometrische Abmessung räumliche Koordinate räumliche Koordinate räumliche Koordinate

Griechische Formelzeichen (Großbuchstabe) Θ Π

K

) Argument (Θ = 2𝜋Δℎ 𝜆 Verzerrungs- oder Formänderungsenergie

Formelzeichen und Abkürzungen

XIII

Griechische Formelzeichen (Kleinbuchstabe) 𝛼 𝜀 𝛾 𝛾aB 𝜀 𝜀A 𝜀 At 𝜀p0,2t 𝜅 𝜆 𝜈 𝜚 𝜋 𝜋 el 𝜋 pl 𝜋s 𝜋◦ 𝜎 𝜎cr 𝜎eff 𝜎𝑖 𝜏 𝜏aB 𝜏p 𝜙 𝜙F 𝜑

Faktor, Winkel Verzerrung Gleitwinkel Bruchgleitung Verzerrung Bruchdehnung totale Bruchdehnung (inkl. elast. Anteil) 0,2-%-Dehngrenze (korrespondierend zu 𝑅p0,2 ) Krümmung Faktor, Wellenlänge Querkontraktionszahl Dichte volumenspezifische Verzerrungsenergie elastischer Anteil der volumenspezifischen Verzerrungsenergie plastischer Anteil der volumenspezifischen Verzerrungsenergie spezifische Gestaltänderungsenergie spezifische Volumenänderungsenergie Spannung, Normalspannung kritische Spannung Vergleichsspannung (effektive Spannung) Hauptspannung (𝑖 = 1, 2, 3) Schubspannung Zugscherfestigkeit Scherfließgrenze Drehwinkel, Verdrehung Faservolumenanteil Drehwinkel, Verdrehung Torsionswinkel

Mathematische Symbole ×

Multiplikationszeichen

Indizes, hochgestellt …D …E …el …K …pl

Deckschicht Euler elastisch Kern plastisch

XIV

Formelzeichen und Abkürzungen

Indizes, tiefgestellt …a …b …D …i …K …m …max …ref …s …t …c

außen Biegung Deckschicht innen Kern Mittelwert Maximalwert Referenz Schub Torsion, Zug Zentrum

Akürzungen 1D CFK UD

eindimensional kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff unidirektional

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Kapitel 1

Einleitung und Motivation

Zusammenfassung In diesem Kapitel werden verschiedene Motivationen gegeben, um sich mit dem Thema Leichtbau zu beschäftigen. Weiterhin wird kurz die deutschsprachige Literatur zum Thema vorgestellt und das aktuelle Werk eingeordnet.

Der Leichtbau spielt eine zentrale Rolle im Transportwesen (zum Beispiel in der Luft- und Raumfahrtindustrie oder im Automobilbau), da sich hier eine Gewichtsreduzierung direkt in einer Reduzierung der Treibstoffkosten niederschlägt. Als Überschlagsrechnung zum Einfluss des Gewichts auf den Treibstoffverbrauch von Flugzeugen kann bei einer Reduktion von 1% des Gewichtes von einer Treibstoffersparnis — je nach Triebwerksart — von 0,75 bis 1% ausgegangen werden (siehe Ohrn 2007). Nimmt man den gesamten Treibstoffverbrauch der Lufthansa-Flotte im Jahr 2015 von 8.947,766 Tonnen als Beispiel (siehe Lufthansa 2016), ergibt sich je nach Kerosinpreis (siehe IATA 2017) ein Einsparpotenzial von mehreren Millionen Euro pro Jahr. Abbildung 1.1 zeigt das wesentlich einfachere Beispiel einer Stahlplatte. Bei der linken Abbildung (a) handelt es sich um eine Platte aus Vollmaterial, die bei den angegebenen Abmessungen eine Masse von rund 7,7 kg aufweist. Wird bei gleichen Außenabmessungen die Platte als Hohlkugelstruktur (siehe Öchsner und Augustin 2009) ausgeführt, ergibt sich eine deutlich reduzierte Masse von rund 0,446 kg oder eine Reduktion um 94%. Hieraus kann gefolgert werden, dass nicht nur der Werkstoff selbst, sondern auch weitere Faktoren, wie die Form oder die Mesostruktur, einen Einfluss auf das ‘Leichtbaupotenzial’ einer Struktur haben können. Die deutschsprachige Fachliteratur zum Thema Leichtbau ist recht umfangreich und deckt verschiedene Themengebiete ab. Eine zusammenfassende Darstellung einiger Lehrbücher ist in Tabelle 1.1 geboten. Des Weiteren gibt es auch spezialisierte Literatur, zum Beispiel mit einem Schwerpunkt auf die Automobilindustrie, siehe Siebenpfeiffer (2014), Friedrich (2017), Kurek (2011). Es sollte auch angemerkt werden, dass der Leichtbau verschiedene Fachrichtungen, zum Beispiel die Festigkeitslehre (siehe Linke und Nast 2015, Altenbach

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 A. Öchsner, Stoff- und Formleichtbau, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1_1

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1 Einleitung und Motivation

Abb. 1.1 (a) Stahlplatte mit Außenabmessungen 𝑏 = 11 cm, 𝑡 = 30 cm und ℎ = 3 cm. Masse: 𝑚 ≈ 7,7 kg; (b) Hohlkugelstruktur aus Stahl mit gleichen Abmessungen. Masse: 𝑚 ≈ 0,446 kg Tabelle 1.1 Ausgewählte deutschsprachige Lehrbücher zum Thema Leichtbau. Die Jahreszahl bezieht sich auf die erste Auflage Jahr

Autor / Editor

Titel

1955 K. Bobek, A. Heiß, Stahlleichtbau von Maschinen F. Schmidt 1960 H. Hertel Leichtbau: Bauelemente, Bemessungen und Konstruktionen von Flugzeugen und anderen Leichtbauwerken 1982 H.-J. Dreyer Leichtbaustatik 1986 J. Wiedemann Leichtbau Band 1: Elemente 1989 J. Wiedemann Leichtbau Band 2: Konstruktion 1989 B. Klein Leichtbau-Konstruktion: Berechnungsgrundlagen und Gestaltung 1989 B. Klein Übungen zur Leichtbau-Konstruktion 1992 F.G. Rammerstorfer Repetitorium Leichtbau 1996 H. Kossira Grundlagen des Leichtbaus: Einführung in die Theorie dünnwandiger stabförmiger Tragwerke 2009 H.P. Degischer, S. Leichtbau: Prinzipien, Werkstoffauswahl und Lüftl Fertigungsvarianten 2011 F. Henning, E. Moel- Handbuch Leichtbau: Methoden, Werkstoffe, ler Fertigung 2014 B. Hill Bionik—Leichtbau 2018 A. Öchsner Leichtbaukonzepte: Eine Einführung anhand einfacher Strukturelemente für Studierende 2019 A. Öchsner Leichtbaukonzepte anhand einfacher Strukturelemente: Neuer didaktischer Ansatz mit zahlreichen Übungsaufgaben

Referenz Bobek et al. (1955) Hertel (1960)

Dreyer (1982) Wiedemann (1986) Wiedemann (1989) Klein (1989) Klein (1989) Rammerstorfer (1992) Kossira (1996)

Degischer und Lüftl (2009) Henning und Moeller (2011) Hill (2014) Öchsner (2018) Öchsner (2019)

Literaturverzeichnis

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2018), die Werkstoffkunde (siehe Weißbach 2012) und die Konstruktionslehre (siehe Pahl und Beitz 1997), beinhaltet. Somit kann Tabelle 1.1 beliebig mit klassischer Literatur der Grundlagenfächer eines Ingenieurstudiums der entsprechenden Fachrichtungen erweitert werden. Das vorliegende Lehrbuch ist rein auf eindimensionale, d. h. Stäbe und Balken, Strukturelemente fokussiert und bietet somit einen neuen didaktischen Ansatz zur Vermittlung der Grundideen des Leichtbaus. Die Beschränkung auf eindimensionale Elemente erlaubt eine relativ einfache Darstellung mittels Gleichungen, die für Studierende leicht nachvollziehbar ist. Somit erfolgt eine Fokussierung auf Leichtbaukonzepte und die Anwendung der Grundlagen der technischen Mechanik und nicht auf komplizierte mathematische Ableitungen oder Algorithmen. Wer diese Grundlagen beherrscht, kann sich auch relativ einfach in kompliziertere Themengebiete des Leichtbaus, wie zum Beispiel flächige Tragwerke, einarbeiten.

Literaturverzeichnis Altenbach, H.: Holzmann/Meyer/Schumpich Technische Mechanik Festigkeitslehre. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2018 Bobek, K., Heiß, A, Schmidt, F.: Stahlleichtbau von Maschinen. Berlin: Springer, 1955 Degischer, H, P., Lüftl, S.: Leichtbau: Prinzipien, Werkstoffauswahl und Fertigungsvarianten. Weinheim: WILEY-VCH, 2009 Dreyer, H-J.: Leichtbaustatik. Stuttgart: Teubner, 1982 Friedrich, H, E.: Leichtbau in der Fahrzeugtechnik. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2017 Henning, F., Moeller, E.: Handbuch Leichtbau: Methoden, Werkstoffe, Fertigung. München: Hanser Verlag, 2011 Hertel, H.: Leichtbau: Bauelemente, Bemessungen und Konstruktionen von Flugzeugen und anderen Leichtbauwerken. Berlin: Springer, 1960 Hill, B.: Bionik—Leichtbau. Weimar: Knabe Verlag, 2014 IATA: Jet fuel price monitor. http://www.iata.org/publications/ economics/fuel-monitor/Pages/index.aspx. Zugegriffen: 15. April 2017 Klein, B.: Leichtbau-Konstruktion: Berechnungsgrundlagen und Gestaltung. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1989 Klein, B.: Übungen zur Leichtbau-Konstruktion. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1989 Kossira, H.: Grundlagen des Leichtbaus: Einführung in die Theorie dünnwandiger stabförmiger Tragwerke. Berlin: Springer, 1996 Kurek, R.: Karosserie-Leichtbau in der Automobilindustrie. Würzburg: Vogel, 2011 Linke, M., Eckart Nast, E.: Festigkeitslehre für den Leichtbau: Ein Lehrbuch zur Technischen Mechanik. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2015

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1 Einleitung und Motivation

Lufthansa Group: Balance Issue 2016. https://www.lufthansagroup. com/fileadmin/downloads/en/LH-sustainability-report2016.pdf. Zugegriffen: 25. April 2017 Öchsner, A., Augustin, C. (Hrsg.): Multifunctional Metallic Hollow Sphere Structures: Manufacturing, Properties and Application. Berlin: Springer, 2009 Öchsner, A.: Leichtbaukonzepte: Eine Einführung anhand einfacher Strukturelemente für Studierende. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2018 Öchsner, A.: Leichtbaukonzepte anhand einfacher Strukturelemente: Neuer didaktischer Ansatz mit zahlreichen Übungsaufgaben. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2019 Ohrn, K, E.: Aircraft Energy Use. In: Capehart, B, L. (Hrsg.) Encyclopedia of Energy Engineering and Technology Vol. 1. Boca Raton: CRC Press, S. 24–30, 2007 Pahl, G., Beitz, W.: Konstruktionslehre: Methoden und Anwendung. Berlin: Springer, 1997 Rammerstorfer, F, G.: Repetitorium Leichtbau. München: Oldenbourg, 1992 Siebenpfeiffer, W.: Leichtbau–Technologien im Automobilbau. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2014 Weißbach, W.: Werkstoffkunde: Strukturen, Eigenschaften, Prüfung. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2012 Wiedemann, J.: Leichtbau Band 1: Elemente. Berlin: Springer, 1986 Wiedemann, J.: Leichtbau Band 2: Konstruktion. Berlin: Springer, 1989

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Kapitel 2

Grundlagen der Festigkeitslehre

Zusammenfassung In diesem Kapitel werden die kontinuumsmechanischen Grundlagen von Stäben und verschiedenen Balken behandelt. Beim Stab wird zwischen Zug-, Druck- und Torsionsbelastung unterschieden. Anschließend werden die Balkentheorien nach Euler-Bernoulli, Timoshenko und Levinson behandelt. Das Kapitel schließt mit einer kurzen Beschreibung der Vergleichsspannungshypothesen nach von Mises und Tresca.

2.1 Zug-, Druck- und Torsionsbelastung beim Stab Zuerst wird ein reiner Zug- und Druckstab betrachtet. Dabei handelt es sich um einen prismatischen Körper, der nur entlang seiner Stabachse (hier: 𝑥) belastet und verformt (Verschiebung 𝑢𝑥 (𝑥)) werden kann, siehe Abb. 2.1. Als äußere Lasten werden Einzelkräfte 𝐹0 und kontinuierlich verteilte Streckenlasten 𝑝𝑥 (𝑥) betrachtet. Die Geometrie ist im einfachsten Fall durch die Länge 𝐿 und durch die konstante Querschnittsfläche 𝐴 beschrieben. Das Materialverhalten wird durch das eindimensionale Hooke’sche Gesetz mit dem konstanten Elastizitätsmodul 𝐸 als Materialparameter beschrieben.

Abb. 2.1 Allgemeine Konfiguration eines Zug- und Druckstabes: Beispiel von geometrischen Randbedingungen und äußeren Lasten

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 A. Öchsner, Stoff- und Formleichtbau, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1_2

6

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

Schneidet man den Stab an einer beliebigen Stelle 𝑥 frei, werden die inneren Reaktionen als Normalkräfte 𝑁𝑥 (𝑥) sichtbar, siehe Abb. 2.2. Diese inneren Reaktionen treten immer paarweise auf, sind jedoch entgegengesetzt gerichtet und weisen in die gleiche Richtung wie die Flächennormalen.

Abb. 2.2 Schnittreaktionen für Zug- und Druckstab Die beschreibende Differenzialgleichung ergibt sich durch Kombination der kontinuumsmechanischen Grundgleichungen, das heißt Kinematik, Stoffgesetz und Gleichgewicht (siehe Öchsner 2014, 2016), zu: ( ) d𝑢𝑥 d 𝐸(𝑥)𝐴(𝑥) + 𝑝𝑥 (𝑥) = 0 , (2.1) d𝑥 d𝑥 wobei sich durch einmalige Integration, unter der Annahme einer konstanten Dehnsteifigkeit 𝐸𝐴 und konstanter Streckenlast 𝑝0 , die Normalkraftverteilung allgemein wie folgt ergibt: 𝑁𝑥 (𝑥) = 𝐸𝐴

d𝑢𝑥 (𝑥)

(2.2) = −𝑝0 𝑥 + 𝑐1 . d𝑥 Eine weitere Integration unter der Annahme einer konstanten Dehnsteifigkeit und konstanter Streckenlast liefert die allgemeine Verteilung der Verschiebung zu ( ) 1 1 − 𝑝0 𝑥2 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 , (2.3) 𝑢𝑥 (𝑥) = 𝐸𝐴 2 wobei die Integrationskonstanten 𝑐1 und 𝑐2 unter Berücksichtigung der Randbedingungen angepasst werden müssen. Die Spannungsverteilung ergibt sich aus der Normalkraftverteilung nach Gl. (2.2) oder dem Hooke’schen Gesetz zu (siehe auch Abb. 2.3): 𝑁𝑥 (𝑥)

d𝑢𝑥 (𝑥) = 𝜀𝑥 (𝑥) × 𝐸 = ×𝐸. (2.4) 𝐴 d𝑥 Als Nächstes betrachten wir einen reinen Torsionsstab. Dabei handelt es sich um einen prismatischen Körper, der nur entlang seiner Stabachse (hier: 𝑥) belastet und verformt (Torsionswinkel 𝜑𝑥 (𝑥)) werden kann, siehe Abb. 2.4. Als äußere Lasten werden einzelne Torsionsmomente 𝑀t und kontinuierlich verteilte Momente 𝑚𝑥 (𝑥) betrachtet. Die Geometrie ist im einfachsten Fall durch die Länge 𝐿 und durch das 𝜎𝑥 (𝑥) =

2.1 Zug-, Druck- und Torsionsbelastung beim Stab

7

Abb. 2.3 (a) Dehnungs- und (b) Spannungsverteilung für Zug- und Druckstab

konstante polare Flächenmoment 2. Ordnung 𝐼p beschrieben1 . Das Materialverhalten wird durch das eindimensionale Hooke’sche Gesetz mit dem konstanten Schubmodul 𝐺 als Materialparameter beschrieben.

Abb. 2.4 Allgemeine Konfiguration eines Torsionsstabes: Beispiel von Randbedingungen und äußeren Lasten Schneidet man den Stab an einer beliebigen Stelle 𝑥 frei, werden die inneren Reaktionen als Torsionsmomente 𝑀𝑥 (𝑥) sichtbar, siehe Abb. 2.5.

Abb. 2.5 Schnittreaktionen für Torsionsstab Die beschreibende Differenzialgleichung ergibt sich durch Kombination der kontinuumsmechanischen Grundgleichungen, das heißt Kinematik, Stoffgesetz und Gleichgewicht (siehe Altenbach 2016, Merkel und Öchsner 2014), zu: 1

Für einen Vollkreisquerschnitt mit Durchmesser 𝑑 gilt: 𝐼p =

𝜋 32

𝑑4.

8

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

d d𝑥

( 𝐺(𝑥)𝐼p (𝑥)

d𝜑𝑥

)

d𝑥

+ 𝑚𝑥 (𝑥) = 0 ,

(2.5)

wobei sich durch einmalige Integration, unter der Annahme einer konstanten Torsionssteifigkeit 𝐺𝐼p und konstanter Streckenlast 𝑚0 , die Torsionsmomentenverteilung allgemein wie folgt ergibt: 𝑀𝑥 (𝑥) = 𝐺𝐼p

d𝜑𝑥 (𝑥)

(2.6) = −𝑚0 𝑥 + 𝑐1 . d𝑥 Eine weitere Integration unter der Annahme einer konstanten Torsionssteifigkeit und konstanter Streckenlast liefert die allgemeine Verteilung des Torsionswinkels zu ( ) 1 1 − 𝑚0 𝑥2 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 , (2.7) 𝜑𝑥 (𝑥) = 𝐺𝐼p 2 wobei die Integrationskonstanten 𝑐1 und 𝑐2 unter Berücksichtigung der Randbedingungen angepasst werden müssen. Die Schubspannungsverteilung ergibt sich aus der Torsionsmomentenverteilung nach Gl. (2.6) oder dem Hooke’schen Gesetz zu (siehe auch Abb. 2.6): 𝜏(𝑥, 𝑟) =

𝑀𝑥 (𝑥) 𝐼p

×𝑟=𝐺

d𝜑𝑥 (𝑥) d𝑥

× 𝑟.

(2.8)

Abb. 2.6 (a) Gleitwinkel- und (b) Schubspannungsverteilung für Torsionsstab. Beide Verläufe sind proportional zum Radius

2.2 Biegebalken

9

2.2 Biegebalken 2.2.1 Theorie nach Euler-Bernoulli Bei einem Biegebalken handelt es sich um einen prismatischen Körper, der nur senkrecht zu seiner Längsachse belastet und verformt (Durchbiegung 𝑢𝑧 (𝑥) und Verdrehung 𝜑𝑦 (𝑥)) werden kann, siehe Abb. 2.7. Als äußere Lasten werden einzelne Kräfte 𝐹𝑧 und Momente 𝑀𝑦 sowie kontinuierlich verteilte Kräfte 𝑞𝑧 (𝑥) und Momente 𝑚𝑦 (𝑥) betrachtet. Die Geometrie ist im einfachsten Fall durch die Länge 𝐿 und durch das axiale Flächenmoment 2. Ordnung 𝐼 beschrieben. Das Materialverhalten wird durch das eindimensionale Hooke’sche Gesetz mit dem konstanten Elastizitätsmodul 𝐸 als Materialparameter beschrieben. Nach der Theorie nach Euler-Bernoulli wird angenommen, dass die Schubspannungen (oder die Querkräfte) keinen Einfluss auf die Verformung haben. Dies ist im Allgemeinen für schlanke und homogene Balken mit 𝐿 ≫ ℎ der Fall.

Abb. 2.7 Allgemeine Konfiguration eines Euler-Bernoulli-Balkens: (a) Beispiel von geometrischen Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt Schneidet man den Balken an einer beliebigen Stelle 𝑥 frei, werden die inneren Reaktionen als Querkräfte 𝑄𝑧 (𝑥) und Biegemomente 𝑀𝑦 (𝑥) sichtbar, siehe Abb. 2.8.

Abb. 2.8 Schnittreaktionen für Euler-Bernoulli-Balken Die beschreibende Differenzialgleichung ergibt sich durch Kombination der kontinuumsmechanischen Grundgleichungen, das heißt Kinematik, Stoffgesetz und Gleich-

10

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

gewicht (siehe Altenbach 2016, Öchsner 2016), in den verschiedenen Formulierungen zu: d2 d𝑥2 d

( 𝐸𝐼𝑦 (

d𝑥

𝐸𝐼𝑦

d2 𝑢𝑧 (𝑥) d𝑥2 d2 𝑢𝑧 (𝑥)

𝐸𝐼𝑦

) = 𝑞𝑧 (𝑥) ,

(2.9)

)

d𝑥2 d2 𝑢𝑧 (𝑥) d𝑥2

= −𝑄𝑧 (𝑥) ,

(2.10)

= −𝑀𝑦 (𝑥) ,

(2.11)

wobei sich durch sukzessive Integration, unter der Annahme einer konstanten Biegesteifigkeit 𝐸𝐼 und Streckenlast (𝑞𝑧 = konst.), die Querkraft-, Biegemomenten- und Rotationsverteilung allgemein wie folgt ergibt: 𝑄𝑧 (𝑥) = −𝑞𝑧 𝑥 − 𝑐1 , 𝑀𝑦 (𝑥) = −

𝑞𝑧

(2.12)

𝑥2

− 𝑐 𝑥 − 𝑐2 , 2 ( 1 ) 1 𝑞𝑧 𝑥3 𝑐1 𝑥2 𝜑𝑦 (𝑥) = − + + 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 . 𝐸𝐼𝑦 6 2

(2.13) (2.14)

Die letzte Integration liefert unter der Annahme einer konstanten Biegesteifigkeit und Streckenlast die allgemeine Verteilung der Durchbiegung zu ( ) 𝑞𝑧 𝑥4 𝑐1 𝑥3 𝑐2 𝑥2 1 (2.15) 𝑢𝑧 (𝑥) = + + + 𝑐3 𝑥 + 𝑐4 , 𝐸𝐼𝑦 24 6 2 wobei die Integrationskonstanten 𝑐1 , … , 𝑐4 unter Berücksichtigung der Randbedingungen angepasst werden müssen. Für das Beispiel eines Kragarms mit Endquerkraft 𝐹0 ergibt sich die maximale Durchbiegung am Lastangriffspunkt zu: 𝑢𝑧 (𝑥 = 𝐿) =

𝐹0 𝐿3 3𝐸𝐼𝑦

.

(2.16)

Die Spannungsverteilungen ergeben sich aus der Biegemomenten- bzw. Querkraftverteilung nach Gl. (2.13) oder (2.12) (siehe auch Abb. 2.9):

𝜎𝑥 (𝑥, 𝑧) =

𝑀𝑦 (𝑥) 𝐼𝑦

× 𝑧(𝑥) , 𝜏𝑥𝑧 (𝑥, 𝑧) =

𝑄𝑧 (𝑥) 2𝐼𝑦

( ) ⎤ ⎡ ℎ 2 ⎢ × − 𝑧2 ⎥ . ⎥ ⎢ 2 ⎦ ⎣

(2.17)

2.2 Biegebalken

11

Abb. 2.9 Spannungskomponenten für Rechteckquerschnitt: (a) Normalspannung; (b) Schubspannung Exemplarisch sind in Abb. 2.10 die Schnittreaktionen, das heißt die Biegemomentenund Querkraftverteilung, für einen Kragbalken dargestellt. Die Erstellung solcher Verteilungen ist essentiell für die weiteren Untersuchungen zum Leichtbaupotenzial von Strukturen.

Abb. 2.10 Biegemoment- und Querkraftverlauf für Kragbalken: (a) Belastung mittels Einzelkraft 𝐹0 ; (b) Belastung mittels Einzelmoment 𝑀0 Abschließend sind in Tabelle 2.1 einige typische Kennwerte verschiedener Werkstoffe zusammengefasst. Die folgenden Berechnungen basieren auf den Mittelwerten, die aus den entsprechenden Intervallen berechnet wurden. Einige Kennwerte unterliegen jedoch recht großen Bandbreiten, so dass hier bei einer anderen Wahl des Referenzwertes durchaus deutlich andere Ergebnisse erzielt werden könnten.

12

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

Tabelle 2.1 Kennwerte verschiedener Werkstoffe: 𝐸: Elastizitätsmodul; 𝜈: Querkontraktionszahl; 𝜚 Dichte; 𝑅p0,2 : 0,2-%-Dehngrenze; 𝜀A : Bruchdehnung. Die Intervalle sind Ashby und Jones (2005) entnommen

𝐸, Edelstahl (austenitisch) Al-Legierungen

N mm2

195000

𝜈, – 0,30

190000 … 200000

74000

0,33

69000 … 79000

Ti-Legierungen

105000

0,35

80000 … 130000

𝜚, 10−6

kg mm3

𝑅p0,2 ,

N mm2

𝜀A , –

7,8

393

0,55

7,5 … 8,1

286 … 500

0,45 … 0,65

2,75

364

0,175

2,6 … 2,9

100 … 627

0,05 … 0,3

4,7

750

0,18

4,3 … 5,1

180 … 1320

0,06 … 0,3

2.2.2 Theorie nach Timoshenko Bei der Balkentheorie nach Timoshenko (siehe Timoshenko 1921, 1922) handelt es sich um eine Erweiterung der Theorie für dünne Balken (siehe Abschnitt 2.2.1), wobei jetzt der Einfluss des Querkraftschubs auf die Verformung berücksichtigt wird. Die allgemeine Konfiguration ist in Abb. 2.11 dargestellt. Neu ist hierbei, dass zwei weitere geometrische Faktoren (Querschnittsfläche 𝐴 und Schubkorrekturfaktor 𝑘s ) 𝐸 und eine weitere Materialkonstante (Schubmodul 𝐺 = 2(1+𝜈) ) berücksichtigt werden.

Abb. 2.11 Allgemeine Konfiguration eines Timoshenko-Balkens: (a) Beispiel von Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt

Zur Vereinfachung wird jedoch angenommen, dass eine äquivalente konstante Schubspannung und -verzerrung im Querschnitt wirkt, siehe Abb. 2.12. Diese konstante Schubspannung ergibt sich dadurch, dass die Querkraft in einer äquivalenten Querschnittsfläche, der sogenannten Schubfläche 𝐴s , wirkt:

2.2 Biegebalken

13

𝜏𝑥𝑧 =

𝑄𝑧 𝐴s

=

𝑄𝑧 𝑘s 𝐴

,

(2.18)

wobei das Verhältnis zwischen der Schubfläche 𝐴s und der tatsächlichen Querschnittsfläche 𝐴 als Schubkorrekturfaktor 𝑘s ( 56 für Rechteckquerschnitt) bezeichnet wird (siehe Öchsner 2014).

Abb. 2.12 Schubspannungsverteilung für Rechteckquerschnitt: (a) reale Verteilung (parabolisch); (b) Approximation nach Timoshenko (konstant) Schneidet man den Balken an einer beliebigen Stelle 𝑥 frei, werden die inneren Reaktionen als Querkräfte 𝑄𝑧 (𝑥) und Biegemomente 𝑀𝑦 (𝑥) sichtbar, siehe Abb. 2.13.

Abb. 2.13 Schnittreaktionen für Timoshenko-Balken Die beschreibenden Differenzialgleichungen (gekoppelt, zweiter Ordnung) ergeben sich durch Kombination der kontinuumsmechanischen Grundgleichungen, das heißt Kinematik, Stoffgesetz und Gleichgewicht (siehe Gross et al. 2014, Öchsner 2016), in der speziellen Formulierung für 𝐸𝐼𝑦 = konst., 𝑘s 𝐴𝐺 = konst. und 𝑚𝑦 = 0 zu: 𝐸𝐼𝑦

d2 𝜙𝑦

( − 𝑘s 𝐺𝐴

d𝑢𝑧

)

+ 𝜙𝑦 = 0 d𝑥 ) ( d2 𝑢𝑧 d𝜙𝑦 − 𝑞𝑧 = 0 , −𝑘s 𝐺𝐴 + d𝑥 d𝑥2 d𝑥2

(2.19)

(2.20)

oder zusammengefasst zu einer einzigen Gleichung: 𝐸𝐼𝑦

d4 𝑢𝑧 (𝑥) d𝑥4

= 𝑞𝑧 (𝑥) −

𝐸𝐼𝑦 d2 𝑞𝑧 (𝑥) 𝑘s 𝐴𝐺 d𝑥2

.

(2.21)

14

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

Durch Verwendung eines Computeralgebrasystems (zum Beispiel MapleⓇ , MatlabⓇ oder Maxima, siehe Abb. 2.14) ergibt sich die allgemeine Lösung bei konstanten Material- und Geometrieparametern sowie konstanter Streckenlast zu: ( ) 1 𝑥3 𝑥2 𝑞𝑧 𝑥4 (2.22) 𝑢𝑧 (𝑥) = + 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 𝑥 + 𝑐4 , 𝐸𝐼𝑦 24 6 2 ( ) 𝑞𝑧 𝑥 1 𝑐1 𝑥2 𝑞𝑧 𝑥3 𝜙𝑦 (𝑥) = − + 𝑐1 + 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 − − , (2.23) 𝐸𝐼𝑦 6 2 𝑘s 𝐴𝐺 𝑘s 𝐴𝐺 wobei die Integrationskonstanten 𝑐1 , … , 𝑐4 unter Berücksichtigung der Randbedingungen angepasst werden müssen. Ein formal leicht anderer Lösungsansatz wird bei der Verwendung des Computeralgebrasystems Maxima erhalten, siehe Abb. 2.15. Jedoch können beide Ansätze nach kurzer Rechnung ineinander überführt werden. Basierend auf Gln. (2.22)-(2.23) kann der Verlauf des Biegemomentes und der Querkraft wie folgt angegeben werden: ( 𝑀𝑦 (𝑥) = −

𝑞𝑧 𝑥2 2

) + 𝑐 1 𝑥 + 𝑐2

−

( ) 𝑄𝑧 (𝑥) = − 𝑞𝑧 𝑥 + 𝑐1 .

>

𝑞𝑧 𝐸𝐼𝑦 𝑘s 𝐴𝐺

,

(2.24) (2.25)

sys_T := -E*I*((D@@2) (p)(x)) + G*A*K*((D@@1) (u)(x) + (p)(x)) = 0, -G*A*K*((D@@2) (u)(x) + (D@@1) (p)(x)) = q; 𝑠𝑦𝑠_𝑇 = −𝐸𝐼(D(2) )(𝑝)(𝑥) + 𝐺𝐴𝐾(D(𝑢)(𝑥) + (𝑝)(𝑥)) = 0, −𝐺𝐴𝐾((D(2) )(𝑢)(𝑥) + D(𝑝)(𝑥)) = 𝑞

>

dsolve( {sys_T}, {p(x), u(x)} ); _𝐶1𝑥2 𝑞𝑥3 𝐸𝐼_𝐶1 𝑞𝑥 {p(𝑥) = − − − _𝐶2𝑥 − _𝐶3 − − , 2 6𝐸𝐼 𝐺𝐴𝐾 𝐺𝐴𝐾 𝑞𝑥4 _𝐶1𝑥3 _𝐶2𝑥2 u(𝑥) = + + + _𝐶3𝑥 + _𝐶4} 24𝐸𝐼 6 2

Abb. 2.14 Lösung der Differenzialgleichungen des Timoshenko-Balkens mittels des Computeralgebrasystems MapleⓇ

2.2 Biegebalken

15

Solution of the coupled DEs for a Timoshenko beam with kAG, EI, q, m = const (%i1) (eqn_1)

eqn_1: -kAG*’diff(u(x),x,2)=q+kAG*’diff(phi(x),x); (

) ( ) d2 d u(𝑥) = 𝑘𝐴𝐺 𝜙(𝑥) +𝑞 d𝑥 d𝑥2 eqn_2: -kAG*’diff(u(x),x)=-m-EI*’diff(phi(x),x,2)+kAG*phi(x); −𝑘𝐴𝐺

(%i2) (eqn_2)

) ) ( 2 d d 𝜙(𝑥) + 𝑘𝐴𝐺 𝜙(𝑥) − 𝑚 u(𝑥) = −𝐸𝐼 d𝑥 d𝑥2 desolve([eqn_1, eqn_2], [u(x), phi(x)]); (

−𝑘𝐴𝐺

(%i3) (%o3)

( ( ) ) ( ) | | d d u(𝑥)| u(𝑥)| 𝑘𝐴𝐺𝑥3 d𝑥 − 𝑚 + 𝜙(0)𝑘𝐴𝐺 𝑥3 𝑘𝐴𝐺 d𝑥 |𝑥=0 |𝑥=0 − [u(𝑥) = − 24𝐸𝐼 8𝐸𝐼 ( ( ) ) ( ( ) ) | d 2 ( ) 𝑥2 2𝑘𝐴𝐺 d 𝜙(𝑥)|| 𝜙(𝑥)| 𝑥 + 2𝑞 𝑘𝐴𝐺 d𝑥 +𝑞 | d𝑥 |𝑥=0 |𝑥=0 d +𝑥 − u(𝑥)|| − d𝑥 24𝑘𝐴𝐺 6𝑘𝐴𝐺 |𝑥=0 ( ) | d 𝑥2 d𝑥 𝜙(𝑥)| 𝑞 𝑥4 𝜙(0)𝑘𝐴𝐺𝑥3 𝑞𝑥2 |𝑥=0 𝑚𝑥3 − + + − − + u(0), 4 24𝐸𝐼 8𝐸𝐼 8𝐸𝐼 4𝑘𝐴𝐺 ( ( ) ) ( ) | | d d 𝑘𝐴𝐺𝑥2 d𝑥 u(𝑥)| u(𝑥)| 𝑥2 𝑘𝐴𝐺 d𝑥 − 𝑚 + 𝜙(0)𝑘𝐴𝐺 |𝑥=0 |𝑥=0 + 𝜙(𝑥) = 6𝐸𝐼 3𝐸𝐼 ( ) | 𝑞𝑥3 𝜙(0)𝑘𝐴𝐺𝑥2 d 𝑚𝑥2 | +𝑥 − 𝜙(𝑥)| − + + 𝜙(0)] d𝑥 6𝐸𝐼 3𝐸𝐼 3𝐸𝐼 |𝑥=0

Abb. 2.15 Lösung der Differenzialgleichungen des Timoshenko-Balkens mittels des Computeralgebrasystems Maxima Für das Beispiel eines Kragarms mit Endquerkraft 𝐹0 ergibt sich die maximale Durchbiegung am Lastangriffspunkt zu: 𝑢𝑧 (𝑥 = 𝐿) =

𝐹 0 𝐿3 3𝐸𝐼𝑦

+

𝐹0 𝐿 𝑘s 𝐴𝐺

.

(2.26)

Die Spannungsverteilungen ergeben sich aus der Biegemomenten- bzw. Querkraftverteilung nach 𝑀𝑦 (𝑥) = +𝐸𝐼𝑦 Abb. 2.16): 𝜎𝑥 (𝑥, 𝑧) =

d𝜙𝑦 (𝑥)

𝑀𝑦 (𝑥) 𝐼𝑦

d𝑥

oder 𝑄𝑧 (𝑥) = +𝐸𝐼𝑦

× 𝑧(𝑥) , 𝜏𝑥𝑧 =

𝑄𝑧 (𝑥) 𝐴s

=

d2 𝜙𝑦 (𝑥)

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑘s 𝐴

d𝑥2

.

(siehe auch

(2.27)

16

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

Abb. 2.16 Spannungskomponenten für Timoshenko-Balken: (a) Normalspannung und (b) Schubspannung

2.2.3 Theorie nach Levinson Bei der Balkentheorie nach Levinson, einer Balkentheorie höherer Ordnung, handelt es sich um eine Erweiterung der Theorie für dicke Balken (siehe Abschnitt 2.2.2), wobei jetzt eine realistischere Schubspannungsverteilung als beim TimoshenkoBalken berücksichtigt wird (siehe Wang et al. 2000, Levinson 1981, Öchsner 2016b). Die allgemeine Konfiguration ist in Abb. 2.17 dargestellt. Neu ist hierbei, dass auf den Schubkorrekturfaktor verzichtet werden kann und nur zwei Faktoren (Quer𝐸 ) berücksichtigt werden. schnittsfläche 𝐴 und Schubmodul 𝐺 = 2(1+𝜈)

Abb. 2.17 Allgemeine Konfiguration eines Levinson-Balkens: (a) Beispiel von geometrischen Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt Schneidet man den Balken an einer beliebigen Stelle 𝑥 frei, werden die inneren Reaktionen als Querkräfte 𝑄𝑧 (𝑥) und Biegemomente 𝑀𝑦 (𝑥) sichtbar, siehe Abb. 2.18.

Abb. 2.18 Schnittreaktionen für Levinson-Balken

2.2 Biegebalken

17

Das gekoppelte System der Differenzialgleichungen ergibt sich durch Kombination der kontinuumsmechanischen Grundgleichungen, das heißt Kinematik, Stoffgesetz und Gleichgewicht (siehe Öchsner 2016b) zu: [

1𝜕 5 𝜕𝑥

( 𝐸𝐼𝑦

4

𝜕𝜙𝑦

𝜕 2 𝑢𝑧

)]

2

(

)

𝜕𝑢𝑧

− 𝐺𝐴 + 𝜙𝑧 = 0 , 3 𝜕𝑥 𝜕𝑥2 [ ( )] 𝜕𝑢𝑧 2𝜕 𝐴𝐺 − 𝑞𝑧 (𝑥) = 0 . − + 𝜙𝑦 3 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝑥

−

(2.28)

(2.29)

Unter der Voraussetzung konstanter Material- (𝐸, 𝐺) und Geometrieeigenschaften (𝐼𝑦 , 𝐴) kann, entsprechend der Vorgehensweise in Abschnitt 2.2.2, dieses System zu einer einzigen Gleichung zusammengefasst werden: 𝐸𝐼𝑦

𝜕 4 𝑢𝑧 (𝑥) 𝜕𝑥4

= 𝑞𝑧 (𝑥) −

6𝐸𝐼𝑦 𝜕 2 𝑞𝑧 (𝑥) 5𝐺𝐴 𝜕𝑥2

.

(2.30)

Durch Verwendung eines Computeralgebrasystems (zum Beispiel MapleⓇ , MatlabⓇ oder Maxima) ergibt sich für konstante Material- und Geometrieparamter 𝐸𝐼𝑦 , 𝐴𝐺 und konstante Streckenlast 𝑞𝑧 die Lösung zu: (

1

𝑞𝑧 𝑥4

𝑥3

)

𝑥2

+ 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 𝑥 + 𝑐4 , 24 6 2 ( ) 𝑥2 𝑞𝑧 𝑥3 𝑞𝑧 𝑥 𝑐1 1 𝜙𝑦 (𝑥) = − − . + 𝑐1 + 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 − 2 𝐸𝐼𝑦 6 2 𝐴𝐺 23 𝐴𝐺 3 𝑢𝑧 (𝑥) =

𝐸𝐼𝑦

(2.31)

(2.32)

Unter Berücksichtigung der Beziehung zwischen Schnittreaktionen und Spannungen (siehe Öchsner 2016b), ergibt sich hieraus der Verlauf des Biegemomentes und der Querkraft zu: ( 𝑀𝑦 (𝑥) = −

𝑞𝑧 𝑥2 2

) + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2

( ) 𝑄𝑧 (𝑥) = − 𝑞𝑧 𝑥 + 𝑐1 .

−

6𝑞𝑧 𝐸𝐼𝑦 5𝐴𝐺

,

(2.33) (2.34)

Für das Beispiel eines Kragarms mit Endquerkraft 𝐹0 und Rechteckquerschnitt ergibt sich die maximale Durchbiegung am Lastangriffspunkt zu: ( ) 𝐹0 𝐿3 𝐹0 𝐿3 (1 + 𝜈) ℎ2 𝐹0 𝐿3 3𝐹0 𝐿 = + + . (2.35) 𝑢𝑧 (𝑥 = 𝐿) = 3𝐸𝐼𝑦 4𝐸𝐼𝑦 3𝐸𝐼𝑦 2𝐴𝐺 𝐿2

18

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

Die Spannungsverteilungen ( (siehe Abb. 2.19) ) ergeben sich aus der Biegemomenten𝐸𝐼

𝜕𝜙 (𝑥)

𝜕 2 𝑢 (𝑥)

𝑦 bzw. der Querkraftverteilung 𝑄𝑧 (𝑥) = − 𝜕𝑥𝑧2 verteilung 𝑀𝑦 (𝑥) = 5 𝑦 4 𝜕𝑥 ) ( 𝜕𝑢𝑧 (𝑥) 2 für einen Rechteckquerschnitt (siehe Öchsner 2016b): 𝐺𝐴 𝜙𝑦 (𝑥) + 𝜕𝑥 3

𝜎𝑥 (𝑥, 𝑧) =

𝑀𝑦 (𝑥) 𝐼𝑦

× 𝑧(𝑥) , 𝜏𝑥𝑧 (𝑥, 𝑧) =

3 2

×

𝑄𝑧 (𝑥) 𝐴

×

ℎ2 − 4𝑧(𝑥)2 ℎ2

.

(2.36)

Abb. 2.19 Spannungskomponenten beim Levinson-Balken (Rechteckquerschnitt): (a) Normalspannung; (b) Schubspannung Zum Abschluss wird der Einfluss der verschiedenen Balkentheorien am Beispiel eines Kragarm mit Endquerkraft untersucht (siehe Abb. 2.10a). Für dieses Problem können die Randbedingungen als 𝑢𝑧 (0) = 0, 𝜑𝑦 (𝑜) = 0, 𝑀𝑦 (𝐿) = 0 und 𝑄𝑧 (𝐿) = 𝐹0 angegeben werden. Somit lassen sich die Integrationskonstanten in den allgemeinen Durchbiegungsverläufen nach Gln. (2.15), (2.22) und (2.31) bestimmen, sie3 2 𝐸 he Tabelle 2.2. Verwendet man die Beziehung 𝐺 = 2(1+𝜈) und 𝐼𝑦 = 𝑏ℎ = 𝐴ℎ 12 12 (Rechteckquerschnitt mit Breite 𝑏 und Höhe ℎ) und normiert man mit der maximalen Durchbiegung nach der Theorie von Euler-Bernoulli, ergeben sich die in Tabelle 2.2 dargestellten normierten Durchbiegungen am Lastangriffspunkt als Funktion des Schlankheitsgrades ℎ∕𝐿. Tabelle 2.2 Integrationskonstanten und normierte Durchbiegung nach den verschiedenen Balkentheorien für einen Kragarm mit Endquerkraft

Theorie

𝑐1

𝑐2

𝑐3

Euler-Bernoulli

−𝐹0

𝐹0 𝐿

0

Timoshenko

−𝐹0

𝐹0 𝐿

𝐸𝐼𝑦 𝐹0

Levinson

−𝐹0

𝐹0 𝐿

3𝐸𝐼𝑦 𝐹0

𝑘s 𝐴𝐺

2𝐴𝐺

𝑢𝑧 (𝐿)

𝑐4

0

𝐹 0 𝐿3 3𝐸𝐼𝑦

1 0

1+

0

1+

3(1 + 𝜈)

( )2 ℎ

𝐿 ( )2 3(1 + 𝜈) ℎ 5

4

𝐿

2.3 Vergleichsspannungshypothesen

19

Man kann Abb. 2.20 entnehmen, dass sich für schlanke Balken (d. h. 0 < 𝐿ℎ ≤ 0,1) praktisch keine Unterschiede nach den drei Theorien ergeben. Für kompakte Balken (d. h. 𝐿ℎ > 0,1) muss jedoch unter Umständen die Theorie nach Timoshenko oder Levinson herangezogen werden. 2,0

𝐹0

𝐹 0 𝐿3 3𝐸𝐼𝑦

Normierte Durchbiegung

𝑢𝑧 (𝐿)

𝐸,𝜈,𝐼,𝐴

1,5

1,0

Euler-Bernoulli Levinson Timoshenko

0,5

0,0 0,0

𝑘s = 56 , 𝜈 = 0,3 0,2

0,4

0,6

Schlankheitsgrad

0,8

1,0

ℎ 𝐿

Abb. 2.20 Vergleich der maximalen Durchbiegungen für einen Kragarm mit Endquerkraft nach den Theorien von Euler-Bernoulli, Timoshenko und Levinson Der Einfluss der unterschiedlichen Balkentheorien auf die Spannung wird in dem folgenden Kapitel näher untersucht.

2.3 Vergleichsspannungshypothesen Die Berücksichtigung der Spannungsmehrachsigkeit (siehe Gl. (2.17), (2.27) oder (2.36)) kann mittels einer sogenannten Vergleichsspannungshypothese erfolgen. Für duktile Werkstoffe kann die Hypothese nach von Mises (siehe Öchsner 2014) wie folgt angesetzt werden (siehe auch Abb. 2.21): √ 𝜎 2 + 3𝜏 2 = 𝑘t , (2.37) ⏟⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏟ 𝜎eff wobei hier der Spezialfall, dass nur eine einzige Normal- und Schubspannung wirken, betrachtet wurde. 𝑘t bezeichnet die Zugfließgrenze (experimenteller Wert) und 𝜎eff die Vergleichsspannung oder effektive Spannung. Alternativ kann Gl. (2.37)

20

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

auch in den Einheiten einer volumenspezifischen Energie formuliert werden (siehe Nash 1998, Öchsner 2016c), d. h. 𝑘2 ( ) × 𝜎 2 + 3𝜏 2 = t , 6𝐺 6𝐺 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟ 𝜋s 1

(2.38)

wobei es sich bei 𝜋 s um die spezifische Gestaltänderungsenergie handelt2 .

Abb. 2.21 𝜎-𝜏 Spannungsebene mit Vergleichsspannungshypothese nach von Mises Weiterhin sei hier noch angemerkt, dass aus Abb. 2.21 der Zusammenhang zwischen √ Schub- und Zugfließgrenze entnommen werden kann: 𝑘s = 𝑘t ∕ 3. Für den allgemeinen dreidimensionalen Fall kann die Hypothese nach von Mises wie folgt dargestellt werden3 √ 𝐹 (𝜎𝑖𝑗 ) =

1(

) ( ) 2 + 𝜎2 + 𝜎2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )2 + (𝜎𝑦 − 𝜎𝑧 )2 + (𝜎𝑧 − 𝜎𝑥 )2 + 3 𝜎𝑥𝑦 𝑦𝑧 𝑥𝑧 −𝑘t = 0 ,

2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟ 𝜎eff

(2.39) wobei die graphische Darstellung im Hauptspannungsraum in Abb. 2.22 geboten ist. Tabelle 2.3 illustriert, dass man bei einem mehrachsigen Spannungszustand eine Vergleichsspannung betrachten muss. Eine reine Betrachtung einzelner Komponenten ist nicht ausreichend. Man beachte bei Tabelle 2.3 die allgemeine Definition des Spannungstensors:

2 Die volumenspezifische Verzerrungsenergie 𝜋 (spezifische Formänderungsenergie oder spezifische Arbeit der inneren Kräfte) kann in eine spezifische Volumenänderungsenergie 𝜋 ◦ und eine spezifische Gestaltänderungsenergie 𝜋 s aufgespalten werden: 𝜋 = 𝜋 ◦ + 𝜋 s . 3 Man beachte die Notation 𝜎𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 und die Symmetrie 𝜎𝑥𝑦 = 𝜎𝑦𝑥 .

2.3 Vergleichsspannungshypothesen

21

Abb. 2.22 Hauptspannungsraum mit Vergleichsspannungshypothese nach von Mises ⎡ 𝜎𝑥 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧 ⎤ 𝜎𝑖𝑗 = ⎢𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜎𝑦𝑧 ⎥ . ⎥ ⎢ ⎣𝜎𝑥𝑧 𝜎𝑦𝑧 𝜎𝑧 ⎦

(2.40)

Tabelle 2.3 Vergleichsspannung nach von Mises für verschiedene Spannungszustände Spannungstensor von Mises Spannung

Bereich

𝜎𝑖𝑗

Gl. (2.39)

(𝑘init = 150) t

⎡100 0 0⎤ ⎢ 0 100 0⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 0 0 0⎦

100

elastisch

⎡100 0 0⎤ ⎢ 0 −100 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0⎦ ⎣ 0

173,2

plastisch

⎡200 0 20⎤ ⎢ 0 80 20⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 20 20 90⎦

125,3

elastisch

⎡200 0 20 ⎤ ⎢ 0 80 20 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 20 20 200⎦

129,3

elastisch

⎡100 0 20 ⎤ ⎢ 0 80 20 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 20 20 −80⎦

177,8

plastisch

Alternativ kann auch die Hypothese nach Tresca verwendet werden. Hiernach tritt plastisches Materialverhalten ein, sobald die größte Schubspannung einen Grenz-

22

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

wert erreicht (siehe Altenbach 2016, Mang und Hofstetter 2013). Für den Spezialfall einer einzigen Normalspannung und einer einzigen Schubspannung, kann die Hypothese nach Tresca wie folgt angesetzt werden (siehe Abb. 2.23): √ 𝜎 2 + 4𝜏 2 = 𝑘t . (2.41) ⏟⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏟ 𝜎eff

Abb. 2.23 𝜎-𝜏 Spannungsebene mit Vergleichsspannungshypothese nach Tresca

Weiterhin sei auch hier angemerkt, dass aus Abb. 2.23 der Zusammenhang zwischen Schub- und Zugfließgrenze entnommen werden kann: 𝑘s = 𝑘t ∕2. Für den allgemeinen dreidimensionalen Fall kann die Hypothese nach Tresca wie folgt dargestellt werden (1 ) 1 1 |𝜎 − 𝜎 | , |𝜎 − 𝜎 | , |𝜎 − 𝜎 | − 𝑘 = 0 , (2.42) 𝐹 (𝜎𝑖 ) = max 2| 3| 1| s 2| 1 2| 2 2| 3 wobei die graphische Darstellung im Hauptspannungsraum in Abb. 2.24 geboten ist.

Abb. 2.24 Hauptspannungsraum mit Vergleichsspannungshypothese nach Tresca

2.4 Übungsaufgaben

23

2.4 Übungsaufgaben 2.4.1. Vereinfachtes Modell eines Turms unter Eigengewicht Gegeben ist das vereinfachte Modell eines Turms als Stab, das sich unter dem Eigengewicht verformt, siehe Abb. 2.25. Der Turm hat die ursprüngliche Länge 𝐿, Querschnittsfläche 𝐴, Elastizitätsmodul 𝐸, und Dichte 𝜚. Die Erdbeschleunigung ist durch 𝑔 gegeben.

Abb. 2.25 Vereinfachtes Modell eines Turms unter Eigengewicht Man berechne: a) die Spannungsverteilung 𝜎𝑥 (𝑥) im Stab, b) die durch das Eigengewicht reduzierte Länge 𝐿′ = 𝐿 − 𝑢𝑥 (𝐿), c) die maximale Länge 𝐿max , falls eine gegebene Spannung 𝜎max im Fundament nicht überschritten werden darf. 2.4.2. Verlauf der Biegelinie und Maximalspannung für Kragarm mit unterschiedlicher Belastung Für den Kragarm in Abb. 2.26 berechne und skizziere man für beide Lastfälle den Verlauf der Biegelinie und der Maximalspannung (𝜎𝑥 ) entlang der Längsachse nach der Theorie von Euler-Bernoulli. Die geometrischen Abmessungen (𝐼, 𝐿) und der Materialparameter (𝐸) sind als gegeben und konstant anzunehmen. Zur Vereinfachung kann weiterhin von einem quadratischen Querschnitt (Seitenlänge: 𝑎) ausgegangen werden. 2.4.3. Verlauf von Biegelinie, Spannung und Dehnung für Bimaterial-Kragarm Für den Bimaterial-Kragarm in Abb. 2.27 berechne man den Verlauf der Biegelinie, der Spannung und Dehnung an der Oberseite entlang der Längsachse nach der Theorie von Euler-Bernoulli. Die geometrischen Abmessungen (𝐼, 𝐿) und die beiden Materialparameter (𝐸I und 𝐸II ) sind als gegeben anzunehmen. Zur Vereinfachung kann weiterhin von einem quadratischen Querschnitt (Seitenlänge: 𝑎) ausgegangen werden. Zur graphischen Darstellung der drei Verläufe kann 𝐸I = 2𝐸II gesetzt werden.

24

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

Abb. 2.26 Kragbalken mit Belastung durch (a) Einzelkraft 𝐹0 und (b) konstanter Streckenlast 𝑞0

Abb. 2.27 Bimaterial-Kragbalken mit Belastung durch Einzelkraft 𝐹0

2.4.4. Vergleich der maximalen Durchbiegungen eines Kragarms mit konstanter Streckenlast nach verschiedenen Balkentheorien Für einen Kragarm mit konstanter Streckenlast 𝑞0 (Rechteckquerschnitt mit Breite 𝑏 und Höhe ℎ, Balkenlänge 𝐿, 𝑞0 in negative 𝑧-Richtung) berechne man die normierte maximale Durchbiegung nach den Theorien von (a) Euler-Bernoulli, (b) Timoshenko (𝑘s = 5∕6) und (c) Levinson als Funktion des Schlankheitsgrades ℎ∕𝐿. Als Normierungsfaktor soll die Maximaldurchbiegung nach Euler-Bernoulli herangezogen werden. 2.4.5. Axiales Flächenmoment 2. Ordnung für Kreisring Man berechne das axiale Flächenmoment 2. Ordnung 𝐼 für einen Kreisring zuerst für eine dicke Wandstärke 𝑠 (siehe Abb. 2.28a). Anschließend ist das Ergebnis für einen dünnen Kreisring, d. h. 𝑠 ≪ 𝑟m , zu vereinfachen (siehe Abb. 2.28b). Für welches 𝑟 Verhältnis von 𝑠m ist der relative Fehler der Vereinfachung kleiner als 1%? Abschließend sind entsprechende Gleichungen für die Querschnittsfläche 𝐴 anzugeben.

2.4 Übungsaufgaben

25

Abb. 2.28 Axiales Flächenmoment 2. Ordnung für Kreisring: (a) dicke und (b) dünne Wandstärke

2.4.6. Axiales Flächenmoment 2. Ordnung für quadratisches Kastenprofil Man berechne das axiale Flächenmoment 2. Ordnung 𝐼 für ein quadratisches Kastenprofil zuerst für eine dicke Wandstärke 𝑠 (siehe Abb. 2.29a). Anschließend ist das Ergebnis für ein dünnes Kastenprofil, d. h. 𝑠 ≪ 𝑎m , zu vereinfachen (siehe Abb. 2.29b). 𝑎 Für welches Verhältnis von 𝑠m ist der relative Fehler der Vereinfachung kleiner als 1%?

Abb. 2.29 Axiales Flächenmoment 2. Ordnung für quadratisches Kastenprofil: (a) dicke und (b) dünne Wandstärke Abschließend sind entsprechende Gleichungen für die Querschnittsfläche 𝐴 anzugeben. 2.4.7. Allgemeine Lösung der Differenzialgleichungen des Timoshenko-Balkens mittels Computeralgebrasystemen Die gekoppelten Differenzialgleichungen des Timoshenko-Balkens nach Gln. (2.19)– (2.20) können mittels Computeralgebrasystemen recht einfach allgemein gelöst werden. Durch Verwendung von MapleⓇ erhält man folgende Darstellung:

26

2 Grundlagen der Festigkeitslehre

𝑞𝑥4

𝐶1𝑥3

𝐶2𝑥2

+ 𝐶3𝑥 + 𝐶4 , 24𝐸𝐼 6 2 𝑞𝑥 𝐸𝐼𝐶1 𝑞𝑥3 𝐶1𝑥2 − − 𝐶2𝑥 − 𝐶3 − − . 𝜙(𝑥) = − 6𝐸𝐼 2 𝐺𝐴𝐾 𝐺𝐴𝐾 u(𝑥) =

+

+

(2.43) (2.44)

Eine Berechnung mittels Maxima liefert jedoch folgende Darstellung (𝑚 = 0): ( ( ) ) ( ) | | d d + 𝜙(0)𝑘𝐴𝐺 u(𝑥)| u(𝑥)| 𝑘𝐴𝐺𝑥3 d𝑥 𝑥3 𝑘𝐴𝐺 d𝑥 |𝑥=0 |𝑥=0 − u(𝑥) = − 24𝐸𝐼( 8𝐸𝐼 ( ) ) ( ) 𝑥2 2𝑘𝐴𝐺 d 𝜙(𝑥)|| + 2𝑞 | d𝑥 |𝑥=0 d +𝑥 − u(𝑥)|| d𝑥 24𝑘𝐴𝐺 |𝑥=0 ( ( ) ) ( ) | | d d +𝑞 𝜙(𝑥)| 𝜙(𝑥)| 𝑥2 d𝑥 𝑥2 𝑘𝐴𝐺 d𝑥 |𝑥=0 |𝑥=0 − − 6𝑘𝐴𝐺 4 𝜙(0)𝑘𝐴𝐺𝑥3 𝑞𝑥2 𝑞 𝑥4 − − + u(0), (2.45) + 24𝐸𝐼 ( ( 8𝐸𝐼 )4𝑘𝐴𝐺 ) ( ) | | d d + 𝜙(0)𝑘𝐴𝐺 u(𝑥)| u(𝑥)| 𝑘𝐴𝐺𝑥2 d𝑥 𝑥2 𝑘𝐴𝐺 d𝑥 |𝑥=0 |𝑥=0 + 𝜙(𝑥) = 6𝐸𝐼 3𝐸𝐼 ) ( | 𝑞𝑥3 𝜙(0)𝑘𝐴𝐺𝑥2 d − +𝑥 𝜙(𝑥)|| + + 𝜙(0) . (2.46) d𝑥 6𝐸𝐼 3𝐸𝐼 |𝑥=0 Man zeige, dass beide Darstellungen ineinander überführt werden können. 2.4.8. Maximaler Unterschied zwischen von Mises und Tresca Man berechne den maximalen absoluten Fehler zwischen den Vergleichsspannungshypothesen nach von Mises und Tresca in der 𝜎-𝜏 Spannungsebene als Prozentsatz von 𝑘t . Weiterhin gebe man den maximalen relativen Fehler an. 2.4.9. Stab unter Zug- und Torsionsbelastung Für den in Abb. 2.30 dargestellten Stab (Länge 𝐿, Querschnittsfläche 𝐴, Elastizitätsmodul 𝐸, und Schubmodul 𝐺) berechne man die maximale Vergleichsspannung nach von Mises. Der Stab ist durch eine Einzelkraft 𝐹0 und durch ein Torsionsmoment 𝑀t belastet.

Literaturverzeichnis

27

Abb. 2.30 Stab unter Zug- und Torsionsbelastung: (a) allgemeine Konfiguration und (b) Querschnittsprofil

Literaturverzeichnis Altenbach, H.: Holzmann/Meyer/Schumpich Technische Mechanik Festigkeitslehre. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2016 Ashby, M, F., Jones, D, R, H.: Engineering Materials 1: An Introduction to Properties, Applications and Design. Amsterdam: Elsevier, 2005 Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W, A.: Technische Mechanik 2: Elastostatik. Berlin: Springer Vieweg, 2014 Levinson, M.: A New Rectangular Beam Theory. In: J Sound Vib 74 (1981), Heft 1, S. 81–87 Mang, H, A., Hofstetter, G.: Festigkeitslehre. Berlin: Springer Vieweg, 2013 Merkel, M., Öchsner, A.: Eindimensionale Finite Elemente: Ein Einstieg in die Methode. Berlin: Springer Vieweg, 2014 Nash, W, A.: Schaum’s Outline of Theory and Problems of Strength of Materials. New York: McGraw-Hill, 1998 Öchsner, A.: Elasto-Plasticity of Frame Structure Elements: Modeling and Simulation of Rods and Beams. Berlin: Springer, 2014 Öchsner, A.: Computational Statics and Dynamics: An Introduction Based on the Finite Element Method. Singapore: Springer, 2016 Öchsner, A.: Theorie der Balkenbiegung: Einführung und Modellierung der statischen Verformung und Beanspruchung. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2016b Öchsner, A.: Continuum Damage and Fracture Mechanics. Singapore: Springer, 2016c Timoshenko, S, P.: On the Correction for Shear of the Differential Equation for Transverse Vibrations of Prismatic Bars. In: Philos Mag 41 (1921), Heft 245, S. 744–746. Timoshenko, S, P.: On the Transverse Vibrations of Bars of Uniform Cross-Section. In: Philos Mag 43 (1922), Heft 253, S. 125–131 Wang, C, M., Reddy, J, N., Lee, K, H.: Shear Deformable Beams and Plates: Relationships with Classical Solution. Oxford: Elsevier, 2000

29

Kapitel 3

Stoffleichtbau

Zusammenfassung In diesem Kapitel wird der sogenannte Stoffleichtbau näher betrachtet. Hierbei wird das Leichtbaupotenzial hauptsächlich durch die Werkstoffauswahl bestimmt. Somit bleibt die Geometrie eines Bauteils zuerst unverändert. Mittels der Leichtbaukennzahl und der spezifischen Energieabsorption werden verschiedene Konfigurationen hinsichtlich ihres Leichtbaupotenzials beurteilt.

3.1 Technische Fragestellung Die verschiedenen Leichtbaukonzepte werden im Folgenden am Beispiel eines Kragarms mit unterschiedlichen äußeren Belastungen erläutert, siehe Abb. 3.1. Hierbei handelt es sich um die grundlegenden Lastfälle von Zug, Torsion und Biegung. Als beschreibende Variablen kommen folgende Größen in Betracht, wobei bewusst eine mögliche Abhängigkeit von der Längsachse miteinbezogen wurde (siehe Öchsner 2016b): • Werkstoff 𝑖 mit Elastizitätsmodul 𝐸𝑖 (𝑥), Schubmodul 𝐺𝑖 (𝑥) und Dichte 𝜚𝑖 (𝑥), • Querschnitt mit Fläche 𝐴(𝑥) und axialem Flächenmoment 2. Ordnung 𝐼𝑦 (𝑥) für Rechteckquerschnitt mit Breite 𝑏(𝑥) und Höhe ℎ(𝑥) (Zug/Druck und Biegung), polares Flächenmoment 2. Ordnung für Kreisquerschnitt mit Durchmesser 𝑑(𝑥) (Torsion), • Länge 𝐿, • Randbedingungen und Belastungen. Grundgedanke ist hier, die einfachen eindimensionalen Strukturelemente Stab und Balken, die aus der Festigkeitslehre bekannt sind, heranzuziehen und die grundlegenden Konzepte und Ideen des Leichtbaus einzuführen. Hierbei kann weitgehend auf die Anwendung komplexer Softwarepakete oder numerischer Optimierungsalgorithmen verzichtet werden. Beim Stoffleichtbau wird das Leichtbaupotenzial hauptsächlich durch die Werkstoffauswahl bestimmt. Somit bleibt hier die Geometrie eines Bauteils zuerst unverändert.

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 A. Öchsner, Stoff- und Formleichtbau, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1_3

30

3 Stoffleichtbau

Abb. 3.1 Allgemeine Konfiguration eines Kragarms mit verschiedenen äußeren Belastungen: (a) Zugkraft; (b) Torsionsmoment; (b) Querkraft

3.2 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl Zur Charakterisierung der Güte einer Leichtbaukonstruktion findet im Folgenden zuerst die sogenannte Leichtbaukennzahl 𝑀 nach Klein (2009) Verwendung: 𝑀=

𝐹0 𝐹G

,

(3.1)

3.2 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

31

wobei folgende Anmerkungen zu machen sind: • äußere Kraft 𝐹0 (multipliziert mit Sicherheitsfaktor SF), • Gewichtskraft 𝐹G = 𝑚𝑔 = 𝑉 𝜚𝑔, für Masse 𝑚 = konst., • dimensionslose Kennzahl; je größer der Zahlenwert, umso effizienter ist die Leichtbaukonstruktion. • Alternativer Ansatz nach Ashby (2011): Masse 𝑚 und nicht 𝐹G . Das Konzept der Leichtbaukennzahl und der zugehörigen Abschätzung des Leichtbaupotenzials kann auch auf andere Fragestellungen angewandt werden. Für Stabilitätsprobleme, das heißt für das Knicken schlanker Stäbe oder das Beulen dünnwandiger Rohre oder Platten, kann die äußere Kraft 𝐹0 in Gl. (3.1) durch die sogenannte 𝐹 kritische Kraft (Knickkraft) 𝐹K ersetzt werden: 𝑀 = 𝐹K . G

Für das Beispiel des Zugstabes nach Abb. 3.2 ergibt sich eine konstante Normalkraftverteilung und somit eine konstante Spannung entlang des gesamten Zugstabes.

Abb. 3.2 (a) Allgemeine Konfiguration eines Kragarms mit Zugkraft und (b) Querschnittsfläche Somit kann der Grenzwert der Tragfähigkeit dadurch definiert werden, dass die Spannung einen Materialkennwert (hier die 0,2-%-Dehngrenze oder Elastizitätsgrenze 𝑅p0,2 , siehe Tabelle 2.1) erreicht: 𝜎𝑥 =

𝑁𝑥

𝐹0

!

= 𝑅p0,2 .

(3.2) 𝐴 𝐴 Daher kann in der Definition der Leichtbaukennzahl nach Gl. (3.1) die äußere Kraft 𝐹0 durch Material- und Geometrieparameter ersetzt werden: 𝑀=

𝐹0 𝐹G

=

=

𝐴𝑅p0,2 𝐴𝐿𝜚𝑔

=

𝑅p0,2 𝜚𝑔𝐿

∼

𝑅p0,2 𝜚

.

(3.3)

Basierend auf der Definition nach Gl. (3.3) und den Kennwerten nach Tabelle 2.1 ist das Leichtbaupotenzial von Edelstahl (St), Al- und Ti-Legierungen in Abb. 3.3 ver-

32

3 Stoffleichtbau

gleichend dargestellt. Man erkennt, dass das größte Leichtbaupotenzial nicht durch den leichtesten Werkstoff (Al), sondern durch die Ti-Legierung erzielt wird.

2

×105 𝐹0

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

1,5

1

0,5

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.3 Leichtbaukennzahl für Zugstab aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Spannungskriterium Wichtig ist, dass die Ergebnisse in Abb. 3.3 nicht die gleichen Konfigurationen vergleichen. Äußere Lasten und Gewichtskräfte sind verschieden (jedoch bei gleicher Stabgeometrie), da die maximal mögliche Leichtbaukennzahl ausgewertet wurde, siehe Tablle 3.1. Tabelle 3.1 Äußere Lasten und Gewichtskräfte zur Berechnung der Leichtbaukennzahl nach Abb. 3.3 𝐹0 , N

𝐹G , N

𝑀, –

Edelstahl

39300

0,76518

51360,5

Al-Legierungen

36400

0,26978

134927,3

Ti-Legierungen

75000

0,46107

162665,1

Als alternatives Grenzwertkriterium kann auch gefordert werden, dass die maximale Verschiebung einen vordefinierten Wert nicht übersteigen soll: 𝑢𝑥 (𝑥 = 𝐿) =

𝐹0 𝐿 𝐸𝐴

!

= 𝑢max .

(3.4)

Somit kann auch hier in der Definition der Leichtbaukennzahl nach Gl. (3.1) die äußere Kraft 𝐹0 durch Material- und Geometrieparameter beziehungsweise durch die maximale Verschiebung ersetzt werden:

3.2 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

𝑀=

𝐹0 𝐹G

33

𝐸𝐴𝑢max

=

𝐿(𝐴𝐿𝜚𝑔)

=

𝐸𝑢max

∼

𝜚𝑔𝐿2

𝐸 𝜚

.

(3.5)

Basierend auf dieser Definition als Verschiebungskriterium (𝑢max ) sind die Leichtbaukennzahlen in Abb. 3.4 vergleichend dargestellt. Für diesen Fall hat nun der leichteste Werkstoff (Al) das größte Leichtbaupotenzial. 2

×105 𝐹0

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

1,5

1

0,5

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.4 Leichtbaukennzahl für Zugstab aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Verschiebungskriterium (𝑢max = 0,2 mm und 𝜎max < 𝑅p0,2 ) Als weitere Möglichkeit der Definition eines Grenzwertes kann gefordert werden, dass die äußere Belastung einen Maximalwert nicht überschreiten soll: !

𝐹0 = 𝐹max .

(3.6)

Mit dieser Bedingung ergibt sich die Definition der Leichtbaukennzahl zu (siehe auch Abb. 3.5): 𝑀=

𝐹0 𝐹G

=

𝐹max 𝜚𝐴𝐿𝑔

∼

1 𝜚

.

(3.7)

Bei dieser Annahme ergibt sich, dass der leichteste Werkstoff (→ Dichte) das maximale Leichtbaupotenzial aufweist. Zu beachten ist, dass bei Auftreten einer Streckenlast (siehe Abb. 2.4, 𝑝𝑥 (𝑥)) die Anwendung der Leichtbaukennzahl nach Gl. (3.1) nur schwer erfolgen kann, da eine verteilte Last mit der Einheit Kraft pro Länge nicht in der Definition vorgesehen ist. Eine Integration über die verteilte Last könnte hier als Näherung verwendet werden. Für das Beispiel des Torsionsstabes nach Abb. 3.1b kann eine Anwendung der Leichtbaukennzahl nach Gl. (3.1) nicht erfolgen, da das externe Torsionsmoment nicht im Zähler (→ 𝐹0 ) eingebracht werden kann. Am Ende dieses Unterkapitels ist

34

3 Stoffleichtbau 2

×105 𝐹0

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

1,5

1

0,5

0 Al

St

Ti

Werkstoff

Abb. 3.5 Leichtbaukennzahl für Zugstab aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Belastungskriterium (𝐹0 = 33000 N ∧ 𝜎max < 𝑅p0,2 )

ein alternativer Ansatz aufgezeigt, um diese Limitierung zu überwinden.

Abb. 3.6 (a) Allgemeine Konfiguration eines dünnen Kragarms mit Querkraft und (b) Querschnittsfläche

Für das Beispiel des Biegebalkens nach Abb. 3.6 ergibt sich das maximale Biegemoment und somit die maximale Biegespannung an der Einspannstelle, das heißt bei 𝑥 = 0. Somit kann der Grenzwert der Tragfähigkeit dadurch definiert werden, dass die maximale Spannung einen Materialkennwert (hier die 0,2-%-Dehngrenze oder Elastizitätsgrenze 𝑅p0,2 , siehe Tabelle 2.1) erreicht: 𝜎𝑥,max =

𝑀𝑦 (𝑥 = 0) 𝐼𝑦

×

ℎ 2

=

𝐹0 𝐿 𝐼𝑦

×

ℎ 2

=

6𝐹0 𝐿 𝑏ℎ2

!

= 𝑅p0,2 .

(3.8)

Somit kann in der Definition der Leichtbaukennzahl nach Gl. (3.1) die äußere Kraft 𝐹0 durch Material- und Geometrieparameter ersetzt werden:

3.2 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

𝑀=

𝐹0 𝐹G

=

35

𝑅p0,2

∼

6𝜚𝑔 𝐿ℎ

2

𝑅p0,2 𝜚

.

(3.9)

Alternativ ergibt sich nach Ashby (2011) durch Elimination von ℎ in Gl. (3.9) die folgende Beziehung: 𝑀 ∼ (𝑅p0,2 )2∕3 ∕𝜚. Basierend auf der Definition nach (3.9) und den Kennwerten nach Tabelle 2.1 ist das Leichtbaupotenzial von Edelstahl (St), Al- und Ti-Legierungen in Abb. 3.7 vergleichend dargestellt. Man erkennt, dass das größte Leichtbaupotenzial nicht durch den leichtesten Werkstoff (Al), sondern durch die Ti-Legierung erzielt wird. 3000

𝐹0

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐸,𝐼,𝐿,𝜚

2000

1000

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.7 Leichtbaukennzahl für Kragarm (Euler-Bernoulli) aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Spannungskriterium Die beim Spannungskriterium nach Gl. (3.9) erreichten maximalen Durchbiegungen und die entsprechenden äußeren Belastungen sind in Abb. 3.8 vergleichend dargestellt. Abschließend sei hier angemerkt, dass die Ergebnisse in Abb. 3.7 und 3.8 nicht die gleichen Konfigurationen vergleichen. Äußere Lasten und Gewichtskräfte sind verschieden (jedoch bei gleicher Balkengeometrie), da die maximal mögliche Leichtbaukennzahl ausgewertet wurde, siehe Tablle 3.2. Als alternatives Grenzwertkriterium kann auch gefordert werden, dass die maximale Durchbiegung einen vordefinierten Wert nicht übersteigen soll: 𝑢𝑧 (𝑥 = 𝐿) =

|𝐹0 |𝐿3 3𝐸𝐼𝑦

=

4|𝐹0 |𝐿3 𝐸𝑏ℎ3

!

= 𝑢max .

(3.10)

Somit kann auch hier in der Definition der Leichtbaukennzahl nach Gl. (3.1) die äußere Kraft 𝐹0 durch Material- und Geometrieparameter beziehungsweise durch die maximale Durchbiegung ersetzt werden:

36

3 Stoffleichtbau (b)

(a)

1500

𝐹0

Äußere Belastung |𝐹0 | in N

Durchbiegung |𝑢𝑥 (𝐿)| in mm

6 𝐸,𝐼,𝐿,𝜚

4

2

𝐹0 𝐸,𝐼,𝐿,𝜚

1000

500

0

0 St

Al

Ti

St

Al

Werkstoff

Ti

Werkstoff

Abb. 3.8 (a) Maximale Durchbiegung und (b) äußere Belastung für Kragarm (EulerBernoulli) aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Spannungskriterium (𝜎max = 𝑅p0,2 ) Tabelle 3.2 Äußere Lasten und Gewichtskräfte zur Berechnung der Leichtbaukennzahl nach Abb. 3.7 𝐹0 , N

𝐹G , N

𝑀, –

Edelstahl

655

0,76518

856,0

Al-Legierungen

606,7

0,26978

2248,8

Ti-Legierungen

1250

0,46107

2711,1

𝑀=

𝐹0 𝐹G

=

𝐸ℎ2 |𝑢max | 4𝜚𝑔𝐿4

∼

𝐸 𝜚

.

(3.11)

Basierend auf dieser Definition als Verschiebungskriterium (𝑢max ) sind die Leichtbaukennzahlen in Abb. 3.9 vergleichend dargestellt. Für diesen Fall hat nun der leichteste Werkstoff (Al) das größte Leichtbaupotenzial. Als weitere Möglichkeit der Definition eines Grenzwertes kann gefordert werden, dass die äußere Belastung einen Maximalwert nicht überschreiten soll: !

𝐹0 = 𝐹max .

(3.12)

Mit dieser Bedingung ergibt sich die Definition der Leichtbaukennzahl zu (siehe auch Abb. 3.10): 𝑀=

𝐹0 𝐹G

=

|𝐹max | 𝜚𝐴𝐿𝑔

∼

1 𝜚

.

(3.13)

3.2 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl 3000

37 𝐹0

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐸,𝐼,𝐿,𝜚

2000

1000

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.9 Leichtbaukennzahl für Kragarm (Euler-Bernoulli) aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Verschiebungskriterium (𝑢max = −1 mm und 𝜎max < 𝑅p0,2 )

Bei dieser Annahme ergibt sich, dass der leichteste Werkstoff (→ Dichte) das maximale Leichtbaupotenzial aufweist.

3000

𝐹0

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐸,𝐼,𝐿,𝜚

2000

1000

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.10 Leichtbaukennzahl für Kragarm (Euler-Bernoulli) aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Belastungskriterium (𝐹0 = −500 N ∧ 𝜎max < 𝑅p0,2 ) Die unterschiedlichen Formulierungen der Leichtbaukennzahlen 𝑀 auf Grund der verschiedenen Grenzwertbedingungen, das heißt 𝑀(𝜎max ) ∼

𝑅p0,2 𝜚

, 𝑀(𝑢max ) ∼

sind vergleichend in Abb. 3.11 dargestellt.

𝐸 𝜚

, 𝑀(𝐹max ) ∼

1 𝜚

,

(3.14)

38

3 Stoffleichtbau 𝜎max

𝑢max

𝐹max

Leichtbaukennzahl 𝑀

3000

2000

1000

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.11 Vergleich der Leichtbaukennzahlen für Kragarm (Biegung, EulerBernoulli) bei verschiedenen Grenzwertbedingungen (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm)

Das folgende Beispiel in Abb. 3.12 zeigt, wie eine kombinierte äußere Belastung berücksichtigt werden kann. Bei einer Belastung mittels einer Quer- und Axialkraft, muss das Strukturelement als eine Kombination aus Stab und Balken aufgefasst werden.

Abb. 3.12 Dünner Kragarm mit kombinierter Belastung aus Quer- und Axialkraft: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Querschnittsfläche

Somit müssen die beiden Normalspannungskomponenten auf Grund der Biege- und Druckbelastung zur Gesamtspannung überlagert werden, siehe Abb. 3.13. Die maximale Spannung ergibt sich hierbei an der Einspannstelle 𝑥 = 0, auf der Unterseite (𝑧 = − ℎ2 ) zu:

3.2 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

39

Abb. 3.13 Überlagerung der Normalspannungskomponenten zur Gesamtspannung

𝜎𝑥,max = 𝜎𝑥 (𝑥 = 0, 𝑧 =

=−

𝐹0 𝐿 𝐼𝑦

×

ℎ 2

−

− ℎ2 )

𝛼𝐹0 𝐴

=

(

𝑀𝑦 (𝑥 = 0)

)

𝑁𝑥 (𝑥 = 0) × − + 𝐼𝑦 2 𝐴 ⏟⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏟ ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟ Druck (

= −𝐹0

Biegung

𝐿ℎ 2𝐼𝑦

+

𝛼 𝐴

ℎ

) .

(3.15)

Zur Berechnung der Leichtbaukennzahl nach Gl. (3.1) muss die gesamte äußere Kraft zuerst durch Vektoraddition bestimmt werden, siehe Abb. 3.14.

Abb. 3.14 Vektoraddition der Kraftkomponenten zur Gesamtkraft

Somit ergibt sich die Leichtbaukennzahl bei kombinierter Belastung zu (siehe auch Abb. 3.15): √ √ 𝑅p0,2 1 + 𝛼 2 𝑅𝑝0,2 1 + 𝛼 2 𝐹0 𝑀= =( 2 , (3.16) ∼ ) 6𝐿 𝐹G 𝜚 + |𝛼|𝐿 𝜚𝑔 ℎ wobei das Verhältnis 𝛼 eine Unterscheidung zwischen Druck- (𝛼 > 0) und Zugkraft (𝛼 < 0) erlaubt. Jedoch ist Gl. (3.16) auf Grund des Betrages für beide Fälle gültig. Weiterhin wurde hierbei angenommen, dass die Zug- und Druckfließgrenzen identisch sind. Im Folgenden wird hier noch der Querkraftschub nach der Timoshenko-Balkentheorie berücksichtigt. Nimmt man eine Spannungsverteilung nach Abb. 2.16 an, ergibt sich, dass zwei unterschiedliche Spannungskomponenten wirken und eine einfache Addition wie in Abb. 3.13 nicht möglich ist. Vielmehr muss hier mit einer Vergleichsspannungshypothese ein skalarer Wert berechnet werden, der mit einem einachsigen Materialkennwert verglichen werden kann. Nimmt man die Hypothese

40

3 Stoffleichtbau 2000

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝛼 < 0: Axialkraft als Zug 𝛼 > 0: Axialkraft als Druck

1000

Stahl 0 −2

−1

0

1

2

Verhältnis 𝛼

Abb. 3.15 Leichtbaukennzahl für Kragarm bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Spannungskriterium für verschiedene Lastverhältnisse von Quer- zu Axialkraft. Die punktierte Linie bezieht sich auf den Referenzfall in Abb. 3.7

nach von Mises als Grundlage, ergibt sich das Maximum der Vergleichsspannung nach Gl. (2.37) an der Balkenober- oder -unterseite zu: √ √( )2 )2 ( √ 𝑅p0,2 √ 6𝐹0 𝐿 6𝐹0 √ +3 = 𝑅p0,2 ⇒ 𝐹0 = √ . 2 ( )2 ( )2 5𝑏ℎ 𝑏ℎ 6𝐿 6 + 3 5𝑏ℎ 𝑏ℎ2

(3.17)

Somit ergibt sich die Leichtbaukennzahl unter Annahme eines Spannungskriteriums zu: 𝑀=

𝐹0 𝐹G

=√

𝑅p0,2 36𝐿2 ℎ2

+

108 24

∼ × 𝜚𝑔𝐿

𝑅p0,2 𝜚

.

(3.18)

Abbildung 3.16 zeigt die Auswirkung auf die Leichtbaukennzahl für einen schlanken (𝐿 ≫ 𝑏, ℎ) und kompakten Balken (𝐿 ∼ 𝑏, ℎ) und Abb. 3.17 die entsprechenden Verhältnisse von Normal- und Schubspannung. Entsprechend der Vorgehensweise beim Timoshenko-Balken, kann auch die Schubspannung nach der Theorie nach Levinson berücksichtigt werden. Nach Abb. 2.19 tritt hierbei eine linear verteilte Normalspannung und eine parabelförmige Schubspannung auf. Somit kann hier nicht a priori die Lage des Maximums der Vergleichsspannung angegeben werden (falls ein Spannungskriterium zur Berechnung

3.2 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

41 (b)

(a) 4

8

×10

8

×104 𝐿 = 20 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm

Leichtbaukennzahl 𝑀

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm 6

4

2

0

6

4

2

0 St

Al

Ti

St

Al

Werkstoff

Ti

Werkstoff

Abb. 3.16 Leichtbaukennzahl für Kragarm aus verschiedenen Werkstoffen nach der Timoshenko-Balkentheorie und Spannungskriterium (𝜎max = 𝑅p0,2 ): (a) 𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm und (b) 𝐿 = 20 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm (b) 800

Spannung |𝜎𝑥 | oder |𝜏𝑥𝑧 | in MPa

Spannung |𝜎𝑥 | oder |𝜏𝑥𝑧 | in MPa

(a) 𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑧

600

400

200

0 St

Al

800 𝐿 = 20 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑧

600

400

200

0

Ti

St

Al

Ti

Werkstoff

Werkstoff

Abb. 3.17 Spannungskomponenten für Kragarm aus verschiedenen Werkstoffen nach der Timoshenko-Balkentheorie und Spannungskriterium (𝜎max = 𝑅p0,2 ): (a) 𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm und (b) 𝐿 = 20 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm

der Leichtbaukennzahl verwendet werden soll). Für die Balkenkonfiguration nach Abb. 3.1c ergibt sich der Biegemomenten- und Querkraftverlauf zu: 𝑀𝑦 (𝑥) = 𝐹0 (𝑥 − 𝐿) ,

(3.19)

𝑄𝑧 (𝑥) = −𝐹0 .

(3.20)

42

3 Stoffleichtbau

Somit kann unter Annahme der von Mises-Hypothese nach Gl. (2.37) (siehe Öchsner (2014)) und den Ausdrücken für die Normal- und Schubspannung nach Gl. (2.36) die Vergleichsspannung wir folgt angesetzt werden:

𝜎eff

√ √( )2 )2 ( √ √ 𝑀𝑦 3𝑄𝑧 ℎ2 − 4𝑧2 2 2 √ = 𝜎 + 3𝜏 = 𝑧 +3 𝐼𝑦 2𝐴 ℎ2 √ √( )2 )2 ( √ √ 𝐹0 (𝑥 − 𝐿) 3𝐹0 ℎ2 − 4𝑧2 𝑧 +3 − . =√ 𝐼𝑦 2𝐴 ℎ2 √

(3.21)

(3.22)

Aus obiger Gleichung ergibt sich, dass das Maximum an der Einspannstelle, d. h. bei 𝑥 = 0, auftreten muss. Berücksichtigt man weiterhin einen quadratischen Querschnitt mit Seitenlänge ℎ, ergibt sich 𝐼𝑦 = ℎ4 ∕12 = 𝐴ℎ2 ∕12. Somit ergibt sich die Vergleichsspannung zu: √ √( )2 )2 ( √ 𝐹0 √ 12𝐿𝑧 3(ℎ2 − 4𝑧2 ) √ +3 , (3.23) 𝜎eff = 𝐴 ℎ2 2ℎ2 beziehungsweise in einer normierten Darstellung: √ √( [ ]) [ ]2 2 √ 2 ⎛3 ⎛ 𝜎eff √ 𝑧 ⎞⎞ √ 6𝐿 𝑧 ⎟⎟ . ⎜ ⎜1 − √ = + 3 𝐹0 ℎ ⎟⎟ ⎜2 ⎜ ℎ ℎ ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 2 𝐴

(3.24)

Die Auswertung dieser Beziehung für verschiedene Verhältnisse von Höhe zu Länge ist in Abb. 3.19 gezeigt. Man erkennt, dass mit zunehmender Verkürzung des Balkens die Signifikanz der Schubspannung im Verhältnis zur Normalspannung zunimmt. Die Schubspannung bleibt zwar konstant, jedoch verringert sich die Größe der Normalspannung (kürzerer Hebelarm zur Einspannstelle). Die wichtigste Schlussfolgerung ist jedoch, dass das Maximum der Vergleichsspannung an der Ober- bzw. Unterseite des Balkens auftritt. Somit würde die Auswertung der maximalen Leichtbaukennzahl mittels eines Spannungskriteriums keinen Unterschied zu der Theorie für schlanke Balken ergeben. Interessanter ist jedoch der Fall mit einem Verschiebungskriterium. Nach Gleichung (2.35) ergibt sich die wirkende Kraft bei einer vorgegebenen Verschiebung für einen quadratischen Querschnitt (ℎ) zu: 𝐹0 =

|𝑢max | 4𝐿3 𝐸ℎ4

+

3𝐿 2ℎ2 𝐺

.

Somit kann die Leichtbaukennzahl wie folgt angegeben werden:

(3.25)

3.2 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

𝑀=(

43

|𝑢max | 4𝐿4 𝐸ℎ2

+

3𝐿2 2𝐺

)

𝜚𝑔

.

(3.26)

Aus Abb. 3.18 erkennt man, dass sich für kompakte Levinson-Balken deutliche Unterschiede zur Theorie nach Euler-Bernoulli ergeben. (b)

(a)

5

1000 Euler-B Levinson

600

400

200

𝐿 = 20 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm

Leichtbaukennzahl 𝑀

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm 800

×105 Euler-B Levinson

4

3

2

1

0

0 St

Al

Werkstoff

Ti

St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.18 Leichtbaukennzahl für Kragarm aus verschiedenen Werkstoffen und Längen (𝐿 = 100 mm oder 𝐿 = 20, 𝑏 = ℎ = 10 mm) nach der Levinson-Theorie und Verschiebungskriterium (𝑢max = −1 mm und 𝜎max < 𝑅p0,2 )

44

3 Stoffleichtbau (a) 60

Vergleichsspannung

𝜎eff 𝐹0 ∕𝐴

𝜎eff (𝜎,𝜏) 𝜎eff (𝜎) 𝜎eff (𝜏) 40

ℎ = 0,1𝐿

20

0 −1

−0,5

0

Koordinate

0,5

1

0,5

1

0,5

1

𝑧 ℎ∕2

(b)

Vergleichsspannung

𝜎eff 𝐹0 ∕𝐴

10 𝜎eff (𝜎,𝜏) 𝜎eff (𝜎) 𝜎eff (𝜏)

8

ℎ = 0,6𝐿

6

4

2

0 −1

−0,5

0

Koordinate

𝑧 ℎ∕2

(c)

Vergleichsspannung

𝜎eff 𝐹0 ∕𝐴

8 𝜎eff (𝜎,𝜏) 𝜎eff (𝜎) 𝜎eff (𝜏)

6

ℎ = 0,9𝐿 4

2

0 −1

−0,5

0

Koordinate

𝑧 ℎ∕2

Abb. 3.19 Vergleichsspannungen für Levinson-Balken bei verschiedenen Verhältnissen von Höhe zu Länge: (a) schlank mit 𝐿ℎ = 0,1; (b) kompakt mit 𝐿ℎ = 0,6; (c) kompakt mit

ℎ 𝐿

= 0,9

3.3 Abschätzung mittels spezifischer Energieabsorption

45

3.3 Abschätzung mittels spezifischer Energieabsorption Die bisherigen Ausführungen lassen jedoch auch einige Nachteile im Zusammenhang mit der Definition der Leichtbaukennzahl 𝑀 (siehe Gl. (3.1)) erkennen: • Komplizierte Belastungsfälle lassen sich gegebenenfalls nicht zu einer resultierenden äußeren Kraft zusammenfassen; • die Berücksichtigung verteilter Streckenlasten ist direkt nicht möglich; • die Berücksichtigung von äußeren Biege- oder Torsionsmomenten ist nicht möglich; • die Berücksichtigung plastischen Materialverhaltens ist schwierig, da zum Beispiel im Falle der idealen Plastizität die Verformung bei gleichbleibender äußeren Kraft zunimmt. Daher soll im Folgenden ein alternativer Ansatz eingeführt werden. Die spezifische Energieabsorption (𝑆𝐸𝐴) erlaubt die Berücksichtigung der oben angesprochenen Limitierungen und kann wie folgt angesetzt werden Π

, (3.27) 𝑚 wobei es sich bei Π um die sog. Verzerrungs- oder Formänderungsenergie handelt und 𝑚 die Masse des Bauteils darstellt. Diese Kennzahl wird zur Beurteilung des Crashverhaltens von Leichtbaustrukturen häufig verwendet (siehe Kim 2002, Warrior et al. 2004, Rezvani und Jahan 2015). Die Definition der totalen Verzerrungsenergie Π lässt sich am einachsigen Zugversuch anschaulich als Fläche unter dem Kraft-Verschiebungs-Diagramm (siehe Abb. 3.20a) darstellen. 𝑆𝐸𝐴 =

Abb. 3.20 Messdaten aus Zugversuch: (a) Kraft-Verschiebungs-Diagramm; (b) Spannungs-Dehnungs-Diagramm Anschaulich ergibt sich die totale Verzerrungsenergie – basierend auf der äußeren Kraft – zu

46

3 Stoffleichtbau

1

Π=

2

𝐹0 𝑢0 ,

(3.28)

oder über folgenden integralen Ansatz: 𝑢0

Π=

𝑢0

𝐹 (𝑢)d𝑢 =

∫ 0

𝐸𝐴

∫

𝐿

0

𝑢d𝑢 =

𝐸𝐴 2𝐿

𝑢20 =

𝐹02 𝐿 2𝐸𝐴

=

1 2

𝐹0 𝑢0 .

(3.29)

Alternativ kann die Verzerrungsenergie auch mittels der inneren Kräfte, d. h. der Normalkraftverteilung, formuliert werden, siehe Abb. 3.20b. Hierzu bietet es sich an, über die spezifische Verzerrungsenergie zu integrieren: 𝐸𝜀2

dΠ = d𝜋d𝑉 = 𝜎d𝜀 d𝑉 = 𝐸𝜀d𝜀 d𝑉 =

d𝑉 =

2

𝜎2 2𝐸

(𝐴d𝑥) =

𝑁2 2𝐸𝐴

d𝑥 .

(3.30)

Entsprechende Gleichungen können für andere Deformationsmechanismen einer Stab/Balkenstruktur abgeleitet werden und sind im Folgenden für linear-elastisches Materialverhalten zusammengefasst, siehe Öchsner 2018: • Zug oder Druck: 𝐿

Π=

𝑁𝑥 (𝑥)2

∫

2𝐸𝐴

0

d𝑥 .

(3.31)

d𝑥 .

(3.32)

• Biegung: 𝐿

Π=

𝑀𝑦 (𝑥)2

∫

2𝐸𝐼𝑦

0

• Schub:

𝐿

Π=

∫ 0

𝑄𝑧 (𝑥)2 2𝐺𝐴s

• Torsion:

𝐿

Π=

∫

𝐿

d𝑥 =

𝑄𝑧 (𝑥)2

∫ 2𝑘s 𝐺𝐴

d𝑥 .

(3.33)

0

𝑀𝑥 (𝑥)2

0

2𝐺𝐼p

d𝑥 .

(3.34)

Somit kann die totale Verzerrungsenergie eines Stab/Balkenelementes wie folgt ausgedrückt werden: 𝐿

Π=

∫ 0

𝑁𝑥 (𝑥)2 2𝐸𝐴

𝐿

d𝑥 +

∫ 0

𝑀𝑦 (𝑥)2 2𝐸𝐼𝑦

𝐿

d𝑥 +

∫ 0

𝑄𝑧 (𝑥)2 2𝐺𝐴s

𝐿

d𝑥 +

∫ 0

𝑀𝑥 (𝑥)2 2𝐺𝐼p

d𝑥 ,

(3.35)

3.3 Abschätzung mittels spezifischer Energieabsorption

47

wobei es sich bei 𝑁𝑥 , 𝑀𝑦 , 𝑄𝑧 , 𝑀𝑥 um die Verteilungen der inneren ‘Kräfte’, d.h. der Schnittreaktionen, handelt. Im Folgenden wird das Beispiel des Zugstabes nach Abb. 3.1a unter Berücksichtigung der spezifischen Energieabsorption (𝑆𝐸𝐴) neu ausgewertet. Die Normalkraftverteilung ergibt sich nach Abb. 3.21 zu 𝑁𝑥 (𝑥) = 𝐹0 .

Abb. 3.21 Interne Schnittreaktion für Zugstab Somit kann die totale Verzerrungsenergie wie folgt berechnet werden: 𝐿

Π=

∫ 0

𝑁𝑥 (𝑥)2 2𝐸𝐴

d𝑥 =

𝐿

𝐹02

2𝐸𝐴 ∫

d𝑥 =

0

𝐹02 𝐿 2𝐸𝐴

,

(3.36)

womit die spezifische Energieabsorption wie folgt angesetzt werden kann: 𝑆𝐸𝐴 =

Π 𝑚

=

𝐹02 𝐿

2𝐸𝐴 × 𝐴𝐿𝜚

=

𝐹02 2𝐸𝐴2 𝜚

.

(3.37)

Nimmt man zuerst wieder einen Spannungsgrenzwert (0,2-%-Dehngrenze) an, ergibt sich nach Gl. (3.2) die Kraft zu 𝐹0 = 𝐴𝑅p0,2 . Somit ergibt sich die maximale spezifische Energieabsorption zu: 𝑆𝐸𝐴 =

𝐴2 𝑅2p0,2 2𝐸𝐴2 𝜚

=

𝑅2p0,2 2𝐸𝜚

∼

𝑅2p0,2 𝐸𝜚

.

(3.38)

Basierend auf Gl. (3.38) und den Kennwerten nach Tabelle 2.1 ist die spezifische Energieabsorption von Edelstahl (St), Al- und Ti-Legierungen in Abb. 3.22 vergleichend dargestellt. Auch hier ergibt sich, dass die größte Energieabsorption nicht durch den leichtesten Werkstoff (Al), sondern durch die Ti-Legierung erzielt wird. Somit ergibt sich der gleiche Trend wie bei der Verwendung der Leichtbaukennzahl 𝑀, siehe Abb. 3.3. Als alternatives Grenzwertkriterium kann auch hier gefordert werden, dass die maximale Verschiebung einen vordefinierten Maximalwert nicht übersteigen soll, d. h. 𝐸𝐴𝑢 𝐹0 = 𝐿max . Somit ergibt sich die maximale spezifische Energieabsorption zu: 𝑆𝐸𝐴 =

1

(𝐸𝐴𝑢max )2

2𝐸𝐴2 𝜚

𝐿2

=

𝑢2max 𝐸 2𝐿2 𝜚

∼

𝐸 𝜚

.

(3.39)

Basierend auf dieser Definition als Verschiebungskriterium (𝑢max ) sind die spezifischen Energieabsorptionen in Abb. 3.23 vergleichend dargestellt. Für diesen Fall

3 Stoffleichtbau

Spez. Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 in

J kg

48 6

×105 𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

𝐹0

4

2

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.22 Spezifische Energieabsorption für Zugstab aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Spannungskriterium

Spez. Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 in

J kg

hat nun der leichteste Werkstoff (Al) das größte Leichtbaupotenzial, d. h. der gleiche Trend wie in Abb. 3.4. Jedoch ergeben sich Werte auf einem deutlich niedrigerem Niveau. 6

×105 𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

𝐹0

4

2

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.23 Spezifische Energieabsorption für Zugstab aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Verschiebungskriterium (𝑢max = 0,2 mm und 𝜎max < 𝑅p0,2 )

Als weitere Möglichkeit der Definition eines Grenzwertes kann gefordert werden, !

dass die äußere Belastung einen Maximalwert nicht überschreiten soll, d. h. 𝐹0 = 𝐹max . Mit dieser Bedingung ergibt sich die spezifische Energieabsorption zu (siehe auch Abb. 3.24):

3.3 Abschätzung mittels spezifischer Energieabsorption 2 𝐹max

Spez. Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 in

J kg

𝑆𝐸𝐴 =

6

49

∼

2𝐸𝐴2 𝜚

1 𝐸𝜚

.

(3.40)

×105 𝐹0

𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

4

2

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.24 Spezifische Energieabsorption für Zugstab aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Belastungskriterium (𝐹0 = 33000 N ∧ 𝜎max < 𝑅p0,2 ) Zusammenfassend kann gesagt werden, dass sich bei der Verwendung der spezifischen Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 (siehe Abb. 3.22, 3.23 und 3.24) die gleichen Trends wie bei der Leichtbaukennzahl 𝑀 (siehe Abb. 3.3, 3.4 und 3.5) ergeben. Wichtig ist jedoch hierbei, dass bisher nur linear-elastisches Materialverhalten betrachtet wurde. Als nächstes wird basierend auf der spezifischen Energieabsorption plastisches Materialverhalten betrachtet1 . Ein stark idealisiertes Spannungs-Dehnungs-Diagramm ist in Abb. 3.25 dargestellt. Die Fließgrenze ist hierbei mit der 0,2-%-Dehngrenze (𝑅p0,2 ) gleichgesetzt. Die zugehörige Dehnung ist mit 𝜀p0,2t bezeichnet. Die Bruchdehnung ist mit 𝜀A und die totale Bruchdehnung, d. h. mit elastischem Anteil, mit 𝜀At bezeichnet. Weiterhin ist angenommen, dass ein Zustand unmittelbar vor Bruch der Probe betrachtet wird. Die spezifische Verzerrungsenergie kann jetzt in einen rein elastischen Anteil 𝜋 el mit 0 ≤ 𝜀 ≤ 𝜀p0,2t und einen plastischen Anteil 𝜋 el mit 𝜀p0,2t ≤ 𝜀 ≤ 𝜀At aufgespalten werden. Basierend auf Gl. (3.30) und Abb. 3.25 kann die gesamte spezifische Verzerrungsenergie wie folgt angesetzt werden 𝜀p0,2t

𝜋 = 𝜋 el + 𝜋 pl =

∫

𝜎(𝜀)d𝜀 + 𝑅p0,2 × (𝜀At − 𝜀p0,2t ) ,

(3.41)

0

beziehungsweise als absolute Verzerrungsenergie: 1 Es wird hier nochmals angemerkt, dass dies mit der Leichtbaukennzahl 𝑀 nur schwer möglich ist.

50

3 Stoffleichtbau

Abb. 3.25 Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit elasto-plastischem Bereich im Falle von idealer Plastizität

𝐿 el

pl

Π=Π +Π =

∫ 0

𝑁𝑥 (𝑥)2 2𝐸𝐴

d𝑥 + 𝑅p0,2 𝐴𝐿 × (𝜀At − 𝜀p0,2t ) .

(3.42)

Für den in Abb. 3.1 dargestellten Zugstab ergeben sich folgende Zusammenhänge unter der Annahme, dass die äußere Kraft ein Erreichen der Fließgrenze bewirkt: 𝐹0 = 𝑁𝑥 = 𝑅p0,2 𝐴 , 𝜀p0,2t =

𝑅p0,2 𝐸

𝜀A t = 𝜀 A +

(3.43)

,

(3.44)

𝑅p0,2 𝐸

.

(3.45)

Somit kann die absolute Verzerrungsenergie wie folgt beschrieben werden:

Π=

𝑅2p0,2 𝐴2 𝐿 2𝐸𝐴

( + 𝑅p0,2 𝐴𝐿 × (𝜀At − 𝜀p0,2t ) = 𝑅p0,2 𝐴𝐿

𝑅p0,2 2𝐸

) + 𝜀A

,

(3.46)

beziehungsweise die Kennzahl: 𝑆𝐸𝐴 =

𝑅p0,2 𝜚

(

𝑅p0,2 2𝐸

) + 𝜀A

.

(3.47)

Basierend auf Gl. (3.47) und den Kennwerten nach Tabelle 2.1 ist die spezifische Energieabsorption von Edelstahl (St), Al- und Ti-Legierungen in Abb. 3.26 vergleichend dargestellt. Auch hier ergibt sich, dass die größte Energieabsorption nicht durch den leichtesten Werkstoff (Al), sondern durch die Ti-Legierung erzielt wird.

3.3 Abschätzung mittels spezifischer Energieabsorption

51

J kg

Jedoch ergeben sich deutlich andere Trends als im rein elastischen Bereich (siehe Abb. 3.3), da hier der Edelstahl deutlich besser abschneidet.

Spez. Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 in

4

×107 𝐹0

𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

3

2

1

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.26 Spezifische Energieabsorption für Zugstab aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und elasto-plastischem Materialverhalten (ideale Plastizität)

Es wurde bereits angemerkt, dass eine reine Torsionsbelastung nicht mittels der Leichtbaukennzahl 𝑀 erfasst werden kann. Daher wird im Folgenden der Lastfall nach Abb. 3.1b mittels der spezifischen Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 untersucht. Die totale Verzerrungsenergie für Torsionsbelastung kann wie folgt berechnet werden: 𝐿

Π=

∫ 0

𝑀𝑥 (𝑥)2 2𝐺𝐼p

d𝑥 =

𝐿

𝑀t2

d𝑥 =

2𝐺𝐼p ∫ 0

𝑀t2 𝐿 2𝐺𝐼p

,

(3.48)

womit die spezifische Energieabsorption wie folgt angesetzt werden kann: 𝑆𝐸𝐴 =

𝑀t2 𝐿 2𝐺𝐼p

×

1 𝐴𝐿𝜚

=

64𝑀t2 𝜋 2 ℎ6 𝐺𝜚

.

(3.49)

In der letzten Gleichung wurde das polare Flächenmoment 2. Ordnung mit 𝐼p = 𝜋ℎ 32 angesetzt. Nimmt man wieder einen Spannungsgrenzwert (0,2-%-Dehngrenze) an, 4

ergibt sich nach Gl. (2.8) das Moment zu 𝑀t =

𝑅p0,2 𝜋ℎ3 √ . 16 3

Hierbei wurde angenom-

men, dass die Schubfließgrenze mittels der Vergleichsspannungshypothese nach von Mises aus der Zugfließgrenze berechnet werden kann. Somit ergibt sich die maximale spezifische Energieabsorption zu: 𝑆𝐸𝐴 =

1 12

×

𝑅2p0,2 𝐺𝜚

∼

𝑅2p0,2 𝐺𝜚

.

(3.50)

52

3 Stoffleichtbau

Spez. Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 in

J kg

Basierend auf Gl. (3.50) und den Kennwerten nach Tabelle 2.1 ist die spezifische Energieabsorption von Edelstahl (St), Al- und Ti-Legierungen in Abb. 3.27 vergleichend dargestellt. Auch hier ergibt sich, dass die größte Energieabsorption nicht durch den leichtesten Werkstoff (Al), sondern durch die Ti-Legierung erzielt wird. Somit ergibt sich der gleiche Trend wie bei der Verwendung der Leichtbaukennzahl 𝑀 und spezifischer Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 im Falle eines Zugstabes, siehe Abb. 3.7 und Abb. 3.22. 3,5

×105 𝑀t

𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0

St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.27 Spezifische Energieabsorption für Torsionsstab aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, ∅ = ℎ = 10 mm) und Spannungskriterium

Im Folgenden wird das Beispiel des Biegebalkens nach Abb. 3.1c unter Berücksichtigung der spezifischen Energieabsorption (𝑆𝐸𝐴) neu ausgewertet. Die Biegemomentenverteilung ergibt sich zu 𝑀𝑦 (𝑥) = 𝐹0 (𝐿 − 𝑥). Somit kann die totale Verzerrungsenergie wie folgt berechnet werden: 𝐿

Π=

∫ 0

𝑀𝑦 (𝑥)2 2𝐸𝐼𝑦

d𝑥 =

𝐿

𝐹02

2𝐸𝐼𝑦 ∫

(𝐿 − 𝑥)2 d𝑥 =

0

𝐹02 𝐿3 6𝐸𝐼𝑦

,

(3.51)

womit die spezifische Energieabsorption wie folgt angesetzt werden kann: 𝑆𝐸𝐴 =

Π 𝑚

=

𝐹02 𝐿3

6𝐸𝐼𝑦 × 𝐴𝐿𝜚

=

2𝐹02 𝐿2 𝑏2 ℎ4 𝐸𝜚

.

(3.52)

Nimmt man zuerst wieder einen Spannungsgrenzwert (0,2-%-Dehngrenze) an, ergibt 2 sich nach Gl. (3.8) die Kraft zu 𝐹0 = 𝑏ℎ 𝑅 . Somit ergibt sich die maximale 6𝐿 p0,2 spezifische Energieabsorption zu: 𝑆𝐸𝐴 =

2𝐿2 𝑏2 ℎ4 𝐸𝜚

× 𝐹02

=

𝑅2p0,2 18𝐸𝜚

∼

𝑅2p0,2 𝐸𝜚

.

(3.53)

3.3 Abschätzung mittels spezifischer Energieabsorption

53

Basierend auf Gl. (3.53) und den Kennwerten nach Tabelle 2.1 ist die spezifische Energieabsorption von Edelstahl (St), Al- und Ti-Legierungen in Abb. 3.28 vergleichend dargestellt. Auch hier ergibt sich, dass die größte Energieabsorption nicht durch den leichtesten Werkstoff (Al), sondern durch die Ti-Legierung erzielt wird. Somit ergibt sich der gleiche Trend wie bei der Verwendung der Leichtbaukennzahl 𝑀, siehe Abb. 3.7.

Spez. Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 in

J kg

×104 𝐹0 6

𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

4

2

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.28 Spezifische Energieabsorption für Biegebalken aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Spannungskriterium

Als alternatives Grenzwertkriterium kann auch hier gefordert werden, dass die maximale Verschiebung einen vordefinierten Wert nicht übersteigen soll, d. h. 𝐹0 = 𝐸𝑏ℎ3 |𝑢max | . 4𝐿3

Somit ergibt sich die maximale spezifische Energieabsorption zu: 𝑆𝐸𝐴 =

2𝐿2 𝑏2 ℎ4 𝐸𝜚

× 𝐹02 =

ℎ2 𝑢2max 𝐸

∼

8𝐿4 𝜚

𝐸 𝜚

.

(3.54)

Basierend auf dieser Definition als Verschiebungskriterium (𝑢max ) sind die spezifischen Energieabsorptionen in Abb. 3.29 vergleichend dargestellt. Für diesen Fall hat nun der leichteste Werkstoff (Al) das größte Leichtbaupotenzial, d. h. der gleiche Trend wie in Abb. 3.9. Als weitere Möglichkeit der Definition eines Grenzwertes kann gefordert werden, !

dass die äußere Belastung einen Maximalwert nicht überschreiten soll, d. h. 𝐹0 = 𝐹max . Mit dieser Bedingung ergibt sich die spezifische Energieabsorption zu (siehe auch Abb. 3.30): 𝑆𝐸𝐴 =

2 𝐿2 2𝐹max

𝐸𝐴2 𝜚ℎ2

∼

1 𝐸𝜚

.

(3.55)

Zum Abschluss wird im Folgenden ein Biegebalken mit kombinierter Belastung betrachtet, siehe Abb. 3.31. Da hier eine Belastung durch eine Einzelkraft und ein Ein-

54

3 Stoffleichtbau

Spez. Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 in

J kg

×104 𝐹0 𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

6

4

2

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.29 Spezifische Energieabsorption für Zugstab aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Verschiebungskriterium (𝑢max = −1 mm und 𝜎max < 𝑅p0,2 ) Spez. Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 in

J kg

×104 𝐹0 6

𝐸,𝐴,𝐿,𝜚

4

2

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 3.30 Spezifische Energieabsorption für Zugstab aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Belastungskriterium (𝐹0 = −500 N ∧ 𝜎max < 𝑅p0,2 )

zelmoment vorliegt, kann die Leichtbauzahl nach Gl. (3.1) nicht angewendet werden. Daher wird eine Abschätzungsgleichung mittels der spezifischen Energieabsorption abgeleitet. Die Biegemomentenverteilung für diesen Lastfall ergibt sich zu, siehe Fig. 3.32: 𝑀𝑦 (𝑥) = 𝐹0 (𝐿 − 𝑥) + 𝑀0 , beziehungsweise das Integral über dieses Moment:

(3.56)

3.3 Abschätzung mittels spezifischer Energieabsorption

55

Abb. 3.31 Biegebalken mit kombinierter Belastung 𝐿

∫

𝐿

𝑀𝑦2 (𝑥)d𝑥

=

0

∫ 0

1 ( )2 𝐹0 (𝐿 − 𝑥) + 𝑀0 d𝑥 = 𝐹02 𝐿3 + 𝐹0 𝑀0 𝐿2 + 𝑀02 𝐿 . (3.57) 3

Abb. 3.32 Momentenverteilung für Biegebalken mit kombinierter Belastung Somit kann nach Gl. (3.27) und (3.32) die spezifische Energieabsorption wie folgt angegeben werden:

𝑆𝐸𝐴 =

Π 𝑚

=

1 3

𝐹02 𝐿3 + 𝐹0 𝑀0 𝐿2 + 𝑀02 𝐿 2𝐸𝐼𝑦 𝐴𝐿𝜚

=

1 2

×

1 3

𝐹02 𝐿2 + 𝐹0 𝑀0 𝐿 + 𝑀02 𝐸𝐴𝐼𝑦 𝜚

.

(3.58)

56

3 Stoffleichtbau

3.4 Übungsaufgaben 3.4.1. Finite-Elemente-Berechnung eines gestuften Zugstabes Für den in Abb. 3.33 dargestellten Zugstab ist die Leichtbaukennzahl 𝑀 mittels eines Finite-Elemente-Ansatzes zu berechnen. Dazu sind drei lineare Stabelemente der Länge 𝐿3 zu verwenden. Der gesamte Stab ist aus einem homogenen Material der Dichte 𝜚 und Elastizitätsmodul 𝐸.

Abb. 3.33 Gestufter Zugstab

3.4.2. Berechnung der Leichtbaukennzahl für Kragarm mit Streckenlast Für den in Abb. 3.34 dargestellten Biegebalken berechne man allgemein die Leichtbaukennzahl für Edelstahl (St), Al- und Ti-Legierungen bei Verwendung eines Spannungskriteriums. Die Werkstoffkennwerte können Tabelle 2.1 als Mittelwerte entnommen werden. Weiterhin kann zur Berechnung numerischer Werte eine konstante Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) angenommen werden.

Abb. 3.34 Kragarm mit konstanter Streckenlast

3.4 Übungsaufgaben

57

3.4.3. Berechnung der Leichtbaukennzahl für beidseitig gelenkig gelagerten Balken mit Streckenlast Für den in Abb. 3.35 dargestellten Biegebalken berechne man allgemein die Leichtbaukennzahl für Edelstahl (St), Al- und Ti-Legierungen bei Verwendung eines Spannungskriteriums. Die Werkstoffkennwerte können Tabelle 2.1 als Mittelwerte entnommen werden. Weiterhin kann zur Berechnung numerischer Werte eine konstante Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) angenommen werden.

Abb. 3.35 Beidseitig gelenkig gelagerter Balken mit konstanter Streckenlast: (a) Allgemeine Konfiguration; (b) Balkenquerschnitt

3.4.4. Berechnung der Leichtbaukennzahl für beidseitig gelenkig gelagerten Balken mit Einzellast Für den in Abb. 3.36 dargestellten Biegebalken berechne man allgemein die Leichtbaukennzahl für Edelstahl (St), Al- und Ti-Legierungen bei Verwendung eines Spannungskriteriums. Die Werkstoffkennwerte können Tabelle 2.1 als Mittelwerte entnommen werden. Weiterhin kann zur Berechnung numerischer Werte eine konstante Geometrie (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) angenommen werden.

Abb. 3.36 Beidseitig gelenkig gelagerter Balken mit Einzellast: (a) Allgemeine Konfiguration; (b) Balkenquerschnitt

58

3 Stoffleichtbau

3.4.5. Berechnung der spezifischen Energieabsorption für Kragarm mit Streckenlast Für Problem 3.4.2 berechne man die spezifische Energieabsorption. 3.4.6. Berechnung der spezifischen Energieabsorption für beidseitig gelenkig gelagerten Balken mit Streckenlast Für Problem 3.4.3 berechne man die spezifische Energieabsorption. 3.4.7. Berechnung der spezifischen Energieabsorption für beidseitig gelenkig gelagerten Balken mit Einzellast Für Problem 3.4.4 berechne man die spezifische Energieabsorption. 3.4.8. Berechnung der spezifischen Energieabsorption für Bimaterial-Kragarm Für den Bimaterial-Kragarm in Abb. 3.37 berechne man die spezifische Energieabsorption bei gegebener Kraft 𝐹0 . Die geometrischen Abmessungen (𝐼, 𝐿) und die Materialparameter (𝐸I , 𝜚I und 𝐸II , 𝜚II ) sind als gegeben anzunehmen. Zur Vereinfachung kann weiterhin von einem quadratischen Querschnitt (Seitenlänge: 𝑎) ausgegangen werden.

Abb. 3.37 Bimaterial-Kragbalken mit Belastung durch Einzelkraft 𝐹0

Literaturverzeichnis Ashby, M, F.: Materials Selection in Mechanical Design. Burlington: ButterworthHeinemann, 2011 Kim, H-S.: New Extruded Multi-Cell Aluminum Profile for Maximum Crash Energy Absorption and Weight Efficiency. In: Thin Wall Struct 40 (2002), Heft 4, S. 311– 327 Klein, B.: Leichtbau-Konstruktion: Berechnungsgrundlagen und Gestaltung. Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 2009 Öchsner, A.: Elasto-Plasticity of Frame Structure Elements: Modeling and Simulation of Rods and Beams. Berlin: Springer, 2014

Literaturverzeichnis

59

Öchsner, A.: Theorie der Balkenbiegung: Einführung und Modellierung der statischen Verformung und Beanspruchung. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2016b Öchsner, A.: A Project-Based Introduction to Computational Statics. Cham: Springer, 2018 Rezvani, M, J., Jahan, A.: Effect of initiator, design, and material on crashworthiness performance of thin-walled cylindrical tubes: A primary multi-criteria analysis in lightweight design. In: Thin Wall Struct 96 (2015), Heft November, S. 169–182 Warrior, N, A., Turner, T, A., Robitaille, F., Rudd, C, D.: The effect of interlaminar toughening strategies on the energy absorption of composite tubes. In: Compos Part A-Appl S 35 (2004), Heft 4, S. 431–437

61

Kapitel 4

Formleichtbau

Zusammenfassung In diesem Kapitel wird der sogenannte Formleichtbau näher betrachtet. Hierbei wird das Leichtbaupotenzial hauptsächlich durch die Anpassung oder Optimierung des Querschnitts bestimmt. Somit bleibt der Werkstoff eines Bauteils zuerst unverändert. Mittels der Leichtbaukennzahl und der spezifischen Energieabsorption werden verschiedene Konfigurationen hinsichtlich ihres Leichtbaupotenzials beurteilt.

4.1 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl Beim Formleichtbau im Kontext eindimensionaler Strukturelemente geht es um die Anpassung oder Optimierung des Querschnitts zur Erhöhung des Leichtbaupotenzials. Somit handelt es sich um eine rein geometrische Fragestellung. Im Folgenden wird nun das Beispiel nach Abb. 3.1c, d. h. einseitig eingespannter Biegebalken mit einer Einzelkraft am freien Ende, unter Berücksichtigung des Spannungskriteriums behandelt. Allgemein ergibt sich die maximale Spannung beim Kragarm zu, siehe Öchsner 2016: 𝜎𝑥,max =

𝑀𝑦 (𝑥 = 0) 𝐼𝑦

× 𝑧max ,

(4.1)

wobei die Querschnittsgrößen 𝐼𝑦 und 𝑧max den maximalen Spannungswert beeinflussen. Durch Vergrößerung von 𝐼𝑦 verringert sich die Spannung und somit sollte sich die Leichtbaukennzahl erhöhen, da die zulässige Spannung später erreicht wird. Jedoch beeinflusst eine Änderung von 𝐼𝑦 auch unter Umständen den maximalen Abstand zur Randfaser (𝑧max ). Basierend auf der Definition des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung, d. h. 𝐼𝑦 =

∫

𝑧2 d𝐴 ,

𝐴

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 A. Öchsner, Stoff- und Formleichtbau, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1_4

(4.2)

62

4 Formleichtbau

ergibt sich, dass der Wert umso größer ist, je weiter ein Flächenelement (d𝐴) von der 𝑦-Achse (die durch den Schwerpunkt verläuft), entfernt ist (𝑧). Im Folgenden wird nun das axiale Flächenmoment 2. Ordnung 𝐼𝑦 unter Beibehaltung des Balkengewichts (also mit 𝐴□ = 𝐴I ) modifiziert und optimiert, siehe Abb. 4.1. Der ursprünglich quadratische Querschnitt (ℎ×ℎ) soll durch ein I-Profil mit gleicher Querschnittsfläche ersetzt werden.

Abb. 4.1 Umsetzung des Konzepts des Formleichtbaus mittels der Beziehungen 𝐼𝑦I > 𝐼𝑦□ und 𝐴□ = 𝐴I : (a) Originalquerschnitt mit 𝑏 = ℎ; (b) modifizierter Querschnitt Die axialen Flächenmomente 2. Ordnung (mit 𝐴□ = 𝐴I ) können nach Altenbach (2016) wie folgt berechnet werden1 :

𝐼𝑦□ = 𝐼𝑦I

1 12

ℎℎ3 ,

(4.3)

⎛ 𝑎𝑤3 = (𝑎 − 2𝑤) + 2 ⎜ + 𝑎𝑤 ⎜ 12 12 ⎝ 𝑤

3

Diese beiden Gleichungen können mittels 𝑤 = fasst werden:

ℎ 5

(

𝑎 2

−

und 𝑎 =

𝑤

)2

2 9ℎ 5

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

(4.4)

weiter zusammenge-

𝐼𝑦□ = 𝐶 □ ℎ4 mit 𝐶 □ = 𝐼𝑦I

= 𝐶 ℎ mit 𝐶 = I 4

I

1 , 12 3817 . 7500

Somit ergeben sich die Leichtbaukennzahlen mittels 𝑧□ max = zu (siehe auch Abb. 4.2): 1

(4.5) (4.6) ℎ 2

und 𝑧Imax =

𝑎 2

=

9ℎ 10

Das Flächenmoment nach Gl. (4.4) kann auch alternativ über die Grundfläche Rechteck berechnet 3 𝑎4 − (𝑎−𝑤)(𝑎−2𝑤) . werden: 𝐼𝑦I = 12 12

4.1 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

𝑀□ = 2 ×

𝑅p0,2 𝜚𝑔 𝐿ℎ

2

1

× 𝐶□ ,

63

𝑀I =

10 9

×

𝑅p0,2 𝜚𝑔 𝐿ℎ

2

× 𝐶I .

(4.7)

×104

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm (□) 𝐼𝑦□ 𝐼𝑦I 0,5

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 4.2 Leichtbaukennzahl für Kragarm aus verschiedenen Werkstoffen bei unterschiedlichen Flächenmomenten 2. Ordnung (𝐿 = 100 mm, ℎ = 10 mm) und Spannungskriterium. Gleiche Querschnittsfläche (𝐴□ = 𝐴I ) und somit gleiche Masse (𝑚□ = 𝑚I ) angenommen !

Alternativ kann auch 𝐼𝑦□ = 𝐼𝑦I gefordert werden. Mit 𝑤 = ℎ5 ergibt sich 𝑎 = 1.055ℎ (vgl. Abb. 4.3) und schließlich folgendes Massenverhältnis: 𝑚I = 0.55𝑚□ .

Abb. 4.3 Umsetzung des Konzepts des Formleichtbaus mittels 𝐼 □ = 𝐼 I und I 𝐴□ 𝑦 > 𝐴𝑦 : (a) Originalquerschnitt mit 𝑏 = ℎ; (b) modifizierter Querschnitt mit 𝑎 = 1, 0554ℎ und 𝑤 =

ℎ 5

Der Vergleich zwischen den beiden Profilquerschnitten in Abb. 4.1 und 4.3 basierte auf der Annahme, dass das I-Profil die gleiche Höhe wie Breite aufweist (siehe b) und weiterhin die Dicken der Gurte und des Stegs identisch sind (𝑤 = ℎ5 ). Ei-

64

4 Formleichtbau

ne weitere Verbesserung der Leichtbaukennzahl kann dadurch erzielt werden, dass das Breiten- zu Höhenverhältnis als Designvariable aufgefasst wird (vgl. Abb. 4.4c). Weiterhin soll jedoch angenommen werden, dass die Querschnittsflächen (𝐴□ = 𝐴I ) und die Gurt- und Stegdicken (𝑤 = ℎ5 ) identisch bleiben. Abbildung 4.4 beinhaltet auch zwei Grenzfälle, bei denen entweder die Steghöhe zu Null wird (vgl. Abb. 4.4a) oder die Gurtbreite mit der Stegdicke gleichgesetzt wird (vgl. Abb. 4.4d).

Abb. 4.4 Profile mit gleicher Querschnittsfläche: (a) Degeneriertes Profil (Steghöhe → 0), (b) I-Profil mit gleicher Breite und Höhe, (c) I-Profil mit unterschiedlichem Breiten- zu Höhenverhältnis, (d) degeneriertes Profil (Gurtbreite 𝑏 → 𝑤) Für gleiche Querschnittsflächen zwischen einem quadratischen Querschnitt (ℎ × ℎ) und dem I-Profil in Abb. 4.4c ergibt sich 𝐴□ = ℎ2 = 2𝑏𝑤 + 𝑤(𝑎 − 2𝑤) = 𝐴I , oder mittels 𝑤 =

ℎ 5

(4.8)

umgestellt: 27

𝐼𝑦I (𝑎, 𝑏)

ℎ−

𝑎

. (4.9) 10 2 Für das I-Profil ergibt sich weiterhin das axiale Flächenmoment 2. Ordnung zu 𝑏=

⎛ 𝑏𝑤3 = (𝑎 − 2𝑤) + 2 ⎜ + 𝑏𝑤 ⎜ 12 12 ⎝ 𝑤

3

(

𝑎 2

−

𝑤 2

)2

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

(4.10)

wobei mittels der degenerierten Profile in Abb. 4.4 folgende Bedingung für die Profilhöhe abgeleitet werden kann: 2𝑤 =

2ℎ 5

≤ 𝑎 ≤ 5ℎ ,

(4.11)

4.1 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

65

beziehungsweise als Bedingung für die Profilbreite: ℎ

≤𝑏≤

5ℎ

. (4.12) 5 2 Die letzten beiden Gleichungen können auch für das Verhältnis der Designvariablen kombiniert werden: 4 25 ⏟⏟⏟

≤

𝑎 𝑏

≤ 25 .

(4.13)

0,16

Das axiale Flächenmoment nach Gl. (4.10) ist in Abb. 4.5 dargestellt. Man erkennt, dass sich für kleine Verhältnisse 𝑎𝑏 große Veränderungen ergeben, die Funktionswerte jedoch für größere Verhältnisse gegen einen konstanten Wert konvergieren.

𝑤=

ℎ4

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung

𝐼𝑦

3

ℎ 5

2

1

quadratischer Querschnitt (ℎ × ℎ) 0 0,16

5

10

15

20

Höhe-zu-Breite-Verhältnis

25

𝑎 𝑏

Abb. 4.5 Axiales Flächenmoment 2. Ordnung für verschiedene I-Profile (vgl. Abb. 4.4). Gleiche Querschnittsfläche (𝐴□ = 𝐴I ) und somit gleiche Masse (𝑚□ = 𝑚I ) angenommen Zur Auswertung der Leichtbaukennzahl 𝑀 ist zu beachten, dass die Bestimmungsgleichung sowohl das axiale Flächenmoment (vgl. Abb. 4.5) als auch den Abstand zur Randfaser 𝑧max = 𝑎2 (vgl. Abb. 4.6) beinhaltet und beide Parameter sich mit dem Verhältnis 𝑎𝑏 nichtlinear verändern: 𝑀=

𝐹0 𝐹G

=

𝑅p0,2 ℎ2 𝐿2 𝜚𝑔

×

𝐼𝑦I 𝑎 2

.

(4.14)

66

4 Formleichtbau 6

𝑤=

ℎ 5

Normierte Profilhöhe

𝑎 ℎ

5 4 3 2 quadratischer Querschnitt (ℎ × ℎ) 1 0 0,16

5

10

15

Höhe-zu-Breite-Verhältnis

20

25

𝑎 𝑏

Abb. 4.6 Profilhöhe für verschiedene I-Profile (vgl. Abb. 4.4). Gleiche Querschnittsfläche (𝐴□ = 𝐴I ) und somit gleiche Masse (𝑚□ = 𝑚I ) angenommen

Die graphische Darstellung dieser Leichtbaukennzahl ist in Abb. 4.7 zu finden. Man erkennt, dass sich ein Maximalwert bei 𝑎 ≈ 5.7𝑏 ergibt. 5000

𝑤=

Stahl

ℎ 5

Leichtbaukennzahl 𝑀

4000

3000

2000 quadratischer Querschnitt (ℎ × ℎ)

1000

0 0,16

5

10

15

Höhe-zu-Breite-Verhältnis

20

25

𝑎 𝑏

Abb. 4.7 Leichtbaukennzahl für verschiedene I-Profile (vgl. Abb. 4.4) und Spannungskriterium (𝜎max = 𝑅p0,2 ). Gleiche Querschnittsfläche (𝐴□ = 𝐴I ) und somit gleiche Masse (𝑚□ = 𝑚I ) angenommen (𝐿 = 100 mm, ℎ = 10 mm)

4.1 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

67

Bei den Diagrammen in Abb. 4.5 und 4.7 ist zu beachten, dass eine geschlossene Darstellung in der Form 𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 ( 𝑎𝑏 ) und 𝑀 = 𝑀( 𝑎𝑏 ) nur schwer zu erzielen ist. Es bietet sich daher eine Zuordnung von Wertepaaren in Form einer Tabelle an, siehe Tab. 4.1. In die Gleichung des Flächenmoments nach (4.10) setzt man die geometrische Bedingung 𝑤 = ℎ∕5 ein und ersetzt die Breite 𝑏 nach (4.9), um nach kurzer Umformung folgende normierte Darstellung zu erhalten: 𝐼𝑦 ℎ4

=

1 60

(

𝑎 ℎ

−

)3

2 5

⎛ 1 +⎜ ⎜ 750 ⎝

(

27 10

−

)

𝑎

2

+

2ℎ

(

5

27 10

−

2ℎ

Die letzte Beziehung ist in Ahängigkeit des Quotienten Gl. (4.9) wie folgt darstellen lässt: 𝑎 ℎ

=

( )−1 ℎ 𝑎

( =

10

(

𝑏 𝑎

27

+

1

)(

𝑎

𝑎 2ℎ

𝑎 ℎ

−

1

)2

10

⎞ ⎟ . (4.15) ⎟ ⎠

formuliert, der sich aus

))−1 .

2

(4.16)

In der Beziehung für die Leichtbaukennzahl nach Gl. (4.14) verwendet man abschließend zur graphischen Darstellung die Gln. (4.15) und (4.16). Die paarweise Zuordnung zur Erstellung der Diagramme ist in Tabelle 4.1 zusammenfassend dargestellt. Abschließend wird im Folgenden auf die klassische Auslegung eines Profils, d. h. unter reiner Berücksichtigung eines Spannungskriteriums, eingegangen. Mittels der Werte in Tabelle 4.1 ergibt sich die Maximalspannung zu

𝜎max =

𝑀max 𝐼

× 𝑧max

( ) 𝑀max ℎ𝑎 × = ( ) 𝐼 ℎ4 ℎ4

ℎ 2

,

oder in normierter Darstellung als (siehe Abb. 4.8): ( ) 𝑎 𝜎max ℎ = ( ). 𝑀

(4.18)

𝐼 ℎ4

max 2ℎ3

(4.17)

Auch hier ergibt sich ein optimales, d. h. zur Erzielung einer minimalen Spannung, Höhe-zu-Breite-Verhältnis von 𝑎 ≈ 5,7𝑏. Man beachte hierbei, dass das Diagramm unter der Annahme einer konstanten Masse erstellt wurde. Für den quadratischen Referenzquerschnitt (ℎ × ℎ) ergibt sich als Spannung hierbei: 𝜎max =

𝑀max 𝐼

×

ℎ 2

=

𝑀max 1 6

ℎ3

=

𝑀max 1 12

× 2ℎ3

.

(4.19)

68

4 Formleichtbau

Tabelle 4.1 Wertepaare zur Erstellung der Abb. 4.5–4.7 𝐼𝑦

𝑎 𝑏

𝑎 ℎ

ℎ4

0,16 0,25 0,347826 0,454545 0,571429 0,70 0,842105 1,00 1,176471 1,375 ⋮ 3,40 4,00 4,75 5,714286 7,00 8,80 11,50 16,00 25,00

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 ⋮ 3,4 3,6 3,8 4.0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0

0,013333 0,041733 0,086933 0,147333 0,221333 0,307333 0,403733 0,508933 0,621333 0,739333 ⋮ 1,475333 1,587733 1,692933 1,789333 1,875333 1,949333 2,009733 2,054933 2,083333

𝑀 342,403095 714,481124 1116,234089 1513,421678 1894,630457 2254,968952 2591,991427 2904,339139 3191,196842 3452,045746 ⋮ 4457,282639 4530,373391 4576,307467 4595,049531 4586,570978 4550,848404 4487,862475 4397,597080 4280,038684

15

𝑤=

ℎ 5

Normierte Spannung

𝜎max 𝑀max 2ℎ3

quadratischer Querschnitt (ℎ × ℎ) 10

5

𝑎=𝑏 0 0,16

5

10

15

Höhe-zu-Breite-Verhältnis

20

25

𝑎 𝑏

Abb. 4.8 Normierte Spannung für verschiedene I-Profile (vgl. Abb. 4.4). Gleiche Querschnittsfläche (𝐴□ = 𝐴I ) und somit gleiche Masse (𝑚□ = 𝑚I ) angenommen

4.1 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

69

Nach Gl. (4.1) ist auch ersichtlich, dass die Spannung proportional zum Biegemoment ist. Somit kann es sinnvoll sein, an der Stelle des größten Biegemomentes (siehe Abb. 4.9a) das Flächenmoment zu vergrößern und an der Stelle des minimalen Momentes eine Reduktion vorzunehmen (siehe Abb. 4.9b).

Abb. 4.9 Umsetzung des Konzepts des Formleichtbaus mittels 𝐼𝑦 ∼ 𝑀𝑦 : (a) Balkenkonfiguration und Momentenverlauf; (b) Querschnittsanpassung Nach Abb. 4.10 ergibt sich hierdurch eine erhebliche Vergrößerung der Leichtbaukennzahl. Hierbei muss jedoch beachtet werden, dass bei diesem Beispiel der Querschnitt bei 𝑥 = 0 auf 7ℎ∕5 vergrößert wurde und sich somit eine wesentlich größere Kraft 𝐹0 ergibt. Daher ergeben sich auch größere Werte der Leichtbaukennzahl 𝑀. 6000

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm orig

𝐼𝑦 𝐼𝑦mod 3000

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 4.10 Leichtbaukennzahl für einen Kragarm aus verschiedenen Werkstoffen bei 𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 (𝑥) (𝐿 = 100 mm, ℎ = 10 mm) und Spannungskriterium In dem vorherigen Beispiel wurde der Balkenquerschnitt so verändert, dass an der Stelle des maximalen Biegemomentes (𝑥 = 0) die Spannung gerade den Grenzwert erreicht. Im Folgenden fordern wir jedoch, dass die Spannung an jeder Stelle

70

4 Formleichtbau

𝑥 des Balkens gerade den Grenzwert erreicht. Somit muss der Balkenquerschnitt entlang der Balkenachse optimiert werden. Zum Vergleich ziehen wir das Beispiel mit konstantem Rechteckquerschnitt (𝑏 = ℎ = 10 mm) nach Abb. 3.7 heran. Zur Vereinfachung wird weiterhin angenommen, dass die Balkenbreite (𝑏) unverändert bleibt. Wird die Grenzwertbedingung wieder als maximale Spannung angenommen, das heißt

𝜎𝑥,max (𝑥) =

𝑀𝑦 (𝑥) 𝐼𝑦 (𝑥)

×

ℎ(𝑥) 2

=

( 𝑥) 𝐹0 𝐿 1− 𝐿 𝐼𝑦 (𝑥)

ℎ(𝑥) 2

×

=

( 𝑥) 6𝐹0 𝐿 1− ! 𝐿 = 𝑏ℎ(𝑥)2

𝑅p0,2 ,

(4.20)

ergibt sich hieraus die veränderliche Balkenhöhe zu (siehe auch Abb. 4.11): √ √ √ 6𝐹0 𝐿 𝑥 𝑥 × 1 − = ℎ0 × 1 − . ℎ(𝑥) = (4.21) 𝑏𝑅p0,2 𝐿 𝐿 ⏟⏞⏟⏞⏟ ℎ0

ℎ optimiert

Balkenkontur ℎ( 𝐿𝑥 )

+

ℎ konstant

ℎ0 2

0

−

ℎ0 2

0

0,5 Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 4.11 Balkenkontur entlang der Balkenachse Abbildung 4.12 verdeutlicht, dass für den optimierten Balken an jeder Stelle 𝑥 der Spannungsgrenzwert erreicht wird. Das Volumen des optimierten Balkens ergibt sich für ein kleines Volumenelement zu d𝑉 = 𝑏ℎ(𝑥)d𝑥, beziehungsweise für den gesamten Balken zu:

4.1 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

71

Relative Spannung

𝜎max 𝑅p0,2

ℎ optimiert

ℎ konstant

1

0,5

0

0

0,5

1 𝑥 𝐿

Koordinate

Abb. 4.12 Relative Spannung entlang der Balkenachse √

𝐿

𝑉 =

∫

𝑏ℎ0

1−

𝑥=0

𝑥 𝐿

d𝑥 =

2 3

𝑏ℎ0 𝐿 .

(4.22)

Somit kann nach Gl. (3.1) die Leichtbaukennzahl berechnet werden (siehe auch Abb. 4.13): 𝑀=

𝐹0 𝐹G

𝑅p0,2 𝑏ℎ20

=

6𝐿

𝜚𝑔 23

𝑏ℎ0 𝐿

=

𝑅p0,2 4𝜚𝑔 𝐿ℎ

2

.

(4.23)

0

Abschließend betrachten wir noch einmal das Beispiel nach Abb. 3.1c, d. h. einseitig eingespannter Biegebalken mit einer Einzelkraft am freien Ende, unter Berücksichtigung des Spannungskriteriums. Jedoch betrachten wir im Folgenden ein I-Profil, das entlang der gesamten Balkenachse optimiert werden soll, siehe Abb. 4.14. Man vergleiche die Masse und Leichtbaukennzahl mit einem Balken konstanten Querschnitts nach Abb. 4.14a. An der Einspannstelle, d. h. bei 𝑥 = 0, ergibt sich das axiale Flächenmoment 2. I und die Querschnittsfläche 𝐴I zu: Ordnung 𝐼𝑦,0 0 𝑎40

𝑎0

1 ( )( )3 𝑤0 = 5 517 4 = = − 𝑎0 − 𝑤0 𝑎0 − 2𝑤0 𝑎 = 𝐶 I 𝑎40 , 12 12 7500 0 13 2 𝐴I0 = 𝑎20 − (𝑎0 − 𝑤0 )(𝑎0 − 2𝑤0 ) = 𝑎 . 25 0

I 𝐼𝑦,0

(4.24) (4.25)

72

4 Formleichtbau 6000

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ0 = 10 mm ℎ konstant ℎ optimiert 3000

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 4.13 Leichtbaukennzahl für Kragarm aus verschiedenen Werkstoffen bei ℎ = ℎ(𝑥) (𝐿 = 100 mm, ℎ0 = 10 mm) und Spannungskriterium

Abb. 4.14 Balken mit veränderlichem Querschnitt entlang der Achse: (a) Einspannstelle; (b) beliebige Stelle

An einer beliebigen Stelle 𝑥 ergeben sich die gleichen Ausdrücke wie in Gln. (4.24)– (4.25), jedoch ohne den Index ‘0’. Der Balken soll dadurch optimiert werden, dass das plastische Fließen an der Stelle des Balkens gleichzeitig eintreten soll (und nicht nur an der Einspannstelle). Somit kann das Spannungskriterium wie folgt formuliert werden: ) ( 𝑥 𝐿 1 − 𝐹 0 𝑀𝑦 (𝑥) 𝑎(𝑥) 𝑎(𝑥) ! 𝐿 × = 𝑅p0,2 , (4.26) × = 𝜎𝑥,max = I I 4 𝐼𝑦 (𝑥) 2 2 𝐶 𝑎(𝑥) woraus sich die Funktion der Seitenabmessung ergibt (siehe Abb. 4.15): √ √ √ 𝐹 𝐿 𝑥 𝑥 3 3 0 3 𝑎(𝑥) = × 1 − = 𝑎0 × 1 − . I 2𝐶 𝑅p0,2 𝐿 𝐿

(4.27)

Das Volumen des optimierten Balkens ergibt sich für ein kleines Volumenelement zu d𝑉 = 𝐴(𝑥)d𝑥, beziehungsweise für den gesamten Balken zu:

4.1 Abschätzung mittels Leichtbaukennzahl

73

𝑎 optimiert

𝑎0 konstant

Balkenkontur 𝑎( 𝐿𝑥 )

𝑎

+ 20

0

𝑎

− 20

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

Abb. 4.15 Balkenkontur entlang der Balkenachse

𝐿

𝑉 =

∫

𝑥=0

13 25

𝑎(𝑥)2 d𝑥 =

13 25

(

𝐿

𝑎20

1−

∫

𝑥=0

)2

𝑥

3

39

d𝑥 =

𝐿

125

𝑎20 𝐿 .

(4.28)

Somit kann nach Gl. (3.1) die Leichtbaukennzahl berechnet werden: 𝑀I =

𝐹0 𝐹G

2𝐶 I 𝑅p0,2 𝑎30

=

𝐿 39 2 𝜚𝑔 125 𝑎0 𝐿

=

250 39

×

𝐶 I 𝑅p0,2 𝜚𝑔 𝐿𝑎

2

.

(4.29)

0

Entsprechend kann auch die Leichtbaukennzahl für einen Balken mit konstantem Querschnitt 𝐴0 (siehe Abb. 4.14a) bestimmt werden: 𝑀0I =

50 13

×

𝐶 I 𝑅p0,2 𝜚𝑔 𝐿𝑎

2

.

(4.30)

0

Somit ergibt sich das Verhältnis der Leichtbaukennzahlen zu: 𝑀I 𝑀0I

=

5 3

Das Verhältnis der Massen ergibt sich zu

≈ 1,667 . 𝑚I 𝑚I0

=

3 5

(4.31)

= 0,6.

Ein Vergleich des Balkens mit dem konstantem I-Profil mit einem Balken mit konstanter quadratischer Querschnittsfläche (ℎ × ℎ) ergibt bei gleicher Masse, also (𝐴I = 𝐴□ ), das Längenverhältnis ℎ2 = 13 𝑎2 . Mit diesem Ergebnis ergibt sich: 25 0

74

4 Formleichtbau

13 2 𝐴□ = ℎ2 = 𝑎 , 25 0 ( )2 1 13 169 4 𝐼𝑦□ = 𝑎40 = 𝑎 . 12 25 7500 0

(4.32) (4.33)

Hieraus ergibt sich bei einem Spannungskriterium folgendes Verhältnis der Leichtbaukennzahlen: 50 13

𝑀0I

𝑀□

=

1 6

× 𝐶I × √

×

13 25

×

𝑅p0,2 𝜚𝑔

𝐿2 𝑎0

𝑅p0,2 𝜚𝑔

≈ 2,206 .

(4.34)

𝐿2 𝑎0

4.2 Abschätzung mittels spezifischer Energieabsorption Im Folgenden wird erneut das Beispiel mit 𝐼𝑦□ und 𝐼𝑦I (mit 𝐴□ = 𝐴I ) nach Abb. 4.1, d. h. einseitig eingespannter Biegebalken mit einer Einzelkraft am freien Ende, unter Berücksichtigung des Spannungskriteriums behandelt. Die Definition der spezifischen Energieabsorption nach Gl. (3.27) erfordert, dass die Formänderungsenergie bestimmt wird. Mittels der Definition über die Schnittreaktion nach Gl. (3.32) ergibt sich folgender Zusammenhang: 𝐿

Π=

∫ 0

=

𝑀𝑦 (𝑥)2 2𝐸𝐼𝑦

𝐹02 𝐿3 6𝐸𝐼𝑦

𝐿

d𝑥 =

∫ 0

𝐹02 (𝐿 − 𝑥)2 2𝐸𝐼𝑦

d𝑥 =

𝐿

𝐹02

2𝐸𝐼𝑦 ∫

(

) 𝐿2 − 2𝐿𝑥 + 𝑥2 d𝑥

0

.

(4.35)

Bei einem Spannungskriterium kann nach Gl. 3.8 die wirkende Einzelkraft mittels 𝐹0 =

𝑅p0,2 𝐼𝑦 𝐿𝑧max

(4.36)

ersetzt werden. Berücksichtigt man weiterhin, dass sich die Masse zu 𝑚 = 𝜚𝑉 = 𝜚𝐴𝐿 = 𝜚𝐿ℎ2 ergibt, kann die spezifische Energieabsorption wie folgt berechnet werden:

4.3 Abschätzung als klassisches Optimierungsproblem

𝑆𝐸𝐴 =

𝐹02 𝐿3 6𝐸𝐼𝑦 × 𝜚𝐿ℎ2

=

75

𝑅2p0,2 𝐼𝑦 6𝐸𝜚ℎ2 𝑧2max

∼

𝑅2p0,2 𝐸𝜚

.

(4.37)

Mittels der Ausdrücke für die Flächenmomente nach Gln. (4.5) und (4.6) und den ℎ 𝑎 9ℎ I maximalen Abständen zur Randfaser 𝑧□ max = 2 und 𝑧max = 2 = 10 (siehe auch Abb. 4.2) ergibt sich hieraus: □

𝑆𝐸𝐴

=

2 3

×

𝑅2p0,2 𝐸𝜚

□

×𝐶 ,

𝑆𝐸𝐴 =

50

I

243

×

𝑅2p0,2 𝐸𝜚

× 𝐶I .

(4.38)

Spez. Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 in

J kg

Die graphische Darstellung der spezifischen Energieabsorption in Abb. 4.16 zeigt, dass sich gleiche Trends wie im Falle der Leichtbaukennzahl 𝑀 ergeben (siehe Abb. 4.2). Durch Verwendung des I-Profil mit gleicher Querschnittsfläche ergibt sich eine deutliche Steigerung des Leichtbaupotenzials, wobei der höchste Wert wieder durch die Ti-Legierung erzielt wird. 1,5

×105 𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm (□) 𝐼𝑦□ 𝐼𝑦I

1

0,5

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 4.16 Spezifische Energieabsorption für Kragarm aus verschiedenen Werkstoffen bei unterschiedlichen Flächenmomenten 2. Ordnung (𝐿 = 100 mm, ℎ = 10 mm) und Spannungskriterium. Gleiche Querschnittsfläche (𝐴□ = 𝐴I ) und somit gleiche Masse (𝑚□ = 𝑚I ) angenommen

4.3 Abschätzung als klassisches Optimierungsproblem Allgemein kann ein klassisches Optimierungsproblem dadurch beschrieben werden (siehe Vanderplaats 1999, Schumacher 2013, Rothwell 2017), dass eine Zielfunktion 𝐹 , z. B. das Gewicht (Masse) einer mechanischen Struktur oder die Kosten eines Projekts, d. h. 𝐹 (𝑿) = 𝐹 (𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , … , 𝑋𝑛 ) ,

(4.39)

76

4 Formleichtbau

unter Beachtung der folgenden Restriktionen zu minimieren ist 𝑔𝑗 (𝑿) ≤ 0

𝑗 = 1, 𝑚

Ungleichheitsrestriktionen ,

(4.40)

ℎ𝑘 (𝑿) = 0

𝑘 = 1, 𝑙

Gleichheitsrestriktionen ,

(4.41)

𝑖 = 1, 𝑛

explizite Restriktionen ,

(4.42)

𝑋𝑖min ≤ 𝑋𝑖 ≤ 𝑋𝑖max

wobei die Spaltenmatrix der 𝑛 Designvariablen, z. B. die geometrische Abmessungen der mechanischen Struktur, wie folgt dargestellt werden kann: ⎧𝑋1 ⎫ ⎪𝑋 ⎪ ⎪ 2⎪ 𝑿 = ⎨𝑋3 ⎬ . ⎪⋮⎪ ⎪𝑋 ⎪ ⎩ 𝑛⎭

(4.43)

Im Falle einer eindimensionalen Zielfunktion, d. h. 𝑿 → 𝑋, ergibt sich folgender vereinfachter Satz von Gleichungen: 𝐹 (𝑋) 𝑔𝑗 (𝑋) ≤ 0 ℎ𝑘 (𝑋) = 0 𝑋

min

≤𝑋≤𝑋

max

Zielfunktion ,

(4.44)

𝑗 = 1, 𝑚

Ungleichheitsrestriktionen ,

(4.45)

𝑘 = 1, 𝑙

Gleichheitsrestriktionen ,

(4.46)

explizite Restriktion .

(4.47)

Zur Bestimmung des Minimums der Zielfunktion im 𝑛-dimensionalen Entwurfsraum werden in der Praxis numerische Algorithmen verwendet (siehe Vanderplaats 1999, Öchsner und Makvandi 2020). Im Rahmen dieser Darstellung werden jedoch nur ein- oder zweidimensionale Entwurfsräume, d. h. mit maximal zwei Designvariablen, betrachtet. In diesen einfacheren Fällen kann das Minimum oft mittels analytischer oder graphischer Methoden bestimmt werden. Die Intention ist auch hier, nur grundlegende Zusammenhänge und Ideen zu vermitteln. Im Folgenden wird ein einfaches Beispiel2 mit einer Designvariablen (𝑋) betrachtet, um die grundlegende Vorgehensweise beim Optimierungsprozess im Falle einer Designvariablen zu erläutern. Abbildung 4.17 zeigt einen einseitig fest eingespannten verallgemeinerten Balken, der durch eine Einzelkraft 𝐹0 auf Zug und durch ein Einzelmoment 𝑀0 auf Biegung belastet wird. Die geometrischen Querschnittsabmessungen des Balkens, d. h. die Breite und die Höhe (bei einem festen Verhältnis zwischen Höhe zu Breite (𝛼)), sind für minimale Masse zu optimieren. Als Restriktion (𝑔) ist zu beachten, dass keine plastischen Verformungen auftreten dürfen. Hierzu kann der Balken als dünn angesehen werden. Die Balkenänge 𝐿, die äußeren Belastungen, die Materialeigenschaften 𝜚 und 𝑅p0,2 , sowie das Verhältnis 𝛼 sind bekannt. 2

Die Idee zu dieser Aufgabe ist Spillers und MacBain (2009) entnommen.

4.3 Abschätzung als klassisches Optimierungsproblem

77

Abb. 4.17 Einseitig fest eingespannter verallgemeinerter Balken unter Zug- und Momentenbelastung: (a) Allgemeine Konfiguration; (b) Balkenquerschnitt

Aufgrund der wirkenden Kraft und des Momentes ergibt sich eine zusammengesetzte Normalspannungsbeanspruchung. Somit ergibt sich die Bedingung, dass keine plastischen Verformungen auftreten dürfen zu:

𝜎𝑥,max = =

𝑀𝑦 𝐼𝑦

× 𝑧max +

− 𝑀0 1 12

𝑎(𝛼𝑎)3

𝑁

( ×

≤ 𝑅p0,2 ,

𝐴 −

𝛼𝑎 2

) +

(4.48) 𝐹0

𝑎 × 𝛼𝑎

≤ 𝑅p0,2 ,

→ 6𝑀0 + 𝛼𝑎𝐹0 − 𝛼 2 𝑎3 𝑅p0,2 ≤ 0 .

(4.49) (4.50)

Die Masse des Balkens, d. h. die Zielfunktion des Optimierungsproblems, lässt sich einfach mittels 𝐹 = 𝑚 = 𝜚𝐴𝐿 = 𝜚𝐿𝑎(𝛼𝑎)

(4.51)

ausdrücken. Setzt man verallgemeinernd 𝑋 = 𝑎 und normiert die Spannungsbedingung noch mit 𝑀0 zur besseren graphischen Darstellung, ergibt sich folgender Satz von Gleichungen zur Beschreibung des klassischen Optimierungsproblems: 𝐹 (𝑋) = 𝜚𝐿𝛼𝑋 , 𝑔(𝑋) = 6 +

𝐹0 𝑀0

(4.52) ×𝑋−

𝛼 𝑀0 𝑅p0,2

× 𝑋3 ≤ 0 .

(4.53)

Aus der graphischen Darstellung der Gl. (4.52)–(4.53) in Abb. 4.18 erkennt man, dass sich der zulässige Bereich rechts von der Nullstelle der Ungleichheitsrestriktion befinden muss. Somit berechnet sich das optimale Design für minimale Masse mittels folgender Bedingung:

78

4 Formleichtbau !

𝑔(𝑋extr ) = 0 .

(4.54)

Funktionen 𝐹 (𝑋) und 𝑔(𝑋)

30

𝐹 (𝑋)

20

10

𝑔(𝑋)

0

−10

0

20

40

60

80

100

120

Designvariable 𝑋

Abb. 4.18 Optimales Design eines einseitig fest eingespannten verallgemeinerten Balkens unter Zug- und Momentenbelastung: 𝐿 = 2500 mm, 𝐹0 = 90 kN, 𝑀0 = 1130 kNmm, 𝑅p0,2 = 140 MPa, 𝜚 = 2,7 × 10−6 kg∕mm3 , 𝛼 = 0,3 (Ausgangsgleichungen (4.52)–(4.53)). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋extr = 67,372 mm (gekennzeichnet durch den ⦁ Marker) Im Folgenden wird ein einfaches Beispiel3 mit zwei Designvariablen (𝑋1 , 𝑋2 ) betrachtet, um die grundlegende Vorgehensweise beim Optimierungsprozess im Falle von zwei Designvariablen zu erläutern. Abbildung 4.19 zeigt ein beidseitig gelenkig gelagertes dünnes Rohr mit Kreisquerschnitt, das mittels der Kraft 𝐹0 auf Druck belastet wird. Die geometrischen Abmessungen des dünnen Querschnitts, d. h. der mittlere Durchmesser 𝑑m und die Wandstärke 𝑠, sind für minimale Masse zu optimieren. Als Restriktionen (𝑔𝑖 ) sind zu beachten, dass keine globalen und lokalen Instabilitäten auftreten dürfen, siehe Tabelle 4.2. Die Rohrlänge 𝐿, die äußere Belastung 𝐹0 und die Materialeigenschaften 𝐸, 𝜈 und 𝜚 können als bekannt angesehen werden. Das globale Instabilitätsversagen durch Knicken kann bei rein elastischem Materialverhalten mittels der Knickformel nach Euler (siehe Anhang 10.1) wie folgt beschrieben werden: 𝐹K =

3

𝜋 2 𝐸𝐼 𝐿2

.

Die Idee zu dieser Aufgabe ist Rothwell (2017) entnommen.

(4.55)

4.3 Abschätzung als klassisches Optimierungsproblem

79

Abb. 4.19 Beidseitig gelenkig gelagertes Rohr mit Kreisquerschnitt unter Druckbelastung: (a) Allgemeine Konfiguration; (b) Rohrquerschnitt Tabelle 4.2 Instabilitäten beim dünnwandigen Rohr mit Kreisquerschnitt unter Axialbelastung bei beidseitig gelenkiger Lagerung

Schematische Darstellung

Lastfall (Bezeichnung)

globale Instabilit: Knicken (a)

lokale Instabilität: Beulen

(b)

Damit kein Knicken auftritt, muss die belastende Kraft 𝐹0 stets kleiner als die Knickkraft 𝐹K sein. Die theoretische Beulspannung (𝜎cr ) für ein dünnwandiges Rohr mit Kreisquerschnitt unter Axialdruck beträgt für eine beidseitig gelenkige Lagerung, siehe Timoshenko und Gere (1963), Bruhn (1973), Altenbach (2016): 𝜎cr = √

1

3(1 − 𝜈 2 ) ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟

×

𝐸𝑠 𝑟m

,

(4.56)

𝐾

wobei sich der Beulbeiwert für metallische Werkstoffe mit 𝜈 = 0,3 zu 𝐾 = 0,605 ergibt. Da es sich nach der Aufgabenstellung um ein dünnes Rohr handelt, kann das axiale Flächenmoment 2. Ordnung 𝐼 und die Querschnittsfläche 𝐴 nach Aufgabe 2.4.5 wie folgt vereinfachend ausgedrückt werden:

80

4 Formleichtbau

𝐼 ≈ 𝜋𝑟3m 𝑠 =

3𝑠 𝜋𝑑m

, 8 𝐴 ≈ 2𝜋𝑟m 𝑠 = 𝜋𝑑m 𝑠 .

(4.57) (4.58)

Mit diesen Näherungen und den kritischen Lasten nach Gl. (4.56) und (4.56) ergeben sich die beiden Ungleichheitsrestriktionen zu:

𝑔 1 = 𝐹0 −

𝜋 2 𝐸𝐼

≤ 0, 𝐿2 3𝑠 𝜋 3 𝐸𝑑m = 𝐹0 − ≤ 0, 8𝐿2

(4.59) (4.60)

beziehungsweise in Bezug auf lokales Beulen: 𝐹0

𝐸𝑠

≤ 0,

(4.61)

= 𝐹0 − 1,21 × 𝐸𝜋𝑠2 ≤ 0 .

(4.62)

𝑔2 =

𝐴

− 0,605 ×

𝑑m 2

Die Zielfunktion, d. h. die Masse, lässt sich einfach mittels 𝐹 = 𝑚 = 𝜚𝐴𝐿 = 𝜚𝐿𝜋𝑑m 𝑠

(4.63)

ausdrücken. Setzt man verallgemeinernd 𝑋1 = 𝑑m und 𝑋2 = 𝑠, ergibt sich folgender Satz von Gleichungen zur Beschreibung eines klassischen Optimierungsproblems: 𝐹 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝜚𝐿𝜋𝑋1 𝑋2 , 𝑔1 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝐹0 −

𝜋 3 𝐸𝑋13 𝑋2 8𝐿2

(4.64) ≤ 0,

𝑔2 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝐹0 − 1,21 × 𝐸𝜋𝑋22 ≤ 0 .

(4.65) (4.66)

Zur graphischen Darstellung bietet es sich an, die drei Gleichungen in der Form 𝑓 (𝑥) bzw. in der aktuellen Notation als 𝑋2 (𝑋1 ) zu formulieren:

4.3 Abschätzung als klassisches Optimierungsproblem

𝑋2 = 𝑋2 ≥ 𝑋2 ≥

const. 𝜚𝐿𝜋𝑋1 8𝐹0 𝐿2 𝜋 3 𝐸𝑋13 √ 𝐹0

81

,

(4.67)

,

(4.68)

1,21𝐸𝜋

.

(4.69)

1,5 Designvariable X2 in mm

1

g1

0,

0,7

5

1,0 0,

25

0 ,5

0,5

0 ,2 5

0,1

0

g2 0,0 30

5

F (X1 , X2 )

0,1

40

50 60 70 80 90 Designvariable X1 in mm

100

Abb. 4.20 Optimales Design eines Rohres mit Kreisquerschnitt: 𝐿 = 1000 mm, 𝐹0 = 20000 N, 𝐸 = 70000 MPa, 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜚 = 2,691 × 10−6 kg∕mm3 , (Ausgangsgleichungen (4.64)–(4.66)). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋1,extr = 64,544 mm, 𝑋2,extr = 0,274 mm (gekennzeichnet durch den ⦁ Marker) Aus der graphischen Darstellung der Gl. (4.64)–(4.66) in Abb. 4.20 erkennt man, dass sich der zulässige Bereich oberhalb der roten 𝑔2 -Geraden und rechts von der blauen 𝑔1 -Kurve ergibt. Somit berechnet sich das optimale Design für minimale Masse als Schnittpunkt der beiden Ungleichheitsrestriktionen: ( 𝑋1,extr = 𝑋2,extr =

8𝐹0 𝐿2

)1

𝜋 3 𝐸𝑋2 √ 𝐹0 1,21𝐸𝜋

3

.

,

(4.70)

(4.71)

82

4 Formleichtbau

4.4 Übungsaufgaben 4.4.1. Analyse der Leichtbaukennzahl für Kragarm mit Endquerkraft und rohrförmigem Querschnitt Für den in Abb. 4.21 dargestellten Kragarm mit Endquerkraft analysiere man basierend auf einem Spannungskriterium die Leichtbaukennzahl 𝑀. Dazu ist zuerst die allgemeine Gleichung der Leichtbaukennzahl als Funktion von 𝑑 und 𝑠 abzuleiten, d. h. 𝑀 = 𝑀(𝑑, 𝑠). Anschließend sind die Funktionen 𝐹0 (𝑑, 𝑠), 𝐹G (𝑑, 𝑠) und 𝑀(𝑑, 𝑠) = 𝐹0 (𝑑, 𝑠)∕𝐹G (𝑑, 𝑠) in Abhängigkeit von (a) 𝑠 bei 𝑑 = 10 mm = konst. und von (b) 𝑑 bei 𝑠 = 2 mm = konst. zu skizzieren.

Abb. 4.21 Beidseitig gelenkig gelagerter Balken mit Einzellast: (a) Allgemeine Konfiguration; (b) Balkenquerschnitt

4.4.2. Umsetzung des Konzepts des Formleichtbaus: Optimierung eines Kastenprofils Für einen Kragarm (𝐿 = 100 mm) mit Endquerkraft 𝐹0 ist der Querschnitt basierend auf einem Spannungskriterium mittels der Leichtbaukennzahl zu optimieren. Der ursprüngliche quadratische Querschnitt (ℎ = 10 mm) soll durch ein Kastenprofil unter Beibehaltung des Balkengewichts (also mit 𝐴 = 𝐴□ ) modifiziert und optimiert werden, siehe Abb. 4.22. Die Optimierung ist für Edelstahl mit den Materialkennwerten nach Tabelle 2.1 durchzuführen. 4.4.3. Optimierung eines Biegebalkens entlang der Längsachse Für einen einseitig eingespannten Biegebalken (Biegesteifigkeit 𝐸 × 𝐼(𝑥), Länge 𝐿) mit einer Einzelkraft 𝐹0 am freien Ende optimiere man den rohrförmigen Querschnitt unter Berücksichtigung eines Spannungskriteriums (0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 ) entlang der Balkenachse 𝑥. Die Querschnittsabmessungen an der Einspannstelle 𝑥 = 0 𝑑 (siehe Abb. 4.23a) sind durch den Außendurchmesser 𝑑0 und die Wandstärke 𝑠0 = 50 gegeben. Man bestimme:

4.4 Übungsaufgaben

83

□ Abb. 4.22 Umsetzung des Konzepts des Formleichtbaus mittels 𝐼𝑦 > 𝐼𝑦 und 𝐴 = 𝐴□ : (a) Originalquerschnitt mit 𝑏 = ℎ; (b) modifizierter Querschnitt a) die Balkenkontur 𝑑 = 𝑑(𝑥) entlang der Balkenachse (inkl. Skizze), b) das Verhältnis der Massen des optimierten Querschnitts mit einem Balken konstanten Querschnitts nach Abb. 4.23a, c) das Verhältnis der Leichtbaukennzahlen des optimierten Querschnitts mit einem Balken konstanten Querschnitts nach Abb. 4.23a, d) das Verhältnis der spezifischen Energieabsorption des optimierten Querschnitts mit einem Balken konstanten Querschnitts nach Abb. 4.23a.

Abb. 4.23 Balken mit veränderlichem Querschnitt entlang der Achse: (a) Einspannstelle; (b) beliebige Stelle

4.4.4. Optimierung eines Biegebalkens entlang der Längsachse unter dem Einfluss zweier Einzelkräfte des gleichen Betrages Für einen einseitig eingespannten Biegebalken (Biegesteifigkeit 𝐸 × 𝐼(𝑥), Länge 𝐿), der durch zwei Einzelkräfte 𝐹0 belastet wird, optimiere man den rohrförmigen Querschnitt unter Berücksichtigung eines Spannungskriteriums (0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 ) entlang der Balkenachse 𝑥, siehe Abb. 4.24. Die Querschnittsabmessungen an der Einspannstelle 𝑥 = 0 (siehe Abb. 4.23a) sind durch den Außendurchmesser 𝑑0 und die Wandstärke 𝑠0 = 𝑑0 ∕5 gegeben. Die Querschnittsverhältnisse an einer beliebigen Stelle 𝑥 sind in Abb. 4.23b dargestellt. Man bestimme:

84

4 Formleichtbau

a) die Balkenkontur 𝑑 = 𝑑(𝑥) entlang der Balkenachse (inkl. Skizze), b) die spezifische Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 des optimierten Querschnitts, c) die Anwendungsproblematik der Leichtbaukennzahl 𝑀 in diesem Fall.

Abb. 4.24 Balken unter dem Einfluss zweier Einzelkräfte (gleicher Betrag)

4.4.5. Optimierung eines Biegebalkens unter 3-Punkt-Biegung Für einen Biegebalken unter 3-Punkt-Biegung (Biegesteifigkeit 𝐸 × 𝐼(𝑥), Länge 𝐿, siehe Abb. 4.25a), der durch eine mittige Einzelkraft 𝐹0 belastet ist, optimiere man den rohrförmigen Querschnitt unter Berücksichtigung eines Spannungskriteriums (0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 ) entlang der Balkenachse 𝑥, siehe Abb. 4.25b.

Abb. 4.25 Biegebalken unter 3-Punkt-Biegung: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Querschnittsgeometrien

4.4 Übungsaufgaben

85

Die Querschnittsabmessungen in der Mitte bei 𝑥 = 𝐿∕2 sind durch den Außendurchmesser 𝑑0 und die Wandstärke 𝑠0 = 𝑑0 ∕5 gegeben, und die Querschnittsverhältnisse an einer beliebigen Stelle 𝑥 ≠ 𝐿∕2 sind im gleichen Verhältnis modifiziert, siehe Abb. 4.25b. Man bestimme: a) die Balkenkontur 𝑑 = 𝑑(𝑥) entlang der Balkenachse (inkl. Skizze), b) die spezifische Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 des optimierten Querschnitts. Man vergleiche diesen Wert mit der spezifischen Energieabsorption für einen Balken mit konstantem Durchmesser 𝑑0 , c) die Leichtbaukennzahl 𝑀 des optimierten Querschnitts. Man vergleiche diesen Wert mit der Leichtbaukennzahl für einen Balken mit konstantem Durchmesser 𝑑0 , d) die Problematik der technischen Umsetzung der Kontur 𝑑 = 𝑑(𝑥). 4.4.6. Optimierung eines beidseitig gelenkig gelagerten Biegebalkens unter konstanter Streckenlast: Rechteckquerschnitt Für einen beidseitig gelenkig gelagerten Biegebalken (Biegesteifigkeit 𝐸×𝐼(𝑥), Länge 𝐿, siehe Abb. 4.26a), der durch eine konstante Streckenlast 𝑞0 belastet ist, optimiere man den rechteckförmigen Querschnitt unter Berücksichtigung eines Spannungskriteriums (0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 ) entlang der Balkenachse 𝑥, siehe Abb. 4.26b.

Abb. 4.26 Optimierung eines beidseitig gelenkig gelagerten Biegebalkens unter konstanter Streckenlast: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Querschnittsgeometrien Die Querschnittsabmessungen in der Mitte bei 𝑥 = 𝐿∕2 sind durch die Höhe ℎ0 und die konstante Breite 𝑏 gegeben, und die Querschnittsverhältnisse an einer beliebigen

86

4 Formleichtbau

Stelle 𝑥 ≠ 𝐿∕2 sind durch die Höhe ℎ(𝑥) und die konstante Breite 𝑏 gegeben, siehe Abb. 4.26b. Man bestimme: a) die optimierte Balkenkontur ℎ = ℎ(𝑥) entlang der Balkenachse 𝑥 (inkl. Skizze), b) die spezifische Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 des optimierten Querschnitts (ℎ(𝑥) × 𝑏). Man vergleiche diesen Wert mit der spezifischen Energieabsorption für einen Balken mit konstantem Querschnitt (ℎ0 × 𝑏), c) die Problematik der technischen Umsetzung der Kontur ℎ = ℎ(𝑥). Hinweis: 1 ( [ ] [ ]1 ) 2 2 𝐿 𝑥 𝑥 ∫0 − 𝐿 + 𝐿 d𝑥 =

𝜋𝐿 8

𝐿(

oder ∫0

−𝑥2 + 𝐿𝑥1

)1 2

d𝑥 =

𝜋𝐿2 . 8

4.4.7. Optimierung eines beidseitig gelenkig gelagerten Biegebalkens unter konstanter Streckenlast: Rohrquerschnitt (numerische Integration) Für einen beidseitig gelenkig gelagerten Biegebalken (Biegesteifigkeit 𝐸 × 𝐼(𝑥), Länge 𝐿, siehe Abb. 4.27a), der durch eine konstante Streckenlast 𝑞0 belastet ist, optimiere man den rohrförmigen Querschnitt unter Berücksichtigung eines Spannungskriteriums (0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 ) entlang der Balkenachse 𝑥, siehe Abb. 4.27b.

Abb. 4.27 Optimierung eines beidseitig gelenkig gelagerten Biegebalkens unter konstanter Streckenlast: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Querschnittsgeometrien Die Querschnittsabmessungen in der Mitte bei 𝑥 = 𝐿∕2 sind durch den Außendurchmesser 𝑑0 und die Wandstärke 𝑠0 = 𝑑0 ∕6 gegeben, und die Querschnittsverhältnisse

4.4 Übungsaufgaben

87

an einer beliebigen Stelle 𝑥 ≠ 𝐿∕2 sind im gleichen Verhältnis modifiziert, siehe Abb. 4.27b. Gegeben sind: • Geometrische Abmessung: 𝐿 = 2540 mm. • Materialeigenschaften des Balkens: 𝐸 = 68948 MPa, 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 𝑅p0,2 = 247 MPa. • Belastung: 𝑞0 = 1,05 N∕mm. Man bestimme: a) die Balkenkontur 𝑑 = 𝑑(𝑥) entlang der Balkenachse (inkl. Skizze), b) die spezifische Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 des optimierten Querschnitts. Man vergleiche diesen Wert mit der spezifischen Energieabsorption für einen Balken mit konstantem Durchmesser 𝑑0 , c) die Problematik der technischen Umsetzung der Kontur 𝑑 = 𝑑(𝑥). 4.4.8. Optimierung eines Biegebalkens entlang der Längsachse unter dem Einfluss zweier unterschiedlicher Einzelkräfte Für einen einseitig eingespannten Biegebalken (Biegesteifigkeit 𝐸 × 𝐼(𝑥), Länge 𝐿), der durch zwei unterschiedliche Einzelkräfte belastet wird, optimiere man das Kastenprofil unter Berücksichtigung eines Spannungskriteriums (0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 ) entlang der Balkenachse 𝑥, siehe Abb. 4.28a.

Abb. 4.28 Balken unter dem Einfluss zweier unterschiedlicher Einzelkräfte: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Querschnittsgeometrien

88

4 Formleichtbau

Die Querschnittsabmessungen an der Einspannstelle 𝑥 = 0 (siehe Abb. 4.28b) sind durch den Außendurchmesser 𝑑0 und die Wandstärke 𝑠0 = 𝑑0 ∕5 gegeben. Die Querschnittsverhältnisse an einer beliebigen Stelle 𝑥 > 0 sind in Abb. 4.28b dargestellt. Man bestimme: a) die Balkenkontur 𝑑 = 𝑑(𝑥) entlang der Balkenachse (inkl. Skizze), b) die spezifische Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 des optimierten Querschnitts. 4.4.9. Optimierung eines Biegebalkens entlang der Längsachse unter dem Einfluss einer Einzelkraft und eines Einzelmoments Für einen einseitig eingespannten Biegebalken (Biegesteifigkeit 𝐸 × 𝐼(𝑥), Länge 𝐿), 𝐹 𝐿 der durch eine Einzelkraft 𝐹0 und ein Einzelmoment 𝑀0 = 06 belastet wird, optimiere man das I-Profil unter Berücksichtigung eines Spannungskriteriums (0,2-%Dehngrenze 𝑅p0,2 ) entlang der Balkenachse 𝑥, siehe Abb. 4.29a. Die Querschnittsabmessungen an der Einspannstelle 𝑥 = 0 (siehe Abb. 4.29b) sind durch die Außenab𝑎 messungen 𝑎0 und die Wandstärken 𝑤0 = 60 gegeben. Die Querschnittsverhältnisse an einer beliebigen Stelle 𝑥 > 0 sind in Abb. 4.29b dargestellt. Man bestimme: a) die Balkenkontur 𝑎 = 𝑎(𝑥) entlang der Balkenachse (inkl. Skizze), b) die spezifische Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 des optimierten Querschnitts, c) man vergleiche die spezifische Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 des optimierten Querschnitts mit der spezifischen Energieabsorption für einen Balken mit konstantem Querschnitt (𝑎0 und 𝑤0 ).

Abb. 4.29 Balken unter dem Einfluss einer Einzelkraft und eines Einzelmoments: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Querschnittsgeometrien

4.4 Übungsaufgaben

89

4.4.10. Optimierung eines Kragarms entlang der Längsachse unter dem Einfluss einer konstanten Streckenlast Für einen einseitig eingespannten Biegebalken (Biegesteifigkeit 𝐸 × 𝐼(𝑥), Länge 𝐿), der durch eine konstante Streckenlast (𝑞0 ) belastet wird, optimiere man das Kastenprofil unter Berücksichtigung eines Spannungskriteriums (0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 ) entlang der Balkenachse 𝑥, siehe Abb. 4.30a. Die Querschnittsabmessungen an der Einspannstelle 𝑥 = 0 (siehe Abb. 4.30b) sind durch die Außenabmessung 𝑎0 und 𝑎 die Wandstärke 𝑑0 = 60 gegeben. Die Querschnittsverhältnisse an einer beliebigen Stelle 𝑥 > 0 sind in Abb. 4.30b dargestellt.

Abb. 4.30 Kragarm mit konstanter Streckenlast: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Querschnittsgeometrien Man betrachte zuerst einen Balken mit konstantem Querschnitt (siehe Abb. 4.30b (links)) und berechne: a) die Querschnittsfläche 𝐴0 , das axiale Flächenmoment 2. Ordnung 𝐼0 und die Masse 𝑚0 , b) die spezifische Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴0 unter Berücksichtigung eines Spannungskriteriums (0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 ).

90

4 Formleichtbau

Im Folgenden soll jetzt der optimierte Balken betrachtet werden. Hierzu bestimme man: c) die optimierte Balkenabmessung 𝑎(𝑥), d) die Querschnittsfläche 𝐴(𝑥), das axiale Flächenmoment 2. Ordnung 𝐼(𝑥) und die Masse 𝑚, e) die spezifische Energieabsorption 𝑆𝐸𝐴 unter Berücksichtigung eines Spannungskriteriums (0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 ). Abschließend berechne man die Verhältnisse 𝑚∕𝑚0 und 𝑆𝐸𝐴∕𝑆𝐸𝐴0 . Wie müsste eine äußere Belastung aussehen, damit auch der ‘optimierte’ Balken an jeder Stelle 𝑥 den gleichen Querschnitt hat? 4.4.11. Optimales Design eines einseitig fest eingespannten Balkens (klassisches Optimierungsproblem) Betrachtet wird ein einseitig fest eingespannter Biegebalken nach Abb. 4.31. Der Balken ist durch eine Einzelkraft 𝐹0 belastet und hat konstante Material- (𝐸, 𝜚) und geometrische (𝐼) Eigenschaften entlang seiner Längsachse. Das Material ist isotrop und homogen und die Balkentheorie für dünne Balken (Euler-Bernoulli) kann für dieses Beispiel verwendet werden.

Abb. 4.31 (a) Allgemeine Konfiguration des Balkenproblems; (b) Balkenquerschnitt Gegeben sind: • Geometrische Abmessung: 𝐿 = 2540 mm. • Materialeigenschaften des Balkens: Elastizitätsmodul 𝐸 = 68948 MPa, Massendichte 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 = 247 MPa. • Belastung: 𝐹0 = 2667 N. Man bestimme die optimierte Querschnittsabmessung 𝑎 unter der Bedingung, dass die wirkende Spannung nicht die Anfangsfließgrenze übersteigt. Weiterhin soll eine maximale Durchbiegung von 𝑢𝑧 (𝐿) = 𝑟1 𝐿 mit 𝑟1 = 0,03 nicht überschritten werden.

4.4 Übungsaufgaben

91

Basierend auf einer graphischen Darstellung der Zielfunktion und der entsprechenden Ungleichheitsrestriktionen ist das Optimum analytisch zu bestimmen. 4.4.12. Optimales Design eines Druckstabes (klassisches Optimierungsproblem) Betrachtet wird ein Druckstab nach Abb. 4.32. Der Stab ist durch eine Einzelkraft 𝐹0 belastet und hat konstante Material- (𝐸, 𝜚) und geometrische (𝐼, 𝐴) Eigenschaften entlang seiner Längsachse. Weiterhin kann der Werkstoff als isotrop und homogen angesehen werden.

Abb. 4.32 (a) Allgemeine Konfiguration des Druckstabproblems; (b) Stabquerschnitt Gegeben sind: • Geometrische Abmessung: 𝐿 = 1000 mm. • Materialeigenschaften des Stabes: Elastizitätsmodul 𝐸 = 70000 MPa, Massendichte 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 = 247 MPa. • Belastung: 𝐹0 = 2667 N. Man bestimme die optimierte Querschnittsabmessung 𝑎 unter der Bedingung, dass die wirkende Spannung nicht die Anfangsfließgrenze übersteigt. Weiterhin soll kein Knicken im elastischen Bereich auftreten. Basierend auf einer graphischen Darstellung der Zielfunktion und der entsprechenden Ungleichheitsrestriktionen ist das Optimum analytisch zu bestimmen. 4.4.13. Optimales Design eines kurzen, einseitig fest eingespannten Balkens (klassisches Optimierungsproblem) Betrachtet wird ein kurzer, einseitig fest eingespannter Biegebalken nach Abb. 4.33. Der Balken ist durch eine Einzelkraft 𝐹0 belastet und hat konstante Material- (𝐸, 𝜚) und geometrische (𝐼) Eigenschaften entlang seiner Längsachse. Das Material ist isotrop und homogen und die Balkentheorie für dicke Balken (Timoshenko) kann für dieses Beispiel verwendet werden. Gegeben sind:

92

4 Formleichtbau

Abb. 4.33 (a) Allgemeine Konfiguration des kurzen Kragarms; (b) Balkenquerschnitt

• Geometrische Abmessung: 𝐿 = 846,33 mm. • Materialeigenschaften des Balkens: Elastizitätsmodul 𝐸 = 68948 MPa, Massendichte 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 = 247 MPa. • Belastung: 𝐹0 = 2667 N. Man bestimme die optimierte Querschnittsabmessung 𝑎 unter der Bedingung, dass die wirkenden Normal- und Schubspannungen nicht die entsprechenden Anfangsfließgrenzen übersteigen. Die Anfangsfließgrenze auf Schub kann mittels der Hypothese nach Tresca approximiert werden. Die Normalspannungsverteilung kann als linear und die Schubspannungsverteilung als parabolisch über die Balkenhöhe angenommen werden. Basierend auf einer graphischen Darstellung der Zielfunktion und der entsprechenden Ungleichheitsrestriktionen ist das Optimum analytisch zu bestimmen. 4.4.14. Optimales Design eines einseitig fest eingespannten Balkens: Konstanter Rechteckquerschnitt (klassisches Optimierungsproblem) Betrachtet wird ein einseitig fest eingespannter Biegebalken nach Abb. 4.34. Der Balken ist durch eine Einzelkraft 𝐹0 belastet und hat konstante Material- (𝐸, 𝜚) und geometrische (𝐼) Eigenschaften entlang seiner Längsachse. Das Material ist isotrop und homogen und die Balkentheorie für dünne Balken (Euler-Bernoulli) kann für dieses Beispiel verwendet werden. Gegeben sind: • Geometrische Abmessung: 𝐿 = 2540 mm. • Materialeigenschaften des Balkens: Elastizitätsmodul 𝐸 = 68948 MPa, Massendichte 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 = 247 MPa. • Belastung: 𝐹0 = 2667 N. Man bestimme die optimierten Querschnittsabmessungen 𝑎 und 𝑏 unter der Bedingung, dass die wirkende Normalspannung nicht die Anfangsfließgrenze übersteigt.

4.4 Übungsaufgaben

93

Abb. 4.34 (a) Allgemeine Konfiguration des Balkenproblems; (b) Balkenquerschnitt

Weiterhin soll eine maximale Durchbiegung von 𝑢𝑧 (𝐿) = 𝑟1 𝐿 mit 𝑟1 = 0,03 nicht überschritten werden. Abschließend soll das Höhen-Breiten-Verhältnis auf 𝑏 ≤ 20𝑎 begrenzt werden, um Instabilitäten zu vermeiden. Basierend auf einer graphischen Darstellung der Zielfunktion und der entsprechenden Ungleichheitsrestriktionen ist das Optimum analytisch zu bestimmen. Man vergleiche die optimierte Geometrie mit den Ergebnissen aus Aufgabe 4.4.11. 4.4.15. Optimales Design eines beidseitig gelenkig gelagerter Balkens: Konstanter Rechteckquerschnitt (klassisches Optimierungsproblem) Betrachtet wird ein beidseitig gelenkig gelagerter Balken nach Abb. 4.35. Der Balken ist in der Mitte durch eine Einzelkraft 𝐹0 belastet und hat konstante Material(𝐸, 𝜚) und geometrische (𝐼) Eigenschaften entlang seiner Längsachse. Das Material ist isotrop und homogen und die Balkentheorie für dünne Balken (Euler-Bernoulli) kann für dieses Beispiel verwendet werden.

Abb. 4.35 (a) Allgemeine Konfiguration des beidseitig gelenkig gelagerten Balkens; (b) Balkenquerschnitt Gegeben sind:

94

4 Formleichtbau

• Geometrische Abmessung: 𝐿 = 2540 mm. • Materialeigenschaften des Balkens: Elastizitätsmodul 𝐸 = 68948 MPa, Massendichte 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 = 247 MPa, Schubfließgrenze 𝜏p = 𝑅p0,2 ∕2. • Belastung: 𝐹0 = 2667 N. Man bestimme die optimierte Querschnittsabmessung 𝑎 unter der Bedingung, dass die wirkenden Normal- und Schubspannungen nicht die entsprechenden Anfangsfließgrenzen übersteigen. Weiterhin soll eine maximale Durchbiegung von 𝑢𝑧 (𝐿) = 𝑟1 𝐿 mit 𝑟1 = 0,03 oder 𝑟′1 = 0,003 nicht überschritten werden. Abschließend soll das Höhen-Breiten-Verhältnis auf 𝑏 ≤ 20𝑎 begrenzt werden, um Instabilitäten zu vermeiden. Basierend auf einer graphischen Darstellung der Zielfunktion und der entsprechenden Ungleichheitsrestriktionen ist das Optimum analytisch zu bestimmen. 4.4.16. Optimales Design eines Druckstabes: konstanter Rechteckquerschnitt (klassisches Optimierungsproblem) Betrachtet wird ein Druckstab nach Abb. 4.36. Der Stab ist durch eine Einzelkraft 𝐹0 belastet und hat konstante Material- (𝐸, 𝜚) und geometrische (𝐼, 𝐴) Eigenschaften entlang seiner Längsachse. Weiterhin kann der Werkstoff als isotrop und homogen angesehen werden.

Abb. 4.36 (a) Allgemeine Konfiguration des Druckstabproblems; (b) Querschnittsfläche Gegeben sind: • Geometrische Abmessung: 𝐿 = 1000 mm. • Materialeigenschaften des Stabes: Elastizitätsmodul 𝐸 = 70000 MPa, Massendichte 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 = 247 MPa. • Belastung: 𝐹0 = 2667 N.

4.4 Übungsaufgaben

95

Man bestimme die optimierten Querschnittsabmessungen 𝑎 und 𝑏 unter der Bedingung, dass die wirkende Spannung nicht die Anfangsfließgrenze übersteigt. Weiterhin soll kein Knicken im elastischen Bereich auftreten. Basierend auf einer graphischen Darstellung der Zielfunktion und der entsprechenden Ungleichheitsrestriktionen ist das Optimum analytisch zu bestimmen. Man vergleiche die optimierte Geometrie mit den Ergebnissen aus Aufgabe 4.4.12. 4.4.17. Optimales Design eines kurzen, einseitig fest eingespannten Balkens: konstanter Rechteckquerschnitt (klassisches Optimierungsproblem) Betrachtet wird ein kurzer, einseitig fest eingespannter Biegebalken nach Abb. 4.37. Der Balken ist durch eine Einzelkraft 𝐹0 belastet und hat konstante Material- (𝐸, 𝜚) und geometrische (𝐼) Eigenschaften entlang seiner Längsachse. Das Material ist isotrop und homogen und die Balkentheorie für dicke Balken (Timoshenko) kann für dieses Beispiel verwendet werden.

Abb. 4.37 (a) Allgemeine Konfiguration des kurzen Balkenproblems; (b) Balkenquerschnitt Gegeben sind: • Geometrische Abmessung: 𝐿 = 846,33 mm. • Materialeigenschaften des Balkens: Elastizitätsmodul 𝐸 = 68948 MPa, Massendichte 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 = 247 MPa. • Belastung: 𝐹0 = 2667 N. Man bestimme die optimierten Querschnittsabmessungen 𝑎 und 𝑏 unter der Bedingung, dass die wirkenden Normal- und Schubspannungen nicht die entsprechenden Anfangsfließgrenzen übersteigen. Die Anfangsfließgrenze auf Schub kann mittels der Hypothese nach Tresca approximiert werden. Die Normalspannungsverteilung kann als linear und die Schubspannungsverteilung als parabolisch über die Balkenhöhe angenommen werden. Weiterhin soll das Höhen-Breiten-Verhältnis auf

96

4 Formleichtbau

𝑏 ≤ 20𝑎 begrenzt werden, um Instabilitäten zu vermeiden. Basierend auf einer graphischen Darstellung der Zielfunktion und der entsprechenden Ungleichheitsrestriktionen ist das Optimum analytisch zu bestimmen. Man vergleiche die optimierte Geometrie mit den Ergebnissen aus Aufgabe 4.4.13. 4.4.18. Optimales Design eines gestuften Kragarms mit zwei Abschnitten (klassisches Optimierungsproblem) Betrachtet wird ein einseitig fest eingespannter Biegebalken nach Abb. 4.38, der am rechten Ende durch eine Einzelkraft 𝐹0 in negative 𝑍-Richtung belastet wird. Der Balken ist in zwei Abschnitte der Länge 𝐿I = 𝐿II = 𝐿∕2 unterteilt. Das Material jedes Abschnittes ist gleich, d. h. 𝐸I = 𝐸II = 𝐸, aber die Querschnitte sind in beiden Abschnitten unterschiedlich. Man optimiere die beiden Querschnitte, d. h. die Höhen 𝑏𝑖 (𝑖 = 1, 2), wobei die Breite der beiden Abschnitte identisch (𝑎) bleibt.

Abb. 4.38 Gestufter Kragarm mit zwei Abschnitten: (a) Allgemeine Konfiguration, (b) Diskretisierung, und (c) Querschnittsfläche 𝑖 Gegeben sind:

4.4 Übungsaufgaben

97

• Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2540 mm, 𝑎 = 45,16 mm. • Materialeigenschaften des Balkens: Elastizitätsmodul 𝐸 = 68948 MPa, Massendichte 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 = 247 MPa. • Belastung: 𝐹0 = 2667 N. Man bestimme die optimierten Querschnittsabmessungen 𝑏𝑖 unter der Bedingung, dass die wirkenden Normal- und Schubspannungen nicht die entsprechenden Anfangsfließgrenzen übersteigen. Die Anfangsfließgrenze auf Schub kann mittels der Hypothese nach Tresca approximiert werden. Die Normalspannungsverteilung kann als linear und die Schubspannungsverteilung als parabolisch über die Balkenhöhe angenommen werden. Weiterhin soll eine maximale Durchbiegung von |𝑢𝑧 (𝐿)| = 𝑟1 𝐿 mit 𝑟1 = 0,06 nicht überschritten werden. Abschließend soll das Höhen-BreitenVerhältnis auf 𝑏 ≤ 20𝑎 begrenzt werden, um Instabilitäten zu vermeiden. Basierend auf einer graphischen Darstellung der Zielfunktion und der entsprechenden Ungleichheitsrestriktionen ist das Optimum analytisch zu bestimmen. Man verwende einen Finite-Elemente-Ansatz (‘Handrechnung’) zur Bestimmung der Verformungen und inneren Reaktionen, siehe Öchsner 2016, 2018, Javanbakht und Öchsner 2018. 4.4.19. Optimales Design eines beidseitig gelenkig gelagerten Balkens mit drei Abschnitten (klassisches Optimierungsproblem) Betrachtet wird ein beidseitig gelenkig gelagerter Balken nach Abb. 4.39,der in der Mitte durch eine Einzelkraft 𝐹0 in negative 𝑍-Richtung belastet wird. Der Balken ist in drei Abschnitte der Länge 𝐿I = 𝐿II = 𝐿III = 𝐿∕3 unterteilt. Das Material jedes Abschnittes ist gleich, d. h. 𝐸I = 𝐸II = 𝐸III = 𝐸, aber der mittlere Querschnitt hat andere Abmessungen als die beiden äußeren Abschnitte (I = III). Man optimiere die Querschnitte, d. h. die Höhen 𝑏𝑖 (𝑖 = 1, 3), wobei die Breite der drei Abschnitte identisch (𝑎) bleibt. Man beachte zur Vereinfachung die Symmetrie des Problems. Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2540 mm, 𝑎 = 45,16 mm. • Materialeigenschaften des Balkens: Elastizitätsmodul 𝐸 = 68948 MPa, Massendichte 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 0,2-%-Dehngrenze 𝑅p0,2 = 247 MPa. • Belastung: 𝐹0 = 2667 N. Man bestimme die optimierten Querschnittsabmessungen 𝑏𝑖 unter der Bedingung, dass die wirkenden Normal- und Schubspannungen nicht die entsprechenden Anfangsfließgrenzen übersteigen. Die Anfangsfließgrenze auf Schub kann mittels der Hypothese nach Tresca approximiert werden. Die Normalspannungsverteilung kann als linear und die Schubspannungsverteilung als parabolisch über die Balkenhöhe angenommen werden. Weiterhin soll eine maximale Durchbiegung von |𝑢𝑧 (𝐿∕2)| = 𝑟1 𝐿 mit 𝑟1 = 0,01 nicht überschritten werden. Abschließend soll das Höhen-BreitenVerhältnis auf 𝑏 ≤ 20𝑎 begrenzt werden, um Instabilitäten zu vermeiden. Basierend auf einer graphischen Darstellung der Zielfunktion und der entsprechenden Ungleichheitsrestriktionen ist das Optimum analytisch zu bestimmen. Man verwende

98

4 Formleichtbau

Abb. 4.39 Beidseitig gelenkig gelagerter Balken mit drei Abschnitten: (a) Allgemeine Konfiguration, (b) Diskretisierung, und (c) Querschnittsfläche 𝑖

einen Finite-Elemente-Ansatz (‘Handrechnung’) zur Bestimmung der Verformungen und inneren Reaktionen, siehe Öchsner 2016, 2018, Javanbakht und Öchsner 2018.

Literaturverzeichnis Altenbach, H.: Holzmann/Meyer/Schumpich Technische Mechanik Festigkeitslehre. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2016 Boresi, A, P., Schmidt, R, J.: Advanced Mechanics of Materials. New York: John Wiley & Sons, 2003 Bruhn, E, F.: Analysis and Design of Flight Vehicle Structures. Indianapolis: Jacobs Publishing, 1973 Javanbakht, Z., Öchsner, A.: Computational Statics Revision Course. Cham: Springer, 2018

Literaturverzeichnis

99

Öchsner, A.: Elasto-Plasticity of Frame Structure Elements: Modeling and Simulation of Rods and Beams. Berlin: Springer, 2014 Öchsner, A.: Computational Statics and Dynamics: An Introduction Based on the Finite Element Method. Singapore: Springer, 2016 Öchsner, A.: A Project-Based Introduction to Computational Statics. Cham: Springer, 2018 Öchsner, A., Makvandi, R.: Numerical Engineering Optimization: Application of the Computer Algebra System Maxima. Cham: Springer Nature, 2020 Rothwell, A.: Optimization Methods in Structural Design. Cham: Springer, 2017 Schumacher, A.: Optimierung mechanischer Strukturen: Grundlagen und industrielle Anwendungen. Berlin: Springer Vieweg, 2013 Spillers, W, R., MacBain, K, M.: Structural Optimization. New York: Springer, 2009 Timoshenko, S, P., Gere, J, M.: Theory of Elastic Stability. Singapore: McGraw-Hill, 1963 Vanderplaats, G, N.: Numerical Optimization Techniques for Engineering Design. Colorado Springs: Vanderplaats Research & Development, 1999

101

Kapitel 5

Sandwichelemente

Zusammenfassung In diesem Kapitel wird der sogenannte Stoff- und Formleichtbau näher betrachtet. Hierbei wird das Leichtbaupotenzial hauptsächlich durch eine geeignete Wahl und Kombination verschiedener Werkstoffe und deren Verteilung im Querschnitt bestimmt. Als typischer Vertreter wird der Sandwichbalken und dessen Grundlagen vorgestellt.

5.1 Einführende Bemerkungen Beim Stoff- und Formleichtbau wird versucht, durch eine geeignete Wahl und Kombination verschiedener Werkstoffe und deren Verteilung im Querschnitt, ein optimales Leichtbaupotenzial zu erzielen. Typische Vertreter hierzu kommen aus der Klasse der Verbundwerkstoffe in ihrer allgemeinsten Definition, wobei Sandwichelemente im Folgenden näher betrachtet werden, siehe Allen (1969), Stamm und Witte (1974). Ein typisches Sandwichelement ist in Abb. 5.1 dargestellt.

Abb. 5.1 Aufbau eines Sandwichelements: 1, 3: Deckschicht (Haut), 2: Kernschicht

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 A. Öchsner, Stoff- und Formleichtbau, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1_5

102

5 Sandwichelemente

Hierbei werden zwei Deckschichten, die oft aus dem gleichen Material bestehen, durch einen Kern verbunden und somit auf einem definierten Abstand gehalten. Weiterhin wird angemerkt, dass den Deckschichten und dem Kern in der Regel unterschiedliche Aufgaben zukommen, siehe Hertel (1960). Im Folgenden werden drei unterschiedliche Lastfälle näher untersucht, siehe Abb. 5.2. Zur Vereinfachung werden hierbei die Balkentheorie nach Euler-Bernoulli (siehe Unterkapitel 2.2.1) und die Stabtheorie (siehe Unterkapitel 2.1) zu Grunde gelegt. Somit wird ein verallgemeinerter, d. h. Kombination von Balken und Stab, Verbundbalken betrachtet.

Abb. 5.2 Untersuchte Lastfälle: (a) Biegung, (b) Zug- oder Druckbelastung und (c) Schubbelastung

5.2 Biegebeanspruchung Die mittlere Biegesteifigkeit 𝐸𝐼 𝑦 für einen solchen Verbund ergibt sich nach Klein (2009), Öchsner (2014) zu:

5.2 Biegebeanspruchung

𝐸𝐼 𝑦 =

3 ∑ 𝑘=1

103

𝐸𝑘

[

)3 1 ( 𝑏 Δℎ𝑘 12

3 ( )2 ] ∑ + 𝑏Δℎ𝑘 𝑧𝑘c 𝐸 𝑘 𝐼𝑦𝑘 , =

(5.1)

𝑘=1

wobei es sich bei 𝑧𝑘c um den vertikalen Abstand (d. h. in 𝑧-Richtung) des Teilschwerpunktes des Körpers 𝑘 zum Gesamtschwerpunkt handelt. Die Schichtdicke Δℎ kann auch mittels Δℎ𝑘 = 𝑧𝑘−1 −𝑧𝑘 berechnet werden. In Gl. (5.1) wurde somit das gesamte axiale Flächenmoment 2. Ordnung mittels des Anteils bzgl. des Teilschwerpunktes und des zusätzlichen “Steineranteils” berechnet. Damit würde sich aus Gl. (5.1) für 1 𝑏ℎ3 ein homogenes Element der Breite 𝑏 und Höhe ℎ gerade 𝐸𝐼 𝑦 = 𝐸𝐼𝑦 = 𝐸 12 ergeben. Im Falle einer Querdehnungsbehinderung der Deckschichten (z. B. durch den Kern oder einer signifikanten Abmessung in 𝑦-Richtung, d. h. 𝑏 ≈ 𝐿), muss statt 𝐸 der modifizierte Elastizitätsmodul 𝐸 → 𝐸∕(1 − 𝜈 2 ) verwendet werden, siehe Stamm und Witte (1974). Die Spannungsverteilung im Sandwich kann durch folgenden modifizierten Ansatz beschrieben werden (siehe Klein 2009, Öchsner 2014): 𝜎𝑥,𝑘 (𝑧) =

𝑀𝑦 𝐸 𝑘 𝐸𝐼 𝑦

× 𝑧.

(5.2)

Nach Abb. 5.3a ergeben sich hierbei Spannungssprünge beim Übergang von einem zum nächsten Material im Falle von unterschiedlichen Steifigkeiten (𝐸 𝑘 ). Im Gegensatz dazu wird die Dehnung jedoch ohne Sprünge angenommen, das heißt ein linearer Verlauf durch den Ursprung des Koordinatensystems, siehe Abb. 5.3b.

Abb. 5.3 Verlauf der (a) Normalspannungskomponente 𝜎𝑥 und (b) Dehnungskomponente 𝜀𝑥 bei Biegebelastung

104

5 Sandwichelemente

Die Ableitung von Gl. (5.2) wird im Folgenden kurz dargestellt. Unter der Annahme, dass jede Schicht 𝑘 die gleiche Krümmung 𝜅 aufweist, kann die Spannung in jeder Schicht wie folgt angegeben werden: 𝑘

d2 𝑢𝑧 (𝑥)

= +𝐸 𝑘 𝑧𝜅 . (5.3) d𝑥2 Das innere Biegemoment ergibt sich durch Integration über die Spannungsverteilung mittels: 𝜎𝑥,𝑘 = −𝐸 𝑧

𝑀𝑦 =

∫

𝑧𝜎𝑥 d𝐴 =

∫

𝑧2 𝐸 1 𝜅d𝐴1 +

𝐴

=

𝐴1

∫

𝑧𝜎𝑥,1 d𝐴1 +

𝐴1

∫

𝑧𝜎𝑥,2 d𝐴2 +

𝐴2

∫

𝐴2

𝑧2 𝐸 2 𝜅d𝐴2 +

∫

𝑧𝜎𝑥,3 d𝐴3

(5.4)

𝐴3

∫

𝑧2 𝐸 3 𝜅d𝐴3

(5.5)

𝐴3

⎛ ⎞ ⎟ ⎜ 1 2 2 2 1 2 = ⎜𝐸 𝑧 d𝐴1 + 𝐸 𝑧 d𝐴2 + 𝐸 𝑧 d𝐴3 ⎟ 𝜅 ∫ ∫ ⎜ 𝐴∫ ⎟ 𝐴2 𝐴3 1 ⎝ ⎠ ) ( 1 1 2 2 3 3 = 𝐸 𝐼𝑦 + 𝐸 𝐼𝑦 + 𝐸 𝐼𝑦 𝜅 = 𝐸𝐼 𝑦 𝜅 .

(5.6)

(5.7)

Unter Verwendung von Gl. (5.3) ergibt sich aus der letzten Gleichung die Spannungsbeziehung (5.2). Im Folgenden werden verschiedene Sandwichstrukturen mit unterschiedlichen Material- und Geometriekombinationen im Bezug auf das Leichtbaupotenzial verglichen. Die Grundkonfiguration für zahlreiche Beispiele, das heißt Kragarm mit Endquerkraft, ist wieder wie in Abb. 3.1. Als Referenz dient jetzt ein homogener Balken aus Aluminium (siehe Abb. 5.4, Konfiguration (1)). Durch Verwendung eines Schaumkerns und anschließender Verkleinerung der Deckschichtdicke (bei gleichen Außenabmessungen des Querschnitts) kann eine Steigerung des Leichtbaupotenzials erzielt werden (siehe Abb. 5.4, Konfigurationen (2) und (3)). Eine Konfiguration, bei der die Kernschicht vollständig vernachlässigt wurde, ist als Grenzfall angegeben (siehe Abb. 5.4, Konfiguration (4)). Angemerkt sei hier, dass die Berechnung der Leichtbaukennzahl mit einem Grenzwert als maximale äußere Belastung durchgeführt wurde. Ein alternatives Designkonzept kann durch die Verwendung eines kohlenstofffaserverstärkten Kunststoffs (CFK) realisiert werden (Kennwerte für CFK nach Klein (2009): 𝜚 = 1,50 × 10−6 kg∕mm3 , 𝐸 = 120000 MPa, 𝑅z = 1700 MPa; unidirektionale Schicht (UD) mit Faservolumenanteil von 𝜙F = 0,55). Für Fall (4) nach Abb. 5.4 ergibt sich jetzt 𝑀CFK = 4077.

5.3 Zug-/Druckbeanspruchung

105

3000

Leichtbaukennzahl 𝑀

𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm

2000

1000

0 (1)

(2)

(3)

(4)

Konfiguration

Abb. 5.4 Leichtbaukennzahl für verschiedene Konfigurationen von Sandwichelementen (𝐿 = 100 mm, 𝑏 = ℎ = 10 mm) und Belastungskriterium für Biegelastfall (𝐹0 = −200 N ∧ 𝜎max < 𝑅p0,2 ). Kennwerte des Al-Schaums nach Klein (2009): 𝜚 = 0,4 × 10−6

kg , mm3

𝐸 = 2500 MPa, 𝑅zp0,2 = 4 MPa, 𝑅dp0,2 = 6 MPa

5.3 Zug-/Druckbeanspruchung Im Folgenden wird der Lastfall Zug- bzw. Druckbeanspruchung (siehe Abb. 5.2b) näher betrachtet, wobei jedoch Instabilitäten wie Knicken oder Beulen hier noch nicht berücksichtigt werden. Unter dem Einfluss einer äußeren Axialkraft ergeben sich die in Abb. 5.5 dargestellten Spannungs- und Dehnungsverteilungen. Wichtig ist hierbei die Annahme, dass alle Schichten perfekt miteinander verbunden sind und somit die Dehnung in jeder Einzelschicht gleich der Gesamtdehnung ist, siehe Abb. 5.5b.

Abb. 5.5 Verlauf der (a) Normalspannungskomponente 𝜎𝑥 und (b) Dehnungskomponente 𝜀𝑥 bei Zugbelastung

106

5 Sandwichelemente

Die innere Normalkraft ergibt sich durch Integration über die Spannungsverteilung mittels:

𝑁𝑥 =

∫

𝜎𝑥 d𝐴 =

𝐴

∫

𝜎𝑥,1 d𝐴1 +

𝐴1

𝜎𝑥,2 d𝐴2 +

∫

𝐴2

∫

𝜎𝑥,3 d𝐴3

𝐴3

= 𝐸1 𝜀𝑥 Δℎ 𝑏 + 𝐸2 𝜀𝑥 Δℎ 𝑏 + 𝐸3 𝜀𝑥 Δℎ 𝑏 ) ( = 𝐸1 Δℎ1 𝑏 + 𝐸2 Δℎ2 𝑏 + 𝐸3 Δℎ3 𝑏 𝜀𝑥 = 𝐸𝐴𝜀𝑥 . 1

(5.8)

2

3

(5.9) (5.10)

Somit ergibt sich die mittlere Dehnsteifigkeit zu: 𝐸𝐴 =

3 ∑

𝐸 𝑘 Δℎ𝑘 𝑏 .

(5.11)

𝑘=1

Ersetzt man in Gl. (5.10) die Gesamtdehnung mittels des Hooke’schen Gesetzes für eine Schicht und berücksichtigt, dass die innere Normalkraft gleich der äußeren Kraft 𝐹0 ist, d. h. 𝑁𝑥 = 𝐹0 = 𝐸𝐴

𝜎𝑘

, 𝐸𝑘 ergibt sich die Beziehung für die Spannung in der 𝑘-ten Schicht zu: 𝜎𝑥,𝑘 =

𝐹0 𝐸 𝑘 𝐸𝐴

.

(5.12)

(5.13)

5.4 Schubbeanspruchung Im Folgenden wird der Lastfall Schubbeanspruchung (siehe Abb. 5.2c) näher betrachtet. Allgemein kann der Schubspannungsverlauf nach Gl. (10.7) durch Integration aus dem Normalspannungsverlauf berechnet werden. Für die Deckschichten (siehe Schicht 1 und 3 in Abb. 5.1) ergibt sich exemplarisch 2 2 für Schicht 3 ( Δℎ2 ≤ 𝑧 ≤ Δℎ2 + Δℎ3 ): Δℎ2 +Δℎ3 2

𝜏𝑧𝑥,3 (𝑧) =

∫ 𝑧

Mit dem Spannungsgradienten

d𝜎𝑥,3 (𝑥) d𝑥

d𝑧′ + 𝑐3 .

(5.14)

5.4 Schubbeanspruchung

d𝜎𝑥,3 (𝑥) d𝑥

=

d

107

(

d𝑥

𝑀𝑦 (𝑥)𝐸 3 𝐸𝐼𝑦

) 𝑧

=

𝐸 3 𝑧 d𝑀𝑦 (𝑥) 𝐸𝐼𝑦

d𝑥

=

𝐸 3 𝑄𝑧 (𝑥) 𝐸𝐼𝑦

𝑧

(5.15)

ergibt sich die Schubspannungsverteilung zu:

𝜏𝑧𝑥,3 (𝑧) =

𝐸 3 𝑄𝑧 (𝑥)

Δℎ2 +Δℎ3 2

𝐸𝐼𝑦

)2 ( ⎤ 3 𝑄 (𝑥) ⎡ Δℎ2 𝐸 𝑧 ⎢ 𝑧′ d𝑧′ + 𝑐3 = + Δℎ3 − 𝑧2 ⎥ + 𝑐3 . ∫ ⎥ 2 2𝐸𝐼𝑦 ⎢⎣ ⎦ 𝑧 (5.16)

Die Integrationskonstante 𝑐3 kann mittels der Bedingung, dass am freien Rand keine Schubspannungen auftreten, d. h. 𝜏𝑧𝑥,3 (Δℎ2 ∕2 + Δℎ3 ) = 0, zu 𝑐3 = 0 bestimmt werden. Somit ergibt sich abschließend für die Schubspannungsverteilung in Schicht 3: )2 ( ⎤ 𝐸 3 𝑄𝑧 (𝑥) ⎡ Δℎ2 ⎢ − 𝑧2 ⎥ , + Δℎ3 𝜏𝑧𝑥,3 (𝑧) = ⎥ 2 2𝐸𝐼𝑦 ⎢⎣ ⎦

(5.17)

beziehungsweise in Schicht 1: )2 ( ⎤ 𝐸 1 𝑄𝑧 (𝑥) ⎡ Δℎ2 ⎢ − 𝑧2 ⎥ . + Δℎ1 𝜏𝑧𝑥,1 (𝑧) = ⎥ 2 2𝐸𝐼𝑦 ⎢⎣ ⎦

(5.18) 2

Für die Kernschicht (siehe Schicht 2 in Abb. 5.1) ergibt sich (− Δℎ2 ≤ 𝑧 ≤ Δℎ2 2

𝜏𝑧𝑥,2 (𝑧) =

∫

d𝜎𝑥,2 (𝑥) d𝑥

𝑧

d𝑧′ + 𝑐2 .

Δℎ2 ): 2

(5.19)

Mit dem Spannungsgradienten d𝜎𝑥,2 (𝑥) d𝑥

=

𝐸 2 𝑄𝑧 (𝑥) 𝐸𝐼𝑦

𝑧

(5.20)

ergibt sich die Schubspannungsverteilung zu:

𝜏𝑧𝑥,2 (𝑧) =

𝐸 2 𝑄𝑧 (𝑥) 𝐸𝐼𝑦

Δℎ2 2

)2 ( ⎤ 𝐸 2 𝑄𝑧 (𝑥) ⎡ Δℎ2 ⎢ 𝑧 d𝑧 + 𝑐2 = − 𝑧2 ⎥ + 𝑐2 . ∫ ⎥ 2 2𝐸𝐼𝑦 ⎢⎣ ⎦ 𝑧 ′

′

(5.21)

108

5 Sandwichelemente

Die Integrationskonstante 𝑐2 ergibt sich aus der Übergangsbedingung für die Spannung 𝜏𝑧𝑥 zwischen Schicht 2 und 3, d. h. 𝜏𝑧𝑥,2 (𝑧 = Δℎ2 ∕2) = 𝜏𝑧𝑥,3 (𝑧 = Δℎ2 ∕2), zu: )2 )2 ( ( 𝐸 3 𝑄𝑧 (𝑥) ⎡ Δℎ2 Δℎ2 ⎤ 𝐸 3 𝑄𝑧 (𝑥) [ ] 3 ⎢ ⎥= − 𝑐2 = (Δℎ2 + Δℎ3 )Δℎ3 . + Δℎ ⎥ 2 2 2𝐸𝐼𝑦 ⎢⎣ 2𝐸𝐼𝑦 ⎦ (5.22) Somit ergibt sich die Schubspannungsverteilung in der Kernschicht (Schicht ‘2’) zu: )2 ( ⎞ ⎤ 𝑄𝑧 (𝑥) ⎡ 2 ⎛ Δℎ2 ( ) ⎢ ⎜ 𝜏𝑧𝑥,2 (𝑧) = − 𝑧2 ⎟ + 𝐸 3 Δℎ2 + Δℎ3 Δℎ3 ⎥ . 𝐸 ⎟ ⎥ 2 2𝐸𝐼𝑦 ⎢⎣ ⎜⎝ ⎦ ⎠

(5.23)

Die Verteilung der Schubspannung über die Höhe des Sandwichelementes ist in Abb. 5.6a dargestellt. Unterschiedliche Parabelzüge bilden hier die Verteilung.

Abb. 5.6 Verlauf der (a) Schubspannungskomponente 𝜏𝑥𝑧 und des (b) Gleitwinkels 𝛾𝑥𝑧 bei Schubbelastung 𝜏

Die Verteilung des Gleitwinkels weist wegen 𝛾𝑧𝑥 (𝑧) = 𝐺𝑧𝑥 bei unterschiedlichen 𝑧𝑥 Schubmodulen in Schicht 2 und 3 (= 1) Unstetigkeiten, d. h. Sprünge, an den Schichtübergängen auf, siehe Abb. 5.6b.

5.5 Technischer Sandwich

109

5.5 Technischer Sandwich Für die weiteren Ausführungen wird eine mehr technischere Konfiguration eines Sandwichs betrachtet, siehe Abb. 5.7. Die Deckschichten des symmetrischen Aufbaus sind hierbei in der Regel deutlich dünner als die Kernschicht. Weiterhin ist in der Regel die Kernschicht weicher als die Deckschichten 1 . Zusätzlich werden homogene und isotrope Materialien, die sich linear-elastisch verformen, für alle Lagen angenommen. Als Aufgaben2 der Deckschichten bei einem technischen Sandwich können folgende Funktionen angeführt werden: • Sie nehmen praktisch das gesamte Biegemoment auf. • Sie nehmen praktisch die gesamte axiale Zug- oder Druckbelastung auf. Dem Kern kommen hingegen folgende Aufgaben zu: • Er nimmt praktisch allein die gesamte Querkraft (Schub) auf. • Fixierung, Stützung und Stabilisierung der Deckschichten in ihrer Lage zueinander (d. h. senkrechter Abstand der Deckschichten, Vermeidung von Gleiten der Deckschichten zueinander, Sicherstellung der Ebenheit — als stabilisierende elastische Bettung — der Deckschichten zur Vermeidung von Ausbeulen/Knittern). In vielen Fällen wird der zug- und schubfeste Verbund zwischen den Deckschichten und dem Kern durch Verklebung3 hergestellt. Jedoch sind auch selbstbildende Haftung nach der Aufschäumung des Kerns, Verschweißung, Vernagelung, Verschraubung oder Verdübelung in technischen Anwendungen zu finden, siehe Stamm und Witte (1974).

5.5.1 Biegebeanspruchung Für diesen Fall kann nach Gl. (5.1) die mittlere Biegesteifigkeit für die Konfiguration nach Abb. 5.7 wie folgt angesetzt werden:

1 Bei Verbundelementen mit ΔℎK < ΔℎD , 𝐺K < 𝐺D spricht man von einem sog. Anti-Sandwich, siehe Aßmus (2017). 2 Die folgenden Unterkapitel werden dazu bestimmte Sachverhalte näher erläutern. 3 Die Dicke der Klebeschicht wird in der Regel beim Lagenaufbau vernachlässigt.

110

5 Sandwichelemente

Abb. 5.7 Technisches Sandwichelement: symmetrischer Aufbau mit dünnen Deckschichten (D) und weicher Kernschicht (K) [ 𝐸𝐼 𝑦 = 2𝐸 = =

D

]

1

𝑏(Δℎ ) + 𝑏Δℎ 12 D 3

𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 6 𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 6 ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟

+ +

D

+ 𝐸K

2 (𝑧D c)

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ΔℎK + ΔℎD )2 2 𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

+

𝑏(ΔℎK )3 12 +

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3 12 ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟

𝐸𝐼 𝑦,DSt

𝐸𝐼 𝑦,D⊡

1

12 .

(5.24)

(5.25) (5.26)

𝐸𝐼 𝑦,K⊡

Somit setzt sich die mittlere Biegesteifigkeit aus drei Anteilen zusammen: Aus dem Anteil 𝐸𝐼 𝑦,D⊡ , der die Biegesteifigkeit bezüglich des Teilschwerpunktes der Deckschicht beschreibt, aus dem Anteil 𝐸𝐼 𝑦,DSt , der den Steinerschen Anteil der Deckschichten bezüglich des Gesamtschwerpunktes beschreibt und dem Anteil 𝐸𝐼 𝑦,K⊡ , der die Biegesteifigkeit des Kerns bezüglich des Gesamtschwerpunktes4 beschreibt5 ) ( K K nach Gl. (5.2) Somit ergibt sich Spannungsverteilung im Kern − Δℎ2 ≤ 𝑧 ≤ Δℎ2 zu 𝜎𝑥,K (𝑧) =

𝑀𝑦 (𝑥)𝐸 K 𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 6

+

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2

(

+

ΔℎK

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3 12

≤𝑧≤ beziehungsweise in der oberen Deckschicht 2) ( K K unteren Deckschicht − Δℎ2 − ΔℎD ≤ 𝑧 ≤ − Δℎ2 : 4

ΔℎK 2

× 𝑧,

(5.27)

) + ΔℎD oder in der

Dieser ist im Falle des Kerns identisch mit dem Teilschwerpunkt des Kerns. Das Symbol “⊡” steht für einen Anteil bezüglich eines Schwerpunktes. Die Abkürzung “St” für einen “Steineranteil”.

5

5.5 Technischer Sandwich

𝜎𝑥,D (𝑧) =

111

𝑀𝑦 (𝑥)𝐸 D 𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3

× 𝑧.

(5.28)

+ + 6 2 12 Die graphische Darstellung dieser beiden Verläufe ist in Abb. 5.8a geboten.

Abb. 5.8 Normalspannungsverteilung durch Biegebeanspruchung: (a) exakt, (b) weicher Kern, (c) weicher Kern und dünne Deckschichten

Bei bestimmten Geometrie- oder Werkstoffpaarungen kann die Biegesteifigkeit nach Gl. (5.24) weiter vereinfacht werden. Zuerst soll untersucht werden, für welches Verℎ hältnis ΔℎcD die Biegesteifigkeit der Deckschichten (𝐸𝐼 𝑦,𝐷⊡ ) gegenüber dem Steinerschen Anteil (𝐸𝐼 𝑦,𝐷St ) vernachlässigt werden kann. Setzt man einen Grenzwert von 1% an, ergibt sich aus Gl. (5.26): 𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 6 𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 (ΔℎD )2

⇔

3(ℎc )2 ⇒

ℎc ΔℎD

≤ 0,01 ,

(5.29)

≤ 0,01 ,

(5.30)

√ ≥

1 0.03

= 5,77 .

(5.31)

Beachtet man in der letzten Gleichung noch die Beziehung ℎc = ΔℎK + ΔℎD , ergibt sich folgende Grenzwertbedingung: ΔℎK ΔℎD

≥ 4,77 .

(5.32)

112

5 Sandwichelemente

Somit kann für dünne Deckschichten, d. h. ΔℎD ≪ ΔℎK , der Anteil der Biegesteifigkeit der Deckschichten (𝐸𝐼 𝑦,D⊡ ) gegenüber dem Steinerschen Anteil (𝐸𝐼 𝑦,DSt ) vernachlässigt werden: 𝐸𝐼𝑦 ≈

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

+

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3 12 ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟

𝐸𝐼 𝑦,DSt

.

(5.33)

𝐸𝐼 𝑦,K⊡

Eine weitergehende Vereinfachung kann dadurch vorgenommen werden, dass man ℎc

≈1 ΔℎK setzt. Diese weitere Vereinfachung ist nach ℎc ΔℎK

=

ΔℎK + ΔℎD ΔℎK

(5.34)

=1+

ΔℎD ΔℎK ⏟⏟⏟

≈1

(5.35)

< 0,01

zulässig, falls ΔℎD

< 0,01 oder

ΔℎK

> 100 (5.36) ΔℎK ΔℎD ist. Somit kann auch die in Tabelle 5.1 dargestellte Einteilung von Sandwichstrukturen in Bezug auf das Dickenverhätnis von Kern zu Deckschicht vorgenommen werden6 . Tabelle 5.1 Einteilung von Sandwichstrukturen bzgl. des Dickenverhältnisses von Kern zu Deckschicht, siehe Allen (1969)

Bezeichnung dicke Deckschichten dünne Deckschichten sehr dünne Deckschichten

6

Dickenverhältnis ΔℎK ΔℎD 100 ≥

< 4,77

ΔℎK ΔℎD

ΔℎK ΔℎD

≥ 4,77

> 100

Im Folgenden wird jedoch weitgehend auf eine Unterscheidung zwischen ‘dünnen’ und ‘sehr dünnen’ Deckschichten verzichtet.

5.5 Technischer Sandwich

113

Als nächstes wird untersucht, für welche Bedingung die Biegesteifigkeit des Kerns (𝐸𝐼 𝑦,K⊡ ) gegenüber der Biegesteifigkeit des Steinerschen Anteils (𝐸𝐼 𝑦,DSt ) vernachlässigt werden kann. Setzt man auch hier einen Grenzwert von 1% an, ergibt sich aus Gl. (5.26): 𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3 12 𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 6𝐸 D ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K (ΔℎK )3

≤ 0,01 ,

(5.37)

≥ 100 .

(5.38)

Somit kann für weiche Kerne7 , d. h. 𝐸 K ≪ 𝐸 D , die Biegesteifigkeit des Kerns gegenüber dem Steinerschen Anteil vernachlässigt werden: 𝐸𝐼𝑦 ≈

𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 6 ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟

+

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

.

(5.39)

𝐸𝐼 𝑦,DSt

𝐸𝐼 𝑦,D⊡

Hieraus ergibt sich )mit Gl. (5.2) näherungsweise die Spannungsverteilung im Kern ( K K zu − Δℎ2 ≤ 𝑧 ≤ Δℎ2 𝜎𝑥,K (𝑧) ≈ =

=

𝑀𝑦 (𝑥)𝐸 K 𝐸𝐼𝑦

×𝑧

(5.40)

𝑀𝑦 (𝑥)𝐸 K 𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 𝐸K

6

𝐸D ⏟⏟⏟ ≪1

×

+

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2

×𝑧

2 𝑀𝑦 (𝑥)

𝑏(ΔℎD )3 6

+

𝑏ΔℎD (ℎc )2

(

Nimmt man typische Werte für Anwendungen von

sich Steifigkeitsbeziehungen von

𝐸D 𝐸K

ΔℎD ΔℎK

(5.41)

2 K

beziehungsweise in der oberen Deckschicht Δℎ2 ≤ 𝑧 ≤ ) ( K K unteren Deckschicht − Δℎ2 − ΔℎD ≤ 𝑧 ≤ − Δℎ2 :

7

× 𝑧 ≈ 0,

ΔℎK 2

) + ΔℎD oder in der

= 0,02 … 0,1 und

= 833 … 167, siehe Allen (1969).

ℎc ΔℎK

≈ 1 an, ergeben

114

5 Sandwichelemente

𝜎𝑥,D (𝑧) ≈ =

𝑀𝑦 (𝑥)𝐸 D 𝐸𝐼𝑦

×𝑧

(5.42)

𝑀𝑦 (𝑥) 𝑏(ΔℎD )3 6

+

𝑏ΔℎD (ℎc )2

× 𝑧.

(5.43)

2

Die graphische Darstellung dieser beiden Verläufe zeigt Abb. 5.8b. Beide Vereinfachungen, d. h. dünne Deckschichten und weicher Kern, können auch kombiniert werden, so dass für ΔℎD ≪ ΔℎK und 𝐸 K ≪ 𝐸 D die gesamte mittlere Steifigkeit nur durch den Steinerschen Anteil der Deckschicht bestimmt ist: 𝐸𝐼𝑦 ≈

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

.

(5.44)

𝐸𝐼 𝑦,DSt

Hieraus ergibt sich )mit Gl. (5.2) näherungsweise die Spannungsverteilung im Kern ( K ΔℎK − 2 ≤ 𝑧 ≤ Δℎ2 zu 𝜎𝑥,K (𝑧) ≈ 0 , ( K beziehungsweise in der oberen Deckschicht Δℎ2 ≤ 𝑧 ≤ ) ( K K unteren Deckschicht − Δℎ2 − ΔℎD ≤ 𝑧 ≤ − Δℎ2 : 𝜎𝑥,D (𝑧) ≈

𝑀𝑦 (𝑥)𝐸 D 𝐸𝐼𝑦

×𝑧=

𝑀𝑦 (𝑥) 𝑏ΔℎD (ℎc )2

ΔℎK 2

(5.45)

)

+ ΔℎD oder in der

×𝑧

(5.46)

2 =

2𝑀𝑦 (𝑥) 𝑏ΔℎD (ΔℎK + ΔℎD )2

×𝑧=

2𝑀𝑦 (𝑥) 𝑏ΔℎD (ℎK )2 (1 +

ΔℎD ΔℎK

⏟⏟⏟

)2

×𝑧

≪1

=

2𝑀𝑦 (𝑥) 𝑏ΔℎD (ℎK )2

× 𝑧.

(5.47)

Da die Änderung der Normalspannung in der Deckschicht mit der 𝑧-Koordinate über eine sehr kleine Dicke ΔℎD erfolgt, kann der Funktionsverlauf auch durch den Funktionswert in der Mitte der Deckschicht approximiert werden:

5.5 Technischer Sandwich

115

𝜎𝑥,D (𝑧) ≈ 𝜎𝑥,D (𝑧 =

ΔℎK 2

+

ΔℎD ) 2

=

2𝑀𝑦 (𝑥)

×

ΔℎK + ΔℎD

(5.48)

2 𝑏ΔℎD (ΔℎK )2 D ( 𝑀𝑦 (𝑥) 𝑀𝑦 (𝑥) Δℎ ) = × ΔℎK 1 + . = ΔℎK 𝑏ΔℎD ΔℎK 𝑏ΔℎD (ΔℎK )2 ⏟⏟⏟

(5.49)

≪1

Die graphische Darstellung der Verläufe nach Gln. (5.45) und (5.49) zeigt Abb. 5.8c. Die verschiedenen Ausdrücke der mittleren Biegesteifigkeit der betrachteten Fälle sind in Tabelle 5.2 vergleichend dargestellt.

Tabelle 5.2 Formulierungen der mittleren Biegesteifigkeit 𝐸𝐼 𝑦 =

Formulierung 𝐸𝐼 𝑦

3 ∑ 𝑘=1

𝐸 𝑘 𝐼𝑦𝑘

Bemerkung allgemeiner Fall

𝐸 𝑏(Δℎ ) D

D 3

6 ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟

𝐸 𝑏Δℎ (ℎc ) D

+

D

𝐸 𝑏(ΔℎK )3

2

2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

K

+

12 ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟

𝐸𝐼 𝑦,DSt

𝐸𝐼 𝑦,D⊡

𝐸𝐼 𝑦,K⊡

mit Biegesteifigkeit der Deckschichten und des Kerns als auch Steineranteil der Deckschichten

dünne Deckschichten 𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

+

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3 12 ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟

𝐸𝐼 𝑦,DSt

mit Biegesteifigkeit des Kerns und Steineranteil der Deckschichten

𝐸𝐼 𝑦,K⊡

weicher Kern 𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 6 ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟

+

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

mit Biegesteifigkeit und Steineranteil der Deckschichten

𝐸𝐼 𝑦,DSt

𝐸𝐼 𝑦,D⊡

dünne Deckschichten und weicher Kern 𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

nur Steineranteil der Deckschichten

𝐸𝐼 𝑦,DSt

Am Ende dieses Abschnittes sollen einige universelle Designkurven abgeleitet werden. Für einen technischen Sandwich nach Abb. 5.7 unter Biegebelastung (Kragarm mit Endquerkraft, siehe Abb. 3.6) leite man normierte Designkurven in Abhängig-

116

5 Sandwichelemente K

keit der normierten Kerndicke Δℎ ab. Die Normierung soll hierbei mit dem GrenzΔℎD K wert ohne Kern (Δℎ = 0) erfolgen. Folgende Beziehungen sind gesucht: • • • •

mittlere Biegesteifigkeit, Festigkeit (max. Kraft) nach Spannungskriterium, Masse, Leichtbaukennzahl.

Die abgeleiteten Beziehungen sind mit dem Spezialfall für dünne Deckschichten und weichem Kern zu vergleichen. Der für die Normierung zu betrachtende Grenzfall ist in Abb. 5.9 dargestellt.

Abb. 5.9 Grenzfall technisches Sandwichelement ohne Kernschicht Für diesen Grenzfall ergibt sich die mittlere Biegesteifigkeit 𝐸𝐼𝑦 ,ref zu: ( )3 2 )3 ( (5.50) 𝑏 2ΔℎD = 𝐸 D 𝑏 ΔℎD . 12 3 Basierend auf der Forderung, dass die maximale Spannung nicht die 0,2-%-Dehngrenze überschreiten darf, kann die maximal ertragbare Kraft ermittelt werden: 𝐸𝐼𝑦 ,ref = 𝐸 D

𝜎𝑥,max =

1

𝐹0 𝐿 2 𝑏(ΔℎD )3 3

!

× ΔℎD = 𝑅D . p0,2

(5.51)

Hieraus ergibt sich die maximal ertragbare Kraft zu: 𝐹0,ref =

( )2 2𝑏 ΔℎD 𝑅D p0,2

3𝐿 Die Masse ergibt sich aus Dichte und Volumen zu:

.

(5.52)

𝑚ref = 𝜚D 𝑉 = 𝜚D 𝐿𝐴 = 2𝜚D 𝐿𝑏ΔℎD .

(5.53)

Somit ergibt sich abschließend die Leichtbaukennzahl der Referenzkonfiguration zu: 𝑀ref =

𝐹0,ref 𝑚ref × 𝑔

=

𝑅D p0,2 𝐿 3𝜚D 𝑔 Δℎ D 2

.

(5.54)

5.5 Technischer Sandwich

117

Die mittlere Biegesteifigkeit des Sandwichs mit drei Lagen ergibt sich nach Gl. (5.24) zu:

𝐸𝐼 𝑦 =

𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 6 ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟

+

𝐸𝐼 𝑦,D⊡

=

2

𝐸D𝑏

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

[( )3 ΔℎD

+

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3

𝐸𝐼 𝑦,DSt

+

(5.55)

12 ⏟⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏟ 𝐸𝐼 𝑦,K⊡

( )2 3ΔℎD ΔℎK + ΔℎD

+

( )3 ] 𝐸 K ΔℎK

8𝐸 D ( ( )( )3 )2 ΔℎK ⎤ 2 D ( D )3 ⎡ 1 3 ΔℎK 1 𝐸K ⎢ + ⎥, = 𝐸 𝑏 Δℎ +1 + ⎢ 4 4 ΔℎD 3 8 𝐸D ΔℎD ⎥ ⎦ ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟ ⎣ 3

4

4

(5.56)

𝐸𝐼𝑦 ,ref

beziehungsweise in der normierten Darstellung (siehe Abb. 5.10): 𝐸𝐼 𝑦 𝐸𝐼𝑦 ,ref

⎡1 3 =⎢ + ⎢4 4 ⎣

(

)2

ΔℎK

+1 ΔℎD

+

1

(

8

𝐸K

)(

𝐸D

ΔℎK

)3

ΔℎD

⎤ ⎥. ⎥ ⎦

(5.57)

Für dünne Deckschichten und weiche Kerne kann diese Beziehung deutlich vereinfacht werden: 𝐸𝐼 𝑦 𝐸𝐼𝑦 ,ref

≈

3 4

(

ΔℎK ΔℎD

)2 +1

.

(5.58)

Die Masse des Sandwichs setzt sich aus dem Beitrag der Deckschichten (siehe Gl. (5.53)) und des Kerns zusammen: ( ) K ΔℎK 𝜚 1 (5.59) 𝑚 = 𝜚D 𝐴D 𝐿 + 𝜚K 𝐴K 𝐿 = 2𝜚D 𝐿𝑏ΔℎD 1 + D D , 2 𝜚 Δℎ ⏟⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏟ 𝑚ref

beziehungsweise in der normierten Darstellung (siehe Abb. 5.11): ( ) 𝑚 1 𝜚K ΔℎK . =1+ D 𝑚ref 2𝜚 ΔℎD

(5.60)

Die maximal ertragbare Kraft bei einem Spannungskriterium8 ergibt sich aus Gl.(5.2) zu:

8 Hierbei wird zur Vereinfachung angenommen, dass das Versagen in der Deckschicht auftritt. Kernversagen soll an dieser Stelle ausgeschlossen werden.

118

5 Sandwichelemente

𝐸𝐼 𝑦

exakt dünn und weicher Kern

100

Normierte Biegesteifigkeit

𝐸𝐼𝑦 ,ref

120 𝐸K 𝐸D

=

1 5

1 10

80

1 100

60 40 20 0

0

2,5

5

7,5

Normierte Kerndicke

10

ΔℎK ΔℎD

Abb. 5.10 Normierte mittlere Biegesteifigkeit für Sandwichelement

Normierte Masse

𝑚 𝑚,ref

3

𝜚K 𝜚D

2

=

1 5 1 10 1 100

1

0

0

2,5

5

Normierte Kerndicke

7,5 ΔℎK ΔℎD

Abb. 5.11 Normierte Masse für Sandwichelement

10

5.5 Technischer Sandwich

𝜎𝑥,D,max =

119

𝑀𝑦,max 𝐸 D 𝐸𝐼𝑦

× 𝑧max =

(

𝐹0 𝐿𝐸 D

×

𝐸𝐼𝑦

ΔℎK 2

) + Δℎ

!

= 𝑅D . p0,2

D

(5.61)

Hieraus ergibt sich die maximale Kraft zu:

𝐹0 =

=

𝑅D p0,2 𝐿𝐸

× D

1 ΔℎK 2

𝑅D p0,2 𝐿𝐸 D

×

+ ΔℎD 1

× 𝐸𝐼𝑦

×

ΔℎK

2

(5.62)

( )3 𝐸 D 𝑏 ΔℎD ×

+ ΔℎD 3 ( ( )( )3 )2 ⎡ 1 3 ΔℎK ΔℎK ⎤ 1 𝐸K ⎥ ×⎢ + +1 + ⎢ 4 4 ΔℎD 8 𝐸D ΔℎD ⎥ ⎦ ⎣ ( D )2 D 𝑅p0,2 2𝑏 Δℎ ΔℎD × K × = Δℎ 3𝐿 D + Δℎ ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟ 2 2

𝐹0,ref

⎡1 3 ×⎢ + ⎢4 4 ⎣

(

)2

ΔℎK Δℎ

+1 D

+

1

(

8

𝐸K

)(

𝐸D

ΔℎK

)3

ΔℎD

(5.63)

⎤ ⎥, ⎥ ⎦

(5.64)

beziehungsweise in der normierten Darstellung (siehe Abb. 5.12): 𝐹0 𝐹0,ref

= 1+

1 2

1 (

⎡1 3 )⎢ + ΔℎK ⎢ 4 4 ΔℎD ⎣

(

ΔℎK Δℎ

+1 D

)2 +

1 8

(

𝐸K 𝐸D

)(

ΔℎK ΔℎD

)3

⎤ ⎥. ⎥ ⎦

(5.65)

Für dünne Deckschichten und weiche Kerne kann diese Beziehung deutlich vereinfacht werden: ( )2 3 ΔℎK 1 𝐹0 ≈ +1 . (5.66) ( )× 𝐹0,ref 1 + 1 ΔℎK 4 ΔℎD D 2 Δℎ Somit ergibt sich abschließend die Leichtbaukennzahl des Sandwichs basierend auf Gln. (5.65) und (5.60) zu:

120

5 Sandwichelemente 20

𝐸K 𝐸D

𝐹0 𝐹0,ref

exakt dünn und weicher Kern

1 5

1 10

15

Normierte Maximalkraft

=

1 100

10

5

0

2,5

0

5

7,5

Normierte Kerndicke

10

ΔℎK ΔℎD

Abb. 5.12 Normierte Maximalkraft für Sandwichelement )2 ( 2𝑏 ΔℎD 𝑅D p0,2 𝑀=

3𝐿

𝐹0 𝑚𝑔

×

(

= 𝑔2𝜚D 𝐿𝑏ΔℎD

1+

ΔℎD ΔℎK + ΔℎD 2 ) 1 𝜚K ΔℎK

×

2 𝜚D ΔℎD ( ( )( )3 )2 ⎡ 1 3 ΔℎK ΔℎK ⎤ 1 𝐸K ⎢ ⎥ × +1 + + ⎢ 4 4 ΔℎD 8 𝐸D ΔℎD ⎥ ⎣ ⎦ =

𝑅D p0,2 𝐿2 3𝜚D 𝑔 Δℎ D

×

⏟⏞⏞⏟⏞⏞⏟ 𝑀ref

×

⎡1 3 ⎢ + ⎢4 4 ⎣

1+ (

1 2

1 (

ΔℎK

ΔℎK ΔℎD

)×

)2

+1 ΔℎD ( 1+

(5.67)

+

1 8

(

𝐸K 𝐸D )

)(

ΔℎK

)3

ΔℎD

1 𝜚K ΔℎK 2 𝜚D ΔℎD

beziehungsweise in der normierten Darstellung (siehe Abb. 5.13):

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

,

(5.68)

5.5 Technischer Sandwich

121

( ( )( )3 )2 ⎡ 1 3 ΔℎK ΔℎK ⎤ 1 𝐸K ⎥ ⎢ + +1 + D ⎥ ⎢ 4 4 ΔℎD 8 𝐸D Δℎ 𝑀 ⎦ ⎣ . = ( ( )) ( ) K K K 𝑀ref 1 Δℎ 1 𝜚 Δℎ 1+ × 1+ D D 2 ΔℎD 2 𝜚 Δℎ

20 exakt dünn und weicher Kern

Normierte Leichtbaukennzahl

𝑀 𝑀ref

(a)

15 𝐸K 𝐸D

10

1 5

1 10 1 100 𝜚K 𝜚D

0

2,5

5

Normierte Kerndicke

=

1 5

7,5

10

ΔℎK ΔℎD

20

𝐸K 𝐸D

exakt dünn und weicher Kern

𝑀 𝑀ref

Normierte Leichtbaukennzahl

=

5

0

(b)

(5.69)

=

1 5

1 10

15

1 100

10

5 𝜚K 𝜚D

0

0

2,5

5

Normierte Kerndicke

7,5

=

1 100

10

ΔℎK ΔℎD

Abb. 5.13 Normierte Leichtbaukennzahl für Sandwichelement unter BiegebelasK K 1 tung: (a) Dichteverhältnis 𝜚𝜚D = 15 und (b) Dichteverhältnis 𝜚𝜚D = 100

122

5 Sandwichelemente

Für dünne Deckschichten und weiche Kerne kann diese Beziehung deutlich vereinfacht werden: ( )2 3 ΔℎK +1 4 ΔℎD 𝑀 (5.70) =( ( )) ( ). 𝑀ref 1 ΔℎK 1 𝜚K ΔℎK 1+ × 1+ D D 2 ΔℎD 2 𝜚 Δℎ

5.5.2 Zug-/Druckbeanspruchung Für diesen Fall kann nach Gl. (5.11) die mittlere Dehnsteifigkeit für die Konfiguration nach Abb. 5.7 wie folgt angesetzt werden:

𝐸𝐴 =

3 ∑

𝐸 𝑘 Δℎ𝑘 𝑏 = 𝐸 D ΔℎD 𝑏 + 𝐸 K ΔℎK 𝑏 + 𝐸 D ΔℎD 𝑏

𝑘=1

= 2𝐸 D ΔℎD 𝑏 + 𝐸 K ΔℎK 𝑏 . ⏟⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏟ ⏟⏞⏟⏞⏟ 𝐸𝐴D

(5.71)

𝐸𝐴K

Somit setzt sich die mittlere Dehnsteifigkeit aus zwei Anteilen zusammen: Aus dem Anteil 𝐸𝐴D , der die Dehnsteifigkeit der Deckschicht beschreibt und aus dem Anteil 𝐸𝐴K , der die Dehnsteifigkeit des Kerns beschreibt. ) ( K K Somit ergibt sich Spannungsverteilung im Kern − Δℎ2 ≤ 𝑧 ≤ Δℎ2 nach Gl. (5.13) zu 𝐹0 𝐸 K

, 2𝐸 D ΔℎD 𝑏 + 𝐸 K ΔℎK 𝑏 ( K beziehungsweise in der oberen Deckschicht Δℎ2 ≤ 𝑧 ≤ ) ( K K unteren Deckschicht − Δℎ2 − ΔℎD ≤ 𝑧 ≤ − Δℎ2 : 𝜎𝑥,K =

𝜎𝑥,D =

(5.72) ΔℎK 2

) + ΔℎD oder in der

𝐹0 𝐸 D

. (5.73) 2𝐸 D ΔℎD 𝑏 + 𝐸 K ΔℎK 𝑏 Die graphische Darstellung dieser beiden Verläufe ist in Abb. 5.14a geboten. Für weiche Kerne, d. h. 𝐸 K ≪ 𝐸 D , kann die Dehnsteifigkeit des Kerns gegenüber den Deckschichten vernachlässigt werden:

5.5 Technischer Sandwich

123

( 𝐸𝐴 ≈ 𝐸 D 2ΔℎD 𝑏 +

𝐸K 𝐸D ⏟⏟⏟

) ΔℎK 𝑏 = 2𝐸 D ΔℎD 𝑏 .

(5.74)

≪1

Hieraus ergibt sich die Normalspannungsverteilung (siehe Abb. 5.14b) im Kern zu ) ( 𝐸K 𝐹0 𝐹0 𝐸 K 𝜎𝑥,K ≈ = ≈ 0, (5.75) 2𝐸 D ΔℎD 𝑏 𝐸D 2ΔℎD 𝑏 ⏟⏟⏟ ≪1

( K beziehungsweise in der oberen Deckschicht − Δℎ2 + ΔℎD ≤ 𝑧 ≤ ) ( K K unteren Deckschicht Δℎ2 ≤ 𝑧 ≤ Δℎ2 + ΔℎD : 𝜎𝑥,D ≈

𝐹0 𝐸 D

ΔℎK 2

) oder in der

𝐹0

. (5.76) 2ΔℎD 𝑏 Die Näherungsformeln ändern sich nicht, falls zusätzlich noch dünne Schichten berücksichtigt werden. 2𝐸 D ΔℎD 𝑏

=

Abb. 5.14 Normalspannungsverteilung durch Zugkraftbeanspruchung: (a) exakt und (b) weicher Kern

5.5.3 Schubbeanspruchung Die exakten Schubspannungsverteilungen ergeben sich nach Gl. (5.17) und (5.23) für die Deckschicht zu

124

5 Sandwichelemente

)2 ( ⎤ 𝐸 D 𝑄𝑧 (𝑥) ⎡ ΔℎK ⎢ 𝜏𝑧𝑥,D (𝑧) = − 𝑧2 ⎥ + ΔℎD ⎥ 2 2𝐸𝐼𝑦 ⎢⎣ ⎦ )2 ( ⎤ ⎡ ΔℎK − 𝑧2 ⎥ + ΔℎD 𝐸 D 𝑄𝑧 (𝑥) ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎦ ⎣ = ( ), 𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3 2 + + 6 2 12

(5.77)

(5.78)

beziehungsweise für die Kernschicht zu )2 ( ⎞ ⎤ 𝑄𝑧 (𝑥) ⎡ K ⎛ ΔℎK ( ) ⎢𝐸 ⎜ 𝜏𝑧𝑥,K (𝑧) = − 𝑧2 ⎟ + 𝐸 D ΔℎK + ΔℎD ΔℎD ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ 2 2𝐸𝐼𝑦 ⎢⎣ ⎦ ⎝ ⎠ )2 ( ⎛ ΔℎK ⎞ ⎤ ⎡ ( ) − 𝑧2 ⎟ + 𝐸 D ΔℎK + ΔℎD ΔℎD ⎥ 𝑄𝑧 (𝑥) ⎢𝐸 K ⎜ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 2 ⎦ ⎣ ⎝ ⎠ = ( ) . D D 3 D D 2 K K 3 𝐸 𝑏(Δℎ ) 𝐸 𝑏Δℎ (ℎc ) 𝐸 𝑏(Δℎ ) 2 + + 6 2 12

(5.79)

(5.80)

Diese beiden parabolischen Verläufe sind in Abb. 5.15a dargestellt.

Abb. 5.15 Schubspannungsverteilung durch Querkraftbeanspruchung: (a) exakt, (b) weicher Kern, (c) weicher Kern und dünne Deckschichten Für weiche Kerne, d. h. 𝐸 K ≪ 𝐸 D , kann die mittlere Biegesteifigkeit mittels Gl. (5.39) approximiert werden und entsprechend der Vorgehensweise in Abschnitt 5.4 ergibt sich die Schubspannungsverteilung in der Deckschicht durch Integration über den Normalspannungsgradienten:

5.5 Technischer Sandwich

125

ΔℎK +ΔℎD 2

𝜏𝑧𝑥,D (𝑧) =

∫ 𝑧

=

d𝜎𝑥,D (𝑥) d𝑥

ΔℎK +ΔℎD 2 𝐸D𝑄

d𝑧′ + 𝑐3 =

(

𝐸 D 𝑄𝑧 (𝑥) ⎡ ΔℎK ⎢ + ΔℎD 2 2𝐸𝐼𝑦 ⎢⎣

)2

∫ 𝑧

𝑧 (𝑥) ′

𝐸𝐼𝑦

𝑧 d𝑧′ + 𝑐3

⎤ − 𝑧2 ⎥ + 𝑐3 . ⎥ ⎦

(5.81)

Die Integrationskonstante 𝑐3 kann auch hier mittels der Bedingung, dass am freien Rand keine Schubspannungen auftreten, zu 𝑐3 = 0 bestimmt werden. Somit ergibt sich abschließend für die Schubspannungsverteilung in der Deckschicht: )2 ( ⎤ 𝐸 D 𝑄𝑧 (𝑥) ⎡ ΔℎK D ⎢ − 𝑧2 ⎥ 𝜏𝑧𝑥,D (𝑧) = + Δℎ ⎥ 2 2𝐸𝐼𝑦 ⎢⎣ ⎦ )2 ( ⎡ ⎤ ΔℎK 𝑄𝑧 (𝑥) D 2⎥ ⎢ −𝑧 . + Δℎ = ⎥ 𝑏(ΔℎD )3 2 D )(Δℎ )2 ⎢ + 𝑏(Δℎ ⎣ ⎦ c 3

(5.82)

An der Übergangsstelle zwischen Kern und Deckschicht ergibt sich aus Gl. (5.82) der Wert:

𝜏𝑧𝑥,D

(

ΔℎK 2

)

) )2 ( ( ⎡ ΔℎK 2 ΔℎK ⎤ ( D )2 K D ⎢ ⎥ = + Δℎ Δℎ + Δℎ − ⎥ 𝑏(ΔℎD )3 2 2 D )(ℎ )2 ⎢ + 𝑏(Δℎ ⎦ c ⎣ 3 [ K ] D 𝑄𝑧 (𝑥) Δℎ + Δℎ 𝑄𝑧 (𝑥)ℎc (5.83) = ( D2 ) = ( D2 ) (Δℎ ) (Δℎ ) 2 2 𝑏 + (ℎ ) 𝑏 + (ℎ ) c c 3 3 𝑄𝑧 (𝑥)

=

𝑄𝑧 (𝑥) D D 𝐸 Δℎ ℎc . 2𝐸𝐼𝑦

(5.84)

Entsprechend ergibt sich für den Kern die Schubspannung zu: ΔℎK 2

𝜏𝑧𝑥,K (𝑧) =

∫ 𝑧

d𝜎𝑥,K (𝑥) d𝑥

d𝑧 +𝑐2 .

(5.85)

⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟ = 0, siehe Gl. (5.41)

Die Integrationskonstante 𝑐2 ergibt sich aus der Übergangsbedingung für die Spannung 𝜏𝑧𝑥 zwischen dem Kern und der Deckschicht, d. h. identische Spannungen 𝜏𝑧𝑥,K (𝑧 = ΔℎK ∕2) = 𝜏𝑧𝑥,D (𝑧 = ΔℎK ∕2):

126

5 Sandwichelemente

𝑐2 =

𝑄𝑧 (𝑥) 2𝐸𝐼𝑦

𝐸 D ΔℎD ℎc =

𝑏

(

𝑄𝑧 (𝑥)ℎc (ΔℎD )2 3

+ (ℎc )2

),

(5.86)

und somit auch die konstante Schubspannung im Kern: 𝜏𝑧𝑥,K (𝑧) =

𝑄𝑧 (𝑥) D D 𝑄𝑧 (𝑥)ℎc 𝐸 Δℎ ℎc = ( D 2 ). (Δℎ ) 2 2𝐸𝐼𝑦 𝑏 + (ℎ ) c 3

(5.87)

Diese beiden Verläufe sind in Abb. 5.15b dargestellt. Für weiche Kerne, d. h. 𝐸 K ≪ 𝐸 D , und dünne Deckschichten, d. h. ΔℎD ≪ ΔℎK , ergibt sich die Schubspannungsverteilung in der Deckschicht durch Integration über den Normalspannungsgradienten: ΔℎK +ΔℎD 2

𝜏𝑧𝑥,D (𝑧) =

∫

d𝑥

𝑧

=

d𝜎𝑥,D (𝑥)

𝑄𝑧 (𝑥)

ΔℎK +ΔℎD 2

d𝑧′ + 𝑐3 =

d𝑧′ + 𝑐3 =

𝑧

𝑄𝑧 (𝑥)

𝑏ΔℎD ΔℎK

𝑧

ΔℎK +ΔℎD 2

𝑏ΔℎD ΔℎK ∫

∫

[

𝑄𝑧 (𝑥)

ΔℎK

𝑏ΔℎD ΔℎK

2

d𝑧′ + 𝑐3 ]

+ ΔℎD − 𝑧 + 𝑐3 . (5.88)

Auch hier kann die Integrationskonstante 𝑐3 mittels der Bedingung, dass am freien Rand keine Schubspannungen auftreten, zu 𝑐3 = 0 bestimmt werden. Somit ergibt sich abschließend für die Schubspannungsverteilung in der Deckschicht für weiche Kerne und dünne Deckschichten: [( ) ] ΔℎK 𝑄𝑧 (𝑥) D −𝑧 . 𝜏𝑧𝑥,D (𝑧) = + Δℎ 2 𝑏ΔℎD ΔℎK An der Übergangsstelle zwischen Kern und Deckschicht ergibt sich aus Gl. (5.89) der Wert:

𝜏𝑧𝑥,D

(

ΔℎK 2

) =

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑏ΔℎD ΔℎK

[(

ΔℎK 2

) + Δℎ

D

−

ΔℎK 2

] =

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑏ΔℎK

.

Alternativ kann die letzte Beziehung auch wie folgt ausgedrückt werden:

(5.89)

5.5 Technischer Sandwich

𝜏𝑧𝑥,D

(

ΔℎK 2

) =

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑏ΔℎK

127

≈

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑄𝑧 (𝑥) 𝑄𝑧 (𝑥) = . ( )= D K D Δℎ 𝑏ℎc 𝑏(Δℎ + Δℎ ) 𝑏ΔℎK 1 + ΔℎK

(5.90)

Entsprechend ergibt sich für den Kern die Schubspannung zu: ΔℎK 2

𝜏𝑧𝑥,K (𝑧) =

∫ 𝑧

d𝜎𝑥,K (𝑥) d𝑥

d𝑧 +𝑐2 =

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑏ΔℎK

=

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑏ℎc

.

(5.91)

⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟ = 0, siehe Gl. (5.45)

Diese beiden Verläufe sind in Abb. 5.15c dargestellt. Abschließend sind alle Spannungsverläufe in den Tabellen 5.3 bis 5.5 vergleichend dargestellt.

5 Sandwichelemente 128

𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 6

(ℎc )

𝑀𝑦 (𝑥)𝐸 D 𝐸 D 𝑏ΔℎD 2

2

2

×𝑧

12

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3

𝑏ΔℎD (ℎc )2

+

Deckschichten 𝜎𝑥,D (𝑧)

+

+

𝑀𝑦 (𝑥) 𝑏(ΔℎD )3 6

𝑀𝑦 (𝑥) 𝑏ΔℎD ΔℎK

×𝑧

𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 6

+

2

+

Kern 𝜎𝑥,K (𝑧)

(ℎc )

𝑀𝑦 (𝑥)𝐸 K 𝐸 D 𝑏ΔℎD 2

0

0

12

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3

×𝑧

Graphik

Tabelle 5.3 Vergleich der Normalspannungsverteilungen durch Biegebeanspruchung beim Sandwich nach Euler-Bernoulli-Balkentheorie. Näherungen mit weichem Kern (𝐸 K ≪ 𝐸 D ) und weichem Kern mit dünnen Deckschichten (𝐸 K ≪ 𝐸 D , ΔℎD ≪ ΔℎK )

Ansatz

exakt

𝐸K ≪ 𝐸D

𝐸 K ≪ 𝐸 D , ΔℎD ≪ ΔℎK

𝐸K ≪ 𝐸D

𝐸 K ΔℎK 𝑏

2ΔℎD 𝑏

𝐹0

𝐹0 𝐸 D D 2𝐸 Δℎ 𝑏 +

exakt

D

Deckschichten 𝜎𝑥,D (𝑧)

Ansatz

0

𝐹0 𝐸 D D 2𝐸 Δℎ 𝑏 + 𝐸 K ΔℎK 𝑏

K

Kern 𝜎𝑥,K (𝑧) Graphik

Tabelle 5.4 Vergleich der Normalspannungsverteilungen durch Zugbeanspruchung beim Sandwich nach Stabtheorie. Näherungen mit weichem Kern (𝐸 K ≪ 𝐸 D )

5.5 Technischer Sandwich 129

5 Sandwichelemente 130

(

Deckschichten 𝜏𝑧𝑥,D (𝑧)

+ 2

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2

+

12

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3

( )2 ⎡ ⎤ K Δℎ 𝐸 D 𝑄𝑧 (𝑥) ⎢ + ΔℎD − 𝑧2 ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑏ΔℎD ΔℎK

[(

ΔℎK 2

+ ΔℎD

)

−𝑧

]

)

)2 ( ⎡ ⎤ K 𝑄𝑧 (𝑥) Δℎ ⎢ + ΔℎD − 𝑧2 ⎥ ⎥ 2 + 𝑏(ΔℎD )(Δℎc )2 ⎣⎢ ⎦

6

𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3

𝑏(ΔℎD )3 3

2

2

6

𝑏

Kern 𝜏𝑧𝑥,K (𝑧)

2

+

)

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2

𝑄𝑧 (𝑥)ℎc

𝑏ℎc

𝑄𝑧 (𝑥)

+ (ℎc )2

≈

(ΔℎD )2 3

𝑏ΔℎK

𝑄𝑧 (𝑥)

(

+

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3

12

( ) ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ K 2 Δℎ ( ) − 𝑧2 ⎟ + 𝐸 D ΔℎK + ΔℎD ΔℎD ⎥ 𝑄𝑧 (𝑥) ⎢𝐸 K ⎜ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ( ) 𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3

Graphik

Tabelle 5.5 Vergleich der Schubspannungsverteilungen durch Querkraftbeanspruchung beim Sandwich nach Euler-BernoulliBalkentheorie. Näherungen mit weichem Kern (𝐸 K ≪ 𝐸 D ) und weichem Kern mit dünnen Deckschichten (𝐸 K ≪ 𝐸 D , ΔℎD ≪ ΔℎK ) Ansatz

exakt

𝐸K ≪ 𝐸D

𝐸 K ≪ 𝐸 D , ΔℎD ≪ ΔℎK

5.5 Technischer Sandwich

131

5.5.4 Biegung von Sandwichbalken Im Folgenden wird eine einfache Theorie zur Bestimmung der Durchbiegung von technischen Sandwichbalken dargestellt. Hierbei wird angenommen, dass sich die Gesamtdurchbiegung 𝑢𝑧 (𝑥) additiv aus einem Biegeanteil 𝑢𝑧, b (𝑥) und einem Schubanteil 𝑢𝑧, s (𝑥) zusammensetzt (siehe Abb. 5.16): 𝑢𝑧 (𝑥) = 𝑢𝑧, b (𝑥) + 𝑢𝑧, s (𝑥) .

(5.92)

Abb. 5.16 Biegung von Sandwichbalken: (a) unverformt, (b) Biegeverformung, (c) Schubverformung, (d) Gesamtverformung Bei dieser einfachen Theorie für Sandwichbalken mit dünnen Deckschichten und weichem Kern — auch als Methode der Partialdurchsenkung in der Literatur bekannt, Klein (1989) — wird die Biegeverformung mittels der klassischen Differenzialgleichungen (siehe Gln. (2.9)-(2.11)) beschrieben

132

5 Sandwichelemente

(

d2 d𝑥2 d

𝐸𝐼𝑦 ( 𝐸𝐼𝑦

d𝑥

) d2 𝑢𝑧, b (𝑥) d𝑥2

) d2 𝑢𝑧, b (𝑥)

𝐸𝐼𝑦

d𝑥2 d2 𝑢𝑧, b (𝑥) d𝑥2

= 𝑞𝑧 (𝑥) ,

(5.93)

= −𝑄𝑧 (𝑥) ,

(5.94)

= −𝑀𝑦 (𝑥) ,

(5.95)

wobei die mittlere Biegesteifigkeit nach Gl. (5.44) zu verwenden ist: 𝐸𝐼𝑦 ≈

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2 ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

.

(5.96)

𝐸𝐼 𝑦,DSt

Zur Ermittlung der Schubverformung wird die Schubspannung9 im Kern für Sandwichbalken mit dünnen Deckschichten und weichem Kern nach Gl. (5.91) 𝑄𝑧 (𝑥)

𝜏𝑧𝑥,K (𝑥) =

𝑏ΔℎK

=

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑏ℎc

,

(5.97)

beziehungsweise mittels des Hooke’schen Gesetzes (𝜏 = 𝐺𝛾) die Schiebung (Winkelverzerrung) betrachtet: 𝛾𝑧𝑥,K (𝑥) =

𝑄𝑧 (𝑥) 𝐺𝑏ΔℎK

=

𝑄𝑧 (𝑥) 𝐺𝑏ℎc

.

(5.98)

Zur weiteren Ableitung der Schubdifferenzialgleichung betrachtet man ein verformtes Sandwichelement unter reiner Schubverformung, siehe Abb. 5.17. Mittels des rechtwinkeligen Dreiecks 1′ 2′ 3′ ergibt sich die geometrische Beziehung 1′ 2′

1′ 2′

= |tan(𝛾)| ≈ |𝛾| . (5.99) K 2′ 3′ Δℎ Man beachte hierbei, dass die Schiebung 𝛾 in der eingezeichneten Weise in Abb. 5.17b negativ ist (𝛾 < 0). Betrachtet man jetzt das rechtwinkelige Dreieck 123 (siehe Abb. 5.17b und die Details in Abb. 5.18), ergibt sich die weitere geometrische Beziehung: 12 23

=

=

12 ℎc

= |tan(𝛼)| ≈ |𝛼| ≈

|d𝑢𝑧, s | | | . d𝑥

(5.100)

9 Diese Beziehung kann auch als Grundgleichung des Gleichgewichts, d. h. zwischen den inneren Reaktionen (hier: 𝜏𝑥𝑦 ) und den äußeren Lasten (hier: 𝑄𝑧 , als Reaktion auf die äußeren Querkräfte), angesehen werden.

5.5 Technischer Sandwich

133

Abb. 5.17 Technischer Sandwichbalken (die Dicke der Deckschichten ist überzeichnet dargestellt): (a) Unverformter Ausgangszustand, (b) reine Schubverformung (siehe Abb. 5.16c)

Mittels der geometrischen Identität 1′ 2′ = 12 ergibt sich abschließend die kinematische Beziehung: d𝑢𝑧, s d𝑥

=

ΔℎK ℎc

×𝛾.

(5.101)

Berücksichtigt man noch die Beziehung für die Schiebung nach Gl. (5.98), d. h. der Kombination des Gleichgewichts mit dem Stoffgesetz, ergibt sich die Schubdifferenzialgleichung zu:

134

5 Sandwichelemente

Abb. 5.18 Zur Ableitung der Schubdifferenzialgleichung

d𝑢𝑧, s d𝑥

=

𝑄𝑧 (𝑥) 𝐺𝑏ℎc

=

𝑄𝑧 (𝑥) ℎ2

𝐺𝑏 ΔℎcK

.

(5.102)

Mittels 𝑏ℎ2c ΔℎK

𝐴=

≈ 𝑏ℎc

(5.103)

ergibt sich vereinfachend d𝑢𝑧, s

𝑄𝑧 (𝑥)

, (5.104) d𝑥 𝐴𝐺 wobei 𝐴𝐺 die Schubsteifigkeit des Sandwichs mit dünnen Deckschichten und weichem Kern darstellt. Die verschiedenen Differenzialgleichungen zur Berechnung der Durchbiegung sind in Tabelle 5.6 vergleichend dargestellt. Im Folgenden wird für einen Sandwichbalken unter 3-Punkt-Biegung mit Einzellast die Durchbiegung nach der Methode der Partialdurchsenkung berechnet, siehe Abb. 5.19. Für diese Konfiguration ergeben sich die Querkraft- und Momentenverläufe im Bereich 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿∕2 zu (siehe auch Abb. 9.33): 𝐹0

=

und 𝑀𝑦 (𝑥) = −

𝐹0 𝑥

. (5.105) 2 𝑥 Die Biege- und Schubverformungen ergeben sich allgemein — unter Annahme dünner Deckschichten und weichem Kern — durch Integration der Differenzialgleichungen nach Tabelle 5.6 zu: 𝑄𝑧 (𝑥) = −

5.5 Technischer Sandwich

135

Tabelle 5.6 Verschiedene Differenzialgleichungen zur Berechnung der Durchbiegung für Sandwichbalken mit dünnen Deckschichten und weichem Kern nach der Methode der Partialdurchsenkung

Differenzialgleichung

d2 d𝑥2 d d𝑥

(

(

𝐸𝐼𝑦

𝐸𝐼𝑦 𝐸𝐼𝑦

d2 𝑢𝑧, b (𝑥) d𝑥2

d2 𝑢𝑧, b (𝑥)

d𝑥2 d 𝑢𝑧, b (𝑥)

Steifigkeit

Biegeverformung ) = 𝑞𝑧 (𝑥)

)

𝐸𝐼𝑦 ≈

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2

= −𝑄𝑧 (𝑥)

2

d𝑥2

= −𝑀𝑦 (𝑥)

Schubverformung 𝑄𝑧 (𝑥) 𝐴𝐺K = = d𝑥 𝐴𝐺K

d𝑢𝑧, s

𝑏ℎ2c ΔℎK

𝐺K ≈ 𝑏ℎc 𝐺K

Abb. 5.19 Sandwichbalken unter 3-Punkt-Biegung mit Einzellast: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt

𝑢𝑧, b (𝑥) =

(

1

𝐹0 𝑥3 12

𝐸𝐼𝑦

𝑢𝑧, s (𝑥) = −

𝐹0 𝑥 2𝐺K 𝐴

) + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2

,

+ 𝑐3 .

Mittels der Randbedingungen 𝑢𝑧, b (0) = 𝑢𝑧, s (0) = 0 und 𝐹 𝐿2 − 016 , 𝑐2

(5.106)

(5.107) d𝑢𝑧, b (𝐿∕2) d𝑥

= 0 ergeben sich

= 0 und 𝑐3 = 0. Somit ergibt sich die drei Integrationskonstanten zu 𝑐1 = die Gesamtdurchbiegung des Sandwichbalkens entlang der 𝑥-Achse zu:

136

5 Sandwichelemente

𝑢𝑧 (𝑥) = 𝑢𝑧, b (𝑥) + 𝑢𝑧, s (𝑥) ( )3 ( ) ( ) 𝐹0 𝐿 𝐹0 𝐿3 ⎛ 𝑥 𝑥 ⎞ 𝑥 ⎟− , = × ⎜4 −3 ×2 K ⎟ ⎜ 𝐿 𝐿 𝐿 4𝐴𝐺 48𝐸𝐼𝑦 ⎝ ⎠

beziehungsweise der Maximalwert der Durchbiegung bei 𝑥 = ( ) 𝐹0 𝐿3 𝐿 𝐹0 𝐿 =− 𝑢𝑧 − . 2 48𝐸𝐼𝑦 4𝐴𝐺K Das Verhältnis der partiellen Durchsenkungen bei 𝑥 = 𝑢𝑧, b 𝑢𝑧, s

𝐹0 𝐿3

=

48𝐸𝐼𝑦 𝐹0 𝐿 4𝐴𝐺K

=

1 6

×

𝐿 2

(5.108) (5.109)

𝐿 : 2

(5.110)

ergibt sich zu

𝐺 K 𝐿2 𝐸 D ΔℎK ΔℎD

.

(5.111)

Betrachtet man ein konkretes Beispiel für einen Sandwichbalken mit dünnen Deckschichten und weichem Kern, d. h. 𝐿 = 2000 mm, ΔℎK = 150 mm, ΔℎD = 5 mm, 𝐸 D = 74000 MPa und 𝐺K = 11 MPa, ergibt sich ein Verhältnis von 0,132 = 13,2%. Die Auswertung von Gl. (5.111) als Funktion des Schubmoduls der Kernschicht ist in Abb. 5.20 dargestellt. 8 𝐿 = 2000 mm ΔℎK = 150 mm ΔℎD = 5 mm

𝑢𝑧, s

Verhältnis

𝑢𝑧, b

6

𝐸 D = 74000 MPa 4

2

0

0

125

250

375

500

Schubmodul der Kernschicht 𝐺 in MPa K

Abb. 5.20 Verhältnis der partiellen Durchsenkungen als Funktion des Schubmoduls der Kernschicht: Sandwichbalken unter 3-Punkt-Biegung mit Einzellast Man erkennt, dass sich für kleine Werte des Schubmoduls der Kernschicht durchaus deutliche Beiträge der Schubverformung ergeben. Dies ist der Fall, obwohl der Balken mehr also zehn Mal länger (𝐿 = 2000 mm) also hoch (10 × 160 = 1600 mm) ist und somit bei einem homogenen Balken der Schubanteil in erster Näherung üblicherweise vernachlässigbar ist.

5.6 Übungsaufgaben

137

5.6 Übungsaufgaben 5.6.1. Mittlere Biegesteifigkeit eines Sandwichs Man bestimme allgemein für den in Abb. 5.21 dargestellten Sandwich aus drei Lagen und Querschnitt als I-Profil die mittlere Biegesteifigkeit 𝐸𝐼 𝑦 . Anschließend ist das Ergebnis für den Spezialfall 𝑏K = 𝑏D ∕3 und ΔℎD = ΔℎK ∕4 zu vereinfachen.

Abb. 5.21 Sandwich aus drei Lagen und Querschnitt als I-Profil

5.6.2. Berechnung der Schubspannungsverteilung bei kreisförmigem Querschnitt Gegeben ist ein Balken mit kreisförmigem Querschnitt (Radius 𝑅). Man berechne die Schubspannungsverteilung 𝜏𝑧𝑥 über den Querschnitt unter dem Einfluss einer Schubkraft 𝑄𝑧 (𝑥). Man betrachte hierzu die Verteilung in der Mitte des Kreisquerschnitts, d. h. für 𝑦 = 0. 5.6.3. Grenzfall der normierten Steifigkeit eines Sandwichs Der Ausdruck für die normierte Steifigkeit eines Sandwichs nach Gl. (5.57) ist für den Grenzfall 𝐸 D = 𝐸 K = 𝐸 und für ΔℎD = ΔℎK = 13 zu vereinfachen. Hierbei handelt es sich um einen homogenen Körper der Gesamthöhe ‘1’. Verdeutliche, wie das Ergebnis zu verstehen ist (warum ist das Verhältnis nicht gleich ‘1’?). 5.6.4. Durchbiegung eines Sandwichbalkens mit Streckenlast nach der Methode der Partialdurchsenkung Für den in Abb. 5.22 dargestellten Sandwichbalken ist die Biegelinie 𝑢𝑧 (𝑥) und der Maximalwert der Durchbiegung zu bestimmen. Hierbei soll angenommen werden, dass es sich um einen Balken mit dünnen Deckschichten und weichem Kern handelt.

138

5 Sandwichelemente

Weiterhin berechne man allgemein das Verhältnis der partiellen Durchsenkungen und gebe zusätzlich den Zahlenwert für 𝐿 = 2000 mm, ΔℎK = 150 mm, ΔℎD = 5 mm, 𝐸 D = 74000 MPa und 𝐺K = 11 MPa an.

Abb. 5.22 Sandwichbalken mit konstanter Streckenlast: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt

5.6.5. Durchbiegung eines Sandwichbalkens (Kragarm) mit Streckenlast nach der Methode der Partialdurchsenkung Für den in Abb. 5.23 dargestellten Sandwichbalken ist die Biegelinie 𝑢𝑧 (𝑥) und der Maximalwert der Durchbiegung zu bestimmen. Hierbei soll angenommen werden, dass es sich um einen Balken mit dünnen Deckschichten und weichem Kern handelt. Weiterhin berechne man allgemein das Verhältnis der partiellen Durchsenkungen und gebe zusätzlich den Zahlenwert für 𝐿 = 2000 mm, ΔℎK = 150 mm, ΔℎD = 5 mm, 𝐸 D = 74000 MPa und 𝐺K = 11 MPa an.

Abb. 5.23 Sandwichbalken mit konstanter Streckenlast: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt

Literaturverzeichnis

139

5.6.6. Durchbiegung eines Sandwichbalkens (Kragarm) mit Querkraft nach der Methode der Partialdurchsenkung Für den in Abb. 5.24 dargestellten Sandwichbalken ist die Biegelinie 𝑢𝑧 (𝑥) und der Maximalwert der Durchbiegung zu bestimmen. Hierbei soll angenommen werden, dass es sich um einen Balken mit dünnen Deckschichten und weichem Kern handelt. Weiterhin berechne man allgemein das Verhältnis der partiellen Durchsenkungen und gebe zusätzlich den Zahlenwert für 𝐿 = 2000 mm, ΔℎK = 150 mm, ΔℎD = 5 mm, 𝐸 D = 74000 MPa und 𝐺K = 11 MPa an.

Abb. 5.24 Sandwichbalken mit Querkraft: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt

Literaturverzeichnis Allen, H, G.: Analysis and Design of Structural Sandwich Panels. Oxford: Pergamon Press, 1969 Aßmus, M., Bergmann, S., Eisenträger, J., Naumenko, K., Altenbach, H.: Consideration of Non-uniform and Non-orthogonal Mechanical Loads for Structural Analysis of Photovoltaic Composite Structures. In Altenbach, H., Goldstein, R., Murashkin, E. (Hrsg.): Mechanics for Materials and Technologies (S. 73–122). Cham: Springer, 2017 Hertel, H.: Leichtbau: Bauelemente, Bemessungen und Konstruktionen von Flugzeugen und anderen Leichtbauwerken. Berlin: Springer, 1960 Klein, B.: Leichtbau-Konstruktion: Berechnungsgrundlagen und Gestaltung. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1989 Klein, B.: Leichtbau-Konstruktion: Berechnungsgrundlagen und Gestaltung. Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 2009 Öchsner, A.: Elasto-Plasticity of Frame Structure Elements: Modeling and Simulation of Rods and Beams. Berlin: Springer, 2014 Stamm, K., Witte, H.: Sandwichkonstruktionen. Wien: Springer-Verlag, 1974

141

Kapitel 6

Grenzbeanspruchung

Zusammenfassung In diesem Kapitel werden die Grundlagen zum Stoff- und Formleichtbau weiter vertieft. Insbesondere werden die verschiedenen Versagensmechanismen von Sandwichbalken in Bezug auf Deckschichten, Kern und Zwischenschicht analysiert. Neben dem klassischen Versagen durch Erreichen der Fließgrenze oder der Festigkeit, werden globale und lokale Instabilitäten betrachtet.

6.1 Versagensmöglichkeiten Die verschiedenen Versagensmöglichkeiten bei technischen Sandwichbalken sind in Tabelle 6.1 dargestellt. Hierbei kann zwischen Versagensmechanismen der Deckschichten (Fließen, Instabilitäten und örtliche Verformungsüberschreitung) und des Kerns (Fließen und Instabilität) unterschieden werden. Als weitere Versagensmechanismen muss das Versagen der Verbindungsschicht zwischen Kern und Deckschicht und das globale Instabilitätsversagen berücksichtigt werden. Die verschiedenen Instabilitätsformen sind in Tabelle 6.2 mit einer Unterscheidung nach globalen und lokalen Versagensformen vergleichend dargestellt.

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 A. Öchsner, Stoff- und Formleichtbau, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1_6

142

6 Grenzbeanspruchung

Tabelle 6.1 Versagensmöglichkeiten bei technischen Sandwichbalken, vgl. Stamm und Witte (1974)

Versagensart

Lastfall (Unterkapitel) Deckschichten

∙ Versagen durch Erreichen der Fließgrenze oder Festigkeit unter Zug- oder Druckbelastung ∙ Überschreiten der Instabilitätsgrenze unter Druckbelastung, d. h. lokales Knittern (örtliche Instabilität) der auf Druck belasteten Deckschicht ∙ Überschreiten der Instabilitätsgrenze unter Druckbelastung, d. h. lokales symmetrisches oder antimetrisches Knittern (örtliche Instabilität) beider Deckschichten ∙ starke örtliche Verformungen der Deckschichten durch lokale Krafteinleitung

Biegung (5.5.1, 5.5.2) Biegung (6.1.3)

Druck (6.1.5, 6.1.4)

—

Kern ∙ Versagen durch Erreichen der Schubfließgrenze oder Schubfestigkeit ∙ Überschreiten der Instabilitätsgrenze unter Schubbelastung, z. B. Ausbeulen der Stege eines Wabenkerns

Biegung, Querkraft (5.5.3) Biegung, Querkraft (—)

andere Ursachen ∙ Versagen der Verbindung (z. B. Klebschicht) zwischen Deckschicht und Kern ∙ Globales Instabilitätsversagen (Gesamtinstabilität), d. h. Knicken des Sandwichbalkens

Biegung (6.1.2) Druck (6.1.1)

6.1 Versagensmöglichkeiten

143

Tabelle 6.2 Instabilitäten bei technischen Sandwichbalken: (a) Knicken, (b) symmetrisches Knittern der Deckschichten, (c) antimetrisches Knittern der Deckschichten, (d) Knittern der druckbelasteten Deckschicht, vgl. Stamm und Witte (1974)

Schematische Darstellung

Lastfall (Unterkapitel)

globale Instabilität

Druck (6.1.1) (a)

lokale Instabilität

Druck (6.1.5) (b)

Druck (6.1.4) (c)

(d)

Biegung (6.1.3)

6.1.1 Globales Instabilitätsversagen Zur Ableitung der Knickformel1 für einen Sandwichbalken mit dünnen Deckschichten und weichem Kern betrachtet man eine beidseitig gelenkig gelagerte Konfiguration unter einer Druckkraft 𝐹 , siehe Abb. 6.1a. Die gesamte Deformation setzt sich hierbei additiv aus dem reinen Biegeanteil und dem Schubanteil zusammen, siehe Abb. 6.1b.

1

Zum besseren Verständnis wird hier empfohlen, dass der Leser die Ableitung der Knickkraft nach Euler für homogene und isotrope Euler-Bernoulli-Balken zuerst nachvollzieht, siehe Anhang 10.1.

144

6 Grenzbeanspruchung

Abb. 6.1 Beidseitig gelenkig gelagerter Sandwichbalken unter Drucklast: (a) Ausgangslage und (b) Verformung

Das Gleichgewicht wird jetzt zum ersten Mal am verformten Bauteil2 aufgestellt, siehe Abb. 6.1b.

Abb. 6.2 Beidseitig gelenkig gelagerter Sandwichbalken unter Drucklast: (a) Freischneiden an Stelle 𝑥 (b) Kräftedreieck (ohne Berücksichtigung der aktuellen Vorzeichen) Das Momentengleichgewicht an der Schnittstelle 𝑥 liefert (siehe Abb. 6.2a): ↷ ∑

2

) ( 𝑀𝑦 = 0 ⇔ −𝐹 × 𝑢𝑧, b + 𝑢𝑧, s + 𝑀𝑦 (𝑥) = 0 ,

(6.1)

Zur Ableitung der Differenzialgleichungen in Unterkapitel 2.2.1 wurde das Gleichgewicht am unverformten Bauteil aufgestellt.

6.1 Versagensmöglichkeiten

145

( ) ⇒ 𝑀𝑦 (𝑥) = +𝐹 × 𝑢𝑧, b + 𝑢𝑧, s = +𝐹 𝑢𝑧 .

(6.2)

Somit kann mittels der Biegedifferenzialgleichung nach (2.11) bzw. (5.95) folgende Formulierung für die Biegeverformung angegeben werden: 𝐸𝐼𝑦

d2 𝑢𝑧, b d𝑥2

( ) = −𝑀𝑦 (𝑥) = −𝐹 × 𝑢𝑧, b + 𝑢𝑧, s ,

(6.3)

beziehungsweise nach einmaliger Differenziation nach der 𝑥-Koordinate: ) ( d𝑀𝑦 (𝑥) d3 𝑢𝑧, b d𝑢𝑧, b d𝑢𝑧, s . 𝐸𝐼𝑦 =− = −𝐹 × + d𝑥 d𝑥 d𝑥 d𝑥3

(6.4)

Aus dem rechtwinkeligen Kräftedreieck nach Abb. 6.2b kann die folgende geometrische Beziehung für kleine Winkel abgeleitet werden: ) ( d𝑢𝑧, b d𝑢𝑧, s d𝑢𝑧 𝑄𝑧 d𝑢𝑧, b d𝑢𝑧, s ≈ = sin + + = . (6.5) 𝐹 d𝑥 d𝑥 d𝑥 d𝑥 d𝑥 Die letzte Beziehung kann sofort mittels der Schubdifferenzialgleichung (5.104) nach der ersten Ableitung der Schubverformung umgeformt werden: d𝑢𝑧, s d𝑥

(

=

𝐹

𝐴𝐺K 1 −

𝐹 𝐴𝐺K

)×

d𝑢𝑧, b d𝑥

,

(6.6)

wobei die Fläche nach Gl. (5.103) als 𝐴 = 𝑏ℎ2c ∕ΔℎK ≈ 𝑏ℎc gegeben ist. Setzt man nun Gl. (6.6) in die Differenzialgleichung nach (6.4) ein, ergibt sich: 𝐸𝐼𝑦

d3 𝑢𝑧, b d𝑥3

= −𝐹 ×

d𝑢𝑧, b d𝑥

−𝐹 ×

(

𝐹

𝐴𝐺K 1 −

𝐹 𝐴𝐺K

)×

d𝑢𝑧, b d𝑥

,

(6.7)

beziehungsweise umgeformt zu: d3 𝑢𝑧, b d𝑥3

+

(

𝐹

)

d𝑢𝑧, b

𝐹 d𝑥 𝐸𝐼𝑦 1 − 𝐴𝐺 K ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

= 0,

(6.8)

𝜆2

oder als: d3 𝑢𝑧, b

+ 𝜆2

d𝑢𝑧, b

= 0. d𝑥 d𝑥3 Die allgemeine Lösung für eine solche Differenzialgleichung ergibt sich zu: 𝑢𝑧 (𝑥) = 𝑐1 × sin(𝜆𝑥) + 𝑐2 × cos(𝜆𝑥) + 𝑐3 .

(6.9)

(6.10)

146

6 Grenzbeanspruchung

Die erste und zweite Ableitung dieser allgemeinen Funktion ergibt sich zu: d1 𝑢𝑧, b d𝑥1 2 d 𝑢𝑧, b d𝑥2

= 𝑐1 𝛼 cos(𝜆𝑥) − 𝑐2 𝜆 sin(𝜆𝑥) ,

(6.11)

= −𝑐1 𝜆2 sin(𝜆𝑥) − 𝑐2 𝜆2 cos(𝜆𝑥) .

(6.12)

Setzt man diese zweite Ableitung in die Differenzialgleichung nach (6.3), d. h. ( ) d2 𝑢 𝑀𝑦 (𝑥) = 𝐹 𝑢𝑧, b + 𝑢𝑧, s = −𝐸𝐼𝑦 d𝑥𝑧,2 b , ergibt sich die gesamte Durchbiegung zu: 𝑢𝑧, b + 𝑢𝑧, s = − beziehungsweise mit 𝜆2 =

𝐸𝐼𝑦 ( 𝐹

(

𝐹

𝐸𝐼𝑦 1−

) 𝑐1 𝜆2 sin(𝜆𝑥) − 𝑐2 𝜆2 cos(𝜆𝑥) ,

𝐹 𝐴𝐺K

)

(6.13)

schließlich zu:

𝑢𝑧, b (𝑥) + 𝑢𝑧, s (𝑥) = 𝑢𝑧 (𝑥) =

𝑐1 sin(𝜆𝑥) + 𝑐2 cos(𝜆𝑥) 1−

𝐹 𝐴𝐺K

.

(6.14)

Mittels der Randbedingungen 𝑢𝑧 (0) = 0 und 𝑢𝑧 (𝐿) = 0, kann eine Bestimmung der unbekannten Konstanten 𝑐1 und 𝑐2 angegangen werden. Aus der ersten Randbedingung, d. h. 𝑢𝑧 (0) = 0, ergibt sich: 0 = 𝑐1 × sin(0) + 𝑐2 × cos(0) ⇔ 𝑐2 = 0 .

(6.15)

Aus der zweiten Randbedingung, d. h. 𝑢𝑧 (𝐿) = 0, ergibt sich: 0 = 𝑐1 × sin(𝜆 × 𝐿) .

(6.16)

Wenn das Produkt Null sein soll, muss einer der beiden Faktoren, d. h. 𝑐1 oder sin(𝜆 × 𝐿), gleich Null sein. Bei 𝑐1 = 0 handelt es sich um eine triviale Lösung (mit 𝑐1 = 𝑐2 = 0 ergibt sich nach Gl. (6.14): 𝑢𝑧 = 0, somit keine Verformung). Daher muss sin(𝜆 × 𝐿) = 0 näher betrachtet werden. Die Bedingung sin(𝜆 × 𝐿) = 0 bedeutet, dass 𝜆 × 𝐿 = 𝑘 × 𝜋 mit 𝑘 = 0, 1, 2, ⋯ (siehe Abb. 10.6). Die Bedingung 𝜆 × 𝐿 = 0 würde 𝐹 = 0 bedeuten (siehe Definition von 𝜆 nach Gl. (6.8)). Somit ergibt sich als sinnvolle Bedingung: 𝜋2

. (6.17) 𝐿2 Setzt man das letzte Ergebnis in die Definitionsgleichung von 𝜆 nach Gl. (6.8) ein, ergibt sich: 𝜆 × 𝐿 = 𝜋 ⇔ 𝜆2 =

6.1 Versagensmöglichkeiten

147

𝜋2 𝐿2

𝐹

(

=

𝐹 𝐴𝐺K

𝐸𝐼𝑦 1 −

),

(6.18)

beziehungsweise nach kurzer Umformung: 𝜋 2 𝐸𝐼𝑦 𝐿2

𝐹K =

𝜋 2 𝐸𝐼𝑦

1+

𝐹KE

=

1+

𝐿2 ×𝐴𝐺K

𝐹KE

,

(6.19)

𝐴𝐺K

wobei es sich bei 𝐹KE = 𝜋 2 𝐸𝐼𝑦 ∕𝐿2 um die Knickkraft nach Euler für homogene Balken handelt, siehe Gl. (10.21). Weiterhin ist zu beachten, dass die Fläche nach Gl. (5.103) als 𝐴 = 𝑏ℎ2c ∕ΔℎK ≈ 𝑏ℎc gegeben ist. Bei anderen Lagerungen kann in der Gleichung für die Knickkraft nach Euler die Länge 𝐿 durch die sog. Knicklänge 𝐿K (siehe Tabelle 10.2) ersetzt werden. Somit lassen sich insgesamt vier Lagerfälle berechnen. Gleichung (6.19) wird auch oft in der folgenden Form dargestellt (siehe Allen (1969)): 1 𝐹K

=

1 𝐹KE

+

1 𝐴𝐺K

,

(6.20)

wobei folgende Spezialfälle unterschieden werden können: • 𝐺 → ∞ ⇒ 𝐹K = 𝐹KE . • 𝐺 endlich ⇒ 𝐹K < 𝐹KE . • 𝐺 klein ⇒ 𝐹K → 𝐴𝐺K . Ein alternativer Weg zur Ableitung der Knickformel ist in Plantema (1966) dargestellt. Hierzu werden die Biege- und die Schubdifferenzialgleichungen (siehe (5.95) bzw. (5.104)) nach den zweiten Ableitungen umgeformt: d2 𝑢𝑧 b d𝑥2 d2 𝑢𝑧, s d𝑥2

=− =

𝑀𝑦 (𝑥) 𝐸𝐼𝑦

,

1 d𝑄𝑧 (𝑥) 𝐴𝐺K

d𝑥

(6.21) .

(6.22)

Beide Formulierungen können zur Gesamtkrümmung3 additiv zusammengesetzt werden:

3

Genau genommen gilt für die Krümmung: 𝜅(𝑥) = −

d2 𝑢𝑧 (𝑥) . d𝑥2

148

6 Grenzbeanspruchung

d2 𝑢𝑧,

=

d𝑥2

d2 𝑢𝑧, b d𝑥2

+

d2 𝑢𝑧, s d𝑥2

=−

𝑀𝑦 (𝑥) 𝐸𝐼𝑦

+

1 d𝑄𝑧 (𝑥) 𝐴𝐺K

d𝑥

.

(6.23)

Verwendet man im letzten Ausdruck der Differenzialgleichung das Biegemoment nach Gl. (6.2), d. h. 𝑀𝑦 (𝑥) = +𝐹 𝑢𝑧 (𝑥), und die Querkraft nach Gl. (6.5), d. h. 𝑄𝑧 (𝑥) = 𝐹

d𝑢𝑧 (𝑥) , d𝑥

d2 𝑢𝑧 (𝑥) d𝑥2

+

ergibt sich nach Umformung die folgende Differenzialgleichung: 𝐹

(

𝐹 𝐴𝐺K

) 𝑢𝑧 (𝑥) = 0 ⇔

𝐸𝐼𝑦 1 − ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

d2 𝑢𝑧 d𝑥2

+ 𝜆2 𝑢𝑧 (𝑥) = 0 .

(6.24)

𝜆2

Die Lösung erfolgt wie im Anhang 10.1 dargestellt und man erhält schließlich das Ergebnis nach Gl. (6.19).

6.1.2 Schubversagen der Verbindungsschicht Zur Beurteilung, ob die Verbindungsschicht (z. B. eine Klebschicht) versagt, muss die Schubspannung an der Stelle ±ΔℎK ∕2 ausgewertet werden. Nach der exakten Theorie (siehe Gl. (5.80)) ergibt sich die Schubspannung zu: ( 𝜏𝑧𝑥

ΔℎK

) (

=

2

2

[ ( ) ] 𝑄𝑧 (𝑥) 𝐸 D ΔℎK + ΔℎD ΔℎD 𝐸 D 𝑏(ΔℎD )3 6

+

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2

+

𝐸 K 𝑏(ΔℎK )3

).

(6.25)

12

Für weiche Kerne, d. h. 𝐸 K ≪ 𝐸 D , ergibt sich (siehe Gl. (5.84)): ( 𝜏𝑧𝑥

ΔℎK 2

)

[ ] 𝑄𝑧 (𝑥) ΔℎK + ΔℎD 𝑄𝑧 (𝑥)ℎc = ( D2 ) = ( D2 ) 𝑏 (Δℎ3 ) + (ℎc )2 𝑏 (Δℎ3 ) + (ℎc )2 =

𝑄𝑧 (𝑥) 2𝐸𝐼𝑦

𝐸 D ΔℎD ℎc .

(6.26)

Für weiche Kerne, d. h. 𝐸 K ≪ 𝐸 D , und dünne Deckschichten, d. h. ΔℎD ≪ ΔℎK , ergibt sich die Schubspannung zu (siehe Gl. (5.89)): ) ( 𝑄𝑧 (𝑥) 𝑄𝑧 (𝑥) ΔℎK = = . (6.27) 𝜏𝑧𝑥 2 𝑏ℎc 𝑏ΔℎK

6.1 Versagensmöglichkeiten

149

Typische Materialkennwerte von Klebschichten sind in Tabelle 6.3 zusammengefasst. Tabelle 6.3 Mechanische Eigenschaften einiger Klebstoffe: 𝐺: Schermodul; 𝜏p : Scherfließgrenze; 𝜏aB : Zugscherfestigkeit; 𝛾aB : Bruchgleitung. In Anlehnung an da Silva et al. (2018)

Klebstoff

Hersteller

𝐺 in MPa 𝜏p in MPa 𝜏aB in MPa 𝛾aB in %

Epoxide Araldite AV138 Huntsman Hysol EA 9394 Loctite Hysol EA 9321 Loctite Supreme 10HT Master Bond Araldite AV 119 Huntsman Hysol EA 9359.3 Loctite Araldite 2015 Huntsman

1559 1140 1030 1460 1260 660,0 560,0

25,0 25,0 20,0 37,1 47,0 35,3 14,0

30,2 40,4 33,0 37,1 47,0 35,3 20,0

5,50 8,36 6,35 16,1 50,7 63,0 40,3

8,26

8,26

330

37,9

37,9

3,70

5,3

8,40

180

Polyurethane Sikaflex 256

Sika

1,351

Bismaleimide Redux 326

Hexcel comp.

1615

modifizierte Acrylate DP-8005

3M

178,6

6.1.3 Lokales Knittern der Druckdeckschicht (Biegelastfall) Lokales Knittern der Deckschichten beim Biegelastfall kann bei der druckbelasteten Deckschicht auftreten4 . Als Modellierungsansatz wurde das in Abb. 6.3 dargestellte mechanische Ersatzmodell in der Literatur vorgeschlagen, siehe Allen (1969). Hierbei wird angenommen, dass die Zugdeckschicht vollkommen eben bleibt, da sie als starre Schicht modelliert wird. Weiterhin wird der Kern als homogenes und isotropes Kontinuum modelliert5 . Die kritische Knitterspannung ergibt sich allgemein zu 4

Beim Biegelastfall ist eine Deckschicht auf Zug und die andere auf Druck belastet. Bei anderen Modellierungsansätzen wurde die Kernschicht als elastische Federbettung der Deckschicht angenommen. Solche Ansätze vernachlässigen jedoch die Schubsteifigkeit in der 𝑥𝑧-Ebene und sind daher inadäquat. 5

150

6 Grenzbeanspruchung

Abb. 6.3 Vereinfachtes Modell zum Knittern der druckbelasteten Deckschicht (Biegelastfall). In Anlehnung an Allen (1969)

( )1 ( )2 𝜎cr = 𝐵1 𝐸 D 3 𝐸 K 3 ,

(6.28)

wobei der Faktor 𝐵1 von den Geometrie- und Materialparametern abhängt. Mittels der Beziehung zwischen den elastischen Konstanten für isotrope Werkstoffe, d. h. 𝐺K =

𝐸K 2(1 + 𝜈 K )

,

(6.29)

ergibt sich hieraus die alternative Beziehung für die Knitterspannung: ]1 ( ( [ )1 )1 𝜎cr = 𝐵1 2(1 + 𝜈 K ) 3 × 𝐸 D 𝐸 K 𝐺K 3 = 𝐵1′ × 𝐸 D 𝐸 K 𝐺K 3 . ⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟

(6.30)

𝐵1′

Für den Faktor 𝐵1′ wird in Hoff und Mautner (1945), Allen (1966) folgende konservative Näherung vorgeschlagen: 𝜎cr ≈

1

)1 ( × 𝐸 D 𝐸 K 𝐺K 3 .

(6.31) 2 Für Sanwichstrukturen mit dünnen Deckschichten und weichem Kern, unter der Be( D )1∕3 D 𝐸 < 0,25, sind in Gough et al. (1939), Allen (1969) foldingung 𝑘 = Δℎ K Δℎ 𝐸K gende Werte für 𝐵1 ermittelt worden: 𝐵1 (𝜈 K = 0,25) = 0,575 , (6.32) 𝐵1 (𝜈 K = 0,50) = 0,543 ,

(6.33)

6.1 Versagensmöglichkeiten

151

woraus sich folgende Werte für 𝐵1′ ergeben: [ ]1 1 3 = 0,25) = 0,575 2(1 + 4 ) = 0,7804 ,

(6.34)

[ ]1 𝐵1′ (𝜈 K = 0,50) = 0,543 2(1 + 12 ) 3 = 0,7831 .

(6.35)

𝐵1′ (𝜈 K

Für andere Material- und Geometriekombinationen muss folgender Rechengang ( D )1∕3 D 𝐸 zeichnet durchgeführt werden: Für konkrete Werte von 𝜈 K und 𝑘 = Δℎ K Δℎ 𝐸K man die Hilfsfunktion 𝐵1 = 𝐵1 (Θ), d. h. 𝐵1 = =

𝑘 2 Θ2 12 2 𝑘 Θ2 12

+ +

𝑓 (Θ) 1

𝑘 (

𝑘

2 Θ

(6.36) ×

)

(3 − 𝜈 K ) sinh(Θ) cosh(Θ) + (1 + 𝜈 K )Θ (1 + 𝜈 K )(3 − 𝜈 K )2 sinh2 (Θ) − (1 + 𝜈 K )3 Θ2

,

(6.37)

K

wobei das Argument als Θ = 2𝜋Δℎ gegeben ist und 𝜆 die Wellenlänge der Knitter𝜆 welle der Druckdeckschicht darstellt (siehe Abb. 6.4 und Abb. 6.5). 1,0

Faktor 𝐵1

0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0

𝜈K =

𝑘=1 𝑘=2

1 4

1,0

2,0 Argument Θ =

3,0

4,0

2𝜋ΔℎK 𝜆

Abb. 6.4 Lage des lokalen Minimums der Funktion 𝐵1 = 𝐵1 (Θ): Einfluss des Para( D )1∕3 D 𝐸 meters 𝑘 = Δℎ K Δℎ 𝐸K Man erkennt aus Abb. 6.4, dass eine Vergrößerung des 𝑘-Wertes bei konstantem 𝜈 K zu einer Verschiebung des Minimums zu kleineren Θ-Werten führt. Aus Abb. 6.5 ist ersichtlich, dass der Einfluss der Querkontraktionszahl nicht so dominant ist. Das lokale Minimum der Funktion 𝐵1 = 𝐵1 (Θ) ergibt sich aus der Bedingung

152

6 Grenzbeanspruchung (a)

1,0

Faktor 𝐵1

0,8 0,6 0,4 0,2

𝜈K =

𝑘=1

0,0 0,0

𝜈 = K

1,0

2,0

3,0

Argument Θ = (b)

1 4 1 2

4,0

2𝜋ΔℎK 𝜆

2,0

Faktor 𝐵1

1,5

1,0

0,5

𝜈K =

𝑘=4 0,0 0,0

𝜈 = K

0,5

1,0

1,5

Argument Θ =

1 4 1 2

2,0

2𝜋ΔℎK 𝜆

Abb. 6.5 Lage des lokalen Minimums der Funktion 𝐵1 = 𝐵1 (Θ): Einfluss der Querkontraktionszahl 𝜈 K des Kerns für (a) 𝑘 = 1 und (b) 𝑘 = 4 𝜕𝐵1 (Θ)

𝑘2 Θ

1

𝜕𝑓 (Θ)

!

= 0,

(6.38) 𝜕Θ 6 𝑘 𝜕Θ wobei zur numerischen Bestimmung der Nullstelle das Newton-Verfahren verwendet werden kann6 . Wiederholt man die Prozedur der Bestimmung des Minimums für einen Wertebereich des Geometrie- und Materialfaktors 𝑘 bei konstanter Querkontraktionszahl 𝜈 K , können Bestimmungsdiagramme, wie in Abb. 6.6–6.8 dargestellt, generiert werden. Diese Diagramme erlauben ein einfaches Ablesen des kritischen 6

=

+

×

Im Anhang 10.2 ist ein Python3-Programm bereitgestellt, um die Auswertung von Gl. (6.38) für vorgegebene Wertebereiche von 𝑘 und 𝜈 K automatisiert durchzuführen.

6.1 Versagensmöglichkeiten

153

Faktors 𝐵1 , ohne dass eine numerische Iteration zur Bestimmung des Minimums notwendig ist. Nachteilig ist jedoch, dass jedes dieser Diagramme nur für eine bestimmte Querkontraktionszahl gültig ist. Aus den Diagrammen in Abb. 6.6–6.8 ist ersichtlich, dass sich der 𝐵1 -Wert für 𝑘 ≤ 0,25 einem konstanten Wert annähert. Diese Werte sind in Abb. 6.9 als Funktion der Querkontraktionszahl zusammengefasst. Man erkennt einen leicht fallenden Trend des 𝐵1 -Wertes. Weiterhin ist aus Abb. 6.6–6.8 ersichtlich, dass es sich bei dem 𝐵1 -Wert und der normalisierten Wellenlänge um monoton wachsende Funktionen handelt.

154

6 Grenzbeanspruchung 1,4

14

𝜈K =

1,3

1 4

13

12

1,1

11

1,0

10

0,9

9

0,8

8

0,7

7

𝐵1

0,6

6 0,575

0,5

5

0,4

4

0,3

3

0,2

2

0,1

0,0

1

𝜆 ΔℎK

0

Normalisierte Wellenlänge

Faktor 𝐵1

𝜆 ΔℎK

1,2

1

2 Parameter 𝑘 =

3 ΔℎD ΔℎK

(

𝐸D 𝐸K

4

0

)1∕3

Abb. 6.6 Bestimmungsdigramm des Faktors 𝐵1 und der Wellenlänge 𝜆 für den Fall 𝜈 K = 14 . In Anlehnung an Allen (1969)

6.1 Versagensmöglichkeiten

155

1,4

14

𝜈 K = 0,3

1,3

13

12

1,1

11

1,0

10

0,9

9

0,8

8

0,7

7

𝐵1

0,6

6 0,567

0,5

5

0,4

4

0,3

3

0,2

2

0,1

0,0

1

𝜆 ΔℎK

0

Normalisierte Wellenlänge

Faktor 𝐵1

𝜆 ΔℎK

1,2

1

2 Parameter 𝑘 =

3 ΔℎD ΔℎK

(

𝐸D 𝐸K

4

0

)1∕3

Abb. 6.7 Bestimmungsdigramm des Faktors 𝐵1 und der Wellenlänge 𝜆 für den Fall 𝜈 K = 0,3

156

6 Grenzbeanspruchung 1,4

14

𝜈K =

1,3

1 2

13

12

1,1

11

1,0

10

0,9

9

0,8

8

0,7

7

𝐵1

0,6

6 0,543

0,5

5

0,4

4

0,3

3

0,2

2

0,1

0,0

1

𝜆 ΔℎK

0

Normalisierte Wellenlänge

Faktor 𝐵1

𝜆 ΔℎK

1,2

1

2 Parameter 𝑘 =

3 ΔℎD ΔℎK

(

𝐸D 𝐸K

4

0

)1∕3

Abb. 6.8 Bestimmungsdigramm des Faktors 𝐵1 und der Wellenlänge 𝜆 für den Fall 𝜈 K = 12 . In Anlehnung an Allen (1969)

6.1 Versagensmöglichkeiten

157

0,585 𝑘=

ΔℎD ΔℎK

(

𝐸D 𝐸K

)1 3

≤ 0,25

0,580

0,575

0,570

Faktor 𝐵1

0,565

0,560

0,555

0,550

0,545

0,540 0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

Querkontraktionszahl des Kerns 𝜈 K

Abb. 6.9 Bestimmungsdigramm des Faktors 𝐵1 für den Fall 𝑘 ≤ 0,25

0,50

158

6 Grenzbeanspruchung

6.1.4 Lokales antisymmetrisches Knittern beider Deckschichten (Drucklastfall) Lokales antisymmetrisches Knittern kann bei druckbelasteten Sandwichbalken auftreten und ist dadurch gekennzeichnet, dass sich die Deckschichten antisymmetrisch zur Mittellinie in Querrichtung verformen, siehe Abb. 6.10.

Abb. 6.10 Vereinfachte Darstellung des antisymmetrischen Knitterns der Deckschichten (Drucklastfall). In Anlehnung an Allen (1969) Im Falle dünner Deckschichten und weichem Kern kann die kritische Knitterspannung 𝜎cr entsprechend der Grundgleichung aus Unterkapitel 6.1.3, d. h. ( )1 ( )2 𝜎cr = 𝐵1 𝐸 D 3 𝐸 K 3 ,

(6.39)

approximiert werden. Zur Berechnung des Faktors 𝐵1 ist jedoch eine andere Funktion 𝑓 (Θ) zu verwenden:

𝐵1 = =

𝑘2 Θ2 12 𝑘 2 Θ2 12

+ +

𝑓 (Θ) 1 𝑘

𝑘 (

2 Θ

(6.40) ×

cosh(Θ) − 1

)

(1 + 𝜈 K )(3 − 𝜈 K ) sinh(Θ) + (1 + 𝜈 K )2 Θ

.

(6.41)

Auch hier erlaubt die Bestimmung des lokalen Minimums der Funktion 𝐵1 (Θ) den Faktor 𝐵1 für Gl. (6.39) zu ermitteln. Bei der Anwendung des Newton-Verfahrens für kleine Werte von 𝑘 ist zu beachten, dass der Gradient der Funktion 𝐵1 (Θ) nahe Θ = 0 lokale Extrema aufweist, siehe Abb. 6.11b. Für die Konvergenz ist es daher sinnvoll, wenn der Startwert der Newton-Iteration (Θ𝑖 = 0 ) rechts von der Nullstelle liegt. Bestimmungsdiagramme für den Faktor 𝐵1 als Funktion des Geometrie- und Materialfaktors 𝑘 sind in Abb. 6.12–6.14 dargestellt. Diese Diagramme erlauben ein

6.1 Versagensmöglichkeiten

159

(a)

Gradient

𝜕𝐵1 (Θ) 𝜕Θ

0,1

0,0

−0,1 𝑘 = 0,02 𝜈 K = 0,25 −0,1

0

50

100 Argument Θ =

150

200

2𝜋ΔℎK 𝜆

(b)

Gradient

𝜕𝐵1 (Θ) 𝜕Θ

1,0

0,0

−1,0 𝑘 = 0,02 𝜈 K = 0,25 −2,0

0

5

10

15

Argument Θ =

20

25

30

2𝜋ΔℎK 𝜆

Abb. 6.11 Zur Bestimmung der Nullstelle der Ableitung der Funktion 𝐵1 = 𝐵1 (Θ): (a) großer Wertebereich mit Nullstelle bei Θ = 75,85 und (b) lokale Extrema für Θ→0

160

6 Grenzbeanspruchung

einfaches Ablesen des kritischen Faktors 𝐵1 , ohne dass eine numerische Iteration zur Bestimmung des Minimums notwendig ist. Nachteilig ist jedoch auch hier, dass jedes dieser Diagramme nur für eine bestimmte Querkontraktionszahl 𝜈 K gültig ist7 . Weiterhin erkennt man aus Abb. 6.12–6.14, dass die Kurven für 𝐵1 und für die normalisierte Wellenlänge Δℎ𝜆 K nur bis zu einem bestimmten Abszissenwert 𝑘 gehen, der durch folgende Beziehung festgelegt ist: (

1 − 𝜈K 8(1 + 𝜈 K )

)1 3

.

(6.42)

Aus den Diagrammen in Abb. 6.12–6.14 ist ersichtlich, dass sich der 𝐵1 -Wert für 𝑘 ≤ 0,20 einem konstanten Wert annähert. Diese Werte sind in Abb. 6.15 als Funktion der Querkontraktionszahl zusammengefasst. Man erkennt einen leicht fallenden Trend des 𝐵1 -Wertes. Weiterhin ist aus Abb. 6.12–6.14 ersichtlich, dass es sich bei dem 𝐵1 -Wert um eine monoton fallende und bei der normalisierten Wellenlänge um eine monoton wachsende Funktion handelt.

7

Im Anhang 10.2 ist ein Python3-Programm bereitgestellt, um die Auswertung von Gl. (6.38) für vorgegebene Wertebereiche von 𝑘 und 𝜈 K automatisiert durchzuführen.

6.1 Versagensmöglichkeiten

161

0,80

4,0 𝜈K =

3,8

1 4

3,6 0,78 3,4 3,2 0,70

3,0 2,8

𝜆 ΔℎK

2,6

Faktor 𝐵1

2,2 0,60

2,0 0,575

1,8 𝐵1

1,6

Normalisierte Wellenlänge

2,4

𝜆 ΔℎK

0,65

0,55 1,4 1,2 0,50

1,0 0,8 0,47 0,6

0,45 0,4 𝑘 = 0,422 0,40 0,0

0,1

0,2

0,3

Parameter 𝑘 =

ΔℎD ΔℎK

0,4 (

𝐸D 𝐸K

0,5

0,2 0,0 0,6

)1∕3

Abb. 6.12 Bestimmungsdiagramm des Faktors 𝐵1 und der Wellenlänge 𝜆 für den Fall 𝜈 K = 14 beim antisymmetrischen Knittern. In Anlehnung an Allen (1969)

162

6 Grenzbeanspruchung 0,80

4,0 3,8

𝜈 K = 0,3

3,6 0,78 3,4 3,2 0,70

3,0 2,8

𝜆 ΔℎK

2,6

Faktor 𝐵1

2,2 0,60

2,0 1,8

0,567 𝐵1

0,55

1,6

Normalisierte Wellenlänge

2,4

𝜆 ΔℎK

0,65

1,4 1,2 0,50

1,0 0,8 0,47 0,6

0,45 0,4 𝑘 = 0,407 0,40 0,0

0,1

0,2

0,3

Parameter 𝑘 =

ΔℎD ΔℎK

0,4 (

𝐸D 𝐸K

0,5

0,2 0,0 0,6

)1∕3

Abb. 6.13 Bestimmungsdiagramm des Faktors 𝐵1 und der Wellenlänge 𝜆 für den Fall 𝜈 K = 0,3 beim antisymmetrischen Knittern

6.1 Versagensmöglichkeiten

163

0,80

4,0 𝜈K =

3,8

1 2

3,6 0,78 3,4 3,2 0,70

3,0 2,8

𝜆 ΔℎK

2,6

Faktor 𝐵1

2,2 0,60

2,0 1,8

0,55

1,6

0,543

Normalisierte Wellenlänge

2,4

𝜆 ΔℎK

0,65

1,4

𝐵1

1,2 0,50

1,0 0,8

0,48

0,6 0,45 0,4 0,2

𝑘 = 0,347 0,40 0,0

0,1

0,2

0,3

Parameter 𝑘 =

ΔℎD ΔℎK

0,4 (

𝐸D 𝐸K

0,5

0,0 0,6

)1∕3

Abb. 6.14 Bestimmungsdiagramm des Faktors 𝐵1 und der Wellenlänge 𝜆 für den Fall 𝜈 K = 0,5 beim antisymmetrischen Knittern. In Anlehnung an Allen (1969)

164

6 Grenzbeanspruchung 0,585 𝑘=

ΔℎD ΔℎK

(

𝐸D 𝐸K

)1 3

≤ 0,20

0,580

0,575

0,570

Faktor 𝐵1

0,565

0,560

0,555

0,550

0,545

0,540 0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

Querkontraktionszahl des Kerns 𝜈 K

Abb. 6.15 Bestimmungsdiagramm des Faktors 𝐵1 für den Fall 𝑘 ≤ 0,20 beim antisymmetrischen Knittern

6.1 Versagensmöglichkeiten

165

6.1.5 Lokales symmetrisches Knittern beider Deckschichten (Drucklastfall) Lokales symmetrisches Knittern kann bei druckbelasteten Sandwichbalken auftreten und ist dadurch gekennzeichnet, dass sich die Deckschichten symmetrisch zur Mittellinie in Querrichtung verformen, siehe Abb. 6.16.

Abb. 6.16 Vereinfachte Darstellung des symmetrischen Knitterns der Deckschichten (Drucklastfall). In Anlehnung an Allen (1969) Im Falle dünner Deckschichten und weichem Kern kann auch hier die kritische Knitterspannung 𝜎cr entsprechend der Grundgleichung aus Unterkapitel 6.1.3, d. h. ( )1 ( )2 𝜎cr = 𝐵1 𝐸 D 3 𝐸 K 3 ,

(6.43)

approximiert werden. Zur Berechnung des Faktors 𝐵1 ist jedoch auch hier eine andere Funktion 𝑓 (Θ) zu verwenden:

𝐵1 = =

𝑘2 Θ2 12 𝑘2 Θ2 12

+ +

𝑓 (Θ) 1 𝑘

𝑘 (

2 Θ

(6.44) ×

cosh(Θ) + 1 3 sinh(Θ) − Θ

) .

(6.45)

Auch hier erlaubt die Bestimmung des lokalen Minimums der Funktion 𝐵1 (Θ) den Faktor 𝐵1 für Gl. (6.43) zu ermitteln. Wie auch bei den anderen Fällen, tritt der kleinere Wert von 𝐵1 bei größeren Querkontraktionszahlen 𝜈 K auf. Daher ist in Abb. 6.17 ein Bestimmungsdiagramm für den Faktor 𝐵1 als Funktion des Geometrie- und Materialfaktors 𝑘 geboten. Auch hier ergibt sich für kleine Werte von 𝑘, d.h. 𝑘 ≤ 0,25, ein konstanter Wert von 0,630 für 𝜈 K = 0,0. Weiterhin ist aus Abb. 6.17 ersicht-

166

6 Grenzbeanspruchung

lich, dass es sich bei dem 𝐵1 -Wert und der normalisierten Wellenlänge um monoton wachsende Funktionen handelt. Aus den Diagrammen zum antisymmetrischen (siehe Abb. 6.12–6.14) und symmetrischen Knittern (siehe Abb. 6.17) kann man folgende Schlussfolgerungen ziehen, siehe Allen (1969): • Für sehr kleine Werte von 𝑘, d.h. 𝑘 < 0,2, ergeben sich ähnliche Werte für 𝐵1 . Somit tritt antisymmetrisches und symmetrisches Knittern mit mehr oder weniger gleicher Wahrscheinlichkeit auf. )1 ( 1−𝜈 K 3 tritt antisymmetrisches Knittern bei kleineren • Im Bereich 0,2 < 𝑘 < 8(1+𝜈 K) Spannungen auf, da 𝐵1 (Θ) eine monoton fallende Funktion für das antisymmetrische Knittern darstellt, aber monoton steigt beim symmetrischen Knittern. ( )1 1−𝜈 K • Für 𝑘 > 8(1+𝜈 K ) 3 tritt kein antisymmetrisches Knittern auf und nur symmetrisches Knittern muss berücksichtigt werden. )1 ( 1−𝜈 K • Für 𝑘 = 8(1+𝜈 K ) 3 ist der 𝐵1 -Wert des antisymmetrischen Knitterns der konservativste von allen drei Knitterfällen. • Für genügend lange Balken tritt globales Instabilitätsversagen (siehe Unterkapitel 6.1.1) vor dem lokalen Knittern ein. Zum Abschluss dieses Unterkapitels werden in Tabelle 6.4 die verschiedenen Formulierungen zur Berechnung des Faktors 𝐵1 vergleichend zusammengefasst. Tabelle 6.4 Zur Bestimmung des Faktors 𝐵1 = In Anlehnung an Allen (1969)

Druck, antisymmetrisch (6.1.4)

Druck, symmetrisch (6.1.5)

+

𝑓 (Θ) 𝑘

beim lokalen Knittern.

Funktion 𝑓 (Θ)

Fall (Unterkapitel) Biegung (6.1.3)

𝑘2 Θ2 12

2 Θ

× 2

Θ

(3 − 𝜈 K ) sinh(Θ) cosh(Θ) + (1 + 𝜈 K )Θ (1 + 𝜈 K )(3 − 𝜈 K )2 sinh2 (Θ) − (1 + 𝜈 K )3 Θ2

×

cosh(Θ) − 1 (1 + 2 Θ

𝜈 K )(3

×

− 𝜈 K ) sinh(Θ) + (1 + 𝜈 K )2 Θ

cosh(Θ) + 1 3 sinh(Θ) − Θ

(𝜈 K = 0)

6.1 Versagensmöglichkeiten

167 5,0

1,00 𝜈 K = 0,0 0,95

4,5

0,90

4,0

𝐵1

0,80

3,0

0,75

2,5

0,70

2,0

0,65

1,5

0,630

0,60

1,0

𝜆 ΔℎK

0,5

0,55

0,50 0,0

𝜆 ΔℎK

3,5

Normalisierte Wellenlänge

Faktor 𝐵1

0,85

0,2

0,4

0,6

Parameter 𝑘 =

ΔℎD ΔℎK

0,8 (

𝐸D 𝐸K

1,0

0,0 1,2

)1∕3

Abb. 6.17 Bestimmungsdiagramm des Faktors 𝐵1 und der Wellenlänge 𝜆 für den Fall 𝜈 K = 0,0 beim symmetrischen Knittern. In Anlehnung an Allen (1969)

168

6 Grenzbeanspruchung

6.2 Übungsaufgaben 6.2.1. Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken mit Streckenlast Für den in Abb. 6.18 dargestellten Sandwichbalken sind die entsprechenden Festigkeitsnachweise durchzuführen. Der Sandwich ist aus einem Hartschaumstoff als Kernmaterial, das mit zwei Aluminiumdeckschichten verklebt ist, aufgebaut. Die Dicke der Klebschicht kann bei der Berechnung vernachlässigt werden. Weiterhin soll angenommen werden, dass der Wert der Streckenlast 𝑞0 schon mit einem ausreichenden Sicherheitsfaktor multipliziert ist.

Abb. 6.18 Sandwichbalken mit konstanter Streckenlast: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2000 mm, 𝑏 = 200 mm, ΔℎK = 150 mm, ΔℎD = 5 mm. • Materialeigenschaften des Hartschaumstoffkerns: 𝐸 K = 30 MPa, 𝜈 K = 0,364, K = 0,5 MPa, 𝑅K = 0,90 MPa, 𝜎 K = 0,38 MPa. 𝜏aB m dB = 364 MPa. • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 74000 MPa, 𝑅D p0,2 • Materialeigenschaft des Klebstoffs: 𝜏aB = 37,1 MPa. N • Äußere Belastung: 𝑞0 = 2,5 mm . 6.2.2. Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken (Kragarm) mit Streckenlast Für den in Abb. 6.19 dargestellten Sandwichbalken sind die entsprechenden Festigkeitsnachweise durchzuführen. Der Sandwich ist aus einem Hartschaumstoff als Kernmaterial, das mit zwei Aluminiumdeckschichten verklebt ist, aufgebaut. Die Dicke der Klebschicht kann bei der Berechnung vernachlässigt werden. Weiterhin soll angenommen werden, dass der Wert der Streckenlast 𝑞0 schon mit einem ausreichenden Sicherheitsfaktor multipliziert ist. Gegeben sind:

6.2 Übungsaufgaben

169

Abb. 6.19 Sandwichbalken (Kragarm) mit konstanter Streckenlast: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt

• Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2000 mm, 𝑏 = 200 mm, ΔℎK = 150 mm, ΔℎD = 5 mm. • Materialeigenschaften des Hartschaumstoffkerns: 𝐸 K = 30 MPa, 𝜈 K = 0,364, K = 0,5 MPa, 𝑅K = 0,90 MPa, 𝜎 K = 0,38 MPa. 𝜏aB m dB = 364 MPa. • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 74000 MPa, 𝑅D p0,2 • Materialeigenschaft des Klebstoffs: 𝜏aB = 37,1 MPa. N • Äußere Belastung: 𝑞0 = 2,5 mm . 6.2.3. Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken unter 4-Punkt-Biegung Für den in Abb. 6.20 dargestellten Sandwichbalken sind die entsprechenden Festigkeitsnachweise durchzuführen. Der Sandwich ist aus einem synthetischen Kernmaterial, das mit zwei Aluminiumdeckschichten verklebt ist, aufgebaut. Die Dicke der Klebschicht kann bei der Berechnung vernachlässigt werden. Weiterhin soll angenommen werden, dass der Wert der Kraft 𝐹0 schon mit einem ausreichenden Sicherheitsfaktor multipliziert ist. Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2000 mm, 𝑏 = 200 mm, ΔℎK = 50 mm, ΔℎD = 50 mm. • Materialeigenschaften des synthetischen Kerns: 𝐸 K = 25000 MPa, 𝜈 K = 0,4, K = 40 MPa, 𝑅K = 80 MPa, 𝜎 K = 60 MPa. 𝜏aB m dB = 364 MPa. • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 74000 MPa, 𝑅D p0,2 • Materialeigenschaft des Klebstoffs: 𝜏aB = 37,1 MPa. • Äußere Belastung: 𝐹0 = 2500 N. 6.2.4. Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken unter 3-Punkt-Biegung mit Einzellast Für den in Abb. 6.21 dargestellten Sandwichbalken sind die entsprechenden Festigkeitsnachweise durchzuführen. Der Sandwich ist aus einem Kunststoffkern, der mit

170

6 Grenzbeanspruchung

Abb. 6.20 Sandwichbalken unter 4-Punkt-Biegung: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt

zwei Aluminiumdeckschichten verklebt ist, aufgebaut. Die Dicke der Klebschicht kann bei der Berechnung vernachlässigt werden. Weiterhin soll angenommen werden, dass der Wert der Kraft 𝐹0 schon mit einem ausreichenden Sicherheitsfaktor multipliziert ist.

Abb. 6.21 Sandwichbalken unter 3-Punkt-Biegung mit Einzellast: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2000 mm, 𝑏 = 200 mm, ΔℎK = 100 mm, ΔℎD = 25 mm. • Materialeigenschaften des Kunststoffkerns: 𝐸 K = 1500 MPa, 𝜈 K = 0,4, K = 40 MPa, 𝑅K = 80 MPa, 𝜎 K = 60 MPa. 𝜏aB m dB = 364 MPa. • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 74000 MPa, 𝑅D p0,2 • Materialeigenschaft des Klebstoffs: 𝜏aB = 37,1 MPa.

6.2 Übungsaufgaben

171

• Äußere Belastung: 𝐹0 = 5000 N. 6.2.5. Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken unter 3-Punkt-Biegung mit Streckenlast Für den in Abb. 6.22 dargestellten Sandwichbalken sind die entsprechenden Festigkeitsnachweise durchzuführen. Der Sandwich ist aus einem Kunststoffkern, der mit zwei Aluminiumdeckschichten verklebt ist, aufgebaut. Die Dicke der Klebschicht kann bei der Berechnung vernachlässigt werden. Weiterhin soll angenommen werden, dass der Wert der Streckenlast 𝑞0 schon mit einem ausreichenden Sicherheitsfaktor multipliziert ist.

Abb. 6.22 Sandwichbalken unter 3-Punkt-Biegung mit Streckenlast: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2000 mm, 𝑏 = 200 mm, ΔℎK = 100 mm, ΔℎD = 25 mm. • Materialeigenschaften des Kunststoffkerns: 𝐸 K = 1500 MPa, 𝜈 K = 0,4, K = 40 MPa, 𝑅K = 80 MPa, 𝜎 K = 60 MPa. 𝜏aB m dB = 364 MPa. • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 74000 MPa, 𝑅D p0,2 • Materialeigenschaft des Klebstoffs: 𝜏aB = 37,1 MPa. • Äußere Belastung: 𝑞0 = 10 N/mm.

172

6 Grenzbeanspruchung

6.2.6. Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken unter 5-Punkt-Biegung mit Einzellasten Für den in Abb. 6.23 dargestellten Sandwichbalken sind die entsprechenden Festigkeitsnachweise durchzuführen. Der Sandwich ist aus einem Kunststoffkern, der mit zwei Aluminiumdeckschichten verklebt ist, aufgebaut. Die Dicke der Klebschicht kann bei der Berechnung vernachlässigt werden. Weiterhin soll angenommen werden, dass der Wert der Kräfte 𝐹0 schon mit einem ausreichenden Sicherheitsfaktor multipliziert ist.

Abb. 6.23 Sandwichbalken unter 5-Punkt-Biegung mit Einzellasten: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2000 mm, 𝑏 = 200 mm, ΔℎK = 100 mm, ΔℎD = 25 mm. • Materialeigenschaften des Kunststoffkerns: 𝐸 K = 1500 MPa, 𝜈 K = 0,4, K = 40 MPa, 𝑅K = 80 MPa, 𝜎 K = 60 MPa. 𝜏aB m dB = 364 MPa. • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 74000 MPa, 𝑅D p0,2 • Materialeigenschaft des Klebstoffs: 𝜏aB = 37,1 MPa. • Äußere Belastung: 𝐹0 = 2500 N.

6.2 Übungsaufgaben

173

6.2.7. Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken unter 5-Punkt-Biegung mit Streckenlasten Für den in Abb. 6.24 dargestellten Sandwichbalken sind die entsprechenden Festigkeitsnachweise durchzuführen. Der Sandwich ist aus einem Kunststoffkern, der mit zwei Aluminiumdeckschichten verklebt ist, aufgebaut. Die Dicke der Klebschicht kann bei der Berechnung vernachlässigt werden. Weiterhin soll angenommen werden, dass der Wert der Streckenlast 𝑞0 schon mit einem ausreichenden Sicherheitsfaktor multipliziert ist.

Abb. 6.24 Sandwichbalken unter 5-Punkt-Biegung mit Streckenlasten: (a) Randbedingungen und äußere Lasten; (b) Balkenquerschnitt Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2000 mm, 𝑏 = 200 mm, ΔℎK = 100 mm, ΔℎD = 25 mm. • Materialeigenschaften des Kunststoffkerns: 𝐸 K = 1500 MPa, 𝜈 K = 0,4, K = 40 MPa, 𝑅K = 80 MPa, 𝜎 K = 60 MPa. 𝜏aB m dB = 364 MPa. • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 74000 MPa, 𝑅D p0,2 • Materialeigenschaft des Klebstoffs: 𝜏aB = 37,1 MPa. • Äußere Belastung: 𝑞0 = 5 N/mm. 6.2.8. Globales Instabilitätsversagen eines beidseitig eingespannten Sandwichbalkens unter Druckbelastung Für den in Abb. 6.25 dargestellten Sandwichbalken leite man die Knickkraft unter der Annahme dünner Deckschichten und weichen Kerns ab. Man vergleiche das Ergebnis mit der klassischen Lösung nach Euler für den 4. Lagerfall.

174

6 Grenzbeanspruchung

Abb. 6.25 Globales Instabilitätsversagen eines beidseitig eingespannten Sandwichbalkens unter Druckbelastung

6.2.9. Instabilitätsversagen eines beidseitig gelenkig gelagerten Sandwichbalkens unter Druckbelastung Für den in Abb. 6.26 dargestellten Sandwichbalken berechne man die kritischen Spannungen für globales und lokales Instabilitätsversagen unter der Annahme dünner Deckschichten und weichen Kerns. Weiterhin skizziere man den Verlauf der globalen Knickspannung als Funktion der Balkenlänge 𝐿.

Abb. 6.26 (a) Beidseitig gelenkig gelagerte Sandwichbalken unter Druckbelastung; (b) Balkenquerschnitt

Literaturverzeichnis

175

Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2000 mm, 𝑏 = 200 mm, ΔℎK = 100 mm, ΔℎD = 5 mm. • Materialeigenschaften des isotropen Kerns: 𝐸 K = 200 MPa, 𝜈 K = 0,4. • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 74000 MPa.

Literaturverzeichnis Allen, H, G.: Optimum Design of Sandwich Struts and Beams. In: Plastics in Building Structures, Proceedings of a Conference Held in London, 14–16 June 1965. Oxford: Pergamon Press, 1966 Allen, H, G.: Analysis and Design of Structural Sandwich Panels. Oxford: Pergamon Press, 1969 Gough, G, S., Elam, C, F., Tipper, G, H., De Bruyne, N, A.: The Stabilisation of a Thin Sheet by a Continuous Supporting Medium. In: J R Aeronaut Soc 44 (1940), Heft 349, S. 12–43 Hoff, N, J., Mautner, S, E.: The Buckling of Sandwich-Type Panels. In: J Aeronaut Sci 12 (1945), Heft 3, S. 285–297 Plantema, F, J.: Sandwich Construction: the Bending and Buckling of Sandwich Beams, Plates, and Shells. New York: John Wiley & Sons, 1966 da Silva, L, F, M., Öchsner, A., Adams, R.: Handbook of Adhesion Technology. Cham: Springer, 2018 Stamm, K., Witte, H.: Sandwichkonstruktionen. Wien: Springer-Verlag, 1974

177

Kapitel 7

Optimierung

Zusammenfassung In diesem Kapitel werden die Grundlagen zum Stoff- und Formleichtbau weiter vertieft. Insbesondere werden Ansätze zur Optimaldimensionierung von Sandwichbalken diskutiert. Bei der vorgestellten Optimierungsstrategie wird zwischen Zug- und Druckbelastung beziehungsweise Biegung unterschieden.

7.1 Optimaldimensionierung von Sandwichbalken 7.1.1 Zug- oder Druckbelastung Die folgenden Ableitungen zur Optimierung eines Sandwichbalkens unter Zug- oder Druckbelastung sind auf Sandwichbalken mit dünnen Deckschichten und weichem Kern beschränkt. Eine ausführliche Darstellung ist in Allen (1966) zu finden. Die allgemeine Konfiguration mit den verwendeten geometrischen Abmessungen kann Abb. 7.1 entnommen werden.

Abb. 7.1 Sandwichbalken unter Druckbelastung: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Balkenquerschnitt

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 A. Öchsner, Stoff- und Formleichtbau, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1_7

178

7 Optimierung

Bei reiner Zugbelastung ergibt sich für einen technischen Sandwichbalken nur eine Zugspannung in beiden Deckschichten (siehe Abb. 5.14). Somit ergibt sich, dass die wirkende Kraft 𝐹 folgender Bedingung folgen muss: 𝐹 ≤ 2𝑏ΔℎD 𝑅p0,2 .

(7.1)

Der Fall der Druckbelastung ist wesentlich komplexer, da hier globales Knicken (siehe Unterkapitel 6.1.1), lokales Knittern (siehe Unterkapitel 6.1.4 und 6.1.5) und Fließversagen (siehe Unterkapitel 5.5.2) auftreten kann. Globales Knicken unter Druckbelastung tritt nach Gl. (6.19) bei folgender kritischen Kraft auf: 𝐹KE

𝐹=

1+ wobei es sich bei 𝐹KE =

𝜋 2 𝐸𝐼 𝐿2

𝑦

mit 𝐸𝐼𝑦 ≈

𝐹KE

,

(7.2)

𝐴𝐺K

𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 2

um die Knickkraft nach Euler 𝑏ℎ2

für homogene Balken handelt und die Fläche nach Gl. (5.103) als 𝐴 = ΔℎcK ≈ 𝑏ℎc gegeben ist. Für die weiteren Ableitungen wird diese Approximation weiter zu 𝐴 ≈ 𝑏ΔℎK vereinfacht1 (siehe Abb. 7.2).

Abb. 7.2 Approximation der Schubfläche: (a) 𝐴 ≈ 𝑏Δℎc und (b) 𝐴 ≈ 𝑏ΔℎK Das Versagen der Deckschichten tritt bei folgender Kraft auf: 𝐹 = 2𝑏ΔℎD 𝜎cr ,

(7.3)

wobei für die kritische Spannung 𝜎cr der kleinere Wert der 0,2-%-Dehngrenze (𝑅p0,2 ) oder der Knitterspannung zu verwenden ist. Zur Vereinfachung der folgenden Ablei( )1∕3 tungen wird die Knitterspannung nach Gl. (6.31) mittels 𝜎cr ≈ 12 × 𝐸 D 𝐸 K 𝐺K 1

Dies bedeutet, dass die gesamte Schubspannung nur im Kern wirkt.

7.1 Optimaldimensionierung von Sandwichbalken

179

approximiert. Zur Optimierung einer Sandwichstruktur wird in der Regel das Gewicht auf ein Minimum reduziert. Die Gesamtmasse setzt sich hierbei anteilsmäßig aus den Deckschichten und dem Kern zusammen: 𝑚 = 𝜚𝑉

(7.4)

= 𝜚K 𝑉 K + 𝜚D 𝑉 D = 𝜚K ΔℎK 𝑏𝐿 + 𝜚D 2ΔℎD 𝑏𝐿 ( ) = 𝑏 𝜚K ΔℎK 𝐿 + 𝜚D 2ΔℎD 𝐿 ,

(7.5) (7.6)

beziehungsweise als längenbezogene Masse: 𝑚

( ) (7.7) = 𝑏 𝜚K ΔℎK + 𝜚D 2ΔℎD . 𝐿 Ersetzt man in Gl. (7.7) die volumenbezogene Masse, d. h. die Dichte, durch die volumenbezogenen Kosten von Kern und Deckschicht, kann 𝑚n als längenbezogener Preis des Sandwichbalkens interpretiert werden. 𝑚n =

Verwendet man die längenspezifischen Normierungen für die Deckschicht, d. h. ΔℎD,n = ΔℎD ∕𝐿, und den Kern, d. h. ΔℎK,n = ΔℎK ∕𝐿, können Gln. (7.2), (7.3) und (7.7) wie folgt formuliert werden: 𝐹KE 1+ ΔℎD (ΔℎK )2 𝐿2 ×𝐿 2

𝜋2 𝐸D

𝑔1

(

+

𝐹KE

(7.8)

≥𝐹

(7.9)

𝐴𝐺K

× 𝑏𝐿

ΔℎD ΔℎK 𝐿2

≥𝐹

1 𝐺K ) K,n 2

×

( D,n Δℎ Δℎ 𝐹 ) ≥ ΔℎD,n , ΔℎK,n = , 2 ΔℎD,n ΔℎK,n 𝑏𝐿 + 2 D K 𝜋 𝐸 𝐺

(7.10)

beziehungsweise Gl. (7.3) 𝐹 ( ) , 𝑔2 ΔℎD,n , ΔℎK,n = 2ΔℎD,n 𝜎cr ≥ 𝑏𝐿

(7.11)

beziehungsweise Gl. (7.7) 𝑚 𝑚n ( K K,n ( ) ) 𝑓 ΔℎD,n , ΔℎK,n = = = 𝜚 Δℎ + 2𝜚D ΔℎD,n . 𝑏𝐿 𝑏

(7.12)

180

7 Optimierung

( ) Gleichung (7.12), d.h. 𝑓 ΔℎD,n , ΔℎK,n , kann hierbei als Zielfunktion aufgefasst ( ) ( ) werden, die es unter den Nebenbedingungen 𝑔1 ΔℎD,n , ΔℎK,n und 𝑔2 ΔℎD,n , ΔℎK,n zu minimieren gilt. Eine graphische Darstellung der Zielfunktion 𝑓 in Abb 7.3 zeigt, dass es sich um eine schiefe Ebene (𝑂𝐴𝐵𝐶) durch den Ursprung handelt.

( ) Abb. 7.3 Schematische Darstellung der Zielfunktion 𝑓 ΔℎD,n , ΔℎK,n . In Anlehnung an Allen (1966) Die Nebenbedingungen 𝑔𝑖 nach Gln. (7.10) und (7.11) können zur Veranschaulichung zuerst in einem ΔℎK,n -ΔℎD,n Koordinatensystem dargestellt werden. Dazu werden beide Gleichungen nach ΔℎD,n aufgelöst:

Δℎ

D,n

≥

ΔℎD,n ≥

𝐹 𝑏𝐿

×

2 𝜋2 𝐸D

( ΔℎK,n ΔℎK,n − 𝐹 2𝑏𝐿𝜎cr

.

𝐹 𝑏𝐿

×

1 𝐺K

),

(7.13)

(7.14)

Abbildung 7.4 zeigt den Verlauf der beiden Grenzkurven 𝑔1 und 𝑔2 in der ΔℎK,n ΔℎD,n Ebene. Der graue Bereich ist hierbei der gemeinsame zulässige Bereich. Überträgt man die Grenzkurven aus Abb. 7.4 in die dreidimensionale Darstellung von Abb. 7.3 und projiziert man beide Kurven auf die schiefe Ebene 𝑓 , so ergibt sich Abb. 7.5.

Normalisierte Deckschichtdicke ΔℎD,n

7.1 Optimaldimensionierung von Sandwichbalken

181

zulässiger Bereich

𝑔2

Fließen / Knittern 𝑔1 Knicken

0

0

Normalisierte Kerndicke ΔℎK,n

Abb. 7.4 Normalisierte Deckschichtdicke als Funktion der normalisierten Kerndicke basierend auf den Funktionen 𝑔1 und 𝑔2 nach Gln. (7.10) und (7.11). Nur Bereiche oberhalb der beiden Nebenbedingungen sind zulässig

Die Punkte, die entlang der Kurve 𝐷′ 𝐸 ′ 𝐹 ′ auf der schiefen Ebene liegen, können wie folgt ausgedrückt werden: Aus der ersten Nebenbedingung in der Formulierung von Gl. (7.13) ergibt sich Δℎ

D,n

≥

2 𝜋2 𝐸D

( ΔℎK,n ΔℎK,n ×

𝑏𝐿 𝐹

−

1 𝐺K

).

(7.15)

Setzt man diese Beziehung in die Zielfunktion 𝑓 nach Gl. (7.12) ein, ergibt sich ) ( 𝑓 ΔℎK,n = 2𝜚D

(

2 𝜋2 𝐸D

ΔℎK,n ΔℎK,n × = ΔℎK,n

𝑏𝐿 𝐹

−

(

4𝜚D 𝜋2 𝐸D

ΔℎK,n

×

𝑏𝐿 𝐹

−

1 𝐺K

1 𝐺K

) + 𝜚K ΔℎK,n

) + 𝜚K ΔℎK,n .

(7.16)

(7.17)

( ) Der schematische Verlauf der Funktion 𝑓 ΔℎK,n ist in Abb. 7.6 dargestellt. Ziel ) zu bestimmen, der Optimierung ist es nun, das Minimum im Punkt 𝐺(𝑓𝐺 , ΔℎK,n 𝐺 um das Gewicht oder die Kosten zu minimieren. Dieses Minimum kann mittels der Bedingung ( ) 𝜕𝑓 ΔℎK,n ! =0 (7.18) 𝜕ΔℎK,n

182

7 Optimierung

( ) Abb. 7.5 Schematische Darstellung der Zielfunktion 𝑓 ΔℎD,n , ΔℎK,n und der Ne( D,n ) ( ) benbedingungen 𝑔1 Δℎ , ΔℎK,n und 𝑔2 ΔℎD,n , ΔℎK,n . In Anlehnung an Allen (1966)

ermittelt werden2 . Zu beachten ist jedoch, ob das Minimum 𝐺 auch im zulässigen Bereich liegt, siehe Abb. 7.5. Zur Beurteilung der Zulässigkeit des Punktes 𝐺 sind zwei Fälle zu unterscheiden. ≤ ΔℎK,n , d. h. der Punkt 𝐺 liegt auf dem monoton fallenden Im Falle von ΔℎK,n 𝐺 𝐸 ′ Kurvenabschnitt 𝐷 𝐸 ′ , ist der Optimalpunkt gefunden, da beide Nebenbedingungen > ΔℎK,n liegt der Punkt 𝑔1 und 𝑔2 erfüllt werden. Für den zweiten Fall mit ΔℎK,n 𝐺 𝐸 ′ ′ auf dem monoton fallenden Kurvenabschnitt 𝐹 𝐸 . Hier ist jedoch nur die Nebenbedingung 𝑔1 erfüllt. Der nächste Punkt mit minimalem Funktionswert von 𝑓 ist 𝐸, d. h. der Schnittpunkt der beiden Nebenbedingungen. Daher ist in diesem Fall der Punkt 𝐸 der Optimalpunkt mit minimalem Gewicht. Diese beiden Sachverhalte sind nochmal im ΔℎK,n -ΔℎD,n Koordinatensystem vergleichend in Abb. 7.7 dargestellt. Um die Fallunterscheidung bezüglich des Punktes 𝐸 durchführen zu können, sind dessen Koordinaten in allgemeiner Darstellung hilfreich. Der Schnittpunkt 𝐸 der Nebenbedingungen 𝑔1 und 𝑔2 im ΔℎK,n -ΔℎD,n Koordinatensystem ergibt sich durch Gleichsetzen von Gln. (7.13) und (7.14), d. h.

2 Im Anhang 10.2 ist ein Python3-Programm bereitgestellt, um die Auswertung von Gl. (7.18) automatisiert durchzuführen.

Normalisierte Zielfunktion 𝑓 (ΔℎK,n )

7.1 Optimaldimensionierung von Sandwichbalken

183

𝐺 0

0

Normalisierte Kerndicke ΔℎK,n

Abb. 7.6 Normalisierte Zielfunktion in Abhängigkeit der normalisierten Kerndicke

(

𝐹 𝑏𝐿

×

2 𝜋2 𝐸D

)=

𝐹

𝐹 2𝑏𝐿𝜎cr ΔℎK,n ΔℎK,n − 𝑏𝐿 × 𝐺1K 𝐸 𝐸 )2 ( )2 ( 𝐹 𝐹 4𝜎cr ⇔ ΔℎK,n − = + 𝐸 K K 2𝑏𝐿𝐺 2𝑏𝐿𝐺 𝜋2𝐸D √ √( )2 √ √ 𝐹 4𝜎cr 𝐹 K,n ⇒ Δℎ𝐸 = √ + + , 2𝑏𝐿𝐺K 2𝑏𝐿𝐺K 𝜋2𝐸D

(7.19)

(7.20)

(7.21)

beziehungsweise als vollständige Koordinaten des Punktes 𝐸: (

𝐸 ΔℎK,n , ΔℎD,n 𝐸 𝐸

)

√ )2 ⎛√ ⎞ √( 𝐹 4𝜎cr 𝐹 𝐹 ⎟ ⎜√ = ⎜√ + + , ⎟. 2𝑏𝐿𝐺K 2𝑏𝐿𝐺K 2𝑏𝐿𝜎cr ⎟ 𝜋2𝐸D ⎜ ⎝ ⎠

(7.22)

184

7 Optimierung

Normalisierte Deckschichtdicke ΔℎD,n

(a)

zulässiger Bereich

× 𝐺× 𝐸

𝑔2

𝑔1 ΔℎK,n < ΔℎK,n 𝐺 𝐸 0

0

Normalisierte Kerndicke ΔℎK,n

Normalisierte Deckschichtdicke ΔℎD,n

(b)

zulässiger Bereich

×𝐺

×𝐸

𝑔2

𝑔1 ΔℎK,n > ΔℎK,n 𝐺 𝐸 0

0

Normalisierte Kerndicke ΔℎK,n

Abb. 7.7 Bestimmung des Optimalpunktes im ΔℎK,n -ΔℎD,n Koordinatensystem: (a) ≤ ΔℎK,n , (b) Punkt 𝐸 für ΔℎK,n > ΔℎK,n Punkt 𝐺 für ΔℎK,n 𝐺 𝐸 𝐺 𝐸

7.1.2 Biegebelastung Die folgenden Ableitungen zur Optimierung eines Sandwichbalkens unter Biegebelastung sind wieder auf Sandwichbalken mit dünnen Deckschichten und weichem Kern beschränkt. Eine ausführliche Darstellung ist in Allen (1966) zu finden. Die allgemeine Konfiguration mit den verwendeten geometrischen Abmessungen kann Abb. 7.8 entnommen werden. Zu beachten ist hierbei, dass die äußeren Lasten (z. B. Einzelkräfte oder verteilte Lasten) nicht eingezeichnet wurden, da sie fallspezifisch sind.

7.1 Optimaldimensionierung von Sandwichbalken

185

Abb. 7.8 Sandwichbalken zur Optimierung unter Biegebelastung: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Balkenquerschnitt

Bei einer Biegebelastung kann in den druckbelasteten Deckschichten lokales Knittern (siehe Unterkapitel 6.1.3) und/oder Fließversagen im Zug- oder Druckbereich (siehe Unterkapitel 5.5.1) auftreten. Damit kein Versagen der Deckschichten auftritt, muss folgende Beziehung (siehe Gl. (5.49))erfüllt sein: 𝑀𝑦,max

< 𝜎cr , (7.23) 𝑏ΔℎD ΔℎK wobei für die kritische Spannung 𝜎cr der kleinere Wert der 0,2-%-Dehngrenze (𝑅p0,2 ) oder der Knitterspannung zu verwenden ist. Zur Vereinfachung der folgenden Ablei( )1∕3 tungen wird die Knitterspannung nach Gl. (6.31) mittels 𝜎cr ≈ 12 × 𝐸 D 𝐸 K 𝐺K approximiert. 𝜎𝑥,D ≈

Damit kein Schubversagen des Kerns oder der Verbindungsschicht zwischen Kern und Deckschicht auftritt, muss folgende Beziehung (siehe Gl. (5.91)) erfüllt sein 𝑄𝑧,max

< 𝜏p , (7.24) 𝑏ΔℎK wobei 𝜏p die Schubfließgrenze des Kerns oder die Scherfließgrenze der Zwischenschicht (siehe Tabelle 6.3 für Klebstoffe) darstellt. 𝜏𝑧𝑥,K ≈

Oft wird auch eine Maximaldurchbiegung als Randbedingung vorgegeben. Nach der Methode der Partialdurchsenkungen müssen dazu zwei Differenzialgleichungen (siehe Tabelle 5.6) gelöst werden und der Ausdruck für die Durchbiegung hängt von den Rand- und Belastungsbedingungen ab. Für den speziellen Fall eines Sandwichbalkens unter 3-Punkt-Biegung mit Einzellast in der Mitte (siehe Abb. 5.19) ergibt

186

7 Optimierung

sich die Maximaldurchsenkung nach Gl. (5.110). Wird der Grenzwert als Bruchteil der Balkenlänge als 𝑟1 𝐿 angegeben, ergibt sich als weitere Nebenbedingung:3 𝐹 𝐿3 48𝐸𝐼𝑦

+

𝐹𝐿 4𝐴𝐺K

< 𝑟1 𝐿 ,

(7.25)

beziehungsweise mit 𝐸𝐼𝑦 ≈ 𝐸 D 𝑏ΔℎD (ℎc )2 ∕2 und 𝐴 = 𝑏ℎ2c ∕ΔℎK ≈ 𝑏ℎc oder mit den zusätzlichen Vereinfachungen ℎc ≈ ΔℎK , d.h. 𝐸𝐼𝑦 ≈ 𝐸 D 𝑏ΔℎD (ΔℎK )2 ∕2 und 𝐴 ≈ 𝑏ΔℎK : 2𝐹 𝐿3 48𝐸 D 𝑏ΔℎD (ΔℎK )2

+

𝐹𝐿 4𝑏ΔℎK 𝐺K

< 𝑟1 𝐿 .

(7.26)

Zur Optimierung einer Sandwichstruktur wird auch hier in der Regel das Gewicht auf ein Minimum reduziert. Die Gesamtmasse setzt sich hierbei anteilsmäßig aus den Deckschichten und dem Kern zusammen, siehe Gl. (7.4): ) ( 𝑚 = 𝜚𝑉 = 𝑏 𝜚K ΔℎK 𝐿 + 𝜚D 2ΔℎD 𝐿 ,

(7.27)

beziehungsweise als längenbezogene Masse: 𝑚n =

𝑚

( ) = 𝑏 𝜚K ΔℎK + 𝜚D 2ΔℎD .

(7.28) 𝐿 Ersetzt man in Gl. (7.28) die volumenbezogene Masse, d. h. die Dichte, durch die volumenbezogenen Kosten von Kern und Deckschicht, kann 𝑚n als längenbezogener Preis des Sandwichbalkens interpretiert werden. Verwendet man wieder die längenspezifischen Normierungen ΔℎD,n = ΔℎD ∕𝐿 und ΔℎK,n = ΔℎK ∕𝐿, können Gln. (7.23), (7.24), (7.26) und (7.28) wie folgt formuliert werden: ∙ Nebenbedingungen 𝑔𝑖 :

𝑔1 (ΔℎK,n , ΔℎD,n ) =

𝑀𝑦,max

< 𝜎cr , ΔℎK,n ΔℎD,n 𝑏𝐿2 𝑄𝑧,max 𝑔2 (ΔℎK,n , ΔℎD,n ) = < 𝜏p , ΔℎK,n 𝑏𝐿 2𝐹 𝐹 + < 𝑟1 . 𝑔3 (ΔℎK,n , ΔℎD,n ) = D D,n K,n 2 4𝑏𝐿𝐺K ΔℎK,n 48𝐸 𝑏𝐿Δℎ (Δℎ )

(7.29) (7.30) (7.31)

3 Die Kraft 𝐹 wurde hierbei in positive 𝑧-Richtung angenommen, um das Minuszeichen in Gl. (5.110) zu vermeiden.

7.1 Optimaldimensionierung von Sandwichbalken

187

∙ Zielfunktion 𝑓 : 𝑚 𝑚n ) ( (7.32) = = 𝜚K ΔℎK,n + 2𝜚D ΔℎD,n . 𝑓 ΔℎD,n , ΔℎK,n = 𝑏𝐿 𝑏 Die Nebenbedingungen 𝑔𝑖 nach Gln. (7.29)– (7.31) können zur Veranschaulichung wieder in einem ΔℎK,n -ΔℎD,n Koordinatensystem dargestellt werden. Dazu werden die drei Gleichungen nach ΔℎD,n aufgelöst:

𝑔1 ∶

ΔℎD,n 𝑔 >

𝑔2 ∶

ΔℎK,n 𝑔

𝑔3 ∶

ΔℎD,n 𝑔3

1

2

𝑀𝑦,max

𝑏𝐿2 𝜎cr ΔℎK,n 𝑄𝑧,max > , 𝑏𝐿𝜏p >

,

2𝐹 48𝐸 D 𝑏𝐿(ΔℎK,n )2 𝑟1 − 4𝑏𝐿𝐺𝐹K ΔℎK,n

(7.33) (7.34) .

(7.35)

Abbildung 7.9 zeigt den Verlauf der drei Grenzkurven 𝑔1 , 𝑔2 und 𝑔3 in der ΔℎK,n ΔℎD,n Ebene. Der graue Bereich ist hierbei der gemeinsame zulässige Bereich. Die Pole der Grenzkurve 𝑔3 sind hierbei ΔℎK,n = 0 und ΔℎK,n =

𝐹 4𝑏𝐿𝐺K 𝑟1

.

(7.36)

Zu beachten ist hierbei, dass für 𝑔3 der Fall eines Sandwichbalkens unter 3-PunktBiegung mit Einzellast in der Mitte angenommen wurde4 und sich somit |𝑀𝑦,max | = 𝐹 𝐿∕4 und |𝑄𝑧,max | = 𝐹 ∕2 ergibt. Die Schnittpunkte der Nebenbedingungskurven (siehe Abb. 7.9) können wie folgt bestimmt werden: Der Punkt 𝐸 ergibt sich als Schnittpunkt der Grenzkurven 𝑔1 und 𝑔2 zu: ( ) ) ( | 𝑀𝑦,max 𝜏p 𝑄 𝑥,max | | = 𝐸 = ΔℎK,n . | ΔℎD,n | 𝐸 | 𝐸 𝑏𝐿𝜏p || 𝑄𝑧,max 𝐿𝜎cr

(7.37)

Der Punkt 𝐴 ergibt sich als Schnittpunkt der Grenzkurven 𝑔1 und 𝑔3 zu:

4 Es wird an dieser Stelle nochmals darauf hingewiesen, dass Gln. (7.26) und (7.35) dieser Annahme unterliegen und für andere Fälle, d. h. Lager und Belastungen, angepasst werden müssen.

7 Optimierung

g3

g1

uz,max

zulässiger Bereich ×D

Fließen / Knittern

×C × B × ×A E Pol von g3

Normalisierte Deckschichtdicke ΔhD,n

188

g2 Schub

0 Normalisierte Kerndicke ΔhK,n

Abb. 7.9 Normalisierte Deckschichtdicke als Funktion der normalisierten Kerndicke basierend auf den Funktionen 𝑔1 , 𝑔2 und 𝑔3 nach Gln. (7.33)– (7.35). Nur die Bereiche oberhalb der beiden Nebenbedingungen 𝑔1 und 𝑔3 und rechts von 𝑔2 sind zulässig ) ( | D,n 𝐴 = ΔℎK,n Δℎ | 𝐴 | 𝐴 ( )| ( 2 𝑟1 𝑀𝑦,max 2𝐿𝜎cr 𝑀𝑦,max | 𝐹 | = + ( | D K 2𝐿𝜎cr 𝑀𝑦,max 𝑟1 48𝐸 4𝑏𝐿𝐺 | 𝐹 𝑏𝐿2 𝜎 | cr 48𝐸 D +

⎞ ⎟ ) . 𝑀𝑦,max ⎟ ⎟ 4𝑏𝐿𝐺K ⎠

(7.38)

Der Punkt 𝐷 ergibt sich als Schnittpunkt der Grenzkurven 𝑔2 und 𝑔3 zu: ) ( | D,n = 𝐷 = ΔℎK,n Δℎ | 𝐷 | 𝐷

(

⎞ ⎟ )⎟ . ⎟ 𝑧,max ⎠

2𝑏𝐿𝐹 𝜏p2 𝑄𝑥,max || | ( 𝐹 𝜏p 𝑏𝐿𝜏p || 48𝐸 D 𝑄2 𝑧,max 𝑟1 − 4𝐺K 𝑄

(7.39)

Das Minimum 𝐶 der Zielfunktion 𝑓 entlang der Nebenbedingungen 𝑔3 für 𝑢𝑧,max ergibt sich durch Einsetzen von ΔℎD,n 𝑔3 nach Gl. (7.35) in die Zielfunktion (7.32), d. h.

7.1 Optimaldimensionierung von Sandwichbalken

189

( ) 𝑓 ΔℎK,n = 𝜚K ΔℎK,n + 2𝜚D ΔℎD,n = 𝜚 Δℎ K

K,n

2𝐹 D K,n 2 D 48𝐸 𝑏𝐿(Δℎ ) + 2𝜚 𝐹 𝑟1 − 4𝑏𝐿𝐺K ΔℎK,n

,

(7.40)

und anschließendes Differenzieren nach der Variablen ΔℎK,n : 𝜕𝑓 (ΔℎK,n ) 𝜕ΔℎK,n

!

= 0 ⇒ ΔℎK,n . 𝐶

(7.41)

Die Bestimmung der Nullstelle kann zum Beispiel mittels des Newton-Verfahrens numerisch durchgeführt werden. Anschließend ergeben sich ( ) mittels Gl. (7.35) die K,n | D,n Koordinaten des gesuchten Punktes: 𝐶 = Δℎ𝐶 | Δℎ𝐶 . | Das Minimum 𝐵 der Zielfunktion 𝑓 entlang der Nebenbedingungen 𝑔1 für Fließen/Knittern ergibt sich durch Einsetzen von ΔℎD,n 𝑔1 nach Gl. (7.33) in die Zielfunktion (7.32), d. h. ( ) 𝑓 ΔℎK,n = 𝜚K ΔℎK,n + 2𝜚D ΔℎD,n = 𝜚K ΔℎK,n + 2𝜚D

𝑀𝑦,max 𝑏𝐿2 𝜎cr ΔℎK,n

,

(7.42)

und anschließendes Differenzieren nach der Variablen ΔℎK,n : 𝜕𝑓 (ΔℎK,n ) 𝜕ΔℎK,n

= 𝜚K − 2𝜚D

𝑀𝑦,max ! ( )2 = 0 . 𝑏𝐿2 𝜎cr ΔℎK,n

(7.43)

Die letzte Gleichung lässt sich nach der gesuchten Größe, d. h. ΔℎK,n , umstellen und der gesuchte Punkt ergibt sich abschließend zu:

𝐵=

√

(

ΔℎK,n 𝐵

) ⎛ | =⎜ | ΔℎD,n 𝐵 | ⎜ ⎝

𝑀𝑦,max || | 2× K× 𝜚 𝑏𝐿2 𝜎cr || | 𝜚D

√ 1 2

×

𝜚K 𝜚

× D

𝑀𝑦,max ⎞ ⎟. 𝑏𝐿2 𝜎cr ⎟ ⎠

(7.44)

Je nach Lage dieser Punkte zueinander5 , können verschiedene Fälle unterschieden werden, siehe Abb. 7.10. Für die Fälle 1–3 nach Abb. 7.10a gilt, dass der zweite Pol der Grenzkurve 𝑔3 (siehe Gl. (7.36)) rechts von Grenzkurve 𝑔2 liegt (siehe Gl. (7.34)): 𝐹 4𝑏𝐿𝐺K 𝑟

> 1

𝑄𝑧,max 𝑏𝐿𝜏p

.

(7.45)

5 Im Anhang 10.2 ist ein Python3-Programm bereitgestellt, um die Auswertung der Punkte 𝐴–𝐸 automatisiert durchzuführen.

190

7 Optimierung

Hierbei können folgende Fälle unterschieden werden: < ΔℎK,n , d. h. das Minimum existiert auf der Grenzkurve Fall 1: Es gilt ΔℎK,n 𝐶 𝐴 𝑔3 für die Durchbiegung. > ΔℎK,n , d. h. das Minimum existiert auf der Grenzkurve Fall 2: Es gilt ΔℎK,n 𝐵 𝐴 𝑔1 für Fließen/Knittern. Fall 3: Es gilt ΔℎK,n ≮ ΔℎK,n und ΔℎK,n ≯ ΔℎK,n , d. h. kein Minimum existiert 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 auf den Grenzkurven. Optimalpunkt ist durch 𝐴 repräsentiert (simultanes Fließen/Knittern und Durchbiegungslimit). Für die Fälle 4–7 nach Abb. 7.10b gilt, dass der zweite Pol der Grenzkurve 𝑔3 (siehe Gl. (7.36)) links von Grenzkurve 𝑔2 liegt (siehe Gl. (7.34)) und weiterhin beide Geraden links des Punktes 𝐴 (siehe Gl. (7.38)) liegen: 𝐹 4𝑏𝐿𝐺K 𝑟


ΔℎK,n , d. h. das Minimum existiert auf der Grenzkurve Fall 5: Es gilt ΔℎK,n 𝐵 𝐴 𝑔1 für Fließen/Knittern. Falls weder Fall 4 noch Fall 5 anwendbar ist, repräsentiert entweder 𝐴 oder 𝐷 den Optimalpunkt: Fall 6: Punkt 𝐴 repräsentiert das Optimum (simultanes Fließen/Knittern und Durchbiegungslimit). Fall 7: Punkt 𝐷 repräsentiert das Optimum (simultanes Schubversagen und Durchbiegungslimit). Für die Fälle 8–9 nach Abb. 7.10c gilt, dass die Grenzkurve 𝑔2 (siehe Gl. (7.34)) rechts des Punktes 𝐴 (siehe Gl. (7.38)) liegt: 𝑄𝑧,max 𝑏𝐿𝜏p

> ΔℎK,n . 𝐴

(7.47)

Hierbei können folgende Fälle unterschieden werden: > ΔℎK,n , d. h. das Minimum existiert auf der Grenzkurve Fall 8: Es gilt ΔℎK,n 𝐵 𝐸 𝑔1 für Fließen/Knittern. < ΔℎK,n , d. h. kein Minimum existiert auf den GrenzkurFall 9: Es gilt ΔℎK,n 𝐵 𝐸 ven. Optimalpunkt ist durch 𝐸 repräsentiert (simultanes Fließen/Knittern und Schubversagen). Angemerkt sei hier, dass die Fälle 1 und 2 beziehungsweise 4 und 5 auch simultan auftreten könnten.

7.1 Optimaldimensionierung von Sandwichbalken

191

g3 uz,max g1 Fließen / Knittern

zulässiger Bereich

×E

0

×C Pol von g3

Normalisierte Deckschichtdicke ΔhD,n

(a)

g2 Schub

×A

×B

Normalisierte Kerndicke ΔhK,n

g3

g1

uz,max

zulässiger Bereich ×D

Fließen / Knittern

×C × E ×A Pol von g3

Normalisierte Deckschichtdicke ΔhD,n

(b)

× B

g2 Schub

0 Normalisierte Kerndicke ΔhK,n

zulässiger Bereich

g3 uz,max

g1 Fließen / Knittern Pol von g3

Normalisierte Deckschichtdicke ΔhD,n

(c)

×A

E B × × ×D Schub g2

0 Normalisierte Kerndicke ΔhK,n

Abb. 7.10 Optimierungsbereiche für Sandwich unter Biegebelastung: (a) Fall 1–3, (b) Fall 4–7, (c) Fall 8–9

192

7 Optimierung

7.2 Übungsaufgaben 7.2.1. Optimierung der Geometrie eines Sandwichbalkens unter Druckbelastung Für den in Abb. 7.11 dargestellten Sandwichbalken optimiere man die Kern- und Deckschichtdicken unter der Annahme dünner Deckschichten und weichen Kerns.

Abb. 7.11 Optimierung eines Sandwichbalkens unter Druckbelastung: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Balkenquerschnitt

Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2540 mm, 𝑏 = 305 mm. • Materialeigenschaften des Kerns: 𝐸 K = 6,8948 MPa, 𝐺K = 3,4474 MPa, 𝜚K = 240 kg∕m3 . • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 68948 MPa, 𝜚D = 2691 kg∕m3 , = 247 MPa. 𝑅D p0,2 • Belastung: Fall (a): 𝐹 = 2670 N, Fall (b) 10 × 𝐹 = 26700 N. 7.2.2. Optimierung der Geometrie eines Sandwichbalkens unter Biegebelastung durch Einzellast Für den in Abb. 7.12 dargestellten Sandwichbalken optimiere man die Kern- und Deckschichtdicken unter der Annahme dünner Deckschichten und weichen Kerns. Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2540 mm, 𝑏 = 305 mm. • Materialeigenschaften des Kerns: 𝐸 K = 6,8948 MPa, 𝐺K = 3,4474 MPa, 𝜚K = 240 kg∕m3 , 𝜏pK = 𝐸 K ∕50. • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 68948 MPa, 𝜚D = 2691 kg∕m3 , = 247 MPa. 𝑅D p0,2 • Belastung: 𝐹0 = 2667 N. Weiterhin kann für die Maximaldurchbiegung 𝑟1 𝐿 mit 𝑟1 = 0,003 angenommen werden.

7.2 Übungsaufgaben

193

Abb. 7.12 Optimierung eines Sandwichbalkens unter Biegebelastung durch Einzellast: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Balkenquerschnitt

7.2.3. Optimierung der Geometrie eines Sandwichbalkens unter Biegebelastung durch Streckenlast Für den in Abb. 7.13 dargestellten Sandwichbalken optimiere man die Kern- und Deckschichtdicken unter der Annahme dünner Deckschichten und weichen Kerns.

Abb. 7.13 Optimierung eines Sandwichbalkens unter Biegebelastung durch Streckenlast: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Balkenquerschnitt

Gegeben sind: • Geometrische Abmessungen: 𝐿 = 2540 mm, 𝑏 = 305 mm. • Materialeigenschaften des Kerns: 𝐸 K = 6,8948 MPa, 𝐺K = 3,4474 MPa, 𝜚K = 240 kg∕m3 , 𝜏pK = 𝐸 K ∕50. • Materialeigenschaften der Deckschichten: 𝐸 D = 68948 MPa, 𝜚D = 2691 kg∕m3 , = 247 MPa. 𝑅D p0,2 • Belastung: 𝑞0 = 1,05 N∕mm.

194

7 Optimierung

Weiterhin kann für die Maximaldurchbiegung 𝑟1 𝐿 mit 𝑟1 = 0,003 angenommen werden. 7.2.4. Optimierung der Geometrie eines homogenen Balkens unter Biegebelastung durch Einzellast Für den in Abb. 7.14 dargestellten homogenen Balken optimiere man die Abmessungen 𝑏 und ℎ des Querschnitts für minimales Gewicht. Als Nebenbedingungen sind die maximale Normal- und Schubspannung, die maximale Durchbiegung und das maximale Höhen-Breiten-Verhältnis (ℎ ≤ 20𝑏) zur Vermeidung von Instabilitäten zu berücksichtigen.

Abb. 7.14 Optimierung eines homogenen Balkens unter Biegebelastung durch Einzellast: (a) Allgemeine Konfiguration und (b) Balkenquerschnitt Gegeben sind: • Geometrische Abmessung: 𝐿 = 2540 mm. • Materialeigenschaften der Balkens: 𝐸 = 68948 MPa, 𝜚 = 2691 kg∕m3 , 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜏p = 𝑅p0,2 ∕2. • Belastung: 𝐹0 = 2667 N. Weiterhin kann für die Maximaldurchbiegung 𝑟1 𝐿 mit 𝑟1 = 0,03 bzw. 𝑟1 = 0,003 angenommen werden.

Literaturverzeichnis Allen, H, G.: Optimum Design of Sandwich Struts and Beams. In: Plastics in Building Structures, Proceedings of a Conference Held in London, 14–16 June 1965. Oxford: Pergamon Press, 1966

195

Kapitel 8

Weitere Leichtbaukonzepte und Berechnungsmethoden

Zusammenfassung In diesem Kapitel wird kurz auf den Bedingungs-, Fertigungsund Konzeptleichtbau eingegangen. Abschließend wird auf die Wichtigkeit von numerischen Tools bei der Analyse komplexer Strukturen hingewiesen.

8.1 Weitere Leichtbaukonzepte Im Folgenden wird noch kurz auf weitere Leichtbaukonzepte eingegangen, wobei eine ausführliche Darstellung und Behandlung hier nicht vorgesehen ist. • Bedingungsleichtbau: Berücksichtigung von äußeren Einflussfaktoren, Rahmenund Randbedingungen (z. B. Herabsetzung der Lebensdauer), Gesetzgebung, Kosten, Umweltfaktoren, konstruktiven Maßnahmen (z. B. Verkürzung des Hebelarms), sicherheitsrelevanten Aspekten. Abbildung 8.1 erläutert am Beispiel des Kragarms zwei Möglichkeiten, um im Rahmen des Bedingungsleichtbaus das Leichtbaupotenzial zu vergrößern. In der Konfiguration 8.1b kommt es durch eine Reduzierung der Balkenlänge zu einer Gewichtsreduktion, wohingegen bei Konfiguration 8.1c der Querschnitt verkleinert wird und durch eine Stütze die Funktion erhalten bleibt. Bei der konstruktiven Realisierung der Stütze nach Abb. 8.1c ist jedoch zu beachten, ob das Strukturelement auf Zug und/oder Druck belastet wird (siehe Abb. 8.2). Bei einer Druckbelastung muss auch eine mögliche Instabilität (Knicken) berücksichtigt werden. Die Biegelinie des Problems nach Abb. 8.2 kann durch Anpassung der Gln. (2.12) bis (2.15) mittels der speziellen Randbedingung 𝑄𝑧 (𝑥 = 𝐿) = −

𝐸s 𝐴s 𝑢𝑧 (𝑥) 𝐿s

− 𝐹0

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 A. Öchsner, Stoff- und Formleichtbau, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1_8

(8.1)

196

8 Weitere Leichtbaukonzepte und Berechnungsmethoden

Abb. 8.1 Bedingungsleichtbau: (a) Originalkonfiguration; (b) Gewichtsreduktion mittels verkürztem Hebelarm; (c) Stütze

Abb. 8.2 Beispiel Bedingungsleichtbau: Balken mittels Stab unterstützt: (a) Druckstab; (b) Zugstab

zu

𝑢𝑧 (𝑥) =

𝐹0 𝐿3b 3𝐸b 𝐼b

1 2

× 1−

𝐸s 𝐴s 𝐿s

×

[

𝑥 𝐿b

𝐿3b

3𝐸b 𝐼b

]3

[ ]2 − 32 𝐿𝑥 b ( [ ] 3 × 12 𝐿𝑥 − b

3 2

[

𝑥 𝐿b

]2 )

(8.2)

bestimmt werden. Als maximale Durchbiegung ergibt sich hieraus für 𝑥 = 𝐿b : 𝑢𝑧 (𝑥 = 𝐿b ) = −

𝐹0 𝐿3b 3𝐸b 𝐼b +

𝐸s 𝐴s 𝐿s

× 𝐿3b

.

(8.3)

Als Referenzkonfiguration (‘ref’) kann ein Balken ohne Stütze herangezogen werden (siehe Abb. 8.1a). Für einen solchen Kragarm ergibt sich die Durchbiegung — unter Annahme eines Rechteckquerschnitts mit Seitenlänge 𝑎 — am Lastangriffspunkt zu 𝐹 𝐿3b

𝑢𝑧 (𝐿b ) = − 3𝐸0

b 𝐼b

=−

4𝐹0 𝐿3b 𝐸b 𝑎 4

.

(8.4)

Durch Verwendung der Stütze (‘s’) am Balkenende kann der ursprüngliche Balkenquerschnitt auf 𝛼𝑎 mit 𝛼 < 1 verkleinert werden. Fordert man, dass beide Konfigurationen die gleiche Durchbiegung bei 𝑥 = 𝐿b aufweisen sollen, ergibt sich folgende Bedingung: −

𝐹0 𝐿3b 3𝐸b 𝐼b +

𝐸s 𝐴s 𝐿s

!

× 𝐿3b

=−

𝐹0 𝐿3b 3𝐸b 𝐼b

.

(8.5)

8.1 Weitere Leichtbaukonzepte

197

Nimmt man weiterhin einen Stab mit Rechteckquerschnitt mit Seitenlänge 𝑏 = und einer Stablänge von 𝐿s =

𝐿b 3

10𝑎 3

an, ergibt sich für gleiche Materialparameter √ 𝐸s = 𝐸b ein Faktor für die Querschnittsverkleinerung von 𝛼 = 1∕ 2. Vergleicht man die Massen beider Konfigurationen, ergibt sich bei gleichen Materialien: 𝑚bs 𝑚ref

=

𝑎 40

(𝛼𝑎)2 𝐿b + =

( )2 𝑎 40

𝐿b 3

𝑎2 𝐿b

≈ 0,5 .

(8.6)

Ein weiterer Faktor, der im Rahmen des Bedingungsleichtbaus berücksichtigt wird, bezieht sich auf die Materialkosten. Tabelle 8.1 gibt einige Anhaltswerte für die hier betrachteten metallischen Werkstoffe an. In der letzten Spalte wurden die absoluten Kosten mit dem günstigsten Wert normiert und dieses Verhältnis mit 𝑐 ∗ abgekürzt. Somit kann folgende Leichtbaukennzahl eingeführt werden, die sowohl einen mechanischen Materialkennwert als auch die Materialkosten berücksichtigt: 𝑀=

𝐹0 . ∗ 𝑐 𝐹G

(8.7)

Tabelle 8.1 Materialkosten verschiedener Werkstoffe. In Anlehnung an Ashby und Jones (2005) in $ pro Tonne 𝑐 ∗ Edelstahl (austenitisch)

600

1,5

Al-Legierungen

400

1,0

Ti-Legierungen

10000

25

Nimmt man das Beispiel nach Abb. 3.7 als Referenz an, ergibt sich durch Berücksichtigung der Materialkosten eine recht unterschiedliche Empfehlung, siehe Abb. 8.3. Die Ti-Legierung schneidet jetzt am schlechtesten ab und die Al-Legierung erzielt die höchste Leichtbaukennzahl. • Konzeptleichtbau: Anwendung von Differential- und Integralbauweise (Funktionsdiversifikation oder Integration einer bestimmten Anzahl von Funktionen). Abbildung 8.4 zeigt zwei unterschiedliche Ansätze im Rahmen des Konzeptleichtbaus. Konfiguration 8.4a folgt der Differentialbauweise und erzielt ein verbessertes Dämpfungsverhalten durch den Einsatz eines äußeren Dämpfers. Bei Konfiguration 8.4b erfolgt im Rahmen der Integralbauweise eine Verbesserung des Dämpfungsverhaltens durch den Einsatz eines zellularen Werkstoffs als Kernmaterial (siehe Öchsner und Augustin 2009, Altenbach und Öchsner 2010). • Fertigungsleichtbau: Berücksichtigung der unterschiedlichen Herstellungs-, Fertigungsund Montageprozesse.

198

8 Weitere Leichtbaukonzepte und Berechnungsmethoden 3000

Leichtbaukennzahl 𝑀

ohne Kosten mit Kosten

2000

𝑀∼

𝑅𝑝 0,2 𝑐∗ 𝜚

1000

0 St

Al

Ti

Werkstoff

Abb. 8.3 Leichtbaukennzahl für Kragarm aus verschiedenen Werkstoffen bei konstanter Geometrie (𝐿 = 100 mm, ℎ = 𝑏 = 10 mm) mit Spannungskriterium unter Berücksichtigung der Materialkosten (siehe Tabelle 8.1)

Abb. 8.4 Konzeptleichtbau: Unterschiedliche Dämpfungskonzepte (a) Differentialbauweise; (b) Integralbauweise

Hier kann durch den Einsatz modernster Verfahren, wie zum Beispiel generativer oder additiver Fertigungsverfahren (3D-Drucken, siehe Fastermann (2014)), das Leichtbaupotenzial verbessert werden. Im Rahmen dieses Buches wurde eine einfache und umfassende Einführung in die unterschiedlichen Leichtbaukonzepte geboten. Der Schwerpunkt lag hierbei auf den Konzepten, die einen direkten Bezug zur technischen Mechanik und Festigkeitslehre aufweisen. An Hand der Beispiele von eindimensionalen Strukturelementen sollte sichergestellt werden, dass die Theorie auch für Studenten eines BachelorStudienganges der Ingenieurwissenschaften einfach zugänglich ist. Abbildung 8.5 fasst die unterschiedlichen Leichtbaukonzepte zusammen, wobei die blau unterlegten Konzepte im Rahmen dieses Buches näher erläutert wurden.

8.2 Numerische Methoden Es steht außer Frage, dass reale Ingenieurkonstruktionen oft durch komplexere Modelle approximiert werden müssen. Hierbei kann die Definition der Leichtbaukennzahl nach Gl. (3.1) schnell an gewisse Grenzen stoßen. Lastfälle, bei denen simultan

8.2 Numerische Methoden

199

Abb. 8.5 Klassische Leichtbaukonzepte. In Anlehnung an Henning und Moeller (2011)

verschiedene Belastungen wirken (Einzelkräfte und -momente, verteilte Lasten) lassen sich unter Umständen nicht mehr zu einer einzelnen äußeren Kraft (𝐹0 ) zusammenfassen. Als alternatives Konzept wurde daher die spezifische Energieabsorption eingeführt. Die analytischen Lösungen für die unterschiedlichen Balkentheorien nach Gl. (2.15), (2.22)–(2.31) und (2.31)–(2.32) können nur auf einfache Probleme angewendet werden. Für komplexere Strukturen und Fragestellungen haben sich heutzutage numerische Näherungsverfahren durchgesetzt, wobei die Finite-Elemente-Methode das Standardwerkzeug im Bereich der Strukturmechanik darstellt. Die grundlegende Idee dieser Approximation liegt darin, dass die kontinuumsmechanischen Grundgleichungen nicht mehr für jeden Punkt des Kontinuums erfüllt werden, sondern nur noch gemittelt für ein sog. Finites-Element. Deformationen werden nur noch an einer finiten Anzahl von Punkten, den sog. Knoten, berechnet und dazwischen wird einfach interpoliert. Diese Knoten sind wenigstens an den Enden/Ecken der Elemente platziert und erlauben die Verbindung einzelner Elemente zu einer zusammenhängenden Struktur. Somit wird ein Bauteil durch ein Netz aus zusammenhängenden Elementen approximiert und die Freiheitsgrade des Systems sind auf die Knoten reduziert. Näheres zur Finite-Elemente-Methode kann der einschlägigen Literatur, z. B. (Reddy 2006, Öchsner und Merkel 2013, Merkel und Öchsner 2014, Öchsner 2016, Javanbakht und Öchsner 2017), entnommen werden. Im gleichen Kontext kommt es dann auch oft zur Anwendung numerischer Optimierungsverfahren. Ein Balken kann zum Beispiel im Rahmen einer Finite-Elemente-Analyse durch ein eindimensionales Balkenelement approximiert werden, siehe Abb. 8.6.

200

8 Weitere Leichtbaukonzepte und Berechnungsmethoden

Abb. 8.6 (a) Balkenstruktur mit I-Querschnitt; (b) Approximation mittels eines einzigen Balkenelements. Die Elementknoten sind durch Kreise (◦) symbolisiert

Das Balkenelement selbst ist hierbei durch zwei Knoten und eine verbindende Linie beschrieben. Querschnitts- und Materialeigenschaften werden in einem FiniteElemente-Programm nur als numerische Eingabe übergeben und müssen nicht im Netz berücksichtigt werden. Somit ergibt sich eine extrem vereinfachte Generierung einer Balkenstruktur im einem Finite-Elemente-Programm. Im Folgenden wird kurz auf das Beispiel eines ebenen Rahmens eingegangen. Im Rahmen der sog. Modellbildung muss eine reale Struktur zuerst durch Vereinfachungen und Annahmen in ein mechanisches Ersatzmodell überführt werden, siehe Abb. 8.7a. Danach wird die vereinfachte Struktur in ein Finite-Elemente-Netz aus eindimensionalen Balkenelementen überführt (sog. Diskretisierung). Bei den Balkenelementen in kommerziellen Programmen handelt es sich um sog. verallgemeinerte Balken, die sich auch in der axialen Richtung verformen können oder entlang der Längsachse tordiert werden können.

Abb. 8.7 (a) Mechanisches Ersatzmodell eines ebenen Rahmens; (b) FiniteElemente-Netz bestehend aus zwei Elementen I und II

Für jedes dieser Balkenelemente kann die sog. Finite-Elemente-Hauptgleichung auf Elementebene 𝑲 e 𝒖e = 𝒇 e angegeben werden1 . Die sog. Steifigkeitsmatrix 𝑲 e beinhaltet die Information über das Material und die Geometrie des Elements. Der Vektor der Unbekannten 𝒖e beinhaltet die Deformationen, d. h. die Verschiebungen und Verdrehungen an den Knoten, und der Lastvektor 𝒇 e beinhaltet die auf das Element wirkenden äußeren Kräfte und Momente. Im Allgemeinen nimmt die Genauigkeit einer Finite-Elemente-Analyse mit der Anzahl der Elemente zu. Die Hauptgleichun1

Der Index “e” steht für Elementebene.

8.2 Numerische Methoden

201

gen für die einzelnen Elemente können zu einem globalen Gleichungssystem in der Form 𝑲𝒖 = 𝒇 (8.8) zusammengefasst werden. Nach Berücksichtigung der Lagerbedingungen ergibt sich die Lösung für ein lineares Gleichungssystem zu: 𝒖 = 𝑲 −1 𝒇 .

(8.9)

Die Finite-Elemente-Methode erlaubt weiterhin, basierend auf dem gleichen Netz, andere Fragestellungen zu beantworten. Unter Berücksichtigung der Strukturmassen, die in einer Massenmatrix 𝑴 zusammengefasst sind, ergibt sich die Hauptgleichung zu: ̈ + 𝑲𝒖(𝑡) = 𝒇 (𝑡) . 𝑴 𝒖(𝑡)

(8.10)

Die Lösung dieser Gleichung in der Zeitdomäne erfolgt häufig mittels klassischer ̇ und Differenzenverfahren und liefert die Verformung 𝒖(𝑡), die Geschwindigkeit 𝒖(𝑡) ̈ des transienten Problems. Die Betrachtung des gleichen die Beschleunigung 𝒖(𝑡) Finite-Elemente-Modells erlaubt durch Lösung eines Eigenwertproblems die Bestimmung der Eigenfrequenzen und Eigenmoden: ) ( det 𝑲 − 𝜔𝑖 𝑴 = 0 ,

(8.11)

wobei 𝜔𝑖 die Eigenfrequenzen des Systems darstellen. Die Eigenmoden, d. h. die verformte Gestalt der Struktur bei bestimmten Eigenfrequenzen, sind durch folgende Beziehung definiert: ) ( (8.12) 𝑲 − 𝜔2𝑖 𝑴 𝚽 = 𝟎 , wobei 𝚽 die Eigenformen des Systems darstellen. Weiterhin erlaubt die Lösung eines weiteren Eigenwertproblems (bei gleichem Netz) die Bestimmung der Knicklast im Rahmen einer Stabilitätsanalyse: ) ( det (𝑲) = det 𝑲 el + 𝜆𝑲 geo = 0 ,

(8.13)

wobei 𝑲 el die Steifigkeitsmatrix nach Gl. (8.9) für ein linear-elastisches Problem darstellt und 𝑲 geo die geometrische Steifigkeitsmatrix unter Einbeziehung der äußeren Last darstellt, siehe (Öchsner und Merkel 2013). Die Knicklast ergibt sich schließlich aus der Beziehung 𝜆𝒇 . Die oben beschriebenen Lösungen verschiedener strukturmechanischer Fragestellungen können in einem kommerziellen Finite-ElementeProgramm, einfach durch Umstellung auf die unterschiedlichen Lösungsmoden — bei gleichem Netz — erzielt werden. Zum Abschluss soll hier angemerkt werden, dass die Anwendung neuer Werkstoffe oder Werkstoffkombinationen (zum Beispiel basierend auf Nanomaterialien, siehe Yengejeh et al. 2017) oder Fertigungsverfahren (zum Beispiel die generative oder additive Fertigungstechnik, siehe Fastermann 2014, Hitzler et al. 2017, 2018) neue Konstruktionen mit außergewöhnlichen Eigenschaften erlauben.

202

8 Weitere Leichtbaukonzepte und Berechnungsmethoden

Literaturverzeichnis Altenbach, H., Öchsner, A. (Hrsg.): Cellular and Porous Materials in Structures and Processes. Wien: Springer, 2010 Ashby, M, F., Jones, D, R, H.: Engineering Materials 1: An Introduction to Properties, Applications and Design. Amsterdam: Elsevier, 2005 Fastermann, P.: 3D-Drucken: Wie die generative Fertigungstechnik funktioniert. Berlin: Springer Vieweg, 2014 Henning, F., Moeller, E.: Handbuch Leichtbau: Methoden, Werkstoffe, Fertigung. München: Hanser Verlag, 2011 Hitzler, L., Janousch, C., Schanz, J., Merkel, M., Heine, B., Mack, F., Hall, W., Öchsner, A.: Direction and Location Dependency of Selective Laser Melted AlSi10Mg Specimens. In: J Mater Process Tech 243 (2017), Heft Mai, S. 48–61 Hitzler, L., Merkel, M., Hall, W., Öchsner, A.: A Review of Metal Fabricated with Laser- and Powder-Bed Based Additive Manufacturing Techniques: Process, Nomenclature, Materials, Achievable Properties, and its Utilization in the Medical Sector. In: Adv Eng Mater 20 (2018), Heft 5, S. 1700658 (28 Seiten) Javanbakht, Z., Öchsner, A.: Advanced Finite Element Simulation with MSC Marc: Application of User Subroutines. Cham: Springer, 2017 Merkel, M., Öchsner, A.: Eindimensionale Finite Elemente: Ein Einstieg in die Methode. Berlin: Springer Vieweg, 2014 Öchsner, A., Augustin, C. (Hrsg.): Multifunctional Metallic Hollow Sphere Structures: Manufacturing, Properties and Application. Berlin: Springer, 2009 Öchsner, A., Merkel, M.: One-Dimensional Finite Elements: An Introduction to the FE Method. Berlin: Springer, 2013 Öchsner, A.: Computational Statics and Dynamics: An Introduction Based on the Finite Element Method. Singapore: Springer, 2016 Reddy, J, N.: An Introduction to the Finite Element Method. Singapore: McGraw Hill, 2006 Yengejeh, S, I., Kazemi, S, A., Öchsner, A.: Carbon Nanotubes as Reinforcement in Composites: A Review of the Analytical, Numerical and Experimental Approaches. In: Comp Mater Sci 136 (2017), Heft August, S. 85–101

203

Kapitel 9

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Zusammenfassung In diesem Kapitel werden Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben zusammengestellt. Hierbei werden nicht nur Endlösungen, sondern auch wichtige Zwischenschritte angegeben, damit die Lösungen nachvollzogen werden können.

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 A. Öchsner, Stoff- und Formleichtbau, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1_9

204

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

9.1 Kapitel 2 2.4.1 Vereinfachtes Modell eines Turms unter Eigengewicht Die Belastung folgt aus dem vertikalen Kräftegleichgewicht als 𝑁𝑥 (𝑋) = −𝜚𝑔𝐴(𝐿 − 𝑥) ,

(9.1)

oder als verteilte Last: 𝑝𝑥 (𝑥) = −

d𝑁𝑥 (𝑥)

(9.2) = −𝜚𝑔𝐴 = 𝑝0 . d𝑥 Alternativ kann Gl. (9.2) auch dadurch abgeleitet werden, dass man das Eigengewicht des Turms mittels der Länge normalisiert: 𝑝𝑥 (𝑥) = −

𝐹G

𝑚𝑔

= −𝜚𝑔𝐴 = 𝑝0 .

(9.3)

𝜎𝑥 (𝑥) = −𝜚𝑔(𝐿 − 𝑥) , ) 1 ( 1 + 2 𝜚𝐴g𝑥2 − 𝜚𝐴g𝐿𝑥 , 𝑢𝑥 (𝑥) = 𝐸𝐴 ) ( 𝜚g𝐿 ′ 𝐿 = 𝐿 + 𝑢𝑥 (𝐿) = 𝐿 1 − 2𝐸 ,

(9.4)

𝐿

=−

𝐿

Weitere Ergebnisse:

𝐿max =

𝜎max 𝜚g

.

(9.5) (9.6) (9.7)

2.4.2 Verlauf der Biegelinie und Maximalspannung für Kragarm mit unterschiedlicher Belastung Lastfall (a): (siehe auch Abb. 9.1) [ ]3 [ ]2 𝐹0 𝐿3 ⎛ 1 𝑥 1 𝑥 ⎞ ⎟, ⎜ − 𝑢𝑥 (𝑥) = 𝐸𝐼 ⎜ 6 𝐿 2 𝐿 ⎟ ⎠ ⎝ ) ( [ ] 𝑥 +1 , 𝑀𝑦 (𝑥) = 𝐹0 𝐿 − 𝐿 ) ( [ ] 𝑥 6𝐹0 𝐿 +1 . 𝜎𝑥,max = − 𝐿 𝑎3 Lastfall (b): (siehe auch Abb. 9.2)

(9.8)

(9.9)

(9.10)

9.1 Kapitel 2

205

𝑢𝑧 (𝑥)

Durchbiegung

𝐹0 𝐿3 ∕𝐸𝐼

(a)

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

𝜎𝑥,max (𝑥)

Maximalspannung

6𝐹0 𝐿∕𝑎3

(b)

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.1 Verlauf der (a) Biegelinie und (b) Maximalspannung für Kragarm mit Einzellast [ ]3 [ ]2 [ ]4 𝑞0 𝐿4 ⎛ 𝑥 𝑥 𝑥 ⎞ ⎟, ⎜ 𝑢𝑥 (𝑥) = − −4 +6 24𝐸𝐼 ⎜ 𝐿 𝐿 𝐿 ⎟ ⎠ ⎝ [ ] [ ]2 ⎞ 𝑞0 𝐿2 ⎛ 𝑥 𝑥 ⎜ + 1⎟ , 𝑀𝑦 (𝑥) = −2 ⎟ 2 ⎜ 𝐿 𝐿 ⎠ ⎝ [ ]2 [ ] ⎞ 3𝑞0 𝐿2 ⎛ 𝑥 𝑥 ⎜ 𝜎𝑥,max = + 1⎟ . −2 ⎟ 𝐿 𝑎3 ⎜ 𝐿 ⎠ ⎝

(9.11)

(9.12)

(9.13)

206

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben (a)

𝑢𝑧 (𝑥)

Durchbiegung

𝑞0 𝐿4 ∕24𝐸𝐼

4

2

0

−2

−4

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

𝜎𝑥,max (𝑥)

Maximalspannung

3𝑞0 𝐿2 ∕𝑎3

(b)

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.2 Verlauf der (a) Biegelinie und (b) Maximalspannung für Kragarm mit konstanter Streckenlast

9.1 Kapitel 2

207

2.4.3 Verlauf von Biegelinie, Spannung und Dehnung für Bimaterial-Kragarm ∙ Rand- und Übergangsbedingungen zur Bestimmung der Integrationskonstanten 𝑢𝑧I (𝑥I = 0) = 0 , 𝑀𝑦II (𝑥II = 𝜑𝑦I (𝑥I = 0) = 0 , 𝑄𝑧II (𝑥II =

𝑢𝑧I (𝑥I = 𝜑𝑦I (𝑥I = 𝑄𝑧I (𝑥I = 𝑀𝑦I (𝑥I =

𝐿 ) 2 𝐿 ) 2 𝐿 ) 2 𝐿 ) 2

𝐿 ) = 0, 2 𝐿 ) = −𝐹0 , 2

(9.14) (9.15)

= 𝑢𝑧II (𝑥II = 0) ,

(9.16)

= 𝜑𝑦II (𝑥II = 0) ,

(9.17)

= 𝑄𝑧II (𝑥II = 0) ,

(9.18)

= 𝑀𝑦II (𝑥II = 0) .

(9.19)

∙ Integrationskonstanten 𝑐1 = 𝐹0 , 𝑐2 = −𝐹0 𝐿 , 𝑐3 = 𝑐4 = 0 , 𝑐5 = 𝐹0 , 𝑐6 = − 𝑐7 = −

3𝐿2 𝐸II 𝐹0 8𝐸I

, 𝑐8 = −

5𝐿3 𝐸II 𝐹0 48𝐸I

𝐹0 𝐿 2

,

.

(9.20) (9.21)

∙ Biegelinie (siehe Abb. 9.3a) [ ]3 [ ]2 𝐹0 𝐿3 ⎛ 1 𝑥I 1 𝑥I ⎞ ⎜ ⎟, 𝑢𝑧I (𝑥I ) = − 𝐸I 𝐼𝑦 ⎜ 6 𝐿 2 𝐿 ⎟ ⎝ ⎠ [ ]3 [ ]2 [ ]1 ⎛ 3 𝐹0 𝐿 1 𝑥II 1 𝑥II 3 𝐸II 𝑥II 5 𝐸II ⎞ ⎜ ⎟. 𝑢𝑧II (𝑥II ) = − − − 𝐸II 𝐼𝑦 ⎜ 6 𝐿 4 𝐿 8 𝐸I 𝐿 48 𝐸I ⎟ ⎝ ⎠

(9.22)

(9.23)

∙ Spannungen (siehe Abb. 9.3b) ) ( [ ] 𝑥I +1 , − 𝜎𝑧I ,max (𝑥I ) = 2𝐼𝑦 𝐿 ) ( [ ] 1 𝑥II 𝐹0 𝐿𝑎 + . 𝜎𝑧II ,max (𝑥II ) = − 2𝐼𝑦 𝐿 2 𝐹0 𝐿𝑎

∙ Dehnungen (siehe Abb. 9.3c)

(9.24)

(9.25)

208

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

) ( [ ] 𝑥I +1 , − 𝜀𝑧I ,max (𝑥I ) = 2𝐸I 𝐼𝑦 𝐿 ) ( [ ] 1 𝑥II 𝐹0 𝐿𝑎 + . 𝜀𝑧II ,max (𝑥II ) = − 2𝐸II 𝐼𝑦 𝐿 2 𝐹0 𝐿𝑎

(9.26)

(9.27)

2.4.4 Vergleich der maximalen Durchbiegungen eines Kragarms mit konstanter Streckenlast nach verschiedenen Balkentheorien Siehe Tabelle 9.1 für Details zu den Integrationskonstanten. Tabelle 9.1 Integrationskonstanten und normierte Durchbiegung nach den verschiedenen Balkentheorien für einen Kragarm mit konstanter Streckenlast (𝑞0 in negative 𝑧-Richtung)

Theorie

𝑐1

𝑐2

Euler-Bernoulli 𝑞0 𝐿

−

𝐿2

𝑞0 2

𝑞0 𝐿 2 2

+

𝑞0 𝐿 2 2

+

Timoshenko

𝑞0 𝐿 −

Levinson

𝑞0 𝐿 −

𝑐3

0

𝑞0 𝐸𝐼𝑦 𝑘s 𝐴𝐺 6𝑞0 𝐸𝐼𝑦 5𝐴𝐺

−

−

𝑢𝑧,max 𝑞 𝐿4

0 − 𝐸𝐼

=

1 8

+

𝑘s 𝐴𝐺

3𝑞0 𝐿𝐸𝐼𝑦 2𝐴𝐺

𝑞 𝐿4

0 − 𝐸𝐼

1+

0

1+

( )2 ℎ

10

𝐿

4(1 + 𝜈)

( )2 ℎ

𝐿 ( )2 6(1 + 𝜈) ℎ

.

5

5

𝐿

(9.28)

𝑦

=

1 8

+

3(1 + 𝜈)

( )2 ℎ

20

𝐿

.

𝑦

2.4.5 Axiales Flächenmoment 2. Ordnung für Kreisring ∙ Dickes Rohr 𝐼:

𝑦

1

0

1+𝜈

Levinson: 𝑢𝑧,max

𝑞 𝐿4

0 − 8𝐸𝐼

0

𝑞0 𝐿𝐸𝐼𝑦

Timoshenko:

𝑢𝑧 (𝐿)

𝑐4

(9.29)

9.1 Kapitel 2

209 (a) 𝐸I = 2𝐸II 𝐸I = 𝐸II

3𝐸I 𝐼𝑦

Biegelinie

𝑢𝑧 (𝑥) 𝐹0 𝐿3

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

(b)

2𝐼𝑦

Spannung

𝜎𝑥,max (𝑥) 𝐹0 𝐿𝑎

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

(c) 𝐸I = 2𝐸II 𝐸I = 𝐸II

2𝐸I 𝐼𝑦

Dehnung

𝜀𝑥,max (𝑥) 𝐹0 𝐿𝑎

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.3 Verlauf von (a) Biegelinie, (b) Spannung (kein Einfluss von 𝐸𝑖 ) und (c) Dehnung für Bimaterial-Kragarm 𝜋(

) 𝜋( 2 )( ) 𝑟4a − 𝑟4i = 𝑟a + 𝑟2i 𝑟2a − 𝑟2i 4 4 𝜋( 2 ) ( )( ) = 𝑟a + 𝑟2i 𝑟a − 𝑟i 𝑟a + 𝑟i . 4

𝐼=

(9.30) (9.31)

210

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Mit 𝑟m =

1 2

( ) 𝑟a + 𝑟i , 𝑠 = (𝑟a −𝑟i ) und 𝑟a = 𝑟m + 2𝑠 oder 𝑟i = 𝑟m − 2𝑠 beziehungsweise

) ( 2 𝑟a + 𝑟2i =

( 𝑟m + (

=

𝑟2m

𝑠

)2

𝑟m −

+

2

1+

(

𝑠

)2

2𝑟m

𝑠

)2 (9.32)

2 (

+ 𝑟2m

1−

𝑠

)2

( =

2𝑟m

2𝑟2m

1+

𝑠2 4𝑟2m

folgt schließlich für das Flächenmoment ) ) ( ( 𝜋 3 𝑠2 𝑠2 3 𝐼 = 𝜋𝑟m 𝑠 1 + = 𝑑m 𝑠 1 + , 2 8 4𝑟2m 𝑑m

) ,

(9.33)

(9.34)

wobei 𝑑m = 2𝑟m den mittleren Durchmesser bezeichnet. ∙ Dünnes Rohr 𝐼: Für 𝑠 ≪ 𝑟m : 𝐼 ≈ 𝜋𝑟3m 𝑠 =

𝜋

𝑑3 𝑠 . 8 m Relativer Fehler der Vereinfachung kleiner als 1%

𝜋𝑟3m 𝑠 × (

(9.35)

𝑠2 4𝑟2m

𝜋𝑟3m 𝑠 1 +

𝑠2

) ≤ 0,01 ⇒

𝑟2m 𝑠2

≥

1 − 0,01 4 × 0,01

= 24,75

(9.36)

4𝑟2m ⇒

𝑟m 𝑠

≥ 4,97 .

(9.37)

∙ Querschnittsfläche 𝐴: ( ) ( )( ) 𝐴 = 𝜋 𝑟2a − 𝑟2i = 𝜋 𝑟a − 𝑟i 𝑟a + 𝑟i

(9.38)

= 2𝜋𝑟m 𝑠 = 𝜋𝑑m 𝑠 (exakt) ,

(9.39)

( ) 𝐴 = 𝜋 𝑟a + 𝑟i 𝑠 ,

(9.40)

oder

beziehungsweise für 𝑠 ≪ 𝑟m mit 𝑟a ≈ 𝑟i :

9.1 Kapitel 2

211

𝐴 ≈ 2𝜋𝑟i 𝑠 ≈ 2𝜋𝑟a 𝑠 .

(9.41)

2.4.6 Axiales Flächenmoment 2. Ordnung für quadratisches Kastenprofil ∙ Dickes Profil 𝐼: 1 ( 4 1 ( 2 ) )( ) (9.42) 𝑎a − 𝑎4i = 𝑎a + 𝑎2i 𝑎2a − 𝑎2i 12 12 1 ( 2 )( )( ) = (9.43) 𝑎a + 𝑎2i 𝑎a − 𝑎i 𝑎a + 𝑎i . 12 ( ) ( ) Mit 𝑎m = 12 𝑎a + 𝑎i , 𝑠 = 12 𝑟a − 𝑟i und 𝑎a = 𝑎m + 𝑠 oder 𝑎i = 𝑎m − 𝑠 beziehungsweise 𝐼=

(

)2 ( )2 ) ( 𝑎2a + 𝑎2i = 𝑎m + 𝑠 + 𝑎m − 𝑠 ( )2 ( )2 ( ) 2 𝑠 𝑠 𝑠 , + 𝑎2m 1 − = 2𝑎2m 1 + = 𝑎2m 1 + 𝑎m 𝑎m 𝑎2m

(9.44) (9.45)

folgt schließlich für das Flächenmoment 𝐼=

(

2

𝑎3 𝑠 3 m

1+

𝑠2

) .

𝑎2m

(9.46)

∙ Dünnes Profil 𝐼: Für 𝑠 ≪ 𝑎m : 𝐼≈

2

𝑎3 𝑠 . 3 m Relativer Fehler der Vereinfachung kleiner als 1%

2 3 2 3

𝑎3m 𝑠 × (

𝑠2 𝑎2m

𝑎3m 𝑠 1 +

𝑠2

) ≤ 0,01 ⇒

𝑎2m 𝑠2

≥

1 − 0,01 0,01

= 99

(9.48)

𝑎2m ⇒

∙ Querschnittsfläche 𝐴:

(9.47)

𝑎m 𝑠

≥ 9,95 .

(9.49)

212

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

( )( ) 𝐴 = 𝑎2a − 𝑎2i = 𝑎a − 𝑎i 𝑎a + 𝑎i = 4𝑎m 𝑠 (exakt) .

(9.50) (9.51)

2.4.7 Allgemeine Lösung der Differenzialgleichungen des Timoshenko-Balkens mittels Computeralgebrasystemen Koeffizientenvergleich bzgl. der konstanten Faktoren von 𝑢(𝑥) und 𝜙(𝑥) ergibt:

𝐶1 = −

𝑘𝐴𝐺

d𝑢 | | d𝑥 |𝑥 = 0

𝐸𝐼

−

𝑘𝐴𝐺𝜙(0)

𝑞 d𝜙|| − , | d𝑥 ||𝑥 = 0 𝑘𝐴𝐺 d𝑢(𝑥)|| , 𝐶3 = | d𝑥 ||𝑥 = 0 𝐶4 = 𝑢(0) .

𝐸𝐼

,

𝐶2 = −

2.4.8 Maximaler Unterschied zwischen von Mises und Tresca Maximaler absoluter Fehler: √ | | 1 | 2− 3 | 1 | √ 𝑘t − 𝑘t | = √ 𝑘t = 0,07735𝑘t ≈ 7,7%𝑘t . | 2 || | 3 2 3 | |

(9.52) (9.53) (9.54) (9.55)

(9.56)

Maximaler relativer Fehler (Option 1): √ | √1 𝑘 − 1 𝑘 | | 3 t 2 t| 2 − 3 | | = 0,13397 ≈ 13,4% . |= | 1 | | 2 √ 𝑘t | | 3 | |

(9.57)

Maximaler relativer Fehler (Option 2): | 1 𝑘 − √1 𝑘 | | √ | |2 t t| | 3 − 2| 3 | | | | = | √ || = 0,15470 ≈ 15,5% . | 1 | | | 𝑘 3 || | | | 2 t | | 2.4.9 Stab unter Zug- und Torsionsbelastung √ √ ( )2 )2 ( √ √ 4 √ 𝐹0 4𝑀t +3 . 𝜎eff = 𝜎 2 + 3𝜏 2 = × √ 𝜋 ℎ2 ℎ3

(9.58)

(9.59)

9.2 Kapitel 3

213

9.2 Kapitel 3 3.4.1 Finite-Elemente-Berechnung eines gestuften Zugstabes Hinweise zu den einzelnen Schritten einer Finite-Elemente-Analyse können Öchsner und Merkel 2013, Öchsner 2016, Javanbakht und Öchsner 2017 entnommen werden. Reduziertes Gleichungssystem: 𝐸𝐴 ⎡ 5 −2 0 ⎤ ⎡𝑢2𝑋 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢−2 3 −1⎥ ⎢𝑢3𝑋 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ . 1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 𝐿 ⎣ 0 −1 1 ⎦ ⎣𝑢4𝑋 ⎦ ⎣𝐹0 ⎦ 3

(9.60)

1 ⎡𝑢2𝑋 ⎤ 1 𝐿𝐹0 ⎡ 3 ⎤ ⎢5⎥ ⎢𝑢3𝑋 ⎥ = 3 ⎢6⎥. ⎥ ⎢ 𝐸𝐴 ⎢ 11 ⎥ ⎣𝑢4𝑋 ⎦ ⎣3⎦

(9.61)

Lösung:

Leichtbaukennzahl: 𝑀=

𝑅p0,2 2𝜚𝑔𝐿

.

(9.62)

3.4.2 Berechnung der Leichtbaukennzahl für Kragarm mit Streckenlast ∙ Innere Reaktionen: Die inneren Reaktionen für das Problem nach Abb. 3.34 sind in Abb. 9.4 dargestellt. ∙ Maximales Biegemoment: 𝑀𝑦,max = 𝑀𝑦 (0) =

𝑞0 𝐿2 2

.

(9.63)

∙ Leichtbaukennzahl: Da in diesem Fall keine Einzellast wirkt, wird die Definitionsgleichung der Leichtbaukennzahl mittels der Resultierenden der Streckenlast ausgewertet: 𝑀=

𝐹0 𝐹G

=

𝑞0 𝐿 𝐹G

=

1 3

×

𝑅p0,2 𝜚𝑔 𝐿ℎ

2

.

(9.64)

Numerische Werte: 𝑀St = 1712,015 ; 𝑀Al = 4497,575 ; 𝑀Ti = 5422,170 .

(9.65)

3.4.3 Berechnung der Leichtbaukennzahl für beidseitig gelenkig gelagerten Balken mit Streckenlast ∙ Maximales Biegemoment (siehe Abb. 9.30):

214

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben (a)

𝑞0 𝐿

Querkraft

𝑄𝑧 (𝑥)

1

0

−1

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

(b)

𝑀𝑦 (𝑥)

Biegemoment

𝑞0 𝐿2 ∕2

1

0

−1

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

Abb. 9.4 Innere Reaktionen für Kragarm mit konstanter Streckenlast nach Abb. 3.34: (a) Querkraft- und (b) Biegemomentenverlauf

𝑀𝑦,max = 𝑀𝑦 ( 𝐿2 ) = −

𝑞0 𝐿2 8

.

(9.66)

∙ Leichtbaukennzahl: Da in diesem Fall keine Einzellast wirkt, wird die Definitionsgleichung der Leichtbaukennzahl mittels der Resultierenden der Streckenlast ausgewertet: 𝑀=

𝐹0 𝐹G

=

𝑞0 𝐿 𝐹G

=

4 3

×

𝑅p0,2 𝜚𝑔 𝐿ℎ

2

.

(9.67)

Numerische Werte: 𝑀St = 6848,062 ; 𝑀Al = 17990,3001 ; 𝑀Ti = 21688,681 .

(9.68)

9.2 Kapitel 3

215

3.4.4 Berechnung der Leichtbaukennzahl für beidseitig gelenkig gelagerten Balken mit Einzellast ∙ Maximales Biegemoment (siehe Abb. 9.33): 𝑀𝑦,max = 𝑀𝑦 ( 𝐿2 ) = −

𝐹0 𝐿

.

4

(9.69)

∙ Leichtbaukennzahl:

𝑀=

𝐹0

=

𝐹G

𝑞0 𝐿 𝐹G

2

=

3

×

𝑅p0,2 𝜚𝑔 𝐿ℎ

2

.

(9.70)

Numerische Werte: 𝑀St = 3424,031 ; 𝑀Al = 8995,150 ; 𝑀Ti = 10844,340 .

(9.71)

3.4.5 Berechnung der spezifischen Energieabsorption für Kragarm mit Streckenlast ∙ Biegemomentenverteilung: 𝑀𝑦 (𝑥) =

(

𝑞0 𝐿2

1 𝐿2

2

𝑥2 −

2 𝐿

) 𝑥+1

.

(9.72)

∙ Verzerrungsenergie:

Π=

𝑞02 𝐿5 40𝐸𝐼

.

(9.73)

∙ Spezifische Energieabsorption:

𝑆𝐸𝐴 =

3𝑞02 𝐿4 10𝑏2 ℎ4 𝐸𝜚

=

𝑅2p0,2 30𝐸𝜚

.

(9.74)

3.4.6 Berechnung der spezifischen Energieabsorption für beidseitig gelenkig gelagerten Balken mit Streckenlast ∙ Biegemomentenverteilung: 𝑀𝑦 (𝑥) = ∙ Verzerrungsenergie:

𝑞0 𝐿2 2

(

1 𝐿2

𝑥2 −

1 𝐿

) 𝑥

.

(9.75)

216

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

𝑞02 𝐿5

Π=

240𝐸𝐼

.

(9.76)

∙ Spezifische Energieabsorption: 𝑞02 𝐿4

𝑆𝐸𝐴 =

20𝑏2 ℎ4 𝐸𝜚

=

4𝑅2p0,2 45𝐸𝜚

.

(9.77)

3.4.7 Berechnung der spezifischen Energieabsorption für beidseitig gelenkig gelagerten Balken mit Einzellast ∙ Biegemomentenverteilung: 𝑀𝑦 (𝑥) = −

𝐹0 𝑥

für 0 ≤ 𝑥 ≤

2

𝐿 2

.

(9.78)

∙ Verzerrungsenergie: 𝐹02 𝐿3

Π=

8𝐸𝑏ℎ3

𝐹02 𝐿3

=

96𝐸𝐼

.

(9.79)

∙ Spezifische Energieabsorption:

𝑆𝐸𝐴 =

𝐹02 𝐿2

=

8𝑏2 ℎ4 𝐸𝜚

𝑅2p0,2 18𝐸𝜚

.

(9.80)

3.4.8 Berechnung der spezifischen Energieabsorption für Bimaterial-Kragarm ∙ Verzerrungsenergie: Π=

𝐹 0 𝐿3 48𝐼𝑦

( ×

7 𝐸I

+

)

1 𝐸II

.

(9.81)

∙ Masse: 𝑚=

𝑎2 𝐿 2

) ( × 𝜚I + 𝜚II .

(9.82)

∙ Spezifische Energieabsorption: 𝑆𝐸𝐴 =

Π 𝑚

=

𝐹0 𝐿2 2𝑎6

×

7 𝐸I

+

1 𝐸II

𝜚I + 𝜚II

.

(9.83)

9.3 Kapitel 4

217

9.3 Kapitel 4 4.4.1 Analyse der Leichtbaukennzahl für Kragarm mit Endquerkraft und rohrförmigem Querschnitt

𝑀(𝑑, 𝑠) = = =

𝐹0 (𝑑, 𝑠)

𝑅p0,2

𝐹G (𝑑, 𝑠)

=

𝑅p0,2

𝐹0∗ (𝑑, 𝑠)

4𝜚𝑔𝐿 𝑅p0,2 4𝜚𝑔𝐿

× ×

4𝜚𝑔𝐿

×

1 𝑑

(

−2𝑠4 + 𝑑 3 𝑠 + 4𝑑𝑠3 − 3𝑑 2 𝑠2

)

𝑑𝑠 − 𝑠2

(9.84) (9.85)

𝐹G∗ (𝑑, 𝑠) − 2𝑠3 + 𝑑 3 + 4𝑑𝑠2 − 3𝑑 2 𝑠 𝑑(𝑑 − 𝑠)

.

(9.86)

Die Funktionen 𝐹0 (𝑑, 𝑠), 𝐹G (𝑑, 𝑠) und 𝑀(𝑑, 𝑠) = 𝐹0 (𝑑, 𝑠)∕𝐹G (𝑑, 𝑠) sind in Abb. 9.5 dargestellt. 4.4.2 Umsetzung des Konzepts des Formleichtbaus: Optimierung eines Kastenprofils ∙ Flächenmoment 2. Ordnung des Kastenprofils:

1 □ 𝑏 𝑎3 𝐼𝑦 = − (𝑏 − 2𝑤) (𝑎 − 2𝑤)3 , 12 12 4𝑤4 2𝑏 𝑤3 𝑎2 𝑏𝑤 𝑎3 𝑤 =− + + 2𝑎 𝑤3 − 𝑎𝑏 𝑤2 − 𝑎2 𝑤2 + + , 3 3 2 6 oder mittels 𝑤 =

(9.88)

ℎ 5

4ℎ4 2𝑏 ℎ3 2𝑎 ℎ3 𝑎𝑏 ℎ2 𝑎2 ℎ2 𝑎2 𝑏ℎ 𝑎3 ℎ □ 𝐼𝑦 = − + + − − + + , 1875 375 125 25 25 10 30 oder mittels 𝑏 =

(9.87)

29ℎ 10

(9.89)

−𝑎 □ ℎ4 79𝑎 ℎ3 29𝑎2 ℎ2 𝑎3 ℎ − + − . 𝐼𝑦 = 75 750 100 15

Der Verlauf des Flächenmomentes 2. Ordnung ist in Abb. 9.6 dargestellt. ∙ Leichtbaukennzahl:

(9.90)

218

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben (d)

(a) 200

200 𝑑 = 10

150 𝐹0∗

𝐹0∗

150 100 50 0

𝑠=2

100 50

0

2

0

4

5

Wandstärke 𝑠 (b)

15

(e) 30

30 𝑑 = 10

𝑠=2 20

𝐹𝐺∗

𝐹𝐺∗

20 10 0

10

0

2

0

4

5

Wandstärke 𝑠

10

15

Durchmesser 𝑑

(c)

(f) 20

20 𝑑 = 10

15 𝐹0∗ ∕𝐹𝐺∗

15 𝐹0∗ ∕𝐹𝐺∗

10 Durchmesser 𝑑

10 5 0

𝑠=2

10 5

0

2 Wandstärke 𝑠

4

0

5

10

15

Durchmesser 𝑑

Abb. 9.5 Funktionen 𝐹0 (𝑑, 𝑠), 𝐹G (𝑑, 𝑠) und 𝑀(𝑑, 𝑠) = 𝐹0 (𝑑, 𝑠)∕𝐹G (𝑑, 𝑠) in Abhängigkeit von 𝑠 bei 𝑑 = 10 mm = konst. ((a)–(c)) und von 𝑑 bei 𝑠 = 2 mm = konst. ((d)–(f))

9.3 Kapitel 4

219 𝑤=

ℎ4

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung

𝐼𝑦

0,6

ℎ 5

0,4

0,2 quadratischer Querschnitt (ℎ × ℎ)

0 0,16

1

2

3

4

5

Höhe-zu-Breite-Verhältnis

7

6 𝑎 𝑏

Abb. 9.6 Axiales Flächenmoment 2. Ordnung für verschiedene Kastenprofile. Gleiche Querschnittsfläche (𝐴 = 𝐴□ ) und somit gleiche Masse (𝑚 = 𝑚□ ) angenommen

𝑀=

𝐹0 𝐹G

=

𝑅St 𝜚St 𝑔𝐿2 ℎ2

×

ℎ4 75

−

79𝑎ℎ3 750

+ 𝑎 2

29𝑎2 ℎ2 100

−

𝑎3 ℎ 15

.

(9.91)

Der Verlauf der Leichtbaukennzahl ist in Abb. 9.7 dargestellt. 4.4.3 Optimierung eines Biegebalkens entlang der Längsachse ∙ Referenzkonfiguration: ) 𝜋( 2 ) 𝜋( 2 𝑑 − (𝑑0 − 𝑑02 − 𝑑i2 = 𝑑0 − (𝑑0 − 2𝑠0 )2 = 4 4 4 0 4𝜋 2 = 𝑑 . 25 0

𝐴⊚ = 0

𝜋(

2𝑑0 2 ) 5

𝜋 ( 4 𝜋 ( 4 𝜋 ( 4 ) ) 𝑑 − (𝑑0 − 𝑑0 − 𝑑i4 = 𝑑0 − (𝑑0 − 2𝑠0 )4 = 64 64 64 0 17 = 𝜋𝑑 4 . 1250 0

⊚ 𝐼𝑦,0 =

= 𝜚𝑉0⊚ = 𝜚𝐴⊚ 𝐿=𝜚 𝑚⊚ 0 0

4𝜋 25

𝑑02 𝐿 .

)

(9.92)

2𝑑0 4 ) 5

)

(9.93)

(9.94)

220

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Leichtbaukennzahl 𝑀

3000

𝑤=

Stahl

ℎ 5

2000

quadratischer Querschnitt (ℎ × ℎ)

1000

0 0,16

1

2

3

4

5

Höhe-zu-Breite-Verhältnis

6

7

𝑎 𝑏

Abb. 9.7 Leichtbaukennzahl für verschiedene Kastenprofile und Spannungskriterium (𝜎max = 𝑅p0,2 ). Gleiche Querschnittsfläche (𝐴 = 𝐴□ ) und somit gleiche Masse (𝑚 = 𝑚□ ) angenommen

Mittels des Spannungskriteriums 𝜎𝑥,max =

𝑀𝑦,max ⊚ 𝐼𝑦,0

×

𝑑0 2

!

= 𝑅p0,2 ,

(9.95)

.

(9.96)

ergibt sich der Maximalwert der Kraft zu: ⊚ 𝑅p0,2 𝐼𝑦,0

𝐹0 =

𝑀0 =

𝐹0 𝐹G

1 𝑑 𝐿 2 0

=

17 100

×

𝑅p0,2 𝜚𝑔 𝐿𝑑

2

.

(9.97)

0

𝐿

Π0 =

∫ 0

𝑀𝑦 (𝑥)2 ⊚ 2𝐸𝐼𝑦,0

d𝑥 =

𝐿

𝐹02

⊚ ∫ 2𝐸𝐼𝑦,0

Mittels Gl. (9.96) folgt hieraus:

0

(

𝐹 2 𝐿3 ) 𝐿2 − 2𝐿𝑥 + 𝑥2 d𝑥 = 0 ⊚ . 6𝐸𝐼𝑦,0

(9.98)

9.3 Kapitel 4

221

Π0 = Π0

𝑆𝐸𝐴0 =

𝑚0

𝐿3 ⊚ 6𝐸𝐼𝑦,0

×

⊚,2 𝑅2p0,2 𝐼𝑦,0 1 2 2 𝑑 𝐿 4 0

⊚ 𝐿𝑅2p0,2 𝐼𝑦,0

=

3 𝐸𝑑02 2

⊚ 𝐿𝑅2p0,2 𝐼𝑦,0

=

1

3 𝐸𝑑02 2

17

.

𝑅2p0,2

(9.99)

.

(9.100)

= 𝑅p0,2 ,

(9.101)

) ( ) ( × 1 − 𝐿𝑥 = 𝑑03 1 − 𝐿𝑥 .

(9.102)

×

𝜚 4𝜋 𝑑2𝐿 25 0

=

300

×

𝐸𝜚

∙ Optimierte Konfiguration: Mittels des Spannungskriteriums 𝜎𝑥,max =

𝑀𝑦 (𝑥) 𝐼𝑦⊚ (𝑥)

×

𝑑(𝑥) 2

=

𝐹0 𝐿(1 − 𝐿𝑥 ) 17 𝜋𝑑 4 (𝑥) 1250

×

𝑑(𝑥) 2

!

ergibt sich 𝑑 3 (𝑥) =

𝐹0 𝐿 17 𝜋2𝑅p0,2 1250

Somit ergibt sich der äußere Kreisdurchmesser des Balkenquerschnitts zu (siehe Abb. 9.8): √ 𝑥 3 𝑑(𝑥) = 𝑑0 × 1 − . (9.103) 𝐿

Balkendurchmesser 𝑑( 𝐿𝑥 )

𝑑 optimiert +

𝑑0 konstant

𝑑0 2

0

−

𝑑0 2

0

0,5 Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.8 Balkendurchmesser (außen) entlang der Balkenachse

222

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben 𝐿

𝑉 =

𝐿

𝐴(𝑥)d𝑥 =

∫

4𝜋

∫ 25

𝑑 2 (𝑥)d𝑥 =

0

𝑚 = 𝜚𝑉 =

𝑀=

𝐿

Π=

𝐹0 𝐹G

𝑀𝑦 (𝑥)2

∫ 2𝐸𝐼 ⊚ (𝑥) 𝑦

=

d𝑥 =

0

=

3 10

×

𝐹02 𝐿3 ⊚ 𝐸𝐼𝑦,0

1−

25 ∫

0

0

𝐿(

4𝜋𝑑02

⊚ 𝑅p0,2 𝐼𝑦,0 1 𝑑 𝐿 2 0

×

𝐿

𝐹02 𝐿2

⊚ ∫ 2𝐸𝐼𝑦,0

12𝜋 125

3

d𝑥 =

𝐿

12𝜋 125

𝑑02 𝐿 . (9.104)

𝑑02 𝐿𝜚 .

1 𝜚𝑔 12𝜋 125

𝑑02 𝐿

(1 − 𝐿𝑥 )2 4

(9.105) 17

=

60

×

𝑅p0,2

.

𝜚𝑔 𝐿𝑑

2

(9.106)

0

d𝑥 =

(1 − 𝐿𝑥 ) 3

0

)2

𝑥

𝐿

𝐹02 𝐿2

⊚ ∫ 2𝐸𝐼𝑦,0

2

(1 − 𝐿𝑥 ) 3 d𝑥

0

.

(9.107)

Mittels Gl. (9.96) folgt hieraus: Π=

3 𝐿3 10 𝐸𝐼 ⊚

×

𝑦,0

𝑆𝐸𝐴 =

Π 𝑚

=

6 5

×

⊚,2 𝑅2p0,2 𝐼𝑦,0 1 2 2 𝑑 𝐿 4 0

⊚ 𝐿𝑅2p0,2 𝐼𝑦,0

𝐸𝑑02

×

=

6 5

×

1 12𝜋

⊚ 𝐿𝑅2p0,2 𝐼𝑦,0

=

𝑑 2 𝐿𝜚 125 0

𝐸𝑑02 17 100

×

.

𝑅2p0,2 𝐸𝜚

(9.108)

.

(9.109)

∙ Verhältnisse: 𝑚 𝑚0 𝑀 𝑀0 𝑆𝐸𝐴 𝑆𝐸𝐴0

= =

3 5 5 3

≈ 0,6 ,

(9.110)

≈ 1,667 ,

(9.111)

= 3,0 .

(9.112)

4.4.4 Optimierung eines Biegebalkens entlang der Längsachse unter dem Einfluss zweier Einzelkräfte des gleichen Betrages ∙ Optimierter Durchmesser:

9.3 Kapitel 4

223

𝐿

𝑑(𝑥) = 𝑑0 für 0 ≤ 𝑥 ≤ ( 𝑑(𝑥) = 𝑑0

2−

2𝑥

2

)1

, 𝐿

3

für

𝐿

(9.113)

2

≤ 𝑥 ≤ 𝐿,

(9.114)

oder als eine Gleichung mittels der Föppl-Klammer (siehe Abb. 9.9): ⎛ 𝑑(𝑥) = 𝑑0 ⎜1 + ⎜ ⎝

1

)⟨ ⟩0 3 𝐿 ⎞ 2𝑥 ⎟ . 𝑥− 1− 𝐿 2 ⎟ ⎠

(

Balkendurchmesser 𝑑( 𝐿𝑥 )

𝑑 optimiert +

(9.115)

𝑑0 konstant

𝑑0 2

0

−

𝑑0 2

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

Abb. 9.9 Balkendurchmesser (außen) entlang der Balkenachse ∙ Axiales Flächenmoment 2. Ordnung:

𝐼𝑦⊚ = 𝐼𝑦⊚

=

17 1250

× 𝜋𝑑04 for 0 ≤ 𝑥 ≤

1 × 𝜋𝑑04 (16) 3 1250

17

( 1−

𝑥

𝐿

2 )4

𝐿

,

(9.116)

3

for

oder als eine Gleichung mittels der Föppl-Klammer:

𝐿 2

≤ 𝑥 ≤ 𝐿,

(9.117)

224

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

𝐼𝑦⊚

⎛ = × 𝜋𝑑04 ⎜1 + ⎜ 1250 ⎝ 17

(

2𝑥

1−

)⟨

𝐿

𝑥−

𝐿

⟩0

2

4

⎞3 ⎟ . ⎟ ⎠

(9.118)

∙ Gesamte Verzerrungsenergie: 𝐿 2

Π=

𝐿

𝑀𝑦2

d𝑥 + ⊚

∫ 2𝐸𝐼 𝑦 125 17

×

∫ 2𝐸𝐼 ⊚ (𝑥) 𝑦

d𝑥

(9.119)

𝐿 2

0

=

𝑀𝑦 (𝑥)2

𝐹02 𝐿3 𝜋𝑑04 𝐸

.

(9.120)

∙ Volumen: 𝐿 2

𝑉 =

∫

𝐿

𝐴0 d𝑥 +

𝐴(𝑥) d𝑥

(9.121)

𝐿 2

0

=

∫

16 125

× 𝜋𝑑02 𝐿 .

Π

1252

(9.122)

∙ Spezifische Energieabsorption: 𝑆𝐸𝐴 =

𝑚

=

16 × 17

×

𝐹02 𝐿2 𝜋 2 𝑑06 𝜚𝐸

.

(9.123)

4.4.5 Optimierung eines Biegebalkens unter 3-Punkt-Biegung ∙ Optimierter Durchmesser (siehe auch Abb. 9.10): )1 2𝑥 3

( 𝑑(𝑥) = 𝑑0

𝐿 ( (

𝑑(𝑥) = 𝑑0

2 1−

für 0 ≤ 𝑥 ≤ )) 1

𝑥 𝐿

3

für

𝐿 2 𝐿 2

,

(9.124)

≤ 𝑥 ≤ 𝐿,

(9.125)

wobei sich der Referenzdurchmesser in der Balkenmitte wie folgt ergibt:

9.3 Kapitel 4

225 1

⎞3 ⎛ 𝐹0 𝐿 ⎟ . ⎜ 𝑑0 = ⎜ 2 × 68 𝜋𝑅 ⎟ p0,2 ⎠ ⎝ 1250

Balkendurchmesser 𝑑( 𝐿𝑥 )

𝑑 optimiert +

(9.126)

𝑑0 konstant

𝑑0 2

0

−

𝑑0 2

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

Abb. 9.10 Balkendurchmesser (außen) entlang der Balkenachse ∙ Gesamte Verzerrungsenergie: 𝐿 2

Π=2×

∫ 0

𝑀𝑦 (𝑥)2 2𝐸𝐼𝑦⊚

d𝑥 =

375 272

×

𝐹02 𝐿3 𝜋𝑑04 𝐸

≈ 1,379 ×

𝐹02 𝐿3 𝜋𝑑04 𝐸

.

(9.127)

∙ Volumen: 𝐿 2

𝑉 =2×

∫

𝐴(𝑥) d𝑥 =

0

12 125

× 𝜋𝑑02 𝐿 .

(9.128)

∙ Spezifische Energieabsorption: 𝑆𝐸𝐴 =

Π 𝑚

∙ Leichtbaukennzahl:

=

125 × 375 12 × 272

×

𝐹02 𝐿2 𝜋 2 𝑑06 𝜚𝐸

≈ 14,361

𝐹02 𝐿2 𝜋 2 𝑑06 𝜚𝐸

.

(9.129)

226

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

𝑀=

𝐹0 𝐹G

=

𝐹0 𝑉 𝜚𝑔

=

125 12

×

𝐹0 𝜋𝑑02 𝐿𝜚𝑔

≈ 10,417 ×

𝐹0 𝜋𝑑02 𝐿𝜚𝑔

.

(9.130)

∙ Werte für Balken mit konstantem Durchmesser: 𝐿 2

Π0 = 2 ×

𝑀𝑦 (𝑥)2

∫

⊚ 2𝐸𝐼𝑦,0

0

d𝑥 =

1250 1632

×

𝐹02 𝐿3 𝜋𝑑04 𝐸

4

,

× 𝜋𝑑02 𝐿 , 25 𝐹 2 𝐿2 𝐹 2 𝐿2 31250 𝑆𝐸𝐴0 = × 0 ≈ 4,787 × 0 , 6528 𝜋 2 𝑑 6 𝜚𝐸 𝜋 2 𝑑06 𝜚𝐸 0 𝑉0 =

𝑀0 =

25𝐹0 4𝜋𝑑02 𝐿𝜚𝑔

.

(9.131)

(9.132) (9.133)

(9.134)

∙ Vergleiche: 𝑆𝐸𝐴 𝑆𝐸𝐴0 𝑀 𝑀0

= 3,00 ,

(9.135)

= 1,67 .

(9.136)

4.4.6 Optimierung eines beidseitig gelenkig gelagerten Biegebalkens unter konstanter Streckenlast: Rechteckquerschnitt ∙ Momentenverlauf: [ ]2 [ ]1 𝑞0 𝐿2 ⎛ 𝑥 𝑥 ⎞ ⎟ < 0. ⎜ − 𝑀𝑦 (𝑥) = 2 ⎜ 𝐿 𝐿 ⎟ ⎠ ⎝

(9.137)

∙ Optimierter Durchmesser (siehe auch Abb. 9.11): 1

[ ] [ ]2 2 ⎛ 𝑥 𝑥 ⎞ ⎟ . − ℎ(𝑥) = 2ℎ0 ⎜ ⎜ 𝐿 𝐿 ⎟ ⎝ ⎠ ∙ Optimierter Querschnitt:

(9.138)

9.3 Kapitel 4

227 ℎ optimiert ℎ0 2

Balkenhöhe ℎ( 𝐿𝑥 )

+

ℎ0 konstant

0

−

ℎ0 2

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

Abb. 9.11 Balkenhöhe entlang der Balkenachse

𝑉 = Π= 𝑆𝐸𝐴 =

𝑏𝜋𝐿ℎ0

, 4 3𝜋𝐿5 𝑞02

(9.139)

128𝐸𝑏ℎ30 3 32

×

,

(9.140)

𝐿4 𝑞02 𝐸𝑏2 ℎ40 𝜚

=

1 6

×

𝑅2p0,2 𝐸𝜚

.

(9.141)

∙ Referenzqerschnitt: 𝑉0 = 𝑏ℎ0 𝐿 , Π0 = 𝑆𝐸𝐴0 =

(9.142)

𝐿5 𝑞02 20𝐸𝑏ℎ30 1 20

×

,

(9.143)

𝐿4 𝑞02 𝐸𝑏2 ℎ40 𝜚

=

4 45

×

𝑅2p0,2 𝐸𝜚

.

(9.144)

∙ Vergleiche: 𝑆𝐸𝐴 𝑆𝐸𝐴0

=

15 8

≈ 1,875 .

(9.145)

228

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

4.4.7 Optimierung eines beidseitig gelenkig gelagerten Biegebalkens unter konstanter Streckenlast: Rohrquerschnitt (numerische Integration) ∙ Momentenverteilung: [ ]2 [ ]1 𝑞0 𝐿2 ⎛ 𝑥 𝑥 ⎞ ⎟ < 0. ⎜ − 𝑀𝑦 (𝑥) = 2 ⎜ 𝐿 𝐿 ⎟ ⎠ ⎝

(9.146)

∙ Optimierter Durchmesser (siehe auch Abb. 9.12):

𝑑(𝑥) =

⎛ 1 4 3 𝑑0 ⎜−

[ ]2 𝑥

⎜ ⎝

𝐿

1

[ ]1 3 𝑥 ⎞ ⎟ , + 𝐿 ⎟ ⎠

(9.147)

mit ( 𝑑0 =

324𝑞0 𝐿2

)1 3

65𝜋𝑅p0,2

= 35,17 mm .

Balkendurchmesser 𝑑( 𝐿𝑥 )

𝑑 optimiert +

(9.148)

𝑑0 konstant

𝑑0 2

0

−

𝑑0 2

0

0,5 Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.12 Balkendurchmesser entlang der Balkenachse

Π = 161921,87 Nmm ,

(9.149)

𝑉 = 1013496,90 mm3 .

(9.150)

9.3 Kapitel 4

229

∙ Konstanter Durchmesser: Π0 = 116831,68 Nmm ,

(9.151)

𝑉0 = 1371130,53 mm3 .

(9.152)

∙ Verhältnis: 𝑆𝐸𝐴

= 1,875 .

𝑆𝐸𝐴0

(9.153)

4.4.8 Optimierung eines Biegebalkens entlang der Längsachse unter dem Einfluss zweier unterschiedlicher Einzelkräfte ∙ Momentenverteilung

𝑀𝑦,I (𝑥) =

3𝐹0 𝐿 4

( 1−

(

𝑀𝑦,II (𝑥) = 𝐹0 𝐿 1 −

)

2𝑥

3𝐿 ) 𝑥

𝐿

für 0 ≤ 𝑥 ≤ für

𝐿 2

𝐿 2

,

≤ 𝑥 ≤ 𝐿.

(9.154)

(9.155)

∙ Optimierter Durchmesser (siehe auch Abb. 9.13): √

2𝑥 𝐿 3 für 0 ≤ 𝑥 ≤ , 𝑑I (𝑥) = 𝑑0 × 1 − 3𝐿 2 √ √ 𝑥 𝐿 3 3 4 × 𝑑0 × 1 − für ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, 𝑑II (𝑥) = 3 𝐿 2

(9.156)

(9.157)

wobei sich der Referenzdurchmesser an der Einspannstelle wie folgt ergibt: √ √ 3𝐹0 𝐿 √ √ 3 4 𝑑0 = √ . (9.158) 272 𝑅 p0,2 1875 ∙ Gesamte Verzerrungsenergie:

230

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Balkendurchmesser 𝑑( 𝐿𝑥 )

𝑑 optimiert +

𝑑0 konstant

𝑑0 2

0

−

𝑑0 2

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

Abb. 9.13 Balkendurchmesser (außen) entlang der Balkenachse

𝐿

Π=

(𝑀𝑦

∫

(𝑥))2

2𝐸𝐼

𝐿 2

d𝑥 =

∫

0

=

0

𝑀𝑦,I (𝑥)2 2𝐸𝐼I

𝐿

d𝑥 +

2 1 ⎞ ⎛ 3 3 3 𝐿⎟ 9𝐿 2 ⎜ 16875 × 𝐹02 𝐿2 ⎜ − 5 ⎟⎟ ⎜ 10 ⎝ ⎠

4352 × 𝐸𝑑04

≈ 2,602043 × ∙ Gesamte Masse:

𝐹02 𝐿3 𝐸𝑑04

.

(𝑀𝑦,II (𝑥))2

∫ 𝐿 2

+

2𝐸𝐼II

10 3 𝐹 2 𝐿3 0 5 10 17 × 2 3 4 3 𝐸𝑑04

125 × 3

d𝑥

(9.159)

(9.160)

(9.161)

9.3 Kapitel 4

231 𝐿 2

𝐿

𝑚=

𝜚𝐴(𝑥)d𝑥 =

∫ 0

𝐿

𝜚𝐴I (𝑥)d𝑥 +

∫ 0

2 1 ⎞ ⎛ ⎜ 9𝐿 2 3 3 3 𝐿⎟ 2 = × − 𝑑 𝜚+ 25 ⎜⎜ 10 5 ⎟⎟ 0 ⎝ ⎠

16

∫

𝜚𝐴II (𝑥)d𝑥

(9.162)

𝐿 2 1 8 3 3 4 3 𝐿𝑑02 𝜚 5 125 × 2 3

(9.163)

≈ 0,429477 × 𝐿 𝑑0 2 𝜚 .

(9.164)

∙ Spezifische Energieabsorption: 𝑆𝐸𝐴 =

Π 𝑚

= 6,058637 ×

𝐹02 𝐿2 𝐸𝑑06 𝜚

.

(9.165)

4.4.9 Optimierung eines Biegebalkens entlang der Längsachse unter dem Einfluss einer Einzelkraft und eines Einzelmoments ∙ Geometrische Größen:

𝐼(𝑥) = 𝐴(𝑥) =

61𝑎(𝑥)4 972 4𝑎(𝑥)2 9

,

(9.166)

.

(9.167)

∙ Balkenkontur 𝑎 = 𝑎(𝑥) entlang der Balkenachse (siehe Abb. 9.14):

𝑎(𝑥) =

( )1 6 3 7

( 𝑎0

7 6

−

)1

𝑥

3

𝐿

( ≈ 0,9499 × 𝑎0

7 6

−

𝑥

)1

𝐿

3

,

(9.168)

wobei sich für den Referenzquerschnitt folgende Abmessung ergibt: ( 𝑎0 = ∙ Konstanter Querschnitt:

)1 567𝐹0 𝐿 3 61𝑅p0,2

.

(9.169)

232

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Balkenabmessung 𝑎( 𝐿𝑥 )

𝑎 optimiert

𝑎0 konstant

𝑎

+ 20

0

𝑎

− 20

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

Abb. 9.14 Balkenabmessung entlang der Balkenachse

Π0 =

513 122

×

𝐹02 𝐿3 𝐸𝑎40

𝑆𝐸𝐴0 ≈ 5,1488 ×

≈ 4, 2049 ×

𝑅2p0,2 𝐸𝜚

𝐹02 𝐿3 𝐸𝑎40

≈ 2,2175 ×

𝑅2p0,2 𝐿𝑎20 𝐸

.

,

(9.170)

(9.171)

∙ Optimierter Querschnitt:

Π ≈ 7,2946 ×

𝐹02 𝐿3

𝑆𝐸𝐴 ≈ 12,8672 ×

𝐸𝑎40 𝑅2p0,2 𝐸𝜚

≈ 3,8468 ×

𝑅2p0,2 𝐿𝑎20 𝐸

,

(9.172)

.

(9.173)

≈ 2,5789 .

(9.174)

∙ Verhältnis: 𝑆𝐸𝐴 𝑆𝐸𝐴0

=

49 19

4.4.10 Optimierung eines Kragarms entlang der Längsachse unter dem Einfluss einer konstanten Streckenlast ∙ Momentenverteilung

9.3 Kapitel 4

233

𝑀𝑦 (𝑥) =

𝑞0 𝐿2

( 1−

𝑥

2

)2 .

𝐿

(9.175)

∙ Konstanter Querschnitt

𝐴0 = 𝐼0 = 𝑚0 = Π0 = 𝑆𝐸𝐴0 =

8𝑎0 2

, 9 199𝑎0 4

(9.176)

, 9 243𝐿5 𝑞0 2

(9.178)

, 486 8𝐿 𝑎0 2 𝜚

(9.177)

3980𝐸 𝑎0 4

,

(9.179)

2187𝐿4 𝑞0 2 31840𝐸 𝑎0 6 𝜚

.

(9.180)

,

(9.181)

∙ Optimierter Querschnitt (siehe Abb. 9.15) ( 𝑎(𝑥) = 𝑎0 1 − 𝐴(𝑥) =

)2

𝑥

3

𝐿

8

a(𝑥)2 , 9 199 a(𝑥)4 , 𝐼(𝑥) = 486 8𝐿 𝑎0 2 𝜚 𝑚= , 21 729𝐿5 𝑞0 2 Π= , 5572𝐸 𝑎0 4

𝑆𝐸𝐴 =

2187𝐿4 𝑞0 2 6368𝐸 𝑎0 6 𝜚

(9.182) (9.183) (9.184) (9.185) .

(9.186)

∙ Verhältnisse 𝑚 𝑚0 𝑆𝐸𝐴 𝑆𝐸𝐴0

3

,

(9.187)

= 5.

(9.188)

=

7

234

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Balkenabmessung 𝑎( 𝐿𝑥 )

𝑎 optimiert

𝑎0 konstant

+𝑎0

0

−𝑎0

0

0,5 Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.15 Balkenabmessung entlang der Balkenachse

Damit der ‘optimierte’ Balken an jeder Stelle 𝑥 den gleichen Querschnitt hätte, müsste eine konstante Biegemomentenverteilung vorliegen. Dies könnte durch ein Einzelmoment am freien Ende erzielt werden.

9.3 Kapitel 4

235

4.4.11 Optimales Design eines einseitig fest eingespannten Balkens (klassisches Optimierungsproblem) Die Zielfunktion des Optimierungsproblems, d. h. die Masse des Balkens, lässt sich als Funktion der Designvariablen 𝑋 = 𝑎 wie folgt darstellen: 𝐹 (𝑋) = 𝑚(𝑋) = 2𝜚𝐿𝑋 2 ,

(9.189)

wobei die Minimierung unter Beachtung der folgenden Ungleichheitsrestriktionen (siehe Abb. 9.16) durchzuführen ist, siehe Öchsner 2014:

𝑔1 (𝑋) =

𝐹0 𝐿3

− 𝑟1 𝐿 ≤ 0 (Verschiebung) , 2𝐸𝑋 4 3𝐹0 𝐿 − 𝑅p0,2 ≤ 0 (Spannung) . 𝑔2 (𝑋) = 2𝑋 3

Funktionen 𝐹 (𝑋), 𝑔1 (𝑋), 𝑔2 (𝑋)

40

𝑔2

(9.190) (9.191)

𝑔1

30

20

10

𝐹 (𝑋)

0

−10

0

10

20

30

40

50

Designvariable 𝑋

Abb. 9.16 Optimales Design eines einseitig fest eingespannten Biegebalkens mit: 𝐿 = 2540 mm, 𝐹0 = 2667 N, 𝐸 = 68948 MPa, 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜚 = 2,691 × 10−6 kg∕mm3 , 𝑟1 = 0,03 (Ausgangsgleichungen (9.189)–(9.191)). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋extr = 45,160 mm Analytische Lösung basierend auf der graphischen Darstellung in Abb. 9.16: ( 𝑋extr =

𝐹0 𝐿2 2𝐸𝑟1

)1 4

= 45,16 mm .

(9.192)

236

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Alternativ zu Gln. (9.189)–(9.191) kann man auch eine normierte Darstellung, d. h. ohne eine bestimmte Einheit, angeben. Durch Einführung der normalisierten geometrischen Abmessung 𝑎n = 𝑎∕𝐿 = 𝑋 n gelangt man zu den entsprechenden Gleichungen des Optimierungsproblems:

𝐹 n (𝑋 n ) = 𝐹 n (𝑎n ) = 𝑔1n (𝑋 n ) = 𝑔1n (𝑎n ) =

𝑚

( )2 ( )2 = 2 × 𝑎n = 2 × 𝑋 n ,

𝜚 × 𝐿3 𝐹0

(9.193)

𝐹0

− 1 ≤ 0, 2𝐸𝐿2 𝑟1 (𝑋 n )4 3𝐹0 𝑔2n (𝑋 n ) = 𝑔2n (𝑎n ) = −1= − 1 ≤ 0. 2 n 3 2 2𝐿 𝑅p0,2 (𝑎 ) 2𝐿 𝑅p0,2 (𝑋 n )3 2𝐸𝐿2 𝑟1 (𝑎n )4 3𝐹0

−1=

(9.194) (9.195)

Die graphische Darstellung dieser normalisierten Gleichungen ist in Abb. 9.17a geboten. Man erkennt, dass beide Ungleichheitsrestriktionen wieder eine einzige Nullstelle im betrachteten Bereich der Abszisse aufweisen. Jedoch sind beide Steigungen extrem steil. Somit kann ein Skalierungsfaktor 𝛽 eingefügt werden, um die Ungleichheitsrestriktionen wie folgt zu modifizieren:

𝑔1n (𝑋 n )∕𝛽 = 𝑔2n (𝑋 n )∕𝛽

=

1 𝛽 1

( (

𝛽

𝐹0 2𝐸𝐿2 𝑟1 (𝑋 n )4

) −1≤0

3𝐹0 2𝐿2 𝑅p0,2 (𝑋 n )3

,

(9.196)

) −1≤0

.

(9.197)

Es ist offensichtlich, dass die Skalierung nicht die Lage der Nullstellen ändert und ein ähnlicher Verlauf aller Kurven erhalten bleibt, siehe Abb. 9.17b. 4.4.12 Optimales Design eines Druckstabes (klassisches Optimierungsproblem) Die Zielfunktion des Optimierungsproblems, d. h. die Masse des Druckstabes, lässt sich als Funktion der Designvariablen 𝑋 = 𝑎 wie folgt darstellen: 𝐹 (𝑋) = 𝑚(𝑋) = 2𝜚𝐿𝑋 2 ,

(9.198)

wobei die Minimierung unter Beachtung der folgenden Ungleichheitsrestriktionen (siehe Abb. 9.18) durchzuführen ist, siehe Öchsner 2014:

𝑔1 (𝑋) =

𝐹0 2𝑋 2

𝑔2 (𝑋) = 𝐹0 −

− 𝑅p0,2 ≤ 0 (Spannung) , 𝜋 2 𝐸𝑋 4 24𝐿2

≤ 0 (Knicken) .

(9.199) (9.200)

9.3 Kapitel 4

237

(a)

Funktionen 𝐹 n (𝑋 n ), 𝑔1n (𝑋 n ), 𝑔2n (𝑋 n )

1,0

×10−3 𝑔2n

𝑔1n

0,8 0,6 0,4 0,2 𝐹 n (𝑋) 0,0

−0,2 0,0

0,5

1,0

1,5

Normalisierte Designvariable 𝑋 n

2,0 ×10−2

(b)

Funktionen 𝐹 n (𝑋 n ), 𝑔1n (𝑋 n )∕𝛽, 𝑔2n (𝑋 n )∕𝛽

1,0

×10−3 𝑔2n ∕𝛽

𝑔1n ∕𝛽

0,8 0,6 0,4 0,2 𝐹 n (𝑋) 0,0

−0,2 0,0

0,5

1,0

1,5

Normalisierte Designvariable 𝑋

n

2,0 ×10−2

Abb. 9.17 Optimales Design eines einseitig fest eingespannten Balkens: (a) normalisierte Gleichungen und (b) normalisierte Gleichungen mit skalierten Ungleichheitsn = 0,01778 restriktionen (𝛽 = 7000). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋extr

238

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Funktionen 𝐹 (𝑋), 𝑔1 (𝑋), 𝑔2 (𝑋)

10

𝑔1

𝑔2

5

𝐹 (𝑋)

0

−5

0

5

10

15

20

25

30

Designvariable 𝑋

Abb. 9.18 Optimales Design eines Druckstabes: 𝐿 = 1000 mm, 𝐹0 = 2667 N, 𝐸 = 70000 MPa, 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜚 = 2,691 × 10−6 kg∕mm3 (Ausgangsgleichungen (9.198)–(9.200)). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋extr = 17,447 mm

4.4.13 Optimales Design eines kurzen, einseitig fest eingespannten Balkens (klassisches Optimierungsproblem) Die Zielfunktion des Optimierungsproblems, d. h. die Masse des Balkens, lässt sich als Funktion der Designvariablen 𝑋 = 𝑎 wie folgt darstellen: 𝐹 (𝑋) = 𝑚(𝑋) = 2𝜚𝐿𝑋 2 ,

(9.201)

wobei die Minimierung unter Beachtung der folgenden Ungleichheitsrestriktionen (siehe Abb. 9.19) durchzuführen ist, siehe Öchsner 2014:

𝑔1 (𝑋) = 𝑔2 (𝑋) =

3𝐹0 𝐿 2𝑋 3 3𝐹0 4𝑋 2

− 𝑅p0.2 ≤ 0 (Normalspannung) ,

−

𝑅p0.2 2

≤ 0 (Schubspannung) .

(9.202) (9.203)

9.3 Kapitel 4

239

Funktionen 𝐹 (𝑋), 𝑔1 (𝑋), 𝑔2 (𝑋)

10

𝑔2

𝑔1

5

𝐹 (𝑋) 0

−5

0

5

10

15

20

25

30

Designvariable 𝑋

Abb. 9.19 Optimales Design eines kurzen, einseitig fest eingespannten Balkens: 𝐿 = 846,67 mm, 𝐹0 = 2667 N, 𝐸 = 68948 MPa, 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜚 = 2,691 × 10−6 kg∕mm3 , (Ausgangsgleichungen (9.201)–(9.203)). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋extr = 23,936 mm

240

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

4.4.14 Optimales Design eines einseitig fest eingespannten Balkens: Konstanter Rechteckquerschnitt (klassisches Optimierungsproblem) Die Zielfunktion des Optimierungsproblems, d. h. die Masse des Balkens, lässt sich als Funktion der beiden Designvariablen 𝑋1 = 𝑎 und 𝑋2 = 𝑏 wie folgt darstellen: 𝐹 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑚(𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝜚𝑉 = 𝜚𝐿𝑋1 𝑋2 ,

(9.204)

wobei die Minimierung unter Beachtung der folgenden drei Ungleichheitsrestriktionen (siehe Abb. 9.20) durchzuführen ist, siehe Öchsner 2014:

𝑔1 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑔2 (𝑋1 , 𝑋2 ) =

4𝐹0 𝐿3

− 𝑟1 𝐿 ≤ 0 (Verschiebung) ,

(9.205)

− 𝑅p0,2 ≤ 0 (Normalspannung) ,

(9.206)

𝐸𝑋1 𝑋23 6𝐹0 𝐿 𝑋1 𝑋22

𝑔3 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑋2 − 20𝑋1 ≤ 0 (Höhen-Breiten-Verhältnis) .

(9.207)

Aus Abb. 9.20 erkennt man, dass das Minimum–unter Beachtung der gegebenen Ungleichheitsrestriktionen–sich als Schnittpunkt der Kurven 𝑔1 und 𝑔3 ergibt. Eine einfache Rechnung ergibt die analytische Lösung zu:

−

𝑋1,extr = (20)

3 4

( ×

4𝐹0 𝐿2 𝐸𝑟1

)1

4

= 8,031 mm ,

𝑋2,extr = 20 × 𝑋1,extr = 160,614 mm .

(9.208) (9.209)

Das Ergebnis von Aufgabe 4.4.11, d. h. 𝑎 = 45,160 und 2𝑎 = 90,3, ist durch den ⋆ Marker in Abb. 9.20 gekennzeichnet. Für die gegebenen geometrischen Abmessungen ergibt sich hierbei eine gesamte Masse von 𝐹 (𝑎, 2𝑎) = 𝑚(𝑎, 2𝑎) = 27,9 kg, während die Optimierung für eine variable Breite und Höhe 𝐹 (𝑋1,extr , 𝑋2,extr ) = 𝑚(𝑋1,extr , 𝑋2,extr ) = 8,8 kg ergibt.

9.3 Kapitel 4

241

F (X1 , X2 )

150 g1

30

20

100

10

5 2,5

Designvariable X2 in mm

200

50

40

g2

50

30

g3 0

2,5

0

5

20 40 60 Designvariable X1 in mm

10

80

Abb. 9.20 Optimales Design eines einseitig fest eingespannten Biegebalkens mit: 𝐿 = 2540 mm, 𝐹0 = 2667 N, 𝐸 = 68948 MPa, 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜚 = 2,691 × 10−6 kg∕mm3 , 𝑟1 = 0,03 (Ausgangsgleichungen (9.204)–(9.207)). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋1,extr = 8,031 mm, 𝑋2,extr = 160,614 mm (gekennzeichnet durch den ⦁ Marker)

242

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

4.4.15 Optimales Design eines beidseitig gelenkig gelagerten Balkens: Konstanter Rechteckquerschnitt (klassisches Optimierungsproblem) Die Zielfunktion des Optimierungsproblems, d. h. die Masse des Balkens, lässt sich als Funktion der beiden Designvariablen 𝑋1 = 𝑎 und 𝑋2 = 𝑏 wie folgt darstellen: 𝐹 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑚(𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝜚𝑉 = 𝜚𝐿𝑋1 𝑋2 ,

(9.210)

wobei die Minimierung unter Beachtung der folgenden vier Ungleichheitsrestriktionen (siehe Abb. 9.21) durchzuführen ist, siehe Öchsner 2014:

𝑔1 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑔2 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑔3 (𝑋1 , 𝑋2 ) =

3𝐹0 𝐿 2𝑋1 𝑋22 3𝐹0 4𝑋1 𝑋2

− 𝑅p0,2 ≤ 0 (Normalspannung) , −

𝐹0 𝐿3 4𝐸𝑋1 𝑋23

𝑅p0,2

(9.211)

≤ 0 (Schuspannung) ,

(9.212)

− 𝑟1 𝐿 ≤ 0 (Verschiebung) ,

(9.213)

2

𝑔4 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑋2 − 20𝑋1 ≤ 0 (Höhen-Breiten-Verhältnis) .

(9.214)

Aus Abb. 9.21 erkennt man, dass das Minimum–unter Beachtung der gegebenen Ungleichheitsrestriktionen–sich als Schnittpunkt der Kurven 𝑔1 und 𝑔4 für den Fall 𝑟1 = 0,03 und als Schnittpunkt der Kurven 𝑔3 und 𝑔4 für den Fall 𝑟1 = 0,003 ergibt. Eine einfache Rechnung ergibt die analytische Lösung zu:

2 − (20) 3

(

3𝐹0 𝐿

)1 3

𝑋1,extr ||𝑟

=

𝑋2,extr ||𝑟

= 20 × 𝑋1,extr = 93,704 mm ,

1 =0,03

1 =0,03

×

2𝑅p0,2

= 4,685 mm ,

(9.215) (9.216)

beziehungsweise

𝑋1,extr ||𝑟

1 =0,003

𝑋2,extr ||𝑟

1 =0,003

=

3 − (20) 4

( ×

𝐹0 𝐿2 4𝐸𝑟1

)1 4

= 7,140 mm ,

= 20 × 𝑋1,extr = 142,809 mm .

(9.217) (9.218)

9.3 Kapitel 4

243

(a) 0

100

F (X1 , X2 )

60

20

10

40

g4

2 ,5

Designvariable X2 in mm

30

20

5

40

80

g3

5

g1

10

20 5

g2 0

2,5

0

20 40 60 Designvariable X1 in mm

80

(b)

F (X1 , X2 )

150

20

30

40

50

g3 2 ,5

50

0

10

100

5

Designvariable X2 in mm

200

g4

g2 0

30

g1

5

20 40 60 Designvariable X1 in mm

10 2,5

80

Abb. 9.21 Optimales Design eines beidseitig gelenkig gelagerten Biegebalkens mit 𝐿 = 2540 mm, 𝐹0 = 2667 N, 𝐸 = 68948 MPa, 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜚 = 2,691 × 10−6 kg∕mm3 (Ausgangsgleichungen (9.210)–(9.214)): (a) 𝑟1 = 0,03, exakte Lösung für das Minimum: 𝑋1,extr = 4,685 mm, 𝑋2,extr = 93,704 mm (gekennzeichnet durch den ⦁ Marker), (b) 𝑟1 = 0,003, exakte Lösung für das Minimum: 𝑋1,extr = 7,140 mm, 𝑋2,extr = 142,809 mm (gekennzeichnet durch den ⦁ Marker)

244

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

4.4.16 Optimales Design eines Druckstabes: konstanter Rechteckquerschnitt (klassisches Optimierungsproblem) Die Zielfunktion des Optimierungsproblems, d. h. die Masse des Druckstabes, lässt sich als Funktion der beiden Designvariablen 𝑋1 = 𝑎 und 𝑋2 = 𝑏 wie folgt darstellen: 𝐹 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑚(𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝜚𝑉 = 𝜚𝐿𝑋1 𝑋2 ,

(9.219)

wobei die Minimierung unter Beachtung der folgenden drei Ungleichheitsrestriktionen (siehe Abb. 9.22) durchzuführen ist, siehe Öchsner 2014:

𝑔1 (𝑋1 , 𝑋2 ) =

𝐹0 𝑋1 𝑋2

𝑔2 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝐹0 − 𝑔3 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝐹0 −

− 𝑅p0,2 ≤ 0 (Normalspannung) ,

𝜋 2 𝐸𝑋1 𝑋23 48𝐿2 2 𝜋 𝐸𝑋2 𝑋13 48𝐿2

(9.220)

≤ 0 (Knicken, 𝑦-Achse) ,

(9.221)

≤ 0 (Knicken, 𝑧-Achse) .

(9.222)

Aus Abb. 9.22 erkennt man, dass das Minimum–unter Beachtung der gegebenen Ungleichheitsrestriktionen–sich als Schnittpunkt der Kurven 𝑔2 und 𝑔3 ergibt. Eine einfache Rechnung ergibt die analytische Lösung zu: ( 𝑋1,extr = 𝑋2,extr =

48𝐹0 𝐿2

)1

𝜋2𝐸 48𝐹0 𝐿2 3 𝜋 2 𝐸𝑋1,extr

4

= 20,748 mm ,

= 20,748 mm .

(9.223)

(9.224)

Das Ergebnis von Aufgabe 4.4.12, d. h. 𝑎 = 17,447 und 2𝑎 = 34,894, ist durch den ⋆ Marker in Abb. 9.22 gekennzeichnet. Für die gegebenen geometrischen Abmessungen ergibt sich hierbei eine gesamte Masse von 𝐹 (𝑎, 2𝑎) = 𝑚(𝑎, 2𝑎) = 1,638 kg, während die Optimierung für eine variable Breite und Höhe 𝐹 (𝑋1,extr , 𝑋2,extr ) = 𝑚(𝑋1,extr , 𝑋2,extr ) = 1,158 kg ergibt. 4.4.17 Optimales Design eines kurzen, einseitig fest eingespannten Balkens: konstanter Rechteckquerschnitt (klassisches Optimierungsproblem) Die Zielfunktion des Optimierungsproblems, d. h. die Masse des Balkens, lässt sich als Funktion der beiden Designvariablen 𝑋1 = 𝑎 und 𝑋2 = 𝑏 wie folgt darstellen: 𝐹 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑚(𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝜚𝑉 = 𝜚𝐿𝑋1 𝑋2 ,

(9.225)

9.3 Kapitel 4

245 10

60

5

2,5

1 ,5 1 0,5

Designvariable X2 in mm

80

F (X1 , X2 )

40

20

0,

g2 5

g3

g1 0

0

0,5

10

2,5 1

1,5

20 30 40 50 Designvariable X1 in mm

60

Abb. 9.22 Optimales Design eines Druckstabes: 𝐿 = 1000 mm, 𝐹0 = 2667 N, 𝐸 = 70000 MPa, 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜚 = 2,691 × 10−6 kg∕mm3 , (Ausgangsgleichungen (9.219)–(9.222)). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋1,extr = 20,748 mm, 𝑋2,extr = 20,748 mm (gekennzeichnet durch den ⦁ Marker)

wobei die Minimierung unter Beachtung der folgenden drei Ungleichheitsrestriktionen (siehe Abb. 9.23) durchzuführen ist, siehe Öchsner 2014:

𝑔1 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑔2 (𝑋1 , 𝑋2 ) =

6𝐹0 𝐿 𝑋1 𝑋22 3𝐹0

− 𝑅p0,2 ≤ 0 (Normalspannung) , 𝑅p0,2

≤ 0 (Schubspannung) , 2𝑋1 𝑋2 2 𝑔3 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑋2 − 20𝑋1 ≤ 0 (Höhen-Breiten-Verhältnis) . −

(9.226)

(9.227) (9.228)

Aus Abb. 9.23 erkennt man, dass das Minimum–unter Beachtung der gegebenen Ungleichheitsrestriktionen–sich als Schnittpunkt der Kurven 𝑔1 und 𝑔3 ergibt. Eine einfache Rechnung ergibt die analytische Lösung zu:

𝑋1,extr =

2 − 20 3

( ×

6𝐹0 𝐿 𝑅p0,2

)1 3

= 5,157 mm ,

𝑋2,extr = 20 × 𝑋1,extr = 103,135 mm .

(9.229) (9.230)

246

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

100

F (X1 , X2 ) 5

80 2, 5

1,5

60

1

0,5

Designvariable X2 in mm

120

g1

40

2 ,5

g3 1

20 0

g2 0

1 ,5 0,5

10 20 30 Designvariable X1 in mm

1

40

Abb. 9.23 Optimales Design eines kurzen, einseitig fest eingespannten Balkens: 𝐿 = 846,67 mm, 𝐹0 = 2667 N, 𝐸 = 68948 MPa, 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜚 = 2,691 × 10−6 kg∕mm3 , (Ausgangsgleichungen (9.225)–(9.228)). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋1,extr = 5,157 mm, 𝑋2,extr = 103,135 mm (gekennzeichnet durch den ⦁ Marker) Das Ergebnis von Aufgabe 4.4.13, d. h. 𝑎 = 23,936 and 2𝑎 = 47,872, ist durch den ⋆ Marker in Abb. 9.23 gekennzeichnet. Für die gegebenen geometrischen Abmessungen ergibt sich hierbei eine gesamte Masse von 𝐹 (𝑎, 2𝑎) = 𝑚(𝑎, 2𝑎) = 2,611 kg, während die Optimierung für eine variable Breite und Höhe 𝐹 (𝑋1,extr , 𝑋2,extr ) = 𝑚(𝑋1,extr , 𝑋2,extr ) = 1,212 kg ergibt. 4.4.18 Optimales Design eines gestuften Kragarms mit zwei Abschnitten (klassisches Optimierungsproblem) Das Problem erfordert die Berechnung sowohl der Verformungen als auch der Spannungsverteilungen. Diese Aufgabe kann mittels einer ‘Handrechnung’ basierend auf der Finite-Elemente-Methode angegangen werden. Eine einzelne Steifigkeitsmatrix eines Euler-Bernoulli Balkenelementes kann wie folgt angegeben werden (siehe Öchsner 2016, 2018): ⎡ 12 −6𝐿𝑖 −12 −6𝐿𝑖 ⎤ 𝐼 𝐸 ⎢−6𝐿𝑖 4𝐿2𝑖 6𝐿𝑖 2𝐿2𝑖 ⎥ 𝑖 𝑖 𝑲 e𝑖 = ⎢ ⎥. 𝐿3𝑖 ⎢ −12 6𝐿𝑖 12 6𝐿𝑖 ⎥ 2 2 ⎣−6𝐿𝑖 2𝐿𝑖 6𝐿𝑖 4𝐿𝑖 ⎦

(9.231)

9.3 Kapitel 4

247

Der Zusammenbau der beiden Element-Steifigkeitsmatrizen 𝑲 e𝑖 , unter der Berück1 1 𝑎𝑏3I und 𝐼II = 12 𝑎𝑏3II , ergibt sichtigung von 𝐸I = 𝐸II = 𝐸, 𝐿I = 𝐿II = 𝐿2 , 𝐼I = 12 das folgende globale (reduzierte) Gleichungssystem: )( ) ( 2𝑎 𝑏I 3 2𝑎 𝑏II 3 8𝑎 𝑏 3 2𝑎 𝑏 3 ⎡ 8𝑎 𝑏II 3 + 8𝑎 𝑏I 3 − 𝐿3II − 𝐿2II ⎤ ⎡ 𝑢2𝑧 ⎤ ⎡ 0 ⎤ − 3 3 2 2 𝐿 )( 𝐿 𝐿 ) ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢( 𝐿 2𝑎 𝑏II 3 2𝑎 𝑏I 3 2𝑎 𝑏II 3 𝑎 𝑏II 3 ⎥ ⎢𝜑 ⎥ ⎢ 2𝑎 𝑏I 3 − 2𝑎 𝑏II 3 ⎢ 0 ⎥ 2𝑦 + 𝐿2 3𝐿 3𝐿 𝐿2 3𝐿 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ . (9.232) 𝐸 ⎢ 𝐿2 8𝑎 𝑏II 3 2𝑎 𝑏II 3 8𝑎 𝑏II 3 2𝑎 𝑏II 3 ⎥ ⎢ 𝑢3𝑧 ⎥ ⎢ ⎢−𝐹0 ⎥ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 𝐿3 𝐿2 𝐿3 𝐿2 ⎥ ⎢ 2𝑎 𝑏II 3 𝑎 𝑏II 3 2𝑎 𝑏II 3 ⎥ ⎢𝜑 ⎥ 2𝑎 𝑏II 3 ⎢ ⎢ 0 ⎥ 3𝑦 − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 𝐿2 3𝐿 𝐿2 3𝐿 ⎦ ⎣ Die letzte Gleichung berücksichtigt bereits, dass alle drei Freiheitsgrade am Knoten 1 gleich Null sind. Die Lösung des Gleichungssystems kann zum Beispiel durch Invertierung der globalen Steifigkeitsmatrix und anschließende Multiplikation von der rechten Seite, d. h. 𝒖 = 𝑲 −1 𝒇 , erhalten werden. Somit ergibt sich die Spaltenmatrix der unbekannten Knotenwerte zu: 5𝐹 𝐿 ⎡𝑢 ⎤ ⎡ ⎤ − 0 3 4𝐸𝑎 𝑏I ⎥ ⎢ 2𝑧 ⎥ ⎢ 9𝐹0 𝐿2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢𝜑2𝑦 ⎥ ⎢ 2𝐸𝑎 𝑏I 3 ( ) ⎢ ⎥ = ⎢ 𝐹0 𝐿3 7𝑏II 3 +𝑏I 3 ⎥ . ⎢ 𝑢3𝑧 ⎥ ⎢− 2𝐸𝑎 𝑏 3 𝑏 3 ⎥ II ) ⎢ ⎥ ⎢ 3𝐹 𝐿2 (3𝑏 I 3 +𝑏 3 ⎥ II I ⎥ ⎢𝜑3𝑦 ⎥ ⎢ 0 3 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2𝐸𝑎 𝑏I 𝑏II 3

(9.233)

Die Biegemomenten- und Querkraftverteilungen innerhalb eines einzelnen Elementes können allgemein mittels (der Index ‘1’ bezieht sich auf den Startknoten während sich der Index ‘2’ auf den Endknoten eines Elementes bezieht) der folgenden Beziehungen ausgedrückt werden: ([ ] ] [ 6 12𝑥 4 6𝑥 + − 𝑢1𝑧 + − + 𝜑1𝑦 𝑀𝑦e (𝑥) =𝐸𝐼𝑦 𝐿 𝐿2 𝐿2 𝐿3 (9.234) ] ] ) , [ [ 6 12𝑥 2 6𝑥 𝑢2𝑧 + − + 𝜑2𝑦 + − + 𝐿 𝐿2 𝐿2 𝐿3 ([ 𝑄e𝑧 (𝑥)

= 𝐸𝐼𝑦

−

12 𝐿3

]

[ 𝑢1𝑧 + +

6 𝐿2

]

[ 𝜑1𝑦 + +

12 𝐿3

]

[ 𝑢2𝑧 + +

6 𝐿2

]

) 𝜑2𝑦

. (9.235)

Somit können die Normal- und Schubspannungsverteilungen allgemein wie folgt berechnet werden:

248

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

𝜎𝑥e (𝑥, 𝑧) = e (𝑥, 𝑧) 𝜏𝑥𝑧

𝑀𝑦e (𝑥)

× 𝑧,

(9.236)

( )2 ⎤ 𝑄e𝑧 (𝑥) ⎡ 𝑏 ⎢ = − 𝑧2 ⎥ . ⎥ 2𝐼𝑦 ⎢ 2 ⎣ ⎦

(9.237)

𝐼𝑦

Die Knotenwerte der inneren Reaktionen zur Berechnung der Normal- und Schubspannungen sind in Tabelle 9.2 zusammengefasst. Es wird hier angemerkt, dass in diesem Fall die Knotenwerte basierend auf der Finite-Elemente-Berechnung identisch mit der analytischen Lösung sind. Tabelle 9.2 Knotenwerte der inneren Reaktionen Biegemoment (𝑀𝑦 ) und Querkraft (𝑄𝑧 ) an jedem Knoten Element I Element II linker Knoten rechter Knoten linker Knoten rechter Knoten 𝑀𝑦 𝑄𝑧

𝐹0 𝐿 −𝐹0

𝐹0 𝐿 2

𝐹0 𝐿 2

−𝐹0

−𝐹0

0 −𝐹0

Aus Tabelle 9.2 kann geschlossen werden, dass die maximale Normalspannung in jedem Element am linken Knoten erreicht wird und dass die Schubspannung konstant in jedem Element ist. Somit können die kritischen Spannungen in jedem Element wie folgt berechnet werden:

𝜎𝑥,I = 𝜎𝑥,II =

6𝐹0 𝐿 𝑎 𝑏I 2 3𝐹0 𝐿 𝑎 𝑏II 2

,

(9.238)

,

(9.239)

,

(9.240)

.

(9.241)

beziehungsweise für die Schubspannungen:

𝜏𝑥𝑧,I = − 𝜏𝑥𝑧,II = −

3𝐹0 2𝑎 𝑏I 3𝐹0

2𝑎 𝑏II

Die Zielfunktion des Optimierungsproblems, d. h. die Masse des gestuften Balkens, lässt sich als Funktion der beiden Designvariablen 𝑋1 = 𝑏I und 𝑋2 = 𝑏II wie folgt darstellen:

9.3 Kapitel 4

249

𝜚𝐿𝑎 ( ( ) ) 𝑋1 + 𝑋2 , (9.242) 𝐹 𝑋1 , 𝑋2 = 𝜚𝐿I 𝑎𝑋1 + 𝜚𝐿II 𝑎𝑋2 = 2 wobei die Minimierung unter Beachtung der folgenden sieben Ungleichheitsrestriktionen durchzuführen ist:

𝑔1 (𝑋1 , 𝑋2 ) = + 𝑔2 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑔3 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑔4 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑔5 (𝑋1 , 𝑋2 ) =

𝐹0 𝐿3 (𝑋13 + 7𝑋23 ) 2𝐸𝑎𝑋13 𝑋23 𝑟1 𝐿

6𝐹0 𝐿 𝑎𝑋12 3𝐹0 𝐿 𝑎𝑋22 3𝐹0 2𝑎𝑋1 3𝐹0

− 1 ≤ 0 (max. Durchbg.) ,

(9.243)

− 𝑅p0,2 ≤ 0 (Normalspannung in I) ,

(9.244)

− 𝑅p0,2 ≤ 0 (Normalspannung in II) ,

(9.245)

−

𝑅p0,2 2

≤ 0 (Schubspannung in I) ,

𝑅p0,2

≤ 0 (Schubspannung in II) , 2𝑎𝑋2 2 𝑔6 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑋1 − 20𝑎 ≤ 0 (Höhen-Breiten-Verhältnis in I) , 𝑔7 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑋2 − 20𝑎 ≤ 0 (Höhen-Breiten-Verhältnis in II) . −

(9.246) (9.247) (9.248) (9.249)

Die graphische Darstellung der Zielfunktion und der Ungleichheitsrestriktionen im 𝑋1 -𝑋2 Designraum ist in Abb. 9.24–9.25 gezeigt. Es kann aus den Abb. 9.24–9.25 geschlossen werden, dass die Berücksichtigung von 𝑔1 , 𝑔2 , und 𝑔3 genügen kann, falls ein vernünftiger Bereich der Designvariablen gewählt wird. Weiterhin kann aus Abb. 9.24 geschlossen werden, dass das Minimum für den Fall erreicht wird, dass 𝑔1 tangential zur Zielfunktion 𝐹 verläuft. Um eine analytische Lösung für das Minimum abzuleiten, muss man berücksichtigen, dass 2𝑐 die Zielfunktion 𝐹 , in der Darstellung 𝑋2 (𝑋1 ) = 𝜚𝐿𝑎 − 𝑋1 , Geradenstücke mit einer Steigung von -1 darstellt. Somit ergibt sich als Bedingung für das Minimum, dass die Kurve 𝑔1 eine Steigung von -1 annimmt. Basierend auf Gl.(9.244) kann der Ausdruck für 𝑔1 neu dargestellt werden: ( 𝑋2 =

−

𝐹0 𝐿3 𝑋13 7𝐹0 𝐿3 − 2𝐸𝑎𝑟1 𝐿𝑋13

)1 3

,

(9.250)

woraus sich nach kurzer Rechnung der Ausdruck der ersten Ableitung wie folgt ergibt: 4

8

− 7𝐹03 𝐿 3 d𝑋2 || ! = −1 . | = 4 ( ) d𝑋1 ||𝑔 1 7𝐹0 𝐿2 − 2𝐸𝑎𝑟1 𝑋13 3

(9.251)

250

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Designvariable X2 in mm

140

g1 (uz )

120

35

100

30

20

80

25

60 40

g3 (σII )

10

20 0

30

15

5

0

20

25

20 g2 (σI )

10

15

40 60 80 100 120 Designvariable X1 in mm

20

140

Abb. 9.24 Optimales Design eines gestuften Kragarms mit zwei Abschnitten: 𝐿 = 2540 mm, 𝑎 = 45,16 mm, 𝑟1 = 0,06, 𝐹0 = 2667 N, 𝐸 = 68948 MPa, 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜚 = 2,691 × 10−6 kg∕mm3 , (Ausgangsgleichungen (9.242)–(9.249)). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋1,extr = 80,442 mm, 𝑋2,extr = 49,455 mm (gekennzeichnet durch den ⦁ Marker)

Die letzte Gleichung kann so umgestellt werden, dass sich auf einer Seite eine Null ergibt, und das Newton-Verfahren kann zur Bestimmung der Nullstelle verwendet werden. Wichtig ist hierbei, dass die Nullstelle in einem vernünftigen Intervall, z. B. 70 ≤ 𝑋1, extr ≤ 85, gesucht wird. 4.4.19 Optimales Design eines beidseitig gelenkig gelagerten Balkens mit drei Abschnitten (klassisches Optimierungsproblem) Das Problem erfordert die Berechnung sowohl der Verformungen als auch der Spannungsverteilungen. Diese Aufgabe kann mittels einer ‘Handrechnung’ basierend auf der Finite-Elemente-Methode angegangen werden. Eine einzelne Steifigkeitsmatrix eines Euler-Bernoulli Balkenelementes kann wie folgt angegeben werden (siehe Öchsner 2016, 2018): ⎡ 12 −6𝐿𝑖 −12 −6𝐿𝑖 ⎤ 𝐼 𝐸 ⎢−6𝐿𝑖 4𝐿2𝑖 6𝐿𝑖 2𝐿2𝑖 ⎥ 𝑖 𝑖 𝑲 e𝑖 = ⎢ ⎥. 𝐿3𝑖 ⎢ −12 6𝐿𝑖 12 6𝐿𝑖 ⎥ 2 2 ⎣−6𝐿𝑖 2𝐿𝑖 6𝐿𝑖 4𝐿𝑖 ⎦

(9.252)

Dieses spezielle Problem erlaubt die Berücksichtigung der Symmetrie in Bezug auf die Geometrie und die Belastung. Somit erlaubt das reduzierte mechanische System

9.3 Kapitel 4

251

(a)

10

1,

88

Designvariable X2 in mm

2,

8

5

2, 5

6

1,

1,

25

88

g4 (τI )

4

1,

2 0

0,

0

2

1,

63

g5 (τII )

88

25

4 6 8 Designvariable X1 in mm

10

(b)

Designvariable X2 in mm

1000 g7 (bII /a)

800 g2 (uz )

16

24

0

0

600 g6 (bI /a)

400

80

200 40

0

0

16

80

80

0

200 400 600 800 Designvariable X1 in mm

1000

Abb. 9.25 Optimales Design eines gestuften Kragarms mit zwei Abschnitten: (a) Ausschnitt für kleine Werte der Designvariablen und (b) globale Ansicht

252

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

nach Abb. 9.26 eine schnellere Berechnung als bei einer Betrachtung der Gesamtstruktur.

Abb. 9.26 Beidseitig gelenkig gelagerter Balken mit drei Abschnitten unter Berücksichtigung der Symmetrie: (a) Allgemeine Konfiguration, (b) Diskretisierung und (c) Balkenquerschnitt 𝑖 Der Zusammenbau der beiden Element-Steifigkeitsmatrizen 𝑲 e𝑖 , unter der Berück1 1 𝑎𝑏3I , und 𝐼II = 12 𝑎𝑏3II , ergibt sichtigung von 𝐸I = 𝐸II = 𝐸, 𝐿I = 𝐿II = 𝐿3 , 𝐼I = 12 das folgende globale (reduzierte) Gleichungssystem: 𝑎 𝑏I 3 9𝑎 𝑏I 3 ⎤ ⎡𝜑1𝑦 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 𝑎 𝑏I 3 0 2𝐿2 2𝐿 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 𝐿3 ( ) ( ) 3 3 3 3 3 216𝑎 𝑏II 27𝑎 𝑏I 9𝑎 𝑏I 18𝑎 𝑏II 216𝑎 𝑏II ⎥ ⎢ 𝑢 ⎥ ⎢ 9𝑎 𝑏I ⎢ 0 ⎥ − + − 2𝑧 2 3 𝐿3 ) ( 2𝐿2 𝐿2 ) 𝐿3 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥. ( 𝐿3 𝐸 ⎢ 𝑎2𝐿 9𝑎 𝑏I 18𝑎 𝑏II 3 2𝑎 𝑏II 3 𝑎 𝑏I 3 18𝑎 𝑏II 3 ⎥ ⎢𝜑 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 𝑏I 3 − + 2𝑦 2 2 2 2𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2𝐿 −𝐹0 216𝑎 𝑏II 3 18𝑎 𝑏II 3 216𝑎 𝑏II 3 ⎥ ⎢ 𝑢 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 3𝑧 − 𝐿3 ⎦⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 𝐿2 𝐿3 (9.253)

9.3 Kapitel 4

253

Die letzte Gleichung berücksichtigt bereits, dass der translatorische Freiheitsgrad am Knoten 1 und der rotatorische Freiheitsgrad am Knoten 3 gleich Null sind. Die Lösung des Gleichungssystems kann zum Beispiel durch Invertierung der globalen Steifigkeitsmatrix und anschließende Multiplikation von der rechten Seite, d. h. 𝒖 = 𝑲 −1 𝒇 , erhalten werden. Somit ergibt sich die Spaltenmatrix der unbekannten Knotenwerte zu: (

)

⎡𝜑1𝑦 ⎤ ⎡ 𝐹0 𝐿 4𝑏II +5𝑏I ⎤ 12𝐸𝑎 𝑏I 3 𝑏II 3 ⎢ ⎥ ⎢ )⎥ ( ⎢ 𝑢 ⎥ ⎢ 𝐹0 𝐿3 8𝑏II 3 +15𝑏I 3 ⎥ ⎢ 2𝑧 ⎥ ⎢− 108𝐸𝑎 𝑏I 3 𝑏II 3 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥. 5𝐹0 𝐿2 ⎢𝜑2𝑦 ⎥ ⎢ ⎥ 12𝐸𝑎 𝑏II 3 ( )⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 3 3 ⎢ 𝑢3𝑧 ⎥ ⎢− 𝐹0 𝐿 8𝑏II +19𝑏I ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 108𝐸𝑎 𝑏I 3 𝑏II 3 2

3

3

(9.254)

Die Biegemomenten- und Querkraftverteilungen innerhalb eines einzelnen Elementes können allgemein mittels (der Index ‘1’ bezieht sich auf den Startknoten während sich der Index ‘2’ auf den Endknoten eines Elementes bezieht) der folgenden Beziehungen ausgedrückt werden: ([ ] ] [ 6 12𝑥 4 6𝑥 + − 𝑢1𝑧 + − + 𝜑1𝑦 𝑀𝑦e (𝑥) =𝐸𝐼𝑦 𝐿 𝐿2 𝐿2 𝐿3 (9.255) ] ] ) , [ [ 6 12𝑥 2 6𝑥 𝑢2𝑧 + − + 𝜑2𝑦 + − + 𝐿 𝐿2 𝐿2 𝐿3 ([ 𝑄e𝑧 (𝑥)

= 𝐸𝐼𝑦

−

12 𝐿3

]

[ 𝑢1𝑧 + +

6 𝐿2

]

[ 𝜑1𝑦 + +

12 𝐿3

]

[ 𝑢2𝑧 + +

6 𝐿2

]

) 𝜑2𝑦

. (9.256)

Somit können die Normal- und Schubspannungsverteilungen allgemein wie folgt berechnet werden:

𝜎𝑥e (𝑥, 𝑧) = e (𝑥, 𝑧) 𝜏𝑥𝑧

𝑀𝑦e (𝑥)

× 𝑧,

(9.257)

( )2 ⎤ 𝑄e𝑧 (𝑥) ⎡ 𝑏 ⎢ = − 𝑧2 ⎥ . ⎥ 2𝐼𝑦 ⎢ 2 ⎣ ⎦

(9.258)

𝐼𝑦

Die Knotenwerte der inneren Reaktionen zur Berechnung der Normal- und Schubspannungen sind in Tabelle 9.3 zusammengefasst. Es wird hier angemerkt, dass in diesem Fall die Knotenwerte basierend auf der Finite-Elemente-Berechnung identisch mit der analytischen Lösung sind.

254

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Tabelle 9.3 Knotenwerte der inneren Reaktionen Biegemoment (𝑀𝑦 ) und Querkraft (𝑄𝑧 ) an jedem Knoten Element I Element II linker Knoten rechter Knoten linker Knoten rechter Knoten 𝑀𝑦 𝑄𝑧

0 −

𝐹0 2

𝐹0 𝐿 6 𝐹 − 20

𝐹0 𝐿 6 𝐹 − 20

−

−

𝐹0 𝐿 4 𝐹 − 20

−

Aus Tabelle 9.3 kann geschlossen werden, dass die maximale Normalspannung in jedem Element am rechten Knoten erreicht wird und dass die Schubspannung konstant in jedem Element ist. Somit können die kritischen Spannungen in jedem Element wie folgt berechnet werden:

𝜎𝑥,I = − 𝜎𝑥,II = −

𝐹0 𝐿

, 𝑎 𝑏I 2 3𝐹0 𝐿

(9.259) ,

2𝑎 𝑏II 2

(9.260)

beziehungsweise für die Schubspannungen:

𝜏𝑥𝑧,I = − 𝜏𝑥𝑧,II = −

3𝐹0 4𝑎 𝑏I 3𝐹0

,

(9.261)

.

(9.262)

4𝑎 𝑏II

Die Zielfunktion des Optimierungsproblems, d. h. die Masse des gestuften Balkens, lässt sich als Funktion der beiden Designvariablen 𝑋1 = 𝑏I und 𝑋2 = 𝑏II wie folgt darstellen: ) ( 𝑋1 𝑋2 ( ) , (9.263) 𝐹 𝑋1 , 𝑋2 = 𝜚𝐿I 𝑎𝑋1 + 𝜚𝐿II 𝑎𝑋2 = 𝜚𝐿𝑎 + 3 6 wobei die Minimierung unter Beachtung der folgenden sieben Ungleichheitsrestriktionen durchzuführen ist:

9.3 Kapitel 4

255

𝑔1 (𝑋1 , 𝑋2 ) = + 𝑔2 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑔3 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑔4 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑔5 (𝑋1 , 𝑋2 ) =

𝐹0 𝐿3 (19𝑋13 + 8𝑋23 ) 108𝐸𝑎𝑋13 𝑋23 𝑟1 𝐿

𝐹0 𝐿 𝑎𝑋12

− 𝑅p0,2 ≤ 0 (Normalspannung in I) ,

3𝐹0 𝐿 2𝑎𝑋22 3𝐹0 4𝑎𝑋1 3𝐹0

− 1 ≤ 0 (max. Durchbg.) ,

(9.265)

− 𝑅p0,2 ≤ 0 (Normalspannung in II) , −

𝑅p0,2 2

(9.266)

≤ 0 (Schubspannung in I) ,

(9.267)

𝑅p0,2

≤ 0 (Schubspannung in II) , 4𝑎𝑋2 2 𝑔6 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑋1 − 20𝑎 ≤ 0 (Höhen-Breiten-Verhältnis in I) , 𝑔7 (𝑋1 , 𝑋2 ) = 𝑋2 − 20𝑎 ≤ 0 (Höhen-Breiten-Verhältnis in II) . −

(9.264)

(9.268) (9.269) (9.270)

Die graphische Darstellung der Zielfunktion und der Ungleichheitsrestriktionen (𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 ) im 𝑋1 -𝑋2 Designraum ist in Abb. 9.27 gezeigt. 140

15

g2 (σI )

100 10

80 15

5

60

10

40

g3 (σII )

15

20 0

20

5

0

g1 (uz )

10

Designvariable X2 in mm

20

10

120

40 60 80 100 120 Designvariable X1 in mm

140

Abb. 9.27 Optimales Design des beidseitig gelenkig gelagerten Balkens mit drei Abschnitten unter Berücksichtigung der Symmetrie: 𝐿 = 2540 mm, 𝑎 = 45,16 mm, 𝑟1 = 0,01, 𝐹0 = 2667 N, 𝐸 = 68948 MPa, 𝑅p0,2 = 247 MPa, 𝜚 = 2,691 × 10−6 kg∕mm3 , (Ausgangsgleichungen (9.263)–(9.270)). Exakte Lösung für das Minimum: 𝑋1,extr = 41,437 mm, 𝑋2,extr = 61,173 mm (gekennzeichnet durch den ⦁ Marker)

256

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Es kann aus den Abb. 9.27 geschlossen werden, dass die Berücksichtigung von 𝑔1 , 𝑔2 , und 𝑔3 genügen kann, falls ein vernünftiger Bereich der Designvariablen gewählt wird. Weiterhin kann aus Abb. 9.27 geschlossen werden, dass das Minimum für den Fall erreicht wird, dass 𝑔1 tangential zur Zielfunktion 𝐹 verläuft. Um eine analytische Lösung für das Minimum abzuleiten, muss man berücksichtigen, dass die Zielfunk6𝑐 tion 𝐹 , in der Darstellung 𝑋2 (𝑋1 ) = 𝜚𝐿𝑎 − 2𝑋1 , Geradenstücke mit einer Steigung von -2 darstellt. Somit ergibt sich als Bedingung für das Minimum, dass die Kurve 𝑔1 eine Steigung von -2 annimmt. Basierend auf Gl. (9.264) kann der Ausdruck für 𝑔1 neu dargestellt werden: ( 𝑋2 =

−

19𝐹0 𝐿3 𝑋13 8𝐹0 𝐿3 − 108𝐸𝑎𝑟1 𝐿𝑋13

)1 3

,

(9.271)

woraus sich nach Rechnung der Ausdruck der ersten Ableitung wie folgt ergibt: 1 4 8 d𝑋2 || ! 219 3 𝐹 3 𝐿 3 = −2 . | = 1 ( ) ( ) d𝑋1 ||𝑔 1 8𝐹 𝐿2 − 108𝐸𝑎 𝑟1 𝑋1 3 3 27𝐸𝑎 𝑟1 𝑋1 3 − 2𝐹 𝐿2

(9.272)

Die letzte Gleichung kann so umgestellt werden, dass sich auf einer Seite eine Null ergibt, und das Newton-Verfahren kann zur Bestimmung der Nullstelle verwendet werden. Wichtig ist hierbei, dass die Nullstelle in einem vernünftigen Intervall, z. B. 40 ≤ 𝑋1, extr ≤ 60, gesucht wird.

9.4 Kapitel 5

257

9.4 Kapitel 5 5.6.1 Mittlere Biegesteifigkeit eines Sandwichs Die Verallgemeinerung von Gl. (5.1) für unterschiedliche Schichtbreiten 𝑏𝑘 ergibt sich zu: 𝐸𝐼 𝑦 =

3 ∑ 𝑘=1

𝐸𝑘

[

)3 1 𝑘( 𝑏 Δℎ𝑘 12

( )2 ] . + 𝑏𝑘 Δℎ𝑘 𝑧𝑘c

(9.273)

Anwendung auf unser Problem mit drei Schichten ergibt:

𝐸𝐼 𝑦 =

𝐸 D 𝑏D (ΔℎD )3

+

6

Für den Spezialfall 𝑏K =

𝑏D 3

𝐸 D 𝑏D ΔℎD (ΔℎK + ΔℎD )2 2 und ΔℎD =

𝐸𝐼 𝑦 =

𝑏D (ΔℎD )3

ΔℎK 4

+

𝐸 K 𝑏K (ΔℎK )3 12

.

(9.274)

ergibt sich die vereinfachte Formel zu:

] [ × 114𝐸 D + 16𝐸 K .

(9.275) 9 5.6.2 Berechnung der Schubspannungsverteilung bei kreisförmigem Querschnitt Ausgangspunkt ist wieder ein infinitesimales Balkenelement wie in Abb. 10.2. Jedoch ist jetzt der Querschnitt wie in Abb. 9.28.

Abb. 9.28 Kreisförmiger Querschnitt zur Ableitung der Schubspannungsverteilung 𝜏𝑥𝑧

Das Kräftegleichgewicht in 𝑥-Richtung ergibt: ( ) d𝜎𝑥 (𝑥) 𝜎 (𝑥) d𝐴 − 𝜎𝑥 (𝑥) + d𝑥 d𝐴 + 𝜏𝑥𝑧 2𝑦 d𝑥 = 0 . ∫ 𝑥 ∫ d𝑥 Es folgt aus Gl. (2.17) durch Differenzierung nach der 𝑥-Koordinate:

(9.276)

258

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

d𝜎𝑥 (𝑥) d𝑥

=+

𝑧 d𝑀𝑦 (𝑥) 𝐼𝑦

Somit: 𝜏𝑥𝑧 =

d𝑥

𝑄𝑧 (𝑥)

2𝑦𝐼𝑦 ∫

𝑄𝑧 (𝑥) × 𝑧

=

𝐼𝑦

(9.277)

𝑧 d𝐴 .

Unter Berücksichtigung von d𝐴 = 2𝑦d𝑧 und 𝑦 = spannungsverteilung zu: 𝜏𝑥𝑧 =

.

(9.278)

√ 𝑅2 − 𝑧2 , ergibt sich die Schub-

𝑄𝑧 (𝑥) (

) 𝑅2 − (𝑧′ )2 .

3𝐼𝑦

(9.279)

Die maximale Schubspannung ergibt sich für 𝑧′ = 0: 𝜏𝑥𝑧,max =

𝑄𝑧 (𝑥)𝑅2 3𝐼𝑦

=

4𝑄𝑧 (𝑥) 3𝜋𝑅2

=

4𝑄𝑧 (𝑥) 3𝐴

.

(9.280)

5.6.3 Grenzfall der normierten Steifigkeit eines Sandwichs ] [ 𝐸𝐼 𝑦 27 1 3 1 = = + 4+ . 4 4 8 8 𝐸𝐼

(9.281)

𝑦 ,ref

1 𝑏 𝑏13 = 12 ; Referenzkonfiguration der Höhe ‘ 23 ’: Sandwich der Höhe ‘1’: 𝐸𝐼 𝑦 = 12 ( )3 𝐸𝐼 𝑦 1 2𝑏 81 𝐸𝐼𝑦 ,ref = 12 𝑏 23 = 81 . Verhältnis: = 2×12 = 27 . 8 𝐸𝐼𝑦 ,ref

5.6.4 Durchbiegung eines Sandwichbalkens mit Streckenlast nach der Methode der Partialdurchsenkung ∙ Allgemeine Lösung:

𝑢𝑧, b (𝑥) = 𝑢𝑧, c (𝑥) =

1

(

𝐸𝐼𝑦 1 𝐴𝐺K

− (

𝑞0 𝑥4 24

𝑞0 𝑥2 2

+

−

𝑐1 𝑥3 6

+

) 𝑞0 𝐿𝑥 2

𝑐2 𝑥2 2

) + 𝑐3 𝑥 + 𝑐4

+ 𝑐5 .

,

(9.282)

(9.283)

∙ Spezielle Lösung: Mittels der Randbedingungen 𝑢𝑧, b (0) = 𝑢𝑧, s (0) = 𝑢𝑧, b (𝐿) = 0 und 𝑀𝑦 (0) = 𝑀𝑦 (𝐿) = 0 ergeben sich die Integrationskonstanten zu 𝑐2 = 𝑐4 = 𝑐5 = 0, 𝑐1 = und 𝑐3 = −

𝑞0 𝐿3 . 24

Somit ergibt sich die spezielle Lösung zu:

𝑞0 𝐿 2

9.4 Kapitel 5

259

( )4 ( )2 ( ) ( )3 ( ) 𝑞0 𝐿2 ⎛ 𝑥 𝑞0 𝐿4 ⎛ 𝑥 𝑥 𝑥 ⎞ 𝑥 ⎞ ⎟− ⎟. ⎜ ⎜− 𝑢𝑧 (𝑥) = − −2 + + 𝐿 𝐿 ⎟ 2𝐴𝐺K ⎜ 𝐿 𝐿 ⎟ 24𝐸𝐼𝑦 ⎜⎝ 𝐿 ⎝ ⎠ ⎠ (9.284) ∙ Maximalwert der Durchbiegung: 𝑢𝑧 ( 𝐿2 ) = −

5𝑞0 𝐿4 384𝐸𝐼𝑦

𝑞0 𝐿2

.

(9.285)

= 0,165 = 16,5% .

(9.286)

−

8𝐴𝐺K

∙ Verhältnis der partiellen Durchsenkungen: 𝑢𝑧, b ( 𝐿2 ) 𝑢𝑧, s ( 𝐿2 )

=

5 24

×

𝐿2 𝐺K 𝐸 D ΔℎK ΔℎD

5.6.5 Durchbiegung eines Sandwichbalkens (Kragarm) mit Streckenlast nach der Methode der Partialdurchsenkung ∙ Allgemeine Lösung:

𝑢𝑧, b (𝑥) = − 𝑢𝑧, c (𝑥) = −

(

𝑞0 2𝐸𝐼𝑦 𝑞0

𝑥4

(

12 −

𝐴𝐺K

−

𝑥2

𝐿𝑥3 3

+

𝐿2 𝑥2 2 )

+ 𝐿𝑥 + 𝑐3

2

) + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2

,

.

(9.287)

(9.288)

∙ Spezielle Lösung: d𝑢 (0) Mittels der Randbedingungen 𝑢𝑧, b (0) = 𝑢𝑧, s (0) = 0 und 𝑧,d𝑥b = 0 ergeben sich die Integrationskonstanten zu 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 0. Somit ergibt sich die spezielle Lösung zu: 𝑞0 𝐿 4 ⎛ 1 ⎜ 𝑢𝑧 (𝑥) = − 2𝐸𝐼𝑦 ⎜⎝ 12

( )4 𝑥 𝐿

−

1

( )3 𝑥

3

𝐿

( )2 ( )2 ( ) 𝑥 ⎞ 𝑞0 𝐿2 ⎛ 1 𝑥 𝑥 ⎞ ⎟. ⎟− ⎜− + + 2 𝐿 ⎟ 𝐴𝐺K ⎜ 2 𝐿 𝐿 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ (9.289) 1

∙ Maximalwert der Durchbiegung: 𝑢𝑧 (𝐿) = −

𝑞 0 𝐿4 8𝐸𝐼𝑦

−

𝑞0 𝐿2 2𝐴𝐺K

.

(9.290)

∙ Verhältnis der partiellen Durchsenkungen: 𝑢𝑧, b (𝐿) 𝑢𝑧, s (𝐿)

=

1 4

×

𝐿2 𝐺𝐴K 𝐸𝐼𝑦

=

1 2

×

𝐿2 𝐺 K 𝐸 D ΔℎK ΔℎD

= 0,397 = 39,7% .

(9.291)

260

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

5.6.6 Durchbiegung eines Sandwichbalkens (Kragarm) mit Querkraft nach der Methode der Partialdurchsenkung ∙ Innere Reaktionen: Die inneren Reaktionen für das Problem nach Abb. 5.24 sind in Abb. 9.29 dargestellt. (a)

𝐹0

Querkraft

𝑄𝑧 (𝑥)

1

0

−1

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

(b)

𝐹0 𝐿

Biegemoment

𝑀𝑦 (𝑥)

1

0

−1

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

Abb. 9.29 Innere Reaktionen für Sandwichbalken nach Abb. 5.24, d. h. Kragarm mit Endquerkraft: (a) Querkraft- und (b) Biegemomentenverlauf ∙ Allgemeine Lösung:

𝑢𝑧, b (𝑥) =

1

(

𝐸𝐼𝑦

𝑢𝑧, c (𝑥) = −

( −𝐹0

𝐹0 𝑥 𝐴𝐺K

+ 𝑐3 .

𝐿𝑥2 2

−

𝑥3 6

)

) + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2

,

(9.292)

(9.293)

9.5 Kapitel 6

261

∙ Spezielle Lösung: d𝑢 (0) Mittels der Randbedingungen 𝑢𝑧, b (0) = 𝑢𝑧, s (0) = 0 und 𝑧,d𝑥b = 0 ergeben sich die Integrationskonstanten zu 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 0. Somit ergibt sich die spezielle Lösung zu: 𝐹0 𝐿 3 ⎛ ⎜3 𝑢𝑧 (𝑥) = − 6𝐸𝐼𝑦 ⎜⎝

( )2 𝑥 𝐿

( ) ( )3 𝑥 ⎞ 𝐹0 𝐿 𝑥 ⎟ . − − 𝐿 ⎟ 𝐴𝐺K 𝐿 ⎠

(9.294)

∙ Maximalwert der Durchbiegung: 𝑢𝑧 (𝐿) = −

𝐹 0 𝐿3 3𝐸𝐼𝑦

−

𝐹0 𝐿 𝐴𝐺K

.

(9.295)

∙ Verhältnis der partiellen Durchsenkungen: 𝑢𝑧, b (𝐿) 𝑢𝑧, s (𝐿)

=

2 3

×

𝐿2 𝐺 K 𝐸 D ΔℎK ΔℎD

= 0,529 = 52,9% .

(9.296)

9.5 Kapitel 6 6.2.1 Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken mit Streckenlast Die inneren Schnittreaktionen und die entsprechenden Maximalwerte können Abb. 9.30 entnommen werden. Überprüfung, ob eine der vereinfachenden Theorien zulässig ist: 6𝐸 D ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K (ΔℎK )3 Δ𝑘K Δ𝑘D

= 526,77 > 100 ,

(9.297)

= 30,0 > 4,77.

(9.298)

Somit kann die Theorie für weiche Kerne und dünne Deckschichten angewendet werden. ∙ Maximale Normalspannung in den Deckschichten: . 𝜎𝑥,D = 8,33 MPa < 𝑅D p0,2

(9.299)

∙ Maximale Schubspannung im Kern: K . 𝜏𝑧𝑥,K = 0,081 MPa < 𝜏aB

∙ Schubspannung in der Klebeschicht:

(9.300)

262

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben (a)

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑞0 𝐿 2

𝑄𝑧 (𝑥)

Querkraft

𝑞0 𝐿∕2

1

=2

[ ]1 𝑥 𝐿

−1

0

−1

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

(b)

𝑀𝑦 (𝑥) 𝑞0 𝐿 2 8

𝑞0 𝐿2 ∕8

Biegemoment

𝑀𝑦 (𝑥)

1

=4

([ ] 2 𝑥 𝐿

−

[ ]1 ) 𝑥 𝐿

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.30 Innere Reaktionen für Sandwichbalken mit Streckenlast: (a) Querkraftund (b) Biegemomentenverlauf

𝜏𝑧𝑥 = 0,081 MPa < 𝜏aB .

(9.301)

∙ Lokales Knittern der Druckdeckschicht: Mit 𝐵1 = 0,567 folgt für die kritische Spannung: 𝜎cr = 229,904 MPa > 𝜎𝑥,D . Somit ergibt sich kein Versagen durch lokales Knittern der Deckschicht.

(9.302)

9.5 Kapitel 6

263

6.2.2 Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken (Kragarm) mit Streckenlast Die inneren Schnittreaktionen und die entsprechenden Maximalwerte können Abb. 9.31 entnommen werden. (a)

𝑄𝑧 (𝑥) 𝑞0 𝐿

=

[ ]1 𝑥 𝐿

−1

𝑞0 𝐿

Querkraft

𝑄𝑧 (𝑥)

1

0

−1

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

(b)

𝑀𝑦 (𝑥) 𝑞0 𝐿 2 2

𝑞0 𝐿2 ∕2

Biegemoment

𝑀𝑦 (𝑥)

1

=

[ ]2 𝑥 𝐿

−2

[ ]1 𝑥 𝐿

+1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.31 Innere Reaktionen für Sandwichbalken (Kragarm) mit Streckenlast: (a) Querkraft- und (b) Biegemomentenverlauf

Überprüfung, ob eine der vereinfachenden Theorien zulässig ist: 6𝐸 D ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K (ΔℎK )3 Δ𝑘K Δ𝑘D

= 526,77 > 100 ,

(9.303)

= 30,0 > 4,77.

(9.304)

264

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Somit kann die Theorie für weiche Kerne und dünne Deckschichten angewendet werden. ∙ Maximale Normalspannung in den Deckschichten: . 𝜎𝑥,D = 33,22 MPa < 𝑅D p0,2

(9.305)

∙ Maximale Schubspannung im Kern: K . 𝜏𝑧𝑥,K = 0,163 MPa < 𝜏aB

(9.306)

∙ Schubspannung in der Klebeschicht: 𝜏𝑧𝑥 = 0,163 MPa < 𝜏aB .

(9.307)

∙ Lokales Knittern der Druckdeckschicht: Mit 𝐵1 = 0,567 folgt für die kritische Spannung: 𝜎cr = 229,904 MPa > 𝜎𝑥,D .

(9.308)

Somit ergibt sich kein Versagen durch lokales Knittern der Deckschicht. 6.2.3 Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken unter 4-Punkt-Biegung Die inneren Schnittreaktionen und die entsprechenden Maximalwerte können Abb. 9.32 entnommen werden. Überprüfung, ob eine der vereinfachenden Theorien zulässig ist: 6𝐸 D ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K (ΔℎK )3 Δ𝑘K Δ𝑘D

= 71,04 < 100 ,

(9.309)

= 1,0 < 4,77.

(9.310)

Somit muss die exakte Theorie angewendet werden. ∙ Maximale Normalspannung in den Deckschichten: . 𝜎𝑥,D = 1,709 MPa < 𝑅D p0,2

(9.311)

∙ Maximale Normalspannung im Kern: | K| 𝜎𝑥,K = 0,192 MPa < 𝑅K m (< ||𝜎dB ||) . ∙ Maximale Schubspannung im Kern: K 𝜏𝑧𝑥,K = 0,119 MPa < 𝜏aB .

∙ Schubspannung in der Klebeschicht:

(9.312)

(9.313)

9.5 Kapitel 6

265 (a)

𝐹0

Querkraft

𝑄𝑧 (𝑥)

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

(b)

𝑀𝑦 (𝑥)

Biegemoment

𝐹0 𝐿∕4

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.32 Innere Reaktionen für Sandwich unter 4-Punkt-Biegung: (a) Querkraftund (b) Biegemomentenverlauf

𝜏𝑧𝑥 = 0,114 MPa < 𝜏aB .

(9.314)

∙ Lokales Knittern der Druckdeckschicht: Mit 𝐵1 = 0,768 folgt für die kritische Spannung: 𝜎cr = 27555,434 MPa > 𝜎𝑥,D .

(9.315)

Somit ergibt sich kein Versagen durch lokales Knittern der Deckschicht. 6.2.4 Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken unter 3-Punkt-Biegung mit Einzellast Die inneren Schnittreaktionen und die entsprechenden Maximalwerte können Abb. 9.33 entnommen werden. Überprüfung, ob eine der vereinfachenden Theorien zulässig ist:

266

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben (a)

𝐹0 ∕2

Querkraft

𝑄𝑧 (𝑥)

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

(b)

𝑀𝑦 (𝑥)

Biegemoment

𝐹0 𝐿∕4

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.33 Innere Reaktionen für Sandwich unter 3-Punkt-Biegung mit Einzellast: (a) Querkraft- und (b) Biegemomentenverlauf

6𝐸 D ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K (ΔℎK )3 Δ𝑘K Δ𝑘D

= 115,625 > 100 ,

(9.316)

= 4,0 < 4,77.

(9.317)

Somit kann die vereinfachende Theorie für weiche Kerne angewendet werden. ∙ Maximale Normalspannung in den Deckschichten: . 𝜎𝑥,D = 4,737 MPa < 𝑅D p0,2 ∙ Maximale Schubspannung im Kern:

(9.318)

9.5 Kapitel 6

267 K 𝜏𝑧𝑥,K = 0,0987 MPa < 𝜏aB .

(9.319)

∙ Schubspannung in der Klebeschicht: 𝜏𝑧𝑥 = 0,0987 MPa < 𝜏aB .

(9.320)

∙ Lokales Knittern der Druckdeckschicht: Mit 𝐵1 = 0,648 folgt für die kritische Spannung: 𝜎cr = 3564,461 MPa > 𝜎𝑥,D .

(9.321)

Somit ergibt sich kein Versagen durch lokales Knittern der Deckschicht. 6.2.5 Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken unter 3-Punkt-Biegung mit Streckenlast

(a)

𝑄𝑧 (𝑥)

Querkraft

𝑞0 𝐿∕8

1

0

−1

0

0,5

1

Koordinate

𝑥 𝐿

𝑀𝑦 (𝑥)

Biegemoment

3𝑞0 𝐿2 ∕64

(b)

1

0

−1

− 76 ≈ −1,167 0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.34 Innere Reaktionen für Sandwich unter 3-Punkt-Biegung mit Streckenlast: (a) Querkraft- und (b) Biegemomentenverlauf

268

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Überprüfung, ob eine der vereinfachenden Theorien zulässig ist: 6𝐸 D ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K (ΔℎK )3 Δ𝑘K Δ𝑘D

= 115,625 > 100 ,

(9.322)

= 4,0 < 4,77.

(9.323)

Somit kann die vereinfachende Theorie für weiche Kerne angewendet werden. Die inneren Reaktionen sind in Abb. 9.34 dargestellt.

∙ Maximale Normalspannung in den Deckschichten: . 𝜎𝑥,D = 4,145 MPa < 𝑅D p0,2

(9.324)

∙ Maximale Schubspannung im Kern: K . 𝜏𝑧𝑥,K = 0,0987 MPa < 𝜏aB

(9.325)

∙ Schubspannung in der Klebeschicht: 𝜏𝑧𝑥 = 0,0987 MPa < 𝜏aB .

(9.326)

∙ Lokales Knittern der Druckdeckschicht: Mit 𝐵1 = 0,648 folgt für die kritische Spannung: 𝜎cr = 3564,461 MPa > 𝜎𝑥,D . Somit ergibt sich kein Versagen durch lokales Knittern der Deckschicht.

(9.327)

9.5 Kapitel 6

269

6.2.6 Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken unter 5-Punkt-Biegung mit Einzellasten

Abb. 9.35 Sandwichbalken unter 5-Punkt-Biegung mit Einzellasten: (a) Freikörperbild; (b) Freikörperbild unter Berücksichtigung der Symmetrie

Überprüfung, ob eine der vereinfachenden Theorien zulässig ist: 6𝐸 D ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K (ΔℎK )3 Δ𝑘K Δ𝑘D

= 115,625 > 100 ,

(9.328)

= 4,0 < 4,77.

(9.329)

270

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben (a)

𝑄𝑧 (𝑥)

Querkraft

2𝐹0 ∕3

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

𝑀𝑦 (𝑥)

Biegemoment

2𝐹0 𝐿∕12

(b)

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.36 Innere Reaktionen für Sandwich unter 5-Punkt-Biegung mit Einzellasten: (a) Querkraft- und (b) Biegemomentenverlauf

Somit kann die vereinfachende Theorie für weiche Kerne angewendet werden. Zur Bestimmung der inneren Reaktionen kann das Modell nach Abb. 9.35 herangezogen werden. Die entsprechenden Verläufe sind in Abb. 9.36 dargestellt. ∙ Maximale Normalspannung in den Deckschichten: . 𝜎𝑥,D = 1,579 MPa < 𝑅D p0,2

(9.330)

∙ Maximale Schubspannung im Kern: K . 𝜏𝑧𝑥,K = 0,0658 MPa < 𝜏aB

(9.331)

∙ Schubspannung in der Klebeschicht: 𝜏𝑧𝑥 = 0,0658 MPa < 𝜏aB .

(9.332)

9.5 Kapitel 6

271

∙ Lokales Knittern der Druckdeckschicht: Mit 𝐵1 = 0,648 folgt für die kritische Spannung: 𝜎cr = 3564,461 MPa > 𝜎𝑥,D .

(9.333)

Somit ergibt sich kein Versagen durch lokales Knittern der Deckschicht. 6.2.7 Festigkeitsnachweis für Sandwichbalken unter 5-Punkt-Biegung mit Streckenlasten

(a)

𝑄𝑧 (𝑥)

Querkraft

𝑞0 𝐿∕6

1

0

−1

0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

𝑀𝑦 (𝑥)

Biegemoment

𝑞0 𝐿2 ∕32

(b)

1

0

−1 − 160 ≈ −1,111 144 0

0,5

Koordinate

1 𝑥 𝐿

Abb. 9.37 Innere Reaktionen für Sandwich unter 5-Punkt-Biegung mit Streckenlasten: (a) Querkraft- und (b) Biegemomentenverlauf

Überprüfung, ob eine der vereinfachenden Theorien zulässig ist:

272

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

6𝐸 D ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K (ΔℎK )3 Δ𝑘K Δ𝑘D

= 115,625 > 100 ,

(9.334)

= 4,0 < 4,77.

(9.335)

Somit kann die vereinfachende Theorie für weiche Kerne angewendet werden. Die inneren Reaktionen sind in Abb. 9.37 dargestellt. ∙ Maximale Normalspannung in den Deckschichten: . 𝜎𝑥,D = 0,177 MPa < 𝑅D p0,2

(9.336)

∙ Maximale Schubspannung im Kern: K . 𝜏𝑧𝑥,K = 0,0658 MPa < 𝜏aB

(9.337)

∙ Schubspannung in der Klebeschicht: 𝜏𝑧𝑥 = 0,0658 MPa < 𝜏aB .

(9.338)

∙ Lokales Knittern der Druckdeckschicht: Mit 𝐵1 = 0,648 folgt für die kritische Spannung: 𝜎cr = 3564,461 MPa > 𝜎𝑥,D .

(9.339)

Somit ergibt sich kein Versagen durch lokales Knittern der Deckschicht. 6.2.8 Globales Instabilitätsversagen eines beidseitig eingespannten Sandwichbalkens unter Druckbelastung Die Konfiguration zur Bestimmung der Schnittreaktionen ist in Abb. 9.38 dargestellt.

Abb. 9.38 Beidseitig eingespannter Sandwichbalken unter Drucklast: (a) Freischneiden an Stelle 𝑥 (b) Kräftedreieck (ohne Berücksichtigung der aktuellen Vorzeichen) Hieraus ergeben sich die Schnittreaktionen zu:

9.5 Kapitel 6

273

𝑀𝑦 (𝑥) = 𝐹 𝑢𝑧 (𝑥) − 𝑀𝑦R , 𝑄𝑧 (𝑥) = 𝐹

d𝑢𝑧 (𝑥) d𝑥

(9.340)

.

(9.341)

Die beschreibende Differenzialgleichung ergibt sich zu: d2 𝑢𝑧 (𝑥) d𝑥2

+ 𝜆2 𝑢𝑧 (𝑥) = 𝜆2

𝑀𝑦R 𝐹

mit 𝜆2 =

(

𝐹

𝐸𝐼𝑦 1 −

1 𝐴𝐺K

).

(9.342)

Aus der allgemeinen Lösung1 , d.h. 𝑢𝑧 (𝑥) = 𝑐1 cos(𝜆𝑥) + 𝑐2 sin(𝜆𝑥) + sich mit den entsprechenden Randbedingungen, d.h. 𝑢𝑧 (0) = 0 und 𝑀𝑦R

𝑀𝑦R

𝐹 d𝑢𝑧 (0) d𝑥

, ergeben = 0, die

Integrationskonstanten zu 𝑐1 = − 𝐹 und 𝑐2 = 0. Aus der weiteren Randbedingung 𝑢𝑧 (𝐿) = 0 ergibt sich schließlich die Bedingung zur Bestimmung der Knickkraft: cos(𝜆𝑥) = 1. Hieraus ergibt sich die Knickkraft für den betrachteten Lagerfall zu: 4𝜋 2 𝐸𝐼𝑦

𝐹K =

𝐿2

1+ 𝐴𝐺G ×

1 4𝜋 2 𝐸𝐼𝑦 𝐿2

=

𝐹KE 1+

𝐹KE

.

(9.343)

𝐴𝐺K

6.2.9 Instabilitätsversagen eines beidseitig gelenkig gelagerten Sandwichbalkens unter Druckbelastung ∙ Überprüfung der Bedingungen für weichen Kern und dünne Deckschichten 6𝐸 D ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K (ΔℎK )3 ΔℎK ΔℎD

= 122,38 ≥ 100 ,

(9.344)

= 20,0 ≥ 4,77 .

(9.345)

∙ Globales Knicken

1

Diese kann mit einem Computeralgebrasystem (zum Beispiel Maxima) bestimmt werden.

274

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben 𝜋 2 𝐸𝐼𝑦

𝐹K =

𝜎K =

𝐿2

1+

1 𝜋 2 𝐸𝐼𝑦 G 𝐴𝐺 × 𝐿2

𝐹K 𝑏(ΔℎK

+ 2ΔℎD )

=

𝐹KE 1+

𝐹KE

= 614081,55 N ,

(9.346)

𝐴𝐺K

= 27,91 MPa .

(9.347)

∙ Lokales Knittern, antisymmetrisch 𝑘 = 0,359 , Θ = 2,362 ,

(9.348) (9.349)

𝐵1 = 0,492 ,

(9.350)

𝜎cr = 706,236 MPa .

(9.351)

∙ Lokales Knittern, symmetrisch 𝑘 = 0,359 , Θ = 4,754 , 𝐵1 = 0,651 ,

(9.352) (9.353)

𝜎cr = 935,132 MPa .

(9.355)

(9.354)

∙ Verlauf der globalen Knickspannung (Abb. 9.39)

Kritische Knickspannung 𝜎K in MPA

80

𝐹K → 𝐺K

60

40

20

0

𝜎K Euler 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Balkenlänge 𝐿 in mm

Abb. 9.39 Verlauf der kritischen Knickspannungen als Funktion der Balkenlänge

9.6 Kapitel 7

275

Grenzwert der Knickspannung für 𝐿 → 0: lim 𝜎K =

𝐿→0

1 𝐴

×

1 𝐿2 1 𝐿2

×

𝜋 2 𝐸𝐼𝑦 𝐿2

+

𝜋 2 𝐸𝐼𝑦

→ 𝐺K .

(9.356)

𝐴𝐺K

9.6 Kapitel 7 7.2.1 Optimierung der Geometrie eines Sandwichbalkens unter Druckbelastung ∙ Umrechnung der Dichten auf konsistente Einheiten Da die Steifigkeiten in MPa = N∕mm2 gegeben sind, müssen die Dichten auf die konsistente Einheit N∕mm3 umgerechnet werden. Es ergibt sich: 𝜚D = 2691 kg∕m3 = 2691 × 9,81 × 10−9 N∕mm3 , 𝜚 = 240 kg∕m = 240 × 9,81 × 10 K

3

−9

N∕mm . 3

(9.357) (9.358)

Fall (a): 𝐹 = 2670 N: ∙ Berechnung des Punktes 𝐸 ) ( ( ) D,n = 0,0191215; 2,923250 × 10−5 . ; Δℎ 𝐸 ΔℎK,n 𝐸 𝐸

(9.359)

∙ Berechnung des Punktes 𝐺 ( ) ( ) D,n = 0,00820895; 1,711632 × 10−4 . ; Δℎ 𝐺 ΔℎK,n 𝐺 𝐺

(9.360)

∙ Optimaldesign ≤ ΔℎK,n gilt, ergibt sich Punkt 𝐺 als optimale Geometrie mit: Da ΔℎK,n 𝐺 𝐸 K,n ΔℎK 𝐺 = Δℎ𝐺 × 𝐿 = 20,85 mm ,

ΔℎD 𝐺 =

ΔℎD,n 𝐺

× 𝐿 = 0,43 mm .

(9.361) (9.362)

Unter Umständen muss man jedoch noch Mindestdicken von Blechen beachten. Fall (b): 10 × 𝐹 = 26700 N: ∙ Berechnung des Punktes 𝐸

276

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

) ( ( ) D,n = 0,0242730; 2,923250 × 10−4 . 𝐸 ΔℎK,n ; Δℎ 𝐸 𝐸

(9.363)

∙ Berechnung des Punktes 𝐺 ) ( ( ) D,n ; Δℎ = 0,0225247; 3,589804 × 10−4 . 𝐺 ΔℎK,n 𝐺 𝐺

(9.364)

∙ Optimaldesign ≤ ΔℎK,n gilt, ergibt sich Punkt 𝐺 als optimale Geometrie mit: Da ΔℎK,n 𝐺 𝐸 K,n ΔℎK 𝐺 = Δℎ𝐺 × 𝐿 = 57,21 mm ,

ΔℎD 𝐺

=

ΔℎD,n 𝐺

(9.365)

× 𝐿 = 0,91 mm .

(9.366)

Unter Umständen muss man jedoch noch Mindestdicken von Blechen beachten. Die Lage der beiden Minima ist in Abb. 9.40 dargestellt. Hierbei erkennt man, dass sich die Lage des Minimums mit zunehmender äußeren Belastung weiter nach rechts verschiebt.

Normalisierte Zielfunktion 𝑓 (ΔℎK,n )

2

×10−7 𝐹 10𝐹

1,5

1

0,5

0

0

0,5

1

1,5

2

2,5 K,n

Normalisierte Kerndicke Δℎ

3 ×10−2

Abb. 9.40 Normalisierte Zielfunktion in Abhängigkeit der normalisierten Kerndicke mit der Lage der Minima für verschiedene Belastungen

9.6 Kapitel 7

277

7.2.2 Optimierung der Geometrie eines Sandwichbalkens unter Biegebelastung durch Einzellast ∙ Zweiter Pol der Funktion 𝑔3 im ΔℎK,n -ΔℎD,n Koordinatensystem

ΔℎK,n =

𝐹 4𝑏𝐿𝐺K 𝑟1

= 0,0832179 .

(9.367)

∙ Schnittpunkte im ΔℎK,n -ΔℎD,n Koordinatensystem Punkt 𝐸 (𝑔1 –𝑔2 ) (

) | = | ΔℎD,n 𝐸 |

(

𝐹0 || 𝜏p 𝐸= | 2𝑏𝐿𝜏p || 2𝜎cr = (0,0124827| 0,00116961) . ΔℎK,n 𝐸

) (9.368) (9.369)

Punkt 𝐴 (𝑔1 –𝑔3 ) (

)| ) 𝐹0 | | 𝐴= + 𝐿𝑟1 48𝐸 D 16𝑏𝐺K || 4𝑏𝐿𝜎cr ΔℎK,n | ) = (0,130717| 1,116902 × 10−4 . (

ΔℎK,n 𝐴

) | = | ΔℎD,n 𝐴 |

4

(

2𝐿𝜎cr

𝐹0

(9.370) (9.371)

∙ Minima der Zielfunktion 𝑓 entlang der Nebenbedingungen Punkt 𝐵 (Minimum von 𝑓 entlang 𝑔1 ) 𝜕𝑓 (ΔℎK,n ) 𝜕ΔℎK,n

√

!

= 0 ⇒ ΔℎK,n = 𝐵 √

1 2

×

𝜚D 𝜚K

×

𝐹0 𝑏𝐿𝜎cr

.

|√ 𝐹0 || 1 𝜚K 𝐹0 ⎞ ⎟ × 𝐵= × K× × | 2 𝜚 𝑏𝐿𝜎cr || 8 𝜚D 𝑏𝐿𝜎cr ⎟ ⎠ | ) −4 = (0,0180942| 8,0687762 × 10 . (

ΔℎK,n 𝐵

) ⎛ | D,n =⎜ Δℎ | 𝐵 | ⎜ ⎝

1

𝜚D

(9.372)

(9.373) (9.374)

Punkt 𝐶 (Minimum von 𝑓 entlang 𝑔3 ) 𝜕𝑓 (ΔℎK,n ) 𝜕ΔℎK,n

!

= 0 ⇒ ΔℎK,n (Newton-Iteration) . 𝐶

(9.375)

278

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

( ) | 𝐶 = ΔℎK,n | ΔℎD,n 𝐶 | 𝐶 ) = (0,0967536| 5,295226 × 10−4 .

(9.376) (9.377)

∙ Optimalpunkt Es handelt sich um Fall 1 und somit ist Punkt 𝐶 der Optimalpunkt. Optimale Abmessungen: ΔℎK = 245,754 mm, ΔℎD = 1,345 mm. Mit diesen geometrischen Abmessungen ist auch die Bedingung für dünne Deckschichten und weichen Kern erfüllt: 6𝐸 D ΔℎD (ℎc )2 𝐸 K (ΔℎK )3 ΔℎK ΔℎD

= 328,4 ≥ 100 ,

(9.378)

= 182,7 ≥ 4,77 .

(9.379)

1,2

×10−3 ×E

1,0

g1

0,8

B ×

g3 uz,max

Fließen / Knittern

0,6

×C

0,4 0,2 0,0

Pol g3

Normalisierte Deckschichtdicke ΔhD,n

∙ Graphische Darstellung im ΔℎK,n -ΔℎD,n Koordinatensystem (siehe Abb. 9.41)

A ×

g2 Schub 0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

Normalisierte Kerndicke Δh

0,12

0,14

K,n

Abb. 9.41 Normalisierte Deckschichtdicke als Funktion der normalisierten Kerndicke basierend auf den Funktionen 𝑔1 , 𝑔2 und 𝑔3 für Biegebalken mit Punktlast in der Mitte

9.6 Kapitel 7

279

7.2.3 Optimierung der Geometrie eines Sandwichbalkens unter Biegebelastung durch Streckenlast ∙ Zielfunktion und Nebenbedingungen ) ( 𝑓 ΔℎD,n , ΔℎK,n = 𝜚K ΔℎK,n + 2𝜚D ΔℎD,n . 𝑞0

< 𝜎cr , 8ΔℎK,n ΔℎD,n 𝑏 𝑞0 𝑔2 (ΔℎK,n , ΔℎD,n ) = < 𝜏p , 2ΔℎK,n 𝑏 10𝑞0 𝑞0 + < 𝑟1 . 𝑔3 (ΔℎK,n , ΔℎD,n ) = 384𝐸 D 𝑏ΔℎD,n (ΔℎK,n )2 8𝑏𝐺K ΔℎK,n 𝑔1 (ΔℎK,n , ΔℎD,n ) =

(9.380)

(9.381) (9.382) (9.383)

Darstellung der Nebenbedingungen im ΔℎK,n -ΔℎD,n Koordinatensystem:

𝑔1 ∶

ΔℎD,n 𝑔 >

𝑔2 ∶

ΔℎK,n 𝑔

1

2

𝑔3 ∶

𝑞0

8𝑏𝜎cr ΔℎK,n 𝑞0 > , 2𝑏𝜏p

ΔℎD,n 𝑔 > 3

,

(9.384) (9.385)

10𝑞0 384𝐸 D 𝑏(ΔℎK,n )2 𝑞0 𝑟1 − 8𝑏𝐺K Δℎ K,n

.

(9.386)

∙ Schnittpunkte im ΔℎK,n -ΔℎD,n Koordinatensystem Punkt 𝐸 (𝑔1 –𝑔2 ) (

) | = | ΔℎD,n 𝐸 |

(

𝑞0 || 𝜏p 𝐸= | 2𝑏𝜏p || 4𝜎cr ) = (0,0124827| 5,848035 × 10−4 . ΔℎK,n 𝐸

) (9.387) (9.388)

Punkt 𝐴 (𝑔1 –𝑔3 ) (

)| ) 𝑞0 | | 𝐴= + 𝑟1 𝑏 384𝐸 D 8𝐺K || 8𝑏𝜎cr ΔℎK,n | ) = (0,100983| 7,228848 × 10−5 . (

ΔℎK,n 𝐴

) | = | ΔℎD,n 𝐴 |

(

1

80𝑏𝜎cr

𝑞0

(9.389) (9.390)

280

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

∙ Minima der Zielfunktion 𝑓 entlang der Nebenbedingungen Punkt 𝐵 (Minimum von 𝑓 entlang 𝑔1 ) 𝜕𝑓 (ΔℎK,n ) 𝜕ΔℎK,n

√

!

ΔℎK,n 𝐵

=0 ⇒

=

2𝜚D 𝑞0 8𝑏𝜎cr 𝜚K

.

√

) | 2𝜚D 𝑞0 | 𝑞0 | 𝐵= 8𝑏𝜎cr 𝜚K || 8𝑏𝜎cr ΔℎK,n 𝐵 | ) −4 = (0,0127946| 5,705486 × 10 . (

| | ΔℎD,n 𝐵 |

ΔℎK,n 𝐵

)

(9.391)

⎛ =⎜ ⎜ ⎝

(9.392) (9.393)

Punkt 𝐶 (Minimum von 𝑓 entlang 𝑔3 ) 𝜕𝑓 (ΔℎK,n ) 𝜕ΔℎK,n

!

= 0 ⇒ ΔℎK,n (Newton-Iteration) . 𝐶

( ) | D,n Δℎ 𝐶 = ΔℎK,n | 𝐶 | 𝐶 ) = (0,0563599| 5,213426 × 10−4 .

(9.394)

(9.395) (9.396)

∙ Optimalpunkt

ΔℎK,n > ΔℎK,n aber ΔℎK,n < ΔℎK,n ⇒ kein gültiger Punkt , 𝐵 𝐸 𝐵 𝐴 ΔℎK,n 𝐷




𝑔3 ∶

𝑏n𝑔 >

𝑔4 ∶

𝑏n𝑔

1

2

3

4

3𝐹0 , 2 2𝐿 𝑅p0,2 (ℎn )2 3𝐹0 4𝐿2 𝜏p ℎn

,

𝐹0

4𝐸𝑟1 𝐿2 (ℎn )3 ℎn ≥ . 20

(9.412) (9.413)

,

(9.414) (9.415) (9.416)

9.6 Kapitel 7

283

Abbildung 9.43 zeigt den Verlauf der vier Grenzkurven 𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 und 𝑔4 in der ℎn -𝑏n Ebene. (a) 3,0

×10−2 𝑔3

Normalisierte Breite 𝑏n

𝑔1

zulässiger Bereich 2,0

1,0 ×𝐴

𝑔2

𝐵 ×

𝑔4 0,0 0,0

1,0

2,0

3,0

×10−2 4,0

Normalisierte Höhe ℎn (b) 3,0

×10−2 𝑔3

Normalisierte Breite 𝑏n

𝑔1

zulässiger Bereich 2,0

1,0 𝑔2 0,0 0,0

𝐶 × 2,0

4,0

6,0

𝑔4 ×10−2 8,0

Normalisierte Höhe ℎn

Abb. 9.43 Bestimmung des Optimalpunktes im ℎn -𝑏n Koordinatensystem: (a) Punkt 𝐵 als Schnittpunkt von 𝑔1 und 𝑔4 (𝑟1 = 0,03). (b) Punkt 𝐶 als Schnittpunkt von 𝑔3 und 𝑔4 (𝑟1 = 0,003)

284

9 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

∙ Schnittpunkte Punkt 𝐴 (𝑔1 –𝑔3 )

𝐴=

(

ℎn𝐴

| n) | 𝑏𝐴 = |

(

𝑅p0,2 || 54𝐹0 𝐸 2 𝑟21 | 6𝐸𝑟1 || 𝐿2 (𝑅p0,2 )3

)

.

(9.417) (9.418)

Punkt 𝐵 (𝑔1 –𝑔4 ) ( ) 1 || )1 ⎞ ⎛( 3| 1 3⎟ 30𝐹0 30𝐹0 ( n | n) ⎜ | 𝐵 = ℎ 𝐵 | 𝑏𝐵 = ⎜ ⎟. | 20 𝐿2 𝑅 2 | | p0,2 ⎟ ⎜ 𝐿 𝑅p0,2 | ⎠ ⎝ |

(9.419)

Punkt 𝐶 (𝑔3 –𝑔4 ) ) 1 || ( )1 ⎞ ⎛( 4| 1 4⎟ 5𝐹 5𝐹 ) ⎜ 0 0 | | 𝐶 = ℎn𝐶 | 𝑏n𝐶 = ⎜ ⎟. | 2 | | 2 𝐸𝑟1 𝐿2 ⎟ ⎜ 𝐸𝑟1 𝐿 | ⎠ ⎝ | (

(9.420)

Anmerkung: Die Zielfunktion 𝑓 hat entlang 𝑔1 und 𝑔3 kein lokales Minimum. Je größer ℎn , desto kleiner wird 𝑓 (streng monoton fallende Funktionen). Nach Abb. 9.43 ergibt sich für 𝑟1 = 0,03 der Punkt 𝐵 und für 𝑟1 = 0,003 der Punkt 𝐶 als Optimalpunkt.

Literaturverzeichnis

285

Literaturverzeichnis Javanbakht, Z., Öchsner, A.: Advanced Finite Element Simulation with MSC Marc: Application of User Subroutines. Cham: Springer, 2017 Merkel, M., Öchsner, A.: Eindimensionale Finite Elemente: Ein Einstieg in die Methode. Berlin: Springer Vieweg, 2014 Öchsner, A., Merkel, M.: One-Dimensional Finite Elements: An Introduction to the FE Method. Berlin: Springer, 2013 Öchsner, A.: Elasto-Plasticity of Frame Structure Elements: Modeling and Simulation of Rods and Beams. Berlin: Springer-Verlag, 2014 Öchsner, A.: Computational Statics and Dynamics: An Introduction Based on the Finite Element Method. Singapore: Springer, 2016 Öchsner, A.: A Project-Based Introduction to Computational Statics. Cham: Springer, 2018

287

Kapitel 10

Anhang 10.1 Mechanik und Mathematik Flächenmoment 2. Ordnung Die Flächenmomente 2. Ordnung sind allgemein wie folgt definiert:

𝐼𝑦 =

∫

𝑧2 d𝐴 ,

(10.1)

𝑦2 d𝐴 .

(10.2)

𝐴

𝐼𝑧 =

∫ 𝐴

Für einfache geometrische Querschnitte können die in Tabelle 10.1 angegebenen Formeln verwendet werden. Tabelle 10.1 Flächenmomente 2. Ordnung um die 𝑦- und 𝑧-Achse 𝐼𝑦

Querschnitt 𝜋𝐷4 64

=

𝐼𝑧 𝜋𝑅4 𝜋𝐷4 4

64

𝜋𝑏𝑎3

𝜋𝑎𝑏3

4

4

𝑎4

𝑎4

12

12

𝑏ℎ3

ℎ𝑏3

12

12

=

𝜋𝑅4 4

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 A. Öchsner, Stoff- und Formleichtbau, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30714-1_10

288

10 Anhang

Ableitung der Schubspannungsverteilung beim Balken Als Ausgangssituation zur Ableitung der Schubspannungsverteilung beim Balken kann zum Beispiel ein Kragarm mit Querkraftbelastung betrachtet werden, siehe Abb. 10.1. Weiterhin betrachten wir im Folgenden nur einen rechteckigen Querschnitt mit Seitenabmessungen 𝑏 × ℎ.

Abb. 10.1 Allgemeine Konfiguration eines Kragarms mit Querkraft Ein infinitesimales Balkenelement dieser Konfiguration ist in Abb. 10.2 dargestellt. Die eingezeichneten Schnittreaktionen sind entsprechend der Vorzeichendefinition nach Abb. 2.8 eingetragen. Da keine verteilte Last vorhanden ist, d. h. 𝑞𝑧 = 0, ergibt das vertikale Kräftegleichgewicht 𝑄𝑧 (𝑥) ≈ 𝑄𝑧 (𝑥 + d𝑥).

Abb. 10.2 Infinitesimales Balkenelement d𝑥 in der 𝑥-𝑧-Ebene mit internen Schnittreaktionen Der nächste Schritt besteht darin, die inneren Reaktionen, d. h. die Querkraft und das Biegemoment, durch die entsprechenden Normal- und Schubspannungen zu ersetzen. Dazu wird vom infinitesimalen (in horizontaler Richtung) Balkenelement ein kleines Stück der Höhe d𝑧′ bei 𝑧 = 𝑧′ in vertikaler Richtung freigeschnitten, siehe Abb. 10.3. Das horizontale Kräftegleichgewicht liefert für dieses Balkenelement:

10.1 Mechanik und Mathematik

289

Abb. 10.3 Infinitesimales Balkenelement der Abmessung d𝑥 × d𝑧′ . Die Gesamtkonfiguration ist in Abb. 10.1 dargestellt

−𝜎𝑥 (𝑥)𝑏d𝑧 + 𝜎𝑥 (𝑥 + d𝑥)𝑏d𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 (𝑧)𝑏d𝑥 + 𝜏𝑧𝑥 (𝑧 + d𝑧)𝑏d𝑥 = 0 ,

(10.3)

oder vereinfacht nach einer Taylorreihenentwicklung der Spannungen bei (𝑥 + d𝑥) und (𝑧 + d𝑧): d𝜎𝑥 (𝑥) d𝑥

d𝑥𝑏d𝑧 +

d𝜏𝑧𝑥 (𝑧) d𝑧

d𝑧𝑏d𝑥 = 0 ,

(10.4)

= 0.

(10.5)

oder d𝜎𝑥 (𝑥) d𝑥

+

d𝜏𝑧𝑥 (𝑧) d𝑧

Umgeformt nach d𝜏𝑧𝑥 (𝑧) = −

d𝜎𝑥 (𝑥) d𝑥

d𝑧

(10.6)

liefert die Integration allgemein: 𝑧

𝜏𝑧𝑥 (𝑧) = −

∫ 0

Mittels

d𝜎𝑥 (𝑥) d𝑥

d𝑧′ + 𝑐 .

(10.7)

290

10 Anhang

d𝜎𝑥 (𝑥) d𝑥

=

d d𝑥

(

𝑀𝑦 (𝑥) 𝐼𝑦

) ×𝑧

=

𝑧 𝐼𝑦

×

d𝑀𝑦 (𝑥) d𝑥

=

𝑄𝑧 (𝑥) 𝐼𝑦

×𝑧

(10.8)

folgt allgemein für die Schubspannungsverteilung: 𝑧

𝜏𝑧𝑥 (𝑧) = −

∫ 0

𝑄𝑧 (𝑥) 𝐼𝑦

× 𝑧′ d𝑧′ + 𝑐 = −

𝑧

𝑄𝑧 (𝑥)

𝐼𝑦 ∫

𝑧′ d𝑧′ + 𝑐 = −

0

𝑄𝑧 (𝑥) 2 𝑧 + 𝑐 . (10.9) 2𝐼𝑦

Die Integrationskonstante 𝑐 kann mittels der Bedingung, dass am freien Rand keine Schubspannungen auftreten, d. h. 𝜏𝑧𝑥 (𝑧 = ℎ2 ) = 0, zu 𝑐=

𝑄𝑧 (𝑥)

( )2 ℎ

2𝐼𝑦

2

(10.10)

bestimmt werden. Somit ergibt sich abschließend für die Schubspannungsverteilung eines Balkens mit rechteckigem Querschnitt: ( )2 ⎤ 𝑄𝑧 (𝑥) ⎡ ℎ ⎢ − 𝑧2 ⎥ . 𝜏𝑧𝑥 (𝑧) = ⎥ 2𝐼𝑦 ⎢ 2 ⎣ ⎦

(10.11)

Ableitung der Knickkraft nach Euler für homogene und isotrope Euler-Bernoulli-Balken Zur Ableitung der Knickformel nach Euler betrachtet man einen beidseitig gelenkig gelagerten Balken unter einer Druckkraft 𝐹 , siehe Abb. 10.4. Das Gleichgewicht wird jetzt zum ersten Mal am verformten Bauteil1 aufgestellt, siehe Abb. 10.4b. Das Momentengleichgewicht an der Schnittstelle 𝑥 liefert (siehe Abb. 10.5): ↷ ∑

𝑀𝑦 = 0 ⇔ +𝐹 × 𝑢𝑧 − 𝑀𝑦 (𝑥) = 0 . ⇒ 𝑀𝑦 (𝑥) = +𝐹 × 𝑢𝑧 .

(10.12) (10.13)

Die Verformung eines Euler-Bernoulli-Biegebalkens wird allgemein durch eine Differenzialgleichung beschrieben. Für Balken mit konstanter Biegesteifigkeit 𝐸𝐼𝑦 , können die Formulierungen nach Gln. (2.9)-(2.11) angegeben werden. Mittels der Formulierung mit dem Biegemoment ergibt sich in unserem Fall: 1

Zur Ableitung der Differenzialgleichungen in Unterkapitel 2.2.1 wurde das Gleichgewicht am unverformten Bauteil aufgestellt.

10.1 Mechanik und Mathematik

291

Abb. 10.4 Beidseitig gelenkig gelagerter Balken unter Drucklast: (a) Ausgangslage und (b) Verformung

Abb. 10.5 Freischneiden an Stelle 𝑥

𝐸𝐼𝑦

d2 𝑢𝑧 (𝑥) d𝑥2

= −𝐹 × 𝑢𝑧 (𝑥) ,

(10.14)

+ 𝐹 × 𝑢𝑧 (𝑥) = 0 .

(10.15)

oder umgeformt: 𝐸𝐼𝑦 Mittels der Abkürzung 𝜆2 =

d2 𝑢𝑧 (𝑥)

𝐹 𝐸𝐼𝑦

d𝑥2

ergibt sich folgende Darstellung:

d2 𝑢𝑧 (𝑥)

+ 𝜆2 𝑢𝑧 (𝑥) = 0 . (10.16) d𝑥2 Die allgemeine Lösung für eine solche Differenzialgleichung ergibt sich zu: 𝑢𝑧 (𝑥) = 𝑐1 × cos(𝜆𝑥) + 𝑐2 × sin(𝜆𝑥) .

(10.17)

292

10 Anhang

Mittels der Randbedingungen 𝑢𝑧 (0) = 0 und 𝑢𝑧 (𝐿) = 0, kann eine Bestimmung der unbekannten Konstanten 𝑐1 und 𝑐2 angegangen werden. Aus der ersten Randbedingung, d. h. 𝑢𝑧 (0) = 0, ergibt sich: 0 = 𝑐1 × cos(0) + 𝑐2 × sin(0) ⇔ 𝑐1 = 0 .

(10.18)

Aus der zweiten Randbedingung, d. h. 𝑢𝑧 (𝐿) = 0, ergibt sich: 0 = 𝑐2 × sin(𝜆 ⋅ 𝐿) .

(10.19)

Funktion 𝑦(𝑥) = sin(𝑥)

Wenn das Produkt Null sein soll, muss einer der beiden Faktoren, d. h. 𝑐2 oder sin(𝜆× 𝐿), gleich Null sein. Bei 𝑐2 = 0 handelt es sich um eine triviale Lösung (mit 𝑐1 = 𝑐2 = 0 ergibt sich nach Gl. (10.17): 𝑢𝑧 = 0, somit keine Verformung). Daher muss sin(𝜆 × 𝐿) = 0 näher betrachtet werden. Die Bedingung sin(𝜆 × 𝐿) = 0 bedeutet, dass 𝜆 × 𝐿 = 𝑘 × 𝜋 mit 𝑘 = 0, 1, 2, ⋯ (siehe Abb. 10.6). 1

0

−1

𝜋 2

0

𝜋 Koordinate 𝑥

3𝜋 2

2𝜋

Abb. 10.6 Darstellung der trigonometrischen Funktion sin(𝑥) Die Bedingung 𝜆 × 𝐿 = 0 würde 𝐹 = 0 bedeuten (siehe Definition von 𝜆). Somit ergibt sich als sinnvolle Bedingung: 𝜆 × 𝐿 = 𝜋 ⇔ 𝜆2 =

𝜋2 𝐿2

.

(10.20)

Und schließlich: 𝐹K =

𝜋 2 𝐸𝐼min 𝐿2

.

(10.21)

Somit ergibt sich die Knickform zu: ( 𝑢𝑧 (𝑥) = 𝑐2 × sin

) 𝜋⋅𝑥 𝐿

,

(10.22)

10.1 Mechanik und Mathematik

293

wobei die Konstante 𝑐2 unbestimmt bleibt. Angemerkt sei weiterhin, dass für 𝐼min der kleinere Wert von 𝐼𝑦 und 𝐼𝑧 zu nehmen ist. Gleichung (10.21) kann auch für andere Lagerfälle nach Euler verallgemeinert werden, indem die sog. Knicklänge 𝐿K eingeführt wird. Damit ergibt sich die verallgemeinerte Knickkraft nach Euler zu: 𝐹K =

𝜋 2 𝐸𝐼min 𝐿2K

.

(10.23)

Die verschiedenen Formulierungen der Knickkraft nach Euler sind in Tabelle 10.2 zusammengefasst. Tabelle 10.2 Charakterisierung der klassischen Fälle nach Euler Fall Lagerung

Knicklänge

1 2 3 4

𝐿K 𝐿K 𝐿K 𝐿K

frei – fest gelenkig – gelenkig gelenkig – fest fest – fest

= 2𝐿 =𝐿 ≈ 0,7𝐿 = 12 𝐿

Die Knickspannung 𝜎K ergibt sich aus der Knickkraft mittels: 𝜎K =

𝐹K 𝐴

=

𝜋 2 𝐸𝐼min 𝐴𝐿2K

.

(10.24)

Definiert man mittels der geometrischen Größen den sog. Schlankheitsgrad 𝜆, d. h. √ 𝐿2 𝐴 𝐴 𝐿K = 𝐿K ⇔ 𝜆2 = K , (10.25) 𝜆= √ 𝐼min 𝐼min 𝐼min 𝐴

ergibt sich die Knickspannung zu: 𝜎K =

𝜋2𝐸 𝜆2

.

(10.26)

Newton-Iteration Das Newton-Verfahren dient zur numerischen Bestimmung der Nullstellen von Funktionen, siehe Mitchell (1980). Zur Ableitung der Iterationsgleichung wird eine Funktion 𝑓 an einer Stelle 𝑥0 in eine Taylor-Reihe erster Ordnung entwickelt:

294

10 Anhang

𝑓 (𝑥) ≈ 𝑓 (𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 ) × (𝑥 − 𝑥0 ) + ⋯ .

(10.27)

Nimmt man die Nullstelle an der Stelle 𝑥 an, d. h. 𝑓 (𝑥) = 0, ergibt sich folgende Iterationsvorschrift (siehe auch Abb. 10.7): 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −

𝑓 (𝑥𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )

.

(10.28)

Abb. 10.7 Schematische Darstellung der Newton-Iteration zur numerischen Bestimmung der Nullstelle einer Funktion Die Iteration wird so lange durchgeführt, bis der Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Abszissenwerten kleiner als eine vorgegebene Toleranz wird: 𝑡𝑜𝑙 = 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 . Weiterhin ist zu beachten, dass die Konvergenz vom Startwert der Iteration abhängig ist. Zur Wahl eines sinnvollen Startwertes kann es notwendig sein, dass die Funktion zuerst graphisch dargestellt werden muss.

10.2 Computerprogramme Faktoren bei lokaler Instabilität Das folgende Python-Programm B1.py berechnet mittels des Newton-Verfahrens den Faktor 𝐵1 für die Gln. (6.28), (6.39) und (6.43), um die kritische Knitterspannung 𝜎cr auswerten zu können. Weiterhin wird die normalisierte Wellenlänge Δℎ𝜆 K berechnet. Das Programm erfordert eine Python 3 Installation2 , die die zusätzlichen Bibliotheken sympy und numpy zur Verfügung stellt. Mittels klist kann der Start2

Somit erfolgt der Aufruf des Programms mittels python3 B1.py.

10.2 Computerprogramme

295

und Endwert bzw. die zugehörige Unterteilung in Schritte für den Material- und Geometrieparameter 𝑘 festgelegt werden, siehe Zeile 8. Eine Liste der Querkontraktionszahlen des Kerns 𝜈 K wird in vlist festgelegt, siehe Zeile 9. Durch Auskommentieren zweier der drei Gleichungen in den Zeilen 56–58 kann zwischen den Fällen der Unterkapitel 6.1.3, 6.1.5 und 6.1.4 unterschieden werden. Die Grundlagen der Programmiersprache Python können Zhang 2015, Padmanabhan 2016, Linge und Langtangen 2016 entnommen werden. B1.py 1 2 3

import sympy as sp import numpy as np sp.init_printing()

4 5

###PARAMETERS###

6 7 8 9 10

precision=0.000001 klist=np.linspace(0.05,4.00,100) vlist=[0.50] x0=100

11 12 13

###EQUATIONS### v,k,x=sp.symbols(’v k x’)

14 15

expr=(k**2*x**2)/12 + (1/k)*((2/x) * (((3-v)*sp.sinh(x) * sp.cosh(x)+(1+v)*x)/((1+v)*(3-v)**2 *(sp.sinh(x))**2 -((1+v)**3)*x**2)))

16 17

expr2=(k**2*x**2)/12 + (1/k)*((2/x) * ((sp.cosh(x)-1)/((1+v)*(3-v)*sp.sinh(x) + ((1+v)**2)*x)))

18 19

expr3=(k**2*x**2)/12 + (1/k)*((2/x) * ((sp.cosh(x)+1)/(3*sp.sinh(x)-x)))

20 21

###FUNCTION###

22 23 24 25

26 27 28 29

30

def sympy_newton(expr,klist,vlist,precision,x0,label): """Takes a sympy expression, here with parameters v, k, and variable x, and lists of parameters k and v, and for a given x0 start value and precision calculates the minimum or maximum of function closest to x0, for each k and v. The function returns the k, v, wavelength, and y-value of the function at the minimum output is saved in a textfile, the name of which is specified with the variable label.""" v,k,x=sp.symbols(’v k x’) first_der=sp.diff(expr, x) second_der=sp.diff(first_der, x) function=sp.lambdify((x,v,k),expr,("numpy", "math", "mpmath", "sympy")) function_first_der=sp.lambdify((x,v,k),first_der,("numpy", "math", "mpmath", "sympy"))

296 31

32 33

10 Anhang function_second_der=sp.lambdify((x,v,k),second_der,("numpy", "math", "mpmath", "sympy")) wavelength=float((2*sp.pi)/x0) with open(label+".txt", ’w’) as outfile:

34

35 36 37

print("{: