Microeconomía intermedia. Conductas del consumidor y productor en los diferentes mercados (Spanish Edition) 9587460979, 9789587460971

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MICROECONOMÍA INTERMEDIA Conductas del consumidor y productor en diferentes mercados

Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia Anaya Campo, Alexander de Jesús Microeconomía intermedia : conductas del consumidor y productor en los diferentes mercados / Alexander de Jesús Anaya Campo. -- 1a. ed. -- Santa Marta : Universidad del Magdalena, 2018. 302 p. – (Ciencias sociales. Economía y finanzas)

Incluye bibliografía. ISBN 978-958-746-097-1 -- 978-958-746-098-8 (digital) 1. Microeconomía - Fundamentos I. Título II. Serie

CDD: 338.5 ed. 23

CO-BoBN– a1017147

Primera edición, noviembre de 2017 © UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Editorial Unimagdalena Carrera 32 No. 22 - 08 (57 - 5) 4217940 Ext. 1888 Bloque 8 - Segundo Piso Santa Marta D.T.C.H. - Colombia [email protected] Colección: Ciencias Sociales Serie: Economía y Finanzas Rector: Pablo Vera Salazar Vicerrector de Investigación: Ernesto Amarú Galvis Lista Coordinador de Publicaciones y Fomento Editorial: Jorge Enrique Elías-Caro Editor: Clinton Ramírez C. Diseño de portada: Luis Felipe Márquez Lora Diagramación: Xpress Estudio Gráfico y Digital Corrección de estilo: Gran Caribe, Pensamiento, Cultura, Literatura Santa Marta, Colombia, 2017 ISBN: 978-958-746-097-1 (impreso) ISBN: 978-958-746-098-8 (digital) Impreso y hecho en Colombia - Printed and made in Colombia Xpress Estudio Gráfico y Digital S.A.S. - Xpress Kimpres (Bogotá) El contenido de esta obra está protegido por las leyes y tratados internacionales en materia de Derecho de Autor. Queda prohibida su reproducción total o parcial por cualquier medio impreso o digital conocido o por conocer. Queda prohibida la comunicación pública por cualquier medio, inclusive a través de redes digitales, sin contar con la previa y expresa autorización de la Universidad del Magdalena. Las opiniones expresadas en esta obra son responsabilidad del autor y no compromete al pensamiento institucional de la Universidad del Magdalena, ni genera responsabilidad frente a terceros.

Conductas del consumidor y productor en los diferentes mercados

Colección: Ciencias Sociales Serie: Economía y Finanzas

DEDICATORIA A María Jesús y Mary Paula, por ser condescendientes con mis ausencias constantes.

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Tabla de contenido PRÓLOGO..................................................................................................................... 9 INTRODUCCIÓN......................................................................................................... 13 Capítulo 1................................................................................................................17 TEORÍA DEL CONSUMIDOR...............................................................................17 1.1

El conjunto presupuestario y la recta de presupuesto...................................... 19

1.1.1. Movimientos de la recta de presupuesto............................................................ 20 1.2. Preferencias del consumidor.................................................................................. 23 1.2.1 Axiomas de las preferencias................................................................................ 25 1.2.2. Las preferencias monótonas y la máxima felicidad.......................................... 26 1.3.

La función de utilidad y la curva de indiferencia............................................. 28

1.3.1. Formas de preferencias y curvas de indiferencia.............................................. 30 1.3.1.1. Preferencias por dos bienes buenos.............................................................. 30 1.3.1.2. Preferencias por un bien bueno y uno malo............................................... 33 1.3.1.3. Preferencias por dos bienes malos................................................................ 35 1.4.

La tasa marginal de sustitución y la utilidad marginal.................................... 35

1.5.

El óptimo del consumidor.................................................................................. 38

1.5.1. La maximización de la felicidad.......................................................................... 39 1.6.

La curva consumo renta y la curva de Engel..................................................... 46

1.7.

La curva consumo precio y la curva de demanda............................................. 48

1.8.

Efecto sustitución, efecto renta y efecto total.................................................... 62

1.8.1. Descomposición de Slutsky................................................................................... 63 1.8.2. Descomposición de Hicks..................................................................................... 65 1.9.

La minimización del gasto................................................................................. 75

1.9.1. Dualidad del consumidor...................................................................................... 76 1.10. Función de utilidad métrica monetaria directa e indirecta............................. 89 1.11. Análisis de la utilidad con incertidumbre......................................................... 91 1.11.1. La función de utilidad esperada y el comportamiento frente al riesgo......... 92 Universidad del Magdalena

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1.11.2. Las curvas de indiferencia y la TMS................................................................... 94 1.12. Elementos teóricos del consumidor en el análisis de oferta de trabajo........... 99 Resumen......................................................................................................................... 106 EJERCICIOS PROPUESTOS..................................................................................108 Capítulo 2................................................................................................................113 TEORÍA DEL PRODUCTOR..................................................................................113 2.1.

Función de producción...................................................................................... 114

2.2.

Los tiempos en la producción............................................................................ 115

2.3.

La eficiencia en la producción............................................................................ 116

2.4.

El producto marginal y el producto medio....................................................... 117

2.4.1. Productividades marginales decrecientes.......................................................... 118 2.5.

Las etapas de la producción............................................................................... 118

2.6.

Tipos de funciones de producción..................................................................... 121

2.7.

Los rendimientos de la función de producción................................................ 122

2.8.

Condiciones de Inada de la función de producción......................................... 126

2.9.

La maximización del beneficio.......................................................................... 126

2.10. Los costes de producción.................................................................................... 133 2.11. La función de coste mínimo (minimización del coste).................................... 135 2.11.1. La función de coste de la tecnología Cobb-Douglas........................................ 136 2.11.2. La función de coste de la tecnología con factores de proporciones fijas....... 139 2.11.3. La función de coste de una tecnología con factores sustitutos....................... 139 2.12. Elasticidad de sustitución................................................................................... 143 2.13. Efectos sustitución y efecto producción............................................................ 144 Resumen......................................................................................................................... 148 EJERCICIOS PROPUESTOS..................................................................................149 Capítulo 3................................................................................................................153 ANÁLISIS DE EQUILIBRIOS DE LOS MERCADOS DE COMPETENCIA PERFECTA..............................................................................................................153 3.1.

La demanda y la oferta del mercado competitivo............................................. 155

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3.2.

Demanda, oferta y las elasticidades................................................................... 156

3.2.1. Elasticidad precio de la demanda e ingreso marginal...................................... 160 3.3.

El equilibrio parcial del mercado de competencia perfecta............................. 161

3.4.

Bienestar de los consumidores. El caso de los excedentes................................ 163

3.4.1. Variación compensada. El caso de un consumidor.......................................... 167 3.5.

El equilibrio general competitivo...................................................................... 169

3.5.1. El intercambio puro y la caja de Edgeworth...................................................... 170 3.5.2. Los óptimos de Pareto y la envidia..................................................................... 175 3.5.3. El equilibrio walrasiano....................................................................................... 176 3.5.4. La caja de Edgeworth de la producción............................................................. 186 3.5.5. El equilibrio con consumo y producción.......................................................... 187 3.6.

Fallos del mercado: externalidades y bienes públicos...................................... 193

3.6.1. Las externalidades................................................................................................. 194 3.6.1.1. La internalización de las externalidades...................................................... 197 3.6.2. Los bienes públicos............................................................................................... 204 3.6.2.1. La tragedia de los comunes............................................................................ 205 3.6.2.2. El free rider...................................................................................................... 205 3.6.2.3. Análisis de eficiencia de Samuelson............................................................. 206 3.6.2.4. El equilibrio de Lindahl.................................................................................. 210 Resumen..................................................................................................................212 EJERCICIOS PROPUESTOS..................................................................................216 Capítulo 4................................................................................................................219 ANÁLISIS DE EQUILIBRIO DE MERCADOS NO COMPETITIVOS................219 4.1.

El caso del monopolio puro............................................................................... 221

4.2.

Monopolios discriminadores............................................................................. 229

4.3.

Otros mercados no competitivos: Duopolios no cooperativos de Cournot, Stackelberg y Bertrand.................................................................. 232

4.4.

Mercado cooperativo: La colusión..................................................................... 238

Resumen..................................................................................................................255

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EJERCICIOS PROPUESTOS..................................................................................257 APÉNDICE MATEMÁTICO...................................................................................263 1.

Funciones y tipos de funciones.......................................................................... 264

1.1.

Dominio y rango de una función....................................................................... 264

1.2.

Formas de expresar las funciones...................................................................... 264

1.3.

Función continua................................................................................................ 265

1.4.

La función monótona......................................................................................... 266

1.5.

La función lineal................................................................................................. 267

1.6.

Funciones exponencial y logarítmica................................................................ 271

1.7.

Funciones convexas y cóncavas.......................................................................... 272

1.7.1. Funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas......................................................... 274 2.

Máximos y mínimos de las funciones. El criterio de la segunda derivada...... 275

3.

La matriz hesisiana para clasificar máximos y mínimos de las funciones...... 277

3.1.

La matriz hesisiana orlada y las funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas.... 280

4.

Optimización con restricción. El método de Lagrange.................................... 281

4.1

Verificación del punto crítico de la función lagrangiana................................. 283

RESPUESTAS..........................................................................................................287 BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................299

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PRÓLOGO

Es una verdad de apuño que hoy, en nuestro rol individual de consumidores o productores de bienes, estemos más informados que hace medio siglo. Evidentemente, la globalización de los mercados y el acelerado progreso en las tecnologías de la información y de las telecomunicaciones del mundo moderno permiten que nuestras decisiones en materia económica sean más expeditas y consecuentes. Paradójicamente, ha sido ese avance tecnológico actual el que ha develado y fortalecido el escrutinio de las posibilidades que enfrenta un individuo al momento de elegir entre las cestas de bienes y/o los planes de producción que el mercado ofrece. Sin embargo, el entronizarnos tempranamente a ese escabroso mundo del análisis del comportamiento económico individual abre las puertas al entendimiento en muchas ocasiones, ya que genera una miríada de dudas, en el mejor de los casos, cuando no sendas frustraciones, al no poder discernir lo observable de lo inobservable. Es el caso concreto de la enseñanza de la Microeconomía, todo un andamiaje teórico íntegramente invisible pero articulado férreamente al diario acontecer de las decisiones económicas que tomamos. Si bien se reconoce esa característica de los economistas como una ventaja frente a otras profesiones, el abstraernos sobre algo “latente” a menudo ha sido visto como un “talón de Aquiles” en la aplicación del método científico. Históricamente, la ciencia económica ha resistido con gallardía los más duros embates críticos de epistemólogos de la talla de Karl Popper, pero lo cierto es que las técnicas estadísticas modernas no pueden demostrar que tal sustento teórico es falso. Solo resta la colosal batalla de ahondar en la expansión del conocimiento de la teoría económica desde lo más esencial: el comportamiento del individuo mismo. Además, una motivación para este preclaro objetivo es desterrar el analfabetismo económico, aun residual, y transmitir la teoría económica de una manera simple, entendible y formativa para la vida misma. Ahora bien, para quienes hemos sufrido en carne propia ese duro trasegar por el entendimiento de la teoría económica, hoy podemos asegurar con certeza plena que ya toda esa estructura matemática compleja que encapsulaba los textos de microeconomía básica, oriundos del mundo anglosajón, ha sido inteligiblemente Universidad del Magdalena

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desagregada, a la más mínima expresión posible, para el deleite de aquellos estudiantes y curiosos, para quienes las matemáticas no son precisamente su objetivo final. En tal sentido, el libro de Microeconomía Intermedia que nos propone el economista y profesor universitario Alexander Anaya se posiciona en el mercado editorial colombiano, no como una obra de texto más, con los remoquetes iterativos de vieja data que conocemos los que hemos lidiado con ese vasto número de textos mal traducidos en bastantes ocasiones, sino como un genuino aporte sustancial al entendimiento del comportamiento económico individual, desde una perspectiva inusualmente simple, didáctica y amena. Un aspecto que me enorgullece de esta obra es que su creación se ha gestado en la región Caribe colombiana, y su autor, además, ha impregnado diametralmente ese sentir vernáculo en su forma de abordar los temas propuestos. Precisamente, esa característica deductiva del texto, que asoma un léxico natural, sin ambigüedades, siempre apuntala hacia lo concreto de cada uno de los temas, sin perder el hilo de los tecnicismos propios de los académicos de nuestra ciencia. Asimismo, lo enriquece de manera excepcional y hasta lo catapulta a la universalidad bibliográfica como lo que debe ser un verdadero manual práctico de la enseñanza de la microeconomía. El profesor Anaya no ahorra esfuerzo alguno en su intento de llevar al lector de la mano en conceptos que, de otra manera, sería difícil comprenderlos. Su sola lectura brinda ese oasis de tranquilidad al mostrar que la lógica hilvanada de sus argumentos termina, inconscientemente, en un placentero aprendizaje y, pari passu, la aprehensión de los temas con la debida seguridad en el empleo pragmático de su instrumentación formal. Por otro lado, la organización del libro obedece los patrones internacionales de la ortodoxia neoclásica en su amojonamiento temático. En una primera instancia, la teoría del consumidor evoca los cimientos propios de la ciencia económica, no hay aspecto alguno que quede por fuera del análisis. Desde las nociones de restricción presupuestaria y preferencias individuales, hasta el imaginario de la curva de demanda marshalliana, no existe oquedad alguna que interfiera la secuencia explicita de los temas propuestos. Nada más importante que eso, ya que la responsabilidad del autor es mostrarle a ese

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lector lego o curtido, la ruta óptima de obtención de la demanda del mercado demostrable, empíricamente, con el uso de bases de datos reales. Con la misma destreza en su prosa, el autor describe la teoría del productor, desnudándola paso a paso, a tal extremo que nos topamos con la sensación de que, una vez leído su contenido, lo que antes nos causaba ese temor por enfrentarnos a la excesiva formalización de las funciones de producción, felizmente hoy, con este texto, resulta un deleite intelectual poco frecuente. Ahora bien, ya consolidados los fundamentos de demanda y oferta individual, tenemos las herramientas matemáticas adecuadas para poder analizar el equilibrio del mercado bajo competencia perfecta. Aquí debo reconocer la brillantez en la forma de tratar el delicado cruce del puente entre el análisis de equilibrio parcial y el equilibrio general, el cual, mediado por un abismo de fuertes conjeturas teóricas que el autor asume con la simpleza propia de los maestros, nos permite arribar, sin entorpecimiento metodológico alguno, al equilibrio general competitivo (o walrasiano), el punto de referencia de la eficiencia económica en su sentido paretiano. La última parte del texto es una verdadera oda a las implicaciones de la política desde el ámbito microeconómico. El análisis de la imperfección de los mercados y su influencia en el bienestar económico refuerza todo lo que hasta ese punto el texto ha ido desarrollando. Así, la latente maximización de la utilidad, desde el plano de la elección del consumidor representativo y los problemas significativos de la producción, encarnados en la aparentemente reduccionista maximización del beneficio de la firma representativa, con sus correspondientes dualidades matemáticas, postula al equilibrio económico como una noción cuestionable en un mundo cada vez ahíto de problemas, tales como el apalancamiento tecnológico, el cambio estructural de las preferencias, los márgenes de beneficio (mark-up) y las estrategias empresariales de competencia leal, diáfanamente traducidas en el texto al elegante léxico de la teoría de juegos en sus diversas modalidades oligopólicas. No menos importante, las acciones individuales y empresariales que transforman la naturaleza y el medio ambiente, como fallos que interfieren incisivamente en la cruda realidad del funcionamiento de los mercados, generan todo un abanico de inquietudes desde la óptica de la intervención económica. De ahí que el diamantino entendimiento de la casuística de estos fenómenos a través de una Universidad del Magdalena

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reflexiva lectura de esta parte del texto, nos permite aproximarnos con la debida seguridad profesional al complejo tema de la regulación estatal. La ciencia, a la que alguna vez Thomas Carlyle aludió como “The dismal science”, ya no lo es del todo. Es esta clase de libros de texto la que nos conmina, a quienes amamos esta ciencia, a seguir adelante en el escrutinio de problemas socio-económicos y con su forma de corregirlos, por medio de los incentivos y las políticas adecuadas. Sin el menor atisbo de duda, estamos frente a un texto básico que se apoya en una exhaustiva revisión sobre todo el espectro de la teoría microeconómica conocida, y si tenemos en consideración las consabidas carencias propias del entorno institucional en el que este libro fue ideado y concebido, el titánico esfuerzo y la ferviente constancia del autor para con las generaciones de profesionales paridos por su Alma Mater y aquellos en plena gestación, esta obra académica adquiere ribetes de aporte descomunal a la cultura económica nacional, desde las entrañas mismas de la provincia colombiana. Para todos aquellos que deseen entender la microeconomía para propósitos teóricos o prácticos, este libro constituye una lectura obligada la cual les permitirá una aprehensión lúcida de los aspectos teóricos más complejos de esta ciencia. Por todo lo anterior, me atrevo a afirmar que quienes genuinamente emprendan el estudio de esta obra terminarán apasionados por escudriñar aún más sobre los alcances y limitaciones que impone la conducta económica individual en medio de instituciones caracterizadas por asimetrías rentísticas e informacionales. Juan C. Trujillo York, North Yorkshire, UK Abril 23 de 2017

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INTRODUCCIÓN

Desde el siglo XVIII, el Liberalismo Económico ha venido pregonando la doctrina del libre funcionamiento de los mercados. El ideal de libertad, inspirador de la revolución francesa, impregnó en los ilustrados de la época un espíritu reformador que transformó la concepción económica de la sociedad. Los pensadores clásicos de la economía que defendían la expresión fisiócrata del laissez faire – laissez passer, especialmente Adam Smith, consideraban al mercado como la institución fundamental que podía coordinar los intereses de los consumidores y productores. El mercado, sin influencia de externalidades ni del Estado, es guiado por una mano invisible que le ayuda a cumplir el rol de asignar, eficientemente, los recursos de la sociedad; dicha asignación se logra por medio del sistema de precios. Arrow y Hahn consideraron la idea de la mano invisible como la mejor contribución de la ciencia económica al entendimiento de la ciencia social. Con el paso del tiempo, las ideas clásica propuestas, fundamentalmente, por Ricardo, Smith y Mill, se enriquecieron con conceptos y teorías de otros pensadores, originándose a mediados del siglo XIX, el nacimiento de la escuela neoclásica. El paradigma neoclásico comenzó a fundamentarse con los postulados derivados de la revolución marginalista, la cual defendió la concepción subjetiva del valor y resaltó el análisis de la utilidad marginal. Las contribuciones que robustecieron las percepciones de los precursores de la economía clásica, se derivaron de los análisis marginales de versados de la talla de Marshall, Walras, Jevons, Menger, Pareto, Edgeworth y Wicksell. Cabe agregar, la importancia que durante décadas han ejercido los postulados de los neoclásicos en la formación del profesional en economía. Esta corriente de pensamiento constituye la ortodoxia económica y sus premisas siguen inspirando los diseños curriculares y los planes de estudio de economía, a nivel pregrado, en diversas universidades. En tal sentido, el educando de economía es inducido, previamente, a adquirir las competencias en matemáticas y estadísticas, con el fin de facilitar el aprendizaje de las teorías y modelos desarrollados por la escuela económica con más tradición numérica: la neoclásica. En efecto, las matemáticas juegan un rol interesante en la configuración del andamiaje teórico neoclásico. La magia encantadora de la perfección matemática Universidad del Magdalena

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motivó a los economistas cuantitativistas a hacer uso de este instrumento deductivo en la resolución de los problemas económicos. Desde que se introdujo el cálculo diferencial, cuya creación se dio en la física, en la explicación del análisis marginal, los economistas, tanto neoclásicos y anti neoclásicos, no han renunciado a las bondades de las matemáticas en la resolución de sus problemas. Al contrario, cada vez ha sido más frecuente el uso intensivo de esta herramienta en el diseño de modelos sofisticados. El neoclasicismo económico es una escuela ordenada y rigurosa con unos principios y una metodología definida. A pesar de las críticas recibidas, este tiene el honor de haberse impuesto como paradigma de la ciencia económica contemporánea, debido a que las investigaciones de preferencias endógenas, la teoría juegos y la teoría del caos y de la complejidad, con su uso envidiable de las matemáticas, han evidenciado una falta de capacidad para establecerse como un nuevo paradigma económico. Según Ackerman y Nadal, las nuevas investigaciones en el campo de la economía, aunque se esfuerzan por formular teorías, no brindan un paradigma alternativo que reemplace al equilibrio general. Es pertinente resaltar, que el arte de la ciencia económica exige priorizar el análisis económico sobre cualquier otra herramienta utilizada en su amplio bagaje. En consecuencia, el propósito del material de estudio ofrecido es presentar de forma clara y pedagógica los modelos neoclásicos, por excelencia, relacionados con la interpretación del funcionamiento del mundo económico, sin abandonar el rigor matemático. Los comportamientos de los agentes son explicados con base en el análisis económico y enriquecidos con notas brindadas por el pensamiento económico. La microeconomía se esfuerza por explicar la formación de precios de los bienes y servicios intercambiables. Esta, al considerar el cumplimiento de las hipótesis de un mercado de competencia perfecta (racionalidad, descentralización de las decisiones, información perfecta, bien homogéneo, etc.), desarrolla metodologías para determinar los comportamientos óptimos de los agentes participantes en el proceso de intercambio. La exposición juiciosa de las conductas racionales esperadas de los consumidores y productores es pretensión de este texto, teniendo en cuenta, en el caso de los productores, el estudio de su comportamiento tanto en el mercado competitivo como en otros tipo de mercados (monopolios y oligopolios).

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Los capítulos uno y dos despliegan los principios teóricos de las conductas del consumidor y productor en el mercado competitivo. Ambos agentes, actuando de forma individual y descentralizada, procesan o analizan la información derivada del mercado, con el fin de maximizar su bienestar. El análisis del comportamiento racional del consumidor brinda los fundamentos necesarios para entender la teoría de la demanda y su Ley. Del lado del productor, una decisión surgida de la maximización de las ganancias o minimización del coste conlleva a entender la mejor respuesta que este agente concibe en el momento que varían los factores que determinan la oferta, especialmente cuando solo varía el precio de un bien o servicio. La metodología marshalliana del equilibrio parcial (visión tradicional de la microeconomía) y la walrasiana del equilibrio general o multimercados, son los grandes temas que se trabajan en el capítulo tres. Después de revisar separadamente las conductas de los agentes, consumidor y productor, se agregan, respectivamente, sus funciones para construir las dos fuerzas antagónicas que rivalizan en el mercado: la demanda y la oferta. Por otra parte, se dilucida el equilibrio parcial basado en la técnica de “una cosa a la vez”, la cual consiste en limitar el problema económico a dos variables específicas, manteniéndose constantes otros fenómenos o factores con capacidad de afectar la situación, es decir, se modela considerando el ceteris paribus. La caja de herramienta que brinda el equilibrio general también es revisada en el capítulo en mención. La teoría del equilibrio general competitivo (EGC) es considerada la teoría estándar de la economía. En cuanto al texto, este repasa los elementos teóricos del EGC en un mundo de intercambio puro y otro compuesto por consumo y producción. Además, por medio de ejemplos numéricos se esclarece la forma de obtener el vector de precio, con el objetivo de hacer nulas las funciones de excesos de demandas o para provocar el vaciado automático de los mercados. Los economistas reconocen deficiencias o fallos en los mercados competitivos, inclusive si estos alcanzan situaciones de equilibrio parcial o general. La idea del mercado de asignar eficientemente los recursos de la sociedad está en entredicho. Considerando la relevancia de las críticas, al final del capítulo tres, se realiza una descripción general de las externalidades (negativas) y bienes públicos con la finalidad de esbozar circunstancias que requieren la intervención estatal. En

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presencia de fallos de mercados, se describen mecanismos (impuesto pigouvianos y el teorema de Coase) para que los equilibrios del mercado sean eficientes. El cuarto capítulo despliega el comportamiento racional de los productores en los mercados no competitivos. Inicialmente, esta sección del texto explica la conducta óptima del monopolio puro y de los monopolistas discriminadores, en un mundo totalmente contrario al propuesto en el modelo competitivo. Luego escudriña el comportamiento estratégico empresarial en los tipos de mercado conformados por varias empresas o mercados oligopólicos. El empresario oligopólico, en sintonía con el principio de racionalidad, determina su mejor elección valorando las decisiones óptimas o mejores respuesta de sus rivales. Entre los modelos desarrollados por la rama de la Organización Industrial, el capítulo reseña las conductas no cooperativas de Cournot, Bertrand y Stackelberg y las cooperativas, como el modelo del cartel o colusión. Tal como se presentan los temas, el texto es una guía para aquellos estudiantes acuciosos en el estudio del conjunto de conocimientos emanados de la teoría económica. La temática, ejemplos y estudios de casos distribuidos en sus páginas ayudan a fortalecer el pensamiento crítico frente a la economía neoclásica, pues explora elementos adecuados para la comprensión de sus principios. En ningún caso es una apología a la escuela dominante, solo ordena y explica los postulados de sus teorías y leyes, con la intensión de mejorar la capacidad propositiva del lector. El estudiante y futuro profesional de economía, en su libre albedrío, tiene el derecho de escoger en ser un defensor más de la ortodoxia económica o ser un crítico implacable de su método y sus conclusiones. Solo él podrá decidir sobre la creación de nuevos modelos basados en la metodología y principios del equilibrio general competitivo o realizar otro modelaje ad hoc que abandona estos principios. La decisión debe tomarse entre la construcción de modelos con fundamentos científicos y la creación de otros asociados a una economía ecléctica.

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Capítulo 1 TEORÍA DEL CONSUMIDOR

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1.1 El conjunto presupuestario y la recta de presupuesto A menudo, el consumidor hace cuenta de la cantidad de dinero requerida para la adquisición de bienes y servicios que satisfacen sus necesidades. Por tanto, la dimensión de los gastos destinados a suplir los apuros de la vida cotidiana depende de la disposición de presupuesto o nivel de riqueza de la persona o del hogar. Las decisiones relacionadas con la compra de alimentos, vivienda, educación, viajes o cualquier otro bien o servicio de mercado son tomadas después de un cálculo pormenorizado del presupuesto. En la teoría de la demanda, los consumidores ex-ante al proceso mercantil poseen un nivel de renta R, el cual están dispuesto a gastar completamente en la adquisición de bienes y servicios de mercado. Para una mejor comprensión del modelo, se supone la existencia de los bienes1 X y Y, cuyos precios Px y Py son parámetros positivos. La renta del consumidor, las demandas de X y de Y y los precios Px y Py son elementos que constituyen el siguiente conjunto presupuestario: PXX + PY Y ≤ R; para todo X, Y > 0 El conjunto en mención debe ser convexo, en otras palabras, cualquier combinación lineal entre dos puntos, cualesquiera que pertenezcan al conjunto presupuestario, debe estar contenida en dicho conjunto. Además, es un conjunto cerrado. La figura 1.1a muestra un conjunto convexo y la figura 1.1b ilustra un conjunto no convexo. Figura 1.1 Conjunto de presupuesto

1 Las variables X y Y pueden entenderse como bienes específicos de la economía o como el conjunto de bienes denominado X y el conjunto de bienes denominado Y. Universidad del Magdalena

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Los puntos del conjunto de presupuesto, donde el consumidor gasta toda su renta, constituyen la recta de presupuesto. La recta de presupuesto se define de la siguiente forma: PXX + PYY = R Al suponer variaciones en las cantidades demandadas de ambos bienes y un nivel de renta constante, entonces: PX (X+∆X) + PY (Y+∆Y) = R + ∆R, donde ∆R=0 PX (∆X)+ PY (∆Y) = 0 Se tiene que:

La expresión es la pendiente de la recta de presupuesto. Dicha pendiente describe las unidades del bien Y a las que se debe renunciar para obtener, a cambio, una unidad adicional del bien X, cuando se gasta el mismo nivel de renta. 1.1.1 Movimientos de la recta de presupuesto Los giros o desplazamientos de la recta de presupuesto dependen de las variaciones de la renta o de cambios en los precios de los bienes. Se produce desplazamiento total de la recta cuando existen variaciones en la renta, ceteris paribus. Los aumentos de la renta hacen que la recta se desplace totalmente hacia la derecha, expandiéndose el conjunto de presupuesto o las opciones de compra del consumidor (ver figura 1. 2a). Debido a que constituye la pendiente de la recta de presupuesto, entonces, una variación de algunos de los precios de los bienes provoca en la recta un giro hacia la derecha o hacia la izquierda, dependiendo del cambio en el precio (disminución o aumento). Al final se tiene una nueva recta con menor o mayor inclinación (pendiente) a la de la recta inicial (ver figura 1. 2b).

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Figura 1.2. Rectas de presupuesto

Ejemplo 1. 1. Si un consumidor recibe una renta de 300.000 u/m y está dispuesto a adquirir los bienes X y Y cuando sus precios son 6.000 u/m y 3.000 u/m, respectivamente, se requiere: A. Obtener el conjunto presupuestario y la recta de presupuesto. El gasto total en el bien X = 6.000 X El gasto total en el bien Y = 3.000 Y El conjunto presupuestario establece que los gastos no deben ser mayores a la renta. Por este motivo: 6.000X + 3.000Y ≤ 300.000 ⟵ Conjunto presupuestario

La recta presupuestaria son todos los puntos donde el consumidor gasta toda su renta: 6.000X + 3.000Y = 300.000 ⟵ Recta presupuestaria Universidad del Magdalena

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B. Especificar cuántas unidades del bien Y está dispuesto a sacrificar el consumidor por una cantidad adicional del bien X. El coste de oportunidad entre los bienes X y Y está determinado por la pendiente de la recta de presupuesto:

En este caso, el individuo, gastando la misma renta, debe renunciar a dos unidades de Y por cada unidad adicional de X. C. ¿Cuántas cantidades máximas se pueden consumir de X y cuántas de Y? El consumidor obtiene la máxima cantidad de X cuando decide no gastar en el bien Y y logra consumir la máxima cantidad de Y cuando no gasta en el bien X:

D. Si el precio de Y disminuye a 2.000 u/m, analice cómo cambiaría las respuestas de los incisos anteriores. Si ahora Py = 2.000, entonces tenemos lo siguiente: Nuevo conjunto presupuestario ⟶ 6.000X + 2.000Y ≤ 300.000 Nueva recta presupuestaria ⟶ 6.000X + 2.000Y = 300.000 El coste de oportunidad entre X y Y es:

Cantidades máximas de X = 50 Cantidades máximas de Y = 150

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Figura del Ejemplo 1.1

E. Teniendo en cuenta la recta de presupuesto del inciso D, determine los efectos de un impuesto ad-valorem del 20% al bien X, un subsidio de 400 u/m a las cantidades del bien Y y un impuesto de cuantía fija de 20.000 u/m. Antes de las medidas (impuesto y subsidio), la recta es 6.000X + 2.000Y = 300.000, después del impuesto ad-valorem, subsidio a las cantidades y el impuesto de cuantía fija a la renta, la nueva recta sería: (1 + 0,2) 6.000X + (2.000 – 400)Y = 300.000 – 20.000 7.200X + 1.600Y = 280.000

1.2 Preferencias del consumidor La teoría económica ortodoxa considera al consumidor como un agente racional y calculador que optimiza el objetivo de la felicidad por medio del consumo de cestas de bienes. Mediante una elección autónoma y descentralizada, el agente busca mejorar su bienestar. Los grados de satisfacción o felicidad se representan en las herramientas gráficas conocidas con el nombre de curvas de indiferencias, mostrando cada curva, un conjunto de cesta de bienes que producen el mismo grado de felicidad. Diferentes niveles de felicidad o de bienestar se producen en distintas curvas de indiferencia (mapa de indiferencia). En la figura 1.3, las cestas x y y tienen el mismo grado de felicidad, mientras que la cesta z tiene una felicidad

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mayor, debido a que pertenece a una curva de indiferencia ubicada a la derecha de la curva que contiene las cestas x y y. Figura 1.3 Curva de indiferencia y el conjunto al menos tan bueno

El consumidor, impulsado por la búsqueda de su felicidad, se enfrenta a la elección voluntaria de bienes reunidos en cestas o planes de consumo que están contenidos en el conjunto de consumo2 X. Los planes de consumo x, y y z de la figura 1.3 son una relación binaria sobre el conjunto X y el área sombreada de la figura en mención, junto con la curva de indiferencia comprenden el conjunto “al menos tan bueno” (Varian, 2002, p. 38). Las relaciones entre las cestas de bienes se escriben:

Donde el símbolo “

“describe la relación “al menos tan bueno que”.

La relación de las cestas ubicadas sobre la misma curva de indiferencia es descrita como indiferente y se simboliza con el signo “~”. Las relaciones entre estas cestas de bienes se escriben: x ~ y y y ~ x.

2

Las propiedades del conjunto de consumo X se pueden revisar en Jehle y Reny (2001, p. 4)

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Por último, al estar la cesta z a la derecha de la curva de indiferencia, la relación es de preferencia estricta y se simboliza con el signo “≻”. La relación de x, y y z se escribe: z ≻ x y z ≻𝑦

1.2.1 Axiomas de las preferencias

La Teoría del Consumidor requiere el cumplimiento de las siguientes propiedades en las relaciones de preferencias: Reflexividad La reflexividad se da cuando una cesta cualquiera es al menos tan buena como ella misma. Esta propiedad obliga al consumidor a elegir entre cestas iguales. La preferencia de toda cesta x que pertenece al conjunto de consumo X, cumple la reflexividad si x x. Completitud La completitud es la propiedad que permite la comparación entre cestas. El consumidor, al poder comparar las cestas, puede elegir entre ellas. Las preferencias por las cestas de consumo x y y que pertenecen al conjunto de consumo X, cumplen la completitud si x y o y x. Transitividad Esta propiedad exige un orden transitivo de las preferencias. Las preferencias por las cestas x, y y z que pertenecen al conjunto de consumo X y∧y z, entonces x z. son transitivas si x

La racionalidad en el comportamiento del consumidor se da si, y solo si, la relación binaria sobre un conjunto X es completa y transitiva.

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Monotonicidad Si en un proceso de elección se le presenta al consumidor dos cestas que tienen al menos la misma cantidad de dos bienes, pero si tan solo una de las cestas pasa a tener más de uno de los bienes y esta es preferida sobre la otra, se cumple el axioma de monotonicidad (Varian, 2010, p.48). La teoría ortodoxa del consumidor supone que para un consumidor característico debe cumplirse el “más es mejor”, o sea, sus preferencias son monótonas crecientes. Las preferencias por las cestas de consumo x y y que pertenecen al conjunto X de consumo son monótonas si:

Insaciabilidad local

y x ≠ y,entonces x ≻ y

En presencia de insaciabilidad local no es posible el punto de saciedad. Esta propiedad indica que cualquier cesta debe tener otra cercana que es preferida a ella. Si se satisface la no saciabilidad local, entonces las curvas de indiferencia no podrían ser de tramo grueso. Para todo x ∈ X y para todo ε > 0 existe una cesta y ∈ X tal que ‖x–y‖ Py

Si Px = Py

Para X y Y, cualquier cantidad entre cero y sus respectivas cantidades máximas. 

Análisis  La recta de presupuesto es más horizontal que la curva de indiferencia. La solución está en la esquina del eje X. La recta de presupuesto es más vertical que la curva de indiferencia. La solución está en la esquina del eje Y. La recta de presupuesto y la curva de indiferencia tienen la misma pendiente. No existe una única solución.

Figura 1.13 Óptimo del consumidor con bienes sustitutos perfectos

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Equilibrio del consumidor con preferencias de bienes complementarios El problema a resolver por parte del consumidor es:

La solución del problema no puede obtenerse por multiplicadores de Lagrange porque la función objetivo es no derivable. El sistema se resuelve analizando las características gráficas de las curvas de indiferencia obtenidas a partir de la función de utilidad. El conjunto que representa todos los vértices existentes en el mapa de indiferencia se obtienen de la siguiente forma: X=Y Ahora encontramos el vértice del conjunto que es un punto en la restricción presupuestal: Si X = Y, entonces; ; PxX + PyX = R De igual forma se tiene que:

x(R,P) y y(R,P) son la solución del problema de optimización. Con estas cantidades óptimas de X y Y se puede obtener la utilidad indirecta remplazando en la función de utilidad directa.

Equilibrio del consumidor con funciones de utilidad no cuasicóncavas Suponga la función de utilidad U(X,Y) = max (X,Y).

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El problema a resolver por el consumidor sería:

Pendiente de la restricción presupuestal:

Cuadro 1.2 Casos 

Si Px < Py

Si Px > Py Si Px = Py

Análisis de pendientes

Demandas óptimas o marshallianas

Análisis  La recta de presupuesto es más horizontal (Solución de esquina en el eje X). La recta de presupuesto es más vertical (Solución de esquina en el eje Y). Solución de esquina en el eje X o en el eje Y.

Figura 1.14 Óptimos del consumidor con una función no cuasicóncava

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1.6 La curva consumo renta y la curva de Engel La curva consumo renta muestra las diferentes combinaciones de cestas óptimas que se pueden adquirir cuando se presentan variaciones solo en la renta. Los incrementos de la renta de un consumidor, manteniendo los precios de los bienes constantes, provocan un mayor poder adquisitivo, lo cual conlleva a variar las cantidades demandadas de bienes y servicios (ver figura 1.15). Aquellos bienes, cuyo aumento de la renta hace que se demanden más, se denominan “normales” y los que se demandan menos, reciben el nombre de “inferiores”. Estos últimos constituyen bienes pocos atractivos (mala calidad) al consumidor, quien decide demandarlo solo cuando dispone de una renta ínfima. Figura 1.15 Curva consumo renta

De acuerdo a las variaciones de la renta, los bienes pueden clasificarse como normales e inferiores. El bien es normal si al aumentar la renta, el consumidor aumenta su consumo y es inferior si un aumento de la renta provoca una disminución del consumo. Lo anterior se expresa de la siguiente manera:

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La representación gráfica que ilustra el comportamiento de la demanda del bien frente a variaciones en la renta se denomina curva de Engel. Por un lado, los bienes normales se caracterizan por poseer curvas de Engel de pendientes positivas, mientras que los bienes inferiores presentan curvas de Engel decrecientes o de pendiente negativa. En un mercado es complejo determinar con certeza qué conjuntos de bienes podrían clasificarse como normales o inferiores. La identificación de un tipo de bien depende del comportamiento racional, autónomo y descentralizado del consumidor, quien está influenciado por un cúmulo de variables socioeconómicas (ingresos, gustos, religión, etc.). Lo que se cumple para un individuo no necesariamente deben cumplirse para todos los miembros de la comunidad. Por ello, es posible encontrar bienes que son normales para ciertos grupos de consumidores, pero inferior para otros consumidores diferentes, Por ejemplo, no es extraño que un individuo de ingresos altos conciba a la cerveza barata como un bien inferior, debido a que puede adquirir cerveza, whiskey o vodka de más prestigio. En cuanto al consumidor de ingresos bajos, la cerveza barata se comporta como un bien normal porque pequeños aumentos en los ingresos, lo incentiva a consumir más. La figura 1.16a muestra un bien que es normal para todos los niveles de renta y la figura 1.16b describe un bien que es inferior en un rango de ingresos y normal en otro. Las funciones de demanda marshallianas derivadas a partir de las funciones de utilidad Cobb-Douglas, complementarios perfectos, y de dos bienes de sustitución perfecta, pertenecen a los tipos de bienes clasificados como normales.

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Figura 1.16 Curva de Engel

1.7 La curva consumo precio y la curva de demanda Los bienes también se clasifican a partir de la dirección de cambio que experimentan sus cantidades cuando hay fluctuaciones en sus precios. La relación entre cantidades demandadas y variación del precio de un bien es analizada por medio de la curva consumo precio (CCP). La curva mencionada, muestra todas las cestas óptimas que se demandan cada vez que varía el precio de uno de los bienes, ceteris paribus. En el conjunto de bienes, no todas las cantidades demandadas de bienes tienen igual comportamiento al variar el precio. Los bienes que experimentan aumentos en su demanda por la disminución de su precio se denominan bienes ordinarios y son los que cumplen la ley de la demanda9 (ver figura 1. 17b). En cambio, si la cantidad demandada de un bien disminuye al disminuir su precio, este es llamado un bien giffen en concordancia a la paradoja planteada por Giffen10. El último bien mencionado constituye una excepción a la ley de la demanda y es considerado un bien inferior con escasos sustitutos11.

9 La ley de demanda fue formulada en 1936 por Alfred Marshall (Marshall, 1936, p. 99). 10 La nominación del bien giffen la hace Alfred Marshall en honor al economista inglés Robert Giffen, quien observó en Irlanda, a finales del siglo XIX, el efecto de la subida del precio de la papa. (Perdices de Blas, 2008). 11 Varian (2010, p. 147) argumenta que “…un bien giffen tiene que ser un bien inferior. Sin embargo, un bien inferior no tiene por qué ser un bien giffen…”

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Figura 1.17 Curva consumo precio y curva de demanda

A partir de la función de demanda y con ayuda del cálculo se determina el tipo de bien según la variación del precio. El análisis es: Siendo X = f(Px) una función de demanda, entonces:

, X es un bien ordinario

Si

Si Donde

, X es un bien giffen

es la pendiente de la función de demanda.

Con respecto a la paradoja de Giffen, el siguiente caso ilustrará una conducta giffen: Suponga que existe un asalariado que, durante seis días de la semana, debe desplazarse de su casa al sitio de trabajo. El mencionado devenga mensualmente un salario mínimo y solo está dispuesto a gastar una exigua parte de él, en los dos únicos medios de transportes asequibles a su condición: el servicio público de autobús y el taxi. Él desearía movilizarse siempre en taxi, pero su escaso Universidad del Magdalena

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presupuesto lo obliga a transportarse tres días en taxi y tres días en autobús. Si el gobierno piensa aplicar un aumento de la tarifa del autobús, ¿cómo variará la demanda de medios de transportes del susodicho? El escaso presupuesto no le permite sustituir autobús por taxi y como no es probable que camine, le toca aumentar los viajes en autobús y reducir el servicio de taxi, es decir, posiblemente después del alza se transportará cuatro días en autobús y dos en taxi. Siendo así la situación, el servicio de autobús frente a variaciones de su precio tiene un comportamiento giffen y, además, es un servicio inferior, debido a que un aumento importante del salario implica una renuncia de la demanda de autobús, sustituyéndolo con el servicio de taxi o con la compra de un vehículo particular. Cuadro 1.3 Clasificación de los bienes según variaciones en la renta o el precio Cambios en la renta (R) y en el precio del Bien X

Cambios en las cantidades del bien

↑R

↑ PX

Ejemplo 1. 3

↑X ↓X ↓X ↑X

Tipo de bien Normal Inferior Ordinario Giffen

Considere la siguiente información:

Se requiere: A. Calcular las demandas óptimas o marshallianas. B. Estimar la C.C.R y las ecuaciones de las curvas de Engel de ambos bienes. Además, clasificar los bienes según variación de la renta. C. Estimar la C.C.P (suponga cambios en el precio de X) y las ecuaciones de demanda de ambos bienes. También, clasificar los bienes según variaciones del precio.

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Solución A. El problema a resolver del consumidor es:

El lagrangiano correspondiente al problema es:

Al resolver el problema, se obtienen las demandas óptimas o marshallianas de X y Y:

Ahora se calcula la utilidad indirecta (V):

Figura del ejemplo 1.3 Óptimo del consumidor

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B. Obtención de la curva consumo renta (CCR) Se tiene que:

La función de utilidad Cobb-Douglas presenta la siguiente condición de óptimo:

Como la curva consumo renta contiene todas las combinaciones de X y Y, que a precios constantes se pueden obtener cuando se presenta variaciones en la renta, entonces:

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Figura del Ejemplo 1.3 Curva consumo renta

A continuación, clasificamos los bienes según variación de la renta: A partir de las demandas marshallianas verifica que:

, se

Para el bien Para el bien Por medio de la curva de Engel se puede observar el comportamiento de las demandas de un bien, cuando varía la renta, ceteris paribus. Para encontrar la curva de Engel se dejan constantes los precios al reemplazar PX:

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Para el bien Y, se tiene que:

Figura del Ejemplo 1.3 Curvas de Engel

C. La curva consumo precio muestra las cantidades demandadas de un bien cuando varía su precio, ceteris paribus. En el equilibrio se cumple que:

Si suponemos variaciones en el precio del bien X y dejamos constante el precio de Y, obtenemos:

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Reemplazando en la restricción presupuestal:

Curva Consumo Precio Figura del ejemplo 1.3 Curva consumo precio

Clasificar los bienes como ordinarios o giffen, requiere analizar la demanda cuando existen variaciones en los precios: Para el bien

, entonces es un bien ordinario

Para el bien

, entonces es un bien ordinario

Por último se obtiene la curva de demanda, si R = 100.000

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Figura del Ejemplo 1.3 Curvas de demanda

Los bienes X y Y cumplen la ley de la demanda. Ejemplo 1.4 Considere la siguiente información:

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Se requiere: A. Calcular las demandas óptimas o marshallianas. B. Estimar la C.C.R y las ecuaciones de las curvas de Engel de ambos bienes. Además, clasificar los bienes según variación de la renta. C. Estimar la C.C.P (suponga cambios en el precio de X) y las ecuaciones de demanda de ambos bienes. También, clasificar los bienes según variaciones del precio. Solución: A. El problema a resolver para el consumidor es:

El lagrangiano correspondiente al problema es:

Las siguientes serían las condiciones de primer orden:

De (1) y de (2) se tiene:

Demanda mashalliana de X: ; X es independiente de la renta Reemplazando X en la restricción presupuestal, obtenemos la demanda de Y:

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La utilidad indirecta es:

Con la información del ejercicio tenemos que las demandas óptimas son: x = 4, y = 46 y v = 51.54

B. Análisis para obtener la curva consumo renta. Se tiene que la:

En el óptimo:

Como la curva consumo renta contiene todas las combinaciones de X y Y, que a precios constantes se pueden obtener cuando se presenta variaciones en la renta, entonces:

En el siguiente cuadro se estiman las demandas de X y Y que se dan a distintos niveles de renta:

Situación A Situación B Situación C

Renta

Precio de X

Precio de Y

600000 540000 480000

12.000 12.000 12.000

12.000 12.000 12.000

Demandas óptimas X Y 4 46 4 41 4 36

Utilidad Máxima 51,55 46,55 41,55

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Figura del Ejemplo 1.4 Curva consumo renta

En seguida, clasificamos los bienes según variación de la renta Bien

entonces es independiente de la renta

Bien

entonces es un bien normal

El bien X no tiene curva de Engel, mientras que la curva de Engel de Y es: Curva de Engel del bien Y Figura del Ejemplo 1.4 Curva de Engel del bien Y

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C. Forma para encontrar la CCP. Tenemos que en el equilibrio se cumple que:

Si suponemos variaciones en el precio del bien X y dejamos constante el precio de Y, obtenemos lo siguiente:

Reemplazando en la restricción presupuestal:

En el siguiente cuadro se estiman las demandas de X y Y que se dan cuando varía el precio del bien X:

Situación A Situación B Situación C

Renta

Precio de X

Precio de Y

600.000 600.000 600.000

12.000 8.000 6.000

12.000 12.000 12.000

Demandas óptimas X Y 4 46 6 46 8 46

Utilidad Máxima 51,55 53,17 54,32

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Figura del ejemplo 1.4 Curva Consumo precio

Clasificar los bienes como ordinarios o giffen requiere analizar la demanda cuando existen variaciones en los precios, de la siguiente forma: Para el bien

, entonces X es un bien ordinario

Para el bien

, entonces Y es un bien ordinario

Por último, se obtiene la curva de demanda cuando R = 600.000 y Py = 12.000, así:

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Figura del ejemplo 1.4 Curvas de demanda

Los bienes X y Y cumplen la ley de la demanda.

1.8 Efecto sustitución, efecto renta y efecto total La variación del precio de un bien en particular, definitivamente, afecta las cantidades que el consumidor demanda de él. En páginas anteriores se afirmó que la relación entre variaciones del precio y variaciones de las cantidades depende del tipo de bien (ordinario o giffen), pero no se especificó por qué un bien ordinario presenta una relación inversa (negativa) entre el precio y las cantidades; mientras que en los bienes giffen, la relación entre las anteriores variables es directa (positiva). Una forma de conocer el comportamiento de las cantidades demandadas de un bien cuando hay variaciones en su precio, consiste en desagregar y analizar los cambios dados en las cantidades demandadas por los efectos sustitución y renta. En una relación de intercambio compuesta por dos o más bienes, un consumidor cualquiera podría cambiar la demanda de uno o todos los bienes al variar el precio de un solo bien. En nuestro mundo abstracto de dos bienes y con un nivel de renta constante, la disminución del precio de uno de ellos hace variar el precio relativo, lo que conlleva al consumidor a percibir que un bien se abarató con respecto al otro y, por lo tanto, decide demandar más de este y menos del bien que relativamente se hizo más costoso. El ajuste de las cantidades que se da por la variación en los precios relativos se denomina el efecto sustitución (ES).

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Siguiendo con el ejemplo de la disminución del precio de uno de los bienes, es pertinente afirmar que ha variado la renta real del individuo. En este caso, aumentaría el poder adquisitivo o la capacidad de compra, provocando variaciones en las cantidades demandadas de cada uno o de ambos bienes. El ajuste de las cantidades que se da por la variación en la renta real o poder adquisitivo se llama el efecto renta (ER). La adición de ambos efectos da como resultado el cambio total dado en las cantidades demandadas o efecto total (ET).

1.8.1 Descomposición de Slutsky La desagregación de Slutsky debe su nombre al ruso Eugen Slutsky. Dicha herramienta cumple la función de determinar cuántas cantidades demandadas del bien se ajustan, por efecto sustitución y cuántas por efecto renta, cuando se presenta variaciones en su precio. La propuesta de Slutsky, frente a una variación del precio, consiste en obtener la renta necesaria para que a los precios finales se logre mantener constante el consumo inicial. En las figuras 1.18a, 1.18b y 1.18c se ilustra el cambio de la demanda del bien cuando varía su precio. Al aumentar el precio del bien X, la restricción gira a la izquierda y la situación de equilibrio cambia del punto A (equilibrio inicial) al punto B (equilibrio final). Para mantener constante el consumo de la cesta inicial (cesta del punto A), al nuevo precio del bien X y al precio que existía del bien Y, se debe desplazar paralelamente la recta que corta el punto B, hasta hacerla pasar por el punto A. En esa nueva recta de presupuesto debe existir una curva de indiferencia que es tangente a ella, constituyendo, de esta manera, el punto C como la situación de equilibrio propuesta por Slutsky.

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El procedimiento de Slutsky aplicado en las figuras 1.18a, 1.18b y 1.18c, da como resultado diferentes dimensiones de los efectos sustitución y renta. En la figura 1. 18a un aumento en PX provoca efectos de sustitución y renta negativos, dado que al final se consume menos del bien X. En esta situación, X es un bien normal porque si disminuye la renta, disminuye su consumo y, asimismo, es un bien ordinario, debido a que aumentos en el precio, disminuyen las cantidades demandadas. En la figura 1.18b, el efecto sustitución varía de forma contraria al efecto renta, pero, al ser el primero más importante que el segundo, el efecto total termina variando en la dirección del efecto sustitución. Al incrementarse PX, el efecto sustitución se hace negativo y el efecto renta es positivo, dándo como resultado final una disminución en las cantidades de demanda de X (ver figura 1.18b). El comportamiento de los dos efectos indica que X es un bien inferior porque diminuciones en la renta, aumentan su consumo y a la vez es un bien ordinario porque aumentos en el precio provocan, al final, disminuciones en las cantidades demandadas. Los efectos sustitución y renta de la figura 1.18c también tienen signos contrarios. La particularidad de esta situación es que el efecto renta es más importante que el efecto sustitución y esto es suficiente para que el efecto total varíe en la misma dirección que tiene el efecto renta. La figura muestra que al aumentar PX, el efecto sustitución es negativo, el efecto renta es positivo y al final, tenemos un aumento en la demanda del bien X (efecto total positivo). El bien X presenta las característica del bien inferior porque al disminuir la renta, aumenta su consumo (efecto renta), pero no es un bien ordinario. El tipo de bien que permite observar aumentos en su demanda, al aumentar su precio, se había denominado el bien giffen. Con la información que suministran las figuras 1.18b y 1. 18c, se concluye que todo bien giffen es un bien inferior, pero no todo bien inferior tiene las características de los bienes giffen.

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Figura 1.18 Efecto sustitución, renta y total cuando aumenta el precio del bien

1.8.2 Descomposición de Hicks Por medio del análisis del británico John Hicks también es posible desagregar los efectos sustitución y renta que se dan cuando varía el precio. Hicks considera, a diferencia de Slutsky, dejar constante la utilidad inicial y no el consumo inicial. Propone que al variar el precio de un bien, se debe calcular el nivel de renta necesario para que a los precios finales se logre mantener constante la utilidad inicial. En las figuras 1.19a, 1.19b y 1.19c se supone una disminución de PX y esto hace girar la curva de restricción presupuestaria hacia la derecha. Del punto de equilibrio inicial A, el individuo pasaría al punto de equilibrio final B. Para conocer la renta que a los precios finales sea suficiente para mantener constante la utilidad inicial, se debe desplazar la curva de presupuesto de la situación final, hasta que sea tangente a la curva de indiferencia inicial (punto C de la figura). La cesta correspondiente al punto de equilibrio C sería la propuesta por Hicks para calcular los efectos.

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Figura 1.19 Efecto sustitución, renta y total cuando disminuye el precio del bien X según el Análisis de Hicks

Considerando que los análisis de Slutsky y Hicks aplican procedimientos diferentes, se observa que, aunque la cuantía de los efectos sustitución y renta difieren, los signos de ambos efectos son los mismos. Por ello, lo que se cumple para los bienes normales, inferiores y giffen, según Slutsky, se cumple, igualmente, cuando se aplica el análisis de Hicks (ver cuadro 1. 4).

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Cuadro 1.4 Efecto sustitución, renta y total de los diferentes bienes Variación de las cantidades de X Variación del precio ↓P ↓P ↓P ↑P ↑P ↑P

Efecto sustitución Slutsky Hicks + + + + + + -

-

Efecto renta

Efecto total

Slutsky + +

Hicks + +

Slutsky + + -

Hicks + + -

+

+

+

+

Tipo de Bien Normal Inferior Giffen Normal Inferior Giffen

Ejemplo 1.5 Imagine que las preferencias que tiene un consumidor por los bienes X y Y están representadas en la función de utilidad . Si Px = Py = 5.000 u/m, y el consumidor posee una renta de 300.000 u/m, encontrar las demandas marshallianas. Además, si Px disminuye a 2.500 u/m, se requiere hacer el cálculo de los efectos sustitución, renta y total, según la desagregación de Hicks y Slutsky. El problema a resolver es:

El lagrangiano del problema es:

Resolviendo el problema, se obtienen las siguientes demandas marshallianas:

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Con estas formas de demanda, las situaciones inicial y final son:

Desagregación de Slutsky La renta que a los precios finales es suficiente para dejar constante el consumo inicial, según Slutsky, es:

Restricción presupuestal de Slutsky (RPS) ⟶ 2.500X + 5.000Y = 200.000 Restricción inicial (RPI) ⟶ 5.000X + 5.000Y = 300.000 Restricción final (RPF) ⟶ 2.500X + 5.000Y = 300.000

Los efectos sustitución, renta y total, de acuerdo con Slutsky son:

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Figura del Ejemplo 1.5 Efectos sustitución, renta y total

El procedimiento de Hicks que exige calcular el nivel de renta necesario para que sea posible obtener la utilidad inicial de los precios finales es:

Reemplazando la demanda marshalliana en la función de utilidad e igualando a la utilidad inicial, se tiene:

A los precios finales:

Restricción final (RPF) ⟶ 2.500X + 5.000Y = 300.000

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Los efectos sustitución, renta y total, según Hicks son:

Bien  x y

Efecto Sustitución Slutsky Hicks 13,33 10,40 -6,67 -7,4

Efecto Renta Slutsky Hicks 26,67 29,6 6,67 7,40

Figura del Ejemplo 1.5 Efectos sustitución, renta y total según Hicks

Efecto Total Slutsky Hicks 40 40 0 0

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Ejemplo 1.6 Suponga que las preferencias que tiene un consumidor por los bienes y están representadas en la siguiente función de utilidad:

Si Px = Py = 3.000 u/m, y el consumidor posee una renta de 450.000 u/m, obtenga las demandas marshallianas. Además, si Px aumenta a 5.000 u/m, calcule los efectos sustitución, renta y total, según la desagregación de Hicks y Slutsky. El problema a resolver es:

El lagrangiano del problema es:

De (1) y (2) se tiene:

Reemplazando en 3 se obtiene:

y

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Con estas funciones de demanda, las situaciones inicial y final son:

Desagregación de Slutsky Debido a que Slutsky propone obtener la renta para que a los precios finales se mantenga constante el consumo inicial, entonces:

Restricción presupuestaria de Slutsky es: (RPS) ⟶ 5.000X + 3.000Y = 600.000 Restricción presupuestaria inicial (RPI) ⟶ 3.000X + 3.000Y = 450.000 Restricción presupuestaria final (RPF) ⟶ 5.000X + 3.000Y = 450.000

Los efectos sustitución, renta y total, de acuerdo con Slutsky son:

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Figura del Ejemplo 1. 6 Efectos sustitución, renta y total según Slutsky

Desagregación de Hicks El procedimiento de Hicks propone calcular la renta que se necesita para que a los precios finales se mantenga constante la utilidad inicial: Utilidad inicial Reemplazando la demanda marshalliana en la función de utilidad e igualando a la utilidad inicial, se tiene:

Utilizando los precios finales:

Restricción presupuestaria de la situación de Hicks:

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Los efectos sustitución, renta y total, según Slutsky son:

Bien  x y

Efecto Sustitución Slutsky Hicks -7,38 -6,75 12,29 13,11

Efecto Renta Slutsky Hicks -16,87 -17,5 -21.82 -22,64

Figura del ejemplo 1.6 Efecto sustitución, renta y total según Hicks

Efecto Total Slutsky Hicks -24,25 -24,25 -9,53 -9,53

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1.9 La minimización del gasto Otra forma de plantear el problema del consumidor es analizar el manejo que este le da a su gasto, para adquirir un nivel de utilidad específico. Si el consumidor desea un cierto nivel de utilidad, entonces, su comportamiento es optimizador si recurre al mínimo gasto en la consecución de ese objetivo. El problema a resolver es:

Del problema de la minimización del gasto se obtienen las demandas hicksianas, las cuales muestran las cantidades demandadas del bien en función de los precios y la utilidad: xh = f(P,U) y yh = f(P,U)

Las demandas hicksianas ayudan a construir el gasto mínimo en que incurre el consumidor, cuando pretende satisfacer un nivel de felicidad determinado. Al gasto mínimo se le denomina función de gasto y se calcula de la siguiente forma: e(P,U) = (Px)xh + (Py)yh

Una explicación gráfica de la construcción de las demandas marshallianas y hicksianas, la muestra la figura 1.20. La metodología marshalliana propone que al disminuir varias veces el precio del bien X la restricción presupuestal gira siempre hacia la derecha y en cada situación se presenta un óptimo del consumidor. La demanda de X aumenta al disminuir su precio y esto genera que la curva de demanda sea de pendiente negativa (ver figura 1.20a.). En la figura 1.20b se observa que al preferirse cualquier cesta de una curva de indiferencia específica, la relación de precio debe variar. En este caso, si el precio del bien Y y la renta están constantes, se puede cambiar la combinación de bienes solo si varía el precio del bien X. Con disminuciones en Px, el equilibrio se mueve del punto A al punto B y luego al punto C, por lo que aumenta la demanda de las cantidades del bien X, generándose, en esta situación, una curva de demanda de pendiente negativa.

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Figura 1.20 La maximización de la utilidad y la minimización del gasto

1.9.1 Dualidad del consumidor El consumidor racional, decidido a satisfacer sus deseos, maximiza su felicidad, considerando ingresos limitados o minimiza el gasto, sujeto a una utilidad específica. Ambos comportamientos son coherentes desde las perspectivas económica y matemática. Desde lo cuantitativo, si las funciones de utilidad presentan las condiciones suficientes para el óptimo y son doblemente derivables, entonces, el problema primal y dual del consumidor, aunque difieran en sus objetivos, se pueden relacionar por medio del instrumental desarrollado por la economía matemática. Para una comprensión didáctica de la relación entre los dos problemas se recomienda observar la figura 1. 21.

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A continuación, se resumen los instrumentos utilizados en el análisis de dualidad del consumidor. Identidad de Roy Este Instrumento permite calcular las demandas marshallianas a partir de la función de utilidad indirecta. La identidad de Roy plantea que:

y

Lema de Shephard El Lema permite obtener las demandas hicksianas a partir de la función de gastos12. Este propone:

y

Identidades de la dualidad Las identidades son esenciales para relacionar el análisis marshalliano consistente con la maximización de la utilidad y con el análisis hicksiano de minimización del gasto. Si la función U(X,Y) es continua, doblemente derivable y cumple la insaciabilidad local, se pueden relacionar los problemas primal y dual por medio de las siguientes identidades:

12 Para la demostración de la Identidad de Roy y el Lema de Shephard se recomienda revisar Varian (1992). Universidad del Magdalena

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1.

. Se utiliza para obtener las demandas marshallianas partiendo de las demandas hicksianas.

2.

. Esta identidad permite obtener las demandas hicksianas desde las demandas marshallianas.

3.

. Permite el paso de la función de gasto a la utilidad

4.

indirecta.

. Desde la utilidad indirecta se puede determinar la función de gasto con el uso de esta última identidad.

Figura 1.21 Los problemas del consumidor

Ejemplo 1.7 El presente ejemplo resuelve los problemas primal y dual de la función de utilidad Cobb-Douglas.

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Solución del problema de la maximización de la felicidad (problema primal):

Resolviendo el problema de optimización se obtienen las siguientes demandas marshallianas:

Reemplazando las demandas marshallianas en la función de utilidad directa se encuentra la utilidad indirecta:

Función de gastos a partir de la utilidad indirecta. :

Demandas hicksianas obtenidas con el Lema de Shephard:

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Demandas marshallianas obtenidas a partir de las demandas hicksianas:

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El problema de la minimización del gasto:

A partir de (1) y (2) se tiene:

Reemplazando (4) en (3):

Sustituyendo yh en (4), se tiene:

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La función de gasto:

La utilidad indirecta a partir de la función de gasto:

Demandas marshallianas obtenidas con la identidad de Roy:

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Demandas hicksianas, a partir de las demandas marshallianas:

Ejemplo 1.8 Problema primal y dual de la función CES: U(X,Y) = (Xρ + Yρ) 1⁄ρ Solución

Problema de la maximización de la felicidad:

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Resolviendo el problema de optimización se obtienen las siguientes demandas marshallianas:

Reemplazando en (3):

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Reemplazando las demandas marshallianas en la función de utilidad directa, se encuentra la utilidad indirecta:

Función de gastos, a partir de la utilidad indirecta:

Demandas hicksianas obtenidas con el Lema de Shephard:

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Demandas marshallianas obtenidas a partir de las demandas hicksianas:

El problema de la minimización del gasto es:

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A partir de (1) y (2) se tiene:

Reemplazando (4) en (3) se obtiene:

Sustituyendo Xh en (4) se tiene:

La función de gasto es:

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La utilidad indirecta a partir de la función de gasto es:

Demandas marshallianas obtenidas con la identidad de Roy:

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Demandas hicksianas a partir de las demandas marshallianas:

1.10 Función de utilidad métrica monetaria directa e indirecta La función de utilidad métrica monetaria directa indica la cantidad monetaria de dinero que se necesita para obtener la utilidad de una cesta específica a unos precios dados. Se describe de la siguiente forma:

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Otro tipo de función es la utilidad métrica monetaria indirecta, la cual determina la mínima cantidad monetaria suficiente para obtener a los precios presentes (Pp) la máxima utilidad que se obtuvo a unos precios pasados (P), manteniendo constante el ingreso.

Ejemplo 1.9 Encuentre la función de utilidad métrica monetaria directa de la función

Solución La función de utilidad indirecta de la función Cobb-Douglas es:

Expresada en otra forma:

Utilizando la identidad

tenemos:

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Ejemplo 1.10 Encuentre la función de utilidad métrica monetaria indirecta de la función

Solución

1.11 Análisis de la utilidad con incertidumbre La economía como ciencia social no goza del poder de predecir o pronosticar, correctamente, los acontecimientos venideros. Los agentes económicos, a menudo, les toca decidir en ambientes de incertidumbre, de ahí la importancia Universidad del Magdalena

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de modelar el comportamiento humano en un mundo sin certeza económica, política o social. En presencia de incertidumbre, las decisiones de los agente están atadas a sensaciones ineludibles, asociadas a la ganancia o la pérdida. 1.11.1 La función de utilidad esperada y el comportamiento frente al riesgo El análisis de elección con incertidumbre parte de la existencia de una función de utilidad del consumidor, representada de esta forma: U = f(X)

Frente a la ocurrencia de dos estados mutuamente excluyentes (cuando ocurre uno, no puede ocurrir el otro) de la naturaleza, se determinan las probabilidades asociadas a cada uno de los estados. Sea p la probabilidad que ocurra el estado satisfactorio (estado 1) y q la probabilidad de ocurrencia del estado insatisfactorio (estado 2), además, siendo X1 y X2 las riquezas correspondientes a cada estado, la función de utilidad esperada (Ue) o función de utilidad de Von NeumannMorgenstern es:

Otro instrumento necesario para el análisis es el valor esperado de la riqueza, la cual se define como:

Según las formas de sus preferencias, los agentes frente al riesgo pueden ser aversos, amantes o neutrales. Cada uno de estos comportamientos se analiza seguidamente. Un individuo presenta aversión al riesgo si el valor esperado de la utilidad de una riqueza segura es mayor a la utilidad esperada de la riqueza en condiciones de incertidumbre. El nivel de riqueza cierto es preferible a aquel que puede darse en un juego de azar:

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La aversión al riesgo se da cuando la función de utilidad es cóncava (ver figura 1.22b y cuadro 1.5). En cambio, un individuo ama el riesgo si el valor esperado de la utilidad de una riqueza segura es menor a la utilidad esperada de la riqueza en condiciones de incertidumbre. Esta conducta se observa en los jugadores arriesgados, quienes son seducidos por el azar:

La función de utilidades del amante del riesgo es convexa (ver figura 1.22a y cuadro 1.5). La neutralidad al riesgo se debe a que el valor esperado de la utilidad de una riqueza segura es igual a la utilidad esperada de la riqueza en condiciones de incertidumbre (ver cuadro 1.5).

Cuadro 1.5. Características de la función de utilidad según las preferencias por el riesgo Preferencias por el riesgo

Forma de la función

Amante

Convexa

Creciente

Aversión

Cóncava

Decreciente

Neutral

Lineal

Constante

Análisis diferencial

Utilidad marginal

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Figura 1.22 Preferencias por el riesgo

1.11.2 Las curvas de indiferencia y la TMS La curva de indiferencia de la función de utilidad muestra todas las combinaciones de las riquezas de los estados 1 y 2 que dan la misma felicidad esperada. La TMS de X1 por X2 describe la pendiente de la curva en mención y se obtiene de la siguiente forma:

Las formas de las curvas de indiferencia difieren según la conducta ante el riesgo. Estas pueden ser convexas, cóncavas o lineales. El tipo de curvas de indiferencias se determina según el comportamiento de la TMS.

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Los cambios en la TMS se deben a cambios en las cantidades de los bienes:

Cuadro 1.6 Curvas de indiferencia según le preferencias por el riesgo TMS

Forma de la curva de indiferencia

Conducta frente al riesgo

Estrictamente convexa

Aversión

Estrictamente cóncava

Amante

Lineal (convexa y cóncava)

Neutral

Figura 1.23 Curvas de indiferencia según preferencias por el riesgo

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Ejemplo 1. 11 ¿Qué tipo de preferencias por el riesgo muestra la función U = ln X? Calcule la TMS y diga la forma que tienen sus curvas de indiferencia. Solución Obtención de las derivadas de primer y segundo orden:

El valor de la segunda derivada indica que la función es cóncava. Esta función corresponde a un individuo con aversión al riesgo. Averso al riesgo

La función de utilidad esperada es:

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Ahora se analiza la forma que tienen las curvas de indiferencia de este modo:

Reemplazando la TMS, se tiene:

Por lo tanto, las curvas de indiferencia tienen convexidad estricta. Ejemplo 1.12 ¿Qué tipo de preferencias por el riesgo muestra la función U = X2? Calcule la TMS y diga la forma que tienen sus curvas de indiferencia. Solución Obtención de las derivadas de primer y segundo orden:

El valor de la segunda derivada indica que la función es convexa, por lo que corresponde a un individuo amante al riesgo.

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Amante del riesgo

La función de utilidad esperada es:

Ahora se analiza la forma que tienen las curvas de indiferencia de esta forma:

Reemplazando la TMS, se obtiene:

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Por ende, las curvas de indiferencia tienen concavidad estricta (amante).

1.12 Elementos teóricos del consumidor en el análisis de la oferta de trabajo Formalizar la interactuación y confrontación de fuerzas opuestas confluidas en los diferentes mercados, ha sido uno de los quehaceres de la microeconomía neoclásica. El método desarrollado para comprender el comportamiento racional de los agentes que interactúan en el mercado de bienes y servicios, constituye una caja de herramienta necesaria para entender el funcionamiento de otros mercados, como los de trabajo y capital. Aunque al cambiar de escenarios varían los protagonistas, los objetivos buscados siguen hincados en los principios de maximización del bienestar o de minimización de pérdidas. En el mercado de trabajo concurren dos fuerzas antagónicas representadas por dos actores (trabajadores y empresarios) con capacidad de decidir, de forma autónoma y descentralizada, el nivel de bienestar permitido por las transacciones mercantiles. Respecto a la oferta de trabajo, la decisión de participar o no participar en ella está influenciada por el salario de reserva del individuo, es decir, “el salario más alto al que una persona decide no trabajar o, si se prefiere, el salario más bajo al que decidiría trabajar” (McConnell et all,, 2003, p.36). El agente valora las horas dedicadas al ocio y solo está dispuesto a intercambiarlas por horas de trabajo si el mercado le reconoce un salario o renta laboral. El oferente de mano de obra busca, al igual que el consumidor de bienes y servicios, maximizar la felicidad sujeta a una restricción, pero esta vez, el modelo considera al consumo y al ocio como las variables a optimizar. La restricción del modelo se arma igualando el valor del consumo a la adición de las rentas laborales (RL) u otras rentas no laborales (RNL), como por ejemplo arriendos, remesas, etc. Un aumento de la riqueza (mayores rentas laborales y/o no laborales), aumenta el

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conjunto de consumo de bienes y servicios de mercado. La ecuación de consumo es la restricción presupuestal del modelo consumo ocio (ver figura 1.24b). Dotación de horas: H = ho + ht, donde ht son horas dedicadas al trabajo y ho, las horas dedicadas al ocio.

Si H = 24, entonces: , siendo –w, la pendiente de la restricción presupuestal. El ocio es una cesación del trabajo no deseado, el cual es hipado y valorado por los individuos. El efecto contrario lo produce el trabajo, debido al malestar que provoca su ejecución13. La función de utilidad del oferente contiene las horas ocio y el nivel de consumo, teniendo ambos elementos, efectos directos o positivos en el grado de satisfacción:

13 El trabajo como mal no solo es una idea de la economía neoclásica. El libro sagrado de la religión con más fieles en el mundo, expone la condena divina que recibió el primero de los hombres por hacer lo que le estaba prohibido. Dios confirma al hombre la maldición de la tierra por su causa y le recuerda que “…, con dolor comerás de ella todos los días de tu vida”. Afianza su sentencia cuando le expresa: “Con el sudor de tu rostro comerás el pan, hasta que vuelvas a la tierra, pues polvo eres, y al polvo volverás”

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Figura 1.24 Curvas de indiferencia y restricción presupuestaria del modelo consumo ocio

La pendiente o TMS de la curva de nivel o curva de indiferencia de la función de utilidad es la razón negativa de las utilidades marginales. Si el oferente desea mantener constante su felicidad, la TMS muestra el nivel de consumo requerido por cada hora de ocio renunciada o sacrificada:

El problema del oferente consiste en maximizar el objetivo de la felicidad considerando su capacidad de consumo o de riqueza de la siguiente manera:

o:

La solución del problema requiere la igualación de las pendientes de las funciones objetivo y restricción presupuestaria, así:

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Figura 1.25 Óptimo del oferente de mano de obra y curva de oferta de trabajo

La figura 1.25 ilustra el comportamiento de un oferente de trabajo al presentarse variaciones en el salario. Al inicio, aumentos del salario provocan disminuciones en las horas ocio (movimiento del punto A al B y del B al C), sin embargo, la relación entre ocio y salario cambia cuando se pasa del punto C al D. El cambio de conducta obedece a una mayor valoración del ocio cuando el oferente recibe salarios altos, por lo que aumentos del salario hace aumentar el deseo de horas ocio. La curva de oferta de trabajo o curva hacia atrás se deriva del comportamiento óptimo del oferente de trabajo y constituye su disposición racional de ofrecer horas de trabajo por cada nivel de salario. Los tramos crecientes y decrecientes de la curva se deben a la relación que guardan los efectos sustitución y renta. El primer efecto explica la variación de las horas de trabajo, al variar el salario, permaneciendo constate la renta. Por su parte, el efecto renta evidencia la variación de las horas de trabajo al variar la renta, cuando el salario no cambia. En el tramo creciente de la curva de oferta, el efecto sustitución es mayor (domina) al efecto renta y en el tramo decreciente, es el efecto renta el que domina al efecto sustitución.

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Ejemplo 1.13 Modelo Consumo-Ocio. Considere la siguiente información: U = C2 ho

Renta no laboral (RNL) = 90 u/m Dotación de tiempo = 24 horas Se requiere: A. Calcular las funciones de consumo óptimo, oferta de horas ocio y oferta de horas de trabajo. B. Con un salario de 6 u/m, calcule el nivel de consumo y el nivel de oferta de horas ocio y al trabajo. C. Suponga que existen 100 individuos que poseen la misma renta no laboral y la misma función de utilidad del ejemplo. Determine el equilibrio del mercado laboral cuando la función de demanda de trabajo es ¿Qué efecto provoca un salario rígido a la baja de 6 u/m en el mercado? Solución A. Funciones de consumo óptimo, oferta de horas ocio y oferta de horas de trabajo: Dotación de tiempo: 24 = ho + l La restricción del problema es:

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El problema a resolver del oferente de la mano de obra es:

Solución del problema por medio de la función de Lagrange (L):

De las ecuaciones 1 y 2 se tiene que:

Reemplazando 4 en 3, se obtiene: Consumo óptimo. Las horas de ocio óptimas se obtienen considerando el consumo óptimo:

B. Con un salario de 6 u/m, los valores óptimos del consumo, horas ocio y horas de trabajo, son:

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C. Con base en el supuesto de 100 oferentes de mano de obra con igual función de utilidad y la misma renta no laboral, la función de oferta del mercado (LO) es:

La condición de equilibrio del mercado de trabajo, requiere la siguiente igualación:

El salario y la cantidad de horas de equilibrio son:

El salario rígido a la baja de 6 u/m provoca una diferencia entre la demanda y oferta de horas trabajo de esta manera:

Lo anterior evidencia un desempleo involuntario clásico de 533 horas aproximadamente (ver figura del ejemplo). Figura del Ejemplo 1.13 Equilibrio del agente representativo y equilibrio del mercado de trabajo

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Resumen El conjunto de presupuesto contiene los planes de consumo u opciones de compra de un consumidor característico. La parte del conjunto, donde el consumidor gasta toda su renta, constituye la recta de presupuesto, la cual es una función monótona decreciente con pendiente igual a la razón negativa de los precios de los bienes. Dicha pendiente también interpreta el coste de oportunidad, ya que, con igual renta, muestra las cantidades del bien Y a las que se deben renunciar para obtener, a cambio, una unidad adicional del bien X. Otro instrumento importante del comportamiento del consumidor es la función de utilidad o de felicidad, siendo las funciones tipo Cobb-Douglas, bienes complementarios perfectos y bienes sustitutos perfectos, las funciones más conocidas. La curva de nivel de la función de utilidad es denominada curva de indiferencia y su interpretación económica se refiere a todas las combinaciones posibles de los bienes X y Y, que brindan el mismo grado de felicidad. La racionalidad del consumidor conlleva a que este optimice su comportamiento en un mercado competitivo. La renta debe gastarse de tal forma que logre la mejor situación de bienestar posible. La elección libre y descentralizada del consumidor será racional cuando se escoge la cesta de consumo que maximiza la felicidad, cuando los gustos, precios, ingresos y expectativas están dadas. Del problema de la maximización de la utilidad se derivan las demandas óptimas o marshallianas, que dependen de los precios y la renta. Las funciones de demandas marshallianas tienden a ser crecientes en el nivel de renta y decrecientes en el precio del bien. Los bienes de mercado se clasifican a partir de variaciones en su precio y en la renta de los consumidores. Según cambios en la renta, los bienes pueden ser normales o inferiores. Si las cantidades demandadas varían en la misma dirección del cambio de la renta, el bien es normal; no obstante, si presenta dirección opuesta, el bien es inferior. Con respecto a la variación del precio, los bienes pueden ser ordinarios o giffen. Los primeros cumplen la ley de la demanda (la cantidad de demanda varía en dirección opuesta al precio,) y los segundos la quebrantan (la cantidad demanda varía en la misma dirección del precio). Los bienes giffen, al igual que los bienes inferiores, muestran el mismo comportamiento cuando varía la renta. Sin embargo, a diferencia de los bienes giffen, los inferiores cumplen la ley de la demanda (bienes ordinarios), puesto

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que presentan un efecto sustitución mayor al efecto renta, mientras que los bienes giffen, al tener un efecto sustitución dominado por el efecto renta, se convierten en la excepción a la ley mencionada. La dualidad del consumidor consiste en el problema de la minimización del gasto para obtener un nivel de felicidad deseado. Dicho de otra forma, el consumidor racional logra ser feliz con el mínimo gasto posible. De la solución dual se obtienen las demandas hicksianas, las cuales son demandas óptimas en función de los precios y la utilidad, y, además, se calcula la función de gasto descrita como el mínimo gasto que se incurre cuando se pretende alcanzar cierto grado de felicidad.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Andrés es un estudiante de Economía que recibe una remesa mensual de su tía, quien reside en los Estados Unidos. El decidió gastar el 40% de su remesa en bienes o servicios académicos y el resto en alimentos y bebidas alcohólicas. Siendo $3.500.000 el monto de la remesa, se requiere: A.

Si gastando la parte de la remesa destinada a su formación académica, Andrés logra adquirir 10 textos de Economía (bien X) y 14 textos de matemáticas (bien Y) o bien, 15 textos de economía y 7 textos de matemáticas. Calcule la ecuación de la recta de presupuesto. ¿Cuántos libros de matemáticas deben renunciarse para obtener a cambio 10 libros de economía? Dibuje la recta de presupuesto.

B.

Ahora suponga que Andrés, gastando el resto de la remesa, puede adquirir al mes 60 pizza (bien X) y 125 botellas de cervezas (bien Y) Determine la ecuación de la recta de presupuesto, cuando Andrés está dispuesto a renunciar 5 botellas de cerveza por cada pizza. ¿Cuál es la cantidad máxima de botellas de cerveza que puede adquirir Andrés en el mes? Dibuje la recta de presupuesto

1.2 Encuentre la tasa marginal de sustitución de las siguientes funciones de utilidad: A. B. C. D. 1.3. Se requiere encontrar las demandas óptimas (demandas marshallianas) y la máxima utilidad en cada uno de los casos. A.

Juan es una persona que le gusta vestir bien, por cada pantalón (X) demanda 2 camisas (Y) que hacen combinación con el pantalón. Suponga un precio

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promedio del pantalón igual a 50.000 u/m, el precio de la camisa es 60.000 u/m y una renta igual a 1.360.000 u/m. B.

Ana estudia en la universidad, tiene claro que su prioridad es adquirir la mejor formación. Por esta razón, decide gastar el 80% de su renta en bienes académicos (libros) y lo que resta lo gastará en bienes no académicos (productos de belleza). Siendo PX el precio promedio de los libros y Py el precio de los productos de belleza, responda el inciso suponiendo que: PX = 60.000 y Py = 30.000 y R =900.000.

C.

Jairo cree que un galón de gasolina corriente (bien X) no es mejor, ni peor al galón de gasolina extra (bien Y). Suponga una renta de 120.000 u/m y un precio de 7.500 u/m para el galón de gasolina corriente y uno de 10.000 u /m para el galón de la gasolina extra.

1.4 Suponga que un consumidor tiene la siguiente función de utilidad:



Para cada una de las cestas (x, y) y la renta expresada en los siguientes incisos, encuentre un conjunto de precios de los bienes que hacen de esas combinaciones cestas de equilibrio. Muestre la recta de presupuesto de cada inciso con la renta dada. A. (4, 10) y R = 70.000 u/m B. (2, 20) y R = 140.000 u/m C. (6, 5) y R = 130.000 u/m

1.5 Sofía dispone de 150.000 u/m de renta para comprar carne de res (bien X) y carne de cerdo (bien Y). Está dispuesta a gastar el 80% de la renta en la carne de res y el resto en la carne de cerdo. Si el precio de un kilo de carne de res es de 12.000 u/m y el kilo de carne de cerdo es 10.000 u/m, se requiere: A.

Calcular la ecuación de la curva consumo renta.

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B.

Obtener la ecuación de Engel de ambos bienes. ¿Qué tipo de bienes son la carne de cerdo y la carne de res, según variación de la renta?

C.

Calcular la ecuación de la curva consumo precio cuando varía el precio de la carne de res.

D.

Calcular la ecuación de la curva consumo precio cuando varía el precio de la carne de cerdo.

E.

Mostrar las funciones de demanda de ambos bienes.

1.6 El consumo de los bienes X y Y aumentan la felicidad de Alberto. La utilidad de Alberto es de la forma U (X.Y) = X (Y + 1). Si Alberto dispone de una renta igual a 875.000 u/m, se requiere resolver los incisos siguientes cuando Px = 22.500 u/m y PY = 25.000 u/m A.

Calcular las demandas óptimas y la utilidad máxima.

B.

Encontrar la función específica de la curva consumo-renta y la funciones específicas de la curva de Engel de los bienes X y Y

C.

Encontrar la función específica de la curva consumo –precio (cambios en el precio de X) y la funciones específicas de las curvas de demanda de los bienes X y Y.

1.7 Suponga que las preferencias de David por los bienes X y X están representadas en la función de utilidad: . Suponga, inicialmente, los precios de 20.000 u/m por cada unidad del bien X y de 15.000 u/m por cada unidad del bien Y. Si David está dispuestos a gastar 1´200.000 u/m en el consumo de los dos bienes, se requiere: A.

Con base en la metodología de Slutsky, calcule los efectos sustitución, renta y total de los bienes X y Y cuando el precio de Y aumenta a 20.000 u/m.

B.

Considerando el anterior aumento del precio de Y, obtenga todos los efectos, según la metodología de Hicks.

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1.8 Julián es adicto al café con leche. Demanda por cada taza de leche (X) tres cucharadas de café (Y). Inicialmente, la taza de leche cuesta 800 u/m y cada cucharada de café cuesta 250 u/m. Con una renta igual a 9.300 u/m, se requiere: A.

Calcular las tazas de leche y cucharadas de café demandadas por Julián.

B.

Calcular las demandas óptimas si el precio de la taza de leche cambia a 1.110 u/m. Además, encontrar los efectos sustitución, renta y total de ambos bienes.

1.9 Calcule las demandas marshalliana de los bienes y determine la función de gasto de la siguiente función de utilidad indirecta:

1.10 Calcule las demandas hicksianas y la función de utilidad indirecta de la siguiente función de gasto:

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Capítulo 2 TEORÍA DEL PRODUCTOR

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2.1 Función de producción La función de producción muestra las máximas unidades de producción que se pueden obtener de un bien cuando se emplean y combinan los factores productivos. En el conjunto de los factores de la producción figuran el capital físico (equipos o maquinarias necesarias para producir bienes), el trabajo, los recursos naturales (tierra, agua, minerales, etc.) y la tecnología (conocimientos que mejoran las formas de producción). Una presentación general de la función de producción podría ser de la siguiente forma:

La función anterior, presentada explícitamente, muestra al factor tecnológico A fuera del grupo de variables que se leen “en función de”, pero esto no significa que la tecnología no tenga relación con el volumen de producción de un bien. La ubicación de esta, en la función, se debe a las características que la diferencian de otros factores. La tecnología, entendida como la receta o fórmula adecuada para combinar capital, trabajo y recursos naturales no cumple el principio de réplica, es decir, solo podemos aumentar la producción si replicamos factores como el trabajo o el capital, sin necesidad de replicar el factor tecnológico. En el proceso productivo, duplicar la receta o fórmula utilizada para producir no conlleva a duplicar las cantidades producidas. Además, la tecnología es un bien no rival, debido a que puede ser utilizada por más de un empresario a la vez (Salai-Martin, 2002, p. 12). En aras de facilitar, en este texto, el análisis cuantitativo de la función de producción, conviene relacionar las cantidades producidas solo con la variación de los insumos trabajo y capital, asumiendo que los demás factores que determinan el nivel de producción permanecen constantes (ceteris paribus). Por ello, la función de producción en su forma general ahora es: Y = f(L, K) (+) (+)

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Donde L y K representan, respectivamente, trabajo homogéneo (horas de trabajo) y capital homogéneo (horas de uso de la máquina).

2.2

Los tiempos en la producción

Los economistas se esfuerzan por analizar las decisiones de los agentes en el tiempo y optan por conocer e investigar posibles comportamientos en el futuro cercano (corto plazo), y/o decisiones de inversión en un futuro lejano (largo plazo). En el análisis de la producción, el corto y largo plazo, realmente, no se definen en periodos de tiempo cronológico, más bien, se hace teniendo en cuenta las variaciones en las cantidades producidas cuando varía uno o todos los factores productivos. El corto plazo es cuando la empresa funciona con una capacidad instalada y solo puede variar su producción variando un solo factor (trabajo). En el corto plazo no es posible producir modificando todos los factores de la producción, ya que el empresario, al invertir en una planta de producción, espera el retorno de su inversión (recuperación de coste y ganancia). En este caso, como se tiene una inversión previa en maquinarias y equipos (capital físico), solo es posible ajustar el volumen de producción con una mayor o menor contratación del factor trabajo. El empresario planea y toma decisiones de inversión en el largo plazo; además, opera en él si el ajuste de las cantidades producidas, se hace al variar todos los factores de la producción14. El cuadro 2.1 muestra las formas de las funciones de producción de corto y largo plazo: Cuadro 2.1 Plazos Corto Plazo Largo plazo

Función de producción Y = f(L) Y = f(L, K)

14 Alfred Marshall propuso cuatro periodos en términos de la economía de la empresa y de la oferta. Estos fueron el periodo de mercado (oferta fija o perfectamente inelástica), corto plazo (planta fija, pero con cambios en la producción y la oferta), largo plazo (todos los costes son variables) y el periodo secular (variación de la tecnología y la población) (Landreth & Colander, 2002, p. 291-292). Universidad del Magdalena

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2.3 La eficiencia en la producción El proceso de producción, entendido como la forma de crear, fabricar o manufacturar los bienes y servicios que la sociedad desea consumir, emplea recursos o insumos que permiten la transformación de la materia prima o de los bienes intermedios en bienes finales. Los insumos que requiere la producción no son gratis, por lo cual el empresario o productor está obligado a pagar los precios que los diferentes mercados (laboral, de capitales, etc.) determinan por cada unidad que se demanda. Por tal razón, la escasez de recursos conlleva a un uso adecuado de sus cantidades. El problema básico relacionado con el ¿cómo producir?, es resuelto por parte del empresario al escoger los procesos de producción que no malgasten unidades de insumos productivos. Cualquier técnica de producción que derroche recursos o insumos de la producción se considera ineficiente e irracional. Cuadro 2.2 2.2a. Procesos sin convertir Procesos Trabajo Capital

P1 P2 P3 P4

12 5 9 2

8 20 24 3

Producción del bien

4 5 6 1

2.2b. Procesos convertidos * Procesos Trabajo Capital

P1 P2 P3 P4

3 1 1.5 2

2 4 4 3

Producción del bien

1 1 1 1

2.2c. Coste Procesos

Coste de producción **

P1 P2

17 19

P4

18

* La transformación supone una función de producción con rendimientos constantes de escala. ** El coste se obtiene cuando el precio del trabajo es 3 y el del capital es 4. Los economistas frecuentemente dividen la eficiencia en la producción en dos categorías: la eficiencia técnica y la eficiencia económica. La primera se logra al tener procesos de producción que no malgastan cantidades de insumos productivos al obtener un nivel de producción específico. La segunda, cuando la empresa escoge e implementa el proceso de menor coste (coste mínimo por unidad de producción). El cuadro 2.2a muestra cuatro procesos de producción

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con diferentes combinaciones de los factores trabajo y capital que obtienen diferentes unidades de producción. Si la función de producción de la empresa presenta rendimientos constantes de escala, es posible convertir los procesos de tal forma que cada uno logre una unidad específica de producto. Cada factor y nivel de producción correspondiente a los procesos 1, 2 y 3 fueron divididos por 4, 5 y 6 respectivamente como se observa en el cuadro 2.2b. La información contenida en el cuadro 2.2b permite concluir que entre los procesos 1, 2 y 4 existe sustitución de factores y cumplen la eficiencia técnica. Esto se evidencia porque al pasar del proceso 1 al 2 aumentamos dos unidades de capital, pero renunciamos a dos unidades de trabajo y, al pasar del proceso 2 al 4, el trabajo aumenta en una unidad y el capital disminuye una unidad. Algo similar acontece entre los procesos 1 y 4. En cambio, el proceso 3, con respecto al proceso 4, es técnicamente ineficiente porque ambos producen una cantidad del bien con las mismas unidades de capital, pero el proceso 3 utiliza más trabajo, lo cual demuestra el despilfarro en unidades de trabajo. Le eficiencia económica consiste en producir implementando el proceso de menor coste. Al suponer que las unidades de trabajo y capital tienen precios de 3 u/m y 4 u/m, respectivamente, se obtiene, en este caso, que solo el proceso 1 es económicamente eficiente, debido a que tiene el menor coste (ver cuadro 2.2c)

2.4

El producto marginal y el producto medio

Los productos marginales y medio de la producción constituyen dos indicadores esenciales en el análisis de productividad. El producto marginal muestra las cantidades de bienes que se obtienen al incrementar, en una unidad, un factor de la producción, permaneciendo inalterable las cantidades del otro factor, es decir, es el nivel de producción obtenido cada vez que empleamos una unidad adicional de un factor. La producción media está en función del factor trabajo y muestra lo que en promedio produce un trabajador (si L es el número de trabajadores) o la cantidad de producción promedio por hora de trabajo (si L es la cantidad de horas de trabajo). Para la función de producción Y= f(L,K), se tiene: Producto marginal del trabajo:

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Producto marginal del capital: Producto medio: 2.4.1 Productividades marginales decrecientes La teoría de la oferta supone productos marginales positivos de los factores usados en la producción de bienes y servicios, sin embargo, las variaciones dadas en el total producido, derivadas de las unidades empleadas de cada factor, presentan un ritmo decreciente. Por ejemplo, el empleo de una hora adicional de trabajo hace aumentar la producción total en una cuantía menor a los aumentos correspondientes de las horas empleadas con anterioridad. Las productividades marginales son decrecientes si y solo si:

2.5

Las etapas de la producción

En la literatura económica tradicional se encuentra un análisis interesante del comportamiento de la función de producción de una empresa, cuando se incrementan las cantidades del factor trabajo.15 En el corto plazo, la función de producción presenta etapas o fases que muestran la relación del producto total con el producto medio y el producto marginal del trabajo. Para cantidades escasas del factor trabajo, la función presenta rendimiento creciente de escala (tramo entre los puntos O y A de la función de producción del grafico 2.1), debido a que el producto marginal16 es positivo y creciente. Después la función comienza a tener rendimientos decrecientes de escala hasta alcanzar las máximas cantidades

15 Landreth & Colander (1998, p. 236-260) presentan un debate interesante sobre los aportes provenientes de la segunda generación de marginalista, relacionando la teoría de la distribución, en función de la productividad marginal. Los autores destacados de esta corriente son Wieser, BohmBawerk, Clark, Wicksell, Wicksteed y Edgeworth. 16 El producto marginal del trabajo (dY⁄dL) es la pendiente de la función de producción de corto plazo.

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producidas (tramo cóncavo de A a C de la función de producción de la figura 2. 1). Más allá del punto C de la figura 2.1, la función se vuelve decreciente; esto se debe a un producto marginal negativo. El comportamiento de este tramo de la función refleja la Ley de los Rendimientos Decrecientes17. Las fases de la función de producción se clasifican según el comportamiento de los productos medio y marginal del trabajo. La fase I comprende el tramo que empieza cuando el producto medio es nulo y finaliza al alcanzar un máximo; en esta fase, el producto marginal es positivo. El tramo donde el producto medio decrece y el producto marginal sigue siendo positivo comprende la fase II de la producción. Por último, la fase III aparece cuando el producto marginal del trabajo es negativo, en otras palabras, en el tramo decreciente de la función de producción (ver cuadro 2.3). Figura 2.1 Etapas de la producción (análisis de corto plazo)

17 Schumpeter (1971) considera que el auténtico descubridor de la Ley de los Rendimientos Decrecientes fue el francés Anne Robert Jacques Turgot. Universidad del Magdalena

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Cuadro 2.3 Fases de la producción

IA Fase I IB Fase II

Y = f (L) Creciente a una tasa creciente Creciente a una tasa decreciente

Creciente a una tasa decreciente

Fase III Disminuye

PML PME Creciente y Aumenta mayor que PME Decreciente y Aumenta mayor que PME Decreciente y Disminuye menor que PME Negativo y Disminuye menor que PME

Fuente: McConnell, Brue y Macpherson (2003, p. 131).

Ejemplo 2. 1 A continuación se muestran las etapas de la producción de una empresa que produce con la función Y = 15L2 – L3:

El producto marginal del trabajo y el producto medio son:

Obtenemos la cantidad de trabajo que hace máximo el PML:

Hasta aquí, deducimos que después de 5 trabajadores, la función de producción empieza a presentar rendimientos decrecientes (ver figura del ejemplo). La cantidad de trabajo que maximiza el producto medio es:

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Con 7.5 de L se producen 421,8 cantidades, las cuales marcan el final de la fase I (ver figura 2. 1).

2.6 Tipos de funciones de producción Las funciones de producción que más se utilizan para analizar el comportamiento de los productores en un mercado de competencia perfecta son las de tipo CobbDouglas18, proporciones fijas (función Leontief) y factores sustitutos (Nicholson, 2008, p. 195-198 y Varian, 2010, p. 349). La figura geométrica que facilita el análisis de una función de producción con dos factores se denomina isocuanta; esta se construye manteniendo constantes las cantidades del bien que se produce. La isocuanta de una función de producción continua muestra infinitas combinaciones de factores de la producción que producen la misma cantidad del bien. La expansión de las isocuantas se da hacia la derecha y, cada vez que se alejan del origen, el requerimiento de los factores es mayor y, por ende, mayor son las cantidades producidas (ver figura 2.2). Figura 2.2. Mapas de isocuantas de distintas funciones de producción

18 Una mejor explicación de la función Cobb-Douglas puede encontrarse en Cobb y Douglas (1928) Universidad del Magdalena

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La tasa marginal de sustitución técnica de L por K (TMST) constituye la pendiente de la isocuanta. Con un nivel de producción constante, la TMST entre dos factores es el instrumento que muestra a cuántas cantidades de un factor se deben renunciar si se desea emplear una unidad adicional del otro factor. Formalmente, la TMST de L por K se obtiene con la diferenciación total de la función de producción:

Los movimientos sobre una misma isocuanta no provocan cambios en el nivel de producción (dY = 0), por lo cual:

2.7

Los rendimientos de la función de producción

La relación que existe entre el nivel de producción y los factores de la producción, indica que los aumentos en las unidades de factores empleadas provocan aumentos en las cantidades producidas. Los tipos de rendimientos de la función se especifican por el grado de influencia que tiene la escala por la que cambian los factores en la variación del volumen de producción. Los siguientes son los diferentes rendimientos que podría presentar la función de producción: Rendimientos constantes de escala: los rendimientos son constantes si las cantidades producidas crecen en la misma escala que aumentan los factores. Rendimientos crecientes de escala: los rendimientos son crecientes si las cantidades producidas crecen en una escala superior de la que aumentan los factores. Rendimientos decrecientes de escala: los rendimientos son decrecientes si las cantidades producidas crecen en una escala inferior de la que aumentan los factores. El cuadro 2.4 resume una técnica utilizada para conocer el rendimiento de una función de producción o su homogeneidad.

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Cuadro 2.4 Para todo λ �1

Tipo de rendimiento

Si f(λL,λK) = λf(L,K) = λY Constantes de escala Si f(λL,λK) � λf(L,K) = λY Crecientes de escala

Si f(λL,λK) < λf(L,K) = λY Decrecientes de escala

Homogeneidad de la función de producción Homogénea de grado 1 Homogénea de grado mayor que 1 Homogénea de grado menor que 1

La homogeneidad de una función también es posible conocerla por medio del Teorema de Euler19, el cual expresa:

o

En el caso de una función de producción con dos factores (Y = f(L,K)), el Teorema de Euler queda:

19 La demostración del teorema de Euler puede ser revisada en Sydsaeter y Hammond (1996, p. 456) Universidad del Magdalena

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Figura 2.3. Rendimientos de la función de producción en el corto plazo

Ejemplo 2. 2 Los rendimientos que presenta la función de producción Cobb-Douglas se muestran a continuación:

Los rendimientos de esta función dependen de los valores de alfa y beta. Los siguientes son los tipos de rendimiento de la función: Caso 1. α + β = 1. (Homogénea de grado 1) . Rendimientos constantes Caso 2. ρ = α + β > 1. (Homogénea de grado mayor que 1)

. Rendimientos crecientes

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Caso 3. ρ = α + β < 1. (Homogénea de grado menor que 1)

Rendimientos decrecientes

Aplicando el Teorema de Euler:

Según el teorema, el grado de homogeneidad de la función depende del valor de alfa y beta. Ejemplo 2. 3 La función de producción de proporciones fijas de insumos presenta rendimientos constantes de escala:

Ejemplo 2. 4 La función de producción de insumos sustitutos presenta rendimientos constantes de escala:

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2.8 Condiciones de Inada de la función de producción En páginas anteriores, fueron expuestas las tres fases que se presentan a lo largo del tramo de la función de producción de corto plazo. Sin embargo, no todas las tecnologías pueden brindarnos las etapas comentadas. Con la función de producción neoclásica no puede elaborarse el análisis de fases porque esta cumple unos supuestos que hacen diferente su comportamiento. Entre los supuestos se encuentran las condiciones de Inada, las cuales buscan controlar los valores de los productos marginales del trabajo y del capital. La satisfacción de las condiciones obliga a que los productos marginales de ambos factores tiendan a ser nulos cuando el factor asociado es abundante (infinito). Además, que sea infinito si el factor asociado tiende a ser nulo (Sala-i-Martin, 2002, p.14). La no negatividad del PML, hace imposible establecer situaciones relacionadas con las etapas de la producción. Por ejemplo, el tramo decreciente de la función de producción no se da con funciones de producción neoclásicas. Las condiciones de Inada que se deben cumplir cuando las cantidades de los factores tienden a ser grandes son:

Además, si los factores tienden a ser escasos, las condiciones son:

2.9 La maximización del beneficio El productor en su rol de agente racional busca maximizar su beneficio en el corto plazo y, también, planea los mejores beneficios en el largo plazo. El beneficio de cada empresario competitivo se obtiene al sustraer de los ingresos derivados de las cantidades producidas, los costes causados durante el proceso de producción de esas cantidades. El empresario, entendido como un actor aceptador de precios, una vez que identifique y aplique la tecnología o la forma de cómo producir el bien, está obligado, por el principio de racionalidad, a elegir las unidades de factores que se necesitan para producir las cantidades del bien que maximiza su beneficio.

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La cantidad y los tipos de factores productivos que se desean emplear dependen de los tiempos en que se dé la producción. En el corto plazo, la empresa posee una planta establecida (maquinarias fijas), por lo que los cambios en el volumen de producción solo son posibles variando el factor trabajo. Mientras que en el largo plazo, el empresario, al planear la expansión de la planta, tiene la posibilidad de variar la producción ajustando todos los factores disponibles. El problema a resolver del productor en el largo plazo es:

Donde Π describe el beneficio. EL beneficio se expresa de la siguiente forma:

El problema de maximización ahora será:

Resolviendo la optimización, obtenemos las siguientes condiciones de primer orden:

Las ecuaciones calculadas muestran que los valores de los productos marginales de los factores son iguales a sus precios. La solución del problema de la maximización del beneficio ayuda a la obtención de las funciones de demandas de factores (l y k), beneficio (π), y oferta del bien (y) que se produce. Conocidos los precios de los factores y del bien, las demandas óptimas del trabajo (l) y del capital (k) son las que hacen máximo el beneficio. La

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función de beneficio se describe como el máximo beneficio obtenido cuando se conoce los precios tanto del bien, como los de los factores. Al igual que la función anterior, la oferta derivada de la optimización del beneficio constituye la mejor respuesta del productor a los cambios de los precios mencionados (ver cuadro 2.5). La forma de la oferta del bien depende de los tipos de rendimientos que presentan las funciones de producción. Por ello, desde los albores del análisis marginal se distinguían las curvas de oferta crecientes (positivas), perfectamente elásticas y perfectamente inelásticas (ver cuadro 2.6). Cuadro 2.5 Algunas propiedades de la funciones de beneficio, demandas de factores y oferta del bien P

Función

w

r

Beneficio

π(P,w,r)

Creciente

Decreciente

Decreciente

Demanda de L

l(P,w,r)

Creciente

Decreciente

Decreciente

Demanda de K

k(P,w,r)

Creciente

Decreciente

Decreciente

Oferta

y(P,w,r)

Creciente

Decreciente

Decreciente

Cuadro 2.6 Rendimientos de la función de producción y la función de oferta Rendimientos de la función de producción

CME

Oferta

Constantes de escala

Constante

Perfectamente elástica

Decrecientes de escala

Crecientes

Pendiente positiva

Creciente de escala

Decrecientes

Perfectamente inelástica

La figura 2.4 presenta el problema de la maximización en el corto plazo cuando la función de producción presenta rendimientos decrecientes de escala. En aras de facilitar el análisis se supone que el capital es nulo (K = 0), es decir, la producción solo depende del factor trabajo. En este caso, tenemos el siguiente beneficio:

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Al suponer un beneficio constante ( ) se obtiene la función isobeneficio, la cual muestra las combinaciones de nivel de producto y de factores que dan el mismo beneficio. En el cuadrante positivo de la figura 2.4 existen infinitas curvas de isobeneficio (mapa de isobeneficio) porque el beneficio puede tomar diversos valores. El problema se resuelve cuando la curva de la función de producción hace tangencia con la recta isobeneficio. El punto E de la figura 2. 4 muestra el máximo beneficio alcanzado con la tecnología que posee la empresa. La combinación correspondiente al punto E se refiere a la cantidades de producto y de trabajo que maximizan el beneficio. Figura 2. 4 Maximización del beneficio en el corto plazo

Ejemplo 2. 5 El siguiente ejemplo muestra cómo obtener las demandas de factores, oferta del bien y función de beneficio de una empresa que emplea una tecnología CobbDouglas con rendimientos decrecientes:

Se tiene que los beneficios de la empresa se expresan de la siguiente forma:

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El problema a resolver del productor es:

Reemplazando Y en la función objetivo y haciendo A=1, el problema queda:

Las condiciones de primer orden, igualadas a cero del problema son:

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se encuentran las demandas de factores:

La oferta del producto (y)se obtiene reemplazando las demandas de factores en la función de producción:

La función de beneficio (π) es:

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Ejemplo 2. 6 El presente ejemplo muestra la aplicación del Lema de Hotelling, en el cálculo de las demandas de factores que maximizan el beneficio y la oferta del productor, cuando se conoce la función de beneficio. La función de beneficio correspondiente a la función de producción es:

La oferta del producto se obtiene derivando la función de beneficio con respecto al precio del bien (Lema de Hotelling), de esta forma:

Las demandas de cada factor que maximiza el beneficio se calculan, derivando la función de beneficio con respecto al precio de cada factor (Lema de Hotelling). Demanda del factor trabajo:

Demanda del factor capital:

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Ejemplo 2. 7 Con base en la función de producción propuesta en el ejemplo 2.5, ahora mostramos la maximización del beneficio en el corto plazo (el factor capital se mantiene constante). Suponemos que cada cantidad tiene un precio de nueve (P = 9), el salario es igual a uno (w = 1) y el precio del capital es dos (r = 2). La función de producción de corto plazo se analiza manteniendo constante el capital. La demanda óptima de capital a los precios propuestos es:

Ahora es posible distinguir las funciones de producción según los plazos: Largo plazo ⟶

Corto Plazo ⟶

A los precios dados se obtiene la producción que maximiza el beneficio y el máximo beneficio que obtiene la empresa (ambas funciones fueron encontradas en el ejemplo 2.5).

Y

Si el beneficio de la empresa es: , Entonces, la función de la curva isobeneficio correspondiente a la maximización del beneficio será:

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Las pendientes de las funciones de isobeneficio y de producción de corto plazo son: Pendiente de Isobeneficio =

Igualando las pendientes, se obtienen L y Y de equilibrio:

Figura del Ejemplo 2. 7

2.10 Los costes de producción El coste total de producción es la adición del coste laboral (coste explícito del trabajo) y el coste de capital (coste implícito de la máquina). El coste implícito del capital se debe a que los economistas, diferenciándose de los contadores, basan el cálculo de una máquina en lo que otra empresa o persona está dispuesta a pagar por su uso (el valor de uso de una hora de la máquina es su tasa de alquiler en su mejor uso alternativo) y no como suelen hacer los contadores que obtienen el coste utilizando una regla de depreciación (Nicholson, 2003). La ecuación del coste total es: C = wL + rK, Universidad del Magdalena

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Donde w y r son constantes positivas (el empresario acepta el precio de mercado de cada factor) que expresan los precios de la hora de trabajo y una hora de uso de la máquina, respectivamente. En aras de graficar los costes totales en el plano cartesiano, es necesario suponerlos constantes, obteniéndose, de esta manera, una función de grado uno con dos variables endógenas (L, K). Esta función es conocida con el nombre de isocoste y muestra todas las combinaciones de factores de la producción que tienen el mismo coste total, ceteris paribus. = wL + rK La pendiente de la función se puede observar despejando la variable K:

El primer término es el intercepto en la ordenada y el segundo (razón negativa de los precios de los factores) es la pendiente. La pendiente del isocoste evidencia la cantidad de unidades de capital que se deben renunciar para obtener, a cambio, una unidad adicional de trabajo, sin que varíe el coste total. La figura 2.5a muestra la expansión del isocoste o su desplazamiento total hacia la derecha cuando aumenta los costes y los precios de los factores permanecen constantes. La situación de la figura 2.5b es diferente. Esta muestra el giro del isocoste hacia la derecha cuando disminuye solo el precio de un factor. Figura 2. 5 Isocostes

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2.11 La función de coste mínimo (minimización del coste) Un empresario o productor que tenga definida una meta específica de cantidades del bien que planea producir, debe tomar decisiones en relación a las cantidades de insumos productivos necesarios para la consecución de dicha meta. El principio de racionalidad o de eficiencia económica le impone al empresario la elección del proceso de producción (combinación de factores productivos) que cumpla la meta propuesta con el menor coste posible. La función de coste muestra el coste mínimo que se incurre cuando se logra producir unas cantidades específicas del bien. El análisis de la función en el corto plazo supone costes variables (CV) y costes fijos (CF), mientras, en el largo plazo, todos los costes son variables. Figura 2. 6 La minimización de coste.

La figura 2.6 ilustra el problema de la minimización del coste. El empresario busca cumplir una meta de producción con una tecnología que esté a su alcance y que le ocasione el menor coste. Gráficamente selecciona la isocuanta que le proporciona la cantidad del bien que requiere y escoge el isocoste necesario para tal fin. La minimización se logra en el punto de tangencia entre la isocuanta y el isocoste (puntos E de la figura 2.6a), y las demandas de factores relacionadas a esta situación, se denominan demandas condicionadas a la producción o demandas compensadas. La figura 2.6b muestra los aumentos en las demandas condicionadas de factores y el coste, cuando el empresario decide expandir el nivel de producción.

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Cuadro 2.6 Algunas propiedades de las funciones de costes y de las demandas condicionadas Función

Y

w

r

Costes

c(Y, w, r)

Creciente Creciente

Demanda condicionada de L

l(Y, w, r)

Creciente Decreciente Creciente

Demanda condicionada de K

k(Y, w, r)

Creciente Creciente

Creciente Decreciente

Con base en la función de costes, se obtienen las funciones de costes medios y coste marginal. El coste medio muestra el coste promedio de producción por unidad producida y el coste marginal indica lo que cuesta producir una unidad adicional del bien. Cuadro 2.7 Resumen de los costes Corto plazo C (Y) = CV (Y) + CF

CV: Coste variable. CF: Coste fijo

CME = (c(Y)) ⁄ Y

CME: Coste medio

CM = dc / dY

CM: Coste marginal

CVME = CV / Y CFME = CF / Y

CVME: Coste variable medio CFME: Coste fijo medio Largo plazo c = cv

CM = dc/dY

2.11.1 La función de coste de la tecnología Cobb-Douglas La función de coste de Y = Lα Kβ, se obtiene resolviendo el siguiente problema de optimización:

El problema planteado se resuelve con la función lagrangiana o por igualación de pendientes:

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Método de Lagrange

Igualación de pendientes

Reemplazando las demandas condicionadas de factores en el coste (C), se obtiene la función de coste (c):

El comportamiento de los costes medios asociados a la función Cobb-Douglas depende de los valores que tomen alfa y beta. Universidad del Magdalena

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Caso 1. α + β = 1. En este caso la función de coste tiene la siguiente forma:

El coste medio asociado es: constante Caso 2. ρ = α + β > 1.

Con α + β > 1, la función de coste tiene la siguiente forma:

El coste medio asociado es:

Debido a que

el CME es decreciente

Caso 3. ρ = α + β < 1.

Con α + β < 1, la función de coste tiene la siguiente forma: El coste medio asociado es:

Debido a que

, el CME es creciente

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2.11.2 La función de coste de la tecnología con factores de proporciones fijas La función de producción que muestra la complementariedad entre factores es:

Donde α describe las unidades de trabajo que se requieren por cada unidad de capital utilizado y β describe las unidades de capital que se requieren por cada unidad de trabajo utilizado. En el vértice de la curva isocuanta se cumple que:

Despejando cada factor obtiene que:

y

Reemplazando (1) y (2) en la ecuación CT = wL + rK, obtenemos la función de costes (c):

Cuando α = β = 1, los factores productivos se complementan de forma perfecta y la función de costes se reduce a la siguiente: c(Y, w, r) = (w + r)Y

2.11.3 La función de coste de una tecnología con factores sustitutos Una función de producción de dos factores sustitutos se escribe de la forma Y = αL + βK. La tasa marginal de sustitución técnica de este tipo de funciones es una constante negativa:

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Con relación a la función de isocoste, en la sección 2.10 se mostró que su pendiente es la razón negativa de los precios de los factores,

La minimización del coste entre dos funciones lineales que grafican rectas monótonas decrecientes, se resuelve realizando un análisis de relación de las pendientes. A continuación, se muestra la solución del problema de minimización. Cuadro 2.8 Relación de pendientes

Función de coste

Si

L=0y

Si

K=0y

Argumento La isocuanta es más vertical que el isocoste y la solución está en la esquina de K La isocuanta es más horizontal que el isocoste y la solución está en la esquina de L

Ejemplo 2. 8 La función de costes correspondiente a la función de producción se obtiene, reemplazando, alfa y beta en la función de coste obtenida en la sección 2.11.1:

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La función de oferta del bien se obtiene igualando el precio al coste marginal (con w = r = 1):

Ejemplo 2. 9 Encontrar la función de costes asociada a la función de producción Además, calcular los costes marginales (CM) y costes medios (CME).

.

Ejemplo 2. 10 Con base en la siguiente función de costes de corto plazo, se obtendrá las funciones de coste medio, coste variable medio, coste marginal y oferta del bien. Siendo c= Y3– 6Y2 + 37Y + 392 una función de coste de corto plazo, la función de coste medio es:

Derivando el CME obtenemos las cantidades del bien que lo hacen mínimo:

Al despejar, se tiene Y = 7 y CME = 100

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También podemos obtener el CVME: CVME = Y2 – 6Y + 37

Tal como se hizo con el coste medio, ahora se deriva el coste variable medio para conocer su mínimo valor Tenemos que Y = 3 y CVME = 28 Los dos pares de punto obtenidos corresponden, respectivamente, al valor mínimo de cada función de costes, ya que

y

Para hallar el coste marginal (CM) derivamos la función de coste así:

La siguiente es la gráfica de las tres funciones de coste encontradas: Figura del Ejemplo 2. 10

Es fácil comprobar que la curva de coste marginal corta a las curva de coste medio y coste variable medio en su valor mínimo.

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La función de oferta de una empresa que pertenece al mercado competitivo se obtiene igualando el precio al coste marginal, aunque no todo el coste marginal constituye la oferta. En este caso tenemos: P = CM = 3Y2 – 12Y + 37 Despejando Y y analizando la curva de coste variable medio, la oferta es: Función de oferta

Análisis del CVME

Curva de coste marginal

Y=f(P)=0

Si CVME < 28

Tramo de la curva donde la empresa cierra 

Si CVME > 28

Tramo de la curva donde la empresa produce con pérdidas y produce con beneficios 

La decisión del empresario con respecto al cierre de la empresa se analiza en el cuadro siguiente: Decisión del empresario

Argumento

Cerrar 

En esta situación no son recuperables los costes fijos y si funciona pierde además los costes variables.

CVME ≥ 28 y CME ≤ 100

Funcionar

La situación permite recuperar los costes variables y parte de los costes fijos.

CME > 100

Funcionar

Ambos costes son recuperables, obteniéndose un beneficio.

CME y CVME

CVME < 28

2.12 Elasticidad de sustitución La elasticidad de sustitución (ƐS) de una isocuanta indica qué tan sensible es la variación de la TMST cuando se presentan variaciones en el cociente capital-

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trabajo (K/L). Dado que la TMST varía en el mismo sentido, la ƐS es siempre positiva:

Para un valor significativo de la ƐS, la TMST no experimenta variaciones significativas en relación a cambios en K/L, dado que la curva isocuanta tiende a ser plana. Pero si el valor de la ƐS es mínimo, la TMST variaría, significativamente, al cambiar K/L, por lo que la curva isocuanta será más curvada (Nicholson, 2008, p. 194). Ejemplo 2. 11 La función de producción Cobb-Douglas presenta una elasticidad de sustitución constante. En este ejemplo obtenemos la elasticidad en mención: Si la función de producción es Y = ALα Kβ, entonces:

2.13 Efectos sustitución y efecto producción En el largo plazo, la variación del precio de un factor, con todo lo demás constante (otros precios de factores, tecnología, etc.), hace que ocurran los efectos denominados sustitución y producción. El primero muestra las cantidades demandadas de factores que se deben al cambio de los precios relativos de los factores, permaneciendo constante el nivel de producción. El segundo explica las

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cantidades de factores que se demandan cuando varía la producción, la cual es influenciada por la variación de los costes de producción. Figura 2.7 Efecto sustitución y producción

Fuente: Nicholson (2008, p. 267)

La figura 2. 7 ilustra los efectos sustitución y producción cuando disminuye el precio del trabajo. Inicialmente, la producción está en el nivel y1 representada por la isocuanta donde aparecen los puntos A y B, y una disminución del salario logra hacer más horizontal la curva de isocoste, dándose una nueva tangencia con la isocuanta correspondiente a la situación de equilibrio del punto B. Entre A y B existe sustitución de capital por trabajo, debido a los cambios de los precios relativos de los factores. Las fluctuaciones de los precios de los factores afectan los costes de producción. La diminución del salario desplaza, descendentemente, la curva de coste marginal. Con relación a esta nueva curva, en la cantidad y1, el ingreso marginal20 es mayor al coste marginal y el comportamiento racional del empresario lo lleva a igualar el ingreso marginal con el coste marginal, dicho de otro modo, decide incrementar la producción en y2. El aumento de la producción incrementa la demanda condicionada del factor trabajo (punto C).

20 En competencia perfecta el precio es el ingreso marginal Universidad del Magdalena

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Ejemplo 2. 12 y las Una vez más, consideramos la función de producción funciones de demanda de factores de la producción, oferta y costes obtenidos en los ejemplos 2.5 y 2.8 para calcular los efectos sustitución y producto, derivados de una disminución del precio del trabajo. Para el análisis estático comparativo, supondremos los siguientes precios de las situaciones inicial y final: Situación Inicial Final

P

w

r

120 120

10 5

20 20

Las siguientes son las funciones que ayudarán al análisis: Funciones

Ecuación

Demanda de trabajo Demanda de capital Oferta Costes

Reemplazando los precios de las situaciones inicial y final en las ecuaciones anteriores, conocemos las demandas de factores y la oferta del bien de las dos situaciones. Además, la oferta nos ayuda a conocer los costes.

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Funciones

Situación inicial

Situación final

Demanda óptima de trabajo

32

128

Demanda óptima de capital

16

32

Oferta

8

16

Costes

640

1280

Ahora creamos una situación intermedia, obteniendo el monto del coste necesario que, a los precios finales de los factores, permite producir las cantidades de la situación inicial. Reemplazando los precios finales y la producción inicial, se calcula el coste relacionado con la línea isocoste de la situación intermedia:

Isocoste: 452,54 = 5L + 20K Remplazando los precios finales y la producción inicial en las demandas condicionadas de factores, se calcula las demandas de la situación intermedia así:

Funciones

Situación intermedia

Demanda óptima de trabajo

45.25

Demanda óptima de capital

11.31

Oferta

8

Costes

452.54

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Con las situaciones anteriores, se obtienen los siguientes efectos sustitución y producción: Efectos

Situación intermedia

Sustitución

(45.25-32) =13,25

Producción

(128-45.25) = 82.75

Figura del Ejemplo 2. 12

Resumen La función de producción muestra las máximas cantidades de bienes o servicios que se producen por medio de la combinación de factores productivos. Los tipos de tecnología más comunes son la Cobb-Douglas, de proporciones fijas y la de los insumos sustitutos. Las curvas de nivel de la función de producción se llaman isocuantas, y son utilizadas para representar infinitas combinaciones de factores productivos que proporcionan el mismo nivel de producción. La pendiente de una isocuanta es la TMST de L por K y es igual a la razón negativa de los productos marginales. Algunas tecnologías no son diferenciables y, por ende, no tienen TMST; la función de proporciones fijas es un ejemplo de este caso. La solución del problema de la maximización del beneficio exige que la función de producción no presente rendimientos crecientes de escala. En cuanto a la optimización, se extraen las demandas de factores productivos que maximizan el beneficio, la oferta del bien y el máximo beneficio posible (función de beneficio). Las tres funciones son crecientes frente al precio del bien y decreciente frente

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al precio de los factores. La función de oferta muestra la repuesta óptima del productor cuando varía el precio del bien, ceteris paribus. Por otro lado, de la minimización de los costes se obtienen las demandas condicionadas de factores y la función de coste. Ambos instrumentos están en función de las cantidades que se desean producir y de los precios de los factores. Una mayor producción hace crecer, tanto las demandas condicionadas, como la función de coste. Además, mientras que las funciones de demanda condicionadas son decrecientes, frente al aumento de los precios de los factores, la función de coste es creciente al aumento de estos mismos precios. Si un empresario minimiza el coste, también maximiza beneficio. Cuando la función de producción presenta rendimientos decrecientes, el coste medio asociado y la función de oferta son crecientes (ley de la oferta). Ahora bien, si la primera función tiene rendimientos crecientes, entonces, el coste medio es decreciente y la curva de oferta es vertical o de pendiente infinita. Por último, cuando los rendimientos son constantes, el coste medio es constante y la oferta es fija. La teoría de la oferta supone la no existencia de rendimientos crecientes en la función producción o tecnologías. EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1 En las siguientes funciones de producción, determine si los rendimientos son constantes, decrecientes o crecientes: A. Y = (K1/4 + L1/4)6 B. C.

Y = (Lρ + Kρ) 1⁄ρ

Y = min(2L,K)

2.2 Suponga que una empresa tiene una función de producción de la siguiente forma: Y = 90L2K2 – L3K3, donde L es cantidad de trabajo y K es capital. Si en el corto plazo el capital es constante, es decir, K = 10. Se requiere: A.

Encontrar el producto marginal del trabajo (PML) y el producto medio (PMe) en el corto plazo.

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B.

Encontrar las cantidades de trabajadores que maximizan la producción, el producto marginal del trabajo y el producto medio.

C.

Graficar la producción máxima, PML y PMe. Además, determine, en la gráfica, las fases de la producción.

2.3 Demuestre si las siguientes funciones de producción cumplen las condiciones de Inada: A. Y = 100L2⁄5 K1⁄5 B.

Y = 20L2 K

2.4 La microempresa de Trinidad, Belleza Trini, ofrece el servicio de cortes de cabello en un mercado competitivo. El precio de un corte de cabello es $20 y los costes están determinados por:

A.

c = 0.1Y2 + 10Y+50, donde Y representa los cortes de cabello al día

B.

Calcule la ganancia máxima diaria de Trinidad

C.

¿Cuál es la función de oferta de Belleza Trini?

¿Cuántos cortes debe hacer Trinidad para maximizar sus ganancias?

2.5 La empresa Inver Agro S.A. cultiva y procesa palma africana, combinando maquinarias y mano de obra. La siguiente es su función de producción: Y = 2L1⁄2 + 10K1⁄2 P = 100, el salario es 20 y el precio del capital es 10. A.

En el corto plazo (K = 100), encuentre la demanda de trabajo que maximiza el beneficio, cantidad de trabajo, función de oferta y el beneficio máximo.

B.

En el largo plazo, halle la demanda de trabajo y capital que maximiza el beneficio, cantidad de trabajo y capital, función de oferta y el beneficio máximo.

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2.6 Considere la función de producción del ejercicio anterior. Encuentre las demandas condicionadas de factores y la función de coste de la empresa Inver Agro S.A. 2.7 Encuentre la función de coste de las siguientes funciones de producción, suponga que: w = 2 y r = 8 A. B.

F(K,L) = min (2K,3L) F(K,L) = 10L + 50 K

2.8. Vías 4G S.A.es una empresa que emplea maquinarias (capital físico) y mano de obra en la construcción de carreteras modernas. La empresa presenta la siguiente función de beneficio:

Con base en la función de beneficio de la empresa, calcule la oferta y las funciones de demanda de cada factor que maximizan el beneficio. 2.9 La función de coste de la empresa Moda In S. A. es: c = Y3–12Y2 + 100Y + 400. Se requiere: A.

Calcular la ecuación de coste medio y las cantidades que hacen mínimo este coste.

B.

Calcular la ecuación de coste marginal y las cantidades que hacen mínimo este coste.

C.

Determinar la oferta de la empresa Moda In.

2.10 Suponga la siguiente función de coste. Se requiere:

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A.

Calcular las funciones de demanda compensadas de los factores trabajo y capital.

B.

Obtener la función de producción asociada a la función de coste de este ejercicio.

Capítulo 3 ANÁLISIS DE EQUILIBRIOS DE LOS MERCADOS DE COMPETENCIA PERFECTA

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3.1 La demanda y la oferta del mercado competitivo El mercado competitivo de un bien o servicio exige el cumplimiento de una serie de supuestos indispensables para el desarrollo de las transacciones mercantiles. Entre los supuestos se destacan la afluencia de muchos compradores y vendedores, comercialización de un bien homogéneo, libre entrada y salida del mercado, racionalidad de los agentes participantes, información perfecta y libre movilidad de factores. En el mercado competitivo concurren dos fuerzas antagónicas, las cuales provienen de conductas que representan intereses opuestos: la demanda y la oferta. Mientras que la función de demanda del mercado de un bien agrega las funciones de demandas observadas en cada consumidor, la función de oferta del mercado es la agregación de las funciones individuales de oferta que muestra cada productor. La primera de las funciones mencionadas muestra la respuesta racional de los consumidores con relación a las cantidades pretendidas cuando varía el precio; la segunda, agrega las cantidades ofrecidas por los productores a diferentes precios. Las funciones de demanda y oferta de un bien, de consumidores y productores, solo muestran la relación entre las cantidades y su precio, los demás determinantes deben permanecer constantes (ceteris paribus). El cuadro 3. 1 describe la relación de ambas fuerzas del mercado. Cuadro 3. 1 Función de demanda del mercado

Función de oferta del mercado

Las pendientes de las funciones de demanda y oferta se analizan a continuación:

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3.2 Demanda, oferta y las elasticidades La elasticidad21 se asocia al concepto de sensibilidad entre las variables del mercado. Es un instrumento que cuantifica la razón de las variaciones porcentuales presentadas por dos variables. Del lado de la demanda, se analizan la elasticidad precio (sensibilidad entre las cantidades y el precio), elasticidad renta (sensibilidad entre las cantidades y la renta) y la elasticidad cruzada (sensibilidad entre las cantidades de un bien y el precio de un bien diferente). Asimismo, el análisis de sensibilidad se hace en el comportamiento de la oferta, aunque solo se cuantifica la elasticidad precio. Elasticidad precio de la demanda Las fluctuaciones del precio de un bien o servicio provocan variaciones en las cantidades demandadas en mayor, menor o igual proporción a la variación del precio. El grado de sensibilidad entre las cantidades y el precio se determina por medio de la medición de la elasticidad precio de la demanda (Ep). Cuando las cantidades de demanda varían en mayor proporción a la variación del precio, se dice que el bien presenta una elasticidad elástica. Si por el contrario, las cantidades demandadas varían en menor proporción al precio, se está en presencia de una elasticidad inelástica (ver cuadro 3.2). En caso de cambios proporcionales iguales entre cantidades y precios, la elasticidad precio de la demanda es unitaria. A continuación, se describe la elasticidad precio de la demanda de un bien específico:

21 La formalización de la elasticidad se conoció a finales del siglo XIX por el economista Alfred Marshall (Marshall, 1936)

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Cuadro 3. 2 Ep

|Ep|

Tipos de elasticidades

Menor que -1 

Mayor que 1 

Elástica 

Mayor que -1 

Menor que 1 

Inelástica 

Igual a -1 

Igual a1 

Unitaria 

Igual a 0 

Igual a 0 

Perfectamente inelástica 

Infinita

Infinita 

Perfectamente elástica 

Figura 3.1. Curvas de demanda y elasticidad precio de la demanda

El promedio de la elasticidad precio de la demanda entre dos puntos pertenecientes a la curva de demanda, se obtiene por medio de la elasticidad arco de la demanda (EA): Tener elasticidades bajas o altas va a depender del tipo del bien que se analice. Entre más sustitutos posea un bien, más sensibles son sus cantidades demandadas al variar su precio. Estos tipos de bienes presentan curvas de demanda más planas (ver figura 3.1d), en comparación a la curva de demanda casi vertical de los bienes de escasos sustitutos y con elasticidades inelásticas (ver figura 3.1c). Universidad del Magdalena

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Elasticidad renta de la demanda Otra medida interesante de la razón entre variaciones porcentuales es la elasticidad renta (ER), la cual cuantifica el grado de sensibilidad presentado por las cantidades demandadas cuando varía la renta de los consumidores, manteniéndose constante los otros factores determinantes de la demanda. Los cambios de la renta podrían provocar variaciones en las cantidades demandadas de bienes y servicios. Una elasticidad renta negativa describe la relación inversa entre la renta y las cantidades (bienes inferiores), mientras la elasticidad renta positiva revela la misma dirección de cambio en la renta y las cantidades (bienes normales). La fórmula de la elasticidad renta y la clasificación de los bienes según el valor de la elasticidad se muestran a continuación:

Cuadro 3. 3 Tipos de bienes

ER Menor que cero

Inferior

Mayor que Menor que 1 cero Mayor que 1

Normal necesario

Igual a cero

Neutral a los cambios en la renta

Normal de lujo

Elasticidad cruzada de la demanda En el conjunto de bienes y servicios de mercado, se encuentran, algunas veces, bienes o servicios que son sustitutos o complementarios de otros. Conocer un instrumento que revele las relaciones entre bienes es indispensable para el análisis económico. Por ello, la importancia de la elasticidad cruzada de la demanda (Ec) radica en brindar un indicador que muestre cómo se encuentran relacionados un par de bienes. Si existe relación y la elasticidad es positiva, se concluye que los bienes son sustitutos, pero si esta es negativa, los bienes se complementan:

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Cuadro 3. 4 EC Mayor que cero Menor que cero  Igual a cero 

Tipos de bienes Sustitutos  Complementarios  Los bienes no están relacionados

Elasticidad precio de la oferta Al igual que en la demanda, la elasticidad precio de la oferta (EO) constituye un indicador del grado de sensibilidad entre las cantidades ofrecidas y los cambios que experimenta el precio de un bien determinado. En el análisis de oferta, también son posibles diferentes tipos de elasticidades. Si las cantidades varían en la misma proporción del cambio dado en el precio, la elasticidad es unitaria, pero si la proporción de variación de las cantidades es diferente a la proporción observada en el precio, la elasticidad puede ser elástica (mayor proporción de variación de la cantidad) o inelástica (menor proporción de variación de la cantidad).

Cuadro 3. 5 EO Menor que 1 Mayor que 1 Igual a 1 

Tipos de elasticidades Elástica  Inelástica  Unitaria 

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3.2.1 Elasticidad precio de la demanda y el ingreso marginal El ingreso marginal (IM) del productor es el ingreso recibido por la venta de una cantidad adicional del bien o servicio que se produce. El ingreso marginal se obtiene de la siguiente forma:

Los cambios del ingreso total obedecen a cambios en los precios y/o cambios en las cantidades: dIT = Px (dX)+X(dPx)

Dividiendo la expresión anterior por dX, tenemos:

Si la variación de las cantidades no tienen efectos en los precios (dPx ⁄ dX = 0), el ingreso marginal es igual al precio y, se considera que la empresa funciona en un mercado competitivo, es decir, es precio aceptante (Nicholson, 2008, p. 252). El ingreso marginal también puede reescribirse de la siguiente forma:

Siendo la

, entonces, se tiene que:

Si la demanda tiene una elasticidad perfectamente elástica (|Ep| = ∞), el ingreso marginal es igual al precio y la empresa pertenece a un mercado de competencia perfecta. Los demás tipos de elasticidad se resumen en el cuadro 3.6.

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Cuadro 3. 6 Elasticidad Unitaria Elástica Inelástica

Ingreso Marginal Igual a cero Mayor que cero Menor que cero

3.3 El equilibrio parcial del mercado de competencia perfecta El concepto de equilibrio parcial22 del mercado competitivo está relacionado con la igualdad de las fuerzas que emanan de él. Consumidores y productores, con intereses contrarios, interactúan hasta conseguir el precio que permite el vaciado del mercado de un bien o servicio, en otras palabras, la demanda es igual a la oferta o el exceso de demanda se hace nulo. El gráfico del equilibrio del mercado se representa con la cruz marshalliana (ver figura 3. 2). Figura 3.2. Equilibrios del mercado y excesos de demanda y oferta

22 Alfred Marshall ideó la técnica del equilibrio parcial en el estudio de la economía. De forma similar a la física de Newton, propone en un nivel teórico la técnica del ceteris paribus aplicada a un cúmulo de variables económicas, con el fin de facilitar la compresión de los problemas complejos. Aunque su método afecta el realismo del fenómeno estudiado, no deja de ser importante debido a que permite entender de forma sencilla el efecto de una cosa a la vez. Landreth y Colander (2002, p. 290) tienen razón al afirmar que la metodología “consiste, primero, en limitar estrechamente el problema a un marco de equilibrio parcial, manteniéndose la mayoría de las variables constantes, y luego ampliar el alcance del análisis lenta y cuidadosamente permitiendo que otras cosas varíen”. Universidad del Magdalena

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Precios diferentes al de equilibrio provocan los excesos de demanda del bien. Un precio superior al de equilibrio provoca un exceso de demanda negativo o exceso de oferta (ver figura 3.2b) y uno inferior, trae como resultado los excesos de demanda positivos (ver figura 3.2c). Ejemplo 3. 1 Suponga un mercado competitivo de piezas de pan compuesto por las siguientes funciones de demanda y de oferta:

Donde R es la renta promedio de todos los consumidores. Con base en la información del mercado del pan, se requiere: A. Encontrar el precio y la cantidad de equilibrio si los consumidores tienen una renta promedio de 40 u/m. B. ¿Cuál es el precio que produce un excedente de demanda igual a 20 piezas de pan? Además, ¿Cuál es el precio que produce un excedente de oferta igual a 10 piezas de pan? C. ¿Cuál sería el nuevo equilibrio si la renta de los consumidores se duplica? Solución A.

Precios y cantidades de equilibrio:

En el equilibrio:

Xo = 2 + 2 P x

Xd = 52 – 3Px Xd = Xo

2 + 2Px = 52 – 3Px

px=10; xo = xd = 22

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B.

Precio que produce un excedente de demanda igual a 20 piezas de pan: Xd – Xo = 20

(52 – 3Px) – (2 + 2Px) = 20 Px = 6

Precio que produce un excedente de oferta igual a 10 piezas de pan: Xo – Xd = 10

(2 – 2Px) – (52 + 3Px) = 10 C.

Px = 12

Equilibrio con una renta duplicada (R= 80): Xo = 2 + 2Px

En el equilibrio:

Xd = 92 – 3Px Xd = Xo

2 + 2Px = 92 – 3Px

Px = 18; Xo = Xd = 38

3.4 Bienestar de los consumidores. El caso de los excedentes Un análisis detallado de la curva de demanda de los consumidores muestra la disposición a pagar o el precio de reserva que se tiene por cada unidad de consumo. La curva decreciente de la demanda indica que los agentes valoran de forma distinta las cantidades de bienes que desean. En la figura 3.3, se observa que un consumidor paga un precio superior a Px para todas las cantidades inferiores a x, pero como el mercado le brinda la posibilidad de pagar Px, la adquisición de estas cantidades generan un ahorro derivado de la diferencia entre el precio de compra y la disposición a pagar. En esta situación, los consumidores se benefician porque, al precio de equilibrio, sus gastos son menores de lo que habían proyectado. El área A de la figura 3.3 se le denomina excedente o superávit de los consumidores.

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Figura 3.3 Excedente de los consumidores y productores

Del lado de la oferta, también aparecen los excedentes o superávits. En la misma figura 3.3, se observa para cualquier cantidad menor a la del equilibrio unos precios de oferta menores al precio que vacía el mercado. Los productores obtienen un mayor beneficio si venden al precio de equilibrio, dado que los ingresos totales obtenidos con estos precios son mayores a los esperados en cada punto de la curva de oferta. El área B recibe el nombre de excedente o superávit del productor. Ejemplo 3. 2 Con la función de demanda , calcule el excedente del consumidor cuando se adquieren 8 unidades del bien X:

Si Xd = 8, entonces:

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El precio máximo es cuando Xd es cero, por lo que Px(max) = 25

Figura del ejemplo 3.2

Ejemplo 3.3 Calcule los excedentes de los consumidores y productores en un mercado que se encuentra en equilibrio con las siguientes funciones oferta y demanda:

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Solución Antes de calcular los excedentes, se obtienen el precio y las cantidades de equilibrio.

Figura del ejemplo 3.3

Excedente de los consumidores:

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Excedente de los productores:

3.4.1 Variación compensada. El caso de un consumidor La variación del precio de un bien causa cambios en el nivel de bienestar de los consumidores. Frente a incrementos en el precio de un bien, es posible cuantificar la compensación necesaria que el consumidor requeriría para no experimentar pérdidas de su bienestar. Un instrumento para analizar la relación entre los precios y el bienestar, es la función de gasto (Nicholson, 2007), debido a que la cuantía de la variación compensatoria depende de los cambios en el nivel de gasto que se originan por cambios en los precios. La variación compesada (VC) se calcula de la siguiente forma:

El siguiente ejemplo ilustra la variación compensada. Ejemplo 3.4 Si un consumidor tiene una utilidad igual a 50, la cual es alcanzada con la función y los precios de los bienes son , de utilidad se requiere calcular la variación compensada si el precio del bien 1 se incrementa en 100 u/m.

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Solución La función de gasto asociada a la función de utilidad es:

Precios iniciales: Precios finales: A los precios iniciales el nivel de gasto es:

Y a los precios finales el gasto es:

La variación compensada correspondiente es:

También la variación compensada se puede obtener a partir de la función de demanda compensada de la siguiente forma:

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Figura del ejemplo 3.4

3.5 El equilibrio general competitivo León Walras es considerado uno de los mejores exponentes de la escuela neoclásica y sus postulados fundamentan la teoría del equilibrio general competitivo.23 Sus contribuciones dieron inicios y afianzaron una metodología diferente a la expuesta

23 En el año 1984 aparece la primera versión del libro Éléments D´économie Politique

Pure, ou Théorie de la Richesse Sociale, donde Walras empieza a mostrarle al mundo los fundamentos del equilibrio general. Las contribuciones que hizo Walras a la teoría económica es reconocida por economista de la talla de Joseph Schumpeter, quien afirmó: “…en el terreno de la teoría pura, Walras es el economista más grande”. (Schumpeter, 1971. p. 905). Universidad del Magdalena

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por Marshall, la cual consistió en el análisis conjunto de todos los mercados en un mundo de competencia perfecta. El equilibrio se alcanza por medio del mecanismo de precios, sin abandonar las condiciones neoclásicas que cumple la relación mercantil, por ejemplo, la libertad de los mercados, racionalidad e individualismo metodológico. 3.5.1 El intercambio puro y la caja de Edgeworth La caja de Edgeworth24 es una herramienta gráfica que ayuda a comprender el intercambio mercantil entre dos agentes (A y B) cuando poseen dos mercancías (X, Y) con disposición a negociarlas. Los agentes se presentan al mercado con un conjunto de dotaciones iniciales de mercancías (X y Y) y esperan mejorar su situación o grado de felicidad mediante el proceso de comercio o negociación. A continuación se describen las variables del análisis de intercambio: Cuadro 3. 7 Variables

Descripción

D

Conjunto de dotaciones iniciales. Son las cantidades de las mercancía y que los agentes llevan al mercado Dotaciones iniciales que tiene el agente A de X y Y Dotaciones iniciales que tiene el agente B de X y Y Demandas brutas o marshallianas del agente A de X y Y Demandas brutas o marshallianas del agente B de X y Y Demandas netas del agente A de X y Y Demandas netas del agente B de X y Y

Ex Ey

Excesos de demandas de X Excesos de demandas de Y

24 Lozano, Villa, & Monsalve (2002, p. 16) afirman que quizás fue Fracis Edgeworth “quien utilizó por primera vez este instrumento para mostrar la relación que existe entre los equilibrios competitivos o walrasianos y las asignaciones óptimas.”

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El modelo de intercambio puro se desarrolla considerando los supuestos del mercado de competencia perfecta. Además, propone la existencia de instrumentos o instituciones ad hoc para el buen funcionamiento del mercado, como son: un bien numerario, el subastador, y la caja de compensación. El numerario es un bien del mercado que al igualar su precio a la unidad se convierte en referencia para valorar los otros bienes. Este instrumento es usado con el fin de evitar los problemas provocados por el dinero en el modelo, los cuales se derivan de las funciones desempeñadas por este en la economía: medio de cambio, unidad de cuenta y depósito de valor25. La caja de compensación de pagos es una institución que garantiza la ausencia de costes de transacción. (Cataño, 2004, p. 196 y Debreu, 2001. p. 31). El subastador o secretario del mercado es el encargado del tâtonnement, el cual es un proceso de tanteo necesario para determinar los precios de equilibrio, ex ante al intercambio. Respecto al tâtonnement, Ackerman (2013) expone: “En el equilibrio general walrasiano, los precios se ajustan mediante un proceso de tanteo (tâtonnement): la tasa de cambio en el precio de cualquier mercancía es proporcional a la demanda excedente de la mercancía, y no se efectuarán intercambios hasta que se alcancen precios de equilibrio” (p. 30).

La demanda neta de un bien o mercancía muestra el saldo entre las dotaciones que inicialmente se tenían de ese bien y la demanda bruta o marshalliana propia del agente poseedor del mismo bien. Con las demandas netas de los bienes que tienen cada uno de los agentes, se construyen las funciones de excesos de demanda, siendo esta función igual a la suma de las demandas netas que tienen los agentes A y B de un bien particular: Demanda neta del agente A Demanda neta del agente B

25 Keynes (2014, P. 177) diferenciaba tres clases de preferencia por la liquidez. El dinero para hacer operaciones corrientes de cambio es demandado por motivo transacción. La función del dinero de unidad de cuenta se debe al motivo precaución. Por último, el dinero es demandado por motivo especulación ya que al considerarlo como reserva de valor, es posible obtener ganancias cuando se apuesta acerca del futuro de los mercados. Universidad del Magdalena

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Función de excesos de demanda de X Función de excesos de demanda de Y Figura 3.4. Caja de Edgeworth y curva contrato del consumo

El propósito de mejorar el bienestar induce a los agentes a aumentar el consumo de los bienes llevados al mercado hasta que el proceso de negociación lo permita o hasta que se agote la zona de comercio (ver figura 3.4a). Cada vez que un agente pueda aumentar su bienestar sin empeorar a los demás, se produce una mejora paretiana. Las situaciones, en las cuales no es posible alcanzar nuevas mejoras, en el sentido paretiano, se denominan óptimos de Pareto y son entendidas como aquellas donde no es posible mejorar a un agente sin empeorar al otro. La caja de la figura 3.4b muestra infinitos óptimos de Pareto y ubicados en la trayectoria geométrica llamada curva de contrato o conjunto de Pareto. Inclusive, los puntos de los orígenes de cada agente, en este caso, son óptimos de Pareto porque, al estar en uno de ellos, se observa que solo un agente es dueño de todas las cantidades de las mercancías del intercambio y la única forma de lograr que el otro comience a tener algo, es quitarle al que tiene todo. Por esto, aunque socialmente los orígenes son situaciones injustas o no deseables, estos constituyen óptimos de Pareto. El siguiente ejemplo ilustra el óptimo de Pareto:

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Llegada la navidad, una fundación decide obsequiar una cena navideña a todos los hombres recluidos en una prisión estatal. Cada plato otorgado a los reclusos está acompañado o bien con una porción de pavo, o bien con una porción de cerdo. Las comidas servidas son colocadas en el comedor de la prisión y los reos son situados, aleatoriamente, en cada puesto alrededor de las mesas. La nueva situación de los reos es, definitivamente, mejor a aquella en la que no tenían las comidas, sin embargo, puede acontecer que algunos reos no estén conformes con el tipo de carne puesto en su plato. Esto puede explicarse por sus gustos particulares u otros factores como la religión (creencias que prohíben el consumo de carne de cerdo). Los reclusos inconformes tienen incentivos de negociar la comida que les tocó. Así las cosas, dos reclusos deciden, voluntariamente, intercambiar sus platos logrando mejorar su bienestar. Esta tercera situación es mejor que las dos anteriores porque produce un mayor bienestar social. Una cuarta situación aparece cuando dos reos más, también realizan un intercambio favorable para ambos. La cuarta situación supera a las anteriores porque sigue aumentando el bienestar social. Pero, ¿qué pasaría si aún queda un preso dispuesto a negociar su plato, pero ningún otro está dispuesto a intercambiar el suyo? En caso de presentarse una quinta situación, la única forma de llegar a satisfacer al preso que desea negociar es sacrificando el bienestar de cualquier otro, originándose una pérdida del bienestar social. Entre todas las situaciones comentadas, solo la cuarta es eficiente en el sentido de Pareto, porque, después de esta situación, no es posible mejorar el bienestar de un reo sin empeorar a otro. La eficiencia de Pareto del intercambio puro se deriva del siguiente problema de optimización:

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La función de Lagrange del problema es:

Condiciones de primer orden:

De las ecuaciones 1 y 2, tenemos que:

Y de las ecuaciones 3 y 4:

Una situación es eficiente en el sentido de Pareto, cuando las tasa marginales de sustitución de los agentes son iguales: TMSA = TMSB

Con base en el conjunto de óptimos de Pareto o la curva de contrato de la caja de Edgeworth de la figura 3.4b, se deduce el máximo grado de felicidad alcanzado por los consumidores de una economía de intercambio puro, con dotaciones iniciales y funciones de utilidad conocidas. La herramienta gráfica que acopia las felicidades máximas posible se le conoce con el nombre de frontera de posibilidades de utilidad. Los grados de felicidad fuera del conjunto de posibilidades de utilidad,

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aunque deseados, son inalcanzables porque las dotaciones iniciales no permiten el consumo que requieren esas felicidades. Y las felicidades, ubicadas en el área interna de la frontera, son irracionales porque los agentes, gastando toda su renta, deben obtener mayores satisfacciones. Solo los puntos fronterizos son eficientes en el sentido de Pareto. Por ejemplo, al moverse sobre la frontera de posibilidades de la figura 3.5 del punto b al punto c se da un aumento de felicidad del agente A, pero sacrificando la felicidad del agente B: Figura 3.5 Frontera de utilidad

3.5.2 Los óptimos de Pareto y la envidia Todos los óptimos de Pareto de una curva de contrato no siempre son justos. Existen situaciones óptimas donde se presenta el problema de la envidia entre los agentes. Cuando un agente considera que una asignación del mercado es injusta no estará conforme con su estado de bienestar y deseará mejorarlo, apeteciendo lo que consume su homólogo. El agente A no envidiará al agente B si la felicidad que obtiene al consumir sus asignaciones es mayor o igual a la que puede obtener, consumiendo las asignaciones correspondientes al agente B:

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De forma análoga, el agente B no envidia al agente A, si:

El cumplimiento de estas dos condiciones proporciona el tramo de no envidia de la curva de contrato. 3.5.3 El equilibrio walrasiano El equilibrio del mercado competitivo es aquella situación donde las demandas de los bienes y servicios son iguales a las ofertas, es decir, los excesos de demandas son nulos. A través del mecanismo de los precios se llega a la igualdad de las fuerzas que participan en el mercado. Esta situación de armonía en el mercado se le conoce como equilibrio walrasiano, el cual se define como aquel vector de precios que elimina los excesos de demanda, iguala las ofertas con las demandas o permite el vaciado de los mercados. Por esta circunstancia, en el equilibrio walrasiano, deben cumplirse las siguientes igualdades: E X = 0 y Ey = 0 Figura 3.6 Equilibrio walrasiano

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En la figura 3.6 se evidencia que el punto de equilibrio de la caja se alcanza cuando:

La anterior expresión muestra que el equilibrio walrasiano cumple con la eficiencia paretiana. Este resultado se conoce como el primer teorema del bienestar y expresa que todo equilibrio competitivo es eficiente en el sentido de Pareto. El segundo teorema del bienestar establece que, en presencia de preferencias convexas, existe un vector de precios diferente de cero que hace, de una asignación eficiente, en el sentido de Pareto, un equilibrio del mercado competitivo. Al respecto, Nicholson (2008, p. 371) expresa “…los precios competitivos permitirán lograr, con eficiencia, una distribución deseada del bienestar entre los individuos de una economía, siempre y cuando se ajusten adecuadamente las dotaciones iniciales”. El equilibrio walrasiano no debe confundirse con la Ley de Walras. El siguiente ejemplo busca dilucidar la ley en cuestión. Suponga que cuenta con una caja de medidas estrictas que solo permite el almacenamiento de las 28 piezas correspondiente al juego de dominó. De forma ordenada, se empiezan a poner en la caja, cada ficha hasta llegar a la número 27, pero la última ficha se desea colocar de tal forma que tenga movimientos libres en el espacio que queda. ¿Es posible disponer con el suficiente espacio para tal propósito? la respuesta es no. La ficha faltante debe mantener el orden de ubicación propuesto por las 27 anteriores y debe ser ubicada solo en el espacio hecho a la medida de su tamaño. Se puede colegir que la ficha número 28, por Ley de Walras, debe conservar el equilibrio que mantienen las otras 27. La Ley de Walras, relacionada con el equilibrio del mercado, cumple la proposición: “si la demanda es igual a la oferta en k – 1 mercados y Pk > 0, la demanda debe ser igual a la oferta en el k-ésimo mercado” (Varian, 1992, p. 372). Una forma matemática de observar el cumplimiento de la Ley de Walras es comprobar si la sumatoria de todos los valores de los excesos de demanda, a cualquier vector de precio, es nula (Varian, 2010 y Nicholson, 2008). Ley de Walras

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Ejemplo 3. 5 El intercambio con funciones de utilidad diferenciables Con las funciones de utilidad de los agentes y el conjunto de dotaciones iniciales de bienes que se relacionan a continuación, se obtienen el equilibrio walrasiano, la ecuación de la curva de contrato y las cantidades de bienes correspondiente a la no envidia. Además, se muestra el complimiento de la Ley de Walras. Consumidor A ⟶ Consumidor B ⟶

Para obtener los precios de los bienes que vacían el mercado, primero se deben determinar las demandas marshallianas u óptimas de cada uno de los consumidores. El problema a resolver por parte del consumidor A es:

El langrangiano asociado a este problema de optimización es:

De donde se obtienen las siguientes condiciones de primer orden:

Las demandas marshallianas o brutas del agente A son:

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El problema a resolver para el consumidor B es:

El langrangiano asociado a este problema de optimización sería:

De donde se obtienen las siguientes condiciones de primer orden:

Las demandas marshallianas o brutas del agente B son:

Reemplazando la renta en las demandas brutas de los agentes: Consumidor A Consumidor B

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Las demandas netas del ejemplo son:

Sumando las demandas netas, se obtienen las funciones de excesos de demanda (E):

Los precios del equilibrio walrasiano son los que hacen nulos los excesos de demanda (E):

Si X es el bien numerario, entonces Con estos precios tenemos las siguientes asignaciones de equilibrio:

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Con los precios de equilibrio también podríamos determinar las restricciones presupuestales de cada consumidor en relación a los bienes: Si RA = 4PX + PY, entonces a los precios de equilibrio, la restricción presupuestal del agente A es:

De la misma manera, si RB = PX + 4PY, entonces a los precios de equilibrio, la restricción presupuestal del agente B es:

El conjunto de Pareto se obtiene a partir de la siguiente condición:

Siendo entonces la función de óptimo de Pareto analizada desde el origen del agente A es:

Desde el origen del agente B:

Se procede a calcular los óptimos de Pareto que no producen envidia en los agentes. El agente A no envidia al agente B, si:

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El agente B no envidia al agente A, si:

Figura del ejemplo 3.5.

Demostración de la Ley de Walras:

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Ejemplo 3. 6 Análisis de Intercambio puro con funciones de utilidad no diferenciables. Con las funciones de utilidad tipo Leontief mostradas a continuación y un conjunto de dotaciones iniciales de los bienes se calcula el equilibrio walrasiano: Función de utilidad y dotaciones iniciales de A:

Función de utilidad y dotaciones iniciales de B:

Demandas marshallianas del agente A. Problemas a resolver:

Resolviendo: 2XA = YA Reemplazando la ecuación anterior en la recta de presupuesto del agente A, se tiene:

Demandas mashallianas o brutas considerando la renta con base en las dotaciones (RA = 100Px + 50 Py):

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Demandas marshallianas del agente B. Problemas a resolver:

Resolviendo: XB = 2YB Reemplazando la ecuación anterior en la recta de presupuesto del agente B, se obtiene:

Demandas mashallianas o brutas considerando la renta con base en las dotaciones (RB = 50Px + 100 Py):

Demandas neta:

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Funciones de excesos de demanda:

En el equilibrio walrasiano los excesos de demandas son nulos. Igualando a cero las funciones anteriores se obtienen los precios de equilibrio. Si el bien X es el numerario, los precios de equilibrio son: Py = Py = 1 Asignaciones de equilibrio:

Ecuaciones de la rectas de presupuesto de los agentes:

Figura del Ejemplo 3.6

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3.5.4 La caja de Edgeworth de la producción La herramienta elaborada por Edgeworth, de igual modo, se aprovecha en el análisis económico de la producción. Armar la caja requiere suponer la existencia de un conjunto de dotaciones iniciales de factores productivos (trabajo y capital) y una economía que solo produce dos bienes (X y Y). Cada uno de los orígenes de la caja informa la producción nula tanto de X como de Y. El instrumento que cuantifica el nivel de producción de un bien determinado es la isocuanta y cuando esta se aleja del origen del bien, mayor es la producción. Figura 3.7 Caja de Edgeworth de la producción y frontera de producción

El conjunto de Pareto o curva de contrato de la producción presentada en la figura 3.7a, corresponde a todas las situaciones donde las tasas marginales de sustitución técnica (TMST) de los bienes se igualan. De la curva de contrato se deriva la frontera de posibilidades de producción (FPP) o curva de transformación (ver figura 3.7b). El descenso sobre la curva de transformación muestra disminuciones en Y y aumentos en X, esto se debe a una transferencia de factores del proceso de producción de Y a la producción de X. La razón de cambio de las variaciones de producción de X y Y se conoce como la tasa marginal de transformación (TMT).

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La frontera contiene las producciones máximas de bienes de la economía, es decir, aquí los factores son plenamente utilizados. Con el pleno empleo de factores, todos los puntos fronterizos tienen el mismo coste de producción y, por consiguiente, la TMT también puede analizarse desde los costes marginales (Nicholson, 2008, p. 340).

Al moverse sobre la FPP, los cambios en los costes son nulos → dc(X,Y) = 0 3.5.5 El equilibrio con consumo y producción Una economía se encuentra en equilibrio general competitivo si existe un vector de precio que permita el vaciado automático de todos los mercados en una fecha o tiempo determinado. Arrow y Debreu analizaron los supuestos o axiomas que deben cumplir las funciones de producción y las de utilidad para que sea posible el equilibrio general de la economía.26 Una vez se tengan las funciones requeridas, se analiza el equilibrio con las condiciones resumidas en el cuadro 3.8.

26 La demostración de los axiomas que se requieren para lograr el EGC se pueden observar en Debreu (1959). Universidad del Magdalena

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Cuadro 3. 8

Consumo

Gasto total de la renta

P x X i + P x Yi = R i

Curva de contrato

|TMS|A = |TMS|B

Equilibrio

Px = CMx

Oferta de X

Py = CMy

Oferta de Y

Px PMLx = w

Producción

Valor del producto Py PMLy = w marginal del factor igual Px PMKx = r al precio del factor Py PMKy = r

Curva de contrato

|TMSTx| = |TMSTy| (x,y)∈FPP

FPP Pendiente de la FPP Equilibro general

|TMSA| = |TMSB| = TMT

Los bienes o servicios, intercambiados por los consumidores, son producidos eficientemente por la economía (ver figura 3.9). En el equilibrio general se alcanza el vector de precios que vacía todos los mercados analizados, es decir, los precios que igualan ofertas y demandas en los mercados de factores (trabajo y capital) y en los mercados de bienes (X y Y).

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Figura 3.8 Equilibrio general

Ejemplo 3.7 Una economía con una dotación fija de los factores trabajo y capital produce los bienes X y Y, los cuales son demandados por un consumidor. Las dotaciones de factores, funciones de producción y función de utilidad se describen a continuación:

y y

Con la información suministrada, se requiere: A. Calcular la ecuación de la curva de contrato o conjunto de Pareto de la producción. B. Determinar la FPP y tasa marginal de transformación. Universidad del Magdalena

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C. Calcular la producción correspondiente al óptimo de Pareto. D. Calcular el vector de precios de equilibrio. Solución A.

Curva de contrato

La curva de contrato se obtiene igualando las tasa marginales de sustitución técnica de los bienes X y Y

Curva de contrato desde el origen del bien X → LX = KX Curva de contrato desde el origen del bien Y → LY = KY B.

Frontera de posibilidades de producción y tasa marginal de transformación

Como Lx + Ly = 64, la FFP es:

La tasa marginal de transformación es:

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C.

Producción eficiente en el sentido de Pareto.

El equilibrio se genera al igualar la tasa marginal de sustitución con la tasa marginal de transformación. La TMS de la función de utilidad

es:

Reemplazando en la FPP Y = 64 – X3⁄2:

D.

Precios de equilibrio:

Si X es el bien numerario, entonces PX = 1 Partiendo de las condiciones:

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Los precios de los factores se obtienen a partir de las condiciones de primer orden del problema de la maximización del beneficio de las empresas que producen X y Y. El problema de la empresa que produce X es:

El problema de la empresa que produce Y es:

Vector de precio de equilibrio

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Figura del ejemplo 3.7

3.6 Fallos del mercado: externalidades y bienes públicos Desde los albores de la ortodoxia económica, siempre se ha pregonado y defendido la tesis de la libertad de los mercados, resumida en la vieja expresión francesa: laissez faire, laissez passer. El ideal de la libertad impulsó cambios políticos y económicos en una sociedad que se preparaba para abandonar un sistema decadente feudal y para emprender retos modernos alrededor de un capitalismo incipiente, pero que guardaba la esperanza de convertirse en un modo de producción con capacidad de mejorar la prosperidad o la riqueza social. En este escenario, impregnado por un espíritu renacentista, es donde emana la ingeniosa idea de la mano invisible de Smith, entendida como la coordinación mágica del mercado de las decisiones individuales aisladas, con el propósito de obtener el mejor resultado posible (Ackerman, 2013). La intervención estatal en materia económica fue rechazada y limitada solo a la administración de justicia y al resguardo de la soberanía nacional. El desarrollo capitalista, sin duda, amplió el conjunto de bienes y servicios ofrecidos a una sociedad cada vez más exigente en cuanto a sus calidades y cantidades. Los incrementos de la producción y de la renta real aumentaron la felicidad de generaciones que se vanagloriaban de la riqueza presente y de las posibilidades de seguir mejorándola en el futuro. Sin embargo, no todo fue color de rosa porque se ha logrado evidenciar los problemas de la libertad de los mercados en materia de asignación de recursos. Así pues, prospera la idea de un Estado interventor, el cual deberá acreditar la destreza y capacidad de paliar los fallos del mercado y remediar las ineficiencias causadas. En conexidad al intervencionismo, el Estado “debe intervenir únicamente en los campos en los que son más importantes los fallos del Universidad del Magdalena

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mercado y en los que existen pruebas de que su intervención puede suponer una gran mejora” (Stiglitz & Rosengard, 2016, p. 40). La eficiencia de la asignación económica de los mercados se ve seriamente afectada porque estos fallan en el control a las externalidades, la provisión de bienes públicos y creación de monopolios. 3.6.1 Las externalidades Las externalidades derivadas del funcionamiento de los mercados terminan afectando a terceros sin que se vean reflejadas en el precio de mercado. Las economías modernas se caracterizan por tener empresas, cuya actividad económica perjudica a otras firmas o al total de la sociedad, especialmente, si la producción y/o distribución de bienes y servicios alteran el medio ambiente. Por ejemplo, las empresas de extracción minera, a menudo, afectan el entorno donde realizan su actividad productiva. No siendo su objeto social el deterioro ambiental, directa o indirectamente, los procesos de extracción terminan socavando el medio ambiente, a tal punto que se vuelve incalculable el coste de revertir el daño ecológico. En este caso, la intervención del Estado en el mercado es justificable, ya que la prioridad es el bienestar social. El cuadro 3.9 muestra un análisis general de las externalidades negativas y positivas dadas en la producción y el consumo. Cuadro 3. 9 Análisis de externalidades Efectos de la producción del bien Y en la producción del bien X =0 Sin externalidad.

La producción de Y no afecta la producción de X

0

Externalidad positiva La producción de Y mejora la producción de X Efectos de la felicidad del agente B en la felicidad del agente A

=0

Sin externalidad.

La felicidad de A es neutral a los cambios de la felicidad de B

0

Externalidad positiva

Aumentos de la felicidad de B incrementan la felicidad de A (el agente A es altruista)

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La figura 3.9 ilustra el efecto externo negativo del carbón (Ca)en un mercado competitivo. El precio y la cantidad de equilibrio se obtienen con base en la demanda y oferta del carbón. La figura muestra dos equilibrios: el logrado en el mercado competitivo (EM) y el socialmente aceptable (ES). El primero se obtiene teniendo en cuenta el coste marginal de producción y, el segundo se consigue con una curva que contiene los costes marginales y la externalidad. La adición de externalidad y costes marginales se le conoce con el nombre de coste marginal social (CMS). El equilibrio socialmente óptimo se da cuando la curva de CMS se iguala a la curva de demanda. En esta situación, la cantidad social es menor a la que determina el mercado y el precio social es mayor al del mercado . La externalidad negativa provoca un precio socialmente óptimo diferente al suministrado por el mercado, haciendo que el resultado del equilibrio competitivo no sea eficiente en el sentido de Pareto. Figura 3.9 Externalidad de la extracción de carbón.

Las siguientes líneas resumen el efecto externo de la producción del bien X sobre la producción del bien Y (el efecto de la producción del bien Y en la producción del bien X es nulo). Los costes totales de la producción de los dos bienes son: Cxy = Cx (X) + Cy (X,Y)

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Conociendo la invariabilidad de los costes totales sobre la frontera de posibilidades:

El numerador de la ecuación anterior es el coste marginal social del bien X (CMSX):

En ausencia de externalidad:

Con externalidad:

En caso de existir externalidad positiva del bien X sobre el bien Y:

Y con externalidad negativa:

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En presencia de externalidades (positivas o negativas) el mercado competitivo llega a asignaciones diferentes a la socialmente aceptada (óptimos de Pareto). Para que la asignación del mercado sea un óptimo de Pareto se debe cumplir:

3.6.1.1 La internalización de las externalidades Como los precios del mercado competitivo solo expresan los costes marginales de la producción y no cuantifican los efectos externos derivados de la actividad económica, es relevante analizar mecanismos con el fin de corregir las distorsiones o señales equivocadas que muestra el sistema de precios. En presencia de externalidades, el mercado competitivo genera situaciones de equilibrio ineficiente en el sentido de Pareto, por lo que es adecuado un método de internalización de los efectos. Desde un punto de vista normativo, un óptimo social que cumpla con la eficiencia pareteana, es mejor al óptimo derivado del mercado. En los años veinte, del siglo anterior, el profesor Arthur Pigou27 propuso una solución de tipo impositivo al problema de la distorsión provocada por el sistema de precio. El impuesto constituye una medida compensatoria a los daños causados por las externalidades negativas. Los agentes económicos, causantes de los efectos externos, al asumir el pago del impuesto, elevan los costes marginales de producción, haciéndose responsables de los daños externos. El Estado recurre a los impuestos pigouvianos con el fin de controlar la contaminación ambiental. Por ejemplo, en Colombia se cobra la Tasa Retributiva por Vertimientos con el propósito de generar consciencia en los agentes contaminantes del medio ambiente. Los obligados a pagar la tasa son personas o entidades públicas o privadas que realizan vertimientos puntuales al recurso hídrico. Los recursos recaudados por este concepto se deben destinar a la descontaminación hídrica y a monitorear la calidad del agua.

27 Arthur Pigou, de origen inglés, contribuyó al desarrollo de la escuela neoclásica. Fue un defensor de las ideas de Alfred Marshall y heredó la cátedra de Economía que este impartía en la Universidad de Cambridge. Es considerado el fundador de la economía del bienestar. Universidad del Magdalena

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Otra manera de internalizar las externalidades es la ofrecida por Ronald Coase en el año 1960, mejor conocida como el teorema de Coase28. El autor del teorema descalificó la idea de considerar al intervencionismo estatal como fuerza correctiva de los fallos del mercado sin incurrir en costes. Coase consideró que las políticas asociadas a las medidas correctivas pueden ocasionar más daños que la propia deficiencia original. En vez de la política intervencionista correctora de fallos, promueve intercambios posteriores para lograr equilibrios eficientes. La proposición de Coase considera que sin costes de transacción y con derechos de propiedad definidos es posible llegar a una solución eficiente por medio de la reasignación de derechos hacia los agentes que los valoren más. Ejemplo 3. 9 Dos empresas producen solo con el factor trabajo, el cual tiene una dotación fija. Una de las empresas produce el bien X y la otra solo produce el bien Y. La evidencia muestra un efecto externo de la empresa productora de X en la que produce Y. Las funciones de producción de las empresas se relacionan a continuación:

La economía solo tiene un consumidor con las siguientes preferencias por los bienes. U = X5 Y A. Determinar el tipo de externalidad. B. Calcular la FPP y la TMT C. Encontrar las asignaciones eficientes en el sentido de Pareto que produce la economía.

28 Ronald Coase fue galardonado con el Premio Nobel de Economía en el año 1991. Sus contribuciones intelectuales ayudaron a comprender los costes de transacción y los derechos de propiedad en el funcionamiento de la economía. El teorema que hace honor a su nombre se encuentra en Coase (1960).

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D. Calcular el equilibrio del mercado competitivo y analizar si es eficiente en el sentido de Pareto. E. Determinar el impuesto por unidad que se debe aplicar para hacer del equilibrio una situación socialmente aceptable. Solución A.

Análisis de externalidad , la producción de Y no afecta a la producción X , la producción de X provoca una externalidad negativa en la producción de Y.

B.

Frontera de posibilidades de producción y TMT.

Agregando el factor trabajo, se tiene: L = Lx + Ly = 120

Ec. 1

De las funciones de producción se obtiene que: Lx = 4X Ly = Y + X

Ec. 2 Ec. 3

Reemplazando las expresiones (2) y (3) en (1), se obtiene la frontera de posibilidades de producción: 120 = 4X + (Y + X) = 5X + Y, siendo la FPP: Y = 120 – 5X

Ec. 4

La TMT o pendiente de la FPP, es:

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C.

Análisis de eficiencia de Pareto

Óptimo de Pareto Con la TMT y la TMS se obtiene el óptimo de Pareto. Condición de óptimo Remplazando en la FPP, tenemos el siguiente óptimo de Pareto: X = Y = 20 D.

Análisis del Equilibrio general

Condiciones de equilibrio de cada agente del mercado

Producción de X

Producción de Y Equilibrio del consumidor:

Al considerar el bien Y como el numerario y usando las ecuaciones 4, 5, 6 y 7 se resuelven el equilibrio general. Precios de los bienes Precio del factor

Py = 1 Px = 4 w=1

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Cantidad del factor

Cantidades de bienes Costes totales Costes marginales

lx = 82,72

ly = 37,23

y = 16,55 x = 20,68 Cx = 82,72 Cy = 37,23 CMx = 4 CMy = 1

La asignación correspondiente al equilibrio general no es eficiente en el sentido de Pareto:

Diferenciando los costes:

El coste marginal social de la empresa que produce X es:

Si la empresa que produce Y no provoca externalidad en empresa que produce X, entonces: CMSy = CMy Universidad del Magdalena

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La TMT en función de los costes marginales sociales relativos:

En presencia de externalidades se tiene que:

E.

Método para que las asignaciones del equilibrio general sean eficientes en el sentido de Pareto. Utilización del sistema impositivo

A la empresa que produce X se le impone un impuesto t por unidad de producción. La medida impositiva afecta la estructura de coste de la empresa, por lo que los costes ahora son: Cx = wlx + tx

cx = 4wx + tx CMx = 4w + t

Ahora tenemos las siguientes ecuaciones en el equilibrio general:

TMS = 4 + t

Tenemos que |TMT| = 5, entonces en el equilibrio es:

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Cuando la empresa por cada unidad producida cancela a la sociedad una unidad monetaria de impuesto, el equilibrio general es eficiente en el sentido de Pareto. La sanción a una multinacional infractora Las empresas que producen externalidades negativas muchas veces no pagan por los daños ocurridos, o no compensan los perjuicios producidos a terceros. Un caso particular se vivió en la región norte de Colombia, en Santa Marta, ciudad turística que cuenta con envidiables playas y parques naturales adecuados para el desarrollo del ecoturismo. El apelativo de “Perla de América” dado a la ciudad, se remonta a los tiempos de la colonia, cuando el agua cristalina de su bahía, junto al encanto de sus montañas, le daban un toque majestuoso y placentero. Comenzando el siglo XXI, la bahía de Santa Marta definitivamente dejó de ser la más bella de América. Esto fue consecuencia, en parte, del efecto adverso en el medio ambiente, producto del crecimiento minero en la región. El tránsito de carbón en sus puertos, frecuentemente, ha arrojado en el ambiente un polvillo contaminante, afectando la biodiversidad marina y la blancura de las playas. Un suceso insólito, propio de los entes con escasa conciencia ambiental, ocurrió a comienzos del año 2013. La multinacional de explotación y procesamiento del carbón, Drummond Company Inc, como respuesta a un posible hundimiento de una de sus barcazas repleta de carbón, decidió salvar parte de sus activos, ordenando el vertimiento de toneladas del mineral en la bahía de Santa Marta. Dicha conducta constituye una prueba fehaciente de la desidia en la protección ambiental y el interés rentístico de salvaguardar el patrimonio empresarial. El desastre acontecido quedó registrado en materiales visuales, lo que impidió a los abogados de la multinacional eximirla de toda responsabilidad. Después de una exhaustiva investigación, la Autoridad Nacional de Licencia Ambientales de Colombia halló responsable a la empresa transgresora. La multinacional fue multada aproximadamente con 3.5 millones de dólares y se le ordenó cumplir medidas compensatorias para la recuperación y protección de los bienes ambientales que se vieron afectados; algunas de ellas fueron: limpiar las playas aledañas contaminadas con carbón, realizar estudios para determinar sustratos duros que afecten a la biota y sensibilizar a los trabajadores y a la comunidad del área de influencia sobre la variedad y riqueza de los ecosistemas y especies presentes en el área. En lo que respecta a la de defensa del hábitat marino, las autoridades mineras y ambientales colombianas ordenaron, como medida de precaución, a todos los Universidad del Magdalena

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puertos marítimos el cargue de carbón de forma directa por medio de bandas transportadora, prohibiendo el uso de barcazas. El proceso de embarque del mineral debe implementar prácticas y tecnología limpias que impiden la dispersión de partículas de carbón. 3.6.2 Los bienes públicos En la década del cincuenta del siglo XX, el norteamericano Paul Samuelson intervino en el debate de la época sobre la identificación o definición de los bienes públicos de una economía, aportando una delimitación técnica entre el bien público y el privado. El autor, propuso la no rivalidad y no exclusión como condición especial de los bienes públicos29. La no rivalidad implica la posibilidad de consumir una cantidad del bien por todos a la vez, o sea, el consumo de una persona no reduce las cantidades del bien consumidas por los demás. La segunda condición trata de la imposibilidad de excluir del consumo del bien a los interesados, por lo que no existen barreras para acceder al bien. El cuadro 3.10 expone los diferentes bienes de la sociedad. A partir de los conceptos de rivalidad y exclusión, se clasifican los bienes en privados, públicos puros, y públicos impuros (mixtos). Cuadro 3. 10 Bienes públicos y privados Tipo de bien Bien privado Bien público puro

Rivalidad en el consumo Si No

Exclusión

Ejemplo

Si No

Vestuario y automóviles Defensa y justicia

Bien público impuro (propiedad común)

Si

No

Bienes que permiten la tragedia de los comunes

Bien público Impuro (monopolio natural)

No

Si

Bienes club

29 Samuelson definió los bienes públicos como aquellos que “all enjoy in common in the sense that each individual’s consumption of such a good leads to no subtraction from any other individual’s consumption of that good” (Samuelson, 1954, p. 387)

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3.6.2.1 La tragedia de los comunes Los bienes rivales y sin exclusión son fuentes de análisis para entender el dilema planteado por Garret Hardin a finales de los setentas en el siglo XX, conocido como la tragedia de los comunes. Con el siguiente caso se recrea un poco el dilema, aunque difiere en su forma del ejemplo original de Hardin. En el extremo norte de Colombia, específicamente en una zona llamada la Alta Guajira, la escasez de precipitaciones crean, durante el año, un bajo suministro natural de agua apta para el consumo, acrecentándose los problemas de salubridad de los lugareños de este territorio ancestral. El espíritu de sobrevivencia de las comunidades ha impulsado la construcción de pozos artesanales con el fin d e encontrar el preciado líquido en yacimientos subterráneos. Siendo este el escenario, suponga una cantidad X de familias asentadas al alrededor del pozo. El pozo produce al día una cantidad Y de litros de agua que se agotan con facilidad si no hay control en el consumo. El agua llorada, en este caso, es un bien no excluible, pero rival, debido a que un litro de agua no puede ser consumido simultáneamente por dos o más personas. Si las familias, diariamente, maximizan el consumo individual del líquido provocarían su agotamiento antes de finalizar el día y solo se beneficiarían las primeras en llegar al pozo. Aquellas que demoraron, experimentarían la tragedia producto de la falta de agua. Una posible forma de evitar esta tragedia consiste en acatar un acuerdo comunal donde se imponga un consumo promedio diario de litros de agua por cada familia (consumo promedio = Y/X). Este caso finalmente recurre a la intervención para evitar la tragedia de los comunes. 3.6.2.2 El free rider A menudo, una comunidad entera disfruta de la provisión de un bien público, por tal razón, es justo que sus integrantes paguen una contribución necesaria para sufragar el coste de producción. Sin embargo, hay quienes renuncian al pago correspondiente, creando este comportamiento el problema del polizón (free rider). El problema socioeconómico del polizón se presentaría en una localidad de una ciudad que sufre hurtos frecuentes por bandas de delincuentes. Los residentes de dicha localidad desesperados por la situación, deciden cancelar una cuota para costear el servicio de una empresa privada de seguridad. Solo por ser un acuerdo de la comunidad, no hay un orden jurídico de la exigencia del pago requerido, es decir, solo existe un “pacto de caballeros”. El polizón, de Universidad del Magdalena

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este ejemplo, es el que beneficiándose del servicio, rechaza el acuerdo de pago. Sabe que aunque no pague recibirá seguridad. Él y su domicilio también estarán protegidos porque si son hurtados crearía desprestigio en la empresa responsable y los demás que si cumplen con el aporte reconsiderarían el contrato, motivados por la ineficiencia del servicio. 3.6.2.3 Análisis de eficiencia de Samuelson La eficiencia de Pareto entre un bien público y otro privado es posible si las funciones de utilidad permiten llegar a la condición propuesta por Samuelson. A continuación se analiza la solución del problema de una asignación eficiente cuando la economía tiene dos agentes con preferencias por un bien público y uno privado. Los agentes A y B tienen las funciones de utilidad UA (X, YA) y UB (X, YB), respectivamente, donde X es un bien público y Y es un bien privado.

La eficiencia paretiana se obtiene si se resuelve el siguiente problema de optimización:

Solucionando el problema:

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Al dividir la EC. 1 por

, se tiene:

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De las ecuaciones 2 y 3, se obtiene:

Reemplazando estas dos expresiones en la EC. 6:

Con base en las condiciones de primer orden, se demuestra que existe un óptimo de Pareto cuando:

Si existen consumidores, entonces:

Ejemplo 3.10 Un político, después de ganar las elecciones parlamentarias, decide agradar a su electorado como agradecimiento por el triunfo recibido. En el centro de la plaza ordenó armar una tarima con parlantes o altavoces potentes para brindar un show de humoristas y en uno de los extremos de la misma plaza se instaló una mesa donde colocar refrigerios. Al evento se calcula que lleguen 120 personas, las cuales deben ser atendidas con los recursos limitados del político. Si X es el número de humoristas y Y representa la cantidad de refrigerios, la frontera de posibilidades de producción del político toma la forma 18X2 + Y2 = 6.534. Además, se sabe que los convocados tienen los mismos gustos por humoristas y refrigerios. La función de utilidad es:

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¿Cuántos humoristas deben ser contratados? ¿Cuántos refrigerios deben ser suministrados? Solución Antes de solucionar el ejercicio se debe clasificar el tipo de bien o servicio que brindará el político. Los electores no pueden ser excluidos del servicio de los humoristas, porque los altavoces se encargan de divulgar ampliamente el show y, el consumo del espectáculo, no rivaliza. En cambio, en el consumo de refrigerio si se presenta la rivalidad. Esto demuestra que X es un bien público pero Y tiende a comportarse como bien privado: Lo anterior significa que El problema a resolver es:

De las condiciones de primer orden se obtiene:

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Reemplazando en la frontera de posibilidades de producción:

El político deberá contratar 11 humoristas y suministrar 66 refrigerios. Figura del ejemplo 3.10

3.6.2.4 El equilibrio de Lindahl Del conjunto de bienes de una economía, el bien público está asociado a las características de la no rivalidad y de la gratuidad. Milton Friedman popularizó la expresión “no free lunch”, queriendo indicar que todo beneficio obtenido incurre en costes. Según este precepto, hasta los bienes públicos deberían tener un precio en las sociedades capitalistas. Un interrogante surgido entre los economistas ha sido: ¿Cómo podría calcularse el precio de un bien público? En los años veinte del siglo XX, el sueco Erick Lindahl propuso un método para determinar el pago que estaría dispuesto asumir el consumidor del bien público. Cada consumidor, consciente del coste de producción del bien público, acuerda pagar voluntariamente una proporción de ese coste. Si la sociedad está exenta de la conducta free rider o del parásito, el coste del bien es cubierto al cien por ciento por los participantes del acuerdo. El equilibrio de Lindahl se explica a continuación:

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Si una economía tiene dos agentes (A y B) con preferencias por bienes privados y públicos, siendo X el bien público y Y el bien privado, el equilibrio de Lindhal se obtiene a partir de los siguientes casos de optimización:

Y

Donde y son los precios pagados por los consumidores A y B. Se suponen dotaciones iniciales de los consumidores (A y B) con disposición a intercambiarlas para optimizar el consumo entre el bien privado y el público. Resolviendo el problema del agente A:

CPO:

De las ecuaciones 1 y 2 se obtiene:

Si Py = 1, entonces:

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Resolviendo el problema del consumidor B llegamos a la siguiente definición:

Donde

y

son los precios de Lindhal. Resumen

La demanda y oferta del mercado son las adiciones de las demandas y ofertas individuales, respectivamente. En estas dos fuerzas del mercado están representados los intereses opuestos de consumidores y productores. El mercado es la institución esencial donde es factible la resolución de conflictos y controversias de los agentes económicos. Del análisis del mercado emanan conceptos o instrumentos como las elasticidades o el excedente del consumidor. La elasticidad se elabora con base en la relación entre las tasas de variación de dos variables económicas y se erige como el instrumento que mide el grado de sensibilidad de una variable, cuando fluctúa otra variable. Entre los tipos de elasticidad se encuentran: del lado de la demanda, la elasticidad precio, elasticidad de la renta y la elasticidad cruzada; del lado de la oferta, la elasticidad precio. La metodología de “una cosa a la vez” es la lógica que orienta el análisis del equilibrio parcial en los funcionamientos de los mercados competitivos, en estos confluyen actores con intereses contrarios (consumidores y productores), los cuales logran negociar sus antagonismos por medio del mecanismo de precios. El cumplimiento de las leyes de la demanda y la oferta conlleva a la formación del precio de equilibrio, o sea, aquel precio que permite vender todo lo producido y no deja demanda insatisfecha. Otra forma de estudiar los mercados, es la planteada por la Teoría del Equilibrio General Competitivo. Siendo la TEGC el estudio de la economía en su conjunto. Inicialmente, la metodología reduce la economía a la relación de consumo de dos bienes por dos agentes. Este análisis se conoce con el nombre de intercambio puro y se desarrolla con la ayuda de un instrumento gráfico-matemático (Caja de Edgeworth) para modelar los comportamientos óptimos de los agentes. Aparecen situaciones donde se igualan las tasas marginales de sustitución asociadas a las

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curvas de indiferencia de los agentes, definiéndose esta igualación con el nombre de óptimo de Pareto. Un estado de intercambio es eficiente en el sentido de Pareto, en el momento en que no es posible mejorar a un agente sin empeorar al otro. El conjunto de todos estos estados son los puntos comprendidos en la trayectoria de la curva de contrato de la Caja de Edgeworth. El equilibrio general o walrasiano es el vector de precio propicio para lograr el vaciado de los mercados o igualar las ofertas a las demandas. El equilibrio competitivo es eficiente en el sentido paretiano, es decir, cumple lo expresado por el primer teorema del bienestar. Las condiciones propicias para un equilibrio general abarcan desde el cumplimiento de las hipótesis de competencia perfecta, hasta el requerimiento de instrumentos o instituciones como el subastador, bien numerario y la caja de compensación. Una vez conocido el resultado de la agregación de demandas y ofertas, el subastador anuncia los precios que provocan excesos de demandas nulos. Al incluir el consumo y la producción en el modelo, el equilibrio se alcanza cuando la tasa marginal de transformación o la pendiente de la frontera de posibilidades de producción se igualan a las tasas marginales de sustitución de los consumidores. El equilibrio es un estado armonioso de los mercados donde todo lo demandado se está ofreciendo o viceversa, aquí el vaciado de los mercados es un hecho. La teoría sofisticada del equilibrio general es considerada por muchos como la teoría estándar de la economía.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 3.1 Considere la siguiente información del mercado: Precio 5.000 10.000 15.000

Cantidades 20.000 40.000 60.000

Cantidades 48.000 33.000 18.000

A.

Determine el equilibrio parcial del mercado (precio y cantidad)

B.

¿Qué precio provoca un excedente de demanda igual a 21.000 unidades del bien?

C.

¿Qué precio provoca un excedente de oferta igual a 56.000 unidades del bien?

D.

Calcule los excedentes de los consumidores y de los productores.

y con un precio fijo de 10 3.2 Con la función de oferta de X u/m, encuentre el excedente del productor. Si el precio cambia a 25 u/m, determine el nuevo excedente. 3.3 Samuel recibe remesas por valor de €120 y está pensando la posibilidad de participar en el mercado de trabajo para satisfacer un consumo, cuyo precio es de € 5. La siguiente función de felicidad muestra las preferencias de Samuel por el ocio y el consumo.

Dotación de tiempo = 24 horas A.

¿Cuáles son las funciones de oferta de ocio y trabajo de Samuel?

B.

Obtenga las horas que se desean dedicar al ocio y las que se ofrecen para el trabajo cuando el salario es € 60.

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C.

Si en el mercado existen 50 individuos con funciones de oferta de trabajo igual a la de Samuel, determine el equilibrio del mercado cuando la demanda de trabajo es LD = 600 – 7,5W.

3.4 Suponga tres economías de intercambio puro con dos consumidores cada una. Las preferencias de los consumidores de cada economía se describen a continuación: Economía 1

Economía 2

Economía 3

Diga si las siguientes cestas de bienes pueden ser óptimos de Pareto de las economías descritas. A. (25, 20) y (5,5) B. (10, 5) y (3, 12) C. (6, 4) y (36, 3) D. (16, 4) y (36, 9) 3.5 Suponga una economía de intercambio puro de dos bienes con los consumidores A y B. Las funciones de utilidad de los consumidores y las dotaciones iniciales son: Consumidor A ⟶ Consumidor B ⟶ A.

Encuentre el equilibrio walrasiano (precios y asignaciones de equilibrio).

B.

Demuestre que el equilibrio cumple el primer teorema del bienestar. Universidad del Magdalena

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C.

Compruebe la Ley de Walras.

3.6 Suponga una economía de intercambio puro de dos bienes y donde existen los consumidores A y B. Las funciones de utilidad de los consumidores y las dotaciones iniciales son:

Se requiere: A.

Encontrar la ecuación de la curva contrato desde el origen del agente A y la ecuación desde el origen del agente B.

B.

¿Cuáles son las cantidades del agente A donde no se presenta la envidia?

C.

¿Cuáles son las cantidades del agente B donde no se presenta la envidia?

3.7 Obtenga la ecuación de la frontera de posibilidades de producción, tasa marginal de transformación y las máximas cantidades producidas de los bienes en los siguientes casos: A.

B.

3.8 Una economía con una dotación fija de los factores trabajo y capital produce los bienes X y Y, los cuales son demandados por un consumidor. Las dotaciones de factores, funciones de producción y función de utilidad se describen a continuación.

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Con la información suministrada, se requiere; A.

Calcular la ecuación de la curva de contrato o conjunto de Pareto de la producción.

B.

Determinar la FPP y la tasa marginal de sustitución técnica.

C.

Calcular la producción de equilibrio de la economía.

D.

Calcular los precios de equilibrio.

3.9 Suponga una economía compuesta por un consumidor y dos empresas que producen bienes diferentes, las cuales usan solo un factor de la producción. A continuación se relacionan las funciones de producción y la función de felicidad de los agentes de la economía: Funciones de producción: X = 2Lx – 4Y y Y = 2Ly Función de felicidad: U = X2Y3

Si la dotación del factor productivo se fija en 1000 unidades, se requiere: A.

Obtener la ecuación de la frontera de posibilidades de producción y la tasa marginal de transformación.

B.

Calcular las asignaciones correspondientes al óptimo de Pareto.

C.

Determinar los precios del equilibrio general. ¿Por qué el equilibrio general no es un óptimo de Pareto?

D.

Establecer una medida gubernamental (impuesto o subvención) para que los resultados del mercado competitivo sean óptimos de Pareto. Universidad del Magdalena

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3.10 Suponga una economía de dos consumidores con la siguiente información.

Se requiere: A.

Calcular la cantidad eficiente del bien público y las cantidades agregadas del bien privado.

B.

Con base en el equilibrio de Lindhal, obtener los precios que cada consumidor está dispuesto a pagar por el bien público y las cantidades específicas demandadas del bien privado (suponga un precio unitario del bien privado).

Capítulo 4 ANÁLISIS DE EQUILIBRIO DE MERCADOS NO COMPETITIVOS

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4.1 El caso del monopolio puro El monopolio es el extremo opuesto del mercado de competencia perfecta. Es un mercado donde existe un empresario o vendedor que produce un bien para abastecer a muchos consumidores. La conducta del monopolio no comulga con supuestos como precio aceptante del vendedor, información completa y libre entrada y salida del mercado. El caso de la soledad de uno de los agentes del mercado, también puede analizarse con base en el modelo denominado monopsonio, refiriéndose este a la existencia de un solo comprador o consumidor y muchos vendedores. Cuadro 4.1 Definiciones de variables del modelo de monopolio Variable Π

IT C IM CM

Nombre

Definición Es el saldo entre los ingresos derivados de las ventas Beneficio y los costes de la producción. Ingreso total Constituye el valor de las cantidades vendidas.  Función de costes Es el coste mínimo de producción.  Es el ingreso adicional que se obtiene cada vez que Ingreso marginal se vende una unidad adicional del bien.  Es el incremento del coste total que produce una Coste marginal cantidad adicional producida. 

La conducta del monopolio se explica considerando las siguientes funciones de inversa de demanda y costes:

El problema a resolver por parte del monopolio es: CPO:

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Condición de equilibrio del monopolio: En el equilibrio:

Figura 4.1 Equilibrio del monopolio.

La figura 4.1 ilustra la solución de equilibrio del monopolista. La figura muestra una curva de demanda por encima de la curva de ingreso marginal, por lo que el equilibro cumple la siguiente condición: P > IM = CM

La anterior expresión sugiere la posibilidad de obtener un beneficio positivo en el mercado de monopolio. Este beneficio constituye el área formada entre el coste medio y el precio de equilibrio (ver área sombreada del figura 4.1). El modelo del monopolio puro plantea que un empresario debe escoger la cantidad óptima del bien a producir, con el propósito de ofrecerlo al mercado.

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Considerando la carencia de competencia y, por ende, el poder de mercado del monopolio: ¿será que el monopolista maximizador de beneficio decide producir cualquier cantidad del bien que brinda la curva de demanda? La respuesta a este interrogante se encuentre en el siguiente análisis: Los ingresos totales del monopolio están en función del precio y de las cantidades vendidas. La variación del ingreso depende de dos situaciones particulares: la primera, cuando se venden diferentes cantidades a un precio dado y la segunda, cuando se vende un número dado de cantidades a precios diferentes. De la expresión anterior, se obtiene el ingreso marginal al dividirla por los cambios en las cantidades:

El último término de la expresión es el inverso de la elasticidad precio de la demanda. Siendo la elasticidad de valor negativo, entonces, el ingreso marginal se puede expresar de la siguiente forma:

En el equilibrio:

Cuadro 4.2 Elasticidad e ingreso marginal Tipo de elasticidad |Ep| = ∞ |Ep| > 1 |Ep| < 1

Ingreso Marginal Descripción Situación de la competencia perfecta IM = Px = CM El equilibrio es posible. Existen beneficios IM > Px > 0 IM < 0 El equilibrio no es posible (IM ≠ CM) Universidad del Magdalena

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Según la fórmula encontrada, el monopolista tiene inconvenientes cuando produce cantidades ubicadas en el tramo inelástico. Si la elasticidad es inelástica, el ingreso marginal es negativo y nunca podría igualarse con el coste marginal30 (ver cuadro 4.2). En el tramo inelástico de una curva de demanda clásica, se observan unas cantidades, relativamente, abundantes con unos precios, relativamente, menores. Por consiguiente, satisfacer este tramo significa un aumento considerable de los costes de producción, los cuales son difíciles de recuperar, debido a la baja valoración manifestada por los consumidores. El problema de maximización del beneficio impide al monopolio situarse en el segmento inelástico de la demanda, mostrando un comportamiento más a favor de la escasez que de la abundancia de bienes. En lo que respecta al grado de concentración o poder de mercado de una empresa, la literatura ofrece instrumentos que brindan información de este asunto. Por ejemplo, el Índice de Lerner (IL) mide el nivel de concentración con base en la diferencia entre el precio y el coste marginal. Un valor nulo del índice revela un comportamiento competitivo del mercado y cuando el índice tiende a uno el mercado se asemeja al del monopolio puro. El índice en cuestión se obtiene de la siguiente forma: Como el IM = CM, entonces:

Aplicando álgebra, se tiene:

Cabe señalar que el mercado tipo monopolio afecta, negativamente, el bienestar conjunto de los agentes, haciéndolos socialmente no deseados por la pérdida de eficiencia que provoca. Entre las dos formas extremas del mercado, explicadas por la teoría económica, se deduce pérdidas mayores del bienestar de la sociedad en el monopolio, que en la competencia perfecta.

30 Esta conclusión puede revisarse en Varian (2010, p. 459)

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Figura 4.2 Pérdida irrecuperable de eficiencia

La figura 4.2 presenta una ilustración del comportamiento del excedente de los agentes entre el monopolio y el mercado competitivo. Desviarse de un tipo de mercado monopólico a otro de competencia perfecta, conlleva a un aumento de la cantidad de equilibrio (xC > xM), disminución del precio ( ) y cambios en los excedentes de consumidores y productores. El movimiento induce en el monopolio, una pérdida del área A y una ganancia del área C. Además, produce un aumento del excedente de los consumidores, ya que estos ganan las áreas A y B. La situación de equilibrio de la competencia perfecta crea excedentes en los consumidores y productores (área B y área C) que se perderían si el mercado regresa a la situación de equilibrio del monopolio. El sacrificio de las área B y C es lo que técnicamente se denomina pérdida irrecuperable de eficiencia (Krugman, Olney, & Wells, 2008) Ejemplo 4.1 Suponga un monopolio que se enfrenta a la función inversa de demanda Px = 400 – X. Si el monopolio produce con la función de coste , se requiere:

A.

Calcular el precio y la cantidad de equilibrio del monopolista. Además, determinar el máximo beneficio y el excedente de los consumidores. Universidad del Magdalena

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B.

Responder, ¿Cuál es el tramo de la demanda donde nunca se ubicaría el monopolista?

Solución A.

Precio, cantidad, beneficio y excedente del consumidor.

Problema a resolver del monopolio:

Condición de primer orden:

Datos del equilibrio:

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Otra forma de obtener el beneficio es medir el área del rectángulo formada entre los costes medio y el precio de equilibrio, así:

B.

Excedente del consumidor (EC) = ((20)*(20))/2 = 200

El tramo de la demanda donde no se ubica el monopolista es aquel que presenta una elasticidad precio de la demanda inelástica.

Los precios y las cantidades correspondientes al tramo inelástico de la demanda se obtienen de la siguiente forma:

Suponiendo una elasticidad unitaria y considerando tanto la pendiente de la demanda como la función inversa de demanda, se tiene:

La cantidad y el precio de la elasticidad unitaria son: X = 200 y Px = 200

El monopolio nunca produciría cantidades mayores a 200 unidades del bien. Figura del ejemplo 4.1

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Ejemplo 4.2 La empresa Mamposcaribe S. A. produce cemento utilizando dos plantas de producción que se ubican, una en Santa Marta y la otra en Barranquilla. La empresa es un monopolio en el mercado barranquillero y conoce la siguiente función inversa de demanda de este mercado: Px = 290 - 2X

Las funciones de costes de cada planta son:

Se requiere calcular las cantidades que deben producirse en cada planta, el precio, beneficio y excedente del equilibrio. Solución En el equilibrio el monopolista iguala el ingreso marginal al coste marginal. En este caso, existen dos costes marginales surgidos en las dos plantas de producción:

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De la solución de las ecuaciones 1, 2 y 3 se logra las cantidades del equilibrio:

4.2 Monopolios discriminadores Los monopolios discriminadores hacen referencia a tres grados diferentes. El discriminador de primer grado es el que se apropia del excedente de los consumidores. Suponga que una editorial es monopolio de un texto de microeconomía porque solo ella lo produce y distribuye; si la editorial decide vender los ejemplares en la facultad de economía de una universidad, basándose en una encuesta que muestra la disposición a pagar por el texto, por parte de los estudiantes y docentes, probablemente recibiría ingresos diferentes por la venta de cada unidad. La editorial vendería cada ejemplar siempre y cuando el precio dispuesto a pagar de los demandantes no sea inferior al coste marginal de producción. A este comportamiento, que consiste en adueñarse del excedente del alumnado y profesorado, se le denomina discriminación perfecta en precio o de primer grado. Otra forma de discriminación del monopolio es cuando se decide cobrar precios diferentes por volumen de cantidades vendidas. El monopolista maximizador de segundo grado tiende a hacer descuentos a grupos de consumidores con disposición a llevar mayores cantidades del bien o cierto volumen de cantidades mínimas consideradas por el monopolio. A menudo se observa en los diferentes mercados descuentos preferenciales a consumidores frecuentes. Por otro lado, la discriminación de tercer grado consiste en segmentar el mercado y cobrar precios diferentes a cada segmento. Siguiendo con el ejemplo de la editorial, se tiene que esta, convencida del diferencial de ingresos o riquezas entre estudiantes y docentes, elige maximizar el beneficio fraccionando el mercado. en este sentido, el monopolio cobrará a los estudiantes un precio diferente al sugerido para los docentes. El precio cobrado en cada segmento del mercado no deberá ser inferior al coste marginal. Universidad del Magdalena

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Ejemplo 4.3 La empresa Delicias Tropicales S. A. es la única que produce bebidas azucaradas con sabor a Borojó en la ciudad de Bogotá. La empresa decidió segmentar el mercado local según el nivel de ingresos de los futuros demandantes. El primer segmento del mercado lo conforman el conjunto de barrios con menores ingresos y el segundo son los barrios o sectores más opulentos de la ciudad. Las siguientes son las funciones de inversa de demanda de ambos segmentos:

A.

Encuentre la situación de equilibrio (precios, cantidades, y beneficios) del monopolista discriminador.

B.

¿Cuál es la situación de equilibrio (precios, cantidades, y beneficios) si Delicias Tropicales S. A. no segmenta el mercado?

C.

Sin segmentar el mercado, calcule el precio, cantidad y beneficio si la empresa se comporta como monopolista discriminador de primer grado.

Solución A.

Precios, cantidades y beneficios del monopolista discriminador de tercer grado.

Problema a resolver:

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B.

El monopolista, al no segmentar el mercado se comporta como monopolio puro.

Agregación de funciones de demanda con Px1 = Px2 = Px

Función inversa agregada:

Condición de equilibrio del monopolio puro:

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C.

Delicias Tropicales S. A. al comportase como monopolista discriminador de primer grado, se apropia del excedente de los consumidores.

Excedentes del consumidor (EC) = ((4.426,7*332))⁄2=734.826,7

Figura del inciso C del ejemplo 4.3

4.3

Otros mercados no competitivos: Duopolios no cooperativos de Cournot, Stackelberg y Bertrand

El oligopolio es la concentración de la oferta de bienes homogéneos o diferenciados en un grupo de pocas empresas. En las economías contemporáneas se evidencia la existencia de oligopolios, al observar la composición de industrias como la de cerveza, telefonía móvil o del cemento. Los modelos oligopólicos transcienden las metodologías coherentes con las perspectivas extremas de dos mercados particulares: el de muchas empresas o competencia perfecta y el monopolio o monopsonio con su visión reductora de uno de los agentes del mercado.

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La teoría de juegos brinda una caja de herramienta que facilita la comprensión del comportamiento de los oligopolios en los mercados. Dejando a un lado la metodología del individualismo metodológico, esta técnica analiza la conducta estratégica de las empresas que buscan maximizar beneficios; la decisión de un empresario particular dentro de un oligopolio depende de las posibles respuestas o decisiones de otros con quienes comparte el mercado. Los empresarios se enfrentan a un conjunto de estrategias, escogen competir en cantidades o precios y las decisiones se dan en tiempos estáticos o dinámicos. El modelo de Cournot31 se caracteriza por ser un juego estático32 no cooperativo, en el que las empresas compiten en cantidades. Cada empresa que concurre al mercado y tiene un comportamiento al estilo Cournot, incluye en su problema de maximización del beneficio la conducta o respuesta de las empresas rivales. El desarrollo del modelo permite conocer situaciones de equilibrio que son afines a las demostradas por John Nash. Con la siguiente función inversa de demanda y suponiendo la existencia de dos empresas (1 y 2) con costes marginales asimétricos constantes, se explica la metodología de Cournot: , de otra manera la función es nula Además:

31 El francés Augustin Cournot formalizó el modelo en Cournot (1897). 32 El juego estático es aquel donde los participantes juegan simultáneamente o en tiempos diferentes sin que se conozcan las jugadas entre ellos. Universidad del Magdalena

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Los problemas a resolver de las empresas son:

Despejando las variables optimizadas, obtenemos la función de reacción o de mejor respuesta:

Solucionando el sistema de las ecuaciones reacción, se llega al equilibrio Cournot - Nash:

Precio y beneficios de las empresas:

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Figura 4.3 Equilibrio de Cournot

El gráfico supone igual coste marginal de las empresas 1 y 2, es decir, λ = λ1=λ2

Bertrand plantea otra forma de analizar la competencia entre empresas. La rivalidad de las empresas consiste en una lucha o guerra de precios con el fin de consolidar el poder sobre el mercado y obtener mayores ganancias o beneficios. Al igual que en Cournot, las empresas al estilo Bertrand juegan de forma estática y sin cooperar se comportan estratégicamente, es decir, una empresa particular considera las posibles respuestas o reacciones de las otras en materia de precio. Cuando el mercado es saciado por un bien homogéneo, producido por varias empresas, los consumidores deciden comprarle a la empresa que cobra el menor precio o cualquier empresa si sus precios son iguales. (Pérez, Jimeno, & Cerdá, 2004) El modelo de duopolio de Bertrand con costes marginales simétricos y constantes, se resume a continuación: La demanda del bien producido por las empresas 1 y 2 depende de la relación de precios cobrados. Con base en esta relación, el cuadro 4. 3 plantea los beneficios de los productores.

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Cuadro 4. 3 Relación de precios P1 > P 2 P1 < P 2 P = P2 = P 2

Demanda

Beneficios

Los consumidores solo demandan las cantidades de la empresa 2  Los consumidores solo demandan las cantidades de la empresa 1  Los consumidores demandan las cantidades de ambas empresas   

El equilibrio de Nash comprende aquella situación del mercado, donde una vez en ella ninguna de las empresas tiene incentivos de desviarse. Las situaciones posibles de la competencia en precio entre dos empresas se resumen en el cuadro 4. 4. Cuadro 4. 4 Situaciones Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Precios y coste marginal P1 = P2 > CM

P1 > P2 > CM P1 > P2 = CM P1 = P2 = CM

Descripción Iguales precios de las empresas pero mayores al coste marginal  Diferentes precios de las empresas y mayores al coste marginal  Una de las empresa iguala el precio al coste marginal y la otra cobra un precio mayor Los precios de ambas empresas son iguales al coste marginal

Equilibrio de Nash No No No Si

El caso 1 del cuadro 4.4 es inestable porque una de las dos empresas (o ambas) buscará maximizar el beneficio, colocando un precio inferior al que tiene su

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rival, pero cerciorándose que el nuevo precio sea mayor al coste marginal. Este comportamiento tiende a ser dinámico entre las empresas por los incentivos que genera la desviación de la situación. Cuando se dan precios diferentes y mayores al coste marginal, la empresa de mayor precio está fuera del mercado. Esta entraría a competir, colocando un precio inferior al de su rival, pero superior al coste marginal, afectando la permanencia de la empresa rival. La respuesta de la empresa excluida será la misma, por lo que en el caso 2 siempre habrá desviación. En el caso 3, la empresa de mayor precio está excluida de los beneficios del mercado y tiene incentivos de obtener parte de estos beneficios disminuyendo el precio. Solo el caso 4 presenta un equilibrio de Nash. Una vez en esta situación, las empresas no se desvían porque al hacerlo salen del mercado (precio mayor al coste marginal) u obtienen pérdidas (precio menor al coste marginal). En los modelos de Cournot y Bertrand se le da igual jerarquía a las empresas del mercado, no obstante, existen, en las actividades mercantiles contemporáneas, firmas con activos enormes, nóminas abultadas y posicionamiento de la marca, capaces de establecer liderazgo o supremacías frente al conjunto de las empresas rivales. Al respecto, la metodología de Stackelberg desarrolla los tipos de mercado compuestos por una empresa de gran tamaño (líder) y muchas de jerarquías inferiores (seguidoras), las cuales confluyen, sin cooperar, hacia una negociación basada en la competencia en cantidades. Este método se enmarca dentro de la concepción de los juegos dinámicos, ya que existe un iniciador (empresa líder) de la acción mercantil y, luego prosiguen decisiones o respuestas de otras empresas (empresas seguidoras) del mercado. La metodología de Stackelberg se esboza de la siguiente manera: Suponga la función inversa de la forma Px = α – β(X1 + X2), donde X1 son las cantidades de la empresa líder y X2 las cantidades de la empresa seguidora. Además, las funciones de costes de las empresas son las mismas del modelo de Cournot. El problema a resolver del líder es:

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En el problema, es decir:

es la función reacción o de mejor respuesta de la empresa 2,

Resolviendo el problema:

El equilibrio de la empresa 2 se obtiene reemplazando en su función reacción, el equilibrio de la empresa 1, así:

El precio del mercado es:

4.4 Mercado cooperativo: La colusión La colusión o cartel es la unión de todas las empresas de una industria que buscan comportarse como un monopolio. En este tipo de actividad mercantil, las empresas cooperan estratégicamente, aumentando su dominio en el mercado. Las empresas, al coludir, escasean la producción de mercancía con el objetivo de conseguir una mayor disposición a pagar por parte de los consumidores. Beneficio conjunto Problema a resolver de la colusión:

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Resolviendo se obtiene la siguiente condición de primer orden:

La creación de carteles en la economía disminuye el bienestar social. Por ello, la mayoría de los países que promueven la libre competencia han perfeccionado sus sistemas jurídicos en pro de la prohibición y penalización de las prácticas empresariales dominantes en el mercado o restrictivas de la libertad económica. En Colombia, la constitución y la ley impiden la conducta monopólica y se han establecido entidades con autonomía administrativa y financiera para vigilar y sancionar las prácticas comerciales restrictivas. Ejemplo 4. 3 Este ejemplo calcula la situación de equilibrio de los modelos de Cournot y Stackelberg. Suponga la siguiente información:

Solución de Cournot Problema a resolver de la empresa 1:

Condición de primer orden:

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Problema a resolver de la empresa 2:

Condición de primer orden:

La combinación de mejor respuesta o equilibrio de Cournot-Nash se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones 1 y 2:

Solución de Stackelberg. Siendo la empresa 1, la líder, el problema es:

Remplazando la función reacción de la empresa 2 en el problema, tenemos:

Condiciones de primer orden:

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Reemplazar el equilibrio de la empresa 1 en la función reacción de la empresa 2, da el equilibrio de esta última:

Precio, beneficios y excedentes de los consumidores:

Ejemplo 4.4 Una economía con las empresas 1 y 2 suministra la siguiente información:

Se requiere: A.

Obtener el equilibrio de Bertrand

B.

Suponer que las empresas cooperan. Así las cosas, determine el equilibrio de la colusión.

Solución A.

Situación de Bertrand:

El equilibrio de Nash de la competencia en precio es la situación donde se igualan el precio con el corte marginal:

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La solución del sistema de ecuaciones permite conocer las cantidades del equilibrio de Bertrand-Nash:

Beneficios y excedentes de los consumidores:

B.

Solución de la Colusión

Empleando la condición de equilibrio de la colusión:

Resumen de resultados de los ejemplos 4.3 y 4.4 Variables x1 x2 x p π1 π2 π Excedente de los consumidores

Cournot Stackelberg Bertrand Colusión 30 36,4 60 20 18,1 60 50 54,5 120 60 140 126,5 200 800 2.700 2.786,9 0 2.000 1.632,8 0 4.700 4.419,7 0 36.000 3.750 4.455,4 72.000 18.000

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Ejemplo 4. 6 Modelo de Bertrand con bienes diferenciados. Suponga que en un mercado operan dos empresas que producen bienes diferenciados. Las demandas de los consumidores respecto al bien de cada empresa son:

Las funciones de costes son:

A.

Considerando que cada empresa tiene como variable de decisión su precio, se requiere calcular el equilibrio de Nash (precios, cantidades y beneficio).

B.

¿Cuándo los bienes no son sustituibles? Calcule el equilibrio (precios, cantidades y beneficio) para este caso.

C.

Como cambian el EN del inciso A, si ahora las funciones de costes son c1 = 20X1 Y c2 = 30X2

Solución A.

Precio, cantidad y beneficio

Empresa 1

Problema a resolver de la empresa 1

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Función reacción de la empresa 1:

Empresa 2

Problema a resolver de la empresa 2

Función reacción de la empresa 2:

Sustituyendo P1 en P2

Reemplazando P1 en P2: Demandas óptimas de las empresas 1 y 2:

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Costes de las empresas 1 y 2:

Beneficios de la empresas 1 y 2:

B.

Función de demanda de bienes no sustituibles:

Cada empresa se convierte en monopolio de su bien. Condición de equilibrio del monopolio que produce X1

Los mismos resultados los obtiene la empresa 2 C.

Con C1 = 20X1 Y C2 = 30X2, se obtienen los siguientes resultados: Empresa 1 Empresa 2

Precio 88 92

Cantidad 132 128

Beneficio 8976 7936

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Ejemplo 4. 7 Elección estratégica de precios o cantidades en un duopolio diferenciado. Modelo planteado por Singh y Vives (1984). Las siguientes, son dos funciones de demanda directa de bienes diferenciados producidos por las empresas 1 y 2:

Los bienes X1 y X2 son bienes sustitutos porque cada vez que aumenta el precio del bien 2, aumentan las demandas del bien 1. Considerando costes marginales nulos de las empresas, se requiere: A.

Encontrar precio, cantidades y beneficio cuando ambas empresa compiten en precios.

B.

Encontrar precio, cantidades y beneficio cuando ambas empresa compiten en cantidades.

C.

Encontrar precio, cantidades y beneficio cuando la empresa 1 compite en precios y la empresa 2 compite en cantidades.

D.

Encontrar precio, cantidades y beneficio cuando la empresa 2 compite en precios y la empresa 1 compite en cantidades.

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Solución A.

Ambas empresas compiten en precios.

Utilizando las funciones de demanda directa 1 y 2, tenemos: Empresa 1

Empresa 2:

Con FR1 y FR2 se obtienen las mejores respuestas en precios: Los beneficios de las empresas son:

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Figura cuando ambas empresas compiten en precios

B.

Ambas empresa compiten en cantidades.

De las funciones directas de demanda 1 y 2 se obtienen:

Empresa 1

Empresa 2

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Con FR1 y FR2 se obtienen las respuestas en cantidades: Los beneficios de las empresas son:

Figura cuando ambas empresas compiten en cantidades

C.

La empresa 1 compite en precios y la empresa 2 compite en cantidades.

De las funciones directas de demanda (3) y (4) se obtienen:

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Empresa 1:

Empresa 2:

Con FR1 y FR2 se obtienen las respuestas:

Los beneficios de las empresas son:

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Figura cuando la empresas 1 compite en precios y la empresa 2 en cantidades

D.

La empresa 2 compite en precios y la empresa 1 compite en cantidades.

De las funciones directas de demanda 1 y 4 se obtienen:

Empresa 1:

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Empresa 2:

Con FR1 y FR2 se obtienen las respuestas: Los beneficios de las empresas son:

Figura cuando la empresas 1 compite en cantidades y la empresa 2 en precios

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Resumen de resultado del juego

Bertrand Cournot Empresa 1 compite en precio y empresa 2 compite en cantidades Empresa 1 compite en cantidades y empresa 2 compite en precios

Empresa 1 p1 x1 π1 48,27 19,31 932,2 68,96 17,24 1189,1

Empresa 2 p2 x2 π2 93,1 24,82 2311,53 124,13 20,68 2568,37

60,86

15,21

936,27

97,82

26,08

2551,98

54,34

21,73

1181,5

117,39

19,56

2296,78

Matriz de Beneficios Empresa 2 Empresa 1

Precios Cantidades

Precios 932,2 2311,5 1181,5 2296,8

Cantidades 936,27 2551,98 1189,06 2568,37

En el juego existe un equilibrio de estrategias dominante cuando ambas empresas compiten en cantidades, es decir, lo mejor de una empresa es competir en cantidades independiente del tipo de competencia que escoja la otra empresa. Se observa, incluso, que si los bienes son sustitutos, las empresas adquieren mayores beneficios compitiendo al estilo de Cournot. Comportamiento desleal en la industria del cemento Los mercados monopólicos generan pérdidas irrecuperables de eficiencia, ya que un empresario reduce (se apropia) el excedente de los consumidores que surge en los mercados competitivos. Los países que promueven el ideal de la libre competencia tienden a afinar sus estados de derecho, con el objetivo de controlar y sancionar a las empresas que muestran conductas de monopolio; tales comportamientos se pueden evidenciar con la aplicación de prácticas comerciales restrictivas o de competencia desleal.

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Colombia no es la excepción al establecimiento del orden antimonopólico, debido a que tiene consagrados principios constitucionales y jurídicos que defienden la libertad económica. Sin embargo, esto no ha impedido el auge de empresas dispuestas a quebrantar la legislación con el fin de obtener poder dominante en el mercado. Un caso que llama la atención es el observado en la industria del cemento colombiano. A finales del siglo XX, las empresas que se perfilaban para quedarse con el negocio del cemento eran Cemex (multinacional mexicana), Argos (empresa líder del grupo económicos llamado Sindicato Antioqueño) y Holcim (multinacional suiza). Cemex, al entrar al mercado nacional (compra las empresas Diamante y Samper) genera un ambiente de guerra de precios, puesto que se sabía acerca de su participación en la guerra de precio mexicana, acontecida años atrás. No obstante, gracias a un acuerdo entre Cemex, Argos y Holcim la idea de la guerra se disipó. Además de las empresas mencionadas, la empresa Cemento Andino entra al negocio en 1998 ampliando la competencia en el mercado. En el año 2004 inicia la guerra de precio en la industria cementera, sin conocerse con claridad la empresa que la inició. La guerra citada provocó, en algunas regiones, disminuciones del 72% en el precio del bulto de cemento de 50 kilos. La consecuencia de la lucha de precio fue la quiebra de Cemento Andino y otras cementeras pequeñas. En el año 2006, Argos compra los activos de Cemento Andino y otras empresas como Concrecem. La entidad colombiana responsable de imponer las sanciones pertinentes por violación de las normas sobre prácticas comerciales restrictivas, decide multar a Argos, Cemex, Holcim y a sus representantes, ya que fue evidente su infracción a la libre competencia. La multa osciló alrededor de 3.180 millones de pesos (7.332 salarios mínimos legales colombianos de 2006), pero dejó el sinsabor de ser un valor irrisorio comparado con la ganancia que obtuvieron.

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Resumen El mercado tipo monopolio es el extremo opuesto a la competencia perfecta: solo un empresario oferta en el mercado. El monopolio ejerce poder en el mercado y su conducta consiste en escasear la producción del bien para ubicarse en el tramo de los mayores precios de la curva de demanda del mercado. Resuelve el problema de la maximización de ganancias igualando el ingreso marginal con el coste marginal. Esta última igualdad es posible siempre y cuando el monopolista no se ubique en el tramo inelástico de la demanda. Los monopolistas discriminadores son los de primer, segundo y tercer grado. A la discriminación de primer grado se le denomina discriminación perfecta en precio. En esta circunstancia, el monopolista se apropia del excedente de los consumidores, ya que el precio que recibe por cada unidad ofrecida del bien es el de la disposición a pagar. Por otra parte, el modelo de discriminación de segundo grado también es llamado fijación no lineal de los precios y consiste en diferenciar precios según bloques de cantidades de bienes o servicios ofrecidos. Implica los descuentos dados por el empresario cuando los consumidores compran grandes cantidades del bien. Por último, la discriminación de tercer grado aparece al segmentar el mercado y cobrar un precio diferente a cada segmento. Entre todos los tipos de monopolios posibles, solo el discriminador de primer grado es eficiente en el sentido de Pareto. Una señal de la existencia de oligopolios es la poca presencia de vendedores u oferentes en el mercado. La conducta oligopolista puede analizarse para varias empresas productoras de un bien homogéneo y para las que ofrecen un bien diferenciado. Las empresas que conforman el oligopolio pueden competir estratégicamente en cantidades o en precios. Los modelos de Cournot y Stackelberg desarrollan la competencia en cantidades como conducta para maximizar beneficios. Cournot es un modelo estático, en otras palabras, la competencia es simultánea y cada empresa construye su función de mejor respuesta, considerando las funciones de mejores repuestas de las otras empresas. Mientras, la competencia en Stackelberg es dinámica, ya que una empresa (líder) comienza el proceso de competencia y luego otras empresas (seguidoras) responden estratégicamente. Tanto la líder como las seguidoras buscan maximizar sus beneficios, construyendo sus funciones de mejor respuesta o de reacción.

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Con respeto a la competencia en precios, el modelo de Bertrand cumple esta conducta. El oligopolio tipo Bertrand es estático y también resuelve el problema de optimización de ganancias por medio de la funciones de mejor respuesta de sus empresas. Las metodologías de Cournot, Stackelberg y Bertrand logran situaciones óptimas de maximización del beneficio con tipos de equilibrios en el sentido de Nash, dicho de otra forma, con situaciones de equilibrio donde coinciden las mejores respuestas de las empresas. El cartel es un modelo de comportamiento estratégico cooperativo. Las empresas de una industria acuerdan prácticas comerciales restrictivas con el fin de consolidar un poder de mercado y aumentar sus ganancias, equiparándose esta conducta a la del modelo monopólico. Por ello, el problema de optimización del cartel se resuelve con la igualación del ingreso marginal con el coste marginal de la industria, surgiendo una situación de equilibrio con escasa producción y precios altos. La pérdida de bienestar social producida por el surgimiento de carteles en la economía, ha llevado a muchos países a legislar sobre la prohibición de prácticas restrictivas de la competencia.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Suponga las siguientes funciones de inversa de demanda y de coste de la única empresa oferente de atún enlatado en la ciudad de Cartagena de Indias.

A.

Calcule el equilibrio cuando la empresa se comporta como monopolio puro (cantidades, precios y beneficio)

B.

Encuentre el rango de cantidades que no produciría la empresa.

4.2 La empresa de artesanía Artesampués S.A., es la única que produce vasijas de arcilla. El producto es elaborado manualmente sin la ayuda de maquinaria. La función de producción de la empresa es: 1/2

X = 6L , donde es trabajo.

Si la función inversa de demanda del mercado es es 2 u/m, se requiere:

y el salario pagado

A.

Calcular precio, cantidad, beneficio y excedente del consumidor de un mercado de monopolio puro

B.

Determinar los precios de la curva de demanda donde no se ubica el monopolista

4.3 La empresa editorial Siglo XXI S. A. publica el texto Microeconometría Avanzada, el cuál es único en el mercado, y ha decidido segmentar el mercado en dos grupos: la población estudiantil y la profesional. La editorial conoce la función inversa de demanda de cada segmento, siendo estas las siguientes:

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Si la función de coste de producción del texto es C = 4500(X1 + X2), se requiere:

A.

Calcular la situación de equilibrio del monopolio en los dos sectores (cantidades, precios y beneficio).

B.

Responder, ¿cuál sería la situación de equilibrio (cantidades, precios y beneficios) si Siglo XXI S. A. decide no discriminar?

4.4 Los tamales tolimenses son demandados por residentes de la región norte de Colombia. Con base en una encuesta realizada, se pudo armar la siguiente tabla de demanda de los tamales: Precio (P) 5900 5890 5000 4990

Cantidad (X) 100 110 1000 1010

Sólo la empresa Vive Sabor S. A. está dispuesta a satisfacer el mercado. La función 2 de coste de la empresa es C = X .

A.

Calcular la situación de equilibrio de Vive Sabor S. A. (cantidad, precio, beneficio y excedente del consumidor).

B.

Si el mercado de tamales de la región se vuelve competitivo, calcule el nuevo precio y cantidad de equilibrio.

C.

¿Cuánto dejó de recibir el monopolio por concepto de beneficio cuando el mercado se hizo competitivo? ¿Cuánto se incrementó el excedente de los consumidores?

D.

Calcular la pérdida irrecuperable de eficiencia.

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4.5 Suponga que en un mercado operan dos empresas que producen bienes diferenciados. Las demandas de los consumidores respecto al bien de cada empresa son:

Las funciones de costes son:

A.

Considerando que cada empresa tiene como variable de decisión su precio, se requiere calcular el equilibrio de Bertrand (precios, cantidades y beneficio).

B.

Calcular el equilibrio (precios, cantidades y beneficio) cuando los bienes no son sustituibles.

C.

Cómo cambian el EN del inciso A, si ahora las funciones de costes son: C1 = 2X1 Y C2 = 6X2

4.6 Suponga que solo dos empresas producen en un mercado. Las empresas presentan diferentes tecnologías: Empresa 1 → X1 = 2 L + K1/2

Empresa 2 → La firma para producir una unidad de producto utiliza, en una proporción fija, una unidad de trabajo por una de capital. Con el salario igual a 4 u/m, el precio del capital igual a 2 u/m y la función inversa de demanda P =1800 – X, se requiere: A.

Calcular la función de costes de cada empresa.

B.

Calcular el equilibrio de Cournot.

C.

Calcular el equilibrio si la empresa 2 se comporta como monopolio puro.

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D.

Calcular el excedente del consumidor en ambos mercados.

4.7 Tres empresas que producen un bien homogéneo se enfrentan a la demanda resumida en la siguiente tabla: P 8.000 6.000 4.000

X 6.000 7.000 8.000

Las funciones de costes de las empresas son: C1 = 1000X1, C2 = 3000X2, y C3 = 2000X3,

A.

Obtenga el equilibrio de Cournot (precios, cantidades y beneficios). Además, calcule el excedente de los consumidores.

B.

Suponga que la empresa 2 cierra, calcule la nueva situación de equilibrio.

4.8 Un duopolio abastece el mercado de la cerveza de un país con tradición cervecera. La función inversa de la demanda de las canastas de cerveza es:

Las empresas presentan las siguientes funciones de coste: C1 = 500X1 y C2 = 500X2 Con la información suministrada, complete el siguiente cuadro: Variables x1 x2 x p π1 π2 π Excedente de los consumidores

Cournot

Stackelberg (Líder-Empresa 1)

Bertrand

Colusión

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4.9 Considere la elección estratégica de precios o cantidades en un duopolio diferenciado y encuentre su equilibrio, suponiendo que las empresas tienen costes marginales nulos. Las funciones de demanda son:

Considere los siguientes casos: Caso 1. Ambas empresas compiten en precios. Caso 2. Ambas empresas compiten en cantidades. Caso 3. La empresa 1 compite en precios y la empresa 2 compite en cantidades. Caso 4. La empresa 2 compite en precios y la empresa 1 compite en cantidades. A.

Complete la siguiente tabla. Casos Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

B.

p1

Empresa 1 x1

π1

p2

Empresa 2 x2

π2

Arme la matriz de beneficio.

Matriz de resultados (beneficio) Empresa 2 Precios Empresa 1

C.

Cantidades

Precios Cantidades

Establezca el equilibrio de Nash de la matriz de beneficio

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APÉNDICE MATEMÁTICO

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1.

Funciones y tipos de funciones

La función muestra una relación entre dos conjuntos. Esta asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento del segundo conjunto o ninguno. La función es una regla que describe una relación entre variables.

1.1 Dominio y rango de una función Si Y = f(X), entonces el dominio comprende todos los valores de la variable independiente para los cuales una función está definida. El Rango de una función comprende todos los valores de la variable dependiente para los cuales una función está definida. Figura 1

1.2 Formas de expresar las funciones La forma Y = f(X) se lee Y en función de X y se dice que la función está dada explícitamente, debido a que la variable dependiente está despejada.

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Ejemplo: Función de demanda Función inversa de demanda Función de oferta

Ecuación Xd = 120 – 2Px Px = 200 - Xd Xo = 12 + 4 Px

La forma f(X,Y) = 0 indica que la función está dada implícitamente, debido a que la variable dependiente no está despejada Ejemplo: Funciones algebraicas

3X + 3Y + 5 = 0

Son aquellas que contienen las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación. Ejemplo:

1.3 Función continua Una función es continua si su gráfica es conexa, es decir, si no tiene rupturas. La función continua se puede trazar sin alzar la mano ya que no presenta saltos. Las siguientes tres condiciones deben cumplirse para que una función sea continua en un número a f es continua en a, sii

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Figura 2. Función continua y discontinua

1.4 La función monótona Las funciones monótonas son las que conservan un orden específico. Una función es monótona creciente si para todo X1 < X2, entonces f(X1) < f(X2)

Figura 3. Función monótona creciente

Una función es monótona decreciente si para todo x1 < x2, entonces f(x1) > f(x2)

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Figura 4. Función monótona decreciente

1.5 La función lineal La variación en la variable X cuando de un Xa se pasa a un Xb se escribe:

La tasa de variación de la función expresada explícitamente Y = f(X) es el cociente de la variación de Y entre la variación de X:

La función lineal Y = b + mX, donde b y m ∈ R presenta la siguiente tasa de variación:

Lo anterior muestra una tasa de variación de Y con respecto a X constante cuando la función es lineal. En cambio, la tasa de variación de las funciones cuadráticas depende del valor de la abscisa. A menudo, la función lineal es conocida como la recta. Si (X1, Y1) y (X2, Y2) son dos puntos que pertenecen a una misma recta, entonces, las diferencias entre los puntos en la abscisa y la ordenada son respectivamente (X1 – Y1) y(X2 – Y2). La razón entre estas dos diferencias se conoce con el nombre de pendiente (m).

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Figura 5. Función lineal

Si existe cualquier punto (X,Y) que pertenece a la recta que contiene el punto (X1, Y1), entonces, la pendiente entre los puntos es: Como la función lineal o recta tiene una pendiente constante en toda su trayectoria, las pendientes mencionadas son iguales:

Y – Y1 = m(X_– X1)

La anterior expresión se conoce como la fórmula punto pendiente de la recta. Otra forma de escribir la fórmula de la recta, son: Fórmula Pendiente-intercepto: Y – b = m (X – 0)

Y = mX + b, donde b es el valor de la ordenada con X = 0.

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Fórmula con dos interceptos: ejes. Estos son (0, b) y (a, 0)

, donde a y b son los interceptos en los

La figura 6 muestra los tipos de rectas según el valor de la pendiente. Figura 6

Rectas paralelas Dos rectas no verticales son paralelas si, y solo si, tienen la misma pendiente. Si las rectas tienen el mismo intercepto se dice que son coincidente y tienen la misma ecuación. Las rectas

y son paralelas si

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si, y solo si, la pendiente de una de las rectas es el recíproco negativo de la pendiente de la otra recta. Las rectas

.

son perpendiculares si

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Ejemplo Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, – 8) y es paralela a la recta que une los puntos (–2,12) y (5,40). Solución La pendiente de la recta que une los puntos (–2,12) y (5,40) es:

Con el valor de la pendiente se obtiene la ecuación de esta recta:

Ahora, la ecuación de la recta solicitada se calcula con la pendiente encontrada y el punto (3, – 8).

Figura del ejemplo

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Ejemplo Calcule la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta coincide con ella cuando X = 6

,y

Solución tiene una

El punto de intercepción de las dos rectas es (6,2). La recta pendiente (m1) igual a

. La pendiente (m2) de la recta solicitada es:

La ecuación de la recta que pasa por el punto (6,2) y con pendiente igual a 2 es:

Figura del ejemplo

1.6 Funciones exponencial y logarítmica f(X) = ax, donde a es el factor por el que varía f(X) cuando X crece en una unidad.

Función exponencial natural:

f(x) = ex

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Se tiene que al ser f´(X) y f´´(X) siempre positivas, la función exponencial es estrictamente creciente. Función logarítmica natural En la expresión ex = a, la incógnita X es igual al logaritmo natural a de y se escribe X = In a. El In a es el exponente al que hay que elevar e para obtener a. ex = eIn a = a

Reglas del logaritmo natural ()

Reglas para logaritmos en base distinta de e

1.7 Funciones convexas y cóncavas Sea X un subconjunto convexo y no vacío de La función es convexa en X si

y f: X → R. Entonces se dice que: , para todo

La función es estrictamente convexa en X si , para todo

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La función es cóncava en X si , para todo

La función es estrictamente cóncava en X si , para todo

Figura 7

Una función estrictamente convexa es convexa. Ejemplo Demuestre la convexidad de f(X) = X2 Solución

Para todo k ∈ [0,1], se tiene:

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1.7.1 Funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas Sea X un subconjunto convexo y no vacío de La función es cuasiconvexa en X si

y f: X → R. Entonces se dice que: , para todo

La función es cuasicóncava en X si , para todo

La función es estrictamente cuasiconvexa en X si , para todo

La función es estrictamente cuasicóncava en X si , para todo

Figura 8

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2.

Máximos y mínimos de las funciones. El criterio de la segunda derivada

Si f(X) es una función real de variable real doblemente diferenciable en el intervalo abierto (X1, X2), la cual contiene a x* con la particularidad que f`'(x*) = 0 y con derivada de segundo orden negativa (f`''(x*) < 0), entonces la función es cóncava en el intervalo (X1, X2), por lo que presenta un máximo relativo en x* (ver figura 8a). El tramo de la función en el intervalo (X1, X2) siempre tendrá una pendiente decreciente. Cuando f(X) cumple las propiedades antes descritas, incluido el valor crítico x* con f`'(x*) = 0, pero con derivada de segundo orden positiva (f`''(x*) > 0), la función es convexa en el intervalo (X1, X2), por lo que presenta un mínimo relativo en x* (ver figura 8b). El tramo de la función en el intervalo (X1, X2) siempre tendrá una pendiente creciente. Si se satisfacen la condición de primer orden, entonces lo anterior puede resumirse de la siguiente manera: Si

, entonces x* es un máximo relativo en x*

Si

, entonces x* es un mínimo relativo en x*.

Figura 9

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Ejemplo . Verifique si la función

Calcule los puntos críticos de presenta mínimos o máximos relativos. Solución La condición de primer orden es:

Ahora, se obtiene los puntos críticos:

La solución es x = 0, x = 1 y x = –3. Los puntos críticos son (0,0), (1; – 3,5) y (–3; –67,5) Usando la segunda derivada determinamos el tipo del punto crítico:

Si x = 0, entonces

. El punto (0,0) es un máximo relativo.

Si x = 1, entonces

. El punto (1; – 3,5) es un mínimo relativo.

Si x = –3, entonces

. El punto (–3; –67,5) es un mínimo relativo.

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Figura del ejemplo

3.

La matriz hesisiana para clasificar máximos y mínimos de las funciones

La hessiana (H), asociada a una función f, es una matriz simétrica usada para la clasificar el punto crítico como mínimo, máximo o punto de silla de una función de varias variables. La matriz contiene las derivadas de segundo orden de la función estudiada:

El signo de la matriz debe conocerse para catalogar el punto crítico. El Criterio de Sylvester expresa: • Una matriz es definida positiva si todos los menores principales son positivos. • Una matriz es definida negativa si el menor principal de orden k tiene el signo (–1)k, para k = 1,2,..., n. • Si no se cumplen los anteriores criterios y con |H|≠0, la matriz es indefinida.

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Conocido el signo de la hessiana, entonces: Si H(f(x*)) es definida positiva, x* es un mínimo local de la función. Si H(f(x*)) es definida negativa, x*es un máximo local de la función. Si H(f(x*)) es indefinida, x* no es ni máximo ni mínimo. Ejemplo Sea la función Las condiciones de primer orden son:

El punto crítico obtenido del sistema de ecuaciones es Ahora se pasa a determinar el punto crítico por medio de la matriz hessiana.

Cálculos de los menores principales:

.

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Siendo negativos el primer y tercer menor principal, y positivo el segundo menor principal, la hessiana es definida negativa, lo cual implica que el punto es un máximo local. Ejemplo. Verificar si la función f(X,Y) = eX2+Y2 tiene un máximo, mínimo o punto de silla. Solución

El punto crítico obtenido del sistema de ecuaciones es (x,y) = (0,0) Matriz hessiana asociada a la función:

La matriz hessiana es definida positiva (los menores principales son positivos). El punto crítico (0,0) es un máximo de la función.

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3.1 La matriz hesisiana orlada y las funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas Sea X un subconjunto abierto, no vacío y convexo de C2, entonces la matriz hessiana orlada asociada a f, se:

, y una función

Con la matriz se verifica que: La función es cuasicóncava si

La función es cuasiconvexa si

Ejemplo. Determine si la siguiente función Cobb-Douglas es causicóncava o cuasiconvexa.

La función Cobb-Douglas es cuasicóncava

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4.

Optimización con restricción. El método de Lagrange

La optimización restringida consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo sujeta a una o varias funciones de restricción. La optimización con dos variables, siendo f(X,Y) y g(X,Y) = k funciones continuas y diferenciables, donde la primera es la función objetivo y la segunda es la restricción, se expresa de la siguiente forma:

El problema se resuelve usando la función de lagrange (ℒ), la cual contiene el valor común llamado el multiplicador de lagrange.

La metodología de lagrange propone calcular las condiciones de primer orden e igualarlas a cero.

El punto crítico (x0, y0), se obtiene resolviendo el anterior sistema de ecuaciones.

El multiplicador de lagrange constituye la tasa marginal de cambio del valor óptimo de la función cuando se da una variación en el término independiente de la restricción (Barbolla, Cerdá, & Sanz, 2000). El multiplicador de lagrange suele llamarse, en economía, “el precio sombra”:

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Cuando existen n variables, el caso de optimización es:

El lagrangiano asociado al problema es:

Obteniendo las condiciones de primer orden e igualándolas a cero, tenemos:

El sistema compuesto por n + 1 ecuaciones y n + 1 incógnitas, se resuelve para obtener la solución. En el método de lagrange general, cuando existen n ecuaciones y m restricciones, la optimización se expresa de la siguiente manera:

Se resuelve el problema de optimización con la siguiente función lagrangiana:

Condiciones de primer orden de las n variables

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Condiciones de primer orden de los m multiplicadores de lagrange:

Al final, el sistema a solucionar está compuesto por n + m ecuaciones y n + m incógnitas.

4.1 Verificación del punto crítico de la función lagrangiana La matriz hessiana orlada es utilizada para la verificación de los puntos máximo o mínimos. La hessiana asociada a la función lagrangiana, cuando la optimización se hace con dos variables y una restricción, tiene la siguiente forma:

En el caso de dos variables y una restricción, la verificación exige calcular el determinante de la hessiana orlada. Conocido el menor principal, se tiene: Existe un máximo local de la función f(X1, X2) con restricción g(X1, X2) = k si se satisface las condiciones de primer orden y el determinante evaluado en (X*,λ*), es positivo. Existe un mínimo local de la función f(X1, X2) con restricción g(X1, X2) = k si se satisface las condiciones de primer orden y el determinante evaluado en (X*,λ*) es negativo. Ejemplo:

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Solución Lagrangiano del problema de optimización:

CPO:

Igualando las ecuaciones 1 y 2, obtenemos:

Reemplazando la Ec. 4 en la Ec. 3:

Verificación del punto crítico.

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El determinante de la hessiana es -0,002, lo cual indica que el punto crítico es un mínimo. Ejemplo:

Solución Lagrangiano del problema de optimización:

CPO:

Igualando las ecuaciones 1 y 2, nos queda:

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Reemplazando la Ec. 4 en la Ec. 3:

Verificación del punto crítico La matriz hessiana orlada asociada al lagrangiano es:

El punto crítico

es un mínimo.

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RESPUESTAS Capítulo 1 1.1 A.

Debe renunciar a 14 libros de matemáticas.

B.

La cantidad máxima de botella de cerveza que puede adquirir en el mes es 525.

1.2 A. B. B. C. 1.3 B.

Demandas marshallianas: x = 12 y y = 16

Utilidad máxima es igual a 10,44 C.

Demandas marshallianas: x = 16 y y = 0

Utilidad máxima es igual a 16

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1.4 A. Px = 10.000, Py = 3.000 10.000, Px + 3.000 Py = 70.000

B. Px = 30.000, Py = 4.000 30.000, Px + 4.000 Py = 140.000 C. Px = 15.000, Py = 8.000 15.000, Px + 8.000 Py = 130.000 1.5 A.

Ecuación de la CCR:

B.

Ecuaciones de Engel:

Ambos bienes son normales:

C.

CCP cuando varía el precio de la carne de res: Y = 3.

D.

CCP cuando varía el precio de la carne de cerdo: X = 10.

E.

Funciones de demanda:

1.6 A.

x = 20, y y = 17 utilidad máxima = 360

B.

Curva consumo-renta:

Curvas de Engel: Curva consumo –precio y = 17: Funciones de demanda:

.

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1.7 A.

Para el bien X: Es = 7, ER = – 4 y ET = 3. Efectos del bien Y: Es = – 7, ER = – 1 y ET = –8

1.8

Para el bien X: Es = 6,2, ER = – 3,2 y ET = 3. Efectos del bien Y: Es = – 7,2, ER = – 0,8 y ET = –8

A.

x = 6 y y = 18.

B.

x = 5 y y = 15.

1.9

Tazas de café: Es = 0, ER = –1 y ET = –1 Cucharadas de café: Es = 0, ER = –3 y ET = –3

B.

Demandas marshallianas: Función de gasto: 1.10

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Capítulo 2 2.1 A.

Rendimientos creciente

B.

Rendimientos constantes

C.

Rendimientos constantes

2.2 A. B.

Trabajadores que maximizan la producción: l = 6.

Trabajadores que maximizan el PML: l = 3 Trabajadores que maximizan el PME: l = 4,5 2.3 A.

Siendo el

es fácil verificar el valor infinito de la productividad

cuando L tiende a cero o la productividad nula cuando L tiende a infinito. También se cumple las condiciones de Inada para B.

Siendo PML = 40LK y PMK = 20L2, se verifica que la función no cumple las condiciones de Inada.

2.4 A.

Cortes de cabello que maximiza las ganancias: y = 50

B.

Siendo PML = 40LK y PMK = 20L2 se verifica que la función no cumple las condiciones de Inada.

C.

Función de oferta: y = 5Py – 50

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2.5 A.

Demanda de trabajo:

Cantidad de trabajo: l = 25 Función de oferta: El beneficio máximo es 10.500 u/m B.

Demanda de trabajo:

Demanda de capital: Cantidad de trabajo: l = 25

Cantidad de capital: k = 2.500 Función de oferta:

Beneficio máximo igual a 25.500 u/m 2.6 Demandas condicionadas de factores: Función de coste: 2.7 A. B. 2.8

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2.9 A. B. C.

3Y2 – 24Y + 100 y y = 4

Si CVME ≤ 64, la oferta no existe. Si CVME > 64, la oferta es:

2.10 A. B.

Capítulo 3 3.1 A. B. C. D. 3.2

3.3 A.

Px = 9.000 u/m y x0 = xD = 36.000 unidades

Px = 6.000 u/m

Px = 17.000 u/m

EC = 216.000.000 u/m y EP = 162.000.000 u/m

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B.

ho = 13 y ht = 11

3.4

Ht = 450 y w = 20

A. B. C. D.

Solo es óptimo de Pareto de la economía 3. En ninguna economía es óptimo de Pareto. Solo es óptimo de Pareto de la economía 1 Solo es óptimo de Parteo de la economía 2

C.

3.5 A. B.

TMSA = TMSB

C.

PXZX + PyZy = 0

3.6 A.

Desde el origen de A:

Desde el origen de B: B.

El consumidor A no envidia a B si Universidad del Magdalena

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C.

El consumidor B no envidia a A si

3.7 A.

Ecuación de FPP: X2 + 4Y = 400

B.

Ecuación de FPP:

3.8 A. B.

Desde el origen de X: Kx = Lx Desde el origen de Y: Ky = Ly

C. D. 3.9 A. B. C.

x = 800 y y = 240 Px = Py = 1, w = 2

La situación de equilibrio no es eficiente en el sentido de Pareto porque con , se tiene:

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D.

El impuesto por unidad producida de es igual a 4.

3.10 A. B.

Capítulo 4 4.1 A. B.

x = 5, Px = 190, y beneficio = 208,3

El monopolista no se ubicaría para todo menor a 50 unidades

4.2 A. B.

x = 72, Px = 44 beneficio = 2.800 y Excedente del consumidor = 1296 El monopolista no se ubicaría para todo Px menor a 40.

4.3 A. B.

x1=11.125, P1=26.750, beneficio1 = 247´531.250, x2= 6.200, P2 = 29.300 y beneficio2 = 153´760.000

4.4 A.

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4.5 A. B. C. 4.6 A. B. C. D.

Excedente Cournot = 716.804. Excedente monopolio = 402.305

4.7 A. B. 4.8 Variables

Cournot

x1 x2 x p π1 π2 π Excedente de los consumidores

8.000 8.000 16.000 1.833 10.666.667 10.666.667 21.333.333 21.333.333

Competencia perfecta

24.000 500

0 48.000.000

Bertrand

Monopolio (Empresa 1) 12.000

2.500 24.000.000 12.000.000

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4.9 A. Casos Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

B.

p1 7.600 / 29 8.800 / 29 7.600 / 23 5.500 / 23

Empresa 1 x1 1.520 / 29 1.100 /29 950 / 23 1.100 / 23

π1 13.736  11.510  13.648 11.437

Empresa 2 p2 x2 10.200 / 29 1.360 / 29 12.000 / 29 1.000 / 29 7.500 / 23 1.000 / 23 10.200 / 23 850 / 23

π2 16.495  14.269  14.178  16.389 

Matriz de resultados (beneficio) Empresa 2

Empresa 1

C.

Precios Cantidades

Precios 13.736 // 16.495  11.437 // 16.389 

Cantidades  13.648 // 14.178 // 14.269

El equilibrio se da cuando las ambas empresas compiten en precios

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Esta edición consta de 200 ejemplares. Se diseñó y diagramó en Xpress Estudio Gráfico y Digital. Se imprimió en mayo de 2018 en los talleres de Xpress Estudio Gráfico y Digital S.A.S. - Xpress Kimpres Carrera 69H No. 77-40. Bogotá D.C., Colombia. En su composición se utilizaron caracteres Minion Pro. Su portada va en papel propalcote de 240 gramos y las páginas interiores en papel bond bahía 70 gramos. Formato 17 x 24 cm.