Seminaire Bourbaki, Vol. 1970/71: Exposés 382-399 038705720X, 9780387057200
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Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, ZOrich
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8eminaire Bourbaki vol. 1970/71 Exposes 382-399
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by N. Bourbaki 1971. Library of Congress Catalog Card Number 79-24041. Printed in Germany.
Offsetdruck: Julius Beltz, HemsbachlBergstt.
TABLE DES MATIERES
21, 22, 23 novembre 1970 382
AMICE, Yvette
Conjecture de Schanuel sur la transcendance d 'exponen-
tielles [d'apres James Ax] ..•.•••.••.••••••••.••••••••••••••••••••...
383
AZRA, Jean-Pierre
Relations diophantiennes et la solution negative du
10e Probleme de Hilbert [d'apres M. Davis, H. Putnam, J. Robinson et I. Matiasevitch] •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
384
LELONG, Pierre
385
RAYNAUD, Michel
386
SCHWARTZ, Laurent
[d' apr-es E. Bombieri] ..•••.•...•......•.•.......••...•••••.•........•
29
Compactification du module des courbes •••••••••••••••
47
Produits tensoriels
sommantes, applications
387
11
Valeurs algebriques d'une application meromorphe
VAN DIJK, G.
gp
et
d p , applications
p-
p-radonifiantes •••••••••••••••••••••••••••••
Harmonic analysis on reductive
63
p-adic groups [after
Hari sh-Chandra ] .••••..•.....•...•.•..•.....•..•..•...•..•....•.•
89
13,14,15 fevrier 1971 388
CARTIER, Pierre
Problemes mathematiques de la theorie quanti que des
champs •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
107
Travaux de Shimura •••••••••••••••••••••••••••••••••••
123
389
DELIGNE, Pierre
390
GODBILLON, Claude
391
GRISVARD, Pierre
392
POENARU, Valentin
Le theoreme de
393
ROSENBERG, Harold
Feuilletages sur des spheres [d'apres H. B. Lawson] •
197 221
des corps globaux [d'apres J. Tate, H. Garland, ••• ] . .
233
La theorie des invariants au XIXe siecle •••••••••••••
257
Problemes d'existence et d'homotopie dans les
£euilletages •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
167
Resolution locale d'une equation differentielle
[selon Nirenberg et Treves] ••.•••••••..•.•...•••••••••.••••.••••••... s-cobordisme •••••••••••••••••••••••
183
5, 6, 7 juin 1971 394
BASS, Hyman
395
DIEUDONNE, Jean
K 2
IV 396 HIRZEBRUCH, F.
The Hilbert modular group, resolution of the singula-
rities at the cusps and related problems ••••••••••••••••••••••••••••. 397
LATOUR, Fran
priete universelle [9] : Pour tout
0L/X
(Iemme 1).
A est un anneau commutatif et
y!!.
L-espace vectoriel
B
->
M , il existe un
5
d B -------i:>
unique
• M)
e
a
De plus.
toute
A-derivation D de
B dans lui1 A-derivation D de
est associee une unique dans D1 ( b db' ) Le lemme 1 ramene l'estimation de L-dimension d'un sous-espace vectoriel de LEMME 1.- Soient
L::> F ::> I
vectoriel de m sur
telle que
= Db db'
+ b dDb' •
engendre par
on a
E le
E est de dimension
, car des elements
Y de F algebriquei L-lineairement dependantes,
S
X ont dans ot/K des images dY i dt ••• ,dt d'une base de transcendance de F 1, m E • D'autre part. pour chaque i = 1 ••••• m • i1 existe une les images telle que
D.(t.) 1.
J
= 0..• 1.J
t a " dt .
done si
J
J
sur
I
engendrent done
Di de L a. e L , est une relation de L-
= O.
J
(I: a. dt") = a i = 0 • oil i J J
dependance. on obtient
E" "D1.
(ot/lC ' L)
E
est assode
D • i
F" = I(Y1 , ••• ,Yn • z1 ••••• zn) , posons
Nous app1iquerons ce lemme avec et
= rang
: nous voulons montrer que ' •••• ,njDeA Par des combinaisons lineaires convenables on peut se ramener au cas ou
dirnx F
r
(Dy.).
1. 1.
avec et Supposons que alors
(1 )
m=
0,
dL/XF. alors
ment dependants sur
m
celle de la
L.
Demonstration
a
a
dirnx K(Y, ••••• Y z1 •••• 'zn) n• ot/X •
des corps de caracteristique ot/I
'" X •
tel que
D(Y i)
m < n + r , posons
W1' ••• ,wn • dy, •••• ,dY sont r n r i
\'
=0
£.w. + 1. 1.
'\
1 , ••• ,r
i • j
Di(Y j ) = °ij pour
De
Wi
=dL/KYi
fj,'
•
- 1/Z i dL/lCzi ' i
=' •.•. ,n
,
L-1ineairement dependants:
g. dy. J J
o
Un calcul elementaire permet de constater que
ou
£i e L , g j
1
D
E
(dy") J
L •
o • Y De
fj, •
6
La proposition 4, ci-dessous, montre que dans (1) on peut choisir les coefficients fi
et
gj
dans
I . Si l'un des
f
est non nul, la relation
i
I-lineaire non tri-
n
viale
i
naison
\
f,1
f; dz;/z; e dF
•
entratne, par la proposition 5 ci-dessous, qu'une combi-
Z-lineaire non-triviale des
these (b). Donc
f
=0
i
(1 ')
pour
a
=
0
obtient
g.
J
= 1, ••• ,n
i
est dans
J.
dF , ce qui contredit l'hypo-
et la relation (1) s'ecrit
o
gj d Yj
En appliquant
dz./z.
ou
l'homomorphisme
'\/I
de
dans
L
as soc i.e
a
D. J
on
C.Q.F.D.
PROPOSITION 4.- Soient de derivations de
L
L
F
I
telle que
(D n e 6
D
ker D
0,
des corps de caracteristique 6
ker D
1)
:l>
=
6 une famille
I • L'application canonique ou
0L/I
(£ 0 w)
=
fw
est injective. PROPOSITION 5.- Soient par
F
OF/I'
I
dF/F
des corps de caracteristique Ie
Z-sous-module de
OP/I
0,
dF
l'image de
F
constitue des elements
df/f , f e F , alors l'application canonique
I 0z dF/F
-+
'\-/I/ dF
est injective.
La demonstration de la proposition 4 se fait aisement en considerant une relam
tion
\
if,1
f; w;
= 0
telle que
m soit minimal, en appliquant
1 D
pour tout
D e 6 , ce qui permet de construire une relation de longueur moindre. Pour la proposition 5, on la demontre d'abord dans Ie cas ou et
F
[
est algebriquement clos dans
F
= 1 , puis on montre que l'on peut se ramener a ce cas (car la clOture
algebrique de ment clos dans
I
dans F
Fest l'intersection des sous-corps
et tels que
F
=1
,
F'
I ).
F'
de
F
algebrique-
7
3. La demonstration geometrique. On peut reformuler la conjecture (S) en termes geometriques : (S')
Soient
9 • Soit V
A est un sous-groupe analytique de de dimension groupe propre contenant
e n)( e*n,
Ie groupe algebrique
9
v < n , definie sur L de
en
soit
tel que
L)( exp L
A Ie graphe de
en
e*n ,
une sous-variete algebrique de 9 , p
E
V
A , alors il existe un sous-
9
soit un sous-groupe algebrique de
p.
Les resultats de J. Ax [2J sont essentiellement les theoremes 6 et 7 ci-dessous dont on verra les applications un probleme pose par Lang [6J.
a
a
la conjecture (E ), aux resultats de Chabauty, et o
Dans tous ces enonces, les corps de definition sont de caracteristique
0,
algebriquement clos, et complets pour une valeur absolue (archimedienne ou non). L'aspect arithmetique disparatt du fait qu'on ne demande plus aux objets nis sur
defi-
Q.
THEOREME 6.- Soient analytique de
9
9 un groupe algebrique,
(resp. formel de
g),
I
formelle) passant par l'identite et i l existe un sous-groupe analytique
formel)
dim B
dim A + dim V - dim K
B
9
de
(resp.
g)
[ . Alors, tel que
B :;) A
9 un groupe algebrique,
A un sous-groupe analytique et soit est tel que
A un sous-groupe
une sous-variete connexe analytique
et
l'identite,
son formalise,
V la clOture de Zariski de
B :;) V
THEOREME 7.- Soient
9
I
V une sous-variete algebrique de
une composante de
Ie plUS petit sous-groupe algebrique
g'
V
nA
de
g,
passant par
9 contenant
K
dim g' s dim A + dim V - dim K •
Les papiers fournis par J. Ax ne comportent pas de demonstration du theoreme 6 (12 novembre 1970).
8
Demonstration du theoreme 7. On sait que Ie plus petit sous-groupe analytique
K
contenant la clOture de Zariski
de
I
est un sous-groupe algebrique. D'apres Ie
theoreme 6 il existe un sous-groupe analytique par
dim A + dim
d'ou
dim g'
K-
dim I
B
V dont la dimension est majoree
dim A + dim V - dim [ ,
dim A + dim V - dim I •
Dans les corollaires sutvant; des rheor-eme s 6 et 7 l' aspect ari rhrne t i que reapn par af t du fait que les sous-groupes algebriques de 9 = C x C*n (ou C = e ou C ) P
sont definis sur COROLLAlRE 7.1.-
(E ) o
est vrai.
On applique Ie theoreme 6 I
a
9 = en x e*n,
A ie graphe de
en
e*n ,
Le germe de sous-variete analytique (resp. formel) passant par l'identite defini
par
(Y1 ""'Yn' exp Y1 , ••• ,exp Yn) •
On a
dim I
rang (
oy.
ot.
J
et si
. j
Vest la clOture de Zariski de
••• ,n ,m
=1 , • " K,
dim V lineaire des
Y implique que la projection de [ sur i n'est contenue dans aucun sous-groupe algebrique de e*n Donc la projection sur La
e*n
du sous-groupe algebrique engendre par
gv engendre par V contient
groupe analytique
Ie sous-groupe analytique aussi
B
r = rang (
oy. tj
)
e*n. II en resulte que Ie sous-
e*n
(car il est algebrique). Alors
(notations du theoreme 6) qui contient
e*n. Done Best egali!l enx C*n, car dim B = 2n
ou
Vest
B
A et
B
i=1, ••• ,n;j=1, ••• ,m
plete de la clOture algebrique de de£ini par
gv' contient
e*n • On en dedud t
dim A + dim V - dim I = n + dim V - r , , d' ou
COROLLAIRE 7.2 (Chabauty [5J, chap. II, lemmes 2.1, 2.2, 2.3).- Soient
9
e*n
9 = c;n
Cp Ie comA Ie sous-groupe analytique de
n
o•
a i j log x. J et
a ..
V une sousvariete algebrique de
Ute
de
e
9 • Alors Ie a
de
e
r
a
x11 ••• xnn
1
VnA
dans
r
rang (a
i j)
sur
( (x, •••• ,X n )
g'
la dimension de
est
E
vX E
•
9
I
dim(V
K ou
an x1 ••• x n
=1
g'
est
• (a 1, •••• a n)
9
g.
= Cg/L
V
a
n a(cd)
V une sousvariete algebrique de dimension v • qui est
n a(cd))
9 un sousgroupe a d parametres de
a: Cd
= v
+ d g •
dans
V
V. car ou
n a(Cd) I
que la valeur de la Poincare sur
n a(C d)) :s; v + d g • V n aCcd) I . On peut dim(V
v + d = g • alors i l n 'y a pas de courbe integrale de la distribution a(cd)
= V n a(Cd)
de montrer
S}
une variete abelienne
Pour demontrer l'inegalite opposee. il suffit de montrer que supposer que
E
J.J
Ebauche de demonstration. On sai t par le theoreme 7 que
assocf.ee
K est la composante
n rang (a .. ) , d'ou Le corollaire.
une intersection complete. et soit
9 •
s: n
v + dim K •
COROLLAlRE 7.3 ([6J question posee p. 32). de dimension
j
n (al' •••• an ) E Z
S des suites
On applique en effet le theoreme 7. Ie sousgroupe
g'
S
9 • de dimension v. passant par l'idendumodule
Z
C • 1 p
E
J.J
9 est simple. Cela permet de montrer [3] que
X designe la fermeture topologique de X. Done il On peut montrer que [3J
V
2dforme harmonique correspondant
n a(cd)
a
contredit Ie fait
V par la dualite de
2d vecteurs tangents independants est positive.
Signalons enfin que dans le cas ou
d
=1
• J. AX propose une demonstration de
7.3 independante des theoremes 6 et 7. fondee sur une propriete geometrique des courants sur une variete compLexe , appliquee au courant defini par
C1
•
10
BIBLIOGRAPHIE [1]
J. AX - On Schanuel's conjecture, Annals of Math.,
parattre.
[2]
J. AX - Transcendence and differential algebraic geometry, ICM NICE, 1970.
[3]
J. AX - Manuscrit, •••
[4]
A. BAXER - Linear forms in the logarithms of algebraic numbers, II, Mathematika 14 (1967), 102-107.
[5]
Cl. CHABAUTY - SUr les equations diophantiennes liees awe unites d'un corps de nombres algebriques fini, Ann. Mat. Pura Appl. 17, 127-168.
[6]
S. LANG - Introduction to transcendantal numbers, Addison-Wesley, Reading, Mass. 1966.
[7]
F. LINDEMANN - Ueber die Zahl TI, Math. Annalen, 20 (1882), 213-225.
[8]
E. IOLCHIN - Algebraic groups and algebraic dependence, Amer. Jour. 90 (1968), 1151-1164.
[9]
D. MUMFORD - Introduction to algebraic geometry, Lecture Notes, Harvard Univ. 1967.
[10]
J .-P. SERRE - Seminaire. Bourbaki, expose 368, novembre 1969.
[11]
Th. SCHNEIDER - Introduction aux nombres transcendants, Gauthier-Villars, Paris, 1959.
[12]
M. WALDSCHMIDT - Solution d'un
de Schneider sur les nombres transcen-
C.R.A.S. 271, p. 697-700, 12 octobre 1970
Seminaire BOURBAKI 23e annee, 1970/71, nO 383
Novembre 1970
RELATIONS DIOPHANTIENNES ET LA SOLUTION
DU 10e PROBLEME DE HILBERT
(d'apres M. DAVIS, H. PUTNAM, J. ROBINSON et I. MATIASEVITCH) par Jean-Pierre AZRA
O. Introduction. Le 10e Probleme de Hilbert [1J (c'est-a-dire Ie probleme de trouver un procede e££ecti£ uni£orme permettant de dire, etant donne un polynOme
P(x
••• ,x n) 1,x2, les coefficients sont des entiers relati£s, s'il existe ou non des entiers
dont
a, ,a2,·· .,an
tels que p(a1 ,a2,·· .,an) = 0 ) a re9u une reponse negative grace aux travaux de M. Davis, H. Putnam, J. Robinson ([2J et [3J) et tout recemment de
I. Hatiasevitch [4J. La theorie des £onctions recursives, dont on trouvera un expose general dans [5J, permet de donner des equivalents mathematiques precis aux notions "perimathematiques"
nafves )
de "pr-ecede e££ecti£ uni£orme" et de "relation e££ective-
ment decidable", ce qui donneta un sens aux theoremes suivants (voir Ie theoreme 111.1 et Ie paragraphe IV). THEOREHE 0.1.- II n'existe pas de procede e££ecti£ uniIorme pour decider si une equation diophantienne donnee a ou non des solutions. THEOREHE 0.2.- Pour toute relation e££ectivement decidable
R(X , ••• ,x p) , il existe 1 un polynOme p(x 1 •••• ,x • Y1 , ••• ,y n) , dont les coefficients sont des entiers relap ti£s, tel que Ie p-uplet (x , ••• ,x) satis£ait R si et seulement si 1 -p a Y1 :l[ Yn p(x1.···,xp, Y1 ' ••• 'Yn) = 0 • Remarquons tout de suite qu'il importe peu que les solutions d'une equation diophantienne soient cherchees dans l'ensemble semble
Z des entiers relati£s, dans
des entiers naturels ou dans l'ensemble
N+
des entiers
> 0 • Ne consi-
12
derons, pour simplifier, que des equations
a une
seule inconnue. L'equation
p(x) =0
a des solutions dans N si et seulement si l'equation + x; + x; + =0 a des solutions dans Z (car d'apres Ie Theoreme de Lagrange tout nombre positif est une somme de quatre carres) ; l'equation seulement si 1 'equation p(x + 1) = 0 p(x) = 0
a des solutions dans
p(x).p(o).p(-x)
a un
=0
Z
p(x)
=0
a des solutions dans IN+
a des solutions dans IN
si et
enfin 1 'equation
si et seulement si l'equation
a des solutions dans IN+ • 11 est clair que Ie passage d'un cas
autre s'effectue par une transformation effectivement realisable de l'equation
proposee. Pour des raisons techniques c'est Ie cas des solutions dans IN+
que nous
etudierons. L'ordre suivi dans cet expose ne respecte pas l'ordre chronologique dans lequel les resul tats ont ete demontres. 11 semble que ce soi t A. Tarski qui ait eu Ie premier l'idee d'etudier les relations diophantiennes et qui en ait donne la caracterisation 1.1. Le premier progres vraiment significatif dans l'etude des relations diophantiennes est dans [2] ; dans cet article
pour'
une part puis dans [3]
pour Ie reste, paratt la demonstration de 11.9 et 11.10, sous forme en quelque sorte "conditionnelle", les auteurs de [3] n'ayant pas su prouver que Ie graphe de la fonction exponentielle est diophantien. Ces resultats partiels ont tout de meme permis
a
M. Davis,
H. Putnam et J. Robinson de publier dans [3] la belle solution
negative du probf.eme de la decision pour les equations diophantiennes
a
exposants
variables, solution reprise pour l'essentiel dans Le paragraphe III du present expose. Le dernier maillon apparatt enfin dans [4] : I. Matiasevitch montre que
y = u 2x ' ou un est Ie n-ieme terme de la suite de Fibonacci, est diophantienne. Or la fonction y =u crott "en gros" comme la fonction exponentielle, ce qui d'apres un theoreme 2x de [2] montre que Ie graphe de la fonction exponentielle est diophantien. Dans notre expose, nous suivrons [7] pour la demonstration de 11.1 et de II.10: la demonstration de II.1 fait usage des suites de Lucas au lieu de celIe de Fibonacci, et celIe de 11.10 est directe. La propriete : "tout sous-ensemble diophantien de N+ valeurs positives d 'un certain polynOme" figure dans [6].
est l'ensemble des
13
Aucune propriete fine de l'arithmetique des nombres entiers n'est utilisee dans les demonstrations. Par contre, il est fait un usage constant du "THEOREME CHINOIS".- Soient quels que soient tel que
Pl'P2'····'Pm premiers entre eux deux il existe a tel que a 5 z. (mod p.)
z1,.,.,zm
a
deux.
pour tout
i
1 sis m •
Les notations utilisees, notamment en ce qui concerne les symboles logiques, sont celles de [5J.
I. Relations diophantiennes. D' apr-es les remarques fai tes dans le paragraphe precedent, les arguments des
a
relations que nous considerons
partir de maintenant sont supposes decrire
N+ •
Nous nous autoriserons les abus de langage usuels, comme ceux qui sont contenus dans la definition suivante Soit
f
une application de
la relation
f(X
1,
••• ,x
p)
(N+)P dans N+
nous appellerons graphe de
f
y •
DEFINITION.- Une relation n tout
R(X ••• ,x est dite diophantienne s'il existe un entier p) 1, et un polynOme p(x1".' ,x p , Y1 , ••• 'Yn) a coefficients dans Z tel que, pour
0
xl"" ,x
p
E
N+,
(p(x1 , ••• ,xp' Y1 , ••• ,Yn)
R(X ••• ,x' p ) 1,
= 0)
si et seulement si
a
Y1 •••
a
Yn
•
On deduit aisement de la definition la caracterisation suivante PROPOSITION I.l.- Pour qu'une relation soit diophantienne, il faut et il suffit qu'elle puisse cation sur
obtenue
a
partir des graphes de l'addition et de la multipli-
par un nombre fini, effectue dans un ordre quelconque, de conjonc-
tions, disjonctions, quantifications existentielles et changements de variables. COROLLAIRE I.2.- La relation obtenue tituant
a
a
partir d'une relation diophantienne en subs-
ses arguments des fonctions de graphe diophantien est diophantienne.
14
Exemples.- La relation
x
E
y (mod z)
qui equivaut
a
t(x - y - (t - 1)z = 0) v t(y - x - tz = 0) est diophantienne. Donc la relation xly (x divise v ) est diophantienne. La relation x < y qui equivaut a z (x + Z - Y = 0) , la relation x f. y qui equivaut a x < y v y < x sont diophantiennes. Nous montrerons plus loin qu'il existe des relations diophantiennes dont la negation n'est pas diophantienne.
II. Les exemples £ondamentaux de relations diophantiennes.
La definition diophantienne de l'exponentielle. Soient, pour
a e 6+,
xn(a)
et
yn(a)
les suites ("de Lucas") dHinies par
les relations de recurrence
xn+1 (a)
(1 )
2axn (a) - xn-1(a)
(n e Z)
yn+1(a) = 2ay n (a) - yn-1(a) avec des conditions qui determinent les deux suites xo(a)
x1 (a) = a
Yo(a)
(a2
11 est connu que
y
verifient l'equation de Pell
tel que
x = xn(a)
Y1 (a)
0
et
1.
=1
, et qu'inversement si
x2 - (a2 - 1)i = 1 , i l existe un entier
Y = yn(a) • On a d'ailleurs pour tout
rrr:»
(a +,Ja- - 1)
n
E
x> 0
et
n e Z
Z
.
On en deduit immediatement les consequences suivantes (on ecrit xn' Yn pour x (a) , y (a) chaque £ois que Ie contexte le permet), qui sont valables pour tout n
n
choix des indices dans
Z
(2) Ym+n = ymxn + xmYn et en particulier : Y2lc+1
(3)
= =
+ 2 + (a - 1 )Ylc
15
(4) (5) (6)
Yk +1
=
et Y ;;; k k
(done + a Yk Yk sont premiers entre eux. (mod 2)
(7)
Y-n = -Yn
(8)
nit
(6')
si et seulement si
( ynlYnk
se demontre par induction sur
ynlYnk+r
alors
Yn Iyr
Yk+1
> Yk ).
Y ;;; k k
(mod a - 1) •
ynlY t
a
k
l'aide de (2), et inversement si
d'apres (2) et (5).
PROPOSITION II.1.- La relation
u ,v
et a)
v
= Yu (a).
est diophantienne.
11 nous £aut d'abord demontrer quelques lemmes. LEMME 11.2.- Si -
a;;; b (mod c) , alors
Y (a)
--n
5
Y (b) (mod c) • n·
Demonstration immediate par indUction sur LEMME 11.3.- (a)
Yn+ 2k+ 1
(b)
Yn+2k+1
= Yn
=-Yn
a
n
l'aide de (1).
(mod Yk+ 1 + Yk)
(mod Yk+1 • Yk) • Demonstration: On montre d'abord par induction sur
u
que
Yk+u:; Yk+1-u
(mod Yk+1 :l: Yk) , d'ou le resultat en rempla Y (a) • Posons p = x (a) , q = y (a) • s u s s Y2s+1 (a) est impair, il existe n tel que
tel que
On a'(B) et (D) trivialement. Gemme
= •(2s
+ 1)Y 1(a) • Posens g = x (a) , h Y (a) qui satisfont (E) • 2 s+ n n (F) et (G) sont verifiees d'apres 11.7 (on a, par exemple,
2n + 1
p + (a - 1)q et
(mod g + (a + 1)h) •
est vraie alors les 13 relations preceden-
tes peuvent @tre simultanement satisfaites. Soit (G) et
V
=1
= Ys+1
- Y
d'apres (4». Le m@me lemme montre aussi que
s
p + (a - 1)q
sont premiers entre eux. (H) et (J) peuvent alors @tre satisfaites
g + (a + 1)h
graee au Theoreme Ghinois. Posons x = xu{m) , y obtient (M) et (N).
= yu(m)
(l).
qui verifient
Par
(H),
(J) et 11.2, on
1nversement, supposons que a , u , v , p , q , g , h , m , x , y , ri£ient les 13 relations (A) s , k , n , j E N+ tels que
a (N).
D'apres (D),
xs(a)
g
=
x
= xn(m)
z
= xj(a)
q
ys(a)
h
= Yk(a)
Y = yn(m)
v
= yj(a)
(y 5+1 (a) :I: ys(a»
, puis, par 11.6: (9)
Z E
ve-
et (L), il existe
p
Par (F), (G) et (4)
Par
(E), (K)
IYk+1 (a) :I: yk(a) , d'ou, par II.5.(a) :
Y2s+1(a)12k
s+1 (a) - y s (a) 12k + 1 • (J) et 11.2: y.(a) E y (m) y (a)
, enfin, encore par II.5.(a)
Y
(N),
n
J
que qui suit Ie lemme 11.3, on a done (10)
j
Par (6') et (H): (mod y et (B) lement
s+
=n
u
J
=u
=n
E
n
•
1(a) - y (a) s+ S
j
et
• Par la remar-
(mod 2k + 1) , done, par (9)
• Par (M): y n (m)
(mod Ys+1(a) - y s (a»
, done, par (10)
y.(a) < y j
j
(mod Yk+1(a) + yk(a»
(mod y s+1(a) - y s (a»
y n (m)
1(a) - y (a» s
=n
E U
j
(mod Y 1(a) - y (a» s+ s y.(a) < y J
=u • Or, par (A)
1(a) - Y (a) , done £inaS+ s G.Q.F.D.
18
PROPOSITION FONDAMENTALE II.8.- La relation
s
= tU
est diophantienne.
Demonstration : nous nous servirons des proprietes elementaires suivantes
=t n
(11)
xn(a) - (a - t)yn(a)
(1 2)
x (a) :t an n si 1 < t n < a ,alors
(13)
(mod 2at - t
2
- 1)
t n < 2at - t 2 - 1 •
Nou5 allons montrer que pour que s = t U il taut et il sU££i t qu' i l existe a , d , v , w , z e fi+ tels que les relations (diophantiennes) suivantes soient simultanement veri£iees (A)
v
(C)
= yu (a)
2
- ( a 2 - 1)v2
(B)
z
s < 2at - t 2 _ 1
(D)
z - v(a - t)
(E)
t < d
(F)
u 1 , il existe w qui veri£ie (H). Choisissons v ri£iee, vient de (11).
= yu (a)
, z = x (a) de u (12), (E), (F) et (13) 5i
Supposons inversement que relations (11 )
A satis£aire (A) et (B). (C) est ves> 1 , direetement 5i s = 1 • En£in (D)
a, d , s , t , u , v , w , z e N+
(A) A (H). Alors par (A) et (B) :
(14)
S E
tU
v
= yu (a)
et
z
= xu (a)
veri£ient le5 • Par (D) et
(rood 2at - t 2 - 1) •
SuPPo50ns d'abord que t = 1 • Alors s . 1 (mod 2(a - 1) , et par (C) : s < - 1) ,done s = 1 = t U • Supposons done maintenant que t > 1 •
(H) et
tel que a = xn (d) et (d - l)w = Yn (d) • Par (6'), (mod d - 1) • Done n:t d - 1 , done, par (12), (E) et (F) et l'hypot> 1 : a = x (d) :t dd-t > t U> 1 • Par (13), on obtient done t u < 2at- t 2 -1 , n d'ou on deduit iroroediatement A l'aide de (14) et de (C) que s = t U • C.Q.F.O.
(G), il existe n e N+
0= y (d) en n
19
Consequences de la proposition II.8.
c:
DEFINITION.- Soient k
E
H+
01(01-
,et
01
1)
un rationnel > k • On pose
(01-
k + 1)
k!
PROPOSITION II.9.- La relation
alb =(k I\P > qk p/q
a, b , p , q , k)
phantienne.
est dio-
Schema de la demonstration Dans Ie (a), on £ournit un systeme de trois relations (A), (B), (C) en
P,
q , k ,x
qui font intervenir une £onction auxiliaire
que de satis£aire certaines conditions
F
a, b ,
(dont il n'est exige
*), telles.que
alb
= (k I\p>qk p/q si et seulement s'il existe un x tel que
a, b , p , q , k , x
veri£ient simulta-
nement (A), (B) et (C). Dans Ie (b), ce resultat est utilise pour montrer que la relation a =c:: 1\ p > k x = k!
est diophantienne. Ceci
est diophantienne. Bn£in dans (d), on construit une £onction F
* ,
les conditions (a)
de montrer dans (c) que la relation
Posons
p/q
Ie (c) permettant de montrer que 01
de Taylor a l'ordre
> k) , et developpons
(01
k a l a fonction
x2k+1 (1 + x- 2)0I =
I
1 1
degre P
d+1
Sj.U'
l:[fJ ,
=
E
d
C
p(C)
ou
fCC)
o •
est defini et verifie
De plus, on a
d(d + 1)p[K: QJ + 2d
qu'on trouvera dans le livre de S. LANG, [4, p. 21J, donnait la 20 p[K: QJ • On trouvera aussi dans [4, chap. 4J une tentative ; si
S
=
K.
K[fJ •
est porte par un ensemble algebrique
E
(1 )
borne
[I:: QJ , et
p au plus. On suppose:
a) Le corps
fCC)
Cd
Q, de degre
e x e x ••• x e ' e c: e , est un produi t, 1 d k 2
card S
30
est borne. La conjecture que
S est sur une hyper surface algebrique semble due a
NAGATA. Le passage de A a Ad n'exige que des modifications mineures pour certains 1 lemmes de theorie des nombres deja utilises par SCHNEIDER, mais fait appel par contre aux proprietes metriques des ensembles analytiques de codimension dans Cd , 1 d > 1 • On utili sera Ie courant t = in- d d log If I d'un diviseur (f) dans f z -z Cd et les proprietes des courants positifs et fermes. Mais on n'aura pas besoin de la propriete generale ([5cJ) du courant d'integration sur un ensemble analytique, t
etant evidemment positif et ferme. L'expose fait appel a deux techniques differen-
tes et on renvoie Ie lecteur a deux petits livres, celui de S. LANG [4J et Ie nOtre [5eJ, pour certains details. Comme Ie dit E. BOMBIERI a propos du passage du resultat partiel de S. LANG
a Ad : " we want to show that the existing techniques of the theory
of functions of several complex variables are quite sufficient to handle the various situations arising when one tries to extend to the higher dimensional case some general theorems on transcendental values of the classical functions" • Faisons, precisement, quelques remarques sur la methode. L'application a la theorie des nombres exige des majorations precises : on utilisera pour un d'une mesure majorante IIcpll
est Le
sup
courant
1J.(lIcpll)., ou
des modules des coefficients (continus) de la forme
cp. Au lieu
= (2n)-1 A(logl£l) , ou, mieux, Ie courant positif t
est la
I 'existence
t !O
de berner le nombre des zeros d'une fonction analytique
a
positif
0 , c'est-a-dire telle qu'on ait
IJ.
It(cp) I
fez) , on majorera la mesure in- 1 d d 10gl£1 , ce qui z -z
chose, mais s'etend ad> 1 • Le theoreme de multiplication des courants
positifs par les formes positives
(1,1), (cr , [5e, p , 69J) permet a i sement la cons-
truction de mesures dont la signification "concrete" appara:l:t ensuite dans les bons cas.
par
Un probleme essentiel est l'approximation sous certaines conditions d'uce foncV V par une £onction loglFI , F holomorphe, (ou de e IFI): E. BOMBIERI emploie la methode "L2-estimates" de H5RMANDER et l'espace
des
F
tion plurisousharmonique
telles que
element de volume de
=
Se - V(z) IF(z) 12(1
+ II zI12)-3d"d
0 est situe sur un ensemble analyti c que. Alors 8 c 8 C supp t montre que 8 est partie d'un ensemble analytique dans 1 Cd • La preuve utilise la resolution "majoree" de 2id d V = t dans Cd selon z Z ble
[5d) : I 'existence de en tout point
C ou
la majoration de dans
t
F
ent Iere avec
v(C)
1
IIFll
kv
< co,
afin que l'integrale
et celIe de
2d , entratne
k
2 II F 11 kV
F(C)
=0
converge. D' au tre part,
V entratnent Ie comportement polynomial de
F
Cd et plus precisement la majoration (1).
2. Quelques applications du theoreme A en theorie des nombres. 1 ler
L'enonce
A1
1) 80it
K
a pour corollaire des theoremes connus qu'il est utile de rappe engendre par
01
et
et soit
K[f
g)
z
f = e l'anneau z 1 2 ·dition b) de l'enonce Ad' De plus, f et f
a) est verifie. Alors, si entier, on a 01
01
e
algebrique,
fez)
E
K2
,
et
01
d'ou
g
f
= [f1 '
f 2}
verifie la con
sont algebriquement Lndependant s , done
eOi sont tous deux algebriques, pour card 8
= co
z
= rna
,
m
et une contradiction qui montre que pour
eOi est transcendant (HermiteLindemann).
2) De m@me, si
01,
,OP
etaient algebriques, pour
01
J0
,1
et
irra
32
tionnel, prenons m entier, on a
{ e Z ,e I'lz}
f =
fez) E
x:2
(a, I'l ,J) : pour z
K epgendre par
et
=m log a
: la contradiction etablit Ie theoreme de Gelfond-
Schneider.
a
3) La methode s'applique 12
bien d'autres problemes. Soit
p
aI
est transcendant (Schneider) : poser
pea)
algebrique,
0
a, p(a) ,
engendre par perna) E [2
pour
4p
3
Weierstrass, solution de
=
g2 ,g3
- g2 P - g3 : si
g2' g3
p
la fonction de
sont algebriques, pour
= (z
f
,p(z)},
et observer que la formule d'addition de
p
K donne
mI 0 •
m entier
4) Mais les applications les plus interessantes de A, (et surtout de Ad) semblent concerner les varietes de groupe sur
K (cr , [4]).
Faisons une remarque : dans l'enonce de Ad' on pourra affaiblir l'hypothese a) en suppo sarrt que les derivations D oper-enr sur Le corps a Si l'on a Daf i = Pia(f)[R(f)r' , 1 s: is: N , on posera
+,
fN
Ad
a
[R(f)r'
; on a alors
l'ensemble des
,
Daf
i
E
pour lesquels
K[£]
pour
R[f('))
I
i
K(f)
au lieu de
{[I] •
£ = [£, , ... ,fN , f N+, ] ,
= , , ••• ,N
+' , et on appliquera
0 •
3. Courants positifs fermes ; les deux indicatrices. On pose I'ld
I'l
= !2
I: dz
k
1\ dz
est l'element de volume de On dira qu'une for file , zk ' si
sys teme
a
=
cp
=!2
et
a,) 1\
en tout point de
_E
I'lp - p!
en particulier
Cd.
cp est positive dans un domaine
est homogene , de bidegre
(p, p)
{a" ••• ,ad_ p} de formes C-lineaires
coefficients cpA (ia, 1\
k
des
D de
dZi ' dz j
Q\,. = E
dz j
d
C
rapporte aux
et si pour tout s: j s: d ,
a
constants, la forme de degre maximum definie par ... 1\
(iad_ p 1\ ad-p)
= 1 (cp,
O')l'ld
est telle que l'on ait
D. La definition s'applique aux courants
1 (cp ,O')l'ld
, (cp, a)
O!:
est alors
0
33 une distribution positive,
une mesure positive. La definition est inva-
riante par les transformations
C-lineaires sur les
dz , mais dans la suite on se LP
bornera aux transformations uni taires. A un sous-espace vectoriel
de
Cd, P s d ,
on fera correspondre une forme positive T(LP) bien determinee qui vaut . p dU1 1\ dU1 1\ ••• 1\ du p 1\ du p , z ... u etant une transformation unitaire telle
(P
que
u
=
p+1
... = ud
=
definisse
0
LY
T(LP)
les coefficients sont les coordonnees plUckeriennes de est injective. On designera par
(p , p)
et
dz.
est une forme des
f'p
LP
i.
,
J
(cf. [5e]) et l'applica-
Ie cOne des courants positifs
sera dit la codimension du courant positif. Pour qu'on ait
p
dont
dz.
f'p ,
t E
il faut et il suffit que les distributions
(2) soient des mesures positives et il suffit qu'il en soit ainsi pour un systeme permettant Ie calcul des coefficients resulte que les
tI,Y
de
en fonction des
t
T(L
d-p) • II en s
sont des mesures. D'ou
1) Un courant positif s'etend aux formes
coefficients continus.
2) II est auto-conjugue :
3) II possede une mesure majorante. Soit en effet pour une forme
coefficients
qlI,J
continus
j
une mesure de Radon positive et l'on a
It(ql)! s;
cients continus,
D.
support compact dans
alors
IIqlll (x)
=
= su£
I,J
IqlI J(x)
'
sup !t(ql) I IlqlllS;g
pour toute
ql,
a
Rappelons enfin la propriete multiplicative des courants positifs : si appartient
a
les formes
ap
mension
dans
(3)
p
et
I" p
, 1
S;
ql P
S;
f
1
=
t 1\ ql appartient
d , etant positives, si
Cd a
' Ie produit
t /\
ad-p
t
f'
P+
I
est
coeffi-
t
1 • Exemple
est un courant positif de codi-
34
definit une mesure positive; on notera
II z II
r
dans
Cd
a(r)
la mesure portee par la boule fermee
est une indicatrice de croissance pour
: a(r)
car
t
on a : PROPOSITION 1.- Soit
t
un courant positif de codimension
il existe une constante pour
p
dans un.domaine de
soit une mesure majorante
telle que
t.
a majore les mesures (2) quel que soit
En effet mesures
T
pour un systeme
p
c'est dire que la distribution A
= (Am)
m
, 1
=1
: dire que
i I: t _ dz
t
mq
( I: t _ Am mq a = t" I:I d _ 1
6(A) d
est une mesure majorante pour t
et d'autre part les T(L
d- P)
s
choisi comme plus haute
Cas particulier. Soit
Si
p
sont des combinaisons lineaires des mesures
- = 1,3
tout vecteur
Ld-
m
f\ dz
est posi tiE ,
q
est une mesure positive pour 4( I:
est la mesure
et
L5d, proposition 1J).
t
est un courant positif, la condition d'homogeneite entra1ne l'equiva-
lence des conditions
dt
=0
general [5cJ. Pour un point
=0
,
dzt
a
donne dans
,
=
d t
z
Cd
0 • Rappelons alors un resultat
considerons la forme positive
i(2TT)-1 dZdZ logllz _ al1 2 Elle est definie sur
d
C - [a} • Si
test positif de codimension
p , Ie theoreme
de multiplication montre que
(4)
tl\
est une mesure positive sur en codimension
p
l'intersphere
R1
1 • L'eclatement de l'ideal maxi-
droites projectives ayant 1a disposition suivante : , ,x ,...:
C.
R[[x,yJJ/xy - zn , pour un entier
dont l'anneau local complete est isomorphe
4
R-
n - 1
\/",0,
chacun des points singuliers de
C,
on obtient
qui ne contient pas de courbes exceptionnelles, donc
S4
est un modele minimal
X de
C'Il. Reciproquement. la courbe stable
X en contractant en un point les chaines maximales connexes de projectives de self-intersection
X
C se dedui t de formees de droites
(-2).
L'assertion 1) du theoreme 4 resulte des remarques precedentes et de l'unicite du modele minimal. 11.2. Etude combinatoire. Soit X un
R-schema propre plat, regulier qui prolonge
1, •••• n. les composantes irreductibles de la fibre speciale
i
plicite de
Ci '
K un diviseur canonique relatif sur
X est connexe et
b)
(Ci.C j)
ri >
°
0
pour
= (Cj.C i)
c) Le genre
p{Ci)
de
t( (c.)2
C i
X.
r.a
!Dxjs
Ci ' la multi-
0X(l) ).
X
Rappelons quelques proprietes de a)
X (i.e.
Notons
pour tout i
I
j
i et
est un entier
=0 egal a
(X.Ci) 0
pour tout
i
+ (c .• rj ) + 1 •
Ces conditions entra1nent : d) la matrice symetrique Z
=t
siCi
tels que
(Z)2
(Ci.C j)
=0
est negative degeneree, les seuls diviseurs
etant des multiples rationnels de
X= t
riCi •
(n; (c, .e ) • (C .r) ,r i) consij i i = 1 •••• ,n est Ie type de X. On
Nous dirons que la collection d'entiers deree
a une
permutation pres des indices
peut abstraire la situation et appeler (n, m..• k . , r.) 1.
type. une collection d'entiers
satisfaisant aux conditions a). b). c) lorsqu'on introduit
formellement des courbes C
i
(c .• K) 1.
= k.1.
•
un diviseur canonique m. . • 1.J
I
et que l'on pose
55
X= t
On pose aussi
1 Soi t
+
riCi
t (X.X)
(c
(i)
, +
T un type de genre
peut ranger les courbes
(0)
et Ie genre
2)
C i
=0
(C.X)
(ii)
(C.I)
(iii)
(c.x)
(0
(c
0
(t r. k.) •
g' • On deduit des conditions c) et d) que l'on
=,
p(rC)
2)
-1
2)
= -2
= g'
p(c)
0
p(C)
0
. (courbes exceptionnelles).
T, on associe un graphe ayant les
soit joint que Ie graphe de
Test egal
2) (C < 0
::P!
A chaque type
d'un type
en quatre classes : n
= -1
t
g'
(j
I
par
i)
C i
pour sommets et tel
La condition a) .signi£ie alors
m..
Test connexe.
Considerons une chatne du graphe de
T
x - o ••• o - y dans laquelle les sommets si
C i
X, Y et
est une courbe de sommet
ant la
'0
on ait
0,
(Ci.X)
multiplicite
=0
r
et telle que
• Autrement dit,
Ci
est
une courbe de la classe (ii) et ses liaisons avec les autres sommets sont en evidence dans la chaine
(*).
tant une
suppleillentaire entre
On obtient un autre type en oubliant les sommets x
et y • Nous dirons qu'un type
0
et en ajouTest 'reduit,
si son graphe ne cQntient pas de chaines (*) de longueur > 1 • THEOREME 6.- 11 n'existe qu'un nombre fini de types reduits, de genre
g:it 2 , et ne
con tenant pas de courbes exceptionnelles. Soient T un tel type,
C"."'C
0s+1 •• "Cn celles de la classe (ii), sommets
C, , •••
et
e
les courbes des classes (0) et (iii),
s
r
le sous-graphe du graphe de
T , de
une composante connexe du sous-graphe de sommets
56
2g - 2 , done
s
1
r.
et les nombres strictement positifs
1.
i =1
et k ,
sont bornes pour
1.
=
1.
i = 1, ••• , s • Comme
p(C.)
0 , les nombres negatifs
1.
sont bornes inferieurement et la condition
les nombres positi£s
m ij
I
(i
j)
(C + C j)2 i
sont bornes superieurement pour
e
Ie diviseur
L C e i
e
entra1ne que i
= 1, •••• s
•
r.
Bref. il n'y a qu'un nombre fini de possibilites pour Notons aussi
0
$
riC i • Comme
s
1 • il resulte de la
condition d) que la matrice d'intersection des courbes de classe (ii) qui compose 8
est negative non degeneree et par suite Le graphe
de l'un des types suivants [6] :
(** )
An
0--0... 0
Comme
(r.f)
Dn
0--0 •••
est borne inferieurement et
est un diagramme de Dynlcin
0
(car
X
est connexe) on
deduit de la relation
o
=
(X.r)
(for) +
L
Composantes que Ie nombre de composantes connexes telles que des sommets de
8 lies A
r
e
e
et Ie nombre et la multiplicite
sont bornes ,
Une etude elementaire des divers cas possibles montre alors qu'il n'y a qu'un nombre fini de types reduits. Remarque 7.- La demonstration montre en fait que pour plicite des
maximales (*) extraites de
T
g
fixe, Ie nombre et la multi-
est borne et que pour tout entier
N • il n'existe qu'un nombre fini de types dont les graphes ne contiennent pas de chafne s (*) de longueur > N •
57
Soient et
x , ••• ,x n 1
u : L ...
L*
. - t mijx j .
Notons G Ie groupe
coIeer(u) • L'hypothese d) entratne que
c > 0 , notons
Pour tout entier
Pc (G)
res pour engendrer un sous-groupe de THtOREME 8.- II existe un nombre T de genre
G , d'indice fini, divisant
c(g') , ne dependant que de
G et
In.
rattachee
g'
=
m..
G(T')
1.
par leur pgcd.
T'
deduit de
C
n
T par
avec leurs multipli-
C
n
Ie!
pour
1.
=
G(T) , d'autre part
si
C n
est
un seul sommet.
E
T'
r.
• Par ailleurs, si
et
1.J
On verifie que
T de longueur
et si
ou
T, on definit Ie type
Ces remarques etant faites, on note que si de
0
en gardant les sommets distincts de
ci tes et en remplac;:ant i, j
g' , tel que, pour
T •
sont inchanges si on divise les
est une courbe exceptionnelle de C n
c.
g' , sans composantes exceptionnelles, on ait :
On traite alors sans difficulte Ie cas ou
contraction de
1 •
Ie nombre minimum de generateurs necessai-
designe Ie premier nombre de Betti du graphe de
On note que
G est de rang
s: 1 +
Pc (G) ou
Hom(L,Z)
la base duale. A la forme d.'intersection est associe Ie morphisme
Ci
tout type
Le groupe dual
Ie groupe libre de base
L
E est une chaine maximale (*)
3
x--o ••• o--y
est Ie graphe deduit de
x -e
T
en remplac;:ant
E par
e --y
designe une courbe exceptionnelle, alors si l'inegalite (***) est vraie pour
ou
e
T'
avec un entier c' , elle est aussi vraie pour
depend que de
c'
et de la multiplicite
r
de
T avec un entier
E. Soit
To
c
qui ne
Ie type, deduit de
58
T en rempla9ant chacune des chaines maximales
E de longueur
3
par
; il
te £acilement de la remarque 7 qu'il n 'y a qu 'un nombre £ini de types possibles pour
T de genre
On termine alors la
g'
sur Ie nombre de chaines
11.3.
du
4 2).
dont la fibre
11
par
E en utilisant encore la remarque 7.
Dans ce numero , on suppose que
X est un
R-scM:ma propre, plat,
X est une courbe stable lisse de genre
pgcd des
To
r
des composantes C
i
i
et tel que Ie
g
X
de la fibre speciale
soit
1 •
PROPOSITION 9.- On a un diagramme exact canonique
o
o Pico{X) :::...
L
II L
-
Pic(X)
u
L*
A
-
V
H
Pic(Xq)
0
-+
0
•1 G
-+
0
On a
-+
0
I' application C. elle est surjective car
est la restriction 11 la fibre
X est regulier ; Ie noyau de
V provient des
diviseurs 11 support dans i , d'oit l'exactitude de la 2eme ligne. On la £ormule
=
• Comme
clos on voit facilement que de
Pic (X)
que fibre. On a
R
est complet 11 corps
par
algebriquement
est surjecti£, son noyau est Ie sous-groupe
des £aisceaux inversibles algebriquement
=u
par
de
11
0
Pico(X) sur Cha-
u, d'ou l'existence de la fleche surjec-
59
tive
t ;
H son noyau. Comme Ie pgcd des
soit
ler(>..) = Ier(u) ,done
im(>..) '::: im(u)
et
Le.
r
est egal
i
a
1 , on a
diagramme du serpent entra1ne
Pico(X) '::: H • COROLLAlRE 10.- Si
q
est un entier pi-emi er
a
la car-act er-i s td que de
k , on a une
suite exacte canonique
En e££et, on vient de voir que l'on a une suite exacte
o Comme
->
Rest complet et
q-divisible
Pico(X)
k
G ->
->
->
algebriquement clos,
par un groupe Uniquement
O.
Pico(X)
est extension du groupe
q-divisible, d'ou Ie corollaire.
On prouve elementairement Ie resultat suivant :
LEMME 11.- (Sous la condition pgcd (i)
HO(i,
(ii)
Si
°i )
=
i
k, et par suite
r
i
=1
), on a :
. H1(d.im X, 0 ).
X
=9
•
pas reduit et ne contient pas de courbe exceptionnelle, on a
g> P(lred) • Demontrons alors Ie theoreme 4 2). Soit caracteristique de
k
et plus grand que
£inie du corps des fractions de qPiC(Xn) rang
c(g)
q un nombre premier distinct de la (th. 8). Quitte
£aire une extension
R, on peut supposer que l'on a
(Z/qZ)2 9 • Par ailleurs, vu Ie choix de
q et Ie fait que
G soit de
P (G) - 1 (th. 8). D'autre part, pico(i) est un c groupe algebrique de 'dimension H1('it,O) = 9 (lemme 11 (L)}; a (resp. m, 'it resp. u) la dimension de sa partie abelienne (resp. torique, resp. unipotente). Alors
1 , on a
a
9 = a +m + u
nombre de Betti
( G)
q q
et
qPico(X) '::: (Z/qZ)2a+m • En£in, il est elementaire que Ie
est majore par
m + u • On deduit alors du cor. 10 que
u
=0
•
60 Comme Le noyau de
phes
a
=0
Xn
X de
que Ie modele minimal la condition u
est unipotent, il resulte du lemme 11 (ii)
PicO{) ... Pic(X d) re
a alors une fibre speciale
entratne que les singularites de
un systeme d'axes de coordonnees. Comme
en un point de
X est au plus de dimension
2
X reduite. De plus,
X sont analytiquement isomor-
X est regulier,
tangent
et par suite les singularites de
sont des points doubles ordinaires. Par contraction des composantes de
X qui sont
(-2) , on obtient alors une
des droites projectives de self-intersection
X
R-courbe
stable. Complements. 1) MUmford a montre recemment que l'espace algebrique
un schema projectif sur
M (th. 5) est en fait
Z.
2) Le theoreme 4 peut etre precise comme suit. Les conditions suivantes sont
equivalentes :
a)
Xn
b) Si
R-courbe stable.
provient d'une
est la jacobienne de
alors la fibre speciale De plus, si
j
de
J
et
Ie modele de Neron de
J
J'Il sur R ,
est de rang unipotent nul.
N est un entier premier
les conditions precedentes sont realisees si
a
la caracteristique de
k
est non rami fie sur
et R •
3 ,
61
BIBLIOGRAPHIE
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S. ABHYANIAR - Resolution of singularities of arithmetical surfaces, Proc. Conf. on Arith. Alg. Geom. at purdue, 1963.
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H. ARTIN and G. WINTERS - Degenerate fibres and reduction of curves, (ll parattre).
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P. DELIGNE and D. MUMFORD - The irreductibility of the space of curves of given Pub. de l'I.H.E.S., n° 36, 1969.
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Pub. de l'I.H.E.S., nO 8•••
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D. MUMFORD - Geometric invariant theory, Springer Verlag, 1965.
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I. SCHAFAREVITCH - Lectures on minimal models, Tata Institute, Lecture Notes,
If
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[14]
H. SCHLESSINGER - These, Harvard.
BOURBAlI 23e
1970/71, nO 386
Novembre 1970
===::::::::::::::::::::::::=::::::=P = p =======::f:::==:::::::::::= PRODUITS TENSORIELS
g. ET d
,APPLICATIONS
p-SOMMANTES,
APPLICATIONSp-RADONIFIANTES par Laurent SCHWARTZ
§ 1 • Les produits tensoriels @
gp
E un Banach sur
Soient
E: = R au C
,
-et
@d
de SAPHAR et Simone CHEVET. f
une suite d'elements de
e = (en)neN
E ; on dira que c'est une suite finie si tous ses termes sont nuls A partir d'un certain rang. Soit
0
saquasi-normedans
eP p-nuc Lead.re
F' •
Facile. Pour
P = 1 ,
l -nuc leafr-e
gauche ou
droi te signifie
II resulte de la prop. (1.0) qu'un operateur nucLeei.r-e pour
q:l: P •
nuc teafre ,
p-nuclaire est a,fortiori
q-
66
§ 2. Les applications p-sommantes. Soient E dans
E , F des Banach. On dit qu'une application
Fest
p-sommante,
0
+'"', si, pour toute suite e
< p
t P , la suite image u(e)
scalairement
continue
t
est
p
Alors l'ensemble
•
(e) AT n nEll'
"M
ments de
E
II e II *p
u
est
; la meme
n
P
(E;F)
E ... F,
continues, et si
v
est
v: F ... G et
p
e
E ,
d'elements de
ed' eleest une
n (u) p
1 ) et le rend complet.
sont trois applications lineaires
w: G ... H
p-sommante,
Toute application
de ces
Banach-
reste alors vraie pour tou te sui te
(une norme si
E,
p-sommante, si et seulement s'il existe
• La valeur minima des M possibles se note
quasi-norme sur Si
u
M telle que, pour toute suite £inie
une constante
II u( e) II p
que
de
de
np(E:F)
applications est un sous-espace vectoriel de .e(E;F) • 11 est Steinhaus ou le graphe
u
l'est aussi, et
continue est
CD -
rrp (vvu) s IIwllnp (v)lIull
sommante, ce n'est donc pas une
notion interessante. D'autre part (2.1) (PIETSCH).- Une application
p-sommante est a fortiori
q-sommante
nq (u) " np (u) • Demonstration. Soit
e = (en)nelN
une suite scalairement
a= (an)n EN une suite reelle, est scalairement
r
lIall r "1
e
eP , done au(e) est
tP
,
t
q
1
= p
d'elements de 1
alors
q
E
ae
C.Q.F.D.
u(e)
est
eq
(anen)nEIN
et en outre
llau(e) II p "np (u)lIaell*" rrp (u)lIell*q • Hais, ceci etant vrai pour toute p norme "1 • on en deduit que
. Soit
• et que
lIu(e) II q
a E
"np (u) lIell*q
er de ,
67 Consequence. Pour toute
u, il existe un
p
diagonale est
tel que
u
soit
donne quelconque, pourvu qu'il soit
l' 2..-.. eP
p-sommante, donc
a = Ca) nne ....
0\.1
est dans
T
q-sommante pour
q
F
et
Par exemple, l'application
eP
mais non dans
E
et
ver des cas analogues 0\.1 la coupure a lieu pour un et
q > p
1
pour
p , mais ne l'est pas pour
Si l'on se permet de considerer aussi des
E
q-sommante pour
q < P • On connait des exemples pour lesquels la coupure a lieu
ne Ie soit pas pour pour un
p
F
q
< p,
q < P •
quasi-Banach, on peut trou0 < P < 1 • Mais, pour
donne,
Banach, on n'en connatt pas et Ie probleme reste ouvert ; dans tous les cas
connus , si
u
est
C1 - E)-sommante,
Les applications
E > 0 , elle est
q-sommante pour tout
q> 0
p-sommantes ont ete systematiquement etudiees par PIETSCH.
Voici Ie theoreme fondamental : THEOREME DE PIETSCH C2.2).- Soit E dans un Banach
u
une application lineaire continue d'un Banach
F. Pour qu'elle soit
p-sommante,
su£fit qu'il existe une application lineaire continue LCIlCZ,V), lIuCx) II
"
Z
espace topologique,
IIvCx) II
on peut supposer que vCx)
Z
x e E
; dans ce cas,
est la boule unite de
est l'element de
v
de
+'"', il faut et il E dans un espace
V probabilite de Radon sur
pour tout
LPCZ,V)
0 < P
0 • On Le muni t de la topologie de la conver-gence en pr-obabi Li.te
un systeme fondamental de voisinages de
0
j
pour cette topologie est forme des ensem-
bies
!f(W) I > 6}
e}
74 pour
E, 6 > 0 • Alors
;(1:)
(lila convergence en probabilite implique la convergence en Loi "};
f
est une application continue de
Alors une fonction aleatoire scalaire , est une application de
f( t,
T ,
seulement une
elements de
T,
(r(t,) , f(t
a
mesurables de
appartienne
.)
dans
qu'on appelle loi de t, , t
2
, ••• , t
JI!l ;
2)
t"
t
2
(f(t,) , ••• , f(t
(a'
, ••• , t
n
de fonctions. Une version
n))
sont
est une
d'applications
n 110-
elle defini t donc une probabili te image sur
T , mais relativement tout sys teme
f(t)
f(t) • Si
n))
, ou loi marginale de
• On di t que deux fonctions aleatoires
n
t E T,
'£ sur T x a , telle que, pour tout
la classe de , ••• , f(t
T , relative
; pour tout
de la fonction aleatoire est une fonction E
sur un ensemble
T dans
est une variable aleatoire,
t
f
dans
f
relative
f , f' , sur Le meme ensemble
que lconques, sont Lsonomes , si, pour
' d'un nombre fini d'elements de
T, leurs lois mar-
ginales sont les memes. On remplacera souvent l'une par l'autre en theorie des pro babilites. On definit alors les classes d'isonomie de fonctions aleatoires (qui sont des classes d'equivalence pour l'isonomie, donc ne sont pas des ensembles). Si
T
est un espace topologique, un espace vectoriel, un espace vectoriel
topologique, la fonction aleatoire nue, si
f: T
w EO,
sera dite continue, lineaire, lineaire conti-
a cette propr i e te , Une version
-+
(presque
f
'£ sera dite p s s ,
continue, lineaire, lineaire continue, si, pour
1(. ,w)
tout
est continue, lineaire, lineaire continue. En general une fonc
tion aleatoire continue n'a pas de version p.s. continue, et cette prietes presque
de pro
est Ie probleme essentiel des probabilites.
PROPOSITION (3.2). II existe une correspondance bijective entre les probabilites cylindriques sur
E
et les classes d'isonomie de fonctions aleatoires lineaires
75
sur
E' • Si
A est une probabilite cylindrique,
fA
de fonctions aleatoires pour laquelle, pour
, ... ,
sur marginale de sur
E',
'
Af
f
E' , la probabili te
E
, ... ,
;
fA
est l'unique classe d'isonomie
If? ,
: E ....
soH la loi
est-une fonction aleatoire lineaire
est l'unique probabilite cylindrique sur
E
ayant la
propriete.
Ane qui trotte. Admis. Pour que la classe d'isonomie associee
a
A contienne une fonction aleatoire,
ayant une version presque sUrement lineaire continue sur suffit que
a(E,E')
A soit de Radon sur
en question est definie justement par
dans ce cas, la fonction aleatoire
=E
0
a(E',E) , il faut et il
,
=A,
avec la version f
de
f f
§ 4. L'ordre, Ie type, les applications radonifiantes. Soit
E un Banach. Une probabilite de Radon sur
si la fonction norme est de puissance
E
est dite d'ordre
p> 0 ,
p-ieme integrable ; on pose 1
II Allp Si
IIxll P dA(X»P •
E est seulement un evt,
B de
A sera dite d'ordre
p, s'il existe une partie bornee
E , equilibree fermee, dont la jauge (qui vaut
toriel
E engendre par B) est de puissance B
A soit portee par
p-d eme integrable (ce qui implique que
E Mais nous aurons besoin d'etendre B).
bilite de Radon sur
E
sera dite d'ordre
Une probabili te cylindrique
A sur
E'
dans
• Si
a
p
= 0 ; toute proba-
0 E est di te de type
pour toute (ou pour une) fonction aleatoire associ.ee continue de
en dehors de l'espace vec-
f
E est un Banach, et
E'
....
p, 0
S
P
S
+
si,
fest
p> 0 , on posera
76 1
+..
11>..11*= p Et alors
>..
est de type
Soient E
dans
E , F
F • Si
>..
F
(u(>"))v = >"v
0
11>..11* < + ...
p, si et seulement si
des evt,
u(>..)
u
P
une application lineaire faiblement continue de
F
sur
; si, en effet,
E, elle a une probabilite
vest une application lineaire
dans un espace vectoriel de dimension finie, on pourra poser u • On dira que
probabilite cylindrique
>..
est
u
sur
E
bien evidemment E, et
p-radonifiante,
de type
Supposons, en particulier, que
ments de
ItIPd>"S(t))p.
est une probabilite cylindrique sur
cylindrique image continue de
(J
Sup
seE, II sII s 1 - ..
-
>..
p,
u(>..)
Considerons la probabilite
E
1:: c n
p > 0 ;
Banach et
> 0, de
1.
somme
• Alors on a exactement
1
n
p.
e = (e) n ne IN une suite d'ele-
une suite arbitraire de nombres
xe
+ .. , si, pour toute
est de Radon d'ordre
soit de Radon sur
11>..11*p s: 11>..11 p • Soit en particulier (cn)neN
p
0
(c p e ) n n
II xe \I p =
lIell p , et
on se doute donc que les applications
II>..e 11*p = Ilell*p
radonifiantes dans les Banach sont intimement liees aux applications En particulier, toute application effet, soit
e
p-radonifiante est a fortiori
eP
une suite scalairement
probabilite de Radon de type Ilu(>.. ) II < + .. , donc e p
u(e)
p, 10nc est
eP
• Alors
u(\e)
, et
u
II >..e 11*p
..
sur
p > 0 , bien qu'on puisse etudier Ie cas E
est dite de type
p
tres approxima-
ble, si elle est limite cylindrique d'un filtre de probabilites de Radon
>..
J
• com-
77
binaisons finies de mesures de Dirac, pour lesquelles inferieure des Alors
A possibles se note
de type ment
p
J
u(:\)
est de Radon d'ordre
continue de
tres approximable, et
E dans
p> 0 •
=
des Banach,
de l'exemple ci-dessus
II ell *p • u
une application
F. Les proprietes suivantes sont equivalentes :
est
2)
est tres approximativement
p-sornmante. p-radonifiante de
E dans
.
a(F",F')
M tel que, pour toute probabilite de Radon
3) I l existe un
A,
p. "Tres approximative-
A e
II Ae 11*p ta = II A II* ep E , F
1) u u
F, est dite
p-radonifiante, mais qui
entra1ne evidemment " p-sommante ", car la probabilite
THt:OREME (4.1).- SoH
A constante. La borne
p-radonifiante si, pour toute probabilite cylindrique
tr-e s approximable,
p
:!:
E dans un Banach
p-radonifiante" est une propriete moins forte que
est de type
p
; bien evidemment
u, application lineaire continue d'un Banach
tres approximativement
IILII*
A sur
E
,
combinai-
son finie de mesures de Dirac, on ait lIu(A) IIp
:s;
Mil AII* • p
M verifiant cette inegalite est
Le plus petit nombre
A de type
bilite cylindrique
p
Sans introduire la notion de mais analogues,
p
=
rr (u) , et pour toute probap
tres approximable, _on a
lIu(A) II
p
:!:
Mil AI!*ta • p
O-sornmante, on a des resultats, plus compliques
0 •
Demonstration. 2 implique 1, nous l'avons deja vu. Ensuite 3 est exactement, par la correspondance ci-dessus entre Ilu(e) II
p
:s;
e
et
A l'inegalite des applications e,
Mllel!* , done 1 implique 3. II reste a montrer que 3 implique 2. SoH done p
A une probabilite cylindrique de type de
A. J
p-sornmantes,
de Radon
a
support fini, avec
p
tres approximable sur
II A.11 * J
p
:!:
A • On a done
E • Elle est limite
lIu(L) II J
P
:s;
HA • Et
78
U(A.) convergent cYlindriquement vers U(A) •
les
J
L'ensemble
II II p
lIM
des probabilites de Radon
sur
est trivialement Perrne dans I' espace p(X)
X
= a(F',F) qui verifient
des probab i Li tes sur
X
(muni de la topologie etroite) ; mais il n'est pas a priori £erme dans l'espace
p(X)
des probabilites cylindriques (muni de la topologie cylindrique). Si toute£ois v
nous montrons que .M. est compact dans P(X) , il Le sera a fortiori dans p(X) moins fin, donc ferme, et on saura que
U(A) est de Radon d'ordre p sur a(F',F) ,
ce qui donnera Ie resultat. Or il existe un theoreme connu de PROKHOROV qui donne une condi tion suffisante pour qu 'un ensemble espace topologique pour tout
£
X soit relativement compact (ici .M. est £erme) : c'est que,
> 0 , il existe un compact K de
1 - £ • D'apres la relation existe une boule boule
.H. de probabili tes de Radon sur un
B"
de
F"
B" est compacte dans
telle que
p
\
X tel que, pour toute
sAM, on voit que, pour
IJ.( CBII)
S
£
ou
E
donne, il
£
1 -
J( ,
£
;
or la
a(F",F') , C.O.F.D.
Reroarque.- On en deduit un theoreme de PIETSCH (2.2) pour les applications radoni£iantes. Le theoreme a ete etendu
a
p
=0
p-
par SUNYACH.
Elimination de la condition d'approximation. PROPOSITION (4.2).- Dans Ie theoreme (4.1), on peut supprimer "tres approxirna:tivement" dans la condition 2, dans les deux cas suivants : E a la propriete d'approximation metrique suivante : l'application identique
a) de
E'
de
a(E' ,E) b)
est limite d'applications lineaires de rang £ini, de norme
p:! 1
dans
E'
1 , continues
79 Demonstration. Dans Ie cas a, on montre que toute probabilite cylindrique de type type
p
tres approximable, avec
diquee pour
Ilxll*ta p
=
p est de
IIxll* • La pr-opri.ete d'approximation inp
E est un peu plus forte que celIe de Banach ; elle est verifiee dans
tous les cas usuels. Dans Ie cas b, on utili sera la factorisation de PIETSCH (corollaire 1 du theoreme (2.2)) : m signaler, L radonifiante de
a la propriete d'approximation metrique que nous venons de LP
est
E dans
Remplacementde
p-sommante, d'ou lion deduira aussitOt que a(s",S')
a(F",F')
I
donc
u
de
E dans
u1
est
p-
a(F",F') •
F.
PROPOSITION (4.3).- Dans l'enonce du theoreme (4.1), on peut remplacer
a(F",F')
F , dans les cas suivants a)
F
est reflexif
b)
1 < P < +m (IWAPIEN). Demonstration. Soit si
X une probabilite cylindrique de type Fest reflexif,
u(X)
p
tres approximable sur
est de Radon d'ordre
p
theoreme de PHILLIPS dit que les probabilites de Radon sur
sur
E
a(F,F') • Mais un
F ou
a(F,F')
sont les
m@mes (1). Soit maintenant cedente : corrone u1
est
< P < + m • On utilise PIETSCH comme dans La proposi tion prem est reflexif, j : L LP est p-radonifiante, donc
p-radonifiante de
E dans
S, donc
u
de
E dans
F •
(1) Voir Seminaire Schwartz, Ecole Poly technique, 1969/70, page XI,4.
80 PROPOSITION (4.4).- Une application q-radonifiante pour
q
p-radonifiante de
"radonifiante" et
radonifiante",
(2.1) ;
le cas
a(F",F') ,et p > 0 , ce
a ete demontre par KWAPIEN ; Ie passage
p-nucleaire
gauche est
p-radonifiante, si
< 1 •
p
Cela r-e sut te de la prop. (2.4) pour
1 < P < '!-oo, d'aprh (4.2) et (4.3)
Remarque.- Comme nous l'avons dit
les
p< 1 •
autres cas sont plus compliques, notamment
la consequence de la proposition
tous les cas connus, des qu'une application est elle est
est a fortiori
est plus complique, nous l'admettrons.
F
O-radonifiante si
1 ,
=0
p
PROPOSITION (4.5).- Une application p
F
p •
S'il Y avait "tres serait la proposition
E dans
(2.1),
p-radonifiante pour un
p
dans
< 1 ,
O-radonifiante. C'est sans doute un theoreme !
§ 5. Les injections radonifiantes dans les espaces LPl oc (Rn , dx) •
rf
On definit sur reel)
un oper-at eur
Da, comme suit. Si
r
a
de derivation d'ordre "fractionnaire" (i.e.
est la distribution dont l'image de Fourier est
a
, et si
(1 +
est une fonction
sinage de l'origine, on posera Da +
et
rf,
l!:
au voi-
On verifie alors aisement que C'"
Soit alors
W un espace de distri-
ewe lI' , avec des injections continues, et tel que la convo-
lution avec une mesure Par exemple,
support compact, egale
Dar
different d 'une fonction
butions sur
l'espace
C'"
support compact opere continuement de
W = Lioc ' 1
S;
P
S;
+00, ou l'espace
M des mesures de Radon sur
distributions dont la derivee d'ordre
it
dans
C des fonctions continues, ou
a Rn• On appellera alors W
l'espace des
a est dans W. On dira que T converge
81
vers
0
dans
wa ,
si
T converge vers
0
dans
et si
DaT
converge vers
0
dans W • Toutes les bonnes proprietes qu'on souhaite sont verifiees entre ces espaHa loc
ces. Les espaces de Sobolev L'espace
ne sont autres que les
(L2 )a. loc
n'est malheureusement pas compact, mais il s'en faut de peu ;
une adaptation facile du corollaire 1 de PIETSCH (2.2), compte tenu des theoremes (4.1), (4.2), (4.3), dit alors que l'injection canonique de c ou LCDI oc dans est
p-radonifiante, pour
(5.1).- Soient
p
1 • Alors
:s: a , b :s: + CD. Soi t
1 :s: p :s: + CD • Alors
(La )a loc
a - 13 > (_1 _ -b1 )+ ,et I' injection correspondante est 's1lrement -n-a
si si
nap
C
(Lb )13 loc
p-radonifiante
b
Demonstration. L'injection resulte des inegalites de Sobolev. Ensuite, supposons qu'il existe un
reel tel que
y
(Lb
loc
)13
->
dans b (L
; alors, par
que l ' l' n'J' ec t l"on LCD loc
DY opere de
LP loc si
a:
"Loc
(Lb )13 I OC
(LaIOC)a
es t b"len
+
q-
'
on en deduira
" p-rad onlOf'lan t e, pUlsque
I 'est. Or ceci se produit sur-emerrt si
13 >
)13
a-n Y> -a
t)+ •
Application au mouvement brownien. Soit
E un espace hilbertien. Les quotients
@tre remplaces par les sous-espaces la surjection canonique GO
->
EIG
->
ElF de dimension finie peuvent
FO de dimension finie, et alors, si
GC F ,
ElF peut se remplacer par la projection orthogonale
FO • On peut donc definir une probabilite cylindrique sur
E comme un sys-
teme de probabilites de Radon sur les sous-espaces vectoriels de dimension finie,
82
coherent pour les projections orthogonales. La probabilite de Gauss sur un espace 2 euclidien H de dimension finie n est par definition (_1 exp( _ II x 11 ) dx ;
-t
,j2TT
si
FO
GO
,
est la probabilite de Gauss sur Gauss
2
la projection orthogonale de la probabilite de Gauss de F
GO
sur
pO
O • On appelle donc probabilite cylindrique de
E le systeme coherent des probabilites de
V sur un espace hilbertien reel
Gauss sur tous les sous-espaces de dimension finie. Ce n'est jamais une probabilite
E est infinie. Si
de Radon si la dimension de sur
E
E' , la probabilite associee
R n'est autre que la probabilite de Gauss sur R de
II II , c .-a-
par-ame tre
II
d. l'image de la probabilite de Gauss normale par l'homothetie de rapport Donc
V
est de type
pour tout
p
fini
p
O!:
o ,et II VII *
=
P
Considerons en particulier la probabilite Soit
J
Jf(x) 1 'image
l'espace
l'operation primitive, qui f(t) dt • On voit que
o
J(V)
J
f
E
J
de Gauss sur associe la fonction L2
est continue de
(L2
est une probabilite cylindrique sur
1
L
2
(R,
dx) •
Jf , definie par
(L 2 )1. Alors 1 oc
dans
1 oc
2
)1 , donc a fortiori sur
C des fonctions continues. On peut lui associer une fonction aleatoire
lineaire sur le dual en posant
( L2
)-1 , soit
f , donc une fonction aleatoire
comp
rex)
tre alors sans peine que de
a
L2
(_1_
t
- ItiP e 2 d t) P •
= f(6(x)) ,car 6(x) £(0)
=0
R+, les variables aleatoires
, et que, si £(t
1)
, £(t
gaussiennes Lndependant es , de parametres
2)
(L;omp)-1
E
0
t1
- £(t t
2
1) - t
t
= «Lioc)1), •
2
•••
, ••• , £(t 1
£
, ••• ,
t n)
J tn
sur
R demon-
On
sont des points
n
- £{t
r
n_,)
n-1
, sont £
est
la fonction aleatoire du mouvement brownien. THEOREME (5.2).- La fonction aleatoire du mouvement brownien admet une version p.s. continue et
de tout ordre < 1/2 •
83
Demonstration. Cela revient
montrer que l'image de
, de type
p
pour tout
p
J(Y) , probabilite cylindrique sur
fini, par l'injection de
dans
ou
< 1/2 , est de Radon. Or il suffit d'appliquer la proposition (5.1) : on
, doit avoir
a>
1 -
ou
+
a
0
1
-CD
p
de Gauss,
si et seulement si
THEOREME DE DUALITE (6.1).- Soient
de co type
0 , est de co type
X une probabilite cylindrique, on peut poser, pour
X est de co type
continue de
sur un Hilbert reel
y
est la loi de Gauss de parametre
*lIxll p et
f: E'
E, F des Banach,
u
une application lineaire
E dans F. S'il existe une probabilite cylindrique y p , dont l'image par
tu
est de Radon d'ordre
p
sur
sur
a(F',F) ,
aCE' ,E) ,
u
est
84
tres approximativement
p-radonifiante de
E dans
(f
(FII ,F') , et
C'est un cas particulier d'un theoreme beaucoup plus general, ou des evt quelconques, et ou les indices
p
E ,F
sont
sont remplaces par des fonctions de majo-
ration presque quelconques. Pour
E ,F
Banach et
0
< p
1
I
; donc
E @d
p
F
0d
p
Fest
ce dernier est Ie produit tensoriel de
(avec une norme equivalente)
2
•
c.-a-d.
E
e'stE
l'equivalence
F , avec une norme equivalente. De E' @g
F • Alors l'application canonique de
F
dans
,
I
est
P
F ... :'(E;F) , et les operateurs
Hilbert-Schmidt ; et de
les
Remarque.- Cela cesse
vrai pour
p-nucleaires
gauche sont exactement les
p-nucleaires a droite. p
p = 1 , les
1 : pour
p-nucleaires sont
les nucleaires, et non les Hilbert-Schmidt. Un etre jeune et encore plein d'illusions aurait pu croire que, si pact de valeurs propres est
E est un Hilbert, et si A
n
est un operateur normal com-
(chacune comptee avec son ordre de multiplicite),
p-nucLeai.r-e si et seulement si
mais pas en general, puisque, pour est de Hilbert-Schmidt.
u
I:
n
p
IAn I
p> 1
I
< U
+ CD
est
c' est vrai pour
p = 1
ou
u 2
p-nucleaire si et seulement s'il
87
§ 8. Exemples d'applications du theoreme de dualite. Exemple 1.- Sur
canonique de
>
a-
radonifiante, d'apres (5.1), des que
n
(Lioc)a
n'est pas compact, et supprimons tous les cylindrique de Gauss sur dans
dans
est
p-
1 + - • Oublions, pour simplifier, que p 2
loc p
et
comp. Alors la probabilite
pour tout
fini ; donc son image
p
est de Radon. Mais la probabilite cylindrique de Gauss est aussi de co-
type
p
pour tout
p, donc de cotype
0, et nous voyons que son image est de Radon;
Ie theorerne de dualite dira, par transposition, que l'injection de (L 2)a
est
dans
o-radonifiante. En rempla9ant la probabilite cylindrique de Gauss par
celles qui sont associees aux processus stables de Paul LEVY, on en deduit, par un calcul raisonnable : THtOREKE (8.1).- Soient
(L
b loc
a n
est
a > Max(1
1
a, b
O-radonifiante, donc _
b
,
2
,
a
+"'.
L'injection canonique de
p-radonifiante pour tout
p
dans
£ini, des que
•
Le problerne reste ouvert de caracteriser les applications dans
,a
(La loci
p-radonifiantes de
; comme il y a 5 parametres, cela promet des rejouissances.
Dans certains cas, Ie theoreme (5.1) donne un meilleur resultat que (8.1) ; dans d'autres cas, c'est Ie contraire. Pour les
o-radonifiantes, je ne serais pas etonne
que (8.1) soit proche du meilleur resultat. Exemple 2.- Par Ie theoreme de dualite, j'ai pu
ea'
nales
eb
les applications diago-
a'
conjugue de
dans l'espace de suites
a, c'est plus simple pour Ie resultat) :
88
ea '
THEOREME (8.2).avec
r a
= Min(a,b)
=b
2>b ,ou
r
n
Q-radonifiante, sf et seulement si
a e
cas s14ivpnts :
1alb n
(1 + Ilog _1-
I n
la
I)
0
1
yew n G'
• Since there are only finitely
many non-conjugate Cartan subgroups in G , there exists a constant
c
that
for all
x
E
W n G'
n
THEOREM 8.- (char x
1-+
ID(X) 1- t
and all
-£
2
> 0
such
T::P: 1
= 0). There exists
> 0
£
such that the function
is locally summable with respect to the Haar measure on G •
First of all, the proof is reduced to the case of semisimple groups. Let be a Cartan subgroup of
G • Let
dx ,dy
denote the Haar measures on
'f be the normalizer of r a finite group with [Vir] elements.
respectively. Let
LEMMA 4.- Let
dX
be the invariant measure on
in G and deFine
G = G/r
Vir
such that
G and
r r
=
'f/r. Vir is
dx
dxdy. Then
By means of this Lemma the proof of Theorem 8 is reduced to
r
LEMMA 5.- Let Y
1-+
ID(y)
r
£
be a Cartan subgroup of is locally summable on
G • There exists
g •
>0
such that
r.
This is proved, by going over to the Lie algebra of dimension of
£
r,
with induction on the
103
By Theorem 8, the fUnction
x ..... is locally summable on
G •
Lebesgue's Theorem we have now
By
is locally summable on
(i)
F n
(ii)
e (f) rr
=
I
lim
T ...... G
G ,
=I
fey) eT(y)dy
G
f(y)F (y)dy • rr
§ 7. Some consequences. We assume
char
n =0
G be as defined in § 1. A Cartan subgroup
• Let
r/z
G is called elliptic if
r
of
is compact. Such subgroups exist (cf. [6], § 15).
The Selberg principle. Let
r
be any Cartan subgroup of
G. Let
e
be a
supercusp form. Then
tv
o unless
r
E
r')
is elliptic.
The proof is easy. Let
of
B ••• ,B be a maximal set of non-conjugate elliptic Cartan subgroups 1, r G. As usual, put G = (B!)G (1 SiS r) • Define B. 1 1
G
e
U
1 sis; r
G
Bi
Then
G is an open subset of G • We call it the elliptic set. We normalize the e Haar measures d.b* on B./Z in such a way that
r
'l3./Z 1
1
1.
d.b*
(1 s i s r) .
1
Notice that in the real case be larger than 1 WE
put
r
as already the group
°E(G) , denote by
8
w
is at most
the character of
ID(b)
e (b) W
1 • In the
p-adic case
G '" GL(2) shows, Where r
w. Fix X (b
E
E
Bi
Z.
For
r
=3
• For
WE
°E(G,x)
1 sis; r) .
can
104 THEOREM 9 (cf. [4(a)], Corollary' of Lemma 81 and [5], § 15).- Let Then \'
L. 1 SiSr
[WB
. 1
r1 i
/z
t
w1 '
B (b) t ·
1
W2 '
W1 ,W2EOE(G,X.).
B (b)d.b* ·
1
1
if
W
1
= W2
The proof of the orthogonality relations rests upon Theorem 5, the Selberg principle and Lemma 4. COROLLARY.- Fix X. E Z and let
e where
C
c19
w1
+ ••• + c
are complex numbers and
i
e
n W n
••• 'W
n
E °E(G,X) • If
e
o
on
G e
then
§ 8. A conjecture. If one tries to prove the results of [4(a)], Part II, for
p-adic groups, one
is naturally lead to the following problem. It also appears in Harish-Chandra's theory of Eisenstein integrals [4(b)]. Let
V be a finite-dimensional complex Hilbert space and let
representation of
K
(given by Bruhat-Tits) on
algebra of the mappings
Let
(P,A)
G
be any cuspidal pair in
End(V)
G,
V • Denote by
H(T)
T be a unitary the convolution
with compact support, satisfying
P
MN
the corresponding Levi decomposition.
Put
Vp
= subspace
v E V such that
T(n)v
=v
be the orthogonal projection of
V on
Vp
of
for all
n E N
nK •
• Put
(m
E
K
n M)
T may be regarded as a representation of K n M on Vp and H der the algebra H(TM) • Define Ap as in § 5. For E H(T) , put
Then
(m
E M)
•
90
we can consi-
105
Then
- E - P
:
$(P)
p:it 1
and
H(TH)
me M • Moreover
is actually a homomorphism of
Conjecture (problem). exist
for all
P
H(T )
into
• The mapping
E
H(T ) • M
is a finite right-module over
H
l1'1".' ,c¥p E H (T ) H
L
$(P)
C¥i
, i.e. there
such that
* IJop(H(T»
•
It is obviouly enough to state the conjecture for standard parabolic pairs with respect to some mincuspidal pair char 0
= O.
(P,A). Satalce has proved the conjecture in case o
0
G is simply connected,
minimal. In this case H(T H) [9], ch , II).
T
= identity
representation of
is a free module of finite rank over
I
and
P (cf.
is
106
REFERENCES [1]
A. BOREL et J. TITS - Groupes reductifs, Publ. Math. I.H.E.S., vol. 27 (1965), p , 55-150.
[2]
A. BOREL et al. - Seminar on algebraic groups and related finite groups, Springer Lecture Notes, vol. 131 (1970).
[3J
R. GODEMENT - A theory of spherical functions I, Trans. A.M.S., vol. 73 (1952), p. 496-556.
[4J
HARISH-CHANDRA - (a) Discrete series Lor semi simple Lie groups II, Acta Math., vol. 116 (1966), p, 1-111. (b) Harmonic analysis on semi simple Lie groups, Colloquium Lectures, University of Oregon, A.M.S. (1969). (Also on tape available via the A.M.S.) (c) Harmonic analysis on reductive
p-adic groups, Springer
Lecture Notes, vol. 162 (to appear). [5J
H. JACQUET and R. P. LANGLANDS - Automorphic forms on GL(2) , Springer Lecture Notes, vol. 114 (1970).
[6J
M. INESER - Galois-Kohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen Uber adischen
[7J
p-
II, Math. Zeitschrift, vol. 89 (1965), p. 250-272.
F. I. MAUTNER - Spherical functions over
p-adic fields II, Amer. J. Math.,
vol. 86 (1964), p, 171-200. [8J
P. J. SALLY Jr. and J. A. SHALIKA - Characters of the discrete series of representations of
SL(2)
over a local field, Proc. Nat. Ac. Sci. U.S.A., vol.
61 (1968), p, 1231-1237. [9J
I. SATAIE - Theory of spherical functions on reductive algebraic groups over p-adic field, Publ. Math. I.H.E.S., vol. 18 (1963), p. 5-70.
[10J
F. BRUHAT et J. TITS - Groupes algebriques simples sur un corps local, Proc. Conf. Local fields (Driebergen, 1966), Springer, Berlin, 1967, p. 23-36.
Seminaire BOURBAKI 23e annee, 1970/71, nO 388
Fevrier 1971
PROBLEMES MATHEMATIQUES DE LA THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS par Pierre CARTIER
§ 1. Introduction et historique L'equation d'onde relativiste d'un meson de masse
a
m et
spin 0
est due
Klein-Gordon et s'ecrit sous la forme
o •
(1 )
Nous employons un systeme d'unites dans lequel la vitesse de la lumiere et la constante de Planck
sont egales
; on note
les coordonnees dans l'espace-temps et l'on pose
t
x
= h/2TT
h
= (x 1,x2,x3)
, dx
= dx1dx2dx3
densite lagrangienne
et
A
=
+
a.
=
a/ax. ,
Si l'on introduit la
+ 0;
par 3
(2)
c
H
=
I
i
(a .c:p)
2
2 2
- m
],
=1
on peut ecrire l'equation (1) sous la forme d'Euler-Lagrange 3
I
aj
( 6
correspondant au principe variationnel 6
J
=0 •
j=O Selon Ie schema usuel du calcul des variations, on introduit alors Ie champ conjugue
R (3)
TT de -
c:p
a
et la densite hamiltonienne
,d'ou
TT
=
H TT2
par
TT
=
6f, 6(ooc:p)
et
et 3
I
+ i
(a.c:p)
2
2 2
+ m
] •
=1
Les £ondateurs de la Mecanique Quantique (Dirac, Pauli, Jordan) ont montre comment tralter heuristiquement un champ de mesons ; par extension de la methode
1.08
d'Heisenberg pour la quantification des particules, on postule que les valeurs du champ
t)
et
n(x, t)
sont des operateurs dans un espace de Hilbert
satisfaisant aux relations de commutation canoniques (a temps fixe) :
(4)
, t) ,
o ,
, t)] = [n(x, t) , n(x' , t)] i6(x - x ") •
t) , n(x' , t)]
La presence de la "fonction" de Dirac dans ces equations suggere que sont des distributions
a
= J n(x,
t)v(x) dx
I(u)
=J
, t)u(x) dx
pour des fonctions "tests"
plus, si l'on definit formellement l'hamiltonien
J'It(x,
t) dx
n
valeurs operat6rielles et que seules ont un sens les
"moyennes" de champs de la forme n(v)
et
et
u
et v
convenab Les , De
comme l'operateur
H
o
, on dedui t formellement de (4) les equations d'evolution sous la
forme
( 5)
[n, Ho ]
in
(on note par un point la derivee par rapport au temps). Ce qui precede definit un "champ libre" de mesons; on introduit une interaction entre les mesons par un terme supplementaire dans l'equation (1) Ie cas que nous considererons dans la suite est l'equation
o
(6)
g > 0 •
avec
g Dans la discussion pr-eceden te , i l convient d'ajouter Le terme --
a 1e ; l'operateur hamiltonien est alors 4 tonien d' interaction Hi = g cp(x , t)4 dx •
et
1
J
4
4
H
= Ho
+
H. l.
a
avec l'hamil-
La difficulte dans l'interpretation de ces calculs, que tous les de Mecanique Quantique recopient, provient des carres dans dans l'equation (6) et de
dans
H.l.
H mais surtout o'
; il est bien connu
peut pas en general multiplier des distributions. La theorie du champ libre a
109
ete mise au point mathematiquement par Cook [1] au moyen des algebres tensorielles
un espace de Hilbert; elle a ete ensuite considerablement appro-
fondie par 1. Segal [8]
a
qui l'on doit la "representation d'onde" et Ie lien
avec les processus gaussiens. On doit aussi rale des puissances
a
Segal [9] une definition gene-
a
introdui tes par Wick. Griice
tous ces
travaux, il est maintenant possible de definir en toute rigueur l'hamiltonien comme un operateur auto-adjoint, et l'hamiltonien d'interaction comme une forme bilineaire sur un domaine dense, donc aussi
H
=
Ho + Hi
Le premier resultat vraiment profond de la theorie est dfi
a
Nelson [7]
H. l.
comme forme bilineaire.
rempla9ant l'espace euclidien montre que
a
3
dimensions par un tore
une dimension, il
H est borne inferieurement, ce qui permet de lui trouver un prolon-
gement auto-adjoint par la methode de Friederichs. esquisse une methode pour passer du tore
a
a
a une
1. Segal [10] a ensuite
dimension
a
l'espace euclidien
une dimension, par la consideration de groupes d'automorphismes de
C*-
algebres. Cette methode, combinee avec des majorations d'un type nouveau pour les
auto-adjoints, a permis
a
J. Glimm et A. Jaffe
(cL [2,3,4]) d'obtenir dernf er-ement une grande quen t i t e de resultats rigoureux sur l'equation et
2
2
2
3
0tcp(x,t) -oxcp(x,t) + m cp(x,t) + g: cp(x,t) :
avec m> 0
g> 0 • Ils traitent aussi le cas des interactions de Yukawa dans l'espace-
temps de dimension
2, cas notablement plus difficile [5].
Dans le reste de cet expose, nous examinerons
a
l'usage du lecteur mathe-
maticien les champs libres, et nous indiquerons Ie principe de la methode recente de Segal [11] pour definir l'hamiltonien dimension
2
H pour l'espace-temps de
(cf. aussi [6]). Cette methode nous semble assez stable dans une
theorie tres mouvante, aux progres tres rapides.
110
§ 2. Resultats generaux.de Mecanique quantique 2.1.
Glossaire de Mecanique quantique.
a
Dans tout modele quantique, on met
la base de la theorie un espace de
Hilbert complexe
un vecteur d'etat est un element de norme
et deux tels vecteurs
a
et
existe un nombre complexe
a'
definissent Ie m@me etat si et seulement s'il
A de module
est un projecteur orthogonal dans variable quanti que Sur
X
a
(M,
a'
= A.a
• Un evenement
un espace mesurable ; une
M e$t definie par une mesure spectrale
c 'est-a-dire une application de
semble des evenements satisfaisant est une suite d 'elements de
tel que Soi t
valeurs dans
M a valeurs dans
de
a
l'axiome suivant : si ,de reunion A"j M deux a deux disjoints les
dans 1 , en-
,A2 , ••• , An ' •••
CD
sont deux a deux orthogonaux et l'on a
EX(A)
=
L:
Ex(A • Soit n)
a
un vec-
n=1
teur d'etat; on lui associe une mesure de probabilite ma,x(A) trouver
=
ma,X
sur
par
IIExCA).aIl2 ; cette quantite s'interprete comme la probabilite de
X dans
A quand Ie systeme est dans l'etat defini par
a.
Les deux cas les plus frequents sent les suivants : a)
M est l'ensemble
liennes de
R des nombres reels et
R ; une mesure spectrale sur
operateur auto-adjoint bien determine dans variable quanti que reelle
a
M l'ensemble des parties bore-
Rest la mesure spectrale d'un On peut donc identifier une
un operateur auto-adjoint, borne ou non.
b) Plus generalement, une variable quantique dans l'espace euclidien definie par une suite commutant deux
a
X
=
(X , ••• ,X d) 1
d R
est
d'operateurs auto-adjoints dans
deux (au sens fort: les projecteurs spectraux commutent).
111
Soit l'algebre
a
X une variable quanti que
a
valeurs dans
(M,!!)
et soi t
LCD (M , !!)
involution des fonctions complexes mesurables et bornees sur
(M,!!) • Il existe un homomorphisme lution des operateurs bornes dans l'indicatrice
cpX
de
LCD (M '!!)
K, et un seul, qui transforme en A EM. On ecrit
1 d'un ensemble A
f(X)
fest une fonction reelle mesurable sur
a
dans l' algebre
pour
invo-
Ex(A)
cpX(f)
; lorsque
non nece saai remerrt bornee ,
on peut encore definir l'operateur autoadjoint
f(X)
(calcul fonctionnel).
2.2. Principe de Dirac. On
utilise souvent la version suivante du theoreme de decomposition spec
trale. Soit tant deux
a
(X.). 1
1 E
I
deux. 11 existe alors une variable quantique
espace mesurable
(M, M) -
reelles sur tout i
E
une famille d'operateurs autoadjoints dans ! ' comrnu-
et une famille
engendrant la tribu
I. Si!
(f.). 1
1 E
b)
il existeun vecteur d'etat
aucun sousespace de Hilbert de
a
X. 1
f. (X)
=
pour
1
a
chaque
Xi
est commutative;
generateur au sens suivant : il n'existe
K distinct de
K qui contienne
a
et qui
Xi
c) i l existe une mesure 6"finie IJ. sur ->
valeurs dans un
est separable, les conditions suivantes sont equivalentes :
l'algebre des operateurs bornes qui comrnutent
cp : !
a
de fonctions mesurables
M et telles que
a)
reduise chaque
I
X
L2(M ,1Jo)
tiplication par
et un isomorphisme d'espaces de Hilbert
qui transforme pour tout
et en particulier
E
I
l'operateur
Xi
en la mul
f .• 1
Si ces conditions sont remplies, on dit que complete; alors
i
cp
transforme EX(A)
f(X)
X ou que la famille
(Xi)i
E
I
en l'operateur de multiplication par
en la multiplication par
generateur et prenons en particulier pour
IJ.
1
A•
Soit
a
un vecteur
la mesure de probabilite
ma,X
est f,
112
on peut normaliser
1 , d 'ou,
par
-1 ( f )
f(X).a
pour
f
dans
LCD(M,!!) • Dans les ouvrages de Physique, Ie resultat precedent est connu sous Ie nom de principe de Dirac : des variables quantiques sont simultanement observables si et seulement si elles commutent deux (X, X' ,X" , ••• )
a
deux; si l'on a une famille complete
de variables quantiques sdrnuLt anement; observables, on peut
r-epr e serrt er- les vecteurs d' etats comme des fonctions traditionnellement
a(x, x' ,x" , ••• )
(no tees
(x , x' ,x" ... [a) ) des valeurs prises par ces variables
quantiques. 2.3. Quantification d'un systeme mecanique. Considerons un systeme mecanique dont l'espace de configuration est un espace vectoriel reel Ie fibre cotangent
a
M de dimension finie. L'espace des phases associe est la variete
M, qu'on peut identifier
est l'espace vectoriel dual de par
(q, p)
pour
la dualite entre
M
a
M x N , OU
M et
N
N se designe
q eM, peN •
En Hecanique quantique, on introduit alors un espace de vecteurs d'etat
Q
K et deux variables quantiques
a
valeurs dans
M et
N , representant la position et Ie moment du systeme. Pour dans
N, on peut donc definir les oper ateur s auto-adjoints
et les oper-ateurs uni taires
i
(a , p)
et
P a
a
valeurs dans
dans (a, p)
M et et
(Q, b)
e i (Q , b) • On impose les relations
de commutation suivantes : a)
forme globale
(H.
Weyl)
e
i(a, p} i(Q , b) e
b
e
i(a, b ) i(Q , b ) i(a, p} e e
113
b)
forme infini tesimale (Heisenberg):
[(a, p) , (0 , b)]
= -i(a ,b)
(1) •
5i les relations de Weyl sont satisfaites, i1 existe un sous-espace dense D de
! , stable par les
oper-at eur-s
(a, p)
et
(0, b) , et tel que la restric-
D soit essentiellement auto-adjointe ; de
tion de chacun de ces operateurs
les relations d'Heisenberg sont satisfaites sur
La reciproque n'est
pas vraie sans hypothese supplementaire, bien que l'on puisse deduire forme11ement les relations de Weyl de celles d'Heisenberg. Dans les discussions rigoureuses, il convient done de
la forme de Weyl des relations de commuta-
tion. Faisons de sormaf s l'hypothese d'irreductibilite : i l n'existe aucun sou sespace de Hilbert de et
!:,
! , et redbtisant les
distinct de
oper-at eurs
(a, p)
(0. b) • Cette hypothese exclut toute srz-ucture interne des particules, et
en particulier Ie mesure dua1e sur
spin • Notons
une mesure de Haar sur
M et
la
N. D' apr-es Le theoreme de Stone - von Neumann, i1 existe deux
isomorphismes d'espaces de Hilbert
avec les proprietes suivantes : a)
transforme l'operateur
fonction
1
C )
f
dans
=
j
L = 1
on peut identifier aussi alors
q/j
adjoints et de meme
en la multiplication par
f
pour toute
L={M)
d Lorsque M = R d
(q, p )
f{Q)
0 est une suite
N
a
d R
(Q1 , ••• ,Od)
de sorte que d'operateurs auto-
P = CP1, ••• ,Pd) • Les relations de commutation prennent
alors la forme usuelle
o
114
b)
propriete analogue a a) pour
c)
soient
a
dans
!,
f
=
P et
g
=
alors
transformees de Fourier l'une de l'autre (on note
(7)
f(q)
=
De plus, module
d
f
et
g
sont
la dimension de M) :
-d/2 (2TT)
-i(q,p)
- d/2 (2TT)
Jg(p) .e . ( q, p )dp
et
sont definis a la multiplication pres par un scalaire de
l
g(p)
=
J f(q).e
dq •
1 •
La dynarnique quantique du systeme est decrite par la donnee de la position Q(t) et du moment pet) a chaque instant t
; pour tout t, ces variables quantiques
satisfont aux relations de commutation de Weyl, et l'on fait l'hypothese d'irreductibili te qui entraine que chacune des variables quantiques Q(t) et pet) est complete. Le caractere Ie plus original de la Mecanique quantique est que ne sont pas simultanement observables, non plus qu'en general pour
t i t ' • Nous supposerons Ie systeme stationnaire et que
sont des fonctions fortement continues de t. Posons P
= p(O)
Q(t) Q(t) Q(t)
et
Q
et et et
pet) Q(t') pet)
= Q(O)
en
utilisant Le rheor-eme de Stone - von Neumann cite plus haut et Le theoreme de Stone sur les groupes a un pararnetre d'operateurs unitaires, on demontre l'existence d'un operateur auto-adjoint
H , l'harniltonien du systeme, tel que
l'on ait
(8)
Q(t)
pet)
e i tH P e itH •
L'hamiltonien n'est defini qu'a une constante additive pres par ces conditions. Pour obtenir un resultat intrinseque, on peut introduire l'algebre rateurs bor-ne s dans de
!
et Le groupe a un parametr e d'automorphismes
A des opeV t
A par
(9)
Vt(A)
On interprete
Vt(A)
egale a
A pour
t
eitHAeitH. comme la valeur a l'instant
=0 •
t
de la variable quantique
115
2.4. L'oscillateur harmonique. Dans tous les exemples usuels de Mecanique quantique non relativiste, l'hamiltonien est de la forme
H = T(P) + V(O) • ou
tique definie positive sur
(energie cinetique) et
N
Test une forme quadraV une fonction sur
V est une
(potentiel). L'oscillateur harmonique est le systeme pour lequel forme quadrati que definie positive sur par
CPo
fonctions
a
decroissance rapide sur
Pour tout adjoint sur
a
dans
a
M. Nous identifierons
(theoreme de Stone - von Neumann), et nous noterons
S
l' espace des
M (espace de Schwartz).
M, l'operateur
(a, p)
est essentiellement auto.,.
c'est un operateur de derivation transformant
S
-iddtu(q+t.a)!t=o. Pour tout tiellement auto-adjoint dans
b
dans
S
N, l'operateur
u E S
(O,b)
en
est essen-
il agit par multiplication par la fonction
(q, b) • De plus, les operateurs auto-adjoints sur
M
(a, p) + (0, b)
et
H
sont essentiellement
S.
La theorie de l'oscillateur harmonique va etre resumee sous une forme qui se pretera aux generalisations ulterieures a)
Relations de commutation
neaire alternee
Pour tout
z = (a, b)
E = M
N
on definit une forme bili-
E x E par pour
(a,b')- (a',b) dans
E, on note
h(z)
z '" (a , b)
1 "oper-ateur-
et
z' = (a' , b') •
(a, p) + (0, b)
sur
on a alors [h(z) , h(z')]
(11 )
Gomme
h(z)
taire
W(z)
(12)
sur
'B( z , z ")
(10)
S
B
On pose
= -LB(z, z') •
est essentiellement auto-adjoint, on peut definir l'operateur unieih(z)
; les relations de Weyl prennent la forme
W(z).W(z,)
e iB(z,
z')!2 W( z + z ') •
116
b)
Equations
r-eeLl,e sur
: On note
Mx M
(,)v
la forme bilineaire
V(a) .. t (a ,a)V ' on
telle que
t de mander-e analogue
( ')T
sur N • 11 existe deux applications lineaires C de
C'
N dans M
de
(13 )
pour (14)
=
dans
M et
Q
C'.F
=
(C'b, b')
(a, Ca') b, b'
dans
N. L'equation d'evolution est alors - C.O
sous forme infinitesimale. Introduisons l'operateur (15)
Az
(C'b, -Ca)
on a alors les
(16) c)
A dans
pour
E par
z = (a, b)
d'evolution h(z)
Etat fondamental
h(Az)
Vt(W(z))
=
w(etAz) i.e. spectre discret) • On montre que l'hamiltonien H est diagonalisable Apres
ajustement de la constante additive arbitraire dans
H est positif et qu'il existe un vecteur annu Le par
N et
par les relations
(a, a')v a, a'
M dans
H. On a (avec une constante
H , on peut supposer que
Y
c > 0
(essentiellement unique) o convenable)
1
(17)
(C'C)
(ou
1 4
Yo (q)
c exp _ V«C'C)
a un sens car
4 s)
(q
E
M)
est un operateur symetrique positif dans
M
muni de la forme quadrati que V). On defini tune forme quadratique definie positive
0 sur E par
(18)
o(z)
=
1
1
V«c'c) -4 a) +T«CC,)4 b)
pour
z = (a, b) •
-!2
pour
z
On a alors (19 )
d) J
(Y IW(z)Y ) o 0
Structure complexe sur
exp E
I.)(Z)
dans
On demontre qu'il existe sur
et un seul qui satisfasse aux relations
E. E un operateur
117
(20)
B(Jz,Jz')
pour
z
et
z'
dans
Q(z)
B(z , JZ)
E comme
• On peut alors considerer
E
vectoriel complexe dans lequel definit sur
B(z, z ")
Jest la multiplication par
un espace
i . De plUS, on
E un produit scalaire hermitien defini positif caracterise par
les relations
Autrement dit,
B(z,z')
Q(z)
(zlz)
(21 )
Im(zlz') •
E est un espace de Hilbert complexe de dimension finie et
est un operateur auto-adjoint dans
iA
E ,
§ 3. Theorie quantique des champs 3.1. Le champ libre. L'analogie entre les formules heuristiques (3) et (4) et la theorie de l'oscillateur harmonique suggere la procedure suivante. Notons copies de l'espace de Schwartz R3 • On met
sur l'espace euclidien
(22)
des fonctions reelles
S uv
(u , v )
M et
N
(23)
par V(u)
On pose encore
E x E
(24)
= -H
decroissance rapide
dx V
sur
M
et
T
3
I
( i
=1
E=MeN
(o.u) 2 + m2u 2} dx 1
et l'on definit la forme bilineaire alternee
B
sur
par ( 1 0). d' ou
B(z, z ")
S(uv '
Cu
pour
- u'v) dx
Si l'on definit encore les operateurs (25)
N deux
N en dualite par la forme bilineaire
et l'on definit des formes quadratiques definies positives sur
a
M et
C et
C' C'v
z
=
(u , v)
et
z•
comme dans (13). on a v •
(u ' • v ") •
118
Soit
E*
l'espace des solutions reelles
(1) telles que la fonction L'application
t)
XI-+
......
0) ,
0))
E ; d'apres (25), elle transforme 0
de l'equation de Klein-Gordon
appartienne
a
est un isomorphisrne
en l'operateur
0
pour tout de
y
E*
t ,
sur
A sur E. Par ailleurs,
I 'equation de Klein-Gordon peut se resoudre par transformation de Fourier. En
X l'ensemble des vecteurs
effet, notons k
2_k.k
o
3
2 et k >0 {on pose X.y= '\ 0
= m
i
x,v,
L
(k
; il eXiste sur
o
, k)
tels que
X une mesure
\l.
=1
invariante par Ie groupe de Lorentz, que l'on peut normaliser de sorte que l'on ait
S
(26)
X
Soit
fd\l.
l'espace prehilbertien des fonctions complexes sur
ni t un isomorphisrne d 'espaces vectoriels reels
a
une fonction
f
Sfg dlJo
, avec Le produi t scalaire
longent en une fonction de
1>:
-+
X qui se pro-
E*
qui associe
la partie reelle de la transformee de Fourier de la mesure
f.\l. • Alors, I' i somor-phd srne y&
de
sur
R
permet de transporter
tions enoncees dans 2.4, d) et ne depend donc que de la dualite entre et des formes quadratiques
V et
un espace de Hilbert
b)
un vecteur
c)
une application
de
K
d)
un groupe
a
o
M
et
N
a
definir les objets suivants
!.
de norme
W de
E
T.
La construction du champ libre consiste a)
a
elle est caracterisee par les condi-
la structure prehilbertienne de
If
on dHi-
dans
E
K
MeN dans I 'ensemble des operateurs unitaires
un parametre d'operateurs unitaires
Ut
dans
Ces donnees doivent satisfaire aux formules (12) et (19) et
K.
W(t.z)
doit @tre
119
une fonction fortement continue du par-eme tr-e reel t; de plus, on a
u;1 W(Z)Ut
= w(etAz)
•
"0
Voici l'interpretation de ces objets. L'etat defini par l'hamiltonien libre est l'operateur auto-adjoint enfin, st l,'on note pour tout
(27)
t
h(z)
H o
tel que
I "oper ateur- auto-adjoint tel que W(t.z)
a
(28)
=
eith(z)
reel, on a symboliquement pour
h(z) = J u(x) .Tl(x ,0) dx + Jv(x) .cp(x , 0) dx
Le champ
est Le .vi de - itH o U e t
l'instant
(u, v) •
z
test defini par
TT(X , t )
cp(x, t)
On connait actuellement deux constructions du champ libre. La premiere est
celIe de Fock, mise sous forme rigoureuse par Cook [1J ; elle n'utilise que la structure d'espace prehilbertien de l'algebre symetrique de
E et construit
K par
de
E. Elle est par.ticulierement adaptee
l'aspect "corpusculaire", et donne une construction simple de H ) comme extension o
a
a
l'etude de (done de
U
t
l'algebre symetrique de l'automorphisme
etA
de
E
malheureusement, la definition des puissances de Wick n'y est pas commode La deuxieme methode de construction du champ libre est due On construit sienne
\I
K comme l'espace
sur Le dual
Q.' de
L2 S
associe
a
est simplement la mUltiplication par la fonctionnelle
grales multiples de
a
Segal [8J.
une mesure de probabilite gaus-
I "oper-at eur- de champ
construction des puissances de Wick est tout
a
t(v) .. J vex) .cp(x , 0) dx
T
fait analogue
La construction de
H o
T(v)
a
sur
S' • La
celIe des inte-
n'est pas facile, mais
Ie point fondamental, decouvert par Nelson, est que le semi-groupe d'operateurs -tH e
o
(pour
t > 0) est Ie semi-groupe de transition. d 'un processus markovien
se deroulant dans des operateur-s
S' • On en deduit des proprietes de regularite tres fortes
e - tHo
dans
K ; en particulier, cet operateur est une con-
120
1
traction dans t
L
, v)
L2
et definit un operateur borne de
L4
dans
pour
assez grand.
3.2. Interaction de champ. La methode employee aussi bien par Glimm et Jaffe que par Segal consiste
a
remplacer l'hamiltonien d'interaction
par une forme tronquee CD
fonction H.
(g)
C
g(x) : cp(x , 0)4 : dx
support compact sur
p( ) V(gEL
pour tout
t > 0
tes on t suffi Ho + H.(g) o
=f
f : cp(x, 0)4
a
v)
pour
p
a
mais seulement Segal (et aussi
a
(qui n'existe pas)
dx
:
ou
g(
.)
est une
3 R • Dans la representation de Segal,
est la multiplication par une fonction mesurable
l'on a
H
a
Hi(g)
g
assez grand et
V(g)
e - tV( g)
sur est
, et v-integrable
deux dimensions d'espace-temps. Ces proprieSimon et Hoeqh-Krohn} pour montrer que
est essentiellement auto-adjoint; soit
H(g)
la fermeture de
+ H. (g) •
II "reste"
a
faire tendre la f'onct Lon
n'a pas de limite de d'operateurs dans pour tout
A dans
H(g)
g( . )
vers la constante
lui-m@me, mais on peut definir une
K et montrer que la limite de A et tout
t
g. On
C*-algebre
e itH(g)A e -itH(g)
A
exi st e
reel. Pour cela, on utilise Ie fait bien
connu qu'une equation hyperbolique ne permet pas une propagation
a
vitesse
infinie des perturbations. C'est la l'idee essentielle de Segal [10J. Pour definir 1 'hamiltonien
H lui-m@me, il f'aut "renormaliser"
signifie qu'il faut construire une forme lineaire positive algebre
de
sur la
cela
C*-
qui joue Ie r61e de valeur moyenne dans Ie vide. C'est ensuite un
jeu d'enfant de construire un nouvel espace de Hilbert Wren
T
K
une application
E dans l'ensemble des operateurs unitaires de !ren et un vecteur
121
T(W(Z» = (Yo Ivran (z).Y) 0
tels que dans
pour tout
z
E.. Ce programme a ete rempli par Glimm et Jaffe [3] ; mais ces auteurs
n 'ont etabli ni l'unicite de
T
,
ni une forme satiS£.aisante de l'invariance
de la theorie par Ie groupe de }.orentz (les cons'trucraons font j,ouer un r61e particulier au temps).
122
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processes: I, Ann.
Seminaire BOURBAKI 2le annee, 1970/71, nO 389
Fevrier 1971
TRAVAUX
SHIMURA (*)
DE
par Pierre DELIGNE
X/r
Soit
Ie quotient d'un domaine hermitien symetrique
discret arithmetique
r
D'apres Baily et Borel, [lOJ a [14J,
X par un groupe
(suppose defini par des conditions de congruence, voir 1.7).
x/r
est une variete algebrique complexe. Dans les articles
Shimura montre entre autres, pour beaucoup de ces varietes, qu'elles
peuvent @tre definies sur des corps de nombres qu'il explicite. C'est la Ie sujet du present expose. Pour obtenir des enonces propres, on est contraint a utiliser un langage adelique. Celui-ci conduit a considerer, pour une "condition de congruence" donnee, un schema sur
sommes disjointes d'un nombre fini de varietes du type
x/r
(voir §§ 1 et 2). Dans de nombreux cas, ce schema pourra @tre defini sur un corps de nombres
E, independant de la condition de congruence consideree. Ses composantes
connexes geometriques, elles, seront definies sur des corps de classe de
E. Ce
phenomene, bien qu'essentiel, va @tre neglige dans la suite de cette introduction. Dans un petit nombre de cas,
x/r
peut s'interpreter comme l'ensemble
des classes d'isomorphie des varietes abeliennes complexes, munies de quelques structures algebriques additionnelles (polarisations, endomorphismes, structures sur les points d'ordre n). La solution, sur pondant
x/r
fournit alors un schema
probleme de modules corres-
M sur un corps de nombres explicite
est l'ensemble des points complexes. On appellera
F, dont
M un "modele" de
x/r.
Le cas fondamental est celui des varietes abeliennes polarisees de la serie principales, munies d'une structure de niveau
(*) Texte
en mars 1971
n
(1.6, 1.11, 4.16, 4.17 et 4.21).
124
Dans d'autres cas,
x/r
peut s'interpr4ter comme l'ensemble des classes
d'isomorphie des vari4t4s ab4liennes complexes comme plus haut, a.
de quelques classes de cohomologie enti&res de type (pp)
E H2p( AX ••• xA,
un mod&le M de vari4t4
x'/r' .
¢
)
[7]).
(cf. Mumford
x/r
Dans ce cas, l'id4e sera de construire
comme sous-sch4ma d'un mod&le M'
d4ja construit d'une
En gros, on commence par construire dans
a des
correspondant
A munies de quelques structures
vari4t4s ab4liennes de type
complexe). On d4finit alors
M comme
M'
les points de
M
C.M. (. maximum de multiplication de l'ensemble de ces points. Cette
construction repose sur la connaissance d4tail14e des vari4t4s ab4liennes de type C.M. fournie par [16]. Dans les cas consid4r4s plus haut, on dispose de beaucoup d'information sur les corps de d4finition des points de de type
C.M.
M correspondant
a
des vari4t4s ab4liennes
Ceci permet de donner des solutions partielles au
Hilbert (cf. l'introduction de [15]
et
probl&me de
3.15, 3.16).
En regardant ce que ces cas ont en commun, on aboutit a la notion de "mode l e canonique" (§ 3). On montre qu' i1 y a au plus un "mod&le canonique" des
x/r
(5.5). Des techniques de descente permettent alors de constuire quelques mod&les
canoniques qui semblent 16in d'atre des solutions de probl&mes de modules
([12) [13] [14] et [5]). Pour la description de ces "modUes 4tranges", on renvoie aux §§ 5 et 6.
On d4signera par
tant Ie sch4ma en groupe
n-i&mes de l'unit4 que Ie groupe des racines
k.
alg4briquement clos fix4 1l In(1)
et
1l In. Les
de transition sont les 1l ..
f
A ..
1l In(l)
cp
n,m
lim 1l In 1l
C*
C* • !OR) soit respectivement l'identit
On
des caracteres de
Le groupe
X Gl
caracteres
em'
¢.
On
dfsignera par
F(h)
Va' la
127
1.3.
On
par
Ie
r: em
0:
0
r • (x I-'!lo- xP) , et par w
0
w •
xP+ G2(1I1)'"
'"
0
>
0
) Gl(l.lh
r
f
>
A
A
G (#h/G «().)
ob
lim
A
I'
'i'
> G2/Gl (l h
1
1 A
) G2/Gl(II1)'"
A
--)0
(G2/Gl)(I11)/(U2/Ul ) n
§ 2. Composantes connexes.
2.1.
Soit
G un groupe reductif connexe
on suppose que
G'
().) et tel que
HOll.)
sur
On reprend les notations 1.1 et
n'admet pas de sous-groupe invariant non trivial soit compact. Cette hypothese n'exclut pas que
H (defini G'
lR
sur
ait des
134
facteurs compacts. On
..... G' 1e revatement simp1ement connexe du groupe
par
G' • Proposition 2.2.
(i)
Le groupe
agit transitivement sur l'ensemb1e
des composantes connexes de (ii)
Le groupe
a8it trivia1ement sur
(iii) Le quotient de
par l'image de
L'assertion (i) Puisque
Pour
x
de (0.4)
G est simp1ement connexe, 1e groupe GCR) est connexe. D'apres
G(R)
(0.3),
GUA), de sorte que
est dense dans
E
=
on a
: e11e est connexe, et
Z 1e centre de
"commutateur"
2.3.
est connexe.
, de sorte que l'image de
est une image de
Soit
est un groupe commutatif.
G' .
L'assertion (iii)
xyx-1 y-1 : G X G GXG
etc
On
par
X
dans (ii) en
de ce que l'app1ication
G admet une factorisation
(;'tz
etc
n(G)
X G'/Z ----iil'o
G'
1e quotient (commutatif)
----iil'o G
(ou
qui agit fide1ement sur En d'autres termes, cOlllIllutatif
TMoreme 2.4.
est bijectif.
est
, muni de sa structure de groupe
TI
o
Rappe10ns 1e
Sous 1es hypotheses de 2.1,
l'homomorphisme canonique (2.4.1>
TI(G)
suivant
G'
est simp1ement connexe, a10rs
135
Pour prouver la surjectivite de (2.4.1), il suffit d'apres 2.2 (i) applique T de montrer que
s'envoye sur
connexe, on sait que, pour presque tout un sens pour presque tout
a
G'
reduit modulo
=
T(Af ). Le noyau p,
v(G(Z
P
G'
» = T(7J:
de P
v. G
T etant
(cette formule a
)
p, et est un corollaire du theoreme de Lang applique
p). II suffit donc de prouver que pour tout
(0.2) applique
ce qui resulte de
a
p,
G'.
equivaut a l'enonce plus concret
Le theoreme 2.4
Variante 2.5. Pour tout sous-groupe compact ouvert
K de
l'application
U.S.I} est bijective.
=
En effet,
lim
...
= GCR)o
Par ailleurs,
, et de m@me pour X K\G(A)/G(lQ).
Montrons que si
T •
x, y E G reB)
virifiant
kn
sur
B. 11 existe un unique
pEp, telle que
d I isomorphismes symplectiques
1 'image riciproque de son image
L Z
dans
p
k-l(Vi)
i
(r(B), T(B» c
L-liniaires de Isom(B
n,
(1). Enffn,
reB)
(a)
une variiti abilienne polarisie
a
VA
est
Z
z I n VZ) •
(B, P , P ,
(B, p),
avec
V
Ceci permet encore d'interpriter les points de dant aux classes d'isomorphie de systeme
soit Le
comme correspon-
kn )
consistant en
multiplication complexe par
L Z
'
virifiant 4.11 (a) (b) , (b)
une classe
mod K/K n
kn
d' isomorphismes
se relever en des isomorphismes symplectiques
k
n:
B n
..=:i..
L-liniaires
z In
V
Z
, qui peuvent
k: reB)
,
du centre de
L. C'est
et qui virifient (4.10.1) (4.10.2).
4.13.
Disignons par
F
l'algebre des invariants par
*
un produit de corps totalement riels. 11 existe une et une seule forme F-biliniaire
On disigne par
G l
Ie groupe des similitudes symplectiques
est l'ensemble des
g E
tels qu'il existe
(4.13.1)
L-liniaires E F*
i.e.
(4.13.2)
lIr(gx, gy) Comme plus haut, on virifie la
Variante 4.14. ho) abiliennes (a)
Soit
K un sous-groupe compact ouvert de
f
) • Les points de
correspondent bijectivement aux classes d'isomorphie de variitis
a
p: L
pres End(A)
A, munies de
comme en 4.11,
150
(b)
une polarisation faib1e (relative
a
F)
P
l'invo1ution
L,
(c)
une c1asse
mod K de similitudes symp1ectiques
(pour 1es formes (*)
4.15. On peut
a
(4.10.1)
4.11 et 4.14
de 4.9
L
=
V
ll,
n
et
et
?
V
f
soient
h) est 1e
sur 1es
de type fini sur
(suite de 1.6, 1.11). dim(V)
1itudes symp1ectiques). Pour Soient
(4.10.2)
en montrant que
de modules grossier d'un foncteur
Exemp1e I
V(A)
des deux membres),et te11es que
F
des conditions analogues
4.16.
A
k
K
n
= 2g
h0 :
!
a.
dans 1e cas particu1ier G
. On a a10rs G R
Gp(V)
(groupe des simiE(Gp, h )
de type 1. 6 , on a
comme 1.11. Pour tout
S
des classes d'isomorphie de
o
soit
1 'ensemble
F(S)
de 1a
= .
principa1e
A/S,
munis d'une similitude symp1ectique 1es objets
n'ont plus d'automorphismes et 1e foncteur
par un
F
est
K M [6]. D'apres 1.11, 4.11 et 4.12 , on dispose de n
h ) o
m
n
Dans 1e 1angage 3.1, on a
lim
h ) o
Proposition 4.17.
n
M est un modele sur
K
, h ) o
4.18.
dans 1e cas particu1ier de 4.9
Les groupes
G et
G 1
Vest un L-modu1e monogene.
sont a10rs contenus dans 1e centre de
Soient E une clOture
de
E(G,h)
et
M+
L*. l'ensemb1e des classes
151
d'isomorphie (a) p
pJ
[A, p, k,
une variete abelienne et de
p: L
End(A)
d'objets
a
(A, p, k,
p)
AlE,
isogenie pres
consistant en munie d'une polarisation homogene
EL
tel que avec la notation de 4.10.3, on ait pour , Lie(A»
E E(G, h)
t(t)
La variete abelienne A est done "de type CM" .
On renvoie
Theoreme 4.19.
a
[16J
pour la demonstration du theoreme fondamental suivant.
M+ via son plus grand quotient abelien
E E (G,h)* CA) dans
E(G,h)*
, d'image
dans
TIo(E(G,h)*
([A, P , k ,
T
p)J)
un plongement de
(A, p , k ,
d'isomorphie d'objets
e
[
f
E dans et
qui prolonge celui de E(G, h) , KM(G,h) (E)
l'ensemble des classes
p)
A,
P et p sont comme plus haut ;
(b)
k
est une classe
V @ Af
-
[A, P , r(G,h)(e ). k, pJ
(a)
(c)
Pour
Galois rendu abelien, et de composante
K un sous-groupe compact ouvert de
k : veAl
agit sur
f (A ),
{4.19.l}
Soient
Gal (E/E (G,h»
(Shimura-Taniyama). Le groupe de Galois
mod K de similitudes symplectiques
L
@A f
-lineaires
;
1e vectoriel
A¢ est defini via
et de 1a forme de polarisation (donnee
a
T), muni de l'action de
un facteur pres) est isomorphe
D'apres 4.19 , la condition (c) est independante du choix de que l'ensemble fini
KM{G, h) (E)
est muni d'une action de
tant qu'ensemble galoisien, il s'identifie E(G, h)-schema fini etale et par 4.19, on a :
a
KM(G,h). D'apres 4.14,
a v.
T, de sorte
Gal(E/E(G,h»
l'ensemble des points sur KM(G,h)(¢) =
L
; en
E d'un
,
152
Proposition 4.20. Le
E(G,h)-schema
M(G,h)
lim KM(G,h)
est un modele canonique
+-
Theoreme 4.21.
Le modele
Soient
(v,
w)
M(Gp, h) o
comme en 4.16,
comme en 4.18. On dispose de u{K) C K n
construit en 4.17 est un modele canonique.
(4.16). 51
E
u
L,
P: L
u
End(V),
G et Kc
(Gp, h ). Soit o
est une clOture
G:R
), tel que
E(G,h), on
de
KM(G,h)(E)
h: f
K M(Gp, ho) (E) n
par "oubli de la multiplication complexe", en associant
a
[A, p,
k,
pJ
le triple
forme de (a)
la
abelienne
B, munie de
B
A et telle que (k E
T(B)
(b)
la polarisation
(c)
l'isomorphisme
p
de
B
k: B n
Les applications
k)
V InV ll ll
u
(k E k)
de finis sent un morphisme de modeles
u
On acheve la demonstration en montrant ([8J) que pour tout u:
(H,h')
(Gp, ho)
plus haut (pour
Variante 4.22. GP2g(F)
L
comme en 3.13, il existe
convenable) tel que
Soient
F
Uh'
= vh
v: (G,h)
2g • Soit
un corps de nombre totalement reel,
ho :
construire un modele canonique de abeliens faiblement polarises.
comme
•
le groupe des similitudes symplectiques d'un
de dimension
(Gp, ho)
n
= [F
:
et
F -vectoriel symplectique comme en 1.6. On peut
GP2g(F):R ho)
a
partir de modules des schemas
153 5. Techniques de construction. La defini tion 3.13
n I est utilisable que parce qu lily a "beaucoup" de
points speciaux.
Theoreme 5.1. de
E(G,h), il existe
E(H,h ')
de
o
G !! h
comme en 3.13 . Pour toute extension finie
(H, hI, u :
G)
de
E(G,h)
Soit
Y=
dans
G. Le groupe de Galois
comme en 3.13
soit lineairement disjointe de
G)/G
y
Ie sous-schema fini de
classe de
VI
= Lie(G),
tels que l'extension
Ie schema des classes de conjugaison de morphismes agit sur l'ensemble (discret
Y (a:)
tel que
hr. Clest Ie spectre de
Soient
o
rna:
dans
soit l'orbite sous Galois de la
E(G, h).
considere comme espace affine sur
Ie sous-schema ouvert des elements reguliers de l'algebre de Lie. Pour on designe par
v
T de
soit v
V
dans
G, munis de
tels que (a)
vest regulier dans
(b)
la classe de Le morphisme
(noter que
T
= Tv)'
Lie (G) ;
s f: W Soit
y
V : (T,s,v)
Ie morphisme de
de s). f
(5.1.1)
Spec(E(G,h»
V,
v (un tore maximal). Soit W Le schema de
T Ie centralisateur de
module des tores maximaux
F
F.
des classes de conjugaison de morphisme de
LnfLnf ) Y
Soient
---'»
vest fini etale surjectif
W dans
Y
o
(T,s,v)
(classe
154
5.1.2. Le schema W est irreductible, et les fibres geometriques de
p
(geometriquement) irreductibles. Puisque
y
o
e.
est irreductible (Ie spectre d'une extension de
i l suffit
de prouver la seconde assertion. Elle resulte de ce que (a)
puisque
G est connexe, Ie schema sur
a
G¢ , conjugues (b)
pour
des homomorphismes de
¢
un homomorphisme donne, est irreductible ;
i: G
G...
ma:
donne, d'apres Ie theoreme de conjugaison des tores
...
maximaux applique au centralisateur (connexe) de maximaux de Soit
contenant U c VCIU
I' ensemble des
v E U et w E W(¢)
un et un seul homomorphisme extension des scalaires
g Tv g de
-1
tel que
T/C
1
1
1
1
(G,h),
Puisque
= E1 ®EF' , on peut "l'interpreter" comme un morphisme de F'-schemas
Les
a(g)
verifient
U(F",F') a(g\" = a(g)
= JUL
suivant, applique a xl
f gEG(A)
exercice au 1ecteur.
Lemme 5.10.1.
Soient
F/E
sous-corps de
F, d'intersection reduite
une extension finie de corps et
F E 0 et Le foncteur qui a un schema
(1)
(F' E 0)
F' X/E
et des isomorphismes
a F"
C
5.2 et 1e 1emme
Sa demonstration est 1aissee en
(H,h)
1
conc1ut par
On
0
un ensemble de
E, tel Ie que C
......,. F" Eo.
F
des schemas
associe Ie systeme ®F,F"
(F'
C
F" , F', F" E 0)
est
p1einement fidele. (ii)
Pour qu'un systeme
(F'
F" , F', F" E o)}
C
provienne d'un schema
X/E, 11 suffit que les
soient quasi-projectifs et qU'i1 existe un schema u :
--?> J: tel que les
Remarque 5.10.2.
u(F') :
n
E(H,h') ,E
i
E(G,h), E(C, 6)
canonique sur Soit Sur
E, a10rs
de
i
Proposition 5.11. Soient de G). Si
X;,
h: C
--?> X(F')
soient d'image dense,
C
u: (H,h')
(G,h)
E(H,h'),E •
q; et si
comme en 3.13 Me(G,h)
6:
o
----7 C]R
(C
admet un modele faiblement
en admet un aussi.
K un sous-groupe compact ouvert de
et
L = K
n
1e morphisme u
comme
est contenu dans
u :
----7 G1l.
E
X(F')/F'
Xl/E et un morphisme
Sous les hypotheses de 5.10, pour
en 3.13, le corps de definition de l' extension
X(Fn )
J: = {X(F')/F' (F' EO); u(F",F') : X(F') ®F,F n
(g, c) --;;. gc
,
159
induit des morphismes
Soit
d
Le morphisme
d: CO
G X cO(JAh
de , et
G X CO
agit sur
(c ,« -1).
c
Le sous-groupe
Ma:(G,h) X MC(Co,O) via Ie quotient
TTo(CoCA»
induit un isomorphisme
On
comme Ie quotient
et on
qu'on trouve ainsi un modele faiblement canonique. Par construction,
on dispose de (5.11.1)
Conjecture 5.12.
Pour tout
comme 3.13, il existe un modele canonique
(G,h) o
--
-
Supposons, c'est un cas typique, que G Ie
universel de
G et
de 3.7, la classe de conjugaison de et que
-
attaquer 5.12 que lorsque
dominant
h r 0
>
. E ni mi
Ge
. Si, avec les notations
par des entiers
,
• Jusqu'ici, on n'a pu non triviale
V'de
(ni\EIt.\
V te11e que
V¢
w parcourant les poids de V' , < W , hor > prend au plus deux valeurs.
pour Soit
est
0
et adjoint. Soit
G admet une
toutes les composantes (*)
W un poids de h r
w .. E mi o.i , on pose < w,
G soit
0
l'involution d'opposition. La condition (*) signifie encore que Ie poids
W de
de telle
V
G:R sont alors de type est de type
< w,
V'
si
hor
>+ < 0 w,
hor
> .. 0
ou 1. II n'existe pas
G est exceptionnel (les facteurs non compact de
E6(_14) ou E7(-25»' ou de type D4 trialitaire, ni si G D et que G:R a des facteurs non compacts des deux types DEn et DlR.,2 n • n
160 § 6.
Modeles etranges.
6.1.
Soit
F un corps de nombres totalement reel, et soit
une forme sur
F
de 1a suite exacte
(6.1.2)
oil Gp
designe un groupe de similitudes symplectiques. On suppose que, pour chaque place reelle
'T
de
F ,
@F ,'TlR
est de
l'un des types suivants (a)
@F,T lR
a
est isomorphe
@F,'T lR , ou
G' @ :R es t compac t • F,'T
(b)
...
, 'Tg les places reelles de F , et on suppose T l, que les places de type (a) sont les places 'T , 'Tr avec r>O. l, On designe par
6.2.
(a) 'T i
Le groupe
...
FG peut se decrire de la maniere suivante :
On choisit une algebre de quaternions pour
i:s; r ,
et definie pour
B sur
F, indefinie en les places
i > r • On designe par
x t---? it
son involution
canonique. (b)
On choisit un
B-module libre
V, muni d'une forme F-bilineaire non degeneree
, syrnetri9ue et telle que Hbx , y) (c)
On suppose que, pour
scalaires (d)
par l'extension des
est definie positive.
On prend pour
termes, 1es
i > r , la forme deduite de
g E
FG Ie groupe des similitudes B-lineaires de sont les
g E GLB(V)
, gy)
tels qu'il existe
en d'autres E F* verifiant
161
6.3.
Designons par 0 ---? G' ---? G ---? F* ---? 0
E
la suite exacte de groupes algebriques sur des Bcalaires
a
la Weil de
F
a
FE par restriction
deduite de
On a ( T place reelle).
(6.3.0 Un morphisme
h : ! ---? G.
h i : ! ---? FG 0 F ' T • . i 1.6, il existe une et une seule classe de conjugaison de morphismes h
tels que, pour trivial. Soit
i h
o
Le corps r
E
les
Ti(f)
1
Theoreme 6.4.
r,
S
est defini par ses coor donnaes
soit du type 1.6 , et que, pour
hi
i
> r,
hi
soit
dans cette classe. E(G,h )
est Ie sous-corps totalement reel de
o
pour
f
engendre par
EF
Avec les notations precedentes,
MC(G,h o)
admet un modele canonique
M(G,ho)' Soit
Z une extension quadratique totalement imaginaire de L = B0
V' = V OF Z
par
G et
o -----'>:> Soit
et
Posons
x
$Z' Si
et
G'
Ie sous-groupe algebrique de
(f,f- l) F*
l'involution de
Z • A un facteur dans
alternee de
,et
GLL(V')
Soient engendre
Z*
(.6.4.0
B
FZ
F.
F$
>
G X Z*
G'
0
L produit tensoriel des involutions de
F pres, il existe sur
est la forme
q
-....:...->:>
Z une unique forme
F-bilineaire alternee sur
V·
F-bilineaire
produit tensoriel
$Z' on a
$(x, y) Choisissons, pour chaque place reelle de
F
,un plongement complexe de
Z
162 g
qui l'induit. On a alors de coor donnee s i
a
r,
S
h'
q
0
(1:* Soit h Z 1 «;* ---7 C* (1 s i s g)
hi : S(m.)
(z
z-l)
pour
(h X h
----7 GiR •
6.4.2.
11 existe
egales
a
dans
(z l--'> 1)
pour
comme en 6.3, on pose,
lR
bEL
l'homomorphisme de
r •
---7 G
h:
:
>
i
Pour chaque Z)
n
....
tel que, pour un choix convenable de
V' I8i
lQ
WZ' la
m.
soit symetrique et definie positive. Ceci se veri fie apres extension des scalaires de Ce lemme et 5.9 (car
G'
lQ
a
lR
•
permettent de construire un modele canonique de
est contenu dans Ie groupe des similitudes symplectiques de
Appliquant 5.11 et 5.7, on en deduit un modele faiblement canonique de sur 1 'extension
E(Z*, h
z)
de
M(G',
FW(x, by). Ma:(G,h o)
E(G,h) . On conclut par 5.10, 5.10.2 et Ie lemme o
suivant, qu'on peut deduire de 5.13.
Lemme 6.5. Soit
F
un corps de nombre totalement reel, muni d'un ensemble
plongements reels • Soit qui stabilise de
F*
de
S, soit de
lineairement disjoint de
Remarque 6.6.
T
Z
E
une extension quadratique totalement imaginaire
de plongements complexes, un au-des sus de chaque
Z*
Alors, pour toute extension
F* de
Ie corps des invariants du stabilisateur de
F*, il existe
Z
et T
tels que
Z*
soit
definit sur
Va:
une
E
L'application canonique 1.13, 1.14
s'interprete de la
de
Ie corps de nombres correspondant au sous-groupe de
S. Pour
F, munie d'un ensemble
S
suivante. Chaque conjugue de
h
T.
163
bigraduation de Hodge invariante par
F
On prendra garde que la graduation (par le poids) de n'est pas d6finie sur De mlme,
Zc
si
r
+g
est
V
e
• :
V'· V
Le miracle est que Ie
• muni de la bigraduation
de Hodge produit tensoriel V· C
est le
H l
d'une
par les
•
V·- l• O It
e
V·O,-l It
(0
164 BIBLIOGRAPHIE
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Seminaire BOURBAKI 23e annee, 1970/71, nO 391
Fevrier 1971
RESOLUTION LOCALE D'ONE EQUATION DIFFERENTIELLE selon Nirenberg et Treves par Pierre GRISVARD cherche des conditions sur un operateur differentiel lineaire
On
P
pour
que l'equation f
Pu
[J
soit localement resoluble au point sinage
V de
c'est-a-dire pour qu'il existe un voio' tel que pour toute fonction f E , il existe au moins
X
une distribution
o
u
dans
x
V , solution de l'equation O.
Dans Ie cas particulier ou
P
est a coefficients constants, la resolubi-
lite locale resulte de l'existence d'une solution elementaire PE sur
=0
E
(solution de
) demontree par Ehrenpreis [2] et Malgrange [6] sans aucune restriction
P. Un contre-exemple dO a H. Lewy [5] montre que par contre, dans Ie cas ou
P
est a coefficients variables m!me analytiques (ou polynOmes !), il n'y a
aucun espoir d'obtenir la resolubilite locale sans restriction sur
P
La methode qui consiste a considerer localement un operateur a coefficients variables cornme une petite perturbation d'un operateur a coefficients constants (ou methode de "l'artifice de Korn") a permis a lubili te locale pour les "oper-ateur s
a
[8] de prouver la re so-
force constante" ; ceci fait apparattre
l'inter@t des operateurs a caracteristiques reelles simples ou operateurs de "type principal" (cr , plus loin). L'etape suivante a ete la demonstration de la resolubilite locale pour les operateurs
a
caracteristiques reelles simples et a coefficients reels (au moins
pour la partie principale) par
[3].
Enfin, recernment Nirenberg et Treves [7] ont trouve une condition necessaire (dans Ie cas ou les coefficients sont differentiables) et suffisante
184
(lorsque les coefficients sont analytiques) pour la resolubilite locale d'un operateur de type principal; ce sera l'objet essentiel de cet expose. Des resultats tres proches concernant l'hypoellipticite ont ete annonces par Egoro££ [1J. Le cas
a
deux variables avait ete precedemrnent resolu par Treves [9J.
1. Notations.
On utili sera les notations usuelles dans la theorie des equations aux derivees partielles:
0
n R ,
designe un ouvert de
fonctions numeriques differentiables et est l'espace des distributions dans
a
0
est l'espace des
support compact dans L2 (0 )
et enfin
est l'espace des fonc-
tions de carre integrable pour la mesure de Lebesgue dans p(X; D)
X E
un operateur differentiel lineaire d'ordre tiables dans
0
(0/
est un mul ti-entier 0/
D
O/n
0/1
= D1
on designe par
••• D
n
a
m
0,
O. Soit
0
coefficients
a
0/
differen-
(0/1 , ••• , O/n} , de longueur
avec
=
Dk
1 0
,
k =1,2,o.o,n
son symbole p(X;
On designe par
Pm
la partie principale (homogene de degre m) de
P
et
Pm
Ie symbole correspondant.
On notera de
x
(R.L. x) o
la propriete de resolubilite locale au voisinage
o
II existe un voisinage i l existe
u
E
/P' (V)
V de
x
o
tel que pour toute
solution de l'equation D.
f
EO(V) ,
185
2. Operateurs A force constante. Au symbole
p
on assoc;:ie un nouveau symbole p
p(x ;
12
p(x ;
=
Pest dit A "force constante" si Le quotient
et
borne lorsque
decri t
R
et
n
quelconque contenu dans EO
n
en posant
(x, y)
decri t
p{x;
;
x I:
I:
ou
I:
reste est un compact
alors pour un tel operateur on verifie que si
est une solution elementaire de
p(x
o;
D) , la norme dans
L2(V)
de l'ope-
rateur f
*
(p(x; D) p(xo ; D)}E 0
l>
f
peut !tre rendue arbitrairement petite en diminuartt
V
Exemples. (i)
p (x;
I
5i
P
0 ) alors il est
(ii)
5i
Pm est
a
a
est elliptique (c'estAdire
est
a
10
pour
coefficients constants et n \'
apm
L
=
k
P
m
force constante.
2
alors
ceci implique la
2
I
0,
1
force constante.
Ce second exemple amene A considerer les operareur s de "type principal" Pest dit de "type principal" si tout couple
x
o
E
n
et
I
0
0
tel que
p (x ; ) moo
Il revient au m@me de supposer x
o
en
et
0
10
car si
p
m
10
alors
grad.. p (x ; ) ",moo
Pm(x ; o gradll' p
En d'autres termes les racines reelles de
1>
m
10
=0
I
0
• 0
pour tout couple
grace A l' identite d 'Euler.
p (x; S) =0
m
I
sont simples.
186
3. Le contre-exemple de H. Lewy.
a
11 est relatif
m
=1
defini dans
par
= - iD , + D - 2(x, + iX 2)D3 2
p(x; D) et i l exd stre
l'operateur d'ordre
f e
telle que l'equation 0 n'ait pas de solution dis-
tribution et ceci dans aucun ouvert de
R3 • L'operateur
P
est de type prin-
cipal car
= I- i
P, (x pour tout
x
et tout
; 1 ; - 2(X, + iX
= 0
_ (x ; 2m 1
de
x
o'
ou
c
des que
_ 2m 1
1I
0
Partant de cet exemple, Ht'nnanaer [3} a demontre
qu 'une condition necesaaire pour que c
2)
P
= 0
ai t la propriete n e R
pour
et
designe la partie homogene de degre
(R.L. x x
est que
o)
dans un voisinage
2m -
1
du symbole
c
du conunutateur
(avec
I
P(x; D)
[P(x ;D) ; p(x; D)]
=
e(x; D)
Da ). En particUlier, cette condition est evidem-
lal :S m ment veri£iee lorsque
P
est
[3] a demontre la propriete
a
coefficients reels, et reciproquement
(R.L. x
o)
pour tout operateur
a coefficients
reels
et de type principal. En£in tous ces resultats sont generalises par
4. Le theoreme de Nirenberg et Treves. Dans toute la sUite, on suppose que P est de type principal; soit appelle bande l:>icaracteristique de Re zpm (au voisinage d 'un point (x0 , grad .. Re zp (x , ) x , ':r> moo le point X' {
(x ,
o
(r)
x(o)
0
I
0 ) une courbe
r
orientee dans 0 x
ff ,
et dHinie par les equations parametriques (t) .. ..! gradx RezPm(x(t) ;
x o
..
ZE
C, on tel que
passant par
187
La fonction Re zPm
r .
est evidemment constante sur
L'hypothese fondamentale
dans ce qui suit est la suivante (H)
r
Sur toute bicaracteristique la fonction Im zPm
Re zPm ' sur laquelle
Re zp
m
est nulle,
garde un signe constant.
THEOREME.- La condition (H) est necessaire (si tiables) et suffisante (si
P
est
a
P
est
a
coefficients differen-
coefficients analytiques) pour que
P
ait
la propriete (R.L. x )
(en realite seule l'analyticite des coefficients de P o m intervient) • citee Ce resultat redonne cornme cas particulier la propriete
plus haut pour les operateurs de type principal
a
contre il n'englobe pas tous les cas d'operateurs
coefficients reels
a
par
force constante.
5. Un exemple simple. L'utilisation des operateurs pseudo-differentiels permet de reduire la demonstration du cas general au cas particulier d'un operateur du premier ordre de la forme
ou
p(x; D) = Dn - A(x; D1 , ••• , Dn_1) (ou plus simplement D + 2 A est un operateur pseudo-di££erentiel du premier ordre en D , ••• , Dn_1 1
dependant differentiablement de difier l'hypothese (H) de fa90n
x Dans cette reduction, on est amene n•
a
Im Pm
negative ou nulle sur l'orientation de t
eur
D2 +
. k
r). •
mo-
l'adapter aux symboles pseudo-differentiels
(H') Sur toute courbe bicaracteristique est nulle, si
a
r
de
Re Pm ' sur laquelle
Re Pm
est strictement negative en un point, elle demeure
r a
partir de ce point (en tenant compte de
(Cette condition equivaut
a
k
P
est lie
pair pour l'opera-
)
On rappelle que l'operateur pseudo-differentiel
a
son symbole
188
p
par la relation p(x; D)U(X)
pour
u
, oil
E
r
1 (2'IT)n
u
"Rn
ei(x;
p(x;
designe la transformee de Fourier de
u.
Dans Ie cas d'un symbole differentiel, les hypotheses (H) et (H') co!ncident car
est homogene de degre
m en
On va illustrer la signi-
fication de l'hypothese (H') en demontrant directement l'existence locale pour l'operateur tres particulier lorsque
A est
p(x; D)
=
D A(x ; D , ••• , D 1) , n n n 1
coefficients constants en
la variable duale de
y
et
y
la place de
t
= (xl
•••• ' x
x
en designant par
n
f ) la transformee de Fourier partielle de
(resp.
Ie symbole de
A, I' equation
0
u
(resp.
u
f) et par
= if
i A( t ;
s' ecrI t alors
• On notera
n_1}
A
; une
solution de cette equation s'ecrit .
]. avec
A(t
t
r
primitive en
t
de
A(t
et
c
on
constante
qui reste
determiner de maniere que l'integrale soit une distribution temperee en Si on pose
= a( t
A(t
; Tl) + ib( t
avec
a
et
on voit facilement que l'hypothese (H') signifie que si bet ;
0
pour tout
t
Si on se restreint la fonction
B( t
et on a 2nd cas:
b (c '
B( t B(s;
symboles reels,
> 0 alors
o
o
l'intervalle
= Im A(t
on a par consequent 1er cas:
t
bet
b
•
on ;
It I
E • alors pour chaque
atteint son minimum en un point
=0
c'
oil
; i l y a alors deux cas:
est constante pour
=0
fixe
pour tout
t t
c'
on , on
s
n'est pas constante pour
pose
c'
• t
, on peut done
189
c(ll) > c' (11)
trouver pour tout
t:t c(ll)
b(c(ll), 11) > 0
tel que
et par consequent
b( t ; 11) :t 0
; on a alors
B(t; 1}) - B(s ; 1}) :t 0
pour tout
t :t s ;:e c (Tl) • Dans les deux cas on en deduit que lei{A(t; 11) - A(s; 'II)}
I
e - (B(t; 'II) - B(s; 'II)} Q(t; Tl)
et il est facile de verifier que tielle en
d 'une distribution u
y
v = (It I S £} lorsque f
s
1 ,
est la transformee de Fourier par-
solution de l'equation
dans la bande
0
•
E
6. Schema de la demonstration de la condition sU££isante. (i)
Reduction A une "estimation a priori". On deduit £acilement du theoreme de Hahn-Banach que la propriete
est veri£iee des qu'il existe un voisinage
V
de
x
o
(R.L. xo)
et une constante
C> 0
tels que pour ou
II • lis
u E Il(V)
designe la norme de l'espace de Soholev HS(J:f)
l'espace des distributions dont les derivees jusqu'A l'ordre pour
s;:e 0 , et du dual de
lorsque
(c'est-A-dire de s
sont dans
s < 0 ). Pour
f
E
L2(V)
(V) solution de Pv = £ on trouvera v E Par dualite, il revient au m@me de prouver l'existence d'un voisinage de X et d 'une constante C > 0 tels que o S
IlPuIl o
C
pour
u
•
Techniquement, il sera plus commode de prouver que pour tout existe un voisinage
*
V de S
X
o
e:
£
tel que
IlPuII o
pour
u e
•
> 0 , il
V
190 (On peut justifier partiellement l'introduction de cet
cette propriete est stable lorsqu'on perturbe
P
E
en remarquant que
par un operateur d'ordre
m - 1 .)
(ii)
Reduction au cas ou
P
est du premier ordre.
L'utilisation des operateurs pseudo-dif£erentiels permet de "decouper" Ie symbole
p
I I '"
sur la sphere uni te
ce decoupage est rendu possible gr§ce
= 1 , ••• , N
j
J
homogenes de degre zero pour de symboles
note (a, b)
-->
{a, b1
F,
de sorte que
s'identifie au groupe des symboles
a va leurs
Le foncteur K etait introduit par Milnor [10) 2
dans C.
(no 5).
Sa
(pour tout anneau) est inspiree du travail de Steinberg [17) sur les extensions centrales de groupes algebriques semi-simples.
De ce point de vuela description ci-haut de
est un theoreme difficile de Matsumoto [9)
(no 5).
C'est
ainsi que C. Moore [11) a inaugure l'etude arithmetique de K 2F comme outil pour calculer certains groupes de cohomologie de groupes lineaires. Cet de
expose est consacre aux resultats amenant ) un calcul
lorsque F est un corps global,
c'est-a-dire un
235
corps de nombres (extension finie
ou un corps de fonctions
(en une variable sur un corps fini). (no 3)
1a contribution
a K2F
Les resu1tats de MOore fait par 1es syffibo1es
locaux de 1a theorie des corps de classes. recent de Garland [7]
D'apres un theoreme
i1 ne reste en plus qU'un groupe
fini (no 7). La description de K2F en termes d'invariants c1assiques est maintenant complete pour 1es corps de fonctions, grace
a
des beaux resu1tats recents de Tate ([19] et (20), cf nO 8). Pour 1es corps de nombres ces resu1 tats de Tate ramEment Ie ca I cu I de K 2F
a une
question de cohomo1ogie ga10isienne (no 10) ayant
des liens etroits avec 1a theorie d'Iwasawa [8) des corps cyc1otomiques.
Les demonstrations de Tate etaient lnsp l rees
directement par des conjectures (non pub1iees) de Lichtenbaum. Signa10ns aussi que 1e rapport de K avec 1a theorie d'Iwasawa a 2F ,.",.,.
-".
ete
recemment par coates [5].
Notation. note X
Soient X un groupe abe1ien et m un entier X l'homothetie de rapport m et X
est fini on note
2.
m
IXI
> O.
son noyau.
On Si X
= card X.
Symbo1es locaux continus Soient F un corps global, v une place non comp1exe de F,
1e complete de F en v,
v
F
1e groupe des racines de l'unite dans
v
236
I.
I \J.v
Soit
(--'--):F' X F' v v v
\J. v
Ie m -syffibole de restes normiques ([12], Ch. XIV,
§ 2).
v
un syffibole continuo
C'est
Reciproquement: Tout symbole continu sur F a valeurs v
(C. Moore [11]).
dans un groupe ab;lien localement compact C s'obtient par composition de (--'-) avec un homomorphisme \J. v
v
- C.
Notons A - \J. l'homomorphisme associe v -2 v v
a (--'-). v
Tate
a montre que Ker(A ) est un groupe divisible.
v
k. v
Supposons que v soit une place finie,
de corps residuel
Le symbole modere ( , )
lie a (-'-) v
v
(ex. (1»
es t
par la
formule
=
A d (x) mo ,v ou
=I
kv
I .
Ie reste dans k
v
Ainsi A s'identifie v
de A v
a Amod ,v
si m = q -1. v .."
cette egalitevaut pour toute place v si F est un corps de fonctions,
et pour toute sauf un noffibre fini de v si F est un
corps de noffibres.
3.
L'homomorphisme A et son conoyau Soient F un corps global, \J.
1 'unite de F, et m
F
=,
\J.
F
I.
F
Soit
Ie groupe des racines de 'V:
\J.
$
v non complexe
l'homomorphisme induit par les homomorphismes \J.
v
v
--:-, \J.
F
> \J.F'
237
Si a,b E F' il resulte des remarques dans le n 02 que (a,b) v
=
1 en dehors d'un nombre fini de places v, d'ou un
homomorphisme
e I.l A:K F ---:'> 2 v non complexe v La loi de reciprocite "explicite" s'exprime par la formule v e ), = 0,
( [ 1] , ch, 12 , Th, 13) , (C, MOore [11]) - La suite
-l)
e
v non complexe
\-Lv ..2..,> \-L
F
-:'> 0
est exacte, Ce theoreme precise tous les renseignements sur par les symboles "classiques,"
apportes
11 restea determiner la partie
"exotique," Ker(A), de
4,
Premiere approximation
a Ker(A):
l'homomorphisme A R,
Soient R un anneau de Dedekind, R' son groupe multiplicatif, F son corps de fractions, et tR',R'} le sous-groupe de K 2F engendre par les ta,b}F
a,b E R·.
Les sYmboles
aux
places v de F associees aux ideaux maximaux de R definissent un homomorphisme ---:'>
qui s'annulle sur tR',R'},
e v
k'
v
238
Sa> l'ensemble des places infinies
Soient F un corps global,
de F, et S un ensemble fini non vide de places contenant Sa>' Si Rest l'anneau des S-entiers de F il resulte du Th.2 que ),.R est surjectif et que Ker(),.) est un sous-groupe d'indice fini de Ker(),.R)'
Par ailleurs {R',R'} est un groupe de type fini
Choisissons une enumeration v F telle que
I
k
vn
I
fit
v n+ l
l,v2'
.. , des places finie de
I pour tout n ,
Theoreme3 (cf. [18] ou [19]) - Si n est suff'isamment est l'anneau des S-entiers de F ou S
o ...
{R' ,R'}
est exacte.
-->
=
A-
K F _R_> EB
2
vf.S
En particulier Ker(A ) R
=
grand et si
R
Sa> U {V ' . - .,v la suite l n}, k'
V
-t
0
{R',R'}, un
groupe de type
.ll!!!.. La demonstration du Th.3 (pas encore publiee) est elementaire mais assez longue.
Pour Ie cas ou R
=
decouverte par Tate, montre que Ker(),.) L' argument re!Semble beaucoup
a
Z ou F [t] la methode, =q
o
la
-
(cf.- [10)) . demonstration de
Gauss de la loi quadratique de reciprocite.
5.Lien de
K2
avec les extensions centrales de groupes lineaires.
Soit G un groupe egal
a son
groupe derive.
II y a une
extension centrale universelle (decouverte par Schur)
239
->
o
G....P....,)
G
1
2
dont 1a c1asse dans H
a l'identite.
correspond
Soient F un corps, nun entier
12(a)
de G.
= diag(a,a
-1
,1,1, ... ) et h
=
Le commutateur
des
= SLn (F).
Si
E G des re1evements des elements
a,b E F· soient h
3, et G
(h
l 3(b)
= diag(b,l,b
12(a),h13(b»
-1
,1, ... )
est independant
et definit une fonction bilineaire
antisymetrique
Th60reme 4 (Matsumoto [9] et steinberg [17]) - La fonction < , > est un symbole et l'homomorphisme s n :K..F -2
-->
H
2
(SLn (F), = Z)
gu'elle definit est un isomorphisme. steinberg a montreque < , > est un symbole et que s n est surjectif.
Matsumoto a demontre I' injectivite de s • n
d6montres en
Ils ont
temps des resultats analogues pour tous les
groupes de Chevalley simplement connexes. Les s
n
sont compatibles avec les plonqements (
SL dans SL + d' ou un isomorphisme s: ISF n n m, SL
=
U n SLn •
-->
S OLn
H2 (SL (F) ,
240
De cette faron on voit que la definition de R2F donnee ici s'accorde avec celie de Milnor [10]. anneau A, R2A de GL(A)
= H2 (E(A)
ou E(A)
Milnor pose, pour tout
=
En (A) est le groupe derive
=U GL (A). n n
M. Stein ([15] et [16]) a recemment generalise le Th. 4 aux anneaux semi-locaux.
K. Dennis [6] a demontre aussi un
theoreme de stabilite pour R2
R2A est surjectif
pour n > > 0) dans un cadre tres large.
6.
Le transfert un homomorphisme d'anneaux j:A GL(B) et donc aussi j:R2A
GL(A)
un A-module libre de rang d
=
B induit un homomorphisme R2B.
[B:A].
Supposons que B soit
Le choix d'une base du
' i t d es A-1somorph1smes ' . '" d es A-mod u 1 e B d e"'f 1n Bn "" = Adn d Iou homomorphismes GL (B) n
GL(B)
GL (A). dn
La limite inductive
GL(A) induit un homomorphisme
(le transfert) qui ne depend pas du choix de base de B (c£[lO]). pour une extension finie de corps ElF l'homomorphisme Tr ne se voit pas facilement sur les notre point de Steinberg. a)
VUlt s' appuie
symboles.
donc sur le Th. 4 de Matsumoto-
Son utilite provient des propri tes suivantesl
Tr fait de R2 un foncteur contravariant pour les extensions libres de rang fini.
E/F
Son existence de
241
(b)
5i R ... R' est un homomorphisme d'anneaux commutatifs et si j:A ... B est un homomorphisme de le diagramme
t
K 2B Tr
) K2(R'®RB) est commutatif.
JTr -----')
(c)
...i..>
Le compose rapport d
=
[B:A].
....!L> K2A est l'homothetie de En particulier Ker(j) c
5i m est un entier premier
dies homomorphismes
sont injectifs, et les homomorphismes au sens inverse induits par Tr sont surjectifs. (d)
50it j:F ... E une extension finie de corps. 5i a E F· et f3 E E· on a
5i a E E· est tel que am
(e)
=a
il en resulte que
5i l'extension E/F est ga10isienne de groupeG on a j (Tr / (x) ) E F
L
s (x) •
sEG
Vu (c) i1 en resu1te que j induit des isomorphismes
pour tout entier m premier
ad =
[E:F].
Voici une application typique du transfert.
242
Lemme 1 (Tate) - Soit F un corps de caracteristique p p (et
e
e
>
0
Alors K est divisible par p 2F
1.
uniquement si eO). Soient a,b E F· et posons a
un SEE
= F(a)
tel que NE/F(S)
=
al/p.
= b.
L'hypothese fournit
D'apres (d) on a (a,b}F
= (TrE/F(a'S}E)P, d'ou Ie lemme.
Theoreme 5 -
Soit F un corps global
de caracteristique p
Ker(A) est un groupe fini d'ordre premier Lemme 1 entra1ne que 2
p.
l> ve
oll les
Donc Ker(X) est aussi divisible par p.
est un groupe de type fini, Finitude de
7.
v
O.
a P.
est divisible par p.
suite exacte 0 - Ker(A) - K F
>
I
On a une
I sont premiers
Mais (Th. 3) Ker(A)
Ie theoreme.
(d'apres Garland (7)
Soient R un anneau de Dedekind, F son corps de fractions,
e
v
k· l'homomorphisme du nO 4, n un entier v l'isomorphisme du Th. 4.
et SL (R) n
3,
L'inclusion
SLn(F) fournit ainsi un homomorphisme
- K2F
qui figure ci-dessous. Theoreme 6 (cf.
- Supposons que l'ensemble d'ideaux maximaux
de R smtdenombrable.
II existe un homomorphisme g tel que la A
H2 (SLn (R)
-
--1L;>
1, HI (SLn (R)
- 0
243
soit exacte. Supposons maintenant que R soit l'anneau d'entiers algebriques dans un corps de nombres F.
On sait que le groupe SL (R) est n
de presentation finie, et done le groupe fini.
est de type
On trouve ainsi une autre demonstration que Ker(A) est
de type fini (cor. du Th.3).
La finitude de Ker(A) resulte, vu
l'isomorphisme 2 H
(SL (R), R) n =
du theoreme suivant: 2
o.
Theoreme 7 (Garland, [7J) - Pour tout n L 7 on a H Corollaire - Ker(A) est fini. Remargues. (1)
Le Th. 7 est un cas particulier de resultats de Garland
sur
pour certains groupes arithmetiques r.
la cohomologie de r par son action sur un espace et
a
Il ;tudie X
l' aide du theoreme de deRham pour r\X (lorsque r est sans
torsion).
L'espace r\X n'est pas compact
est un resultat sur le comportement harmoniques sur (2)
a
I
et le point essentiel
l'infini de certaines formes
rxx.
l'aide de la compactification de r\x construittpar calcule . Borel et Serre [4] Borel a maintenant(tout l'anneau de cohomologLe A
244
"stable",
pour 1es groupes arithmetiques dans une
fami11e c1assique. (3)
(cr.
I 'expose de Serre dans Le present Seminaire , nO 4.)
La finitude de Ker(A F), lorsque Fest une extension tota1ement reene de
etait demontree par Brumer par
voie arithmetique, avant 1a demonstration de Garland (lettre Tate datee Feb. 2 , 1970).
Brumer utilise des
a
de
Iwasawa et de Kubota-Leopo1dt.
8.
La structure de K2F et de Ker(A) sur un corps de fonctions
(d'apres Tate [19]). Soit F un corps de
de corps de constants k
Soient k 1a c1$ture a1gebrique de k
o
I
o
r = Ga1(kjk ), et F 0
""
F.
=q
Fk.
eonsiderons 1es suites exactes
(1)
o
-+ k' -+ F'
""
et (2 )
Oll
o
-+ J (k) -+ e
deg
>Z
-+ 0
D est 1e groupe de diviseurs , e est 1e groupe des classes de
diviseurs , et Jest 1a jacobienne de F",,' J(k) sont de torsion et divisib1es.
Les groupes k' et
Le produit tensorie1 d'un
groupe divisible avec un groupe de torsion est nul.
Donc 1e
produit tensorie1 de k' avec (1) fournit une suite exacte (3)
0 -+ Tor(k' ,e) - ) k'@F:-)k'@D-+k'-+O
245
D'autre part on a la suite exacte
o ...
(4 )
F""
A --->
Ker (AF "") - - ) K 2F""
k"® D - - ) k" ... 0
o , 0 (cf, n 3) ou l' on identifie le A du n 3 avec A d' ce qui est mo licite pour un corps de fonctions" e:k"® F" ---) K_F ""
-2 ""
Introduisons
, e(w ® a) = {w,a}
F ce
qui figure dans le diagramme commutatif
o ...
Tor(k",c)
!
->
k"® F"
1:0
(5 )
o ...
->
""
e
Ker (A "") --;> k 2F""
k"® D - - ) k" ... 0
II
F
U
...1.....:-> k"® D
-;> k" ... 0
Par ailleurs l'inclusion F C F"" induit un diagramme commutatif
o ... (6 )
o ... ,.
F r KerO. 001-
i
Ker
-->
) (K 2F oo
F
o, ) --->
.
l
K
"
-->
r-
(k'0 D)'
I
>
2F
$
v
->
k· r
... 0
If k' ---':> k' v a
... 0
Theoreme 8 (Tate [19]) - Toute fled,he verticale dans les diagrammes (5) et (6) est un isomorphisme" On en de;d u l.' t des'l.somorph'l.smes Ker ( AF) -= Tor (k")l ,e TOr(k",J(k»l et done un isomorphisme non canonique de Ker(A
F)
avec le noyau de J{k)
l'automorphisme de Frobenius"
l-gy
;> J(k), ou y E 1 designe
Soient r
l,
""",r
propres de y sur (le module de Tate de) J(k)"
2g
les valeurs
On conclut que
246
I ker (A
F
)
I=
2g I1
i=l
(1 -
2
qr.)
...
(q-l)q -1) 'F(-l), ou 'F est la
1.
fonction zeta de F. Corolla ire - on a 2
( 7)
(q -1)
ICoker (A F)
'F (-1) .
Une fois interprete le facteur q2_ l la formule (7) garde un sens lorsque F est un corps de nombres. zero d'ordre r reel (r
2
= 0)
2
en s
= -l!
Mais alors 'F a un
Neanmoins dans le cas totalement
Tate et Birch,
l'aide des experiences de Atkin
,.. ,.
..
".
sur le calculateur Atlas, ont ete amenes aconjecturer la formule
I Ker
(8)
eu
A
R
I=
w F
(2)
I
cF (-1)
I
Rest l'anneau d'entiers de F at
w(r) designe Ie plus grand F
-,
entier m tel que Gal(F/F) opere trivialement sur cas des corps de fonctions on a w(r) F
=
qr_ l•
Dans le
VU la surjectivitEl
de A (consequence du Th.2) la formule (8) est bien analogue R
(7).
La conjecture (8) n'est demontree que dans des cas tres particuliers (cf. par exemple Coates [5J). Certaines proprietes de divisibilite de ont ete verifiees par Serre ([14J (3.7)) en interpretant listique d'Euler-Poincare de
Cp(-1)
Cp(-1)
a
l'aide des symboles galoisiens
(no 9) que Tate utilise aussi dans Ie cas des corps de nombres. 9. Les symboles galoisiens de Tate ([16J). F un corps, soit
comme la caracte-
SL • 2(R)
La demonstration du beau theoreme 8 se fait
Soit
qu'elle entraine
p
sa caracteristique, et posons
247
Gal(F IF) ou Fest une cloture separable de F. s
s
Pour tout G -module topologique M on pose F
ou C· (GF,M) designe le complexe des cochaines standard continues sur G F
a
Nous n'aurons
valeurs dans M.
considerer que des limites projectives de modules
discrets. Pour ces modules, on de£init un produit tensoriel, note ® , par passage
la limite projective
partir des quotients discrets.
Soit
o -)
(e)
M -) L
-:>
F' - ) 0
s
une suite exacte de GF-modules topologiques.
La suite exacte de
cohomologie fournit un homomorphisme 6:F'= HO(F,F') - ) Hl(F,M), s
et 1e cup-produit (a,b)F = 6a .6b definit une fonction bi1ineaire e antisymetriquE'
Pour voir si c'est un symbole introduisons le sous-groupe D de 2
_
_
H (F,M ® M) engendre par les elements cor(a,l-a) les extensions
finies de F et
E
e:
...
ou E parcourt
a E E', a I 0,1.
2 - Le groupe D est divisible par tout entier divisible par p. Ceci se demontre a
E
F' , bEE'
l'aide de la £ormule
et des algebres separables
=
pour
248
E
m F[T]/(T - a)
a
3 - Soit M
(a E F')
GF-module topologique et soit m
>0
un entier
tel que (9)
M
--=-->
M/m
lim
n
M.
n
r Alors pour tout entier r L 0 aucun sous-groupe de H (F,M) n'est
divisible par m. En appliquant le lemme 3
(a
M
M) et le lemme 2 on dlduit
la proposition suivante. proposition 1 - Supposons qu'il existe un entier m non divisible par p tel que le module M dans la suite exacte la condition (9).
C'est le symbole ( ,
associe
)e m
0 - ) IJ
m
- ) F'
s
....!!L...>
F' - ) 0
s
ou m est un entier non divisible par p.
l'homomorphisme correspondant. (10)
(a,b)
m
1
=
pour tout a,b E F: Lorsque IJ m
C
a
e
exacte m
satisfait
Alors ( , )F est un symbole.
Le symbole ( , )m'
(e )
(e)
F on a
On note
On a les equivalences
a la
suite
249
2
H (F,IJ:
m 18l IJ:m)
=
2
H (F,l-L ) 18l l-L
m
m
=
Br(F)
m
l8l1J.m
et lIon retrouve le symbole de [12], Ch.XIV,§2,prop.5. F
= Fv
comme dans le n
slidentifie ainsi
a
02
et si m
= mv
le
5i
( , )m
..
v
(-L-). v .
Proposition 2 (cf. [12]) - 5i l-L m (a,
C
F
a E F' la suite
)m
Br(F(a
11
m)/F)l8l l-L
m
- 0
est exacte. On se demande si llhomomorphisme
induit par h F est un isomorphisme.
...
m
cas ou m E
= .en,
= F(l-L.e)'
(11)
On se
aussitSt au
.e etant un nombre premier different de p.
Posons
Tate a demontre les implications:
-E h.e injectif
hE injectif pour tout n .en .en
injectif pour tout n
et (12)
-E h.e surjectif
surjectif pour tout n surjectif pour tout n.
-E
Par ailleurs h.e est injectif si Br(E).e est monogene, et surjectif si tout element de Br(E).e est n.utralise par une extension cyclique de E.
5i F est un corps global
ces conditions sont
250
satisfaites par tous les E , et la derniere condition aussi v par E.
On a
Theoreme 9 (Tate [19]) - Si F est un corps global -F 2 l'homomorphisme h :K - - ) H (F,IJ.@IJ.) est un m 2F/mK2F m m
= car. (F).
isomorphisme pour tout entier m non divisible par p
Ce theoreme fournit tres peu de renseignements sur Ker(A car Tate a montre
que
QmK2F
F)
F est un sous-groupe de Ker(A )
2, et que Ker(A F) c mK pour tout m non divisible 2F
d'indice par 8.
Corollaire - Si m n'est pas divisible par 8 l'homomorphisme K2 F/mK2F - - ) Ell IJ.v/mlJ.v F
induit par A est injectif.
Notation.
On note X son soustors
Soit X un groupe abelien.
groupe de torsion, X son plus grand sous-groupe divisible, di v X/div
= X/Xd,:LV ,
et X(£) sa composante £-primaire, £ etant un
nombre premier.
t.
Soit F un corps de caracteristique p commutatifs
n
0 --)IJ.
(
(e n+m) £
0---:> IJ.
£
--)
-) n+m
p'
i
_2_,_ )
S
p
s
1,
p' - - ) 8
em n+m
Les diagrammes
-'--> F's
0
--:> 0
251
...
fournissent, par passage a la limite projective, une suite exacte (e: "') j,
o
--:;> T
->
L --:;> F's --:;> 0 •
T est un Zj,-modu1e libre de rang 1 OU G opere suivant son action F sur 1es (13)
,en
•
On note
0 --:;> T(r) - - ) vCr)
->
w(r) --:;> 0
1e produit tensoriel r fois sur Z,e avec T de 1a suite exacte Z --:;> Q --:;> - > 0, =,e ... ou G opere trivia1ement. On a T(l) = T et W = W(1) s'identifie F
0->
=j,
a lim
• Les groupes Hq(F,V(r» sont des Q=b-modules, 1es groupes ,en XI Hq(F,W(r» sont de torsion, et le lemme 3 (nO 9) entra1ne que Hq(F T(r» ,
.
o pour tout q et r.
De la suite exacte
on deduit done un isomorphisme (14)
Hq(F W(r»/div ,
Hq+ 1(F T(r» , tors
pour tout q et r. D'apres la Prop. 1 la suite exacte (e: "') definit un ,e homomorphisme
11 figure dans 1e theoreme fondamental suivant qui ramene 1a plupart des questions sur K d'un corps global 2 galoisienne.
a la
cohomologie
252
10 (Tate [16] et [17]) - Soit F un corps global L'homomorphisme h de (15) induit un isomorphisme l(F,W(2»/div K F(£) ----) H2(F T(2» = H 2 ' tors La demonstration de Tate du theoreme 10 utilise de fafon essentielle le theoreme 2 de C. MOore, et, pour les corps de nombres,
le th oreme 7 de Garland (et done implicitement le
4 de Matsumoto-steinberg), aussi bien qu'un theoreme fondamental d'Iwasawa [7] sur les corps cyclotomiques. Ii se ramene aussitbt C F.
si F
(a
llaide du transfert) au cas
OU
Supposons en plus que J-l E F si £ = 2, de sorte que, F(W),
le groupe 1 =
i demontre facilement que H (1 , w (2 »
est isomorphe = 0 pour i L l ,
a
On
d'ou un
isomorphisme
(16) La theorie de Kummer fournit en plus uneidentification
(17) Notons SF (resp., SF ) l'ensemble des places de F (resp., de ne divisant pas de fonctions). F:
(i.e. toutes les places si F est un corps (SF ) Posons D' = Z L'homomorphisme divisoriel
D' induit un homomorphisme d:W ® F· ----) W ® D'.
D'autre part on a l'homomorphisme
253
e:W
® F:
-->
ee)
t---> (w, a} F
w ® a
'" (cf. nO 8).
Notons e'
e
v
(W ® F·)
Consfder-ons Ie diagramme
(£).
vES
F
r
d
r
).
r '"
(18)
:FS. F", U ) r
t
(W ® D') r
(e{ mad
e' v
Le theoreme 10 £ourni t ainsi un homomorphisme £ : (w ®
K F( e) 2
-+
qui, vu l' isomorphi sme (14), induit un isomorphisme
(19 ) et qui,
(w ®
/div
....
)
K F(e) 2
Tate [20J, rend commutati£ Ie diagramme
(20)
En appliquant ces conclusions
in
limite inductive on conclut: (21)
e:W
®
est surjecti£, et Ker(e) -
-----> =
K2F",(£)
Un ((W ® F·) '"
r
n) .
dd v
, oil
) et passant
a 1a
(£)
254
Lorsque F est un corps de fonctions on voit (cf.
o
(3) du nO 8) que
et donc le theoreme 8 du nO 8 resulte de (19)
et de (21). Dans le cas des corps de nombres coates [5] a trouve une naturelle de Ker(e) dans la thlorie d'Iwasawa. Notant F
.en
n
) il montre aussi que les homomorphismes
sont surjectifs et
a
noyau "constant" pour n
»
O.
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Seminaire BOURBAKI Juin 1971
23e annee, 1970/71, nO 395
LA TBEORIE DES INVARIANTS AU XIX
e
SIECLE
par Jean DIEUDONNE
IntroductioI! Vers Le milieu du XVIU e siecle, on savait que si, dans une forme quadratique ax 2 + bxy + Cy2, on fait un changement de variables x = ax' + 6y' , y = yx' + n ; 2 0 pour que
c .(J.i!l)0f soH de dimension 1,
les colonnes du tableau demment que est !
t-+
f
i1 faut et i l suffit que
(X
gn.
aient pour longueur
(X
et Le ca.ractere abelien de
n;
GL(n.K)
cela entraine eviqui lui correspond
(det !)g.
§ 5.
I.e. methode s;ymbolique pour les invariants de tenseurs contravariants
Ce dernier resultat fournit deja les invariants relatifs simultanes multilineaires d'un certain nombre
TBEOREME
f
de vecteurs de
(pour Ie groupe
gue 131.. l' est un multiple
f
n.
gn
vecteurs
x
j
-Il
[x .•••x. ][x.
• •• x.
(1
§
j
f)
Ces invariants sont les combi-
,!laisons lineaires des invariants de La forme
(1)
GL(n.K) ).
2" (premier tMoreme- fondamental de 1a tMorie des invariants). -, -
ntexiste dfinvariants re1§tifs multilineaires
t"
J.i!l
] •• •[x,
• • •x. ]
266 Ie determinant de la matrice dont les colonnes sont les vecteuxs invariants sont tous de poids
zi'
Q.!§.
g.
II n 'y a done pas d' invariant absolu IllUltilineaire ; mais on obtient aisement
a partir
de 1A des invariants absolus rationnels, par exemple pour
n
=2
A partir de Ill, en reprenant Le processus de linearisation du § 2, on obtient la regIe donnant tous les invariants relatifs polynomiaux homogenes d 'un certain nombre de tenseurs.
Pour fixer les idees, supposons qu ton cherche
les invariants relatifs de trois tenseurs contravariants
dont on designera les composantes par
'"
On considere les invariants polynomiaux en degr:§ h par rapport aux composantes de les de
x' • de degre h"
par rapport
r
x,x' x,
,Xii
qui sont homogenee de
de degre
a celles
de
h'
par rapport A cel
x".
On oommence par rechercber les invariants relatif's IllUltilineaires par
rapport A h
tenseurs
(1;§j ti!!hl)
j x
(1 ;§ j ;§ h) de
de
h"
tenseuxs
les composantes se noteront comme celles de inferieur Puis,
j,jl
ou
jll
aous
",I.e".
j" xl!
• (1
;1§
x.xl,x"
h'
j"
tenseurs hil)
de
jt Xl
("K?)@r
.•
en inserant un indice
definition du produit tensoriel, il revient au meme de cher
cber les invariants relatifs IllUltilineaires de qu' on designe par
hp + h'q + h"r
vecteurs de
267
jt
j
x
It '
avec; 1 I j I h 1
::§i
.2!l
r
;
j
x'
h'
j'
::§i
"t"
x"
::§i
j"
h" ,
on pose j
j.e
x
On peut alors appliquer le tho 2
"t"
x"
n t
g"..e"k e
k=1 j"
• k
il n'y a d'invariant relatif' du type voulu
que ai
(2)
hp + hlq + h"r = gn
gn vecteura precedenta aont cambinaisona li-
et lea invariants relatifa dea neaires de ceux du type (1).
I1 a f agit enauite de revenir au
pose
dans l'e:x;pression de la f'onction multilineaire obtenue, on remplaee 1k
1
j
_2k:2
pkp S
S j
SI
j'
•••
j'
S'
0 0
j"
rk r
j"
j"
puis on aupprime les indices inf'erieurs polynomiaux chereMs
q
par
j'
s}k:2 • S"
...k p
{; j
j
qk
S'
par
par
"
k 1k:2 •••k
j'
q
•• .k '" j"
j, j', j",
r ee qui donne les invariants
0
Pour avoir un example s:imple, eherehons les invariants de degre 2 d tun seul tenaeur
XC' (Jf1)Iii/2.,
avec
lation (2) est veri:fiee avec
n = 2; g
=
2.
on a alors
p '" 2 ,
h = 2 ,
et la re-
On doit done introduire 4 vecteurs de
Ii-,
268 Partons par example de l'invariant 'mu1tilinee.ire
On en tire d1abord l'invariant mu1ti1ineaire
de
1 2 x et x.
puis l' invariant hanogene de degre 2
2,11,22 _ (,12)2 _ (,21)2 11 12 21 22 de x , Si on part de [x xJ[x x], on obtient «(;12_(;21)2 et si on part de 11 21 12 22 [x x][x x], on obtient C!(C11 ,22_ ,12(21); tout invariant homo gene de degre 2
est done eombinaison lineaire de ees trois invariants qui ne sont pas lineairement independants d'ailleurs.
6. Ej,xtension de 1& methode aux tenseurs mixtes En pratique, on
11 'a
pas seulement 8. cbercher les invariants simu1 tanes de
tenseurs contravariants, mais ausai de tenseurs mixtes.
Pour cela on est rame-
ne par les procedes du § 2, 8. determiner d f abord les invariants multilineaires d'un cel!tain nombre de vecteurs teurs s", ••• ,y' 1
q
du dual
lineaire naturelle de exterieure
1,...
(x;l1)*.
GL(n,K)
dans
de
JC1 et d'un certain nombre de vec-
On utilise Le fait que la representation (K*)n
est equiva1ente it la puissance
(n1 )eme de la. representation naturelIe de
GL(n,K)
dans
x:n,
8. l'aide de l'isomorphisme (oanonique 8. facteur sca.laire pres) entre vecteurs covariants at
(nd )vecteurs contravariants.
d'algebre multilineaire conduisent a10rs au
Des manipulations e1ementaires
269
THEOa :5 (premier tMoreme fond.e.mental de la tMorie des invariants, seconde version). (1
§
j
1 (1 i
Les invariants multilineaires des q)
p)
et des
y' j
sont des combinaisons lineaires de produits d'invariants simples
de trois tYPes :
(ii)
crochets
de poids
crochets
[y' y' •••y'] de poids jn j1 j2
(iii) produits scalaires
1 •,
-1 ;
i < x,y'> de poids j
Cela entraine que
p-q
a •
doH etre multiple (positif ou negatif) de
n.
A partir de ce resultat, on procede comme dans le § 5 pour obtenir tous les invariants polynamiaux homogenes simultanes d 'un certain nombre de tenseurs mixtes de types donnes ,
Au lieu de tenseurs quelconques d'un espace
on peut aussi considerer les tenseurs d'un des sous-espaces de tenseurs irreductibles en lesquels se decompose cet espace : si nique de
(Ifl)
rr est le projecteur cano-
sur ce sous-espace, i l suffi t de remplacer dans l' invariant
obtenu, le tenseur
par
s
rr(x) •
Un cas particulier de ce procede donne la solution generale du problema de Cayley, les "formes symetrigues dans
n-e.ires de degre r
=
«tt)*)®r;
r"
n'etant autres que les tenseurs
ces derniers forment bien un espace de
tenseurs irreductibles, correspondant au tableau d'Young forme d'une seule ligne. L'application du tho :5
a ce cas donne alors
La "regle d'Aronhold" que nous enon-
cerons, pour simplifier, dans un cas particulier. polynamiaux homogenes simultanes de deux formes pectifs
r,s ,
et d'un vecteur
par rapport aux coefficients de
On cherche les invariants n-e.ires
f,g
de degres res-
si un tel invariant est de degre f,
de degre
q
p
par rapport aux coefficients
270
de g,
et
ae
m par rapport aux coordonnaea de
m - pr - qs
on a
x,
gn
=
ou g
(entier positif ou negatif) est Le poids de l'invariant.
alors
p+q vecteurs covariants y',z' i
(1
i
;§
;§
P
j
;§
On
q)
conafdere
et on forme
j
[w' w' ••• w'] , oU. chaque w' est un y' .2!! un z', i j k 1 2 n et de produits scalaires < x,y'> ou < x,z' > , de sorte que V soit de de-
un produit de crochets
gre z', j
r
par rapport
a
i
chacun des
et de degre m par rapport
j
y' ,
a
i
s
de degre
x.
On
par rapport
(n1 )
chaque monOme
s'
donnees de
i
r1
i
r
n de degre
r
= r1
1)
of
f(x)
l'expression symbolique
est I' expression symbolique
zt j
est un invariant (absolu) de f
en remplagant f
,
de
tp.
et de x,
dont
est < x,y' >r • 1
2) Le discriminant d'une forme
symbolique n-n[y' y' ••• y,]2 • 1 2 n 3) Prenons r = 2 , s = 1 , m
n-aire quadratique a pour expression
=
at d'une forme lineaire) ; on satisfait g = -2;
en les coor-
par
On di t que
J!l¢emples.
en remplaQB.!lt dans
+ r 2 + ••• + r n
et de IQ.eme pour les monOmes en les coordcnnees des par g.
chacun des
obtient un invariant .:p du type
voulu (qui peut eventuellement etre identiquement nul t ) i
a
(invariants d'une forme quadratique
0
a
(3) en prenant p = n-1 , q = 2 ,
on obtient ainsi un invariant dont l'expression symbolique est
V
271
[y' 1
s' ••• s' z'][y' y. ••• s' z'] • 2
1
n-t
1
n-1 2
2
Lorsqu'on annule cet invariant, on obtient la. condition pour que dans llhyperpla.n defini par la. forme lineaire soit tangent
a la.
Pn_1(K)
quadrique definie
par la. forme quadxatique.
4) La hessien d tune forme
a un
n-eire de degre
r
a pour expression symbolique,
coefficient numerique pres,
[Y'
y' 1 2
5) Supposons n
=
...
yt] n
2
< x,y' >r-2 ••• < x,y' >r-2 • n
1
et cherchons tous les invariants simulta.nes de deux
2
formes quadxatiques g 1
et d'un vecteur x = (g ,g
2
_2
1 2
1 2
S
= B11(S ) +
• La regIe
+ B22
(.2)2
prescrit de considerer
les produits dont les facteurs sont de I tune des formes
[Y' y,] , [z' z'] , [y, z'] , < x,y' > , < x,z' > ih
jk
ij
j
i
et qui sont de degre 2 par rapport A cbacun des
y' i
et des
facile d1examinsr les divers cas possibles, et on arrive te : les invariants
z' • j
II est assez
a la. conclusion suivan-
sont des polynomes par rapport
a6
invariants
"fondamenta.ux" : f
g
d'expression symbolique II
"
< x,y' 1
>2
< x,z' >2 1
1 2
h
(0'11 B22 - 0'22'B11)g g
d'expression symbolique
) 2)2 + (0'121'22 - 0'22a.,2 (g
[y, z'] < x,y' >< x,z' > 1 1 1 1
272
[y' y'] 1
= a11 P22
2
[z' z,]2
" d12
2
1
+ a 22B11 - 2a12B12
2
[yt zt]2 •
dtexpression symbolique
1
1
§ 7. Invariants et g§ometrie pro.jective Si l'on adopte la definition de Klein, la geometrie projective "elementaire" est l'etude des proprietes algebrigues d'objets lies invaria.ntes par Ie groupe projectif.
a
Pn-1 (K)
et
Si on veut preciser cela, on doit appe-
ler "propriete algebrique" une propriete concernant un certain nombre de tenseurs mixtes
, ••• ,u r
sur
et qu.i s'exprime en annulant un cer-
tain nombre de polyn6m.es hoaogsnes des
u j;
tout
••• ,ur)
par rapport aux composantes
en outre, l'invariance par Ie groupe projectif signifie que pour
O"(GL(n,K),
, ••• ,ur) = 0
Le systeme des relations
(1
h
e)
on di t que ce systeme de rela.tions a une siBPification invariante. Cela etant, la determination de tous ces systemes revient
a
celIe des rela-
tions algebriques (ou "syzygies") entre invariants (rationnels) absolus de (theoreme de Gram). Pour Ie prouver, soit pour toute base
O"y(e i)
y
=
(Y1"" 'Yn) de
Yi • Alors, pour
(e
i)1:S:i:S:n
r, notons ,
la base canonique de
Ie tenseur
T(GL(n,K) , -1
et
tTy la bijection Li neai r-e telle que
0;1.u
a des composantes
sur la base canonique qui sont des invariants rationnels absolus de u1 , •• ·,ur ' Y1""'Yn' En effet, pour done cr -1 = IS-1 T-1 done 0"-1 • ( ToU ) T.y Y s-r
GL(n,K)
0y'u.
on a
0"
ToY
TO"
Y
273
, ••• ,Ur ) = 0
Cala eta,nt, supposons que les relations entl:.'a1nent, pour tout o-E'GL(n,K) , toute bil.se Y = (Yl'''.'Yn) de nent done Ph(o-.u. , ••• ,0- Y .ur ) = 0 • y-I Qh
, ••• ,ur ' Y1' ••• ,Yn)
des invar:i&nts absolus de ont lieu pour 1:rfi h on peut Y faire Yj
s, =
ej
=
0, , •••
(1
h:!! s)
, ••• ,o-.ur) = 0 (1 :!! h:!! e) ; pour les relations (1:rfi h
,
••• ,ur) = 0 entral-
relations qui s'eerivent
a
ou les Qh sont des polynanes par rapport , Y1' ••• 'Yn•
et pour tout choix de pour 1:rfi j 'l! n,
Inversement, si ces relations Y1 , ••• 'Yn .formant una base,
et on retrouve
, ••• ,Ur )
=
O.
274
BIBLIOGRAPHIE [1 ]
,;
J.t DlEUDONNE and J. CARRELL - Invar1&nt theory. old and new, Advances in
Math., vol. 4, Acad. Press, 1970. [2]
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grOUPS,
Princeton University Press, 1939.
Seminaire BOURBAKI 23e annee, 1970/71, nO 396
Juin 1971
THE HILBERT MODULAR GROUP,
RESOLUTION OF
THE SINGULARITIES AT THE CUSPS AND RELATED PROBLEMS by F. HIRZEBRUCH
§ 1. The Hilbert modular group and the cusps. Let
be a real quadratic field over
k
integers in
Let
k.
x
x'
1-+
and
the ring of algebraic
be the non-trivial automorphism of
k
•
The
Hilbert modular group
{(
(1 ) acts on
H x H where
a
b
d)
c
I
ad-bc
C
H is the upper half plane of aZ + b
1
a I z2 + b
1 }
I
(cz + d ' c' z + d' ) 1
=
The group
G
domain of
G, see Siegel
2
acts effectively. For a description of a fundamental
For any point
[13J.
x E H x H, the isotropy group
singular points of the complex space
H x H/G
G C G x
is finite cyclic. The
correspond bijectively to the fini-
tely many conjugacy classes of maximal finite'cyclic subgroups in
G. Their number
has been determined by Prestel [12J (see also Gundlach [7J). If, for example,
D =: 1 then there are of order
3
D1 0
(4), he-D)
where
(3) ,
D square free,
singular points of order
h(a)
2
and
h(-3D)
k =
Q( JD)
,
singular points
denotes the ideal class number of
• (Assume a
to be square free.) G acts on the projective line x
t-+
k U {=}
by
ax+ b
cx+ d
There are finitely many orbit classes. The elements of
(k U {=})/G
cusps. They correspond bijectively to the ideal classes of
If
are called x =
!!}
n
(where
276
m , n E
£)
denote by
belongs to a certain orbit, then
C
the group of ideal classes in
(m,n)
£.
is a corresponding ideal. We
(The principal ideals represent
H x H/G can be compactified by adding finitely many
the unit element of C .)
points, namely the cusps. The resulting space H x
H/G
(H x H/G) U C
is a compact algebraic surface (compare Gundlach [5J) with isolated singularities (the quotient singularities, as explained above, and the finitely many cusps). We Nish to resolve the singularities. This is well-known for the quotient singularities (see, for example, [9J § 3.4). Object of this lecture is to do it for the cusps. For this we have to study the neighborhood of a cusp the local ring at
the same symbol
=m n-
x • Let
to
ex>
coefficients in
k
x
(2) where
in
!!!
(m , n E £)
x
We sometimes denote a cusp and a representing element
form
H x H/G and
x
by
G x
(y lYE G
an element of
= (m,n)
• Put u
A
u , v e a- 1
=
)
V
.
G
,
,
Yx
=
n
by
x} • We cannot, in general, trans-
but it can be done by a matrix
A
with
Then, following Siegel [13], we take
E
(fractional ideal) and define
ex>
(3)
G
x
Then
((
(4) where
£
is a unit of
w
E
-1 )
o
w
o
tor with
w E
)I
E
U of positive units of eo > 1
2
}
I (1 ,-11
k .(If we agree to consider a matrix always as a projec-
tive transformation, then £2 {( (5) The group
I
E
unit, w e k
-2 }
•
is infinite cyclic. Let
. I t is called the fund amental uni t ,
totally positive units, i.e.
u+
=
(
E
IE
E U
I
£
> 0 ,
£'
> O} •
Let
u+
e
0
be the genera-
be the group of
277
(M,V) where
Equation (5) is a motivation to study data
(6)
1)
M is a
of rank
2)
V is a subgroup
I
which leave
{1}
2
contained in
of the group
k of totally positive units
M invariant under multiplication (as is well-known
Given the data (6) we have a group
{(
t
w
o
1
)!£EV,WEM}.
In analogy to (4) such groups occur for cusps which are singular points of the compactified orbit spaces
F
of more general discontinuous groups acting on
(subgroups of finite index of certain finite extensions of G). In (4) we
Hx H
have Data
(M,V) as in (6) determine a torus bundle
(8)
(M 0;) R)jM =
n,(s1)
acts on the torus.
X over the circle
Torus
X is associated to the universal cover of
S' • The
following proposition seems to be well-known. I know it from J.-P. Serre. It follows, for example, from the information given in [5]. PROPOSITION.- If a cusp with data face
F
(M,V)
is singular point of an algebraic sur-
(see above), then its neighborhood boundary is the torus bundle
X
defined by (8). (For "net ghborhood boundary" see, for example, [10].)
(M,V) was described by Gundlach [5]. Let
The local ring for a cusp M C R2 O
be the
:I-module of all
x
E
such that for all
MO
has rank
2. We have by (9) a bilinear pairing ]
V acts on
w EM.
B such that
B(tx,w)
.
= B(x,tw)
for
t
E
V,
X E
O
M ,
w EM.
278
PROPOSITION.- The local ring For the cusp
(M,V)
consists of all "convergent"
Fourier series
L
(10)
a
xeK' where For c
ax E
I
0
only iF both
x
> 0
1
e
x
2 TT i(X z1 + x 2z 2) 1
and
e V • "Convergent" means that
x
2
> 0 or
x
converges For
F
=
0 , and where
a EX
Im(z1) .Im(z2) > c
= ax
where
F.
is a constant depending on
§ 2. Binary indeFinite quadratic Forms. Let
M be a
(11 )
w
of rank
M
is a quadratic Form
which is indeFinite and does not represent
We now study oriented F : M
Z-modules
M of rank
M 1
M 2
(M1 ,F 1)
of oriented
2
O. We
and quadratic Forms
(1)
which are indeFinite and do not represent We call
k. The £unction
contained in
(norm of v )
N(w)
ww'
.....
2
and
(M
2,F2)
O. No speciFic Field
k
is given.
equivalent iF there exists an isomorphism
Z-modules which carries
F 1
in
tF
2
where
t
is a
positive rational number. Every
(M,F) g
where
Zx
Z x:l.
Z
is canonically oriented and such that For
(u,v) e Z x :l.
g(u,v)
(12) with
is equivalent to a quadratic Form
(a,b,c)
=
1 • Then
b 2 - 4ac
only on the equivalence class of
is called the discriminant of F
F. It depends
and is a positive integer which is not a
279
perfect square. The real number -b ,,. Jb 2 - 4a,:
where jb
2 0 ,
g.
We take the unique continued fraction 1 1 a2 a
where
a
j
E
:z
and
a.
J
O!:
2
for
3
j > 1 • A continued fraction will be denoted by
is a quadratic irrationality its continued fraction is [a1 ' a 2, a 3 ' •••J • Since periodic from a certain point on. Let (b ••• ,b be its primitive period p) 1, (b. J
[2,2, ••• J = 1
2) • Observe that the period (2) cannot occur because
O!:
is
rational. A sequence of integers length
wi th
b. J
O!:
is called a period of
2
p, two periods are equivalent if they can be obtained from each other
by a cyclic permutation. Such an equivalence class is called a cycle. A cycle is primitive if it is not obtainable from another cycle by an "unramified covering" of degree> 1 • Cycles are denoted by tive, but
«2,3,2,3))
is not.
«b1, ••• ,b p)) • For example
«b
1,
«2,5))3
«b
1,
••• ,b
Thus
means the
••• ,b p))m
=
p)).
«2,3))
is primi-
m-fold cover of
«2,5,2,5,2,5)) •
THEOREM.- The primitive cycle of the first root depends only on the equivalence class of
(M,f). If we associate to each
(M,f)
this primitive cycle, we obtain
a bijective map from the set of equivalence classes of quadratic forms the set of all primitive cycles
«2))
(M,f)
to
is excluded).
This theorem is a suitable modification of classical results. It is related to Gauss' reduction theory of quadratic forms [3J • The continued fractions had to be modified also, but all relevant theorems in Perron [11J can be taken over.
280
To simplify notations we shall indicate a cycle by
s.
where t.
J
J
is the number of two's occuring in the corresponding position and where
3 • For example,
((2,2,2,2,3,3,2,5)) Let
k
be a real quadratic field over
and
d
its discriminant; it is
the discriminant of the quadratic form (11) defined over the module a > 0
k = Q(ja)
(square free) and d d =
Let
C
0 C k
•
If
, then
4a
if
a;: 2 ,3
mod 4
a
if
a;:
mod 4
be as before the group of ideal classes of
and
C+
the group
of ideal classes with respect to strict equivalence (for which an ideal is equivalent
if it is principal with a totally positive generator). We have or
positive or not. The order 9f
C
If the discriminant of
d , then
k
is
is the class number C+
h(a)
for
o
k
is totally
=
•
is via (11) in one-to-one correspon-
dence with the set of equivalence classes of quadratic forms minant
e
depending on whether the fundamental unit
(M,f)
with discri-
d. Don Zagier (Bonn) has written a computer program which puts out (the finitely
many) primitive cycles for a given discriminant. For are a)
10,3114,310,171
b)
12,31 6,510, 91
c)
10,51 6,312, 91 For
d
4·79
the primitive cycles are
d
= 257
the primitive cycles
281
I
I
II
115, 316,31
0,1810,91
III
2, 710,310,41
IV
1 , 514,310,31
V
1, 3\0,3\4,5\
VI
2, 410,3\0,71 • For
number
=
k
the fundamental unit is not totally positive, the class
h(257)
equals
3. For
tive, the class number dratic
for
h(79)
= 4'79
d
=
k
the fundamental unit is totally posi-
equals
3. The order of
c+ is 6 • The
6
qua-
are listed by Gauss [3J Art. 187 and numbered from
I to VI corresponding to our table above. The discriminant
= 20
d
, for example, is not the discriminant of a field
k • There is one primitive cycle namely '1..[5e'1.·1
fJ(J5)
contained in
\3,61
which belongs to the module
and the quadratic form defined on it by (11).
§ 3. Resolution of the cusps. An isolated singular point admits a resolution by which K.• For each
K.
J
K.
J
Q
J
x
x
of a complex space of complex dimension
2
is blown up into a system of nonsingular curves
we have the genus
g(K .) J
and the selfintersection number
K .•
J
The resolution is minimal (and then uniquely determined) if there is no with
g(K j )
=
°
and
K. J
Q
is negativedefinite
1 • The matrix
K.
J
K. J
(compare [1 OJ) • The resolution is called cyclic if all are rational) and if mod q
(q
3)
j
are zero (i.e. all curves
can be assumed to run through the residue classes
j
such that
sal intersection) and
g(K )
K r
K. 1 J+
c>
K = s
Q
K.
°
J
= K.J for
0
• =1
K. 1 J+
r s
I
for all
j
E
(transver
0, 1 , 1 • Example (q = 8) :
282 K 1
K 2
(13)
K 3 K 4
K S
§ 4.
The Following result is a consequence of a theorem in THEOREH.- A cusp
(H, V) ,
(11) and the theorem in
V] • Then
m=
(Exceptional cases cycle of
3
(6), admits a cyclic resolution.
M determines by
= «b 1, ••• ,bp))
§ 2 a primitive cycle c
• Put
q = pm and
pm
=
2
or
-(b+ 3), -2, -1
curves with selF-intersection numbers
-(b + 1) , -1, -(b 1) 2+ 1
or
respectively.)
The cyclic resolution is the minimal one with these exceptions which can be blown down to minimal ones looking like this :
Examples.- For
h(a) the b
k
= UJ ( Ja)
wi th
a > 1
(square £ree) and
cusps (h (a) = order of the ideal class group Z-module
-2
where the ideal
give the same element in
G
C , see
as in
§ 2). Each cusp has
.
represents an element of
C , then the
Z-modules
a -2
§ 1 we have
and
C. IF
£,-2
and
are obtaina-
ble £rom each other by multiplication with a totally positive number and (as £ractional ideals) represent
the same element of
C+ • Thus we have a homomor-
283 phism p : C
The resolution of a cusp tic form belonging to
c+.
....
x
p(x)
E
C
is given by the equivalence class of the quadra-
or rather by its corresponding primitive cycle
(§ 2). The cycle of the resolution is e
o
of
k
c m where
is totally positive, otherwise
m
=
m = 1 • For
2
c
if the fundamental unit k = 1/)(.{79)
and
in § 1, we have three cusps. We have to analyze what are the squares in their periods. In the list of § 2 the squares are I, IV, V.
G C+
as and
The cusps IV, V give
the same singularity (the periods are just reversed). They go over into each other by the permutation a
of the factors of
Hx H
(whiCh leaves the cusp I inva-
riant). The resolution of the cusp I looks like
where we have indicated the self-intersection numbers. The (minimal) resolution of IV has For
16 k
curves.
=
we have
C
= C+
and
m
=1
•
The resolutions of the
three cusps are given by the primitive cycles written down in § 2. The permutation a
on
H x H carries the cusp b) into the cusp c) whereas
on the cusp a) it carries the curve into itself, has the intersection point number
-2
as fixed point
K with self-intersection number P
-17
of two curves of self-intersection
284 K
-17
cusp at
CD
for
/f)(J25f) •
k =
-2
( 14)
-b
/
/
-2
\.
-2
-2 p
/
and otherwise interohanges the curves according to the symmetry of the continued £raction of a quadratic irrationality SL 2(Z)
(Theorem of Galois, see [11]
(H x H/G)/O'
w, which is equivalent to -w'
under
§ 23). The corresponding singularity of
is a quotient singularity admitting a "linear resolution" -2
(compare [9J § 3.4) obtained by "dividing" the diagram (14) by q intersection number
-1
can be "blown down" •
and using that curves of sel£-
285
§ 4. Construction of cyclic singularities. Let For
q
a
3
1
(c
b,b 2,···,b 1
or
a
3
2
be a sequence of integers
(a + 3 , 2 , 1)
are admitted. Let
, where r , s
r s)
3)
also sequences
3
=
(q
q
c j+ 1 , j =
,
E
Cj
(a + 1 , 1 , a + 1) 2 1
and
run through
j
if
k
with
copy
, j +1 = 1
,
c ..
JJ
o
-b.
J
(c
2 C with coordinates
of the line
= 0
Rk
and
and
otherwise. is negative-definite.
r s)
run through the integers and define
of
3
Consider the matrix
to be equal to
mod q • We now do a construction as in [9J § 3.4. For each
k == j
a
with
LEMMA.- Under the preceding assumptions the matrix Let
not all equal 2.
2
, v
k
• We define
Rk
above
b. J
k
take a
to be the complement
to be the complement of the line
v
k
= 0 •
The equations b
k
v k_ 1
vk
give a biholomorphic map
: Rk-1
Rk • If
the identifications given by the
we make in the disjoint union
we get a complex manifold
which we have a string of compact rational curves Sk
is given by
the
(k - 1 )-th
= 0
coordinate system.
versally.
Si' Sk
number
0
T : Y
Sk ->
"in the
Sk
(i < k )
equals
-b
k-th
Sk
k- i
The complex manifold
J
= 0
in
1 • The self-intersection
in the
system to the point with the same coordinates in the thus
k_ 1
Y admits a biholomorphic map
which sends a point with coordinates
Y
v
intersect in just one point trans-
do not intersect, if k•
non-singularly imbedded.
coordinate system" and by
Sk' Sk+1
Y in
(k+ q)-th
k-th
coordinate
coordinate system,
Sk • The main point is the existence of a tubular neighborhood +q on which the infini te cyclic group
such that
yO/Z
••• U K
q
Z = [Tn
is a complex manifold in which U
SI!Z
q
In
E
Z}
operates freely
rational curves
are embedded. Their intersection behaviour is given by
286
the negative-definite matrix
c
(see Lemma).
rs
According to Grauert [4J the curves singular point
x
UK
[1 U
in a complex space where
x
can be blown down to a
q
has by construction a cyclic reso-
lution as defined in § 3.
fl '" [b , ••• ,b q, b , ••• ,b , ••• J. Then
THEOREM.- Let
1
contained in
=
k
q
1
• Suppose ((b , ••• ,b q))
is the
1
cycle. Then the local ring at the singular point
x
2fl E9 Z·1
M",
m-th
is a
Z-module
power of a primitive
constructed above is isomor-
phic to the local ring described in the second proposition of § 1 provided
VJ
m
The proof will be published elsewhere.
§ 5. Applications. The resolution of the cusps can be used to calculate certain numerical invariants of
H x H/G,
(H x H/G)/cr
, for example, where
H x H ...
Hx H
is the permutation of the factors as before. We have to use a result of Harder [8J. Compare the lecture of Serre in this Seminar. We mention two cases.
1.
For a cusp
x
= (M,V)
with a resolution as in the theorem of § 3 we put q
L
cp(x)
j = 1
The number cp(x)
cp(x)
[.oK.)+q.
J
J
is essentially the value at
vanishes if the quadratic form
(under an automorphism of THEOREM.- Suppose
f
on
of a certain
L-fUnction.
M (see (11)) is equivalent to
M which need not be orientation preserving).
a > 6 , square free, a
1
0
(3). Put
k
• Using the
notation of § 1 we have : The signature of the (non-compact) rational homology manifold equals
I:
xeC
cp(x).
-f
H x H/G
287
2. For a prime
p
=1
mod 4
we shall calculate the arithmetic genus X
non singular model of the compact algebraic surface
(H x H/G)/CT
for
of the
p
k
= f)(JP)
•
Information on the fixed points (see § 1) is needed. The following result is closely related to theorems of Freitag [2] and Busam [1], see in particular [1] § 7. THEOREM.- Let
p
tic genus X
is given by
48 where p
=1
field
p
Xp
12
=
for
mod 8,
6
£
=1
be a prime
mod 4
k
= IIJ(JP)
• The ari thme-
+ 3h(-p) + 4h(-3p) - p + 8£ + 12 6 + 29
p
=0
=1 mod 3, for
p
=5
£
=0
mod 8.
for
p
= 2 mod
('k
3,
6
=
for
is the Zeta-fUnction of the
k.) For
'k(-l)
we have the following formula [14] 2
1
30
where
p > 5 • Put
and
b odd 1 so b 6,
ou dim X
6
et
Y
6
= 0)
Ie theome 7 ne sera vrai que si
dim X
6
(resp
322 BIBLIOGRAPHIE BROWDER Princton
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Juin 1971
UN ANALOGUE DU THEOREME DE BOREL-WEIL-BOTT DANS LE CAS NON COMPACT Par Gerard SCHIFFMANN
En 1965
,a
l'occasion d'un expose sur la dimension de certains espaces
de formes automorphes ,Langlands Weil-Bott
[9]
(111
a conjecture que Ie theoreme de Borel
devait pouvoir s'etendre au cas de la serie discrete .Cette
extension a ete obtenue par
M.S. Narasimhan et K. Okamoto
hermitien symetrique ,puis par W.Schmid
dans Ie cas
dans Ie cas general .Toutefois
dans ces deux memoires ,les auteurs sont obliges de faire la meme hypothese
">. assez
restrictive :
§ 1. Rappels
regulier " •
!!
serie discrete.
Soient G un groupe de Lie reel semi-simple ,non compact ,connexe
,a
centre
fini et K un sous-groupe compact maximal de G .On suppose que Ie rang de G est egal au rang de K .Soit H un sous-groupe de Cartan de K donc de G .Soient
,h
'!c
les algebres de Lie de G ,K ,H respectivement et
complexifiees .On note W Ie groupe de Weyl de celui de s'identifier
par rapport
a
un reseau
a
irreduc tible
V,>.
a
et W K
.Le groupe des caracteres unitaires de H peut
1\
dans
= i t .Un
son stabilisateur dans West trivial ;soit Pour tout )..f;.A'
par rapport
leurs
A'
point de
1\
est regulier si
l'ensemble des points reguliers.
,Harish-Chandra a defini une representation unitaire de G ,de carre integrable .On obtient ainsi toutes les
representations de carre integrable :c'est la serie discrete .De plus
324
est e qud vaLen t e
a
IT>.' si et seulement si }. et}!
[6]
Tout ceci est demontre dans §2
sont co n j ugu e a par W • K
• La premiere conjecture
Langlands .
Soit G le groupe de Lie complexe ,connexe ,simplement connexe ,d'algebre t de Lie
.Pour simplifier ,on suppose que G est le sous-groupe analytique
reel de G d'algebre de Lie K .Soit P un systeme de racines positives de t ;avec les notations usuelles ,posons : n
= (&
et
- 0/>0
Le sous-groupe B ,d'algebre de Lie GC/B
£
,est un sous-groupe complexe de G et C
est une variete analytique complexe ,compacte .Comme BnG
peut identifier G/H
=
G/H GC/B
a
=H
,on
une sous-variete analytique reelle de Gt/B .Comme
cette sous-variete est ouverte .On munit G/H de la
structure complexe induite ;on notera que cette structure depend du choix de P .Soit
;Ie c ar-ac t e r e correspondant e)..
en un caractere holomorphe de B
de H se prolonge de f'ac o n unique
done definit un fibre holomorphe en droites
de base GC/B ,associe au fibre principal B
G ---+ t
GC/B .Par restric-
-tion ,on obtient un fibre holomorphe en droites ,de base D ce fibre ;il est homogene (G opere par translations s'identifient aux applications f : G
=
telles que
e
- ).(h)
a
---+
= G/H
gauche ) .Les sections C ,de classe C- et
f(g) ;eIIes sont holomorphes si
=0
•
Par analogie avec Ie cas compact ,on considere les espaces de cohomologie Hj(D ,
ou
est le faisceau des germes de sections holomorphes
Ce sont des G-modules .Si
e
on peut e sp ez-e r que ,pour). +
designe la demi-somme des racines positives ,
e
regulier ,ces G-modules sont to us nuls sauf
un et que ce dernier ,muni d'une structure hilbertienne convenable equivalent
a
,est
.La these de Schmid contient quelques resultats dans cette
325
direction [171 ,[181 •En fait Lang1ands propose de remp1acer ces groupes de 2-cohomologie cohomo1ogie par des groupes de L ,groupes qu'on va maintenant definir • Boit Aj(H),) 1'espace des formes differentielles sur D ,de classe C-,
a
support compact
,a
valeurs
et de type (O,j ) .Le fibre'-"). etant
holomorphe ,on dispose de l'operateur
Faisons operer H dans
a
(fonctions C-Oa support compact) par translations
droite et dans
la representation coadjointe .Boit
.
le 50us-espace des elements qui se transforment suivant le caractere e Comme
s'identifie
a l'espace
des vecteurs
tangents antiholomorphes
->.
a
de H.
D
au point eH ,on a :
cet isomorphisme etant compatible avec les structures de G-modules .Munissons
1\ j
d'une structure d'espace de Hilbert ,invariante par H et
s t r-uc t vur e prehilbertienne
structure produit (et induite ) sur formel a*;soitW -quer
de
de la
2(G) induite par celle de L .Par rapport
+')'*1
,l'operateur
a
la
possede un adjoint
,l'operateur de Laplace-Beltrami
.oe
peut appli-
fau sens distributions fa tout element du complete
.Comme west elliptique ,son noyau Kj(Jt'>-) est un sous-espace
ferme ,done de Hilbert
dont les elements sont de classe Coo.Enfin comme
326
done GV
commute
aux translations
a
gauche par G ,on obtient ainsi une repre-
sentation unitaire de G dans Kj(.!(')o) • Conjecture. (Langlands) a) Si b)
>.
+ rest
.2i A +e
singulier
est regulier
,quel
g existe 2 pour
c)
.2i ),
j K ()I
+
r e s t regulier
+r)(CJ00(" )
§
j K (£(1>-) = 0 •
soit j j(>.
j I j ('). +
)
.E!.!.
•
representation uni taire de G dans
est irre' d ' 1 e e t 'equi valen te.!.
11" )."f'
.
3. Resultats
La partie a) de la conjecture reste ouverte .Pour b) et c) munisaons du produit scalaire usuel et rappelons qu'une racine positive compacte si
s.ol. c
!c:
,non compacte dans le cas contraire .ss,
est dite
.>.
est regitlier
soit a a et j
l 2
le nombre de racines posi ti ves compactes 0( telles que le nombre de racines positives non compactes
,..l)
telles que.().
0
)
Theoreme 1 (Griffiths).!! existe une constante suivante
possedant la propriete
& pour
racine
01. > 0 ,
alors
Ce reaultat est deja aignale dans
f11]
et i l est demontre dans [4]
cas ou G/K est hermitien symetrique ,on peut attacher
a
. Dans le
toute representation
unitaire irreductible de K un fibre holomorphe de base G/K puis proceder
,
327
(A
comme au §2 .L'analogue du theoreme 1
etant le poids dominant ) est
demontre dans (12) • 5i la condition 1 eat satisfaite ton dit que
A est
regulier ( ou
suffisament non eingulier ••• ) • Theoreme 2 •.§1
>- m
regulier
representation
unitaire ,irreductible
Kj('>+t)
!! equivalente !
1t'). ...
G dans
e.
Ce theoreme (ou plutot son equivalent pour les fibres sur G/K ) est demontre
i12j pour le cas hermitien symetrique j(), + f) = 0 ,on retrouve exactement le
dans
et dans(19)pour Ie cas general.
5i
cas Hudie par Harish-Chandra
•
11 ne peut se produire que si G/K est hermitien symetrique et la construction
du §2 se redui t
a
celle de
r51
Revenons un instant aux groupee de cohomologie usuels .Soit -somme des racines positives compactes et ,pour de manieres distinctes dont,
fE /I.
PK la
demi-
,soit Q(f ) le nombre
peut s'ecrire comme somme de racines positives
non compactes .Soit s le nombre de racines positives compactes • Theoreme 3 (18) suivante : j
# s !l
.11
existe
structure restreint
poids dominant
jU
°
propriete
=0 2!
pour
Frechet
representation! K intervient!!!£
multiplicite
(2)
Remarquons que ,sous les hypotheses du theoreme 3 ,on a j(), +f) part les multiplicites
=s
.D'autre
(2) sont celles qui ont ete conjecturees par Blattner •
Enrin ,toujours sous les hypotheses du theoreme ,Schmid construit une applica-tion injective de KS ( 5L)
dans
He (D,O). ) ...
328
demonstrations
§
Pour Ie theoreme 1 ,d'apres un resultat d'Andreotti-Vesentini
[11
,il suffit
de prouver I'existence d'une constante c)O teIIe que (o.>f If)
c (
rt r )
et j ,£ jC). +(1) •
pour
Or ,en se donnant un peu de peine ,on peut calculer explicitement permet d'evaluer
If) et d'obtenir I'inegalite ,sous I'hypothese
assez regulier .L'expression de -voyer Ie lecteur
tenant quatre lignes ,on ne peut que ren-
a [4) .
Pour Ie theoreme 2 ,considerons I'espace structure de -tions
a
ce qui
en faisant operer
Ie munit d'une
sur Ie premier facteur par deriva-
droite et sur Ie deuxieme par la representation coadjointe .L'opera-
-teur de cobord pour la cohomologie de ce
a pour restriction
a
precisement I'operateuro .Bien entendu ces operateurs sont non bornes ce qui est la source de pas mal d'ennuis .D'autre part ,si on fait operer G par translations done aussi
a
gauche sur Ie premier facteur ,alors l'operateur de cobord ,
commute
a
G .En utilisant l'existence de la formule de PIancherel
(mais non sa forme exacte ) on peut done esperer decomposer les groupes de 2-cohomologie en somme continue de "groupes de cohomologie formels " associes L
a
chaque representation unitaire irreductible de G .C'est ce qu'on va essayer
d'expliquer • Premiere etape.Soit
1f
une representation unitaire irreductible de G ,d'espace
E et Eo Ie sous-espace des vecteurs K-finis .Soit pour La cohomologie du !l-module
Eo
l'operateur de Casimir de K et C = (1
et +1J
i
I'operateur de cobord
son adjoint formel .Soit..a. K
U1- K) )-:Y.1. 1 .On constate aisement
que C est un operateur borne ,compact et auto-adjoint .D'autre part
d + I*
329
possede un unique prolongement ferme coincide avec celui de C-
J
l
et le domaine de ce prolongement
.Ce point n'est pas trivial .11 en resulte que
est essentiellement auto-adjoint ,son unique prolongement
etant
aussi son unique prolongement auto-adjoint .Enfin un calcul simple montre que C(J
(I
et
sont bornes et que C(J +a*)2 C
!
compact et d'un operateur inversible ,done
J'.*"
noyau K(lT" ) de
K(
'II" )
!!!
est somme d'un operateur
dimension
.On en deduit que le
.Soit alors
j est la somme directe des K (1l") .Comme Ad(H) commute Ii
d
,chaque
j K ( 11"') est un H-module • Soit
q la dimension de
et posons
2 - e -V )
pour
01
pour r:J.. D'apres Harish-Chandra ,pour fE
I
positive
compacte .
,l'operateur
K f(k)"lr(k) dk
est Ii trace et cette trace definit une distribution Proposition . g designe
positive non compacte ,
espaces Hj(U ) . alternee
!!
prolonge
!!!
T
sur
TT
K.
H-modules de dimension finie caracteres
fonction analytique
K qui
(
)q
e
-
P,.
centrale et
-1
g coincide
Remarque.G' denotant les points reguliers de G ,la restriction -vert Kn G' de K
a
la formule
l'ou-
avec la restriction du caractere usuel de 1r
(Harish-Chandra ) .En particulier si V peut ,grace
a
appartient Ii la serie discrete ,on
d'Harish-Chandra ,qui donne la valeur du caractere
330
sur les points elliptiques ,calculer explicitement g .Enfin dans le cas general la distribution
7"
sur K n'appartient pas
a
L1(K) .La proposition precedente
montre que b. + l''It' est une fonction analytique sur K • Pour demontrer la proposition ,on remarque d'abord que le noyau de
qUi est borne .Le coefficient de
K(Tr) est aussi
dans g n'est autre
que l'indice de
A l'aide d'une homotopie ,on peut remplacer
associe
a
la sous-algebre
de
r
par
do
operateur de cobord
.Ceci permet de decomposer E suivant les
composantes isotypiques de VIK et la demonstration s'acheve aisement • Deuxieme etape.Soit G l'ensemble des classes de representations uriitaires irreductibles de G .Pour chaque classe ,choisissons un representant la representation contragrediente dans l'espace a a de Plancherel peut s'ecrire
E
=
J
• Ea i9 E* a
a
a ,d'espace
.La formule
da
G
ou da est la mesure de Plancherel .On en deduit que
Par et on etablit sans trop de mal la proposition suivante : Proposition de a et
famille
E
a8
depend mesurablement
331
Corollaire. g
j
pour presque Remarquons
11"
r ) !! .&
!!!
regulier
(".:) _).= 0
a • aussi que la mul tiplici te de
'If"
dans Kj
est egale
a
la
j
de K ( 1J""l) _ '>- •
dimension Si
I j (>. +
= 'tr JH f
appartient
a
la serie discrete alors 11"" = V -,.- f
de Plancherel strictement positive .Pour
o de
assez regulier ,on a donc
si j I j(), + P) et par suite Le coefficient de
fonction g de la proposition I IT
-r-f
)
(pour
est de mesure
'II"-r-r )
e
est au signe pres
c'est-a-dire la multiplicite de
1T" '"
r+r
dans la la dimension
dans Kj(\+f)(St'>. ).
D'apres la formule des caracteres d'Harish-chandra ,on a
Par suite la multiplicite cherchee est I ou 0 suivant
etftfsont ou ne
sont pas conjugues par W .Si on se rappelle que la serie discrete est parametree K par modulo W ,on voit que la demonstration du theoreme sera terminee K si on demontre que Ie spectre continu est vide .Ce dernier point resulte des
,,'
deux remarques suivantes : -si une representation unitaire irreductible r Kj (
11" ) _.,.
I 0 pour un
Casimir de
seul j ,alors 'IT" (.it) =1\),+t\l2
de G est elle que
_lIr" 2
ou...n. est Le
G ;c'est une consequence de la proposition I •
-l'ensemble des representations unitaires irreductibles de G telles que 1T(..o.. )soit la multiplication par uUe
constante donn e e est de mesure de
Plancherel nulle (resultat provisoirement inedit d'Harish-Chandra ) •
5.
deuxieme conjecture
Soit reG
un aoua-groupe discret
§
D = G/H
et
Langlands •
a
quotient compact .Soient toujours
un fibre holomorphe de base D • Soit
'f,.
Le faisceau sur
332 r\G /H
= r\ D
associe au prefaisceau qui fait correspondre a tout ouvert U
r
de r \ D l' espace vectoriel des sections holomorphes
-invariantes de
JI..,.
au-dessus de l'.image reciproque de U dans D • D'autre part ,rappelons que la representation evidente de G dans L2(r'\G)
se decompose discretement
avec multiplicites finies .Soit n(Tr) la mUltiplicite d'une representation unitaire irreductible Theoreme
4.
(Griffi ths-semid
r41 ,(191 ).ll
ayant!.!. proprHte suivante : &[-,-I)b Hi ( r\ D, \F,.) = 0 pour
j # j
constante b) 0 pour +
racine t:J/)0
r)
et Ce resultat avait ete conjecture par Langlands ,avec seulement l'hypothese \ +P
regulier.
La demonstration est tres voisine de celle des theoremes 1 et 2 .Tout d'abord ,d'apres un theoreme de Borel normal et d'indice
fini
(31
que Hi(r\ D •
de
assez regulier , la condition
r'\
D est maintenant compacte ) ,
=
-
-. 2 ) ,on peut prouver que
0 implique f
=0
pour j
,pour •
Formellement c'est le meme calcul que pour le theoreme 1 Pour la deuxieme partie du theoreme (Schmid ) on pro cede comme pour le theoreme 2 .On montre tout d'abord que