Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen 3540726233, 9783540726234

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Erwin Hake · Konstantin Meskouris Statik der Flächentragwerke

Erwin Hake · Konstantin Meskouris

Statik der Flächentragwerke Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen

2., korrigierte Auflage Mit 220 Abbildungen

123

Dr.-Ing. Erwin Hake [email protected]

Prof. Dr.-Ing. Konstantin Meskouris [email protected] RWTH Aachen Lehrstuhl für Baustatik und Baudynamik Mies-van-der-Rohe-Str. 1 52074 Aachen Germany

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN 978-3-540-72623-4 2. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-41997-6 1. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001, 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satz: Digitale Vorlagen der Autoren Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Einbandgestaltung: WMXDesign, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier

68/3180/YL – 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Das vorliegende Lehrbuch ist aus dem Manuskript der Lehrveranstaltung „Statik der Flächentragwerke“ an der RWTH Aachen entstanden. Es behandelt die klassischen Methoden zur Berechnung zweidimensionaler Tragelemente und beschränkt sich dementsprechend auf Verfahren für die Handrechnung sowie auf geometrisch und physikalisch lineare Aufgaben der Scheiben-, Platten- und Schalentheorie. Letztere bezieht sich als Folge einer notwendigen Begrenzung des Stoffumfangs nur auf rotationssymmetrische Probleme. Ein häufig verwendetes Konstruktionselement bei zusammengesetzten Flächentragwerken ist der stabförmige Kreisring. Ihm wird ein eigenes Kapitel gewidmet. Zur analytischen Herleitung der benötigten Gleichungen wird unter Voraussetzung baustatischer Grundkenntnisse jeweils ein möglichst anschaulicher und mathematisch einfacher Zugang gewählt. Der gesamte Lehrstoff und die behandelten Verfahren werden mit - meist praxisbezogenen - Beispielen belegt. Übliche Idealisierungen, gebräuchliche Näherungen und Bezüge zu den geltenden Bauvorschriften werden deutlich hervorgehoben. Ausführliche Formel- und Zahlentabellen für vierseitig gelagerte Rechteckplatten sowie für rotationssymmetrische Scheiben, Platten, Ringe, Zylinder-, Kugel- und Kegelschalen sollen die praktische Anwendung der Ergebnisse erleichtern. Dem Buch ist eine CD-ROM beigefügt, die auf den behandelten Verfahren basierende Programme für drei- und vierseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatten sowie für rotationssymmetrische Platten und Schalen enthält. Damit wird der Lehrbuchcharakter in Richtung auf die Praxis hin erweitert und Handwerkszeug sowohl für die Aufstellung von Berechnungen als auch für Kontrollen anderweitiger Computerergebnisse zur Verfügung gestellt. Besonderer Wunsch der Verfasser ist es, dem Leser ein gesundes statisches Gefühl für die Beanspruchungen, die Lastabtragung und den Wirkungsmechanismus von Flächentragwerken, eingeschlossen die Lastfälle Vorspannung und Temperatur, zu vermitteln. Hierzu soll auch eine Vielzahl von Berechnungsbeispielen aus Scheiben, Platten, Ringen und Schalen zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke dienen.

VI

Vorwort

Die Autoren danken Frau Anke Madej für die druckreife Erstellung des Manuskripts sowie Frau cand. ing. Katrin Bolender, Herrn Dipl.-Ing. Sam-Young Noh, Herrn cand. ing. Philippe Renault, Herrn Dipl.-Ing. Hamid Sadegh-Azar und Herrn Dipl.-Ing. Rocco Wagner für die Programmierung und die Arbeit an der CD-ROM. Dem Verlag gebührt Dank für die gediegene Ausstattung des Buches.

Aachen, Juli 2001

Erwin Hake

Konstantin Meskouris

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung.............................................................................................. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

2

1

Der ein- und der zweiachsige Spannungszustand......................... Scheiben ....................................................................................... Platten........................................................................................... Faltwerke...................................................................................... Schalen ......................................................................................... 1.5.1 Standardformen.............................................................. 1.5.2 Spannungszustände in Schalen ...................................... 1.5.3 Verknüpfung mehrerer Rotationsschalen.......................

1 4 5 6 7 7 8 10

Die Scheibentheorie...........................................................................

11

2.1

11 11 13 14 15 15 16 16 18 19 20 20 21 21 22 23 24 24 24 26 27 28

2.2

2.3

Allgemeines.................................................................................. 2.1.1 Das Tragverhalten von Scheiben ................................... 2.1.1.1 Der wandartige Träger ................................. 2.1.1.2 Kreis- und Kreisringscheiben ...................... 2.1.1.3 Krafteinleitungsprobleme ............................ 2.1.2 Idealisierungen und Annahmen ..................................... Die Scheibengleichung in kartesischen Koordinaten ................... 2.2.1 Gleichgewicht am Scheibenelement .............................. 2.2.2 Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen ........................ 2.2.3 Verträglichkeitsbedingung............................................. 2.2.4 Die AIRYsche Spannungsfunktion ................................. 2.2.5 Das Elastizitätsgesetz von HOOKE ................................. 2.2.6 Die Scheibengleichung .................................................. 2.2.7 Berechnung der Verformungen...................................... 2.2.8 Der ebene Dehnungszustand.......................................... 2.2.9 Die Randbedingungen.................................................... Elementare Lösungen in kartesischen Koordinaten...................... 2.3.1 Allgemeines Vorgehen .................................................. 2.3.2 Biharmonische Funktionen ............................................ 2.3.3 Ebener, homogener Spannungszustand.......................... 2.3.4 Reiner Schubspannungszustand..................................... 2.3.5 Reine Biegung ...............................................................

VIII

Inhaltsverzeichnis

2.3.6

Staumauer mit Dreieckquerschnitt................................. 2.3.6.1 Lastfall Eigengewicht .................................. 2.3.6.2 Lastfall Wasserdruck ................................... 2.3.6.3 Superposition der beiden Lastfälle............... Transformation auf Polarkoordinaten bei Rotationssymmetrie .... 2.4.1 Scheibengleichung ......................................................... 2.4.2 Spannungen.................................................................... Elementare rotationssymmetrische Lösungen in Polarkoordinaten .......................................................................... 2.5.1 Biharmonische Funktionen ............................................ 2.5.2 Kreisscheibe mit konstanter radialer Randlast............... 2.5.3 Kreisringscheibe mit konstanter radialer Randlast außen............................................................... 2.5.4 Kreisringscheibe mit konstanter radialer Randlast innen ............................................................... 2.5.5 Zusammengesetzte Kreisscheibe ................................... 2.5.6 Schrumpfring ................................................................. 2.5.7 Reine Biegung eines Kreisringsektors ........................... 2.5.8 Der Satz von BETTI an der Kreisringscheibe ................. 2.5.9 Grenzübergang zum stabförmigen Kreisring ................. Die Berechnung des wandartigen Trägers unter Verwendung von FOURIER-Reihen .................................................................... 2.6.1 Entwicklung der Randbelastung in eine Reihe .............. 2.6.2 Wandartiger Träger mit Randlast................................... 2.6.2.1 Spannungsermittlung ................................... 2.6.2.2 Zahlenbeispiele ............................................ 2.6.2.3 Durchlaufscheiben unter Gleichlast ............. Die mitwirkende Breite des Plattenbalkens.................................. 2.7.1 Problemstellung ............................................................. 2.7.2 Definition der mitwirkenden Breite ............................... 2.7.3 Ansatz für die Spannungsfunktion................................. 2.7.4 Randbedingungen des Gurtes ........................................ 2.7.5 Lösung bei Belastung mit einem einzelnen Reihenglied 2.7.6 Die mitwirkende Plattenbreite im allgemeinen Fall.......

29 30 31 32 33 33 35

Die Plattentheorie ...............................................................................

67

3.1

67 67 68 69 72 75 75

2.4 2.5

2.6

2.7

3

3.2

Die Tragwirkung von Platten ....................................................... 3.1.1 Allgemeines ................................................................... 3.1.2 Die Schnittgrößen von Platten ....................................... 3.1.3 Hauptmomente............................................................... 3.1.4 Lastaufteilungsverfahren für Rechteckplatten ............... Die Plattengleichung in kartesischen Koordinaten....................... 3.2.1 Idealisierungen und Annahmen .....................................

36 36 36 38 40 42 44 45 47 49 50 50 52 52 55 57 61 61 62 62 63 64 65

Inhaltsverzeichnis

3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8

3.3

3.4

3.5

Gleichgewicht am Plattenelement.................................. Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen ........................ Spannungs-Verschiebungs-Beziehungen....................... Momenten-Verschiebungs-Beziehungen ....................... Querkraft-Verschiebungs-Beziehungen......................... Plattengleichung ............................................................ Die Randbedingungen.................................................... 3.2.8.1 Randscherkräfte ........................................... 3.2.8.2 Randbedingungen an geraden Rändern........ 3.2.9 Einfluß der Querdehnung............................................... 3.2.9.1 Allgemeines ................................................. 3.2.9.2 Umrechnungsformeln für Platten mit von μ unabhängigen Randbedingungen....... 3.2.9.3 Rechteckplatten mit freiem Rand................. 3.2.10 Der Lastfall ungleichmäßige Temperatur ...................... 3.2.10.1 Temperaturverlauf ....................................... 3.2.10.2 ΔT am Grundsystem .................................... 3.2.10.3 ΔT an der gelenkig gelagerten Platte ........... 3.2.11 Die elastisch gebettete Platte ......................................... Vierseitig gelagerte Rechteckplatten ............................................ 3.3.1 Allgemeines ................................................................... 3.3.2 Lösung der Plattengleichung mit Reihenansatz ............. 3.3.2.1 Lösungsansatz.............................................. 3.3.2.2 Lösung der Plattengleichung........................ 3.3.2.3 Schnittgrößen............................................... 3.3.2.4 Auswertung für eine quadratische Platte ..... 3.3.3 Zahlentafel für vierseitig gestützte Rechteckplatten unter Gleichlast.................................................................. 3.3.4 Allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte mit Randmoment.................................................................. 3.3.4.1 Verlauf der Biegemomente .......................... 3.3.4.2 Anwendungsbeispiel: Einfeldplatte mit auskragendem Balkon.................................. 3.3.4.3 Anwendungsbeispiel: Lastfall ΔT bei der gelenkig gelagerten Einfeldplatte ................ Grundgleichungen für Rotationssymmetrie.................................. 3.4.1 Plattengleichung ............................................................ 3.4.2 Schnittgrößen................................................................. 3.4.3 Randbedingungen und Einfluß der Querdehnung.......... Kreis- und Kreisringplatten unter rotationssymmetrischer Belastung...................................................................................... 3.5.1 Allgemeines zur Lösung der Plattengleichung in Polarkoordinaten............................................................ 3.5.2 Gelenkig gelagerte Kreisplatte unter Gleichlast ............

IX

76 78 79 80 81 81 82 82 83 86 86 86 87 88 88 89 90 90 91 91 92 92 93 94 95 96 98 98 98 99 101 101 101 103 104 104 105

X

Inhaltsverzeichnis

3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.5.6

3.6

3.7

Gelenkig gelagerte Kreisplatte mit Randmoment .......... Gelenkig gelagerte Kreisringplatte mit Randmoment.... Grenzübergang zum stabförmigen Ringträger ............... Tafeln für Kreis- und Kreisringplatten und Anwendungsbeispiele .................................................... 3.5.6.1 Allgemeines zu den Tafeln .......................... 3.5.6.2 Beispiel 1: Eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast ..................................................... 3.5.6.3 Beispiel 2: Zweifach gelagerte Kreisplatte .. 3.5.6.4 Beispiel 3: Kreisringplatte mit Lagerung zwischen Innen- und Außenrand ................. 3.5.6.5 Beispiel 4: Kreisplatte mit Teilflächenlast... 3.5.6.6 Beispiel 5: Kreisplatte mit Auskragung unter Gleichlast ............................................ 3.5.6.7 Beispiel 6: Kreisplatte mit unterschiedlicher Dicke ............................... 3.5.6.8 Beispiel 7: Kreis- und Kreisringplatte mit unterschiedlicher Dicke ............................... 3.5.7 Der Satz von BETTI an der Kreisplatte........................... Einflußflächen für Platten............................................................. 3.6.1 Allgemeines ................................................................... 3.6.2 Die Singularitätenmethode............................................. 3.6.2.1 Allgemeines ................................................. 3.6.2.2 Die Singularität des Feldmoments mx .......... 3.6.2.3 Der reguläre Anteil des Feldmoments mx .... 3.6.3 Ausgewählte Einflußflächen.......................................... 3.6.3.1 Einflußfläche für ein Feldmoment ............... 3.6.3.2 Einflußfläche für ein Einspannmoment ....... 3.6.3.3 Einflußfläche für ein Drillmoment............... 3.6.3.4 Einflußfläche für eine Querkraft.................. 3.6.3.5 Einflußflächen für die Schnittgrößen von Kreisplatten.................................................. 3.6.4 Auswertung von Einflußflächen .................................... 3.6.4.1 Lastverteilung in Platten .............................. 3.6.4.2 Auswertungsformeln.................................... 3.6.4.3 Beispiel 1: Maximale Feldmomente infolge einer Einzellast............................................. 3.6.4.4 Beispiel 2: Minimales Stützmoment infolge einer wandernden Teilflächenlast ................ Orthogonale Mehrfeldplatten ....................................................... 3.7.1 Allgemeines ................................................................... 3.7.2 Das Belastungsumordnungsverfahren............................ 3.7.2.1 Ermittlung der Feldmomente ....................... 3.7.2.2 Ermittlung der Stützmomente ......................

108 110 111 113 113 114 114 115 116 117 118 121 122 123 123 125 125 125 129 129 129 130 131 132 133 133 133 134 135 138 139 139 140 141 143

Inhaltsverzeichnis

3.7.3

Das Verfahren von PIEPER/MARTENS ............................ 3.7.3.1 Ermittlung der Feldmomente ....................... 3.7.3.2 Ermittlung der Stützmomente ...................... Näherungslösungen der Scheiben- und der Plattengleichung (Übersicht)........................................................................................ 3.8.1 Allgemeines ................................................................... 3.8.2 Analytische Näherungen................................................ 3.8.2.1 Der Ansatz erfüllt die Differentialgleichung 3.8.2.2 Der Ansatz befriedigt die Randbedingungen 3.8.3 Numerische Lösungen ................................................... 3.8.3.1 Differenzenverfahren ................................... 3.8.3.2 Die Methode der finiten Elemente ............... 3.8.3.3 Die Methode der Randelemente...................

147 147 148 148 150 151 151 154 155

Der Kreisring unter rotationssymmetrischer Belastung ..........

157

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

157 158 159 161 163 164 164

3.8

4

144 145 146

Allgemeines.................................................................................. Lastfall Radialkraft RS .................................................................. Lastfall Krempelmoment MS ........................................................ Lastfall beliebige rotationssymmetrische Belastung .................... Der Kreisring mit Rechteckquerschnitt ........................................ 4.5.1 Lastfall R mit beliebigem Angriffspunkt ....................... 4.5.2 Lastfall M mit beliebigem Angriffspunkt ...................... 4.5.3 Lösungen für ausgewählte Angriffspunkte von R und M .................................................................. Der Kreisring mit einfach symmetrischem Querschnitt ............... Der Kreisring mit unsymmetrischem Querschnitt ........................

164 164 168

Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung ..

169

5.1

169 169 170 172 172 174 176 179

4.6 4.7 5

XI

5.2

Allgemeines.................................................................................. 5.1.1 Schalenformen ............................................................... 5.1.2 Spannungszustände in Schalen ...................................... Die Membrantheorie..................................................................... 5.2.1 Allgemeine Berechnung der Membrankräfte................. 5.2.2 Allgemeine Berechnung der Membranverformungen.... 5.2.3 Zylinderschalen.............................................................. 5.2.4 Kugel- und Kugelzonenschalen ..................................... 5.2.4.1 Lastfall Eigengewicht der stehenden Kugelzonenschale ........................................ 5.2.4.2 Lastfall Eigengewicht der stehenden Kugelschale.................................................. 5.2.4.3 Lastfall Vertikallast am oberen Rand einer stehenden Kugelzonenschale .......................

180 180 181

XII

Inhaltsverzeichnis

5.2.4.4

5.3

Lastfall Schnee auf der stehenden Kugelschale.................................................. 5.2.4.5 Lastfall konstanter Innendruck in der Kugelschale.................................................. 5.2.4.6 Lastfall hydrostatischer Druck in der hängenden Kugelschale ............................... 5.2.5 Kegel- und Kegelstumpfschalen .................................... 5.2.5.1 Lastfall Eigengewicht der stehenden Kegelstumpfschale....................................... 5.2.5.2 Lastfall Eigengewicht der stehenden Kegelschale.................................................. 5.2.5.3 Lastfall Vertikallast am oberen Rand einer stehenden Kegelstumpfschale...................... 5.2.5.4 Lastfall Schnee auf der Kegelschale ............ 5.2.5.5 Lastfall konstanter Innendruck in der Kegelschale.................................................. 5.2.5.6 Lastfall hydrostatischer Druck in der hängenden Kegelschale................................ Die Biegetheorie........................................................................... 5.3.1 Grundgleichungen.......................................................... 5.3.1.1 Gleichgewichtsbedingungen ........................ 5.3.1.2 Dehnungs-Verformungs-Beziehungen......... 5.3.1.3 Verkrümmungs-Verformungs-Beziehungen 5.3.1.4 Momenten-Verkrümmungs-Beziehungen.... 5.3.2 Randstörungen der langen Zylinderschale ..................... 5.3.2.1 Herleitung der Differentialgleichung ........... 5.3.2.2 Allgemeine Lösung der Differentialgleichung ................................... 5.3.2.3 Lösung für Radialkraft R und Moment M am oberen Rand ........................................... 5.3.2.4 Lösung für Radialkraft R und Moment M am unteren Rand .......................................... 5.3.3 Randstörungen der kurzen Zylinderschale..................... 5.3.3.1 Allgemeine Lösung der Differentialgleichung ................................... 5.3.3.2 Lösung für Radialkraft R und Moment M am oberen Rand ........................................... 5.3.3.3 Schnittgrößen............................................... 5.3.3.4 Randverformungen ...................................... 5.3.4 Randstörungen der Kugelschale .................................... 5.3.4.1 Herleitung der Differentialgleichungen ....... 5.3.4.2 Allgemeine Lösung der Differentialgleichungen für Randstörungen.

182 183 183 185 186 187 187 188 188 189 189 190 190 192 192 193 193 193 196 198 200 201 201 203 204 205 207 207 210

Inhaltsverzeichnis

5.3.4.3

5.4

Lösung für Radialkraft R und Moment M am unteren Rand .......................................... 5.3.4.4 Lösung für Radialkraft R und Moment M am oberen Rand ........................................... 5.3.5 Randstörungen der Kegelschale..................................... 5.3.5.1 Herleitung der Differentialgleichungen ....... 5.3.5.2 Lösung für Radialkraft R und Moment M am unteren Rand .......................................... 5.3.5.3 Lösung für Radialkraft R und Moment M am oberen Rand ........................................... 5.3.6 Randstörungen bei Rotationsschalen mit beliebiger Erzeugenden .................................................................. 5.3.7 Der Lastfall Temperatur bei Rotationsschalen............... 5.3.7.1 Temperaturbelastung der Schale.................. 5.3.7.2 Beispiel für die Ermittlung der maßgebenden Temperaturbelastungen......... 5.3.7.3 Der Lastfall gleichmäßige Temperaturänderung T ................................ 5.3.7.4 Der Lastfall ungleichmäßige Temperatur ΔT ................................................................ 5.3.8 Der Lastfall Vorspannung bei Rotationsschalen............ 5.3.8.1 Spannverfahren für Schalen......................... 5.3.8.2 Zylindervorspannung durch Wickeln (Bauzustand) ................................................ 5.3.8.3 Zylindervorspannung mit Einzelspanngliedern..................................... 5.3.8.4 Einflußlinien für Schnittgrößen infolge radialer Linienlasten .................................... Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke ......................................................................... 5.4.1 Kreisplatte auf zwei konzentrischen Zylindern.............. 5.4.2 Zylindrischer Behälter mit doppelt gelagerter Kreisringplatte am oberen Rand .................................... 5.4.3 Zylindrischer Wasserbehälter mit Bodenplatte.............. 5.4.4 Kurzer Zylinder mit Deckplatte auf schrägem Lager..... 5.4.5 Kurzer Zylinder mit zwei Kreisplatten unter Innendruck ..................................................................... 5.4.6 Zylinder mit warmer Teilfüllung (Lastfall Temperatur) 5.4.7 Zylinder auf Torusschale ............................................... 5.4.8 Kugelschale mit Fußring und Kreisringplatte ................ 5.4.9 Kegelstumpfförmiger Behälter mit Kuppel und Bodenplatte .................................................................... 5.4.10 Zylindrischer Behälter mit Kugelboden und Kreisringscheibe ............................................................

XIII

212 214 216 216 219 221 222 224 224 225 226 228 230 230 232 234 235 237 238 239 240 241 243 245 249 251 254 258

XIV

Inhaltsverzeichnis

5.4.11 6

Zylindrischer Wasserbehälter mit kegelstumpfförmiger Haube und Zugring ........................................................

259

Hilfstafeln..............................................................................................

267

T. 1 T. 2 T. 3 T. 4 T. 5 T. 6 T. 7 T. 8 T. 9 T. 10 T. 11 T. 12 T. 13 T. 14 T. 15 T. 16 T. 17 T. 18 T. 19 T. 20

Schnittkräfte und Randverformungen von Kreis- und Kreisringscheiben infolge konstanter Radiallast .......................... Zahlentafel zur Berechnung der Momente vierseitig gelagerter Rechteckplatten infolge Gleichlast (μ = 0)................................... Momentenbeiwerte nach PIEPER/MARTENS für vierseitig gelagerte Rechteckplatten............................................................. Zahlentafel zur Berechnung der Biegemomente gelenkig gelagerter Rechteckplatten infolge eines sinusförmigen Randmoments............................................................................... Schnittgrößen von Kreisplatten mit rotationssymmetrischer Belastung...................................................................................... Verformungen von Kreisplatten mit rotationssymmetrischer Belastung .......................................................................................... Schnittgrößen von Kreisringplatten mit rotationssymmetrischer Belastung...................................................................................... Verformungen von Kreisringplatten mit rotationssymmetrischer Belastung...................................................................................... Zahlentafeln für Kreisplatten mit rotationssymmetrischer Vertikallast (μ = 0,2) .................................................................... Zahlentafeln für am Innenrand gelagerte Kreisringplatten mit rotationssymmetrischer Vertikallast (μ = 0,2) ................................ Zahlentafeln für am Innenrand gelagerte Kreisringplatten mit Randmomenten (μ = 0,2).............................................................. Zahlentafeln für am Außenrand gelagerte Kreisringplatten mit Vertikalbelastung (μ = 0,2) .......................................................... Zahlentafeln für am Außenrand gelagerte Kreisringplatten mit Randmomenten (μ = 0,2).............................................................. Schnittgrößen und Verformungen des Kreisrings mit Rechteckquerschnitt infolge rotationssymmetrischer Belastung .. Schnittgrößen und Randverformungen von Zylinderschalen im Membranzustand .......................................................................... Membrankräfte in Kugelschalen infolge ausgewählter Lastfälle . Membranverformungen von Kugelschalen konstanter Wandstärke infolge ausgewählter Lastfälle.................................. Membrankräfte in Kegelschalen infolge ausgewählter Lastfälle.. Membranverformungen von Kegelschalen konstanter Wandstärke infolge ausgewählter Lastfälle.................................. Tafel der Funktionen η, η΄, η΄΄ und η΄΄΄......................................

267 268 269 272 273 274 275 276 277 279 281 283 284 286 287 288 289 290 291 292

Inhaltsverzeichnis

T. 21 Schnittgrößen und Randverformungen langer Zylinderschalen (λℓ ≥ 4) infolge rotationssymmetrischer Randlasten R und M..... T. 22 Tafel der Funktionen F1 bis F4 für kurze Zylinder........................ T. 23 Hilfswerte zur Berechnung der Randverformungen und Integrationskonstanten kurzer Zylinderschalen (λℓ ≤ 4) .............. T. 24 Randverformungen kurzer Zylinderschalen (λℓ ≤ 4) infolge rotationssymmetrischer Randlasten R und M............................... T. 25 Schnittgrößen und Randverformungen von Kugel- und Kugelzonenschalen infolge rotationssymmetrischer Randlasten R und M........................................................................................ T. 26 Schnittgrößen und Randverformungen von Kegel- und Kegelzonenschalen infolge rotationssymmetrischer Randlasten R und M........................................................................................ 7

XV

293 294 295 296 297 299

Programm Flächentragwerke (CD-ROM) ......................................

301

7.1 7.2

Allgemeines.................................................................................. Anwendungsbereich ..................................................................... 7.2.1 Rechteckplatten.............................................................. 7.2.2 Kreisplatten.................................................................... 7.2.3 Rotationsschalen ............................................................ Anwendung .................................................................................. 7.3.1 Rechteckplatten.............................................................. 7.3.2 Kreis- und Kreisringplatten............................................ 7.3.3 Rotationsschalen ............................................................

301 302 302 303 304 305 305 305 306

Literatur........................................................................................................

307

Sachverzeichnis.........................................................................................

311

7.3

1 Einleitung

Die in diesem Buch behandelten Elemente der Flächentragwerke sollen im folgenden kurz vorgestellt und beschrieben werden. Dabei wird zur Veranschaulichung der zweiachsigen Beanspruchung vom eindimensionalen Stab mit Querdehnung ausgegangen.

1.1 Der ein- und der zweiachsige Spannungszustand Stabtragwerke setzen sich aus eindimensionalen Elementen zusammen, bei denen zwei der drei Abmessungen klein sind gegenüber der dritten, der Länge. Abgesehen von Schubspannungen, die bei der Berechnung der Schnittgrößen und Verformungen des Systems keine Rolle spielen, treten nur Längsspannungen σx auf. Diese verursachen Dehnungen in allen drei Richtungen. Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem x,y,z lautet das HOOKEsche Gesetz, das den Zusammenhang zwischen den Dehnungen ε und den Spannungen σ beschreibt,

(

)

1 σ x − μσ y − μσ z , E 1 ε y = − μσ x + σ y − μσz , E 1 ε z = − μσ x − μσ y + σ z . E εx =

(

)

(

)

(1.1.1)

Darin werden der Elastizitätsmodul E und die Querdehnzahl μ als konstant angesehen, so daß (1.1.1) eine lineare Beziehung darstellt. Für den eindimensionalen Spannungszustand mit σ y = σ z = 0 erhält man aus (1.1.1) εx =

1 1 σ x ; ε y = ε z = − μσ x . E E

(1.1.2)

2

1 Einleitung

In Bild 1.1-1 sind diese Zusammenhänge für einen zentrisch beanspruchten Stab dargestellt.

l

b (1 - m e x)

l (1 + e x) b

h

N N

Bild 1.1-1:

v e rfo rm t

h (1 - m e x)

u n v e rfo rm t

Stab mit zentrischer Normalkraft

Die Querdehnungen εy und εz des Stabes wirken sich nicht auf die Spannungen aus, da der Querschnitt nicht an einer Verformung in seiner Ebene behindert wird und sich die Querschnittsfläche nur so geringfügig verändert, daß dies unberücksichtigt bleiben darf. Anders ist das im zweiachsigen Spannungszustand, wie er in dünnen Flächentragwerken herrscht. Hier kann die senkrecht zur Fläche des Tragwerkteils, z.B. einer Platte, wirkende Spannung wegen Geringfügigkeit vernachlässigt werden. Es gilt also σ z = 0 , während die anderen beiden Spannungen nicht verschwinden. Aus (1.1.1) ergibt sich dann für die Dehnungen

(

)

(

)

1 σ x − μσ y , E 1 ε y = σ y − μσ x . E εx =

(1.1.3)

Löst man diese Beziehungen nach den Spannungen auf, so folgt σx = σy =

E 1− μ 2 E 1− μ

(ε x + με y ) ,

(ε y + με x ) . 2

(1.1.4)

Man erkennt, daß eine einzelne Spannung Dehnungen in beiden Richtungen der Tragwerksfläche erzeugt und umgekehrt. In einem ebenen Flächenträger, den man sich aus vielen, eng nebeneinander liegenden, schmalen Stäben zusammengesetzt

1.1 Der ein- und der zweiachsige Spannungszustand

3

denken kann, entstehen also im allgemeinen infolge einer einachsigen Beanspruchung in der Ebene Spannungen in beiden Richtungen.

y

p

l

y x p

l Bild 1.1-2:

x

Dünne Rechteckscheibe mit Belastung in ihrer Ebene

In Bild 1.1-2 ist hierfür ein Beispiel dargestellt. In der gesamten Scheibe treten Spannungen σx, σy und τxy auf, weil die im Lastbereich in y-Richtung verlaufenden Fasern durch die außerhalb liegenden Scheibenbereiche in ihrer Längsverformung behindert werden. Eine entsprechende Folgerung ergibt sich aus (1.1.2) für biegebeanspruchte Bauteile. Dies soll anhand von Bild 1.1-3 erläutert werden. b (1 + e s M

M

y

v e rfo rm t u n v e rfo rm t

h

z

Bild 1.1-3:

)

x o

-

x

d x

y o

s

s

+ z x u

x

b

Stab mit einachsiger Biegung

Der ursprünglich rechteckige Querschnitt des Stabes verformt sich infolge der Biegespannungen zu einem Trapez, was keine weitere Bedeutung hat, da sich der Stab seitlich frei verformen kann. Bei einer Platte, die praktisch aus vielen sol-

4

1 Einleitung

chen, eng nebeneinander liegenden und miteinander in Querrichtung verbundenen Balken besteht, werden die Querverformungen jedoch behindert. Auch bei einachsiger Lastabtragung entstehen Biegemomente in beiden Richtungen.

1.2 Scheiben Als Scheiben werden ebene Flächenträger bezeichnet, die nur in ihrer Ebene belastet sind. In Bild 2-1 ist eine Scheibe in Form eines wandartigen Trägers als Beispiel dargestellt. In der Scheibe herrscht ein ebener Spannungszustand. p = R a n d la s t in d e r E b e n e S c h e ib e

d

y x A

B = L a g e r k r a ft in d e r E b e n e l

Bild 1.2-1:

Wandartiger Träger als Beispiel für eine Scheibe

Wie später gezeigt wird, dürfen bei hohen Trägern (z.B. bei d > l / 2 ) die Schubverformungen nicht gegenüber den Dehnungen vernachlässigt werden, so daß die Hypothese von BERNOULLI über das Ebenbleiben der Querschnitte nicht anwendbar ist. Deshalb gilt hier auch nicht die technische Biegelehre, nach der die Biegespannungen im Balken linear verlaufen (NAVIERsches Geradliniengesetz). Die mathematische Behandlung der Scheiben erfolgt in Kapitel 2 und führt auf die homogene, partielle, lineare Differentialgleichung 4. Ordnung, die sogenannte Scheibengleichung

ΔΔF = F′′′′ + 2F′′⋅⋅ + F⋅⋅⋅⋅ = 0,

(1.2.1)

worin F eine Spannungsfunktion darstellt, aus der man durch zweimalige Differentiation die Spannungen σx, σy und τxy als Funktionen von x und y erhält. Die Scheibengleichung gilt unabhängig von der Form der Scheibe, ihrer Belastung und ihren Lagerungsbedingungen.

1.3 Platten

5

Wichtigste Anwendungsfälle der Scheibentheorie in der Praxis sind Kreis- und Kreisringscheiben, wandartige Träger und Krafteinleitungsprobleme, z. B. bei Spanngliedankern und Auflagern.

1.3 Platten Platten stellen ebenso wie Scheiben ebene Flächenträger dar, sind jedoch im Unterschied zu diesen nur durch Einflüsse beansprucht, die eine Verbiegung der Systemebene bewirken. Außer Lasten lotrecht zur Systemebene kommen hierfür Stützensenkungen, Temperaturunterschiede zwischen Unter- und Oberkante sowie exzentrische Vorspannungen infrage.

P x

L a s t

^

E b e n e

P la tte y

L a g e rk ra ft Bild 1.3-1:

^

E b e n e

Beispiel für eine belastete Platte

In Bild 1.3-1 ist als Beispiel eine Rechteckplatte mit Einzellast dargestellt. Alle Lasten und Lagerkräfte wirken lotrecht zur unverformten Plattenebene. In Kapitel 3 wird das Problem mathematisch behandelt. Dabei ergibt sich die partielle, lineare Differentialgleichung 4. Ordnung, die sogenannte Plattengleichung ΔΔw = w ′′′′ + 2w ′′.. + w .... = p / K

mit

w= p= K= h=

w (x, y ) = p(x , y ) =

f (E, μ, h ) =

Funktion der Biegefläche Flächenlast ⊥ Platte Plattensteifigkeit Plattendicke.

(1.3.1)

6

1 Einleitung

Die Plattengleichung gilt für Platten unabhängig von der Berandungsform und der Lagerung. Nach Lösung der Differentialgleichung unter Berücksichtigung der vorgegebenen Randbedingungen erhält man die Biegemomente und Querkräfte durch zwei- bzw. dreimalige Differentiation der Funktion w(x,y). Außer Rechteckplatten werden in Kapitel 3 Kreis- und Kreisringplatten sowie orthogonale Mehrfeldplatten behandelt.

1.4 Faltwerke Faltwerke stellen eine Kombination aus Scheiben und Platten dar, wobei die einzelnen ebenen Teile des Faltwerks gleichzeitig sowohl in ihrer Ebene als auch auf Biegung mit Querkraft beansprucht werden.

z

b

x l

i

y E n d s c h e ib e Bild 1.4-1:

R a n d b a lk e n b z w . R a n d s c h e ib e

Hallendach als Beispiel für ein Faltwerk

Bild 1.4-1 zeigt als Beispiel ein Hallendach. Falls bei diesem für alle in Längsrichtung verlaufenden Elemente ℓ > 2bi gilt, ist auf der Grundlage des NAVIERschen Geradliniengesetzes eine Berechnung mit Hilfe der sogenannten Dreischübegleichung (analog der Dreimomentengleichung der Stabstatik) möglich. Jede Dreischübegleichung stellt die Formänderungsbedingung in Längsrichtung für die betreffende Kante dar. Unbekannte sind dabei die Schubkräfte längs der Kanten, für die ein cosinusförmiger Verlauf angenommen wird (siehe Bild 1.4-2), so daß die Momente in Längsrichtung und die Biegelinie sinusförmig verlaufen. Die Lastfunktion ist hierfür als FOURIER-Reihe anzusetzen.

1.5 Schalen

T T

n

T

(x )

n -1

T n -1 b

n + 1

7

n

n b

Bild 1.4-2:

n + 1

n + 1

x

n + 1

l

Ansatz von Schubkräften an den Faltwerkskanten als statisch Unbestimmte

In diesem Buch werden die Faltwerke nicht weiter behandelt. Für die Praxis spielen sie außer bei Dächern auch z.B. bei Silotrichtern eine wichtige Rolle.

1.5 Schalen 1.5.1 Standardformen

R o ta tio n s s c h a le n

T r a n s la tio n s s c h a le n T o n n e n s c h a le

K u p p e l R in g

R a n d g lie d

E n d s c h e ib e R o ta tio n s a c h s e B e h ä lte r

K u g e ls c h a le

S h e d s c h a le

Z u g r in g

S c h a le

F e n s te r

Z y lin d e r

K e g e ls tu m p f K r e is p la tte

Bild 1.5-1:

Beispiele für Rotations- und Translationsschalen

E n d s c h e ib e R in n e n tr ä g e r

8

1 Einleitung

Schalen weisen eine einfach oder doppelt gekrümmte Mittelfläche auf. Als Standardformen sind Rotations- und Translationsschalen zu unterscheiden (siehe Bild 1.5-1). Im Rahmen dieses Buches werden nur Rotationsschalen behandelt, d.h. weder Translationsschalen noch Schalen mit allgemeiner Form. Des weiteren wird im folgenden eine rotationssymmetrische Belastung vorausgesetzt. 1.5.2 Spannungszustände in Schalen

Schalen sollen ihre Lasten im wesentlichen durch Normalkräfte, d.h. ohne Biegung und Querkräfte, abtragen. Man spricht dann von einem Membranzustand, der wirtschaftlich günstiger ist als ein Biegezustand, da alle Fasern eines Querschnittes gleich ausgenutzt werden können. Ein Membranzustand ist nur unter mehreren Bedingungen möglich, deren wichtigste sind, daß keine unstetigen Lasten und keine Randzwängungen auftreten. Die Schale muß also, um den Membranzustand nicht zu stören, momentenfrei und mit tangentialer Lasteinleitung gelagert sein. Bild 1.5-2 zeigt hierfür ein Beispiel, wobei die Auflagerkraft im Membranzustand mit A° bezeichnet ist. T a n g e n te im L a g e r

A ° Bild 1.5-2:

A ° Membranlagerung einer Rotationsschale

In rotationssymmetrisch beanspruchten Rotationsschalen setzt sich der Membranzustand in der Schalenfläche aus den Meridiankräften in Richtung der Erzeugenden und den Ringkräften in Umfangsrichtung zusammen. Beide Kräfte ergeben sich allein aus den Gleichgewichtsbedingungen (siehe Kapitel 5). Bei Randbehinderung und bei Abweichungen von der Membranlagerung, wie sie beispielsweise in Bild 1.5-3 gezeigt werden, entstehen aus den Lagerreaktionen R = Radialkraft [kN/m] und M = Einspannmoment [kNm/m] in der Schale Querkräfte und Biegemomente, die Randstörungen genannt werden.

1.5 Schalen

= =

A ° · c o s a A °

A = H

X 1

A ° A

R o ta tio n s a c h s e M

X =

2

X

H A Bild 1.5-3:

9

1

A ° Beispiele für Lagerungen, die Randstörungen verursachen

Die Randstörungen klingen in der Regel schnell ab (siehe Bild 1.5-4).

+ R [k N /m ]

m R

[k N /m ]

M [k N m /m ] Bild 1.5-4:

+

m M

[k N m /m ]

Verlauf der Meridianmomente in einer dünnen Rotationsschale infolge der Randstörungen R und M

Die Berechnung des Biegezustands von Rotationsschalen erfolgt mit Hilfe von Differentialgleichungen 4. Ordnung unter Berücksichtigung der geometrischen Verträglichkeit (siehe Kapitel 5).

10

1 Einleitung

1.5.3 Verknüpfung mehrerer Rotationsschalen

Wie z. B. aus Bild 1.5-1 zu ersehen ist, kommen in der Praxis ausschließlich zusammengesetzte Schalen vor, wobei oft Kombinationen von Rotationsschalen verschiedener Form mit kreis- oder kreisringförmigen Platten und Scheiben sowie mit Ringelementen vorkommen. Letzteren ist Kapitel 4 gewidmet. An jeder Nahtstelle zwischen den einzelnen Elementen müssen die beiden Formänderungsbedingungen erfüllt werden, daß die Radialverschiebung Δr und die Verdrehung ψ um die ringförmige Verbindungslinie übereinstimmen. Bei jedem biegesteifen Anschluß sind demnach zwei statisch Unbestimmte anzusetzen, und zwar bei rotationssymmetrischer Beanspruchung ein konstantes, horizontales, radiales Kräftepaar und ein Momentenpaar. In Bild 1.5-5 wird hierfür ein Beispiel gezeigt.

X 2

X X Bild 1.5-5:

X

1

4

3

Ansatz der statisch Unbestimmten bei einer zusammengesetzten, rotationssymmetrisch beanspruchten Rotationsschale mit Kreisring

Nach Lösung des linearen Gleichungssystems ∑ X k δik + δio = 0

(1.5.1)

k

läßt sich der Verlauf der Normal- und Querkräfte sowie der Biegemomente in den einzelnen, ebenen oder gekrümmten Flächenelementen berechnen. Die Formeln für die Formänderungsgrößen δio und δik sowie für den Schnittgrößenverlauf in Platten, Scheiben, Zylinder-, Kugel- und Kegelschalen sind in Tafeln zusammengestellt (siehe Kapitel 6).

2 Die Scheibentheorie

2.1 Allgemeines 2.1.1 Das Tragverhalten von Scheiben

Wie schon in Abschnitt 1.2 ausgeführt wurde, versteht man unter einer Scheibe ein dünnes, ebenes Tragelement, das nur in seiner Ebene beansprucht wird. In Bild 1.2-1 ist als Beispiel für eine Scheibe ein vertikaler wandartiger Träger dargestellt. Da alle Kräfte parallel und symmetrisch zur Mittelebene auftreten, bleibt diese bei der Verformung eben. Dementsprechend herrscht in der Scheibe ein ebener Spannungszustand, d.h. die senkrecht zur Scheibe gerichteten Spannungen σz, τxz und τyz verschwinden (siehe Bild 2.1-1). y s y

t

p o s itiv e S c h n ittflä c h e n

y x

t h

x y

s z Bild 2.1-1:

x

x Ebener Spannungszustand in einer Scheibe

Die verbleibenden Spannungen σx, σy und τxy = τyx sind gleichmäßig über die Scheibendicke h verteilt. Die beiden Normalspannungen sind als Zug positiv. Die

12

2 Die Scheibentheorie

Schubspannungen sind positiv, wenn sie in den positiven Schnittflächen in die Richtungen der Koordinatenachsen weisen. Die oben getroffene Aussage, daß die drei in z-Richtung wirkenden Spannungen gleich Null seien, ist theoretisch nicht exakt, stellt jedoch eine sehr gute Näherung dar, die auf alle praktischen Fälle angewandt wird. Zur Erläuterung diene Bild 2.1-2, das ein Scheibenelement vor und nach der Verformung zeigt.

u n v e rfo rm t

h Bild 2.1-2:

v e rfo rm t e b e n e M itte lflä c h e g e w ö lb te O b e r flä c h e

h (1 + e z) Scheibenelement in unverformtem und verformtem Zustand

Da aus σx und σy gemäß (1.1.1) Querdehnungen εz entstehen, besitzt die Scheibe nach der Belastung nicht mehr die ursprüngliche und auch keine konstante Dicke mehr, d.h. der Formänderungszustand ist nicht eben. Die im allgemeinen örtlich unterschiedliche Dickenänderung hat zur Folge, daß Schubverzerrungen γxz und γyz auftreten, so daß τxz und τyz nicht Null sind. Die Winkel eines ursprünglich rechteckigen Elements ändern sich, wenn auch nur sehr geringfügig. Deshalb spricht man auch bisweilen bei Scheiben von einem quasi-ebenen Spannungszustand. Wird das ebene Tragelement nicht nur in seiner Ebene, sondern gleichzeitig senkrecht zu ihr belastet, wie z.B. ein wandartiger Träger unter der Wirkung seines Eigengewichts und einer Windlast, so sind die Lastanteile, die das Element aus seiner Ebene heraus verformen würden, abzuspalten und getrennt nach der Plattentheorie (siehe Abschnitt 3) zu erfassen. Die Ergebnisse der Scheiben- und Plattentheorie sind dann anschließend zu superponieren. Dieses Vorgehen ist immer möglich, wenn nach der Theorie 1. Ordnung gerechnet werden darf, bei der das Gleichgewicht wegen der Kleinheit der Formänderungen am unverformten System betrachtet wird. Auf Stabilitätsprobleme dagegen ist die Scheibentheorie nicht anzuwenden. Beim Beulen einer Scheibe wirken nämlich die senkrecht zur Elementebene auftretenden Verschiebungen als Hebelarme für die Scheibenkräfte, so daß die Tragwirkungen von Scheibe und Platte untrennbar

2.1 Allgemeines

13

miteinander in Beziehung stehen. Die entsprechenden Differentialgleichungen enthalten deshalb sämtliche drei Verschiebungen u, v und w in Richtung der Koordinatenrichtungen x,y,z, während in der Scheibentheorie nur u und v auftreten und in der Plattentheorie nur w interessiert. Hauptanwendungsgebiete der Scheibentheorie in der Praxis sind -

wandartige Träger, Kreis- und Kreisringscheiben sowie Krafteinleitungsprobleme.

2.1.1.1 Der wandartige Träger

s x

+

-

d

-

s

d

Bild 2.1-3 zeigt den typischen Verlauf der Spannungen σx in einem stabartigen Balken und in einem wandartigen Träger.

x

+ l

l

B a lk e n : B a lk e n th e o r ie ( s ta b a r tig e r T r ä g e r )

S c h e ib e : S c h e ib e n th e o r ie ( w a n d a r tig e r T r ä g e r )

Bild 2.1-3:

Verlauf der Spannung σx in der Feldmitte verschieden hoher Träger

Der Balken wird nach der Balkentheorie bzw. der Technischen Biegelehre berechnet, die entsprechend der Hypothese von BERNOULLI das Ebenbleiben der Querschnitte voraussetzt, so daß εx und σx linear über y verlaufen. Dies stellt eine Näherung dar, da die Schubverzerrungen gegenüber den Dehnungen vernachlässigt werden, und ist zulässig, wenn die Konstruktionshöhe d des Trägers wesentlich geringer ist als die Stützweite ℓ. Für baustatische Berechnungen ist es laut Heft 240 des Deutschen Ausschusses für Stahlbeton [4.7] genau genug, die Grenze zwischen Balken und Scheibe bei d/ℓo = 0,5 bzw. d/ℓk = 1,0 anzunehmen. Dabei bezeichnet ℓo den ungefähren Abstand der Momentennullpunkte, wie er in Bild 2.1-4 angegeben ist, und ℓk die Länge einer Kragscheibe.

2 Die Scheibentheorie

d

14

l E in fe ld s c h e ib e l 0 = l Bild 2.1-4:

l l

E n d fe ld 0 = 0 , 8 l

l

l l

In n e n fe ld e r l 0 = 0 ,6 l

k

K r a g s c h e ib e

Definition der Länge ℓo bei Trägern

Demnach muß nach der Scheibentheorie gerechnet werden, wenn -

beim gelenkig gelagerten Einfeldträger beim Endfeld eines Mehrfeldträgers beim Innenfeld eines Mehrfeldträgers bei einem Kragträger

d > 0,5 ℓ d > 0,4 ℓ d > 0,3 ℓ d > 1,0 ℓ

ist. In dem in Bild 2.1-3 dargestellten wandartigen Träger, wo d/ℓo deutlich größer als 0,5 ist, verlaufen die Längsspannungen σx stark nichtlinear. Sie sind mit Hilfe der sogenannten Scheibengleichung zu berechnen, einer partiellen Differentialgleichung 4. Ordnung, in der die Schubverzerrungen berücksichtigt sind und die in Abschnitt 2.2 hergeleitet wird. Abschnitt 2.6 zeigt die Berechnung eines wandartigen Trägers mit Hilfe einer FOURIER-Reihe. Ein nach der Balkentheorie berechneter wandartiger Stahlbetonträger wäre nicht nur zu schwach bewehrt, der Stahl läge auch nicht in der richtigen Höhe. Die Berechnung eines hohen Trägers nach der Scheibentheorie ist demnach ein Gebot der Sicherheit. 2.1.1.2 Kreis- und Kreisringscheiben

Kreis- und Kreisringscheiben sind ein wichtiges Konstruktionselement bei rotationssymmetrischen Behältern und Türmen und werden deshalb in Abschnitt 2.5 ausführlich behandelt. Zuvor wird jedoch in Abschnitt 2.4 die Scheibengleichung in Polarkoordinaten hergeleitet.

2.1 Allgemeines

15

2.1.1.3 Krafteinleitungsprobleme

Wirkt im Innern oder am Rand einer Scheibe eine konzentrierte äußere Kraft, so strahlt ihre Wirkung in beide Koordinatenrichtungen aus, d.h. es entstehen Druckund Zugspannungen, die für die Bemessung benötigt werden. Bild 2.1-5 zeigt den Verlauf der Spannung σy quer zur Achse eines Spannglieds, das mittig am Rand einer Scheibe verankert ist. y

V -

Bild 2.1-5:

+

s y

x

Verlauf der Querspannungen hinter einem Spanngliedanker

Direkt hinter der Ankerplatte sind die Querspannungen negativ, wechseln jedoch bald das Vorzeichen und können im Zugbereich zu Rissen führen, wenn keine entsprechende Spaltzugbewehrung vorgesehen wird. Entsprechendes gilt für Auflagerkräfte, die auf einer Teilfläche konzentriert eingeleitet werden. Hinweise und Formeln zur Ermittlung der Zugkräfte sind z.B. dem bereits oben erwähnten Heft 240 des DAfStb [4.7] zu entnehmen. Hier wird nicht weiter auf Krafteinleitungsprobleme eingegangen. 2.1.2 Idealisierungen und Annahmen

Bevor die Scheibengleichung abgeleitet wird, seien alle getroffenen Annahmen zusammengestellt. Diese betreffen die Geometrie, die Belastung, die Verformungen und das Material. Geometrie: - Die Mittelfläche der Scheibe ist eben. - Die Dicke h der Scheibe ist klein gegenüber den Abmessungen in der Scheibenebene. - Die Scheibendicke h wird im folgenden als konstant vorausgesetzt. - Es werden keine Imperfektionen berücksichtigt.

16

2 Die Scheibentheorie

Belastung: - Alle äußeren Lasten, Lagerreaktionen und Lagerbewegungen wirken in der Scheibenebene. Temperaturänderungen sind über die Scheibendicke konstant. - Alle Beanspruchungen sind zeitunabhängig. - Die Lasten liegen unterhalb der Stabilitätsgrenze. Verformungen: - Die Verschiebungen u und v in x- bzw. y-Richtung sind sehr klein im Verhältnis zu den Abmessungen der Scheibe in ihrer Ebene, so daß nach der Theorie 1. Ordnung gerechnet werden darf. - Die Dehnungen εx und εy sind sehr viel kleiner als 1, so daß ein linearer differentieller Zusammenhang mit den Verschiebungen u und v angenommen werden darf. Material: - Der Baustoff ist homogen und isotrop. - Das Material verhält sich idealelastisch, so daß ohne Einschränkung das lineare HOOKEsche Gesetz gilt. - Das Materialverhalten ist zeitunabhängig.

2.2 Die Scheibengleichung in kartesischen Koordinaten 2.2.1 Gleichgewicht am Scheibenelement

Bild 2.2-1 zeigt ein Scheibenelement mit den an seinen Rändern angreifenden, positiv definierten Spannungen, die Funktionen von x und y sind. In den positiven Schnittflächen enthalten die Spannungen jeweils einen differentiellen Zuwachs, der sich aus der partiellen Ableitung nach der betreffenden Richtung berechnet. Außer den Spannungen sind die beiden volumenbezogenen Kräfte X und Y eingezeichnet. Bei der Formulierung des Gleichgewichts sind die Spannungen mit den Flächen zu multiplizieren, in denen sie wirken. Man erhält ∂σ ⎛ ⎞ ΣX = −σ x ⋅ h dy + ⎜ σ x + x dx ⎟ ⋅ h dy ∂x ⎝ ⎠ ∂τ xy ⎞ ⎛ dy ⎟⎟ ⋅ h dx + X ⋅ h dx dy = 0. − τ xy ⋅ h dx + ⎜⎜ τ xy + ∂y ⎝ ⎠

2.2 Die Scheibengleichung in kartesischen Koordinaten

17

y s y

+

¶ s y

d y

¶ y

t

¶ t +

x y

d y

¶ y

Y x

s X

d y

s

x y

t

x y

t

t

x y

s

x y

+

x

¶ t

+ x y

¶ x

¶ s ¶ x

x

d x

d x

y

d x x

z Bild 2.2-1:

Infinitesimales Scheibenelement mit positiven Spannungen

Daraus folgt ∂σ x ∂τ xy + + X = 0. ∂x ∂y

(2.2.1)

Analog ergibt sich aus ΣY = 0 ∂σ y ∂y

+

∂τ xy ∂x

+ Y = 0.

(2.2.2)

Die Bedingung ΣM = 0 in der Ebene ist schon erfüllt, da τxy = τyx gesetzt wurde. Es stehen also keine weiteren Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Den drei unbekannten Spannungen stehen nur zwei Gleichungen gegenüber. Um die dritte, fehlende Gleichung zu erhalten, müssen Formänderungsbetrachtungen angestellt werden. Bei einem Stabwerk, zu dessen Berechnung die Gleichgewichtsbedingungen nicht ausreichen, würde man von statischer Unbestimmtheit sprechen. Die fehlenden Gleichungen wären als Formänderungsbedingungen aufzustellen. Bei der Scheibe ist ein solches Vorgehen nicht möglich. Denn dort muß die Formschlüssigkeit allgemein formuliert werden. Sämtliche infinitesimalen Elemente müssen nach der Verformung noch lückenlos zusammenpassen. Es darf weder Klaffungen noch Überschneidungen geben. Deshalb werden im folgenden Abschnitt zunächst die Beziehungen zwischen den Dehnungen und den Verschiebungen des Elements betrachtet.

18

2 Die Scheibentheorie

2.2.2 Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen

y , v u

d y (1 + e y)

d y ¶ y

v +

¶ v

v e rfo rm te r Z u s ta n d

¶ u ¶ y ¶ v ¶ x

x y

v

g

d y

d x (1 + e x) x , u

u n v e rfo rm te r Z u s ta n d Bild 2.2-2:

d x

¶ u u + d x ¶ x

Infinitesimales Scheibenelement vor und nach der Verformung

Das Koordinatensystem in Bild 2.2-2 gilt gleichzeitig für die Ortskoordinaten x,y und für die entsprechenden Verschiebungen u,v. Das ursprünglich rechteckige Element hat sich infolge der Spannungen nicht nur gedehnt und zu einem Parallelogramm verformt, sondern auch verschoben. Da die Theorie 1. Ordnung gilt, sind die Kantenlängen des verformten Elements gleich ihren Projektionen auf die entsprechenden Koordinatenrichtungen. Aus dem Bild läßt sich ablesen, daß die Ursprungslänge dx plus der Verschiebung der unteren rechten Ecke des Elements in x-Richtung gleich ist der neuen Kantenlänge plus der Verschiebung u der linken unteren Ecke. Man erhält ∂u ⎞ ⎛ dx + ⎜ u + dx ⎟ = u + dx (1 + ε x ) ∂x ⎠ ⎝

und daraus εx =

∂u . ∂x

(2.2.3)

2.2 Die Scheibengleichung in kartesischen Koordinaten

19

Aus einer entsprechenden Betrachtung in y-Richtung ergibt sich εy =

∂v . ∂y

(2.2.4)

Die Änderung γxy des ursprünglich rechten Winkels setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: γ xy =

∂u ∂v + . ∂y ∂x

(2.2.5)

Mit (2.2.3) bis (2.2.5) wurden zwar drei neue Gleichungen gewonnen. Gleichzeitig treten aber fünf neue Unbekannte auf: die beiden Verschiebungen u, v und die drei Verzerrungen εx, εy, γxy. Das Defizit bei den Gleichungen hat sich demnach von 1 auf 3 erhöht. Bevor dieses Manko mit Hilfe des Elatizitätsgesetzes behoben wird, soll zunächst die Anzahl der Unbekannten reduziert werden. 2.2.3 Verträglichkeitsbedingung

Aus den Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen ersieht man, daß die drei Verzerrungen εx, εy, γxy von nur zwei anderen Größen, den beiden Verschiebungen u und v, abhängen. Es muß also ein differentieller Zusammenhang zwischen den Verzerrungen bestehen, sie sind nicht voneinander unabhängig. Damit die einzelnen Elemente auch nach der Verformung noch lückenlos zusammenpassen, können sie sich nicht ohne Rücksicht auf die Nachbarelemente verformen. Sie müssen der sogenannten Verträglichkeitsbedingung genügen, die man erhält, indem man aus den Gleichungen (2.2.3) bis (2.2.5) die Größen u und v eliminiert. Bildet man durch zweifache partielle Differentiation die Ausdrücke ∂ 2ε x ∂y 2

+

∂ 2ε y ∂x 2

=

∂ 3u ∂x∂y 2

+

∂ 3v ∂x 2 ∂y

und ∂ 2 γ xy ∂x∂y

=

∂ 3u ∂3v + , ∂x∂y 2 ∂x 2 ∂y

so werden die beiden rechten Seiten gleich, und als Verträglichkeitsbedingung ergibt sich 2 2 ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy . + = ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2

(2.2.6)

In (2.2.1), (2.2.2) und (2.2.6) existieren nun drei Gleichungen mit den je drei unbekannten Spannungen und Dehnungen. Durch Einführung des Elastizitätsgeset-

20

2 Die Scheibentheorie

zes in diese Gleichungen erhielte man drei gekoppelte Differentialgleichungen entweder für die Spannungen oder die Dehnungen. Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie sich das Problem auf eine einzige Differentialgleichung reduzieren läßt. 2.2.4 Die AIRYsche Spannungsfunktion

Das Scheibenproblem vereinfacht sich wesentlich durch die Verwendung einer Funktion, aus der sich alle drei Spannungskomponenten durch Differentiation ableiten lassen. AIRY führte 1863 die nach ihm benannte Spannungsfunktion F(x,y) ein. Sie steht mit den Spannungen in folgender Beziehung: σx =

∂ 2F ∂y 2

, σy =

∂ 2F ∂x 2

, τ xy = −

∂ 2F − (X ⋅ y + Y ⋅ x ) . ∂x ∂y

(2.2.7)

Durch (2.2.7) werden die Gleichgewichtsbedingungen (2.2.1) und (2.2.2) erfüllt, wie sich leicht durch Einsetzen verifizieren läßt. Voraussetzung ist, daß die Volumenkräfte X und Y ortsunabhängig sind. Die bisher abgeleiteten Gleichungen (2.2.1) bis (2.2.7) gelten unabhängig vom Spannungs-Dehnungs-Gesetz, also ungeachtet dessen, ob dieses linear oder nichtlinear, finit oder differentiell ist. Im folgenden wird, wie bereits erwähnt, nur mit dem linearen HOOKEschen Gesetz gearbeitet. 2.2.5 Das Elastizitätsgesetz von HOOKE

Für den ebenen Spannungszustand wurden die Gleichungen der Dehnungen bereits in (1.1.3) angegeben. Mit (2.2.7) ergibt sich daraus

(

)

(

)

(2.2.8)

(

)

(

)

(2.2.9)

εx =

1 1 σ x − μσ y = F⋅⋅ − μF′′ , E E

εy =

1 1 σ y − μσ x = F′′ − μF⋅⋅ . E E

Darin wurden die partiellen Ableitungen nach x durch einen Strich, diejenigen nach y durch einen Punkt gekennzeichnet. Hinzu kommt die Beziehung zwischen Gleitung γxy und Schubspannung τxy in der Form γ xy =

1 2(1 + μ ) 2(1 + μ ) ⋅ F′ + X ⋅ y + Y ⋅ x . τ xy = τ xy = − G E E

(

)

(2.2.10)

Damit sind alle drei Dehnungen auf die eine Unbekannte F(x,y) zurückgeführt.

2.2 Die Scheibengleichung in kartesischen Koordinaten

21

2.2.6 Die Scheibengleichung

Durch Einsetzen der drei Ausdrücke (2.2.8) bis (2.2.10) in (2.2.6) ergibt sich

(F

⋅⋅⋅⋅

) (

)

− μF′′⋅⋅ + F′′′′ − μF′′⋅⋅ + 2(1 + μ )F′′⋅⋅ = 0

und F′′′′ + 2F′′⋅⋅ + F⋅⋅⋅⋅ = 0.

(2.2.11)

Dies ist eine homogene, lineare, partielle Differentialgleichung 4. Ordnung. Sie wird als Scheibengleichung bezeichnet. Unter Verwendung des LAPLACEschen Operators Δ(K) =

∂ 2 (K) ∂ 2 (K) + ∂y 2 ∂x 2

(2.2.12)

ΔΔF = 0.

(2.2.13)

lautet sie

Diese Differentialgleichung ist unter Beachtung der Randbedingungen zu lösen. Aus dem Ergebnis F(x,y) erhält man sodann die Spannungen durch Differentiation entsprechend (2.2.7). Damit ergeben sich die Dehnungen aus dem HOOKEschen Gesetz, d.h. aus den Gleichungen (2.2.8) bis (2.2.10). Sollen die Verschiebungen u und v berechnet werden, so ist nach Abschnitt 2.2.7 zu verfahren. 2.2.7 Berechnung der Verformungen

Die Verschiebungen u und v erhält man durch partielle Integration aus (2.2.3) und (2.2.4). Dabei tritt dann statt der Integrationskonstanten jeweils eine Funktion der anderen Variablen auf. Für u ergibt sich beispielsweise mit (2.2.8) Eu = E ∫ ε x dx = ∫ (F⋅⋅ − μF′′)dx = ∫ F⋅⋅dx − μF′ + Eu ( y)

(2.2.14)

und dementsprechend für v Ev = E ∫ ε y dy = ∫ F′′dy − μF⋅ + Ev( x ) .

(2.2.15)

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke (2.2.5) und (2.2.10) für γxy erhält man mit X = Y = 0 für die beiden Funktionen ū(y) und v( x ) den Zusammenhang ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ∫ F dx + ∫ F′′′dy + Eu ( y) + Ev′( x ) = −2F′ .

(2.2.16)

22

2 Die Scheibentheorie

2.2.8 Der ebene Dehnungszustand

Beim ebenen Spannungszustand (siehe Bild 2.1-1) gilt, wie in Abschnitt 2.1.1 erläutert, σ z = τ xz = τ yz = 0 .

Dabei treten elastische Dickenänderungen der Scheibe auf. Werden diese verhindert, so entsteht ein ebener Dehnungszustand mit ε z = γ xz = γ yz = 0 ,

der wegen εz =

(

)

1 σ z − μσ x − μσ y = 0 E

mit Spannungen senkrecht zur Scheibenebene verbunden ist:

(

)

σz = μ σx + σ y .

(2.2.17)

Während die Gleichungen (2.2.1) bis (2.2.7) und (2.2.10) hierbei unverändert gelten, treten an die Stelle von (2.2.8) und (2.2.9) die Gleichungen

(

)

[ ( ]

)

]

)

[ ( ]

)

]

1 1 σ x − μσ y − μσ z = σ x 1 − μ 2 − μσ y (1 + μ ) E E 1 = F⋅⋅ 1 − μ 2 − μF′′(1 + μ ) E

εx =

[ (

)

(

1 1 σ y − μσ x − μσ z = σ y 1 − μ 2 − μσ x (1 + μ ) E E 1 2 ⋅⋅ = F′′ 1 − μ − μF (1 + μ ) E

εy =

[ (

)

(2.2.18)

(2.2.19)

Einsetzen der zweiten Ableitungen von (2.2.18), (2.2.19) und (2.2.10) in (2.2.6) liefert für den ebenen Dehnungszustand die gleiche Differentialgleichung wie für den ebenen Spannungszustand, nämlich ΔΔF = F′′′′ + 2F′′⋅⋅ + F⋅⋅⋅⋅ = 0 .

(2.2.13)

Demnach stimmen die Spannungen σx, σy und τxy mit denen des ebenen Spannungszustands überein. Zusätzlich gilt für σz Gleichung (2.2.17).

2.2 Die Scheibengleichung in kartesischen Koordinaten

23

2.2.9 Die Randbedingungen

Die Randbedingungen, die bei der Lösung des Scheibenproblems zu befriedigen sind, ergeben sich aus den vorgegebenen Lasten, Zwängen und Lagerungen. Im einzelnen sind Randbedingungen möglich (siehe Bild 2.2-3) in Form von -

Randkräften bzw. Randspannungen (a) Kräften, die im Scheibeninnern angreifen (b) Randdehnungen (c) Verschiebungen einzelner Scheibenpunkte (d) Kontinuitätsbedingungen (e).

Sind als Randbedingungen lediglich Spannungen am Scheibenrand vorgegeben, handelt es sich um ein reines Randwertproblem, d.h. die Spannungsfunktion F(x,y) ist so zu bestimmen, daß sie der Scheibengleichung (2.2.13) genügt und an den Rändern die Gleichungen (2.2.7) erfüllt. Da weder die Differentialgleichung noch die Randbedingungen die Querdehnung μ enthalten, ist auch die gesamte Spannungsverteilung unabhängig von μ und damit für alle elastischen Werkstoffe gleich. a

p P

c

a

t b

A Bild 2.2-3:

e y= 0

a B

D s

e

e S= e G

G u rt

S te g

d

Beispiele für Randbedingungen von Scheiben

Ein gemischtes Randwertproblem liegt vor, wenn auch Dehnungen oder Verschiebungen vorgegeben sind, da in den Dehnungen, wie aus (2.2.8) und (2.2.9) ersichtlich, die Spannungen über μ miteinander verknüpft sind. Die Spannungsverteilung ist deshalb bei Materialien mit unterschiedlicher Querdehnungszahl weder gleich noch affin. Bei einem Plattenbalken beschreiben die Randbedingungen die Kontinuität zwischen Steg und Gurtplatte: In der Kontaktlinie müssen die Dehnungen beider Elemente übereinstimmen.

24

2 Die Scheibentheorie

Im folgenden werden weder im Scheibeninnern angreifende Einzelkräfte noch gemischte Randwertprobleme behandelt.

2.3 Elementare Lösungen in kartesischen Koordinaten 2.3.1 Allgemeines Vorgehen

Die Scheibengleichung ist immer homogen. Der Ansatz enthält deshalb keinen partikulären Anteil und setzt sich aus einer Summe von Funktionen fi(x,y) zusammen, die jede für sich die Differentialgleichung erfüllen und deren Koeffizienten zunächst unbekannt sind. Dabei muß der Ansatz aus genau so vielen Summanden bestehen, wie die Ordnung der Differentialgleichung angibt, hier also vier: F(x,y) = A f1(x,y) + B f2(x,y) + C f3(x,y) + D f4(x,y).

(2.3.1)

Die unbekannten Konstanten A bis D sind aus den Randbedingungen zu berechnen, d.h. so zu ermitteln, daß die Randbedingungen befriedigt werden. Die Funktionen fi werden als biharmonisch bezeichnet, da sie die sogenannte biharmonische Differentialgleichung erfüllen müssen. Es gibt unbegrenzt viele biharmonische Funktionen. Nur wenige davon sind jedoch für ein bestimmtes Problem geeignet, die Randbedingungen zu erfüllen. Man wählt am besten die geeigneten Funktionen fi(x,y) für den Ansatz so aus, daß sie entsprechend der Definition von AIRY (2.2.7) nach zweimaliger Differentiation zum vorgegebenen Spannungsverlauf am Scheibenrand affin verlaufen. Im folgenden Abschnitt werden einige biharmonische Funktionen angegeben. 2.3.2 Biharmonische Funktionen

Die biharmonische Differentialgleichung lautet ΔΔF = F′′′′ + 2F′′⋅⋅ + F⋅⋅⋅⋅ = 0.

(2.2.11)

Vorwiegend werden zu ihrer Lösung Polynome, logarithmische Funktionen sowie Produkte von Exponential- und Winkelfunktionen verwendet. Polynome: Außer den Funktionen

C, x, x2, x3, xy, x2y, x3y

(2.3.2)

2.3 Elementare Lösungen in kartesischen Koordinaten

25

(sowie x und y vertauscht), die jeden Term der Scheibengleichung erfüllen, für die also F ′′′′ = F ′′ ⋅⋅ = F ⋅⋅⋅⋅ = 0

gilt, existiert eine beliebige Anzahl aus mehreren Summanden zusammengesetzter biharmonischer Polynome. Diese werden mit Pij bezeichnet, wobei i und j den Exponenten von x bzw. y im ersten Summanden angeben. Beispielsweise gilt 5 P51 = x 5 y − x 3 y 3 . 3

Daß P51 biharmonisch ist, läßt sich leicht durch Einsetzen in die Scheibengleichung verifizieren. In ZWEILING [1.20] ist eine Vielzahl weiterer Lösungsfunktionen für die Scheibengleichung enthalten. Logarithmische Funktionen: Die folgenden Funktionen sind biharmonisch, auch wenn x und y vertauscht werden: ln(x 2 + y 2 ) , ( x 2 + y 2 ) ln(x 2 + y 2 ) , (ax + by) ln( x 2 + y 2 ) , ln[(x + c) 2 + y 2 ] , ( x + c) ln[(x + c) 2 + y 2 ]

(2.3.3)

Produkte aus Exponential- und Winkelfunktionen: Diese Gruppe biharmonischer Funktionen ist für die Praxis von großer Bedeutung, da unstetige Randbedingungen zur Erzielung einer geschlossenen Lösung durch stetige Funktionen approximiert werden müssen. Hierfür werden vorteilhaft FOURIERreihen verwendet, so daß die Randspannungen sinus- oder cosinusförmig verlaufen und durch die folgenden Funktionen erfüllt werden können:

eαy sin αx, e-αy sin αx, y eαy sin αx, y e-αy sin αx

(2.3.4)

bzw. gleichwertig sinh αy sin αx, y sinh αy sin αx, x sinh αy sin αx

(2.3.5)

sowie cos αx statt sin αx, cosh αy statt sinh αy und x statt y. Demnach sind z.B. unter sinh αy sin αx folgende acht Funktionen zu verstehen: sinh αy sin αx cosh αy sin αx sinh αx sin αy cosh αx sin αy sinh αy cos αx cosh αy cos αx sinh αx cos αy cosh αx cos αy (2.3.6)

26

2 Die Scheibentheorie

2.3.3 Ebener, homogener Spannungszustand

Bild 2.3-1 zeigt eine Rechteckscheibe mit konstanten Randlasten in x- und yRichtung. Aus Symmetriegründen herrscht Gleichgewicht. p y

b

y

p

b

x p x

a Bild 2.3-1:

a

p

x

y

Beispiel für einen ebenen, homogenen Spannungszustand

Mit der Scheibendicke h lauten die Randbedingungen x = ± a: σx = + px/h, τxy = 0, y = ± b: σy = + py/h, τxy = 0. Da die Randspannungen konstant sind, muß der Ansatz für F(x,y) ein Polynom zweiten Grades sein, das in allgemeiner Form F(x,y) = A x2 + B y2 + C xy + D x + E y + G

(2.3.7)

lautet. Nur vier der sechs, laut (2.3.2) biharmonischen Terme sind zu verwenden. Da jedoch nicht im Vorhinein ersichtlich ist, welche beiden Summanden entbehrlich sind, wird zunächst mit dem gesamten Ansatz (2.3.7) gerechnet. Damit ergibt sich aus (2.2.7) wegen X = Y = 0 σ x = 2B, σ y = 2A, τ xy = −C.

(2.3.8)

Man sieht, daß D, E und G keinen Einfluß auf das Ergebnis haben und deshalb beliebig groß gewählt werden können. Nur die Krümmungen bzw. die nicht verschwindenden zweiten Ableitungen von F(x,y) beeinflussen die Spannungen, nicht jedoch die durch F(x,y) = D x + E y + G beschriebene schiefe Ebene. Deshalb werden D, E und G gleich Null gesetzt. Die Konstanten A bis C werden aus den Randbedingungen ermittelt: σx(a,y) = 2 B = px/h ⇒ B = px/2h

2.3 Elementare Lösungen in kartesischen Koordinaten

27

σy(x,b) = 2 A = py/h ⇒ A = py/2h τxy(a,y) = τxy(x,b) = - C = 0 ⇒ C = 0 Damit lautet die Spannungsfunktion F( x , y) =

(

)

1 py ⋅ x2 + px ⋅ y2 . 2h

Durch zweimalige Differentiation entsprechend (2.2.7) erhält man die Spannungen σx(x,y) = px/h, σy(x,y) = py/h, τxy(x,y) = 0 und die bezogenen Scheibenkräfte nx(x,y) = h σx(x,y) = px, ny(x,y) = h σy(x,y) = py, nxy(x,y) = h τxy(x,y) = 0. Es handelt sich um einen homogenen Spannungszustand, da die Spannungen in der gesamten Scheibe konstant sind. 2.3.4 Reiner Schubspannungszustand

t t

b

y t a Bild 2.3-2:

a

b

x t Beispiel für einen reinen Schubspannungszustand

An der in Bild 2.3-2 dargestellten Rechteckscheibe greifen ringsum Schubkräfte t an, die positive Randschubspannungen erzeugen. Es herrscht Gleichgewicht. Die Randbedingungen lauten: x = ± a: σx = 0, τxy = + t/h, y = ± b: σy = 0, τxy = + t/h. Mit dem Ansatz (2.3.7) und den daraus folgenden Spannungen (2.3.8) erhält man σx(a,y) = 2 B = 0 ⇒ B = 0 σy(x,b) = 2 A = 0 ⇒ A = 0

28

2 Die Scheibentheorie

τxy(a,y) = τxy(x,b) = - C = t/h ⇒ C = - t/h. Das Ergebnis der Aufgabe lautet t t ⋅ xy; σ x = σ y = 0; τ xy = h h

F( x , y) = −

bzw. n x = n y = 0; n xy = t.

Diese Gleichungen beschreiben den reinen Schubspannungszustand.

M

y

M

b

2.3.5 Reine Biegung

x

a Bild 2.3-3:

b

+ +

I=h

( 2b) 3 12

a Beispiel für reine Biegung

Die im Gleichgewicht stehenden Biegemomente M an den beiden Enden der in Bild 2.3-3 dargestellten Rechteckscheibe werden mittels linear verlaufender Randspannungen σx eingetragen. Die Randbedingungen lauten x = ± a: σ x = −

M 3M ⋅y = − ⋅ y, τ xy = 0, I 2hb 3

y = ± b: σ y = τ xy = 0. Entsprechend dem linearen Verlauf der Randspannungen σx wird für F(x,y) ein kubischer Ansatz gewählt, der sich laut (2.3.2) aus biharmonischen Funktionen zusammensetzt: F( x , y) = A ⋅ x 3 + B ⋅ x 2 y + C ⋅ xy 2 + D ⋅ y 3 .

(2.3.9)

Daraus ergeben sich die Spannungen σ x = F⋅⋅ = 2Cx + 6Dy, σ y = F′′ = 6Ax + 2By, τxy = −F′⋅ = −2Bx − 2Cy.

(2.3.10)

2.3 Elementare Lösungen in kartesischen Koordinaten

29

Es folgt die Bestimmung der vier Konstanten: τxy (a , y) = −2Ba − 2Cy = 0 ⎫⎪ ⎬ → B=C=0 τxy ( x , b) = −2Bx − 2Cb = 0⎪⎭ σ y ( x, b) = 6Ax = 0 → A=0 σ x (a , y) = 6Dy = −

3M 2hb

3

⋅y

→ D=−

M 4hb3

Die Lösung lautet damit M ⋅ y3 , 4hb 3 3M σx = − ⋅ y, σ y = τ xy = 0. 2hb 3 F( x , y) = −

Es handelt sich um einen reinen Biegezustand: σy und τxy existieren nicht, und σx ist nur von y abhängig. 2.3.6 Staumauer mit Dreieckquerschnitt

x a

g g w y b

h

g

w

g w h y h / ta n a Bild 2.3-4:

Staumauer mit Dreieckquerschnitt

Die in Bild 2.3-4 dargestellte Staumauer soll für die Lastfälle Eigengewicht und Wasserdruck berechnet werden. Die Mauer wird als sehr lang angesehen, so daß praktisch ein ebener Dehnungszustand vorliegt (siehe Abschnitt 2.2.7). Sowohl Geometrie als auch Belastung sind linear veränderlich. Deshalb wird auf den kubischen Ansatz (2.3.9) und die Gleichungen (2.3.10) zurückgegriffen. Allerdings

30

2 Die Scheibentheorie

muß der Ausdruck für die Schubspannung entsprechend (2.2.7) für den Lastfall Eigengewicht ergänzt werden. 2.3.6.1 Lastfall Eigengewicht

Wird das Raumgewicht des Baustoffs mit γb bezeichnet, so gilt X = 0, Y = γb. Die Randbedingungen lauten für den senkrechten Rand (a)

σx(0,y) = 0,

(b)

τxy(0,y) = 0.

Am schrägen Rand sind die Normalspannung senkrecht und die Schubspannung parallel zur Oberfläche der Mauer gleich Null. Hieraus erhält man mittels einer Gleichgewichtsbetrachtung am Dreieckelement (siehe Bild 2.3-5) Randbedingungen für σx, σy und τxy.

t

x y

ΣH = σ x dy − τ xy dx = 0 x

d s

s d y

ΣV = σ y dx − τ xy dy +

t

d x

1 γ b ⋅ dxdy = 0 2

x y

s y

Bild 2.3-5:

Gleichgewicht am dreieckförmigen Randelement

Da das Gewicht des Elements von zweiter Ordnung klein ist, gilt für den schrägen Rand mit y = x tan α bzw. dy = dx tan α (c)

σ x tan α − τ xy = 0,

(d)

τ xy tan α − σ y = 0.

Bestimmung der Konstanten: 6Dy = 0 (a) (b) −2Cy = 0 (c)

0 + 2Bx + γ b x = 0

⇒

D=0

⇒

C=0

⇒

B=−

γb 2

2.3 Elementare Lösungen in kartesischen Koordinaten

⇒

0 − 6Ax + γ b y = 0

(d)

A=

31

1 γ b tan α 6

Spannungsfunktion: F(x, y ) =

1 1 γ b tan α ⋅ x 3 − γ b ⋅ x 2 y 6 2

Die Spannungen sind Bild 2.3-6 zu entnehmen. x a

s

y

y

- g by

σx ≡ 0 σ y = γ b ( x tan α − y) τxy ≡ 0

- g bh Bild 2.3-6:

Spannungen infolge Eigengewicht

2.3.6.2 Lastfall Wasserdruck

Gegenüber dem Lastfall Eigengewicht ändert sich in den Randbedingungen (a) bis (d) nur die rechte Seite von (a), wo - γwy an die Stelle von Null tritt. Mit γb = 0 ergibt sich des weiteren 1 D = − γw (a) 6Dy = − γ w ⋅ y ⇒ 6 −2Cy = 0 (b) ⇒ C=0 1 6Dy ⋅ tan α + 2Bx = 0 (c) ⇒ B = + γ w ⋅ tan 2 α 2 1 (d) −2Bx ⋅ tan α − 6Ax − 2By = 0 ⇒ A = − γ w ⋅ tan 3 α 3 Spannungsfunktion: 1 1 1 F(x , y ) = − γ w tan 3 α ⋅ x 3 − γ w ⋅ y 3 + γ w tan 2 α ⋅ x 2 y 2 6 3

32

2 Die Scheibentheorie

Spannungen (Verlauf siehe Bild 2.3-7): σx = −γ w ⋅ y σ y = −2 γ w tan 3 α ⋅ x + γ w tan 2 α ⋅ y τ xy = − γ w tan 2 α ⋅ x

x a

y

s x

Bild 2.3-7:

g w y

g w h

-

h

-

+

+ s

g w y ta n

a 2

-

g w y ta n a g w h ta n 2

a g w h ta n a

-

y

t

x y

Spannungen infolge Wasserdruck

2.3.6.3 Superposition der beiden Lastfälle

Die beiden Spannungen σx und τxy ergeben sich aus Bild 2.3-7, da das Eigengewicht keinen Beitrag liefert. Für σy gilt

σ y = γ b ( x ⋅ tan α − y) + γ w (−2 x ⋅ tan 3 α + y ⋅ tan 2 α) Der Maximalwert tritt am senkrechten Rand (x = 0) auf und beträgt max σ y = ( γ w ⋅ tan 2 α − γ b ) ⋅ y. Zur Vermeidung von Zugspannungen im Bauwerk und in der Gründungssohle muß der Ausdruck in der Klammer ≤ 0 sein. Daraus folgt z.B. mit γb = 23 kN/m 3 und γw = 10 kN/m 3 die Forderung tan2 α ≤ γb/γw = 2,3

oder α ≤ 56,6°.

33

2 Die Scheibentheorie

2.4 Transformation auf Polarkoordinaten bei Rotationssymmetrie Es werden nur rotationssymmetrische Beanspruchungszustände untersucht. Die Spannungsfunktion und die Spannungen sind deshalb nur von r und nicht von ϕ abhängig. Sowohl die entsprechende Differentialgleichung als auch die Gleichungen der Spannungen werden rein mathematisch aus den Ergebnissen des Abschnitts 2.2 hergeleitet. 2.4.1 Scheibengleichung

y x

P P

r

j

P

y P

P

Bild 2.4-1:

x = r cos ϕ,

r = x 2 + y2 ,

y = r sin ϕ,

ϕ = arc tan

y x

x Zur Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten

Um die partiellen Ableitungen von F(x,y) nach x und y durch Ableitungen nach r und ϕ auszudrücken, geht man von dem totalen Differential dF =

∂F ∂F ⋅ dϕ ⋅ dr + ∂ϕ ∂r

aus und erhält z.B. ∂F ∂F ∂r ∂F ∂ϕ = + . ∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x

(2.4.1)

Man benötigt also die partiellen Ableitungen von r und ϕ nach x. Diese lauten

34

2 Die Scheibentheorie

(

∂r 1 2 = x + y2 ∂x 2 ∂ϕ 1 = ∂x 1 + (y / x )2

)

x = cos ϕ, r ⎛ y ⎞ y sin ϕ ⎟=− =− . ⋅ ⎜⎜ − 2 ⎟ 2 r r ⎝ x ⎠ −1 / 2

⋅ (2 x ) =

Damit wird ∂F ∂F 1 ∂F = cos ϕ − sin ϕ , ∂x ∂r r ∂ϕ ∂ 2F

⎛ ∂ 1 ∂ ⎞⎛ ∂F 1 ∂F ⎞ = ⎜⎜ cos ϕ − sin ϕ ⎟⎟ ⎜⎜ cos ϕ − sin ϕ ⎟⎟ r r ∂ r r ∂ ϕ ∂ ∂ ϕ⎠ ∂x ⎝ ⎠⎝ 2

und schließlich 2 ∂ 2F 1 dF 2 d F = cos ϕ + sin 2 ϕ . 2 2 r dr ∂x dr

(2.4.2)

Dabei wurde berücksichtigt, daß ∂F/∂ϕ wegen der rotationssymmetrischen Verhältnisse verschwindet. Aus demselben Grunde konnten in (2.4.2) anstelle der partiellen Ableitungen von F(r) gewöhnliche geschrieben werden. Entsprechend ergibt sich ∂ 2F d 2F 1 dF 2 = sin ϕ + cos 2 ϕ . 2 2 r dr ∂y dr

(2.4.3)

Damit folgt aus (2.2.12) ΔF =

∂ 2F ∂x

2

+

∂ 2F ∂y

2

=

d 2F dr

2

+

1 dF r dr

(2.4.4)

und weiter ⎛ d 2 1 d ⎞ ⎛ d 2 F 1 dF ⎞ d 4 F 2 d 3 F 1 d 2 F 1 dF ⎟⎜ ⎟= ΔΔF = Δ (ΔF) = ⎜⎜ 2 + + + − + r dr ⎟⎠ ⎜⎝ dr 2 r dr ⎟⎠ dr 4 r dr 3 r 2 dr 2 r 3 dr ⎝ dr

Demnach lautet die Scheibengleichung in Polarkoordinaten bei Rotationssymmetrie in Geometrie und Beanspruchung, wenn die Ableitung nach r durch einen Kopfstrich gekennzeichnet wird, ΔΔF(r ) = F′′′′ +

2 1 1 F′′′ − 2 F′′ + 3 F′ = 0. r r r

(2.4.5)

35

2 Die Scheibentheorie

2.4.2 Spannungen

y

s

y

x

d y s

d x s Bild 2.4-2:

d r r

d j y

x

j

s j

x

Infinitesimales Scheibenelement in kartesischen und in Polarkoordinaten

Für ϕ = 0 wird bei dem in Bild 2.4-2 in Polarkoordinaten dargestellten infinitesimalen Scheibenelement σr = σx und σϕ = σy. Die Spannungen σr und σϕ können demnach aus den Gleichungen (2.2.7) für σx und σy unter Verwendung von (2.4.2) und (2.4.3) hergeleitet werden: σx =

2 ∂ 2F 1 dF 2 d F = ϕ + cos 2 ϕ sin 2 2 r dr ∂y dr

σy =

2 ∂ 2F 1 dF 2 d F = ϕ + sin 2 ϕ cos 2 2 r dr ∂x dr

Durch Nullsetzen von ϕ ergibt sich σr =

1 dF 1 = F′, r dr r

(2.4.6)

σϕ =

d 2F = F′′. dr 2

(2.4.7)

Wegen der vorausgesetzten Rotationssymmetrie ist τrϕ = 0.

36

2 Die Scheibentheorie

2.5 Elementare rotationssymmetrische Lösungen in Polarkoordinaten In Abschnitt 2.5.2 bis 2.5.4 werden die Kreisscheibe und die Kreisringscheibe mit konstanten radialen Randlasten behandelt. Die resultierenden Schnittkräfte und Randverformungen sind in Tafel 1 (siehe Kapitel 6) zusammengestellt. 2.5.1 Biharmonische Funktionen

Die Scheibengleichung für rotationssymmetrische Zustände F′′′′ +

2 1 1 F′′′ − 2 F′′ + 3 F′ = 0 r r r

(2.4.5)

wird durch die folgenden biharmonischen Funktionen erfüllt: C, r2, ln r und r2 ln r.

(2.5.1)

2.5.2 Kreisscheibe mit konstanter radialer Randlast

a r

Bild 2.5-1:

R D ic k e d e r S c h e ib e : h M a te r ia lk o n s ta n te n : E , m

Kreisscheibe mit Linienlast R

Für den Ansatz werden die vier biharmonischen Funktionen (2.5.1) verwendet: F(r ) = A + B ⋅ ln r + C ⋅ r 2 + D ⋅ r 2 ln r

(2.5.2)

Daraus erhält man mit (2.4.6) und (2.4.7) 1 B σ r = F′ = 2 + 2C + D(2 ln r + 1), r r

(2.5.3)

2.5 Elementare rotationssymmetrische Lösungen in Polarkoordinaten

σ ϕ = F′′ = −

B + 2C + D(2 ln r + 3). r2

37

(2.5.4)

Die Konstante A ist beliebig und wird gleich Null gesetzt. Aus der Bedingung, daß σr und σϕ im Nullpunkt endlich bleiben müssen, folgt B = D = 0. C ergibt sich aus der Randbedingung σr(a) = R/h = 2C. Demnach gilt für die Spannungsfunktion des Problems und für die Spannungen bzw. Scheibenkräfte F(r ) =

σ r = σϕ =

R h

R 2 r , 2h

(2.5.5)

bzw. n r = n ϕ = R.

(2.5.6)

Es handelt sich um einen homogenen Spannungszustand. Analog zu (1.1.3) gilt für die Dehnungen εr =

(

)

1 σ r − μσϕ , E

(2.5.7)

und mit (2.5.6) εr = εϕ =

R (1 − μ ) . Eh

(2.5.8)

Die Radialverschiebung Δr wird aus der Umfangsdehnung εϕ = ΔU/U = 2πΔr/2πr berechnet und ergibt sich zu Δr = r εϕ .

(2.5.9)

Mit (2.5.8) folgt daraus für die Kreisscheibe nach Bild 2.5-1 Δr =

Rr (1 − μ ) Eh

(2.5.10)

und für speziell für den Rand Δr (a ) =

Ra (1 − μ ) . Eh

(2.5.11)

38

2 Die Scheibentheorie

2.5.3 Kreisringscheibe mit konstanter radialer Randlast außen

a b

R

r Bild 2.5-2:

Kreisringscheibe mit Linienlast außen

Es wird wieder der Ansatz (2.5.2) gewählt, so daß auch hier (2.5.3) und (2.5.4) gelten und A = 0 gesetzt werden kann. Den drei übrigen Konstanten stehen nur zwei Randbedingungen, nämlich σr(a) = R/h und σr(b) = 0 gegenüber. Zusätzlich zu der Verträglichkeitsbedingung (2.2.6), in der die Forderung der Formschlüssigkeit aller Elemente erfüllt wird, muß aber im vorliegenden Fall eine weitere Formänderungsbedingung befriedigt werden, so daß sich eine dritte Gleichung ergibt. Da die in Bild 2.5-2 dargestellte Kreisringscheibe einen zweifach zusammenhängenden Bereich darstellt - d.h. es müssen zwei Schnitte geführt werden, um die Scheibe in zwei Teile ohne Loch zu zerlegen -, ist zu gewährleisten, daß der Ring nach der Verformung nicht klafft. Dies drückt sich in einer Beziehung zwischen εr und εϕ aus: Analog zu (2.2.3) gilt mit (2.5.9) εr =

dε ϕ d (Δr ) . = εϕ + r dr dr

(2.5.12)

Mit Hilfe von (2.5.7) sowie (2.5.3) und (2.5.4) folgt hieraus nach einigen Zwischenrechnungen D = 0. Damit lauten die Bestimmungsgleichungen für B und C B R + 2C = , 2 h a B σ r (b) = 2 + 2C = 0. b σ r (a ) =

Daraus ergibt sich zunächst B=−

R a 2b2 R a2 , C=+ 2 2 2 h a −b 2h a − b 2

2.5 Elementare rotationssymmetrische Lösungen in Polarkoordinaten

39

und weiter F = B ln r + Cr 2 =

σr =

R a 2b2 h a 2 − b2

B R a2 + = 2 C h a 2 − b2 r2

σϕ = −

⎛ 1 r2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 b 2 − ln r ⎟ , ⎝ ⎠

⎛ b2 ⎞ ⎜1 − ⎟ , ⎜ r 2 ⎟⎠ ⎝

B R a2 + 2C = 2 h a 2 − b2 r

(2.5.13)

(2.5.14)

⎛ b2 ⎞ ⎜1 + ⎟. ⎜ r 2 ⎟⎠ ⎝

(2.5.15)

Da die Differentialgleichung und die Randbedingungen unabhängig von μ sind, gilt dies auch für die Spannungsfunktion und die Spannungen. Außerdem fällt auf, daß die Summe der Spannungen σr und σϕ konstant ist. Deren Verlauf ist in Bild 2.5-3 dargestellt. Bemerkenswerterweise treten am inneren Rand größere Ringspannungen auf als am Außenrand. Bei σϕ entspricht die gestrichelt berandete Ergänzungsfläche zum Rechteck dem Verlauf von σr. Aus (2.5.9) erhält man mit (2.5.7), (2.5.14) und (2.5.15) Δr =

R R +

Rr a2 ⎡ ⎢(1 − μ ) + 2 Eh a − b 2 ⎣⎢

R

⎤

(1 + μ )⎥ ⎦⎥

+ R

0 b

r

2

a ²+ b ² a ²-b ² h

h

b2

s r

h

2 a ² a ²-b ² s j

a Bild 2.5-3:

Spannungsverlauf in der Kreisringscheibe infolge R außen

(2.5.16)

40

2 Die Scheibentheorie

und daraus die beiden Randverschiebungen Δr (a ) =

R a3 Eh a 2 − b 2 Δr (b ) =

⎡ ⎤ b2 ⎢(1 − μ ) + 2 (1 + μ )⎥ , a ⎢⎣ ⎥⎦

(2.5.17)

2R a 2 b . Eh a 2 − b 2

(2.5.18)

2.5.4 Kreisringscheibe mit konstanter radialer Randlast innen

R b a r Bild 2.5-4:

= R

R

R -

Kreisringscheibe mit Linienlast innen

Der Lastfall Randlast am Innenrand läßt sich, wie in Bild 2.5-4 dargestellt, als Differenz zweier Lastfälle deuten, deren erster dem Spannungszustand nach Abschnitt 2.5.2 entspricht, während der zweite in Abschnitt 2.5.3 behandelt wurde. Deshalb erhält man sämtliche Ergebnisse durch entsprechende Differenzbildung: σr =

σϕ =

R R a2 − h h a 2 − b2 R R a2 − h h a 2 − b2

Δr =

⎛ b2 ⎞ R b2 ⎜1 − ⎟ = ⎜ r 2 ⎟⎠ h a 2 − b 2 ⎝

⎛ a2 ⎞ ⎜ − 1⎟ ⎜ r2 ⎟ ⎝ ⎠

2 ⎛ b2 ⎞ ⎜1 + ⎟ = − R b 2 2 ⎜ h a − b2 r ⎟⎠ ⎝

2 Rr (1 − μ ) − Rr 2 a 2 Eh Eh a − b

⎛ a2 ⎞ ⎜ + 1⎟ ⎜ r2 ⎟ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ b2 ⎢(1 − μ ) + 2 (1 + μ )⎥ r ⎢⎣ ⎥⎦

⎤ Rr b 2 ⎡ a2 ( ) (1 + μ )⎥ =− − μ + 1 ⎢ 2 Eh a 2 − b 2 ⎣⎢ r ⎦⎥

(2.5.19)

(2.5.20)

(2.5.21)

2.5 Elementare rotationssymmetrische Lösungen in Polarkoordinaten

Δr (a ) = −

Δr (b ) = −

2R ab 2 Eh a 2 − b 2

R b3 Eh a 2 − b 2

⎡ ⎤ a2 ⎢(1 − μ ) + 2 (1 + μ )⎥ b ⎢⎣ ⎥⎦

41

(2.5.22)

(2.5.23)

Der Verlauf von σr und σϕ ist in Bild 2.5-5 dargestellt. Deren Summe ist konstant, und auch bei Lastangriff am Innenrand treten dort die größten absoluten Spannungen auf. R

+ R b

R

R h s r

2 b ² a ²-b ² h

h

-

a ²+ b ² a ²-b ² s j

a Bild 2.5-5:

Spannungsverlauf in der Kreisringscheibe infolge R innen

Im Grenzfall einer unendlich großen Scheibe mit rundem Loch geht a gegen ∞. Aus (2.5.19) bis (2.5.21) und (2.5.23) ergibt sich σ r = −σ ϕ =

Δr = −

R b2 , h r2

(2.5.24)

2 Rr (1 + μ ) b2 , Eh r

(2.5.25)

Rb (1 + μ ) , Eh

(2.5.26)

Δr (b ) = −

wobei b den Radius des Lochs bezeichnet.

42

2 Die Scheibentheorie

2.5.5 Zusammengesetzte Kreisscheibe

h

h

a

i

Als Anwendungsbeispiel für die bisher behandelten Elementarfälle soll die in Bild 2.5-6 dargestellte Scheibe unterschiedlicher Dicke berechnet werden. Gesucht ist der Spannungsverlauf infolge P.

P

P a b P Bild 2.5-6:

Scheibe variabler Dicke mit konstanter radialer Randlast

An der Unstetigkeitsstelle wird die Scheibe aufgeschnitten, so daß sie in eine Kreisscheibe und eine Kreisringscheibe zerfällt (siehe Bild 2.5-7). P X X

1

1

h Bild 2.5-7:

a

h i

Grundsystem und Ansatz der statisch Unbestimmten

An der Schnittstelle müssen die Radialverschiebungen beider Ränder übereinstimmen. Dies wird durch die statisch unbestimmte Linienkraft X1 erreicht, die sich nach dem Kraftgrößenverfahren (siehe z.B. MESKOURIS/HAKE [1.17]) aus der Formänderungsbedingung X1 δ11 + δ10 = 0 errechnet. Die beiden Formänderungswerte δik stellen gegenseitige Radialverschiebungen in Richtung von X1 dar, wobei δ11 durch X1 = 1 und δ10 durch die äußere Last P verursacht wurde. Sowohl δ11 als auch δ10 setzt sich aus je einem Anteil der Kreisscheibe und der Kreisringscheibe zusammen.

2.5 Elementare rotationssymmetrische Lösungen in Polarkoordinaten

43

Für die Kreisscheibe ergibt sich aus (2.5.10) δ11 =

b (1 − μ) Eh i

δ10 = 0.

und

Die Anteile der Kreisringscheibe lauten entsprechend (2.5.23) bzw. (2.5.18)

δ10 = −

2P a 2 b . Eh a a 2 − b 2

5 5 ,0

s r

8 0 ,0

8 0 ,0

+

⎡ ⎤ a2 ⎢(1 − μ ) + 2 (1 + μ )⎥ , b ⎢⎣ ⎥⎦

5 1 ,1

1 b3 Eh a a 2 − b 2

4 0 ,0

δ11 =

8 0 ,0

8 0 ,0

+

6 5 ,0

6 8 ,9

[k N /m ²]

s j

b a Bild 2.5-8:

Spannungsverlauf in einer Kreisscheibe mit variabler Dicke

Werden beispielsweise die Zahlenwerte a = 2,00 m, b = 1,00 m, hi = 0,10 m, ha = 0,20 m, μ = 0 und P = 11 kN/m angenommen, so wird E ⋅ δ11 =

1,00 1 1,003 + 0,10 0,20 2,00 2 − 1,00 2 E ⋅ δ10 = 0 −

⎛ 2,00 2 ⎞ 25 55 ⎜1 + ⎟ ⎜ 1,00 2 ⎟ = 10 + 3 = 3 , ⎝ ⎠

2 ⋅11 2,00 2 ⋅1,00 440 =− , 0,20 2,00 2 − 1,00 2 3

44

2 Die Scheibentheorie

X1 = −

δ10 440 3 =+ ⋅ = +8,0 kN / m . δ11 3 55

Bei h = const. wäre X1 = P geworden. Der Verlauf der Spannungen σr und σϕ ergibt sich für die Kreisscheibe aus (2.5.6), für die Kreisringscheibe aus (2.5.14), (2.5.15), (2.5.19) und (2.5.20). Er ist in Bild 2.5-8 dargestellt. Wäre μ ≠ 0, so würde auch in der σϕ-Linie bei r = b ein Sprung auftreten. 2.5.6 Schrumpfring

Zwei Kreisringscheiben gleicher Dicke h sollen durch Temperaturschrumpfen miteinander verbunden werden. Der Außenradius a1 der kleineren Scheibe ist nur wenig größer als der Innenradius b2 der äußeren. Es gilt a1 – b2 = Δa 0,5 kaum ändert. 2.7.6 Die mitwirkende Plattenbreite im allgemeinen Fall

Falls sich die Belastung p(x) aus mehreren Reihengliedern zusammensetzt, dann sind die Koeffizienten Bn aus der Kontinuitätsbedingung für εx,k am Plattenrand zu bestimmen, d.h. durch Gleichsetzen von (2.7.8) und (2.7.9). In Gleichung (2.7.12) kürzt sich die Funktion sin αnx nicht mehr heraus, so daß bm von x abhängig wird. Außerdem geht über den Hebelarm s die Plattendicke in das Ergebnis ein. In Bild 2.7-3 ist der Verlauf von bm für verschiedene Belastungen qualitativ dargestellt.

66

2 Die Scheibentheorie

p = c o n s t. P x x b m

b

(x ) p 0

(x )

p = p

m

s in 0

p = c o n s t.

b Bild 2.7-3:

m

(x )

b m

p x l

= c o n s t.

Qualitativer Verlauf von bm für verschiedene Belastungen

In der Nähe von Einzellasten tritt jeweils eine Einschnürung auf, also auch über Zwischenauflagern. Dies ist nach den Bestimmungen für Betonbrücken, z.B. DIN 1075 [4.4], zu berücksichtigen, während im normalen Hochbau allgemein mit dem Wert gerechnet werden darf, der sich für Gleichlast in Feldmitte des statisch bestimmt gelagerten Ersatzträgers ergibt und nur von den Verhältnissen b/ℓ und h/d0 abhängt. Eine entsprechende Tabelle enthält beispielsweise das Heft 240 des Deutschen Ausschusses für Stahlbeton [4.7]. Die dort für h/d0 = 0,15 angegebenen Zahlenwerte stimmen gut mit den entsprechenden Ergebnissen aus der Tabelle von Abschnitt 2.7.5 überein. Die vorstehenden Ausführungen basieren auf Gleichung (2.7.1), die die mitwirkende Plattenbreite aus der Gleichheit der Plattenlängskraft herleitet. Dementsprechend gelten die erzielten Ergebnisse für die Bemessung von Plattenbalken. Für die Ermittlung der Durchbiegungen wäre bm korrekterweise über die Gleichheit der Balkenkrümmungen gemäß M(x ) M 0 (x ) = EI 0 EI ers

(2.7.16)

zu definieren. Man würde andere Zahlenergebnisse erhalten. Die Abweichungen sind jedoch nicht so gravierend, daß sie in der Praxis berücksichtigt werden müßten. Deshalb dürfen die für die Bemessung gültigen mitwirkenden Plattenbreiten auch der Schnittgrößenermittlung statisch unbestimmter Balken zugrunde gelegt werden

3 Die Plattentheorie

3.1 Die Tragwirkung von Platten 3.1.1 Allgemeines Wie bereits in Abschnitt 1.3 erklärt wurde, stellen Platten ebene Flächentragwerke dar, die durch Lasten senkrecht zu ihrer Ebene oder durch andere Einflüsse beansprucht werden, die eine Verkrümmung der Plattenmittelfläche bewirken (z. B. Randmomente, exzentrische Vorspannung, ungleichmäßige Temperatur und Stützensenkungen). Bild 1.3-1 zeigt ein Beispiel für eine belastete Platte, die an ihren Ecken gestützt ist. Die elastizitätstheoretische Behandlung des Plattenproblems führt auf eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung für die Biegefläche w(x,y), die sogenannte Plattengleichung, die erstmals von KIRCHHOFF im Jahre 1850 veröffentlicht wurde. Platten können punktweise, linienförmig oder flächig (auf sogenannter elastischer Bettung) gelagert sein. Für die Grundrißdarstellung linienförmiger Lagerungen werden die in Bild 3.1-1 dargestellten Vereinbarungen getroffen.

S ta r r e in s p a n n u n g S c h n e id e n la g e r u n g u n g e s tü tz te r R a n d Bild 3.1-1:

Darstellung linienförmiger Lagerungen von Platten

68

3 Die Plattentheorie

Im folgenden werden die Platten horizontal liegend angenommen, wobei die kartesischen Koordinaten x, y bzw. die Polarkoordinaten r, φ die Plattenmittelfläche beschreiben. Die Koordinate z weist nach unten. 3.1.2 Die Schnittgrößen von Platten Die einzelnen Plattenstreifen werden, wie aus Bild 3.1-2 ersichtlich, bei der Beanspruchung nicht nur balkenartig verbogen, sondern auch verdrillt.

Bild 3.1-2:

Verformung einzelner Plattenstreifen

Dementsprechend treten in der Platte nicht nur Biegemomente mx, my mit achsenparallelen Vektoren und Querkräfte qx, qy, sondern auch Drillmomente mxy auf. Da die Belastung keine zur Plattenebene parallelen Komponenten aufweist, werden keine Normalkräfte hervorgerufen. Die an den Lagern infolge der Plattenverdrehung entstehenden Normalkräfte werden wegen Geringfügigkeit vernachlässigt. Voraussetzung hierfür ist die Beschränkung der Verformung. Die Plattenschnittgrößen und die durch sie verursachten Spannungen sind in Bild 3.1-3 dargestellt.

y

y x

y

m y

q

z t

x

m q

x y

x

t

y z

s y

p o s itiv e S c h n ittflä c h e n Bild 3.1-3:

x

h

z m

m

y x

Schnittgrößen und Spannungen in Platten

t

y x

t

s x y

x

x z

3.1 Die Tragwirkung von Platten

69

Die positiven Schnittkräfte sind so definiert, daß die zugeordneten Spannungen in den positiven Schnittflächen im Bereich positiver z in die Koordinatenrichtungen weisen. Der Index bei den Biegemomenten gibt die Richtung der zugeordneten Spannungen an. Die Querkräfte erhalten den gleichen Index wie die im selben Schnitt wirkenden Biegemomente. Aus der Gleichheit der Schubspannungen τxy und τyx folgt mxy = myx. Sämtliche Schnittkräfte sind längenbezogen, z. B. Querkraft qx [kN/m] und Biegemoment mx [kNm/m]. 3.1.3 Hauptmomente Es gibt einen ausgezeichneten Winkel ϕ, bei dem die Drillmomente verschwinden und die Biegemomente Extremwerte annehmen. Diese Extrema heißen Hauptmomente und werden mit m1, m2 bezeichnet. Ein entsprechendes infinitesimales Plattenelement ist in Bild 3.1-4 dargestellt. m x

x y

m y

m

m

ϕ

1

m

x

2

= 0

d y

x y

d x = d s · s in ϕ d y = d s · c o s ϕ

d s

m

y

d x Bild 3.1-4:

Infinitesimales Plattenelement mit Hauptmoment m1

Das Momentengleichgewicht um eine Achse senkrecht zur schrägen Elementseite lautet ΣM 2 = m x ⋅ dy ⋅ sin ϕ − m xy ⋅ dy ⋅ cos ϕ − m y ⋅ dx ⋅ cos ϕ + m xy ⋅ dx ⋅ sin ϕ = 0

70

3 Die Plattentheorie

oder (m x − m y ) sin ϕ cos ϕ − m xy (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ) = 0.

Mit Hilfe der Additionstheoreme für Winkelfunktionen ergibt sich daraus tan 2ϕ =

2m xy mx − my

.

(3.1.1)

Durch Umformung dieser Gleichung erhält man mx − my

tan ϕ = −

2m xy

1 ± m xy

2

⎛ mx − my ⎞ ⎜ ⎟ + m 2xy . ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

(3.1.2)

Die Gleichgewichtsbedingung ΣM x = m x ⋅ dy + m xy ⋅ dx − m1 ⋅ ds ⋅ cos ϕ = 0

führt zunächst auf m1 = m x + m xy ⋅ tan ϕ

und mit (3.1.2) zum Ausdruck für die Hauptmomente

mx + my

m1,2 =

±

2

1 2

(mx − m y )2 + 4m2xy

(3.1.3)

Diese Gleichung läßt sich im MOHRschen Momentenkreis graphisch deuten. Siehe hierzu Bild 3.1-5. m

x y

m

2 j m

m 2

y

m

m x

x y

+ m 2

Bild 3.1-5:

y

m x

m x

m

2

1

- m y

MOHRscher Kreis für die Plattenmomente

3.1 Die Tragwirkung von Platten

71

Aus der Darstellung erkennt man, daß ϕ für mxy = 0 verschwindet, so daß m1 = mx und m2 = my wird. Für die Bemessung von Platten sind die Hauptmomente maßgebend. In einer quadratischen, gelenkig gelagerten Platte (siehe Bild 3.1-6) treten unter Gleichlast auf den beiden Koordinatenachsen aus Symmetriegründen keine Drillmomente auf. Die Momente mx und my sind demnach Hauptmomente. Dementsprechend verlaufen die Hauptmomente auf den beiden Diagonalen parallel und senkrecht zu diesen. In der Plattenmitte liefert (3.1.1) wegen mx = my einen unbestimmten Ausdruck für ϕ. Das Maximalmoment ist in allen Richtungen gleich. m

m

x x

l

m

y

y 2

l

m 1

|m

x

m a x m (a u f d e r x -A c h s e )

m a x m +

Bild 3.1-6:

| =

+

m

x y

m 2

=

p l 2 2 1 ,6 p l 2 2 7 ,2

(fü r m = 0 )

( a u f d e r D ia g o n a le n )

Hauptmomente einer quadratischen, gelenkig gelagerten Platte unter Gleichlast

An den Plattenecken wird m1 = -m2 = mxy, da der Mittelpunkt des zugehörigen MOHRschen Kreises bei m = 0 liegt. Die Hauptmomente haben also denselben Absolutwert, jedoch umgekehrtes Vorzeichen. Dementsprechend muß im Stahlbetonbau die Drillbewehrung an Plattenecken oben in Richtung der Winkelhalbierenden verlaufen, unten senkrecht dazu (vgl. beispielsweise DIN 1045 [4.1], Abschnitt 20.1.6.4). Die in Bild 3.1-6 angegebenen Zahlenwerte wurden Tafel 2 entnommen.

72

3 Die Plattentheorie

3.1.4 Lastaufteilungsverfahren für Rechteckplatten

Wird die in Bild 3.1-2 veranschaulichte Wirkung der Drillmomente vernachlässigt, so liegt man auf der sicheren Seite, sowohl im Hinblick auf die Biegemomente, als auch auf die Durchbiegungen. Deshalb dürfen z.B. laut Abschnitt 20.1.5 der DIN 1045 [4.1] die Biegemomente zweiachsig gespannter, allseits gelagerter Rechteckplatten näherungsweise an sich kreuzenden Plattenstreifen gleicher größter Durchbiegung f ermittelt werden. Die auf die Platte wirkende konstante Belastung p wird bei dieser Methode mit Hilfe der Bedingung fx = fy

(3.1.4)

p = px + py

(3.1.5)

gemäß

in die Anteile px und py aufgeteilt, so daß man die Platte getrennt in beiden Richtungen als Balken berechnen kann.

-

p

y

Die Methode wird anhand des Bildes 3.1-7 erläutert.

fy

+

l

y

m in m

l

y

p

m

w

x

x

w

fx m

x

m a x m Bild 3.1-7:

x

=

p x

8

l x

2

Veranschaulichung der Streifenmethode

y

= -

p y

8

l y

2

3.1 Die Tragwirkung von Platten

73

Mit der Lastanteilszahl κ gilt p x = κp ,

(3.1.6)

p y = (1 − κ) ⋅ p .

(3.1.7)

In Bild 3.1-8 sind die Mittendurchbiegungen von Balken in Abhängigkeit von den Lagerungsbedingungen angegeben (siehe z. B. HIRSCHFELD [1.16]). p

p

l f =

5

3 8 4

Bild 3.1-8:

p

l p l 4 E I

f =

2

3 8 4

l p l 4 E I

f =

1

3 8 4

p l 4 E I

Mittendurchbiegungen von Balken

Damit und mit ε = l y / l x erhält man für die 6 verschiedenen Stützungsarten vier-

seitig gelagerter Rechteckplatten die in Bild 3.1-9 angegebenen Lastanteilszahlen κ.

κ Bild 3.1-9:

y

1

2

3

4

5

6

ε4

2ε 4

ε4

ε4

2ε 4

ε4

1 + ε4

5 + 2ε 4

5 + ε4

1 + ε4

1 + 2ε 4

1 + ε4

l

l

Stützungsart

x

Plattenlagerungsarten und zugehörige Lastanteilszahlen κ

Bei gedrungenen Platten, d.h. bei einem Seitenverhältnis 2 / 3 ≤ ε ≤ 3 / 2 ergeben sich nach der Plattentheorie wesentlich geringere Feldmomente als nach der Streifenmethode, da die Lasten im Eckbereich diagonal abgetragen werden. Um die großen Unterschiede der Ergebnisse beider Verfahren an einem Beispiel aufzuzeigen, werden drei Platten vom Typ 2 mit unterschiedlichen Seitenverhält-

74

3 Die Plattentheorie

nissen untersucht. Nach der Streifenmethode lauten die beiden Feldmomente und das Stützmoment der betrachteten Platte allgemein max m x =

pxl x 2 p l xl y , = 8 α xf

max m y =

p l xl y 9 p yl y 2 = , 128 α yf

min m y =

− p yl y 2 8

=

p l xl y α ys

.

Den ermittelten Momentenbeiwerten αxf, αyf, αys werden in Bild 3.1-10 die entsprechenden Zahlenwerte nach der Plattentheorie (siehe Tafel 2) gegenübergestellt.

ε=

l

lx

Streifenmethode

Plattentheorie

κ αxf

αyf

αys

αxf

αyf

αys

l

y

2

ly

x

Bild 3.1-10:

0,70

0,0876

63,9

22,3

-12,5

78,3

29,2

-13,1

1,00

0,2857

28,0

19,9

-11,2

41,2

29,4

-11,9

1,50

0,6694

17,9

28,7

-16,1

24,9

48,5

-13,3

Lastanteilszahlen und Momentenbeiwerte für drei Platten des Typs 2

Der Einfluß der Drillmomente zeigt sich deutlich bei einem Vergleich der Feldmomente. In vorstehendem Beispiel ergeben sich diese nach der Streifenmethode um ca. 50 % größer als nach der Plattentheorie. Die günstige Wirkung der Drillmomente darf nur in vollem Umfang berücksichtigt werden, wenn diese überall von der Platte aufgenommen werden können. Das setzt voraus, daß - die Plattenecken gegen Abheben gesichert sind, - an den Ecken, wo zwei frei drehbar gelagerte Ränder zusammenstoßen, eine ausreichende Eckbewehrung eingelegt wird und - an den Ecken keine Aussparungen vorhanden sind, die die Drillsteifigkeit wesentlich beeinträchtigen. Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, dann dürfen die Biegemomente nicht nach der Plattentheorie ermittelt werden, wohl aber nach der Streifenmethode.

3.2 Die Plattengleichung in kartesischen Koordinaten

75

3.2 Die Plattengleichung in kartesischen Koordinaten 3.2.1 Idealisierungen und Annahmen x y z h l Bild 3.2-1:

l y

x

Beispiel für eine belastete Platte

Der Herleitung der KIRCHHOFFschen Plattengleichung liegen Idealisierungen und Annahmen im Hinblick auf Geometrie, Beanspruchung, Verformung und Material zugrunde, die im folgenden zusammengestellt werden. Geometrie: -

Die Mittelfläche der unbelasteten Platte ist eben. Die Dicke h der Platte ist klein im Verhältnis zu deren Spannweiten. Die Plattendicke wird im folgenden als konstant vorausgesetzt. Es werden keine Imperfektionen berücksichtigt.

Belastung: - Alle äußeren Lasten, Lagerkräfte und Lagerverschiebungen wirken senkrecht zur unverformten Mittelfläche, die Vektoren von Randmomenten oder Randverdrehungen liegen in ihr. - Temperaturänderungen verlaufen linear über die Plattendicke mit Nullpunkt in der Mittelfläche. - Die Spannungen σz in der Platte infolge der Vertikallasten sind im Vergleich zu den Spannungen σx und σy vernachlässigbar gering, so daß ein ebener Spannungszustand vorausgesetzt werden darf. - Alle Beanspruchungen sind zeitunabhängig.

76

3 Die Plattentheorie

Verformungen: - Für die Neigungen der Biegefläche wird ∂w / ∂x 1

Kreisringplatte mit Zwischenlagerung

Das Grundsystem besteht aus zwei Kreisringplatten (siehe Bild 3.5-11), von denen eine am äußeren, die andere am inneren Rand gelagert ist. Die beiden Formänderungswerte setzen sich gemäß δ1i = − w1′ (a ) + w ′2 (a )

116

3 Die Plattentheorie

aus je zwei Anteilen zusammen. Bei δ11 sind beide Anteile stets positiv. Die Anteile von δ10 wären hier beispielsweise für den Lastfall Platteneigengewicht auch positiv, da sich die Plattenränder am Grundsystem im Sinne von X1 = 1 verdrehen. 3.5.6.5 Beispiel 4: Kreisplatte mit Teilflächenlast

p r b

r = a

r

, b =

b a

a m r

W P m j

W P Bild 3.5-12:

Kreisplatte mit Teilflächenlast

Wegen der Unstetigkeit der Belastung müssen die beiden Bereiche r < b und r > b unterschieden werden. Im Lastbereich verlaufen die Biegemomente quadratisch, im lastfreien Bereich logarithmisch (siehe Tafel 5). Bei r = b liegt ein Wendepunkt. Die Momentenlinien sind in Bild 3.5-12 qualitativ dargestellt. Die Ordinaten an den Viertelspunkten sind in Abhängigkeit von β Tafel 9 zu entnehmen. Für den lastfreien Bereich, d.h. für ρ ≥ β , gilt nach Tafel 5 mr =

⎤ ⎛ 1 ⎞ pa 2 ⎡ ⎢(1 − μ ) β 2 ⎜ − 1⎟ − 4(1 + μ ) ln ρ⎥ β 2 , 2 ⎜ρ ⎟ 16 ⎢ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎣

pa 2 mϕ = 16

⎡ ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎢4(1 − μ ) − (1 − μ ) β 2 ⎜ + 1⎟ − 4(1 + μ ) ln ρ⎥ β 2 . ⎜ ρ2 ⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠

Bei gleicher Gesamtlast P = π b2 p

(3.5.23)

3.5 Kreis- und Kreisringplatten unter rotationssymmetrischer Belastung

117

wachsen die Momente in Plattenmitte an, wenn der Radius b des Lastbereichs kleiner wird. Für den Grenzfall b → 0 erhält man aus (3.5.23) mit p b2 = P/π die Biegemomente infolge einer Einzellast P in Plattenmitte zu P (1 + μ ) ln ρ , 4π P [(1 − μ ) − (1 + μ ) ln ρ] . mϕ = 4π mr = −

(3.5.24)

In der Plattenmitte werden die beiden Momente unendlich. Das gilt übrigens generell für die Plattenmomente unter einer Einzellast. Für die Bemessung kommt es deshalb sehr auf die Größe der Lastverteilungsfläche von Punktlasten an. 3.5.6.6 Beispiel 5: Kreisplatte mit Auskragung unter Gleichlast

p

b

p

A a

X p A

1

G ru n d s y s te m p E rs a tz s y s te m B = 0

Bild 3.5-13:

Kreisplatte mit Auskragung unter Gleichlast

Um die in Bild 3.5-13 dargestellte Aufgabe ohne Ansatz einer statisch Unbestimmten allein mit Hilfe der Tafeln 5 und 6 lösen zu können, wird ersatzweise ein gleichwertiges Problem behandelt, bei dem die statisch bestimmte Auflagerkraft A=

pb 2 2a

als Last angesehen und die Platte als am Rand gelagert angenommen wird. Die Auflagerkraft B ist natürlich gleich Null. Die Schnittgrößen ergeben sich aus der Superposition der beiden Lastfälle Gleichlast p und Ringlast P = - A an der Kreis-

118

3 Die Plattentheorie

platte mit dem Radius b. Für das Radialmoment mr wird das Vorgehen in Bild 3.514 gezeigt. p

b

m

rp

0 ,1 0 2 0 ,1 5 8

m m

rA

F a k to r p b ²

r

0 ,0 5 6

0 ,0 4 2

= 0 ,7 , m = 0 ,2 b

q u a d r. P a ra b e l

Bild 3.5-14:

a

A

0 ,2 0 0

a

p

Radialmomente einer Kreisplatte mit Auskragung unter Gleichlast

Nach Tafel 9 ergeben sich für a/b = 0,7 und μ = 0,2 im Lastfall p die Momente m r (0) = 0,200pb 2 und m r (0,7) = (1 − 0,7 2 )m r (0) = 0,102pb 2 .

Die Auflagerkraft A beträgt A=

pb = 0,7143pb . 2 ⋅ 0,7

Sie erzeugt im Bereich innerhalb der Lagerlinie das Radialmoment m r (0) = −0,221 ⋅ Ab = −0,158pb 2 .

3.5.6.7 Beispiel 6: Kreisplatte mit unterschiedlicher Dicke

Für die in Bild 3.5-15 dargestellte Platte sind die Biegemomente infolge Eigengewicht gesucht (Ordinaten an den Stellen 0 bis 4). An der Unstetigkeitsstelle braucht entsprechend Bild 3.5-16 nur eine statisch Unbestimmte angesetzt zu werden, da die Mittelflächen der beiden Plattenbereiche in gleicher Höhe liegen. Die Flächenlasten betragen

3.5 Kreis- und Kreisringplatten unter rotationssymmetrischer Belastung

g1 = γh1 = 25 ⋅ 0,28 = 7,0 kN / m 2 ,

h

h

2

1

0 1

2

b

3

g 2

1

h1 = 0,28 m, h 2 = 0,20 m μ = 0,2, γ = 25 kN / m 3

Kreisplatte mit unterschiedlicher Dicke

g X

a = 4,00 m, b = 2,40 m 4

a

Bild 3.5-15:

g 2 = 25 ⋅ 0,20 = 5,0 kN / m 2 .

P P

P

X

P X

X 1

Bild 3.5-16:

1 1

g 2

1

Grundsystem mit Belastung

Die Kraft P ergibt sich nach Tafel 5 zu P=

1 1 g1b = ⋅ 7,0 ⋅ 2,40 = 8,4 kN / m . 2 2

Zur Berechnung der Formänderungswerte werden die beiden Verhältnisse 3

3

K1 ⎛ h1 ⎞ ⎛ 0,28 ⎞ b 2,40 = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ = 0,60 ⎟⎟ = 2,744 und β = = K 2 ⎝ h 2 ⎠ ⎝ 0,20 ⎠ a 4,00

benötigt. Mit Hilfe der Tafeln 6, 12 und 13 erhält man K1δ11 =

K1δ10 =

K 2,40 b + 1,45313 ⋅ a ⋅ 1 = + 1,45313 ⋅ 4,00 ⋅ 2,744 = 17,95 , K2 1,2 1+ μ

g1b 3 K K − 0,50917 Pa 2 1 − 0,11975g 2 a 3 1 8(1 + μ ) K2 K2

7,00 ⋅ 2,40 3 − (0,50917 ⋅ 8,40 + 0,11975 ⋅ 5,00 ⋅ 4,00) ⋅ 4,00 2 ⋅ 2,744 8 ⋅ 1,2 = −282,85 . =

119

120

3 Die Plattentheorie

Damit wird −282,85 = +15,76 kNm / m . 17,95

X1 = −

Es folgt die Ermittlung der Momente anhand der Tafeln 5, 6, 12 und 13: m r 0 = 0,200 ⋅ g1b 2 + X1 = 0,200 ⋅ 7,0 ⋅ 2,40 2 + 15,76 = 23,82 kNm / m m r1 = 0,150 ⋅ 7,0 ⋅ 2,40 2 + 15,76 = 21,81 kNm / m m r 2 = X1 = 15,76 kNm / m m r 3 = 0,022Pa + 0,025 ⋅ g 2 a 2 + 0,316X1 (Pa = 8,4 ⋅ 4,00 = 33,6 kN ; g 2 a 2 = 5,0 ⋅ 4,00 2 = 80,0 kN) m r 3 = 0,022 ⋅ 33,6 + 0,025 ⋅ 80,0 + 0,316 ⋅ 15,76 = 7,72 kNm / m m r4 = 0 m ϕ0 = m r 0 = 23,82 kNm / m m ϕ1 = 0,175 ⋅ 7,0 ⋅ 2,40 2 + 15,76 = 22,82 kNm / m m ϕ2l = 0,100 ⋅ 7,0 ⋅ 2,40 2 + 15,76 = 19,79 kNm / m m ϕ2r = 0,815 ⋅ Pa + 0,192 ⋅ g 2 a 2 − 2,125X1 = 0,815 ⋅ 33,6 + 0,192 ⋅ 80,0 − 2,125 ⋅ 15,76 = 9,25 kNm / m m ϕ3 = 0,585 ⋅ 33,6 + 0,145 ⋅ 80,0 − 1,441 ⋅ 15,76 = 8,55 kNm / m m ϕ4 = 0,447 ⋅ 33,6 + 0,110 ⋅ 80,0 − 1,125 ⋅ 15,76 = 6,09 kNm / m

Der Verlauf der Momente ist in Bild 3.5-17 dargestellt.

Bild 3.5-17:

r

4 6 ,0 9

+ 8 ,5 5

+

1 9 ,7 9

r

2 2 ,8 2

m

3 2

1

9 ,2 5

0 4

2 3 ,8 2

2 1 ,8 1

2 3 ,8 2

r

+

3 7 ,7 2

2 1

1 5 ,7 6

0

m

[k N m /m ]

Momentenverlauf in einer Kreisplatte mit unterschiedlicher Dicke

j

3.5 Kreis- und Kreisringplatten unter rotationssymmetrischer Belastung

121

3.5.6.8 Beispiel 7: Kreis- und Kreisringplatte mit unterschiedlicher Dicke

b Bild 3.5-18:

2

1

h

h

p

b = 1,3 a μ = 0,2

β=

a Kreisplatte mit dünnerer Auskragung

Die Mittelflächen der Kreisplatte und der Auskragung liegen nicht auf gleicher Höhe (siehe Bild 3.5-18). Deshalb tritt eine Scheibenwirkung auf, die an der Unstetigkeitsstelle außer dem Radialmoment eine zweite statisch Unbestimmte in Form einer Radialkraft erfordert. Das Grundsystem und der Ansatz der statisch Unbestimmten ist aus Bild 3.5-19 zu ersehen. Hier sollen nur die Formänderungswerte berechnet werden. Bei den δ2i ist zu beachten, daß sich der Angriffspunkt von X2 bei einer Verformung der inneren Platte um e ⋅ w ′(a ) verschiebt. Es werden die Tafeln 1, 6, 10 und 11 benutzt. δ11 =

a a + 4,26932 ⋅ K1 (1 + μ ) K2

δ12 = −

a ⋅ e = δ 21 K1 (1 + μ )

δ 22 =

⎤ a a 1 a3 ⎡ b2 ⋅e + − μ + (1 − μ ) + ( 1 ) (1 + μ )⎥ ⎢ 2 Eh1 K1 (1 + μ ) Eh 2 b 2 − a 2 ⎣⎢ a ⎦⎥

δ10 =

pa 3 pa 3 + 0,22250 ⋅ 8K1 (1 + μ ) K2

δ 20 = −

pa 3 ⋅e 8K1 (1 + μ )

122

3 Die Plattentheorie

X

p 1

X X 2

X

2

h

e =

1

1

Bild 3.5-19:

2

- h 2

Grundsystem mit Ansatz der statisch Unbestimmten

3.5.7 Der Satz von BETTI an der Kreisplatte

p b

b = a

a X X

Bild 3.5-20:

b

1

2

Eingespannte Kreisplatte mit Zwischenlagerung

Die in Bild 3.5-20 dargestellte Platte wird statisch bestimmt gemacht, indem das Einspannmoment und die Kraft am Zwischenlager als Unbestimmte X1 bzw. X2 angesetzt werden. Wenn diese nacheinander aufgebracht werden, sind die beiden Fremdarbeiten W12 und W21 wie bei der Kreisringscheibe in Abschnitt 2.5.8 gleich. Das bedeutet 1 ⋅ 2πa ⋅ δ12 = 1 ⋅ 2πb ⋅ δ 21

und δ 21 a = . δ12 b

(3.5.25)

Diese Gleichung entspricht (2.5.31) und wird durch einen Vergleich der beiden Ausdrücke für δ12 und δ21 aus Tafel 6 bestätigt: δ 21 = − w (b) = −

a2 (1 − β 2 ) , 2K (1 + μ)

3.6 Einflußflächen für Platten

δ12 = − w ′(a ) = −

123

ab (1 − β 2 ) . 2K (1 + μ)

Der Satz von MAXWELL ist demnach auf das gewählte Beispiel nicht anwendbar, weil die statisch Unbestimmten auf verschiedenen Radien wirken. Das System der Elastizitätsgleichungen ist unsymmetrisch.

3.6 Einflußflächen für Platten 3.6.1 Allgemeines

Die Ordinaten η(x,y) einer Einflußfläche geben den Wert der betreffenden Formänderung oder Schnittgröße am Ort n infolge der Last P = 1 an der Stelle m an. Der feste Ort n mit den Koordinaten xn,yn wird als Aufpunkt bezeichnet. Der Ort m ist variabel und hat die Koordinaten x,y (siehe Bild 3.6-1). m = Laststellung y = variabler Ort, am dem die P la tte n r a n d Einzellast P = 1 steht

x

n n

x

m y

Bild 3.6-1:

n

y x

n = Aufpunkt = feste Stelle, für die in Abhängigkeit von der Laststellung eine bestimmte Formänderungs- oder Schnittgröße gesucht wird

Beliebige Platte mit Aufpunkt n und Laststellung m

Mit Hilfe der Einflußflächen ist es möglich, die ungünstigste Stellung veränderlicher Verkehrslasten zu finden und durch Auswertung die Extremwerte der betreffenden Schnittgrößen zu berechnen. Einflußflächen werden hauptsächlich zur Berechnung von Fahrbahnplatten unter nicht gleichmäßig verteilten Verkehrslasten benutzt. Diese Lasten sind für Brücken in DIN 1072 [4.3], für den Hochbau in DIN 1055 Blatt 3 [4.2] festgelegt. Brücken im Zuge von Bundesfernstraßen sind außerdem für militärische Verkehrslasten (Räder- und Kettenfahrzeuge) nach STANAG 2021 [4.6] zu bemessen. In Bild 3.6-2 werden als Beispiele die Lastbilder eines Schwerlastwagens SLW 60 mit der Gesamtlast 600 kN und eines Gabelstaplers GSt 13 mit der Regellast 120 kN gezeigt.

3 Die Plattentheorie

0 ,2 0

0 ,2 0

0 ,2 0

1 0 0 k N

1 ,2 0

3 ,0 0

6 0 k N

0 ,6 0

2 ,0 0

0 ,6 0

0 ,2 0

1 ,5 0

124

1 ,5 0

1 ,5 0

1 ,5 0 6 ,0 0

S L W Bild 3.6-2:

6 0 n a c h D IN 1 0 7 2

1 ,8 0

1 ,5 0 [m ]

3 ,6 0 G S t 1 3 n a c h D IN 1 0 5 5 B la tt 3

Lastbilder eines Schwerlastwagens und eines Gabelstaplers

RÜSCH [3.8] hat die Einflußflächen von Rechteckplatten für die Verkehrslasten nach DIN 1072 ausgewertet und in Heft 106 des Deutschen Ausschusses für Stahlbeton veröffentlicht. Es werden Einflußflächen für Biegemomente, Drillmomente und Querkräfte benötigt, und zwar für verschiedene Aufpunkte. Da alle Schnittgrößen der Platte nach (3.2.13) bis (3.2.17) durch Ableitungen der Funktion w dargestellt werden können, geht man von der Einflußfläche für die Durchbiegung w aus und differenziert diese entsprechend. Bei der Ermittlung der Einflußflächen für Momente setzt man die Querdehnzahl gleich Null. Soll μ berücksichtigt werden, so kann dies bei vierseitig gelagerten Rechteckplatten nach (3.2.31) und (3.2.32) , bei eingespannten Kreisplatten nach (3.4.6) und (3.4.7) erfolgen. Die Einflußflächen für Rechteckplatten mit ungestützten Rändern und für gelenkig gelagerte Kreisplatten müssen das zu berücksichtigende μ als Parameter enthalten. Es liegen Einflußflächen für Rechteckplatten mit verschiedenen Seitenverhältnissen und Lagerungsbedingungen sowie für gelenkig gelagerte und eingespannte Kreisplatten vor. Hier seien zwei Tafelwerke genannt: die Zahlentafeln von BITTNER [2.5], ermittelt mit trigonometrischen Reihen, und die Höhenlinienpläne von PUCHER [3.4], ermittelt nach der sogenannten Singularitätenmethode (siehe den folgenden Abschnitt).

3.6 Einflußflächen für Platten

125

3.6.2 Die Singularitätenmethode 3.6.2.1 Allgemeines

Wie bereits erwähnt, werden die Einflußflächen der Schnittgrößen durch mehrmalige Ableitung der Einflußfunktion für die Durchbiegung w ermittelt. Eine Schwierigkeit entsteht dadurch, daß bestimmte Ableitungen von w im Aufpunkt unendlich werden. Dieser wird deshalb als singuläre Stelle bezeichnet, im Gegensatz zum regulären Bereich, wo sämtliche Ableitungen endlich sind. Wegen der Singularitäten konvergieren Reihenentwicklungen schlecht und werden im folgenden nicht behandelt. Vorteilhafter ist die von PUCHER entwickelte Singularitätenmethode, bei der die Einflußfunktion in einen singulären und einen regulären Anteil aufgespalten wird. Gesucht ist zunächst die Einflußfläche „wn“ = wnm, d.h. die Duchbiegung w im festen Aufpunkt n, wenn P = 1 an der variablen Stelle m steht. Nach dem Satz von MAXWELL dürfen die Indizes von wnm vertauscht werden. wmn bezeichnet die Durchbiegung w an der variablen Stelle m, wenn P = 1 am festen Ort n steht, beschreibt also eine Biegefläche. Statt der Einflußfläche für w kann demnach die Biegefläche infolge der Last P = 1 im Aufpunkt ermittelt werden. Im folgenden wird die Einflußfunktion für wn mit η(x,y) = η0(x,y) + η1(x,y)

(3.6.1)

bezeichnet. Darin ist η0(x,y) der singuläre und η1(x,y) der reguläre Anteil. Der singuläre Anteil enthält die Singularität im Aufpunkt und wird unabhängig von der Form des Plattenrandes und von den Stützbedingungen der Platte gewählt. Deshalb erfüllt η0(x,y) lediglich die Plattengleichung ΔΔη0 = 0, nicht jedoch die Randbedingungen. Der reguläre Anteil muß der Differentialgleichung ΔΔη1 = 0 genügen und zusammen mit η0(x,y) die Randbedingungen befriedigen. 3.6.2.2 Die Singularität des Feldmoments mx

Für Feldmomente wird die Singularität aus der Biegefläche einer durch eine mittige Einzellast P beanspruchten, gelenkig gelagerten Kreisplatte hergeleitet. Die entsprechende Gleichung ist Tafel 6 zu entnehmen: w (r ) =

(

)

⎤ Pa 2 ⎡ 3 + μ 1 − ρ 2 + 2ρ 2 ln ρ⎥ . ⎢ 16πK ⎣ 1 + μ ⎦

(3.6.2)

126

3 Die Plattentheorie

Die beiden ersten Ableitungen nach r lauten mit ρ = r/a ⎞ dw Pa ⎛ 1 ⎜− = ρ + ρ ln ρ ⎟⎟ , dr 4πK ⎜⎝ 1 + μ ⎠ d2w dr

2

=

(3.6.3)

⎞ P ⎛ μ ⎜ + ln ρ ⎟⎟ . 4πK ⎜⎝ 1 + μ ⎠

(3.6.4)

(3.6.2) und (3.6.3) sind überall regulär, weil das Produkt ρ ⋅ ln ρ im Nullpunkt verschwindet. Die zweite Ableitung wird jedoch im Aufpunkt singulär. Ursächlich hierfür ist der Anteil w0 =

Pa 2 2 ρ ln ρ 8πK

(3.6.5)

in (3.6.2). Dementsprechend lautet der die Singularität enthaltende Anteil der Einflußfunktion für w 2

η0 =

⎛ r⎞ 1 2 r 1 r ⋅ ln = r 2 ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ . 8πK r0 16πK ⎝ r0 ⎠

(3.6.6)

Dabei wurde P = 1 gesetzt und statt des Plattenradius a die beliebige Bezugsgröße r0 eingeführt, die wegen ln (r/r0) = ln r – ln r0 lediglich den regulären Anteil in (3.6.6) beeinflußt. Da die Querdehnung, wie erläutert, nicht berücksichtigt wird, gilt entsprechend (3.2.13) für den singulären Anteil " m x 0 " = −K

y

m (x ,y ) n (x n,y n) x -x Bild 3.6-3:

y -y

j

∂x 2n

.

r 2 = (x − x n )2 + (y − y n )2

n

r

∂ 2 η0

x

cos ϕ =

x − xn r

n

Beziehungen zwischen kartesischen und Polarkoordinaten

(3.6.7)

3.6 Einflußflächen für Platten

127

Um die Differentiationen nach xn durchführen zu können, müssen zuvor die Polarkoordinaten in (3.6.6) auf das x-y-System umgerechnet werden. Mit den Beziehungen nach Bild 3.6-3 erhält man zunächst ∂(r 2 ) = −2(x − x n ) und ∂x n

∂ ∂x n

⎛ r2 ⎞ ⎜ ln ⎟ = − 2 (x − x n ) ⎜ r 2⎟ r2 ⎝ 0 ⎠

und weiter 2 ⎤ ⎛ r⎞ ∂η0 1 ⎡⎢ =− 2(x − x n ) ln⎜⎜ ⎟⎟ + 2(x − x n )⎥ ∂x n 16πK ⎢ ⎥ ⎝ r0 ⎠ ⎣ ⎦

(3.6.8)

und ∂ 2 η0 ∂x 2n

= =

⎡ 1 ⎢ ⎛ r ln⎜ 8πK ⎢ ⎜⎝ r0 ⎣

2 ⎞ 2(x − x n ) ⎤⎥ ⎟ + (x − x n ) ⋅ +1 ⎟ ⎥ r2 ⎠ ⎦

(3.6.9)

⎞ 1 ⎛ r ⎜ 2 ln + 2 cos 2 ϕ + 1⎟ . ⎟ 8πK ⎜⎝ r0 ⎠

Damit ergibt sich schließlich nach (3.6.7) " mx0" = −

⎞ 1 ⎛ r ⎜⎜ 2 ln + 2 cos 2 ϕ + 1⎟⎟ . 8π ⎝ r0 ⎠

(3.6.10)

Man erkennt, daß die Einflußfläche nicht rotationssymmetrisch ist. Die Funktion der Höhenlinien ergibt sich, indem „mx0“ = κ = const. gesetzt wird: κ=−

⎞ 1 ⎛ r ⎜⎜ 2 ln + 2 cos 2 ϕ + 1⎟⎟ . 8π ⎝ r0 ⎠

Daraus folgt durch Umformung die Gleichung der Höhenlinien in Polarkoordinaten r ( κ, ϕ) = r0 ⋅ e

−

8πκ+1 2

⋅ e −cos

2

ϕ

.

(3.6.11)

Aus (3.6.11) erkennt man, daß alle Höhenlinien unabhängig von κ affin zueinander sind. Sie weisen die Form einer eingeschnürten Ellipse auf mit dem Achsenverhältnis r ( κ, π / 2) e 0 = −1 = e ≈ 2,72 . r ( κ,0) e

128

3 Die Plattentheorie

In Bild 3.6-4 sind einige Höhenlinien von „mx0“ dargestellt. Die längere Achse liegt in der y-Richtung, in die auch der Vektor des zugehörigen Moments mx0 weist. Die Linien gelten für verschiedene Werte κ. Im Aufpunkt ist κ = ∞.

m

y

x 0

j x k + 2 k + 1 k

Bild 3.6-4:

Höhenlinien der Einflußfläche „mx0“ und zugehöriger Momentenvektor

Die Einflußfläche bildet räumlich einen unendlich langen Schlauch, der sich nach oben verjüngt und der einen endlichen Inhalt besitzt. Diesen muß man für die Auswertung der Einflußfläche kennen (siehe Abschnitt 3.6.4.2). Die von der Höhenlinie κ umschlossene Fläche ergibt sich aus A ( κ) =

1 2 1 2 −(8πκ+1) 2π −2 cos2 ϕ dϕ . ∫ r dϕ = r0 e ∫ e 2 2 0

(3.6.12)

Das Integral ist nicht geschlossen lösbar. Es hat den Zahlenwert 2,93, wie sich z.B. mit der SIMPSONschen Regel berechnen läßt. Für das Volumen der Einflußfläche oberhalb der Höhenlinie κ gilt damit ∞

V( κ) = ∫ A( κ)dκ = κ

2,93 2 ∞ − 8πκ r0 ∫ e dκ = 0,0214 ⋅ r0 2 ⋅ e − 8πκ . 2e κ

(3.6.13)

Für die letzte von PUCHER in seinem Tafelwerk noch dargestellte Höhenlinie gilt max κ =

8 1 = . 8π π

Für den Wert r0 hat er eine Länge in der Größenordnung der Stützweite gewählt. Damit ergibt sich für das Volumen oberhalb von max κ V(max κ) ≈ 0,0214 ⋅ l 2 ⋅ e −8 ≈ 0,7 ⋅ 10 −5 ⋅ l 2 .

(3.6.14)

3.6 Einflußflächen für Platten

129

Dieses Volumen ist vernachlässigbar klein, wie an einem Beispiel in Abschnitt 3.6.4.3 gezeigt werden soll. Es genügt also, in der Praxis nur die von PUCHER [3.4] dargestellten Höhenlinien zu benutzen und den Inhalt des oberhalb von max κ liegenden Teils der Einflußfläche unberücksichtigt zu lassen. 3.6.2.3 Der reguläre Anteil des Feldmoments mx

Der reguläre Lösungsanteil η1(x,y) der Einflußfläche entspricht einer Randbelastung der Platte, die bewirkt, daß die Gesamtlösung die vorgegebenen Randbedingungen erfüllt. Er muß der homogenen Plattengleichung ΔΔη1 = 0 genügen und kann beispielsweise mit einem Reihenansatz bestimmt werden. PUCHER hat η1(x,y) numerisch mit dem Differenzenverfahren berechnet (siehe Abschnitt 3.8.3.1). Darauf wird hier nicht weiter eingegangen. Die Ordinaten des regulären Anteils der Einflußfläche für ein Feldmoment sind im Bereich des Aufpunkts klein im Vergleich zu denen des singulären Anteils. Deshalb weisen die Höhenlinien der endgültigen Einflußfläche, unabhängig von der Form des Plattenrandes und der Lagerungsbedingungen der Platte, auch die in Bild 3.6-4 dargestellte, charakteristische Form auf, wie z.B. in Bild 3.6-5 zu erkennen ist. 3.6.3 Ausgewählte Einflußflächen

In Abschnitt 3.6.2 wurde lediglich die Einflußfläche für ein Feldmoment behandelt. Außer dieser werden im folgenden Beispiele für die Einflußfläche eines Einspannmoments, eines Drillmoments und einer Querkraft ohne weitere Angaben zu ihrer Ermittlung gezeigt. 3.6.3.1 Einflußfläche für ein Feldmoment

In Bild 3.6-5 ist die Einflußfläche für mx isometrisch und als Höhenlinienplan dargestellt. Dort sind die Ordinaten 8π-fach angegeben. Die höchste noch eingezeichnete Höhenlinie ist mit + 8 bezeichnet. Die maximale Einflußordinate beträgt demnach max κ = + 8/8π = 1/π. Der Teil der Einflußfläche oberhalb der Ebene max κ wird vernachlässigt. Die Einflußordinaten sind dimensionslos, so daß die Auswertung mit einer Einzellast P [kN] für mx die Dimension [kNm/m] liefert.

130

3 Die Plattentheorie

In den Höhenlinienplänen von PUCHER werden die Ordinaten der Momente grundsätzlich 8π-fach angegeben. Sie sind unabhängig von der Stützweite. Von Einfluß dagegen sind Berandungsform, Seitenverhältnis und die Lagerungsbedingungen.

x y

+ 3 + 2

+ 8 + 7 + 6 + 5

+ 1

+ 0 ,5

x

+ 4

y Bild 3.6-5:

Einflußfläche (8π-fach) für das Biegemoment mx im Mittelpunkt einer allseitig gelenkig gelagerten, quadratische Platte (nach GIRKMANN [1.1])

3.6.3.2 Einflußfläche für ein Einspannmoment

Wie Bild 3.6-6 zeigt, ist die Ordinate der Einflußfläche für ein Einspannmoment im Aufpunkt, anders als beim Feldmoment, endlich. Sie beträgt κ = - 8/8π = - 1/π.

3.6 Einflußflächen für Platten

131

Wie bereits zur Einflußfläche für ein Feldmoment bemerkt, sind die Ordinaten dimensionslos und von der Stützweite unabhängig.

x

-1 -2

-8

0

-7

-6

-4 -5

-3

x

y Bild 3.6-6:

Einflußfläche (8π-fach) für das Einspannmoment mx in Randmitte einer allseitig eingespannten, quadratischen Platte (nach GIRKMANN [1.1])

3.6.3.3 Einflußfläche für ein Drillmoment

Die in Bild 3.6-7 dargestellte Einflußfläche für das Dirllmoment in Feldmitte ist antimetrisch bezüglich beider Plattenachsen, da eine achsensymmetrische Belastung der Platte dort keine Drillmomente hervorruft. Im Aufpunkt ist eine Unstetigkeitsstelle, an der die Einflußordinate max κ = 1/8π das Vorzeichen wechselt.

132

3 Die Plattentheorie

-0 ,2

+ 0 ,2

-0 ,4

+ 0 ,4 + 0 ,6

-0 ,6 -0 ,8

+ 0 ,8 + 1

+ 0 ,8

x -0 ,8

+ 0 ,6

-0 ,6

+ 0 ,4

-0 ,4

+ 0 ,2

-0 ,2

y Bild 3.6-7:

Einflußfläche (8π-fach) für das Drillmoment im Mittelpunkt einer allseitig eingespannten, quadratische Platte (nach GIRKMANN [1.1])

3.6.3.4 Einflußfläche für eine Querkraft

+ 2 + 3

x

l

+ 0 ,2

+ 1

y Bild 3.6-8:

Einflußfläche (ℓ-fach) für die Querkraft qx in Randmitte einer allseitig eingespannten, quadratischen Platte (nach PUCHER [3.4])

3.6 Einflußflächen für Platten

133

Die Einflußordinaten für Querkräfte sind längenbezogen. Im Beispiel nach Bild 3.6-8 sind die an den Höhenlinien angegebenen Zahlen durch die Spannweite ℓ zu dividieren. Die Querkraft in Randmitte infolge einer Einzellast verhält sich demnach reziprok zur Spannweite. Unter Gleichlast, z.B. infolge Eigengewicht, ist sie proportional zu ℓ. Die Aufpunktordinate ist unendlich, das Volumen unter der Einflußfläche hat jedoch wie beim Feldmoment einen endlichen Wert. 3.6.3.5 Einflußflächen für die Schnittgrößen von Kreisplatten

Das Tafelwerk von PUCHER [3.4] enthält auch Einflußflächen für die Schnittgrößen von Kreisplatten. Sie verlaufen, abgesehen von der Berandungsform, ähnlich wie bei quadratischen Platten. Insbesondere ist auch die Einflußfläche für das Biegemoment in Plattenmitte nicht rotationssymmetrisch. 3.6.4 Auswertung von Einflußflächen 3.6.4.1 Lastverteilung in Platten

In Abschnitt 3.5.6.5 wurde darauf hingewiesen, daß die Feldmomente von Platten unter Einzellasten stark von der Größe der Lastverteilungsfläche abhängen. Diese darf nach DIN 1045 [4.1], Abschnitt 20.1.4, ermittelt werden (siehe Bild 3.6-9), wo zwischen Lastaufstandsbreite b0 und Lasteintragungsbreite t unterschieden wird. b

s

0

h

4 5 ° t Bild 3.6-9:

Ermittlung der Lasteintragungsbreite nach DIN 1045

Bei einer Lastausbreitung unter 45° bis zur Plattenmittelfläche und unter Berücksichtigung einer lastverteilenden Deckschicht der Dicke s ergeben sich die für die Berechnung maßgebenden Lasteintragungsbreiten zu

134

3 Die Plattentheorie

t x = b 0 x + 2s + h und t y = b 0 y + 2s + h .

(3.6.15)

Nach DIN 1075 [4.4], Abschnitt 9.1.2, dürfen bei Massivbrücken anstelle der Aufstandsflächen der Radlasten nach DIN 1072 (siehe Abschnitt 3.6.1) vereinfachend flächengleiche Ersatzflächen in Quadrat- oder Kreisform verwendet werden. 3.6.4.2 Auswertungsformeln

Die Einflußordinate η(x,y) stellt die Zustandsgröße Z(xn,yn) infolge einer Einzellast P = 1 dar, die am Ort (x,y) wirkt. Den Wert von Z infolge einer vorgegebenen Belastung erhält man deshalb, indem man die einzelnen Lasten mit den zugehörigen Einflußordinaten multipliziert und die Produkte aufsummiert. Bei Flächenlasten erfolgt die Auswertung der Einflußfläche dementsprechend durch Integration des Produkts aus Belastung p(x,y) und Einflußordinate η(x,y) über die Lastfläche A. Somit gilt bei Vorhandensein von Einzel- und Flächenlasten die Auswertungsformel Z( x n , y n ) = ΣPi ⋅ η( x i , y i ) + ∫ p( x, y) ⋅ η( x, y)dA .

(3.6.16)

A

Falls nur eine konstante Flächenlast p wirkt, ergibt sich hieraus z.B. für das Biegemoment mx m x ( x n , y n ) = p ⋅ ∫ η( x , y)dA . A

Das Integral gibt das Volumen unter der Einflußfläche im Lastbereich A an. Mit ηm als mittlerer Einflußordinate im Lastbereich und mit der Resultierenden R=p⋅A gilt dann m x ( x n , y n ) = p ⋅ A ⋅ ηm = R ⋅ ηm .

(3.6.17)

Die Integration wird zweckmäßig numerisch durchgeführt, wobei sich die doppelte Anwendung der SIMPSONschen Regel empfiehlt. Dies soll anhand des Bildes 3.6-10 gezeigt werden. Es sind die rechteckige Lastfläche A = 2 Δx ⋅ 2 Δy und der Schnitt durch die Einflußfläche in Achse 1 dargestellt. Nach SIMPSON gilt F1 =

Δx (η1a + 4η1b + η1c ) = 2Δx ⋅ η1m 3

mit η1m als mittlerer Einflußordinate in Achse 1. Für diese ergibt sich danach η1m =

1 (η1a + 4η1b + η1c ) . 6

(3.6.18)

3.6 Einflußflächen für Platten

F η1

1

η1

a

a

b

c

Δy

2 A

c

Δy

1

η1 b

135

3 Δx

Bild 3.6-10:

Δx Beispiel für eine numerische Integration nach SIMPSON

Dementsprechend lautet die Gleichung der mittleren Einflußordinate im Bereich A ηm =

1 (η1m + 4η2m + η3m ) . 6

(3.6.19)

Für die Integration über eine größere, gerade Anzahl n von Intervallen wird die Formel mehrfach angewandt. Sie nimmt dann die Form ηm =

1 3n

n +1

∑κ

r

⋅ ηrm

mit κ r = 1,4,2,4 L 2,4,1

(3.6.20)

1

an. Die praktische Durchführung wird im folgenden an einem Beispiel gezeigt. 3.6.4.3 Beispiel 1: Maximale Feldmomente infolge einer Einzellast

Es sollen die maximalen Feldmomente einer allseitig gelenkig gelagerten, quadratischen Platte infolge einer zentrischen Radlast P ermittelt werden. Die entsprechende Einflußfläche ist in Bild 3.6-11 als Höhenlinienplan gegeben. Die Lasteintragungsbreiten tx und ty betragen ein Fünftel der Stützweite. Aus Symmetriegründen kann die mittlere Einflußordinate an einem Viertel der Lastfläche ermittelt werden. Nach Augenmaß liest man die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Ordinaten ab. Werte oberhalb der Höhenlinie 8 werden nicht berücksichtigt.

1 2 3

a

b

c

2,6 2,55 2,5

3,7 3,9 3,8

4,3 5,8 8

136

3 Die Plattentheorie

A

b a

1

c

2

B 8

3 3

4 5

7 6

x

2 1 0 ,6 0 ,2

y Bild 3.6-11:

Einflußfläche für das Feldmoment mx nach PUCHER [3.4] (8π-fach)

Man erhält zunächst 1 (2,6 + 4 ⋅ 3,7 + 4,3) = 3,62 6 1 = (2,55 + 4 ⋅ 3,9 + 5,8) = 3,99 6 1 = (2,5 + 4 ⋅ 3,8 + 8) = 4,28 6

η1m = η2 m η3m

und schließlich ηm =

1 (3,62 + 4 ⋅ 3,99 + 4,28) = 3,98 . 6

Damit ergibt sich nach (3.6.17) ohne Berücksichtigung der Querdehnzahl für beide Feldmomente max m x = max m y =

3,98 ⋅ P = 0,1584 P . 8π

BITTNER [2.5] gibt hierfür den Beiwert 0,1634 an, der um ca. 3 % von dem hier ermittelten Ergebnis abweicht. Mit Hilfe der beigefügten CD-ROM errechnet man den Wert 0,1636. Die Berücksichtigung des Teils der Einflußfläche oberhalb der Höhenlinie 8 hätte nach Gleichung (3.6.14) ein Differenzmoment von

3.6 Einflußflächen für Platten

Δm x = Δm y = p ⋅ V(max κ) ≈

137

P ⋅ 0,7 ⋅ 10 − 5 ⋅ l 2 = 0,000175 P (0,2l) 2

gebracht, was etwa 0,1 % von mx ausmacht. Die Bedeutung von Δmx wächst mit der Lastkonzentration. Für tx = ty = 0,1 l und 0,05 l beträgt der relative Fehler Δmx/mx ca. 0,3 bzw. 1,0 %, ist also in der Regel auch bei kleinen Lastflächen vernachlässigbar. Wäre eine zweite Radlast gleicher Größe an der Stelle A im Abstand 0,3 l zu berücksichtigen, so könnte deren Einflußordinate ηA im Lastschwerpunkt direkt abgelesen werden, denn dort kann die Einflußfläche für die Auswertung mit ausreichender Genauigkeit durch eine Tangentialebene ersetzt werden. Wegen der Doppelsymmetrie gilt bei dieser Laststellung für my die Einflußordinate ηB. Mit den Werten 1,78 bzw. 0,64 für diese beiden Ordinaten wird 1,78 ⎞ ⎛ max m x = ⎜ 0,1584 + ⎟ P = 0,2292 P , 8π ⎠ ⎝ 0,64 ⎞ ⎛ zug m y = ⎜ 0,1584 + ⎟ P = 0,1839 P . 8π ⎠ ⎝

Da im Massivbrückenbau mit der Querdehnzahl μ = 0,2 zu rechnen ist, sollen auch die entsprechenden Plattenmomente angegeben werden, die man unter Verwendung von (3.2.31) erhält: max m x = (0,2292 + 0,2 ⋅ 0,1839) P = 0,2660 P , zug m y = (0,1839 + 0,2 ⋅ 0,2292) P = 0,2297 P .

Die Stützweite l der Platte geht in die Berechnung nur insoweit ein, wie sie benötigt wird, um die Lasteintragungsfläche und den Radabstand im richtigen Maßstab zu zeichnen. Anders ist das bei Flächenlasten, deren Wirkungsfläche nicht begrenzt ist. Wäre z.B. bei der oben betrachteten Platte der Bereich der Einzellast P mit einer konstanten flächenbezogenen Verkehrslast p umgeben, so würde man die Platte für die Vollast p und die Überlast ΔP = P – p tx ty berechnen. Ohne Berücksichtigung der Querdehnung erhielte man für die resultierenden Mittenmomente nach Tafel 2 max m x = max m y =

pl 2 + 0,1584 ΔP . 27,2

Das Ergebnis ist von der Stützweite abhängig, weil das auch für die Gesamtlast gilt.

138

3 Die Plattentheorie

3.6.4.4 Beispiel 2: Minimales Stützmoment infolge einer wandernden Teilflächenlast

Es soll das minimale Stützmoment mxs in der Seitenmitte einer allseitig eingespannten, quadratischen Platte ermittelt werden (siehe Bild 3.6-12). Die entsprechende 8π-fache Einflußfläche ist in Bild 3.6-6 dargestellt.

L a s tflä c h e

l

ty

tx

x

A u fp u n k t y

l Bild 3.6-12:

Quadratische, eingespannte Platte mit wandernder Teilflächenlast

Die Stützweite der Platte wird mit ℓ bezeichnet, die Last mit p. Die Lastfläche ist rechteckig und hat die Abmessungen tx = 0,2 ℓ und ty = 0,4 ℓ. Man erkennt sofort, daß die Resultierende R = p ⋅ t x ⋅ t y = 0,08pl 2 auf der x-Achse wirken muß, damit mxs minimal wird. Deshalb und aus Symmetriegründen werden nur die Einflußordinaten im Bereich 0 ≤ y/ℓ ≤ 0,2 benötigt. Die x-Koordinate des Schwerpunkts der Lastfläche ist unbekannt. x l η(ξ;0) ξ=

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

+0,1

-7,5

-6,7

-5,7

-4,4

-3,2

-2,2

η(ξ;0,1)

-3,5

-5,1

-4,8

-3,9

-2,9

-2,0

η(ξ;0,2)

-1,2

-2,7

-3,1

-2,7

-2,2

-1,5

η m ( ξ)

-3,78

-4,97

-4,67

-3,78

-2,83

-1,95

Zunächst werden nach Gleichung (3.6.18) die mittleren Einflußordinaten des Bereichs ermittelt, in dem die Lastfläche wandert. Die aus Bild 3.6-6 abgelesenen

3.7 Orthogonale Mehrfeldplatten

139

Ordinaten und die zugehörigen Mittelwerte sind in der vorstehenden Tabelle zusammengestellt. In Bild 3.6-13 sind die berechneten Mittelwerte über der x-Achse aufgetragen.

ηm

ηa = - 4 , 4 a

p b

ηb = - 4 , 9 c

ηc = - 4 , 4

3 ,7 8

4 ,9 7

4 ,6 7

3 ,7 8

2 ,8 3

1 ,9 5

-

-0 ,4

-0 ,3

-0 ,2

-0 ,1

0 ,0

0 ,1

0 ,1

0 ,1

Bild 3.6-13:

x /l

Verlauf der mittleren Einflußordinaten im Bereich –0,2 ≤ y/ℓ ≤ +0,2

Das minimale Einspannmoment ergibt sich, wenn die Ordinaten an den beiden Rändern der Lastfläche gleich sind. Aus Bild 3.6-13 liest man im Abstand 0,2 ℓ die Ordinaten ηa = ηc = -4,4 ab. In der Mitte dazwischen wird ηb = -4,9. Damit lautet die minimale mittlere Einflußordinate im Lastbereich ηm =

1 (−4,4 − 4 ⋅ 4,9 − 4,4) = −4,73 . 6

Schließlich erhält man nach (3.6.17) das minimale Einspannmoment min m xs = −

1 ⋅ 4,73 ⋅ 0,08pl 2 = −0,0151pl 2 . 8π

3.7 Orthogonale Mehrfeldplatten 3.7.1 Allgemeines

In der Baupraxis kommen selten Einfeldplatten vor. Meist verwendet man Mehrfeldplatten, die an den inneren Stützungen durchlaufen, so daß sich die einzelnen

140

3 Die Plattentheorie

Felder gegenseitig beeinflussen. Dabei treten häufig Unregelmäßigkeiten auf (siehe Bild 3.7-1) wie z.B. schiefe Ränder (a), unterbrochene Stützungen (b), dreiseitige Knoten (c) und Aussparungen (d). Hier sollen nur feldweise gleichmäßig belastete, orthogonale Mehrfeldplatten mit regelmäßigem Raster ohne die vorgenannten Anomalien behandelt werden. Für diese ist Spezialliteratur heranzuziehen, z.B. STIGLAT/WIPPEL [2.12]. Im folgenden werden an den Zwischenstützungen Schneidenlagerungen ohne Verdrehungswiderstand angenommen. Zur Berechnung der Mehrfeldplatten werden die mit Hilfe der Plattentheorie gewonnenen Ergebnisse für die einzelnen Rechteckplatten verwendet. a d

c

Bild 3.7-1:

b Mehrfeldplatten mit und ohne Unregelmäßigkeiten

Hier werden nur das Belastungsumordnungsverfahren und das Verfahren von PIEPER/MARTENS [2.11] zur Ermittlung der Plattenmomente behandelt. Beide stellen Näherungsverfahren dar und setzen μ = 0 voraus. Der Einfluß der Querdehnzahl kann bei Bedarf nach (3.2.31) und (3.2.32) erfaßt werden. 3.7.2 Das Belastungsumordnungsverfahren

Das Verfahren beruht auf Symmetriebetrachtungen für orthogonale Plattensysteme mit konstanter Plattendicke und mit näherungsweise gleichen Stützweiten je Richtung. Es erlaubt, sich auf die Betrachtung der Einzelfelder zu beschränken, und ist auch bei unterschiedlichen Stützweiten je Richtung noch ausreichend genau und nach DIN 1045, Abschnitt 20.1.5 (4), anwendbar, wenn die Bedingungen min ℓx/max ℓx ≥ 0,75 und

min ℓy/max ℓy ≥ 0,75

(3.7.1)

eingehalten werden. Bei der Anwendung des Verfahrens ist zwischen Feld- und Stützmomenten zu unterscheiden.

3.7 Orthogonale Mehrfeldplatten

141

3.7.2.1 Ermittlung der Feldmomente

Die maximalen und minimalen Feldmomente treten bei schachbrettartiger Anordnung der Verkehrslast p auf. Die Gesamtbelastung der Platte q = g + p wird in den symmetrischen Anteil q′ und den antimetrischen Anteil q″ aufgeteilt. Hierfür gilt q′ = g + p/2

und

q″ = ± p/2.

(3.7.2)

Für den symmetrischen Lastfall q′ darf an den Zwischenstützungen volle Einspannung angenommen werden, da sich die Platte dort nicht oder kaum verdreht. Für den antimetrischen Lastfall q″ herrscht an den Zwischenstützungen eine freie Verdrehbarkeit. Dem entspricht eine gelenkige Lagerung der angrenzenden Platten. Als Beispiel soll hier die in Bild 3.7-2 im Grundriß dargestellte Platte behandelt werden. Gesucht seien die maximalen Feldmomente in Feld 1 und die minimalen in Feld 2. Als Belastung wird g = 5,0 kN/m2 und p = 2,0 kN/m2 angenommen.

1

g 3

p

g +

4 ,0 0

g + p

=

2

g + p

2

5 ,0 0

g 4

5 ,0 0 Bild 3.7-2:

g + 2

p

p

g + g +

p +

2 + 2

p

-

p 2

p -

2 +

2 p 2

5 ,0 0 Beispiel zur Ermittlung von Feldmomenten mit Lastaufteilung

Die Bedingungen (3.7.1) sind erfüllt. Die Verkehrsbelastung ist schachbrettartig angeordnet und in die Anteile q′ und q″ zerlegt. Mit den Festwerten q′ = 5,0 + 1,0 = 6,0 kN/m2, q″ = ± 1,0 kN/m2 erhält man für Feld 1 q′ℓx ℓy = 6,0 · 5,00 · 4,00 = 120 kN, q″ℓx ℓy = 1,0 · 5,00 · 4,00 = 20 kN, für Feld 2 q′ℓx ℓy = 6,0 · 5,00 · 5,00 = 150 kN, q″ℓx ℓy = 1,0 · 5,00 · 5,00 = 25 kN. Nach den obigen Ausführungen bezüglich der Lagerung der Einzelplatten erhält man die maximalen Feldmomente in Feld 1 nach Bild 3.7-3.

142

3 Die Plattentheorie

q '

q '' +

1

( P la tte n ty p 5 b z w . 2 )

Bild 3.7-3:

1

Ersatzsysteme zur Ermittlung der maximalen Feldmomente in Feld 1

Der Querstrich bei der Bezeichnung des Plattentyps bedeutet, daß die Platte vor einer Anwendung der Tafel 2 in Gedanken gedreht werden muß. Das Seitenverhältnis beträgt ℓy/ℓx = 4,00/5,00 = 0,80 bzw. ℓx/ℓy = 1,25. Die Momentenbeiwerte nach Tafel 2 lauten für Plattentyp 5 : α xf =

1 1 (78,2 + 89,6) = 83,9 , α yf = (40,6 + 40,3) = 40,45 ; 2 2 α xf = 63,1 , α yf = 28,4 .

für Plattentyp 2: Damit erhält man für Feld 1

120 20 + = 1,75 kNm / m , 83,9 63,1 120 20 + = 3,67 kNm / m . max m y = 40,45 28,4 max m x =

Zur Ermittlung der minimalen Feldmomente in Feld 2 wird nach Bild 3.7-4 vorgegangen. Das Seitenverhältnis beträgt 1,0.

q '

q '' -

2

Bild 3.7-4:

( P la tte n ty p 4 b z w . 1 )

2

Ersatzsysteme zur Ermittlung der minimalen Feldmomente in Feld 2

Die Momentenbeiwerte nach Tafel 2 lauten für Plattentyp 4:

α xf = α yf = 40,2 ,

für Plattentyp 1:

α xf = α yf = 27,2 .

Damit erhält man für Feld 2 min m x = min m y =

150 25 − = 2,81 kNm / m . 40,2 27,2

3.7 Orthogonale Mehrfeldplatten

143

3.7.2.2 Ermittlung der Stützmomente

Beim Belastungsumordnungsverfahren werden die Stützmomente näherungsweise als Mittel der Festeinspannmomente benachbarter Platten berechnet. Hierfür wird die Belastung wie bei den Feldmomenten in die Anteile q′ und q″ zerlegt. Das Vorgehen soll an der in Bild 3.7-5 dargestellten Platte gezeigt werden, für die das minimale Stützmoment zwischen den Feldern 1 und 2 gesucht sei. Belastung, Abmessungen und die Art der Lagerung stimmen mit denen des oben behandelten Beispiels überein.

1

g 3

p

g +

4 ,0 0

g + p

=

2

2

g

5 ,0 0

g + p 4

5 ,0 0

g + 2

p

p

g + g +

p +

2 + 2

p

+

p 2

p -

2 -

2 p 2

Bild 3.7-5:

5 ,0 0 Beispiel zur Ermittlung eines Stützmoments mit Lastaufteilung

Verkehrslast befindet sich nur in den Feldern 1 und 2, da Lasten in den Feldern 3 und 4 ein positives Stützmoment m1,2 erzeugen würden. Die Lagerung der Einzelplatten ersieht man aus Bild 3.7-6.

q ' 1

+

q ' 2

Bild 3.7-6:

q ''

( P la tte n ty p 5 b z w . 3 )

q ''

( P la tte n ty p 4 b z w . 2 )

1

+ 2

Ersatzsysteme zur Ermittlung des minimalen Stützmoments m1,2

144

3 Die Plattentheorie

Für den Lastfall q′ herrscht an allen Zwischenstützungen volle Einspannung. An den Stützungen, wo q″ das Vorzeichen wechselt, sind die Einzelplatten als gelenkig gelagert anzusehen. Die Seitenverhältnisse betragen wie zuvor 0,80 bzw. 1,25 bei Feld 1 und 1,0 bei Feld 2. Hierfür erhält man aus Tafel 2 folgende Momentenbeiwerte: Plattentyp 5 :

1 α ys = − (16,7 + 17,2) = −16,95 2

Plattentyp 3 :

α ys = −16,0

Plattentyp 4 :

α ys = −14,3

Plattentyp 2 :

α ys = −11,9

Die Festeinspannmomente der beiden Platten ergeben sich damit zu min m s1 = −

120 20 − = −8,33 kNm / m , 16,95 16,0

min m s 2 = −

150 25 − = −12,59 kNm / m , 14,3 11,9

und das minimale Stützmoment lautet min m1,2 = (min m s1 + min m s 2 ) / 2 = −

8,33 + 12,59 = −10,46 kNm / m . 2

3.7.3 Das Verfahren von PIEPER/MARTENS

Dieses Verfahren beruht auf den Gedanken des Belastungsumordnungsverfahrens und erweitert dieses sowohl auf beliebig unterschiedliche Stützweiten als auch auf Plattensysteme mit dreiseitigen Knoten (siehe Bild 3.7-1). Für Verkehrslasten p ≤ 2g liefert das Verfahren auf der sicheren Seite liegende Ergebnisse, d.h. im Gültigkeitsbereich des Belastungsumordnungsverfahrens entsprechend (3.7.1) deutlich größere Feldmomente als dieses. Der Rechenaufwand ist jedoch beträchtlich geringer.

3.7 Orthogonale Mehrfeldplatten

145

3.7.3.1 Ermittlung der Feldmomente

Als Bemessungsmomente werden mit Ausnahme des unten erwähnten Sonderfalles die Momente bei halber Einspannung verwendet, also das Mittel aus den Feldmomenten bei gelenkiger Lagerung und bei Festeinspannung an den Innenstützungen. Diese Mittelwerte sind mit Hilfe von Tafel 3 aus m xf =

ql 2x fx

und m yf =

ql 2x fy

(3.7.3)

zu berechnen. Eine Sonderregelung ist erforderlich für den Fall, daß auf zwei kleine Felder ein großes Feld folgt. Darauf wird hier nicht eingegangen. Die Anwendung des Verfahrens wird an dem in Bild 3.7-7 dargestellten Beispiel für die Felder 1 und 2 gezeigt.

y

2

4

5 ,0 0 Bild 3.7-7:

3

5

3 ,0 0

q = g + p p £ 2 g

5 ,0 0

1

6 ,0 0

x

5 ,0 0

Mehrfeldplatte als Beispiel zum Verfahren von PIEPER/MARTENS

Die Ergebnisse lauten: Feld 1:

Feld 2:

ly lx ly lx

= 1,2, m xf =

q ⋅ 5,00 2 q ⋅ 5,00 2 , m yf = , 23,3 35,5

= 2,0, m xf =

q ⋅ 3,00 2 q ⋅ 3,00 2 , m yf = . 14,6 56,9

Für Feld 1 der Platte nach Bild 3.7-2 würde man nach PIEPER/MARTENS

146

3 Die Plattentheorie

m xf =

7,00 ⋅ 4,00 2 = 2,70 kNm / m > 1,75 (40,4 + 42,7) / 2

m yf =

7,00 ⋅ 4,00 2 = 4,85 kNm / m > 3,67 (24,4 + 21,8) / 2

erhalten. Der geringere Rechenaufwand wurde mit einer starken Überschätzung der Feldmomente erkauft. 3.7.3.2 Ermittlung der Stützmomente

Bei der Ermittlung der Stützmomente sind drei Fälle zu unterscheiden: 1.

2. 3.

Für den Normalfall, daß das Verhältnis der Spannweiten benachbarter Felder kleiner als 5 ist, ergeben sich die Stützmomente als Mittel der Festeinspannmomente beider Felder, dürfen jedoch betragsmäßig nicht kleiner als 75 % des kleineren Wertes sein. Bei einem Verhältnis der Spannweiten größer als 5 ist das Einspannmoment des größeren Feldes als Stützmoment anzunehmen. Auch an dreiseitigen Knoten gilt das Festeinspannmoment.

Die Festeinspannmomente sind mit Hilfe von Tafel 3 aus m xs = −

ql 2x sx

und m ys = −

ql 2x sy

(3.7.4)

zu berechnen, können jedoch auch aus Tafel 2 gewonnen werden. Hierfür gilt dann Gleichung (3.3.14). Als Beispiele werden für die Platte nach Bild 3.7-7 die minimalen Stützmomente m1,4, m1,2 und m2,5 = m3,5 berechnet. Hierfür werden die Festeinspannmomente mxs1, mys1, mxs2, mys4 und mys5 benötigt. Diese lauten ly

Feld 1:

Feld 2:

lx

ly lx

= 1,2

= 2,0

m xs1 = −

q ⋅ 5,00 2 = −2,174 q 11,5

m ys1 = −

q ⋅ 5,00 2 = −1,908 q 13,1

m xs 2 = −

q ⋅ 3,00 2 = −0,750 q 12,0

3.8 Näherungslösungen der Scheiben- und der Plattengleichung (Übersicht)

ly

Feld 4:

lx

ly

Feld 5:

lx

= 1,0 m ys4 = −

q ⋅ 5,00 2 = −1,748 q 14,3

= 1,6 m ys5 = −

q ⋅ 5,00 2 = −2,717 q 9,2

147

Damit erhält man die Stützmomente 1 min m1, 4 = − (1,908 + 1,748)q = −1,828 q 2 min m1, 2 = −0,75 ⋅ 2,174 q = −1,630 q ,

da

(Fall 1) (Fall 1, modifiziert)

1 (m xs1 + m xs2 ) = − 1 (2,174 + 0,750)q = −1,462 q 2 2 min m 2,5 = min m 3,5 = m ys5 = −2,717 q .

(Fall 3)

Für das minimale Stützmoment zwischen den Feldern 1 und 2 der in Bild 3.7-5 dargestellten Platte hätte das Verfahren von PIEPER/MARTENS lx = 1,25 ly

Feld 1:

ly

Feld 2:

lx

= 1,0

m ys1 = −

7,0 ⋅ 4,00 2 = −8,27 kNm / m (13,9 + 13,2) / 2

m ys2 = −

7,0 ⋅ 5,00 2 = −12,24 kNm / m 14,3

1 min m1, 2 = − (8,27 + 12,24) = −10,25 kNm / m ≈ −10,46 2

geliefert. Das stimmt gut mit dem Ergebnis nach dem Belastungsumordnungsverfahren überein.

3.8 Näherungslösungen der Scheiben- und der Plattengleichung (Übersicht) 3.8.1 Allgemeines

Zum Ende der beiden Kapitel über Scheiben und Platten soll ein systematischer Überblick über Näherungslösungen für die beiden entsprechenden, biharmonischen Differentialgleichungen gegeben werden.

148

3 Die Plattentheorie

Die geschlossene Lösung der Scheibengleichung ΔΔF = 0 und der Plattengleichung ΔΔw = p/K unter exakter Erfüllung der Randbedingungen ist nur in einfachen Fällen möglich, z.B. bei Rotationssymmetrie. In der Praxis ist man meist auf Näherungslösungen angewiesen. Hierbei sind analytische und numerische Lösungsverfahren zu unterscheiden. Noch vor einigen Jahrzehnten standen die analytischen Verfahren im Vordergrund, bei denen die zu lösenden Aufgaben weitgehend idealisiert werden mußten. Heute geht man in aller Regel numerisch vor, da entsprechende Verfahren und Rechner leicht zugänglich und anwendbar sind. Die Rechenprogramme basieren oft auch, wie z.B. bei der Methode der finiten Elemente, auf einer Kombination von analytischen und numerischen Lösungen. Analytische Verfahren weisen den Vorteil auf, daß man bei Verwendung geeigneter Funktionen, meist trigonometrischer Reihen, eine geschlossene Lösung erhält, aus der sich die gesuchten Schnitt- und Verformungsgrößen durch Einsetzen der entsprechenden Ortskoordinaten an beliebigen Stellen ergeben. Der Nachteil besteht darin, daß sich Unstetigkeiten in Geometrie und Belastung sowie Singularitäten nur schlecht erfassen lassen. Bei den numerischen Verfahren wird die Erfüllung der Differentialgleichung und der Randbedingungen nur an ausgewählten Punkten verlangt. Die Genauigkeit der Lösung reicht aus, wenn diese sogenannten Stützpunkte nahe genug beieinander liegen. Man erhält auch die Lösung nur für diese Punkte. Dazwischen ist zu interpolieren. Die oben genannten Unstetigkeiten lassen sich problemlos erfassen. Nachteilig ist dagegen, daß man keine allgemeine Lösung erhält, aus der sich z.B. der Einfluß einer bestimmten Größe, z.B. des Verhältnisses von Höhe zu Stützweite einer Einfeldscheibe, erkennen ließe. 3.8.2 Analytische Näherungen

Die Näherung kann zum einen darin bestehen, daß der Ansatz die Differentialgleichung exakt erfüllt, die Randbedingungen jedoch nur näherungsweise. Es besteht jedoch auch die umgekehrte Möglichkeit. Beide Varianten werden im folgenden näher behandelt. 3.8.2.1 Der Ansatz erfüllt die Differentialgleichung

Der Ansatz setzt sich gemäß f ( x , y) = ∑ a n ⋅ f n ( x , y) n

(3.8.1)

3.8 Näherungslösungen der Scheiben- und der Plattengleichung (Übersicht)

149

aus einer Summe biharmonischer Funktionen zusammen. Jede der Funktionen erfüllt die Differentialgleichung, die Randbedingungen werden jedoch durch f(x,y) nicht exakt befriedigt. Die Freiwerte an sind so zu bestimmen, daß die Summe S der Fehlerquadrate am Rand ein Minimum annimmt.

s Bild 3.8-1:

t

Scheibe mit Randkoordinaten

Als Beispiel wird die in Bild 3.8-1 dargestellte Scheibe mit den Randkoordinaten s und t gewählt. Die Differentialgleichung lautet ΔΔF = 0, der Ansatz entsprechend (3.8.1) f ( x, y) = ∑ a n ⋅ Fn ( x , y) .

(3.8.2)

n

Als Randbedingungen seien am gesamten Rand die Spannungen σs und τst vorgegeben. Die Näherungswerte der Randspannungen ergeben sich nach (2.2.7) aus σs =

∂ 2F ∂t 2

,

τst = −

Rand

∂ 2F ∂s∂t

.

(3.8.3)

dt .

(3.8.4)

Rand

Damit erhält man als Summe der Fehlerquadrate S= ∫

Rand

[(σ

s

− σs )2 + (τ st − τst )2

]

Beim Minimum von S verschwinden die partiellen Ableitungen von S nach sämtlichen Konstanten an. Diese ergeben sich demnach aus dem linearen Gleichungssystem ∂S =0. ∂a n

(3.8.5)

Das beschriebene Verfahren entspricht dem Vorgehen in Abschnitt 2.6.2, wo bei einer Rechteckscheibe statt der wirklichen Randbelastung deren Näherung in Form einer FOURIER-Reihe berücksichtigt wurde.

150

3 Die Plattentheorie

Als weiteres Beispiel wird eine fest eingespannte Platte betrachtet. Der Grundriß mit seinen Randkoordinaten entspreche Bild 3.8-1. Der Ansatz für die Differentialgleichung ΔΔw = p/K lautet entsprechend (3.8.1) w ( x , y) = ∑ a n ⋅ w n ( x , y ) + w p ( x , y ) .

(3.8.6)

n

Dabei mußte die partikuläre Lösung wp(x,y) hinzugefügt werden. Die Näherungswerte der Randverformungen lauten w = w Rand , ϕ =

∂w ∂s

.

(3.8.7)

Rand

Daraus ergibt sich für die Summe der Fehlerquadrate S= ∫

Rand

[(w / w

0

)2 + (ϕ / ϕ 0 )2 ]

dt .

(3.8.8)

Da w und ϕ unterschiedliche Dimensionen aufweisen, muß hier mit bezogenen Werten gerechnet werden. Als Bezugsgrößen w0 und ϕ0 sind sinnvoll gewählte Vergleichsgrößen zu wählen, z.B. die Mittendurchbiegung und die Randverdrehung einer flächengleichen, gelenkig gelagerten Kreisplatte. Für die Konstanten an gilt auch hier das Gleichungssystem (3.8.5). 3.8.2.2 Der Ansatz befriedigt die Randbedingungen

Der Ansatz setzt sich gemäß f ( x , y ) = f 0 ( x , y ) + ∑ a n ⋅ f n ( x , y)

(3.8.9)

n

aus zwei Termen zusammen. Die Funktion f0(x,y) befriedigt diejenigen Randbedingungen, die ungleich Null sind, während die Funktionen fn(x,y) einer Nullrandbelastung entsprechen. Weder f0(x,y) noch die fn(x,y) erfüllen die Differentialgleichung. Die Freiwerte an ergeben sich aus der Bedingung, daß die Summe der Fehlerquadrate in der gesamten Scheibe oder Platte minimal wird. Für eine Platte wäre beispielsweise entsprechend (3.8.9) der Ansatz w ( x , y) = w 0 ( x , y) + ∑ a n ⋅ w n ( x , y)

(3.8.10)

n

zu wählen. Wenn die Platte voll mit p = const. belastet ist, wird 2

p⎞ ⎛ S = ∫ ⎜ ΔΔw − ⎟ dA K ⎠ Platte ⎝

Die Konstanten an ergeben sich aus (3.8.5).

(3.8.11)

3.8 Näherungslösungen der Scheiben- und der Plattengleichung (Übersicht)

151

In Abschnitt 3.3.2 wurde eine Rechteckplatte mit dem Ansatz (3.8.10) behandelt, wobei jedoch die Werte an wegen der gelenkigen Lagerung gleich Null wurden. 3.8.3 Numerische Lösungen

Zur Anwendung numerischer Rechenverfahren wird das Kontinuum der Scheibe oder Platte durch eine Schar diskreter Punkte ersetzt, die in einem Raster angeordnet sind. Dieses ist so fein zu wählen, daß bei der Lösung eine ausreichende Genauigkeit erzielt wird. 3.8.3.1 Differenzenverfahren

Beim gewöhnlichen Differenzenverfahren werden die Differentialquotienten in der Differentialgleichung näherungsweise durch Differenzenquotienten ersetzt, z.B. w ′( x ) =

1 [w (x + Δx ) − w (x − Δx )] 2Δx

(3.8.12)

Darin ist Δx die äquidistante Rasterweite in x-Richtung. Das erste Fehlerglied von (3.8.12) lautet −

1 (Δx ) 2 ⋅ w ′′′( x ) . 6

Der Näherungsausdruck ist demnach für quadratische Funktionen genau. (3.8.12) mit seinem ersten Fehlerglied läßt sich auch in der anschaulicheren Form w′ =

1 −1 2h

0

1 w−

1 2 h w ′′′ 6

(3.8.13)

schreiben, wobei Δx = h gesetzt wurde und die Stellung der Koeffizienten der Lage der entsprechenden Stützstellen entspricht. Der eingerahmte Koeffizient gilt für dieselbe Stelle wie der Differenzenquotient. Die höheren eindimensionalen Differenzenquotienten lauten z.B. nach COLLATZ [1.18] und SZILARD [1.10] w ′′ =

w ′′′ =

1 h

2

1

1 −1 2 2h 3

−2

0

1 w−

1 2 h w ′′′′ , 12

−2 1 w−

1 2 V h w , 4

(3.8.14)

(3.8.15)

152

3 Die Plattentheorie

w ′′′′ =

1 1 −4 h4

6

−4 1 w−

1 2 VI h w . 6

(3.8.16)

Zur Berechnung zweidimensionaler Kontinua wie Scheiben und Platten werden auch die gemischten Ableitungen 1 w′ = 4ab ⋅

−1 0 1

0 0 0

1 1 1 ⋅⋅ 0 w und w ′′ = 2 2 − 2 a b 1 −1

−2 4 −2

1 − 2 w (3.8.17) −1

benötigt. Darin ist a = Δx und b = Δy. Für a = b erhält man mit (3.8.16) und (3.8.17)

ΔΔw = w ′′′′ + 2 w ′′⋅⋅ + w ⋅⋅⋅⋅

0 0 0 2 1 = 4 1 −8 a 0 2 0 0

1 −8 20 −8 1

0 2 −8 2 0

0 0 1 w. 0 0

(3.8.18)

Indem man für jeden Rasterpunkt unter Verwendung dieser Differenzenausdrücke und der Differentialgleichung eine Differenzengleichung aufstellt, erhält man ein lineares Gleichungssystem für die gesuchten Funktionswerte F bzw. w. Die aus den Funktionen F und w durch Differentiation herzuleitenden Größen, wie z.B. σx und mx, ergeben sich auch mittels der angegebenen Differenzenquotienten. Als Beispiel wird hier eine quadratische, allseitig gelenkige Platte unter Gleichlast behandelt. Die Rasterweite soll a = b = ℓ/4 betragen. Die Querdehnzahl wird gleich Null gesetzt. Die Anordnung der Stützstellen ist aus Bild 3.8-2 zu ersehen. Die Doppelsymmetrie wurde durch entsprechende Numerierung der Rasterpunkte berücksichtigt. Die Randbedingungen werden bereits bei der Aufstellung der Differenzengleichungen eingearbeitet. Nach (3.2.13) gilt beispielsweise am linken Rand mit (3.8.14) mx(0)= - K⋅w´´(0) = - K [w(-a) – 2 w(0) + w(a)] = 0. Da w auf dem Rand verschwindet, folgt aus vorstehender Gleichung, daß die Funktionswerte w in den Außenpunkten denen der entsprechenden Innenpunkte negativ gleich sind.

3.8 Näherungslösungen der Scheiben- und der Plattengleichung (Übersicht)

3

-3

-2

153

-3

x y 3

2

3

-2 2

1

2

-3 3

2

3

l = 4 a

-3

l = 4 a Bild 3.8-2:

Quadratische Platte mit Stützstellenraster

Für die Punkte 1 bis 3 erhält man mit (3.8.18) die Differenzengleichungen 20 w1 − 8 ⋅ 4w 2 + 2 ⋅ 4 w 3 = pa 4 / K 20 w 2 − 8(2 w 3 + w1 ) + 2 ⋅ 2w 2 + 1(− w 2 + w 2 ) = pa 4 / K 20 w 3 − 8 ⋅ 2 w 2 + 2 ⋅ w1 + 1(2w 3 − 2w 3 ) = pa 4 / K

mit der Lösung w1 = 1,031 pa 4 / K, w 2 = 0,750 pa 4 / K, w 3 = 0,547 pa 4 / K.

Die Mittendurchbiegung beträgt demnach max w = w1 =

1,031 4 pl / K = 0,00403 pl 4 / K 44

und weicht kaum vom genauen Wert 0,00406 pℓ4/K ab (vgl. Abschnitt 3.3.2.4). Des weiteren ergeben sich nach (3.2.13) und (3.2.15) unter Verwendung der entsprechenden Differenzenausdrücke (3.8.14) und (3.8.17) die maximalen Feld- und Drillmomente für μ = 0 zu max m x = −K ⋅

1 pl 2 ( 2 w 2 w ) − = 2 1 28,4 a2

max m xy = + K ⋅

1 pl 2 4 w ⋅ = 3 29,3 4a 2

statt

pl 2 , 27,2

statt

pl 2 . 21,6

Wie man aus den Abweichungen von den genauen Werten (siehe Tafel 2) erkennt, wäre eine feinere Rasterteilung erforderlich gewesen, um verwertbare Ergebnisse zu erhalten.

154

3 Die Plattentheorie

Eine Verbesserung des gewöhnlichen Differenzenverfahrens stellt das Mehrstellenverfahren dar, bei dem statt der Differenzenquotienten sogenannte Mehrstellenausdrücke verwendet werden. Diese fassen die Ableitungen an mehreren Rasterpunkten zusammen und drücken sie durch die Funktionswerte benachbarter Punkte aus. Die genannten Ableitungen werden mit Hilfe der Differentialgleichung eliminiert. Deshalb erfüllt jede Mehrstellengleichung die Differentialgleichung an mehreren Stellen. Die Genauigkeit ist größer als beim gewöhnlichen Differenzenverfahren. Hier wird nicht weiter auf diese Methode eingegangen. Sie ist im einzelnen z.B. in [1.10] beschrieben. Nach dem Mehrstellenverfahren hätte man für das oben behandelte Beispiel mit ebenfalls drei Gleichungen die Lösung w1 = 1,038 pa 4 / K, w 2 = 0,750 pa 4 / K, w 3 = 0,544 pa 4 / K

gefunden. Daraus folgen max w = 0,00405 pa 4 / K, max m x =

pl 2 pl 2 , max m xy = . 27,8 29,4

Man erkennt den Gewinn an Genauigkeit in Feldmitte gegenüber den Ergebnissen nach dem gewöhnlichen Differenzenverfahren. 3.8.3.2 Die Methode der finiten Elemente

Die Methode der finiten Elemente stellt das wichtigste Näherungsverfahren zur Lösung von Kontinuumsproblemen dar. Sie geht von dem Grundgedanken aus, das Gesamttragwerk in einzelne, endliche Teile einfacher Geometrie, die sogenannten finiten Elemente, zu unterteilen, die in Knotenpunkten miteinander verbunden sind. Diese Elemente, die z.B. Dreieck- oder Viereckform haben, sind – auch in ihrer Kombination – einfacher zu behandeln als das Tragwerk als Ganzes. Das Verfahren geht nicht von der Differentialgleichung des zu behandelnden Problems aus, sondern vom Minimum der Formänderungsarbeit. Auf dieser Grundlage werden die Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Elementtypen entwickelt. Die Näherung besteht darin, daß an den Elementrändern zwischen den Knoten die Verletzung des Gleichgewichts oder der geometrischen Verträglichkeit zugelassen wird. Innerhalb der Elemente wird mit Funktionen gearbeitet. Zur Berechnung der Formänderungen an den Knoten dient ein Gleichungssystem. Insofern stellt das Verfahren eine Kombination von analytischer und numerischer Berechnung dar.

3.8 Näherungslösungen der Scheiben- und der Plattengleichung (Übersicht)

155

Die Grundgleichung des Verfahrens lautet F = K ⋅d .

(3.8.19)

Darin ist F der Lastvektor, K die Steifigkeitsmatrix und d der Verformungsvektor. Da bei Scheiben zwei und bei Platten mindestens drei unbekannte Formänderungen je Knoten zu berechnen sind, entstehen große Gleichungssysteme. Die Methode der finiten Elemente wird in einer großen Anzahl von Lehrbüchern und praxisorientierten Werken ausführlich dargestellt. Empfohlen seien HAHN [1.13] und ZIENKIEWICZ [1.11]. 3.8.3.3 Die Methode der Randelemente

Die Methode der Randelemente geht von einer analytischen Lösung für ein unendlich großes Kontinuum aus und formuliert ein Gleichungssystem zur Erfüllung der Randbedingungen in ausgewählten Knoten. Es braucht also nicht das gesamte Kontinuum diskretisiert zu werden, sondern lediglich der Rand. Deshalb wird das zu lösende Gleichungssystem wesentlich kleiner als bei der Methode der finiten Elemente. Ebenso wie diese ist die Methode der Randelemente auf Stäbe, Scheiben, Platten und Körper anwendbar. Zur Einarbeitung in das Verfahren eignet sich besonders HARTMANN [1.15].

4 Der Kreisring unter rotationssymmetrischer Belastung

4.1 Allgemeines

R in g tr ä g e r

D r u c k r in g

Z u g r in g

a

b

Bild 4.1-1:

c

Beispiele für Kreisringe als Konstruktionselemente rotationssymmetrischer Flächentragwerke

Der Kreisring ist ein häufig verwendetes Konstruktionselement bei zusammengesetzten, rotationssymmetrischen Flächentragwerken. In Bild 4.1-1 werden drei Beispiele gezeigt. M y R S a Bild 4.1-2:

S S

A z Rotationssymmetrische Grundlastfälle am Kreisring

158

4 Der Kreisring unter rotationssymmetrischer Belastung

Der dargestellte Kreisringträger auf Einzelstützen (c) wird hier nicht behandelt, da er nicht ausschließlich rotationssymmetrisch beansprucht ist. Zunächst werden nur die beiden Lastfälle nach Bild 4.1-2 untersucht, wobei RS und MS auf die Ringachse bezogen sind. Die Querschnittsform ist beliebig. S stellt den Schwerpunkt, A die Fläche des Ringquerschnitts dar.

4.2 Lastfall Radialkraft RS Die Radialkraft RS = const. wirkt in der Ringebene und kann deshalb nur die Schnittgrößen N und Mz wecken, da Qy aus Symmetriegründen verschwindet. Die Normalkraft N ergibt sich nach Bild 4.2-1 aus der Gleichgewichtsbedingung ΣH = 0 oder ΣV = 0 am Viertelkreis. N M

R S

z

a

J M

Bild 4.2-1:

z

N

Viertelkreis mit Radialkraft RS und resultierenden Schnittgrößen N und Mz

π/ 2

ΣH = − N + ∫ R S ⋅ cos ϑ ⋅ adϑ = 0 0

Daraus erhält man π/2

N = R S a sin ϑ 0

= RS ⋅ a ,

(4.2.1)

ein Ergebnis, das als Gleichung (2.5.32) bereits an der schmalen Kreisringscheibe hergeleitet wurde. Aus der Beziehung ΔU = 2πa ⋅ ε = 2πa

ergibt sich die Radialverformung

N = 2πΔr EA

4.3 Lastfall Krempelmoment MS

Δr =

Na R S a 2 = , EA EA

159

(4.2.2)

die der Gleichung (2.5.33) entspricht. Die elastische Vergrößerung des Radius hat die Krümmungsänderung κ=

R 1 1 Δr Δr − =− ≈− =− S 2 a + Δr a a (a + Δr ) EA a

zur Folge, die das Biegemoment I M z = EI z ⋅ κ = −R S z A

(4.2.3)

erzeugt. Mz kann in der Regel vernachlässigt werden. Für einen Rechteckquerschnitt mit der Höhe h gilt beispielsweise Iz hb 3 b2 = = A 12 ⋅ bh 12

und Wz =

Iz Ab = . b/2 6

Damit ergeben sich die Umfangsspannungen an der Innen- und Außenseite des Ringes zu σ i,a =

N Mz N b2 6 N⎛ b ⎞ m = ± RS ⋅ ⋅ = ⎜1 ± ⎟ . A Wz A 12 Ab A ⎝ 2a ⎠

Für das Verhältnis b/a = 1/10 beträgt beispielsweise die Abweichung von der Spannung im Schwerpunkt ± 5 %.

4.3 Lastfall Krempelmoment MS

M y

M

a J M Bild 4.3-1:

S

y

Viertelkreis mit Krempelmoment MS und resultierender Schnittgröße My

160

4 Der Kreisring unter rotationssymmetrischer Belastung

Das Krempelmoment MS = const. will den Ring aus seiner Ebene heraus verformen. Es stellt also die Belastung eines ebenen Systems senkrecht zu seiner Ebene dar und erzeugt als einzige Schnittgröße das Biegemoment My. Die Querkraft Qz und das Torsionsmoment Mx sind nämlich aus Symmetriegründen gleich Null. Am Viertelkreis (siehe Bild 4.3-1) lautet das Momentengleichgewicht um eine horizontale Achse π/ 2

ΣM H = −M y + ∫ M S ⋅ sin ϑ ⋅ adϑ 0

Daraus erhält man π/2

M y = −M S a cosϑ 0

= MS ⋅ a .

(4.3.1)

Zur Berechnung der Verdrehung ϕ des Ringes um seine Achse wird wie bei der Herleitung von Gleichung (3.5.22) vorgegangen. Hierzu muß zunächst das Moment My in die Richtungen der Hauptquerschnittsachsen η,ζ zerlegt werden (siehe Bild 4.3-2). M

h

a S

y z

Bild 4.3-2:

z

< 0 a

M A

z

M

y

S h

Hauptquerschnittsachen und Zerlegung von My

Man erhält M η = M y cos α = M S ⋅ a ⋅ cos α ,

M ζ = −M y sin α = −M S ⋅ a ⋅ sin α .

Dementsprechend erzeugt ein virtuelles Krempelmoment M S = 1 die Biegemomente M η = a ⋅ cos α ,

M ζ = −a ⋅ sin α .

Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit gilt dann ∫ M S ⋅ ϕds = ∫ und für die Verdrehung ergibt sich

MηMη EI η

ds + ∫

Mζ Mζ EI ζ

ds ,

4.4 Lastfall beliebige rotationssymmetrische Belastung

ϕ=

M Sa 2 E

⎛ cos 2 α sin 2 α ⎞ ⎟. ⎜ + ⎜ Iη I ζ ⎟⎠ ⎝

161

(4.3.2)

Falls die y-Achse eine Hauptachse des Querschnitts ist, vereinfacht sich (4.3.2) wegen α = 0 und Iη = Iy auf ϕ=

M Sa 2 . EI y

(4.3.3)

Da die Verdrehung durch Biegemomente verursacht wird, erfolgt sie um den Querschnittsschwerpunkt, d.h. nicht um den Schubmittelpunkt. Bei der Verdrehung um den Winkel ϕ erfährt jeder Punkt des Querschnitts die Radialverschiebung Δr = ϕ ⋅ z,

(4.3.4)

wie aus Bild 4.3-3 zu ersehen ist. Die Radialverschiebung ist unabhängig von der y-Koordinate des Punktes.

z D r u

Bild 4.3-3:

z

j

u

S y

D ru = j z u

Radialverschiebungen infolge der Querschnittsverdrehung ϕ

4.4 Lastfall beliebige rotationssymmetrische Belastung Das in Bild 4.4-1 dargestellte Lastbild läßt sich auf die beiden, zuvor behandelten Lastfälle RS und MS (siehe Bild 4.1-2) reduzieren. Die äußeren Kraftgrößen R, V und M sind auf den Kreis mit dem Radius a bezogen. Das Maß c ist positiv, wenn R unterhalb der Ringachse angreift. Die äquivalente Radialkraft RS ergibt sich, wenn man die Kraft R mit ihrer Wirkungslänge multipliziert und dieses Produkt durch die Länge der Ringachse dividiert:

162

4 Der Kreisring unter rotationssymmetrischer Belastung

RS =

R ⋅ 2πa a =R⋅ . 2πa a

(4.4.1)

V M

y z

c

R a a

Bild 4.4-1:

a

A L

Kreisring mit allgemeiner rotationssymmetrischer Belastung

Zum Moment MS tragen die Kräfte R, V und A sowie das Moment M bei. Um die Ringachse erzeugen sie insgesamt das tordierende Moment ΣM = [R ⋅ c + V ⋅ (a − a ) + M ] ⋅ 2πa + A ⋅ (a L − a ) ⋅ 2πa L .

Mit der aus dem Gleichgewicht in Vertikalrichtung folgenden Beziehung A = V⋅ a /aL ergibt sich daraus ΣM = [R ⋅ c + V ⋅ (a L − a ) + M ] ⋅ 2πa .

Dieses Gesamtmoment ist durch die Länge der Ringachse zu dividieren, um das äquivalente Krempelmoment M S = [R ⋅ c + V ⋅ (a L − a ) + M ] ⋅

a a

zu erhalten. Die Auflagerkraft tritt in dieser Gleichung nicht explizit auf.

z a a

Bild 4.4-2:

c

S y

S p a n n g lie d

Vorgespannter Kreisring

(4.4.2)

4.5 Der Kreisring mit Rechteckquerschnitt

163

Im Lastfall Vorspannung (siehe Bild 4.4-2) wird die der Vorspannkraft V entsprechende Umlenkkraft Rv = −

V a

als Belastung angesetzt. Die äquivalenten Lasten am Schwerpunkt S (siehe Bild 4.1-2) lauten dann RS = R v ⋅

a V =− a a

(4.4.3)

a Vc =− , a a

(4.4.4)

und MS = R v ⋅ c ⋅

unabhängig von dem Radius a des Spannglieds. Die Schnittgrößen und Verformungen des Rings ermittelt man mit den aus (4.4.1) bis (4.4.4) berechneten Größen RS und MS nach den Abschnitten 4.2 und 4.3.

4.5 Der Kreisring mit Rechteckquerschnitt Der in Bild 4.5-1 dargestellte Ring wird durch die Radialkraft R und das Krempelmoment M beansprucht. Deren Bezugslinie mit dem Radius a liegt um das Maß c unterhalb der Ringachse. Die Hauptachsen des Querschnitts stimmen mit dem Koordinatensystem y,z überein. Gesucht seien die Radialverschiebung eines beliebigen Punktes i und die Verdrehung des Ringes um seine Achse. Die Berechnung wird kommentarlos nach den Gleichungen (4.2.2), (4.3.3), (4.3.4), (4.4.1) und (4.4.2) durchgeführt. b D r

j s

A = bh

i

D r

Iy = i

c

z

z

h

i

S

a a Bild 4.5-1:

M

bh 3 12

R

Beispiel für die Berechnung von Ringverformungen

164

4 Der Kreisring unter rotationssymmetrischer Belastung

4.5.1 Lastfall R mit beliebigem Angriffspunkt a a R S = R ; M S = Rc a a ϕ=

M S a 2 12Rcaa = EI y Ebh 3

Δri = ΔrS + ϕ ⋅ z i =

R S a 2 12Rcaa Raa ⎛ 12cz i ⎜1 + + zi = 3 Ebh Ebh ⎜⎝ h2 Ebh

⎞ ⎟⎟ ⎠

Für die Unterkante des Ringquerschnitts wird mit zi = h/2: Δru =

Raa ⎛ 6c ⎞ ⎜1 + ⎟ Ebh ⎝ h ⎠

(vgl. Tafel 14).

4.5.2 Lastfall M mit beliebigem Angriffspunkt

R S = 0; M S = M ϕ=

a a

M S a 2 12Maa = EI y Ebh 3

Δri = ϕ ⋅ z i =

12Maa Ebh 3

zi

4.5.3 Lösungen für ausgewählte Angriffspunkte von R und M

Für einige ausgewählte Lastfälle bzw. Lastangriffspunkte wurden die Schnittgrößen des Kreisrings, die Radialverschiebungen der Unter- und Oberkante sowie die Querschnittsverdrehung in Tafel 14 zusammengestellt.

4.6 Der Kreisring mit einfach symmetrischem Querschnitt Bild 4.6-1 zeigt mehrere einfach symmetrische Ringquerschnitte, deren Hauptachsen mit dem y-z-System zusammenfallen.

4.6 Der Kreisring mit einfach symmetrischem Querschnitt

Bild 4.6-1:

165

Beispiele für einfach symmetrische Kreisringquerschnitte

h /3

2 d

3 gp

Für die Verformungsberechnung dieser Ringe werden die Querschnittswerte A und Iy benötigt. Diese sind in Bild 4.6-2 für Teilflächen in Rechteck-, Dreieck-, Kreis- und Halbkreisform angegeben.

h /2

h

h

h

Querschnitt b

A

bh

Iy

1 bh 3 12

Bild 4.6-2:

b

b

1 bh 2 1 bh 3 36

1 bh 2 1 bh 3 48

d

d

π 2 d 4 π 4 d 64

π 2 d 8 1⎛ π 1 ⎞ 4 ⎜ − ⎟d 2 ⎝ 64 9π ⎠

Querschnittswerte für Teilflächen

Die Gesamtfläche A erhält man entsprechend A = ∑ Ai

(4.6.1)

i

als Summe der Teilflächen Ai. In einem zu den Koordinaten parallelen Hilfssystem y, z ergibt sich die Lage des Schwerpunkts S aus zS =

1 ∑ Ai zi . A i

(4.6.2)

Das Gesamtträgheitsmoment Iy setzt sich nach dem Satz von STEINER

(

) [

I y = ∑ I yi + A i ⋅ z i2 = ∑ I yi + A i (z i − z S )2 i

i

]

(4.6.3)

aus den Iyi der Teilflächen und den Produkten aus Teilfläche und Abstandsquadrat von der y-Achse zusammen. In dem folgende Beispiel sollen die lastunabhängigen Formänderungswerte δik für einen Ring ermittelt werden, der eine Platte und eine Zylinderschale biegesteif miteinander verbindet (siehe Bild 4.6-3). Das System ist vierfach statisch unbe-

166

4 Der Kreisring unter rotationssymmetrischer Belastung

stimmt. Statt der statisch Unbestimmten Xi werden die äquivalenten Größen RSi und MSi angesetzt.

K r e is p la tte

1

R

z 1

a = 5 ,0 0 a = 5 ,2 5

Bild 4.6-3:

S y

S

X

S

2 4

X

0 ,5 0

0 ,3 0

2

M

0 ,3 0

X

X

0 ,3 6 6 7

0 ,1 5 0 ,0 8 3 3

Z y lin d e r

z

0 ,2 3 3 3

y R in g

3

[m ]

Einfach symmetrischer Ring als Berechnungsbeispiel

Die Querschnittswerte werden tabellarisch nach den Gleichungen (4.6.1) bis (4.6.3) ermittelt. Teilfläche 1 2 Σ

bi

hi

Ai

0,50 0,50

0,30 0,30

0,075 0,150 0,225

zS =

zi

A i ⋅ z i z i = z S − z i 103 ⋅ I yi 10 3 ⋅ A i ⋅ z i2

0,20 0,0150 0,45 0,0675 0,0825

0,1667 -0,0833

0,375 1,125 1,500

2,083 1,042 3,125

0,0825 1 = 0,3667 m; I y1 = ⋅ 0,50 ⋅ 0,30 3 = 0,375 ⋅ 10 −3 ; 0,225 36 1 I y2 = ⋅ 0,50 ⋅ 0,30 3 = 1,125 ⋅ 10 −3 12

A = 0,225 m 2 ; I y = (1,500 + 3,125) ⋅ 10 −3 = 4,625 ⋅ 10 −3 m 4 Damit ergeben sich aus (4.2.2) und (4.3.3) für RS = 1 und MS = 1 die Formänderungen EΔrS =

1⋅ a 2 1⋅ a 2 = 122,5; Eϕ = = 5.959,5 . A Iy

Unter Verwendung von (4.3.4) erhält man für die Verschiebungen bzw. Verdrehungen der Angriffspunkte der vier Xi

4.6 Der Kreisring mit einfach symmetrischem Querschnitt

Lastfall RS = 1 MS = 1

167

Eδ1

Eδ 2

Eδ3

Eδ 4

-122,5 -496,6

0 -5.959,5

+122,5 +1.390,5

0 +5.959,5

Die Kraft X1 = 1 ist laut (4.4.1) und (4.4.2) gleichwertig mit R S1 = −1 ⋅

5,00 5,00 = −0,9524 und M S1 = −1 ⋅ ⋅ 0,0833 = −0,0794 . 5,25 5,25

Daraus folgt mit den Zahlenwerten der vorstehenden Tabelle Eδ11

Eδ 21

Eδ31

Eδ 41

M S1 = −0,0794

+116,7 +39,4

0 +473,0

-116,7 -110,4

0 -473,0

Σ

+156,1

+473,0

-227,1

-473,0

Lastfall R S1 = −0,9524

Die Berechnung wird sinngemäß auch für die anderen drei Lastfälle Xi = 1 durchgeführt. X 2 = 1 → R S2 = 0 und M S2 = −1 ⋅

Lastfall M S2 = −0,9524

5,00 = −0,9524 . 5,25

Eδ12

Eδ 22

Eδ32

Eδ 42

+473,0

+5.675,7

-1.324,3

-5.675,7

X 3 = 1 → R S3 = +1 und M S3 = +1 ⋅ 0,2333 = 0,2333 . Eδ13

Eδ 23

Eδ33

Eδ 43

M S3 = +0,2333

-122,5 -115,9

0 -1.390,5

+122,5 +324,5

0 +1.390,5

Σ

-238,4

-1.390,5

+447,0

+1.390,5

Lastfall R S3 = 1

X 4 = 1 → R S4 = 0 und M S4 = +1 .

Lastfall M S4 = 1

Eδ14

Eδ 24

Eδ 34

Eδ 44

-496,6

-5.959,5

+1.390,5

+5.959,5

Wegen der unterschiedlichen Wirkungsradien gilt entsprechend (2.5.31) δ13 δ 23 δ14 δ 24 a = = = = = 1,05 . δ 31 δ 32 δ 41 δ 42 a

Bei δ12 und δ34 dagegen dürfen die Indizes vertauscht werden.

168

4 Der Kreisring unter rotationssymmetrischer Belastung

4.7 Der Kreisring mit unsymmetrischem Querschnitt Die Berechnung erfolgt, wie für den einfach symmetrischen Querschnitt gezeigt wurde. Der einzige Unterschied liegt in der Ermittlung der Verdrehung ϕ infolge MS = 1 nach (4.3.2) statt (4.3.3). Die Neigung α der Hauptachsen und die Hauptträgheitsmomente Iη, Iζ wird man in der Regel mit Hilfe eines Rechenprogramms bestimmen.

5 Rotationsschalen scher Belastung

unter

rotationssymmetri-

5.1 Allgemeines 5.1.1 Schalenformen

r z K u g e l r2 + z 2 = a r z

K e g e l r = a · z

Z y lin d e r r = c o n s t.

2

a r

z r

a r

z b

z

T o r o id a

(r - b )2 + z

Bild 5.1-1:

2

r = a 2

P a r a b o lo id z = a · r2 E llip s o id r2 (z - b )2 + = 1 a 2 b 2 K a te n o id z = c o s h a r - 1

H y p e r b o lo id z

r a

r 2

2

b

z 2

2

= 1

Gebräuchliche Rotationsschalen

Im Rahmen dieses Buches werden nur Rotationsschalen behandelt, die rotationssymmetrisch beansprucht sind. Die Rotationsachse wird deshalb stets lotrecht angenommen. Außerdem wird davon ausgegangen, daß die Schalen dünn sind,

170

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

d.h. daß die Wandstärke h klein ist im Verhältnis zu den anderen Abmessungen der Schale. Diese können dann für die Berechnung durch ihre Mittelfläche ersetzt werden. Die Geometrie dieser Mittelfläche entsteht durch Rotation einer Linie begrenzter Länge, der sogenannten Erzeugenden, um die Rotationsachse. Erzeugende, auch als Meridian bezeichnet, und Rotationsachse liegen dabei in derselben Ebene. Bild 5.1-1 zeigt einige Beispiele. Zur Beschreibung der Geometrie der Schalenmittelfläche reichen die beiden Koordinaten r, z aus. Zylinder- und Kegelschale besitzen eine gerade Erzeugende. Ist diese Teil eines Kreises, so entsteht eine Kugel- oder Torusschale, je nachdem, ob der Kreismittelpunkt auf der Rotationsachse liegt oder nicht. Des weiteren werden gelegentlich Paraboloid-, Ellipsoid-, Hyperboloid- und Katenoidschalen gebaut. Letztere sind nach dem Cosinus hyperbolicus geformt, der auch als Kettenlinie bezeichnet wird. 5.1.2 Spannungszustände in Schalen Wie in Abschnitt 1.5.2 schon kurz erläutert, wird bei der Tragwirkung von Schalen zwischen dem Membran- und dem Biegezustand unterschieden. Ersterer ist frei von Biegemomenten und Querkräften. Wie bei einer dünnen Membrane ohne Biegesteifigkeit treten nur Normal- und Schubspannungen auf, die in der Schalenfläche liegen. Bei der hier vorgenommenen Beschränkung auf rotationssymmetrische Beanspruchungen entfallen die Schubspannungen, so daß im Membranzustand nur die Meridianspannungen σϕ in Richtung der Erzeugenden und die Ringspannungen σϑ in Umfangsrichtung verbleiben. Die Spannungen sind über die Schalendicke h konstant und werden durch Multiplikation mit h zu bezogenen Kräften zusammengefaßt. Es gilt n ϕ = h ⋅ σϕ

und

nϑ = h ⋅ σϑ.

(5.1.1)

Die Normalspannungen senkrecht zur Schalenfläche aus der direkten Belastung sind wie bei Platten relativ klein und brauchen nicht berücksichtigt zu werden. In der Schale darf ein Membranspannungszustand vorausgesetzt werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: - Die Schalendicke h muß klein im Verhältnis zu den anderen Abmessungen der Schale sein. - Die Schalendicke und deren erste Ableitung müssen stetig sein. - Die beiden ersten Ableitungen der Erzeugenden müssen stetig sein. - Die Erzeugende darf nur im Schnittpunkt mit der vertikalen Rotationsachse horizontal verlaufen. - Die Belastungsfunktion und deren erste Ableitung müssen stetig sein. - Linienlasten und Auflagerkräfte an den Schalenrändern müssen zentrisch und tangential eingeleitet werden.

5.1 Allgemeines

171

- Die Verformungen der Schale müssen im Vergleich zur Schalendicke h klein bleiben. Die Membranlösung stellt selbst bei Einhaltung der sieben genannten Bedingungen nicht die exakte Lösung dar, da die elastischen Krümmungsänderungen mit Biegemomenten verbunden sind. Diese können jedoch im allgemeinen wegen der geringen Biegesteifigkeit der Schale vernachlässigt werden. Im Membranzustand sind also nur die beiden Normalkräfte nϕ und nϑ zu berechnen. Hierzu stehen die Gleichgewichtsbedingungen ΣV = 0 und ΣZ = 0 zur Verfügung, wenn unter Z die Kräfte senkrecht zur Schalenfläche verstanden werden. Das Problem ist demnach statisch bestimmt. Zur Berechnung der Membranlösung brauchen keine Formänderungsbetrachtungen angestellt zu werden. Die oben aufgeführten Bedingungen werden in der Praxis fast nie erfüllt. Dann dürfen die Biegemomente und Querkräfte der Schale nicht mehr vernachlässigt werden. Bild 5.1-2 zeigt hierfür einige Beispiele.

a b

h c R

d

a

e

W ic k e lv o rs p a n n u n g

E in z e ls p a n n g lie d

Bild 5.1-2:

f

Beispiele für biegebeanspruchte Schalen.

Die Auflagerkraft der Kuppel (a) wird nicht tangential eingeleitet. Am Fuß eines horizontal elastisch gelagerten Zylinders (b) entstehen bei einer Radialverformung Querkräfte. An Einspannungen und an biegesteifen Verbindungen unterschiedlicher Elemente (c) bzw. an Knickpunkten der Erzeugenden treten statisch Unbestimmte in Form von Biegemomenten und Horizontalkräften auf. Das gilt auch für Stellen, an denen die Krümmung des Meridians (d) oder die Belastung unstetig ist (e). In Höhe des Flüssigkeitsspiegels (f) ist die Ableitung der Belastungsfunktion unstetig, so daß auch hier ein Biegezustand entsteht.

172

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Wenn die in Bild 5.1-2 gezeigten Tragwerke an den Unstetigkeitsstellen aufgeschnitten und die dort vorhandenen Schnittgrößen R und M als statisch Unbestimmte angesetzt werden, treten die Störungen des Membranzustands nur an den Elementrändern auf. Dementsprechend werden in der Baustatik Membran- und Biegezustand immer getrennt behandelt. Die Membrankräfte der einzelnen Elemente erhält man nach der Membrantheorie (siehe Abschnitt 5.2) für die stetigen Lastfälle wie Eigengewicht, Schneelast, Innen- oder Außendruck und hydrostatischer Druck aus den Gleichgewichtsbedingungen. Mit Hilfe des HOOKEschen Gesetzes lassen sich dann die zugehörigen Verformungen ermitteln. Kontinuitätsgleichungen an den Schnittstellen liefern die statisch Unbestimmten R und M, deren Einfluß nach der Biegetheorie (siehe Abschnitt 5.3) zu verfolgen ist.

5.2 Die Membrantheorie 5.2.1 Allgemeine Berechnung der Membrankräfte

n

j

n

r j

V n

s in j j

n r

V j

n

n j

j

j

j

s in j

Bild 5.2-1:

Vertikalschnitt durch eine stehende und eine hängende Rotationsschale

In Bild 5.2-1 sei V die Summe aller Vertikallasten oberhalb bzw. unterhalb des Horizontalschnitts. An der Schnittstelle gibt r die Entfernung von der Rotationsachse und ϕ die Neigung des Meridians an. Die Meridiankraft nϕ ist als Zugkraft positiv. Für die stehende Schale lautet das Gleichgewicht in Vertikalrichtung ΣV = V + 2πrn ϕ sin ϕ = 0 .

(5.2.1)

Daraus folgt nϕ = −

V . 2πr sin ϕ

(5.2.2)

5.2 Die Membrantheorie

173

Dementsprechend gilt für die hängende Schale nϕ = +

V . 2πr sin ϕ

(5.2.3)

Die Gleichung der Ringkräfte nϑ wird an einem infinitesimalen Schalenelement hergeleitet (siehe Bild 5.2-2). V e r tik a ls c h n itt n Z

X

r r j

r

n j+ d n

J

j

n jd j

d j n j+ d n

r d J j

j

r j

n

d J j

n J d J · s in j

J

J

n Jd J j

J r

d j r

j

J

r X

d j

n

Bild 5.2-2:

n j

Z

d J

H o r iz o n ta ls c h n itt

n

n J

J

n Jd J

Infinitesimales Schalenelement mit äußeren und inneren Kräften

Der Kümmungsradius des Meridians wird mit rϕ bezeichnet. Der zweite Hauptkrümmungsradius rϑ, der die Krümmung in der zum Vertikalschnitt senkrechten Ebene beschreibt, ist gleich der Länge der Mantellinie des Normalenkegels. Die Kantenlängen des betrachteten Elements betragen an der Oberkante r ⋅ dϑ, an der Unterkante (r + dr) ⋅ dϑ und im Vertikalschnitt rϕ ⋅ dϕ. Die Flächenbelastung des Elements wird in die Komponenten X und Z zerlegt, wobei Z senkrecht zur Schalenfläche wirkt und nach innen positiv definiert ist. Die am oberen und unteren Rand angreifenden Meridiankräfte werden zu der Resultierenden nϕ ⋅ dϕ zusammengefaßt, die parallel zu Z wirkt. Dabei dürfen die Größen dr und dnϕ vernachlässigt werden, da ihr Einfluß von zweiter Ordnung klein ist. Die Resultierende der beiden Ringkräfte nϑ liegt horizontal. Hier interessiert nur der Anteil nϑ dϑ ⋅ sin ϕ senkrecht zur Schalenfläche. Damit läßt sich das Gleichgewicht senkrecht zur Schalenfläche formulieren: ΣZ = Z ⋅ rϕdϕ ⋅ r dϑ + n ϕdϕ ⋅ r dϑ + n ϑdϑ sin ϕ ⋅ rϕ dϕ = 0 .

(5.2.4)

174

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Mit r = rϑ sinϕ folgt hieraus nϕ rϕ

+

nϑ +Z=0. rϑ

(5.2.5)

Diese Gleichung wird nach nϑ aufgelöst: ⎛ ⎞ r n ϑ = − ⎜ rϑ Z + ϑ n ϕ ⎟ . ⎜ ⎟ rϕ ⎝ ⎠

(5.2.6)

Nachdem nϕ aus (5.2.2) oder (5.2.3) berechnet wurde, erhält man nϑ aus (5.2.6). Ebenso wie bei nϕ kehrt sich bei Z für von der Schwerkraft abhängende Lastfälle das Vorzeichen um, wenn man eine hängende statt einer stehenden Schale betrachtet. Deshalb gilt dies auch für nϑ. Gleichung (5.2.6) besteht aus zwei Termen. Der erste resultiert aus dem Lastanteil senkrecht zur Schalenfläche, der zweite aus der Umlenkung der Meridiankräfte. Letzterer entfällt, wenn die Erzeugende wie z.B. bei der Kegelschale nicht gekrümmt ist. 5.2.2 Allgemeine Berechnung der Membranverformungen Bild 5.2-3 zeigt ein Schalenelement in unverformtem und verformtem Zustand.

D r y j

rj d j

r

r

r

J

d j j

(1 + ej

) r j d j

u

w

u + d u

Bild 5.2-3:

Infinitesimales Schalenelement in unverformtem und verformtem Zustand

w + d w

j

Die Verschiebungen eines Schalenpunktes senkrecht und parallel zur unverformten Erzeugenden werden mit w bzw. u bezeichnet. Diese interessieren in der Regel nicht. Zur Berechnung statisch unbestimmter Schalen werden jedoch die Radialverschiebung Δr und die Meridianverdrehung ψ benötigt. Deren Gleichungen werden im folgenden hergeleitet.

5.2 Die Membrantheorie

175

Die Radialverschiebung Δr läßt sich durch die Umfangsdehnung εϑ ausdrücken: Aus εϑ =

2πΔr 2πr

ergibt sich Δr = r ⋅ ε ϑ .

(5.2.7)

Die Meridianverdrehung ψ setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, der Drehung - u/rϕ aus der Verschiebung u entgegen der positiven Richtung von ψ und der Drehung dw/(rϕdϕ) infolge der unterschiedlichen Verschiebung der beiden Elementenden senkrecht zur Schalenfläche. Demnach gilt ψ=

1 rϕ

⎛ dw ⎞ 1 ⎜⎜ − u + ⎟ = (w ′ − u ) , dϕ ⎟⎠ rϕ ⎝

(5.2.8)

wenn die Ableitung nach ϕ durch einen Kopfstrich gekennzeichnet wird. Zur Eliminierung der beiden unbekannten Funktionen u und w aus (5.2.8) werden die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen benötigt. Diese ergeben sich mittels zweier Betrachtungen aus Bild 5.2-3. Die Radialverschiebung Δr ist gleich der Summe der Projektionen von u und w in die Horizontale: Δr = u ⋅ cos ϕ + w ⋅ sin ϕ

Mit (5.2.7) und mit r = rϑ ⋅ sinϕ folgt hieraus εϑ =

1 (u ⋅ cot ϕ + w ) . rϑ

(5.2.9)

Auch die zweite Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung erhält man aus einem Längenvergleich:

(1 + ε ϕ ) rϕ dϕ + u = rϕ dϕ + (u + du ) + wdϕ . Die Länge des verformten Elements plus Verschiebung u ist gleich der Länge des unverformten Elements plus Verschiebung (u+du), wobei noch der Term w⋅dϕ hinzugefügt werden muß, da w und (w+dw) nicht parallel sind. Die Gleichung läßt sich wie folgt vereinfachen: εϕ =

1 rϕ

⎛ du ⎞ 1 ⎜⎜ + w ⎟⎟ = (u ′ + w ) . d ϕ ⎝ ⎠ rϕ

(5.2.10)

176

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Nun sind die beiden Größen u und w‘ in (5.2.8) mittels der Gleichungen (5.2.9) und (5.2.10) durch die Dehnungen zu ersetzen. Zunächst erhält man (a)

ε ϕ rϕ = u ′ + w ,

(b)

ε ϑ rϑ = u cot ϕ + w

und durch Subtraktion

ε ϕ rϕ − ε ϑ rϑ = u ′ − u cot ϕ .

(c)

Wird (b) nach ϕ differenziert, so ergibt sich w ′ = (ε ϑ rϑ )′ − u ′ cot ϕ +

(d)

u , sin 2 ϕ

worin u´ aus (c) eingesetzt werden kann, so daß

(

)

w ′ = (ε ϑ rϑ )′ − ε ϕ rϕ − ε ϑ rϑ cot ϕ + u

(e)

folgt. Diese Beziehung wird in (5.2.8) verwendet. Die Gleichung der Meridianverdrehung lautet dann schließlich ⎛ r ⎞ 1 d (ε ϑrϑ ) . ψ = ⎜ ε ϑ ϑ − ε ϕ ⎟ cot ϕ + ⎜ rϕ ⎟ rϕ dϕ ⎝ ⎠

(5.2.11)

Für die Dehnungen in (5.2.7) und (5.2.11) gilt nach dem HOOKEschen Gesetz εϕ =

(

1 n ϕ − μn ϑ Eh

)

(

)

1 n ϑ − μn ϕ . Eh

εϑ =

und

(5.2.12)

In diese Gleichungen sind die nach Abschnitt 5.2.1 berechneten Membrankräfte einzusetzen. 5.2.3 Zylinderschalen

z ,w

d x

a

l

x ,u

n

n x

J

a

a d J

h M itte lflä c h e Bild 5.2-4:

Zylinderschale

n x+ d n x

n J

5.2 Die Membrantheorie

177

In Bild 5.2-4 ist eine Zylinderschale mit Bezeichnung ihrer Abmessungen, Koordinaten, Schnittkräfte und Verformungen dargestellt. Als rotationssymmetrische Membranbeanspruchungen kommen neben dem Eigengewicht radiale Flächenlasten und vertikale Randlasten in Frage (siehe Bild 5.2-5). Z

V 0

g = g bh 0

x 0

+ g fx

l

Z = Z

h

a Bild 5.2-5:

Stehende Zylinderschale mit rotationssymmetrischer Belastung

Die Membrankräfte ergeben sich für die stehende Schale aus (5.2.2) und (5.2.6). Diese Gleichungen vereinfachen sich für den Zylinder wegen r = rϑ = a, ϕ = π/2 und rϕ = ∞ auf nx = −

V 2πa

und n ϑ = +a ⋅ Z .

(5.2.13)

Dabei wurde berücksichtigt, daß Z hier nach außen positiv definiert ist und daß die Meridiankraft den Index x trägt, entsprechend der Koordinate in Zylinderlängsrichtung. Wird mit g = γbh das Flächengewicht der Zylinderwandung und mit γf das Raumgewicht einer Flüssigkeitsfüllung bezeichnet, so gilt für die Stelle x V( x ) = 2πa (V0 + g ⋅ x ) und Z( x ) = Z 0 + γ f ⋅ x .

Damit lauten die Membrankräfte des stehenden Zylinders n x = −(V0 + g ⋅ x ) ,

(5.2.14)

n ϑ = +a (Z0 + γ f ⋅ x ) .

(5.2.15)

Die Verformungen Δr und ψ folgen mit (5.2.12) aus (5.2.7) und (5.2.11): Δr = w = a ⋅ ε ϑ =

a (n ϑ − μn x ) , Eh

178

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

ψ=

1 d dw . (aε ϑ ) = rϕ dϕ dx

Dabei wurde berücksichtigt, dass für die Zylinderlängsrichtung rφ·dφ = dx gilt. Mit (5.2.14) und (5.2.15) erhält man schließlich Δr =

a [a (Z0 + γ f x ) + μ(V0 + gx )] , Eh

(5.2.16)

a (aγ f + μg ) . Eh

(5.2.17)

ψ=

Die Schnittgrößen und die Randverformungen nach den Gleichungen (5.2.14) bis (5.2.17) sind in Tafel 15 zusammengestellt. Der Zylinder erfährt bei seiner Beanspruchung auch eine Längenänderung. Diese ergibt sich durch Integration aus der Längsdehnung: εx =

1 (n x − μn ϑ ) = 1 [− V0 − gx − μa (Z0 + γ f x )] . Eh Eh

Die gesamte Längenänderung Δℓ beträgt l

Δl = ∫ ε x dx = 0

1 ⎛ 1 2 1 2⎞ ⎜ − V0 l − gl − μaZ 0 l − μaγ f l ⎟ . Eh ⎝ 2 2 ⎠

(5.2.18)

Diese Größe ist nur dann von Belang für die Schnittgrößen, wenn die Zylinderlängskräfte statisch unbestimmt sind. X 1

x

X 3

X 2

h

a Bild 5.2-6:

Zylinderschale mit drei statisch Unbestimmten am oberen Rand

Greifen am oberen Rand, wie in Bild 5.2-6 gezeigt, die statisch Unbestimmten X1 bis X3 an, so gilt für X1 = 1 entsprechend Vo = -1 nach (5.2.16) bis (5.2.18)

5.2 Die Membrantheorie

δ11 = Δl =

l , Eh

δ 21 = Δr = −

μa , Eh

179

δ31 = −ψ = 0 .

5.2.4 Kugel- und Kugelzonenschalen

h

j j

o

j u

a r

Bild 5.2-7:

Stehende Kugelzonenschale

Für Kugel- und Kugelzonenschalen (siehe Bild 5.2-7) gilt rϕ = rϑ = a und r = a sin ϕ . Damit erhält man aus (5.2.2) und (5.2.6) für unten gelagerte Schalen die Membrankräfte V , 2πa sin 2 ϕ

(5.2.19)

n ϑ = −(aZ + n ϕ ) .

(5.2.20)

nϕ = −

Die Verformungen ergeben sich nach (5.2.7) und (5.2.11) mit (5.2.12) aus Δr = a sin ϕ ε ϑ =

(

)

ψ = ε ϑ − ε ϕ cot ϕ +

(

(

)

a sin ϕ n ϑ − μn ϕ , Eh

(5.2.21)

d εϑ dϕ

)

(

)

⎤ 1 ⎡ d n ϑ − μn ϕ ⎥ = ⎢(1 + μ ) n ϑ − n ϕ cot ϕ + Eh ⎣ dϕ ⎦

(5.2.22)

Im folgenden werden die Lastfälle Schaleneigengewicht, vertikale Randlast, Schneelast, konstanter Innendruck und hydrostatischer Druck einzeln untersucht.

180

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

5.2.4.1 Lastfall Eigengewicht der stehenden Kugelzonenschale

Für die in Bild 5.2-7 dargestellte Schale beträgt das Gewicht des oberhalb eines Horizontalschnitts bei ϕ liegenden Teils ϕ

V = ∫ g ⋅ 2πr ⋅ adϕ = 2πga 2 (cos ϕ0 − cos ϕ) , ϕ0

wenn mit g = γbh das Flächengewicht der Schale bezeichnet wird. Dieses hat die Komponente Z = g cosϕ senkrecht zur Schalenfläche. Damit erhält man aus (5.2.19) und (5.2.20) nϕ = −

ga (cos ϕ0 − cos ϕ) , sin 2 ϕ

⎛ cos ϕ 0 − cos ϕ ⎞ − cos ϕ ⎟ . n ϑ = + ga ⎜ ⎜ ⎟ sin 2 ϕ ⎝ ⎠

(5.2.23)

(5.2.24)

Des weiteren folgen aus (5.2.21) und (5.2.22) Δr =

⎡ ⎤ cos ϕ 0 − cos ϕ ga 2 sin ϕ ⎢(1 + μ ) − cos ϕ⎥ , 2 Eh sin ϕ ⎣⎢ ⎦⎥

(5.2.25)

ga (2 + μ )sin ϕ . Eh

(5.2.26)

ψ=

Die etwas mühseligen Zwischenrechnungen werden hier nicht wiedergegeben. Die Gleichungen (5.2.23) bis (5.2.26) sind ebenso wie die Ergebnisse der anderen behandelten Lastfälle in Tafel 16 und 17 zusammengestellt. 5.2.4.2 Lastfall Eigengewicht der stehenden Kugelschale

Wird der Winkel ϕo in Bild 5.2-7 und in den Gleichungen (5.2.23) bis (5.2.26) gleich Null gesetzt, so erhält man für die stehende Kugelschale die Ergebnisse nϕ = −

ga , 1 + cos ϕ

⎛ ⎞ 1 − cos ϕ ⎟⎟ , n ϑ = +ga ⎜⎜ ⎝ 1 + cos ϕ ⎠

(5.2.27)

(5.2.28)

5.2 Die Membrantheorie

Δr =

181

⎛ 1+ μ ⎞ ga 2 sin ϕ ⎜⎜ − cos ϕ ⎟⎟ , Eh ⎝ 1 + cos ϕ ⎠

(5.2.29)

ga (2 + μ )sin ϕ . Eh

(5.2.30)

ψ=

Bild 5.2-8 zeigt den Verlauf der Membrankräfte für eine stehende Halbkugelschale.

n

j j

-

g a

+

n

1

g a 2

J

5 1 ,8 3 ° a

h

g a

Bild 5.2-8:

Membrankräfte einer Halbkugelschale infolge Eigengewicht

Im Bereich φ < 51,83° treten in der Schale nur Druckkräfte auf. Die Grenze zwischen Druck- und Zugbereich wird als Bruchfuge bezeichnet. Wegen n ϕ = hσ ϕ , n ϑ = hσ ϑ

und

g = γbh

hängen die Membranspannungen σφ und σϑ infolge Eigengewicht nicht von der Schalendicke h ab. 5.2.4.3 Lastfall Vertikallast am oberen Rand einer stehenden Kugelzonenschale

Da die Linienlast Vo in die Schale (siehe Bild 5.2-9) nicht tangential eingeleitet wird, erzeugt sie außer Membrankräften Querkräfte und Biegemomente. Hier wird nur die Tangentialkomponente von Vo berücksichtigt. Die nach innen gerichtete Horizontalkomponente H = Vo cot ϕo ist nach der Biegetheorie zu erfassen. Für diesen und für die folgenden Lastfälle werden nur noch die beiden Lastgrößen V und Z ermittelt, die in die allgemeinen Gleichungen (5.2.19) und (5.2.20) einzusetzen sind.

182

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Hier beträgt die Summe der Vertikallasten V = 2πroVo und die Flächenlast Z = 0. H = V H V

r 0

j

h

c o t j V 0 0

o

0

j

0

a r

Bild 5.2-9:

Stehende Kugelzonenschale mit vertikaler Randlast

5.2.4.4 Lastfall Schnee auf der stehenden Kugelschale

p

j

j u

S

a

r = a s in j Bild 5.2-10:

Stehende Kugelschale mit Schneelast

p Z

d s

S

Z d s j

j

p Sd r

d r = d s · c o s j Bild 5.2-11:

Schneelast und Anteil senkrecht zur Schalenfläche

5.2 Die Membrantheorie

183

Die Schneelast ps wird stets auf die Grundrißfläche bezogen. Für die Schale nach Bild 5.2-10 gilt deshalb V = πr2ps. Der Lastanteil Z senkrecht zur Schalenfläche ergibt sich aus einer Kraftzerlegung (siehe Bild 5.2-11). Aus Zds = p s dr cos ϕ

folgt Z = p s cos 2 ϕ .

(5.2.31)

5.2.4.5 Lastfall konstanter Innendruck in der Kugelschale

p i

j a r Bild 5.2-12:

Kugelschale mit konstantem Innendruck

Die Kraft V ergibt sich durch Integration der Vertikalkomponenten von pi über die Schalenfläche. Für die Kugelschale erhält man ϕ

V = − ∫ p i cos ϕ ⋅ 2πr ⋅ adϕ = −πr 2 p i . 0

Für die Flächenlast gilt Z = -pi. Die Membrankräfte sind konstant und unabhängig vom Öffnungswinkel der Schale (siehe Tafel 16). 5.2.4.6 Lastfall hydrostatischer Druck in der hängenden Kugelschale

Grundsätzlich sind beim Lastfall Flüssigkeitsdruck entsprechend Bild 5.2-13 vier Fälle zu unterscheiden: Druck von innen und außen jeweils bei hängender und stehender Schale.

184

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung a

c b

Bild 5.2-13:

d

Verschiedene hydrostatische Lastfälle

Lastfall (b) unterscheidet sich von Lastfall (a) nur durch das Vorzeichen der Flächenlast Z. Das gleiche gilt für die Lastfälle (c) und (d). Hier wird nur Lastfall (a) behandelt (siehe Bild 5.2-14).

H

r n

a j

n j

j

h

h = a (1 - c o s j )

Bild 5.2-14:

Hängende Kugelschale mit Flüssigkeitsfüllung

Die Vertikallast V des abgeschnittenen Schalenteils setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, dem Gewicht V1 der Kalottenfüllung und der zylindrischen Auflast V 2: ϕ ϕ 1 ⎛2 ⎞ V1 = γ f ∫ πr 2 a sin ϕ dϕ = πγ f a 3 ∫ sin 3 ϕ dϕ = πγ f a 3 ⎜ − cos ϕ + cos 3 ϕ ⎟ , 3 ⎝3 ⎠ 0 0

V2 = γ f πr 2 (H − h ) = πγ f a 2 sin 2 ϕ [H − a (1 − cos ϕ)] .

Damit ergibt sich

(

)

⎡2 ⎛ H ⎞⎤ V = V1 + V2 = πγ f a 3 ⎢ 1 − cos 3 ϕ + sin 2 ϕ ⎜ − 1⎟⎥ . ⎝a ⎠⎦ ⎣3 Die Flächenlast Z entspricht der hydrostatischen Höhe bei ϕ: Z = − γ f (H − h ) = − γ f [H − a (1 − cos ϕ)] .

Die in Tafel 16 angegebenen Gleichungen der Membrankräfte liefern für ϕ = 0 unbestimmte Ausdrücke. Nach der L’HOSPITALschen Regel gilt

5.2 Die Membrantheorie

185

1 − cos 3 ϕ 3 cos 2 ϕ sin ϕ 3 3 = = cos ϕ = , ϕ→0 2 sin ϕ cos ϕ 2 2 sin 2 ϕ 0 0 lim

lim ϕ→0

3 cos ϕ − 2 cos3 ϕ − 1 − 3 sin ϕ + 6 cos 2 ϕ sin ϕ − 3 + 6 cos 2 ϕ 3 = = = . 2 2 sin ϕ cos ϕ 2 cos ϕ 2 sin ϕ 0 0

Damit wird n ϕ (0) = n ϑ (0) =

1 γ f aH . 2

Der Verlauf der Membrankräfte ist für eine bis zur Oberkante gefüllte Halbkugelschale in Bild 5.2-15 dargestellt. 1

g fa 3

2

a j

n J

Bild 5.2-15:

H = a

n

+ j

6 8 ,5 3 ° + 2

1 g a f

nϕ =

γ f a 2 1 − cos 3 ϕ 3 sin 2 ϕ

nϑ =

γ f a 2 3 cos ϕ − 2 cos 3 ϕ − 1 3 sin 2 ϕ

2

Membrankräfte einer flüssigkeitsgefüllten Halbkugelschale

5.2.5 Kegel- und Kegelstumpfschalen

Für Kegel- und Kegelstumpfschalen gilt ϕ = α, weiteren läßt sich aus Bild 5.2-16 ablesen r = s cos α ,

rϑ =

rϕ= ∞ und rϕdϕ = ds. Des

r = s cot α . sin α

Damit erhält man aus (5.2.2) und (5.2.6) für unten gelagerte Schalen die Membrankräfte nϕ = −

V , 2πr sin α

(5.2.32)

rZ . sin α

(5.2.33)

nϑ = −

186

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

s r o

r a r J

r

a

Bild 5.2-16:

u

Stehende Kegelstumpfschale

Die Verformungen ergeben sich nach (5.2.7) und (5.2.11) mit (5.2.12) aus Δr = r ⋅ ε ϑ =

(

)

r n ϑ − μn ϕ , Eh

(5.2.34)

d (ε ϑs cot α ) = cot α ⎡⎢ ε ϑ − ε ϕ + s dε ϑ ⎤⎥ ds ds ⎦ ⎣ cot α ⎡ (1 + μ ) n ϑ − n ϕ + s d n ϑ − μn ϕ ⎤⎥ . = Eh ⎢⎣ ds ⎦

(

ψ = −ε ϕ cot α +

(

)

(

)

)

(5.2.35)

Im folgenden werden dieselben Lastfälle wie bei der Kugelschale untersucht. 5.2.5.1 Lastfall Eigengewicht der stehenden Kegelstumpfschale

Für die in Bild 5.2-16 dargestellte Schale beträgt das Gewicht des oberhalb eines Horizontalschnitts bei r liegenden Teils

(

s

)

V = g ∫ 2πrds = gπ s 2 − s o 2 cos α . so

Die Lastkomponente senkrecht zur Schalenfläche beträgt Z = g cosα. Damit erhält man aus (5.2.32) und (5.2.33) nϕ = −

(

)

(

)

g s 2 − s o 2 cos α g r 2 − ro 2 , =− 2r sin α r sin 2α n ϑ = −gr cot α .

(5.2.36) (5.2.37)

5.2 Die Membrantheorie

187

Die Verformungen ergeben sich nach (5.2.34) und (5.2.35) mit (5.2 12) aus ⎡ ⎛ r 2 ⎞⎤ gr 2 ⎢2 cos 2 α − μ⎜1 − 02 ⎟⎥ , ⎜ Eh sin 2α ⎢ r ⎟⎠⎥⎦ ⎝ ⎣

(5.2.38)

⎡ r0 2 ⎤ gr 2 ( ) 2 2 cos 1 2 + μ α − − μ + ⎢ ⎥. r 2 ⎦⎥ 2Eh sin 2 α ⎣⎢

(5.2.39)

Δr = −

ψ=−

Die Gleichungen (5.2.36) bis (5.2.39) sind ebenso wie die Ergebnisse der anderen behandelten Lastfälle in Tafel 18 und 19 zusammengestellt. 5.2.5.2 Lastfall Eigengewicht der stehenden Kegelschale

Wird der Radius ro in Bild 5.2-16 und in den Gleichungen (5.2.36) bis (5.2.39) gleich Null gesetzt, so erhält man für die stehende Kegelschale die Ergebnisse gr , sin 2α

(5.2.40)

n ϑ = −gr cot α ,

(5.2.41)

nϕ = −

Δr = −

ψ=−

(

)

gr 2 2 cos 2 α − μ , Eh sin 2α

[

(5.2.42)

]

gr 2(2 + μ ) cos 2 α − 1 − 2μ . 2Eh sin 2 α

(5.2.43)

5.2.5.3 Lastfall Vertikallast am oberen Rand einer stehenden Kegelstumpfschale

Wie bei der Kugelschale wird auch hier nur die Tangentialkomponente von V0 berücksichtigt. Die nach innen gerichtete Horizontalkomponente H = Vo cot α ist nach der Biegetheorie zu erfassen. Für diesen und die folgenden Lastfälle werden nur noch die beiden Lastgrößen V und Z ermittelt, die in die allgemeinen Gleichungen (5.2.32) und (5.2.33) einzusetzen sind. Wie bei der Kugelzonenschale gilt auch hier V = 2πroVo und Z = 0.

188

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

H = V V r

o

c o t a

o

o

r r

Bild 5.2-17:

a u

Stehende Kegelstumpfschale mit vertikaler Randlast

5.2.5.4 Lastfall Schnee auf der Kegelschale

p S

r r Bild 5.2-18:

a u

Stehende Kegelschale mit Schneelast

Die Summe der Vertikallasten beträgt V = πr2ps. Für die Last senkrecht zur Schalenfläche gilt analog zu (5.2.31) Z = ps cos2α. 5.2.5.5 Lastfall konstanter Innendruck in der Kegelschale

r r Bild 5.2.19:

u

a

p i

Kegelschale mit konstantem Innendruck

5.3 Die Biegetheorie

189

Wie bei der Kugelschale gilt auch hier V = - πr2pi und Z = -pi. 5.2.5.6 Lastfall hydrostatischer Druck in der hängenden Kegelschale

a

n j

h

H

r

h = r ta n a Bild 5.2-20:

Hängende Kegelschale mit Flüssigkeitsfüllung

Die Gesamtkraft V setzt sich aus dem Füllgewicht V1 des abgeschnittenen Schalenteils und der Flüssigkeitsauflast V2 zusammen: h πr 2 ⎡ ⎤ (3H − 2r tan α ) . V = V1 + V2 = γ f ⎢πr 2 + πr 2 (H − h )⎥ = γ f 3 3 ⎣ ⎦

Die Flächenbelastung Z der Schale entspricht der hydrostischen Höhe an der betrachteten Stelle und beträgt Z = − γ f (H − h ) = − γ f (H − r tan α ) .

5.3 Die Biegetheorie In Abschnitt 5.1.2 wurde dargelegt, unter welchen Bedingungen der Membranzustand von Schalen durch Querkräfte und Biegemomente gestört wird. Des weiteren wurde dort begründet, daß nach der Biegetheorie nur die rotationssymmetrischen Lastfälle radiale, horizontale Randkraft R und Randmoment M zu behandeln sind. Im folgenden werden die entsprechenden Differentialgleichungen hergeleitet und für die einzelnen Schalentypen getrennt gelöst.

190

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Zunächst werden die Grundgleichungen für Rotationsschalen mit beliebiger Erzeugender zusammengestellt. Sie basieren auf dem Gleichgewicht, der geometrischen Verträglichkeit und dem HOOKEschen Gesetz. 5.3.1 Grundgleichungen 5.3.1.1 Gleichgewichtsbedingungen

In den Gleichgewichtsbedingungen treten keine äußeren Kräfte auf, da nach der Biegetheorie nur die Lastfälle R und M behandelt werden sollen, die keine Resultierenden haben und in den Randbedingungen berücksichtigt werden.

m n

q

j

Bild 5.3-1:

j r

q j

n

m j j

Vertikalschnitt durch eine Rotationsschale im Biegezustand

Bild 5.3-1 zeigt den bereits in Bild 5.2-1 dargestellten Vertikalschnitt durch die Schale, ergänzt um die Schnittgrößen mϕ und q des Biegezustands. Für die Vertikalrichtung liest man die Gleichgewichtsbedingung ΣV = 2πr (n ϕ sin ϕ + q cos ϕ) = 0

ab, die sich auf n ϕ = −q cot ϕ

(5.3.1)

vereinfacht. Auch bei den Gleichgewichtsbetrachtungen am infinitesimalen Schalenelement sind im Biegezustand die Querkräfte und Biegemomente zu berücksichtigen. Sie sind in Bild 5.3-2 eingezeichnet, das im übrigen Bild 5.2-2 entspricht. Querkräfte treten aus Symmetriegründen nur in den Horizontalschnitten auf. Deshalb kann bei q auf einen Index verzichtet werden.

5.3 Die Biegetheorie

V e r tik a ls c h n itt m d J r

r j

j r

m j

+ d m

n j

m

d j r

j

n j+ d n

J

H o r iz o n ta ls c h n itt

r

q + d q

d j

n j

q

m j

j

r j

J

J

r d J J

m J

J r

n

J

m

J

J

c o s j

c o s j d J m

Bild 5.3-2:

191

d J J

c o s j

Infinitesimales Schalenelement im Biegezustand

Für das Kräftegleichgewicht senkrecht zur Schalenfläche erhält man in Erweiterung von Gleichung (5.2.4) n ϕdϕ ⋅ rdϑ + n ϑdϑ sin ϕ ⋅ rϕdϕ − q ⋅ rdϑ + (q + dq )(r + dr )dϑ = 0 .

Das Produkt der beiden Klammerausdrücke läßt sich wie folgt vereinfachen ⎛ dr dq ⎞ dq dr d ⎟⎟dϕ + ⋅ qr + ⎜⎜ q +r dϕ 2 ≈ qr + (qr ) ⋅ dϕ , ϕ ϕ ϕ d ϕ d ϕ d d d ⎠ ⎝ so daß sich als zweite Gleichgewichtsbedingung n ϕ r + n ϑ rϕ sin ϕ +

d (q ⋅ r ) = 0 dϕ

(5.3.2)

ergibt. Eine dritte Bedingung beschreibt das Momentengleichgewicht um die Unterkante des Elements. Hierzu liefert auch mϑ einen Beitrag, denn die beiden Horizontalkomponenten mϑ cosϕ haben eine Resultierende in Richtung von mϕ. Dies ist anhand von Bild 5.3-2 nachzuvollziehen. Die Gleichung lautet

(

)

ΣM ϕ = m ϕ ⋅ rdϑ − m ϕ + dm ϕ (r + dr ) ⋅ dϑ + m ϑdϑ cos ϕ ⋅ rϕdϕ + q ⋅ rdϑ ⋅ rϕdϕ = 0 und vereinfacht sich auf −

(

)

d m ϕ ⋅ r + m ϑ rϕ cos ϕ + qr ⋅ rϕ = 0 . dϕ

(5.3.3)

192

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Aus Symmetriegründen stehen keine weiteren Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Die Zahl der unbekannten Schnittgrößen ist um zwei größer als die Anzahl der Gleichungen. 5.3.1.2 Dehnungs-Verformungs-Beziehungen

Da die Biegemomente in der Schalenmittelfläche keine Dehnungen erzeugen, gelten die für den Membranspannungszustand an Bild 5.2-3 hergeleiteten Dehnungs-Verformungs-Beziehungen (5.2.7) und (5.2.11) auch für den Biegezustand. Sie können hier also unverändert übernommen werden: Δr = rε ϑ ,

(5.3.4)

⎞ ⎛ r 1 d ψ = ⎜ ε ϑ ϑ − ε ϕ ⎟ cot ϕ + (ε ϑrϑ ) . ⎟ ⎜ rϕ r ϕ dϕ ⎠ ⎝

(5.3.5)

Für die Dehnungen εϕ und εϑ gilt (5.2.12). 5.3.1.3 Verkrümmungs-Verformungs-Beziehungen

Die Verkrümmungen κϕ und κϑ, d.h. die Krümmungsänderungen der Schale, werden als Differenz der Krümmungen des unverformten und des verformten Elements berechnet. Es gilt demnach κϕ =

1 1 − rϕ rϕ + Δrϕ

und

κϑ =

1 1 − . rϑ rϑ + Δrϑ

Aus Bild 5.2-3 liest man für den unverformten Zustand die Beziehungen ds = rϕdϕ

und

r = rϑ sin ϕ

ab. Für den verformten Zustand lauten sie

(

) (

)

ds 1 + ε ϕ = rϕ + Δrϕ (dϕ − dψ )

und

r + Δr = (rϑ + Δrϑ )sin (ϕ − ψ ) .

Damit ergibt sich für die Krümmungen dϕ dϕ − dψ dψ 1 dψ − ≈ = , ds ds(1 + ε ϕ ) ds rϕ dϕ

(5.3.6)

sin ϕ sin ϕ cos ψ − cos ϕ sin ψ ψ cos ϕ ψ cot ϕ . − ≈ = r r + Δr r rϑ

(5.3.7)

κϕ =

κϑ =

5.3 Die Biegetheorie

193

5.3.1.4 Momenten-Verkrümmungs-Beziehungen

Entsprechend (3.2.12) bis (3.2.14) lauten die Gleichungen für die Schalenmomente

(

m ϕ = K κ ϕ + μκ ϑ

)

(

)

und m ϑ = K κ ϑ + μκ ϕ

mit K =

Eh 3 . 12(1 − μ 2 )

Durch Einsetzen von (5.3.6) und (5.3.7) erhält man ⎛ 1 dψ ψ cot ϕ ⎞⎟ m ϕ = K⎜ +μ , ⎜ rϕ dϕ rϑ ⎟⎠ ⎝

(5.3.8)

⎛ ψ cot ϕ μ dψ ⎞ ⎟. m ϑ = K⎜ + ⎜ rϑ rϕ dϕ ⎟⎠ ⎝

(5.3.9)

5.3.2 Randstörungen der langen Zylinderschale 5.3.2.1 Herleitung der Differentialgleichung

n

a

l

x

d x

D r = w

h

m

n

d w d x

J

x

q

m J

a

a

d J q + d q

y = Bild 5.3-3:

x

m n x+ d n x

x

+ d m x

n

m J

J

Zylinderschale

Die in Abschnitt 5.3.1 hergeleiteten Grundgleichungen müssen zunächst auf die Geometrie und das Koordinatensystem des Zylinders (siehe Bild 5.3-3) umgeformt werden. Für diesen gilt

194

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

r = rϑ = a ,

ϕ=

π , 2

rϕ = ∞ ,

rϕdϕ = dx .

Die Koordinate x läuft vom Nullpunkt am oberen Rand nach unten. Die Schnittgrößen im Horizontalschnitt erhalten den Index x statt ϕ. Die elastische Änderung des Radius wird mit w statt Δr bezeichnet. Somit gilt für die Meridianverdrehung ψ = dw/dx. Damit ergibt sich aus (5.3.1) bis (5.3.4) sowie (5.3.8) und (5.3.9) (a)

nx = 0 ,

(b)

nϑ + a

(c)

−

(d)

w=

(e)

mx = K ⋅

(f)

mϑ = K ⋅ μ

dq =0, dx

dm x +q =0, dx a (n ϑ − μn x ) , Eh d2w , dx 2 d2w . dx 2

Aus (d) erhält man unter Verwendung der vier Gleichungen (a) bis (c) und (e) w=

a a 2 dq a 2 d 2m x Ka 2 d 4 w nϑ = − =− = − Eh Eh dx Eh dx 2 Eh dx 4

oder d 4 w 12(1 − μ 2 ) + w =0. dx 4 a 2h2

Diese Differentialgleichung beschreibt den Biegezustand der durch Randlasten beanspruchten Zylinderschale. Sie ist gewöhnlich, linear, homogen und von vierter Ordnung. Mit der Abkürzung λ=

nimmt sie die Form

4

3(1 − μ 2 ) ah

(5.3.10)

5.3 Die Biegetheorie

w ′′′′ + 4λ4 w = 0

mit

(K)′ = d(...)

195

(5.3.11)

dx

an. Der Wert 1/λ wird als charakteristische Länge der Schale bezeichnet, zu der die Länge ℓ ins Verhältnis gesetzt wird, um festzustellen, ob es sich um eine „lange“ oder „kurze“ Schale handelt. Näheres hierzu später. Nach Lösung der Differentialgleichung (5.3.11) können die Schnittgrößen in Abhängigkeit von w ermittelt werden. Deren Gleichungen ergeben sich aus (a) bis (f) zu nx = 0 ,

(5.3.12)

Eh w, a

(5.3.13)

m x = Kw ′′ ,

(5.3.14)

m ϑ = Kμw ′′ = μm x ,

(5.3.15)

q = Kw ′′′ .

(5.3.16)

nϑ =

(5.3.11) ist vom selben Typ wie die Differentialgleichung des elastisch gebetteten Balkens. Das soll an Bild 5.3-4 gezeigt werden. p (x ) p (x )

Q u e r s c h n itt

x s c w

b

= c ·w

b Bild 5.3-4:

Elastisch gebetteter Balken

Für die Schnittgrößen von Balken gelten die differentiellen Beziehungen (siehe z.B. [1.16] oder [1.17]) d2w M =− , 2 EI dx

Mit

dM =Q dx

und

dQ = −q . dx

196

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

q = p − σ b ⋅ b = p − bcw

(5.3.17)

erhält man daraus d4w 1 d 2M 1 dQ 1 = − =− = + (p − bcw ) 4 2 EI dx EI dx EI dx

oder w ′′′′ +

bc p w= . EI EI

(5.3.18)

Diese Differentialgleichung geht mit λ=4

bc 4EI

und

p=0

(5.3.19)

in (5.3.11) über, was bewiesen werden sollte. 5.3.2.2 Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

(5.3.11) wird durch Produkte aus Winkel- und Exponentialfunktionen erfüllt. Hier wird der Ansatz w = e − ξ (C1 cos ξ + C 2 sin ξ) + e ξ (C 3 cos ξ + C 4 sin ξ)

(5.3.20)

mit dem bezogenen Argument ξ = λx gewählt. Voraussetzungsgemäß soll die Differentialgleichung nur für Randlasten R und M gelten. Diese werden stets bei x = 0 angesetzt. Deshalb müssen am relativ weit entfernten Rand bei x = ℓ die Schnittgrößen q und mx verschwinden. Das ist nur möglich, wenn die Faktoren der Terme mit eξ nahezu gleich Null sind. Mit C3 = C4 = 0 vereinfacht sich der Ansatz auf w = e − ξ (C1 cos ξ + C 2 sin ξ ) .

(5.3.21)

Für die Formulierung der Randbedingungen sowie für die Ermittlung der Schnittund Verformungsgrößen werden die ersten drei Ableitungen von w benötigt, die deshalb angegeben werden: w ′ = −λe − ξ [(C1 − C 2 ) cos ξ + (C1 + C 2 ) sin ξ] ,

(5.3.22)

w ′′ = 2λ2 e − ξ (− C 2 cos ξ + C1 sin ξ ) ,

(5.3.23)

w ′′′ = 2λ3e − ξ [(C1 + C 2 ) cos ξ − (C1 − C 2 ) sin ξ] .

(5.3.24)

5.3 Die Biegetheorie

197

Zur Verminderung des Schreibaufwands werden folgende Abkürzungen eingeführt: η(ξ) = e − ξ (cos ξ + sin ξ ) , η′(ξ) = e − ξ sin ξ ,

η′′(ξ) = e − ξ (cos ξ − sin ξ ) , η′′′(ξ) = e − ξ cos ξ .

Der Verlauf dieser Funktionen und deren Werte im Abstand von π/4 sind aus Bild 5.3-5 zu ersehen. 1 ,0

1 ,0

+

0 ,3 2 2 4

+

1 ,0 +

+

-

p /2 p 3 p /2

h

h '

h ''

h '''

2 p x = l x

ξ 0 0,25π 0,5 π 0,75 π π 1,25 π 1,5 π 1,75 π 2π Bild 5.3-5:

η(ξ) 1 0,6448 0,2079 0 -0,0432 -0,0278 -0,0090 0 0,0019

η′(ξ) 0 0,3224 0,2079 0,0670 0 -0,0139 -0,0090 -0,0029 0

η″(ξ) 1 0 -0,2079 -0,1340 -0,0432 0 0,0090 0,0058 0,0019

η′″(ξ) 1 0,3224 0 -0,0670 -0,0432 -0,0139 0 0,0029 0,0019

Verlauf der Funktionen η, η′, η″, η′″ und Tabelle der Funktionswerte

In Tafel 20 sind die Funktionswerte von η bis η′″ im Bereich ξ = 0 ... 4,0 mit der Schrittweite Δξ = 0,1 angegeben.

198

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Bei ξ = 2π sind die Funktionswerte so klein, daß man sie mit ausreichender Genauigkeit gleich Null setzen kann. Für ξ ≥ 4 bleiben die Absolutwerte unter 0,03, machen also weniger als 3 % des Ausgangswerts aus. Man sieht deshalb im allgemeinen Zylinderschalen mit λℓ ≥ 4 als „lang“ an und versteht darunter, daß sich die Beanspruchungen bei x = 0 am abliegenden Schalenende nicht mehr auswirken. 5.3.2.3 Lösung für Radialkraft R und Moment M am oberen Rand

M R x

Bild 5.3-6:

Radialkraft R und Moment M am oberen Zylinderrand

Im Lastfall R lauten die Randbedingungen m x (0) = 0

und

q ( 0) = + R .

Das entspricht den Gleichungen Kw ′′(0) = K ⋅ 2λ2 (−C 2 ) = 0 , Kw ′′′(0) = K ⋅ 2λ3 (C1 + C 2 ) = R ,

aus denen C1 =

R 2Kλ3

und

C2 = 0

folgt. Nach Einsetzen dieser Konstanten in (5.3.21) bis (5.3.24) erhält man aus (5.3.13), (5.3.14) und (5.3.16) die Schnittgrößen n ϑ = 2Raλ ⋅ e − ξ cos ξ = 2Raλ ⋅ η′′′(ξ) ,

(5.3.25)

R −ξ R ⋅ e sin ξ = ⋅ η′(ξ) , λ λ

(5.3.26)

q = R ⋅ e − ξ (cos ξ − sin ξ) = R ⋅ η′′(ξ) .

(5.3.27)

mx =

5.3 Die Biegetheorie

199

Für die restlichen beiden Schnittgrößen gilt nach (5.3.12) und (5.3.15) nx = 0 ,

(5.3.28)

m ϑ = μm x .

(5.3.29)

Die Randverformungen ergeben sich aus (5.3.21) und (5.3.22) zu w (0) = C1 =

R 2Kλ3

w ′(0) = −λ(C1 − C 2 ) = −

(5.3.30) R . 2Kλ2

(5.3.31)

Die Gleichungen (5.3.25) bis (5.3.31) sind in Tafel 21 zusammengestellt. Der Lastfall M wird analog behandelt. Aus den Randbedingungen m x (0) = + M

q (0) = 0

und

folgen die Bestimmungsgleichungen Kw ′′(0) = K ⋅ 2λ2 (−C 2 ) = M , Kw ′′′(0) = K ⋅ 2λ3 (C1 + C 2 ) = 0 .

Man erhält die Konstanten C1 =

M 2Kλ2

und

C2 = −

M , 2Kλ2

die Schnittgrößen nx = 0 ,

(5.3.32)

n ϑ = 2Maλ2 ⋅ e − ξ (cos ξ − sin ξ) = 2Maλ2 ⋅ η′′(ξ) ,

(5.3.33)

m x = M ⋅ e −ξ (cos ξ + sin ξ) = M ⋅ η(ξ) ,

(5.3.34)

m ϑ = μm x ,

(5.3.35)

q = −2Mλ ⋅ e − ξ sin ξ = −2Mλ ⋅ η′(ξ)

(5.3.36)

und die Randverformungen w (0) =

M , 2Kλ2

(5.3.37)

200

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

w ′(0) = −

M . Kλ

(5.3.38)

Auch diese sieben Gleichungen findet man in Tafel 21. 5.3.2.4 Lösung für Radialkraft R und Moment M am unteren Rand

x R M Bild 5.3-7:

Radialkraft R und Moment M am unteren Zylinderrand

Für w, nx, nϑ, mx und mϑ gelten die Gleichungen des vorstehenden Abschnitts 5.3.2.3 mit ξ = λ x anstelle von ξ = λx. Wegen x = l – x und d x = - dx wechseln die Größen, welche ungerade Ableitungen nach x enthalten, das Vorzeichen, also w‘ und q. Demnach gilt für die Querkraft

q = −R ⋅ e −ξ (cos ξ − sin ξ) = −R ⋅ η′′(ξ)

(5.3.39)

q = +2Mλ ⋅ e − ξ sin ξ = +2Mλ ⋅ η′(ξ) ,

(5.3.40)

bzw.

und die Randverdrehungen lauten w ′(0) = +

R 2Kλ2

(5.3.41)

M . Kλ

(5.3.42)

bzw. w ′(0) = +

5.3 Die Biegetheorie

201

5.3.3 Randstörungen der kurzen Zylinderschale 5.3.3.1 Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Die Differentialgleichung (5.3.11) w ′′′′ + 4λ4 w = 0

mit

λ=

4

3(1 − μ 2 ) ah

gilt unabhängig von der Länge des Zylinders. Beim kurzen Zylinder mit λℓ < 4 beeinflussen sich die beiden Ränder in nicht zu vernachlässigendem Maße. Deshalb muß der Lösungsansatz vier Konstanten enthalten. Es ist vorteilhaft, für den kurzen Zylinder einen anderen Ansatz als (5.3.20) zu wählen, und zwar den gleichwertigen Ausdruck w = C1 cosh ξ cos ξ + C 2 cosh ξ sin ξ + C3 sinh ξ cos ξ + C 4 sinh ξ sin ξ . (5.3.43)

Die Konstanten C1 bis C4 sind aus den je zwei Randbedingungen an den Enden der Schale zu bestimmen. Die ersten drei Ableitungen von (5.3.43) nach x, die im folgenden benötigt werden, lauten w ′ = λ[C1 (sinh ξ cos ξ − cosh ξ sin ξ ) + C 2 (sinh ξ sin ξ + cosh ξ cos ξ )

+ C 3 (cosh ξ cos ξ − sinh ξ sin ξ ) + C 4 (cosh ξ sin ξ + sinh ξ cos ξ )] , w ′′ = −2λ2 (C1 sinh ξ sin ξ − C 2 sinh ξ cos ξ + C 3 cosh ξ sin ξ − C 4 cosh ξ cos ξ ) ,

w ′′′ = −2λ3 [C1 (cosh ξ sin ξ + sinh ξ cos ξ ) − C 2 (cosh ξ cos ξ − sinh ξ sin ξ ) + C 3 (sinh ξ sin ξ + cosh ξ cos ξ ) − C 4 (sinh ξ cos ξ − cosh ξ sin ξ )] .

(5.3.44)

(5.3.45)

(5.3.46)

Zur Vereinfachung werden die folgenden Abkürzungen eingeführt: F1 (ξ) = cosh ξ cos ξ F2 (ξ) = sinh ξ sin ξ F3 (ξ) = cosh ξ sin ξ F4 (ξ) = sinh ξ cos ξ .

(5.3.47)

202

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Der Verlauf dieser Funktionen und deren Werte im Abstand von π/4 sind aus Bild 5.3-8 zu ersehen.

+

+ F 1

+

F 2

+

F 3

p /2 4

p -

-

F

3 p /2 x

ξ 0 0,25π 0,5 π 0,75 π π 1,25 π 1,5 π 1,75 π 2π Bild 5.3-8:

F1 1 0,937 0 -3,764 -11,592 -17,951 0 86,322 267,747

F2 0 0,614 2,301 3,697 0 -17,937 -55,654 -86,319 0

F3 0 0,937 2,509 3,764 0 -17,951 -55,663 -86,322 0

F4 0 0,614 0 -3,697 -11,549 -17,937 0 86,319 267,745

Verlauf der Funktionen F1 bis F4 und Tabelle der Funktionswerte

In Tafel 22 sind die Funktionswerte von F1 bis F4 im Bereich ξ = 0 ... 4,0 mit der Schrittweite Δξ = 0,1 angegeben. Der viergliedrige Ansatz (5.3.43) darf natürlich auch für lange Schalen verwendet werden. Falls nicht mit einem Rechenprogramm gearbeitet wird, ist der Aufwand jedoch erheblich größer, als wenn zwei Konstanten wie bei (5.3.21) gleich Null gesetzt werden. Außerdem ergeben sich bei der Berechnung der Schnittgrößen kleine Differenzen großer Zahlen, wenn bei ξ > 4 mit den Funktionen Fi gearbeitet wird, die in diesem Bereich stark anwachsen.

5.3 Die Biegetheorie

203

5.3.3.2 Lösung für Radialkraft R und Moment M am oberen Rand

M

x = 0 x

R

a h

x = l l

w

Bild 5.3-9:

Kurze Zylinderschale mit Radialkraft R und Moment M am oberen Rand

Für den Lastfall R lauten die vier Randbedingungen m x (0) = m x (λl) = 0 q (0) = R ,

q (λl ) = 0

Hieraus erhält man mit (5.3.14) und (5.3.16) sowie (5.3.45) und (5.3.46) die Bestimmungsgleichungen für C1 bis C4: m x (0) = Kw ′′(0) = −2Kλ2 (−C 4 ) = 0 , q(0) = Kw ′′′(0) = −2Kλ3 (−C 2 + C 3 ) = R , m x (λl) = Kw ′′(λl) = −2Kλ2 (C1 sinh λl sin λl − C 2 sinh λl cos λl + C 3 cosh λl sin λl − C 4 cosh λl cos λl) = 0 , q(λl) = Kw ′′′(λl) = −2Kλ3 [C1 (cosh λl sin λl + sinh λl cos λl) − C 2 (cosh λl cos λl − sinh λl sin λl) + C 3 (sinh λl sin λl + cosh λl cos λl) − C 4 (sinh λl cos λl − cosh λl sin λl)] = 0 .

Dieses Gleichungssystem hat die Lösung C1 =

R 3

cosh λl sinh λl − cos λl sin λl 2

2Kλ

C2 = − C3 = −

2

sinh λl − sin λl

R 3

2

sin 2 λl

2

=−

2

=−

2Kλ sinh λl − sin λl R 3

sinh 2 λl

2

2Kλ sinh λl − sin λl C4 = 0 .

=

R 2Kλ3 R 2Kλ3

R 2Kλ3

H 1 ( λl ) ,

H 7 (λ l ) , H 8 (λl ) ,

204

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Für den Lastfall M lauten die Randbedingungen m x (0) = M ,

m x (λ l ) = 0 ,

q(0) = q(λl) = 0

und die Konstanten M sinh 2 λl + sin 2 λl M H 3 (λ l ) , = 2 2 2 2Kλ sinh λl − sin λl 2Kλ2 M cosh λl sinh λl + cos λl sin λl M C 2 = C3 = − H 5 (λ l ) , =− 2 2 2 2Kλ sinh λl − sin λl 2Kλ2 M C4 = . 2Kλ2 C1 =

Die zur Abkürzung eingeführten Hilfswerte Hi(λℓ) sind in Tafel 23 für Werte λℓ ≤ 4,0 mit der Schrittweite 0,1 angegeben. 5.3.3.3 Schnittgrößen

Die Gleichungen (5.3.12) bis (5.3.16) für die Schnittgrößen gelten auch beim kurzen Zylinder. In diese Beziehungen sind die Ausdrücke (5.3.43), (5.3.45) und (5.3.46) für w, w´´ und w´´´ einzusetzen. Unter Verwendung der Funktionen Fi nach (5.3.47) ergibt sich dann n x ( ξ) = 0 , n ϑ ( ξ) =

Eh [C1F1 (ξ) + C 2 F3 (ξ) + C3F4 (ξ) + C 4 F2 (ξ)] , a

(5.3.48) (5.3.49)

m x (ξ) = −2Kλ2 [C1F2 (ξ) − C 2 F4 (ξ) + C3 F3 (ξ) − C 4 F1 (ξ)] ,

(5.3.50)

m ϑ (ξ) = μm x (ξ) ,

(5.3.51)

q (ξ) = −2Kλ3 [(C 2 + C 3 ) F2 (ξ) + (C1 − C 4 ) F4 (ξ)

(5.3.52)

+ (C1 + C 4 ) F3 (ξ) − (C 2 − C 3 ) F1 (ξ)] .

Die Konstanten Ci sind für den betreffenden Lastfall aus Abschnitt 5.3.3.2 zu übernehmen. Die vorstehenden Gleichungen gelten, wenn R und M am oberen Rand angreifen. Für den in Bild 5.3-7 dargestellten Fall, daß der untere Rand belastet wird, ist wie beim langen Zylinder ξ durch⎯ξ zu ersetzen und das Vorzeichen von q umzukehren.

5.3 Die Biegetheorie

205

1 ,0 0

R 0 ,2 0

m = 0 ,2

2 ,1 0 Bild 5.3-10:

Beispiel zur Schnittgrößenermittlung für eine kurze Zylinderschale

Für die in Bild 5.3-10 dargestellte, kurze Schale sollen die Schnittgrößen infolge der Last R beispielhaft ermittelt werden. Mit der Querdehnzahl μ = 0,2 wird λ=

4

3(1 − 0,2 2 ) 2,10 ⋅ 0,20

= 2,0

und

λl = 2,0 ⋅ 1,00 = 2,0 .

Aus Tabelle 23 entnimmt man für λℓ = 2,0 die Hilfswerte H1 = 1,138, H7 = 0,067 und H8 = 1,067. Die Konstanten für den Lastfall R lauten damit C1 = 1,138

R R R , C 2 = −0,067 , C3 = −1,067 , C4 = 0 , 3 3 2Kλ 2Kλ 2Kλ3

und die Schnittgrößen ergeben sich zu n ϑ = 2Raλ(1,138 F1 − 0,067 F3 − 1,067 F4 ) ,

m x = − R / λ ⋅ (1,138 F2 + 0,067 F4 − 1,067 F3 ) ,

q x = −R (− 1,134 F2 + 1,138 F4 + 1,138 F3 − 1,000 F1 ) .

Die Funktionswerte von F1 bis F4 sind in Tafel 22 angegeben. 5.3.3.4 Randverformungen

Die Randverformungen infolge R und M ergeben sich aus den Gleichungen (5.3.43) und (5.3.44) für w(ξ) und w´(ξ) durch Einsetzen der Werte 0 bzw. λℓ für ξ (siehe Bild 5.3-11) unter Verwendung der entsprechenden Ci. Man erhält z.B. für die Verdrehung des oberen Randes infolge der dort angreifenden Last R w ′(0) = λ(C 2 + C3 ) =

R sinh 2 λl + sin 2 λl . 2Kλ2 sinh 2 λl − sin 2 λl

In Tafel 24 sind auch die Gleichungen der anderen Randverformungen infolge R und M am oberen Rand angegeben. Des weiteren enthält die Tafel eine vollständige Zusammenstellung der Randverschiebungen und -verdrehungen für die je zwei

206

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Randangriffe oben und unten, wobei die Hilfswerte H1 bis H6 verwendet werden, deren Zahlenwerte in Abhängigkeit von λℓ Tafel 23 liefert. w 'o R M w x

w o = w (0) w ′o = w ′(0)

w k

o

a

w u = w ( λl ) w ′u = w ′(λl)

l

x = 0

h

x = l l

i

Bild 5.3-11:

w u

w 'u

Randverformungen der kurzen Zylinderschale

Tafel 23 reicht nur bis λℓ = 4,0, wo die Hilfswerte praktisch schon gegen 1 oder 0 konvergiert sind. Auch daran erkennt man, daß sich die Ränder von Schalen mit λℓ > 4 kaum gegeseitig beeinflussen. Denn mit H1 = H3 = H5 = 1 und H2 = H4 = H6 = 0 gehen die Formänderungswerte des kurzen Zylinders nach Tafel 24 in diejenigen des langen Zylinders nach Tafel 21 über. X 2

X 1

2 ,1 0 Bild 5.3-12:

X

μ = 0,2

1 ,0 0

0 ,2 0 4

X

λ = 2,0 λl = 2,0

3

Beispiel zur Ermittlung der Formänderungswerte eines kurzen Zylinders

Für die in Bild 5.3-12 dargestellte kurze Zylinderschale sollen sämtliche Formänderungswerte infolge der vier statisch Unbestimmten Xi ermittelt werden. Dabei ist zu beachten, daß X2 entgegen dem positiven Drehsinn von w´ wirkt. Mit Hilfe der Tafel 23 und 24 erhält man R 1,138 ⋅ H1 = = δ33 , 2Kλ3 2Kλ3 M 1,134 = ⋅ H3 = = δ34 , 2Kλ2 2Kλ2

δ11 = δ12

5.3 Die Biegetheorie

207

R 0,400 , ⋅ H2 = − 2Kλ3 2Kλ3 M 0,268 δ14 = − 2 ⋅ H 4 = − = δ32 , Kλ Kλ2 M 1,076 δ 22 = + ⋅ H5 = = δ 44 , Kλ Kλ M 0,155 . δ 24 = − ⋅ H6 = − Kλ Kλ

δ13 = −

Nach dem Satz von MAXWELL dürfen die Indizes der δik vertauscht werden. 5.3.4 Randstörungen der Kugelschale

m

5.3.4.1 Herleitung der Differentialgleichungen

q j

n

j

a

r

D r

j

y

Bild 5.3-13:

Kugelschale

Für die Kugelschale gilt nach Bild 5.3-13 rϕ = rϑ = a

und

r = a sin ϕ .

Damit erhalten die Grundgleichungen (5.3.1) bis (5.3.3), (5.3.5) sowie (5.3.8) und (5.3.9) die Form (a)

n ϕ = −q cot ϕ ,

(b)

(n ϕ + n ϑ ) sin ϕ + ddϕ (q sin ϕ) = 0 ,

208

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

(

)

d m ϕ sin ϕ + m ϕ cos ϕ + qa sin ϕ = 0 , dϕ

(c)

−

(d)

ψ=

(e)

mϕ =

⎞ K ⎛ dψ ⎜ + μψ cot ϕ ⎟⎟ , a ⎜⎝ dϕ ⎠

(f)

mϑ =

K⎛ dψ ⎞ ⎟. ⎜ ψ cot ϕ + μ a ⎜⎝ dϕ ⎟⎠

⎤ 1 ⎡ d n ϑ − μn ϕ ⎥ , ⎢(1 + μ ) n ϑ − n ϕ cot ϕ + Eh ⎣ dϕ ⎦

(

)

(

)

Mit (e) und (f) folgt aus (c) −

K (ψ′′ sin ϕ + ψ′ cos ϕ + μψ′ cos ϕ − μψ sin ϕ) + K (ψ cot ϕ + μψ′) cos ϕ + qa sin ϕ = 0 a a

oder

(

)

ψ′′ + ψ′ cot ϕ − ψ cot 2 ϕ + μ −

qa 2 =0, K

(5.3.53)

wenn die Ableitung nach ϕ durch einen Kopfstrich gekennzeichnet wird. (5.3.53) stellt die erste von zwei gekoppelten Differentialgleichungen für q und ψ dar. Um die zweite zu erhalten, werden zunächst die beiden Gleichungen (a) und (b) kombiniert. Es ergibt sich −q cos ϕ + n ϑ sin ϕ + q′ sin ϕ + q cos ϕ = 0

und n ϑ = −q ′ .

(5.3.54)

Nun werden in (d) die Normalkräfte durch die Ausdrücke (a) und (5.3.54) ersetzt. Man erhält ψ= =

⎛ μq ⎞⎤ 1 ⎡ ⎟⎥ ⎢(1 + μ)(−q′ + q cot ϕ) cot ϕ + ⎜⎜ − q′′ + μq′ cot ϕ − Eh ⎣⎢ sin 2 ϕ ⎟⎠⎦⎥ ⎝ 1 Eh

⎡ ⎤ ⎛ 2 μ ⎞ 2 ⎟ − q′′⎥ . ⎢− q′ cot ϕ + q⎜⎜ cot ϕ + μ cot ϕ − 2 ⎟ sin ϕ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝

Die zweite Differentialgleichung lautet dann

(

)

q′′ + q′ cot ϕ − q cot 2 ϕ + μ + Ehψ = 0 .

(5.3.55)

5.3 Die Biegetheorie

209

Man könnte die beiden Gleichungen leicht entkoppeln, da sich q und ψ ohne weiteres isolieren und in die jeweils andere Gleichung einsetzen lassen. Die so entstehenden beiden Differentialgleichungen vierter Ordnung wären jedoch nur mit Hilfe schlecht konvergierender Reihen zu lösen. Wenn man den Anwendungsbereich auf Schalen beschränkt, deren Ränder um mindestens ca. 30° gegenüber der Horizontalen geneigt sind, kann man von einer Näherung Gebrauch machen, die von GECKELER eingeführt worden ist und die berücksichtigt, daß die Randstörungen relativ schnell abklingen. Das bedeutet, daß im Störbereich ψ′′ >> ψ′ >> ψ

q′′ >> q′ >> q

und

gilt und die Funktionen q und ψ sowie deren erste Ableitungen gegenüber den zweiten Ableitungen vernachlässigt werden dürfen. Damit erhält man qa 2 =0, K

(5.3.56)

q′′ + Ehψ = 0 .

(5.3.57)

ψ′′ −

Die Einschränkung des Gültigkeitsbereichs dieser beiden GECKELERschen Differentialgleichungen auf Kugelschalen mit steileren Rändern liegt darin begründet, daß q, q‘, ψ und ψ‘ in (5.3.53) und (5.3.55) mit dem Faktor cot ϕ behaftet sind, der bei kleinen Winkeln ϕ hohe Werte annimmt. Zur Entkopplung der beiden Differentialgleichungen werden zunächst q und ψ isoliert und zweimal nach ϕ differenziert: q=

K ψ′′ a2

ψ=−

1 q′′ Eh

→

→

q′′ =

K ψ′′′′ , a2

ψ′′ = −

1 q′′′′ . Eh

Durch Einsetzen dieser zweiten Ableitungen in (5.3.56) und (5.3.57) ergeben sich die beiden gewöhnlichen, linearen, homogenen Differentialgleichungen vierter Ordnung Eha 2 ψ=0, K Eha 2 q′′′′ + q = 0. K

ψ′′′′ +

Mit der Abkürzung κ=

a 3(1 − μ 2 ) h

(5.3.58)

210

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

erhält man daraus ψ′′′′ + 4 κ 4 ψ = 0 ,

(5.3.59)

q′′′′ + 4 κ 4 q = 0 .

(5.3.60)

Nach Lösung der Differentialgleichungen können die Normalkräfte und Biegemomente in Abhängigkeit von q und ψ ermittelt werden. Deren Gleichungen ergeben sich aus (a), (e), (f) und (5.3.54) zu n ϕ = −q cot ϕ ,

(5.3.61)

n ϑ = −q′ ,(5.3.62) mϕ =

K (ψ ′ + μψ cot ϕ) , a

(5.3.63)

mϑ =

K (ψ cot ϕ + μψ ′) . a

(5.3.64)

5.3.4.2 Allgemeine Lösung der Differentialgleichungen für Randstörungen

Die Schnittgrößen infolge R und M klingen, wie bereits gesagt, vom belasteten Rand weg schnell ab. Sie existieren praktisch nur in Randnähe. Deshalb wird als neue Variable der Winkel ω eingeführt, der vom Rand ab zählt (siehe Bild 5.314).

j a Bild 5.3-14:

o

j a

M R

w

Kugelschale mit Winkelkoordinaten ϕ, ω und Randbelastung

Es gilt ω=α−ϕ

und

dω = −dϕ .

5.3 Die Biegetheorie

211

Da die beiden Differentialgleichungen keine ungeraden Ableitungen von ϕ enthalten, bleiben sie unverändert, wenn ϕ durch ω ersetzt wird. (5.3.59) und (5.3.60) sind vom selben Typ wie die Differentialgleichung der Zylinderschale (5.3.11). Deshalb werden für ψ und q Ansätze gewählt, die dem Ausdruck (5.3.20) entsprechen, wobei das Argument κω statt λx heißen muß. Hier sollen nur „lange“ Kugelschalen behandelt werden, bei denen sich die Lasten R und M im Scheitelpunkt oder am abliegenden Rand nicht mehr nennenswert auswirken. Deshalb können die Konstanten C3 und C4 wie in (5.3.21) gleich Null gesetzt werden, wenn die Bedingung κ(α-ϕo) ≥ 4 erfüllt ist. Die Lösungen für die geschlossene und die offene Schale unterscheiden sich dann nicht. Damit lauten die Ansätze für ψ und q ψ = e − κω (C1 cos κω + C 2 sin κω) ,

(

(5.3.65)

)

q = e − κω C1 cos κω + C 2 sin κω .

(5.3.66)

In (5.3.56) und (5.3.57) sind ψ und q miteinander verknüpft. Deshalb bestehen auch Beziehungen zwischen den je zwei Konstanten der Ansätze. Die beiden ersten Ableitungen von ψ lauten ψ′ =

dψ dψ = κe − κω [C1 (cos κω + sin κω) + C 2 (sin κω − cos κω)] , =− dϕ dω

ψ′′ = 2κ 2 e − κω (C1 sin κω − C 2 cos κω) .

Damit erhält man aus (5.3.56) 2κ 2 e − κω (C1 sin κω − C 2 cos κω) =

(

)

a 2 − κω e C1 cos κω + C 2 sin κω . K

Ein Koeffizientenvergleich liefert C1 = −

K Eh ⋅ 2κ 2C 2 = − 2 C 2 , 2 a 2κ

C2 =

Eh C1 . 2κ 2

Damit lauten q und q´ Eh −κω e (−C 2 cos κω + C1 sin κω) , 2κ 2 Eh − κω q′ = e [− C 2 (cos κω + sin κω) + C1 (sin κω − cos κω)] , 2κ q=

und die Normalkräfte ergeben sich aus (5.3.61) und (5.3.62) zu

(5.3.67)

212

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

nϕ =

Eh cot ϕ e − κω (C 2 cos κω − C1 sin κω) , 2κ 2

nϑ =

Eh − κω e [C 2 (cos κω + sin κω) + C1 (cos κω − sin κω)] . (5.3.69) 2κ

(5.3.68)

In der Gleichung (5.3.63) des Meridianmoments darf der Term mit ψ vernachlässigt werden, da er gegenüber ψ‘ kaum ins Gewicht fällt. Anders ist das bei Gleichung (5.3.64) für das Ringmoment, wo beide Terme wegen des relativ kleinen Faktors μ von gleicher Größenordnung sein können. Somit ergibt sich für die Biegemomente allgemein mϕ =

κK − κω e [C1 (cos κω + sin κω) + C 2 (sin κω − cos κω)] , (5.3.70) a

mϑ =

K cot ϕ e − κω (C1 cos κω + C 2 sin κω) + μm ϕ . a

(5.3.71)

Für die Radialverschiebung gilt nach (5.3.4) in Verbindung mit (5.2.12) Δr =

a sin ϕ (n ϑ − μn ϕ ) . Eh

Daraus erhält man für den belasteten Rand bei ϕ = α und ω = 0 Δru =

a sin α ⎡ μ ⎤ C1 + C 2 (1 − cot α)⎥ . 2κ ⎢⎣ κ ⎦

(5.3.72)

Auch wenn μ nicht gleich Null ist, wird der zweite Term in den runden Klammern wegen Geringfügigkeit oft vernachlässigt. Die Randverdrehung ergibt sich direkt aus (5.3.65) zu ψ u = C1 .

5.3.4.3 Lösung für Radialkraft R und Moment M am unteren Rand

Im Lastfall R lauten die Randbedingungen (siehe Bild 5.3-13 und 5.3-14) m ϕ (0) = 0

und

q (0) = − R sin α .

Das entspricht nach (5.3.70) und (5.3.67) den Gleichungen C1 − C 2 = 0 ,

(5.3.73)

5.3 Die Biegetheorie

−

Eh 2κ 2

213

⋅ C 2 = −R sin α ,

aus denen C1 = C 2 =

2 κ 2 sin α R Eh

folgt. Nach Einsetzen dieser Konstanten erhält man aus (5.3.67) bis (5.3.71) die Schnittgrößen n ϕ = R sin α cot ϕ e − κω (cos κω − sin κω) = R sin α cot ϕ ⋅ η′′( κω) , (5.3.74) n ϑ = 2Rκ sin α e − κω cos κω = 2Rκ sin α ⋅ η′′′( κω) ,

(5.3.75)

Ra Ra sin α e − κω sin κω = sin α ⋅ η′( κω) , κ κ

(5.3.76)

Ra sin α cot ϕ e − κω (cos κω + sin κω) + μm ϕ 2κ 2 Ra = 2 sin α cot ϕ ⋅ η( κω) + μm ϕ , 2κ

(5.3.77)

q = −R sin α e − κω (cos κω − sin κω) = −R sin α ⋅ η′′( κω) .

(5.3.78)

mϕ =

mϑ =

Dabei wurden wie beim Zylinder die Abkürzungen η bis η´´´ (siehe Tafel 20) verwendet. Die Randverformungen ergeben sich aus (5.3.72) und (5.3.73) zu Δru =

aκ sin 2 α μ 2aκ sin 2 α ⋅ R (2 − cot α) ≈ ⋅R , Eh κ Eh

ψu =

2 κ 2 sin α ⋅ R . (5.3.80) Eh

Der Lastfall M wird analog behandelt. Aus den Randbedingungen m ϕ (0) = M

und

q(0) = 0

folgen die Bestimmungsgleichungen κK (C1 − C 2 ) = M a

Man erhält die Konstanten

und

− C2 = 0 .

(5.3.79)

214

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

C1 =

a M, κK

C2 = 0 ,

die Schnittgrößen nϕ = −

nϑ =

2Mκ 2Mκ cot ϕ e − κω sin κω = − cot ϕ ⋅ η′( κω) , a a

2Mκ 2 − κω 2 Mκ 2 e (cos κω − sin κω) = ⋅ η′′( κω) , a a

m ϕ = M ⋅ e − κω (cos κω + sin κω) = M ⋅ η( κω) , mϑ = q=

(5.3.81)

(5.3.82) (5.3.83)

M M cot ϕ e − κω cos κω + μm ϕ = cot ϕ ⋅ η′′′( κω) + μm ϕ ,(5.3.84) κ κ

2Mκ − κω 2 Mκ e sin κω = ⋅ η′( κω) a a

(5.3.85)

und die Verformungen Δru =

2Mκ 2 sin α , Eh

(5.3.86)

ψu =

aM . κK

(5.3.87)

Die Gleichungen (5.3.74) bis (5.3.87) sind in Tafel 25 zusammengestellt. Sie gelten entsprechend den getroffenen Annahmen nur für lange Schalen mit steilem Rand im Störbereich, d.h. für κ(α-ϕo) ≥ 4 und

α ≥ 30°.

Kurze und flache Kugelschalen werden hier nicht behandelt. Beträgt der Neigungswinkel des beanspruchten Randes weniger als 30°, so ist nach der Theorie der flachen Kugelschale zu rechnen, für die die vollständigen Differentialgleichungen (5.3.53) und (5.3.55) gelten. Bei kurzen Schalen ist mit viergliedrigen Ansätzen entsprechend (5.3.20) oder (5.3.43) zu rechnen. 5.3.4.4 Lösung für Radialkraft R und Moment M am oberen Rand

Greifen R und M, wie in Bild 5.3-15 dargestellt, am oberen Rand an, so zählt ω von dort aus, und es gilt

5.3 Die Biegetheorie

ω = ϕ − ϕ0

M j o

dω = dϕ .

R

a w

a Bild 5.3-15:

j

und

215

Kugelzonenschale mit Radialkraft R und Moment M am oberen Rand

Das hat zur Folge, daß sich in Abschnitt 5.3.4.2 die Vorzeichen von ψ´ und q´ sowie infolgedessen auch bei nϑ und mϕ umkehren. Des weiteren lautet der Randwinkel ϕo statt α, und im Lastfall R ist die Randbedingung für q positiv statt negativ. Mit diesen Änderungen erhält man aus (5.3.74) bis (5.3.80) für den Lastfall R n ϕ = −R sin ϕ0 cot ϕ e − κω (cos κω − sin κω) = −R sin ϕ0 cot ϕ ⋅ η′′( κω) , (5.3.88) n ϑ = 2Rκ sin ϕ0 e − κω cos κω = 2Rκ sin ϕ0 ⋅ η′′′( κω) , mϕ =

Ra Ra sin ϕ0 e − κω sin κω = sin ϕ0 ⋅ η′( κω) , κ κ

mϑ = − =−

Ra 2κ 2 Ra 2κ 2

(5.3.91) sin ϕ 0 cot ϕ ⋅ η( κω) + μm ϕ ,

aκ sin 2 ϕ 0 2aκ sin 2 ϕ 0 μ ⋅ R (2 + cot ϕ 0 ) ≈ ⋅R , Eh κ Eh

ψo = −

(5.3.90)

sin ϕ 0 cot ϕ e − κω (cos κω + sin κω) + μm ϕ

q = R sin ϕ 0 e − κω (cos κω − sin κω) = R sin ϕ 0 ⋅ η′′( κω) , Δro =

(5.3.89)

2 κ 2 sin ϕ 0 ⋅R . Eh

Dementsprechend liefern (5.3.81) bis (5.3.87) für den Lastfall M

(5.3.92)

(5.3.93)

(5.3.94)

216

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

nϕ =

2Mκ 2Mκ cot ϕ e − κω sin κω = cot ϕ ⋅ η′( κω) , a a

(5.3.95)

nϑ =

2Mκ 2 − κω 2 Mκ 2 e (cos κω − sin κω) = ⋅ η′′( κω) , a a

(5.3.96)

m ϕ = M ⋅ e − κω (cos κω + sin κω) = M ⋅ η( κω) , mϑ = − q=−

Δro =

(5.3.97)

M M cot ϕ e − κω cos κω + μm ϕ = − cot ϕ ⋅ η′′′( κω) + μm ϕ , (5.3.98) κ κ

2Mκ − κω 2Mκ e sin κω = − ⋅ η′( κω) , a a

(5.3.99)

2Mκ 2 sin ϕ 0 , Eh

ψo = −

(5.3.100)

aM . κK

(5.3.101)

Die Gleichungen (5.3.88) bis (5.3.101) sind in Tafel 25 zusammengestellt. Sie gelten für κ(α-ϕo) ≥ 4 und ϕ0 ≥ 30°. 5.3.5 Randstörungen der Kegelschale 5.3.5.1 Herleitung der Differentialgleichungen

Für die Kegelschale gilt nach Bild 5.3-16 r = s cos α ,

ϕ=α,

rϕ = ∞ ,

rϑ = s cot α ,

rϕdϕ = ds .

Damit erhalten die Gleichungen (5.3.1) bis (5.3.3), (5.3.5) sowie (5.3.8) und (5.3.9) die Form (a)

n ϕ = −q cot α ,

(b)

n ϑ sin α +

d (qs) ⋅ cos α = 0 , ds

5.3 Die Biegetheorie

217

d (m ϕ ⋅ s) + m ϑ + qs = 0 , ds

(c)

−

(d)

ψ=

(e)

ψ⎞ ⎛ dψ mϕ = K ⎜ +μ ⎟, ds s⎠ ⎝

(f)

dψ ⎞ ⎛ψ mϑ = K ⎜ + μ ⎟. s ds ⎠ ⎝

cot α ⎡ d ⎤ (1 + μ)(n ϑ − n ϕ ) + s (n ϑ − μn ϕ )⎥ , ⎢ Eh ⎣ ds ⎦

m

s r a j

n

q j

Bild 5.3-16:

a

r

D r

y J

Kegelschale

Mit (e) und (f) folgt aus (c) ⎡ ⎛ ψ′ ψ⎞ ψ⎞ ⎛ψ ⎞⎤ ⎛ K ⎢− ⎜ ψ′′ + μ − μ 2 ⎟ ⋅ s − ⎜ ψ′ + μ ⎟ + ⎜ + μψ′ ⎟⎥ + (qs) = 0 s s⎠ ⎝s s ⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎣ ⎝

oder ψ′′ +

ψ′ ψ q − − =0, s s2 K

(5.3.102)

wenn die Ableitung nach s durch einen Kopfstrich gekennzeichnet wird. (5.3.102) stellt die erste von zwei gekoppelten Differentialgleichungen für ψ und (q⋅s) dar. Um die zweite zu erhalten, wird zunächst nϑ aus (b) isolert. Es ergibt sich n ϑ = −(qs)′ ⋅ cot α .

(5.3.103)

Nun werden in (d) die Normalkräfte durch die Ausdrücke (a) und (5.3.103) ersetzt. Man erhält

218

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Eh tan 2 α ⋅ ψ = [(1 + μ)(−(qs)′ + q ) + s(−(qs)′′ + μq′)] .

Die zweite Differentialgleichung lautet dann Eh tan 2 α ⋅ ψ + s(qs)′′ + (qs)′ +

(qs) = 0. s

(5.3.104)

Wie bei den vollständigen Differentialgleichungen (5.3.53) und (5.3.55) der Kugelschale können auch hier die von GECKELER eingeführten Vereinfachungen verwendet werden. Weil die Randstörungen schnell abklingen, gilt ψ″ » ψ′ » ψ

und

(qs)″ » (qs)′ » (qs).

Deshalb werden in (5.3.102) und (5.3.104) die Funktionen ψ und (qs) sowie deren erste Ableitungen gegenüber den zweiten Ableitungen vernachlässigt. Mit derselben Begründung kann dann auch (qs)′′ = (q′s + q)′ = q′′s + q′ + q′ ≈ q′′s

gesetzt werden, so daß sich die vereinfachten, gekoppelten Differentialgleichungen ψ′′ −

q =0, K

s 2 q′′ + Eh tan 2 α ⋅ ψ = 0

(5.3.105) (5.3.106)

ergeben. Zur Entkoppelung werden q und ψ isoliert, zweimal differenziert und eingesetzt. Dabei wird s für den Störbereich näherungsweise als konstant angesehen. Es ergeben sich die Differentialgleichungen ψ′′′′ +

Eh tan 2 α ψ=0, K ⋅ s2

q′′′′ +

Eh tan 2 α q=0. K ⋅ s2

λ=

tan α 3(1 − μ 2 ) hs

Mit der Abkürzung (5.3.107)

erhält man daraus ψ ′′′′ + 4λ4 ψ = 0 ,

(5.3.108)

q ′′′′ + 4λ4 q = 0 .

(5.3.109)

5.3 Die Biegetheorie

219

Der Parameter λ ist nicht konstant, da (5.3.107) die Variable s enthält. In (5.3.108) und (5.3.109) ist deshalb λo oder λu statt λ zu verwenden, je nachdem ob die Randlasten oben oder unten angreifen. In drei der vier von GECKELER vernachlässigten Terme von (5.3.102) und (5.3.104) tritt die Koordinate s im Nenner auf. Deshalb sind diese Terme bei kleinen Werten von s nicht mehr vernachlässigbar. Der Gültigkeitsbereich der vereinfachten Differentialgleichungen (5.3.108) und (5.3.109) ist also beschränkt, wenn R und M am oberen Rand angreifen. Es sollte λoso ≥ 4 eingehalten werden. Nach Lösung der Differentialgleichungen können die Normalkräfte und Biegemomente in Abhängigkeit von q und ψ ermittelt werden. Deren Gleichungen ergeben sich aus (a), (e), (f) und (5.3.103) zu n ϕ = −q cot α ,

(5.3.110)

n ϑ = −(qs)′ cot α ≈ −q′s cot α ,

(5.3.111)

ψ⎞ ⎛ m ϕ = K⎜ ψ′ + μ ⎟ ≈ Kψ′ , s⎠ ⎝

(5.3.112)

ψ ⎛ψ ⎞ m ϑ = K⎜ + μψ′ ⎟ = K + μm ϕ . s s ⎝ ⎠

(5.3.113)

5.3.5.2 Lösung für Radialkraft R und Moment M am unteren Rand

s o

ξ = λux

s

s u

h x

λu =

R

r a

u

M M

Bild 5.3-17:

R

tan α 3(1 − μ 2 ) hs u

Kegelschale mit Randlasten R und M am unteren Rand

Lastfall R: n ϕ = R cos α e −ξ (cos ξ − sin ξ) = R cos α ⋅ η′′(ξ) ,

(5.3.114)

220

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

n ϑ = 2Rλ u s cos α e −ξ cos ξ = 2Rλ u s cos α ⋅ η′′′(ξ) , mϕ =

mϑ =

R sin α − ξ R sin α e sin ξ = ⋅ η′(ξ) , λu λu

R sin α 2λ2u s

e −ξ (cos ξ + sin ξ) + μm ϕ =

(5.3.115) (5.3.116)

R sin α 2λ2u s

⋅ η(ξ) + μm ϕ , (5.3.117)

q = −R sin α e −ξ (cos ξ − sin ξ) = −R sin α ⋅ η′′(ξ) ,

(5.3.118)

Δru =

Rs u R sin 2 α cos 2 α ⋅ (2λ u s u − μ) ≈ , Eh 2λ3u K

(5.3.119)

ψu =

R sin α . 2λ2u K

(5.3.120)

Lastfall M: n ϕ = −2Mλ u cot α e −ξ sin ξ = −2Mλ u cot α ⋅ η′(ξ) ,

(5.3.121)

n ϑ = 2Mλ2u s cot α e −ξ (cos ξ − sin ξ) = 2Mλ2u s cot α ⋅ η′′(ξ) ,

(5.3.122)

m ϕ = Me − ξ (cos ξ + sin ξ) = M ⋅ η(ξ) ,

(5.3.123)

mϑ =

M M −ξ ⋅ η′′′(ξ) + μm ϕ , e cos ξ + μm ϕ = λ us λ us

q = 2Mλ u e − ξ sin ξ = 2Mλ u ⋅ η′(ξ) ,

(5.3.124)

(5.3.125)

Δru =

M sin α , 2λ2u K

(5.3.126)

ψu =

M . λuK

(5.3.127)

Die Gleichungen (5.3.114) bis (5.3.127) sind in Tafel 26 zusammengestellt. Sie gelten nur für lange Schalen, d.h. für λu(su-so) ≥ 4,

5.3 Die Biegetheorie

221

da dies eine Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Ansätze (5.3.65) und (5.3.66) für ψ und q ist. 5.3.5.3 Lösung für Radialkraft R und Moment M am oberen Rand

s

s

M

o

s

ξ = λox

x

u

R

r o

h M

R

λo =

tan α 3(1 − μ 2 ) h ⋅ so

a Bild 5.3-18:

Kegelschale mit Randlasten R und M am oberen Rand

Lastfall R: n ϕ = −R cos α e −ξ (cos ξ − sin ξ) = −R cos α ⋅ η′′(ξ) ,

(5.3.128)

n ϑ = 2Rλ o s cos α e −ξ cos ξ = 2Rλ o s cos α ⋅ η′′′(ξ) ,

(5.3.129)

mϕ =

R sin α − ξ R sin α e sin ξ = ⋅ η′(ξ) , λo λo

mϑ = −

R sin α −ξ R sin α e (cos ξ + sin ξ) + μm ϕ = − ⋅ η(ξ) + μm ϕ , (5.3.131) 2 2λ o s 2λ2o s

q = R sin α e −ξ (cos ξ − sin ξ) = R sin α ⋅ η′′(ξ) ,

Δro =

Rs o R sin 2 α cos 2 α ⋅ (2λ o s ó + μ) ≈ , Eh 2λ3o K

ψo = −

(5.3.130)

R sin α 2λ2o K

.

(5.3.132) (5.3.133)

(5.3.134)

222

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Lastfall M: n ϕ = 2Mλ o cot α e −ξ sin ξ = 2Mλ o cot α ⋅ η′(ξ) ,

(5.3.135)

n ϑ = 2Mλ2o s cot α e −ξ (cos ξ − sin ξ) = 2Mλ2o s cos α ⋅ η′′(ξ) ,

(5.3.136)

m ϕ = − Me −ξ (cos ξ + sin ξ) = −M ⋅ η(ξ) ,

(5.3.137)

mϑ = −

M −ξ M e cos ξ + μm ϕ = − ⋅ η′′′(ξ) + μm ϕ , λ os λ os

(5.3.138)

q = −2Mλ o e − ξ sin ξ = −2Mλ o ⋅ η′(ξ) , Δro =

(5.3.139)

M sin α , 2λ2o K

(5.3.140)

M . λoK

(5.3.141)

ψo = −

Die Gleichungen (5.3.128) bis (5.3.141) sind in Tafel 26 zusammengestellt. Sie gelten nur für lange Schalen und nicht in der Nähe des Nullpunkts von s, d.h. für λo(su-so) ≥ 4

λoso ≥ 4.

und

= a ta n a

5.3.6 Randstörungen bei Rotationsschalen mit beliebiger Erzeugenden

a

s

u

b e lie b ig e E rz e u g e n d e

c

h

b X 2

X

K e g e l K u g e l 1

a

Bild 5.3-19: Rotationsschale mit beliebiger Erzeugenden

a

5.3 Die Biegetheorie

223

Bild 5.3-19 zeigt eine eingespannte Rotationsschale mit beliebiger Erzeugenden, z.B. ein Ellipsoid oder ein Paraboloid (a). Diese Schale ist zweifach statisch unbestimmt gelagert (b). Sie kann in der Nähe des Lagers von außen durch eine Kegelschale und von innen durch eine Kugelschale tangential approximiert werden (c). Die Parameter der Kugel- und Kegelschale lauten κ=

a 3(1 − μ 2 ) h

bzw. λu =

tan α 3(1 − μ 2 ) = h ⋅ su

1 κ 3(1 − μ 2 ) = ah a

Damit erhält man für die Kugelschale nach Tafel 25 die Formänderungsgrößen 2aκ sin 2 α , h 2 κ 2 sin α Eδ12 = , h E a Eδ 22 = . Kκ Eδ11 =

Die Formänderungsgrößen der Kegelschale lauten nach Tafel 26 Eδ11 =

E sin 2 α λ u 2aκ sin 2 α , = K 2 λ4u h

Eδ12 =

E sin α λ2u 2κ 2 sin α , = K 2 λ4u h

Eδ 22 =

E 1 E a . = K λu K κ

Da die Formänderungsgrößen der Kugel (Näherung von innen) und des Kegels (Näherung von außen) gleich sind, können die lastunabhängigen δik-Werte jeder Rotationsschale an einer tangential eingepaßten Ersatzschale mit Kugel- oder Kegelform ermittelt werden. Das gilt näherungsweise auch für den Verlauf der Randstörungen, d.h. der Schnittgrößen infolge einer Radialkraft R und eines Randmoments M.

224

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

5.3.7 Der Lastfall Temperatur bei Rotationsschalen 5.3.7.1 Temperaturbelastung der Schale

d

B e to n

T D T

F

1

d 2

d 3

W ä rm e d ä m m s to ff G a s b e to n s te in e L u ft (a u ß e n )

1

F lü s s ig k e it ( in n e n )

T L

R o ta tio n s a c h s e

Bild 5.3-20:

Temperaturverlauf in einer mehrschaligen Behälterwand

Bild 5.3-20 zeigt den Temperaturverlauf in der aus mehreren Schichten bestehenden Wand eines Flüssigkeitsbehälters. Der Temperaturzustand sei stationär, d.h. zeitlich konstant. Innerhalb der einzelnen Schichten verläuft die Temperatur linear. Der Wärmedurchgangswiderstand 1/k setzt sich gemäß 1 1 d1 d 2 d 3 1 = + + + + k α i λ1 λ 2 λ 3 α a

(5.3.142)

(siehe z.B. DIN 4108 Teil 2 [4.5]) aus den beiden Wärmeübergangswiderständen 1/αi und 1/αa sowie den Wärmedurchlaßwiderständen di/λi zusammen. Darin bezeichnet λi die Wärmeleitfähigkeit der einzelnen Materialien. Bei Flüssigkeitskontakt wird 1/α = 0. Die Differenz zwischen Innen- und Außentemperatur verteilt sich entsprechend den Wärmedurchlaßwiderständen di/λi auf die einzelnen Schichten. Für die statische Berechnung interessiert nur der Anteil, der auf den Konstruktionsbeton entfällt, d.h. im oben dargestellten Beispiel ΔT1 =

d1 / λ1 (TF − TL ) . 1/ k

(5.3.143)

5.3 Die Biegetheorie

225

D T

Bild 5.3-21 gibt den Temperaturverlauf innerhalb der tragenden Behälterwand wieder. Die Aufstelltemperatur, bei der das Tragwerk spannungslos ist, wird mit To bezeichnet.

T

i

(a u ß e n )

T

T

0

a

T

( in n e n )

h /2 h Bild 5.3-21:

Aufteilung der Temperaturbelastung in T und ΔT

Gegenüber T0 erfährt die Schale in ihrer Mittelfläche die gleichmäßige Temperaturänderung T=

1 (Ti + Ta ) − T0 . 2

(5.3.144)

Zusätzlich tritt die ungleichmäßige Temperaturänderung ΔT = Ti − Ta

(5.3.145)

auf. Die beiden Anteile T und ΔT sind als getrennte Lastfälle zu behandeln. 5.3.7.2 Beispiel für die Ermittlung der maßgebenden Temperaturbelastungen

Für ein Klärbecken mit dem Wandaufbau nach Bild 5.3-20 sollen die maßgebenden Werte T und ΔT ermittelt werden. Die Schichtdicken lauten d1 = 0,30 m ,

d 2 = 0,05 m ,

d 3 = 0,115 m .

Die entsprechenden Wärmeleitfähigkeiten betragen z.B. nach DIN 4108 Teil 4 [4.5] λ1 = 2,1

W , mK

λ 2 = 0,040

die Wärmeübergangswiderstände

W , mK

λ 3 = 0,14

W , mK

226

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

1 = 0 (Flüssigkeit) λi

und

1 m 2K = 0,04 (Außenluft). λa W

Die Aufstelltemperatur wird zu 15 °C angenommen. Im Endzustand liegt die Temperatur der Füllung zwischen 10 und 30 °C, die der Außenluft zwischen –20 und +30 °C. Damit erhält man für den Endzustand 1 0,30 0,05 0,115 =0+ + + + 0,04 = 0,143 + 1,250 + 0,821 + 0,04 = 2,254 , k 2,1 0,040 0,14 0,143 (30 + 20) = +3,2 K , 2,254 (im Winter) 3,2 ) − 15 = +13,4 K , zug T = (30 − 2 max ΔT =

0,143 (10 − 30) = −1,3 K , 2,254 (im Sommer) 1,3 zug T = (10 + ) − 15 = −4,35 K . 2 min ΔT =

Während der Probefüllung im Bauzustand, d.h. vor Ausführung der Dämmung und der Mauerwerksverkleidung, betragen die Temperaturen von Füllung und Außenluft 8 bzw. 25 °C. Die entsprechende Berechnung lautet 1 0,30 =0+ + 0,04 = 0,143 + 0,04 = 0,183 , k 2,1

0,143 (8 − 25) = −13,3 K , 0,183 (während der Probefüllung) 13,3 zug T = (8 + ) − 15 = −0,35 K . 2 ΔT =

Für alle drei berechneten Temperaturkombinationen sind die Schnittgrößen des Behälters zu ermitteln und mit den anderen, gleichzeitig möglichen Lastfällen in ungünstigster Weise zu überlagern. 5.3.7.3 Der Lastfall gleichmäßige Temperaturänderung T

In membrangelagerten Schalen treten infolge T zwar affine Verzerrungen, aber keine Schnittgrößen auf, da sich die Schale an ihrem Lager frei bewegen kann. Mit der Temperaturdehnung

5.3 Die Biegetheorie

227

εT = αTT

(5.3.146)

Δr = r α T T

(5.3.147)

ψ =0.

(5.3.148)

ergeben sich die Formänderungen

und

Die Randverformungen der in Bild 5.3-22 dargestellten Schale lauten beispielsweise Δru = αT T ru,

y

ψu = ψo = 0.

o

r o

D r

r

o

u

D r y

Bild 5.3-22:

Δro = αT T ro,

u

u

Membrangelagerte Schale mit Randverformungen infolge T

Bei Behinderungen am Rand sind die entsprechenden Störungen als statisch Unbestimmte Xi zu berechnen. Die vorstehenden Randverformungen stellen dabei die Formänderungswerte δio dar. Als Beispiel sollen die Schnittgrößen und Randverformungen des in Bild 5.3-23 dargestellten, langen Zylinders im Lastfall T berechnet werden. Die lastabhängigen Formänderungswerte lauten δ10 = α T Ta ,

δ 20 = 0 .

Die lastunabhängigen δik werden Tafel 21 entnommen: δ11 =

1 , 2Kλ3

δ12 = δ 21 =

1 , 2Kλ2

δ 22 =

Die Lösung der beiden Elastizitätsgleichungen ergibt sich zu

1 . Kλ

228

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

X1 = 4Kλ3α T Ta ,

w 'o w

X 2 = −2Kλ2 α T Ta .

o

x

l

h x

λ=4 X 2

X 1

3(1 − μ 2 ) ah

λl > 4

a

Bild 5.3-23:

Beispiel für die Behandlung des Lastfalls Temperatur

Damit erhält man die Schnittgrößen nx = 0 , n ϑ = 2X1aλη′′′(ξ) + 2X 2 aλ2 η′′(ξ) = Ehα T ⋅ η(ξ) , X1 Ehα T T η′(ξ) + X 2 ⋅ η(ξ) = − ⋅ η′′(ξ) , λ 2aλ2 m ϑ = μm x ,

mx =

q = − X1 ⋅ η′′(ξ) + 2X 2 λ ⋅ η′(ξ) = −

Ehα T T ⋅ η(ξ) , aλ

die bei ξ = λ x > 4 gegen Null konvergieren. Die Verformungen am oberen Rand lauten w o = α T Ta

und

w ′o = 0 .

5.3.7.4 Der Lastfall ungleichmäßige Temperatur ΔT

Analog zur Platte in Abschnitt 3.2.10.2 wird als Grundsystem die am Rand bzw. an beiden Rändern fest eingespannte Schale gewählt (siehe Bild 5.3-24). In diesem Zustand sind infolge ΔT keine Verformungen möglich. Entsprechend (3.2.36) entstehen nur die konstanten Biegemomente m ϕo = m ϑo = − K (1 + μ)

α T ΔT , h

(5.3.149)

die eine Verkrümmung der Schale verhindern. Querkräfte treten nicht auf. Deshalb gilt

5.3 Die Biegetheorie

q o = Δro = ψ o = 0 .

229

(5.3.150)

In den beiden vorstehenden Gleichungen kennzeichnet der Index o den Grundzustand mit Festeinspannung.

Bild 5.3-24:

Grundsystem der Schale für den Lastfall ΔT

An einem freien oder gelenkig gelagerten Schalenrand kann das Moment mϕo nicht aufgenommen werden. Dann wird dem Grundzustand ein Lastfall überlagert, der aus dem Randmoment M = - mϕo besteht. Als Beispiel sollen die Schnittgrößen und Randverformungen des in Bild 5.3-23 dargestellten, langen Zylinders im Lastfall ΔT berechnet werden. Beim Zylinder heißt das Meridianmoment mx statt mϕ. Am freien Rand wird das nach außen drehende Moment M = + K (1 + μ)

α T ΔT h

angesetzt, dessen Einfluß dem Grundzustand zu überlagern ist. Mit Hilfe der Tafel 21 läßt sich unmittelbar angeben: nx = 0 , n ϑ = 2Maλ2 ⋅ η′′(ξ) ,

m x = m xo + M ⋅ η(ξ) = M[− 1 + η(ξ)] ,

m ϑ = m ϑo + μ ⋅ M ⋅ η(ξ) = M[− 1 + μη(ξ)] ,

q = −2Mλ ⋅ η′(ξ) , wo =

M

2Kλ2 M w ′o = − . Kλ

,

230

2 M a l +

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

0 ,8 M 2

M

p /4 p /2 3 p /4 M p -

n

m J

m x

J

5 p /4 x = l x

Schnittgrößenverlauf infolge ΔT in der Nähe eines freien Zylinderrandes

Bild 5.3-25:

Den Verlauf der Ringkraft und der Biegemomente für μ = 0,2 gibt Bild 5.3-25 wieder. Im Bereich ξ = λx > 4 konvergieren die Momente gegen -M, während die Ringkraft gegen Null strebt. Im Gegensatz zu mx verschwindet mϑ nicht am freien Rand. Außerdem treten dort große Ringkräfte auf, die bei der Bemessung der Umfangsbewehrung infolge Biegung mit Längskraft zu berücksichtigen sind. 5.3.8 Der Lastfall Vorspannung bei Rotationsschalen 5.3.8.1 Spannverfahren für Schalen

h

e

h

a b

a a a

Bild 5.3-26:

a Vorspannung durch Umwickeln (a) und mit Einzelspanngliedern (b)

5.3 Die Biegetheorie

231

In der Praxis werden bei Rotationsschalen zwei verschiedene Spannverfahren verwendet, das Wickelverfahren und die Vorspannung mit Einzelspanngliedern in Hüllrohren. Beim Wickelverfahren entstehen keine Reibungsverluste im Spanndraht, so daß der Spannungszustand der umwickelten Schale rotationssymmetrisch ist. Die Drahtabstände e können variiert werden. Wenn die Spannkraft des Einzeldrahts mit V bezeichnet wird, ergibt sich die äquivalente, auf die Schalenmitte bezogene radiale Flächenlast Z entsprechend (4.4.3) zu Z( x ) = −

V , a ⋅ e( x )

(5.3.151)

unabhängig vom Krümmungsradius a der Wicklung. Das Minuszeichen zeigt an, daß Z nach innen gerichtet ist. Werden Einzelspannglieder verwendet, so sind diese in sogenannten Lisenen zu verankern, innerhalb derer sie sich überschneiden. Um die Reibungsverluste in wirtschaftlichen Grenzen zu halten, werden auf dem Behälterumfang in der Regel drei bis sechs Lisenen angeordnet.

2 V L is e n e

o

3

1 2

4 1

Bild 5.3-27:

3

V o

Beispiel für eine Behältervorspannung mit Einzelspanngliedern

Bild 5.3-27 zeigt eine Lösung mit vier Lisenen, bei der die Spannglieder jeweils den halben Behälter umfassen. Für die Spannkraft gilt V = Vo ⋅ e −μϕ .

(5.3.152)

Darin bezeichnet Vo die Spannkraft an der Presse, μ den Reibungsbeiwert und ϕ den Umlenkwinkel. Wenn an beiden Enden des Spannglieds vorgespannt wird, beträgt der maximale Umlenkwinkel im betrachteten Beispiel π/2, so daß bei einem wirklichkeitsnahen Wert μ = 0,20 min V = Vo ⋅ e −0,1π = 0,730Vo

232

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

wird. Die mittlere Vorspannung beträgt dann an der Lisene Vm (0) =

1 (1 + 0,730)Vo = 0,865Vo 2

und in der Mitte zwischen den Lisenen ⎛ π⎞ Vm ⎜ ⎟ = Vo ⋅ e −0,05π = 0,855Vo . ⎝ 4⎠

Man erkennt, daß der Spannungszustand nahezu rotationssymmetrisch ist. Unabhängig davon, ob die Spannglieder in der Wandung mittig liegen oder nicht, entspricht ein Spannglied nach (4.4.3) der nach innen gerichteten und auf die Mittelfläche bezogenen radialen Linienlast V . a

P=

(5.3.153)

Im folgenden wird der Lastfall Vorspannung nur am zylindrischen Behälter behandelt. 5.3.8.2 Zylindervorspannung durch Wickeln (Bauzustand)

h X

λl 1 > 4 2

X

x X

1

a

λl 2 > 4 e = const. ξ = λx

2

e

l

1

e

l

2

x

b

ξ = λx

a Bild 5.3-28:

Teilweise umwickelter Zylinder (a) und gewähltes Grundsystem (b)

Im Bauzustand ist nur der untere Teil des in Bild 5.3-28 dargestellten Zylinders umwickelt. Es sollen die Schnittgrößen im Bereich der Unstetigkeitsstelle ermittelt werden, wobei angenommen wird, daß beide Teile des Zylinders lang sind. Die Formänderungswerte lauten nach Tafel 15 und 21

5.3 Die Biegetheorie

233

1 1 = , 3 2Kλ Kλ3 1 1 δ12 = δ 21 = − + =0, 2Kλ2 2Kλ2 1 2 δ 22 = 2 ⋅ = , Kλ Kλ Z ⋅ a2 Va δ10 = + =− , Eh Eeh δ 20 = 0 . δ11 = 2 ⋅

Damit ergibt sich δ10 Va V . =+ ⋅ Kλ3 = δ11 Eeh 4eaλ

X1 = −

Der Verlauf von nϑ, mx und q in der Umgebung der Unstetigkeitsstelle ist in Bild 5.3-29 dargestellt. x p + V V /e

e

(-1 + 2

1

m a x m

h ''')

+

X l

X

+ x

1

p /2 1

· h ' X

1

· h ''

p /2

-

n

p J

Bild 5.3-29:

m x

q

x

Schnittgrößenverlauf infolge konstanter Wickelvorspannung in der Nähe des Wickelendes

Für die Längskräfte gilt nx = 0, für die Ringmomente mϑ = μ⋅mx. Die Gleichungen der übrigen drei Schnittgrößen lauten nach Tafel 15 und 21

234

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

oben

unten V V⎡ 1 ⎤ − + 2X1aλ ⋅ η′′′(ξ) = ⎢− 1 + η′′′(ξ)⎥ e e ⎣ 2 ⎦

V ⋅ η′′′(ξ) 2e X V − 1 ⋅ η′(ξ) = − ⋅ η′(ξ) λ 4eaλ2 V + X1 ⋅ η′′(ξ) = ⋅ η′′(ξ) 4eaλ

− 2X1aλ ⋅ η′′′(ξ) = −

nϑ

mx q

X1 V ⋅ η′(ξ) = ⋅ η′(ξ) λ 4eaλ2 V + X1 ⋅ η′′(ξ) = ⋅ η′′(ξ) 4eaλ

+

5.3.8.3 Zylindervorspannung mit Einzelspanngliedern

Es sollen die Schnittgrößen infolge der Wirkung eines einzelnen Spannglieds ermittelt werden. Die beiden Teile des Zylinders oberhalb und unterhalb des Lastangriffspunktes seien lang. Bild 5.3-30 zeigt den Zylinder und das gewählte Grundsystem.

h

2

x

V

l

P =

X 1

P /2 P /2 a

x 1

X

λl 1 > 4 λl 2 > 4

1

l

ξ = λx a

ξ = λx b

a Bild 5.3-30:

Zylinder mit einem Einzelspannglied (a) und gewähltes Grundsystem (b)

Wenn P je zur Hälfte am oberen und unteren Zylinderteil angesetzt wird, tritt nur das Biegemoment als statisch Unbestimmte auf. Die Formänderungswerte lauten δ11 =

2 Kλ

und

δ10 = −

P 1 P ⋅2⋅ =− . 2 2 2Kλ 2Kλ2

Daraus ergibt sich X1 = −

δ10 P . = δ11 4λ

Die Schnittgrößen erhält man durch Überlagerung der Wirkungen der Randlasten R = -P/2 und M = X1 mit Hilfe von Tafel 20 und 21. Für den unteren Teil gilt neben nx = 0 und mϑ = μmx

5.3 Die Biegetheorie

n ϑ = −2

P P 2 Paλ Paλ aλη′′′ + 2 aλ η′′ = (−2η′′′ + η′′) = − ⋅ η , (5.3.154) 2 4λ 2 2

P P P P η′ + η= (−2η′ + η) = η′′ , 2λ 4λ 4λ 4λ

(5.3.155)

P P P P η′′ − 2 λη′ = − (η′′ + η′) = − η′′′ . 2 4λ 2 2

(5.3.156)

mx = − q=−

235

Die Schnittgrößen des oberen Teils ergeben sich aus den vorstehenden Gleichungen, indem ξ durch⎯ξ ersetzt und das Vorzeichen von q umgekehrt wird.

l

2

5.3.8.4 Einflußlinien für Schnittgrößen infolge radialer Linienlasten

P m

λl 1 ≥ 4

n

l

1

λl 2 ≥ 4

Bild 5.3-31:

Gültigkeitsbereich der Einflußlinien für Schnittgrößen der Zylinderschale

Wenn der Lastangriffspunkt m und der Aufpunkt n so weit von den Enden des Zylinders entfernt liegen, daß die in Bild 5.3-31 angegebenen Bedingungen erfüllt sind, dann gilt für die Schnittgrößen Snm = Smn. Das bedeutet, daß Laststelle und Aufpunkt vertauscht werden dürfen. Dabei muß nur das Vorzeichen der Querkraft umgekehrt werden. Demnach lassen sich die Zustandslinien (5.3.154) bis (5.3.156) als Einflußlinien mit dem Lastangriffspunkt als Aufpunkt deuten, wenn P = 1 gesetzt wird. Man erhält aλ ⋅η, 2

(5.3.157)

"mx "=

1 ⋅ η′′ , 4λ

(5.3.158)

" q" = ±

1 ⋅ η′′′ . 2

(5.3.159)

" n ϑ" = −

236

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Bei „q“ gilt das Pluszeichen für Lasten unterhalb, das Minuszeichen oberhalb des Aufpunktes. Durch Auswertung der vorstehenden Gleichungen kann mit geringem Aufwand der Einfluß einzelner Spannglieder bestimmt werden. Die Auswertungsformeln lauten aλ ΣPi ⋅ ηi , 2

(5.3.160)

1 ΣPi ⋅ η′i′ , 4λ

(5.3.161)

1 q = m ΣPi ⋅ η′i′′ . 2

(5.3.162)

nϑ = − mx =

Sie sollen im folgenden Beispiel (siehe Bild 5.3-32) angewendet werden.

2

D x

l

2

h P P P

l

1

D x

1

a Bild 5.3-32:

a = 10,00 m h = 0,20 m μ = 0,2 λ = 0,921 m −1 Δx = 0,55 m λl 1 ≥ 4 , λl 2 ≥ 4 P = V/a

Beispiel zur Berechnung von Schnittgrößen infolge mehrerer Spannglieder

Gesucht seien die Schnittgrößen nϑ, mx und q an den Stellen 1 und 2. Die drei gleichen Spannglieder liegen im Abstand Δξ = λΔx = 0,921⋅0,55 = 0,50. Unter Verwendung der Tafel 20 erhält man aλP (1 + 2 ⋅ 0,8231) , 2 aλP n ϑ2 = − (1 + 0,8231 + 0,5083) , 2 P m x1 = (1 + 2 ⋅ 0,2415) , 4λ P mx2 = (1 + 0,2415 − 0,1108) . 4λ Die Querkräfte sind an den Lastangriffspunkten unstetig. Es werden die Werte unmittelbar oberhalb Punkt 1 und 2 berechnet: n ϑ1 = −

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

237

P (1 + 0,5323 − 0,5323) , 2 P = (1 + 0,5323 + 0,1988) . 2

q1,0 = q 2, 0

5.4 Beispiele zusammengesetzter, Flächentragwerke

rotationssymmetrischer

In diesem Abschnitt sollen einige Beispiele für aus mehreren Elementen bestehende Flächentragwerke behandelt werden. Die Berechnungen betreffen dabei im wesentlichen die durch das Zusammenwirken aufgeworfenen Probleme und werden nur sparsam kommentiert. Die gewählten Beispiele sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Nr.

System und Belastung

Nr.

System und Belastung

p

1

5

p

k u rz e r Z y lin d e r i

System und Belastung

Nr.

g

9

K u g e ls c h a le g

g p

2

g

6

10

T , D T

g K u g e ls c h a le

P

g

7

3

g

4 g

k u rz e r Z y lin d e r

P T o r u s s c h a le

p

8

11 g

s

K u g e ls c h a le

Da es bei den Beispielen im wesentlichen auf die theoretischen Zusammenhänge, d.h. auf die Ansätze und Rechenabläufe, ankommt, wurde bewußt auf die Verwendung der diesem Buch beigefügten CD-ROM verzichtet.

238

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

5.4.1 Kreisplatte auf zwei konzentrischen Zylindern

h

p

p

X h z

z

l

h

i

a

b a

b Bild 5.4-1:

1

b / a = 0,6 μ = 0,2

a

Kreisplatte mit Teilflächenlast p auf zwei konzentrischen Zylindern (a) und gewähltes Grundsystem (b)

Normalkräfte im Grundsystem • infolge X1 = 1:

n xi = −1 ,

• infolge p:

n xi = 0 ,

n xa = +

b , a

1 b2 . n xa = − p 2 a

Formänderungswerte und statisch Unbestimmte: δ11 = 0,06131 ⋅

l ⎛ a3 b⎞ + ⎜1 + ⎟ , K P Eh z ⎝ a⎠

δ10 = −0,02426

l pb 2 pa 4 − , K P Eh z 2a

X1 = −

δ10 . δ11

Endgültige Schnittgrößen • in den Zylindern:

n i = −X1 ,

na = −

pb 2 b + X1 , 2a a

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

• in der Platte:

239

m = m o + X1m1 (Verlauf nach Tafel 9).

5.4.2 Zylindrischer Behälter mit doppelt gelagerter Kreisringplatte am oberen Rand

p h h

X X

p

2

1

3

X z

X 2

X 5

l

g

X

b a

1

λl > 4

X b

Bild 5.4-2:

b / a = 0,5 μ = 0,2 4

a Berechnungsbeispiel (a) und gewähltes Grundsystem (b)

Es soll nur das Einspannmoment mr(b) der Kreisringplatte infolge Wasserfüllung und Verkehrslast berechnet werden. Formänderungswerte: 2 ⎞ ⎛ ⎜ 0,8 + 1,2 a ⎟ + 1 , ⎜ b 2 ⎟⎠ 2K z λ3 ⎝ 1 μa , δ13 = 0 + , δ12 = 0 + 2 Eh 2K z λ z δ14 = δ15 = δ 24 = δ 25 = δ 35 = 0 ,

δ11 =

1 b3 Eh p a 2 − b 2

δ 22 = 0,97222

a 1 a2 , δ 23 = −0,39298 + +0, K p K zλ Kp

a3 l μa , δ 34 = , + K p Eh z Eh z 1 1 1 , δ 45 = , δ 55 = , δ 44 = 3 2 K zλ 2K z λ 2K z λ δ 33 = 0,18506

240

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

δ10 = 0 , δ 20 = 0,12311 ⋅ δ 30 = −0,06053 ⋅

pa 3 a2 − γ, K p Eh z

pa 4 μal 2 a 2l a2 + γ , δ 40 = γ , δ 50 = γ, K p 2Eh z Eh z Eh z

Nach Lösung des Gleichungssystems lautet das gesuchte Einspannmoment mr(b) = -X2. 5.4.3 Zylindrischer Wasserbehälter mit Bodenplatte

l

g

a Bild 5.4-3:

Stehender, wassergefüllter Zylinder mit Bodenplatte

Wird der in Bild 5.4-3 dargestellte Behälter nach der üblichen baupraktischen Vereinfachung am durch seine Mittelflächen gebildeten System berechnet, so wird die Belastung zu hoch eingeschätzt. Der Wasserdruck wirkt nämlich auf die kleineren, benetzten Flächen. In Bild 5.4-4 werden der genaue und der baupraktische Ansatz gegenübergestellt. Der Wasserdruck an der Plattenoberkante beträgt

(

)

pp = γ l − h p / 2 .

Derselbe Druck wirkt auch radial auf die Innenfläche des Zylinders an dessen unterem Ende. Um die auf die Mittelfläche bezogene Belastung zu erhalten, muß pP entsprechend (4.4.1) mit dem Verhältnis a / a multipliziert werden, so daß sich pz = pp ⋅

(

)

a − hz / 2 a = γ l − hp / 2 ⋅ a a

ergibt. Demgegenüber wird gewöhnlich bei Platte und Zylinder mit dem Wert p = γl

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

241

gerechnet. Der Unterschied zu pP und pZ beträgt z.B. bei einem Behälter mit den Maßen a = 2,50 m, l = 5,00 m, hP = 0,30 m und hZ = 0,20 m ca. 3 bzw. 7 %. Hinzu kommt die Ungenauigkeit bei der Erfassung der Bauwerksgeometrie im Eckbereich. h z

a: p z

b

a X

2

X

X p

X

h

X

X

1

X

2

X

1

X

pz = pp ⋅ 1

2

Q a Genauer (a) und baupraktischer (b) Berechnungsansatz

5.4.4 Kurzer Zylinder mit Deckplatte auf schrägem Lager

X

h

X

h

l

A

a a

a = 4,00 m

2

a

b

1

2

X 1

B Bild 5.4-5:

l = 0,90 m h = 0,18 m

X

Berechnungsbeispiel (a) und gewähltes Grundsystem (b)

)

a − hz / 2 a

b: p = γl

a 1

1 pp a 2 pp = γ 1 − h p / 2

Q=

(

2

p

3

3

a Bild 5.4-4:

X 4

X

X

4

p

p

l

p

α = 45° μ=0 γ = 25 kN / m 3

242

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Für das in Bild 5.4-5 dargestellte Tragwerk sollen die Biegemomente der Kreisplatte infolge Eigengewicht berechnet werden. Belastung und Lagerkräfte: g = γh = 4,5 kN / m 2 , A =

ga = 9,00 kN / m , B v = B h = A + gl = 13,05 kN / m 2

Festwerte: E 12(1 − μ 2 ) = = 2057,6 K h3 4

λ=

3(1 − μ 2 )

= 1,551 ah λl = 1,396 ≈ 1,4 < 4 → kurzer Zylinder

Formänderungswerte • der Platte/Scheibe: a E = 22,2 , Eδ12 = 0 , Eδ 22 = ⋅ a = 8230,4 h K E ga 3 = 0 , Eδ 20 = = 74074 K 8

Eδ11 = Eδ10

• des Zylinders: λl = 1,4 : H1 = 1,480 , H 2 = 0,676 , H 3 = 1,731 H 4 = 0,707 , H 5 = 1,606

E H1 E H3 = 408,1 , Eδ12 = − = −740,3 3 K 2λ K 2λ2 E H5 Eδ 22 = = 2130,6 K λ E Bh ⋅ H 2 E Bh ⋅ H 4 Eδ10 = − = −2432,5 , Eδ 20 = = 7891,7 K 2λ3 K λ2

Eδ11 =

• gesamt: Eδ11 = 22,2 + 408,1 = 430,3 , Eδ12 = 0 − 740,3 = −740,3 Eδ 22 = 8230,4 + 2130,6 = 10361 Eδ10 = 0 − 2432,5 = −2432,5 , Eδ 20 = 74074 + 7892 = 81966

Gleichungssystem und Lösung:

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

X1

X2

430,3 -740,3

-740,3 10361

X1 = −9,07 kN / m

2432,5 –81966

X 2 = −8,56 kNm / m

Plattenmomente: m r (a ) = X 2 = −8,56 kNm / m ga 2 ⋅ 3 = 4,94 kNm / m = m ϕ (0) 16 ga 2 m ϕ (a ) = X 2 + ⋅ 2 = 0,44 kNm / m 16 m r (0) = X 2 +

Der Momentenverlauf ist in Bild 5.4-6 dargestellt.

m

0 ,4 4

+

r

q u a d r. P a ra b e l

[k N m /m ]

Bild 5.4-6:

+ 4 ,9 4

4 ,9 4

8 ,5 6

q u a d r. P a ra b e l

-

m j

Verlauf der Plattenmomente

5.4.5 Kurzer Zylinder mit zwei Kreisplatten unter Innendruck

X

h

0 ,5 0

a

h

h 2 ,0 0

[m ]

p i = 80 kN / m

p i

2

h = 4 cm E = 210 GN / m μ = 0,3

p

2

p

2

X

A X

X A X

Berechnungsbeispiel (a) und gewähltes Grundsystem (b)

X 1

X 1

2

X 2

1

2

i

i

b Bild 5.4-7:

243

1

244

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Gesucht ist die Randverdrehung der Kreisplatte infolge des Innendrucks pi. Aus Symmetriegründen werden Lastgruppen (siehe z.B. [1.16] oder [1.17]) als statisch Unbestimmte angesetzt. Festwerte: E 12(1 − μ 2 ) = = 170.625 K h3 λ=

4

3(1 − μ 2 )

= 4,545 ah λl = 2,27 < 4 → kurzer Zylinder

Formänderungsgrößen • der Platte/Scheibe: Eδ11 =

E a a = 262.500 (1 − μ) = 35,0 , Eδ12 = 0 , Eδ 22 = K 1+ μ h

Eδ10 = 0 , Eδ 20 = −

E pia 3 = −10.500.000 K 8(1 + μ)

• des Zylinders: λl = 2,27 : H1 = 1,071 , H 4 = 0,165 ,

H 2 = 0,306 ,

H 3 = 1,053

H 5 = 1,027 ,

H 6 = 0,031

E 1 (H1 − H 2 ) = 695,3 K 2λ3 E 1 (H 3 − 2H 4 ) = 2.986,5 Eδ12 = K 2λ2 E 1 Eδ 22 = (H 5 − H 6 ) = 37.394 Kλ 1 A = p i a = 80 kN / m 2 a 2 p i μaA − = 8.000 − 1.200 = 6.800 Eδ10 = h h Eδ 20 = 0 Eδ11 =

• gesamt:

Eδ11 = 35,0 + 695,3 = 730,3 Eδ12 = 2.986,5

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

245

Eδ 22 = 262.500 + 37.394 = 299.894 Eδ10 = 6.800 Eδ 20 = −10.500.000

Gleichungssystem und Lösung: X1

X2

730,3 2.986,5

2.986,5 299.894

X1 = −158,97 kN / m

-6.800 10.500.000

X 2 = 36,60 kNm / m

Randverdrehung der Platte:

(

)

P P Eψ = E δ 20 + X 2 ⋅ δ 22 = −10.500.000 + 36,60 ⋅ 262.500

= −892.500 kN / m 2 892.500 ψ=− = −4,25 ⋅ 10 −3 (entgegen dem Drehsinn von X2) 210 ⋅ 10 6

5.4.6 Zylinder mit warmer Teilfüllung (Lastfall Temperatur)

h

l

2

x

a = 5,00 m

X

h = 0,20 m

2

X

l 1 = 6,00 m x

1

l 2 = 3,60 m

l

6

a

E = 30 ⋅ 10 kN / m a

μ = 0,2

X

1

2

2

b

α T = 1,0 ⋅ 10 −5 K −1

Bild 5.4-8: Zylindrischer Behälter mit Teilfüllung (a) und Grundsystem (b)

Im gefüllten Teil des Zylinders sind die gleichzeitig wirkenden Temperaturlastfälle T = +20 K und ΔT = Ti – Ta = +8 K zu berücksichtigen. Es sind die Schnittgrößen nϑ, mx und mϑ im Bereich des Flüssigkeitsspiegels gesucht.

246

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Festwerte: λ=

4

3(1 − μ 2 ) ah

= 1,303

Eh 3 = 20,83 ⋅ 103 kNm 12(1 − μ 2 ) α ΔT (1 + μ) = 10,00 kNm / m M=K T h K=

λℓ1 = 1,30 ⋅ 6,00 = 7,80 ≈ 2 ⋅ 4 → Die Randstörungen überlagern sich nicht. λℓ2 = 1,30 ⋅ 3,60 = 4,68 > 4 → langer Zylinder

Formänderungswerte: 1 , δ12 = 0 , δ 22 = Kλ3 δ10 = −aα T T , Lastfall T: M , Lastfall ΔT: δ10 = − 2Kλ2 δ11 =

2 Kλ δ 20 = 0

δ 20 = +

M Kλ

Gleichungssystem und Lösung: X1

X2

LF T

LF ΔT

1 / Kλ3 0

0 2 / Kλ

+aα T T 0

+ M / 2Kλ2 −M / Kλ

Lastfall T : X1 = aα T TKλ3 = 46,06 kN / m , X 2 = 0 M Mλ , X2 = − Lastfall ΔT : X1 = 2 2

Schnittgrößen im Lastfall T: • oben: n ϑ = 2X1aλη′′′ = 600,0 η′′′ X1 η′ = 35,4 η′ λ m ϑ = μm x = 7,1 η′

mx =

• unten: Es gelten dieselben Gleichungen mit umgekehrtem Vorzeichen.

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

247

Schnittgrößen im Lastfall ΔT: • oben: n ϑ = 2X1aλη′′′ + 2X 2 aλ2 η′′ = Maλ2 (η′′′ − η′′) = Maλ2 η′ = 84,9 η′ X1 M η′ + X 2 ⋅ η = (η′ − η) = −5,0 η′′′ λ 2 m ϑ = μm x = −1,0 η′′′ mx =

• unten: Im unteren Teil sind außer X1 und X2 die Schnittgrößen des Grundzustands nach Bild 5.3-25 zu berücksichtigen. n ϑ = 2Maλ2 η′′ − 2X1aλη′′′ + 2X 2 aλ2 η′′ = Maλ2 (η′′ − η′′′) = −84,9 η′ X1 η η′ ⎞ η′′′ ⎞ ⎛ ⎛ η′ + X 2 ⋅ η = M⎜ − 1 + − ⎟ = 10,0 ⎜ − 1 + ⎟ λ 2 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ X m ϑ = M (−1 + μη) − μ 1 η′ + μX 2 η λ μ μ ⎞ η′′′ ⎞ ⎛ ⎛ = M⎜ − 1 + η − η′ ⎟ = 10,0 ⎜ − 1 + ⎟ 2 2 ⎠ 10 ⎠ ⎝ ⎝

m x = M (−1 + η) −

In den folgenden drei Bildern ist der Verlauf der berechneten Schnittgrößen dargestellt.

x 1

1 1 9 ,3

+

6 0 0

0

3 1 9 ,4

1

1 1 9 ,3

3 1 9 ,4 6 0 0

-

+ 3 Bild 5.4-9:

2 4 ,7

3 3 ,8

1 0 ,4

3 9 ,5

4 ,2

L a s tfa ll T

1 4 5 ,6

2 4 ,7

+

6 0 0

-

1 8 ,9

2 9 ,6

x

+

2 6 ,3

9 ,5

2

2 6 ,3

0 ,6

L a s tfa ll D T

Verlauf der Ringkräfte nϑ [kN/m] infolge T und ΔT

3 4 4 ,1

3 4 4 ,1 6 0 0

-

1 4 5 ,6 2 8 ,4 2 3 ,4

+

3 5 ,3 2 9 ,0

L a s tfa ll T + D T

248

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Die Ringkräfte nϑ verlaufen antimetrisch (siehe Bild 5.4-9). In Höhe des Flüssigkeitsspiegels tritt ein Sprung auf. Der Anteil aus dem Lastfall ΔT ist verhältnismäßig klein. Er wurde in größerem Maßstab dargestellt.

x 1

+

1 1 ,0

1 ,0

1 0 ,3

2 ,7

1 0 ,0

+

5 ,0

0 1 0 ,3

1

1 1 ,0

2

3 x Bild 5.4-10:

-

1 7 ,6

7 ,3 9 ,0

-

2 0 ,0

7 ,9

9 ,9

1 7 ,8

4 ,4

1 0 ,3

1 4 ,7

1 0 ,3

1 2 ,0

1 0 ,2

1 0 ,4

L a s tfa ll T

L a s tfa ll D T

-

L a s tfa ll T + D T

Verlauf der Biegemomente mx [kNm/m] infolge T und ΔT

Aus Bild 5.4-10 geht hervor, daß die Längsmomente mx im unteren Teil des Zylinders aus den Lastfällen T und ΔT von gleicher Größenordnung sind. Bei den Ringmomenten mϑ (siehe Bild 5.4-11) spielt der Lastfall ΔT die Hauptrolle. In Höhe des Flüssigkeitsspiegels tritt ein Momentensprung auf. Der Behälter ist in Ringrichtung für Biegung mit Längskraft zu bemessen. Da die Ringkräfte nϑ im wesentlichen durch T hervorgerufen werden, während bei den Ringmomenten mϑ der Anteil infolge ΔT stark überwiegt, ist es wichtig, beide Lastfälle zu superponieren. Das gilt auch für die Längsrichtung, da T und ΔT ungefähr den gleichen Einfluß auf max mx haben.

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

x 1

2 ,1 9

+

0 ,2 0

2 ,0 6

0 ,5 3 1 ,0 0

0 2 ,0 6

1

2 ,1 9

2

3

9 ,8 0

Bild 5.4-11:

9 ,0 0

9 ,0 0

1 ,0 0 1 1 ,5 3

-

-

1 1 ,9 9

1 ,5 7

9 ,9 8

1 1 ,5 5

0 ,8 7

1 0 ,0 1

1 0 ,8 8

0 ,3 5

1 0 ,0 7

1 0 ,4 2

0 ,0 5

1 0 ,0 5

1 0 ,1 0

L a s tfa ll T x

1 ,5 3

9 ,4 7

-

1 ,9 9

+ -

249

L a s tfa ll D T

L a s tfa ll T + D T

Verlauf der Biegemomente mϑ [kNm/m] infolge T und ΔT

5.4.7 Zylinder auf Torusschale

j j u

r J

b Bild 5.4-12:

o

l

P a

a = 6,00 m

E rs a tz k e g e l

H a

b r

b = 2,00 m l = 4,00 m P

h = 0,20 m

o

r

A

u

X 1

ϕ o = 40° ϕ u = 80° μ = 0,2 P = 25 kN / m

Berechnungsbeispiel (a) und Grundsystem (b)

Gesucht sind die Schnittkräfte nϕ und nϑ am unteren Schalenrand sowie die Auflagerkräfte A und H.

250

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Geometrie: r = b + a sin ϕ ,

ro = 5,86 m , ru = 7,91 m r b + a sin ϕ = rϕ = a = 6,00 m , rϑ = sin ϕ sin ϕ

Ersatzkegel: su =

ru = 45,55 m cos ϕ u

λu =

tan ϕ u hs u

3(1 − μ 2 ) = 1,028 < λ o

ϕu − ϕo = 4,19 m 360 λ u (s u − s o ) = 1,028 ⋅ 4,19 = 4,3 > 4 → lang

s u − s o ≈ 2πa ⋅

Die statisch Unbestimmten am oberen Rand der Torusschale wirken sich am Auflager nicht aus. Membrankräfte am unteren Rand: V = 2πro ⋅ P = 920 kN , Z = 0

⎞ ⎛ r V o , nϑ = − ⎜ rϑ Z + ϑ n ϕ ⎟ ⎟ ⎜ 2πr sin ϕ rϕ ⎠ ⎝ 920 =− = −18,80 kN / m 2π ⋅ 7,91 ⋅ sin 80° 1 7,91 =+ ⋅ ⋅ 18,80 = +25,16 kN / m 6,00 sin 80°

n ϕo = − n oϕu n oϑu

Formänderungswerte und statisch Unbestimmte: su 45,55 cos 2 ϕ u ( 2λ u s u − μ ) = cos 2 80°( 2 ⋅ 1,028 ⋅ 45,55 − 0,2) = 642 h 0,2 r Eδ10 = EΔruo = E ⋅ ru ε oϑu = u ( n oϑu − n ϕo u ) = 1144 h δ10 X1 = − = −1,782 kN / m δ11 Eδ11 =

Schnittkräfte am unteren Rand: n ϕu = n oϕu + X1 cos ϕ u = −18,80 − 0,31 = −19,11 kN / m n ϑu = n oϑu + 2X1λ u s u cos ϕ u = +25,16 − 28,98 = −3,82 kN / m

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

Pr obe : EΔru =

251

1 (−3,82 + 0,2 ⋅ 19,11) = 0 √ 0,20

Auflagerkräfte: A=

V = 18,51 kN / m 2πru

H = n oϕu ⋅ cos ϕ u + X1 = −18,80 ⋅ cos 80° − 1,782 = −5,05 kN / m

5.4.8 Kugelschale mit Fußring und Kreisringplatte

p

X

a = 5,00 m b = 0,46 m s

h

d /2

h

p

a

b

c

X

c = 2,00 m

X

h = 0,20 m

d /2

d

a a

A b

d = 1,00 m

V 1

H

α = 45° p s = 1,2 kN / m 2 μ = 0,2

a

1

p 2

P

s

B X 2

B

L

a R

a P

b Bild 5.4-13:

s

P

Berechnungsbeispiel (a) und Grundsystem (b)

Gesucht seien die Schnittgrößen des Kreisrings und die Verschiebung E⋅δ infolge Schneelast. Geometrie: a L = a cos α = 3,54 m ,

a R = a L + b / 2 = 3,77 m

a P = a L + b = 4,00 m ,

b P = a P + c = 6,00 m

252

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Kräfte am Grundsystem: p s a L 1,2 ⋅ 3,54 = = 2,12 kN / m 2 2 p 1,2 B = s b 2P − a 2P = (36 − 16) = 3,00 kN / m 2a P 2 ⋅ 4,00 H=V=

(

)

P = bp s = 0,46 ⋅ 1,2 = 0,55 kN / m

Formänderungswerte • der Kugelschale: 5,00 3 ⋅ 0,96 = 6,51 0,20

κ=

π = 5,1 > 4 → lang 4 h / a = 0,20 / 5,00 = 0,04 30°

→ steil

Eδ11 =

2aκ sin 2 α 2 ⋅ 5,00 ⋅ 6,51 ⋅ 0,5 = = 162,84 h 0,20

Eδ10 =

a 2 ps 5,00 2 ⋅ 1,2 sin α(μ − cos 2α) = sin 45°(0,2 − cos 90°) = +10,61 2h 2 ⋅ 0,20

• der Scheibe: Eδ 22 =

1 4,003 0,20 6,00 2 − 4,00 2

2 ⎞ ⎛ ⎜ 0,8 + 6,00 ⋅ 1,2 ⎟ = 56,00 2 ⎟ ⎜ 4,00 ⎠ ⎝

Eδ 20 = 0

• des Kreisrings: V H S

R So = H ⋅

P M

S o

R

aL 3,54 = 2,12 ⋅ = 1,99 kN / m aR 3,77

M So = − H ⋅ S o

a d aL b ⋅ + V ⋅0 − P⋅ − B⋅b P 2 aR 2 aR

B

= −1,99 ⋅ 0,50 − 0,55 ⋅ 0,23 − 3,00 ⋅ 0,46 = −2,59 kNm / m

4,00 3,77

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

Eδ 20 =

253

R So ⋅ a 2R 1,99 ⋅ 3,77 2 = = 61,49 bd 0,46 ⋅ 1,00

6M So ⋅ a 2R 6 ⋅ 2,59 ⋅ 3,77 2 = − − = −541,64 61 , 49 bd 2 0,46 ⋅ 1,00 2 4a ⋅ a 4 ⋅ 3,77 ⋅ 3,54 = 116,05 Eδ11 = R L = bd 0,46 ⋅ 1,00 a R ⋅ a p 3,77 ⋅ 4,00 = = 32,78 = −Eδ12 Eδ 22 = bd 0,46 ⋅ 1,00 a 3,54 Eδ 21 = L ⋅ Eδ12 = − ⋅ 32,78 = −29,01 aP 4,00

Eδ10 = − Eδ 20 +

• gesamt: Eδ11 = 162,84 + 116,05 = 278,89 Eδ10 = 10,64 − 541,64 = −531,03 Eδ 22 = 56,00 + 32,78 = 88,78 Eδ 20 = 0 + 61,49 = 61,49 Eδ12 = −32,78 Eδ 21 = −29,01

Gleichungssystem und Lösung: X1

X2

278,89 -29,01

-32,78 88,78

+531,03 –61,49

X1 = 1,896 kN / m X 2 = −0,073 kN / m

Schnittgrößen des Kreisrings: N = R So ⋅ a R − X1a L + X 2 a P = 1,99 ⋅ 3,77 − 1,896 ⋅ 3,54 − 0,073 ⋅ 4,00 = +0,50 kN M u = M So ⋅ a R + X1a L ⋅

d + X 2 ⋅ 0 = −2,59 ⋅ 3,77 + 6,71 ⋅ 0,50 = −6,40 kNm 2

Durchbiegung an der Plattenaußenkante: Die gesuchte Verschiebung δ setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, der Vertikalverschiebung der Platteninnenkante infolge der Ringverdrehung und der Biegeverformung der Kreisringplatte: Eδ = − Eϕ ⋅ b + E ⋅ w (b P )

254

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

• Ringverdrehung: Eϕ =

12 M s a 2R 12 M y a R 12 ⋅ 6,40 ⋅ 3,77 = =− = −629,4 3 3 bd bd 0,46 ⋅ 1,00 3

• Biegeverformung der Kreisringplatte: 6,00 E 12(1 − μ 2 ) = 1,5 , = = 1440 4,00 K h3 E Ew (b P ) = ⋅ 0,21530 ⋅ p s a 4P = 1440 ⋅ 0,21530 ⋅ 1,2 ⋅ 4,00 4 = 95.242 K

β=

• Gesuchte Verschiebung: Eδ = +629,4 ⋅ 0,46 + 95.242 = 95.532 kN / m = 95,5 MN / m

h

5.4.9 Kegelstumpfförmiger Behälter mit Kuppel und Bodenplatte

r

l = 5,00 m o

a u

h = 0,30 m α = 115°

h

l

j

a = 7,00 m

a

ϕ u = 60° μ = 0,2

h

a

γ = 25 kN / m 3

r u

Bild 5.4-14:

System Kugelschale/Kegelschale/Bodenplatte

Gesucht seien die statisch Unbestimmten des in Bild 5.4-14 dargestellten Behälters infolge Eigengewicht.

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

255

g j u

X X

A T

X

1

2

R 1

X g

2

r

H1 = A cos ϕ u u

V1 = A sin ϕ u R = H1 + V1 cot α

X V B

X

H 2 = B cos α 3

V2 = B sin α 4

2

H

g

2

X X A

T a

j

V

4

A 1

j u

R Bild 5.4-15:

3

H

V B a

u 1

H

2

2

Gewähltes Grundsystem und an ihm wirkende Kraftgrößen

Weil die beiden Schalen nicht tangential ineinander übergehen, entsteht an der Kontaktstelle bereits im Grundsystem ein Biegezustand. Die Auflagerkraft der membrangelagerten Kugelschale ist, wie in Bild 5.4-15 dargestellt, in eine Komponente T in Richtung der Erzeugenden des Kegels und in eine horizontale Radialkraft R zu zerlegen. Geometrische Werte: ro = a sin ϕ u = 6,06 m , s o = ro / cos α = 14,34 m ,

ru = ro − l cot α = 3,73 m s u = ru / cos α = 8,83 m

256

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Kräfte im Grundzustand: g = γh = 25 ⋅ 0,30 = 7,50 kN / m 2 ga A= = 35,00 kN / m 1 + cos ϕ u H1 = 17,50 kN / m , V1 = 30,31 kN / m R = 17,50 + 30,31 ⋅ cot 65° = 31,63 kN / m B=

(

)

V1ro g r2 − r2 + o u = 54,34 + 59,92 = 114,26 kN / m ru sin α ru sin 2α

H 2 = 48,29 kN / m , V2 = 103,55 kN / m

Festwerte und Schaleneigenschaften: E 12(1 − μ 2 ) = = 426,7 K h3

• Kugelschale: a 3(1 − μ 2 ) = 6,29 h π κϕu = 6,29 ⋅ = 6,6 > 4 → lang 3 h / a = 0,30 / 7,00 = 0,04 30° → steil κ=

• Kegelschale: tan α 3(1 − μ 2 ) , λ o = 0,920 , λ u = 1,172 hs λ o (s o − s u ) = 0,920(14,34 − 8,83) = 5,1 > 4 → lang

λ=

h / ru = 0,30 / 3,73 = 0,08 4 2,700 >4 3,124

x ξ = λ u x s = so + x 1,952 3,124 3,69 2,215 2,861 3,38 2,478 2,598 3,07 2,741 2,335 2,76 3,514 1,562 1,84 3,805 1,271 1,5 4,228 0,848 1,0 4,652 0,424 0,5 5,076 0 0

η′

η′

η

mϕ

0 0,2908 0,3096 0,2226 0,0088 -0,0109 ~0 ~0 ~0

-0,0130 -0,0080 0,0033 0,0236 0,1531 0,2226 0,3096 0,2908 0

-0,0343 -0,0411 -0,0430 -0,0351 0,1109 0,2384 0,5083 0,8231 1

0 -3,50 -3,69 -2,60 +0,14 +0,42 +0,22 -0,20 -0,99

264

5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung

Bild 5.4-22 zeigt den Verlauf des Biegemoments mϕ in der Kegelschale.

s 0

2

3, 0 3, 50 2, 69 60

1 3 2

4

ϕ

0, 4

2

0, 14

x

m

0, 2

5 6 8

-

x

0, 99

+

0, 20

7

[k N m /m ]

Bild 5.4-22:

Verlauf des Biegemoments mϕ in der Kegelschale

Schnittgrößen des Rings (siehe Bild 5.4-20): R S = R So − X1

a a − X3 = 13,80 − 4,00 − 0,77 = 9,03 kN / m aR aR

d ⎛ d ⎞ a ⎛ ⎞ a M S = M So + ⎜ X1 − X 2 ⎟ + ⎜ − X3 + X4 ⎟ ⎝ 2 ⎠ aR ⎝ ⎠ aR 2 = −1,752 + 1,820 − 0,017 = 0,085 kNm / m N = R S ⋅ a R = 37,93 kN M y = M S ⋅ a R = 0,36 kNm

Schnittgrößen des Zylinders: Mit ξ = λx und ⎯ξ = λ x (siehe Bild 5.4-21) sowie η = η(ξ) und η = η( ξ ) gilt nx = −B n ϑ = aγ (d + x ) + 2X 3aλη′′′ + 2X 4 aλ2 η′′ + 2 X 5aλ η ′′′ + 2 X 6 aλ2 η ′′ X3 X η′ + X 4 η + 5 η′ + X 6 η = 0,56 η′ + 0,20 η − 29,06 η′ + 13,72 η λ λ m ϑ = μm x mx =

q = X 3 η′′ − 2X 4 λη′ − X 5 η ′′ + 2 X 6 λ η′

5.4 Beispiele zusammengesetzter, rotationssymmetrischer Flächentragwerke

265

Die Gleichung für mx wird in der folgenden Tabelle für ξ und⎯ξ = 0,5; 1,0; 1,5 sowie für die Viertelspunkte des Zylinders ausgewertet. Pkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 0 0,343 0,687 1,030 1,50 3,00 4,50 4,970 5,313 5,657 6,00

ξ = λx 0 0,5 1,0 1,5 2,18 >4 >4 >4 >4 >4 >4

ξ = λx x >4 6,00 5,657 > 4 5,313 > 4 4,970 > 4 >4 4,50 >4 3,00 1,50 2,18 1,030 1,5 0,687 1,0 0,343 0,5 0 0

η′

η 1 0,8231 0,5083 0,2384 0,0280 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0

0 0,2908 0,3096 0,2226 0,0927 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0

η′

η

~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 0,0927 0,2226 0,3096 0,2908 0

~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 0,0280 0,2384 0,5083 0,8231 1

Bild 5.4-23 zeigt den Verlauf des Biegemoments mx. 0

0 ,2 0 0 ,3 3 0 ,2 7 0 ,1 7 0 ,0 6

x

m

3

0 x

Bild 5.4-23:

x

2 ,8 4

8

+

4 5

[k N m /m ] 1 3 ,7 2

+ 1

2

7

6

9

2 ,3 1 3 ,2 0 2 ,0 2

1 0

Verlauf des Biegemoments mx in der Zylinderschale

mx 0,20 0,33 0,27 0,17 0,06 0 -2,31 -3,20 -2,02 2,84 13,72

6 Hilfstafeln

Tafel 1: Schnittkräfte und Randverformungen von Kreis- und Kreisringscheiben infolge konstanter Radiallast

r

R a

r

b

R

R

Ra ⎛⎜ b ⎞⎟ 1− 2 r ⎟⎠ a 2 − b 2 ⎜⎝ 2

Δr

R

2

Δr (a ) =

Ra ⎛⎜ b ⎞⎟ 1+ 2 r ⎟⎠ a 2 − b 2 ⎜⎝ 2

2

Ra (1 − μ) Eh

Δr (a ) =

R a3 2 Eh a − b 2

Δr (b) =

2R a 2 b Eh a 2 − b 2

⎡ ⎤ b2 ⎢(1 − μ) + 2 (1 + μ)⎥ a ⎢⎣ ⎥⎦

2R ab 2 2 ⎛ 2 ⎞ Δr (a ) = − Rb a Eh a 2 − b 2 ⎞ − ⎜ Rb ⎛⎜ a + 1⎟ ⎟ 2 2 ⎜ 2 ⎟ − 1 a − b r ⎟ ⎝ ⎠ ⎤ a 2 − b 2 ⎜⎝ r 2 a2 R b3 ⎡ ⎠ Δr (b) = − ⎢(1 − μ) + 2 (1 + μ)⎥ 2 2 Eh a − b ⎣⎢ b ⎦⎥ 2

a r

nφ

R a

b

nr

2

2

y

1

l

x

20,8 20,4 20,2 20,4 20,8 21,5 22,3 23,3 24,5 25,8 27,2 30,7 34,9 40,2 45,9 52,1 57,8 63,5 69,4 74,9 80,6

30,2 118 28,0 108 26,2 96,2 24,8 87,8 23,8 78,3 23,0 70,5 22,4 63,1 22,0 56,6 21,7 50,8 21,6 45,5 21,6 41,2 21,7 35,1 22,0 31,1 22,8 28,2 23,6 26,4 24,4 24,9 25,4 24,0 26,6 23,5 27,8 23,1 29,0 22,8 30,2 22,8

34,2 32,3 30,9 30,0 29,2 28,7 28,4 28,3 28,3 28,7 29,4 31,7 34,7 38,6 43,2 48,5 54,0 59,4 65,2 71,3 77,6

–16,6 –15,2 –14,9 –13,7 –13,1 –12,7 –12,4 –12,1 –12,0 –11,9 –11,9 –12,0 –12,1 –12,5 –12,9 –13,3 –13,9 –14,4 –15,1 –15,8 –16,4

44,8 40,8 37,6 35,0 32,8 31,2 29,8 28,4 27,6 26,8 26,2 25,6 25,2 25,2 25,6 26,2 26,8 27,8 28,6 29,6 30,8

154 140 128 118 108 99,0 90,7 82,8 75,5 68,3 61,7 50,7 42,6 37,0 33,2 30,6 28,6 27,2 26,3 25,4 25,0

48,2 44,4 41,5 39,3 37,7 36,5 35,7 35,1 34,8 34,8 35,1 36,2 38,0 40,6 44,0 48,2 53,4 59,4 66,8 75,5 85,4

–24,0 120 –21,9 106 –20,0 93,2 –18,6 82,8 –17,5 73,3 –16,7 65,0 –16,0 57,8 –15,4 51,7 –14,9 47,0 –14,6 43,2 –14,3 40,2 –14,0 37,2 –13,8 35,0 –13,9 34,0 –14,0 33,5 –14,2 33,2 –14,7 33,5 –15,1 33,8 –15,7 34,4 –16,1 35,0 –16,8 35,8

mxf

mxs –24,4 –22,2 –20,5 –19,0 –17,9 –16,9 –16,1 –15,5 –15,0 –14,6 –14,3 –14,0 –13,8 –13,9 –14,0 –14,3 –14,7 –15,1 –15,6 –16,2 –16,8

myf 35,8 34,5 33,7 33,3 33,5 33,8 34,3 35,5 37,0 38,7 40,2 46,2 52,8 61,9 71,5 79,5 87,6 95,7 104 112 120

4

80,6 70,3 62,1 54,1 47,5 42,1 37,4 34,0 31,4 29,1 27,2 24,6 22,9 21,8 21,0 20,6 20,3 20,2 20,4 20,6 20,8

3

mxf myf mys –16,8 –15,7 –15,0 –14,5 –14,1 –13,9 –13,8 –13,8 –13,9 –14,1 –14,3 –15,0 –15,7 –16,6 –17,6 –18,6 –19,7 –20,8 –22,0 –23,2 –24,4

45,0 202 40,8 149 37,8 112 35,6 88,5 33,8 73,7 32,4 64,3 31,3 57,2 30,5 52,3 30,1 48,8 29,9 46,2 29,8 44,1 30,1 41,7 30,8 40,6 31,9 40,3 33,3 40,6 34,9 41,4 36,6 42,4 38,4 43,7 40,4 45,2 42,6 46,9 45,0 49,0

mys mxy mxf 37,4 36,9 36,9 37,4 38,7 39,8 41,8 44,5 47,8 51,7 55,9 66,4 78,2 89,6 101 113 126 140 156 174 194

myf –24,6 –22,5 –20,9 –19,6 –18,5 –17,6 –17,0 –16,6 –16,3 –16,2 –16,2 –16,3 –16,7 –17,2 –17,8 –18,7 –19,7 –20,7 –21,8 –22,9 –24,0

mxs

5

mxf myf mxy mxf myf mys mxy –17,6 –16,9 –16,4 –16,0 –15,8 –15,7 –15,9 –16,3 –16,9 –17,5 –18,3 –19,5 –20,9 –22,6 –24,4 –26,3 –28,0 –29,8 –31,5 –33,2 –35,4

mys 210 188 167 147 125 104 87,5 76,0 67,7 61,8 56,8 50,7 47,3 45,3 44,6 44,4 44,9 45,7 46,8 48,2 50,0

mxf 50,0 47,1 45,4 44,5 44,4 44,9 46,1 48,0 50,3 53,2 56,8 66,3 79,0 95,6 117 140 157 172 186 198 210

myf –35,0 –31,9 –29,2 –27,0 –25,0 –23,4 –22,2 –21,2 –20,4 –19,8 –19,4 –18,8 –18,6 –18,8 –19,2 –19,8 –20,5 –21,2 –22,1 –23,0 –24,0

mxs

6

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00

ℓy/ℓx

l –24,0 –22,2 –21,0 –20,1 –19,4 –18,9 –18,7 –18,6 –18,7 –19,0 –19,4 –20,2 –21,5 –22,9 –24,5 –26,2 –28,0 –29,7 –31,5 –33,2 –35,0

mys

268 6 Hilfstafeln

Tafel 2: Zahlentafel zur Berechnung der Momente vierseitig gelagerter Rechteckplatten infolge Gleichlast (μ = 0)

Nach STIGLAT/WIPPEL: Platten [3.5] m=p lx ⋅ly α

μ=0

6 Hilfstafeln

269

Tafel 3: Momentenbeiwerte nach PIEPER/MARTENS [2.11] für vierseitig gelagerte Rechteckplatten Feldmomente mxf und myf bei halber Einspannung mit μ = 0 , Stützmomente mxs und mys bei voller Einspannung: ql 2x ql 2 ql 2 ql 2 , m yf = x ; m xs = − x , m ys = − x fx fy sx sy

m xf =

Tafel 3.1

Stützung 1 l y

l x

ℓy/ℓx

fx

fy

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

27,2 22,4 19,1 16,8 15,0 13,7 12,7 11,9 11,3 10,8 10,4

27,2 27,9 29,1 30,9 32,8 34,7 36,1 37,3 38,5 39,4 40,3

→∞

8,0

’

Tafel 3.2.1

Stützung 2 l y

l x

Tafel 3.2.2

ℓy/ℓx

fx

fy

sy

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

32,8 26,3 22,0 18,9 16,7 15,0 13,7 12,8 12,0 11,4 10,9

29,1 29,2 29,8 30,6 31,8 33,5 34,8 36,1 37,3 38,4 39,5

11,9 10,9 10,1 9,6 9,2 8,9 8,7 8,5 8,4 8,3 8,2

→∞

8,0

’

8,0

ℓy/ℓx 1,0 Stützung 2‘ 1,1 1,2 1,3 1,4 ly 1,5 1,6 lx 1,7 1,8 1,9 2,0

fx

fy

sx

29,1 24,6 21,5 19,2 17,5 16,2 15,2 14,4 13,8 13,3 12,9

32,8 34,5 36,8 38,8 40,9 42,7 44,1 45,3 45,5 47,2 47,9

11,9 10,9 10,2 9,7 9,3 9,0 8,8 8,6 8,4 8,3 8,3

’

8,0

→ ∞ 10,2

270

6 Hilfstafeln

Tafel 3.3.1

Stützung 3

l y

l x

Tafel 3.3.2

ℓy/ℓx

fx

fy

sy

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

38,0 30,2 24,8 21,1 18,4 16,4 14,8 13,6 12,7 12,0 11,4

30,6 30,2 30,3 31,0 32,2 33,8 35,9 38,3 41,1 44,9 46,3

14,3 12,7 11,5 10,7 10,0 9,5 9,2 8,9 8,7 8,5 8,4

→∞

8,0

’

8,0

ℓy/ℓx 1,0 Stützung 3‘ 1,1 1,2 1,3 1,4 ly 1,5 1,6 lx 1,7 1,8 1,9 2,0

l y

l x

ℓy/ℓx

fx

fy

sx

sy

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

33,2 27,3 23,3 20,6 18,5 16,9 15,8 14,9 14,2 13,6 13,1

33,2 34,1 35,5 37,7 39,9 41,9 43,5 44,9 46,2 47,2 48,3

14,3 12,7 11,5 10,7 10,0 9,6 9,2 8,9 8,7 8,5 8,4

14,3 13,6 13,1 12,8 12,6 12,4 12,3 12,2 12,2 12,2 12,2

’

8,0

11,2

→ ∞ 10,2

fy

sx

30,6 26,3 23,2 20,9 19,2 17,9 16,9 16,1 15,4 14,9 14,5

38,0 39,5 41,4 43,5 45,6 47,6 49,1 50,3 51,3 52,1 52,9

14,3 13,5 13,0 12,6 12,3 12,2 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0

’

12,0

→ ∞ 12,0

Tafel 3.4

Stützung 4

fx

6 Hilfstafeln

Tafel 3.5.1

Stützung 5 l y

l x

Tafel 3.5.2

ℓy/ℓx

fx

fy

sx

sy

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

33,5 28,2 24,4 21,8 19,8 18,3 17,2 16,3 15,6 15,0 14,6

37,3 38,7 40,4 42,7 45,1 47,5 49,5 51,4 53,3 55,1 56,9

16,2 14,8 13,9 13,2 12,7 12,5 12,3 12,2 12,1 12,0 12,0

18,3 17,7 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5

’

12,0

17,5

→ ∞ 12,0

Tafel 3.6

Stützung 6

l y

l x

ℓy/ℓx

fx

fy

sx

sy

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

36,8 30,2 25,7 22,7 20,4 18,7 17,5 16,5 15,7 15,1 14,7

36,8 38,1 40,4 43,5 47,1 50,6 52,8 54,5 56,1 57,3 58,3

19,4 17,1 15,5 14,5 13,7 13,2 12,8 12,5 12,3 12,1 12,0

19,4 18,4 17,9 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5

’

12,0

17,5

→ ∞ 12,0

271

ℓy/ℓx 1,0 Stützung 5‘ 1,1 1,2 1,3 1,4 ly 1,5 1,6 lx 1,7 1,8 1,9 2,0

fx

fy

sx

sy

37,3 30,3 25,3 22,0 19,5 17,7 16,4 15,4 14,6 13,9 13,4

33,6 34,1 35,1 37,3 39,8 43,1 46,6 52,3 55,5 60,5 66,1

18,3 15,4 13,5 12,2 11,2 10,6 10,1 9,7 9,4 9,0 8,9

16,2 14,8 13,9 13,3 13,0 12,7 12,6 12,5 12,4 12,3 12,3

’

8,0

11,2

→ ∞ 10,2

272

6 Hilfstafeln

Tafel 4: Zahlentafel zur Berechnung der Biegemomente gelenkig gelagerter Rechteckplatten infolge eines sinusförmigen Randmoments Verlauf der Momente mx und my im Schnitt y = ℓy/2 x

(x ,l y/2 ) m

1 ,0

(0 ,y ) x

0 ,9 l

0 ,8

l y/l

0 ,7

x

y

y

1

m

x l

= ¥

0 ,6

S c h n itt y =

x

l

Randmoment: y

m x (0, y) = 1 ⋅ sin

/2

0 ,5 0 ,4

μ=0

2 ,0

1 ,5

0 ,3

1 ,0

0 ,2

Die Ränder sind frei drehbar gelagert.

0 ,5

0 ,1 0 ,1

0 ,3 1 ,5

m y

0 ,4

0 ,5

0 ,6

0 ,7

0 ,8

0 ,9

1 ,0

¥

2 ,0

0 ,1 0 ,2

0 ,2

(x ,l y/2 )

πy ly

x = x /l

(nach BITTNER [2.5]) x

x

1 ,0

l y/l x

= 0 ,5

Zahlenwerte mx und my ξ

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

mx

0,500 1,000 1,500 2,000

1,000 1,000 1,000 1,000

0,366 0,618 0,730 0,789

0,106 0,370 0,528 0,619

0,009 0,212 0,378 0,482

–0,021 0,114 0,266 0,371

–0,024 0,056 0,185 0,280

–0,020 0,023 0,125 0,206

–0,014 0,006 0,081 0,144

–0,008 –0,001 0,048 0,092

–0,004 –0,002 0,023 0,044

0,000 0,000 0,000 0,000

my

0,500 1,000 1,500 2,000

0,000 0,000 0,000 0,000

0,168 0,112 0,074 0,051

0,179 0,161 0,117 0,082

0,143 0,173 0,135 0,098

0,102 0,164 0,137 0,102

0,068 0,144 0,128 0,097

0,043 0,117 0,110 0,085

0,026 0,088 0,086 0,068

0,014 0,059 0,059 0,047

0,006 0,029 0,030 0,024

0,000 0,000 0,000 0,000

ly/lx

6 Hilfstafeln

273

h

Tafel 5: Schnittgrößen von Kreisplatten mit rotationssymmetrischer Belastung ρ=

r a

r a

Lastfall

Biegemomente

p

mr =

Querkraft

pa 2 (3 + μ)(1 − ρ 2 ) 16

[

pa 2 mϕ = 2(1 − μ) + (1 + 3μ)(1 − ρ 2 ) 16

2 a

[ [

ρ≤β

[

2 b 2 a mr =

ρ≥β

b a

β=

]

]

pa 2 κ − (3 + μ ) ρ2 16 pa 2 κ − (1 + 3μ ) ρ2 mϕ = 16 κ = 4 − (1 − μ ) β 2 − 4(1 + μ ) ln β β 2 mr =

p

1 q r = − pr 2

]

1 q r = − pr 2

]

⎤ 2 pa 2 ⎡ 2 1 ⎢(1 − μ ) β ( 2 − 1) − 4(1 + μ ) ln ρ⎥ β 16 ⎣ ρ ⎦

pa 2 ⎡ 1 2 mϕ = ⎢4(1 − μ ) − (1 − μ ) β (1 + 2 ) 16 ⎣ ρ

qr = −

1 pb 2 2 r

− 4(1 + μ ) ln ρ] β 2

P (1 + μ ) ln ρ 4π P [(1 − μ ) − (1 + μ ) ln ρ] mϕ = 4π

P

mr = −

P P

ρ≤β

2 a

b β= a

ρ≥β

2 b 2 a

m r = mϕ =

[

Pb (1 − μ )(1 − β 2 ) − 2(1 + μ ) ln β 4

mr =

⎤ Pb ⎡ 2 1 ⎢(1 − μ ) β ( 2 − 1) − 2(1 + μ ) ln ρ⎥ 4 ⎣ ρ ⎦

mϕ =

Pb ⎡ 1 2 ⎢2(1 − μ ) − (1 − μ ) β (1 + 2 ) 4 ⎣ ρ

qr = −

]

P 2πr

qr = 0

q r = −P ⋅

− 2(1 + μ ) ln ρ]

M 2 a

mr = mϕ = M

qr = 0

b r

274

6 Hilfstafeln

Tafel 6: Verformungen von Kreisplatten mit rotationssymmetrischer Belastung r a

h

w r a

ρ=

w '( a )

K=

Lastfall

w (r ) = 2 a

w ( 0) =

p

Randverdrehung w´(a)

[

pa 4 (5 + μ) − 2(3 + μ) ρ 2 + (1 + μ) ρ 4 64K (1 + μ)

[

pa 2 b 2 4(3 + μ ) − (7 + 3μ ) β 2 64 K(1 + μ ) + 4(1 + μ ) β 2 ln β 2 2

b a

w ( b) =

pa b 32 K

w( r ) =

]

−

⎡ 2(3 + μ ) − (1 − μ ) β (1 − β 2 ) ⎢ 1+ μ ⎢⎣ 2

+ 6β 2 ln β

P

w ( 0) = P

P 2 b 2 a

b a

M

⎤ Pa 2 ⎡ 3 + μ (1 − ρ2 ) + 2ρ2 ln ρ⎥ ⎢ 16πK ⎣ 1 + μ ⎦

−

Pa 3 + μ 16πK 1 + μ

[

w ( 0) =

Pa 2 b (3 + μ )(1 − β 2 ) + 2(1 + μ ) β 2 ln β 8K(1 + μ )

w ( b) =

Pa 2 b (3 + μ ) − (1 − μ ) β 2 (1 − β 2 ) 8K(1 + μ )

{[

+ 4(1 + μ )β 2 ln β

w (r ) =

pab 2 (2 − β 2 ) 8K (1 + μ)

]

2

2 a

pa 3 8K (1 + μ)

−

pa 5 + μ 64K 1 + μ

2 b 2 a

β=

]

4

w ( 0) =

2 a

12(1 − μ 2 )

Durchbiegungen w

p

β=

Eh 3

}

Ma 2 (1 − ρ 2 ) 2K (1 + μ)

Ma 2 w ( 0) = 2K (1 + μ)

]

Pa 4πK (1 + μ)

] −

Pab (1 − β 2 ) 2K (1 + μ)

−

Ma K (1 + μ)

6 Hilfstafeln

275

Tafel 7: Schnittgrößen von Kreisringplatten mit rotationssymmetrischer Belastung r

r

ρ=

2 a 2 b

2 b 2 a

Lastfall

r b , β= a a

Biegemomente

mr =

⎡ ⎞ 2 2 ⎛ 1 ⎢(3 + μ )(1 − ρ ) − β κ1 ⎜ 2 − 1⎟ ⎝ρ ⎠ ⎢⎣

pa 2 16

+ 4(1 + μ ) β 2 ln ρ

p

2

mϕ =

p

[

P

M

(

M

β2 1 − β2

ln β

mr = −

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ Pb (1 + μ ) ⎢ln ρ − κ 2 ⎜ 2 − 1⎟ ⎥ 2 ⎝ρ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢

mϕ = −

⎡ ⎛ 1 ⎞ 1− μ⎤ Pb (1 + μ ) ⎢ln ρ + κ 2 ⎜ 2 + 1⎟ − ⎥ 2 ρ ⎝ ⎠ 1 + μ ⎦⎥ ⎣⎢

κ2 =

β2 1 − β2

q r = −P

ln β

1 β 2 ⎛⎜ 1− 2 2 ⎜ 1− β ⎝ ρ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1 β 2 ⎛⎜ m ϕ = −M 1+ 1 − β 2 ⎜⎝ ρ 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

m r = −M M

]

pa (3 + μ ) − 4β 2 (1 − μ ) − (1 + 3μ ) ρ2 ) p 2 qr = − r − b2 16 2r ⎤ ⎛ 1⎞ + κ1β 2 ⎜1 + 2 ⎟ + 4(1 + μ ) β 2 ln ρ⎥ ⎝ ρ ⎠ ⎦⎥

κ 1 = (3 + μ ) + 4(1 + μ )

P

Querkraft

M ⎛⎜ β 2 ⎞⎟ 1− 1 − β 2 ⎜⎝ ρ 2 ⎟⎠ M ⎛⎜ β 2 ⎞⎟ mϕ = 1+ 1 − β 2 ⎜⎝ ρ 2 ⎟⎠

qr = 0

M

mr =

qr = 0

b r

)

276

6 Hilfstafeln

Tafel 8: Verformungen von Kreisringplatten mit rotationssymmetrischer Belastung r w '( b ) 2 b 2 a

w '( a )

w '( a )

w (b )

2 a 2 b

Lastfall

r

r b , β= a a Eh 3 K= 12(1 − μ 2 )

ρ=

w '( b )

w (b )

Durchbiegung w(b)

[

Randverdrehungen w´

p

]

2 pa 4 ⎧⎪ 2 1− β ⎨ (5 + μ ) − (7 + 3μ ) β 64 K ⎪⎩ 1+ μ

⎡ β2 − ⎢(3 + μ ) + 4(1 + μ ) 1 − β2 ⎣⎢ p

ln β] ⋅

P

⎫ 4 2 β ln β⎬ 1− μ ⎭

2

Pa b ⎡ 3 + μ (1 − β 2 ) ⎢ 8K ⎣ 1 + μ ⎤ 1+ μ β ln 2 β⎥ +4 2 1− μ 1− β ⎥⎦ 2

P

M

⎛ Mb 1 + μ ln β ⎞ − ⎜1 − 2 ⎟ 2 K(1 + μ ) ⎝ 1 − μ 1 − β2 ⎠ 2

M

M

w ′( a ) = −

⎤⎫⎪ ⎡ β2 ln β⎥⎬ ⎢(3 + μ ) + 4(1 + μ ) 2 1− β ⎥⎦⎪⎭ ⎣⎢ w ′( b) = −

pa 2 b ⎧ 1 [(3 + μ) ⎨ 8K(1 + μ ) ⎩1 − μ

+ 4(1 + μ )

w ′( a ) = −

1 − β2 w ′ ( b) = −

⎫⎪ ⎤ ln β⎥ − β 2 ⎬ 1− β ⎪⎭ ⎥⎦ β2

2

Pab ⎛ 1+ μ ⋅ ⎜1 − 2 2 K(1 + μ ) ⎝ 1− μ

β2

⎞ ln β⎟⎟ ⎠

Pb 2 ⎛ 1 + μ ln β ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ 2 K(1 + μ ) ⎝ 1 − μ 1 − β2 ⎠

w ′( a ) =

2 Mb β K (1 − μ 2 ) 1 − β 2

w ′( b) =

Mb 1 ⎛ 2 1+ μ⎞ ⎜β + ⎟ K (1 + μ ) 1 − β 2 ⎝ 1− μ⎠

w ′(a ) = −

M

β2 pa 3 ⎧⎪ 2 ⋅ ⎨1 − 2β + 8K(1 + μ ) ⎪⎩ 1− μ

Ma

1

⎛ 1 + μ 2⎞ β ⎟ ⎜1 + 1− μ ⎠

⎞ K(1 + μ ) 1 − β 2 ⎝ Ma 2 ⎛ 1 + μ β2 ⎜⎜1 − 2 ln β⎟⎟ 2 2K(1 + μ ) ⎝ 1− μ 1− β 1 ⎠ w ′( b) = − 2 Mb 2 2 K(1 − μ ) 1 − β

6 Hilfstafeln

Tafel 9: Zahlentafeln für Kreisplatten mit rotationssymmetrischer Vertikallast (μ = 0,2)

277

3 c

2 c

1 c

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

w '( a )

w (0 ) r

a

β

c

0

h

4

mr in den Punkten 2 3

0

1

0,158 0,232 0,271 0,287 0,283 0,261 0,221 0,165 0,091 0,000

0,086 0,190 0,271 0,287 0,283 0,261 0,221 0,165 0,091 0,000

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Faktor

0,017 0,036 0,056 0,079 0,106 0,137 0,174 0,165 0,091 0,000

4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

P⋅a

Faktor

β

0,042 0,088 0,141 0,205 0,283 0,261 0,221 0,165 0,091 0,000

a 4 b β= a c=

1

0,158 0,232 0,271 0,287 0,283 0,261 0,221 0,165 0,091 0,000

0,120 0,219 0,271 0,287 0,283 0,261 0,221 0,165 0,091 0,000

0,081 0,155 0,218 0,262 0,283 0,261 0,221 0,165 0,091 0,000 P⋅a

K=

Eh 3 11,52

w′(a )

Lastfall

–0,04125 –0,08000 –0,11375 –0,14000 –0,15625 –0,16000 –0,14875 –0,12000 –0,07125 –0,00000

0,057 0,110 0,157 0,193 0,217 0,224 0,210 0,165 0,091 0,000

4 0,040 0,077 0,109 0,134 0,150 0,154 0,143 0,115 0,068 0,000

P P 2 b 2 a

P ⋅a2 / K

mϕ in den Punkten 2 3

0

μ = 0,2

w ( 0)

w (b)

0,03242 0,06078 0,08287 0,09734 0,10334 0,10042 0,08842 0,06744 0,03780 0,00000

0,03177 0,05692 0,07270 0,07820 0,07387 0,06131 0,04325 0,02352 0,00705 0,00000

P ⋅ a3 / K

P ⋅ a3 / K

278

β 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

6 Hilfstafeln

0 0,009 0,029 0,055 0,083 0,111 0,139 0,163 0,182 0,195 0,200

mr in den Punkten 1 2 3 0,004 0,018 0,042 0,070 0,099 0,126 0,150 0,170 0,183 0,188

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Faktor

0,001 0,004 0,008 0,015 0,024 0,036 0,052 0,070 0,083 0,088

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

p⋅a2

Faktor

β

0,002 0,009 0,020 0,037 0,061 0,089 0,113 0,132 0,145 0,150

4

1

0,009 0,029 0,055 0,083 0,111 0,139 0,163 0,182 0,195 0,200

0,006 0,023 0,048 0,076 0,105 0,132 0,157 0,176 0,189 0,194

0,004 0,016 0,035 0,059 0,086 0,114 0,138 0,157 0,170 0,175 p⋅a2

–0,00207 –0,00817 –0,01791 –0,03067 –0,04557 –0,06150 –0,07707 –0,09067 –0,10041 –0,10417

Lastfall

p 2 b 2 a

p ⋅ a3 / K

mϕ in den Punkten 2 3

0

w′(a )

0,003 0,011 0,025 0,042 0,063 0,085 0,107 0,126 0,139 0,144

4 0,002 0,008 0,017 0,029 0,044 0,059 0,074 0,087 0,096 0,100

w ( 0)

w (b)

0,00164 0,00635 0,01359 0,02267 0,03277 0,04304 0,05255 0,06042 0,06575 0,06771

0,00160 0,00589 0,01167 0,01755 0,02215 0,02426 0,02304 0,01819 0,01009 0,00000

p⋅a4 / K

p⋅a4 / K

6 Hilfstafeln

279

Tafel 10: Zahlentafeln für am Innenrand gelagerte Kreisringplatten mit rotationssymmetrischer Vertikallast (μ = 0,2) w '( a )

h

4 3 2 1 0

b

β 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

w (b ) a

c c c c

r

0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

mr in den Punkten 1 2 3 –0,001 –0,005 –0,011 –0,020 –0,032 –0,046 –0,064 –0,084 –0,106 –0,131

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Faktor

–0,001 –0,006 –0,013 –0,023 –0,036 –0,050 –0,067 –0,086 –0,107 –0,130

–0,001 –0,004 –0,009 –0,015 –0,023 –0,032 –0,041 –0,052 –0,063 –0,075

b−a 4 b β= a c=

4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

P⋅a

Faktor

β

w '( b )

1

–1,165 –1,339 –1,522 –1,714 –1,914 –2,121 –2,335 –2,556 –2,784 –3,018

–1,131 –1,264 –1,399 –1,534 –1,670 –1,806 –1,943 –2,079 –2,215 –2,351

–1,099 –1,196 –1,291 –1,385 –1,476 –1,567 –1,656 –1,743 –1,830 –1,915 P⋅a

K=

w (b)

Eh 3 11,52

Lastfall

0,12018 0,27391 0,46338 0,69070 0,95791 1,26701 1,61994 2,01864 2,46500 2,96091

P 2 a 2 b

P ⋅ a3 / K

mϕ in den Punkten 2 3

0

μ = 0,2

–1,068 –1,134 –1,197 –1,258 –1,318 –1,376 –1,433 –1,489 –1,545 –1,600

4

–1,039 –1,077 –1,113 –1,149 –1,184 –1,218 –1,253 –1,287 –1,321 –1,355

w′(a )

w′(b)

1,21344 1,39503 1,58590 1,78552 1,99344 2,20924 2,43252 2,66293 2,90013 3,14382

1,19063 1,34586 1,50742 1,67537 1,84980 2,03078 2,21840 2,41274 2,61389 2,82191

P ⋅a2 / K

P ⋅a2 / K

280

β 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

6 Hilfstafeln

mr in den Punkten 2 3

0

1

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,001 0,003 0,007 0,012 0,017 0,023 0,029 0,035 0,040 0,044

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Faktor

0,001 0,003 0,007 0,011 0,017 0,023 0,029 0,036 0,043 0,051

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

p⋅a2

Faktor

β

0,001 0,004 0,009 0,016 0,023 0,031 0,039 0,048 0,056 0,065

4

1

–0,057 –0,128 –0,214 –0,316 –0,435 –0,573 –0,729 –0,905 –1,101 –1,318

–0,055 –0,120 –0,194 –0,279 –0,373 –0,478 –0,593 –0,717 –0,851 –0,995

–0,053 –0,113 –0,178 –0,249 –0,326 –0,407 –0,494 –0,586 –0,683 –0,785 p⋅a2

Lastfall

0,00585 0,02602 0,06468 0,12622 0,21530 0,33678 0,49577 0,69760 0,94780 1,25213

p 2 a 2 b

p⋅a4 / K

mϕ in den Punkten 2 3

0

w ( b)

–0,052 –0,107 –0,165 –0,226 –0,289 –0,355 –0,424 –0,495 –0,569 –0,645

4 –0,051 –0,102 –0,155 –0,208 –0,263 –0,319 –0,376 –0,434 –0,494 –0,555

w′(a )

w′(b)

0,05906 0,13285 0,22250 0,32903 0,45342 0,59656 0,75931 0,94247 1,14679 1,37299

0,05787 0,12752 0,20930 0,30359 0,41078 0,53129 0,66553 0,81397 0,97705 1,15525

p ⋅ a3 / K

p ⋅ a3 / K

6 Hilfstafeln

281

Tafel 11: Zahlentafeln für am Innenrand gelagerte Kreisringplatten mit Randmomenten (μ = 0,2) w '( a )

h

4 3 2 1 0

b

β 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

w (b ) a

c c c c

r

0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

mr in den Punkten * 1 2 3 0,278 0,304 0,330 0,354 0,378 0,400 0,422 0,442 0,461 0,480

Faktor

β 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Faktor

w '( b )

0,536 0,568 0,597 0,624 0,648 0,670 0,690 0,708 0,725 0,741

0,776 0,798 0,817 0,834 0,848 0,861 0,872 0,881 0,890 0,898

b−a 4 b β= a c=

4 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

11,524 6,545 4,899 4,083 3,600 3,282 3,058 2,893 2,766 2,667

mϕ in den Punkten * 1 2 3 11,246 6,241 4,569 3,729 3,222 2,882 2,637 2,451 2,305 2,187

10,988 5,977 4,301 3,459 2,952 2,612 2,368 2,184 2,041 1,926 M

* mr und mϕ sind unabhängig von μ

K=

Eh 3 11,52

w (b)

–1,19063 –1,34586 –1,50742 –1,67537 –1,84980 –2,03078 –2,21840 –2,41274 –2,61389 –2,82191

Lastfall

M 2 a 2 b

M ⋅a2 / K

M

0

μ = 0,2

10,748 5,747 4,081 3,250 2,752 2,422 2,187 2,011 1,876 1,769

4 10,524 5,545 3,899 3,083 2,600 2,282 2,058 1,893 1,766 1,667

w′(a )

w′(b)

–12,00397 –11,82937 –6,81818 –6,68182 –5,10266 –5,00845 –4,25347 –4,20486 –3,75000 –3,75000 –3,41880 –3,47009 –3,18563 –3,29056 –3,01339 –3,17411 –2,88155 –3,09994 –2,77778 –3,05556 M ⋅a /K

M ⋅a /K

282

β 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

6 Hilfstafeln

mr in den Punkten * 2 3

0

1

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

0,722 0,696 0,670 0,646 0,622 0,600 0,578 0,558 0,539 0,520

0,464 0,432 0,403 0,376 0,352 0,330 0,310 0,292 0,275 0,259

0,224 0,202 0,183 0,166 0,152 0,139 0,128 0,119 0,110 0,102

M

β

mϕ in den Punkten * 1 2 3

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Faktor

–10,524 –5,545 –3,899 –3,083 –2,600 –2,282 –2,058 –1,893 –1,766 –1,667

–10,246 –5,241 –3,569 –2,729 –2,222 –1,882 –1,637 –1,451 –1,305 –1,187

–9,988 –4,977 –3,301 –2,459 –1,952 –1,612 –1,368 –1,184 –1,041 –0,926 M

* mr und mϕ sind unabhängig von μ

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

w (b)

1,10313 1,16253 1,21992 1,27537 1,32896 1,38078 1,43090 1,47941 1,52639 1,57191

Lastfall

M 2 a 2 b

M ⋅a2 / K

Faktor

0

4

–9,748 –4,747 –3,081 –2,250 –1,752 –1,422 –1,187 –1,011 –0,876 –0,769

4 –9,524 –4,545 –2,899 –2,083 –1,600 –1,282 –1,058 –0,893 –0,766 –0,667

w′(a )

w′(b)

11,17063 5,98485 4,26932 3,42014 2,91667 2,58547 2,35229 2,18006 2,04821 1,94444

10,91270 5,68182 3,92512 3,03819 2,50000 2,13675 1,87390 1,67411 1,51660 1,38889

M ⋅a /K

M ⋅a /K

6 Hilfstafeln

283

Tafel 12: Zahlentafeln für am Außenrand gelagerte Kreisringplatten mit Vertikalbelastung (μ = 0,2)

h

4 3 2 1 0 b

c c c c a

β 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

w '( b )

w (b )

r

mr in den Punkten 2 3

0

1

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,056 0,068 0,060 0,047 0,033 0,021 0,011 0,005 0,001

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Faktor

0,014 0,022 0,025 0,023 0,019 0,014 0,008 0,004 0,001

4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

1

0,319 0,482 0,596 0,684 0,755 0,815 0,867 0,915 0,959

0,122 0,248 0,370 0,484 0,588 0,683 0,771 0,852 0,928

0,082 0,172 0,270 0,373 0,479 0,585 0,691 0,796 0,899

0,059 0,127 0,208 0,299 0,400 0,509 0,625 0,746 0,871

4 0,043 0,096 0,163 0,244 0,339 0,447 0,568 0,701 0,845

P⋅a

mr in den Punkten 2 3

0

1

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,159 0,119 0,084 0,056 0,036 0,021 0,011 0,004 0,001

0,133 0,109 0,084 0,060 0,041 0,025 0,013 0,006 0,001 p⋅a2

μ = 0,2 K= w (b)

Eh 3 11,52

Lastfall

0,03702 0,08019 0,12326 0,15998 0,18506 0,19405 0,18317 0,14911 0,08894

P 2 b 2 a

P ⋅ a3 / K

mϕ in den Punkten 2 3

0

Faktor β

0,033 0,047 0,048 0,042 0,032 0,022 0,013 0,006 0,001

a−b 4 b β= a c=

P⋅a

Faktor β

w '( a )

0,078 0,065 0,052 0,039 0,027 0,017 0,009 0,004 0,001

4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

w′(a )

w′(b)

–0,04457 –0,10010 –0,16965 –0,25393 –0,35274 –0,46550 –0,59152 –0,73003 –0,88031

–0,03324 –0,10049 –0,18634 –0,28483 –0,39298 –0,50917 –0,63253 –0,76254 –0,89896

P ⋅a2 / K

P ⋅a2 / K

w (b)

0,07161 0,07568 0,07576 0,07063 0,06053 0,04669 0,03103 0,01603 0,00460 p ⋅a4 / K

Lastfall

p 2 b 2 a

284

6 Hilfstafeln

β 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

mϕ in den Punkten 1 2 3

0 0,385 0,356 0,320 0,279 0,236 0,192 0,145 0,098 0,049

0,174 0,177 0,178 0,174 0,163 0,145 0,119 0,087 0,047

0,204 0,217 0,220 0,211 0,192 0,165 0,131 0,092 0,048

0,142 0,144 0,145 0,144 0,139 0,127 0,108 0,081 0,045

0,102 0,106 0,112 0,115 0,115 0,110 0,097 0,076 0,044

p⋅a2

Faktor

w′(a )

w′(b)

–0,10610 –0,11082 –0,11622 –0,12005 –0,12015 –0,11452 –0,10130 –0,07882 –0,04553

–0,04011 –0,07412 –0,09986 –0,11637 –0,12311 –0,11975 –0,10601 –0,08165 –0,04641

p ⋅ a3 / K

p ⋅ a3 / K

4

Tafel 13: Zahlentafeln für am Außenrand gelagerte Kreisringplatten mit Randmomenten (μ = 0,2)

h

4 3 2 1 0 b

c c c c a

β 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Faktor

w '( b )

w '( a )

w (b )

r

0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

mr in den Punkten * 1 2 3 0,914 0,781 0,661 0,561 0,480 0,415 0,361 0,317 0,281

0,977 0,926 0,865 0,802 0,741 0,684 0,631 0,583 0,539 M

* mr und mϕ sind unabhängig von μ

0,993 0,977 0,954 0,927 0,898 0,868 0,838 0,808 0,779

a−b 4 b β= a c=

4 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

μ = 0,2 K=

Eh 3 11,52

w (b)

0,44574 0,50049 0,56551 0,63483 0,70548 0,77584 0,84503 0,91254 0,97813 M ⋅a2 / K

Lastfall

M 2 b 2 a

6 Hilfstafeln

β 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0 2,020 2,083 2,198 2,381 2,667 3,125 3,922 5,556 10,526

mϕ in den Punkten * 1 2 3 1,106 1,302 1,537 1,820 2,187 2,710 3,560 5,238 10,246

Faktor β 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Faktor

1,027 1,107 1,244 1,454 1,769 2,257 3,084 4,748 9,748

1,020 1,083 1,198 1,381 1,667 2,125 2,922 4,556 9,526

M mr in den Punkten * 2 3

0

1

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

0,086 0,219 0,339 0,439 0,520 0,585 0,639 0,683 0,719

Faktor

β

1,043 1,157 1,333 1,579 1,926 2,441 3,291 4,973 9,987

4

0,023 0,074 0,135 0,198 0,259 0,316 0,369 0,417 0,461

0,007 0,023 0,046 0,073 0,102 0,132 0,162 0,192 0,221

4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

–1,020 –1,083 –1,198 –1,381 –1,667 –2,125 –2,922 –4,556 –9,526

mϕ in den Punkten * 1 2 3 –0,106 –0,302 –0,537 –0,820 –1,187 –1,710 –2,560 –4,238 –9,246

–0,043 –0,157 –0,333 –0,579 –0,926 –1,441 –2,291 –3,973 –8,987 M

* mr und mϕ sind unabhängig von μ

w′(b)

–0,85438 –0,92014 –1,03938 –1,23016 –1,52778 –2,00521 –2,83497 –4,53704 –9,71491

–0,21044 –0,43403 –0,68681 –0,99206 –1,38889 –1,95312 –2,85948 –4,62963 –9,86842

M ⋅a /K

M ⋅a /K

w (b)

–0,03324 –0,10049 –0,18634 –0,28483 –0,39298 –0,50917 –0,63253 –0,76254 –0,89896

Lastfall

M 2 b 2 a

M ⋅a2 / K

M

0

w′(a )

–0,027 –0,107 –0,244 –0,454 –0,769 –1,257 –2,084 –3,748 –8,748

4 –0,020 –0,083 –0,198 –0,381 –0,667 –1,125 –1,922 –3,556 –8,526

w′(a )

w′(b)

0,02104 0,08681 0,20604 0,39683 0,69444 1,17188 2,00163 3,70370 8,88158

0,12710 0,26736 0,43681 0,65873 0,97222 1,45313 2,27614 3,96296 9,11842

M ⋅a /K

M ⋅a /K

285

286

6 Hilfstafeln

Tafel 14: Schnittgrößen und Verformungen des Kreisrings mit Rechteckquerschnitt infolge rotationssymmetrischer Belastung

o

D r a

u

Die Querschnittsachse y liegt in der Ringebene. Lastfall R a M a

a

R a

c

R a M

a a

b M y

N

Δru

Δro

ϕ

Ra

0

Ra 2 Ebh

Ra 2 Ebh

0

0

Ma

Ra

0

Raa Ebh

Ra

Rah 2

4Ra 2 Ebh

−

2Ra 2 Ebh

Ra

R ah 2

4Raa Ebh

−

2Raa Ebh

Ra

Rac

Raa ⎛ 6c ⎞ ⎜1 + ⎟ Ebh ⎝ h ⎠

0

Ma

a

a

y

My

a

R

M

bh 3 Iy = 12

N

R a

N

A = bh j

a

D r

h

b

6Ma 2 Ebh

2

6Maa Ebh 2

−

6Ma 2 Ebh

2

Raa Ebh

12Ma 2 Ebh 3

0

6Ra 2 Ebh 2

6Raa Ebh 2

Raa ⎛ 6c ⎞ ⎜1 − ⎟ Ebh ⎝ h ⎠

12Raac

6Maa

12Maa

Ebh 2

Ebh 3

−

Ebh 3

6 Hilfstafeln Tafel 15: Schnittgrößen und Randverformungen von Zylinderschalen im Membranzustand w 'o o w

x

o

h

l

a u

w u

w 'u

konstanter Innendruck

hydrostatischer Druck

Auflast

Eigengewicht V o

g

x p

g f× x i

V o

g

l

nx

0

0

-Vo

-gx

nϑ

api

γfax

0

0

wo

a 2 pi Eh

0

μa Vo Eh

0

w o΄

0

a2 γf Eh

0

μa g Eh

wu

a 2 pi Eh

a 2l γf Eh

μa Vo Eh

μal g Eh

w u΄

0

a2 γf Eh

0

μa g Eh

287

288

6 Hilfstafeln

j a

a

V o

j a

o

j

2

sin ϕ

+ Vo

sin ϕ o sin 2 ϕ

s

−

1 ap s 2

+

1 ap i 2

−

1 ap s cos 2ϕ 2

i

a

g o

sin ϕ o

Hierin ist nur die tangential eingeleitete Komponente von Vo berücksichtigt. Die Horizontalkomponente ist zusätzlich nach der Biegetheorie durch R = -Vo cot ϕo zu erfassen.

j u

j

⎛ cos ϕ o − cos ϕ ⎞ + ga ⎜⎜ − cos ϕ ⎟⎟ 2 sin ϕ ⎝ ⎠

sin 2 ϕ

o

u

p

a

ga (cos ϕ o − cos ϕ)

− Vo V

p a

⎛ ⎞ 1 + ga ⎜⎜ − cos ϕ ⎟⎟ 1 + cos ϕ ⎝ ⎠

− j

j

ga 1 + cos ϕ

o

u

j

Ringkräfte nϑ

−

⎡ 1 − cos3 ϕ 1 γ f a 2 ⎢2 ⋅ 6 sin 2 ϕ ⎢⎣ f

j

H

Innendruck pi Fülldruck

j

Meridiankräfte nϕ

j u

j

Schneelast ps

Randlast Vo

Eigengewicht g = const.

Lastfall und System

Bei hängender Schale Vorzeichen von nϕ und nϑ umkehren

Tafel 16: Membrankräfte in Kugelschalen infolge ausgewählter Lastfälle

a (1 - c o s j o) H ³ a (1 - c o s j o)

⎛ H ⎞⎤ + 3⎜ − 1⎟ ⎥ ⎝a ⎠⎦ 1 n ϕ (0) = n ϑ (0) = γ f aH 2

+

1 ap i 2

⎡ 3 cos ϕ − 2 cos 3 ϕ − 1 1 γ f a 2 ⎢2 ⋅ 6 sin 2 ϕ ⎢⎣ ⎛ H ⎞⎤ + 3⎜ − 1⎟⎥ ⎝a ⎠⎦

6 Hilfstafeln

289

D r

D r

h

Eigengewicht g = const.

Lastfall und System

u

j a

y

j u

y u

u

D r D r u

y

Randlast Vo V

j j

a u

y o

D r o

D r j y

o

V j

j a

o

Schneelast ps

ga (2 + μ)sin ϕ Eh

ga (2 + μ)sin ϕ Eh

Vo a (1 + μ ) sin ϕo Eh sin ϕ o

j

0

Hierin ist nur die tangential eingeleitete Komponente von Vo berücksichtigt. Die Horizontalkomponente ist zusätzlich nach der Biegetheorie durch R = -Vo cot ϕo zu erfassen.

s

a 2 ps sin ϕ (μ − cos 2ϕ) 2Eh

j u

⎞ ⎛ 1+ μ ga 2 sin ϕ ⎜⎜ − cos ϕ ⎟⎟ Eh 1 + cos ϕ ⎠ ⎝

− cos ϕ]

u

p a

u

u

j

Meridianverdrehung ψ

ga 2 cos ϕ o − cos ϕ sin ϕ[(1 + μ) Eh sin 2 ϕ

o

o

u

u

Radialverschiebung Δr

ap s (3 + μ )cos ϕ sin ϕ Eh

Δr und ψ siehe oben Innendruck pi

p

a 2 pi (1 − μ )sin ϕ 2Eh a

0

Δr und ψ siehe oben

D r

o

a j

g o

y f

j

o

a (1 - c o s j o) H ³ a (1 - c o s j o)

Δr und ψ siehe oben

D r H

y

Fülldruck

i

o

γf a3 sin ϕ [6 cos ϕ 6Eh o

− 2(1 + μ) ⋅

1 − cos 3 ϕ

sin 2 ϕ + 3(1 − μ)(H / a − 1)]

−

γf a 2 sin ϕ Eh

Bei hängender Schale Vorzeichen von Δr und ψ umkehren

Tafel 17: Membranverformungen von Kugelschalen konstanter Wandstärke infolge ausgewählter Lastfälle

290

6 Hilfstafeln

Tafel 18: Membrankräfte in Kegelschalen infolge ausgewählter Lastfälle

r r a

−

u

r o

r r a

Randlast Vo

V

Schneelast ps

V r o

r

r

r

p s

r a

r

p u

g o

−gr cot α

)

Vo ro r sin α

−gr cot α

0

−

r ps 2 sin α

+

r pi 2 sin α

−r p s cos α cot α

+

r pi sin α

i

f

r

H

a

r

(

Ringkräfte nϑ

Hierin ist nur die tangential eingeleitete Komponente von Vo berücksichtigt. Die Horizontalkomponente ist zusätzlich nach der Biegetheorie durch R = -Vo cot α zu erfassen.

r u

gr sin 2α

g r 2 − ro2 r sin 2α

− o

u

a

ro ta n a

−

u

o

a

Innendruck pi Fülldruck

Meridiankräfte nϕ

H ³ ro ta n a

γf r (3H − 2r tan α ) 6 sin α

γf r (H − r tan α ) sin α

Bei hängender Schale Vorzeichen von nϕ und nϑ umkehren

Eigengewicht g = const.

Lastfall und System

6 Hilfstafeln

291

Tafel 19: Membranverformungen von Kegelschalen konstanter Wandstärke infolge ausgewählter Lastfälle

Eigengewicht g = const.

r r a

D r

u

y y r

r

Randlast Vo

r a

o

⎛ r2 − μ⎜1 − o2 ⎜ r ⎝ u

r

Schneelast ps Innendruck pi

p r

u

s

−

ru p i Δr und ψ siehe oben

y r o

r

H ³ ro ta n a

[2(2 + μ) cos

2

α

− 1 − 2μ]

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦

gr 2Eh sin 2 α

⎡ ro2 ⎤ 2 ⎢2(2 + μ) cos α − 1 − 2μ + 2 ⎥ r ⎥⎦ ⎣⎢

Vo ro cos α ⋅ Ehr sin 2 α

)

−

p s r cos α 2Eh sin 2 α

[2(2 + μ) cos

2

α − 1 − 2μ

]

3p i r cos α 2Eh sin 2 α

o

f

D r o

H

a ro ta n a

Fülldruck

(

pi r 2 ( 2 − μ) 2Eh sin α

r

g

−

ps r 2 2 cos 2 α − μ 2Eh sin α

Δr und ψ siehe oben

a

gr 2Eh sin 2 α

Hierin ist nur die tangential eingeleitete Komponente von Vo berücksichtigt. Die Horizontalkomponente ist zusätzlich nach der Biegetheorie durch R = -Vo cot α zu erfassen.

u

r

−

μVo ro Eh sin α o

Δr und ψ siehe oben

a

⎡ gr 2 2 ⎢2 cos α Eh sin 2α ⎣

)

u

V r

o

D r

u

o

−

o

y

V

gr 2 2 cos 2 α − μ Eh sin 2α

u

D r o

r a

u

(

−

Meridianverdrehung ψ

γf r2 [H − r tan α Eh sin α μ − (3H − 2r tan α ) ] 6

γ f r cos α ⎛ 3 8 ⎞ ⎜ H − r tan α ⎟ 3 Eh sin 2 α ⎝ 2 ⎠

Bei hängender Schale Vorzeichen von Δr und ψ umkehren

Radialverschiebung Δr

Lastfall und System

292

6 Hilfstafeln

Tafel 20: Tafel der Funktionen η, η´, η´´ und η´´´ η = e − ξ (cos ξ + sin ξ) η′ = e −ξ sin ξ η′′ = e −ξ (cos ξ − sin ξ) η′′′ = e −ξ cos ξ

ξ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0

η 1,0000 0,9907 0,9651 0,9267 0,8784 0,8231 0,7628 0,6997 0,6354 0,5712 0,5083 0,4476 0,3899 0,3355 0,2849 0,2384 0,1959 0,1576 0,1234 0,0932 0,0667 0,0439 0,0244 0,0080 -0,0056 -0,0166 -0,0254 -0,0320 -0,0369 -0,0403 -0,0423 -0,0431 -0,0431 -0,0422 -0,0408 -0,0389 -0,0366 -0,0341 -0,0314 -0,0286 -0,0258

Diese Funktionen beschreiben den Verlauf der Randstörungen von Rotationsschalen sowie des elastisch gebetteten Balkens. η′ 0,0000 0,0903 0,1627 0,2189 0,2610 0,2908 0,3099 0,3199 0,3223 0,3185 0,3096 0,2967 0,2807 0,2626 0,2430 0,2226 0,2018 0,1812 0,1610 0,1415 0,1231 0,1057 0,0896 0,0748 0,0613 0,0491 0,0383 0,0287 0,0204 0,0132 0,0070 0,0019 -0,0024 -0,0058 -0,0085 -0,0106 -0,0121 -0,0131 -0,0137 -0,0139 -0,0139

η′′ 1,0000 0,8100 0,6398 0,4888 0,3564 0,2415 0,1431 0,0599 -0,0093 -0,0657 -0,1108 -0,1457 -0,1716 -0,1897 -0,2011 -0,2068 -0,2077 -0,2047 -0,1985 -0,1899 -0,1794 -0,1675 -0,1548 -0,1416 -0,1282 -0,1149 -0,1019 -0,0895 -0,0777 -0,0666 -0,0563 -0,0469 -0,0383 -0,0306 -0,0237 -0,0177 -0,0124 -0,0079 -0,0040 -0,0008 0,0019

η′′′ 1,0000 0,9003 0,8024 0,7077 0,6174 0,5323 0,4530 0,3798 0,3131 0,2527 0,1988 0,1510 0,1091 0,0729 0,0419 0,0158 -0,0059 -0,0235 -0,0376 -0,0484 -0,0563 -0,0618 -0,0652 -0,0668 -0,0669 -0,0658 -0,0636 -0,0608 -0,0573 -0,0534 -0,0493 -0,0450 -0,0407 -0,0364 -0,0323 -0,0283 -0,0245 -0,0210 -0,0177 -0,0147 -0,0120

6 Hilfstafeln

293

Tafel 21: Schnittgrößen und Randverformungen langer Zylinderschalen (λℓ ≥ 4) infolge rotationssymmetrischer Randlasten R und M

w 'o n

o x

w

w

l

q

J

ξ = λx , ξ = λx J

4

λ=

d J m

w 'u

m

a

q + d q u

n x

a

d x h u

m

o

a x

x

n x+ d n

R

x + d m x

n

m J

J

K=

3(1 − μ 2 ) ah Eh 3

12(1 − μ 2 ) h / a 4 gilt mit ausreichender Genauigkeit H1 = H 3 = H 5 = H 8 = 1 H2 = H4 = H6 = H7 = 0 .

H5 H6 3000,037 2999,987 375,074 374,974 111,223 111,073 47,024 46,824 24,186 23,936 14,112 13,812 9,006 8,657 6,156 5,757 4,449 4,000 3,370 2,873 2,660 2,115 2,178 1,585 1,843 1,203 1,606 0,920 1,435 0,706 1,312 0,540 1,223 0,410 1,157 0,306 1,110 0,223 1,076 0,155 1,052 0,100 1,035 0,056 1,023 0,020 1,015 -0,009 1,010 -0,032 1,007 -0,050 1,005 -0,064 1,004 -0,074 1,004 -0,081 1,004 -0,085 1,004 -0,086 1,004 -0,086 1,004 -0,085 1,004 -0,082 1,003 -0,078 1,003 -0,073 1,003 -0,068 1,003 -0,063 1,002 -0,057 1,002 -0,052

H7 149,501 37,002 16,171 8,883 5,513 3,686 2,587 1,877 1,394 1,052 0,803 0,616 0,475 0,366 0,281 0,215 0,163 0,123 0,092 0,067 0,048 0,034 0,023 0,016 0,010 0,006 0,003 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

H8 150,501 38,002 17,171 9,883 6,513 4,686 3,587 2,877 2,394 2,052 1,803 1,616 1,475 1,366 1,281 1,215 1,163 1,123 1,092 1,067 1,048 1,034 1,023 1,016 1,010 1,006 1,003 1,002 1,001 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,001 1,001 1,001 1,001 1,001

296

6 Hilfstafeln

Tafel 24: Randverformungen kurzer Zylinderschalen (λℓ ≤ 4) infolge rotationssymmetrischer Randlasten R und M

w 'o w

x = 0

o x

R

w

K=

o

h

l

x = l l

M

λ=

u w

a

u

Eh 3

w o = w (0) w ′o = w ′(0)

12(1 − μ 2 ) 3(1 − μ 2 )

4

w u = w ( λl ) w ′u = w ′(λl)

ah

h / a