Mathématiques - Résumé du cours en fiches : ECS 1re et 2e années 9782100560844, 2100560840

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Le pictogramme qui figure ci-contre d'enseignement supérieur, provoquant une baisse brutale des achats de livres et de mérite une explication. Son objet est d'alerter le lecteur sur la menace que revues, au point que la possibilité même pour représente pour l'avenir de l'écrit, les auteurs de créer des œuvres particulièrement dans le domaine nouvelles et de les faire éditer corDANGER de l'édition technique et universirectement est aujourd'hui menacée. Nous rappelons donc que toute taire, le développement massif du photocopillage. reproduction, partielle ou totale, Le Code de la propriété intellecde la présente publication est tuelle du 1er juillet 1992 interdit LE PHOTOCO~LLAGE interdite sans autorisation de en effet expressément la photocoTUE LE LIVRE l'auteur, de son éditeur ou du pie à usage collectif sans autori Centre français d'exploitation du sation des ayants droit. Or, cette pratique droit de copie (CFC, 20, rue des s' est généralisée dans les établissements Grands-Augustins, 75006 Paris}.

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© Dunod, Paris, 201 O. ISBN 978-2-10-056084-4

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Le Code de la propriété intellectuelle n' autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, 2 ° et 3 ° a), d'une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d 'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (art. L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soi t, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articl es L. 335-2 et suivants du Code de la propri été in tellectuelle.

Table des matières '

Partie 1 - Algèbre

Il

•

Logique

Applications linéaires

1re année

1re année

Ensembles

Applications linéaires particulières

1re année

Applications

Il Il

Dénombrement

(1

Polynômes

11

1re année

Nombres complexes

15

1re année

18

Ill Ill Ill

1re année

Systèmes linéaires

35

1re année et 2e année

8

1re année

31

Matrices 1re année

Calcul matriciel

40

1re année

Changement de bases

43

1re année

Réduction des endomorphismes

21

37

45

1re année et 2e année

1re année

Produit scalaire

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49

2e année

Espaces vectoriels de dimension finie

27

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23

1re année et 2e année

1re année

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•

Espaces vectoriels

Espaces euclidiens

53

2e année

Endomorphismes symétriques Matrices symétriques

57

2eannée

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Partie 2 - Analyse

Il)

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0

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111

Suites et réels

60

1re année

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Études des suites

0

1re année

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66

1re année

1

-0 0

m

Suites particulières

63

li

Séries numériques

69

1re année

111

Table des matières

Il Il tl

Limites et continuité

72

Calcul des primitives

1re année

Comparaisons locales

1re année

76

1re année

Étude globale d'une fonction

Il

m

Intégration sur un intervalle quelconque

81

Fonctions de plusieurs variables réelles

84

li

IV

1re année

105

1 re année et 2e année

87

1re année

Intégration sur un segment

101

2e année

1re année

Fonctions circulaires réciproques

95

1re année

1re année

Étude globale des fonctions dérivables

Formule de Taylor 1re année

Développements limités 97

78

1re année

Fonctions dérivables

92

89

11 lm

Calcul différentiel

108

1 re année et 2e année

Extremums 2e année

113

Table des matières

Partie 4 - Statistiques

li

Statistique à une dimension

Corrélation, ajustement 165 158

1re année

Paramètres d'un caractère quantitatif 160 1re année

li

Statistique à deux dimensions

1re année

Il il

Estimation ponctuelle

167

2eannée

Estimation par intervalle de confiance 171 2eannée

162

2eannée

Partie 5 - Algorithmique R1

Environnement PASCAL 175

-

1reannée

m

Structures de base

-

1reannée

Fonctions et procédures

186

1re année et 2e année

180 Savoir-faire : probabilités, tableaux

192

1re année et 2e année

Annexes

201

Index

203

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Logique 1re année

1.

Proposition logique

C'est un assemblage de lettres et de signes qui a une syntaxe correcte (le lecteur sait le lire), une sémantique correcte (le lecteur comprend ce qu'il lit) et qui a une seule valeur de vérité : vrai (V) ou faux (F). Deux propositions seront considérées comme égales si elles ont toujours la même valeur de vérité.

2.

Connecteurs logiques

• Négation : non p « non p » est vraie si, et seulement si, p est fausse. • Conjonction : p et q « p et q » est vraie si, et seulement si, les deux propositions sont vraies. • Disjonction : p ou q « p ou q » est vraie si, et seulement si, au moins une proposition est vraie. • Implication : p -0 0

«p

c

==> q

==> q

» est définie par : « (non p) ou q ».

:J

0

Cela signifie que, quand p est fausse, la proposition « p ==> q » est vraie. Pensez à des proverbes comme « si les poules avaient des dents, alors je serais pape », « si les poules avaient des dents, alors je serais en train de lire un livre de maths » .

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Ces phrases sont vraies, même si leur apport est faible ! • Équivalence : p {:::::::} q « p {:::::::} q » est vraie si, et seulement si , les deux propositions sont simultanément vraies ou simultanément fausses.

2

Logique

3.

Propriétés des connecteurs

non (non p) = p non (pou q) = (non p) et (non q) non (pet q) non (p

====}

12

=

(non p) ou (non q)

q) =

[Pet (non q) J

La négation d'une implication n'est donc pas une implication.

[P ====} q J = [( non q)

====} (

non p) J

Cette seconde implication est la contraposée de la première. Faites attention à l'ordre des propositions.

[P {:::::::} q] = [(p ====} q) et (q

====}

p)

J

Pour démontrer une équivalence, on démontre souvent une implication et sa réciproque.

4.

Quantificateurs

• Notation Les quantificateurs servent à indiquer la quantité d'éléments qui interviennent dans une proposition. On utilise : - le quantificateur universel V ..., "'O 0

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- le quantificateur existentiel 3

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Vx signifie : quel que soit x, ou pour tout x ;

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3 x signifie : il existe au moins un x.

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0

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• Ordre Si l'on utilise deux fois le même quantificateur, l'ordre n'a pas d'importance. On peut permuter les quantificateurs dans des écritures du type : Vx E E

Vy E E

p(x ,y)

3xEE

3yEE

p(x,y)

-0 0

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0

Mais si les quantificateurs sont différents, leur ordre est important.

@

3

Logique Dans l'écriture Vx Dans l'écriture

3y

E

E

E

E

p(x , y)

E

p(x ,y)

y dépend de x.

3y

E

E

La négation de « Vx

E

E x vérifie p » est« 3 x

Vx

E

y est indépendant de x.

• Négation La négation de « 3 x

5.

E

E

E tel que x ne vérifie pas p ».

E x vérifie p » est « Vx E E x ne vérifie pas p ».

Quelques méthodes de démonstrations

• Déduction Si p est vraie et si l'on démontre (p ====> q), alors on peut conclure que q est vraie. Si la démonstration d'une implication vous résiste, pensez à examiner la contraposée. Elle a la même signification, mais il est possible que sa démonstration soit plus facile. • Raisonnement par l'absurde Pour démontrer que p est vraie, on peut supposer que p est fausse et en déduire une contradiction. Comme vous partez de non p, ne vous trompez pas dans la négation, en particulier en ce qui concerne les quantificateurs. • Disjonction des cas Elle est basée sur : [ (p ====> q) et (non p ====> q) J ====> q

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0

• Exemples et contre-exemples

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Beaucoup de propositions mathématiques sont de type universel. Dans ce cas,

@

- un exemple est une illustration, mais ne démontre rien,

.......

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- un contre-exemple est une démonstration que la proposition est fausse.

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• Raisonnement par récurrence Soit E (n) un énoncé qui dépend d'un entier naturel n. Si E(O) est vrai , et si, quel que soit k ~ 0 , l'imp.lication E(k) ====> E(k vraie, alors l'énoncé E (n) est vrai pour tout entier n.

4

+ 1) est

Logique Ce principe a diverses variantes, par exemple : si E (0) est vrai, et si, quel que soit k

~

0, l'implication

[ E(O) et E( l ) et .. . et E(k)

J ====} E(k + 1)

est vraie, alors l'énoncé E(n) est vrai pour tout entier n .

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Ensembles 1re année

1.

Notion d'ensemble

La notion d'ensemble est considérée comme primitive. Retenons que la caractérisation d'un ensemble E doit être nette, c'est-à-dire que, pour tout élément x, on doit pouvoir affirmer ou bien qu'il est dans E (x E E), ou bien qu'il n'y est pas (x

rt

E).

On note 0 l'ensemble vide, c'est-à-dire l'ensemble qui ne contient aucun élément. E et F étant des ensembles, on dit que F est inclus dans E si, et seulement si, tous les éléments de F appartiennent aussi à E . On note F c E.

On dit aussi que Fest une partie de E, ou que E contient F. L'ensemble des parties de E se note P(E) . Dire que A Ac E.

2.

Opérations dans P ( E)

2.1

Avec une ou deux parties

E

P(E) signifie que

Soit E un ensemble. A et B étant des parties de E, on définit : • le complémentaire de A dans E :

• l ' 'intersection :

A

An B

= {x

E

=

{x E E ; x

rt

A} ;

E ; x E A etx E B} .

Si A n B = 0 , c'est-à-dire s'il n'existe aucun élément commun à A et B , on dit que les parties A et B sont disjointes ;

-0 0

c

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0

AUB

• la réunion :

0 ..-t

=

{x E E ; x E A ou x E B} .

Ce « ou» a un sens inclusif c'est-à-dire que A U B est l'ensemble des éléments x de E qui appartiennent à l'une au moins des parties A et B.

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• la différence ensembliste :

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A \ B

=

{x E E ;

X E

A et X

rt

B}

=

A

nB

• la différence symétrique : At:i.B

=

(Au B) \(An B)

=

(An B) u (An B).

At:i.B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à une, et une seule, des par-

ties A et B .

6

Ensembles 2.2

Système complet

Un système complet (ou partition) d'un ensemble E est une famille de parties de E, deux à deux disjointes, et dont la réunion est E.

3.

Propriétés des opérations dans P ( E)

Pour toutes parties A, B et C de E, on a les propriétés qui suivent. • Complémentaire 0 = E ; A = A ; si A

E = 0

c

c

B alors B

A.

• Lois de de Morgan AnB=AUB

AUB=AnB.

• Réunion A U B = B U A ; A U (B U C) = (A U B) U C AUA = A; AU0 = A; AUE = E.

• Intersection A

nB =

B

nA

An (B n C) = (A n B) n c

AnA=A;An0=0;AnE=A.

• Réunion et intersection

An (B u C) = (A n B) u (A n C) A u (B n C) = (A u B) n (A u C) ..., "'O 0

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Produit cartésien

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4.

Vl

Le produit des ensembles A et Best l'ensemble, noté A x B, des couples (a ,b) où a E A et b E B .

0

ro

Il)

Attention, le couple (b,a) est différent du couple (a ,b), sauf si a =h.

0 0

0

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Plus généralement, le produit cartésien de n ensembles Ei est : Ei X··· X En= {(x1 , ... ,Xn); X1 E Ei, ... ,Xn

E

En} .

-0 0

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0

Si Ei = · · · = En = E, on le note En .

@

7

Applications 1re année

1.

Généralités

1.1

Définitions

Une application f est définie par son ensemble de départ E, son ensemble d'arrivée F, et une relation qui permet d'associer à tout x E E un élément unique y dans F. On ]e note f (x) . On dit que y est l'image de x et que x est un antécédent de y. Les applications de E dans F forment un ensemble noté :F(E,F). L'application identité de E est l'application de E dans E définie par x la note IdE.

1.2

~

x. On

Restriction, prolongement

Soitf une application de A dans F , et g une application de B dans F. Si A C B et si, pour tout x de A, on a f (x) = g (x), on dit que f est une restriction de g , ou que g est un prolongement de f

1.3

Composition des applications

Soit E, F, G trois ensembles,f une application de E dans F , g une application de F dans G. La composée de f et de g est l'application de E dans G définie par : x ~ g(f (x)) = (g o f)(x).

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0 N

2.

Injections, surjections, bijections

2.1

Application injective

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Une application! de E dans Fest dite injective (ou est une injection) si tout élément de F admet au plus un antécédent, ce qui peut s'écrire :

ij: o

u

\lx

E

E

\lx'

E

On peut aussi dire que, pour tout y solution x E E.

8

f

E E

(x)

=f

(x' )

F, l'équation y

===}

=f

x

= x'.

(x) admet au plus une

Applications 2.2

Application surjective

Une application f de E dans Fest dite surjective (ou est une surjection) si tout élément de F admet au moins un antécédent, ce qui peut s'écrire : Vy

E

F

3x

On peut aussi dire que, pour tout y solution x E E.

2.3

E

E

E

y

=f

F, l'équation y

(x) .

=f

(x) admet au moins une

Application bijective

Une application! de E dans Fest dite bijective (ou est une bijection) si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, tout é]ément y de Fest l'image d'un, et un seul, élément x de E.

À tout y de F, on associe ainsi un x unique dans E notéf - 1 (y).f- 1 est la bijection réciproque de f On a donc : 1

X= f - (y) {::::::}Y= f(x),

ce qui entraîne f o f - 1 = ldp etf- 1 o f = IdE.

2.4

Théorèmes

Soit f une application de E dans F, et g une application de F dans G. On a les implications qui suivent. - Sif et g sont injectives, alors g o f est injective. - Si g o ..., "'O 0

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f

est injective, alors f est injective.

- Si f et g sont surjectives, alors g o

f est surjective .

f est surjective, alors g est surjective. - Si f et g sont bijectives, alors g o f est bijective, et

- Si g o

Vl

0

ro

Il)

3.

Image directe et image réciproque

0 0

0

Soitf une application de E dans F.

.....:l

Si A c E, on appelle image de A par f, la partie de F constituée par les images des éléments de A :

..s:: o.. ro 1

-0 0

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0

f

(A) =

{f (x)

; x

E

A}.

@

9

Applications Si B c F, on appelle image réciproque de B, la partie de E constituée par les x dont l'image est dans B : - 1

f(B)={xEE; f(x)EB} .

La notation la plus courante est 1- 1 (B). Mais attention à ne pas confondre avec la réciproque d'une bijection, ici on ne suppose rien surf.

4.

Fonction indicatrice d'une partie

La fonction indicatrice (ou caractéristique) d'une partie A de E est l'application notée IlA (ou cpA) de E dans {0, 1} définie par : 11 A (x) { 11 A (x)

=1 =0

si

X E

si

x tj. A.

A'

Deux parties de E sont égales si, et seulement si, elles ont la même fonction indicatrice. Vous pouvez ainsi démontrer les propriétés des opérations sur les parties de E en sachant que : 110 = 0 ; Il E = 1 ; 11 A = 1 - IlA ; Il Ans = IlA Il s ; 11 Aus =11 A+ Il s - 11A1ls; Il A\s =Il A( l - Ils) ;

Il A~S = Il A +Ils - 2 Il Ails = (IlA - 1ls) 2 = 111 A - Ilsl. "'O 0

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10

Dénombrement 1re année

1.

Ensembles finis

1.1

Définition

Un ensemble E est fini s'il existe une bijection d'un intervalle {l , ... ,n} de N sur E. Le nombre n est le cardinal (ou nombre d'éléments) de E. On le note n ou IEI, ou ~E. On convient que l'ensemble vide est fini, et que card

1.2

0

= card E,

= 0.

Inclusion

Soit E un ensemble fini. Toute partie A de E est finie, et on a: card A ( card E ; l'égalité des cardinaux ayant lieu si, et seulement si, A

1.3

=

E.

Applications

Soit E et F deux ensembles finis de même cardinal, et f une application de E dans F. On a l'équivalence des trois propriétés:

f

bijective

- f

injective

- f

surjective.

Dans ce cas, pour démontrer que f est bijective, il suffit de démontrer, soit que f est injective, soit que f est surjective . ..., "'O 0

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Réunion

• La réunion de n ensembles finis est un ensemble fini . On a :

Vl

0 N

..c

1.4

0

card ( E U F)

= card E + card F

- card ( E

n F) .

ro

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0

• Dans le cas particulier d'ensembles Ei deux à deux disjoints, on a:

Il)

ïi

n

0

u 0

0

card (E1 U E 2 U ... U En)= Lcard Ei.

..s:: o.. ro .....:l 1

i= l

• Formule du crible, ou de Poincaré

-0 0

s::

::l

0

Pour toute famille de parties

(Ai)1 ,;;; i ,;;; n,

on a:

@

11

Dénombrement n

=L

card(Aï)

+ ·· ·

i=l

1.5

Produit cartésien

Le produit cartésien de deux ensembles finis est un ensemble fini, et on a : card ( E x F)

1.6

= card E

x card F.

Bilan pour dénombrer

Quand une situation comporte plusieurs choix à réaliser, - on effectue un produit quand on doit faire un choix, puis un autre ... - on effectue une somme quand on doit faire un choix ou bien un autre .. .

2.

Dénombrement de listes

2.1

Nombre d'applications

Soit E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs p et n. L'ensemble :F(E ,F) des applications de E dans Fest fini et a pour cardinal nP. On peut assimiler une application f de E dans F à la liste ordonnée des p images des éléments de E, c'est-à-dire un élément du produit cartésien FP. On dit qu'il s'agit d'une p-liste d'éléments de F. Le nombre de p-listes d'éléments de Fest nP. "'O 0

C'est aussi le nombre de façons d'extraire p boules parmi n boules, avec remise et en tenant compte de l'ordre.

c

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0 0 .-t

2.2

0 N

Arrangements

@

Soit E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs p et n .

.......

..c Ol

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> a. 0 u

Le nombre d'applications injectives de E dans Fest égal à:

AnP -- n (n - 1) . .. (n - p où n ! (lire factorielle n) est défini pour n

n!

12

=

1 x 2 x ·· · x n

E

+ 1) --

n! (n - p)!

,

N par :

si n

E

N*

et

0 ! = 1.

Dénombrement On dit que A~ est le nombre d'arrangements de p éléments dans un ensemble à n éléments. A~ est aussi le nombre de p-listes d'éléments de F , distincts deux à deux.

C'est aussi le nombre de façons d'extraire p boules parmi n boules, sans renùse et en tenant compte de l'ordre.

2.3

Permutations

Si E est un ensemble fini de cardinal n, toute application injective de E est bijective. On dit qu'il s'agit d'une permutation de E. Il y an! permutations de E. C'est aussi le nombre de listes ordonnées où tous les éléments de E figurent une fois, et une seule.

3.

Nombre de parties à p éléments dans un ensemble à n éléments

3.1

Dénombrement

Si p :( n, le nombre de parties à p éléments dans un ensemble à n éléments est

noté(;). On l'appelle le nombre de combinaisons de p éléments dans un ensemble à n éléments. On a :

(n) =

..., "'O 0

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p

~ -0

n!

p! (n - p)! .

C'est aussi le nombre de façons d'extraire p boules parmi n boules, en vrac et toutes distinctes.

Vl

0

ro

3.2

Propriétés

Il)

0 0

n) ( p

=(

n ) (n) n-p ; p

=

n (n - 1) (n) p p-1 ; p

= n-p+l p

(

n ) p-1 ·

0

..s:: o.. ro .....:l 1

-0 0

s::

::l

0 @

Le nombre total de parties d'un ensemble à n éléments étant 2n, on a :

t (n) = p= O

2n.

p

13

Dénombrement La relation

p = (n-1) p + (n-1 p _ ) permet de construire le triangle de (n) 1

Pascal.

3.3

Formule du binôme

Pour tout n

E

N, on a :

4.

Cas des ensembles infinis

4.1

Infini dénombrable

• Un ensemble est infini dénombrable s'il est en bijection avec N . Exemp les : 2N, Z , Q .

• Un ensemble est dénombrable s'il est soit fini , soit infini dénombrable.

4.2

Infini continu

Un ensemble est infini continu s'il est en bijection avec JR . Exemples : [a ,b], JR2 .

"'O 0

c

:J

0 0 .-t

0 N

@ .......

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> a. 0 u

14

Nombres complexes 1re année

1.

Forme algébrique

1.1

Définitions

Tout nombre complexe z s'écrit, de manière unique, sous la forme algébrique z = x + i y avec x et y réels, i étant un nombre complexe particulier tel que 1·2 --

1.

-

z, et se note Re(z). s'appelle la partie imaginaire de z, et se note lm (z).

Le réel x s'appelle la partie réelle de Le réel y

1.2

Plan complexe

Soit ( 0 , lt ,lf) un repère orthonormal du plan. L'application qui, à tout nombre complexe z = x + iy, fait correspondre le point M de coordonnées (x , y) est une bijection. M est l'image de z, et z l'affixe de M. L'affixe du vecteur a lt Si

ZA

+ /3lf

est le nombre complexe z = a

et zs sont les affixes de A et B, le vecteur

+ i/3.

AB a pour affixe zs -

ZA·

La somme des nombres complexes correspond à l'addition des vecteurs.

1.3

..., "'O 0

~ -0

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c

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0 N

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Vl

Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué du nombre complexe z = x complexe z = x - iy . Les images des nombres complexes z et abscisses.

+ iy (où x

E

IR et y

E

IR) est le nombre

z sont symétriques par rapport à l'axe des

On a les propriétés :

0

z + z' = z + z'

-

ro

z=z

zz' = zz'

Il)

0 0

0

..s:: o.. ro .....:l

2.

Forme trigonométrique

2.1

Module d'un nombre complexe

1

-0 0

s::

::l

0 @

Le module de z = x

,JZZ, =

Jx + y 2

2

.

+ iy

(où x

On le note

E

IR et y

lzl, ou p, ou

E

IR) est le nombre réel positif

r. 15

Nombres complexes Si M est l'affixe de

z, 1z1 est la longueur 0

M.

Le module d'un nombre complexe a les mêmes propriétés que la valeur absolue d'un nombre réel.

2.2

Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul

z s'écrit sous forme trigonométrique :

z = p (cos e+ i sin B) p

avec

p > 0.

= lzl est le module de z.

e est un argument de z. On le note arg z. Il est défini, à 2k7r près, par : X . e = -Y · cos e = - et sm p p 2.3

Propriétés de l'argument d'un nombre complexe non nul

Les égalités suivantes ont lieu à 2k7r près (avec k arg

(zz') = arg z + arg z' arg

(D =

arg (zn )

-arg z

E Z) :

=n

arg z

avec

= arg z -

arg ( ;, )

n E Z ;

arg z'.

3. Exponentielle complexe On convient de noter cos e+ i sin e = ei8 .

3.1

Formule de Moivre \fB E IR

"'O 0

c

:J

Tin E Z

(cos

e+ i sin er = cos ne+ i sin ne'

ce qui s'écrit avec la notation précédente: (ei 8 yi

0 0

= eine .

.-t

0 N

3.2

@

Formules d'Euler

.......

..c Ol

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> a. 0 u

Pour tout réel x et tout entier n, on a : cosx

= ---2

eix - e - ix

SinX

= ---2i

einx - e - inx

cos nx = - - - 2

16

smnx = - - - 2i

Nombres complexes 3.3

Exponentielle complexe

• Définition On définit l'exponentielle du nombre complexe

z = x + iy par :

eZ = ex eiy = ex (COS Y+ Ï Sin y).

• Propriétés \:/z E C \:/z E

3.4

C

\:/z'

E

C

\:/n E Z

( e z )n

= enz .

Racines n-ièmes de l'unité

Soit Un l'ensemble des raci nes n-ièmes de 1, c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes z tels que zn = 1 . On a :

Un = {uo ,u1, ... ,Un-d

avec

2k7r

uk = cos -

n

2k7r + i sin = (u 1)k n

n- 1

et la propriété:

L uk =O. k=O

..., "'O 0

~ -0

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QI

li..

.c •GI en

-cc

17

Polynômes 1re année

1.

Généralités

1.1

Définitions

Un polynôme, ou fonction polynôme, est une application de OC C ) dans OC définie par : P(x)

(c'est-à-dire ~

ou

= ao +a1x + · · · +anxn.

Les nombres ai sont les coefficients du polynôme P. On note aussi P = ao +ai X+···+ anXn. Si P

-=f=.

0, le plus grand entier i tel que ai

-=f=.

0 est le degré n du polynôme P .

On le note d 0 P, ou deg P. Lorsque an = 1, le polynôme est dit unitaire, ou normalisé. Pour le polynôme nul P = 0 , on convient de poser d 0 P = -oo. L'ensemble des polynômes à coefficients dans OC, se note OC[X]. On note OCn[X] l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

1.2

Opérations p

q

Soit p = Lai xi et Q = L bj X j deux éléments de OC[X], et i=O j=O

À E

OC.

• Addition de deux polynômes r "'O 0

P

+

Q = L ck Xk k=O

On a: d 0 (P

+

Q) ( max (d 0 P,d0 Q). Si d0 P

c

:J

0 0 .-t

0 N

avec r =max (p,q) et ck = ak -=/=-

+ bk.

d0 Q, il y a égalité.

• Produit par un scalaire

@

p

.......

..c Ol

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> a. 0 u

À

p

=

L

(À

aï) xi.

Si

À

+ 0 ' on a : d (À P) = d 0

i=Ü

• Produit de deux polynômes p+q

PQ = Ldk Xk avec dk = L ai bj. k=O i+j=k

On a: d 0 (PQ)

18

=

d 0 P +d 0 Q.

0

p.

Polynômes • Composition La fonction composée P o Q est un polynôme de degré : 0

d (P

0

Q)

=d

0

P

X

d0 Q.

• Dérivation La fonction dérivée de P non constant est un polynôme de degré : d0 P'

1.3

=d

0

P - 1.

Divisibilité

Si A = B Q (avec Q un diviseur de A.

E

OC[X]), on dit que A est un multiple de B , ou que B est

On dit que A et B sont des polynômes associés lorsque A

1.4

=

À B , avec À E Il{* .

Division euclidienne

Soit A et B deux polynômes de OC[X], avec B =!= O. Il existe des polynômes uniques Q et R dans OC[X] , tels que : A

=

BQ

+R

avec d0 R < d0 B.

On dit que Q est le quotient, et R le reste, dans la division euclidienne de A par B.

2. Racines d'un polynôme ..., "'O 0

~ -0

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u

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0

ro

2.1

Définition et caractérisation

Les racines de l'équation P(x)

=0

sont les zéros, ou racines, de P .

Un zéro a de P est dit d'ordre k, ou de multiplicité k (avec k Q E OC[X] tel que P = (X - a )k Q avec Q(a ) =!= O. Un zéro

Il)

Œ

N*) s'il existe

de Pest d'ordre ;::: k si, et seulement si : P (a)

0

E

=

P' (a )

= ··· =

p (k- l ) (a)

= 0.

0

0

..s:: o.. ro

L'ordre est égal à k si, en plus,

p (k) (a )

=!= 0 .

.....:l 1

-0 0

s::

2.2

Théorème de d'Alembert-Gauss

::l

0 @

Tout polynôme de C [X] a au moins une racine dans C .

19

Polynômes On en déduit qu'un polynôme de C [X], de degré n, a exactement n racines dans (('., en comptant chaque racine autant de fois que son ordre de multiplicité. Un polynôme qui a plus de racines que son degré est donc le polynôme nul.

2.3

Polynôme irréductible

Un polynôme P de JK[X] est irréductible si d 0 P les polynômes associés à 1 ou à P.

2.4

~

1, et s'il n'est divisible que par

Décomposition d'un polynôme

• Tout polynôme de degré ~ 1 se factorise en un produit d'un élément de JK* et de polynômes irréductibles unitaires. Cette décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près. • Dans C [X], les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1. • Dans JR[X], les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1, et les polynômes aX 2

+ bX + c

avec b2

-

4ac < O.

• Si P E JR[X], on peut le considérer dans C [X], et si a est un zéro non réel de P d'ordre de multiplicité r, alors P admet aussi le conjugué a pour zéro, avec le même ordre de multiplicité que a, et (X 2

"'O 0

c

:J

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0 N

@ .......

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> a. 0 u

20

-

2Re(a)X

+

la 12

r

divise P.

Systèmes linéaires 1re année

1.

Généralités

Un système den équations linéaires à p inconnues, à coefficients dans IK (c'està-dire IR ou CC), est de la forme : a11 x1

(S)

:

{ Gn 1 X l

Les coefficients

aij

+ · · · +a1pXp + · · · + Gnp X p

et les seconds membres bi sont des éléments donnés de IK.

Les inconnues x 1 , ... ,Xp sont à chercher dans IK. Le système homogène associé à (S) est le système obtenu en remplaçant les bi par O. Une solution est un p-uplet (x1 , ••• ,xp) qui vérifie (S). Résoudre (S), c'est chercher toutes les solutions. Un système est impossible, ou incompatible, s'il n'admet pas de solution. Deux systèmes sont équivalents s'ils ont les mêmes solutions. ..., "'O 0

~ -0

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Méthodes de résolution

2.1

Systèmes en escalier

Il)

.-t

.......

2.

Vl

0

ro

• Réduction

Quand un système contient une équation du type :

s:: s::

Ox 1 + ···+0xn=b,

0

Il)

ïi 0

u 0

0

..s:: o.. ro .....:l 1

-0 0

s::

::l

0 @

- si b

-=/=-

0 , le système est impossible ;

- si b

= 0, on peut supprimer cette équation, ce qui conduit au sytème réduit.

• Définition

Un système (S) est en escalier, ou échelonné, si, après réduction, le nombre de premiers coefficients nuls successifs de chaque équation est strictement croissant.

21

Systèmes linéaires 2.2

Méthode du pivot de Gauss

En permutant éventuellement deux inconnues et deux équations, on peut supposer que au -=/= O. aï 1

Pour i > 1, les transformations E i ~ Ei - - - E 1 (remplacement de E i par

au

aï 1

Ei - -

-

an

E 1 ) conduisent à un système équivalent et éliminent l'inconnue x 1 dans

les équations autres que E 1. Le terme a 11 est le pivot de l'étape de l'algorithme. En réitérant ]e procédé, on aboutit à un système en escalier.

2.3

Rang d'un système

Le nombre d'équations du système (non impossible) réduit en escalier obtenu par la méthode de Gauss est le rang r du système (S).

2.4

Inconnues principales, inconnues secondaires

Soit r le rang de (S) et p le nombre d'inconnues. • Si r

= p, (S)

a une solution unique.

On dit que le système est de Cramer. • Si p > r, (S) a une infinité de solutions. Les r inconnues qui figurent au début des r équations issues de la méthode de Gauss sont ]es inconnues principales. Elles peuvent se calculer de façon unique en fonction des p - r autres inconnues, dites inconnues secondaires.

"'O 0

c

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0 0 .-t

0 N

@ .......

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> a. 0 u

22

Le choix des inconnues principales et secondaires d'un système est largement arbitraire. Mais leur nombre est toujours le même.

Espaces vectoriels 1re année

et 2e année

1.

Définitions et premières propriétés

1.1

Espace vectoriel

On note par OC l'ensemble 1R des nombres réels, ou l'ensemble C des nombres complexes. On dit qu'un ensemble non vide E est un espace vectoriel sur OC, ou est un OCespace vectoriel, s'il est muni : - d'une loi de composition interne notée + c'est-à-dire d'une application qui à (x , y ) E E 2 fait correspondre x + y E E ; - d'une loi de composition externe sur OC, c'est-à-dire d'une application qui à (À,x) E OC x E fait correspondre À x E E , et si ces lois vérifient les propriétés qui suivent. • La loi

+ est associative, c'est-à-dire : 'v'(x ,y ,z) E E 3 (x + y ) + z = x + (y + z) .

• La loi

+ est commutative, c'est-à-dire: 'v'(x, y ) E E 2

• La loi

+

admet un élément neutre OE, c'est-à-dire : 'v'x E E

..., "'O 0

~ -0

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x+ y=y+x.

x

+ OE = x .

• Pour la loi +, tout élément x admet un symétrique y (noté - x par la suite), c'est-à-dire :

Vl

0

ro

Il)

• La loi externe et la loi 'v'À E OC

'v'µ E OC

+ vérifient les propriétés :

'v'x E E

'v'y E E

(˵) X

=

À(µ X)

0

(À+µ)x =À x+µx

0

0

..s:: o.. ro

À (x +y )

= À X+ À y

l x = X.

Les éléments de E sont des vecteurs ; les éléments de OC sont des scalaires.

.....:l 1

-0 0

s::

1.2

Exemples

::l

0 @

• L'ensemble des vecteurs du plan ou de l'espace est un JR -espace vectoriel.

23

Espaces vectoriels • OC est un espace vectoriel sur OC. • C est un C -espace vectoriel, mais aussi un JR. -espace vectoriel. • Le produit E 1 x · · · x En den espaces vectoriels sur OC est un OC-espace vectoriel pour les lois : (xi,.·· ,Xn)

+ (yi,. · · ,yn) =(xi+ Yi,.·· ,Xn + Yn)

À (xi, ... ,Xn)

=

(Àxi, ... ,Àxn) .

• L'ensemble F(X, F) des applications d'un ensemble X dans un espace vectoriel F, est un espace vectoriel pour les opérations f + g et À f. • L'ensemble OC[X] des polynômes à coefficients dans OC, l'ensemble OCn [X] des polynômes de degré :( n, sont des OC-espaces vectoriels.

1.3

Propriété 'V À E OC

'Vx E E

De ce fait, les éléments neutres pour l'addition de OC et de E, Ooc et OE, seront représentés par le même symbole 0 sans inconvénient.

2.

Sous-espaces vectoriels

2.1

Définition

Une partie non vide F d'un OC-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si elle est stable pour les deux lois, et si la restriction à F des lois de E définit dans F une structure d'espace vectoriel. En fait, il faut et il suffit que F vérifie : "'O 0

c

'VÀE OC

'VxE F

'VyE F

'V À E OC

'Vµ E OC

'Vx E F

x+yEF

À xE F

ou encore:

:J

0 0

'Vy E F

>.x + µ yE F .

..-t

0 N

@ .......

~

Pour montrer que F n'est pas vide, on vérifie en général que 0 E F.

..c Ol

·;::::

>

g-

u

2.2

Sous-espace engendré par une partie

• Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E. Attention, la réunion de sous-espaces vectoriels n'est pas en général un sous-espace vectoriel.

24

Espaces vectoriels • L'intersection F de tous les sous-espaces vectorie]s de E contenant une partie A donnée est le sous-espace vectoriel engendré par A. C'est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel contenant A. On dit aussi que A est une partie génératrice de F. On note F = Vect(A). • Le sous-espace vectoriel engendré par A est égal à l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de A , c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs du type : n

'L"°' '

/\i Xi

avec

n E

R-..T*, 1 '1

\.Jz' V

' E .lfü w /\i

Xi E

A

.

i=l

2.3

Somme de deux sous-espaces vectoriels

E 1 et E 2 étant deux sous-espaces vectoriels de E, on appelle somme de E 1 et de E2, et on note E1 + E2, l'ensemble des vecteurs du type x1 + x2 où x1 E E1 et X2 E E2. E 1 + E 2 est le sous-espace vectoriel engendré par E 1 U E 2 .

2.4

Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

• Définitions Quand tout vecteur x de F = E 1 + E 2 s'écrit, de façon unique, sous la forme x = x 1 + x2 avec x 1 E E 1 et x 2 E E2, on dit que Fest somme directe de E 1 et de E 2, et on note F = Ei œE 2. On dit aussi que E 1 et E 2 sont supplémentaires dans F. • Théorème ..., "'O 0

~ -0

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c

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:J

0

2.5

Généralisation

Il)

• Somme de sous-espaces vectoriels

.-t

Il) ' Il)

0 N

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@

:;

Soit (Ei )iEI une famille finie de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E.

s:: s::

On appelle somme des Ei , et on note

.......

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Vl

0

ro

0

Il)

0 0

0

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0 @

Ei, l'ensemble des vecteurs du type

iEI

ïi u

L

Lxi où Xi E Ei pour tout i E /. iEl

LJ

L Ei est le sous-espace vectoriel engendré par Ei . iEI iEI

Sil = {l, ... ,n}, la somme se note aussi E 1 +··

· +En.

25

Espaces vectoriels

• Somme directe de sous-espaces vectoriels Quand tout vecteur x de

L

Ei

s'écrit de façon unique sous la forme

i E/

pour tout i

Xi E Ei

E /,

on dit que la somme des

L

Xi

avec

iE /

Ei

est directe et on la note

EBEi. i E/

Si I

=

{1 , ... ,n}, on note aussi E1 EB · · · EB En .

Pour démontrer que la somme des Ei est directe, la méthode la plus rapide est de partir d'une somme nulle x 1 + · · · + Xn = 0 avec xi E Ei pour tout i, et de démontrer que cela entraîne que tous les xi sont nuls.

"'O 0

c

:J

0 0 .-t

0 N

@ .......

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26

Espaces vectoriels de dimension finie ire année

1.

Cas d'un espace vectoriel

1.1

Dépendance et indépendance linéaire

• On dit qu'une famille (x 1 , .. . ,xn) de vecteurs de E est une famille libre, ou que les vecteurs sont linéairement indépendants, si : n

z=,\xi =O ====> Vi E{ l, ... ,n}

Ài=O.

i= l

Dans le cas contraire, on dit que la famille est liée, ou que les vecteurs sont linéairement dépendants. • Toute sous-famille non vide d'une famille libre est libre. • Pour qu'une famille (x 1 , ... ,xn) soit liée, il faut, et il suffit, que l'un de ses éléments soit combinaison linéaire des autres. Cas particuliers : une famille qui contient le vecteur 0 est liée ; deux vecteurs sont liés si, et seulement si, ils sont colinéaires.

1.2

Bases

• On appelle base d'un espace vectoriel E toute famille libre de E qui engendre E. ..., "'O 0

~ -0

s::

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Ol

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n

Il) Il) ' Il)

..c

• (e 1 , •• • ,erJ est une base de E si, et seulement si, tout vecteur x de E peut s'écrire de façon unique sous la forme:

x

Vl

= Lxi ei . i= l

0

ro

Les scalaires Xi sont les coordonnées du vecteur x .

Il)

0 0

1.3

Dimension d'un espace vectoriel

0

..s:: o.. ro .....:l 1

-0 0

s::

::l

0 @

Si E possède une base comportant un nombre fini n de vecteurs, on dit que E est de dimension finie. Dans ce cas, toute base de E comporte aussi n vecteurs. On dit que n est la dimension de E ; on la note dim E .

27

Espaces vectoriels de dimension finie Si E est de dimension n, il est isomorphe à ocn. On convient que l'espace vectoriel {O} est de dimension nulle.

1.4

Existence de bases

Théorème de la base incomplète Si E est un espace vectoriel de dimension finie, non réduit à {0}, toute famille libre de E peut être complétée en une base de E. Tout espace vectoriel de dimension finie, non réduit à {0}, possède au moins une base. Attention à ne jamais écrire, ou dire, la base de E, car il n'y a pas unicité.

1.S

Recherche de bases

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Toute famille libre de E a au plus n vecteurs. Si elle comporte n vecteurs, c'est une base. Toute famille génératrice de E a au moins n vecteurs. Si elle comporte n vecteurs, c'est une base. Si on connaît déjà la dimension n de E, et si on considère une famille de n vecteurs, pour démontrer que c'est une base, il suffit de démontrer : soit que la famille est libre, soit que la famille est génératrice.

"'O 0

c

:J

0 0 .-t

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@ .......

..c Ol

1.6

Dimension d'un produit cartésien E x F

Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies. Si (e 1 , ..• ,en) est une base de E, et (f1 , ... , fp) une base de F , alors l'ensemble des couples (ei,O) et (O,fj) où 1 ~ i ~ net 1 ~ j ~ p , est une base de E x F. Par conséquent : dim(E x F)

= dim E + dim F .

·;::::

> a. 0 u

2.

Cas d'un sous-espace vectoriel

2.1

Dimension d'un sous-espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et Fun sous-espace vectoriel de E .

• Fest alors de dimension finie, et l'on a : dim F

28

~

dim E.

Espaces vectoriels de dimension finie

= dim

• Si dim F

E, alors F

=

E.

L'égalité des dimensions ne suffit pas pour conclure que F = E. Il faut aussi une inclusion de l'un des espaces vectoriels dans l'autre.

= dim

• Si dim F

E - 1 , on dit que Fest un hyperplan de E.

Comme exemples d'hyperplans, vous pouvez penser à une droite dans le plan ou à un plan dans l'espace à trois dimensions.

2.2

Dimension d'une somme

• Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, on a: dim(F

+ G) = dim

F

+ dim

G - dim (F

n G).

En particulier, si F et G sont en somme directe : dim(F EB G)

= dim

F

+ dim

G.

• Tout sous-espace vectoriel F de E admet des supplémentaires, qui ont tous pour dimension : dim E - dim F. • F et G sont supplémentaires dans E si, et seulement si, en réunissant une base de F et une base de G, on obtient une base de E.

On dit qu'on a choisi une base de E adaptée à la somme directe. Attention à ne pas partir d'une base de E, car il n'y a aucune raison de pouvoir en extraire une base de F et une base de G, ni même des vecteurs de F ou de G .

..., "'O 0

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0

ro

2.3

Généralisation

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et des sous-espaces vectoriels Ei de E en nombre fini. Si la somme

E9 Ei est directe, alors : iEl

Il)

0

dimEB Ei

0

0

..s:: o.. ro .....:l 1

-0 0

s::

::l

0 @

=

i E/

Pour que E

L dim Ei. ÏE /

= E9 Ei, il faut, et il suffit, que : i EI

dimE =

L dimEi iE/

et

E =

L Ei . i E/

29

Espaces vectoriels de dimension finie Si aucun Ei n'est réduit à {O}, la réunion d'une base de chaque Ei constitue une base de E si, et seulement si, E =

EB Ei. iE /

2.4

Rang d'une famille de vecteurs

Le rang d'une famille finie de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel qu'ils engendrent. C'est aussi le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants que l'on peut extraire de la famille.

"'O 0

c

:J

0 0 .-t

0 N

@ .......

..c Ol

·;::::

> a. 0 u

30

Applications linéaires 1re année

1.

Généralités

1.1

Définitions

Une application! de E dans Fest dite linéaire si elle transporte les opérations des espaces vectoriels, c'est-à-dire si : \lx E E

\/y E E

\/).. E lK

f (x + y) = f (x)

+

f (y)

f (À x) =À f (x)

ou encore: \lx E E

\/y E E

\/À E lK

Vµ E lK

f(Àx +µy)= Àf(x)

+ µf(y).

La propriété précédente s'étend à toute combinaison linéaire :

- Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme ; - si E ..., "'O 0

~ -0

=

F, on dit que f est un endomorphisme ;

- si f est bijective avec E

=

F, on dit que f est un automorphisme .

c

s::

On note:

::l

0

';;;

- [, (E, F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F,

:J

0

Il)

.-t

Il) ' Il)

0 N

·;:::

@

:;

.......

Ol

s:: 0 s::

>a.

ïi

u

u

..c ·;:::: 0

Vl

- [, (E) l'ensemble des applications linéaires de E dans E,

0

ro

Il)

0

- GL(E) l'ensemble des automorphismes de E.

1.2

Opérations algébriques

0

0

La composée de deux applications linéaires est linéaire .

.....:l

Si f est un isomorphisme, 1- 1 est aussi un isomorphisme .

..s:: o.. ro 1

-0 0

s::

::l

0 @

[, (E, F) est un espace vectoriel. Si dim E =net dim F

= p, on a dimL (E , F) = np. 31

Applications linéaires

2.

Noyau et image d'une application linéaire

2.1

Définitions

Soitf une application linéaire de E dans F. • L'image par f d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F. En particulier, f (E) est un sous-espace vectoriel de F appelé image de f, et noté lm f. Il est engendré par les images des vecteurs d'une partie génératrice de E. • L'image réciproque par f d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E. - 1

En particulier, f ({O}) est un sous-espace vectoriel de E . On l'appelle le noyau de f, et on le note Ker f.

2.2

Théorème

f surjective {::::=> lm f = 2.3

f injective {::::=> Ker f =

F

{O}.

Noyau d'une restriction

Soitf une application linéaire de E dans F et E 1 un sous-espace vectoriel de E. La restriction de f à E 1 a pour noyau : Ker(fiE 1 )

= Kerf n Ei.

La restriction de f à tout supplémentaire G de Ker f définit donc un isomorphisme de G sur lmf.

2.4

Réflexe utile pour les applications

"'O

g

f og

:J

=0

{::::=>

lm g C Ker f.

0 0 .-t

0 N

3.

Image d'une famille de vecteurs

@

.:t: Ol

Soitf une application linéaire de E dans F.

> a. 0 u

3.1

·;::::

Image d'une famille génératrice

Si G engendre E, alorsf(G) engendref(E). L'image d'une famille génératrice de E est une famille génératrice de F si, et seulement si, f est surjective.

32

Applications linéaires 3.2

Image d'une famille libre

Si A est une partie liée dans E, alors f (A) est une partie liée dans F, ou, par contraposition :

f

(A.) libre dans F ~ A libre dans E.

f est injective si, et seulement si, pour toute partie libre L de E,f (L) est une partie libre de F.

3.3

Image d'une base

L'image d'une base de E est une base de F si, et seulement si, f est bijective.

4.

Rang d'une application linéaire

4.1

Théorème du rang

Si E est de dimension finie et f dim E

E

.C ( E, F), on a :

= dimKer f + dim

lm f .

La dimension dim lm f est appelée rang de f, et souvent notée rg f

4.2

Théorème

Si E et F sont de même dimension finie, alors on a : f bijective

&

-- f injective -- f surjective.

N'oubliez pas l'hypothèse sur les dimensions de E et de F .

..., "'O 0

~ -0 ::l

0

';;;

:J

0

4.3

Forme linéaire et hyperplan

s::

c

Il)

• Forme linéaire

.-t

Il) ' Il)

0 N

·;:::

@

:;

.......

ro

Soit E un OC-espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans JK.

s:: 0 s::

• Écriture d'une forme linéaire

..c Ol

·;::::

>a. 0 u

Vl

0

Il)

ïi 0

u 0

0

..s:: o.. ro

Si E est de dimension finie et admet (e1 , . .. , en) pour base, toute forme linéaire f sur E est de la forme : n

.....:l

x

1

-0 0

=L i= 1

s::

n

xi ei

E

E ~ f(x) = L

ai xi

E

1K

i= l

::l

0 @

où les a i

=

f (ei) sont des scalaires qui caractérisent/

33

Applications linéaires • Forme linéaire et hyperplan - Étant donnée une forme linéaire rp sur E non nulle, le sous-espace vectoriel H =Ker rp est un hyperplan de E. Toute forme linéaire 'l/; nulle sur H est colinéaire à rp. - En dimension finie, un hyperplan admet donc une équation de la forme : n

L

Ü.j Xi=

O.

i=l

5.

Détermination d'une application linéaire

• Soit A = (a1 , ... ,an) une base de E et B = (b1,. .. ,bn) une famille den vecteurs de F. Il existe une application linéaire unique f de E dans F telle que : \li E {l,. . .,n}

• On a :

f injective {::::::::} B libre dans F ; f surjective {:::::::} B engendre F ; f bijective {::::::::} B est une base de F.

• Conséquence : deux espaces vectoriels E et F de dimensions finies sont isomorphes si, et seulement si, dim E = dim F.

"'O 0

c

:J

0 0 .-t

0 N

@ .......

..c Ol

·;::::

> a. 0 u

34

Applications linéaires particulières ire année et 2eannée

1.

Homothéties

Soit k

E

JK* . L'homothétie de rapport k est l'automorphisme linéaire de E:

hk :

&

E

-----+

X

!---*

E kx .

Dans cette définition, n'oubliez pas que k ne dépend pas de x .

2.

Projecteurs et symétries

2.1

Définitions

Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Tout vecteur x de E s'écrit donc de façon unique sous la forme x = x 1 + x 2 avec x 1 E F et x 2 E G . L'application p de E dans E : x

p(x)

!---*

= x 1 est linéaire.

C'est la projection sur F, parallèlement à G . ..., "'O 0

~ -0

s::

c

::l

0

';;;

:J

0 .-t

Il) Il) ' Il) Vl

0 N

·;:::

@

:;

.......

Ol

s:: 0 s::

>a.

ïi

u

u

..c ·;:::: 0

0

ro

L'application sF de E dans E : x

!---*

sF(x)

= x1 -

x 2 est linéaire .

C'est la symétrie par rapport à F, parallèlement à G. On définit de même la projection q sur G, parallèlement à F, et la symétrie se par rapport à G, parallèlement à F .

2.2

Propriétés

Il)

0 0

0

..s:: o.. ro

p

+ q = IdE

; p oq

Ker p

=qop =0

= Im q =

G

; p2

=p

Ker q

; q2

=q

= lm p =

; s~

= IdE.

F.

.....:l 1

-0 0

p et s F sont liées par l'égalité :

s::

::l

0 @

35

Applications linéaires particulières 2.3

Projecteurs

D'une facon générale, on appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E tel quep o p= p. On a alors: E

= Ker p

EB lm p,

et p est la projection sur lm p, parallèlement à Ker p. lm p est aussi l'ensemble des vecteurs invariants par p.

= Ker f EB lm f entraîne lm f = lm f 2 , et pas que f soit un projecteur. Attention, l'égalité E

2.4

seulement que

Symétries

D'une façon générale, on appelle symétrie de E toute application linéaire s, de E dans E, telle que s o s = ldE. Alors F et G

=

=

= x} = Ker(s - ldE) = -x} = Ker (s + ldE)

{x E E ; s(x)

{x E E ; s (x)

sont des sous-espaces supplémentaires de E, et s est la symétrie par rapport à F , parallèlement à G.

"'O 0

c

:J

0 0 .-t

0 N

@ .......

..c Ol

·;::::

> a. 0 u

36

Matrices 1re année

1.

Définitions

1 .1

Matrices

Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau d'éléments de lK (IR ou C ) comportant n lignes et p colonnes. On note aiJ l'élément d'une matrice A situé sur la ligne i et la colonne j . La matrice A s'écrit :

ou

On dit que A est de format (n,p), ou de type (n, p ), ou de taille (n,p) .

& ..., "'O 0

~ -0

s::

c

::l

0

';;;

:J

0

Il)

.-t

Il) ' Il)

0 N

·;:::

@

:;

.......

Ol

s:: 0 s::

>a.

ïi

u

u

..c ·;:::: 0

Vl

0

ro

Il)

0 0

0

..s:: o.. ro

Attention à ne pas confondre la matrice (aiJ ) et le scalaire aiJ.

L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes, à coefficients dans JK, est noté Mn ,p(lK) . Si p = 1, A est une matrice colonne que l'on peut assimiler à un vecteur de lKn. Si n = 1, A est une matrice ligne. Si n = p , A est une m atrice carrée d'ordre n. Mn ,n(lK) se note Mn(lK) . Les éléments an , . . . ,ann forment la diagonale principale de A. Deux matrices A et B sont égales si elles sont de même format, et si aiJ = biJ pour tout i E {l , ... ,n } et pour toutj E {l , ... ,p}.

.....:l 1

-0 0

s::

::l

0 @

37

Matrices 1.2

Matrices particulières

Soit A

=

(aiJ) une matrice carrée d'ordre n.

•

A est triangulaire supérieure si aiJ

•

A est triangulaire inférieure si ail

•

A est diagonale si aiJ

= 0 pour i =F

On peut alors la noter : A •

= 0 pour i > j . = 0 pour i < j . j.

= diag(a11 , ... ,ann).

A est scalaire si A= a In, avec In = diag(l , ... , 1).

2.

Écritures matricielles

2.1

Matrice d'une application linéaire de E dans F

Soit E et F des espaces vectoriels de dimensions p et n, munis de bases respectives B = (e1, . .. ,ep) et C = (f1, . . . , fn). Soitf une application linéaire de E dans F. Elle est déterminée par la donnée des vecteurs: n

f(e1)

=

LaiJ f i

pour 1 ~ j ~ p ,

i= l

c'est-à-dire par la matrice A = (aiJ) dont les vecteurs colonnes sont les composantes de f (e1 ) dans la base de F qui a été choisie. On dit que A est la matrice de f dans les bases B et C. A dépend donc à la fois de l'application linéaire qu'elle représente et

"'O 0

c

des bases choisies dans les espaces vectoriels de départ et d'arrivée.

:J

0 0 .-t

0 N

@ .......

..c

Si E est de dimension n, dans toute base l'identité de E est représentée par la matrice carrée In.

Ol

·;::::

8>-

2.2

Bijection canonique entre Mn ,p (JK) et .C (JKP ,JKn)

Fixons une base B dans E et une base C dans F. L'application a.

ïi

u

u

..c ·;:::: 0

Calcul de l'inverse

~ -0

c

:J

2.3

0

ro

En notant X

=(

~

1

)

et Y

= (

~

1

) ,

une matrice carrée A d'ordre n est inver-

Yn sible si, et seulement si, le système AX = Y est un système de Cramer (il existe une solution unique). Xn

Il)

0

La résolution de système permet de calculer A - l

:

0

0

..s:: o.. ro .....:l 1

-0 0

s::

::l

0 @

41

Calcul matriciel 3.

Transposition

3.1

Définition

La transposée d'une matrice A de format (n ,p), est la matrice de format (p,n), notée' A, de terme général bij: \li

E

{l , ... , p}

\lj

E

{l , ... ,n}

Elle est donc obtenue à partir de A en échangeant les lignes et les colonnes.

3.2

Propriétés

te A)= A 3.3

t

(A

Matrices symétriques

Une matrice carrée A est symétrique si t A = A.

"'O 0

c

:J

0 0 .-t

0 N

@ .......

..c Ol

·;::::

> a. 0 u

42

+ B) = t A + 'B

Changement de bases 1re année

1.

Changement de bases

1.1

Matrice de passage

Soit B

=

(e 1 , . .. ,ep) et B'

=

(e~ , .. . ,e~)

deux bases d'un espace vectoriel Ede

dimension p. On appelle matrice de passage de la base B à la base B' , la matrice P dont les colonnes c1 sont les coordonnées des vecteurs ej dans la base B. Pest la matrice de l'identité de E muni de B' , dans E muni de B . Si P' est la matrice de passage de B' à B, on a PP'

=

P' P

=

l p.

Toute matrice de passage est donc inversible. Réciproquement, toute matrice inversible peut être considérée comme une matrice de passage.

1.2

..., "'O 0

0

';;; Il) ' Il)

0 N

·;:::

@

:;

.......

Ol

s:: 0 s::

>a.

ïi

u

u

·;:::: 0

ou encore

X ' = p - I X.

Il)

.-t

..c

X = PX'

s::

::l

0

Si X est la matrice colonne des composantes de x dans B , X' la matrice colonne des composantes de x dans B' et P la matrice de passage de B à B' , on a :

~ -0

c

:J

Effet d'un changement de bases sur les coordonnées d'un vecteur

Vl

1.3

Matrices semblables

0

ro

Il)

Soitf une application linéaire de E dans E, B et B' deux bases de E. Notons : - A la matrice de f dans la base B,

0

0

- A' la matrice de f dans la base B' .

.....:l

- P la matrice de passage de B à B' .

0

..s:: o.. ro 1

-0 0

On a alors:

s::

::l

0 @

A'= p- 1 A P.

43

Changement de bases Les matrices A et A' sont dites semblables. Elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes.

2.

Rang d'une matrice

2.1

Définition

Soit A une matrice de format (n ,p) , E un espace vectoriel de dimension p , Fun espace vectoriel de dimension n. Quelles que soient les bases l3 et C choisies dans E et F, le rang de l'application linéaire f associée à A est toujours le même. Ce rang est appelé rang de A. C'est aussi le rang des vecteurs colonnes de A, c'est-à-dire la dimension du sousespace vectoriel qu'ils engendrent. Une matrice carrée d'ordre n est donc inversible si, et seulement si, son rang est égal à n.

2.2

Rang de la transposée

A et t A ont même rang. On peut donc définir le rang de A à partir de ses lignes.

2.3

Calcul du rang

Les opérations élémentaires (cf fiche 7, méthode du pivot de Gauss) sur les lignes, ou les colonnes, d'une matrice ne modifient pas le rang. On les utilise pour se ramener à une matrice de rang connu.

"'O 0

c

:J

0 0 .-t

0 N

@ .......

..c Ol

·;::::

> a. 0 u

44

Réduction des endomorphismes 1re année et

2e année

1.

Éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée

1.1

Cas d'un endomorphisme

Soit E un OC-espace vectoriel et f

E .C ( E).

• Un vecteur non nul x E E est un vecteur propre de f s'il existe À f (x) = Àx. Le scalaire À est la valeur propre associée à x .

E

1K tel que

• Un scalaire À E 1K est une valeur propre de f s'il existe un vecteur non nul x E E tel que f (x) = À x . Le vecteur x est un vecteur propre associé à À. • L'ensemble E>.

1.2

..... ~

"O 0

"O

:J

..... 'fl

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>o. 0

u

c

::i

.X.

c 0 c =

P(xi)Q(xi) .

i=O

::i t'3

= L

0 .....

·cs. 0

1b f n

ï:

>o. 0

f

• Dans E = 1Rn[X] avec xo,x 1 , • ••

'fl

c 0 c

u


-

0. 0

u

58

• Si les valeurs propres de f (ou de A) ne sont pas toutes de même signe, alors q n'est pas de signe constant sur .!Rn.

Suites et réels 1re année

1.

Généralités

1.1

Suite bornée

Une suite (un) est majorée s'il existe un réel A tel que, pour tout n, dit que A est un majorant de la suite.

Un

Une suite (un) est minorée s'il existe un réel B tel que, pour tout n, B dit que B est un minorant de la suite.

~

A. On

~ U n.

On

Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe M tel que, pour tout n, 1un1 ~ M.

1.2

Suite convergente

La suite (un) est convergente vers l si : VE > 0

3 no EN

Vn ) no

lun - li ~ E .

Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente. Lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique. La suppression d'un nombre fini de termes ne modifie pas la nature de la suite, ni sa limite éventuelle.

"O 0

c

Toute suite convergente est bornée. Une suite non bornée ne peut donc pas être convergente.

:J

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>-

1.3

Cas particulier

Si le suites (u 2 n) et (u 2 n+ 1) convergent vers la même limite /, alors la suite (un) converge vers l . Sinon la suite diverge.

0. 0

u

1.4

Limites infinies

On dit que la suite (un) tend

60

vers + oo si :

VA > 0

3 no

vers - oo s1:

VA > 0

3 no EN Vn ) no

E

N Vn ) no

Un ) Un

A

~ - A.

Suites et réels 1.5

Limites connues

Pour k > 1 , a > 0, (3 FI lim n--++oo n !

E

IR

=0

nf3

lim -

n--++oo kn

3.

Ordre dans ffi.

3.1

Majoration, minoration

=0

lim

(ln n)f3

n--+ +oo

n°'

= 0.

• Définitions Soit A une partie de IR. On dit que a est un majorant de A si x :::;; a pour tout x de A . Si, en plus, a

E

A, alors a est le plus grand élément de A , noté max A.

Si A admet un majorant, on dit que A est majorée. On définit de même : minorant, plus petit élément, partie minorée.

• Unicité Si une partie non vide de IR admet un plus grand élément, ou un plus petit élément, il est unique. Mais il peut ne pas exister.

3.2

Borne supérieure, inférieure

• Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. ..... ~

"O 0

"O

:J

..... 'fl

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>o. 0

u

La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A.

c

::i

-

0. 0

u

62

Étude des suites 1re année

1.

Opérations sur les suites

1.1

Opérations algébriques

Si (un) et ( Vn) convergent vers l et l' , alors les suites (un convergent respectivement vers l + l' , À l et l l' .

+ Vn), (À un) et (un Vn)

Si l' -=F 0, ( -Un ) converge vers -,l · Vn l Si (un) tend vers 0 et si (vn) est bornée, alors la suite (un Vn) tend vers O.

1.2

Théorème de passage à la limite

Si (un) et (vn) sont des suites convergentes telles que l'on ait Un :'S; Vn n ? no, alors on a :

pour

lim Un :'S; lim Vn .

n --+ +oo

& 1.3

n--+ +oo

Attention, pas de théorème analogue pour les inégalités strictes.

Théorème d'encadrement

Si, à partir d'un certain rang, Un :'S; Xn :'S; Vn et si (un) et (vn) convergent vers la même limite l, alors la suite (xn) est convergente vers l . ..... ~

2.

Suites monotones

0 , l'équation (E) a deux racines réelles distinctes r 1 et r 2 .

Toute suite vérifiant ( 1) est alors du type :

•

..... ~

"O 0

"O

:J

..... 'fl

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>-

o. 0

u

b

Si~=

0 , l'équation (E) a une racine double r 0 = - - · 2a Toute suite vérifiant (1) est alors du type :

c

::i

Un = (K i+ K2n)rg .

0

If (x)

Vx E /n]xo - a,xo +a[

-

li

~ E.

Si une fonction admet une limite l en x 0 , cette limite est unique.

Limite à gauche, limite à droite

1.2

• f admet une limite à droite l en x 0 si la restriction def à In]x0 ,+oo[ admet pour

limite l en xo. On note:

f

lim

(x)

= l.

x-+x+ 0

•f admet une limite à gauche l en xo si la restriction de f à In] - oo,xo[ admet pour limite l en xo. On note: lim f (x) = l. x-+x

0

• Si f est définie sur un intervalle de la forme ]xo - a,xo +a[, sauf en xo , alors : lim f (x) = l {:::::::} X-+Xo

lim f (x) = lim f (x) = l. X-+X-

x-+x+

0

0

Sif est définie en xo , ces deux limites doivent aussi être égales àf (xo).

"O 0

c

:J

1.3

0

Continuité en un point

0

..--t

• f est continue en xo si elle est définie en xo et si lim f (x)

0 N

x-+xo

@ .......

.!: Ol

0. 0

u

x-+x + 0

lim

f

(x)

=f

(xo) ).

0 • Prolongement par continuité

X-+X

Soitfune fonction définie sur l \ {xo}. Si lim

-

l par f (xo)

72

f (xo) .

• f est continue à droite (resp. à gauche) en xo si lim f (x) = f (xo) (resp .

·;::::

>-

=

=l

-

etf (x)

X-+Xo

=

f

(x)

= l, la fonction!

définie sur

f (x) pour x E l \ {xo}, est la seule fonction continue

Limites et continuité en xo dont la restriction à I \ {xo} soitf. On l'appelle le prolongement par continuité de f en xo .

1.4

Limite infinie en x 0

• On dit que f tend vers + oo quand x tend vers x 0 si : VA > 0

On note: lim

f

3a > 0

(x) =

'v'x

E

/ n ]xo - a,xo + a [

f(x)

~ A .

+oo.

X-+Xo

• On dit que f tend vers - oo quand x tend vers x 0 si : VA > 0

On note : lim

f

3a > 0 (x) =

'v'x

E

I n ]xo - a ,xo + a [

f(x)

~ -A .

- oo.

X -+Xo

1.5

Limite de/lorsque x tend vers +oo ou -oo

•On dit que fa pour limite l quand x tend vers +oo si : 'v'E > O 3B > O 'v'x

On note: lim

x-+ +oo

f

(x)

E

I n ]B,+ oo[

f

1

(x) - l I ~ E .

= l.

On définit de manière analogue lim

x-+ - oo

f

(x)

=l.

• On dit que f tend vers + oo quand x tend vers + oo si : 'v'A > 0

On note : lim

x-++oo

..... ~

"O 0

"O

:J

::i

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

c

-

1.2

Propriétés des fonctions équivalentes

0. 0

u

.

!1

g1

S1f1 ,....., g1 etf2 ""g2 , alorsf1 !2 ,. . ., g1g2 et - ,....., - · xo xo xo f 2 xo g2 Sif ,. . ., g et si lim g (x) ~

76

X -+ ~

= l, alors

lim X -+ ~

f (x) = l.

xo

Comparaisons locales Des deux théorèmes précédents, il résulte que, lorsque l'on a à chercher la limite d'un produit ou d'un quotient, on peut remplacer chacune des fonctions par une fonction équivalente, choisie pour simplifier le calcul. Mais attention à ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dans une fonction composée.

1.3

Équivalents classiques ex -

x2

1 ""X

sm x ""x

0

ln (1

1-

COS X "" -

0

+ X) ""0 X

(1

tanx ""x 0

+ x) a -

0

2

1 ""ŒX. 0

2.

Comparaison des fonctions exponentielles, puissances et logarithmes

2.1

Comparaison des fonctions logarithmes et puissances

Pour /3 > 0 et a quelconque, on a : lim

x-++oo

(ln x)a x f3

lim x f3 1ln x la = 0.

=0

x-+O+

ce qui peut se noter :

..... ~

"O 0

"O

:J

..... 'fl

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

c

::i

xa

lim -

ï:

x-++oo e f3x

0 .....

=O.

::i t'3

>o.

·cs. 0

0

Pour /3 > 0 et a quelconque, on a :

'fl

c 0 c

u

Comparaison des fonctions puissances et exponentielles

-

0. 0

u

80

Fonctions dérivables 1re année

1.

Définitions

1.1

Dérivée en un point

Soit f une fonction définie sur D et xo un élément de D tel que f soit définie au voisinage de xo. On appe.lle dérivée de f au point xo le nombre (lorsqu'il existe) :

f

lim

(x) X -

X-Ho

f

(xo)

=

Xo

lim

f

h--+ 0

(xo

+ h) - f (xo) = ! ' (xo). h

On dit alors que f est dérivable en xo.

f

1· S1. .1m x--+xt

(x) X -

f

(xo) existe, · f est d'1te d/enva · bl e a' d rmte · en x , et cette 1.1m1te · est 0

Xo

appelée dérivée à droite de f en x 0 , et notée f ~ (x0 ). On définit de même la dérivée à gauche en xo, notée f~ (xo).

f

est dérivable en x 0 si, et seulement si, f admet en x 0 une dérivée à droite et une dérivée à gauche égales.

1.2

f ..... ~

"O 0

"O

:J

..... 'fl

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>o. 0

u

c

::i

-

0. 0

u

En particulier, si

1.5

Il l ~

M, alors

If (b)

-

f (a)I

~

M(b - a) .

Limite de la dérivée

Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a ,b[, et si f ' a une limite finie l en a, alors f est dérivable à droite en a et f~ (a)

84

= l.

Étude globale des fonctions dérivables Attention, il s'agit d'une condition suffisante de dérivabilité, mais elle n'est pas nécessaire. Il peut arriver que f~(a) existe sans que f' ait une limite en a.

2.

Variations d'une fonction dérivable

2.1

Théorème

f est constante sur I si, et seulement si, pour tout x E D, f ' (x) = O. f est croissante sur I si, et seulement si, pour tout x E D, f ' (x) ~ 0. Si, pour tout x E / , f ' (x) > 0 alors f est strictement croissante sur l. Ce dernier résultat est encore valable sif' s'annule en des point isolés, c'est-à-dire tels que leur ensemble ne contienne pas d'intervalle.

2.2

Condition suffisante d'extremum local

f , f ' et f " étant continues sur ]a,b[ , si en xo E]a ,b[ , on a f ' (xo)

! " (xo)

-=f=.

=0

et

0 , la fonction f présente un extremum local en xo.

C'est un maximum si f " (xo) < 0, un minimum si f " (xo) > 0.

3.

Convexité

3.1

Partie convexe, fonction convexe

Une partie du plan est dite convexe si, dès qu'elle contient deux points A et B , elle contient tout le segment [AB]. ..... ~

"O 0

"O

:J

..... 'fl

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>-

o. 0

u

c

::i

o.

·cs. 0

0

lb

"'

o. 0

u

f(n+l) (t) dt est le reste intégral d'ordre n.

Égalité de Taylor-Lagrange

Soit f une fonction de classe en+ 1 sur I, x 0 et x des points de I. Il existe un réel c compris entre x et xo tel que :

c

::i

"'-

0. 0

u

96

E

n!

définie au

Développements limités 1re année

1.

Généralités

1.1

Définition

Soit f une fonction définie au voisinage de O. On dit que f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, s'il existe une fonction polynôme Pn de degré inférieur ou égal à n, et une fonction E , définies au voisinage de xo telles que: avec

lim E(x)

x __.,. O

= 0.

Pn (x) est la partie régulière et xn E(x) le reste. Ce reste se note ]e plus souvent o(xn) .

Dans ce cas, on a des fonctions équivalentes : Si on se trouve au voisinage de xo , en posant x jours se ramener au voisinage de t = 0.

1.2

= xo + t

on peut tou-

Propriétés des développements limités

• Troncature Si f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0 dont la partie n

..... ~

"O 0

"O

:J

::i

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>o. 0

u

régulière est Pn(x)

=

k=O

c

.....

"'o. 0

u

c

::i

"'

-

0. 0

u

f

(t) dt converge et

a

si lim

x--++oo

~

102

l

+oo

f

(x) existe, cette limite est nécessairement nulle.

Si

f n'a pas de limite, on ne peut rien dire de l'intégrale.

Intégration sur un intervalle quelconque 2.2

Comparaison de fonctions positives

Soitf et g continues et telles que 0

~

f

~

g sur [a,+oo[.

+00g(t) dt converge, alors 1+00f (t) dt converge aussi . 1 +00f (t) dt diverge, alors 1+00g(t) dt diverge aussi. Si 1 Si

a

a

a

2.3

a

Équivalence de fonctions positives

Soit f et g deux fonctions continues et positives. Si f (x) "' g(x) , alors les intégrales +oo

1

+00f (t) dt et 1+00g(t) dt sont de même

a

nature. Si f (x) ; g(x), alors les intégrales

1h

a

f (t) dt et

lb

g(t) dt sont de même

nature, c'est-à-dire qu'elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. Il est important que f et g soient de signe constant au voisinage du problème étudié, sinon les fonctions peuvent être équivalentes et leurs intégrales de nature différente.

2.4 ..... "O

:J

.....

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>o. 0

u

Pour a > 0, on a :

c

::i

"'

0) sont convergentes.

-

0. 0

u

104

(x) dx sont de même nature.

0

4.

La fonction

f

E

N:

f (n)

f(x

=

+ 1) =xf(x )

(n - 1) !.

Fonctions de plusieurs variables réelles 1re année et 2e année

1.

Éléments de topologie de ffi.11

1.1

Produit scalaire et norme

• Le produit scalaire usuel de deux vecteurs X (x1 , ... ,xrJ et Y (y1, . . . , Yn) de :!Rn est le réel : n

< X,Y >= L

xiYi ·

i= l

• La norme euclidienne associée à ce produit scalaire est :

J< X , X

llXll =

> .

• La distance euclidienne entre X et Y est : d(X,Y)

= llX - Yll.

• Inégalité de Cauchy-Schwarz :

1< X ,Y 1.2 ..... ~

"O 0

"O

:J

.....

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>o. 0

u

>

1~ llX ll llY ll .

Droites et segments

• La droite passant par A et de vecteur directeur U =F 0 est l'ensemble des points:

c

X

::i

= A + tU

avec t

E

1R

"'

-

u

f(A

110

+ H)

= f(A)+ < V fA +eH, H >= f(A)

n

af

i=l

axi

+ Lhi -

(A

+ BH).

Calcul différentiel

2.

Calcul différentiel d'ordre 2

2.1

Définition

Si les fonctions dérivées partielles admettent elles-mêmes des dérivées partielles en A, ces dérivées sont appelées dérivées partielles secondes, ou dérivées partielles d'ordre 2, de f en A. On les note : 2

a f (A) 2

ax./,

2.2

a ( -af) (A)

= axi

axi

Hessienne

Si toutes les dérivées partielles d'ordre 2 de f en A existent, on appelle hessienne def en A , et on note \7 2 f (A) ou \7 2 fA, la matrice de Mn OR) dont le terme situé

sur la ligne i et la colonne j est :

2.3

a2 f axi axj

(A) .

Fonction de classe C2

•Si toutes les dérivées partielles d'ordre 2 sont continues sur Q, on dit que f est de classe C2 sur

Q.

• Théorème de Schwarz

Si f est de classe C2 sur Q , les dérivées secondes ne dépendent pas de l'ordre des dérivations soit : Vi

Vj

..... ~

"O 0

"O

:J

.....

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

c

::i

"'

0 et une valeur propre < 0 , le point A est un point-selle. - Si 0 est valeur propre et que les autres valeurs propres sont toutes de même signe, on ne peut pas conclure à partir des dérivées secondes.

• Cas particulier n

=2

Soit f une fonction de classe C2 sur un ouvert Q tique ; posons :

"O 0

c

:J

0 0

..--t

0 N

@ .......

c

~ 2 et (xo ,y0 ) un point cri-

On a alors : - si 5 2 - RT < O, f présente un extremum local en (x 0 ,y0 ) mum si R < 0 et d'un minimum si R > 0; - si 5 2

-

;

il s'agit d'un maxi-

RT > O,f présente un point-selle en (x0 ,yo).

.!: Ol

·;::::

Le mot col vient de l'exemple de la fonction altitude et de la configuration (idéalisée) d'un col de montagne : minimum de la ligne de crête, maximum de la route, sans être un extremum du paysage. Le mot selle vient de l'exemple d'une selle de cheval.

>-

0. 0

u

- si 5 2

114

-

RT

= 0 , on ne peut pas conclure à partir des dérivées secondes.

Extremums

2.

Extremum sous contraintes d'égalités linéaires

2.1

Position du problème

Soitfune fonction définie sur un ouvert Q de ffi.n. On cherche sif admet des extremums quand on impose aux variables Xi de vérifier p égalités du type :

On va se limiter au cas où les gk sont des fonctions linéaires. On désigne par C l'ensemble des vecteurs X qui vérifient les contraintes, c'est-àdire l'ensemble des solutions du système linéaire :

On désigne par 1i l'ensemble des vecteurs X qui sont solutions du système homogène associé. Rechercher un extremum de f sous la contrainte C, c'est rechercher un extremum de la restriction de f à Q n C. On suppose que le problème est possible, c'est-à-dire que Q n C -=/=

2.2

0 .

Condition nécessaire du premier ordre

• Théorème Si f est de classe C 1 sur Q, et si la restriction de f à C admet un extremum local en un point A , alors son gradient en A est orthogonal à 1i . ..... ~

"O 0

"O

:J

.....

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>o. 0

u

c

::i

"'

-

0. 0

u

N'inventez pas de formule du type P(B /A)+ P(B /A) =??

1.3

Formule des probabilités composées

C'est la généralisation de P(A n B)

124

=

P(A) x P(B /A).

Conditionnement et indépendance

n ... n An)

Si P(A1

-=!= 0, on a:

= P(A1) x P(A2/ A1) x P(A,/A 1 n A 2) x ...

P(ÔA;)

x P(A n/ A1

1.4 Soit

n A2 n . .. n An- 1).

Formule des probabilités totales (Ai) iE I

un système complet d'événements de probabilités toutes non nulles.

Pour tout événement B, on a: iE I

i El

1.5

Formule de Bayes

Soit (Ai)i E/ un système complet d'événements de probabilités toutes non nulles et Bun événement tel que P(B)-=!= O. Pour j

E

I on a :

Les Ai sont des hypothèses pour l'événement B . La formule de Bayes donne les probabilités des hypothèses après réalisation de B. Son utilisation peut être facilitée par des représentations graphiques, comme un arbre . ..... ~

"O 0

"O

:J

::i

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>o. 0

u

c

..... 'fl o. 0

u

c

::i

0, notée P(.\), si l'univers-image est N et si : Àk

\fk

E

N

P(X

= k) = e--\ _. k!

• Espérance et variance E(X) =À

V(X)

= .\.

•Stabilité Si X suit la loi P(.\ 1 ) et Y la loi P(.\ 2 ), et si X et Y sont indépendantes, alors X+ Y suit P(.\1 + .\2).

"O 0

c

:J

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>-

0. 0

u

140

Variables aléatoires à densité 2e année

1.

Généralités

1.1

Tribu des boréliens

Quand l'univers-image Q 1 = X (Q) d'une variable aléatoire X n'est pas dénombrable, on retient pour tribu T des événements (ceux dont on peut définir la probabilité), la tribu engendrée par les intervalles. On l'appelle la tribu des boréliens.

1.2

Fonction de répartition

Connaître la loi de X c'est donc connaître les probabilités du type P(a ~ X ~ b), ce qui revient à connaître la fonction de répartition : 'Vx E IR

F(x)

=

P(X ~ x).

Une fonction de répartition est croissante, continue à droite en tout point et vérifie : lim F(x)

x -+-oo

1.3

=0

lim F(x)

x-++oo

= 1.

Indépendance

• Indépendance de deux variables X et Y sont indépendantes si, et seulement si : V (x ' y )

E

IR2

p [ (X ~ X)

n (y

~ y )]

=

p (X ~ X)

X

p (y ~ y)

..... ~

"O 0

"O

:J

::i

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>o. 0

u

• Indépendance mutuelle

c

..... 'fl

Des variables aléatoires X 1, .•. , X n sont dites mutuellement indépendantes si :

0

...."'

•QI

si t

:::;;

0

··-.cta .c 0

li.

Q.

147

Lois usuelles à densité 3.2

Espérance et variance E(X)

3.3

V(X)

=V

=V

Stabilité pour la somme

Soit X 1 , ... , X n des variables aléatoires indépendantes telles que pour tout i , Xi suit la loi r Cvi). Alors Y= X1

+ · ·· + Xn

4.

Loi Gamma

4.1

Densité

suit la loi r (vi

+ · ·· + vn).

X suit la loi Gamma (lire : grand gamma) de paramètres b > 0 et v > 0 , notée f(b,v), si elle admet pour densité de probabilité la fonctionfdéfinie par:

{ 4.2

f

(t) =

f

(t)

1 f (v)bV

t v- ie- i

=0

si t > 0 si t

(

0

Espérance et variance E(X) = bv

4.3

Théorème

X suit la loi r (v) si, et seulement si, Y= bX suit la loi f(b,v). "O 0

c

:J

0

4.4

Stabilité pour la somme

• Cas général

0

..--t

0 N

@

Soit Xi, ... , Xn des variables aléatoires indépendantes telles que pour tout i , Xi suit la loi f(b ,vi ).

.......

.!: Ol

·;::::

>-

0. 0

u

Alors Y = X1

+ · ·· + Xn

suit la loi f (b,v1 + · · · + Vn).

• Cas particulier des lois exponentielles 1 La loi exponentielle E(À) est la loi f (À, 1). Donc, si les variables X1, ... ,Xn sont indépendantes Y = X1

148

et

+ · · · + Xn

suivent

la 1

même

suit la loi f(À ,n).

loi

exponentielle

E(À),

alors

Lois usuelles à densité

S.

Loi normale, ou loi de Gauss, ou loi de Laplace-Gauss

5.1

Densité

X suit la loi de Gauss de paramètresµ et a , notée N (µ ,a) si elle admet pour den-

sité de probabilité la fonction f définie par : Vt

E

lR

f

(t )

=

1

~

av27r

(

exp -

(t - µ)

2a

2 )

.

2

Les notations normalisées utilisent des lettres grecques pour les valeurs théoriques et des lettres latines pour les valeurs observées. C'est pourquoi il est préférable de mettre ici µ et non m . D'autre part, µ et a s'expriment dans la même unité. C'est pourquoi il est préférable de noter N(µ ,a) plutôt que N(µ ,a 2 ) . Mais vous saurez bien vous adapter !

5.2

Espérance et variance E(X)

5.3

=µ

V(X)

= a2 .

Loi normale centrée réduite

=

X - µ suit la loi N (0, 1). a Tout problème relatif à X se ramène à U et on dispose de plusieurs tables concernant U .

La variable centrée réduite U

..... ~

"O 0

"O

:J

..... 'fl

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

c

::i

0

• Inégalité de Bienaymé-Tchebychef

Si X est une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2, alors : Vr:; >

0

La majoration fournie par ces inégalités est assez médiocre. Mais c'est une étape préliminaire pour démontrer des résultats plus importants.

1.2 ..... ~

"O 0

"O

::J

.....

c

0 0

c::

-

0. 0

u

3.

Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

En notant q = 1 - p, lorsque n ~ 30, np ~ 5, nq ~ 5 , on peut remplacer la loi binomiale B(n ,p) par la loi normale de même espérance et de même écart type, soit N (np , ,,jilji(i) .

154

Approximations Attention, on approxime ici une loi discrète (information : probabilités des points) par une loi à densité (information : probabilités des intervalles). Dans ce cas, il est préférable d'utiliser la correction de continuité.

Correction de continuité Si k 1 et k2 sont deux entiers compris entre 0 et n, les intervalles ]k 1 ,k2 [ et [k1,k2] n'ont pas la même probabilité pour la loi binomiale, alors qu'ils ont la même probabilité pour la loi normale. On peut corriger cette différence en décalant les bornes entières de 0,5, c'est-àdire en remplaçant ]k1 ,k2[ par [k 1 + 0,5,k2 - 0,5] et [k1 ,k2] par [k1 - 0,5,k2 + 0,5]. De la même façon, on peut estimer la probabilité P (X = k) relative à la loi binomiale par P(k - 0,5 ( X ( k + 0,5) calculée avec la loi normale.

4.

Approximation d'une loi de Poisson par une loi normale

Lorsque À ): 15 , on peut remplacer la loi de Poisson P(À) par la loi normale de même espérance et de même écart type, soit N(,\,,J>..). Là encore on remplace une loi discrète par une loi à densité. La correction de continuité est donc conseillée.

..... ~

"O 0

"O

:J

.....

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

c

::i

"'

0. 0

u

Statistique à une dimension 1re année

1.

Généralités

1.1

Vocabulaire général

La statistique étudie des ensembles appelés populations, dont les éléments sont appelés individus. Dans le cas d'une série statistique à une variable, à chaque individu on associe une éventualité d'un caractère statistique. Si les éventualités ne sont pas des nombres (couleurs, opinions), le caractère est dit qualitatif et les éventualités s'appellent les modalités du caractère. Si les éventualités sont des nombres, le caractère est dit quantitatif et les éventualités sont les valeurs du caractère. Un caractère quantitatif est dit continu s'il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (tailles, durées). Il est discontinu, ou discret, s'il ne peut prendre que des valeurs isolées (nombre de pièces d'un logement).

1.2

"O 0

c

:J

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

Série statistique

Dans le cas d'un caractère qualitatif ou quantitatif discret, on dispose d'une série statistique quand on connaît pour chaque individu la modalité, ou la valeur, prise par le caractère. L'effectif d'une modalité, ou d'une valeur, est le nombre de fois où elle apparaît dans la population. Quand le caractère quantitatif est continu, ou discret avec beaucoup de valeurs, on considère des intervalles, en général du type ]a ,b], que l'on appelle des classes statistiques. La longueur b - a de l'intervalle est l'amplitude de la classe. Sa densité est le quotient de l'effectif par l'amplitude .

·;::::

>-

0. 0

u

1.3

Effectifs, fréquences

Pour une valeur (ou une modalité) d'un caractère, ou pour une classe statistique, la fréquence est le quotient de l'effectif concerné ni par l'effectif total n : f i La somme des fréquences est donc égale à 1.

158

n 1·

=-

n

·

•

Statistique à une dimension Si on veut obtenir la répartition en pourcentages, il suffit de multiplier les fréquences par 100.

1.4

Effectifs cumulés, fréquences cumulées

Lorsque le caractère est quantitatif, on range les valeurs (ou les classes) par ordre croissant. L'effectif cumulé jusqu'à k est la somme des effectifs associés aux valeurs du caractère qui sont inférieures ou égales à k. La fréquence cumulée jusqu'à k s'obtient en additionnant les fréquences associées aux valeurs ~ k, ou en divisant l'effectif cumulé par l'effectif total.

2.

Représentations graphiques

2.1

Cas d'un caractère qualitatif ou quantitatif discret

Si on veut insister sur la comparaison des effectifs, on trace un diagramme à bandes, ou un diagramme en bâtons. Les longueurs doivent être proportionnelles aux effectifs. Si on préfère mettre en évidence les pourcentages pour comparer visuellement les structures de plusieurs séries statistiques (c'est-à-dire les répartitions en pourcentages), on représente les données à l'aide : •de graphiques circulaires (parfois appelés camemberts), où les angles au centre du disque, ou du demj-disque, sont proportionnels aux pourcentages ; • ou de bandes subdivisées de longueur fixe.

2.2 ..... ~

"O 0

"O

:J

..... 'fl

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

c

::i

-

o. 0

u

c

::i

o. 0

u

c

'fl

t;;L.;;.c;. ... ,~rr :-ra. ... i;;~u.~rra. ... i;;~r~lra.~i;;~u.-r~;

c::

-

0. 0

u

176

Les constantes sont des variables numériques de type (INTEGER ou REAL) et leur valeur n'est pas modifiable lors de l'exécution du programme : elles sont déclarées séparément. Elles permettent de rendre un programme modulahle « simp]ement » (cf page 196).

Environnement PASCAL 2.2

Le type d'une variable

11 y a quatre types à connaître :

Type

Description

Bornes

REAL

Nombre réel

INTEGER

Entier

nul ou de valeur absolue entre 2 9 10- 39 et 1 7 1038 ' ' 31 31 entre -2 et 2 - 1*

BOOLEAN

Booléen (test logique)

TRUE

ARRAY

Tableau

et

FALSE

* Actuellement les compilateurs courants travaillent avec 32 bits (dont un bit pour le signe). Prochainement ils travaillerons en 64 bits. 2 31 = 2147483648.

Faire attention à la taille des entiers ! En particulier, dans la manipulation des factorielles, il est plus prudent de déclarer le nombre en REAL car le dépassement des bornes engendre des erreurs de calcul. (cf prog06 page 185).

2.3

L'affectation

La commande nb: =PI; permet d'affecter à la variable de nom nb la quantité égale au membre de droite : la valeur de nb devient le nombre 7r . Cette commande ne pourra fonctionner que si le type est compatible. Ici, la variable doit être déclarée comme REAL. Certaines affectations nécessitent que la variable soit initialisée : x: =x+ 1; augmente de 1 la valeur contenue dans la variable x x:=x*x; la valeur finale de x est le carré de la valeur initiale

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u

c

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-

0. 0

u

182

END;

Structures de base Trois exemples classiques : 21

·s=Lv'm

1 •P=fr(t- ) k=l

m=7

PROGRAM prog03_S; VAR s:REAL; m:INTEGER; BEGIN s:=O; FOR m:=7 TO 21 DO s:=s+SQRT(m); WRITELN('S= ',s:O:S); READLN; END.

l=l

12 + k

PROGRAM prog04_P; VAR p,s:REAL; k,l:INTEGER; BEGIN p:=l; FOR k:=l TO 20 DO BEGIN s:=O; FOR 1:=1 TO k DO s:=s+l/(l*l+k); p:=p*s; END; WRITELN ( ' P= ' , p: 0 : 6 ) ; READLN; END.

• Calcul des termes de rang n d'un système récurrent : Soit les trois suites (xn)n EN, (yn) nEN et (Zn)nEN définies par leurs premiers termes xo , Yo et zo et par:

Xn+l 'V n E N, Yn+l { Zn+l

2xn - Yn 2yn - Xn 2zn - Yn + Xn

Les variables x, y et z contiennent successivement les termes des suites respectives. Les variables auxiliaires u, v et w permettent d'effectuer les calculs intermédiaires avant d'affecter à x, y et z la valeur des prochains termes.

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c

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0. 0

u

PROGRAM progOS_NiemeTerme; VAR x,y,z,u,v,w:REAL; n,k:INTEGER; BEGIN WRITELN( 'Donner XO, YO,ZO et n'); READLN(x,y,z,n); IF n=O THEN WRITELN('Au rang 0 les termes sont ',x:0:2,y:10:2,z:10:2) ELSE BEGIN FOR k:=l TO n DO BEGIN u:=2*x-y;v:=2*y-x;w:=2*z-y+x; x:=u;y:=v;z:=w; END; WRITELN( 'Au rang ',n,' les ternes sont ',x:0:2,y:10:2,z:10:2); END; READLN; END.

Cii ::::J

·-E .c ·-....""'0 -cen(

C"'

183

Structures de base Il existe une autre structure similaire : FOR i: =n OOWNTO m DO ••• La répétition se fait pour toutes les valeurs de i variant den à m par décrément de -1 . Sin < m alors rien ne se passe. (cf la méthode de Homer page 196).

3.2

Boucles WHILE'

REPEAT

•••

Tant qu'une expression booléenne reste vraie, on répète la boucle d'instructions.

WHILE . . . DO ...

On répète la boucle d'instructions jusqu'à ce qu'une expression booléenne devienne vraie.

REPEAT UNTIL ...

•Ces deux structures sont interchangeables en remarquant que la condition de réalisation de l'une est la négation de celle de l'autre. • Une boucle FOR ••• peut être remplacée par une telle structure : FOR i:=l TO n DO ...

i:=O; WHILE i -

0. 0

u

Un

+ Vn 2

,

/

. .

a une prec1s1on de

1

Un -

2

Vn

1

près.

PROGRAM prog07_Dichotomie; VAR p,a,b,c:REAL; n:INTEGER; BEGIN WRITE( 'Entrez la precision lOA-n n= ' ) ; READLN(n); p:=EXP(-n*LN(lO)); a:=3;b:=4; REPEAT c:=(a+b)/2; IF COS(a/2)*COS(c/2) >0 THEN a:=c ELSE b:=c ; UNTIL ABS(b-a)/2 -

Principes à respecter :

u

• Un cas simple est traité directement, souvent sous la forme d'une initialisation (ou condition d'arrêt)

0. 0

•Une des instructions appelle la structure elle-même. • Les paramètres d'entrée sont tous de même forme et leur complexité tend à se réduire pour se ramener au cas simple.

188

Fonctions et procédures 3.2

Exemple d'une fonction récursive

La fonction suivante retourne ]a tangente d'un nombre : 7r

7r

Pour x E] - - · -[ on a : 2' 2

tan(x)

=

2

tan(~)

1 - tan 2

(~)

Pour la condition d'arrêt on prend : si lxl < 10- 5 alors tan(x) ~ x L'utilisation de la variable auxiliaire aux permet de linéariser le nombre d'appels récursifs et donc améliore l'efficacité du programme (cf notion de complexité page 190). PROGRAM prog08_ tan; VAR x:REAL; FONCTION t(y:REAL):REAL; VAR aux:REAL; BEGIN IF ABS(y) -

0. 0

u

194

FUNCTION geometrique(p:REAL):INTEGER; VAR rang :INTEGER; BEGIN rang:=O; REPEAT rang:=rang+l; UNTIL RANDOM-

0. 0

u

198

PROGRAM prog16_TriRecursif; CONST n=12;m=20; TYPE liste=ARRAY[l .. n] OF INTEGER; VAR L:liste; PROCEDURE Gene(VAR T:liste); VAR k:INTEGER; BEGIN FOR k:=l ton DO T[k]:=RANDOM(m)+l; END; PROCEDURE Echange(i,j : INTEGER;VAR T:liste); VAR aux:INTEGER; BEGIN aux:=T[i]; T [ i ] : =T [ j ] ; T( j]: =aux; END ;

Savoir-faire : probabilité et tableaux PROCEDURE Duplique(T:liste;VAR C: liste); VAR k : INTEGER; BEGIN FOR k : =l TO n DO C[k] : =T[k]; END; PROCEDURE Affiche(T : liste); VAR k : INTEGER; BEGIN WRITELN; FOR k : =l TO n DO WRITE(T[k] : 3); WRITELN; END;

"O 0

c

:J

0 0

..--t

0 N

@ .......

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·;::::

>-

0. 0

u

PROCEDURE Tri(i,j:INTEGER;VAR T:liste); VAR k,pivot,ii,jj:INTEGER; C:liste; BEGIN IF j-iT[j]) THEN Echange(i,j,T); END ELSE BEGIN pivot:=T[i]; Duplique (T, C); ii: =i-l;jj: =j+l; FOR k:=i+l TO j DO BEGIN IF C[k] >=pivot THEN {répartition des é l éts supérieurs au pivot à sa droite} BEGIN jj:=jj-1; T [ j j ] : =C [ k ] ; END {répartition des éléts inférieurs au pivot à sa gauche} ELSE BEGIN ii:=ii+l; T[ii] :=C[k]; END; END; T[ii+l]:=pivot; Tri(i,ii,T); Tri ( j j , j , T ) ; END; END; Cii

BEGIN RANDOMIZE; Gene (L); Affiche(L); Tri(l,n,L); Affiche(L); READLN; END.

::::J

·-E .c ·-....""'0 -cen(

C"

199

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c

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r-t

0 N

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Ol

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>0. 0

u

Annexes Table 1 Fonction de répartition de la loi normale réduite Si U suit la loi normale réduite, pour x ~ 0, la table donne la valeur :

0

(x) = P(U :::;;; x).

X

La valeur x s'obtient par addition des nombres inscrits en marge. Pour x < 0, on a : (x) = 1 - (-x) .

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0

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u

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X

0.00

0,01

0.02

0,03

0,04

0.05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 0, 1 0,2 0,3 0,4

0,500 0 0,539 8 0,579 3 0,617 9 0,6554

0.5040 0,5438 0.583 2 0.621 7 0,6591

0,508 0 0,547 8 0,5871 0,625 5 0,662 8

0,512 0 0,551 7 0,591 0 0,629 3 0,6664

0,516 0 0,555 7 0.5948 0.6331 0,670 0

0,519 9 0,559 6 0.598 7 0.636 8 0,673 6

0,523 9 0,563 6 0,602 6 0,640 6 0,677 2

0.527 9 0,567 5 0,6064 0.6443 0,680 8

0.531 9 0,5714 0,610 3 0,648 0 0,6844

0.535 9 0,575 3 0.6141 0,651 7 0,687 9

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0,691 5 0.725 7 0.758 0 0.7881 0.815 9

0.695 0 0.7291 0.7611 0.791 0 0,818 6

0,698 5 0,701 9 0.732 4 0,735 7 0.764 2 0.767 3 0.793 9 0,796 7 0,821 2 0,823 8

0.705 4 0.738 9 0.7704 0.799 5 0.826 4

0.708 8 0.742 2 0.7734 0,802 3 0.828 9

0.712 3 0.745 4 0,7764 0.8051 0,831 5

0,715 7 0.748 6 0,7794 0,807 8 0,834 0

0,719 0 0.751 7 0,782 3 0,810 6 0,836 5

0,7224 0.754 9 0.785 2 0,813 3 0.838 9

1.0 1.1 1.2 1.3 1,4

0,841 3 0.8643 0.8849 0.903 2 0.919 2

0,843 8 0,866 5 0.886 9 0,9049 0.920 7

0,8461 0,848 5 0,868 6 0,870 8 0,888 8 0,890 7 0,906 6 0,908 2 0.922 2 0.923 6

0.850 8 0,872 9 0.892 5 0.909 9 0.9251

0.8531 0,8749 0.8944 0.911 5 0.926 5

0,855 4 0,877 0 0,896 2 0,9131 0,927 9

0,857 7 0.879 0 0,898 0 0,914 7 0.929 2

0,859 9 0.8621 0.881 0 0,883 0 0,899 7 0,901 5 0,916 2 0.917 7 0,930 6 0.931 9

1.5 1,6 1.7 1.8 1,9

0,933 2 0.945 2 0,955 4 0.9641 0,971 3

0.934 5 0,946 3 0.9564 0,9649 0,971 9

0.935 7 0,947 4 0.957 3 0,965 6 0.972 6

0,937 0 0,9484 0,958 2 0.9664 0,973 2

0,938 2 0,949 5 0,9591 0.9671 0,973 8

0,9394 0.950 5 0,959 9 0.967 8 0,9744

0,940 6 0,951 5 0.960 8 0,968 6 0,975 0

0.941 8 0,952 5 0,961 6 0,969 3 0,975 6

0,942 9 0,953 5 0,962 5 0,969 9 0.9761

0,9441 0,954 5 0.963 3 0,970 6 0,976 7

2.0 2, 1 2.2 2,3 2.4

0,977 2 0,9821 0,9861 0,989 3 0,991 8

0,977 8 0,982 6 0,986 4 0,989 6 0,992 0

0,978 3 0,983 0 0,986 8 0,989 8 0,992 2

0,978 8 0,9834 0,9871 0.9901 0,992 5

0.979 3 0,983 8 0,987 5 0,990 4 0,992 7

0,979 8 0.984 2 0.987 8 0,990 6 0,992 9

0,980 3 0,984 6 0,9881 0,990 9 0,9931

0,980 8 0,985 0 0,9884 0,9911 0,993 2

0,981 2 0,985 4 0,988 7 0,991 3 0.9934

0,981 7 0.985 7 0,989 0 0.991 6 0.993 6

2.5 2.6 2.7 2.8 2,9

0.993 8 0,9940 0.995 3 0,995 5 0,996 5 0,996 6 0,997 4 0,997 5 0,9981 0,998 2

0,9941 0,995 6 0,996 7 0,997 6 0,9982

0,994 3 0,995 7 0.996 8 0,997 7 0.998 3

0.9945 0.995 9 0.996 9 0,997 7 0,9984

0.994 6 0,996 0 0,997 0 0,997 8 0,9984

0,9948 0,9961 0.9971 0,997 9 0.998 5

0,9949 0,996 2 0,997 2 0,997 9 0,998 5

0,9951 0,996 3 0,997 3 0,998 0 0,9986

0.995 2 0,996 4 0,997 4 0,9981 0,998 6

«l

.....:i 1

"O 0

c :l Cl

©

"' ~ c c

c

201

Annexes

Table 2 Loi normale réduite (table de l'écart réduit) Si U est une variable aléatoire qui suit la loi normale réduite, la table donne pour a choisi, la valeur ua telle que : La valeur a s'obtient par addition des nombres inscrits en marge.

c

::J

0 0

......

0 N

@ ..._, .s::

Ol

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>0. 0

u

202

--> : 2

P( IU I ~ Ua) =a

"O 0

a

0

ex.

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

OO

1,645 1,282 1,036 0,842 0,674 0,524 0,385 0,253 0,126

2,576 1,598 1,254 1,015 0,824 0,659 0,510 0,372 0,240 0,113

2,326 1,555 1,227 0,994 0,806 0,643 0,496 0,358 0,228 0,100

2,170 1,514 1,200 0,974 0,789 0,628 0,482 0,345 0,215 0,088

2,054 1,476 1,175 0,954 0,772 0,613 0,468 0,332 0,202 0,075

1,960 1,440 1,150 0,935 0,755 0,598 0,454 0,319 0,189 0,063

1,881 1,405 1,126 0,915 0,739 0,583 0,440 0,305 0,176 0,050

1,812 1,372 1,103 0,896 0,722 0,568 0,426 0,292 0,164 0,038

1,751 1,341 1,080 0,878 0,706 0,553 0,412 0,279 0,151 0,025

1,695 1,311 1,058 0,860 0,690 0,539 0,399 0,266 0,138 0,013

Index A absurde (raisonnement par l') 4 accroissements finis (égalité des) 84 (inégalité des) 84 (théorème des) 110 affectation 177, 182

BEGIN • • •

Bienaymé-Tchebychef (inégalité de) 151 bijection 9 (théorème de la) 80

amplitude 158

BOOLEAN

181, 192

177, 181

borne inférieure 61 supérieure 61

application 8 linéaire 31 approximation 154 exp 187 nombre d'or 184 185 racine carrée 189 tan 189 7t

arc cosinus 87

boucle 182 REPEAT • • • UNTIL 184 WHILE • • • DO ••• 184 FOR

fermée 106 ouverte 105

arc sinus 87

c

c

arc tangente 88

0 0

..--t

0 N

argument 16

@ .......

arrangement 12

·;::::

ARRAY

.!: Ol

u

DOWN ••• DO

boule

:J

>-

180

biais d'un estimateur 168

algorithme 175 AND

0. 0

END;

binôme (formule du) 14 de Newton 41

algèbre d'événements 119

"O 0

Bayes (formule de) 125

~

·cs. 8 0

caractère statistique 158 cardinal 11

195

Cauchy-Schwarz (inégalité de) 50, 105

automorphisme 31

0

..c

O.; Cil

B

....:l 1

Chasles (relation de) 91 classe statistique 158

'O

0

c :::; 0 @

base 27 incomplète (thèorème de la) 28

coefficient de détermination 166 coefficient binomial 175

>
o.

u

directionnelle 110 partielle 108 développement limité 97, 109 diagonalisable

204

(théorème d') 63, 74 endomorphisme 31 symétrique 57 ensemble 6 fermé 106

Index fini 11

forme algébrique d'un nombre complexe 15

ouvert 106 équivalence 2

linéaire 33

équivalentes (fonctions) 76

quadratique 58

espace

trigonométrique d'un nombre complexe 15

euclidien 53 probabilisable 120

formule de Poincaré 11, 121

vectoriel 23

du crible 121

espérance 143 conditionnelle 130 mathématique 128

fréquence 158 cumulée 159 FUNCTION

totale 130

186

estimateur 168

G

convergent 169 non biaisé 168

gradient 108

étendue 161

graphe 106

évaluation 196

H

événement 118 négligeable 123 expérience aléatoire 118

histogramme 159

exponentielle complexe 16, 17

Homothétie 35

F

..... ~

"O 0

"O

:J

::i

c

0 0

..--t

0 N

@ .......

.!: Ol

·;::::

>o. 0

u

c

..... 'fl