Physica status solidi: Volume 8, Number 3 March 1 [Reprint 2021 ed.] 9783112497029, 9783112497012

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plxysica status solidi

VOLUME 8 . N U M B E R 3 • 1965

Contents

Eeview Article H.

WOHN

Page Zum gegenwärtigen Stand der Theorie der Supraleitung . . . .

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Original Papers W . E . SPEAR a n d G . W . BRADBERRY

The Edge Emission in CdS Crystals

649

A . TRUTIA a n d M . MUSA

Absorption Spectra of Solid (Polycrystalline) and Liquid (Melt) Compounds of Bivalent Cobalt

663

V . V . GALAVANOV, D . N . N A S L E D O V u n d A . S . F I L I P C H E N K O

Zur Beweglichkeit der Stromträger in Indiumantimonidkristallen

671

A . DEGUIN e t G . MESNARD

Mesure de la permittivité comlexe du titanate de baryum entre 100 et 1000 MHz sous champ statique

681

B.H. KameeB

KTepMoaHHaMHKeraft3eH6eproBCKoro$eppoMarHeTHKa(II)

687

H . HESSE

Über die Beobachtung einer Korngrenzenwanderung auf der Wolframkathode im Feldelektronenmikroskop

695

0 . BRUMMER, W . SCIIÜLKE u n d H . B Ö H N E L

Untersuchung der Verteilung von Versetzungen in plastisch deformierten Cu-Einkristallen mit Gitterquellen-Interferenzen (Kossel-Interferenzen)

701

J . L . KOLOPUS a n d L . V . HOLROYD

Higher Order Transitions in the E P R Spectrum of Fe 3 + in MgO

K . H . HERRMANN, R . LINK u n d W . - D .

711

RENTSCH

Thermische Akzeptoren in einkristallinem Tellur

719

CH. SCHWINK u n d D . KNOPPIK

Experimentelle Untersuchungen zum plastischen Verhalten von vielkristallinem Nickel

729

Thermomagnetic Phenomena in Cubic Semiconductors Possessing Nonparabolic Energy Bands

739

B . H . r i H H e c H H . M. T y M e H MarHHTOCTpHKIJHH HHKCJIb-KOÖaJlbTOBHX = j/a/m (a Federkonstante, m Masse) gilt für die Frequenzen der Gitterschwingungen co ~ y'l/M. Dies führt in der Theorie von Fröhlich zu einem Isotopeneffekt: Die kritische Temperatur Tc hängt von der Isotopenmasse M ab:

Tc ~ M-1/2 .

(9)

Ein solcher Isotopeneffekt konnte kurze Zeit später experimentell von Maxwell [24] und von Reynolds et al. [25] bestätigt werden. Die Theorie von Fröhlich konnte zwar die Eigenschaften der Supraleiter nicht widerspruchsfrei erklären, aber die Grundidee, daß die Supraleitung durch die Elektronen-Phononen-Wechselwirkung bewirkt wird, schien richtig zu sein. Im Jahre 1957 wurde von Bardeen, Cooper und Schrieffer eine mikroskopische Theorie der Supraleitung angegeben (BCS-Theorie), die ebenfalls von dieser Grundidee ausgeht [26], Auch die BCS-Theorie führt zu einem Isotopeneffekt. Sie liefert darüber hinaus viele Eigenschaften der Supraleiter in recht guter quantitativer Übereinstimmung mit den Experimenten. Man könnte daher denken, die Supraleitung sei schlechthin durch die Elektronen-Phononen-Wechselwirkung verursacht. Nun fanden aber Matthias et al., daß sich in den Übergangselementen Osmium und Ruthenium kein Isotopeneffekt nachweisen läßt [27]. Es wurde daher angenommen, daß in den Übergangselementen neben der Elektronen-Phononen-Wechselwirkung noch

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H. WONN

eine andere Wechselwirkung als Ursache für die Supraleitung mit berücksichtigt werden muß. Matthias vermutete, daß es sich hierbei um eine magnetische SpinAustauschwechselwirkung handelt [13]. Andere Autoren nehmen an, daß bei den Übergangselementen eine Austauschwechselwirkung zwischen den Leitfähigkeitselektronen und den Elektronen innerer, nicht voll besetzter Schalen die Supraleitung bewirkt bzw. beeinflußt [28, 29, 30]. Mit Hilfe der Thermodynamik läßt sich aus dem kritischen Magnetfeld Hc die Differenz der Energien zwischen dem normalleiienden (En)- und dem supraleitenden (i? s )-Zustand berechnen: E

n

-E

S

^^H*

C

V .

(10)

V ist das Volumen des (kompakten) Supraleiters. Bei T = 0 entfällt dabei auf jedes Leitungselektron größenordnungsmäßig (En — Es)/N « 10" 8 eV. Diese Energie ist sehr klein. Das wird deutlich, wenn man sie mit der Fermienergie (etwa 10 eV) oder mit der Korrelationsenergie (etwa 1 eV) vergleicht. Beim Übergang normalleitend — supraleitend ändert sich also die Energie nur wenig, aber die physikalischen Eigenschaften des Supraleiters verändern sich sehr auffallend. Beides wird verständlich, wenn man folgendes annimmt: 1. Nur die Elektronen einer dünnen Schicht unter der Fermioberfläche werden beim Übergang normalleitend — supraleitend beeinflußt. Die Dicke dieser Schicht ist etwa As « k Tc tu 10" 4 eV. 2. Nur diese Elektronen tragen im Mittel die Energie Ae « k Tc zu En — Es bei. Damit ist also nur der 10" 4 te Teil der Leitungselektronen an der Supraleitung „beteiligt", und es ist klar, daß sich die Energie beim Übergang normalleitend — supraleitend nur wenig ändern wird. Dennoch können sich die physikalischen Eigenschaften des Supraleiters wesentlich ändern, weil die Beeinflussung der Elektronen an der Fermioberfläche stattfindet. 3. Die Cooper-Paare In einem Supraleiter, wie auch allgemein in einem Metall, wirken zwischen den Leitungselektronen zwei verschiedene Wechselwirkungen: die abstoßende Coulombwechselwirkung und die Elektronen-Phononen-Wechselwirkung. Die ElektronenPhononen-Wechselwirkung ist geschwindigkeitsabhängig. Sie wird anziehend, wenn die Impulse der Elektronen dicht bei der Fermioberfläche liegen. Ein Metall kann nun supraleitend werden, wenn die aus Coulombwechselwirkung und Elektronen-Phononen-Wechselwirkung resultierende Gesamtwechselwirkung anziehend ist. Aus dieser Forderung läßt sich ein Kriterium für das Auftreten der Supraleitung gewinnen [31]. Das eben Festgestellte gilt für NichtÜbergangselemente. Für die Übergangselemente liegen die Verhältnisse nicht so klar. Aber auch bei diesen Elementen müßte für Supraleiter die resultierende Gesamtwechselwirkung, die zwischen den Leitungselektronen wirkt, anziehend sein. Denn nur bei einer effektiv anziehenden Wechselwirkung kann das Auftreten eines Energiesprunges im Anregungsspektrum erklärt werden. Wegen dieser anziehenden mittleren Wechselwirkung muß das Elektronensystem des Leitfähigkeitsbandes gebundene Zustände besitzen. Um diese Zustände zu untersuchen, wurde von Cooper das folgende Problem behandelt [32]: Die Elektronen des Leitfähigkeitsbandes besetzen eine Fermikugel. Außerdem befinden sich außerhalb der Fermikugel zwei weitere Elektronen. Zwischen ihnen wirkt die resultierende anziehende Gesamtwechselwirkung. Dieses Modellproblem

Zum gegenwärtigen Stand der Theorie der Supraleitung

&

Fig. 7. Bindungsenergie eines Cooper-Paares in Abhängigkeit vom Gesamtimpuls

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tn\

Fig. 8. Aus der BCS-Theorie folgende Temperaturabhängigkeit des Energiesprunges

ist exakt lösbar. Die beiden Elektronen besitzen einen gebundenen Zustand u n d ein K o n t i n u u m freier Zustände. Der Bindungszustand t r i t t nur bei antiparallelen Spins auf. E r ist ein Singulettzustand. Die zugehörige Bindungsenergie A ist vom Gesamtimpuls P = pt + p2 der beiden Elektronen abhängig. Wie in Fig. 7 dargestellt, gibt es nur f ü r P fa 0 eine merkliche Bindungsenergie. F ü r größere Gesamtimpulse geht A(P) rasch gegen Null. Die „festeste" Bindung t r i t t also auf, wenn der Gesamtimpuls der beiden Elektronen verschwindet. Zwei derartig gebundene Elektronen werden als Cooper-Paar bezeichnet. Wie sich das gesamte System der Leitfähigkeitselektronen unter dem Einfluß der aus Coulombwechselwirkung u n d Elektronen-Phononen-Wechselwirkung resultierenden mittleren Wechselwirkung verhält, wurde in der BCS-Theorie untersucht [26]. I m normalleitenden Zustand besetzen die Elektronen des Leitfähigkeitsbandes bei T = 0 °K eine Fermikugel. I m supraleitenden Zustand sind die Elektronen in der Nähe der Fermioberflache in Cooper-Paaren gebunden. Dies macht sich so bemerkbar, daß die Wellenfunktion des supraleitenden Grundzustandes eine Linearkombination von solchen Konfigurationen ist, in denen die Elektronenzustände pf u n d — p \ entweder beide besetzt oder beide leer sind (siehe Fig. I I a ) . Die Wellenfunktionen f ü r angeregte supraleitende Zustände sind ebenfalls Linearkombinationen von solchen Elektronenzuständen, wobei aber bestimmte „ P a a r e " ausgelassen werden und die Elektronenzustände nur jeweils einzeln besetzt sind; z. B. sind die Zustände p' f u n d — p " \ besetzt u n d die Zustände — p\und p" -f leer. Diese angeregten Zustände sind dadurch gekennzeichnet, daß ein bestimmtes Cooper-Paar „aufgebrochen" ist. Beim Aufbrechen eines Cooper-Paares m u ß die Bindungsenergie A aufgebracht werden. Dies f ü h r t dazu, daß im Anregungsspektrum der Elektronen ein Energiesprung vorhanden ist. I n der BCS-Theorie wird das Verhalten des Systems der Leitungselektronen nicht nur für T = 0 °K, sondern auch für endliche Temperaturen untersucht. Dabei zeigt sich, daß der Energiesprung (d. h. die mittlere Bindungsenergie der Cooper-Paare) von der Temperatur abhängt. A (T) wird mit zunehmender Temper a t u r kleiner u n d verschwindet bei der kritischen Temperatur Tc (siehe Fig. 8). Die BCS-Theorie liefert weiter die Größe u n d die Temperaturabhängigkeit des kritischen Magnetfeldes He u n d der Wärmekapazität Ce. Die Übereinstimmung mit den experimentell gefundenen Beziehungen (1) bzw. (4) ist gut. Auch die elektrodynamischen Eigenschaften der Supraleiter lassen sich aus der BCS-Theorie erhalten. Bardeen, Cooper u n d Schrieffer k o n n t e n zeigen, daß zwischen dem Strom u n d den elektromagnetischen Feldgrößen ein ähnlicher Zusammenhang besteht wie in der phänomenologischen Theorie von Pippard [19]. Die mit Hilfe der BCS-Theorie erhaltenen Ergebnisse konnten auch mit anderen Methoden abgeleitet werden. Hier sind zu n e n n e n : die Einführung von Quasi-

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H. WoNN

teilchenoperatoren durch Bogoljubov et al. [33] u n d durch Valatin [34], der Quasispinformalismus, der von Anderson [35] u n d von Koppe u n d Mühlschlegel [36] verwendet wurde, sowie die Methode der Greenschen Funktionen, die von Gorkov eingeführt wurde [37], Speziell mit der letzten Methode konnten von Gorkov auch die Grundgleichungen der phänomenologischen Ginzburg-LandauTheorie abgeleitet werden. Mit dieser Methode konnte ferner von Keller u n d Zumino [38] u n d von Weller [39] die Flußquantelung aus der mikroskopischen Theorie heraus begründet werden. 4. Quantitative Erklärung der Supraleitung Die Tatsache, daß im supraleitenden Zustand alle Elektronen an der Fermioberflache in Cooper-Paaren gebunden sind, h a t zur Folge, daß in einem Supraleiter elektrische Ströme verlustfrei fließen können. Dies soll nun in dem folgenden vereinfachten Bild veranschaulicht werden. I n einem normalleitenden Metall besetzen die Elektronen des Leitfähigkeitsbandes bei T = 0 eine Fermikugel (Fig. 9 a). Wird an dieses Metall eine elektrische Spannung gelegt, d a n n werden die Elektronen einerseits durch das entstehende elektrische Feld beschleunigt. Andererseits werden sie durch Stöße mit dem Gitter laufend „gebremst". Bei T = 0 handelt es sich vor allem u m solche Stöße, die durch Verunreinigungen u n d Gitterfehler bewirkt werden (Restwiderstand). I m stationären Endzustand stellt sich die in Fig. 9 b gezeigte Verteilung ein: Die Fermikugel ist als Ganzes verschoben. I h r Mittelpunkt befindet sich beim Impuls q. Die im Metall fließende Stromdichte ist proportional zu \q\. (In Fig. 9 sind ebenso wie auch in Fig. 10, 11 u n d 12 die mechanischen Impulse dargestellt, u n d nicht die physikalisch unanschaulicheren kanonischen Impulse.) Schaltet m a n n u n die angelegte Spannung ab, d a n n wird die Fermikugel in ihre Ausgangslage zurückverschoben. Dies geschieht im einzelnen folgendermaßen : Aus dem rechten Kugelsegment von Fig. 10 gehen die Elektronen infolge der Stöße mit dem Gitter in das linke Kugelsegment über. Hierbei wird die Energie der Elektronen stets kleiner. Die den Elektronen entzogene Energie wird an das Gitter abgegeben u n d macht sich als Wärme bemerkbar. E s werden so lange Elektronen „umgesetzt", bis der Mittelpunkt der Fermikugel wieder im Ursprung liegt, d. h. bis kein Strom mehr fließt. Während des „Abklingprozesses" wird die Energie des Elektronensystems (kinetische Energie) kleiner u n d die Energie der Gitterschwingungen (Wärmeenergie) größer. E s liegt also ein irreversibler Prozeß vor. I m supraleitenden Zustand besetzen die Elektronen des Leitfähigkeitsbandes ebenfalls näherungsweise eine Fermikugel, aber die Elektronen in der Nähe der

a

b

Fig. 9. Verteilung der Elektronen des Leitfähigkeitsbandes im normalleitenden Zustand, a) Strom j = 0; b) Strom j # 0

Fig. 10. Zur Diskussion des „Bremsprozesses" in einem Normalleiter

Zum gegenwärtigen Stand der Theorie der Supraleitung

Fig. 11. Verteilung der Elektronen des Leitfähigkeitsbandes im supraleitenden Zustand, a) Strom j = 0; b) Strom j # 0

Fig. 12

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Zur Diskussion des „Bremsprozesses" in einem Supraleiter

Fermioberfläche sind in Cooper-Paaren gebunden, d. h., die Wellenfunktion ist eine Linearkombination von Konfigurationen, bei denen die Elektronenzustände p f und — p\ jeweils paarweise besetzt oder leer sind (Fig. I I a ) . Wenn im Supraleiter ein Strom fließt, dann liegt der Mittelpunkt der Fermikugel nicht mehr im Ursprung, sondern die Fermikugel ist als Ganzes verschoben. Dementsprechend ist die Wellenfunktion in diesem Zustand eine Linearkombinationen von Konfigurationen, bei denen diesmal die Elektronenzustände p +