Scienza delle Costruzioni 2 [2] 9788893853804

F\ il portale si trasforma in un arco a tre cerniere, caricato dalla for;,.a esterna F .e dai due momenti plastici M P . l diagrammi parziali del momento relativi alle due sollecitazioni sono riportati nelle fìgg. 18.1S.b, c. Il diagramma relativo ai momenti plastici M P è virtuale, poiché mostra sul traverso valori M > M P . Si forma una seconda cerniera plastica quando il momento globale nel nodo sinistro diventa uguale a M P (tendendo le fibre interne): ( 18 35) da cui segue: (18 .36)

277

lS La teoria della plastkltà

M-1E1Ft p-

2'1

1

t

t

(a)

,,

(e)

(d)

Figura 18. 15

II valore di PP si può trarre a!Lcmativamente dall'applicazione del Principio dei Lavori Virtuali al meccanismo di collasso di fig. 18.15.d: ( 18 .37)

Il fauorc di sicure?J.a vale in questo caso:

(18 .38)

Sin qui si sono consil1erati esdusivamcntc carichi concentrati. Un primo semplice esempio di carico distrihuito ~ fornito dallo schema di trave doppi.unente incastrala Lii 278

I 8 La teoria della plasticità

fig. 13.10.a. È noto dal Paragrafo 13.3 che il massimo momemo in regime clastico è quello d'incastro, che vale ql 2 / 12 (fig. 13.10.c). Quando perciò il carico esterno raggiunge il valore: (18 .39) si formano due cerniere plasùche agli incastri. Conformemente allo schema di fig. 18.16.a, la formazione della terza cerniera plastica in mezzeria avviene quando: ( 18 .40) da cui si ottiene il carico di collasso: (18.41) Tale carico di collasso è ottenibile anche con una semplice applicazione del Principio dei Lavori Virtuali. Il fattore di sicurezza in questo caso vale:

( 18.42)

Mp qp q2 3 16p_2 -= - = ---=2 q. ~q 2 12 Mp . 3 I f_2

L'abbassamentq in mezzeria per 9 = 9 1 (fig. 18.16.a) è dato dai contribuù rispetùvamente del carico esterno 9 1 e dei momenù plastici M P : ( 18.43) che, tramite la (18.39), diventa: ( 18 .44)

o1 -

M 1,1 p

32EJ'

D'altra parte, l'abbassamento in mezzeria per 9 = 92 analogamente vale: ( 18 .45) e quindi, inserendo la (18.41): ( 18 .46)

o2 -

M R,2 p

12EI'

279

lii La tc;,.-la della plllstkltà

[11 I I I I I I I I I l

q,

~

~70

MP

(a)

MP

q e2 I MP

20 16

--- - - - - -

2

12 (b)

8 4

2

4

3

6

32 E I

MPe 2

Fii.:ura 18.16 ·

Riportando i punti ( D1 , q 1 ) e ( D2 , q2 ) sul piano adimensionali1.Zato di tig. 18.16.b, è immediato rii.:avarc la curva D( q) , e cioè la risposw strutturale all'aumenwrc del carico esterno. Si può rilevare come t.alc risposw sia clastica tra i punti O e I, incrudente tra i punti 1 e 2, e infine pcrfcttamcnte plastit:a per D > D2 • Si esamini ora il caso di trave incastmta e appoggiau1 di fìg. 13.4.a. In regime clastico, il massimo momento tlcuentc si ha ali' inrnst.ro e vale qf!. 2 /8 . Si forma quindi una prima cerniera plastica all'incastro per q 1 = 8 '1f- .· A questo punto la struttura diventa isostatica e a comportamento globalmente int:rUl1ente, sino alla formazione della seconda e ultima cerniera plastica (tig. I 8.17 .a). Mentre nel caso di sollcciwzioni com:cntratc, è semplice I' indiv iduazionc della posizione delle susseguenti cerniere plastiche , con i carichi disu·ihuiti tale imlividuazione non è soliuunentc immediata. Ad esempio nel caso in questione, che non present.a neppun:: particolari simmetrie, è necessario calcolare il massimo della funzione mo1nemo in fase incrudente e dctcnninan:: il valore qi che rende 4ucsto massimo uguale al momento plastico M P . In formule: M(z)

(18.47 .b)

T(z) = -

li taglio si annulla per: 280

=-

(18.47.a)

~P

z+ (½qfi.z - ½qz

dM Mp I = - + dz f. 2

2

)

-qfi. - qz .

,

18 La teoria della plasticiùì

lllllllllllll

q,

$

q

$

~

·f>"• , . A

(a)

2

12

10 8

(b)

6 4

El

2

ggio centrale (fig. 18.18.b). L'applicazione del Principio dei Lavori Vutuali al meccanismo di collasso fornisce l'equazione:

(~qt) (}~) (}t) + + (}qt) (~~) (i! t)

-Mp (}~) - Mp~+ ( 18 .60)

=

o,

da cui si trae:

(18 .61)

283

lii La teoria della plasllcil.li

Si noti che il carico di collasso ( 18.61) è superiore al carico di collasso ( 18.53), relativo allo schema precedentemente considerato, di una quantità ingegneristicamente trascurabile ( ~ 1 %0 ) • Il fattore di sicurez:t.a risulta peraltro inferiore, anche se la struttura in questo caso è due volte iperstatica:

(18 .62)

Ciò è dovuto al fatto che è sufficiente la formazione di due cerniere plastiche per provocare il meccanismo di collasso, anzichè tre, come richiederebbe l' isostaticità globale in prossimità del collasso. I casi di questo tipo sono detti collassi paràali, in contrapposizione ai collassi completi, per cui l 'inlera struttura si labilizza. Come ultimo esempio, si consideri il portale con piedritto inclinato di fig. 1S.21.a. Come si è già mostrato al Paragrafo 1S.S, il massimo momento flettente si raggiunge, in fase clastica, nèl nodo-incastro di sinistra (fig. 1S.22.a), per cui il carico che produce la prima cerniera plastica nello stesso nodo si ottiene dalla (15.45.a) : . ( 18 .63)

Un'applicazione del Principio dei Lavori Vutuali fornisce il momento X 2 nel nodoincastro di destra, per q > q 1 (fig. 18.19.a): ( 18 .64)

da cui si ottiene:

(18 .65)

L'equilibrio alla rotazione del traverso attorno al nodo di destra, fornisce il taglio V trasmesso al traverso dal piedritto di sinistra (fig. 18.19.b): ( 18 .66)

1 2 1 2 VE - - ql!. - -ql!. = O

4

2

da cui si ottiene:

( 18 .67)

3 V= -ql!. . 4

11 taglio sul traverso si annulla, e pertanto il momento è massimo, per V = qz , e quindi per z = ¼I!. : 284

18 La teoria della plastlciLì

~

\a)

llllllq

(b)

Figura 18.19

2

( 18 .68)

M

max

= M ( -43

f. ) ,

= 4-3 Vf.-

I (3 Mp - -q -f. ) 2 4

'

ovvero: ( 18 69) La condizione di seconda e ultima plaslicizzazione è Mmax carico di collasso:

= M P , da cui si ricava il

(18.70) mentre il meccanismo di collasso è coslituilo dal parallelogramma articolato di fig. 18.19.c. Il faltore di sicurezza vale: ( 18.71)

Qp

q,

= .JL ~ 93. 2 - l. -q 3 1 285

18 La teoria della plasticità

18.4. LEGGE DI NORMALITA' DELLA DEFORMAZIONE INCREMENTALE PLASTICA Come sarà illustrato in questo e nei prossimi paragrafi, è possibile evitare il laborioso calcolo incrementale plastico e fissare l'attenzione sulla condizione ultima di collasso, allorchè l'intera struttura, o una parte di essa, subisca grandi incrementi di spostamento in seguito a piccoli incrementi di carico. Ciò può realizzarsi tramite i Teoremi dell' Analisi Limite Plastica, che verranno dimostrati nel paragrafo che segue. Nel presente paragrafo verranno invece preliminarmente dimostrate due fondamentali proprietà, che devono rispettivamente possedere la superficie di plasticizzazione nello spazio delle tensioni principali: ( 18 .72) e la deformazione incrementale plastica. Come nella condizione uniassiale l'elemento di materiale è nello stato elastico per lal < a P, analogamente nella condizione biassiale (tensionale piana) l'elemento di materiale è nello stato ela,;tico per F( a 1 , a 2 ) < O . La funzione F è stata ottenuta al Paragrafo 8.11, nell'ambito dei criteri di Von Mises: (18.73) edi Tresca:

(18 .74) Mentre nella condizione uniassiale le caratteristiche del flusso plastico sono evidenti, cioè si ha una dilatazione collineare alla tensione, nelle condizioni multiassiali è difficile intuire la meccanica della deformazione. Si consideri un elemento di un solido bidimensionale soggetto ad uno stato tensionale (fig. 18.20): ( 18 .75) Si supponga che venga applicato un incremento {a}-{ a 0 } allo stesso elemento, e che in seguito tale incremento sia rimosso in maniera quasi-statica. Il Postulato di Drocker asserisce che il materiale può definirsi stabile, allorchè il lavoro compiuto nel ciclo di carico risulti non-negativo. Per uno stato tensionale {a} giacente sulla superficie di plasticizzazione F ({a}) = O , e per ciascuno stato tensionale { a 0 } ammissibile e quindi contenuto nel dominio elastico o giacente sulla sua frontiera, deve essere quindi: ( 18 .76) essendo {i. P} la deformazione incrementale plastica che si manifesta quando lo stato tensionale raggiunge {a} . È possibile dare un'interpretazione geometrica assai significativa, sovrapponendo gli spazi {a} eò {i.p} (fig. 18.20): ilprodottoscalare(18.76) risulta essere sempre positivo o tuttalpiù nullo. Segue quindi che: 286

18 La teoria della plasticità

Figura 18.20

(b)

Figura 18.21

(I) in ciascun punto regolare della superficie di plasticiuazione (piano tangente unico), la deformazione incrementale plastica { t P} risulta normale alla superficie stessa; (2) la superficie di plasticizzazione è convessa. Nei punti angolosi della superficie di plasticiuazione (fig. 18.21.a), {tp} non può essere esterna al cono definito dalle normali agli infiniti piani tangenti. In questo caso, più di un vettore { t P} può corrispondere ad un unico vettore { cr} . Al contrario, nei tratti ove la superficie di plasticizzazione è lineare (cioè non convessa in senso stretto) più di un vettore {cr} corrisponde ad un unico vettore {tp} (fig. 18.21.b). Queste due condizioni sono entrambe presenti nell'esagono di Tresca.

18 La teoria della plasticità

r,,

Figura 18.22

Il dominio elasùco include l'origine, e pertanto la disequazione (18.76), quando {a 0 } = {O} , diventa: ( 18 .77) ove rappresenta l'energia dissipata nell'unità di volume e risulta essere una funzione soltanto della defonnazione incrementale plasùca. Questa considerazione resta valida anche quando la superficie di plasùcizzazione presenta punù angolosi e tratti lineari. Perciò, la seguente asserzione è C4.luivalente al Postulato di Drucker: l'energia dissipata nell'unità di volume è fun zione soltanto della deformazione incrementale plasùca. Da questa asserzione, peraltro, è possibile dedurre la legge di nonnalilA e la convessi/È della superficie di plaslicizzazione . L'equazione (18.77) mostra infatti che ciascuno stato tensionale {a} capace di produrre la deformazione incrementale plastica {sP} , deve trovarsi sul piano normale a { t P} e distante ( { Èp}) dall'origine (fig. 18.22). Facendo ruotare { t P} attorno all'origine, tutti questi piani inviluppano la superficie di plasticizzazione, che risulta quindi essere convessa. Se { & } è il vettore incrementale di tensione corrispondente alla deformazione incrementale plastica {i P} , si ha: (18 .78) assumendo {a} come stato tcnsionale iniziale e applicando la (18.76). Per un materiale elastico-perfettamente plasùco si ha in parùcolare: ( 18 .79) mentre per un materiale ad incrudimento negativo (softening) risulta: ( 18 .80)

e il Postulato di Drucker è violato. 288

lii La teoria dt,~la plasticità

E

Figura 18.23

In fig . 18.23 è rappresentato il criterio di Tresca in due dimensioni-e i relativi meccanismi di flusso plastico (deformazioni incrementali_plastiche). Lungo i lati AB, BC, DE, EF, si attiva solo una delle due dilatazioni principali é 1 , t 2 ; mentre lungo i lati CD ed FA, una dilatazione risulta positiva e l'altra negativa. Esse sono attivate contemporaneamente e con pari intensità.

18.5. TEOREMI DELL'ANALISI LIMITE PLASTICA

Si consideri un solido rigido-perfettamente plastico, soggetto ad una condizione di carico proporzionale, misurata dal parametro >- (fig. 18.24). Un campo tensionale è detto staticamente ammissibile quando esso è in equilibrio con il carico esterno À e in ciascun punto del solido si ha ·p :s; O. D'altra parte, un meccanismo di .collasso è detto cinematicamcnte ammissibile quando i vincoli esterni sono rispettati e la corrispondente energia dissipata risulta positiva. (A) Teorema della massima energia dissipall:l

Data una defonnazione incrementale plastica {èP} , l'energia dissipata dalla tensione {a} corrispondente a tale deformazione (fig. 18.22), è maggiore o uguale all'energia dissipata da ogni altra possibile tensione {a'} : (18 .81) La disequazione (18.81) è valida in ciascun punto del solido e perciò, in base all'equazione (18.77), si può scrivere: ( 18 .82)

289

18 La teoria della plastklt.11

Zona plasticizzata

Figura 18.24

(B) Teorema sf1ltico (lèorema del limite superiore) Il moltiplicatore dei c:uichi >. - corrispondente a un qualsivoglù! campo tcnsionale sf1lticamente ammissibile è minore o uguale al molliplicatore di collasso >. P • Sia infatti {a-} un campo tensionale staticamente ammissibile e ). - il corrispondente moltiplicatore dei carichi esterni. Sia d'altronde {a} il campo tensionale di collasso e {ii}, {i::p} i campi incrementali rispettivamente di spostamento e di deformazione plastica all'atto del collasso. L'applicazione del Principio dei Lavori Virtuali offre le seguenti relazioni: (18.83.a) (18.83.b)

ove con P;, i = 1 , 2, . . , n, si sono indicati i carichi esterni applicati al solido. Richiamando la disequazione (18.76), si ottiene: (18.84) e quindi: ( 18 .85)

290

18 La teoria della plasticità

(C) Teorema cinematico (Teorema del limite inferiore) Il moltiplicatore dei carichi >. + corrispondente a un qualsivoglia meccanismo di collassocinematicamcntc ammissibile è maggiore o uguale al moltiplicatore di collasso vero Àp. Siano infatti { r(}, {i+} i campi incrementali rispettivamente di spostamento e di deformazione plastica relativi a un meccanismo di collasso cinematicamente ammissibile. Sia inollre {a} il campo tensionale di collasso vero. Il moltiplicatore dei carichi esterni >. + corrispondenlC al meccanismo di collasso cincmaticarncnlC ammissibile è dato dal seguente bilancio energetico:

( 18 .86)

L'applicazione del Principio dei Lavori Virtuali al campo tensionale di collasso vero {a} e al meccanismo di collasso cinematicamente ammissibile {t+} , fornisce:

( 18 .87)

Per la disequazione (18.82), d'altra parte, si ha:

( 18 .88)

Dalle (18.86), (18.87) e (18.88), segue: (18 .89)

(D) Teorema misto Se il moltiplicatore dei carichi esterni >. corrisponde ad un campo tensionale staticamente ammissibile e, contemporaneamente, ad un meccanismo di collasso cinematicamente ammissibile, allora si ha: . ( 18 .90)

Questa affermazione segue immediatamente dai due teoremi precedentemente dimostrati, poiché il meccanismo di collasso vero rappresenta un meccanismo cinematicamente ammissibile e, nel contempo, presuppone un campo tensionale staticamente ammissibile. 291

18 La teoria della plasticità

(E) Aggiunw di materiale Un incremento dimensionale di un solido perfettamente plastico non può produrre un decremento del carico di collasso. lnfaui, la somma del campo tcnsionalc di collasso 'nel solido originale e di un campo tensionalc identicamente nullo nella porzione di'matcrialc aggiunta, costituisce un campo tensionale staticamente ammissibile. Ciò significa che il carico di collasso del nuovo solido risulta essere maggiore o uguale a quello del solido originale, e sicuramente non minore. Le proprietà di convessil:1 del dominio clastico e di nonn:1litil della defonnazione incrementale plastica, nonché i teoremi dcl/';malisi limite, appena dimostrati per i solidi tridimensionali, possono essere facilmente estesi ai solidi bidimensionali (lastre) e unidimensionali (travi), sostituendo al vettore dello stato tcnsionalc, {a} , il veuorc delle caratteristiche statiche, {Q} , e al veuore delle deformazioni incrementali plastiche, {È P} , il vettore incrementale delle caratteristiche deformative, { qP} . Come esempio di convessità del dominio clastico e di normalità del flusso plastico, si consideri il limite plastico di interazione momento-sforzo normale, in fig. 18.9. Nel caso in cui, come invece spesso accade, si consideri come caratteristica attiva il solo momento fleucnte M , in luogo del vettore incrementale {qP} è sufficiente considerare l'incremento plastico della curvatura, xP , o, più scmpliccmcntc, la rotazione relativa I() .

18.6. SISTEMI DI TRAVI CARICATE PROPORZIONALMENTE DA FORZE CONCENTRATE

Nel caso.dei sistemi iperstatici di travi caricate proporzionalmente da forze concentrate, l'applicazione del teorema statico riduce la soluzione a quella di un problema di progmmmazione lineare. Si consideri, a scopo illustrativo, la trave continua di fig. 18.25.a, vincolata da tre appoggi e un incastro e caricata proporzionalmente da due forze concentrate nella prima e ter1.a campata. Tale struttura è 3 volte iperstatica, come si rileva osservando il sistema isostatico principale di fig. 18.25.b, e presenta S sezioni critiche per la formazione delle cerniere plastiche, e cioè i due appoggi centrali, l'incastro e le due sezioni in cui .sono applicate le forze esterne. Il momento flettente totale è esprimibile come la somma di quattro contributi, dovuti alle forze esterne e ai momenti iperstatici (fig. 18.25.b): n

M(z) = >..u< 0l + LXjM..M(Ol +~X M(j) I

1

~

j=l

292

J

I

I

. per i = l , 2 , ... , m .

18 La teoria della plasticità

(a)

(b)

Figura 18.25

Il teorema statico afferma che il carico di collasso plastico è rappresentato dal massimo valore che la funzione obiettivo >. può assumere, nel rispetto dei seguenti 2 m vincoli: ( 18 :93)

-Mp ~

"

>.M/ 0> + ~ X1M?> ~ Mp,

per i= 1,2, . . . ,m .

j=l

Nei casi di strutture a molti gradi di iperstaticità, tale problema è risolubile mediante procedure di calcolo automatico. Esso è infatti un problema di programmazione lineare nelle variabili >.; X 1 , X 2 , . . • , X,. . Si riconsideri , a scopo esemplificativo, il caso elementare di trave doppiamente incastrata soggetta al carico verticale >.P in mezzeria (fig. · 18.26.a), per cui n = 1 , m = 2 . Indièando con X il momento d'incastro (fig. 18.26.b), si ha: (18.94.a)

M 1 =-X ,

(18.94.b)

M 2 = - X+ ->.FR. 4 ,

I

e quindi le disequazioni (18 .93) in questo caso si presentano come segue: (18.95.a)

- Mp ~ -X ~ Mp,

(18.95.b)

- Mp

~

(-x + }>-n) ~

Mp -

Dalle (18.95) si ricavano le seguenti quattro disequazioni: (18.96.a) (18.96.b) (18 .96.c)

X ~ Mp+

1

4 >.FR., 293

18 La teoria della plasticità

!

ÀF

~

~

!"

X

~

(a)

X

et

2

(b)

Figura 18.26

À

4

_ _ _

A(

~~ , À~'")

X!Ft

e

Figura 18.27

(18.96.d)

1 ' X> - Mp+ -'>.rR., -

4

le quali, sul piano X - '>., delimitano il parallelogramma rappresentato in fig. 18.27. li massimo valore di ). su tale dominio è dato dall'ordinata del punto A : (18 97)

'>. max

da cui si riottiene il carico di collasso: 294

=8Mp Ff.'

18 La teoria della plasticità

( 18.98) Un metodo alternativo per la soluzione dei sistemi di travi caricate proporzionalmente da forze concentrate, è quello proposto da Neal e Symonds, il quale è detto anche metodo di combinazione dei meccanismi. Secondo tale metodo, ciascun meccanismo di collasso può considerarsi come la combinazione di un ceno numero di meccanismi indipendenti. A ciascun meccanismo di collasso si può applicare il Principio dei Lavori VU1Uali, cosl da determinarne il corrispondente moltiplicatore dei carichi ). . Il meccanismo di collasso effettivo si distingue tra tutti i meccanismi virtuali per il fatto che, a causa del teorema cinematico, esso presenta il minimo valore del moltiplicatore ). . Si tratta quindi di esaminare i meccanismi indipendenti con bassi valori del moltiplicatore ). , e di tentare di combinarli per formare meccanismi con valori di ). ancora inferiori. Per verificare la validità del risultato, è necessario poi il controllo di ammissibilità statica. Il metodo di Neal e Symonds verrà ora illustrato in relazione ad un semplice portale, soggetto a due forze uguali, una orizzontale e l'altra verticale (fig. 18.28.a). Poiché i gradi di iperstaticità sono n = 3 , e il numero di sezioni critiche è m = 5 , il numero delle equazioni di equilibrio supplementari e quindi il numero dei meccanismi indipendenti deve essere: m - n = 2 . Come meccanismi indipendenti, si scelgano i due rappresentati nelle figg. 18.28.b, d, i quali fanno compiere lavoro alternativamente alla forza verticale e a quella orizzontale. D'altra parte si può dimostrare che entrambi implicano diagrammi del momento staticamente ammissibili (figg. 18.28.c, e). L'applicazione del Principio dei Lavori Virtuali al meccanismo del traverso (fig. 18.28.b) produce l'equazione: ( 18 .99)

da cui si ottiene: (18.100)

M F=4---E. f, .

L'applicazione del Principio dei Lavori Virtuali al meccanismo di sbandamento laterale (fig. 18.28.d), produce d'altronde lo stesso risultato. Si pensi ora di sommare algebricamente (ovvero combinare) i due anzidelli meccanismi. Si otterrà il meccanismo di fig. 18.28.f, con quattro cerniere plastiche nelle sezioni 1, 3, 4, 5. Il corrispondente dia~'famma del momento (fig. 18.28.g) risulta staticamente ammissibile, e pertanto si può concludere che il meccanismo di collasso di fig. 18.28.f, è quello effettivo. D'altra parte, l'applicazione del Principio dei Lavori Virtuali fornisce un carico inferiore a quello relativo a ciascuno dei due meccanismi elementari: (18.101) da cui si ottiene: 295

18 LJ teoria dell;a plasticità

F ~

F

2

3

4

5

(a)

1/

.,.

e

I·

1/

e

I

·I

M[ ,' -

MP

Mr . M 1/, 1/

~-+-~2

MP

F

-t

p

p

A

(d)

F -~r--:

l'

;M p

(f)

296

(e)

__ _j~ --

I I I

'Figura 18.28

(e)

MP

~

(g)

~~

18 La teoria della plasticità

( 18 .102)

18.7. SISTEMI DITRAVI CARICATE PROPORZIONALMENTE DA FORZE DISTRIBUITE Nella soluzione dei sistemi iperstatici di travi caricate proporzionalmente anche da forze distribuite, s1 presentano maggiori difficoltà che non nel caso delle sole forze concentrate. Ciò è dovuto alla impossibilità di individuare sin dall'inizio un numero finito di sezioni critiche. Non esistendo quindi alcun metodo sistematico, si procede usualmente per tentativi, applicando alternatamente i teoremi cinematico e statico. Si consideri ad esempio il portale di fig. 18.29.à, soggetto ad un carico distribuito uniformemente sul traverso e ad una forza èoncentrata orizzontale di pari intensità Si assuma come meccanismo di collasso quello effettivo dello schema a forze concentrate (fig. 18.28.a), e si applichi il Principio dei Lavori Virtuali (fig. 18.29.b): ( 18 .103)

2 x qR.

(f 'P)

+ 2qR.(R.,p) -6Mp,P = O,

da cui si ottiene il carico:

M

q ==2_E_ R_2 .

(18 .104)

Le reazioni vincolari relative alla sezione 5 si ottengono imponendo che, ariche nelle sezioni 3 e 4, il momento flettente sia pari al suo valore plastico M P (fig. 18.29.c): (18.105.a)

M4 = -Mp+ HR.= Mp,

(18.105.b)

M3

= Mp -

HR.+ Vf-

1

2

qf2

= Mp,

da cui si ottiene:

(18.106.a)

H = 2 Mp

(18.106.b)

V=3Mp

f

f

' .

La funzione momento sul traverso è data dalla somma di quattro contributi:

( 18 .107)

mentre il taglio è dato da due contributi: ( 18 108)

T ( z)

= -dM =3 -Mp dz . R.

·

Mp R.

- 2 -2z

'

297

18 La ti:,oria della pwtldtà

2qt q

I l l l l l l l l 11 l l 3

2

4

I

5 1/

r

t

t

t

(b)

(a)

2qt q [ [ ] J 6

l l 1111111 3

4 ~

z

(e)

2qt

qlllllllllllll~

~r

-.....Z...::::I q>

-....::.C:.:::L q>

I· (d)

Figura 18.29

298

-------

X

+

2t-x (e)

18 La teoria della pluddtà

e si annulla per z = ½e. Il momenlo massimo vale quindi: ( 18 . 109) e, risultando maggiore di M P , denuncia la inammissibilità statica del meccanismo di fig . 18.29.b. D'altra parte, dividendo il carico (18.104) per 5/4, si ottiene uno schema staticamente ammissibile, e quindi una applicazione dei teoremi statico e cinematico porta ad affermare che il carico di collasso effettivo deve rientrare nel seguente intervallo: ( 18 .110) Poiché l'intervallo ( 18.110) non è ancora sufficientemente ristretto, si assuma come meccanismo di collasso di seconda approssimazione quello che presenta tre cerniere plastiche ancora nelle sezioni 1, 4, 5, e la quarta cerniera nella sezione che con lo schema precedente era soggetta al momento massimo Mmax (fig. 18.29.d). L'applicazione del Principio dei Lavori Virtuali fornisce l'equazione:

qf (¾~) + fqi (¾t) (½V')+ 2qi(iv,)(18 .111) -4Mp~ -2Mp

(½~)=O,

che ha per soluzione: (18 .112)

Le reazioni vincolari relative alla sezione 5 si ottengono imponendo che, anche nelle sezioni 4 e 6 (fig. 18.29.c), il momento tleuente sia pari al suo valore plastico M P : (18.113 .a)

(18.113.b) da cui si ottiene:

(18.114.a)

M H=2_E_ e,

(18 .114 .b)

41 Mp V=--.

1s e

Il momento e il taglio sul traverso sono pertanto rappresentati dalle seguenti funzioni : 299

18 La teoria della plasticità

(18.115.a) (18.115.b) Il taglio si annulla per z =:

~.e , e il momento massimo vale quindi:

(18.116) D'altra parte, dividendo il carico (18. t 12) per 841/840, si ottiene uno schema staticamente ammissibile, e quindi una applicazione dei teoremi statico e cinematico fornisce il seguente intervallo di appartenenza per il carico di collasso effettivo: (18 .117) Tuie intervallo è estremamente ristretto e, ai fini ingegneristici, fornisce il carico di collasso effettivo con sufficiente approssimazione ( ~ 1%0 ) • Per migliorare ulteri01mente l'approssimazione, basterebbe considerare un terzo meccanismo con la cerniera in z = .e , ma ciò non è necessario, poiché è possibile identificare l'effettivo meccanismo di collasso, minimizzando il carico q, al variare della posi7ione della cerniera plastica sul traverso (teorema cinematico). Si consideri il meccanismo di fig. 18.29.e, con la cerniera plastica in una posizione intermedia del traverso, a distanza x dal nodo-incastro di sinistra. Come mostra il diagramma degli spostamenti verticali, il tratto di sinistra ruota in senso orario dell'angolo 'P, mentre il tratto di destra ruota in senso antiorario dell'angolo:

1!

(18.118) L'applicazione del Principio dei Lavori Virtuali offre l'equazione seguente:

( 18 .119)

da cui si ottiene il carico:

( 18 .120) La derivata di tale carico rispetto alla coordinata x: (18 . 121)

300

dq -x 2 + 8ix - 4i2 -= ( 4 ,e2 _ x2 )2 dx

18 La teoria della plastlcltA

si annulla per : ( 18 . 122)

X=

2f(2

± v'3) .

La radice maggiore è da scartare, mentre sostituendo il valore x l'espressione (18.120), si ottiene il carico di collasso effettivo: ( 18. 123)

Mp

Qp

=

7

= 2R(2

-

\/'3)

nel-

3 12 - 6v'3 .

Razionalizzando il rapporto (18 . 123) sino alla settima cifra decimale, si ha: (18 .124)

Mp

Qp

= 1.8660254 &'

così che le disequazioni (18.117) rimangono verificate: 1.8644471


/ /

'

(o+ b) 2

ab

Tale tensione si annulla alle estremità di entrambi gli assi e presenta i valori estremi: ( 19 .156)

a,.,

(m~) mm

=

±a( 0 \b) a

2 ,

nei punti per cui tan '1 = ':fb/ a . 351

19 Gli stati tenslonall e deformativi plani

Quando l'ellisse è molto eccentrica, le tensioni (19.156) risultano molto elevate, e i punti in cui esse si sviluppano sono molto vicini alle estremità dell' asse maggiore. Quando invece a :::: b , si ritrova il risultato relativo al foro circolare, con un fattore di concentrazione pari a 4. Per ricapitolare le conclusioni sia del Paragrafo 19.6 che del presente paragrafo, in tabella 19.1 viene riportata la casistica completa dei fattori di concentrazione degli sfoni, per fori circolari ed ellittici.

3S2

20 .La meccanica della frattura

20.1. PREMESSE Con le conquiste scientifiche degli ultimi decenni nel campo della Meccanica dei Materiali, ci si è resi conto che il concetto classico di resistenza, intesa come forza per unità di superficie che provoca rottura, deve essere messo in discussione, in particolar modo nei casi in cui si abbia a che fare con strutture particolarmente grandi o particolannente piccole. La resistenza del materiale deve cioè essere messa a confronto con un'altra caratteristica, la tenacità del materiale, cosl da definire, tramite la dimensione della struttura, la duttilità o la fragilità della struttura stessa. Due caratteristiche intrinseche del materiale, più una caratteristica geometrica della struttura, sono infatti la base minima per poter prevedere il tipo di risposta strutturale. Un anticipo di quanto verrà trattato nel presente capitolo è stato fornito al Paragrafo 8.10, ove si è definita l'energia di frattura ~IC, uno dei parametri capaci di misurare la tenacità del materiale, e si è descritta la variabilità della risposta strutturale a trazione uniassiale, al variare di ~re .e/o della lunghezza.della barra sottoposta longitudinalmente a trazione. Si è riscontrata in quel caso una tendenza al comportamento duttile per piccole lunghezze della barra e, al contrario, una tendenza al comportamento fragile (snap-back) per grandi lunghezze della barra. Tale tendenza verrà ritrovata, nel presente capitolo, anche nei casi di solidi bi- e tridimensionali, così da associare il comportamento duttile a solidi relativamente piccoli, e il comportamento fragile a solidi relativamente grandi. Come all'aumentare della snellezza si verifica una transizione tra collasso plastico e instabilità dell'equilibrio elastico, nelle strutture sollecitate prevalentemente a compressione (fig. 17.11), cosi, nelle strutture sollecitate prevalentemente a trazione, si verifica una transizione tra collasso plastico e frattura fragile all'aumentare della scala dimensionale. Due casi estremi di quanto è stato precedentemente discusso, sono rappresentati in fig. 20.1. Il primo (fig. 20.1.a) raffigura una tra le centinaia di navi Liberty, che, negli • anni della Seconda Guerra Mondiale, si spaccarono in due parti, con rotture assai nette e fragili, prive di alcun segno premonitore. Ciò che stupì profondamente i tecnici che per primi si occuparono di quegli incidenti, furono sia il bassissimo stato di sollecitazione presente nello scafo al momento della rottura, che il contrasto tra l'estrema fragilità di quelle rotture e la notevole duttilità mostrata in laboratorio da provini dello stesso acciaio. 353

20 La mcccanka della frattura

(a)

(b)

Figura :Z0.1

Il secondo caso (fig. 20.1.b) raffigura un filamento microscopico di vetro, utilizzato per fibro-rinforzare i materiali polimerici. Tale filamento risulta flesso elasticamente con grande curvatura, subendo quindi un regime di grandi deformazioni e sforzi di ben due ordini di grandezza superiori alla resistenza a trazione del vetro, misurata in laboratorio con provini di·nonnali dimensioni. I due casi appena esaminati mostrano, in modo clamoroso ed inequivocabile, come sia la resistenza che la duttilità siano funzioni della scala dimensionale, così da ottenere fragilità e bassa resistenza da enormi strutture in acciaio, nonché duttilità ed alta resistenza da microscopiche strutture in vetro. È ben noto, d'altra parte, come, nella scala dimensionale del laboratorio, l'acciaio risulti essere un materiale particolannente duttile e il vetro un materiale particolarmente fragile. Non è necessario comunque considerare casi estremi, per accorgersi come la duttilità non sia una caratteristica del materiale, bensì una caratteristica dell'intera struttura. Anche nella scala del laboratorio è stata ormai messa in luce la transizione duttile-fragile all'aumentare della dimensione del provino (fig. 20.2). Mantenendone invariati materiale e forma geometrica, e aumentandone la scala dimensionale, si riscontra infatti per tutti i materiali, siano essi metallici, polimerici, ceramici o cementizi, una netta transizione verso comportamenti di tipo fragile, con una caduta improvvisa della capacità di carico e una propagazione rapida di una fessura. Al contrario, con provini di dimensioni relativamente modeste, si ha un comportamento duttile e una propagazione lenta della fessura. Nel caso ad esempio della flessione su tre punti, si può verificare la formazione di una cerniera plastica in mezzeria e l'impossibilità di separare in due 354

20 La meccanica della frattura

FRECCIA

0 ® 0

COMPORTAMENTO DELLA STRUTTURA

AVANZAMENTO DELLA FESSURA

FRAGILE

INSTABILE

DUTTILE - FRAGILE

STABILE- INSTABILE

DUTTILE

STABILE

Figura 20.2

parti distinte il provino con un semplice caricamento monot6no (fig. 20.2). Nel presente capitolo, dopo un cenno alt' ormai classico criterio energetìco di Griffith (1920), si esporranno le principali teorie fisico-matematiche che, tra il 1920 e il 1950, aprirono la strada alla moderna meccanica della frattura: (1) il metodo di Westergaard o dei potenziali complessi (1939), che risulta essere una semplificazione del già citato (Paragrafo 19.9) metodo di Muskhelìshvili (1933); (2) il metodo di Williams o degli sviluppi in serie (1952), che risulta essere una via nuova e più generale. Entrambi questi metodi fondamentali conducono alla determinazione della potenza della singolarità tensionale che si produce all'estremità della fessura e alla definizione quindi del fattore di intensificazione degli sforzi (dall'inglese stress-intensity factor). Oltre al problema dell'apertura di una fessura sollecitata simmetricamente (Modo l), verrà affrontato anche il problema della stessa fessura sollecitata antisimmetricamente da forze di taglio (Modo Il). In questo contesto più generale verrà proposto il criterio di diramazione più noto, quello della massima tensione circonferenziale.

35S

20 La rneccanlca della frattura

Verrà quindi ripreso il concetto di energia di frattura e messo in diretta correlazione con il valore critico del fattore di intensificazione degli sforzi. Si considererà infine la zona plastica (o di processo) che si sviluppa sempre all'estremità di ciascuna fessura reale, se ne stimerà l'ampiezza e se ne suggerirà una modellazione matematica e numerica, capace di descrivere con continuità la transizione di scala duttile-fragile a cui si è già accennato.

20.2. CRITERIO ENERGETICO DI GRIFFITH I difetti dei materiali vengono spesso considerati come le principali cause di innesco delle fratture fragili. Gli effetti di concentrazione delle tensioni nelle vicinanze di imperfezioni o irregolarità sono d'altra parte ben noti da lungo tempo. Già nel 1898 Kirsch forniva soluzione al problema di una lastra infinita con foro circolare, sottoposta a trazione. Come si è dimostrato al Paragrafo 19.6, la tensione massima sul bordo

T T T T T Ta

T T T T T Ta

i a11+2b>

.> }

'

~3, .

I ) ) I

l

l

l l

l

)

+2b r

(20.19.a)

-

ax =ReZr+ylmZr-Bx,

8cl>

a,/= yRe Zr + By,

(20.19.b) e quindi, tramite le (19.9):

=

az cl>[

= Re Z r -

I

(20.20.a)

u"

(20.20.b)

u11 = axz =ReZr+ylmZ1 -B,

(20.20.c)

rxv = - 8x8y = -y Re Zr.

8112

y Im Z I

82cl>I

+ B,

I

azcI>[

I

Si noti che, come era già stato anticipato nel capitolo precedente, le (20.20) coincidono con le (-19.129), una volta che si esegua la seguente sostituzione di potenziale complesso: (20.21) Si consideri ora una fessura rettilinea di lunghezza 2a, disposta lungo l'asse X tra -a e +a (fig. 20.7). Le condizioni al contorno che esprimono assenza di sforzi sulle facce della fessura sono: (20 .22)

per - a< x

< a.

La seconda delle ipotesi di Westergaard riguarda il potenziale complesso, che viene

assunto nella forma: (20 .23)

Z

1

=

g(z) +B [(z+a)(z-a)J 1/ 2 '

VzE W,

essendo g(z) una funzione reale di variabile complessa e B la costante reale introdotta nella (20.18). La funzione (20.23) soddisfa, tramite le (20.20.b, c), le condizioni al contorno (20.22). Sulle facce della fessura risulta inoltre, in base alla (20.20.a): 362

20 La meccanica della frattura

y

ka

---

i

j

a

t

t i

i

--+ --+

t

o - a

y

--+

~

X

+a

--+ --+ ka --+

!

!

a

!

!

!

!

Figura 20.7

(20 .24)

CJ,,(x,O) = 2B,

per - a< x < a.

Eseguendo nella (20.23) la sostituzione di variabile: (20.25) e, pertanto, considerando un sistema di riferimento centrato nell'estremità destra della fessura (fig. 20.7), si ottiene: (20.26)

Z1 =

g(( +a)/{(+ 2a) 112 (1/2 + B.

Nell'intorno dell'estremità destra della fessura, la funzione (20.26) si può approssimare come segue: (20.27)

Z - g(a)/~ I -

(1/2

+

B

.

Se si pone: (20 .28) in definitiva si ottiene: (20.29) La costante reale K 1 rappresenta il cosiddetto fattore di intensificazione degli sforzi (dall'inglese stress-intensity factor). 363

20 La meccanica defla frattura

Per poter intendere il significato fisico del fattore K 1 , è necessario introdurre le coordinate polari nello studio delle tensioni (20.20). Dall' analisi complessa è noto che:

(20.30.b)

( = rei• = r( cos ,1 + i sin '1) , 1 2 1 2 1 2 ( - / = r- 1 e-!i• = r- / ( cos

(20.30.c)

ç3/2 = r-3/2 e-li•= r-3/2 ( cos },1- i sin },1) '

(20.30.d)

1,1

(20.30.a)

f- i) , i sin

· .02·",, = sm 2 cos 2 .

= r sm v

r

Il potenziale complesso (20.29) si può quindi esprimere come segue:

K 1- ( cos--,sm'1 .. ") +B, Z1 = ...,ri:;;. 2 2

(20 .31)

avendo avuto cura di introdurre anche la costante B , che, a distanze non infinitesime dall'origine, non può essere considerata trascurabile. La derivata del potenziale complesso (20.29) è esprimibile anch'essa in coordinate polari: (20 .32)

1)

3 .. 3 )

K ( - - ç 312 =K1 ( cos-'1-,sm-,1. Z~=~ v2w 2 2v2wr3/2 2 2

Sostituendo le (20.30.d), (20.31) e (20.32) nelle (20.20), si ottiene il campo tensionale valido nell'intorno dell'estremità della fessura:

K1 ,1 = ---cos .j2m2

. ,1 ,1 K1 . 3 - 2rsm -cos ---===---SIO -,1+ 2B 2 2 2..fi;,-3/2 2 ' K1 ,1 . ,1 ,1 K1 . 3 .,/fi";cos + 2rsm 2 cos 2 2 2 ..fi;,.3/ 2 sm 2 '1,

(20.33.a)

a

(20.33.b)

a,=

(20.33.c)

r,., = -2rsin

'"

i

cosi (- ~r3/Z cos },1) • 2

Raccogliendo i fattori comuni si ha infine: cr

(20.34.b)

cr11 =

(20.34.c)

r,.11 =

'"

"(1 . 3.a) + 2B "(1 . 3.a) 2 + 2 2

Kr= cos = --

(20.34.a)

.,/2,,rr

2

Kr cos ./fu K

.

- sm -i,. sm - v

2

sm ,1. sm

,1

,1

2

v

'

,

3

1 ...,ri:;;. sm cos cos '1. 2 2 2

In relazione alle componenti di tensione (20.34), si possono fare le seguenti osservazioni. 364

20 La ntea:anlca della frattura

(I) Tutte e tre le componenti di tensione (20.34) presentano una singolarità r- 1 / 2 al1' estremità della fessura. La potenza -1 /2 di tale singolarità dipende soltanto dalle condizioni al contorno sulle facce della fessura. e non dalle condizioni all'infinito. (2) Il profilo angolare del campo di tensione dipende anch'esso dalle condizioni al contorno sulle facce della fessura, e non dalle condizioni all'infinito. (3) Il campo di tensione nell'intorno dell'estremità della fessura. è univocamente definito dal fattore K 1 , che è funzione peraltro delle condizioni all'infinito, ovvero, nel caso di lastre di dimensione finita, delle condizioni imposte sul contorno esterno. (4) Le dimensioni fisiche di K 1 sono alquanto inconsuete: [ F] [ L]- 3 12 • È da ricercarsi proprio in tali dimensioni la causa sostanziale degli effetti dimensionali, sia nella meccanica della frattura che, indirettamente, nella resistenza dei materiali. La terza delle ipotesi di Westergaard riguarda la funzione g{z), presente nell'espressione (20.23) del potenziale complesso, ed è relativa alle condizioni all'infinito, che sono state sin qui ignorate. Si supponga che lo stato tensionale all'infinito presenti le direzioni principali parallele agli assi coordinati XY , con tensioni principali rispettivamente uguali a ka e a • con k = costante reale (fig. 20.7). Ponendo: g(z) =

(20 .35)

CJZ,

e quindi:

(20 .36)

z1 =

CJZ

[(z+a)(z-a)]1l 2

+B '

'vzE 8"',

le suddette condizioni all'infinito restano soddisfatte. Dalle (20.20) si ha infatti:

(20.37.a) (20.37.b) (20.37.c)

lim a"' = a + 2 B, ._..,,., lima,= cr, ._..,,., lim r,., = O, ._..,,.,

e il limite (20.37.a) fornisce il valore kcr, per:

(20.38) Dalle posizioni (20.28) e (20.35) si ottiene l'espressione del fattae di intensificazione degli sforzi:

(20.39) il quale risulta dipendere dalla tensione all'infinito cxtogonale alla fessura e dalla semilunghezza della fessura. La tensione all'infinito parallela alla fessura non entra nell'espressione (20.39), non risultando quest'ultima funzione del fattore k . Dalle (20.24) e (20.38) deriva inoltre il valore della tensione a"' sulle facce della fessura: 365

20 La meccanica della frattura

IIl l l l l II

0

2h

2a

~

o Figura 20.8

(20.40)

a,.(x, O) = a(k - 1),

per - a< x

< a.

Mentre la variabilità radiale e angolare del campo di tensione nell'intorno dell'estremità della ~essura è indipendente dalla specifica geometria in esame ed è descritta dalle relazioni (20.34), le infonnazioni sulla geometria e sulle condizioni al contorno esterno (carichi e vincoli) sono compendiate nel fattore K 1 . Nel caso ad esempio di una lastra di larghezza finita 2 h con una fessura centrata di lunghezza 2 a , caricata all'infinito da una tensione a ortogonale alla fessura (fig. 20.8), si ha: (20 .41)

K1 =

1TO) 1/2

a./ira. ( sec 2 h

Per h/a --t oo, l'espressione precedente tende alla (20.39). Nel caso invece di un provino inflesso su tre punti, con fessura in mezzeria di lunghezza a , si ha (fig. 20.9): (20.42.a) con:

!(*) = 2 .9 (i)'/2-4 .6 (if/2 + (20.42.b)

+ 21.8

366

Gf /2 -

37 .6

(if /2 + 38 .7 (i//2

20 La meccanica della frattura

p

I· Figura 20.9 ove h è l'altezza, t lo spessore ed R. la lunghezza della lastra, mentre P è la forza esterna. Per quanto riguarda l'apertura elastica della fessura, il cosiddetto C.O.D. (dall'inglese Crack Opening Displacement), è possibile ricavarla dal campo tensionale, tramite la dilatazione:

e

(20 .43)

Il

av

1

= -av = -( cr E Il

vcr )

"',

nel caso di stato tensionale piano. Dalle (20.20.a, b) si ha infatti:

(20 .44)

È facile verificare come la derivata della seguente espressione coincida con I'integrando della (20.44): (20 .45) Dall'espressione (20.29) del potenziale complesso si ottiene per integrazione:

(20 .46) e, in coordinate polari: (20 .47)

Z1

= ~ r 112

(cos

f

+ i sin

f)

+ Br(cos {)+i sin{))+ C.

Lo spostamento secondo l'asse Y dei punti appartenenti alla faccia superiore della fessura, vale perciò: 367

20 La mecca11lca della frattura

--r 112

TIP_,,.

Figura 20.10

(20.48 .a) mentre valore opposto mostrano naturalmente i punti)appartenenti alla faccia inferiore:

(20.48.b)

v( 1'

= -,r) =-2

2 (;

)112 Kj

rl/2 .

Lo spostamento relativo di apertura della fessura, in prossimità dell'estremità, risulta quindi:

(20.49)

C .0.0.

= 11(,r) -

11(-,r)

=4

2)1/2 K ~rl/ 2 . (;

L'apertura della fessura è direttamente proporzionale al fattore K 1 (che a sua volta è sempre direttamente proporzionale alla sollecitazione esterna) e inversamente pro-

porzionale al modulo elastico E . Essa varia con legge parabolica lungo la fessura stessa, mostrando naturalmente valore nullo nell'estremità (fig. 20.10). È interessante osservare come la configmazione deformata della fessura denunci un arrotondamento con tangente verticale all'estremità.

20.4. MODO Il E MODI MISTI La traUaZione di Westergaard riguarda anche il Modo Il, quei casi cioè in cui la fessura subisca sollecitaziClfli antisimmetriche rispetto all'asse X (fig. 20.11). Si dimostrerà che, come con il Modo I (sollecitazioni simmetriche), anche con il Modo II il campo tensionale nell'intorno dell'estremità della fessura ha una variazione radiale r- 1/ 2 , con singolarità nell'estremità di pari potem.a -1 /2 , e che la variazione angolare non dipende dalla geornetria e dalle condizioni al contorno esterno. Per i casi antisimmetrici piani (Modo II), Westergaard scelse una funzione di Airy nella seguente fonna: (20.50)

368

4>11 = -yReZn-

20 La meccanica della frattura

ty

---T

T

1 1 l l 1 ·1

-

--+

y ~

o -a

+a

l l l

X

L

- - - -- -

l l

T

Figura 20.11

Le tensioni si ottengono con una doppia derivazione della (20.50):

(20.51.a)

ax = 2 Im Z 11 + yReZ~ 1 ,

(20.51.b)

av = -yReZ~ 1 ,

(20.51.c)

Txv

= Re zii - y lm z~J-

Le condizioni al contorno sulle facce della fessura sono ancora rappresentate dalle (20.22), e risultanq soddisfatte da un potenziale della forma:

(20 .52)

f(z) Zn = [(z + a)(z - a)]l/2'

Vz E W,

con f funzione reale. La sostituzione di variabile (20.25), nell'intorno dell'estremità destra della fessura, fornisce:

(20 .53)

ove:

(20 .54)

Ku

= f(a)-{f,

è il secondo fattore di intensificazione degli sforzi. Derivando la funzione (20.53) ed esprimendo le (20.51) in coordinate polari, si ottiene: 369

20 La rnec:anica della frattura

(20.55.a)

a :;: - ~ sin ~ "' ~ 2

(20.55 .b)

a

= ~cos V

(20.55 .c)

~

(2 +

cos

~ cos ~,J) 2

2

'

~,J

~sin ~cos 2 2 2 '

.a)

- K II ,J ( . ,J . 3 r:rv - ~ cos 1 - sm sm v

2

2

2

.

Il campo tensionale (20.55) vale nell'intorno delle estremità della fessura ed è indipendente dalle condizioni antisimmetriche all'infinito, a meno del fattore K II che ne è invece funzione. Nella condizione panicolare di taglio puro all'infinito, parallelo agli assi XY, con trazione cr = r a 45° e compressione a= - T a -45° (fig. 20.11), si assuma la funzione: (20 .56)

f(z)

= TZ,

cosl che la (20.52) diventa: ( 20 .57)

TZ

ZII= - - - - - - -1[ ( z + a) ( z - a)) / 2 '

Vz E W.

La (20.57) soddisfa le condizioni all'infinito. Infatti , tramite le (20.51 ), si ha:

(20.58.a)

lim ax = O, Z->00

(20.58 .b) (20.58 .c)

lima = O,

z -+ oo

lim

z-> oo

V

Txv

=

T.

Dalle posizioni (20.54) e (20.56) si ricava infine l'espressione del fattore di intensificazione degli sforzi: (20 59) la quale risulta del tutto analoga alla (20.39) . Risolti separatamente il problema simmetrico, con le equazioni (20.34), e il problema antisimmetrico, con le equazioni (20.55), si può dimostrare che ciascun problema generico presenta una soluzione, asintoticamente valida nell'intorno dell'estremità della fessura, che è la somma dei due modi elementari I e II: (20 .60)

È sufficiente pertanto conoscere le espressioni dei fattori K 1 e K 11 , per definire univocamente il campo tensionale nell ' intorno dell'estremità della fessura. Nel caso particolare di stato tensionale assegnato all'infinito (fig. 20.12), con le direzioni principali inclinate rispetto alla fessura, i-I Principio di Sovrapposizione degli Effetti fornisce l'espressione (20.60), con K I e K 11 dati rispettivamente dalle (20.39) e (20.59). 370

20 La meccanica della frattura

_[__r r

~~

7

~ko

~

T Figura 20.12

(e)

(bl

(a)

Figura 20. 13

Si sono considerati sinora i due modi elementari di sollecitazione della fessura relativi a stati tensionali o deformativi pìani: il Modo I o di apertura, simmetrico rispello alla fessura (fig. 20.13.a); il Modo II o di scivolamento nel piano, antisimmetrico rispetto all'asse X (fig. 20.13.b). Esiste peraltro un terzo modo elementare, relativo a stati tridimensionali: il Modo III o di scivolamento fuori dal piano, antisimmetrico rispcuo al piano X Z . Tale modo è quello caratteristico con cui si strappano i fogli di carta (fig. 20.13.c). I tre modi suddetti rappresentano tutti e i soli modi esistenti per sollecitare una fessura, nel senso che, nell'intorno di un punto appartenente al fronte~ una fessura sghemba, contenuta a sua volta in un solido tridimensionale (fig. 20.14), il campo tensionale, costituito dalle cinque componenti di sforzo un, ab, Tnb, Tnt, Tbt, può esprimersi come segue: (20.61)

{a}= (27rr)- 1 / 2 [F(,9,rp)] {K}, Sxl

5x3

3xl

371

20 La mcc..+I fn( ,9). n

Mentre gli esponenti (). n + 1) , e quindi la potenza della singolarità tensionale, verranno individuati in base_a lle condizioni al contorno sui bordi liberi del settore, le funzioni J,. possono essere compiutamente definite solo in base alle condizioni di carico all'infinito. Applicando le relazioni (19.44) allo sviluppo in serie di potenze (20.63), si ricavano le tensioni: (20.64.a)

a,= Lr>..-I [/~(,9) + ().,, + l)fn(,9)],

(20.64.b)

a.,= Lr>.•-1[>-,.(>-n+ l)fn(,9)],

" (20.64.c) n

ove l'apice indica derivazione rispetto a ,9. L'equazione di congruenza (19.50) si può pertanto sviluppare sommando i seguenti termini: 2

(20.65 .a)

1 8 " >. -3 [ InIV +().,.+l) 2 f,."] , r2a,92.•-

3

().,.

2

-1)().,. -2) [!~ + ().,. + 1) /,.] .

n

373

20 La meccanica della frattura

Raccogliendo i fattori comuni, in definitiva si ottiene:

(20.66)

"

L'equazione (20.66) è identicamente soddisfatta dal l'annullamento dell'espressione entro parentesi graffa, la quale contiene soltanto funzioni angolari: (20 .67) L'equazione differenziale del quarto ordine (20.67), e quindi la congruenza, sono soddisfatte identicamente dalla seguente forma trigonometrica: (20 .68)

/,.(,'J) = A,.cos(>.,. + l),'J+ B,.cos(>.,. -1),'J+ + C,. sin(À,. + l),'J+ D,. sin().,. - l},'J.

Mentre i primi due addendi della (20.68) rappresentano la soluzione simmetrica (Modo I), i rimanenti due addendi rappresentano la soluzione antisimmetrica (Modo Il). Le condizioni al contorno sui bordi del settore elastico esprimono l'annullamento delle tensioni circonfercnziale (e quindi normale al bordo) e tangenziale: (20.69.a)

a.,(±a) =O,

(20.69.b)

TT,,( ±a) = O1

per qualsiasi raggio r > O . Dalle (20.64.b, e) si ottiene: (20.70.a)

fn( ± o.) = O,

(20.70.b)

f~( ± ct)=O.

Utilizzando la soluzione (20.68) , le (20.70) si esplicitano come segue: (20.71.a)

(20.71.b)

Ancos(Àn + l)a+ Bncos(À,. - l)o.± C,.sin(À,. + l)a± ±D,.sin(À,. - ))a= O, ± A,.(À,. + 1) sin(À,. + l)a ± B,.(À,. - 1) sin(À,. - l}a+

+ C,.().,. + I} cos(À,. + l)a + D,.(À,. - I) cos(À,. - l)a =O.

Le due precedenti equazioni possono venire separate, in modo tale da ouenere due . sistemi di equazioni algebriche lineari cd omogenee, nelle incognite rispcltivamenle

A,. , B,. e C,. , D,. : (20.72 .a)

374

A,.cos(),,,+ !)a+ B,.cos(À,. - l)o.=0 ,

(20.72 .b)

A,.(À,. + I) sin(À,. + l)a + B,.().,. - I) sin(À,. - l)a = O,

(20.72.c)

C,.sin(),,.+ l)o.+ fJ,.sin(À,. - l)a=O,

(20.72.d)

C,. ( À,. + I) cos (À,. + 1) o. +

I),. (

À,. - 1) cos (),,. - 1) o. = O .

20 La meccanica della frattura

Le prime due equazioni sono relalive ai problemi simmetrici (Modo I), mentre le rimanenti due sono relative ai problemi antisimmetrici (Modo II). Per ottenere soluzioni diverse dalla ovvia, devono annullarsi i delerminanti dei coefficienti dei due sistemi. Le incognile A,. e B,. saranno perciò definile a meno di un fattore, qualora si verifichi: (20.73.a)

(À,. - 1) sin(Àn - l)a COS(Àn + l)a- (>,n + I) COS(.Àn - l)a sin(.Àn + l)a =O,

così come le incognite Cn e (20.73 .b)

I)"

saranno delinite a meno di un fatlore, nel caso in cui:

(.Àn + I) sin(.Àn - I)a cos(Àn + !)a- (.Àn - I) COS(Àn - l)a sin(.Àn + !)a=

o.

Si noli come, nel caso di A I e B 1 , il sopraddetlO fauore di proporzionalità coincida con il fauore di intensificazione delle tensioni K 1 , cosl come, nel caso di C 1 e 1) 1 , esso coincida con il fattore K 11 . Dalla (20.73.a) e tenendo conto delle ben nole relazioni IIigonometriche: (20.74.a)

sin xcos y - cos xsin y = sin(x - y),

(20.74.b)

sin x cos y + cos x sin y = sin ( x + y) ,

si ricava la condizione: (20.75 .a) Analogamente, dalla (20.73 .b) si ha: (20.75 .b) Le (20.75) sono le equazioni agli aulovaluri relalive al problema del seuorc clastico, da cui sono ricavabili gli esponenti ( .À" + I) dello sviluppo in serie (20.63). Più precisamente, dalla (20.75.a) si otlengono gli autovalori del problema simmetrico, mentre dalla (20.75 .b) si oltengono gli aulovalori del problema anlisimmelrico. I termini degli sviluppi in serie (20.64) risultano finiti o infinitesimi per r--+ o+, qualora l'autovalore corrispondente soddisfi la disequazione: (20 .76) Peraltro, l'energia di deformazione contenuta in un intorno infinitesimo di raggio R dell'.apice del seuore, è infinita se:

(20 .77) Si ha infaui: (20.78)

375

20 La meccanica della frattura

s in 2 Àu 2 ).

(I

o

2R

2 ).a

Figura 20.16

e l'integrale risulta divergcnle per (2).n - 1) ~ -1. Pertanto, per l'analisi della singolarità dominante del campo Lensionalc al vertice del scuore, sono di interesse solo gli auLOvalori compresi ncll' inLcrvallo:

(20 79) Le equazioni agli autovalori (20.75) possono essere riscritte nella forma che segue: ( 20 .80)

con O~ 2a ~ 21r . Dal punto di visi.a grafico, le equazioni (20.80) possono essere risolte piuttosto agilmente, intersecando la funzione oscillante y = sin 2 >.a/2 ).a con le rette orizzontali y = =f sin 2 a/2 a . Si possono così distinguere quattro casi principali (fig. 20.16). (1) O ~ 2a ~ 1r (angolo convesso o cuneo). li primo autovalore del problema simmetrico ). 1 non esiste oppure è ). 1 ~ 1 . Il primo autovalore del problema anùsimmetrico è >-u = I . Non vi è quindi alcuna singolarità tensionale nel caso in cui il settore clastico sia convesso. (2) 1r < 2 a ~ I .431r (angolo concavo ottuso). li primo autovalore del problema simmetrico è ). 1 < 1 , mentre si ha ancora ). JJ = I . Vi è quindi soltanto una singolarità tensionale simmetrica. (3) 1.431r < 2 a < 21r (angolo concavo aculo). l primi auLOvalori , sia del problema simmetrico che di quello antisimmetrico, sono entrambi minori di uno: ). 1 < 1, ). 11 < l . Si hanno quindi entrambe le singolarità tensionali, simmetrica ed antisimmetrica, seppure quella simmetrica risulù di ordine superiore. (4) 2 a = 2 1r (angolo concavo nullo o fessura) . In questo caso si ha: >,. 1 = >,. u = ½. Solo nel caso di angolo concavo nullo (oltre a quello di angolo piallo), il primo autovalore è seguito da una infinità numerabile di altri autovalori: 376

20 La meccanica della frattura

-~

"' o.5r - - - - o g'

0 .4

~

.!2

0 .3

ai "O ,o

0 .2

N

e C1J

oa.

0 .1

)' O. O ' - - - - ' - - - - - " ' - -- - - ' -ll ll O

4

-

- - '- -- - ll

2

Figura 20.17

(20.81) o, equivalentemente: (20 .82)

n = numero naturale .

La potenza della singolarità tensionale simmetrica è rappresentata in fig. 20.17, in funzione dell'angolo "I d'apertura dell'intaglio. Per "I = O , l'intaglio a V diventa una fessura, e si ritrova infatti la classica singolarità r- 1/ 2 • AIl 'aumentare di "I si ha una transizione, che, sino a "I ~ f , è molto lenta, ma che poi, tra f e '1T , subisce una forte accelerazione. Ovviamente, quando "I = 1r, l'intaglio scompare cosl come svanisce la singolarità del campo tensionale. Quando invece l'angolo rientrante è retto, "I = f , si ha la potenza ( 1 - À 1 ) ~ O.4 5 .

20.6. RELAZIONE TRA ENERGIA DI FRATTURA ~JC E VALORE CRITICO K 10 DEL FATTORE DI INTENSIFICAZIONE DEGLI SFORZI

Il criterio di Griffith, trattato al Paragrafo 20.2, rappresenta il primo criterio energetico di meccanica della frattura. Negli anni che seguirono, tra il 1920 e il 1950, gli sforzi dei Ricercatori furono tutti tesi, come si è visto nei precedenti paragrafi, alla definizione del campo tensionale singolare nell'intorno dell'estremità della fessura. Fu soltanto nel 1957 che Irwin pose in diretta correlazione le due diverse trattazioni: quella energetica, di Griffith, e quella tensionale, di Muskhelishvili, Westergaard e Williams. Per quanto rigua;da un criterio energetico più generale di quello di Griffith, che faceva riferimento ad una particolare geometria (lastra infinita con fessura rettilinea,

377

20 La meccanica della frattura

_L

fdo =

==

2(a + da ) 1-------j

~~ a

1----l

~

t

~

~

-i(a)

tI F

(bl

F

F = costante

(C)

Figura 20.18

sottoposta a stato tensionale unifonne all'infinito) e ad un processo di carico a deformazione controllata, si vedrà come il concetto di energia potenziale totale consenta di definire un criterio indipendente dal controllo effettuato sul processo di carico. Si consideri un processo di carico a tona imposta su una lastra con fessura iniziale di lunghezza 2 a (fig. 20. 18.a). Per un certo valore critico della forza F si asswna che la fessura si estenda della lunghezza 2 da (fig. 20.18.b), così da produrre un incremento di cedevolezza dC e quindi uno spostamento incrementale di ciascuna estremità della lastra pari a (fig. 20.18.c): (20 .83)

dli== FdC.

La variazione dell'energia potenziale totale dovuta alla propagazione infinitesima della fessura è: (20 .84)

378

dW == dL - 2Fd8,

20 La meccanica della frattura

~

=

=

2a

2 (a

+ da)

f----f

f--l

~~ +F+dF (b)

F

o ~ costa nt e dF

. -~71 / I / I I I I

F = ~ lì

I I I

oI L - - - - - ' - - ~ - - --

-

(e l

Figura 20.19

ove con dL si è indicata la variazione dell 'energia elastica di defonnazione e il secondo addendo rappresenta la variazione dell'energia potenziale dei carichi esterni. Per il Teorema di Clapcyron e valutando graficamente l'area ombrata del triangolo di fig. 20.18.c, si ha: (20 .85) e quindi, applicando la (20.83): (20 .86)

dL = F 2 dG.

In conclusione si ottiene pertanto una diminuzione dell'energia potenziale totale: ( 20 .87)

dW= -F2 dG. 379

20 La meccanica della frattura

Si consideri ora un pro~esso di carico a spostamento imposto sulla lastra già precedentemente considerata (fig. 20. 19.a). Per un certo valore critico dello spostamento 8 si assuma che la fessura si estenda della lunghezza 2 da (fig. 20.19.b), cosl da produrre un decremento di rigidezza dK e quindi un decremento della forza esterna pari a (fig. 20.19.c):

dF = 8dK.

(20 .88)

La variazione dell'energia potenziale totale, dovuta alla propagazione infinitesima della fessura, in questo secondo caso risulta pari alla variazione dell'energia elastica di deformazione, poiché i carichi esterni per ipotesi non compiono lavoro incrementale: (20 .89)

dW = dL.

Per il Teorema di Clapeyron e valutando graficamente l'area omb::ata del triangolo di fig. 20.19 .c, si ha: (20 .90) e quindi, applicando la (20.88): (20.91)

dW = 82 dK.

Poiché la rigidezza è l'inverso della cedevolezza, si ha: (20 .92)

dK = d

1 = -dC. 2

(_!__) e

c

Inserendo la (20.92) nella (20.91), si ottiene: (20 .93)

82

dW = -

cz

dC,

e infine, poiché 8/C = F. si otùene nuovamente l'espressione (20.87). Il calcolo differenziale mostra in sostanza come la differenza tra le aree dei due triangoli ombrati delle figure 20.18.c e 20.19.c, costituisca un infinitesimo di ordine superiore rispetto alle aree dei triangoli stessi. Si è pertanto dimostrato come l'energia potenziale totale diminuisca sempre della stessa quantità F 2 dC • in seguito ad una estensione infinitesima della fessura, indipendentemente dal controllo effettuato sul processo di carico. Per il Principio di Conservazione dell'Energia deve valere il seguente bilancio tra la variazione dell'energia potenziale totale e l'energia di frattura: (20 .94) 380

dW + 4,yda

= O,

20 La meccanica della frattura

ove ì = ':FTc/2 è l'energia superficiale specifica, l'energia necessaria, cioè, a rompere i legami chimici e atomici che conneuono due superfici unitarie e contigue della materia. La (20.94) rappresenta la_fonnulazione più generale del criterio di Griffilh (20.3). Considerando anche propagazioni virtuali, e non solo reali, della fessura, si definisce il concetto di foa,a generalizz:at;J di propagazione della fessura :FT (in inglese: strain energy rele.ase rate):

(20 .95)

dW + :9'1 dA = O,

ove dA rappresenta la superficie incrementale di frattura. Il parametro ':F1 si definisce quindi come l'energia potenziale totale rilasciata per incremento unilariò dell'area di frauura : (20 .96)

dW

:FI = -dA' -

e risulta essere una quantità positiva, rappresentando dW in ogni caso un decremento. La propagazione fragile della fessura avviene re.a/mente allorché :9'1 uguagli il suo valore critico: (20.97 .a) Poiché il campo tcnsionale nelle vicinanze dell 'estremità della fessura è univocamente definito dal fattore K 1 , è lecito peraltro assumere che la propagazione instabile della fessura avvenga allorché esso raggiunga il suo valore critico: (20.97.b)

È evidente quindi come i due criteri di frattura, quello energetico (20.97 .a) e quello tensionale (20.97.b), abbiano un 'origine del tutto diversa. I due valori critici, :9'10 della variazione di energia potenziale totale (energia di frattura), e K I C del fattore di intensificazione degli sforzi, non sono tuttavia indipendenti ma sono legati da una relazione fondamentale, che verrà qui di seguito ricavata. Un primo semplice modo di ottenere la relazione che lega :9'10 e K 10 , è quello di considerare il caso della lastra fessurata infinita, caricata all'infinito da uno stato tensionale unifonne. Secondo Griffilh la condizione di instabilità è fornita dalla (20.6), mentre secondo Irwin e tenendo conto della (20.39), essa è: (20 .98)

a

K > --1.Q.

- Fa

.

Poiché le condizioni (20.6) e (20.98) riguardano lo stesso problema fisico e presentano entrambe la semilunghezza a della fessura elevata all'esponente -1 /2 , è immediato ottenere: 381

20 La mecClnica della frattura

K1c = ✓':F1cE ·

(20 .99)

Si può cosl constatare come K IC e ;F1c siano in relazione tramite il modulo elastico E del materiale. Si è dimostrato infatti nel Capitolo 19 come i campi tensionali piani non dipendano da E. N1! segue quindi l'indipendenza del fattore K 1 dal modulo elastico E , oltre che dal coefficiente di Poisson 1.1 • Se si ragiona invece in tennini energetici, e quindi di energia di frattura, l'influenza di E risulta manifesta. La relazione (20.99) riguarda i valori critici del fattore di intensificazione degli sforzi e della forza generalizzata di propagazione della fessura. Essa può comunque essere estesa anche ai valori generici di questi due parametri, tramite una dimostrazione dovuta a Irwin. Si consideri una lastra piana fessurata, soggetta ad uno stato tensionale piano ed a spostamenti imposti sul suo contorno esterno (fixed grip condition ). Sia a la lunghezz.a della fessura e L\a l'estensione del segmento dell'asse X su cui si considerano noti gli sforzi a v (fig. 20.20.a). Si consideri quindi una estensione virtuale della fessura, in modo che essa presenti la lunghezza incrementata a+ .1 a (fig. 20.20.b). Siano v gli spostamenti venicali delle facce della fessura in questa nuova configurazione, supposti noti sul medesimo segmento di estensione .1 a . Se si assume che l'estf:nsione 60 sia talmente piccola che su di essa valgano i campi asintotici di tensione e spostamento di Westergaard, e si applica il Teorema di Clapeyron al fenomeno di lichiusura della fessura (dallo schema ballo schema a di fig. 20.20), si ha la seguente variazione di energia potenziale totale:

(20 .100) con: (20.101)

a = a ( 11 = O) = Il

II

K1 y'21r(6a - r) '

dalla (20.34.b), e:

(20 .102)

2 )112 K v==v(1'=1r)=2; jrl/2, (

dalla (20.48.a). Inserendo le (20.101) e (20.102) nell'integrale (20.100) si ha:

(20 .103)

K216.o (

2 .1 vV = - 1r

1

E

o

r

---

L\a - r

e risolvendo l'integrale risulta: (20.104)

382

K2 1 .1W=E .1a .

) 1/2

dr

'

20 La meccanica della frattura

( a)

a

Ja

y

(bl

Figura 20.20

D'altra parte, dalla (20.95) si ha: (20 .105) omettendo il segno algebrico negativo, poiché il processo di richiusura della fessura è esattamente l'inverso di quello sinora considerato. Il confronto tra le relazioni (20.104) e (20.105) fornisce infine la generalizzazione della (20.99): (20.106.a) che vale per gli stati tensionali piani. Per gli stati deformativi piani, non è difficile dimostrare, tramite una revisione della posizione (20.43), che vale invece la seguente relazione: (20.106.b)

;F = I

K2

_I

E

(l -v2}

. 383

20 La mece2nica della rrattura

Una verifica della coerenza delle fonnule (20. 106) è offerta dall'analisi dimensionale:

(20 .107)

La dimensione fisica dell'energia di frattura corrisponde infatti a quella di un lavoro per unità cli superficie, ovvero di una forza per unità di lunghezut. Nel caso della condizione di Modo Misto (Modo I + Modo II) è possibile estrapolare le precedenti argomentazioni:

(20.I08.a) (20.108.b) Sviluppando i calcoli si ot.tiene:

(20.109) In questo caso ~ rappresenta la variazione dcli' energia potenziale totale per estensione virtuale della fessura. Infatti, quando è sollecitata in Modo Misto, una fessura non si estende collineannente a se stessa. In realtà, come si vedrà nel prossimo paragrafo, essa si dirama (fig. 20.21).

Figura 20.21 384

20 La meccanica della frattura

20.7. CRITERIO DI DIRAMAZIONE DELLA FESSURA IN CONDIZIONI DI

MODO MISTO Come si è già accennato nel precedente paragrafo, il criterio energetico di Griffith si applica coerentemente soltanto nel ca~o di propagazione collincare della fessura, e cioè nel caso di Modo I. Esso non può essere convenientemente applicato a situazioni in cui la fessura si dirama e cambia direzione, una volta sottoposta a condizioni biassiali di carico. Tali condizioni producono una sovrapposizione dei Modi I e II, che è convenzionalmente detta Modo Misto. Si tratterà quindi di detcnninarc tutte le coppie di valori K 1 e Ku che provocano la crisi nell'intorno dell'estremità della fessura e quindi la propagazione di quest'ultima. Il primo criterio di diramazione, in ordine cronologico, è quello della massima tensione circonfercnziale, proposto da Erdogan e Sih nel 1963. Esso è basato sull'ipotesi che la fessura si estenda a partire dalla sua estremità, nella direzione normale a quella della massima tensione circonfcrenziale Essendo le tensioni nell'intorno dell'estremità esprimibili come prodotti di una funzione radiale per una funzione angolare, la suddetta direzione non dipende dal raggio r della circonferenza su cui si valuta il massimo della tensione Traducendo le espressioni (20.34) e (20.55) in coordinate polari, e sommando i relativi risultati si ottiene:

a,, .

a,, .

(20.110.a) a, = (

2

7T:) 112 cos

f [K

1 (

l + sin

2

f)

+ K li

(

½sin 19 -

2 tan

f)] ,

19[ K cos 219 3 . ] cos---KusmtJ, 1 2 2 2 . 1 19 (20.1 IO.e) r,,, = cos - [K 1 sin 19 + Ku(3 cos 19 - I)] 2(27TT) 112 2 (20.110.b) a,,=

1

(21rr) 112

L'angolo 19 di diramazione si ottiene dalla condizione di stazionarietà: 3 19 [K 1 sin 19 + K 11 (3 cos 19 - 1)] cos - = fHJ - - 4(27TT) 112 2

Ba,, (20 .111)

3

= -2T'" = O, la quale può essere soddisfatta ponendo cos 19 /2 = O, che corrisponde alla condizione di superficie a tensione tangenziale nulla ( r,,, = O) per 19 = ±1r, oppure: (20 .112)

K 1 sin19+ Ku(3cost9- l)

= O,

che fornisce l'angolo di diramazione della fessura. Per una fessura di lunghezza 2 a , soggetta ad uno stato tensionale biassiale generico all'infinito (fig. 20.22), i fattori di intensità delle tensioni sono: (20.113.a)

K 1 = ap..fira.,

(20.113.b)

385

20 La meccanica della frattura

!!!!!

[J] Figura 20.22

essendo crfJ e Tp rispettivamente la tensione noi:male e tangenziale relative alla linea di fessura, agenti all'infinito. Le usuali relazioni di Mohr conducono alle seguenti espressioni: (20.114.a)

K1

= (

cr +cr2

_ l-2-

+

cr -cr2 ) l 2 cos 2/3

v',ro,

(20.114.b) essendo cr 1 , cr 2 , le tensioni principali all'infinito, e /3 l'angolo di inclinazione della fessura (fig. 20.22). Se con m si indica il rapporto cr 1 /cr 2 , le equazioni (20.114) possono riproporsi nella foITPa che segue: (20.115.a) K 1 = cr 2 v',ro [m + ( l - m) sin 2 /3). (20.115.b)

K 11 = cr 2y'no ( l - m) sin

/3 cos /3.

Le equazioni (20.112) e (20.115) portano ad una condizione che mette in relazione l'angolo di diramazione, {), con l'angolo di inclinazione, f3: (20 .116)

[m+ (1 - m) sin 2 /3] sin{)+

[½(I -m) sin 2/3]

(3 cos {}-1) = O.

r

L'equazione (20.116) è equivalente alla seguente: 2(1 -- m) sin 2/3 ( tan (20 .117)

f

-2 [m + ( l - m) sin 2 /3] ( tan

386

f) -(

1 - m) sin 2{3 =O.

20 La mcc:canlca della frattura

90° ~

m=O.O 75°

I

w

15

60°

N

~ ~

~ 45°

o o o_j o

300

l'.)

~ 15°

ANGOLO DI INCLINAZIONE DELLA FESSURA, /3

Figura 20.23

La soluzione è rappresentata in fig. 20.23, per diversi rapporti m . Se m = l (tensione uniforme all'infinito), si ha sempre rJ = O , e l'estensione della fessura è co_llineare per simmetria. D'altra parte, se m = O (tensione uniassiale · all'infinito), si verifica una discontinuità per f3 = O . Infatti è: (20.118.a) per simmetria, mentre invece: (20.118.b)

lim rJ(m = 0,{3) ~ 70° . /3-0 •

Se quindi m è piccolo ma diverso da zero, la discontinuità sparisce e viene sostituita da una rapida variazione, rappresentata da un ramo molto ripido in fig . 20.23. Da un punto di vista matematico, questo è un caso di non-uniforme convergen:za della funzione rJ( m, {3) in f3 = O per m -+ O+ . Mentre l'equazione (20.111) definisce la direzione della massima tensione circonferenziale, la condizione di crisi biassiale è ottenibile dal confronto con il caso di semplice Modo I: (20 .119) Introducendo i fattori adimensionali: 387

20 I.a mcc,:anka della frattura

K; = K/K 1c

1.0

~,

K~ = K1/K1 c

0.8 •= ~

0.6

o o o 0.4 ~ 0.2

Maximum Stress Criterion

O.O

o.o

0.6

0.4

0.2

0.8

1.0

M ODO I , K~

Figura 20.24

(20 .120) le condizioni di diramazione (20.111) e (20.119) possono esprimersi come segue: K; sin ,J + K;i(3 cos ,J - 1) =O ,

(20.121.a) (20.121.b)

•

2

,J

3

2

2

• .

K 1 cos - - - K II sm

'

.a v

l = --.0 V cos

•

2

Al variare dell'angolo ,J, vengono cosl definiti in forma parametrica tuui i punti del dominio di crisi. Thli punti sono simmetrici rispetto all'asse Kj e validi soltanto nel semipiano Ki z O (fig. 20.24).

20.8. ZONA PLASTICA ALL'ESTREMITA' DELLA FESSURA Le componenti di tensione nell ' intorno della estremità di una fessura reale presentano un andamento radiale r - 112 . soltanto oltre una certa distanz.a da tale punto singolare. Per distanze inferiori, si verificano fenomeni plastici che rendono le tensioni inferiori a quelle teoricamente previste. Si crea così una zona plastica attorno all'estremità della fessura, che risulta essere tanto più estesa quanto più è duttile il materiale. In prima approssimazione, essendo di fronte all'estremità della fessura (fig. 20.6): (20 .122)

388

K1

a"=~'

20 La mcecanica della frattura

si ha che il raggio 20.25):

rp

della zona plastica può essere stimalo tmmite l'equazione (fig.

(20 .123) ove a P è la tensione di snervamento del materiale. All'atto della propagazione della fessura si ottiene quindi la seguente stima: (20.124)

Tpc=

l Kfc -2 - 2 - . 7r

(J p

Come si comprenderà meglio in seguito, il rapporto K ICI a P rappresenta pertanto una misura della duttilità del materiale. In realtà, come osservò Irwin ( l 960), la relazione (20. 124) fornisce soltanto l'ordine di grandezza del raggio plastico. Una valutazione più accurata può ricavarsi considerando la ridistribuzione delle tensioni, elastiche e plastiche, che si sviluppano di fronte alla fessura. Si tratta cioè di traslare lungo l'asse r la distribuzione tensionale singolare di fig. 20.25, in modo che l'integrale delle tensioni clastiche e plastiche risulti uguale all'integrale della sopraddetta distribuzione. Dal punto di vista grafico, perciò, le aree tratteggiate di fig. 20.25 devono risultare uguali. L'integrale della distribuzione tcnsionale singolare, tra l'estremità della fessura e il raggio plastico r P , vale:

(20 .125)

"y

I· r ·I· r ·I ap = 2rp P

P

Figura 20.25

389

20 La mecCllnlca della frattura

Ricavando K 1 dalla (20.123) e inserendolo nella (20.125) si oLticnc: ( 20 .126) Dalla relazione (20.126) si deduce che l'arca trallcggiat.a di sinistra (fig. 20.25) è pari alt' arca del rcuangolo di tali a P, r P • Anche l'arca traucggiala di destra, oltenuta con una traslazione pari a rp, è uguale a quella del relt.angolo, poiché cnLmmbc complementari della slcssa area. In dcliniLiva si oltiene la segucnLc cslensionc della zona plastica all'alto della crisi, secondo la valut.azionc di lrwin: (20 .127) ovvero, considernndo la (20.124): ( 20 .128)

Opc

I Kfc

= - -2- · 7r

ap

Una frauura può definirsi fragile quando la zona plaslica è molLO più piccola della fessura iniziale e del solido che la conliene: (20.129.a) (20. 129.b) ove con h si è indicala una dimensione caraucrislica del solido fessuralo in esame. Dalle (20.129) e Lenendo conlo della (20.128), si ouengono le seguenli limiLazioni, in forma adimensionale: (20.130.a) (20.130.b) Mentre la (20.130.a) può banalmenLe ouenersi dalla condizione: (20 .131) una voli.a tenuto conLO della relazione (20.39) e del grafico di fig. 20.5, la (20.130.b) è assai significaliva ai fini struuurali, e verrà ripresa nel pamgrnfo segucme. Una differente valutazione dell'estensione della zona plastica è dovula a Dugdale (1960), cd è basata sulla simulazione delle Lcnsioni plastiche tramite una distribuzione costante di forze, diretlamente applicale alle facce di una fessura fiUiziamcnle più lunga di quella reale (fig . 20.26). La condizione da applicare è quella di annullamento del fatLOre totale di inlensificazione degli sforzi: (20.132)

390

20 La mc(.-canica della frattura

r

F

B

L

F

I•

a -~ a

·I

Figura 27

Figura 20.26

ove il primo termine è quello relativo alle sollecitazioni applicate all'infinito, mentre il secondo rappresenta l'intensificazione dovuta alle tensioni di richiusura a P , applicate ortogonalmente alle facce della fessura, a distanze dalle estremità minori o uguali ad a p (fig. 20.26). Poiché due forze concentrate P , applicate ortogonalmente alle facce della fessura, a distanza x dal centro, provocano nelle due estremità, rispettivamente vicina e lontana, i seguenti fattori di intensificazione (fig. 20.27): (20.133 .a)

K(A)=__!_ ✓ a+x, I Fa a-x

(20.133 .b)

K ( B) = __!_ ~ ,

FaV~

I

essendo 2 a la lunghezza della fessura, se si integrano gli effetti delle tensioni plastiche a P (fig. 20.26) si ha: (20 .134) -Kr(ap)

= --;:.=a=p==1a+ap Jw(a + ap)

a

[

(a+ap)+x __ .....,____ + (a+ap)-x

(a+ap)-x] dx . (a+ap)+x

Eseguendo l'integrale si ottiene: (20 . 135) mentre il fattore relativo alla tensione esterna a vale: (20 .136) Introducendo le (20.135) e (20.136) nella condizione (20.132) si ha: 391

20 La meccanica d1.>Jla frattun a

1ra

- - - = cos - - . a+ap 2ap

(20 .137)

I casi -limite di tensione esterna nulla, oppure uguale alla tensione di snervamento a P , producono coerentemente, secondo il modello di Dugdale, rispettivamente una zona plastica nulla (ap = 0), oppure uno snervamento generale (ap-, oo) . Trascurando i termini di ordine superiore nello sviluppo in serie del coseno, la relazione (20. 137) si trasforma come segue: (20 .138)

a

---=

da cui si Oltiene: (20 . 139)

a

_ _P_

a+ap

=

7r2a2 --2- ,

8ap

Inserendo la (20.136) nella precedente equazione si ricava infine: (20 . 140)

a p--

7r K2

I --2 ' 8 ap

L'estensione della zona plastica al
'atto della crisi secondo la valutazione di Dugdale è pertanto: (20 .141)

Anche in questo caso nella stima di ape è presente il rapporto di duttilità del materiale KJC/ap . Il confronto tra le estensioni plastiche secondo lrwin, cq. (20.128), e secondo Dugdale, eq. (20.141), mostra come i due modelli, seppure notevolmente differenti, conducano a stime del tutto simili. L'estensione plastica secondo Dugdale è superiore rispetto

a quella secondo lrwin di circa il 20%: (20,142)

a pç( Dugdale) apc(Jrwin) =

1r

2

8

'.è:'.

1.

23

·

20.9. EFFETTI DIMENSIONALI E TRANSIZIONE DUTTILE-FRAGILE Un primo effetto dimensionale è già stato considerato al Paragrafo 20.2, ed è quello relativo alla lunghezza della fessura. Come risulta evidente dalla fig . 20.5, per semilunghezze della fessura superiori ad a 0 , ove a 0 è una lunghezza caratteristica fornita dalla (20.7) , il collasso per propagazione fragile della fessura precede il collasso plastico della lastra. Per a < a 0 , invece, il collasso plastico della lastra precede il collasso per propagazione fragile della fessura. Ricordando la relazione fondamentale (20.99) 392

20 La meccanica della frattura

che lega :F1c e K IC , la lunghezza caratteristica (20.7) può essere espressa anche in funzione di K JC : (20.143)

- l Kfc

0o

- --2-· 7r

Up

Le limitazioni (20.130) assumono quindi l'aspetto:

(20.144.a) (20.144.b) Un secondo effetto dimensionale, che deriva direttamente dal primo appena considerato, è quello relativo alle dimensioni del solido fessurato, una volta che si assumano rapporti costanti tra lunghezza della fessura e dimensioni caratteristiche del solido. Nel caso delle lastre geometricamente simili di fig. 20.28, la tensione di collasso risulterà essere una funzione soltanto della semilunghezza della fessura, allorché le lastre siano sufficientemente grandi da poter trascurare gli effetti del bordo libero: (20.145.a)

a= KIQ

(20.145.b)

U

Fa'

= Up,

per

a< a 0 .

Poiché peraltro, in virtù della supposta similitudine geometrica, la semilunghezza a è proporzionale alla dimensione caratteristica h della lastra: a= çh,

(20 .146)

ove ç è la lunghezza relativa della fessura, le (20.145) si possono riproporre nella forma: (20.147.a)

(1

K = -1.Q_

per

(20.147 .b)

u

= up,

per

v'ir[Fi '

ao hzT, h