Statik der Baukonstruktionen: Band 3 Statisch unbestimmte Systeme 9783111376691, 9783111018652

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

122

STATIK DER BAUKONSTRUKTIONEN in STATISCH U N B E S T I M M T E

SYSTEME

von

DR.-ING. ALFRED

TEICHMANN

o. P r o f e s s o r d e r T e c h n i s c h e n U n i v e r s i t ä t B e r l i n

Mit 34 A b b i l d u n g e n u n d 7 F o r m e l t a f e l n

WALTER DE GRUYTER & CO. v o r m a l s G. J . Göachen'sche V e r l a g 9 h a n d l n n g • J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • G e o r g R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & C o m p .

BERLIN

1958

Für freundliche Unterstützung Herrn Oberingenieur Dipl.-Ing.

dankt G.

Pohlmann der Verfasser

© Copyright 1958 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Straße 13. Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 110122Satz: Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. Druck: Paul Funk, Berlin W 35. Printed in Germany.

Inhalt VI. V o l l s t ä n d i g e S c h n i t t l a s t e n u n d V e r s c h i e b u n gen; elastische Stabilität*) A. Allgemeines B. Elementarstab C. Verallgemeinerung VII. S c h n i t t l a s t e n m e t h o d e A. Statisch Unbestimmte B. Verwendung von statisch bestimmten Grundsystemen C. Verwendung von unstabilen Grundsystemen . . D. Ergänzung zur Verwendung von statisch bestimmten Grundsystemen E. Verwendung von statisch unbestimmten Grundsystemen F. Verwendung von Grundsystemen mit zusätzlichen Fesseln G. Gesichtspunkte zur Wahl des Grundsystems und der statisch Unbestimmten H. Dreigliedrige Elastizitätsgleichungen J. Einheitslösungen und Einflußlinien VIII. Der e i n g e s p a n n t e S t a b im e b e n e n S t a b w e r k . IX. F o r m ä n d e r u n g s m e t h o d e A. Vorbemerkungen B. Kinematisch Unbestimmte; Elementar-Verformungszustände C. Ansatz und Durchführung der Rechnungen . . . D. Iterative Auflösung der Elastizitätsgleichungen (Rechenschemata nach Kani und nach Cross) . . Berichtigungen zu Band I und II Schrifttum Sachverzeichnis

Seite

4 4 19 24 25 42 46 48 50 52 60 63 67 75 76 84 99 108 109 111

*) Dieses Kapitel gehört inhaltlich noch zu Band II (Statisch bestimmte Stabwerke). Inhalt des ersten Bandes (Grundlagen): I. Fesselung. — II. Gleichgewicht. — III. Stab. Inhalt des zweiten Bandes (Statisch bestimmte Stabwerke): IV. Schnittkräfte und Schnittmomente (Schnittlasten). - V. Formänderung.

VI. Vollständige Schnittlasten und Verschiebungen; elastische Stabilität A. Allgemeines Bis hierher wurde nicht berücksichtigt, daß die belastete Konstruktion wegen ihrer Formänderung eine a n d e r e Gestalt hat als die unbelastete. Die nach Abschnitt II bis IV sich ergebenden Beträge der Fessel- und Schnittlasten, desgl. die daraus nach V sich ergebenden Beträge der Verschiebungsgrößen, weichen daher — u. U. erheblich — von den wirklichen Beträgen ab. Dementsprechend seien die nach Abschnitt II bis V sich ergebenden Beträge D, A, B, S, Q, T, x, . . ,wx, .. . usw.2). Alle nachfolgenden Ausführungen gelten nur, solange keine Spannungen jenseits der Gültigkeitsgrenze des Geradlinigkeitsgesetzes (s. V A) auftreten. B. Elementarstab 1. V o l l s t ä n d i g e F e s s e l l a s t e n , S c h n i t t l a s t e n und Durchbiegungen Praktische Bedeutung hat die Ermittlung der vollständigen statischen Größen eines Elementarstabes normalerweise nur dann, wenn im Stab D r u c k k r ä f t e auftreten (S < 0). Wenn dagegen die im Stab auftretenden Längskräfte nur Z u g k r ä f t e sind (S > 0), so können (gewöhnlich) die voll') Dieses Kapitel gehört seinem Wesen nach noch zum zweiten Band. ') Gewöhnlich wird im Sprachgehraach k e i n "Unterschied zwischen einer statischen Größe and ihrem B e t r a g gemacht.

B. Elementarstab

5

ständigen Schnittlasten und Verschiebungen gleich den primären gesetzt werden. Betrachtet werde zunächst ein ursprünglich gerader Elementarstab mit starren Fesseln in l und r (s. Bild 1). Als Systemlinie des b e l a s t e t e n und entsprechend verformten Stabes wird jetzt eine Linie von der Gestalt seiner B i e g e l i n i e angesehen; es wird also so getan, als ob ein krummer Stab (s. Bd. I, S. 74ff.) mit (zunächst unbekannten) Ordinaten z,- ( = —/¡¿)

=

Vi = Wt(i)

A x

* y. . i ' " v * vorlägeVorauszW y Iit t+1 gesetzt sei, daß die "1 flH Z(«V dem Stab eingeP*'(k! vL/ V ) t M Jy(k) prägten Lasten ihre P*t Beträge und RichBild 1. Verformter Elementarstab tungen unverändert beibehalten. Der Stab sei in hinreichend kleine Abschnitte Axit i + 1 eingeteilt, so daß seine Biegelinie als bekannt gelten kann, wenn ihre Ordinaten an den Teilpunkten . . . i, i + 1, . . . ermittelt sind. In diesen Teilpunkten seien die Angriffsstellen aller äußeren Lasten enthalten. Im folgenden wird so getan, als ob in j e d e m Teilpunkt eine Kraft und ein Moment (ggf. vom Betrage Null) wirkten. W

An Hand der in Bd. I 79, angewendet auf Bild genden angeschriebenen statt des — zunächst in

W

aufgeführten Gleichungen 74, 76, 1, ergeben sich dann die im folGleichungen 1 bis 3, in denen ihnen auftretenden — Ausdrucks

r

2jPX(k)

jeweils geschrieben ist:

bzw.

S

(s. Gl. 2b,

h =i

3 b). Wie aus Bd. I, Gl. 62 a, hervorgeht, bedeutet S i - l t i

1 ) Die Wegkomponenten sehen.

u:

x(i)

werden hier als vernachlässigbar ange-

6

VI. Vollständige Schnittlasten u. Verschiebungen

bzw. S den primären Betrag der Längskraft im Stab-Abschnitt i—1, i bzw. der im ganzen Stab konstanten Längskraft. In anderer, für das später Dargelegte geeigneter Betrachtungsweise wird iSi-i.i bzw. S als die Projektion der vollständigen Längskraft auf die Stab-Sehne, d. h. auf die durch l und r gehende Gerade, aufgefaßt und darum „Längskraftprojektion" genannt (positiver Betrag bedeutet Zug). •A-xd) = ^x(i),

(la)

M l ) =

Ä2(()

+ \ Z P x ( k ) ™z(k), s k

(lb)

=

Az(r)

— \

(lc)

=

B «

By(i')

5

HPx(k)Wz(k), k

— S negativ, y eine positive Zahl). Wo in? folgenden ¿wischen zwei Ausdrücken [. .. ],[ J das Wort steht, gilt der erste für x S dx aus den Gleichungen 1 2 und l y hervorgehen: EJy mit bzw.

~

s S,{x)

w2(x = 0) = 0,

E j / ^ g ^ -Swu(x) mit

wy(x = 0) = 0,

+ By{x)

= 0

(4)

wz(x = s) = 0 - Bt(x)

=0

(5)

wy(x = s) = 0.

Einige gebrauchsfertige Formeln, die sich daraus für naheliegende Belastungsfälle ergeben, sind in Tafel 2 zusammengestellt 1 ); weitere Angaben s. in Bild 10 und 11. 2. Ü b e r l a g e r u n g v o n T e i l - B e l a s t u n g s z u s t ä n d e n Die in den Gleichungen für w z und w y auftretenden Größen S sind die Beträge der p r i m ä r e n Längskraft bzw. der Längskraftprojektion (s. VI B 1). In allen diesen Gleichungen treten die „Querlasten" P My(k), Py(k)i Mz(k) nur in den Absolutgliedern auf (entweder über B eingehend oder unmittelbar), und zwar l i n e a r . Die Kräfte PX(k) dagegen treten — über S eingehend — in den Koeffizienten der Unbekannten auf. Daher ist bei einem gegebenen Belastungszustand zu unterscheiden zwischen dem in ihm enthaltenen „Querbelastungszustand" ( Q u e r lasten, s. oben) l ) Tm Falle S > 0 wird das in den Formeln lt. Tafel 2 auftretende „Stabilitätsmaß" a imaginär. Die vollständigen Beträge der statischen Größen bleiben aber reell. Ggf. sind die Ausdrücke f ü r den Fall S > O mittels Hyperbelfunktionen darzustellen. Das erübrigt sich, wenn lt. Seite 5 im Falle S > O so getan wird, als wäre S = 0. — Wenn et = n, 3n, . . . bzw. = 2n, i n , . . . ist, versagen die in Tafel 2 angeschriebenen Formeln, sofern es sich um antimetrische bzw. u m symmetrische Belastung handelt, indem sie dann das U n b e s t i m m t - W e r d e n der Verschiebungsgrößen nicht zum Ausdruck bringen (s. dazu Bild 10 b, vgl. auch Fall e in Bild 3).

B. Elementarstab u n d dem in ihm enthaltenen ( K r ä f t e Px).

13

„Längsbelastungszustand"

Wie zur Berechnung der primären Durchbiegungen besteht auch zur Berechnung der vollständigen Durchbiegungen die Möglichkeit (s. Bild 2), den Querbelastungszustand in einzelne, evtl. handlichere Teil-Querbelastungszustände I 9 , I I ' , . . .,• zu zerlegen und dann zunächst diejenigen Biegelinien zu berechnen, die sich bei den einzelnen Teil-Quer^ g belastungszuständen I", I I ® , . . . ergebclastungszu^tände ben, u m sie dann einander zu überlagern und damit die Biegelinie des insgesamt gegebenen Belastungszustandes „ I 5 + II® + . . . " zu erhalten. In diesem Falle ist es aber notwendig, daß bei j e d e m der Zustände I®, I I ® , . . . so getan wird, als ob zu ihm — an jeder Stelle des Stabes — bereits diejenige Längskraftprojektion S (bzw. Si-itt) gehörte, die sich ergibt, wenn der insgesamt gegebene Belastungszustand „I® + II® + . . . " am Stabwerk wirkt 1 ). Das gilt natürlich auch bei Verwendung der in Tafel 2 zusammengestellten Formeln, in denen die Längskraftprojektion S im P a r a m e t e r = ° ' /-ßj-

bzw. tx2 = s

| ^1!—-
Si_i $ und ggf. wiederholtes Rechnen (iteratives Verbessern von S bzw. $ und der Einflußlinie).

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VI. Vollständige Schnittlasten u. Verschiebungen

Das Voranstehende läßt sich leicht dahingehend erweitern, daß außer dem Querbelastungszustand — oder s t a t t seiner — gegebene Temperaturen bzw. eingeprägte Grundverformungen usw. von Stab-Elementen zu erfassen sind. 3. E r m i t t l u n g v o n e i n z e l n e n

Verschiebungsgrößen

Die vollständigen Beträge d beliebiger Verschiebungsgrößen können schematisch nach V B 1 berechnet werden, indem in das Glied / { • • • } der Arbeitsgleichung die Schnittlasten bzw. Grundverformungen des u r s ä c h l i c h e n Zustandes mit ihren v o l l s t ä n d i g e n Beträgen ( B u usw.) eingesetzt werden, während f ü r alle Größen des Hilfszustandes nach wie vor die primären Beträge ( B H usw.) beibehalten werden. So gilt z. B. f ü r die häufig benötigten End-Drehungen eines Stabes l—r bei einem gegebenen Belastungszustand U (Querkrafteinfluß vernachlässigt): (= / f

3-w-*>)

(7)

usw. Soweit umgekehrt die vollständigen End-Drehungen Vy(x) e i n e s Stabes zu dem mit U bezeichneten Zustand bekannt sind bzw. aus handlichen Formeln (s. z. B. Tafel 2) leicht berechnet werden können, ist es oft vorteilhaft, zur Ausrechnung der Integralausdrücke die in Bd. I I aufgeführte Gleichung 73b zu verwenden. 4. K r i t i s c h e r Z u s t a n d

(Knicken)

a) Allgemeines Wegen des Eingehens der Längskraftprojektionen S in die Koeffizienten der U n b e k a n n t e n wird die Nennerdeterminante der Gleichungen in Tafel 1 bei entsprechend h o h e n Druckkräften (S < 0) zu Null. D a n n werden die aus den Glei-

B. Elementarstab

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chungen sich ergebenden a> j_l.ll 11 llj_. Durchbiegungen wz bzw. wy entweder u n e n d l i c h groß "«J> J bl oder aber u n b e s t i m m t (s. .¿T Bild 3). Entsprechendes gilt natürlich auch für die LösunÖl gen der Differentialgleichungen -Lt» 4, 5. , Bild 3. Auftreten von _ b) Euler-liormeln unendlich großen bzw. von unIm Sonderfall, daß S und bestimmten Durchbiegungen EJV bzw. EJ,1 Über die Stab- A b s z i s s e n « » Maß der Belastung bzw. V

der Druckkraft S; vgl. Abschn. d

länge konstant sind, treten die unter a) genannten Erscheinungen, wie die in Tafel 2 wiedergegebenen Ausdrücke zeigen, (erstmalig) ein, wenn der Betrag von S gleich demjenigen der beiden folgenden Beträge wird, der den kleineren Absolutbetrag hat: J ir2 QEu, z _ _ V""y*cEu,v — (8) ° «2 ' ° sog. „Euler-Formeln", oder — damit gleichbedeutend — wenn eines der beiden Stabilitätsmaße ocz bzw. ocy (s. Gl. 6) den Betrag ji annimmt. c) Unendlich große bzw. unbestimmte Durchbiegungen a) Unendlich große Durchbiegungen Das Zustandekommen von u n e n d l i c h g r o ß e n Beträgen wz bzw. wy (s. z. B. Bild 3, Fall a) widerspricht der allen vorangegangenen Überlegungen zugrunde liegenden Voraussetzung k l e i n e r Verschiebungen. Es besagt daher nur, daß bei entsprechenden Beträgen S g r o ß e Durchbiegungen auftreten, mit denen die Rechnung ungültig und die voll-

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VI. Vollständige Schnittlasten u. Verschiebungen

ständigen Schnittlasten (von besonderen Ausnahmefällen abgesehen) untragbar groß werden. ß) Unbestimmte Durchbiegungen Das Zustandekommen von u n b e s t i m m t e n Beträgen w z bzw. w y (s. z. B. Bild 3, darin die Parallele zur Ordinatenachse) wird im Sprachgebrauch als „Knicken" bezeichnet. Unbestimmte Beträge w z ergeben sich — d. h. „Knicken in der Ebene z x " tritt e i n — , wenn die Längskraftprojektionen

bzw. S gewisse, dem

obigen entsprechende Beträge a n n e h m e n ^ . B. S = — — und wenn zugleich •— neben der Längsbelastung — (1) entweder k e i n e Querlasten wirken (reiner Längsbelastungszustand, s. Bild 3, Fall b) oder (2) Querlasten n u r in der Ebene xy wirken (P y , py, M z , mz). Unbestimmt k ö n n e n die Beträge w z bei gewissen Beträgen Si-1, ,• bzw. S aber auch dann werden, wenn (3) Querlasten von besonderer Anordnung i n n e r h a l b der Ebene zx wirken (Pz, pz, M y , my), so z. B. im Falle eines (zur Stabmitte) symmetrischen Stabes mit antimetrisch wirkenden Kräften P z oder pz (s. Bild 3, Fall c). Analoges gilt für das Auftreten von unbestimmten Beträgen Wy, d. h. für das „Knicken in der Ebene xy". d) Allgemeine Ermittlung des kritischen Zustandes Ist ein bestimmter Belastungszustand gegeben, so ist es wichtig festzustellen, mit welcher (positiven) Zahl bzw. //M die Lasten des gegebenen Zustandes vervielfacht werden können, bis (erstmalig) unendlich große oder unbestimmte Durchbiegungen w z bzw. w y zustande kommen. Die kleinste (positive) Zahl n ( g 1), bei der ein solcher „kritischer

B. Elementarstab

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Z u s t a n d " auftritt, sei als das „kritische Vielfache" /¿Mt des gegebenen Belastungszustandes bezeichnet. Sind z. B. S und EJV bzw. EJZ längs s konstant und wird der Betrag von S beim g e g e b e n e n Belastungszustand mit bezeichnet, so ist, falls S' My(r) = jBj(r); — d a z u (s. VI B 1): Berechnung der charakteristischen Verschiebungsgrößen d], t h , r l yr (s. V B l e , VI B S und Tafel 2); >) Der Leser versuche selbst, die Notwendigkeit der im folgenden dargelegten Operationen zu erkennen, und zwar auf Grund von V A und an Hand von Bild 5. Quadratisch von & abhängige Ausdrücke sind vernachlässigt. ') Handelt es sich um ein als Gelenkfachwerk aufgefaßtes Fachwerk, so ut

s

m

= B

l(r) = °-

22

VI. Vollständige Schnittlasten u. Verschiebungen

ferner — für die Stäbe, an denen äußere Kräfte wirken — Berechnung der Biegelinien w z schließlich — für alle Stäbe — Berechnung der Stab-Fesselkräfte Axii) = Ax(i), 2¡(r)

').

c) Ermittlung der Stab-Drehungen fty des Stabwerks, indem so getan wird, als handelte es sieh um die primären StabDrehungen § infolge der berechneten Beträge ö«, r j j , r j , (s. V D ) ; — d a z u : «ß? 1 und

Berechnung der „fiktiven" Kräfte

durch Einsetzen der gefundenen Beträge jO

1:1

Fl Bild 8. In seiner Ebene lfach statisch unbestimmtes Stabwerk

B. Verwendung von statisch bestimmten Grandsystemen

a>

r i ± , '

e), f)

t

V

:

1

V

V

entsprechend

c),

X2,0 t-I 1

^3,0 I-) 1

^ I/O l-) 1

'tf A

j

Q

v + y

n r f u>iOj=j +j—1 l±j—'

V

d). *4;Or-J

-F"Vw,-o •

29

f^v^c A

v + y

d

A

V + y

n

1±J—1

A

d

L H

^t q

L±J

; Jj—1

Bild 9. In der Bild-Ebene 4faeh statisch unbestimmtes Stabwerk (Träger auf 6 Stützen)

30

VII. Schnittlastenmethode ^2,0 ' • Gl.,, 1 ": ZW. ZU:

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1

W

verläuft

der

B ^ j / o

**) und

' B y / y . ,•

Sun-i' '

geradlinig

Elementarstab,

i n e i n g e h e n d e n

konstant

o

gleich

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Anmerkung

4-r

:

i

*) und

Stab

Biegemomente

Zustand„0"

die

Das

(geraden)

zu

Stabes

/

wenn Tempei-r

sind.

Tafel 3 (Fortsetzung)

Die Absolutglieder (5?; o und Beiwerte öt } k dieser Gleichungen ergeben sich nach der Arbeitsgleichung (s. V B 1):

VII. Schnittlastenmethode

32

Als H i l f s z u s t a n d H ist der Zustand „X f = 1" zu nehmen, u r s ä c h l i c h e r Zustand U ist zur Ermittlung von