SEMINAIRE BOURBAKI 2019/2021: Exposes 1166-1180 2856299318, 9782856299319

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Astérisque est un périodique de la Société mathématique de France Numéro 430 Comité de rédaction Marie-Claude ARNAUD Christophe BREUIL Philippe EYSSIDIEUX Colin GUILLARMOU Fanny KASSEL Éric MOULINES

Alexandru OANCEA Nicolas RESSAYRE Rémi RHODES Sylvia SERFATY Sug WOO SHIN

Nicolas BURQ (dir.)

Maison de la SMF B.P. 67 13274 Marseille Cedex 9 France

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AMS P.O. Box 6248 Providence RI 02940 USA

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Tarifs 2021 Vente au numéro : 80 e ($ 120) Des conditions spéciales sont accordées aux membres de la SMF. Secrétariat Astérisque Société Mathématique de France Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris Cedex 05, France Tél : (33) 01 44 27 67 99 Fax : (33) 01 40 46 90 96

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ISSN 0303-1179 (print) 2492-5926 (electronic) ISBN 978-85629-931-9 DOI 10.24033/ast.1154 Directeur de la publication : Fabien DURAND

Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki Institut Henri Poincaré, �� rue Pierre-et-Marie-Curie ����� Paris Cedex �� (France) https://www.bourbaki.fr

Mots clés et classification mathématique Exposé n° ����. — Systèmes dynamiques symplectiques, entropie, perturbations, îlots stochastiques, renormalisation – ��C��, ��A��, ��C��, ��A��. Exposé n° ����. — Mécanique des fluides, écoulements parallèles, tourbillons, stabilité, dissipation accélérée – ��D��, ��D��, ��E��, ��E��. Exposé n° ����. — Lemme de fermeture, dynamique hamiltonienne, dynamique de Reeb, homologie de contact plongée – ��J�� (��E��, ��J��, ��D��). Exposé n°����. — Analyse microlocale, pseudospectre, résolubilité, sous-ellipticité – ��S��, ��H��. Exposé n° ����. — Variation of Hodge structures, period map, o-minimal structures – ��D��, ��C��, ��C��, ��F��. Exposé n° ����. — Dynamique topologique sur les surfaces, théorie de Brouwer – ��E��, ��E��, ��B��. Exposé n°����. — Ensembles nodaux, fonctions propres du laplacien, conjecture de Yau, fonctions harmoniques, indice de doublement – ��G��, ��P��. Exposé n° ����. — Dynamique homogène, géométrie hyperbolique, groupes kleinéens – ��A��, ��E��. Exposé n° ����. — Higher-order uniformity, additive combinatorics, Gowers uniformity norms, inverse theorems – ��B��. Exposé n° ����. — Divisor, linear equivalence, linkage, topological pencil, scheme structure, Zariski topology – ��J��, ��C��. Exposé n° ����. — Valeurs spéciales de la fonction zêta, polylogarithmes, conjecture de Zagier, K-théorie, régulateurs, motifs de Tate mixtes, programme de Goncharov – ��G��, ��F��, ��R��, ��E��, ��F��, ��M��. Exposé n° ����. — Équations aux dérivées partielles, analyse de Fourier, chaos quantique, principe d’incertitude – ��S��, ��Q��, ��A��, ��J��, ��J��. Exposé n° ����. — Espaces de modules, surfaces plates, métrique de Teichmüller, géodésiques complexes – ��K�� (��F��, ��F��, ��D��). Exposé n° ����. — Minimal surfaces, hyperbolic 3-manifolds, entropy – ��C��, ��C��, ��C��. Exposé n° ����. — Groupes polonais, propriété (T), Roelcke-précompacité, théorie des modèles continue – ��C��, ��F��.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

SÉMINAIRE BOURBAKI VOLUME ���� / ���� EXPOSÉS ����–����

Résumé. — Ce ��e volume du Séminaire Bourbaki contient les textes des quinze exposés de survol présentés entre novembre ���� et juin ���� : conjecture de l’entropie positive d’Herman, estimations pseudo-spectrales et stabilité des tourbillons, lemme de fermeture ⇠ 1 , pseudospectre et résolvantes d’opérateurs non autoadjoints, théorie de Hodge et o-minimalité, forçage des homéomorphismes de surfaces, ensembles nodaux de fonctions propres du laplacien, phénomènes de type Ratner dans les variétés hyperboliques, théorème inverse pour les normes de Gowers, reconstruction d’une variété algébrique à partir de sa topologie, valeurs spéciales de la fonction zêta de Riemann et polylogarithmes, principe d’incertitude fractal, sous-variétés totalement géodésiques de l’espace de modules de courbes, dénombrement asymptotique de surfaces minimales dans les variétés hyperboliques, logique continue et propriété (T) des groupes Roelcke-précompacts. Abstract (Séminaire Bourbaki, volume ���� / ����, exposés ����–����). — This ��nd volume of the Bourbaki Seminar gathers the texts of the fifteen survey lectures delivered from November ���� to June ���� : Herman’s positive entropy conjecture, pseudospectral estimates and stability of planar vortices, a closing ⇠ 1 -lemma, pseudospectrum and resolvents of non-selfadjoint operators, Hodge theory and o-minimality, forcing theory for surface homeomorphisms, nodal sets of eigenfunctions of the Laplace operator, Ratner-type phenomena for hyperbolic manifolds, the inverse theorem for Gowers norms, reconstruction of an algebraic variety from its topology, special values of Riemann’s zeta function and polylogarithms, a fractal uncertainty principle, totally geodesic subvarieties of the moduli space of curves, asymptotic counting of minimal surfaces in hyperbolic manifolds, continuous logic and property (T) of Roelcke-precompact groups.

ASTÉRISQUE ���

TABLE DES MATIÈRES

Résumés des exposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii N������� ���� ���� Marie-Claude Arnaud — La démonstration de la conjecture de l’entropie positive d’Herman (d’après Berger et Turaev) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . � ���� Thierry Gallay — Estimations pseudo-spectrales et stabilité des tourbillons plans (d’après Te Li, Dongyi Wei et Zhifei Zhang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� ���� Vincent Humilière — Un lemme de fermeture ⇠ 1 (d’après Asaoka et Irie) �� ���� Karel Pravda-Starov — Estimations de résolvante et localisation du spectre pour certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints (d’après Nils Dencker, Johannes Sjöstrand et Maciej Zworski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� J������ ���� ���� Javier Fresán — Hodge theory and o-minimality (after B. Bakker, Y. Brunebarbe, B. Klingler, and J. Tsimerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� ���� Pierre-Antoine Guihéneuf — Théorie de forçage des homéomorphismes de surfaces (d’après Le Calvez et Tal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� ���� Maxime Ingremeau — Volume d’ensembles nodaux de fonctions propres du laplacien (d’après Logunov, Malinnikova, ainsi que Yau, Brüning, Donnelly– Feffermann, Hardt–Simon, . . .) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� ���� Nicolas Tholozan — Phénomènes de type Ratner dans les variétés hyperboliques de volume infini (d’après McMullen, Mohammadi, Oh, Benoist, . . .) . . . . . . ��� ���� Thomas F. Bloom — Quantitative inverse theory of Gowers uniformity norms (after F. Manners) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���

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TABLE DES MATIÈRES

A���� ���� ���� Kęstutis Česnavičius — Reconstructing a variety from its topology (after Kollár, building on earlier work of Lieblich and Olsson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� ���� Clément Dupont — Progrès récents sur la conjecture de Zagier et le programme de Goncharov (d’après Goncharov, Rudenko, Gangl,. . .) . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� ���� Nguyen Viet Dang — Le principe d’incertitude fractal (d’après Bourgain, Dyatlov, Jin, Nonnenmacher, Zahl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� ���� Élise Goujard — Sous-variétés totalement géodésiques des espaces de modules de Riemann (d’après Eskin, McMullen, Mukamel, Wright) . . . . . . . . . . . . . . ��� M�� ���� ���� François Labourie — Asymptotic counting of minimal surfaces and of surface groups in hyperbolic 3-manifolds (according to Calegari, Marques and Neves) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� ���� François Le Maître — La propriété (T) pour les groupes polonais Roelckeprécompacts (d’après Ibarlucía, s’appuyant sur des travaux de Ben Yaacov et Tsankov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���

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Résumés des exposés

Marie-Claude Arnaud. — La démonstration de la conjecture de l’entropie positive d’Herman (d’après Berger et Turaev) Au Congrès international des mathématiciens en ����, Michel Herman énonce sa conjecture pour les difféomorphismes du disque qui préservent l’aire : dans tout voisinage de l’identité en topologie ⇠ 1 , il existe un difféomorphisme d’entropie métrique positive. En ����, Berger et Turaev démontrent la conjecture. Je situerai ce résultat parmi d’autres résultats et conjectures et expliquerai les idées essentielles de la démonstration. Thierry Gallay. — Estimations pseudo-spectrales et stabilité des tourbillons plans (d’après Te Li, Dongyi Wei et Zhifei Zhang) Lorsqu’on étudie la stabilité des écoulements parallèles ou tourbillonnaires en mécanique des fluides, on observe que les effets de transport renforcent considérablement la dissipation visqueuse. Cette interaction se traduit, au niveau de l’opérateur linéarisé, par des propriétés pseudo-spectrales, souvent difficiles à établir en présence de termes non locaux. Dans un travail récent, consacré aux tourbillons plans de profil gaussien, T. Li, D. Wei et Z. Zhang obtiennent des estimations optimales qui permettent de quantifier précisément l’effet stabilisateur dû à la rotation. Vincent Humilière. — Un lemme de fermeture ⇠ 1 (d’après Asaoka et Irie) Nous présenterons le contexte ainsi que certaines des idées menant à la démonstration par Asaoka et Irie du résultat suivant : ⇠ 1 -génériquement, les orbites périodiques d’un difféomorphisme hamiltonien d’une surface compacte sont denses. C’est une conséquence d’un résultat analogue pour les flots de Reeb en dimension 3, obtenu par Irie et basé sur une théorie très sophistiquée due à Hutchings, l’homologie de contact plongée. Nous verrons que le point clé de cette démonstration est la « conjecture du volume », établie par Cristofaro–Gardiner, Hutchings et Ramos. Selon celle-ci, le volume d’une forme de contact s’obtient comme limite de certains invariants extraits de l’homologie de contact plongée que nous présenterons. Karel Pravda-Starov. — Estimations de résolvante et localisation du spectre pour certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints (d’après Nils Dencker, Johannes Sjöstrand et Maciej Zworski) L’objet de l’exposé sera de présenter les travaux de Dencker, Sjöstrand et Zworski sur le pseudo-spectre de certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints. L’étude des propriétés pseudo-spectrales d’un opérateur revient à étudier les lignes de niveau de la norme de sa résolvante. Pour des opérateurs non

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RÉSUMÉS DES EXPOSÉS

autoadjoints, il s’agit d’un problème non trivial, et ce même lorsque le spectre de ces opérateurs est connu. En effet, il n’y a aucun contrôle a priori de la résolvante d’un opérateur non autoadjoint par son spectre, et la résolvante d’un tel opérateur peut exploser en norme dans des régions non bornées de l’ensemble résolvant très éloignées du spectre. Les travaux de Dencker, Sjöstrand et Zworski que nous présenterons montrent comment la théorie de l’analyse microlocale et notamment des résultats de non résolubilité ou de sous-ellipticité, permettent d’expliquer ces phénomènes de contrôle ou d’explosion de la résolvante pour certaines classes d’opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques non autoadjoints. Javier Fresán. — Hodge theory and o-minimality (after B. Bakker, Y. Brunebarbe, B. Klingler, and J. Tsimerman) A family of smooth projective varieties parameterised by a complex variety ( gives rise by means of Hodge theory to a holomorphic map from ( to a quotient of an open subset of a flag variety. Although the target rarely admits an algebraic structure, these so-called period maps have moderate behaviour at infinity : they are definable in the o-minimal structure generated by restricted analytic functions and the real exponential. I explain this theorem and two striking applications : a new proof of the algebraicity of Hodge loci and a proof of Griffiths’s conjecture that the images of period maps are quasi-projective varieties. The latter relies on advances on o-minimal geometry, namely a GAGA type theorem generalising the o-minimal Chow theorem of Peterzil–Starchenko. Pierre-Antoine Guihéneuf. — Théorie de forçage des homéomorphismes de surfaces (d’après Le Calvez et Tal) En ���� Brouwer publiait son théorème de translation, qui implique par exemple qu’un homéomorphisme du plan préservant l’orientation et ayant un point périodique possède aussi un point fixe. Ce théorème a donné lieu à bon nombre de développements, débouchant entres autres sur l’obtention par Le Calvez d’un feuilletage de Brouwer équivariant pour les homéomorphismes de surface homotopes à l’identité. Récemment, Le Calvez et Tal ont utilisé ce feuilletage pour construire une théorie de forçage par essence topologique qui, à l’instar du théorème de Brouwer, permet de déduire l’existence de nouvelles orbites à partir de certaines propriétés dynamiques de l’homéomorphisme. L’exposé décrira les principes généraux de cette théorie, ainsi que quelques-unes de ses très nombreuses applications. Maxime Ingremeau. — Volume d’ensembles nodaux de fonctions propres du laplacien (d’après Logunov, Malinnikova, ainsi que Yau, Brüning, Donnelly– Feffermann, Hardt–Simon, . . .) Nous présenterons les travaux récents de Logunov et Malinnikova sur la conjecture de Yau. Celle-ci affirme que, sur une variété riemannienne compacte (- , 6) de dimension 3, le lieu d’annulation d’une fonction propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami de valeur propre ⌫ possède une mesure de Hausdorff (3 1)-dimensionnelle comprise entre ASTÉRISQUE ���

RÉSUMÉS DES EXPOSÉS

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p p 2 ⌫ et ⇠ ⌫, où 2 et ⇠ sont des constantes ne dépendant que de la variété (- , 6). Cette conjecture a été prouvée lorsque (- , 6) est une variété analytique par Donnelly et Feffermann. Lorsque (- , 6) est une surface non analytique, la borne inférieure a été obtenue par Brüning, tandis que Donnelly et Feffermann ont montré une borne supérieure en ⌫3/4 . Toutefois, sur une variété non analytique de dimension 3, les résultats connus étaient beaucoup moins précis : les meilleures bornes inférieures disponibles ne tendaient pas vers l’infini quand ⌫ ! +1, et les meilleures bornes supérieures (obtenues par Hardt et Simon) croissaient exponentiellement avec ⌫. En introduisant des arguments de nature combinatoire, Logunov et Malinnikova ont montré la borne inférieure de la conjecture en toute dimension, et ont obtenu des bornes supérieures polynomiales. Nicolas Tholozan. — Phénomènes de type Ratner dans les variétés hyperboliques de volume infini (d’après McMullen, Mohammadi, Oh, Benoist, . . .) Parmi les nombreuses applications des travaux de Ratner sur l’équidistribution des flots unipotents, on trouve le théorème suivant : Soit " une 3-variété hyperbolique complète de volume fini. Alors toute surface totalement géodésique immergée dans " est soit fermée (et donc proprement immergée), soit dense dans ". Nous présenterons ici certains résultats récents de McMullen, Mohammadi, Oh et Benoist qui généralisent ce théorème à une large classe de variétés hyperboliques de volume infini : les variétés géométriquement finies et acylindriques. Leurs arguments s’inspirent de ceux développés par Margulis dans sa résolution de la conjecture d’Oppenheim. Thomas F. Bloom. — Quantitative inverse theory of Gowers uniformity norms (after F. Manners) Gowers uniformity norms are the central objects of higher order Fourier analysis, one of the cornerstones of additive combinatorics, and play an important role in both Gowers’s proof of Szemerédi’s theorem and the Green–Tao theorem. The inverse theorem states that if a function has a large uniformity norm, which is a robust combinatorial measure of structure, then it must correlate with a nilsequence, which is a highly structured algebraic object. This was proved in a qualitative sense by Green, Tao, and Ziegler, but with a proof that was incapable of providing reasonable bounds. In ���� Manners achieved a breakthrough by giving a new proof of the inverse theorem. Not only does this new proof contain a wealth of new insights but it also, for the first time, provides quantitative bounds, that are at worst only doubly exponential. This talk will give a high-level overview of what the inverse theorem says, why it is important, and the new proof of Manners. Kęstutis Česnavičius. — Reconstructing a variety from its topology (after Kollár, building on earlier work of Lieblich and Olsson) As part of the structure of a projective variety, one remembers not only the topological subspace cut out in projective space by the vanishing of the defining homogeneous

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RÉSUMÉS DES EXPOSÉS

polynomials, but also a sheaf of rings on that subspace. One may wonder to what extent the topological space alone determines the variety. In spite of counterexamples in low dimension, such determination turns out to hold in sufficiently high dimension for normal, projective, geometrically irreducible varieties in characteristic 0. The latter is a recent result of Kollár (that builds on earlier work of Lieblich and Olsson) and it will be the subject of this talk. Clément Dupont. — Progrès récents sur la conjecture de Zagier et le programme de Goncharov (d’après Goncharov, Rudenko, Gangl,. . .) La formule analytique du nombre de classes relie le résidu en B = 1 de la fonction zêta de Dedekind d’un corps de nombres à une quantité transcendante, le régulateur, qui est un déterminant de logarithmes d’unités du corps de nombres. À la fin des années ��, Zagier a conjecturé une généralisation de ce résultat classique à toutes les valeurs spéciales des fonctions zêta de Dedekind, où les polylogarithmes remplacent le logarithme. L’existence de régulateurs supérieurs reliés à ces valeurs spéciales résulte du calcul par Borel de la cohomologie stable du groupe linéaire, et la conjecture de Zagier peut être vue comme une recherche de cocycles explicites pour ces groupes de cohomologie. Une interprétation plus conceptuelle, en lien avec la théorie des motifs, a été donnée par Beilinson et Deligne. Dans le même temps, Goncharov a développé un programme qui englobe la conjecture de Zagier dans un ensemble de constructions et de conjectures qui visent à comprendre la K-théorie et les motifs de Tate mixtes « par générateurs et relations». Il sera question dans cet exposé de progrès récents sur la conjecture de Zagier et le programme de Goncharov. On abordera notamment la preuve par Goncharov et Rudenko de la conjecture de Zagier dans le cas de la valeur spéciale en B = 4. La combinatoire des dissections des polygones est un ingrédient important, qui permet d’organiser les équations fonctionnelles des polylogarithmes. Nguyen Viet Dang. — Le principe d’incertitude fractal (d’après Bourgain, Dyatlov, Jin, Nonnenmacher, Zahl) Nous décrivons un nouveau principe d’incertitude qui interdit à toute fonction dans !2 d’être localisée simultanément en position et en fréquence près d’ensembles fractals vérifiant certaines hypothèses de porosité. Dans un second temps, nous discuterons des applications spectaculaires de ce principe à des problèmes d’analyse géométrique sur les surfaces hyperboliques. Élise Goujard. — Sous-variétés totalement géodésiques des espaces de modules de Riemann (d’après Eskin, McMullen, Mukamel, Wright) Soit M 6,= l’espace de modules des surfaces de Riemann de genre 6 à = points marqués. Cet espace est naturellement muni de la métrique de Teichmüller, une métrique de Finsler qui permet de comparer les structures conformes sur les surfaces, et qui coïncide avec la métrique de Kobayashi. Une sous-variété de M 6,= est dite totalement géodésique si elle contient toutes les géodésiques de Teichmüller qui lui sont tangentes. Les sous-variétés totalement géodésiques de dimension (complexe) 1, appelées courbes

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RÉSUMÉS DES EXPOSÉS

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de Teichmüller, sont relativement bien étudiées depuis les premières constructions de Veech dans les années �� ; elles sont en particulier infiniment nombreuses dans chaque espace de modules M 6,= . Récemment, Wright a montré, en s’appuyant sur des résultats de finitude d’Eskin, Filip et Wright, qu’en dimension plus grande, ce n’était plus le cas : il n’y a qu’un nombre fini de telles sous-variétés dans chaque M 6,= . Dans cet exposé nous présenterons la preuve de ce résultat : plus précisément nous expliquerons comment se ramener aux résultats d’Eskin–Filip–Wright en passant par les sous-variétés linéaires des espaces de modules de différentielles abéliennes. Nous présenterons également les constructions d’exemples primitifs de dimension 2 en petit genre d’Eskin–McMullen–Mukamel–Wright. François Labourie. — Asymptotic counting of minimal surfaces and of surface groups in hyperbolic 3-manifolds (according to Calegari, Marques and Neves) La récente prépublication de Calegari, Marques et Neves propose la définition d’une « entropie » pour compter les surfaces minimales dans les variétés de dimension 3 à courbure négative et un résultat de rigidité permettant de caractériser les variétés à courbure constante. J’expliquerai le schéma de la preuve ainsi que d’autres résultats de même type. François Le Maître. — La propriété (T) pour les groupes polonais Roelcke-précompacts (d’après Ibarlucía, s’appuyant sur des travaux de Ben Yaacov et Tsankov) Je présente ici un résultat récent d’Ibarlucía qui dit que tout groupe polonais Roelckeprécompact possède la propriété (T) de Kazhdan. Ce théorème remarquable s’appuie de manière essentielle sur la caractérisation des groupes polonais Roelcke-précompacts comme groupes d’automorphismes de structures métriques @0 -catégoriques, due à Ben Yaacov et Tsankov. J’expose les concepts de théorie des modèles métrique sousjacents, et je présente la preuve d’Ibarlucía dans le cas particulier (mais déjà nouveau !) du groupe des transformations préservant la mesure d’un espace de probabilité standard.

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Séminaire BOURBAKI ��e année, ����–����, no ����, p. � à �� doi : ��.�����/ast.����

Novembre ����

LA DÉMONSTRATION DE LA CONJECTURE DE L’ENTROPIE POSITIVE D’HERMAN [d’après Berger et Turaev] par Marie-Claude Arnaud

�. INTRODUCTION Ce texte traite de l’entropie métrique pour la mesure de Lebesgue en dimension �, une quantité qui mesure le chaos détecté par la mesure de Lebesgue pour un système dynamique différentiable la préservant. Bien longtemps, les seuls exemples connus d’entropie métrique positive 1 ont été les systèmes Anosov (appelés aussi uniformément hyperboliques), définis sur le tore �-dimensionnel. D’autres exemples ont suivi dans les années ��, construits par K���� (����), sur toute surface, mais toujours élaborés à partir des Anosov, et toujours loin de l’identité au sens de la topologie ⇠ 1 . Au Congrès international des mathématiciens de ����, Herman énonce la conjecture suivante.

Conjecture �.� (Herman). — Soit Diff 1 $ (D) l’ensemble des difféomorphismes du disque de classe ⇠ 1 qui préservent l’aire. Dans tout voisinage de l’identité dans Diff 1 $ (D), il existe un difféomorphisme d’entropie métrique positive. Une autre conjecture fameuse de l’entropie positive, qui concerne la famille standard des difféomorphismes du tore définis par 5⌫ (G, H) = (2G H+⌫ sin 2 G, G), a été énoncée par S���� (����).

Conjecture �.� (Sinai). — Pour tout paramètre ⌫ < 0, l’entropie métrique de 5⌫ est positive. En ce qui concerne la conjecture �.�, on ne sait démontrer pour aucun paramètre ⌫ que l’entropie est positive, même si les simulations numériques semblent montrer des mers de chaos. La conjecture �.� vient d’être démontrée par B����� et T����� (����), dans un véritable tour de force et l’objet de ce texte et de présenter leur démonstration. Après avoir rappelé ce qu’est l’entropie métrique, nous commencerons par décrire ce que Berger et Turaev appellent les îlots stochastiques, qui généralisent un exemple dû �. Ici, positive signifie strictement positive.

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M.C. ARNAUD

à P�������� (����). Ces objets, porteurs d’entropie positive, sont fragiles et ne résistent pas aux perturbations. Berger et Turaev construisent un îlot stochastique qui résiste à un certain type de perturbations qu’ils introduisent, dites relatives aux liens. Nous parlerons alors de renormalisation et expliquerons comment l’existence de bandes homoclines pour un point périodique hyperbolique permet de créer par perturbation des dynamiques qui, renormalisées, sont très proches de n’importe quelle dynamique (par exemple de l’îlot stochastique de Berger et Turaev). Une partie des méthodes utilisées ici ont été développées par T����� (����), dans le contexte des dynamiques universelles et par G��������, S�������� et T����� (����), pour étudier les domaines de Newhouse. Il s’agit de la partie la plus technique de la preuve. Finalement, nous montrerons comment construire dans tout voisinage de l’identité un difféomorphisme 5 ayant une bande homocline, ce qui permettra d’injecter une dynamique proche de l’îlot stochastique de Berger et Turaev comme renormalisée de 5 . Il faudra ensuite restaurer l’îlot stochastique. Cette dernière étape utilise un opérateur astucieusement défini pour évaluer l’écart entre deux branches de variétés invariantes.

Remords. — L’élément central de l’exposé est la démonstration de la conjecture de Herman. Mais en vérité, Berger et Turaev démontrent plus que cette conjecture et montrent le résultat suivant : Soit 5 un difféomorphisme préservant l’aire qui a un point périodique non hyperbolique et + un voisinage de 5 en topologie ⇠ 1 . Alors + contient un difféomorphisme préservant l’aire d’entropie métrique positive. Ceci leur permet de progresser vers la conjecture suivante.

Conjecture �.� (Berger & Turaev). — Il existe un ensemble dense de Diff 1 $ (D) dont tout élément est d’entropie métrique positive. Je remercie chaleureusement Sylvain Maillot pour sa relecture de cet exposé et ses précieux conseils, ainsi que Pierre Berger et Sylvain Crovisier qui m’ont aidé à améliorer tant le texte que les illustrations. Merci aussi à toute l’équipe éditoriale qui fait un travail remarquable dans un délai très resserré.

�. PARLONS D’ENTROPIES Un système dynamique discret est la donnée d’une transformation (bijection) 5 :- !-

d’un ensemble - muni d’une structure dont on étudie les itérées ( 5 = )=2N . En particulier, 3 si - est un espace métrique, 5 est un homéomorphisme ;

3 si - est un espace de probabilité, 5 est mesurable et préserve la probabilité.

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(����) LA DÉMONSTRATION DE LA CONJECTURE DE L’ENTROPIE POSITIVE D’HERMAN

�

Pour introduire une notion de complexité d’un tel système, on s’intéresse aux « morceaux finis » d’orbites ( 5 8 G)08= 2 - =+1 de longueur = 2 N et on regarde ce qui se passe quand = tend vers +1. Étant donné un recouvrement ouvert ou mesurable -=

ÿ

-8

08
1 ; �) des difféomorphismes

1, . . . ,

#

2 2 Diff 1 $ (R ) qui sont ⇣-proches de l’identité ;

�) un difféomorphisme de classe ⇠ 1 & : R2 ! R2 qui est de jacobien constant et qui vérifie &(D) ⇢ * ;

tels que pour toutes fonctions #1 , . . . , # # 2 ⇠ A (R , R) dont les normes ⇠ A sont majorées par !, il existe un difféomorphisme symplectique b 5 de classe ⇠ A 18 qui coïncide avec f sur le b complémentaire de * , est tel que k 5 5 k ⇠ A < ⇣ et &

De plus, b 5
0 de 5 < ( ). On choisit alors # points distincts "1 , . . . , " # dans . On utilise la notation " 8+ = 5 < (" 8 ) et on note leurs coordonnées " 8 (0, H 8 ) et " 8+ (G +8 , 0). On va utiliser tout d’abord deux types de changement d’échelle qui sont des affinités 21 3 (G, H) 7! (G/⌫ : , H 3 (G, H) 7! (G

H 8 ) au voisinage de " 8 ;

G +8 , H/⌫ : ) au voisinage de " 8+ .

On utilisera aussi une suite (⇠ : ) qui tend en décroissant de façon sous-exponentielle vers 0 pour faire des changements d’échelle homothétiques ⇣G G H H ⌘ 8 8 (G, H) 7 ! , ⇠: ⇠: autour de points variables " 8 (G 8 , H 8 ).

Pour faire ces changements d’échelle, on a donc besoin d’être :

3 soit dans une bande verticale de largeur ⌫ : et dans une ellipse verticale qui est proche d’un " 8 de grand axe au plus ⇠ : et dont le rapport des axes vaut ⌫ : ; 3 soit dans une bande horizontale de hauteur ⌫ : et dans une ellipse horizontale qui est proche d’un " 8+ de grand axe au plus ⇠ : et dont le rapport des axes vaut 22 ⌫ : . Un premier résultat concerne l’application 5 : renormalisée dans une ellipse de taille au plus ⇠ : dont les : premières images par 5 restent dans + (G��������, S�������� et T�����, ����). Il énonce que l’application 5 : renormalisée dans une ellipse de taille au plus ⇠ : dont les : premières images par 5 restent dans + s’écrit (dans les coordonnées renormalisées fixées de taille ') )0 (- , .) = (- , .) +

: (- , .)

où la norme de : tend vers 0 quand : tend vers +1. En d’autres termes, les transitions dans +, où 5 est « presque linéaire », se lisent après renormalisation comme « presque l’identité ». Un second résultat décrit ce qui se passe pour l’application renormalisée quand on suit une connexion homocline plate de " 8 à " 8+ par 5 < . ⇠1

��. Rappelons que ⌫ 2 ]0, 1[ est une des deux valeurs propres de ⇡ 5 ($), l’autre étant ⌫ 1 . ��. Berger et Turaev font aussi un changement d’échelle indépendant de : que nous ne faisons que mentionner pour ne pas alourdir.

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��

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F����� �. Une transition « presque linéaire »

F����� �. Une autre transition « presque linéaire »

En ce cas, l’application renormalisée n’est plus proche de l’identité, mais d’une application de Hénon linéaire, toujours pour la topologie ⇠ 1 (- , .) 7 ! (., - + 0.)

avec 0 uniformément borné en :. Berger et Turaev vont alors faire une perturbation à support très petit de 5 de manière à intercaler entre des transitions bien choisies des applications de la forme (G, H) 7! (G, H + #(G)) 23 qui permettront de faire apparaître des applications de type Hénon et aussi de faire disparaître la transition qui n’est a priori pas proche de l’identité. Pour ce faire, il faut préciser un peu les domaines des transitions et des renormalisations. Tout d’abord, ils choisissent des ellipses horizontales ⌫+8,: au voisinage des " 8+ et des ellipses verticales ⌫ 8,: au voisinage des " 8 de telle sorte que 5 : définisse une transition 24 dans + de ⌫+8,: vers ⌫ 8+1,: . Le centre de ⌫+8,: a même abscisse G +8 que " 8+ et ��. Il s’agit donc de translations dans la fibre verticale. ��. Notons que de telles ellipses de transition peuvent être construites quels que soient les points (" 8+ ) et (" 8 ) fixés.

ASTÉRISQUE ���

(����) LA DÉMONSTRATION DE LA CONJECTURE DE L’ENTROPIE POSITIVE D’HERMAN

��

le centre de ⌫ 8+1,: a même ordonnée que " 8+1 . Si la transition envoie le centre de ⌫+8,: sur le centre de ⌫ 8+1,: , ceci détermine entièrement les centres des ellipses.

F����� �. Transition du voisinage de " 8+ vers le voisinage de " 8+1 .

On remarque que 5 : (⌫+8,: ) peut avoir un diamètre plus grand que celui de ⌫+8,: , c’est pourquoi le diamètre de ⌫ 8+1,: peut être plus grand que celui de ⌫+8,: . Mais Berger et Turaev montrent que le rapport entre les deux rayons reste borné uniformément en :. + Ensuite, on utilise 5 < pour faire une transition de ⌫ 8+1,: vers un voisinage de " 8+1 . Il + < n’y a aucune raison que 5 (⌫ 8+1,: ) soit incluse dans ⌫ 8+1,: , non pas pour une question de taille car celle-ci peut être ajustée 25, mais parce que le centre de ⌫+8+1,: peut être relativement éloigné de 5 < (⌫ 8+1,: ), où le terme relativement concerne ce qui se passe quand on a renormalisé à la fois par ⌫ : et par ⇠ : . Toutefois, si on revient dans le voisinage + de $, avant les changements d’échelle donc, on constate que cette distance ne peut être d’ordre plus grand que ⌫ : . Berger et Turaev construisent alors un difféomorphisme symplectique 6 : qui est ⇠ : -proche de l’identité en topologie ⇠ : , à support dans * ⌘ , qui coïncide avec une application (G, H) 7! (G, H + : (G)) dans +⌘ , et qui a les effets suivants 26 : 3 On a 6 : 5 < (⌫ 8,: ) ⇢ ⌫+8+1,: pour chaque 8 2 [1, # 1] (on peut en effet grâce à une translation dans la fibre verticale ramener 5 < (⌫ 8,: ) dans ⌫+8+1,: ). 3 Après renormalisation par ⌫ : et par ⇠ : , l’application 6 : proche de # 8 : (- , .) 7 ! ., - + # 8 (.) .

5 < restreinte à ⌫ 8,: est

En effet, toujours grâce à une translation dans la fibre, on peut faire disparaître le terme 0 qui apparaissait dans la transition homocline 5 < ; on est alors ramené à composer une application 8 proche de 0 : (- , .) 7! (., -) avec l’application ��. Là encore le rapport des deux rayons peut être borné uniformément en :. ��. Faire ces opérations ne requiert aucune condition spéciale sur les points " 8 à part qu’ils soient deux à deux distincts.

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(# 8 : (- , .) 7! (- , . + # 8 (-)), ce qui donne la composée d’une application proche de l’identité 27 et d’une application proche de (- , .) 7! (., - + # 8 (.)).

La renormalisée d’une composition étant la composition des renormalisées, on + qui est 28 peut alors exprimer la renormalisée de ((6 5 )#( 0, on déduit l’existence d’un entier = 1, d’un A b A difféomorphisme de classe ⇠ 5 qui coïncide avec 5 en dehors de * , tel que 3⇠ ( 5 , b 5) < 2 A ⌘, de difféomorphismes 1 , . . . , # 2 Diff 1 $ (R ) qui sont ⇣-⇠ -proches de Id, un plongement & : D ! R2 de classe ⇠ 1 et de jacobien constant tel que & Comme

#

Posant b =

0,

= (# & 0

1

#

1

b 5=

&|D =

···

#

##

cela s’écrit aussi

b 5=

···

& | D = (# 1

#1

3⇠ 1 (b, &

1

�. LA RÉPARATION DE LIENS

#

···

#1

1| D .

1 | D.

et choisissant ⇣ petit, on a alors

0

donc 3⇠ 1 ( , b) < ⌘, 3⇠ A ( 5 , b 5 ) < ⌘ et

0

#1

#2:

b 5=

···

& | D = (#

#1 )

< 12 ⌘

b.

Afin d’utiliser les résultats obtenus en section � au voisinage des bandes homoclines, on perturbe l’application identité du disque en une application 50 qui préserve l’aire, vaut l’identité au bord du disque et qui a un point périodique hyperbolique tel que la variété stable et la variété instable de son orbite coïncident 29. Ceci ne présente pas de difficulté majeure : en utilisant un hamiltonien du type énergie cinétique plus énergie potentielle dans un petit anneau, on fait apparaître des suites de connexions hétéroclines avec des branches stables et instables qui coïncident comme sur la figure � et on compose avec une rotation d’angle petit. ��. En utilisant les formes normales, G�������� et T����� (����) ont montré qu’une telle perturbation est possible au voisinage de tout point fixe elliptique. Ceci explique comment montrer le remords cité dans l’introduction.

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F����� �. Une guirlande de connexions hétéroclines.

Le corollaire �.� nous permet alors grâce à une perturbation 5 de la dynamique 50 b0 qui est l’îlot introduit en section � lu de voir une perturbation de l’îlot stochastique I dans une bonne carte que nous allons décrire un peu plus loin comme une application renormalisée de 5 . Nous représentons ci-après ce qui se passe pour une itérée de 5 près du domaine invariant par cette itérée que nous avons représenté en foncé sur la figure �. La figure �� reprend la figure � adaptée à notre cas.

F����� ��. La dynamique perturbée itérée sur un petit domaine.

Le défi est maintenant de restaurer les liens. Les quatre bi-liens ont en effet été cassés et la figure renormalisée que l’on obtient ressemble à la figure ��. Il est assez fréquent en dynamique de vouloir créer des intersections hétéroclines dans le but d’obtenir des fers à cheval et donc un comportement chaotique, par exemple quand une branche stable d’un point périodique hyperbolique s’accumule sur une branche instable d’un autre point périodique. C’est un problème perturbatif difficile dont une solution générale existe uniquement en topologie ⇠ 1 , présentée par H������ (����) lors du Congrès international des mathématiciens. ��. Le dessin montre des branches stables et instables qui continuent à s’intersecter, il n’y a a priori aucune raison que ce soit le cas et le dessin pourrait être différent.

ASTÉRISQUE ���

(����) LA DÉMONSTRATION DE LA CONJECTURE DE L’ENTROPIE POSITIVE D’HERMAN

��

F����� ��. L’îlot stochastique perturbé 30.

Le problème envisagé ici est différent, car on sait que la dynamique est proche de celle d’un îlot stochastique où branches stables et instables coïncidaient. Le problème est de rétablir cette coïncidence en n’utilisant qu’un certain type de perturbations autorisées par le corollaire �.�, celles de la forme (G, H) 7! (G, H + #(G)) 31. �.�. Cartes énergie-temps pour des perturbations de bi-liens Afin d’estimer la non-coïncidence des variétés stables et instables, Berger et Turaev vont encore utiliser des coordonnées de type énergie-temps comme en section �.� dans lesquelles les branches stables et instables s’écriront localement comme des graphes. Notons que si la dynamique est de classe ⇠ A , les cartes énergie-temps construites par Berger et Turaev sont de classe ⇠ A 1 . Alors, les graphes coïncident si et seulement si la différence des fonctions qui leur sont associées est nulle. On se ramène donc à travailler dans des sous-espaces fixés d’espaces de fonctions de la forme ⇠ A 1 ([G, G + ], R), deux tels espaces fonctionnels pour chacun des bi-liens bordant l’îlot stochastique initial.

F����� ��. Les coordonnées énergie-temps pour un bi-lien brisé.

��. Remarquons à l’opposé que pour une dynamique holomorphe et entière, U����� (����) a montré qu’il n’est pas possible d’avoir des bi-liens.

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�.�. La restauration d’un bi-lien par des opérateurs Nous expliquons ici comment restaurer un bi-lien dans une bonne carte si on ne se soucie pas de l’impact sur les autres bi-liens. Pour cela, on utilise la carte énergie-temps construite dans le paragraphe précédent ainsi que les notations introduites dans les paragraphes �.� et �.�. Cette bonne carte est de classe ⇠ A 1 et dépend de façon ⇠ 1 de la dynamique perturbée : D ! D, elle-même proche de la dynamique non perturbée 0 qui possède un îlot stochastique. Une bande verticale coupe le bi-lien de 0 suivant deux composantes connexes, et donc une translation verticale (# : (G, H) 7! (G, H + #(G)) à support dans une bande verticale +0 perturbe le bi-lien de 0 ou les arcs de branches qui lui correspondent pour en deux endroits 32. Afin de pouvoir restaurer la première connexion ! 0 sans problème, Berger et Turaev construisent donc leur carte de manière à ce que +0 ne coupe ! 0 qu’en un seul endroit. Sachant que la dynamique se lit au voisinage de ! 0 \ +0 comme la translation (G, H) 7! (G , H), la partie , D (%) qui nous intéresse est le graphe d’une fonction -périodique F D0 : [G 0 2 , G 0 ] ! R et la partie de , B (&) est aussi le graphe d’une fonction -périodique F 0B : [G 0 2 , G 0 ] ! R. L’écart entre les deux branches est alors la fonction " 0 ( ) = (F D0 F 0B ) | [G 0 ,G 0 ] , fonction que nous voulons rendre nulle.

Notation �.�. — Un nombre ⇣ > 0 petit étant fixé, l’ensemble des fonctions de classe ⇠ A 2 définies sur R à support dans [G 0 2 + ⇣, G 0 ⇣] est noté ⇠ ⇣A

2

[G 0

2 , G 0 ], R .

Berger et Turaev montrent alors que l’opérateur ⇠1,

# 2 ⇠ ⇣A

2

[G 0

2 , G 0 ], R 7 ! " 0 ((#

)

est de classe dépend continûment de , et que dans le cas non perturbé, l’écart entre les deux branches est " 0 ((# ). 0 )(C) = " 0 ( 0 ) + #(C) + #(C Si on se restreint à l’ensemble des fonctions où ⌧ 0 2 ⇠ ⇣1 ([G 0

e # = ⌧0 · #

2 , G 0 ], [0, 1]) vérifie ⌧ 0 (C) + ⌧ 0 (C + ) = 1, alors l’opérateur 0(

e 7 ! " 0 (( e ):# ⌧ 0 ·#

)

défini sur l’ensemble P A 2 des fonctions de classe ⇠ A 2 et -périodique de R vers R est de classe ⇠ 1 et est l’opérateur identité 33 pour 0 . Aussi, IdP A 2 0 ( 0 ) est une contraction au voisinage de 0. Pour assez proche de 0 , IdP A 2 0 ( ) est aussi une contraction sur ce voisinage, a donc un point fixe proche de 0 et 0 ( ) a un zéro proche de 0. Ce zéro, que nous notons # 0 , rétablit la connexion ! 0 . ��. En réalité le bi-lien n’existe plus dans le cas perturbé, chaque branche du bi-lien de 0 étant dédoublée par perturbation comme indiqué dans la figure ��. Aussi, couper ! 0 ou !1 dans le cas perturbé signifiera couper les deux branches correspondantes. e qui est -périodique et # e | [G ,G ] . ��. À condition d’identifier # 0 0 ASTÉRISQUE ���

(����) LA DÉMONSTRATION DE LA CONJECTURE DE L’ENTROPIE POSITIVE D’HERMAN

��

Il reste alors à rétablir la connexion !1 à l’aide d’une translation verticale à support dans +1 , les branches correspondantes ayant été encore modifiées par la perturbation introduites pour ! 0 . La construction est plus compliquée car la bande +1 coupe en deux composantes connexes le lien !1 non perturbé. L’opérateur "1 :

7 ! (F 1D

F 1B ) | [G1 ,G1 +

]

est construit comme l’était " 0 et # 2 ⇠ ⇣A 4 ([G 1 , G 1 + 2 ], R) 7! "1 ((# ) est de classe ⇠ 1 , dépend continûment de , et dans le cas non perturbé, l’écart entre les deux branches devient alors "1 ((#

0 )(C)

= "1 (

0 )(C)

1⇣ + # 2

#(C) 1 2 (3G 1

+#

#(C + ) +

1 2 (3G 1

G) + # +3

1 2 (3G 1

G) + #

+2

1 2 (3G 1

G) +4

⌘

G) .

Une remarque fondamentale est qu’une fois que le lien ! 0 a été restauré, "1 ( ) est d’intégrale nulle simplement parce que préserve l’aire. Aussi, on peut se restreindre aux fonctions d’intégrale nulle. Finalement, sur l’espace P A,04 des fonctions # : R ! R qui sont -périodiques, de classe ⇠ A 4 et d’intégrale nulle sur une période, Berger et Turaev définissent l’opérateur 1(

e 7 ! "1 (( e ):# ⌧ 1 ·#

)

où cette fois le support de ⌧1 est dans [G 1 , G 1 + 2 ] et on a toujours ⌧1 (C) + ⌧1 (C + ) = 1. Si on munit l’espace P A,04 de la norme k#k = max k⇡ 8 #k 18A 4

alors IdP A

4 ,0

1 ( 0)

devient encore une contraction et on conclut comme dans le cas

précédent qu’il existe # 1 qui rétablit le lien. Notons que comme cette nouvelle perturbation est à support dans +1 qui ne rencontre pas ! 0 , cette nouvelle perturbation ne casse pas la partie restaurée ! 0 et donc qu’on a ainsi restauré le bi-lien en entier. La perturbation globale utilisée pour restaurer le bi-lien est finalement (# où # = ⌧ 0 · # 0 + ⌧1 · # 1 . �.�. De bonnes cartes Il y a quatre bi-liens à restaurer dans le cas envisagé par Berger et Turaev. Ils commencent par utiliser un difféomorphisme ) 2 Diff A$ (D) tel que b 50 = ) 50 ) 1 détermine une bonne carte pour chacun des quatre bi-liens avant perturbation au sens du paragraphe �.�. La figure �� résume ceci. Une carte analogue est construite dans le cas perturbé qui est une carte énergietemps au sens du paragraphe �.� pour chaque bi-lien de l’îlot perturbé.

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F����� ��. Une bonne carte pour l’îlot I0 .

Il y a alors un ordre pour restaurer les bi-liens suivant la méthode que nous avons expliqué dans le paragraphe précédent : tout d’abord, Berger et Turaev vont restaurer les bi-liens � à � en composant b 5 = ) 5 ) 1 par une translation verticale de classe A 4 ⇠ (G, H) 7! (G, H + # 8 (G)) qui est à support dans +08 [+18 . Vu comment sont disposées les bandes verticales supports des perturbations, on peut restaurer les bi-liens � à � indépendamment, mais cela va bien sûr changer les branches du dernier bi-lien �. Puis, on restaure ce lien � par une translation verticale (G, H) 7! (G, H + #0 (G)) de classe ⇠ A 8 à support dans +00 [ +10 , et ceci n’impacte pas les bi-liens � à � déjà restaurés car le support de la dernière perturbation ne les rencontre pas. La translation verticale (G, H) 7! (G, H + #(G)) de classe ⇠ A 8 que l’on cherchait est Õ donc définie par la fonction # = 38=0 # 8 . �.�. Synthèse

On commence par fixer un voisinage de l’identité dans Diff 1 $ (D), qui correspond 1 A b à contrôler la distance ⇠ . On construit alors 5 2 Diff $ (D) qui est ⇠ A+8 proche de l’identité et qui admet comme application renormalisée une application proche de l’îlot stochastique construit par Berger et Turaev dans le paragraphe �.�. Le corollaire �.� nous permet alors de rétablir les liens de l’îlot stochastique en utilisant les translations verticales de classe ⇠ A décrites dans le paragraphe �.�. La proposition �.� nous apprend alors que la dynamique obtenue, qui est de classe ⇠ A , a un îlot stochastique et la proposition �.� permet de rendre cet exemple de classe ⇠ 1 .

ASTÉRISQUE ���

(����) LA DÉMONSTRATION DE LA CONJECTURE DE L’ENTROPIE POSITIVE D’HERMAN

��

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Marie-Claude Arnaud Université de Paris and Sorbonne Université CNRS, IMJ-PRG, F-����� Paris, France E-mail : marie-c [email protected]

ASTÉRISQUE ���

Séminaire BOURBAKI ��e année, ����–����, no ����, p. �� à �� doi : ��.�����/ast.����

Novembre ����

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS [d’après Te Li, Dongyi Wei et Zhifei Zhang] par Thierry Gallay

INTRODUCTION L’étude mathématique de la stabilité des écoulements hydrodynamiques, qui a débuté vers le milieu du XIXe siècle, connaît actuellement une activité foisonnante en lien avec les développements récents de la théorie spectrale et de l’analyse des opérateurs. En raison de la structure même des équations de la mécanique des fluides, où les phénomènes de transport jouent un rôle essentiel, les opérateurs linéaires rencontrés dans ce cadre ne sont jamais auto-adjoints. Il ne suffit donc pas de déterminer leur spectre pour connaître leurs propriétés principales, et ce constat a précisément motivé l’introduction de la notion de pseudo-spectre (T�������� et E�����, ����). Dans cet exposé, on considère des situations relativement simples, mais pertinentes pour de nombreuses applications, où l’opérateur linéarisé se décompose en une partie autoadjointe négative, qui provient de la diffusion, et une partie antisymétrique due au transport. On introduit dans ce contexte les notions naturelles de dissipation accélérée et de seuil de stabilité, qui font l’objet de plusieurs travaux récents (B��������� et C��� Z�����, ���� ; B���������, M������� et V����, ���� ; B���������, V���� et W���, ���� ; C��� Z�����, E������ et W�������, ���� ; M������� et Z���, ���� ; W��, Z���� et Z���, ����). On étudie ensuite le cas particulier des tourbillons plans, où les premiers résultats de stabilité non linéaire exploitant l’effet de la rotation ont été obtenus tout dernièrement grâce aux estimations pseudo-spectrales très précises établies à cette fin par L�, W�� et Z���� (����). �. TRANSPORT ET DIFFUSION Le but de cette section est d’introduire, dans un cadre un peu général, les notions de « dissipation accélérée » et de « seuil de stabilité », ou seuil de transition, qui apparaissent naturellement dans l’étude de la stabilité de nombreux écoulements visqueux. Pour fixer les idées, on commence par présenter un exemple particulièrement simple.

© Astérisque ���, SMF ����

��

T. GALLAY

Exemple �.� (Scalaire passif). On considère l’écoulement stationnaire d’un fluide incompressible dans un canal bidimensionnel représenté par le domaine ⌦ = R ⇥ [0, !]. On suppose que la vitesse + du fluide est parallèle aux parois et ne dépend que de la variable transverse : ⇣E(H)⌘ (�) +(G, H) = , (G, H) 2 ⌦ . 0 Un tel écoulement est solution des équations d’Euler quel que soit le profil de vitesse E : [0, !] ! R, et des équations de Navier–Stokes dans le cas particulier du profil de Poiseuille E(H) = H(! H). Supposons à présent que l’on insère dans le fluide une goutte de colorant ou une pincée de particules très légères, qui ne perturbent pas sensiblement l’écoulement initial. Ces particules sont alors entraînées par le courant, et subissent en outre des collisions fréquentes avec les molécules du fluide qui produisent un mouvement désordonné de type brownien. Il s’ensuit que la densité 5 (G, H, C) des particules convoyées par le fluide est solution de l’équation de transport-diffusion

(�) %G2

%2H

%C 5 (G, H, C) + E(H)%G 5 (G, H, C) = ⌘ 5 (G, H, C) ,

où = + est l’opérateur de Laplace et ⌘ > 0 est une constante de diffusion, que l’on supposera petite dans la suite. Il convient de compléter l’équation (�) par des conditions au bord, et on supposera ici pour simplifier que 5 (G, 0, C) = 5 (G, !, C) = 0 pour tout G 2 R et tout C 0.

Considéré isolément, l’opérateur de transport E(H)%G dans l’équation (�) ne fait que redistribuer les valeurs de la solution 5 (G, H, C) ; mais combiné avec la diffusion, il influence fortement le comportement du système pour les grands temps. En effet, si le profil de vitesse n’est pas constant, le transport le long des caractéristiques crée de forts gradients dans la direction transverse à l’écoulement, associés à une « filamentation » du support de la distribution des particules, et ceci renforce considérablement l’action de la diffusion, tout particulièrement lorsque la constante ⌘ est petite. Cette interaction entre transport et diffusion est déjà mentionnée et étudiée dans les travaux historiques de R������� (����/��), K����� (����), et O�� (����). On introduit à présent un problème abstrait dont la structure est directement inspirée par l’exemple �.�, voir aussi C���������, K������, R����� et Z����� (����).

ASTÉRISQUE ���

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

Dans un espace de Hilbert (�)

��

, on considère l’équation d’évolution %C 5 + ⇤ 5 = ⌘! 5 + #( 5 ) ,

où !, ⇤ sont des opérateurs linéaires (non bornés), # est une application non linéaire, et ⌘ > 0 est un petit paramètre. Nos hypothèses principales sont les suivantes : 3 ! : ⇡(!) !

3 ⇤ : ⇡(⇤) !

est auto-adjoint et négatif : ! = !⇤  0 ;

est antisymétrique, et relativement borné par rapport à ! ;

3 l’application 5 7! #( 5 ) est quadratique au voisinage de l’origine.

On rappelle que l’opérateur ⇤ est relativement borné par rapport à ! si son domaine de définition ⇡(⇤) contient celui de !, et si k⇤ 5 k est inférieur à ⇠(k! 5 k + k 5 k) pour tout 5 2 ⇡(!). Notre but est de montrer que, pour toute donnée initiale 50 2 suffisamment petite, l’équation (�) possède une solution globale unique qui reste dans un voisinage de l’origine pour tous les temps et converge vers zéro lorsque C ! 1. On cherche notamment à quantifier la taille du bassin d’attraction de l’origine ainsi que le taux de décroissance des solutions en fonction du paramètre de diffusion ⌘, dans la limite où ⌘ ! 0.

Remarque �.�. Bien évidemment, l’exemple �.� entre dans le cadre ci-dessus si on prend = !2 (⌦), ! = , ⇤ = E(H)%G , et # = 0. Plus généralement, si on perturbe l’écoulement (�) en tant que solution stationnaire des équations de Navier–Stokes dans un domaine sans bord, on obtient une équation d’évolution de la forme (�), où ⌘ > 0 est la viscosité cinématique du fluide et où l’opérateur ⇤ est à présent non local, en raison de la pression. Un exemple célèbre est le flot de Kolmogorov sur le tore T 2 , présenté dans l’exemple �.� ci-dessous. Le cadre (�) s’applique également à l’étude de la stabilité des tourbillons de Lamb–Oseen, qui sera discutée en détail à la section �. A contrario, lorsqu’on perturbe l’écoulement de Poiseuille dans le domaine ⌦ = R ⇥ [0, !] en supposant, comme il se doit, que la vitesse du fluide s’annule sur les parois, on génère des instabilités hydrodynamiques dans la limite où le nombre de Reynolds Re = 1/⌘ tend vers l’infini (G������, G�� et N�����, ����a,b). De telles instabilités n’apparaissent pas dans le modèle (�), quels que soient les choix des opérateurs ! et ⇤, et doivent donc être étudiées par d’autres approches. Exemple �.� (Flot de Kolmogorov). On considère les équations de Navier–Stokes incompressibles sur le tore T 2 = (R/2 Z)2 :

(�)

%C D + (D · r)D = ⇡ D

r? +

,

div D = 0 ,

où D : T 2 ⇥ R+ ! R2 est le champ de vitesse du fluide, ? : T 2 ⇥ R+ ! R est la pression, et est une force extérieure. La densité du fluide étant supposée égale à 1, l’unique paramètre est la viscosité cinématique ⇡ > 0, que l’on supposera petite. Le système (�) admet une solution stationnaire de la forme ¯ D(G, H) =

⇣ sin H ⌘ 0

,

¯ ?(G, H) = 0 ,

(G, H) 2 T 2 ,

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��

T. GALLAY

¯ Pour étudier la stabilité de cet pour autant que le terme de force soit donné par = ⇡ D. écoulement, on pose D = D¯ + e D et on observe que la perturbation e D = (e D1 , e D2 ) vérifie l’équation

(�)

%C e D + sin H %G e D + cos H e D2 4 G + (e D · r)e D=⇡ e D

div e D = 0,

r? ,

où 4 G = (1, 0). Afin de se ramener à un système de la forme (�), il convient d’éliminer la pression dans (�), laquelle sert à garantir la condition d’incompressibilité. En l’absence de bords, une approche efficace consiste à étudier le tourbillon du fluide défini par $ e = %G e D2

Cette quantité vérifie l’équation scalaire

%H e D1 .

%C $ e + sin H(%G $ e+e D2 ) + e D · r$ e=⇡ $ e,

où le champ de vitesse e D doit être exprimé en termes du tourbillon en résolvant le système elliptique %G e D1 + %H e D2 = 0, %G e D2 %H e D1 = $ e. Si on suppose que le champ de vitesse est à moyenne nulle sur T 2 , une condition préservée par l’équation (�), e := ( %H #, e %G #) e où # e = $ on trouve que e D = r? # e. On obtient ainsi l’équation d’évolution %C $ e + sin H %G (1 +

1

qui est de la forme (�) avec ⌘ = ⇡ et !=

,

⇤ = sin H %G (1 +

)$ e + (r? 1

),

1

$ e) · r $ e=⇡ $ e,

#( $ e) = (r?

1

$ e) · r $ e.

Dans l’espace des fonctions de carré intégrable sur T 2 à moyenne nulle, l’opérateur ! est clairement auto-adjoint et négatif, mais ⇤ n’est pas antisymétrique en raison du terme non local 1 + 1 , qui ne commute pas avec sin H. On remarque toutefois que l’opérateur ⇤ possède un noyau de dimension infinie, constitué de toutes les fonctions indépendantes de G d’une part, et du sous-espace engendré par {sin G , cos G} d’autre part. Comme l’effet du transport est évidemment nul sur ker(⇤), il est naturel pour l’étude du problème linéarisé de se restreindre au sous-espace invariant ? = ker(⇤)? . Muni du produit scalaire non local h$1 , $2 i =

π

T2

$1 (1 +

1

) $2 dG dH ,

ce sous-espace ? devient un espace de Hilbert où l’opérateur ! est encore auto-adjoint, et ⇤ est à présent antisymétrique.

Remarque �.�. Le terme de force = ⇡ D¯ qui stabilise le flot de Kolmogorov est tout à fait artificiel. Si = 0, la solution de (�) avec donnée initiale D¯ est donnée par D(G, H, C) = (sin H, 0) e ⇡C , et dépend donc (lentement) du temps ce qui complique l’étude de sa stabilité (B��� et W����, ���� ; I������, M������ et M�������, ���� ; W�� et Z����, ���� ; W��, Z���� et Z���, ����).

ASTÉRISQUE ���

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

��

�.�. Estimations linéaires Étudions pour commencer les propriétés du système (�) lorsque # = 0. Par le théorème de Hille-Yosida (P���, ����), l’opérateur auto-adjoint ! : ⇡(!) ! est le générateur d’un semi-groupe ⇠0 d’opérateurs linéaires bornés dans , vérifiant la propriété de contraction k e ! 50 k  k 50 k , pour tout 0. De même, si on suppose que l’opérateur ⇤ : ⇡(⇤) ! est anti-adjoint, le théorème de Stone (R��� et S����, ����) affirme que cet opérateur engendre un groupe unitaire dans : k eC⇤ 50 k = k 50 k , pour tout C 2 R .

Dans le cas très particulier où les opérateurs ! et ⇤ commutent, la solution de (�) avec # = 0 est donnée par la formule explicite 5 (C) = e

e

C⇤ ⌘C!

50 = e⌘C! e

C⇤

50 ,

pour tout C

0,

où 50 2 est la donnée initiale. En particulier l’égalité k 5 (C)k = k e⌘C! 50 k montre que le transport n’a ici aucune influence sur la norme de la solution, laquelle évolue sur une échelle de temps diffusive proportionnelle à 1/⌘.

Remarque �.�. Lorsque ! et ⇤ commutent, le transport peut néanmoins influencer le comportement de la solution de (�), mesurée dans d’autres normes, en raison des propriétés dispersives du groupe unitaire eC⇤ . Ces propriétés jouent évidemment un rôle essentiel dans l’étude du cas non visqueux où ⌘ = 0. Pour certains écoulements simples, comme les perturbations du flot de Couette, elles permettent même d’obtenir un résultat de stabilité non linéaire dans des espaces de fonctions très régulières (B��������� et M�������, ����). Un exemple où apparaît naturellement un opérateur antisymétrique qui commute avec la diffusion, au moins dans des situations géométriques simples, est celui des fluides géophysiques (C�����, D���������, G�������� et G������, ����). Ici l’opérateur ⇤ représente la force de Coriolis due à la rotation de la Terre, et le paramètre ⌘ est le nombre de Rossby, inversement proportionnel à la fréquence de rotation. Dans ce contexte, il est naturel de poser = ⌘C et de remarquer que la quantité 6( ) = ⌘ 1 5 ( /⌘) vérifie l’équation mise à l’échelle

1 % 6 + ⇤6 = !6 + #⌘ (6) , où #⌘ (6) = ⌘ 2 #(⌘6) , ⌘ qui met clairement en évidence l’importance du terme de rotation dans la limite ⌘ ! 0.

(�)

On se place désormais dans le cas général où les opérateurs ! et ⇤ ne commutent pas. On remarque que l’opérateur ⌘! ⇤ : ⇡(!) ! est dissipatif, car

⌦

Re (⌘!

⌦

⇤) 5 , 5 i = ⌘ Re ! 5 , 5 i  0 ,

pour tout 5 2 ⇡(!) .

On suppose que ⌘! ⇤ est également 0. Cette condition est automatiquement remplie si, par exemple, ⇤ est relativement compact par rapport à !. Le théorème

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��

T. GALLAY

de Lumer–Phillips (P���, ����) affirme alors que l’opérateur ⌘! ⇤ est le générateur d’un semi-groupe ⇠0 de contractions dans , que l’on notera ( ⌘ (C) : ( ⌘ (C) 50 = k eC(⌘!

(�)

⇤)

50 k  k 50 k ,

pour tout C

0.

Cette inégalité implique en particulier que le terme de transport ne peut pas engendrer d’instabilité linéaire sous nos hypothèses. Quoique instructive, l’estimation (�) n’est souvent pas optimale. En effet, dans de nombreux exemples, l’interaction entre la diffusion ! et le transport ⇤ induit une dissipation accélérée, qui se traduit par une estimation améliorée de la forme ( ⌘ (C) 50 = k eC(⌘!

(�)

⇤)

50 k  ⇠ ⌘ e

✏⌘ C

k 50 k ,

pour tout C

0,

où ✏⌘ > 0 et ⇠ ⌘ 1. La valeur des constantes ✏⌘ et ⇠ ⌘ varie d’un exemple à l’autre, mais dans les applications à la mécanique des fluides on a souvent ✏⌘ ⇡ ⌘ et ⇠ ⌘ ⇡ ⌘ lorsque ⌘ ! 0, avec 0 < < 1 et 0. Dans ce cas, l’estimation (�) montre que les solutions sont atténuées par l’évolution linéaire en un temps C ⌘ ⇡ ⌘ , beaucoup plus court que le temps diffusif qui est, lui, proportionnel à ⌘ 1 .

Exemple �.�. Supposons que = !2 (R), ! = %G2 , et ⇤ = 8- où - désigne l’opérateur de multiplication : (- 5 )(G) = G 5 (G). En appliquant à l’équation d’évolution %C 5 + ⇤ 5 = ⌘! 5 la transformation de Fourier définie par

b 5 (:, C) =

π

R

5 (G, C) e

8 :G

dG ,

: 2 R,

on obtient l’équation plus simple %C b 5 %: b 5 = ⌘: 2 b 5 , qui se résout explicitement : Comme (�)

ØC 0

b 5 (:, C) = b 50 (: + C) exp

⇣

(: + B)2 dB = : 2 C + :C 2 + C 3 /3 k 5 (C)k = k eC(⌘!

⇤)

50 k  e

⌘

π

C

0

⌘

(: + B)2 dB ,

C

0.

C 3 /12, on voit en particulier que ⌘C 3 /12

k 50 k ,

pour tout C

0,

ce qui implique l’estimation (�) avec, par exemple, ✏⌘ = ⌘1/3 /3 et ⇠ = 2. L’opérateur %G2 8- considéré ici apparaît dans l’étude de la stabilité de l’écoulement de Couette (B���������, M������� et V����, ����). Son spectre est vide, comme le montre la décroissance exceptionnellement rapide du membre de droite de (�) lorsque C ! +1. Noter que, dans cet exemple tout à fait particulier, l’opérateur ⇤ n’est pas relativement borné par rapport à !. ASTÉRISQUE ���

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

��

�.�. Estimations non linéaires et bassin d’attraction Examinons à présent les conséquences des estimations (�), (�) sur les solutions de l’équation non linéaire (�), dans un voisinage de l’origine. On suppose ici, pour simplifier, que la non-linéarité # dans (�), définie sur tout entier, est localement lipschitzienne et vérifie l’estimation quadratique (��)

#( 5 )  ⇠ # k 5 k 2 ,

pour tout 5 2

.

Une telle hypothèse n’est pas réaliste en vue des applications à la mécanique des fluides, où les termes non linéaires contiennent des dérivées, mais cette simplification n’altère pas les phénomènes que nous voulons mettre en évidence.

Proposition �.� (stabilité locale). — On suppose que le semi-groupe eC(⌘! ⇤) vérifie les bornes (�), (�) et la non-linéarité # l’estimation (��). Alors il existe une constante > 0 telle que, pour tout ⌘ 2 ]0, 1] et pour toute donnée initiale 50 2 telle que (��)

✏⌘ , 1 + ln ⇠ ⌘

k 50 k 

l’équation (�) possède une solution globale unique 5 dans ⇠ 0 ([0, +1[ , 5 (0) = 50 . En outre (��)

5 (C)  6k 50 k exp

⇣

✏⌘ C ⌘ , 1 + ln ⇠ ⌘

) et qui vérifie

0.

pour tout C

Démonstration. — On se contente ici d’établir les inégalités (��) et (��). On rappelle tout d’abord que la solution de (�) avec donnée initiale 50 2 vérifie l’équation intégrale 5 (C) = ( ⌘ (C) 50 +

π

C

0

B)# 5 (B) dB ,

( ⌘ (C

0,

C

où ( ⌘ (C) = eC(⌘! ⇤) , voir par exemple (P���, ����, Section �.�). En combinant (�) et (�), on obtient la majoration suivante de la norme du semi-groupe ( ⌘ (C) : ( ⌘ (C)  min(1, ⇠ ⌘ e

✏⌘ C

)  e1

⇣⌘ C

=: ⌘ ⌘ (C) ,

En effet, si C  C⇤ := (ln ⇠ ⌘ )/✏⌘ , alors min(1, ⇠ ⌘ e alors min(1, ⇠ ⌘ e

✏⌘ C

)= e

✏⌘ (C C⇤ )

✏⌘ C )

 e

où

⇣⌘ =

= 1  e1

⇣ ⌘ (C C⇤ )

⇣⌘ C

 e1

✏⌘ · 1 + ln ⇠ ⌘

car ⇣ ⌘ C⇤  1 ; si C

⇣⌘ C

C⇤ ,

.

En appliquant ces estimations au membre de droite de l’équation intégrale, on obtient donc la majoration (��)

5 (C)  ⌘ ⌘ (C)k 50 k + ⇠ #

π

0

C

⌘ ⌘ (C

B) 5 (B)

2

dB ,

C

0.

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��

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Soit ) = )(⌘, 50 ) la borne supérieure de l’ensemble des temps C 0 pour lesquels la solution de (�) avec donnée initiale 50 vérifie k 5 (B)k  2k 50 k ⌘ ⌘ (B) pour tout B 2 [0, C]. Si C < ), on a par (��) : 5 (C)  ⌘ ⌘ (C)k 50 k + 4⇠ # k 50 k 2

π

0

C

⌘ ⌘ (C

⇣

B)⌘ ⌘ (B)2 dB  ⌘ ⌘ (C)k 50 k 1 +

k 50 k ⌘ , ⇣⌘

où 1 = 4⇠ # exp(2). Ainsi, si k 50 k  ⇣ ⌘ , ce qui est l’hypothèse (��), on a ) = +1 et la solution de (�) vérifie donc k 5 (C)k  2k 50 k ⌘ ⌘ (C) pour tout C 0, ce qui implique (��) au vu de la définition de ⌘ ⌘ (C). ⇤

La proposition �.� met clairement en évidence les phénomènes importants que l’on peut observer sur l’équation non linéaire (�), et qui découlent de l’estimation de dissipation accélérée (�). D’une part, dans un voisinage de l’origine, les solutions sont atténuées sur une échelle de temps de l’ordre de 1/✏⌘ (à une perte logarithmique près), c’est-à-dire bien avant le temps diffusif proportionnel à 1/⌘. D’autre part, la taille du « bassin d’attraction de l’origine », c’est-à-dire du domaine où l’on peut contrôler les solutions à l’aide de la décroissance de l’évolution linéarisée, est proportionnelle à ✏⌘ (à une perte logarithmique près), et tend donc vers zéro beaucoup moins vite que la taille du bassin d’attraction en l’absence de transport, qui est au mieux proportionnelle à ⌘.

Remarque �.�. Les considérations ci-dessus sont pertinentes pour autant que ✏⌘ ⌘ et ln ⇠ ⌘ ⌧ ✏⌘ /⌘. Une estimation linéaire de la forme (�) où l’on ne disposerait pas d’une estimation explicite sur la constante ⇠ ⌘ ne serait pas exploitable dans le cadre non linéaire, car on ne pourrait alors exclure que ln ⇠ ⌘ soit comparable ou supérieur à ✏⌘ /⌘, ce qui détruirait tout l’intérêt de la proposition �.� au vu de (��), (��). �.�. Obtention des estimations linéaires On donne dans cette section un aperçu des méthodes qui permettent, au moins dans certains cas, d’établir une estimation de dissipation accélérée de la forme (�). Pour simplifier, on se place dans le cadre de l’exemple �.� ci-dessus. L’équation linéaire (�) étant invariante par translation dans la direction de l’écoulement, on applique une transformation de Fourier partielle en définissant

b 5 (:, H, C) =

π

R

5 (G, H, C) e

8 :G

dG ,

: 2 R , H 2 [0, !] , C

0.

Il est également commode d’éliminer la diffusion dans la direction de l’écoulement en posant 2 b 5 (:, H, C) = e ⌘: C 6(:, H, C) , : 2 R , H 2 [0, !] , C 0 . La nouvelle fonction 6(:, H, C) vérifie alors l’équation d’évolution à une dimension

(��)

%C 6(:, H, C) + 8 :E(H)6(:, H, C) = ⌘%2H 6(:, H, C) ,

H 2 [0, !] ,

ainsi que les conditions de Dirichlet homogènes 6(:, 0, C) = 6(:, !, C) = 0. Dans l’équation (��), le nombre d’onde : 2 R est fixé, et il faut évidemment le supposer non nul ASTÉRISQUE ���

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

��

pour observer l’effet du transport sur le comportement des solutions. Deux approches principales ont été développées à cette fin, et sont brièvement présentées dans les paragraphes suivants. �.�.�. Estimations pseudo-spectrales. — L’idée est d’estimer la résolvante de l’opérateur %⌘,: = ⌘%2H 8 :E(H) sur l’axe imaginaire. En notant I = 8 :⌫ le paramètre spectral, avec ⌫ 2 R, on a %⌘,: I = ⌘%2H + 8 : ⌫ E(H) .

Notons = {E(H) | H 2 [0, !]} ⇢ R l’image de E. Si ⌫ 2 R \ , la fonction ⌫ s’annule pas et on en déduit aisément l’estimation 1 (��) (%⌘,: I) 1  · |:| dist(⌫, )

E ne

¯ = ⌫, et l’estimation de la résolvante dépend Si ⌫ 2 , il existe H¯ 2 [0, !] tel que E( H) ¯ On a le résultat alors de l’ordre d’annulation de la différence E(H) ⌫ au point H. ci-dessous, qui s’établit en utilisant les estimations sous-elliptiques développées par H�������� (����, chapitre ��). Dans le contexte de l’analyse spectrale, on trouvera un énoncé beaucoup plus général dans l’article de D������, S�������� et Z������ (����) ; voir aussi G��������, G����� et N��� (����).

Proposition �.�. — On suppose que E : [0, !] ! R est une fonction régulière telle que, pour un entier < 2 N ⇤ , les dérivées E 0 , E 00 , . . . , E ( 0 telle que, pour tout ⌘ 2 ]0, 1] et tout : 2 R tel que |:| ⌘, on a l’estimation ⇠ < , où (��) sup (%⌘,: I) 1  = · 1 0 pour tout H 2 [0, !]. Dans cette situation, on a < = 1, et donc = 1/3. Pour tout ⌫ 2 , on souhaite estimer l’inverse de l’opérateur %⌘,: I où I = 8 :⌫. Notons pour simplifier ⌘

=I

%⌘,: = ⌘%2H + 8 ⌘(H) ,

où

⌘(H) = : E(H)

⌫ .

¯ = 0, et si on suppose (sans Par hypothèse, il existe un unique H¯ 2 [0, !] tel que ⌘( H) ¯ = :E 0( H) ¯ > 0. Pour fixer les idées, on perte de généralité) que : > 0 on a := ⌘ 0( H) se concentre ici sur le cas « générique » où H¯ 2 ]0, ![, mais des arguments similaires permettent de traiter également le cas où ⌘ s’annule sur le bord de l’intervalle [0, !]. Si 6 2 ⇡( ⌘ ), on a une première estimation évidente :

(��)

⌘k 6 0 k 2 = Reh

⌘6

, 6i  k

⌘6k

· k 6k .

D’autre part, on définit ⇣ = (⌘/ )1/3 , et on suppose que ⌘ est suffisamment petit pour ¯ que [ H¯ ⇣, H¯ + ⇣] ⇢ ]0, ![ et |⌘(H)| ⇣/2 lorsque |H H| ⇣. On introduit aussi la « fonction signe régularisée » à l’échelle ⇣ : ⇣ H H¯ ⌘ "⇣ (H) = " , ⇣ SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

��

T. GALLAY

où " 2 ⇠ 1 (R) est une fonction impaire, croissante, telle que "(G) = 1 pour G 1. Comme Imh ⌘ 6 , 6"⇣ i = ⌘ Imh6 0 , 6"0⇣ i + h6 ⌘ , 6"⇣ i et |h6 0 , 6"0⇣ i|  ⇠⇣ 1 k 6 0 k · k 6k où ⇠ = k"0 k !1 , on a également ⇠⌘ 0 ⇠⌘ 0 k 6 k · k 6 k  k ⌘ 6 k · k 6k + k 6 k · k 6k . ⇣ ⇣ Il suffit à présent de combiner convenablement les bornes (��), (��) pour obtenir l’estimation désirée. Par construction, la fonction ⌘"⇣ est positive, et supérieure à 12 ⇣ ¯ lorsque |H H| ⇣. Ainsi, on déduit de (��) et de l’inégalité de Young que h6 ⌘"⇣ , 6i  Imh

(��)

π

¯ ⇣ |H H|

⌘6

, 6"⇣ i +

| 6(H)| 2 dH 

2 k ⇣

⌘ 6k

· k6k +

2⇠⌘ 0 k6 k · k6k ⇣2

2 3⇠ 2 ⌘2 1 k ⌘ 6k · k 6 k + 2 4 k 6 0 k 2 + k 6 k 2 ⇣ 3 ⇣ 2 + 3⇠ 2 1  k ⌘ 6 k · k 6k + k 6 k 2 , ⇣ 3 où la dernière inégalité est obtenue en utilisant (��) et la définition de ⇣. D’autre part,

(��)



π

¯ |H H|⇣

2

6(H) dH  2⇣ k 6k 2!1  2⇣ k 6 0 k · k 6 k  3⇣2 k 6 0 k 2 +

3⇣2 1 3 k ⌘ 6 k · k 6k + k 6k 2 = k ⌘ 3 ⇣ En additionnant (��) et (��), on obtient la minoration

(��)



(%⌘,:

I)6 = k

⇣ k 6k , 2

⌘6k

⌘6k

1 k 6 k2 3 · k 6k +

1 k 6 k2 . 3

pour tout 6 2 ⇡(%⌘,: ) ,

où 2 = 15 + 9⇠ 2 , laquelle implique l’estimation résolvante (��) avec

= 13 .

⇤

¯ Remarque �.��. Lorsque la fonction E(H) ⌫ possède un zéro d’ordre < 2 au point H, ¯ et est défini on procède de façon similaire en posant ⇣ = (⌘/ )1 , où = |:||E ( 0,

où ⌘ est le contour d’intégration représenté ci-dessous. Sur le segment vertical du contour ⌘ , on a Re I = ✏⌘ , de sorte que k(%⌘,: I) 1 k  ✏⌘ 1 au vu de (��). Sur les ASTÉRISQUE ���

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

��

deux segments obliques de ⌘ , on a Re I  ✏⌘ et la résolvante peut être aisément contrôlée en utilisant (��). On en déduit une estimation de la forme

⇣

k eC%⌘,: k  ⇠ 1 +

|:| ⌘ e ✏⌘

valable si 0 < ⌘  min(1, |:|) et |:|C

✏⌘ C

⇠

|:| e ⌘

✏⌘ C

,

C > 0,

1 ; voir G����� (����) pour une analyse détaillée.

La région ombrée représente l’image numérique de l’opérateur %⌘,: , c’est-à-dire l’ensemble {h%⌘,: 6 , 6i 2 C ; 6 2 ⇡(%⌘,: ) , k 6k = 1}. Celle-ci contient le spectre de %⌘,: , qui est purement discret car %⌘,:1 est un opérateur compact. Les valeurs propres de %⌘,: sont représentées ici, de façon approximative, par des croix. Entre le spectre et l’axe imaginaire, la résolvante de %⌘,: est bien définie, mais sa norme peut croître très rapidement lorsque ⌘ ! 0 (pseudo-spectre semiclassique). Le contour d’intégration ⌘ doit entourer le spectre, et éviter aussi le pseudo-spectre si l’on souhaite obtenir un contrôle explicite de la norme du semi-groupe eC%⌘,: .

Remarque �.��. L’estimation (��) ne fournit aucun contrôle sur la résolvante dans le demi-plan {Re I  2✏⌘ }, et on s’attend donc à trouver du spectre dans cette région. Toutefois, si on suppose que le profil de vitesse E est analytique, on peut montrer dans cet exemple que le spectre de l’opérateur %⌘,: se situe en fait plus loin à gauche dans le plan complexe, c’est-à-dire dans un demi-plan de la forme {Re I  b ✏⌘ } où b ✏⌘ ⇡ ⌘ avec 0 < < (G��������, G����� et N���, ����). Dans la région intermédiaire où b ✏⌘ < Re I < 2✏⌘ , on trouve du pseudo-spectre semi-classique (D������, S�������� et Z������, ����), ce qui signifie que l’opérateur %⌘,: I est inversible mais que la norme de son inverse croît plus vite que toute puissance de 1/⌘ lorsque ⌘ ! 0. L’absence de spectre dans cette région permet en particulier de décaler vers la gauche le contour b⌘ e b✏⌘ C , mad’intégration ⌘ de façon à obtenir une estimation de la forme k eC%⌘,: k  ⇠ nifestement meilleure que la précédente lorsque C ! +1. La rançon de cette approche b⌘ , de sorte que l’on ne peut est que l’on perd alors tout contrôle sur la constante ⇠ pas utiliser la proposition �.� pour étudier les solutions de l’équation non linéaire au voisinage de l’origine ; voir la remarque �.�.

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��

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�.�.�. Hypocoercivité. — Une autre approche permettant d’obtenir une estimation de dissipation accélérée pour une équation de la forme (��) a été proposée par V������ (����). On remarque que %⌘,: = ⌘A ⇤ A + B, où A = %H et B = 8 :E(H), et on définit l’opérateur auto-adjoint :2 0 2 E (H) , ⌘ où C = [A, B] = 8 :E 0(H). Sans entrer dans les détails, l’approche de Villani consiste à comparer les décroissances temporelles des semi-groupes eC%⌘,: et e CH⌘,: , sachant que pour étudier le second on peut utiliser les méthodes puissantes développées pour l’analyse des opérateurs auto-adjoints. Plus précisément, étant donné une solution de l’équation %C 6 = %⌘,: 6, l’idée est d’étudier l’évolution temporelle d’une quantité quadratique de la forme H⌘,: = ⌘A ⇤ A + ⌘ 1 C ⇤ C = ⌘%2H +

= k 6 k 2 + k0A 6 k 2 + 2 Reh1A 6 , C 6i + k2 C 6k 2 ,

où 0, 1, 2 sont des constantes (ou des fonctions) réelles à choisir soigneusement. On suppose que 0 > 0, 2 > 0 et 41 2  02, de sorte que la quantité est positive et équivalente, dans le cas de l’équation (��), à la norme k 6k 2 1 . La pertinence de la définition ci-dessus apparaît lorsqu’on calcule la dérivée temporelle : alors que l’évolution de la norme k 6k 2 ne dépend que de la partie symétrique de l’opérateur %⌘,: , le terme croisé Reh1A 6 , C 6i est sensible à l’opérateur de transport B, et sa dérivée temporelle produit des termes négatifs que l’on peut exploiter pour obtenir une inégalité différentielle de la forme d (��)  ⇠⌘ , dC où ⇠ > 0 et > 0. C’est dans ce calcul qu’apparaît la forme quadratique associée à l’opérateur « symétrisé » H⌘,: (V������, ����). En utilisant enfin les propriétés régularisantes de l’équation (��), on déduit aisément de l’inégalité (��) une estimation de dissipation accélérée de la forme (�) avec ✏⌘ ⇡ ⌘ ; voir G��������, G����� et N��� (����, Section �) pour une étude de différents problèmes modèles.

Remarque �.��. Dans un cas simple comme celui de l’équation (��), l’approche cidessus est un peu plus difficile à mettre en œuvre que la méthode directe basée sur les estimations de la résolvante, et elle fournit des résultats un peu moins précis. Mais la méthode d’hypocoercivité est par ailleurs très robuste, et peut facilement s’adapter, par exemple, à l’étude de la stabilité d’une solution qui dépend lentement du temps (W�� et Z����, ����) ; voir aussi la remarque �.�. Elle est également très efficace pour étudier directement des problèmes non linéaires, sans avoir à passer par l’équation intégrale (C��� Z�����, E������ et W�������, ����). �.�.�. Remarques bibliographiques. — L’étude mathématique de l’influence du transport dans les écoulements parallèles en dimension deux et trois, ainsi que dans les tourbillons plans, a connu un essor rapide suite aux travaux remarquables de B��������� et M������� (����) sur la stabilité du flot de Couette, eux-mêmes inspirés du célèbre

ASTÉRISQUE ���

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

��

article de M����� et V������ (����) sur l’équation de Vlasov-Poisson. À l’exception de ceux qui concernent les fluides parfaits ou la stabilité des couches limites, les travaux dans cette mouvance s’inscrivent souvent dans le cadre général de l’équation (�), pour un choix convenable des opérateurs ! et ⇤. D’un point de vue conceptuel, l’obtention d’une estimation de dissipation accélérée de la forme (�) pour l’équation linéarisée %C 5 + ⇤ 5 = ⌘! 5 repose sur des hypothèses spectrales sur l’opérateur ⇤, et notamment sur l’absence de valeurs propres plongées dans le spectre continu (C���������, K������, R����� et Z�����, ����). Une telle propriété peut être établie, dans un cadre assez général, par la méthode de l’opérateur conjugué introduite par M����� (����) ; voir G������, N�����, R������ et S����� (����) pour une application à la stabilité de certains -flots. Il est également possible, dans certains cas, de construire un opérateur d’onde (au sens de la théorie de la diffusion) qui permet, par conjugaison, d’éliminer la partie non locale de l’opérateur ⇤ et de se ramener ainsi à un modèle plus simple. Un exemple de tel opérateur sera présenté au paragraphe �.�. En ce qui concerne les différents profils de vitesse, l’exemple le mieux compris est le flot de Couette, où le semi-groupe linéarisé peut être calculé explicitement (B���������, M������� et V����, ���� ; M������� et Z���, ����). Le cas d’un scalaire passif présenté dans l’exemple �.� est étudié en détail dans B��������� et C��� Z����� (����), par la méthode d’hypocoercivité. Parmi les écoulements pour lesquels l’opérateur linéarisé contient un terme de transport non local, le flot de Kolmogorov (voir l’exemple �.�) est abordé dans B��� et W���� (����), et complètement traité dans I������, M������ et M������� (����) par une approche abstraite, dans W��, Z���� et Z��� (����) par la construction d’un opérateur d’onde, et dans W�� et Z���� (����) par la méthode d’hypocoercivité. Enfin, le flot de Poiseuille dans l’espace R2 tout entier est étudié dans C��� Z�����, E������ et W������� (����).

�. STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS Dans cette seconde partie, on étudie en détail un exemple important qui s’inscrit parfaitement dans le cadre défini à la section précédente, mais dont l’analyse présente des difficultés qui n’ont été surmontées que tout récemment. Il s’agit de la stabilité d’une famille d’écoulements plans auto-similaires à symétrie radiale, connus sous le nom de tourbillons de Lamb–Oseen (G����� et W����, ����). On considère les équations de Navier–Stokes incompressibles dans le plan R2 : (��)

%C D + (D · r)D = ⇡ D

r? ,

div D = 0 ,

où les inconnues sont le champ de vitesse D = (D1 , D2 ) : R2 ⇥ R+ ! R2 et la pression ? : R2 ⇥ R+ ! R. Comme dans l’exemple �.�, la densité du fluide est supposée égale à 1, et l’unique paramètre du système est donc la viscosité cinématique ⇡ > 0. Le système (��) étant considéré dans tout le plan, on peut à nouveau éliminer la

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

��

T. GALLAY

pression en considérant le tourbillon $ = %1 D2 (��)

%2 D1 , qui vérifie l’équation scalaire

%C $(G, C) + D(G, C) · r$(G, C) = ⇡ $(G, C) ,

G 2 R2 , C > 0 .

Comme nous l’avons déjà observé, le champ de vitesse D(G, C) figurant dans (��) peut, à chaque instant C, être exprimé en fonction du tourbillon $(G, C) en résolvant le système elliptique %1 D1 + %2 D2 = 0, %1 D2 %2 D1 = $. Sous des hypothèses assez faibles d’intégrabilité et de décroissance à l’infini, on obtient dans le cas présent la formule de Biot-Savart 1 D(G, C) = 2

(��)

π

R2

(G |G

H)? $(H, C) dH , H| 2

où on a noté = ( G 2 , G1 ) si G = (G1 , G2 ) 2 R2 . On écrira dans la suite D = lorsque D s’exprime en termes de $ par la formule (��). G?

⌫(

⇤$

De façon générale, un tourbillon plan est un écoulement à symétrie radiale dans R2 défini en coordonnées polaires par une expression de la forme (��)

D(A, ) = E(A) 4 ,

A > 0 ,  2 T = R/(2 Z) ,

où E : R+ ! R est le profil de vitesse et 4 est le vecteur unité dans la direction azimutale. On relèvera la similitude évidente avec l’écoulement parallèle (�), où le champ de vitesse s’écrit D(G, H) = E(H) 4 G . Il est facile de vérifier que tout champ de vitesse de la forme (��) est une solution stationnaire des équations d’Euler, c’est-àdire du système (��) avec ⇡ = 0, pour autant que la pression vérifie A? 0(A) = E(A)2 . En revanche, aucun tourbillon localisé de la forme (��) ne peut être solution des équations de Navier–Stokes, car il n’y a aucun mécanisme pour compenser la diffusion spatiale due à la viscosité. De fait, pour des solutions à symétrie radiale, l’équation du tourbillon (��) se réduit à l’équation de la chaleur %C $ = ⇡ $, laquelle n’admet pas de solution stationnaire non triviale qui s’annule à l’infini. Les tourbillons de Lamb–Oseen sont des solutions auto-similaires de l’équation (��), et donc des équations de Navier–Stokes, définies par (��)

ASTÉRISQUE ���

$(G, C) =

⇣ G ⌘ ⌧ p , ⇡C ⇡C

D(G, C) = p

⇣ G ⌘ E⌧ p , ⇡C ⇡C

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

��

où les profils de vorticité et de vitesse sont donnés par les formules explicites (��)

⌧(⇢) =

1 e 4

|⇢| 2 /4

,

E ⌧ (⇢) =

1 ⇢? 1 2 |⇢| 2

e

|⇢| 2 /4

,

⇢ 2 R2 .

On peut vérifier que E ⌧ = ⌫( ⇤ ⌧, ce qui signifie que le champ de vitesse D(G, C) dans (��) s’obtient à partir du tourbillon $(G, C) par la loi de Biot–Savart (��). Les formules (��) définissent une famille de solutions indexée par un Ø paramètre 2 R, appelé circulation totale du tourbillon en vertu de la relation = R2 $(G, C) dG. Sa dimension physique est celle d’un coefficient de diffusion, ce qui permet de définir le nombre de Reynolds de circulation Re = | |/⇡. Le régime le plus intéressant pour les applications est celui où Re 1, inégalité qui peut s’interpréter de la façon suivante : dans l’approximation non visqueuse, une particule fluide située à distance ' > 0 de l’origine effectue une rotation complète autour de ce point en un temps )0 ⇡ 4 2 ' 2 /| |, comme on le voit en prenant la limite ⇡ ! 0 dans l’expression (��) du champ de vitesse. Par ailleurs, à cette même distance de l’origine, le profil de vitesse évolue sous l’effet de la viscosité sur une échelle de temps de l’ordre de )1 ⇡ ' 2 /⇡. On a donc )1 )0 lorsque Re 1, et la séparation de ces deux échelles de temps signifie que le tourbillon de Lamb–Oseen est « presque stationnaire » dans la limite des grands nombres de Reynolds. �.�. Variables auto-similaires Quelque lente qu’elle soit, la variation temporelle des tourbillons de Lamb–Oseen complique l’étude de leur stabilité, car une approche directe par linéarisation conduirait à une équation dépendant explicitement du temps. Il est évidemment possible de stabiliser ces écoulements en introduisant un terme de force extérieure comme dans l’exemple �.�, mais cet expédient est dépourvu de toute justification physique. Une solution bien plus élégante pour éliminer la dépendance temporelle consiste à introduire des variables auto-similaires adimensionnées de la forme G C (��) ⇢= p 2 R2 , = log 2 R, ) ⇡C où ) > 0 est une échelle de temps arbitraire. En s’inspirant de (��), on cherche donc des solutions de (��) sous la forme

(��)

1 ⇣ G C⌘ $(G, C) = F p , log , C ) ⇡C

D(G, C) =

r

⇡ ⇣ G C⌘ E p , log , C ) ⇡C

où les quantités adimensionnées F, E représentent, respectivement, le tourbillon et le champ de vitesse dans les nouvelles variables. Leur évolution temporelle est régie par l’équation (��)

% F + E · r⇢ F =

⇢

F+

1 2

⇢ · r⇢ F + F ,

qui a la même forme que (��) si ce n’est que le laplacien au membre de droite est remplacé par l’opérateur de Fokker–Planck (��)

!=

+

1 2

⇢ · r+1. SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

��

T. GALLAY

La loi de Biot–Savart est préservée par la transformation (��), de sorte que l’on a encore la relation E = ⌫( ⇤ F. Par construction, pour tout 2 R, l’équation (��) possède une solution stationnaire de la forme F = ⌧, E = E ⌧ , qui correspond dans les variables originales au tourbillon de Lamb–Oseen de circulation = ⇡. On sait d’ailleurs qu’il s’agit là des seules solutions stationnaires du système pour lesquelles le tourbillon F est intégrable (G����� et W����, ����). Pour étudier leur stabilité, on cherche des solutions de (��) sous la forme e , E = E⌧ + e F = ⌧+F E, où e E=

⌫(

(��)

e. En remplaçant dans (��), on obtient l’équation d’évolution ⇤F e +e e = (! % F E · rF

e, ⇤)F

où ! est donné par (��) et ⇤ est l’opérateur linéaire résultant de la linéarisation au point F = ⌧ du terme quadratique E · rF = ( ⌫( ⇤ F) · rF dans (��) :

(��)

⇤F = E ⌧ · rF + (

⌫(

b1 F + ⇤ b2 F . ⇤ F) · r⌧ =: ⇤

Le but de cette section est d’étudier les propriétés des solutions de l’équation (��) au voisinage de l’origine, dans le régime où le paramètre de circulation est grand. Pour cela, on observe que ce problème s’inscrit dans le cadre général (�) considéré ci-dessus. �.�. Propriétés des opérateurs ! et ⇤ Introduisons en effet l’espace de Hilbert - = !2 (R2 , ⌧ (��)

hF1 , F2 i- =

π

R2

⌧(⇢)

1

1 d⇢)

muni du produit scalaire

F 1 (⇢) F 2 (⇢) d⇢ ,

et de la norme associée kFk = hF, Fi 1/2 . Les éléments de - sont localement de carré intégrable et décroissent rapidement à l’infini, car F appartient à - si et seulement si ⌧ 1/2 F 2 !2 (R2 ). Ceci montre en particulier que - 1! ! ? (R2 ) pour tout ? 2 [1, 2]. Pour référence ultérieure, on définit aussi le sous-espace fermé (��)

n

-0 = F 2 - ;

π

R2

o

F(⇢) d⇢ = 0 .

L’opérateur de diffusion ! : ⇡(!) ! -, défini sur son domaine maximal, est auto-adjoint dans -, à résolvante compacte, et son spectre couvre les demi-entiers négatifs : n = o (!) = ; = = 0, 1, 2, . . . , 2 voir par exemple G����� et W���� (����). Ces propriétés s’établissent facilement en remarquant que ! est formellement conjugué à l’oscillateur harmonique quantique dans le plan R2 : |⇢| 2 1 ⌧ 1/2 ! ⌧ 1/2 = + · 16 2

ASTÉRISQUE ���

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

��

On en déduit aussi la forme des fonctions propres de !, qui sont des fonctions de Hermite. En particulier, la valeur propre 0 est simple avec !⌧ = 0, la valeur propre 12 est double avec !%1 ⌧ = !%2 ⌧ = 0, et ainsi de suite. De façon tout à fait remarquable, l’opérateur de « transport » ⇤ se trouve être antisymétrique (ou anti-hermitien) précisément dans l’espace - où ! est auto-ajoint :

Lemme �.�. — Si F1 , F2 2 ⇡(!), alors h⇤F1 , F2 i + hF1 , ⇤F2 i = 0.

Démonstration. — On suppose sans perte de généralité que F1 , F2 sont à valeurs b1 + ⇤ b2 introduite dans (��). Comme le réelles, et on utilise la décomposition ⇤ = ⇤ 1 ⌧ champ de vecteurs ⌧ E est à divergence nulle, on a tout d’abord

b1 F1 , F2 i + hF1 , ⇤ b1 F 2 i = h⇤

π

R2

⌧ 1 E ⌧ · r(F 1 F 2 ) d⇢ =

π

R2

div ⌧ 1 E ⌧ F 1 F 2 d⇢ = 0 .

D’autre part, notons E1 = ⌫( ⇤ F 1 et E2 = ⌫( ⇤ F 2 . Comme r⌧ = en utilisant l’expression du noyau de Biot–Savart :

=

π

R2

π

R2

on trouve

π

⇣ ⌘ 1 (⇢ · E1 )F 2 + (⇢ · E2 )F 1 d⇢ 2 R2 ⇢ (⇢ ◆)? (◆ ⇢)? ⇢· + ◆ · F 1 (◆)F 2 (⇢) d◆ d⇢ = 0 , |⇢ ◆| 2 |◆ ⇢| 2

b2 F1 , F2 i + hF1 , ⇤ b2 F 2 i = h⇤ 1 4

1 2 ⇢⌧,

car le terme entre accolades est identiquement nul. Ainsi h⇤F1 , F2 i + hF 1 , ⇤F 2 i = 0.

⇤

En fait, on peut également montrer (M������, ����) que l’opérateur ⇤, défini sur son domaine maximal ⇡(⇤) ⇡(!), est anti-adjoint : ⇤⇤ = ⇤. Par ailleurs, il n’est pas difficile de vérifier que ⇤ est relativement compact par rapport à !. Enfin, on a la caractérisation suivante du noyau de ⇤ : (��)

ker(⇤) = .0

1 %1 ⌧

+

2 %2 ⌧

;

1,

2

2R ,

où .0 ⇢ - désigne le sous-espace constitué de toutes les fonctions à symétrie radiale. En conclusion, on observe donc que l’équation (��) qui régit l’évolution temporelle des perturbations du tourbillon de Lamb–Oseen de circulation = ⇡ est de la forme (�), ou plus précisément (�), avec ⌘ = 1/| | et #⌘ (6) = ( ⌫( ⇤ 6) · r6. En suivant l’approche présentée à la section �, on cherche à étudier le comportent des solutions de ce système au voisinage de l’origine, dans le régime asymptotique où | | 1. �.�. Estimations pseudo-spectrales Lorsqu’on étudie les solutions de l’équation (��) dans -, on peut se restreindre sans perte de généralité au sous-espace -0 défini par (��), qui est invariant sous l’évolution. Dans ce sous-espace l’opérateur ! ⇤ + 12 est 0 tel que, pour e0 2 -0 vérifiant k F e0 k  ⌘0 , l’équation (��) tout 2 R et pour toute donnée initiale F e 2 ⇠ 0 ([0, +1[ , -0 ), qui reste dans un voisinage possède une solution globale unique F de l’origine pour tout 0 et converge exponentiellement vers zéro lorsque ! +1 (G����� et W����, ����). En d’autres termes, le tourbillon de Lamb–Oseen ⌧ est une solution asymptotiquement stable de l’équation (��), pour des perturbations dans -0 , et la taille de son bassin d’attraction local est minorée par une constante indépendante du paramètre de circulation . Les difficultés sérieuses commencent lorsqu’on cherche à améliorer le résultat évoqué ci-dessus dans le régime où | | 1, en quantifiant l’effet stabilisateur dû à l’opérateur de « transport » ⇤ dans (��). Au niveau de l’opérateur linéarisé, il convient alors de se restreindre au sous-espace -? = ker(⇤)? , c’est-à-dire au complément orthogonal du noyau de ⇤ dans -. Cette question a été abordée dans l’article G��������, G����� et N��� (����), où des modèles unidimensionnels ont été introduits et étudiés. Des estimations pseudo-spectrales ont ensuite été obtenues par D��� (����b) pour b1 , et par D��� (����a) pour l’opérateur complet ! l’opérateur simplifié ! ⇤ ⇤ restreint à un sous-espace de codimension infinie. Le problème a enfin été complètement résolu par L�, W�� et Z���� (����), qui ont obtenu les estimations pseudo-spectrales optimales suivantes :

Proposition �.�. — Il existe des constantes strictement positives 21 , 22 telles que, pour tout 2 R, on ait avec -? = ker(⇤)? ⇢ - l’estimation

(��)

2 1 (1 + | |)

1/3

 sup (! ⌫2R

⇤

8⌫)

1

-? !-?

 22 1 + | |

1/3

.

b1 qui Un tel résultat est relativement facile à obtenir pour l’opérateur simplifié ! ⇤ peut être étudié, après quelques étapes préparatoires, par les techniques présentées dans la démonstration de la proposition �.�. La difficulté réelle vient de l’opérateur b2 , auquel on ne peut associer un symbole régulier au sens de l’analyse non local ⇤ semi-classique. Il ne semble donc pas possible d’invoquer ici des résultats généraux de théorie spectrale comme ceux établis par D������, S�������� et Z������ (����). Il n’est pas évident non plus de mettre en œuvre la méthode d’hypocoercivité de C. Villani, b2 avec la « racine carrée » de l’opérateur ! n’admet pas car le commutateur de ⇤ d’expression simple qui puisse être exploitée. On donnera dans les paragraphes �.� et suivants un aperçu des techniques remarquables développées par L�, W�� et Z���� (����) pour démontrer la proposition �.�. Remarque �.�. Une estimation pseudo-spectrale de la forme (��) a également été obtenue par I������, M������ et M������� (����) pour l’opérateur linéarisé autour du b2 . flot de Kolmogorov, lequel contient un terme non local semblable à l’opérateur ⇤ Les techniques utilisées semblent toutefois assez différentes dans les deux cas. Mentionnons pour terminer ce paragraphe quelques conséquences assez immédiates de la proposition �.�. Tout d’abord, en utilisant la formule de Dunford et un

ASTÉRISQUE ���

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

��

contour d’intégration approprié, comme au paragraphe �.�, on peut obtenir l’estimation suivante de dissipation accélérée pour le semi-groupe linéarisé (G�����, ����) :

Corollaire �.�. — Il existe des constantes strictement positives 23 , 24 telles que, pour tout 2 R tel que | | 1, on ait l’estimation

(��)

ke

(!

⇤)

k -? !-?  min e

, 2 3 | | 2/3 e

24 | | 1/3

,

pour tout

0.

On peut ensuite, comme au paragraphe �.�, utiliser l’estimation (��) pour contrôler les solutions de l’équation non linéaire (��), et minorer en particulier la taille du e = 0. Quelques précautions sont ici nécessaires, bassin d’attraction de l’origine F car la dissipation accélérée établie au corollaire �.� n’agit évidemment que dans le e 2 ker(⇤) \ -0 , on doit se contenter de l’estimation sous-espace -? = ker(⇤)? . Si F dissipative ek = k e ! F e k  e /2 k F ek , k e (! ⇤) F 0. Or les sous-espaces ker(⇤) et -? ne sont pas invariants sous l’évolution définie par l’équation non linéaire (��). Néanmoins, en exploitant la structure particulière de la non-linéarité, on peut obtenir le résultat suivant (G�����, ����) :

Proposition �.�. — Il existe des constantes strictement positives 25 , 26 et e0 2 -0 telle que tout 2 R tel que | | 2 et pour toute donnée initiale F

(��)

e0 k  kF

telles que, pour

2 5 | | 1/6 , log | |

e 2 ⇠ 0 ([0, +1, -0 ), qui vérifie pour tout l’équation (��) possède une solution globale unique F 0 les estimations

(��) (��)

e(·, )k -  26 e kF

/2

e0 k - , kF

e(·, )k -  26 k F e0 k - exp k%? F

⇣

| | 1/3 ⌘ , log | |

où %? désigne le projecteur orthogonal dans -0 sur le sous-espace -? = ker(⇤)? . Au vu de (��), la taille du bassin d’attraction de l’origine croît au moins comme | | 1/6 (avec une perte logarithmique) lorsque | | ! 1. Cette estimation n’est sans doute pas optimale, mais elle améliore déjà sensiblement ce que l’on pouvait obtenir en négligeant l’action de l’opérateur antisymétrique ⇤. Pour des données initiales vérifiant (��), les solutions sont projetées sur le noyau de ⇤ en un temps très court, proportionnel à | | 1/3 (avec à nouveau une perte logarithmique). Enfin, la composante de la solution dans ker(⇤) converge vers zéro diffusivement lorsque ! +1. Comme le noyau de ⇤ est, d’après (��), essentiellement composé de fonctions à symétrie radiale, la proposition �.� signifie que les perturbations d’un tourbillon de Lamb– Oseen à grand nombre de Reynolds sont rapidement « symétrisées » par la rotation différentielle du tourbillon, un phénomène bien observé expérimentalement (B����, B����� et G������, ����).

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

��

T. GALLAY

Remarque �.�. Les conclusions de la proposition �.� peuvent être comparées à celles de la proposition �.�, en prenant garde au fait que les deux résultats sont exprimés dans des variables différentes. Ainsi l’estimation (��), une fois transposée à l’équation (�) avec ⌘ = | | 1 , donne une estimation de dissipation accélérée de la forme (�) où ✏⌘ ⇡ ⌘2/3 . On remarque que la proposition �.� fournit un taux de décroissance bien supérieur, de l’ordre de ⌘1/3 , pour un écoulement parallèle avec profil de vitesse monotone, mais la différence s’explique par le fait que, dans le cas du tourbillon de Lamb–Oseen, la dérivée du profil de vitesse s’annule à l’origine et tend vers zéro à l’infini. D’autre part, l’estimation (��) correspond pour l’équation (�) à un bassin d’attraction de taille ⌘5/6 , bien plus petit que celui donné par la proposition �.� lorsque ✏⌘ = ⌘2/3 . Ici la différence s’explique par le fait que les termes non linéaires des équations de Navier–Stokes contiennent des dérivées du champ de vitesse, et ne satisfont donc pas à l’estimation (��). �.�. Décomposition de Fourier angulaire Ce paragraphe et le suivant ont pour but de donner un aperçu de la démonstration de la proposition �.�. Une première étape, élémentaire mais essentielle, consiste à exploiter l’invariance par rotation des deux opérateurs linéaires ! et ⇤, dont les coefficients ne dépendent que de la distance à l’origine, en développant le tourbillon F 2 - en série de Fourier par rapport à la variable angulaire  2 T . On décompose ainsi l’espace en une somme directe : -=

 

.= ,

=2Z

où .= = {F 2 - ; e 8= F 2 .0 } et .0 désigne, comme dans (��), le sous-espace de constitué de toutes les fonctions à symétrie radiale. Le point crucial est que, pour tout = dans Z, le sous-espace .= est invariant sous l’action des deux opérateurs ! et ⇤. La restriction de ! à .= , notée != , est un opérateur différentiel à une dimension : != = %A2 +

⇣A

2

+

⇣ 1⌘ %A + 1 A

=2 ⌘ , A2

défini sur la demi-droite R+ avec, à l’origine, des conditions homogènes de Dirichlet si = = 0 ou |=| 2, et de Neumann si |=| = 1. D’autre part, il n’est pas difficile de vérifier que la restriction de ⇤ à .= , notée ⇤= , est donnée par ⇤0 = 0 et ⇤= F =

8= 8

pour = < 0 ,

6⌦= [F] ,

F

où , 6 : R+ ! [0, 1] sont les fonctions définies par (��)

ASTÉRISQUE ���

(A) =

1

2 /4

e A 2 A /4

,

6(A) = e

A 2 /4

,

A > 0,

(����)

��

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

2

et ⌦= [F] est l’unique solution de l’équation différentielle ⌦00= 1A ⌦0= + =A 2 ⌦= = F sur R+ qui soit régulière à l’origine et décroissante à l’infini. On a la formule explicite (��)

1 ⌦= [F](A) = 2|=|

π

1

0

min

⇣ A B ⌘ |=| , B A

F(B)B dB ,

A > 0.

Grâce à cette décomposition, il suffit donc d’étudier la famille d’opérateurs à une dimension (��)

=,

où

= ! = + ⇤= ⌘

= 2 Z⇤ ,

!= + 8 "= ,

= 2 R et "= F = F 6⌦= [F] . 8 Lorsque |=| 2, ces opérateurs agissent dans l’espace de Hilbert / = !2 (R+ , 6 muni du produit scalaire =

hF 1 , F2 i =

π

1

0

1A

dA),

F 1 (A) F 2 (A) 6(A) 1 A dA .

Il n’est pas difficile de vérifier que != , défini sur son domaine maximal, est auto-adjoint dans /, et que "= est un opérateur borné hermitien dans ce même espace. Dans le cas particulier où |=| = 1, l’opérateur "= a un noyau de dimension un engendré par la fonction A 6, car on peut vérifier que ⌦= [A 6] = A quand |=| = 1. Pour obtenir une estimation de dissipation accélérée, il faut alors se restreindre au complément orthogonal du noyau de "= , c’est-à-dire à l’hyperplan

n

/0 = F 2 / ;

(��)

π

0

1

o

A 2 F(A) dA = 0 .

La proposition �.� est une conséquence directe de l’estimation pseudo-spectrale suivante, formulée pour la famille d’opérateurs =, avec |=| 1 et 2 R.

Proposition �.�. — Il existe des constantes strictement positives 21 , 22 telles que, pour tout 2 R et tout = 2 Z avec |=| 2, on ait l’estimation sup (

(��)

⌫2R

=,

8⌫)

1

/!/

 22 1 + | |

1/3

.

En outre, si = = ±1, on a une estimation similaire dans le sous-espace /0 : (��)

21 1 + | |

1/3

 sup ( ⌫2R

=,

8⌫)

1

/0 !/0

 22 1 + | |

Remarque �.�. On a également une minoration de la forme 2(1+| |) de gauche de (��), mais la constante 2 > 0 dépend alors de =.

1/3

1/3

.

pour le membre

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

��

T. GALLAY

�.�. Points-clés de la démonstration de la proposition �.� Comme indiqué ci-dessus, les difficultés essentielles que l’on rencontre dans l’étude de l’opérateur =, défini par (��) proviennent du terme non local 6⌦= [ ] dans l’opérateur "= . La stratégie adoptée par Li, Wei et Zhang pour contrôler ce terme est fort astucieuse, et repose sur les observations (non triviales !) suivantes :

.

.

�.�.�. Hautes fréquences angulaires. — L’opérateur hermitien 6⌦= [ ] est toujours positif et inférieur à l’opérateur de multiplication par , au sens des formes quadratiques sur l’espace de Hilbert /. En outre 6⌦= [ ] est petit devant lorsque |=| est grand :

.

.

Lemme �.�. — Pour tout = 2 Z⇤ on a 0  6⌦= [ ] 

1 |=|

.

Démonstration. — Soit F 2 /. En utilisant l’équation différentielle vérifiée par la fonction ⌦= = ⌦= [F], on montre que

⌦

↵

6⌦= [F] , F =

π

1

0

⌦= [F] F A dA =

π

0

1⇣

|%A ⌦= | 2 +

⌘ =2 2 |⌦ | A dA = A2

0.

Par ailleurs, la représentation intégrale (��) permet d’obtenir la borne suivante

π

1

0

π

1 ⌦= [F] F A dA  2|=|

0

1π 1 0

min

⇣ A B ⌘ |=| , B A

F(A) · F(B) AB dA dB .

On majore encore le membre de droite en remplaçant l’exposant |=| par 1, et en appliquant l’inégalité de Young sous la forme suivante F(A) · F(B)  En observant que 1 2

π

0

1

min

⇣A B⌘ , B A

on arrive ainsi à la majoration

π

1

0

⌦= [F] F A dA 

1 |=|

π

1

0

|F(A)| 2 |F(B)| 2 B 6(B) + A 6(A) . 2A 6(A) 2B 6(B) 6(B)B 2 dB = ⌦1 [A 6](A) = A (A) ,

⌦1 [A 6]

En définitive, on a bien 0  h6⌦= [F] , Fi 

|F| 2 1 A dA = A6 |=| 1 h |=|

π

1

|F| 2 6

0

1

A dA .

F , Fi pour tout F 2 /.

⇤

.

Le lemme �.� suggère que l’opérateur non local 6⌦= [ ] est négligeable devant le terme de transport lorsque le paramètre de Fourier |=| est suffisamment grand. Cette idée a été transposée en une preuve rigoureuse par D��� (����a), qui a établi l’estimation pseudo-spectrale (��) pour |=| =0 , avec =0 ⇡ 80. Au prix de nombreuses complications techniques, Li, Wei et Zhang sont parvenus à montrer la même estimation pour |=| 2, ce qui est le résultat optimal. Dans les deux cas, l’approche repose sur la méthode des multiplicateurs, qui a été utilisée dans la démonstration de la proposition �.�. On souhaite estimer l’inverse de l’opérateur =, I pour tout I 2 8 R. En notant I = 8 ⌫ avec ⌫ 2 R, on observe que =,

ASTÉRISQUE ���

I = != + 8 ("=

⌫) = != + 8

(

⌫)

.

6⌦= [ ] =:

=, ,⌫

.

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

��

Pour toute fonction régulière " : R+ ! [ 1, 1], on a l’estimation évidente

(��)

h

=, ,⌫ F

, "Fi  k

=, ,⌫ F k

· kFk ,

pour tout F 2 ⇡(!= ) .

Le but est de choisir judicieusement la fonction " de façon à pouvoir minorer le membre de gauche, idéalement par une expression de la forme ⇠| | 1/3 · kFk 2 pour une certaine constante ⇠ > 0. Lorsque cela est possible, on déduit immédiatement de (��) l’estimation k =,1 ,⌫ k  ⇠ 1 | | 1/3 qui conduit à (��) en prenant le supremum sur toutes les valeurs de ⌫ 2 R. Lorsque ⌫ 8 ]0, 1[, la fonction (A) ⌫ ne s’annule pas et on peut obtenir les estimations voulues en prenant " ⌘ 1 et en utilisant le lemme �.� pour contrôler le terme non local. En revanche, si 0 < ⌫ < 1, il existe un (unique) point A¯ > 0 tel que (¯A ) = ⌫, et il faut alors choisir une fonction " qui change de signe au point A¯, de façon que le produit "( ⌫) soit, par exemple, toujours positif. En l’absence du terme non local 6⌦= [ ], on procède exactement comme dans la démonstration de la proposition �.� et on obtient une estimation de la forme

.

k

=, ,⌫ Fk

⇠ | | 2/3 ·

0

(¯A )

2/3

· kFk ,

pour tout F 2 ⇡(!= ) .

Pour un ⌫ fixé dans l’intervalle ]0, 1[, cette borne implique que k 2/3

1 k =, ,⌫

décroît

comme | | lorsque | | ! 1, c’est-à-dire plus vite que suggéré par l’estimation (��). Mais il n’y a pas d’uniformité par rapport à ⌫, car la dérivée 0(¯A ) tend vers zéro lorsque A¯ ! 0 (c’est-à-dire ⌫ ! 1) ou A¯ ! +1 (c’est-à-dire ⌫ ! 0). Si on prend en compte tous les régimes possibles, on arrive bien à une décroissance de l’ordre de | | 1/3 pour le supremum de la résolvante de =, sur l’axe imaginaire. L’argument se complique énormément lorsqu’on inclut le terme non local. Dans ce cas, le lemme �.� ne suffit plus quand ⌫ 2 ]0, 1[, car il fournit un contrôle de l’opérateur 6⌦= [ ] en termes de , et non de ⌫. Néanmoins, Li, Wei et Zhang parviennent à établir une variante du lemme �.� qui permet de contrôler une « grosse partie » de l’opérateur 6⌦= [ ] en termes de | ⌫|. Le reste peut être estimé par la méthode des multiplicateurs, en choisissant très soigneusement la fonction ". Les détails n’ont pas leur place ici, et le lecteur intéressé trouvera une démonstration complète — et assez technique — de l’estimation (��) dans l’article original de L�, W�� et Z���� (����).

.

.

�.�.�. Basses fréquences angulaires. — L’approche évoquée ci-dessus est totalement inapplicable dans le cas où |=| = 1, car alors l’opérateur non local 6⌦= [ ] n’est nullement « négligeable » devant le terme de transport . De fait, on a la relation ⌦= [A 6] = A , qui montre que le terme non local annule totalement l’effet du transport sur un sous-espace de dimension un, lequel forme le noyau de l’opérateur "= = 6⌦= [ ]. On doit donc se restreindre au sous-espace orthogonal /0 , et la méthode des multiplicateurs ne permet pas d’exploiter facilement cette contrainte d’orthogonalité. L’approche proposée par Li, Wei et Zhang repose ici sur une observation brillante et spectaculaire : dans le sous-espace /0 , on peut « tout simplement » éliminer le terme non local de l’opérateur "= par un changement de variables !

.

.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

��

T. GALLAY

En effet, considérons l’opérateur linéaire ) : / ! / défini par la formule 6(A) ()F)(A) = F(A) + 2 0 A (A)

(��)

π

A

0

F(B) B 2 dB ,

A > 0,

pour tout F 2 /. On vérifie que ) est bien défini, borné, et que son adjoint ) ⇤ est donné par l’expression duale (��)

() ⇤ F)(A) = F(A) + A 6(A)

π

1

A

F(B) dB , B 0(B)

A > 0.

On remarque tout d’abord que la restriction de ) au sous-espace (��) est unitaire.

Lemme �.��. — L’opérateur ) : /0 ! / est unitaire.

Démonstration. — En utilisant l’identité d 3 0 (��) A (A) = A 3 6(A) , dA qui découle immédiatement des définitions (��), on trouve que )F = 0 si F = A 6. Il est facile de vérifier que l’équation )F = 0 n’a pas d’autre solution linéairement indépendante, de sorte que le noyau de ) est engendré par A 6. De même, on se convainc aisément que ker() ⇤ ) = {0}. Montrons à présent que la restriction de ) au sous-espace /0 = ker())? est isométrique. En effet, si F 2 /0 , on a )F = F +

6

A2

0

où

[F] ,

de sorte que

D

k)F k 2 = kF k 2 + 2 Re F ,

[F](A) = 6

π

0

A

F(B) B 2 dB ,

E

[F] +

6

[F]

2

. A Noter que [F](A) ! 0 lorsque A ! +1 car F 2 /0 . Ainsi, en intégrant par parties et en utilisant (��), on trouve

D

2 Re F ,

6 A2 0

E

[F] = =

π

1

1

π

0

0

A2 0

A 3 0(A)

1

0

d 2 [F] dA dA

6

A 3 ( 0)2

2

[F] dA =

6 A2 0

[F]

2

,

ce qui montre effectivement que k)F k 2 = kF k 2 . Ainsi ) : /0 ! / est isométrique et surjectif, car ker() ⇤ ) = {0}, donc ) est unitaire. ⇤

On conjugue à présent l’opérateur =, = != + 8 "= avec l’opérateur ) introduit cidessus, en utilisant les propriétés « miraculeuses » suivantes, qui peuvent être vérifiées par calcul direct.

Lemme �.��. — Si |=| = 1, on a )!= ) ⇤ = != 5 et ) "= ) ⇤ = , où 5 : R+ ! R+ est la fonction définie par ⌘ 26(A)2 6(A) ⇣ 6 5 (A) = 0 2 + 0 A > 0, A > 0. (A) A (A) ASTÉRISQUE ���

(����)

��

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

En conséquence, pour analyser l’opérateur =, = != + 8 "= sur le sous-espace /0 , il suffit de considérer sur / tout entier l’opérateur conjugué )

=,

) ⇤ = != + 5 + 8

,

qui ne contient plus aucun terme non local, et qui peut donc être étudié en utilisant les techniques évoquées dans la démonstration de la proposition �.�. On trouve ainsi pour tout F 2 ⇡( =, ) \ /0 une estimation de la forme k =, Fk ⇠| | 1/3 kF k, qui implique la borne supérieure dans (��). Par un choix judicieux de la fonction F, on montre également qu’une telle borne est optimale, ce qui termine la démonstration.

Remarque �.��. La définition (��) du conjugateur ) : /0 ! / paraît totalement mystérieuse à ce stade, mais elle ne tombe évidemment pas du ciel. Pour expliquer son origine, on peut partir de la représentation de Dunford du groupe unitaire engendré par l’opérateur non local "= : π 1 8C "= e F= e8C⌫ (⌫ "= ) 1 F d⌫ , C 2 R , 2 8 où est un contour orienté dans le sens positif qui englobe le spectre de "= , lequel coïncide avec l’intervalle [0, 1] ⇢ R en vertu du lemme �.�. En appliquant aux deux membres l’opérateur intégral (��), on trouve ⌦= [ e8C "= F] =

1

2 8

π

e8C⌫

= [⌫, F] d⌫ ,

où

Il n’est pas difficile de vérifier que la fonction l’équation de Rayleigh non homogène 1 A

00

0

+

=2 A2

6(A) = (A) ⌫

= [⌫, F]

(A) =

⇥

= ⌦= (⌫ = [⌫, F](A)

F , (A) ⌫

⇤

"= ) 1 F . est solution de

A > 0,

qui est bien définie au moins lorsque ⌫ 8 [0, 1]. On peut en outre établir un principe d’absorption limite et montrer, sous certaines hypothèses, que la quantité [⌫, F] possède une limite lorsque ⌫ tend vers le spectre de "= . On arrive ainsi à la représentation intégrale ⌦= [ e

8C "=

F] =

1

2 8

π

0

1

e8C⌫

= [⌫

80, F]

= [⌫

.

+ 80, F] d⌫ ,

C 2 R,

qui montre que l’évolution du terme non local 6⌦= [ ] sous le flot engendré par "= devient triviale au niveau des « données de diffusion » = [⌫ 80, F] = [⌫ + 80, F] : l’action de "= correspond à la multiplication par ⌫. En utilisant ces observations et en prenant ⌫ = (A), L�, W�� et Z���� (����) parviennent à construire, dans le cas |=| = 1, un opérateur d’onde qui conjugue effectivement l’opérateur "= = 6⌦= [ ] à sa partie locale, c’est-à-dire à l’opérateur de multiplication par la fonction . Une stratégie similaire a été mise en œuvre par W��, Z���� et Z��� (����) afin d’obtenir des estimations de dissipation accélérée pour l’opérateur linéarisé autour du flot de Kolmogorov.

.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

��

T. GALLAY

RÉFÉRENCES B����, Konrad, B�����, Andrew et G������, Andrew (����). “Accelerated diffusion in the centre of a vortex”, J. Fluid Mech. ���, p. ���-���. B���, Margaret et W����, C. Eugene (����). “Metastability and rapid convergence to quasi-stationary bar states for the two-dimensional Navier-Stokes equations.” Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. ��� (�), p. ���-���. B���������, Jacob et C��� Z�����, Michele (����). “Enhanced dissipation, hypoellipticity, and anomalous small noise inviscid limits in shear flows”, Arch. Ration. Mech. Anal. ��� (�), p. ����-����. B���������, Jacob et M�������, Nader (����). “Inviscid damping and the asymptotic stability of planar shear flows in the �D Euler equations.” Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. ���, p. ���-���. B���������, Jacob, M�������, Nader et V����, Vlad (����). “Enhanced dissipation and inviscid damping in the inviscid limit of the Navier-Stokes equations near the two dimensional Couette flow”, Arch. Ration. Mech. Anal. ��� (�), p. ����-����. B���������, Jacob, V����, Vlad et W���, Fei (����). “The Sobolev stability threshold for �D shear flows near Couette”, J. Nonlinear Sci. �� (�), p. ����-����. C�����, Jean-Yves, D���������, Benoît, G��������, Isabelle et G������, Emmanuel (����). Mathematical geophysics. An introduction to rotating fluids and the Navier-Stokes equations. T. ��. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, p. xii+���. C���������, Peter, K������, Alexander, R�����, Leonid et Z�����, Andrej (����). “Diffusion and mixing in fluid flow”, Ann. of Math. (�) ��� (�), p. ���-���. C��� Z�����, Michele, E������, Tarek et W�������, Klaus (����). “Enhanced dissipation in the Navier-Stokes equations near the Poiseuille flow”, Comm. Math. Phys. ��� (�), p. ���-����. D������, Nils, S��������, Johannes et Z������, Maciej (����). “Pseudospectra of semiclassical (pseudo-) differential operators”, Comm. Pure Appl. Math. �� (�), p. ���-���. D���, Wen (����a). “Pseudospectrum for Oseen vortices operators.” Int. Math. Res. Not. ���� (�), p. ����-����. (����b). “Resolvent estimates for a two-dimensional non-self-adjoint operator.” Commun. Pure Appl. Anal. �� (�), p. ���-���. G��������, Isabelle, G�����, Thierry et N���, Francis (����). “Spectral asymptotics for large skew-symmetric perturbations of the harmonic oscillator”, Int. Math. Res. Not. IMRN (��), p. ����-����. G�����, Thierry (����). “Enhanced dissipation and axisymmetrization of twodimensional viscous vortices”, Arch. Ration. Mech. Anal. ��� (�), p. ���-���.

ASTÉRISQUE ���

(����)

ESTIMATIONS PSEUDO-SPECTRALES ET STABILITÉ DES TOURBILLONS PLANS

��

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SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

��

T. GALLAY

R���, Michael et S����, Barry (����). Methods of modern mathematical physics. � : Functional analysis. Academic Press, New York. T��������, Lloyd N. et E�����, Mark (����). Spectra and pseudospectra. The behavior of nonnormal matrices and operators. Princeton University Press, Princeton, NJ, p. xviii+���. V������, Cédric (����). “Hypocoercivity”, Mem. Amer. Math. Soc. ��� (���), p. iv+���. W��, Dongyi et Z����, Zhifei (����). “Enhanced dissipation for the Kolmogorov flow via the hypocoercivity method.” Sci. China, Math. �� (�), p. ����-����. W��, Dongyi, Z����, Zhifei et Z���, Weiren (����). “Linear inviscid damping and enhanced dissipation for the Kolmogorov flow”, Adv. Math. ���, p. ������.

Thierry Gallay Institut Fourier Université Grenoble Alpes ��� rue des Mathématiques ����� Gières (France) E-mail : Thierry.Ga ay@univ-grenob e-a pes.fr

ASTÉRISQUE ���

Séminaire BOURBAKI ��e année, ����–����, no ����, p. �� à �� doi : ��.�����/ast.����

Novembre ����

UN LEMME DE FERMETURE C Œ [d’après Asaoka et Irie] par Vincent Humilière

�. CONTEXTE ET ÉNONCÉS PRINCIPAUX �.�. Qu’est-ce qu’un lemme de fermeture ? On appelle « lemme de fermeture » (ou « closing lemma ») tout énoncé du type suivant : Étant donné un système dynamique, pour tout point G0 vérifiant une certaine forme de récurrence, il est possible de perturber la dynamique de telle sorte que le système perturbé admette une orbite périodique passant par G0 . Précisons les termes employés. Qu’entend-on d’abord par système dynamique ? Il peut s’agir d’un difféomorphisme ) d’une variété différentiable. L’orbite par ) d’un point G0 est alors la suite de points () : (G0 )) :2Z (où ) : = ) · · · ) est obtenue en composant : fois )). Le paramètre : est ici le « temps » du système. Il peut également s’agir d’un champ de vecteurs - sur une variété différentiable, l’orbite d’un point G0 § = -(G(C)), G(0) = G0 . est alors l’unique solution maximale du problème de Cauchy G(C) C’est donc une courbe passant par G0 et partout tangente au champ -. Le « temps » est bien sûr ici C. Un point G 0 est dit récurrent s’il est point d’accumulation de son orbite future (c’està-dire son orbite restreinte aux temps strictement positifs). Par exemple, un point périodique, c’est-à-dire dont l’orbite est périodique, est un point récurrent. Intuitivement, l’orbite d’un point récurrent G0 revient dans le futur aussi proche que l’on veut de G0 . L’orbite d’un tel point est donc presque fermée, ce qui justifie que l’on puisse espérer la fermer véritablement par une petite perturbation. Il existe des formes de récurrence plus faible, comme le fait d’être non-errant ou récurrent par chaînes, donnant lieu à d’autres variantes potentielles de closing lemma. Enfin, précisons le terme « perturber ». Nous travaillerons dans l’espace des difféomorphismes ou dans l’espace des champs de vecteurs d’une classe ⇠ A donnée avec A = 1, 2, . . . , ou 1, chacun de ces espaces sera muni de la topologie ⇠ A de Whitney, et c’est en ce sens que l’on entendra le mot « perturber ». On pourra aussi restreindre la classe de difféomorphismes/champs de vecteurs considérée.

© Astérisque ���, SMF ����

��

V. HUMILIÈRE

En régularité ⇠ 0 , le lemme de fermeture ne pose pas de difficulté particulière. Étant donné un point récurrent G0 (mais non périodique) d’un homéomorphisme ) et un réel ⌘ > 0, on fixe un entier : > 0 tel que ) : (G0 ) soit à distance plus petite que ⌘/2 de G0 . On choisit un homéomorphisme # à support dans un ⌘/2-voisinage de G0 , envoyant ) : (G 0 ) sur G0 , et dont le support évite le début de l’orbite )(G0 ), ) 2 (G0 ), . . . , ) : 1 (G0 ) (à partir de la dimension �, c’est possible). Alors # ) est une perturbation ⌘-petite en topologie ⇠ 0 de ) (comme # est supporté dans le ⌘/2-voisinage d’un point, il est à distance uniforme ⌘ de l’identité), et G0 est un point :-périodique de # #. Un argument similaire donne un lemme de fermeture ⇠ 0 pour les champs de vecteurs.

Dans l’argument ci-dessus, il n’y a aucune raison pour que # soit petit en topologie ⇠ 1 . Au contraire même, par accroissements finis, un difféomorphisme supporté dans une boule de rayon ⇣ et ayant une distance ⇠ 1 à l’identité majorée par , ne peut déplacer les points que d’au plus ⇣ . La taille du support tend à s’agrandir si l’on cherche à réduire la taille de la perturbation. Ce support risque donc de rencontrer le début de l’orbite )(G0 ), ) 2 (G0 ), . . . , ) : 1 (G0 ) et l’on perd le contrôle de la dynamique de # ). En régularité ⇠ A supérieure la situation empire : si la distance ⇠ A à l’identité d’un difféomorphisme supporté dans une boule de rayon ⇣ est majorée par alors les points ne peuvent être déplacés que d’au plus ⇣ A . La conclusion de ce paragraphe est que la démonstration naïve du lemme de fermeture ne fonctionne pas en régularité supérieure. Ces difficultés ont été surmontées par Pugh en ���� dans le cas de la topologie ⇠ 1 (P���, ����a,b). Énonçons le résultat pour les difféomorphismes.

Théorème �.� (« closing lemma » ⇠ 1 , P���, ����b). — Pour tout ⇠ 1 -difféomorphisme ) d’une variété compacte ", tout point récurrent ? 2 " de ) et tout ⇠ 1 -voisinage U de ), il existe un difféomorphisme # 2 U dont ? est un point périodique. Suite à ce travail fondateur de Pugh, le lemme de fermeture et sa démonstration ont connu de nombreuses améliorations, extensions et simplifications. Mentionnons brièvement quelques exemples remarquables. P��� et R������� (����) ont montré que le lemme de fermeture ⇠ 1 reste vrai (avec une preuve analogue) lorsque l’on se restreint aux difféomorphismes conservatifs (c’est-à-dire préservant le volume) d’une variété munie d’une forme volume, aux difféomorphismes symplectiques ou

ASTÉRISQUE ���

(����)

UN LEMME DE FERMETURE ⇠ 1

��

encore aux difféomorphismes hamiltoniens d’une variété symplectique. M��� (����) a démontré un « closing lemma ergodique » : tout difféomorphisme d’une variété compacte ayant une mesure de probabilité ergodique ⇠ peut être ⇠ 1 -approché par des difféomorphismes 5= ayant une orbite périodique ⌦= telle que la mesure équirépartie sur ⌦= converge faiblement vers ⇠. H������ (����) a démontré un « connecting lemma » ; on ne cherche plus ici à fermer une orbite mais à connecter deux points distincts par une orbite. En améliorant le résultat de Hayashi, B������ et C�������� (����) ont montré que le lemme de fermeture reste vrai en remplaçant l’hypothèse de « récurrence » sur le point G0 par une hypothèse beaucoup plus faible de « récurrence par chaîne ». Une version de ce résultat pour les difféomorphismes symplectiques est due à A�����, B������ et C�������� (����). Après �� ans de recul et de multiples simplifications, la démonstration du lemme de fermeture ⇠ 1 de Pugh est maintenant bien comprise par les experts mais reste considérée comme difficile et technique. Pour plus de détails sur l’historique du « closing lemma », le lecteur peut consulter par exemple A����� et Z������� (����), A����� (����), C�������� (����) et P��� (����). Le paragraphe qui précède ne concerne que les perturbations de classe ⇠ 1 . La situation est radicalement différente en régularité supérieure, où le problème est très largement ouvert, à quelques résultats isolés près qui ne s’appliquent qu’à des classes très spécifiques de transformations en petite dimension (voir par exemple C�������� et P����� (����) et Y���� (����)). On ne sait toujours pas s’il existe un lemme de fermeture ⇠ 2 pour les champs de vecteurs des surfaces. Des résultats négatifs ont même été obtenus par G�������� (����), puis par H����� (����) dans le cas hamiltonien. Nous reviendrons sur ce dernier résultat. C’est dans ce contexte que Irie puis Asaoka-Irie ont démontré des lemmes de fermeture ⇠ 1 s’appliquant à de larges classes de systèmes dynamiques en dimension � et �. �.�. Lemmes de fermeture C Œ pour les difféomorphismes hamiltoniens en dimension � et les champs de Reeb en dimension � Les difféomorphismes hamiltoniens sont des transformations initialement issues de la mécanique classique, mais le formalisme de la géométrie différentielle permet de les définir sur toute variété symplectique. Nous nous intéressons à un cas particulier de variété symplectique, une surface (⌃, $) munie d’une forme d’aire. Un difféomorphisme hamiltonien sur (⌃, $) est alors un difféomorphisme de ⌃ qui préserve la forme $, est isotope à l’identité et admet une vecteur de rotation nul. Nous détaillerons tout ceci dans la partie �.�. Il s’agit d’une famille très importante de difféomorphismes, dont la dynamique et en particulier les orbites périodiques ont été très étudiées. La conjecture d’Arnold (A�����, ����), démontrée dans le cas des surfaces par E��������� (����), affirme qu’un difféomorphisme hamiltonien d’une surface compacte admet au moins deux points fixes s’il s’agit de la sphère et trois points fixes s’il s’agit d’une surface de genre plus grand. F����� (����) a prouvé qu’un difféomorphisme hamiltonien de la sphère ayant au moins trois points fixes admet une infinité d’orbites périodiques. En genre non nul, c’est la conjecture de Conley (cf. S������ et Z������, ����) qui

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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V. HUMILIÈRE

s’applique : un difféomorphisme hamiltonien admet une infinité de points périodiques (cf. F����� et H�����, ���� ; L� C�����, ����). Le théorème d’Asaoka et Irie qui nous intéresse ici est un lemme de fermeture pour les difféomorphismes hamiltoniens des surfaces compactes. On notera Ham(⌃, $) l’ensemble des difféomorphismes hamiltoniens de (⌃, $). Muni de la topologie ⇠ 1 , cet ensemble admet la structure d’un groupe de Lie de dimension infinie (Fréchet), dont l’algèbre de Lie est l’ensemble des fonctions ⇠ 1 de moyenne nulle.

Théorème �.� (A����� et I���, ����). — Soient (⌃, $) une surface compacte munie d’une forme d’aire, ) un difféomorphisme hamiltonien de (⌃, $) et * un ouvert de ⌃. Alors il existe une suite de difféomorphismes hamiltoniens () 8 )82N qui converge vers ) en topologie ⇠ 1 et telle que ) 8 admet un point périodique dans * pour tout entier 8. Ce résultat implique facilement le lemme de fermeture tel que formulé dans la partie précédente.

Corollaire �.�. — Soient (⌃, $) une surface compacte munie d’une forme d’aire, ) un difféomorphisme hamiltonien de (⌃, $) et ? un point de ⌃. Alors, pour tout ⇠ 1 -voisinage U de ) dans Ham(⌃, $), il existe un difféomorphisme hamiltonien # 2 U qui admet ? pour point périodique. Notons que l’hypothèse que ? est récurrent n’apparaît pas dans cet énoncé. Ceci s’explique par le théorème de récurrence de Poincaré, qui affirme que presque tout point est récurrent pour un difféomorphismes préservant l’aire. Asaoka et Irie en déduisent un autre résultat, inspiré par le « théorème de densité générique » de P��� (����a). Nous dirons qu’une propriété est générique sur un certain espace métrique complet si l’ensemble des éléments de cet espace qui la satisfont contient une intersection dénombrable d’ouverts denses1.

Corollaire �.� (A����� et I���, ����). — Pour toute surface (⌃, $) compacte munie d’une forme d’aire, la propriété d’avoir un ensemble dense de points périodiques est générique pour la topologie ⇠ 1 dans l’ensemble des difféomorphismes hamiltoniens de (⌃, $). La version ⇠ 1 du corollaire �.� était connue et due à P��� et R������� (����).

Pour déduire le corollaire du théorème �.�, on procède comme suit. Soit (* 8 )82N une base dénombrable de la topologie de ⌃. L’ensemble H (* 8 ) des difféomorphismes hamiltoniens qui admettent un point périodique non dégénéré2 dans * 8 est un ouvert. Un point périodique peut toujours être rendu non dégénéré par une perturbation ⇠ 1 -petite. Le théorème �.� implique donc que H (* 8 ) est dense pour chaque 8. Les — éléments de 82N H (* 8 ) ont des points périodiques dans chaque * 8 , leur ensemble de points périodiques est donc dense, ce qui termine la démonstration du corollaire. 1 Le théorème de Baire affirme bien sûr qu’un tel ensemble est dense. 2 Un point )-périodique ? d’un difféomorphisme hamiltonien ) est dit non dégénéré si la différentielle de )) au point ? n’admet pas 1 pour valeur propre. Sur une surface, il est alors soit hyperbolique (valeurs propres réelles distinctes inverses l’une de l’autre), soit elliptique (valeurs propres conjuguées et de module 1).

ASTÉRISQUE ���

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UN LEMME DE FERMETURE ⇠ 1

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La démonstration d’Asaoka et Irie ne se fonde ni sur la théorie de Floer, ni sur la théorie de Franks-Handel, ni sur la théorie de Le Calvez, donc sur aucune des théories ayant obtenu les résultats les plus significatifs pour l’étude des orbites périodiques des difféomorphismes hamiltoniens de surface. Leur démonstration consiste à se ramener à un autre lemme de fermeture, qui fut auparavant prouvé par Irie, et s’applique aux champs de vecteurs de Reeb des variétés de contact en dimension 3. Avant de l’énoncer, donnons rapidement les définitions nécessaires. Les structures de contact peuvent être définies en toute dimension impaire, mais nous nous restreignons ici au cas de la dimension 3. Une structure de contact (coorientable) sur une variété tridimensionnelle + est un champ de plans ⇢, qui est le noyau d’une 1-forme de contact, c’est-à-dire d’une 1-forme telle que ^ d ne s’annule pas. Par exemple, le bord d’un domaine étoilé de R4 porte une structure de contact naturelle. Autre exemple important, le fibré en sphères cotangentes d’une variété riemannienne porte également une structure de contact naturelle. Nous introduirons en détail les structures de contact dans la partie �.�. Une structure de contact donnée ⇢ = ker est le noyau d’une multitude de formes de contact. En fait, une 1-forme admet ⇢ pour noyau si et seulement si elle est de la forme 5 avec 5 2 ⇠ 1 (+) ne s’annulant pas. Chaque forme de contact induit un champ de vecteurs « de Reeb » ' par

.

d (' , ) = 0

et

(' ) = 1.

Il y a donc aussi une multitude de champs de Reeb (autant qu’il y a de fonctions lisses ne s’annulant pas). Un exemple fondamental de flot engendré par un champ de Reeb est le flot géodésique sur un fibré en sphères cotangentes (voir la partie �.� pour plus de détails). On peut donc penser aux flots de Reeb comme à une large généralisation des flots géodésiques. Comme les orbites périodiques des difféomorphismes hamiltoniens, les orbites périodiques des champs de Reeb ont été énormément étudiées. La conjecture de W�������� (����) prédit que le flot d’un champ de Reeb d’une variété de contact compacte admet toujours au moins une orbite périodique. Après de nombreux travaux précurseurs, notamment de Hofer et Viterbo, la conjecture a été établie par T����� (����) pour toutes les variétés de contact de dimension 3 (voir aussi A�����, ����). En dimension plus grande, la conjecture demeure ouverte en général, bien que de multiples cas aient été établis. Mentionnons aussi quelques résultats de multiplicité en dimension 3 : C���������-G������� et H�������� (����) et C���������-G�������, H�������� et P��������� (����). Nous pouvons maintenant énoncer le lemme de fermeture d’Irie.

Théorème �.� (I���, ����). — Soient (+ , ⇢) une variété de contact compacte tridimensionnelle, ' un champ de Reeb et * un ouvert de +. Alors, ' est limite en topologie ⇠ 1 de champs de Reeb qui coïncident avec ' dans le complémentaire de * et admettent une orbite periodique rencontrant *.

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Dans l’espace des champs de vecteurs de Reeb de (+ , ⇢) muni de la topologie ⇠ 1 , la propriété d’admettre un ensemble dense d’orbites périodiques est générique. La démonstration d’Irie s’applique également au cas particulier des flots géodésiques.

Théorème �.� (I���, ����). — Soient ⌃ une surface, 6 une métrique riemannienne et * un ouvert de ⌃. Alors 6 est limite en topologie ⇠ 1 de métriques riemanniennes qui admettent une géodésique rencontrant *. Dans l’espace des métriques riemanniennes sur ⌃ muni de la topologie ⇠ 1 la propriété que les géodésiques fermées soient denses dans ⌃ est générique. En topologie ⇠ 1 pour la métrique riemannienne (ou de manière équivalente, en topologie ⇠ 0 pour les flots géodésiques), ce résultat est connu en toute dimension et est dû à R������ (����). En topologie ⇠ 2 , c’est un problème ouvert en général mais le cas des surfaces est conséquence du théorème �.�. Le résultat de Rifford est cependant plus précis que le théorème �.�, car il affirme que pour tout point ? et tout vecteur tangent E en ?, on peut trouver une géodésique fermée par perturbation au voisinage de ? et avec vitesse initiale proche E. Le théorème �.�, quant à lui, donne une géodésique fermée passant près de ? mais ne donne aucune information sur la vitesse initiale. �.�. Discussion Faiblesses des théorèmes �.�, �.� et �.�. — Les lemmes de fermeture de Irie et Asaoka-Irie sont de véritables percées car ils sont valables en topologie ⇠ 1 alors que les résultats antérieurs ne le sont qu’en topologie ⇠ 1 . En revanche, ils présentent une faiblesse que n’ont pas les lemmes de fermeture classiques : leur démonstration ne fournit aucune information sur la localisation spatiale des orbites obtenues après perturbation. Au contraire, dans le cas ⇠ 1 , les démonstrations dérivées de celle de Pugh sont plus constructives et l’orbite périodique construite est proche de l’orbite récurrente de départ. D’une manière générale, dans les résultats d’Irie et Asaoka-Irie, le mécanisme dynamique donnant naissance aux orbites périodiques reste très mystérieux. Généralisations ? — Il est naturel de se demander si le lemme de fermeture ⇠ 1 est vérifié par les difféomorphismes hamiltoniens des variétés symplectiques de dimension supérieure. La réponse est négative en général. Un contre-exemple a été proposé par H����� (����) sur un tore de dimension > 4 muni d’une forme symplectique constante mais non standard. Il n’est pas exclu qu’un lemme de fermeture puisse être valide sur certaines variétés, mais ce problème reste ouvert. Pour les champs de Reeb en dimension plus grande, la question est aussi ouverte. Revenant aux surfaces, on peut également se demander si l’on peut élargir la classe de transformations à laquelle le lemme de fermeture s’applique. La question demeure largement ouverte, même pour les difféomorphismes conservatifs d’une surface. En revanche, un argument que m’a communiqué Alejandro Kocsard, utilisant un théorème de conjugaison de Herman, montre que la fermeture d’orbite ne peut pas résulter d’une perturbation locale comme c’est le cas chez Asaoka et Irie.

ASTÉRISQUE ���

(����)

UN LEMME DE FERMETURE ⇠ 1

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Analogie avec les hypersurfaces minimales, équidistribution des orbites. — Il y a une analogie intéressante entre orbites périodiques et hypersurfaces minimales dans les variétés riemanniennes qui a récemment donné lieu à de fructueux (et fulgurants) échanges d’idées. Peu après la publication du théorème �.�, I���, M������ et N���� (����) ont remarqué que l’argument du lemme de fermeture d’Irie s’appliquait presque à l’identique pour démontrer la densité ⇠ 1 -générique (pour la métrique) des hypersurfaces minimales dans les variétés de dimension entre 3 et 7, la version générique d’un conjecture célèbre de Yau. Quelques mois plus tard, M������, N���� et S��� (����) ont raffiné la démonstration pour démontrer que ⇠ 1 -génériquement les hypersurfaces minimales sont en fait équidistribuées dans la variété. L’échange d’idée s’est alors fait en sens inverse : reprenant leur argument, Irie a démontré un résultat d’équidistribution pour les orbites de Reeb. On appelle courant de Reeb un courant qui est somme finie de courants d’intégration sur des orbites de Reeb fermées simples (non nécessairement distinctes).

Théorème �.� (I���, ����). — Soit (+ , ⇢) une variété de contact compacte connexe de dimension 3. Alors, pour un choix ⇠ 1 -générique de forme de contact , il existe une suite de courants de Reeb qui converge faiblement vers d . Ce résultat renforce le lemme de fermeture �.�. Nous reviendrons sur l’analogie avec les surfaces minimales dans la partie �.�. �.�. Survol historique Les résultats de Irie et Asaoka-Irie sont l’aboutissement de diverses théories sophistiquées développées dans les trois dernières décennies en topologie de petite dimension et en topologie symplectique. Nous allons donner les étapes principales de ce développement. Le lecteur peut passer cette partie s’il le souhaite. La démonstration du théorème �.� est basée sur l’homologie de contact plongée (ECH3) construite par Hutchings (voir H�������� (����) pour une présentation et une bibliographie détaillée). Mais cette théorie est elle-même le fruit de l’interaction entre la théorie des courbes -holomorphes de Gromov, la théorie de Morse et la théorie de Seiberg-Witten (voir la figure �). Pendant longtemps, la principale approche des orbites périodiques des systèmes hamiltoniens (ou des champs de Reeb) était variationnelle, car ces orbites sont les points critiques d’une certaine « fonctionnelle d’action ». Par ailleurs, l’homologie de Morse consiste à étudier les points critiques d’une fonction de Morse 5 en considérant un complexe de chaînes engendré par les points critiques de 5 et muni d’une différentielle construite en comptant certaines trajectoires du gradient 5 (cf. partie �.�). Suite à l’introduction des courbes -holomophes en topologie symplectique par G����� (����) et inspiré par l’homologie de Morse, Floer a construit à la fin des années ���� une homologie sur la base d’un complexe engendré par les orbites périodiques d’un flot 3 Nous utiliserons des acronymes anglophones comme ECH (pour Embedded Contact Homology) car ceux-ci sont d’usage plus courant.

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F����� �

hamiltonien (cf. A���� et D�����, ���� et les références s’y trouvant). La différentielle compte certaines lignes de gradient de la fonctionnelle d’action qui s’interprètent ici comme des courbes -holomorphes. De multiples variantes de la théorie de Floer sont apparues, dans des contextes variés. En particulier, K��������� et M����� (����) ont construit l’homologie de Seiberg-Witten-Floer (aussi appelée « monopole Floer homology ») qui est une théorie de Morse pour la fonctionnelle de Chern-Simons-Dirac, dont les points critiques sont les solutions des équations de Seiberg-Witten (SW) en dimension 3 et dont les lignes de gradient sont les solutions d’équations SW en dimension 4. La théorie de Kronheimer et Mrowka est souvent présentée comme une « catégorification des invariants » SW introduits par S������ et W�����, ����a,b. Parallèlement, le lien entre courbes -holomorphes et équations SW a été découvert par Taubes. Son fameux théorème « SW = Gr » (T�����, ����) affirme que sous certaines hypothèses, les invariants SW (qui comptent des solutions des équations SW) coïncident avec les invariants de Gromov-Witten en dimension � (qui comptent des courbes -holomorphes). La motivation intiale de ECH était de construire une interprétation symplectique de la théorie de Seiberg-Witten-Floer, dans l’esprit de SW=Gr. Par ailleurs, la démonstration par T����� (����) de la conjecture de Weinstein a mis en évidence un phénomène de détection des orbites de Reeb : en introduisant un certain paramètre de déformation dans les équations de SW en dimension 3, la courbure des solutions tend à se concentrer sur des orbites de Reeb. Le complexe ECH sera donc engendré par des ensembles d’orbites de Reeb et la différentielle comptera certaines courbes -holomorphes. L’isomorphisme entre l’homologie de Seiberg-Witten-Floer et ECH, dû à T����� (����a,b,c,d,e) également, reprend les idées de la démonstration de la conjecture de Weinstein (voir aussi A����� (����)). On sait depuis les travaux de Ekeland-Hofer, Hofer-Zehnder, Viterbo, Oh, Schwarz, etc., qu’il est possible d’extraire des invariants numériques des différentes variantes de l’homologie de Floer et en tirer des applications dynamiques ; c’est la théorie des capacités symplectiques et des invariants spectraux. Motivé par des problèmes de plongements symplectiques, Hutchings a introduit des analogues de ces invariants basés sur ECH, les capacités ECH et les invariants spectraux ECH. Ces nouveaux invariants ne sont définis qu’en dimension 3, mais ils donnent souvent des résultats ASTÉRISQUE ���

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UN LEMME DE FERMETURE ⇠ 1

plus précis que les invariants classiques. Un résultat crucial pour le lemme de fermeture d’Irie, et spécifique à ces invariants, est la propriété de volume de Cristofaro-Gardiner, Hutchings et Ramos (cf. théorème �.��), qui affirme que le volume d’une forme de contact apparaît dans l’asymptotique des invariants spectraux ECH. Organisation du texte La partie � introduit les systèmes hamiltoniens et les champs de Reeb. Nous y expliquons aussi comment déduire le lemme de fermeture sur les surfaces de celui pour les champs de Reeb en dimension 3, à l’aide de la notion de surface de section. La partie � donne un aperçu de la construction de l’homologie de contact plongée (ECH). Enfin, la partie � montre comment définir et utiliser les invariants spectraux ECH. En particulier, la propriété de volume est discutée dans la partie �.�. Nous donnerons une idée de sa démonstration dans le cas de la sphère S3 dans la partie �.� et expliquerons comment elle implique le lemme de fermeture dans la partie �.�. Notons que nous avons choisi de limiter au maximum les mentions à la théorie de Seiberg-Witten, afin que ce texte garde un niveau de technicité et une longueur raisonnable. Remerciements Je remercie Dan Cristofaro-Gardiner pour m’avoir initié à ECH, Sylvain Crovisier et Sobhan Seyfaddini pour leurs commentaires sur une version préliminaire de ce texte, Sylvain Crovisier à nouveau pour m’avoir éclairé sur l’historique et les subtilités du lemme de fermeture, Michael Hutchings pour m’avoir transmis une version préliminaire de H�������� (����), Alejandro Kocsard pour l’argument mentionné page ��. Enfin, je remercie aussi Marie-Claude Arnaud, Kei Irie, Patrice Le Calvez, Frédéric Le Roux pour leurs réponses à mes questions.

�. DIFFÉOMORPHISMES HAMILTONIENS, FLOTS DE REEB ET LEURS LIENS �.�. Difféomorphismes hamiltoniens Tous les objets considérés dans ce texte seront supposés lisses, c’est-à-dire de classe ⇠ 1 , sauf mention explicite du contraire. On considère ici une surface ⌃, munie d’une forme d’aire $, c’est-à-dire d’une 2-forme différentielle ne s’annulant en aucun point. Un difféomorphisme ) : ⌃ ! ⌃ est dit conservatif ou symplectique s’il préserve $. Ces difféomorphismes forment naturellement un groupe, que l’on notera Diff(⌃, $) et que l’on munira de la topologie ⇠ 1 . La composante connexe de l’identité sera notée Diff 0 (⌃, $). Une isotopie (c’est-à-dire une famille à un paramètre de difféomorphismes) () C )C2[0,1] partant de l’identité n’est constituée que de difféomorphismes conservatifs si et seulement si le champ de vecteurs (dépendant du temps) qui l’engendre d C -C = ( dC ) ) () C ) 1 vérifie L -C $ = 0. Comme $ est fermée, la formule de Cartan SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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.

permet de réécrire la dérivée de Lie : L -C $ = d($(-C , )). La condition pour que cette isotopie soit conservative à tout temps est donc que la 1-forme $( , -C ) soit fermée pour tout C.

.

Définition �.�. Une isotopie conservative () C ) est dite hamiltonienne si pour le champ de vecteurs -C qui l’engendre, la 1-forme $( , -C ) est exacte pour tout C. Toute fonction C (dépendant du temps) vérifiant

.

d

C

.

= $( , -C )

est appelée « hamiltonien engendrant () C ) ». Réciproquement, toute fonction dépendant du temps C définit grâce à la relation d C = $( , - C ) un unique champ de vecteurs - C , qui engendre une isotopie hamiltonienne que l’on notera ) C .

.

Les difféomorphismes hamiltoniens sont les difféomorphismes ) pour lesquels il existe une isotopie hamiltonienne () C ) vérifiant ) 0 = Id et ) 1 = ).

Remarque �.�. En réalité, la définition qui précéde peut être donnée dans le cadre plus général des variétés symplectiques. Une variété symplectique (", $) est une variété différentiable " munie d’une 2-forme fermée et non dégénérée en tout point $ (que l’on appelle forme symplectique). En particulier, une surface munie d’une forme d’aire est une variété symplectique. Exemple �.�. Dans le cas où notre surface est le plan R2 muni des coordonnées canoniques (G, H) et de la forme d’aire standard dG ^ d H, la relation d C = $( , - C ) s’écrit -C = % H C , %G C .

.

Le champ - C n’est donc rien d’autre que le gradient de C (pour la métrique standard) que l’on a tourné de /2. En particulier, -C est tangent aux courbes de niveau de C . Localement, une surface munie d’une forme d’aire est toujours isomorphe à un ouvert de (R2 , dG ^ d H). Cet exemple décrit donc la situation générale locale à conjugaison près. Le champ de vecteurs engendrant une isotopie hamiltonienne est toujours tangent aux courbes de niveau du hamiltonien C , ce pour tout C. Dans le cas d’un hamiltonien indépendant du temps , la dynamique est par conséquent très simple : les courbes intégrales de - suivent les courbes de niveau de . En dimension plus grande, il est encore vrai que le champ est tangent aux hypersurfaces de niveau de . Mais comme ces hypersurfaces sont de dimension plus grande, la dynamique sur l’une d’entre elles peut être extrêmement compliquée.

Remarque �.�. Historiquement, les systèmes dynamiques hamiltoniens sont issus de la mécanique classique. Par exemple, la loi de Newton bien connue < @• = r+(@) est équivalente, en introduisant une variable « moment » supplémentaire ?, à l’équation § @§ ) = - (?, @), où est le hamiltonien « énergie cinétique + énergie potentielle » ( ?, (?, @) = 12 2, le quotient Diff 0 (⌃, $)/Ham(⌃, $) s’identifie à 1 (⌃, R) ' R26 2 . Pour plus de détails sur les difféomorphismes hamiltoniens, le lecteur peut consulter par exemple l’ouvrage de M�D��� et S������ (����). �.�. Structures de contacts et champs de Reeb Dans cette partie, nous définissons les structures de contact, les formes de contact et leurs champs de Reeb et nous donnons quelques propriétés et exemples. Les résultats présentés dans ce texte sont spécifiques à la dimension 3. Par souci de simplification, nous introduisons donc les objets seulement dans ce cadre. Cependant, les définitions se généralisent toutes à la dimension (impaire) supérieure. Plus de détails sur le matériel de cette partie peuvent être trouvés par exemple dans le livre de G����� (����).

Définition �.�. Soit + une variété de dimension 3. Une forme de contact sur + est une 1forme différentielle telle que le produit extérieur ^ d ne s’annule pas. La structure SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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de contact sur + définie par une forme de contact est le champ de plans ⇢ = ker . Si ⇢ est une structure de contact, on dit que (+ , ⇢) est une variété de contact.

La géométrie de contact étudie les propriétés des structures de contact, les formes de contact ne jouant que le rôle d’objet auxiliaire. Une structure de contact donnée peut être définie par plusieurs formes de contact. Plus précisément, si ⇢ est définie par une forme de contact , l’ensemble des formes de contact définissant ⇢ est l’ensemble { 5 ; 5 2 ⇠ 1 (+), 5 ne s’annule pas}. Donnons quelques exemples.

Exemple �.�. L’espace R3 de cooordonées cylindriques (A, , I) admet une structure de contact « standard » : ⇢0 = ker dI + A 2 d . Cet exemple est fondamental car toute structure de contact lui est localement isomorphe (c’est le théorème de Darboux).

F����� �. La structure de contact standard sur R3 (image de P. Massot).

Exemple �.�. Dans toute la suite de ce texte, on appellera domaine étoilé tout compact de R4 qui est l’adhérence d’un ouvert étoilé par rapport à l’origine, et dont le bord est lisse et transverse au champ de vecteur radial. Pour tout domaine étoilé *, la restriction à %* de la 1-forme ⌫ = 12 (H1 dG1 G1 d H1 + H2 dG2 G2 d H2 ) sur R4 = {(G1 , H1 , G2 , H2 )} est une forme de contact et ker ⌫| %* est donc une structure de contact. Par projection radiale, %* s’identifie à S3 . La structure de contact ainsi induite sur S3 ne dépend pas du domaine étoilé choisi (bien que la forme de contact en dépende) et cette structure est appelée structure de contact standard sur la sphère S3 . Exemple �.�. Soit (⌃, 6) une surface munie d’une métrique riemannienne. La métrique 6 induit un isomorphisme entre le fibré tangent )⌃ et son dual le fibré cotangent ) ⇤ ⌃. Ce dernier hérite donc lui-même d’une métrique et l’on peut définir le fibré en sphères cotangentes (⇤6 ⌃, c’est-à-dire l’ensemble des covecteurs de norme 1. Il porte une forme (et donc une structure) de contact naturelle qui est la restriction à (⇤6 ⌃ de la 1-forme de Liouville, c’est-à-dire la 1-forme ⌫ sur ) ⇤ ⌃ définie pour tout @ 2 ⌃, ? 2 )@⇤ ⌃ par ⌫(@, ?) = ? d (@,?) , où : ) ⇤ ⌃ ! ⌃ désigne la projection canonique. En coordonnées ASTÉRISQUE ���

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UN LEMME DE FERMETURE ⇠ 1

locales @ = (@1 , @2 ), ? = (?1 , ?2 ), la 1-forme de Liouville s’écrit ⌫ = ? 1 d@1 + ? 2 d@2 , que l’on abrège souvent ⌫ = ? d@. Un isomorphisme de structures de contact (ou contactomorphisme) entre (+ , ⇢) et est un difféomorphisme ) : + ! + 0 vérifiant d) G (⇢G ) = ⇢0)(G) pour tout G 2 +. Un contactomorphisme ne préserve pas nécessairement de forme de contact. (+ 0 , ⇢0)

En dimension 3, les structures de contact sont les champs de plans vérifiant : - , . 2 ⇢ champs de vecteurs linéairement indépendants =) [- , .] 8 ⇢. C’est une conséquence de la formule d (- , .) = - · (.) . · (-) ([- , .]). Les structures de contact sont donc l’extrême opposé des champs de plans intégrables (c’està-dire tangents à un feuilletage) qui sont eux caractérisés par : - , . 2 ⇢ ) [- , .] 2 ⇢. Étant donnée une structure de contact ⇢ = ker , la restriction d | ⇢ est non dégénérée. Le noyau de d est donc un fibré en droites qui est transverse à ⇢. Cette remarque permet de définir le champ de Reeb d’une forme de contact.

Définition �.�. Soit une forme de contact. Le champ de vecteurs de Reeb associé à est l’unique champ de vecteurs ' sur + vérifiant : ' 2 ker d Le flot de Reeb de

et

(' ) = 1.

est le flot engendré par ' . On le notera ) C .

Les flots de Reeb peuvent aussi être caractérisés comme les champs qui sont transverses à ⇢ et dont le flot préserve ⇢. Reprenons les exemples précédents.

Exemple �.��. Le champ de Reeb de la forme de contact dI + A 2 d sur R3 est tout simplement le champ de vecteurs constant vertical %I . Exemple �.��. Le champ de Reeb de la forme de contact standard sur la sphère s’écrit 2(H1 %G1 G1 %H1 + H2 %G2 G2 %H2 ). Les orbites du champ de Reeb sont toutes périodiques de période . Ce sont les fibres de la fibration de Hopf S1 ! S3 ! CP1 ; c’est-à-dire les intersections de S3 avec les droites complexes de R4 ' C2 . Pour des bords de domaines étoilés généraux, les orbites du champ de Reeb peuvent être extrêmement compliquées. Exemple �.��. Le flot de Reeb associé à la restriction de la forme de Liouville à un fibré en sphères cotangentes (⇤6 ⌃ est le flot géodésique de la métrique 6. Les orbites du champ de Reeb sont donc les relevées à (⇤6 ⌃ des géodésiques sur ⌃. En particulier, il y a ici bijection entre géodésiques fermées et orbites fermées du champ de Reeb.

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�.�. Des champs de Reeb aux difféomorphismes hamiltoniens : surfaces de section Asaoka et Irie déduisent leur lemme de fermeture de celui de Irie, à l’aide de la notion de surface de section, introduite par Poincaré dans Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste (����).

Définition �.��. Soient - un champ de vecteurs sur une variété + de dimension 3 et C () ) son flot. Une surface de section de - est une surface à bord ⌃, plongée dans + vérifiant les conditions : �) chaque composante connexe du bord %- est une orbite périodique de -, �) - est transverse à ⌃ en tout point de son intérieur int ⌃ = ⌃ \ %⌃,

�) l’orbite de tout point G 2 + rencontre ⌃ au moins une fois dans le passé et au C moins une fois dans le futur : pour tout G 2 + il existe C < 0 < C+ , tels que ) 2⌃ C+ et ) - 2 ⌃.

Exemple �.��. Dans le cas de la sphère standard S3 , nous avons vu que les orbites de Reeb sont les fibres de la fibration de Hopf. Lorsqu’on identifie le complémentaire d’un point de S3 à R3 par projection stéréographique, la fibration peut être représentée comme sur la figure �.

F����� �. La fibration de Hopf, image tirée du site « SageManifold project ».

Le disque unité du plan horizontal est l’âme des tores selon lesquels les orbites s’organisent. Il rencontre toutes les orbites de Reeb exactement une fois. Son bord est lui-même une orbite périodique. Ce disque est donc une surface de section. Une surface de section ⌃ d’un champ de vecteurs - porte une application de premier de retour ⌧ : int ⌃ ! int ⌃, définie comme suit. Soit G 2 int ⌃. Par la propriété � de la C définition ci-dessus on a ) (G) 8 ⌃, pour C0 > 0 suffisamment petit, et tout C 2 ]0, C0 ]. ASTÉRISQUE ���

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UN LEMME DE FERMETURE ⇠ 1

Par la propriété �, on peut définir le temps de premier retour de G comme le réel strictement positif C (G) = inf C > 0 ; ) (G) 2 ⌃ . (G)

L’application de premier retour est alors définie par ⌧(G) = ) - (G). Elle associe donc à un point de int ⌃, le premier point de son orbite future situé sur int ⌃. L’application ⌧ est un difféomorphisme lisse de int ⌃. Le flot de - peut être en grande partie reconstruit à partir de l’application de premier retour ⌧ par le procédé de suspension (« mapping torus » en anglais). Plus précisément, la suspension d’une application ⌧ : int ⌃ ! int ⌃ est le quotient

b⌧ = int ⌃ ⇥ [0, 1] ; (#(G), 0) ⇠ (G, 1). (

Elle porte un flot naturel ⌧ˆ C induit par le flot de translation (G, I) 7! (G, I + C). Si ⌧ est une application de premier retour pour une surface de section comme ci-dessus, I (G) l’application : (ˆ ⌧ ! + induite par (G, I) 7! ) - (G) est un plongement dont l’image C (G)

est + \ %⌃. De plus, le flot ⌧ˆ C (G) et le flot ) - (G) (qui n’est qu’une reparamétrisation temporelle du flot de -) sont conjugués par . En particulier, les orbites périodiques de - autres que celle de %⌃ sont en bijection avec les orbites périodiques de ⌧. Dans le cas où + admet une structure de contact ⇢ et où - = ' est le champ de Reeb d’une forme de contact , la forme d induit une forme d’aire sur toute surface de section ⌃. L’application de premier retour préserve cette forme d’aire. Ceci permet d’utiliser les propriétés des difféomorphismes conservatifs des surfaces pour étudier les flots de Reeb. bien sûr, la difficulté réside dans la construction de surfaces de section. Une méthode puissante fondée sur les courbes pseudo-holomorphes, a pour cela été développée par H����, W������ et Z������ (����, ����). De manière originale, la démonstration d’Asaoka-Irie va dans la direction oppposée. Elle déduit une propriété des difféomorphismes de surfaces d’une propriété des flots de Reeb en dimension 3. L’idée est de réaliser n’importe quel difféomorphisme hamiltonien d’une surface comme application de premier retour d’une surface de section d’un certain champ de Reeb (quitte à le perturber et éclater la surface en un point). Le lemme suivant est une étape essentielle de cette opération.

Lemme �.�� (A����� et I���, ����, Lemma �.�, H��������, ����, Proposition �.�). — Soit ( une surface ayant une composante de bord %( ' S1 et munie d’une forme d’aire $. Soit # un difféomorphisme hamiltonien de (, engendré par un hamiltonien à support compact dans int (. Alors, il existe une variété de contact (+ , ⇢) de dimension 3, un champ de Reeb ' sur + et une surface de section ⌃ de ' qui est difféomorphe à ( et dont l’application de premier retour ⌧ : int ⌃ ! int ⌃ est ⇠ 1 conjuguée à #.

Idée de la démonstration. — L’idée de la démonstration de ce lemme consiste à construire + en recollant la suspension de # avec un modèle local. Soit ) un difféomorphisme hamiltonien de int ( qui est l’identité près de %(, le voisinage du bord de la suspension (ˆ ) s’identifie à un ouvert de la forme (⇡ \ {0}) ⇥ R/Z, où ⇡ est un disque de R2 centré en l’origine. Par cette identification, l’extrémité {0} ⇥ S1 correspond au SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

��

V. HUMILIÈRE

bord de la suspension. Sur un tel ouvert, le champ de translation est %I , où I est la coordonnée dans R/Z, qui est aussi le champ de Reeb de la forme dI + A 2 d sur R3 (et sur R2 ⇥ R/Z). On peut donc compléter la suspension (ˆ ) en une variété + sans bord, en lui adjoignant {0} ⇥ R/Z. Le champ de translation se prolonge en un champ sur + et {0} ⇥ R/Z en est une orbite périodique. D’après l’exemple �.��, le champ ' est un champ de Reeb de ⇡ ⇥ S1 pour la structure de contact standard. On peut montrer qu’elle s’étend en une structure de contact ⇢ sur + de telle sorte que ' soit un champ de Reeb pour ⇢. Un hélicoïde dans ⇡ ⇥ R fournit alors un germe de surface de section pour ' ayant pour bord {0} ⇥ R/Z, qui se prolonge à + en une surface de section. ⇤ �.�. Du théorème �.� au théorème �.� Supposons que le théorème �.� (c’est-à-dire le lemme de fermeture pour les champs de Reeb en dimension 3) est vérifié. On démontre alors le théorème �.� de la manière suivante. On fixe un difféomorphisme hamiltonien ) d’une surface sans bord (", $) et un ouvert * de " et l’on suppose, sans perte de généralité, que * ne contient pas de point périodique de ). Nous allons modifier ) de manière à pouvoir utiliser le lemme �.�� et le réaliser comme application de premier retour d’un flot de Reeb. La conjecture d’Arnold que nous avons déjà évoquée dans la partie �.� a été démontrée par E��������� (����) dans le cas des surfaces (il y a plusieurs autres démonstrations, comme celle de L� C����� (����)). Elle implique que ) admet au moins un point fixe ?. On peut alors éclater ? pour obtenir un difféomorphisme )˜ d’une ˜ de telle sorte que int " ˜ ' " \ {?} et )˜ surface ayant une composante de bord " ˜ int " s’identifie à ) "\{?} . On voudrait ensuite prolonger )˜ en un difféomorphisme hamil˜ ⇢ int ( et ( \ int " ˜ tonien # d’une surface à bord légèrement plus grande ( (avec " difféomorphe à un anneau), qui soit l’identité au voisinage %(. On pourrait ensuite appliquer le lemme �.�� à #. C’est essentiellement ce que font Asaoka et Irie, bien que la mise en œuvre rigoureuse de cette idée ne soit pas immédiate. Le résultat de leur construction est : – une surface munie d’une forme d’aire ((, $) ayant une composante de bord, – une sous-surface à bord (0 ⇢ ( telle que ( \ int (0 est difféomorphe à un anneau, – un difféomorphisme hamiltonien # de ( qui coïncide avec l’identité au voisinage du bord, qui laisse invariante la sous-surface (0 et dont la restriction à int (0 s’identifie à la restriction de ) à un ouvert " 0 ⇢ " vérifiant )(" 0) = " 0 et * ⇢ " 0.

On applique le théorème �.��, ce qui permet de voir # comme l’application de premier retour ⌧ d’un champ de Reeb ', pour une certaine surface de section ⌃. L’image de * dans ⌃ sera encore notée *. Soit * 0 un ouvert de + n’intersectant pas l’orbite %⌃ et tel que * = * 0 \ ⌃. Le théorème �.� affirme alors qu’il existe une suite de champs de Reeb ' = qui convergent en topologie ⇠ 1 vers ', qui coïncident avec ' dans le complémentaire de * 0 dans +, et qui admettent une orbite périodique passant par * 0. La surface ⌃ est encore une surface de section pour les champs ' = (pour = assez grand). Les

ASTÉRISQUE ���

(����)

��

UN LEMME DE FERMETURE ⇠ 1

applications de premier retour ⌧= correspondantes convergent en topologie ⇠ 1 vers ⌧ et admettent une orbite périodique passant par *. Cela prouve le lemme de fermeture d’Asaoka-Irie.

Remarque �.��. Dans l’argument ci-dessus, si " est la sphère S2 , la surface ( est un disque. La variété de contact construite par la démonstration du lemme �.�� est alors la sphère S3 standard. Par conséquent, le théorème d’Asaoka-Irie sur S2 est conséquence du théorème d’Irie sur S3 . Remarque �.��. La perturbation de la démonstration ci-dessus n’est pas entièrement supportée dans * ; on perturbe également au voisinage du point fixe ?. �. CONSTRUCTION DE L’HOMOLOGIE DE CONTACT PLONGÉE �.�. Inspiration : homologie de Morse Nous expliquons brièvement dans cette partie la construction du complexe de Morse associé à une fonction de Morse et à une métrique riemannienne. Cette construction a inspiré la théorie de Floer et ses variantes, dont l’homologie de contact plongée qui nous intéresse ici. En effet, les différentes théories de Floer sont des adaptations de l’homologie de Morse (définie en dimension finie) à des contextes de dimension infinie. Soient " une variété lisse compacte sans bord et 5 : " ! R une fonction de Morse sur ", c’est-à-dire une fonction dont tous les points critiques sont non dégénérés. Pour toute métrique riemannienne 6, les orbites du gradient de 5 convergent vers des points critiques à l’infini dans le futur et dans le passé. On appelle variété instable (resp. stable) d’un point critique G l’ensemble des points dont l’orbite converge vers G en 1 (resp. en +1). Tout point de la variété appartient donc en particulier à la variété instable d’un point critique. T��� (����) a observé que les variétés instables d’une fonction de Morse forment une décomposition cellulaire de la variété et peuvent donc être utilisées pour en calculer l’homologie. La dimension de la cellule correspondant à la variété instable d’un point critique G est donnée par l’indice de Morse 8(G), c’est-à-dire le nombre de valeurs propres négatives de la hessienne de 5 en G. S���� (����) a montré que pour un choix générique de métrique 6 les variétés stables et instables s’intersectent transversalement4. Sous cette condition, l’intersection de la variété instable d’un point G et de la variété stable d’un point H, c’est-à-dire l’espace

n

o

M(G, H) = I 2 " ; 9✏ : R ! ", ✏§ = r 5 (✏), ✏(0) = I, lim ✏ = G, lim ✏ = H , 1

+1

est une variété de dimension 8(G) 8(H). Cette variété porte une action naturelle de R par translation le long des orbites. Le quotient M(G, H)/R est une variété de dimension 4 Cette propriété du couple ( 5 , 6) porte maintenant le nom de condition de Smale.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

��

V. HUMILIÈRE

8(G) 8(H) 1. C’est l’espace des trajectoires de gradients reliant G à H. Cette variété peut être compactifiée de manière naturelle en lui ajoutant les trajectoires brisées reliant G à H, c’est-à-dire les suites finies de trajectoires de gradient (✏1 , . . . , ✏: ) telles qu’il existe une suite de points critiques G = G 0 , G1 , . . . , G : 1 , G : = H vérifiant lim 1 ✏8 = G 8 1 et lim+1 ✏8 = G 8 pour tout 8.

F����� �. Suite de trajectoires de gradient convergeant vers une trajectoire brisée.

Dans le cas 8(G) 8(H) = 1, M(G, H)/R est une variété compacte de dimension 0, donc un ensemble fini, et l’on note =(G, H) 2 Z/2 son cardinal modulo 2. Dans le cas 8(G) 8(H) = 2, l’espace M(G, H)/R est, après compactification, une variété à bord de dimension 1, ce qui jouera un rôle dans la suite. Reprenant l’idée de Thom, W����� (����) a introduit le complexe de chaînes suivant, qui porte aujourd’hui le nom de complexe de Morse-Thom-Smale-Witten, ou simplement complexe de Morse. Étant donnés une fonction de Morse 5 , une métrique riemannienne 6 vérifiant la condition de Smale et un entier :, on considère l’espace vectoriel sur Z/2 engendré par les points critiques de 5 : ⇠ " : ( 5 , 6) :=

 

G2Crit( 5 ) 8(G)=:

Z/2 · G.

Ceci définit un espace vectoriel gradué ⇠ "⇤ ( 5 , 6). Il admet une différentielle % définie pour tout point critique G par : %G =

’

=(G, H) H.

H2Crit 5 8(H) 8(G)=1

Le calcul de % % se fait comme suit : % %G =

Õ

’

H2Crit( 5 ) 8(H) 8(G)=2

⇣

’

I2Crit( 5 ) 8(I) 8(G)=1

⌘

=(G, I)=(I, H) H.

Le coefficient I2Crit( 5 ), 8(I) 8(G)=1 =(G, I)=(I, H) est exactement le nombre de trajectoires brisées reliant G à H, autrement dit, c’est le cardinal du bord de M(G, H)/R. Comme le ASTÉRISQUE ���

(����)

��

UN LEMME DE FERMETURE ⇠ 1

nombre de points du bord d’une variété à bord de dimension 1 est toujours pair, et que nos coefficients5 sont pris dans Z/2, on en déduit l’identité % % = 0. Le complexe ainsi construit n’est autre que le complexe cellulaire de la décomposition cellulaire donnée par les variétés instables et l’homologie obtenue est donc l’homologie usuelle de ". En particulier, cette homologie ne dépend pas des choix du couple ( 5 , 6).

Exemple �.�. Considérons la fonction hauteur sur la sphère comme représentée sur la figure �. Dans cet exemple, la fonction 5 admet quatre points critiques 0, 1, 2, 3 d’indices respectifs 2, 2, 1, 0. Il y a une unique trajectoire de gradient de 0 à 2 et de 1 à 2, exactement deux trajectoires de 2 à 3, et bien sûr aucune ne part de 3. Les autres trajectoires relient 0 à 3 ou 1 à 3. D’où les formules %0 = 2, %1 = 2, %2 = 0, %3 = 0. On obtient bien les groupes d’homologie de la sphère S2 : 2 ' Z/2, 1 ' 0, 0 ' Z/2.

F����� �. Fonction hauteur sur la sphère.

Il est possible de construire un isomorphisme (presque) explicite entre l’homologie d’une fonction de Morse 50 et celle d’une fonction 51 , par un argument de cobordisme, dont voici grossièrement l’idée. On choisit une fonction de Morse sur " ⇥ [ 1, 2] telle que pour tout G 2 ", on a (G, C) = 50 (G) si C 6 13 et (G, C) = 51 (G) si C > 23 . On suppose également que Crit( ) = Crit( 50 ) ⇥ {0} [ Crit( 51 ) ⇥ {1}

et que le gradient de est positivement transverse à " ⇥ {B} pour B = 1, 13 , 23 , 2. En choisissant et son gradient avec précaution, on peut alors définir une application linéaire : ⇠ " : ( 50 ) ! ⇠ " : ( 51 ) en comptant les trajectoires de gradient de joignant les points critiques de Crit 50 ⇥ {0} à ceux de Crit 51 ⇥ {1}, c’est-à-dire par la formule :

(�)

(G) =

’

⇡(G, H) H,

H2Crit( 51 ) 8(H)=8(G)

5 L’homologie de Morse peut être définie à coefficients dans Z, il faut pour cela ajouter comme donnée auxiliaire un choix d’orientation pour chacune des variétés instables. On peut alors définir les nombres =(G, H) comme un compte « algébrique » de trajectoires de G à H.

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��

V. HUMILIÈRE

où ⇡(G, H) est le nombre modulo � de trajectoires de joignant (G, 0) à (H, 1). Un argument similaire à la démonstration de l’identité % % = 0 permet de montrer que est un morphisme de complexes qui induit un isomorphisme en homologie (de plus, l’application induite en homologie ne dépend pas du choix de ). L’homologie de Morse est détaillée dans le livre de A���� et D����� (����). �.�. Homologie de contact plongée L’introduction que nous donnons ici de l’homologie de contact plongée est essentiellement basée sur les notes de H�������� (����). Soient (+ , ⇢) une variété de contact tridimensionnelle, une forme de contact définissant ⇢ et ' = ' le champ de Reeb associé à . Fixons une orbite fermée ✏ : R/) Z ! + de ' et notons G = ✏(0). Le flot linéarisé de ' le long de ✏, au temps ), c’est-à-dire l’application d))' (G) : )G + ! )G + fixe le vecteur '(G) et préserve le plan ⇢G . Sa restriction à ⇢G préserve la �-forme d G . Ses valeurs propres sont donc soit complexes conjuguées et de module 1, soit réelles et inverses l’une de l’autre. Si 1 n’en est pas valeur propre, on dit que l’orbite ✏ est non dégénérée. Si les valeurs propres sont de module 1 (et complexes conjuguées), on dit que l’orbite est elliptique, sinon elles sont réelles distinctes (positives ou négatives) et inverse l’une de l’autre et l’orbite est dite hyperbolique (positivement ou négativement). Pour un choix ⇠ 1 -générique de , toutes les orbites de Reeb fermées sont non dégénérées. On dit alors que la forme est non dégénérée. Les orbites de ' sont solutions d’un problème variationnel. En effet, un lacet libre ✏ est point critique de la fonctionnelle d’action associée à A : ⇠ 1 (S1 , +) ! R ,

✏7 !

π

,

✏

si et seulement s’il est (la reparamétrisation d’une) orbite fermée de '. De plus, son action A (✏) n’est autre que sa période. Par analogie avec la partie �.� (en remplaçant la fonction 5 par l’action A ), on pourrait tenter de définir un complexe de chaînes engendré par les orbites de Reeb fermées ; c’est d’ailleurs ce qu’a fait Floer avec succès pour étudier les orbites �-périodiques des systèmes hamiltoniens. La construction du complexe ECH est différente : ses générateurs seront des ensembles d’orbites simples munies de multiplicités. Plus précisément, étant donnée une classe d’homologie 2 1 (.), on définit un complexe de chaînes ECC(., , ) sur Z/2 engendré par les ensembles finis ✏ = (✏1 , 0,

Im $0 (1 0) > 0,

92 0 2 ]0 0 , 1 0[,

Im $0 (2 0) = 0 ;

(iii) des fonctions $ 2 ⇠ 1 ([0 0 , 1 0], C), où 2  | |  ", telles que la matrice (Im $ 9,: (C) 12 ⇣ 9,: )19,:= 1 soit définie positive pour tout 0 0  C  1 0 ; telles que la fonction de phase complexe (��) satisfait l’équation eikonale au sens approché (��) et 92 > 0, 8C 2 [0 0 , 1 0], 8G 2 +0 ,

Im $(C, G)

2G

2

H(C) ,

où +0 est un voisinage de 0 dans R= 1 . Il est à noter que bien qu’arbitrairement proche de la bicaractérisque associée à la partie réelle sur laquelle se fait le changement de signe de la partie imaginaire du symbole ⇢1 +8 5 (G, ⇢0), la courbe C 2 [0 0 , 1 0] 7! (C, H(C); 0, ◆(C)) à valeurs dans R= ⇥ R= n’est pas a priori une courbe bicaractérisque associée à la partie réelle du symbole ⇢1 + 8 5 (G, ⇢0). L’hypothèse cruciale de changement de signe du + vers le permet d’assurer que la fonction C 7! 5 (C, H(C), ◆(C)) change également de signe du + vers le sur [0 0 , 1 0]. Comme le terme principal $0 apparaissant dans la construction de la fonction de phase (��) est solution de l’équation différentielle $00 (C) = H 0(C) · ◆(C) ASTÉRISQUE ���

8 5 C, H(C), ◆(C) ,

(����) OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SEMI-CLASSIQUES NON AUTOADJOINTS

���

l’équation différentielle satisfaite par la partie imaginaire dIm $0 (C) = 5 C, H(C), ◆(C) , dC et l’hypothèse de changement de signe ci-dessus imposent que la fonction Im $0 commence par décroître et finit par croître sur l’intervalle [0 0 , 1 0]. Il s’ensuit que le minimum de cette fonction est atteint en un point intérieur de l’intervalle [0 0 , 1 0]. On peut ainsi normaliser ce minimum à zéro Im $0 (2 0) = 0,

pour un point 2 0 2 ]0 0 , 1 0[, et assurer que la partie imaginaire Im $0 est strictement positive aux extrémités de l’intervalle [0 0 , 1 0], Im $0 (0 0) > 0,

Im $0 (1 0) > 0.

Une fois la fonction de phase complexe construite, on peut alors procéder à la construction BKW en déterminant successivement les fonctions amplitudes () 9 )0 9" dans (��). Il faut alors comprendre l’action des opérateurs pseudo-différentiels semi8 classiques sur les fonctions du type ) e ⌘ $ . Pour ce faire, on utilise une adaptation de H�������� (����b, Lemme ��.�.��) qui montre que si @(G, ⇢; ⌘) 2 ⇠11 (R2= 2 ) uniformément par rapport au paramètre semi-classique 0 < ⌘  1, H dans R= 1 , ) dans ⇠01 (R= 1 ), $˜ est une fonction ⇠ 1 sur un voisinage de supp ) dans R= 1 ; les fonctions ) et $˜ étant supposées indépendantes du paramètre semi-classique et vérifiant (��)

8 > < 8G 2 supp ), >

G < H, Im $(G) ˜ > 0, Im $(H) ˜ = 0, 8G 2 supp ), $˜ 0(G) < 0, $˜ 0(H) = ◆ 2 R= 1 \ {0}, > > la forme quadratique Im $˜ 00(H) est définie positive, :

alors pour tout : 2 N ⇤ , l’estimation semi-classique 8

@(G, ⌘⇡G ; ⌘)() e ⌘ $˜ ) =

’ % @

| | 0 for all non-zero D 2

?,@ ,

C.

In particular, @Q is non-degenerate. The above conditions, which generalise the classical Riemann relations for abelian varieties, are often referred to as bilinear Hodge–Riemann relations. In terms of the Hodge filtration, a) says that the orthogonal complement of ? with respect to @ Z is precisely :+1 ? . If Z( :) denotes the Hodge structure of weight 2: on Z, it also amounts to asking that @Z :

⌦

! Z( :)

is a morphism of Hodge structures. When a polarisation exists, we say that polarisable.

is

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

J. FRESÁN

Example �.�. Let - be a smooth projective complex variety of dimension =. Singular cohomology : (- , Z) carries a polarisable pure Hodge structure of weight :. Upon identifying its complexification : (- , C) with algebraic de Rham cohomol• ogy : (- , ⌦), the Hodge filtration is given by ?

= Im

:

?

•

:

(- , ⌦- ) !

(- , C) .

Polarisations come from choosing the class of a hyperplane section ◆ 2 2 (- , Z) and considering the Lefschetz operator ! : ⇤ (- , Z) ! ⇤+2 (- , Z) given by cup product with ◆. For each 9  =, the 9-th primitive cohomology is defined as % 9 (- , Z) = ker !=

which is a sub-Hodge structure of polarised by the intersection form 9 @Z :

9+1

9

(- , Z) !

9 (- , Z).

% (- , Z) ⇥ % (- , Z) ! Z, 9

:

9

2= 9+2

(- , Z) ,

According to the Lefschetz theorems, it is

( , ) 7 ! ( 1)

1 2

9(9 1)

π

-

◆=

9

·

· ,

and the whole cohomology in each degree : decomposes rationally as the direct sum :

(- , Q) =

b:/2c   8=0

!8 % :

28

(- , Q),

where the Lefschetz operator and primitive cohomology are now taken with rational coefficients and % 9 (- , Q) = 0 for all 9 > =. Modifying the signs as ( 1)8 @Q: 28 on the 8-th summand gives rise to a polarisation on : (- , Q) that, after clearing denominators by multiplying by a sufficiently large integer, induces a polarisation on : (- , Z). �.�. Period domains The book by C������, M�����-S����, and P����� (����) is an accessible reference for this section. Fix an integer :, a finitely generated abelian group Z of rank A, a bilinear form @ Z on Z which is symmetric if : is even and alternating if : is odd, and Õ a collection of non-negative integers {⌘ ?,@ } ?+@=: such that ⌘ ?,@ = ⌘ @,? and ⌘ ?,@ = A. Associated with these data is a period domain D classifying pure Hodge structures of weight : on Z which are polarised by @Z and have Hodge numbers ⌘ ?,@ . Although D is a priori only a set, it can be endowed with the structure of a complex Õ manifold as follows. Setting 5 ? = A ? ⌘ ?,@ , one first considers the compact dual (�)

ˇ = D

⇢

finite decreasing filtrations • on C such that , ( ? )? = :+1 ? and dim ? = 5 ?

Œ

which is a closed analytic subset of the product of Grassmannians ? Gr( 5 ? , C ), and ˇ hence a projective complex variety. The period domain is the open subset D ⇢ D consisting of those filtrations for which the Hodge form is positive-definite. Let G = Aut( Q , @Q ) be the group of automorphisms 6 2 GL( Q ) which are compatible with the polarisation in that @Q (6(G), 6(H)) = @ Q (G, H) for all G, H 2 Q . It is a semisimple linear algebraic group over Q. By an elementary argument in linear

ASTÉRISQUE ���

(����) HODGE THEORY AND O-MINIMALITY

���

ˇ The compact dual is hence algebra, its complex points G(C) operate transitively on D. smooth and the period domain inherits the structure of a complex manifold from it. ˇ and the induced action is transitive More is true: the subgroup G(R) preserves D ⇢ D as well. If we choose some base point of D and we let ⌫ and " denote its stabilisers in G(C) and ⌧(R) respectively, the period domain can be realised as the quotient ˇ = G(C)/⌫. D = G(R)/" 1 ! D

Since " consists of real elements and ?,@ = ? \ @ , it not only leaves the Hodge filtration invariant but also the Weil operator and thus the Hodge form; as any isotropy group of a positive-definite hermitian form, " is hence a compact subgroup of ⌧(R).

Example �.�. If : = 1 and the only non-zero Hodge numbers are ⌘ 1,0 = ⌘ 0,1 = 6, the period domain is the subset of Gr(6, C ) consisting of totally isotropic subspaces 1 on which the hermitian form i @ C (D, D) is positive-definite. After choosing a symplectic basis {41 , . . . , 4 6 , 51 , . . . , 5 6 } of C , each 1 has a unique basis of the form $8 = 4 8 +

6 ’ 9=1

I 9,8 5 9

(8 = 1, . . . , 6),

and it follows from the bilinear Hodge–Riemann relations that the complex 6 ⇥ 6 matrix / = (I 8,9 ) is symmetric and has positive-definite imaginary part. Therefore, the period domain D is in bijection with Siegel’s upper half-space H 6 = 6 ⇥ 6 symmetric matrices / = - + 8. with . positive-definite .

In this case, G = Sp26 is the symplectic group, " = U 6 is a maximal compact subgroup of its real points, and H 6 = G(R)/" is a hermitian symmetric domain. �.�. Variations of polarised pure Hodge structures Let ( be a smooth connected quasi-projective complex variety. By a local system on ( we mean a locally constant sheaf VZ of finitely generated abelian groups on ((C). Upon choosing a base point B 0 2 (, giving a local system on ( amounts to giving a representation ⌧ : 1 ((, B0 ) ! GL(VZ,B0 )

of the fundamental group based at B0 , which is called the monodromy representation. Another incarnation of the local system VZ is the holomorphic flat vector bundle (VO , r) = (VZ ⌦Z( O( , id ⌦ 3).

An example to keep in mind arises from families of algebraic varieties parameterised by (. Namely, if 5 : X ! ( is a smooth projective morphism from a smooth quasi-projective variety X, the sheaf VZ = ' : 5⇤ ZX

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

J. FRESÁN

gathering the :-th singular cohomology of the fibres XB = 5 1 (B) as B varies forms a local system on (, and the associated holomorphic flat vector bundle is VO = ' : 5⇤ ⌦X/( •

together with the Gauss–Manin connection r. The Hodge filtration on the coho• ? mology : (XB , C) is induced by the holomorphic subbundles ? = ' : 5⇤ ⌦X/( of VO . A remarkable observation of G�������� (����) is that, although ? is rarely preserved by the connection, its image still satisfies the transversality constraint r(

?

)⇢

? 1

⌦O( ⌦1( .

Moreover, the results from Example ?? carry over to this relative setting: the choice of an element ◆ 2 2 (X, Z) whose restriction to each fibre is the class of a hyperplane section allows mutatis mutandis for the construction of a morphism of local systems @ : VZ ⌦VZ ! Z( that induces a polarisation on each VZ,B . This motivates the following abstract notion of variation of Hodge structures:

Definition �.�. A polarised variation of pure Hodge structures of weight : on ( is the data V = (VZ ,

•

, @)

of a local system VZ on (, a finite decreasing filtration • of VO by holomorphic subbundles, and a morphism of local systems @ : VZ ⇥ VZ ! Z( such that Griffith’s transversality r( ? ) ⇢ ? 1 ⌦O( ⌦1( holds for all ? and that ( • , @) endows each fibre VZ,B with a polarised pure Hodge structure of weight :.

Let V be a polarised variation of pure Hodge structures of weight : on (. Fix a base e ! ( be the corresponding universal cover of ( and Z = VZ,B0 . point B0 2 (, let ? : ( e Since ( is simply connected, ? ⇤ VZ is canonically isomorphic to the trivial local syse⇥ Z and @ pulls back to a bilinear form @Z on Z . This corresponds to a complex tem ( e ⇥ C . Let e? be the subbundles of the analytic trivialisation of ? ⇤ VO as a product ( ? e the filtration e• ⇢ C induces latter obtained by pulling back ⇢ VO . For each e B 2 (, e B a polarised pure Hodge structure of weight : on Z , the Hodge numbers of which are constant as e B moves. The setup of section ?? is thus in force, whence a map

e !D e: (

with values in the relevant period domain. Let G(Z) ⇢ G(Q) be the subgroup of those 6 such that 6( Z ) = Z . As @ is a morphism of local systems, the representation ⌧ : 1 ((, B0 ) ! GL( Z ) lands in G(Z). Let ⇢ G(Z) be a subgroup of finite index containing the image of ⌧. By construction, the images under e of any two points lying over the same point of ( are related by an element of , and hence e descends to the period map : ( ! \D.

The stabilisers for this action are finite, for they lie in the intersection of the discrete group G(Z) with the compact group ", and hence the quotient \D is a normal ASTÉRISQUE ���

(����) HODGE THEORY AND O-MINIMALITY

���

complex analytic space. The situation is pictured in the following commutative diagram: e /D e (

(�)

?

✏ / \D.

✏ (

By construction, the period map is holomorphic and locally liftable to D. Besides, Griffiths’s transversality forces its differential to take values in the horizontal tangent ˇ at a point • is given bundle of \D. In Lie-theoretic terms, the tangent bundle of D ˇ = gC /bC , where g and b denote the Lie algebras of G and the stabiliser of • by ) • D respectively. Considering those elements - 2 gC such that -( A C ) ⇢ A+? C for all A, we get a filtration ? gC whose zeroth step is nothing but bC . It endows g with a pure Hodge structure of weight zero. The constraint is then that d e takes values ˇ and we simply say that is horizontal. By extension, we shall in 1 gC / 0 gC ✓ ) • D, call period map any holomorphic, horizontal, and locally liftable map from ( to the quotient \D by a subgroup ⇢ G(Z) of finite index. �.�. Mumford–Tate groups and Hodge loci Let be a polarisable pure Hodge structure of weight :, thought of as a representation ! : S ! GL( R ), and let U be the subgroup of Deligne’s torus of matrices with 0 2 + 1 2 = 1. The (special) Mumford–Tate group of is the Q-Zariski closure MT( ) of the image of ! U, namely the smallest Q-algebraic subgroup of GL( Q ) the real points of which contain !(U(R)). It is a connected reductive linear algebraic group. Since det(!(U)) ⇢ G< is compact and connected, MT( ) lies in SL( Q ). Besides, the fact that @Z : ⌦ ! Z( :) is a morphism of Hodge structures means that the equality @Z !(I)G, !(I)H = (II ) : @C (G, H) holds for all I 2 C⇥ , and hence MT( ) preserves the polarisation. In terms of Hodge classes, this group may be interpreted as follows. Given integers 0, 1 0, the tensor construction ) 0,1 =

⌦0

⌦(

_ ⌦1

)

carries a polarised pure Hodge structure of weight F = :(0 1), so it makes sense to speak of the subspace Hdg 0,1 of Hodge tensors, which are those classes such that C is homogeneous of Hodge type (F/2, F/2). The group GL( Q ) acts naturally … … •,• on ) •,• = 0,1 ) 0,1 and MT( ) is the largest subgroup fixing Hdg = 0,1 Hdg 0,1 .

Let ( be a smooth connected quasi-projective complex variety, V a polarised variation of pure Hodge structures of weight : on (, and : ( ! \D the corresponding period map. For each ! 2 D, the Noether–Lefschetz locus NL(!) is the set of !0 2 D •,• •,• satisfying Hdg !0 Hdg ! or, equivalently, MT(!0) ⇢ MT(!). It is a complex submanifold of the period domain, indeed a homogeneous space for the group MT(!)(R). These submanifolds are called Mumford–Tate subdomains of D and their images by the quotient map : D ! \D are the Mumford–Tate subvarieties of \D. The Hodge locus of the variation of Hodge structures is then defined as the union HL((, V) ⇢ ( of all SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

J. FRESÁN

preimages which are not the whole ( of Mumford–Tate subvarieties under the period map. It is a countable union of irreducible closed analytic subvarieties of (. Over its complement, all fibres VB share the same Mumford–Tate group, which is called the generic Mumford–Tate group and denoted by MT(V). By construction, the image of the period map lies in the Mumford–Tate subvariety corresponding to MT(V). �.�. Quotients of period domains are rarely algebraic In closing this section, I would like to mention a result of G��������, R�����, and T����� (����) saying that the targets of period maps are rarely algebraic. We keep notation from section ??, and we write for the unique maximal compact subgroup of ⌧ containing " and ? : ⌧/" ! ⌧/ for the associated projection. We call the period domain D = ⌧/" classical if ⌧/ is a hermitian symmetric domain and ? is either holomorphic or anti-holomorphic. Otherwise, D is said to be non-classical.

Theorem �.� (Griffiths–Robles–Toledo). — Assume that the group ⌧ is simple and adjoint and that the period domain D is non-classical. For every infinite and finitely generated subgroup ⇢ G(Z), the normal complex analytic space \D does not carry an algebraic structure. �. O-MINIMALITY O-minimality is an axiom for collections of subsets of R= which allows one to axiomatise and generalise the properties of semialgebraic sets. For a general introduction to o-minimal structures, we refer the reader to the book by ��� ��� D���� (����) or to the short presentations given at this seminar by S������ (����) and W����� (����). �.�. O-minimal structures

Definition �.�. A structure expanding the field of real numbers is a collection S = ((= )= of subsets (= ⇢ P(R= ) of the power set of R= satisfying the following:

1

�) (= contains all algebraic subsets of R= ;

�) (= is a boolean subalgebra of P(R= ), i.e. it is stable by finite union, intersection, and complement; �) if

2 ( ? and ⌫ 2 ( @ , then

�) if ? : R

=+1

⇥ ⌫ 2 ( ?+@ ;

! R is a linear projection and =

2 (=+1 , then ?( ) 2 (= .

The elements of (= are called the S-definable subsets of R= . A map 5 : S-definable sets is definable if its graph is S-definable.

! ⌫ between

Algebraic subsets do not form a structure since their projections are in general only semialgebraic. The smallest structure, denoted by R alg , is the one in which definable subsets are precisely semialgebraic subsets. In this case, the only condition that demands a non-trivial verification is stability under linear projections, which is a theorem

ASTÉRISQUE ���

(����) HODGE THEORY AND O-MINIMALITY

���

of Tarski and Seidenberg. The composites of S-definable maps are S-definable, as so are the images and the preimages of S-definable sets under S-definable maps. The closure cl( ) of an S-definable subset ⇢ R= is again definable, for it may be written as

⇣

R= r ? R =+1 r @

⇣

(G, ⌘, H) 2 R= ⇥ R ⇥ R= |

where ?(G, ⌘) = G and @(G, ⌘, H) = (G, ⌘).

Õ=

8=1 (G 8

H 8 )2 < ⌘2 \

⇥ R ⇥ R=

⌘⌘

,

Definition �.�. A structure S is said to be o-minimal if (1 consists precisely of the semialgebraic subsets of R, i.e. the finite unions of points and open intervals.

–

The structure R alg is obviously o-minimal. More generally, a collection F = F= of distinguished real-valued functions on each R= gives rises to a structure in which definable sets consist of tuples that satisfy a property expressible by a first order formula involving the ring operations +, , and · , the order 0 such that 8 ⌘ I (4 8 ) < ⇠1 holds for all I 2 ⌃= . In other words, condition c) in the definition of (4, ⇠1 )-reduced forms is satisfied. Up to reordering the basis and changing ⇠1 if necessary, we may assume that condition b) holds as well, that is, ⌘ I (4 8 ) < ⇠1 ⌘ I (4 9 ) for all 8 < 9 and all I 2 ⌃= . Now recall from Theorem ?? that the image under of any Siegel set of D is contained in finitely many Siegel sets of -. Combining this with the one-dimensional case of Theorem ??, we get that (e( )) lies in a finite union of Siegel sets of - for any curve ⇢ ⌃= of the form (??). Taking Example ?? into account, each of them is in turn contained in the set of reduced forms with respect to a suitable basis and constant. As all the elements of (e( )) satisfy condition c) with respect to the basis 4, invoking Example ?? again, there exists a constant ⇠ > 0 such that all elements of (e( )) are (4, ⇠ )-reduced. In particular, ⌘ I (4 8 , 4 9 ) ⌧ ⌘ I (4 8 ) for all 8 and 9. Since ⌘ I (4 8 , 4 9 ) is roughly polynomial and ⌘ I (4 8 ) is roughly monomial, it follows from the criterion of restriction to curves that there exists a constant ⇠2 > 0 such that |⌘ I (4 8 , 4 9 )| < ⇠2 ⌘ I (4 8 ) for all I 2 ⌃= . Setting ⇠ = max(⇠1 , ⇠2 ), all Hodge forms ⌘ I are therefore (4, ⇠)-reduced. ⇤ �.�. Proof of Theorem ??

Throughout, by “definable” we mean definable with respect to the o-minimal structure R an,exp . Set = = dim (. By resolution of singularities, there exists a smooth projective variety ( containing ( as the complement of a simple normal crossing divisor. Locally for the analytic topology, ( ⇢ ( looks like ( ⇤ )A ⇥ = A inside = . Covering ( by finitely many open subsets of this shape and allowing some factors with trivial ASTÉRISQUE ���

(����) HODGE THEORY AND O-MINIMALITY

���

monodromy if necessary, it suffices to prove that the local period map : ( ⇤ )= ! ( ,⌧," is definable. We assume, as we may, that the local system VZ has unipotent monodromy at infinity. In the commutative diagram e

SH= ⇢ H= ?=4 =

(

✏

⇤ )=

/ ⌧/"

/(

✏

,⌧," ,

the map ? |SH= : SH= ! ( ⇤ )= is definable since the restriction of exp(2 i ·) to SH is so. As the punctured polydisc is covered by the images of SH= and translates of it, we are reduced to showing that is definable. That e

= : SH

e

= : SH

SH= ! (

,⌧,"

SH= ! ⌧/" is definable follows from the nilpotent orbit

theorem, according to which

e(I1 , . . . , I 3 ) = exp

= ⇣’ 9=1

⌘

I 9 #9 ·

?(I 1 , . . . , I 3 )

ˇ Indeed, ? |S= : S= ! ( ⇤ )= is definable, is for a holomorphic map : = ! D. H H the restriction to a relatively compact set of a real analytic map, the action of ⌧(R) ˇ of the on D is definable (for it is the restriction to the semialgebraic subset D ⇢ D ˇ and exp(Õ I 9 # 9 ) is a polynomial in the variables I 9 as algebraic action of G(C) on D), all # 9 are nilpotent. Now, e(SH= ) is contained in finitely many Siegel sets S ⇢ ⌧/" by

Theorem ?? and all the maps

S:

S!(

is definable. This finishes the proof.

,⌧,"

are definable by Theorem ??, so

e

= SH

⇤

�. ALGEBRAICITY OF HODGE LOCI Recall the Hodge locus HL((, V) from section ??. In the case where the variation of Hodge structures V arises from a family of smooth projective varieties, the Hodge conjecture predicts that HL((, V) is a countable union of closed irreducible algebraic subvarieties of (. By a celebrated result of C������, D������, and K����� (����), this conclusion holds unconditionally and for all variations of Hodge structures, whether they have geometric origin or not. As a corollary of the definability of period maps, B�����, K�������, and T�������� (����) obtain a new proof of this theorem.

Theorem �.�. — Let V be a polarised variation of pure Hodge structures of weight : on a smooth connected quasi-projective complex variety (. The Hodge locus HL((, V) ⇢ ( is a countable union of closed irreducible algebraic subvarieties.

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J. FRESÁN

Proof. — Let : ( ! ( ,⌧," be the period map associated with the variation of Hodge structures. Since HL((, V) is a union of preimages under of Mumford–Tate subvari1 (.) of such a . ⇢ ( eties of ( ,⌧," , it suffices to prove that the preimage , = ,⌧," is algebraic. Observe that . is itself of the form ( 0 ,⌧0 ," 0 , and hence R alg -definable by Theorem ??. It then follows from the definability of the period map (Theorem ??) that the subset , ⇢ ( is R an,exp -definable. As it is also a complex analytic subvariety, the o-minimal Chow Theorem ?? implies that , is algebraic. ⇤

�. A PROOF OF GRIFFITH’S CONJECTURE Around fifty years ago, G�������� (����b) conjectured that period maps have quasi-projective images and proved it when ( is compact. Later S������ (����) showed that, up to a proper modification, the image is algebraic. The main result of B�����, B���������, and T�������� (����) is the general case of this conjecture.

Theorem �.� (Bakker–Brunebarbe–Tsimerman). — Let ( be a smooth connected quasiprojective complex variety and let : ( ! ( ,⌧," be a period map. There exists a unique dominant morphism of complex algebraic varieties 5 : ( ! ) and a closed immersion : ) an ! ( ,⌧," of analytic spaces such that factors as: (an

/( ; 5 an

!

) an

,⌧," .

,

Moreover, the variety ) is quasi-projective. Let ( be a smooth compactification of ( by a simple normal crossing divisor ⇡ and let ( ⇢ (0 ⇢ ( denote the partial compactification obtained by adding those irreducible components of ⇡ along which the variation of Hodge structures has finite monodromy. Since the period map extends to a proper map : (0 ! ( ,⌧," by (G��������, ����a, Proposition �.��), the first part of Theorem ?? results from the following algebraisation result for definable images of algebraic spaces.

Theorem �.� (Bakker–Brunebarbe–Tsimerman). — Let - be a (non-necessarily reduced) algebraic space and M a definable analytic space. Any proper definable analytic map : - def ! M

factors uniquely as 5 def for a proper map 5 : - ! . of algebraic spaces such that O. ! 5⇤ O- is injective and a closed immersion : . def 1! M.

Sketch of proof. — It suffices to treat the case where - is reduced and irreducible. Since an is proper, its image is a closed analytic subspace of M an by Remmert’s proper mapping theorem. As it is also definable, it is the analytification of a unique

ASTÉRISQUE ���

(����) HODGE THEORY AND O-MINIMALITY

���

definable analytic subspace Y ⇢ M. Note that the map : - def ! Y is surjective on points. By the o-minimal Chow theorem, to algebraize it it is enough to algebraize Y. The first step of the proof consists in reducing to the case where is a proper modification, i.e. an isomorphism outside a strict closed definable analytic subspace of Y which is called the exceptional locus. For this, we let Hilb(-) be the Hilbert scheme of proper algebraic subspaces of -. Since is proper and definable, its fibres are algebraic spaces by the o-minimal Chow theorem. Let ⇢ Hilb(-) denote the union of the components parameterising a general fibre of . Over a definable Zariski open subset U of Y, the map def ! Y admits a section B and B(U) is a constructible definable analytic subset of def , for it is a closed subset inside the open set of def consisting of those subspaces that do not meet 1 (Y r U). The closure cl(B(U)) is hence a closed definable analytic subspace of def , which is then algebraic by the o-minimal Chow theorem. Call it 0. By Lemma ?? below, the map ( 0)an ! Y an is the analytification of a definable map ( 0)def ! Y and, since ( 0)def maps properly and surjectively to Y, we may replace - with 0.

Assuming that : - def ! Y is a modification, the proof then proceeds by induction on the dimension of -. On the one hand, the inverse image of the reduced exceptional locus of is the definabilisation , def of an algebraic subspace , of - by the o-minimal Chow theorem and, on the other hand, the map , def : , def ! (, def ) is algebraic by induction, say of the form 6 def : , def ! / def for a morphism of algebraic spaces 6 : , ! /, as pictured in the diagram - def

, def

⇢

⇢

/Y 6 def

/ / def .

For each integer = 1, let ,= denote the =-th order thickening of , in -. We claim that the map ,=def ! (,=def ) is algebraic. Indeed, this follows by induction from the proposition below, which is proved using the o-minimal GAGA theorem.

Proposition �.�. — Let 6 : , ! / be a proper dominant map of algebraic spaces. Assume we are given an algebraic first order thickening , ! , 0, a definable first order thickening / def ! Z 0, and a definable analytic map ⌘ : (, 0)def ! Z 0 such that , def 6 def

/ (, 0)def ⌘

✏

/ def

✏ / Z0

commutes. Then there exists a unique proper dominant map 6 0 : , 0 ! /00 of algebraic spaces, a first order algebraic thickening / ! /00, and a first order definable thickening (/00)def ! Z 0 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

J. FRESÁN

such that the following diagrams commute:

60

6

(6 0 )def

✏ / /00

✏ /

⌘

(, 0)def

/ ,0

,

%

/ Z0 :

(/00)def

b, = colim ,= denote the formal completion of - along ,. Since all the Let b, maps to a formal algebraic space /. morphisms ,=def ! (,=def ) are algebraic, b The map -, ! / is a formal modification in the sense of (A����, ����, Definition �.�). By Artin’s algebraisation theorem, see Theorem �.� of loc. cit., there exists a morphism of algebraic spaces 5 : - ! . with analytification an : - an ! Y an . It only remains to show that . def = Y, which follows immediately from Lemma ?? below. Lemma �.�. — Let X, Y, Z be definable analytic spaces and suppose we are given commutative diagrams of solid arrows X 6

✏  Z

⌘

X an

/Y

6 an

8

⌘ an

/ Y an

✏ | Z an

such that ⌘ is surjective on points and OY ! ⌘⇤ OX is injective. Then there exists a dashed arrow 8 satisfying 8 an = . This concludes the proof of Theorem ??.

⇤

Once we know that ) exists, the proof that it is a quasi-projective variety exploits the fact that ( ,⌧," carries the definable Q-line bundle L=

à ?

det(

?

).

Let L) def denote its restriction to ) def 1! ( ,⌧," . After possibly enlarging (, we may assume that the dominant map 5 : ( ! ) is proper, so that it preserves coherent sheaves. Using Deligne’s canonical extension and the usual GAGA theorem, one À shows that !( = ? det( ? ) is an algebraic Q-line bundle over (. As L) def embeds into the definabilisation of the coherent sheaf 5⇤ !( , the statement about stability under subobjects in the o-minimal GAGA theorem implies that L) def comes from an algebraic Q-line bundle !) . It remains to prove that !) is ample. For this, one considers the subset van (), !)< ) ⇢ (), !)< ) of algebraic sections vanishing at the boundary, i.e. that pull back to a section of !< ( ⇡). Using Griffiths’s computation ( of the curvature of the Hodge metric on L) along with the fact that this metric has a moderate behaviour at infinity, it is not hard to show that van (), !)< ) yields a generic embedding. More precisely, on a smooth compactification by a simple normal crossing divisor of a desingularisation of ), Deligne’s canonical extension of L) is nef and big, ASTÉRISQUE ���

(����) HODGE THEORY AND O-MINIMALITY

���

and hence sections vanishing at the boundary of some power of L) provide a generic embedding. To prove that van (), !)< ) actually separates points and tangent vectors everywhere, the authors perform a fine induction on the dimension of ) that relies crucially on Fujita’s vanishing theorem, see (B�����, B���������, and T��������, ����, Theorem �.�).

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SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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J. FRESÁN

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ASTÉRISQUE ���

(����) HODGE THEORY AND O-MINIMALITY

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Javier Fresán CMLS, École Polytechnique F-����� Palaiseau (France) E-mail : javier.fresan@po ytechnique.edu

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

Séminaire BOURBAKI ��e année, ����–����, no ����, p. ��� à ��� doi : ��.�����/ast.����

Janvier ����

THÉORIE DE FORÇAGE DES HOMÉOMORPHISMES DE SURFACES [d’après Le Calvez et Tal] par Pierre-Antoine Guihéneuf INTRODUCTION Cet exposé de dynamique commence de manière terriblement banale par une idée géniale de Poincaré. Quelques mois avant sa mort, s’excusant de n’avoir « jamais présenté au public un travail aussi inachevé », celui-ci se résout à publier des résultats partiels car, vu son âge, il n’est pas sûr de pouvoir les reprendre un jour. Son article est en grande partie motivé par l’étude des orbites périodiques du problème à trois corps dans le cas où, contrairement à ses travaux antérieurs, les masses ne sont pas petites. Utilisant une intégrale première et ce qui est désormais appelé une section de Poincaré, il ramène l’existence d’orbites périodiques à ce que certains nomment « le dernier théorème de géométrie de Poincaré ».

Théorème �.� (Poincaré-Birkhoff). — Soit un homéomorphisme de l’anneau fermé préservant l’aire, et tel que les nombres de rotation de ses restrictions aux deux cercles du bord sont de signes opposés1. Alors cet homéomorphisme possède au moins deux points fixes. Poincaré explique qu’il sait tout de même résoudre un grand nombre de cas particuliers. B�������, ���� démontrera rigoureusement ce théorème (pour l’existence d’un point fixe seulement) quelques mois après le décès de Poincaré (voir aussi M����� et A�����, ����) dans un tour de force qui devient l’un des tout premiers résultats difficiles en dynamique topologique. Ce théorème aura une influence considérable à la fois pour la fondation de la topologie symplectique, avec la conjecture d’Arnold, et de la dynamique topologique sur les surfaces, dont il sera question dans cet exposé. Une seconde motivation de la dynamique sur les surfaces est plus pragmatique : il s’agit de faire un compromis entre la réalité physique de systèmes ayant des espaces de configuration de très grande dimension et la puissance des outils mathématiques à notre disposition. Le but de cet exposé est de présenter les idées d’une théorie du forçage pour les homéomorphismes de surfaces, fondée dans L� C����� et T��, ����a et L� C����� et T��, ����b, et qui est en quelque sorte l’aboutissement de toute une série de travaux 1 Ce qui sous-entend que ceux-ci sont préservés et que l’homéomorphisme préserve l’orientation.

© Astérisque ���, SMF ����

���

P.-A. GUIHÉNEUF

visant à améliorer la théorie de Brouwer. Si celle-ci prend sa source dans le �e problème de Hilbert, elle s’est rapidement imposée comme un outil incontournable pour la dynamique topologique sur les surfaces — il s’est par ailleurs avéré que le théorème �.� de translation de Brouwer donne une preuve du théorème de Poincaré-Birkhoff (voir G������, ����). L’idée de la théorie du forçage est d’exploiter le théorème �.� de L� C�����, ���� qui associe à tout homéomorphisme de surface homotope à l’identité un feuilletage singulier sur la surface. On utilise alors une sorte de dualité entre l’action de l’homéomorphisme 5 sur les points de la surface et sur les feuilles du feuilletage : comme résumé par le diagramme suivant, on part d’une propriété sur 5 , la traduit en termes de feuilletages, on en déduit l’existence de nouvelles orbites de l’action de 5 sur le feuilletage, ce qui implique une certaine propriété de l’action de 5 sur les points. F

(

5

5

F0

(

Le parti pris de cet exposé n’est pas de lister toutes les (innombrables) applications de cette théorie, mais plutôt d’aller calmement vers l’énoncé et la preuve de la proposition fondamentale �.� de forçage, avant d’en déduire quelques unes des conséquences les plus directes concernant les ensembles de rotation. Avant cela, j’énoncerai deux des corollaires de cette théorie qui me semblent parmi les plus emblématiques et ferai un détour didactique par un énoncé de forçage en dimension �, qui motivera la définition de fer à cheval topologique.

�. QUELQUES APPLICATIONS AUX HOMÉOMORPHISMES DE LA SPHÈRE Les applications de la théorie du forçage sur les surfaces impressionnent par leur nombre et leur puissance : outre les théorèmes numérotés de A à M dans L� C����� et T��, ����a et de A à L dans L� C����� et T��, ����b, on peut citer les travaux C�������� et T��, ����, C�������� et T��, ���� et L�������, ���� se basant de manière cruciale sur cette théorie. Elles concernent à la fois la théorie de la rotation sur l’anneau, le tore et les surfaces de genre supérieur, mais aussi les homéomorphismes non errants de la sphère, les difféomorphismes hamiltoniens du tore, etc. Plutôt que de faire la liste de toutes ces applications, je voudrais en présenter deux qui me semblent parmi les plus frappantes ; nous rentrerons plus dans le détail des applications aux homéomorphismes du tore dans la dernière partie de cet exposé. Étant donnée une surface (, on notera Homeo0 (() l’ensemble des homéomorphismes de ( isotopes à l’identité.

ASTÉRISQUE ���

(����)

THÉORIE DE FORÇAGE DES HOMÉOMORPHISMES DE SURFACES

���

La première est un théorème de structure des ensembles non errants d’homéomorphismes de la sphère d’entropie nulle. Rappelons que l’ensemble non errant d’un homéomorphisme 5 d’un espace compact " est défini par ⌦( 5 ) = G 2 " ; 8* voisinage de G, 9= > 0 : 5 = (*) \ * < ? .

Dans cet ensemble on peut sélectionner les points ayant un comportement asymptotique « non trivial » : on pose2 ⌦0( 5 ) = I 2 ⌦( 5 ) ;

(I) [ $(I) 6 Fix( 5 ) .

Notons que l’ensemble des points récurrents non fixes de 5 est un ⌧ ⇣ dense de ⌦0( 5 ). F����� et H�����, ���� ont démontré un théorème de structure pour les difféomorphismes de la sphère préservant le volume, d’entropie nulle et de classe ⇠ 1 . Leur preuve est essentiellement topologique mais utilise (entres autres) la théorie de Yomdin sur le taux de croissance de la longueur des arcs, qui requiert la régularité ⇠ 1 . Ce théorème a été étendu successivement dans L� C����� et T��, ����a aux homéomorphismes non errants (théorème M), et dans L� C����� et T��, ����b (théorème G) à l’ensemble non errant d’un homéomorphisme.

Théorème �.�. — Soit 5 2 Homeo0 (S2 ) un homéomorphisme de la sphère préservant l’orientation et sans fer à cheval topologique3. Alors l’ensemble ⌦0( 5 ) est recouvert par une famille ( ) 2A d’anneaux ouverts tels que pour tout 2 A, �) 5

est sans point fixe et isotope à id

�) il existe un relevé de 5 inclus dans [0, 1] ; �)

;

au revêtement universel de

dont l’ensemble de rotation est

est minimal pour les deux premières propriétés.

De plus, si l’homéomorphisme 5 est non errant (i.e. ⌦( 5 ) = S2 ), alors les anneaux deux-à-deux disjoints et leur union est dense dans S2 \ Fix( 5 ).

sont

F����� �. Portrait de phase du type pendule simple. 2 Pour tout point G 2 (, on définit son $-limite (resp. -limite) comme l’ensemble des points d’accumulation de l’orbite positive (resp. négative) de G sous 5 . 3 Cette notion sera définie au paragraphe suivant. Le lecteur connaissant le fer à cheval de Smale peut avoir cet exemple en tête ; mentionnons le fait qu’un homéomorphisme d’entropie nulle est sans fer à cheval topologique.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

P.-A. GUIHÉNEUF

Remarquons tout de suite que cet énoncé a des liens très intimes avec le théorème �.� de Poincaré-Birkhoff, à travers la condition � qui exprime que les anneaux, sans points fixes, ne peuvent pas vérifier les conditions du théorème de Poincaré-Birkhoff. Le théorème �.� exprime que la dynamique d’un homéomorphisme de la sphère d’entropie nulle « ressemble »4 à celle du portrait de phase du pendule simple (figure �). Notons qu’il est possible que l’ensemble A soit vide (et donc qu’il n’y ait aucun anneau), par exemple pour une dynamique du type nord-sud. Le résultat est plus faible dans le cas général d’un ensemble errant non vide (on ne sait pas si les anneaux sont disjoints) : de l’aveu même des auteurs il reste encore du travail pour obtenir une description complète des homéomorphismes de la sphère d’entropie nulle. Néanmoins, la preuve de ce dernier théorème est longue et délicate dans le cas général (elle occupe une part importante de L� C����� et T��, ����b) : nous ne l’aborderons pas ici. La seconde application concerne les ensembles transitifs. On dit que ⇤ ⇢ S2 est transitif pour 5 s’il existe une orbite de 5 ⇤ dense dans ⇤. C’est une propriété plus forte que le fait d’être non errant, ce qui permet d’avoir une description plus précise dans le cas des homéomorphismes d’entropie nulle. Commençons par deux définitions.

Définition �.�. Nous dirons que 5 : S2 ! S2 est topologiquement infiniment renormalisable pour un ensemble fermé invariant non vide ⇤ s’il existe une suite croissante d’entiers (@ = )= 1 et une suite décroissante (⇡= )= 1 de disques topologiques ouverts tels que : �) @ = divise @ =+1 ;

�) 5 @ = (⇡= ) = ⇡= ;

�) les disques 5 8 (⇡= ), pour 0  8 < @ = , sont deux-à-deux disjoints ;

�) ⇤ ⇢

–

08 0 ne dépendant que de la variété (", 6) telles que, pour toute fonction !⌫ 2 ⇠ 1 (") vérifiant 6 !⌫ = ⌫!⌫ , on a p 2 1 ⌫  1 N(!⌫ )  2 2 ⌫3/4 . ASTÉRISQUE ���

(����)

VOLUME D’ENSEMBLES NODAUX DE FONCTIONS PROPRES DU LAPLACIEN

���

La preuve de la borne inférieure n’est pas très compliquée, et nous la rappellerons dans la section �.�. Lorsque la variété (", 6) est de dimension = 3 et n’est pas analytique, les résultats connus avant les travaux récents de Logunov et Malinnikova étaient beaucoup moins précis.

Théorème �.� (H���� et S����, ����). — Soit (", 6) une variété riemannienne compacte sans bord. Il existe 2 > 0 ne dépendant que de la variété (", 6) telle que, pour toute fonction !⌫ 2 ⇠ 1 (") vérifiant 6 !⌫ = ⌫!⌫ , on a = 1

N(!⌫ )  2⌫ 2

p ⌫

.

Théorème �.� (C������ et M��������, ����). — Soit (", 6) une variété riemannienne compacte sans bord. Il existe 2 > 0 ne dépendant que de la variété (", 6) telle que, pour toute fonction !⌫ 2 ⇠ 1 (") vérifiant 6 !⌫ = ⌫!⌫ , on a

(�)

= 1

N(!⌫ )

1

2⌫ 4 (3

=)

.

Ce résultat a été prouvé par C������ et M�������� (����), puis retrouvé par des méthodes très différentes par H����� et S���� (����) en améliorant les techniques développées dans S���� et Z������� (����) puis H����� et W��� (����), qui s’inspirent d’une formule d’intégration par parties découverte dans D���, ����. Enfin, cette borne a été retrouvée par S������������ (����) par une méthode complètement différente, reposant sur l’équation de la chaleur. Les résultats de Logunov et Malinnikova. — Récemment, la borne supérieure de D������� et F�������� (����) pour les surfaces a été légèrement améliorée par L������ et M���������� (����).

Théorème �.� (L������ et M����������, ����). — Soit (", 6) une variété riemannienne de dimension � compacte sans bord. Il existe 2 2 > 0 et 2 ]0, 14 [ ne dépendant que de la variété (", 6) telles que, pour toute fonction !⌫ 2 ⇠ 1 (") vérifiant l’équation 6 !⌫ = ⌫!⌫ , on a 1

3

N(!⌫ )  22 ⌫ 4

.

Enfin, la borne inférieure optimale a été prouvée2 en toute dimension dans L������ (����b), et une borne supérieure polynomiale en ⌫ a été obtenue dans L������ (����a), améliorant ainsi grandement les estimées de H���� et S���� (����) :

Théorème �.� (L������, ����a,b). — Soit (", 6) une variété riemannienne compacte de dimension =, sans bord. Il existe 21 , 22 > 0 ne dépendant que de la variété (", 6), et > 0 ne dépendant que de =, telles que, pour toute fonction !⌫ 2 ⇠ 1 (") vérifiant 6 !⌫ = ⌫!⌫ , on a p 2 1 ⌫  = 1 N(!⌫ )  22 ⌫ . 2 En dimension �, une borne inférieure de la forme ⌫ , pour un > 0 a aussi été obtenue dans L������ et M���������� (����). Cet article a été publié en même temps que L������ (����b), mais est beaucoup moins technique.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

M. INGREMEAU

Notons que, dans ce théorème, la constante (tout comme la constante dans le théorème �.�) n’est pas très explicite, comme on s’en rendra compte dans la section �. Concernant l’attribution du théorème �.�, les remerciements des articles L������ (����a,b) indiquent que « This work was started in collaboration with Eugenia Malinnikova who suggested to apply the combinatorial approach to nodal sets of Laplace eigenfunctions. Her role in this work is no less than the author’s one. Unfortunately, she refused to be a coauthor of this paper ». Nous recommandons la lecture de l’article de synthèse L������ et M���������� (����b), dans lequel toutes les grandes idées des articles L������ (����a,b) et L������ et M���������� (����) sont présentées avec beaucoup de clarté. Les ensembles nodaux à travers les âges. — Si nous n’avons présenté ci-dessus que des résultats récents concernant le volume de N(!⌫ ), l’étude des ensembles nodaux des fonctions propres a une longue histoire. En effet, les ensembles nodaux de fonctions propres (dans des domaines de R2 ) ont pu être observé expérimentalement par Chladni dès la fin du XVIIIe siècle. Un analogue de (�) en dimension 1 peut être trouvé dans S���� (����), où il est prouvé que, si # = est la =-ième fonction propre3 d’un opérateur différentiel du second ordre sur [0, 1], alors # = s’annule exactement = fois dans ]0, 1[. Enfin, l’un des premiers résultats mathématiques sur les fonctions propres est le théorème de Courant, prouvé dans les années ����, qui concerne le nombre de domaines nodaux (c’est-à dire le nombre de composantes connexes de "\N(!⌫ )). Nous renvoyons le lecteur à C������ et H������ (����) pour un énoncé et une preuve de ce théorème, et au séminaire Bourbaki d’A����������� (����) pour un compte-rendu des résultats plus récents concernant le nombre de domaines nodaux des fonctions propres (et, surtout, de combinaisons linéaires aléatoires de fonctions propres). Autres résultats concernant les fonctions propres dans la limite semi-classique. — Soit !⌫ une famille de solutions de (�) sur ", telles que k!⌫ k !2 (") = 1.

Nous avons vu que la conjecture de Yau est un résultat semi-classique, décrivant les propriétés des fonctions propres !⌫ lorsque ⌫ ! +1. Il est remarquable que cette conjecture ne fasse intervenir aucune des propriétés de (", 6), comme sa courbure, ou les propriétés de son flot géodésique. En effet, on peut se poser de nombreuses autres questions sur les propriétés semi-classiques des !⌫ , concernant le comportement des normes k!⌫ k !? (") , ou les limites faibles des mesures de probabilité |!⌫ (G)| 2 dG (appelées limites semi-classiques) quand ⌫ ! +1. Toutefois, la réponse à ces questions dépend en général fortement de la variété (", 6), et, plus précisément, des propriétés du flot géodésique. En fait, on dispose de théorèmes (et de conjectures) beaucoup plus précis sur les variétés de courbure négative. Nous ne discuterons pas ces propriétés ici, mais nous 3 La valeur propre associée est alors de l’ordre de grandeur de

ASTÉRISQUE ���

p

=, par la loi de Weyl.

(����)

VOLUME D’ENSEMBLES NODAUX DE FONCTIONS PROPRES DU LAPLACIEN

���

renvoyons le lecteur à N����������� (����) et Z������� (����) pour un panorama des propriétés semi-classiques des fonctions propres en courbure négative, et à D������ et J�� (����) et D������, J�� et N����������� (����) pour des résultats récents spectaculaires. Notons que les propriétés des fonctions propres en courbure négative peuvent être utilisées pour améliorer les résultats connus sur les ensembles nodaux dans ce cadre. Par exemple, dans H����� et R������ (����), les auteurs avaient amélioré légèrement la borne (�) pour certaines familles de fonctions propres en courbure négative, tandis que dans H����� (����a), l’auteur améliore légèrement la borne supérieure du théorème �.� pour ces mêmes fonctions propres. Nous renvoyons le lecteur à H����� (����b) et Z������� (����) pour d’autres propriétés des ensembles nodaux de fonctions propres pouvant être établies en courbure négative, et à N������, P���������� et S���� (����) et R��-F����� (����) pour des propriétés de l’ensemble nodal pouvant être établies en dimension 2. Organisation de l’exposé. — Dans la section �, nous rappellerons quelques propriétés bien connues des valeurs propres et des fonctions propres du laplacien, et nous expliquerons comment elles permettent de prouver la borne inférieure de la conjecture de Yau en dimension �. Dans la section �, nous expliquerons comment, au lieu de travailler avec des fonctions propres du laplacien, on peut se ramener à travailler avec des solutions d’équations elliptiques ne dépendant pas de la valeur propre ⌫. Nous formulerons alors un équivalent du théorème �.� dans ce cadre, en introduisant la notion d’indice de doublement d’une fonction dans une boule. Cette notion est très liée à celle de fréquence d’une solution d’une équation elliptique. Nous rappellerons la définition de cette notion dans la section �, en énonçant ses propriétés de monotonie. Enfin, les sections � et � contiendront les grandes idées de la preuve du théorème �.�. Notations. — Dans tout cet exposé, si G est un point de R= , ⌫(G, A) désignera la boule ouverte de centre G et de rayon A dans R= , tandis que si H est un point d’une variété riemannienne (", 6), la notation ⌫ 6 (H, A) désignera la boule ouverte de centre H et de rayon A pour la distance induite par la métrique 6. Remerciements. — L’auteur tient à remercier A. Logunov pour ses encouragements, ainsi que I. Moyano, N. Bourbaki, A. Rivera et J. Toulisse pour leur relecture attentive.

�. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DES VALEURS PROPRES ET DES FONCTIONS PROPRES �.�. La première valeur propre du Laplacien Soit ⌦ ⇢ " un ouvert d’une variété riemannienne de dimension =, avec un bord de régularité Lipschitz. On note ⌫1 (⌦) la première valeur propre de l’opérateur de SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

M. INGREMEAU

Laplace-Beltrami dans ⌦, que l’on peut définir comme ⌫1 (⌦) =

inf

Ø

Ø

⌦

5 2⇠ 1 (⌦) 5 =0 sur %⌦

|r 6 5 | 2

⌦

| 5 |2

inf

=

5 2⇠ 2 (⌦) 5 =0 sur %⌦

Ø

Ø⌦

5

⌦

6

5

| 5 |2

·

Il est immédiat que si ⌦ ⇢ ⌦0, on a ⌫1 (⌦0)  ⌫1 (⌦). Dans la suite, on aura besoin du fait que la première valeur propre du laplacien sur une boule dans une variété se comporte comme la première valeur propre du laplacien sur une boule euclidienne de même rayon, lorsque le rayon de la boule tend vers zéro. Notons 9= = ⌫1 ⌫(0, 1) . Par un argument de changement d’échelle, on a ⌫1 ⌫(0, A) = A

2

9= .

On montre facilement, en écrivant le laplacien dans des coordonnées normales autour d’un point, que (�)

lim A 2 ⌫1 ⌫ 6 (G, A) = 9= ,

A!0

la convergence étant uniforme en G 2 ".

�.�.�. Domaines nodaux et ⌫ 1/2 -densité de l’ensemble nodal. — Si !⌫ est une solution de l’équation !⌫ = ⌫!⌫ , rappelons que l’on note N(!⌫ ) son lieu d’annulation. Les domaines nodaux de !⌫ sont les composantes connexes de "\N(!⌫ ). Ainsi, si ⌦ est un domaine nodal, !⌫ est de signe constant sur ⌦ et s’annule sur %⌦. On en déduit que (�)

⌫1 (⌦) = ⌫.

Les équations (�) et (�) permettent de prouver le lemme suivant, qui fournit une motivation pour la borne inférieure dans la conjecture �.�.

Lemme �.� (⌫ 1/2 -densité de l’ensemble nodal). — Il existe 2 > 0 ne dépendant que 2 de (", 6) telle que, si !⌫ est une solution de l’équation 6 !⌫ = ⌫!⌫ , alors N(!⌫ ) est p ⌫ 2 dense dans " (c’est-à-dire que tout point de " est à une distance au plus p d’un élément ⌫ de N(!⌫ )). Démonstration. — Soit G 2 "\N(!⌫ ). Notons A⌫ (G) la distance de G à N(!⌫ ). !⌫ est alors de signe constant sur ⌫ 6 (G, A⌫ (G)). Par conséquent, si ⌦⌫,G est le domaine nodal contenant G, on a ⌫ 6 (G, A⌫ (G)) ⇢ ⌦⌫,G , et donc ⌫ = ⌫1 (⌦⌫,G )  ⌫1 ⌫ 6 G, A⌫ (G)



2 , A⌫2

pour un 2 > 0 indépendant de G, où la dernière inégalité découle de (�).

ASTÉRISQUE ���

⇤

(����)

���

VOLUME D’ENSEMBLES NODAUX DE FONCTIONS PROPRES DU LAPLACIEN

�.�.�. L’inégalité de Faber-Krahn. — Il a été conjecturé par R������� (����) que parmi les domaines de R= de volume fixé, la boule est celle qui minimise ⌫1 . Ce résultat a été prouvé indépendamment par F���� (����) et K���� (����). L’inégalité de Faber-Krahn affirme donc que lorsque ⌦ ⇢ R= est un ouvert ayant un bord de régularité Lipschitz, si A⌦ > 0 est tel que Vol(⌦) = Vol(⌫(0, A⌦ )), on a ⌫1 ⌫(0, A⌦ ) = A⌦2 9= .

⌫1 (⌦) Par conséquent, on a A⌦ dans R= , on a (�)

1/2 9= , ⌫1 (⌦)

Vol( )

donc si += désigne le volume de la boule unité +=

⇣

9= ⌘ =/2 . ⌫1 (⌦)

Ce résultat se généralise lorsque ⌦ est un ouvert d’une variété compacte (", 6) : il existe 2 " > 0 ne dépendant que de (", 6) telle que, pour tout ⌦ ⇢ " ouvert à bord Lipschitz, on a (�)

Vol( )

2 " ⌫1 (⌦)

=/2

.

Nous renvoyons le lecteur à C����� (����, Chapitre IV) pour une preuve de ce fait. Si ⌦ est un domaine nodal de !⌫ , alors par (�), on a Vol( ) 2 " ⌫ =/2 . Comme il existe 2 0" > 0 telle que Vol(⌦)  2 0" diam(⌦)= , on en déduit le corollaire suivant (qui peut aussi se déduire directement de (�) par un argument variationnel semblable à celui du paragraphe précédent).

Corollaire �.�. — Il existe 2 > 0 ne dépendant que de (", 6) telle que, si !⌫ est une solution 2 de l’équation 6 !⌫ = ⌫!⌫ et si ⌦ est un domaine nodal de !⌫ , alors diam(⌦) > p . ⌫

�.�. La borne inférieure dans la conjecture de Yau en dimension � Le lemme �.� et le corollaire �.� permettent de prouver la borne inférieure dans la conjecture �.� lorsque = = 2.

Corollaire �.�. — Soit (", 6) une variété riemannienne de dimension �. Il existe 2 > 0 ne dépendant que de (", 6) telle que pour toute !⌫ vérifiant 6 !⌫ = ⌫!⌫ , on a 1

N(!⌫ )

p 2 ⌫.

Démonstration. — Étape �. Soit G0 2 ". On sait, par le lemme �.� qu’il existe un G 1 dans N(!⌫ )) \ ⌫(G0 , 2⌫ 1/2 ). Ce point est alors au bord d’un domaine nodal ⌦, SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

M. INGREMEAU

dont on sait par le corollaire �.� qu’il a un diamètre supérieur à 2 0⌫ 1/2 . Ainsi, N(!⌫ ) \ ⌫ 6 (G1 , 2 0⌫ 1/2 ) doit contenir une courbe de longueur au moins 2 0⌫ 1/2 . On a donc prouvé que pour tout point G 0 2 ", ⌫ 6 (G0 , (2 + 2 0)⌫ 1/2 )\N(!⌫ ) contient une courbe de longueur au moins 2 0⌫ 1/2 . Étape �. On utilise le fait suivant : il existe = " 2 N , ne dépendant que de (", 6), tel que, pour tout A > 0, on peut recouvrir " par un nombre fini de boules de rayon A, de sorte que tout point de " soit dans au plus = " boules. Nous renvoyons par exemple au lemme � de C������ et M�������� (����) pour une preuve de ce fait, qui repose sur l’inégalité de Bishop-Gromov. p On applique ce fait pour A = (2 + 2 0) ⌫. Chaque boule contient une courbe de N⌫ de longueur au moins 2⌫ 1/2 , et chaque courbe est comptée au plus = " fois. Le résultat en découle. ⇤

Remarque �.�. La preuve précédente utilise très fortement la dimension �, via le fait qu’un ensemble de grand diamètre a un grand périmètre. Ce fait est complètement faux en dimension supérieure : un cylindre très fin peut avoir un grand diamètre, mais un bord d’aire très petite.

�. FONCTION PROPRES, FONCTIONS HARMONIQUES ET SOLUTIONS D’ÉQUATIONS ELLIPTIQUES Le volume de l’ensemble nodal est une propriété locale des fonctions propres, au sens où, pour l’estimer, il suffit d’estimer le volume de l’ensemble nodal dans de petites boules4. Dans cette section, nous tirerons parti de ce fait, pour nous ramener à l’étude de l’ensemble nodal de solutions d’équations elliptiques dans R= . �.�. D’une fonction propre à une fonction harmonique On rappelle que dans une carte locale, l’opérateur de Laplace-Beltrami s’écrit comme ’ p 1 %8 | 6| 6 89 % 9 5 , 65 = p | 6| 18,9=

où | 6| = | det(689 )|, et les 6 89 sont les entrées de l’inverse de 6, c’est-à-dire qu’ils vérifient Õ3 8 89 9=1 6 6 9 : = ⇣ : . Ainsi, l’équation 6 5 = ⌫ 5 se réécrit comme p (�) div (G)r 5 (G) = ⌫ | 6| (G) 5 (G), où

89

=

p

| 6| 6 89 est une matrice symétrique positive dépendant de façon lisse de G.

4 Le nombre de domaines nodaux, en revanche, n’est pas une propriété locale, car travailler dans de petites boules ne permet pas d’appréhender les grands domaines nodaux.

ASTÉRISQUE ���

(����)

VOLUME D’ENSEMBLES NODAUX DE FONCTIONS PROPRES DU LAPLACIEN

���

Une fonction propre du Laplacien est donc localement solution d’une équation p elliptique L⌫ 5 = 0, où L⌫ 5 = div r 5 + ⌫ | 6| 5 . On dispose de nombreuses propriétés et estimées sur les solutions d’équations elliptiques ; le problème, ici, c’est que, l’équation dépendant de ⌫, les estimées dépendront toutes de ⌫, d’une manière pas toujours explicite. On préférera donc travailler avec des solutions d’une équation indépendante de ⌫, grâce à l’astuce suivante, due à L�� (����).

Définition �.�. Soit (", 6) une variété riemannienne compacte de dimension =, et soit !⌫ 2 ⇠ 1 (") une solution de l’équation 6 !⌫

= ⌫!⌫ .

e := " ⇥ R, de dimension 3 := = + 1, munie de la On introduit alors la variété " métrique produit e 6 , et on pose

(�)

f⌫ (G, C) := e !

e vérifie alors f⌫ 2 ⇠ 1 ( ") La fonction !

(��)

f⌫ e 6!

p ⌫C

!⌫ (G).

= 0.

Remarque �.�. Remarquons que, si N(!⌫ ) est l’ensemble nodal de !⌫ , alors l’ensemble f⌫ est N(! f⌫ ) = N(!⌫ ) ⇥ R. Estimer le volume de N(!⌫ ) revient donc à nodal de ! f⌫ ) \ " ⇥ [ 1, 1] . estimer le volume de N(! �.�. Les fonctions harmoniques comme solutions d’équations elliptiques

Si on travaille dans ⌫ 6˜ (G0 , ') en utilisant les coordonnées normales en G0 , la foncf⌫ , vue dans cette carte, sera donc solution, dans ⌫(0, ') ⇢ R3 , de tion !

(��)

Ici, la fonction (��)

div

(G)r 5 (G) = 0.

(G) est une famille de matrices symétriques de taille 3 ⇥ 3, telles que (0) = Id.

La matrice dépend de façon lisse, et donc lipschitzienne, de G 2 ⌫(0, '), donc il existe > 0 telle que, pour tous 1  8, 9  3 et tous G, H 2 ⌫(0, '), on a

(��)

89 (G)

89 (H)

 |G

H|.

De plus, les matrices (G) sont définies positives, de sorte que ⇠(G) := (��)

⇤

1

hG, Gi |G| 2

vérifie

 ⇠(G)  ⇤

pour un ⇤ > 0 ne dépendant pas de G 2 ⌫(0, ').

Remarque �.�. Les constantes et ⇤ apparaissant dans (��) et dans (��) dépendent de façon lisse de G0 , et il est donc possible de les borner par des constantes ne dépendant que de la variété (", 6). SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

M. INGREMEAU

�.�. Ensembles nodaux de solutions d’équations elliptiques �.�.�. Une borne inférieure sur le volume des ensembles nodaux. — L’équation (��) doit être vue comme une généralisation de l’équation D = 0 dans R3 . Ses solutions ne sont pas tout à fait des fonctions harmoniques dans R3 , mais elles partagent de nombreuses propriétés des fonctions harmoniques. f⌫ , et donc celui de !⌫ , il est naturel Ainsi, pour comprendre l’ensemble nodal de ! de commencer par s’intéresser à l’ensemble nodal des fonctions harmoniques dans une boule. La conjecture suivante a été faite dans N����������� (����).

Conjecture �.�. — Il existe une constante 2(3) > 0 telle que, si D est une fonction harmonique sur ⌫(0, 1) ⇢ R3 vérifiant D(0) = 0, alors 3 1

G 2 ⌫(0, 1) ; D(G) = 0

2(3).

Lorsque 3 = 2, la preuve de la conjecture est très simple : une fonction harmonique non identiquement nulle ne peut pas s’annuler sur une courbe fermée (sinon, elle serait nulle dans le domaine délimité par cette courbe, et donc partout), et le lieu d’annulation d’une fonction harmonique ne contient pas de points extrémaux (cela contredirait le principe du maximum). Ainsi, le lieu d’annulation de D doit contenir une courbe allant de 0 à %⌫(0, 1), qui est donc de longueur supérieure à 1. En dimension supérieure, la conjecture était ouverte, jusqu’au résultat de L������ (����a), qui étend le résultat de la conjecture aux solutions de (��).

Théorème �.� (L������, ����b). — Soit (G) une famille de matrices symétriques vérifiant (��) et (��) pour G 2 ⌫(0, 1). Il existe 2 > 0 ne dépendant que de 3, ⇤ et telle que, si D est une solution lisse de (��) vérifiant D(0) = 1, on a 3 1

G 2 ⌫(0, 1) ; D(G) = 0

2.

Remarque �.�. Soient 0 < A < 1, (G) une famille de matrices symétriques vérifiant (��) et (��) pour G 2 ⌫(0, A), et D une solution lisse de (��) dans ⌫(0, A). Alors, par un argument simple de changement d’échelle, on a 3 1

G 2 ⌫(0, A) ; D(G) = 0

2A 3 1 .

�.�.�. Une borne supérieure sur le volume des ensembles nodaux. — On ne peut pas espérer avoir un analogue de la conjecture �.�, qui donnerait une borne supérieure valable pour toute fonction harmonique. En effet, dans ⌫(0, 1) ⇢ R2 , la fonction donnée en coordonnées polaires par 5 (A, ) = A < cos( 0, et (G) une famille de matrices symétriques de taille 3 ⇥ 3, telle que (0) = Id, vérifiant (��) et (��). Soit D 2 ⇠ 1 (⌫(0, ')) une solution de (��). On définit D (A) :=

π

%⌫(0,A)

⇠(G)|D| 2 (G)

où ⇠(G) est comme dans (��).

et

D (A) :=

π

⌫(0,A)

⌦

↵

(G)rD(G), rD(G) ,

Une preuve du théorème suivant peut être trouvée dans L������ et M���������� (����a, § �.�). Ce résultat est une variante du résultat de G������� et L�� (����). Nous renvoyons aussi à M������� (����), pour un résultat plus précis et une preuve plus simple que celle de G������� et L�� (����).

Théorème �.�. — Soient ' > 0, et (G) une famille de matrices symétriques vérifiant (��) et (��) pour G 2 ⌫(0, '). Il existe ⇠ > 0 ne dépendant que de 3, ', ⇤ et telle que, pour toute solution D de (��), la fonction A 7! e⇠A A D (A)/ D (A) est croissante dans ]0, '[. 5 Rappelons l’énoncé de ce théorème classique : Soit 5 une fonction holomorphe sur ⌫(0, ') ⇢ C. Pour tout A 2 ]0, '[, notons "(A) := supI2%⌫(0,A) | 5 (I)|. Alors A 7! log "( eA ) est une fonction convexe.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

M. INGREMEAU

Comme précédemment, on définit la fréquence de D dans ⌫(0, ') par D (A)

:=

0 D (A)

A 2

D (A)

·

Un calcul simple, mais un peu long, (voir L������ et M����������, ����a, § �.�) montre que A D (A) + $(A). D (A) = D (A)

On déduit facilement de ce fait et du théorème �.� la propriété suivante de quasimonotonie de D .

Corollaire �.�. — Soient ' > 0 et (G) une famille de matrices symétriques vérifiant (��) et (��) dans ⌫(0, '). Soit ⌘ > 0. Il existe 0 < ' 0 < ' tel que, pour tout 0 < A1 < A2 < ' 0 , et toute solution D de (��), on a D (A1 )  (1 + ⌘) D (A2 ). On a

D(e

(��)

D(e

A2 ) A1 )

⇣ π

= exp 2

A2

A1

D(e

d’où l’on tire facilement que pour A1 , A2 assez petits

⇣ A ⌘2 2

(��)

A1

D (A1 )(1

⌘)



D (A2 ) D (A1 )



A

⇣ A ⌘2 2

A1

⌘

)dA ,

D (A2 )(1+⌘)

.

Corollaire �.�. — Soit D une solution de (��) telle que pour tout # 2 N , on a D (A) = $(A # ). Alors D ⌘ 0. En particulier, si D est une solution lisse dont les dérivées de tout ordre s’annulent en zéro, alors D ⌘ 0. Démonstration. — Supposons par l’absurde que D n’est pas la fonction nulle. Alors, par le principe de prolongement unique, D ne peut pas s’annuler sur un ouvert non vide. Par (��), on a

A 2 D (A0 ) A0

D (A0 )(1+⌘)

, pour tout A  A0 , ce qui est absurde.

⇤

Remarque �.�. P��� (����) a montré que le corollaire �.� était faux lorsque G 7! n’est pas Lipschitz, mais seulement -Hölder, pour n’importe quel 2 ]0, 1[.

(G)

D (A)

�.�. Structure de l’ensemble singulier Soient (M, 6) une variété riemannienne de dimension 3, et soit ! une solution lisse de l’équation 6 ! = 0. Notons S(!) := G 2 M ; !(G) = |r 6 !(G)| = 0 . Le résultat suivant a été prouvé pour la première fois dans C��������� et F������� (����), et implique immédiatement le Lemme �.�.

ASTÉRISQUE ���

(����)

VOLUME D’ENSEMBLES NODAUX DE FONCTIONS PROPRES DU LAPLACIEN

���

Proposition �.�. — Il existe une famille dénombrable (( 9 ) de sous-variétés de M de dimension 3 2 telle que ÿ S(!) ⇢

(9 .

9

Démonstration. — Par le corollaire �.�, on sait que toutes les dérivées de ! ne peuvent pas s’annuler en un point. Notons D 2 ⇠ 1 (⌫(0, ')) l’image de ! dans une carte locale. L’équation satisfaite par D se réécrit comme

’

(��)

18,93

0 8,9 (G)%8,9 D(G) +

3 ’ 8=1

1 8 (G)%8 D(G) = 0,

où les fonctions 0 8,9 et 1 9 sont lisses, et il existe 2 > 0 tel que, pour tout ⇢ 2 R3 et tout G 2 ⌫(0, '), on a

’

(��)

18,93

0 8,9 (G)|⇢| 2

2|⇢| 2 .

Soit G 2 ⌫(0, '). On définit l’ordre d’annulation de D en G, noté O(G), comme l’entier tel que on a % D(G) = 0 pour tout multi-indice 2 N 3 tel que | | < O(G), et tel qu’il 0 existe 0 2 N 3 avec | 0 | = O(G) tel que % D(G) < 0. On sait que seul un nombre fini de dérivées de D peuvent s’annuler en un point. Ainsi, on a S(D) =

ÿ

= 2

S9 (D),

où S9 (D) := G 2 ⌫(0, ') ; O(G) = 9 .

Montrons que S9 (D) est contenu dans une sous-variété de ⌫(0, ') de dimension 3 2 pour tout 9 2. Soit G0 2 S9 (D). Par hypothèse, il existe 2 N 3 avec | | = 9 2 tel que, si l’on note E = % D, on a %2 E(G0 ) < 0. En appliquant % à (��), et en évaluant en G0 , on obtient (��)

’

18,93

0 8,9 (G0 ) %8,9 E(G0 ) = 0,

car toutes les dérivées d’ordre  | | + 1 de D s’annulent en G0 par hypothèse. Quitte à faire un changement linéaire de coordonnées, on peut supposer que la hessienne (%2 E(G0 )) est diagonale. Par hypothèse, elle possède au moins une valeur propre non-nulle. Notons ⌫1 , . . . , ⌫ 3 ses valeurs propres, avec ⌫1 < 0. L’équation (��) se réécrit alors (��)

3 ’

0(9)⌫ 9 = 0,

9=1

avec les 0(9) tous strictement positifs grâce à (��). Il doit donc exister une autre valeur propre (par exemple, ⌫2 ) qui est non nulle. On a alors %%1 E = ⌫1 , 0, . . . , 0 ,

%%2 E = 0, ⌫2 , . . . , 0 .

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

M. INGREMEAU

Par le théorème des fonctions implicites, on en déduit que, dans un voisinage de G 0 , {%1 E = %2 E = 0} est une variété de dimension 3 2. Cette variété contient S9 (D) dans un voisinage de G0 , d’où le résultat. ⇤ �.�. Quasi-monotonie pour les indices de doublement Rappelons que, lorsque D est solution d’une équation de la forme (��), les estimées elliptiques usuelles permettent d’estimer son supremum sur une boule par sa norme !2 sur une sphère un peu plus grande. Plus précisément, si (G) vérifie (��) et (��) pour G 2 ⌫(0, 1), et si ⌘ > 0, alors on peut trouver ⇠1 ne dépendant que de 3, ⇤, et ⌘ telle que, pour toute solution D de (��), tout G 2 ⌫(0, 1) et tout A > 0 tel que ⌫(G, A(1 + ⌘)) ⇢ ⌫(0, 1), on a sup |D| 2  ⇠1

(��)

%⌫(G,A)

(A(1 + ⌘)) , A3 1

tandis qu’on a trivialement l’inégalité opposée (A)

(��)

A3 1

 ⇠2 sup |D| 2 . %⌫(G,A)

En combinant (��), (��) et le corollaire �.�, on peut obtenir le résultat suivant. Nous renvoyons le lecteur à L������ (����a, § �) pour une preuve. Rappelons que l’indice de doublement ND a été introduit dans la définition �.�.

Proposition �.�. — Soit (G) une famille de matrices symétriques vérifiant (��) et (��) pour G 2 ⌫(0, 1), et soit ⌘ > 0. Il existe ⇠ > 0 ne dépendant que de 3, ⇤, et ⌘ telle que, pour toute solution D de (��), pour tous G 2 ⌫(0, 1), ⌧ > 0 et C > 2 tels que ⌫(G, C⌧) ⇢ ⌫(0, 1), on a (��)

C ND (G,⌧)(1

⌘) ⇠



sup⌫(G,C⌧) |D| sup⌫(G,⌧) |D|

 C ND (G,C⌧)(1+⌘)+⇠

Remarquons que, si D est une fonction ⇠ 1 , alors limA!0 ND (G, A) est l’ordre d’annulation de D en G. En particulier, si D(G) < 0, alors l’ordre d’annulation sur une petite boule centrée en G ne sera pas très grand. En fait, grâce aux inégalités de Harnack, les indices de doublement sont bornés sur toutes les boules où D est de signe constant, comme l’exprime la remarque suivante.

Remarque �.�. Si D vérifie (��) dans ⌦ ⇢ R3 , et D > 0 dans ⌦, alors pour tout $ b ⌦, il existe ⇠ = ⇠($, ⌦, , ⇤) telle que, pour tous G, H 2 $, on a 1 D(H)  D(G)  ⇠D(H). ⇠

ASTÉRISQUE ���

(����)

VOLUME D’ENSEMBLES NODAUX DE FONCTIONS PROPRES DU LAPLACIEN

���

�.�. Un résultat de continuation unique qualitative Nous avons utilisé précédemment le principe de continuation unique pour les équations de la forme (��), qui affirme que si une solution est nulle sur un petit ouvert, alors elle doit être nulle partout. Nous avons vu un raffinement de ce principe dans le corollaire �.�. Une autre direction généralisant le principe de continuation unique est la continuation unique quantitative, dont le principe général est que, si une solution de (��) est très petite sur un ensemble assez grand, alors elle doit être petite partout. Nous renvoyons le lecteur à L������ et M���������� (����a) pour un panorama historique des résultats concernant la continuation unique quantitative, et pour des résultats plus récents. Dans la suite, nous aurons besoin du lemme suivant qui affirme que, si une solution d’une équation elliptique est petite ainsi que son gradient sur une face d’un cube, alors elle sera petite sur tout le cube. Si & ⇢ R3 est un cube et si A > 0, nous noterons A& le cube de mêmes centre et axes, et de rayon A fois plus grand.

Proposition �.�. — Soit (G) une famille de matrices symétriques vérifiant (��), (��) et (��) pour G 2 [ 1, 1]3 . Il existe ne dépendant que de 3, et A0 , ⇠ > 0 ne dépendant que de 3, , ⇤, tels que pour tout 0 < ⌘ < 1, si @ est un cube de côté A inclus dans [ A0 , A0 ]3 , dont on note l’une des faces, si D est une solution de (��) vérifiant ⌘ |D|  1 sur @, |D|  ⌘ sur et |rD|  , A alors on a sup 1 @ |D|  ⇠⌘ . 2

Bien entendu, supposer que (��) est vérifié n’est pas contraignant : il suffit de faire un changement linéaire de coordonnées (et de modifier en conséquence la définition de ce qu’est un cube. . .). Ce résultat peut être prouvé par des estimées de Carleman (voir le lemme �.� de L�� (����) pour un résultat un peu plus faible), ou en utilisant la monotonie de la fréquence (voir le théorème �.� de A�����������, R����, R����� et V������� (����) pour un résultat un peu plus fort).

�. COMBINATOIRE SUR LES INDICES DE DOUBLEMENT Dans toute cette section, (G) sera une famille de matrices vérifiant (��) et (��) dans ⌫(0, '0 ) ⇢ R3 , D sera une solution de (��) dans ⌫(0, '0 ) ⇢ R3 , et, sauf mention du contraire, toutes les constantes qui apparaitront par la suite ne dépendront que de , ⇤, ' 0 et 3. Nous omettrons donc souvent de noter l’indice D dans les indices de doublement ND (G, A). SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

M. INGREMEAU

Si & ⇢ R3 est un cube, on définit l’indice de doublement de & comme #(&) :=

sup

G2& A 0 tel que larrel ( ) > 0.

Nous utiliserons le lemme suivant, qui est illustré par la figure �, et qui ne repose que sur de la géométrie euclidienne élémentaire.

Lemme �.� (i) Il existe 21 > 0 et on a

2/0, ne dépendant que de 3 et de 0, tels que, si ⌧ = ⌫ G0 , ⌧(1 + 21 ) ⇢

3+1 ÿ

diam((),

⌫(G 8 , ⌧).

8=1

(ii) Soit ⌧ > 0. Pour tout C assez grand, il existe ⇣(C) tel que ⇣(C)

! 0

C!+1

et

⌫(G 8 , ⌧C) ⇢ ⌫ G0 , ⌧C 1 + ⇣(C)

pour chaque 8.

On peut déduire du résultat précédent et de la proposition �.� le lemme du simplexe suivant, qui est illustré par la figure � :

ASTÉRISQUE ���

(����)

VOLUME D’ENSEMBLES NODAUX DE FONCTIONS PROPRES DU LAPLACIEN

���

F����� �. La situation du lemme �.� (i)

Lemme �.� (lemme du simplexe). — Soit 2/0 comme ci-dessus, et soient A1 , . . . , A 3+1 des rayons dans ] 0, 12 diam(() [. Il existe des nombres positifs 2 = 2(0, 3), ⇠ = ⇠(0, 3) , ' 1 = ' 1 ( , ⇤, 3, 0, '0 ) < 1, #0 = #0 ( , ⇤, 3, 0, '0 ) tels que, si ( ⇢ ⌫(0, '1 ) et si, pour tout 8 = 1, . . . , 3 + 1, on a N(G 8 , A 8 ) > # pour un # #0 , alors N(G0 , ⇠ diam(()) > #(1 + 2).

F����� �. La situation du lemme �.�

Idée de la démonstration. — Pour simplifier les notations, nous supposerons que (��) est vérifiée pour ⌘ = 0, ⇠ = 0, de sorte que l’on a (��)

C N(G,') 

sup⌫(G,C') |D| sup⌫(G,') |D|

 C N(G,C') .

On a donc N(G 8 , diam(()) > # pour chaque 8, et on peut donc multiplier tous les A 8 par un facteur pour les rendre tous égaux à ⌧ = diam((). Notons " := sup |D(G)| ; G 2 [8 ⌫(G 8 , ⌧) .

En appliquant (��) et le point (ii) du lemme �.�, on a

h C(1 + ⇣(C)) i N(G0 ,⌧C(1+⇣(C))) 1 + 21

sup⌫(G0 ,⌧C(1+⇣(C))) |D| sup⌫(G0 ,(1+21 )⌧) |D|

·

Dans le membre de droite, le numérateur est supérieur à sup |D(G)| ; G 2 [8 ⌫(G 8 , ⌧C)

"C # ,

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

M. INGREMEAU

par (��) et par définition de #. Quant au dénominateur, il est supérieur à " par le point (i) du lemme �.�. On a donc C N(G0 ,⌧C(1+⇣(C)))

h (1 + ⇣(C)) i N(G0 ,⌧C(1+⇣(C)))

C# .

1 + 21

⇥

⇤ N(G0 ,⌧C(1+⇣(C)))

En prenant C assez grand, on peut se débrouiller pour que (1+⇣(C)) 1+21 soit de la forme C 2N(G0 ,⌧C(1+⇣(C))) , pour un 2 > 0, d’où l’on tire le résultat.

Le lemme de l’hyperplan. — Soit & = [ ', ']3 ⇢ ⌫(0, '0 ) un cube. Si partitionne & en (2 + 1)3 cubes disjoints de côté 2 2'+1 , que l’on note (@ 8 = {1, . . . , (2 + 1)3 }. Notons 0,

de sorte que |

0,

= 8 2 ; @8

| = (2 + 1)3

1

,'

.

⇤

2 N , on )82 , où

,'

\ {G 3 = 0} < ? ,

Lemme �.�. — Il existe 0 ne dépendant que de 3, et #0 et '2 tels que, pour tous > 0 , # > #0 , ' < ' 2 , le résultat suivant soit vrai. Supposons que pour tout 8 2 0, , il existe un G 8 2 @ 8 et un A 8 < 10 diam(@ 8 ) > # tels que N(G 8 , A 8 ) > #. Alors #(&) > 2#. Moralement, le lemme nous apprend que si l’indice de doublement de tous les petits cubes 10@ 8 , 8 2 0, est plus grand que #, alors l’indice de doublement de & sera plus grand que 2#.

Idée de la preuve. — Sans perte de généralité, on peut supposer que & est le cube unité (par un changement d’échelle), et que |D|  1 sur &. Par la proposition �.�, on peut montrer que pour chaque 8 2 0, , la fonction D est petite sur 2@ 8 , au sens où on peut trouver des constantes 2, ⇠ > 0 ne dépendant que de 3, ⇤, , '0 telles que sup |D|  ⇠ 2@ 8

2#

.

Par des estimées elliptiques usuelles, on obtient une estimée similaire pour sup@ 8 |rD|. Ainsi, la fonction D et son gradient sont plus petites que ⌘ := ⇠ 2# sur l’hyperplan {G 3 = 0}. On peut alors appliquer la proposition �.� pour en déduire que 0 l’on a |D|  ⇠ 0 2 # sur un cube @ de côté A ne dépendant ni de , ni de #. En appliquant la borne inférieure dans (��), on en déduit facilement qu’il existe une boule incluse dans @ ayant un indice de doublement supérieur à 2 00 # log , d’où le résultat en prenant assez grand. ⇤ �.�. Découper des cubes 0, on introduit Définition �.�. Soient & = [ ', ']3 ⇢ R3 un cube et 2 N . Si : : = {(8 1 , . . . , 8 : )}, où les 8 9 appartiennent à = {1, . . . , (2 + 1)3 }. ,&

On définit les cubes @ 81 ,...,8 de manière inductive : les @ 8 :

le paragraphe précédant le lemme �.�, puis, si (2 +

1)3

ASTÉRISQUE ���

cubes disjoints de côté

2' , (2 +1) :+1

,& @ 81 ,...,8 :

,&

sont définis comme dans

a été défini, on le partitionne en

que l’on note (@ 81,' ,...,8

: ,8 :+1

)8 :+1 2 .

(����)

VOLUME D’ENSEMBLES NODAUX DE FONCTIONS PROPRES DU LAPLACIEN

���

Le lemme suivant est une conséquence du lemme de l’hyperplan.

Lemme �.�. — Soit ⌘ > 0. Il existe 1 = 1 (3, ⌘) et '2 , #0 tels que, si & = [ ', ']3 ⇢ R3 avec ' < ' 2 , et si # > max #0 , #(&) , alors 82

0,

1

; #(@ 8

,&

1 2#

)

⌘

3 1 1 .

Démonstration. — Soit # > max #0 , #(&) . Par le lemme �.�, on sait qu’il existe au moins un 8 2 0, tel que # @ 8 0 ,'  12 #. Notons " : le nombre d’éléments de : tels

que le cube @ 81 ,...,8 intersecte {G 3 = 0} et a un indice de doublement supérieur à 12 #. ,&

:

Si # @ 81 ,...,8 < 12 #, alors pour tout 8 :+1 2 , on a # @ 81 ,...,8 ,8 < 12 #. : : :+1 De plus, par le lemme �.�, parmi les sous-cubes d’un cube intersectant {G 3 = 0}, au moins un a un indice inférieur à 12 # (voir la figure �). ,&

,&

F����� �. La construction itérative utilisée dans la preuve du lemme �.�. Les cubes d’indice de doublement inférieur à 12 # sont blancs, les autres sont gris.

On obtient donc que " :+1  " : (2 " :  (2

3 0 + 1)

1

1

:

⇣

0

= 1

+ 13

1

1 , et, par conséquent,

1 (2 0 + 1)3

En prenant : suffisamment grand pour que 1 2 1 + 1 = (2 0 + 1) : , on obtient le résultat.

1/(2

1 0

⌘:

(2

+ 1)3

0

+ 1) :(3

1 :

1)

.

 ⌘, et en prenant

⇤

Le lemme précédent n’estimait que le nombre de cubes ayant un grand indice de doublement près de l’hyperplan {G 3 = 0}. En combinant ce lemme avec le lemme du simplexe, on peut déduire le théorème suivant.

Théorème �.�. — Il existe 2 > 0, = (3), #0 , '2 tels que, pour tout cube & ⇢ ⌫(0, '2 ), on a le résultat suivant : si on partitionne & en = sous-cubes égaux, alors le nombre de 1 3 1 sous-cubes ayant un indice de doublement supérieur à max #(&) . 1+2 , #0 est inférieur à 2 Choisissons 1 2 N assez grand pour que le lemme �.� s’applique pour ⌘ = 6 3 1 . On introduit les mêmes notations que dans la définition �.�. La constante 2 > 0 étant fixée, on dira qu’un cube @ ⇢ & est mauvais si #(@) #(&) 1+2 et qu’il est bon autrement.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

M. INGREMEAU

Le théorème découle alors du lemme suivant.

Lemme �.�. — Soit 2 > 0 suffisamment petit. Il existe :0 tel que, pour tout : 81 , . . . , 8 : 2 : 1 , on a 8 :+1 2

1

,&

; @ 812,...,8

: ,8 :+1

est mauvais

 12 (2

1

:0 et tous

+ 1)3 1 .

Preuve que le lemme �.� implique le théorème �.�. — Notons " : le nombre de mauvais ,& cubes parmi les @ 812,...,8 . On déduit du lemme �.� et du fait que les sous-cube d’un bon :

cube sont toujours bons que, pour tout : : 0 , on a " :+1  12 (2 1 + 1)3 1 " : , et donc que " :  " :0 2:1:0 (2 1 + 1)(3 1)(: :0 ) . En prenant = (2 1 + 1)(3 1): pour : assez grand, on obtient bien le résultat voulu. ⇤ Avant de prouver le lemme �.�, introduisons quelques notations. Si @ ⇢ & est un cube et 2 > 0, on introduit l’ensemble des mauvais points de @

n

#(&) o . 1+2 Ainsi, @ est mauvais si et seulement si B(@) < ?. Si @ est mauvais, on définit alors B(@) = G 2 @ ; 9A 2 ] 0, diam(@) [ ; N(G, A) >

f lar(@) :=

lar(B(@)) · diam(@)

Lemme �.�. — Pour tout ✓ > 0, il existe :0 2 N et 20 > 0 tels que si : pour tous 81 , . . . , 8 : 2 : 1 , on a f @ 1 ,& < ✓ . lar

:0 , 2 < 20 , alors

8 1 ,...,8 :

Démonstration du lemme �.�. — On utilisera le fait suivant de géométrie euclidienne : il existe une constante 2(3) ne dépendant que de 3 telle que, pour tout ensemble ⇢ @, on peut trouver un simplexe ( ⇢ tel que lar(() 2(3)lar( ). On applique ce fait à = B(@), et on pose 0 :=

f lar(@) lar(() ,  22(3) 2diam(@)

de sorte que lar(() > 0 et diam(() > 0 · diam(@). Pour chaque sommet G 9 2 (, on peut trouver un rayon A 9 < diam(@) < tel que N(G 9 , A 9 ) #(&) 1+2

#(&) 1+2 .

1 0 diam(()

On peut alors appliquer le lemme �.� au simplexe (,

avec # = . On obtient qu’il existe des constantes 2 0 et ⇠0 ne dépendant que de 0, f 81 ,...,8 : ), telles que donc que de lar(@ 1 + 20 #(&), 1+2 où G 0 est le barycentre du simplexe (. Si 2 < 2 0 , on en déduit que l’on a N G 0 , ⇠0 diam(() >

N G0 , ⇠0 diam(() > #(&), ASTÉRISQUE ���

(����)

VOLUME D’ENSEMBLES NODAUX DE FONCTIONS PROPRES DU LAPLACIEN

���

ce qui est absurde dès que ⇠0 diam(()  diam(&), et donc dès que : est assez grand, car diam(()  3 : diam(&). ⇤

F����� �. Tous les mauvais points de @ sont compris dans un voisinage de l’hyperplan P, entre P1 et P2 . Les mauvais sous-cubes de @ sont donc tous inclus dans des mauvais sous-cubes de @˜ intersectant P. Chaque sous-cube de @ intersecte au plus 23 sous-cubes de @˜ .

Démonstration du lemme �.�. — Pour alléger les notations, nous noterons dans cette ,& preuve @ à la place de @ 811,...,8 . : Par le lemme �.�, quitte à prendre : assez grand et 2 assez petit, on peut supposer f @ < 1 . Ainsi, il existe un hyperplan P tel que tous les mauvais points que lar 2 1 +1 de @ sont inclus dans un voisinage de taille 2 11 +1 de P. On supposera aussi 2 assez 1 petit pour que 1+2 > 34 . On construit alors un cube @˜ dont l’une des faces est p parallèle à P, dont le centre est sur P \ @ (voir la figure �), et dont le côté est 10 3 diam(@). On a alors @ ⇢ @˜ . On divise @˜ en (2 1 + 1)3 sous-cubes, notés ( @˜ 8 )82 1 , et on note 0, 1 l’ensemble des sous-cubes de @˜ intersectant P. On a alors B(@) ⇢

ÿ

82

0, 1

@˜ 8 .

Comme, de plus, chaque chaque @ 9 intersecte au plus 23 @˜ 8 , on a 82

0

; @ 8 est mauvais

 23 9 2

0,

1

; #( @˜ 9 ) >

#(&) 1+2

.

Le cube @˜ n’est pas nécessairement inclus dans &, mais il est toujours dans un petit voisinage de &, de sorte qu’on peut montrer, à partir de la proposition �.� que pour : assez grand, #( @˜ )  32 #(&). SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

M. INGREMEAU

On a alors 92

0,

; #( @˜ 9 ) >

1

#(&) 1+2

 

92 92

0,

1

0,

1

; #( @˜ 9 ) > ; #( @˜ 9 ) >

2#( @˜ ) 3(1+2) 1 ˜) 2 #( @

On peut alors appliquer le lemme �.�, en se rappelant que ⌘ = 6 majoration 9 2 0, 1 ; #( @˜ 9 ) > 12 #( @˜ )  6 3 1 13 1  2 3 1 (2 et le résultat suit.

82

0

; @ 8 est mauvais

 12 (2

1

+ 1)3

1

.

3 1, 1

pour obtenir la + 1)3 1 , d’où

,

⇤

Le théorème �.� est tout ce dont nous avons besoin pour prouver le théorème �.�. Toutefois, pour le théorème �.�, nous aurons besoin du raffinement suivant :

Proposition �.�. — Il existe 21 , 22 , ⇠ > 0 et ⌫0 2 N ne dépendant que de 3, ainsi que #0 , '3 tels que, pour tout cube & ⇢ ⌫(0, '3 ), on a le résultat suivant : pour tout ⌫ ⌫0 , pour toute solution D de (��), on a (��)

82

⌫

⌫,&

; #(@ 8

)  max #D (&)2

21 log ⌫/log log ⌫

, #0

 ⇠⌫ 3

1 22

.

Nous ne prouverons pas cette proposition, et renvoyons le lecteur à la section � de L������ (����b). L’idée de la preuve est d’itérer de nombreuses fois le résultat du théorème �.�. À chaque nouvelle étape, une proportion d’au moins 1 21 des cubes 1 voit son indice de doublement multiplié par au plus 1+2 , s’il n’est pas déjà inférieur à #0 . On remarque que si, à chaque étape, une proportion d’exactement 1 21 des cubes 1 voyait son indice de doublement multiplié exactement par 1+2 , alors le nombre de cubes à l’étape = ayant un indice de doublement valant #(&)(1+ 2) : serait exactement décrit par une loi binomiale. L’inégalité (��) doit donc être rapprochée d’une estimée sur la queue de la loi binomiale.

�. DES INDICES DE DOUBLEMENT AUX ENSEMBLES NODAUX �.�. Une borne supérieure polynomiale Nous allons maintenant prouver une proposition qui implique immédiatement le théorème �.�.

Proposition �.�. — Il existe un cube & ⇢ ⌫(0, '2 ), on a 3 1

ASTÉRISQUE ���

> 0 ne dépendant que de 3, ainsi que ' 2 tels que pour tout

D = 0 \ &  ⇠ diam3 1 (&)#D (&) .

(����)

���

VOLUME D’ENSEMBLES NODAUX DE FONCTIONS PROPRES DU LAPLACIEN

Démonstration. — Prenons 2, '2 , #0 et

comme dans le théorème �.�. Notons

n

(#) := sup

= 0} \ &) o ,

3 1 ({D

diam3 1 (&)

où la borne supérieure est prise sur les D solutions de (��), & ⇢ ⌫(0, '2 ) un cube et #D (&)  #. Il s’agit de montrer que (#)  ⇠# . Par H���� et S���� (����), on a (#) < +1 pour tout # > 0.

Montrons tout d’abord que, pour tout # on a

#0 , avec #0 comme dans le théorème �.�,

⇣ # ⌘

(#)  4

(��)

1+2

.

Ceci suffit bien à prouver le théorème : il suffit de prendre et d’utiliser le fait que est monotone.

tel que 4

 (1 + 2)

Supposons qu’il existe un # #0 tel que (��) n’est pas vérifiée. Soient alors & ⇢ ⌫(0, '), et D une solution de (��) avec #D (&)  # et 3 1 ({D

(��)

diam

= 0} \ &)

3 1

>

(&)

3 4

(#).

On divise & en 3 sous-cubes disjoints (@ 8 )82 , de diamètre que pour tout 8 2 , on a #(@ 8 )  #. Notons 1

= 8 2 ; #(@ 8 ) >

1 2

Par le théorème �.�, on a | 1 |  3 1

{D = 0} \ &  

’ 82

’ 82

et

# 1+2

3 1.

3 1

(#)

 diam(&) 3.

1

⇥ ⇥

3 1

+

| 1 | · (#) (#) 2

+

En combinant cela avec (��), on obtient 1 4

# 1+2

.

On écrit ensuite que

diam(&)

3 1

 diam(&)3 car | | =

= 8 2 ; #(@ 8 ) 

{D = 0} \ @ 8 +

1

1

2

1 diam(&). Rappelons

(#)
0 tel qu’un fermé ) de R est uniformément :-épais si et seulement si 0 2 ) et si ) [ {1} ⇢ % H+ est de module supérieur à ⇣(:). Pour décrire ' : ", il nous faut donc trouver les plans % de H3 pour lesquels %% \ ⇤ contient un fermé de module supérieur à ⇣(:). C’est là qu’intervient l’hypothèse acylindrique, au travers de ses conséquences sur la topologie de ⇤ .

Proposition �.�. — Supposons " acylindrique. Alors ⇤ est un tapis de Sierpinski, c’està-dire que son complémentaire ⌦ est l’union disjointe d’une infinité d’ouverts {⌦8 , 8 2 } dont les adhérences ⌦8 sont deux à deux disjointes et homéomorphes à des disques fermés. De plus, ⇤ est de module strictement positif, c’est-à-dire qu’il existe ⇣ > 0 tel que, pour tous 8 < 9 2 , l’anneau % H3 r ( ⌦8 [ ⌦ 9 ) a un module conforme supérieur à ⇣. 6 Cette définition n’est pas celle donnée dans M�M�����, M�������� et O� (����), mais elle lui est équivalente, et peut se reformuler comme une borne uniforme sur le birapport des quatre points 0, 1, 2, 3.

ASTÉRISQUE ���

(����)

PHÉNOMÈNES DE TYPE RATNER DANS LES VARIÉTÉS HYPERBOLIQUES DE VOLUME INFINI ���

Cas où " est à bord géodésique. — M�M�����, M�������� et O� (����) ont d’abord traité le cas où le bord du cœur convexe de " est totalement géodésique. On comprend alors mieux la géométrie de ⇤ , et il est plus facile de décrire son intersection avec un cercle. En effet, dans ce cas, les ouverts ⌦8 sont de vrais disques, et %⌦8 est le bord à l’infini d’un plan %8 . Les %8 forment les composantes de bord de Conv(⇤ ), et la propriété de module positif se déduit du fait que la distance entre deux composantes de bord est uniformément minorée par un ⇣ > 0. Cette minoration implique aisément que l’intersection %% \ ⇤ , lorsqu’elle contient au moins deux points, est un fermé de module supérieur à ⇣. On en déduit l’existence d’un : > 0 tel que ' : " = ' ". Autrement dit, pour tout G 2 ' ", l’ensemble )(G) est :-épais pour un : indépendant de G. Cas général. — Le cas général est plus compliqué car les bords des composantes ⌦8 de ⌦ sont typiquement des courbes de Jordan fractales, dont l’intersection avec le cercle %% est difficilement contrôlable. Cette intersection peut par exemple avoir des points isolés, auquel cas elle n’est pas de module positif. L’idée centrale de M�M�����, M�������� et O� (����) est l’introduction du sous-ensemble ' : ", qui permet entre autre de se débarasser de ces points isolés. En utilisant la positivité du module de ⇤ , les auteurs démontrent le lemme technique suivant :

Lemme �.�. — Soit " = \ H3 une variété convexe-cocompacte acylindrique. Il existe alors un ⇣ > 0 tel que, pour tout plan % de H3 qui sépare ⇤ , l’intersection de %% avec ⇤ contient un ensemble de Cantor de module supérieur à ⇣. Corollaire �.��. — Il existe : > 0 tel que pour tout G 2

⇤,

l’orbite G

intersecte ' : ".

On a donc construit un compact ' : " qui vérifie de bonnes propriétés de récurrence vis-à-vis du flot horocyclique, et qui « voit » toute la dynamique de restreinte à ⇤. �.�. Retour sur le lemme �.� On fixe dorénavant : > 0 tel que ' : " intersecte toutes les -orbites contenues dans ⇤ . Expliquons maintenant comment les bonnes propriétés de ' : " permettent d’adapter le lemme �.� au cas convexe-cocompact. Soit G un point de ⇤ . Supposons que G n’est pas fermé dans ⇤ ou, autrement dit, que l’ensemble Acc(G ) intersecte ⇤ . Introduisons l’ensemble , = Acc(G ) \

⇤

\ ': " .

L’ensemble , est non vide puisque Acc(G ) \ ⇤ est une union de -orbites contenues dans ⇤ . Il est aussi -invariant, et vérifie les mêmes propriétés de récurrence que ' : " vis-à-dis de l’action de * (puisque Acc(G ) \ ⇤ est *-invariant). SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

N. THOLOZAN

Dans ce paragraphe, on fait l’hypothèse suivante7 :

Hypothèse. — L’ensemble , est compact. Sous cette hypothèse, on peut alors démontrer un analogue du lemme �.� :

Lemme �.��. — Il existe H 2 , et un sous-semi-groupe à un paramètre ++ de + tel que H++ est inclus dans G . La preuve suit la même stratégie que celle du lemme �.�. Posons - = G . L’axiome du choix et la compacité de , permettent de construire un ensemble *-invariant non vide . qui est minimal parmi les fermés *-invariants qui intersectent ,. Le lemme �.�� se déduit alors à nouveau des propositions �.� et �.�, dont nous devons montrer qu’elles restent valides dans ce nouveau contexte. On reprend pour cela la preuve de ces deux lemmes, en partant d’un point H dans . \ ,, mais avec la contrainte additionnelle que C = doit appartenir à ): (H) = C 2 R ; HDC 2 , ,

de sorte que la suite HDC= reste dans le compact ,. La preuve fonctionne encore en raison du principe suivant, selon lequel une fonction polynomiale est « bien contrôlée » par ses valeurs sur un ensemble :-épais.

Lemme �.�� (M�M�����, M�������� et O�, ����). — Soit ) un ensemble :-épais de R et 3 un entier. Il existe alors une constante ⇠ > 0 dépendant de : et 3 telle que, pour tout intervalle symétrique de R et tout polynôme & de degré 3, on a sup &(C)

C2 \)

⇠ sup &(C) . C2

Rappelons que C = était choisi de façon à satisfaire les équations (�) ou (�), dont on vérifie qu’elles font intervenir des fonctions polynomiales de C = . D’après le lemme �.��, et comme l’ensemble ): (H) est :-épais, on peut choisir C = dans ): (H) quitte à affaiblir ces conditions en (�) et

⇠⌘  max |0 0=

(�)

1|, |1 0= |, |2 0= |, |30=

1|  ⌘,

⇠⌘  max |0 0= |, |1 0= |, |2 0= |, |⇣0= |  ⌘.

respectivement (pour une constante ⇠ > 0 dépendant de :). Cela suffit à conclure les preuves des propositions �.� et �.� dans ce contexte. �.�. Fin de la preuve Expliquons enfin comment conclure la preuve du théorème �.�. Soit G 2 ⇤ . Posons - = G et notons comme précédemment P(-) le fermé -invariant de ⌧/ 7 Le cas , non compact sera discuté dans la section suivante. ASTÉRISQUE ���

(����)

PHÉNOMÈNES DE TYPE RATNER DANS LES VARIÉTÉS HYPERBOLIQUES DE VOLUME INFINI ���

dual de -. Ce fermé contient un plan %G qui sépare ⇤ puisque G appartient à ⇤ . Rappelons que , désigne le fermé Acc(G ) \ ⇤ \ ' : ", qui est vide si et seulement si G est fermé dans ⇤ . On suppose donc , non vide. Cas où , est compact. — Le lemme �.�� s’applique alors. Comme dans le cas cocompact, – on en déduit que %2P(-) %% contient un des hémisphères délimités par %%. Comme % sépare ⇤ , cet hémisphère recouvre un ouvert non vide de ⇤ , et le lemme �.� conclut que P(-) = P⇤ .

Cas où , n’est pas compact. — Comme Acc(G ) \ ' : " est compact, il existe donc un point H de Acc(G ) \ ' : " qui n’appartient pas à ⇤ . Dualement, P(-) contient un plan %H qui ne sépare pas ⇤ , mais tel que %%H intersecte ⇤ en un fermé de module strictement positif. Ce plan %H est en particulier un hyperplan d’appui du cœur convexe. On montre alors que le fait que %%H \ ⇤ soit non dénombrable implique que le stabilisateur 0 de %H dans est non élémentaire. En utilisant l’action de 0 sur des plans – de P(-) arbitrairement proches de %H qui séparent ⇤ , on montre que %2P(-) %% recouvre ⇤ , puis on conclut que P(-) = P⇤ grâce au lemme �.�. Notons que cette dernière partie de la preuve contient encore quelques arguments élaborés que nous n’avons pas détaillés. Elle utilise notamment une bonne compréhension de la géométrie des composantes du bord du cœur convexe, de la dynamique des sous-groupes convexe-cocompacts de PSL(2, R), ainsi qu’un théorème de densité des horocycles d’une surface hyperbolique dû à D��’B� (����). �.�. Quelques mots sur les plans fermés Concluons par quelques remarques générales sur les plans de " qui sont fermés dans " ⇤ . Soit G = 6 un point de ⇤ . Le stabilisateur de G dans est le sous-groupe G

=6

1

6\

.

D’après un résultat classique (quoique non trivial) sur les feuilletages, les propriétés suivantes sont équivalentes : – l’orbite G

est fermée dans

– l’application

G\

!

⇤

⇤,

définie par 6 7! G 6 est propre.

On en déduit qu’un plan est fermé dans " ⇤ si et seulement s’il y est proprement immergé. Pour être plus précis, soit % un plan de P ⇤ . Notons : – % ⇤ l’intersection de % avec Conv⇤ (⇤ ) et que % préserve % ⇤ ). –

%

le stabilisateur de % dans (remarquons

: H3 ! " = \ H3 l’application de revêtement.

Proposition �.�� Les propriétés suivantes sont équivalentes : –

(% ⇤ ) = (%) \ " ⇤ est fermé dans " ⇤ ;

– l’application

e⇤ ! " ⇤ définie par G 7! (G) est une immersion propre.

% \%

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

N. THOLOZAN

McMullen, Mohammadi et Oh montrent en outre que les plans fermés ont un gros stabilisateur :

Théorème �.�� (M�M�����, M�������� et O�, ����). — Soit " = \ H3 une variété convexe-cocompacte acylindrique, et % 2 P ⇤ un plan tel que (% ⇤ ) est fermé dans " ⇤ . Alors le stabilisateur % de % dans est non élémentaire. Comme un sous-groupe non élémentaire de stabilise au plus un plan de H3 , on en déduit que " ⇤ ne contient qu’un nombre dénombrable de plans fermés. RÉFÉRENCES B������, Yves et O�, Hee (����). “Geodesic planes in geometrically finite acylindrical �-manifolds”, arXiv : 1802.04423. B�������, Brian H. (����). “Geometrical finiteness for hyperbolic groups”, J. Funct. Anal. ��� (�), p. ���-���. D��’B�, Françoise (����). “Topologie du feuilletage fortement stable”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) �� (�), p. ���-���. L��, Minju et O�, Hee (����). “Orbit closures of unipotent flows for hyperbolic manifolds with Fuchsian ends”, arXiv : 1902.06621. M�������, Gregori (����). “Indefinite quadratic forms and unipotent flows on homogeneous spaces”, dans : Dynamical systems and ergodic theory (Warsaw, ����). T. ��. PWN, Warsaw, p. ���-���. M���������, François et S�������, Barbara (����). “On topological and measurable dynamics of unipotent frame flows for hyperbolic manifolds”, Duke Math. J. ��� (�), p. ���-���. M�M�����, Curtis, M��������, Amir et O�, Hee (����). “Horocycles in hyperbolic �-manifolds”, Geom. Funct. Anal. ��, p. ���-���. (����). “Geodesic planes in hyperbolic �-manifolds”, Invent. Math. ��� (�), p. ���-���. (����). “Geodesic planes in the convex core of an acylindrical �-manifold” (à paraître dans Duke Math. J.). arXiv : 1802.03853. M��������, Amir et O�, Hee (����). “Ergodicity of unipotent flows and Kleinian groups”, J. Amer. Math. Soc. �� (�), p. ���-���. O���, Jean-Pierre (����). “Thurston’s hyperbolization of Haken manifolds”, dans : Surveys in differential geometry, Vol. III (Cambridge, MA, ����). Int. Press, Boston, MA, p. ��-���. R�����, Marina (����). “On measure rigidity of unipotent subgroups of semisimple groups”, Acta Math. ��� (�), p. ���-���.

ASTÉRISQUE ���

(����)

���.

PHÉNOMÈNES DE TYPE RATNER DANS LES VARIÉTÉS HYPERBOLIQUES DE VOLUME INFINI ���

(����a). “On Raghunathan’s measure conjecture”, Ann. of Math. ��� (�), p. ���-

(����b). “Raghunathan’s topological conjecture and distributions of unipotent flows”, Duke Math. J. �� (�), p. ���-���. R�����, Thomas (����). “Ergodicité et équidistribution en courbure négative”, Mémoires Soc. Math. France ��, p. �-��. S���, Nimish A. (����). “Closures of totally geodesic immersions in manifolds of constant negative curvature”, dans : Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, ����). World Sci. Publ., River Edge, NJ, p. ���-���. T�������, William P. (����). “Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) � (�), p. ���-���. W���� M�����, Dave (����). Ratner’s theorems on unipotent flows. Chicago Lectures in Math. University of Chicago Press.

Nicolas Tholozan CNRS / École Normale Supérieure - Université PSL �� rue d’Ulm, ����� Paris E-mail : nico as.tho [email protected]

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

Séminaire BOURBAKI ��e année, ����–����, no ����, p. ��� à ��� doi : ��.�����/ast.����

Mars ����

QUANTITATIVE INVERSE THEORY OF GOWERS UNIFORMITY NORMS [after F. Manners] by Thomas F. Bloom

INTRODUCTION Let B 1 be a fixed integer (in particular, all implicit constants may depend on B). Fix some large prime # and use Z# to denote the cyclic group Z/# Z. If 5 : Z# ! C and ⌘ 2 Z# we define the multiplicative derivative ⌘

5 : Z# ! C ,

⌘

5 (G) = 5 (G) 5 (G + ⌘).

: This definition has a natural extension to vectors h 2 Z# , so that

h 5 (G)

=

⌘1

···

⌘:

5.

We can now define our central object of study: the Gowers uniformity norm of degree B. This is defined for 5 : Z# ! C by k 5 k * B+1 =

E E

G2Z# h2ZB+1 #

1/2B+1

h 5 (G)

.

Here we have used the expectation notation, now standard within additive combiÕ natorics, to denote the normalised sum (so that, for example, EG2 means | 1 | G2 ). Alternatively, one could use the inductive definition k 5 k* 1 =

EG 5 (G)

and

k 5 k * B+1 =

E ⌘2Z

#

k

2 5 k* B B

⌘

1/2B+1

.

These norms 1 were introduced into additive combinatorics by G����� (����) in his analytic proof of Szemerédi’s theorem. They provide a quantitative measure of the additive structure of 5 . For example, the * 2 norm k 5 k* 2 =

⇣

E

G,⌘ 1 ,⌘2 2Z#

5 (G) 5 (G + ⌘ 1 ) 5 (G + ⌘2 ) 5 (G + ⌘1 + ⌘2 )

⌘ 1/4

�. It is not obvious from the definition that they are indeed norms, but this is true for B be found in the original paper of G����� (����).

1. A proof can

© Astérisque ���, SMF ����

���

THOMAS F. BLOOM

measures 5 along 2-dimensional additive quadruples of the shape (G, G + ⌘1 , G + ⌘ 2 , G + ⌘1 + ⌘2 ).

In general, the * B+1 norm measures 5 along 2B+1 -tuples which are (the projections of) (B + 1)-dimensional cubes. These configurations are generic enough that if we can understand how 5 behaves on them then we can understand 5 on many other kinds of linear system. For example, the count of 5 along arithmetic progressions of length : is strongly related to k 5 k * : 1 . As a result the uniformity norms play a central role in modern additive combinatorics. They often appear in proofs which use a ‘structure vs. randomness’ philosophy. Such proofs go along the following lines: �) Find some function 5 such that the behavior of the objects one wishes to understand is governed by some k 5 k * B+1 ( for example, when counting :-term arithmetic progressions inside some ⇢ Z# one would take 5 = 1 | |/# and B = : 2). �) Show that the theorem in question follows if k 5 k * B+1 is small – this is the random aspect of the ‘structure vs. randomness’ dichotomy, and usually follows from elementary counting methods. �) Show that if k 5 k * B+1 is large then 5 has some algebraic structure.

�) Finally conclude the proof by showing that if 5 has this algebraic structure then the theorem also follows. Landmark applications of this method are the analytic proof of Szemerédi’s theorem by G����� (����), the first to deliver reasonable quantitative bounds, and the proof by G���� and T�� (����b) that the primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. The inverse theory of uniformity norms, which is the focus of this article, addresses the third point, and seeks to answer the following question. Question (The Inverse Question). If a 1-bounded 2 function 5 : Z# ! C has large * B+1 norm then what can we deduce about 5 ? We will first explore this question in the simplest case B = 1. A brief experimentation shows that the function 3 G 7! 4( G), where 2 #1 Z (so that this does indeed give a well-defined function on Z# ), satisfies k 5 k * 2 = 1, the maximum possible. Therefore (linear) characters provide examples of bounded functions with large * 2 norm. The inverse theorem for the * 2 norm says that the converse is also true, at least in an approximate sense. More precisely, if k 5 k * 2 ⇣ then 5 must correlate with a linear character, in that there exists some 2 #1 Z such that (�)

EG 5 (G) 4(

G) > 2(⇣)

�. A function 5 is 1-bounded if | 5 (G)|  1 for all G. �. We use 4(G) to denote e2 8G .

ASTÉRISQUE ���

(����)

QUANTITATIVE INVERSE THEORY OF GOWERS UNIFORMITY NORMS

���

for some constant 2(⇣) > 0 depending only on ⇣. The proof of this inverse result is very short. We note first that the * 2 system of quadruples of the shape (G, G + ⌘1 , G + ⌘2 , G + ⌘1 + ⌘2 )

are exactly those quadruples (G1 , G2 , G3 , G4 ) such that G1 G2 = G3 G 4 . We may use linear characters and orthogonality to detect this linear condition so that, defining the Fourier transform by b 5 (0) = E 5 (G) 4( 0G/#) G

for 0 2 Z# , we have

4 k 5 k* 2 =

=

’

E

G1 G2 =G 3 G 4

02Z#

b 5 (0)

= sup b 5 (0) 0

2

5 (G1 ) 5 (G2 ) 5 (G3 ) 5 (G4 ) 4

 sup b 5 (0)

2

0

E G2Z

#

5 (G)

2

’

02Z#

b 5 (0)

2

2  sup b 5 (0) , 0

using Parseval’s identity and the assumption that 5 is 1-bounded. It follows that if k 5 k * 2 ⇣ then (�) holds with the explicit lower bound ⇣2 . For higher uniformity norms with B 2 this simple argument fails, and it is less clear what functions have large * B+1 norm. We note that the uniformity norms are nested, in the sense that k 5 k* 2  k 5 k* 3  k 5 k* 4  · · · ,

and so in particular this inverse question becomes more difficult as B increases, since any example of a function with large * B+1 norm certainly also has large * B+2 norm, but the converse may not hold. Considering what happens when B = 1, we observe that the reason exponentials with linear phases have large * 2 norm is because the second derivative of a linear function always vanishes (hence ⌘1 ,⌘2 5 is an exponential with phase 0, and so is identically 1). Generalising this observation shows that 5 (G) = 4(%(G)) will have k 5 k * B+1 = 1 whenever % is a polynomial of degree  B (with coefficients in #1 Z so that it is well-defined on Z# ). At this point one may guess that, just as when B = 1, the approximate converse also holds, and conjecture something like: if k 5 k * B+1 ⇣ then

(�)

EG

5 (G) 4 %(G)

> 2(⇣)

for some polynomial %(G) 2 #1 Z[G] of degree  B and some constant 2(⇣) > 0 depending only on ⇣. It turns out this is not quite enough, and the exponentials with polynomial phases do not represent a full set of obstructions. 4 To see why, observe �. The term obstructions here comes from thinking of functions 6 such that “| EG 5 (G)6(G)| k 5 k * B+1 1” as ‘obstructions’ to having small uniformity norm.

1 implies

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���

THOMAS F. BLOOM

that we don’t require our ‘phase functions’ %(G) to actually vanish after taking B + 1 derivatives. For the * B+1 norm of 4(%(G)) to be large, it suffices for the derivative of %(G) to be biased towards 0 (so that the multiplicative derivative of 4(%(G)) is biased towards 1). Consider, for example, the function on Z# defined by 5 G 7 ! { G}{ G}

for , 2 #1 Z. This is not a true quadratic, since the third derivative is not identically zero. This failure arises because G 7! { G} is not truly linear. We note, however, that it is linear a large proportion of the time, since we can write (G + H) = { G} + { H}

⌧ G,H ,

where ⌧ G,H is a ‘carry bit’ function that is 1 if { G} + { H} 1 and 0 otherwise. In particular, ⌧ G,H = 0 with probability 12 and hence { G} behaves like a linear function with probability 12 . By a similar calculation, the third derivative of a quadratic function like %(G) = { G}{ G} vanishes a positive proportion of the time, and thus 4(%(G)) has large * 3 norm. Thus we need to also include these generalised bracket polynomials (generated by repeated composition of, not just addition and multiplication, but also the fractional part operator { }) as possible obstructions. The inverse theorem for the Gowers uniformity norms states that this expanded set of obstructions captures all the reasons that a function might have large uniformity norm. That is, if k 5 k * B+1 ⇣ then there exists some bracket polynomial % of degree  B such that (�) holds. Such a statement was conjectured by G���� and T�� (����b) in their work on linear equations in primes and first proved in a qualitative sense (that is, with no bounds on the function 2(⇣)) by G����, T��, and Z������ (����). The focus of this article is a recent new proof of the inverse theorem by M������ (����) which gives, for the first time, a quantitative version of this statement. Our aims are threefold:

.

�) to state precisely the inverse theorem as proved in M������ (����), defining all the concepts required; �) to sketch some of the ideas used in the proof, giving a flavour of the kind of arguments used, and �) to state precisely some of the new definitions and concepts introduced by Manners. The paper of M������ (����) itself is over ��� pages long, so we will not be able to even approach a proper proof of the inverse theorem. As a result of this intimidating length, however, some of the beautiful new ideas introduced by Manners may go otherwise unnoticed by those without the time to plumb the technical depths. We hope that this article helps popularise them, so that they can find many other applications.

.

�. As usual in number theory, we use { } : R ! [0, 1) to denote the fractional part operator G 7! G where bGc is the largest integer = such that =  G.

ASTÉRISQUE ���

bGc,

(����)

QUANTITATIVE INVERSE THEORY OF GOWERS UNIFORMITY NORMS

���

Acknowledgements I would like to thank Freddie Manners for many helpful comments and guidance on understanding his work, and Aled Walker for his notes and insights on Manners’ proof, which have helped me immensely. I would also like to thank Nicolas Bourbaki, Gabriel Conant, Ben Green, and Sarah Peluse for their comments on an earlier draft.

�. THE INVERSE THEOREM The following quantitative inverse theorem for the Gowers uniformity norms is the main result of M������ (����), and the focus of this article.

Theorem �.� (Manners). — Let ⇣ > 0 and # 2 be prime. If 5 : Z# ! C is a 1-bounded function such that k 5 k * B+1 ⇣ then there exists & > 0 and a 1-bounded, #-periodic, nilsequence # : Z ! C with degree B, dimension ⇡, parameter , and complexity ", such that E 5 (G) #(G) &, G

where the parameters are bounded in terms of ⇣ by ⇡ = $(⇣

$(1)

)

and

&

1

, ," 

⇢

exp($(⇣

$(1) ))

exp(exp($(⇣

$(1) )))

if B  3 and if B

4.

We have followed Manners in stating the inverse result using nilsequences rather than bracket polynomials. These are qualitatively equivalent, as shown by B�������� and L������ (����). 6 Nilsequences are usually, however, easier to work with. We defer an explicit definition of nilsequences, along with the meaning of degree, dimension, parameter, and complexity, till Section �. For now the reader should think of a nilsequence of degree B as a function of the shape = 7! 4(%(=)), where %(=) is a (bracket) polynomial of degree at most B. Since it can also be shown that if 5 correlates with a nilsequence of degree B then it has large * B+1 norm (we sketch a proof of this in Section �.�), this gives a complete characterisation of functions with large uniformity norm. A characterisation of this type was first conjectured by G���� and T�� (����b, Conjecture �.�) in their work on linear equations in primes. Before we explore Theorem �.� and its proof we briefly summarise other, related, results. �. B�������� and L������ (����) do not give any quantitative form of this equivalence, which would be needed to make a version of Theorem �.� precise for bracket polynomials. Since nilsequences are more convenient to work with anyway we will not address this, and use bracket polynomials only as motivational examples.

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���

THOMAS F. BLOOM

�) The case B = 1 is a trivial argument using Fourier analysis, which we have already seen in the introduction. Observe that this argument gives bounds which are polynomial in ⇣. �) The case B = 2 was first established by G���� and T�� (����a), with bounds exponential in ⇣ $(1) . The inverse theory for the * 3 norm has a strong connection with Freiman-type inverse sumset problems. For example, it is known that polynomial bounds for the inverse * 3 problem are equivalent to the Polynomial Freiman-Ruzsa conjecture (as shown by G���� and T�� (����a) and L����� (����)). Using this equivalence, quantitative improvements for inverse sumset problems by S������ (����) imply a bound for the * 3 inverse theorem exponential in (log(1/⇣))$(1) . �) The case for general B was proved in a qualitative sense by G����, T��, and Z������ (����). This proof gives no explicit bounds at all, and uses the language of non-standard analysis. In theory this proof could be made explicit, but any bounds that could be extracted would be terrible, and far up in the Ackermann hierarchy (in particular, much worse than even a tower of exponentials of height $(⇣ 1 )).

�) An independent approach towards a proof of the inverse theorem for general B was initiated by S������ (����) and further developed in a number of papers by C������� and S������ (����), C������ and S������ (����), and G�����, M������, and V���� (����, ����a,b). This approach is also qualitative, and would deliver similarly terrible bounds. �) These inverse results are all ‘global’, in that they find a structured object with which 5 correlates on the entirety of Z# . A weaker local inverse statement, in which one just finds some large subset of Z# on which 5 has strong correlation with a structured object, was proved by G����� (����, Theorem ��.�) (with even better bounds, only polynomial in ⇣). This local statement was sufficient to prove Szemerédi’s theorem, but for most applications of the uniformity norms (such as the work of G���� and T�� (����b) on linear equations in primes) a global inverse statement is required. �) Similar uniformity norms and their inverse results have been studied in ergodic theory, where they were introduced independently of additive combinatorics and the work of Gowers. The ergodic theory analogue of the inverse result was established by B��������, H���, and K�� (����). This work was the first to recognise the importance of nilsequences as the proper set of obstructions, and shaped the formulation of the inverse conjecture by G���� and T�� (����b). Although we will not use ergodictheoretic language in this article, insights and arguments from ergodic theory have been extremely influential in much of the work on uniformity norms. For an in-depth discussion of the relationship between uniformity norms in additive combinatorics and ergodic theory we refer to H��� and K�� (����). �) The discussion so far has been entirely for functions 5 : Z# ! C, but one could define uniformity norms and ask the inverse question with Z# replaced by any finite abelian group. The principal alternative is F ?= , where the inverse theorem was first

ASTÉRISQUE ���

(����)

QUANTITATIVE INVERSE THEORY OF GOWERS UNIFORMITY NORMS

���

proved qualitatively by T�� and Z������ (����). Very recently a new proof with good quantitative bounds was given by G����� and M�������� (����, ����). While there are some similarities between the methods used for Z# and F ?= , there are important differences that make it difficult to translate progress in one setting to the other. In particular, the strategy of Manners uses crucially that Z# has no non-trivial subgroups (when # is prime), a fact which fails dramatically for F ?= . One of the remarkable aspects of Theorem �.� is its quantitative strength. It is an indication of the depth and quality of the ideas introduced by Manners that his proof moves us from no bounds at all to bounds that are, at worst, only doubly exponential in the parameter ⇣. The presence of the double exponential when B 4 is, moreover, largely a technical artefact of one particular recursive argument in the proof. Most of the techniques used are much more efficient, and Manners suspects that a more refined version of this part of the argument should be possible, which would bring the bounds down to exponential in ⇣ $(1) for all B. It is not clear what the true order of magnitude of the bounds should be, and the best lower bounds known are only polynomial in ⇣. Our aim is, as stated above, to explain carefully what the inverse theorem says and sketch some of the ideas used by Manners. In limited space there is necessarily a great deal more that must be left unsaid. In particular, we omit any discussion of how the inverse theorem can be applied. The qualitative version has already been put to a variety of uses, and now that Manners has proved an effective quantitative version, its power has only grown. For the reader interested in seeing how inverse results can be applied to number theoretic problems we refer to the work of G���� and T�� (����b) on linear equations in primes, or the book by T�� (����) on higher order Fourier analysis. In Section � we will define carefully what a nilsequence is, completing the statement of Theorem �.�. Before going into details, however, we give a very rough sketch of how proofs of inverse theorems tend to go. The reader unfamiliar with nilsequences can, for now, read ‘a nilsequence of degree B’ as ‘4(%(=)) where % 2 #1 Z[G] is a polynomial of degree B’.

�. A BIRD’S EYE VIEW We fix some ⇣ > 0 and let 5 : Z# ! C be a 1-bounded function such that k 5 k * B+1

⇣.

Our goal is to find some nilsequence # of degree B such that 5 ‘correlates’ with #, that is, | E 5 # | ⇣ 1. 7 The case B = 1 has already been proved using Fourier analysis, allowing for an inductive approach. �. Here we use the Vinogradov notation

⇣

1 to mean > 2(⇣) for some function depending only on ⇣.

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THOMAS F. BLOOM

We first sketch the approach of G����, T��, and Z������ (����). They first use the identity 2B+1 2B (�) k 5 k* B+1 = E k ⌘ 5 k * B ⌘

to deduce that if k 5 k * B+1 ⇣ then there are ⇣ # many ⌘ such that k ⌘ 5 k * B ⇣ 1, and hence by induction there exist corresponding nilsequences # ⌘ of degree (B 1) which correlate with ⌘ 5 . By a Cauchy-Schwarz argument similar to one used by G����� (����), they then show that the function ⌘ 7! # ⌘ is ‘approximately linear’, in that there are ⇣ # 3 many quadruples (⌘1 , ⌘2 , ⌘3 , ⌘4 ) such that (�)

⌘1 + ⌘2 = ⌘3 + ⌘4

and

# ⌘1 # ⌘2 ⇡ # ⌘3 # ⌘4

( for some notion of ⇡).

This argument makes crucial use of the cocycle identity (valid for all 5 : Z# ! C such that | 5 (G)| ⌘ 1) (�) ⌘+: 5 (G) = : 5 (G) ⌘ 5 (G + :),

which is a trivial consequence of the definition of . They then use tools from additive combinatorics to further regularise the structure of the function ⌘ 7! # ⌘ , after passing to a smaller set of ⌘, so that on these ⌘ the map ⌘ 7! # ⌘ is genuinely linear. After a ‘symmetrisation’ argument, which revolves around the symmetry property (�)

⌘

:

5 (G) =

:

⌘

5 (G),

one can explicitly write # ⌘ (G) ⇡ ⌘ (G), where is a nilsequence of degree B, at least up to terms of degree (B 2). Since each ⌘ 5 correlates with # ⌘ and # ⌘ agrees with up to a nilsequence of degree (B 2), it follows that ⌘ ( 5 ) correlates with a ⌘ degree (B 2) nilsequence. By the converse to the inverse theorem it follows that Since this is true for

⌘(

⇣

5

)

*B

⇣

1

1.

# many ⌘, the recursive definition (�) implies that 5

*B

⇣

1

and so, by induction, there is a nilsequence 0 of degree (B 1) such that 5 correlates 0 , a nilsequence of degree B, as required. with 0, and hence 5 correlates with Putting all this into practice is highly non-trivial, and requires frequent recourse to technical results on the quantitative equidistribution of polynomial sequences on nilmanifolds developed by G���� and T�� (����). Manners takes a different approach, which has more in common with the original paper of G����� (����) (which proved a quantitatively reasonable local inverse theorem). Instead of using that for many ⌘ 2 Z# the derivative ⌘ 5 has large * B norm, then using induction and working with degree (B 1) nilsequences, Manners differences all the way down to * 2 , finding many h 2 ZB# 1 such that h 5 has large * 2 norm, and then applies Fourier analysis there, before working all the way back up again. Applying the * 2 inverse theorem to h 5 produces a function h 7! #h , say, which finds some linear character with which h 5 correlates. Again by repeated use of the Cauchy–Schwarz inequality we may then find some structure within this # function.

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(����)

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Rather than show that it is approximately a linear function, however, as in (�), we obtain something much weaker, and can only show that it is approximately a polynomial of degree (B 1). One is then faced with the daunting task of understanding the structure of such approximate polynomials for higher degree, rather than just the linear case. This is the principal component of the proof of M������ (����): a structural theorem for approximate polynomials of any degree B 1. He proves that any such approximate polynomial must resemble a structured algebraic object called a nilpolynomial. With such an inverse result for approximate polynomials in hand, the inverse result for uniformity norms is (relatively) straightforward to deduce. It is the proof of the inverse result for approximate polynomials that takes up the bulk of the paper of Manners, requiring an argument of extraordinary subtlety and care, especially since we need to keep careful track of all quantitative parameters, and ensure they do not grow out of control. We will discuss the proof of the inverse result for approximate polynomials in Sections � and � of this article, and state it precisely (along with defining what a nilpolynomial is) in Section �. Before then, however, we return to the inverse theorem itself, and define what a nilsequence actually is.

�. NILOBJECTS In this section we will build towards a precise definition of a nilsequence, which are the obstructions to having small uniformity norm that appear in the statement of the inverse theorem. Nilsequences are functions # : Z ! C that should certainly include the classical (phase) polynomials G 7! 4(%(G)), where % 2 R[G], but also need to allow for the possibility of more complicated ‘bracket’ structure, as alluded to in the introduction. The reader may wonder why we are discussing nilsequences from Z ! C, and then obtaining well-defined functions on Z# by insisting on #-periodicity, rather than directly defining nilsequences from Z# ! C. The latter is possible, using the machinery of Host–Kra cube groups, as described in M������ (����, Appendix C). For this expository article we have adopted a less conceptual approach, which is easier to describe, and simply insist on #-periodicity by fiat. To motivate the construction of nilsequences, we focus on one simple example: the function = 7! 4( = B ), which our informal discussion suggests should be a nilsequence of degree B. This function can be broken down into three steps, factoring first through R and then the quotient space R/Z: =

=B

{ =B }

4( = B ),

Z

R

R /Z

C.

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This factor construction is how we will define a general nilsequence, but we want to have the flexibility of allowing the intermediate group R to be replaced by some other, possibly non-abelian, group ⌧. The first map from Z ! ⌧ should still be a polynomial of degree B (whatever this means for a general group), and the second should be from this group to some kind of compact quotient space. The third will then be a nicely behaved (in our case, Lipschitz) function from this quotient space to C. Before we give the full definition of a nilsequence we need to first say exactly what we mean by ‘a polynomial of degree B from Z ! ⌧’ where ⌧ is some (not necessarily abelian) group, and then to say what kind of quotient structure is needed. �.�. Polynomial maps Intuitively, a polynomial map of degree B is one whose derivatives of order B + 1 all vanish. This suffices for a definition when, for example, considering maps from R to R. We need to generalise the concept to handle maps from arbitrary groups to other arbitrary groups, which means we need to be more careful both about what a ‘derivative of order B + 1’ means, and, indeed, what it means to ‘vanish’. The correct generalisation of polynomial maps to arbitrary groups was given by L������ (����). To properly define polynomial maps we need to consider not just groups, but groups equipped with an additional structure. A filtered group of degree B is a group ⌧ equipped with a filtration of subgroups 8 (closed if we are considering topological groups): ⌧ = ⌧0 = ⌧1

⌧2

···

{4} = ⌧ B+1 = ⌧ B+2 = · · ·

⌧B

such that if 68 2 ⌧ 8 and 6 9 2 ⌧ 9 then [68 , 6 9 ] = 68 1 6 9 1 68 6 9 2 ⌧ 8+9 . Observe that a filtered group is, as we have defined it, necessarily nilpotent (of class at most B), and note that a filtered group of degree B is also one of any degree B 0 B. If ⌧ is abelian then it has a filtration of any degree B 1, the standard degree B filtration, where ⌧ 8 = ⌧ for 0  8  B, which we denote by ⌧(B) . The most important example is R(B) , the standard degree B filtration of the reals. Another illustrative example to bear in mind, and our principal non-abelian example, is the degree 2 filtration of the Heisenberg group (when we speak of the Heisenberg group it will always be with this filtration) defined by 1

© ≠0 ´0

R R ™ 1 R Æ = ⌧0 = ⌧1

1 © ⌧2 = ≠ 0 ´0

0 1 0

R

™

0 Æ. 1¨

1¨ For ? : ! ⌧ and ⌘ 2 , we extend the definition of derivative to maps between arbitrary groups by defining 0

⌘?

:

! ⌧,

⌘ ?(G)

= ?(G) ?(⌘G) 1 ,

�. Manners calls this a ‘proper filtration’, and allows ⌧0 < ⌧1 in a filtration. This has a few technical advantages, but for this exposition we will simplify matters by always assuming ⌧0 = ⌧1 .

ASTÉRISQUE ���

(����)

and when h 2

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0, depending only on (B, ⇣, ", , ⇡), such that k 5 k * B+1 > &.

The dependence of &, once we have fixed B, is polynomial in all the other parameters. Sketch proof. — We use induction on B. The case B = 1 is simple Fourier analysis coupled with the fact that all degree 1 nilsequences of bounded complexity, parameter, and dimension can be approximated by a short trigonometric sum. For general B 2, suppose the nilsequence factors as # = ?. Since ⌧ B /( \ ⌧ B ) is a compact abelian group we can use Fourier analysis to expand as the sum of " as " ranges over the dual group of ⌧ B /( \ ⌧ B ), where " (G)

=

π

⌧ B /( \⌧ B )

(G 6B ) "(6B ) d6B .

Furthermore, each " has a vertical character, which means that for all 6B 2 ⌧ B /( \ ⌧ B ) and all G 2 ⌧/ we have " (6B G) = "(6B ) " (G). After proving suitable decay properties of this Fourier series, we may find a single character " such that (�)

EG 5 (G)

"

?(G)

⇣

1.

We now consider the function e⌘ : Z# ! C, defined for any ⌘ 2 Z# by

e⌘ (G) =

"

?(G)

"

?(G + ⌘)

.

Squaring (�) and expanding out the brackets, then using the pigeonhole principle, we deduce that there exist ⇣ # many ⌘ 2 Z# such that

EG

⌘

5 (G) e⌘ (G)

⇣

1.

One can show (see G����, T��, and Z������ (����, Appendix G) for details) that e⌘ is, for any fixed ⌘, itself a nilsequence of degree (B 1) (this is not entirely straightforward, and some care must be taken to ensure that the complexity does not increase by too much).

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The inductive hypothesis then implies that k thus as required 2 k 5 k* B+1 = B+1

E⌘

k

⌘

5 k* B

2 5 k* B B

⌘

⇣

1 for

⇣

# many ⌘, and

1.

⇣

⇤

With all the terms used in the statement of Theorem �.� defined, we now turn to sketching the proof of Manners.

�. AN INVERSE THEOREM FOR APPROXIMATE POLYNOMIALS The core of Manners’ proof is another inverse result, but not for uniformity norms, rather for the more combinatorial notion of an approximate polynomial. We first introduce the additive discrete derivative. Let be an abelian group, then for any 5 : ! R and ⌘ 2 we define %5 :

! R,

%⌘ 5 (G) = 5 (G)

5 (G + ⌘),

again extended to multiple derivatives %h in the natural fashion. 9 Recall that a polynomial of degree B from to R is one whose derivatives of order B + 1 are all identically zero – that is, a function 5 such that %h 5 (G) = 0 for all (G, h) 2 B+2 . To obtain an approximate polynomial we weaken this to just holding for some small proportion of B+2 .

Definition �.� (Approximate polynomial). Let be a finite abelian group. Let & > 0 and - ⇢ . A function 5 : - ! R is an &-polynomial of degree B on - if # (G, h) 2

B+2

; %h 5 (G) = 0

&|

| B+2 ,

where the set ranges over those (G, h) such that %h 5 (G) is defined (i.e. G + $ · h 2 - for all $ 2 {0, 1} B+1 ). In particular, it follows that | - | B &| |. It is an instructive calculation to verify that all of the following are examples of approximate polynomials ( for some & > 0 bounded away from zero, that is dependent on the precise construction): �) bracket polynomials, such as G 7! { 0, where & is to be thought of as very small, and as being 99% if it is more on the scale of 1 &. We will continue to use precise notation in some places, but will not hesitate in using this rougher language where it clarifies the exposition, and refer the reader interested in seeing precise versions of what follows to M������ (����). The ideas employed in what follows are valid in any finite abelian group, so we will use to denote an arbitrary finite abelian group (which, for our applications, will be Z3# for some 3  B, but that need not concern us here). Unless otherwise specified, - denotes some subset of of 1% density (i.e. | - | &| | for some small & > 0). We are given some approximate polynomial 5 : - ! R of degree B, so that the function %h 5 (G) vanishes for at least 1% of (G, h) 2 B+2 . Our eventual goal is to show that there is a nilpolynomial % such that %(G) = 5 (G) for 1% of G 2 . This will be done in three stages: �) As 5 only has a 1% type of structure we will first need to find some 6 which has a 99% type of structure, such that 5 (G) = 6(G) for 1% of all G 2 .

�) We then show that a function which has this 99% type of structure must have some weak algebraic structure. �) Finally, we show that a function with this weak algebraic structure must agree with a genuine nilpolynomial 1% of the time (and that this 1% can be arranged to be a subset of the 1% of values from (�), so that 5 itself agrees with a genuine nilpolynomial 1% of the time). In this section we discuss the first of these steps. Heuristically, we aim to find some 6 which agrees with 5 for a 1% proportion of , but such that 6 itself is a 99%approximate polynomial. This cannot be established directly, but we will show that it is true, aside from possible obstructions of lower degree. We can then use the same argument to show that these obstructions themselves enjoy a 99% type of structure, modulo further obstructions of even lower degree, and so on. This cascading type of structure is captured by the notion of a ‘polynomial hierarchy’, and we will give the definition of this before stating the main result of this section. �.�. Polynomial Hierarchies We will be working with derivatives of different orders, for which the following language will be useful. A cube of dimension : is formally just an element of :+1 , but we will generally write it as 2 = (G, h) for some G 2 and h 2 : . This should be thought of as a fixed basepoint G together with a :-dimensional direction vector h. The coordinates of a cube are the ⌘1 , . . . , ⌘ : components, and the G component is

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referred to as the basepoint. A 3-dimensional face of a cube of dimension : is a 3-dimensional cube obtained by removing any (: 3) of the directional components Õ and replacing the basepoint G by G + 82 ⌘ 8 for some subset of the removed (: 3) components. When 2 = (G, h) we will write % 5 (2) = %h 5 (G),

so that in particular % 5 is a function on a set of cubes, the dimension of which is encoded in the cube 2 itself. Writing out the definition in full, we have % 5 (2) =

’

$2{0,1} :

( 1)|$| 5 (G + $ · h),

where |$| = $1 +· · ·+ $ : is the Hamming weight of $. Note that if 2 0 is obtained from 2 by a permutation of the (directional) coordinates then % 5 (2) = % 5 (2 0). Furthermore, if 2 0 is obtained from 2 by a ‘coordinate reflection’, where G 7! G + ⌘ 8 and ⌘ 8 7! ⌘ 8 , then % 5 (2 0) = % 5 (2). This means that if we are considering the vanishing of % 5 on some set of cubes then it is natural to ask that such a set be closed under coordinate permutations and reflections. Since we will also be moving between taking derivatives of different orders for different sets of cubes it is desirable to have some natural compatibility conditions between the sets of cubes at different levels. These conditions are captured by the following definition.

Definition �.� (System of cubes). A system of cubes of degree B and density ⇣ > 0 is a family ((0 , . . . , ( B+1 ) of non-empty sets of cubes, with ( 8 ⇢ 8+1 , such that:

�) each level is symmetric, i.e. each ( : is closed under permutations of the (directional) coordinates and under coordinate reflections, where G 7! G + ⌘ 8 and ⌘ 8 7! ⌘ 8 ; �) the system is closed under taking faces, so that if 2 2 ( : and 2 0 is a face of 2 of dimension 3 then 2 0 2 ( 3 , and �) for 0  :  B, any (G, h) 2 ( : can be extended in at least ⇣| some (G, h, ⌘ :+1 ) 2 ( :+1 .

| many ways to

Note that the second and third conditions ensure that | (0 | ⇣| |, and hence by induction | ( : | ⇣ :+1 | | :+1 for 0  :  B + 1. In our applications ⇣ will usually be a 99% parameter (i.e. very close to 1) so a system of cubes will consist of 99% of all possible cubes. The concept of a ‘derivatives condition’ underpins everything which follows, as it allows us to talk of the derivatives of some function being expressible in terms of simpler functions. For comparison, note that by the definition of derivative, namely %6(2) =

’

$2{0,1} :

( 1)|$| 6(G + $ · h),

we know that %6 can be trivially expressed as a sum involving 6 and the projected cubes G + $ · h. The ( f, :, C, ")-derivatives condition says that the :th derivative of 6 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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can instead be expressed as a ‘low-complexity’ (measured by the parameter ") linear combination of functions from f – moreover, only those of level  C 1. In particular, if C = 0 this means that %6 ⌘ 0 on (. More precisely, we have the following.

Definition �.� (Derivatives condition). Let B 1, let (31 , . . . , 3 B ) be positive integers, and let : and C be integers such that 0  :, C  B + 1. Let - ⇢ and ( ⇢ :+1 be a set of cubes such that G + $ · h 2 - for every (G, h) 2 ( and $ 2 {0, 1} : . Let 3 "

1 be an integer,

3 f = ( 58 : - ! R38 )08B be a family of functions and 3 1 : ( ⇥ {0, 1} : ! Z30 +···+3C

1

be a function.

A function 6 : - ! R satisfies the ( f, :, C, ")-derivatives condition on ( with coefficients 1 if k 1(2, $) k 1  " for all 2 2 ( and $ 2 {0, 1} : , and for all 2 = (G, h) 2 (

’

%6(2) =

$2{0,1} :

( 1)|$| 1(2, $) · fC 1 (G + $ · h).

Here | $ | = $1 + · · · + $ : is the Hamming weight of $, and fC functions ( 58 : - ! R38 )08C 1 .

1

is the family of

In isolation, this definition has very little content – indeed, every 6 satisfies the ( f, :, 1, 1)-derivatives condition for any : 1 if we let 50 = 6. Its importance is that it lets us talk about moving ‘between levels’, so that we can express the derivative of 6 in terms of simpler functions. It is important to note that we allow the function 1(2, $) to depend in some completely unspecified fashion on 2 and $, and indeed its dependence may be quite unwieldy (which is a complication we will have to deal with later on). Crucially, however, it only takes bounded integer values, and so it is simpler in this sense than the less-controlled %6 : ( ! R. The following examples are instructive.

3 Consider first the bracket linear function 6 : Z# ! R defined, for some fixed 0 2 Z, by 6(G) = {0G/# }.

This is an approximate polynomial of degree 1. It is easy to check that 6(G + H) = 6(G) + 6(H)

1 G,H

where 1 G,H 2 {0, 1} (in fact, 1 G,H = 1 if and only if {0G/# } + {0 H/# } that, for any 2 = (G, ⌘1 , ⌘2 ), %6(2) = 6(G)

= 1 G,⌘2

6(G + ⌘1 )

1). It follows

6(G + ⌘ 2 ) + 6(G + ⌘ 1 + ⌘2 )

1 G+⌘1 ,⌘2 = 1(2)

where 1(2) 2 Z and | 1(2)|  1. In particular, the second derivative of 6 is always a bounded integer. We do not have much control on how this integer depends on 2, but the key point is that the derivative of 6 can be expressed as an integer linear combination of ‘simpler’ functions (in this case, just the constant function ⌘ 1). ASTÉRISQUE ���

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3 We now consider a more complicated example, the bracket quadratic function 6 : Z# ! R defined, for some fixed 0, 1 2 Z, by 6(G) = {0G/# }{1G/# },

which is an approximate polynomial of degree 2. An explicit calculation, similar to the above, shows that, for any 2 = (G, ⌘1 , ⌘2 , ⌘3 ), %6(2) =

’

$2{0,1}3

( 1)|$| 1(2, $) · 1, {0G/# }, {1G/# } ,

where 1(2, $) 2 Z3 and k 1(2, $) k 1  25. In particular, the derivative of the bracket quadratic 6, although it does not vanish completely like that of a genuine quadratic, can be expressed as a simple linear combination of the bracket linear functions 1, {0G/# }, and {1G/# }. We encourage the reader to bear these examples in mind for what follows. Having expressed the derivative of 6 in terms of simpler functions of a lower level, it is natural to attempt the same with these simpler functions. By applying the derivatives condition inductively, so the derivatives of these functions can themselves be simplified, and so on, we arrive at the following key definition.

Definition �.� (Polynomial hierarchy). Let - ⇢ and ((0 , . . . , ( B+1 ) be a system of cubes such that, for 0  8  B + 1, we have G + $ · h 2 - for every (G, h) 2 ( 8 and $ 2 {0, 1} 8 . A system of functions f = ( 58 : - ! R38 )08B is a polynomial hierarchy of height B and complexity " on (0 , . . . , ( B+1 if, for any 0  8  B, the function 58 satisfies the ( f, 8 + 1, 8, ")-derivatives condition on ( 8+1 . Furthermore, we say that a function 6 : - ! R sits at the top of a (⇡, ")-polynomial hierarchy of height B on ((0 , . . . , ( B+1 ) if there is a polynomial hierarchy f of height B 1 and complexity " on ((0 , . . . , ( B ) with 30 + · · · + 3 B = ⇡ such that 6 satisfies the ( f, B + 1, B, ")-derivatives condition on ( B+1 .

Technically we have only defined the derivatives condition for 6 : - ! R, but this is easily generalised to functions 6 : - ! R38 by interpreting it as holding for all 3 8 individual component functions (where we allow different coordinate functions for each 1  9  3 8 ). Note that as above the condition at 8 = 0 is equivalent to % 50 (2) = 0 for all 2 2 (1 , which (provided | (1 | > 12 | | 2 ) is equivalent to 50 : - ! R30 being a constant function. Roughly speaking, this definition is saying that all the functions on level 8 can be reduced to functions on level (8 1) after taking derivatives of order 8+1. In applications we will think of functions on level 8 as resembling polynomials of degree 8. This definition may then seem odd, since then one would expect to reduce to level (8 1) after only a single derivative. The way to correct one’s intuition is to realise that the relationship between level 8 and the lower levels of a polynomial hierarchy does not correspond to that between polynomials of degree 8 and all polynomials of degree  8 1. Instead, the levels  8 1 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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are collections of obstructions that capture how objects on level 8 fail to be polynomials of degree 8. Put another way, if a function 5 on level 8 is meant to resemble a polynomial of degree 8 then we expect % 8+1 5 = 0. The functions in 58 1 capture to what extent this fails. We now give a more easily remembered ‘slogan form’ of the definition, summarising this discussion.

Definition �.� (Polynomial hierarchy, slogan form). A system of functions f = ( 58 : - ! R38 ) 08B

is a polynomial hierarchy if functions on level 8 behave like polynomials of degree 8 up to errors which are a bounded linear combination of functions on levels  8 1. �.�. Building a polynomial hierarchy The following is the first major step in the proof of Theorem �.�. To avoid obscuring the content under technicalities we state it in rough form only. For the full, precise, statement, see M������ (����, Corollary �.�.�).

Proposition �.�. — Suppose that 5 : - ! R is a 1%-approximate polynomial of degree B. There exists a system of cubes ((0 , . . . , ( B+1 ) which are 99% dense (i.e. of density ⇣ = 1 & for some small & > 0) and 6 : (0 ! R such that: �) 6 agrees with 5 1% of the time and

�) 6 sits at the top of a polynomial hierarchy of height B on (0 , . . . , ( B+1 . Recalling the definition of a polynomial hierarchy, this proposition allows to pass from knowing that the (B + 1)-derivative of 5 vanishes 1% of the time, to knowing that the (B + 1)-derivative of 6 vanishes 99% of the time, modulo a collection of functions whose B-derivatives vanish 99% of the time, and so on, until we reach constant functions at the bottom of the hierarchy. We will see how to make use of this hierarchical structure in the next section. For the remainder of this section, we will sketch how Proposition �.� is proved. The main ingredient is a recursive application of the following lemma, which says that a 1%-approximate polynomial of degree B agrees 1% of the time with a function that is a 99%-approximate polynomial of degree B, up to obstructions which are a bounded complexity combination of degree  B 1 approximate polynomials. To get a flavour of the kind of difficulties involved the reader may find it instructive to calculate what %⌘1 ,⌘2 5 (G) is when 5 (G) = { G}{ G}.

Lemma �.�. — Let 5 : - ! R be a 1%-approximate polynomial of degree B. There is a function 5 0 defined on 99% of such that: �) 5 (G) = 5 0(G) for 1% of G 2 -;

�) there exists a collection of 1%-approximate polynomials 61 , . . . , 6 of degree (B ( for some reasonably bounded ), and ASTÉRISQUE ���

1)

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���

�) there exists a function 1 : ( ⇥ {0, 1} B+1 ! Z , with k 1(2, $) k 1 reasonably bounded for each 2 2 ( and $ 2 {0, 1} B+1 , such that for 99% of (B+1)-dimensional cubes 2 = (G; h) 2 B+2 % 5 0(2) =

’

$2{0,1} B+1

( 1)| $ | 1(2, $) · g(G + $ · h).

Sketch proof. — Our starting observation is that if 5 is a 1%-approximate polynomial of degree B then, for at least 1% of ⌘ 2 , the derivative %⌘ 5 is a 1%-approximate polynomial of degree (B 1). Indeed, this is a simple consequence of the pigeonhole principle, averaging over those cubes on which the derivative of 5 vanishes. This suggests that we should take our auxiliary functions 68 to be derivatives of 5 . If we define 60,1 by G 7 ! 5 (G + 0) 5 (G + 1) = %0 1 5 (G + 0)

then, for suitable choices of 0 and 1 (so that 0 1 is one of the ‘good’ ⌘ from the previous paragraph), this is a 1%-approximate polynomial. This is tricky, however, since this will only be defined when both G + 0 and G + 1 are in -. Overcoming this difficulty is a subtle matter, and requires careful tracking of the pairs 0, 1 and some initial combinatorial pruning of the set of cubes on which the derivative of 5 vanishes. We will not address these complications further here, and refer to Section � of M������ (����).

To define 5 0 we must somehow extend -, the domain of 5 which is 1% of the group, to a domain which is 99% of the group. For this we use a random sumset construction. Namely, if ⇢ is a random subset, then we expect the difference set to expand quickly, since there will be few incidences of the form G1 01 = G2 02 . In particular, we can ensure that is 99% of the entire group by taking to be a random set of size $(1). We will take the 68 to be the 1%-approximate polynomials of degree (B 1) of the form 60,1 where 0, 1 2 (note that there are $(1) such 68 ).

We then would like to define 5 0 : ! R by extending 5 in the natural way, so that if G 2 then 5 0(G) = 5 (G + 0), where 0 2 is chosen so that G + 0 2 -. The problem is that, in general, there will be many such 0 (still $(1), but certainly more than �), and this is not an unambiguous definition of 5 0. We define 5 0 by choosing arbitrarily an appropriate 0 2 for each H 2 , and note that the difference between possible choices, namely 5 (G + 0) 5 (G + 1), is precisely the function 60,1 . In particular, the arbitrary nature of our choice only affects the definition of 5 0 ‘up to lower order terms’. Finally, after suitable combinatorial pruning, one can show that for 99% of all possible cubes 2 = (G, h) 2 B+2 there exists some shift 2 0 = (G + 0, h + t) where 0, C1 , . . . , C B+1 all lie in the random set , and % 5 (2 0) vanishes, since % 5 vanishes for at least 1% of all possible cubes (this is a multi-dimensional version of the fact alluded to above that if - has density 1% then, provided is a random set of large but constant size, we expect to have density 99%). As above, by construction of 5 0 and the auxiliary 60,1 , one can then show that % 5 0(2) = % 5 (2 0) up to a ‘lower order error’ which SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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is a bounded linear combination of the 60,1 functions. Since % 5 (2 0) = 0, however, % 5 0(2) itself is such a linear combination, and we are done. ⇤ �. FROM 99% STRUCTURE TO ALGEBRAIC STRUCTURE We will now discuss how to pass from the 99% kind of structure of a polynomial hierarchy, which is inherently combinatorial, to a more algebraic kind of structure, and in particular agreeing often with a genuine nilpolynomial. Recall that we left the previous section with a function 6 sitting at the top of a polynomial hierarchy of height B, denoted by f, which means that we can write the derivatives of functions on level C of the hierarchy at cubes of dimension C as % 5C (2) =

’

$2{0,1} C

1(2, $) · fC 1 (G + $ · h).

The derivatives of the functions on level C = 0 must vanish, and hence these functions are constant. We would like to unwind the hierarchy, and propagate our knowledge of functions on level C to functions on level C + 1, until we arrive at a description of the function 6 itself. The primary obstacle in carrying this out are the mysterious coefficients 1(2, $) which, aside from being integer vectors of bounded size, we do not know much about. In particular, we have no information about how they vary with 2 and $. To get an idea what kind of behaviour we expect the coefficients 1(2, $) to exhibit, it is helpful to recall the earlier example of a bracket linear (or bracket quadratic) polynomial. For such functions the coordinate functions are given by linear combinations of ‘carry bit’ functions. For example, if 5 (G) = {0G/# } then % 5 (G, ⌘1 , ⌘2 ) = 1 G,⌘2

1 G+⌘1 ,⌘2

where 1 G,H = 1{0G/# }+{0 H/# } 1 . The strategy of Manners is to show that, in general, the functions 1(2, $) behave structurally like the carry bit functions of bracket polynomial examples. Having done so, using the fact that the functions on level C = 0 are constant, one can propagate upwards through the levels, showing that the functions on each level resemble a bracket polynomial, eventually arriving at 6 on the top level. We will focus, therefore, on the structure of the coefficient functions in the polynomial hierarchy produced in the previous section, and showing that they behave similarly to the carry bit coefficients of the bracket polynomial examples. The key property of carry bits that we require Manners calls a ‘generalised cocycle’ condition. There are, overall, three main steps to complete the proof of Theorem �.�: one needs to show that: 3 if 6 sits at the top of a polynomial hierarchy of height B then (after some quantitative loss) not only does 6 satisfy a ( f, B + 1, B, ")-derivatives condition, but it also ASTÉRISQUE ���

(����)

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���

satisfies a stronger derivatives condition where the coefficients 1 themselves satisfy a ‘generalised cocycle’ condition; 3 all functions satisfying a generalised cocycle condition arise in a similar fashion to carry bits (i.e. as the ‘integral residue’ of derivatives of functions whose derivatives vanish modulo Z); 3 the polynomials whose carry bits produce the coefficients 1 can be reconstructed from 1, and the fact that 6 sits at the top of a polynomial hierarchy with coefficients 1 means we can propagate this polynomial construction through the hierarchy to construct a genuine nilpolynomial which agrees with 6 1% of the time. While none of this is easy or straightforward, the first part is the most difficult – indeed, it is the most difficult part of the entire proof of M������ (����), and is where the most significant quantitative loss occurs. The proofs of the second two parts are more algebraic, especially the third, which is where explicit nilpolynomials have to be constructed. These proofs are long and technical, with many new difficulties arising that Manners has to overcome, but they also have much in common with the kind of explicit nilmanifold constructions that have appeared before in the literature. To keep the length of our exposition bounded, therefore, we will not discuss the proofs of the latter two points any further. This affords us space to focus on the new combinatorial ideas introduced by Manners, and in particular the definition of a ‘generalised cocycle’, which is a generalisation of the cocycle condition (�) heavily used in previous approaches to the inverse theorem, and which we expect to play an important role in the future of the field. �.�. Cocycles We begin by recalling the cocycle property of the derivative (�). We can rewrite this using the cube notation. For example, in dimension �, if 2 = (G, ⌘1 , ⌘2 ) is a cube and D 2 then % 5 (2) = 5 (G)

= 5 (G) D

5 (G + ⌘1 )

5 (G + ⌘ 1 )

5 (G + ⌘2 )

= % 5 (2 )

% 5 (2 D )

5 (G + ⌘2 ) + 5 (G + ⌘1 + ⌘2 )

5 (G + ⌘2 + D) + 5 (G + ⌘1 + ⌘2 + D)

5 (G + ⌘1 + ⌘2 )

5 (G + ⌘ 2 + D) + 5 (G + ⌘ 1 + ⌘2 + D)

where = (G, ⌘1 , ⌘2 + D) and 2 D = (G + ⌘2 , ⌘1 , D). The relationship between the cubes 2, 2 D , 2 D can be viewed geometrically as seen in Figure �.�. Generalising to arbitrary dimensions, if 2 = (G, ⌘1 , . . . , ⌘ : ) and 1  8  : then we define the two related cubes 2D

2 D = (G; ⌘ 1 , ⌘2 , . . . , ⌘ 8

1,

⌘ 8 + D, ⌘ 8+1 , . . . , ⌘ : ),

2 D = (G + ⌘ 8 ; ⌘1 , ⌘2 , . . . , ⌘ 8

1 , D,

⌘ 8+1 , . . . , ⌘ : ).

That is, both are :-dimensional cubes, where the only changes have been to the basepoint G and the component in direction 8. Both are of the form (G 0 , ⌘1 , . . . , ⌘ 08 , . . . , ⌘ : ) SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

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F����� �. The relationship between the cubes 2, 2 D , and 2 D . With the natural orientations we can ‘glue’ 2 and 2 D together to form 2 D , so that (informally) 2 = 2 D 2 D . The cocycle property is that % respects this relationship and % 5 (2) = % 5 (2 D ) % 5 (2 D ) for any function 5 .

such that (G + ⌘ 8 ) (G 0 + ⌘ 08 ) = D. Note that this definition is dependent on the choice of direction 8, which we suppress for notational ease, and which will always be clear from context. As in the 2-dimensional case it is a trivial matter of expanding out the definitions to check that, for any function 5 , cube 2 2 :+1 , and D 2 , the cocycle identity % 5 (2) = % 5 (2 D ) % 5 (2 D ) holds. We call functions on the space of cubes which satisfy the cocycle identity for every cube 2 2 :+1 and D 2 cocycles (so that, for any 5 , the derivative % 5 is always a cocycle). We will need a robust version of this concept, where the cocycle identity may only hold for 99% of all possible cubes, giving the following definition.

Definition �.� (Cocycles). Let ⇣ > 0 and be an abelian group. If ( ⇢ :+1 is a set of cubes then a function ⌧ : ( ! is a :-cocycle on ( with loss ⇣ if, for every direction 1  8  :, the cocycle identity ⌧(2) = ⌧(2 D )

is true for all but at most ⇣| | :+2 pairs (c; D) 2

⌧(2 D ) :+2

such that 2, 2 D , 2 D 2 (.

In particular, the previous discussion shows that any derivative % 5 (of order :) is a :-cocycle. Remarkably, the converse is also essentially true – one can view this ‘algebraic’ inverse result as the seed from which our titular ‘combinatorial’ inverse results grow.

ASTÉRISQUE ���

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Lemma �.�. — If (0 , . . . , ( : is a system of cubes which are 99% dense and ⌧ : ( : ! Z3 is a :-cocycle with 1% loss on ( : then there exists ⌫ : ! R3 with %⌫ : :+1 ! Z3 such that �) %⌫ agrees with ⌧ for 99% of cubes in ( : and

�) supG2 k⌫(G)k 1 ⌧ : sup22( : k⌧(2)k 1 + 3.

It is important to note that, even where %⌫ does not agree with ⌧, the lemma guarantees that it is still an integer-valued function, and hence ⌫ behaves like a polynomial of degree : ‘modulo Z’. Sketch proof. — The key observation is that if we let ⌫(G) =

E

h2

:

⌧(G; h),

then a lengthy but routine calculation using the definitions proves that %⌫ = ⌧, at least when ⌧ is a ���% cocycle. Some highly non-trivial combinatorial smoothing allows one to show that this identity still holds 99% of the time when ⌧ is a 99% cocycle. ⇤ �.�. Generalised cocycles To motivate the introduction of generalised cocycles, we first sketch how the algebraic inverse result of the previous section may be applied to obtain a combinatorial inverse result when B = 1. Recall that our starting point is some function 5 with 99% structure, quantified by being at the top of a (⇡, ")-polynomial hierarchy of height B = 1, say with coefficient function 1 : 3 ⇥{0, 1}2 ! Z⇡ . Our goal is to show that the coefficient function 1(2, $) behaves like the carry bits from a bracket linear function, which is enough for an inverse result as mentioned in the introduction to this section. Unpacking the definitions (and assuming all 99% objects are in fact ���% objects for simplicity), we have a constant function 50 : ! R⇡ such that for all 2 2 3 , % 5 (2) =

’

$1 ,$2 2{0,1}

= 1(2, 00)

( 1)$0 +$1 5 (G + $1 ⌘1 + $2 ⌘2 ) 1(2, 01)

1(2, 10) + 1(2, 11) · 50 .

Since 50 is constant, we can consolidate the first factor into a single function ⌫ : 3 ! Z⇡ , expressing the right-hand side as ⌫(2) · 50 . In particular, when B = 1, we can assume that the coordinate function does not depend on $ (note that the same consolidation takes place for the derivative of a bracket linear function). From the definition alone, the only knowledge we have about the function ⌫ is that is takes on values which are !1 -bounded (by the parameter "). Since ⌫(2) · 50 is a derivative, the cocycle identity must hold. If we can ‘invert’ the · 50 then ⌫ must itself satisfy the cocycle identity. By the algebraic inverse result Lemma �.�, ⌫ must itself, essentially, be a derivative, and so there is some 5 0 : ! R⇡ such that % 5 0 : 3 ! Z⇡ (so that 5 0 is like a linear polynomial modulo Z) and % 5 = (% 5 0) · 50 . This is still rather weak algebraic structure, but it is enough to be bootstrapped into constructing a genuine nilpolynomial which agrees with 5 1% of the time.

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At this point the arguments become more algebraic than combinatorial, and as mentioned above, will not be discussed any further in this article. Instead, we will take that final algebraic step for granted, and view obtaining information like ‘the coefficients 1 of the polynomial hierarchy are themselves derivatives of some other function, which has some polynomial-like structure’ as our goal. We will now indicate how the previous discussion generalises to higher B 2. The key input when B = 1 was that a function closely related to the coefficients 1 satisfied the cocycle condition, since it is a derivative, and so we could apply the algebraic inverse result Lemma �.�. For the more general argument, we must find some property of the coefficients 1 that follows from the fact that they are related to a derivative, which satisfies the cocycle condition. The problem is that when B > 1 the coefficients now depend on both 2 and $, and there is no cheap way to remove this dependence. We therefore need a generalisation of the cocycle condition which somehow takes both the cube 2 and the ‘face’ $ into consideration. This property Manners calls a ‘generalised cocycle condition’, and can be derived heuristically as follows. Suppose that 5 sits on top of a polynomial hierarchy of height B, so that for any 2 = (G, h) 2 ( B+1 , % 5 (2) =

’

$2{0,1} B+1

( 1)| $ | 1(2, $) · fB 1 (G + $ · h).

We now see what this identity combined with the cocycle property of derivatives gives us. Let (2, D) 2 B+3 be such that 2 D , 2 D 2 ( B+1 (we fix an arbitrary direction 1  8  B + 1). The cocycle identity implies that % 5 (2) =

’

$2{0,1} B+1

If we let

( 1)| $ | (1(2 D , $) · fB 1 (G + $ · hD )

(�)

b(2, D, $) =

then we can regroup this as % 5 (2) =

’

$2{0,1} B+1

⇢

1(2 D , $) 1(2 D , $\{8})

1(2 D , $) · fB 1 (G + ⌘ 8 + $ · hD )).

if $ 8 = 0 and if $ 8 = 1

( 1)| $ | b(2, D, $) · fB 1 (G + $ · h) +

’

$2{0,1} B+1 82$

( 1)| $ | 1(2 D , $)

1(2 D , $) · fB 1 (G + $ · h).

If 1(2 D , $) = 1(2 D , $), then the second sum vanishes and

’

$2{0,1} B+1

( 1)| $ | 1(2, $) · fB 1 (G + $ · h) =

’

$2{0,1} B+1

( 1)| $ | b(2, D, $) · fB 1 (G + $ · h).

Comparing coefficients we may then hope that 1(2, $) = b(2, D, $). This, roughly, is the idea of the ‘generalised cocycle’ condition.

ASTÉRISQUE ���

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There are two technical matters to clarify before we give the precise definition of a generalised cocycle. The first is that in the final step we illegitimately concluded from ‘comparing coefficients’ that 1(2, $) = b(2, D, $) for fixed 2, D, $. The second is that we assumed that 1(2 D , $) = 1(2 D , $). Neither of these are, in general, true, but can be recovered after some work if for each fixed cube 2 the functions 1(2, ) enjoy a special kind of structure, namely being in ‘normal form’.

.

Definition �.� (Normal form). Let C  :. A function 1 : {0, 1} : ! Z30 +···+3C is in normal form if whenever | $ | = $1 + · · · + $ : = 9 the first 30 + · · · + 3 9 1 coordinates of 1($) are all zero. Although we can certainly not assume that the coefficient function 1 is in normal form itself, it can be transformed into one, incurring only a small cost. It is an easy exercise to check that, for any 1 : {0, 1} : ! Z3 , the function

(�)

1 0($0) =

’

$2{0,1} :

vanishes whenever | $0 | > A, where 10

/ A ($, $0) =

/ A ($, $0)1($)

’

◆2{0,1} :

( 1)| $ |

|◆ |

.

$ ◆ $0 |◆ |A

By applying this transformation to each level of the coefficient function in a polynomial hierarchy, and keeping track of the constants using the fact that | / A | = $ B (1), we obtain the following lemma, which lets us assume that the coefficient function is in normal form.

Lemma �.�. — If 6 : - ! R sits at the top of a polynomial hierarchy of height B with an associated coefficient function 1 : ( B+1 ⇥ {0, 1} B+1 ! Z30 +···+3B 1 then we can assume that the function 1(2, ) is in normal form for every 2 2 (, at the cost of replacing the " parameter by some $ B (").

.

We can therefore assume that 1 is in normal form. We would still need to know that b is in normal form also, but we can get around this by applying the transform (�) to b, putting it into something like normal form. Before we define a generalised cocycle we need to quantify the condition that 1(2 D , $) = 1(2 D , $) for ‘most’ 2 and D that was used in our heuristic discussion.

Definition �.�. If ( ⇢ :+1 is a set of :-dimensional cubes then 1 : ( ⇥ {0, 1} : ! Z3 is ⇣-almost upper compatible on ( if, for every direction 1  8  : and $ 2 {0, 1} : such that $ 8 = 1, the identity 1(2 D , $) = 1(2 D , $) holds for all but at most ⇣| | :+2 pairs (2, D) 2 :+2 such that 2 D , 2 D 2 (. ��. We identify vectors in {0, 1} : with subsets of {1, . . . , :} when we say $

◆

$0 .

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As mentioned above, generically we expect the coefficients 1 produced in the proof to be upper compatible, so we will not dwell on this issue here. The case when they are not upper compatible cannot be ruled out, and adds yet more technicalities, but it is somewhat pathological, and can be dealt with by other means. We now come to the crucial definition, that of a generalised cocycle. This definition is informed by our heuristic discussion above, the idea being that it captures what the cocycle identity implies for the coefficient functions of a polynomial hierarchy.

Definition �.� (Generalised cocycle). Let 1 : ( ⇥ {0, 1} : ! Z3 be a function in normal form. If 0  A < : and ( ⇢ :+1 is a set of cubes then we say that 1 is a generalised :-cocycle of type A and loss ⇣ > 0 on ( if: �) 1 is ⇣-almost upper compatible on ( and �) in every direction 1  8  :, for all but at most ⇣| that 2 D , 2 D 2 (, for all $ 2 {0, 1} : ,

| :+2 many (2, D) 2

:+2

such

1(2, $) = e bA (2, D, $0)

where b is given by (�) and the transform e bA was defined in (�).

There is a strong structural result available for generalised cocycles, just as there is for cocycles. Indeed, one can check that if ⌫ is a ‘polynomial modulo Z’ of degree (: A 1) (in that %⌫(2) vanishes modulo Z for all cubes of dimension : A) then, if 2 = (G, h) 2 :+1 , the function 1(2, $) = ⌫(G + $ · h) is a generalised :-cocycle of type A (at least, after passing to a normal form of 1 as in (�)). The following lemma says that the converse holds.

Lemma �.�. — Let (0 , . . . , ( : be a system of cubes with 99% density and 1 : ( : ⇥ {0, 1} : ! Z3

be a generalised :-cocycle of type A and 1% loss. There is a function ⌫ : ! R3 such that, if ⇤(2, $) is the transformation (as defined in (�)) of the function (2, $) 7! ⌫(G + $ · h), then: �) 1(2, $) = ⇤(2, $) for all $ 2 {0, 1} : for 99% of cubes 2 2 ( : ,

�) %⌫(2) 2 Z3 for all 2 2

: A+1 ,

and

�) supG2 k⌫(G) k 1 ⌧ sup22( : k 1(2) k 1 + 3.

In particular, if the coefficient function 1(2, $) is a generalised cocycle then it agrees for 99% of values with a function that, in a certain sense, is a polynomial ‘modulo Z’. Thus in the expression % 5C (2) =

’

$2{0,1} C

1(2, $) · fC 1 (G + $ · h)

all terms that appear on the right-hand side are essentially polynomial objects (the fC 1 components by induction) and thus % 5 vanishes ‘up to lower degree polynomials’, which is enough to show that 5 itself is a nilpolynomial, at least 1% of the time.

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���

How do we convert the heuristic discussion above into knowledge that the coefficient function 1(2, $) genuinely is a generalised cocycle, however? �.�. Concluding the proof The following is a convenient package definition, which couples the derivatives condition of the previous section with the extra restriction that the coefficients are generalised cocycles.

Definition �.� (Strong derivatives condition). Let f = ( 58 : - ! R38 )08B be a tuple of functions, let 0  :, C  B + 1, and 1 : ( ⇥ {0, 1} : ! Z30 +···+3C 1 where ( ⇢ :+1 is a set of cubes. A function 6 : - ! R satisfies the ( f, :, C, ", ⇣)-strong derivatives condition on ( with coefficients 1 if: �) 6 satisfies the ( f, :, C, ")-derivatives condition on ( with coefficients 1;

�) 1 is in normal form;

�) if we write 1 = (1 0 , . . . , 1 C 1 ) where 1 8 : ( ⇥ {0, 1} : ! Z38 then 1 8 is ⇣-almost upper compatible on ( for 1  8  C 1, and �) 1 C

1

is a generalised :-cocycle of type (C

1) and loss ⇣ on (.

From our heuristic discussion (that is, combining the cocycle property of derivatives with the definition of the derivatives condition) we expect that the coefficients within a polynomial hierarchy should have coefficients that are generalised cocycles, and in particular it should satisfy the strong derivatives condition with respect to this hierarchy. The following lemma is a precise statement of this fact. There are many aspects we have shrugged off or simply ignored in our heuristic discussion, such as the fact that 1 may not be even remotely upper compatible, or the fact that all our statements hold only 99% of the time rather than ���% of the time. Perhaps the most significant, however, is the hierarchical nature of our structure. Unless one proceeds extremely carefully, the 99% amount of structure enjoyed at the top level may only translate to a 1% amount of structure on the next level down, at which point all of our heuristics cease to be even approximately true. To avoid this, one must take care to expand this 1% to 99% before we try to locate generalised cocycles. This ‘expansion’ is probably the most lengthy and difficult part of Manners’ proof. Indeed, it is also quantitatively the most costly, and is the reason there are different bounds between the cases B  3 and B 4 in Theorem �.� and thence Theorem �.�.

Lemma �.�. — Let & > 0 and let ((0 , . . . , ( B+1 ) be a system of cubes inside of density 1 &. Suppose 6 : (0 ! R sits at the top of a (⇡, ")-polynomial hierarchy of height B on (0 , . . . , ( B+1 . There exists " 0 1 and a system of cubes ((00 , . . . , (0B+1 ) of density 1 2& such that (0: ⇢ ( : and | ( : \(0: |  &| ( : | for each : and either: �)

has a proper subgroup of size at least |

|/" 0, or

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�) 6 sits at the top of a (⇡, " 0)-polynomial hierarchy f’ of height B on (00 , . . . , (0B+1 which is an " 0-bounded linear combination of f, and further 6 satisfies the ( f, B + 1, B, " 0 , &)-strong derivatives condition on (0B+1 , where ⇢ $("/&)$(⇡) if B  2 and "0  $(⇡) $(⇡) $("/⇣) if B 3.

Note that if has no non-trivial subgroups (as is the case for Theorem �.�, when = Z# for # prime), then the first case cannot hold ( for bounded " 0), and hence we must be in the second case. If does have large subgroups, then we cannot hope to iteratively apply Lemma �.�, and hence the strategy of Manners breaks down. This is a significant restriction on the work of Manners, and in particular means that this approach cannot be used for inverse theorems over groups with many subgroups, such as F ?= ( for which see the recent alternative approach of G����� and M�������� (����, ����)). We will attempt only a very brief sketch of the ideas involved. The reader is cautioned that many highly non-trivial difficulties lurk in the details. We may heuristically interpret the hypothesis as saying that %6 vanishes (up to lower order terms) on 99% of all (B + 1)-dimensional cubes. We then would like to argue as in our heuristic discussion above to deduce that the coefficients satisfy a generalised cocycle condition, and hence 6 satisfies a strong derivative condition as required. Roughly speaking, this can be done unless %6 vanishes on 1% of B-dimensional cubes, at which point too much of the potential information gained about the coefficients is annihilated. The idea is to then show that we can upgrade this 1% to a 99%, so that in fact %6 vanishes on 99% of all B-dimensional cubes, and we can repeat the argument from the beginning, but with B reduced by 1, and so on. We must win somewhere, since the functions at the bottom level of the hierarchy are simply constants, and therefore at some level we can exit with a strong derivatives condition as required. We conclude by sketching how we grow this 1% to 99%. The goal is to show that, assuming %6 = 0 on 99% of (B + 1)-dimensional cubes and %6 = 0 on 1% of all B-dimensional cubes, either: �)

has a large subgroup, or

�) %6 vanishes on 99% of B-dimensional cubes. We assume that the first condition fails, and will attempt to transform the 1% of cubes on which %6 vanishes to 99% of cubes. There are two operations on cubes that are used to do so: gluing (where from 2 D and 2 D we produce 2) and translation (where from (G, h) we produce (G + D, h)). These are based on the trivial observations that: �) the cocycle identity %6(2) = %6(2 D ) %6(2 D ) implies that if %6 vanishes on both 2 D and 2 D then it must also vanish on 2 and �) the fact that by definition %6(G, ⌘1 , . . . , ⌘ : , D) = %6(G, ⌘1 , . . . , ⌘ : )

%6(G + D, ⌘1 , . . . , ⌘ : )

implies that if %6 vanishes on both (G, h) and (G, h, D) then it also vanishes on (G + D, h). ASTÉRISQUE ���

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QUANTITATIVE INVERSE THEORY OF GOWERS UNIFORMITY NORMS

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Since we are working inside a system of cubes with good extension properties, the second in particular implies that if %6 vanishes on (G, h) then there are many D such that it vanishes for (G + D, h). We call this the translation of (G, h) by D. These two observations, coupled with reasonable compatibility conditions on the system of cubes, combine to imply that the set of B-dimensional cubes for which %6 vanishes is closed under both gluing and translation. Methods from additive combinatorics can then be used to show that this closure property of the set of cubes in B+1 forces them to actually be 99% of 0B+1 where 0  is some subgroup. Since we are assuming that the original set of cubes is at least 1% of all cubes, and also that there are no non-trivial large subgroups, it follows that 0 = , and hence in fact %6 must vanish on 99% of all cubes. We remark that this final part of the argument is, in some sense, quantitatively the most inefficient, and is the reason for the double exponential in Theorem �.� when B 4. Manners suspects that a more refined argument could remove this loss, which would mean that Theorem �.� holds for all B 1 with only singly exponential bounds. �. SUMMARY OF THE PROOF We conclude this article by giving a summary of the entire proof of Manners to reorient the reader. We are given some function 5 : Z# ! C such that k 5 k * B+1 ⇣. �) There is a set - ⇢ ZB# 1 , which is 1% of all tuples, such that if h 2 - then h 5 has large * 2 norm. �) The * 2 inverse theorem (a simple consequence of orthogonality) implies that there is some function : - ! R such that each h 5 correlates with 4( (h)G). �) The function is an approximate polynomial of degree (B 1), in that % vanishes for 1% of cubes 2 2 (ZB# 1 )B . �) There is another function 0, which agrees with 1% of the time, such that 99% of the time the B-derivatives of 0 vanish, up to lower order terms (i.e. 0 sits at the top of a polynomial hierarchy). �) The lower order terms in the polynomial hierarchy are linear combinations of functions with coefficients that satisfy the generalised cocycle property. �) Functions which satisfy the generalised cocycle property arise from the derivatives of functions which are polynomials modulo Z. �) Functions which are at the top of a polynomial hierarchy, whose coefficients satisfy a generalised cocycle property, must agree some of the time with a nilpolynomial (that can be explicitly constructed from the coefficients). �) Thus there is a nilpolynomial % : ZB# 1 ! R, of degree (B 1), such that, for 1% of h 2 ZB# 1 , the multiplicative derivative h 5 correlates with 4(%(h)G). From this via an ‘integration and projection’ argument, an explicit nilsequence of degree B can be constructed, such that 5 correlates with .

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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THOMAS F. BLOOM

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ASTÉRISQUE ���

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QUANTITATIVE INVERSE THEORY OF GOWERS UNIFORMITY NORMS

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Thomas F. Bloom Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics University of Cambridge UK E-mail : [email protected]

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

Séminaire BOURBAKI ��e année, ����–����, no ����, p. ��� à ��� doi : ��.�����/ast.����

Avril ����

RECONSTRUCTING A VARIETY FROM ITS TOPOLOGY [after Kollár, building on earlier work of Lieblich and Olsson] by Kęstutis Česnavičius

INTRODUCTION The underlying Zariski topological space | - | of an algebraic variety or, more generally, a scheme - tends to have few open subsets in comparison to topologies that underlie structures appearing in differential geometry or geometric topology. Thus, intuitively, | - | is a weak invariant of -, and this intuition is confirmed by low-dimensional examples: for an algebraic curve ⇠, the proper closed subsets of | ⇠ | are the finite subsets of closed points, so | ⇠ | does not see much beyond the cardinality of the algebraic closure of the base field. A more surprising example was constructed by W������ and K������ (����, Cor. �): for primes ? and ? 0, there is a homeomorphism | P2 | ' | P2 |. F?

F ?0

Topological spaces that underlie schemes (resp., affine schemes) were, in fact, completely classified by H������� (����, Thm. �): they are the locally spectral (resp., the spectral) topological spaces. We recall that a topological space ) is spectral if — it is quasi-compact and quasi-separated; — it is sober: each irreducible closed ) 0 ⇢ ) is the closure {C} of a unique C 2 ) 0; — the quasi-compact open subsets form a base of the topology of ).

A topological space ) is locally spectral if it has an open cover by spectral spaces. The topological space | - | of a quasi-compact and quasi-separated scheme - is spectral, so Hochster’s result implies that, somewhat surprisingly, | - | also underlies some affine scheme. For instance, for any field : and any = 0, the topological space | P=: | also underlies an affine scheme (which, of course, need not be a variety over a field). Due to the above, the recent result of K����� (����), which is the focus of this report, came as a surprise: a projective, irreducible, normal variety - over C of dimension 4 is uniquely determined by its topological space | - |, see Theorem �.� below. A resulting general expectation in this direction is captured by the following conjecture of Kollár.

© Astérisque ���, SMF ����

���

K. ČESNAVIČIUS

Conjecture �.� (K�����, ����, Conjecture �). — For seminormal, geometrically irreducible varieties - and - 0 over fields : and : 0, respectively, with char : = 0 and dim - 2, every ⇠ ⇠ homeomorphism | - | ! | - 0 | underlies a scheme isomorphism - ! - 0. �. RECONSTRUCTION OF PROJECTIVE VARIETIES The following result of Kollár builds on previous work of Lieblich and Olsson and fully resolves Conjecture �.� for projective, normal varieties of dimension 4 in characteristic 0. In fact, it forms the foundation of credibility for a conjecture of this sort.

Theorem �.� (K�����, ����, Theorem �). — For normal, geometrically integral, projective varieties - and - 0 over fields : and : 0, respectively, such that either �) dim -

4 and both : and : 0 are of characteristic 0; or

�) dim -

3 and both : and : 0 are finitely generated field extensions of Q;

⇠ ⇠ every homeomorphism | - | ! | - 0 | underlies a scheme isomorphism - ! - 0.

Remark �.�. Since - and - 0 are proper and geometrically integral, we have isomor⇠ phisms (- , - ) : and (- 0 , - 0 ) : 0, so a scheme isomorphism - ! - 0 amounts ⇠ 0 ⇠ to a field isomorphism : : ! : and an isomorphism of varieties - ⌦ :, : 0 ! - 0. We will focus on case �) because it already contains most of the main ideas while avoiding further technicalities of �) that largely concern the Hilbert irreducibility theorem. Roughly, the proof is based on studying Weil divisors ⇡ on a normal -: such ⇡ are determined by | - | alone because they may be viewed as formal Z-linear combinations of the points of codimension 1 (for instance, a reduced effective divisor ⇡ ⇢ - is the closure of a finite set of codimension 1 points in -). We will let Div(-) :=

…

G2- (1)

Z and Eff(-) :=

…

G2- (1)

Z

0

denote the group of all divisors (resp., the monoid of all effective divisors) on -. It is not clear if notions such as ampleness or linear equivalence of divisors are determined by | - | alone, and the crux of the argument is in exhibiting hypotheses under which they are. The ability to topologically recognize linear equivalence eventually reduces the reconstruction problem to a combinatorial recognition theorem for projective spaces in terms of incidence of their lines and points (von Staudt’s fundamental theorem of projective geometry). A divisor ⇡ on - is ample if some multiple =⇡ with = > 0 is a Cartier divisor whose associated line bundle (=⇡) is ample. We let ⇠ denote linear equivalence of divisors and say that divisors ⇡1 and ⇡2 on - are linearly similar, denoted by ⇡1 ⇠s ⇡2 , if =1 ⇡1 ⇠ =2 ⇡2 for some nonzero integers =1 and =2 . If this holds with =1 = =2 , then we say that ⇡1 and ⇡2 are Q-linearly equivalent, denoted by ⇡1 ⇠Q ⇡2 . When we speak of reduced (resp., irreducible) divisors, we implicitly assume that they are also effective (resp., effective and reduced). With these definitions, the overall proof of

ASTÉRISQUE ���

(����)

RECONSTRUCTING A VARIETY FROM ITS TOPOLOGY

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Theorem �.� proceeds in the following stages, which successively reconstruct more and more of the structure of - from the topological space | - |, and which will be discussed individually in the indicated sections: |- |

§� §�–§� §�

| - |, ⇠s of irreducible ample divisors | - |, ⇠ of effective divisors -.

The last step, namely, the determination of a normal, geometrically integral, projective variety - of dimension 2 over an infinite field from its underlying topological space | - | equipped with the relation of linear equivalence between effective divisors on | - | is due to L������� and O����� (����). The initial results of L������� and O����� (����), although already sufficient for Theorem �.� above, have been sharpened and expanded in K�����, L�������, O�����, and S���� (����). �. RECOVERING LINEAR SIMILARITY OF AMPLE DIVISORS N�������. In this section, we let - be a normal, geometrically integral, projective variety over a field : of characteristic 0. The first stage of the proof of Theorem �.� is the reconstruction of linear similarity of irreducible ample divisors from the topological space | - | alone. This requires, in particular, to be able to topologically recognize ampleness of irreducible divisors, which rests crucially on the following Lefschetz type theorem for the divisor class group.

Lemma �.� (R������� and S�������, ����, Theorem �). — Suppose that dim - 3 and let ↵ be an ample line bundle on - whose linear system (- , ↵) is basepoint free. For some nonempty Zariski open * ⇢ (- , ↵) and every effective divisor ⇡ ⇢ - that corresponds to a :-point in *, the following restriction map is injective: Cl(-) 1 ! Cl(⇡).

The cited result is sharper but only applies to the base change - :¯ to an algebraic ¯ This suffices because Cl(-) 1! Cl(- ¯ ): to see this last injectivity, note that closure :. : for any divisor on - that represents a class in the kernel, both ( ) and ( ) have nonzero global sections, which, since - is projective, means that ⇠ 0. For proving Theorem �.� for varieties of dimension  4, one needs a refinement of Lemma �.� in which - is a surface (and ⇡ is a curve). This requires arithmetic inputs, notably a theorem of N���� (����) on specialization of Picard groups. We refer to K����� (����, Thm. ��) for this refinement of Lemma �.�. It would also be interesting to extend Lemma �.� to positive characteristic because this may be useful for establishing further cases of Conjecture �.�. For instance, we could then weaken the assumption on : in this section: we could let it be a field that is not a subfield of any F ? .

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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K. ČESNAVIČIUS

The following is the promised topological criterion for ampleness.

Proposition �.� (K�����, ����, Lemma ��). — Suppose that dim - 2. An irreducible divisor ⇢ - is ample if and only if for every effective divisor ⇡ ⇢ - and distinct closed points G, G 0 2 - \ ⇡, there is an effective divisor 0 ⇢ - with |

\ ⇡| = |

0

\ ⇡|

and

G2

0

but G 0 8

0

.

Sketch of proof. — To begin with the simpler direction, we assume that is ample, replace it by a multiple to assume that is Cartier with associated very ample line bundle ↵, and fix a ⇡ and G, G 0 2 - \ ⇡. By EGA III� , �.�.�, for some = > 0 there is an B 2 (- , ↵ ⌦= ) that vanishes at G, does not vanish at G 0, and is such that the vanishing locus of B ⇡ is \ ⇡. We can take 0 to be the vanishing locus of B. For the converse, we make a simplifying assumption that dim - 3 (for dim - = 2 one needs a refinement of Lemma �.�). To argue that is ample, we will use Kleiman’s criterion (K������, ����, Chap. III, Thm. � (i) , (iv) on p. ���), according to which it suffices to show that for all distinct closed points G, G 0 2 -, there exist an integer = > 0 and an effective divisor e such that e ⇠ = and G 2 e but G 0 8 e (this will simultaneously prove that some = is basepoint free, so is also Cartier, as we require of ample divisors). Since - is projective, Lemma �.� and the Bertini theorem applied to the irreducible components of :¯ supply a normal effective divisor ⇡ ⇢ - not containing G, G 0, or any generic point of such that \ ⇡ is irreducible and Cl(-) 1! Cl(⇡). By applying the assumption to this ⇡, we find an effective divisor 0 ⇢ - with | \ ⇡ | = | 0 \ ⇡ | and G 2 0 but G 0 8 0. Since \ ⇡ is irreducible, this equality of topological spaces means that = ⇡ ⇠ = 0 0 ⇡ for some =, = 0 > 0. The injectivity of Cl(-) 1! Cl(⇡) then implies that = ⇠ = 0 0, and it remains to set e := = 0 0. ⇤ Proposition �.� allows us to topologically recognize irreducible ample divisors on -. Granted this, the following proposition then expresses the linear similarity relation ⇠s between such divisors purely in terms of the topological space | - |.

Proposition �.� (K�����, ����, Lemma ��). — Suppose that dim 3. Irreducible divisors 1 , 2 ⇢ - with 1 ample are linearly similar if and only if for any disjoint, irreducible, closed subsets /1 , /2 ⇢ - of dimension 1 there is an irreducible divisor 0 ⇢ with | 1 \ /1 | = | 0 \ /1 | and | 2 \ /2 | = | 0 \ /2 |.

Sketch of proof. — To begin with the simpler direction, we assume that =1 1 ⇠ =2 2 for some nonzero =1 , =2 and fix /1 , /2 as in the statement. The = 8 must have the same sign: otherwise (< 1 ) and ( < 1 ) would have nonzero global sections for every large, sufficiently divisible < > 0. Thus, we may assume that =1 , =2 > 0. After replacing =1 and =2 by ==1 and ==2 for a large = > 0, we then combine EGA III� , �.�.� and the Bertini theorem (J��������, ����, �.��) to find a global section of (=1 1 ) ' (=2 2 ) whose vanishing locus is an irreducible ample divisor 0 with the desired properties (and even such that the intersection of 0¯ with every irreducible component of - :¯ : is irreducible). ASTÉRISQUE ���

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RECONSTRUCTING A VARIETY FROM ITS TOPOLOGY

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For the converse, we make a simplifying assumption that dim - 5 (to improve to dim - 3 one again needs a refinement of Lemma �.�)—this time the assumption is more serious because the dim - 5 case does not suffice for Theorem �.�. Letting 1 , 2 be irreducible ample divisors as in the statement, we iteratively apply Lemma �.� (with the Bertini theorem) to build disjoint, irreducible, normal closed subschemes /1 , /2 ⇢ - that are complete intersections of dimension 2 such that 1 \ /1 ⇢ /1 and 2 \ /2 ⇢ /2 are irreducible divisors and the following restriction maps are injective: Cl(-) 1 ! Cl(/1 )

and

Cl(-) 1 ! Cl(/2 ).

Since the intersections 1 \ /1 and 2 \ /2 are irreducible, these injections and the displayed equalities involving 0 ensure that =1 1 ⇠ =10 0 and =2 2 ⇠ =20 0 for some = 8 , = 08 > 0. It then follows that =1 =20 1 ⇠ =10 =2 2 , so that 1 and 2 are linearly similar, as desired. ⇤ Propositions �.� and �.� jointly carry out the first reconstruction step promised in §�: |- | | - |, ⇠s of irreducible ample divisors . They also topologically determine complete intersection subvarieties as follows.

Corollary �.�. — Suppose that dim - 3 and let ⇢ - be an irreducible ample divisor. The topological space | - | alone determines the collection of those closed subsets / ⇢ | - | that are set-theoretic complete -intersections, i.e., for which there are irreducible divisors 8 ⇠s for 8 = 1, . . . , A with A = codim(/, -) such that /=|

1

\...\

A |.

Proof. — Propositions �.� and �.� imply that | - | alone determines the property of being ample, as well as the linear similarity relation 8 ⇠s . ⇤

We will call such a closed subscheme 1 \· · ·\ A ⇢ - a complete -intersection. The requirement that the 8 be irreducible and only linearly similar (as opposed to linearly equivalent) to makes this definition slightly nonstandard, but it is convenient because Propositions �.� and �.� only concern irreducible divisors. Any positive-dimensional complete -intersection 1 \ . . . \ A is automatically geometrically connected by the Lefschetz hyperplane theorem (SGA �new , XII, �.�), and the same then also holds for set-theoretic complete -intersections. �. RECOVERING Q-LINEAR EQUIVALENCE OF AMPLE DIVISORS N�������. In this section, we let - be a normal, geometrically integral, projective variety over field : of characteristic 0 and let ⇢ - be an irreducible ample divisor.

To prepare for topological recognition of linear equivalence of divisors, for now we continue to restrict to irreducible ample divisors and show how to recognize Qlinear equivalence between them. This refines the result presented in the previous section because Q-linear equivalence ⇠Q is a finer relation than linear similarity ⇠s . In addition, it involves techniques that will also be relevant later, such as topological SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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K. ČESNAVIČIUS

recognition of reduced 0-dimensional intersections that we discuss in Proposition �.� below. A key notion behind these techniques is that of (topological) linkage defined as follows.

Definition �.�. Let .1 , .2 ⇢ - be integral closed subschemes with dim(.1 \ .2 ) = 0. Irreducible divisors 1 , 2 ⇢ - with 1 ⇠s 2 ⇠s are -linked for .1 and .2 if some irreducible divisor e ⇢ - with e ⇠s satisfies | e \ .1 | = | 1 \ .1 | and | e \ .2 | = | 2 \ .2 |.

The all

-linking of .1 and .2 is free if, for some finite set of closed points ⌃ ⇢ .1 [ .2 , -linked for .1 and .2 . 1 and 2 as above that are disjoint from ⌃ are

By Propositions �.� and �.�, if dim - 3, then these notions depend only on | - |. They topologically encode reducedness of 0-dimensional schematic intersections as follows.

Proposition �.� (K�����, ����, Proposition ��). — Let .1 and .2 be as in Definition �.� and suppose that dim 3, dim .1 2, dim .2 1, and .1 is geometrically connected (for instance, a set-theoretic complete -intersection). Then the -linking of .1 and .2 is free ⇠ if and only if .1 \ .2 is reduced with (.8 , ) ! (.1 \ .2 , ) for some 8.

Sketch of proof. — Since ( ) is ample, its global sections on .1 [ .2 lift to - after possibly replacing them by powers. The 8 and e that appear in the definition of free linking correspond to some B 8 2 (- , (= 8 )) and e B 2 (- , (e = )). Thus, in essence, the question of free -linking of .1 and .2 is that of patching the sections B 8 .8 along .1 \ .2 to glue some of their powers to a section over .1 [ .2 . We may adjust the B 8 .8 by global units, so the glueing is intimately related to the restriction map (.1 , )⇥ ⇥ (.2 , )⇥ ! (.1 \ .2 , )⇥ .

The analysis of this map eventually gives the claim, see loc. cit. for details.

⇤

⇠ Remark �.�. The geometric connectedness of .1 ensures that : ! (.1 , ) in this proposition. For - of dimension 4, this then leads to a topological criterion for recognizing when a :-smooth closed point G 2 - is :-rational because one may realize such an G as the schematic intersection .1 \ .2 of set-theoretic complete -intersections .8 with dim .1 = 2 and dim .2 = 1, see K����� (����, Cor. ��) and Corollary �.� above.

More generally, by building on the idea of analyzing free -linking of set-theoretic complete -intersections, Kollár is able to topologically recognize isomorphy of 0-dimensional closed subschemes lying in the smooth locus as follows.

Proposition �.� (K�����, ����, §��). — Suppose that dim 4 and let /1 and /2 be 0-dimensional, reduced closed subschemes of - sm . Then (|- |, ⇠s of irreducible ample divisors) alone determines whether or not /1 and /2 are isomorphic as :-schemes. In the setting of Proposition �.�, it is also possible to topologically determine when .1 \ .2 is reduced (without the additional condition on the global sections) as follows. ASTÉRISQUE ���

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RECONSTRUCTING A VARIETY FROM ITS TOPOLOGY

Proposition �.�. — Suppose that dim - 3 and let . ⇢ - be an irreducible, geometrically connected closed :-subvariety. For irreducible, geometrically connected closed :-subvarieties . 0 , / ⇢ - such that |. \ /| = |. 0 \ /|

and this intersection is 0-dimensional,

consider the following condition (that is topological by Propositions �.� and �.�): (8)

( There is a finite set of closed points ⌃ ⇢ . [ . 0 [ / such that all irreducible divisors 1 , 2 ⇢ - disjoint from ⌃ with and / are also -linked for . and /.

8

⇠s

that are

-linked for . 0

�) (K�����, ����, Cor. ��). If dim . 2 and / satisfies dim - 3 dim / 1 and is such that (8) holds for every 2-dimensional, irreducible complete -intersection . 0, then . \ / is reduced.

�) (K�����, ����, Cor. ��). If dim . 3 and H 2 . is a closed point such that - is :smooth at H, then . is :-smooth at H if and only if there is an irreducible complete -intersection / ⇢ - of codimension dim . such that . \ / is 0-dimensional, contains H, and (8) holds whenever . 0 is an irreducible complete -intersection. In �), if . \ / is reduced, then . \ / ⇢ . 0 \ /, so a patching of global sections of powers of ( ) that gives rise to an -linking of 1 and 2 for . 0 and / also gives a required patching with . in place of . 0 (compare with the sketch of proof for Proposition �.�). Thus, the main part is the converse, for which we refer to loc. cit. The role of the assumption on dim / is to ensure, via the Bertini theorem, that there are many possible . 0 with |. 0 \ /| = |. \ /|: the intersection of all such . 0 is (. \ /)red . In addition to topologically recognizing :-points and reducedness of 0-dimensional intersections as above, Kollár determines equality of intersection numbers as follows.

Proposition �.� (K�����, ����, Corollary ��). — Suppose that dim 2. For prime divisors ⇡1 , . . . , ⇡= ⇢ - and rational numbers @ 89 2 Q>0 with 1  8, 9  =, we have ⇡8 ·

dim - 1

= @ 89 · ⇡ 9 ·

dim - 1

for all

1  8, 9  =

if and only if for some closed /0 ⇢ - of codimension 2 and every closed / ⇢ - of codimension 2 containing /0 there is a 1-dimensional, irreducible complete -intersection ⇠ ⇢ - disjoint from / such that each ⇠ \ ⇡8 is a disjoint union of < 8 copies of Spec( ) for a finite field extension /: that does not depend on 8, and @ 89 = < 8 /< 9 .

Sketch of proof. — The ‘only if’ follows from the definitions: indeed, the intersection number ⇡8 · dim - 1 is read off from the schematic intersection ⇠ \ ⇡8 . For the ‘if,’ one first reduces to - being a surface by cutting it by irreducible ample divisors that are linearly similar to and constructed via the Bertini theorem. Then the ⇡8 are curves and one seeks a ⇠ cut out by some nonzero B 2 0 (- , (< )) for a large < > 0 (such an B would lift to a section of (< ) defined over the original -). By considering (< ) –= ⇡8 instead, it suffices to find a global section B0 of this 8=1 sheaf for a large < > 0 such that {B0 = 0} is disjoint from / and ⇡8 \ ⇡ 9 for distinct SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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K. ČESNAVIČIUS

⇡8 and ⇡ 9 and is a union of copies of Spec( ) for some finite extension /:. The key input to finding this B0 is a variant of a result of P����� (����), according to which, – for any quasi-finite, generically étale morphism : =8=1 ⇡8 ! P1: , there are infinitely many separable closed points ? 2 P1: whose -preimage is a reduced disjoint union of copies of ?. ⇤ In practice, /0 is the nonsmooth locus - \ - sm . However, - \ - sm need not a priori be determined by the topological space | - |, so, to get around this, one allows larger / while still retaining the smoothness of - \ /. In particular, Propositions �.� and �.� �) show that, for - of dimension 4, Proposition �.� gives a purely topological criterion for determining the ratios between the intersection numbers ⇡8 . dim - 1 .

Corollary �.�. — Suppose that dim - 4. For prime divisors {⇡⌫ }⌫2⇤ on -, the topological space | - | alone determines the ratios between the ⇡⌫ · dim - 1 . Sketch of proof. — It suffices to apply the reasoning above to every pair {⇡⌫ , ⇡⌫0 }.

⇤

In a similar vein, Proposition �.� implies the following criterion for recognizing Q-linear equivalence of irreducible ample divisors.

Corollary �.� (K�����, ����, Claim ��.�). — Suppose that dim ample divisors 1 , 2 ⇢ -, we have 1

⇠Q

2

if and only if both

1

⇠s

2

and

1

·

dim - 1

2. For irreducible =

2

·

dim - 1

.

Sketch of proof. — The ‘only if’ is clear because intersection numbers are insensitive to linear equivalence. For the ‘if,’ suppose that =1 1 ⇠ =2 2 and use Proposition �.� to find a 1-dimensional, irreducible complete -intersection ⇠ ⇢ - such that ⇠ \ 1 and ⇠ \ 2 are 0-dimensional, reduced, and :-isomorphic. This :-isomorphy and the assumed equality of intersection numbers imply that =1 = =2 , so that 1 ⇠Q 2 . ⇤ In the case when dim 4, the criterion given by Corollary �.� is topological thanks to Corollary �.� and Propositions �.� and �.�. �. TOPOLOGICAL PENCILS OF DIVISORS N�������. In this section, we let - be a geometrically normal, geometrically integral, positive-dimensional projective variety over a field :. The basic idea for topologically recognizing linear equivalence between general divisors on - is to first make them ample by adding a multiple of some ample divisor and to then place them into linear pencils with a common member whose general members are irreducible. In some sense this strategy achieves a reduction to the case of irreducible ample divisors considered in §§�–�, and the key for carrying it out is to topologically describe families of divisors that end up constituting the desired pencils. The central notion is that of a topological pencil that we are going to examine in this section.

ASTÉRISQUE ���

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RECONSTRUCTING A VARIETY FROM ITS TOPOLOGY

���

Definition �.�. For a topological space ), a base locus of an infinite collection P = {⇡⌫ }⌫2⇤ of subsets ⇡⌫ ⇢ ), denoted by Base(P), is a closed subset ⌫ ⇢ ) such that, for some ⇤0 ⇢ ⇤ whose complement is finite, we have ⇡⌫ \ ⇡⌫0 ✓ ⌫

for all distinct ⌫, ⌫0 2 ⇤, with ⇡⌫ \ ⇡⌫0 = ⌫ when ⌫, ⌫0 2 ⇤0 .

Due to the last requirement, the base locus Base(P) is unique if it exists.

Definition �.� (K�����, ����, Def. ���). A topological pencil on - is a set P = {⇡⌫ }⌫2⇤ of reduced divisors ⇡⌫ ⇢ - such that — all but finitely many ⇡⌫ are irreducible;

— the ⇡⌫ jointly cover all the closed points of -; — ⌫ := Base(P) exists, is of codimension

2 in -, and each ⇡⌫ \ ⌫ is connected.

A topological pencil {⇡⌫ }⌫2⇤ is ample if all but finitely many ⇡⌫ are ample divisors. Since ⌫ is of codimension 2, the divisors ⇡⌫ in a topological pencil are connected and pairwise have no common irreducible components. The notions of a topological pencil and of its base depend only on the topological space | - | and, if dim 2, then, by Proposition �.�, so does the ampleness of such a pencil. The following is the principal source of topological pencils.

Example �.�. Let ⇠ be a normal, projective, integral :-curve and let : - ⇠ be a dominant rational :-morphism whose maximal locus of definition is - \ ⌫ for a closed subset ⌫ ⇢ -. Since - is normal and ⇠ is projective and nonsingular, ⌫ is of codimension 2 in - and -\⌫ is flat. Let P = {⇡⌫ } be the collection of the closures in - of the reduced connected components of ( -\⌫) 1 (2) for a variable closed point 2 2 ⇠. We will now show that P is a topological pencil on - with base e of ⇠ in the maximal locus ⌫. The rational map factors through the normalization ⇠ algebraic subextension of :(-)/:(⇠) and this factorization has the same maximal e we do not change P and may assume locus of definition - \ ⌫. By replacing ⇠ by ⇠, that :(⇠) is algebraically closed in :(-), so that, by EGA IV� , �.�.�, the generic fiber of is geometrically irreducible. It then follows from EGA IV� , �.�.� that all but finitely many ⇡⌫ are irreducible. Consider the closure - ⇢ - ⇥ : ⇠ of the graph of -\⌫, which inherits :-morphisms

such that 1 is an isomorphism over - \ ⌫ and both and 1 are proper. The locus * of - over which 1 has finite fibers is open (SP, ��TI), so, since - is normal and 1 is birational, the finite map 1 1 1 (*) is an isomorphism. In particular, * = - \ ⌫ and ⌫ SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

K. ČESNAVIČIUS

consists precisely of the points G 2 - such that dim(1 1 (G)) > 0. Since - ⇢ - ⇥ : ⇠, for closed such G the map 1 1 (G) ! ⇠ is finite surjective and dim(1 1 (G)) = 1. The closure in - of a reduced connected component of ( -\⌫) 1 (2) is the 1-image of the closure in - of the corresponding reduced connected component of ( -\1 1 (⌫)) 1 (2). Moreover, since ⇠ is nonsingular, is flat and its closed fibers are purely of dimension dim - 1. Thus, we conclude from the previous paragraph that the ⇡⌫ jointly cover all the closed points of - and that the base locus of P is precisely ⌫ (in Definition �.� choose ⇤0 to consist of those closed points 2 2 ⇠ such that the 2-fibers of and are geometrically irreducible).

Definition �.�. A topological pencil P on - is algebraic (resp., rational; resp., linear) if it is associated to some ⇠ and as in Example �.� (resp., with ⇠ :¯ ' P1¯ ; resp., with : e = ⇠ in Example �.�, that is, if every finite ⇠ ' P1: ); an algebraic P is noncomposite if ⇠ morphism ⇠ 0 ! ⇠ of normal, projective, integral :-curves through which factors is an isomorphism, equivalently, if :(⇠) is algebraically closed in :(-). The following example relates topological pencils and linear equivalence.

Example �.�. Let ↵ be a line bundle on - and let B0 , B1 2 0 (- , ↵) be nonzero global sections. The vanishing loci ⇡0 := {B0 = 0} and ⇡1 := {B 1 = 0} are linearly equivalent divisors on -. If ⇡0 and ⇡1 have no common irreducible components, then B 0 and B 1 span a linear pencil whose base locus is {B0 = B 1 = 0}: indeed, to relate to Example �.�, it suffices to note that B0 and B1 determine a rational map : P1: whose maximal locus of definition is - \ {B0 = B 1 = 0}. Conversely, for any pair of :-points 2, 2 0 2 P1: , there is a rational function 5 2 :(C) that vanishes to order one at 2 and has a simple pole at 2 0, so any two :-fibers of a linear topological pencil P are linearly equivalent on -. To utilize this example, we need to recognize linearity of algebraic pencils.

Lemma �.� (K�����, ����, Lem. ���). — Suppose that : is perfect and let P be an algebraic topological pencil on -. �) If Base(P) meets the :-smooth locus - sm ⇢ -, then P is rational.

�) If P is rational and - sm (:) < ?, then P is linear.

�) If P is rational and the :-smooth locus of some ⇡ 2 P contains a nonempty open of some geometrically irreducible closed :-subvariety . ⇢ Base(P), then P is linear.

e

Proof. — Let ⇠, , and - be as in Example �.� and let - be the normalization of -. The role of the perfectness of : is to ensure that the normal :-curve ⇠ is :-smooth. �) By a result of Abhyankar (K�����, ����, VI.�.�), the positive dimensional fibers of a proper modification . 0 ! . of excellent, normal schemes with . regular contain nonconstant rational curves (B����, ����, Rem. �.�). We apply this to the restriction

e

of the morphism - ! - to - sm : by using the assumption on Base(P), we conclude that each positive-dimensional fiber of - ! - receives a nonconstant morphism ASTÉRISQUE ���

(����)

RECONSTRUCTING A VARIETY FROM ITS TOPOLOGY

���

from a rational curve. It then follows from Example �.� that ⇠ :¯ also receives such a morphism, so that ⇠ :¯ ' P1¯ . Thus, P is rational, as desired. :

�) If - sm (:) < ?, then the Lang–Nishimura theorem (P�����, ����, �.�.��) implies that ⇠(:) < ?. Since, by assumption, ⇠ :¯ ' P1¯ , we then conclude that ⇠ ' P1: . :

�) Suppose that ⇡ arises from a closed point 2 2 ⇠ as in Example �.�. It suffices to argue that [:(2) : :] = 1, since then ⇠(:) < ? and ⇠ ' P1: (compare with �)). Since : ¯ is perfect, Example �.� applied over :¯ shows that ⇡ :¯ is a Gal( :/:)-orbit of [:(2) : :] ¯ closures of connected components of fibers of over :. Thus, if ⇡ is :-smooth at the generic point of some geometrically irreducible :-subvariety . ⇢ Base(P), then the closures of distinct connected components of fibers of over :¯ cannot simultaneously contain a nonempty open of .:¯ , so [:(2) : :] = 1. ⇤ We turn to the key question of topologically recognizing when a topological pencil is algebraic. The most basic example is the following case of an empty base locus.

Example �.�. Suppose that : is algebraically closed. Then, by B��������, P������, and S���������� (����, Thm. �.�), every topological pencil {⇡⌫ }⌫2⇤ whose base locus is empty, in other words, such that ⇡⌫ \ ⇡⌫0 = ? for ⌫ < ⌫0, is algebraic. Indeed, loc. cit. says that there are a smooth, projective :-curve ⇠ and a surjective :-morphism : - ! ⇠ with connected fibers such that each ⇡⌫ is contained in a (closed) fiber of . Since the ⇡⌫ jointly cover the closed points of -, the set of closed fibers of is then precisely {⇡⌫ }⌫2⇤ . To proceed beyond empty base loci, it is useful to first note that algebraic topological pencils are determined by infinitely many members as follows. In essence, this is the basic reduction mechanism for reaching irreducible ample divisors from general divisors.

Lemma �.�. — For topological pencils P and P 0 on - with P 0 algebraic, if the set P \ P 0 of those divisors ⇡ ⇢ - that belong to both P and P 0 is infinite, then P = P 0.

Proof. — The infinitude of P \ P 0 implies that Base(P) = Base(P 0), so we let ⌫ be this common base locus and let : ⇠ be a dominant rational morphism that gives rise 0 to P as in Example �.�. As in that example, - \ ⌫ is the maximal locus of definition of and we may assume that the generic fiber of is geometrically irreducible. The complements ⇡ \ ⌫ for ⇡ 2 P are connected and pairwise disjoint, so the infinitude of P \ P 0 ensures that each ⇡ \ ⌫ lies in a single fiber of . Since topological pencils cover the closed points of -, it then follows that ⇡ 2 P 0 and that P = P 0, as desired. ⇤ The following is a topological criterion for algebraicity of topological pencils.

Proposition �.� (K�����, ����, Proposition ���). — Suppose that : is infinite. A topological pencil P = {⇡⌫ }⌫2⇤ on - is algebraic if and only if for some infinite subset ⇤0 ⇢ ⇤ and every (or merely some) irreducible ample divisor ⇢ -, the intersection numbers ⇡⌫ ·

dim - 1

thus, if char(:) = 0 and dim(-)

are all equal for ⌫ 2 ⇤0;

4, then the algebraicity of P depends only on | - |. SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

K. ČESNAVIČIUS

Sketch of proof. — The last assertion that concerns topological recognition of algebraicity of P follows from the rest and from Proposition �.� and Corollary �.�. For the rest, when dim(-) = 1, every P is algebraic and the claim is that - has infinitely many closed points of the same degree over :. This holds because there is a finite :-morphism - ! P1: and P1 (:) is infinite. Thus, we may assume that dim - 2. We begin with the simpler ‘only if’ direction and assume that P is algebraic, associated to a : ⇠ as in Example �.� such that all but finitely many fibers of are geometrically irreducible. By the 1-dimensional case, there is an infinite set ⇤0 of closed points of ⇠ of the same degree over : with irreducible -fibers. By using the Bertini theorem, for every irreducible ample divisor ⇢ - and every ⌫, ⌫0 2 ⇤0 we may find a complete -intersection curve . ⇢ - for which . \ Base(P) = ?, both . \ ⇡⌫ and . \ ⇡⌫0 are 0-dimensional, and . is flat over a neighborhood of ⌫ and ⌫0 in ⇠. Then ⇡⌫ · dim - 1 = ⇡⌫0 · dim - 1 because both these intersection numbers are equal to the product of the degree of . over ⇠ with the common degree of the points in ⇤0. For the converse, we fix a single and let 3 be the common value ⇡⌫ · dim - 1 for ⌫ 2 ⇤0 and consider the Chow :-scheme Chow- , 3 that parametrizes those effective divisors ⇡ ⇢ - that satisfy ⇡ · dim - 1 = 3, so that Chow- , 3 is projective over : (K�����, ����, Chap. I). The ⇡⌫ for ⌫ 2 ⇤0 give infinitely many closed points on Chow- , 3 , so, since Chow- , 3 is of finite type over :, their closure contains a positivedimensional irreducible closed subscheme ⇠ ⇢ Chow- , 3 . Consider the universal family of divisors : ⇢ ! ⇠ base changed from Chow- , 3 , as well as the resulting commutative diagram

for which the ⇡⌫ for ⌫ 2 ⇤0 appear as fibers of . It suffices to argue that there is a nonempty open - 0 ⇢ - such that the 8 1 (G) for a dense set of closed points G 2 - 0 are singletons. Then, up to a power of Frobenius if char : > 0, the map 8 will be birational, ⇠ will be a curve by counting dimensions, will give rise to an algebraic topological pencil P 0 on - as in Example �.�, and Lemma �.� will imply the desired P = P 0. For the claim about - 0 , first of all, the image of 8 contains infinitely many distinct divisors ⇡⌫ for ⌫ 2 ⇤0, so the Chevalley constructibility theorem (EGA IV� , �.�.�) implies that 8 is dominant. We then let - 0 ⇢ - \ Base(P)

be a nonempty open over which 8 is flat (EGA IV� , ��.�.� (ii)) and let G range over the closed points of ⇡⌫ \- 0 for ⌫ 2 ⇤0. Suppose that for such an G 2 ⇡⌫ \- 0 the fiber 8 1 (G) is not a singleton. Then the divisor 8 1 (⇡⌫ \ - 0 ) ⇢ 8 1 (- 0 ) meets some -fibers ⇢ 2 over closed points 2 2 ⇠ such that ⇢ 2 is different from the -fiber ⇡⌫ . By construction, the effective divisors ⇢ 2 on - are all algebraically equivalent to ⇡⌫ , so, since the latter

ASTÉRISQUE ���

(����)

RECONSTRUCTING A VARIETY FROM ITS TOPOLOGY

���

is irreducible, the nonempty intersections ⇢ 2 \ ⇡⌫ have pure codimension 2 in -. This means that the intersections 8 1 (⇡⌫ \ - 0 ) \ ⇢ 2 are nowhere dense in ⇢ 2 . Since 8 1 (⇡⌫ \ - 0 ) ⇢ 8 1 (- 0 ) is of pure codimension 1, another application of the Chevalley constructibility theorem then shows that the map 8 1 (⇡⌫ \ - 0 ) ! ⇠ given by is dominant and its image contains a nonempty open ⇠ 0 ⇢ ⇠. However, this is impossible: by construction of ⇠, there is a closed point 2 2 ⇠ 0 such that ⇢ 2 = ⇡⌫0 for some ⌫0 2 ⇤0 \ {⌫}, and 8 1 (⇡⌫ \ - 0 ) cannot meet ⇢ 2 because ⇡⌫ \ ⇡⌫0 lies in Base(P), which does not meet - 0 . Thus, 8 1 (G) is indeed a singleton, as desired. ⇤

Corollary �.��. — If : is uncountable (equivalently, if | - | uncountable), then every topological pencil on - is algebraic. Proof. — To see the parenthetical equivalence it suffices to note that, by Noether dim(-) normalization, | - | is uncountable if and only if | A : | is uncountable. Suppose that | - | is uncountable, let P = {⇡⌫ }⌫2⇤ be a topological pencil on -, and fix a ⌫ 2 ⇤ and a closed point G 2 ⇡⌫ \ Base(P). Since Base(P) is of codimension 2 in -, by cutting ⇡⌫ by sufficiently general hyperplanes passing through G supplied by the Bertini theorem, we may build an irreducible curve ⇠ ⇢ - that properly meets ⇡⌫ but does not meet Base(P). Then ⇠ meets each ⇡⌫0 in finitely many points, to the effect that, since | ⇠ | is uncountable and the ⇡⌫0 cover the closed points of -, the set ⇤ is also uncountable. On the other hand, the Néron–Severi group NS(-) is countable (SGA �, XIII, Thm. �.�). Thus, there is an infinite subset ⇤0 ⇢ ⇤ such that the ⇡⌫0 for ⌫0 2 ⇤ are pairwise algebraically equivalent, and so also pairwise numerically equivalent (SGA �, XIII, Thm. �.�). Proposition �.� then shows that the pencil P is algebraic. ⇤ �. RECOVERING LINEAR EQUIVALENCE OF DIVISORS N�������. In this section, we let - be a geometrically normal, geometrically integral, positive-dimensional projective variety over an infinite field :.

Lemma �.�. — For the subgroup ⌘ ⇢ Div(-) generated by the differences of linearly equivalent reduced divisors, every class in Div(-)/⌘ is represented by a difference of reduced divisors. In particular, ⌘ is the subgroup of all divisors linearly equivalent to 0. Proof. — The last assertion follows from the rest because the difference of reduced divisors lies in ⌘ if and only if this difference is linearly equivalent to 0. For the rest, every divisor is a sum of irreducible divisors (with multiplicities), so it suffices to show that every irreducible divisor ⇡ ⇢ - is linearly equivalent to ⇡1 ⇡2 for some reduced divisors ⇡8 ⇢ - that share no irreducible components with divisors ⇡ 0 ⇢ in some fixed finite set containing ⇡: then ⇡ and ⇡1 ⇡2 will agree in Div(-)/⌘ and, by iteratively applying this with ⇡ 0 ranging over the ⇡8 from preceding steps, we will represent every class in Div(-)/⌘ by a difference of reduced divisors.

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K. ČESNAVIČIUS

To find a desired linear equivalence ⇡ ⇠ ⇡1 ⇡2 , we first choose a very ample divisor ⇢ - and an < > 0 such that ⇡ + < is also very ample (H���������, ����, II, Exercise �.�). Since : is infinite, the Bertini theorem (J��������, ����, �.��) then supplies our desired geometrically reduced divisors ⇡8 with ⇡1 ⇠ ⇡ + < and ⇡2 ⇠ < . ⇤ As for linear equivalence of reduced divisors, the following is the key criterion.

Proposition �.� (K�����, ����, Theorem ���). — Suppose that : is perfect and dim - 3, and let ⇢ - be an irreducible ample divisor. Reduced divisors ⇡1 , ⇡2 ⇢ - are linearly equivalent if and only if for every large enough closed subset ⌃ ⇢ - of codimension 2 and every integral curve ⇠ ⇢ - not in ⇡1 [ ⇡2 [ ⌃, there are — irreducible divisors ⇡ 0 , ⇢0 ⇢ - not in ⇡1 [ ⇡2 with ⇢0 ample and containing ⇠; — algebraic topological pencils P1 and P2 with ⇠ ⇢ Base(P8 );

— an irreducible ample divisor ⇢ ⇢ - with (⇡8 + ⇡ 0 + ⇢0) \ (⇢ [ ⌃) connected;

such that

— ⇡8 + ⇡ 0 + ⇢0 and ⇢ lie in P8 (so ⇢ also contains ⇠);

— all but finitely many closed points of ⇠ lie in the :-smooth loci ⇢sm and ⇢0sm ; — ⇡8 + ⇡ 0 + ⇢0 and ⇢ lie in the subset of those ⇡ 2 P8 for which the function ⇡ 7! ⇡ · dim - 1 takes the minimal value attained infinitely many times on P8 .

Sketch of proof. — We begin with the simpler ‘only if’ direction, suppose that ⇡1 and ⇡2 are linearly equivalent, and choose ⌃ to contain - \ - sm . We then choose an irreducible ample divisor ⇡ 0 that shares no components with ⇡1 and ⇡2 , does not contain ⇠, and is such that the (⇡8 ) ⌦ - (⇡ 0) are generated by global sections. This makes the reduced divisors ⇡8 + ⇡ 0 basepoint free, so also Cartier. Moreover, since : is perfect, the integral curve ⇠ is generically :-smooth. We may then use the Bertini theorem (K������ and A�����, ����, Thm. �) (which uses the assumption on dim(-)) to find an irreducible ample divisor ⇢0 that contains ⇠, is :-smooth at the generic point of ⇠, properly meets every irreducible component of ⇡8 + ⇡ 0, does not contain any irreducible component of ⌃, and is such that the ⇡8 + ⇡ 0 + ⇢0 are very ample (H���������, ����, II, Exercise �.� (d)). Granted that we make sure (as we may) that ⇢0 is sufficiently ample, we may then apply the Bertini theorem (K������ and A�����, ����, Thm. �) again, this time with the ample line bundle (⇡1 + ⇡ 0 + ⇢0) ' (⇡2 + ⇡ 0 + ⇢0),

to find an irreducible ample divisor ⇢ ⇢ - with ⇢ ⇠ ⇡8 + ⇡ 0 +⇢0 such that ⇢ contains ⇠, is :-smooth at the generic point of ⇠, and does not contain any irreducible component of ⇡8 + ⇡ 0 + ⇢0 nor any irreducible component of the intersections between ⇢0 and the irreducible components of the ⇡8 + ⇡ 0. The (⇡8 + ⇡ 0 + ⇢0) \ (⇢ [ ⌃)

ASTÉRISQUE ���

(����)

RECONSTRUCTING A VARIETY FROM ITS TOPOLOGY

���

are then connected, and we let P8 be the linear pencil spanned by ⇡8 + ⇡ 0 + ⇢0 and ⇢ as in Example �.�. By construction, these ⇡ 0, ⇢0, P8 , and ⇢ satisfy all the requirements (to check the requirement about the intersection numbers, one uses the fact that both ⇡8 + ⇡ 0 + ⇢0 and ⇢ are :-fibers of the pencil and argues with a complete intersection curve . analogous to the one used in the proof of Proposition �.�). For the ‘if’ direction, we may assume that ⌃ contains - \ - sm and use the Bertini theorem (J��������, ����, Thm. �.��) to choose ⇠ to be a generically smooth, geometrically integral complete -intersection. With these choices, by Lemma �.� �), the pencils P8 are rational and, by its part �), then they are even linear. At this point one uses the the condition that involves the degree function ⇡7 !⇡·

dim - 1

to check that both ⇡8 + ⇡ 0 + ⇢0 and ⇢ are :-fibers of the pencil P8 (we omit the details of this step here). It then follows from Example �.� that ⇡8 + ⇡ 0 + ⇢0 ⇠ ⇢, so that also ⇡1 ⇠ ⇡2 . ⇤

Corollary �.� (K�����, ����, Theorem ���). — Suppose that char(:) = 0 and dim The topological space | - | determines linear equivalence of divisors on -.

4.

Sketch of proof. — By Lemma �.�, it suffices to show that | - | determines linear equivalence between reduced divisors. For this, we explain why the notions and conditions that appear in the linear equivalence criterion of Proposition �.� are determined by | - |: — Ampleness of irreducible divisors by Proposition �.�.

— Algebraicity of topological pencils by Proposition �.�. — The function ⇡ 7! ⇡ ·

dim - 1

up to constant multiple by Corollary �.�.

— All but finitely many closed points of ⇠ lying in ⇢sm and ⇢0sm by Proposition �.� �): to apply it, we choose ⌃ to contain - \ - sm (then all but finitely many closed points of ⇠ lie in - sm ) and we note that ⇢ and ⇢0 are geometrically connected by the Lefschetz hyperplane theorem (SGA �new , XII, �.�). ⇤ In conclusion, we have now described the second reconstruction step promised in §�: | - |, ⇠s of irreducible ample divisors

| - |, ⇠ of effective divisors .

�. RECOVERING THE PROJECTIVE VARIETY ITSELF N�������. In this section, we let - be a normal, geometrically integral projective variety of dimension 2 over an infinite field :. The remaining step | - |, ⇠ of effective divisors

-

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

���

K. ČESNAVIČIUS

is a result of L������� and O����� (����). In this step, the ultimate source of reconstruction is the fundamental theorem of projective geometry that characterizes projective spaces combinatorially in terms of properties of incidence between their points and lines—in effect, for projective spaces this theorem reconstructs the full structure of an algebraic variety from axiomatic combinatorial data. It is fascinating that the collinearity relation for points in projective space encodes rich scheme-theoretic structure. This is not quite unexpected, however—after all, one knows that this relation is capable of encoding, for instance, polynomial equations with integer coefficients (L��������, ����, p. iv, Remarques). The precise version of such a theorem that Lieblich and Olsson use is as follows, established via an argument that is close to E. Artin’s classical proof.

Theorem �.� (L������� and O�����, ����, Theorem �.�). — Let + and + 0 be finitedimensional vector spaces over infinite fields : and : 0, respectively, and let * ⇢ Gr1 (P(+))(:) and * 0 ⇢ Gr1 (P(+ 0))(: 0)

be collections of lines in P(+) and P(+ 0) given by the sets of :-points and : 0-points of some nonempty Zariski open subsets of the indicated Grassmannians. For any bijection ⇠ 1 : P(+)(:) ! P(+ 0)(: 0)

that induces an inclusion * 1! * 0 ,

⇠ 0 ⇠ there are a field isomorphism : : ! : and a -semilinear isomorphism + ! + 0 such that the ⇠ 0 induced isomorphism P(+) ! P(+ ) agrees with 1 on some Zariski open containing all the lines in *.

With this theorem in hand, the strategy is to apply it with + := (- , (< ))

and + 0 := (- 0 , (
1, min 6 max 6 1. On dira que - est ⇣-régulier avec constante ⇠ ' de l’échelle min à max si il existe une mesure localement finie ⇠- supportée par telle que, pour chaque intervalle centré en un point de - et tel que min 6 | | 6 max , on ait (�)

⇠ ' 1 | | ⇣ 6 ⇠- ( ) 6 ⇠ ' | | ⇣ .

Intuitivement, min agit comme un cut-off ultraviolet qui nous dit à quelle échelle microscopique on s’arrête de tester.

Exemple �.� (relation avec la régularité de Hölder–Zygmund par changement d’échelle). Dans cet exemple, on aimerait relier la notion de ⇣-régularité sur l’échelle (0, 1] d’un ensemble - avec la régularité de Hölder–Zygmund de la mesure ⇠- de la définition �.�, dans l’esprit des travaux de M���� (����, p. �). On note C , 2 R l’espace de Hölder– Zygmund de régularité . Quand on teste la régularité de Hölder d’une mesure ⇠ 2 ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

Mes(R) (ou d’une distribution), on va tester toutes les échelles de (0, 1]. Soit une mesure ⇠ 2 C (R) si la famille de mesures7 :

(�)

⌫

⇠ ⌫(

.

G) + G

2 R 0, si (�)

.\

F⌘

-\

= O(⌘ ).

!2 (R)!!2 (R)

Nous verrons dans la suite qu’on peut formuler de façon équivalente le principe comme supp( b 5 ) ⇢ \ 1 . =) k 5 k !2 (-) 6 ⇠\ k 5 k !2 (R) où b 5 est la transformée de Fourier classique, non semiclassique. Le premier résultat s’énonce de la façon suivante :

Théorème �.�� (B������� et D������, ����). — Soit 0 6 ⇡ < 1, \ 2 (0, 1) et supposons que 3 - ⇢ [0, 1] est ⇡-poreux d’une échelle \ à 1, 3 . ⇢ [0, \

Alors il existe (��)

1

] est ⇡-poreux d’une échelle 1 à \

1

.

dépendant de ⇡ tel que pour tout 5 2 !2 (R),

b 5 ⇢ . =) k 5 k !2 (-) 6 ⇠\ k 5 k !2 (R)

ici !2 (-) est défini en utilisant la mesure de Lebesgue.

Ce qui est remarquable dans le théorème ci-dessus c’est que la constante ⇠ ne dépend pas de (- , .) mais seulement de la porosité. 7 Coïncident avec les distributions positives par un théorème classique de Schwartz. 8 Dans la suite, ils seront souvent des \-voisinages de fractals.

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���

NGUYEN VIET DANG

Remarque �.��. Il y a une relation entre les ensembles réguliers et poreux décrits au sens du paragraphe �.�.�. C’est pourquoi le principe d’incertitude fractal s’énonce aussi bien pour des ensembles ⇣-réguliers (- , .), ⇣ 2 [0, 1) de constante ⇠ ' et la constante ⇠ dans l’inégalité (��) ne dépend pas des ensembles - , .. Pour le moment, il existe quatre approches pour montrer le principe d’incertitude fractal. 3 La première qui remonte au papier de D������ et Z��� (����) consiste à prouver des estimées d’énergie additive et repose sur la combinatoire additive, cette méthode s’étend aux ensembles de Cantor discrets. 3 La seconde méthode introduite dans B������� et D������ (����) repose sur des estimées de prolongement unique pour des fonctions dont la transformée de Fourier est à spectre parcimonieux et emploie de façon cruciale les multiplicateurs de B������� et M�������� (����), nous décrirons cette approche en détail dans notre rapport. 3 La troisième méthode utilise la notion de décroissance de la transformée de Fourier des mesures portées par les fractales, on se ramène à des estimées sommeproduit de B������� (����) appliquées à des intégrales oscillantes pour montrer le principe d’incertitude fractal. Cette méthode a été essentiellement explorée par B������� et D������ (����), L� (����) et L�, N���, P�� et al. (����). 3 Enfin, la dernière méthode mise en œuvre par D������ et J�� (����a) montre un principe d’incertitude fractal en s’appuyant sur la méthode de Dolgopyat. Mentionnons également certaines extensions du théorème �.��. 3 H�� et S����� (����) établissent un principe d’incertitude pour des fractals en dimension supérieure qui ressemblent à des produits cartésiens d’ensembles poreux 1-dimensionnels. 3 J�� et Z���� (����) établissent une version plus quantitative du théorème �.� en rendant effective la constante de l’énoncé, 3 enfin un récent article de C����� et T�� (����) étudie le principe d’incertitude fractal dans certaines situations en dimensions impaires en s’appuyant sur des nouvelles bornes d’énergie additive. �.�.�. Relations entre la ⇣-régularité et la ⇡-porosité. — Dans ce paragraphe, on compare les notions de ⇣-régularité et ⇡-porosité. Discutons du sens ⇣-régulier implique ⇡-poreux pour ⇣ < 1. Si ⇣ < 1, intuitivement la mesure de - tend vers 0 plus vite que la masse usuelle de l’intervalle donc on s’attend à ce que notre ensemble ait des trous. Raisonnons par l’absurde. En fait on va supposer que quel que soit ⇡ assez petit et un ⇠ assez grand, l’ensemble - n’est pas ⇡-poreux et en déduire une contradiction. Fixer ) 2 N que nous choisirons plus tard en fonction de ⇣, ⇠ ' et posons ⇡ = (3)) 1 et on va supposer que - n’est pas ⇡-poreux. Posons ⇠ = 3), et choisissons un intervalle

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

quelconque = [0, 1] de taille entre ⇠ min et max . On partitionne en ) intervalles 1 , . . . , ) chacun de longueur | |/), = [0 1 , 0 2 ] [ [0 2 , 0 3 ] [ · · · [ [0) , 1].

1 Par l’absurde, tout intervalle de taille | | = 3) | | va intersecter -. Donc ceci doit être vrai pour chaque tiers du milieu de chaque intervalle ( 8 ))8=1 un peu comme dans la construction du triadique de Cantor. Donc pour chaque intervalle 8 = [0 8 , 0 8+1 ], on a un intervalle 0 8

⇥

= 0 8 + 13 (0 8+1

0 8 ), 0 8+1

–

1 3 (0 8+1

08 )

⇤

qui contient un point de -. Comme )8=1 80 ⇢ , on va utiliser la propriété de ⇣– régularité de -. On va l’appliquer à et à l’union disjointe )8=1 80 ⇢ . Déjà il existe une mesure ⇠ portée par - telle que ⇠( ) 6 ⇠ ' | | ⇣ .

D’un autre côté, chaque 80 est de longueur | |/3) par construction. Or par définition de ⇠ = 3), on a | |/3) = ⇠ 1 | | > min donc on peut appliquer la borne inférieure de ⇣-régularité à chaque sous-intervalle min 6 | 80 | 6 | | 6 max . Ce qui donne une borne de type ⇠ '1 | 80 | ⇣ 6 ⇠( 80). En sommant sur les 8 = 1, . . . , ), on en déduit l’inégalité (��)

)⇠ '1

⇣ | | ⌘⇣ 3)

=

) ’ 8=1

⇠ '1 | 80 | ⇣ 6

) ’ 8=1

⇠( 80) 6 ⇠( ) 6 ⇠ ' | | ⇣ .

Mais l’information clef que l’exposant ⇣ < 1 implique qu’en choisissant ) assez grand on peut rendre )⇠ '1 (| |/3))⇣ > ⇠ ' | | ⇣ ce qui conduit à une contradiction. Plan de l’exposé. Dans la section �, nous décrivons un exemple simple, mais riche en phénomènes, de principe d’incertitude fractal discret où on restreint une fonction et sa transformée de Fourier discrète à un Cantor discret. Puis dans la section � qui forme le cœur de notre rapport, nous donnons une preuve simplifiée et informelle du théorème �.�� qui donne le principe d’incertitude fractal sur R. Enfin dans la dernière section �, nous décrivons certaines applications du principe d’incertitude fractal et le lecteur pressé de voir ces applications peut sauter les deux prochaines sections pour aller directement à la fin car les trois parties sont indépendantes. Je remercie chaleureusement Semyon Dyatlov, Benjamin Jaye, Frédéric Naud, Gabriel Rivière et Nicolas Bourbaki pour leurs explications, remarques ou corrections qui m’ont beaucoup aidé dans la préparation de ce rapport et l’amélioration de la présentation.

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�. LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL POUR LES ENSEMBLES DE CANTOR DISCRETS. Le but de cette section est de présenter une version discrète du principe d’incertitude fractal due à D������ et J�� (����), dont la preuve est relativement élémentaire, pour la transformée de Fourier discrète où les fractales sont des Cantor discret. L’intérêt du cas discret est d’illustrer de façon simple toute la phénoménologie du principe d’incertitude fractal. �.�.�. Le tore discret et écriture des nombres en base ?. — On commence par se placer sur le tore discret Z? = = Z/? = Z où on pose # = ? = et on va passer à la limite = ! +1. Les éléments de Z? = sont les classes {0, 1, . . . , ? = 1}, il y en a en tout ? = .

Lemme �.�. — Observons que tout nombre : 2 {0, 1, . . . , ? = uniquement en (��) : = 00 + 01 ? + · · · + 0 = 1 ? = 1 où les 0 8 2 {0, . . . , ?

1} peut se décomposer

1} 9.

Nous noterons donc (0 0 , . . . , 0 = 1 ) l’élément correspondant à :. En fait, on pourrait aussi interpréter Z? = comme une discrétisation du cercle R/Z identifié à l’intervalle [0, 1) 10 où on écrirait des nombres décimaux en base ?, dans ce cas l’élément : est identifié à (0, 00 · · · 0 = 1 ).

�.�.�. Sous-groupes remarquables de Z? = et fibration discrète. — Il existe un morphisme injectif 8 de groupes de Z? : dans Z? = défini par 8 : G 7! ? = : G. Dans l’écriture en base ?, cela équivaut à faire (00 , . . . , 0 : 1 ) 7 ! (0, . . . , 0, 0 0 , . . . , 0 : 1 ).

| {z } = :

De plus, on a un morphisme surjectif : G 2 Z? = 7! G mod(? = : ) 2 Z? = : , tel que l’image de 8 est le noyau de . Concrètement, la projection se lit dans la représentation en base ? comme (00 , . . . , 0 = 1 ) 7! (0 0 , . . . , 0 = : 1 ) où l’on garde les = : premiers chiffres. Donc on trouve une suite exacte courte : 0 ! Z? : ! Z? = ! Z? = /Z? : ! 0 qui est scindée et admet comme section : (00 , . . . , 0 = : 1 ) 7! (00 , . . . , 0 = : 1 , 0, . . . , 0) en représentation en base ?. Cette structure de fibration discrète est à l’origine de la représentation de la matrice de transformée de Fourier discrète comme composition de matrices de transformée de Fourier par blocs. Cette décomposition explique la transformée de Fourier rapide et aussi la propriété de sous-multiplicativité qui nous permettra de montrer le principe d’incertitude fractal discret. 9 Il s’agit d’écrire un nombre : en base ?. Cette décomposition s’obtient grâce à l’algorithme de division Euclidienne. En effet 0 0 est le reste de la division Euclidienne de : par ?, puis si (: 00 )/? > ? alors on réitère l’algorithme pour (: 0 0 )/? sinon on arrête l’algorithme. 10 Le 1 est enlevé puisque identifié par quotient avec 0. Ce point de vue rend le cas discret proche de l’intuition du Cantor dans [0, 1].

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

�.�.�. Le Cantor discret et sa dimension. — Étant donné A ⇢ {0, . . . , ? 1} qu’on appelle alphabet, on définit la notion de Cantor discret comme l’ensemble des éléments de {0, 1, . . . , ? = 1} qui s’écrivent en base ? en utilisant seulement des lettres de l’alphabet A : C= = {00 + 01 ? + · · · + 0 = 1 ? = 1 }. Un alphabet A étant donné, on note C= l’ensemble de Cantor dans Z? = . Montrons une propriété centrale pour la suite, la propriété d’hérédité pour les Cantor discrets.

Lemme �.� (propriété d’hérédité des Cantor discrets). — Soit = = =1 + =2 où =1 , =2 sont des entiers. Alors il existe deux bijections de C= dans C=1 ⇥ C=2 : (00 , . . . , 0 =1

(00 , . . . , 0 =1

1 ), (1 0 , . . . , 1 =2 1 ) 1 ), (1 0 , . . . , 1 =2 1 )

2 C=1 ⇥ C=2 7 ! (00 , . . . , 0 =1 2 C=1 ⇥ C=2 7 ! (10 , . . . , 1 =2

1 , 1 0 , . . . , 1 =2 1 )

1 , 0 0 , . . . , 0 =1 1 )

2 C= , 2 C= .

La preuve est évidente et on remarque qu’en utilisant des shuffles (battages), on peut mélanger les lettres quand on assemble les deux expressions décimales. Dans la représentation du Cantor en termes de groupes cyclique Z? = , on a une autre représentation de ces opérations comme les applications (:1 , :2 ) 2 C=1 ⇥ C=2 7! :1 + ? =1 : 2 2 C= , (: 1 , :2 ) 2 C=1 ⇥ C=2 7! ? =2 :1 + :2 2 C= . Nous allons définir un analogue de la dimension de Minkowski du Cantor discret C= que nous noterons ⇣ > 0. Une façon de faire est de relier ça directement à la définition du Cantor dans le continuum. On imagine que les points dans Z? = sont équirépartis sur le cercle S1 et espacés de 2 /? = . Cherchons à recouvrir les éléments du Cantor C= par des intervalles de largeur exactement /? = 11 et estimons le nombre minimal de tels intervalles. Soit |A| = ✓ < ? le nombre de lettres dans notre alphabet, il y a exactement ✓ = éléments dans notre Cantor et donc ✓ = intervalles nécessaires pour recouvrir le Cantor, ces intervalles sont disjoints deux à deux. Par analogie avec la définition de mesure de Minkowski dans le continuum, on va chercher à déterminer les exposants < > 0 tels que

C= ⇢

–

’

| |< = ✓ =

, | |= /? =

⇣

?=

⌘
sup(0,

1 2

*= C !2 (Z# )!!2 (Z# ) 6 ⇠# ⇣).

On voit que si ⇣ > 12 , le principe d’incertitude fractal dit qu’il y a une petite 1 décroissance exponentielle. Remarquons que la borne k*= k !2 (Z# )!!2 (Z# ) 6 ⇠# ( 2 ⇣) est triviale à cause du lemme suivant :

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

Lemme �.�. — Pour tout =, # = ? = , ⇣ = log(✓ )/log(?), on peut évaluer exactement la norme de Hilbert–Schmidt de *= : p 1 (��) *= HS = Tr(*=⇤ *= ) = # 2 ⇣ . Ce lemme montre deux phénomènes sur lesquels nous aimerions insister.

�) D’une part, lorsqu’il y a peu de lettres dans l’alphabet A, intuitivement le Cantor est petit et on a automatiquement de la décroissance exponentielle venant de la petite masse. C’est exactement l’analogue des bornes du principe d’incertitude fractal dans R quand le volume de - + [ \ , \] et . + [ \ , \] est petit. Cependant, le principe d’incertitude fractal nous donne une meilleure décroissance encore que les estimées de masse mais il faut exploiter des phénomènes plus subtils reliés à la structure fractale du Cantor. �) D’autre part, si ⇣ 6 12 alors l’estimée ci-dessus ne nous donne aucune décroissance car elle ne voit que la masse et n’exploite pas la structure poreuse du Cantor. Nous verrons que même quand ⇣ 6 12 , l’opérateur *= décroit en norme !2 ! !2 . L’hypothèse sur l’exposant critique ⇣ est l’exact analogue des hypothèses de pression dans le cas continu.

Démonstration. — L’observation clef, c’est que la matrice " # de la transformée de Fourier discrète F# : !2 (Z# ) ! !2 (Z# )

.

9

1 dans la base orthonormée ( p1 ⇣ : ( ))# vérifie la relation exacte (" # )8 (" # )89 = :=0 # On en déduit la relation ⇤ C= F#

Donc k*= k

(

=

C= F#

✓ = /? =/2

=

8 C= 8

C= (8)|C= |

=

#

(✓ /?)= ? =/2

=) Tr(*=⇤ *= ) =

1 #.

✓ 2= · #

= # 1/2 ⇣ .

⇤

�.�. La sous-multiplicativité et le principe d’incertitude fractal pour le Cantor discret �.�.�. Un modèle jouet de sous-multiplicativité. — Soient [0, 1]31 , [0, 1]32 deux cubes unité et C1 ⇢ [0, 1]31 , C2 ⇢ [0, 1]32 deux sous-ensembles des cubes respectifs et soit C = C1 ⇥ C2 ⇢ [0, 1]31 +32 le produit cartésien des deux ensembles. On définit par 2

F\ : D 2 ! (R ) 7! 38

1

(2 \)

38 2

π

T 38

D(G) e

8h⇢·Gi

d 38 G 2 !2 (R38 )

la transformée de Fourier semiclassique normalisée pour être unitaire. La sousmultiplicativité se voit de façon frappante comme conséquence du découplage des variables :

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Lemme �.� (sous-multiplicativité, première version). — Soient C1 :

C1 F\

+1 =

C2 F\

+2 =

C F\

+=

C2 :

C:

!2 (R31 ) ! !2 (R31 ), !2 (R32 ) ! !2 (R32 ),

!2 (R3 ) ! !2 (R3 ).

Alors on a l’estimation (��)

k+ k !2 (R3 )!!2 (R3 ) 6 k+1 k !2 (R31 )!!2 (R31 ) · k+2 k !2 (R32 )!!2 (R32 ) .

Démonstration. — Notons G (resp. H) la variable de R31 (resp. R32 ) et (G, H) la variable collective de R31 +32 . La preuve est une conséquence de l’identité de Fubini et de la séparation des variables. On observe que C (G,

H) =

C1 (G)

⌦

[0,1]32 (H)

et on note F\ ,G (D)(⇢, H) = F\ ,H (D)(G, ◆) =

1 (2 \) 1

1 2 31

1

(2 \) 2 32

π π

R 31

R 32

[0,1]31 (G)

⌦

C2 (H)

D(G, H) e

8h⇢·Gi

d 31 G,

D(G, H) e

8h◆·Hi

d 32 H,

les transformées de Fourier partielles par rapport aux variables respectives G et H : C F\

CD

=

C1 ,⇢ F\ ,G

C1 ,G

C2 ,◆ F\ ,H

C2 ,H

où les deux opérateurs entre parenthèse commutent. Enfin, il suffit d’observer que C1 ,⇢ F\ ,G

C2 ,◆ F\ ,H

C1 ,G

!2 (R3 )!!2 (R3 )

C2 ,H

!2 (R3 )!!2 (R3 )

= k+1 k !2 (R31 )!!2 (R31 ) , = k+2 k !2 (R32 )!!2 (R32 ) ,

ce qui permet de conclure comme les opérateurs bornés !2 (R3 ) ! !2 (R3 ) forment une algèbre de Banach. ⇤ �.�.�. Lemme de sous-multiplicativité, version discrète. — La version discrète de la sousmultiplicativité repose sur les mêmes idées que le calcul précédent. Elle utilise le fait que la transformée de Fourier se factorise comme produit de deux matrices par blocs qui est l’idée centrale qui fait marcher la transformée de Fourier rapide en traitement du signal.

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

La transformée de Fourier rapide. — Dans cette partie, on pose # = ? = . Nous voulons motiver la preuve de la sous-multiplicativité en faisant une analogie (bien remarquée par Dyatlov) avec la transformée de Fourier rapide. Soit ⌧ = Z? = notre groupe abélien fini et = Z? : un sous-groupe de ⌧ comme dans le paragraphe �.�.�. Le principe de la transformée de Fourier rapide, comme rappelé dans l’article de L�������� (����)12, consiste à écrire F? = comme le produit de deux matrices par blocs qui sont essentiellement les matrices F? : et F? = : de transformée de Fourier sur Z? : et Z? = /Z? : ' Z? = : respectivement. L’idée est de décomposer une intégrale sur Z? = comme une intégrale sur les fibres Z? : . On intègre ensuite sur la base Z? = /Z? : ' Z? = : .

Concrètement, on peut écrire F? = D(⇢) en décomposant la variable de Fourier ⇢ = ⇢1 + ? : ⇢2 2 {0, . . . , ? = 1} où ⇢1 2 {0, . . . , ? : 1}, ⇢2 2 {0, . . . , ? = : 1} 13 : 1 F? = D(⇢1 + ? : ⇢2 ) = p = ? 1 1 =p ·p : ? ?= =p

1 ?=

:

:

G2

|

’

’

(⇢1 +? : ⇢2 )G/? =

G2{0,...,? = 1}

’

2{0,...,? = :

{z

somme base

G2 2{0,...,? =

e28

e28 :

1} G1

}|

’

2{0,...,? :

{z

⇣ 1 p

e28

1}

:

(G 2 +? =

:G

1 )(⇢1 +?

: ⇢ )/? = 2

1}

}

somme fibre

⇢2 G2 /? =

D(G)

’

? : G1 2{0,...,? :

e28

⇢1 G1 /? :

1}

D(G2 + ? =

D(G2 + ? =

:

G1 )

:

G1 )

⌘

où on a regroupé la somme sur tous les éléments en une somme double sur des classes d’équivalences par rapport à la fibre puis par rapport à la base puisque à G2 fixé, les éléments G 2 + ? = : G1 varient dans la fibre lorsque G1 varie dans {0, . . . , ? : 1} et on a utilisé un petit miracle arithmétique qui donne la relation : e28

(G2 +? =

:G

1 )(⇢1 +?

:⇢

2 )/?

=

= e28

G 2 ⇢2 /? =

:

· e28

G 1 ⇢1 /? :

.

On a donc décomposé la transformée de Fourier sur F? = comme la composée de F? : et F? = : de transformée de Fourier sur Z? : et Z? = /Z? : ' Z? = : respectivement.

Lemme �.�. — Soit = = =1 + =2 , on a

(��)

k*= k !2 (Z? = )!!2 (Z? = ) 6 k*=1 k !2 (Z? =1 )!!2 (Z? =1 ) · k*=2 k !2 (Z? =2 )!!2 (Z? =2 ) .

Démonstration. — Soit = = =1 + =2 où =1 , =2 entiers. Pour (G, H) 2 Z? =1 ⇥ Z? =2 , on associe l’élément (G + ? =1 H) 2 Z? = ' Z? =1 ⇥ Z? =2 . On a une première identitée de 12 Basé sur des notes de Mestre. 13 D’une certaine façon, c’est la fibration duale qui apparaît en Fourier où on voit Z? = comme fibré au dessus de Z? : .

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Fubini sur la norme !2 : kDk 2!2 (Z = ) ?

=

= 1 ?’

2

D(I)

=

I=0

=1 1 ? =2 1 ?’ ’

G=0

H=0

D(G + ? =1 H)

2

.

.

= D( + ? =1 )

2 . !2 (Z? =1 ⇥Z? =2 )

De façon symétrique, en inversant les facteurs dans la façon de représenter Z? = ' Z? =1 ⇥ Z? =2 , il vient : kD k 2!2 (Z

(��)

?= )

. .

= D(? =2 + )

2 . !2 (Z? =2 ⇥Z? =1 )

Observons que l’on a un phénomène analogue de découplage de la transformée de Fourier sur Z? = en termes des transformées de Fourier partielles, pour (:1 , :2 ) 2 Z ? =1 ⇥ Z ? =2 :

.

.

F? = (D)(? =2 : 1 + :2 ) = F? =1 ,G1 F? =2 ,G2 D( + ? =1 ) (? =2 :1 + :2 ).

L’indicatrice du Cantor a la même décomposition =1 C= (G 1 + ? G 2 ) =2 C= (? : 1 + : 2 )

Donc au final, on a la factorisation

. .

*= D(? =2 + ) =

C=1 (?

Il suffit de se convaincre que (

(

C=1 (? C=2

=2

.)F?

F? =2 ,H

=1 ,G

C=2 (?

=2

= =

.)F?

=1 C=1 (G 1 ) C=2 (? G 2 ), =2 C=1 (? : 1 ) C=2 (: 2 ).

=1 ,G

C=1

C=1 ) !2 (Z = )!!2 (Z = ) ? ?

=1

.))

!2 (Z? = )!!2 (Z? = )

C=2

F? =2 ,H

C=2 (?

=1

.) .

= k*=1 k !2 (Z? =1 )!!2 (Z? =1 ) , = k*=2 k !2 (Z? =2 )!!2 (Z? =2 )

pour en déduire la propriété de sous-multiplicativité demandée.

⇤

�.�.�. Conclusion de la preuve du principe d’incertitude fractal pour Cantor discrets. — Si on arrive à prouver que k*= k < 1 pour un certain =, alors la sous-multiplicativité nous permet de montrer le principe d’incertitude fractal : k*= k !2 !!2 6 ⇠? = pour un > 0 par le lemme de Fekete qui montre que (��)

lim

=!+1

k*= k !2 !!2 k*= k !2 !!2 = inf · = > 1 = log(?) = log(?)

Déjà la transformée de Fourier F? = étant unitaire et les multiplications par les indicatrices étant contractantes, on en déduit que *= est contractante k*= k 6 1. Par l’absurde supposons que k*= D k = kD k pour un certain D.

Lemme �.� (les éléments optimaux sont de support très concentrés). — Si k*= D k = kDk alors D et b D sont supportées par le Cantor. ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

Démonstration. — Déjà montrons que k*= D k = kDk implique que D est supportée par le Cantor C= donc C= D = D. Donc k*= D k 2 = kD k 2 = k C= Dk 2 + k C=2 Dk 2 par Pythagore et comme k*= D k 2 6 k C= Dk 2 , on trouve k C= F# C= D k 2 k C= Dk 2 = k C=2 Dk 2 6 0 qui implique k C=2 D k 2 = 0. Donc nécessairement D doit être supporté par le Cantor C= . Maintenant, montrons que b D est aussi porté par C= . Par Plancherel puis Pythagore, on a kb D k 2 = k*= Dk 2 = k C= F Dk 2 = kb D k 2 k C=2 b D k 2 donc k C=2 b D k 2 = 0. ⇤

Lemme �.� (incertitude algébrique). — Soient ✓ < ? et ? 1 8 A. Il existe = assez grand = tel que si D et b D sont supportées par le Cantor C= , où D 2 C? dépend de =, alors D = 0.

Démonstration. — L’élément D qui maximise la norme de k*= Dk est supporté sur C= et sa transformée de Fourier est aussi portée par C= . Montrons que D = 0 pour = Õ = assez grand. Par décomposition de Fourier : D(G) = :2C= D : ( e8G/? ) : est un polynôme trigonométrique qui a au moins ? = ✓ = racines puisqu’il s’annule sur le complémentaire de C= et ses modes de Fourier sont indicés par le Cantor dans le dual. Le degré du polynôme trigonométrique est au plus (1 ? 1 1 )(? = 1) 6 ? = ? = 1 . Quand = ! +1, on compare le meilleur degré asymptotique du polynôme et le nombre minimal de racines : (?

1)? =

1

(? =

✓ = ) = ?=

1

+ ✓= = ✓=

1

✓

(?/✓ )=

1

!

=!+1

1

comme ?/✓ > 1. Asymptotiquement, il y a beaucoup trop de racines comparé au degré du polynôme donc D = 0. ⇤

Lemme �.��. — On a l’inégalité stricte k*= k !2 !!2 < k*= k

(.

Démonstration. — Si la norme d’opérateur coincidait avec la norme de Hilbert– Schmidt, on aurait ⇣ ’ ⌘ 12 p sup ⌫= ⌫ ⌫2 (*=⇤ *= )

1

⌫2 (*=⇤ *= )

p

car k*= k ( = Tr(*=⇤ *= ) 2 et k*= k !2 !!2 = sup kEk !2 =1 hE, *=⇤ *= Ei. Cela voudrait dire que toutes les valeurs propres de *=⇤ *= s’annulent sauf une valeur propre, donc *=⇤ *= (et a fortiori *= ) serait de rang 1, ce qui n’est pas possible dès que l’alphabet A contient au moins 2 lettres car on peut toujours extraire un bloc 2 ⇥ 2 inversible dans *= . ⇤ Ce qui conclut la preuve du principe d’incertitude fractal sur les Cantors discrets qui a permis à D������ et J�� (����) d’obtenir des nouveaux résultats sur le trou spectral de l’application du boulanger quantique. �. LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL SUR R Dans cette partie, nous faisons un survol de la preuve du principe d’incertitude fractal sur R qui représente le contenu mathématique principal de l’article de B������� et D������ (����), les applications spectaculaires au trou spectral de la fonction zêta SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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de Selberg résultent de la combinaison du principe d’incertitude fractal sur R avec les techniques microlocales de D������ et Z��� (����). �.�. Énoncé du principe d’incertitude fractal sur R. Rappelons l’énoncé du principe d’incertitude fractal sur R où la notion de porosité est définie dans la définition �.�. On veut montrer que

Théorème �.�. — Soit ⇡ > 0, il existe ⇠, > 0 tels que pour toute 5 2 !2 (R) et - , . ⇢ [0, 1] qui sont ⇡-poreux sur une échelle [\ , 1] :

(��)

supp( b 5)⇢\

1

. =) k 5 k !2 (-) 6 ⇠\ k 5 k !2 (R) .

Remarque �.�. Tout d’abord, une remarque sur la remise à l’échelle et la transformée de Fourier semiclassique. L’ensemble . a des trous sur une échelle [\ , 1], donc il est naturel que l’ensemble \ 1 . ait des trous sur une échelle [1, \ 1 ]. En notant F\ la transformée de Fourier semiclassique définie par F\ ( 5 ) = (1/\ 1/2 ) b 5 (⇢/\), on observe que b 5 est supportée sur \ 1 . implique que F\ ( 5 ) est supportée sur .. La preuve repose sur trois principes et peut se lire en trois étapes :

�) Un principe de prolongement unique dans la classe quasi-analytique. Dans le paragraphe �.�, on prouve un principe de prolongement unique sur des ensembles ✏-épais pour des fonctions dont la transformée de Fourier décroît très vite suivant B������� et D������ (����) et J��� et M�������� (����). �) Un principe de prolongement unique des fonctions dont le spectre est parcimonieux par transférence. On transfère la condition de décroissance rapide de la transformée de Fourier en une condition de parcimonie sur le support de la transformée de Fourier. On utilise des décompositions par blocs et des convolutions avec des fonctions tests bien optimisées construites à l’aide du théorème de B������� et M�������� (����). �) Une itération sur les échelles. Partant d’une inégalité de prolongement unique sur un ensemble ✏-épais d’une fonction 5 dont la transformée de Fourier est supportée sur un ensemble parcimonieux, on applique une procédure de récurrence sur les échelles pour en déduire le principe d’incertitude fractal. �.�. Principe de prolongement unique pour des fonctions quasianalytiques Dans cette partie, nous allons prouver un principe de prolongement unique pour des fonctions dont la transformée de Fourier est à décroissance rapide de telle sorte que ces fonctions sont quasianalytiques. On peut faire une analogie avec le paragraphe �.� de l’introduction qui traite de l’espace de Paley–Wiener. Nous allons prouver le principe de prolongement unique de type Logvinenko– Sereda suivant l’exposition de J��� et M�������� (����) (voir M������ et S����� (����, ��.�, p. ���) pour la version classique de ce principe) pour des fonctions dont la transformée de Fourier décroît très rapidement.

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

Définition �.� (fonctions de la classe ⇠ M ). Soit M = ("= )=2N une suite log-convexe, ce qui veut dire que "=2 6 "=+1 "= 1 , 8= > 1. Une fonction 5 2 ⇠ 1 ([0, 1]) appartient à l’espace ⇠ M ([0, 1]) s’il existe une constante ⇠ > 0 telle que k 5 (=) k !1 [0,1] 6 ⇠ "= .

Nous rappelons l’énoncé du théorème de Denjoy–Carleman qui donne une condition nécessaire et suffisante sur la suite M pour que ⇠ M soit une classe de fonctions quasianalytiques, ce qui veut dire que si 5 2 ⇠ M ([0, 1]) s’annule à l’ordre 1 en G0 , i.e. 5 (=) (G 0 ) = 0 pour tout = 2 N , alors 5 = 0.

Théorème �.� (Denjoy–Carleman). — Soit M = ("= )= une suite log-convexe. On pose ⇠= = "= /"=+1 pour tout = 2 N . On a l’équivalence 1 ’ ⇠= = +1 () ⇠ M ([0, 1]) est quasi-analytique. ==0

Pour la preuve de ce théorème, on renvoie le lecteur à l’article très court de C���� (����) ou à H�������� (����, p. ��-��). Le premier résultat de prolongement unique que nous allons prouver va utiliser une propriété de compacité des fonctions quasianalytiques dans ⇠ M ([0, 1]). Dans la suite, étant donné un borélien ⇢, nous noterons |⇢| sa mesure de Lebesgue.

Lemme �.� (prolongement unique élémentaire pour les fonctions quasianalytiques). — Soient ⇠ M ([0, 1]) une classe quasianalytique et C, ✏ > 0. Il existe ⇠ > 0 telle que pour toute 5 2 ⇠ M ([0, 1]), k 5 k !1 ([0,1]) > C et ⇢ ⇢ [0, 1] tel que |⇢| > ✏, alors

(��)

k 5 k !1 ([0,1]) 6 ⇠ k 5 k !1 (⇢) .

Remarque �.�. Une remarque cruciale pour la suite est que la constante ⇠ ne dépend que du ✏ > 0 qui minore la mesure de ⇢ et non de ⇢ lui-même. Démonstration. — Supposons par l’absurde que le résultat n’est pas vrai. Il existe C, ✏ > 0 et une suite ( 5= )=2N bornée dans ⇠ M ([0, 1]), une suite (⇢= )= de boréliens avec k⇢= k > ✏, telle que k 5= k !1 (⇢= ) 6 =1 k 5= k !1 ([0,1]) 6 =1 et k 5= k !1 ([0,1]) > C, 8= 2 N . (:)

Pour tout :, k 5= k !1 ([0,1]) 6 ⇠ " : pour tout =, donc la suite 5= est bornée dans tous les espaces ⇠ : ([0, 1]). La suite est bornée dans ⇠ 1 donc elle est équicontinue. En particulier par Ascoli, on extrait une première fois pour avoir une suite ( 5!1 (=) )= qui converge uniformément dans ⇠ 0 ([0, 1]) vers 5 . Par récurrence, la suite ( 5! : (=) )= est bornée dans ⇠ :+1 , on réextrait pour avoir une suite ( 5! :+1 (=) )= convergente dans ⇠ : . Par extraction diagonale, la suite ( 5!=+1 (=) )= va converger uniformément dans tous les ⇠ : ([0, 1]) pour tout : 2 N . Quitte à réextraire encore, on peut supposer que pour tout = 2 N , k 5= 5< k ⇠ 0 [0,1] 6 =1 , 8< > = et que la limite 5 2 ⇠ M ([0, 1]) satisfait k 5 k !1 ([0,1]) > C > 0. Pour tout = 2 N , |⇢= | > ✏ donc le borélien ⇢ = lim sup ⇢= = =!+1

1 Ÿ ÿ

==0

⇢:

: >=

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���

NGUYEN VIET DANG

vérifie |⇢| > ✏. Comme supG2⇢= | 5= (G)| 6 1/=, on a pour tout < > =, sup 5< (G) 6 sup 5= (G) + k 5=

G2⇢=

G2⇢=

5< k ⇠ 0 6

2 · =

On laisse < ! +1 et on en déduit que supG2⇢= | 5 (G)| 6 =2 , 8= 2 N et donc 5 = 0 sur — – ⇢ = = ( : > = ⇢ : ) où |⇢| > ✏ > 0. On choisit G 2 ⇢ tel que |[G =1 , G+ =1 ]\⇢| > 0, 8= 2 N . Si aucun de ces points G 2 ⇢ n’existait, alors ⇢ serait de mesure nulle ce qui contredirait |⇢| > ✏ > 0. En effet, comme la suite |[G =1 , G + =1 ] \ ⇢| est décroissante, si à un moment |[G =1 , G + =1 ] \ ⇢| = 0 alors G aurait un voisinage dans ⇢ de mesure nulle. Donc 5 s’annule en G, puis on prend une suite H= dans ⇢ \ {G} qui tend vers G, on a ( 5 (H= ) 5 (G))/(H= G) = 0 pour tout = et donc à la limite 5 0(G) = 0. Puis par récurrence, en utilisant le fait que 5 2 ⇠ 1 , 5 s’annule à l’ordre infini en G 2 ⇢, d’où l’on conclut que 5 = 0 par quasianalyticité de 5 , contradiction ! ⇤ On a besoin de convertir la borne inférieure !1 du lemme ci-dessus en une inégalité de prolongement unique dans !2 .

Lemme �.�. — Sous les mêmes hypothèses que dans le lemme précédent, il existe ⇠ > 0 telle que pour tout 5 2 ⇠ M ([0, 1]), k 5 k !1 ([0,1]) > C et ⇢ ⇢ [0, 1] telle que |⇢| > ✏, alors

(��)

k 5 k !2 ([0,1]) 6 ⇠ k 5 k !2 (⇢) .

Démonstration. — L’idée est d’adapter le mécanisme de l’inégalité de Markov en probabilités. Si - est une variable aléatoire à densité a.c. par rapport à Lebesgue, P(- > 0) 6 E(-)/0 donc P(- 6 0) > 1 E(-)/0. Pour que l’inégalité dans l’autre sens soit intéressante, il faut prendre 0 telle que E(-) < 0. Dans notre cas on pose ˜ ⇢˜ = {G 2 ⇢; | 5 2 (G)| 6 0} et on trouve | ⇢|/|⇢| > 1 k 5 k 2!2 (⇢) /0 par le raisonnement ˜ > 1 |⇢| > 1 ✏. Donc on précédent. Donc si on choisit 0 = 2k 5 k 22 , on en déduit | ⇢| ! (⇢)

applique l’inégalité du lemme �.� à l’ensemble ⇢˜ ,

2

2

p ˜ 2k 5 k !2 (⇢) k 5 k !2 ([0,1]) 6 k 5 k !1 ([0,1]) 6 ⇠˜ k 5 k !1 (⇢) ˜ 6 ⇠

où on utilise le fait que la constante ⇠˜ ne dépend pas de 5 et ⇢˜ mais juste du fait que p la mesure de ⇢˜ est > 12 ✏ et le fait que sur ⇢˜ on a | 5 | 6 0 par définition. ⇤ Soit ✏ > 0, un borélien ⇢ ⇢ R sera dit ✏-épais si |⇢ \ ⌫| > ✏ pour tout intervalle ⌫ de longueur 1. On peut maintenant prouver le théorème de Logvinenko–Sereda pour des fonctions à transformée de Fourier à décroissance rapide qui est un résultat de J��� et M�������� (����). La décroissance est contrôlée par un poids confinant le support de la transformée de Fourier.

Théorème �.� (théorème de Logvinenko–Sereda en quasianalytique). — Soit , : R>0 ! R>0 une fonction poids qui vérifie les conditions suivantes :

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

�) ,(0) = 1, , est croissante, semicontinue inférieurement14 et limC!+1 ,(C) = +1,

�) log(A) 7! log(,(A)) est convexe, �)

Ø1 0

log(,(C)) 1+C 2

dC = 1.

Soit ✏ > 0, pour toute ⇠, > 0, il existe ⇠ > 0 telle que si

k, b 5 k 2!2 (R) 6 ⇠, k 5 k 2!2 (R)

alors pour tout borélien ⇢ ✏-épais, on a l’inégalité de prolongement unique : (��)

k 5 k !2 (R) 6 ⇠ k 5 k !2 (⇢) .

Il est important de retenir que la constante ⇠ ne dépend que de l’épaisseur ✏ et de ⇠, et non de l’ensemble ⇢. Des exemples de poids satisfaisant aux hypothèses du théorème �.� sont les indicatrices d’intervalles bornés (auquel cas on travaille dans la classe de Paley–Wiener) et les exponentielles ,(⇢) = e1+|⇢| . Démonstration. — On suppose que k 5 k !2 (R) = 1.

Étape � : on prouve une estimée de Bernstein à poids et une version quasi-analytique du théorème de Paley–Wiener.

Montrons que l’ensemble des fonctions 5 telles que k, b 5 k 2!2 (R) 6 ⇠, k 5 k 2!2 (R) sont bornées dans une classe quasianalytique. La preuve est une simple version à poids des estimées de Bernstein. ⇣ |⇢| = ⌘ 2 2 8= 2 N , k 5 (=) k 2!2 (R) = (8⇢)= b 5 !2 (R) 6 sup k, b 5 k 2!2 (R) ⇢2R ,(⇢) 2 = "=2 k, b 5 k 2!2 (R) = "=2 ⇠, k 5 k 2!2 (R)

où "= = sup⇢2R |⇢| = /,(⇢). Donc k 5 (=) k !2 (R) 6 "= k, b 5 k !2 (R) 6 ⇠, "= k 5 k !2 (R) pour tout =, mais cela ne suffit pas pour conclure que 5 est quasianalytique car on aurait besoin d’une borne !1 au lieu d’une borne !2 . On aimerait convertir cette estimée qui contrôle la norme !2 de la dérivée =-ième en une estimée contrôlant la norme !1 de la dérivée =-ième. Par continuité de l’injection de Sobolev 1 (R) 1! ⇠ 0 (R), on a une estimée de la forme : 5 (=)

!1 (R)

6 ⇠Sob k 5 (=) k !2 (R) + k 5 (=+1) k !2 (R) 6 ⇠Sob ("= + "=+1 ) · k, b 5 k !2 (R) 6 2⇠Sob "=+1 · k, b 5 k !2 (R) 6 2⇠Sob "=+1 ⇠,

car ("= )= est croissante et où la constante ⇠Sob ne dépend pas de = 2 N mais seulement de l’injection de Sobolev. On en déduit que k, b 5 k !2 (R) < +1 implique que 5 est quasianalytique à la manière du théorème de Paley–Wiener. 14 Le lecteur pourra sans pertes de généralités prendre des poids continus ou bien qui valent 1 sur un intervalle et +1 en dehors qui vont localiser le support de Fourier dans un intervalle.

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���

NGUYEN VIET DANG

Étape � : on décompose R en bons et mauvais intervalles. L’inégalité de type Bernstein nous dit que (��)

5 (=)

!2 (R)

6 "= , b 5

!2 (R)

6 "= ⇠, k 5 k !2 (R)

pour tout =. On partitionne R en une union d’intervalle de largeur 1. Puis on cherche à localiser l’inégalité de Bernstein (��) sur des intervalles de taille 1 en une estimée de la forme : (��)

k 5 (=) k 2!2 ( ) 6 ⇠, "= ' 2(=+1) k 5 k 2!2 (

8= 2 N ,

)

où ' est un paramètre indépendant de = 2 N que l’on va ajuster à la fin de la preuve. On va départager les intervalles de R en deux familles : les bons intervalles où l’estimée ci-dessus est vérifiée et les mauvais intervalles où l’inégalité est fausse. Soit B= l’union des mauvais intervalles où l’inégalité (��) est vérifiée pour tout : < = mais k 5 (=) k 2!2 ( ) > ⇠, "= ' 2(=+1) k 5 k 2!2 ( ) . Donc

’

2B=

–

k 5 k 2!2 ( )
⇢(⇢) sur . un compact, on peut rendre l’inégalité vraie partout. Maintenant, qu’on a construit le poids, la seule chose à vérifier c’est que l’intégrale de Poisson est finie pour appliquer Beurling–Malliavin. C’est une majoration simple : π

R

#: π #: ’’ ’’ ⌧ ⌧ :,; d⇢ . d⇢ . 2 1 + ⇢2 R 1+⇢ :=0 ✓ =1

.

’ :=0

| {z }

. 2 : (2 : )

(2 : )

1+⌘

(2 : )2 .

:=0 ✓ =1

’

:

2 : (2 : ) 2 : (2 : )

| {z }

⇠|support(⌧ :,; )|

⇣(1+⌘)

,

:=0

où la majoration est uniforme en si le paramètre ⇣ vérifie ⇣ > (1+⌘) 1 . Le paramètre ⇡ détermine ⌘ qui à son tour détermine ⇣ donc le ⇣ qui apparaît dans (⇢) = log(10+|⇢|) ⇣ est déterminé par la porosité de telle sorte que l’intégrale de Poisson converge. Quitte à 1 rajouter h⇢i 2 , le poids ⌧ vérifie les hypothèses du théorème �.��, il existe ! qui satisfait les propriétés de l’énoncé de la Proposition. ⇤ Dans la suite, il faudra ajuster l’exposant ⇣ 2 ((1 + ⌘) 1 , 1) de telle façon à ce que pour toute 5 2 !2 (R), b 5 supportée dans \ 1 ., on ait F 1 (, b 5 ) quasianalytique. �.�. Preuve du théorème �.��

�.�.�. Intuition des difficultés de la preuve. — Une idée récurrente en analyse harmonique est l’idée de découplage où on décompose une fonction 5 2 !2 (R) en une somme ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

de blocs ⇧ : ( 5 ) supportés en Fourier sur des couronnes 2 : 6 |⇢| 6 2 :+1 et les ⇧ : ( 5 ) sont orthogonaux, ce qui s’écrit : k5

k 2!2

'

1 ’

⇧: ( 5 )

:=0

2 . !2

C’est l’idée de base de la décomposition de Littlewood–Paley–Stein en analyse harmonique (voir M����, ����, p. ��–��). Revenons à notre situation. On peut recou– vrir \ 1 . + [ 1, 1] par une union : : d’intervalles où chaque : est centré en C : et il – y a peu de chevauchements. Comme b 5 est portée par une union d’intervalles : : , on a bien entendu k 5 k 2!2 .

(��)

’

b 5

:

2 !2 ( : )

par Plancherel. Ensuite, on va vouloir appliquer le principe de prolongement unique à chaque bloc 5 : = F 1 ( 5 : ) e8C : qui est supporté en Fourier sur un intervalle où le facteur exponentiel est présent pour recentrer le support de la transformée de Fourier. Donc a priori, on aurait une inégalité de la forme

.

.

.

k 5 : e8C : k 2!2 (R) 6 ⇠ k 5 : e8C : k 2!2 (⇢)

par l’inégalité de prolongement unique classique de Logvinenko–Sereda pour les fonctions à spectre borné et la constante ⇠ ne dépend pas de : mais seulement de la ✏-épaisseur de ⇢. Pour conclure, il faudrait montrer que

’ :

.

k 5 : e8C : k 2!2 (⇢) . k

’ :

.

5 : e8C : k 2!2 (⇢) = k 5 k 2!2 (⇢)

et c’est là qu’il semble y avoir une grosse difficulté. La transformée de Fourier de l’indicatrice d’un intervalle de largeur 2 est un sinus cardinal déphasé 2 e8C : sin(⇢)/⇢ mais il n’est pas bien localisé en zéro et ne décroît pas assez vite pour qu’on puisse prouver l’estimée ci-dessus. �.�.�. La preuve avec la bonne fonction test à la place des indicatrices. — Donc au lieu de localiser avec des indicatrices , on va plutôt employer la fonction test du théorème de Beurling–Malliavin car elle a l’avantage d’être localisée en position et a une bonne décroissance en Fourier sur l’ensemble parcimonieux \ 1 . + [ 1, 1]. Mais au lieu b > 2 > 0 sur l’intervalle (qu’on aurait si ! b était d’avoir une minoration du type ! b k 2!2 ( ) > 0 une indicatrice ou une Gaussienne), on a plutôt une hypothèse du type k ! qui est moyennée. Donc la décomposition en bloc doit être légèrement modifiée et on prouve un analogue de l’identité (��) :

– Lemme �.��. — On suppose que supp( b 5 ) ⇢ : : où : = [C : 1, C : + 1]. Soit une suite c: k 2!2 [ 1,1] > 21 > 0. Alors : ! : 2 !2 (R) avec k ! π 2’ 1 2 b c: !2 (R) d . (��) k 5 k 2!2 (R) 6 5 ( + + C: ) ! 21 2

.

:

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���

NGUYEN VIET DANG

Démonstration. — On part de (��) k 5 k 2!2 (R) 6

1 ’

kb 5 k 2!2 (

:=0

:)

et on va chercher à majorer chaque terme k b 5 k 2!2 ( ) . Par Fubini, on trouve kb 5 k 2!2 (

:)

=

π

1

1 2 b 5 (⇢ + C : ) d⇢ 6

21

1

Observons que quel que soit

π

1

1

2 b 5 (⇢ + C : ) d⇢ =

π

1

π

1π 1 :

1

2 [ 1, 1], on a

b 5 (⇢ + C : )

1

2 b 5 (⇢ + C : + ) d⇢ 6

1

π

2

2

2

c: ( ) · !

2

d⇢ d .

2 b 5 (⇢ + C : + ) d⇢.

donc en réinjectant dans le membre de droite de l’inégalité on trouve kb 5 k 22

! ( :)

1 6 21 =

1 21

1 6 21

6

π

π

1 21

π π

Et on conclut en resommant.

1 1 2 2 2 2 2 2

⇣π

⇣π

⇣π

2

2 1 1

R

b 5 (⇢ + C : + )

b 5 (⇢ + C : + )

b 5 (⇢ + C : + )

.

b c: 5 (⇢ + C : + ) !

2

2

2

c: ( ) · !

c: ( ) · !

c: ( ) · !

2

⌘

2

d⇢ d

2

d

d

2 d⇢. !2 (R)

⌘

⌘

d⇢

d⇢

⇤

On se donne 5 telle que b 5 est portée par \ . + [ 1, 1] que l’on recouvre par une – union d’intervalles ✓ ✓ de largeur 2 dont les centres sont suffisamment espacés. Ensuite pour chaque ✓ , le théorème de Beurling–Malliavin nous donne une fonction test c !✓ centrée autour de ✓ et à décroissance très rapide sur un voisinage de \ 1 .. On utilise cette fonction pour décomposer 5 en blocs quasianalytiques et exploiter des propriétés de découplage. On va appliquer la Proposition �.�� pour chaque indice ✓ , elle nous donne une fonction test !✓ telle que : 1

3 supp(!✓ ) ⇢ [ 3 |c !✓ (⇢)| 6 e 3 |c !✓ (⇢)| . e 3 |c !✓ | !2 [

1,1]

, ], 1

21 h⇢i 2 21 ⌧(⇢)

sur R,

sur \

1

> 21 ,

. + [ 3, 3]

C✓ 15 (translatée du 3-voisinage de \

où les constantes 2 1 , ne dépendent pas de ✓ . Pour chaque 2 [ 2, 2], on considère 5

,✓

=F

1

.

b 5 ( + + C✓ ) c !✓ = ( 5 · 4

1

.),

C✓ ) 8 !✓

15 On doit prendre un 3-voisinage car l’opération de moyenne définissant les blocs épaissit les supports.

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

où le rôle de l’exponentielle 4 C✓ = e 8( +C✓ )G est de décaler le support de b 5 c !✓ de façon à centrer l’intervalle ✓ autour de 0. Pour le moment, l’inégalité (��) se réécrit en termes des 5 ,✓ comme (��)

k5

1 6 21

k 2!2 (R)

π

2’

2

k5

✓

2 ,✓ k !2 (R) d

2 [ 2, 2], la fonction 5c,✓ est portée par \

Quel que soit l’estimée :

.

q

.

5c,✓ ( ) . b 5 ( + + C✓ )

|c !✓ | e

. 1

. + [ 3, 3] C✓ et satisfait

1 2 21 ⌧

car la fonction test c !✓ restreinte à l’ensemble \ 1 . + [ 3, 3] C✓ décroît comme e 21 ⌧ . p Õ 1 Pour chaque ✓ , on a donc l’estimée | e 2 21 ⌧ 5c,✓ | . ✓ | b 5 ( + + C✓ )| | c !✓ | d’où l’on déduit en sommant sur ✓ et en passant à la norme !2 que : 8 2 [ 2, 2],

(��)

’ ✓

e 2 21 ⌧ 5c,✓ 1

2 !2 (R)

6⇠

✓

Remarquons immédiatement que : e 2 21 ⌧ 5c,✓ 1

2 !2 (R)

’

1 ⇣ e 2 |⇢| log(10+|⇢|) 5c,✓

< +1 =)

.

q b 5 ( + + C✓ ) | c !✓ |

.

2 !2 (R)

2

!2 (R)

.

< +1 avec 0 < ⇣ < 1, 1

par les propriétés du poids ⌧ établies dans la Proposition �.��. Comme le poids e 2 21 ⌧

Ø1

restreint au support de 5c,✓ est à forte croissance à l’infini et 0 |⇢| log(10+|⇢|) = +1, 1+⇢2 cela veut dire que chaque bloc 5 ,✓ voit sa transformée de Fourier à décroissance suffisamment rapide pour être quasianalytique. La constante ⇠ va changer de ligne en ligne pour simplifier les expressions. On utilise de nouveau le fait que c !✓ décroît encore très vite,

(��)

π

2’

2

e

1 2 21 ⌧

✓

où on a utilisé le

5c,✓

2 d !2

6⇠

’π ✓

2

2

b 5(

q

.

C✓ ) | c !✓ |

⇣

2

!2 (R)

Lemme �.��. — Soient 6 2 !2 (R), 2 > 0 et (C✓ )✓ une suite espacée |C✓ tous ✓ < ✓ 0. Alors on a la majoration ’π 2 1 2 1 (��) 6( + + C✓ ) e 2 2h i 2 6 ⇠ k k 2!2 (R) ✓

2

.

.

d 6 ⇠ k 5 k 2!2 (R)

C✓ 0 | > 1, pour

! 2 (R )

où ⇠ ne dépend que de 2.

Démonstration. — La preuve est simple :

’π ✓

2 2

.

6( + + C✓ ) e

.

1

2h i 2

2 !2 (R)

6

’π ✓

2 2

.

6( + ) e

2h

.

1

C✓ i 2

2 !2 (R)

·

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���

NGUYEN VIET DANG

On observe que les C✓ étant régulièrement espacés, on a des estimées simples de la forme π 1 π 1 p ’ p 1 1 2h⇢ C✓ i 2 2 1+|⇢ C| sup e . sup e dC . 2 e 2 C dC . 2 · 2 ⇢, ⇢2R , 2[ 2,2] 1 1 ✓

Ce qui conclut.

⇤

On a décomposé la fonction 5 en beaucoup de petits bouts 5 ,✓ et chaque bout est 1 1 ⇣ quasianalytique grâce à l’estimée k e 2 |⇢| log(10+|⇢|) 5c,✓ k !2 (R) 6 k e 2 21 ⌧ 5c,✓ k 2!2 (R) < +1, ⇣ < 1, qui découle de (��). Mais on aimerait localiser cette propriété de quasianalyticité exactement comme dans la preuve du théorème �.�. Fixons un paramètre ⇡ > 1 et appelons une paire ( , ✓ ) bonne si e 2 21 ⌧ 5c,✓

2 !2 (R)

1

6 ⇡k 5 ,✓ k 2!2 (R) .

Comme dans la preuve du prolongement unique, on observe que la somme Õ 2 ✓ ;( ,✓ )2mauvais sur les mauvaises paires est petite en norme ! :

π

’

2

2 ✓ ;( ,✓ )2mauvais

5c,✓

2 d !2 (R)

π

1

6⇡

’

2

e 2 21 ⌧ 5c,✓ 1

2 ✓ ;( ,✓ )2mauvais

2 d !2 (R)

où on a utilisé (��). Par l’inégalité (��) du lemme �.��, 2 1 k 5 k 2!2 (R) 6 donc on obtient

⇣

⇠⌘ k 5 k 2!2 (R) 6 21 k 5 k 2!2 (R) ⇡

21

6

π

2

’

2 ✓ ;( ,✓ )2bon

π

’

2

5c,✓

2 ( ,✓ )2mauvais

5c,✓

2 d !2 (R)

.

6

Ø2Õ 2

✓

⇠ k 5 k 2!2 (R) ⇡

k5

2 ,✓ k !2 (R) d

2 d !2 (R)

Donc en choisissant ⇡ > 0 assez grand, on peut s’assurer que (2 1 ⇠/⇡) > 0. Par le théorème �.� de Logvinenko–Sereda, pour les bonnes paires ( , ✓ ), on trouve immédiatement k 5 ,✓ k 2!2 (R) 6 ⇠LS k 5 ,✓ k 2!2 (⇢) où la constante ⇠LS provient du théorème de Logvinenko–Sereda. Donc pour le moment, on a montré que (��)

⇣

21

⇠⌘ k 5 k 2!2 (R) 6 ⇡

π

2

’

2 ✓ ;( ,✓ )2bon

5c,✓

2 d ! 2 (R )

6 ⇠LS Õ

π

2

’

k5

2 ✓ ;( ,✓ )2bon

2 ,✓ k !2 (⇢) d

.

Maintenant pour conclure, il reste à comparer ✓ ;( ,✓ )2bon k 5 ,✓ k 2!2 (⇢) avec k 5 k 2!2 (⇢ ) où il y a une perte comme on prend un voisinage ⇢ = ⇢ + [ , ]. Nous utilisons une relation algébrique cruciale, comme la fonction !✓ est à support compact dans [ , ] : (5 · 4

C✓

) 8 !✓

⇢ (G)

=

π

R

⇢ (G) ⇢

= (5 · 4

ASTÉRISQUE ���

C✓

(H)( 5 · 4 ⇢

) 8 !✓

C✓

)(H)!✓ (G

⇢ (G)

H) d H

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

car ⇢ (G)!✓ (G H) = ⇢ (H) ⇢ (G)!✓ (G H) puisque G 2 ⇢, G H 2 [ , ] =) H 2 ⇢ . C’est à cette étape cruciale qu’on utilise la compacité du support de !✓ . Ensuite : (��)

k5

2 ,✓ k !2 (⇢)

= k5

6

,✓

2 ⇢ k !2 (R)

(5 · 4

C✓

(5 · 4

= ⇢

.

) 8 !✓

= ö 5 ⇢ ( + + C✓ ) c !✓

2

C✓

⇢

2 ! 2 (R )

!2 (R)

2

) 8 !✓

⇢

= F (5 · 4

!2 (R) C✓

⇢

(par Plancherel).

)c !✓

2 !2 (R)

Donc on reprend l’inégalité (��) combinée avec (��) nous donne

⇣

21

⇠⌘ k 5 k 2!2 (R) 6 ⇠LS ⇡

6 ⇠LS

π π

2

’

k5

2 ✓ ;( ,✓ )2bon 2

’

2 ✓ ;( ,✓ )2bon

. ⇠⇠LS ö 5 ⇢ | {z

Ce qui conclut la preuve du théorème �.��.

.

ö 5 ⇢ ( + + C✓ ) c !✓

2 ! 2 (R )

par l’estimée (��)

2 ,✓ k !2 (⇢) d

}

2 d ! 2 (R )

= ⇠⇠LS k 5 k 2!2 (⇢ ) .

|

{z

par Plancherel

}

�.�. Principe d’itération sur les échelles et preuve du principe d’incertitude fractal Pour conclure la preuve du théorème �.�, il reste à itérer sur les échelles l’inégalité de prolongement unique. On part de (- , .) ⇡-poreux sur une échelle [\ , 1]. On fixe un entier et on suppose sans perte de généralité que \ = 2 , pour tout : 2 {0, . . . , }, on considère la partition dyadique I(:) = {[92 : , (9 + 1)2 : ]; 9 2 Z}. Comme - est ⇡-poreux de l’échelle \ à 1, pour chaque 2 I(:), il existe un sous– 0 ⇢ R, intervalle 0 ⇢ tel que | 0 | = ⇡| | = 2 : ⇡, 0 \ - = ?. On pose * :0 = 2I(:) * :0 \ - = ? et - : = R \ * :0 où - : est une image approximative de - à la résolution 2 :+1 . L’idée centrale est de minorer 5 sur l’ensemble * :0 contenu dans le complémentaire de - mais à l’échelle ⇡2 : .

Proposition �.�� (minoration de la masse sur le complémentaire). — Il existe 2 = 2(⇡) > 0 tel que pour tout : 2 N et 5 2 !2 (R)

(��)

supp( b 5 )⇢\

1

. + [ 2 : , 2 : ] =) k 5 k !2 (* :0 ) > 2k 5 k !2 (R) .

Démonstration. — Nous allons déduire cette Proposition du théorème �.�� par un simple argument de changement d’échelle. On rappelle que si - , . sont ⇡-poreux sur une échelle [\ , 1], il existe ⇠ telle que

(��)

supp( b 5 )⇢\

1

. + [ 1, 1] =) k 5 k 2!2 (R) 6 ⇠ k 5 k 2!2 (⇢)

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où ⇢ = *00 est bien ⇡-épais par le fait que - est ⇡-poreux d’après le lemme trivial �.� 16. La constante ⇠ ne dépend ni de \ ni de ⇢ comme le lecteur pourra vérifier en inspectant la preuve du théorème �.��. Maintenant, on se donne 5 telle que b 5 est supportée sur \ 1 .+[ 2 : , 2 : ] et l’ensemble ⇢ : = R \ - : avec - : = - + [ 2 : , 2 : ]. Alors on observe que b 5 (2 : ) est supportée 1 1 1 : sur l’ensemble (2 \ ). + [ 1, 1] ⇢ [ \ 1, \ + 1] et l’ensemble 2 : ⇢ : est ⇡-épais comme ⇢0 . Par transformée de Fourier inverse, posons la fonction 5˜ = 2 : 5 (2 : ) qui satisfait les hypothèses du théorème �.�� avec \˜ = 2 : \ mais comme la constante ⇠ de l’estimée (��) ne dépend pas de \˜ > \ on trouve :

.

.

(��)

ke 5 k 2!2 (R) 6 ⇠ k e 5 k 2!2 (2: ⇢ ) =) k 5 k 2!2 (R) 6 ⇠ k 5 k 2!2 (⇢ ) . : : | {z } | {z }

=2

: k 5 k2 ! 2 (R )

=2

⇤

: k 5 k2 !2 (⇢ : )

On va itérer l’estimée de la proposition �.�� en utilisant la structure héréditaire approximative de - qui est une conséquence de la ⇡-porosité. On doit impérativement penser à - : comme à une approximation dyadique de - à l’échelle 2 : 17. On observe que pour tout : 2 {0, . . . , =}, on a l’inclusion - ⇢ - : d’où - ⇢ - : \ · · · \ -0 d’où l’on déduit - 6 -0 \···\-: = -0 · · · -: et donc k

-

5 k !2 (R) = k 5 k !2 (-) 6 k

-0

···

-:

5 k !2 (R)

Maintenant, on aimerait itérer l’estimée de prolongement unique en commençant avec -0 5 : supp( b 5 )⇢\

1

. + [ 1, 1] =) k 5 k 2!2 (* 0 ) > 2 2 k 5 k 2!2 (R) 0

=) k 5 k 2!2 (R)

k 5 k 2!2 (-0 ) = k 5 k 2!2 (* 0 ) > 2 2 k 5 k 2!2 (R)

par Pythagore et, comme -0 = R \ *00 , =) k

-0

5 k !2 (R) 6

0

p

1

2 2 k 5 k !2 (R) .

Imaginons que -0 5 était à support de Fourier borné contenu dans \ 1 . + [ 2, 2], alors on pourrait poursuivre en majorant -1 -0 5 . On voudrait itérer cette estimation pour obtenir p k - : · · · -0 5 k ! 2 ( R ) 6 1 2 2 k - : 1 · · · -0 5 k ! 2 ( R ) p ? 6 ··· 6 1 2 2 k -: ? · · · -0 5 k !2 (R) . 16 Ce fait ne dépend pas de \ car on teste l’épaisseur en intersectant avec des intervalles de largeur 1, on a fait un petit abus car le théorème �.�� ne s’applique que à un épaississement ⇢ d’un ensemble épais ⇢. Mais ici, quitte à un peu rétrécir les 0 en prenant des intervalles 00 avec même centre que 0 mais largeur – 00 9 ⇡ et = 10 , on se ramène à la situation où ⇢ = *00 . 10 ⇡ puis appliquer le théorème à ⇢ = 17 Penser à une analogie avec une télévision et la résolution de ses pixels.

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

Mais le problème c’est que -: 1 · · · -0 5 n’est plus de transformée de Fourier à support compact à cause de la multiplication par les indicatrices18. L’idée principale est de régulariser les indicatrices par convolution avec une fonction de Schwartz positive dont la transformée de Fourier est à support compact. Choisissons un :0 (qu’on va ajuster plus tard en fonction de la constante de prolongement unique ⇠ et de la constante de porosité ⇡) et posons :

b ⇢ [ supp(#)

": = 1 1 2, 2]

et

Ø

-:

8 #: ,

.

.

# : ( ) = 2 :+:0 #(2 :+:0 )

# = 1. Par le comportement de la transformée de Fou-

.

.

ú :+:0 ) = #(2 c: = 2 :+:0 #(2 b : :0 ) rier par changement d’échelle, on trouve que # c: ) ⇢ 2 :+:0 [ 2 1 , 2 1 ] = [ 2 :+:0 1 , 2 :+:0 1 ]. On observe que supp(c donc supp(# ": ) = c: ⇥ d c: ) ⇢ [ 2 :+:0 1 , 2 :+:0 1 ]. supp(# - : ) ⇢ supp(# On va poser une variante de la fonction -0 · · · -: 5 où on aura convolé toutes les indicatrices, soit pour : multiple de : 0 , la suite de fonctions : (��)

5 : = "0 " : 0 · · · " :

:0 " :

5

où le produit porte sur les multiples de :0 de 0 à :. Il est évident que k -0 · · · -: 5 k !2 (R) 6 k 5 : k !2 (R) . Le fait que les transformées de Fourier des " : sont à support compact nous permettra d’appliquer l’inégalité de prolongement unique à toutes les itérations. On se rappelle qu’on part de supp( b 5 ) ⇢ \ 1 . qui est l’hypothèse du principe d’incertitude fractal. Ensuite, on trouve

d supp( " "0 ) + supp( b 5 ) ⇢ supp( b 5 ) + [ 2 :0 0 5 ) = supp( c

puis en itérant

supp F (" :

1

1

· · · "0 5 ) ⇢ supp( c " : ) + · · · + supp( c "0 ) + supp( b 5) ⇢ supp( b 5 ) + [ 2 :0

1

, 2 :0

1

1

, 2 :0

] + · · · + [ 2 :+:0

1

]

, 2 :+:0

On reconnait une série géométrique 2 :0 1 + · · · + 2 :+:0 1 = 2 :0 1 (1 + · · · + 2 :+:0 2 :0 1 · 11 22:0 6 2 :+:0 pour :0 assez grand. Donc au final on trouve que supp( ö 5 : :0 ) ⇢ supp( b 5 ) + [ 2: , 2: ] ⇢ \

1

1

].

:0 ::

0

)=

. + [ 2: , 2: ]

et ö 5 : :0 satisfait aux hypothèses de la Proposition �.��. Cela veut dire que k 5 : :0 k !2 (* :0 ) > 2k 5 : :0 k !2 (R) donc p (��) k -: 5 : :0 k !2 (R) = k 5 : :0 k !2 (-: ) 6 1 2 2 k 5 : :0 k !2 (R) .

Rappelons qu’on aimerait comparer k 5 : = " : 5 : :0 k !2 (R) au lieu de k -: 5 : :0 k !2 (R) avec k 5 : :0 k !2 (R) mais le problème vient du fait que le support de " : est R tout entier

18 En effet les indicatrices étant à support compact, leur transformée de Fourier est analytique par Paley– Wiener.

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et non - : donc on va s’arranger pour que " : 6 12 sur le complémentaire * :0 de - : . On répète l’argument ci-dessus mais cette fois-ci avec " : , on part de : 2 : 0 k ! 2 (R )

k" : 5 : En utilisant " : 6

1 2

sur

k" : 5 : :0 k 2!2 (R)

* :0

= k" : 5 :

2 :0 k !2 (- : )

+ k" : 5 :

et " : 6 1 partout, on obtient : 2 : 0 k !2 (* 0 )

= k" : 5 :

:

2 :0 k !2 (* 0 ) . :

2 :0 k !2 (- : )

+ k" : 5 :

(Pythagore)

6 14 k 5 : :0 k 2!2 (* 0 ) + k 5 : :0 k 2!2 (-: ) : | {z } | {z } car " : 6 1

car " : | * 0 6 12 :

6 14 k 5 : 1 4

6

2 : 0 k !2 (R)

2 2 ) k 5:

+ 34 (1

2 : 0 k !2 (- : )

+ 34 k 5 :

| {z }

(Pythagore)

2 :0 k !2 (R)

(inégalité (��)).

Ce qui montre que pour tout : multiple de :0 et : > : 0 on a (��)

2 :0 k !2 (R)

k" : 5 :

6

1 4

|

+ 34 (1

{z

22)

}

0 où les valeurs propres sont comptées avec multiplicité : 6 4⌫

= ⌫4⌫ ,

4⌫ 2 ⇠ 1 ("),

k4⌫ k !2 (") = 1.

Il est bien connu que pour " à courbure négative, le flot géodésique ! C : (⇤ " ! est ergodique pour la mesure de Liouville ⇠ (voir K���� et H����������, ����).

(⇤ "

�.�.�. Rappels informels sur le calcul pseudodifférentiel. — L’objectif de ce paragraphe est de donner au lecteur une idée un peu intuitive du calcul pseudodifférentiel et nous renvoyons le lecteur à des ouvrages plus spécialisés comme celui de Z������ (����) pour plus de détails. Commençons par des exemples simples sur R3 . On aimerait construire un cadre qui mettrait sur pied d’égalité des opérateurs de multiplication par une fonction lisse < 5 : D 2 !2 7! 5 D 2 !2 , et des opérateurs différentiels à coefficients constants D 7! %(⇡)D où % est un polynôme. Bien sûr, on sait que si l’on décompose une fonction D en Fourier, l’opérateur différentiel agira comme une multiplication par un polynôme. Donc un peu à la manière de la transformée de Fourier, l’idée est de décomposer une fonction D 2 !2 (R3 ) dans une intégrale oscillante, puis d’agir par multiplication par des fonctions (G; ⇢) sur le cotangent ) ⇤ R3 , appelés symboles. La correspondance qui à un symbole associe l’opérateur Op\ ( ) correspondant s’appelle une quantification. En pratique, on peut donner une formule explicite dans R3 de telles quantifications qui reposent sur la transformée de Fourier, pour D 2 S(R3 ) : (��)

1 Op\ (0)(D) = (2 \)3

π

R3

0(G; ⇢) e8⇢·(G

H)/\

D(H) d 3 ⇢

où 0(G; ⇢) appelé symbole est a priori un élément de S(R23 ), on doit y penser comme à une fonction sur le cotangent. On peut ensuite généraliser cette procédure de quantification à des classes plus larges de symboles que S(R23 ) pour lesquels on renvoie le lecteur aux ouvrages plus spécialisés. Vérifions qu’on retrouve bien les opérateurs de multiplication et différentiels. Les opérateurs de multiplication < 5 se retrouvent en Ø posant 0(G; ⇢) = 5 (G) et les opérateurs différentiels usuels par %(⇡G )D = (21 )3 R3 0(G; ⇢) e8⇢·(G H) D(H) d 3 ⇢ où 0(G; ⇢) = %(⇢), ⇡G = 8%G . Il est aussi SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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utile de rappeler qu’une bonne procédure de quantification doit satisfaire aux propriétés suivantes : �) Théorème de composition : Op\ (0) Op\ (1) = Op\ (01) + O(\)!2 !!2 pour (0, 1) 2

⇠01 () ⇤ ")2 .

�) Calderon–Vaillancourt : un symbole borné définit un opérateur borné dans !2 ,

si 0 2 ⇠01 () ⇤ ") alors k Op\ (0)k !2 !!2 6 ⇠ ⇠, ⇡ dépendent de la variété ".

Õ

| | 6⇡

\

�) Identité du commutateur : [Op\ (0), Op\ (1)] = {., .} désigne le crochet de Poisson.

| | 2

k% 0k !1 () ⇤ ") où les constantes

8\ Op\ ({0, 1}) + O(\ 2 )!2 !!2 où

�) Théorème d’Egorov : soit ) > 0 et 0 2 ⇠01 () ⇤ ") tel que le support de 0 ne rencontre p p pas la section nulle. Alors on a e8C 6 Op\ (0) e 8C 6 = Op\ (0 ! C ) + O(\)!2 !!2 pour tout C 2 [0, )] et où ! C : ) ⇤ " ! ) ⇤ " est un flot homogène de degré 0 dont la restriction à (⇤ " coïncide avec le flot géodésique21. Conjuguer par le propagateur des ondes revient donc à propager le symbole par une version renormalisée du flot géodésique. Le premier théorème est une généralisation spectaculaire du principe de prolongement unique pour les fonctions propres du laplacien sur ".

Théorème �.� (Dyatlov et Jin, ����b). — Soit (", 6) une surface à courbure négative constante. Soit * ⇢ " un ouvert non vide. Alors il existe une constante 2 > 0, telle que pour toute solution 4⌫ 2 !2 (") de 6 4⌫ = ⌫4⌫ , k4⌫ k 2!2 (") = 1 : k4⌫ k 2!2 (*) > 2 > 0.

(��)

Signalons que ce résultat a été généralisé au cas des surfaces à courbure négative variable par D������, J�� et N����������� (����). Pour des ⌫ bornés, l’inégalité �� est une conséquence immédiate du principe de prolongement unique. En effet, sur une variété riemannienne compacte " quelconque, pour toute solution 4⌫ 2 !2 (") de 6 4⌫ = ⌫4⌫ , k4⌫ k 2!2 (") = 1, J������ et L����� (����) et L����� et Z����� (����) ont montré une inégalité de prolongement unique de la forme22 : k4⌫ k 2!2 (*)

(��)

>

e

p ⇠ ⌫

⇠

p

où on voit que le terme de droite devient exponentiellement petit comme O( e ⇠ ⌫ ) quand l’énergie ⌫ ! +1. De plus, signalons que sur une variété riemannienne 21 Le fait de conjuguer par le propagateur demi-onde fait que le flot ! C est homogène de degré 0 par rapport au changement d’échelle (G; ⇢) 7! (G; ⌫⇢), pour avoir le vrai flot géodésique il aurait fallu conjuguer par le 1

propagateur de Schrödinger e 2 8C\

6.

22 Voir en particulier J������ et L����� (����, Thm ��.� p. ���) qui se démontre à l’aide des inégalités de Carleman et dont la méthode de preuve s’inspire des travaux de D������� et F�������� (����).

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

compacte quelconque, sans aucune hypothèse de courbure, un résultat de L������ et M���������� (����) montre une inégalité de type Remez : (��)

(

6

1 ⇣ Vol 6 (*) ⌘ ⌫)D = 0 =) sup |D| > ⇠ ⇠ *

|

p ⇠ ⌫

{z

}

sup |D| "

perte exponentielle

où on voit la même décroissance exponentielle dans le terme de droite. Cette estimée de type Remez est optimale au sens où sur la sphère S2 , pour toute boule ⌫(G0 , A) de rayon A suffisamment petit, on peut trouver une sous-suite de fonctions propres de p 2 2 ⌫ norme 1 du laplacien, telle que k4⌫ k !2 (⌫(G ,A)) 6 2 e . Donc la force du théorème �.� 0 réside dans le fait que la constante 2 ne dépend pas de ⌫ 2 ( 6 ). Ceci illustre le fait que le résultat de Dyatlov–Jin utilise forcément la géométrie de la variété, ici via l’hyperbolicité du flot géodésique qui va nous permettre d’appliquer le principe d’incertitude fractal. En fait, le théorème �.� est une conséquence d’un résultat plus général qui fait intervenir des notions de calcul pseudodifférentiel :

Théorème �.�. — Soit (", 6) une surface à courbure négative constante. Supposons que 0 2 ⇠01 () ⇤ ") et 0 (⇤ " non nulle. Alors il existe des constantes ⇠, \ 0 > 0 telles que pour tout \ < \ 0 (��)

kD k !2 (") 6 ⇠ Op\ (0)D} !2 (") + ⇠

| log(\)| · (\ 2 \

6

1)D

!2 (")

.

Remarque �.�. Pour une métrique 6 quelconque sur ", si toutes les géodésiques intersectent 0 < 0, on dit dans ce cas que 0 satisfait l’hypothèse de contrôle géométrique, alors l’inégalité (��) est automatiquement satisfaite sans aucune hypothèse sur la métrique et sans le terme en | log(\)|. Pour voir pourquoi ce théorème implique le théorème �.�, on applique le résultat à des fonctions propres auquel cas (\ 2 6 1)D = 0 et on posera une fonction bosse 1 2 ⇠01 (*), 0 6 1 6 1, 1 est supportée dans l’ouvert * et soit " 2 ⇠01 () ⇤ "), " = 0 près de la section nulle et " = 1 près de (⇤ " ⇢ ) ⇤ ". Dans ce cas, le produit 0 = "1 satisfait les hypothèses du théorème �.� et on peut majorer k Op\ (0)D k !2 (") de la façon suivante : k Op\ ("1)Dk !2 (") 6 k Op\ (")k !2 !!2 k1D k !2 (") + O(\)kD k !2 (")

|

{z

Calderon–Vaillancourt et théorème de composition

6 kD k !2 (*) + O(\)kD k !2 (")

}

et on remplace à droite de (��) en absorbant le terme de reste en O(\), ce qui donne (��). SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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�.�.�. Le support des mesures semiclassiques. — Nous allons reformuler les résultats du paragraphe précédent en terme de mesures semi-classiques. Mais insistons que ce sont en réalité des corollaires du théorème �.�. Nous rappelons la définition des mesures de Wigner appelées parfois mesures semiclassiques. Ces objets sont étudiés en mathématiques dans les premiers travaux sur l’ergodicité quantique de S��������� (����a), Z������� (����) et C���� �� V������� (����) puis ont été introduit de façon systématique en EDP par T����� (����) et G����� (����) (voir aussi L���� et P���, ����).

Définition �.� (Mesures semi-classiques). Soit 0 2 ⇠01 () ⇤ ") et Op\ (0) 2 0 (") l’opérateur pseudodifférentiel correspondant. Une mesure ⇠ sur (⇤ " est une mesure de Wigner si il existe une sous-suite (4⌫ : ) : de fonctions propres de 6 , normalisée dans !2 , telle que23 π ⌦ ↵ (��) lim 4⌫ : , Op\ : (0)4⌫ : = 0(G; ⇢) d⇠(G; ⇢). :!+1

(⇤ "

Noter que le paramètre semiclassique \ : , qui joue le rôle d’une longueur d’onde doit 1

être ajusté égal à ⌫ : 2 dans le membre de gauche de l’égalité. C’est une conséquence du théorème d’Egorov que les mesures semiclassiques sont des mesures de probabilité sur (⇤ " invariantes par le flot géodésique. Une conséquence spectaculaire du théorème �.� pour les mesures de Wigner s’énonce comme :

Théorème �.� (Dyatlov et Jin, ����b). — Soit (", 6) une surface à courbure négative constante. Toute mesure semiclassique ⇠ sur (⇤ " est de support total. Ce théorème a également été généralisé à la courbure négative variable dans D������, J�� et N����������� (����) et par S������� (����) pour les mesures semiclassiques de l’application du chat quantique. La question de savoir quelle mesure invariante par le flot géodésique est semiclassique est un problème très étudié en chaos quantique. Le théorème d’ergodicité quantique de S��������� (����a,b), Z������� (����) et C���� �� V������� (����) montre que la mesure de Liouville est une mesure semiclassique obtenue en prenant une limite le long d’une sous-suite de densité 1 de fonctions propres. R������ et S����� (����) ont conjecturé que la mesure de Liouville est l’unique mesure semiclassique sur les variétés compactes à courbure négative stricte. Pour le moment, cette conjecture, appelée QUE pour « Quantum Unique Ergodicity conjecture », n’a été prouvée que dans le cas des fonctions propres de Hecke sur les surfaces arithmétiques par L������������ (����). La QUE sur les surfaces hyperboliques est un problème ouvert. Le résultat du théorème �.� est une avancée spectaculaire venant compléter la percée d’A����������� (����), A�����������, K��� et N����������� (����) et A����������� et N����������� (����) qui ont minoré l’entropie des mesures semiclassiques sur les variétés à courbure négative. 23 La convergence a lieu au sens de la topologie faible sur les fonctions de ) ⇤ ".

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

Ils montrent que toute mesure semiclassique ⇠ a son entropie de Kolmogorov–Sinai minorée par 12 (dim(") 1) quand la métrique est à courbure sectionnelle constante égale à 1. Ce résultat a été étendu par R������ (����) au cas des surfaces à courbure négative variable. Nous renvoyons le lecteur souhaitant en savoir plus au séminaire Bourbaki sur le sujet par C���� �� V������� (����). Cette borne entropique exclut tout un tas de mesures invariantes, par exemple les mesures portées par les géodésiques fermées. Montrons comment le fait que les mesures semiclassiques chargent tout le cotangent suit du théorème �.�. Soit (4⌫ : ) : une sous-suite de fonctions propres définissant une mesure semiclassique ⇠, soit 0 2 ⇠01 () ⇤ "), 0 > 0 et 0 (⇤ " < 0 alors : 1 = k4⌫ : k 2!2 (") 6 ⇠ 2 k Op\ : (0)4⌫ : k 2!2 (") = ⇠ 2 h4⌫ : , Op\ : (0)⇤ Op\ : (0)4⌫ : i = ⇠ 2 h4⌫ : , Op\ : (|0| 2 )4⌫ : i + O(\)

|

{z

théorème de composition

}

Ø

donc lim :!+1 h4⌫ : , Op\ : (|0| 2 )4⌫ : i + O(\) = (⇤ " |0| 2 d⇠ > ⇠ tout (⇤ " puisque le support de 0 (⇤ " est arbitraire.

2

> 024 et donc ⇠ charge

�.�.�. Le trou spectral pour la fonction zêta de Selberg. — Soit (", 6) une surface hyperbolique convexe cocompacte (noncompacte) de courbure 1. Une telle surface est obtenue en quotientant le plan hyperbolique H2 par un groupe de Schottky comme décrit au paragraphe �.�.�. est finiment engendré de telle sorte qu’un domaine fondamental voit son bord qui ne touche pas l’ensemble limite ⇤ . Ces surfaces, bien qu’étant de volume infini, sont de genre fini, les géodésiques périodiques forment un ensemble dénombrable et la structure de l’infini est raisonnable. On peut multiplier la métrique par un facteur conforme de façon à voir " comme une variété compacte à bord lisse, dont les bouts ont la forme de trompettes.

Exemple �.� (pantalon hyperbolique). Considérons la sphère S2 privée de trois points qu’on peut munir d’une métrique hyperbolique de courbure 1. Ensuite on coupe le long des trois géodésiques fermées pour cette métrique autour des points enlevés, ce qui donne une surface à bords dont le bord, totalement géodésique, a trois composantes connexes. Dans ce cas le groupe est le groupe libre à deux générateurs et " = \ H2 . Définition �.� (fonction zêta de Selberg). Soit P l’ensemble des orbites périodiques primitives du flot géodésique. Pour chaque géodésique périodique ✏, on va noter ✓ (✏) sa longueur qui correspond aussi à la période de ✏. On définit la fonction zêta de Selberg comme le produit infini : (��)

/ " (B) =

1 ÷ ÷ :=0 ✏2P

(1

e

(B+:)✓ (✏)

)

1

24 La variable \ : = ⌫ : 2 tend vers 0 quand : ! +1.

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qui converge sur le demi-plan Re(B) > 1 et qui se prolonge de façon méromorphe au plan complexe. Expliquons les résultats dans le contexte le plus simple. En faisant le lien avec le spectre du laplacien, ce qui remonte aux travaux de L�� et P������� (����), on peut montrer que / " n’admet qu’un nombre fini de zéros dans le demi-plan Re(B) > 12 qui correspondent à des valeurs propres !2 du laplacien. Par contre, la situation est différente pour les zéros dans le demi plan Re(B) 6 12 qui ne s’interprètent plus comme valeurs propres isolées du laplacien autoadjoint agissant sur !2 (") mais plutôt comme des résonances du laplacien, autrement dit des pôles du prolongement méromorphe 2 de la résolvante ( 6 B(1 B)) 1 : !2comp (") ! loc (") dû à M����� et M������ (����), G������� et Z������ (����), G��������� (����). Une question naturelle est de savoir si " a un trou spectral, autrement dit si il existe > 0 tel que / " (B) admet un nombre fini de zéros dans Re(B) > 12 . Les résultats classiques s’expriment en terme de l’exposant critique ⇣ 2 [0, 1) qui précise le domaine de convergence des séries de Poincaré25 :

Définition �.� (exposant ⇣). Soit (G, H) 2 " 2 une paire de points sur la variété ", alors ⇣ est défini comme l’infimum des A tels que la série ’ (��) e A✓ (✏) ✏

converge où la somme porte sur les arcs géodésiques reliant G et H.

On donne une autre interprétation de cet exposant critique ⇣ en termes de l’ensemble captif, c’est-à-dire l’ensemble des géodésiques qui ne s’échappent pas à l’infini quand |C | ! +1, et de l’ensemble limite qui sont proches de nos préoccupations sur les fractales : la dimension de Minkowski de l’ensemble captif du flot géodésique dans (⇤ " vaut 2⇣ + 1. De même, comme " = \ H2 , on définit l’ensemble limite (voir paragraphe �.�.�) comme (��)

⇤( ) =

· I \ %H2 ,

où l’ensemble ne dépend pas du choix de I. Alors l’exposant ⇣ s’interprète comme la dimension de Minkowski ou de Hausdorff de ⇤( ) en toute dimension comme prouvé par S������� (����). On a le théorème suivant qui exprime l’existence d’un trou spectral en fonction de l’exposant critique ⇣ 2 [0, 1) 25 Dans le cas des variétés riemaniennes compactes, fermées, sans points conjugués, cet exposant ⇣ coïncide avec l’entropie topologique ⌘ C>? du flot géodésique, dans la situation ouverte, il va capturer l’entropie topologique de l’ensemble capté du flot géodésique.

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

Théorème �.� (Patterson (����), Sullivan (����), Naud (����)). — Soit " une surface hyperbolique convexe cocompacte. Alors il résulte des travaux de P�������� (����) et S������� (����) que la fonction zêta de Selberg / " (B) a un nombre fini de zéros à droite de Re(B) = inf( 12 , ⇣). Si ⇣ < 12 , on dira qu’il y a un trou spectral dans la bande verticale Re(B) 2 [⇣, 12 ]. N��� (����) montre que lorsque ⇣ 2 [0, 12 ], il existe ⌘ > 0 tel que / " ait un nombre fini de zéros à droite de Re(B) = ⇣ ⌘ sauf en B = ⇣ qui est un zéro simple. La force du résultat de N��� (����) réside dans le fait qu’il donne un trou spectral dans la bande Re(B) 2 [⇣ ⌘, ⇣] valable même quand ⇣ = 12 quand le résultat de Patterson–Sullivan ne donne plus d’information intéressante, cependant il restait à traiter le cas ⇣ 2 ( 12 , 1]. Le résultat de Bourgain–Dyatlov prouve l’existence du trou spectral sans condition sur l’exposant critique ⇣.

Théorème �.�� (Bourgain et Dyatlov, ����). — Toute surface convexe cocompacte a un trou spectral. �.�.�. Chronologies des résultats. — L’étude des résonances du laplacien avec des applications à la décroissance exponentielle des équations d’onde remonte au travaux de Lax–Phillips. Pour plus d’informations sur le lien entre résonances et théorie de la diffusion, on renvoie le lecteur au survol de N��� (����). 3 Dans le cas du scattering par des obstacles, le trou spectral a été établi par I���� (����) et étendu à des ensembles hyperboliques généraux par N����������� et Z������ (����a,b) où le trou spectral s’exprime en terme de la pression topologique de l’ensemble captif. 3 Un trou spectral dans la bande Re(B) 2 [⇣ ⌘, 12 ], ⌘ > 0 sous la condition ⇣ 12 6 0 a été prouvé par N��� (����) pour les surfaces convexes cocompactes en s’appuyant sur le travail de D�������� (����). 3 Le travail de D������ et Z��� (����) reformule le problème de trou spectral en termes de principe d’incertitude fractal et montre un trou spectral > 12 ⇣ en introduisant pour la première fois dans le sujet des notions de combinatoire additive. Ce résultat n’est intéressant que dans le régime où ⇣ est très proche ou bien égal à 12 . Signalons que les auteurs introduisent un calcul pseudodifférentiel exotique qui quantifie des symboles qui sont lisses le long d’un feuilletage et plus singulier dans des directions transverses. Ce calcul jouera un rôle crucial dans les travaux de B������� et D������ (����, ����) et D������ et J�� (����b). Le travail D������ et J�� (����a) adapte les méthodes de D�������� (����), N��� (����) et S������� (����) dans le but d’améliorer la taille du trou spectral qui décroît polynomialement en la constante de régularité ⇠ ' 26 alors que la méthode de Dyatlov–Zahl ne donne qu’une décroissance superpolynomiale en la constante de régularité ⇠ ' . Le travail de B������� et D������ (����) emploie le théorème somme-produit de B������� 26 Cette constante de régularité quantifie la ⇣- régularité d’Ahlfors–David de l’ensemble limite ⇤ , pour la mesure de Paterson–Sullivan ⇠. Pour tout intervalle de longueur entre (0, 1], ⇠( ) 6 ⇠ ' | | ⇣ .

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(����) pour montrer que > 12 ⇣ indépendamment de ⇠ ' . Ce résultat a aussi été prouvé indépendamment par L� (����). Ces méthodes ont été récemment employées par S������� et S������ (����) pour montrer un résultat général de décroissance de la transformée de Fourier des mesures de Gibbs associées à des applications expansives non linéaires27 sur des Cantor. 3 D������ et Z������ (����) reprouvent l’implication principe d’incertitude fractal =) trou spectral sur les surfaces hyperboliques cocompactes sans passer par la machinerie de Dyatlov–Zahl mais en utilisant des méthodes d’opérateurs de transfert. 3 Le travail B������� et D������ (����) prouve l’existence du trou spectral de façon inconditionnelle sur les surfaces convexes cocompactes et le résultat est intéressant dans le régime ⇣ > 12 alors que le travail B������� et D������ (����) améliore le trou spectral de Patterson–Sullivan. Dans le paragraphe �.� nous allons décrire de façon informelle la preuve du prolongement unique puis de façon très brève, nous discuterons au paragraphe �.� de la preuve du trou spectral. �.�. Le prolongement unique des fonctions propres �.�.�. Enoncé du problème et réduction préliminaire. — Rappelons brièvement de quoi il s’agit. On a vu dans les sections 1 et 3 qu’étant donné un ensemble ⇢ avec de l’épaisseur et une fonction D 2 !2 (R) telle que b D est à support borné ou bien D quasianalytique, on a une estimée de la forme kD k 2!2 (R) 6 ⇠ k ⇢ Dk !2 (R) où la constante ⇠ ne dépend que de l’épaisseur de l’ensemble ⇢. Ici, il s’agit de prouver le même genre d’inégalités sauf que l’on travaille sur une surface hyperbolique ". La fonction D est une fonction propre du laplacien pour une grande valeur propre et au lieu de localiser par ⇢ seulement en position, on va chercher à localiser dans l’espace des phases à l’aide d’un opérateur pseudodifférentiel Op\ (0). On suppose que le symbole 0 2 ⇠01 () ⇤ ") ne s’annule pas sur le cotangent unitaire (⇤ " et s’annule près de la section nulle. On aimerait montrer que pour tout 0 2 ⇠01 () ⇤ ") et 0 on a : (\ 2

(��)

6

(⇤ "

n’est pas la fonction nulle,

1)D\ = 0 =) kD\ k !2 (") 6 ⇠ Op\ (0)(D\ )

!2 (")

où la constante ⇠ ne dépend pas de \ qui résulte du théorème �.� appliqué à une fonction propre D\ . Dans le cadre de notre exposé et pour des raisons de simplicité, nous allons esquisser la preuve de l’inégalité affaiblie avec une perte en | log(\)| : (��)

(\ 2

6

1)D\ = 0 =) kD\ k !2 (") 6 ⇠ log(\) · Op\ (0)(D\ )

!2 (")

.

27 Nous renvoyons le lecteur à l’introduction de l’article original pour des explications sur cette notion de non linéarité.

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(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

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Cette borne est déjà une amélioration notable par rapport aux estimées de prolongement unique (��), car sans aucune hypothèse sur la métrique 6, on aurait seulement : kD\ k !2 (") 6 ⇠ e⇠/\ Op\ (0)(D\ )

!2 (")

.

Un ingrédient important dans la preuve que nous emploierons de façon répétée est l’inégalité de contrôle, si supp(1) ⇢ supp(0), alors on a :

(��)

Op\ (1)D\

!2 (")

. Op\ (0)D\

!2 (")

+ O(\)kD\ k !2 (") .

On dira dans la suite que 1 est contrôlée par 0 28. L’estimée elliptique au dessus est une conséquence des propriétés algébriques de la quantification semiclassique. Partons de 0 2 ⇠01 () ⇤ "), 0 = 0 près de la section nulle de ) ⇤ " et 0 (⇤ " n’est pas la fonction nulle. Par les propriétés du calcul pseudodifférentiel, il est facile de montrer que si 1 2 ⇠01 () ⇤ "), 1 = 0 près de la section nulle et 0 = 1 sur un voisinage de (⇤ ", alors k(Op\ (0) Op\ (1))D\ k !2 (") = O(\ 1 ). Donc les estimées ne dépendent que de la restriction de 0 2 ⇠01 () ⇤ ") à un voisinage de (⇤ " ⇢ ) ⇤ " et l’estimée de prolongement unique kD\ k 6 ⇠ k Op\ (0)D\ k ne dépend que du fait que 0 soit non nulle sur (⇤ ". Donc on suppose sans perte de généralité que 0 est homogène de degré 0 dans un petit voisinage de (⇤ " et 0 = 1 sur un ouvert * ⇢ (⇤ " où * ⇢ (⇤ " est un ouvert quelconque non vide. �.�. Construction d’une partition et étape de contrôle Étant donné deux opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques, nous dirons que = ⌫ + O(\ 1 ) près de (⇤ " si quel que soit " 2 ⇠01 () ⇤ ") qui vaut 1 près de (⇤ ", on ait ( ⌫) Op\ (") = O(\ 1 )!2 !!2 . Dans ce paragraphe, toutes les égalités que nous écrirons dans la suite sont à prendre au sens de « près de (⇤ " ». Soit 0 1 , 02 2 ⇠01 () ⇤ " \ 0; [0, 1]) tels que 01 (⇤ " = 0 (⇤ " et 0 1 + 0 2 = 1 sur ( ⇤ " (01 coïncide avec 0 seulement sur (⇤ ") et supp(02 ) \ * = ?. On suppose aussi que 0 1 + 0 2 6 1 partout. On définit les pseudodifférentiels 2 9 = Op\ (0 9 ) tels que 1 , 2 , 1 + 2 sont tous des opérateurs bornés sur ! ("). On va choisir les quantifications de telle sorte que la somme 1 + 2 commute avec le laplacien et 1 + 2 = Id +O(\ 1 )!2 !!2 près de ( ⇤ ", ce qui jouera un rôle crucial pour la suite29. Par construction de 01 , on sait que 1 est contrôlé par Op\ (0) : k

1 D\ k !2 (")

6 Op\ (0)D\

!2 (")

+ O(\)kD\ k !2 (") .

28 Attention, on voit dans le membre de droite une petite perte en O(\).

29 Considérer une fonction " 2 ⇠01 (R>0 ) qui vaut 1 sur un voisinage de 1 2 R>0 et s’annule près de 0 2 R>0 . Choisir 0 2 ⇠ 1 ((⇤ ") telle que 0 = 1 sur * ⇢ (⇤ " et s’annule en dehors d’un petit voisinage de *, puis étendre par homogénéité près de (⇤ " ⇢ ) ⇤ " en posant 0 1 (G; ⇢) = 0(G; ⇢/|⇢|)"(|⇢| 2 ). On posera 2 ) Op\ (0 1 ) et 1 , 2 satisfont bien les hypothèses demandées. 2 = "(\

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Dans la suite étant donné un opérateur ⌫ : !2 (") ! !2 ("), nous dirons que ⌫ est contrôlé par 0 si k⌫D\ k !2 (") 6 ⇠ k Op\ (0)D\ k !2 (") + O(\)kD\ k !2 (") où la constante ⇠ > 0 ne dépend pas de \ et donc de la suite de fonctions propres. �.�.�. Fonction propre et dynamique. — C’est maintenant que l’on va utiliser le fait que D\ est une fonction propre, (\ 2 6 1)D\ = 0 et donc D\ se transforme simplement par p

la dynamique quantique e8C D\ = e8C/\ D\ . En mécanique quantique, on peut choisir de propager les états (représentation de Schrödinger) ou bien propager les observables en les conjuguant par le propagateur (représentation de Heisenberg). Donc on va p poser 1 (C) = *( C) 1 *(C), *(C) = e 8C 6 : !2 (") ! !2 ("), qui est la version de l’observable poussée par la dynamique quantique, et on a l’estimée : k

1 D\ k !2 (")

=

1 (C)D\

!2 (")

6 Op\ (0)D\

!2 (")

+ O(\)kD\ k !2 (")

donc 1 (C) est contrôlé par Op\ (0) quel que soit C 2 R. Par le théorème d’Egorov, 1 (C) = Op\ (0 1 ! C ) + O(\)!2 !!2 pour des temps |C | 6 ). C’est pourquoi k Op\ (01 ! C )D\ k !2 (") est contrôlée sur des temps finis. Si jamais l’ensemble * ⇢ (⇤ " satisfait la condition de contrôle géométrique, ce qui veut dire que toute géodésique intersecte * au bout d’un temps ) pour un certain ) > 0, alors on peut montrer facilement que 0˜ =

π

0

)

0

! C dC > 0

sur (⇤ ",

ce qui permet de contrôler le terme k Op( 0˜ )D k !2 (") .

�.�.�. Propagation en temps long et calcul anisotrope. — Malheureusement pour nous, beaucoup d’ensembles * ⇢ (⇤ " très gros ne satisfont pas la condition de contrôle géométrique car ils ratent trop de géodésiques périodiques. Dans ce cas, on va devoir appliquer le théorème d’Egorov en temps long, ce qui va poser des petits problèmes comme je vais expliquer ci dessous. L’idée est effectivement d’appliquer Egorov à un moment mais pour optimiser l’argument, il faut aller à des échelles de temps où Egorov et la composition ne sont plus valables. En allant à ces échelles très longues de l’ordre de ⌧| log(\)| où ⌧ < 1, on va tomber sur des opérateurs qui sortent du calcul pseudodifférentiel usuel mais dont on sait encore décrire le noyau et dont on pourra estimer la norme grâce au principe d’incertitude fractal. Le problème, c’est que lorsque C (resp. C) devient grand, le symbole tiré en arrière par le flot 0 2 ! C va perdre de la régularité transversalement aux directions stables (resp. instables) à cause de l’hyperbolicité de ! C . Intuitivement, chaque dérivée de 02 ! C fait apparaître un facteur e|C | , si |C | est trop grand on risque de sortir de la classe des symboles semiclassiques traditionnels, ce qui explique pourquoi le théorème n’est valable que sur des échelles de temps courtes. De façon intuitive, une des idées importantes de D������ et Z��� (����) utilisée dans le papier de D������ et J�� (����b) consiste à aller le plus loin possible dans la correspondance classique-quantique. Ceci les pousse donc à développer un calcul pseudodifférentiel

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

anisotrope où le théorème d’Egorov est valable jusqu’à des temps essentiellement optimaux à savoir ⌧| log ⌘| avec ⌧ < 1. Cependant ce calcul contient deux classes de !

pseudodifférentiels Op\ B/D selon que l’on considère des temps C très positifs/négatifs. Ces classes sont adaptées au feuilletage stable/instable faibles et permettent d’atteindre ces temps. Un point clef est qu’à un moment de la preuve, nous aurons besoin d’estimer la norme de la composée Op!\ B (0+ ) Op!\ D (0 ) de deux tels opérateurs. Mais comme les opérateurs vivent dans des calculs différents qui sont « incompatibles », les règles du calcul pseudodifférentiel usuel ne s’appliquent plus pour contrôler la norme de ce produit d’opérateur et c’est là que le principe d’incertitude fractal va entrer en jeu pour exploiter la porosité du support des symboles 0± . L’une des difficultés est de prouver que les bonnes propriétés d’un calcul sont conservées : un symbole borné se quantifie en un opérateur borné dans !2 , une bonne notion de composition, une identitée de commutateurs, une forme du théorème d’Egorov comme expliqué dans le paragraphe �.�.�. Si " est une surface hyperbolique, le tangent du fibré cotangent )() ⇤ ") admet un repère mobile ? , *+ , * , ⇡ où ? est le générateur du flot géodésique, *± sont les champs de vecteurs horocycliques D������, F���� et G��������� (����, paragraphe �A, p. ��� et �B, p. ���) et enfin ⇡ est le générateur des dilatations dans les fibres de ) ⇤ ". Si on se restreint au niveau {? = 1} = (⇤ " alors les champs ? , *± engendrent un repère mobile de )((⇤ "). Une propriété importante du repère ? , *+ , * , ⇡ concerne la croissance des dérivées du symbole composé (0 8 ! C )82{1,2} pour des grands temps. En fait, les dérivées ? (0 8 ! C ), ⇡(0 8 ! C ), *± (0 8 ! ±C ) pour 8 = 1, 2, sont bornées uniformément quand C > 0. Alors que les dérivées *± (0 8 ! ⌥C )8=1,2 sont à croissance exponentielle quand C > 0, de l’ordre de O( eC ) comme on travaille en courbure 1. Pour pouvoir appliquer le théorème d’Egorov sur des temps suffisamment longs, les articles s’appuient sur un calcul anisotrope construit en détail dans D������ et Z��� (����), nous allons donner une définition informelle des symboles dans ce calcul :

.

Définition �.��. Soit L un feuilletage lagrangien de ) ⇤ ". Un symbole 1(\ , ) 2 ⇠ 1 () ⇤ "), 8\ 2 (0, 1] sera dit anisotrope si : �) 1 est à support compact et bornée indépendamment de \

�) 1 est lisse le long des feuilles du feuilletage L uniformément en \ 2 (0, 1]. Si .1 , . . . , .< , /1 , . . . , / : sont des champs de vecteurs dans ) ⇤ " où les .8 sont tangents au feuilletage L, les / 8 sont transverses à L, on a une estimée du type sup |.1 , . . . , .< /1 , . . . , / : 1| 6 ⇠\

⌧: ⌘

.

Le facteur 0 6 ⌧ < 1 est très important car il mesure la perte de régularité lorsqu’on dérive le symbole dans des directions transverses au feuilletage. Dans ce calcul exotique, les symboles sont lisses le long de feuilletages lagrangiens et d’une certaine façon on est aux limites du calcul pseudodifférentiel. De plus, remarquons qu’il y a ici aussi une sorte de principe d’incertitude car si on était régulier

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dans trop peu de directions, on n’aurait pas assez de degrés de liberté pour faire des intégrations par parties et avoir un bon calcul symbolique. Comme promis, dans ce calcul exotique, on a une version améliorée du théorème d’Egorov pour des temps p p |C| 6 ⌧| log(\)|, ⌧ 2 [0, 1) où 8 (C) 8 (C)

= Op!\ B (0 8

= Op!\ D (0 8

8 (C)

= e8C

8e

6

! C ) + O(\ 1

! C ) + O(\ 1

⌧ ⌧

8C

6

, 8 = 1, 2 :

⇥

⇤

)!2 !!2 , C 2 0, ⌧| log(\)| , )!2 !!2 , C 2

⇥

⇤

⌧| log(\)|, 0 ,

où le terme d’erreur est en O(\ 1 ⌧ )!2 !!2 au lieu du O(\)!2 !!2 dans le théorème d’Egorov usuel. Enfin, pour mettre en œuvre ce calcul, il est crucial que les feuilletages stables et instables faibles soient lisses ce qui impose la courbure à être négative constante. En courbure négative variable, il faut recourir à de nouvelles idées décrites dans D������, J�� et N����������� (����) pour pallier l’absence d’un tel calcul exotique. �.�. Lien avec l’ergodicité quantique et entropies quantiques L’idée générale des preuves d’A����������� (����), A����������� et N����������� (����) sur l’entropie des mesures semiclassiques et du travail de Dyatlov–Jin est d’utiliser des versions quantiques de méthodes de recouvrements adaptés à la dynamique du flot géodésique : les partitions quantiques. Pour expliquer l’idée derrière cette notion, nous allons faire une courte digression sur l’entropie topologique et comment elle se calcule à l’aide de bons recouvrements. �.�.�. Entropie topologique et boules de Bowen. — En systèmes dynamiques, étant donné une application continue 5 : - ! - où - est un espace métrique compact, on va définir les boules de Bowen ⌫=,⌘ (G) comme l’ensemble des H tels que sup06 : 6 = dist( 5 : (H), 5 : (G)) 6 ⌘, les orbites de longueur = partant d’une boule de Bowen sont ⌘ proches tout le long de la trajectoire. On peut définir les boules de Bowen d’une autre façon qui fera le lien de façon plus claire avec la partie quantique : (��)

⌫=,⌘ (G) =

= Ÿ

5

:=0

:

⌫ 5 : (G) (⌘)

comme intersection de = préimages par la dynamique de boules de rayon ⌘. Ensuite à (⌘, =) fixés, on va choisir un nombre minimal #(=, ⌘) de boules de Bowen pour recouvrir un ensemble compact inclus dans - et on retrouve l’entropie topologique de suivant K���� et H���������� (����, p. ���–���)30 : ⌘ C>? = lim+ lim ⌘!0

1 log #(=, ⌘). =

30 Noter la ressemblance frappante entre cette définition de ⌘ C>? et la dimension de Minkowski, dans les deux cas on considère des asymptotiques de log du nombre d’éléments d’un recouvrement. Nous renvoyons le lecteur au superbe ouvrage de P���� (����) pour une vue d’ensemble sur ces liens.

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(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

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�.�.�. Partitions quantiques dans la situation de Dyatlov–Jin. — Dans le problème qui nous intéresse, rappelons que l’on veut montrer une estimée de type : kD\ k !2 (") 6 ⇠ log(\) · Op\ (0)D\

.

!2 (")

On décompose (⇤ " en deux parties avec la partition de l’unité à deux éléments 0 1 + 02 = 1 2 ⇠ 1 ((⇤ ") où * ⇢ supp(01 (⇤ " ) et 02 * = 0. À cette partition de l’unité de (⇤ ", on associe une partition quantique en posant 8 = Op\ (0 8 ), 8 = 1, 2, de telle sorte que 1 + 2 = Id +O(\ 1 )!2 !!2 près de (⇤ ". Comme dans la construction des boules de Bowen pour définir l’entropie topologique, on va raffiner cette partition de l’unité en employant la dynamique. En représentation de Heisenberg, on considère le p p 8C 8C projecteur propagé par la dynamique quantique : 8 (C) = e à des temps de 8e l’ordre de ⌧ log(\ 1 ) 31, qui sont a priori plus longs que le temps d’Ehrenfest usuel 1 1 2 log(\ ) au delà duquel le théorème d’Egorov usuel n’est plus valable. Le calcul !

anisotrope Op\ B/D permet toutefois de pousser le théorème d’Egorov dans une classe de symboles exotiques jusqu’au temps ±C = ⌧ log(\ 1 ) > 12 log(\ 1 ) où on rappelle qu’il y a un calcul différent Op!\ B ou Op!\ D selon que C ou C devient grand. On rappelle que la somme p

1+

p

2

commute au laplacien

6

donc on en déduit que

8C ( 1 + 2 ) e 8C = ( 1 + 2 ) = Id +O(\ 1 )!2 !!2 près de (⇤ ". On 1 (C) + 2 (C) = e observe que (Id +O(\ 1 )!2 !!2 )# = Id +O(\ 1 )!2 !!2 près de (⇤ " donc on peut écrire :

Id +O(\ )!2 !!2 = (

1

Id +O(\ 1 )!2 !!2 = (

1+

1

+

2)

#+1

=

# ÷ C=0

#+1 = 2)

0 ÷

C= #

1 (C)

+

1 (C)

2 (C)

+

,

2 (C)

.

en représentation de Heisenberg. Pour l’instant, on n’a pas encore utilisé le théorème d’Egorov. Au lieu d’intersecter = itérés par le flot géodésique de = boules unités, on a exprimé Id comme la composée de # partitions de l’unité propagées par la dynamique quantique. Si on développe le produit 0 ÷ C=#

1 (C)

+

2 (C)

=

1 (#)

+

2 (#)

···

1 (0)

+

2 (0)

,

31 Le paramètre ⌧ < 1 sera ajusté à la fin de l’argument.

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à partir du terme de gauche vers la droite32, il y a toujours un premier instant où l’on rencontre 1 donc on peut faire les regroupements suivants : 0 ÷ C=#

(

1 (C) +

2 (C)) =

0 ÷

2 (C) +

| {z } C=#

pas de

1

|

1 (#)

0 ÷

C=# 1

1

+

|

# ÷

2 (±C)

C=0

+

# ’ ?=0

{z

+

2 (C)

en première position

2 (#)

1 (# 1

En utilisant de nouveau le fait que 1 (C) + on obtient une identité combinatoire : Id +O(\ 1 ) =

1 (C)

2 (C)

2 (±#) · · ·

2

0 ÷

1)

{z

}

C=# 2

1 (C)

+

2 (C)

+···

=(

1

}

en deuxième position

= e8C

p

(

± (? + 2)

1

+

1

2) e

8C

p

± (? + 1) (

1

+

+ 2)

2 ),

?

.

Ce qu’il faut bien garder en tête, c’est que sur les fonctions propres, 1 (C) est contrôlé pour tout C 2 R par Op\ (0) au sens où (\ 2 Id)D\ = 0 =) k 1 (C)D\ k !2 (") 6 ⇠ k Op\ (0)D\ k !2 (") + O(\)kD\ k !2 (") , 8C 2 R d’où l’on déduit que pour tout ?, on a l’inégalité : 2 (±#) · · ·

=

6

± (? + 2)

2

2 (±#) · · · ? ÷ C=0

2

2 (±C)

Œ?

1

± (? + 1) (

± (? + 2) !2 !!2

1

1

+

2)

± (? + 1) D\

· ⇠ Op\ (0)D\

!2 (")

?

D\

!2 (")

!2 (")

+ O(\ 1 )

6 ⇠ 0 Op\ (0)D\

!2 (")

? où chaque terme 2 ) pour lequel 1 apparaît C=0 2 (±C) 1 (±(? + 1))( 1 + au moins une fois est contrôlé par Op\ (0). Un petit commentaire : les produits 2 (±#) · · · 2 (±(? + 2)) 1 (±(? + 1)) sont les versions quantiques des boules de Bowen pour le flot futur/passé puisqu’on a par le théorème d’Egorov appliqué au calcul anisotrope pour des temps allant jusqu’à ⌧| log(\)| : 2 (±#) · · ·

2

± (? + 2) !

' Op\ B/D (0 1

1

± (? + 1)

!±(?+1) 02

!±(?+2) · · · 02

!±# ) + O(\ 1

⌧

)!2 !!2

où le terme 01 ! ±(?+1) 02 !±(?+2) · · · 0 2 !±# est porté par l’intersection de = itérés de la Œ# partition par le flot, un peu à la manière des boules de Bowen. Posons ±- = C=0 2 (±C) 32 Penser que ce sont des opérateurs donc l’ordre compte et donc les développements se font de gauche à droite ou de droite à gauche en gardant les sens de composition des opérateurs.

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(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

Õ

et .± = # ?=0 2 (±#) · · · 2 (±(? + 2)) 1 (±(? + 1))( peuvent se résumer en une simple identité : Id +O(\ 1 ) =

|

1

+

somme de termes contrôlés

}

+ .

.

+ -

+

{z

.

+

+ .

-

���

2)

+

?.

+ -

Les calculs au dessus -.

d’où en sommant sur les ? = 0, . . . , # ce qui fait à peu près | log(\)| termes, on obtient : kD

+ -

- D k !2 (")

6 ⇠ log(\) · Op\ (0)D

!2 (")

+ O(\ 1

⌧

).

Maintenant une conséquence du principe d’incertitude fractal et du théorème d’Egorov appliqué séparément à +- et - dans leur calculs anisotropes respectifs, c’est qu’on va pouvoir montrer la décroissance en norme d’opérateurs du terme croisé +- - qui ne contient que des termes en 2 . On a k

+ -

- k !2 !!2 =

Op!\ B

# ⇣÷

02

C=0

⌘

! C Op!\ D

# ⇣÷

02

C=0

!

C

⌘

!2 !!2

par Egorov dans le calcul anisotrope et où ! C : ) ⇤ " ! ) ⇤ " est un flot homogène de degré 0 qui coïncide avec le flot géodésique sur (⇤ ". On va donc être amené à prouver par le principe d’incertitude fractal que : (��)

Op!\ B

# ⇣÷ C=0

02

⌘

! C Op!\ D

# ⇣÷ C=0

02

!

C

⌘

!2 !!2

6 ⇠\ .

Si on admet (��) alors on a montré l’inégalité (��) ce qui conclut la version faible de l’inégalité de prolongement unique. Pour améliorer la borne de façon à éliminer le terme en | log(\)|, c’est à dire démontrer (��) plutôt que (��), nous renvoyons le lecteur à l’article original de Dyatlov–Jin qui emploie des idées combinatoires dont un argument sous-additif qui remonte aux travaux de A����������� (����). Nous renvoyons le lecteur aux articles originaux pour plus de détails et une exposition de ces méthodes sous-additives. L’objectif du paragraphe suivant est d’esquisser la preuve de l’estimée (��) en la réduisant au principe d’incertitude fractal sur R. �.�. Étape de réduction du microlocal au principe d’incertitude fractal Dans les travaux de B������� et D������ (����), D������ et J�� (����b), D������, J�� et N����������� (����) et D������ et Z��� (����), les auteurs ont constamment besoin de flexibiliser la notion de principe d’incertitude fractal originalement prouvée pour les fonctions dans R et pour ceci, ils font un usage intensif d’opérateurs intégraux de Fourier. Dans cette partie, nous allons chercher à expliquer comment ramener une estimation Œ# Œ# sur la norme d’opérateur k Op!\ B ( C=0 0 2 ! C ) Op!\ D ( C=0 0 2 ! C )k !2 !!2 au principe d’incertitude fractal qui est une estimée sur des fonctions de la droite réelle. On pose Œ# 0 ± = C=0 0 2 ! ±C et on va d’abord montrer la porosité du support de 0± . SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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NGUYEN VIET DANG

L’idée est de paramétrer les variétés stables et instables à l’aide des générateurs des flots horocycliques. Par exemple, la variété instable (resp. stable) passant par (G; ⇢) est la courbe intégrale B 2 R 7! eB* (G; ⇢) (resp. B 2 R 7! eB*+ (G; ⇢)) et on va pouvoir lire la porosité en terme des B 2 R qui paramétrise l’arc instable (resp. stable).

Lemme �.�� (porosité du support). — Il existe ⇡ > 0, ⇠0 > 0 dépendant de ", * tels que pour tout (G; ⇢) 2 ) ⇤ " \ {0}, les ensembles ⌦± (G; ⇢) = B 2 R ; exp(B*± )(G; ⇢) 2 supp(0± ) ⇢ R

sont ⇡-poreux sur une échelle [⇠0 ⌘ ⌧ , 1].

Une remarque, si 0 2 a un petit support, cette propriété est presque évidente car le support de 0+ sera en fait un petit disque de taille ⌘ ⌧ dans la direction stable. C’est vraiment le point nouveau par rapport aux travaux précédents sur le sujet à savoir d’être capable de traiter de gros sous-ensemble non contrôlés. On rappelle que le facteur ⌧ < 1 fixe l’échelle de temps ⌧| log(\)| sur lequel on regarde la dynamique. Démonstration. — Nous allons seulement esquisser la preuve en renvoyant aux articles originaux pour plus de détails. L’idée de la preuve repose sur le lien entre flot horocyclique et géodésique comme me l’a expliqué Gabriel Rivière. On va travailler sur 0 , le raisonnement est le même avec 0+ par symétrie. On part de 02 supportée dans le complémentaire de *. Le pull-back 02 ! C va se concentrer quand C grandit vers une fonction supportée très près d’un grand nombre de feuilles instables mais réparties de manière fractale. Œ# Donc c’est la trace de C=0 0 2 ! C , # ⇠ ⌧| log(\)| que l’on doit prendre sur les variétés stables et qui aura les propriétés de porosité. Rappelons que le flot horocyclique est uniquement ergodique, ce résultat est dû à F���������� (����) en courbure négative constante et M����� (����) en courbure négative variable. Par conséquent, 8⌘ > 0, 8 5 2 ⇠ 0 ((⇤ "), il existe un temps ) assez grand tel que : (��)

8(G; ⇢) 2 (⇤ ",

1 )

π

0

)

5

e

C*+

(G; ⇢) dC

π

"

5 d⇠ 6 ⌘

où ⇠ est la mesure de Liouville qui est l’unique mesure invariante par eC*+ en courbure négative constante. L’important c’est que la borne est uniforme sur (G; ⇢) et ) ne dépend pas de (G; ⇢) 2 (⇤ ". Si on prend 5 une fonction proche de l’indicatrice de l’ouvert *, on peut en déduire qu’il existe un temps ) fixé, tel que tout arc d’horocycle de longueur ) passant par n’importe quel (G; ⇢) 2 (⇤ " passe un temps au moins (⇠(*) ⌘)) dans * où ⌘ est arbitrairement petit quitte à choisir ) assez grand. Donc il existe ⇡ > 0 tel que tout horocycle de taille ) a un bout de longueur 10⇡) contenu dans * 33. Donc pour 33 Sinon il existerait une suite (G = ; ⇢= ) telle que l’horocycle e[0,)]*+ (G = ; ⇢= ) ne reste que pendant des temps 6 1= dans l’ouvert * et on aboutit à une contradiction en passant à la limite.

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

tout intervalle ˜ ⇢ R de longueur comprise entre ) et 10), pour tout (G; ⇢) 2 (⇤ ", il y ˜ a toujours un sous-intervalle ˜ ⇢ ˜ de longueur | ˜ | = ⇡| ˜| tel que l’arc e *+ (G; ⇢) ⇢ *. Rappelons que le support de 02 ne rencontre pas * donc supp(02 ! 9 ) \ ! 9 (*) = ? Œ 9 9 et comme 0+ = # 9=0 (0 2 ! ) on a supp(0 + ) \ ! (*) = ?, 80 6 9 6 #. Maintenant si on fait la restriction de 0+ à un arc d’horocycle quelconque e *+ (G; ⇢), ) 6 | | 6 10), on observe que 0+ e *+ (G;⇢) s’annule sur l’intersection e *+ (G; ⇢) \ ! 9 (*), 80 6 9 6 #.

Prenons un élément (G; ⇢) 2 (⇤ " et ⇢ ⌦+ (G; ⇢) pour | | 2 [⇠0 \ ⌧ , 1], on choisit ⇠0 = 10). Il faut montrer qu’il existe un bout d’intervalle , | | = ⇡| | tel que \ ⌦+ (G; ⇢) = ? ce qui prouverait la porosité. C’est là qu’on utilise la relation entre flot géodésique et flot horocyclique. On choisit 0 6 9 6 # tel que e 9 | | 2 [), 10)], puis on observe que B ; eB*+ (G; ⇢) 2 ! 9 (*) = B ; ! 9 ( eB*+ (G; ⇢)) 2 * .

puis on utilise la relation

!

9

eB*+ (G; ⇢) = e e

9 B*

+

! 9 (G; ⇢) ,

9˜ pour en déduire l’existence d’un intervalle ˜ ⇢ , | ˜ | = ⇡| | tel que e e *+ (! 9 (G; ⇢)) ⇢ ˜ ˜ * =) e *+ (G; ⇢) ⇢ ! 9 (*) =) e *+ (G; ⇢) \ supp(0 + ) = ? et ˜ \ ⌦+ (G; ⇢) = ?. ⇤

Quitte à décomposer 0 ± en plusieurs morceaux avec des partitions de l’unité de on peut se ramener grâce au lemme précédent au cas où :

( ⇤ ",

3 0±

(⇤ "

est supportée dans un petit ouvert + ⇢ ( ⇤ ",

3 il existe des fonctions lisses #D/B : + ! R dont les niveaux #D/B = constante déterminent les feuilles instables/stables, 3 les images directes #D/B⇤ 0 ⌥ 2 ⇠ 1 (R) sont des fonctions à une variable dont le support est ⇡-poreux sur une échelle [⇠0 \ ⌧ , 1].

En gros, 0 + et 0 sont à support poreux dans les directions instables et stables respectivement. S’il existait un symplectomorphisme : ) ⇤ " ! ) ⇤ (R ⇥ S1 ) qui était capable de redresser simultanément les feuilletages stables et instables de ) ⇤ " en des feuilletages lagrangiens horizontaux et verticaux de ) ⇤ (R ⇥ S1 ) alors en quantifiant ce symplectomorphisme par un opérateur intégral de Fourier approprié, on se ramènerait au principe d’incertitude fractal sur R. Cette approche ne peut pas se faire car il n’existe pas de symplectomorphisme34 qui redresserait simultanément les deux feuilletages lagrangiens !D/B en feuilletage vertical et horizontal, donc pour se ramener au principe d’incertitude fractal sur R, il va falloir localiser puis travailler avec des opérateurs assez généraux que nous introduisons dans la suite. On renvoie le lecteur à l’article de D������ et Z��� (����, section �.�) pour une discussion précise de cette étape cruciale de réduction. 34 Même localement.

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NGUYEN VIET DANG

�.�.�. Le principe d’incertitude fractal avec phase générale. — Pour appliquer le principe d’incertitude fractal à des problèmes concrets d’analyse géométrique, on a besoin de l’étendre à des opérateurs intégraux de Fourier B\ : !2 (R) ! !2 (R) avec phase générale et symbole en cherchant à se ramener au principe d’incertitude fractal sur R. La généralisation se fait en trois étapes : �) Déjà en autorisant des fractales non bornées mais en faisant des restrictions à des intervalles bornés. �) Puis en autorisant des opérateurs obtenus en insérant des amplitudes dans la transformée de Fourier, pour 1 2 ⇠01 () ⇤ R) : B\ ( 5 )(G) = \

1 2

π

e

π

e

28 G⇢ \

R

1(G; ⇢) 5 (⇢) d⇢.

�) Enfin en autorisant de prendre des phases générales, auquel cas l’opérateur prend la forme générale : B\ ( 5 )(G) = \

1 2

8 (G,H) \

R

où pour un ouvert * ⇢ R2 , la phase

1(G, H) 5 (H) d H

2 ⇠ 1 (* , R), 1 2 ⇠01 (*) et %G2H

< 0 sur *.

Les opérateurs de la forme B sont des opérateurs intégraux de Fourier qui quantifient un symplectomorphisme (appelé relation canonique de l’intégrale de Fourier) : (H; ◆) 7 ! (G; ⇢) =

(��)

(H; ◆)

où ⇢ = %G (G, H) et ◆ = %H (G, H).

Exemple �.�� (Fourier quantifie Legendre). De la même manière, on peut interpréter la transformée de Fourier comme un opérateur intégral de Fourier qui quantifie la transformée de Legendre (H; ◆) 7! ( ◆; H). Esquissons la preuve du principe d’incertitude fractal avec phase générale. Commençons par garder la phase de la transformée de Fourier G · H mais avec un sym1 Ø bole 1(G, H) donc B\ ( 5 )(G) = \ 2 R e28 G H/\ 1(G, H) 5 (H) d H. On veut montrer que k - B\ . k !2 !!2 = O(\ ) où (- , .) sont ⇡-poreux sur une échelle [\ , 1], on décompose le terme à majorer comme une somme - B\

.

!2 !!2

6

|

- F\

.(\ ⌧ )2

F\

{z

1

B\

.

}

!2 !!2

+

- F\

.(\ ⌧ ) F\

1

B\

.

!2 !!2

où on va montrer que le terme souligné est un O(\ 1 ) ce qui implique que l’opérateur F\ 1 B\ . 5 est localisée près du voisinage .(\ ⌧ ) pour ⌧ 2 (0, 1). On considère F\ 1 B\ Ø qui a un noyau intégral (G, H) = (2 \) 1 R e8(G H)F/\ 1(F, H) dF. Des intégrations par parties répétées montrent que | (G, H)| 6 ⇠ # \ 1 (1 + |G H|/\) # donc on a ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

une estimée de la forme k d’inégalités : - B\

.

!2 !!2

=

.

R\.(\ ⌧ ) F\

- F\

- F\

1

F\

1

B\

.(\ ⌧ )

B\ .

. k !2 !!2

!2 !!2

!2 !!2

· F\

|

. 1

���

6 ⇠ # \ # . On en déduit une suite - F\

B\

{z

.

1

.(\ ⌧ ) F\

B\

.

!2 !!2

}

!2 !!2

où on contrôle le terme souligné par une constante35 et on est ramené à l’étude de k - F\ .(\ ⌧ ) k !2 !!2 . Si on avait ⌧ = 1 alors on serait ramené au principe d’incertitude fractal qui concerne - F\ . où les deux ensembles (- , .) sont poreux sur une même échelle [\ , 1]. Malheureusement ici ⌧ < 1 et donc on ne peut pas conclure directement que k - F\ .(\ ⌧ ) k !2 !!2 = O(\ ), > 0. Le problème, c’est que l’ensemble .(\ ⌧ ) est ⇡-poreux sur une échelle (\ ⌧ , 1] où \ ⌧ > \ donc .(\ ⌧ ) est un ensemble plus grossier que le . de départ. L’idée est donc d’appliquer le principe d’incertitude fractal à approximativement \ ⌧ 1 copies de translatées de l’ensemble .(\) recouvrant .(\ ⌧ ), ce qui va borner le terme k - B\ . k !2 !!2 par ⇠\ +⌧ 1 où le facteur \ ⌧ 1 quantifie cette petite perte mais quitte à choisir ⌧ assez proche de 1, on aura toujours de la décroissance 1 Ø quand \ ! 0. Maintenant, considérons B\ = \ 2 R e8 (G,H)/\ 1(G, H) 5 (H) d H avec une phase générale et rappelons qu’on cherche à majorer k - B\ . k !2 !!2 . On remplace ⌧

par une régularisation " de la fonction indicatrice supportée sur un \ 2 -voisinage de -, on se ramène à montrer que k"B\ . k !2 !!2 6 ⇠\ . On décompose l’ensemble 1 – . comme une union disjointe de paquets .9 de taille \ 2 \, . = 9 .9 , - B\ . = Õ 9 - B\ .9 où on a écrit - B\ . comme une somme d’opérateurs ("B\ .9 ) 9 qui sont deux à deux presques orthogonaux36. Ensuite par le théorème de Cotlar–Stein37 (voir Z������, ����), on est ramené à montrer que k"B\ .9 k !2 !!2 6 ⇠\ . Supposons -

1

pour simplifier que .9 = . \ [0, \ 2 ], alors en composant B\ avec l’isométrie : )\ : 5 2 1

!2 (R) 7! \ 4 5 (\ s’écrit

1 2

.) 2 !2(R), on obtient un nouvel opérateur remis à l’échelle qui B˜ \ = \

On se ramène à montrer que

1 2

π

k" B˜ \

e8

p (G, \ H)/\

R

\

1 2 .\[0,1]

p 1 G, \ H 5 (H) d H.

k !2 !!2 6 ⇠\ .

35 Remarquer que F\ 1 B\ est un pseudodifférentiel semiclassique d’ordre 0 donc définit un opérateur borné dans !2 . 36 C’est pour avoir cette propriété de presque orthogonalité qu’il a fallu régulariser l’indicatrice pour pouvoir faire des intégrations par parties avec ". 37 Soit ()9 ) 9 une famille d’opérateurs bornés de !2 ! !2 tels que sup 9 Õ Õ Õ 1/2 sup 9 : k)9 ):⇤ k 2 2 6 ⇠ alors )9 converge et k )9 k !2 !!2 6 ⇠. ! !!

Õ

:

k)9⇤ ): k

1/2 !2 !!2

-

en "

6 ⇠ et

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L’idée principale pour conclure est de Taylor de la phase p de faire un développement p en H de façon à la linéariser : (G, \ H) = (G, 0) + \ H%H (G, 0) + O(\) donc

e\ "B

6

\

1 2 .\[0,1]

sup

k 5 k !2 (R) =1

!2 !!2

-\ ⌧/2 \

1 2

π

e8 H%H

p (G,0)/ \

R

p O(1)1 G, \ H

\

1 2 .\[0,1]

(H) 5 (H) d H

!2G (R)

6 ⇠\ . On conclut en faisant un changement de variable %H (G, 0) 7! G (qui est un difféomorphisme à cause de l’hypothèse %G2H * < 0 sur la phase ) et en appliquant le principe d’incertitude fractal sur R avec phase quadratique et avec amplitude, \ p est remplacé par \ et où l’ensemble . en position (resp. - en moment) devient 1 \ 2 . \ [0, 1] (resp. l’image de - 2⌧ par le difféomorphisme G 7! %H (G, 0)). \

Principe d’incertitude fractal pour les ensembles limites hyperboliques. — Dans D������ et J�� (����b, section �.� p. ���) et aussi dans D������ et Z��� (����, section �.�), en utilisant des calculs en géométrie hyperbolique et en conjuguant par les bons Œ# symplectomorphismes, les auteurs ramènent le problème de majorer k Op!\ B ( C=0 02

Œ

# ! C ) Op!\ D ( C=0 02 ! C )k !2 !!2 (voir l’équation (��)) au FUP hyperbolique qui est un cas particulier de principe d’incertitude fractal avec symbole et phase générale comme décrit plus haut. En particulier, on introduit l’opérateur :

(��)

B" 5 (H) =

1 1

(2 \) 2

π

S1

H 0 | 28/\ "(H, H 0) 5 (H 0) d H 0

|H

où " = 0 près de la diagonale {H = H 0 } ⇢ S1 ⇥ S1 . Il faut penser à B" comme une version hyperbolique de la transformée de Fourier semiclassique et aussi comme à un opérateur intégral de Fourier qui va mettre sous forme normale les feuilletages stables et instables. Dans le formalisme précédent, la phase générale est 2 log(|H H 0 |) et le symbole est la fonction "(H, H 0). Donc l’étude précédente nous montre que l’estimée (��) est une conséquence du :

Théorème �.�� (Bourgain et Dyatlov, ����). — Soit " une surface hyperbolique, convexe cocompacte et ⇤(\ ⌧ ) le \ ⌧ -voisinage de l’ensemble limite ⇤ ⇢ S1 . Il existe > 0, ⌧ 2 (0, 1) dépendant seulement de " tels que 8" 2 ⇠ 1 (S1 ⇥ S1 \ ) et \ 2 (0, 1)

(��)

⇤ (\ ⌧ ) B" ⇤ (\ ⌧ )

!2 (S1 )!!2 (S1 )

6 ⇠\

où la constante ⇠ dépend de ", " et non de \.

�.�. Trou spectral pour la fonction zêta de Selberg Ce dernier paragraphe repose sur les travaux de D������ et Z��� (����) qui ont montré pour la première fois comment ramener la preuve du trou spectral au principe d’incertitude fractal en employant des méthodes sophistiquées de théorie du scattering

ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

���

et analyse microlocale. La preuve de trou spectral pour la fonction zêta de Selberg repose sur l’identification des zéros de /(B) dans la région Re(B) 6 12 avec les résonances de l’opérateur de Laplace–Beltrami 6 . La notion de résonance provient de la théorie de la diffusion et elle décrit des taux de décroissance exponentielle des solutions de l’équation d’onde automorphe dans le système ouvert " 38. Rappelons le strict nécessaire pour comprendre le contexte géométrique du problème. Dans une variété hyperbolique, convexe cocompacte ", l’ensemble capté du flot géodésique dans ( ⇤ " est hyperbolique. Soit ± ⇢ ) ⇤ " les espaces stables et instables de l’ensemble captif du flot géodésique39 : ±

= (G; ⇢) ; ! C (G; ⇢) ne s’échappe pas à l’infini quand C ! ±1 .

Précisons que les ensembles + et sont feuilletés par les feuilletages instable et stable faibles du flot géodésique ! C : (⇤ " ! (⇤ ". Physiquement, le régime des hautes fréquences est gouverné par les trajectoires piégées. Les ondes qui vivent longtemps doivent se localiser près des géodésiques qui ne s’échappent pas à l’infini. Mathématiquement, les résonances (ou les zéros de / " ) sont des pôles de la résolvante ( 6 B(1 B)) 1 : ⇠01 (") ! ⇠ 1 ("). Pour montrer le trou spectral pour / " , on est réduit à prouver que si D, kDk !2 (") = 1 est un état résonant tel que : 6

1 4

⌫2 D = 0, D sortante, Im(⌫) >

, Re(⌫)

1 =) D = 0

où un état résonant sortant est intuitivement une fonction qui est microlocalisée près de l’ensemble stable + de l’ensemble captif. Ce qui veut dire que pour les grandes parties imaginaires, le laplacien 6 n’a pas de résonances. Rappelons la relation entre la variable ⌫ du problème de scattering et le B de la fonction zêta : B = 12 8⌫ donc les grandes parties réelles de ⌫ vont correspondre à des grandes parties imaginaires de B. On reformule le problème de façon semiclassique : ⇠1

\2

6

1 2 4\

$2 D = 0,

D sortante, Im($) >

\ , Re($) = 1, 0 < \ ⌧ 1 =) D = 0.

L’idée est similaire à la preuve de prolongement unique sauf que l’on travaille sur des variétés non compactes. Soit "± 2 ⇠ 1 () ⇤ ") des symboles portés par un ( e C )-voisinage des ensembles ± où le temps C va dépendre de \. La solution D est p

sortante si D = e8⌫C e8C 6 1/4 D et si D est microsupportée près de + , ce qui s’écrit D = Op\ ("+ )D + O(\ 1 ) et aussi D doit avoir de la masse !2 près de , ce qui se 1 2 traduit par l’estimation p k Op\ (" )Dk ! > ⇠ . Observons que l’état résonant D peut être propagé par e8C

6

1/4

sans modifier sa norme !2 . En utilisant des estimées de

38 Sous des bonnes hypothèses de décroissance de la résolvante. 39 En général, l’ensemble captif est fractal et sa dimension de Minkowski vaut 2⇣ + 1 où ⇣ est l’exposant critique de l’ensemble limite.

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propagation des singularités de V��� (����) jusqu’au temps ⌧| log(\)| où ⌧ 2 (0, 1) (c’est à ce moment qu’on utilise l’hypothèse Re(⌫) grand), on montre les bornes : 1 Op!\ B (" )D

Op!\ D ("+ ) D !2

>⇠

1

e

= O(\ 1 ),

!2 Im($)C

=⇠

1 ⌧ Im($)

\

où (\ 2 6 14 \ 2 $2 )D = 0, !D/B sont les feuilletages instable, stable faibles du flot géodésique et on prend des quantifications dans le calcul anisotrope au sens du paragraphe �.�.�. Pour aboutir à une contradiction de la même manière que pour les fonctions propres, il suffit de montrer que (��)

Op!\ B (" ) Op!\ D ("+ )

!2 !!2

6 ⇠\

ce qui contredit \ ⌧ ⌧ ⇠ 1 \ ⌧Im($) 6 k Op!\ B (" )D k !2 car sinon on aurait \ ⌧ ⌧ ⇠\ ce qui est absurde. La preuve de l’estimée (��) découle du principe d’incertitude fractal hyperbolique décrit dans le théorème �.�� du paragraphe �.�.�. Ce qui conclut la preuve du trou spectral. RÉFÉRENCES A�����������, Nalini (����). “Entropy and the localization of eigenfunctions”, Annals of Mathematics ��� (�), p. ���-���. A�����������, Nalini, K���, Herbert et N�����������, Stéphane (����). “Entropy of eigenfunctions”, dans : New Trends in Mathematical Physics. Springer, p. �-��. A�����������, Nalini et N�����������, Stéphane (����). “Half-delocalization of eigenfunctions for the Laplacian on an Anosov manifold”, �� (�), p. ����-����. B�������, Arne et M��������, Paul (����). “On Fourier transforms of measures with compact support”, Acta Mathematica ��� (�-�), p. ���-���. B��������, David (����). Spectral theory of infinite-area hyperbolic surfaces. Springer. B�������, Jean (����). “The discretized sum-product and projection theorems”, Journal d’Analyse Mathématique ��� (�), p. ���-���. B�������, Jean et D������, Semyon (����). “Fourier dimension and spectral gaps for hyperbolic surfaces”, Geometric and Functional Analysis �� (�), p. ���-���. (����). “Spectral gaps without the pressure condition”, Annals of Mathematics ��� (�), p. ���-���. C�����, Laura et T��, Terence (����). “Additive energy of regular measures in one and higher dimensions, and the fractional uncertainty principle”, arXiv preprint arXiv :����.�����.

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NGUYEN VIET DANG

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ASTÉRISQUE ���

(����) LE PRINCIPE D’INCERTITUDE FRACTAL

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SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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Nguyen Viet Dang Institut Camille Jordan �� boulevard du �� Novembre ���� ����� Villeurbanne C���� F����� E-mail : [email protected] yon1.fr

ASTÉRISQUE ���

Séminaire BOURBAKI ��e année, ����–����, no ����, p. ��� à ��� doi : ��.�����/ast.����

Avril ����

SOUS-VARIÉTÉS TOTALEMENT GÉODÉSIQUES DES ESPACES DE MODULES DE RIEMANN [d’après Eskin, McMullen, Mukamel, Wright] par Élise Goujard

INTRODUCTION Soit M 6,= l’espace de modules des surfaces de Riemann de genre 6 à = points marqués. Cet espace est muni de la métrique de Teichmüller qui permet de comparer les structures conformes sur les surfaces. Cette métrique, qui coïncide avec la métrique de Kobayashi, est une métrique de Finsler non riemannienne. Une sous-variété de M 6,= est dite totalement géodésique si elle contient toutes les géodésiques de Teichmüller qui lui sont tangentes. Les sous-variétés totalement géodésiques de dimension (complexe) 1, appelées courbes de Teichmüller, sont relativement bien étudiées depuis les premières constructions de Veech dans les années �� ; elles sont en particulier infiniment nombreuses dans chaque espace de modules M 6,= . Récemment, Wright a montré, en s’appuyant sur des résultats de finitude d’Eskin, Filip et Wright, qu’en dimension plus grande, ce n’était plus le cas : il n’y a qu’un nombre fini de telles sous-variétés dans chaque M 6,= . Un premier exemple de telle sous-variété primitive de dimension 2 dans M1,3 a été construit par McMullen, Mukamel et Wright à partir de courbes cubiques projectives ; Eskin, McMullen, Mukamel et Wright ont ensuite trouvé deux autres exemples de telles sous-variétés. Remerciements Je remercie chaleureusement Christophe Bavard, Yohan Brunebarbe, Vincent Delecroix, Curtis McMullen, Duc-Manh Nguyen, Yohann Le Floch et Nicolas Bourbaki pour leurs commentaires et leur lecture attentive des premières versions de ce texte. Je remercie également plus généralement mes collègues de Bordeaux pour leurs questions, discussions et suggestions à propos de ces résultats et de leur présentation.

© Astérisque ���, SMF ����

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E. GOUJARD

�. FINITUDE DES SOUS-VARIÉTÉS TOTALEMENT GÉODÉSIQUES Soit - une surface de Riemann de genre 6 à = points marqués. Un marquage sur est un difféomorphisme 5 d’une surface fixée ( de genre 6 à = points marqués dans -, qui respecte l’ensemble des points marqués. On définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des surfaces marquées de la façon suivante : (-1 , 51 ) ⇠ (-2 , 52 ) s’il existe un biholomorphisme 6 : -1 ! -2 préservant les points marqués tel que 6 51 est isotope à 52 . On définit l’espace de Teichmüller T6,= comme l’ensemble des classes d’équivalence de ces surfaces marquées. L’espace de modules M 6,= des surfaces de Riemann de genre 6 à = points marqués est l’ensemble de ces surfaces modulo les biholomorphismes préservant les points marqués. Il s’agit du quotient de T6,= par le groupe modulaire Mod 6,= , le groupe des difféomorphismes d’une surface de genre 6 à = points marqués préservant l’orientation et le marquage des points, à isotopie près. Le groupe Mod 6,= agit proprement et discontinûment (avec points fixes) sur T6,= ; les stabilisateurs pour cette action sont finis. La projection naturelle est notée : T6,= ! M 6,= = T6,= /Mod 6,= .

L’espace T6,= est une variété analytique complexe de dimension 36 3+=, tandis que l’espace M 6,= a une structure d’orbivariété complexe (de même dimension). Par abus de langage, on parlera de sous-variétés de M 6,= pour désigner des sous-orbivariétés. �.�. Métrique de Teichmüller La métrique de Teichmüller sur T6,= permet de comparer les structures conformes sur les surfaces de genre 6 à = points marqués. Soient deux surfaces - et . de T6,= et une application différentiable 5 : - ! .. Alors 5 agit en envoyant localement des cercles infinitésimaux sur des ellipses infinitésimales. On appelle coefficient d’excentricité de 5 et on note ( 5 ) le supremum de tous les coefficients d’excentricité locaux obtenus ainsi. Ce coefficient mesure le taux de non-conformité : 5 est dite conforme si ( 5 ) = 1 et quasiconforme si ( 5 ) est fini. D’après un théorème de Teichmüller, l’infimum du logarithme de ( 5 ), sur l’ensemble des difféoméorphismes quasiconformes isotopes à l’identité, est atteint en une fonction (dite extrémale), unique à composition par des applications conformes près, telle que tous les coefficients d’excentricité locaux de cette fonctions sont constants, excepté en un nombre fini de points. Cet infimum définit alors la distance de Teichmüller entre - et .. L’espace T6,= muni de la métrique induite par cette distance est complet. Une différentielle quadratique méromorphe sur - est une section méromorphe du carré symétrique du fibré cotangent ) ⇤ - (expressions locales de la forme 5 (I) dI 2 avec 5 méromorphe). Pour une surface de Riemann - à = points marqués, on note Q 1 (-) l’espace vectoriel des différentielles quadratiques intégrables sur -, avec pôles uniquement en les points marqués (la condition d’intégrabilité assure que ces pôles sont au plus simples). D’après un résultat classique en théorie de Teichmüller, l’espace tangent à T6,= au point - est canoniquement isomorphe au dual de Q 1 (-) (pour @ 2 Q 1 (-), ASTÉRISQUE ���

(����)

SOUS-VARIÉTÉS TOTALEMENT GÉODÉSIQUES DES ESPACES DE MODULES DE RIEMANN

���

la différentielle de Beltrami @/|@| représente un vecteur tangent à -) . Ainsi T6,= est muni d’une métrique de Finsler : il suffit de prendre sur chaque espace tangent Ø la norme duale à la norme !1 sur Q 1 (-) (norme de @ 2 Q 1 (-) donnée par k@ k = - |@|). Cette métrique de Finsler coïncide avec la métrique de Teichmüller, à un facteur 12 près. La métrique de Teichmüller n’est par contre pas riemannienne. Enfin, la métrique de Teichmüller coïncide avec la métrique de Kobayashi d’après un théorème de R����� (����). �.�. Courbes de Teichmüller et autres sous-variétés totalement géodésiques On appellera géodésique complexe ou disque de Teichmüller de T6,= tout plongement isométrique holomorphe du demi-plan hyperbolique H dans T6,= , en munissant chaque espace de sa métrique de Kobayashi : métrique hyperbolique sur H et métrique de Teichmüller sur T6,= . Étant donnés deux points distincts de T6,= , il existe une unique géodésique complexe passant par ces deux points : c’est l’unique plongement isométrique du demi-plan de Poincaré contenant la géodésique réelle passant par ces deux points. Une sous-variété complexe de T6,= est dite totalement géodésique si elle contient les géodésiques complexes passant par chacune de ses paires de points distincts, ou de façon équivalente, si elle contient toutes les géodésiques complexes passant en point donné dans toutes les directions tangentes à la sous-variété en ce point. Une sous-variété de M 6,= est dite totalement géodésique si une composante de sa préimage par est totalement géodésique (dans ce cas toute composante de sa préimage l’est également). La dimension d’une sous-variété de T6,= ou M 6,= sera toujours sa dimension complexe. Les sous-variétés totalement géodésiques de M 6,= de dimension 1 sont également appelées courbes de Teichmüller. Elles sont plus généralement définies via l’action de GL+ (2, R) sur l’espace de modules des différentielles quadratiques comme on le précisera dans le prochain paragraphe. L’image de presque tout disque de Teichmüller (au sens de la mesure de Masur–Veech) est dense dans M 6,= d’après des résultats de M���� (����) et V���� (����). �.�. Relation avec les sous-variétés linéaires invariantes de Q 6,=

On a vu précédemment que l’espace de Teichmüller des différentielles quadratiques intégrables sur une surface de genre 6 à = points marqués (classes d’équivalences modulo les difféomorphismes préservant le marquage des points isotopes à l’identité), s’identifiait au fibré cotangent à T6,= . Le groupe modulaire agit par image inverse sur les différentielles quadratiques, il agit donc naturellement sur l’espace de Teichmüller et on note Q 6,= l’espace quotient par cette action (espace de modules des différentielles quadratiques). On construit de manière similaire l’espace de modules des différentielles abéliennes (1-formes holomorphes) sur une surface de genre 6, qu’on notera H6 . SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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E. GOUJARD

Rappelons ici quelques propriétés de l’espace de modules H6 (Q 6,= vérifie des propriétés similaires mais plus longues à exposer ; dans la suite de l’exposé nous allons toujours nous ramener à des différentielles abéliennes, voir paragraphe �.�.�). L’espace H6 est stratifié par la donnée des ordres des zéros des différentielles. Plus précisément, pour : une partition de 26 2 on note H (:) l’ensemble des (- , $) 2 H6 dont les zéros de la forme $ sont d’ordres donnés par :. Alors H6 est la réunion de toutes les strates H (:) pour toutes les partitions : de 26 2. De plus, ces strates sont des orbivariétés complexes de dimension 26 + ✓ (:) 1 (où ✓ (:) est le nombre d’éléments de la partition :), localement modelées sur les groupes d’homologie relative via l’application des périodes, comme précisé ci-dessous. Pour un point (- , $) de H (:), on note ⌃ le lieu des zéros de $ et A = |⌃| = ✓ (:). On fixe une base de 1 (- , ⌃, Z) en concaténant une base symplectique de 1 (- , Z) et A 1 chemins reliant un zéro fixé de $ aux A 1 autres. Les intégrales de $ le long de ces cycles sont appelées périodes de $ et fournissent des coordonnées locales de la strate H (:) au voisinage de (- , $) : l’application qui à $ associe ses périodes est un homéomorphisme local. Les changements de coordonnées étant linéaires, ces coordonnées des périodes munissent chaque strate d’une structure affine. L’action de GL+ (2, R) sur l’ensemble des couples (- , $) est donnée pour choisi dans GL+ (2, R) par · (- , $) = (- 0 , $0) où (�)

⇣ Re $0 ⌘ Im $0

=

⇣ Re $ ⌘ Im $

,

et - 0 est l’unique structure de surface de Riemann sur la surface topologique sousjacente à - rendant $0 holomorphe. Cette action commute avec l’action du groupe modulaire donc induit une action sur H6 , qui préserve naturellement chaque strate. Elle se visualise particulièrement bien en interprétant (- , $) comme une surface de translation et en choisissant un patron polygonal plat pour celle-ci (voir les explications du paragraphe �.�). On peut définir une action similaire de PGL(2, R) sur Q 6,= en considérant les racines carrées de différentielles quadratiques. L’action du groupe à un paramètre de matrices 6C = e0 e0 C pour C réel joue un rôle particulier puisqu’il s’agit de l’action du flot de Teichmüller (flot géodésique pour la métrique de Teichmüller), par des résultats de Teichmüller. C’est-à-dire que {(-C , 6C ·$) ; C 2 R} (où -C est la surface de Riemann pour laquelle 6C ·$ est holomorphe) est la géodésique (réelle) de Teichmüller passant par - dans la direction du vecteur tangent correspondant à $2 (on définit de même la géodésique engendrée par une différentielle quadratique @). L’action de 6C encode l’action de l’application extrémale de Teichmüller : les axes des ellipses infinitésimales obtenues, d’excentricité constante, sont donnés par les directions horizontales et verticales induites par $2 (ou @). Notons que $ et · $ induisent la même structure complexe sur la surface sousjacente si et seulement si est la composée d’une rotation (élément de SO(2, R)) par une dilatation (c’est-à-dire que $ et · $ sont reliées par la multiplication par un nombre complexe non nul). C

ASTÉRISQUE ���

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SOUS-VARIÉTÉS TOTALEMENT GÉODÉSIQUES DES ESPACES DE MODULES DE RIEMANN

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Ainsi, les disques de Teichmüller correspondent à l’image dans T6,= des orbites par l’action de GL+ (2, R) sur l’espace de Teichmüller des différentielles quadratiques (ces orbites sont de la forme SO(2, R)\ SL(2, R) · @ par la discussion précédente ; rappelons que SO(2, R)\ SL(2, R) s’identifie à H). On appellera disque de Teichmüller engendré par une différentielle abélienne $ en un point - 2 T6,= l’image de GL+ (2, R) · (- , $) dans T6,= . Il s’agit de la réunion des géodésiques réelles émises depuis - dans les directions e8 $2 pour  variant dans R/2 Z. Si la projection sur M 6,= d’une telle orbite est fermée, c’est une courbe de Teichmüller. �.�.�. Sous-variétés linéaires invariantes de H (:). — On appelera sous-variété linéaire d’une strate H (:) toute sous-variété complexe immergée de H (:), donnée par des équations linéaires à coefficients réels dans les coordonnées des périodes. Une telle sous-variété est souvent appelée « sous-variété affine (ou linéaire) invariante » dans la littérature, pour la raison suivante.

Proposition �.�. — Une sous-variété linéaire fermée de H (:) est GL+ (2, R)-invariante.

Démonstration. — GL+ (2, R) agit naturellement sur n’importe quel espace vectoriel complexe admettant une structure réelle. En particulier, l’action de GL+ (2, R) sur (- , $) 2 H (:) se traduit en coordonnées des périodes par l’action naturelle de GL+ (2, R) sur l’espace vectoriel 1

(- , ⌃, C) =

1

(- , ⌃, R) ⌦R C

(observer l’équation (�)). Une sous-variété linéaire " correspond localement à des sous-espaces vectoriels définis sur R dans ces coordonnées des périodes, ces espaces sont donc préservés par l’action de GL+ (2, R). L’action de GL+ (2, R) sur H (:) se restreint donc en une action sur ", bien définie globalement (" est fermée). ⇤ La réciproque de ce résultat est le fameux théorème (voir Q���� (����) pour l’exposé Bourbaki correspondant) :

Théorème �.� (E����, M��������� et M��������, ����). — Tout sous-ensemble fermé GL+ (2, R)-invariant de H (:) est une union finie de sous-variétés linéaires. En particulier l’adhérence de l’orbite d’un point par GL+ (2, R) est une sous-variété linéaire. D’après un résultat de F���� (����), ces sous-variétés linéaires invariantes sont également des variétés algébriques de H (:), définies sur Q. Enfin les sous-variétés linéaires forment un ensemble dénombrable dans chaque strate (E����, M��������� et M��������, ����) et elles sont définies (en tant que sous-variétés linéaires) sur des corps de nombres (W�����, ����).

�.�.�. Des différentielles quadratiques aux différentielles abéliennes. — Pour toute différentielle quadratique @ sur une surface de Riemann . de genre 6 qui n’est pas le carré d’une différentielle holomorphe, il existe un unique revêtement ramifié minimal - 7! . de degré 2, appelé revêtement d’orientation, tel que @ se relève en le carré SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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E. GOUJARD

d’une différentielle abélienne $ sur -. Ce revêtement est muni d’une involution qui change le signe de la forme $. Les points de branchement se trouvent aux singularités d’ordre impair de @. Le genre b 6 de - se déduit des ordres des singularités de @. Réciproquement la donnée de (- , $) 2 H b6 munie d’une involution qui préserve $2 induit une différentielle quadratique @ = $2 / sur la surface . = -/ (qui n’est pas le carré d’une différentielle abélienne si ⇤ $ = $). Dans chaque cas, l’involution considérée commute avec l’action de GL+ (2, R). Cette propriété permet de ramener l’étude des sous-variétés invariantes de Q 6,= à celle des sous-variétés invariantes de H b6 . �.�.�. Sous-variétés totalement géodésiques de M 6,= et sous-variétés linéaires invariantes de Q 6,= . — Dans la suite de cette partie, pour # une sous-variété de M 6,= , on notera : 3 &# l’ensemble des couples (., @) où . 2 # et @ est une différentielle quadratique sur . qui engendre un disque de Teichmüller contenu dans #. Cet espace est également stratifié par la donnée des ordres des singularités des différentielles.

3 ⌦# l’ensemble des revêtements doubles d’orientation des points de la strate de plus grande dimension de &#, comme décrit précédemment. Chaque point de ⌦# consiste en un triplet (- , $, ) composé de - 2 H b6 , $ une différentielle abélienne et une involution préservant $2 . Un des points clés de l’étude des sous-variétés totalement géodésiques de M 6,= est le résultat suivant (qu’on peut extraire des articles de W����� (����) et E����, M�M�����, M������ et W����� (����)) :

Proposition �.�. — Soit # une sous-variété de M 6,= de dimension 3. Alors (# est totalement géodésique)

() (⌦# est une sous-variété linéaire invariante de dimension 23 de H b6 ).

Démonstration. — Soit # une sous-variété (immergée) de M 6,= de dimension 3. Supposons que ⌦# est une sous-variété linéaire invariante de dimension 23. Alors par construction pour tout point - de #, # contient toutes les géodésiques complexes passant par - car elles sont les projections d’orbites par GL+ (2, R) de points (- , $, ) de ⌦#. Réciproquement, si # est totalement géodésique, comme # est de dimension 3, en chaque point - de # passe une famille de dimension 3 1 de géodésiques complexes, qui est engendrée par une famille de dimension 3 de différentielles quadratiques (voir la discussion avant �.�.�). Ainsi &# est de dimension 23 (&# s’identifie au fibré cotangent ) ⇤ #) et il en est de même pour ⌦#. ⇤ Notons que la sous-variété linéaire ⌦# apparaissant dans la proposition est spécifiquement construite à partir de #, il ne s’agit pas de n’importe quelle variété linéaire de dimension paire. Les résultats de F���� (����) impliquent que toute sous-variété totalement géodésique fermée de M 6,= est algébrique. ASTÉRISQUE ���

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SOUS-VARIÉTÉS TOTALEMENT GÉODÉSIQUES DES ESPACES DE MODULES DE RIEMANN

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�.�. Résultats de finitude et de rigidité en dimension supérieure Les courbes de Teichmüller sont infiniment nombreuses dans M 6,= . On peut en construire par exemple en projetant les orbites par l’action de GL+ (2, R) de surfaces dites à petits carreaux, voir par exemple M������ (����). Notons que ces exemples ne sont pas primitifs (voir la discussion au début du paragraphe � à ce sujet). En dimension plus grande, la situation est totalement différente :

Théorème �.� (W�����, ����). — Il n’y a qu’un nombre fini de sous-variétés totalement géodésiques de M 6,= de dimension plus grande que 2. La preuve de ce résultat est détaillée dans la partie �. Les sous-variétés totalement géodésiques sont également plus rigides en dimension supérieure (résultat admis ici) :

Théorème �.� (W�����, ����). — L’image d’une sous-variété totalement géodésique de dimension plus grande que 2 de T6,= dans M 6,= est fermée. �. PREUVE DU RÉSULTAT DE FINITUDE �.�. Périodes relatives, absolues et notion de rang Soit " une sous-variété linéaire de H6 . Il existe sur " un fibré plat naturel dont la fibre au-dessus d’un point (- , $) est donnée par 1 (- , ⌃, C). Le fibré tangent ) " à " est naturellement un sous-fibré plat de ce fibré. Dans la suite de cette section on considérera la projection naturelle ?:

1

(- , ⌃, C) !

1

(- , C).

Rappelons que la forme d’intersection naturelle sur 1 (- , C) est symplectique et cette propriété est conservée pour les sous-variétés linéaires :

Théorème �.� (A����, E���� et M�����, ����). — Les sous-variétés linéaires sont symplectiques, au sens où la forme d’intersection est non dégénérée sur ?() "). Ce résultat motive la définition suivante.

Définition �.�. Le rang d’une sous-variété linéaire " est égal à

1 2

dim ?() ").

Le résultat suivant montre que pour une sous-variété totalement géodésique, toute la variation de la structure complexe des surfaces est encodée par la cohomologie absolue.

Théorème �.� (W�����, ����). — Si # est une sous-variété totalement géodésique de M 6,= , alors le rang de ⌦# est égal à la dimension de #. Par définition, le rang A de ⌦# est inférieur ou égal à la moitié de sa dimension, c’est-à-dire la dimension de # d’après la proposition �.�. Pour montrer l’autre inégalité, Wright montre que ⌦# contient une famille de différentielles de codimension A.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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E. GOUJARD

La construction repose sur l’existence de différentielles dont le feuilletage horizontal est totalement périodique : pour de telles surfaces, on peut décrire explicitement les déformations qui permettent d’annihiler un sous-espace de l’homologie de dimension A, tout en restant dans la sous-variété linéaire (Théorème �.�). Cette construction est détaillée dans le paragraphe suivant. �.�. Différentielles de Jenkins–Strebel et déformation de cylindres Dans ce paragraphe nous décrivons un peu plus précisément la métrique plate naturellement présente sur une surface (- , $) 2 H6 , qui est liée à la structure de translation sur celle-ci. Soit (- , $) 2 H6 . L’intégration de $ le long de chemins permet de choisir sur - un atlas dont les changements de cartes (en dehors du lieu des zéros ⌃ de $) sont des translations (ce qui explique la dénomination « surface de translation » pour (- , $)). La carte au voisinage d’un zéro d’ordre 3 de $ est alors donnée par un changement de carte de la forme I 7! I 3+1 avec les cartes voisines. En dehors des points de ⌃, la métrique |$| induite par $ correspond tout simplement à la métrique euclidienne sur C (identifié à R2 ) dans les cartes de translation. Un zéro de $ de degré 3 correspond à une singularité conique de cette métrique, d’angle 2 (3 +1). La structure de translation permet de relever le feuilletage horizontal ou vertical de R2 (ou plus généralement le feuilletage linéaire dans une direction fixée) en feuilletage sur - (avec des singularités en ⌃). En dehors des singularités, les géodésiques correspondent à des courbes de direction constante sur - : elles sont linéaires. Un segment géodésique joignant deux singularités (deux points de ⌃), non nécessairement distinctes, sans singularités en son intérieur, sera appelé connexion de selle. Pour une courbe géodésique fermée simple ne passant pas par des singularités, grâce à la structure de translation, les géodésiques partant de points voisins dans la même direction restent parallèles et de même longueur, tant qu’on n’atteint pas une singularité de la métrique. On appellera cylindre une telle collection maximale de géodésiques fermées simples (par définition un cylindre n’a pas de singularités en son intérieur, mais en a forcément en chacun de ses bords ; il est bordé par les connexions de selles). On parlera de courbe portant le cylindre pour n’importe quelle géodésique engendrant le cylindre (ou n’importe quelle courbe dans la même classe d’homotopie libre sur - \ ⌃). La circonférence d’un cylindre est le module de la période de $ sur une courbe portant le cylindre. Pour un cylindre horizontal (porté par une géodésique horizontale), la hauteur du cylindre sera la partie imaginaire de la période de $ sur n’importe quelle connexion de selle joignant deux singularités des bords opposés du cylindre. Enfin, on appellera différentielle de Jenkins–Strebel toute surface (- , $) dont le feuilletage horizontal est totalement périodique (feuilles fermées). Une telle surface est composée uniquement de cylindres horizontaux, recollés le long de connexions de selles horizontales. Sur la figure � (page ���) est représenté le patron plat d’une différentielle de Jenkins–Strebel (- , $) 2 H (1, 1), formée de deux cylindres horizontaux (jaune et rose).

ASTÉRISQUE ���

(����)

SOUS-VARIÉTÉS TOTALEMENT GÉODÉSIQUES DES ESPACES DE MODULES DE RIEMANN

���

De nombreux théorèmes d’existence et d’unicité de telles différentielles existent, on utilisera le résultat suivant dans la suite.

Théorème �.� (J������, S������). — Soit - une surface de Riemann et ✏1 , . . . , ✏: des classes d’homotopies distinctes de courbes fermées simples sur -. Alors il existe une différentielle de Jenkins–Strebel sur - dont les cylindres sont portés par les ✏8 . De plus, cette différentielle est uniquement déterminée par la donnée des hauteurs des cylindres, ou par la donnée des circonférences des cylindres. Chaque strate de H6 contient des différentielles de Jenkins–Strebel (constructions explicites de Zorich), mais également chaque sous-variété linéaire invariante, grâce au résultat suivant, découlant de l’étude de la dynamique du flot horocyclique (action de 10 1C .

Théorème �.� (S������ et W����, ����). — Toute orbite fermée du flot horocyclique contient une différentielle de Jenkins–Strebel. Chaque courbe portant un cylindre représente un élément de l’homologie absolue de la surface. On s’intéresse maintenant à la dimension du sous-espace vectoriel de l’homologie absolue engendré par ces cylindres (c’est-à-dire par les classes des courbes portant ces cylindres). D’après A����, E���� et M����� (����), ?() ") est symplectique pour la forme d’intersection. Les courbes portant les différents cylindres étant disjointes, le dual du sous-espace vectoriel engendré par les cylindres est isotrope, sa dimension est donc au plus A si " est de rang A. Le théorème suivant montre que dans une sous-variété linéaire de rang A on peut toujours trouver une différentielle de Jenkins–Strebel avec le maximum de cylindres indépendants (c’est-à-dire telle que les cylindres engendrent un sous-espace de dimension A de l’homologie), et de plus qu’on peut trouver toute une famille de codimension A de telles différentielles dans la sous-variété.

Remarque �.�. L’ensemble des (classes des) connexions de selle engendre l’homologie relative de la surface ; chaque cylindre présent dans la surface induit une relation de dépendance linéaire (à coefficients dans Z) entre les connexions de selles qui le bordent d’un côté et de l’autre, cette relation étant préservée par l’action de GL+ (2, R). La construction présentée ci-dessous consiste à trouver une surface qui sature l’ensemble de ces conditions (plus aucun degré de liberté sur les connexions de selles bordant les cylindres), tout en restant dans la sous-variété qui elle-même est définie localement par des équations linéaires (à coefficients réels). Théorème �.� (W�����, ����). — Soit " une sous-variété linéaire invariante de H6 de rang A. Alors il existe dans " une famille de différentielles de Jenkins–Strebel dont les coordonnées des périodes forment un ouvert d’un sous-espace vectoriel de codimension A de l’espace tangent à " au point considéré.

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E. GOUJARD

F����� �. Déformation conservant les connexions de selles horizontales

F����� �. Déformation préservant les courbes portant les cylindres

F����� �. Déformation d’une connexion de selle horizontale qui crée plus de cylindres.

Éléments de preuve. — On part d’une différentielle de Jenkins–Strebel dans ". On considère deux types de déformations dans " de la surface (- , $) correspondante : celles qui préservent les connexions de selles horizontales (comme dans la figure �) et celles qui préservent les courbes portant les cylindres horizontaux (comme dans la figure �). L’idée clé est que tant qu’il existe des déformations préservant les cylindres mais pas les connexions de selles horizontales, alors il est possible de trouver une déformation de la surface dans " qui crée plus de cylindres (voir figure �). Plus précisément, on compare les (co-)dimensions des espaces suivants : – L’annulateur CS des connexions de selle horizontales dans )(- ,$) " ⇢ 1 (- , ⌃, R). Cet espace, qui peut être explicitement décrit, est de codimension au moins A (cela découle du fait que son image par ? est isotrope).

ASTÉRISQUE ���

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SOUS-VARIÉTÉS TOTALEMENT GÉODÉSIQUES DES ESPACES DE MODULES DE RIEMANN

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– L’annulateur Cyl des courbes portant les cylindres horizontaux dans )(- ,$) " ⇢ 1 (- , ⌃, R). Cet espace est par définition de codimension égale à celle du sous-espace de l’homologie engendré par les courbes portant les cylindres. Il contient naturellement CS. Tant que ces deux espaces ne sont pas égaux, il est possible de construire, en jouant sur la complexification de )(- ,$) " ⇢ 1 (- , ⌃, R), une nouvelle surface (- 0 , $0) dans " qui contient plus de cylindres, quitte à appliquer à nouveau le théorème de Smillie–Weiss si nécessaire. Le nombre de cylindres d’une surface de genre 6 étant borné par 36 3, nécessairement la dimension de CS doit finir par augmenter. Le processus s’arrête donc quand les cylindres horizontaux engendrent un sousespace de dimension A. Pour cette surface maximale, les déformations préservant les cylindres (le long de Cyl) préservent aussi les connexions de selles horizontales (car Cyl = CS) ; elles préservent ainsi la propriété de périodicité et ne créent pas de nouveau cylindre. ⇤ Preuve du Théorème �.�. — Soit 3 la dimension de # et A le rang de ⌦#. On a vu que par définition du rang A  3 (car ⌦# est de dimension 23). La famille de différentielles de Jenkins–Strebel à circonférences de cylindres constantes données par le Théorème �.�, de dimension 23 A dans ⌦#, se projette en une famille de dimension 23 A dans # grâce au Théorème �.�. On obtient donc l’autre inégalité 23 A  3 ce qui conclut. ⇤ �.�. Résultats de finitude d’Eskin–Filip–Wright Au vu du Théorème �.�, la fin de la preuve du théorème de finitude (Théorème �.�) repose sur le résultat suivant :

Théorème �.� (E����, F���� et W�����, ����, Thm �.�). — Toute strate de différentielles abéliennes ne contient qu’un nombre fini de sous-variétés invariantes de rang supérieur ou égal à 2. Éléments de preuve. — Le détail de la preuve de ce résultat mériterait un exposé à part entière. On en redonne ici les étapes clés. Le point central est le calcul de l’enveloppe algébrique du cocycle de Kontsevich–Zorich. Ce cocycle encode le transport parallèle du fibré cohomologique 1 le long des orbites par l’action de GL+2 (R). (Voir par exemple K�������� (����) et G������ et H����� (����) pour des exposés précédents sur le sujet). L’enveloppe algébrique d’un cocycle est donnée par le plus petit groupe algébrique dans lequel le cocycle peut être conjugué. Si " est une sous-variété linéaire 1 invariante de H , on note ) " ⇢ rel son fibré tangent. Le sous-fibré tautologique est celui de fibre VectR (Re($), Im($)) au point (- , $). E����, F���� et W����� (����) montrent successivement les résultats suivants : – L’enveloppe algébrique de ) " est le groupe d’endomorphismes qui respectent la forme symplectique, le fibré tautologique et qui agit comme l’identité sur Ker(?) (la partie relative de l’homologie). Pour les conjugués de Galois de ) ", il en est de même en oubliant la condition sur le plan tautologique (Théorème �.�).

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E. GOUJARD

– Si deux sous-variétés linéaires invariantes " 0 et " vérifient " 0 ( " et si ) " et ) " 0 (ainsi que leurs conjugués de Galois) ont la même enveloppe algébrique, alors " 0 est de rang 1 (Lemme �.�). – Si (" 8 ) est une suite de sous-variétés linéaires incluses dans une sous-variété linéaire " et qui s’équidistribuent dans ", alors, excepté pour un nombre fini d’entre elles, l’enveloppe algébrique de leur fibré tangent et de ses conjugués de Galois est égale à celle pour " (Théorème �.�). ⇤ �. CONSTRUCTION D’EXEMPLES DE DIMENSION 2 Partant d’une sous-variété totalement géodésique de M 6,= , il est toujours possible d’en construire de nouvelles dans des espaces M 60 ,=0 de dimension plus grande, en considérant des revêtements de surfaces dans M 6,= . On s’intéresse ici à des exemples de sous-variétés dites primitives, c’est-à-dire qui ne sont pas le fruit de telles constructions. �.�. Construction d’exemples de dimension � Les premiers exemples de courbes de Teichmüller primitives remontent aux constructions de V���� (����) à partir de polygones réguliers, puis à celles de W��� (����) à partir de certains triangles. Ces constructions ont ensuite été généralisées par B��� et M����� (����) en une série infinie d’exemples de courbes de Teichmüller uniformisées par des groupes Fuchsiens triangulaires, cette série fournissant à chaque genre fixé un nombre fini de telles courbes. Deux exemples sporadiques ont également été construits par V������� (����) et K����� et S������ (����). Dans les années ����, C���� (����) et M�M����� (����) décrouvrent indépendemment des séries infinies de courbes de Teichmüller primitives en genre �. Ces constructions ont ensuite été généralisées au cas du genre � et � par M�M����� (����a). Les résultats de M�M�����, M������ et W����� (����) et E����, M�M�����, M������ et W����� (����) présentés brièvement ci-dessous fournissent également deux nouvelles séries infinies de courbes de Teichmüller primitives en genre �. La question de la finitude du nombre de courbes primitives en genre � est encore largement ouverte. La classification des courbes de Teichmüller est un problème difficile et résolu jusqu’à présent uniquement dans certains cas (voir (M�M�����, ����b) et (L������ et N�����, ����)). �.�. Construction d’exemples de dimension � On adopte dans cette section la description unifiée de E����, M�M�����, M������ et W����� (����) des exemples connus de sous-variétés totalement géodésiques primitives de M 6,= de dimension 2. Ces exemples proviennent de sous-variétés linéaires de H6 de dimension 4. On peut les construire soit en considérant l’orbite des formes dites cycliques (provenant d’un revêtement ramifié de % 1 (C) dont le groupe d’automorphismes est cyclique), soit en considérant l’ensemble des formes dites diédrales (provenant d’un revêtement ramifié de % 1 (C) dont le groupe d’automorphismes est diédral), dont les symétries persistent sous l’action de SL(2, R). Les variétés obtenues ASTÉRISQUE ���

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SOUS-VARIÉTÉS TOTALEMENT GÉODÉSIQUES DES ESPACES DE MODULES DE RIEMANN

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en considérant le premier point de vue sont naturellement linéaires et de dimension plus grande que 4 (pour au moins quatre points de ramification). Les variétés obtenues en considérant le second point de vue sont plus explicites, et de dimension plus petite que 4. Les exemples qui nous intéressent viennent du cas où les deux points de vue donnent des variétés de même adhérence, de dimension 4 donc. Dans cet exposé, le but étant de montrer simplement l’existence de tels exemples, nous nous contenterons de développer le premier point de vue.

Définition �.�. Soient (G1 , G2 , G3 , G4 ) quatre points distincts de % 1 (C) et 01 , 02 , 03 , 04 des entiers naturels premiers entre eux, de somme paire égale à 2 0 et une boule ouverte * autour de l’identité de rayon & pour la distance 3L et pour la distance 3R , si 3L^R (61 , 62 ) < &, on trouve ⌘ tel que 3L (61 , ⌘) + 3R (⌘, 62 ) < &, ainsi 61 2 ⌘* et ⌘ 2 * 62 donc 61 2 * 62 *. ⇤

bL le complété à gauche de ⌧, notons toujours 3L la distance Soit maintenant ⌧ b bL ⇥ ⌧ bL définie par obtenue sur ⌧ L et 3 la distance sur ⌧ 3 (61 , 62 ), (⌘1 , ⌘2 ) = 3L (61 , 62 ) + 3L (⌘1 , ⌘2 ).

L’action précédente de ⌧ s’étend par densité et complétude en une action isométrique bL ⇥ ⌧ bL , 3). sur (⌧

bL ⇥ ⌧ bL ) est complet. L’espace métrique quotient ⌧\\(⌧ D’après le lemme précédent l’application 6 7! [1, 6] est un plongement isométrique de (⌧, 3L^R ) dans ⌧\\(⌧ L ⇥⌧ L ), et son image est dense. Ceci montre le lemme suivant, où par complété de Roelcke on entend complété pour la structure uniforme de Roelcke. Lemme �.��. — Le complété de Roelcke de ⌧ s’identifie à l’espace métrique complet

bL ⇥ ⌧ bL ). ⌧\\(⌧

⇤

�.�. Caractérisations des groupes polonais Roelcke-précompacts

bL ⇥ ⌧ bL ), ce qui On vient d’identifier le complété de Roelcke de ⌧ avec l’espace ⌧\\(⌧ a pour corollaire immédiat le résultat suivant.

Proposition �.��. — Soit ⌧ un groupe polonais, soit 3L une distance invariante à gauche bL le complété de ⌧ pour 3L . Alors ⌧ est Roelckesur ⌧ compatible avec sa topologie et soit ⌧ b b précompact si et seulement si ⌧\\(⌧ L ⇥ ⌧ L ) est compact. ⇤ Remarque �.��. Dans le cas où ⌧ admet une distance invariante à gauche compatible bL = ⌧ complète (autrement dit, si sa structure uniforme gauche est complète), on a ⌧ b b et donc ⌧\\(⌧ L ⇥ ⌧ L ) = ⌧\\(⌧ ⇥ ⌧) = ⌧\(⌧ ⇥ ⌧), qui est homéomorphe à ⌧. Ainsi ⌧ est Roelcke-précompact si et seulement si ⌧ est compact. Cette remarque s’applique en particulier aux groupes polonais localement compacts car ils admettent toujours une distance invariante à gauche compatible complète.

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On peut maintenant donner les caractérisations de la Roelcke-précompacité d’un groupe polonais ⌧ en termes d’actions continues par isométries sur des espaces métriques (- , 3), c’est-à-dire de morphismes continus ⌧ ! Iso(- , 3). Ce résultat va nous fournir de nombreux exemples de groupes polonais Roelcke-précompacts.

Théorème �.�� (B�� Y����� et T������, ����, Thm. �.�). — Soit ⌧ un groupe polonais. Alors les assertions suivantes sont équivalentes : (i) ⌧ est Roelcke-précompact. (ii) Dès que ⌧ agit continûment par isométries sur des espaces métriques - et . de manière approximativement cocompacte, l’action diagonale sur - ⇥ . est approximativement cocompacte. (iii) Dès que ⌧ agit continûment par isométries sur un espace métrique de manière approximativement cocompacte, l’action est approximativement oligomorphe. (iv) On peut plonger ⌧ dans le groupe d’isométries d’un espace métrique (- , 3) complet séparable de sorte que l’action associée sur - soit approximativement oligomorphe. (v) Le groupe ⌧ est isomorphe au groupe d’automorphismes d’une structure métrique séparable sur laquelle il agit de manière approximativement oligomorphe. Démonstration. — On montre d’abord que les quatre premières assertions sont équivalentes via la chaîne d’implications (i) ) (ii) ) (iii) ) (iv) ) (i). (i) ) (ii). Supposons que ⌧ agit continûment par isométries sur (- , 3- ) et (., 3. ) de manière approximativement cocompacte. On rappelle que par convention - ⇥ . est muni de la distance 32 donnée par 32 (G1 , H1 ), (G2 , H2 ) = 3- (G1 , G2 ) + 3. (H1 , H2 ).

Soit & > 0, on va montrer que l’on peut recouvrir ⌧\\- ⇥ . par un nombre fini de boules de rayon 4&. Par précompacité on trouve -0 ✓ - et .0 ✓ . finis tels que ⌧\\- soit recouvert par la réunion sur G 2 -0 de boules de rayon & centrées en [G] et que ⌧\\. soit recouvert par la réunion sur H 2 .0 de boules de rayon & centrées en [H]. Par continuité de l’action de ⌧ sur - et sur ., on trouve un voisinage de l’identité * ✓ ⌧ tel que pour tout G dans -0 , 3- (6 · G, G) < & et pour tout H 2 .0 , 3. (6 · H, H) < &. D’après le lemme �.��, on dispose d’une partie finie ✓ ⌧ telle que ⌧ = * *. On va montrer que tout [G, H] 2 ⌧\\(- ⇥ .) est à distance au plus 2& d’un élément du projeté de ( · -0 ⇥ .0 ) sur ⌧\\(- ⇥ .). Soit donc [G, H] 2 ⌧\\(- ⇥ .). Alors il existe 61 2 ⌧ tel que 61 · G soit &-proche de -0 , donc quitte à remplacer (G, H) par (61 · G, 61 · H) on peut et va supposer que G est &-proche de G0 2 -0 . On dispose de 6 2 ⌧ tel que 6 · H soit &-proche de H0 2 .0 . On écrit 6 = D1 5 D2 avec D1 , D2 2 * et 5 2 . ASTÉRISQUE ���

(����) LA PROPRIÉTÉ (T) POUR LES GROUPES POLONAIS ROELCKE-PRÉCOMPACTS

���

Comme 3(G, G0 ) < & et l’action est par isométries, l’élément 5 D2 · G est &-proche de 5 D2 · G0 , lui-même &-proche de 5 · G0 puisque 3(G0 , D2 · G0 ) < &, donc par inégalité triangulaire 3( 5 D2 · G, 5 · G0 ) < 2&. D’autre part, 3( 5 D2 · H, H0 ) = 3(D1 5 D2 · H, D1 · H0 ), or 3(D1 · H0 , H0 ) < &, donc 3(D1 5 D2 · H, D1 · H0 ) < & + 3(D1 5 D2 · H, H0 ) et on conclut que 3( 5 D2 · H, H0 ) < 2&. Ainsi 32 ( 5 D2 · (G, H), ( 5 · G 0 , H0 )) < 4&. On conclut que tout élément de ⌧\\- ⇥. est à distance au plus 4& d’un élément du projeté de l’ensemble fini · -0 ⇥ . sur ⌧\\- ⇥ .. Comme & était arbitraire, ceci montre bien que l’action diagonale sur - ⇥ . est approximativement cocompacte. (ii) ) (iii). Si l’action de ⌧ sur - est approximativement cocompacte, alors la condition (ii) donne par récurrence que l’action sur - = est approximativement cocompacte pour tout = 2 N , donc l’action ⌧ - est approximativement oligomorphe.

(iii) ) (iv). L’action transitive de ⌧ sur (⌧, 3L ) est isométrique, continue, et l’application ⌧ ! Iso(⌧ L ) associée est un plongement de groupes topologiques puisque 6= ! 6 si et seulement si 6= · 4 ! 6 · 4. Par complétude cette action s’étend de manière unique en un plongement ⌧ ! bL , 3L ), et l’action associée est approximativement cocompacte, donc approximaIso(⌧ tivement oligomorphe par (iii). (iv) ) (i). Soit ( 8 )82 N une suite dense d’éléments de -, l’application : (⌧, 3L ) ! - N ,

(6) = (6 ·

8 )82 N

est uniformément continue. Par densité de ( 8 )82 N et comme ⌧ est plongé dans Iso(- , 3), l’application réciproque est également uniformément continue. De plus, est ⌧-équivariante, et est donc un plongement bi-uniformément continu de l’action ⌧ ⌧ L dans ⌧ - N . L’application ⇥ est alors un plongement bi-uniformément continu de l’action diagonale ⌧ ⌧ L ⇥ ⌧ L dans ⌧

-N ⇥ -N ' -N.

Comme ⌧ - = est approximativement cocompacte pour tout = 2 N , l’action N ⌧ - est également approximativement cocompacte (cf. remarque �.�). L’existence d’un plongement bi-uniformément continu de ⌧ ⌧ L ⇥ ⌧ L dans ⌧ - N nous garantit alors que ⌧ ⌧ L ⇥ ⌧ L est également approximativement cocompacte, ce qui d’après la proposition �.�� montre que ⌧ est Roelcke-précompact. On a donc montré que les quatre premières assertions sont équivalentes. Reste à montrer que (iv) et (v) sont équivalentes. L’implication (v) ) (iv) est claire, et pour montrer la réciproque on va suivre une construction de Melleray qui montre que tout groupe polonais est isomorphe au groupe des automorphismes d’une structure métrique séparable. On suppose donc que ⌧ est plongé dans Iso(- , 3) et agit de manière approximativement oligomorphe. On identifie ⌧ à sont image dans Iso(- , 3) qui est fermée. Pour

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chaque = 2 N et chaque adhérence d’orbite [(G1 , . . . , G = )] 2 ⌧\\- = , on considère la relation ' [(G1 ,...,G = )] donnée par ' [(G1 ,...,G = )] (H1 , . . . , H= ) = 3 = (H1 , . . . , H= ), [G 1 , . . . , G = ] .

Montrons que l’ajout à - de toutes les relations ' [(G1 ,...,G = )] réduit son groupe d’automorphismes à ⌧. Tout d’abord, il est clair que tout élément de ⌧ est un automorphisme de notre structure. Pour la réciproque, on remarque tout d’abord que d’après le fait � de la page ���, le groupe ⌧ est plongé comme sous-groupe fermé de Iso(- , 3) car les deux sont polonais. Soit maintenant un automorphisme de (- , 3) muni de la structure définie ci-dessus. Montrons que est dans l’adhérence de ⌧, ce qui terminera la preuve puisque ⌧ est fermé. Donnons-nous G1 , . . . , G = 2 - et & > 0. On doit trouver un 6 2 ⌧ tel que 3

(G 8 ), 6 · G 8 < &

pour tout 8 2 {1, . . . , =}. Or ' [(G1 ,...,G = )] (G 1 , . . . , G = ) = 0, donc comme est un automorphisme on a ' [(G1 ,...,G = )] ( (G1 ), . . . , (G = )) = 0, ce qui par définition de ' [(G1 ,...,G = )] donne le résultat voulu. ⇤

Remarque �.��. Dans la construction précédente, on aurait pu se contenter de choisir des sous-ensembles dénombrables denses ⇡= de - = pour tout = 2 N afin de n’ajouter à la structure que les ' (G1 ,...,G = ) où (G 1 , . . . , G = ) 2 ⇡= ; on obtient alors ⌧ comme groupe d’automorphismes d’une structure métrique séparable avec un nombre dénombrable de relations, et aucune fonction. De plus, la preuve montre que tout groupe polonais, Roelcke-précompact ou non, se réalise comme groupe d’automorphismes d’une structure métrique séparable. Exemple �.��. Les exemples d’actions approximativement oligomorphes de la section �.� nous fournissent des des groupes polonais Roelcke-précompacts via la caractérisation (v) du théorème précédent. Ainsi le groupe S1 des permutations de N , le groupe Aut(') des automorphismes du graphe aléatoire et le groupe Aut(Q , 0 et tous G1 , G2 2 -, si 3- (G1 , G2 ) < ⇣(&) alors 3. ( 5 (G1 ), 5 (G2 )) < &. Dans la définition qui suit, les distances sur les puissances " = sont celles de la convention donnée en début de section �.�, et on munit R de sa distance usuelle, induite par la valeur absolue.

Définition �.�. Un langage métrique est un langage discret où on se donne en plus :

L = (( 58 , = 8 )82 , (' 9 , < 9 ) 92 )

3 pour chaque 8 2 un module de continuité uniforme ⇣ 8 ;

3 pour chaque 9 2 un module de continuité uniforme ⇣ 9 et une borne ⇡ 9 > 0 ; 3 une borne ⇡ > 0.

Une L -structure est alors un espace métrique complet (", 3 " ) de diamètre au plus ⇡ muni des interprétations suivantes : 3 pour chaque symbole de fonction 58 , on a une application 58" : " = 8 ! " de module de continuité uniforme ⇣ 8 ; 3 pour chaque symbole de relation ' 9 , on a une application ' " : " < 9 ! [0, ⇡ 9 ] 9 de module de continuité uniforme ⇣ 9 . Comme dans la définition des structures métriques, on autorise les symboles de fonctions 0-aires qui correspondent alors à des éléments de la structure ". Le symbole de distance 3 est également interprété comme 3 " dans ".

Exemple �.�. Tout espace métrique complet est une structure dont le langage est l’ensemble vide (on parle alors du langage des espaces métriques). Exemple �.�. Les algèbres de mesure telles que définies dans la section �.� sont des Lstructures pour le langage L qui suit. Tout d’abord, on prendra pour chaque symbole de relation ou de fonction le module de continuité uniforme ⇣ = id ]0,+1[ (module de continuité uniforme des fonctions 1-lipschitziennes), et la borne ⇡ = 1. Le langage est alors constitué des symboles suivants dont on précise les interprétations dans une algèbre de mesure (MAlg(- , ⇠), 3⇠ , ?, - , [, \, 4, ⇠) : 3 deux symboles de fonctions O et 1 d’arité 0 (constantes), qui seront interprétées comme ? et - ;

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3 trois symboles _, ^, + de fonctions d’arité 2 et de module de continuité uniforme ⇣, qui seront interprétées comme [, \ et 4 respectivement ; 3 un symbole de relation < d’arité 1, de module de continuité uniforme ⇣, qui sera interprété comme ⇠. Le langage des algèbres de mesure est donc formellement la famille (O , 0), (1 , 0), (_, 2), (^, 2), (+, 2) , ( 0, il existe ⇣ > 0 = " 1 tel que ⇡ = (! ) ({0}) et pour tout 0¯ 2 " = , si ! " ( 0¯ )  ⇣ alors 3( 0¯ , ⇡)  &.

¯ ⇡) est définissable, on voit que notre Remarque �.�. Une fois que l’on sait que 3(G, ¯ implique 3( G, ¯ ⇡). nouvelle condition de définissabilité demande en particulier que !( G) ¯ ⇡) implique !( G) ¯ par uniforme continuité de ! " De plus, on a également que 3(G, et le fait que ⇡ ✓ (! " ) 1 ({0}). Démonstration. — L’implication directe est claire. Réciproquement, supposons donc ¯ dont ⇡ est l’ensemble des zéros et tel que pour donné un prédicat définissable !( G) tout 0¯ 2 " = , on a l’implication ! " ( 0¯ )  ⇣ ) 3( 0¯ , ⇡)  &. Quitte à remplacer ! par | ! |, on peut supposer que ! est à valeurs positives. Par le lemme �.� (où - = " = ), il existe une fonction continue : R+ ! R+ telle que pour tout 0¯ 2 " = , 3( 0¯ , ⇡)  (! " ( 0¯ )). On étend alors en un connecteur logique en posant (C) = 0 pour C  0. Considérons le prédicat définissable14 ¯ = inf #( G) H¯

¯ + 3( G, ¯ H). ¯ !( G)

.

On va montrer que son interprétation sur " coïncide avec la fonction 3 " ( , ⇡), ce qui montrera bien que cette dernière est un prédicat définissable. ¯ et donc # " ( 0¯ ) 3 " ( 0¯ , ⇡). InverseSoit donc 0¯ 2 " = . On a 3 " ( 0¯ , ⇡)  (! " ( G)) ment, on dispose d’une suite ( 3¯ < ) d’éléments de telle que 3 " ( 0¯ , 3¯ < ) ! 3 " ( 0¯ , ⇡), et comme (!( 3¯ < )) = 0 pour tout 0 fixé, Si 0¯ est dans " = , par définition on a # " ( 0¯ ) #( = prenons 2¯ 2 " . Par continuité de et définition de 3 " ( , ⇡), on trouve un 1¯ 2 ⇡ ¯ ¯  #( ˜ 0¯ ), et comme tel que | (3 " ( 2¯ , 1)) (3 " ( 2¯ , ⇡))| < &. Alors par définition ! " ( 0¯ , 1) " " ¯ ¯ 2¯)), on a | ! ( 0¯ , 1) ! ( 0¯ , 2¯)|  (3 " (1,

.

¯ + ! " ( 0¯ , 2¯)  ! " ( 0¯ , 1)

¯ 2¯)  #( ˜ 0¯ ) + 3 " (1,

3 " ( 2¯ , ⇡) + &.

˜ 0¯ ) + &, ce qui en faisant tendre & vers 0 nous donne Ainsi ! " ( 0¯ , 2¯) (3 " ( 2¯ , ⇡))  #( " ˜ bien # ( 0¯ )  #( 0¯ ). ⇤

Remarque �.��. Encore une fois, le prédicat définissable # dont l’interprétation sur " ¯ H). ¯ On utilisera coïncide avec #˜ est unique, et on se permettra de le noter sup H2⇡ !( G, ¯ aussi la notation suivante lorsque l’on préfère ne pas travailler dans un modèle fixé et ¯ le prédicat définissable 3( H, ¯ ⇡) : que l’on a noté )( H) ¯ H). ¯ sup !( G,

¯ )( H)=0

Remarque �.��. Le même résultat est vrai en remplaçant le supremum par un infimum, et c’est sous cette forme qu’il apparait dans B�� Y�����, B���������, H����� et U�������� (����, Thm. �.��).

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�.�. Définissabilité dans tous les modèles, types isolés Soit ) une théorie complète et soit " un modèle de ). À un sous-ensemble définissable ⇡ de " = correspond un unique prédicat définissable s’interprétant dans " ¯ ⇡). Le but de cette comme la distance à l’ensemble ⇡, que l’on a noté abusivement 3( G, section est de vérifier que ce prédicat définissable s’interprète dans tout modèle # de ) comme la distance à un sous-ensemble fermé non vide de # = . On va ensuite utiliser ceci pour montrer que si ? est un =-type dont l’ensemble ⇡ des réalisations est ¯ ⇡) s’interprète dans tout modèle # de ) définissable dans un modèle ", alors 3( G, comme la distance à l’ensemble des réalisations de ? dans #, qui est non vide. ¯ ⇡) s’interprète toujours comme la distance à un sous-ensemble Afin de voir que 3(G, ¯ ⇡) est la distance fermé non vide, il nous faut voir que la théorie ) « sait » que 3( G, à un sous-ensemble fermé (B�� Y�����, B���������, H����� et U��������, ����, Thm. �.��). Remarquons qu’une axiomatisation similaire des distances à des sousensembles fermés était déjà apparue en théorie descriptive des ensembles, afin de munir l’espace des fermés de tout espace métrique complet séparable d’une topologie polonaise appelée topologie de Wijsman (B���, ����).

Lemme �.��. — Soit (- , 3) un espace métrique complet non vide. Alors une fonction continue 5 : - ! R+ est la distance à l’ensemble non vide de ses zéros si et seulement si elle satisfait les conditions suivantes pour tout G 2 - :

(�)

(�)

inf max 5 (H), | 5 (G)

H2-

3(G, H)| = 0;

5 (G) = inf 5 (H) + 3(G, H). H2-

Démonstration. — Pour voir l’implication directe, prenons ⇡ ✓ - non vide fermé et considérons l’application 5 : G 7! 3(⇡, G). On constate directement que la condition (�) est vérifiée en considérant, pour chaque & > 0, un élément H 2 ⇡ tel que 3(⇡, G)  3(H, G) < 3(⇡, G) + &.

On montre de même que inf H2- 5 (H) + 3(G, H)  5 (G), ce qui en utilisant le fait que 5 est 1-lipschitzienne nous permet de conclure que (�) est satisfaite. Réciproquement, soit 5 : - ! R+ satisfaisant (�) et (�), et soit G 2 -. Soit ⇡ l’ensemble des zéros de 5 . On va d’abord montrer que 3(G, ⇡)  5 (G) en exhibant pour tout & > 0 un H 2 ⇡ tel que 3(G, H)  5 (G) + &, ce qui montrera en particulier que ⇡ est non vide. Soit donc & > 0. On doit trouver H 2 ⇡ tel que 3(G, H)  5 (G) + &, et on va l’obtenir comme limite d’une suite de Cauchy. On pose H0 = G puis, H 8 étant construit, on applique la condition (�) pour choisir H 8+1 2 - tel que 5 (H 8+1 ) 

ASTÉRISQUE ���

& 28+3

et

5 (H 8 )

3(H 8 , H 8+1 ) 

& · 28+2

(����) LA PROPRIÉTÉ (T) POUR LES GROUPES POLONAIS ROELCKE-PRÉCOMPACTS

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& En assemblant ces deux conditions, on obtient 3(H 8 , H 8+1 )  28+1 pour tout 8 la suite (H 8 ) est de Cauchy et de plus sa limite H satisfait ’ & & 3(H0 , H)  3(H0 , H1 ) + = 3(H0 , H1 ) +  5 (G) + &, 8+1 2 2 8 1

1. Donc

la dernière inégalité étant conséquence du fait que | 3(H0 , H1 ) 5 (H0 )|  2& et H0 = G. & , Comme 5 est continue à valeurs positives et comme pour tout 8 1 on a 5 (H 8+1 )  28+3 on a de plus 5 (H) = 0, et donc H 2 ⇡ comme voulu. Ainsi on a bien que 3(G, ⇡)  5 (G) + &

pour tout & > 0, et donc que 3(G, ⇡)  5 (G).

Enfin, la condition (�) nous garantit que pour tout G 2 - et tout H 2 ⇡, on a 5 (G)  3(G, H), et donc 5 (G)  3(G, ⇡), ce qui termine la preuve. ⇤

Proposition �.��. — Soit " un modèle d’une théorie ) complète, soit =  $, soit ⇡ ✓ " = ¯ ⇡) s’interprète dans tout modèle de ) comme définissable. Alors le prédicat définissable 3( G, la distance à un sous-ensemble fermé non vide.

¯ ⇡) soit une fonction positive se traduit par le Démonstration. — Le fait que 3 " ( G, ¯ ⇡)). De plus, les conditions (�) et (�) se fait que " satisfait l’énoncé inf G¯ min(0, 3( G, traduisent par le fait que " satisfait les énoncés suivants, qui sont donc dans ) : ¯ ⇡) (i) sup inf 3( G, G¯

H¯

¯ ⇡) (ii) sup 3( G, G¯

¯ H) ¯ ; 3(G, ¯ ⇡) + 3( G, ¯ H) ¯ . inf 3( G, H¯

¯ ⇡) sera interprétée dans tout modèle de ) comme la distance à un ensemble Ainsi 3( G, non vide d’après la proposition précédente. ⇤

Définition �.��. Soit ) une théorie complète. Un type ? 2 (= ()) est dit isolé s’il existe un modèle " dans lequel l’ensemble des réalisations de ? est définissable (en particulier, non vide). Théorème �.��. — Soit ? 2 (= ()) un type isolé. Alors ? est réalisé dans tout modèle de ), et ¯ ?) dont l’interprétation dans tout modèle de ) il existe un (unique) prédicat définissable 3( G, est la distance à l’ensemble des réalisations de ?. Démonstration. — Soit " un modèle de ) tel que l’ensemble ⇡ des réalisations de ? ¯ ?) := 3( G, ¯ ⇡). Ce prédicat définissable appartient soit définissable. On pose alors 3( G, ¯ appartenant à ?, l’uniforme clairement à ?. Pour chaque prédicat définissable !( G) " ¯ ?) implique !( G). ¯ En effet à & > 0 fixé on dispose continuité de ! nous donne que 3( G, ¯ < ⇣ alors on a | ! " ( 0¯ ) ! " (1)| ¯ < &. de ⇣ > 0 tel que pour tous 0¯ , 1¯ 2 " = , si 3 " ( 0¯ , 1) " " ¯ ¯ ¯ =0 Donc si 3( 0¯ , ?) < ⇣ on dispose de 1 satisfaisant ? tel que 3 ( 0¯ , 1) < ⇣, donc ! (1) " et donc | ! ( 0¯ )| < &. ¯ ?). Soit alors # un modèle quelconque de ). Soit ⇡ 0 l’ensemble des zéros de 3 # ( G, ¯ ?) appartient à ?, toute réalisation de ? doit appartenir à ⇡ 0. Alors comme 3( G, SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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¯ 2 ?. Comme 3( G, ¯ ?) implique !( G), ¯ on a bien Réciproquement, soit 0¯ 2 ⇡ 0, soit !( G) ! # ( 0¯ ) = 0. Ainsi 0¯ est une réalisation de ?, ce qui termine la preuve. ⇤ Nous pouvons enfin appliquer le résultat précédent dans le cas simple de MAlg([0, 1], ⌫). Le cas général est donné dans la proposition A.��.

Théorème �.��. — Soit ) la théorie de MAlg([0, 1], ⌫). Alors tout $-type ? 2 ( $ ()) est isolé. Démonstration. — On a déjà vu que ? est réalisé dans MAlg([0, 1], ⌫) (théorème �.��). Soit ⇡ ✓ MAlg([0, 1], ⌫) N l’ensemble fermé Aut([0, 1], ⌫)-invariant des réalisations de ?. Considérons la fonction !˜ sur MAlg([0, 1], ⌫) N donnée par ˜ 0¯ ) = 3MAlg(- ,⇠) ( 0¯ , ⇡). Alors !˜ est Aut([0, 1], ⌫)-invariante, c’est donc l’interpréta!( tion d’un prédicat définissable. On conclut que l’ensemble des réalisations de ? est définissable, donc ? est bien isolé. ⇤

�. PREUVE DU THÉORÈME �.�� Soit ) la théorie de l’algèbre de mesure MAlg([0, 1], ⌫). Nous avons déjà montré que l’action de Aut([0, 1], ⌫) sur MAlg([0, 1], ⌫) est approximativement oligomorphe (cf. exemple �.�), ce qui nous a permis d’identifier Aut([0, 1], ⌫)\\MAlg([0, 1], ⌫) N avec ( $ ()). Rappelons que les fonctions continues Aut([0, 1], ⌫)\\MAlg([0, 1], ⌫) N ! R

s’identifient par passage au quotient avec les fonctions MAlg([0, 1], ⌫) N ! R continues Aut([0, 1], ⌫)-invariantes : l’algèbre des prédicats définissables s’identifie à l’algèbre des fonctions MAlg([0, 1], ⌫) N ! R continues Aut([0, 1], ⌫)-invariantes. Il va désormais être plus commode, comme expliqué à la fin de la section �, de travailler dans l’algèbre de mesure de - = {0, 1} N⇥F 2 muni de la mesure ⇠=

1 2 ⇣0

+ 12 ⇣ 1

⌦( N ⇥F 2 )

.

Elle est isomorphe à l’algèbre de mesure de . := {0, 1} N muni de ⇡ := ( 12 ⇣0 + 12 ⇣1 )⌦ N puisque l’on peut trouver, en utilisant une bijection N ! N ⇥ F 2 , une bijection bimesurable . ! - qui préserve la mesure. Pour ✏ 2 F 2 , soit 5✏ : - ! . définie par 5✏ (G) = (G(=, ✏))=2 N . Alors 5✏ préserve la mesure : pour tout borélien ✓ ., ⇡( ) = ⇠( 5✏ 1 ( )). On vérifie alors que l’application qui à un borélien de . associe 5✏ 1 ( ) passe au quotient en un plongement d’algèbres de mesure que l’on note 5✏⇤ : MAlg(., ⇡) ! MAlg(- , ⇠).

Remarque �.�. Ce passage au quotient est un phénomène complètement général. De plus, sous de bonnes hypothèses, tout plongement entre algèbres de mesure est de cette forme (voir la première section du chapitre � de G������ (����)).

ASTÉRISQUE ���

(����) LA PROPRIÉTÉ (T) POUR LES GROUPES POLONAIS ROELCKE-PRÉCOMPACTS

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Notons " ✏ l’image de 5✏⇤ , qui est une sous-structure de MAlg(- , ⇠) correspondant à la sous-algèbre des parties 5✏ -mesurables. Il est crucial pour la suite de remarquer que pour tous ✏1 , ✏2 2 F 2 distincts, les sous-structures " ✏1 et " ✏2 sont indépendantes au sens de la théorie des probabilités : pour tout 2 " ✏1 et tout ⌫ 2 " ✏2 , on a ⇠( \ ⌫) = ⇠( )⇠(⌫). Ainsi si on fixe 2 " ✏1 , alors pour ⌫ 2 " ✏2 la valeur de ⇠( \ ⌫) ne dépend que de ⇠(⌫). En particulier elle ne dépend que du type de ⌫. Plus généralement, on a la formulation suivante, qui est un cas particulier du fait que la relation d’indépendance stable coïncide avec l’indépendance usuelle des probabilités (B�� Y�����, ����, Thm. �.�, voir aussi B�� Y�����, B���������, H����� et U��������, ����, Sec ��).

Lemme �.�. — Soient "1 et "2 deux sous-structures de MAlg(- , ⇠) qui sont des modèles ¯ H) ¯ un prédicat définissable. Alors pour tout ¯ 2 "1N , la fonction indépendants de ). Soit !(G, ¯ ⌫¯ 2 "2N 7 ! !( ¯ , ⌫)

¯ coïncide avec l’interprétation dans "2 d’un prédicat définissable que l’on note d ¯ ,! ( H).

Démonstration. — On a besoin de revisiter l’exemple �.�. Pour 2 MAlg(- , ⇠) on note 0 = et 1 = - \ . On note {0, 1} < N l’ensemble dénombrable des suites finies d’éléments de {0, 1}. Un élément de {0, 1} < N est de la forme ⇣ = (⇣(1), . . . , ⇣(=)) pour un unique = 2 N appelé sa longueur, noté | ⇣ |. Pour une suite ( 8 )82 N d’éléments de MAlg(- , ⇠), on note alors [(

8 ) 82 N ]

= ⇠(

⇣(1) 1

⇣(| ⇣ |) ) ⇣2{0,1}< N |⇣|

\···\

2 [0, 1]{0,1} . 0 tels que * ◆ @ 2 (= ()) : | !(@)

!(?)|  & .

D’après le lemme précédent, on dispose d’un prédicat définissable # qui est lipschitzien pour un certain > 0 et tel que k ! # k ) < 3& . Alors pour tout @ tel que %(?, @) < &/3 , on aura |#(?)/ #(@)/ |  &/3 . En utilisant l’inégalité triangulaire ainsi que l’inégalité k ! # k ) < &/3, on conclut que la % boule de rayon &/3 autour de ? est bien contenue dans *, ce qui termine la preuve que % raffine la topologie logique.

ASTÉRISQUE ���

(����) LA PROPRIÉTÉ (T) POUR LES GROUPES POLONAIS ROELCKE-PRÉCOMPACTS

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¯  3 " ( 0¯ , 1), ¯ mais c’est une conséIl nous reste alors à montrer que %(tp( 0¯ ), tp(1)) quence immédiate du fait que dans la définition de %, on ne considère que des prédicats 1-lipschitziens. ⇤ A.�. Preuve du théorème de Ryll–Nardzewski On commence par une proposition importante qui fait le lien avec la section � et généralise ce qu’on avait fait pour Aut([0, 1], ⌫) (voir le théorème �.��).

Proposition A.��. — Soient ) une théorie complète, " un modèle de ) et = < $. Si l’action diagonale de Aut(") sur " = est approximativement cocompacte, alors tout =-type ? 2 (= ()) est isolé. Démonstration. — Considérons l’application tp : " = ! (= ()),

0¯ 2 " = 7 ! tp( 0¯ ).

C’est une contraction si on munit (= ()) de la distance %, elle passe donc au quotient en une contraction ˜ : Aut(")\\" = ! (= ()). tp ˜ est surjective, Par compacité et densité de l’image de tp dans (= ()), l’application tp donc tp elle-même est surjective : tous les =-types sont réalisés dans ". L’application ˜ : Aut(")\\" = , 3 " tp Aut(")

! (= ()), %

est une contraction ; en particulier elle est continue. Donc ((= ()), %) est compact et comme % raffine la topologie de (= ()), on conclut par compacité que % induit la topologie de (= ()). Soient maintenant un =-type ? et ⇡ l’ensemble de ses réalisations dans " = . On doit montrer que 3( , ⇡) est un prédicat définissable. La fonction %( , ?) est continue sur l’espace des types : par le théorème �.��, c’est un prédicat définissable, et son ensemble de zéros dans " est clairement l’ensemble ⇡ des réalisations de ?. Il suffit maintenant de montrer que %( , ?) satisfait les hypothèses du théorème �.�, c’est-à-dire que pour tout & > 0 il existe un ⇣ > 0 tel que pour tout 1¯ 2 " = , si ¯ ?) < ⇣ alors 3(1, ¯ ⇡) < &. Supposons par l’absurde que ce ne soit pas le cas : %(tp(1), on dispose alors d’une suite (1¯ : ) :2 N telle que %(tp(1¯ : ), ?) ! 0 mais 3(1¯ : , ⇡) & pour tout :. Par compacité de Aut(")\\" = , la suite ([1¯ : ]) :2 N admet une sous-suite ¯ sa limite, alors par continuité de % on a tp(1) ¯ = ? et d’autre part convergente. Soit [1] ¯ ⇡) &, ce qui est contradictoire. 3(1, ⇤

.

.

.

Nous pouvons maintenant prouver le théorème de Ryll–Nardzewski sous sa forme pertinente pour l’étude des groupes polonais Roelcke-précompacts.

Théorème A.��. — Soit ⌧ le groupe d’automorphismes d’une structure métrique (", 3) séparable. Si l’action de ⌧ sur " est approximativement oligomorphe, alors pour tout =  $ l’application de ⌧\\" = dans (= ()) est une bijection, et ) est @0 -catégorique. SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

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Démonstration. — Soit = < $. D’après la proposition précédente, tout =-type est isolé, en particulier tout =-type est réalisé dans " : ⌧\\" = ! (= ()) obtenue par passage au quotient est surjective. Son injectivité est une conséquence immédiate du théorème A.� pour " = #. Le fait que ) soit @0 -catégorique découle du corollaire A.� puisque tout =-type est isolé. Le cas = = $ découle du cas précédent. ⇤

Remarque A.��. Une application directe du théorème �.�� nous donne sous les hypothèses du théorème ci-dessus une interprétation très concrète des prédicats définissables vus comme des fonctions sur " = : ce sont exactement les fonctions continues sur " = qui sont ⌧-invariantes. Remarque A.��. Le théorème de Ryll–Nardzewski sous sa forme générale dit en plus que réciproquement, si la théorie d’une structure est @0 -catégorique et le langage est dénombrable alors son groupe d’automorphismes agit de manière approximativement oligomorphe sur la structure. Pour le voir, il faut faire appel au théorème d’omission des types, cf. la section �� de B�� Y�����, B���������, H����� et U�������� (����). Ce théorème tire son nom de son homologue en théorie des modèles classique, dû à Ryll–Nardzewski mais aussi indépendamment à Engeler et Svenonius en ����. La version métrique ci-dessus est due à Ben Yaacov, Berenstein, Henson et Usvyatsov. Corollaire A.��. — Soit ⌧ le groupe d’automorphismes d’une structure métrique séparable (", 3). On suppose que l’action de ⌧ sur " est approximativement oligomorphe. Alors l’adhérence de ⌧ dans " " est égale à l’ensemble des plongements élémentaires de " dans ", bL de ⌧ pour sa structure uniforme gauche. et s’identifie naturellement au complété ⌧

Démonstration. — L’ensemble des plongements élémentaires de " dans " étant l’ensemble des plongements qui commutent aux interprétations des prédicats définissables, c’est un fermé de " " . Puisque tout automorphisme est un plongement élémentaire, l’adhérence de ⌧ est incluse dans ce fermé. Ensuite, montrons que ⌧ est dense. Soit ⌧ : " ! " un plongement élémentaire. Soient 01 , . . . , 0 = 2 " = et & > 0 ; il s’agit de trouver 6 2 ⌧ tel que 3(60 8 , ⌧(0 8 )) < & pour tout 8 = 1, . . . , =. Mais comme ⌧ est élémentaire, tp(0 1 , . . . , 0 = ) = tp(⌧(01 ), . . . , ⌧(0 = )), et donc par injectivité de l’application ⌧\\" = ! (= ()) on conclut que (01 , . . . , 0 = ) et (⌧(01 ), . . . , ⌧(0 = )) sont dans la même adhérence de ⌧-orbite pour l’action diagonale de ⌧ sur " = , ce qui donne immédiatement le résultat voulu. bL , il reste à montrer Pour montrer que l’adhérence de ⌧ dans " " s’identifie avec ⌧ que la structure uniforme induite sur ⌧ coïncide avec sa sa structure uniforme à gauche puisque " " est un espace uniforme complet. Or cette dernière est clairement invariante par ⌧-multiplication à gauche et compatible avec la topologie de ⌧, ce qui termine la preuve17. ⇤ 17 Plus concrètement, on peut comme dans la preuve de la proposition �.� fixer (0 = )=2 N dénombrable Õ dense dans ", considérer la distance =2 N 2 = 3 " (⌧(0 = ), ⌧0 (0 = )) sur l’espace fermé des applications 1lipschitziennes " ! " et constater qu’elle définit une distance compatible complète qui se restreint en une distance invariante à gauche sur ⌧.

ASTÉRISQUE ���

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Mis bout à bout avec la proposition �.�� qui identifiait les plongements élémentaires à un ensemble d’éléments de " N partageant le même type (et formant donc un sousensemble définissable de " N d’après la Proposition A.��), le corollaire précédent bL et un sous-ensemble définissable fournit donc une identification naturelle entre ⌧ N de " . Cette identification a été utilisée de manière cruciale pour Aut([0, 1], ⌫) au début de la preuve du théorème �.�� et reste fondamentale dans le cas général. Elle est également le premier pas d’un théorème de Ben Yaacov et Kaïchouh18 qui dit que deux groupes d’automorphismes de structures métriques @0 -catégoriques sont topologiquement isomorphes si et seulement si les structures sous-jacentes sont biinterprétables, généralisant au cas métrique un résultat d’A�������� et Z������ (����).

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ASTÉRISQUE ���

(����) LA PROPRIÉTÉ (T) POUR LES GROUPES POLONAIS ROELCKE-PRÉCOMPACTS

���

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François Le Maître Université de Paris et Sorbonne Université CNRS, IMJ-PRG F-����� Paris (France) E-mail : francois. [email protected]

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ����

S´ eminaire BOURBAKI, 1948/49 ` a 2019/2021 Expos´es 1 `a 1180 Les volumes 1948/49 ` a 1967/68, Expos´es 1 `a 346, initialement publi´es par W.A. Benjamin, Inc. New York, ont ´et´e r´eimprim´es en 1996 par la Soci´et´e math´ematique de France sous forme d’un ensemble de 10 volumes hors s´erie de la collection Ast´erisque : vol. vol. vol. vol. vol.

1 2 3 4 5

: : : : :

1948/49, 1949/50, 1950/51 ; 1951/52-1952/53, 1953/54 ; 1954/55, 1955/56 ; 1956/57, 1957/58 ; 1958/59, 1959/60 ;

vol. vol. vol. vol. vol.

6 : 1960/61 ; 7 : 1961/62 ; 8 : 1962/63, 1963/64 ; 9 : 1964/65, 1965/66 ; 10 : 1966/67, 1967/68.

Les volumes 1968/69 ` a 1980/81, Expos´es 347 `a 578, ont ´et´e publi´es par Springer– Verlag, collection Lecture Notes in Mathematics : vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol.

1968/69, 1969/70, 1970/71, 1971/72, 1972/73, 1973/74, 1974/75,

no no no no no no no

179, 180, 244, 317, 383, 431, 514,

1971 1971 1971 1973 1974 1975 1976

; ; ; ; ; ; ;

vol. vol. vol. vol. vol. vol.

1975/76, 1976/77, 1977/78, 1978/79, 1979/80, 1980/81,

no no no no no no

567, 677, 710, 770, 842, 901,

1977 ; 1978 ; 1979 ; 1980 ; 1981 ; 1981.

Les volumes 1981/82 ` a 2016/17, Expos´es 579 `a 1119, ont ´et´e publi´es par la Soci´et´e math´ematique de France dans la collection Ast´erisque: vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol.

1981/82, no 92-93, 1982 ; 1982/83, no 105-106, 1983 ; 1983/84, no 121-122, 1985 ; 1984/85, no 133-134, 1986 ; 1985/86, no 145-146, 1987 ; 1986/87, no 152-153, 1987 ; 1987/88, no 161-162, 1988 ; 1988/89, no 177-178, 1989 ; 1989/90, no 189-190, 1990 ; 1990/91, no 201-202-203, 1991 ; 1991/92, no 206, 1992 ; 1992/93, no 216, 1993 ; 1993/94, no 227, 1995 ; 1994/95, no 237, 1996 ; 1995/96, no 241, 1997 ; 1996/97, no 245, 1997 ; 1997/98, no 252, 1998 ; 1998/99, no 266, 2000 ; 1999/2000, no 276, 2002 ; 2000/01, no 282, 2002 ;

vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol. vol.

2001/02, 2002/03, 2003/04, 2004/05, 2005/06, 2006/07, 2007/08, 2008/09, 2009/10, 2010/11, 2011/12, 2012/13, 2013/14, 2014/15, 2015/16, 2016/17, 2017/18, 2018/19, 2019/21,

no no no no no no no no no no no no no no no no no no no

290, 2003 ; 294, 2004 ; 299, 2005 ; 307, 2006 ; 311, 2007 ; 317, 2008 ; 326, 2009 ; 332, 2010 ; 339, 2011 ; 348, 2012 ; 352, 2013 ; 361, 2014 ; 367–368, 2015 ; 380, 2016 ; 390, 2017 ; 404, 2019 ; 414, 2019 ; 422, 2020 ; 430, 2021.

´ © ASTERISQUE 430, SMF 2021

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS Abbes, Ahmed Hauteurs et discr´ etude (d’apr` es L. Szpiro, E. Ullmo et S. Zhang) . . . . . . . . 1996/97, no 825, 26 p. A’campo, Norbert Sur la premi` ere partie du 16 e probl` eme de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 537, 20 p. Adams, John Frank La conjecture de Segal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984/85, no 645, 6 p. Adem, Alejandro Finite group actions on acyclic 2-complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001/02, no 894, 17 p. Alinhac, Serge Caract´ erisation d’espaces de fonctions analytiques et non quasi-analytiques sur une vari´ et´ ea ` bord (d’apr` es M. Baouendi et C. Goulaouic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973/74, no 442, 9 p. M´ ethodes g´ eom´ etriques dans l’´ etude des ´ equations d’Einstein (d’apr` es Christodoulou, Klainerman, Nicol` o et Rodnianski)) . . . . . . . . . . . 2003/04, no 934, 17 p. Ambrosio, Luigi The regularity theory of area-minimizing integral currents (after Almgren–De Lellis–Spadaro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1093, 31 p. Amice, Yvette Conjecture de Schanuel sur la transcendance d’exponentielles (d’apr` es James Ax) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1970/71, no 382, 10 p. Anantharaman, Nalini Topologie des hypersurfaces nodales de fonctions al´ eatoires gaussiennes (d’apr` es Nazarov et Sodin, Gayet et Welschinger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1116, 40 p. Anantharaman–Delaroche, Claire Classification des C ⇤ -alg` ebres purement infinies nucl´ eaires (d’apr` es E. Kirchberg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995/96, no 805, 21 p. ´, Yves Andre Motifs de dimension finie (d’apr` es S.-I. Kimura, P. O’Sullivan. . . ) . . . . . . 2003/04, no 929, 31 p. Groupes de Galois motiviques et p´ eriodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1104, 26 p. Arnaud, Marie-Claude La d´ emonstration de la conjecture de l’entropie positive d’Herman (d’apr` es Berger et Turaev) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1166, 26 p. Arnoux, Pierre Ergodicit´ e g´ en´ erique des billards polygonaux (d’apr` es Kerckho↵, Masur, Smillie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987/88, no 696, 19 p. Atiyah, Michael F. The index of elliptic operators on compact manifolds (after Atiyah and Singer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hyperbolic di↵erential equations and algebraic geometry (after Petrowsky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Heat Equation in Riemannian Geometry (after Patodi, Gilkey, etc.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Jones–Witten invariants of knots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1962/63, no 253, 11 p. 1966/67, no 319, 13 p. 1973/74, no 436, 11 p. 1989/90, no 715, 10 p.

Attouch, Hedy Homog´ en´ eisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987/88, no 686, 24 p. Audin, Mich` ele Cohomologie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995/96, no 806, 30 p. Int´ egrabilit´ e et non–int´ egrabilit´ e de syst` emes hamiltoniens (d’apr` es S. Ziglin, J. Morales–Ruiz, J.-P. Ramis. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000/01, no 884, 23 p. Auroux, Denis La conjecture de Weinstein en dimension 3 (d’apr` es C.H. Taubes) . . . . . . . 2008/09, no 1002, 25 p. Azencott, Robert Une approche probabiliste du th´ eor` eme de l’indice (Atiyah–Singer) (d’apr` es J.-M. Bismut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984/85, no 633, 12 p. Simulated annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987/88, no 697, 15 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Azra, Jean-Pierre Relations diophantiennes et la solution n´ egative du 10 e probl` eme de Hilbert (d’apr` es M. Davis, H. Putnam, J. Robinson et I. Matiasevitch) 1970/71, no 383, 18 p. Bach, Francis Parcimonie et syst` emes lin´ eaires sous-determin´ es (d’apr` es Emmanuel Cand` es) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1117, 18 p. Ball, Keith The Ribe Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011/12, no 1047, 13 p. Baouendi, Mohamed S. Les op´ erateurs de convolution (d’apr` es Ehrenpreis et H¨ ormander) . . . . . . . . 1962/63, no 254, 8 p. Bardos, Claude Apparition ´ eventuelle de singularit´ es dans des probl` emes d’´ evolution non lin´ eaires (d’apr` es S. Glassey, S. Klainerman, J. Chadam, F. John (et d’autres)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979/80, no 555, 10 p. Barlow, Martin Harmonic analysis on fractal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1991/92, no 755, 24 p. Barthe, Franck Un th´ eor` eme de la limite centrale pour les ensembles convexes (d’apr` es Klartag et Fleury-Gu´ edon-Paouris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 1007, 18 p. L’in´ egalit´ e de corr´ elation gaussienne (d’apr` es Thomas Royen) . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1124, 17 p. Bass, Hyman K2 des corps globaux (d’apr` es J. Tate, H. Garland. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1970/71, no 394, 23 p. Lib´ eration des modules projectifs sur certains anneaux de polynˆ omes . . . . . 1973/74, no 448, 27 p. Beauville, Arnaud G´ eom´ etrie des tissus (d’apr` es S.S. Chern et P.A. Griffiths) . . . . . . . . . . . . . . . Surfaces K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le probl` eme de Torelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le probl` eme de Schottky et la conjecture de Novikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monodromie des syst` emes di↵´ erentiels lin´ eaires ` a pˆ oles simples sur la sph` ere de Riemann (d’apr` es A. Bolibruch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La conjecture de Green g´ en´ erique (d’apr` es C. Voisin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1978/79, no 531, 17 p. 1982/83, no 609, 13 p. 1985/86, no 651, 14 p. 1986/87, no 675, 12 p. 1992/93, no 765, 17 p. 2003/04, no 924, 14 p.

Beauzamy, Bernard Sous-espaces invariants dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979/80, no 549, 17 p. Beffara, Vincent Grands graphes planaires al´ eatoires et carte brownienne (d’apr` es Jean-Fran¸cois Le Gall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007/08, no 992, 22 p. Belabas, Karim Param´ etrisation de structures alg´ ebriques et densit´ e de discriminants (d’apr` es Bhargava) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003/04, no 935, 33 p. Bellissard, Jean Le papillon de Hofstadter (d’apr` es B. Hel↵er et J. Sj¨ ostrand) . . . . . . . . . . . . . 1991/92, no 745, 34 p. Ben Arous, G´ erard G´ eom´ etrie de la courbe brownienne plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1990/91, no 730, 36 p. Bennequin, Daniel Caustique mystique (d’apr` es Arnold et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probl` emes elliptiques, surfaces de Riemann et structures symplectiques (d’apr` es M. Gromov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Topologie symplectique, convexit´ e holomorphe et structures de contact (d’apr` es Y. Eliashberg, D. Mc Du↵ et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’instanton gordien (d’apr` es P.B. Kronheimer et T.S. Mrowka) . . . . . . . . . . Monopˆ oles de Seiberg–Witten et conjecture de Thom (d’apr` es Kronheimer, Mrowka et Witten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dualit´ es de champs et de cordes (d’apr` es Hooft, Polyakov, Witten et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1984/85, no 634, 37 p. 1985/86, no 657, 26 p. 1989/90, no 725, 39 p. 1992/93, no 770, 45 p. 1995/96, no 807, 38 p. 2001/02, no 899, 32 p.

Benoist, Olivier Construction de courbes sur les surfaces K3 (d’apr` es Bogomolov-Hassett-Tschinkel, Charles, Li-Liedtke, Madapusi Pera, Maulik. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1081, 35 p.

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Espaces de modules compacts de vari´ et´ es alg´ ebriques en dimension sup´ erieure (d’apr` es Koll´ ar, Hacon-McKernan-Xu. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1158, 36 p. ´cri, Jean-Paul Benze Th´ eorie des capacit´ es (d’apr` es G. Choquet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955/56, no 120, 11 p. ´rard, Pierre Be Vari´ et´ es riemanniennes isospectrales non isom´ etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988/89, no 705, 28 p. ´rard Bergery, Lionel Be Laplacien et g´ eod´ esiques ferm´ ees sur les formes d’espace hyperbolique compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971/72, no 406, 16 p. La courbure scalaire des vari´ et´ es riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979/80, no 556, 21 p. ´restycki, Henri Be Solutions p´ eriodiques de syst` emes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 603, 24 p. Berger, Laurent La correspondance de Langlands locale p-adique pour GL2 (Qp ) (d’apr` es C. Breuil et P. Colmez) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009/10, no 1017, 22 p. Berger, Marcel Groupes d’holonomie des vari´ et´ es a ` connexion affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954/55, no 101, 6 p. Le th´ eor` eme de Gromoll–Meyer sur les g´ eod´ esiques ferm´ ees . . . . . . . . . . . . . . . 1969/70, no 364, 17 p. Systoles et applications selon Gromov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992/93, no 771, 32 p. Bergeron, Nicolas La conjecture des sous-groupes de surfaces (d’apr` es Jeremy Kahn et Vladimir Markovic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011/12, no 1055, 30 p. Toute vari´ et´ e de dimension 3 compacte et asph´ erique est virtuellement de Haken (d’apr` es Ian Agol et Daniel T. Wise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1078, 36 p. Vari´ et´ es en expansion (d’apr` es M. Gromov, L. Guth, . . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1132, 29 p. Berthelot, Pierre Alt´ erations de vari´ et´ es alg´ ebriques (d’apr` es A.J. de Jong) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995/96, no 815, 39 p. Bertoin, Jean SLE et invariance conforme (d’apr` es Lawler, Schramm et Werner) . . . . . . 2003/04, no 925, 14 p. Bertrand, Daniel Travaux r´ ecents sur les points singuliers des ´ equations di↵´ erentielles lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 538, 16 p. Lemmes de z´ eros et nombres transcendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985/86, no 652, 24 p. Groupes alg´ ebriques et ´ equations di↵´ erentielles lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1991/92, no 750, 22 p. Besson, G´ erard Preuve de la conjecture de Poincar´ e en d´ eformant la m´ etrique par la courbure de Ricci, d’apr` es G. Perel’man . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 947, 38 p. Le th´ eor` eme de la sph` ere di↵´ erentiable (d’apr` es Brendle–Schoen) . . . . . . . . . 2008/09, no 1003, 21 p. Beuzart-Plessis, Rapha¨ el Progr` es r´ ecents sur les conjectures de Gan-Gross-Prasad (d’apr` es Jacquet-Rallis, Waldspurger, W. Zhang, etc.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1140, 35 p. Biane, Philippe Entropie libre et alg` ebres d’op´ erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000/01, no 889, 22 p. Bilu, Yuri F. Catalan’s conjecture (after Mih˘ ailescu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 909, 26 p. The many faces of the Subspace Theorem (after Adamczewski, Bugeaud, Corvaja, Zannier. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006/07, no 967, 35 p. Biquard, Olivier M´ etriques k¨ ahl´ eriennes a ` courbure scalaire constante : unicit´ e, stabilit´ e . . 2004/05, no 938, 30 p. M´ etriques k¨ ahl´ eriennes extr´ emales sur les surfaces toriques (d’apr` es S. Donaldson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009/10, no 1018, 19 p. Blanchard, Andr´ e Groupes alg´ ebriques et ´ equations di↵´ erentielles lin´ eaires (d’apr` es E. Kolchin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949/50, no 17, 7 p. Le plongement des vari´ et´ es de Hodge dans des espaces projectifs complexes (d’apr` es K. Kodaira) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954/55, no 114, 7 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Bloom, Thomas Quantitative inverse theory of Gowers uniformity norms (after F. Manners) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1174, 37 p. ¨ hme, Reinhold Bo New results on the classical problem of Plateau. On the existence of many solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 579, 20 p. Boileau, Michel Uniformisation en dimension trois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998/99, no 855, 38 p. Bolthausen, Erwin On the proof of the Parisi formula by Guerra and Talagrand . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 948, 29 p. Ultrametricity in mean-field spin glasses (after Dmitry Panchenko) . . . . . . 2013/14, no 1082, 29 p. Bombieri, Enrico R´ egularit´ e des hypersurfaces minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simultaneous approximations of algebraic numbers (following W.M. Schmidt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Counting points on curves over finite fields (after S.A. Stepanov) . . . . . . . . A lower bound for the zeros of Riemann’s Zeta Function on the critical line (following N. Levinson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1968/69, no 353, 11 p. 1971/72, no 400, 20 p. 1972/73, no 430, 8 p. 1974/75, no 465, 7 p.

Bonatti, Christian Dynamiques g´ en´ eriques : hyperbolicit´ e et transitivit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001/02, no 904, 18 p. Bonavero, Laurent Factorisation faible des applications birationnelles (d’apr` es Abramovich, Karu, Matsuki, Wlodarczyk et Morelli) . . . . . . . . . . 2000/01, no 880, 36 p. Bony, Jean-Michel Polynˆ omes de Bernstein et monodromie (d’apr` es B. Malgrange) . . . . . . . . . . 1974/75, no 459, 14 p. Hyperfonctions et ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles (d’apr` es M. Sato, T. Kawa¨ı et M. Kashiwara) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 495, 15 p. R´ esolution des conjectures de Calder´ on et espaces de Hardy g´ en´ eralis´ es (d’apr` es R. Coifman, G. Davis, A. McIntosh et Y. Meyer) . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 591, 8 p. Bordenave, Charles Normalit´ e asymptotique des vecteurs propres de graphes d-r´ eguliers ´ al´ eatoires (d’apr` es Agnes Backhausz et Bal´ azs Szegedy) . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1153, 39 p. Borel, Armand Groupes localement compacts (d’apr` es Iwasawa et Gleason) . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie (d’apr` es Cartan, Iwasawa et Mostow) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie des espaces homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les espaces hermitiens sym´ etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes alg´ ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Mostow sur les espaces homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie et rigidit´ e d’espaces compacts localement sym´ etriques (d’apr` es Weil et Matsushima) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Op´ erateurs de Hecke et fonctions zˆ eta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes discrets de groupes semi-simples (d’apr` es D.A. Kajdan et G.A. Margoulis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie de certains groupes discrets et laplacien p-adique (d’apr` es H. Garland) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formes automorphes et s´ eries de Dirichlet (d’apr` es R.P. Langlands) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1949/50, no 29, 17 p. 1950/51, no 33, 9 p. 1950/51, no 45, 8 p. 1951/52, no 62, 12 p. 1955/56, no 121, 10 p. 1956/57, no 142, 12 p. 1963/64, no 265, 9 p. 1965/66, no 307, 23 p. 1968/69, no 358, 17 p. 1973/74, no 437, 24 p. 1974/75, no 466, 40 p.

Borho, Walter Recent advances in enveloping algebras of semi-simple Lie algebras (a report on work of N. Conze, J. Dixmier, M. Duflo, J.C. Jantzen, A. Joseph, W. Borho) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 489, 18 p. Bost, Jean-Benoˆıt Tores invariants des syst` emes dynamiques hamiltoniens (d’apr` es Kolmogorov, Arnold, Moser, R¨ ussmann, Zehnder, Herman, P¨ oschel. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984/85, no 639, 45 p.

´ ASTERISQUE 430

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Fibr´ es d´ eterminants, d´ eterminants r´ egularis´ es et mesures sur les espaces de modules des courbes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th´ eorie de l’intersection et th´ eor` emes de Riemann–Roch arithm´ etiques . . P´ eriodes et isog´ enies des vari´ et´ es ab´ eliennes sur les corps de nombres (d’apr` es D. Masser et G. W¨ ustholz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´ eseaux euclidiens, s´ eries thˆ eta et pentes (d’apr` es W. Banaszczyk, O. Regev, S. Dadush, N. Stephens–Davidowitz. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1986/87, no 676, 37 p. 1990/91, no 731, 46 p. 1994/95, no 795, 47 p. 2018/19, no 1151, 59 p.

Bott, Raoul Report on the fixed point formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965/66, no 295, 6 p. de Bouard, Anne Construction de solutions pour des EDP sur-critiques ` a donn´ ees initiales al´ eatoires (d’apr` es N. Burq et N. Tzvetkov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1074, 23 p. Boucksom, S´ ebastien Corps d’Okounkov (d’apr` es Okounkov, Lazarsfeld-Mustat¸a ˇ et Kaveh-Khovanskii) . . . . . . . . . 2012/13, no 1059, 38 p. Bourguignon, Jean-Pierre Premi` eres formes de Chern des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes (d’apr` es E. Calabi, T. Aubin et S.T. Yau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’´ equation de la chaleur associ´ ee a ` la courbure de de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . Stabilit´ e par d´ eformation non–lin´ eaire de la m´ etrique de Minkowski (d’apr` es D. Christodoulou et S. Klainerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ etriques d’Einstein–K¨ ahler sur les vari´ et´ es de Fano : obstructions et existence (d’apr` es Y. Matsushima, A. Futaki, S.T. Yau, A. Nadel et G. Tian) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Bouscaren, Elisabeth

1977/78, no 507, 21 p. 1985/86, no 653, 17 p. 1990/91, no 740, 38 p.

1996/97, no 830, 29 p.

Th´ eorie des mod` eles et conjecture de Manin-Mumford (d’apr` es Ehud Hrushovski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 870, 23 p. Boutet de Monvel, Louis Op´ erateurs pseudo–di↵´ erentiels. Application au probl` eme de Neumann a ` d´ eriv´ ee oblique (d’apr` es H¨ ormander) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965/66, no 308, 14 p. Nombre de valeurs propres d’un op´ erateur elliptique et poynˆ ome de Hilbert–Samuel (d’apr` es V. Guillemin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 532, 12 p. Alg` ebre de Hopf des diagrammes de Feynman, renormalisation et factorisation de Wiener-Hopf (d’apr` es A. Connes et D. Kreimer) . . . . . 2001/02, no 900, 17 p. Boutot, Jean-Fran¸cois Frobenius et cohomologie locale (d’apr` es R. Hartshorne et R. Speiser, M. Hochster et J.L. Roberts, C. Peskine et L. Szpiro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974/75, no 453, 19 p. Uniformisation p-adique des vari´ et´ es de Shimura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996/97, no 831, 16 p. Braconnier, Jean Sur les suites de composition d’un groupe et la tour des groupes d’automorphismes d’un groupe fini (d’apr` es H. Wielandt) . . . . . . . . . . . . . . 1948/49, no 7, 5 p. Sous-alg` ebres sous-invariantes d’une alg` ebre de Lie et tour des d´ erivations (d’apr` es E. Schenkman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951/52, no 56, 7 p. Sur les groupes de Lie compacts op´ erant dans une vari´ et´ e compacte (d’apr` es G. Mostow) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957/58, no 163, 12 p. Breuil, Christophe Int´ egration sur les vari´ et´ es p-adiques (d’apr` es Coleman, Colmez) . . . . . . . . . 1998/99, no 860, 32 p. Correspondance de Langlands p-adique, compatibilit´ e local-global et applications (d’apr` es Colmez, Emerton, Kisin. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1031, 27 p. Breuillard, Emmanuel ´ Equidistribution des orbites toriques sur les espaces homog` enes (d’apr` es M. Einsiedler, E. Lindenstrauss, Ph. Michel et A. Venkatesh) 2008/09, no 1008, 35 p. Brezis, Ha¨ım Points critiques dans les probl` emes variationnels sans compacit´ e . . . . . . . . . 1987/88, no 698, 18 p. Breen, Lawrence Un th´ eor` eme de finitude en K-th´ eorie (d’apr` es D. Quillen) . . . . . . . . . . . . . . . 1973/74, no 438, 22 p. Brieskorn, Egbert Sur les groupes de tresses (d’apr` es V.I. Arnold) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971/72, no 401, 24 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Brion, Michel Points entiers dans les polytopes convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993/94, no 780, 25 p. Compactification de l’espace des modules des vari´ et´ es ab´ eliennes principalement polaris´ ees (d’apr` es V. Alexeev) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 952, 31 p. Restriction de repr´ esentations et projections d’orbites coadjointes (d’apr` es Belkale, Kumar et Ressayre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011/12, no 1043, 33 p. ´, Michel Broue Les `-blocs des groupes GL(n, q) et U1 (n, q 2 ) et leurs structures locales . . . 1984/85, no 640, 28 p. `res, Alain Bruguie Propri´ et´ es de convexit´ e de l’application–moment (d’apr` es Atiyah, Guillemin–Sternberg, Kirwan et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985/86, no 654, 25 p. Bruhat, Fran¸cois Repr´ esentations induites des groupes localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . Structure des alg` ebres de Lie semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prolongement des sous-vari´ et´ es analytiques (d’apr` es W. Rothstein) . . . . . . Travaux de Harish–Chandra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Sternberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Int´ egration p-adique (d’apr` es Tomas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Points entiers sur les courbes de genre 1 (d’apr` es Lang) . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes compacts maximaux des groupes semi-simples p-adiques . . . .

1952/53, no 68, 8 p. 1954/55, no 107, 8 p. 1955/56, no 122, 12 p. 1956/57, no 143, 9 p. 1960/61, no 217, 18 p. 1961/62, no 229, 16 p. 1962/63, no 247, 12 p. 1963/64, no 271, 11 p.

Brumer, Armand Travaux r´ ecents d’Iwasawa et de Leopoldt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966/67, no 325, 14 p. Brunella, Marco Courbes enti` eres dans les surfaces alg´ ebriques complexes (d’apr` es McQuillan, Demailly–El Goul. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000/01, no 881, 23 p. Bryant, Robert Recent advances in the theory of holonomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998/99, no 861, 24 p. Brylinski, Jean-Luc (Co)-homologie d’intersection et faisceaux pervers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 585, 29 p. Buff, Xavier Ensembles de Julia de mesure positive (d’apr` es van Strien et Nowicki) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996/97, no 820, 33 p. La mesure d’´ equilibre d’un endomorphisme de Pk (C) (d’apr` es Briend et Duval) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 939, 35 p. Burger, Marc Fundamental groups of K¨ ahler manifolds and geometric group theory . . . . . 2009/10, no 1022, 16 p. Burq, Nicolas Mesures semi-classiques et mesures de d´ efaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996/97, no 826, 29 p. Formules de trace, r´ esonances et quasi-modes (d’apr` es Sj¨ ostrand-Zworski, Stefanov-Vodev et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998/99, no 856, 16 p. Explosion pour l’´ equation de Schr¨ odinger au r´ egime du “log log” (d’apr` es Merle-Raphael) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 953, 21 p. Cadoret, Anna Sur la conjecture des compagnons (en dimension sup´ erieure) (d’apr` es Deligne, Drinfeld, La↵orgue, Abe. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1155, 51 p. Calabi, Eugenio G´ eom´ etrie di↵´ erentielle affine des hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 573, 16 p. Cantat, Serge Progr` es r´ ecents concernant le programme de Zimmer (d’apr` es A. Brown, D. Fisher, et S. Hurtado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1136, 43 p. Carayol, Henri Vari´ et´ es de Drinfeld compactes (d’apr` es Laumon, Rapoport et Stuhler) . . 1991/92, no 756, 41 p. Preuve de la conjecture de Langlands locale pour GLn : Travaux de Harris–Taylor et Henniart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998/99, no 857, 52 p. La conjecture de Sato–Tate (d’apr` es Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006/07, no 977, 44 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Carron, Gilles De nouvelles utilisations du principe du maximum en g´ eom´ etrie (d’apr` es B. Andrews, S. Brendle, J. Clutterbuck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1094, 36 p. Cartan, Henri Les travaux de Koszul, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les travaux de Koszul, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les travaux de Koszul, III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces fibr´ es analytiques complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ emoire de Gleason sur le 5 e probl` eme de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions et vari´ et´ es alg´ ebro¨ıdes (d’apr` es F. Hirzebruch) . . . . . . . . . . . . . . . . . Sur un m´ emoire in´ edit de H. Grauert : “Zur Theorie der analytisch vollst¨ andigen R¨ aume” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th´ eorie spectrale des C-alg` ebres commutatives (d’apr` es L. Waelbroeck) . . Espaces fibr´ es analytiques (d’apr` es H. Grauert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th` ese de Douady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Karoubi sur la K-th´ eorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-ensembles analytiques d’une vari´ et´ e banachique complexe (d’apr` es J.-P. Ramis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cartier, Pierre Repr´ esentations des groupes de Lie (d’apr` es Harish–Chandra) . . . . . . . . . . . . D´ eveloppements de fonctions arbitraires suivant les fonctions propres d’un op´ erateur di↵´ erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E↵acement dans la cohomologie des alg` ebres de Lie (d’apr` es Hochschild et Koszul) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dualit´ e des vari´ et´ es ab´ eliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vecteurs analytiques (d’apr` es E. Nelson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Structures simpliciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classes de formes bilin´ eaires sur les espaces de Banach (d’apr` es Grothendieck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse spectrale et th´ eor` eme de pr´ ediction statistique de Wiener . . . . . . . . Fluctuations dans les suites de variables al´ eatoires ind´ ependantes . . . . . . . . Repr´ esentations lin´ eaires des groupes alg´ ebriques semi-simples en caract´ eristique non nulle (d’apr` es Steinberg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Processus al´ eatoires g´ en´ eralis´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equivalence lin´ eaire des id´ eaux de polynˆ omes (d’apr` es R. Hartshorne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diviseurs amples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th´ eorie analytique des formes quadratiques. I. Suites quasi–p´ eriodiques . . Th´ eorie des groupes, fonctions th´ eta et modules des vari´ et´ es ab´ eliennes . . Rel` evements des groupes formels commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces de Poisson des groupes localement compacts (d’apr` es R. Azencott) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probl` emes math´ ematiques de la th´ eorie quantique des champs . . . . . . . . . . . . G´ eom´ etrie et analyse sur les arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probl` emes math´ ematiques de la th´ eorie quantique des champs. II : Prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . In´ egalit´ es de corr´ elation en M´ ecanique Statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vecteurs di↵´ erentiables dans les repr´ esentations unitaires des groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les repr´ esentations des groupes r´ eductifs p-adiques et leurs caract` eres . . . Spectre de l’´ equation de Schr¨ odinger, application a ` la stabilit´ e de la mati` ere (d’apr` es J. Lebowitz, E. Lieb, B. Simon et W. Thirring) . . . . . . Logique, cat´ egories et faisceaux (d’apr` es F. Lawvere et M. Tierney) . . . . . . Th´ eorie de la di↵usion pour l’´ equation de Schr¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La conjecture locale de Langlands pour GL(2) et la d´ emonstration de Ph. Kutzko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arrangements d’hyperplans : un chapitre de g´ eom´ etrie combinatoire . . . . . . Perturbations singuli` eres des ´ equations di↵´ erentielles ordinaires et analyse non-standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La th´ eorie classique et moderne des fonctions sym´ etriques . . . . . . . . . . . . . . . .

1948/49, 1948/49, 1948/49, 1950/51, 1952/53, 1953/54,

no 1, 6 p. no 8, 8 p. no 12, 4 p. no 34, 10 p. no 73, 9 p. no 84, 8 p.

1954/55, no 115, 11 p. 1955/56, no 125, 13 p. 1956/57, no 137, 12 p. 1965/66, no 296, 16 p. 1967/68, no 337, 25 p. 1968/69, no 354, 16 p. 1953/54, no 96, 10 p. 1954/55, no 102, 10 p. 1954/55, no 116, 7 p. 1957/58, no 164, 13 p. 1958/59, no 181, 12 p. 1959/60, no 199, 12 p. 1960/61, no 211, 14 p. 1960/61, no 218, 22 p. 1962/63, no 241, 18 p. 1962/63, no 255, 10 p. 1963/64, no 272, 10 p. 1964/65, no 283, 11 p. 1965/66, no 301, 16 p. 1965/66, no 309, 12 p. 1967/68, no 338, 16 p. 1968/69, no 359, 14 p. 1969/70, no 370, 21 p. 1970/71, no 388, 16 p. 1971/72, no 407, 18 p. 1972/73, no 418, 27 p. 1972/73, no 431, 19 p. 1974/75, no 454, 15 p. 1975/76, no 471, 22 p. 1976/77, no 496, 17 p. 1977/78, no 513, 24 p. 1978/79, no 533, 19 p. 1979/80, no 550, 27 p. 1980/81, no 561, 22 p. 1981/82, no 580, 24 p. 1982/83, no 597, 23 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Homologie cyclique : rapport sur des travaux r´ ecents de Connes, Karoubi, Loday, Quillen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D´ ecomposition des poly` edres : le point sur le 3 e probl` eme de Hilbert . . . . . . D´ etermination des caract` eres des groupes finis simples : travaux de Lusztig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jacobiennes g´ en´ eralis´ ees, monodromie unipotente et int´ egrales it´ er´ ees . . . . D´ eveloppements r´ ecents sur les groupes de tresses. Applications ` a la topologie et ` a l’alg` ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D´ emonstration “automatique” d’identit´ es et fonctions hyperg´ eom´ etriques (d’apr` es D. Zeilberger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La th´ eorie des blocs et les groupes g´ en´ eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions polylogarithmes, nombres polyzˆ etas et groupes pro-unipotents . . Groupo¨ıdes de Lie et leurs alg´ ebro¨ıdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nouveaux d´ eveloppements sur les valeurs des caract` eres des groupes g´ eom´ etriques ; m´ ethodes combinatoires (d’apr` es V. F´ eray) . . . . . . . . . . . . .

1983/84, no 621, 24 p. 1984/85, no 646, 28 p. 1985/86, no 658, 25 p. 1987/89, no 687, 22 p. 1989/90, no 716, 51 p. 1991/92, no 746, 51 p. 1993/94, no 781, 38 p. 2000/01, no 885, 37 p. 2007/08, no 987, 32 p. 2012/13, no 1071, 23 p.

Cathelineau, Jean-Louis Homologie du groupe lin´ eaire et polylogarithmes (d’apr` es A.B. Goncharov et d’autres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992/93, no 772, 31 p. Cerf, Jean Travaux de Smale sur la structure des vari´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1961/62, no 230, 16 p. 1-formes ferm´ ees non singuli` eres sur les vari´ et´ es compactes de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 574, 15 p. Suppression des singularit´ es de codimension plus grande que 1 dans les familles de fonctions di↵´ erentiables r´ eelles (d’apr` es Kiyoshi Igusa) . . . 1983/84, no 627, 15 p. Cerf, Rapha¨ el Dim` eres et surfaces al´ eatoires (d’apr` es les travaux de Kenyon et d’Okounkov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 997, 9 p. Chabauty, Claude Le th´ eor` eme de Minkowski–Hlawka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948/49, no 2, 3 p. Chambert–Loir, Antoine Th´ eor` emes d’alg´ ebricit´ e en g´ eom´ etrie diophantienne (d’apr` es J.-B. Bost, Y. Andr´ e, D. & G. Chudnovsky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Points rationnels et groupes fondamentaux : applications de la cohomologie p-adique (d’apr` es P. Berthelot, T. Ekedahl, H. Esnault, etc.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compter (rapidement) le nombre de solutions d’´ equations dans les corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations de d´ ependance et intersections exceptionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations de Hodge–Riemann et matro¨ıdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2000/01, no 886, 34 p.

2002/03, no 914, 22 p. 2006/07, no 968, 47 p. 2010/11, no 1032, 37 p. 2017/18, no 1144, 26 p.

Chaperon, Marc Quelques questions de g´ eom´ etrie symplectique (d’apr` es, entre autres, Poincar´ e, Arnold, Conley et Zehnder) . . . . . . . . . . 1982/83, no 610, 19 p. Charles, Fran¸cois Progr` es r´ ecents sur les fonctions normales (d’apr` es Green-Griffiths, Brosnan-Pearlstein, M. Saito, Schnell. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012/13, no 1063, 31 p. Conditions de stabilit´ e et g´ eom´ etrie birationnelle (d’apr` es Bridgeland, Bayer, Macr`ı. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1147, 47 p. Chazarain, Jacques Le probl` eme mixte hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972/73, no 432, 21 p. Spectre des op´ erateurs elliptiques et flots hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974/75, no 460, 13 p. Chazelle, Bernard The PCP theorem (after Arora, Lund, Motwani, Safra, Sudan, Szegedy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001/02, no 895, 18 p. Chemin, Jean-Yves Explosion g´ eom´ etrique pour certaines ´ equations d’ondes non lin´ eaires (d’apr` es Serge Alinhac) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998/99, no 850, 14 p. Chenciner, Alain Travaux de Thom et Mather sur la stabilit´ e topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972/73, no 424, 25 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

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La dynamique au voisinage d’un point fixe elliptique conservatif : de Poincar´ e et Birkho↵ ` a Aubry et Mather . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 622, 24 p. ` A l’infini en temps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996/97, no 832, 31 p. Chern, Shiing–Shen Les hypersurfaces dans l’espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959/60, no 193, 9 p. Chevalley, Claude L’hypoth` ese de Riemann pour les corps de fonctions alg´ ebriques de caract´ eristique p, I (d’apr` es Weil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’hypoth` ese de Riemann pour les corps de fonctions alg´ ebriques de caract´ eristique p, II (d’apr` es Weil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th´ eor` eme fondamental de la multiplication complexe (d´ emonstration de Eichler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La notion de correspondance propre en g´ eom´ etrie alg´ ebrique . . . . . . . . . . . . . . La th´ eorie des fonctions holomorphes de Zariski. Application au th´ eor` eme de connexit´ e ............................................................... Certains sch´ emas de groupes semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le groupe de Janko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th´ eorie des blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1948/49, no 3, 3 p. 1948/49, no 9, 4 p. 1956/57, no 138, 13 p. 1957/58, no 152, 11 p. 1957/58, no 158, 17 p. 1960/61, no 219, 16 p. 1967/68, no 331, 15 p. 1972/73, no 419, 16 p.

Choquet, Gustave Existence et unicit´ e des repr´ esentations int´ egrales au moyen des points extr´ emaux dans les cˆ ones convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956/57, no 139, 15 p. Les travaux de Nash et Kuiper sur le plongement isom´ etrique des C 1 -vari´ et´ es riemanniennes dans l’espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956/57, no 147, 11 p. Christ, Michael Modulation invariant and multilinear singular integral operators (after Lacey and Thiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 962, 26 p. Chru´ sciel, Piotr T. Anti-gravity a ` la Carlotto–Schoen (after Carlotto and Schoen) . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1120, 20 p. Cisinski, Denis-Charles Cat´ egories sup´ erieures et th´ eorie des topos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1097, 62 p. Claudon, Benoˆıt Positivit´ e du cotangent logarithmique et conjecture de Shafarevich–Viehweg (d’apr` es Campana, P˘ aun, Taji. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1105, 37 p. Clozel, Laurent Progr` es r´ ecents vers la classification du dual unitaire des groupes r´ eductifs r´ eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986/87, no 681, 24 p. Nombres de Tamagawa des groupes semi-simples (d’apr` es Kottwitz) . . . . . . 1988/89, no 702, 22 p. Nombre de points des vari´ et´ es de Shimura sur un corps fini (d’apr` es R. Kottwitz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992/93, no 766, 29 p. Coates, John The work of Mazur and Wiles on cyclotomic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The work of Gross and Zagier on Heegner points and the derivative of L-series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On p-adic L-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iwasawa algebras and arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1980/81, no 575, 23 p. 1984/85, no 635, 16 p. 1988/89, no 701, 27 p. 2001/02, no 896, 16 p.

Colin, Vincent Livres ouverts en g´ eom´ etrie de contact (d’apr` es Emmanuel Giroux) . . . . . . 2006/07, no 969, 25 p. R´ ealisations g´ eom´ etriques de l’homologie de Khovanov par des homologies de Floer (d’apr` es Abouzaid-Seidel-Smith et Ozsv´ ath-Szab´ o) . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1079, 27 p. `re, Yves Colin de Verdie Propri´ et´ es asymptotiques de l’´ equation de la chaleur sur une vari´ et´ e compacte (d’apr` es P. Gilkey) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La matrice de scattering pour l’op´ erateur de Schr¨ odinger sur la droite r´ eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribution de points sur une sph` ere (d’apr` es Lubotzky, Phillips et Sarnak) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Semi-classical measures and entropy (after Nalini Anantharaman and St´ ephane Nonnenmacher) . . . . . . . . . . . .

1973/74, no 439, 11 p. 1979/80, no 557, 11 p. 1988/89, no 703, 11 p. 2006/07, no 978, 20 p.

´ E ´ MATHEMATIQUE ´ SOCIET DE FRANCE 2021

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

´ le `ne, Jean-Louis Colliot–The Alg` ebres simples centrales sur les corps de fonctions de deux variables (d’apr` es A.J. de Jong) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 949, 34 p. Groupe de Chow des z´ eros-cycles sur les vari´ et´ es p-adiques (d’apr` es S. Saito, K. Sato et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009/10, no 1012, 26 p. Colmez, Pierre Fonctions L p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998/99, no 851, 38 p. Les conjectures de monodromie p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001/02, no 897, 49 p. La conjecture de Birch et Swinnerton–Dyer p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 919, 63 p. Combes, Fran¸cois Les facteurs de von Neumann de type III (d’apr` es A. Connes) . . . . . . . . . . . . 1974/75, no 461, 14 p. Comets, Francis Limites hydrodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1990/91, no 735, 26 p. Connes, Alain Feuilletages et alg` ebres d’op´ erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indice des sous-facteurs, alg` ebres de Hecke et th´ eorie des nœuds (d’apr` es Vaughan Jones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brisure de sym´ etrie spontan´ ee et g´ eom´ etrie du point de vue spectral . . . . . . Nombres de Betti L2 et facteurs de type II1 (d’apr` es D. Gaboriau et S. Popa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1979/80, no 551, 17 p. 1984/85, no 647, 20 p. 1995/96, no 816, 37 p. 2002/03, no 920, 13 p.

Conze, Jean-Pierre Le th´ eor` eme d’isomorphisme d’Ornstein et la classification des syst` emes dynamiques en th´ eorie ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972/73, no 420, 19 p. Coquand, Thierry Th´ eorie des types d´ ependants et axiome d’univalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1085, 20 p. Cornalba, Maurizio Syst` emes pluricanoniques sur l’espace des modules des courbes et diviseurs de courbes k-gonales (d’apr` es Harris et Mumford) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983/84, no 615, 18 p. ´jols, G´ Cornue erard Le th´ eor` eme fort des graphes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 957, 13 p. de Cornulier, Yves Groupes pleins-topologiques (d’apr` es Matui, Juschenko, Monod,. . . ) . . . . . . 2012/13, no 1064, 39 p. Cougnard, Jean Les travaux de A. Fr¨ ohlich, Ph. Cassou–Nogu` es et M.J. Taylor sur les bases normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 598, 14 p. Coulon, R´ emi Th´ eorie de la petite simplification : une approche g´ eom´ etrique (d’apr` es F. Dahmani, V. Guirardel, D. Osin et S. Cantat, S. Lamy) . . 2014/15, no 1089, 33 p. `ge, Philippe Courre Probl` emes aux limites elliptiques et principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . 1965/66, no 302, 18 p. Courtois, Gilles Lemme de Margulis ` a courbure de Ricci minor´ ee (d’apr` es Vitali Kapovitch et Burkhard Wilking) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1075, 32 p. Dacunha–Castelle, Didier Contre–exemple a ` la propri´ et´ e d’approximation uniforme dans les espaces de Banach (d’apr` es Enflo et Davie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972/73, no 433, 8 p. Reconstruction des phases en cristollographie par maximum d’entropie (d’apr` es G. Bricogne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 628, 15 p. Dafermos, Mihalis The formation of black holes in general relativity (after D. Christodoulou) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011/12, no 1051, 71 p. Dang, Nguyen–Viet Le principe d’incertitude fractal (d’apr` es Bourgain, Dyatlov, Jin, Nonnenmacher, Zahl) . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1177, 62 p. Dat, Jean-Fran¸cois Lemme fondamental et endoscopie, une approche g´ eom´ etrique (d’apr` es G´ erard Laumon et Ngˆ o Bao Chˆ au) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 940, 40 p.

´ ASTERISQUE 430

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Debarre, Olivier Vari´ et´ es de Fano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vari´ et´ es rationnellement connexes (d’apr` es T. Graber, J. Harris, J. Starr et A.J. de Jong) . . . . . . . . . . . . . . . Classes de cohomologie positives dans les vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes (d’apr` es Boucksom, Demailly, Nakayama, P˘ aun, Peternell. . . ) . . . . . . . . Syst` emes pluricanoniques sur les vari´ et´ es de type g´ en´ eral (d’apr` es Hacon–McKernan, Takayama, Tsuji) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´champs–Gondim, Myriam De Analyse harmonique, analyse complexe et g´ eom´ etrie des espaces de Banach (d’apr` es J. Bourgain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

535

1996/97, no 827, 25 p. 2001/02, no 905, 24 p. 2004/05, no 943, 29 p. 2006/07, no 970, 20 p.

1983/84, no 623, 25 p.

Dehornoy, Patrick La d´ etermination projective (d’apr` es Martin, Steel et Woodin) . . . . . . . . . . . . 1988/89, no 710, 16 p. Progr` es r´ ecents sur l’hypoth` ese du continu (d’apr` es Woodin) . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 915, 25 p. Dejean, Yves Transformation de Fourier des distributions homog` enes (d’apr` es G˚ arding) 1962/63, no 242, 14 p. Delaroche, Claire et Kirillov, Alexandre Sur les relations entre l’espace dual d’un groupe et la structure de ses sous-groupes ferm´ es (d’apr` es D.A. Kajdan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967/68, no 343, 22 p. de Lellis, Camillo Ordinary di↵erential equations with rough coefficients and the Renormalization Theorem of Ambrosio (Ambrosio, DiPerna, Lions) . . 2006/07, no 972, 26 p. Deligne, Pierre Formes modulaires et repr´ esentations `-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Griffiths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Shimura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vari´ et´ es unirationnelles non rationnelles (d’apr` es M. Artin et D. Mumford) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les di↵´ eomorphismes du cercle (d’apr` es M.R. Herman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sommes de Gauss cubiques et revˆ etements de SL(2) (d’apr` es S.J. Patterson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le groupe fondamental du compl´ ement d’une courbe plane n’ayant que des points doubles ordinaires est ab´ elien (d’apr` es W. Fulton) . . . . . . . . . . . . . . Preuve des conjectures de Tate et Shafarevitch (d’apr` es G. Faltings) . . . . . Multizˆ etas, d’apr` es Francis Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1968/69, no 355, 34 p. 1969/70, no 376, 25 p. 1970/71, no 389, 43 p. 1971/72, no 402, 13 p. 1975/76, no 477, 23 p. 1978/79, no 539, 34 p. 1979/80, no 543, 10 p. 1983/84, no 616, 17 p. 2011/12, no 1048, 25 p.

Delorme, Patrick Inversion des int´ egrales orbitales sur certains espaces sym´ etriques r´ eductifs (d’apr` es A. Bouaziz et P. Harinck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995/96, no 810, 21 p. Delsarte, Jean Nombre de solutions des ´ equations polynomiales sur un corps fini (d’apr` es A. Weil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950/51, no 39, 9 p. Demailly, Jean-Pierre M´ ethodes L2 et r´ esultats e↵ectifs en g´ eom´ etrie alg´ ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998/99, no 852, 32 p. Variational approach for complex Monge-Amp` ere equations and geometric applications (after Berman, Berndtsson, Boucksom, Eyssidieux, Guedj, Jonsson, Zeriahi. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1112, 31 p. Demazure, Michel Structure du groupe orthogonal (d’apr` es T. Tamagawa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes arithm´ etiques des groupes alg´ ebriques lin´ eaires (d’apr` es Borel et Harish–Chandra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Structure des groupes r´ eductifs (d’apr` es Borel–Tits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classification des alg` ebres de Lie filtr´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motifs des vari´ et´ es alg´ ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classification des germes a ` point critique isol´ e et a ` nombre de module 0 ou 1 (d’apr` es V.I. Arnold) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D´ emonstration de la conjecture de Mumford (d’apr` es W. Haboush) . . . . . . . Identit´ es de Macdonald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caract´ erisations de l’espace projectif (conjectures de Hartshorne et de Frankel) (d’apr` es Shigefumi Mori) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1958/59, no 169, 11 p. 1961/62, no 235, 12 p. 1966/67, no 313, 7 p. 1966/67, no 326, 11 p. 1969/70, no 365, 20 p. 1973/74, no 443, 19 p. 1974/75, no 462, 7 p. 1975/76, no 483, 11 p. 1979/80, no 544, 9 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Denef, Jan Report on Igusa’s local zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1990/91, no 741, 28 p. Deny, Jacques Les deux aspects de la th´ eorie du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956/57, no 148, 18 p. Formes et espaces de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959/60, no 187, 11 p. D´ eveloppements r´ ecents de la th´ eorie du potentiel (travaux de Jacques Faraut et de Francis Hirsch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971/72, no 403, 14 p. Derridj, Makhlouf La sous-ellipticit´ e pour le probl` eme @-Neumann dans un domaine pseudoconvexe de Cn (d’apr` es D. Catlin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994/95, no 790, 21 p. Deschamps, Mireille Courbes de genre g´ eom´ etrique born´ e sur une surface de type g´ en´ eral (d’apr` es F.A. Bogolomov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977/78, no 519, 15 p. Deshouillers, Jean-Marc Progr` es r´ ecents des petits cribles arithm´ etiques (d’apr` es Chen, Iwaniec,. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977/78, no 520, 15 p. Th´ eor` eme de Fermat : la contribution de Fouvry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984/85, no 648, 10 p. L’´ etude des formes cubiques rationnelles via la m´ ethode du cercle (d’apr` es D.R. Heath–Brown, C. Hooley et R.C. Vaughan) . . . . . . . . . . . . . 1989/90, no 720, 23 p. Desolneux–Moulis, Nicole Vari´ et´ es de dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969/70, no 378, 15 p. Orbites p´ eriodiques des syst` emes hamiltoniens autonomes (d’apr` es Clarke, Ekeland–Lasry, Moser, Rabinowitz, Weinstein) . . . . . . 1979/80, no 552, 18 p. Desvillettes, Laurent Progr` es r´ ecents concernant le programme de Kac en th´ eorie cin´ etique (d’apr` es St´ ephane Mischler et Cl´ ement Mouhot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1076, 21 p. ´, Jean Dieudonne G´ eom´ etrie des espaces alg´ ebrique homog` enes (d’apr` es W.L. Chow) . . . . . . . Groupes de Lie alg´ ebriques (travaux de Chevalley) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extensions de repr´ esentations lin´ eaires de groupes de Lie (d’apr` es Hochschild et Mostow) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les groupes simples d´ eduits des alg` ebres de Lie simples complexes (d’apr` es C. Chevalley) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ emoire de Bertram Kostant sur les applications de la cohomologie des alg` ebres de Lie r´ eductives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La th´ eorie des invariants au XIX e si` ecle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dixmier, Jacques Facteurs : classification, dimension, trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anneaux d’op´ erateurs et repr´ esentations des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques r´ esultats d’Harish–Chandra, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques r´ esultats d’Harish–Chandra, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions sph´ eriques (d’apr` es R. Godement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Malgrange sur les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles elliptiques Travaux de Kadison sur les invariants unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution n´ egative du probl` eme des invariants, d’apr` es Nagata . . . . . . . . . . . . . Les alg` ebres hilbertiennes modulaires de Tomita (d’apr` es Takesaki) . . . . . . . Certaines repr´ esentations infinies des alg` ebres de Lie semi-simples . . . . . . . Quelques r´ esultats de finitude en th´ eorie des invariants (d’apr` es V.L. Popov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1949/50, no 18, 6 p. 1951/52, no 57, 8 p. 1957/58, no 159, 10 p. 1959/60, no 194, 10 p. 1962/63, no 243, 13 p. 1970/71, no 395, 18 p. 1949/50, no 30, 11 p. 1950/51, no 40, 6 p. 1951/52, no 50, 5 p. 1951/52, no 58, 7 p. 1952/53, no 79, 8 p. 1955/56, no 123, 9 p. 1956/57, no 140, 8 p. 1958/59, no 175, 11 p. 1969/70, no 371, 15 p. 1972/73, no 425, 16 p. 1985/86, no 659, 13 p.

Djament, Aur´ elien La propri´ et´ e noeth´ erienne pour les foncteurs entre espaces vectoriels (d’apr` es A. Putman, S. Sam et A. Snowden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1090, 26 p. Dolbeault, Pierre Le th´ eor` eme de Riemann–Roch sur les surfaces k¨ ahl´ eriennes compactes (d’apr` es K. Kodaira) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951/52, no 63, 11 p. Dold, Albrecht Les foncteurs d´ eriv´ es d’un foncteur non–additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958/59, no 170, 7 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

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Structure de l’anneau de cobordisme ⌦ (d’apr` es les travaux de V.A. Rokhlin et de C.T.C. Wall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959/60, no 188, 14 p. Dolgachev, Igor Integral quadratic forms : applications to algebraic geometry (after V. Nikulin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 611, 28 p. Douady, Adrien Cohomologie des groupes compacts totalement discontinus (d’apr` es Tate) Plongements de sph` eres (d’apr` es Mazur et Brown) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th´ eor` eme de Grauert sur la coh´ erence des faisceaux–images d’un faisceau analytique coh´ erent par un morphisme propre . . . . . . . . . . . . . . . . . Cycles analytiques, d’apr` es Atiyah et Hirzebruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D´ emonstration ´ el´ ementaire d’un th´ eor` eme de p´ eriodicit´ e de Bott (d’apr` es Atiyah et Bott) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le probl` eme des modules pour les vari´ et´ es analytiques complexes (d’apr` es M. Kuranishi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Platitude et privil` ege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces analytiques sous-alg´ ebriques (d’apr` es B.G. Moˇıˇsezon) . . . . . . . . . . . . Prolongement de faisceaux analytiques coh´ erents (travaux de Trautmann, Frisch–Guenot et Siu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th´ eor` eme des images directes de Grauert (d’apr` es Kiehl–Verdier) . . . . . Syst` eme dynamiques holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nœuds et structures de contact en dimension 3 (d’apr` es Daniel Bennequin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Disques de Siegel et anneaux de Herman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prolongement de mouvements holomorphes (d’apr` es Slodkowski et autres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1959/60, no 189, 12 p. 1960/61, no 205, 6 p. 1960/61, no 220, 14 p. 1961/62, no 223, 22 p. 1963/64, no 259, 9 p. 1964/65, no 277, 7 p. 1965/66, no 303, 6 p. 1967/68, no 344, 14 p. 1969/70, no 366, 16 p. 1971/72, no 404, 15 p. 1982/83, no 599, 25 p. 1982/83, no 604, 20 p. 1986/87, no 677, 22 p. 1993/94, no 775, 14 p.

Druel, St´ ephane Existence de mod` eles minimaux pour les vari´ et´ es de type g´ en´ eral (d’apr` es Birkar, Cascini, Hacon et Mc Kernan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007/08, no 982, 38 p. Ducros, Antoine Espaces analytiques p-adiques au sens de Berkovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 958, 40 p. Les espaces de Berkovich sont mod´ er´ es (d’apr` es Ehud Hrushovski et Fran¸cois Loeser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011/2012, no 1056, 49 p. Dudas, Olivier Splendeur des vari´ et´ es de Deligne-Lusztig (d’apr` es Deligne-Lusztig, Brou´ e, Rickard, Bonnaf´ e-Dat-Rouquier) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1137, 42 p. Duflo, Michel Repr´ esentations de carr´ e int´ egrable des groupes semi-simples r´ eels . . . . . . . Caract` eres des groupes de Lie r´ esolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse harmonique sur les groupes alg´ ebriques complexes : formule de Plancherel (d’apr` es M. Andler) et conjecture de M. Vergne . . . . . . . . . . . . Op´ erateurs transversalement elliptiques et formes di↵´ erentielles ´ equivariantes (d’apr` es N. Berline et M. Vergne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1977/78, no 508, 19 p. 1979/80, no 558, 16 p. 1982/83, no 612, 13 p. 1994/95, no 791, 17 p.

Duistermaat, J.J. The light in the neighborhood of a caustic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 490, 11 p. Dujardin, Romain Th´ eorie globale du pluripotentiel, ´ equidistribution et processus ponctuels (d’apr` es Berman, Boucksom, Witt Nystr¨ om, etc.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1152, 47 p. Dupont, Cl´ ement Progr` es r´ ecents sur la conjecture de Zagier et le programme de Goncharov (d’apr` es Goncharov, Rudenko, Gangl, . . .) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1176, 49 p. Edixhoven, Bas Rational torsion points on elliptic curves over number fields (after Kamienny and Mazur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993/94, no 782, 19 p. Rational elliptic curves are modular (after Breuil, Conrad, Diamond and Taylor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 871, 28 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Edwards, Robert D. Characterizing infinite dimensional manifolds topologically (after H. Tor´ unczyk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 540, 25 p. Ehresmann, Charles Les connexions infinit´ esimales dans un espace fibr´ e di↵´ erentiable . . . . . . . . . 1949/50, no 24, 16 p. Sur les vari´ et´ es presque complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950/51, no 35, 10 p. Eilenberg, Samuel Exposition des th´ eories de Morse et Lusternik–Schnirelmann . . . . . . . . . . . . . 1950/51, no 36, 6 p. Foncteurs de modules et leurs satellites (d’apr` es Cartan et Eilenberg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950/51, no 46, 3 p. Eliasson, L. Hakan R´ esultats non-perturbatifs pour l’´ equation de Schr¨ odinger et d’autres cocycles quasi-p´ eriodiques (d’apr` es Avila, Bourgain, Jitomirskaya, Krikorian, Puig) . . . . . . . . . . . . . . 2007/08, no 988, 21 p. Elworthy, K. David Stochastic methods and di↵erential geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 567, 16 p. Emerton, Matthew p-adic families of modular forms (after Hida, Coleman, and Mazur) . . . . . 2009/10, no 1013, 28 p. ´ Emery, Michel Espaces probabilis´ es filtr´ es : de la th´ eorie de Vershik au mouvement brownien, via des id´ ees de Tsirelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000/01, no 882, 21 p. Esnault, H´ el` ene Classification des vari´ et´ es de dimension 3 et plus (d’apr` es T. Fujita, S. Iitaka, Y. Kawamata, K. Ueno, E. Viehweg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 568, 21 p. Eymard, Pierre Homomorphismes des alg` ebres de groupe (d’apr` es Paul J. Cohen) . . . . . . . . 1961/62, no 231, 14 p. Alg` ebres Ap et convoluteurs de Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969/70, no 367, 18 p. Eyssidieux, Philippe M´ etriques de K¨ ahler-Einstein sur les vari´ et´ es de Fano (d’apr` es Chen-Donaldson-Sun et Tian) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1095, 23 p. Fack, Thierry K-th´ eorie bivariante de Kasparov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 605, 18 p. Faltings, Gerd Curves and their fundamental groups (following Grothendieck, Tamagawa and Mochizuki) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997/98, no 840, 20 p. Favre, Charles Le groupe de Cremona et ses sous-groupes de type fini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 998, 33 p. Fernique, Xavier Fonctions al´ eatoires gaussiennes, les r´ esultats r´ ecents de M. Talagrand . . 1985/86, no 660, 10 p. Ferrand, Daniel Les modules projectifs de type fini sur un anneau de polynˆ omes sur un corps sont libres (d’apr` es Quillen et Suslin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975/76, no 484, 20 p. Figalli, Alessio Regularity of optimal transport maps (after Ma–Trudinger–Wang and Loeper) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 1009, 28 p. On the Monge–Amp` ere equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1148, 26 p. Fischler, St´ ephane Irrationalit´ e de valeurs de zˆ eta (d’apr` es Ap´ ery, Rivoal. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 910, 35 p. Fontaine, Jean-Marc Valeurs sp´ eciales des fonctions L des motifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1991/92, no 751, 45 p. Perfecto¨ıdes, presque puret´ e et monodromie-poids (d’apr` es Peter Scholze) 2011/12, no 1057, 26 p. Fournier, Jean-Claude Le th´ eor` eme du coloriage des cartes (ex–conjecture des quatre couleurs) . . 1977/78, no 509, 24 p. Frenkel, Edward V. Vertex algebras and algebraic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 875, 41 p. Gauge theory and Langlands duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 1010, 35 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

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´ n, Javier Fresa ´ Equir´ epartition de sommes exponentielles (travaux de Katz) . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1141, 37 p. Th´ eorie de Hodge et o-minimalit´ e (d’apr` es Bakker, Brunebarbe, Klingler et Tsimerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1170, 27 p. Friedlander, Eric M. Motivic complexes of Suslin and Voevodsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996/97, no 833, 24 p. ¨ Frohlich, J¨ urg and Spencer, Thomas Some recent rigorous results in the theory of phase transitions and critical phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 586, 42 p. Fulton, William Eigenvalues of sums of Hermitian matrices (after A. Klyachko) . . . . . . . . . . 1997/98, no 845, 15 p. Furstenberg, Harry Rigidity and cocycles for ergodic actions of semi-simple Lie groups (after G.A. Margulis and R. Zimmer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979/80, no 559, 20 p. Gaboriau, Damien Entropie sofique (d’apr` es Lewis Bowen, David Kerr et Hanfeng Li) . . . . . . 2015/16, no 1108, 38 p. Gabriel, Pierre Repr´ esentations des alg` ebres de Lie r´ esolubles (d’apr` es J. Dixmier) . . . . . . 1968/69, no 347, 22 p. Repr´ esentations ind´ ecomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973/74, no 444, 27 p. Alg` ebres auto–injectives de repr´ esentation finie (d’apr` es Christine Riedtmann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979/80, no 545, 20 p. Gaitsgory, Dennis Progr` es r´ ecents dans la th´ eorie de Langlands g´ eom´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1109, 30 p. Gallagher, Isabelle R´ esultats r´ ecents sur la limite incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003/04, no 926, 29 p. Gallay, Thierry Estimations pseudo-spectrales et stabilit´ e des tourbillons plans (d’apr` es Te Li, Dongyi Wei et Zhifei Zhang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1167, 28 p. Gallot, Sylvestre Minorations sur le 1 des vari´ et´ es riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 569, 17 p. Volumes, courbure de Ricci et convergence des vari´ et´ es (d’apr` es T.H. Colding et Cheeger–Colding) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997/98, no 835, 26 p. Garban, Christophe Quantum gravity and the KPZ formula (after Duplantier-Sheffield) . . . . . . 2011/12, no 1052, 40 p. Gasbarri, Carlo The strong abc conjecture over function fields (after McQuillan and Yamanoi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007/08, no 989, 38 p. Gauduchon, Paul Vari´ et´ es riemanniennes autoduales (d’apr` es C.H. Taubes et al.) . . . . . . . . . . 1992/93, no 767, 36 p. Gauthier, Luc Th´ eorie des correspondances birationnelles selon Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948/49, no 10, 8 p. Quelques vari´ et´ es usuelles en g´ eom´ etrie alg´ ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950/51, no 37, 5 p. Gawe ¸ dzki, Krzysztof Conformal field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988/89, no 704, 32 p. Geck, Meinolf Representations of Hecke algebras at roots of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´rard, Christian Ge Compl´ etude asymptotique des syst` emes a ` N corps ` a courte port´ ee (d’apr` es I.M. Sigal et A. So↵er) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´rard, Patrick Ge Solutions globales du probl` eme de Cauchy pour l’´ equation de Boltzmann (d’apr` es R.J. Di Perna et P.L. Lions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´ esultats r´ ecents sur les fluides parfaits incompressibles bidimensionnels (d’apr` es J.-Y. Chemin et J.-M. Delort) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equations de champ moyen pour la dynamique quantique d’un grand nombre de particules (d’apr` es Bardos, Erd¨ os, Golse, Gottlieb, Mauser, Yau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1997/98, no 836, 23 p.

1989/90, no 721, 23 p.

1987/88, no 699, 25 p. 1991/92, no 757, 34 p.

2003/04, no 930, 18 p.

´ E ´ MATHEMATIQUE ´ SOCIET DE FRANCE 2021

540

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

´rard–Varet, David Ge Ph´ enom` ene d’amortissement dans les ´ equations d’Euler (d’apr` es J. Bedrossian et N. Masmoudi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1091, 21 p. ´rardin, Paul Ge Repr´ esentations du groupe SL2 d’un corps local (d’apr` es Gel’fand, Graev et Tanaka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967/68, no 332, 35 p. Changement du corps de base pour les repr´ esentations de GL(2) (d’apr` es R.P. Langlands, H.Saito et T. Shintani) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977/78, no 510, 24 p. Formes automorphes associ´ ees aux cycles g´ eod´ esiques des surfaces de Riemann hyperboliques (d’apr` es S. Kudla et J. Millson) . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 562, 13 p. Germain, Paul Les ´ equations du type mixte et le probl` eme de Tricomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955/56, no 124, 12 p. ´ Ghys, Etienne L’invariant de Godbillon–Vey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les groupes hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamique des flots unipotents sur les espaces homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . Construction de champs de vecteurs sans orbite p´ eriodique (d’apr` es Krystyna Kuperberg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes al´ eatoires (d’apr` es Misha Gromov. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1988/89, no 706, 27 p. 1989/90, no 722, 36 p. 1991/92, no 747, 44 p. 1993/94, no 785, 25 p. 2002/03, no 916, 30 p.

Gille, Philippe Le probl` eme de Kneser–Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007/08, no 983, 43 p. Ginibre, Jean Le probl` eme de Cauchy pour des EDP semi-lin´ eaires p´ eriodiques en variables d’espace (d’apr` es Bourgain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994/95, no 796, 25 p. Girard, Jean-Yves Le lambda-calcul du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986/87, no 678, 13 p. Giraud, Jean Groupe de Picard, anneaux factoriels (d’apr` es Grothendieck) . . . . . . . . . . . . . 1962/63, no 248, 13 p. Analysis situs (d’apr` es Artin et Grothendieck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1962/63, no 256, 11 p. R´ esolution des singularit´ es (d’apr` es H. Hironaka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966/67, no 320, 13 p. Giroux, Emmanuel Topologie de contact en dimension 3 (autour des travaux de Yakov Eliashberg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992/93, no 760, 27 p. Sur la g´ eom´ etrie et la dynamique des transformations de contact (d’apr` es Y. Eliashberg, L. Polterovich et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 1004, 38 p. Glass, Olivier La m´ ethode du retour en contrˆ olabilit´ e et ses applications en m´ ecanique des fluides (d’apr` es Coron et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1027, 14 p. Godbillon, Claude Travaux de D. Anosov et S. Smale sur les di↵´ eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . 1968/69, no 348, 13 p. Probl` emes d’existence et d’homotopie dans les feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . 1970/71, no 390, 15 p. Cohomologie d’alg` ebres de Lie de champs de vecteurs formels . . . . . . . . . . . . . 1972/73, no 421, 19 p. Godement, Roger Groupe complexe unimodulaire, I : les repr´ esentations unitaires irr´ eductibles du groupe complexe unimodulaire (d’apr` es Gelfand et Neumark) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupe complexe unimodulaire, II : la transformation de Fourier dans le groupe complexe unimodulaire a ` deux variables (d’apr` es Gelfand et Neumark) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sommes continues d’espaces de Hilbert, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sommes continues d’espaces de Hilbert, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th´ eorie des caract` eres dans les groupes unimodulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Hecke, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Hecke, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Hecke, III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Hecke, IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie des groupes discontinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repr´ esentations induites des groupes de Lie (d’apr` es Bruhat) . . . . . . . . . . . . .

´ ASTERISQUE 430

1948/49, no 4, 7 p.

1948/49, 1949/50, 1949/50, 1950/51, 1951/52, 1951/52, 1952/53, 1952/53, 1953/54, 1955/56,

no 13, 7 p. no 19, 6 p. no 25, 8 p. no 41, 11 p. no 51, 7 p. no 59, 8 p. no 74, 10 p. no 80, 7 p. no 90, 11 p. no 126, 8 p.

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Repr´ esentations induites des groupes semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction aux travaux de A. Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les fonctions zˆ eta des alg` ebres simples, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les fonctions zˆ eta des alg` ebres simples, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes lin´ eaires alg´ ebriques sur un corps parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La formule des traces de Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Domaines fondamentaux des groupes arithm´ etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques r´ esultats nouveaux de Kostant sur les groupes semi-simples . . . . . Analyse spectrale des fonctions modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction ` a la th´ eorie de Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formes automorphes et produits eul´ eriens (d’apr` es R.P. Langlands) . . . . . . De l’´ equation de Schr¨ odinger aux fonctions automorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

541

1955/56, no 131, 7 p. 1956/57, no 144, 16 p. 1958/59, no 171, 23 p. 1958/59, no 176, 20 p. 1960/61, no 206, 22 p. 1962/63, no 244, 10 p. 1962/63, no 257, 17 p. 1963/64, no 260, 8 p. 1964/65, no 278, 26 p. 1966/67, no 321, 30 p. 1968/69, no 349, 17 p. 1974/75, no 467

Goerss, Paul G. Topological modular forms (after Hopkins, Miller, and Lurie) . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 1005, 35 p. Golse, Fran¸cois De Newton a ` Boltzmann et Einstein : Validation des mod` eles cin´ etiques et de di↵usion (d’apr` es T. Bodineau, I. Gallagher, L. Saint-Raymond, B. Texier) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1083, 42 p. Gonzalez sprinberg, Gerardo D´ esingularisation des surfaces par des modifications de Nash normalis´ ees (d’apr` es M. Spivakovsky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985/86, no 661, 21 p. Goode, John B. H.L.M. (Hrushovski–Lang–Mordell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995/96, no 811, 16 p. ´ re ´, Jean-Baptiste Goue Le mouvement brownien branchant vu depuis une extr´ emit´ e (d’apr` es Arguin–Bovier–Kistler et A¨ıd´ ekon–Berestycki–Brunet–Shi) . . . 2012/13, no 1067, 27 p. ¨zel, S´ Goue ebastien Spectre du flot g´ eod´ esique en courbure n´ egative (d’apr` es F. Faure et M. Tsujii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1098, 29 p. M´ ethodes entropiques pour les convolutions de Bernoulli (d’apr` es Hochman, Shmerkin, Breuillard, Varj´ u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1142, 33 p. Goulaouic, Charles Sur la th´ eorie spectrale des op´ erateurs elliptiques (´ eventuellement d´ eg´ en´ er´ es) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968/69, no 360, 14 p. ´ Goujard, Elise Sous-vari´ et´ es totalement g´ eod´ esiques des espaces de modules de Riemann (d’apr` es Eskin, McMullen, Mukamel, Wright) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1178, 18 p. Gramain, Andr´ e L’invariance topologique des classes de Pontrjagin rationnelles . . . . . . . . . . . ´ ements de ⇡2n 1 (S n ) d’invariant de Hopf Un El´ (d’apr` es J. Adams et M. Atiyah) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupe des di↵´ eomorphismes et espaces de Teichm¨ uller d’une surface . . . . Sph` eres d’homologie rationnelle (d’apr` es H. Barge, J. Lannes, F. Latour et P. Vogel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rapport sur la th´ eorie classique des nœuds (premi` ere partie) . . . . . . . . . . . . . . Rapport sur la th´ eorie classique des nœuds (deuxi` eme partie) . . . . . . . . . . . . .

1965/66, no 304, 16 p. 1966/67, no 322, 7 p. 1972/73, no 426, 14 p. 1974/75, no 455, 18 p. 1974/75, no 485, 16 p. 1990/91, no 732, 25 p.

Grigorieff, Serge D´ etermination des jeux bor´ eliens et probl` emes logiques associ´ es (d’apr` es D. Martin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975/76, no 478, 14 p. Grisvard, Pierre M´ ethodes op´ erationnelles dans l’´ etude des probl` emes aux limites . . . . . . . . . . 1964/65, no 289, 11 p. R´ esolution locale d’une ´ equation di↵´ erentielle (selon Nirenberg et Tr` eves) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1970/71, no 391, 14 p. Grivaux, Julien et Hubert, Pascal Les exposants de Liapouno↵ du flot de Teichm¨ uller (d’apr` es Eskin-Kontsevich-Zorich) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012/13, no 1060, 31 p.

´ E ´ MATHEMATIQUE ´ SOCIET DE FRANCE 2021

542

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Grivaux, Sophie et Roginskaya, Maria Espaces de Banach poss´ edant tr` es peu d’op´ erateurs (d’apr` es S. Argyros et R. Haydon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1099, 43 p. Gromov, Mikhael On hyperbolic manifolds according to Thurston and and Jørgensen . . . . . . . 1979/80, no 546, 14 p. Entropy, homology and semialgebraic geometry (after Y. Yomdin) . . . . . . . . 1985/86, no 663, 16 p. Gross, Leonard Harmonic functions on loop groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997/98, no 846, 16 p. Grothendieck, Alexander Produits tensoriels topologiques et espaces nucl´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La th´ eorie de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´ earrangements de fonctions et in´ egalit´ es de convexit´ e dans les alg` ebres de von Neumann munies d’une trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sur le m´ emoire de A. Weil : “G´ en´ eralisation des fonctions ab´ eliennes” . . Th´ eor` emes de dualit´ e pour les faisceaux alg´ ebriques coh´ erents . . . . . . . . . . . . . G´ eom´ etrie formelle et g´ eom´ etrie alg´ ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Technique de descente et th´ eor` emes d’existence en g´ eom´ etrie alg´ ebrique. I : g´ en´ eralit´ es. Descente par morphismes fid` element plats . . . . . . . . . . . . . . Technique de descente et th´ eor` emes d’existence en g´ eom´ etrie alg´ ebrique. II : le th´ eor` eme d’existence en th´ eorie formelle des modules . . . . . . . . . . . Techniques de construction et th´ eor` emes d’existence en g´ eom´ etrie alg´ ebrique. III : pr´ esch´ emas quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Techniques de construction et th´ eor` emes d’existence en g´ eom´ etrie alg´ ebrique. IV : les sch´ emas de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Technique de descente et th´ eor` emes d’existence en g´ eom´ etrie alg´ ebrique. V. Les sch´ emas de Picard : th´ eor` emes d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Technique de descente et th´ eor` emes d’existence en g´ eom´ etrie alg´ ebrique. VI. Les sch´ emas de Picard : propri´ et´ es g´ en´ erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compl´ ement : fondements de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique. Commentaires . . . . . Formule de Lefschetz et rationalit´ e des fonctions L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le groupe de Brauer. I. Alg` ebres d’Azumaya et interpr´ etations diverses . . Le groupe de Brauer. II. Th´ eorie cohomologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1952/53, no 69, 8 p. 1953/54, no 91, 8 p. 1954/55, no 113, 13 p. 1956/57, no 141, 15 p. 1956/57, no 149, 25 p. 1958/59, no 182, 28 p. 1959/60, no 190, 29 p. 1959/60, no 195, 22 p. 1960/61, no 212, 20 p. 1960/61, no 221, 28 p. 1961/62, no 232, 19 p. 1961/62, no 236, 23 p. 1961/62, 11 p. 1964/65, no 279, 15 p. 1964/65, no 290, 21 p. 1965/66, no 297, 21 p.

Gruson, Caroline Sur les repr´ esentations de dimension finie de la super alg` ebre de Lie gl(m, n) (d’apr` es Serganova) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 963, 20 p. ´ritaud, Fran¸cois Gue Applications harmoniques et plongements quasi-isom´ etriques en courbure n´ egative pinc´ ee (d’apr` es Benoist, Hulin, Markovic. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1149, 20 p. Guichard, Olivier Groupes convexes-cocompacts en rang sup´ erieur (d’apr` es Labourie, Kapovich, Leeb, Porti. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1138, 27 p. Guichardet, Alain Repr´ esentations des alg` ebres involutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repr´ esentations des groupes de Lie nilpotents (d’apr` es Kirillov) . . . . . . . . . . Facteurs de type III (d’apr` es R.T. Powers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repr´ esentations de GX selon Gelfand et Delorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repr´ esentations de GX (G compact) (selon Verchik, Gelfand, Graiev et Ismagilov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1960/61, no 207, 8 p. 1962/63, no 249, 9 p. 1967/68, no 333, 10 p. 1975/76, no 486, 18 p. 1978/79, no 541, 9 p.

´neuf, Pierre-Antoine Guihe Th´ eorie de for¸cage des hom´ eomorphismes de surfaces (d’apr` es Le Calvez et Tal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1171, 23 p. Guillaume, Marcel Les tableaux s´ emantiques du calcul des pr´ edicats restreint . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957/58, no 153, 13 p. Guillermou, St´ ephane Le probl` eme de Riemann-Hilbert dans le cas irr´ egulier (d’apr` es des travaux de D’Agnolo, Kashiwara, Mochizuki et Schapira) . . . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1128, 28 p.

´ ASTERISQUE 430

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

543

Guionnet, Alice Grandes matrices al´ eatoires et th´ eor` emes d’universalit´ e (d’apr` es Erd¨ os, Schlein, Tao, Vu et Yau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009/10, no 1019, 33 p. Haefliger, Andr´ e Plongements de vari´ et´ es dans le domaine stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sph` eres d’homotopie nou´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Novikov sur les feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sur les classes caract´ eristiques des feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feuilletages riemanniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ha¨ıssinsky, Peter G´ eom´ etrie quasiconforme, analyse au bord des espaces m´ etriques hyperboliques et rigidit´ es (d’apr` es Mostow, Pansu, Bourdon, Pajot, Bonk, Kleiner..) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1962/63, no 245, 13 p. 1964/65, no 280, 12 p. 1967/68, no 339, 12 p. 1971/72, no 412, 22 p. 1988/89, no 707, 15 p.

2007/08, no 993, 41 p.

Hakim, Monique Valeurs au bord de fonctions holomorphes born´ ees en plusieurs variables complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 613, 13 p. Hales, Thomas C. The fundamental lemma and the Hitchin fibration (after Ngˆ o Bao Chˆ au) 2010/11, no 1035, 29 p. Developments in formal proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1086, 24 p. Harari, David Points rationnels sur les sous-vari´ et´ es des vari´ et´ es ab´ eliennes au-dessus d’un corps de fonctions (d’apr` es Poonen et Voloch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006/07, no 979, 24 p. Z´ ero-cycles et points rationnels sur les fibrations en vari´ et´ es rationnellement connexes (d’apr` es Harpaz et Wittenberg) . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1096, 32 p. Harish–Chandra Some applications of invariant di↵erential operators on a semisimple Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957/58, no 160, 8 p. Harper, Adam The Riemann zeta function in short intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1161, 24 p. Hartshorne, Robin Genre des courbes alg´ ebriques dans l’espace projectif (d’apr` es L. Gruson et C. Peskine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 592, 13 p. Harvey, William James Kleinian groups (a survey) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 491, 16 p. Heckman, Gerrit J. Dunkl operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996/97, no 828, 24 p. Helffer, Bernard Propagation des singularit´ es pour des probl` emes aux limites (d’apr` es R.B. Melrose, J. Sj¨ ostrand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 525, 20 p. Helfgott, Harald Andr´ es Isomorphismes de graphes en temps quasi-polynomial (d’apr` es Babai et Luks, Weisfeiler–Leman,. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1125, 43 p. Hellegouarch, Yves Fonctions zˆ eta en caract´ eristique positive et modules de Carlitz–Hayes . . . 1997/98, no 837, 23 p. Henniart, Guy Les in´ egalit´ es de Morse (d’apr` es E. Witten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cyclotomie et valeurs de la fonction (d’apr` es G. Anderson) . . . . . . . . . . . . Formes de Maass et repr´ esentations galoisiennes (d’apr` es Blasius, Clozel, Harris, Ramakrishnan et Taylor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erratum ` a l’expos´ e no 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repr´ esentations des groupes r´ eductifs p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Progr` es r´ ecents en fonctorialit´ e de Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´, Michel Herve Travaux de K¨ ocher sur les formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1983/84, no 617, 19 p. 1987/88, no 688, 20 p. 1988/89, no 711, 26 p. 1990/91, no 711, 2 p. 1990/91, no 736, 27 p. 2000/01, no 890, 22 p. 1955/56, no 132, 6 p.

Hernandez, David Avanc´ ees concernant les R-matrices et leurs applications (d’apr` es Maulik–Okounkov, Kang–Kashiwara–Kim–Oh. . .) . . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1129, 33 p.

´ E ´ MATHEMATIQUE ´ SOCIET DE FRANCE 2021

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Herz, Jean-Claude Caract´ erisation des caract` eres des groupes finis (d’apr` es R. Brauer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953/54, no 92, 6 p. Herzlich, Marc L’in´ egalit´ e de Penrose (d’apr` es H. Bray, G. Huisken et T. Ilmanen. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000/01, no 883, 26 p. Hirsch, Francis Op´ erateurs carr´ es du champ (d’apr` es J.-P. Roth) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 501, 16 p. Hirschowitz, Andr´ e Le groupe de Cremona d’apr` es Demazure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971/72, no 413, 16 p. Hirzebruch, Friedrich A Riemann–Roch theorem for di↵erentiable manifolds (d’apr` es Atiyah et Hirzebruch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The topology of normal singularities of an algebraic surface (d’apr` es Mumford) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Singularities and exotic spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Hilbert modular group, resolution of the singularities at the cusps and related problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1958/59, no 177, 21 p. 1962/63, no 250, 9 p. 1966/67, no 314, 20 p. 1970/71, no 396, 14 p.

Hitchin, Nigel J. The Yang–Mills equations and the topology of 4-manifolds (after Simon K. Donaldson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 606, 12 p. The Hyperk¨ ahler manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1991/92, no 748, 30 p. Host, Bernard Progressions arithm´ etiques dans les nombres premiers (d’apr` es B. Green et T. Tao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 944, 17 p. Houdayer, Cyril Invariant percolation and measured theory of nonamenable groups (after Gaboriau-Lyons, Ioana, Epstein) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1039, 33 p. Houzel, Christian Espaces analytiques rigides (d’apr` es R. Kiehl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966/67, no 327, 21 p. Hubert, Pascal et Grivaux, Julien Les exposants de Liapouno↵ du flot de Teichm¨ uller (d’apr` es Eskin-Kontsevich-Zorich) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012/13, no 1060, 31 p. `re, Vincent Humilie Un lemme de fermeture C 1 (d’apr` es Irie et Asaoka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1168, 38 p. Husemoller, Dale La d´ ecomposition des espaces des lacets et la torsion impaire des groupes d’homotopie (d’apr` es F. Cohen, J.C. Moore, J. Neisendorfer et P. Selick) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979/80, no 547, 19 p. Huybrechts, Daniel Projectivity of K¨ ahler manifolds – Kodaira’s problem (after C. Voisin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 954, 19 p. A Global Torelli theorem for hyperk¨ ahler manifolds (after M. Verbitsky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1040, 26 p. Illusie, Luc Contractibilit´ e du groupe lin´ eaire des espaces de Hilbert de dimension infinie (d’apr` es N. Kuiper) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Quillen sur la cohomologie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie cristalline (d’apr` es P. Berthelot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie de de Rham et cohomologie ´ etale p-adique (d’apr` es G. Faltings, J.-M. Fontaine et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1964/65, no 284, 9 p. 1971/72, no 405, 17 p. 1974/75, no 456, 8 p. 1989/90, no 726, 50 p.

Ingremeau, Maxime Volumes des ensembles nodaux de fonctions propres du laplacien (d’apr` es Logunov et Malinnikova) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1172, 32 p. Iooss, G´ erard Mod´ elisation de la transition vers la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 607, 19 p.

´ ASTERISQUE 430

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

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Itenberg, Ilia Amibes de vari´ et´ es alg´ ebriques et d´ enombrement de courbes (d’apr` es G. Mikhalkin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 921, 26 p. Jacobson, Nathan Le probl` eme de Kuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951/52, no 64, 10 p. Jacquet, Herv´ e M´ emoire de Langlands sur la dimension des espaces de formes automorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963/64, no 261, 15 p. La transformation de Radon sur un espace sym´ etrique (d’apr` es S. Helgason) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964/65, no 285, 13 p. Jaffard, Paul Les corps quasi–alg´ ebriquement clos (d’apr` es S. Lang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952/53, no 70, 12 p. Anneaux d’ad` eles (d’apr` es Iwasawa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954/55, no 103, 11 p. Travaux de Krull sur les anneaux de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955/56, no 127, 9 p. Janko, Zvonimir On the finite simple groups (according to Aschbacher and Gorenstein) . . . 1976/77, no 502, 15 p. Jones, Vaughan Fusion en alg` ebres de von Neumann et groupes de lacets (d’apr` es A. Wassermann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994/95, no 800, 23 p. Julg, Pierre Travaux de N. Higson et G. Kasparov sur la conjecture de Baum–Connes 1997/98, no 841, 33 p. Kahane, Jean-Pierre S´ eries de Fourier al´ eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Beurling et Malliavin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alg` ebres tensorielles et analyse harmonique (d’apr` es N. Varopoulos) . . . . . Sommes partielles des s´ eries de Fourier (d’apr` es L. Carleson) . . . . . . . . . . . . Quotients de fonctions d´ efinies-n´ egatives (d’apr` es Beurling et Deny) . . . . .

1959/60, no 200, 10 p. 1961/62, no 225, 13 p. 1964/65, no 291, 10 p. 1965/66, no 310, 17 p. 1966/67, no 315, 12 p.

Kahn, Bruno La conjecture de Milnor (d’apr` es V. Voevodsky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996/97, no 834, 40 p. Formes quadratiques et cycles alg´ ebriques (d’apr` es Rost, Voevodsky, Vishik, Karpenko. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 941, 50 p. Kalai, Gil Designs exist! (after Peter Keevash) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1100, 24 p. Kaloujnine, L´ eo Sur la structure des p-groupes de Sylow des groupes sym´ etriques finis et de quelques g´ en´ eralisations infinies de ces groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948/49, no 5, 3 p. Kamnitzer, Joel Categorification of Lie algebras (d’apr` es Rouquier, Khovanov–Lauda. . . ) . 2012/13, no 1072, 22 p. Karcher, Hermann Report on M. Gromov’s almost flat manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 526, 15 p. Karoubi, Max Cobordisme et groupes formels (d’apr` es D. Quillen et T. Tom Dieck) . . . . 1971/72, no 408, 25 p. Kassel, Christian Le r´ esidu non commutatif (d’apr` es M. Wodzicki) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988/89, no 708, 31 p. L’ordre de Dehornoy sur les tresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 865, 22 p. Katz, Andr´ e Introduction aux quasicristaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997/98, no 838, 23 p. Katz, Nicholas M. Travaux de Dwork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971/72, no 409, 34 p. Travaux de Laumon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987/88, no 691, 28 p. Kazdan, Jerry L. Positive Energy in General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 593, 16 p. Kebekus, Stefan Boundedness results for singular Fano varieties, and applications to Cremona groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1157, 38 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

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1958/59, no 172, 10 p. 1960/61, no 208, 11 p. 1973/74, no 445, 20 p.

2019/21, no 1175, 19 p.

Kharlamov, Viatcheslav Vari´ et´ es de Fano r´ eelles (d’apr` es C. Viterbo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 872, 18 p. Khukhro, Anastasia Espaces et groupes non exacts admettant un plongement grossier dans un ˇ espace de Hilbert (d’apr` es Arzhantseva, Guentner, Osajda, Spakula) . . 2018/19, no 1154, 24 p. Kirillov, Alexandre et Delaroche, Claire Sur les relations entre l’espace dual d’un groupe et la structure de ses sous-groupes ferm´ es (d’apr` es D.A. Kajdan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967/68, no 343, 22 p. Klainerman, Sergiu Linear stability of black holes (following M. Dafermos and I. Rodnianski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009/10, no 1015, 43 p. ´ r, J´ Kolla anos Minimal models of algebraic threefolds : Mori’s program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988/89, no 712, 24 p. Kolmogorov, A. Dimension lin´ eaire des espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957/58, no 165, 1 p. Komorowski, Tomasz Brownian motion in a Poisson obstacle field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998/99, no 853, 20 p. Kontsevich, Maxim Mirror symmetry in dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994/95, no 801, 19 p. Product formulas for modular forms on O(2, n) (after R. Borcherds) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996/97, no 821, 16 p. Derived Grothendieck–Teichm¨ uller group and graph complexes (after T. Willwacher) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1126, 26 p. Koszul, Jean-Louis Alg` ebres de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie des espaces fibr´ es di↵´ erentiables et connexions . . . . . . . . . . . . . . . Relations d’´ equivalence sur les courbes alg´ ebriques ayant des points multiples (d’apr` es M. Rosenlicht) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les vari´ et´ es jacobiennes g´ en´ eralis´ ees (d’apr` es M. Rosenlicht) . . . . . . . . . . . . . Formes hermitiennes canoniques des espaces homog` enes complexes (d’apr` es Atiyah) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibr´ es vectoriels sur les courbes elliptiques (d’apr` es Atiyah) . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de B. Kostant sur les groupes de Lie semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . Th´ eor` emes de points fixes pour les groupes ´ el´ ementaires (d’apr` es Borel) . Travaux de J. Stallings sur la d´ ecomposition des groupes en produits libres Travaux de S.S. Chern et J. Simons sur les classes caract´ eristiques . . . . . . Rigidit´ e forte des espaces riemanniens localement sym´ etriques (d’apr` es G.D. Mostow) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1949/50, no 31, 12 p. 1950/51, no 38, 7 p. 1952/53, no 75, 8 p. 1953/54, no 93, 7 p. 1954/55, no 108, 7 p. 1957/58, no 154, 10 p. 1959/60, no 191, 9 p. 1962/63, no 251, 6 p. 1968/69, no 356, 13 p. 1973/74, no 440, 20 p. 1974/75, no 468, 15 p.

Kotschick, Dieter The Seiberg–Witten invariants of symplectic four-manifolds (after C.H. Taubes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995/96, no 812, 26 p. Kowalski, Emmanuel ´ Ecarts entre nombres premiers successifs (d’apr` es Goldston, Pintz and Yıldırım. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 959, 34 p. Crible en expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1028, 44 p. Gaps between prime numbers and primes in arithmetic progressions (after Y. Zhang and J. Maynard) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1084, 40 p. Kraft, Hanspeter Challenging problems on affine n-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994/95, no 802, 21 p.

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1957/58, no 155, 9 p. 1959/60, no 201, 13 p. 1960/61, no 222, 10 p. 1961/62, no 237, 10 p. 1963/64, no 274, 11 p. 1964/65, no 292, 2 p. 1965/66, no 305, 8 p. 1976/77, no 503, 12 p.

Lannes, David Space time resonances (d’apr` es Germain, Masmoudi, Shatah) . . . . . . . . . . . . 2011/12, no 1053, 34 p. Lannes, Jean Un faux espace projectif r´ eel de dimension 4 (d’apr` es Sylvain E. Cappell et Julius L. Shaneson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 527, 21 p. La conjecture des immersions (d’apr` es R.L. Cohen, E.H. Brown, F.P. Peterson et al.) . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 594, 16 p. Th´ eorie homotopique des groupes de Lie (d’apr` es W.G. Dwyer et C.W. Wilkerson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993/94, no 776, 25 p. Lascar, Daniel Th´ eorie de la classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986/87, no 682, 9 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Latour, Fran¸cois Chirurgie non simplement connexe (d’apr` es C.T.C. Wall) . . . . . . . . . . . . . . . . 1970/71, no 397, 34 p. Double suspension d’une sph` ere d’homologie (d’apr` es R. Edwards) . . . . . . . 1977/78, no 515, 18 p. `s, Robert Latte Application de la th´ eorie des semi-groupes a ` l’int´ egration d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952/53, no 81, 9 p. Laudenbach, Fran¸cois Les 2-sph` eres de R3 vues par A. Hatcher et la conjecture de Smale : Di↵(S 3 ) ⇠ O(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983/84, no 629, 15 p. Orbites p´ eriodiques et courbes pseudo–holomorphes, application a ` la conjecture de Weinstein en dimension 3 (d’apr` es H. Hofer et al.) . . . . . 1993/94, no 786, 25 p. Laumon, G´ erard Faisceaux caract` eres (d’apr` es Lusztig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988/89, no 709, 30 p. La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d’apr` es Laurent La↵orgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 873, 59 p. Travaux de Frenkel, Gaitsgory et Vilonen sur la correspondance de Drinfeld-Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001/02, no 906, 18 p. Lawson jr., H. Blaine Surfaces minimales et la construction de Calabi–Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983/84, no 624, 15 p. Lazard, Daniel Primitives des fonctions ´ el´ ementaires (d’apr` es Risch et Davenport) . . . . . . 1983/84, no 630, 14 p. Lazard, Michel Groupes analytiques en caract´ eristique 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952/53, no 76, 8 p. Lois de groupes et analyseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954/55, no 109, 15 p. ˆ, D˜ Le ung Tr´ ang Faisceaux constructibles quasi–unipotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 581, 13 p. Lebeau, Gilles Interaction des singularit´ es pour les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles non lin´ eaires (d’apr` es J.-M. Bony et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984/85, no 642, 14 p. Lecuire, Cyril Mod` eles et laminations terminales (d’apr` es Minsky et Brock–Canary–Minsky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012/13, no 1068, 24 p. Ledoux, Michel In´ egalit´ es isop´ erim´ etriques en analyse et probabilit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992/93, no 773, 33 p. G´ eom´ etrie des espaces m´ etriques mesur´ es : les travaux de Lott, Villani, Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007/08, no 990, 23 p. Ledrappier, Fran¸cois Mesures stationnaires sur les espaces homog` enes (d’apr` es Yves Benoist et Jean-Fran¸cois Quint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011/12, no 1058, 22 p. Le gall, Jean-Fran¸cois Exposants critiques pour le mouvement brownien et les marches al´ eatoires (d’apr` es Kenyon, Lawler et Werner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 866, 23 p. Le Maˆıtre, Fran¸cois La propri´ et´ e (T) pour les groupes polonais Roelcke-pr´ ecompacts (d’apr` es Ibarluc´ıa, s’appuyant sur des travaux de Ben Yaacov et Tsankov) . . . . . 2019/21, no 1180, 63 p. Lelong, Pierre Valeurs alg´ ebriques d’une application m´ eromorphe (d’apr` es E. Bombieri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1970/71, no 384, 17 p. Lemaire, Jean-Michel Le transfert dans les espaces fibr´ es (d’apr` es J. Becker et D. Gottlieb) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975/76, no 472, 15 p. Anneaux locaux et espaces de lacets ` a s´ eries de Poincar´ e irrationnelles (d’apr` es Anick, Roos, etc.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 570, 8 p. Lemaire, Luc Existence des applications harmoniques et courbure des vari´ et´ es . . . . . . . . . . 1979/80, no 553, 22 p.

´ ASTERISQUE 430

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

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Lenstra jr., Hendrik W. Primality testing algorithms (after Adleman, Rumely and Williams) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 576, 15 p. Le potier, Joseph Le probl` eme des modules locaux pour les espaces C-analytiques compacts (d’apr` es A. Douady et J. Hubbard) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973/74, no 449, 18 p. Fibr´ es vectoriels et cycles d’ordre fini sur une vari´ et´ e alg´ ebrique non compacte (d’apr` es M. Cornalba et P. Griffiths) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975/76, no 473, 16 p. Fibr´ es de Higgs et syst` emes locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1990/91, no 737, 48 p. Leray, Jean La r´ esolution des probl` emes de Cauchy et de Dirichlet au moyen du calcul symbolique et des projections orthogonales et obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950/51, no 48, 11 p. R´ esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958/59, no 183, 2 p. Le probl` eme de Cauchy dans le cas analytique lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959/60, no 202, 11 p. Lerner, Nicolas Principe d’incertitude et microlocalisation (d’apr` es C. Fe↵erman et D.H. Phong) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986/87, no 669, 11 p. The verification of the Nirenberg-Treves conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 960, 25 p. Lichnerowicz, Andr´ e Vari´ et´ es localement k¨ ahl´ eriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951/52, no 60, 17 p. Lions, Jacques–Louis Les travaux de Deny en th´ eorie du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probl` emes aux limites relatifs a ` des ´ equations de type elliptique . . . . . . . . . . . Espaces de Beppo Levi et quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equations de Navier–Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sur les probl` emes d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sur les probl` emes unilat´ eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1951/52, no 52, 9 p. 1954/55, no 110, 13 p. 1954/55, no 117, 13 p. 1958/59, no 184, 16 p. 1959/60, no 196, 13 p. 1968/69, no 350, 23 p.

Littelmann, Peter Bases canoniques et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997/98, no 847, 20 p. Loday, Jean-Louis Homotopie des espaces de concordances (d’apr` es F. Waldhausen) . . . . . . . . 1977/78, no 516, 19 p. Excision en K-th´ eorie alg´ ebrique (d’apr` es A. Suslin et M. Wodzicki) . . . . . 1991/92, no 752, 21 p. La renaissance des op´ erades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994/95, no 792, 28 p. Loeser, Fran¸cois D´ eformations de courbes planes (d’apr` es Severi et Harris) . . . . . . . . . . . . . . . . Polytopes secondaires et discriminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exposants P -adiques et th´ eor` emes d’indice pour les ´ equations di↵´ erentielles p-adiques (d’apr` es G. Christol et Z. Mebkhout) . . . . . . . . . . Cobordisme des vari´ et´ es alg´ ebriques (d’apr` es M. Levine et F. Morel) . . . . .

1986/87, no 679, 19 p. 1990/91, no 742, 34 p. 1996/97, no 822, 25 p. 2001/02, no 901, 26 p.

Looijenga, Eduard Intersection theory on Deligne-Mumford compactifications (after Witten and Kontsevich) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992/93, no 768, 26 p. Motivic measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 874, 31 p. Ma, Xiaonan Geometric hypoelliptic Laplacian and orbital integrals (after Bismut, Lebeau and Shen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1130, 54 p. Macdonald, Ian G. Affine Lie algebras and modular forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 577, 19 p. Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994/95, no 797, 19 p. Macpherson, Robert The combinatorial formula of Gabrielov, Gelfand and Losik for the first Pontrjagin class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 497, 20 p. Maillot, Sylvain Vari´ et´ es hyperboliques de petit volume (d’apr` es D. Gabai, R. Meyerho↵, P. Milley. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 1011, 13 p. Conjecture de Hilbert-Smith en dimension 3 (d’apr` es J. Pardon) . . . . . . . . . 2015/16, no 1106, 11 p.

´ E ´ MATHEMATIQUE ´ SOCIET DE FRANCE 2021

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Malgrange, Bernard ´ Equations de Sturm–Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions moyenne–p´ eriodiques (d’apr` es J.-P. Kahane) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vari´ et´ es analytiques r´ eelles (d’apr` es F. Bruhat, H. Cartan et B. Malgrange) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th´ eor` eme de Frobenius complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unicit´ e du probl` eme de Cauchy (d’apr` es A.P. Calder´ on) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Division des distributions (d’apr` es Lojasiewicz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equations di↵´ erentielles sans solutions (d’apr` es H¨ ormander) . . . . . . . . . . . . . Syst` emes di↵´ erentiels a ` coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probl` emes aux limites elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Majorations a priori et d 00 -cohomologie (d’apr` es H¨ ormander) . . . . . . . . . . . . Th´ eorie analytique des ´ equations di↵´ erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Op´ erateurs de Fourier (d’apr` es H¨ ormander et Maslov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’involutivit´ e des caract´ eristiques des syst` emes di↵´ erentiels et microdi↵´ erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Travaux d’Ecalle et de Martinet–Ramis sur les syst` emes dynamiques . . . . . Transformation de Fourier g´ eom´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1951/52, no 65, 11 p. 1953/54, no 97, 7 p. 1956/57, no 150, 12 p. 1957/58, no 166, 7 p. 1958/59, no 178, 11 p. 1959/60, no 203, 5 p. 1960/61, no 213, 7 p. 1962/63, no 246, 11 p. 1963/64, no 262, 9 p. 1963/64, no 275, 6 p. 1966/67, no 329, 13 p. 1971/72, no 411, 20 p. 1977/781, no 522, 13 p. 1981/82, no 582, 15 p. 1987/88, no 692, 18 p.

Malliavin, Paul Calcul symbolique dans quelques alg` ebres de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959/60, no 197, 9 p. Travaux de H. Skoda sur la classe de Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 504, 17 p. Malle, Gunter The proof of Ore’s conjecture (after Ellers–Gordeev and Liebeck–O’Brien–Shalev–Tiep) . . . . . . . . . . . . . . 2012/13, no 1069, 23 p. Maltsiniotis, Georges Le th´ eor` eme de Brill–Noether (d’apr` es P. Griffiths, J. Harris, G. Kempf, S. Kleiman et D. Laksov) . 1980/81, no 571, 19 p. Manin, Yuri I. Classical computing, quantum computing and Shor’s factoring algorithm . 1998/99, no 862, 30 p. Margerin, Christophe Fibr´ es stables et m´ etriques d’Hermite–Einstein (d’apr` es S.K. Donaldson, K.K. Uhlenbeck, S.T. Yau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986/87, no 683, 21 p. G´ eom´ etrie conforme en dimension 4 : ce que l’analyse nous apprend . . . . . 2004/05, no 950, 50 p. Marin, Alexis G´ eom´ etrie des polynˆ omes, coˆ ut global moyen de la m´ ethode de Newton (d’apr` es M. Shub et S. Smale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986/87, no 670, 18 p. Un nouvel invariant pour les sph` eres d’homologie de dimension trois (d’apr` es Casson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987/88, no 693, 14 p. Marmi, Stefano Chaotic behaviour in the solar system (following J. Laskar) . . . . . . . . . . . . . . . 1998/99, no 854, 23 p. Mars, J.G.M. Les nombres de Tamagawa de groupes semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968/69, no 351, 16 p. Martineau, Andr´ e Les hyperfonctions de M. Sato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1960/61, no 214, 13 p. Th´ eor` emes sur le prolongement analytique du type “Edge of the wedge theorem” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967/68, no 340, 17 p. Martinet, Jacques Un contre–exemple a ` la conjecture d’E. Noether (d’apr` es R. Swan) . . . . . . . 1969/70, no 372, 10 p. Bases normales et constante de l’´ equation fonctionnelle des fonctions L d’Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973/74, no 450, 22 p. Martinet, Jean Normalisation des champs de vecteurs holomorphes (d’apr` es A.D. Brjuno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 564, 16 p. Massot, Patrick Flexibilit´ e en g´ eom´ etrie de contact en grande dimension (d’apr` es Borman, Eliashberg et Murphy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1131, 30 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Mathieu, Olivier Bases des repr´ esentations des groupes simples complexes (d’apr` es Kashiwara, Lusztig, Ringel et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equations de Knizhnik-Zamolodchikov et th´ eorie des repr´ esentations . . . . . Le mod` ele des chemins (d’apr` es P. Littelmann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classification des alg` ebres de Lie simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

551

1990/91, no 743, 22 p. 1993/94, no 777, 21 p. 1994/95, no 798, 16 p. 1998/99, no 858, 42 p.

Matsushima, Yˆ oso Pseudo–groupes de Lie transitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954/55, no 118, 14 p. Maurey, Bernard Sous-espaces `p des espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 608, 17 p. In´ egalit´ e de Brunn–Minkowski–Lusternik, et autres in´ egalit´ es g´ eom´ etriques et fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003/04, no 928, 19 p. Mautner, Friedrich I. Th´ eorie des id´ eaux dans certaines alg` ebres d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958/59, no 179, 6 p. Mazur, Barry Courbes elliptiques et symboles modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971/72, no 414, 18 p. Mazur, Barry et Serre, Jean-Pierre Points rationnels des courbes modulaires X0 (N ) (d’apr` es (7) et (9)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974/75, no 469, 18 p. Mc aloon, Kenneth Formes combinatoires du Th´ eor` eme d’Incompl´ etude (d’apr` es J. Paris et d’autres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977/78, no 521, 14 p. McKean, Henry P. et van Moerbeke, Pierre Sur le spectre de quelques op´ erateurs et les vari´ et´ es de Jacobi . . . . . . . . . . . . . 1975/76, no 474, 15 p. ´la, Jean-Fran¸cois Me Le calcul sur les caract` eres de l’alg` ebre M (G) et le probl` eme “µ ⇤ L1 ferm´ e ?” (d’apr` es les travaux de B. Host et F. Parreau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 534, 19 p. Merkurjev, Alexander S. Essential dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1101, 26 p. Merle, Michel Vari´ et´ es polaires, stratifications de Whitney et classes de Chern des espaces analytiques complexes (d’apr` es Lˆ e–Teissier) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 600, 14 p. de Mesmay, Arnaud Nœuds, mouvements de Reidemeister et algorithmes (d’apr` es Lackenby) . 2016/2017, no 1121, 24 p. Messing, William Travaux de Zink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 964, 24 p. ´tivier, Guy Me ´ Equations aux d´ eriv´ ees partielles sur les groupes de Lie nilpotents . . . . . . . . 1981/82, no 583, 25 p. Probl` emes mixtes non lin´ eaires et stabilit´ e des chocs multidimensionnels . 1986/87, no 671, 17 p. Exemples d’instabilit´ es pour des ´ equations d’ondes non lin´ eaires (d’apr` es G. Lebeau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 911, 13 p. Meyer, Paul–Andr´ e Le th´ eor` eme ergodique de Chac´ on–Ornstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th´ eor` eme de continuit´ e de P. L´ evy sur les espaces nucl´ eaires (d’apr` es X. Fernique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme maximal et martingales (d’apr` es D.L. Burkholder) . . . . . . . . . . . . . . . . D´ emonstration probabiliste d’une identit´ e de convolution (d’apr` es H. Kesten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th´ eor` eme de d´ erivation de Lebesgue pour une r´ esolvante (d’apr` es G. Mokobodzki (1969)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´ egularit´ e des processus gaussiens (d’apr` es X. Fernique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul stochastique non commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Progr` es r´ ecents en calcul stochastique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1964/65, no 293, 10 p. 1965/66, no 311, 14 p. 1967/68, no 334, 12 p. 1968/69, no 361, 15 p. 1972/73, no 422, 10 p. 1974/75, no 470, 11 p. 1986/87, no 672, 12 p. 1992/93, no 761, 13 p.

Meyer, Yves Probl` emes de l’unicit´ e, de la synth` ese et des isomorphismes en analyse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967/68, no 341, 9 p. Les nouvelles int´ egrales singuli` eres de Calder´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 528, 9 p.

´ E ´ MATHEMATIQUE ´ SOCIET DE FRANCE 2021

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

R´ egularit´ e des solutions des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles non lin´ eaires (d’apr` es J.-M. Bony) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979/80, no 560, 9 p. Principe d’incertitude, bases hilbertiennes et alg` ebres d’op´ erateurs . . . . . . . . 1985/86, no 662, 15 p. La conjecture de Kato (d’apr` es Pascal Auscher, Steve Hofmann, Michael Lacey, John Lewis, Alan McIntosh et Philippe Tchamitchian) . . . . . . . . . 2001/02, no 902, 14 p. Michel, Philippe Progr` es r´ ecents du crible et applications (d’apr` es Duke, Fouvry, Friedlander, Iwaniec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997/98, no 842, 25 p. R´ epartition des z´ eros des fonctions L et matrices al´ eatoires . . . . . . . . . . . . . . . 2000/01, no 887, 37 p. Migliorini, Luca homfly polynomials from the Hilbert schemes of a planar curve (after D. Maulik, A. Oblomkov, V. Shende. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1160, 35 p. Miller, Haynes Kervaire Invariant One (after M.A. Hill, M.J. Hopkins, and D.C. Ravenel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1029, 30 p. Miot, Evelyne Le flot binormal, l’´ equation de Schr¨ odinger et les tourbillons filamentaires (d’apr` es Valeria Banica et Luis Vega) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1118, 25 p. Mironescu, Petru Le d´ eterminant jacobien (d’apr` es Brezis et Nguyen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1041, 19 p. Moeglin, Colette Le spectre discret des groupes classiques (d’apr` es J. Arthur) . . . . . . . . . . . . . . 2012/13, no 1070, 23 p. Mokobodzki, Gabriel Structure des cˆ ones de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969/70, no 377, 14 p. Morain, Fran¸cois La primalit´ e en temps polynomial (d’apr` es Adleman, Huang ; Agrawal, Kayal, Saxena) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 917, 26 p. Morel, Jean-Michel La conjecture de Mumford–Shah en segmentation d’images . . . . . . . . . . . . . . . . 1995/96, no 813, 22 p. Morel, Sophie Construction de repr´ esentations galoisiennes de torsion (d’apr` es Peter Scholze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1102, 25 p. Moret–Bailly, Laurent Vari´ et´ es stablement rationnelles non–rationnelles (d’apr` es Beauville, Colliot–Th´ el` ene, Sansuc et Swinnerton–Dyer) . . . . . 1984/85, no 643, 14 p. Morgan, John W. The rational homotopy of smooth, complex projective varieties (following Deligne, Griffiths, Morgan and Sullivan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975/76, no 475, 12 p. Actions de groupes finis sur S 3 : la conjecture de P.A. Smith (d’apr` es Thurston et Meeks–Yau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 578, 13 p. Morin, Bernard Un contre–exemple de Milnor ` a la Hauptvermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1961/62, no 226, 23 p. Champs de vecteurs sur les sph` eres (d’apr` es J.F. Adams) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1961/62, no 233, 27 p. Morlet, Claude Microfibr´ es et structures di↵´ erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963/64, no 263, 11 p. Hauptvermutung et triangulation des vari´ et´ es (d’apr` es Kirby, Siebenmann et aussi Lees, Wall, etc.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968/69, no 362, 18 p. Morrow, Matthew La courbe de Fargues–Fontaine et les diamants (d’apr` es Fargues–Fontaine et Scholze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1150, 37 p. Mouhot, Cl´ ement Stabilit´ e orbitale pour le syst` eme de Vlasov-Poisson gravitationnel . . . . . . . . 2011/12, no 1044, 48 p. Moulis, Nicole Vari´ et´ es de dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969/70, no 378, 15 p. Orbites p´ eriodiques des syst` emes hamiltoniens autonomes (d’apr` es Clarke, Ekeland–Lasry, Moser, Rabinowitz et Weinstein) . . . . 1979/80, no 552, 18 p.

´ ASTERISQUE 430

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

553

Moussu, Robert Le probl` eme de la finitude du nombre de cycles limites (d’apr` es R. Bamon et Yu S. Il’Yasenko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985/86, no 655, 13 p. ¨ ller, Werner Mu The eta invariant (some recent developments) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993/94, no 787, 29 p. Murre, J.P. Representation of unramified functors. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964/65, no 294, 19 p. Nachbin, Leopoldo R´ egularit´ e des solutions des ´ equations di↵´ erentielles elliptiques (d’apr` es Moser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1962/63, no 258, 11 p. Naor, Assaf Sparse quadratic forms and their geometric applications (following Batson, Spielman and Srivastava) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1033, 28 p. Naud, Fr´ ed´ eric Bornes de Weyl fractales et r´ esonances (d’apr` es Nonnenmacher-Sj¨ ostrand-Zworski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1107, 24 p. ´ron, Andr´ Ne e L’arithm´ etique sur les vari´ et´ es alg´ ebriques (d’apr` es A. Weil) . . . . . . . . . . . . . Le Lemme d’Enriques–Severi (d’apr` es O. Zariski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vari´ et´ es ab´ eliennes (d’apr` es A. Weil (en introduction ` a l’expos´ e no 106)) Mod` eles p-minimaux des vari´ et´ es ab´ eliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1951/52, no 66, 7 p. 1953/54, no 94, 9 p. 1954/55, no 104, 7 p. 1961/62, no 227, 16 p.

Nomizu, Katsumi Quelques r´ esultats en g´ eom´ etrie di↵´ erentielle des espaces homog` enes . . . . . 1953/54, no 98, 8 p. Noot, Rutger Correspondances de Hecke, action de Galois et la conjecture d’Andr´ e–Oort (d’apr` es Edixhoven et Yafaev) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 942, 32 p. Norguet, Fran¸cois Probl` eme de Levi et plongement des vari´ et´ es analytiques r´ eelles (d’apr` es H. Grauert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958/59, no 173, 21 p. Th´ eor` emes de finitude pour la cohomologie des espaces complexes (d’apr` es A. Andreotti et H. Grauert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1961/62, no 234, 15 p. Oancea, Alexandru Invariants de Welschinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1036, 30 p. ´, Joseph Oesterle Travaux de Ferrero et Washington sur le nombre de classes d’id´ eaux des corps cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Courbes sur une vari´ et´ e ab´ elienne (d’apr` es M. Raynaud) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres de classes des corps quadratiques imaginaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D´ emonstration de la conjecture de Bieberbach (d’apr` es L. de Branges) . . . D´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham (d’apr` es Deligne et Illusie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nouvelles approches du “th´ eor` eme” de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Empilements de sph` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polylogarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Wiles (et Taylor. . . ), partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantification formelle des vari´ et´ es de Poisson (d’apr` es Maxim Kontsevich) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densit´ e maximale des empilements de sph` eres en dimension 3 (d’apr` es Thomas C. Hales et Samuel P. Ferguson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dessins d’enfants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densit´ e maximale des empilements de sph` eres en dimensions 8 et 24 (d’apr` es Maryna S. Viazovska et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1978/79, no 535, 13 p. 1983/84, no 625, 12 p. 1983/84, no 631, 15 p. 1984/85, no 649, 14 p. 1986/87, no 673, 17 p. 1987/88, no 694, 22 p. 1989/90, no 727, 23 p. 1992/93, no 762, 19 p. 1994/95, no 804, 23 p. 1997/98, no 843, 19 p. 1998/99, no 863, 9 p. 2001/02, no 907, 22 p. 2016/17, no 1133, 22 p.

Oliver, Bob La classification des groupes p-compacts (d’apr` es Andersen, Grodal, Møller et Viruel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009/10, no 1020, 17 p. Pajot, Herv´ e Capacit´ e analytique et le probl` eme de Painlev´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003/04, no 936, 28 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

`re, Robert Pallu de la Barrie L’existence de sous-espaces stables (d’apr` es J. Werner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953/54, no 85, 8 p. Pandharipande, Rahul Rational curves on hypersurfaces (after A. Givental) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997/98, no 848, 34 p. Pansu, Pierre E↵ondrement des vari´ et´ es riemanniennes (d’apr` es J. Cheeger et M. Gromov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le flot g´ eod´ esique des vari´ et´ es riemanniennes ` a courbure n´ egative . . . . . . . . Sous-groupes discrets des groupes de Lie : rigidit´ e, arithm´ eticit´ e .......... Volume, courbure et entropie (d’apr` es G. Besson, G. Courtois et S. Gallot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Difficult´ e d’approximation (d’apr` es Khot, Kindler, Mossel, O’Donnell, . . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1983/84, no 618, 20 p. 1990/91, no 738, 30 p. 1993/94, no 778, 37 p. 1996/97, no 823, 21 p. 2011/12, no 1045, 38 p.

Pastur, Leonid Eigenvalue distribution of random operators and matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 1991/92, no 758, 17 p. Paulin, Fr´ ed´ eric Actions de groupes sur les arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995/96, no 808, 41 p. Sur la th´ eorie ´ el´ ementaire des groupes libres (d’apr` es Sela) . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 922, 38 p. Sur les automorphismes de groupes libres et de groupes de surface . . . . . . . . 2009/10, no 1023, 31 p. Pauly, Christian La dualit´ e´ etrange (d’apr` es P. Belkale, A. Marian et D. Oprea) . . . . . . . . . . 2007/08, no 994, 15 p. ˘ un, Mihai Pa Courants d’Ahlfors et localisation des courbes enti` eres (d’apr` es Julien Duval) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007/08, no 991, 17 p. Techniques de construction de di↵´ erentielles holomorphes et hyperbolicit´ e (d’apr` es J.-P. Demailly, S. Diverio, J. Merker, E. Rousseau, Y.-T. Siu. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012/13, no 1061, 36 p. Positivit´ e des images directes et applications (d’apr` es Bo Berndtsson) . . . 2016/17, no 1122, 37 p. Pellarin, Federico Aspects de l’ind´ ependance alg´ ebrique en caract´ eristique non nulle (d’apr` es Anderson, Brownawell, Denis, Papanikolas, Thakur, Yu,. . . ) . . . . . . . . . . 2006/07, no 973, 34 p. Pereira, Jorge Vit´ orio Algebraization of codimension one Webs (after Tr´ epreau, H´ enaut, Pirio, Robert, . . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006/07, no 974, 25 p. ´rez–Marco, Ricardo Pe Solution compl` ete au probl` eme de Siegel de lin´ earisation d’une application holomorphe au voisinage d’un point fixe (d’apr` es J.-C. Yoccoz) . . . . . . . . 1991/92, no 753, 38 p. KAM techniques in PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001/02, no 908, 11 p. Perrin–Riou, Bernadette Travaux de Kolyvagin et Rubin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989/90, no 717, 38 p. Peters, Chris Algebraic Fermi curves (after Gieseker, Trubowitz and Kn¨ orrer) . . . . . . . . . 1989/90, no 723, 20 p. Peyre, Emmanuel Points de hauteur born´ ee et g´ eom´ etrie des vari´ et´ es alg´ ebriques (d’apr` es Y. Manin et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000/01, no 891, 22 p. Obstructions au principe de Hasse et a ` l’approximation faible . . . . . . . . . . . . . 2003/04, no 931, 29 p. Progr` es en irrationalit´ e (d’apr` es C. Voisin, J.-L. Colliot-Th´ el` ene, B. Hassett, A. Kresch, A. Pirutka, B. Totaro, Y. Tschinkel et al.) . . . . 2016/17, no 1123, 25 p. Pham, Fr´ ed´ eric ´ Introduction ` a la r´ esurgence quantique (d’apr` es Ecalle et Voros) . . . . . . . . . . 1985/86, no 656, 8 p. Pierce, Lillian B. The Vinogradov Mean Value Theorem (after Wooley, and Bourgain, Demeter and Guth) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1134, 80 p. Pirashvili, Teimuraz Polynomial functors over finite fields (after Franjou, Friedlander, Henn, Lannes, Schwartz, Suslin) . . . . . . . . . 1999/2000, no 877, 20 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

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Pisier, Gilles De nouveaux espaces de Banach sans la propri´ et´ e d’approximation (d’apr` es A. Szankowski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 542, 16 p. Espaces d’op´ erateurs : une nouvelle dualit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995/96, no 814, 30 p. Pisot, Charles D´ emonstration ´ el´ ementaire du th´ eor` eme des nombres premiers (d’apr` es Selberg et Erd vos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949/50, no 20, 5 p. Planchon, Fabrice Existence globale et scattering pour les solutions de masse finie de l’´ equation de Schr¨ odinger cubique en dimension deux (d’apr` es Benjamin Dodson, Rowan Killip, Terence Tao, Monica Vi¸san et Xiaoyi Zhang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1042, 22 p. ´naru, Valentin Poe Extension des immersions en codimension 1 (d’apr` es S. Blank) . . . . . . . . . . Travaux de J. Cerf (isotopie et pseudo–isotopie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th´ eor` eme de s-cobordisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Thurston sur les di↵´ eomorphismes des surfaces et l’espace de Teichm¨ uller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1967/68, no 342, 33 p. 1969/70, no 373, 22 p. 1970/71, no 392, 23 p. 1978/79, no 529, 14 p.

Poitou, Georges Solution du probl` eme du dixi` eme discriminant (d’apr` es Stark) . . . . . . . . . . . . 1967/68, no 335, 8 p. Minorations de discriminants (d’apr` es A.M. Odlyzko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975/76, no 479, 18 p. Poizat, Bruno Amalgames de Hrushovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007/08, no 995, 7 p. Poonen, Bjorn Average rank of elliptic curves (after Manjul Bhargava and Arul Shankar) 2011/12, no 1049, 18 p. Pourcin, Genevi` eve Fibres holomorphes dont la base et la fibre sont des espaces de Stein . . . . . 1977/78, no 517, 15 p. Powell, Geo↵rey The Mumford conjecture (after Madsen and Weiss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 945, 33 p. Pozzetti, Beatrice Higher rank Teichm¨ uller theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1159, 28 p. Pravda-Starov, Karel Estimations de r´ esolvante et localisation du spectre pour certaines classes d’op´ erateurs pseudo-di↵´ erentiels semi-classiques non autoadjoints (d’apr` es Dencker, Sj¨ ostrand et Zworski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1169, 37 p. Procesi, Claudio On the n!-conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001/02, no 898, 13 p. Puig, Lluis La classification des groupes finis simples : bref aper¸cu et quelques cons´ equences internes (expos´ e´ ecrit et pr´ epar´ e avec la collaboration de Michel Brou´ e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 584, 28 p. Puschnigg, Michael The Baum-Connes conjecture with coefficients for word-hyperbolic groups (after Vincent La↵orgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012/13, no 1062, 33 p. Quint, Jean-Fran¸cois Convexes divisibles (d’apr` es Yves Benoist) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 999, 29 p. Rigidit´ e des SL2 (R)-orbites dans les espaces de modules de surfaces plates (d’apr` es Eskin, Mirzakhani et Mohammadi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1092, 56 p. Ra¨ıs, Mustapha Op´ erateurs di↵´ erentiels bi-invariants (d’apr` es M. Duflo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 498, 13 p. Ramis, Jean-Pierre Frobenius avec singularit´ es (d’apr` es B. Malgrange, J.F. Mattei et R. Moussu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977/78, no 523, 10 p. Randal-Williams, Oscar Homology of Hurwitz spaces and the Cohen–Lenstra heuristic for function fields (after Ellenberg, Venkatesh, and Westerland) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1164, 29 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

¨l, Pierre Raphae Concentration compacit´ ea ` la Kenig-Merle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011/12, no 1046, 26 p. Rapoport, Michael On the Newton stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001/02, no 903, 18 p. Raum, Sven La C⇤ -simplicit´ e (d’apr` es Kalantar–Kennedy, Breuillard–Kalantar–Kennedy–Ozawa, Kennedy et Haagerup) . . . . . . . . . 2018/19, no 1156, 28 p. Rauzy, G´ erard Points transcendants sur les vari´ et´ es de groupe (d’apr` es Lang) . . . . . . . . . . . 1963/64, no 276, 8 p. Ravenel, Douglas C. The nilpotence and periodicity theorems in stable homotopy theory . . . . . . . 1989/90, no 728, 30 p. Raynaud, Michel Caract´ eristique d’Euler–Poincar´ e d’un faisceau et cohomologie des ˇ vari´ et´ es ab´ eliennes (d’apr` es Safareviˇ c, Ogg et Grothendieck) . . . . . . . . . . . Familles de fibr´ es vectoriels sur une surface de Riemann (d’apr` es C.S. Seshadri, M.S. Narasimhan et D. Mumford) . . . . . . . . . . . . . Travaux r´ ecents de M. Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compactification du module des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construction analytique de courbes en g´ eom´ etrie non archim´ edienne (d’apr` es David Mumford) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faisceaux amples et tr` es amples (d’apr` es T. Matsusaka) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1964/65, no 286, 19 p. 1966/67, no 316, 16 p. 1968/69, no 363, 17 p. 1970/71, no 385, 15 p. 1972/73, no 427, 15 p. 1976/77, no 493, 13 p.

Reeb, Georges Propri´ et´ es des trajectoires de certains syst` emes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . 1949/50, no 21, 12 p. Sur les feuilletages analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959/60, no 192, 7 p. Reid, Miles La correspondance de McKay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 867, 20 p. ´my, Bertrand Re Covolume des groupes S-arithm´ etiques et faux plans projectifs (d’apr` es Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad–Yeung) . . . . . . . . . . . 2007/2008, no 984, 47 p. Groupes alg´ ebriques pseudo-r´ eductifs et applications (d’apr` es J. Tits et B. Conrad-O. Gabber–G. Prasad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009/10, no 1021, 42 p. Riche, Simon Groupes alg´ ebriques pseudo-r´ eductifs et applications (d’apr` es J. Tits et B. Conrad-O. Gabber–G. Prasad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1139, 37 p. Riedtmann, Christine Alg` ebres de type de repr´ esentation fini (d’apr` es Bongartz, Gabriel, Roiter et d’autres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984/85, no 650, 16 p. Rifford, Ludovic Singuli` eres minimisantes en g´ eom´ etrie sous-riemannienne (d’apr` es Hakavuori, Le Donne, Leonardi, Monti. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1113, 25 p. Riguet, Jacques Calcul di↵´ erentiel libre (d’apr` es Fox) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954/55, no 105, 7 p. Riou, Jo¨ el La conjecture de Bloch–Kato (d’apr` es M. Rost et V. Voevodsky) . . . . . . . . . . 2012/13, no 1073, 42 p. Risler, Jean-Jacques Complexit´ e et g´ eom´ etrie r´ eelle (d’apr` es A. Khovansky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984/85, no 637, 12 p. Construction d’hypersurfaces r´ eelles (d’apr` es Viro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992/93, no 763, 18 p. `re, Gabriel Rivie Dynamique de l’´ equation de Schr¨ odinger sur le disque (d’apr` es Anantharaman, L´ eautaud et Maci` a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1145, 36 p. `re, Tristan Rivie Ginzburg-Landau vortices : the static model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 868, 31 p. M´ ethodes de Min-Max et la Conjecture de Willmore (d’apr` es F.C. Marques et A.A. Neves) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1080, 39 p. Infinit´ e d’hypersurfaces minimales en basses dimensions (d’apr` es Fernando Cod´ a Marques, Andr´ e Neves et Antoine Song) . . . . . 2018/19, no 1165, 45 p.

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Robert, Alain Formes automorphes sur GL2 (travaux de H. Jacquet et R.P. Langlands) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971/72, no 415, 24 p. Robert, Didier Analyse semi-classique de l’e↵et tunnel (d’apr` es B. Hel↵er et J. Sj¨ ostrand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985/86, no 665, 25 p. Rodier, Fran¸cois Repr´ esentations de GL(n, k) o` u k est un corps p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 587, 18 p. Rodnianski, Igor The Wave Map Problem. Small data critical regularity (after T. Tao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 965, 20 p. Roginskaya, Maria et Grivaux, Sophie Espaces de Banach poss´ edant tr` es peu d’op´ erateurs (d’apr` es S. Argyros et R. Haydon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1099, 43 p. Roquejoffre, Jean-Michel Propri´ et´ es qualitatives des solutions des ´ equations de Hamilton-Jacobi (d’apr` es A. Fathi, A. Siconolfi, P. Bernard) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006/07, no 975, 24 p. Rosenberg, Harold Feuilletages sur des sph` eres (d’apr` es H.B. Lawson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un contre–exemple ` a la conjecture de Seifert (d’apr` es P. Schweitzer) . . . . Les di↵´ eomorphismes du cercle (d’apr` es M.R. Herman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Some recent developments in the theory of properly embedded minimal surfaces in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1970/71, no 393, 12 p. 1972/73, no 434, 13 p. 1975/76, no 476, 18 p. 1991/92, no 759, 73 p.

Rosso, Marc Repr´ esentations des groupes quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1990/91, no 744, 41 p. Rouquier, Rapha¨ el Cat´ egories d´ eriv´ ees et g´ eom´ etrie birationnelle (d’apr` es Bondal, Orlov, Bridgeland, Kawamata. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 946, 24 p. Roussarie, Robert Constructions de feuilletages (d’apr` es W. Thurston) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 499, 17 p. Rousset, Fr´ ed´ eric Syst` emes hyperboliques et viscosit´ e´ evanescente (d’apr` es S. Bianchini et A. Bressan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 918, 19 p. Solutions faibles de l’´ equation de Navier–Stokes des fluides compressibles (d’apr` es A. Vasseur et C. Yu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1135, 19 p. Ruelle, David Formalisme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975/76, no 480, 13 p. Ruyer, Dominique Extensions r´ esolubles des corps de nombres alg´ ebriques (d’apr` es Iwasawa) 1955/56, no 128, 10 p. Sabbagh, Gabriel Caract´ erisation alg´ ebrique des groupes de type fini ayant un probl` eme de mots r´ esoluble (th´ eor` eme de Boone-Higman, travaux de B.H. Neumann et Macintyre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974/75, no 457, 20 p. Sabbah, Claude Classes caract´ eristiques et th´ eor` emes d’indice : point de vue microlocal . . 1995/96, no 818, 29 p. Th´ eorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages (d’apr` es T. Mochizuki) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011/12, no 1050, 37 p. Sadourny, Robert Quelques probl` emes de dynamique des fluides g´ eophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . 1982/83, no 614, 13 p. Saint-Raymond, Laure Des points vortex aux ´ equations de Navier-Stokes (d’apr` es P.-E. Jabin et Z. Wang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1143, 18 p. Samuel, Pierre La th´ eorie des correspondances birationnelles selon Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . 1948/49, no 6, 5 p. Anneaux locaux ; introduction ` a la g´ eom´ etrie alg´ ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949/50, no 22, 5 p. Th´ eorie du corps de classes local selon G.P. Hoschschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950/51, no 42, 5 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Sections hyperplanes des vari´ et´ es normales (d’apr` es A. Seidenberg) . . . . . . Vari´ et´ e de Picard et groupe de Severi (d’apr` es A. N´ eron) . . . . . . . . . . . . . . . . . Les fonctions holomorphes abstraites de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Zariski sur le 14 e probl` eme de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La jacobienne d’une courbe alg´ ebrique (d’apr` es W.L. Chow) . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Shimura et Taniyama sur la multiplication complexe . . . . . . . . . . Travaux de Rosenlicht sur les groupes alg´ ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Invariants arithm´ etiques des courbes de genre 2 (d’apr` es Igusa) . . . . . . . . . . Travaux d’Igusa sur les formes modulaires de genre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La conjecture de Mordell pour les corps de fonctions (d’apr` es Manin et Grauert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mod` eles Bool´ eiens et hypoth` ese du continu (r´ esultats de Paul Cohen par la m´ ethode de D. Scott et R. Solovay) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1950/51, no 49, 4 p. 1951/52, no 53, 5 p. 1953/54, no 86, 9 p. 1953/54, no 99, 6 p. 1954/55, no 106, 9 p. 1955/56, no 129, 8 p. 1956/57, no 145, 13 p. 1961/62, no 228, 13 p. 1963/64, no 267, 8 p. 1964/65, no 287, 19 p. 1966/67, no 317, 12 p.

Santambrogio, Filippo In´ egalit´ es isop´ erim´ etriques quantitatives via le transport optimal (d’apr` es A. Figalli, F. Maggi et A. Pratelli) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1034, 12 p. Flots de gradient dans les espaces m´ etriques et leurs applications (d’apr` es Ambrosio–Gigli–Savar´ e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012/13, no 1065, 24 p. Scanlon, Thomas A proof of the Andr´ e-Oort conjecture via mathematical logic (after Pila, Wilkie and Zannier) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1037, 16 p. Schiffmann, G´ erard Fronti` eres de Furstenberg et formules de Poisson sur un groupe de Lie semi-simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963/64, no 268, 11 p. Introduction aux travaux d’Harish–Chandra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966/67, no 323, 25 p. Un analogue du th´ eor` eme de Borel–Weil–Bott dans le cas non compact . . 1970/71, no 398, 14 p. Schiffmann, Olivier Vari´ et´ es carquois de Nakajima (d’apr` es Nakajima, Lusztig, Varagnolo, Vasserot, Crawley-Boevey. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006/07, no 976, 46 p. Schlenker, Jean-Marc La conjecture des sou✏ets (d’apr` es I. Sabitov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 912, 18 p. Vari´ et´ es lorentziennes plates vues comme limites de vari´ et´ es anti-de Sitter (d’apr` es Danciger, Gu´ eritaud et Kassel) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014/15, no 1103, 23 p. Schneider, Michael Holomorphic vector bundles on Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 530, 23 p. Schreiber, Jean-Pierre Nombres de Pisot et travaux d’Yves Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969/70, no 379, 11 p. Schwartz, Laurent ¨ Sur un m´ emoire de Petrowsky : “Uber das Cauchysche Problem f¨ ur ein System linearer partieller Di↵erentialgleichungen im Gebiete nichtanalytischen Funktionen” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Sur un deuxi` eme m´ emoire de Petrowsky : “Uber das Cauchysche Problem f¨ ur Systeme von partiellen Di↵erentialgleichungen” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sur un m´ emoire de K. Kodaira : “Harmonic fields in riemannian manifolds (generalized potential theory)”, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sur un m´ emoire de K. Kodaira : “Harmonic fields in riemannian manifolds (generalized potential theory)”, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les th´ eor` emes de Whitney sur les fonctions di↵´ erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . Les travaux de L. G˚ arding sur les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution ´ el´ ementaire d’une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles a ` coefficients constants (d’apr` es B. Malgrange) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction al´ eatoire du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-espaces hilbertiens et antinoyaux associ´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les travaux de Seeley sur les op´ erateurs int´ egraux singuliers sur une vari´ et´ e ..................................................................... Produits tensoriels gp et dp , applications p-sommantes, applications p-radonifiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ ASTERISQUE 430

1948/49, no 11, 5 p. 1948/499, no 15, 1 p. 1949/50, no 26, 19 p. 1949/50, no 32, 12 p. 1950/51, no 43, 9 p. 1951/52, no 67, 8 p. 1953/54, no 87, 6 p. 1957/58, no 161, 23 p. 1961/62, no 238, 18 p. 1963/64, no 269, 15 p. 1970/71, no 386, 26 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Schwartz, Lionel La conjecture de Sullivan (d’apr` es H. Miller) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984/85, no 638, 12 p. Schwartz, Marie-H´ el` ene Compte rendu de travaux de M. Heins sur diverses majorations de la croissance des fonctions analytiques ou sous-harmoniques . . . . . . . . . . . . . 1949/50, no 23, 5 p. Segal, Graeme Elliptic cohomology (after Landweber–Stong, Ochanine, Witten and others) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987/88, no 695, 15 p. Semenov–Tian–Shansky, Michael Quantum integrable systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993/94, no 788, 23 p. Sergeraert, Francis B (d’apr` es Mather et Thurston) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977/78, no 524, 16 p. Serfaty, Sylvia Lois de conservation et r´ egularit´ e par compensation pour les syst` emes antisym´ etriques et les surfaces de Willmore (d’apr` es Tristan Rivi` ere) . 2009/10, no 1024, 13 p. Serre, Jean-Pierre Extensions de groupes localement compacts (d’apr` es Iwasawa et Gleason) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes d’homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation des nouvelles op´ erations de Steenrod dans la th´ eorie des espaces fibr´ es (d’apr` es Borel et Serre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie et fonctions de variables complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie et arithm´ etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces fibr´ es alg´ ebriques (d’apr` es A. Weil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux d’Hirzebruch sur la topologie des vari´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faisceaux analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repr´ esentations lin´ eaires et espaces homog` enes k¨ ahl´ eriens des groupes de Lie compacts (d’apr` es Borel et Weil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th´ eor` eme de Brauer sur les caract` eres (d’apr` es Brauer, Roquette et Tate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th´ eorie du corps de classes pour les revˆ etements non ramifi´ es de vari´ et´ es alg´ ebriques (d’apr` es S. Lang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Crit` ere de rationalit´ e pour les surfaces alg´ ebriques (d’apr` es K. Kodaira) . Classes des corps cyclotomiques (d’apr` es K. Iwasawa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corps locaux et isog´ enies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rationalit´ e des fonctions zˆ eta des vari´ et´ es alg´ ebriques (d’apr` es Dwork) . . Revˆ etements ramifi´ es du plan projectif (d’apr` es Abhyankar) . . . . . . . . . . . . . . . Groupes finis ` a cohomologie p´ eriodique (d’apr` es R. Swan) . . . . . . . . . . . . . . . . Structure de certains pro-p-groupes (d’apr` es Demuˇskin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes analytiques p-adiques (d’apr` es M. Lazard) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes p-divisibles (d’apr` es J. Tate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes de congruence (d’apr` es H. Bass, H. Matsumoto, J. Mennicke, J. Milnor, C. Moore) . Travaux de Baker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p-torsion des courbes elliptiques (d’apr` es Y. Manin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie des groupes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Congruences et formes modulaires (d’apr` es H.P.F. Swinnerton–Dyer) . . . Valeurs propres des endomorphismes de Frobenius (d’apr` es P. Deligne) . . Repr´ esentations lin´ eaires des groupes finis “alg´ ebriques” (d’apr` es Deligne–Lusztig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Points rationnels des courbes modulaires X0 (N ) (d’apr` es Barry Mazur (3), (4), (5)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes de Galois sur Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Revˆ etements de courbes alg´ ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie galoisienne : progr` es et probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Wiles (et Taylor. . . ), partie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes finis des groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compl` ete r´ eductibilit´ e ........................................................ Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1949/50, no 27, 6 p. 1950/51, no 44, 6 p. 1951/52, 1952/53, 1952/53, 1952/53, 1953/54, 1953/54,

no 54, no 71, no 77, no 82, no 88, no 95,

10 p. 6 p. 7 p. 7 p. 6 p. 6 p.

1953/54, no 100, 8 p. 1954/55, no 111, 7 p. 1955/56, no 133, 9 p. 1956/57, no 146, 14 p. 1958/59, no 174, 11 p. 1958/59, no 185, 9 p. 1959/60, no 198, 11 p. 1959/60, no 204, 7 p. 1960/61, no 209, 12 p. 1962/63, no 252, 11 p. 1963/64, no 270, 10 p. 1966/67, no 318, 14 p. 1966/67, no 330, 17 p. 1969/70, no 368, 14 p. 1969/70, no 380, 14 p. 1970/71, no 399, 14 p. 1971/72, no 416, 20 p. 1973/74, no 446, 15 p. 1975/76, no 487, 18 p. 1977/78, no 511, 12 p. 1987/88, no 689, 13 p. 1991/92, no 749, 16 p. 1993/94, no 783, 29 p. 1994/95, no 803, 14 p. 1998/99, no 864, 16 p. 2003/04, no 932, 23 p. 2008/09, no 1000, 26 p.

´ E ´ MATHEMATIQUE ´ SOCIET DE FRANCE 2021

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Distribution asymptotique des valeurs propres des endomorphismes de Frobenius (d’apr` es Abel, Chebyshev, Robinson. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017/18, no 1146, 32 p. Serre, Jean-Pierre et Mazur, Barry Points rationnels des courbes modulaires X0 (N ) (d’apr` es (7) et (9)) . . . . . 1974/75, no 469, 18 p. Shapiro, Arnold Alg` ebres de Cli↵ord et p´ eriodicit´ e des groupes ⇡k (BO) (d’apr` es R. Bott et A. Shapiro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1960/61, no 215, 8 p. Shi, Zhan Probl` emes de recouvrement et points exceptionnels pour la marche al´ eatoire et le mouvement brownien (d’apr` es Dembo, Peres, Rosen et Zeitouni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004/05, no 951, 12 p. Shimura, Goro Fonctions automorphes et vari´ et´ es ab´ eliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957/58, no 167, 9 p. Sibony, Nessim Noyau de Bergman et applications biholomorphes dans des domaines strictement pseudo–convexes (d’apr` es C. Fe↵erman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974/75, no 463, 14 p. Siebenmann, Laurent L’invariance topologique du type simples d’homotopie (d’apr` es T. Chapman et R.D. Edwards) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972/73, no 428, 24 p. Amorces de la chirurgie en dimension quatre : un S 3 ⇥ R exotique (d’apr` es Andrew H. Casson et Michael H. Freedman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978/79, no 536, 25 p. La conjecture de Poincar´ e topologique en dimension 4 (d’apr` es M.H. Freedman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 588, 30 p. Sikorav, Jean-Claude Homologie associ´ ee ` a une fonctionnelle (d’apr` es A. Floer) . . . . . . . . . . . . . . . . 1990/91, no 733, 27 p. Construction de sous-vari´ et´ es symplectiques (d’apr` es S.K. Donaldson et D. Auroux) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997/98, no 844, 23 p. Siu, Yum-Tong Asymptotic Morse inequalities for analytic sheaf cohomology (according to J.-P. Demailly) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985/86, no 666, 15 p. ¨ strand, Johannes Sjo Asymptotique des r´ esonances pour des obstacles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989/90, no 724, 25 p. Skandalis, Georges Approche de la conjecture de Novikov par la cohomologie cyclique (d’apr` es A. Connes, M. Gromov et H. Moscovici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alg` ebres de von Neumann de groupes libres et probabilit´ es non commutatives (d’apr` es Voiculescu etc.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Progr` es r´ ecents sur la conjecture de Baum-Connes. Contribution de Vincent La↵orgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G´ eom´ etrie non commutative, op´ erateur de signature transverse et alg` ebres de Hopf (d’apr` es A. Connes et H. Moscovici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1990/91, no 739, 22 p. 1992/93, no 764, 16 p. 1999/2000, no 869, 31 p. 2000/01, no 892, 20 p.

Smale, Stephen Stability and generecity in dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969/70, no 374, 11 p. Smulevici, Jacques The bounded L2 curvature conjecture (after S. Klainerman, I. Rodnianski and J. Szeftel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1087, 40 p. Soergel, Wolfgang Conjectures de Lusztig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994/95, no 793, 11 p. Sorger, Christoph La formule de Verlinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994/95, no 794, 28 p. ´, Christophe Soule K2 et le groupe de Brauer (d’apr` es A.S. Merkurjev et A.A. Suslin) . . . . . . R´ egulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G´ eom´ etrie d’Arakelov des surfaces arithm´ etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classes caract´ eristiques secondaires des fibr´ es plats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Genres de Todd et valeurs aux entiers des d´ eriv´ ees de fonctions L . . . . . . . .

´ ASTERISQUE 430

1982/83, no 601, 15 p. 1984/85, no 644, 17 p. 1988/89, no 713, 17 p. 1995/96, no 819, 14 p. 2005/06, no 955, 24 p.

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

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Soundararajan, Kannan The Liouville function in short intervals (after Matom¨ aki and Radziwill) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1119, 27 p. ¨ hlich, J¨ Spencer, Thomas and Fro urg Some recent rigorous results in the theory of phase transitions and critical phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 586, 42 p. Springer, Tonny A. Caract` eres des groupes de Chevalley finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972/73, no 429, 24 p. Rel` evements de Brauer et repr´ esentations paraboliques de GLn (Fq ) (d’apr` es G. Lusztig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973/74, no 441, 25 p. Quelques applications de la cohomologie d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 589, 25 p. Stallings, John Coherence of 3-manifold fundamental groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975/76, no 481, 7 p. Starchenko, Sergei NIP, Keisler measures and combinatorics (after S. Shelah, H.J. Keisler, E. Hrushovski, Y. Peterzil, A. Pillay, P. Simon. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1114, 32 p. Steinberg, Robert Abstract homomorphisms of simple algebraic groups (after A. Borel and J. Tits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972/73, no 435, 20 p. Stern, Jacques Le probl` eme des cardinaux singuliers (d’apr` es R. B. Jensen et T. Silver) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 494, 14 p. Le probl` eme de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983/84, no 632, 22 p. Stipsicz, Andr´ as Manolescu’s work on the triangulation conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1163, 32 p. Stroh, Benoˆıt La param´ etrisation de Langlands globale sur les corps de fonctions (d’apr` es Vincent La↵orgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1110, 29 p. Sullivan, Dennis Travaux de Thurston sur les groupes quasi–fuchsiens et les vari´ et´ es hyperboliques de dimension 3 fibr´ ees sur S 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979/80, no 554, 19 p. Szamuely, Tam´ as Groupes de Galois de corps de type fini (d’apr` es Pop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 923, 29 p. Corps de classes des sch´ emas arithm´ etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 1006, 28 p. Sznitman, Alain–Sol Grandes d´ eviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986/87, no 680, 21 p. Szpiro, Lucien Travaux de Kempf, Kleiman, Laksov, sur les diviseurs exceptionnels . . . . . Cohomologie des ouverts de l’espace projectif sur un corps de caract´ eristique z´ ero (d’apr` es A. Ogus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La conjecture de Mordell (d’apr` es G. Faltings) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sur les solutions d’un syst` eme d’´ equations polynomiales sur une vari´ et´ e ab´ elienne (d’apr` es G. Faltings et P. Vojta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1971/72, no 417, 15 p. 1974/75, no 458, 16 p. 1983/84, no 619, 21 p. 1989/90, no 729, 18 p.

Talagrand, Michel Verres de spin et optimisation combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998/99, no 859, 31 p. Tamari, Dov Machines logiques et probl` emes de mots. I : Les machines de Turing . . . . . 1951/52, no 55, 12 p. Machines logiques et probl` emes de mots. II : Probl` emes de mots ind´ ecidables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951/52, no 61, 11 p. Tate, John W C-groups over p-adic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957/58, no 156, 13 p. On the conjectures of Birch and Swinnerton–Dyer and a geometric analog 1965/66, no 306, 26 p. Classes d’isog´ enie des vari´ et´ es ab´ eliennes sur un corps fini (d’apr` es T. Honda) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968/69, no 352, 16 p. Teissier, Bernard Th´ eor` emes de finitude en g´ eom´ etrie analytique (d’apr` es Heisuke Hironaka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973/74, no 451, 23 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Vari´ et´ es toriques et polytopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980/81, no 565, 14 p. R´ esultats r´ ecents d’alg` ebre commutative e↵ective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989/90, no 718, 25 p. R´ esultats r´ ecents sur l’approximation des morphismes en alg` ebre commutative (d’apr` es Andr´ e, Artin, Popescu et Spivakovsky) . . . . . . . . . . 1993/94, no 784, 24 p. Temam, Roger Approximation d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles par des m´ ethodes de d´ ecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969/70, no 381, 9 p. Terjanian, Guy ´ Equations diophantiennes p-adiques (d’apr` es J. Ax et S. Kochen) . . . . . . . . 1965/66, no 299, 13 p. ´ret, Marie The Transition de phase abrupte en percolation via des algorithmes randomis´ es (d’apr` es Duminil–Copin, Raoufi et Tassion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018/19, no 1162, 21 p. Tholozan, Nicolas Ph´ enom` enes de type Ratner dans les vari´ et´ es hyperboliques de volume infini (d’apr` es McMullen, Mohammadi, Oh, Benoist et al.) . . . . . . . . . . . . 2019/21, no 1173, 21 p. Thom, Ren´ e Les g´ eod´ esiques dans les vari´ et´ es a ` courbure n´ egative (d’apr` es Hopf ) . . . . . Sous-vari´ et´ es et classes d’homologie des vari´ et´ es di↵´ erentiables . . . . . . . . . . . Sur les vari´ et´ es–bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les singularit´ es des applications di↵´ erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La classification des immersions (d’apr` es Smale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Milnor sur le cobordisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Moser sur la stabilit´ e des mouvements p´ eriodiques . . . . . . . . . . . . Propri´ et´ es di↵´ erentielles locales des ensembles analytiques (d’apr` es H. Whitney) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1949/50, no 28, 11 p. 1952/53, no 78, 7 p. 1953/54, no 89, 8 p. 1955/56, no 134, 13 p. 1957/58, no 157, 11 p. 1958/59, no 180, 9 p. 1963/64, no 264, 13 p. 1964/65, no 281, 12 p.

Thompson, John G. Sylow 2-subgroups of simple groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967/68, no 345, 3 p. Thouvenot, Jean-Paul La d´ emonstration de Furstenberg du Th´ eor` eme de Szemer´ edi sur les progressions arithm´ etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977/78, no 518, 12 p. La convergence presque sˆ ure des moyennes ergodiques suivant certaines sous-suites d’entiers (d’apr` es Jean Bourgain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989/90, no 719, 21 p. Tits, Jacques Groupes semi-simples complexes et g´ eom´ etrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-alg` ebres des alg` ebres de Lie semi-simples (d’apr` es V. Morozov, A. Malˇ cev, E. Dynkin et F. Karpelevitch) . . . . . . . Les “formes r´ eelles” des groupes de type E6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les groupes simples de Suzuki et de Ree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Structures et groupes de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes finis simples sporadiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Margulis sur les sous-groupes discrets de groupes de Lie . . . . . . Groupes de Whitehead de groupes alg´ ebriques simples sur un corps (d’apr` es V.P. Platonov et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes ` a croissance polynomiale (d’apr` es M. Gromov et al.) . . . . . . . . . . . . Le monstre (d’apr` es R. Griess, R. Fischer et al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le module du “moonshine” (d’apr` es I. Frenkel, J. Lepowsky et A. Meurman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes associ´ es aux alg` ebres de Ka˘ c–Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨n, Bertrand Toe Probl` emes de modules formels (d’apr` es Drinfeld, Kontsevich, Hinich, Manetti, Pridham, Lurie. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1954/55, no 112, 11 p. 1954/55, no 119, 18 p. 1957/58, no 162, 15 p. 1960/61, no 210, 18 p. 1964/65, no 288, 15 p. 1969/70, no 375, 25 p. 1975/76, no 482, 17 p. 1976/77, no 505, 19 p. 1980/81, no 572, 13 p. 1983/84, no 620, 18 p. 1986/87, no 684, 19 p. 1988/89, no 700, 25 p.

2015/16, no 1111, 46 p.

Tognoli, Alberto Algebraic approximation of manifolds and spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979/80, no 548, 22 p. Torossian, Charles La conjecture de Kashiwara–Vergne (d’apr` es Alekseev et Meinrenken) . . . . 2006/07, no 980, 24 p. Totaro, Burt J. The ACC conjecture for log canonical thresholds (after de Fernex, Ein, Mustat¸a ˘, Koll´ ar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009/10, no 1025, 15 p.

´ ASTERISQUE 430

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Tougeron, Jean-Claude Stabilit´ e des applications di↵´ erentiables (d’apr` es J. Mather) . . . . . . . . . . . . . . ´preau, Jean-Marie Tre Syst` emes di↵´ erentiels a ` caract´ eristiques simples et structures r´ eelles-complexes (d’apr` es M.S. Baouendi et F. Tr` eves ; M. Sato, T. Kawa¨ı et M. Kashiwara) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . `ves, Fran¸cois Tre Th` ese d’H¨ ormander, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th` ese d’H¨ ormander, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1967/68, no 336, 16 p.

1981/82, no 595, 18 p. 1955/56, no 130, 10 p. 1955/56, no 135, 9 p.

Turaev, Vladimir G. Faithful linear representations of the braid groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 878, 21 p. Tzvetkov, Nikolay On the long time behavior of KdV type equations (after Martel–Merle) . . . 2003/04, no 933, 30 p. Vaes, Stefaan ´ Etats quasi–libres libres et facteurs de type III (d’apr` es D. Shlyakhtenko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003/04, no 937, 22 p. Rigidity results for Bernoulli actions and their von Neumann algebras (after Sorin Popa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 961, 58 p. Valette, Alain Graphes de Ramanujan et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996/97, no 829, 30 p. Nouvelles approches de la propri´ et´ e (T) de Kazhdan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002/03, no 913, 29 p. Le probl` eme de Kadison-Singer (d’apr` es A. Marcus, D. Spielman et N. Srivastava) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1088, 26 p. van den Dries, Lou Approximate Groups (according to Hrushovski and Breuillard, Green, Tao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013/14, no 1077, 35 p. van der Put, Marius Recent work on di↵erential Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997/98, no 849, 27 p. van de Ven, A. Some recent results on surfaces of general type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 500, 12 p. On the Enriques classification of algebraic surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976/77, no 506, 15 p. On the di↵erentiable structure of certain algebraic surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 1985/86, no 667, 14 p. van Dijk, Gerrit Harmonic analysis on reductive p-adic groups (after Harish–Chandra) . . . 1970/71, no 387, 18 p. van Moerbeke, Pierre Alg` ebres W et ´ equations non–lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997/98, no 839, 25 p. Random matrices and permutations, matrix integrals and integrable systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999/2000, no 879, 23 p. van Moerbeke, Pierre et Mckean, Henry P. Sur le spectre de quelques op´ erateurs et les vari´ et´ es de Jacobi . . . . . . . . . . . . . 1975/76, no 474, 15 p. Varopoulos, Nicholas T. Measure algebras of a locally compact abelian group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964/65, no 282, 10 p. Verdier, Jean-Louis Sur les int´ egrales attach´ ees aux formes automorphes (d’apr` es Shimura) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dualit´ e dans la cohomologie des espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . Ind´ ependance par rapport a ` ` des polynˆ omes caract´ eristiques des endomorphismes de Frobenius de la cohomologie `-adique (d’apr` es P. Deligne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th´ eor` eme de Riemann–Roch pour les vari´ et´ es alg´ ebriques ´ eventuellement singuli` eres (d’apr` es P. Baum, W. Fulton et R. Macpherson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equations di↵´ erentielles alg´ ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alg` ebres de Lie, syst` emes hamiltoniens, courbes alg´ ebriques (d’apr` es M. Adler et P. van Moerbeke) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les repr´ esentations des alg` ebres de Lie affines : applications a ` quelques probl` emes de physique (d’apr` es E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa) . . . . . . . . . . . . . . . . .

1960/61, no 216, 27 p. 1965/66, no 300, 13 p.

1972/73, no 423, 18 p.

1974/75, no 464, 17 p. 1977/78, no 512, 22 p. 1980/81, no 566, 10 p.

1981/82, no 596, 13 p.

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TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

Groupes quantiques (d’apr` es V.G. Drinfel’d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986/87, no 685, 15 p. Vergne, Mich` ele Sur les int´ egrales d’entrelacement de R.A. Kunze et E.M. Stein (d’apr` es G. Schi↵mann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969/70, no 369, 20 p. Quantification g´ eom´ etrique et r´ eduction symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000/01, no 888, 31 p. Viennot, G´ erard Probl` emes combinatoires pos´ es par la physique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983/84, no 626, 22 p. Villani, C´ edric Limites hydrodynamiques de l’´ equation de Boltzmann (d’apr` es C. Bardos, F. Golse, C.D. Levermore, P.-L. Lions, N. Masmoudi, L. Saint-Raymond) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000/01, no 893, 39 p. Paradoxe de Sche↵er-Shnirelman revu sous l’angle de l’int´ egration convexe (d’apr` es C. De Lellis et L. Sz´ ekelyhidi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008/09, no 1001, 34 p. In´ egalit´ es isop´ erim´ etriques dans les espaces m´ etriques mesur´ es (d’apr` es F. Cavalletti & A. Mondino) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016/17, no 1127, 50 p. Viterbo, Claude Capacit´ es symplectiques et applications (d’apr` es Ekeland–Hofer, Gromov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988/89, no 714, 18 p. Orbites p´ eriodiques dans le probl` eme des trois corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992/93, no 774, 17 p. Vogel, Pierre Invariants de Vassiliev des nœuds (d’apr` es D. Bar-Natan, M. Kontsevich et V.A. Vassiliev) . . . . . . . . . . . . . . 1992/93, no 769, 20 p. Les invariants r´ ecents des vari´ et´ es de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994/95, no 799, 26 p. Voisin, Claire G´ eom´ etrie des espaces de modules de courbes et de surfaces K3 (d’apr` es Gritsenko-Hulek-Sankaran, Farkas-Popa, Mukai, Verra. . . ) . . 2006/07, no 981, 22 p. Sections rationnelles de fibrations sur les surfaces et conjecture de Serre (d’apr` es de Jong, He et Starr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010/11, no 1038, 19 p. Voros, Andr´ e Probl` eme spectral de Sturm–Liouville : le cas de l’oscillateur quartique . . . 1982/83, no 602, 10 p. Waldschmidt, Michel Les travaux de G.V. Cudnovskii sur les nombres transcendants . . . . . . . . . . . 1975/76, no 488, 19 p. Sur la nature arithm´ etique des valeurs de fonctions modulaires . . . . . . . . . . . 1996/97, no 824, 36 p. Waldspurger, Jean-Loup Repr´ esentation m´ etaplectique et conjectures de Howe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986/87, no 674, 15 p. Cohomologie des espaces de formes automorphes (d’apr` es J. Franke) . . . . . 1995/96, no 809, 18 p. Weil, Andr´ e Th´ eor` emes fondamentaux de la th´ eorie des fonctions thˆ eta (d’apr` es des m´ emoires de Poincar´ e et Frobenius) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vari´ et´ e de Picard et vari´ et´ es jacobiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sur la th´ eorie du corps de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplication complexe des fonctions ab´ eliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sur le th´ eor` eme de Torelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modules des surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ad` eles et groupes alg´ ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un th´ eor` eme fondamental de Chern en g´ eom´ etrie riemannienne . . . . . . . . . . Fonction zˆ eta et distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S´ eries de Dirichlet et fonctions automorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La cyclotomie jadis et nagu` ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1948/49, no 16, 10 p. 1952/53, no 72, 8 p. 1952/53, no 83, 3 p. 1955/56, no 136, 7 p. 1956/57, no 151, 5 p. 1957/58, no 168, 7 p. 1958/59, no 186, 9 p. 1961/62, no 239, 13 p. 1965/66, no 312, 9 p. 1967/68, no 346, 6 p. 1973/74, no 452, 21 p.

Weinstein, Alan Deformation quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993/94, no 789, 21 p. Werner, Wendelin Analyticit´ e discr` ete du mod` ele d’Ising (d’apr` es Stanislav Smirnov) . . . . . . . 2010/11, no 1030, 17 p. Wilkie, Alex J. o-minimal structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007/08, no 985, 12 p. Williamson, Geordie The Hodge theory of the Decomposition Theorem (after M.A. de Cataldo and L. Migliorini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015/16, no 1115, 33 p.

´ ASTERISQUE 430

TABLE PAR NOMS D’AUTEURS

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Wilson, John S. Finite index subgroups and verbal subgroups in profinite groups . . . . . . . . . . . 2009/10, no 1026, 20 p. Wintenberger, Jean-Pierre La conjecture de modularit´ e de Serre : Le cas de conducteur 1 (d’apr` es C. Khare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005/06, no 956, 23 p. Wolf, Julia Arithmetic and polynomial progressions in the primes (after Gowers, Green, Tao and Ziegler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011/12, no 1054, 39 p. Yoccoz, Jean-Christophe Bifurcations de points fixes elliptiques (d’apr` es A. Chenciner) . . . . . . . . . . . . Non–accumulation de cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynˆ omes quadratiques et attracteur de H´ enon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux de Herman sur les tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensembles de Julia de mesure positive et disques de Siegel des polynˆ omes quadratiques (d’apr` es X. Bu↵ et A. Ch´ eritat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Echanges d’intervalles et surfaces de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1985/86, no 668, 22 p. 1987/88, no 690, 17 p. 1990/91, no 734, 23 p. 1991/92, no 754, 34 p. 2005/06, no 966, 17 p. 2007/08, no 996, 23 p.

Yor, Marc Introduction au calcul stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981/82, no 590, 18 p. Zagier, Don Ramanujan’s mock theta functions and their applications (after Zwegers and Ono–Bringmann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007/08, no 986, 22 p. Zambotti, Lorenzo L’´ equation de Kardar–Parisi–Zhang (d’apr` es Martin Hairer) . . . . . . . . . . . . . 2012/13, no 1066, 17 p. Zeller–Meier, Georges D´ erivations et automorphismes des alg` ebres d’op´ erateurs (d’apr` es R.V. Kadison et J.R. Ringrose) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966/67, no 324, 10 p. Zisman, Michel Travaux de Borel–Haefliger–Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1961/62, no 240, 9 p. Zuily, Claude Solutions en grand temps d’´ equations d’ondes non lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . 1993/94, no 779, 38 p. Zuk, Andrzej Groupes engendr´ es par les automates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006/07, no 971, 31 p.

´ E ´ MATHEMATIQUE ´ SOCIET DE FRANCE 2021

ASTÉRISQUE ���� ���. p E���� G����� & J���� M����� – Percolation on uniform quadrangulations and SLE6 on 8/3-Liouville quantum gravity ���. K. P������� & A. V�������� – Automorphic cohomology, motivic cohomology, and the adjoint !-function ���. B. D���������, J. M����� & S. S�������� – Liouville quantum gravity as a mating of trees ���. P. B����, O. C����� & E. S�������� – Lagrangian shadows and triangulated categories ���. T. B������� & M. H����� – Norms in motivic homotopy theory ���. B. B����, J. L���� & A. M����� – Revisiting the de Rham-Witt complex ���. K. A������ – Equivariant D-modules on rigid analytic spaces ���� ���. S�������� B�������, volume ����/����, Exposés ����–���� ���. J.H. B�������, B. H�����, S.S. K����, K. M������� P���, M. R������� & T. Y��� – Arithmetic divisors on orthogonal and unitary Shimura varieties ���. H. R�������� – Linear systems of wave equations on cosmological backgrounds with convergent asymptotics ���. V. G��������, O. G������� & B. W������� – Chiral differential operators via quantization of the holomorphic -model ���. R. B������–P������ – A local trace formula for the Gan-Gross-Prasad conjecture for unitary groups : the Archimedean case ���. J.D. A����, M. V�� L������, P.E. T���� & D.A. V����, J�. – Unitary representations of real reductive groups ���. S. C��������, R. K��������, C. M������ & S. S���� (���.) – Some aspects of the theory of dynamical systems : A tribute to Jean-Christophe Yoccoz, II ���. S. C��������, R. K��������, C. M������ & S. S���� (���.) – Some aspects of the theory of dynamical systems : A tribute to Jean-Christophe Yoccoz, I ���� ���. S�������� B�������, Volume ����/����, Exposés ����–���� ���. M. C������, R. L��� F�������� & D. M������� T����� – Regular Poisson manifolds of compact types ���. E. H��������� – Renormalization in quantum field theory (after R. Borcherds) ���. G. D���� – Local regularity properties of almost- and quasiminimal sets with a sliding boundary condition ���. P. B����� & J.-C. Y����� – Strong regularity ���. F. C������� & A. V�������� – A torsion Jacquet-Langlans correspondence ���. D. M����� & A. O������� – Quantum groups and quantum cohomology ���. S�������� B�������, Volume ����/����, Exposés ����–����

ASTÉRISQUE

���� ���. L. F������ & J.-M. F������� – Courbes et fibrés vectoriels en théorie de Hodge ?-adique (préface P. Colmez) ���. J.-F. B���, S. F�����, T. R����� & M. Z������ – Resonances for homoclinic trapped sets ���. O. M���� & J. S. M����� – Feynman-Kac formulas for the ultra-violet renormalized Nelson model ���. M. B����, T. K������� & R. M������� – Large Kam tori for perturbations of the defocusing NLS equation ���. H. B�� & W. W��� – A new approach to Kazhdan-Lustig theory of type B via quantum symmetric pairs ���. J. S������ – Parametrix for wave equations on a rough background III : space-time regularity of the phase ���. A. D����� – Families of Berkovich spaces ���. T. L����� & C. M�������� – The equivalence of two Seiberg-Witten Floer homologies ���. W. T��� G��, F. G��, W. H. W������� – !-groups and the Langlands program for covering groups ���. S. R���� & G. W��������� – Tilting modules and the ?-canonical basis ���� ���. Y. S����������� & A. V�������� – Periods and harmonic analysis on spherical varieties ���. V. G�������� & G. L����� – JSJ decompositions of groups ���. J. X�� – The dynamical Mordell-Lang conjecture for polynomial endomorphisms of the affine plane ���. G. B���������, G. R����� & M. S������ – The realization space of an unstable coalgebra ���. G. D����, M. F������, D. J������ & S. M�������� – A free boundary problem for the localization of eigenfunctions ���. S. K���� – Voevodsky motives and l dh-descent ���. S�������� B�������, Volume ����/����, Exposés ����–���� ���. S. G������� & P. G����� – The cubic Szegő equation and Hankel operators ���. T. L��� – The master field on the plane ���. R.M. K������� & B.C. W��� – Feynman categories ���. B. L������ & G. H������� – Représentations des espaces tordus sur un groupe réductif connexe ?-adique