Séminaire de Théorie Des Nombres: Paris 1990-91 [1 ed.] 0817636846, 9780817636845

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Progress in Mathematics Volume 108

Series Editors J. Oesterle A. Weinstein

Seminaire de Theorie des Nombres, Paris, 1990-91 Sinnou David Editor

1993

Birkhauser Boston · Basel · Berlin

Sinnou David Departement de Mathematiques Universite de Paris-Sud Centre d'Orsay F-91405 Orsay Cedex France "The Library of Congress has catalogues this serial publication as follows:". Seminaire Delange-Pisot-Poitou. 5eminaire de theorie des nombres/Seminaire Delange-PisotPoitou. -1979-80- -Boston: Birkhliuser , 1981v.; 24cm. - (Progress in mathematics) Annual. English and French. Continues: Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Seminaire Delange-Pisot-Poitou: [exposes] 1. Number, Theory of- Periodicals. I. Title. II. Series: Progress in mathematics (Boston, Mass) QA24.S37A 512'.705- dc19 85-648844 AACR 2 MARC-S Library of Congress [8510]

Printed on acid-free paper. © Birkhliuser Boston 1993. Copyright is not claimed for works of U.S. Government employees. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without prior permission of the copyright owner. Permission to photocopy for internal or personal use of specific clients is granted by Birkhliuser Boston for libraries and other users registered with the Copyright Clearance Center (CCC), provided that the base fee of $6.00 per copy, plus $0.20 per page is paid directly to CCC, 21 Congress Street, Salem, MA 01970, U.S.A. Special requests should be addressed directly to Birkhliuser Boston, 675 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139, U.S.A. ISBN 0-8176-3684-6 ISBN 3-7643-3684-6 Camera-ready text prepared by the Editor in TeX. Printed and bound by Quinn-Woodbine, Woodbine, NJ. Printed in the U.S.A.

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Seminaire de Theorie des Nombres Paris 199D-91

Contents

Riemann's Period Relations ............................................................................. 1 S. BOSCH A note on cubic exponential sums ................................................................. 23

J. BRUDERN Calculs de nombres de classes et de regulateurs de corps quadratiques en temps sous-exponentiel ............................................................................. 35 H. COHEN, F. DIAZ Y DIAZ et M. OLIVIER Monodromie et Arithmetique des Surfaces..................................................... 4 7

J. C. DOUAI Sur le comportement en moyenne du rang des courbes y 2 = x 3 E. FOUVRY

+ k ............... 61

Correspondance de Jacquet-Langlands explicite I : le cas modere de degre premier ............................................................................... 85 G. HENNIART La valeur moyenne de la fonction zeta de Riemann ...................................... 115

A. !VIC On p-adic height pairings ............................................................................ . 127

J. NEKOVAR Theorie d'Iwasawa et hauteurs p-adiques ..................................................... 203 B. PERRIN-RIOU Galois representations attached to points on Shimura varieties ..................... 222 A. SILVERBERG Power series representing algebraic functions ................................................ 241 A. J. van der POORTEN Abelian varieties of K3 type ......................................................................... 263 Y. G. ZARHIN

Les textes qui suivent sont pour la plupart des versions ecrttes de conferences

donnees pendant l'annee 1990-91 au sem1na1re de Theorie des Nombres de Paris. Ce sem1na.ire est organise par la S.D.I.6180 du C.N.R.S. qui regroupe des arithm.etictens de plusieurs universites et est dotee d'un conseU sctentlfique et editorial. Ont ete aussi adjoints certains textes dont la mise a la disposition d'un large public nous a paru interessante. Les articles presentes lei exposent soit des resultats nouveaux, soit des syntheses origtnales de questions recentes; Us ont en particulier tous fait !'objet d'un rapport. Ce recueU dolt bien sur beaucoup a tous les participants du seminaire et a ceux qui ont accepte d'en reviser les textes. 11 dolt surtout a Monique Le Bronnec qui s'est chargee du secretariat et de 1a mise au point definitive du manuscrtt; son efficacite et sa tres agreable collaboration ont ere cructales dans I'elaboration de ce livre.

Pour le ConseU editorial et scientlfique S. DAVID

Seminaire de Tbeorie des Nombres Paris 1990-91

Riemann's Period Relations Siegfried Bosch (Miinster)

Over the field C of complex numbers, there is a one-to-one correspondence between elliptic curves and analytic tori of type C ;r with r a lattice of rank 2 in c: 1. e., r = z €B zT for some T E c - R. In higher dimensions the picture is similar : abelian varieties of dimension g over C correspond one-toone to algebraizable analytic tori C9 jr29 • A necessary and sufficient condition for algebraizability is the existence of a positive definite Riemannian form on C9 : 1. e., of a positive definite Hermitian form, whose imaginruy part takes integer values on the lattice r 2 9 • For principally polarized abelian varieties, the condition can be phrased in terms of period matrices, thus giving rise to Riemann's period relations: see (5), Chap. IV, for a short overview on the subject. In the present article we want to discuss an arithmetical analogue of the just invoked classical description of abelian varieties. The problem to be attacked is twofold : first, one has to study arithmetical uniformizations of abelian varieties and, then, algebraizability conditions for the resulting quotients replacing analytic tori C9 jr29 can be worked out. In its simplest form the problem dates back to Tate. Working over a field K with a complete non-archimedean valua- · tion, he considered elliptic cuiVes of type Gm,Kfq 1 with parameters q E K, 0 < lql < 1. In order to view quotients like the preceding one in a reasonable way as analytic spaces, Tate developed rigid geometry, a theory of analytic functions over complete non-archimedean fields which seiVes as a replacement of classical complex analysis; see (18). Tate's approach via rigid geometry was generalized to higher dimensions by Raynaud (14), using Grothendieck's semistable reduction of abelian varieties 1101: for proofs see (3). On the other hand, there is the construction of totally degenerating abelian varieties by Mumford

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S. BOSCH

[13) which takes place in terms of formal schemes over a complete noetherian normal ring. Later a thorough discussion of the subject was given in the style of Mumford by Falttngs and Chai [6). It was needed as a basic ingredient in order to construct arithmetical compactlfications of moduli spaces of abelian varieties. If pure formal geometry is used as technique, the characterization of abelian varieties and their degenerations in terms of quotients of uniformizing spaces can occur only in a more or less implicit way. In the following we want to explain the geometrical ideas behind the Mumford-Faltings-Chai construction from the viewpoint of Raynaud's article [14). This is most easy in the classical rigid case where one works over a complete valuation rtng of height 1, see Sect. 2. Later we will indicate how to generalize the approach to more general bases, using Raynaud's notion of rigid spaces without valuations. The basics of the latter theory have been summed up in Sect. 1. 1. - Relative Rilid Spaces over Complete Rings

Let R be a ring with a finitely generated ideal :J c R such that R is complete and separated under the topology given by :J. We assume that the open subscheme complementary to V(:J) is schematically dense in Spec R or, in other words, that R has no :I- torsion in the sense that {a E R; :Ina= 0 for some n EN}= 0. Using R as a base ring, only the following two cases will be admitted : The classical rigid case (C). - R is of topologically finite type over a complete valuation ring R 0 of height 1. and :J is the principal ideal generated by some non-zero element 1r belonging to the maximal ideal of R 0 • So R is a quotient of a restricted power series ring

Of course, R is supposed to be (complete and) separated with respect to the :J-adic topology, and without :J-torsion. In most cases we will consider the "absolute" situation where R = R 0 • The noetherian case (N). - R is a noetherian rtng, complete and separated with respect to some ideal :J c R, and without :J-torsion.

RIEMANN'S PERIOD RELATIONS

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For a moment, consider a pair of rings R c A with the properties of the pair R0 c R in (C). So R is a complete valuation ring of height 1: let K be its field of fractions and k its residue field. Then, s1m1larly as for the ordinary Rscheme Spec A, we can consider two fibres of the formal R-scheme X = Spf A: namely the special fibre X 0 = SpecA ®R Rf'J and the rigid (or generic) fibre = SpA ®R K, which is the rigid space associated to the affinoid Kalgebra A ®R K. Of course, X 0 depends on the choice of 'J. However, up to Xrig

nilpotent elements in the structure sheaf, X 0 coincides with the special fibre of the ordinary scheme Spec A. Its points correspond to the open prime ideals in A. On the other hand, the rigid fibre X rig consists of all rigid points of X: i. e., of the Za.riski-closed points of the generic fibre of Spec A. These are the only non-open prime ideals in A which generally behave well with respect to complete localization of A and, thus, make sense as "points" in the formal scheme setting. The constructions of X 0 and Xrig can be globalized to formal R-schemes X of locally top-finite (1. e., topologically finite) type. In particular, rigid points are apparent on any formal R-scheme of locally top-finite type. To make them explicit, one is used to look at associated rigid spaces. Applying the point of view ofRaynaud [15), one considers the functor

rig : (Formal R-Schemes)

--+

(Rigid K -spaces)

which associates to any formal R-scheme of locally top-finite type X its rigid fibre Xrig· This functor ignores formal blowing-up of coherent open ideals on the left-hand side: if X' --+ X is such a blowing-up, the resulting morphism an isomorphism. In fact, blowing up coherent open ideals on the level of formal R-schemes corresponds to the introduction of rational su bcoverings on the level of assOciated rigid spaces. So the functor "rig" gives rise to a functor x:ig --+ Xrig is

(Formal R-Schemes) /(Blowing-up) -+ (Rigid K -Spaces) , where, on the left-hand side, we mean the localization of the category of formal R-schemes of locally top-finite type by formal blowing-up of coherent open ideals.

S. BOSCH

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ThEOREM

1.1 (Raynaud (15]).- Rest:rt.cting to formal R-schemes of topolo-

gica.Uy .finite type and to rigid K -spaces which are quasi-compact and quasiseparated, the junctor (Formal R-Schemes)j(Blowing-up)-+ (Rigid K-Spaces),

yields an equivalence of categories. The theorem illustrates the intimate relationship between formal R-schemes of topologically finite type and their associated rigid K -spaces. So one can go back and forth between both categories, either interpreting rigid fibres of formal schemes from the viewpoint of classical rigid geometry or using methods of formal algebraic geometry in order to prove facts about rigid spaces. The finiteness conditions (quasi-compactness and quasi-separatedness) we have to obey are not too serious if one is will1ng to interpret general rigid K -spaces as direct limits of rigid K -spaces which satisfy the above conditions. In classical rigid geometry it is essential that the (absolute) base over which one is working, consists of a field K with a valuation. Therefore, if one wants to extend the notion of rigid spaces to bases of more general type, it is not possible to imitate the classical construction of J. Tate (18]. Instead, one can take 1.1 as point of departure. DEFINmoN 1.2. -Let 'J c R be an ideal in a ri1lg such that the conditions of the classical rigid case (C) or of the noetherian case (N) are satisfied. The category of rigid R-spaces is dejined as foUows : consider the category of admissible formal R-schemes, Le., offormal R-schemes oftopologicaUy.finite type, whose structure sheaves are topologized by 'J and have no 'J-torsion, and localize this category

with respect to admissible blowing-up, Le., with respect to formal blowing-up of coherent open ideals. The definition extends canonically to the case where we replace the base R by a quasi-compact formal scheme S which, locally on affine open pieces, is of the type described in (C) or (N). Furthermore, in the classical rigid case (C) we can see from 1.1 that our new definition coincides with the classical one, up to the additional finiteness conditions. The functor (Formal R-Schemes) -+ (Rigid K -Spaces) ,

RIEMANN'S PERIOD RELATIONS

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associating to an admissible formal B-scheme X its rigid fibre, exists as' before. It has become trivial under our new definition. Also note that, on the rigid side, it would be more appropriate to talk about Brig-spaces instead of B-spaces, since admissible blowing-ups of the base B will become isomorphisms on the rigid level. However, for simplicity, we will keep the notation B instead of Brig· Before one can really work with generalized rigid spaces in the sense of 1.2, various notions, which are familiar in the classical rigid case, have to be adapted to the new situation. To do this, one can basically proceed in two ways. The first is to say that a certain rigid B-space or a morphism of rigid B-spaces satisfies a given property (P) if there is a formal model, 1. e., a representative on the level of admissible formal B-schemes, which satisfies a formal version of (P). For example, one proceeds like this to define (quasi-compact) open or closed immersions of rigid B-spaces. That, in the classical rigid case, open (or closed) immersions of (quasi-compact) rigid spaces have always a formal model is a nontrivial fact which is based on the Theorem of Gen1tzen-Grauert [7) or, within a more general context, on the rigid analytic version of the flattening techniques ofRaynaud and Gruson [16]; see also Mehlmann [11). The second possibility of defining properties in the category of rigid B-spaces is to apply those properties to complements of special fibres of corresponding formal models (as before, subschemes given by the ideal 'J defining topologies of structure sheaves are referred to as special fibres). For example, consider an admissible formal B-scheme X and cover it by affine open pieces Xi= Spf Ai. Then we can look at a scheme property (P) and say that Xng satisfies (P) if (P) holds true on complements of special fibres in the ordinary schemes Spec Ai. Of course, in order that (P) gives rise to a reasonable property in the category of rigid B-spaces, one has to guarantee that the validity of (P) on complements of . special fibres of admissible formal B-schemes is local with respect to the Zariski topology and invariant under admissible blowing-up. The concept works well for flatness and, in a certain sense, also for etale and smooth morphisms. The above mentioned flattening techniques of Raynaud and Gruson [16) imply the highly non-trivial fact that each flat morphism or module in the rigid category has a flat model in the category of admissible formal B-schemes, a result which cannot be extended to etale or smooth morphisms. Another example of the just described procedure is the definition of the

S. BOSCH

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structure sheaf Ong of a rigid S-space Xng· To construct it, consider an admissible formal S-scheme X and the presheaf 0 which asSOCiates to any affine open formal subscheme Spf A c X the ring r(Spec(A)- V(J), Ospec A) of sections which are defined on the complement of the special fibre of the ordinary scheme Spec A. Then 0 satisfies sheaf properties and, thus, extends to a sheaf which is defined on all open subsets of X. Let us call 0 the sheaf of sections on X which are defined on the complement of the special fibre. Now, to define the structure sheaf Orig of Xng• consider an open subspace Urig C Xrig· By definition, there is a formal model U """-+ X of Urig """-+ Xrig. which is an open Immersion. Then asSOCiate with Urig the ring of sections on U which are defined on the complement of the special fibre of U. That the resulting functor Orig is well-defined and is a sheaf on X rig (in the sense that it satisfies sheaf properties with respect to finite open coveringS) follows with the help of [8], 5.1.2. One might think that a rigid space in the general situation of 1.2 is quite far away from a classical rigid space. However, the latter is not the case for reasons which will become apparent through the concept of rigid points of rigid S-spaces. DEF1NmoN

1.3.- Let X be an admissible formalS-scheme. A rigid point of

X or of the associated rigid S-space X rig is given by a morphism of admissible

formalS-schemes u: T---+ X satisfying the following properties:

(a) u is a closed immersion. (b) T is

affine, say T

= Spf B, and B is a local integral domain of

dimension 1.

One shows in the above situation that T = Spf B is finite over S and that the integral closure B' of Bin its field of fractions Q(B) is a height 1 valuation ring which, in the noetherian case, is finite over B. Writing T' = Spf B', we see, at least in the noetherian case, that T' is an admissible blowing-up ofT and, hence, that Trig = T:ig· If T' is not finite over T, it is stlll an inverse limit of admissible blowing-ups ofT. In any case, one can define the fibre Xrig,u of Xrig over the rigid point Urig: Trig ---+ Xng· Just consider the fibred product X xs T' in terms of formalS-schemes, kill its T'-torsion and pass on to the associated rigid T' -space. So Xrig,u is a classical rigid T' -space. Proceeding like this with all rigid points of S allows to view any rigid S-space as a family of classical rigid spaces over the rigid points of the base S. Furthermore, one shows :

RIEMANN'S PERIOD RELATIONS

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PRorosmoN 1.4.- Let X= Spf A be an qJJine admissible formalS-scheme where S is asswned. to be ajJine. Then points of the following type correspond btJecttvely to each other :

(a) rigid points of X,

(b) rigid points of the rigid S-space X rig, (c) non-open prime ideals p

c

A with climA/p = 1,

(d) closed points of the complement of the special .fibre of the ordinary scheme Spec A.

Globalizing this result, we see that for any admissible formal S-scheme X the set of closed points of the complement of the special fibre X 0 is well-defined. It is invariant under admissible blowing-up. In fact, this part is the rigid fibre Xrig of X. Associating the rigid fibre Xrig to X reveals additional information on the formal S-scheme X which is not recognizable in a direct way through formal scheme methods.

2. - AbeUan Varieties : the Classical Rlald Case We consider a situation as in (14]. Let AK be an abelian variety over the field of fractions K of a complete discrete valuation ring R ;.let k be the residue field of R. Using Grothendieck's semi-stable reduction theorem (10], we lmow that, replacing K by a suitable finite separable extension and R by the integral closure in it, AK extends to a smooth and separated R-group scheme A of finite type with semi-abelian special fibre Ak. The latter means that there is an exact sequence

with an affine torus Tk = G~ k and an abelian variety Bk over k. In fact, A is the identity component of the Neron model of AK. In order to lift the sequence (*) to AK. we replace AK by its analytification A~ in the sense of rigid geometry. Just as over the field C of complex numbers, there is a canonical functor X K --+ Xtf from K-schemes of locally finite type to rigid K-spaces, see [1], 9.3.4/2. It follows that A~ is a proper and smooth rigid K-group. On the other hand, choosing a uniformizing element 1r of the discrete valuation ring R. we can I

S. BOSCH

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consider the formal completion

of A along its special fibre. Then A is a formal group scheme of topologically finite type over R, which we can view as a rigid group over K. In fact, doing so, A becomes an admisSible open subgroup of A~. Now one can use the infinitesimal liftlng property of tori(9], IX, 3.6, to 11ft the affine torus Tk c Ak of the sequence -d (*)to a formal torus T = Gm R in A. Thereby we obtain a lifting '

O--.T--.A--.B--.0 of (*) with B being a formal abelian R-scheme. As will be seen later, B is algebraizable and, thus, is the formal completion of an abelian R-scheme, the latter being the canonical R-model of an abelian variety B K with good reduction. Also we mention that the existence of the exact sequence (**) can be proved independently of Grothendieck's semi-stable reduction within the context of rigid geometry; see (2]. In particular, it is not necessary to assume that the valuation we consider on K is discrete. The exact sequence(**) shows that A is canonically an extension of a formal abelian scheme B by a formal torus T; it is called the Raynaud extension associated to AK. The structure of such an extension can be described quite explicitly. In fact, A may be viewed as a T-torsor over Band, thus, corresponds to an element in H 1 (B, T) or, if we fix a splitting ofT= G~,R· to d line bundles on B. The fact that we have a group structure on A extending the action ofT on A is equivalent to the fact that these line bundles are translation invariant and, thus, belong to the dual B' of B; see (17], VII §1.1. So, if X(T) is the character group of the formal torus T, viewed as a constant formal R-group scheme, we can say that giving an exact sequence of type(**) is the same as giving a group morphism X(T)--. B'. We want to use the Raynaud extension(**) to describe the uniformization -d of the abelian variety AK. The formal torus T = G m R may be viewed as an ' open analytic subgroup of the analytification Tfl of the affine torus TK = G~ K ' where, in terms of K -valued points, T consists of all points in (K* )d whose components are of absolute value 1. Then one can consider the push-out of the

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RIEMANN'S PERIOD RELATIONS

sequence (**) with respect to the inclusion sequence of rigid analytic K-groups

(***)

T

o where E>o is the argument on p. 126 of Vaughan (7] now number of solutions to (12) and (13) with xi x 2 mod p 3 • The solutions with xi = x 2 contribute O(X MY2+E) to E> 0 by straightfOiward estimates. We now substitute

shows

=

to see that

(14)

A NOTE ON CUBIC EXPONENTIAL SUMS

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where E> 1 is the number of solutions to

with Yi E At(Y). h 5 2X M- 3 , z 5 4X and p as before. Writing H = 2X M- 3 and

L L L

O(a) =

M 1

O(a)IFt(4aW da.

The proof of (8, Lemma 3.7) gives

(15) because we always have X 118 5 M 5 X 117 irrespective of the value of l. Considering the underlying diophantine equation we also see that

HOlder's inequality and the induCtion hypothesis now shows that

E>1 0. ainsi que le groupe de classes d•apres ce qui a ete dit ci-dessus. G:nlce a ces contributions de Shanks. on peut calculer des groupes de classes et des regulateurs pour des disCl1IDinants dont la tame vajusqu•a 1020 ou meme 1025 si on est patient. Pour aller plus loin. n est necessatre d•mtroctuire de nouvelles idees. et cellesci seront directement insptrees des techniques modemes de factorisation. 2. - Deacrlption de Ia methode daDs le cu lm•&Jnalre.

Nous commencerons par exposer la methode. due a McCurley. (McCur] qui permet de calculer le groupe de classes des corps quadratiques lmaginaires. Le cas des corps quadratlques reels est analogue et sera decnt au paragraphe 3. Tout d•abord un mot d•avertissement. nest absolument necessaire de supposer vraie lb.ypothese de Riemann generalisee (GRH) pour obtenir des methodes plus rapides que celles de Shanks. Nous nous servirons de GRH de deux facons differentes. Tout d·abord. GRH nous permet de dire que 1e groupe de classes de Q( VD) est engendre par les ideaux premiers de norme inferieure a Cln 2 1DI. avec C = 6 (voir (Bach]). o·autre part. nous aurons besoin de GRH pour estimer rerreur commise en tronquant a une limite fin1e 1e produit eulerien deduit de 1a formule analytique de Dirichlet pour 1e nombre de classes. Si le lecteur ne croit pas a GRH. n peut s•arreter IIDmediatement de lire cet article car 1a validite

H. COHEN, F. DIAZ Y DIAZ et M. OLIVIER

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meme du resultat fourni (et pas seulement son temps d'execution) depend de Ia validite de GRH. Enfin, une heuristique de McCurley montre que Ia complexlte esperee de cet algorlthme est sous-exponentielle, tant dans les cas des corps quadratiques tmagJnaJres (cf. (McCur)) que dans le cas des corps quadratiques reels (communication prlvee de J. Buchmann). Ceci etant dit, venons-en

a Ia methode. Notons Cl(D) le groupe de classes

d'ideaux du corps quadratique de discrfminant D. Supposons que l'on connaisse un systeme de generateurs fi, /2 .... , fk du groupe abelien Cl(D). Soit 4> l'application de zk dans Cl(D) deflnie par

Si A est le noyau de . nous avons Ia suite exacte 0 ~----+ A ~----+ Z k ~----+ C l (D) ~----+ 0

done A est un reseau de zk d'indice egal au nombre de classes de Q( VD). Cette remarque fournit l'algorlthme suivant. Al.GORriHME

Etape 1: calcul d'un systeme de generateurs f~t· .. ,fk de Cl(D). Etape 2 : recherche d'un nombre suffisant de relations multiplicatives entre les fi, c'est a dire d'erements du reseau A. Suffisant signifie que l'on souhaite obtenir une Z-base de A. Habituellement, k + 10 elements suffisent. Etape 3 : determination, a partir d'un systeme generateur d'un reseau, d'une base de ce reseau, en utllisant Ia theorle de Ia forme normale d'Hermite. A ce stade, on connait le discriminant du reseau engendre par les relations que nous avons trouvees, qui est egal a un multiple du nombre de classes. Etape 4 : si le discriminant du reseau n'est pas proche (a un facteur multiplicatlf 2 pres) de Ia valeur approchee du nombre de classes obtenue en utllisant Ia formule analytique de Dirichlet et en tronquant le produit eulenen, nous n'avons pas un systeme generateur du reseau, done nous devons encore chercher quelques elements de A puiS retourner en 3).

CALCULS DE NOMBRES DE CLASSES ET DE REGULATEURS

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Etape 5 : determination de Ia structure de groupe abelien de Cl(D) par le calcul des diviseurs elementaires de Ia matrtce donnant Ia base de A sur Ia base canonique de zk (reduction de Smith). Nous allons maintenant decnre plus en detail chacune de ces differentes etapes. 1. G:nlce au theoreme de Bach [Bach], nous savons que 1es classes des ideaux premiers decomposes ou ramifies au dessus d'un nombre premier p::;: 6ln2 IDI forment un systeme generateur de Cl( D) (on ne prend bien stir qu'un seul parmi les deux ideaux premiers au dessus de p puisque l'autre est son inverse dans Cl(D)). En termes de formes quadratiques, pour chaque nombre premier p tel D que p ::;: 6ln2 IDI verifiant ( ~) # -1 on calcule un entier bp tel que b; (inod 4p) (cect peut se faire tres rapidement) et on normalise bp de telle facon que 0 ::;: bp < p. Sip est le i-ieme nombre premier non inerte, on pose

=

ou l'on utilise Ia notation (a, b, c) pour representer Ia forme quadratique ax 2 bxy + cy

2

+

•

2. La determination d'un nombre suffisant d'elements de A represente de loin Ia partie de l'algorithme qui prend le plus de temps, bien que sa programmation soit assez aisee. Le principe est le suivant. Nous choisissons des exposants entiers aleatoires e1 •... , e~:, et nous calculons Ia forme reduite f equivalente a Il 1 ~i~k it; dans Cl( D) par des successions de compositions et de reductions de formes quadratiques. L'ideal correspondant a Ia forme reduite f se decompose en un produit d'ideaux premiers, ce qui fournit une autre decomposition de · f en produit de formes (a equivalence pres), qui n'a aucune raison d'~tre celle dont on est partie (elle peut d'ailleurs faire intervenir d'autres formes que les fi). Dans le cas ou tousles facteurs de f figurent parmiles fi (ou leurs inverses), on peut ecrire f = Il 1 ~i~k avec Vi E Z, et on en deduit que le k-uplet (Vt - e1, v2 - e2, ... , v~: - e~:) appartient a A. Si les facteurs de f ne sont pas tous parmiles /i. on choisit d'autres exposants ei. Les relations obtenue sont mises sous forme matrictelle, chaque colonne (a k composantes) representant une relation. La matrice ainSi obtenue sera appelee Ia matrice des relations.

Jr

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H. COHEN, F. DIAZ Y DIAZ et M. OLIVIER

11 est a noter que Ia valeur de k depend du nombre de nombres premiers non inertes lnferieurs a une borne B egale a 6ln2 IDI. choisie en accord avec le theoreme de Bach cite ci-dessus. Rien ne nous empeche de choisir une valeur plus grande de k, ce qui permet d'obtenir plus facilement des elements de A, mais le prix a payer est qu'U y a plus de relations a trouver. Un raisonnement heuristique base sur le theoreme de Canfield, ErdOs et Pomerance [CEP] montre que Ia valeur asymptotiquement optimale de Best O(L(IDI) 11v'8) oft L( X) = e v'ln z In In z . On peut montrer (voir [McCur-Haf]) que ceci conduit a un temps d'executlon total de l'algorithme en O(L(IDI) 0 ) oft a est une constante legerement superieure a 1. Comme Ia tame du probleme considere est O(ln IDI), on dit que l'algorithme est (heuristiquement) en temps sous-ex:ponentiel. En pratique, l'algorithme pourra ~tre utilise pour des discrtminants de tame 40 10 a 1050 , et dans cette zone Ia fonction L{IDI) 1 1v'8 est bien plus petite que Ia fonction 61n2 IDI. done nne sera pas necessafre d'augmenter Ia valeur de k. Vu Ia tame des matrices obtenues, n est ~me souhaitable de pouvoir diminuer Ia valeur de k. Ceci peut se faire de Ia facon suivante. Nous choisissons une constante k' < k, et nous ne prenons en consideration que les formes f dont les facteurs /i sont tels que i ~ k'. Nous obtiendrons ainsi une matrice a k' lignes, plus petite que Ia matrice initlale, done plus aisee a reduire. 11 nous faut ensuite vertfler par recurrence sur j que les /j pour k' < j ~ k appartiennent au groupe engendre par les /i pour i < j, ce qui se fait de facon analogue a Ia recherche des relations entre les /i. Le chofx de Ia constante k' est dicte par deux considerations opposees. D'une part nous souhaitons prendre k' aussi petit que possible pour que Ia reduction de Ia matrice soit Ia plus rapide, d'autre part si on choisit une valeur trop faible pour k' n sera difficUe voire impossible de trouver assez de relations. 3. La determination d'une base d'un reseau a partir d'un systeme generateur est un probleme classique dont l'une des solutions est basee sur Ia reduction· d'Hermite des matrices rectangulaires. L'idee est de remplacer Ia methode du pivot de Gauss par !'utilisation de transformations elementaires de colonnes (addition a une colonne d'une combinaison lineaire a coefficients entiers des autres colonnes ou permutation des colonnes). Cette methode est classique,

CALCULS DE NOMBRES DE CLASSES ET DE REGULATEURS

maJs doit

41

~tre

appliquee dans notre cas a des matrices de taille Importante, par exemple 500 par 500. Une application brutale de la methode de reduction d'Hermite conduit a un temps de calcul prohibitlf et a une explosion de la taille des coefficients. nest indispensable d'utlliser le fait que la matrice que nous devons reduire sera une matrice creuse (c'est a dire ayant peu de coefficients non nuls) si nous procedons de la IDailiere suivante. Au lieu de considerer des produits aleatoires nlSiSk Iii nous considerons seulement des produits lltSiS• fi' oil s est beaucoup plus petit que k (par exemple 15 a la place de 500), et oil les ei sont choisis positlfs et petits (disons ei < 10). Les relations obtenues n'auront de coefficients non nuls que pour quelques rares indices superteurs as et la matrice obtenue sera creuse. 11 est necessaire d'effectuer quelques verifications supplementaires pour s'assurer que no us avons encore un systeme generateur de Cl (D). Voir [Buc-Dill) et [DUll pour une description plus detaillee et des exemples de temps de calcul. 4. Rappelons que la formule analytique de Dirichlet nous dit que s1 D < -4 est un discriminant fondamental on a

Si nous tronquons le produit eulerten a p :::; P, l'erreur colllillise est difficile a estimer sans GRH. Avec GRH par contre, on peut montrer que si on pose hp =

7 II _/ini

PSP

(

D

)-

1 - (-) !P

1

,

p

on aura hpf.J2 < ICl(D)I < hp.J2 des que P > 6ln 2 IDI. Comme nous savons que les /i pour i :::; k engendrent Cl( D) si la matrice des relations est de rang egal a k, nous en deduiSOns que ses colonnes engendrent un sous-reseau d'indice fini de A. L'encadrement obtenu ci-dessus pour ICl( D)l nous permet de savoir si le sous-reseau est ega! a A et, dans le cas contraire, on cherche quelques relations supplementaires.

5. La recherche des diviseurs elementaires d'une matrice est egalement classique (c'est tout a fait analogue ala reduction d'Hermite sauf que maintenant nous nous autorisons des operations elementaires sur les colonnes et sur les

42

H. COHEN, F. DIAZ Y DIAZ et M. OLIVIER

lignes). On appelle aussi ce1a Ia reduction de Smith. En tous cas, le calcul des dMseurs e:tementalres a partir de Ia matrice obtenue a l'etape 4 prend un temps negligeable, et on obtient a.tnsi sans peine Ia structure de Cl(D). 3. - Description de Ia methode dans le cu quadratique reel. La grande nouveaute ici est qu'U existe des unites autres que les ractnes de

l'unite. Plus prectsement, n existe une unite E appelee unite fondamentale, telle que I'ensemble des Unites de l'anneau d'entiers de Q( Vi5) SOit egal a ±En avec n E Z, et qui est unique si nous demandons E > 1. La presence de ces unites est bien entendu Ia raison pour laquelle les formes reduites se repartlssent en cycles. Rappelons que le regulateur R(D) est par definition egal a In E. Pour pouvoir generaliser l'algoritlune de McCurley au cas des corps quadratiques reels (et plus genera.lement au cas d'un corps de nombres arbU:ratre) n faut contrOler non seulement les places non-archimediennes, ce qui est fourni par Ia decomposition des ideaux en produit d'ideaux premiers (c'etait tout ce dont on avait besom dans le cas imagina.ire), ma1s egalement les places archimecliennes. Cette idee, qui a son interpretation naturelle en termes de classes d'ideles (voir [Len)) a ere introduite par Shanks ([Shall et peut ~tre decrtte de Ia :maniere suivante. Soient a et b deux ideaux equivalents. 11 existe done "f E Q( VJ5) tel que b = "fa. Considerons Ia quantite

ou u designe Ia conjugaison reelle. Si 'Y' est un autre element verifiant b = 'Y' a, on a 'Y' = ±En"f pour un certain entier net le membre de droite de Ia definition de 6( a, b) se moclifie par un multiple entier du regulateur R( D). En d'autres termes, 8(a, b) est bien defini en tant qu'element de RfR(D)l. Nous appellerons 8(a, b) Ia distance entre les ideaux a et b, cette distance n'etant pas definie entre ideaux non equivalents. Nous pouvons bien entendu transporter Ia notion de distance aux formes quadratiques (en remplacant le regulateur au sens ordinaire par le regulateur au sens restreint). Un certain nombre de proprtetes de 6 sont evidentes. Par exemple, on a 6(a, c)= 8(a, b)+ 6(b, c), et si 1 est l'ideal unite, 8(1, ab) = 6(1, a)+ 6(1, b).

CALCULS DE NOMBRES DE CLASSES ET DE REGULATEURS

43

Une propnete qui est en quelque sorte Ia raison d'etre de 6 est Ia suivante. Si on part d'un ideal reduit quelconque et que l'on parcourt completement son cycle par rM.uctiDns successives (voir par exemple [Cha) pour ces notions), en ajoutant les distances etementaires entre ideaux consecutlfs (qu'U est a1se de calculer), on obtient ce qu'on peut appeler Ia longueur du cycle. Le resultat fondamental est que pour cette distance tous les cycles ont Ia meme longueur, egale au regulateur R(D). Ceci maJ.gre 1e fait que les cycles n'ont pas en general le meme nombre d'elements. L'algorithme utilise reprend pas a pas le precedent.

a chaque relation obtenue de Ia forme II ft;-e; = (a), on assocte Ia distance 6{1, II g•-e;) = ! In l~rra) I (ou 1 est Ia forme unite). On cree ainsi, parallelement a Ia matrice des relations, un vecteur de nombres Dans l'etape 2,

reels : le vecteur des distances; cette distance (initlalisee a zero) est calculee en cumulant les distances elementalres correspondant aux produits et a Ia reduction des ideaux. En meme temps, aftn de pouvoir, a posteriori, tester Ia validite de l'approximation du regulateur, un vecteur dit vecteur d'erreurs est initialise a l'erreur absolue sur les 6. A l'etape 3, toute substitution d'un vecteur colonne de Ia matrice des relations par une combinaison lineaire des autres colonnes est accompagnee de Ia meme transformation sur Ia composante d'indice correspondant du vecteur des distances, de telle sorte que si a Ia k-ieme etape du calcul de Ia forme normale d'Hermite de Ia matrice, le j-ieme vecteur colonne a pour composantes ( wi). on a 6{1, II tri) = rj. ou ri est laj-ieme composante du nouveau vecteur des distances; Ia meme transformation est faite sur le vecteur d'erreurs, en remplacant les soustractions par des additions et les nombres par leur valeur absolue, aftn · de majorer l'erreur commise sur le vecteur des distances lors de Ia substitution. Cette erreur vient prendre Ia place de l'ancienne composante du vecteur d'erreurs. A Ia fin du calcul de Ia forme normale d'Hermite, si les m premiers vecteurs colonnes de Ia matrice reduite sont nuls, les m premieres composantes du vecteur des distances sont des multiples entiers du regulateur, correspondante pres.

a l'erreur

On effectue alors l'etape 4 de l'algorithme et dans le cas ou un nombre

44

H. COHEN, F. DIAZ Y DIAZ et M. OLIVIER

suftisant de relations a ete trouve (i.e. le nombre de classes est calcule), on obtient le regulateur en calculant le pgcd reel des m premieres composantes du vecteur des distances. Le calcul du pgcd reel de deux nombres a et b est analogue a celui du pgcd de deux entiers: q ..__ la/bJ, r ..__a- bq, a ..__ b, b..__ r, jusqu'a ce que r solt inferleur a Ia borne inferleure des regulateurs, soit In{ ( 1 + J5) /2) : on peut alors tester Ia qualite de l'approxlmatlon du resultat a l'alde du vecteur d'erreurs. 4. - Ezemples

Nous donnons ici quelques exemples concernant les corps quadratiques reels, avec les temps de calcul du nombre de classes et du regulateur. On trouvera de nombreux exemples relatlfs aux corps quadratiques imaglnalres dans (Buc-Diil]. Pour chaque discrlmlnant de corps quadratlque indique ci-dessous, nous donnons un quadruplet (Cl(D),R(D);k,t), ou Cl(D) est Ia decomposition du groupe de classes en groupes cycliques, R(D) est le regulateur, k le nombre d'ideaux premiers non-inertes utilises dans Ia matrlce des relations, et t le temps de calcul en minutes (sur une Sparcstation 2). 1030-3:

+1 : 1035 + 1: 1036 + 1: 1037 + 1: 1040 + 1: 1030

398249070 15705.95949 ... ; 1512, 35.23192 ... ; . 1535, ( [84 88886 03544, 2, 2, 2, 2, 2]' {[8],

{[4, 2, 2],

16 04248 99078 71303.35425 ... ;

( [115139 974 74 69984, 2, 2, 2, 2]' {[24, 2],

32')

2053,

108')

42.13967 ... ; 2154,

198')

66 84903 30210 06595.31538 ... ;

{[457 35076 04116 26728, 2, 2],

46')

2292,

192')

46.74484 ... ; 2583,

496')

Manuscrtt ~ le 27 avril 1992

CALCULS DE NOMBRES DE CLASSES ET DE REGULATEURS

45

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Seminaire de Theorie des Nombres Paris 199D-91

Monodromie et Arlthmetlque des Surfaces Jean Claude DOUAI

0. - IDtrocluction

Commencons par rappeler le theoreme suivant du a Saito-Kato lTheoreme 4, § 2 de (6]; cf. aussi (11]) : 0.1 1HEoREME. -

Soient X une courbe Usse, prqjecttve, geometriquement

irreductible, ~te sur un corps ]Hldtque k, K un nombre premier :f: p.

= k(X) son corps defoncti.ons, i

n exlste alors un entter r pour lequella suite

0---+ (Qt/Ztt---+ H 3 (K, Qtflt(2))---+

{1)

E9zeXo H 3 (Kz, Qt/Zt(2)) ---+ Qt/Zt ---+ 0 ,

est exacte (X0

= ensemble des points fermes de X, Kz = complete de K

en Ia

place x E Xo).

0.2. - Remarques

a) En fait, Kato-Saito obtiennent une formulation plus generate : k peut . ~tre un corps local quelconque a corps residuel fini et le resultat est encore vrai pour£ =p.

b) Si, dans le theOI·eme 0.1, X admet bonne reduction, r = 0. c) Le theoreme 0.1 peut exacte 0---+ Br(K)(i)---+

~tre

vu comme une generalisation de la suite

E9 Br(Kz)(i)---+ Qt/Zt---+ 0 zEXo

oft K est le corps des fonctions d'une courbe lisse, projective, geometriquement irredutible, definie sur un corps fini.

J. C. DOUAI

48

0.3. -

Le but de cet expose est de determiner (cf. le theoreme 2.1) le noyau

III4 {K,Qt/Zt(3))

= Ker{ H 4 {K,Qt/Zt(3))-+

E9 H

4

(Kz,Qt/Zt{3))}

zEXt

quand K est le corps des fonctions d'une surface projective, lisse, geometrtquement trreductible (en partlculier simplement connexe, par exemple une surface K 3 ) sur un corps p-adique, etendant ainSi au cas de ces surfaces une partie des resultats du theoreme 0.1 (Xi = ensemble des points x de X tels que 1a clOture de {x} dans X est de dimension i, Kz = complete de Ken 1a valuation associee

axe Xt). Nous verrons que certains de nos resultats sont susceptibles de s'etendre aux vartetes de dimension superteure. Le III4 precedent est a classer dans les "invariants d'ordre superteur" auxquels A. Grothendieck fait allusion dans (5). 0.4. -

0.5. - La methode consistera a reinterpreter le terme ( Qt/Zt t du theoreme 0.1 en termes de monodromie et de poids: (Qt/Ztt correspond par dualite au premier cran de 1a filtration par 1e poids de 1a monodromie W0 (H 1 (Xet., Zt)) de Hl(Xet.,Zt). De plus, toute classe de W0 (H 1 (Xet.,Zt)) definit une extension totalement decomposee du corps K (cf. Saito (11), chap. II, n° 2). Dans le cas des surfaces, le noyau III4 {K, Qt/Zt{3)) correspondra (modulo eventuellement un groupe fini) au premier cran de 1a filtration par le poids de 1a monodromie W0 (H 2 (Xet.,Zt)) de H 2 (Xet.,Zt) et les classes de W0 ( H 2 (X et., Zt)) seront aussi "totalement cUcomposees" dans uncertain sens. Dans toute 1a suite, 1a topologte consideree sera 1a topologt.e etale. I. - Cu d'une courbe : leslJa&r6dlents du th6odme 0.1

Dans tout ce paragraphe, nous nous placons sous les hypotheses et notations du theoreme 0.1. Nous supposerons en plus 1a reduction de X semi-stable et toutes les composantes de 1a fibre spectale x. definies sur le corps residuel k0 de k et geometrtquement irreductlbles sur k0 oft X designe un modele regulier de X sur Spec CJ,.;. Nous supposerons aussi tousles points doubles de x. definis sur k0 •

MONODROMIE ET ARITHMETIQUE DES SURFACES

49

1.1.- Df:termlnation de l'entier r du th6odme 0.1

Nous considerons Ia suite exacte

(scindee par !'existence d'un point k-rationnel), deduite de Ia suite spectrale de descente de k a k :

(remarquer que puisque k est un corps local de dimension cohomologique :::;; 2,

H 2 (k,Qfl) = 0) • . Posons G = Gal(k/k) dans toute Ia suite. {2) se dualise en: {3) =

(2)

0-+ (T)a-+ 1rfb(X)-+ Gal(kab fk)-+ 0,

ou (T)a designe le dual de H 1 (X, Q/Z) 0 i.e.le groupe des elements coinvarfants par G du groupe de Tate T de Ia Jacobienne J de X. Pour tout premier I. =F p, H 1 (X, Qt/Zt) ~ (Qt/Zt) 29 (g =genre de X) possede une filtration a trois crans par Ia monodromie : 0 C Wo C Wt

c

1-

W2 = H (X, Qt/Zt) .

H 1 (X,Qt/Zt) = Hom(Tt(J(k)),Qt/Zt) et Ia filtration precedente est induite par Ia filtration ([13), SGA7.1, 2.3.4 expose IX):

0 c Partie torique

c

Partie fixe

c Tt( J (k)) ,

ou "Partie fixe" signifie "Parttejixee par Ia m.onodromte• i.e. invarfante par l'action du groupe d'inertie I de Gal(k/k). dim Wo = dim de Ia partie torique dans Ia fibre speciale du modele de NeronN de J = t.

dim W1 /W2 = dim de Ia partie abelienne dans Ia fibre speciale de N = 2a dim W2/W1 = t

J. C. DOUAI

50

2g = 2t+2a

L'entier r du theoreme 0.1 n'est autre que le t precedent (cf. Saito (11), chap. II, n 08 6 et 2).

1.2. - Une proprl6t6 arlthm6tique : cluaea totalement decomposees W 0 (H 1 (X, Qt/Zt)) etant constitue d'elements de poids o. est necessatrement (cf. la suite spectrale de la proposition 2.10 de (10)) un quotient de 1 1 H 0 (XJ 1 ® ko, Qt/Zt) oii XJ 1 destgne l'ensemble des points doubles de X. : ko

1

par la conjecture de Well demontree par Deligne, H 0 {Xl 1 ® k 0 , Qt/Zt) est de ko

poids 0. En fait, W 0 (H 1 (X, Qt/Zt)) n'estautreque H 1 {1fl, Qt/Zt) oii 1r1 estle graphe dual des composantes irreductibles de x. (cf. (11), chap. II, theoreme 2.4; cf. aussi l'analogue pour la dimension 1 de la ligne -3 du n° 2, p. 41 de (10)). Le graphe dual s'evanouit evtdemment par restriction a un point fenne quelconque de x. i.e. toute c1asse de W 0 (H 1 (X, Qt/Zt)) est totalement decomposee sur k0 • Par dualite, W 0 ( H 1 (X, Qt/Zt)) ._. H 1 (X, Qt/Zt) definit un quotient de (T)a isomorphe a zr correspondant au revetement abelien maximal totalement decompose de X de groupe de Galois 1r~···( X) ( ~ 1r~···( x.) par la proposition 2.2, chap. II de (11) ; c.s. = split completely).

1.3. - La suite spectrale de Bloch et Ia duallte de Polncu6-Tate La suite spectrale :

consideree dans le n° 16 de (1) foumit 1a suite exacte: 0-+ H 2 (kfk,H 1 (X,Qt/Zt(2))-+ H 3 (X,Qt/Zt(2))-+

{4)

qui est scindee par I'existence d'un k-point rationnel dans X, (4) est dual de

{5)

-

= {4)

0 + - H 1 (X,lt) 0

+-

H 1 (X,lt)

+-

H 1 (k,lt)

+-

0.

H 2 (kfk,H 1 (X,Qtflt(2)) et H 0 (k,H 1 (X,lt)) sont en dualite par la dualite de Tate sur les corps p-adiques, Jumelee avec la dualite de Poincare :

H 1 (X,Qt/Zt{1)) x H 1 (X,Zt)-+ H 2 (X,Qt/Zt(1)) ~ Qt/Zt.

MONODROMIE ET ARITHMETIQUE DES SURFACES

51

H 1 (k, Qt/Zt(1)) et H 1 (k,lt) sont aussi en duallte par Ia duallte de Tate sur les corps p-adiques. H 1 (X,lt) est done dual de H 3 (X,Qt/Zt(2)). Si X admet un k-point

ratlonnel, W0 (H 1 (X,lt)) c H 1 (X,lt) 0 apparait comme un sous-truc de H 1 (X, Zt) de rang r compose de classes totalement decomposees. Dans Ia duaUte precedente, W0 (H 1 (X,lt)) correspond au quotient de H 3 (X,Qt/Zt(2)) de Ia forme ( Qt flt) r, ce qui compte tenu de Ia suite exacte de localisation en cohomologie etale permet de retrouver le terme (Qt/Ztt de Ia suite exacte (1) du theoreme 0.1.

D. - Cu d'une surface

Nous obtenons le theOI·eme suivant qui generalise une partie du theoreme 0.1.

2.1 TlflOOREME. - Soient k un corps p-adique. '7 un point ¢~rique de Spec ole. s son pointferme, f : X --+ Spec Ole un morphl.sme propre et plat avec X r~ulter. Supposons que les .fibres de

f

sont de dtmension 2. On suppose en outre que

Ia .fibre gh1.erlque X = X11 est une surface projective, Usse, geometrlquem.ent irrM.uctible et simplement connexe. On suppose de plus Ia rM.uctiDn semi-stable (t.e. x. est rM.utt et stY = x. = EYj, les composantes t.rreductibles Yj sont Usses et d crotsements normaux). On suppose erifin les Yj ¢~t irrM.uctibles

sur le corps restduel k0 de k et les points de Yl 21 (= ensemble des potnts triples deY) rationnels sur k0 • Soft W lajiltration par le potds de Ia m.onodromie de

= Xr; = Xr; (cf. le n° 2 de [10] et enparttculier Ia proposition 2.13). · Posons h2( If I) = dim Grf (H 2( X, Qt)) (jrl = graphe dual des composantes

H 2 (X, Qt) Oil X

de Y). Alors, pour presque tout l

1: p,

1~ H 4 {X,Qt/Zt{3)) = (Qt/Zt) 112 reme 3.6.1 de [3), conjecture de Well II), l'homomorphisme de specialisation

(Y = Xs; I phisme:

= inertle de

G

= Gal(k/ k )) est suijectlf,

2-

2-

done aussi l'homomor-

sp.: H (Y,lt)mod torsion---+ H (X,lt)

I

pour presque tout .e.

Le "presque tout f." dans Ia suite nous permettra juste d'alleger l'ecrtture en ecrtvant H 2 (X, lt) au lieu de H 2 (X, Zt)modtorston (compte tenu du theoreme de Gabber).

55

MONODROMIE ET ARITHMETIQUE DES SURFACES

Posons H = application

Gal(k0 /k0 ) ou k0 est le corps residuel de k; sp. induit une

(sp.)H: (H2 (Y,Zt)modtorsion)H

---+

(H 2 (X,lt/)H

II 2

H (X,lt) 0

•

Pour presque tout f, soient W 0 c W1 c W 2 c Wac W4 (resp. WJ c W{ c W~) la filtration a cinq Crans (resp. a trois crans) par le poids de la monodromie sur H 2 (X, lt) (resp. H 2 (Y, Zt)modtorsion) (cf. par exemple le n° 2 de [10)). On salt que l'homomorphisme surjectlf sp. envoie isomorphiquement WJ sur W0 (et d'ailleurs aussi W{ sur W1 son noyau etant contenu dans

Grr'' (H 2 (Y, lt)mod torsion)). Comme WJ = (WJ)H (resp. Wo = WoH = Wf), (sp.)H induit un isomorphisme de WJ C (H 2 (Y,lt)modtorslon)H sur Wo C H2 (X, lt) G . De plus, ( H 2(Y, lt )mod torsion) H (resp. pour presque tout f, H 2 (X,lt) 0 = (H 2 (X,lt) 1 )H) se roouit a WJ (resp. Wo). les invariants par l'action du Frobenius de H operant sur la partie libre de H 2 (Y, lt) (resp. sur H 2 (X, lt) 1 pour presque tout f) etant necessairement de poids 0. D'ou, pour presque tout f : rang 1 t(H

2

(X,lt) 0

)

= dimQt Wo(H 2 (X,Qt) =

dimQt W6(H 2 (H 2 (Y, Qt)) = h2(lrl)

ce qui justifie la notation h2(lrl) pour le rang sur lt de H 2 (X, lt) 0 (pour le calcul de Gr';;~ H 2 (Y, Qt) ~ GrJ¥0 H 2 (X, Qt). (cf. Zink-Rapoport [10], demonstration de la proposition 2.13 p. 41, en partlculler la llgne -3). Comme pour des raisons tres generales (cf. le Iemme 1.11, chap. V, p. 165 de (91 joint au corollaire 5.5, chap. VI, p. 244 de (Milne)), H 2 (X, lt) est de type fini,

H 2 (X, lt) ~ H 2 (X, lt) 0 ~ Z~ 2 (jrl)

X

(groupe fini A'

d'ou le 1~ du them·eme 2.1. 4eme 6tape (Classes totalement decomposees- correspondant au 1.2 du I):

J. C. DOUAI

56

Soit D une k-courbe propre, Usse, trreductible munie d'un k-morphisme D -+ X, l'homomorphisme de Gysln H 2 (D, Qt/Zt(2)) --+ H 4 (X, Qt/lt(3)) est transpose par dualite de la restriction H 2 (X, lt) --+ H 2 (D, lt)· Nous allons voir que les classes de H 2 (X, lt) qui proviennent de 1a partie llbre Z~ 2 (1rl), done de W0 ( H 2 (X, lt) ), sont annulees par restriction a D. Pour cela, considerons le diagramme dans lequel D = D;; :

H 2 (D, lt)

~

lt( -1) est de polds +2. d'ou: 2-

H (D,lt)

G

c Wo(H 2(D,lt))

2

= Wo(H (D,lt)) = 0,

ce quiimpllque l'assertion. On en doouit la finitude de B~Im( D

E9

de

diml

lisse, propre, d~fini sur"·

muni d'un 1o-morphfsme vers x

B s'injectant dans le groupe ftn1 A, ce qui etabllt le point 2~ du theoreme 2.1. Les 3~ et 4~ du the01·eme 2.1 resultent alors assez facilement de 1~ et 2~ a l'aide de la suite exacte de localisation en cohomologie, compte tenu de la resolution de Bloch-Ogus et de la suljectlvite de l'appllcatlon H 4 (X,Qt/Zt(3))-+ H 0 (X, 'H4 (Qt/Zt(3)) au 'H4 0 designe le faisceau Zariskien assode au prefaisceau

MONODROMIE ET ARITHMETIQUE DES SURFACES

57

2.6. CoROLLAIRE (au theoreme 2.1).- Gardons les hypotMses du theoreme 2.1 et supposons que lajibre gen.ertque X= X, sott wte surface

K 3 • Alors,

i) III4 (K,Qt/Zt(3)) se redutt dun groupejini dans les deux cas sui-

vants: - ou lajibre Speciale est Usse (i.e. la reduction est bonne), - ou X est de type II au sens Kulikov [8].

ii) III4 (K,Qt/Zt(3)) ~ Qt/ltX (un groupejini) siX est de type III au sens de Kulikov [8]. Dans le cas ( ii), on sait que The01·eme II).

WI

a le type d1lomotopie de S 2 (cf. (8],

2.7. CoROLLAIRE (au theoreme 2.1).- Sous les hypotMses du tMoreme 2.1, si lajibre gmertque est wte surface d'Enriques, III4 (K, Qt/Zt(3)) se redutt dun groupe jini. En effet, on sait qu'alors la monodromie est t:r1viale (cf. (8], Theoreme III ou le corollaire 2.9). Marluscrlt recu le 24 janvier 1991

58

J. C. DOUAI

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59

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Jean Claude DOUAI Universite de I.Jlle I U.F.R de Mathematiques F-59655 VILLENEUVE D'ASCQ

Seminaire de Theorie des Nombres Paris 1990-91

Sur le comportement en moyenne du rang des courbes y2 =

x3

+k

E. FOUVRY

I. -INTRODUCTION Soit E une courbe elliptique sur Q dont le rang et le conducteur sont notes

rg(E) et N(E). Dans la perspective de l'etude des valeurs possibles de rg(E), on dispose d'inegalites entre rg(E) et N(E). Ainsi la demarche classique de demonstration du theoreme de Mordell-Weil conduit a

rg(E) = O(logN(E)). Cette majoration fut amelloree par Mestre ([M 1)) en

(1.1)

rg(E) = O(logN(E)/loglogN(E))

sous reserve de !'exactitude de trois conjectures celebres dans ce domaine (fantyama-Weil, Birch-5winnerton-Dyer et Riemann generalisee). Pour l'instant, 11 est hors de question de discuter de l'optlmallte de (1.1), toutefois, on pense qu'il y a "extremement peu" de courbes elliptiques E avec

rg(E)

X

logN(E)floglogN(E),

on est amene a une telle opinion en consultant des tables relatives a des courbes elliptiques et en appreciant la difftculte de construction de courbes de rang eleve (voir (Ml), (M2) par exemple). L'objet de ce travail est de montrer, que pour UD type trf:s fort de moyenne, le rang des courbes de la famille E( k) : y 2 = x 3

+k

( k E Z*)

62

E. FOUVRY

est lnferieur a une constante. Pour etre preciS, on introduit la fonctlon caracteristlque e(k) des entlers k qui ne sont divisibles par aucune puissance sixieme de nombre premier. Ainsi lorsque k parcourt !'ensemble {k;e(k) = 1}, E(k) decrit une fois et une seule I'ensemble des classes d'isomorphisme, sur Q, des courbes E( k ). On montrera le ThEoREME 1.- R existe deuxjonction R+ et R- deji.nies sur ]1, y'3] telles que pour tout C de cet interoalle et pour X tendant vers +oo. on ait les tnegalttes

(1.2)

L

e(k)Crg(E(±k)) ~ (R±(c) + Oc(1))X.

O

s'identlfle

a un sous-groupe de

H(>.., Q) et il est

bien connu que Ia connaissance de N"' entraine celle ±r.p. Satge decrit de fa~n complete les Ncp lorsque r.p appartient a s.>. Pour enoncer parfaitement son resultat, nous posons aussi :

• K = Q(k 1 12 ), K' = Q(k' 112 ) et classons certains nombres premiers divisant 2k de Ia facon suivante : • f 1 , ••• , fa sont les nombres premiers p congrus a 1 modulo 3, tels que Ia valuation p-adique de k, notee vp(k), verlfie: vp(k) = 2 ou 4 et kp-vp(k) est un carre modulo p,

qb sont les nombres premiers p congrus a -1 modulo 3 tels 2, Vp(k) = 2 OU 4 et kp-vp(k) est un carre modulo p OU tels que p = 2,

• q1 ,

•.• ,

que p # v2(k) = 0 ou 2 et k2-v 2 (k)

=1(mod8),

sont les nombres premiers p congrus a -1 modulo 3, tels 2, vp(k) = 2 ou 4 et kp-vp(k) n'est pas un carre modulo p, ou tels que

• r 1 , ••• , r c

que p

p

#

= 2,

v2(k) On ale

= 0 ou 2 et k2-v (k) = 5(mod8). 2

ThroREME o ((521 Theoreme 1.14). -

au groupe de Selmer

s.>

un

e~ment

r.p de H(>.., Q) appartten.t

si et seulement si l'extensiDn Ncp vertji.e les quatre

conditions suivantes :

( 1) L'extension N"' / K est non ramtjiee en dehors des places de K qui dfvisent 3,ft, ... ,fa, Tt, ... , Tc•

(2) Pour i = 1, ... , a le

comp~ de N"' au-d.essus de

fi est inclus dans

Qt;((4k)l/3). ( 3) Pour j = 1, ... , b les places de K qui dtvisent dans NcpjK.

=

=

qj

sont decomposees

(4) (i) Si k 1,2,3,4,8(mod9), si k 18(mod27) ou si k 108(mod243), alors les places qui divisent 3 sont non ramf:Mes dans N"'.

(ii) Si k

=9(mod27)

posees dans N "''

= 54,

alors les places de K qui divisent 3 sont decom-

E. FOUVRY

66

= =135,216(mod243), =81 (mod 243) le

(iii) Si k 6(mod9), alors le dans Qa(kl/2' (4k)Ifa). (iv) Si k NcpfK. ( v) Si k

comp~te

deN"' au-dessus de 3 est inclus

alors 9 ne divise pas le conducteur de

comp~te de N"' au-dessus de

Qa( u) orl u vertfte u

3

-

9u

2

+ 4k =

3 est le corps

0.

Certaines des conditions apparaissant dans le Theoreme 0 font appel a de dellcates notions d'algebre et sont, pour le moment, tres difficiles a exploiter par des methodes de theorie analytlque des nombres. Comme 11 a ete dit plus haut, on est amene a affaibllr l'enonce precedent pour ne conserver que les points ( 1)

et(4)(i). Pour ce faire, on attache a chaque entier k, quatre ensembles ni(k) (i = 0, 1, 32 et 243) de cardinaux respectlfs wi(k) definis par:

Oo(k) avec

= 11t(k) U Oa2(k) U 1124a(k),

n1(k) = {p

~

5; vp(k) = 2 ou 4}

n32(k) = {2} si k =

=5, 13,20,21,29 (mod32)

0 dans le cas contraire.

Ainsi on volt que 2 est un des r 1 , ••• , r c si et seulement si k verifie l'une des congruences modulo 32 precedentes. Enfin, pour definir 11 243 ( k ), on exprime les congruences introduites au (4 )( i) sous forme d'un systeme de congruences modulo 243. Ainsi, les conditions (4 )( i) sont satisfaites si et seulement s1 k n'appartlent pas a uncertain ensemble£ de 97 congruences modulo 243. On pose alors : !l24a(k) = {3} s1 k E £ (mod243) =

0

dans le cas contraire.

Le Theoreme 0 entraine done directement le LEMME

1.- Soit r.p un element non nul deS(>.). Alors Ncp est une extension de

K non ramifi,ee en delwrs des places de K qui divisent les nombres premiers de

Oo(k)

SUR LE COMPORTEMENT EN MOYENNE DU RANG DES COURBES y 2

= z 3 + k 61

Le Lemme 1 ramene done le probleme de majoratlon de 6(k) a celui de Ia majoratlon du nombre d'extensions cubiques de K, galoisiennes non abellennes sur Q (lorsque K f. Q) non ramifiees a l'exteneur d'un certain ensemble fin1 de places. Pour majorer un tel nombre, on fait appel a Ia theorie du corps de classes, on ale LEMME 2. -

Soient

• m un entier sans jacteur ca.rre, different de 1, • ~~:a(m) le 3-rang du groupe des classes d'ideawc de Q(mi/2 ), • Pt, ... ,ps. s nombres premiers. Alors le nombre d'extensions cubiques cycUques de Q(mi/ 2 ) galotsiennes et non abeliennes sur Q, non ra.mtfiees en delwrs des places de Q( m I 12 ) qui divtsent

PI, ... , Ps est, au plus ( 3 s+~ea(m)+x 9 (m) _

1)/2

ou X9 (m) est lajonction caracteristique des entiers m congrus d 6(modulo 9).

Rappelons que le nombre d'extensions cubiques galoisiennes de Q, non ramifiees en dehors de PI, ... ,ps est au plus

(2.1)

(3 8

-

1)/2.

1. - D6monstratlon du Iemme 2 : notations Puisque, pour tout m, on a Ia relation X9 (m) = X9 (4m), on peut supposer, quitte

a multiplier par 4, que m est le discriminant d'un corps quadratlque.

Dans cette partie, on pose:

K = Q(vm). A l'anneau des entlers de K, I le groupe des ideaux de K, i l'appllcatlon canonique de K dans I. Pour m ideal, on note : Km = { j; a E A, bE A*, a et bpremiers

{a

a=

am}.

Km,I = E K; 1 mod m}. Im le groupe des ideaux engendre par les premier ne diVisant pas m,

pm(z)

= i(Z) n Im,

E. FOUVRY

68

P un ensemble fin1 de nombres premiers de Z, So un ensemble fin1 d'ideaux premiers de I, en particulier S 0 (P) est !'ensemble des ideaux premiers au-dessus des premiers de P. 2. - Un peu de th6orle du corps de classes On s'interesse done aux extensions cubiques de K, galoisiennes, non abeliennes sur Q, non ramifiees en dehors des ideaux de S0 • Ainsi Gal(L/Q) est le groupe diectral d'ordre 6, et le conducteur f de !'extension L est un ideal de

K qui n'est divisible que par les ideaux premiers de So oti 11 y a effectivement ramification.

Par le theOI·eme de classification de la theorie du corps de classe, on salt qu'a L correspond un unique sous-groupe de Jf note HL(f) tel que: Jf ::> HL(f) ::> i(Kf,I)

et

Jf I HL(f) = Gal(L/Q).

Hasse ([H)) puiS Satge ([Sl]) dans un langage tres clair et plus modeme, ont prouve les deux resultats suivants qui nous permettront de majorer le nombre de L comme ct-dessus, dans le cas particulier ou So = So (P) lorsque p = {pJ, ... ,p.. }: LEMME 2.1 ([Sl) Corollaire 3 page 33). -Avec les notations preddentes, le

conducteur f de

L est un idhJl principal de K engendre par un entter positif f de

lajonne: ou • q1 , ... , qt sont des premiers distincts de P, djfferents de 2 et 3, vertjiant: qi

=(:)Cmod3)

• l'exposant u (resp. w) est nul si

et seulement si U n'y a pas de

ramtjicatton au-dessus de 2 ( resp. 3) (on est to1.4Jours dans cette situation lorsque 2

¢.

P ( resp. 3

¢. P)J.

• u= 1 • w -

-

{

Dans le cas contraire, on a :

si 2 est inerte dans K, 2

si

2 est non ramtjie dans K

1

si

m

1 ou 2 si

=3(mod 9) m =-3(mod9).

SUR LE COMPORTEMENT EN MOYENNE DU RANG DES COURBES y 2

LEMME

= z 3 + k69

2.2 ((Sl]) page 20).- La bgectton indutte par le tll.eoreme de classifica-

tion du corps de classe indutt une bgectton entre les extensions cubiques L de K. galDtsien.nes non ~Uennes sur Q. non ram~s en delwrs de So et l'ensemble des groupes de congruence H (So) veryiant les deux proprt.etes suivantes :

(i) H(So) est d'indice 3 dans JSo, (ii) H(So) contient P 50 (l). (Bien entendu, on a pose ! 50 = 1m ou m est le produit des ideaux premiers de So). En remarquant qu'on a: 2inerte dans K {:::::} ( ';) 2(mod 3). et en prenant pour w la valeur la plus grande, on doouit des Lermnes 2.1 et 2.2le

=

LEMME

2.3.- Les extensions cubiques L de K. galDtsien.nes, non ~Uennes

sur Q. non r~s en delwrs des places au-dessus des nombres premiers p des P sont en nombre inferi.eur d celui des sous-groupes d'indice 3 de

ou

IT

pEP p"3 p!!!!!( )(mod 3)

.Z:

avec 3¢.P 3EP et

m:=3(mod9)

3 E P et m ¢ 3( mod 9) . 3. - D6nombrement de sous-groupea d'lndlce 3 Le lenune 2.3 ramene done le denombrement des L

a celui de sous-groupes

d'indice 3 d'un certain groupe abellen. Le lenune suivant est assez classique (voir [Sl] page 16 par exemple): LEMME

2.4. -

Sott G un groupe

~lien

composante p-primaire de G est du type (pr d'indice pest pe-l.

flni, p un nombre premier. Si la

1 , ••• ,

p-1

pre) le nombre de sous-groupes

E. FOUVRY

70

Nous n'appllquerons pas ce lermne directement a Jf I (i(Kt,I )Pf(Z)) mais au groupe-produit

(If ji(Kt))

X

(i(Kt)/i(Kf,I)Pf(Z)),

dont le nombre de sous-groupes d'indice 3 majore celui des sous-groupes d'Indice 3 de Jf f(i(Kt,I)Pf(z)). D'apres Ia formule (1) page 22 de [Sl), (avec des notations differentes) on a l'isomorphisme :

i(Kt)/i(Kf.I) ~(A/f)* /U, ou U est l'image de U, groupe des unites de K, dans (A/f)*. En posant f = (!), on a finalement l'isomorphisme :

ce dernier etant un groupe-quotient de (A/f)* /(Z/ fl)*. En regroupant les divers elements de Ia discussion precooente, on enonce le LEMME

2.5. -

Le nombre d'extenstons cubiques L de K, galotsiennes non

aMUennes sur Q, non ramifiees en delwrs des places au-dessus des premiers p de Pest inferteur d celut des sous-groupes d'indice 3 de:

(If /i(Kt))

X

((A/f)* /(Z/ fl)*).

Pour appllquer le Lermne 2.4, 11 reste groupes du produit precedent.

a etudier le

3-type de chacun des

4. - Etude du 3-type 11 est clair que le groupe Jf ji(Kt) a pour 3-type: (2.2) La decomposition de

(3 rt ' ... ' 3r,. 3 (m)) .

f en ideaux premiers s'ecrit :

les exposants np(f) valent (voir Ia definition de f donnee au Lermne 2.3):

SUR LE COMPORTEMENT EN MOYENNE DU RANG DES COURBES y 2

•

si pf3 : np(f) = 1,

•

si

Pl 3

= z 3 + k 71

=

. _ { 4 si m 6 (mod 9) · np(f)- 2 si m ¢6 (mod9).

Done, pour etudier le 3-type du groupe-quotient (A/f)* /(Z/ fl)*, on est ramene a etudier, celui de chacun des facteurs :

II(Afp)* /(lfpl)*

(2.3)

(plf, p

# 3)

PIP

et eventuellement du facteur :

II(A/Jln,(J))* /(Z/3wl)*

(2.4)

(31/).

Pl3

Nous faisons appel une fois encore a un resultat de Satge ([Sl], Theoreme 1 page 15): LEMME

2.6. - Soit p un ideal premier de l'anneau A des entters d'un corps de

nombres K, de norme absoltre q = p9.

Si fest un nombre premier diffh"ent de p, la composante f-primaire de (Afpn)• est un groupe cyclique dont l'ordre est la plus grande pu1ssance de f divisant q -1. Pour n = 1, la composante p-primaire de (A/ p n )* est trivi.ale; pour n ;;::: 2 elle est du type:

(prt, ... ,pr") avec (e

r 1 +···+r~c=g(n-1), k~eg+i

indice de ramification), le nombre i va.lant 1 ou 0 suivant que Kp contient ou

ne conttent pas les racines p-temes de l'unite, djfferentes de 1. En.fin lDrsque

n

> p:I + e, on a

l'egalite k = eg

+ i.

Etudions d'abord le cas du facteur (2.3), signalons que le nombre p ne se ramifie jamais dans K (condition (;) p (mod3)). Sip est inerte, on a

=

-1 = (;) = p (mod 3) et q = p 2 • La plus grande puissance de 3 qui divise p 2 -1 est celle qui divise p + 1, notons Ia rp. D'apres le lenune precedent, le 3-type de (Afp)* est done (3rp ). 11 en est de meme pour le 3-type de (A/p)* /(lfpl)*. Si p se decompose dans K, on rencontre done le facteur : (2.5)

(Afp)*

X

(A/P)* /(lfpl)*'

E. FOUVRY

72

=

dii al'ecriture (p) = pp, on a aussip 1(mod3), le Lermne 2.6, affirme.donc que le 3-type de (Afp)* x (A/P)* est (3rP,3rP) (ou 3rp est la plus grand puissance de 3 divisant p- 1, par passage au quotient par le groupe cyclique (lfpl)*, on volt que le 3-type de (2.5) est (3rp ). En conclusion, nous venons de montrer que dans tousles cas, le 3-type de (2.3) est (3rP) oil 3rp est la plus grande puissance de 3 divisant p 2 - 1. Passons maintenant au facteur (2.4).

=

• Si m -1(mod3), 3 est inerte dans K, le facteur (2.4) devient (A/(3 ))/(Z/9Z)*; avec les notations du Lermne 2.6, on an= 2, g = 2, e = 1, done r1 + r2 = 2, k:::; 2 done, dans ce cas, le 3-type de (2.4) est (3). 2

• Si m = 1 (mod 3), 3 est decompose dans K, le facteur (2.5) devient 2 (Afp )* x (A/'ii" )* /(Z/9Z)*, en appllquant le Lermne 2.6 a (Afp 2 )*, avec les valeurs n = 2, g = 1 (done k = 1 et r 1 = 1), on volt, Ia aussi, que le 3-type de (2.4) est (3). 2

=

• Si m 3 (mod9), 3 se ramifie dans K : (3) = p 2 , le facteur est (Afp 2 )* /(Z/3Z)*, done n = 2, g = 1, le 3-type de (2.5) est (3). • Si m = 6 (mod9), 3 se ramifie dans K: (3) = p2 , le facteur (2.4) est maintenant (A/p 4 )* /(Z/3 2 Z)*. On a alors n = 4, g = 1, i = 1, e = 2, done k = 3 et r 1 + r 2 + r 3 = 3, le 3-type de (Afp 4 )* est a1ns1 (3, 3, 3), done celui du facteur (2.4) est (3, 3). n reste a regrouper (2.2) et l'etude de chacun des facteurs (2.3) et (2.4) pour voir q1,1e le 3-type du groupe (Jfji(Kt)) x ((A/f)*/(l/fl)*) est au plus de longueur Ka(m) + card{p;plf} + X9 (m), il reste a appllquer les Lermnes 2.5 et 2.4 pour avoir la demonstration du Lemme 2. Remarquons qu'on a montre en fait un peu mieux, on peut dans la formule du Lermne 2 diminuer l'exposant s + ~~: 3 (m) + x9 (m) du cardinal de !'ensemble des Pi( f. 3) tels que (;:) f. Pi (mod 3) et de 1, lorsque 3 n'est pas l'un des Pi et que x9(m) = 1.

m

-IIAJORATION DE rg(E(k))

En combinant les Lermnes 1 et 2 et la majoration (2.1), on volt que le nombre de Nr.p possibles, pour r.p appartenant aS(>.) est infeneur a (3161o(A:)+~ea(A:)+x 9 {k) _ 1)/2

SUR LE COMPORTEMENT EN MOYENNE DU RANG DES COURBES y 2

= z 3 + k 73

ou k designe l'entier obtenu a partir de k par division par Ia plus grande puissance de 9 possible (on a utruse l'egalite x9(n) = x9(([2n) pour tout net tout d non divisible par 3). Ainsi, on volt que le cardinal de s< .\) est au plus : 3161o(l:)+~ea(A:)+x 9 (i) ,

ce qui donne le LEMME

3. - Pour k entier non nul. sans pu1ssance stxt.eme, on a la mqjoratton

Soit A' l'isogenie duale de..\, a1ns1 ..\'vade A' versA et verifle:

(3.1)

.X' 0

..\

= 3'

ou 3 designe Ia multiplication par 3 sur E( k ). 11 est bien connu que Ia connaissance de 8(k) et 8(k') = diiilFa s a, et on en deduit Ki = Uk pour 1 ~ i a et Ka = 1 + p~+l + L: gP~. Le groupe g=jll!1

K 9 est bien egal a Ex Hb, et le Iemme 3.8 de (He5) est encore valable. Suivant (He5 § 3.9) on volt encore que l'on peut prendre 8r = 1, xa et 8r = 8, x1 2 • Cette representation s'etend de f fa~ns distlnctes a EX na'. Comme le nombre d'orbites de EX I FX u E aglssant par conjugaison I II l 1 sur U'l IU'l est 1 + (q- - 1)/f on conclut exactement comme dans (Mo,

CORRESPONDANCE DE JACQUET-LANGLANDS EXPLICITE

103

lemmes 3.5.28 et 3.5.36) que ces extensions inteiViennent toutes avec Ia meme multiplicite dans l'induite a Ex na' de (Jt, saufl'une d'elles qu'on appelle ~~:9. De plus, pour 'Y tres regulier dans Ex, on a : tr~~:6('Y)

= .\8('Y),

ou .\a Ia meme signification qu'en 6.3.

On a done prouve, quelle que soit Ia valeur de a, le Iemme suivant. LEMME. - Soit 'Y un ~rement tres

r~Uer

de Ex. On a :

7.2.- Nous verlfierons ci-dessous Ia proposition suivante PRorosmoN.- Soit 'Y un Soit x

wt

~t.ement

tres r~guUer de Ex et sott bun entter ~ 0.

~l.ement de G' tel que x'Yx- 1 appa.rttenn.e d Exu~. Alors x apparttent

dN'U~. Par les formules de Mackey on obtient : CoROLLAIRE. -

Sott 'Y wt ~t.ement tres r~ulter de Ex. On a :

tr7r(E,8)('Y) = A4

L

8(g("()).

gEAutF(E)

Dans le cas ou Ia pa1re admissible (E, 8) n'est pas minimale, on procooe comme en 6.5 et le corollaire precedent reste vra1 sil'on interprete a comme le conducteur minimal de 8. 7.3.- Prouvons Ia proposition 7.2, comme en 6.4. On peut supposer X E u~ et b ~ 1. Le groupe U~/U1 s'identifie au groupe multlplicatlf .Ax du corps residuel A de A et l'element 'Y agf.t par conjugaison comme un generateur 0 et Yn --+ oo. 11 est difftcile de trouver dans (2) et (3) les valeurs effeetlves de T pour lesquelles les !l-resultats sont atteints. L'auteur (11) a prouve le resultat suivant, qui donne une bonne locallsatlon des valeurs de T: 11 existe des constantes A, B, To > 0 telles que chaque intervalle [T, T + ATi] pour T ~ T0 contlent des nombres t 1 , t 2 qui satlsfon:t : {4)

VALEUR MOYENNE DE LA FONCTION ZETA DE RIEMANN

117

Bien sur, les inegalltes (4) impUquent E( T) = n+ (T1) et E( T) = f2_ ( T1 ), mais {2) et {3) sont plus forts. Le mente de (4) est que les inegalites sont attetntes dans un intervalle court de la forme [T, T + ATi].

b) Le cu! < (7 < 1 Dans ce cas on definit le terme d'erreur comme :

Etr(T) :=

1 T

j((u + it)l 2 dt- ((2u)T-

((2u-1)r(2u-1) 2 2 sin{1ru)T - tr, 1-u

et on peut remarquer que lim Etr(T) = E(T).

tr-+i+O

Recemment K. Matsumoto [18] a trouve une formule asymptotique pour Etr(T) qui correspond a la formule classique d'Atkinson [1] pour E(T) : soit 0 -semilinearbijective map

I : Dcris(V)

--+

Dcris(V)

Dst(V) is a vector space over K 0 equipped with a 4>-semflinear bijective map I : Dst(V) --+ Dst(V) and a Ko-linear map N : Dst(V) --+ Dst(V) satisfying Nl=piN. • DR(V) := DdR(V) is a vector space over K with a decreasing filtration by subspaces (FiDR(V))ieZ satisfying UFiDR(V) = DR(V). nFiDR(V) = 0. •

They are related as follows : • Dcris(V) = Dst(V)N=o = Ker(N). • The canonical map Dst(V) ®Ko K--+ DR(V) is injective. • dimK0 Dcris(V) :5 dimK0 Dst(V) :5 dimKDR(V) :5 dimQ,(V). • V is crystalline ==> V is semistable ==> V is de Rham. • The Tate twist D( n) is given by tensoring with :

resp. DR(Qp(n)) = (K,F-nDR = K,F-n+lDR = 0). It will be more convenient to consider the monodromy operator N as a

1-

equivariant map N: Dst(V)--+ Dst(V)( -1) = Dst(V( -1)).

According to the fundamental results of Fontaine (Fo 1], (Fo-11], a crystalline resp. semistable representation V can be recovered from Dcris(V) resp. Dst(V) as follows : 1.6. -

Let M FK(/, N) be the category of finite-dimensional vector spaces Dover Ko equipped with • A 4>-semflinear bijective map 1 : D --+ D. • A Ko-linear map N: D--+ D satisfying Nl =piN. • A decreasing filtration Fi DK by subspaces of DK = D ®Ko K satisfying UFinK = nK. nFinK = o

132

J. NEKOVAR

(morphisms being Qp-linear maps compatible with /, N, F·). The functor Dst: Repst(G)--+ MFK(/,N) is fully faithful and induces a tensor equivalence between Repst(G) and its essential image M F'J/(1, N) ("admissible filtered (/, N)-modules"). A quasiinverse functor 'Vst of Dst is given by

Similarly, the filtered /-modules with N = 0 form a category M Dcris : Repcris( G) --+ M

Fk and

Fk

induces a tensor equivalence between Repcris( G) and M F'J/ := M F'J/(1, N) M a quasi-inverse of Dens being

Fk.

n

1. 7. -

The abstract correspondence between p-adic Galois representations and filtered modules is a realization of Grothendieck's "mysterious functor" between etale and de Rham cohomology. Let X 1K be a proper smooth K -scheme with good reduction, let X be a proper smooth 0 K-scheme with generic fibre X ® K isomorphic to X. Write X a for the special fibre of X. Fix an integer m ~ 0. Then • V := H:;(X ® K, Qp) is a p-adic representation of G. • The crystalline cohomology of the special fiber D := H;;is(Xa/OK0 )®ox0 Ko admits a 4>-semilinear bijective endomorphism f. • There is a canonical isomorphism

and the Hodge filtration on HdR_ makes D a filtered /-module [Be-Og).

1.8.- THEOREM [Fa] In the situation oj1.7, Vis a crystalline representation, D is an admissible f -module and there are canonical isomorphisms

D _::_. Dcris(V),

V _::_. Vcns(D),

133

ON p-ADIC HEIGHT PAIRINGS

inducing an isomorphism

(DR(V),F·)

~

(H;R(XjK),Hod.ge jiltration).

1.9. - Suppose that X is a proper flat 0 K-scheme with semistable reduction (i.e. the special fibre X., is a reduced divisor with nonnal crossing) and generic fibre X. Choose a prime element 1r E 0 K, which in turn determines a p-adic logarithm Log,.. characterized by Log,..(1r) = 0, hence an embedding Bst Fix an integer m

•

~

'-+ BdR·

0. Then

V := H;t(X ® K, Qp) is a p-adic representation of G.

• The cohomology of the de Rham-Witt complex with logarithmic singularities along the special fiber

admits a 4>-semilinear bijective endomorphism f and a nilpotent automorphism

N satisfying N I= pfN. • There is a canonical isomorphism (depending on the choice of 1r)

and the Hodge filtration on the second group makes D a filtered (N, /)-module (Hy-Ka). 1.10.-

THEOREM

(Ka) In the situation of 1.9, suppose that m

< (p- 1)/2.

Then V is a semistable representation. D is an admissible (N, !)-module and there are canonical isomorphisms

D ~ Dst(V),

V ~ Vst(D)

inducing an isomorphism

(DR(V),F·) ~ (H;R(XJK),Hod.ge ji11ration). It is conjectured (Fo-ll) that the statement of the theorem is valid for all m and

X, after passing to a suitable finite extension L / K.

J. NEKOVAR

134

1.11.- ThEOREM [Fa) Let X be a smooth K-scheme, m

~

0 an integer. Then

V := H;rt(X ® K,Qp) is a de Rham representation and there is a canonical iso171Drphism

(DR(V), F·) ~ (Hd'it(X/ K),Hodge .filtration).

It is conjectured [Fo 2) that the same should be true without the smoothness

assumption. 1.12.- We now recall the main points of [Bl-Ka, ch.3) and add some remarks

concerning the semistable case. Let V be a p-adic representation of G. Define for* E {ur, cris, st,dR}

If Vis a *-representation, then H~(K, V) classifies those extensions 0 --+ V --+ E --+ Qp(O) --+ 0 in which E is again a *-representation. We use abbreviations of (Bl-Ka) H} :=

HJris•

n; := HJR and define also

We have obvious inclusions

and H~r(K, V) = H 1 (G/I, V 1 ) is the usual group ofunramified cohomology classes (cf. [Fl)). If T c Vis a G(K/K)-equivariant Zp-lattice in V, define H~(K, T) to be the inverse image of H~(K, V) in H 1 (K, T). For example, for V = Qp(l) we have H 1 (K,Qp(l)) = K*i§Qp. where the symbol Ai§Qp stands for (~(AjpnA)) ®zp Qp. and n

135

ON p-ADIC HEIGHT PAIRINGS

1.13.- Recall that according to (Se, 11.5.2 Th.2], the cup product

is a perfect duality for any i

= 0, 1, 2 and that Hi(K, V) = 0 fori

ThEOREM (Bl-Ka, 3.8]

1.14. -

if V

~ 3.

is a de Rham representation. then in the

perfect duaUty

the annihilators of various subgroups of H 1 ( K, V) are

H~(V).L = H:(V*(l)),

H:(V).L = H~(V*(l))

H}(V).L = H}(V*(l)),

(V*(l) = Hom(V, Qp(l)) is the Tate twist of the representation contragredient to V). ThEOREM (Bl-Ka, 3.8.4] Let

1.15. -

V be a de Rhmn representation. Then

there is a commutative diagram with exact rows

0 ---+ H 0 (K, V) ---+

(~DEB DR(V)/ p0

D

J

II 0

0 ---+ H (K, V) ---+

---+ H}(K, V) ---+ 0

J

nt=t

i

J

DR(V)/F

--+

0

exp H~ ( K, V) ---+ 0

in which D = Dcris(V) and i is induced by the inclusion Dcris(V)

0, on definit un homomorphisme

5.3.- Soit:

0--+ Zp(l)--+ Tz --+ Tp(A')--+ 0 une extension de GF-modules dont la classe appartient a H}(F, Tp(A)) 0 • Soit Xz(F) l'image rectproque de H}(F, A~oo) dans H 1 (F, Vz/Tz) par l'appllcation H 1 (F, Vz/Tz)-+ H 1 (F, A~oo ). On a alors la suite exacte:

En effet, U s'agit de montrer la suljectivite de la derntere appllcation, ce qui revient a montrer que H}( F, A~ co) est contenu dans l'image de H 1 ( F, Vz /Tz ). Soit y E H}(F,A~oo)· Son image dans H 2 (F,Qp/Zp(l)) (qui est le cup-produit xUy) est nulle, car pour tout place v, x"Uy" est nul. Doney appartient al'image de H 1 (F, Vz/Tz). Posons Xz(F00 ) = limindXz(Fn)· On a done une suite exacte:

Si y E H}(Fm, A~oo ), on note Sglob(Y) un relevement de y dans Xz(Fm)· D'autre part. U extste un entier k tel que pour toute place von ait y" = p-k ® z" avec z" E A'(Fm,")u. Si vest une place divisant p. on note:

Si v ne divise pas p. on pose

y"

= 0.

THEORIE D'IWASAWA ET HAUTEURS p-ADIQUES

5.4. -

215

Nous pouvons matntenant definir l'appllcation cherchee :

par:

Ap(x)(y) =

L

Cpv(sglob(Y)- Y")

t~ES(F00 )

pour x E H}(F, Tp(A)) 0 et y E H}(Foo, A~oo ). Elle est independante des choix faits. II est facile de voir que Ap definit une appllcation de H}(F, Tp(A)) 0 dans Xoo,J(A)r. 5.5. -

On a une appllcation naturelle :

f3: Xoo,J(A)r---. Xoo,J(A)r---. HomzP(H}(F, A~oo )"", Qp/lp) ---. Homzp(H}(F, Tp(A')), lp). La proposition suivante est claire :

PRoPOsmoN.-

On a {3(.\p(x))(y) =< y, x >p,Vp(A) pour x E H}(F, Tp(A)) 0 et

y E H}(F, Tp(A')). Lorsque p,Vp(A) est non degeneree, les ZP-modules Xoo,J(A)r et Xoo,f(A)r ont meme rang et Xoo,f(A) est done de torsion sur Zp[r]. Cela est en particuller le cas s1 la forme bilineaire p,A est non degeneree et si III(A)(p) est fini, d'oii la premiere partie du theoreme de l'introduction. 5.6.- Nous supposerons desormais que Xoo,/(A) est de torsion sur Zp[r]. Si 1 est un generateur topologique de r, on pose ,\"Y = f p(1) - t · .\ p·

PRoPOsmoN. -

Soft

1 un ~atew" topologtque de r. Le diagramme sul.vant

B. PERRIN-RIOU

216

a ses colDnnes et ses Ugnes exactes et est commutatif:

0

0

l 0

-+

H (Gs,F, A~oo )" 2

l as,., -+

~

+--

EB"es1 A(F")u

+--

H (Gs,F, A~oo )"

7r

+--

0

+--

H (r,A~oo(Foo))"

1

71"$

+--

Zoo,t,s(Tp(A))r

0

Xoo,s(Tp(A))r

+--

0

+--

0

l

l (H}(F, A~oo )"')"

+--

Xoo,t(Al

l

l 1

0

l

l 0

-+

l

l H}(F, Tp(A)) 0

Xoo,s(Tp(A))r

7ro

+--

Xoo,t(A)r

l

l

0

0

La suite exacte longue de 1a premiere colonne est une varfa.nte de 1a suite

exacte de Cassels et une consequence fnlmedfate de 1a suite exacte de PoitouTate. La suite exacte longue de 1a deuxieme colonne se deduit de 1a suite exacte courte 4.7. Le dual de l'appllcation as,'Y est le compose de l'isomorphisme H 1 (Gs,F00 , Tp(A'))r -+ H 1 (r, H 1 (Gs,F00 , Tp(A'))) (qui depend de/) etde !'application H 1 (r, H 1 (Gs,Foo, Tp(A'))) -+ H 2 (Gs,F, A~oo ). Cette derniere application est un isomorphisme car H 2 ( G s,Fco, A~ co) est suppose nul. L'appllcation ,\'Y a ere definie en 5.4. L'appllcation 1r: Zoo,t,s(Tp(A))r-+ EB"es1 A(F")u est 1a projection naturelle; c'est un isomorphisme (2.4). L'appllcation 1rs est le dual de l'appllcation de restriction :

Comme rest de dimension cohomologtque l, 1a suite exacte inflation-restriction donne 1a suite exacte :

THEORIE D'IWASAWA ET HAUTEURS p-ADIQUES

217

L'appllcation 1r0 est le dual de l'appllcation restriction :

On dolt encore montrer la commutativite des deux premiers carres (celle des autres est claire). La demonstration consiste a expllctter toutes les fleches et a verifier que cela marche. Nous renvoyons a (P92), 4.4, 4.5. 5. 7. -

On deduit facilement du diagramme que l'appllcation :

est un isomorphisme et que le conoyau de

1r0

est fin1 d'ordre :

5.8.- D'apres les rappels 1.4, la fonction s ~----+ p•(!car(Xoo,J(A)) a un zero ens= 0 d'ordre superieur ou egal au rang sur ZP de Xoo,t(A)r, c'est--3.-dire a dimQp H}(F, Vp(A)) et n y a egalite si et seulement sil'appllcation f3Qp :

Qp ®zP Xoo,J(A)r--+ Qp ®zP Xoo,t(A)r est un isomorphisme. Soit 'X"Y l'appllcation :

obtenue comme compose des applications suivantes :

1ro :

Xoo,J(A)r--+ (H}(F, A~oo )"")" ,

6: (H}(F, A~oo )"")"

--+

H}(F, Tp(A'))* ;

comme .\"Y, 1r0 et 6 ont un noyau et un conoyau finis, /3Qp est un isomorphisme si et seulement si 'X"Y a un noyau et un conoyau finis, c'est--3.-dire s1 et seulement si la hauteur p-adique est non degeneree.

B. PERRIN-RIOU

218

5.9. - Si f est un homomorphisme entre deux Zp-modules de type fini dont le noyau et le conoyau sont finis, on pose h(f) = #coker(f)/# ker(f). Calculons h(f3). On a: h('X-r) = h( A-y) · h(/3) · h( 1r0 ) • h( 6) , d'ou h(f3) = h('X-r). h(6)- 1 . ( #A~oo (F))- 1 • D'autre part, d'apres 5.5 et 5.6, h('X-r) est aussi le discriminant de la forme bilineatre ip(/)- 1 • p,Vp(A):

H}(F, Tp(A)) 0 x H}(F, Tp(A'))/A~oo (F) ---. ZP (A~oo (F)

estle sous-Zp-module de torsion de H }( F, Tp (A'))). Rappelons que l'on note discp,Tp(A) le discriminant de la forme bilineaire p,Vp(A) sur

H}(F, Tp(A)) x H}(F, Tp(A'))---. QP . On a done:

ip(I)"(A) · h('X-r) =discp,Tp(A) ·[H}(F, Tp(A)): H}(F, Tp(A)) 0 ) • #A~oo(F), ou s(A) = diiDQp H}(F, Vp(A)) = dimQp H}(F, Vp(A')). On utilise alors la suite exacte:

---. (H}(F, A~oo )"')" ---. H}(F, A~oo )" ---. 0, variante de la suite exacte de Cassels pour montrer que dual de Pontryagin du noyau de 6, on a :

s1

I.II"'(Tp(A')) est le

[III"'(Tp(A')) : III(Tp(A'))) = [H}(F, Tp(A)) : H}(F, Tp(A)) 0 )- 1 • IT"es1 i"(A) . Comme 6 est d'autre part sUljective et que i"(A) on obtlent que :

= 1 si v n'appartient pas aS,

ip(I)"(A) · h(f3) = IT"i"(A) ·discp,Tp(A) ·#(I.II(Tp(A'))) modulo

z; .

En utllisant l'egalire: lim.,_.o Cp(A,p")/s"(A) = ip(I)"(A)h(/3),

on en deduit la formule destree. Manuscrit recu le 10 septembre 1991

THEORIE D'IWASAWA ET HAUTEURS p-ADIQUES

219

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Bernadette PERRIN-RIOU U.A. CNRS 747 Universite P. et M. Curie LMF, UFR 21, Tour 4&-46 4, place Jussieu F-75252 PARIS CEDEX 05

Seminaire de Theorie des Nombres Paris 1990-91

Galois representations attached to points on Shimura varieties A. SILVERBERG

0. - Introduction We consider a class of Shimura varieties which are not in general natural moduli spaces for abelian varieties, and are not even conjectured in general to be moduli spaces for motives (see the bottom of p. 217 of (L)). These are the Shimura varieties considered in the Main Theorem of Canonical Models in (Sh3) and are called ~les ~anges" by Dellgne in § 6 of (Del). In § 7 of (Sh3) (see also (Sh2)) Shimura associated, to each point on a Shimura variety in this class, a homomorphism from a Galois group to a subquotient of the adelic points on the algebraic group G which defines the given Shimura variety. Call these homomorphisms "adelic representations". By composing an adelic representation with a suitable representation of G, Shimura obtained i-adic representations of Galois groups (see § 2 below). For adelic representations associated to algebraic points on the Shimura variety, the images of the Frobenius at ~ under these i-adic representations have eigenvalues which are algebraic numbers

whose archimedean absolute values are appropriate powers of the norm of~. for all but finitely many primes ~ of the base field. Further, after a finite base change these representations form a compatible system of i-adic representations. Shimura stated (p. 101 of (Sh2)) that his results "... may be regarded as a generalimtion of the previously known results concerning the Galois extension generated by the points of finite order on an abelian variety. . . . It should be noted here that, if the degree of F over Q is greater than one, the characteristic roots ... cannot be interpreted, so far as our theory tells, as those of the Frobenius endomorphism of an abelian variety over a finite field, although one may hope to obtain some geometric interpretation ... in the future."

222

A. SILVERBERG

In § 1 we give a brief exposition of Shimura's construction of adelic representations. We begin with the notation necessary for stating part of the Main Theorem of Canonical Models (see Theorem 1.1). We then give the relevant notation and definitions for stating some of Shimura's results on adelic representations (see Theorems 1.5 and 1.7). We discuss in detail the classical case of moduli spaces for prlndpally po~d abelian varieties with full level N (~ 3) structure (see Example 1.6). In §2 we state theorems and conjectures of Shimura on i-adic representations obtained from adelic representations associated to algebraic points. These results are analogous to those known for i-adic representations of abelian varieties. In §3 we recall and discuss the Isogeny Conjecture of Tate (proved by Faltings in the case that concerns us, namely, abelian varieties over finitely generated extensions of number fields). In §4 we state a result C'I1leorem 4.1) which gives an analogue, for Shimura varieties and adelic representations, of Faltings' Isogeny Theorem. In 4.2 we sketch the proof. Section 4 also includes speculation on possible stronger results in the same direction (Questions 4.4 and 4.5). In § 5 we state a converse to Theorem 4.1 (see Theorem 5.1), and give a counterexample to a conjectured strengthening (see Question 5.2 and Example 5.4). We also ask a related question (Question 5.5) concerning the existence of isogenies defined over given fields of definition for abelian varieties.

AckllowlecJements. I would like to thank Yurt Zarhin, P. Deligne, J.-P. Serre and the referee for helpful comments on earlier drafts of this paper. I would also like to thank the NSF and the Sloan Foundation for providing financial support.

1. - AdeUc representations Write Gm for the multiplicative group, Ill for the d x d identity matriX, and H d for the Siegel upper half space, i.e.,

Hd

= {z E Md(C): tz = z and

lm(z) is positive definite} .

Fix a positiVe integer d and define GSpd. the group of symplectic similitudes, to

GALOIS REPRESENTATIONS ATTACHED TO SHIMURA VARIETIES

223

be the Unear algebraic group over Q such that :

GSpd(Q) = { g E GL2d(Q) : tg (

-~d ~) 9 = JJ(g) ( -~d ~) for some JJ(g) E

Q}

and define the symplectic group Spd by

Spd

= {g E GSpd: JJ(g) = 1}.

Then GSpd(R) 0 , the connected component of the identity, acts on Hd by Unear fractional transformations. Consider the short exact sequence of algebraic groups over Q : (1)

Let F be a totally real number field and let (2)

be a form over F of (1). Suppose that for every real embedding either (3)

T :

F ----. R,

sequence (2) ®F,r R ~sequence (1) ®F,r R

or (4)

FGo ®F,r R is compact .

Assume (3) occurs for r embeddings T, with r > 0, and call these r 1 , •.. , Tr· Taking Well restriction of scalars Res F /Q gives a short exact sequence of algebraic groups over Q : (5)

0 ----. Go ----. G ----. ResF/Q Gm ----. 0 .

The above construction can be realized more explldtly as follows (see 6.2 of (Del] and 2.1 of (Sh3]). Suppose B is a quaternion algebra over F such that B is indefinite at the places Ti for i ::; r and definite for i > r. Let t be the main

224

A. SILVERBERG

involution of B. Suppose X Is a free rank dB-module, and hIs a non-degenerate F-bilinear form

h:XxX--+B such that

h( ax, by)= ah(x, y)b' for a, bE B, x, y EX and

h(x,y)' = h(y,x). Then h( x, x) E F for every x E X. Suppose that whenever i > r and 0 =f:. x E X, we have h( x, x) r; > 0. It is possible to find B, X and h as above, such that

G(Q)

E!!

{g E GL 8 (X): h(gx, gy) = v(g)h(x, y) for some v(g) E F}

£::!

{g E GLd(B) : g tg'

= v(g)ld for some v(g) E F} .

From now on we will identify G(Q) with the latter group, and will follow the exposition in § 2 of (Sh3). Denote by G 00 and G0 the archimedean and nonarchimedean parts of the adelic group G(A), respectively. Let Gt:, denote the identity component of G00 , and let

Then a+ acts on H'd. r copies of the Siegel upper half space Hd. Let r

F' =

Q(E Ti(a): a E F), i=l

let

F be a

Galois extension of Q containing F, and let H' be the subgroup of Gal(F /Q) corresponding to F'. Write II

Gal(F/Q) =

lJ H'u;, j=l

disjoint union, with s = [F' : Q] and with u 1 , •.• , u 11 E Gal(F /Q). ForcE F' let II

f>(c)

= IJ u;(c), i=l

GALOIS REPRESENTATIONS ATTACHED TO SHIMURA VARIETIES

225

and extend e to FA X. It is easy to vertfy that f) is determined by F. Tt' ... 'Tr, and is independent of the choice of F. The field F' is a totally real number field, and the data ( F' j O'tl F' ' ••• ' 0'.IF') is called the reO.ez of the. data ( F; Tt' ... ' Tr). If r = [F : Q], then F' = Q and f) is the identity map. If r = 1 and r 1 is the identity map, then F' = F and f)= r 1 • Let 15, a subgroup of G x ResF'/Q Gm. be the Unear algebraic group over Q defined by D(Q) = {(x,c) E G(Q) x F'x: v(x) = 9(c)}. Let

D = {x E G(A): v(x) E 9(FA x)}, E = DG(Q)G~

n GoG~ ,

and P = {projections to G 0 of open compact subgroups of D(A)} .

If S E P, then SG~ C E. ForSE P, let

rs = G(Q)nSG~, and let k s be the class field of F' corresponding to

{c E FAx : 9(c) E Fx Fc!v(S)}. Let q; be the compositum of the fields ku, for U E P. Define a homomorphism u: E--+ Gal(4>/F')

by u( e) = [c- 1 , F'] (the Art1n symbol) with an element c E FAx such that

9(c)/v(e) E Fx F~+. As a consequence of the Main Theorem of Canonical Models of Shimura (see

2.5 of (Sh3]) we obtain, for S E P, a simultaneous system of canonical models for the arithmetic quotients H'dfr 8 • We state the result we will need as: 1.1.-

THEOREM

(Shimura) Whenever S, T E P, a E E, and S

exist: (a) a quasi-projective algebraic variety Vs dejined over k8 ,

~

T, there

226

A. SILVERBERG

(b) a r s-invarlant hDlDmorphic map cps : btregular isomorphism of Hd jr s onto Vs.

Hd

-+

Vs which induces a

(c) an isomorphism Js(a) from Vs onto o'(a)(Vasa-t ), dejined over ks. and

(d) a morphism Jr,s : Vs -+ Vr d.l:fined over ks, such that:

(e) ifa E G+ thent.pasa-t(a(z)) = Js(a)(cps(z))foral.lz E

Hd,

(!) if a E SG"tc then J s( a) is the identity map,

(g) Js(af3) = u(f3)(Jpsp-t(a)) o Js(f3), (h) Jr,s(cps(z)) = cpr(z)for every z E

Hd, and

(i) u(a)(JaTa-t,asa-t)oJs(a) = Jr(a)oJT,S· We call {Vs : S E P} the system of Shlmura varieties associated to the above data. 1.2. - Remark : for r f. [F : Q], the Shimura varteties Vs are not even conjecturally moduli spaces for motives. (See § 4 of (L] and 6.6 of (Del].) Deligne has pointed out that they are however finite covers of Shimura varteties

constructed from the adjoint group of G, and the latter will be moduli spaces for motives. 1.3.-

DEFlNmoN

lf S E P

and x E Vs. let

W = {T E P : T is a normal subgroup of S} , and caU a set of points {ur}rew a coherent set of poblts lybli over x if

ur E Vr. us = x, and Jr,R(uR) = ur whenever R C T. lf in addition there exists an element z E Hd such that cps(z) = x and cpr(z) = ur for aUT E W, we caU { ur }rew the standard coherent set attached to z and S. 1.4. -

DEFlNITION For z E

Hd, let fiz be the closure in S qf{1 E r s

: /( z) =

z},

and let Nz be the normalizer inS of fiz.

The following result follows from 7.6 and 7.8 of (Sh3].

1.5. - THEOREM (Shimura) Suppose S E P, x E Vs. and {ur }rew is a coherent set ofpoints lying over x. Let Rz be the composttum oftheji.elds kr( ur ),

GALOIS REPRESENTATIONS ATTACHED TO SHIMURA VARIETIES

227

for T E W. 'Then Rz is an injinite Galois extension of ks( x ), depending on x but not on the coherent set Further, for every T E Gal( Rz I ks( x)) there exists an element r( T) E S such that u(r(r)) =Ton q; and

r(ur)

Hd

Suppose z E

and

= Jr(r(r))(ur) wheneverT E W. rps(z) = x. 'Then there exists an

element

f

E S,

depending on the coherent set. such that T ~ r( T) dejines a continUDus ir!}ecttve

homomorphism p: Gal(Rzlks(x )) -+

f Nz!- 1 If!::..zf- 1

.

lf { ur }rew is the standard coherent set attached to z and S, we can take f

= 1.

If {ur }rew is the standard coherent set attached to z and S, we write Pz for p and call the homomorphism Pz the adeUc represeDtatlon attached to z and S. If k is a field extension of ks(x), then Pz induces a homomorphism Pz: Aut(Cik) ____. Nzl !::..z .

1.6. - Ezample When G = GSPfl (i.e., B = M2(Q)) and S(N)

=II hE GSpAlp): 'Y- hd E NM2d(Zp)} p

then r s(N) is the principal congruence subgroup of level N in the group of integral 2d x 2d symplectic matrices, and the quasi-projectiVe variety Vs(N) is defined over the cyclotomic field ks(N) = Q( (N ). Writing Z2 d for colunm vectors over Z oflength 2d (and analogously for R2d), to each z E H d Shimura associates (see 2.4 of [Shl)) an abelian variety Az ~ Cd l(z ld)l 2d

with a (principal) polarWltlon Cz induced by the Riemann form

defined by

Ez((z ld)x, (z ld)Y)

= tx (

0 -Id

[d) y 0

for x, y E R2d .

228

A. SILVERBERG

Let {e1 , ••• , e2 d} be the standard basis for R2 d, and for z E H d and i = 1, ... , 2d let ti(z, N) be the point on Az corresponding to the point j,(z ld)ei E Cd. Let

a principally pol.artzed abelian variety with level N structure. A homomorphism (respectively lsoaeny, respectively Isomorphism) from Qz,N to Qw,N is defined to be a homomorphism (respectively isogeny, respectively isomorphism) ,\ : Az --+ Aw. inducing an element A E Md(C) with A(z ld)l 2d ~ (w Id)l 2d, such that for some 6 E Q+,

Ew(Au,Av) = 6Ez(u,v) foru, v E Cd, and

.\(ti(z,N)) = ti(w,N) fori= 1, ... ,2d. For z, w E Hd. we have Qz,N ~ Qw,N if and only if there exists an element a E rs(N) such that a(z) = w. If N;::: 3, then for z E Hd. we have !l.z = {I2d} and Nz = S(N), and Vs(N) is the moduli space for principally polarized ddimensional abelian varieties with level N structure. Now fix an integer N ;::: 3 and a point z E Hd. and forM a positive multiple of N, let XM = 0. If there Is no such k , thus if g is identically zero, we wrtte ord g = oo . Fori=O, 1, ... set

and recall that

f(X, Y) = fo(X,O)

+ ft(X,O)Y + ··· + fd(X,O)Yd.

244

A. VAN DER POORTEN

We assume, as we may after a translation, that f(O, 0) = 0 . This is to say, ordf0 (X,O) = ko > 0. Since we may suppose that f has a zero other than y = 0, for otherwise there is nothing to show, we have ord/i(X, 0) = ki, with ord/d(X, 0) = kd = 0 and not all the other ki infinite. Now consider the lower convex hull, that is, the Newton polygon, of the set of points (i, ki). Since kd = 0, whilst k0 > 0, the edge containing (0, ko) has negative slope. Denote by I the subset of {0, 1, ... , d} consisting of those i E {0, 1, ... ,d} with (i, ki) on this chosen edge. Say this edge has horizontal length (the length of its projection on the horizontal axis) .e and vertical breadth (the length of its projection on the vertical axis) b. We compute gcd(f., b) = r, and write .e = rq, b = rs. Then the chosen edge contains just the endpoints of the edge and, possibly, intermediate points from the r + 1 points (0, k0 ), (q, k 9 ), ••• , (rq, krq) of the Newton polygon. Accordingly, for i E {0, 1, ... , d} set /i(X, 0) = aiXk;

+

terms of higher order in X,

and let c be a zero of the polynomial 91(Y) =

L aiYi. i€1

Plainly, 91 is a polynomial of degree rq. However, just the r + 1 terms in Y 0 , yq, ... , yrq can appear, so it follows that the polynomial 91 determining c is in effect a polynomial of degree r determining cq . Since there are q distinct q-th roots of cq it follows that the multiplicity of any zero of 91 is at most r. It is at this point that any attempt to generalise the argument to fields of

arbitrary characteristic fails. Indeed, if the characteristic p of F divides q then, exactly contrary to the observation just made, we are guaranteed a multiplicity divisible by p. The point is of course that the p-th roots of unity then coincide. A consequence is that the program advocated here does lead to an expansion in fractional powers, but not necessarily to a power series in a fractional power. However, for now we are in characteristic zero : set x = X 11q and note, because of those evident properties of the Newton polygon that make it a useful notion, that for i E I we have equality of the quantities qki + is , whilst for i ¢ I ,

245

ALGEBRAIC SERIES

qki + is

> qk0

•

It follows that ord f( ex")

> ko . Indeed,

f(X,ex") = fo(X,O) + ft(X,O)cx" + ··· + /d(X,O)(ex")d =""' a·eiXk;xi" +terms of greater order in X L...Jiei ' = gi(e)Xko +terms of greater order in X = terms of order greater than k 0 inX . We pause to observe that if k1 = 0 then the only edge of the Newton polygon with negative slope has r = q = 1 : thus the polynomial g1 is linear. Of course, k1 = 0 implies that there are no other zeros coinciding with the zero developed to the present stage. Hence, but this is in any event plain from the remarks below, both the sequences of r 's and of q 's stay constant at 1 throughout the subsequent development of the Pulseux sertes. Our concern is to deal with k1 > 0 : that entalls that there is more than one zero of f(X, Y) whose expansion commences with the terms we may already have developed, so that we may say that we are stlll separating zeros that coincide at the current stage of the development of the Pulseux sertes. This is also a good point to remark that our choice of the very first edge need

not lead to the expansion of every zero of f( X, Y). However once we commence with some other edge the subsequent analysis is identical to that given here. We have

f(X, Y +ex")= fo(X, ex")+ ft(X, ex")Y + · · · + /d(X, ex")Yd, 0, 1, ... , d, we set k~ = ordfi(X,exX"), preparatory to continuing the separation of the zeros of f(X, Y) commenced above. Clearly (one reads such facts from the lengths of the projections of edges of the Newton polygon), because the multiplicity of the selected zero e of g1 is at most r, at the next step we will obtain r' q' ~ r . and, for i

=

This remark enables us to show that we may complete our descrtption of the

separation of the zeros. We will have rqr' q 1r 11 q" r 111 q"' ... ~ drr' r 11

whence qq' q'' q"' ... ~ d.

••• ,

246

A. VAN DER POORTEN

Evidently, there iS an integer Q = qq 1q11 q111 ••• :::; d SO that, On setting we obtain a zero of f(xQ, Y) as a power series in x.

X

= XlfQ ,

There are only finitely many steps in the series development of the zero of f(X, Y) for which k1 > 0, thus at most finitely many steps for which the polynomial g1 might not have a linear factor. Hence it is evident that the coefficients of the expansion are elements of some finite algebraic extension of the quotient field of the given domain Z . As already remarked, they belong to a ring of finite type over Z and, with very little more work we have a qualitative version of Eisenstein's theorem.

S. - The Eisenstein constant Let f(x, Y) E Z[x, Y) be of degree din the variable Y and have coefficients bounded by H. A remark of Eisenstein (18) points out that if y is a formal series

which satisfies f(x,y)

= 0 then there are natural numbers o: 0 and o: so that

are algebraic integers. There is an old-fashioned proof in (17), p. 327ff. In effect Dienes remarks that once one has 'separated' a zero, as described above at §2, then Eisenstein's theorem is evident. The trouble is that any attempt to precisely track the growth of the Eisenstein constant o: in the course of the 'separation' seems difficult, in much the way that we labour above to show that Q :::; d. As a result, the bounds obtained by Schmidt (29) on the basis ofless naive arguments are a dramatic advance. In (15) we add to that work. I quote our precise result: Dwork and I prove that the Eisenstein constant o: is bounded by c( d)H 2d-I

ALGEBRAIC SERIES

247

where c(d) = ct(2d- 1)!J.tdA~ J.td =

II p ~ d! p$d

Ad= exp(Td + ,P(d)) 1 Td = -Iogp ~ log2 + 0.5log2 d