Теория автоматического управления (с использованием MATLAB — SIMULINK). Практикум 9785811437719

Citation preview

Ю. И. КУДИНОВ, Ф. Ф. ПАЩЕНКО, А. Ю. КЕЛИНА

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATLAB - SIMULINK) ПРАКТИКУМ УЧЕБН О Е ПОСОБИЕ

h

ДАНЬ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ • МОСКВА • КРАСНОДАР 2020

УДК 681.5 ББК 32.965я73 К 88

Кудинов Ю. И. Теория автоматического управления (с ис­ пользованием MATLAB — SIMULINK). Практикум : учебное посо­ бие / Ю. И. Кудинов, Ф. Ф. Пащенко, А. Ю. Келина. — СанктПетербург : Лань, 2020. — 280 с. — (Учебники для вузов. Специ­ альная литература). — Текст : непосредственный. ISBN 978-5-8114-3771-9 Практикум — это обязательное дополнение к учебному пособию «Теория автоматического управления (с использованием MATLAB — SIMULINK)». Он осуществляет методическую поддержку практических и лабораторных занятий с привлечением программных средств MATLAB — SIMULINK. Кроме того, практикум снабжен тестами, позволяющими закрепить знания теоретического материала по теории автоматического управления. Пособие предназначено для бакалавров, магистров и аспирантов, обучающихся по направлениям «Прикладная математика и физика» и «Управление в технических системах».

УДК 681.5 ББК 32.965я73

Обложка П. И. ПОЛЯКОВА

© Издательство «Лань», 2020 © Коллектив авторов, 2020 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2020

3

ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое вашему вниманию учебное пособие предназначено для практического освоения дисциплины «Теория автоматического управле­ ния (ТАУ)» с использованием программных продуктов MATLAB и SIMULINK. Практические навыки студентов приобретаются в ходе вы­ полнения лабораторных работ и практических занятий. Как в лабораторных работах, так и на практических занятиях слож­ ные и громоздкие вычисления, построение схем управления и графиков осуществляются с помощью программных продуктов, входящих в про­ граммные комплексы MATLAB и SIMULINK. Практикум состоит из двух частей и рассчитан на двухсеместровый курс ТАУ для бакалавров по направлению «Управление в технических системах». Практикум может быть использован также студентами дру­ гих направлений с аналогичными содержанием и длительностью курса ТАУ. В первой части пособия методические указания к семи лабораторным работам и семи практическим занятиям посвящены построению дина­ мических моделей, анализу устойчивости и качества непрерывных си­ стем управления, синтезу модальных и ПИД регуляторов, а также ана­ литическому конструированию оптимальных регуляторов. Во второй части приводятся методические указания к семи лабора­ торным работам и шести практическим занятиям. В них, помимо анали­ за устойчивости и качества, в разделе линейных дискретных систем управления, рассматривается параметрический синтез дискретного ПИД регулятора методом Такахаши и модальный синтез, а в разделе нели­ нейных систем управления — синтез релейной системы управления. В конце каждой части практикума помещены тестовые задачи, по­ зволяющие закрепить теоретические знания по соответствующим темам курса ТАУ. В книге использованы научные результаты работ по синтезу систем управлению, выполненных по гранту РНФ (проект № 14-19-01772).

4

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ I. Лабораторные работы 1. Временные характеристики динамических звеньев Ц ель раб о т ы : приобретение практических навыков, необходимых при исследовании динамических характеристик, а также закрепление теоретических знаний по переходным процессам в звеньях систем регу­ лирования.

1.1. Теоретические сведения 1.1.1. Д иф ференциальные уравнения и передат очные функции Рассмотрим динамическое звено или систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным дифференциальным уравне­ нием вида О.

dny(t) dn l y(t) + 0„_i ----- + ... + Oi d tn d f 1-1

dy(t) ... + OnZ/(t) = dt '

, dmu(t) . 2 Т 2)

y(t) = Knit)

W(s) = K

y ( t) = .К"! u(l)dx 0

W (s) = — s

■'a И и

Усилительное

Передаточная функция

’si

1

Дифференциальное уравнение

W(s) = K s

Ty(t) + y(t) = Ku(t)

T2* m +

T1

y{t) + y(t) = K u (t)

W(S) = ~~~~7 Ts + 1 W (s) = -------- —-------T /s2 + Tjg + 1

1.1.2. Временные характ ерист ики динамических звеньев Временная характеристика динамического звена представляет собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход некоторого типового воздействия. Обычно выполняется анализ вы­ хода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и импульсную функцию (функция Дирака или 8-функция). Единичный скачок 1(£) определяется условиями

1 (0 4 °

[1

щш

при

!5 0 ’

t > 0.

Реакция звена или системы на единичный скачок называется пере­ ходной функцией звена или системы и обозначается как h(t). При нееди­ ничном ступенчатом воздействии u(t)=N 1(f), где N = const, в соответст­ вии с принципом суперпозиции выходная реакция системы будет y (t)= N h (t). Импульсная функция 5(f) определяется условиями:

6

ад J ” при , = 0’ [О

при t Ф 0.

Очевидно, что 8(t)=l'(t). Основное свойство дельта-функции 8((t)=h(t).

(1.3)

Запишем переходные функции звеньев, представленных в таблице 1.1. 1. Усилительное звено h(t) = К l(t). 2. Интегрирующее звено h(t) = К t l(t). 3. Дифференцирующее звено h(t) = K 8 (t). 4. Апериодическое звено 1-го порядка h(t) = K ( l - e ‘/T). 5. Апериодическое 2-го порядка h(t) = K ( 1 - - Л - е-*Ъ + ^ F e - ^ ) l ( t ) . Н ~ 1i

13 ~ 14

где Гм = 0.5(71 ± s j T f - A T i ) . Переходную функцию можно получить в виде аналитического выра­ жения, используя функцию dsolve, и виде графика переходного процесса в Simulink. Пример 1.1. Пусть на вход апериодического звена 1-го порядка 5y(t) + y(t) = 3 u ( t ) .

(1.4)

подается единичное ступенчатое воздействие u(t) = l(t). Определить аналитическое выражение переходной функции и ее график. Решение. Подставляя u(t) = l(i) в дифференциальное уравнение (1.4), получим

7

5y(t) + y(#) = 3 1 ( t ) . Тогда решением этого дифференциального уравнения в Matlab при ННУ, т. е. при г/(0) = О y=dsolve('5*Dy+y=3Yy(0)=0') будет аналитическое выражение переходной функции y=3-3*exp(-t/5) или h(t) = 3 (1 -e"t/5). (1.5) Формулу импульсной переходной функции можно найти из соотно­ шения (1.3), вычислив производную от формулы (1.5) w ( t ) = h ( t ) = 3 /5 е “/б.

(1.6)

На основании дифференциального уравнения (1.4) или выражения весовой функции (1.6), используя преобразование Лапласа, найдем пере­ даточную функцию звена W(s) = L H t)] = g A _ - .

(1.7)

График переходной функции можно построить с помощью программ Simulink и Matlab, а также по формуле (1.7). Для построения в Simulink графика переходной функции составим схему моделирования, изобра­ женную на рисунке 1.1а.

а

Рис. 1.1

8

Для этого в окне Matlab нажатием кнопки Simulink Library вызовите Simulink, выполните команды File, New, Model и откройте окно Untitled. В него из разделов библиотеки Simulink перетащите следующие элемен­ ты: из раздела Sources (источники) блок Step, вырабатывающий ступен­ чатое воздействие, из раздела Continuous (непрерывный) блок Transfer Fen, формирующий передаточную функцию, и из раздела Sinks (измери­ тели) блок Scope вывода графиков на экран. Соедините эти блоки соглас­ но рисунку 1.1а. Двойным щелчком на блоке Step откройте его окно и сделайте следующие установки: • Step time (время возникновения ступенчатого воздействия): 1; • Initial value (величина скачка в момент времени t = 0): 0; • Final value (конечная величина скачка): 1; • Sample time (время дискретизации): 0. Нажмите кнопку ОК. Двойным щелчком на блоке Transfer Fen откройте его окно и введите Numerator coefficients (коэффициент числителя): [3] и Denominator coefficients (коэффициенты знаменателя): [5 1] и нажмите кнопку ОК. Нажмите кнопку Run, запустите схему моделирования и на осцилло­ графе Scope получите график переходной функции (рис. 1.1 б). Единичная импульсная функция не может быть точно реализована, поэтому она воспроизводится приближенно с помощью двух блоков Step, имеющих равные амплитуды 100, причем один сигнал запаздывает на время равное 0.01 с относительно другого (параметры блоков приведены в окнах на рисунке 2.4). Затем сигналы суммируются в блоке суммиро­ вания Sum с противоположными знаками и на выходе получаем импульс длительностью 0.01 с и амплитудой 100, который приближенно модели­ рует функцию Д(£), площадь которой равна 1. Таким образом, в окнах блоков Step и S tepl делаются следующие ус­ тановки: Step Stepl Step time: 1 1.01 Initial value: 0 0 Final value: 100 100 Схема модели импульсной функции изображена на рисунке 1.2а, а гра­ фик импульсной переходной или весовой функции — на рисунке 1.26. Здесь импульсное входное воздействие реализуется на двух блоках Step и S tep l, а также блоке сравнения Sum, который выбирается из раз­ дела Math Operation. Аналогичные данные введите в блок Transfer Fen и нажмите кнопку ОК. Нажмите кнопку Run, запустите схему моделирования и на осцилло­ графе Scope получите график импульсной переходной функции (рис. 1.2 б).

9

н > Step

X

3

ь

5s+1 Transfer Fen

□ Scope

Stepl

a

Исследовать реакцию на типовые входные воздействия можно с по­ мощью команд Matlab, позволяющих получить переходную функцию step(W) и импульсную переходную функцию impulse(W) на основании передаточной функции элемента или системы W. Можно на одном графике получить реакцию сразу нескольких дина­ мических звеньев с передаточными функциями W, W1, W2, если исполь­ зовать команды step(W,W1,W2), impulse(W,W1 ,W2). В приведенных примерах время моделирования выбирается автома­ тически. При необходимости его можно явно указать в команде step(W,W1,W2,t), где t — время моделирования в секундах. Пример 1.3. Составить программу пр. 1.1 построения переходных функций и программу пр. 1.2 построения импульсных переходных функций апериодического звена первого порядка с передаточной функ­ цией W(s) =

3 CS + 1

при различных значениях параметра с = 3, 4, 5.

( 1 .8 )

10

(Пр. 1.1) W=tf([3].[3 1]); W1=tf([3],[4 1]); W2=tf([3],[5 1]); step(W,W1,W2.50) (Пр. 1.2) W=tf([3],[3 1]); W1=tf([3],[4 1]); W2=tf([3],[5 1]); impulse(W,W1,W2.50) Графики переходных A, hlt h2 и импульсных переходных w, wl9 w2 функций представлены на рисунках 1.3а и 1.36, соответственно.

Рис. 1.3

1.2. Порядок выполнения работы С помощью пакета MATLAB постройте реакцию на ступенчатое и импульсное входное воздействие каждого типового звена из табли­ цы 1.1, умноженных на с = 0 .1 , 0 .3 , 0.5 значений параметров К (звеньев 1-4) и Т, !Г1, Т2 (остальных звеньев) из таблицы 1.2. Напри­ мер, для варианта 2 с К = 1.4 постройте три временные характеристи­ ки (переходные функции или импульсные переходные функции) с ко­ эффициентами, равными К 1 = 0.1-.8Г = 0.14, К 2 — 0.3-.ЙГ = 0.42, К а = 0.5-JT = 0.7. Определите влияние указанных коэффициентов, входящих в описа­ ние каждого звена на параметры переходных процессов.

11

Таблица 1.2 ПарДВар.

1

2

3

4

5

6

7

8

К

1.2

1.4

1.6

1.8

2 .0

2.2

2.4

2.6

Т

2.1

2.2

2.3

2 .4

2.5

2 .6

2 .7

2 .8

г,

3.3

4 .4

5.5

6 .6

7.7

8 .8

9.9

11.0

Тг

1.5

2.0

2.5

3 .0

3.5

4 .0

4 .5

5.0

9

10

11

12

13

14

15

16

К

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3 .8

4 .0

4 .2

т

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

Г,

12.1

13.2

14.3

15.4

16.5

17.6

18.7

19.8

Т2

5.5

6 .0

6 .5

7.0

7.5

8 .0

8 .5

9.0

ПарДВар.

1.3. Содержание отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать: • краткие теоретические сведения; • передаточные функции и схемы моделирования исследуемых звеньев; • экспериментально полученные характеристики при вариации параметров каждого звена; • выводы, обобщающие проделанные эксперименты по каждому звену.

Контрольные вопросы и задачи 1. Дайте определение передаточной функции и найти ее выражение для объекта, описываемого дифференциальным уравнением при ННУ 2у + Зу + 4у = 2й + Зи . 2. Дайте определение переходной функции и с помощью SIMULINK получите график переходной функции объекта с передаточной функцией Щ з) = 2 /(s + 2). 3. Дайте определение импульсной переходной функции и с помощью MATLAB получите график импульсной переходной функции объекта с передаточной функцией W(s) = 3 /(s + 3). 4. Как связаны между собой передаточная, переходная и импульсная переходная функции звена?

12

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ Ц ель работы: получение частотных характеристик типовых звеньев систем автоматического управления и определение их параметров по экспериментальным характеристикам.

2.1. Теоретические сведения 2.1.1. Частотные характ ерист ики динамических звеньев Сущность метода частотных характеристик заключается в том, что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (синусои­ дальные колебания) в широком диапазоне частот. Реакция системы при разных частотах позволяет судить о ее динамических свойствах. Пусть входной сигнал системы и имеет амплитуду Д , и частоту со, т. е. описывается формулой и = A osin(cot). Выходной сигнал будет иметь оду и ту ж е частоту со, амплитуду А у и отличаться от входного по фазе на величину фазового сдвига ф у = А у sin(cot + ф). Таким образом, можно рассчитать усиление по амплитуде

Для каждой частоты входного сигнала со будут свои А и ф. Изменяя со в широком диапазоне, можно получить зависимость А(со) — амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ф(со) — фазо­ вую частотную характеристику (ФЧХ). Главное достоинство метода ча­ стотных характеристик заключается в том, что АЧХ и ФЧХ объекта мо­ гут быть получены экспериментально. Для этого необходимо иметь гене­ ратор гармонических колебаний, который подключается к входу объекта, и измерительную аппаратуру для измерения амплитуды и фа­ зового сдвига колебаний на выходе объекта. Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ Ж(э). Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал достаточно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида [1] Щ усо)= А /“ .

13

Тогда выходной сигнал YO'rn) = А у(со)е№+ф)=lT (где К — коэффициент усиления разомкнутой системы). Заканчивается АФХ в начале координат при ш —>°° (рис. 3.16).

Критерий устойчивости Найквиста формулируется так: 1. Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, не­ обходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при измене­ нии частоты соот Одо не охватывала точку с координатами -1 ,/0 . 2. Если разомкнутая система неустойчива, а ее передаточная функ­ ция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от го от — 1. По­ этому для анализа устойчивости можно использовать не АФХ, а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем). Система устойчива, если на частоте среза значение фазы не превышает -я . Соответственно для ус­ тойчивой системы можно рассматривать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе — расстояние от значения фазы на частоте среза до уровня - я , и

24

запас устойчивости по амплитуде — расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на частоте, где фаза становится равной -к . Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу Гур­ вица и найдите ее детерминант (функция det). Затем, последовательно уменьшая размер матрицы, найдите значения всех диагональных детер­ минантов. Пример 3.1. В пр. 3.1, 3.2 определим детерминанты заданных раз­ ным способом матриц А и А1: (Пр. 3.1) А=[1 14 18;2 5 2;3 4 3] А= 1 14 18 25 2 34 3 det(A) a n s=-119 (Пр. 3.2) А1=А(1:2.1:2) А1 = 1 14 2 5 det(A1) ans = -23 Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно выяс­ нить, является ли устойчивой разомкнутая система. Пример 3.2. Пусть дана передаточная функция разомкнутой системы w f s) - _________ 2 s + 1_________

К}

2s4 + 3 s3 + 2 s2 + 3s + V

на основании которой составим пр. 3.3, определяющую реакцию на ска­ чок (рис. 3.2). (Пр. 3.3) W=tf([2 1],[2 3 2 3 1]); step(W) Разомкнутая система неустойчива, тогда, согласно критерию Найк­ виста, надо, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала точку -1 , /О столько раз, сколько полюсов имеется справа от мнимой оси. Для построения АФХ нужно вызвать команду nyquist и составить пр. 3.4

25

(Пр. 3.4) W=tf([2 1],[2 3 2 3 1]); nyquist(W) и получить на рисунке 3.3 диаграмму Найквиста. Step Response

Time (seconds)

Рис. 3.2 Nyquist Diagram

Рис. 3.3

Как показывает рисунок 3.3, АФХ ни разу не охватывает точку - 1 ,/0 , поэтому замкнутая система будет устойчивой. Частотный критерий Найквиста можно использовать и в том случае, когда рассматривается не АФХ, а ЛАЧХ разомкнутой системы: замкнутая минимально-фазовая система устойчива, если при достижении ЛФЧХ значения -л ЛАЧХ бу­ дет отрицательной. Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ, можно оценить запасы устойчивости си­ стемы по амплитуде и по фазе с помощью команды margin(W) програм­ мы пр. 3.5. (Пр. 3.5) W=tf([10],[2 2 31]); margin(W) Соответствующий график показан на рисунке 3.4.

26

Bode Diagram Gm = -14 dB (at 1.22 rad/s), An = -52 deg (at 1.89 rad/s)

Frequency (rad/s)

Рис. 3.4

3.2. Порядок выполнения работы Исследуйте устойчивость замкнутой САУ по заданной передаточной функции разомкнутой системы. По номеру студента в списке группы в строке «№ с/г» таблицы 3.1 выбирается соответствующий номер варианта Таблица 3.1 № с/г № вар.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

11 1

12 2

13 3

14 4

15 5

задания таблицы 3.2, приведенного в строке «№ вар.» таблицы 3.1. Таблица 3.2 Ва рианты заданий №

Передаточная функция разомкнутой системы

1 W (s) = -------------- --------------s4 + 5s3 + 5s2 + 3s + 1 2 W (s) = ----------------- -----------------0 ,0 5 s4 + 0,1s8 + s 2 + s + l 3 W (s) --------------- -------------0,1s3 + 0,1s2 + s + 1 4 W (s)

100 = ----------------------------

5s4 + 0, Is3 + 2s2 + 2s + 1

27

Окончание табл. 3.2 №

Передаточная функция разомкнутой системы

5 W (s) = ----------- -----------8s3 + 4 s2 + 2s + 1 6 Ж (8) = -----------------—-----------------

s5 + 3s4 + 2s8 + 2s2 + s + 1 7 W (s) = ---------------- ----------------0.1s8 + 0.01s2 + 0.1s + 1 8 Щ з) = --------- —--------2s3 + 2s2 + s + 1 9 W (s) = ------------- -------------s3 + 0.1s2 + 0.1s + 1 10 W (s) = --------------------- —--------------------2s5 + 3s4 + 3s3 + 0 .5 s2 + 0.5 s + 1 11 W (s) = ---------- —---------3s8 + 4 s2 + 5s + 1 12 Щ з) = ---------------- ----------------0.1s3 + 0 .02s2 + 0.3s + 1 13 W (s) = ----------------—---------------2s4 + 0.3s3 + 4s2 + 5s + 1 14 W(s) = ------------- -------------0 .3 s3 + 0.2 s2 + s + l 15 W (s) = ----------- -----------6s8 + 3s2 + 2s + 1

3.3. Содержание отчета Отчет должен содержать: • краткие теоретические сведения; • переходную функцию разомкнутой системы; • расчет передаточной функции замкнутой системы; • расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну­ той системы по алгебраическому критерию Гурвица; • годограф Найквиста разомкнутой системы, на основании кото­ рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы; • переходную функцию замкнутой системы; • проверку полученных результатов путем компьютерного моде­ лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой системы в MATLAB SIMULINK; • выводы по всем полученным результатам.

28

Контрольные вопросы и задачи 1. Дайте определение устойчивости линейной системы. 2. Сформулируйте алгебраический критерий устойчивости Гурвица и с помощью MATLAB по критерию Гурвица определите устойчивость си­ стемы с характеристическим уравнением A(s) = 4s3 + 3s2 + 2s + 1. 3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы и с помощью MATLAB определите устойчивость си­ стемы с передаточной функцией W(s) = (3s + l)/(4 s 3 + 3s2 + 2s1+ 1). 4. Сформулируйте частотный критерий устойчивости Михайлова и с помощью MATLAB определите устойчивость системы по ее характери­ стическому уравнению A(s) = 3s3 - 2s2 + 4s + 5. 5. Сформулируйте критерий Найквиста и определите с помощью MATLAB устойчивость замкнутой системы, если характеристиче­ ское уравнение соответствующей разомкнутой системы имеет вид A (s) = 2s3 + 3 s2 + 4s + 5.

29

4. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА Ц ель раб от ы : научиться применять метод корневого годографа для анализа и синтеза САУ.

4.1. Теоретические сведения Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекторий пе­ ремещения всех корней характеристического уравнения замкнутой си­ стемы при изменении какого-либо параметра этой системы. Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ замкнутой системы, располагая полюсами и нулями разомкнутой системы при из­ менении коэффициента усиления разомкнутой системы К . ПФ разомкнутой системы VTJs) представим в следующем виде: т

к ст * -ъ ) WpC(s) =

(4.1) n (s -P i) 1=1

где Zj — нули ПФ W ^s), ( у = 1, т ); pt — полюса ПФ W ^s), ( i - l , n ); п и т — порядки знаменателя и числителя; С — коэффициент представле­ ния (отношение коэффициентов при старших членах числителя и знаме­ нателя). Коэффициент представления С вычисляется по формуле 7П

П т,

)=1 п

П Tl 1=1

При замыкании системы с ПФ W ^s) единичной отрицательной об­ ратной связью ПФ замкнутой системы W(s) принимает вид (4.2) Из выражения (4.2) следует, что нули ПФ замкнутой системы равны нулям ПФ разомкнутой системы. Для нахождения полюсов рассмотрим выражение

30

l+ W „ (e ) -0 , в соответствии с выражением (4.1) имеем

(4.3)

КСП ( s - zj) + 1 = 0 ^ П (5 - P l) + K C m s - Z j ) . (4.4) IK'S- Pi) и м i=1 На основании выражения (4.4) можно сказать, что при К = 0 корни характеристического уравнения совпадают с полюсами, а при К = °° — с нулями. При изменении К от 0 до °° траектории корней начинаются в полюсах и заканчиваются в нулях. Обычно полюсов больше, чем нулей. В этом случае п —т ветвей КГ стремятся к °°. Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной об­ ратной связью необходимо решить уравнение (его называют основным уравнением метода КГ) W J s ) = - 1. (4.5) Так как W ^s) является функцией комплексного переменного s, то уравнение (4.5) распадается на два уравнения: уравнение модулей |W > )| = 1

(4.6)

и уравнение аргументов (фаза вектора - 1 есть нечетное число л): argW ^s) = ±(2v + 1)л, v = 0, 1, 2 ,... (4.7) Как известно, при умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а при делении — вычитаются. Поэтому, исходя из выра­ жения (4.1), уравнение (4.7) имеет наглядный геометрический смысл. Пусть точка р — полюс замкнутой системы. Если провести в s векто­ ра из всех нулей W ^s) (обозначим аргументы этих векторов 6 4ас) К s(as2 +bs + c) 4)

А s(s + d)(s + e)

А s

В С . s+d s+e’

комплексные корни выражения второго порядка (& 2 < 4ос) К _ А | Bs + С s(as2 +bs + c) s as2 +bs + c '

Тогда согласно правилу 2) функцию Y(s) можно записать как Y(s) = ^ - + - ^ - + - ^ - . (2.4) s+1 s+2 s+3 Приведем к общему знаменателю выражения в правой части (2.4) (SJ

(А + В + C)s2 + (5А + 4Bs + 3C)s + 6 А + ЗВ + 2С (s + l)(s + 2)(s + 3)

Приравнивая к 1 и 0 группы выражений, не содержащих и содержа­ щих множители з2и s , соответственно, получим систему уравнений отно­ сительно А, В, С 6А

+ ЗВ + 2С = 1, 5А + 4В +ЗС = О,

А + В + С = 0. Введем в рассмотрение матрицы Гб 3 21 Р = 5 4 3 , q = [1 0 О] 7 1

1

1

и матричное решение г = P\q, г = (л\, г2, г3), системы из трех уравнений с тремя неизвестными составим пр. 2 . 1 для вычисления неизвестных А = г1, В = гг, С = г3. (Пр. 2.1) Р = [ 6 3 2;5 4 3;1 1 1];

q=[1 0 0]'; r=P\q г = 0.5000 -

1.0000

0.5000 Отсюда находим А = 0.5, В = - 1 , С = 0.5 и подставляем в (2.4)

74

= - М ._ _ 1 _ + А 5 (2.5) s +1 s + 2 s + 3 Коэффициенты А, В, С в (2.5) легко получить в MATLAB, применяя в пр. 2 . 2 функцию residue к исходному многочлену l/( (s + 1 ) (s + 2 )(s + 3)) и разлагая его на элементарные члены У (8 )

Y(s)

= К + —3— + — 8 ~ Р2 8 ~ РЗ

+

Гз

S ~ Pi

(Пр. 2.2) num=[1]; den=conv(conv([1 1],[1 2]),[1 3]); [r,p,k]=residue(num,den) г = 0.5000 р =-3.0000 1.0000 2.0000 0.5000 -1.0000 К=[] Подставляя в это выражение найденные в пр. 2.2 значения г, р и k, получим уравнение -

-

У(8) = -9 4 --- ^77+ 0-5 s+ 1 s+2 s+3 ’ аналогичное (2.5). (Пр. 2.3) syms s f= 1/((s+1)*(s+2)*(s+3)); yt=ilaplace(f) yt = exp(-t)/2-exp(-2*t)+exp(-3*t)/2 Шаг 3. Подвергнем выражение (2.5) обратному преобразованию Лап­ ласа и получим решение исходного дифференциального уравнения (2.3) y(t) = / Г ' т з ) ] = 0.5е{ - е* + 0 .5 е 3(. С помощью функции обратного преобразования Лапласа ilaplace, примененной непосредственно к выражению 1 /((s+ l)(s+ 2)(s+ 3)), в пр.2.3 можно также получить решение дифференциального уравнения (2.3). Пример 2.2. Найти решение дифференциального уравнения (2.3) z/(0 + 5z/(f) + 6 z/(f) = e-* с начальными условиями

т = - з , i/(0)=1, выполняя перечисленные выше шаги.

75

Решение. Запишем сначала изображения по Лапласу искомой функ­ ции y(t) и ее производных С Ш ) = Y(s), L{y(t)} = sY(s) - 1/( 0 ) = sY(s) - 1, £{y(f)} = s 2Y(s) - sy(0) - z/(0) = s 2Y(s) + 3s - 1. Шаг 1. Подвергнем преобразованию Лапласа левую и правую части дифференциального уравнения (2.3) при ненулевых начальных условиях + 5 sY(s) - 5z/(0) + 6 Y(s) = - ^ т • s+1 Подставим значения ненулевых начальных условий s 2Y ( s )

- st/(0) - т

s 2Y ( s )

- s + 3 + 5 sY (s)- 5 + 6 Y(s) =

.

и перенесем все элементы, не содержащие Y(s), в правую часть s 2Y(s) + 5 sY(s) + 6 Y(s) =

+ s +2.

Шаг 2. В левой части равенства выведем за скобки множитель Y(s) Y(s)(s 2 + 5s + 6 ) =

s+1

+ s +2,

поделим левую и правую часть преобразованного равенства на квадратный трехчлен и, определяя два корня, представим его в виде множителей YYs) - — _______ I_____ |___ s + 2 __ _________ 1 ________ |__ 1 _ s +1 s 2 + 5s + 6 s 2 + 5s + 6 (s + l)(s + 2)(s + 3) s + 3 Обратное преобразование Лапласа последнего уравнения дает реше­ ние y(t) = 0.5е' - е* + 0 .5 e3t+ e 3t = 0 .5 е ‘ - е"21 + 1.5е3'.

2.3. Определение передаточной функции объекта и его временных характеристик Пример 2.3. Задано дифференциальное уравнение объекта у + 4у + 4у = 2й + и

(2 . 6 )

при нулевых начальных условиях 2/( 0

) = 2/( 0 ) = и(0 ) = 0 .

Найти передаточную функцию этого объекта. Решение. Подвергнем преобразованию Лапласа левую и правую час­ ти дифференциального уравнения Y(s)s 2 + 3Y(s)s + 2Y(s) = 2C7(s)s + u(s). В левой части уравнения вынесем за знаки суммы Y(s), а в правой — U(s) Y(s)(s 2 + 3s + 2) = U(s)(2s + 1).

76

Поделим обе части уравнения сначала на C7(s), а затем на (s 2 + 3s + 2) и получим

Таким образом, передаточной функцией называется отношение вы­ ходного сигнала к входному, преобразованных по Лапласу и при нуле­ вых начальных условиях. Теперь определим временные характеристики объекта (переходную и весовую функции) по его ранее полученной передаточной функции (2.7). Начнем с переходной функции при = 1(£), преобразуя по Ла­ пласу единичный ступенчатый вход

h(t) u(t)

£(u(t)) = £{!(()} и определяя его изображение

U(s) =- •

S

Подставим выражение (2.8) в формулу (2.7) и получим изображение Y (s ) =

2 s + 1___ s 3 + 3s 2 + 2s *

w h,

u(s)

Подвергнем его обратному преобразованию Лапласа (пр. 2.4), нахо­ дим аналитическое выражение переходной функции а при = 1 — выражение импульсной переходной функции (пр. 2.5). (Пр. 2.4) syms s f=(2*s+1 )/(sA3+3*sA2+2*s); h=ilaplace(f) h=exp(-t)-(3*exp(-2*t))/2+1/2 (Пр. 2.5) f=(2*s+1 )/(sA2+3*s+2); w=ilaplace(f) w=3*exp(-2*t)-exp(-t) Из сравнения ответов видно, что

w

равен производной от

h.

2.4. Задачи на решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа Операторным методом и с помощью MATLAB найдите решения урав­ нений и постройте их графики. 1. y + 4y + Sy при 1/(0 ) = 1, у(0) = 2 . 2 . 3у + 24у + 96у = 0 при у( 0 ) = 0 , у{ 0 ) = 0 .

=5t

77

3. у + 7 у + 12у = 5e~3t при у(0) = 3, у(0) = 5, у(0) = - 6 0 . 4. у + Ъу + 2у = 0 при у(0) = 2, у(0) = - 1 . 5. у + Чу + 10у = 5e"2t при у(0) = 1, у(0) = - 1 . 6 . у + 1 0 у + 16у = 4cos3t при у( 0 ) = 0 , у( 0 ) = 1 . 7. у + Ъу + 6 у = 3e 4t при у(0) = 1, у(0) = 2 . 8 . у - у - 6 у = 2 при у( 0 ) = 1 , у( 0 ) = 0 . 9. у - 9у = 2 - 1 при у(0) = 0, у(0) = 1 . 1 0 . у - 4 y = 4t при у( 0 ) = 1 , 1/( 0 ) = 0 . 1 1 . у + 4у - 2 cos 2 t при у( 0 ) = 0 , у( 0 ) = 4 . 12

. у + 4у + 4у = ег* при у( 0 ) =

1,

у( 0 ) =

2

.

13. у + 6у + 5у = sin 2# при у(0) = 1, у(0) = 0 . 14. у + у = е~* + 2 при 1/(0 ) = 0, у(0) = 1. 15. у + 6 у + 13у = 0 при у(0) = 2, у(0) = 1 .

2.5. Задачи определения временных характеристик объекта Используя операторный метод и MATLAB, при нулевых начальных условиях определите выражения и постройте графики переходной (при u(t) = 1) и импульсной (при u(t) = A(t)) функций для следующих диффе­ ренциальных уравнений: 1. у + 2у + 2у = 3u (t). 2. у - у - б у

=

2u ( t) .

3. у + у - б у = 4u(t). 4. y + 5 y + 6 y = 2u(t) . 5. y - 4 y + 4y = l,5u(t) . 6 . у + 3у + 2у = 3u( t) . 7. у + 4у + 4у = 2,5u(t). 8

. у + 7у + 12у = 3,5u(t) .

9. у + у - 12у = 4,5u(t) . 10 . y - y - 1 2 y = u(t). 11 . y + 4 y + 3y = \, bu( t) . 1 2 . у - 2 у - 8 у = 2,5u(t) . 13. у - 6 у + 8у = 3u(t) . 14. у + 2у - 8 у = 2,5u(t) . 15. у - 2 у - Q y = 3,5u(t) .

78

2.6. Задачи определения передаточной функции объекта По дифференциальному уравнению объекта определите его переда­ точную функцию. 1 . у + 6у + у = Ъи (дополнительно определите полюса). 2. у + 7 у - 5 у = й + 5и (дополнительно определите полюса и нули). 3. у + 6у + 3у = 5и (дополнительно определите полюса). 4. у + 2у + у = 2й + Зй + и (дополнительно определите полюса и нули). 5. у + 0,4у + 0,6у = 0 , 2 й + 0 , 8 и (дополнительно определить полюса и нули). 6 . 0,4у + 7у + 2у = 0 , 8 и (дополнительно определите полюса). 7. 6 у + 7,4у + 0,8у = 0 ,lit + 0,6ы + 2ы (дополнительно определите по­ люса и нули). 8 . 2у + 4 у + 2у + 4у - и (дополнительно определите полюса). 9. 2у + 5 у + 3у = 6й + 2й + и (дополнительно определить полюса и ну­ ли). 1 0 . Зу + 6у + +2 у + 4у = 2й + 3й + и (дополнительно определите полюса и нули). Известна передаточная функция объекта, определить корни характе­ ристического уравнения и записать его дифференциальное уравнение при ННУ. 11. W(s) = (10s + l) /( s 2 + 3s - 1). 12. W(s) = (0.3s + l)/(4 s 3 + 6 s 2 + 2.1s + 1.2). 13. W(s) = 4 /(6 s 3 + 4s 2 + 2). 14. W(s) = (3s + 2)/(3s 3 + 2s 2 + s + 5). 15. W(s) = (s 2 + 4s + 4)/(s 3 + 3s 2 + 3s + 1).

79

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ БЛОЧНЫХ И ГРАФОВЫХ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ 3.1. Основные положения Различают два типа структурных схем систем автоматического управления [2,4]: Блочные структурные схемы, в которых элементы автоматики обо­ значаются прямоугольниками — блоками, содержащими соответствую­ щие обозначения передаточных функций, а направленные воздействия или связи между блоками обозначаются стрелками. Графовые структурные схемы или сигнальные графы, или графы Мейсона, в которых передаточные функции элементов автоматики обо­ значаются стрелками, а воздействия — точками, именуемыми узлами графа или вершинами дуг графа.

3.2. Передаточные функции блочных структурных схем Начнем с определения передаточных функций последовательного (рис. 3.1а) и параллельного (рис. 3.16) соединений двух звеньев с переда­ точными функциями W^s) и W^s). Передаточная функция соединений, имеющих вход U(s) и выход Y(s), определяется по формуле W(s) = Y(s) / Ща).

Для последовательного соединения (рис. 3.1а), умножая на Yt(s) чис­ литель и знаменатель отношения Y(s)/C7(s) можно записать TY(s) =

Y ( s ) _ Y 1(s) Y(s) U(s) U(s) Y.is)

В соответствии с рисунком 3.1а имеем

Y (5 ) ч = Wi(s), U(s)

тогда выражение (3.1) можно переписать так Ж(8 ) = Щ 8 ) Щ 8).

Рис. 3.1

(3.1) YYs) = W2 ( s ) , Y1(s) (3 . 2)

80

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев. В выражение Y(s)/Z7(s) согласно рисунку 3.16 вместо Y(s) подставим ЭД +ВД Щ в )= ш ± ? т =Ш

+Ш

= Щ (3 ) + w 2(a ).

(3.3)

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна ал­ гебраической сумме передаточных функций этих звеньев. Пример 3.1. Даны передаточные первого W^s) = 2 /(s + 2) и второго T Y 2( s ) = 3/(s +3) звеньев. Определить передаточные функции последова­ тельного и параллельного соединений двух звеньев. Решение. Найдем в MATLAB передаточную функцию последователь­ ного соединения двух звеньев (3.2) с помощью пр. 3.1 и параллельного соединения двух звеньев (3.3) с помощью пр. 3.2. (Пр. 3.1) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=W1*W2 Transfer function:

6 sA2 + 5s + 6 (Пр. 3.2) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=W1+W2 Transfer funtion: 5s+ 12 sA2 + 5s + 6 Аналогичные результаты можно получить, если при последователь­ ном соединении звеньев с передаточными функциями TY^s) и TY2(s) ис­ пользовать функцию series в пр. 3.3, а при параллельном-функцию parallel в пр. 3.4 (Пр. 3.3) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=series(W1,W2)

81

а

б Рис. 3.2

(Пр. 3.4) W1=tf(2,[1.2]); W 2=tf(3,[1.3]); W=parallel(W1 ,W2)

Выведем передаточные функции соединений с положительной (рис. 3.2а) и отрицательной (рис. 3.2 б) обратными связями. Запишем общие соотношения для элементов сравнения U ( s ) ± W 2( s ) Y ( s ) = E ( s ) (3.4) и прямой связи Y(s) = W 1(s)E(s). (3.5) Найдем выражение для E(s) из (3.5) E(s) = Y ( s ) / W 1(s) и подставим его в (3.4) C7(s) ± W 2( s ) Y ( s ) = Y(s)/W 1(s). (3.6) Перенесем ± W 2(s) Y(s) в правую часть (3.6) U ( s ) = Y ( s ) / W 1( s ) + W 2( s ) Y ( s )

и вынесем за скобки Y(s) в выражении правой части U(s) = Y(s) [ l / W ^ + W^s)]. После приведения к общему знаменателю выражения в квадратных скобках Х2(К,хг) =

~ 6^

++ 22 0

(3.7)

делим левую и правую части (3.7) на U(s) и выражение в квадратных скобках, в результате получим передаточные функции соединения с по­ ложительной

Ш 8) - Ж - ___ _______ ( '

U(S)

1 - ^ ( 8 ) . Ж 2 (8)

(38) ( * }

и отрицательной W(c) - Y(S) Щ(8) ( ) C7(s) 1 + W1( s ) W 2(s) обратными связями.

(3 9) (> )

82

Теперь рассмотрим более распространенный случай замкнутой сис­ темы (рис. 3.3) с единичной отрицательной обратной связью и дейст­ вующим на выход Y\(s) возмущением F(s). Основные соотношения в изо­ бражениях по Лапласу будут иметь вид E(s) = U( s )- Y ( s ), (3.10) (3.11) Y ( s ) = W 1( s ) E ( s ) + W 2( s ) V ( s ). Из формулы (3.10) и (3.11) при F(s) = 0 имеем y(s) = TF1( s ) ( [/(s ) -y ( s )) , откуда W(s) =

1

TFi(s) + Wi(s) *

(3.12)

Выражение (3.12) называется главной передаточной функцией замк­ нутой системы. Найдем передаточную функцию замкнутой системы на рисунке 3.3 для ошибки при v(t) = 0 W (s) = WeW U(s) ’ Из формулы (3.10) и (3.11) получаем w (с) _ U(s) - У(з) _ U(s) - W ^ E j s ) _ U(s) U(s)

1

W M W M

,

откуда We(s) =

------.

l + TF^s)

(3.13)

1 } Передаточная функция замкнутой системы по возмущению F(s) (при u(t) = 0 ) запишется как

Из формул (3.10) и (3.11) при U(s) = 0 имеем

y(s) = - ^ s ) y ( s ) + TF2(s)F(s), откуда Wv(s) =

W2(a)V(a)

1 + Wi(s) *

83

Для замкнутой системы в целом находим Y( s ) =

+

F( s ) = w ' (s)C/(s)+ w v ( № •

Пример 3.2. Используя передаточные функции первого W\(s) и второ­ го Ж 2(з) звеньев из примера 3.1, определить передаточные функции со­ единений с положительной отрицательной и единичной отрицательной обратными связями. Решение. Используя различные модификации функции feedback, найдем в MATLAB передаточные функции соединений с положительной обратной связью (3.8) в пр. 3.5 отрицательной обратной связью (3.9) в пр. 3.6 и единичной отрицательной обратной связью (3.10) в пр. 3.7. (Пр. 3.5) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=feedback(W1 ,W2,+1) Transfer function: 2s+ 6

sA2 + 5s (Пр. 3.6) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=feedback(W1 ,W2) Transfer function: 2s+ 6

sA2 + 5s + 12 (Пр. 3.7) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=feed back(W 1*W2,+1) Transfer function:

6 sA2 + 5 s + 12 Для нахождения передаточных функций сложных структурных схем осуществляются их эквивалентные преобразования, приведенные в таб­ лице 3.1.

84

Таблица 3.1 № 1.

2.

3.

5.

П р е об р а зов а ни е

И с х о д н а я схе м а

Перенос сумма­ тора через блок по ходу движе­ ния сигнала

Э к в и в а л е н т н а я схе м а

X

W

Хъ

Х2

Перенос сумма­ тора через блок против движения сигнала

Хг

W

X

Хъ

W

W

х2

1

Хъ с Хг

W

Ал

Перенос узла через блок по ходу движения сигнала

X,

Х2

W

Х2

W

Ал

Перенос узла через блок про­ тив движения сигнала

X±

Исклю чение контура с обрат­ ной связью

Л +

Х г_

W

Хг_

и

W

Х2

W

Хг

W

Xi

Х2

w

Х2

1+ WV

Xi

Перенос узла через сумматор вперед

X,

Перенос узла через сумматор назад

Ал

Хъ

X,

Хъ Х\

Хъ

+

+

+ z

Хъ 8.

Х2

Перенос узла обратной связи через сумматор по ходу движе­ ния сигнала

W

X i A t Х3

W

Q =1+ VW Перенос узла обратной связи через сумматор против движения сигнала

Х2 Ал

W

Хъ W

Q

=

1 1 + VW

85

Пример 3.3. Преобразуем структурную схему на рисунке 3.4, содер2

жащую сумматоры С19 С2 и блоки W^s) = 3s, W^s) = g +

1

Wg(s) = — , и

определим с помощью таблицы 3.1 и MATLAB ее передаточную функ­ цию W(s) = Y(s)/U(s). Решение. В данном примере выполним следующие действия: 1. Определяем в MATLAB все передаточные функции W 19 W 2, W 3. С,

С2

Рис. 3.4

2. Переносим узел у 1через блок W s в направлении, противоположном движению сигнала (рис. 3.5).

Рис. 3.5

3. Определяем передаточную функцию системы s i с отрицательной обратной связью W^s) у ,.,81

Ш 1 ’1

+ W 2 s(’

передаточную функцию системы s 2 с единичной отрицательной обратной связью Ws2(s) =

W AsW^s) 1 + Wsl(s)W1(s)

и передаточную функцию всей системы W(s) = W s2( s ) W 3(s) =

W1(s)W2(s)W3(s) (проверьте). l + W1 (s)W2 (s) + W2 (s)W3 (s)

Указанные действия реализованы в программах MATLAB пр. 3.8а, б.

(Пр. 3.8а) wi=tf([3 0],[1]);

W2=tf([2],[1 1]) W3=tf([1],[2 0])

86

Ws1=feedback(W2,W3); Ws2=feedback(Ws1 *W1 ,+1); W0=series(Ws1 ,Ws2); W=simplify(WO) transfer function: 48sA3 28sA4+32sA3+36sA2+8s+4 (Пр. 3.86) syms s W1=3*s; W2=2/(s+1); W3=1/(2*s); Ws1 =W2/(1 +W2*W3); Ws2=Ws1*W1/(1 +Ws1*W1); W0=Ws1*Ws2; W=simplify(WO) W= (12*sA3)/(7*sA4 + 8*sA3 + 9*sA2 + 2*s + 1) Здесь используется функция sim plify для упрощения выражений числителя и знаменателя передаточной функции W0.

3 .Передаточные функции графовых структурных схем Второй способ получения ПФ многоконтурной системы заключается в использовании модели системы в виде сигнального графа или графа Мейсона. Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи между переменными, он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их направленных ветвей. Ветвь соответствует блоку структурной схемы и отражает зависи­ мость между входной и выходной переменными или передаточную функцию. Сумма всех сигналов, входящих в узел, образует соответст­ вующую этому узлу переменную. Последовательность ветвей между двумя узлами называется путем. Контуром называется замкнутый путь, на всех участках которого сигналы направлены в одну сторону (по часовой стрелке или против) и который начинается и заканчивается в одном и том же узле, причем ни один узел не встречается на этом пути дважды.

87

Коэффициент передачи или ПФ контура — это произведение всех входящих в него дуг или передаточная функция. Контуры называются некасающимися, если они не имеют общих уз­ лов. Сигнальный граф однозначно соответствует структурной схеме. Пусть Z7(s) и Y(s) — входная и выходная переменные системы. Тогда для вычисления передаточной функции системы управления по ее графу можно воспользоваться формулой Мейсона [2]: N

где Pt— i-й путь от входа к выходу; N — количество путей; А — опреде­ литель графа; А. — дополнительный множитель для i-ro пути. Определитель графа получается по формуле: К

M ,Q

д =1 - £ l * + £ fc=l

R,S,L

ЦпЦ, -

£

4 Л А + ...,

r=l,s=l,l=l

m=l,q=l

К

где ^ L k — сумма передаточных функций всех К отдельных контуров; k=i M ,Q

LmLq — сумма произведений всех возможных комбинаций из двух LrLsLi — сумма произведений всех возr=i,s=i,i=i можных комбинаций из трех не касающихся контуров. Дополнительный множитель для i-ro пути Дг равен определителю графа, в котором приравнены нулю коэффициенты передачи контуров, касающихся этого пути. Пример 3.4. С использованием формулы Мейсона получим переда­ точную функцию многоконтурной системы для структуры рис. 3.4, ко­ торой соответствует граф, показанный на рисунке 3.6. некасающихся контуров;

и

Y

Рис. 3.6

Решение. От входа к выходу ведет один путь P^WJLaWHaWAa). Граф содержит два контура L^-W ^sW A s), L2 = - W 2(s )W3(s).

88

Контур Lj касается контура L2, поэтому определитель графа вычисля­ ется по формуле A = 1 - ( L 1 + L 2) = 1 + W . i s W A s ) + W 2( S ) W 3(S).

Все контуры касаются пути, поэтому дополнительный множитель пути А, = 1 . В окончательном виде передаточную функцию соединения на рисун­ ке 3.4 и соответствующего сигнального графа на рисунке 3.6 можно за­ писать W1(s)W2(s)W3(s) 1 }

A

i

+w m w m

+w m w m ’

которая совпадает с ранее полученной.

3.4. Задачи определения передаточных функций По структурной схеме системы, используя MATLAB, блочным и гра­ фовым методами определить ее передаточную функцию VF(s). 1

W(s) = т Ща)’ где Wi(s) = K w 2(s) = - 2 — ,W3(s) = . s 2s + 1 s+о 2. Структурная схема та же, что и в п. 1. W(s) =

Y(s) , ' . U(s)

3.

ш 8) = 1 Ё W(S) U (a )9 где

= 2 ^ T ’ ^ (S) = i

4.

’ ^ (S) = 4' Ж‘ (8) = -рТ2 ■ Y(s) Структурная схема та же, что и в п. 3. W(s) = ) ' . F(s)

89

5.

W(s) = где Wi(s) =

Y(s) U(s) ’

W2(s) = 2,W3(s) = 3, W4(s) = |,W 5(s) = 0,5, W„(s) =

Y(s) . Структурная схема та же, что и в п. 5. W(s) = V(s) 7.

6

W(s) = где Wl(s) = 3,W 2 (s) = ^ 8

WM

Y(s) U(s) ’

= I ,Wi ( s) = ^

3

, W6 (s) = i

. Структурная схема та же, что и в п. 7. W(s) =

Y(S) . . V(s)

9. W(s) =

Y(s) U(s)’

s+1 где Wi(s) = 3,W 2 (s) = 1 , Ws(s) = — ,W4(s) = W5(s) = s+2 s 4s +1 s Ч-1 Y (s )

10. Структурная схема та ж е, что и в п. 9. W(s) = т_, . . V(s) 11 .

90

Щ з) =

Y(s) 17(e)*

где W, (.) осуществ­ ляется с помощью интеграла Фурье FU®) = 3[/(f)] = ] m e - i ^ d t , о где со — частота, [рад/с]; j = V- 1 — мнимая единица.

Рис. 4.1

(4.1)

92

Кроме того, существует и обратное преобразование Фурье т

= З -Т О го)] = ±

У F(/co)e**dco,

(4.2)

которым однако редко пользуются.

4.2. Получение и построение

частотных характеристик Интегралы Лапласа и Фурье очень похожи и отличаются лишь аргу­ ментами s и /со, поэтому переход к частотным характеристикам может быть выполнен путем формальной замены s на /со или F(s) на F(/'co). Пусть для объекта или системы известно выражение передаточной функции = М " +ь, в—^ _ OoSn + o1s ” -1 + ... + С„ в котором осуществим замену s на /со и получим комплексный коэффи­ циент передачи или обобщенную частотную характеристику W ( ,юч _ b0 (/co)m + &i(/co) m~1 + . . . + Ьт

ОоО'ю)" + OiC/rn) " - 1 + ... + ал ' Комплексный коэффициент передачи W(/co) графически можно пред­ ставить в виде амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) Щ/'со) = Re(co) + /'lm(co) = А(со)е(со)"р0

данном случае от параметров у0 и v не зависит. Пример 6.3. По известной структурной схеме системы на рисунке 6.5 и заданному значению статической ошибки (е = 5%) определить величи­ ну коэффициента передачи регулятора -К"рег.

113

Рис. 6.5

Решение. Ошибка от входного воздействия определяется следующим операторным выражением £(s) = W(s)Y"(s), где W(s) =

4 s 2 + 5s +1 4s 2 + 5s +1 + К ’

При s —>0 получим статическую ошибку ест = -— —у 0 , которая должна 1 +Л удовлетворять неравенству — < 0 ,0 5 . Отсюда находим коэффициент пе1 +К редачи К > 19. Замечание. Если выражение для ошибки E(s) получено на основе преобразования Лапласа, тогда величина ошибки в установившемся ре­ жиме вычисляется в соответствии с предельной теоремой на основе сле­ дующего соотношения: е = lim sE (s). s—>0

6.4.Задачи анализа установившегося режима 1. Для системы, заданной структурной схемой (рис. 6 . 6 ), записать выражение для полной динамической ошибки, определить абсолютную 0 2 статическую ошибку при W^s) = 1 0 ; W^s) = ^ ; у0 = 1 (£); v = 2 (t).

Рис. 6.6

2. Определить полную статическую ошибку естдля системы, струк­ турная схема которой изображена на рисунке 6.7, при Wi(s) =

^ d

10

^ ; ^ (s) = o i T T ;W »(s) = s + io

Рис. 6.7

;

у°=

1(#); v = 10(f).

114

3. Для системы, заданной структурной схемой на рисунке 6 . 8 , опре­ делить абсолютную статическую ошибку от входного воздействия и оце­ нить «вклад» внешнего возмущения v на управляющее воздействие U (при у0, v = const). У0

К, 7> + 1

и

к2 T2s + 1

:Л + уу

.

кз S

Рис. 6.8

4. Определить полную статическую ошибку для системы, структур­ ная схема которой изображена на рисунке 6.7, при Wi(«) =

s

w ,(*) = - 4 - г ; w 3 (s) = ^ г ; г / ° - 4 ( t) ;v os +1 s+7

2

(t).

5. Для системы, представленной на рисунке 6.9, определить относи­ тельную статическую и скоростную ошибки при у0 = 5Ф1(£).

Рис. 6.9 6 . Определить величину коэффициента передачи Кр для обеспечения требуемого значения статической ошибки ест < 1 % в системе, заданной структурной схемой (рис. 6 . 1 0 ).

Рис. 6.10 6

. Известна передаточная функция разомкнутой системы W M =

К s(l + Ts) ’

где Т = 1.6 с. Необходимо определить значение коэффициента передачи К, обеспечивающего требуемое значение скоростной ошибки (ест< 5%).

115

6.5. Задачи анализа переходных процессов Пример 6.4. Необходимо получить оценку для времени переходного процесса в системе на рисунке 6 . 1 1 . Y (s + 2)5 Рис. 6.11

Решение. Найдем передаточную функцию замкнутой системы W(s) = „ 5 ------- . w s2 + 2 s + 3 Запишем ее характеристическое уравнение s 2 + 2s + 3 = 0, корни ко­ торого равны Х1>2 = -1 ± /V2 . Таким образом, степень устойчивости ц = 1, в результате получаем оценку для времени переходного процесса

1. Оценить время переходного процесса tu для объекта, поведение ко­ торого описывается передаточной функцией Щ з) = (6 s + l) /( s 2 + 4s + 5). 2. Оценить показатели качества переходных процессов для объекта, поведение которого описывается передаточной функцией W(s) = 10/(s 2 + 3 s + 1). 3. Оценить показатели качества переходных процессов для объекта, поведение которого описывается передаточной функцией W(8)= з \ 0------ - . s + 4s 2 + s +1 4. Оценить показатели качества переходных процессов tn и т в систе­ ме, уравнения состояния которой следующие: x-L = - 3 ^ + х2;

- х2 = -2х1 - Ъх2 + 6м; у = х1 . 5. Оценить время переходного процесса в системе tu, уравнения со­ стояния которой следующие: хг = - 3 ^ + 2 л:2; \ х 2 = —х1 - 5х 2 + и; У = Ху. 6 . Оценить время переходного процесса fn и перерегулирование т в замкнутой системе при и = у° - у , где уравнение разомкнутой имеет вид

116

Xl = X2 ;

■ x2 - - 8 x i - 4 x 2 + 5 u;

у = O.Sxv 7. Уравнение закона обратной связи имеет вид и = 2(у0 - у). Оценить т и колебательность мдля системы, описание которой имеет вид 5у + 6у + 2у = 0 ,8м . 8. Оценить перерегулирование о и колебательность м для системы, описание которой имеет вид х1 - х 2 - 2х1; ■х2 = - 4 х г - 6х2 + 7у°; у = х1.

117

7. АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ 7.1. Основные положения Одними из важнейших характеристик систем управления являются интегральные квадратичные и среднеквадратичные функционалы. В связи с этим приобретает важную роль выбор таких законов управле­ ния, при которых эти характеристики приобретали минимальные (мак­ симальные значения). За рубежом такого рода работы, именуемые как LQ-R-управление (Linear Q Regulation), были проведены Р. Калманом [1]. В нашей стране они называются аналитическим конструированием оп­ тимальных регуляторов (АЕСОР), которому были посвящены исследова­ ния А. М. Летова [2, 3] и В. И. Зубова [4]. В настоящей работе рассматри­ вается аналитическое и схемное решение задачи АКОР для объекта управления, заданного передаточной функцией.

7.2. Аналитическое и схемное решение задачи АКОР Требования устойчивости и качества процессов можно описывать в неявной форме в виде экстремали (решения) тех или иных функциона­ лов и чаще всего интегральных квадратических. Для линейной системы в пространстве состояния x(t) - Ax(t) + Bu(t) , y(t) = Cx(t) + Du(t) запишем следующий интегральный квадратический функционал: *i J = | [ x T(t)Qx(t) + uT(t)Ru(t)] d t ,

(7.1) (7.2)

(7.3)

to

где Q vlR — весовые матрицы для переменных состояния и входных пе­ ременных, соответственно; t0, t 1— начальное и конечное время управле­ ния. Задачей синтеза является определение матрицы коэффициентов об­ ратной связи по состоянию К (рис. 7.1), доставляющей минимум функ­ ционалу (7.3). Задача АКОР сводится к решению дифференциального уравнения Риккати, вывод которого приводится ниже. Запишем функцию Гамильтона H(t,x,u,X) = ~ ^ ( x TQx + uTRu) + Хг (Ах + Ви)

118

х = Ах+ Ви

З

I

г Рис. 7.1

и следующие выражения для ее градиентов: дН = А х + Ви = х , дХ

(7.4)

ЭН = А ТХ - Qx = - X , дх

(7.5)

дН = B TX - R u = О, ди используя примеры градиентов линейной формы Gz

(7.6)

± ( G z ) = GT , и квадратичной формы z TGz

^-(zTSz) = 2Sz , dz где G — строка; S — симметрическая матрица. Из уравнения (7.6) следует, что и = К 1ВтХ.

(7.7)

Равенство (7.7) позволяет исключить управление u(t) из (7.4) и полу­ чить систему х = А х + ВН~1В тХ,

(7.8)

X = Q x - A TX.

(7.9)

Для нахождения оптимального управления требуется решать систе­ му (7.8), (7.9), полагая, что существует такая матрица P(t) для любого решения {#(£), Х(£)} этой системы, что выполняется тождество X(t) = — Pit) x(t)

(7.10)

и, подставляя (7.10) и (7.7), находим уравнение u = -R~1BTP(t) x(t). Определим необходимое и достаточное условие существования мат­ рицы P(t). Продифференцируем равенство (7.10) X(t) = -P(t)x(t) - P(t)x(t) = -P(t)x(t) - P(t)[Ax{t) + ВД - 1В ГХ] . Приравнивая правые части последнего уравнения и уравнения (7.5), получим с учетом (7.10)

119

-P(t)x(t) - P(t)[A x(t) + BR~1B TP(t)x(t)] = Qx(t) + A TP(t)x(t) , откуда следует [~P(t) - P(t)A - A TP(t) + P(t)BR~1B TP(t) - Q]x(t) = 0 . Искомая матрица P(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению P(t) = -P(t )A - A TP(t) + P ( t ) B R 1B TP ( t ) - Q ,

(7.11)

которое называется матричным дифференциальным уравнением Риккати. Дифференциальное уравнение Риккати (7.11) обладает следующим свой­ ством: при t его решение стремится к постоянной величинеP(t) —>Р, а P(t) —> 0 . Тогда получим матричное алгебраическое уравнение Риккати РА + А ТР - PBR ^ P + Q = 0

(7.12)

относительно матрицы Р. Тогда скалярное управление u(t) на рисун­ ке 7.1 определится как u(t) = -Kx(t), (7.13) где К = К 1ВТР.

(7.14)

Подставляя уравнение (7.13) в (7.1), получим х = А х —В К х = ( А - ВК)х . В последующих выкладках будем иметь в виду, что матрица А - В К устойчива или ее собственные значения имеют отрицательные действи­ тельные части.

7.3. Методический пример Рассмотрим систему управления, показанную на рисунке 7.2. Объект управления имеет передаточную функцию W0(s) =

1

s 3 + 7s 2 + 16s +12 ‘

(7.15)

Для перехода к уравнениям (7.1) и (7.2) пространства состояний в программе (пр. 7.1) повергнем ss преобразованию передаточную функ­ цию (7.15).

Рис. 7.2

120 (Пр.7.1)

W=tf([1],[1 7 16 12]); W1=ss(W)

A = x1 x2 x3 X1 -7 -4 -1.5 x2 4 0 0 x3 0 2 0 B = u1 x1 0.25 x2 0 x3 0 С = x1 x2 x3 y1 0 0 0.5 D = u1 y1 0 В результате получим матрицы А, В, С, D для системы (7.1), (7.2) '-7 А = 4 0

-4

1.5"

0

0

2

0

"0.25" , в

0

-

, С = [0 0 0.5] , D = [0 ].

(7.16)

0

Управление и определим из соотношения и = K t f - хг) - (КЛ + К 3х3) = К 1У° - (KlXl + К 2х2+ К 3х3) = К 1У° - К Х, (7.17) а также определим такую матрицу коэффициентов К = \Кг К 2 K s], кото­ рая минимизирует критерий J = J (xTQx + u2R ) d t , где 0

0

0

?22

0

0

0

Vn Q=

'

Xl ,

R = 1,

х =

*2

?зз_

У

=

У У_

Уравнение Риккати (7.12) в MATLAB может быть решено с помощью функции lq r(), имеющей следующие версии: К = lqr(A,B,Q,R), [К,Р] = lqr(A,B,Q,R), [К.Р.Е] = lqr(A,B,Q,R).

В результате могут быть найдены векторы К , матрица Р и вектор Е собственных значений матрицы А —ВК. Для получения быстрой реак­ ции элемент qu должен быть больше элементов q22 и q33 и гораздо больше коэффициента R. Поэтому для данной задачи выберем