Scienza delle costruzioni [2] 9788893853767

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L’autore

Collana di Scienza delle Costruzioni: 1. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 1 Strutture isostatiche e geometria delle masse 2. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 2 Strutture iperstatiche e verifiche di resistenza 3. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 3 Introduzione all’analisi probabilistica delle strutture 4. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 4 Temi d’esame 5. Scienza delle Costruzioni 1 Teoria dell’elasticità 6. SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 2 Teoria della trave

8. Fondamenti di analisi matriciale delle strutture 9. Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 1 10. Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 2

TEORIA DELLA TRAVE

11. Teoria delle strutture 1 12. Teoria delle strutture 2

Copertina Scienza delle costruzioni 2.indd 1

Erasmo VIOLA

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 2

7. Lezioni di Scienza delle Costruzioni

www.editrice-esculapio.it

Collana di Scienza delle Costruzioni di

E. Viola  Scienza delle Costruzioni 2

Erasmo VIOLA Laureatosi con lode in Ingegneria Civile, all’Università degli Studi di Napoli il 30 luglio 1973, dal 1° novembre dello stesso anno ha ricoperto ruoli diversi presso l’Istituto di Scienza delle Costruzioni dell’Università di Bologna: Borsista, Assistente Ordinario, Prof. Associato e Prof. Ordinario. È stato per circa 25 anni Coordinatore dei Dottorati di Ricerca in Meccanica delle Strutture, prima, e di Ingegneria Strutturale ed Idraulica dopo. Nel periodo 2002- 2017 ha svolto anche la funzione di Responsabile Scientifico del Centro di Ricerche CIMEST dell’Università di Bologna. Nel corso degli anni ha svolto una intensa attività didattica e di ricerca. I risultati scientifici conseguiti sono ampiamente riconosciuti anche in ambito internazionale.

6

ISBN 978-88-9385-376-7

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Collana di Scienza delle Costruzioni di Erasmo Viola

Erasmo VIOLA

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 2 TEORIA DELLA TRAVE

ISBN  © Copyright 2023. Società Editrice Esculapio s.r.l. Via Terracini, 30 – 40131 Bologna www.editrice-esculapio.com – [email protected]

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Indice

......... , ................ ............................. .

XIII

IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Prefazione 1.

1.1.

1.2.

,;

Generalità ..............................................._. . .

1

1.1.1.

1

1.1.2.

Modello delle azioni esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3.

Modello meccanico o reologico del materiale . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4.

Equazioni del problema ..............................'.

3

Ipotesi di Sainl-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

......................

9

Equazioni di Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.

Postulato di Saint-Venant . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.

Caratteristiche della sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.1.

Equilibrio globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 ··

1.4.2.

Caratteristiche della sollecitazione interna . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.3.

Legame tra azione interna ed azione esterna sulle basi . . . . . . .

15

1.2.1. 1.2.2.

2.

Modello geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Condizioni esplicite di congruenza

1.5.

Equivalenza tra tensioni e sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6.

I quattro casi fondamentali

........ ............................

21

1.7.

Energia di defonnazione ............... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.8. Lineamenti del metodo del semi-inverso ......... , , . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.9.

24-

Esercizi ..... ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PROCEDIMENTI DIRETTI ED INDIRETTI DI SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI SAINT-VENANT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 ·

2.1.

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.

Metodo degli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.1.

Equazioni in termini di spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.2.

Condizioni di vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.3.

Soluzione del problema ........................... ; . . .

33

2.3. . Stati particolari di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

V

2.4.

3.

Premessa ............•..............................

2.4.2.

Equazioni del problema ..............................•

40 40 40

2.4.3.

Integrazione delle equazioni del problema ..............••.

41

2.5.

Determinazione delle costanti ................................. .

43

2.6.

Metodo indiretto

........................................... .

45

2.7.

Esercizi ...................................•................

46

SFORZO ASSIALE .. . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. .. . .. .. .. . . . . . .. .. .. .. ..

67

3.1.

Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.2.

Soluzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.2.1.

L'esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.2.2.

Soluzione di tentativo .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Analisi della deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.3.

3.3.1.

Campo di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.3.2.

Stato di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.4.

Analisi della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.5.

Lavoro di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3.6.

Soluzione alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.6.1.

Tema di spostamenti e componenti di deformazione . . . . . . . . .

77

3.6.2.

Componenti di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.6.3.

Equivalenza statica sulle basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.7.

4.

2.4.1.

Metodo delle for.i:e

Esercizi

80

FLESSIONE RETIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.1.

Generalità ................................................ , .

83

4.2.

L'esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.3.

Soluzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.3.1.

...........................

87

Equilibrio interno ed esterno

4.3.2.

Congruenza interna ed esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

4.3.3.

Soluzione in termini di spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.3.4.

Osservazione

90

4.4. Stato di deformazione

4.5. VI

90

4.4.1.

Linea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

4.4.2.

Conservazione delle sezioni piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.4.3.

Curvatura della linea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

4.4.4.

Rotazione delle sezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.4.5.

Deformazioni trasversali

..............................

96

Stato di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.5.1.

Formula di Navier . . . . • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • .

98

4.5.2.

Verifiche ,di sicurezza . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . • • . . . • . . • • • . .

99

4.5.3.

Seziontpanicolari . . . . . . • . . . . . . • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.6. Lavoro di deformazione e variazione di volume ...••.•..••.. :- . • • . . • 102 4.6.1.

Etlergia di deformazione ....•••......•....• 1 •• '. '. • • • • • • • 102

4.6.2.

Variazione di volume ..........•..•..... ~ ; '. , '. ~ 1 ,. ;

'. • • • •

104

4.7. Soluzione alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.8.

4.7.1.

Temadi'spostamenti e componenti di deformazione·, .. ;;.... 104

4.7.2.

Compon~ti di tensione ............•..... ; .... : ; ; : . . . . 105

4.7.3;

Èquivaienza statica sulle basi •.............•..• ; , . . . . . . . 106

Esercizi . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . .. . . .' .. .. . . . . • 109 .

'

5.

.

FLESSIONE DEVIATA_ ..................................• , . . . . . . . 121 5.1. Generalità ...... ~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2.

Decomposizione i~ flessioni rette . • • . . . . . . . . . . . . . . . . • • • . . . . . . . . . 122 5.2.1.

Osservazione ...•.•................. ; . . . . • . . • • • • • • • . . 124

5.3. Formule monomie ........•.........••....... ; ....•........ : . 125 5.3.1. 5.4.

Determinazione grafica delrasse neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Analisi della deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.4.1.

Deformata elastica .........•.................•....... 128

5.4.2.

Rotazione relativa . . • . . . • . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.5. Rappresentazione dello stato tensionale e verifiche di sicurezza . . . . . . . 131

5.6.

5.5.1.

Rappresentazione dello stato tensionale . . • . . • . • • • • . • • . . • • . 131 ·

5.5.2.

Verifiche di sicurezza . . . • • . • • . . . . . . . . . . . . . . . • . . • . • • . • . 133

Lavoro di deformazione • • . • . . . . . . . • . • . • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.7. Esercizi : ..... ; .•.....•••••..•........•.•••....• ; . : . . • . . . . . . 135

6.

SFORZO NORMALE-ECf;ENTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.1.

Generalità : ...\·.............................................. 141 6.1.1. . So~apposizione di due flessioni rette e di uno sforzo normale • semplice ............••.................. : . • • . • . • • • . . 143

6.2.

Formula trinomia ........ ·......... ·......•.................... 144 6.2.1.

Flessioni rette e sforzo normale centrato .. ; • • . . . . . . • . . . . . . 144

6.2.2.

Asse newro ....••.. ; . . . . . . . . . . . . . . • . . • . . • . . • . • . . . . . . 146

6.2.3.

Tenso-flessione (o presso-flessione) retta . . • . . . . • • . . . • . . . . . 149

6.3. Formule binomie ·. . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . • . . . 152

6.4.

6.3.1.

Sollecitazione di sforzo assiale è flessione deviata . . . . . . . . . • 152

6.3.2.

Determinazione grafica dell'asse neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Formule monomie ........•............·. . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . 156

vn

6.5.

7.

Momenti di nocciolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

6.6. · Forma del diagramma delle tensioni e verifiche di sicurezza . . . . . . . . . .

160

6.7.

Lavoro di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

6.8.

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

TORSIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.1.

Premessa

............................................ ......

167

7.2.

Cilindro di sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

7.2.1.

L'esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

7.2.2.

Componenti di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

7 .2.3.

Componenti di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

7.3.

7.4. 7.5.

7.2.4.

Soluzione di tentativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

7.2.5.

Stato tensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

7.2.6.

Lavoro di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

Cilindro di sezione arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

7.3.1.

L'espcrien1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

7.3.2.

Soluzione di tentativo e congruenza interna . . . . . . . . . . . . . . . .

176

7.3.3.

Legame costitutivo cd equilibrio indefinito . . . . . . . . . . . . . . . .

177

7.3.4.

Equilibrio ai limiti e problemi di Neumann . . . . . . . . . . . . . . . .

178

7.3.5.

Equivalenza statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

7.3.6.

Componenti di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

Centro di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

Funzione delle tensioni di Prandù ...................... : . . . . . . . .

187

Equazione di Poisson

187

7.5.2.

Problema di Dirichlet

189

7.5.3.

Equivalenza statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

7.5.4.

7.5.1.

7.6.

Proprietà della funzione di tensione di Prandù . . . . . . . . . . . . . .

192

Soluzioni particolari del problema della torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195 195

7 .6.1.

Sezione ellittica

7.6.2.

Sezione triangolare equilatera

..........................

7 .6.3.

Sezione circolare con intaglio

.......................... ....... ....

198 201

7.7.

Divergenza e rotore del vettore tensione tangenziale totale

7 .8.

Le analogie nella torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

203

7 .8.1.

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204

7.8.2.

Analogia della membrana . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .

205

7 .8.3.

Analogia idrodinamica . . .. . . . . .. .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

210

Sezione rettangolare . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .

215

7 .10. Sezioni a connessione multipla . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. . .

220

7.9.

7.1 O. I.

VIII

.................. ...................

Premessa . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220

7.10.2.

Formulazione in termini di funzione delle tensioni

7.10.3.

Equivalenza statica . . . . . . . . . . . .. . .. .. .. .. . . . .. . . . . . . . . 223

221

7.11. Sezioni sottili aperte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.11.1.

Sezione rettangolare sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7 .11.2.

Sezione sottile di forma generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7 .11.3.

Profilati metallici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.12. Sezioni tubolari sottili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.12.1.

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7 .12.2.

Analogia idrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.12.3.

Analogia della membrana .............................. 238

7.12.4.

Applicazione del teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7.13. Sezioni sottili a connessione multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 7.13.1.

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7.13.2.

Equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . 244

7.13.3.

Equazione di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7.13.4.

Equazioni di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.14. Verifiche di sicurezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 7.15. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 8.

TAGLIO RETTO E FLESSIONE: SOLUZIONE ESATTA . . . . . . . . . . . . . 271

8.1.

Generalità ed ipotesi sulla soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 8.1.1.

Soluzione di tentativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.2.

Equazioni del problema

273

8.3.

Soluzione del problema

275

8.3.1. 8.4.

Significato fisico della costante c1

•••••••••••••••• ••••••

277

Sezioni simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.4.1.

Sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

8.5.

SoluziÒne alternativa per sezioni generiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

8.6.

Equivalenza statica

8.7.

Taglio retto secondo l'asse x e flessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

8.8.

Componenti di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

8.9.

Il problema del centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

8.9.1.

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

8.9.2.

Centro di taglio secondo Goodier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8.9.3.

Centro di taglio secondo Trefftz-Cicala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

8.10. Relazione tra centro di taglio e centro di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 8.10.1.

Proprietà del centro di taglio secondo Trefftz-Cicala . . . . . . . . . 302

8.11. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

IX

9.

TRATTAZIONE APPROSSIMATA DEL TAGLIO ......... .r.......... 327 9.1.

9.2.

Tensione tangenziale media sulla corda parallela all'asse neutro . . . . . . .

327

9.1.1.

Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327

9 .1.2.

Risultante delle tensioni normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.27

9.1.3.

Risultante delle tensioni tangenziali ............... '.......

330

9.1.4.

Equilibrio alla traslazione ....................• , • . . . . . • . 330

9.1.5.

Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Componente di tensione tangenziale diretta secondo la corda

. . . .. . . •.

331 332

9.3.

Tensione tangenziale su una corda generica . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .

334

9.4.

Espressione approssimata del fattore di taglio ............. ; . . . . . . . .

335

9.5.

Sezione circolare. Confronto tra soluzione approssimata e soluzione esatta 340

9.6.

Flessione e taglio nelle travi di parete sottile aperta . . . . . . . . . . . . . . . . .

344

9.6.Ì.

Ortogonalità tra le sollecitazioni di taglio e di torsione . . . . . . .

344

9.6.2.

Sforzo di taglio deviato

........................... '....

347

9.6.3.

Lavoro di deformazione e fattori di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . .

347

Determinazione approssimata del centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

350

9.7.

9.7 .1.

Sezione con un asse di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . 350

9.7.2.

Diagramma delle tensioni tangenziali

..... , . . . . . . . . . . . . . .

350

9.7.3.

Individuazione del centro di taglio

354

9.7.4.

Sezione con due assi di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . .

357

9.8.

Sezione sottile chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

358

9 .9.

Esercizi ............................................ ; . . . . . . .

360

10. ESTENSIONE DEL PROBLEMA DI SAINT-VENANTE TEOREMI ENERGETICI .......................................... ,... ; . . . . . 37.1 10.1. Teoria tecnica della trave ................................. , . . . . 371 10.2. Caratteristiche di sollecitazione e componenti di deformazione •..... : . 373 10.3. Energia di deformazione ..............................•.•.. ; . . 377 10.3.1.

Applicazione del teorema di Clapeyron ..........•....... '.

377

10.3.2.

Problema piano ............................•.. ; . . . . . .

380

10.4. Lavoro di deformazione valutato per via interna ........... , ; . , ; . . . . 382 10.5. Principio della forza unitaria .......................... '. ... : . . . . 385 10.6. Teoremi di Clapeyron e Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 10.6.1.

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.6.2.

Teorema di Clapeyron

10.6.3.

Teorema di Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

387

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • . . . . . 388

389

10.7. Confronto tra teorema di Castigliano e principio della forza unitaria . . . . 390 10.8. Impostazione del calcolo dello spostamento di una struttura staticamente determinata ............................................... : . 392 X

10.8.1.

Premessa ........................... •.•.· ....•........ 392

10.8.2.

Calcolo dello spostamento dell'estremo libero della trave . . . . . 395

10.9. Applicazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 10.9.1.

Dati del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

10.9.2.

Stato di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

10.9.3.

Calcolo dello spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • 402

10.9.4. Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 10.1 O.Calcolo delle strutture monodimensionali iperstatiche attraverso il principio delle forze virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 10.10.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 10.10.2. Struttura monodimensionale piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 10.10.3. Equazioni di congruenza

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

10.10.4. Sistema di equazioni risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 10.11.Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . 410

Bibliografia

425

XI

Prefazione

Il presente volume della collana di Scienza delle Costruzioni è dedicato alla trattazione della teoria della trave. Il primo capitolo illustra l'impostazione e le ipotesi di Saint-Venant, nonché il procedimento seguito da quest'ultimo, il cosiddetto metodo del semi-inverso, per risolvere il problema dell'equilibrio elastico della trave sollecitata in corrispondenza delle basi. Le varie equazioni che governano il problema dell'equilibrio elastico vengono espresse in termini di componenti di tensione e di componenti di spostamento. Si esamina il legame tra azione interna ed azione esterna sulle basi, si definiscono i singoli casi di sollecitazione semplice e sono discusse le condizioni di vincolo, richieste per eliminare il moto rigido nelle soluzioni relative alle anzidette solleci.~ tazioni semplici. Nel capitolo 2 viene affrontata la risoluzione generale del problema dell'equilibrio elastico, per il cilindro di Saint-Venant, mediante procedimenti diretti di integrazione delle equazioni differenziali di equilibrio o di congruenza, adottando come funzioni incognite, nell'ordine, le componenti di spostamento o le componenti di tensione. Per quanto concerne il metodo degli spostamenti, dalla soluzione generale vengono dedotte le soluzioni per i vari casi particolari di sollecitazione, ponendo, volta per volta, tutte le costanti uguali a zero, tranne una. Viene anche fatto cenno ad un metodo indiretto di soluzione delle equazioni differenziali del problema, sulla base di una semplice ipotesi cinematica. Alle sollecitazioni semplici di sforzo assiale e di flessione retta sono dedicati, rispettivamente, i capitoli 3 e 4 del volume. In entrambi i casi, la soluzione del problema viene ricercata prima nell'ambito del metodo de.Ile forze, poi in quello del metodo delle deformazioni. La flessione deviata e la flessione composta sono trattate rispettivamente nei · capp. 5 e 6, con l'ausilio del Principio di sovrapposizione degli effetti. Varie for-

XIII

mule monomie sono ricavate da condizioni di equivalenza tra le caratteristiche della sollecitazione ed i sistemi di forze associate alle corrispondenti distribuzioni di tensioni. L'analisi della sollecitazione di torsione è sviluppata nel capitolo 7 del libro. Vengono studiati il cilindro di sezione circolare e quello di sezione generica. Per quest'ultimo si introduce il concetto di centro di torsione. La soluzione del problema analitico viene impostata, facendo ricorso alla funzione delle tensioni o di Prandtl. Si ricavano le soluzioni particolari relative alle sezioni ellittica, triangolare e rettangolare, nonché alla sezione circolare con intaglio. Le analogie idrodinamica e della membrana che si stabiliscono con problemi fisici, vengono utilizzate per studiare le sezioni sottili aperte e bioconnesse, sollecitate a momento torcente. Sono pure trattate le sezioni connesse più di due volte. La soluzione esatta della sollecitazione di taglio retto e flessione è riportata nel capitolo 8. Il problema è formulato in termini di tensioni, mediante l'impiego della funzione di Prandtl. La distribuzione delle tensioni è ricavata esplicitamente nel caso particolare della sezione circolare. Viene anche esposta una soluzione alternativa. Il problema del centro di taglio, detto anche centro di flessione, è introdotto secondo le definizioni di Goodier e di Trefftz-Cicala. Si dimostra la relazione tra le coordinate del centro di flessione e quelle del centro di torsione. Dalla relazione in narrativa appare che il centro di taglio coincide con il centro di torsione, solo quando si assume uguale a zero il coefficiente di Poisson del materiale. Adottando la definizione di centro di taglio secondo Trefftz-Cicala, che rappresenta il centro di torsione, riesce possibile disaccoppiare le energie di deformazione associate alle sollecitazioni di taglio-flessione e torsione. Nel caso di sezioni sottili monoconnessa e biconnessa e di spessore costante, si dimostra la coincidenza tra i due centri di flessione e di torsione. La trattazione approssimata del taglio, basata su considerazioni di puro equilibrio, poiché si rinuncia a priori alle equazioni di congruenza, occupa il capitolo 9 del libro. Per la sezione generica sono ricavate l'espressione della tensione tangen~ ziale media, diretta ortogonalmente ad una corda, e l'espressione della componente di tensione tangenziale, diretta secondo la corda stessa. Per la sezione circolare, poi, è operato il confronto tra la soluzione approssimata e la soluzione esatta in corrispondenza della corda baricentrica. Sono introdotti i fattori di taglio e viene discussa la determinazione approssimata del centro di taglio. È da notare che, per ciascuna delle sollecitazioni semplici e composte considerate, le distribuzioni delle tensioni sono illustrate graficamente, mentre l'energia di deformazione della trave viene valutata per via esterna e per via interna. XIV

Il volume si chiude con il cap. 10, in cui si tratta l'estensione èlel problema di Saint-Venant. Viene introdotta la teoria tecnica della trave, che consente l'utilizzazione dei risultati del caso ideale alle travi reali e sono esaminate le relazioni tra le caratteristiche della sollecitazione ed i movimenti relativi corrispondenti, per un tronco di trave di lunghezza infinitesima. Il lavoro di deformazione viene espresso mediante le sei caratteristiche di deformazione, le sei componenti dell'azione interna. Per la trave ad asse rettilineo è riportata anche l'espressione del lavoro di deformazione in funzione delle componenti di spostamento. Relativamente al calcolo dei parametri di spostamento sono discussi tre procedimenti, le cui dimostrazioni si basano sul Pri::icipio della forza unitaria e sui teoremi di Oapeyron e Castigliano. La risoluzione delle strutture monodimensionali iperstatiche è illustrata, in particolare, con l'ausilio del Principio dei lavori virtuali complementare, che conduce alle equazioni di congruenza di Milller-Breslau. Per l'elemento di trave spaziale, le equazioni indefinite di equilibrio, di congruenza e di legame elastico tra caratteristiche della sollecitazione è caratteristiche della deformazione, risultano espresse anche in notazione matriciale, specificando gli operatori differenziali che intervengono nelle predette equazioni e nelle combinazioni di queste. Mi è qui gradito ririgraziàre l'amico Dr. Aldino Piva per la proficua discussione in merito ad alcune dimostrazioni e, per la loro fattiva collaborazione nella correzione delle bozze, il Prof. Pasquale Viola e l 'Ing. Daniele Zaccaria Sono pure riconoscente a quegli studenti che hanno seguito il corso di Scienza delle Costruzioni durante gli anni precedenti, i quali, con le loro osservazioni pe· netranti, hanno contribuito alla definizione della stesura del presente lavoro.

o

L'AU'IORE.

xv

,

1

Il problema di Saint-Venant

1.1. GENERALITA' Il problema di Saint-Venant (I) è uno speciale problema al contorno di elasticità di fondamentale importanza per lo studio delle travi. Venne fonnulato e risolto dall'autore nel 1855-56 sulla base di varie ipotesi.

1.1.1. Modello geometrico Il solido di Saint-Venant (trave) è un cilindro retto sufficientemente allungato, a sezione retta qualsiasi. In fig. 1.1 e fig. 1.2 sono riportati due solidi monodimensionali di lunghezza l, uno a sezione compatta (fig. 1. 1) e l'altro a sezione sottile (fig. 1.2). Nel primo caso, le dimensioni B 0 ed H 0 della sezione trasversale sono dello stesso ordine di grandezza (B 0 ~ H 0 ) , ma molto più piccole della lunghezza l del cilindro. Per il solido a sezione sottile, lo spessore b della parete è molto più piccolo della dimensione trasversale B 0 ( b ~ B 0 ) e quest'ultima risulta 10-20 volte più piccola della lunghezza l ( B 0 ~ l) . Il solido a sezione sottile prende anche il nome di trave in parete sottile. Il cilindro viene usualmente riferito ad una tema cartesiana ortogonale Oxyz, avente l'origine O coincidente con il baricentro della base sinistra 7 0 , gli assi x e y nel piano della base 7 0 e l'asse z coincidente con l'asse geometrico del solido (fig. 1.1). Per quanto concerne i vincoli, si può, indifferentemente, pensare il solido vincolato in corrispondenza della base z = O , in modo che l'elemento piano dell 'intomo baricentrico risulti fisso nello spazio, oppure completamente libero. Se si adotta la

(I)

Adhmar Barré de Saint-Venant, Filliers en Brie 1797-Saint Ouen 1886.

(2) Nel seguito gli assi x e y nel piano della base verranno assunti principali d'inerzia, tranne avviso contrario, al fine di operare semplificazioni.

1

1 Il problema di Saint-Venant

X

Sezione retta

Figura 1.1

Figura 1.2

prima ipotesi, tutti gli spostamenti dei punti del cilindro risultano depurati dalla quota di moto rigido globale (cfr. esercizio 1.5).

1.1.2. Modello delle azioni esterne Si considerano le forze di massa o di volume ovunque nulle nel volume 'V del solido

( 1.1.1) e le forze superficiali nulle sulla superficie laterale .97 2 del cilindro: 2

1 Il problema di Saint-Venant

( 1.1.2)

Px = Py = Pz = O

I carichi esterni Px, p 11 , Pz sono assegnati solo sulle due basi .9" 0 e .9" 1 • Detti carichi possono avere una distribuzione arbitraria, ma devono costituire un sistema equilibrato quando il solido è privo di vincoli. In presenza di vincoli, all'equilibrio globale provvedono anche le reazioni vincolari. Si vuol far rilevare che, talvolta, il solido cilindrico verrà assunto con sezione trasversale differente da quelle illustrate in fig. 1.1 e fig. 1.2. 1.1.3. Modello meccanico o reologico del materiale Si suppone il materiale nello stato elastico lineare, omogeneo ed isotropo. Il problema dell'equilibrio elastico formulato per il cilindro di Saint-Venant prende il nome di problema di Saint-Venant. Le equazioni che intervengono in tale problema si possono dedurre a partire dai risultati esposti nel volume 1 della collana di Scienza delle Costruzioni dell'autore, anche se non verrà specificato volta per volta. Il volume in parola è indicato in bibliografia con [Vl]. 1.1.4. Equazioni del problema Per le (1. 1.1), le equazioni indefinite di equilibrio (cfr. [Vl], esercizio 3.56) diventano

80-,. + 8Txy + 8T,.z = ax ay az

Q

8T,.!I 80"y 8Tyz --+-+--=O ax ay az

( 1.1.3)

8Tzx + 8Tzy + aa-z = Q ax ay az Le equazioni di congruenza sono:

Ex

(1.1.4)

au

= 8x ,

av

E!I

= 8y ,

av au

'Yxy = ax + 8y'

Ez

=

aw az

au

Bw

'Yxz = az + ax ,

ove u, v, w denotano le componenti di spostamento, rispettivamente secondo x, y e z . Le equazioni costitutive risultano essere

1 Ex= E[O"x-ll(O"y+O"z)]

1

E!I

.

= E[O"!l - ll(O"x + O"z)]

(1.1.5) Ez=

1 E[O"z-11(0-x+a-!I)]

3

1 Il problema di Saint-Venant

essendo E, G, v rispettivamente, il modulo di elasticità normale, que11o tangenziale ed il coefficiente di Poisson. Le (1.1.5) prendono il nome di leggi generalizzate di Hooke. Per comodità del lettore vengono riscritte le equazioni di equilibrio al contorno nella forma generale

cr%a% + T%vav + Tna,.'= p% T%Va% +·crvav + Tv,az'= Pv Tua%+ Tv,av + cr,a, = Pz dalle quali si deducono le successive relazioni Ù.1.6), (1.1.7) e (1.1.8).

Alle equazioni (1.1.3)-(1.1.5) vanno aggiunte le equazioni al contorno di sforzo nullo sulla superficie laterale .99 2 di normale a a", a11 , O) :

=(

cr"a" + r"11 a11 = O ( 1.1.6)

r" 11 a" + cr11 a 11 = O iZ:l:a:I:

+ TZ!la!I =

e quelle di sforzo assegnato sulla base z TZ:I:

( 1.1.7)

o

= l , di normale

= P:1:< z = l) =

a

= (O, O, 1) :

p;

rz 11 =pyCz=l)=p; crz=pz(z=l)=p:

e sulla base z = O , di normale a

= (O, O, -1) :

- rz:1: = P:1:(z = O) = p~ ( 1.1.8)

-T Z!/

0 =p(z=O)=p !/. !/

- crz = p/z = O) = p~ Ladistribuzionediforze P:1:(x,y,l),py(x,y,l),p/x,y,l) sulla base z = l di destra, deve costituire un sistema equivalente a zero con il sistema di forze P:1:(x, y, O), pyCx, y, O), p/x, y, O) agenti sulla base z = O di sinistra. Prima di passare al paragrafo successivo, si ritiene utile riportare anche le relazioni inverse delle (1.1.5), dette leggi inverse di Hooke, nella notazione del par. 5.7.1 di [VI]: 4

1 II problcll)a di Saint-Vcnant

cr:,;

= 2Ge:,; + Àiie

cr 11

= 2Ge11 + ÀI1€

crz = 2Gez + >..11€

( 1.1.9)

T:,;11

= Gry:,;11

T:,;z

=

Gry:,;z

TI/Z

=

Gryl/Z

Nelle (1.1.9) 11€ denota ilprimo invariante di deformazione

(1.1.10)

La costante ( 1.1.11)

À

è detta seconda costante di Lamé: À

vE

=

( 1 + v)( 1 - 2 v)

Il modulo di elasticità tangenziale G risulta legato al modulo di Youag E ed al coefficiente di Poisson v dalla relazione

( 1.1.12)

G=

E 2(1 + v)

1.2. IPOTESI DI SAINT-VENANT La soluzione del problema dcll 'equilibrio elastico della trave, nella sua generalità, verrà affrontata nel cap. 2. Qui di seguito viene illustrato il procedimento di Saint-Venant. Per risolvere il problema del solido cilindrico sollecitato sulle basi, Saint-Venant ricorse al cosiddetto metodo d~l seminverso, di natura squisitamente ingegneristica. Tale metodo consiste nel fissare a priori alcuni caratteri della soluzione. Successivamente, attraverso le equazioni del problema, si verifica la giustezza delle ipotesi! fornendo, altresì, i rimanenti parametri incogniti. L'ipotesi sulla soluzione può riguardare lo stato tensionale, quello deformativo, o entrambi. Una volta verificate le equazioni del problema, la soluzione in parola è proprio la soluzione del problema dell'equilibrio elastico, in forza del principio di Kircchhoff (cfr. [Vl], par. 5.10). Il problema dell'equilibrio elastico si dice formulato in forma diretta quando, assegnate le forze agenti sulle basi, occorre determinare le componenù di tensione, di deformazione e di spostamento in ogni punto del solido cilindrico. Nella formulazione inversa, invece, risultano assegnate le componenti di spostamento in tutti i punti del volume del cilindro, ed occorre determinare le forze esterne sulle basi 5

1 Il problema di Saint-Venant

compatibili con la soluzione assegnata in termini di spostamenti u, v, w. Cioè dalla deformazione nota si risale al sistema di forze esterne in grado di produrla. Nel procedimento semi-inverso, si fa qualche ipotesi sulla soluzione, ma senza determinarla completamente. Nel contempo, non tutte le proprietà della sollecitazione esterna risultano indeterminate.

Saint-Venant fece un'ipotesi semplificativa circa lo stato tensionale, assumendo in ogni punto del cilindro due componenti normali er,. e er11 ed una componente tangenziale Txy nulle: ( 1.2 .1) L'assunzione (1.2.1) corrisponde ad una precisa interpretazione fisica del funzionamento del cilindro. Su ogni elemento piano con giacitura parallela all'asse del solido (fig. 1.3), quindi di normale a a,,, a11 , O) , la tensione normale er0 . Adottando l'ipotesi (1.2.1) di Saint-Venant, le (1.2.13) si riducono alle (1.2.16)

( 1.2 .17)

(1 + v)v'

2

T:i:z

+;:~:=O,

(1 + v)v'

2 T11z

+::~:=O

come illustrato nell'esercizio 1.9.

Osservazione Il volume· 'V del solido cilindrico oppure l'area A della sezione trasversale della trave verranno anche indicati, indifferentemente, con 'IJ . La frontiera di 'V , oppure di A si indicherà genericamente con à'IJ . Nel caso particolare della sezione retta, indicando con C il suo contorno, risulta ( 1.2 .18) Pertanto, un dominio chiuso ammette la seguente rappresentazione ( 1.2 .19)

']J

u ò'IJ

ove il simbolo U denota l'operazione di unione tra insiemi.

(S) In notazione concisa, le sei equazioni di compatibilità (1.2.13) possono scriversi nella forma 2 1 82 Iia V cr;·+ - - - - - = 0 J 1 + IJ 8x;8Xj

11

1 O problema di Saint-Venant

1.3. POSTULATO DI SAiNT-VENAN'T · Le (1.1.7) e (1.1.8) esprimono l'uguaglianza, puntò per purito;·tra le componenti di tensione affioranti in superficie e le omologhe componenti delle forze esterne. ll postulato di Saint-Venant ~nsente di superare il soddisfacimento puntuale delle equazioni di equilibrio ai limiti sull~ basi, nella soluzione del problèma del solido elastico omogeneo e isotropo di forma cilindrica, sollecitato esclusi,vamente in_cor-. rispondenza delle basi stesse. Il postulato afferma che, a sufficiente distanza dalle basi caricate da forze .ester:--. ne, gli stati temionale e deformativo non dipendono (praticamente) :dalla .distribu~ zione puntuale dei carichi, ma solo. dai lorr, vettori risultanti_. La distanza oltre la quale la soluzione risl;llta indipendente dalla dii;tribuzione puntuale della sollecitazione, prende il nome di .distanza di sm~IZ8l11cntò: :N~l è~ di travi a sezione compatta, la distanza di smorzamento è all'incirca uguale ~là dimensione massima dèlla sezione stessa. i>er travi a sezione sottile,·la ~istanza di ·smorzamento risulta maggiore della predetta dimensione massima.della sezione.. · Per fissare la lunghezza di estinzione si può. ricorrere all'indagine sperimentàle. In fig. 1.6 è rappresentato il cilindro di Saint-Venant, con l'indicazione delle · zone di estinzione .di dimensione d e del tratto in cui la soluzione non dipende dalla distribuzione puntuale delle.forze sulle basi, ma solamente dai loro vettori risultanti. Le forze applicate sulle due·basi devono costituire un sistema milio o equivalente a zero, detto anche si.stema equilibrato. Il postulato di Saint-Venant, elimina le difficoltà connesse conia ricerca di una nuova soluzione per ogni condizione di carico. Tutte le possibili condizioni di carico, infatti, possono ricondursi a quattro tipi di sollecitazionè' fisicamente distinti, come verrà mostrato nel paragrafo seguente.

I

d

Zona di estinzione o di smorzamento

Tratto di validità della .soÌuzionè

Figura 1.6

12

d

Zona di ·estinzione o di smorzamento

1 Il problema di Saint-Venant

X

Figura 1.7

Giovà rilevare che il postulato in parola offre semplificazioni importanti anche nello studio di strutture bidimensionali, oltre che di quelle monodimensionali. Non può dirsi la stessa cosa per i corpi tridimensionali, per i quali non ha senso il concetto di azione interna. Nella sua enunciazione più generale, il principio di Saint-Venant più volte richiamato si può esprimere: « La sostituzione, di un dato sistema di forze, su una

porzione limitata di un solido, con un altro sistema ad esso equivalente, non altera lo stato tensionale a sufficiente distanza dalla zona caricata».

1.4. CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE In precedenza è stato rilevato che il principio di Saint-Venant fa dipendere la distribuzione delle tensioni, e più in generale la soluzione del problema, dai vettori risultanti delle forze applicate a ciascuna base, e non dalla distribuzione puntuale delle forze stesse.

1.4.1. Equilibrio globale Si consideri il cilindro di Saint-Venant di lunghezza l , sulle cui basi terminali sono applicati i vettori caratteristici delle forze esterne (fig. 1.7). Sulla base sinistra, di ascissa z = O , agiscono i vettori R O ed M 0

( 1.4 .I)

Ro M

O

= (T2 .~ ,No) = (M2, Mi, M~) 13

1 li p;roblema di Saint-Venant

mentre sulla base di ascissa z

= l risultano applicati

R*·=(T* T*-N*) X' Y'

(1.4 .2)

Per l'equilibrio del cilindro devono essere soddisfatte le due equazioni cardinali della statica ( 1.4 .3)

R 0 +R*=O

M 0 + M* + ( G* - O)/\ R *=O

1.4.2. Caratteristiche della sollecitazione interna

Si esegua ora un taglio del cilindro (fig. 1.8) secondo la sua generica sezione retta di ascissa z . Sulle basi terminali sono applicate le componenti, secondo gli assi x, y, z , delle risultanti R O e R * e dei momenti risultanti M O e M * . Le componenti delle forze esterne con l'apice zero si riferiscono alla base sinistra, quelle con l'apice asterisco alla base destra. Sulle due sezioni risultanti dal taglio sono poste in evidenza le componenti Tx, Ty, N, Mx, My, M2 dei due vettori caratteristici

= (Tx, Tv, N) M = (Mx, My, Mz)

R

(1.4 .4)

delle azioni che la parte (1) esercitava sulla parte (2), e viceversa, attraverso la sezione di taglio, prima del sezionamento. Tali componenti, sia quelle agenti sulla sezione retta di normale positiva (appartenente alla parte (1)), sia quelle applicate alla sezione di normale negativa (appartenente alla parte (2)), prendono il nome di carattenstiche della sollecitazione (interna), oppure componenti dell'azione in tema nella sezione di ascissa z . Si dice anche che i vettori (l.4.4) definiscono l'azione intema nella sezione di ascissa z . Precisamente

= sforzo di taglio secondo x

Tx

Tv = sforzo di taglio secondo y ( 1.4 .5)

N

= sforzo assiale o normale

Mx= momento flettente secondo x Mv = momento flettente secondo y M2

14

= momento torcente

1 Il problema di Saint-Vènant

r

Figura 1.8

Le caratteristiche della sollecitazione (1.4.5) illustrate in fig. f.8 sono positive, per definizione< 6>. 1.4.3. Legame tra azione interna ed azione esterna sulle basi Il sistema delle forze agenti su ciascuna delle due parti in cui risulta diviso il cilindro dal taglio deve essere nullo, oppure equivalente a zero. L'equilibrio alla traslazione secondo gli assi x, y e z del tronco (2), ad esempio, fonùsce (fig. 1.8.b):

Tx=T; ( 1.4 .6) ·

r;

T" = N= N*

mentre l'equilibrio alla rotazione attorno ai medesimi assi consente di ricavare

(2.4.10)

Alle (2.4.10) viene associata la condizione ai limiti (2.4.4) sul contorno O = 8'1J della sezione retta del solido cilindrico. Per le (2.4.9), il sistema differenziale (2.4.10) riguarda un problema nelle due sole variabili x e y . Il sistema di equazioni differenziali (2.4.10) può essere trasformato (cfr. esercizio 2.6) e il problema di Saint-Venant è ricondotto al problema di Neumann, ossia alla determinazione di una funzione armonica 'l.1 ( x, y) nel dominio A= '1J definito dalla sezione retta del cilindro

au au v2 u = - + -8y2 =o 8x2 2

(2.4.11)

2

in

A='D

sul cui contorno O = 8'1J risulta specificato il valore della derivata normale

(2 .4 .12) essendo

(2 .4 .13)

Indicando con -r • il vettore di componenti r.,, e r,11 , le (2.4.10) prendono la forma divr, = a1 + bp;+ CJY

V 2 r.,, = ( 1 + v)- 1 b1 'v2Tz11

ove V 2 denota il Japlaciano.

42

= (1 + v)-ICJ

2 Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

Nelle (2.4.13) si è posto li l*i = 1 + li

(2.4.14)

In ogni punto del dominio A = 'D le tensioni tangenziali rz,. e rz11 sono fomite da

(2.4.15) avendo indicato

(2 A .16) Sfruttando l' annonicità della funzione 'l1 ( x, y) ed applicando il teorema della divergenza, si dimostra l'esistenza della soluzione del problema di Neumann (cfr. esercizio 2.9). Assumendo, poi, l'origine degli assi x e y nel baricentro della sezione, la condizione al contorno (2.4.12) per la derivata nonnale della funzione 'l1 = 'l1 ( x, y) ammette la rappresentazione

(2 .4 .17)

d'll * 2 )a - -c1( y 2 -lix * 2 )a +-(ya co = - - b1 ( x 2 -lly -xa) 11 11 da

2

"'

2

2

"' ·

2.5. DETERMINAZIONE DELLE COSTANTI Quando gli assi del riferimento x e y sono baricentrici, risulta a 1 = O (cfr. esercizio 2.7) e l'espressione della tensione nonnale crz (2.4.7) diventa (2 .5 .1) Per a 1 = O , le tensioni tangenziali tazione

rz,.

e 7'z11 (2.4.13) ammettono la rappresen-

(2 .5 .2)

Le costanti (2 .5 .3)

che intervengono nelle (2.5.1) e (2.5.2) vengono detenninate dalle condizioni di equivalenza statica tra le caratteristiche della sollecitazione e le forze associate alle tensioni che si sviluppano nella sezione retta della trave. 43

2 Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

Le prime cinque costanti (2.5.3) sono espresse attraverso le sole caratteristiche di sollecitazione (cfr. esercizio 2.8): (2.5.4) (2.5.5) (2.5.6) (2.5.7) (2.5.8)

nella sezione corrente, oppure sulle due basi estreme del solido cilindrico (cfr. fig. 1.8). Ciascuna delle costanti dipende soltanto dalle componenti dell'azione interna

N , M:i:, M 11 , T:i: , T11 • Per quanto concerne l'ultima costante c0 , essa deve soddisfare la relazione di equivalenza tra H momento torcente ed il sistema di forze associate alle tensioni

Tz:r: e TZI/:

(2 .5 .9)

Nell'espressione del momento torc.ente (2.5.9) la funzione 'l1 compare attraverso le sue derivate parziali. La costante G> può essere ricavata dalla (2.5.9) solo dopo aver risolto tre problemi di Neumann relativi alla funzione 'l1 (cfr. Esercizio 2.9). Per le (2.4.15), (2.4.16) e (2.5.2) le espressioni delle componenti di tensione tangenziale Tz:i: e rz 11 risultano essere

(2 .5 .10)

La costante c:0 è ulteriormente discussa nell'esercizio 2.9, ove viene introdotto anche il concetto di centro di taglio. 44

2 Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

/Asse della trave ,l"----,(z)

X

(e)

(b)

(d)

Figura 2.1

2.6. METODO INDIRETTO Il problema di Saint-Venant può essere risolto per via indiretta, assumendo per la componente w di spostamento secondo l'asse z l'espressione (2.6.1)

w = ((z) + cp:r;(z)y - cpy(z)x + w(x, y)

ove ( ( z) , cp:r; ( z) , cp yC z) sono funzioni di z e rappresentano, nell'ordine, la traslazione secondo z, la rotazione attorno all'asse x e la rotazione attorno all'asse y, della generica sezione retta della trave. L'ultimo termine a destra della (2.6.1) è chiamato funzione d 'ingobbimento della sezione. Tale funzione è supposta costante per tutte le sezioni trasversali del solido cilindrico. La fig. 2.1 illustra le componenti di spostamento del punto P della sezione corrente della trave, avente uguali le coordinate rispetto agli assi x e y • Tali componenti risultano associate alla traslazione ((z) > O ed alle rotazioni cp:r;(z) e cpy(z) della sezione, attorno agli assi x e y, rispettivamente. Dette rotazioni infinitesime sono assunte positive in fig. 2.1, cioè rappresentate da vettori equiversi agli assi x e y • 45

2 Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema clii Saint-Venant

È da notare che in figura non si è rappresentato il contributo che la funzione

w(x, y) dà allo spostamento in P. La soluzione può essere ricavata utilizzando le equazioni di equilibrio, di congruenza e di legame elastico illustrate nei paragrafi precedenti di questo capitolo. Il procedimento ed i risultati sono riportati nella nota [Cl].

2.7. ESERCIZI

Esercizio 2.1

Combinare le equazioni indefinite di equilibrio (2.2.2), qui di seguito riscritte

a2 u a2 w

(1)

az 2 + axaz

a

2

=O

a

2

v w -+ 2 --=O

(2)

az azay 2 a w a2w a2w ax2 + 8y2 + 2 az2 = o

(3)

e le relazioni differenziali (2.2.3) riportate nell'ordine

au av aw ax av az au + av = o ay ax

(4)

-= -=-11-

(5)

che traducono l'ipotesi di Saint-Venant (1.2.1) in termini di spostamenti, in modo da eliminare le componenti u e v . a) Verificare che risulta (6)

83 w az 3

83 w = ax2az

83 w = av2az

83 w = axayaz

=Q

b) Ricavare l'espressione della componente w di spostamento. c) Ricavare le espressioni delle componenti u e v di spostamento. Soluzione. Se si derivano le (1), (2), e (3) rispetto a x, y e z nell'ordine, e si sottrae la terza dalla somma delle prime due, si ricava (7)

46

2 Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

Perle (4), la (7) assume l'aspetto (8)

Essendo 1 + v 'f O , la (8) porge (9)

Se si deriva la (1) rispetto ad y e la (2) rispetto ad x e si somma membro a membro risulta (10)

[}2

8z 2

(au811 + av) 8 ax + 2 axayaz = o 3

w

ovvero

83 w - - - - =O

( 11)

axayaz

in virtù della (5).Dalle (4) si può dedurre (12)

Derivando la (1) rispetto ad x e sottraendo, poi, la (12) si ha (13)

83 w -V

83 w 8z 3 + 8z8x 2 =

Q

Perla (9), la (13) diventa (14)

Operando in maniera analoga sulla (2) si ricava pure (15)

In definitiva le (9), (11), (14) e (15) forniscono le (6). b) Se si pone (16)

aw az

-=wo

47

2 Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

la (6) prende la forma (17)

La prima delle (17) richiede che w 0 sia una funzione lineare di z , mentre le restanti tre esigono che w 0 sia una funzione lineare di x e y . Pertanto deve aversi (18)

Integrando la (18) si ha (19)

ove f(x, y) è una funzione incognita di x e y. c) Le (4) e (18) consentono di ricavare le espressioni delle componenti u e v di spostamento (20) Dalle (1) e (20) segue che (21) Dalla (21) appare che la funzione u è di terzo grado in z. Integrando la (20) rispetto ad x , si ricava 2

(22)

u. = -v [ ax + a 1 ;

+ a 2 xy + ( bx + b1

m + pz + qz 2 + rz 3 ove m, p, q, r sono funzioni della sola y . Dalla (22) si trae (23)

a2 u az

-= 2q+ 6rz 2

Il confronto tra le (21) e (23) porge (24)

48

x; + b xy) z] + 2

2 Procedimenti diretti cd indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

Per le (24), la (22) ammette la seguente rappresentazione

Le considerazioni precedenti vengono ora ripetute per la determinazione della componente 11= 11(x,y,z). Integrando la (20) rispetto ad y ed osservando che per le (2) e (20) risulta (26)

si ricava 2

2

11=-11[ay+a 1 xy+ i y + (by+b 1 xy+ i y )z]+ (27)

+ m' + p' z - a2 z2 - b2 z3 2

6

Nella (27) m' = m'(x) e p' = p'(x) sono funzioni della sola x. Le (25) e (27) soddisfano le (1), (2), (4). Perché soddisfino anche la (5), occorre e basta che

La relazione (28), valida qualunque sia z , può decomporsi nelle due relazioni

dm dy dp -+ dy

dm'

- + - - - v(a 2 x+

(29)

(30)

dx

dp'

-

dx

a 1 y) = O

= 11(b2 x+ b1y) = O

È da notare che la (29) si ricava ponendo z = O nella (28). Ciascuna delle (29), (30) può decomporsi in altre due equazioni, uguagliando ad una costante le parti dipendenti da una sola variabile:

dm' - - = -a 0 + 11a2 x

(31)

. dx

-dp' = -b0 + 11b2 x

(32)

dx

L'integrazione delle (31H32) fornisce .L

49

2 Procedimenti diretti cd indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

= m(y) = a.

I

1/ + a 0 y + va 12

(33)

m

(34)

m

(35)

p

= p(y) = b' + 'b0 y + vb 1 ~

(36)

p'

= p'(x) = b" -

I

= m I(x) = a II -

X

2

a0 x + va 2 2 2

b0 x + 11b2

x2

2-

Nelle (32)-(36) a', a", b', b" sono costanti arbitrarie. Poiché nell'origine O del riferimento, posto sulla base sinistra del solido è u = v = O , le (25), (27), (33)-(34) consentono di dedurre a' = a" = O . Essendo ancora nell'origine = O , per le (27) e (34) deve aversi a0 = O • Pertanto, le componenti di spostamento u e v ammettono la seguente rappresentazicme:

t

· x2

(37)

u = -11 [ ax+ a 1

;

y2

+ a 2 xy+

(

b~+ b1

x2

;

y2

)

]

+ b2 xy z +

+ (b' + b0 y)z - ~z 2 - ~z 3 2 . 6

(38)

Esercizio 2.2

Mostrare che la componente w secondo l'asse del solido può porsi nella tonna

ove 1l 1 = 1t, 1( x, y) è una funzione annonica. Soluzione. Se si valutano le derivate seconde (2)

della funzione w (cfr. la (19) dell'esercizio 2.1):

50

2 Procedimenti diretti cd indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

(3)

e si sostituisce nella terza equazione indefinita di equilibrio (cfr. la (3)dell 'esercizio 2.-1) in termini di spostamenti, qui di seguito riscritta per comodità (4)

oppure

risulta (5)

Nelle (4) e (5), si è indicato con (6)

l'operatore di Laplace. Assumiamo per f(x, y) l'espressione< 4>

ove c 1 , ... , c7 sono costanti arbitrarie, mentre 1{, 1( x, y) è una funzione di due variabili. Risulta

Se si pone

(9)

si ha

per le (5) e (8). Per le (7) e (9) risulta

Dovendo valere la (5), se si vuole decomporre /( x, y) in due parti tali che una delle due abbia il laplaciano pari a -2( b + b1 x + bi y) e sia una funzione polinomiale in x e y , il polinomio deve essere di terzo grado al massimo.

51

2 Procedimenti diretti cd. indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

f(x,y) = -b

( 11)

x2+y2 ·2 2 .. - b1xy - b2 yx + 2

1t 1

La (11) consente di porre l'espressione (3) di. w ,nella fonna (1). Se si pone (12)

ove 1!1 =

1t

1(

x, y) è la funzione introdotta precedentemente, si ricava

( 13)

es,serido V 2 1t I = 0 . Dato che ncll 'origine del riferimento, ossia 'per x (2.2.4) e (2.2.5) ed in particolare

ow

ow'

w= -·-=-=O

(14)

ax av

= y = z = O , valgono le

'

le (12) e (1) forniscono i valori delle costanti: ( 15)

b = 1t(0),

'6' =

(a1t) ox o '

b" =

(o1t) av o '

=

essendo O (0,0,0). Per la (12) la (1) diventa

(16)

La funzione 1t = 1t ( x, y) , annonica in tutte le sezioni rette del cilindro, deve soddisfare alla condizione al contorno sulla superficie laterale.

Esercizio 2.3

Verificare che la condizione al contorno sulla superficie laterale del cilindro (1)

che-può anche porsi nella fonna (2)

52

2 Pr~dimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

consente di ricavare'/'csprcssione della derivata direzionale della funzione rispetto alla normale a :

1{,( :r;. u)

(3)

Nella (3) a:i: e a, denotano i coseni direttori della direzione normale alcontomo della sezione, mentre II rappresenta il coefficiente di Poisson. Soluzione. Le derivate delle funzioni u e rispetto a z assumono l'aspetto

11,

espresse dalle-(2.2.IO)e (2.2.11),

(4)

2 au .( x - ,i ) , az = - l i b:r; + b1 2 + b2X1J + b + bo11-: a1z -

(5)

a11 b'2 2 · · 1J -:r; Il - .= -11 ( by+ b1 xy+ b2 - - - + b - ,b0 x- a 2 z - -z az 2 2

bi 2 t,z .

2 2)

La componente, w ammette la rappresentazione (2.2.12):

(6)

Le derivate di w rispetto ad :r; e y risultano essere

(7)

aw z2 . 2 ·au 1 ax =a 1z+b12 -bx-b 1y -2b2:r;y-b + ax

(8)

aw z2 2 ,,au ay =a2 z+·b22 -by-2b 1xy-b2 x -b + 811

Per le (4), (5), (7), (8)si ricava

(9)

au ow oz + ax = 811

(10) az +

-b(11+l)x-b 1

[11:r. ·

2

+ (2 - 11)112 ] 2

au

~b2 (11+2)xy+b0 y+ ax

aw . [1111 2 + (2 - 11):r.2 ] an By = -b11(11+ l)-b1 x11(11+2)-b0 x-b2 _ . -+ 2 811

Se si sostjtuisco~o le (9) e (1 O) nella (2) e si osserva che la derivata della funzione a p~nde la forma

1{, rispetto alla direzione

53

2 Procedimenti diretti cd indiretti di soluzione del problema di Saint-Vcnant

{Il)

si perviene alla relazione (3). La funzione armonica 11. è determinata (a meno di una costante arbitraria) dai valori della sua derivata normale al contorno.

Esercizio 2.4 Rilevare che dalla condizione

f

( 1)

d1{. ds == O

le

da

si ricava il valore nullo della costante

(2)

b == O

Pertanto, la derivata normale della funzione annonica 11.(x,y) ammette la seguente rappresentazione:

(3)

Soluzione. Se si applica il teorema della divergenza relativo ai domini piani A == 'D limitati dal contorno C == a'D (cfr. [VI], par. B.4) risulta

(4) (5) (6)

i

xax ds ==

l i dA ==

ya 11 ds

( x 2 ax ds == 2 ( x dA == O, ( y 2 a II ds == 2 ( y dA == O

le

la

xyax ds ==

l

lA

y dA == O,

le

la

xya 11 ds ==

l

lA

x dA == O

Gli integrali (5) e (6) sono nulli poiché esprimono i momenti statici dell'area della sezione trasversale rispetto agli assi !baricentrici x e y . Integrando l'espressione della derivata normale (2.2.14) della funzione armonica 11. == 11. ( x, y) sul contorno della sezione retta, come espresso dalla (1 ), risulta (7)

54

b(l + 11)

la

(xax + ya 11 ) ds == b( 1 + 11)

l(

1 + 1) dA == 2bA( 1 + 11) == O

'2 Procedimenti diretti cd indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

in virtù delle (4)-(6) e dei risultati

( 8)

( yo:,; ds

le

= ( xo II ds = ( y 2 o:,; ds = ( x 2 o 11 ds = O le le le

Le (8) si desumono dal teorema della divergenza. Dalle (7) si ricava b = O . Dalla (2.2.14), poi, per b = O , si ricava l'espressione (3) della derivata normale della funzione armonica 1l . La determinazione di rl(x, y) dipende dalla forma del contorno.

Esercizio 2.5 Verificare che le espressioni delle componenti di spostamento, che costituiscono la soluzione del problema di Saint- Venant, ammettono la seguente rappresentazione u = -v ( ox + o 1

x1_

(81')

(1)

+ b0 yz + z ax

112

)

(

+ o 2 xy - vz b1

2

:i:2-y2

2

)

+ b2 xy +

01 2 b1 3 - -z - -z O

6

2

(2)

(3)

+ 1' -

X

(81-t) - 'Y (81(,) ax 8y o O

Soluzione. Nell'esercizio 2.4 si è ricavato il valore della costante

b= O

(4)

mentre le (15) dell'esercizio 2.2 definiscono i valori delle costanti ( 5)

b'

= ( ~~)

11

, 0

b =

(a;:)

0

Ebbene, sostituendo le (4) e (5) nelle (37) e (38) dell'esercizio 2.1 e nella (16) dell'esercizio 2.2, si ricavano le (l)-(3). I polinomi di terzo grado in x, y, z che definiscono la soluzione attraverso le (1)-(3), contengono sei costanti arbitrarie

( 6)

o, o 1 , o 2 , b0 , b1 , b2

Tali costanti si determinano imponendo le condizioni di equivalenza statica sulla base z = l , oppure sulla base z = O .

55

2 Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema dn Saint-Venant

Esercizio 2.6

a) Derivare la prima delle (2.4. 10) una volta rispetto ad x cd una volta rispetto ad y e sottrarre le equazioni così ottenute, nell'ordine, dalla seconda e dalla terza delle (2. 4.10). Verificare che risulta

~ (aTZI/ ay

(1)

ove

ax

- 8Tzz) = ay .

! ( a;;)= 8 ;; -

11*

ll*b1

-ll*c 1

denota il rapporto

(2)

11* -

li

- 1 + li

essendo li il coefficiente di Poisson. I primi membri delle (1) rappresentano le derivate parziali rispetto ad y erispetto ad x della medesima funzione (3)

b) Notare che il differenziale totale della funzione (3) ammette la seguente rappresentazione df

(4)

= af dx+ ax

af dy ay

= -ll*c 1 dx+ ll*b 1 dy

in virtù delle(}). · Se si integra la prima delle (I) rispetto ad y e la seconda rispetto ad x , osservare che risulta (5)

.una

. Asscndo Co u!tèriore costante di integrazione. ·e) Rilevare che il problema (2.4.10) in esame viene ricondotto alla risoluzione del sistema di due sole equazioni differenziali, costituito dalla prima delle (2.4.10) · e _d_alla (5):

(6)

56

2 Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

Il sistema di equazioni differenziali del primo ordine (6) è da integrare nel dominio A = 'D definito dalla sezione retta del cilindro, con la condizione (7)

sul contorno O = 8'D della sezione stessa. d) Osservare che la soluzione del sistema (6) può porsi nella tonna (8)

Nelle (8) le funzioni rz,. e rz11 sono due integrali particolari delle (6), mentre r~,. e ,!>11 soddisfano alle (6) rese omogenee

(9)

Nell'ipotesi di sezione semplicemente connessa, la seconda delle (9) rappresenta la condizione necessaria e sufficiente per l ;esistenza di una funzione 'l1 = 'l1 ( x, y) tale che (10)

o TZI/

=

8'll

ay

La prima delle (9) indica che la funzione 'l1 ( x, y) in discorso è annonica, ossia soddisfa all'equazione di Laplacc ( 11)

a2 'l1 a2 'l1 v2 'l1 (x, y) = a:z:2 + 81!2 =O

inA ='D

.e) Verificare che, per le (8), la (7) può scriversi nella fonna (12)

Per le (10), la (12) ammette la rappresentazione (13)

Il primo membro della (13) rappresenta la derivata di 'l1 rispetto alla nonna/e a. Pertanto, la (13) asswne l'aspetto (14)

57

2 Procedimenti diretti ed indiretti di solu:r:ione del problema di Saint-Venant

J) Verificare che una soluzione "f'z:,;• 7'z11 del sistema differenziale completo (2.4. IO) è data da

(15)

La soJuzione (15) può essere detenninata mediante l1 procedimento dei coefficienti indeterminati, oppure attraverso l'impiego delle variabili complesse (16)

Z =X+

iy,

z=

X

-Ìy

ove i denota l'unità immagiparia.

Esercizio 2.7

a) Con riferimento alle notazioni dell'esercizio 2.6, osservare che l'integrazione dell'equazione di Laplace (11), sul dominio A= 'D della sezione trasversale della trave, fornisce

b) Notare che il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale doppio (}) in un integrale curvilineo sul contorno C = 8'D della sezione · (2)

I=

J

le

(a'll a + au a ) ds =

ax :,;

i)y

Il

J

le

d'll ds = O da

ove (3)

denota la derivata direzionale della funzione 'l1 ( x, y) rispetto alla normale esterna a al contorno. c) Rilevare che la condizione di equilibrio ai limiti sulla supcrfìcie laterale .99 2 nella forma (14) dcli' esercizio 2.6: (4)

consente di trasformare nuovamente l'integrale curvilineo in integrale doppio: 58

2 Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

(5)

i

L

d'U e - da ds = - e ('fz:,; o:,; + 'fZI/ oIl ) ds = -

1(or·ax A

__a

arz-11 ) dA = O +-

ay

in virtù del teorema della divergenza. Dalle (15) dell'esercizio 2.6 si calcolano le derivate (6)

La sostituzione delle (6) nell'ultima delle (5) porge la condizione (7)

per le costanti o 1 , b1 e c 1 • Se si indicano con (8)

i momenti statici dell'area A della sezione del solido cilindrico rispetto agli assi x e y , rispettivamente, dalla (7) si ricava la costante (9)

Assumendo gli assi x e

y.

baricentrici, dalle (8) e (9) segue che

(10)

Ponendo o 1 = O nelle espressioni di 'fz:1: e 'fz11 espresse dalle (15) deJJ~sercizio 2.6, risulta -T z:,; = 2 I [ b1( X 2

-

• y 2)

-

• 2)

+ CoX ]

li

Co y

]

(11)

-TZI/ = 1 [ Ct ( y 2 -

2

li X

d) Sostituendo le (11) nell'espressione (4) della derivata nonnale della funzione annonica 'U ( x, y) , verificare che si ha (12)

59

2 Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant

Esercizio 2.8 a) Notare che, quando gli assi :z; ed y del riferimento nelproblema di SaintVenant sono baricentrici, risultando a 1 = O (cfr. esercizio 2.7). occorre detenpinare le costanti (1)

Tali costanti intervengono nelle espressioni di az (2.5.1): (2)

e delle tensioni tangenziali

rn e rz11

-

rn=

(3)

(2.5.2):

1 2 2[b1•

(a)

Trazione

N

(b)

Compressione

Figura3.2

essendo A l'area della sezione trasversale della trave. Dalla (3.2.1) risulta (3 .2 .2)

c,z =

N A

3.2.2. Soluzione di tentativo .Si può assumere come soluzione di tentativo (3 .2 .3) in tutti i punti del solido e verificare che essa soddisfa tutte le equazioni che governano il problema dell'equilibrio elastico, nell'ipotesi di Saint7Venant 68

3 Sforzo assiale

(3.2.4)

È immediato controllare come le equazioni indefinite di equilibrio (1.2.4) e le equazioni ai limiti (1.2.8) su .97 2 risultino identicamente soddisfatte dalle (3.2.3). La soluzione di tentativo (3.2.3) costituisce la soluzione del problema in tutti i pm:i,ti del solido cilindrico se nei punti delle sezioni tenninali risulta (3 .2 .5) in virtù delle (1.1.7) e (1.1.8). Se, in luogo delle condizioni puntuali (3.2.5), sono soddisfatte le sole condizioni globali (1.5.4.) e (1.5.5): N* = L p;dA = L crzdA = N

(3.2.6)

N° = Lp~dA= - L crzdA= -N allora occorre escludere le due zone di estinzione (fig. 1.6). Difatti, solo a sufficiente distanza dalle basi caricate, la soluzione (3.2.3) è valida qualunque sia la distribuzione delle pressioni p~ e p; sulle basi tenninali, a parità di risultanti, in virtù del postulato di Saint-Venant.

3.3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 3.3.1. Campo di spostamento Dalle equazioni di elasticità (1.2.6) e dalle (3.2.3) risultano le seguenti componenti della defonnazione 8 "' -

au

(3.3.1)

V

av = --cr

e = 11

V

N

Bx - - Ecrz - - E A V

8y

E

z

V N E A

= ---

8w crz N ez = 8z = E= EA

au av

1 "'"

= 8y + ax = o'

1

=-+-=O

yz

'Yxz =

au aw az. + ax = o

av aw az 8y

in virtù della congruenza interna, ossia dei legami tra le componenti u, v e w di spostamento e le componenti di defonnazione (l.1.4). Integrando le prime tre relazioni (3.3.1), si ricava

69

3 Sforzo assiale Il

N

u = - E A x+ uo(y,z)

(3.3.2)

Il N v = - E A y + v0 ( x, z)

N w = EA z + Wo(X,y)

Se si sostituiscono le (3.3.2) nelle espressioni degli scorrimenti mutui (3.3, 1), si ha

(3.3.3)

Risultando anche (3.3.4) segue che· le tre funzioni 1.10 , v0 e .w0 · ràppresentano Ie tre Componenti di moto rigido di tutta la trave. Pertanto, le componenti di spostamento associate alla sollecitazione di sfor.lo normale centrato possono scriversi nella forma Il

N

u=-EAx Il

(3 .3 .5)

N

v= - - - y

EA

N w= EAz risultando non essenziali per l'analisi della deformazione le tre funzioni 1.1 0 , v 0 e w 0 • Difatti, la tema u 0 , v 0 , w 0 produce scorrimenti e dilatazioni nulli. Le (3.2.3) e (3.3.5) costituiscono la soluzione del problema della trave ad asse rettilineo di sezione costante, sollecitata a sforzo assiale, nell'ipotesi (3.2.4). Nell'ambito del metodo delle forze si può verificare che la sestupla di funzioni

N cr, = A' è soluzione del primo problema di Saint-venant. Difatti, risultano verificate, in tutti i punti interni del dominio costituito dal solido cilindrico, le equazioni indefinite di equilibrio (1.1.3) e le equazioni di compatibilità (1.2.13) di Beltrami. 70

3 Sforzo assiale

Per quanto concerne l'equilibrio ai limiù sulla frontiera del solido cìlindrico, le(*) soddisfano le equazioni al contorno (1.1'.6) sulla superficie laterale .9i • Per le (1.1.7) e (Ll.8), poi, se sulle due basi 9j e .9"ri si lia · e

allora la soluzione (*) è valida in tutù i punti del solido cilindrico. In breve, la (*) cosùtuisce la soluzione del problema dell'equilibrio. elastico in argomento, poiché risultano verificate tutte le equazioni che governano il problema stesso: cioè le equazioni di equilibrio (indefinite ed ai limiti), di congruCPza e di legame costitutivo.

Il problema di Saint-Venant relativo alla sollecitazione di sforzo normale, può essere anche risolto assumendo quale soluzione di tentativo le (3.3.5), oppure la tema indicata nel par. 3.6. La soluzione del problema data a priori può essere espressa anche mediante le (3.2.3), (3.2.4) e (3.3.5). In ogni caso, occorrerà verificare le equazioni del problema stesso. 3.3.2. Stato di deformazione

Dalle (3.3.5) appare che lo spostamentQ w secondo l'asse della trave non dipende da x e y . I punti che nello stato indeformato appartengono al piano di equazione

z=z

(3.3 .6)

a deformazione avvenuta si portano sul piano di equazione (3.3.7) Pertanto, la generica sezione t{asversale della trave si conserva piana ed ortogonale all'asse del solido, che risulta essere ancora rettilineo. Difatti, dalle (3.3.5) appare che u=O e v=O,perx=y=O. La (3.3.7) consente di affermare che la sezione generica della trave trasla nella direzione dell'asse z di una quantità w proporzionale alla sua distanza dalla base sinistra .99 0 • Tutte le fibre longitudinali subiscono eguale dilatazione

(3 .3 .8)

é':

z

8w N dw =-=-=8z EA dz

Lo spostamento dw del tronco elementare di lunghezza dz , si ricava dalla (3.3.8)

71

3 Sforzo assiale

e

lii(

N

~•,

a,~

N

>

dz

O_i

dw

t-+

Figura3.3

N dw = ez dz = EA dz

(3.3.9)

ed è illustrato in fig. 3.3. La variazione di lunghezza A l della trave è fonùta dalla somma dei contributi dei singoli elementi di trave di lunghezza dz (3.3.10)

Al=

f

lol

dw = - N dz = -Nl EA o EA

L'allungamento Al è direttamente proporzionale all'intensità dello sforzo N applicato secondo il coefficiente di cedibilità o di flessibilità (3.3.11) Tale coefficiente è pari all'inverso del coefficiente kN, che prende il nome di rigidezza assiale o rigidezza estensionale. Pertanto, la rigidezza kN risulta direttamente proporzionale al modulo E di elasticità del materiale ed all'area A della sezione trasversale ·del cilindro, ed inversamente proporzionale alla lunghezza l del solido. Se lo sforzo applicato è di trazione, ossia è N > O (fig. 3.2.a), dalla (3.3.10) risulta A l > O e il solido cilindrico si allunga. Si verifica il contrario per lo sforzo N di compressione, ossia per N < O . La trave, oltre a subire una dilatazione in senso longitudinale, si deforma anche trasversalmente per effetto Poisson (fig. 3.4). Per le (3.3.5), le componenti di spostamento uB, vB del generico punto B (xB, yB) sono fonùte da

=

72

3 Sforzo assiale

/-

.........

I

\ I I I

I

_ _ _..___..,.G X

y Figura 3.4

UB

=

(3.3.12)

vN

---XB

EA vN

VB= - - - y B

EA

da cui si trae che (3.3.13) La relazione (3.3.13) afferma che lo spostamento risultante B' - B si manifesta secondo la direzione G B . Indicata con r 8 la lunghezza del segmento G B , la variazione di lunghezza A r 8 di tale segmento vale (3.3.14) ove il segno indica che il segmento G B si contrae per N > O . Dato che la variazione di lunghezza A r 8 di GB è proporzionale alla lunghezza iniziale del segmento stesso, si deduce che la sezione retta corrente n6n varia di forma, ma si contrae omoteticamente per N > O (fig. 3.4), si dilata omoteticamente per N O , la componente N° è negativa. ossia il vettore che la rappresenta ha il verso opposto all'asse z , in base alla convenzione per le componenti positive dell'azione esterna.illustrata in fig. 1.8.a. Perle {3.6.11) e (3.6.15) si può affennare che le componenti di spostamento (3.6.1) sono prodotte dalle caratteristiche di sollecitazione esterna sulle due basi N* = N e N° = -N • ossia dalla · sollecitazione di trazione semplice ( N > O) • oppure di compressione semplice ( N < O) . In ogni sezione retta, l'unica componente dell'azione interna è lo sforzo nonnale o assiale N . Dalle relazioni (3.6.11) o {3.6.15) in argomento si trae (3.6.16)

N EA

c=-

Essendo state soddisfatte tutte le equazioni che governano il problema dell' equi- · librio elastico del cilindro di Saint-Venant sollecitato a sforzo nonnale semplice, si può scriverne la soluzione sia in tennini di spostamenti, sia in tennini di componenti di tensione. Perla (3.6.16) le (3.6.1) ~sumono l'~tto u..=

{3.6.17)

11N -EA:,; 11N

"= - EA 11 N EA

w=-z

79

3 Sforzo assiale

La soluzione del problema costituita dalle (3.6.4)-(3.6.6) può porsi nella fonna

= (JII = 'T:,;y = 'T:,;z = 'Tyz = O N crz = A

(J:,;

(3.6.18)

Per la rappresentazione dello stato tensionale e la discussione dello stato deformativo si rimanda alle considerazioni riportate nei parr. 3.3.2, 3.4 e 3.5. Giova rilevare che, in virtù del postulato di Saint-Venant, la soluzione delineata è relativa ad una distribuzione arbitraria di forze superficiali p~ e p; sulle due basi del solido cilindrico, purché soddisfacenti alle condizioni

N* = L

p: dA = L

(3.6.19)

N° = Lp~dA= -

(Jz dA = N

i

crzdA= -N

Per una distribuzione unifonne di forze sulle due basi (3.6.20)

* N Pz = A'

la soluzione in predicato è valida in tutti i punti del solido cilindrico, compresi quelli all 'intemo delle due zone di estinzione. È da notare anche che le (1) e (2) dell'esercizio 1.5 risultano identicamente soddisfatte dalla soluzione (3.6.17). Pertanto, la soluzione in parola non.contiene componenti di moto rigido.

3.7. ESERCIZI

Esercizio 3.1

Verificare che nel generico punto della trave soggetta a sforzo assiale il coefficiente di dilatazione cubica vale (1)

N 9 = ex + eII + ez = EA( 1 - 211) . = I 1e

mentre la variazione globale di volume è data da (2)

L\V=

h V

80

Nl E

0dV= -(1-211)

3 Sforzo assiale

Esercizio 3.2

Se si indica con P il punto generico di coordinate x, fi, z e coil P' il suo trasfonnato, di coordinate x', y', z' , nel processo di dcfonnazione associato allo sforzo assiale, verificare che x' = x + u = x ( 1 y 1 = -y +

:A)

-(1 N) z ( + :A)

"=y

z' = z + w =

li

-

li EA

1

Esercizio 3.3

Si consideri il cilindro di Saint- Venant sollecitato a sforzo assiale di trazione. a) Detennfnareitrasfonnatideipunti P (xp,0,zp) e Q = (0,yp,zp) appartenenti ai piani coordinati x - z e y - z , rispettivamente. b) Rappresentare nello spazio Oxyz i trasformati dei segmenti di retta per P e Q , parai/cii agli assi x e y , rispettivamente. _;I

.

=

•

Esercizio 3.4

Con riferimento alla rappresentazione grafica di .ig. 3.6, precisare la corrispondenza tra le giaciture del fascio aventi per sostegno la retta per B ortogonale al piano y - z (.ig. 3.6.a), e i punti della circonferenza di fig. 3.6.b.

81

4

Flessione retta

4.1. GENERALITA' Il cilindro di Saint-Venant si dice sollecitato a flessione retta, di asse x , quando la sezione corrente risulta sollecitata dalla coppia flettente costante ( 4 .1.1) Nella flessione retta in parola, il carico applicato sulla base di destra (fig. 4.1) è equivalente ad una coppia M; agente nel piano Oyz. Il carico agente sulla base di sinistra costituisce un sistema equivalente a zero con quello applicato sulla base di destra. Il piano Oyz in cui agisce la coppia prende il nome di piano di sollecitazione, mentre la sua traccia sulla sezione retta, cioè l'asse y , costituisce l'asse_ di solleci-

tazione s = y • È da rilevare che le_ coppie in argomento, di modulo (4.1.1), possono essere rappresentate anche dal loro asse momento, che risulta essere un vettore normale

al piano di sollecitazione. Tale vettore, pur essendo libero< 1>, viene applicato per comodità in corrispondenza del baricentro della sezione. Si può anche affermare che, nella flessione retta secondo x , l'unica caratteristica di sollecitazione interna risulta essere il momento M"' , il cui asse è parallelo a quello principale d'inerzia x della sezione.

È da notare che la coppia agente sulla base sinistra del solido cilindrico è indicata con -M~ , poiché la componente positiva del vettore M 0 delle forze esterne relative alla base sirtlstra i~ esame risulta equiversa all'asse x. Per quanto testé affermato e perla (4.1.1), la flessione retta di assè x può anche essere r:appresentata come in fig. 4.2.a.

Cl)

Coppie uguali, agenti su piani paralleli, sono staticamente equivalenti.

83

4 Flessione retta

f,

/

'

o I .,,,-,------·

.

----

z

I

1

y

Figura4.1

(a)

(b)

Figura4.2

Asse geometrico deformato

4.2. L'ESPERIENZA

Il solido di Saint-Venant, sollecitato a flessione retta Mz (fig. 4.2.a), si defonna. Le fibre disposte nel piano Oxz non subiscono variazione di lunghezza, quelle dalla parte della convessità si allung~o, mentre quelle dalla parte della concavità si accorciano (fig. 4.2.b). Il piano Oxzche, prima della defonnazione, contiene

84

4 Flessione retta

le fibre che non subiscono variazione di lunghezza, prende il no~e ~i piano neutro, mentre la sua traccia sulla sezione retta, cioè l'asse x , dicesi asse neutro n ~ x . Secondo l'ipotesi di Eulero-Bemoulli, detta anche ipotesi di conservazione delle sezioni piane, la generica sezione retta del cilindro, dopo la defonnazione, resta piana ed ortogonale all'asse geometrico defonnato (fig. 4.2.b). In fig. 4.3.a è rappresentato un tronco di trave di lunghezza unitaria ( l = 1) , con la faccia sinistra tenµta fissa e quella destra libera da ogni impedimento. Se si suppone che la sezione di destra ruoti dell'angolo d

]} Eis 2Eis

È da notare che, nell'ipotesi di piccoli spostamenti, la componente 11 di spostamento di un punto può essere trascurata in confronto alla coor:dinata 11 del punto stesso: Pertanto, è lecito porre nella (4A 7) 11' = 11 , ossia trascurare il termine ·M - . (4.4.~) 2EÌ ez2 + 11(112 -iz?)l _,:

rispetto all'ordinata 11. La precisazione fatta pennette di riscrivere la (4.4.7) nella fònna (4.4.9)

z1=h(t+

M"y') =h(t+ El" M"1I)

EI"

Nel riferimento Ox11z' la (4.4.9) è l'equazione di un piano parallelo aU'.asse x. La sua traccia sul piano 011z' (fig. 4.5) ha la medesima eqù~ione e taglia l'asse 11 (di equazione z' =O) nel punto V di coordinate

11v = - El" M" Pertanto, i punti della generica sezione retta (4.4 .5) appartengono, doJ>O la defonna( 4 .4 '10)

z~ =O'

zione, al piano di equazione (4.4.9). In altri termini, le sezioni rette si conservano piane e disposte, a. deformazione avvenuta, secondo i piani del fascio avente per sostegno la r~tta .passante per V ed.ortogonale al piano 11z -. lii fig. 45 la traccia del pian.o a cui appartiene .la tt~formata OSSibile dall'asse neutro. Tale esigenza viene soddisfatta dalle sezioni dei profilati metallici (sezioni a T , O , doppio T e oosì via). La fig. 4.11 illustra il diagramma delle tensioni normali crz . . per una sezione a ooppio ·T , costituita da un'anima molto sottile e da du.e ali molto lunghe, sollecitata a flessi0ne retta dal momento M:z;. ln fig. 4.12" è rappresentato il diagramma delle tensieni . cr,. per una ~ezione tubolare di spessore sottile sollecitata ·a: flessione retta

-M:z;. 101

4 Flessione retta

Diagramma di a,

Sezione I

I

Mx

X

Anima/

I

'

,y

a)

I

b)

\Ala

Figura 4.11

Sezione

:::

X

Diagramma di o,

G

-MX

,,y a)

b)

Figura4.12

È da notare come, nei due esempi in parola, la maggior parte dcli' area resistente della sezione sia distante dall'asse neutro, per consentire un impiego razionale del materiale.

4.6. LAVORO DI DEFORMAZIONE E VARIAZIONE DI VOLUME 4.6.1. Energia di deformazione Nel caso di flessione retta secondo x , si è visto che lo stato tensionale risulta !

102

4 Flessione retta

espresso dalla (4.5.1). Penanto, il potenziale elastico complementare (1.7.1) assume l'aspetto

(4.6.1)

L'energia di defonnazione relativa all'intero solido vale

( 4 .6 .2)

'P

= e =. L =

2

1

11 1

M 1/;d'V = --"'dz 'Il 2EI; o

A

2

y dA

M2l = -"'2EI"'

essendo

( 4 .6 .3)

I"'= iy2dA

il momento d'inerzia della: sezione rispetto all'asse neutro

x·= n-:

Nella (4.6.2) i simbol i 'P = c sono stati introdotti per ricordare che.si tt:atta di un'energia complementare, poiché espressa.in termini di M"'. Inoltre, il simbolo L = Li vuole indie.are ~he il risultato (4.6.2) può essere conseguito come lavoro interno di deformazione prodotto dalla tensione c,z per la dilatazione ez = c,zf E in tutti i punti del volu~e 'V del solido cilindrico (cfr. esercizio 4.8, espressione (2)). 1

•

I

•

Oltre che per via intçma, il lavoro di deformazione relativo alla flessione retta M"' può valutarsi medi'l°te il teorema di Oapeyron ( 4 .6 .4)

'P

1

= L = L e = -M Acp 2 "' "'

ove A . può esprimersi in funzione del modulo di elasticità tangenziale G : (4.7.5)

). =

Il

E

.

2Gv

(1+11)(1-211) = 1....:211

105

4 Flessione retta

Perle (4.7.3)-(4.7.5), dalle (1.1.9) risulta

crx (4 .7 .6)

= 2Gex + )..JIE = -2Gc11y +

2G11 _ cy( 1 - 211) 1 211

cr11 = 2Ge 11 + )..J1" = O crz = 2Gez + >-I1,: = 2Gcy( 1 + 11)

=O

= cEy

rzx=rz11=rx11=0 Nella terza delle (4.7.6) e nella (4.7.5) si è utilizzata la relazione tra il modulo di elasticità normale E e quello tangenziale G :

(4.7.7)

G=

E

2(1 + 11)

Si vuol far rilevare che in questo procedimento, partendo dalla soluzione di tentativo (4.7.1), si verifica a posteriori che lo stato tensionale (4.7.6) soddisfa l'ipotesi .di Saint-Venant ero: = o-11 = ro: 11 = O . Nella soluzione alternativa dello sforzo assiale riportata nel par. 3.6, invece, tale ipotesi viene utilizzata prima di applicare le equazioni di legame. È da notare che l'ipotesi in narrativa di Saint-Venant è anche contenuta nelle equazioni indefinite di equilibrio in termini di spostamenti, espresse dalle (1 )-(3) dell'esercizio 1. 1. In generale, quando si affronta la soluzione di un problema di Saint-Venant in termini di spostamenti, le equazioni di equilibrio, di congruenza e di legame elastico vengono impiegate nell'ordine, così come mostrato nell'anzidetto par. 3.6 e nel presente. Diversamente, a partire da una tema di funzioni continue assunta come soluzione .di tentativo, si possono valutare le deformazioni e, successivamente, le tensioni. Dopo aver notato che lo stato tensionale è quello di Saint-Venant, occorre verificare le equazioni indefinite di equilibrio ed ai limiti sulla superficie laterale. La determinazione della distribuzione di forze sulle due basi, compatibile con la soluzione ipotizzata, costituisce l'ultima fase della risoluzione del problema.

4.7.3. Equivalenza statica sulle basi Occorre verificare che la tema di funzioni (4. 7 .1) dà luogo a due coppie flettenti agenti sulle basi terminali del solido cilindrico. Per le (4.7.6), le componenti dell'azione interna (1.5.3) nella sezione corrente della trave ammettono la seguente rappresentazione

(4.7.8)

106

4 Flessione retta

= LrZl,ldA =_o;

(4.7.9)

Tl,I

(4.7.10)

N ·~

(4.7.11)

M., =

1·A

(4.7.12)

M~ ,=

-

.(4.7.13)

'Mz ,=

i~~ dA = cE L

y dA = cES., = O

crzydA = cE (

hr

·

(T

z

X

jA

y2 dA = cEI.,

dA = -cE

r (TZl,lx -

, }A

hr xy dA = -cEI

Tz,;Y) dA =

q

=

o

o

Lo sforzo assiale N (4.7.10) è nullo, poiché il momento statico S., della sezione rispetto all'asse .x. è zero (4.7.14) essendo x baricentrico. Il momento flettente M1,1 (4.7.12) è. uguale a zero,,poiché si annulla il momento centrifugo . i •

(4.7.15)

I

IY = LxydA= O

dell'area della sezione rispetto alla coppia di assi principali d'inerzia x e y. I tagli T., e T1,1 ed il momento torcente Mz sono nulli, poiché le tensioni tangenziali rzx e rz1,1 sono uguali a zero. Dalle (4.7.8)-(4.7:13) appare che l'unica componente dell'azione interna originata dalla tema di funzioni (4.7.1) è il momento flettente (4.7.16) essendolacostante c#O. Nella(4.7.16) I., denota.ilmomentod'inerziadell'area della sezione rispetto all'asse x (4.7.17)

I.,.=

L

y2 dA

Dalla (4.7.16) si deduce il valorè della costante ( 4 .7 .18)

Per l'equilibrio alla rotazione attorno all'asse x di ciascuna delle due parti in cui il solido cilindrico viene diviso dalla sezione corrente (fig. 1.8), sulla base 7 1 posta a z = l risulta applicata la coppia 107

4 Flessione retta

(4.7.19) mentre sulla base .9"0 posta a z .= O deve agirç il IDòmentd ,,

(4.7 .20)

-

o..:..M.:i: ,,. M:z;·-

Difatti, per le (4.7.8)-(4.7.13), dalle (1.4.6) e (l.4.7) si rièava che M:z = M;; • o . . .. dalle (1.4.9), pm, segue che -M:z = M:,;. In sintesi, la tema di funzioni (4.7.1) risulta compatibile còn-iu1a s0He-citazi0ne esterna sÙlle basi equivalente a due coppie autoequilibrate,; con asse m,©ment0 parallelo all'asse x. L'asse momento della coppia M; applkata s1:1Ma base z = l riswta equiverso ad x, l'asse della coppia applicata sulla base z = O ha il verso contrario di x (cfr. fig. 4.1). Si è in presenza della sollecitazione di flessione retta di asse x , àen0m,inata anche secondo problema di Saint- Venant. È da notaFe che tutte le equazioni (di equilibrio, di congruenza e d,i legame elastico) che governano il problema dell'equilibrio elastico del soLido ciUndrico risultano soddisfatte punt1:1almente, tranne le condizioni ai limiti su1le ba~i temi•iRati della trave, che sono verificate globalmente .. Da quanto esposto si può affennare che, a suffuciente distanza èaHe t>asi caricate, la soluzione in termini di spostamenti del secondo problema di Saic1;it-Venant, ossia àella flessione rena di asse x , ammette la rappresentazione

-M2

( 4 .7 .21)

in virtù delle (4.7.1) e (4.7.18). In termini di tensioni, la soluzione (uaica) è fornita da

(4.7 .22) in virtù delle (4.7.6) e (4.7.18). Per lo studio dello stato defonnativò e di. quello tensionale. si rimmàa ai pai:r. 4.4 e 4.5. Il lavoro di deformazione è esaminato nel par. 4.6'.

4. 7.3. 1. Osservazioni a) La soluzione (4.7.21) del problema dèlla flessione retta di.asse momeoto x non contiene componenti di moto rigido, poiché la tema di funzioni u, v, w in

108

4 F1essione retta

narrativa soddisfa alle condizioni di vincolo dell'incastro puntuale illustrate dalle . (1) e (2) dell'esercizio 1.5. b) Se sulle basi tenninali del solido cilindrico le condizioni ai limiti vengono soddisfatte punto' per punto, come segue:

= cEy = p;, -az = -cEy = p~, az

( 4 .7 .23)

=l per z = O

per z

essendo tutte le restanti componenti di tensione uguali a zero, allora la soluzione del secondo problema di Saint-Venant è valida in tutti i punti del volume della trave, compr:esi quelli delle due zone di estinzione (cfr. fig. 1.6). La distribuzione di forze superficiali (4.7.23) fornisce le coppie risultanti:

M;

= { p;y dA = cE

M2

= }A { p~ydA = -cE }A{ y2 dA = -cEI"' = -M"'

(4.7.24)

. }A

h{ y

2

dA

= cEI"' = M"'

.

4.8. ESERCIZI

Esercizio 4.1

Dimostrare le condizioni di equivalenza globale (1)

Mli =-1axdA=O z . ' A

rispettivamente per la sezione corrente e per la base libera, nell'ipotesi di trave . sollecitata a flessione retta di asse x . Soluzione. Il risultato si consegue notando che è nullo il momento d'inerzia centrifugo

(2)

1"'11 =

i

xydA

rispetto ad una coppia di assi principali d'inerzia.

109

4 Flessione retta

Esercizio 4.2

In corrispondenza della soluzione in tennini di tensioni del problema della flessione retta di asse x (I)

a) verificare che risultano nulle le seguenti caratteristiche della sollecitazione esterna sulla base z = l (2)

N* =

o' r; = o' r; = o' M; = o' M; = o

e sulla base posta a z = O : (3)

b) Verificare anche che, nella sezione corrente, sono nulle le componenti del1'azione interna (4)

Esercizio 4.3

Se nella sollecitazione di flessione retta di asse x si assume per la tensione crz l'espressione lineare (I)

crz = ax +by+ e

rilevare che dalle condizioni di equivalenza (2) (3)

(4)

si ricavano, nell'ordine, i valori delle costànti (5)

110

e= .O,

a= O,

4 Flessione retta

Esercizio 4.4

Ricavare il campo di spostamenti ammissibile (4.3.11) della flessione retta di asse x ti,=

(I)

vM,,, · E I,,,

---:z;y

M,,, [z2+v(y2-:z;2)] 2EI,,, M w= _ x yz EI,,,

v=-

Soluzione. Il sistema (4.3.10) risulta integrabile in termini di componenti di spostamento, essendo assicurata la congruenza interna. Dalla terza delle (4.3.10) si ricava

M

(2)

w= E/yz+f1(:z:,y) X

essendo f 1( :z:, y) una funzione incognita delle variabili :z; e y. Per la (2) si può scrivere (3)

aw

ax

8f1 =

ax'

8w 8f1 M,,, -=-+ --z 8y 8y El,,,

Prendendo in considerazione le (3), le ultime due relazioni (4.3.10) diventano ( 4)

Integrando le (4) rispetto a

z; si ha

(5)

ove f 2 ( :z;, y) ed f 3( :z;, y) sono funzioni arbitrarie di :z; e y . Sostituendo le (5) nelle prime due equazioni (4.3.10) si ricava

(6)

a 2 f1 -. a f 2 v M,,, - z - -2+ - = - - - y 8:z: 8:z: E I,,, a 2 f1 af3 v M,,, -z--+ = ---y 8y 2 8y E I,,, 111

4 Flessione retta

Dalle (5) si ottiene

a

2 fPu f --=---1 2

(7)

azax

ax

'

t g;

Per le prime due relazioni (4.3.10), le derivate e non dipendono dalla variabile z . Pertanto, essendo le derivate seconde miste nulle, dalle (7) segue che (8)

In virtù delle (8), l'integrazione delle (6) fornisce

(9)

Risulta anche

f 1(x,y) = axy+ bx + cy + d

(10)

essendo nulle le derivate seconde (8). Nelle (9) e (10), 9Ì ( y) e 92 ( x) sono funzioni incognite di y e x , rispettivamente, mentre a, b, e e d soao costaati. Tenendo coHto delle (9) e (10), la (5) ammette la seguente rappreseatazione

·

vM E I:i:

u = ___ :i: yx + 91(Y) - z(ay + b)

(11)

2

M:i:z vM:i: v=- - - z ( ax+c) - y2 +9 2 ( x )

2EI:i:

2E I:i:

Perle (11), la quarta delle (4.3.10) assume l'aspetto (12)

d9 1 d9 v M:i: -+ - -2 - - x = 2 a z dy dx E I:i:

Se si osserva che il primo membro della (12) non dipende dalla variabile z, si deduce che dev'essere nulla la costante -a che compare al secondo membro. Pertanto, si può porre la (1~2) Bella fonna (13)

d9 2 11 M:i: d9 -- - x = - -1 dx E Ix dy

Essendo 9 1 = 9 1 (y) e 92 = 92 (x), il primo membro della (13) è funzioae solo di x , mentre il secondo dipende soltanto da y • Segue che 112

4 Flessione retta

dg1

-=-a dy dg2 V Mx ----x=a dx E Ix

( 14)'\

ove a è una costante. Dall'integrazione delle equazioni (14) si ricava Yt

= Y1(Y) = -ay+ /3

(15)

V

Y2 = Y2 (X) = 2 E

IM

2 X

+ O!X + 'Y

X

con /3 e 'Y costanti arbitrarie. Per le (15), le (Il) e (2) assumono l'aspetto

u= - -V -Mx y x - a y - bz+

/3

E Ix

(16)

Mx [ z 2 + v( y 2 - x 2 )] + ax - cz + 'Y 2EIX M w = _ x yz + bx + cy + d EIX .

v=-

avendo prima dimostrato che la costante a che appare nella (10) è nulla. I termini lineari in x, y e z delle componenti di spostamento (16) rappresentano il moto rigido. Le costanti

a, /3, 'Y, b, e, d

(17)

dipendono dal modo in cui la trave risulta vincolata. Se, ad esempio, si suppone fisso il baricentro O (O, O, O) della base sinistra del cilindro:

=

(18)

u(0,0,0) = O,

v(0,0,0) = O,

w(0,0,0) = O

dalle (16) si ricava ( 19)

/3=1=d=0

Inoltre, se alla predetta base, nell'intorno dell'origine, sono impedite anche le rotazioni (20)

=o aul avi o = o az o = o' avi az o ' ax

dalle (16) si deduce anche (21)

b=c=a=0

Jn virtù delle (19) e (21), le (16) si riducono alle (1) .. Quest'ultime costituiscono un campo continuo di spostamenti. È-da notare che le (18) e (20) costituiscono la condizione-di-vincolo detta di incastro puntuale, nel baricentro O della base di sinistra.

113

4 Flessione retta

Esercizio 4.5

Dimostrare che l'equazione (4.4.16), qui di seguito riscritta per comodità ( 1)

rappresenta l'equazione di un piano normale alla curva secondo cui si dispone l'asse geometrico deformato della trave. Soluzione. L'equazione (1) può essere posta nella fonna segmentaria z' y -+-= 1

(2)

h

R

La rappresentazione grafica della (2) è illustrata in fig. 4.13 dalla retta V P . L'equazione della linea elastica assume l'aspetto che si deduce dalle (4.4.1) (3)

z2

M 2Eix

y = v(z) = ___x_z 2 = -

2R

nel piano Oyz, in virtù della (4'.4.15). La componente di spostamento, secondo l'asse y , del punto P di ascissa z si ricava dalla (3): ( 4)

Vp

h2

= v(z = h) = -

2R

=h

-

= PP'

ed è indicata dal segmento P P' in fig. 4.13. Le coordinate del punto P' , trasformato di P , sono (5)

Nella (5) il punto H (fig. 4.13) di intersezione della retta V P con la linea elastica, si è considerato coincidente con il punto P' . Tale approssimazione è lecita nell'ipotesi di piccoli spostamenti. Ciò equivale ad affennare che le rette V P e V P' hanno la stessa equazione, ossia coincidono. Occorre dimostrare che la tangente alla linea elastica in H P' risulta ortogonale alfa retta V P in questione. L'equazione della tangente all'asse geometrico defonnato in H P' può ricavarsi applicando la regola degli sdoppiamenti. Se si indicano con

=

=

(6)

114

z= h,

4 Flessione retta

Linea elastica

Z=h

y, V Figura4.13

=

le coordinate del punto H P' occorre, secondo la predetta regola, riscrivere la (3) sostituendo z 2 con zz e 2 Ry con R( y + y) . Pertanto, l'equazione cercata della tangente in parola assume l'aspetto (7)

zz - R(y + y) = O

ovvero (8)

in virtù delle (6). Se le (2) e (8) si pongc;mo nella forma

(9) (10)

Rz' + hy = hR . hz hz-Ry= 2

è immediato verificare che le due rette sono ortogonali. Difatti, essendo ( -h, R) una coppia di numeri direttori dell'equazione (9) e (R, h) una coppia di numeri 115

4 Flessione retta

direttori della retta (10), risulta verificala la condizione necessaria e sufficiente di perpendicolarità ( 11)

-hR+ Rh= O

=

Pertanto, la retta V P è ortogonale alla tangente alla linea elastica in li P' . Dato che la dimostrazione è stata fatta per la generica sezione individuata da z = h, si può affermare: «Le sezioni trasversali di una trave sollecitata a fles-

sione retta rimangono piane cd ortogonali ali 'asse geometrico nella configurazionç deformata». Una dimostrazione più sintetica di quella testé illustrata è riportata nell'esercizio 4.6.

Esercizio 4.6

Nel caso della trave sollecitata a flessione retta M:z; : a) osservare che, se si considerano tre elementi di linea in un punto B intemo al solido, paralleli agli assi coordinati, nel processo di deformazione l'elemento parallelo all'asse z resterà ortoçonale ai restanti due, poiché ( I)

"fzz

= "fzy = O

b) Rilevare che i restanti due elemènti di linea, inizialmente appartenenti ad una sezione retta, si disporranno su un piano del fascio avente per sostegno la retta parallela ali 'asse x passante per V (lig. 4.5). Tale piano dovrà risultare normale al terzo elemento di linea in B , dopo la deformazione. Per fissaré le idee, si può assumere B P . c) Notare che, le rette parallele all'iisse z del solido, intese come traiettorie ortogonali ai piani delle sezioni rette dei cilindro, si trasformano in traiettorie ortogonali ai piani del fascio menzionati in b), ossia in archi di circonferenze aventi il centro sulla retta comune ai piani del fascio considerato in b).

=

Esercizio 4. 7

Con riferimento alle notazioni della fig. 4. 14 in cui è rapprc:sentanto, nel piano di flessione yz, un tronco elementare di trave sollecitata 4 flessione retta: a) notare che la variazione di lunghezza D D' della generica fibra longitudinale è:

DD' = o( dz) .~ f..,(y) dz

116

M = El '!I dz :z;

4 Flessione retta

dz

z y

y

rGiacitura deformata

Figura 4.14

in virtù della terza delle (4.3.10). b) Osservare che la rotazione relativa d~ può porsi nella tonna (2)

d~ = o( dz) = Mx dz

EIX

. y

da cui segue

Mx

d~

-=-dz Elx

Esercizio 4.8 a) Per il cilindro di Saint- Venant sollecitato a flessione retta, ricavare l'espressione del lavoro di deformazione (1)

facendQ uso delle relazioni

.!.2 }'Il l a ,,e,, d'V

(2)

L=

(3)

L = = E { 2

1'11

e2 z

d'J/

dopo .iveme dimostra(a J.a validità. b) Riconoscere. le espressioni della densità di energia elastica.

117

4 Flessione retta

Esercizio 4.9

Dimostrare che il lavoro di deformazione relativo alla flessione retta secondo x (1)

può ricavarsi calcolando direttamente il lavoro delle forze esterne Pz . Soluzione. Le forL.e esterne Pz, agenti sulle basi del cilindro, compiono lavoro per gli spostamenti w fomiti dalla terL.a delle (4.3.11): W

(2)

M x yz = __ Eix

Essendo nullo lo spostamento w sulla base sinistra posta a z rema di Clapcyron risulta

= O , per il teo-

(3) Essendo per le (4.3.3) e (2) w(z

( 4)

Ml = l) = _ xy

Eix

la (3) diventa (5)

_ _ M; l L-Le- 2EJ2 x

1 A

2

V

dA _ M; l - 2EI

x

Esercizio 4.10

a) Verificare che la sestupla di funzioni ( 1)

rappresenta l'unica soluzione del problema di Saint- Venant in cui sulle basi .97 1 e .970 del cilindro le risultanti delle forze esterne sono due coppie autoequilibrate aventi asse momento y e intensità (2)

118

M*y = -My0 = M y

4 l O genera compressioni per x > O , trazioni per x < O (fig. 5.4). 124

5 Flessione deviata

Tensioni oz generate da MY

y

Tensionioz associate a Mx

FiguraS.4

5.3. FORMULE MONOMIE

Quando la sezione retta della trave è sollecitata dalla coppia interna M , l'asse di sollecitazione s risulta ortogonale all'asse momento (fig. 5.3), mentre l'asse neutro n è incognito. Quest'ultimo può detenninarsi come coniugato del primo, attraverso la relazione (5.2.12). La detenninazione grafica dell'asse neutro è illustrata nel par. 5.3.1. Si può osservare che l'espressione binomia (52.4) di crz, essendo una funzione lineare di x e y, rappresenta l'equazione di un piano nel riferimento Gxycrz. L'intersezione di tale piano con la sezione retta costituisce l'asse neutro della sollecitazione in esame. Nei punti della sezione appartenenti alla generica retta BD (fig. 5.5) parallela all'asse neutro n, la tensione crz è costante e può porsi nella fonna

(5 .3.1) ove e è una costante, mentre 1/ denota la distanza della retta B D in discorso dall'asse neutro n, parallelamente all'asse di sollecitazione s . 125

5 Flessione deviata

Figura5.5

In altri termini, nella sezione si sceglie un riferimento obliquo, con origine in G , costituito dagli assi n ç , s 1/ • La costante e nella (5.3.1) si determina imponendo, perla sezione corrente, l'equivalenza tra il momento interno M ed il momento associato alle forze elementari crz dA. Con le notazioni della fig. 5.5, si può scrivere

=

=

(5 .3 .2) Nella (5.3.2) 7J + ç sen ,'J rappresenta la distanza dell'area elementare dA dall'asse momento, secondo la direzione dell'asse di sollecitazione s. Per la (5.3.1), la (5.3.2) diventa

(5 .3 .3) Si introduca il momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse neutro n

(5 .3 .4) valutato misurando le distanze 7J secondo la direzione dell'asse di sollecitazione s, e si osservi che è nullo il momento centrifugo dell'area della sezione retta della trave (5 .3 .5)

I

= { ç1)dA = O fflJ

126

)A

5 Flessione deviata

= =n.

rispetto alle due direzioni coniugate 1/ s e ç Per le (5.3.4) e (5.3.5), dalla (5.3.3) si ricava (5 .3 .6)

In virtù della (5.3.6) , la (5.3.1) assume l'aspetto (5 .3.7) In sintesi, l'equivalenza intorno all'asse momento consente di determinare la formula monomia (5.3.7), del tipo di quella di Navier per la flessione retta. Una formula monomia analoga alla (5.3.7): (5 .3 .8)

è ricavata nell'esercizio 5.1. Nella (5.3.8) Mn rappresenta la proiezione del vettore M sull'asse neutro

(5.3.9)

Mn = Mcos{J

mentre In denota il momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse neutro n, prendendo le distanze dn dell'area elementare dA ortogonalmente alla retta n. 5.3.1. Determinazione grafica dell'asse neutro

Sono noti l'asse di sollecitazione s, ortogonale all'asse momento che definisce la flessione deviata, e l'ellisse centrale d'inerzia della sezione (fig. 5.6). La (5.2.12) assicura che l'asse neutro n è coniugato di s nella involuzione baricentrica connessa con l 'ellìsse centrale d'inerzia della sezione retta. Ebbene, la retta baricentrica parallela alle tangenti all'ellisse nei punti di intersezione con s, costituisce l'asse neutro della sollecitazione di flessione deviata. L'equazione dell'ellisse rappresentata in fig. 5.6 può scriversi nella fonna (1)

x2

y2

P;

Pi

-+-=1

.ove. P: e py denotano--i-.raggi-d'..inerzia-{semidiameu:Lconiugati) distesi sugli assi y e x , rispettivamente. L'equazione della tangente all'ellisse nel punto P (x, y) assume l'aspetto

=

(2)

127

5 Flessione deviata

Ellisse centrale ..,.,,.,...d'inerzia

X

M Asse neutro

Asse di sollecitazione

y

FiguraS.6

Dalla (2) si trae l'equazione dell'asse neutro n

x

y p~

w= -;p;

(3)

Con le notazioni della fig. 5.6 si può porre

~ = x=•

(4)

tgsy

tgny = -X

y

'Y

Per le (4), la (3) diventa

-

-

tg sy • tg ny = - -~

(5)

p;

Iri base alle notazioni della fig. 5.3 risulta anche - tg ys (6)

- = cotg( 900 -+ ys -) =cotg a= - 1 =tg sy tga tg -ny

=cotg(90° -

-:'ny, .:::'\

=cotg f3 = -tg1

13

Per le (6), la (5) assume l'aspetto (5.2.12).

5.4. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 5.4.1. Deformata elastica Dalla (4.3.11) e dalla (5) dell'esercizio 4.10 si ricavano le componenti di.spostamento secondo gli assi x e y dei punti dell'asse geometrico z(x O, y O) della trave

=

128

=

5 Flessione deviata

(5.4.1) (5.4.2) nell'i1;>otesi che la flessione deviata venga decomposta nelle due flessioni rette, di caratteristiche M% ed M11 • Perle(5.4.l) e (5.4.2), il rapporto u/u tra le componenti di spostamento, indicato con tg fy u M11 J -=--....!.=tgfy

(5 .4 .3)

v

M% I 11

è indipendente da z . Nello spazio Ouuz, con gli assi u e u sovrapposti ad x ed y, rispettivamente, la (5.4.3) è l'equazione di un piano. Pertanto, la deformata dell'asse geometrico è contenuta in un piano, detto piano di flessione, passante per z . La traccia f di tale piano sulla sezione retta è detta asse di flessione, la cui equazione è ancora fornita dalla (5.4.3) nel piano della sezione. La quantità fy che appare nella (5.4.3) denota l'angolo che l'asse di flessione forma con l'asse y. La retta (5.4.3) in narrativa contiene punti della sezione che cadono nel secondo e nel quarto quadrante (fig. 5.7). Dal confronto tra le (5.4.3) e (5.2.6) emerge che (5 .4 .4)

tgfv= -tg/3= -tgxn

x,u

Asse di flessione ·

M

Figura5.7

y,v

129

5 Flessione deviata

Sezione indeformata ~ Sezione deformata

b)

Tronco elementare

X

a)

y Asse neutro

Asse di sollecitazione

Figura5.8

l'asse di flessione f risulta ortogonale all'asse neutro n. Se si confronta la (5.4.3) con la (5.1.3), poi, risulta che la retta f è distinta dall'asse di sollecitazione s, poiché i momenti d'inerzia Ix ed 111 sono generalmente diversi. Solo per Li; = 111 la retta s coincide con f . · L'angolo··~ tra l'asse di sollecitazione e l'asse di flessione prende il nome di

angolo di deviazione. 5.4.2. Rotazione relativa Se si fa uso dell'espressione monomia (5.3.8) della tensione normale e dell'equazione di legame crz = Eez, si può scrivere (5 .4 .5) La (5.4.5) dichiara che la dilatazione lineare ez è costante sulla generica corda parallela all'asse neutro n e varia linearmente con la distanza d,. (misurata ortogonalmente ad n) della corda dalla retta baricentrica n. La sezione corrente della

130

5 Flessione deviata

trave ruota attorno àll 'asse neutro n, mantenendosi ortogonale all'asse geometrico deformato< 1>. Con riferimento al tronco elementare di trave di lunghezza dz (fig. 5.8.b) e~tratto dal cilindro di Saint-Venant e sollecitato a flessione deviata (fig. 5.8.a), sia dcp la rotazione relativa tra le facce estreme, a deformazione avvenuta. In fig. 5.8.b le sezioni di estremità del suddetto concio elementare sono rappresentate mediante le loro tracce nel piano di flessione f z . Se si indica con 8( dz) la variazione di lunghezza della generica fibra del tronco elementare in esame parallela all'asse z e distante dn dal piano neutro, si ha (5 .4 .6)

8( dz) = e ( d ) dz:: z

n

M

_n

EJn

d dz n

Dalle (5.4.6) si ricava la rotazione relativa tra le due facce del tronco poste tra loro a distanza dz (5 .4 .7)

conformemente alle notazioni della figura. La rotazione relativa I:!,. cp tra le sezioni estreme della trave, di lunghezza l , prende la forma (5 .4 .8)

5.5. RAPPRESENTAZIONE DELLO STATO TENSIONALE E VERIFICHE DI SICUREZZA 5.5.1. Rappresentazione dello stato tensionale Assegnato l'asse di sollecitazione s, che risulta essere la retta baricentrica ortogonale all'asse del vettore momento M , si determina l'asse neutro n come coniugato dell'asse di sollecitazione (fig. 5.6). È stato anche osservato che la tensione crz è costante sulle corde parallele all'asse neutro e varia linearmente con la distanza di queste dal baricentro G della

CI) Nella flessione retta le sezioni si conservano piane ed ortogonali alla deformata dell'asse geometrico della trave. Poiché la flessione deviata risulta dalla sovrapposizione di due flessioni rette, le sezioni risultano piane e normali all'asse geometrico deformato anche nella flessione deviata.

131

5 Flessione deviata

sezioòe. Pertanto, le ina.~sime sollecitaziòÒi di compressione e di trazione si verificano nei punti più lontani dall'asseneutfl? ... Per valutare la tensione crz nei suddetti 1>~~tf, può essere conveniente impiegare I.a. fC>rmula binomia (5.2.4), qui di seguito rii;critta

{5.5.1) Noti M.,, M11 , I.,, 111 ; occorre porre nella (I) le coordinate dei punti della sezione più distanti dall'asse neutro. · I punti in narrativa, indicati con P 1 e P2 in fig. 5.9, si determinano conducendo le parallele ni e ni all'asse neutro, radenti la sezione. Dalla figura appare che in P1 si ha la massima tensione di compressione (in modulo) e in P2 la massima tensione di trazione. Indicate cori x 2 e 1'2 le coordinate del punto P2 , ad esempio, la tensione normale crz nel punto P2 vale (5.5.2)

Per illustrare la distribuzione della tensione CTz risultano espressive le due formule monomie (5.3.7), (5.3.8), qui di seguito riportate per comodità del lettore (5.5.3) (5.5.4)

Se si considera una fondamentale / 1 parallela all'asse si sollecitazione s e, a partire da quésta, si riporta il valore (5.5.2) di crz in corrispondenza del punto P2 , rappresentato in fig. 5.9 dal segmento H K, il diagrmamadelle tensioni crz risulta completamente determinato. Difatti, dato l'andamento lineare del diagramma, per tracciarlo sono sufficienti due sole oi:ciinate: quella in corrispondenza del punto P2 , ad esempio, e quella relativa all'asse neutro, ove risulta crz = O . In figura, il segno + è assunto per le tensioni crz > O di trazione, il segno - per le tensioni crz di compressione. La retta KZ che definisce, entro le due radenti ni ed 712 , il diagramma di crz dipende dalla scala con cui si rappresenta il valore cr?> di crz in P2 •

Il diagramma delle tensioni rappresenta l'intersezione del solido delle tensioni O'z(x,y) con un piano passante per i punti P1 e Pi ed ortogonale al piano della sezione retta.

•· (2)

132

.,

5 Flessione deviata

Diagramma di a2 Fondamemale ortogonale ad n

Fondame(l~ale p~r.-llela.ad s

)(

M

y

FiguraS.9

Il diagramma d'elle tensioni a,. può essere ottenuto anche riportando il valore

(S.5.2) di a,. à partire da una fondamentale f 2 perpendicolare all'asse neutro n, . come mostrato dal diagramma riportato nella parte più alta della fig. 5.9. Si.wol far rilevare che quando la distribuzione di a,. è riferita alla fondamentale / 1 , la fonnula monomi a che interpreta meglio il diagramma è la (5.5.3). Se si assume come fondamentale / 2 , le distanze dn sono misurate normalmente all'asse" neutro n, irraccordo alla (5.5.4). In enmunbi i casi l'ordinata ST, ad esempio, rappresenta il valoredèlla.tensione a,. di compressione in tutti i ptmtidella seziQOe appartenenti alla retta BD .·

5.5:2. Verifiche di sièurezza Determinata la tensione a,. nel punto maggiònnente sollecitato; con una delle fonnule (5.5.1), (5.5.3), (5.5.4), per fa sicurezza deve aversi

(5 .5 .5)

133

5 Flessione deviata

ove o-am denota la tensione ammissibile. Giova rilevare che, come per la flessione retta, anche per la flessione deviata si potrebbe esprimere la verifica nei punti maggiormente sollecitati introducendo i moduli di resistenza. Qualora la massima tensione (in modulo) fosse di compressione, occorrerebbe esprimere la (5.5.5) nella forma (5 .5 .6) nell'ipotesi di materiale con uguale comportamento a trazione e a compressione.

5.6. LAVORO DI DEFORMAZIONE Se si utilizza l'espressione binomia (5.2.4) della tensione normale o-z, il potenziale elastico, 1'energia specifica oppure la densità di energia complementare assume l'espressione (5.6.1) L'energia di deformazione complementare clastica \J1 relativa all'intero solido, ovvero il lavoro di deformazione relativo a tutta la trave, vale

(5 .6 .2)

Essendo x e y assi principali d'inerLia, è nullo il momento centrifugo Lz;y dell'area della sezione rispetto ad essi. Pertanto, con il significato dei simboli precedentemente introdotti, la (5.6.2) assume l'aspetto

(5 .6 .3)

\IJ-Lr -

-

M2l M2l X + !I 2EI 2EI X

!I

Nelle (5.6.2) e (5.6.3) l'energia mutua relativa alle coppie Mx ed My è nulla: (5 .6 .4) Pertanto, in questo caso,, vale il principio di sovrapposizione degli effetti anche per il lavoro di deformazione. In altre parole, il sistema costituito dalle due coppie Mx ed M11 risulta essere energetican1ente ortogonale. 134

5 Flessione deviata

Un'espressione alternativa della (5.6.3) può detenninarsi attraverso il teorema di Oapeyron che fornisce la seguente espressione del lavoro esterno Le: (5 .6 .5) Le espressioni delle rotazioni A 'Px e A cp 11 attorno agli assi x e y si scrivono (5 .6 .6) Per le (5.6.6), la (5.6.5) prende la forma (5 .6 .7)

È da notare che il lavoro mutuo è nullo, poiché il vettore di modulo A 'Px è ortogonale al vettore di modulo M 11 e A cp 11 risulta ortogonale a Mx . 5.7. ESERCIZI

Esercizio 5.1

In fig. 5.JOè illustrata la generica sezione retta del cilindro di Saint-Venant sollecitata a flessione deviata dalla coppia M . Le distanze dell'elemento di area dA dall'asse neutro n e da quello di sollecitazione s , secondo le direzioni ortogonali, sono indicate con dn e d8 , rispettivamente. La tensione az è costante sulla generica corda parallela ali'asse neutro ed è propoizionale alla distanza dn di questa dal baricentro G . Pertanto, si può scrivere (I)

in virtù dell'ipotesi di conservazione delle sezioni piane. Nella (1) e è una costante da determinare. a) Verificare che l'equivalenza relativa ai momenti delle foize esterne ed interne, intorno ali 'asse neutro n, prende la forma (2)

Nella (2) Mn denota la proiezione nonna/e del vettore di modulo M sull'asse neutro 135

5 Flessione deviata

X

Asse di sollecitazione

Asse neutro

Figura 5.10

(3)

M,.

= M cosi

mentre I,. rappresenta il momento d'inerzia del} 'area della sezione rispetto allo stesso asse neutro n (4)

I =

"

1" 2

d dA

A

Sostituendo nella (1) la costante e ricavata dalla (2) si ottiene la relazione monomia analoga a quella di Navier. cr z

=

M I,.

.....,.!!. d

"

b) Notare che se 1f rappresénta la distanza dell'area elementare dA dall'asse neutrp n, secondo la direzione dell'àsse di sollecitazione, la (3) e (5) consentono di scrivere (6)

essendo (7) (8)

S Flessione deviata

Nella (8) I~ rapprese~ta il momento d'inerzia dell'area della sezionè retta, rispetto ali 'asse n, misurando le distanze secondo l'asse di sollecitazione s • c) Rilevare che l'equivalenza relativa alle forze secondo l'asse z porge (9)

N=0=1crz dA=c1 dn dA=cSn A

A

Essendo il momento statico Sn della sezione rispetto aJJ 'asse neutro n uguale a zero, si ha la confenna che n risulta essere baricentrico. d) Notare che l'equivalenza relativa ai momenti intomo all'asse di sollecitazione prende la fonna (10)

ove Ina denota il momento centrifugo dell'area della sezione rispetto agli assi n ed s . Essendo Ina = O , si ha la confenna che l'asse neutro e quello di sollecitazione s sono coniugati. e) Esprimere la condizione (I 0) valutando le distanze secondo gli assi n ed s , indicate rispettivamente con ~ ed 11 .

Esercizio 5.2 Si consideri un tronco elementare di trave, di lunghezza dz,, sollecitata a flessione deviata. Si indichi con dip la rotazione relativa. tra le sezioni di estremità. prodotte dalla coppia M (fig. 5.8.b). a) Notare che il lavoro elementare dL necessan"o per p~durre tale deformazione è dato dall'espressione 1 · 1 ·· dL e = dL =, -M dip = -M drpcos ,'J 2 n 2

(1)

in virtù del teorema di Clapeyron. Nella (I) ,'J rappresenta l'angolo formato dal1'asse momento e dall'asse di rotazione n (.ig. 5.8.a); b) Rilevare che, per via intema, il su detto lavoro di defonnazione prende la ·fonna (2)

dL'

. ·1 . 1

= dL = .

cr2 dA =-nM2. dz tJ, d 'il = dz --L .. A2E ·2Eln

in virtù della n:lazione (3)

137

5 Flessione deviata

Nella (3) le distanze dn sono misurate in direzione ortogonale ad n. c) Osservare che l'uguaglianza tra le (1) e (2) porge dcp = Mndz

(4)

Eln

d) Esprimere il lavoro interno (2) utilizzando la formula monomia di az espressa attraverso le distanze 11 misurate parallelamente all'asse di sollecitazione s è verificare. che risulta (5)

d

_ Mdz 'P - El'n cos ,'J

Esercizio 5.3 a) Notare che, nella sollecitazione di flessione deviata, il raggio di curvatura R della deformata dell'asse geometrico ammette la seguente rappresentazione · (1)

1 dcp M R =-ci;"= - El~ cos ,'J

oppure (2)

conformemente alle notazioni introdotte nel cap. 5 relativo alla flessione deviata. b) Indicati con ( gli spostamenti dei punti dell'asse geometrico del solido nel piano di flessione f z , rilevare che risulta (3)

ovvero ( 4)

La (4) rappresenta l'equazione differenziale della linea elastica nel piano di flessione. La coppia Mn prende il nome di componente attiva di M nel piano di flessione f z . c) Osservare che l'analisi della deformazione e degli spostamenti relativa alla flessione retta risulta valida anche per la flessione deviata, ponendo n al posto di x, f al posto di y, Mn al posto di M,,. 138

5 Flessione deviata

d) In base al.l'osservazione c) rilevare che il problema ·della flessione deviata può essere risolto in modo diretto, assumendo la soluzione di tentativo in tcnnini di spostamenti

(5)

u = _!!._ M .. d df E I.. " M v = --"-[z 2 + v( d2 2EI "

-

.

d2 )] f

M .. d w = El .. z

.

oppure in tcnnini di tensioni (6)

È da notare che se l'asse n coincide con x, l'asse y con quello di flessione, cd il momento M.. = Mx con la proiezione del vettore M sull'asse neutro, le (5) c (6) coincidono, rispettivamente, con le (4.3.11) c (4.5. 1).

Esercizio 5.4

a) Seguendo il procedimento del par. 5.6, verificare che la densità dell'ènergia di defonnazione 1jJ e l'energia 'I' relativa all'intero solido cilindrico possono anche porsi nella fonna .,. _ a z2 _ M2.. d2 (]) y, - 2E - 2EI2 "

.

(2)

\Il

r

M;

= L = 2EI2n

1 A

d2 dA M;l " = 2EIn

b) Notare che risulta anche

. M2

2

(3)

'ljJ= 2EI'2 T/

(4)

'1'-L-

.

M2l 2EI'

.

c) Ricavare le (2) c (4) facendo uso del teorema di Gapcyron, utilizzando l'espressione della rotazione relativa (5)

M .. L 11ip.. = El

.

il cui asse momento è diretto secondo l'asse neutro n.

139

5 Flessione deviata

Esercizio S.S Valutare il coefficiente didilaiàzlorie cubica' lì~·= 8 e là variazione totale di volume ll. 'li nella sollecitazione di flessione deviata. .-

140

6

SforzbJ1_ormal~ eccentrico

6.1. GENERALITA' Si consideri il cilindro di Saint-Venant, sulla cui base destra .9" 1 sono applicate ·1e azioni esterne equivalenti ad una sola fona

la cui retta d'azione è parallela all'asse della trave, ma non è baricentrica (fig. 6.1). Il sistema dei carichi esterni agenti sulla base .9"0 , posta a z = O , risulta equivalente ad W1a forza - N° , direttamente opposta a quella relativa alla base .9" 1

(6 .1.2) In tali condizioni di carico, il solido di Saint-Venant si dice sollecitato a sforzo

nonnale eccentrico. Nella sezione corrente della trave è presente lo sforao N parallelo all'asse geometrico del solido, ma non baricentrico

(6.1 .3)

· N= N* = ....:.N°

=(

Nel piano della sezione (fig. 6.2.a) è rappresentato il punto C zc, Yc) d'intersezione della retta di azione di N con la sezione stessa. Tale punto prende il nome di centro di pressione oppure di centro di sollecitazione. La distanza di C dal baricentro G

(6 .1.4)

e=

IG - GI == CG

· è denominata eccentricità di N rispetto a G . Se si trasporta lo sforzo N , supposto di trazione ed indicato cori· N+ , nel ba-

ricentro G della sezione (fig. 62.b), occorre aggiungere la coppia di trasporto di modulo

(6.1.5)

M= Ne= N-CG 141

6 Sforzo normale eccentrico

e

... \ ......._

.9;' I

z

I

...-1r,-r------------- - -

~ IV

I

--+.

I ,I

z

N*= N

X

y

Figura 6.1

Asse di sollecitazione

C G = e = eccentricità

"" X

s

pressione

s

y a)

y b)

Figura6.2

Il vettore momento di modulo (6.1.5) è ortogonale alla congiungente GG, denominata asse di sollecitazione s . Tale retta s rappresenta la traccia del piano di sollecitazione della coppia (6.1.5) sulla sezione retta del cilindro. Pertanto, lo sforzo assiale eccentrico applicato in O equivale alle due sollecitazioni di sforzo nonnale centrato N e di flessione deviata. Se lo sforzo assiale è di .trazione ( N > O) , la sollecitazione in esame di sforzo normale eccentrico si dice anche tensa-flessione (deviata), oppure trazione eccentrica; quando lo sforzo assiale è di compressione (N < O) , si ha la pressoflessione (deviata) oppure la compressione eccentrica. 142

6 Sforzo normale eccentrico

6.1.1. Sovrapposizione di due flessioni rette e di uno sforzo normale semplice La decomposizione della sollecitazione di sforzo normale eccentrico nelle sollecitazioni di sfo~o assiale centrato e di flessione deviata, può essere illustrata impiegando le notazioni della fig. 6.3. La fig. 6.3.a mostra lo sforzo N applicato in O , nel piano di sollecitazione Gsz . Tale sistema è equivalente al sistema di forze di fig .. 6.3.b, costituito dalla forza N applicata nel centro di pressione O e da due forze direttamente opposte in G e parallele all'asse z del solido. Il sistema in discorso delle due forze applicate nel baricentro G è un sistema nullo, oppure equival.ente a zero. Ebbene, nel sistema di tre forze di fig. 15.3.b, la forza N che agisce in O costituisce una coppia con la forza N di verso opposto applicata in G . Tale coppia agisce nel piano Gsz ed il suo asse momento è ortogonale al piano di sollecitazione Gsz in parola. Pertanto, il sistema formato dalla coppia M = Ne e dalla forza N applicata in G (fig. 6.3.c) risulta equivalente al sistema della sola forza N applicata in O (fig. 6.3.a). È da notare che la coppia antioraria illustrata in fig. 6.3.c è quella rappresentata dal vettore momento in fig. 6.2.b. Lo sforzo assiale N di trazione di fig. 6.3.c è indicato da N+ in fig. 6.2.b in corrispondenza del baricentro G della sezione. Se si considera la sollecitazione di flessione deviata come composta da due flessioni rette Mx ed M11 , si può anche asserire che la sollecitazione di sforzo normale eccentrico deriva dalla coesistenza di due flessioni rette e di uno sforzo assiale centrato. Per ricavare i moduli delle coppie flettenti Mx ed M11 , si può immaginare di trasportare lo sforzo N da O a G seguendo un percorso diverso da quello

Ne=M

z

G

N

e s

=

N

N G

=

z

G

e

e s

a)

z

b)

e s

e)

Figura 6.3

143

6 Sforzo normale eccentrico

considerato prima. Difatti, la flessione retta di asse momento x deriva dal trasporto di N da C ad H (fig. 6.2.a). Il momento Mz di trasporto, di modulo

(6 .1.6) ha la direzione ed il verso dell'asse x. Analogamente, il trasporto di N da H a G richlede che la coppia di trasporto M11 abbia modulo

(6.1.7) poiché il vettore M ha la direzione dell'asse y , ma il verso opposto di tale asse. 11

6.2. FORMULA TRINOMIA 6.2.1. Flessioni rette e sforzo norm~le -~en~ato Nel paragrafo precedente si è visto che la sollecitazione di sforzo normale eccentrico dà luogo a due Dessiom· rette Mz ed M11 e ad uno sforzo nonna/e centrato. Lo stato tensionale crz è monoassiale. Per il principio di sovrapposizione degli effetti si ha (6.2.1)

ove N, Mz e M11 vanno assunti con il loro segno. Nell'espressione (6.2.1) di cr~ , A denota l'area della sezione retta, I:i ed [ 11 i momenti d'inerzia dell'area della sezione rispetto agli assi x e y , rispettivamente, mentre x e y rappresentano le coordinate del generico punto della sezione della trave. Con riferimento alle notazioni della fig. 6.4, la (6.2.1), che prende il nome di fonnula tri.nomia. dichiara che nella sollecitazione di sforzo normale eccentrico lo stato tensionale è somma di quello relativo allo sforzo normale baricentrico, di quello relativo alla flessione retta di asse x ( Mz = N Yc) e di quello relativo alla flessione retta di asse y ( M 11 = -N xc) .

È da notare che la distribuzione delle tensioni normali crz si ripr:oduce identicamente in tutte le sezioni rette della trave., poiché nell'espressione ( 6.2.1) di crz non compare la variabile z . ·•Laiìg. 6.4 illustra hre· tennini'uèlllrfonnula trinomia in mrtrativa, per la sollecitazione di tenso-flessione deviata, risultante dall'applicazione dello sforzo di trazione N+ = N > O nel centro di sollecitazione C della sezione. Il diagramma associato allo sforzo assi.aie è tracciato accanto a quello relativo alla flessione di asse x. Le tensioni corrispondenti al generico punto B (x 8 , y 8 ) della sezione valgono

=

144

6 Sforzo normale eccentrico

Flessione di assey

Trazione semplice

y Figura 6.4

(6 .2 .2)

O)

, il momento Mx vale

( 6 .2 .16) Per la (6.2.16), la (6.2.15) prende la forma ( 6 .2 .17)

= N

(J

z

A

(1 + !_y) p;

in virtù della relazione Ix = Ap; . I termini al secondo membro della (6.2.17) ( 6 .2 .18)

sono illustrati dai diagrammi delle tensioni associàte àlle sollecitazioni di sforzo assiale (fig. 6.7.b) e di flessione retta di asse x (fg. 6.7.c). Il diagramma complessivo, ottenuto dàlla sovrapposizione dei diagrammi precedenti (fig. 6. 7.d), esprime l'andamento della tensione O"z (6.2.17) generata dàlla sollecitazione di tenso-flessione retta. 6.2.3.2. Asse neutro

L'equazione dell'asse neutro per la sollecitazione di tensa-flessione retta, si ricava ponendo l'espressione (6.2.17) di O"z uguàle a zero: 150

6 Sforzo normale eccentrico

Py

-t---4 n

Anti olare di e

C'

X

y Diametri coniugati dell'ellisse centrale d'.inerzia

Figura6.8

(6 .2 .19)

cr z

= NA

(1 + ..:...y) =O Pi

Dalla (6.2:19) si trae 2

(6 .2.20)

2

y = _P"' = _P"' e Yc

La retta di equazione(6.2.20), antipolaredel centro di sollecitazione C ~(O, Yc) , è parallela all'asse a; ed è situata dalla parte opposta di O rispetto al baricentro G della sezione. In fig. 6.8 è illustrata anche la costruzione per la determinazione dell'asse neutro, che costituis~ la traduzione grafica della (6.2.20). Alcune interessanti considerazioni possono essere tratte dall'esame della (6.2.20), con riferimento anche alle notazioni della fig. 6.8. 1) Se il centro di pressione O si avvicina al baricentro, Yc si riduce e, quindi, p~/Yc aumenta. Il che indica che l'asse neutro n si allontana dal baricentro G della sezione. Viceversa, quando O si allontana da G , la retta n si accosta al baricentro. 2) Quando il centro di sollecitazione C coincide con il baricentro G , ossia e y e = e = O , la (6.2.20) avverte che l'asse neutro è a distanza infinita da G , mentre la (6.2.17) porge

(6 .2 .21)

N crz = -A 151

6 Sforzo normale eccentrico

=

In altri termini, per G C la sollecitazione si riduce allo sforzo normale semplice, che genera uno stato di tensione uniforme nella sezione. 3) Se il centro di pressione C si allontana infinitamente da G , ossia si ha

(6.2.22)

CG =e=

Yc--+

oo

dalla (6.2.20) risulta y = O . Pertanto, l'asse neutro coincide con l'asse x, cioè la sollecitazione in narrativa si riduce ad una flessione retta.

6.3. FORMULE BINOMIE 6.3.1. Sollecitazione di sforzo assiaile e flessione deviata

La sollecitazione di sforzo normale eccentrico può anche derivare dalla sovrapposizione di una flessione deviata, di caratteristica M = Ne, e di uno sforzo normale centrato. Pertanto, in luogo della formula trinomia (6.2.1), si può scrivere l'espressione della tensione normale O"z nella forma (6.3.1) Il primo termine al secondo membro della (6.3.1), che risulta indipendente dalla posizione del centro di sollecitazione C , corrisponde allo sforzo normale centrato. Il secondo termine a destra della (6.3.1), invece, è associato dalla sollecitazione di flessione deviata. Il simbolo n* denota la parallela baricentrica all'asse neutro n della sollecitazione composta e costituisce l'asse neutro della flessione deviata. La coppia M,. rappresenta la componente del vettore M secondo la direzione dell'asse neutro, mentre Irf indica il momento d'inerzia della sezione rispetto alla retta baricentrica n*, valutato con distanze dri' ortogonali all'asse neutro. I due termini in narrativa della (6.3.1) hanno la rappresentazione illustrata in fig. 6.9, nell'ipotesi che lo sforzo normale in C sia di trazione. I diagrammi di trazione semplice e flessione deviata sono riferiti alle fondamentali ortogonali ad n. In fig. 6.9 sono indicate anche le distanze d,.. e d,. dell'area elementare dA dalle rette n* ed n rispettivamente, prese normalmente alle rette stesse. I due diagrammi in parola possono essere composti nell'unico diagramma relativo alla sollecitazione di tensa-flessione deviata. Come appare dalla (6.3.1), le O"z variano linearmente con d,.. , che costituisce la variabile indipendente. Le ordinate tracciate con linea grossa nei diagrammi di trazione semplice, flessione deviata e tensa-flessione, rappresentano i valori delle tensioni nei punti della corda B D , generate dalle corrispondenti sollecitazioni. Si vuol far rilevare che il diagramma complessivo, relativo alla sollecitazione di sforzo normale eccentrico, resta individuato dall'ordinata nulla in corrispondenza 152

6 Sforzo normale eccentrico

Asse neutro della flessione deviata n

Asse neutro della tense-flessione Asse di sollecitazione

\ O , poiché si è supposto agente lo sforzo di trazione N > O .

=

Qualunque sia la forma del diagramma delle tensioni, calcolata la tensione a-z 161

6 Sforzo normale eccentrico

nel punto maggiormente sollecitato deve aversi ~

az

(6.6.2)

cr m, 0

nel caso di materiali duttili, in accordo con il metodo delle tensioni ammissibili. Nel caso di materiali fragili, se cr 1 è la massima tensione di trazione e cr2 il valore estremo della tensione di compressione, la verifica è soddisfacente se

cr 1 ~ cr:m

( 6 .6 .3) ove

cr~m

e

crim

lcr2 I ~ lcr~ml

denotano le tensioni ammissibili a trazione e a compressione.

6.7. LAVORO DI DEFORMAZIONE Nel caso di sforzo normale eccentrico, l'espressione del potenziale elastico complementare assume l'aspetto (6.7 .1)

1P =

à-;

2E

(N + M,,y - M" x)2

= _I_

2E

A

I,,

I11

L'energia di deformazione 'I' dell'intero solido cilindrico, ovvero il lavoro di deformazione L relativo alla trave, vale

(6 -7 -2)

{

'I'= L =

. { cr2

J'II 1/Jd'll = J'II 2É d'll =

N2l

M2l

2EA + 2ÉI,, +

M2l

2lr11

I termini che rappresentano l'energia mutua sono nulli, poiché gli assi x e y sono centrali d'inerzia e, quindi, sono uguali a zero i momenti statici S,,, S11 ed il momento centrifugo Ixy dell'area della sezione della trave: (6.7.3)

Sx= iydA=O,

S 11 = ixdA=O,

Ix 11 = ixydA=O

Il teorema di Oapeyron consente di pervenire alla (6.7.2) per via esterna. Risulta 1 1 1 (6.7.4) L =Le= Nlll+ M,,lltpx + M 11lltp 11

2

2

2

ove

lll= Nl

( 6 .7 .5)

EA

rappresenta la variazione di lunghezza della trave sollecitata a sforzo assiale, mentre 11 tp,, e !l tp 11 sono le rotazioni relative delle sezioni estreme attorno agli assi x e y: (6 .7 .6)

ll

'Px

M.,l

= EI

X

,

!ltp"

M l

= EL11

!I

Per le (6.7.5) e (6.7.6), la (6.7.4) ammette la rappresentazione (6.7.2). Si vuol far rilevare che i lavori mutui sono nulli, poiché ciascuna delle caratteristiche N, M,,, M 11 non induce componenti di spostamento associate alle restanti due. 162

6 Sforzo normale eccentrico

6.8. ESERCIZI

Esercizio 6.1

a) Rilevare che l'asse neutro nella sollecitazione di sfoizo normale eccentrico non passa per il baricentro G della sezione, poiché la sua equazione (1)

non è mai verificata per x = y = O . b) Notare che l'asse neutro, nel caso dello sfoizo normale eccentrico, non è mai baricentrico, poiché l 'antipolare di un qualsiasi punto C che non sia un punto improprio non potrà mai essere una retta baricentrica.

Esercizio 6.2

Partendo dalla relazione (6.3.1) (1)

e notando che (.igg. 6.2.-6.9): (2)

M,.=Nd,

rilevare che dalla condizione a-z = O si ricava la distanza d,.. = d0 dell'asse neutro n dalla retta n* : (3)

La (3), attraverso il segno meno, avverte che l'asse neutro n ed il centro di pressione C sono disposti ili bande opposte rispetto al baricentro della sezione (.ig. 6.9). Èdanotarechela(3)dichiarachecentrodisollecitazione C edasseneutro n si conispondono nell 'antipolarità avente come conica fondamentale l'ellisse centrale d 'ineizia della sezione.

163

6 Sforzo normale eccentrico

Esercizio 6.3

Partendo dall'espressione (6.3.2) di o-z: (1)

M * = NA+ yri ti'

o-z

e ricordando che (2)

M=Ne

verificare che la distanza rio ( fig. 6.1 O) tra gli assi n ed n*, misurata secondo la direzione dell'asse di sollecitazione s, si ricava dalla condizione o-z = O • Risulta

...,2

P e

(3)

T/o = - -

Nelle (1)-(3) l'apice indica che le distanze sono misurate secondo la direzione di s. La (3) avverte che l'asse neutro è l'antipolare del centro di pressione rispetto all'ellisse centrale d'inerzia della sezione.

Esercizio 6.4

a) Notare che nella sollecitazione di sforzo nonnale eccentrico la tensione o-z è costante sulla generica corda parallela ali 'asse neutro n e proporzionale alla distanza d.. della corda da G (1)

b) Rilevare che le forze elementari

(2)

crz dA = cd.. dA

sono proporzionali ai momenti statici delle aree dA rispetto all'asse neutro. Pertanto, la risultante N di tali forze (3)

N =

l

crz dA = e

l

d .. dA

deve passare per il baricentro dei su detti momenti statici, ossia per il centro relativo alla retta n, che coincide con O . c) Osservare che le a) e b) costituiscono la dimostrazione sintetica della relazione fondamentale che intercede tra centro di sollecitazione ed asse neutro. d) Ricordare che il Centro O relativo ad una retta n è J 'antipolo della retta rispetto all'ellisse centrale d'inerzia della sezione.

164

6 Sforzo normale eccentrico

Esercizio 6.5

Ripetere le considerazioni dell'esercizio 6.4, valutando le distanze secondo la direzione dell'asse di sollecitazione.

Esercizio 6.6

a) Ricavare le formule monomie (6.4. 13) e (6.4.14), qui di seguito riscritte per comodità del lettore N

(1)

crz

(2)

crz =

= S' 1/ " Nd'

I' 1/ "

esprimendo, nell'ordine, l'equivalenza delle forze secondo l'asse z e quella dei momentiintomoall'asseneutro. Le distanze 1/ dell'area elementare dA dall'asse neutro n sono misurate parallelamente all'asse di sollecitazione s (.ig. 6.10). Nelle (1) e (2), S~, I~ denotano il momento statico ed il momento d'inerzia del1'area della sezione rispetto ali 'asse neutro n, valutando le distanze come indicato più sopra. Anche la distanza d' di C da n deve intendersi secondo la direzione dell'asse di sollecitazione.

Esercizio 6. 7

Ricavare le espressioni (6.4.13) e (6.4.14) apartire, rispettivamente, dalle (6.4.5) e (6.4.11) e viceversa. Suggerimento. Occorre dividere, oppure moltiplicare, numeratore e denominatore per cos ~, ovvero per cos 2 ~ , essendo f l'asse di flessione ortogonale all'asse neutro.

Esercizio 6.8

Scrivere l'equivalenza relativa ai momenti intomo ali'asse neutro n* della flessione deviata, nella sollecitazione di sforzo normale eccentrico, prendendo le distanze d,,. ortogonali all'asse neutro (.ig. 6.9), oppure le distanze 11* parallele all'asse di sollecitazione s (.ig. 6.10). Utilizzando le sopraddette equazioni, ricavare le espressioni monomie della tensione normale 165

6 Sforzo normale eccentrico

(I)

(2)

Ne

az

= -I' 1) n•

e chiarire il significato dei simboli. Qui viene solo precisato che d* denota la distanza del centro di sollecitazione C dall'asse n* , misurata ortogonalmente al1'assc stesso.

Esercizio 6.9 Verificare che l'equivalenza delle forze attomo all'asse momento consente di ricavare l'espressione monomia della tensione normale (1)

M Ne az .= -I' 1) = -I' 1) n•

n•

conformemente alle notazioni della fig. 6. 10.

Esercizio 6.10 Con riferimento alle notazioni della fìg. 6.12, verificare che (I)

(2)

Nelle (I) e (2) m 1 cd m 2 denotano i raggi di nocciolo relativi ad ni. cd ni_, mentre p~. rappresenta il raggio dcll 'ellisse centrale d'inerzia disteso sul diametro (asse di sollecitazione) coniugato dell'asse neutro.

166

7

Torsione

7.1. PREMESSA

Il cilindro di Saint-Venant risulta sollecitato a torsione semplice quando, nella sezione corrente, le sollecitazioni si riducono al momento torcente. Nel par. 7 .2 verrà studiato il cilindro di sezione circolare e nel par. 3 quello di sezione generica. Dalla soluzione relativa alla sezione generica è immediato ricavare, poi, quella per la sezione circolare. In entrambi i casi è importante rilevare che gli scorrimenti angolari '"'Y nel piano della sezione sono nulli, per ipotesi ( r"'Y = G,,.v = O) . In altre parole, l'angolo tra due rette nel piano della sezione resta invariato nel corso della deformazione. I paragrafi successivi illustrano il centro di torsione, la funzione delle tensioni, alcune soluzioni particolari del problema della torsione, le analogie della membrana e idrodinamica, nonché le sezioni sottili aperte e chiuse.

7.2. CILINDRO DI SEZIONE CIRCOLARE 7.2.1. L'esperienza

Si consideri il cilindro di Saint-Venant, di sezione circolare, soggetto a torsione. Un tratto di esso (fig. 7.1.a)~ delimitato da due sezioni a distanza mutua z, di cui una è quella 7 0 contenente l'origine del riferimento, presenterà le sezioni terminali con una rotazione relativa

'11= E>z

(7 .2.1) essendo ria 0).

e

l'angolo unitario di torsione, tra due sezioni qualsiasi a distanza unita-

Il punto D dell'estremo del raggio vettore

(7.2.2)

(I)

r=D-G

La costanza del momento torcente rende lecita la definizione di angolo unitario di torsione 8 .

167

7Torsione

a)

X

G

b)

y

Figura 7.1

si sposta nonnalmente a questo nella posizione D' , per cui il modulo del vettore D' - D vale (fig. 7.1.b):

(7 .2 .3)

ID' - DI= -0r =

E>zr

poiché si suppone l'angolo di rotazione -0 sufficientemente piccolo. La retta CD, inizialmente parallela all'asse del cilindro, assume la nuova posizione CD' dopo la defonnazione . Lo scorrimento 'Y da essa compiuto vale

(Z) Per grandi deformazioni, la retta CD si trasforma in elica cilindrica che risulta essere una curva dello spazio.

168

7Torsione

(7.2.4)

'Y

= ID' - DI = E>r z

Ogni sezione del cilindro ruota mantenendosi piana ed ortogonale all'asse geometrico del solido, senza variare la propria distanza dalla sezione 7 0 • Pertanto, la dilatazione longitudinale e, , e quindi cr, = Es, , sono nulle.

7.2.2. Componenti di tensione Ciascuna area elementare della sezione è sede di tensione tangenziale (7 .2 .5)

r,

= G,y = GE>r

in virtù della legge di Hooke, essendo G il modulo di elasticità tangenziale. La condizione di equivalenza tra il momento torcente M, = M; e quello sviluppato dalle tensioni interne r, prende la forma (7.2 .6)

M, =

i

'½rdA = GE>

i

2 r dA = GE>IP

ove A denota l'area della sezione trasversale del cilindro, ed IP il momento d'inerzia polare della sezione, rispetto al baricentro G. Dalla (7.2.6) si ricava l'espressione dell'angolo unitari.o di torsione M 8=-·

(7.2.7)

GIP

Per la (7 .2. 7), la (7.2.5) ammette la seguente rappresentazione (7 .2 .8)

La (7.2.8) consente di affermare che la tensione tangenziale r, risulta costante sulla circonferenza di raggio r e proporzionale al raggio r della stessa. Sostituendo la (7 .2.7) nella (7 .2.1), si ricava l'espressione dell'angolo di torsione ,a della sezione corrente (7 .2 .9)

da cui

d-0 = M, = E>

(7 .2 .10)

dz

GIP

Le componenti di tensione tangenziale secondo gli assi sono (fig. 7.2): r

(7.2.11)

z:,;

M = - rz cos(r ' y) = - -I' y = -GE>y p

M r = r cos(r,x) = -'x = G0x zy z IP

in virtù delle (7.2.8), (7.2.7), ed essendo x = rcos( r, x) , y = rcos( r, y). 169

7 Torsione

X

y

Figura 7.2

X

G

DD' = ID'- DI= r~ sena.

=1..r ,

cosa. = ~ r

y

Figura 7.3

7.2.3. Componenti di spostamento Con riferimento alle notazioni della fig. 7.3, le componenti di spostamento u e v secondo gli assi x e y del riferimento prendono la forma

(7.2 .12)

u = -DD' sena= -{}y = -Szy

v = DD' COS a= {}x = Szx

in virtù della (7.2.1), avendo indicato con x e y le coordinate del punto D. La componente di spostamento secondo l'asse z viene posta uguale a zero

(7 .2 .13) 170

w=O

7 Torsione

poiché la sezione corrente, a deformazione avvenuta, resta piana ed ortogonale al1' asse del solido, senza subire traslazione rispetto alla sezione .970 del cilindro. Sostituendo le (7.2.7) nelle (7.2.12), si ha M, u = --yz GIP

(7 .2 .14)

M

V = - • XZ

GIP

7.2.4. Soluzione di tentativo In base alle considerazioni svolte sinora in questo capitolo, ed alle ipotesi relative al problema di Saint-Venant, si può assumere come soluzione di tentativo la tema di spostamenti M u = - - • yz GIP M

(7 .2 .15)

V= _ z XZ

GIP

w=O unitamente alla sestupla di componenti di tensione cr,, = T.,,

(7 .2 .16)

CIY

=

T,,y

= cr, =

o

M,

I

= -

y p

Per le (7 .2.16), le equazioni indefinite di equilibrio risultano identicamente soddisfatte, mentre le condizioni ai limiti sulla superficie laterale, si riducono a verificare che il vettore tensione tangenziale T, sia tangente al contorno. Nel punto Q (x, y) del contorno, la normale a ha direzione radiale, per cui (fig. 7.4):

=

(7 .2 .17)

X

a = cosa= -

"'

R'

a

y

V

= sena= -

R

La condizione ai limiti sulla superficie laterale .97 2 (7.2 .18) diventa

171

7Torsione

X X

y

Figura 7.5

Figura 7.4

( 7 .2 .19) in virtù delle (7 .2.16) e (7 .2.17). Sulla base terminale .7 1 deve aversi (fig. 7.5) (7.2 .20)

M;

=

1

(p;x - p:y) dA

=

1(

Tzyx - TzxY) dA

ove M; è il momento torcente esterno. Per le (7.2.16), la (7.2.20) ammette la seguente rappresentazicme (7.2.21) ossia, deve aversi ( 7 .2 .22) essendo x 2 + y2 = r 2 , ed IP il momento d'inerzia polare. Un ragionamento analogo vale per la base .70 • Verificato l'equilibrio indefinito e ai limiti, esaminiamo la congruenza. Dal campo di spostamento (7 .2.15) si ricavano le componenti di deformazione ex

(7.2 .23)

"I

"I

172

xz yz

= ey = ez = "lxy = o Mz

8u az

8w ax

= - - y = -By

8v az

8w 8y

= -x= ex

= -+ = -+ -

GIP

Mz

GIP

7Torsione

Restano da verificare le equazioni di legame, ossia le relazioni tra le componenti di tensione e quelle di deformazione che, per le (7 .2.16) e (7 .2.23), risultano identicamente soddisfatte. Pertanto, le (7 .2.15) e (7 .2.16) costituiscono la soluzione (unica) del problema della torsione del cilindro di Saint-Venant. Tale soluzione è dovuta a Coulomb . È da notare che il problema della torsione in argomento può essere anche risolto assumendo la soluzione di tentativo in termini di sole componenti di spostamento [cfr. esercizio 7.1). Si può assumere come soluzione di tentativo anche la sola sestupla di componenti di tensione (7.2.16). 7.2.5. Stato tensionale Nelle pagine precedenti si è mostrato che lo stato tensionale, in ogni punto della sezione, è puramente tangenziale. Difatti, le uniche componenti non nulle di tensione sono le -r,,,, e Tzy (7.2.16). Esse danno luogo ad una tensione tangenziale risultante r. che;come già rilevato dalla (7.2.8), ha il modulo costante sulla circonferenza di raggio r : (7 .2 .24) e proporzionale al raggio r della stessa. In ogni punto D della sezione, il vettore tensione r. è ortogonale al vettore posizione r del punto D x, y) . Per le (7 .2.16), infatti, risulta soddisfatta la condizione di ortogonalità tra i due vettori r. ed r :

=(

(7 .2 .25) Essendo tale condizione verificata anche sul contorno, come espresso dalla (7 .2.19), si può affermare che su un qualsiasi diametro della sezione, il diagramma delle tensioni tangenziali Tz varia linearmente, come illustrato in fig. 7.6. Tenuto conto che il momento d'inerzia polare di una sezione circolare di raggio R vale (7.2 .26) dalla (7.2.24) si ricava (7 .2 .27)

(3)

T

•

2M. = --r 1rR4

C.A. Coulomb (1736-1806).

173

7Torsione

Figura 7.6

diagramma di 'tz

La tensione tangenziale massima rmax viene attinta sul contorno della sezione, cioè per r = R . Dalla (7 .2.27) risulta

(7.2 .28)

T.

max

2M, =,rR3

Giova rilevare che le considerazioni svolte per il cilindro di Saint-Venant avente sezione circolare retta, possono applicarsi anche alla trave avente sezione circolare cava. Per la (7 .2.16), il tensore degli sforzi ammette la seguente rappresentazione

(7 .2 .29)

o

o

M, --y

o

o

M, -x IP

M, --y

M, -x IP

o

z=[cr]=

IP

IP

Lo stato tensionale nel cilindro di Saint-Venant, con sezione circolare e sollecitato a torsione, può anche porsi sotto forma di vettore algebrico

o o o

(T~

(TV

(7 .2 .30)

Q.={cr}=

cr, TV•

M, -x IP

Tzz

M, --y

=

IP T~V

174

o

?Torsione

7.2.6. Lavoro di deformazione Per un tronco elementare di trave di lunghezza dz , il lavoro di defonnazione può valutarsi attf'.1verso il teorema di Clapeyron

( 7.2 .31)

dL

1 1 = -M 2 z d,9 = -M 2 z0

dz

L'ultima uguaglianza della (7.2.31) deriva dalla (7.2.10). Sostituendo nella (7.2.31), l'espressione (7.2.7) dell'angolo unitario di torsione, si ricava 1 M2 dL= - - ' dz 2 GIP

(7.2 .32)

Il lavoro di defonnazione relativo al solido di lunghezza l vale · (7 .2 .33)

(

= 'P = }()

L

dL

1 M2l

= 2 G~P

Il lavoro di defonnazione può valutarsi anche per via interna, utilizzando 1'espressione del potenziale elastico complementare

1

M;

2

2

2

,p = 2G( r,"' + r,v) = 2GI2 (x + y

(7.2 .34)

2

)

p

in virtù delle (7 .2.16). Risulta, dunque

(7 .2 .35)

L

= 'P =

h o/

1 11 1

,p d 'V =

o

dz

A

- ( 2G

M2 ç + ,;V) dA = -21 'l GIP

essendo d 'V = A dz .

7.3. CILINDRO DI SEZIONE ARBITRARIA 7.3.1. L'esperienza Se il cilindro di Saint-Venarit sollecitato a torsione presenta una sezione trasversale qualsiasi (fig. 7.7), il momento M, agente nella generica sezione di ascissa z produce un ingobbimento della sezione stessa. Di conseguenza, a defonnazione . avvenuta, le sezioni della trave non si conservano piane ed ortogonali all'asse geometrico del solido. Attesa la costanza del momento torcente M, in tutte le sezioni, l'ingobbimento della sezione trasversale della trave deve risultare indipendente dall'ascissa z, ossia deve riprodursi identicamente in tutte le sezioni trasversali del cilindro. Pertanto, può scriversi

(7.3.1)

w = 0w(x,y)

ove w = w( x, y) è la funzione d'ingobbimento di Saint-Venant, che dipende solo da x e y, mentre 0 è l'angolo unitario di torsione. La funzione w( x, y) in argomento prende anche il nome di funzione di torsione. 175

7Torsione

...

\

I I

Mz =M*z

:.--i-,------------

z

1

I X

y

Figura 7.7

7.3.2. Soluzione di tentativo e congmenza interna

Se ci si basa anche sui lineamenti della soluzione di Coulomb, ritenendo che gli spostamenti nel-piano della sezione siano dovuti alla rotazione d'insieme della sezione, si può assumere come soluzione di tentativo del problema dell'equilibrio elastico la seguente tema di funzioni u = -E>yz

(7 .3 .2)

v

= 0xz

w=E>w(x,y)

Le prime due componenti di spostamento (7.3.2) rappresentano, formalmente, la soluzione del problema della torsione per il cilindro avente sezione circolare. Giova anche rilevare che le funzioni (7.3.2) sono sufficientemente regolari, per cui la congruenza interna, ossia l'esclusione di lacerazioni o sovrapposizione di materia, è soddisfatta. A partire dalle componenti di spostamento (7.3.2), si possono ricavare le componenti di deformazione au

s., 1

(7.3.3) 1 "I

176

xy

xz

yz

= ax = O, au 8y

av

sy

= 8y = O,

av ax

aw

s,

=-+-=-E>z+E>z=O au aw aw +- = Y+ az ax ax av aw aw =-+-=E>x+E>az 8y 8y

= -

-e

e-

= az = O

?Torsione

In forma matriciale contratta, le (7.3.3) si scrivono (7 .3 .4) ove g_ denota il vettore algebrico delle componenti di deformazione, e_ il vettore algebrico delle componenti di spostamento, mentre .!jf denota una matrice di operatori differenziali. Dalle (7.3.3) risulta nullo il primo invariante di deformazione (7 .3 .5) ossia il volume del solido viene conservato nella deformazione.

7.3.3. Legame costitutivo ed equilibrio indefinito Utilizzando le relazioni inverse di Hooke (legame costitutivo) nella forma (1.1.9), si risale alle componenti di tensione

a-,,= 2Cs,, + >-.I1• =

O

cry = 2Csv + >-.I1• = O crz = 2Csz

(7 .3 .6)

+ >-.I1• = O

Txv

= C'Yxy = O

Txz

= Cry,,, = Ce ( : : -

T

= Crvlyz =

l/Z

y)

ce ( aw ay + x)

Come appare dalle (7.3.6), le uniche componenti di tensione non nulle, corrispondenti alle componenti (7.3.2) di spostamento, sono le due tensioni tangenziali r,,, e r,y. Essendo crz = O , le tre equazioni indefinite di equilibrio relative al problema di Saint-Venant prendono la forma

(7 .3 .7)

In virtù delle (7.3.6), e ricordando che w( x, y) non dipende da z , le prime due equazioni indefinite di equilibrio risultano identicamente soddisfatte. La terza di tali equazioni, invece, esprimibile anche come la divergenza del vettore tensione tangenziale r,

177

7 Torsione

V ·

(7 .3 .8)

8T

r

•

8T,

= div r = _Ei.. + _v = O • ax 8y

ammette la seguente rappresentazione

(7 .3 .9) La (7.3.9) è verificata se, e solo se, in ogni punto interno della sezione trasversale della trave, la funzione d'ingobbimento w = w(x, y) è armonica, ossia soddisfa l'equazione di Laplace ( -+X é}y

-

X

) H

Assumendo le (7.4.2) come soluzione di tentativo, le equazioni indefinite di equilibrio restano soddisfatte se, e solo se, la funzione ws(x, y) è armonica: in A= 'D

(7.4.3)

in ogni punto interno del dominio della sezione. L'equazione di equilibrio al contorno sulla superficie laterale impone che si abbia (7.4.4)

aws ) a+ (aws --+x-x ) a =O ( ---y+y OX H x é}y H y

Se si pone

( 7 .4 .5) la (7.4.4) può scriversi nella forma analoga alla (7.3.14): (7.4.6)

dQo - - -ya -xa

da

"'

Y

185

7 Torsione

essendo d~o la derivata direzionale della funzione (7.4.5) rispetto alla retta a normale al contorno della sezione (7.4.7) Per le (7.4.3) e (7.4.5), si ha pure (7.4.8)

'\72 Q = 32 Qo + 32 Qo = O o

3x2

3y2

in A= 'lJ

Pertanto, la funzione Q 0 , armonica nei punti interni del dominio A della sezione, deve soddisfare sul contorno C = 3'1J le stesse condizioni della funzione d'ingobbimento w( x, y) relativa ali' asse baricentrico. Per l'unicità della soluzione del problema di Neumann, la funzione Q 0 può differire da w solo per una costante arbitraria c0 , ossia risulta (7.4.9) Dalla (7.4.9), si ha ( 7 .4 .10)

La sostituzione delle (7.4.1 O) nelle (7.4.2) consente di rilevare che le espressioni di T,x e T,y assumono lo stesso aspetto che si è ricavato supponendo il centro di rotazione della sezione coincidente con il baricentro della stessa. Pertanto, resta dimostrato che le due teme di spostamento (7.3.2) e (7.4.1) differiscono solo per un moto rigido della sezione. In altri termini, la soluzione del problema della torsione nel cilindro di SaintVenant risulta indipendente dalla scelta dell'asse di rotazione delle sezioni. Tra gli infiniti assi di rotazione possibili, ne esiste uno che dà luogo ad un moto medio della sezione nullo, definito dai valori nulli dello spostamento assiale medio (7.4.11)

w=wm =..!_1wdA=O A A

e delle rotazioni medie rp

xm

= _!_ Jx

(7.4.12) rp

= ym

1 1

_!_ Jy

A

wy

A

dA = O

wx dA = O

Per la terza delle (7.4.1 ), tali condizioni sono soddisfatte se, e solo se 186

7 Torsione

(7.4.13) Sostituendo in ciascuna delle (7.4.13) l'espressione di wH (7.4.10), tenendo conto che gli assi x e y sono principali d'inerzia della sezione, e che la funzione w(x, y) soddisfa la condizione (7.3.20), si hanno nell'ordine

Co= 0 (7 .4 .14)

1

w( x, y) y dA

+ xH

1

w( x, y)x dA - yH

Dalle (7.4.14) si ricavano le coordinate

xH

1

y2 dA = O

1

2

x dA

=O

= xT,YH = yT

del centro di torsione

H=T:

(7.4.15)

Gli integrali al secondo membro della (7.4.15) denotano i momenti. centrifughi di ingobbimento, per le analogie con i momenti centrifughi di area, se w ( x, y) viene interpretata come coordinata fittizia del generico punto P della sezione trasversale della trave. Come appare dalle (7.4.15), le coordinate del centro di torsione dipendono, attraverso la funzione d'ingobbimento w(x,y), dalla sola forma della sezione trasversale della trave. Giova rilevare che, se la sezione presenta un asse di simmetria, il centro H = T di torsione deve necessariamente appartenere a tale asse, poiché la funzione w risulta emisimmetrica rispetto all'asse in parola. Di conseguenza, la sezione con due assi di simmetria ha baricentro G e centro di torsione H = T coincidenti.

7.5. FUNZIONE DELLE TENSIONI DI PRANDTL 7.5.1. Equazione di Poisson Il problema analitico della torsione può essere risolto in maniera semplice facendo ricorso alla funzione delle tensioni U( x, y) , introdotta da Prandtl (1903) e definita dalle posizioni (7.5.1)

au

r,,, = &y'

T

zv

au ax

=--

187

7 Torsione

La funzione delle tensioni è detta anche funzione di flusso. Le (7.5 .1) soddisfano le tre equazioni indefinite di equilibrio (7.3.7). In particolare, la terza fomisce< 9>

(7 .5 .2)

Soddisfatto l'equilibrio indefinito, si esamini la congruenza tra spostamenti e deformazioni. Tra le funzioni che verificano la (7.5.2), occorre scegliere quelle che portano ad un campo congruente di spostamenti. Confrontando le (7.5.1), con le (7.3.6), risulta (7.5.3)

au = ce ( aw ay

ax

y) '

au ax

= -GE>

(aw + x) 8y

La (7.5.3) esprime la relazione tra la funzione delle tensioni U di Prandtl e la funzione di ingobbimento w di Saint-Venant. Derivando la prima delle (7.5.3) rispetto ad y e la seconda rispetto ad x, si ha (7.5.4) Sommando membro a membro le (7.5.4) si ricava l'equazione di congruenza (7 .5 .5) che deve valere in ogni punto interno della sezione trasversale. L'equazione differenziale (7.5.5) alle derivate parziali è denominata equazione di Poisson< 10>. Qualsiasi funzione U( x, y) continua e con derivate parziali continue fino al secondo ordine, soluzione della (7.5.5), assicura sia l'equilibrio indefinito che la compatibilità (cfr. esercizio 7.9).

(9) La terza equazione indefinita di equilibrio

esprime la condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di una funzione U ( x, y) , tale che valgano le (7.5.1), nell'ipotesi di dominio monoconnesso.

(IO)

188

S.D. Poisson (1781-1840).

7 Torsione

7.5.2. Problema di Dirichlet Perla (7.5.1 ), la condizione al contorno T,xax +T,yay = O sulla superficie laterale del solido diventa

( 7 .5 .6)

au ay

au ax

- a - - a =O X

su e= a'D

y

È noto che i coseni direttori ax e aY della normale a al contorno nel punto Q (fig. 7.12) sono legati ai coseni direttori bx e by della tangente al contorno nello stesso punto a, attraverso le relazioni (cfr. [VI], Appendice B) (7.5.7)

a =b x

dy

Y

= -ds'

a

dx

Y

= -b x = - ds -

ove s è l'ascissa curvilinea del punto Q. La sostituzione delle (7.5.7) nella (7.5.6) consente di scrivere

( 7 .5 .8)

au dy + au dx 8y ds ax ds

=

dU

= O

ds

Dalla (7 .5.8) segue che la funzione delle tensioni U ( x, y) risulta essere costante lungo il contorno della sezione della trave. La condizione al contorno (7.5.8), per la derivata della funzione U(x, y) rispetto alla tangente, può anche porsi nella forma di prodotto scalare: (7.5.9)

gradU-b=O

tra i vettori cartesiani espressi nella forma generale:

. au. au. - 1 + -J ax 8y dx. dy.

(7.5.10)

gradu =

(7.5.11)

. . b = b • +bJ= x

Vu Y

=

-I

ds

+ -J ds

ove b è il versore della tangente al contorno nel punto Q . Per la (7 .5 .9), il vettore V U è diretto secondo la normale a alla curva C = 8'D del piano. La (7.5.8) consente di affermare che la derivata direzionale di U(x, y) nella direzione della tangente è uguale a zero. Se si integra la (7.5.8) lungo il contorno C, si ricava la condizione ai limiti per la funzione delle tensioni U ( x, y) . Risulta (7.5.12)

189

7 Torsione

dy cos

in A= 'D (7.5 .13)

U=O

su

e= av

ove il valore costante di U può essere posto uguale a zero, senza perdita di generalità. Dato che l'esistenza e l'unicità della soluzione del problema di Dirichlet sono assicurate, la determinazione della funzione degli sforzi può ritenersi teoricamente possibile per qualsiasi forma della sezione trasversale retta del cilindro.

(Il)

190

Peter Gustav Lejeune Dirichlet, DUren 1805-Gottingen 1859.

7 Torsione

7.5.3. Equivalenza statica Si vuol far rilevare che qualsiasi soluzione delle (7.5.13) assicura l'equilibrio e la congruenza, per tutte le forme della sezione trasversale della trave. Occorre anche garantire che le tensioni tangenziali associate alla funzione U attraverso le (7.5.1) sviluppino un momento torcente interno uguale ad Mz = M;. Per la (7.5 .1), la condizione di equivalenza statica (7 .3.21) nella sezione corrente del cilindro, tra la caratteristica della sollecitazione Mz e le forze associate alle tensioni elementari, si scrive

-1 (au

(7.5.14)

A

8x

X+

au y) 8y

dA = Mz

Se si osserva che

au a ax ax au a - y = -(Uy) -U

-x= -(Ux) -U

(7.5.15)

8y

8y

la (7.5.14) ammette la seguente rappresentazione (7 .5 .16)

-1

A

[!_(Ux) + !.._(Uy)] dA + 8x 8y

21

A

U dA

= Mz

Trasformando il primo integrale di superficie (7.5.16) in un integrale di contorno, mediante il teorema della divergenza: (7 .5 .17) e notando che, in virtù della (7.5.13), U = O sul contorno C della sezione, la (7.5.16) permette di ricavare il legame (7 .5 .18)

2

i

Ud.A= Mz

tra la funzione degli sforzi U( x, y) ed il momento torcente Mz . La (7.5.18) consente di affermare che Mz è fornito dal doppio del volume racchiuso tra la sezione retta ed il grafico della funzione degli sforzi U ( x, y) .

7.5.3.1. Osservazione Si può introdurre una funzione delle tensioni U0 = U0( x, y) legata ad U dalla relazione 191

7 Torsione

(7 .5 .19)

U = G0U0

e tale che in A= 'lJ

(7.5 .20)

e=

su

a'lJ

Risulta anche (7 .5 .21)

u = QE)

1 2 2 ] [ VJo - 2 ( X + Y )

ove 1/Jo è la funzione coniugata della funzione d'ingobbimento finita nell'esercizio 7.10.

w

= w( x, y) , de-

7.5.4. Proprietà della funzione di tensione di Prandtl

È stata già esaminata la proprietà della funzione degli sforzi espressa dalla (7.5.18), secondo cui il momento torcente M. è rappresentato dal doppio del volume delimitato dalla superficie z = U( x, y) e dalla sezione trasversale della trave. Per studiare le restanti proprietà della funzione di tensione U( x, y) , si consideri l'intersezione deÌÌàsup,~rficie z = U(x,y) con un piano z = cost, parallelo al piano xy . La curva piana che ne risulta ha equazione (fig. 7.13.a) (7.5.22)

U(x,y) =cost

Il contorno C = 8'1J della sezione coincide con la curva di equazione (7 .5 .23)

U(x,y)

=O

Siano r.,, e rzv le componenti del vettore tensione r. nel punto q della curva q assume l'aspetto

U(x, y) = cost. La rappresentazione cartesiana di r. nel. punto

(7.5 .24) ove i e j sono i versori degli assi x e y . Se si indicano con a,, e av i coseni direttori della normale a alla curva piana di equazione (7.5.22) e con b,, e bv i coseni direttori della direzione b tangente alla curva in narrativa in q , si ha:

dy a,,= bv = ds

(7 .5 .25) a v

192

dx

= -b" = - ds -

?Torsione

b)

"'x

X

a)

y

Figura 7.13

Dette TG e 7i. le proiezioni del vettore (7.5.24) nel punto Q sulla normale e sulla tangente in tale punto, rispettivamente, risulta (7 .5 .26)

+ ,;,VaV

Tci

=

"ç • 3

=

T6

=

-i; · b

= Tz:,;b:,; + T,vbv

Tz:1:°:i:

Tenendo conto delle posizioni (7.5.1) e delle (7.5.25), le (7.5.26) ammettono la rappresentazione (7.5.27)

T G

(7.5.28)

7i,

oU

dy

oU

dx

dU

= --+--=-=O oy ds ox ds ds =-

(au =T oy aV + au ox a:,; ) = - dU da z

La tensione tangenziale TG • pari alla derivata direzionale della funzione di tensione rispetto alla tangente, è uguale a zero, essendo s l'ascissa curvilinea sulla curva U = cost . La componente 'i , invece, è uguale alla derivata direzionale di U rispetto alla normale, cambiata di segno. Pertanto, in ogni punto Q il vettore tensione rz ha la direzione della tangente alla curva di livello passante per quel punto.

193

7 Torsione

Dalle (7.5.1) appare anche che le componenti r,z e r,v della tensione tangenziale sono proporzionali alle pendenze della superficie z = U(x, y) nei due piani zy e zx , rispettivamente. In fig. 7.13.b è illustrata la curva U(x,0) ottenuta dall'intersezione della superficie z = U ( x, y) con il piano xz , di equazione y = O . La tensione tangenziale risultante

(7 .5 .29) assume il valore massimo in corrispondenza del contorno C = 8'1J della sezione. La dimostrazione di quanto testé affermato è basata su un teorema delle funzioni sub-armoniche< 12) qui di seguito enunciato: ··

«Se la funzione f( x, y) , non identicamente uguale ad una costante, è continua con le sue derivate fino al secondo ordine e soddisfa nella regione 'D la condizione

a2 1 a2 1 · · ax 811 -

V 2 f= -2+ 2 >O

(7 .5 .30)

allora il massimo di f( x, y) viene attinto in corrispondenza del contorno C = 8'1J della regione 'lJ ». Nel caso in esame, eseguendo le varie derivate ed impiegando la prima delle (7.5.13), si ricava (7.5.31)

ossia (7.5 .32) Pertanto,

in 'lJ

-r;

O = 8'1J di

è sub-armonica in 'lJ e, quindi, r, assume il massimo sulla frontiera 'lJ .

Una funzione f( x, y) si dice sub-armonica nella regione 'lJ se per ogni punto x1, YI della regione si ha

ove l'integrale è valutato su una circonferenza nel punto (x1, v1) (cfr. (SI], pag. 117).

194

r ,di raggio sufficientemente piccolo r , avente il centro

7 Torsione

In base a quanto precedentemente esposto, si può anche affermare che la tensione tangenziale massima agisce nei punti dove le curve di livello sono più vicine tra di loro.

7.6. SOLUZIONI PARTICOLARI DEL PROBLEMA DELLA TORSIONE 7.6.1. Sezione ellittica Si supponga che la sezione trasversale del cilindro di Saint-Venant sia delimitata da una ellisse, di semiassi a e b , avente per equazione (7.6.1)

il cui grafico è illustrato in fig. 7.14. Indicata con e una costante arbitraria, si può assumere la funzione delle tensioni nella forma x2

y2

U=c ( +--1 a2 b2

(7 .6 .2)

)

La (7.6.2) soddisfa alla condizione al contorno della sezione ellittica espressa dalla seconda delle (7.5.13). Anche la prima delle (7.5.13) risulta verificata purché si abbia (7 .6 .3)

'v 2 U

= 2c ( -a21

1) + -b2

= -2GE>

Dalla (7.6.3) si ricava (7 .6 .4) Per la (7.6.4), la funzione degli sforzi (7.6.2) diventa (7 .6 .5) La (7 .6.5) rappresenta la soluzione del problema (7 .5 .13) per la sezione ellittica. L'angolo unitario di torsione si ricava dalla relazione (7.5.18) che, nel caso in esame, ammette la seguente rappresentazione (7 .6 .6)

a2b2 -2GE>-a2

+ b2

1 A

(x2 -+ -y2 -1 ) dA= M a2 b2 z

195

7Torsione

a

X

y

Figura 7.14

Poiché risultano le seguenti espressioni dei momenti di inerzia della .sezione ' ellittica e dell'area della stessa: (7 .6 .7)

A= ,rab

la (7.6.6) assume l'aspetto (7 .6 .8)

Per la (7.6.7), la (7.~.8) può scriversi 7r03 ì,3

(7 .6 .9)

G0~=M a +b •

Dalla (7.6.9) si determina l'espressione dell'angolo unitario di torsione (7 .6 .10)

ove (7.6.11) denota il fattore di rigidezza torsionale per la sezione ellittica. · Perle (7.6.10) e (7.6, 11), la (7.6.5) diventa

(z·-+ 2

(7 .6.12)

196

M• U(z,y) = - ,rab

a2

1/ -1 )

b1-

?Torsione

Le tensioni tange~;ùi r.., e r.~ si ricavano, confonnemente alle (7.5.1), derivando la funzione delle ~risioni (7.6.12): (7 .6 .13) Nel generico punto P di coordinate x e

y

la tensione tangeqzia}e totale vale

(7 .6 .14) Dalle (7 .6.13) si rica:va che il rapporto tni le componenti (7 .6 .15)

è proporzionale àl ~pporto y/x, os~ia è costante su un qualsiasi diametro dell'ellisse; Pertanto, -il V(?ttore fensione T• ha la stessa direzione in tutti i punti della sezione appartenenti ~d up_diametro (fig. 7.15). Èda notare che, in~rrjspondenzà dei punti P1 e P0 del diam~~ d al_)partenenti_al contornò dell~ ~iit>ne, la direzione.del vettore ;_ è quella _della tàngente _al:contorno della ~iQOt': stessa. Pertanto, resta individuata là dire.zion~ di T. (t 3) in tutti i punti della sezione appartenenti ad un di~etro d (fig. 7; 1$). : - :Per ia (7.6J4)la tpnsione tangenziale r. è nulla in corrispondenza ~el centro G. dell'ell~ssè. Inoltre·: ·1;/a1stri\)~ione di -~ sul diam·etro d irn~ifrè,· con valore m~imo fu corrisponde~ del còntomo (cfr. ese.-cizio 7, 1_2).

e

d

Y=fflX

y

Figura 7.15

0 3) Nel generico punto P della sezione il vettore tensione r. ha la direzione coniugata, rispetto all!ellisse centrale d'inerzia_,dellà sezione, al diametro passante per detto punto P.

197

7 Torsione

curve di livello

y

Figura 7.16

Se si assume l'espressione (7.6.5) della funzione delle tensioni, le derivate della funzione d'ìngobbìmento ricavate dalla (7.5.3) prendono la forma 2 2 2 8w 1 8U 2a (-a +b ) 8x = 11 + G0 811 = 11 - a2 + b2 11 = 11 a2 + b2

(7.6.16) 8w 811 =

-X -

1 8U G0 8x =

-X+

2 2b a2 + b2 X =

X

2 2 (-a + b ) a2 + b2

Dalle (7.6.16) si trae che (7 .6 .17)

-a2 + b2

w(x,11)=

a2

+ b2

x11

ossia la sezione ellittica s'ingobba secondo la superficie di un paraboloide iperbolico. Le linee dì equazione x = O e y = O restano fisse, poiché sì ha w = O . Il piano della sezione indeformata è tangente al paraboloide nel punto G . Dalla (7. 6.17) appare che l 'ingobbimento sì presenta antisimmetrico rispetto agli assi. Se a > b, lo spostamento assiale w = 0w( x, 11) risulta positivo quando x e 11 hanno segni discordi, è w < O in caso contrario. Le curve di livello, ossia le ìinee di intersezione della superficie w( x, 11) con piani paralleli al piano x11 , sono delle iperboli equilatere aventi per asin~ti gli assi X e 11 (fig. 7.16). Le traiettorie delle tensioni tangenziali sono ottenute come curve U = cost e consistono in una famiglia di ellissi concentriche al contorno. 7.6.2. Sezione triangolare equilatera Sì consideri la sezione a forma di triangolo equilatero, di altezza 3 a, e si assuma l'origine del riferimento cartesiano ortogonale piano nel baricentro G della sezione (fig. 1.17). 198

7 Torsione

Il lato parallelo all'asse x ha equazione

(7.6.18)

y-a= O

oppure

y=a

Dalla similitudine dei triangoli DNS e BGS segue che ~ ayj°-2a 2avf3 BG=---=--

(7 .6 .19)

3a

3

Pertanto, l'equazione segmentaria della retta BS si scrive

_x_+ _Y_ = l 2avf3 -2a 3

(7 .6 .20)

da cui si ricava (7 .6 .21)

./3x-y-2a=D

Analogamente, si deduce l'equazione della retta SR: (7 .6 .22)

V3x+y+za=O

Si può assumere come funzione U = U( x, y) delle tensioni l'equazione del contorno della sezione, moltiplicata per una costante e arbitraria. Per le (7.6.18), (7.6.21) e (7.6.22) si ha:

(7 .6 .23)

U(x, y) = c(y - a)(V3x - y - 2a)(V3x + y + 2a) =

La funzione (7.6.23) si annulla sul contorno O= 8'1J della sezione, ovvero si ha

(7 .6 .24)

U=O

e= a'lJ

su

Se si calcolano le derivate della funzione degli sforzi (7.6.23):

(7 .6 .25)

au ax = 6cx(y- a),

-=c(3x -3y -6ay)

a2 u = 6c(y- a),

-

-

ax 2

au

2

2

av

a2 u = -6c(y+ a) av2

l'equazione di congruenza (7.5.5) assume l'aspetto (7 .6 .26)

V 2 U = -12ca = -2G8

199

7Torsione

Curve di livello di (I) (x , y )

2a

X

X

a

R

y

y

b)

a)

Figura 7.17

ossia risulterà verificata per

ce

(7 .6 .27)

c=-

6a

Per la (7.6.27) la funzione degli sforzi (7.6.23) divent~ (7 .6 .28)

· cea(3x2 y-y 3· -:-:-3ax_2 -3ay2 +4a) 3

U(x,y)=

6

Facendo uso delle fonnule (7 .5 .1) si ricavano le tensioni tangenziali

oe 2 = -au = -(x 8y 2a

2

(7.6.29)

r

(7.6.30)

'f .- ='"---_--=-. (a-y)x a · ·

Le distribuz:iÒlli:(li ;-"~,. 7.17.a; sono desèrittedà

zs

.,

au

ax

lungo l'.asse

y

-2ay)

ce

y :e di

r,.

sull'asse x, illustrate in fig.

(7.6.31) (7.6.32)

Entrambe le distribuzioru ìl)J)lUPlàhanno·valò're nullo in corrispondenza dell'origine C del rifeti01entò cart~_ $liµ:io, 200

'I Torsione

I triangoli disegnati mediante linee a tratti in fig. 7.17.a denotano le traiettorie delle tensioni tangenziali, ossia le tangenti alle.curve U( z, y) = cost. In fig. 7.17.b sono illQStrate le curve di livello della superficie z = w(z,y), ossia le curve di intersezione della superficie di ingobbimento con piani paralleli al piano zy.

7.6.3. Sezione circolare con intaglio Si consideri una sezione circolare di raggio a , con intaglio circolare di raggio b , come illustrato in fig. 7.18.

L'equazione della circonferenza di raggio b prende la fonna (7.6.33) nel riferimento cartesiano .zy avente come origine il centro della circonferenza che definisce l'intaglio. Nel riferimento in parola, il contomo·della sezione·è rappresentato dall'equazione della circonferenza di centro G a, 0) :

=(

(7 .6 .34) Se si introduce ii sìstema di èoordinate polari (7.6.35)

:i;=

rcos a,

!I=

rsen a

la circonferenza (7 .6.33) si scrive (7 .6 .36) mentre la (7.6.34) ammette la rappresentazione (7 .6 .37)

(rcos a- a) 2 + (rsen a) 2 = a2

Dopo aver eseguito i quadrati e s~mplificato, la (7 .6.37) diventa (7 .6.38)

r=2acosa

oppure

(7.6.39)

l = 2acoscx r

Per le (7.6.36) e (7.6.39), si può· assumere come funzione delle tensioni l'espressione (7 .6.40)

U( r, a) = e( r 2 - b2 ) ( I - 2acosa) r .

201

7 Torsione

X

Figura 7.18

ove e è una costante da determinare. Difatti, la (7 .6.40) si annulla sulle due circonferenze in narrativa, ossia s1d contorno C = 8'D del dominio della sezione retta in esame. Se si trasforma la (7.6.40) in termini di coordinate cartesiane, la funzione delle. tensioni in argomento soddisfa l'equazione di congruenza (7.6.41)

inA='D

per il valore della costante

G0

(7 .6.42)

c=-2

Pertanto, la (7.6.40) assume l'aspetto (7 .6 .43)

In termini di coordinate polari r, Cli, la (7.6.41) può porsi nella forma

82 U

1 8u

1

a2u

-+ --+--=-2G8 8r2 r 8r r 2 80!2 poiché l'operatore di Laplace ammette, nei problemi piani, le due rappresentazioni

82 a2 a2 18 182 · " i 1 2 = - 2+ - = - + - - + -8x2 8y 8r2 r 8r r 2 80!2 nei corrispondenti sistemi di coordinate cartesiane e polari, rispettivamente. Derivando direttamente la (7 .6.40) rispetto ad r ed Cli , come richiesto dalla(*), si ricava il valore della costante e .

202

7 Torsione

Una volta calcolate le tensioni tangenziali r,., e r,11 si può osservare che il valore massimo viene raggiunto in corrispondenza del punto Q (fig. 7.18). Tale valore risulta il doppio del-la tensione tangenziale sul contorno di una sezione circolare di raggio a , senza intaglio. Si vuol far rilevare che, in generale, la presenza di intagli altera sensibilmente la distribuzione delle tensioni che si avrebbe nella corrispondente sezione integra.

7.7. DIVERGENZA E ROTORE DEL VETTORE TENSIONE TANGENZIALE TOTALE Le componenti di tensione ponenti di un vettore piano

r.,,(x, y), r,/x, y)

possono essere intese come com-

(7 .7 .1)

Nella (7.7.1) i e j denotano i versori degli assi cartesiani ortogonali riferimento. Adoperando le espressioni di r.., e r, 11 nella forma (7.3.6), si ricava

x

e y di

(7 .7 .2)

ove w = w(x, y) è la funzione che risulta essere soluzione di un problema di Neumann, detta funzione di torsione, oppure funzione d 'ingobbimento di Saint-Venant. In ogni punto della sezione si può valutare la divergenza del vettore (7.7.2) (7 .7.3)

.

.

ar ar.11 • ax + -ay

div r = V • r =

•

___!!.

= G0

(a- 2 w+ -a2 w) ax 2 ay 2

=O

La divergenza di r, è nulla, poiché la funzione w è armonica all'interno del dominio A= 'D occupato dalla sezione retta della trave, in virtù della (7.3.10). Per la (7.7.3) il campo r, è solenoidale. Per il teorema della divergenza, il flusso attraverso una qualsiasi linea chiusa è nullo. Il rotore del vettore r, ammette la seguente rappresentazione

j (7 .7 .4)

rot r, = V /\ r, =

a a ax 8y Tu

~Il

k

a az o

= (

8~11 ax

_

ar,.. ) 8y

k

Eseguendo le derivate delle funzioni r.,, e ~ 11 che intervengono nella (7.7.4), risulta 203

7Torsione

(7 .7 .5)

rot

T,

in A= 'D

= 2G8k

Si vuol far rilevare che la relazione (7.7.3) esprime una condizione di equilibrio. Difatti, div r, coincide con la terza equazione di equilibrio (7.3.7), nell'ipotesi di forze di massa nulle. La (7.7.5), invece, è una condizione di congruenza, come è immediato. dedurre dalle equazioni esplicite di congruenza. Nel caso in esame, infatti, essendo e,. = e11 = e, = 'Y.,11 = O , le (1.2.12} si riducono alle

(7 .7 .6) Utilizzando le equazioni di legame costitutivo r,,. = G-y,,., r,11 = G-y,11 , ed essendo 'la e -y,11 indipendenti da z, le (7.7.6) assumono l'aspetto (7 .7 .7) Dalle (7.7.7) si deduce che (7 .7 .8)

rot r,= V /\ ·T,=cost

in

A='D

in tutti i punti interni della sezione trasversale del solido cilindrico. Pertanto. la (7.7.8) equivale alle due equazioni di congruenza (7.7.6). Si ricorda che sul contorno della sezione si ha (7 .7 .9) poiché il vettore tensione r, risulta tangente al contorno di normale esterna a , di versore a. Le (7.7.3), (7.7.5) e.(7.7.9) vengono qui di seguito raccolte per comodità

(7.7 JÒ)

div,;= O

in

A= 'D

rot,; = 2G8k

in

A= 'D

,;•a=0

su . C= o'D

7.8. LE ANALOGIE NELLA TORSIONE 7.8.1. Premessa La formulazione del problema della torsione mediante la funzione U( :z:, 11) delle tensioni, pennette di trattare il problema stesso in termini di analogie. Le più inte• ressanti sono: 204

?Torsione

- l'analogia della membrana - l'analogia idrodinamica Le analogie forniscono in modo semplice e qualitativo importanti informazioni sulla funzione deile tensioni, anche se non riducono le difficoltà analitiche connesse con il problema originario. Le due analogie in discorso si stabiliscono con problemi fisici, il cui modello matematico è riconducibile a quello della torsione, retto dalle equazioni (7.5.13). Comè si mostrerà nel seguito, esse aiutano ad intuire, nelle sue linee generali, la soluzione del problema. 7 .8.2. Analogia della membrana Si consideri una membrana sottile, uniformemente tesa, fissata al contorno e sollecitata da una pressione traversale uniforme p( x, y) . Si supponga che il contorno della membrana (fig. 7.19.a) sia quello della sezione del cilindro di Saint-Venant, sollecitato a torsione. La membrana deformata è illustrata in fig. 7 .19.b. L'equilibrio di un elementino di membrana, avente proiezioni dx e dy sul piano della sezione, sotto l'azione delle forze che lo sollecitano, si può esprimere con le notazioni illustrate in fig. 7 .20. La forza pdz dy, che costituisce la risultante delle forze esterne, è diretta secondo l'asse z. Le azioni Sdx e Sdy relative ai lati dx e dy dell'elementino, ove S denota lo sforzo di trazione per unità di lunghezza, devono equilibrare il carico esterno (7 .8 .1)

Z0

= p(z,y) dzdy

La funzione w = w( x, y) denota l'inflessione della membrana nel generico punto di coordinate x e y . La forza Sdy agente sul lato H K dell'elementino, è inclinata dell'angolo :' rispetto alla retta parallela all'asse x. Essendo tale angolo molto piccolo, esso si può confondere con il suo seno. Pertanto, la componente Z 1 di S dy nella direzione dell'asse z vale (7 .8 .2)

aw ax

Z 1 = --Sdy

Il segno meno che appare al secondo membro della (7.8.2) deriva dalle considerazioni che seguono. In base alle notazioni della fig. 7.20.b, risulta Z 1 positiva, poiché la componente in parola è equiversa all'asse z. La derivata ::' fornisce valori negativi, essendo w( x, y) funzione decrescente di x , fissato y = Yo • Lo sforzo Sdy, agente sul lato LN dell'elemento (fig. 7.20.b), è inclinato dell'angolo 205

7 Torsione

ontorno della sezione

X

a)

L

dx

G

K

dy~

N

H

y

p b)

X

Membrana deformata

s z

Figura 7.19

(7 .8 .3)

-a ax

( w+ -dx aw ) ax

rispetto alla retta orizzontale. La componente Z 2 di tale sforzo, secondo la direzione dell'asse z, è una quantità negativa (7 .8 .4)

a·(

Z2 = ax

w+

-aw dx ) S dy ax

poiché diretta nel verso negativo dell'asse z. Nella (7.8.4), il segno meno è fornito dalla derivata (7.8.3) della funzione decrescente w + : dx. Per le (7.8.2) e (7.8.4), la componente verticale z,. delle azioni agenti sui lati H K e LN dell 'elementino, assume l'aspetto (7 .8 .5)

206

a2 w

Z,. = Z 1 + Z 2 = S axz dxdy

7Torsione

X

tSdx L

H a)

dy

...._

y

__.. Sdy

Sdy

K

N

!sdx dx X

aw w+ axdx

+

SdyF

w

20 =pdxdy

b)

_Q_ (w +aw dxl

ax

ax

z

aw ax

Figura 7.20

Mediante considerazioni analoghe, si deduce che la componente Zf secondo l'asse z, della risultante degli sforzi agenti sui lati LH e NK dell'elementino in narrativa, prende la forma

(7 .8 .6) Sotto l'azione delle forze precedentemente esaminate, l'equilibrio alla traslazione dell 'elementino nella direzione dell'asse z , richiede che si abbia

z0 + z.,+ zf = o

(7 .8 .7)

Per le (7.8.1), (7.8.5) e (7.8.6), la (7.8.7) ammette la seguente rappresentazione

s88 -w2 dxdy+ Sa8y-w2 dxdy= O 2

(7 .8 .8)

pdxdy+

2

X

207

?Torsione

Dalla (7.8.6) risulta che, in ogni punto interno della membrana, deve aversi

(7 .8.9)

-

a2 w a2 w

p

--+ --= -2 8

811

ax2

in

A= 'V

Se V 2 w denota il laplaciano della funzione w = w( x, 11) :

a2 w a2 w

V 2 w= - - + - 2

(7 .8 .10)

ax2

811

la (7.8.9) si può scrivere

(7.8.11) Sul contorno della sezione, si pone

w=O

(7.8.12)

su

C=8'D

Confrontando le equazioni (7.8.9) e (7.8.12) con le (7.5.13), si può concludere che la funzione w( x, 11) degli spostamenti della membrana, coincide con quella degli sforzi U ( x, 11) , se si pone -2 G0 = -p/ S , e si ammette che il contorno della membrana e quello della sezione coincidano. In sintesi, l'analogia della membrana consente di visualizzare il grafico della funzione degli sforzi U ( x, 11) , poiché assimila il problema della torsione semplice a quello delle piccole deformazioni di una membrana perfettamente flessibile, di spessore costante, uniformemente tesa sopra un contorno simile a quello della sezione, e sottoposta ad una pressione uniforme.

Z8.2. 1. Osservazioni Nel paragrafo precedente, la superficie deformata della membrana è stata rappresentata come il grafico della funzione w = w( x, 11) , soluzione del problema di Dirichlet definito dalle (7.8.9) e (7.8.12). La superficie w( x, 11) può essere illustrata mediante le curve di livello w( x, 11) = cost (fig. 7.21). Nel punto generico P di una qualsiasi curva dilivello

è · dw -=O ds

(7 .8 .13)

Si è anche fatto rilevare che w( x, 11) coincide con la funzione delle tensioni U(x,11) ,se 2G0 = p/S edicontornidellamembranaedellasezionecoincidono. L'equazione corrispondente alla (7.8.13), per la funzione degli sforzi, risulta espressa dalla (7.5.27): (7 .8 .14)

au d11 au dx dU r=--+--=-=0 811 -ds ax ds ds _G

208

-

7 Torsione

a)

b) X

y

Vettore tensione

Figura 7.21

Curva di livello w (x , y) = cost.

X

G

a

y

Figura 7.22

e rappresenta la derivata direzionale di U( x, y) rispetto alla .tangente. Nella (7.8.14) ra denota la proiezione, sulla nonnale al contorno definito dalla curva di livello U = cost, del vettore tensione Tz • Pertanto, il vettore tensione rz , nel generico punto P della sezione, risulta tangente alla curva di livello w( x, y) = cost della superficie della membrana defonnata per quel punto (fig. 7.21.b). In altre parole, le curve di livello della superficie della membrana defonnata (oppure della funzione degli sforzi) sono le linee di flusso delle tensioni tangenziali, per la sezione sollecitata a torsione. In fig. 7.22 sono rappresentate anche le componenti cartesiane di tensione 1;,., 209

7 Torsione

e

unitamente al vettore rz . Le considerazioni sv_olte in questo paragrafo e quelle riportate nel par. 7.5.4 consentono anche di affermare che le tensioni tangenziali rzx e rzy sono proporzionali alle inclinazioni della superficie z = w(x, y) della membrana deformata nei due piani zy e zx, rispettivamente0 4l. Inoltre, il doppio del volume delimitato dalla superficie della membrana e dal piano xy della sezione rappresenta il momento torcente, a condizione che p/ S = 2 G8 . rzy ,

7.8.3. Analogia idrodinamica

7.8.3.1. Richiami di fluidodinamica Si definisce linea di corrente relativa all'istante t ogni curva 10 tale che, comunque si scelga un punto P di ìo, la velocità v(P, t) è tangente a 10 (fig. 7.23). Se la velocità v( P, t) è indipendente dal tempo, ossia è funzione soltanto delle coordinate del punto, si dice che il moto è stazionario. In tale ipotesi il percorso di una particella fluida è anche linea di corrente. Moto piano Il moto del fluido si dice bidimensionale, oppure piano, se le caratteristiche del moto del fluido e le traiettorie sono le stesse in tutti i piani tra loro paralleli. Indicate con vx e vY le componenti del vettore velocità v secondo le direzioni x e y degli assi di riferimento, si ha

(7 .8.15) ove i e j denotano i versori degli assi x e

y,

rispettivamente.

Fluido incomprimibile Il fluido si dice incomprimibile, oppure incompressibile se, durante il moto, ogni sua particella non varia di volume. Sia r unalineasemplicechiusadelpiano x-y (fig. 7.24)e vn lacomponente normale della velocità su r . La condizione che la quantità di fluido contenuto in r è costante, può essere espressa dall'uguaglianza a zero del flusso del vettore v attraverso r :

(7 .8.16)

4

In modo equivalente si può asserire che la tensione tangenziale è massima nei punti dove le curve di livello della supeficie della membrana sono più vicine tra di loro. (! )

210

7 Torsione

V

(P, t)

Figura 7.23

y

J-----------------~ X Figura 7.24

ove dr è un arco infinitesimo di r ed n denota la normale a r . La (7.8.16) consente di affermare che la quantità di fluido che entra attraverso r è uguale alla quantità di fluido che esce da r . La (7.8.16), che prende il nome di equazione di continuità, è valida qualunque sia la curva r . Pertanto, per il teorema della divergenza (7.8.17)

i

V •n

dr =

l

div V dQ =

o

si ricava (7 .8 .18)

div v

av + _Y av = O = -"'

ax

811

in

n

ove Q rappresenta il dominio piano delimitato dalla curva r . La (7.8.18) costituisce una differente forma dell'equazione di continuità. 211

7Torsione

Fluido ideal.e Un fluido si dice ideal.e quando è incomprimibile e privo di viscosità (attrito interno). Il fluido ideale è un modello matematico di un fluido reale per il quale si possono trascurare la comprimibilita e la viscosità. Un fluido viscoso in movimento tende ad aderire alla superficie di un ostacolo posto sul suo cammino.

7.8.3.2. Ulteriori equazioni del problema idrodinamico Per stabilire l'analogia tra il problema idrodinamico ed il problema della torsione, si supponga di riempire di liquido un recipiente cilindrico avente la stessa forma trasversale della sezione retta sollecitata a torsione. Si imprima al recipiente pieno di liquido un moto di rotazione attorno al suo asse baricentrico, con velocità angolare w costante. Nei primi momenti dopo l'arresto del recipiente, il moto del liquido può considerarsi stazionario, poiché è lecito trascurare la viscosità. Se la velocità impressa non è stata eccessiva, il moto è anche piano. In tal caso la velocità della generica particella risulta espressa dalla (7.8.15). Nelle ipotesi anzidette, il rotore del vettore velocità v k

j (7 .8 .19)

rot

V=

a a a ax 8y az vz vy o

=

( -avv ax

-

av ) k = 2wk

_z

By

è costante in n . La (7.8.19) esprime la condizione di unifonne vorticità, ossia l'uniformità del vettore rotazione per tutte le particelle di fluido . Sul contorno del recipiente la velocità del fluido in rotazione ha la direzione della tangente. Pertanto, la condizione al contorno del problema idrodinamico è

(7.8.20)

V ·Il=

0

In sintesi, le equazioni del problema idrodinamico sono

(lS) Si definisce vorticità la velocità angolare media di due elementi di linea tra loro ortogonali. Nel caso di moto piano parallelo al piano xy , la componente di rotazione attorno ali' asse z vale

w

z

212

= .!_ ( 8vy _ av., ) = w 2

8x

By

7 Torsione

(7 .8 .21)

div v = O

in

rot v = cost

in

n n

su

r

V ·O=

0

in virtù delle (7.8.18), (7.8.19) e (7.8.20).

7.8.3.3. Utilizzazione dell'analogia idrodinamica Confrontando le (7.8.21) con le (7.7.10), si può osservare che il problema idrodinamico risulta matematicamente equivalente al problema della torsione. È da notare che a ed n denotano, nelle suddette equazioni, i versori della normale esterna al contorno della trave ed al contorno del recipiente, nell'ordine. . Da quanto esposto segue che la distribuzione della tensione tangenziale rz dovuta al momento torcente Mz coincide con quella della velocità v delle particelle del fluido in rotazione. I percorsi delle particelle d'acqua, ossia le linee di corrente in caso di moto stazionario, definiscono le linee di flusso delle tensioni. Si dice anche che le linee di tensione si presentano sotto l'aspetto delle linee di corrente. Prevedendo l'andamento delle linee di corrente, si può risalire alle linee delle tensioni ed avere informazioni utili sul comportamento della sezione, soprattutto nei casi in cui non sia possibile conseguire analiticamente una soluzione del problema. Difatti, in forza dell'analogia idrodinamica, in ogni punto la tensione tangenziale ha lo stesso andamento della velocità del fluido. Si considerino due traiettorie vicine e chiuse 7 1 e 1 2 nel piano (fig. 7.25.a). In fig. 7.25.b è riportata ingrandita una parte di canale elementare definito da 7 1 e 7 2 • I segmenti di retta come AB e CD , ortogonali alla linea media, prendono il nome di corde. Gli spessori di tali corde siano li1 e li2 , rispettivamente. I diagrammi delle velocità del fluido in corrispondenza delle corde AB e CD possono ritenersi costanti, se i percorsi 1 1 e 72 sono abbastanza vicini. Si denotino con v1 e v 2 le velocità relative alle corde in esame. Il principio della costanza della portata comporta che

(7 .8 .22) ossia la velocità v diminuisce ove lo spessore li aumenta e, viceversa. Per l'analogia idrodinamica si può affermare che il valore di rz incrementa ove le linee di flusso si infittiscono; là dove i percorsi delle particelle di fluido si allontanano, la velocità del fluido si riduce e, quindi, la tensione rz decresce.

Concentrazione di tensioni Quando la sezione presenta un angolo rientrante (fig. 7 .26.a) oppure un intaglio (fig. 7.26.b), in corrispondenza di dette singolarità si verifica un avvicinamento 213

7 Torsione

Corda AB di spessore 61

Corda CD di spessore 62

a)

b) Linea media del canale

Figura 7.25

Spigolo rientrante

Intaglio

\

Figura 7.26

Spigolo esterno

\

a)

b)

e)

delle linee di flusso e, quindi, si ha un aumento della sollecitazione, fino a raggiungere un valore infinitamente grande. Per evitare la concentrazione delle tensioni nelle sezioni sollecitate a torsione, occorre eliminare gli angoli rientranti e gli intagli mediante opportuni raccordi. Si dice anche che i punti angolosi interni devono essere arrotondati. In corrispondenza di un punto angoloso estemo (fig. 7.26.c) T, tende a zero, 214

7 Torsione

Sezione sottile chiusa

Figura 7.27

a)

Sezione sottile aperta

Linee di corrente o di flusso

b)

poiché i percorsi delle particelle fluide in prossimità di spigoli convessi o sporgenti si distanziano tra di loro, con la conseguente riduzione della velocità. Pertanto, tali spigoli esterni, che non contribuiscono alla resistenza della sezione, possono essere smussati, oppure lasciati vivi. L'analogia idrodinamica serve anche a giustificare il differente comportamento delle sezioni sotti1i< 16> chiuse (fig. 7.27.a) rispetto a quello delle sezioni sottili aperte (fig. 7.27.b). Nelle prime, le linee di corrente sono parallele al contorno e si rinchiudono su se stesse senza inversione. Pertanto, la tensione r,, ha lo stesso verso per tutti i punti dello spessore. Se quest'ultimo è piccolo rispetto alle restanti dimensioni della sezione, Tz può assumersi costante in modulo. Nel caso delle sezioni sottili aperte, invece, le linee di corrente per rinchiudersi su se stesse devono percorrere nei due sensi la sezione (fig. 7.27.b). Di conseguenza, le tensioni Tz invertono il loro segno lungo lo spessore.

7.9. SEZIONE RETTANGOLARE

Si consideri una sezione rettangolare di lati 2 a e 2 b (fig. 7 .28) sollecitata dal momento torcente M • . Le dimensioni a e b sono dello stesso ordine di grandezza. In termini di funzione delle tensioni U(x, y) , il problema della torsione per una

- 2

Difatti, dato che f" / f dipende solo da x e g" / g è una funzione di y , necessariamente le predette funzioni sono costanti, in virtù dell'uguaglianza (7.9.8). La costante è stata indicata con ->- 2 , ove >. 2 > O . La (7.9.8) dà luogo alle due equazioni differenziali (7 .9 .9)

!" + >- 2 f = O,

Le soluzioni delle (7.9.9) possono porsi nella forma f = A cos

(7.9.10)

>-x + B sen >.x

g = A 1 cosh >,y

+ B 1 senh >.y

Per ragioni di simmetria (cfr. analogia della membrana par. 7.8.2), la funzione h(x, y) dev'essere una funzione pari in x e y. Pertanto, nella (7.9.10) deve risultare B = B 1 = O e, quindi, per la (7.9.5) si ha h = fg

(7 .9 .11)

= Dcos >.xcosh Ày

ove D rappresenta una costante arbitraria. La (7.9.11) verifica la seconda delle (7.9.4) quando cos Àa mr

(7 .9 .12)

À=-

2a

n=

1,3,5, ...

poiché cosh >-v1 O per tutti i valori di y. L'autofunzione corrispondente all'autovalore (7 .9 .13)

= O , ossia per

Àn

si scrive mrx

mry

hn = D n.cos >, n xcosh >, n y = Dncos - a cosh - a 2 2

La PlÙ generale soluzione dell'equazione armonica V 2 h = O si scrive 00

(7 .9 .14)

hn =

h= n= 1,3,5 ,...

00 ~

L-,

n=l,3,5,...

D,.cos

mrx

20

cosh

mry

20

217

7 Torsione

La (7.9.14) verifica la condizione al contorno per x = ±a. Per delle (7.9.4) e la (7.9.14) danno

y =

±b, la terza

DO

Ì:

(7.9.15)

Gn COS

;:

= G0(x

2

a

-

2

)

= h(x)

,,=1,3,5, ...

ove si è posto (7.9.16) Dalla teoria delle serie di Fourier, se si moltiplicano i membri della (7 .9 .15) per cos ( mrx/2 a) e si integra tra i limiti -a , e a , risulta il valore del coefficiente

11a

Gn = -

(7.9.17)

a

h(x)

n?fX

COS -

-a

2a

dx

Dato che la funzione (7 .9 .18)

h(x) cos

n1rx

2

a

= GE>(x 2 -

2

a ) cos

n1rx

2

a

è simmetrica rispetto all'asse y (definito dall'equazione x = O ), la (7.9.17) può scriversi nella forma (7 .9 .19)

2ae

G = -a

n

1a

2 2 mrx ( x - a ) cos dx

2a

O

Integrando la (7.9.19), si ricava (7 .9 .20) Le equazioni (7.9.16) e (7.9.20) forniscono (7 .9 .21)

n1rb

n3 1r 3 cosh -

2a

(l?)

Si dimostra che

l

a

-a

m1rx a

mrx a

d {O

cos--cos- x=

'

a,

semf n sem = n

Dato che la serie (7 .9.15) converge uniformemente ad h(x) nell'intervallo ( -a, a) , è lecito lo scambio tra i simboli di serie e di integrale.

218

7 Torsione

Per le (7.9.14) e (7.9.21), la (7.9.3) diventa

l)

n1rx

n1ry

2a

2a

(-1) ( ,._ / 2 cos -cosh -

00

32GE>a 2

(7 .9 .22)

n3

TF 1,3 ,5 ,•••

n1rb

cosh 2a

È da notare che la funzione delle tensioni U assume l'aspetto (7 .9 .23) per

b/ a ~

1 , ossia per sezioni sottili. Difatti, risultando x2

(7 .9 .24)

cosh

x

x4

= 1 + ! + ! + ... 4 2

la serie nella relazione (7.9.22) tende a zero per b/ a --+ oo. Nota la funzione delle tensioni U di Prandtl, è possibile valutare le componenti tangenziali di tensione

au

r,,, =-a, y .

(7.9.25)

T

au

zy

=--

ax

nonché l'angolo unitario di torsione dalla relazione (7 .9 .26)

M,

=2

i

UdA

Facendo riferimento alle notazioni della fig. 7.28, Timoshenko e Goodier [Tl] hanno mostrato che, per b > a , la tensione tangenziale massima rmax si verifica nel punto x = a, y = O e può esprimersi in funzione del momento torcente M, nella forma (7 .9 .27)

7max

= T'* = ,8(2a)M,2 (2b)

Tabella 7.1. b/a

.B .81

1

1.2

1.5

2.0

2.5

3

4

5

10

00

0.208

0.219

0.231

0.246

0.258

0.267

0.282

0.291

0.312

0.333

0.1406

0.166

0.196

0.229

0.249

0.263

0.281

0.291

0.312

0.333

219

7Torsione

mentre l'angolo unitario di torsione assume l'aspetto (7 .9 .28)

I coefficienti {3 e {31 che intervengono nelle (7.9.27) e (7.9.28) dipendono dal rapporto b/ a , come illustrato nella tabella 7.1.

7.10. SEZIONI A CONNESSIONE MULTIPLA 7.10.1. Premessa

Nei paragrafi precedenti, il dominio della sezione trasversale della trave sollecitata a torsione è stato supposto semplicemente connesso. Qui di seguito, invece, si vuole esaminare il caso del dominio a connessione multipla. Si supponga il cilindro di Saint-Venant limitato internamente da alcune superfici cilindriche, con generatrici parallele all'asse z. L'area A della sezione trasversale della trave risulta compresa tra la curva esterna C0 e le curve chiuse C 1 , C2 , ... , C;, ... , Cn (fig. 7.29). Il senso di percorrenza dei vari contorni interni è da assumersi positivo se contrario a quello assunto per il contorno esterno C0 della sezione. Come nel caso della torsione relativa alla sezione monoconnessa, si può assumere la tema di componenti di spostamento nella forma (7.3.2) u = -E>yz

(7 .10 .1)

v = E>xz w=E>w(x,y)

ove E> è una costante da determinare. Anche la funzione d 'ingobbimento w ( x, y) , detta pure funzione di torsione, deve essere determinata. Utilizzando le equazioni di congruenza e di legame costitutivo si perviene alle relazioni (7.10.2)

r = GE> ( away + x) zy

Mediante considerazioni analoghe a quelle svolte nel par. 7.3.3, si stabilisce l'armonicità della funzione w all'interno del dominio A = '1J della sezione retta della trave: (7 .10 .3)

220

in

7 Torsione

Mc, s,LY X

a

Figura 7.29

Dato che il contorno esterno e quelli interni sono liberi da forze applicate, dev~no sussistere le condizioni (7 .10 .4)

suC;(i=0,1,2, ... ,n)

Perle (7.10.2), la (7.10.4) assume l'aspetto (7 .10 .5)

C;( i = O, 1 , ... , n)

su

Il primo membro della (7 .10.5) denota la derivata direzionale della funzione d 'ingobbimento w rispetto alla direzione della normale a .

7.10.2: Formulazione in termini di funzione delle tensioni Se si introduce la funzione U delle tensioni definita dalle (7.5.1) (7 .10 .6)

au

T ZI/

=-8X

la condizione al contorno (7.10.4) assume l'aspetto (7 .10 .7)

8U dy + 8U dx 8y ds

8x ds

=

dU ds

=O

su

( O l 2 , ... ,n) C;i=,,

essendo a,, e a11 i coseni direttori della normale esterna al contorno O;( i ... ,n):

= O, 1, 2 , 221

7 Torsione

dy

(7 .10 .8)

dx

a=-

a=--

ds'

x

ds

Y

Dalle (7.10.7) segue che (7 .10 .9)

C;( i = O, 1, 2 , ... , n)

su

ove k; sono costanti. Di tali costanti una sola può essere scelta arbitrariamente, ad esempio, si può porre k0 = O . Le restanti costanti devono essere determinate in modo che la funzione w = w( x, y) :

w(x,y) =

(7 .10 .10)

aw ) 1 (aw-dx+ -dy P

Po

8x

8y

sia monodroma nel dominio A = 'D . Nella (7.10.10), P0 (x 0 , y 0 ) è un punto prefissato, mentre P (x, y) è un punto generico. Solo se la funzione w = w(x,y) è monodroma, la componente w di spostamento risulta essere funzione ad un sol valore, attraverso la (7.10.1). Dal confronto tra le (7.10.2) e le (7.10.6) si trae il legame tra le derivate della funzione w e quelle della funzione U :

=

8w

(7 .10 .11)

8x =

=

1

au

Ce 8y+ Y,

aw

1 au ce ax

-=----x

8y

Perle (7.10.11), la (7.10.10) diventa

(7 .10.12)

w(x,y) = [~

[(de~~+ y) dx - (e~~~+ x) dy]

Nel caso di regione A = 'D semplicemente connessa, l'esistenza di una funzione ad un sol valore w( x, y) espressa dalla (7 .10.12) è assicurata se, e solo se (7 .10 .13) ovvero, se e solo se in

(7 .10.14)

A= 'D

Se la regione è a connessione multipla, alla (7.10.14) va aggiunta la condizione

(7 .10.15)

222

J le.

[(-1 au + y) dx - (-1 au + x) dy] O ce ay ce ax =

7 Torsione

su ogni contorno C;( i = 1, 2, ... , n) . Le n condizioni (7 .10.15) permettono la determinazione delle costanti k 1 , k2 , ... , k Tali condizioni possono esprimersi anche in forma differente. Se si introducono nella (7.10.15) i coseni direttori (7.10.8) della normale a esterna al contorno C;, la (7.10.15) assume l'aspetto: 11

•

1 t5" G~

(7 .10 .16)

i

(au -a 8y

C;

i

au ) ds + + -a"' ax

Y

( xa + ya ) ds = O

C;

"'

Y

Applicando il teorema della divergenza al secondo integrale delle (7.10.16), si ha (7 .10 .17) ove A; rappresenta l'area racchiusa dal contorno C;. Perla (7.10.17), la (7.10.16) può porsi nella forma

_I_ GE>

(7 .10 .18)

f

dU ds = -2A. da '

Je;

su

C;( i = I , 2 , ... , n)

poiché

au

au

dU -a +-a=8y Y ax "' da

(7.10.19)

esprime la derivata direzionale della funzione U( x, y) rispetto alla normale a.

7.10.3. Equivalenza statica Per le (7.10.6), l'espressione del momento torcente M, assume l'aspetto (7 .10 .20)

•

M = z

1c A

T zy

x -

T

zx

y) dA =

-1 (au A

8x

x

+ au Y) dA 8y

Il momento torcente M, prende anche la forma (7.5.16): (7 .10 .21)

M, =

21 -1 [!....(Ux) A

U dA

A

8x

+ ~(Uy)] dA 8y

Applicando il teorema della divergenza all'integrale più a destra della (7.10.21), si ricava (7 .10 .22)

223

7 Torsione

Per le (7.10.9) e (7.10.17) la (7.10.22) diventa

( 7 .10 .23)

Il problema può essere anche formulato in termini di funzione 1/Jo, coniugata della funzione di ingobbimento w = w(x, y), come illustrato nell'esercizio 7.10.

7.11. SEZIONI SOTTILI APERTE 7.11.1. Sezione rettangolare sottile

7.11.1.1. Funzione delle tensioni Si consideri una sezione rettangolare sottile, ossia una sezione a forma di rettangolo con un lato molto più lungo dell'altro (fig. 7.30). ·111ato maggiore, di lunghezza a, è parallelo all'asse x, mentre quello minore, di lunghezza b, ha la direzione dell'asse y. Quando la sezione è sollecitata a torsione, si possono valutare le tensioni e le deformazioni facendo appello all'analogia della membrana. In base a tale analogia si può desumere che la funzione degli sforzi U ( x, y) ha la forma rappresentata dai grafici di fig. 7.30. La superficie z = U(x, y) è simmetrica rispetto agli assi x e y e, fatta eccezione per le zone in corrispondenza dei due bordi terminali, risulta rappresentabile mediante curve di livello parallele all'asse x. È da notare che, se si impiega l'analogia idrodinamica, le rette parallele all'asse x in argomento denotano le linee di corrente, ovvero le linee di flusso del vettore tensione tangenziale rz . Tornando alla funzione U(x, y) di Prandtl, le curve di intersezione della superficie z = U(x, y) con i piani coordinati xz e yz, indicate in fig. 7.30 con U( x, O) e U( O, y) , mostrano che in corrispondenza del contorno della sezione risulta U(x,y) =O, ossia

(7 .11.1)

U(x,y)

=O

per

x

= ±a/2, y = ±b/2

I valori massimi di U(x, y) vengono assunti sull'asse x. Potendo ritenere la funzione degli sforzi costante con x , essa dipende dalla sola variabiJe y. Pertanto, l'equazione di congruenza (7.5.5) assume l'aspetto

( 7 .11.2)

Integrando due volte di seguito la (7.11.2) si ricava

224

?Torsione

Sezione

a/2

a/2

b/2

,,.----------------

-

-

-

-

-

""G -

-

-

-

-,

z

-----./

' r------1---------L..-~ I

u (o' y)

Curve di livello di U (x • y )

G

y

y

/U{,,O)

G

Figura 7.30

(7.11.3)

-dU = -2GE>y+ 0 1 dy

(7.11.4)

U = -GE> y + C 1 y + C 2

2

.

Le condizioni al contorno da associare alle (7.11.3) e (7.11.4) si esprimono nella fonna (7.11.5)

dlii

=0 dy ir-o '

come è facile dedurre dai grafici di fig. 7.30. Per le (7.11.3)-(7.11.5) si ricavano, nell'ordine, i valori delle costanti (7 .11.6) In virtù delle (7.11.6),'la funzione degli sforzi (7.11.4) ammette la rappresentazione (7 .11.7) e le espressioni delle tensioni tangenziali (7.5.1) prendono la fonna 225

7 Torsione

(7.11.8)

Tzy

=-

au 8x

= 0,

T..,

au = -2GE>y

= -

8y

Le (7.11.8) avvertono che la tensione tangenziale r,x, che coincide con la tensione tangenziale totale r, , varia con legge lineare sulla generica corda parallela ai lati corti della sezione, assumendo valore nullo in corrispondenza del punto medio. Per quanto concerne la tensione r,y diretta secondo lo spessore b , si può anche affermare che essa è nulla agli estremi di b , poiché il vettore tensione è tangente al contorno. Inoltre, essendo lo spessore piccolo, può considerarsi nulla lungo tutta la cord_a di lunghezza b .

7.11.1.2. Angolo unitario di torsione Per valutare l'angolo unitario di torsione si può utilizzare la relazione (7.5.18) (7 .11.9)

. 21

UdA= M,

che, nel caso in esame, assume l'aspetto (7.11.10)

-2GE>

1(i-~)

dA= M,

Essendo lo spessore b costante, l'integrazione della (7 .11.10) porge la relazione (7.11.11)

-2 ce

(r - b A) 2

X

4

=

M· Z

ove

A= ba

(7.11.12) denotano il momento d'inerzia rispetto all'asse della trave. Combinando le (7.11.11) e (7.11.12) si ha (7 .11.13)

x

e l'area della sezione trasversale

ab3 GE>-=M 3 z

da cui si ricava l'espressione dell'angolo unitario di torsione (7.11.14) Nella (7.11.14) si è indicato con 226

7Torsione

a/2

a/2

b/2 X

b/2

Figura 7.31

1

( 7 .11.15)

J = -ab t 3

3

il fàttore di rigidezza torsionale per la sezione rettangolare. La sostituzione della(7.1 l .14) nella (7.11.7) porta all'espressione della funzione delle tensioni ( 7 .11.16)

Per la (7.11.14), le (7.11.8) diventano ( 7 .11.17)

Il valore massimo y = ±b/2 . Si ha

T;

(in modulo) della tensione tangenziale

Tzx

viene assunto per

( 7 .11.18)

L'andamento della tensione tangenziale Tzx è riportato in fig. 7.31, in corrispondenza della corda ubicata sull'asse y, con l'indicazione del valore massimo Come già accennato, tale andamento è valido in tutta la sezione tranne nelle due zone prossime ai lati corti del rettangolo, ove le linee di flusso non risultano essere più rettilinee.

T; .

227

7Torsione

7.11.1.3. Ingobbimento della sezione In generale, le relazioni tra le derivate della funzione delle tensioni U( x, y) di Prandtl e quelle della funzione di torsione w( x, y) di Saint-Venant sono espresse dalle (7.5.3), qui di seguito riscritte (7.11.19)

r z,:

(7.11.20)

T

y) aw + x)

= au =G0 ( aw :. . 8y ax = -

Zlf

au ax

= G0 (

8y

Nel caso in esame, essendo valide le (7.11.8), le (7.11.19) e (7.11.20) diventano, rispettivamente (7 .11.21)

aw

aw

-=-x

ax = -y,

8y

Integrando le (7.11.21) e tenendo conto che, mediante le (7.3.20), si è posto uguale a zero I' ingobbimento medio della sezione (7 .11.22)

l

w(x,y) dA = O

si ricava l'espressione della funzione di torsione (7 .11.23)

w

= -xy

Pertanto, l'a funzione d'ingobbimento è un paraboloide iperbolico, antisimmetrico rispetto ai due assi di riferimento. Dalla (7 .11.23) appare che le linee medie della sezione non subiscono ingobbimento:

7.11.2. Sezione sottile di forma generica Si consideri una sezione sottile aperta, la cui area resistente è distribuita attorno alla linea media. Lo spessore b = b( s) .è piccolo rispetto alla lunghezza lo della linea media, sulla quale viene fissato un sistema di ascisse curvilinee s , con origine nel punto S0 (fig. 7.32). Nel piano Gxy la linea media può essere descritta dalle equazioni parametriche (7.11.24)

x = x(s),

y = y(s)

In base ali' analogia della membrana si può affermare che la funzione delle tensioni, come per la sezione rettangolare sottile, ha andamento parabolico lungo lo spessore della sezione, con punti di nullo alle estremità della corda e valor massimo 228

7 Torsione

X

s

Figura 7.32

in corrispondenza del punto medio dello spessore. In altre parole, il generico elemento di sezione di lunghezza infinitesima ds ed area b( s) ds si comporta come una sezione rettangolare di lati a = ds e b = b( s) . Sia Mz il momento torcente che sollecita la sezione. L'aliquota dMz assorbita dall'elemento di lunghezza infinitesima ds in narrativa si deduce dalla (7 .11.13) (7 .11.25) Nella (7.11.25) E> denota l'angolo unitario di torsione dell'elemento di trave avente per direttrice il contorno dell'area b(s) ds tratteggiata in fig. 7.32 e per generatrici le rette parallele ali' asse z del solido cilindrico. Si supponga che tutti gli elementi infinitesimi di trave, corrispondenti alle pos~ sibili suddivisioni b( s) ds della sezione trasversale della trave, si deformino rispettando la congruenza, ossia senza provocare distacchi tra i vari elementi, oppure compenetrazioni. In tale ipotesi risulta E>(s) =

(7 .11.26)

e = costante

Per le (7 .11.25) e (7 .1L26), l'equazione di equivalenza statica porge (7 .11.27)

M = ,. z.

1 lo

dM = GE> z

b3 ( 8 )

1 lo

- - ds 3 229

7Torsione

Nella (7.11.27) l0 denota la lunghezza della linea media della sezione. Indicando con (7 .11.28) il fattore di rigidezza torsionale, dalla (7 .11.27) si ricava l'espressione dell'angolo unitario di torsione E)= M,

(7 .11.29)

GJt

In forza dell'analogia esistente tra l'elemento infinitesimo di area bds della sezione sottile curva e quella rettangolare sottile, avente il medesimo spessore b = b( s) , le tensioni tangenziali non nulle T,. sono quelle parallele alla tangente alla linea media. Tali componenti variano linearmente lungo la generica corda, assumendo i valori più grandi agli estremi della corda stessa e valore nullo in corrispondenza della linea media. Perle (7.11.18) e (7.11.28), in corrispondenza della corda di spessore b = b(s) posta all'ascissa s, si ha

T;

(7 .11.30)

T* z

= max { T } = ,.

11

M'

M b = -'b Jt

3

b (s) ds 3 lo

b

- - - --1

I I I I

b2

I

Figura 7.33

230

b3

I

b

I b I- - - --1

I I

b1

I I I ----.

..--+---' ----

7Torsione

7.11.3. Profilati metallici I profilati metallici costituiscono un caso particolare della sezione a spessore variabile. Ogni profilato può considerarsi composto, in prima approsimazione, da un insieme di rettangoli. Pertanto, l'espressione del fattore di rigidezza torsionale della sezione del profilato può dedursi dalla (7 .11.28), essendo lo spessore b( s) = b, costante a tratti. Data l'esiguità dello spessore, le dimensioni sono riferite alla linea media. Detto N il numero dei rettangoli in cui può ridursi il profilato, ed e b, le dimensioni del generico rettangolo, si ha

a,

1

(7 .11.31)

Jt=

N

3 La,b; i=l

Per i tre profilati sottili (essendo b, ~ a;) illustrati in fig. 7.33, le espressioni di J1 sono riportate al di sotto delle corrispondenti sezioni. L'angolo unitario di torsione e risulta ancora definito dalla (7 .11.29) (7 .11.32)

0 = Mz GJt

ove J1 è fornito dalla (7.11.31). Come già accennato nel par. 7.8.3, nei vertici rientranti la tensione tangenziale ha un valore teoricamente infinito, poiché si ha un addensamento delle linee di corrente nel problema idraulico. Concretamente, poiché gli spigoli vengono raccordati, la tensione tangenziale effettiva è funzione del raggio r dell'arrotondamento (fig. 7.34). Detta .,-; la tensione tangenziale sul contorno della sezione, relativamente ad una corda distante dall'angolo rientrante, la tensione massima rmax in dipendenza di r risulta espressa da

b

Figura 7.34

231

7 Torsione

(7 .11.33) La (7 .11.33) è fornita da Timoshenko e Goodier [Tl] ed è derivata mediante considerazioni basate sull'analogia della membrana..

7.12. SEZIONI TUBOLARI SOTTILI 7.12.1. Premessa

Si consideri la sezione anulare di una trave, con parete di spessore piccolo rispetto alle dimensioni trasversali della sezione compatta delimitata da uno dei contorni della sezione tubolare, sollecitata dal momento torcente M, . Sulla linea media della sezione si assuma un sistema di ascisse curvilinee s con origine in S0 (fig. 7.35.a). Si indichi con H K la generica corda di lung~èzza b = b( s) , posta all'ascissa s , che interseca la linea media nel punto D . Indipendentemente dalla forma della sezione biconnessa, le tensioni tangenziali possono essere determinate in maniera estremamente semplice, conseguendo risultati approssimati accettabili per gli scopi tecnici. L'espressione della tensione tangenziale verrà ricavata. mediante considerazioni basate sull'analogia idrodinamica e sull'analogia della membrana. Anche l'espressione dell'angolo unitario di torsione sarà dedotta in differenti modi. 7.12.2. Analogia idrodinamica·

L'analogia idrodinamica indica che la tensione tangenziale r,., nei punti dello spessore H K , è diretta secondo la tangente alla linea media in D, con intensità e verso costanti (tS). Il principio della costanza della portata richiede che si abbia (7 .12 .1)

r,.(s)b(s) = cost

poiché r,. ( s) = T,. rappresenta, nell'analogia in discorso, la velocità çlel liquido attraverso il canale di spessore b = b( s) . Contrariamente a quanto si verifica per la sezione sottile aperta, la (7.12.1) indica che nelle sezioni sottili chiuse la tensione tangenziale cresce al diminuire dello spessore b = b( s) della parete.

(ISJ Nella sezione sottile cava la tangente alla linea media in D e le tangenti al contorno nei punti estremi H e K della corda H K , si possono ritenere parallele.

232

?Torsione

a)

Linea media

b)

Figura 7.35

La (7.12.1) può essere ricavata anche per via statica. A tal fine si consideri l'elemento di fig. 7.35.b, compreso tra due sezioni rette a distanza dz e delimitato da due piani paralleli all'asse z del solido cilindrico, normali alle tangenti alla linea media della sezione alle ascisse 8 = 8 1 e 8 = 8 2 • Le tracce di tali piani sul piano della sezione retta definiscono le due corde H I K I e H 2 K2 (fig. 7.35.a). Si indichino con (7 .12 .2) 233

7 Torsione

le lunghezze delle due corde in esame e con

(7 .12 .3) le tensioni tangenziali nei punti delle suddette corde. Per la reciprocità delle tensioni tangenziali, sulle facce piane parallele all'asse z dell'elemento di parete di trave in esame, si sviluppano gli sforzi dF1 e dF2 il cui verso è indicato in fig. 7.35.b, di modulo pari al prodotto delle tensioni tangenziali per le aree delle facce corrispondenti: (7 .12 .4)

dF2 =

T2 b2

dz

Per l'equilibrio alla traslazione secondo l'asse z deve risultare dF1 = dF2 e quindi

(7.12.5) in virtù delle (7.12.4). La (7.12.5) è valida qualunque sia l'ascissa s, come indicato dalla (7.12.1), poiché è stata dimostrata con riferimento a due spessori generici, posti alle ascisse s

= s1

e s

= s2 •

7.12.2.1. Equivalenza stati.ca L'intensità della tensione tangenziale T,. si ricava dalla condizione di equivalenza statica tra le tensioni relative ai vari punti della sezione biconnessa ed il momento torcente M. applicato alla sezione stessa.

dF

X

C

Figura 7.36

234

y

= linea media di lunghezza f-0

7 Torsione

La forza elementare dF agente sull'elemento di area b( s) ds della sezione (fig. 7.36) vale dF = Tz 8 (s)b(s) ds

(7.12.6)

ove rz, ( s) denota la tensione tangenziale sullo spessore b( s) posto all'ascissa s (fig. 7.35.a). Rispetto ad un polo generico Q , ad esempio assunto coincidente con il baricentro G della sezione, il momento della forza (7 .12. 6) vale (7.12.7)

dMz

= dFh( s) = Tz,( s) b( s) h( s) ds

ove h( s) denota il braccio della forza elementare dF rispetto al polo G , ossia la distanza dal baricentro G della tangente alla linea media nel punto di ascissa s . La somma dei momenti elementari del tipo (7.12.7) corrispondenti agli infiniti tronchi di lunghezza ds lungo la linea media l0 in cui può immaginarsi decomposta l'intera sezione, deve uguagliare il momento torcente Mz applicato alla sezione. Pertanto, deve risultare (7 .12 .8)

Nella (7.12.8) l0 rappresenta lo sviluppo della linea media. Il prodotto rz,( s) b( s) è stato portato fuori dal segno di integrazione, essendo costante in virtù della (7.12.1).

Il prodotto h( s) ds rappresenta il doppio dell'area del triangolo di base ds ed altezza h(s) illustrato in fig. 7.36. Quindi

(7 .12 .9)

ih(s)ds=2Q

ove si è indicato con Q l'area racchiusa dalla linea media della sezione (fig. 7 .37). Per le (7 .12. 8) e (7.12.9) si ricava l'espressione della tensione tangenziale

(7 .12 .10)

M r,,,(s) = T,,, = 2Qb(s)

L'espressione (7.12.10) è nota come formula di Bredt (1896). Essa mostra che, nelle sezioni tubolari sottili sollecitate a torsione, il valore massimo della tensione tangenziale viene raggiunto in corrispondenza del minimo spessore.

235

?Torsione

Linea média -e · di lunghezza t0

Figura 7.37

Z12.2.2. Angolo unitario di-torsione Si consideri una trave in parete sottile bicorinessa, di lunghezza l , sollecitata a _torsione (fig. 7.38). Il lavoro di deformazione estemo compiuto durante i'applicazione del momento torcente, fino a raggiungere il valore finale M, ,assume l'aspetto (7.12.11)

L

1 = ~M{J 2 •

in virtù del teorema di Clapeyron. _Nella (7.12; 11) (7.12 .12) rappresenta la rotazione relativa tra le sezioni• della trave poste tra loro a distanza l, essendo 9 l'angolo unitario di torsione. Per le (7.12.11) e (7.12.12) si ha 1 L= -M,9l 2 •

(7 .12 .13)

L'energia potenziale elastica = 'I' (7 .12 .14)

='I'=

si può esprimere nella forma

,l

f __ ,1.d'V = _1 -( d'V = _l Iv'I' 2G},,;,•• 2G

1,l

A••

dA

Nell'ipotesi di materiale elastico lineare, l'energia potenziale elastica· Cl> ·dell'intero solido uguaglia l'energia potenziale complementare 'I' . Anche le corrispondenti densità di energia 4> e v, risul~ tano uguali. 236

7Torsione

.,...---r--------_,,.'

I I I y

zx

Figura7.38

ove ,J, = ,p denota il potenziale elastico, detto anche densità di energia di deforma-

zione (7.12.15)

,I.

't'

1 ;i. = .,. = -(-? + -? ) = 2G "" " 2G

_.!!,_

't'

Nella (7.12.15) i potenziali ,J, = ,p sono espressi attraverso l'unica componente di tensione r.. non nulla, in virtù del teorema di Pitagora, come illustrato in fig. 7.38. Essendo r., indipendente da z, l'ultima uguaglianza delle (7.12.14) consente di passare da un integrale di volume ad un integrale di superficie. Si può anche affennare che il volume elementare d'V viene espresso come prodotto del1'area elementare dA per la lunghezza l del solido cilindrico

d'V = ldA

(7 .12 .16)

Essendo dA = b( s) ds, la sostituzione della (7.12.10) nella (7.12.14) porge

(7 .12 .17)

_ l - 2G

1( A

M, 20b(s)

)

2

dA _ l M,2 - 2G 40 2

t

ds b(s)

L'uguaglianza tra il lavoro di defonnazione esterno (7.12.13) e l'energia potenziale elastica (7 .12.17), detta anche lavoro di deformazione intcmo, porge (7.12 .18)

1

l

M;

2M,Sl= 2G40 2

J J1o

ds b(s)

Dalla (7 .12.18) si ricava l'espressione dell'angolo unitario di torsione. 237

7Torsione

(7 .12 .19)

e-

M. · - 4G.0 2

I h

0

ds b(s)

Se si pone (7 .12 .20)

Jt

4.02 ds

=J

ho b(s) la (7.12.19) assume l'aspetto (7 .12 .21) Si vuol far rilevare che, dal punto di vista formale, la (7.12.21) costituisce l'espressione dell'angolo unitario di torsione per tutti i tipi di sezione (compatta, sottile aperta, sottile chiusa). La caratterizzazione interviene solamente nell'espi-essione del fattore di rigidezza torsionale Jt , che è diverso per ciascun tipo di sezione. 7 .12.3. Analogia della membrana

Si consideri la sezione tubolare sollecitata a torsione (fig. 7.39.a). L'espressione della tensione tangenziale r,. , ad esempio, può determinarsi anche mediante l'analogia della membrana. A tal fine, occorre stendere una membrana molto sottile su una apertura praticata in una lastra piana rigida, avente la forma della sezione biconnessa in esame. Alla membrana tesa su quest'apertura viene applicato un carico distribuito uniformemente. La parte di lastra delimitata dal contorno interno C1 non è collegata a quella esterna, avente contorno C0 • Pertanto, durante la deformazione della membrana essa si sposta con il proprio contorno interno. La membrana deformata e la lastra interna di contorno C 1 costituiscono una superficie a forma di scodella. L'intersezione di tale superficie con il piano xz individua la linea spezzata B D H F (fig. 7 .39 .b). I lati B D ed H F , data l'esiguità degli spessori della parete, si possono considerare rettilinei (in realtà sono archi di curva). Ciò equivale a ritenere costanti le tensioni tangenziali r1 e r2 relative agli spessori b1 e b2 in corrispondenza dei punti di intersezione della linea media con l'asse x (fig. 7.39.a). Il lato DH può ritenersi parallelo all'asse x. Le inclinazioni dei lati BD e HF definiscono i moduli delle tensioni tangenziali sugli spessori in narrativa. Con le notazioni della figura, si ha (7 .12 .22)

238

h H'F

h b2

r-=--=2

7Torsione

Membrana indeformata I(

X

B

D'

G

H' \ F

a) X

Sezione biconnessa y

Figura 7.39

ove h denota la distanza del lato orizzontale DH dall'asse x. Dalle (7.12.22) appare che le tensioni tangenziali sono inversamente proporzionali agli spessori della parete sottile, ossia le tensioni tangenziali massime si verificano in corrispondenza degli spessori più piccoli. Le (7.12.22) consentono anche di ricavare la relazione

(7 .12 .23) ovvero (7 .12 .24)

r,.(s)b(s)

=h

7.12.3.1. Formula di Bredt La relazione tra tensione tangenziale r,., sulla generica corda di ascissa s, ed il momento torcente M, può essere ricavata osservando che il doppio del volume del solido delimitato dalla superficie della membrana, dalla lastra di contorno C 1 e dal piano xy uguaglia proprio M,. Dalla fig. 7.39.b, risulta (7 .12 .25)

M, = 20.h 239

7Torsione

ove n = Am denota l'area racchiusa dalla linea media della sezione tubolare. Per la (7.12.24), il momento M, (7.12.25) assume l'aspetto (7 .12 .26)

M, = 2'2r,.(s)b(s)

Dalla (7.12.26) si deduce la formula di Bredt (7 .12 .27)

M

r,.(s)

= r,. = 2'2b(s)

7.12.4. Applicazione del teorema di Stokes L'espressione (7.12.19) dell'angolo unitario di torsione E> può essere determinata anche dall'applicazione del teorema di Stokes (cfr. [Vl], Appendice B.5), qui di se~ito riscritto per comodità del lettore (7.12 .28)

L

rot B -nd.9"=

i

B. dr

ove il punto denota il prodotto scalare tra vettori. Il primo membro della (7.12.28) rappresenta il Russo del vettore rot B attraverso una qualsiasi superficie aperta Y avente r come contorno. Il secondo membro della (7 .12.28) esprime la circuitazione del vettore B lungo r .. L'angolo E> si ricava utilizzando la condizione di congruenza espressa dalla (7.7.5): (7 .12 .29)

rotr, = V /\ r, = 2GE>k

ove k denota il versore dell'asse z del solido cilindrico (trave). Nel caso delle sezioni sottili biconnesse, nella (7.12.28) interviene il vettore r, della tensione tangenziale totale di modulo (7 .12 .30) in tutti i punti dello spessore b( s) individuato dall'ascissa curvilinea s ( fig. 7.40). Il vettore r, è tangente al contorno r , che coincide con la linea media di lunghezza lo • Pertanto, la circuitazione di r, lungo la linea media r , di lunghezza l0 , può scriversi nella forma (7 .12 .31)

f

11o

r,· dr=

J r,.ds

l1o

poiché il vettore differenziale dr (fig. 7.40), tangente al contorno nel generico punto della linea r e di modulo Idr I = ds , risulta parallelo a r, .

240

7 Torsione

~

Spessore b(s) all'ascissa s

dr

AreaAm =il

r = linea media di lunghezza e 0

Figura 7.40

Se si assume come superficie .9' quella della sezione retta ali' interno della linea media l0 , di area Am = n , il flusso del rotore del vettore rz attraverso .9' ammette la seguente rappresentazione (7 .12 .32)

L

rot rz · n d.9' = 2 G0

L

k · n d.9' = 2 cen

dato che vale la (7.12.29) ed il versore n della normale a .9', diretto verso l'esterno, è parallelo ed equiverso a k . Dalle (7.12.31) e (7.12.32) si trae l'uguaglianza (7 .12 .33)

J

lzo

r,. ds

= 2 G0Q

in virtù del teorema di Stokes. Per la (7.12.30), la (7.12.33) diventa (7.12 .34)

Dalla (7 .12. 34) si ricava l'espressione dell'angolo unitario di torsione (7 .12 .35)

L'ultima uguaglianza delle (7 .12.35) è valida attraverso la posizione

241

7 Torsione

S essere

Nodo

X

y

Tratto

---BD ---DR ---RB ---BK ---KD ---KR

Curva

Tensioni

Linea media

Spessore

Lunghezza dei tratti

r,

1:,

b,

~

r2

't2

b2

~

r3

't3

b3

~

r4

't4

b4

e4

rs

't5

bs

~

rs

'ts

bs

~

Figura 7.41

( 7 .12 .36)

7.13. SEZIONI SOTTILI A CONNESSIONE MULTIPLA 7.13.1. Premessa In una sezione connessa più di due volte, come ad esempio quella della fig. 7.41, vengono individuate più maglie, ossia più parti chiuse della linea media. Le maglie risultano costituite da tratti, i quali sono compresi tra due punti di diramazione successivi della linea media, detti nodi. Nella sezione pluriconnessa in parola, di spessore sottile poiché l'area è addensata lungo più curve del piano xy , si distinguono tre maglie ( m = 3) , quattro nodi ( n = 4) indicati con B, D, K, R, e sei tratti (t = 6) .

242

?Torsione

Verso antiorario della maglia III

1 =B

Figura 7.42

= BDu DKu KB C2 = DRu RKu KÒ C1

C3 =

BRu BKu KR

Figura 7.43

Lo specchietto di fig. 7.41 illustra i vari tratti che compongono la sezione, gli archi di curva r;e i = 1, 2 , ... , 6) delle corrispondenti linee medie, le tensioni r; lungo i vari tratti, nonché gli spessori b; dei tratti medesimi. L'ultima colonna riporta le lunghezze delle linee medie r;e i = 1, 2 , ... , 6) dei tratti della sezione. La sezione in esame risulta essere quattro volte connessa ( e = 4) . Le aree racchiuse dalle linee medie (fig. 7.42)

(7.13.1)

r 1ur5ur4 03 = r 3ur4 ur6 0 1=

costituite dall'unione degli archi di curva orientati 243

7Torsione

(7 .13 .I') sono indicate con 0 1 , 0 2 , 0 3 in fig. 7.43. Le tensioni r; lungo i vari tratti &, &, ... , &, verranno assunte con i versi concordi a quelli degli archi rl, r2, ... , r6 . In generale valgono le relazioni e= m+ I

(7 .13 .2)

n+ m = t+ I

ove = grado di connessione . m = numero delle maglie n = numero dei nodi t = numero dei tratti. Anche per le sezioni pluriconnesse si possono adottare le ipotesi relative alle sezioni biconnesse. Si può ritenere, cioè, che la tensione tangenziale rzo sia costante lungo lo spessore generico e diretta normalmente allo spessore stesso. Limitatamente ad ogni tratto; poi, si può assumere costante il prodotto e

(7 .13.3)

r,.(s)b(s) = cost

in virtù del principio della costanza della portata. Per il generico tratto individuato dalla curva r;( i può porsi nella forma (7 .13.4)

r;b;

= 1, 2 , 3, 4 , 5, 6),

la (7 .13.3)

= cost

7.13.2. Equazioni di equilibrio Indicato con t il numero dei tratti della sezione sottile, le incognite sono t + I , ossia i prodotti r;b;, nonché l'angolo unitario di torsione 9 ·. Se si fissa su ogni tratto un sistema di ascisse curvilinee e, quindi, un verso arbitrario per le tensioni tangenziali r,. = r; (fig. 7.44), si può scrivere per ogni nodo un'equazione di equilibrio del tipo N

(7 .13 .5)

LT;b; =

o

i=l

ove N denota il numero dei tratti afferenti al nodo in esame. 244

7Torsione

X

y Figura 7.44

L'equazione di equilibòo della forma (7.13.5) prende il nome di equazione di nodo. Il termine geneòco r;b, che interviene nella (7.13.5) è da intendersi positivo

se la r; esce dal nodo, negativo se r; entra nel nodo. La giustificazione di quanto testé affermato è data qui di seguito. Le equazioni di equilibòo del tipo (7.13:5) si ottengono applicando il teorema della divergenza alle aree AB, AR ed Ax, tratteggiate in fig. 7.44, ad esempio. Se l'equi1ibòo è soddisfatto nei nodi B, K, R, lo è pure nel òmanente nodo D. Indicando con A l'area relativa al geneòco nodo di fig. 7.44, racchiusa dal contorno r , per il teorema della divergenza si ha (7.13.6)

i

-r, . n dr =

1

div -r, dA

Essendo div -r, = O in tutti i punti del dominio A , come ;ivverte la pòrna delle (7. 7.10), la circuitazione di -r. lungo r è uguale a zero (7.13.7)

t

-r,-ndr=O

Nella (7.13.7) n denota il versore della normale esterna. Dato che -r, è tangente al contorno ed ortogonale agli spessoò ir1dicati in fig. 7.44, perl'area AB si òcava (7.13.8) Analogamente per l'area AR si ha (7.13.9)

245

7 Torsione

z

d

Figura 7.45

Per l'arca AK, poi, si ricava l'equazione (7 .13 .10) Le equazioni di equilibrio (7.13.8)-(7.13.10) possono essere ricavate considerando l'equilibrio alla traslazione secondo l'asse z delle parti di solido, comprese tra due generiche sezioni rette, ottenute tagliando la trave con piani paralleli all'asse z e aventi come tracce gli spessori che intervengono nelle (7.13.8)-(7.13.10). Con riferimento all'arca A 8 del nodo B (fig. 7.44) ed alla proprietà di simmetria delle tensioni tangenziali, si può considerare l'equilibrio alla traslazione dell 'elemento di fig. 7.45. Risulta (7.13.11) Semplificando d nella (7 .13.11) si ricava la (7 .13.8). Le restanti due equazioni di equilibrio possono ricavarsi in maniera analoga. È immediato rilevare che, sommando membro a membro le (7.13.8)-(7.13.10), si ha (7 .13.12) La (7.13.12), che esprime l'equilibrio alla traslazione del nodo D, è combinazione lineare delle (7.13.8)-(7.13.10). 7.13.3. Equazione di equivalenza

Alle tre equazioni di equilibrio dei nodi in argomento, occorre aggiungere la condizione di equivalenza tra la caratteristica di sollecitazione M, ed il momento 246

7Torsione

Area settoriale A81 a)

h(s)

s

B

Area settoriale A52 b)

Area. settoriale A66

B

Figura 7.46

e)

247

7 Torsione

delle forze elementari rbds, rispetto ad un generico polo Q , agenti sull'area della sezione. ,,......._

r

Relativamente al tratto BD = 1 , indicato con &, ove è stato fissato il sistema di ascisse curvilinee con origine in S 0 B (fig. 7.46.a), si ottiene

=

(7 .13.13)

r

ove A. 1 denota l'arca settoriale definita dal punto Q e dalla linea media 1 del ·,,......._ ,,......._ tratto BD, mentre M 1 rappresenta H momento associato al tronco BD medesimo. Si vuol far rilevare che h( s) , nella (7 .13.13), denota la distanza da Q della tangente alla linea media nel punto di ascissa s (fig. 7.46.a). Se si ragiona in maniera analoga a quanto già fatto per le sezioni biconnesse, risulta A. 1 > O , essendo l'aliquota M 1 di M, rappresentata da un vettore equi-

r

verso ali' asse z , avendo assunto per r 1 ( s) il verso positivo di 1 • Se si indica con M 2 il momento rispetto al polo Q delle tensioni r,. = r2

,,......._

distribuite sulla port.:ione di arca relativa al tratto &., avente

r 2 = DR come linea

media, si ha (7.13.14)

ove A.2

> O è l'area settoriale definita dal punto Q e dalla linea media

r2

(fig.

7.46.b). Per i restanti tratti si procede in maniera analoga. Per l'ultimo, ad esempio, in base alle notazioni della fig. 7.46.c si può scrivere (7 .13.15)

Il momento M 6 delle tensioni r6 è orario, e quindi negativo, essendo rappresentato da un vettore avente il verso opposto dell'asse z. Pertanto, è da considerare

,,......._

negativa l'area settoriale individuata dal polo Q e dalla linea media ~ 6 = RK. Qualora si assumano positive tutte le aree settoriali, la (7 .13.15) assume l'aspetto (7.13.16) In sintesi, l'equazione di equivalenza si scrive

(7 .13 .17)

248

7Torsione

ovvero 6

È 2 r;b;A,; = M.

(7 .13.18)

i=l

Assumendo positive le aree settoriali, la (7.13.18) ammette la seguente rappresentazione (7 .13 .19)

M, = 2(r1b1A. 1 + r2 b2 A,2

+ r4b4A.4

+ r 3 b3 A, 3+

- rsbsA.s - r6b6A,6)

7.13.4. Equazioni di congruenza Per ogni maglia occorre scrivere un'equazione di congruenza, ottenuta dall 'applicazione del teorema di Stokes, come illustrato nel par. 7.12.4:

(7.13.20)

i

e,

rds = 2G90;

ove si è fatto riferimento alla sezione due volte connessa. Nella (7.13.20) C. è il contorno della maglia che racchiude l'area Q; . La (7.13.20) esprime la generica equazione di maglia. La circuitazione lungo C. ·è positiva se antioraria. I segni delle tensioni r nella (7.13.20) sono positivi quando i versi assunti nei vari tratti, coincidenti con quelli degli archi orientati r; in fig. 7.42, sono concordi con il verso antiorario delle maglie a cui si riferiscono. Con riferimento alla maglia I, che definisce l'area 0 1 delimitata dal contorno 0 1 = r 1 ur4 ur5 , ed alle notazioni di figg. 7.42-7.44, lacircuitazione di r lungo il contorno 0 1 vale

(7.13.21) Dato che i prodotti (7 .J3 .22)

r;b;

= r;( s) b;( s) = cost

sono costanti nei vari tratti, si può scrivere

(7.13 .23)

= 83

T1b1 = 81,

T2b2 == 82,

T3b3

T4b4 = 84,

T5b5 = 85,

r6b6 = 86

ove 8 1 , 8 2 , ••• , 8 6 sono costanti. 249

7Torsione

Esprimendo le tensioni tangenziali r1 , r 4 , e r5 che intervengono nella circuitazione lungo C 1 (7.13.21) in funzione delle costanti S 1 , S4 e S5 ed utilizzando la relazione di congruenza (7.13.20), si può scrivere (7.13.24) Procedendo in maniera analoga per le restanti due maglie I I e I I I si perviene alle equazioni" (7.13.25) (7.13.26)

Le sette equazioni (7.13.8)-(7.13.10), (7.13.19), (7.13.24)-(7.13.26), costituiscono il sistema risolvente per la sezione sottile quattro volte connessa di fig. 7.41, sollecitata a torsione. Si vuol far rilevare che, conformemente a quanto già visto, la (7 .13.20) viene utilizzata per scrivere le equazioni di congruenza. Per la singola maglia si ricava l'angolo unitario di torsione (7 .13.27)

0 = 0. = '

1

-

2GQ;

J rds

la,

Avendo scritto nella (7.13.20) 0 al posto di 0; si è assunto tacitamente(7 .13.28) ovvero si è imposta la condizione di congruenza (7.13.28):

Esempio 7.1

Si consideri la sezione tre volte connessa, con pareti. a spessore costante b, sollecitata a torsione dal momento torcente M, (fìg. 7.47). Si indichino con &, &, &, i tratti. che definiscono le due maglie I e I I della sezione. Le linee medie dei vari tratti. BB' D' D , BDD" B" , B D sono indicate, nell'ordine, con r 1 , r 2 , r 3 in fìg. 7.48, e le rispettive lunghezze sono (1)

Le aree racchiuse dai contomi 250

7Torsione

b

b

----T--~--I 1 I I I I b I IL_ ..______________......,_ I_

Figura 7.47

B'

B"

B

& r3

& r1

r2

~

0 D

D' a =2f

f=C

D"

e-e

Figura 7.48

(2)

rispettivamente delle maglie I e I I, valgono (fìg. Z49) (3)

Essendo gli spessori delle pareti costanti, le incogni.te sono le tre tensioni tangenziali r1 , r2 , r3 nei tre tratti in parola, nonché l'angolo unitario di torsione e . Tuttavia, il sistema risolvente può sempre esprimersi in funzione dei prodotti S; = r;b( i = l, 2 , 3) .

Come si deduce dalla teoria delle sezioni sottili a connessione multipla nportata nel par. Z 13, le equazioni disponibili sono: 251

?Torsione

___

B',......,......

___

..,._.....,___._....-....- B

.,.....,......,._~-B"

D

D"

D'

2& Figura 7.49

1------- -

'

.,

.' " '

'-

-

'lf

-

--

I I 't3 I I I I l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ l ____ J

I I I I

~

,i,

Figura 7.50

a) una equazione di nodo; b) l'equazione di equivalenza statica tra il momento torcente applicato e le tensioni inteme; c) due equazioni di maglia.

Equazioni di nodo e di equivalenza Se i versi assunti per le tensioni tangenziali r 1 , r 2 , e r3 (fig. 7.50) sono quelli degli archi orientati in fig. 7.48, l'equazione di nodo assume l'aspetto (4) oppure 252

?Torsione

(5)

in base a quanto esposto nel par. 7.13, ove si considerano positive le tensioni tangenziali uscenti dal nodo. Nella (5) si è posto (i= 1,2, 3)

(6)

Per quanto concerne la condizione di equivalenza tra la coppia torcente Mz ed il sistema di forze associate alle tensioni tangenziali distribuite sull'area della sezione (7)

in virtù della (1), si possono valutare i contributi M1 , M 2 , M3 relativi ai singoli tratti, caratterizzati dalle linee medie rl, r2, r3 . Con riferimento alle notazioni della fig. 7 .51, ove si è assunto come polo il punto Q, il momento M1 associato al tratto BB' D' D = 1 vale

r

( 8)

M1

=

fr

r1bh(s)ds= r1b(iB' h(s)ds+

1

Lu

h(s)ds+

lD

h(s)ds)

=

= 2r1bA01 = 2r1 b0 1 =4r1bl2 In fig. 7 .51 la coordinata curvilinea sul tratto r 1 è misurata a partire dal punto S0 B . Il braccio h( s) delle forze elementari r 1b ds dal polo Q non è indicata. Avendo scelto il polo Q sul tratto BD, l'area settoriale A, 1 definita da Q e dalla curva r 1 coincide con l'area 0 1 = 2z2 racchiusa dalla linea media BB'D'DB della maglia I . Procedendo per il tratto DD'' B" B, come per il precedente, e con le notazioni della fig. 7.52, si determina l'aliquota M2 che interessa il tratto la cui linea media è indicata con r 2 , di lunghezza l 2 = 3 l :

=

ove l'area settoriale A.2 definita da Q e r 2 è uguale ad 0 2 = l 2 • Dato che per la particolare scelta del polo Q risulta M3 = O , le (8) e (9) consentono di scrivere l 'eq\lazione di equivalenza in argomento nella forma

(20)

r3

Il momento M3 relativo al tratto BD e nullo, poiché l'area settoriale A 0 3 definita da Q e da è uguale a zero.

253

7Torsione

Figura 7.51

I ---------T_-+-"........., I I t 2bds I I I t I l,&::::::::.---TTI s I o

/s

L __

-------------~ D"

Figura 7.52

Posto ( 11)

la (10) ammette la rappresentazione

(12)

Equazioni di congruenza Per la scrittura delle due equazioni di congruenza occorre applicare due volte la relazione (7 .13.20), qui di seguito riscritta per comodità

(13)

254

J rds= 2G00; le;

7Torsione

ove i = 1, 2 denota l'indice di maglia. Per la maglia I si ha (fig. 7.48) (14)

oppure (15)

Per la posizione (6), la (15) può scriversi: (16)

Il segno meno che appare nelle (14)-(16) dipende dal verso di r3 , opposto a quello positivo antiorario della maglia I (cfr. figg. 7.48, 50). · Analogamente, applicando la (13) alla maglia II si ricava (17)

È da notare che, quando si considera la maglia I I , che ha per vertici i punti B, D, D 11 , B 11 , i versi delle tensioni tangenziali r 2 e r 3 sono sempre concordi con quello

positivo antiorario della maglia. In sintesi, il sistema che consente di ricavare le espressioni delle tensioni tangenziali e dell'angolo unitario di torsione è costituito dalle equazioni (5), (12), (16), (17):

+ 83 = 82 2810i + 282 0 2

81

(18)

= M.

8 1l1 - 8 3 l 3 = 2bG80 1 82l2 + 8 3l3 = 2bG802

Giova rilevare che se la sezione risulta simmetrica rispetto al diaframma BD(l 1 = li,0 1 = !li) siha 8 1 = 8 2 = 8 ed 8 3 =O.

Applicazione numerica Se si assume per la sezione di fig. 7.47

(19)

a= 2-l = 10cm,

c=l=5cm,

b = 1cm

risultano i seguenti valori delle lunghezze dei tratti della linea media (20)

l 1 = 5l = 25cm,

Li

= 3l = 15cm, 255

7Torsione

Le aree delle due maglie '2 1 e (21)

n2

valgono

Q 1 = ac= 2z2 = 50cm 2 ,

Sia G= 85.000N/mm 2 = 8.500kN/cm 2

(22)

il modulo di elasticità (l:lngenziale dell'acciaio con cui è realizzata la sezione pluriconnessa in parola. Per le (19), (21), (22) risulta 2bGQ 2 = 42,5 · 10 4 kN -cm

(23)

Perle (20), (21) e (23) il sistema 08) diventa

81 10081

(24)

-82 +5082

581 382

+83 -83 +83

= = = =

o M.

17 · 10 4 0 8,5. 10 4 0

Ricavando 8 3 = 8 2 - 8 1 dalla prima equazione delle (24) e sostituendo nelle tre restanti si perviene al sistema di tre equazioni in tre incognite 8 1 , 8 2 , 0 :

+5082 -82 +4S2

(25)

= = =

M.

17 · 10 4 0 8,5. 10 4 0

Uguagliando i secondi membri della seconda equazione delle (25) e della terza moltiplicata per due si ricava (26) La prima delle (25) e la (26) consentono di ricavare nell'ordine (27)

82

= 61,54

· 10-4 M.,

Dalla prima delle (24) si deduce poi

(28) Dalla seconda, oppure dalla terza, delle (25) si ricava l'angolo unitario di torsione (29)

256

0 = 20,81. 10-3 M.(rad/cm)

7 Torsione

Il segno meno di S3 indica che la tensione tangenziale r 3 ha il verso opposto quello assunto in fig. 7.50. Per

a

M 1 = 12 • 10 6 N •mm= 1200kN • cm

(30)

dalle (27) e (28) si ricava S1 = r 1 b= (69,23)(0, 12) = 8,308kN/cm

(31)

S2 = r2 b= (61,54)(0, 12) = 7,385kN/cm S 3 = r3 b= (7,69)(0, 12) = 0,923kN/cm

Dalle (31) si ricavano i valori delle tensioni tangenziali, essendo b = 1 cm: ~

(32)

Tt

= -

T2

= -2

T3

= -

b

S b S3 b

kN N = 8 308 - 2 = 83 08 - ' cm ' mm 2 kN N = 7 385 - 2 = 73 85 - ' cm ' mm 2 kN N = 0 923 - 2 = 9 23 - ' cm ' mm 2

Dalle (31) e (32) appare che il diaframma intermedio è poco sollecitato, ossia contribuisce poco a resistere al momento torcente.

7.14. VERIFICHE DI SICUREZZA Con riferimento ai materiali duttili, se si applica il Criterio di resistenza di Mises, la verifica risulta soddisfacente quando (7.14.1)

r;

Nelle (7.14.1) è la tensione tangenziale nella sollecitazione di torsione e nel punto maggiormente cimentato. La tensione ammissibile viene divisa per y'3, poiché in generale può poi;si (7 .14 .2)

Quando il cilindro di Saint-Venant è sottoposto all'azione del solo momento torcente M,, è nulla la tensione normale a,, per cui dalla (7.14.2) discende la (7.14.1). 257

7 Torsione

7.15. ESERCIZI

Esercizio 7.1

Risolvere il problema della torsione del cilindro di Saint- ¼nant, avente sezione circolare, assumendo come soluzione di tentativo la tema di componenti di spostamento (7.2.12) e (7.2.13) u = -0yz v = 0xz

( 1)

w=O Suggerimento. Il problema può essere risolto utili,zzando, nell'ordine, le equazioni di congruenza, quelle di legame, nonché quelle di equilibrio indefinito ed ai limiti. In tal modo, dal campo continuo di spostamenti (1) si deduce un campo tensionale che soddisfa le equazioni di equilibrio indefinite in o/ , ai limiti su .99 2 , e che risulta staticamente equivalente sulle basi estreme alle coppie torcenti M, = M;,M, = -M~.

Esercizio 7.2

Risolvere il problema della torsione del cilindro di Saint- ¼nant, avente sezione circolare, assumendo come soluzione di tentativo la sestupla di tensioni (7.2.16).

Esercizio 7.3

Sulla base .990 del solido cilindrico a sezione circolare sollecitato a torsione (fig. 7.53) osservare che risulta

r1· = r 0 = N° = O 1/

:t

0

MZ ·=

1(p

0

A

J1

,

0

x - p:t y) dA

0

M :t

=

=M 0 =O

-1
= i'Cs),

(10 .10 .5)

le caratteristiche della sollecitazione dovute alla sola reazione X 2 = I agente da sola sulla struttura (fig. 10.18.e). Gli schemi di figg. 10.18.d, e, sono detti sistemi virtuali, sistemi fittizi, oppure

sistemi lavoranti. Per quanto esposto, le (10.10.1 ), (10.10.3)- (10.10.5) consentono di porre 2

N(s)

= N< 0>+ N(I) X 1 + N< 2>X2 = N< 0>+ E N(i) X; i=I 2

(10.10.6)

T(s)

= r< 0>+ r 0 >X1 + r. X2 = r< 0>+ E T(i) X; i=l 2

M(s) = M(O) + M 0 >xl + M< 2>x2 = M(O) + EM(i)xi i=l

Le leggi di variazione di N(s), T(s) e M(s) possono valutarsi direttamente sullo schema di fig. 10.18.b. Tuttavia, procedendo come sopra, mediante l 'applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti, si dispone già dei sistemi virtuali di forze e caratteristiche della sollecitazione. Se si considera il sistema di fig. 10.18.b come sistema isostatico sollecitato da carichi esterni F; e dalle incognite iperstatiche X 1 , X 2 e si intende determinare la componente di spostamento 71 1 del punto di applicazione della forza X 1 , per il Principio della forza unitaria occorre considerare il sistema virtuale di forze e caratteristiche della sollecitazione equilibrato di fig. 10.18.d. Per tale motivo, le componenti dell'azione interna sono state contrassegnate dal simbolo sull'ultimo schema in parola. Il lavoro virtuale esterno è il lavoro che la forza X 1 = I e le reazioni vincolari compiono per gli spostamenti corrispondenti: A

(10.10.7)

L 11e = Le

= 1 · "'t •1

Le reazioni vincolari associate a X 1 = 1 compiono lavoro nullo, poiché il vincolo O del sistema reale è perfetto. 407

1O Estensione dèl problema di Saint-Venant e teoremi energetici

Il lavoro virtuale inlemo è fomilo dall'integrale (esteso alla lunghezza della linea media l0 della slrultura) della somma dei prodotti degli sforzi intemi fittizi N< 1>, r< 1>, M< 1> per le deformazioni reali:

( 10 .10 .8)

Per il Principio dei lavori virtuali (Lv• ( 10 .10 .9)

771

=

1

= Lv;)

N< I) !!_ ds + EA

10

si ha

1

r< I) xT ds +

lo

GA

1

M( I) M ds EI

10

La (10.10.9) prende il nome di equazione delle forze virtuali. Dalo che nel sistema reale di fig. 10.18.a alla sezione B non è consentila traslazione alcuna secondo la direzione X 1 , la (10.10.9) divenla ( 10 .10 .10)

1

N< 1>!!_ds+

10

EA

1

r< 1>xT

lo

ds+

GA .

1

M(l)

lo

M ds = o

EI

Le incognite iperstatiche X 1 e X 2 inLervengono nelle (10.10.6). Avendo dedotta la (10.10.10) dall'applicazione del teorema dei lavori virtuali, nella forma delle forze virtuali, l'equazione in parola è una equazione di congruenza. L'equazione (10.10.10) può essere interpretata in vari modi. Assegnato il sistema equilibrato di forze e caratteristiche della sollecitazione (1)

ed il sistema congruente di spostamenti e caratteristiche della deformazione del sistema reale (2)

( 111 = 0)

~

( s( s) , ')'( s) , k( s))

deve valere l'uguaglianza

(3)

tra i lavori virtuali esterno 1, ed interno 1, . Alternativamente, se si assegna il sistema staticamente ammissibile (I) e si suppone valida l'uguaglianza (3), ciò equivale ad imporre alle caratteristiche della deformazione effettiva e( s), ')'( s), k( s) di essere congruenti con lo sposiamento reale fii = O .

408

10 Estensione del problema di Saint-Venant e teoremi energetici

10.10.3.2. Seconda equazione di congruenza Per scrivere la seconda equazione di congruenza, occorre associare allo stato defonnativo effettivo e( s), 1( s), k( s) lo stato di sollecitazione virtuale (fig. 10.18.e), provocato dalla coppia unitaria X 2 = 1 • applicata nel punto della struttura in cui è stato soppresso il vincolo. Indicata con 112 la rotazione della sezione B (fig. 10.18.b) di applicazione della incognita iperstatica X 2 , risultano le seguenti espressioni dei lavori virtuali

L 11e =Le =1·112

(10.10.11)

L.,i =Li= (10.10.12)

=

i

(N< 2>e + r< 2>1 + M< 2>k) ds =

1

Nc2> N ds +

EA

Lo

1 lo

1

r x.Tds + M< 2>M ds GA . lo El

Nella (10.10.12) intervengono le caratteristiche della sollecitazione virtuale (10.10.5). Perle (10.10.11) e (10.10.12) si ricava l'equazione dei lavori virtuali (10.10.13)

-1

1/2 -

lo

Nc2> --+ N ds

EA

1 lo

1

r< 2>x.Tds M< 2>M ds -+ GA lo El

Dato che alla sezione B del sistema reale non è consentita alcuna rotazione, essendo perfetto il vincolo ivi presente, la seconda equazione di congruenza si scrive:

1

(10.10.14)

Lo

N< 2>Nds + EA

1 Lo

r x.Tds + GA

1

M< 2> Mds = O

Lo

El

10.10.4. Sistema di equazioni risolvente Le due equazioni di congruenza (10.10.10) e ( 10.10.14) costituiscono un sistema di due equazioni nelle due incognite X 1 e X 2 , da cui si traggono i valori delle reazioni staticamente detenninate. Per le (10.10.6), la (10.10.10) diventa N (O) N< 1>--ds+ X 1

1

rO> x.Tds

1

(10.10.15)

1 lo

+ 1lo

EA

GA

X +

+ 1 M(I) M(O)ds + lo El

1

N(l)ds N(2)ds N< 1>--+ X 2 N< 1>---+ lo EA lo EA r--ds+ · EA

lo

1/12 -

10

1 1 1

1 1 1

10

lo

10

+ lo

EA

N(l) N(2)ds ---+ EA

xr r< 1>--ds+ CA

10

Mds M(l) _ __ El

r d r