Mathematik: Lehrbuch für Ökonomen 9783486709551

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Mathematik Lehrbuch für Ökonomen von

Prof. em. Dr. Otto Opitz Universität Augsburg

Prof. Dr. Robert Klein Universität Augsburg

10., völlig überarbeitete Auflage

Oldenbourg Verlag München

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© 2011 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Thomas Ammon Herstellung: Constanze Müller Einbandgestaltung: hauser lacour Gesamtherstellung: Grafik + Druck GmbH, München Dieses Papier ist alterungsbeständig nach DIN/ISO 9706. ISBN 978-3-486-59671-7

Vorwort Die Darstellung der für die Ökonomie wichtigsten mathematischen Grundlagen ist das Anliegen dieses Buches, das mittlerweile in der 10. Auflage vorliegt. Nach Emeritierung des Autors aller Vorgängerauflagen und Wiederbesetzung des Lehrstuhls durch den neuen Koautor zeichnen nun zwei Autoren verantwortlich für den Aufbau und den Inhalt dieses Lehrbuches. Diesbezügliche Gespräche führten zu dem Ergebnis, die Reihenfolge der Teilgebiete umzustellen, die Inhalte jedoch weitgehend zu erhalten. Die formale Erweiterung der Darstellung von früher 12 auf 24 Kapitel in der 10. Auflage stützt sich auf die Erfahrung, dass eine stärkere Untergliederung des Gesamtgebietes mit kürzeren Kapiteln und Unterkapiteln die Strukturierung des Stoffes besser zum Ausdruck bringt und damit das Studium der mathematischen Grundlagen für Ökonomen erleichtert. Ein weiteres Ergebnis der Gespräche war die bewusste Entscheidung, nicht dem Trend zu folgen, ein vor allem auf die neuen Bachelorstudiengänge in den Wirtschaftswissenschaften ausgerichtetes Buch zu verfassen. Entsprechende Werke entstehen zurzeit vielfach, wobei zu Gunsten einer (zunächst) besseren Lesbarkeit auf eine streng formale Darstellung weitgehend verzichtet wird. Stattdessen soll das vorliegende Buch ein zuverlässiger Begleiter sowohl durch das Bachelor- als auch das Masterstudium sein und damit auch weiterführenden Ansprüchen genügen. Wie in früheren Auflagen setzt sich diese Darstellung daher kapitelweise wiederkehrend aus bestimmten Grundbausteinen zusammen, die deutlich voneinander abgesetzt werden. Abgesehen von Kapitel 1, in dem einige elementare Grundlagen aus der Schule wiederholt werden, handelt es sich um folgende Bausteine: r Beschreibung des mathematischen Problems und des entsprechenden ökonomischen Hintergrunds r Definition relevanter mathematischer Begriffe

r Sätze über mathematische Zusammenhänge r Beweis bzw. Beweisideen zu den angegebenen Sätzen r Beispiele mit Anwendungen aus der Ökonomie r Ergänzende Bemerkungen

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Vorwort

Die Fülle an Beispielen wurde beibehalten. Relevante Beispiele fördern das generelle Verständnis der Theorie, die Einsicht in deren Anwendungsrelevanz sowie Fertigkeiten der numerischen Behandlung. Inhaltlich unterscheidet sich das Buch nicht wesentlich von vergleichbaren Darstellungen. Dies wird aus dem Verzeichnis der Kapitelüberschriften deutlich. Abweichungen ergeben sich allenfalls in der Anordnung des dargebotenen Stoffes und in einer mehr oder weniger weit gefassten Eingrenzung der Teilgebiete. Zur Reihung der in diesem Lehrbuch behandelten Gebiete erfolgen daher einige Anmerkungen. Am Anfang stehen Grundlagen, einmal in Kapitel 1 elementare Grundlagen der Schulmathematik, zum anderen in den Kapiteln 2, 3 und 4 einige formale Grundlagen der Aussagenlogik, Mengenlehre und binären Relationen. Ziel der Aussagenlogik ist die Erlernung einer mathematisch korrekten Argumentation und Beweisführung. Es geht gewissermaßen darum, die Spielregeln kennen zu lernen, mit denen das Gebäude der folgenden Kapitel erstellt wird. Bereits die Darstellung der elementaren Mengenlehre ist ohne Aussagenlogik nicht möglich. Kenntnisse der Mengenlehre sind andererseits für alle später folgenden Teilgebiete wichtig. Betrachtet man Zuordnungen von Elementen zweier Mengen unter gewissen Bedingungen, so kommt man zum Begriff der Relation und unter weiteren Bedingungen zum Begriff der Abbildung oder Funktion, deren Definitions- und Wertebereich wiederum Mengen sind. In der linearen Algebra geht es um die Einführung und Beschreibung von Punktmengen n-dimensionaler Räume und darauf aufbauend um die Lösung linearer Gleichungssysteme und Optimierungsaufgaben. Der folgende Teil des Lehrbuches, bestehend aus den Kapiteln 5 bis 9.3, befasst sich mit der Analysis von reellen Funktionen einer Variablen. Nach einigen Anmerkungen über generelle Eigenschaften diskutieren wir wichtige elementare Funktionen. Ein kurzer Exkurs über Zahlenfolgen und deren Grenzwerte führt zum Begriff der Stetigkeit und schließlich zur Differentiation reeller Funktionen, dem zentralen Gebiet der Analysis. Fragen des Änderungsverhaltens gegebener Funktionen sind hier zu diskutieren. Damit erweist sich die Differentialrechnung auch als wesentliche Voraussetzung für die Kurvendiskussion reeller Funktionen, also für Fragen der Monotonie, Konvexität und Extremwertbestimmung. Ist nur das Veränderungsverhalten einer Funktion bekannt, so kann mit Hilfe der Integration die Funktion explizit bestimmt werden. Damit kann die Integration reeller Funktionen als Umkehrung der Differentialrechnung gesehen werden. Mit Fragen der linearen Algebra befassen sich nachfolgend die Kapitel 11 bis 18. Voraussetzung zur Behandlung dieses Gebietes sind die Begriffe der Matrix und des Vektors als spezieller Matrix sowie die relevanten Rechenregeln. Damit kann man Punktmengen des n-dimensionalen Raumes, insbesondere Teilräume, offene, abgeschlossene und konvexe Mengen in übersichtlicher Weise beschreiben. Einige Anmerkungen über Vektorräume ver-

Vorwort

VII

deutlichen den Zusammenhang von Matrizeneigenschaften und Punktmengen n-dimensionaler Räume. Auf diesen Überlegungen basiert schließlich die Untersuchung von linearen Gleichungssystemen, Abbildungen und Optimierungsaufgaben. Für die Lösung linearer Gleichungssysteme steht ein auf Gauß zurückgehendes Verfahren im Vordergrund. Die Diskussion linearer Abbildungen führt zur Diskussion der Existenz inverser Matrizen, deren Berechnung ebenfalls mit Hilfe des Gaußverfahrens erfolgt. In der linearen Optimierung behandeln wir das Standardmaximum- und das Standardminimumproblem sowie den Simplexalgorithmus zur Lösung beider Optimierungsaufgaben. Zur Lösung spezieller Gleichungssysteme kann auch die Determinante einer Matrix benutzt werden. Zentrale Bedeutung erlangt die Determinante jedoch erst bei der Behandlung von Eigenwertproblemen quadratischer Matrizen und beim Nachweis von Definitheitseigenschaften dieser Matrizen. Einerseits gelingt es, mit Hilfe der Eigenwerttheorie gleichförmige ökonomische Verhaltens- und Wachstumsprozesse zu beschreiben, andererseits sind Kurvendiskussionen bei differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen eng mit Definitheitseigenschaften bestimmter Matrizen und damit auch mit Eigenwertproblemen verbunden. In der linearen Algebra werden damit alle Grundlagen für die Analysis von Funktionen mehrerer Variablen gelegt. Die Analysis von reellen Funktionen mehrerer Variablen ist Gegenstand der Kapitel 19 bis 21. Unter Verweis auf entsprechende Kapitel der Analysis von Funktionen einer Variablen werden die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit erweitert. Dabei geht es insbesondere um partielles Differenzieren, um Richtungsableitungen und das totale Differential. Im Rahmen der Kurvendiskussion werden die Standardfragen der Monotonie, Konvexität und Extremwertbestimmung durch eine Einführung in die Optimierung mit Gleichungen als Nebenbedingungen ergänzt. Eine kurze Übersicht über einfache Grundlagen zur Integration von Funktionen mehrerer Variablen schließt diesen Teil des Buches ab. Das für den Ökonomen sehr wichtige Gebiet der Differenzen- und Differentialgleichungen kann in Einführungsveranstaltungen oft nur knapp abgehandelt werden. Dennoch bietet dieses Gebiet für viele ökonomische Verhaltens- und Wachstumsprozesse geeignete Modelle. Aus diesem Grunde wurde in den Kapiteln 22 bis 23.3 auf eine strenge Theorie zugunsten von Beispielen verzichtet. Ferner erfolgte eine weitgehende Beschränkung auf lineare Gleichungen bzw. Gleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten. Eine zweckmäßige Abgrenzung der einzelnen Teilgebiete gegenüber Weiterungen ist in einem einführenden Lehrbuch nicht ganz leicht. So können in dieser Darstellung einige Teilgebiete ausgeklammert werden, ohne die Lesbarkeit nachfolgender Kapitel allzu sehr zu beeinträchtigen und ohne den Gesamtstoff zu stark einzuengen. Es sind dies die im Inhaltsverzeichnis mit einem Stern (*) versehenen Kapitel bzw. Abschnitte 4.3 bis 4.5, 16, 20.4, evtl. auch die Kapitel 22 bis 23.3. Dazu einige Anmerkungen: Um reelle Funktionen einer oder mehrerer Variablen auf der Basis der Mengenlehre vernünftig diskutieren zu können, sollte auf einführende Ausführungen über binäre Relationen (Ab-

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Vorwort

schnitte 4.1, 4.2) nicht verzichtet werden. Im Anschluss daran befassen sich die Abschnitte 4.3 bis 4.5 mit Klassen- und Ordnungseigenschaften auf Mengen, um auf diese Weise in die Problematik einer allgemeinen Präferenztheorie einzuführen. Nach einer recht ausführlichen Diskussion linearer Gleichungssysteme (Kapitel 14) und linearer Abbildungen (Kapitel 15) liegt es nahe, die wichtigsten Standardformen der linearen Optimierung (Kapitel 16) zu behandeln, da sich gerade hier zeigt, dass die allgemeine Lösung linearer Gleichungssysteme und linearer Optimierungsaufgaben auf einer einzigen Verfahrensidee beruht. Dennoch wird damit wohl der Rahmen einer einführenden Darstellung mathematischer Grundlagen für Ökonomen verlassen. Gleiches gilt für den Abschnitt 20.4. Obwohl viele Probleme der Wirtschaftstheorie als nichtlineare Optimierungsaufgaben mit Gleichungen als Nebenbedingungen formuliert und mit Hilfe eines Ansatzes von Lagrange interpretiert werden, ist dieses Thema nur bedingt dem mathematischen Grundwissen von Ökonomen zuzurechnen. In Kapitel 1 wurde u.a. eine Einführung in die komplexen Zahlen und ihre Rechenregeln gegeben. Der Grund liegt darin, dass man in den folgenden Kapiteln nicht ganz ohne komplexe Zahlen auskommt. Dieses Problem tritt etwa auf bei der Lösung von Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung (Kapitel 23), bei der Bestimmung von Matrixeigenwerten (Kapitel 18, 23.3) oder einfach bei der Nullstellenbestimmung von Polynomen (Abschnitte 6.1, 6.2).

Danksagung zur zehnten Auflage In der vorliegenden 10. Auflage erfuhr das Lehrbuch seine bisher größte Überarbeitung. Diese reicht von der Neugliederung bis zur Anpassung des Satzes unter Verwendung von Schmuckfarben. Eine solch umfassende Überarbeitung ist ohne tatkräftige Unterstützung nicht zu leisten. Unser besonderer Dank gilt dabei Herrn Dipl.-Wirtsch.-Inform. Oliver Faust, der das Manuskript mit akribischer Sorgfalt, aber auch dem nötigen Auge gesetzt hat und damit für das gelungene Design verantwortlich ist. Für das kritische Korrekturlesen sowie das Einarbeiten der Korrekturen wollen wir uns zudem bei den Herren Dipl.-Kfm. Dipl.-Math. oec. Michael Hassler und Dipl.-Kfm. Johannes Kolb bedanken. Schließlich wollen wir das Team des Oldenbourg-Verlags dankend erwähnen, das den Entstehungsprozess wie üblich hervorragend begleitet hat. Es handelt sich dabei um Frau Cornelia Horn sowie Herrn Rainer Berger. Ein Nachteil von Neuauflagen ist, dass tragende Säulen bei der Erstellung vorangegangener Auflagen leicht vergessen werden, auch wenn natürlich ihr Wirken immer noch sichtbar ist. Ihnen sei nochmals herzlich gedankt. Augsburg, im Februar 2011

Otto Opitz und Robert Klein

Inhaltsverzeichnis Vorwort

V

Elementare Grundlagen

1

1

Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Zahlenbereiche, Grundrechenarten . . . . . . . . . . Potenzen, Wurzeln, Logarithmen . . . . . . . . . . . Indizierung, Summen, Produkte . . . . . . . . . . . Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen Analytische Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . Grundlagen der Trigonometrie . . . . . . . . . . . . Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen höheren Grades . . . . . . . . . . . . .

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2 12 17 23 31 42 55 62 68

Formale Grundlagen

81

2

81

Aussagenlogik

2.1 2.2 2.3 3

Mengen

3.1 3.2 3.3 4

Aussagen und ihre Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Allaussagen, Existenzaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Mathematische Beweisführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 107

Einführung und Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Schnitt- und Vereinigungsmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Differenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Binäre Relationen

4.1 4.2 4.3* 4.4* 4.5*

Einführung und Darstellungsformen . . . Inverse und zusammengesetzte Relationen Ordnungseigenschaften von Mengen . . . Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . Präordnungen . . . . . . . . . . . . . . .

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125 130 134 137 140

X

Inhaltsverzeichnis

Analysis von Funktionen einer Variablen 5

Reelle Funktionen einer Variablen

5.1 5.2 5.3 6

151

Funktionen als spezielle Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Beispiele für reelle Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Eigenschaften reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Elementare reelle Funktionen

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 7

151

175

Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . Exponential- und Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen . . . . . . .

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Grenzwerte und Stetigkeit

7.1 7.2 7.3 7.4

Unendliche Zahlenfolgen . . . Grenzwerte reeller Funktionen Stetige Funktionen . . . . . . Zwischenwertsatz . . . . . . .

199

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199 210 213 221

Differenzenquotient und Differentiation . . . Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . Differentialquotienten elementarer Funktionen Differentialquotienten höherer Ordnung . . . Änderungsraten und Elastizitäten . . . . . . .

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226 231 234 239 242

8 Differentiation von Funktionen einer Variablen

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 9

Kurvendiskussion

9.1 9.2 9.3

175 179 186 188 193

225

249

Monotonie und Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Extremwertbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Approximation reeller Funktionen durch Polynome . . . . . . . . . . . . . . . 267

10 Integration von Funktionen einer Variablen

279

10.1 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.2 Bestimmtes Integral und Flächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Lineare Algebra 11 Matrizen und Vektoren

315 315

11.1 Einführende Bemerkungen zur Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 11.2 Regeln der Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 11.3 Regeln der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Inhaltsverzeichnis

XI

12 Punktmengen im Rn

12.1 12.2 12.3 12.4

341

Absolutbetrag von Vektoren . . . . . . . Hyperebenen und Kugelflächen . . . . . . Offene und abgeschlossene Punktmengen Konvexe Mengen . . . . . . . . . . . . .

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13 Vektorräume

341 345 347 352 363

13.1 Vektorräume im Rn , Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 13.2 Basistausch in Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 13.3 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 14 Lineare Gleichungssysteme

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5

391

Einführende Beispiele . . . . . . . . . . . Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme . . Lösung homogener Gleichungssysteme . Lösung inhomogener Gleichungssysteme Zusammenhang mit Vektorräumen . . . .

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15 Lineare Abbildungen

391 395 405 411 415 421

15.1 Eigenschaften linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 15.2 Inverse und orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 16* Lineare Optimierung

16.1 16.2 16.3 16.4 16.5

441

Darstellungsformen und Anwendungen . . . . . . . Graphische Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . Simplexalgorithmus und Standardmaximumproblem Dualität und Standardminimumproblem . . . . . . .

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17 Determinante einer Matrix

442 445 450 453 465 473

17.1 Determinanten und ihre Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 17.2 Einige Aussagen über Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 17.3 Zusammenhang mit Matrizenrängen und linearen Gleichungssystemen . . . . . 487 18 Eigenwertprobleme

18.1 18.2 18.3 18.4

Einführende Beispiele . . . . . Eigenwerte und Eigenvektoren Existenz reeller Eigenwerte . . Definite Matrizen . . . . . . .

493

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493 496 503 512

XII

Inhaltsverzeichnis

Analysis von Funktionen mehrerer Variablen

519

19 Reelle Funktionen mehrerer Variablen

19.1 19.2 19.3 19.4

519

Darstellung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stetigkeit und partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . Richtungsableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partielle Ableitungen zweiter Ordnung und totales Differential

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20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

20.1 Monotonie und Konvexität . . . . . 20.2 Extremwertbestimmung . . . . . . . 20.3 Einfache lineare Regression . . . . . 20.4*Optimierung mit Nebenbedingungen

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519 526 535 542 549

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21 Mehrfache Integrale

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550 552 559 564 579

21.1 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 21.2 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

Differenzen- und Differentialgleichungen 22 Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung

591 591

22.1 Grundlagen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 22.2 Lösung von Differenzengleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 598 22.3 Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 604 23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

611

23.1 Grundlagen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 23.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen . . . . . . . . . . 613 23.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen . . . . . . . . . 624 24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

633

24.1 Grundlagen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 24.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme . . . . . . . 636 24.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme . . . . . . 646 Stichwortverzeichnis

655

Symbolverzeichnis

665

Griechisches Alphabet

673

Literaturverzeichnis

675

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie In diesem ersten Kapitel sollen die wesentlichen, für das Verständnis folgender Kapitel erforderlichen Grundkenntnisse der Mathematik bereitgestellt werden. Dazu gehören r der Aufbau des Zahlensystems, die vier Grundrechenarten sowie das Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, r das Rechnen mit dem Summen- und dem Produktsymbol, die Entwicklung von Formeln für arithmetische und geometrische Summen sowie Grundlagen der Kombinatorik, r das Auflösen von einfachen Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen, darunter auch einfache Wurzel-, Exponential- und Logarithmengleichungen, r Grundlagen der analytischen Geometrie der Ebene, r Grundlagen der Trigonometrie.

Bekanntlich ist eine quadratische Gleichung mit einer Variablen im Bereich der reellen Zahlen nicht immer lösbar, weil bei der Auflösung Wurzeln mit negativen Radikanden auftreten können. Diese Tatsache legt die Erweiterung der reellen Zahlen zum Bereich der komplexen Zahlen nahe, in dem auch negative Radikanden erklärt werden können. Mit Hilfe der komplexen Zahlen ist es schließlich möglich, generelle Aussagen zur Struktur der Lösungen einer Gleichung höheren Grades mit einer Variablen herzuleiten. In Ergänzung zu den genannten Gebieten werden daher in zwei weiteren Unterkapiteln r komplexe Zahlen, r Gleichungen höheren Grades

behandelt.

Die gewonnenen Ergebnisse spielen für eine Reihe von Fragestellungen der linearen Algebra und der Analysis eine zentrale Rolle.

2

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

1.1 Zahlenbereiche, Grundrechenarten Die Entwicklung des Zahlenbegriffs beginnt zweckmäßigerweise mit den natürlichen Zahlen 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; : : : Man bezeichnet ihre Gesamtheit mit dem Symbol N und beschreibt sie geometrisch durch äquidistante Punkte auf einem Strahl, dem so genannten Zahlenstrahl. Nimmt man die Null dazu, so schreibt man N0 : Die drei Punkte : : : nach der Zahl 7 deuten dabei an, dass die Aufzählung unendlich lang ist.

1

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7

Figur 1.1: Zahlenstrahl und natürliche Zahlen Im Bereich der natürlichen Zahlen lassen sich die Grundrechenarten der Addition, durch das Symbol C beschrieben, und der Multiplikation, durch das Symbol
repräsentiert, durchführen. Für zwei natürliche Zahlen a; b sind auch die Summe a C b und das Produkt a
b oder kürzer ab natürliche Zahlen. beschrieben, und der Division, Die Grundrechenarten der Subtraktion, durch das Symbol durch das Symbol W beschrieben, sind dagegen nicht generell im Bereich der natürlichen Zahlen durchführbar. Für zwei natürliche Zahlen a; b sind die Differenz a b und der Quotient a W b bzw. ab oder a=b sehr oft nicht natürlich. Im Allgemeinen bezeichnet man Rechenvorgänge wie die Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division in der Mathematik auch als Operationen. Dabei werden die Operatoren C;
; ; W auf Argumente oder Operanden a; b angewandt. Die Zahlen a und b nennt man r im Fall der Addition Summanden, r im Fall der Multiplikation Faktoren bzw. Multiplikator und Multiplikand, r im Fall der Subtraktion Minuend und Subtrahend, r im Fall der Division Dividend und Divisor.

Als Ergebnis ergibt sich je nach Operation eine Summe a C b; ein Produkt ab; eine Differenz a b oder ein Quotient a W b: Beispiel 1.1

Gegeben sind die natürlichen Zahlen 6; 8; 38: Dann sind auch die Summen 6C8 D 14; 6 C 38 D 44; 8 C 38 D 46 sowie die Produkte 6
8 D 48; 6
38 D 228; 8
38 D 304 natürlich, nicht aber die Differenzen 6 8; 6 38; 8 38 oder die Quotienten 6 W 8; 6 W 38; 8 W 6; 8 W 38; 38 W 6; 38 W 8:

1.1 Zahlenbereiche, Grundrechenarten

3

Erweitert man den Bereich der natürlichen Zahlen um die Null sowie um die negativen Zahlen 1; 2; 3; 4; : : : ; so entsteht der Bereich der ganzen Zahlen : : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; : : : ; den wir mit dem Symbol Z bezeichnen. Man beschreibt Z geometrisch durch äquidistante Punkte auf der Zahlengeraden.

4

3

2

1

0

1

2

3

4

Figur 1.2: Zahlengerade und ganze Zahlen In diesem Bereich sind die Grundrechenarten der Addition, Multiplikation und Subtraktion stets durchführbar, nicht jedoch die Division. Sind a; b zwei ganze Zahlen, so auch a C b; a
b; a b, im Allgemeinen aber nicht a W b: Ist der Quotient a W b D ab zweier ganzer Zahlen a; b ganzzahlig, so heißt a durch b ohne Rest teilbar. Man bezeichnet b als Teiler von a und a als Vielfaches von b: Allgemein ergibt sich der Rest r für a W b aus der Differenz von a und dem größten ganzzahligen Vielfachen von b; das kleiner oder gleich a ist. Der Rest r kann damit Werte von 0 bis b 1 annehmen. Die Bestimmung des Restes wird durch den so genannten Modulo-Operator mod beschrieben, dessen Bezeichnung vom Lateinischen modulo (Maß) abgeleitet ist. Damit gilt r D a .mod b/: Beispiel 1.2

Gegeben sind erneut die natürlichen Zahlen 6; 8; 38; die paarweise nicht ohne Rest teilbar sind. Es gilt: 6 .mod 8/ D 6

8 .mod 6/ D 2

6 .mod 38/ D 6

38 .mod 6/ D 2

8 .mod 38/ D 8

38 .mod 8/ D 6 Bei der Division der ganzen Zahlen a; b durch eine natürliche Zahl n ist es oft wichtig zu wissen, ob ein gleicher oder verschiedener Rest entsteht. Erhalten wir bei der Division na und b einen gleichen Rest, so ist a n b ganzzahlig bzw. a b durch n ohne Rest teilbar. In n diesem Fall heißen die ganzen Zahlen a; b kongruent modulo n; man schreibt: a D b .mod n/ ,

falls

a

b n

ganzzahlig ist

(1.1)

4

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Die natürliche Zahl n heißt Modul der Kongruenz. Ist r D 0; 1; : : : ; n 1 der Rest aus der Division na ; so gilt auch a D r .mod n/: Eine ganze Zahl a; die durch n ganzzahlig teilbar ist, erfüllt a D 0 .mod n/: In Beispiel 1.2 gilt damit auch 38 D 8 .mod 6/ ; 38 D 6 .mod 8/ :

Eine natürliche von 1 verschiedene Zahl n heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und n ohne Rest teilbar ist. Damit kann man jede natürliche von 1 verschiedene Zahl eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen. Die Faktoren dieser Zerlegung heißen Primfaktoren.

Beispiel 1.3

a) Sei a D b .mod n/ mit a D 7; n D 10 : Dann ist b D

3; 7; 13; 17; 23; 27; : : :

b) Für alle geraden natürlichen Zahlen a gilt a D 0 .mod 2/; für alle ungeraden natürlichen Zahlen b entsprechend b D 1 .mod 2/: c) Gilt für eine natürliche Zahl a die Kongruenz a D 0 .mod n/ nur für n D 1 oder n D a; so ist a eine Primzahl. d) Für die natürlichen Zahlen 30030; 17712; 290377; 428571 und 999999 erhält man die folgende Zerlegung in Primfaktoren: 30030 D 2
3
5
7
11
13

17712 D 2
2
2
2
3
3
3
41 290377 D 17
19
29
31

428571 D 3
3
3
3
11
13
37

999999 D 3
3
3
7
11
13
37

Wir wollen nun den Bereich der ganzen Zahlen um die nicht ganzzahligen Quotienten a W b erweitern, wobei a; b ganze Zahlen sind und b verschieden von 0 ist. Man erhält den Bereich der rationalen Zahlen, bezeichnet mit dem Symbol Q: Auch jede rationale Zahl lässt sich auf der Zahlengeraden angeben. 19 10

 3



 1

1 2

15 7

   0 1



 3

Figur 1.3: Zahlengerade und rationale Zahlen

1.1 Zahlenbereiche, Grundrechenarten

5

Im Bereich der rationalen Zahlen sind nun alle vier Grundrechenarten durchführbar, ausgenommen die Division durch die Zahl 0: Beispiel 1.4

Gegeben sind wieder die natürlichen Zahlen 6; 8; 38: Die Summen 6 C 8 D 14; 6 C 38 D 44; 8 C 38 D 46 sowie die Produkte 6
8 D 48; 6
38 D 228; 8
38 D 304 sind natürlich, damit auch ganz und rational. Die Differenzen 6 nal.

8D

2; 6

38 D

32; 8

38 D

30 sind ganz, also auch ratio-

6 8 ; 38 sind rational, ebenso wie die Ergebnisse anderer RechenopeDie Quotienten 86 ; 38 rationen mit den Zahlen 6; 8; 38; beispielsweise

30 8 38 D ; 38 C 6 44 Die Zahl

6
38 6
8 8
6

6

8
6 D6 38

ist wegen 6
8

48 228 48 180 D D : 38 38 38

8
6 D 0 nicht definiert.

Der Quotient ab zweier rationaler Zahlen a; b ist also wieder rational, außer wenn b D 0 ist. Man spricht von einem ganzzahligen Bruch, wenn ab ganzzahlig ist, und von einem nicht ganzzahligen Bruch, wenn ab nicht ganzzahlig ist. Rationale Zahlen können auch als endliche oder unendlich-periodische Dezimalbrüche oder Dezimalzahlen geschrieben werden. Dies bedeutet, dass die Darstellung in Dezimalschreibweise nach einer bestimmten Stelle abbricht oder eine endliche Folge von Ziffern sich unendlich oft wiederholt.

Beispiel 1.5

Für die rationalen Zahlen

3 ; 32 ; 6 ; 24 10 25 11 7

ist

3 3 D 0:3 D 0 C ; 10 10 32 28 D 1:28 D 1 C ; 25 100 3
3
6 6 54 D 0:5454 : : : D 0:54 D 0 C D ; 11 99 3
3
11

6

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

24 428571 D 3:428571428571 : : : D 3:428571 D 3 C 7 999999 D 3C

3
3
3
11
13
37
3 : 3
3
3
11
13
37
7

(Beispiel 1.3 d)

3 6 Für die Zahlen 10 und 32 erhält man endliche, für die Zahlen 11 und 24 unendlich25 7 periodische Dezimalbrüche, da sich die Ziffernfolge 5; 4 bzw. 4; 2; 8; 5; 7; 1 unendlich oft wiederholt; dies wird in der Dezimalschreibweise durch einen waagerechten Strich über der gesamten Ziffernfolge ausgedrückt.

Schließlich ist auch der Bereich der rationalen Zahlen noch nicht umfassend genug. Beispielsweise gibt es keine rationale Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl 2 ergibt. Mit der Dezimalzahl a D 1:414213562 : : : kommt man der Lösung um so näher, je mehr Dezimalstellen ausgerechnet werden. Eine sich wiederholende Ziffernfolge kann dabei jedoch nicht festgestellt werden. Man spricht von einem unendlich-nichtperiodischen Dezimalbruch oder von einer irrationalen Zahl. Irrationale Zahlen sind beispielsweise die Eulersche Zahl e D 2:71828 : : : und die Kreiszahl  D 3:14159 : : :

Erweitert man den Bereich der rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen, so entsteht der Bereich der reellen Zahlen, der mit dem Symbol R bezeichnet wird. In diesem Bereich sind die vier Grundrechenarten durchführbar, außer die Division durch 0: Ferner entspricht jeder reellen Zahl ein Punkt der Zahlengeraden und umgekehrt jedem Punkt der Zahlengeraden eine reelle Zahl. Wir erhalten den folgenden hierarchischen Aufbau des Zahlensystems:

Natürliche Zahlen: N Ganze Zahlen: Z (Erweiterung um negative Zahlen und 0)

Rationale Zahlen: Q (Erweiterung um nicht ganzzahlige Brüche)

Reelle Zahlen: R (Erweiterung um irrationale Zahlen)

Figur 1.4: Hierarchischer Aufbau des Zahlensystems

1.1 Zahlenbereiche, Grundrechenarten

7

Für die additive bzw. auch die multiplikative Verknüpfung von reellen Zahlen a; b; c gelten die folgenden Eigenschaften: 8 ˆ aCb DbCa ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ < .a C b/ C c D a C .b C c/

(Kommutativgesetz der Addition) (Assoziativgesetz der Addition)

(1.2)

ˆ ˆ für alle a gibt es eine Zahl 0 mit a C 0 D 0 C a D a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ : für alle a, b gibt es eine Zahl x mit a C x D x C a D b

8 ˆ a
b Db
a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ < .a
b/
c D a
.b
c/

(Kommutativgesetz der Multiplikation) (Assoziativgesetz der Multiplikation)

ˆ ˆ für alle a gibt es eine Zahl 1 mit a
1 D 1
a D a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ : für alle a, b und a ¤ 0 gibt es eine Zahl x mit a
x D x
a D b

(Distributivgesetz)

a
.b C c/ D a
b C a
c

(1.3)

(1.4)

Hier ist auf folgende Regeln zu achten: r Rechenoperationen in Klammern sind bevorzugt durchzuführen, beispielsweise gilt 2.3 C 5/ D 2
8 D 16 bzw. 2
3 C 5 D 11 r Multiplikation und Division haben Vorrang vor Addition und Subtraktion, z. B. 2
3 C 2
5 D 6 C 10 D 16 Für das Klammerrechnen ergeben sich folgende Vorzeichenregeln: .a/ D

a

bzw.

.a C b/ D a C b

. a/ D a bzw.

.a
b/ D . a/
b D

.a C b/ D a
b

bzw.

a

b;

.a

b/ D

aCb

. a/. b/ D a
b

Für das Rechnen mit Brüchen ab heißt a der Zähler und b der Nenner des Bruches. Unter der Voraussetzung, dass der Nenner jeweils verschieden von 0 ist, gelten zunächst die Regeln: a a
c D b b
c c aCc a C D b b b

bzw.

a b

c a c D b b

8

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Besitzen zwei Brüche unterschiedliche Nenner c und d; so ergeben sich folgende Regeln: c a
d b
c a
d Cb
c a C D C D b d b
d b
d b
d

bzw.

c a
d b
c D d b
d

a b

a
c a c
D b d b
d

a
d a c W D b d b
c Beispiel 1.6

a)



5 D5

3C2

5C2C3

D5

D 3
7

c)

.3 C 4 5D0

2/
2/

3

.1


 2.6 4/
3 4

2
2/
3 4 2. 6/

6 5

6.5

D .21

6
1/
3

D .21

6/
3

D

4 5

4 5

3 16

4 15

5/

2. 3
2/


 2




4
12

48 D 15
3

48 D



3

    1 3 2 3 C C 3 8 16 5   8 19 1 6C3 3 12 4 C
D
2 15 3 16 20   3 8 11 1 9 D

2 15 3 16 20 3 2



6/ C .5

5/ D 5

.10

 3.2 C 5/

b)

.4

11 64 D 20

15 80

44

D

19 20



5 1 D D 0:0625 80 16

Oft sind exakte Ergebnisse von Rechenoperationen in Dezimalschreibweise nicht erforderlich oder möglich (irrationale Zahlen). Dann beschränkt man sich im Ergebnis auf eine vorgegebene Anzahl von Nachkommastellen.

1.1 Zahlenbereiche, Grundrechenarten

9

Gegebenenfalls ist dazu die auf die letzte interessierende Dezimalstelle folgende Ziffer zu betrachten. Im Fall von 0, 1, 2, 3, 4 bleibt die letzte interessierende Dezimalstelle unverändert, im Fall von 5, 6, 7, 8, 9 wird die interessierende Dezimalstelle um 1 erhöht. Man spricht dann vom Abrunden bzw. Aufrunden reeller Dezimalzahlen. Beispiel 1.7

Nachkommastellen

Gerundete Zahl

Rationale Zahl

0

0

1 16

1

0:1

2

0:06

3

0:063

Irrationale Zahl

0

3

e D 2:71828 : : :

1

2:7

2

2:72

3

2:718

D 0:0625

Bisher haben wir stillschweigend das Gleichheitszeichen D benutzt; es bedeutet für zwei Zahlen a; b a D b W a ist gleich b : Stimmen zwei reelle Zahlen näherungsweise, also für eine vorgegebene Zahl von Nachkommastellen überein, wird dies häufig durch das Symbol  ausgedrückt. Dem Vergleich zweier Zahlen dienen ferner die Zeichen ¤; ; ;  mit der Bedeutung: a ¤ b W a ist ungleich bzw. verschieden von b a < b W a ist kleiner als b a > b W a ist größer als b a  b W a ist kleiner oder gleich b a  b W a ist größer oder gleich b Die Symbole  und  entsprechen der amerikanischen Schreibweise, die sich inzwischen weitgehend durchgesetzt hat. In der deutschsprachigen Literatur findet sich noch gelegentlich die herkömmliche Schreibweise 5 bzw. = :

10

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Damit gelten für die Anordnung reeller Zahlen folgende Eigenschaften: 8 < a > 0 oder a D 0 oder a < 0 :

(1.5)

Für reelle a; b > 0 gilt a C b > 0, a
b > 0

Daraus folgen einige Rechenregeln: 8 ˆ ˆ < a> b Wenn a < b; dann

aCc bc;

a b > c c

Soll von einer reellen Zahl a nur der Betrag festgehalten werden, so schreibt man jaj mit 8 < a für a  0 (1.6) jaj D : a für a < 0 und bezeichnet jaj als den Absolutbetrag von a:

Damit gilt: j

aj jaj

D jaj  a  jaj

ja C bj  jaj C jbj ja

bj  jaj

jbj

ja
bj D jaj
jbj ˇaˇ jaj ˇ ˇ D ˇ ˇ b jbj

1.1 Zahlenbereiche, Grundrechenarten

11

Beispiel 1.8

a) Wenn a > 0; Wenn a < 0;

b a b a

c 0 und n geradzahlig existieren immer zwei reelle Lösungen der Form x1 und x2 D x1 mit p p x1 D C n a D n a ;

x2 D

p n a

bzw.

p x D ˙ n a:

14

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Beispiel 1.10

Sei a D 2:25; b D 6; n D 3; m D 2: Dann ist p 3 p ˙ m an D ˙ 2:253 D ˙.2:25/ 2 D ˙.1:5/3 D ˙3:375 ; p p p 5 p p 6 3 m a n a D 2:25 2:25 D 2:255 D .2:25/ 6 D 1:966 : : : ; p pp 1 p m p n ˙ b D ˙ 3 6 D ˙ 6 6 D ˙6 6 D ˙1:348 : : : ; p p p p p n n a b D 3 2:25 3 6 D 3 13:5 D 2:381 : : : ; p n

b

p

D

a

D

m

p 3

p

1

6 D . 6/ 3 D 2:25 ;

1:817 : : : ;

es existiert keine reelle Lösung .

Zur Erweiterung des Potenzierens auf reelle Exponenten überlegt man sich, dass jede reelle Zahl r durch zwei rationale Zahlen q1 ; q2 mit q1  r  q2 approximiert werden kann. Dann gilt: a q1  a r  a q2 a q1  a r  a q2

für für

Beispielsweise gilt für r D p

a1 0a1

p 2 D 1:41421356 : : : und a > 1:

a1:4 < a 2 < a1:5 p a1:41 < a 2 < a1:42 :: : p 1:414213 a < a 2 < a1:414214 :: : Für reelle Zahlen r1 ; r2 und a  0 gelten die Regeln ar1 ar2 D ar1 Cr2 ; .ar1 /r2 D ar1
r2 : Auch das Logarithmieren ist in gewissem Sinne eine Umkehrung des Potenzierens. Man geht von einer Exponentialgleichung ax D b aus, wobei a und b als positive reelle Zahlen vorgegeben seien. Gesucht ist der Exponent x; so dass die x-te Potenz von a gerade b ergibt. Die Lösung dieser Gleichung heißt der Logarithmus der Zahl b zur Basis a; man schreibt x D loga b :

(1.12)

1.2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

15

Der Logarithmus von b zur Basis a drückt also aus, mit welchem Exponenten die Basis a versehen werden muss, um die Zahl b zu erhalten, also aloga b D b : Man erhält für a > 1 folgende Aussagen: 8 ˆ ˆ < > 0 für b > 1 loga b

D 0 für ˆ ˆ : < 0 für

Ferner ist: loga a

bD1

0 0/ .b > 0; c beliebig/

Für a D 10 spricht man vom dekadischen Logarithmus zur Basis 10, es gilt: x D log10 b D lg b für 10x D b Für die Differential- und Integralrechnung besonders relevant ist der natürliche Logarithmus mit der Eulerschen Zahl e D 2:71828 : : : als Basis, es gilt: x D loge b D ln b

für

ex D b

Die Logarithmen zu verschiedenen Basen können ineinander übergeführt werden. Betrachtet man nämlich den Logarithmus einer Zahl c zu verschiedenen Basen a und b; also x D loga c ;

y D logb c ;

dann entsprechen diesen beiden Gleichungen die Exponentialgleichungen ax D c ;

by D c ;

also auch

ax D b y :

Logarithmiert man die letzte Gleichung zur Basis a, so erhält man unter Berücksichtigung der jeweiligen Rechenregeln loga ax D x loga a D x D loga b y D y loga b ; also auch loga b D

x loga c loga c D bzw. logb c D : y logb c loga b

16

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Damit kann man den Logarithmus von c zur Basis a in den Logarithmus von c zur Basis b umrechnen, indem man den Wert loga c durch loga b dividiert. Insbesondere gilt für a D c logb a D

1 loga b

bzw.

loga b
logb a D 1 :

Beispiel 1.11

a)

ln 0:7 D

b)

ln 9:25 D 2:2246 : : :

c)

ln 1 D 0

d)

lg 5 C lg 20 D 0:69897 : : : C 1:30102 : : : D lg .5
20/ D lg 102 D 2 lg 10 D 2

e)

lg 35

f)

lg .102:5 / D lg .316:2277 : : :/ D 2:5 D 2:5 lg 10 D 2:5
1

g) h)

0:356674 : : :

lg 3:5 D 1:544 : : :

0:544 : : : D 1 D lg .35=3:5/ D lg 10 D 1

lg 10 1 D lg e 0:4343 : : : 1 ln e D lg e D 0:4342 : : : D ln 10 2:302585 : : : ln 10 D 2:302585 : : : D

i)

loge 10
log10 e D ln 10
lg e D 1

j)

log0:1 10 D

log10 10 D log10 0:1

1

1.3 Indizierung, Summen, Produkte

17

1.3 Indizierung, Summen, Produkte Kennzeichnet man reelle Zahlen durch Symbole a; b; c; : : : , so reichen diese Symbole oft nicht aus, um große Zahlenmengen darzustellen. Man verwendet dann indizierte Symbole a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; b1 ; b2 ; : : : . Die dem Symbol a bzw. b angefügte und etwas tiefer gestellte Zahl 1; 2; 3 : : : heißt Index. Stellt eine Unternehmung n verschiedene Produkte her, so kann man die Produktionsquantitäten etwa mit q1 ; q2 ; : : : ; qn oder qj .j D 1; : : : ; n/ bezeichnen. Gelegentlich ist es sogar zweckmäßig, Doppelindizes zu verwenden. Werden n verschiedene Produkte auf m Maschinen bearbeitet, so fallen für jede Einheit eines Produktes m Maschinenzeiten, also insgesamt m
n Zeitwerte an. Maschinenzeiten je Einheit

P1

Produkte P2




Maschinen M1 M2 :: :

z11 z21 :: :

z12 z22 :: :







:: :

z1n z2n :: :

Mm

zm1

zm2






zmn

Pn

Figur 1.5: Doppelindizierung von Zahlen Der Wert zij .i D 1; : : : ; m; j D 1; : : : ; n/ gibt die Zeit an, die die Herstellung einer Einheit des Produktes Pj auf Maschine Mi benötigt. Die Indizierung ist problemlos auf alle ganzen Zahlen ausdehnbar, also beispielsweise a k ; a kC1 ; : : : ; a 1 ; a0 ; a1 ; : : : ; an : Hat man die ganzzahlig indizierten reellen Zahlen am ; amC1 ; : : : ; an mit m  n zu addieren, so schreibt man für die Summe am C amC1 C : : : C an D

n X

iDm

ai D

n X

ak :

(1.13)

kDm

P Das Symbol verlangt für i bzw. k D m; m C 1; : : : ; n die Addition der Werte oder Summanden ai bzw. ak : Dabei bezeichnet man i bzw. k als den Summationsindex, dieser läuft von m als unterer Grenze bis n als oberer Grenze. Für m D n gilt

m X

iDm

ai D am :

18

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Man erhält folgende Regeln für ganzzahlige m; n mit m  n und reelle Zahlen a; c; ai ; bi : n X

i

D m C .m C 1/ C .m C 2/ C : : : C n

a

Da a D .n ƒ‚: : : C … „C a C

iDm n X

iDm n X

.n mC1/-mal

Dc

cai

iDm n X

.ai C bi / D

iDm n X

.ai

iDm n X

bi / D D

ai

iDm n X

D

ai

iDm

n X

m C 1/ a

ai

iDm

n X

iDm n X

ai C

iDm

bi

iDm n X

ai

iDm k X

n X

bi

iDm

ai C

nCk X

ai

iDmCk

n X

(k ist ganzzahlig mit m  k  n)

ai

iDkC1

k

D am C amC1 C : : : C an

Für doppelt indizierte Größen aij .i D 1; : : : ; m; j D 1; : : : ; n/ gilt: m X

aij

D a1j C a2j C : : : C amj

.j D 1; : : : ; n/

aij

D ai1 C ai2 C : : : C ai n

.i D 1; : : : ; m/

iD1

n X

j D1 m X n X

iD1 j D1

aij D a11 C a12 C : : : C a1n C : : : C am1 C am2 C : : : C amn D a11 C a21 C : : : C am1 C : : : C a1n C a2n C : : : C amn D

m n X X

aij

j D1 iD1

Die Reihenfolge der Summation ist vertauschbar.

1.3 Indizierung, Summen, Produkte

19

Für ganze Zahlen m; n mit m  n sowie p; q mit p  q erhält man folgende UmforP P mungen für Summen der Form ai bj : n X

D D D D D

iDm n X

ai

q X

j Dp

q X

iDm j Dp q n X X

iDm j Dp q X n X

j Dp iDm q X n X

ai bj D .am bp C : : : C am bq C : : : C an bp C : : : C an bq / bj ai D .bp am C : : : C bq am C : : : C bp an C : : : C bq an / bj ai D .bp am C : : : C bp an C : : : C bq am C : : : C bq an / ai bj D .am bp C : : : C an bp C : : : C am bq C : : : C an bq /

j Dp iDm q n X X

bj

j Dp

bj D .am C amC1 C : : : C an /.bp C bpC1 C : : : C bq /

iDm

ai D .bp C : : : C bq /.am C : : : C an /

Beispiel 1.12 5

a) 1 C

X1 1 1 1 1 274 137 C C C D D D D 2:283N 2 3 4 5 i 120 60 iD1

b) 4 C 9 C 16 C 25 D 22 C 32 C 42 C 52 D c) d)

10 X

iD1 10 X iD1

e) f)

6 X

5 X iD2

i2 D

4 X iD1

.i C 1/2 D 54

i D 1 C 2 C 3 C : : : C 10 D 55 10 X i D 110 2i D 2 iD1

.i

iD3 2 3 X X

iD1 j D1

2/ D 1 C 2 C 3 C 4 D 10 D

4 X

i

iD1

i.j C 1/ D 1
2 C 1
3 C 2
2 C 2
3 C 3
2 C 3
3 D 30 D

3 2 X X i .j C 1/ D .1 C 2 C 3/.2 C 3/ D 30 iD1 j D1

20

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

4 4 X X i i D .1 C 2 C 3 C 4/.1 C 2 C 3 C 4/ D 100

g)

iD1

4 X

h)

iD1

iD1

i 2 D 1 C 4 C 9 C 16 D 30

Wir betrachten noch einige spezielle Summenformeln. Für die Addition der natürlichen Zahlen von 1 bis n ergibt sich allgemein: n X i D 1 C 2 C 3 C : : : C .n 1/ C n iD1

D n C .n

1/ C .n

2/ C : : : C 2 C 1

Daraus folgt durch Addition beider Seiten die so genannte Gaußsche Summenformel: 2

n X iD1

i D .n C 1/ C .n C 1/ C .n C 1/ C : : : C .n C 1/ C .n C 1/ D n.n C 1/

bzw.

n X iD1

iD

n.n C 1/ : 2

(1.14)

Die so genannte arithmetische Summe reeller Zahlen ai ist definiert durch n X

ai

mit ai

iD0

ai

1

Dd

(1.15)

.i D 1; : : : ; n/ :

Im Einzelnen gilt also a1 D a0 C d ;

a2 D a1 C d D a0 C 2d ;

::: ;

an D an

1

C d D a0 C nd :

Damit erhalten wir für die arithmetische Summe mit ai D a0 C id und (1.14) n X iD0

ai D

n X iD0

.a0 C id / D

n X iD0

a0 C

n X iD0

id D .n C 1/ a0 C

n.n C 1/ d 2

 nC1 nC1 n  .a0 C a0 C nd / D .a0 C an / : D .n C 1/ a0 C d D 2 2 2

1.3 Indizierung, Summen, Produkte

21

Für die Addition der reellen Zahlen q 0 ; q 1 ; : : : ; q n ergibt sich wegen .1

q/ .1 C q C q 2 C : : : C q n

1

C q n/ D 1

q nC1

die Formel : .1 C q C q 2 C : : : C q n

8 ˆ n keine Kombination existieren kann.

Kombinationen k-ter Ordnung aus n Objekten

mit Wiederholung

mit Reihenfolge

ohne Reihenfolge

nk nCk k

(Fall a) 1

!

(Fall d)

ohne Wiederholung .k  n/

.n

nŠ k/Š ! n k

(Fall b)

(Fall c)

Figur 1.7: Kombinationen k-ter Ordnung aus n Objekten

1.4 Kombinatorik

29

Wir diskutieren zunächst ein einfaches Beispiel. Beispiel 1.18

Ein Experiment mit zwei Würfeln impliziert Ergebnisse der Form .i; j /; wobei i die Augenzahl des ersten und j die Augenzahl des zweiten Würfels darstellen soll. Die folgende Figur enthält alle möglichen Ergebnisse.

.1; 1/ .2; 1/ .3; 1/ .4; 1/ .5; 1/ .6; 1/

.1; 2/ .2; 2/ .3; 2/ .4; 2/ .5; 2/ .6; 2/

.1; 3/ .2; 3/ .3; 3/ .4; 3/ .5; 3/ .6; 3/

.1; 4/ .2; 4/ .3; 4/ .4; 4/ .5; 4/ .6; 4/

.1; 5/ .2; 5/ .3; 5/ .4; 5/ .5; 5/ .6; 5/

.1; 6/ .2; 6/ .3; 6/ .4; 6/ .5; 6/ .6; 6/

Figur 1.8: Wurfergebnisse mit zwei Würfeln Wir stellen fest, dass wir es mit Kombinationen zweiter Ordnung bei einer Basis von 6 Objekten zu tun haben und diskutieren die auftretenden 4 Fälle von Figur 1.7. a) Soll die Reihenfolge berücksichtigt werden, also beispielsweise .3; 5/ ¤ .5; 3/ und eine Wiederholung möglich sein, beispielsweise .2; 2/, so erhalten wir 36 D 62 Ergebnisse. b) Soll die Reihenfolge berücksichtigt werden, eine Wiederholung aber ausgeschlossen sein, so entfallen die 6 Ergebnisse .1; 1/; .2; 2/; : : : ; .6; 6/, wir erhalten 36 6 D 6Š 30 D 4Š Ergebnisse. c) Soll die Reihenfolge nicht berücksichtigt werden und eine Wiederholung ausgeschlossen sein, so entfallen gegenüber b) die Hälfte der Ergebnisse, beispielsweise
alle .i; j / mit i < j , es verbleiben noch 30 D 15 D 62 Ergebnisse. 2

d) Soll schließlich die Reihenfolge nicht berücksichtigt werden, aber eine Wiederholung zulässig sein, so kommen gegenüber c) wieder die 6 Ergebnisse .1; 1/; : : : ; .6; 6/ dazu.

Wir erhalten 15 C 6 D 21 D 72 D 6C22 1 Ergebnisse.

In diesem Beispiel finden wir die vier möglichen Fälle von Figur 1.7 bestätigt. Dennoch schließen wir etwas allgemeinere Überlegungen an.

30

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Fall a) mit Reihenfolge, mit Wiederholung Bei der Auswahl jedes der k Objekte gibt es n Möglichkeiten, da sowohl die Reihenfolge der Objekte berücksichtigt wird als auch Wiederholungen zugelassen sind. Wir erhalten insgesamt n
:::
… n D nk Möglichkeiten. „
nƒ‚ k -mal

Fall b) mit Reihenfolge, ohne Wiederholung

Sollen gegenüber Fall a) lediglich Wiederholungen ausgeschlossen sein, so haben wir bei der Auswahl von k aus n Objekten zur Besetzung der ersten Position n Möglichkeiten, zur Besetzung der zweiten Position n 1 Möglichkeiten, und schließlich zur Besetzung der k-ten Position noch n k C 1 Möglichkeiten, wir erhalten n.n 1/
: : :
.n k C 1/ D .n nŠk/Š Möglichkeiten. Fall c) ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung Dieser Fall unterscheidet sich von Fall b) dadurch, dass die Reihenfolge der k Objekte nicht mehr berücksichtigt wird. Sei nun x die Anzahl der Kombinationen k-ter Ordnung ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Nehmen wir an, wir müssten die Reihenfolge in der Kombination doch berücksichtigen, so ergäben sich kŠ Möglichkeiten für jede der x Kombinationen, also insgesamt x
kŠ Möglichkeiten und wir erhalten Fall b). Daraus resultiert die Gleichung ! nŠ n nŠ x
kŠ D bzw. x D D : k .n k/Š .n k/Š kŠ Fall d) ohne Reihenfolge, mit Wiederholung Gegenüber Fall c) wird die früher ausgeschlossene Wiederholung wieder zugelassen, wobei die Reihenfolge der Objekte wie in Fall c) unberücksichtigt bleibt. Ein Objekt kann nun bis zu k-mal ausgewählt werden. Dazu ergänzt man a1 ; : : : ; an um k 1 weitere Objekte b1 ; : : : ; bk 1 , von denen jedes für eine Wiederholung steht. Wird beispielsweise a1 als erstes Objekt ausgewählt und j -mal wiederholt .j D 1; : : : ; k 1/, so enthält die entsprechende Kombination die Objekte a1 ; b1 ; : : : ; bj : Wird a1 erstmals als i-tes Objekt ausgewählt und j -mal wiederholt .j D 1; : : : ; k i /, so enthält die Kombination die Objekte a1 ; bi ; : : : ; biCj 1 : Damit ist die Anzahl von Kombinationen k-ter Ordnung aus n Objekten a1 ; : : : ; an mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gleich der Anzahl von Kombinationen k-ter Ordnung aus nCk 1 Objekten a1 ; : : : ; an ; b1 ; : : : ; bk 1 ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Wir erhalten den Fall c) mit
nCk 1 Möglichkeiten. k

1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen

31

Beispiel 1.19

a) Hat ein zehnköpfiger Aufsichtsrat aus seiner Mitte einen ersten und einen zweiten Vorsitzenden sowie einen Schriftführer zu wählen, so handelt es sich um eine Kombination dritter Ordnung mit Berücksichtigung der Reihenfolge, aber ohne WiederhoD 10
9
8 D 720 Möglichkeiten. lung; ferner ist n D 10: Damit gibt es 10Š 7Š b) In der Elferwette des Fußballtotos sind elf Spiele jeweils mit 1, 0 oder 2 zu tippen. Die Reihenfolge der Spiele ist vorgegeben. In diesem Fall erhalten wir 311 D 177147 mögliche Tippreihen. c) Im Zahlenlotto hat man 6 verschiedene aus 49 möglichen Zahlen anzukreuzen. Die Reihenfolge der Auswahl bleibt unberücksichtigt. Es ergeben sich
49 D 13983816 Möglichkeiten. 6

d) In einem Supermarkt sollen im Lauf einer Woche sechs Werbeaktionen erfolgen. Zur Auswahl stehen Lautsprecherdurchsagen, Handzettel- und Plakatwerbung. Wir erhalten n D 3; k D 6: Damit gibt es keine Kombination ohne Wiederholung. Mit Wiederholung ergeben sich 36 D 729 Möglichkeiten, falls die Reihenfolge der Aktionen

eine Rolle spielt, andernfalls 3C66 1 D 86 D 28 Möglichkeiten.

1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen Bei der Einführung der verschiedenen Zahlenbereiche und Grundrechenarten in Abschnitt 1.1 wurden Symbole a; b; c; d; : : : verwendet, die stellvertretend für bestimmte Zahlen stehen, also im konkreten Anwendungsfall vorgegeben sind. Man nennt sie Konstanten oder Parameter. Sollen Symbole, etwa x; y; : : : ; im Rahmen gewisser Bedingungen einen oder mehrere zunächst unbekannte Werte annehmen können, so spricht man von Variablen. Werden nun zwei Ausdrücke oder Terme, bestehend aus Konstanten, Variablen und deren Verknüpfungen durch Operationen, beispielsweise aCx;

ax 2 ; b

p xy

a ; b

ab

b2 ;

mit einem Gleichheitszeichen verbunden, so spricht man von einer Gleichung. Sind zwei Terme durch ein Zeichen der Form ¤; ;  verbunden, so spricht man von einer Ungleichung. Eine Gleichung oder Ungleichung mit einer Variablen enthält neben einer oder mehreren Konstanten genau eine Variable x: Jeder Wert der Variablen x; der die Gleichung oder Ungleichung erfüllt, heißt dann Lösung der Gleichung oder Ungleichung.

32

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Zur Ermittlung der Lösungen einer Gleichung A1 D A2 bzw. einer Ungleichung A1  A2 mit den Termen A1 ; A2 nutzt man folgende Regeln:

Rechenregel

Gleichung A1 D A2

Vertauschen der Seiten

A2

Addition oder Subtraktion eines Terms B

A1 C B D A2 C B A1 B D A2 B

D A1

Ungleichung A1  A2 A2

 A1

A1 C B  A2 C B A1 B  A2 B

Multiplikation oder Division A1
B D A2
B eines Terms B > 0 A1 =B D A2 =B

A1
B  A2
B A1 =B  A2 =B

Multiplikation oder Division A1
B D A2
B eines Terms B < 0 A1 =B D A2 =B

A1
B  A2
B A1 =B  A2 =B

Figur 1.9: Rechenregeln zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen Für die Ungleichung A1 < A2 ersetzt man in Figur 1.9 das Zeichen  bzw.  durch < bzw. > , ferner führen Ungleichungen A1  A2 bzw. A1 > A2 durch Vertauschen der Seiten stets auf die bereits diskutierte Form. Für die Ungleichung A1 ¤ A2 gelten die gleichen Regeln wie für Gleichungen, man ersetzt in Figur 1.9 alle Gleichheitszeichen durch ¤ . Nach Anwendung obiger Regeln erhalten wir mit a ¤ 0; b; x als reelle Zahlen ´ ax b D 0 für eine lineare Gleichung mit einer Variablen ax

b0

für eine lineare Ungleichung mit einer Variablen

(1.27)

wobei x die Variable und a; b die Konstanten darstellen. Für die lineare Gleichung erhält man genau eine Lösung x D b=a. Zur Lösung der linearen Ungleichung unterscheidet man die Fälle a > 0; a < 0. r Für a > 0 erhält man x  b=a : r Für a < 0 erhält man x  b=a :

1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen

Lösung für a > 0

33

Lösung für a < 0 

b a

Figur 1.10: Lösungen der Ungleichung ax

b0

Wir betrachten nun noch den Fall, dass die Variable x die beiden Ungleichungen x

a  0;

x

b  0:

erfüllen soll. Dann gilt für die Lösung x  a und x  b und für: a>b aDb a a ; alle reellen Zahlen, also 1 < x < 1 :

Beispiel 1.20

a) Für

b) Für

5x .4 C 3x/ D 4 C .8x 2/ erhält man schrittweise: 5x 4 3x D 4 C 8x 2 (Auflösen der Klammern) 5x 3x 8x D 4 2 C 4 (Addition von 4 8x) 6x D6 (Addition auf beiden Seiten) x D 1 (Division durch 6) xC1 2x C 3x 2 2x 1 .x C 1/.2x 6x 2 C 3x

1/3 C 2x.3x 3 C 18x 2

4 erhält man: 3

2/3 D 4.3x

2/.2x

1/

(Multiplikation mit .3x

12x

D 24x 2

2/.2x

1/3)

28x C 8

(Auflösen der Klammern)

D 28x C 8

(Subtraktion von 24x 2 )

19x

D 11

(Addition von 28x C 3)

x

D

11 19

(Division durch 19)

9x

c) Für

D

8C

3

4

2x 2

32 C 8 40

4x

11x x

 3x

4x  12x  7x  44 4

5x C 4 erhält man: 4 5x 4

4

(Multiplikation mit 4) (Addition auf beiden Seiten) (Addition von 40

7x)

(Division durch 11)

1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen

d) Für

2 x

1



1 xC1

35

.jxj ¤ 1/ unterscheidet man die Fälle:

I) x >1; also II) 1 < x < 1 ; also III) x < 1 ; also

.x .x .x

1/.x C 1/ > 0 1/.x C 1/ < 0 1/.x C 1/ > 0

1. Unter Verwendung der in Figur 1.9 angegebenen Rechenregeln ergibt sich in Fall I: 2.x C 1/  x 1 (Multiplikation mit .x 1/.x C 1/ > 0/ x  3 (Addition von x 2) Wir erhalten aus x > 1 die Bedingung x  3, also ist jedes x > 1 Lösung. 2. Entsprechend gilt in Fall II: 2.x C 1/  x 1 (Multiplikation mit .x 1/.x C 1/ < 0/ x  3 (Addition von x 2) Wir erhalten unter der Bedingung 1 < x < 1 die weitere Bedingung x  3, also kann für Fall II keine Lösung existieren. 3. Für Fall III resultiert schließlich: 2.x C 1/  x 1 (Multiplikation mit .x 1/.x C 1/ > 0/ x  3 (Addition von x 2) Wir erhalten zur Voraussetzung x < 1 die weitere Bedingung x  3, also ist jedes x mit 3  x < 1 Lösung. Insgesamt haben wir das Ergebnis: Jede Lösung der Ungleichung liegt entweder im Intervall h1; 1i oder in Œ 3; 1i:

So genannte Verhältnisgleichungen der Form ab D dc sind als lineare Gleichungen darstellbar, wenn drei der Größen bekannt sind. Wichtige Anwendungen ergeben sich in der Prozentrechnung. Mit dem Prozentsatz p (%), dem Prozentwert w und dem Grundwert g erhalten wir die Formel w p D : 100 g

36

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Beispiel 1.21

a) 7200 von 15000 Studierenden einer Universität sind weiblich. Dann gilt: 7200 720000 p D bzw. p D D 48 (%) 100 15000 15000 48% der Studierenden sind weiblich, 52% männlich. b) Für einen Netto-Rechnungsbetrag von 1250 (€) sind 19 % Umsatzsteuer zu entrichten. Für die Umsatzsteuer w gilt: 19 w 19
1250 D bzw. w D D 237:50 100 1250 100 Die Umsatzsteuer beträgt 237.50. Der Brutto-Rechnungsbetrag setzt sich zusammen aus 1250 C 237:50 D 1487:50: c) Bei einem Rechnungsbetrag von 233.63 wurden 2 % Skonto berücksichtigt. Daraus errechnet sich folgender Nachlass w: w 2
233:63 2 D bzw. w D D 4:77 100 2 233:63 98 Der ursprüngliche Rechnungsbetrag war 238.40. d) In einem Betrieb, der 32 % Frauen beschäftigt, arbeiten 592 Frauen. Für die Gesamtzahl g der Mitarbeiter erhalten wir 592 59200 32 D bzw. g D D 1850, 100 g 32 davon 592 Frauen und 1258 Männer. e) Eine Bank verleiht 12000 (€) und erhält nach einem Jahr 12552. Dann gilt für den so genannten Zinsfuß p: p 552 55200 D bzw. p D D 4:6 (%) 100 12000 12000 Der prozentuale Zinsfuß beträgt 4.6 %, der Zinswert 552.

1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen

37

Nach diesem Exkurs über lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen betrachten wir nun quadratische Gleichungen, die sich stets auf die folgende Form bringen lassen: ´ ax 2 C bx C c D 0 (1.28) x ist Variable und a ¤ 0; b; c sind reelle Konstanten Zu ihrer Lösung nutzt man die binomische Formel .u C v/2 D u2 C 2uv C v 2 : Mit ax 2 C bx C c D 0 .a ¤ 0/ erhalten wir der Reihe nach: b2 b2 Cc D0 ax 2 C bx C 4a 4a 2  2 p b b ax C p Cc D0 4a 2 a 2  p b2 b b 2 4ac D ax C p cD 4ar 4a 2 a   p b 2 4ac b D˙ ax C p 4a 2 a r p b 2 4ac b ax D p ˙ 4a 2 a 1 p 2 b ˙ x D b 4ac 2a 2a  p 1  b ˙ b 2 4ac x D 2a

Die so genannte Diskriminante .b 2 4ac/ ist entscheidend für die Art der Lösung der quadratischen Gleichung. Eine reellwertige Lösung kann nämlich nur existieren, wenn .b 2 4ac/ nicht negativ ist. Im Einzelnen erhält man für  p 1  b 2 4ac > 0 zwei reelle Lösungen x1 D b C b 2 4ac 2a  p 1  b 2 4ac ; und x2 D b 2a b b 2 4ac D 0 eine „zweifache“ reelle Lösung x1 D x2 D , 2a b2

4ac < 0

keine reelle Lösung der quadratischen Gleichung .

38

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Beispiel 1.22

a) Für 3x 2 C 4x C 2 D 0 ist b 2 reelle Lösung.

4ac D 42

b) Für 9x 2 C 6x C 1 D 0 ist b 2 4ac D 36 6 D 13 . reelle Lösung x1 D x2 D 18

4
6 D

8 < 0, also existiert keine

4
9 D 0, es existiert eine zweifache

c) Für 8x 2 6x C 1 D 0 ist b 2 4ac D 36 4
8 D 4 > 0, es existieren zwei reelle 1 1 Lösungen x1 D 16 .6 C 2/ D 21 ; x2 D 16 .6 2/ D 14 . Nachfolgend betrachten wir exemplarisch einfache Wurzelgleichungen. Beispiel 1.23

a) Für

p p xC2C x

1 D 3 erhält man schrittweise: p p 1C2 xC2 x 1D9

xC2Cx p p 2 xC2 x 1D8 p p xC2 x 1 D4 .x C 2/.x

x2 C x

D 16

2

p

Die Rechenprobe x D 2. p x p x x 0 x

(Division durch 2)

x/

2

(quadrieren)

8x C x 2

D 18

x

(Subtraktion von 2x C 1)

x

D .4

1/

9x

b) Für

2x

(quadrieren)

D2 2C2C

p

(Addition von 2 C 8x

(Division durch 9)

2

1 D 2 C 1 D 3 bestätigt die erhaltene Lösung

2 C 4 D x erhält man: 2Dx 2

Dx D D

x1 D 6 ;

1 2 1 2

(Subtraktion von 4)

4

D x2 2



(quadrieren)

8x C 16 9x C 18  p 9 ˙ 81 72

.9 ˙ 3/

x2 D 3

p Die Rechenprobe zeigt p6 bzw. 3

x2)

(Addition von x C 2) (Lösung der quadratischen Gleichung)

2 C 4 D 2 C 4 D 6 für x1 D 6 2 C 4 D 1 C 4 ¤ 3 für x2 D 3:

Wir erhalten nur eine Lösung x1 D 6.

1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen

c) Für

p 3

1 D 1 erhält man:

x2

x2 2

1 D 13 D 1

(3. Potenz)

D2 p p x1 D 2 ; x2 D 2 r p 2 p 3 ˙ 2 1 D 32 Die Rechenprobe p p 2. sungen x1 D 2 und x2 D x

d) Für

39

(Addition von 1)

1 D 1 bestätigt beide erhaltenen Lö-

q p 3 6 C 3x 2 D 2 erhält man: p 6 C 3 3x 2 D 4 p 3 3x 2 D 2 3x 3x

2

(quadrieren) (Subtraktion von 6) (3. Potenz)

D 8

(Addition von 2)

D 6

D 2 q p 6 C 3 3. 2/ Die Rechenprobe Lösung x D 2.

(Division durch 3)

x

q p 2D 6C 3

8D

p 6

2 D 2 bestätigt die

Bezugnehmend auf diese Beispiele kann das Vorgehen folgendermaßen beschrieben werden: 1. Elimination der Wurzelterme 2. Lösung der Gleichung 3. Überprüfung der Lösungen durch Rechenprobe Ferner bezeichnet man Gleichungen der Form von Beispiel 1.23 gelegentlich auch als Potenzgleichungen. Im Zusammenhang mit dem Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren unterscheidet man insgesamt drei Typen von Gleichungen.

40

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Seien a; b reelle Konstanten und x die Variable, für die in der jeweiligen Gleichung eine Lösung gesucht wird. Dann erhalten wir folgende Fälle: Potenzgleichung: Exponentialgleichung: Logarithmengleichung:

x tritt in der Basis auf, 1 z. B. x a D b bzw. x D b a

x tritt als Exponent auf, z. B. ax D b bzw. x D loga b x tritt im Logarithmus auf, z. B. loga x D b bzw. x D ab

(Beispiel 1.23) (Beispiel 1.24 a, b) (Beispiel 1.24 c, d)

Beispiel 1.24

a) Für die Exponentialgleichung 2
32x

1

log3 2 C .2x 1/
1

.2x x

D 7
3xC1

erhält man:

1/ log3 3 D log3 7 C .x C 1/ log3 3 .x C 1/
1 D log3 7

2

x

(Logarithmieren)

log3 2

(log3 3 D 1)

ln 7 ln 2 ln 7 ln 2 D ln 3 ln 3 ln 3 7 ln D 2 (Rechenregeln für Logarithmen) ln 3 ln 7 D 2 C 2 D 3:14 : : : ln 3 D

Die Rechenprobe 2
35:28  661  7
34:14 bestätigt die Lösung. b) Für die Exponentialgleichung . 2/x D 2x 1 erhält man: x log2 . 2/ D .x 1/ log2 2

(Logarithmieren)

Da der Logarithmus mit beliebiger Basis für negative Zahlen nicht definiert ist, existiert keine Lösung für die angegebene Gleichung.

1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen

41

c) Für die Logarithmengleichung (mit log10 a D lg a ) 1 C lg x

lg x

D lg.x C 1/

ergibt sich:

lg.x C 1/ D 1

(Subtraktion von 1 C lg.x C 1/)

D 1

(Rechenregeln für Logarithmen)

x xC1 x xC1 10x

lg

D 10

(Potenzieren mit Basis 10) (Multiplikation mit .x C 1/10)

DxC1 D

x

1 9

Die Rechenprobe 1 C lg 91 die Lösung x D

1

1 : 9

lg 10 D 1 C lg 9

1 9 10 9

1 D1 D 1 C lg 10

1 D 0 bestätigt

d) Für die Logarithmengleichung (mit loge a D ln a ) ln.2x C 1/2 D 2 .2x C 1/2

D e2

.2x C 1/

D ˙e

erhält man:

(Potenzieren mit Basis e) (Quadratwurzel)

e 1 1 ; x2 D 2 2 Die Rechenprobe liefert ln.˙e 1 C 1/2 D ln.˙e/2 D 2 und bestätigt damit beide Lösungen x1 ; x2 für die obige Gleichung. x1 D

e

Bei Exponential- und Logarithmengleichungen empfiehlt sich folgendes Vorgehen: 1. Eliminieren der Exponenten mit x durch Logarithmieren (Beispiel 1.24 a, b) bzw. Elimination der Logarithmen mit x durch Potenzieren (Beispiel 1.24 c, d) 2. Lösung der Gleichung, falls möglich 3. Überprüfung der Lösungen durch Rechenprobe

42

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

1.6 Analytische Geometrie der Ebene Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen x; y hat die Form ax C by C c D 0

.a ¤ 0; b ¤ 0 sind reelle Konstanten/ :

(1.29)

Ersetzt man das Gleichheitszeichen durch ¤; ; ; so entsteht eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen. Offenbar besitzen Gleichungen und Ungleichungen der angegebenen Form stets unendlich viele reelle Lösungen. Beispielsweise lösen Wertepaare .x; y/ mit

x D 0;

yD

oder

x D 1;

yD

oder

x D 2;

yD

c b cCa b c C 2a b

die Gleichung. Da aber andererseits nicht alle beliebigen Wertepaare .x; y/ die Gleichung erfüllen können, interessiert man sich dafür, inwiefern die x- und y-Werte miteinander korrespondieren. Legt man in obiger Gleichung eine Variable fest, so ist die andere Variable eindeutig bestimmt. Mit Hilfe der analytischen Geometrie kann man diesen Sachverhalt deutlicher machen. Man ordnet jeder der beiden Variablen x und y eine Zahlengerade zu. Aus Übersichtlichkeitsgründen stellt man die beiden Zahlengeraden oft senkrecht zueinander, so dass im Schnittpunkt beider Geraden jeweils x D 0; y D 0 gilt. Man spricht von einem kartesischen Koordinatensystem. Die horizontale Achse heißt Abszissenachse und die vertikale Achse Ordinatenachse. Der Schnittpunkt der Achsen heißt Nullpunkt oder Ursprung. Für jeden Punkt der Ebene erhält man durch senkrechte Projektion auf die beiden Achsen einen Abszissen- oder x-Wert und einen Ordinaten- oder y-Wert. Man spricht von den Koordinaten des Punktes. Beispiel 1.25

Ordinate y 2 B  2

 A

1

1 1

 C

1

2

3

Abszisse x

1.6 Analytische Geometrie der Ebene

43

Man erhält die Koordinaten: x D 2 ; y D 1:5 oder x D 2; y D 1 oder x D 0 ; y D 0:5 oder

.x; y/ D .2; 1:5/ .x; y/ D . 2; 1/ .x; y/ D .0; 0:5/

für Punkt für Punkt für Punkt

A B C

Figur 1.12: Punkte im kartesischen Koordinatensystem Allgemein kann man auf diese Weise jedem Punkt der Ebene ein Zahlenpaar .a; b/ und umgekehrt jedem Zahlenpaar einen Punkt der Ebene zuordnen. Die Punkte .a; 0/ liegen auf der Abszissenachse, die Punkte .0; b/ auf der Ordinatenachse, der Punkt .0; 0/ entspricht dem Nullpunkt. Eine Strecke AB ist durch die direkte Verbindung zweier Punkte A; B mit den Koordinaten .a1 ; a2 /; .b1 ; b2 / bestimmt (Figur 1.13). y a2

A

b2



C

a1

B b1

x

Figur 1.13: Strecke als Verbindung zweier Punkte Die Berechnung der Länge d der Strecke AB beruht auf dem Satz von Pythagoras:

Das Quadrat der Länge von AB ist gleich der Summe der quadrierten Längen von AC und BC . Daraus erhält man für die Länge d p p d D .a2 b2 /2 C .a1 b1 /2 D .b1

a1 /2 C .b2

a2 /2 :

(1.30)

Ferner ist die Steigung s der Strecke AB erklärt durch den Quotienten sD

b2 b1

a2 : a1

(1.31)

44

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Jede Strecke ist Teil einer Geraden, diese erhält man durch Verlängerung der Strecke nach beiden Seiten. Betrachtet man eine lineare Gleichung der Form ax C by C c D 0 , in der a und b nicht gleichzeitig 0 sind, so charakterisieren alle reellen Lösungen .x; y/ der Gleichung eine Gerade im x-y-Koordinatensystem und jeder Geraden der Ebene kann umgekehrt eine lineare Gleichung der Form ax C by C c D 0 zugeordnet werden. Beispiel 1.26

Den linearen Gleichungen g1 : x y C 1 D 0 ; g2 : x 2 D 0; g3 : x C 2y 4 D 0 entsprechen die Geraden g1 , g2 , g3 in Figur 1.14. y g1 : x

yC1D0

2 

g2 : x

1 1 

2D0 g3 : x C 2y

 1



2

 4

4D0 x

1 Figur 1.14: Graphische Darstellung der Gleichungen g1 ; g2 ; g3

Eine Gerade der Ebene ist durch zwei verschiedene Punkte A D .a1 ; a2 / und B D .b1 ; b2 / eindeutig bestimmt. Man erhält die Zweipunkteform der Geraden durch b2 y a2 D x a1 b1 x D a1 ;

a2 Ds; a1

falls a1 ¤ b1 ; falls a1 D b1 ; a2 ¤ b2 :

(1.32)

1.6 Analytische Geometrie der Ebene

45

Daraus folgt für a1 ¤ b1 .y

a2 /.b1

a1 /

.x

a1 /.b2

D y.b1

a1 /

a2 b1 C a1 a2

D y.b1

a1 /

x.b2

a2 / a2 / C a1 b2

x.b2

a2 / C a1 b2

a1 a2

a2 b1 D 0 ;

also die ursprüngliche Form ax C by C c D 0

mit a D

.b2

a2 / ;

b D .b1

a1 / ;

c D a1 b2

a2 b1 :

Für a1 D b1 und a2 ¤ b2 hat man mit x D a1 bereits die Form ax C by C c D 0 mit a D 1; b D 0; c D a1 :

Löst man die Gleichung ax C by C c D 0 nach y auf, also c a x .b ¤ 0/ ; (1.33) yD b b so spricht man von der kartesischen Normalform. Der Wert ab charakterisiert die Steigung der Geraden und der Wert bc gibt den Schnittpunkt der Geraden mit der Ordinatenachse an und heißt Ordinatenabschnitt. Für den Fall, dass a und b nicht beide 0 werden, erhalten wir einige Spezialfälle der Geraden ax C by C c D 0: Konstanten

Geradengleichung

Geradenverlauf

a D 0; b ¤ 0

by C c D 0

parallel zur x- Achse

a ¤ 0; b D 0

ax C c D 0

parallel zur y- Achse

cD0

ax C by D 0

durch den Nullpunkt

Figur 1.15: Spezielle Geraden der Ebene Wir betrachten nun zwei Geraden der Ebene mit den Gleichungen a1 x C b1 y C c1 D 0 ; a2 x C b2 y C c2 D 0

und fragen nach möglichen Schnittpunkten.

46

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Wir unterscheiden drei Fälle: a) Es existiert genau ein Schnittpunkt, wenn die Steigungen s1 ; s2 der Geraden verschieden sind, z. B. für b1 ¤ 0; b2 ¤ 0 a2 a1 ¤ bzw. a1 b2 ¤ a2 b1 : s1 ¤ s2 bzw. b1 b2 Für den Schnittpunkt berechnet man  b2 c1 b1 c2 a1 c2 ; .x; y/ D a2 b1 a1 b2 a2 b1

a2 c1 a1 b2



:

b) Die Geraden sind identisch und besitzen damit unendlich viele Schnittpunkte, wenn die Steigungen s1 ; s2 und die Ordinatenabschnitte t1 ; t2 übereinstimmen, z. B. für b1 ¤ 0; b2 ¤ 0 a1 a2 s1 D s2 bzw. D bzw. a1 b2 D a2 b1 ; b1 b2 t1 D t2

bzw.

c1 D b1

c2 b2

bzw.

c1 b 2 D c2 b 1 :

c) Die Geraden sind parallel und besitzen keinen Schnittpunkt, wenn die Steigungen s1 ; s2 übereinstimmen, die Ordinatenabschnitte t1 ; t2 jedoch verschieden sind, z. B. für b1 ¤ 0; b2 ¤ 0 a1 a2 s1 D s2 bzw. D bzw. a1 b2 D a2 b1 ; b1 b2 t1 ¤ t2

bzw.

c1 ¤ b1

c2 b2

bzw.

c1 b 2 ¤ c2 b 1 :

Für b1 ¤ 0; b2 D 0 bzw. b1 D 0; b2 ¤ 0 trifft Fall a) zu. Für b1 D b2 D 0 trifft entweder Fall b) oder Fall c) zu. Beispiel 1.27

Gegeben sind drei Geraden durch: g1 : 4x C 5y 12 D 0 g2 : die Punkte A D . 1; 1/ ; B D .0; 3/ g3 : die Steigung 2 und den Ordinatenabschnitt 0

1.6 Analytische Geometrie der Ebene

47

Dann gilt für g2 die Zweipunkteform y x

3 1 3 D D2 0 1 0

bzw.

3 D 2x

y

oder

y D 2x C 3

und für g3 die kartesische Normalform y D 2x : Ferner sind die Geraden g2 und g3 parallel, während g1 und g2 den Schnittpunkt .x; y/ D . 21 ; 2/ bzw. g1 und g3 den Schnittpunkt .x; y/ D .2; 4/ besitzen. y

.



D

2x C

5y

y

4x

C

3

D 12

0

A

B  f

yD 2x

1 ; 2/ 2

f .2; 4/

1

 1

 1 

x

1

Figur 1.16: Beispiele für Geradenschnittpunkte Um zur geometrischen Interpretation linearer Ungleichungen mit zwei Variablen zu kommen, überlegt man sich, dass eine Gerade die Ebene stets in zwei so genannte Halbebenen aufteilt. Die Punkte einer der beiden Halbebenen lassen sich durch die Ungleichung 8 ˆ ax C by C c  0, falls die Punkte auf der Geraden ˆ ˆ ˆ ˆ < eingeschlossen sind (1.34) ˆ ˆ ax C by C c < 0, falls die Punkte auf der Geraden ˆ ˆ ˆ : ausgeschlossen sind charakterisieren, die Punkte der anderen Halbebene durch ax C by C c  0

bzw.

ax C by C c > 0 :

48

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Umgekehrt kann jeder Ungleichung der angegebenen Form eine entsprechende Halbebene zugeordnet werden. Um zu erklären, welche Ungleichung welcher Halbebene entspricht, genügt es, für einen beliebigen Punkt .u; v/ außerhalb der Geraden ax C by C c D 0 den Term au C bv C c zu berechnen. Ist der Term positiv, so entspricht die Halbebene, die .u; v/ enthält, der Ungleichung ax C by C c > 0: Ist der Term negativ, so entspricht die entsprechende Halbebene der Ungleichung ax C by C c < 0:

Ausgehend von der Gleichung x C 3y 3 D 0 wird in Figur 1.17 der Punkt . 1; 1/ mit 1 3 3 D 7 < 0 gewählt, also entspricht die Halbebene, die . 1; 1/ enthält, der Ungleichung x C 3y 3 < 0: Liegt beispielsweise der Nullpunkt .0; 0/ wie in Figur 1.17 nicht auf der Geraden, so wählt man zweckmäßigerweise diesen Punkt aus, weil in diesem Fall die Berechnung am einfachsten ist. Wegen a
0Cb
0Cc D c gehört der Nullpunkt für c > 0 zur Halbebene axCbyCc > 0 und für c < 0 zu ax C by C c < 0: y

x C 3y .0; 1/  . 1; 0/  . 1; 1/

xC

 

3y

3D

 .0; 0/ .1; 0/

 .0; 1/

3>0

0

 .3; 0/

x C 3y

x

30 h3 : y 0

1.6 Analytische Geometrie der Ebene

49

Dabei wird durch jede der drei Ungleichungen die gesamte Ebene in zwei Halbebenen zerlegt. r Alle Punkte, die h1 erfüllen, liegen links-unterhalb 4xC3y 12 D 0, einschließlich

der Geraden. r Alle Punkte, die h2 erfüllen, liegen rechts-unterhalb x y C 2 D 0, ausschließlich der Geraden. r Alle Punkte, die h3 erfüllen, liegen oberhalb y D 0, einschließlich der Geraden. r Alle Punkte, die h1 und h2 erfüllen, liegen unterhalb der Geraden x y C 2 D 0 und 4x C 3y 12 D 0, einschließlich 4x C 3y 12 D 0 und ausschließlich x y C 2 D 0: r Alle Punkte, die h1 ; h2 ; h3 erfüllen, liegen im Dreieck ABC , wobei die Seite AB ausgeschlossen wird (Figur 1.18). y

12 < 0

0 y>0

12 D

C

D

3y

y

2

C

4x C 3y

4x

A 

yD0

 B x

0

x

C



x

yC2>0

Figur 1.18: Gemeinsamer Bereich dreier Halbebenen

Abschließend erwähnen wir einige wichtige Spezialfälle der quadratischen Gleichung mit zwei Variablen: ax 2 C by 2 C cxy C dx C ey C f D 0

(1.35)

50

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Spezialfall 1: Wir setzen a D b ¤ 0, c D 0, d 2 C e 2 Vorgehen

4af > 0 und erhalten durch schrittweises

ax 2 C ay 2 C dx C ey C f D 0 ; e f d xC yC D 0; a a a  2  2    e 2 f d e e 2 d d 2 2 x C xC Cy C yC C D C ; a 2a a 2a a 2a 2a   e 2 1 d 2  C yC D 2 .d 2 C e 2 4af / : xC 2a 2a 4a

x2 C y2 C

Setzt man uD

d ; 2a

vD

e ; 2a

r2 D

1 .d 2 C e 2 4a2

4af / > 0 ;

so ergibt sich mit .x

u/2 C .y

v/2 D r 2

die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt .u; v/ und dem Radius r. Für alle Punkte innerhalb des Kreises gilt .x u/2 C .y v/2 < r 2 , außerhalb des Kreises .x u/2 C .y v/2 > r 2 . y

r .u; v/

.x

u/2 C .y

Figur 1.19: Kreis mit der Gleichung .x

x

v/2 > r 2 u/2 C .y

v/2 D r 2

1.6 Analytische Geometrie der Ebene

51

Spezialfall 2: Mit a D b D 0, c ¤ 0, de cxy C dx C ey C f

f c > 0 erhält man schrittweise D 0;

e f d xC yC D 0; c c c d e de f de xy C x C y C 2 D C 2 ; c c c c c    e d 1 xC yC D 2 .de f c/ : c c c xy C

Setzt man e ; c

uD

vD

d ; c

r2 D

1 .de c2

f c/ > 0 ;

so ergibt sich mit .x

u/.y

v/ D r 2

die in Figur 1.20 dargestellte Hyperbel mit dem Mittelpunkt .u; v/. y

.x

r  .u .x

u/.y

r; v

r/ 

² 

 .u; v/

u/.y

v/ > r 2

.u C r; v C r/

 x



v/ > r 2

Figur 1.20: Hyperbel mit der Gleichung .x

u/.y

v/ D r 2

Für alle Punkte rechts-oberhalb bzw. links-unterhalb der Hyperbelkurve gilt .x

u/.y

v/ > r 2 :

52

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Spezialfall 3: Mit b D c D 0, ae ¤ 0 erhält man schrittweise ax 2 C dx C ey C f D 0 ; e f d xC yC D 0; a a a  2 d e d 2 x C xC D y a 2a a    f e d 2 yC D xC 2a a e x2 C

 2 f d ; C a 2a  d2 : 4ae

Setzt man d ; 2a

uD

rD

e ; a

vD

d2

4af ; 4ae

so ergibt sich mit .x

u/2 D r.y

v/

und

r >0

die in Figur 1.21 dargestellte Parabel mit dem Scheitelpunkt .u; v/: y

.x

.u

r; v C r/ 

u/2 < r.y

³

r  .u; v/

v/

Figur 1.21: Parabel mit der Gleichung .x Für alle Punkte oberhalb der Parabellinie gilt .x Für r D

e a

x

 .u C r; v C r/

u/2 D r.y u/2 < r.y

v/; r > 0 v/.

< 0 erhält man eine entsprechende, nach unten geöffnete Parabel.

Ersetzt man obige Annahmen durch a D c D 0, bd ¤ 0, so ergibt sich eine Parabel, die nach der x-Achse hin geöffnet ist. Diese hat die Gleichung .y v/2 D r.x u/.

1.6 Analytische Geometrie der Ebene

53

Beispiel 1.29

Für die Gleichungen bzw. Ungleichungen g1 : g2 : h1 : h2 :

2x 2 C 8x C 2y D 0 x 2 C 2y 2 C 4y C 3 D 0 x 2 y 2 C 2x C 1  0 xy 2x 1  0

erhält man durch Umformung von: g1 : x 2 C 4x C y D .x C 2/2 C y 4 D 0 eine nach unten geöffnete Parabel mit u D

2 und v D 4

g2 : x 2 C 2.y C 1/2 C 1 D 0 wegen x 2  0; .y C 1/2  0 keine reelle Lösung h1 : .x C 1/2 y 2 D .x C 1 C y/.x C 1 y/  0 einen durch zwei Geraden begrenzten Bereich h2 : x.y 2/ 1  0 einen durch eine Hyperbel begrenzten Bereich

y 

4

x2

C4

xC

yD 0

Wir stellen die Bereiche von g1 ; h1 ; h2 graphisch dar.

4



2



0

x

54

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

C

1

y

D

0

y

xC1 y >0 xC1Cy >0

x xC1 y quadratische Gleichung 2 C a1  C a0 D 0. Mit der Fallunterscheidung a12 4a0 D 0 lässt < sich die jeweilige Lösung angeben. Nachfolgend behandeln wir Beispiele für die Fälle (A) und (B). Beispiel 23.5

a) Differenzengleichung: y.x C 2/

1 y.x C 1/ 2

1 y.x/ D 0 2

Charakteristische Gleichung: 2

1  2

1 D 0 ) 1 D 1; 2 D 2

1 2

Allgemeine Lösung: x

y.x/ D c1
1 C c2



1 2

x

D c 1 C c2



1 2

x

Anfangsbedingungen: 9 > y.0/ D 0 D c1 C c2 = 2 ) c1 D ; c2 D 1 > 3 y.1/ D 1 D c1 c2 ; 2

Spezielle Lösung: 2 y.x/ D 3

2 3



1 2

x

2 3

618

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

b) Differenzengleichung: y.x C 2/

4y.x C 1/ C 4y.x/ D 0

Charakteristische Gleichung: 2

4 C 4 D 0 ) 1 D 2 D 2

Allgemeine Lösung: y.x/ D c1 2x C c2 x2x Anfangsbedingungen: 9 y.0/ D 0 D c1 C 0c2 = 1 ) c1 D 0; c2 D ; 2 y.1/ D 1 D 2c C 2c 1

2

Spezielle Lösung: y.x/ D

1 x x2 D x2x 2

1

c) Differenzengleichung: y.x C 2/

y.x C 1/ C y.x/ D 0

Charakteristische Gleichung: 2

C1D0 ) D

Allgemeine Lösung:

p 1 1˙ 1 2

y.x/ D c1 r x cos x' C c2 r x sin x' r 1 3 1 mit r D C D 1 ; cos ' D ; 4 4 2 x x C c2 sin ) y.x/ D c1 cos 3 3

 1 ip 4 D ˙ 3 2 2

sin ' D

p 3  also ' D 2 3

Anfangsbedingungen: y.0/ D 0 D

c1 C 0 p 3 1 y.1/ D 1 D c1 C c2 2 2

9 > = > ;

2 ) c1 D 0; c2 D p 3

23.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen

619

Spezielle Lösung: 2 x y.x/ D p sin 3 3 Wir stellen die speziellen Lösungen aller drei Beispiele graphisch dar (Figur 23.1). y.x/

y.x/

1

4

1 1

2

3

x

4

0

1

2

x

0 y.x/

1

0

1 2

4 5

x

1 Figur 23.1: Graphen der speziellen Lösungen aus Beispiel 23.5
x
1 x In Fall a) mit y.x/ D 23 23 21 erhalten wir wegen des Terms eine Schwin2 gung mit abnehmenden Amplituden und y.x/ ! 32 für x ! 1. Dagegen würde eine Lösung y.x/ D 23 23 . 2/x eine Schwingung mit zunehmenden Amplituden und divergierender Lösung bedeuten. In Fall b) mit y.x/ D x2x

1

nimmt die Lösungsfunktion exponentiell zu.

ergibt sich eine sinusförmige Schwingung mit gleichIn Fall c) mit y.x/ D p2 sin x 3 3 bleibenden Amplituden. Dies liegt am Koeffizienten a0 D 1 der Differenzengleichung. Für a0 > 1 würden die Amplituden zunehmen, für a0 < 1 dagegen abnehmen.

620

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Beispiel 23.6

a) Differentialgleichung: y 00 C y 0

2y D 0

Charakteristische Gleichung: 2 C 

2 D .

1/. C 2/ D 0 ) 1 D 1; 2 D

Allgemeine Lösung: y.x/ D c1 e x C c2 e

2x

Anfangsbedingungen: 9 y.0/ D 1 D c1 C c2 = 1 2 ) c1 D ; c 2 D ; 3 3 0 y .0/ D 0 D c 2c 1

2

Spezielle Lösung: y.x/ D

2 x 1 e C e 3 3

2x

b) Differentialgleichung: y 00 C 2y 0 C y D 0 Charakteristische Gleichung: 2 C 2 C 1 D . C 1/2 D 0 ) 1 D 2 D Allgemeine Lösung: x

y.x/ D c1 e

C c2 xe

x

Anfangsbedingungen: y.0/ D 2 D y 0 .0/ D 0 D Spezielle Lösung: y.x/ D 2e

x

9 c1 C 0 = ) c1 D c2 D 2 c Cc ; 1

2

C 2xe

x

D .2 C 2x/e

x

1

2

23.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen

621

c) Differentialgleichung: 1 101 y 00 C y 0 C yD0 5 100 Charakteristische Gleichung: 101 1 D0 ) D  C C 5 100 2

1 2

1 ˙ 5

r

1 25

101 25

!

D

1 ˙i 10

Allgemeine Lösung: y.x/ D c1 e y 0 .x/ D e

x 10

1 10 x



cos x C c2 e

1 10

1 10 x

sin x D e

x 10

.c1 cos x C c2 sin x/

.c1 cos x C c2 sin x/ C . c1 sin x C c2 cos x/

Anfangsbedingungen: 9 =

y.0/ D 1 D c1 C 0 1 c 10 1

0

y .0/ D 0 D Spezielle Lösung: y.x/ D e

x 10

C c2 ;

) c1 D 1; c2 D

1 10

  1 sin x cos x C 10

Wir stellen die speziellen Lösungen der Beispiele für x  0 graphisch dar (Figur 23.2). a)

b)

c) y.x/

y.x/

y.x/ 1

2

4:9



1

x 1 1

2

x

1 2 3 4

x

Figur 23.2: Graphen der speziellen Lösungen aus Beispiel 23.6

622

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

In Fall a) mit der Lösungsfunktion y.x/ D 32 e x C 13 e Lösung wächst für x  0 streng konvex gegen 1.

2x

überwiegt der Term e x . Die

In Fall b) mit y.x/ D .2 C 2x/e x überwiegt der Term e x . Die Lösungsfunktion fällt für x  1 streng konvex und geht gegen 0.
1 1 In Fall c) mit y.x/ D e 10 x cos x C 10 sin x erhalten wir eine Schwingung mit abnehmenden Amplituden wegen des Terms e

1 10 x

und die Lösungsfunktion strebt gegen 0.

Das Vorgehen lässt sich auf homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen. Mit dem Lösungsansatz y.x/ D x bzw. y.x/ D e x ist dann eine charakteristische Gleichung höherer Ordnung zu lösen (Abschnitt 1.9). Wir demonstrieren das Vorgehen mit Hilfe zweier einfacher Beispiele. Beispiel 23.7

Differenzengleichung: y.x C 3/

3y.x C 1/

2y.x/ D 0

Charakteristische Gleichung: 3

3

2 D 0 ) 1 D 2; 2 D 3 D

1

Allgemeine Lösung: y.x/ D c1 2x C c2 . 1/x C c3 x. 1/x

Beispiel 23.8

Differentialgleichung: y 0000 .x/ C y 000 .x/

y 00 .x/ C y 0

2y D 0

Charakteristische Gleichung: 4 C 3

2 C 

2 D . C 2/.

1/. C i /.

Allgemeine Lösung: y.x/ D c1 e

2x

C c2 e x C c3 cos x C c4 sin x

i/ D 0

23.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen

623

Abschließend stellen wir in Figur 23.3 zusammen, wie man zu speziellen Lösungen von homogenen linearen Differenzen- bzw. Differentialgleichungen n-ter Ordnung in Abhängigkeit der Nullstellen der charakteristischen Gleichung kommt. Nullstellen der charakteristischen Gleichung

unabhängige spezielle Lösungen der homogenen Differenzengleichung

Nullstelle 0 einfach, reell

y.x/ D x0

y.x/ D e 0 x

Nullstelle 0 k-fach, reell

yj .x/ D x j 1 x0 .j D 1; : : : ; k/

yj .x/ D x j 1 e 0 x .j D 1; : : : ; k/

Nullstellen 1 ; 2 einfach, konjugiert komplex mit 1 D ˛ C iˇ

y1 .x/ D r x cos x' y2 .x/pD r x sin x' r D ˛2 C ˇ2 ˇ ˛ cos ' D ; sin ' D r r

y1 .x/ D e ˛x cos ˇx y2 .x/ D e ˛x sin ˇx

y1j .x/ D x j 1 r x cos x' y2j .x/ D x j 1 r x sin x' .j D 1; : : : ; k/ p r D ˛2 C ˇ2 ˛ ˇ cos ' D ; sin ' D r r

y1j .x/ D x j 1 e ˛x cos ˇx y2j .x/ D x j 1 e ˛x sin ˇx .j D 1; : : : ; k/

2 D ˛

iˇ

Nullstellen 1 ; 2 k-fach, konjugiert komplex mit 1 D ˛ C iˇ 2 D ˛

iˇ

unabhängige spezielle Lösungen der homogenen Differentialgleichung

Figur 23.3: Spezielle Lösungen homogener linearer Differenzenund Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Die Fälle n D 1; 2 sind in Figur 23.3 enthalten. Für n D 1 kommt nur der erste Fall mit y.x/ D x0 oder y.x/ D e 0 x in Frage. Für n D 2 können drei Fälle auftreten (Satz 23.4): zwei einfache reelle Nullstellen, eine zweifache reelle Nullstelle oder zwei einfache konjugiert komplexe Nullstellen (Abschnitt 1.9). Die allgemeine Lösung homogener linearer Differenzen- und Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat in allen Fällen die Form (Satz 23.3) y.x/ D c1 y1 .x/ C : : : C cn yn .x/

mit c1 ; : : : ; cn 2 R beliebig :

Mit Hilfe von n Anfangsbedingungen y.0/; y.1/; : : : ; y.n

1/

bzw.

y.0/; y 0 .0/; : : : ; y .n

kann man die Konstanten c1 ; : : : ; cn festlegen.

1/

.0/

624

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

23.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen Zunächst erweitern wir den für Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung bewiesenen Satz 22.5 auf höhere Ordnungen. Satz 23.9

Gegeben sei die inhomogene lineare Differenzen- bzw. Differentialgleichung (Definition 23.1) (A) y.x C n/ C an (B)

y

.n/

.x/ C an

1 y.x

1y

Cn

.n 1/

1/ C : : : C a1 y.x C 1/ C a0 y.x/ D b.x ; /

.x/

C : : : C a1 y 0 .x/ C a0 y.x/

D b.x/ :

Ferner sei yH .x/ die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung .b.x/ D 0/ und yI .x/ eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung .b.x/ ¤ 0/. Dann ist y.x/ D yH .x/ C yI .x/ die allgemeine Lösung von (A) bzw. (B). Der Beweis ergibt sich durch Einsetzen entsprechend zu Satz 22.5. Nach Abschnitt 23.2 reicht es damit aus, spezielle Lösungen der inhomogenen Gleichung zu suchen. Dazu diskutieren wir ein Verfahren, das den Funktionstyp von b.x/ einbezieht. Da der Term b.x/ gelegentlich auch als Störglied der vorliegenden Differenzen- bzw. Differentialgleichung angesehen wird, spricht man von einem Störgliedansatz. Satz 23.10

Gegeben seien die Gleichungen der Form (A) bzw. (B) aus Satz 23.9. Bleibt der Funktionstyp von b.x/ bei Differenzbildung bzw. beim Differenzieren erhalten (z. B. für Polynome, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen), so ist dies im Ansatz eines speziellen yI .x/ zu berücksichtigen. Im Einzelnen gilt: Form von b.x/ bax bei Form (A) ax be bei Form (B) b1 sin ax C b2 cos ax bei (A) und (B) b0 C b1 x C : : : C bm x m bei (A) und (B) mit a; b; b0 ; b1 ; : : : ; bm gegeben

Ansatz für inhomogene Lösung yI .x/ zax bei Form (A) ax ze bei Form (B) z1 sin ax C z2 cos ax bei (A) und (B) z0 C z1 x C : : : C zm x m bei (A) und (B) mit a gegeben, z; z0 ; : : : ; zm unbekannt

Figur 23.4: Spezialfälle für einen Störgliedansatz

23.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen

625

Je nach Ansatz berechnen wir yI .x C 1/; yI .x C 2/; : : : ; yI .x C n/ yI0 .x/;

yI00 .x/;

bzw.

: : : ; yI.n/ .x/

und setzen in die jeweilige Gleichung ein. Dann stehen auf beiden Seiten der Gleichung Funktionen gleichen Typs. Mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs findet man entweder die gesuchten z-Werte oder man ersetzt den Ansatz yI .x/ durch xyI .x/ bzw. xyI .x/ durch x 2 yI .x/ usw. Wir demonstrieren das Vorgehen exemplarisch. Beispiel 23.11

a) Differenzengleichung: y.x C 2/

y.x C 1/ C y.x/ D x2x

Allgemeine homogene Lösung (Beispiel 23.5 c): x x yH .x/ D c1 cos C c2 sin 3 3 Störgliedansatz (Satz 23.10): yI .x/

D .z0 C z1 x/2x

yI .x C 1/ D .z0 C z1 x C z1 /2xC1

yI .x C 2/ D .z0 C z1 x C 2z1 /2xC2

Differenzengleichung für yI .x/: yI .x C 2/

yI .x C 1/ C yI .x/ D x2x

.z0 C z1 x C 2z1 /2x
4

.z0 C z1 x C z1 /2x
2 C .z0 C z1 x/2x D x2x

Koeffizientenvergleich: 2x W 4z0 C 8z1 x2x W 4z1

2z0

2z1 C z1

9 2z1 C z0 D 0 = ) z0 D D1 ;

Spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung:     1 x 2 x 2 2 C x 2x D yI .x/ D 3 3 3 3

2 1 ; z1 D 3 3

626

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung:  x x x y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D c1 cos C c2 sin C 3 3 3

 2 x 2 3

b) Differenzengleichung: 1 y.x C 1/ 2

y.x C 2/

1 3 y.x/ D 2 2

Allgemeine homogene Lösung (Beispiel 23.5 a):  x 1 yH .x/ D c1 C c2 2 Störgliedansatz (Satz 23.10): yI .x/ D z0 D yI .x C 1/ D yI .x C 2/ Differenzengleichung für yI .x/: 1 yI .x C 1/ 2

yI .x C 2/

1 yI .x/ D z0 2

1 z0 2

1 3 z0 ¤ 2 2

2. Störgliedansatz: yI .x/ D z0 x ) yI .x C 1/ D z0 x C z0

yI .x C 2/ D z0 x C 2z0

Differenzengleichung für yI .x/: z0 x C 2z0

1 .z0 x C z0 / 2

1 3 z0 x D 2 2

Koeffizientenvergleich: 1 z0 2

0

x W 2z0 x 1 W z0

1 z0 2

9 3 > > D = 2 ) z0 D 1 > 1 ; z0 D 0 > 2

Spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: yI .x/ D x Allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung:  x 1 y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D c1 C c2 Cx 2

23.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen

627

Im letzten Beispiel stellten wir fest, dass der erste Störgliedansatz yI .x/ D z0 nicht zum Ziel führt. Man multipliziert dann in einem zweiten Versuch den ursprünglichen Ansatz mit x, also yI .x/ D z0 x. Führt auch dieser Ansatz nicht zum Ziel, wählt man der Reihe nach z0 x 2 ; z0 x 3 ; : : : , bis ein Koeffizientenvergleich durchführbar ist. Beispiel 23.12

Differentialgleichung: y 00 .x/

y.x/ D e x sin x

Charakteristische Gleichung: 2

1 D 0 ) 1 D 1; 2 D

1

Allgemeine homogene Lösung: yH .x/ D c1 e x C c2 e

x

Störgliedansatz (Satz 23.10): yI .x/ D e x .z1 sin x C z2 cos x/

yI0 .x/ D e x .z1 sin x C z2 cos x/ C e x .z1 cos x x

D e ..z1

yI00 .x/ D e x ..z1

C e x ..z1

z2 sin x/

z2 / sin x C .z1 C z2 / cos x/ z2 / sin x C .z1 C z2 / cos x/ z2 / cos x

D e x .2z1 cos x

.z1 C z2 / sin x/

2z2 sin x/

Differentialgleichung für yI .x/: yI00 .x/

yI .x/ D e x sin x

e x .2z1 cos x

2z2 sin x/

e x .z1 sin x C z2 cos x/ D e x sin x

Koeffizientenvergleich: e x sin x W x

e cos x W

2z2

z1 D 1

z2 C 2z1 D 0

µ

) z1 D

1 ; z2 D 5

Spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: yI .x/ D

1 x e .sin x C 2 cos x/ 5

2 5

628

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D c1 e x C c2 e

x

1 x e .sin x C 2 cos x/ 5

Beispiel 23.13

a) In Beispiel 23.2 a hatten wir für das Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson die Differenzengleichung für das Volkseinkommen Y.t /

.a C ab/Y.t

1/ C abY.t

2/ D S

mit dem Multiplikator a und dem Akzelerator b ermittelt. Die Konstante S bezeichnete die zeitunabhängigen Staatsausgaben. Mit a D 0:5; b D 1; S D 20 erhalten wir nachfolgende Resultate. Differenzengleichung: Y.t C 2/

1 Y.t C 1/ C Y.t / D 20 2

Charakteristische Gleichung der homogenen Gleichung:  p 1 1 1 2  C D 0 )  D 1 ˙ 1 2 D .1 ˙ i / 2 2 2

Allgemeine homogene Lösung:

YH .t / D c1 r t cos t ' C c2 r t sin t ' p p r 1 1 1 2 2 C D p ; cos ' D ; sin ' D ; mit r D 4 4 2 2 2

also ' D

 4

(Satz 23.4) 

1 ) YH .t / D c1 p 2

t

cos



t 1 C c2 p 4 2

Störgliedansatz (Satz 23.10): YI .t / D z0 D YI .t C 1/ D YI .t C 2/ Differenzengleichung für YI .t /: z0

1 z0 C z0 D 20 ) z0 D 40 2

t

sin

t 4

23.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen

629

Spezielle inhomogene Lösung: YI .t / D 40 Allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: Y.t / D YH .t / C YI .t /     1 t 1 t t t D c1 p C c2 p C 40 cos sin 4 4 2 2 Anfangsbedingungen: Y.0/ D 36 ;

Y.1/ D 32

) Y.0/ D c1
1 C c2
0 C 40 D 36 ) c1 D 4 1 1 1 1 Y.1/ D c1 p p C c2 p p C 40 D 32 ) c2 D 2 2 2 2 Spezielle Lösung:   t 1 t cos Y.t / D 4 p 4 2

12

  1 t t 12 p C 40 sin 4 2

Wir erhalten den in Figur 23.5 dargestellten Verlauf. Wegen der trigonometrischen  t Ausdrücke sowie des Terms p1 ergibt sich eine Schwingung mit abnehmenden 2 Amplituden und es gilt Y.t / ! 40 für t ! 1. Y.t / 42 40 38 36 34 32 1

2

3

5

Figur 23.5: Graph der Lösung von Y.t / mit Y.0/ D 36; Y.1/ D 32

8 Y.t

10

1 1/ C Y.t / D 20 2

t

630

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Nehmen wir alternativ a D 0:8; b D 2 an, so ist die charakteristische Gleichung der homogenen Gleichung  p 1 2:4 ˙ 5:76 6:4 D 1:2 ˙ 0:4i : 2 2:4 C 1:6 D 0 )  D 2 Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist damit vom Typ p p Y.t / D c1 r t cos t ' C c2 r t sin t ' mit r D 1:22 C 0:42 D 1:6 : p t Wegen des Terms r t D . 1:6/ erhalten wir eine Schwingung mit zunehmenden Amplituden

b) In Beispiel 23.2 b hatten wir ausgehend von den Annahmen für das Angebot für die Nachfrage

x.t / D a0 C a1 p.t / C a2 p 0 .t / C a3 p 00 .t / y.t / D b0

b1 p.t /

b2 p 0 .t /

b3 p 00 .t /

im Marktgleichgewicht die Gleichung p 00 .t / C

a1 C b1 b0 a0 a2 C b2 0 p .t / C p.t / D a3 C b3 a3 C b3 a3 C b3

gefunden. Mit den Daten a0 D 20; b0 D 40; a1 D 0; b1 D b2 D b3 D a3 D 0:5; a2 D 1 erhalten wir nachfolgende Ergebnisse. Differentialgleichung: p 00 .t / C 1:5p 0 .t / C 0:5p.t / D 20 Charakteristische Gleichung der homogenen Differentialgleichung: 2 C 1:5 C 0:5 D 0 p 1 ) D 1:5 ˙ 2:25 2

Allgemeine homogene Lösung: p.t / D c1 e

t

C c2 e

 2 ) 1 D

0:5t

Störgliedansatz (Satz 23.10): pI .t / D z0 ) pI0 .t / D pI00 .t / D 0 Differentialgleichung für pI : 0:5z0 D 20 ) z0 D pI .t / D 40

1; 2 D

0:5

23.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen

631

Allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: p.t / D c1 e

t

C c2 e

0:5t

C 40

Anfangsbedingungen: 9 p.0/ D 36 D c1 C c2 C 40 = p 0 .0/ D 4 D

c1

0:5c2

Spezielle inhomogene Lösung: p.t / D

4e

t

;

) c1 D

4; c2 D 0

C 40

Die Lösungsfunktion p.t / wächst streng monoton und konkav, sie strebt für t ! 1 gegen den Wert 40 (Figur 23.6). p.t / 40

36 1

2

3

t

Figur 23.6: Graph der Lösung von p 00 C 1:5p 0 C 0:5p D 20 mit p.0/ D 36; p 0 .0/ D 4 Abschließend betrachten wir noch je eine inhomogene Erweiterung der Beispiele 23.7, 23.8. Beispiel 23.14

a) Differenzengleichung: y.x C 3/

3y.x C 1/

2y.x/ D 1

Allgemeine homogene Lösung (Beispiel 23.7): yH .x/ D c1 2x C c2 . 1/x C c3 x. 1/x

632

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Störgliedansatz: yI .x/ D z0 D yI .x C 1/ D yI .x C 2/ D yI .x C 3/ Differenzengleichung für yI .x/: z0

2z0 D 1 ) z0 D

3z0

1 4

Allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: 1 4

y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D c1 2x C c2 . 1/x C c3 x. 1/x b) Differentialgleichung: y 0000 C y 000

y 00 C y 0

2y D x

Allgemeine homogene Lösung (Beispiel 23.8): yH .x/ D c1 e

2x

C c2 e x C c3 cos x C c4 sin x

Störgliedansatz: yI0 .x/ D z1 ;

yI .x/ D z0 C z1 x ;

yI00 .x/ D yI000 .x/ D yI0000 .x/ D 0

Differentialgleichung für yI : z1

2.z0 C z1 x/ D x

Koeffizientenvergleich: x0 W

z1

x1 W

2z1

9 2z0 D 0 = ) z0 D D1 ;

1 ; z1 D 4

1 2

Spezielle inhomogene Lösung:   1 1 yI .x/ D C x 4 2

Allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D c1 e

2x

x

C c2 e C c3 cos x C c4 sin x



1 1 C x 4 2



24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung In zahlreichen Anwendungen genügen mehrere Funktionen y1 ; : : : ; yn einem System von Gleichungen, das einen Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variablen x, sowie den gesuchten Funktionen y1 ; : : : ; yn und ihren Ableitungen y10 ; : : : ; yn0 bzw. einen Zusammenhang zwischen x und den gesuchten Funktionen y1 ; : : : ; yn an den Stellen x und x C 1 beschreibt. Wir beschränken uns auf den Fall linearer Systeme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Nach grundsätzlichen Überlegungen und Beispielen (Abschnitt 24.1) diskutieren wir auch hier die Lösung homogener und inhomogener Gleichungssysteme (Abschnitte 24.2, 24.3).

24.1 Grundlagen und Beispiele Definition 24.1

Ein Gleichungssystem der Form y1 .x C 1/ D a11 y1 .x/ C : : : C a1n yn .x/ C b1 .x/ ; :: : yn .x C 1/ D an1 y1 .x/ C : : : C ann yn .x/ C bn .x/ oder in matrizieller Form y.x C 1/ D A
y.x/ C b.x/ 0 a11 B : : ADB @ : an1

:::

:::

1 a1n :: C C : A; ann

mit 1 b1 .x/ B : C : C b.x/ D B @ : A; bn .x/ 0

1 y1 .x/ B : C : C y.x/ D B @ : A yn .x/ 0

heißt lineares Differenzengleichungssystem erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

634

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Entsprechend bezeichnet man das Gleichungssystem y10 .x/ D a11 y1 .x/ C : : : C a1n yn .x/ C b1 .x/ :: : yn0 .x/ D an1 y1 .x/ C : : : C ann yn .x/ C bn .x/ oder in matrizieller Form y0 .x/ D A
y.x/ C b.x/

mit

1 y10 .x/ B : C : C y0 .x/ D B @ : A yn0 .x/ 0

als lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Für b.x/ D o nennt man die Systeme homogen, andernfalls inhomogen. Ein Vektor y.x/ von Funktionen, der das jeweilige System erfüllt, heißt Lösung oder Lösungsfunktion.

Beispiel 24.2

Auf einem Markt konkurrieren zwei Produkte A1 ; A2 . Die Matrix A1 P D

A1 A2

A2

p 1

1 q

p

mit p; q 2 h0; 1i

q

beschreibe die durchschnittlichen anteiligen Kaufübergänge zwischen den Produkten in zwei aufeinander folgenden Zeitperioden t und t C 1 (Beispiel 11.23 b, 14.11). Bezeichnen wir mit yi .t / .i D 1; 2/ den Absatz des Produktes Ai in der Zeitperiode t D 0; 1; 2; : : : , so wird die Absatzentwicklung beider Produkte durch das Differenzengleichungssystem y1 .t C 1/ D y2 .t C 1/ D .1

py1 .t / C .1 p/y1 .t / C

q/y2 .t / ; qy2 .t /

wiedergegeben. Der Absatz für Produkt A1 zum Zeitpunkt t C 1 setzt sich additiv zusammen aus dem Anteil py1 .t / des Absatzes von A1 , der in der Folgeperiode t C 1 gegenüber t für A1 erhalten bleibt, und dem Anteil .1 q/y2 .t / des Absatzes von A2 , der dem Produkt A1 zu Ungunsten von Produkt A2 zufließt. Entsprechend interpretiert man die zweite Gleichung.

24.1 Grundlagen und Beispiele

635

Nach geringfügiger Umformung erhalten wir y1 .t C 1/

y1 .t / D

.1

p/y1 .t / C .1

q/y2 .t / ;

y2 .t C 1/

y2 .t / D

.1

p/y1 .t /

q/y2 .t /

.1

und können nun das dazu passende differentielle Modell formulieren. Es hat die Form y10 .t / D

.1

p/y1 .t / C .1

q/y2 .t / ;

y20 .t / D

.1

p/y1 .t /

q/y2 .t / :

.1

Die Absatzsteigerung y1 .t C1/ y1 .t / bzw. y10 .t / für Produkt A1 setzt sich zusammen aus dem Anteil .1 q/y2 .t / des Absatzes von A2 , der auf A1 übergeht, abzüglich des Anteils .1 p/y1 .t / des Absatzes von A1 , der auf A2 übergeht. Entsprechendes gilt für die zweite Gleichung.

Beispiel 24.3

In einer Volkswirtschaft sind drei produzierende Sektoren zu jedem Zeitpunkt t durch wertmäßige Lieferungen verbunden (Beispiel 15.18). Gilt für den Sektor i .i D 1; 2; 3/ zum Zeitpunkt t .t D 0; 1; : : :/ yi .t / D yi1 .t / C yi2 .t / C yi3 .t / ; so wird der Gesamtoutput yi .t / von Sektor i additiv auf die drei Sektoren aufgeteilt. Wird ferner der wertmäßige Bedarf yij .t C 1/ von Sektor j an Produkten von i im Zeitpunkt t C 1 als lineare Funktion von yj .t / angenommen, so gilt ferner: yij .t C 1/ D bij C aij yj .t /

.i; j D 1; 2; 3/

Dabei bedeutet bij den Bedarf von Sektor j an Produkten von i im Zeitpunkt t C 1, wenn Sektor j im Zeitpunkt t nicht produziert hat, aij

den zusätzlichen Bedarf von Sektor j an Produkten von i im Zeitpunkt t C 1 für jede Einheit, die Sektor j im Zeitpunkt t produziert hat.

Für den Gesamtoutput yi .t C 1/ gilt dann: yi .t C 1/ D bi1 C bi2 Cbi3 C ai1 y1 .t / C ai2 y2 .t / C ai3 y3 .t / D

bi

C ai1 y1 .t / C ai2 y2 .t / C ai3 y3 .t /

mit bi D bi1 C bi2 C bi3

.i D 1; 2; 3/

636

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

0 1 0 y1 .t / a11 B C B B C B Mit y.t / D @y2 .t /A; A D @a21 y3 .t / a31

y.t C 1/ D Ay.t / C b bzw.

a12 a22 a32

a13

1

C a23 C A; a33

y.t C 1/

0 1 b1 B C B b D @b2 C A ergibt sich in Matrixform b3

y.t / D .A

E/y.t / C b :

Damit erhalten wir das entsprechende differentielle Modell y0 .t / D .A

E/y.t / C b :

24.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme Entsprechend zu Abschnitt 23.2 (Satz 23.3, 23.4) analysieren wir zunächst die Struktur der allgemeinen Lösung homogener Systeme mit konstanten Koeffizienten und formulieren anschließend ein Lösungsverfahren für Systeme erster Ordnung. Satz 24.4

A sei eine n  n-Matrix. Das homogene lineare Differenzengleichungssystem (C) y .x C 1/ D Ay.x/

bzw. das homogene lineare Differentialgleichungssystem (D) y0 .x/ D Ay.x/ besitze jeweils spezielle Lösungen der Form y1 .x/; : : : ; yn .x/. Bildet man in beiden Fällen (C) und (D) die Wronskimatrizen W D .y1 .0/; : : : ; yn .0//

bzw.

W.x/ D .y1 .x/; : : : ; yn .x// ;

so gilt det W ¤ 0 bzw. det W.x/ ¤ 0 für alle x genau dann, wenn die entsprechenden Zeilen bzw. Spalten der Matrix linear unabhängig sind (Definition 13.17, Satz 17.14). Die allgemeine Lösung der Systeme (C) bzw. (D) hat dann die Form y.x/ D c1 y1 .x/ C : : : C cn yn .x/

mit

c1 ; : : : ; cn 2 R beliebig .

Zum Beweis verweisen wir für den Fall (C) auf [Mickens, S. 173–176] bzw. für den Fall (D) auf [Erwe, S. 75, 76].

24.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme

637

Satz 24.5

Gegeben sei das homogene lineare Differenzengleichungssystem erster Ordnung (C) y .x C 1/ D Ay.x/ sowie das homogene lineare Differentialgleichungssystem erster Ordnung (D) y0 .x/ D Ay.x/ : Mit dem Lösungsansatz bzw.

y.x/ D x d y.x/ D e

x

d

mit  ¤ 0; d ¤ o

mit d ¤ o

für (C) für (D)

ergibt sich das lineare Gleichungssystem .A E/ d D o; d ¤ o durch Einsetzen in (C) bzw. (D). Wir erhalten ein Eigenwertproblem der Matrix A (Definition 18.3) mit dem Eigenwert  und dem Eigenvektor d. Aus der charakteristischen Gleichung (Definition 18.7) det.A E/ D 0 ergeben sich n reelle bzw. komplexe Eigenwerte 1 ; : : : ; n (Abschnitt 1.9, (1.53), (1.54)) und aus der Lösung der Gleichungssysteme .A  E/ d D o . D 1; : : : ; n/ anschließend n linear unabhängige Eigenvektoren (Satz 18.11), die ebenfalls reell oder komplex sind. a) Für paarweise verschiedene reelle Eigenwerte erhalten wir n spezielle linear unabhängige Lösungen y .x/ D x d

. D 1: : : : ; n/

bzw. y .x/ D e  x d . D 1: : : : ; n/ die das jeweilige Ausgangssystem erfüllen.

für (C) für (D) ,

b) Bei konjugiert komplexen Eigenwerten und Eigenvektoren können wir die MoivreFormeln wie in Satz 23.4 c bzw. die Eulersche Formel (Satz 9.16) anwenden, also gilt y .x/ D .˛ ˙ iˇ/x d D r x .cos x' ˙ i sin x'/ d bzw. y .x/ D e .˛˙iˇ /x d

D e ˛x .cos ˇx ˙ i sin ˇx/ d

für (C) für (D) .

Da die Eigenvektoren d1 ; : : : ; dn bis auf eine multiplikative Konstante bestimmbar sind, hat die allgemeine Lösung in den Fällen a) und b) die Form y.x/ D y1 .x/ C : : : C yn .x/ :

638

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

c) Tritt mindestens ein Eigenwert mehrfach auf, so ist der Lösungsansatz zu modifizieren. Für den k-fachen Eigenwert  D 1 D : : : D k und die entsprechenden linear unabhängigen Eigenvektoren d1 ; : : : ; dk setzt man y.x/ D x .d1 C xd2 C : : : C x k

1

dk /

für (C)

bzw. y.x/ D e x .d1 C xd2 C : : : C x k 1 dk / für (D) und erhält damit spezielle Lösungen von (C) bzw. (D). Führt man einen Koeffizientenvergleich für alle x 0 ; x 1 ; : : : ; x k 1 durch, so ergibt sich ein Gleichungssystem mit n
k Gleichungen und den Unbekannten d1 ; : : : ; dk 2 Rn . Daraus lassen sich die Vektoren d1 ; : : : ; dk eindeutig bis auf eine multiplikative Konstante bestimmen. Schließlich erhält man auch hier die allgemeine Lösung des homogenen Systems aus der Summe aller speziellen Lösungen.

Für alle behandelten Fälle geben wir wieder Rechenbeispiele an. Beispiel 24.6

a) Homogenes Differenzengleichungssystem: y1 .x C 1/ D 3y1 .x/ C y2 .x/ y2 .x C 1/ D y1 .x/ C y2 .x/ Eigenwerte von A: det

3

 1

1 1

!



D .3

/.1

/ C 1 D 4

) 1 D 2 D 2 Lösungsansatz: y.x/ D d1 2x C d2 x2x D

d11 d12

!

2x C

d21 d22

!

x2x

4 C 2 D 0

24.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme

639

Differenzengleichungssystem für y.x/: ! ! d11 xC1 d21 2 C .x C 1/2xC1 d12 d22 " ! ! # d11 d21 x D2
2 C .x C 1/ d12 d22 !" ! ! # 3 1 d11 x d21 x D 2 C x2 1 1 d12 d22 " !" ! ! ## 3 1 d d 11 21 D 2x C x 1 1 d12 d22 Koeffizientenvergleich: x2x W 2x W

9 2d21 D 3d21 C d22 = ) d22 D d21 2d22 D d21 C d22 ; 9 2.d11 C d21 / D 3d11 C d12 = d12 D 2d21 d11 ; ) wegen d22 D d21 2.d12 C d22 / D d11 C d12 ;

Allgemeine Lösung:

y.x/ D d1 2x C d2 x2x D mit

d11 2d21

d11

!

2x C

d21 d21

d11 ; d21 2 R beliebig

Anfangsbedingungen beispielsweise: 9 = y1 .0/ D 1 D d11 ) d11 D 1; d21 D 2 y .0/ D 3 D 2d d ; 2

21

11

Spezielle Lösung des Systems: ! ! 1 x 2 y.x/ D 2 C x2x 3 2

!

x2x

640

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

b) Homogenes Differenzengleichungssystem: y1 .x C 1/ D

y1 .x/ C y2 .x/

y2 .x C 1/ D

y1 .x/

Eigenwerte von A: det

1



1

1

) 1 D

!



i 2

1 1 2

1 C

/ C 1 D 1

.1

1 1 ip 3; 2 D C 2 2 2

Eigenvektoren: p i 1 3 2 2

1 2

D

p 3

1

i 2

p 3

1

1 2

!

p C 3 i 2

ip 3 2

d11 d12

!

 C 2 D 0

!

D

!

D

d21 d22

! 0

) d1 D d11

0

) d2 D d21

0 ! 0

1 1 2

C

i 2

1 1 2

i 2

p p

!

3 !

3

Moivre-Formeln:     ip x  x x x 1 C C i sin D cos x1 D 3 D 1
cos C i sin 2 2 3 3 3 3 ! Spezielle Lösung:  1 x x  x 1 y .x/ D 1 d1 D cos C i sin d11 p 1 3 3 C 2i 3 2 1 0 x C i sin cos x 3 3  A d11 p p D@ 1 3 3 x x 1 x x cos sin C i sin C cos 2 3 2 3 2 3 2 3

Allgemeine Lösung: y.x/ D d11

cos x 3 1 2

cos x 3

p 3 2

sin x 3

mit d11 ; d21 2 R beliebig

!

C d21

sin x 3 1 2

sin x C 3

p 3 2

cos x 3

!

24.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme

641

Beispiel 24.7

a) Homogenes Differentialgleichungssystem: y10 .x/ D y20 .x/

y2 .x/

D

5y1 .x/

4y2 .x/

Eigenwerte: det

0



1

5

) D Eigenvektoren:

4



!

1

i

2

d12 d21

i

d22

/ C 5 D 5 C 4 C 2 D 0

. 4 20

d11

2Ci ! 1

5

5

D

p 1 4 ˙ 16 2

2Ci 2

!

! !



) 1 D

0

D

0 0

D

0

! !

i; 2 D

2

2Ci

1

) d1 D d11

2

i

1

) d2 D d21

2Ci

! !

Eulersche Formel: e 1 x D e .

2 i/x

De

2x

.cos. x/ C i sin. x// D e

Spezielle Lösung: 1

y .x/ D e

1 x

d1 D e

D d11 e

2x

.cos x

i sin x/ cos x

2x

. 2 cos x

y.x/ D d11 e mit

cos x 2 cos x

2

i

sin x

!

!

C d21 e

d11 ; d21 2 R beliebig

Anfangsbedingungen beispielsweise: 9 = y1 .0/ D 1 D d11 d11 D 1 ) ; d21 D 2 y2 .0/ D 0 D 2d11 d21

2x

.cos x

i sin x/

d11 !

i sin x

sin x/ C i.2 sin x

Allgemeine Lösung: 2x

1

2x

cos x/

sin x 2 sin x

cos x

!

642

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Spezielle Lösung des Systems: cos x

2x

y.x/ D e

2 cos x

sin x

!

2e

sin x

2x

2 sin x

cos x

!

b) Homogenes Differentialgleichungssystem (Beispiel 24.6 a): y10 .x/ D 3y1 .x/ C y2 .x/ y20 .x/ D

y1 .x/ C y2 .x/

Eigenwerte: det

3

 1

1 1

!



D .3

/ C 1 D 4

/.1

4 C 2 D .

) 1 D 2 D 2 Lösungsansatz: y.x/ D d1 e 2x C d2 xe 2x ) y0 .x/ D 2d1 e 2x C d2 e 2x C 2d2 xe 2x Differentialgleichungssystem für y.x/: ! ! d21 2x d11 2x e e C .1 C 2x/ 2 d22 d12 !# ! " d21 d11 e 2x C .1 C 2x/ D 2 d22 d12 !" ! ! # 3 1 d11 2x d21 2x D e C xe 1 1 d12 d22 !" ! ! # 3 1 d11 d21 D C x e 2x 1 1 d12 d22 Koeffizientenvergleich: xe 2x W e 2x W

9 2d21 D 3d21 C d22 = 2d D d C d ; 22

21

) d22 D

22

d21

9 2d11 C d21 D 3d11 C d12 = ) d12 D d21 2d C d D d C d ; 12

22

11

12

d11

2/2 D 0

24.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme

643

Allgemeine Lösung des Systems: y.x/ D d1 e

2x

mit

C d2 xe

2x

D

d11 d21

d11

!

e

2x

d21

C

d21

!

xe 2x

d11 ; d21 2 R beliebig

Beispiel 24.8

a) Wir behandeln nun ! nochmals die Aufgabenstellung von Beispiel 24.2 mit der Matrix 0:8 0:2 PD und den Anfangsbedingungen y1 .0/ D 60; y2 .0/ D 80. 0:5 0:5 Im Einzelnen erhalten wir damit nachfolgende Ergebnisse. Differenzengleichungssystem: y1 .t C 1/ D 0:8y1 .t / C 0:5y2 .t / y2 .t C 1/ D 0:2y1 .t / C 0:5y2 .t / Eigenwerte: 0 0:8  det @ 0:2

0:5 0:5

1

A D .0:8  D 0:3

/.0:5

/

1:3 C 2 D 0

9 > > > = 0:1 > > > > > ;

Eigenvektoren: 0:2

0:5

0:2

0:5

0:5

0:5

0:2

0:2

! !

d11 d12 d21 d22

! !

D D

0 0 0 0

! !

) d1 D ) d2 D

d11 2 d 5 11

!

d21 d21

!

)

1 D 1,

2 D 0:3

644

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Allgemeine Lösung: y.t / D 1t d1 C 0:3t d2 ! 1 D d11 2 C d21 0:3t

1 1

5

!

mit

d11 ; d21 2 R beliebig

Anfangsbedingungen: 9 > =

y1 .0/ D 60 D d11 C d21 ) d11 D 100; d21 D 2 ; y2 .0/ D 80 D d11 d21 > 5

40

Spezielle Lösung:

40
0:3t

y1 .t / D 100

y2 .t / D 40 C 40
0:3t Wertetabelle:

t

0

1

2

y1 .t /

60

88

96:4

y2 .t /

80

52

43:6

!1 100 40

Das Ergebnis erklärt sich aus der Übergangsmatrix P. Obwohl die Ausgangssituation für Produkt 2 günstiger ist als für Produkt 1, verändert sich dies schon nach einer Periode. Die Absatzfunktionen nähern sich rasch ihren Grenzwerten lim y1 .t / D 100 ;

lim y2 .t / D 40 :

t!1

t!1

b) Betrachten wir das entsprechende differentielle Modell, so erhalten wir bei Übernahme der gegebenen Daten ähnliche Resultate. Differentialgleichungssystem: y10 .t / D

0:2y1 .t /C 0:5y2 .t /

y20 .t / D

0:2y1 .t /

0:5y2 .t /

Eigenwerte: det

0:2



0:2

) 1 D 0; 2 D

0:5 0:5 0:7

!



D .0:2 C /.0:5 C /

0:1 D 0:7 C 2 D 0

24.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme

645

Eigenvektoren: 0:2

0:5

0:2

0:5

0:5

0:5

0:2

0:2

! !

d11 d12 d21 d22

!

! 0

D

!

0 ! 0

D

0

) d1 D

d11 2 d 5 11

) d2 D

!

d21 d21

!

Allgemeine Lösung: y.t / D e 0 d1 C e 0:7t d2 ! 1 D d11 2 C d21 5

! 1

1

e

0:7t

mit

d11 ; d21 2 R beliebig

Anfangsbedingungen: 9 y1 .0/ D 60 D d11 C d21 = y2 .0/ D 80 D 25 d11

d21 ;

Spezielle Lösung: 40e

0:7t

y2 .t / D 40 C 40e

0:7t

y1 .t / D 100

Wertetabelle:

) d11 D 100; d21 D

t

0

1

2

y1 .t /

60

80:1

90:1

y2 .t /

80

59:9

49:9

40

!1 100 40

Die Lösung des Differenzenmodells (Beispiel 24.8 a) konvergiert schneller gegen die Werte 100 bzw. 40 als die Lösung des Differentialmodells. Dies ist damit zu begründen, dass im ersten Fall die Zeit diskret, im zweiten Fall kontinuierlich betrachtet wird.

646

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

24.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme Entsprechend zu Abschnitt 23.3 erweitern wir den für Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung bewiesenen Satz 22.5 auf Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung. Satz 24.9

Gegeben sei das inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssystem (Definition 24.1) (C)

y.x C 1/ D Ay.x/ C b.x/ ;

(D) y0 .x/

D Ay.x/ C b.x/ :

Ferner sei yH .x/ die allgemeine Lösung des homogenen Systems .b.x/ D o/ und yI .x/ eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems .b.x/ ¤ o/. Die allgemeine Lösung von (C) und (D) ist dann y.x/ D yH .x/ C yI .x/: Der Beweis ergibt sich durch Einsetzen entsprechend zu Satz 22.5. Nach Abschnitt 23.3 reicht es auch hier aus, eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems zu suchen. Dazu modifizieren wir den Störgliedansatz 23.10 für Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung geringfügig. Satz 24.10

Gegeben seien die Systeme der Form (C) und (D) aus Satz 24.9. Ferner unterstellen wir für jede Komponente des Störvektors b.x/ eine der Formen aus Figur 23.4. Verknüpft man alle vorkommenden Komponenten von b.x/ additiv, so erhält man daraus den Ansatz für jede Komponente der inhomogenen Lösung yI .x/ nach Figur 23.4. Je nach Ansatz berechnet man yI .x C 1/ im Fall (C) bzw. yI0 .x/ im Fall (D), setzt in das entsprechende System ein und führt einen Koeffizientenvergleich durch.

Beispiel 24.11

Inhomogenes Differenzengleichungssystem: y1 .x C 1/ D y1 .x/ C 2y2 .x/ C 4 y2 .x C 1/ D 3y1 .x/ C 2y2 .x/ C 2x

24.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme

Eigenwerte von A: 1 0 1  2 A D .1 det @ 3 2  D

4

Eigenvektoren: 2

2

3

3

3

2

3

2

! !

d11 d12 d21 d22

! !

D D

0 0 0 0

/.2

/

9 > > > = 6>

) 1 D

> > > > 2 3 C  D 0 ;

!

) d1 D

!

) d2 D

d11

647

1; 2 D 4

!

d11 ! d21

3 d 2 21

Allgemeine Lösung des homogenen Systems: ! ! 1 1 x x x x yH .x/ D d1 . 1/ C d2 4 D d11 . 1/ C d21 3 4 1 2 mit

d11 ; d21 2 R beliebig

Störgliedansatz unter Berücksichtigung beider Störterme 4; 2x (Satz 24.10): ! ! z10 C z11 2x z10 C z11 2xC1 yI .x/ D ) yI .x C 1/ D z20 C z21 2x z20 C z21 2xC1 Differenzengleichungssystem für yI .x/: ! ! z10 C z11 2x C 2.z20 C z21 2x / C 4 z10 C z11 2xC1 D 3.z10 C z11 2x / C 2.z20 C z21 2x / C 2x z20 C z21 2xC1 Koeffizientenvergleich: x0 W 2x W

9 z10 D z10 C 2z20 C 4 = ) z20 D ; z20 D 3z10 C 2z20 9 = 2z11 D z11 C 2z21 ) z11 D 2z D 3z C 2z C 1 ; 21

11

21

2; z10 D 1 ; z21 D 3

2 3 1 6

648

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Spezielle Lösung des inhomogenen Systems: ! 2 1
2x 3 3 yI .x/ D 2 61
2x Allgemeine Lösung des inhomogenen Systems: ! ! 1 1 x x y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D c1 . 1/ C c2 3 4 C 1 2

2 3

Beispiel 24.12

Differentialgleichungssystem: y10 .x/ D y1 .x/ C y2 .x/ y20 .x/ D 4y1 .x/

4e x

2y2 .x/ C 6x

1

Eigenwerte von A: 1

det

 4

1 2

!



D .1

/

4

6 C  C 2 D .

D ) 1 D 2; 2 D

/. 2

2/. C 3/ D 0

3

Eigenvektoren: 1 4 4 4

! ! 1 d11

4

d12

! ! 1 d21 1

d22

D D

0 0 0 0

! !

) d1 D ) d2 D

d11 d11

!

d21 4d21

Allgemeine Lösung des homogenen Systems: ! 1 2x 2x 3x y.x/ D d1 e C d2 e D d11 e C d21 1 mit d11 ; d21 2 R beliebig

!

! 1

4

e

3x

2

1 3 1 6


2x
2x

!

24.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme

649

Störgliedansatz unter Berücksichtigung beider Störterme 4e x , 6x 1 (Satz 24.10): ! ! z11 C z12 e x z10 C z11 x C z12 e x 0 ) yI .x/ D yI .x/ D z21 C z22 e x z20 C z21 x C z22 e x Differentialgleichungssystem für yI .x/: ! z11 C z12 e x z21 C z22 e x

D

z10 C z20 C . z11 C z21 /x C . z12 C z22 /e x

4z10

2z20 C .4z11

2z21 /x C .4z12

4e x

2z22 /e x C 6x

Koeffizientenvergleich: ex W

x1 W

x0 W

z12 D z12 C z22 z22 D 4z12

2z22

0 D z11 C z21

9 4 = ) z22 D 4; z12 D 3 ; 9 =

) z11 D 1; z21 D 1 2z21 C 6 ; 9 = D z10 C z20 ) z10 D 0; z20 D 1 D 4z 2z 1 ;

0 D 4z11 z11 z21

10

20

Spezielle Lösung des inhomogenen Systems: ! x C 3e x yI .x/ D 1 C x C 4e x

Allgemeine Lösung des inhomogenen Systems: y.x/ D yH .x/ C yI .x/ ! 1 2x D c1 e C c2 1

1 4

!

e

3x

C

x C 3e x

1 C x C 4e x

!

!

1

650

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Beispiel 24.13

a) Wir behandeln nochmals die Aufgabenstellung von Beispiel 24.3 mit der Matrix A und dem Endverbrauch b.t / mit 0 1 0 1 0:3 0:2 0:1 1 B C B C C B C ADB ; b.t / D @ 0 0:3 0:2A @0:3A 0 0 0:5 1 und den Anfangsbedingungen y1 .0/ D y2 .0/ D y3 .0/ D 0. Differenzengleichungssystem:

y1 .t C 1/ D 0:3y1 .t / C 0:2y2 .t / C 0:1y3 .t / C 1 y2 .t C 1/ D

0:3y2 .t / C 0:2y3 .t / C 0:3

y3 .t C 1/ D

0:5y3 .t / C 1

Eigenwerte von A: 0 0:3  0:2 B det B 0:3  @ 0 0 0

0:1

1

C 0:2 C A D .0:3 0:5 

/2 .0:5

/ D 0

) 1 D 0:5; 2 D 3 D 0:3

Eigenvektor zu 0 0:2 B B 0 @ 0

1 D 0:5: 1 10 1 0 3 d13 0:2 0:1 d11 2 C CB C B C B C B 0:2 0:2C A @d12 A D o ) d1 D @ d13 A d13 0 0 d13

Neuer Lösungsansatz für 2 D 3 D 0:3: y.t /

D 0:3t d2 C 0:3t t d3

) y.t C 1/ D 0:3
0:3t d2 C 0:3
0:3t .t C 1/d3

24.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme

651

Differenzengleichungssystem für y.t /: 0 1 0 1 d31 d21 B C B C t C C B C 0:3
0:3 .t C 1/ y.t C 1/ D 0:3
0:3t B @d32 A @d22 A d33 d23 0 0 11 1 00 1 d21 0:3 0:2 0:1 d31 B B CC t C BB C B B C B B C C D @ 0 0:3 0:2A @@d22 A C t @d32 C AA 0:3 0 0 0:5 d23 d33 Koeffizientenvergleich:

0:3t t W

0:3t W

9 > > 0:3d31 D 0:3d31 C 0:2d32 C 0:1d33 > > = 0:3d32 D 0:3d32 C 0:2d33 > > > > 0:3d33 D 0:5d33 ;

d33 D 0; ) d32 D 0; d31 2 R

0:3d21 C 0:3d31 D 0:3d21 C 0:2d22 C 0:1d23

0:3d22 C 0:3d32 D

0:3d22 C 0:2d23

0:3d23 C 0:3d33 D

0:5d23

Allgemeine Lösung des homogenen Systems: yH .t / D 0:5t d1 C 0:3t d2 C 0:3t t d3 0 1 0 1 0 1 3 d d31 d 13 21 B2 C B C B C t B t B t B3 C C D 0:5 @ d13 A C 0:3 @ 2 d31 A C 0:3 t @ 0 C A 0 0 d13

Störgliedansatz: 0 1 z10 B C C yI .t / D B @z20 A z30

9 > > > > =

d23 D 0; 3 ) d22 D d31 ; > 2 > > > ; d21 2 R

652

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Differenzengleichungssystem für yI .t /: 0 1 z10 B C C yI .t C 1/ D B @z20 A D AyI .t / C b.t / z30 0 10 1 0 1 z10 0:3 0:2 0:1 1 B CB C B C B B C C B D @ 0 0:3 0:2A @z20 A C @0:3C A 0 0 0:5 z30 1 ) z30 D 2; z20 D 1; z10 D 2

Spezielle Lösung des inhomogenen Systems: 0 1 2 B C B yI .t / D @1C A 2

Allgemeine Lösung des inhomogenen Systems: y.t / D yH .t / C yI .t / 1 0 1 0 1 0 1 0 3 d31 d21 d13 2 2 C B C B C B C B t B t B3 C C C B C C 0:3 t C 0:3 C D 0:5t B @ 0 A @1A @ 2 d31 A @ d13 A 0 0 2 d13

Anfangsbedingungen:

3 d13 C d21 C 2 2 3 y2 .0/ D 0 D d13 C d31 C 1 2 y3 .0/ D 0 D d13 C2 y1 .0/ D 0 D

9 > > > > = > > > > ;

) d13 D

2; d31 D

Spezielle Lösung des inhomogenen Systems: 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 3 2 3C B B C B C B C t t t B B C B C B C y.t / D 0:5 @ 2C A C 0:3 @1A C 0:3 t @ 0 A C @1A 0 2 2 0

2 ; d21 D 1 3

24.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme

Wertetabelle:

653

!1

t

0

1

2

y1 .t /

0

1

1:46

y2 .t /

0

0:3

0:59

1

y3 .t /

0

1

1:5

2

2

Bedingt durch den gegebenen Endverbrauch wächst die Produktion streng monoton mit lim y1 .t / D 2 ;

lim y2 .t / D 1 ;

t!1

t!1

lim y3 .t / D 2 :

t!1

b) Zur Lösung des entsprechenden differentiellen Modells wählen wir einen anderen Weg. Da mit dem Differenzengleichungssystem auch das korrespondierende Differentialgleichungssystem: y10 .t / D

0:7y1 .t / C 0:2y2 .t / C 0:1y3 .t / C 1

y20 .t / D y30 .t /

0:7y2 .t / C 0:2y3 .t / C 0:3

D

0:5y3 .t / C 1

Dreiecksgestalt besitzt, kann man die drei Gleichungen auch sukzessive lösen. Man beginnt mit der dritten Gleichung, setzt die Lösungen in die zweite Gleichung und deren Lösung in die erste Gleichung ein. Damit hat man drei separate lineare Differenzen- bzw. Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wir erhalten nach Satz 22.12 bzw. Figur 22.5: y30 .t / D

0:5y3 .t / C 1

y3 .t / D 2 C .y3 .0/

0:5t

2/e

D2 1

e

0:5t




für y3 .0/ D 0


0:7y2 .t / C 0:4 1 e 0:5t C 0:3   Z
0:7t 0:5t 0:7t 0:7 0:4e e dt c1 C y2 .t / D e   Z
0:7e 0:7t 0:4e 0:2t dt D e 0:7t c1 C

y20 .t / D

D c1 e

0:7t

Mit y2 .0/ D c1 C 1 y2 .t / D 1

2e

C1

2e

0:5t

2 D 0 bzw. c1 D 1 folgt 0:5t

Ce

0:7t

:

654

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

y10 .t / D

0:7y1 .t / C 0:2 1 C e

0:7t

2e

0:5t




C 0:1
2 1

e

0:7y1 .t / C 0:2e 0:7t 0:6e 0:5t C 1:4   Z
0:2e 0:7t 0:6e 0:5t C 1:4 e 0:7t dt y1 .t / D e 0:7t c1 C   Z
0:2 0:6e 0:2t C 1:4e 0:7t dt D e 0:7t c1 C D

D c1 e

Mit y1 .0/ D c1 y1 .t / D 2

0:7t

C 0:2t e

0:7t

0:5t




C1

C2

3 C 2 D 0 bzw. c1 D 1 folgt 3e

0:5t

C .1 C 0:2t /e

Wir erhalten die Lösung 0 1 0 1 3 y1 .t / @ @ A y.t / D y2 .t / D 2A e 2 y3 .t / Wertetabelle:

3e

0:5t

t y1 .t / y2 .t / y3 .t /

0 0 0 0

1 0:78 0:28 0:79

0:5t

0:7t

:

0 1 1 C 0:2t C @ 1 Ae 0

2 1:24 0:51 1:26

0:7t

0 1 2 @ C 1A : 2

!1 2 1 2

Man kann nun selbstverständlich auch lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme höherer Ordnung behandeln. Da aber jede einzelne Differenzen- bzw. Differentialgleichung höherer Ordnung in ein System erster Ordnung übergeführt werden kann, lässt sich bei jeder Aufgabenstellung der genannten Art ein – wenn auch umfangreiches – System erster Ordnung erreichen. Diese Überlegungen sollen nicht weiter vertieft werden.

Stichwortverzeichnis A Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151, 161, 519 -bijektive . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 155, 161, 161, 427 -Differenz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 -Graph von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 -identische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 -injektive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153, 155, 161, 427 -inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157, 428 -lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 -Produkt von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 -reellwertige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161, 519 -Summe von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 -surjektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 155, 161, 427 -zusammengesetzte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227, 239, 529, 542 -erste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 -höhere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 -in Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 -partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529, 542 Absolutbetrag -von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 -von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 65, 66 Abszissenachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Achse -imaginäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 -reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Addition -von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325, 329 -von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 -von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 7, 63 Additionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283, 305 Änderung -mittlere relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 -prozentuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244, 533 -relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Änderungsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 -partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88, 116, 123 Äquivalenzklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Äquivalenzrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138, 147 Allaussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94, 118 Amoroso-Robinson-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 66, 151, 161, 519 arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

Assoziativgesetz -bei Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329, 332, 336 -bei Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 -bei Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Aufteilungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Austauschsatz von E. Steinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Basisaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Basislösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416, 453 Basistransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Basisvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416, 453, 458 Basisvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Bedingung -hinreichende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 -notwendige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Behauptung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Beschränkungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Betafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 97 -direkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 -indirekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 bijektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 155, 161, 427 Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151, 161, 519 Bildbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Binomialkoeffizient n über k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 binomische Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7 -endlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 -ganzzahliger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 -nicht ganzzahliger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 -unendlich-nichtperiodischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 -unendlich-periodischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

C Cantor, G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Cardano, H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Cauchy-Schwarz-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

656

Cobb, C. W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 Cobb-Douglas-Produktionsfunktion . . . . . . . . . . 521, 525 Cobwebmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595, 602 Cramer, G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

D definit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512, 518, 551, 553, 568 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Definitionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151, 161, 519 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473, 476 -Addition von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 -Entwicklung von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 -Multiplikation von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Dezimalbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Dezimalzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Diagonalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592, 593 Differentialgleichung erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 -mit trennbaren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 Differentialgleichung erster Ordnung, linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593, 610 -allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606, 610 -homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 -inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Differentialgleichung höherer Ordnung, linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 -allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 -homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 -inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 Differentialgleichungssystem erster Ordnung, linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 -allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 -homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634, 651 -inhomogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634, 652 Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227, 239 Differenz -der abhängigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 -der unabhängigen Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . .227 -von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 -von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 -von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 63 Differenzenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Differenzengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592, 593 Differenzengleichung erster Ordnung, linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591, 593 -allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 -homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 -inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Differenzengleichung höherer Ordnung, linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 -allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 -homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 -inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

Stichwortverzeichnis

Differenzengleichungssystem erster Ordnung, linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 -allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 -homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 -inhomogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 Differenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226, 529 differenzierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228, 547 -in Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 -partiell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529, 542 -stetig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 -stetig partiell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 -total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 Differenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85, 116, 123 Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Distributivgesetz -bei Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332, 336 -bei Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 -bei Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Dividend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Division von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 63 Divisor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Doppelindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Doppelintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 Douglas, P. H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 Dreiecksmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Dualitätssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 Durchschnittsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118, 123

E Eckpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496, 637 Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496, 637 Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496, 637 Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Einheitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 elastisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 -mittlere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 -partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 Elemente einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107, 108 -größte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 -kleinste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Endtableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 Entscheidungsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Entwicklungssatz für Determinanten . . . . . . . . . . . . . . 478 Erlösfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Euler, L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 538 Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Eulersche Homogenitätsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 Eulersche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 15, 209 Existenzaussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94, 118

Stichwortverzeichnis

Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 -Basis von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 -rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 186 -reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188, 189, 524 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 40 Extremalstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 -globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549, 554 -lokale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249, 549, 554 Extremalwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

F Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 22 Faktorbedarfsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 Faktorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 Fakultät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fallunterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Folgen -Addition von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 -arithmetische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 -beschränkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 -divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 -Division von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 -endliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 -geometrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 -Glieder von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 -Grenzwert von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202, 210 -Häufungspunkt von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 -konvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 -Limes von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 -Multiplikation von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 -Subtraktion von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 -unendliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Form -quadratische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512, 526 -vom Grade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 -Addition von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 -beschränkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 -bijektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 -diskrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 -Division von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 -echt-gebrochen-rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 -ganzrationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 -gebrochen-rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 -gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 -Gradient von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 -Grenzwert von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210, 227, 529 -homogen vom Grade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524, 538 -implizite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 -injektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 -inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 -konkave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 253 -konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

657

-kontinuierliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 -konvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 -konvexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 253 -logistische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236, 597 -mittelbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 -(streng) monoton fallende . . . . . . . . . . 168, 251, 550 -(streng) monoton wachsende . . . . . . . . 168, 251, 550 -Multiplikation von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 -periodische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 -rationale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179, 524 -reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151, 519 -Sprung von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214, 225 -Steigung von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227, 529 -stetig fortsetzbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 -stetige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 -Subtraktion von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 -surjektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 -transzendente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187 -trigonometrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193, 524 -ungerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 -zusammengesetzte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Funktionswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151, 161, 519

G Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 ganzzahliger Anteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Gauß, C. F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 70, 383, 399 Gaußalgorithmus . . . . . . . . . . . . . 383, 399, 416, 431, 455 Gaußklammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 -obere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 -untere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Gaußsche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Gegenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Gesamtfläche -absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Gewinnfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Gleichheitszeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 -n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 -biquadratische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 -charakteristische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501, 615, 637 -lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 42, 395, 442 -quadratische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 49, 68 Gleichungssystem -homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395, 405, 406 -inhomogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395, 405, 411 -lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395, 396, 404, 405, 564 Gradient einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531, 553 Gradmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55, 193 Graph einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Grenzaufwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 Grenzkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262–264 -partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 Grenznutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Grenzproduktivität -partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534, 540, 542

658

Stichwortverzeichnis

Grenzrate der Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540, 542 Grenzumsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236, 263 Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202, 210 Grundmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Isodeckungsbeitragslinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 Isokostenlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449, 523 Isonutzenkurven, Isonutzenlinien . . . . . . . . . . . . 139, 144

H

K

Häufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Halbraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Harrod, R. F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Hauptunterdeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516, 553 Hesse, O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 Hessematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544, 550, 553, 568 homogen vom Grade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524, 538 homogenes Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Hospital, G. F. A. de l’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Hyperebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

I Identitätsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138, 147 Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 imaginär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 64 Imaginärteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86, 116, 123 indefinit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512, 518 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Indexmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Indifferenzklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Induktion -vollständige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Induktionsanfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Induktionsschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 injektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 155, 161, 427 Input-Output-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437, 489, 508 Input-Output-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . 437, 489, 508 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281, 293, 579, 583 -bestimmtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293, 302, 587 -doppeltes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 -mehrfaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585, 587, 589 -unbestimmtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281, 302 -uneigentliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309, 312 Integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281, 293, 587 Integration -partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283, 305 -Substitutionsregel der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287, 305 Integrationsgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293, 587 Integrationskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Integrationsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281, 293, 587 Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293, 587 Intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 -abgeschlossenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 349 -offenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 349

Kegel -konvexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Kettenregel der Differentiation . . . . . . . . . . . . . . 232, 535 Klammerrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Kleinste-Quadrate-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 Knick einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225, 231 Koeffizientenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396, 442 -erweiterte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Koeffizientenvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183, 625 Kofaktoren einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478, 488 Kombinationen -höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 -mit Berücksichtigung der Reihenfolge . . . . . . . . . 28 -mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 -ohne Berücksichtigung der Reihenfolge . . . . . . . . 28 -ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kommutativgesetz -bei Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329, 332, 337 -bei Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 -bei Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 kompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Komplement -algebraisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 -von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119, 123 Komplementärmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119, 123 Komponenten einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Komposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132, 154 kongruent modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Konjunktion von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . 84, 116, 123 konkav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 253, 551 Konklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Konstantenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Kontradiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 konvergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202, 210 konvex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 253, 354, 355, 551 Konvexkombination -echte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Koordinatenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 Koordinatensystem -kartesisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 343 Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 254, 260, 423, 521, 537 Kotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Stichwortverzeichnis

Kreisfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Kreislinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Kreuzpreiselastiztät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 Kugelfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

L Länge -einer Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 -eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Lagrange, J. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269, 566 Lagrange-Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 -variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 Lagrange-Restglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Lagrangefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 Laplace, P. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 Leibniz, G. W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 linear abhängig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 linear unabhängig . . . . . . . . . . . . . . . . . 364, 366, 378, 406 linear-homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Linearform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Linearkombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 -echt konvexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 -konvexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 -nichtnegative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 -positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Lösung -einer Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 -einer Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 -eines Gleichungssystems . . 397, 404, 406, 411, 416 -konjugiert komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 -optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 -reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 -zulässige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Lösung von Differentialgleichungen -erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606, 610 -höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 Lösung von Differentialgleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 Lösung von Differenzengleichungen -erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 -höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 Lösung von Differenzengleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 Lösungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 -Basis von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 -dekadische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 191 -natürliche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15, 191 Logarithmengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Losgrößenformel von Harris und Wilson . . . . . . . . . . 261

659

M Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 -Addition von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325, 329 -Differenz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325, 329 -Eigenvektoren von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 -Eigenwerte von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 -Gleichheit von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 -Hauptdiagonale von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322, 474 -Hauptunterdeterminante von . . . . . . . . . . . . 516, 553 -indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512, 518, 553 -inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 -Kofaktoren einer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478, 488 -Komponenten von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 -Minor von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 -Multiplikation von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332, 336 -negativ (semi-)definite . . . . . . . . . 512, 518, 553, 568 -orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 -positiv (semi-)definite . . . . . . . . . 512, 518, 553, 568 -Produkt von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332, 336 -quadratische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322, 473 -Rang von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 -reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 -reguläre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 -singuläre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 -skalare Multiplikation von . . . . . . . . . . . . . . 330, 332 -Spalten von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 -Subtraktion von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 -Summe von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 -symmetrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 -transponierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 -Ungleichheit von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 -Zeilen von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Maximalstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 -globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166, 259, 553, 558, 568 -lokale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167, 259, 553, 558, 568 Maximalwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Maximierungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 -globales . . . . . . . . . . . . . . . . . 166, 259, 553, 558, 568 -lokales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167, 259, 553, 558, 568 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107, 108 -abgeschlossene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 -beschränkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 -Differenz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119, 123 -disjunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 -Durchschnitt von . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114, 118, 123 -Eckpunkt von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 -elementfremde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 -Elementzahl von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112, 115, 122 -endliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 -Gleichheit von. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110, 116, 123 -Identität von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 116, 123 -in aufzählbarer Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 -in beschreibender Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 -kartesisches Produkt von . . . . . . . . . . . . . . . . 125, 127 -kompakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

660

-Komplement von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119, 123 -konvexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 -leere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 -offene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 -Teil von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 116 -unendliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 -Vereinigung von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115, 118, 123 Minimalstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 -globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166, 259, 553, 558, 568 -lokale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167, 259, 553, 558, 568 Minimalwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Minimierungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 -globales . . . . . . . . . . . . . . . . . 166, 259, 553, 558, 568 -lokales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167, 259, 553, 558, 568 Minor von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 Minuend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mischungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . 250 Modul der Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Modulo-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Moivre, A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 monoton fallend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168, 251, 550 monoton wachsend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168, 251, 550 Multiplikand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Multiplikation -skalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330, 332 -von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332, 336 -von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 7, 63 Multiplikationsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Multiplikationssatz für Determinanten . . . . . . . . . . . . 486 Multiplikator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612, 628

N Nahtstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 -lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442, 564 Negation von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 123 negativ definit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512, 518, 553, 568 negativ semidefinit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512, 518, 553 Nenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Newton, I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Nichtbasisvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416, 453, 458 Nichtnegativitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Niveaulinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 Norm eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Normalform -einer Optimierungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 -eines Optimierungsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 -kartesische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Normalgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 Nullfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Nullmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Nullpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Stichwortverzeichnis

Nullstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Nullvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

O Obermenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Operand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 -logische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Optimalbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Optimalstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Optimalwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Optimierung -lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395, 442 -nichtlineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 Optimierungsaufgabe -in Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 -lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Optimierungsproblem -duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 -in Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 -lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 -primales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 Ordinatenabschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Ordinatenachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143, 147 -strikte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 -vollständige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143, 147 orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344, 433

P Paar -geordnetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Parameterintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182, 290 Pascalsches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 475 Pisa, L. von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Pivotelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383, 459 Pivotspalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383, 459 Pivotzeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383, 459 Planungsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Polarkoordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 Polyeder -konvexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71, 177 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 -Grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175, 524 -homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 -identische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 -in n Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 -Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 positiv definit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512, 518, 553, 568

Stichwortverzeichnis

positiv semidefinit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512, 518, 553 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 -Basis von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186, 188, 524 Potenzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 39, 40 Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Prämisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Präordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143, 147 -strikte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 -vollständige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143, 147 Preiselastizität -direkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 Primfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Prinzip des ausgeschlossenen Dritten . . . . . . . . . . . . . . 82 Prinzip des ausgeschlossenen Widerspruchs . . . . . . . . 83 Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -kartesisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125, 127 -von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332, 336 -von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 7, 63 Produktabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Produktdarstellung -reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 76, 177 Produktfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 Produktionsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 521, 525, 534, 540 Produktionsprogrammplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Prozentsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Prozentwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Punkt -äußerer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 -innerer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Punktmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Pythagoras -Satz des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Q Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Quotient von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 63 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

R Radikand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Radizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Randpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 Raum -linearer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Realteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 reflexiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 136, 146 Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

661

Regression -einfache lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 Regressionsanalyse -lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 Relationen -antisymmetrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 137, 147 -binäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 -Graph von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128, 129, 135 -inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 -reflexive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 136, 146 -symmetrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 136, 147 -Tabelle von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128, 135 -transitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 136, 147 -vollständige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 136, 147 -zusammengesetzte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Relationsgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128, 129, 135 Relationstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128, 135 Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Restpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 Riemann, B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Riemann-integrierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Riemannsche Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280, 292, 586 Rolle, M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Russell, B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

S Sarrus, P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 Sarrus-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 Satz -mathematischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Scheitelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Schlupfvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 Schnittmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Schrittweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 Schrumpfungsprozess -gleichförmiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Simplexalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 -Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 Simplextableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Spaltenindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Spaltenrang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Spaltenraum einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Spaltenumformung -elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Spaltenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Spaltenvertauschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Sprungstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214, 225 Stückkostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

662

Standardmaximumproblem . . . . . . . . 443, 457, 460, 469 Standardminimumproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443, 469 Startbasislösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 Starttableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455, 458 Steigung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227, 529 Steigung einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Steinitz, E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 stetig fortsetzbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Störgliedansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Stückkostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287, 305 Subtrahend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Subtraktion -von Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 -von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 63 Summand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 17 Summationsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Summe -arithmetische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -geometrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -von Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 -von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 7, 17, 63 Summenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Summenformel -Gaußsche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 surjektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 155, 161, 427 symmetrisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 136, 147 System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

T Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227, 531 Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 Tangentialhyperebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 Tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Taylor, B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Taylorpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 182 Teilmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 116, 123 -echte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Teilraum -linearer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Terrassenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265, 270 transitiv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135, 136, 147 Transportproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Tupel -geordnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127, 318

Stichwortverzeichnis

U überlinear-homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Umkehrrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Umsatzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Unbekannte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 unelastisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Ungleichheitszeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 -lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 442 Universalmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Unstetigkeitsstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 unterlinear-homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Urbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151, 161, 519 Urbildbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Ursprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

V Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 161, 395, 519, 529 -abhängige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161, 519 -mehrere reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 -reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161, 519 -trennbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 -unabhängige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161, 519 Variablen -Basis- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416, 453, 458 -Entscheidungs- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 -Nichtbasis- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416, 453, 458 -Planungs- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 -Schlupf- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 Variablensubstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 Variablenvertauschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398, 399 Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 Vektoren -Absolutbetrag von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 -Addition von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 -Länge von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 -Multiplikation von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330, 336 -Norm von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 -orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 -Subtraktion von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 -transponierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363, 415 Venndiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115, 118, 123 Verhältnisgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Vielfaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Vielfachheit -von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 -von Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Vieta, F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 vollständig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 136, 147 Voraussetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Stichwortverzeichnis

W Wachstum -degressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 172 -progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 172 -proportionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 -überproportionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 -unterproportionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Wachstumsmodell -von Boulding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594, 601 -von Harrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 Wachstumsprozess -gleichförmiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 Wahrheitstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Wahrheitswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Wendepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265, 270 Wertebereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151, 161, 519 Wertetabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152, 523 Widerspruchsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Winkelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Wronskimatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614, 636 Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Wurzelexponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 38 Wurzelsatz von Vieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Z Zähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Zahlen -ganze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 6, 109 -größte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 -irrationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 -kleinste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 -komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 109, 276, 501 -konjugiert komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63, 501 -natürliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 6, 109 -natürliche gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 -natürliche ungerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 -nichtnegative reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 -nichtpositive reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 -rationale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4, 6, 109 -reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 109

663

Zahlenebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Zahlengerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Zahlenstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Zeilenindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Zeilenrang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Zeilenraum einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Zeilenumformung -elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381, 398 Zeilenvektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318 Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 -feinste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 -gröbste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Zielfunktion -lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Zielfunktionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Zielfunktionswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 Zulässigkeitsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Zuordnungsvorschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151, 519 Zweipunkteform einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Symbolverzeichnis Symbol

Bedeutung

Seite

a C b; a b a a
b; .a=b; a W b/ b N

Summe bzw. Differenz zweier Zahlen a; b

2, 7

Produkt bzw. Quotient zweier Zahlen a; b

2, 7

Menge der natürlichen Zahlen

2, 109

N0

Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0

2, 199

Z

Menge der ganzen Zahlen

3, 109

Q

Menge der rationalen Zahlen

4, 109

R

Menge der reellen Zahlen

6, 109

e D 2:71828 : : :

Eulersche Zahl

6, 15

 D 3:14159 : : :

Kreiszahl

6

ab

a kleiner oder gleich b

9

ab

a größer oder gleich b

9

jaj ; : : : ; jxj ; : : :

Betrag einer reellen Zahl oder Variablen

10

Œa

ganzzahliger Anteil von a

11

max¹a; b; : : :º

größte der Zahlen a; b; : : :

11

min¹a; b; : : :º

kleinste der Zahlen a; b; : : :

11

an

n-te Potenz von a mit a 2 R als Basis, n 2 R als Exponent

12

n-te Wurzel von a mit a 2 R als Radikand, n 2 N als Wurzelexponent

13

1

an D

p n

a

666

Symbolverzeichnis

Symbol

Bedeutung

Seite

loga b

Logarithmus der Zahl b > 0 zur Basis a > 0

14

loge b D ln b

natürlicher Logarithmus von b > 0

15

log10 b D lg b

dekadischer Logarithmus von b > 0

15

i; j; k; m; n; : : :

natürliche Zahlen

17

ai

Summe der Zahlen ak ; akC1 ; : : : ; an

17

ai

Produkt der Zahlen ak ; akC1 ; : : : ; an

22

nŠ D 1
2
: : :
n ! n nŠ D k kŠ .n k/Š

n-Fakultät

23

Binomialkoeffizient n über k

25, 27

a; b; : : : ; x; y

reelle Zahlen oder Variablen

31

Œa; b

abgeschlossenes Intervall zwischen a und b

33

ha; bi

offenes Intervall zwischen a und b

33

Œa; bi; ha; b

halboffene Intervalle zwischen a und b

33

sin ˛

Sinus des Winkels ˛

55

cos ˛

Kosinus des Winkels ˛

55

tan ˛

Tangens des Winkels ˛

55

cot ˛

Kotangens des Winkels ˛

55

C

Menge der komplexen Zahlen

62, 109

z D a C ib

komplexe Zahl mit Realteil a und Imaginärteil b

62

z D a C i b, z D a ib

konjugiert komplexe Zahlen

63

A; B; : : :

Aussagen

83

w, f

Wahrheitsgehalt von Aussagen: w entspricht wahr, f entspricht falsch

82

n P

iDk n Q

iDk

Symbolverzeichnis

667

Symbol

Bedeutung

Seite

A; B; : : :

Negation von Aussagen: nicht A, nicht B; : : :

83

A^B

Konjunktion von Aussagen: A und B

84

A_B

Disjunktion von Aussagen: A oder B

85

A ) B

Implikation von Aussagen: Wenn A, dann B

86

A () B 9 V A.x/ =

Äquivalenz von Aussagen: A gleichwertig zu B

88

Aussage A.x/ für alle x

94, 95

Aussage A.x/ für mindestens ein x

94, 95

A; B; : : :

Mengen

108

a2A

a ist Element der Menge A, a aus A

108

a 62 A

a ist nicht Element der Menge A, a nicht aus A

108

RC

Menge der nichtnegativen reellen Zahlen

109

R

Menge der nichtpositiven reellen Zahlen

109

ADB

Mengengleichheit: A ist gleich B

110

A 6D B

Mengenungleichheit: A ist ungleich B

110

AB

A ist Teilmenge von B oder beide Mengen sind gleich

110

AB

A ist echte Teilmenge von B

110

A 6 B

A ist nicht Teilmenge von B

110

jAj

Anzahl der Elemente der Menge A

111

;

leere Menge, enthält kein Element

112

P.A/

Potenzmenge: Menge aller Teilmengen von A

113

A\B

Schnittmenge, Durchschnitt, enthält alle Elemente von A und B

114

x

8x W A.x/ ; 9 W = A.x/ x

9x W A.x/ ;

668

Symbolverzeichnis

Symbol

Bedeutung

Seite

A[B

Vereinigungsmenge, Vereinigung enthält alle Elemente von A oder B

115

T

Ax

Durchschnitt der Mengen Ax für alle x

118

Ax

Vereinigung der Mengen Ax für alle x

118

B nA

Differenzmenge, enthält alle Elemente von B ohne A

119

AB

Komplementärmenge, enthält alle Elemente von B ohne A, wobei A Teilmenge von B ist

119

AB

kartesisches Mengenprodukt, alle Elementpaare mit a aus A und b aus B

125

.a; b/ 2 A  B

geordnetes Elementpaar mit a 2 A, b 2 B

125

X Ai

kartesisches Produkt der Mengen Ai für alle i

127

Rn

Menge aller n-Tupel .a1 ; : : : ; an / reeller Zahlen, alle n-dimensionalen reellen Vektoren

127

R; S  A  B

binäre Relationen von A in B

127

inverse Relation, Umkehrrelation

130

S ıR

zusammengesetzte Relation, Komposition

132

f W A!B

Abbildung oder Funktion f von A in B mit A als Definitionsbereich, B als Wertebereich und f .A/ als Bildbereich von f

151

y D f .x/

Funktionsgleichung: x ist Urbild, y ist Bild bzgl. f

151, 161

gıf

zusammengesetzte Abbildung oder Funktion, Komposition

154, 163

inverse Abbildung oder Funktion, Umkehrabbildung

157, 163

Maximum der Funktion für alle x aus D

166

x

S x

i

R

f

1

1

max¹f .x/ W x 2 Dº D f .xmax /

Symbolverzeichnis

669

Symbol

Bedeutung

Seite

min¹f .x/ W x 2 Dº

Minimum der Funktion für alle x aus D

166

f .x/ D x a mit x > 0 reell a reell

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion

186

f .x/ D ax mit a > 0 x reell

Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion zur Basis a

188

f .x/ D loga x mit a > 1 x > 0 reell

Funktionsgleichung einer Logarithmusfunktion zur Basis a

190

f .x/ D sin x; cos x; tan x; cot x x reell

Funktionsgleichungen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens

193, 197

.an /

Folge der reellen Zahlen a0 ; a1 ; a2 ; a3 ; : : :

199

Grenzwert der Folge .an / für n gegen 1 ist gleich a oder Folge .an / strebt gegen a

202

lim f .x/ D f .x0 /

Grenzwert der Funktion f für x ! x0

210

lim f .x/ D f .x0 /

Grenzwert von f von oben gegen f .x0 /

210

lim f .x/ D f .x0 /

Grenzwert von f von unten gegen f .x0 /

210

Differenz der Variablen x

227

Differenz der Funktionswerte bei Übergang von x zu x C 4 x

227

Differenzenquotient von f in x

227

Differentialquotient von f in x Steigung von f in x erste Ableitung von f in x

227

D f .xmin /

9 =

lim an D a

n! 1

an ! a .n ! 1/ ; x! x0

x& x0

x% x0

4 x D .x C 4 x/ 4 f .x/ D f .x C 4 x/ 4f .x/ 4x f 0 .x/ D lim

4 x!0

x

f .x/

4f .x/ 4x

670

Symbolverzeichnis

Symbol

Bedeutung

Seite

f 00 .x/

zweite Ableitung von f in x erste Ableitung von f 0 in x

239

f .n/ .x/ R f .x/ dx D F .x/ C c

n-te Ableitung von f in x

239

Stammfunktion F von f , unbestimmtes Integral

281

bestimmtes Integral von f im Intervall zwischen a und b

293, 300

Rb a

f .x/ dx D F .b/ 0






a11 B :: AD@ :






am1

AT

F .a/

1 a1n
:: C : A D aij mn

amn

Matrix mit m Zeilen und n Spalten, mn-Matrix mit m
n (reellen) Zahlen

316

transponierte Matrix von A

317

n-dimensionale Spaltenvektoren, n  1-Matrizen

318

aT D .a1 ; : : : ; an /, xT D .x1 ; : : : ; xn /

n-dimensionale Zeilenvektoren, 1  n-Matrizen

318

ADB

Matrix A ist gleich Matrix B

321

A 6D B

Matrix A ist ungleich Matrix B

321

A