Mathematik : Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. 1 3540342443, 9783540342441

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springer-Lehrbuch

Albert Fetzer • Heiner Frankel

Mathematik 1 Lehrbuch fiir ingenieurwissenschaftliche Studiengange

Mit Beitragen von Akad. Dir. Dr. rer. nat. Dietrich Feldmann Prof. Dr. rer. nat. Albert Fetzer Prof. Dr. rer. nat. Heiner Frankel Prof. Dipl.-Math. Horst Schwarz t Prof. Dr. rer. nat. Werner Spatzek Prof. Dr. rer. nat. Siegfried Stief

9., bearbeitete Auflage Mit 316 Abbildungen

^ Spri ringer

Prof. Dr. Albert Fetzer (em.)

Prof. Dr. Heiner Frankel (em.)

Fachhochschule Aalen Hochschule fiir Technik und Wirtschaft Fachbereich Elektrotechnik/ Technische Informatik Fachgebiet Mathematik, Systemanalyse Beethovenstrafie i 73430 Aalen e-mail: [email protected]

Fachhochschule Ulm Hochschule fiir Technik Fachbereich Grundlagen Fachgebiet Mathematik Prittwitzstrafie 10 89075 Ulm e-mail: [email protected]

ISBN 978-3-540-34244-1 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der "Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1995,1997,2000,2003, 2005,2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und MarkenschutzGesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden diirften. Text und Abbildungen wurden mit grofiter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor konnen jedoch fiir eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung iibernehmen. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, GEFMA, VDMA) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewahr fiir die Richtigkeit, Vollstandigkeit oder Aktualitat iibernehmen. Satz: Fotosatz-Service Kohler GmbH, Wiirzburg Herstellung: LE-TEK Jelonek, Schmidt & Vockler GbR, Leipzig Einbandgestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg SPIN 11751656

7/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Gedruckt auf saurefreiem Papier

Vorwort zur neunten Auflage Der positive Zuspruch und die groBe Nachfrage nach unserem Mathematikwerk haben angehalten, so dass es nun unverandert in der neunten Auflage erscheinen kann. Wir wiirden uns freuen, wenn auch weiterhin viele Leser durch Verbesserungsvorschlage zum nachhaltigen Erfolg unseres Werkes beitragen. Aalen, Ulm im Sommer 2006

Albert Fetzer Heiner Frankel

Vorwort zur vierten Auflage Seit fast zwanzig Jahren wird das vorliegende Mathematikwerk von Studenten und Dozenten an Fachhochschulen und Technischen Hochschulen verwendet und hat sich sowohl als Lehr- und Lemmittel wie auch als autodidaktisches Hilfsmittel auBerst gut bewahrt. Neue Aufgabengebiete und Anforderungen der betreffenden Bildungseinrichtungen haben nun jedoch eine voUstandige Uberarbeitung notwendig erscheinen lassen. Damit wird der Entwicklung im Bereich von Computer- und Kommunikationstechnik Rechnung getragen. Beriicksichtigt wird auch, da6 der Computereinsatz neue Arbeitsmethoden und Algorithmen ermoglicht. Die Aufnahme neuer Stoffgebiete machte eine straffere Darstellung einiger Kapitel erforderhch. Die Inhalte wurden nunmehr auf zwei Bande verteilt. Folgende Themen wurden zusatzhch aufgenommen: • • • • • • • •

Geometrische Transformationen und Koordinatentransformationen im R^ und R^ Eigenwerte von Matrizen Problematik der Rundungsfehler bei numerischen Verfahren QR-Algorithmus Kubische Splines Eourier-Transformation Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten Numerische Verfahren fiir Anfangswertaufgaben

Inhalt dieses Bandes 1 2 3 4 5

Mengen, reelle Zahlen Eunktionen Zahlenfolgen und Grenzwerte Grenzwerte von Eunktionen; Stetigkeit Komplexe Zahlen

VI 6 7 8 9

Vorwort zur vierten Auflage

Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten Vektoren und ihre Anwendungen Differentialrechnung Integralrechnung

Die Abschnitte 1 und 2 enthalten Grundbegriffe, die zum Verstandnis der folgenden Kapitel unerlaBlich sind. Die Abschnitte 3 und 4 bereiten die Differential- und Integralrechnung vor. Die Abschnitte 5, 6 und 7 konnen in behebiger Reihenfolge (auch parallel zum Analysis-Kurs) erarbeitet werden. Dabei wird den Wiinschen der Kollegen Rechnung getragen, die technische Facher lehren und Kenntnisse, z.B. iiber komplexe Zahlen, bereits im ersten Studiensemester voraussetzen miissen. Abschnitt 7 wird erganzt durch geometrische Transformationen und Koordinatentransformationen, die z.B. in der Computergrafik eine zentrale Rolle spielen. AuBerdem werden die Eigenwerte von Matrizen behandelt sowie der QR-Algorithmus, der bei schlecht konditionierten Gleichungssystemen oft bessere Ergebnisse erzielt als der iibliche (auch modifizierte) GauBsche Algorithmus. In Abschnitt 8 wird die Differentialrechnung behandelt. Dabei wurde der klassische Weg gewahlt, namhch ausgehend von dem anschaulichen Problem, die Tangente an einem Punkt einer Kurve zu definieren. AnschlieBend erfolgt die abstrakte Definition der Ableitung mit dem Hinweis, daB diese Abstraktion mehrere physikalische oder technische Interpretationen zulaBt. Alsdann werden zur bequemen Handhabung Rechenregeln (ein Kalkiil) hergeleitet. Besonders eingegangen wird auf die einseitigen Ableitungen, da die in der Praxis auftretenden Funktionen oft Stellen aufweisen, in denen nur einseitige Ableitungen existieren. Erinnert sei z.B. an die Betragsfunktion. Zum weiteren Aufbau der Differentialrechnung und zur Herleitung z.B. der Taylorschen Formel, der Regeln von Bernoulli-de I'Hospital sowie der Kurvendiskussion wird der Mittelwertsatz der Differentialrechnung benotigt. Abschnitt 9 befaBt sich mit der Integralrechnung. Ausgehend von der Berechnung des Flacheninhalts wird das bestimmte Integral als Grenzwert der Riemannschen Zwischensumme definiert. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt dann einen Zusammenhang zwischen diesen Teilgebieten der Mathematik her. Damit erhalt man einen Kalkiil zur Berechnung eines bestimmten Integrals, namlich iiber das Aufsuchen von Stammfunktionen. Durch die uneigentlichen Integrale wird der Begriff Integrierbarkeit erweitert, wodurch auch neue Funktionen, z.B. die Gamma-Funktion, definiert werden konnen. Inhalt des zweiten Bandes Anwendung der Differential- und Integralrechnung, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexwertige Funktionen, gew5hnliche Differentialgleichungen. Eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen veranschaulichen und vertiefen auch in diesen beiden Banden den Stoff. Zahlreiche Aufgaben mit Losungen zu jedem Kapitel erleichtern das Selbststudium. Wir danken dem VDI-Verlag fixr die gute Zusammenarbeit. Dlisseldorf, Marz 1995

Albert Fetzer Heiner Frankel

Auszug aus dem Vorwort zur ersten Auflage Zielgruppen Das dreibandige Werk richtet sich hauptsachlich an Studenten und Dozenten der technischen Fachrichtungen an Fachhochschulen. Auch Studenten an Universitaten und Technischen Hochschulen konnen es wahrend ihrer mathematischen Grundausbildung mit Erfolg verwenden. Die Darstellung des ausgewahlten Stoffes ist so ausfiihrhch, daB es sich zum Selbststudium eignet. Vorkenntnisse Der Leser sollte mit der Bruch-, Potenz, Wurzel- und Logarithmenrechnung, der elementaren Geometric sowie mit der Trigonometric vertraut sein; dennoch werden diese Themen teilweise angesprochen. Stoffauswahl Den Autoren war klar, daB die Mathematik fiir die oben angesprochenen Zielgruppen (bis auf einzelne Ausnahmen) immer nur Hilfswissenschaft sein kann. Sic bemiihten sich, die Stoflfauswahl aufgrund der Erfordernisse der verschiedenen Studiengange an den technischen Fachrichtungen der Fachhochschulen vorzunehmen. Die Fragestellung war also: Welche Themen sind fiir die technischen Studiengange wichtig? Geht man z.B. davon aus, daB die Studenten am Ende der mathematischen Grundausbildung in der Lage sein sollen, eine Differentialgleichung aufstellen und losen zu k5nnen oder die Fourierreihe einer Funktion zu bestimmen, so implizieren diese Ziele eine ausftihrliche Behandlung der Differential- und Integralrechnung. Da die Ableitung und das bestimmte Integral durch Grenzwerte definiert werden, ergibt sich daraus als ein Groblernziel der Begriff des Grenzwertes; er erweist sich sogar als einer der wichtigsten Begriffe der anwendungsorientierten Mathematik. Dieses Thema wird deshalb besonders ausfiihrhch dargestellt. Dabei werden verschiedene Grenzwerte (z.B. von Zahlenfolgen, Funktionen usw.) auf einheitliche Weise mit Hilfe des Umgebungsbegriffes definiert. Darstellung Besonderer Wert wurde auf eine weitgehend exakte und doch anschauliche Darstellung gelegt. Das erfordert, einerseits Beweise mathematischer Satze nicht fortzulassen und andererseits sie durch Beispiele und Zusatzbemerkungen zu erhellen. Da die Beweise einiger Satze jedoch iiber den Rahmen dieses Buches hinausgehen, wurde in solchen Fallen der Beweis ersetzt durch zusatzliche Gegenbeispiele, die die Bedeutung der Voraussetzungen erkennen lassen. In den Naturwissenschaften treten Objekte auf, die durch MaBzahlen und Einheiten beschrieben werden: Eine Strecke der Lange 27 cm, ein Wiirfel mit dem Volumen 27 cm^, eine Schwingung mit der Periode 27 s und der Amplitude 3 cm. Die Worte »Lange«, »Volumen«, »Periode« u.a. werden andererseits auch innerhalb der Mathematik in ahnlichem Zusammenhang verwendet, hier allerdings ledighch durch Zahlen beschrieben: Das Intervall [ — 7,20] hat die Lange 27, der durch die Punktmenge {(x, y, z) 10 ^ x ^ 3 und 0 ^ j; ^ 3 und — 1 ^ z ^ 2} definierte Wiirfel 271

hat das Volumen (den Inhalt) 27, die durch f{x) = 3 • cos — x definierte Funktion / hat die

VIII

Vorwort zur ersten Auflage

Periode 27 und die Amplitude 3. Innerhalb der Mathematik ist es daher nicht sinnvoll, von der MaBzahl der Lange des Intervalls [ — 7,20] usw. zu sprechen. Wendet man die Mathematik auf die Naturwissenschaften an, so fiihrt man z.B. ein Koordinatensystem im gegebenen Korper ein und zwar zweckmaBig so, daB die MaBzahlen, die den Korper beschreiben, gleich jenen Zahlen sind, die ihn innerhalb der Mathematik beschreiben. Hinweise fiir den Benutzer Die Strukturierung ist ein wertvolles didaktisches Hilfsmittel, auf das die Autoren gerne zuriickgegriffen haben. Die Hauptabschnitte werden mit einstelligen, die Teilabschnitte mit zweistelligen Nummern usw. versehen. Am Ende eines jeden Teilabschnittes findet der Leser ausgewahlte Aufgaben (schwierige Aufgaben sind mit einem Stern gekennzeichnet), an Hand derer er priifen kann, ob er das Lernziel erreicht hat. Zur Kontrolle sind die Losungen mit Losungsgang in knapper Form im Anhang zu finden. Definitionen sind eingerahmt, wichtige Formeln grau unterlegt, Satze eingerahmt und grau unterlegt. Das Ende des Beweises eines Satzes ist durch einen dicken Punkt gekennzeichnet. Oft werden Definitionen und Satze durch anschlieBende Bemerkungen erlautert, oder es wird auf Besonderheiten hingewiesen. Hannover, August 1978

Albert Fetzer Heiner Frankel

Inhalt

1 Mengen, reelle Zahlen

1

1.1 Begriflfe und Sprechweisen

1

1.2 Mengenoperationen

3

1.3 Die Menge der reellen Zahlen 1.3.1 Grundgesetze der Addition und der Multiplikation 1.3.2 Grundgesetze der Anordnung 1.3.3 Eigenschaften der Vollstandigkeit Aufgaben

3 4 6 12 12

1.4 VoUstandige Induktion 1.4.1 Summenschreibweise 1.4.2 VoUstandige Induktion bei Summenformeln 1.4.3 VoUstandige Induktion bei Ungleichungen 1.4.4 Binomischer Satz Aufgaben

13 13 15 18 19 22

2 Funktionen

24

2.1 Grundbegriffe 2.1.1 Einige spezielle Funktionen 2.1.2 Umkehrfunktion und Verkettung von Funktionen Aufgaben

24 28 30 36

2.2 Eigenschaften von Funktionen Aufgaben

38 43

2.3 Rationale Funktionen 2.3.1 Ganzrationale Funktionen 2.3.2 Gebrochenrationale Funktionen Aufgaben

44 44 49 55

2.4 Potenzfunktionen .

56

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen 2.5.1 Sinusfunktion und Kosinusfunktion 2.5.2 Tangensfunktion und Kotangensfunktion 2.5.3 Arcus-Funktionen Aufgaben

58 59 61 64 68

X

Inhalt

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

70

3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen Aufgaben

70 74

3.2 Konvergente Folgen 3.2.1 Grenzwert einer Folge 3.2.2 Rechnen mit Grenzwerten Aufgaben

76 76 84 91

3.3 Monotone und beschrankte Folgen 3.3.1 Konvergenzkriterium monotoner Folgen 3.3.2 Die Eulersche Zahl e Aufgaben

93 93 96 98

3.4 Die e- und die In-Funktion Aufgaben 4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

99 106 108

4.1 Grenzwert von / fiir x-^ oo Aufgaben

108 117

4.2 Grenzwert von f fiir X^XQ 4.2.1 Definition des Grenzwertes von / fiir X-^ XQ 4.2.2 Einseitige Grenzwerte; Uneigentliche Grenzwerte 4.2.3 Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen Aufgaben

118 118 125 130 136

4.3 Stetige und unstetige Funktionen 4.3.1 Definition der Stetigkeit 4.3.2 Klassifikation von Unstetigkeitsstellen 4.3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen Aufgaben

138 138 142 146 154

4.4 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion Aufgaben

156 160

4.5 Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Aufgaben

161 166

4.6 Spezielle Grenzwerte

166

5 Die komplexen Zahlen

169

5.1 Definition der Menge C Aufgaben

169 182

5.2 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen Aufgaben

183 187

Inhalt 5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren Aufgaben 6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

XI 188 197 199

6.1 Lineare Gleichungssysteme; das GauBsche Eliminationsverfahren 6.1.1 Vorbetrachtungen 6.1.2 Das GauBsche Ehminationsverfahren Aufgaben

199 199 200 204

6.2 Matrizen 6.2.1 Grundbegriffe 6.2.2 Addition und MuUipHkation von Matrizen 6.2.3 Die Inverse einer Matrix Aufgaben

204 204 208 216 218

6.3 Determinanten 6.3.1 Definition der Determinante 6.3.2 Eigenschaften der Determinanten 6.3.3 Berechnung der Inversen einer regularen Matrix Aufgaben

220 220 224 228 231

6.4 Lineare Gleichungssysteme 6.4.1 Allgemeines iiber die Losungen von Gleichungssystemen 6.4.2 Quadratische, lineare Systeme mit regularen Matrizen Aufgaben

233 233 237 243

7 Vektoren und ihre Anwendungen

245

7.1 Vektoroperationen 7.1.1 Vektoraddition 7.1.2 Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl 7.1.3 Das Skalarprodukt 7.1.4 Das vektorielle Produkt 7.1.5 Das Spatprodukt Aufgaben

247 247 250 253 259 263 265

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems 7.2.1 Lineare Abhangigkeit 7.2.2 Komponentenschreibweise 7.2.3 Anwendung in der Geometric 7.2.4 Mehrfachprodukte Aufgaben

267 267 270 279 290 292

7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen 7.3.1 Geometrische 3D-Transformationen 7.3.2 Koordinatentransformationen Aufgaben

294 295 , 305 309

XII

Inhalt

7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Aufgaben

310 326

7.5 Numerisches Verfahren zur Losung von linearen Gleichungssystemen 7.5.1 Probleme bei der numerischen Behandlung 7.5.2 Der QR-Algorithmus Aufgaben

327 327 333 338

8 Differentialrechnung

339

8.1 Begriff der Ableitung 8.1.1 Steigung einer Kurve 8.1.2 Definition der Ableitung 8.1.3 Einseitige und uneigentliche Ableitungen 8.1.4 Anwendungen der Ableitung in den Naturwissenschaften Aufgaben

339 339 340 344 348 353

8.2 Ableitungsregeln 8.2.1 Ableitung einiger Funktionen 8.2.2 Differentiation einer Linearkombination von Funktionen 8.2.3 Die Produktregel 8.2.4 Die Quotientenregel 8.2.5 Ableitung einer mittelbaren Funktion 8.2.6 Ableitung der Umkehrfunktion 8.2.7 Hohere Ableitungen Aufgaben

354 354 356 358 359 361 363 365 368

8.3 Ableitung elementarer Funktionen 8.3.1 Ableitung der rationalen Funktionen 8.3.2 Ableitung der trigonometrischen Funktionen und der Arcus-Funktionen . . 8.3.3 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion 8.3.4 Ableitung der hyperbolischen Funktionen und der Area-Funktionen . . . . Aufgaben

369 370 370 373 376 379

8.4 Das Differential einer Funktion 8.4.1 Der Begriff des Differentials 8.4.2 Anwendung in der Fehlerrechnung Aufgaben

381 381 383 385

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 8.5.1 Satz von Rolle 8.5.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 8.5.3 Die Taylorsche Formel 8.5.4 Numerische Differentiation Aufgaben

387 387 390 394 401 405

8.6 Berechnung von Grenzwerten 8.6.1 Regeln von Bernoulh-de I'Hospital 8.6.2 Anwendung auf v^eitere unbestimmte Formen Aufgaben

407 407 411 413

Inhalt

XIII

1.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung 8.7.1 Monotone Funktionen 8.7.2 Extremwerte 8.7.3 Konvexitat und Wendepunkt Aufgaben

415 415 416 422 430

!.8 Numerische Verfahren zur Losung von Gleichungen 8.8.1 Allgemeines Iterationsverfahren 8.8.2 Das Iterationsverfahren von Newton 8.8.3 Regula falsi Aufgaben

433 433 441 444 446

9 Integralrechnung 9.1 Das 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4 9.1.5

bestimmte Integral Einfiihrung Zerlegungen Definition des bestimmten Integrals Weitere Definitionen und Satze liber integrierbare Funktionen Flacheninhalt Aufgaben

449 449 449 450 452 456 468 470

9.2 Das unbestimmte Integral 9.2.1 Integralfunktion 9.2.2 Stammfunktion und unbestimmtes Integral Aufgaben

470 470 477 480

9.3 Integrationsmethoden 9.3.1 Grundintegrale 9.3.2 Grundformeln 9.3.3 Partielle Integration 9.3.4 Integration durch Substitution 9.3.5 Tabelle unbestimmter Integrale Aufgaben

481 481 482 487 491 494 497

9.4 Uneigentliche Integrale 9.4.1 Integrale iiber unbeschrankte Intervalle 9.4.2 Integrale von nicht beschrankten Funktionen 9.4.3 Die F-Funktion Aufgaben

498 499 506 508 511

9.5 Numerische Integration 9.5.1 Vorbetrachtungen 9.5.2 Spezielle Integrationsformeln 9.5.3 Summierte Integrationsformeln Aufgaben

512 512 513 517 525

XIV

Inhalt

Anhang Aufgabenlosung

526

Zu Abschnitt 1 ZuAbschnitt2 Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4 Zu Abschnitt 5 Zu Abschnitt 6 Zu Abschnitt 7 Zu Abschnitt 8 Zu Abschnitt 9

526 528 534 540 548 552 557 572 602

Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

611 613

1 Mengen, reelle Zahlen Zu den wichtigsten Grundbegriffen, auf denen die Mathematik aufbaut, zahlt der Mengenbegriff. Er spielt auch in einem Mathematikbuch fiir Ingenieure eine bedeutende Rolle, weil mit den Schreib- und Sprechweisen der Mengenlehre Aussagen in alien Teilgebieten der Mathematik klar und kurz formuliert werden konnen. In diesem Kapitel sollen die wichtigsten Begriffe, Sprechweisen und Gesetze zusammengestellt werden.

1.1 Begriffe und Sprechweisen Zwei Schreibweisen sind bei Mengen iiblich: die aufzahlende Schreibweise und die beschreibende, bei der die Elemente durch eine definierende Eigenschaft zusammengefaBt werden. Beispiele sind: A = {a, e, i, o, u} = {x|x ist Vokal im deutschen Alphabet} B= { — 2,1,5,6} = {x\x ist Ldsung von (x + 2)(x — l)(x — 5)(x — 6) = 0} C = {— 9, — 8,..., — 1,0,1,..., 8,9} = {x IX ist eine ganze Zahl, und x^ ist kleiner 100} Die Zugehdrigkeit zu einer Menge und die Nichtzugehdrigkeit werden durch besondere Zeichen gekennzeichnet: QEA,

5eB,

9eC

und

k^A,

3^B,

ll^C.

Einige spezielle Zahlenmengen werden in den folgenden Kapiteln recht haufig genannt. Sie sollen mit besonderen Zeichen abgekiirzt werden: N= NQ = Z= Q= U

{1,2,3,...} die Menge der natiirhchen Zahlen {0,1,2,...} die Menge der natiirhchen Zahlen einschlieBlich Null { . , — 2, — 1,0,1,2,...} die Menge der ganzen Zahlen |xIX = p/q mit peZ und qeN} die Menge der rationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen

Mit Q wird also die Menge aller Briiche bezeichnet. Das ist die Menge aller abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen. U enthalt daneben auch alle nichtperiodischen Dezimalzahlen. Tiber den Umgang mit reellen Zahlen wird in Abschnitt 1.3 berichtet. Sind alle Elemente einer Menge A in der Menge B enthalten, so nennt man A eine Teilmenge von B. Als Schreibweise verwendet man Ac^B.Es gilt z.B. N cz Z. Die Teilmengen-Eigenschaft ist transitiv: Wenn AczB und BczC, dann gilt A^C. Eine solche Implikation wird in diesem Buch auch kurz und iibersichtlich in der Form AczBundBc:C=>Ac=:C geschrieben. Eine Menge, die kein Element besitzt, heiBt leere Menge. Schreibweise: 0 oder { }.

1 Mengen, reelle Zahlen Fiir Aquivalenzen, die sprachlich mit „A gilt genau dann, wenn B gilt" formuliert werden, soil folgende Schreibweise Verwendung finden: AoB. Bemerkung zur Beweistechnik: Wir unterscheiden zwischen direkter und indirekter Beweisfiihrung: Ein direkter Beweis wird gefiihrt, indem man unter Verwendung der gemachten Voraussetzungen und bereits bewiesener Satze durch eine Kette von richtigen Folgerungen zur Behauptung gelangt. Beim indirekten Beweis einer Behauptung A nimmt man an, die Behauptung A sei falsch, also das Gegenteil der Behauptung (die Negation non A) sei richtig. Daraus und aus den gemachten Voraussetzungen leitet man eine Aussage ab, die falsch ist oder im Widerspruch zu den gemachten Voraussetzungen steht. Dieser Widerspruch besteht nur dann nicht, wenn die Annahme non A falsch ist, d.h. wenn A wahr ist. Wir wollen uns die indirekte Beweisfiihrung mit Hilfe eines Schemas einpragen: Voraussetzung:... Behauptung: A Beweis(indirekt): Gegenannahme: non A sei wahr

Widerspruch Beispiel: Indirekter Beweis Ist das Quadrat einer natiirlichen Zahl gerade, dann ist auch diese natiirliche Zahl gerade. Voraussetzung: n^ gerade Behauptung: n gerade Beweis (indirekt): Gegenannahme: n nicht gerade n ungerade

=> n = 2m+ 1 mit me NQ

n = 2m-{- l(mGNo) =>n^ = 4m^ + 4 m + 1 =2(2m^ + 2m)+ 1 ^n^

= 2/c + 1 mit /c = (2m^ + 2m)eNo

n^ = 2/c + 1 (/CENQ) =>n^ ungerade

Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung. Die Gegenannahme muB also falsch sein und die Behauptung wahr.

Aufgaben 1. Die folgenden Mengen sind durch definierende Eigenschaften gegeben. Geben Sie jeweils eine aufzahlende Schreibweise an! v4i = {x|x ist eine von 6 verschiedene, gerade, natiirliche Zahl kleiner 10} ^2 = {^1^ ist eine Potenz mit der Basis 3, deren Exponent eine natiirliche Zahl kleiner 5 ist} ^3 = {x|x ist ein natiirliches Vielfaches von 2, und x ist kleiner 10} A4_ = {x\x ist eine natiirliche Zahl mit (x^ — 6x + 8)(x — 8) = 0}

1.3 Die Menge der reellen Zahlen 2. Geben Sie fiir die folgenden Mengen eine Beschreibung durch eine definierende Eigenschaft an! yl = {2,4,8,16,32} 5 = {7,21,14,28,35} 3. Welche der nachstehenden Mengen sind gleich? ^1 = {x|x ist eine gerade natiirliche Zahl} ^2 = {^1^ ist eine gerade Quadratzahl} A^ = {x\x ist eine natiirliche Zahl, deren Quadrat gerade ist} A4_ = [x\x ist ein natiirhches Vielfaches von 2} ^5 = {x|x ist als Summe zweier ungerader natiirhcher Zahlen darstellbar}

1.2 Mengenoperationen Als Operationen zwischen zwei Mengen sind dem Leser wohl bekannt: der Durchschnitt von A und B\

AnB = {X\XEA und xeB}

die Vereinigung von A und B: AuB = {x\xeA oder xeB} die Mengendifferenz A ohne B: A\B = {x\xeA und x^B} Beispiel: Es seien ^ = {-2, -1,0,1,2} und B = (0,1,2,3,4}. Dann gilt: AnB = {0,1,2}

^ u 5 = {-2,-l,0,l,2,3,4} A\B =

{-2,-l}

Es gelten folgende Gesetze: AnB

{AnB)nC An{B^C)

= BnA

= An{BnC) = {AnB)u{AnC)

AKJB =

{AuB)^C Au{BnC)

= =

B^A

Au{BuC) {AuB)n{AuC)

1.3 Die Menge der reellen Zahlen Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen p und q (sie mogen noch so dicht zusammen Uegen) gibt es stets wieder eine rationale Zahl, z.B. das arithmetische Mittel (p + q)/2. Weil zwischen dem Mittelwert und p und q jeweils wieder eine rationale Zahl liegt und diese Uberlegung fortgesetzt werden kann, gibt es sogar unendlich viele rationale Zahlen zwischen p und q. Nun liegt die Vermutung nahe, daB alien Punkten der Zahlengeraden nur rationale Zahlen entsprechen. Dies trifft nicht zu, wie das folgende Beispiel zeigt: Tragt man die Diagonale eines Quadrates der Seitenlange 1 vom Nullpunkt aus auf der Zahlengeraden ab, so erhalt man einen Punkt (siehe Bild 1.1), der der Zahl -^2 entspricht. Es gilt aber: ^/2 ist keine rationale Zahl.

4

1 Mengen, reelle Zahlen

1

n

Bild 1.1: ^1 auf der Zahlengeraden

Der Beweis wird indirekt gefiihrt: Behauptung: ^/2^Q Beweis (indirekt): Gegenannahme: ^ 2 G Q x/2eQ

'l = - mit teilerfremden p, ^e N(«gekurzt») >2^^ = p^, d.h. p^ ist gerade

V2 = -

>2 = ^ =

p^ gerade

>p gerade (s. Beispiel auf Seite 2), d.h. p enthalt Faktor 2

p gerade

>p = 2m mit meN

p = 2m

>p^ = 4m^ = Iq^^lm^

(^ gerade

>q gerade, d.h. q enthalt auch den Faktor 2.

= ^^, d.h. ^^ ist gerade

Das steht im Widerspruch dazu, daB jede rationale Zahl als Quotient mit teilerfremden Zahlen in Zahler und Nenner dargestellt werden kann. • Bei der Beschreibung der reellen Zahlen wollen wir ein Verfahren anwenden, das sich in der Mathematik bewahrt hat. Wir geben ein System von Grundgesetzen an, die flir die reellen Zahlen Giiltigkeit haben, und greifen bei spateren Beweisen nur auf diese Grundgesetze zuriick. Dabei bauen wir auf drei Typen von Grundgesetzen auf: Grundgesetze der Addition und Multiplikation (Abschnitt 1.3.1) Grundgesetze der Anordnung (Abschnitt 1.3.2) Eigenschaft der Vollstandigkeit (Abschnitt 1.3.3)

1.3.1 Grundgesetze der Addition und der Multiplikation Grundgesetze der Addition

1.3 Die Menge der reellen Zahlen 1. Je zwei Zahlen a,beU ist genau eine reelle Zahl a + b zugeordnet. 2. Fiir allQ a,beU gilt: a+b=b + a Kommutativgesetz 3. Fiir alle a,fe,ce R gilt: a + (b + c) = (fl + 5) + c. Assoziativgesetz 4. Es gibt in U genau eine Zahl 0, Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elementes so daB fiir alle aeR gilt: a + 0 = a. Existenz und Eindeutigkeit 5. Zu jeder Zahl aeU gibt es der inversen Elemente genau eine Zahlfl*GlRmit: a + a* = 0. (Schreibweise: a* = — a)

(1-1) (1-2) (1.3) (1.4)

Grundgesetze der Multiplikation 1. Je zwei Zahlen a,beU ist genau eine ]reelle Zahl a-b zugeordnet. 2. Fiir alle a,beU gilt: a'b = b'a Kommutativgesetz 3. Fiir alle a,b,ceU gilt: a'{b'c) = {a'b)'C. Assoziativgesetz 4. Es gibt in U genau eine Zahl 1, Existenz und Eindeutigkeit so daB fiir alle aeU gilt: des neutralen Elementes a-l=a. 5. Zu jeder von 0 verschiedenen Zahl Existenz und Eindeutigkeit aeU gibt es genau eine Zahl a*GU der inversen Elemente mit fl-a* = 1.

(1.5) (1.6) (1-7) (1.8)

I Schreibweise: a* = a" ^ oder a* = ) Distributivgesetz Fiir alle a,b,ceU gilt: a-(b + c) = (a-b) + (a-c).

(1.9)

Bemerkungen: 1. Falls keine Verwechslung moglich ist, kann das Zeichenweggelassen werden: {ab)c statt {a-b)-c. 2. Wegen der Assoziativgesetze brauchen bei der Addition bzw. Multiplikation mehrerer Zahlen keine Klammerngesetzt werden: a-\-b + c bzw. a-b'C = abc. 3. Folgende Schreibweisen sind iiblich: a^ = a-a~^ = 1 (fiir a 7^0), a^ = a, a^ = a-a, a^ = a-a-a \xsw. 4. Es wird vereinbart, daB Multiplikationen vor Additionen ausgefiihrt werden, falls die Reihenfolge durch Klammersetzung nicht anders vorgeschrieben ist. Danach schreibt man das Distributivgesetz: a{b + c) = ab-{- ac. An einem Beispiel soil gezeigt werden, wie man - aufbauend auf diese Grundgesetze-Beweise fuhren kann: -r. 1

.

iliiiiliiiiiiiii^^^

•••illilili

1 Mengen, reelle Zahlen Beweis: Es gibt eine Losung x^ = ( —a) + /?, wie man durch Einsetzen priift: a -\- x^ = a -\- {{ — a) -\- b) = {a -\- { — a)) -\- b = 0+b = b+0 = b.

nach (L2) nach (L4) nach (LI) nach (L3)

Es gibt nur eine Losung. Denn sind x^ und X2 Losungen, dann muB gel ten: a-\-x^ = b also:

und

a-\- X2 = b,

a-\- Xi=a + X2 { — a) + (a + Xi) = ( —fl) + (a + X2)

nach (L2) nach (LI) nach (L4) nach (L3)

(( — a) + a) + Xi = (( — a) + a) + X2 Xi + ( a + ( —fl))= X2+ (« + ( —a)) Xi + 0 = X2 + 0

D.h. es gibt keine von x^ verschiedene Losung in U.

•

Weitere Folgerungen (ohne Beweis): •I • : iiiiiiiiiiiM^^^^^ m

' ^ ^

••lil

••••••iiiiia^^^

^ ^ ^ ^ ^

iilillil 1.3.2 Grundgesetze der Anordnung

L Fiir je zwei Zahlen a, be Kgilt genau eine der drei Beziehungen a 1 + 2a wegen a^ > 0. (Iinnduktionsschritt: A{k): (1 + af > 1 + ka (1 + a)(H-af > (1 + a)(l +/ca) w e g e n a > - l (1 + a)^^^ > 1 + lea + a + /ca^ (l + af + ^ > l + a(ic+l) + /ca^>l + a(/c+l) + a^ A{k-\-l): ( l + a ) ^ + ^ > l + ( / c + l)a (I) Induktionsanfang: A{2)\

weil/c> 1 «

Fiir das Produkt der ersten n natiirlichen Zahlen verwendet man eine Kurzschreibweise: Das Produkt der ersten n natiirhchen Zahlen wird /i-Fakultat genannt. Schreibweise: nl = l-2-3-'---n Zusatzlich wird 0! = 1 definiert.

1.4 Vollstandige Induktion

19

Bemerkung: Die Definition von 0! erleichtert uns spatere Formulierungen. Beispiel 1.10 5! = 6! = 10! = 20! =

l-2-3-4-5 = 120 l'2-3-4-5-6 = 5!-6 = 720 1-2 •••10 = 3628 800 l-2-•••20 = 2432902008 176640000

Allgemein: (/c+l)! = l-2-3--^--/c-(/c+l) = /c!-(/c + l) Abschatzung fiir n-Fakultat ^^^m «»«^ Beweis: Induktionsanfang: ^4(3): Induktionsschritt: A{k):

3! > 2^ ^ ist richtig wegen 6 > 4. k\>2^~^ (/c + l)/c!>(/c + l)2'-^ ^ (k + l)/c! > 2^2^-\ weil k + 1 ^ 2 fur alle kef A{k + 1): (/c + l)!>2 + (''^^)aV+(''^^\a''-V

+- +

Beispiel 1.12 Die Summenentwicklung von (1 — x^)^^ ergibt:

= 1-

20\ , / 2 0 \ , . x' +

1/

/ 2 0 \ , /20

yij-

V3m4r~""'^Uo

= 1 - 20x^ + 190x^ - 1140x^ + 4845x^ - • • • + x^° Aufgaben 1. Welche Werte haben die folgenden Differenzen: 21

1

^"^

1

a) E — - - I - —

^^

^2

b) S (2^+1)'- Z {2k-3r

2. Beweisen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen mittels voUstandiger Induktion: "

n{n + 1)

a) X ^=l+2 + 3 + ---+n = b) X i^ = i-^4-h9 + ---\-n^

«(w+l)(2w+l)

(''^^Wb^

1.4 Vollstandige Induktion

23

c) X ^ = d) Fur alle a,beUmit0^a|x|. 5. Signumfunktion (s. Bild 2.7)

^1^

Die folgende Funktion wird Signumfunktion genannt: /:[R^{-1,0,1}

mWx^l

Schreibweise: f(x) = sgn(x).

1, falls x > 0 0, falls x = 0 -1, falls x < 0 f Bild 2.7: Signumfunktion

Bei vielen Anwendungen der Mathematik miissen die Ergebnisse ganzzahlig sein. Man denke z.B. an die optimale Anzahl der Maschinen zur Herstellung einer Ware, an die glinstigste Speicheranzahl in einem Elektronenrechner usw. Liefert eine Rechnung einmal einen nicht ganzzahligen Wert, so wird (je nach Problem) auf-bzw. abgerundet. Dem Abrunden entspricht der folgende Begriff: Unter [x] versteht man die groBte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Es sei keZ. Dann gilt: [x] = k fiir alle x mit /c ^ x < /c + 1. Es gilt Z.B. [TT] = 3; [15] = 15; [ - -^l = - 8. Das Symbol [ • • • ] wird GauB-Klammer genannt. Es soil bei der Beschreibung weiterer Funktionen verwendet werden:

30

2 Funktionen

Beispiel 2.7

yk a)

Funktionswerte mit GauBklammer (s. Bild 2.8)

+1

a) / : [ - 2,2)-^lR mit xi->[x] X

-0,5

-0,1

y

-1

-1

0,2 0

0 0

0,5 0

0,9 0

1 1

1,2 1

•2

-1

i

b) b) f:l-2,2]-^U X

y

-0,5 0,5

mit x\-^x-0,1 0,9

0 0

[x] 0,2 0,2

0,5 0,5

0,9 0,9

1 0

1,2 0,2

-2

-1

1

2

X

c) /:[•-2,2]^ X

y

-0,5 0,5

[Rmitx -0,2 0,2

>c — [x+ 0,5]l

0 0

0,2

0,5

0,9

0,2

0,5

0,1

1 0

1,2 0,2

Bild 2.8 a-c: Beispiele mit GauBklammer

2.1.2 Umkehrfunktion und Verkettung von Funktionen Das Schaubild der Betragsfunktion stimmt mit dem in Bild 2.2c iiberein. In beiden Fallen liegt die gleiche Zuordnung vor, die lediglich auf zwei verschiedene Weisen formuliert ist. Weil beide Zuordnungen auf U definiert sind, werden die Funktionen gleich genannt. Definition 2.1 Die Funktionen / : Df

-^w,und g ^ . -

a) Df = Dg und t>) / ( ^ ) = dM fur alle .xeDj gilt. Schreibweise: f = g

W heiBen gleich. wenn

2.1 Grundbegriffe

31

Beispiel 2.8 Zur Gleichheit von Funktionen 1 a)/:C

b)/:[

x-1 2

! mit x\-

fiir

x^l und

; mitxh^x + 1 sind gleich.

g: I

fiir X = 1

(x fur X / 3 : mit xi-^ ^ X - 3 und I 9 fur X = 3 mit xh^x + 3 sind ungleich, weil /(3) = 9^ ^(3) = 6.

g-'

mit xh^^x^ und

c)/

mit xi->x sind ungleich, da /(x) = — ^(x) fiir xelR~.

9'

D

S mit /(x) = ^x^ und

g i),-^Rmit^(x) = (yx)^ sind gleich, falls D^ = D^ c [R^ . Sie sind ungleich im Falle D^ = I D„ 1

e)/:R\{l}->Mmit/(x):

x-1

und

^: IR -> [R mit ^(x) = x + 1 sind ungleich, weil Df ^ D^. Die Zuordnungsvorschrift einer Funktion / gibt an, welcher Funktionswert einem Argument Xo zugeordnet wird. Haufig ist aber umgekehrt ein /(xo)-Wert bekannt, und man interessiert sich fiir einen zugehorigen Xo-Wert. Es soil nun diskutiert werden, welche Funktionen auf diese Weise »umkehrbar« sind (vgl. Bild 2.9). y ^i

yi

f/

y

Vn J

J^v 1

^^,^0^
r

Vn J

\

w\

1

1

1

jif

>^0

X

^/

') ^

J

X

Bild 2.9: Umkehrung von / Bei den in Bild 2.10 dargestellten Funktionen ist nur im Falle c) die Umkehrung wieder eine Funktion, denn bei a) werden durch die Umkehrung einem };-Wert zwei Werte x^ und x^ zugeordnet, und bei b) wird nicht jedem Element der Zielmenge durch die Umkehrung ein Element zugeordnet.

32

2 Funktionen b)

ky

Z=WfW

c)

- iy

W

Z=Wf\

**— 1 1 1 1 1 ^•"

1

1 1 1 1

1

D ~

X

Bild2.10a-c: Zur Umkehrbarkeit

Damit die Umkehrung einer Funktion wieder eine Funktion ist, muB also zweierlei gelten: 1. Zu unterschiedlichen Argumenten miissen unterschiedliche Funktionswerte gehoren. 2. Alle Elemente der Zielmenge miissen Funktionswerte von / sein: Z = Wj-. Definition 2.2 Eine Funktion f:Df^Wf heiBt umkehrbar, wenn zu unterschiedlichen Argumenten auch unterschiedhche Funktionswerte gehoren. Kurz: / ist umkehrbar, wenn fiir alle x^, X2eDf aus x^ / X2 folgt / ( x j ^ fix^). Die Funktion g\ Wj-->Dj, die jedem yeWj- genau das xeDf zuordnet, fiir welches y = f{x) gilt, wird Umkehrfunktion von / genannt. Schreibweise: / "

Sprechweise: » / in vers« oder »inverse Funktion zu / «

Bemerkungen: 1. Umkehrbare Funktionen werden auch ein-eindeutige Zuordnungen genannt. 2. Die Bedingung, daB zu unterschiedlichen Argumenten unterschiedliche Funktionswerte gehoren miissen, laBt sich im Schaubild deuten. Wie man z.B. in Bild 2.10 a sieht, ist eine Funktion nicht umkehrbar, wenn im kartesischen Koordinatensystem eine Parallele zur x-Achse existiert, die den Graphen von / mehr als einmal schneidet. Beispiel 2.9 a) / : [0,2] -> [4,10] mit 3; = 3x + 4 / ~ ^: [4,10] -^ [0,2] mit jf-^dasjenige x, fiir welches 3; = 3x + 4 yi-^dasjenige x, fiir welches y — 4 = 3x >dasjenige x, fiir welches yy-4 y^

3 X —4

oder (weil der Variablenname frei wahlbar):

2.1 Grundbegriife

33

DaB es sich wirklich um Funktion und Umkehrfunktion handelt, sollen die Werte fiir zwei spezielle Argumente demonstrieren: li—->7h-^lund2i-Ul0h-->2

r - 3 31

2x-l

b) / : [ - l , 2 ] ^ — , - mitx^/(x) = — — [_ 2 5J x+3 - 3 31 . . , , 2x-\ —5 ~ ^ [ ~ 1? 2] ii^it 3;i-^dasjenige x, fiir welches y = 2

5J

xH-3

yK^dasjenige x, fiir welches (x + 3)y = 2x — 1, well x + 3 ^^^ 0 yh^dasjenige x, fiir welches x{y — 2) = —l — 3y );i-^dasjenige x, fiir welches x = y\-^

l + 3y

, well 2 — y^O

1 + 33; ^ Oder 2-y 2 —X

Spezielle Argumente: Oi—> — |i—^-O und 11—>\\—> 1. c) /(^) = x^ — 2x + 3 mit xeU ist nicht umkehrbar, weil z.B. /(O) = /(2) = 3 gilt. Wir wollen untersuchen, ob man durch Einschrankung der Definitionsmenge eine umkehrbare Funktion / mit derselben Zuordnungsvorschrift erhalten kann. Es miiBte gelten: / ~ ^: yi-^dasjenige x, fiir welches y = x^ — 2x + 3 yh^dasjenige x, fiir welches 0 = x^ — 2x + (3 — j;) yh^dasjenige x, fiir welches x = 1 + ^ 1 — (3 — y) oder x = 1 — ^ 1 — (3 — y) y\-^ 1 + ^y — 2 oder y\-^ 1 — ^y — 2. Entscheidet man sich fiir 3; i-> 1 + ^y — 2, so wird eine Funktion beschrieben, deren Wertemenge nur Werte groBer als 1 besitzt: VT^-i = [1, 00). AuBerdem ist die Umkehrfunktion nur definiert fiir yeDf-^ = [2, 00). Dann ist / : [1, oo)->[2, 00) umkehrbar, und es gilt: f~^:[2, oo)->[l, 00) mit

y^l-\-^y-2. f

r'

f

r'

Spezielle Argumente: 3i—> 61—> 3 und 101—> 831—> 10 Definition 2.3 f'.Df^Wf sei eine Funktion und Df eine^chte Teilmenge von Df. Dann wird die durch x\-^f{x) fiir alle xeDj gegebene Funktion / die Restriktion (oder Einschrankung) von / auf Dj genannt. In Beispiel 2.9 c) war /die Restriktion von / auf das Intervall [1, 00).

34

2 Funktionen

Beispiel2.10 Schaubilder von Umkehrfunktionen Bild 2.11 zeigt die Schaubilder der in Beispiel 2.9 genannten Funktionen und Umkehrfunktionen. b)

2 4 6 8 10 X Bild 2.11a-c: Funktion und Umkehrfunktion im Schaubild Der Graph von / ist die Menge aller Punkte (x, y) mit xeDf und y = /{xjeWj-. Der Graph von / ~ Mst die Menge aller Punkte {y, x) mit ye Wf und x = f~ ^{y)EDf. Weil in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte {x,y) und {y, x) symmetrisch zur Geraden y = x liegen, sind die Graphen von / und / ~ ^ auch symmetrisch bez. dieser Geraden. Bei der Bestimmung der Umkehrfunktionen wurde schon / und f~^ fiir spezielle Argumente nacheinander ausgefiihrt. Die folgende Skizze macht klar, wann zwei beliebige Funktionen /und g hintereinander ausgefiihrt werden konnen (s. Bild 2.12):

c

y^f

d

X

Nacheinanderausflihrung moglich Bild 2.12: Nacheinanderausflihrung von Funktionen

Nacheinanderausflihrung nicht moglich

2.1 Grundbegriffe

35

Definition 2.4 Gegeben seien zwei Funktionen f.Dj-^A und g\Dg-^B mit Wj Dann heiBt die Funktion h: Dj->B mit xi->/z(x) = g{f{x)) die mittelbare Funktion g nach

n.

Schreibweise: g°f.

Sprechweise: »g nach / «

Bemerkungen: 1. Haufig wird / innere und g auBere Funktion genannt. 2. Die Sprechweise »g nach / « weist darauf hin, daB die Reihenfolge, in der die Funktionsnamen geschrieben sind {g°f), nicht die Reihenfolge der AusfUhrung ist (zuerst / , dann g). Beispiel2.ll / : [0,2] -> [4,10] mit f{x) = 3x + 4; g: [1, oo) -> [0,1] mit g{x) = X

Bei ^ ° / wird zunachst / ausgefiihrt und dann g, also wird [0,2] in [4,10] und diese Menge weiter in [0,1] abgebildet: h, =gof: [0,2] ^ [0,1] mit h,{x) = g{f(x)) = g(3x + 4) = ^2 = f^9' II ^ ) ^ [4,10] mit h^ix) = f{g{x)) = f

1 3x + 4

1 : 3 - + 4.

Beispiel 2.12 - 2} -> IR mit xh-^g{x) = x+2 g°fist nicht ausfiihrbar, weil der Funktionswert /(— f) nicht mittels g weiter abgebildet werden kann: /:R-^[Rmitxi-^/(x) = 3x; g'A

/ Jedochist/o^:IR\{-2}-

:mitxi-^/(^(x))=/

= 3x+2 x+2 Die Beispiele zeigen, daB i.a. f°g¥' g°f gilt D.h. bei der mittelbaren Funktion ist die Reihenfolge zu beachten. (Die Nacheinanderausftihrung ist i.a. nicht kommutativ.)

/ sei eine umkehrbare Funktion. Die Nacheinanderausftihrung von f:Dj-\-^Wj- und g=f-':Wf^DfQxgihi: Si)h = gof:Df^Df mit h{x) = g{f{x)) = / " \f{x)) = x, also h = f-^of:Dj.-^Dj. mit h{x) = x. •pilllili llllilllii^^

I—I

^) Auch die Namen » Verkettung von g und / « sowie » Nacheinanderausfiihrung von g und / « und » zusammengesetzte Funktion g nach / « sind iiblich.

36

2 Funktionen

h)h = fog:Wf^Wf mit h{x) = f{g{x)) = f{f " \x)) = x, also h = fof-^: Wf ^Wj. mit h(x) = x. iiiiii

I^Hll^^Bll^^^^^^^^^^^^^^U

Definition 2.5 Die Funktionen / bzw. g seien auf D^ bzw. Dg definiert und ceU. Dann wird vereinbart: a) h = f -\-g durch h{x) = f{x) + g{x) fiir alle xeDfnDg b) h = f — g durch h{x) = f{x) — g{x) fiir alle xeDf nDg c) h = f-g durch h{x) = f(xyg(x) fiir alle xeD^nDg d) h = - durch /i(x) = -—— fiir alle xeDrnD^, falls ^(x) ^ 0 fiir alle xeD^nD„ ist g g{x) e) /i = I/I durch h{x) = \f(x)\ fiir alle xeDf f) h = C'f durch /i(x) = C'f{x) fiir alle xeDf. Bemerkungen: 1. Die folgenden Schreibweisen sind streng auseinander zu halten: f°g und/-^ sowie / ~ ^ und 2. Es werden folgende Schreibweisen verwendet: f^ = f'f,

P=p'f

und allgemein:/"^^ = / " - / f i i r alle neN.

Beispiel2.13 / : IR-^IR mit }^ = x^ + 3x - 1; g-M^U mit y =-x^+ \ Dann ist: / + ^: [R -^ [R mit y = 2x^ + 3x; / - ^: [R -^ IR mit j; = 3x - 2; /•^: [R-^ IR mit y = x^ + 3x^ + 3x - 1;

/. g'

x^ + 3x - 1 mity =

2 . 1

•

x^ + 1

Aufgaben 1. Geben Sie fiir die folgenden Zuordnungsvorschriften maximale Definitionsbereiche an! x-4 a ) / W = V 6 x 2 - 5 x - 6 ; b)/(x) = - - ; c)/(x) = V | x | - 5 ; |x —4| d) f{x) = yx2 + 5x + 6,25. 2. Handelt es sich bei den folgenden Zuordnungen um Funktionen? a) / : [ - 5,5] ^ R und x^y mit x^ + y^ = 25 b) / : ( - 5,5)-> R mit xfc) / : IR ^ R mit x^J\

+ x^

d) / : [R-> [R mit

25-x^

XH^^I-X^

2.1 Grundbegrifife

37

3. Zeichnen Sie die Schaubilder der nachstehenden Funktionen: x—4 a) / : (R\{4} ^ U mit f{x) = b) / : R -> IR mit xh->x^ + x - 12 \X

4|

c)/:[-l,2]-^[Rmit/(x)=|x + [ x - l ] |

f 2 - X ,. d ) / : IR^IR mit xh^< 3 ^ ^^^ ^ ^ ^ ( 1

fiir X = 3

2—

fiir x > 0

X

e)/:[R->[Rmitxh-^(-l)f^\

/ ) / : [R->[R mit X-K>< _ J _ 2+x —X

f^j.

-i3 — .,yxmitxG[Ro

d) xi-^|3 — x| mit XG(R

e) xh^x^" mit XGR (fiir ?IGN)

f) XK>X^" + ^ mit XGIR (fiir ^ G N )

g) xi-^|[x]| mitxGlR. 5. Sind die folgenden Funktionen gleich?

a)/:[R^[Rmitxh-^IR mit x h - > | l - x | 6. Geben Sie die Umkehrfunktionen an fiir: a) / : (R-^ [R mit /(x) = - 2x + 7

b) / : R\{i} -^ U\{i} mit xh-

7x + 3 5x-l

7. Gegeben ist die Zuordnungsvorschrift xi-^j; = f{x) = — x^ + 4x — 3. Wie lautet die Umkehrung der Zuordnung? Wahlen Sie den Definitionsbereich (maximal) und die Zielmenge so, daB die Umkehrfunktion / " ^ existiert. Geben Sie / ~ ^ an! 8. Geben Sie die mittelbaren Funktionen g°f und / ° ^ an, falls diese existieren! a) / : [0,1] -> [ - 1,4] mit /(x) = 5x - 1, ^: [ - 1,1] ^[0,1]mit^(x) = ^ l - x ^ b) / : 1R\{3} ^ U \ { 0 } mit /(x) = ^ ,

g: U\{0} -^U\{-1}

c)/:[R^[Rmitxh^x^

gfi R^IRo mit xi-^|x|

d)/:[R"'-^[R+ mitxh-^X

mit ^(x) =

^:[R^1R^ mitxi-^lx|

^

38

2 Funktionen

9. Zu den gegebenen Funktionen / und g sind f + g,f — g,f-g und f/g mit den maximalen Definitionsbereichen anzugeben! /:[R\{0}^[Rmitxh

-X

I mit xi->x^

g-A

2.2 Eigenschaften von Funktionen Die Betrachtung der Schaubilder einiger Funktionen legt es nahe, »qualitative« Eigenschaften von Funktionen zu beschreiben, z.B. ein stetes Anwachsen der Funktionswerte, eine Periodizitat Oder eine Symmetrie. Definition 2.6 Eine Funktion f:Df-^Wf heiBt nach oben bzw. nach unten beschrankt, wenn die Wertemenge Wj- nach oben bzw. unten beschrankt ist, Entsprechend wird / beschrankt genannt, wenn es eine Zahl XelR^ gibt, mit |/(x)| ^ K fiir alle xeDf. Bemerkungen: 1. Ist die Wertemenge einer Funktion beschrankt, dann besitzt sie wegen der VoUstandigkeit von U eine obere (und eine untere) Grenze, und es gilt: inf Wf ^ f{x) ^ sup Wj fiir alle xeDf. Eine Schranke fiir die Betrage der Funktionswerte ist dann X = max{|inf P^y^|,|sup Wf\} (s. Bild 2.13).

iK = \mfWf\ sup VfjDf

74

//i

inf Wf + Bild 2.13: Beschrankte Funktion/

2. Wenn / nicht beschrankt ist, gibt es keine Zahl K mit der genannten Eigenschaft. D.h.: Zu jeder (noch so groBen) Zahl XeK"^ gibt es ein xeDf mit |/(x)| > K. 3. Die auf [R"^ definierte Funktion / mit f{x) = - ist nicht beschrankt. Aber jede Restriktion von / auf ein abgeschlossenes Intervall [a,^] aW^ ist beschrankt. In diesem Sinne spricht man auch von der Beschranktheit einer Funktion auf einer Teilmenge des Definitionsbereiches.

2.2 Eigenschaften von Funktionen

39

4. Auch wenn eine Funktion nach oben bzw. nach unten beschrankt ist, braucht sie keinen maximalen bzw. minimalen Funktionswert zu besitzen. Beispiel2.14 Beschrankte Funktionen a) / : R-^ [R mit xh^x — [x] (s. Bild 2.8b) besitzt keinen maximalen Funktionswert, obwohl das Supremum (sup Wf = l) existiert. Das Minimum der Funktionswerte ist gleich inf Wf = 0. 10 ist beschrankt. Obere Grenze und zugleich Maximum von Wj- ist 1+x^ 10. Bin Minimum von Wj- existiert nicht. Das Infimum ist 0.

b)/:E

mit f{x) =

Definition 2.7 Eine Funktion f:Df~^Z heiBt auf einem Intervall D czDf monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn fiir alle Xi,X2eD gilt: ^1 < ^2=>f{^i) ^ fUi)

bzw. Xi < X2 =>f{x^) /(X2).

Bemerkungen: 1. In Worten ausgedriickt heiBt z.B. streng monoton wachsend: Zum kleineren Argument gehort auch der kleinere Funktionswert (s. Bild 2.14). 2. Man nennt eine Funktion monoton auf D, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend auf D ist. / heiBt streng monoton auf D, wenn / entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend auf D ist. 3. Man beachte, daB die Monotonie auf D ax2=>ax^+h> ax2 + h, d.h. /(xi)>/(^2) d) / mit /(x) = — [x] ist auf U monoton fallend, doch nicht streng monoton fallend. Eine Funktion / , die sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend ist, ist eine konstante Funktion, denn fiir alle x^, X2 mit x^ < X2 gilt in diesem Fall: /(x^) ^ /(X2) und /(x^) ^ /(X2), also / ( X l ) = /(X2).

Beweis: a) Existenz von / " ^ / sei streng monoton wachsend (im anderen Fall wird der Beweis analog gefiihrt). Fiir x^ ^ X2 gilt entweder Xi < X2 oder X2 < x^. Daraus folgtentweder/(x^) < /(X2) oder/(X2) < /(^i). Jedenfalls gilt /(xi) 7^ /(X2), d.h. / ist umkehrbar. b) / ~ ^ ist im gleichen Sinn streng monoton Voraussetzung: / sei streng monoton wachsend. Behauptung: / ~ ^ ist streng monoton wachsend:

/(xi)xi R^ mit f{x) - ^ x

b) / : R^ ^U mit/(x) = x^-\-2x

c) f:U^Umitf{x)

d) / : U\{0}-^ U\{0]mitf{x) --

= - 3x + 2

e ) / : j R + ^ l R + mit/(x) =

1 + x^

f)/:[R->[R+ m i t / ( x ) = -^ ' '

1

1 l-\-x^

3. Beweisen Sie: / : IR ^ R mit/(x) = ax^ ist fiir a > 0 streng monoton wachsend und fiir a < 0 streng monoton fallend. *4. Man zeige: Jede Funktion, deren Definitionsbereich zu Null symmetrisch liegt, laBt sich als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben. 5. Beweisen Sie: Fiir alle weN ist / mit f{x) = x^"

eine gerade Funktion und

f{x) = x^"'^^ eine ungerade Funktion. (Daher der Name!) 6. Geben Sie eine Zuordnungsvorschrift fiir die Funktion an, deren Schaubild gezeichnet ist: Bild 2.16 7. Beweisen Sie Satz 2.2.

2 Funktionen

44

8. Welche Nullstellen besitzen die folgenden Funktionen? a) / : [R -^ [R mit f{x) = 6%^ - x - 1 c)/:

d) f:U^Umitfix)

I mit /(x) = 3 -

-3

b) / : [R -> [R mit f{x) = 36x^ - 25^2 + 4

-2

3x^ + 5x^ - 2x

=

-1

Bild 2.16: Schaubild zu Aufgabe 6

2.3 Rationale Funktionen Um in den folgenden Abschnitten iiber weitere Beispiele zu verfiigen, werden wir zunachst einige wichtige Typen reeller Funktionen betrachten. 2.3.1

Ganzrationale Funktionen

Definition 2.11 Fine Funktion / : U •• + a^x + GQ und neNQ,a^,... .«« eU, a„ 7^ 0 heiBt ganzrationale Funktion w-ten Grades oder Polynom /i-ten Grades. Bemerkungen: 1. Die Zahlen a^eU heiBen die Koeffizienten des Polynoms. 2. Auch die Sprechweise ganzrationale Funktion (bzw. Polynom) vom Grade n ist iiblich. Beispiel 2.21 /mit ^) / W = 16x^ — 3x-^ + 18 mit XG[R ist ganzrationale Funktion 5-ten Grades. t>) / W = Ix^ — 19x^ + 3 mit XG[R ist ganzrationale Funktion 8-ten Grades. c) fix) = (7x^ - 19x^ + 3)(16x^ - 3x^ + 3) mit xeU ist ganzrational 13-ten Grades.

2.3 Rationale Funktionen

45

Satz 2.3

^^BPIilB BIHIlll

IIIBIIIIilllH*^

lliliiliMliiPlp

llillililiiilft^^

Satz 2.4

Beweis: Fiir jedes keM gilt nach (1.32): x^ — x\ = (x — x^){x^~^ +x^~^Xi +x^~^xi H

hxxi~^ + Xi~^)

= (x — Xi)-p,^_ i(x), wobei pj^__^{x) ein Polynom (/c — l)-ten Grades ist. Fiir beliebiges x^eU gilt: n

n

n

/(x)-/(xi)= X a^x'- X a^xi = ^ ai{x'-x\) 1=0

i=0

1= 0

n

n

i=l

i=l

Die Summe auf der rechten Seite (wir nennen sie ^(x)) ist offenbar ein Polynom {n — l)-ten Grades, und es gilt: f(x) = f{x,)-\-{x-xM^)-

(2.3)

Falls XL j eine Nullstelle von / ist, gilt /(x^) = 0, und der Satz ist bewiesen.

•

Beispiel 2.22 / mit fix) = x^- 67x - 126 besitzt die Nullstelle x^ = - 2. Nach Satz 2.4 laBt sich /(x) als Produkt mit einem Faktor (x + 2) schreiben: f{x) = x^ - 67x - 126 = (x + 2){x^ - 2x - 63). Aus der Produktdarstellung erhalt man weitere NuUstellen von f:x2 = 9, x^= — 7. Die Frage, wie man das Polynom ^(x) = x^ — 2x — 63 erhalt, wird sogleich beantwortet. Mit Hilfe von (2.3) laBt sich fiir beliebiges x^ G IR ein Schema zur Berechnung von Funktionswerten ganzrationaler Funktionen begriinden: fix) = (x - Xi)^(x) + /(xi) X a,x' = ix-x,) "Z b,x' + fix,) = "Z b,x'^' - "z ^-^i ^' + /(^i)

46

2 Funktionen

£ apc'+ X ^-^1^'= Z ^•^'"'' +/(^i)

i= 0

n-1

«n^"+ Z (a, + ^,XiK-f(ao + ^o^i) = /)„_iX"+ Z ^ - i ^ ' + ZC^i) i=l

i=l

Entsprechend Satz 2.3 sind zwei Polynome genau dann gleich, wenn sie in alien Koeffizienten iibereinstimmen. Der Koeffizientenvergleich liefert die folgenden Gleichungen: Koeffizient bei x": ^„-1 = «„ Koeffizient bei x\ bi_^= ai + b^x^ fiir i = 1,..., w — 1 Koeffizient bei x^: f{x^) = a© + ^o^i Fiir vorgegebene Koeffizienten a, {i = 0,...,n) und x^ konnen die Werte ^^ (/c = 0,...,n — 1) und /(xi) entsprechend diesen Gleichungen vorteilhaft nach dem Horner-Schema berechnet werden. Im nachstehenden Horner-Schema sind die Multiplikationen durch Pfeile angedeutet-addiert werden stets zwei Zahlen einer Spalte: "n-1

"n-2

bn-l^l

bn-i

1 1

bn-2^1

b ^

^n-2

t/QjCj

/(^i)

Bemerkung: Dieser Funktionswert/(xi) ist gleichzeitig der Rest, der bei Division von/(x) durch (x - Xi) bleibt. Ist insbesondere x^ eine NuUstelle von / , dann gilt:

f{x) = (x-x^yg(xl und in der letzten Zeile des Horner-Schemas stehen die Koeffizienten des Polynoms g{x) vom Grade n—1. Beispiel 2.23 Abspalten eines Faktors mittels Horner-Schema (vgl. Beispiel 2.22) a) xi = - 2 ist NuUstelle von / mit f{x) = x^- 61 x - 126. Das Horner-Schema liefert die Koeffizienten des in Beispiel 2.22 angegebenen Polynoms: Xi =

1

0 -2

-67 4

1

-2

-63

-2

T

T

b2

b.

-126 + 126 0 = /(-2)

T ^0

Es gilt: /(x) = x^ - 67x - 126 = (x + 2)(x^ - 2x - 63) fiir alle xelR.

2.3 Rationale Funktionen

47

b) Xi = 3 ist Nullstelle von / mit f{x) = 4x^ - 6x^ - 13x^ + 3%^ - x - 159. 4

-6 12

-13 18

3 15

-1 54

4

6

5

18

53

T

T

T T

b.

^3

Xj = 3

^2

^1

-159 159 0 = /(3)

T ^0

Es gilt: fix) = {x- 3)(4x^ + 6x^ + 5x^ + 18x + 53) fiir alle xe 4x^ - 6x^ - 13x^ + 3x2 - X - 159 = 4x^ + 6x^ + 5x2 _^ |g^ _|_ 53 f^j. ^iig ^ _^ 3 oderx-3 Man sagt: (4x^ — 6x^ — 13x^ + 3x2 _ ^ _ 159^ jg^ durch (x — 3) teilbar. Dementsprechend laBt sich Satz 2.4 formulieren:

Ist / eine ganzrationale Funktion n-ten Grades, und sind x^ und X2 unterschiedliche Nullstellen von / , dann besagt Satz 2.4 zunachst: / ( x ) = (x-Xi)^(x).

Weil (x — Xi) nur fiir x = x^ verschwindet, muB g{x2) = 0 gelten. Die Anwendung von Satz 2.4 auf g ergibt dann: /(x) = (x — Xi)^(x) = (x — Xi)(x — X2)/i(x), wobei h ein Polynom (n — 2)-ten Grades ist. Allgemein gilt: Satz 2.5

Bemerkungen: 1. Man nennt die Faktoren (x — x^) Linearfaktoren und verwendet die Produktschreibweise: n

/W = «n n (^ - ^i)' i=l

2. Der Zusammenhang zwischen den Nullstellen von / und den Koeffizienten des Polynoms wird oft in der Literatur als » Vietasche Formeln« angegeben. Man erhalt diese Gleichungen durch »Ausmultiplizieren« der Linearfaktoren.

48

2 Funktionen

Satz 2.6

H Bemerkung: Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades kann durchaus weniger als n reelle Nullstellen besitzen. Z.B. hat / mit f{x) = {x- l)(x^ + 1) nur x^ = l als Nullstelle in U. Beweis (indirekt): Voraussetzung: / ist ganzrationale Funktion n-ten Grades. Behauptung: Es gibt hochstens n verschiedene Nullstellen. Gegenannahme: Es gibt mindestens n-\-1 verschiedene Nullstellen x^,..., x„, x„+1. Nach Satz 2.5 gilt dann:/(x) = a„(x —Xi)---(x —x„), also/(x„+i) = a„(x„ + i —^i)-'-{^n + i ~~^JWegenx„+ ^ ^ x,-fiir i = 1,..., n verschwindetkein Faktordieses Produktes,undes gilt: /(x„ + i) i= 0. x„ + 1 ist also keine Nullstelle. Die Gegenannahme fiihrt zum Widerspruch. • Mitunter laBt sich ein Faktor (x — x^) mehrmals von einem Polynom abspalten. Wir beriicksichtigen das in der folgenden Definition 2.12 / sei eine ganzrationale Funktion n-ten Grades. Dann heiBt x^ eine A:-fache Nullstelle von/, wenn eine ganzrationale Funktion g vom {n — /c)-ten Grade mit ^(x^) ^ 0 so existert, daB /(x) = (x — x^fg{x) fiir alle xeU gilt.

Beispiel2.24 a) Xi = 2 ist dreifache Nullstelle von / mit /(x) = x^ — Sx"^ H- 13x^ — 14x^ + 12x — 8, wie man dem nachstehenden Horner-Schema entnehmen kann:

Xi = 2

1 -6 2

13 -8

-14 10

12 -8

-8 8

1 -4 2

5 -4

- 4 2

4 -4

0

Xi = 2

1 -2 2

1 0

-2 2

0

x^ = 2

1

0 2

1 4

0

1

2

5

Xi = 2

fix) = (x - 2)-(x4 - 4x^ + 5x^ - 4x + 4) fix) = (x - 2)2(x^ - 2x^ + X - 2)

/(x) = ( x - 2 ) V + l)

2.3 Rationale Funktionen

49

b) Xi = — 1 ist eine zweifache Nullstelle von / mit f{x) = x^^ + 2x^ + x^ + x^ + 2x + 1: 1

2 -1

1 -1

1

1 -1

1

1

Xl = — 1

Xi = — 1

Xi = — 1

0 0

0 0

0 0

0 1 0 0

2 -1

1 -1

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 1 0 0

1 -1

0

0 -1

0 1

0 0 -1 1

0 0 -1 1

0 -1

1 1

0

-1

1

-1

-1

1

-1

2

0 0

1

/(x) = ( x + 1 ) ^ + 1)

2.3.2 Gebrochenrationale Funktionen Definition 2.13 Unter einer (gebrochen) rationalen Funktion r verstehen wir den Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen: r:xi-^r(x) =

g„(x)

^„x" + ^n-i^""' + --- + ^i:x: + bo

mit a^ 7^0, /?„/0.

Der maximale Definitionsbereich ist U\L, wobei L die Menge der Nullstellen des Nenners bezeichnet. Im Falle m 0 und q = ^ mit m,neN. Dann verstehen wir unter der Potenz x^ die n-te Wurzel aus x" ^m/n

"/Y"*

Bemerkungen: 1 1. Damit ist f{x) = x^ fiir ^GQ"^ erklart. Mit dem Zusatz x ^ = — und x^ = 1 fiir alle xelR"^ ist x^ dann x^ fiir alle qeQ definiert. 2. Die Einschrankung xeR^ (statt IR^ ) wurde wegen der zusatzlichen Vereinbarung in Bemerkung 1 vorgenommen. 3. Man beachte, daB sowohl f{x) =y^x^ als auch g{x) =-^x auf ganz U definiert ist und auf IR~ f{x)i^g{x) gilt. Dagegen ist f^{x) = x'^'^ und^i(x) = x^/^ nur auf IR"^ definiert, und es gilt x2/6 = x^/^ fiir alle XG1R + . 4. Fiir xeU^ gilt: ^ x = x^^" fiir alle neH. FiirxeR" gilt: ^^^^x = -''^+:^-x=

-(-x)^/^^'^^^) fiir alle/ceN.

Fiir das Rechnen mit Potenzen gilt: Satz 2.8

Wir verzichten auf den Beweis. (Dieser Satz wird in Abschnitt 4.4 fiir q^,q2eU formuliert.)

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Aus der ebenen Trigonometrie sind die Begriff'e Sinus und Kosinus eines Winkels bekannt. Sie wurden fiir Winkel zwischen 0° und 90° als Quotient zweier Seitenlangen eines rechtwinkligen Dreiecks eingefiihrt. Dabei wurden die Winkel im GradmaB gemessen. In der Analysis wird ein anderes WinkelmaB verwendet, das Bogenmafi. Zwischen dem BogenmaB x und dem GradmaB a eines Winkels besteht das folgende Verhaltnis: X

271

n

a

360°

180°

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen

59

2.5.1 Sinusfunktion und Kosinusfunktion Definition 2.15 {^,rj) sei ein Punkt P auf dem Einheitskreis. PQ sei der Punkt (1,0). Bezeichnen wir das BogenmaB PQ P mit x, so wird jedem Wert x ein Punkt P zugeordnet, dessen Koordinaten wir mit Kosinus und Sinus von x bezeichnen. Schreibweise: ^ = cos x

fy = sin x.

Die so auf IR definierten Funktionen mit xt->cos x und xi-^sin x werden Kosinusfunktion und Sinusfunktion genannt. Bemerkungen: 1. Wie man dem Bild 2.23 entnehmen kann, entspricht diese Definition fiir xel 0,-1 genau der aus der ebenen Trigonometric. 2. Ein Punkt {^, rj) wird nicht nur durch einen einzigen Wert des BogenmaBes beschrieben. Man erhalt z.B. fiir — 4n-\-x,—2n + x,x,2n + x,4n-\- x denselben Punkt des Einheitskreises.

Bild 2.23: Zur Definition von Sinus- und Kosinusfunktion

Einige Eigenschaften lassen sich unschwer der Definition entnehmen (s. Bild 2.23 und Bild 2.24). Fur allexeR gilt: iii^Biiiii

60

2 Funktionen

-.

/^

1 1

\

Nr-Ji; IN. 1 \

v^

1

>v \

Jl

1 1

y

-1-

Bild 2.24: Schaubilder der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion

Unter Beriicksichtigung der Periodizitat erhalt man: Nullstellen der Sinusfunktion: Xfc= k% mit/ceZ. n Nullstellen der Kosinusfunktion: XK = - + /CTT mit /ceZ. 2 Fiir die maximalen und minimalen Funktionswerte gilt (/ceZ) Maxima: sin x = 1 bei: Xt = - + 2/c7i; cos X = 1 bei: x^ =

— 71

Minima: sin x = — 1 bei: x^ =

h 2/c7i

cos X = — 1 bei: x^ =

TT + 2/c7i

Ikn

Fiir alle XGR gilt:

iiiliiiiiiiiiiiiiiiiiiii^^^^^^^^

iiiii Ijjillll

IIIIIII^^BIIIII ,,,,,,,,„„,,,,,,,,„,.,.„,,,,.„,,.„„,,,.,..^^^^^^

lliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiS^^^^^^

Fiir alle XI,X2G[R gelten die Additionstheoreme lllllllllllllllllllP^^^^^^^

,,,,,:,,,.,,,,,,„,^,,,,,,,^, „;, „i

,i„,,,,,^,,,,„,„,„,,,,,,„,. ••illllllll

^^^^^H

Der Beweis kann z.B. mit Fallunterscheidungen unter Verwendung der Formeln (2.13) und der Periodizitatseigenschaft gefiihrt werden. Unschwer folgert man aus den Additionstheoremen und den bereits genannten Eigenschaften: Fiir alle x^eU gilt: mmKiim

^^^^^^^

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Aus (2.13) erhalt man wegen x^ ••

X-j^ + X2

61

X i "T" ^ 7

+-

und X2 = —

2.5.2 Tangensfunktion und Kotangensfunktion Definition 2.16 Es sei Li die Menge der Nullstellen der Kosinusfunktion und L2 die Menge der Nullstellen der Sinusfunktion. Unter der Tangensfunktion verstehen wir die Funktion sinx : tan X fiir xe [R\Li und tan:xH-^cosx unter der Kotangensfunktion die Funktion cosx :cotx cot: xh-^smx

fiirxe[R\L2

Ahnlich wie die sin- und cos-Werte lassen sich auch die Werte der Tangens- und Kotangensfunktion am Einheitskreis veranschaulichen (s. Bild 2.25):

Bild 2.25: tan x und cot x am Einheitskreis

62

2 Funktionen

Einige Eigenschaften lassen sich unschwer der Definition entnehmen: tan(x + kn) = tan(x) tan( —x)= — tan(x)

und cot(x 4- kn) = cot(x) und cot( —x)= — cot(x) tan(x)-cot(x)= 1

Aus der Anschauung folgt unmittelbar (vgl. Bild 2.26): Die Tangensfunktion ist auf I

, - ) streng monoton wachsend, die Kotangensfunktion auf

(0, n) streng monoton fallend. Die NuUstellen der Tangensfunktion stimmen mit denen der Sinusfunktion iiberein, die der Kotangensfunktion mit denen der Kosinusfunktion: tanx = 0 bei Xt = /c'Ti mit keZ

cotx = 0 bei x^

- k-n mit keZ.

Bild 2.26: Schaubilder der Tangensfunktion und der Kotangensfunktion

tjber die Additionstheoreme der sin- und cos-Funktion lassen sich solche fiir die tan- und cotFunktion herleiten, falls diese Werte definiert sind. tan Xi + tan X2 tan(xi4-X2) = - — 1 — tanxi-tanx2

cot(xi+X2) =

cot x^ • cot X2 — 1 • cotXi+cotX2

Beispiel 2.28 Zwei Geraden mogen in kartesischen Koordinaten beschrieben sein: g^: y = m^x-\-nj^

und

02'. y = m2X-\-n2.

(2.16)

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen

63

Nach (2.16) wird der Schnittwinkel zweier Geraden berechnet. Aus Bild 2.27 entnimmt man: mi = tsinP und m2 = tana tan^ = tan(jS —a) =

tan p — tan a 1 + tan p tan a

Insbesondere sind die beiden Geraden orthogonal, wenn d = 90° ist. Fiir dieses Argument ist kein Tangenswert definiert, d.h. der Nenner verschwindet:

Bild 2.27: Schnittwinkel zweier Geraden

III^^^^Hiljl

••^••iiliii^B

In der Praxis ist es oft zweckmaBig, die Werte einer trigonometrischen Funktion durch die Werte einer anderen auszudriicken. In der folgenden Tabelle sind entsprechende Formeln zusammengestellt: Tabelle 2.1

sinx

cosx

ta.n X

cotx

sinx

cosx

sinx

± ^ 1 — cos^x

± ^ 1 — sin^ X

sinx

cosx

i y ^ l — sin^x

+ ^ 1 — cos^ X cosx

+ ^1 — sin^ X sinx

+ ^ 1 — COS^ X

cosx

tanx

cotx

tanx

1

± y 1 + tan^ X ± yi+cot^ X 1

cotx

+ y 1 + tan^ X ± yi+cot^ X

tanx

1 tanx

1 cotx

cot X

tJberall dort, wo + steht, ist das Vorzeichen dadurch zu bestimmen, daB man iiberlegt, in welchem Quadranten der durch x festgelegte Punkt des Einheitskreises liegt.

64

2 Funktionen

2.5.3 Arcus-Funktionen Die Sinusfunktion besitzt die primitive Periode p = 2n. Daraus folgt unmittelbar, daB die Sinusfunktion keine Umkehrfunktion besitzt. Man kann aber den Definitionsbereich so einschranken, daB die eingeschrankte Funktion umkehrbar ist. Dazu braucht man nur ein Intervall 71 K

zu suchen, auf dem die Sinusfunktion streng monoton ist, z.B.

2'2

Nach Satz 2.1 existiert dann eine Umkehrfunktion. Entsprechend existieren auch fiir die anderen trigonometrischen Funktionen Monotoniebereiche, so daB die darauf eingeschrankten Funktionen umkehrbar sind (vgl. Bild 2.28). Definition 2.17 r-

Die Umkehrfunktion von / : Die Umkehrfunktion von / : Die Umkehrfunktion von / : j Die Umkehrfunktion von / :

-,

7c n

~2'2

- [ - -1,1] mit XI—>sinx heiBt Arcussinus-Funktion.

[ 0 , 7 r ] ^ [ - 1,1] mit XI—> cos X heiBt Arcuskosinus-Funktion. mit xi-^tan x heiBt Arcustangens-Funktion.

;-i'i)-«

mit xi-^cot X heiBt Arcuskotangens-Funktion.

(0,7r)-^[R

Schreibweisen:

Sprechweisen:

arcsin:[—1,1]^

nn mi t yi-^arcsinj; ~2'2

arccos:[ — 1,1]^

[0, TI] milt yh-^arccos y /

71 71 \

Arcussinus von y Arcuskosinus von y

arctan:

[R-^l —-,7^1 mi 13;!-^ arctan 37

Arcustangens von y

arccot:

U -^

Arcuskotangens von y

(0, %) mil t 3;K^ arccot y

Einige Eigenschaften der Arcus-Funktionen: a) arcsin( —x)= — arcsinx arctan( —x)= — arctan x arccos( — x) = n — arccos x arccot (— x) = TT — arccot x b) — 7^ ^ arcsm X ^ 7^ 0 < arccos x = 2,4,8,...

Es ist nicht immer moglich, den Wert des n-ten Gliedes a„ ohne Berechnung der vorhergehenden Glieder anzugeben. Beispiel 3.2 mitai = 2, a„ = —"^—^— fiir w = 2,3,4,... a„_i + l Hier erhalten wir die Folge = 2 , | , ^ , . . . Eine solche Folge bezeichnet man als rekursiv definiert. Weitere Beispiele fiir derartige Folgen bilden die aus der Elementarmathematik bekannten arithmetischen und geometrischen Folgen.

3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen

71

Definition 3.2 a) Es sei ceU und de U\{0}. Dann heiBt die durch a^ = c und

I erfiillt ist. 3. Um nachzuweisen, daB monoton ist, bilden wir z.B. die Differenz d = a„+^ — a„ oder, falls a„ > 0 fiir alle neN ist, den Quotienten ^ = -^^^, je nachdem wie die Folge definiert ist. Ist dannd^O oder ^ ^ 1 fiir alle neN, so ist monoton wachsend. Gilt d^O oder 0 < ^ ^ 1 fiir alle nef^J, so ist monoton fallend. Definition 3.4 Die Folge K bzw. jedes k^ auch durch — M^a^^M

Oder | a „ | ^ M

zum Ausdruck bringen.

fiir alle neN

3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen

73

Beispiel 3.4 mit a„ + !«„ < 0 fiir alle neN (d.h. a„ und a„ + ^ haben verschiedenes Vorzeichen) eine alternierende Folge. Beispiel 3.7 = < l + ( - l ) " > = 0,2,0,2,... < a„ > ist nicht monoton, nicht alternierend, aber beschrankt.

Aufgaben 1. Bestimmen Sie die ersten 5 Glieder der Folgen :

2M+1/

\4n + 3 /

\

5w-l/

\4

4 fiir n ungerade

e) ((1-(-!)")( 2 + J j ^ f)ai = 2,fl„^i=V^;;TT g)a„ = 0. Dann ist a-a

2n-l = ~^

2 3

= —-^,nQeN,

falls n>—- ist. 38

dann ist a„eUJ§) d.h. |a„ — f | < £ fiir alle n ^ WQ, und wir

haben gezeigt, daB a = f Grenzwert dieser Folge ist. Versuchen wir diese Abschatzung mit dem Wert a = ^ (statt mit a = | ) , so erhalten wir mit £ > 0 a„-a

n-2 6n

= a„

< £

Wahlen wir nun z.B. £ = 0,1, so gilt \--2\

\n — 2 na d.h. a = 0 ist Grenzwert dieser Folge. Beispiel 3.11 = = c,c, c,...,

ceU

Jede stationare Folge besitzt den Grenzwert c, da in jeder £-Umgebung von c sogar alle Glieder der Folge liegen.

3.2 Konvergente Folgen

79

Beispiel 3.12 Die Folge = < 1 + (—1)"> = 0,2,0,2,... besitzt keinen Grenzwert, da sowohl in (7^(0) als auch in U^{2), 0 < 8 < 1, unendlich viele Glieder von a Mr n-^ oo n^ 00

Sprechweise: Limes von a„ fiir n gegen Unendlich gleich a. Bisher ist die Frage noch nicht geklart, ob eine konvergente Folge mehr als einen Grenzwert besitzen kann. Es gilt Satz 3.1

Beweis: Wir beweisen diesen Satz indirekt. Gegenannahme: < a„ > besitze die Grenzwerte a und a mit a^a. Via) U(a) T ^ i ^ ^ a a-^e a-e a a + £

6 a-e _

1

_

Bild 3.5: Die e-Umgebungen UXa) und l/,(a) mit E = -\a — a\

Wahlen wir etwa £ = ^|a — a|, so ist JJJ^a)nJJJ^d) = 0 (s. Bild 3.5). Nach Gegenannahme existiert ein nQ = no(£), ngeN, so daB a^eUXa) fiir alle n'^riQ ist. Folglich konnen auBerhalb dieser Umgebung, und damit auch in U^d), nur endlich viele Glieder der Folge liegen. Dies widerspricht jedoch der Gegenannahme, daB d ebenfalls Grenzwert von ist. • Bemerkung: konvergiere gegen aeU. Dann gilt (s. Bemerkung 2 zu Definition 3.6) lim a„= lim a„ + ^ = a, «-+ 00

keM.

n~* 00

In den Beispielen 3.9, 3.10 und 3.11 haben wir gezeigt, daB ,.

ist.

2 n —

1

2

,

.

C

^

n ^ l .

lim —^-— = -;

\im- = 0,ceM; hm

n->oo

n-> ao fl

jJi

5

n-*oo

rr^

C = C,CEU

80

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Definition 3.8 Eine Folge, die nicht konvergent ist, heiBt divergent. Existiert zu jedem KelR ein WQ = no(i^), ^oef^, so daB a^> K

fiir alle n'^riQ

ist, dann heiBt bestimmt divergent. Man sagt auch, besitze den uneigentlichen Grenzwert+ oo. Schreibweise: lim «„ = + oo

Bemerkung: Entsprechend ist der uneigentliche Grenzwert lim a„ = — oo definiert. Auch in diesem Fall heiBt n-* 00

die Folge < a„ > bestimmt divergent. Beispiel 3.13 = Wahlen wir deshalb

K

fiir alle n> K.

HQ

= nQ{K) > K^UQEN, dann gilt a„ = n^> K fiir alle n ^

HQ,

d.h.

IIIIIIUjH

WKKKBttU Definition 3.9

Eine Folge, die weder konvergent noch bestimmt divergent ist, heiBt unbestimmt divergent. Bemerkung: Eine Folge ist z.B. dann unbestimmt divergent, wenn zwei Zahlen a,deU,a^d, und ein s > 0 so existieren, daB sowohl in U^{a) als auch in Uj[d), UJ^a) n UJ(d) = 0, unendHch viele Glieder der Folge liegen. Denn dann liegen weder in UJ^a) noch in UJ(d) fast alle GHeder der Folge. Sie kann auch nicht bestimmt divergent sein, da sie beschrankt ist. Beispiel 3.14 Wir betrachten die Folge

l-^nh>nh und daraus folgt \q"\ 0. Dann ist

K-0\

= \q"-0\ =

\q"\ 1: Es existiert eine reelle Zahl /i > 0 so, daB q = l-\-h ist. Dann gilt (wieder wegen der BernouUischen Ungleichung) fiir X G [R ^ K

a„ = g" = (l + /i)"> l + hn>hn>K,

fallsn> —ist. n

Wahlen wir also HQ = nQ{K) >—,nQeM, dann gilt h a„ = q"> K

fiir alle n ^ UQ,

d.h. < a„> ist fiir ^ > 1 bestimmt divergent. d) Es sei g ^ — 1: Ist ^ = — 1, so nehmen die Glieder der Folge abwechselnd den Wert + 1 und — 1 an, d.h. ist unbestimmt divergent. Fiir q< —1, also |^| > 1, wachst |«„| = k"| = 1^1" iiber jede Schranke, und ist alternierend. Folglich ist < a„ > in diesem Fall unbestimmt divergent. Wir fassen zusammen: iiililliiiiiililiiiiiiiiilB^^^^^^

Fiir q^ — 1 ist < g" > unbestimmt divergent. Beispiel 3.17

Wegen a^oo = l?047...,aiooo = l,006...,konnen wir vermuten, daB der Grenzwert a— 1 ist. Dies wiirden wir jedoch nicht annehmen, wenn wir nur die Anfangsglieder a^ = l, a2 = 1,414..., (23 = 1,442... betrachten. Fiir alle n ^ 3 gilt aber «„+1 < a„.

84

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Im folgenden sei n> 1. Wegen y ^ > 1 existiert zu jedem n>l Qinb„>0 so, daB ^[/n = 1 +fe„ist. Mit Hilfe des binomischen Satzes (Satz 1.5) erhalt man

(y^)" = n = ( l + V = l + (;')ft„ + Q ' ' " + - + ( " ) * " ^ l + ( 2 ) ' ' " 2

n

\l n

2 Es sei 8 > 0. Wahlen wir HQ = nQ{s) > ^ , ^OGN, so ist s

Folglich ist eine NuUfolge, und konvergiert nach Satz 3.2 gegen a = 1, d.h. li |li ll ili l| pl l«ii li iil ll iBi l lIi iH i ^ l^ ^

SiiliilBliiiliiiiliiiiH^^^IIHiHBW

Eine wichtige Eigenschaft konvergenter Folgen liefert Satz 3.3

Beweis: Die Folge < a„ > konvergiere gegen den Grenzwert a. Wir wahlen eine beliebige 8-Umgebung UJ^a) von a, etwa mit 8 = 1 . Dann liegen auBerhalb von UXci) nur endlich viele Glieder der Folge. Bilden wir aus diesen Gliedern sowie aus den Werten a — s und « + £ die Menge A, so ist A eine endliche Menge, und es gilt min A^a^^

max A

fiir alle neN,

d.h. 00

1

n-^oo 1 -

1

— lim^"+^=-i--0 = - ^ 1 —g 1 — < 2

iii) q= -1: Wegen (3.6) ist = ist unbeschrankt und folglich (unbestimmt) divergent. Wegen (3.6) ist damit auch < a„ > unbestimmt divergent. \)q>l: Nach (3.5) ist dann die Folge < = ( - ), dann gilt zwar a„ < 5„ fiir alle neM, trotzdem ist lim a„ = lim b^ = 0, d.h. a^b. Satz 3.7 und seien konvergente Folgen mit lim a„ = lim ^„ == a. Gilt dann fiir die Folge fiir fast alle weN die Ungleichunga^S c«^ ^«. so ist lim c^^a. Beweis: Aufgabe 20 Beispiel 3.22 Es ist zu zeigen lim - ^ = 1 , peU^

(3.8)

Wir fiihren eine Fallunterscheidung durch. a)p=l Fiir diesen Fall gilt y ^ = 1 fiir alle ne N, d.h. < .^p > ist eine stationare Folge mit dem Grenzwert 1. b)p>l Wegen ^ > 1 existiert zu jedem neN ein fe„>0 so, daB ^ BernouUischen Ungleichung (1.34) erhalten wir .P-1

= b„+l ist. Mit Hilfe der

n

Hieraus folgt nach Satz 3.7 wegen 0 < Z?„
1. Folglich gilt nach b) und Satz 3.4: P lim y/p = lim „ / - = Hm —^ = 1.

Beispiel 3.23 = ( ^ ) .

q>h

(3.9)

kef

Wirbeweisenzunachst,dafi ( — )eineNullfolgeist.Daq>list,existierteinereelleZahlc>0so, \^ / daB q= 1 -i-c ist. Folglich ist fiir n ^ 2 g" = (l + c)"=l + ( M c + r

c' + ••• + ( J c " > ( 2 ) c ^ d . h . ^ " > i n ( n - l ) c 2 .

Da fiir alle n ^ 2 die Ungleichung « — 1 ^ - erfullt ist, folgt fUr n ^ 2: „^ c^-n^ q">

_{q-\f-n

4

' '^•^- « < ^ < ( ^ - J -

Nach Satz 3.7 ergibt sich folghch iliil^MjiiilBlMliip^^^^

•I

^^^^^^Mmm

^•••••^•l Beachten wir nun, daB q^'^ = d> lfmq,k> und erhalten lim — = lim n-* 00 q

n-^ 00

{qllk\n

1 ist, so konnen wir den Grenzwert (3.10) verwenden

"'=limf^Y = flim^Y = 0.

Somit gilt il||||«^^^

3.2 Konvergente Folgen

91

Aufgaben 1. Gegeben ist die Folge mit dem Grenzwert aeU. Bestimmen Sie den kleinsten Index ^OGN, fiir den gilt: fl„e Uj[a) fiir alle n ^ ^Q-

a) / - y

a = 0;

c),

£ - 1 0 " \ 10"^ lO^^

b) / - ^ ^ ) ,

a=3;

e = 1 0 - ^ 1 0 - ^ 10^

a=l; £ = 1 0 - ^ 1 0 - ^ 1 0 - '

2. Zeigen Sie, daB die angegebenen Folgen < a„ > Nullfolgen sind, indem Sie zujedem 6 > 0 ein UQ = «o(^)' ^o^ ^ ' ^o angeben, daB |a„| < 8 fiir alle U'^UQ ist

•> (^)«(^)«' (S)«(s)- 3. Gegeben ist die konvergente Folge . Bestimmen Sie den Grenzwert a von , und zeigen Sie, daB zu jedem e > 0 ein UQ = nQ{s), «oeN, so existiert, daB \a„ — a\ 0 , und zeigen Sie, daB ein YIQ = no(£), n^&H, existiert, so daB fl„^Uid)fiir alle n'^n^ ist.

5. Von einer Folge 0. < a„ > sei konvergent gegen den Grenzwert a= — 10" ^. Zeigen Sie: Unendlich viele Glieder der Folge sind negativ. 7. Welche der angegebenen Folgen (fl„) sind bestimmt, v^elche unbestimmt divergent? Bestimmen Sie gegebenenfalls zu einem beliebigen ^^ G R^ ein n^ = n^iK), n^ e N, so daB a„> K (a„ < -K) fiir alle n ^ HQ ist. a) ( V H )

b) / ^ ^ \

c) /{l+{-ir)(l+^\\

8. Geben Sie Folgen {a„) an, die von den aufgelisteten Eigenschaften ausschlieBlich die angekreuzten Eigenschaften besitzen (ao G IR):

92

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

(streng) monoton wachsend

(streng) monoton fallend

alternierend

konvergent gegen a=

bestimmt divergent gegen + 00

a)

*

— 00

-l;0;l;ao

*

b)

-l;0;l;ao

*

c)

0 ao^O

d) e)

unbestimmt divergent

*

*

*

0

* *

g)

9. Berechnen Sie mit Hilfe der Satze 3.4 und 3.5 folgende Grenzwerte (falls vorhanden):

b)

a) lim n-*oo n-^oo \1 —3nJ c) lim n-* 00

e) lim

4 + 2« - 3n^

lun('-^)(U-^

d) lim

2n^-2 n^

3^2

2w^+l

4n+l

3«2 -4n + 5 3« + 2

f) lim

2-3nN2 n+ 3

10. Priifen Sie auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte a) l i m ( l + T ^ r

b) l i m ( l - i ^ ) ' '

c) lim

d) lim«-co („ _f. 1 0 ) ^ ^ 2 - « + l

1+

11. Priifen Sie auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert lim

bqU^ + bq-in^~ ^ + ••• + ^iw + 6o •

-j-c^n-hCQ

mit bi,CkeU mTi= 1,2,...,q;k = 1,2,...,p und b^¥^0,Cp^O. Betrachten Sie dazu die Falle pq. 12. Gegeben sind die Folgen

=/l^^„„d=/^-" 2^2 + 1 / " "

''"'

\3n-hl^

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge mit a) c„ = fl„ + &„

h) c„ = b„-a„

c)c„ = a„'b„

d) c = - , b„

e) c„ = \b,

f) c„ = JSa„

n^2

3.2 Konvergente Folgen

93

13. Gegeben sind die Folgen {a„y, {b„y und :

/1-"\ ''' ^""^-Xln + l/'

/ 5 + 5n - 4«^ \8n^ + 12« + 4

= \2n + 2 / '

u\ / ^ \ _ /1 //2n-l\\

*' ^"""'-W « /'

;j^)-

= /

/4n+l\

V 2n /

Zeigen Sie: i) lim a„ = lim 6„ = a ii) a„ ^ c„ ^ 6„ fiir alle ne N Wie lautet folglich der Grenzwert von ? 14. Beweisen Sie Satz 3.2 15. Beweisen Sie mit Hilfe der Bemerkung 1 zu Satz 3.3, daB die Folge < ^ n + 1 + s/n) divergent ist. 16. Nehmen Sie zu folgender Aussage kritisch Stellung: Eine NuUfolge ist eine Folge, deren Glieder immer kleiner werden. 17. Beweisen Sie: Die Beschranktheit einer Folge ist nicht hinreichend fiir ihre Konvergenz. 18. Beweisen Sie: sei konvergent gegen den Grenzwert a. Wenn fl„ > 0 fiir fast alle weN ist, dann ist a ^ 0. 19. Beweisen Sie mit Hilfe von Satz 3.4 den Satz 3.5. 20. Beweisen Sie Satz 3.7. *21. Es sei /CGN und /7eQ\{0} mit |p| < 1. Zeigen Sie, es gilt lim n''-p" = 0. n-*oo

*22. Es sei /ce(0,1). Zeigen Sie: lim [(n + If - n'] = 0. n-*oo

Anleitung: Klammern Sie n'^ aus und schatzen Sie den so entstehenden Ausdruck ab.

3.3 Monotone und beschrankte Folgen 3.3.1 Konvergenzkriterium monotoner Folgen Die Bestimmung des Grenzwertes einer Folge kann erhebliche Schwierigkeiten hervorrufen. Gelingt es uns jedoch, die Konvergenz nachzuweisen, so konnen wir dies unter Benutzung der Satze 3.4 und 3.5 zur Berechnung des Grenzwertes verwenden. Das folgende Beispiel soil das Vorgehen erlautern. Beispiel 3.24 Wir betrachten die rekursiv definierte Folge mit «i = l.

«n = i ( « n - i +

I. ^ = 2,3,...

94

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Nehmen wir an, daB der Grenzwert a dieser Folge existiert, so ist nach Satz 3.4. 2 a = lim a„ = I lim «„_i + f lim n-*ao

n-*oo

n->oo

1 , d.h. a = ~a-\--

n—1

^

Aus dieser Gleichung erhalten wir a= ±-^2. Da a„>0 fiir alle neN ist, ist der Grenzwert a = + ^2. Notwendige Voraussetzung fiir dieses Vorgehen, den Grenzwert einer Folge zu bestimmen, ist die Konvergenz, da wir sonst nicht Satz 3.4 anwenden diirfen. Andernfalls konnen wir ein falsches Resultat erhalten. Beispiel 3.25 Wir betrachten die geometrische Folge = nach oben (unten) beschrankt und monoton wachsend (fallend) ist, so ist der Grenzwert a obere (untere) Grenze von. 4. Dieser Satz ist ein typisches Beispiel fiir einen Existenzsatz: Wenn die Folge die Voraussetzungen dieses Satzes erfiillt, dann besitzt sie einen Grenzwert a. Wir kennen ihn dann zwar noch nicht, konnen ihn aber mit Hilfe der Zuordnungsvorschrift ni-^a„ i.a. beliebig genau berechnen. Beispiel 3.26 Wir zeigen: X"

X

X

ist fiir alle xeK"*^ konvergent.

n-l

Es ist a„ = n{n—l)\

Fiir alle n>x gilt dann

n

= - < l Oder «„ ist von einer bestimmten Stelle an monoton fallend und wegen a„ > 0 (fiir alle nsN) nach unten beschrankt. Folglich existiert nach Satz 3.8 ihr Grenzwert a, und wir erhalten mit Hilfe von Satz 3.4 X

/

x\

a = limfl„= lim - a„_ 1 = I lim - j (lim a„_i) = 0•« = 0. ^llllll

•l Das heiBt: n\ wachst fiir n ^ oo»schneller«als x", xeW^ und zwar so schnell, daB sogar der x" Quotient >0 strebt.

96

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Beispiel 3.27 mit a^elR^ und a„=^( a„_i H

I, peR"^, n = 2,3,...

i) < a„ > ist nach unten beschrankt: Wegen |(r -^s)^^r-s

flir alle r, seW- (vgl. (1.27)) gilt

fiir alle n ^ 2, d.h. < a„ > ist nach unten beschrankt. ii) < a„ > ist monoton fallend: Aus «„ +1 — «„ = ^ I «„ H— I"~ ^n ^ i (

^« I f^lgt wegen a^^p bzw. — ^ a„ fiir alle n ^ 2

d.h. < a„ > ist ab n = 2 monoton fallend und wegen i) nach unten beschrankt. Hieraus folgt die Konvergenz von . Mit Hilfe von Satz 3.4 erhalten wir aus a = lim a„ = lim ^ ( a„_ ^ + -^— I = ^1 a + n ^ 00

n -> 00

y

fl„

—1/

\

^

als Grenzwert a = + >//? oder a= — ^p. Wegen a „ ^ p fiir alle neM, folgt dann lim a„ = ^ p . n -^ 00

Mit Hilfe dieser Folge konnen wir ^/p beliebig genau berechnen, wenn wir nur n hinreichend groB wahlen. 3.3.2 Die Eulersche Zahl e Im folgenden werden wir eine Zahl kennenlernen, die sowohl in der Mathematik als auch in der Physik und der Technik eine wichtige Rolle spielt. Diese reelle Zahl werden wir mit Hilfe einer speziellen konvergenten Folge definieren. Dazu betrachten wir zunachst folgendes Beispiel: Beispiel 3.29 Bin Kapital k, das wir zu einem ZinsfuB von p auf Zinzeszins anlegen, wachst nach Ablauf eines Jahres bei jahrlicher Verzinsung auf das Endkapital

^^=^^-^1^)' P ^'' bei monatHcher Verzinsung auf K.-y = k\ 1 -\ ^ '^ ^ 12 100

3.3 Monotone und beschrankte Folgen bei taglicher Verzinsung auf K^^^ = kl 1 +

97

365•100

Soil nun die Verzinsung jeden Augenblick erfolgen, so miissen wir den w-ten Teil eines Jahres beliebig klein, d.h. die Anzahl n dieser Teile beliebig groB machen. Bei »kontinuierlicher« Verzinsung bei einem ZinsfuB von p erhalten wir somit am Ende eines Jahres das Endkapital K=\imk{

1+- ^ nlOO

fmk = l und p = 100

K=lim ( 1 + - V n^oo \^

(3.13)

nj

wenn diese Grenzwerte existieren. Mit Hilfe von Satz 3.8 wollen wir nachweisen, dafi die Folge

= ( ( l + j ) " )

(3-14)

konvergiert. i) < a„ > ist monoton wachsend: Es gilt, da a„ > 0 fiir alle neN ist: a, a„_i

\

n) \

n — l)

\

n ) \

n I

\ n ^ / n —1'

d.h.

^^J.-XX-^

fiirn^l

Wenden wir hierauf die BernouUische Ungleichung (s. (1.34)) an, so ist a„_i

\^

n y n—l

y

n^Jn — 1

\

njn~l

d.h.fl„^ a„_i fiir alle n ^ 2, neN. ii) < a„ > ist beschrankt: Wenden wir den binomischen Satz (s. Satz 1.5) an, so erhalten wir

"•=i-O•=-(O^(")©"^(3)0'--(:)(r n(n—l) n{n—l)(n — 2) 1 = 1 + 1+^^ -+ ' ^ ^+"-+^ z-n-n 2'3-n-n'n n

98

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte fl(yi

Da n{n—l){n — 2)---{n-k)oo Y

mj

= Q^I^ J

DaB dies tatsachlich der Grenzwert der Folge ist, kann man mit Hilfe des (s, HQ)Formalismus nachweisen. Im folgenden wird gezeigt, daB die Folge

= / f l + : sogar fiir jedes XGR konvergiert, also durch sie eine auf ganz [R definierte Funktion festgelegt ist. Fiir hinreichend groBes neN, z.B. fiir n ^ |x|, besitzt nur positive Glieder und ist monoton wachsend (Beweis als Ubungsaufgabe). Wir zeigen, daB < a„ > beschrankt ist. a) Es sei x ^ 0, reell: X / xV Dann folgt fiir n > Ixl = — x die Ungleichung 0 < 1 + - ^ 1 und damit 0 < l + - = a „ ^ l , n \ nI

100

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

d.h. ist nach oben beschrankt. Nach Satz 3.8 konvergiert folglich fiir x ^ 0 gegen einen positiven Grenzwert. b) Es sei x > 0, reell: Nach a) besitzt die Folge

den Grenzwert ^ > 0, und es gilt: 0 X. Wendet man auf diese Ungleichung die Bernoullische Ungleichung (siehe (1.34)) an, so folgt 1

x^ 0 erhalten wir einerseits: e-..e- = lim ( 1 + ^ r - lim ( 1 + ? ) = lim ( ( 1 + ^

andererseits:

-•-('-^-¥-')"*-('^^)"

i+= 6""

gXi.gX, ^ _

lim

1+

1+ 1

lim 1

+ -^-^

n->oo \

= &""' n

102

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Fiir alle X^,X2EU gilt daher: e'''+'''^e'^'-e"''^e""'^^', womit die Behauptung fiir XfX2>0 bewiesen ist. Fiir Xf X2 < 0 erfolgt der Beweis ahnlich. c) Fiir X = 0 gilt die Gleichheit. Fiir alle XGR\{0} folgtmit der BernoullischenUngleichung (1.34): e"" = lim I 1 + - I ^ lira (1 + x) = 1 + x. Ebenso erhalten wir fiir alle x < 1 und e

limll--^"

e'^i, da e^ > 1 wegen c) ist. • Die Bedeutung dieser fiir die Hohere Mathematik iiberaus wichtigen Funktion wird erst in der Differential- und Integralrechnung hinreichend deutlich. Bild 3.9 zeigt den Graphen der e-Funktion.

Bild 3.9: Graph von e: xi—>e^

Bild 3.10: Graphen der Funktionen /:xi->e^ /, :x\-^ — e^ /jixt-^e"'', f^\^^ — e~

3.4 Die e- und die In-Funktion

103

Aus dem Graphen der e-Funktion laBt sich aufgrund von Symmetrie-Eigenschaften der Graph der Funktionen /j^:xi—> —e^,/2: xh^e~^ und f^:x\-^

— Q~''

konstruieren (siehe Bild 3.10). Die e-Funktion ist auf U streng monoton wachsend und besitzt die Wertemenge IR "^. Folglich existiert ihre Umkehrfunktion. Definition 3.12 Die Umkehrfunktion der e-Funktion heiBt natiirliche Logarithmus-Funktion. Schreibweise: In: xi-^ln x mit xeU^ Bemerkungen: 1. Als Umkehrfunktion der e-Funktion besitzt die In-Funktion den Definitionsbereich Din = ^'^ und den Wertebereich W^^ = U. Diese Funktion ist also nur fiir positive Argumente erklart. 2. Aus(2.1)und(2.2)folgt: In e^ = X fiir alle xeU, e^"^-x fur alle xe[R+,

(3.20) (3.21)

Wegen e° = 1 und e^ =e erhalt man aus (3.20) die speziellen Funktionswerte In 1 = 0

und

l n e = 1.

(3.22)

Bild 3.11 zeigt den Graphen der In-Funktion. Der folgende Satz faBt die Eigenschaften der In-Funktion zusammen.

y = \n X

Bild 3.11: Graph von \n:xh-^\nx

104

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Satz 3.10

Beweis: Zu a) und b) Es seien u, veU. Setzt man e" = x^ und e*" = X2, so ist x^, X2eU'^, und man erhalt wegen In Xi = In e" = M und In X2 = In e*" = f mit Hilfe von Satz 3.9 fiir x^, X2, reW^ ln(xi-X2) = ln(e"-e'^) = lne"-'" = M + i; = l n x i + l n x 2 .

(3.23) Xi

Setzt man in In (w • i;) = In w + In t; (vgl. (3.23) fiir u = X2 und i; = —'^j so folgt X2

In {u-v) = In Xi = In X2 + In — o l n — = In x^ — In X2.

(3.24)

Mit (3.23) und (3.24) sind a) und b) bewiesen. Zu c) Nach Satz 3.9 ist e"" ^ 1 + x fiir alle xelR. Ersetzt man hier x durch x — 1, so folgt e"""^^ 1 + x - 1 = x und fiir alle XGW^ wegen der Monotonie der In-Funktion Ine"""^ =x— 1 ^ I n x . Fiir - e IR ^ liefert diese Ungleichung X

l ^ l n - = — In x 0 die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome proportional der jeweils noch vorhandenen Anzahl ist. Dies fuhrt auf das Zerfallsgesetz (s. Bild 3.12) n = n{t) = no'Q~^' mit

teRo und ^elR"^.

Hierbei bedeutet n die Anzahl der in der Zeit t vorhandenen radioaktiven Atome, HQ die Anzahl der radioaktiven Atome zur Zeit ^ = 0 und A die Zerfallskonstante. Die Halbwertszeit /^, nach der die Anzahl der zur Zeit ^ = 0 vorhandenen radioaktiven Atome auf die Halfte abgenommen hat, betragt v^egen ^ = ^0^"^^" In 2 '" = —' Unter der mittleren Lebensdauer t^ versteht man die Zeit, in der die Anzahl der radioaktiven Atome auf — abnimmt. Sie ist gegeben durch e

Da jedes radioaktive Element eine charakteristische Zerfallskonstante bzw. Halbwertszeit besitzt, kann man durch geeignete Messung dieser GroBen ein radioaktives Element identifizieren. b) Der atmospharische Druck: Unter der Voraussetzung, daB die Temperatur konstant ist, erhalt man den Druck in der Atmosphare in Abhangigkeit von der Hohe h durch

(s. Bild 3.13)

t Bild 3.12: Radioaktiver Zerfall

I

HH

Bild 3.13: Atmospharischer Druck

106

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Hierbei ist Po>0 der Druck und Po>0 die Luftdichte am Erdboden {h = 0), g die Erdbeschleunigung. Fiir p = \PQ erhalt man die Halbwertshohe (bei entsprechender Wahl der Dimensionen) /i^ = 7,99km-In2;^ 5,54km, d.h. beim Anstieg um 5,54 km nimmt jeweils der Druck auf die Halfte ab, falls die Temperatur konstant ist. c) Schallabsorption: Breitet sich eine ebene Welle in einem homogenen Medium aus, so nimmt ihre Intensitat / mit der Entfernung x nach dem Gesetz I{x)-. • J

e~^^

pE^

ab. Hierbei gibt IQ die Intensitat am Ort x = 0 an. j5 ist der sogenannte Absorptionskoeffizient des Mediums, d.h. ein MaB fiir die auf dem Weg der Lange 1 vom Medium absorbierten Energie. d) Aufladung eines ungeladenen Kondensators: Beim Aufladen eines Kondensators (Kapazitat C) iiber einen Ohmschen Widerstandi^ mit Hilfe der Gleichspannung U (s. Bild 3.14) andert sich die Spannung u^ am Kondensator nach uc(0=t/(l-e-n Wahrend dieses VorgangsflieBtder Strom t/x

(s. Bild 3.15). T = CR bezeichnet man als Zeitkonstante. \C

u-z^

IA u

\

Bild 3.14: Aufladung eines Kondensators

Bild 3.15: Strom- und Spannungsverlauf beim Aufladen eines Kondensators

Aufgaben 1. Welche der beiden Zahlen a und b ist groBer? a) a = 0y'\b

= 0,2'''^

b) « = l,4-^'^ fc = 0,7-i'^

2. Beweisen Sie folgende Ungleichungen:

a)

X

-^ln(x + l ) ^ x

fiir xe(-l,oo)

b) l n y x - l ^ i x - 1

fiir xe(l,oo)

3.4 Die e- und die In-Funktion

107

3. Gegeben sind die Naherungswerte In 2 = 0,6931 und In 3 = 1,0986. Berechnen Sie aus diesen Werten: In 4,

In 6,

In 27,

ln|,

lnyi6,

Inj^

4. Skizzieren Sie die Bildkurven folgender Funktionen / : a) f{x) = \n\x\

b) /(x) = |ln(x+l)i

x\-^f{x):

c) f{x) = \n

— X

5. Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen / : a) /(x) = ie-^''^^"

b) / W = i(e^ + e-^)

x\-^f{x):

c) /(x) = d^-^i

d) /(x) = e-"^

6. Losen Sie folgende Gleichungen: a)e^-e-^ = 2

b)

^ x / 4 _ g - Jc/4

2

gX/4_^g-x/4

2

7. Zeigen Sie, daB folgende Funktionen / : x\-^f{x) umkehrbar sind. Geben Sie / ~ ^ und Df_^ an. *a) fix) = e^^^ c) /(x) = e'' —e"""

b) f(x) = - 3 + ln(x - 2) d) f{x) = a r c s i n ^ l — e""

8. Beweisen Sie folgende Ungleichung: x^e^^^

fiir

x/(x) einfiihren, wenn x iiber alle Grenzen wachst. Zunachst betrachten wir ein Beispiel. Beispiel4.1 x+1 Es sei/:xi—>/(x) =

Bild 4.1: Graph von f:x\-

, mitxeR

x+1

Bild 4.1 zeigt, daB sich der Graph von / mit wachsendem x der Geraden y = g = \ nahert. Tatsachlich konnen wir den Abstand der Funktionswerte f{x) zum Wert ^ = 1, d.h. |/(x) -- g\, beliebig klein machen, wenn wir nur x hinreichend groB, d.h. groBer als ein MeIR, wahlen. So ist Z.B.

\f{x)~g\=^

x+1

1 = - < 10"'' fiir alle x > M = 10^ X

Allgemein ist fiir jedes s > 0 |/(x) — 11 = - < e fiir alle x > M{e) = -. X

S

Mit Hilfe des Umgebungsbegriffes konnen wir nun das Verhalten von / fiir unbeschrankt wachsendes x folgendermaBen beschreiben: Zu jeder Umgebung V^{1) existiert ein M(e)G[R+ so, daB /(x)eF,(l), d.h. | / ( x ) - 1| M ist. Diesen Sachverhalt driickt man wie bei Folgen dadurch aus, daB man sagt, / konvergiere fiir x ^ oo gegen den Grenzwert 1. Allgemein definiert man

4.1 Grenzwert von / fiir x -^ oo

109

Definition 4.1 / sei auf [a, oo), aeU, definiert. Man sagt, / besitze fiir x-^ oo den Grenzwert geU oder /konvergiere fur x ^ oo (gegen den Grenzwert g), wenn zu jedem s > 0 ein M = M{S)EU SO existiert, daB \f{x) — g\ M{&)

lim fix):= g oder f{x) ^ ^ fiir x ^ oo X^

(4.1)

CO

Bemerkungem 1. Es gilt |/(x) — ^1 < 8 M,M hangt von g ab, in dem £-Streifen S^ der Breite le. und der Mittellinie y = g liegen. Dabei ist es unwesentlich, ob auch Punkte P(x, /(x)) mit x ^ M in S, liegen (vgl. Bild 4.2).

Bild 4.2: Fiir alle x > M{s) gilt

P{x,f(x))eS^

2. Der Grenzwert g von / fiir x ^ oo andert sich nicht, wenn / in einem beschrankten Teilintervall des Definitionsbereiches Dy willkiirlich abgeandert wird. 3. Wir konnen nun auch den Fall betrachten, daB x kleiner als jede vorgegebene Zahl wird. Man schreibt dann lim / ( x ) = g, wenn dieser Grenzwert existiert. 4. Die Gerade mit der Gleichung y = g heiBt Asymptote des Graphen von / . Beispiel 4.2 Wir zeigen

^) M hangt von der beliebig vorgegebenen Zahl e > 0 ab (man schreibt deswegen M = M{s)% ist jedoch nicht eindeutig bestimmt. Mit M besitzt namhch auch jede Zahl Mj mit M]> M die geforderte Eigenschaft. ^) Fiir X -^ + 00 oder x -> — oo schreibt man x ^ ± oo.

110

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Es sei £>0. Dann ist \a\

a \x

\a\

= ~-- \x\

(4.3)

— £

a) x - ^ 00

Fiir X > 0 ist IXI = X > —. Wahlen wir folglich M = M{s)

, SO gilt

8

-0 < 8 fiir alle x > M{8).

(4.4)

b ) X -> — 00

Wir miissen zeigen, daB zu jedem g > 0 ein m = m{8)eU so existiert, daB |/(x) — g\ — 3x + 6 Skizzieren wir den Graphen von / , so konnen wir vermuten, daB/(x)->| fiir x-^ + oo ist (vgl. Bild 4.3).

1+

Bild 4.3: Graph von f:x\-

2JC-1

3x + 6

Es sei £ > 0. Dann ist

l/W

|2x-l

2

3x4-6

3

(3x + 6)

:—

5

^ 0 , ist — < | x + 2| = x + 2 2. Wahlen wir 3£ 3s 2x - 1 2 2x - 1 2 M = M{e) = 2, so gilt < 8 fiir alle x > M(s), d.h. lim 3x + 6 3 x^oo3x + 6 3 3e b) X -> — 00

Wir miissen zeigen, daB zu jedem 8>0 ein m = m{s)eU so existiert, daB |/(x) —1| < £ fiir alle x < m(£) ist. 5 5 Fiir - 00 < X < - 2, d.h. fiir x + 2 < 0, folgt aus (4.6) — < |x 4- 2| = - (x + 2 ) ^ x < 3£ 3s 5 2x-l 2 Wahlen wir also m = m(g) = 2, so ist < s fiir alle x < m(£). 3s 3x + 6 3 2x-l Damit ist lim x^-oo3x + 6

2 3

(4.7)

Beispiel 4.4 Es sei / : x i - smx Bild 4.4 zeigt den Graphen dieser Funktion.

Bild 4.4: Graph der Funktion f:x\-

Wir zeigen, daB /(x) -^ 0 fiir x -> ± oo ist. Es sei 8 > 0 und x > 0. Dann gilt wegen |sinx| ^ 1 fiir alle xeU^

l/W-0| = smx

-0

smx X

Wahlen wir M = M{s) = -, so ist £

2.

sinx

|sinx| Ixl

1

1

1

^ — = - < £, falls X > - . Ixl X £

< £ fiir alle x > M{s), d.h. lim JC-* 00

smx X

=0

112

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

sin( —x) sinx Fiir alle xeDf = R\{0} gilt f{ — x) = — ^ = = /(x), d.h. / ist eine gerade Funktion. (-X)

Damitfolgt lim

smx

x-^ — cx)

= 0.

X

Entsprechend zu Satz 3.1 gilt Satz 4.1

Beweis s. Aufgabe 6. Fiir das Rechnen mit Grenzwerten gelten folgende Regeln, die wir ohne Beweis angeben (vgl. Satz 3.4). Satz 4.2 (Rechnen mit Grenzwerten)

Bemerkungen: 1. Sind / i und /2 auf ( —oo,a] definiert und existieren die Grenzwerte lim /i(x) = ^i und x-^ — c»

lim /2(x) = 02, so gilt dieser Satz entsprechend fiir x -^ — oo.

^) Diese Kegel gilt auch fiir reU.

4.1 Grenzwert von / flir x ^ oo

113

2. In c) haben wir zusatzlich lim /2(x) = ^2 ^^ ^ vorausgesetzt. Deshalb ist /2(x) 7^ 0 fiir alle x> Mj^, M^ hinreichend groB gewahlt, also der Ausdruck-^— fiir diese x definiert.

AW Beispiel 4.5 Es sei /:xh

2x^ - 3 x ^ + 2 3x^ + 1

Zur Konvergenzuntersuchung von / fiir x ^ ± 00 wenden wir nun Satz 4.2 an, nachdem wir /(x) geeignet umgeformt haben. 2 lim f(x) = lim ( •^ ^ ^ ^

+ -r\

/lim(2

+ —l>

) = lim

\ ^4 /

3x^ + 1

/ . 3 2^^ lim 2 — lim - + lim A;->OO

X->OOX

lim lim ( 3 + - r

1V\

I lim 2-3( lim - ) + if lim - )

JC-*OO-

lim 3 + I lim -

lim 3 + lim X-^ 00

\

X- > 00 X^

x;->-oo X y

Beachten wir nun (4.2), so erhalten wir lim

2x3-3x^ + 2 \ ^

x-oov

3x^ + 1 ;

/ 2 - 0 + 0\^

4

V 3+ 0

Die gleiche Rechnung zeigt, daB auch /(x) ^ | fiir x ^ — 00 gilt. Definition 4.2 / sei auf [a, 00) definiert. Man sagt, / besitze fiir x ^ 00 den uneigentlichen Grenzwert 00 oder / sei fiir x ^ 00 bestimmt divergent gegen 00, wenn zu jedem KeU ein M = M{K)eU so existiert, daB /(x) > K Schreibweise:

fiir alle x > M ist.

lim /(x) = 00 oder /(x) ^ 0 0

fiir x -^ 00

Bemerkung: SinngemaB sind die Schreibweisen lim /(x) = — 00,

lim /(x) = 00,

lim /(x) = — 00

zu interpretieren (s. Aufgabe 7). Auch in diesen Fallen heiBt / bestimmt divergent. Beispiel 4.6 Es sei / : i->/(x) = e"".

114

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Wir zeigen a) lim f{x) =00; b) lim /(x) = 0. X-* 00

X^

— 00

Zu a) Fiir alle xeUist f{x) = e"^ ^ x + 1 > x (siehe Satz 3.9). Wahlen wir M = KeU, so ist /(x) > x > K fiir alle x> M, d.h. lim e"" = 00. X - * 00

Zub) Es sei e > 0 und x < 1. Dann gilt (siehe Satz 3.9) | / ( x ) - 0 | = |e^|^

= |1 —X|

00 unbestimmt divergent, wenn / weder konvergent noch bestimmt divergent ist. Beispiel 4.7 Es sei/:xi-^x",

neN

Wir zeigen. daB / fiir x ^ ± 00 bestimmt divergent ist. a) x ^ 00

Es sei X > 1. Wahlen wir M = X G R ^ , so ist /(x) = x" ^ X > X fiir alle x > M d.h. lim x" = CO

(4.8)

X - * 00

b ) X -> — 00

Wir setzen x = —u,u>0.lstn

gerade, dann erhalten wir wegen (4.8)

lim x" = lim (— w)" = Hm w" = 00. X-> — 00

M-^00

«->-00

1st dagegen n ungerade, so gilt lim x" = lim (— w)" = lim (— w") = — 00. x - ^ — 00

w->oo

u~^ 00

Fassen wir zusammen, so erhalten wir (s. auch Bild 2.20a und 2.20b)

4.1 Grenzwert von / fiir x ^ oo

115

Beispiel 4.8 f:x\-^smx

ist fiir x ^ oo divergent.

Den Beweis fiihren wir indirekt. Gegenannahme: Es sei lim sin x = ^ x-*cx)

Wahlen wir SQ = ^, dann existiert nach Definition 4.1 ein M^eW^ so, daB |sinx — ^| < ^ flir alle X > MQ ist. Es seien x^,X2 > MQ. Dann ist Isinxj—sinx2l = |(sinxi—^) —(sinx2 —^)| S Isinx^—^| + |sinx2 —^| < ^ + | = ^ .

(4.10)

Wahlen wir speziell x^ = nn und X2 = (4n — 3)- und neN so groB, daB x^,X2 > MQ sind, so gilt sin(4n — 3 ) - 10-11 1 2 im Widerspruch zu (4.10). Damit haben wir unsere Gegenannahme widerlegt, d.h. / ist fiir x -> 00 divergent. Wegen | s i n x | ^ l fiir alle xeU und ihrer Periodizitat ist die Funktion / sogar unbestimmt divergent. Ismxi — sinx2l

Das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen fiir x ^ + 00. Wir betrachten die Funktion r:xi-^r(x) -•

PmM

q„{x)

•

«m^'" + « m - l ^ "

-\-aiX-\-aQ

b„x" + b„_ix" i + ---+^iX + 5o

mit a^ ^0,b^T^ 0. Fiir x 7^ 0 erhalten wir

x"

1

1

1

i

i

r

= —•s(x)

(4.11)

X

Wegen Satz 4.2 und (4.2) ist lim s(x) = -

(4.12)

Bei den folgenden Untersuchungen unterscheiden wir die Falle a) r sei echt gebrochen (m < n) b) r sei unecht gebrochen (m ^ n) i) m — n ii) m>n zu a) m < n\ Wegen m — n = q 0, ist r nach (4.9) bestimmt divergent. Um das Verhalten von r fiir x -> ± oo genauer zu untersuchen, bilden wir mit (4.14) den Ausdruck \r{x) - gm-nM\- Nach (4.13) ist dann Hm \r{x)-g^_„(x)\=

Hm

Ziix)

= 0.

QnM

Folghch wird der Abstand der Punkte P(x, r{x))ek^ von den Punkten Q{x, g(x)) des Graphen der ganzrationalen Funktion g:xh^g^_„{x)

(4.16)

behebig klein, wenn man x hinreichend groB wahlt (s. Bild 4.5). Man bezeichnet deshalb y = g^-„{x) wiederum als Asymptote von r. Zusammenfassung: Es sei r: x\-^r{x) = -^—, m ^ n > 0. Dann ist der Graph des ganzrationalen Anteils von r (s. (4.14)) Asymptote des Graphen von r. Ist insbesondere m^n oder m = n-\-l dann ist die Asymptote eine Gerade. mn

Graph von g:xh-^g^_„{x) (5(4.14))

4.1 Grenzwert von / fur x -^ oo

Bild 4.5: Asymptote des Graphen von r

Bild 4.6: Graph von r:xi-^r{x) =

117

x^ + 1 4x

besitzt an der Stelle x= —I eine NuUstelle, an der Stelle x = 0 eine Polstelle. Ferner ist rix) = ]-x'^^ (5.(4.14)). 4 4x Hieraus folgt lim r{x) = lim

x^ +

1 = +00, 4^

und nach (4.14) ist y = g2{x) = \x^ Asymptote des Graphen von r (s. Bild 4.6). Aufgaben: 1. Gegeben sind die Funktionen / : x\-^f{x). Zeigen Sie jeweils, daB lim f{x) = g ist, indem Sie zu jedem s > 0 ein x-^oo

M = M{s)eU so angeben, daB \f{x) — ^| < e fiir alle x > M{s) ist.

a)/(x) = —-—, g = i 2x

h)fix) =

-3

2x^-1 x^ '

c)/(x) = ^ ^ 4 , ^ = 0 x^\x\ ^ ^^ ^ 2x + sin4x e)/(^) = , g-3x

4-3x x+ 1 '

f)/W =

cos^x

^0

/x+1

2. Zeigen Sie fiir die in Aufgabe la)-e) gegebenen Funktionen, daB lim f{x) = g ist, indem Sie zu jedem e > 0 ein x - > - 00

m = m{s)eU so angeben, daB \f{x) — g\ x^ '

5. Bestimmen Sie die Asymptoten des Graphen der Funktion / : xh^/(x): 2x2 - 2x - 4 b) / ( x ) = , , , , ,

3 - 2x^ a) / W = -T—T

4x+l

'"^"'

x^ + X + 12

3x2-6x + 9 2x2

8 — 4x 6. Beweisen Sie Satz 4.1.

x^ - 5 c) / ( x ) =

3x2

4x

X—lx +1

7. Formulieren Sie die Definition der uneigentlichen Grenzwerte a) lim /(x) = — oo;

b)

lim /(x) = oo; x-»-— 00

x^oo

c) lim /(x) = — oo x-> — 00

entsprechend Definition 4.2.

4.2 Grenzwert von / fiir x ^ x^ 4.2.1 Definition des Grenzwertes von / fiir x -> x^ Gegeben sei die Funktion/: x t-^/(x)./sei auf der punktierten Umgebung U\x^

definiert.

Im folgenden untersuchen wir das Verhalten der Funktionswerte /(x), wenn sich XG[/'(^O) ^^^ Stelle XQ nahert. Dabei ist ohne Bedeutung, ob / an der Stelle XQ definiert ist oder nicht. Zwei Beispiele veranschaulichen unsere Uberlegungen. Beispiel4.10 Es sei f:x\-^f(x)

=

- = x - 1

— X-1

mit xeIR \ U } ^ ^

4.2 Grenzwert von / fiir x ^ XQ

119

Bild 4.7: Graph von / : x K x-1

Der Graph von / ist ein Teil einer Parabel, der auBerdem an der Stelle XQ = 1 unterbrochen ist (s. Bild 4.7). Ferner erkennt man, daB g = 3$Wf ist. Wir konnen jedoch den Abstand zwischen f{x) und g = 3 (also \f{x) — g\) beliebig klein machen, wenn wir nur den Abstand zwischen x und XQ = 1 hinreichend klein, aber von Null verschieden machen. Wahlen wir z.B. xe C/o,ooi(lX so ist |/(x) — 31 < 0,004 und f{x) 7^ 3. Folghch unterscheiden sich fur alle diese x-Werte /(x) und g = 3 hdchstens um 4-10"^. Mit Hilfe des Umgebungsbegriffes konnen wir das Verhalten von / an der Stelle Xo = 1 auch folgendermaBen beschreiben: Zu jeder Umgebung V^{g) von g = 3 existiert eine punktierte Umgebung /(x)eFg(^) fiir alle XEUKXQ) ist.

u;(i) Bild 4.8: Fur alle xeUl(l) ist f{x)e F.(3)

UI{XQ)

von XQ = 1 so, daB

u;(2) Bild4.9: Zu jedem S>0 existiert immer einx G 1/^(2) mit hix)€

VQS(1)

120

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Fur den Graphen von / bedeutet dies (s. Bild 4.8): Wenn S^ ein parallel zur x-Achse verlaufender Streifen der Breite Is und der Mittellinie y = g = 3 ist, dann konnen wir (e > 0 mag noch so klein sein) stets einen zur y-Achse parallel verlaufenden Streifen S^ der Breite 23 mit x = XQ = 1 als Mittellinie so konstruieren, daB alle Punkte P{x,f{x)), XEUKXQX des Graphen von / ganz in dem von S^ und S^ gebildeten Rechteck liegen. Man sagt dann, / besitzt an der Stelle XQ = 1 den Grenzwert ^ = 3. DaB nicht alle Funktionen diese Eigenschaft besitzen, zeigt Beispiel4.11 Wir betrachten die Funktion f—x +3 h:x\-^h{x) = < X — 3 X—2

furx>2 fUr X < 2

Es sei geU. Offensichtlich existiert z.B. zu VQ^^ig) keine punktierte Umgebung U's{2) so, daB h{x)eVQ^^{g) fiir alle XEU'S{2) ist (s. Bild 4.9 mit g = 1). Wir konnen ^ > 0 beliebig klein machen, dennoch existieren immer xeUl{2) mit h{x)^VQ^{g). Folglich liegen immer Punkte P{x,h{x)) des Graphen von h, auch wenn xeUl{2) ist (man mag 3>0 noch so klein wahlen), auBerhalb des von S^ und S^ gebildeten Rechtecks(s. Bild 4.9). Im Gegensatz zu Beispiel 4.10 sagt man deshalb, h besitze an der Stelle XQ = 2 keinen Grenzwert. Definition 4.4 / sie auf U'{XQ) definiert. Man sagt, / besitze an der Stelle XQ den Grenzwert^, wenn zu jeder £-Umgebung V^{g) eine punktierte (5-Umgebung U'S(XQ) CZ U'{XQ) SO existiert, daB f{x)e V^g) fiir alle XEU^XQ)

ist.

Beachten wir, daB f{x)eVXg)^f{x)

— g\ 0 ab (man schreibt deswegen S = S{s)), ist jedoch nicht eindeutig bestimmt. Mit S besitzt namlich auch jede Zahl S^ mit 0 XQ existiere (und sei gleich g). 2. Der Grenzwert von / an der Stelle XQ ist, falls er existiert, eindeutig bestimmt. 3. Es sei darauf hingewiesen, daB der Funktionswert /(XQ) nicht in die Grenzwertbetrachtung eingeht, / braucht an der Stelle XQ nicht einmal definiert zu sein. Wenn/ an der Stelle XQ den Grenzwert g besitzt, muB zu jedem 8 > 0 ein passendes S = d{8)>0 mit den angegebenen Eigenschaften existieren. Bei der Bestimmung eines solchen S zu vorgegebenem 8 verfahrt man i.a. folgendermaBen: Man versucht aus der Ungleichung \fix) — g\ 0. Das folgende Beispiel (s. auch Beispiel 4.10) zeigt, wie man hierbei vorgehen kann. Beispiel4.12 Wir zeigen: f:x\-^

x^-1

mit xe[R^\{ 1} besitzt an der Stelle 1 den Grenzwert 3.

Zum Beweis haben wir zu e > 0 ein ^ = (5(£) > 0 so zu bestimmen, daB

\fix)-g\

x-1

Fiir allexG[R + \{l} gilt

--3

x-1

< 8 fiir alle xe[R + \{l} mit 0 < |x - 11 < ^ ist. -3

= |x^ + x - 2 | = |x + 2 | | x - l | .

Die Abschatzung dieses Ausdrucks wird durch den Faktor | x + 21 erschwert. Wir wahlen deshalb zunachst ^ = 1, beschranken uns also auf alle x mit 0 < | x — 11 < 1. Fiir diese x ist 2 < | x + 21 < 4, und es gilt x^-1 x-1

= |x + 2 | | x - l | < 4 | x - l | < 8 ,

falls |x - 11 < - ist.

Wahlen wir zu 8 > 0 folglich S = S{8) = minc, celR. Dann gilt fiir jedes XQ G IR lim /(x) = c. Denn wahlen wir c > 0, so gilt sogar mit jedem beliebigen 0 \f{x) — g\ = |c —c| = 0 < 8

fiir alle x mit 0 < |x —XQI < S.

0. Dann gilt mit 3 = S(s) = —\f{x) — g\ = \ax — axQ\ XQ

123

/

1 sin -

Bild 4.10: Graph von f:x\-^

Bild 4.11: Graph von

f:x\-

x+1

SO ist

fM = f\i)

= 0 und

m)-fU^.= 1

fiir alle neN. Folglich gilt lim /(x„) ^ lim f{Xn), und / besitzt nach Satz 4.3 keinen Grenzwert fiir Beispiel4.16 Die Funktion f:x\-

1 besitzt an der Stelle XQ = — 1 keinen Grenzwert. x+1

Wahlen wir etwa die gegen XQ = — 1 konvergente Folge = -1 +-

fix„) =

1

-i+i^Ui

), so ist

^ = (-!)"»

(-^)'

Damit haben wir eine gegen XQ = — 1 konvergente Folge < x„ > angegeben, so daB die Folge der zugehorigen Funktionswerte unbestimmt divergent ist (Graph von / s. Bild 4.11). Nach Satz 4.3 besitzt daher / keinen Grenzwert fiir x ^ — 1. Bin gewisser Nachteil bei der Anwendung von Definition 4.5 besteht darin, daB diese Definition i.a. nicht zur Berechnung des Grenzwertes herangezogen werden kann, sondern meist zur Bestatigung dafiir dient, ob eine gegebene Zahl Grenzwert ist oder nicht. Beispiel4.17 Es sei f: xi->xsin-. X

124

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Zur Bestimmung des Grenzwertes von / fiir x -> 0 (Graph von / siehe Bild 4.12) wahlen wir die gegen 0 konvergente Folge < x„ > = ( — ) und erhalten \nn/ lim /(x„) = lim —-sin nn = lim —-0 = 0.

Bild 4.12: Graph von / : x\-^x sin X

Wir beweisen, daB dieser Wert Grenzwert von / fiir x ^ 0 ist. Esist|/(x)-^|

X sin

0 X

1

= m sin-

^U|.

Wir wahlen s > 0. Dann gilt mit d = d{s) = E 0 < & fiir alle x mit 0 < I x I < ^,

X sin X

d.h. lim X sin - = 0. x-^O

X

Beispiel4.18 Fiir alle x^eU ist

lim cos X = cos XQ

(4.17)

Wegen cos X — cos XQ = —2sin—r—^sin——^, |sinx| ^ | x | , | s i n x | ^ 1 fiir alle x,Xoe[R erhalten

|cosx —COSXQI = 2 sm—-—^ sm-

0 , dann gilt also mit d = d{s) = E stets |cosx — COSXQI < £ 0 < | x - X o l 0, definiert. Man sagt, / besitze an der Stelle XQ den rechtsseitigen Grenzwert g^, wenn zu jedem £ > 0 ein (5 = d{E) > 0 so existiert, daB |/(x) — ^^ I < £ fiir alle XE{XQ, XQ + p) mit Schreibweise: lim f{x) = g^ oder f{x)-^g^

im

XQ/(x) = ^ 1 I —x+l

fur x > l fiirx = l fiirx 0 ein d^ = d^{s)>Q und ein 62 = ^2(^) > 0 so, daB |/(x) —^"^|0

(4.22)

{b>0 ist die Reibungskonstante). Man erhalt lim a{co) = — ^ und lim a{cjo) = 0. coiO

mCDo

oi-^oo

Die maximale Amplitudefl^^axwird fiir lib

C^.ax = J ^ 0 - 2 ^ -

erreicht. Fiir diesen Wert nimmt der Radikand in (4.22) seinen kleinsten Wert an. Wegen co^^^< COQ erhalt man a^^^ also fiir eine Erregerfrequenz, die etwas kleiner als die Eigenkreisfrequenz COQ ist. Bei fehlender Dampfung (b = 0) erreicht die AmpHtude ihren groBten Wert fiir co JCOQ bzw. CO t COQ, dann wachst a namlich iiber alle Grenzen. Man spricht in diesem Fall von Resonanz (s. Bild 4.15). Mathematisch gesprochen bedeutet dies: die Funktion a: coi-^ a(a)) besitzt fiir ^ = 0 an der Stelle COQ den rechtsseitigen bzw. linksseitigen uneigentlichen Grenzwert oo. yi

\

m iliii

0 0, definiert. Man sagt, / besitze an der Stelle XQ den rechtsseitigen, uneigentlichen Grenzwert + oo, wenn zu jedem Ke[R ein ^ = d{K) > 0 so existiert, daB f{x) > K

fiir alle xe{xQ, XQ + p) mit XQ 0, definiert, so fiihrt man entsprechend zu Definition 4.7 die linksseitigen, uneigentlichen Grenzwerte lim f{x) = + 00 und

lim f{x) = — oo

ein. 5. Man sagt, / sei an der Stelle XQ bestimmt divergent (gegen den uneigentlichen Grenzwert + oo bzw. -oo)^ wenn / ftir XXXQ und XTXQ bestimmt divergent ist, und die uneigentlichen Grenzwerte iibereinstimmen. Schreibweise: lim /(x) = + oo bzw. lim /(x) = — oo X—>Xo

X—>Xo

Ist / fiir X ^ X Q weder konvergent noch bestimmt divergent, so heiBt / dort unbestimmt divergent. 6. Ist / fiir XI XQ und x J, XQ bestimmt divergent, so bezeichnet man XQ als Unendlichkeitsstelle von / . XQ heiBt eine Unendlichkeitsstelle ohne Zeichenwechsel bzw. eine Unendlichkeitsstelle mit Zeichenwechsel (/ ist dann an der Stelle XQ unbestimmt divergent), wenn lim /(x) = lim /(x)

bzw. lim /(x) ^ lim /(x)

ist. Ist / speziell eine gebrochenrationale Funktion, so heiBt XQ entsprechend eine Polstelle (oder kurz ein Pol) ohne bzw. mit Zeichenwechsel (s. Bild 4.17 und Bild 4.18).

Bild 4.17:/besitzt in XQ eine Unendlichkeitsstelle ohne Bild 4.18: / besitzt in XQ eine Unendlichkeitsstelle mit Zeichenwechsel Zeichenwechsel

130

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Beispiel 4.22 Die Funktion f:xh-

x-1

(s. Bild 4.19) besitzt fiir x^l den uneigentlichen Grenzwert + oo, fiir x j l den uneigentlichen Grenzwert — oo, d.h. XQ = 1 i^t ein Pol mit Zeichenwechsel von / .

Bild 4.19: Graph von / : xi- > x-1

Wir zeigen nur, daB / ( x ) ^ + oo fiir x | l ist. Der Beweis fiir /(x)-> —oo fiir x f l verlauft entsprechend. Es sei KeU^ und 1 < x < | , d.h. 0 < x - 1 < | . Hieraus folgt ^ < 2 - x < l u n d 3 < x + 2 < | . Somit ist ^W=

(x-2)(x + 2) (2-x)(x + 2) 3 ^ ^ 3 r — x-1 ^2(]^)^^-

_^ i ^ fallsx-l K x-1

4 —x^ fiir alle x mit 0 < x — 1 < ^, d.h. lim = + oo. xll X— 1

4.2.3 Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen Die Berechnung des Grenzwertes einer Funktion / fiir x -^ XQ, X | XQ, X | XQ, wenn er existiert, konnen wir uns durch Anwendung des folgenden Satzes (s. auch Satz 3.4 und Satz 4.2) erleichtern. Wir formulieren diesen Satz jedoch nur fiir den Fall x ^ XQ.

4.2 Grenzwert yon / fiir x ^ XQ

131

Satz 4.5 (Rechnen mit Grenzwerten)

Bemerkung: Es sei darauf hingewiesen, daB die Existenz von lim /i(x) = g^ und lim /2(x) = ^2 wesentliche X-*Xo

JC^Xo

Voraussetzungen dieses Satzes sind. Wendet man obige Rechengesetze an, ohne daB diese Voraussetzungen erfiillt sind, so erhalt man u.U. falsche Ergebnisse. Zum Beispiel existiert lim x-^OX

nicht, deshalb darf man nicht aus lim x = lim -—- darauf schlieBen, daB dann auch lim x nicht x^O

x-^0 I/X

existiert. (Tatsachlich ist ja lim x = 0.) Als Folgerung aus Satz 4.5 erhalten wir (ohne Beweis) Satz 4.6

x-^0

132

4 Grenzwerte von Funktibnen; Stetigkeit

Bemerkung: Sind die Funktionen /i,/2 und / auf {XQ — P,XQ) bzw. {XQ,XQ-\- p) definiert, so gelten fiir die Grenzwerte mit X^XQ bzw. X|XQ die Satze 4.5 und 4.6 entsprechend. Beispiel 4.23 Wir zeigen ]lim ( | x^ — 3x — 2) = | Wegen Beispiel 4.14 ist lim (^x^ —3x —2)— 2) = lim fx^— lim 3x— lim 2 = |- lim x^ —3- lim x —2 x->-l

x-*-l

x-> - 1

x-*-l

x^-1

x->-l

f( lim x ) 2 - 3 - ( - l ) - 2 = Durch mehrmalige Anwendung der Regeln a) und b) aus Satz 4.5 und mit Hilfe von Beispiel 4.14 erhalt man allgemein fiir alle XQGO^ n

n

lim ^ a;,x^= YJ ^fe^o

(423)

Beispiel 4.24 Esist lim 1 7— 7 I = lim —— ~ = lim x-^2X —2\^2x+1 3x—ly x->2(x —2)(2x +l)(3x—1) x^2{2x4-l)(3x —1) 1 [lim(2x+l)][lim(3x-l)] x-^2

x-^2

Beispiel 4.25 Es sei

fx^Zll 1 —X

/:xi-^/(x) = { 0 4(1-X)

fiir 0 < x < l fiirx = l fur 1 < X

Dann gilt ( beachte: fiir xt 1 ist x < 1, d.h. /(x) = H m ^ xn 1 - x

1-x

= l i m ( ^ ^ - ^ ^ ( ^ + ^ ^ = Hm ^"^ xn ( l - x ) ( V x + l ) -Ti(l-x)(Vx+l) = lim —j=

^ti^x + l

=

-=

lim(7x+l) xn

= —-

2

1 5-5

1 25

4.2 Grenzwert von / fiir x -> XQ

133

Ferner ist ,. x^-l ,. ( x - l ) ( x + l ) ,. - ( x + 1 ) 1,- , ,, 1 li^lTi 7 = lim' • , / ' , =lim--— -= - - - l i m x + l ) = - , ^ i 4 ( l - x ) ,^1 4 ( 1 - x ) xii 4 4.ii' 2 Folglich existieren der links- und rechtsseitige Grenzwert von / an der Stelle 1. Da sie auch gleich sind gilt nach Satz 4.4 lim/(x)= — ^. Mit Hilfe des folgenden Satzes laBt sich der Grenzwert einer zusammengesetzten Funktion bestimmen, falls dieser existiert. Auf einen Beweis dieses Satzes verzichten wir jedoch (s.z.B. [2]). Satz 4.7

Bemerkung: Unter entsprechenden Voraussetzungen gilt dieser Satz auch, wenn z.B. / fiir x -^ ± oo gegen a und gfixry-^a gegen b konvergiert, oder wenn z.B. / fiir x -^ + oo bestimmt divergiert und g flir 3; -> + 00 gegen b konvergiert. Beispiel 4.26 lim

/l+2x^sin^-=l

x^0\/

(4.24)

X

/:xh->xsin- ist auf R\{0}, g:y\-^ -^1 + 2y^ auf IR definiert, und Wf=Uc:Dg. Ferner ist (s. Beispiel 4.17) lim X s i n - = 0 und

l i m ^ l +2};^ = 1.

Nach Satz 4.7 gilt folgHch (4.24). Die Berechnung von Grenzwerten gebrochenrationaler Funktionen vereinfacht sich, wenn man folgenden Satz beriicksichtigt. Satz 4.8

134

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Beweis: 1st XQEU eine /c-fache Nullstelle von p„ und q^, dann erhalt man durch /c-fache Anwendnung des Hornerschemas (s. Abschnitt 2.3.1) die Zerlegungen p„(x) = (x - Xofp„ _ fe(x) und

g^(x) = (x - Xo)^^^ _ ^(x)

mit Pn-ki^o) ^ 0 und / ist.

Im Fall /c < / ist r an der Stelle x^eU divergent. (Fiir k = ls. Satz 4.8.) Beispiel 4.27 x^ + 5x^ + 3x^ - 9x _ X ™3 x^ + 15x^ + 63x + 81 ~ Mit Hilfe des Hornerschemas stellt man fest, daB Xo = — 3 eine zweifache Nullstelle von p^, und q^ mit p^(x) = x^ + 5x^ + 3x2 _ 9^^ ^^(^^ = x^ + 15x2 + 63x + 81 ist. Wir erhalten folgende Zerlegungen p^{x) = (x + 3)2p2(x) = (x + 3)2(x2 - x); ^gCx) = (x + 3fq^ix) = {x + 3f{x + 9). ,_ P4W ,,_ (x + 3)2p2(x) Folglichist lim = lim x^-3^3(x) x^-3(x + 3)^i(x)

p,{-3) ^i( —3)

12 6

Satz 4.9

Auf einen Beweis dieses Satzes verzichten wir (s.z.B. [1]).

4.2 Grenzwert v o n / f u r x - » X o

135

Bemerkungen: 1. Man beachte, daB in a) nicht von /^(x) < /2(x) auf ^^ < ^2 geschlossen werden kann. Denn ist etwa /i:xi->/i(x) = x^ und /2:xi->/2(x) = 2x^, so ist zwar / i ( x ) < / 2 ( x ) fiir alle xeU'{0), dennoch gilt lim /i(x) = lim /2(x) = 0. 2. Dieser Satz gilt analog fiir x | XQ, x J, XQ, x -^ ± 00, wenn die Definitionsbereiche der Funktionen entsprechend gegeben sind. Beispiel 4.28 Gegeben sei die Funktion / : xi-^ Grenzwertes lim Jc-^O

sin X

sin X

(den Graphen von / zeigt Bild 4.4). Zur Bestimmung des

fiihren wir folgende geometrische Uberlegung durch:

X

Nach Bild 4.20 besteht am Einheitskreis zwischen den Flacheninhalten des Dreiecks OPR, des Kreisausschnitts OPR und des Dreiecks OPQ fiir XG 0, - 1 die Ungleichung AQPJ^ < AQP^ < AQPQ. Hieraus folgt ^ sin x < ^ x < ^ tan x oder sin X < X < tan x

fiir alle xel 0,

Wegen sin x > 0 und cos x > 0 fiir alle xel 0, - ) erhalt man weiter X 1 ^ sinx ^ 1 < —— < Oder cos x < < 1 sm X cos X X (s. Bild 4.21). Da die cos-Funktion und / gerade Funktionen sind, gilt die letzte Ungleichung auch fiir 71

\

xej — - , 0 j . Also ist cosX
0 so existiert, daB |/(x) —/(xo)| - ist an der Stelle XQ = 0 unstetig. Dies ist jedoch keine hebbare Unstetigkeitsstelle, da / fiir X -> 0 nicht konvergent ist. Definition 4.12 / sei auf U'{XQ) definiert. XQ heiBt a) eine Unstetigkeitsstelle 1. Art oder eine Sprungstelle von /, wenn die einseitigen Grenzwerte g^ und ^~ an dieser Stelle existieren. aber g^ ¥^ g~ ist. b) eine Unstetigkeitsstelle 2. Art von/, wenn mindestens einer der einseitigen Grenzwerte g "^ oder ^ ~ an dieser Stelle nicht existiert. Bemerkungen: 1. Besitzt / an der Stelle XQ eine Unstetigkeitsstelle 1. Art (Sprungstelle), dann heiBt \g^ —g~\ der Sprung von / an dieser Stelle. 2. Nach Bemerkung 6 zu Definition 4.7 ist eine Unendlichkeitsstelle von / eine Unstetigkeitsstelle 2. Art. 3. Eine Unstetigkeitsstelle 2. Art XQ heiBt speziell eine Oszillationsstelle von/, wenn / an dieser Stelle fiir x|xo und XJXQ unbestimmt divergent ist.

144

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Beispiel 4.38 Es sei / : x\-^f{x) = < [

\

xj 0

fiir X = 0

Da die einseitigen Grenzwerte lim|x|( x + - ) = l i m ( - x ^ - 1)= - 1 =^~, xTO

xtO

lim|x|( x + - ) = lim (x^ + 1) = 1 = ^ + xjO

xiO

existieren, aberg ^g^ ist, besitzt/(s. Bild4.28)ander StelleXQ = 0eineUnstetigkeitsstelle 1. Art (Sprungstelle)mit dem Sprung \g'^ —g~\ = 2. Beispiel 4.39 x-2 Die Funktion / : xi-^/(x) = • x—l

fur X < 1 ,

.

1-

/.. X f

x —2

besitzt wegen lim/(x) = lim 1

f

^ 1

^ti

= oo an der

xn X — 1

furArt X (s. > 1Bild 4.29). Stelle Xo = 1 eine Unstetigkeitsstelle 2.

Bild 4.28: Sprungstellen von / : xh->/(x) = |x| ( x + - j

Bild 4.29: Unstetigkeitsstelle 2. Art

Beispiel 4.40 Die Funktion / : xh^sin- (s. Bild 4.10) besitzt an der Stelle XQ = 0 eine Oszillationsstelle, da / fiir X10 und X10 unbestimmt divergent ist. Vor allem in der Elektrotechnik treten Funktionen auf (s. Bild 4.30), die in einem Intervall bis auf endlich viele Stellen stetig sind.

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

145

Definition 4.13 / heiBt auf einem Intervall stiickweise stetig, wenn /dort bis auf endlich viele Sprungstellen stetig ist. Beispiel 4.41 Die Funktion

/:t^f{t) = k{- ^f^ + 1) mit teU^

undoO

beschreibt einen sogenannten Rechteckpuls (s. Bild 4.30). c< 1- •

1

1 1 1

1 1 1

1^

Ipli—mmm^

a

1

'

-J

2

1 1 1 1

1 1 1

L-

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

m

b

—^

t

Bild 4.30: Auf (a, b) stiickweise stetige Funktion

/ besitzt an den Stellen teN Sprungstellen mit dem Sprung c und ist an alien iibrigen Stellen te[R"^\N stetig. Folglich ist diese Funktion auf jedem Intervall {a,h) ^W^ stiickweise stetig. Art der Unstetigkeitsstelle

hebbare Unstetigkeitsstelle

Bedingungen

Beispiel /:xh-^/(x) =

lim / ( x ) = g

ri(x-1)^ + 1

und g ^ f{xo)

< (2

lim fix) = g undxQ^Djg ^ und g " existieren in XQ, ahQYg^ ^g~ mindestens^^ oder g ~ existieren in XQ nicht

Unstetigkeitsstelle 2. Art

V

2 1

ZL^ 1

y

X->Xo

Unstetigkeitsstelle 1. Art (Sprungstelle)

fiir X 7^ 1 fur X = 1

Graph von /

/ ist fiir X1 XQ und X1 XQ unbestimmt divergent (Oszillationsstelle)

2

x^-1 x-1

^

f/

~7 1

^

y

rx — 1 fiir X ^ 1 1

— 1 fiir X < 1

f fiir X > 1 )x — 1 I

1

. 1 smX

fiir X ^ 1

f/

^ -1

1

V 1

^

-1'

If "^

-\JlP'"

146

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

4.3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen Entsprechend zu Satz 4.5 und Satz 4.6 kdnnen wir mit Hilfe der folgenden Satze leichter nachweisen, ob eine Funktion / an einer Stelle Xo stetig ist. Satz 4.10

Den Beweis dieses Satzes konnen wir mit Hilfe von Satz 4.5 fiihren. Bemerkungen: 1. Dieser Satz gilt entsprechend, wenn sowohl /^ als auch /2 in XQ rechts- bzw. linksseitig stetig sind. 2. Setzt man /i(x) = ceR fiir alle xeP, so folgt die Stetigkeit von c • /2 an der Stelle XQ. 3. Sind die Funktionen f^, i=l,...,n, in XQ stetig, so zeigt man mit Hilfe der vollstandigen Induktion die Stetigkeit von / : xi-^ YJ ^ifii^X c^eR fiir alle i und von

an der Stelle XQ. Beispiel 4.42 Wegen (4.29) und Satz 4.10 ist jede gebrochenrationale Funktion r:xH^

^m(^)

fiir alle xeD^ stetig, Xo ist eine Unstetigkeitsstelle 2. Art, wenn p„(xo) y^ 0 und qjx^ = 0 ist. r besitzt in XQ eine Liicke (hebbare Unstetigkeitsstelle), falls XQ eine /c-fache Nullstelle (keN) von /?„ und q^ ist (s. Satz 4.8). Mit Hilfe der folgenden Satze konnen wir gegebenenfalls die Stetigkeit von zusammengesetzten Funktionen und von Umkehrfunktionen nachweisen, ohne den (s, ^)-Formahsmus anwenden zu miissen.

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

147

Satz 4.11

Den Beweis dieses Satzes findet man z.B. in [4]. Bemerkung: Unter Beriicksichtigung von Definition 4.10 kdnnen wir aus diesem Satz folgern: Sind die Funktionen / : Df -^ Wf fiir alle xeDf und g: Wj -^ Wg fiir alle xe Wj- stetig, so ist auch die zusammengesetzte Funktion h = g°f:Dj'^Wg fiir alle xeDj stetig. Beispiel 4.43 Die trigonometrischen Funktionen sind an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig. Wir betrachten die Funktion kxh^h{x) = cos\ ^ —:^ | = sinxmitxeD Durch / : XH^M = / ( x ) = x —-, ist wegen Wj- ••

ueU und g:ui-^g{u) = cosu

•• D die zusammengesetzte Funktion h = g°f definiert.

Nach Beispiel 4.30 ist /fiir alle xeR und g nach Beispiel 4.18 fiir alle weR stetig. Folglich ist h, also die sin-Funktion, nach Satz 4.11 fiir alle xeU stetig. Hieraus folgt mit Satz 4.10 die Stetigkeit von sinx

, . cosx und j2''X\-^cotx = cosx smx fiir alle xeDf^ bzw. alle xeDf^. Damit ist die Stetigkeit der trigonometrischen Funktionen nachgewiesen. ji:xi-^tanx=

Satz 4.12

lllllllllll^ Den Beweis dieses Satzes findet man z.B. in [4].

148

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Bemerkung: f ~ ^ kann unstetig sein auch dann, wenn / stetig und umkehrbar ist. Z.B. ist die Funktion (s. Bild4.31) . r, . ^^ fur x ^ O [x 4-1 fiir X < — 1 fiir alle XG(— oo, — l)u [0, oo) stetig und umkehrbar.

Bild 4.31: / ist stetig und umkehrbar

Bild 4.32: / " ^ ist an der Stelle XQ = 0 unstetig

Die Umkehrfunktion fiir X ^ 0

/-^•x^/-Yx) =

(s. Bild 4.32) ist jedoch an der Stelle OeWj unstetig. Das ist kein Widerspruch zu Satz 4.12, da Df kein Intervall ist. Beispiel 4.44 Die Funktion / : xi-^/(x) = sinx

mitx6Dj =

71 TT

"2'2

ist nach Beispiel 4.43 fiir alle xeDf stetig und umkehrbar (s. Abschnitt 2.5.3). Folglich ist auch deren Umkehrfunktion f~^ = f\'. xh^arcsin x fiir alle XG[— 1,1] stetig. Entsprechend folgt die Stetigkeit der Funktionen /2: xi-^arccos X,

/gixf-^arctanx,

/4:xh->arccotx

fiir alle x aus ihrem Definitionsbereich. Die folgenden Eigenschaften stetiger Funktionen besitzen theoretischen Wert und spielen beim Aufbau der Differential- und Integralrechnung eine wesentliche Rolle. Insbesondere sind dabei solche Funktionen von Bedeutung, die auf einem abgeschlossenen Intervall stetig sind.

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

149

Satz 4.13

Bemerkung: 1st / stetig und an der Stelle XQ negativ (positiv), so kann f(x) in einer hinreichend kleinen Umgebung von XQ nicht sprunghaft das Vorzeichen andem (s. Bild 4.33).

f(xo) -f

Bild 4.33: Fiir alle xe U^^ (XQ) ist f(x) > 0

Auch den folgenden Satz geben wir ohne Beweis an.

Bemerkungen: 1. Die Abgeschlossenheit des Intervalls ist eine wesentliche Voraussetzung dieses Satzes. Die Funktion / : xh^f{x) = - mit xe(0,1] ist zwar auf (0,1] stetig, jedoch wegen lim f{x) = oo nicht beschrankt. ""^^ 2. Der Satz ist nicht umkehrbar, d.h. aus der Beschranktheit von / auf [a, Z?] folgt i.a. nicht die Stetigkeit. Zum Beispiel ist die Funktion / : X ^ sgn X

(s. Bild 2.7) auf U beschrankt, aber in XQ = 0 unstetig (Sprungstelle). Im HinbHck auf den nachsten Satz benotigen wir folgende Begriffe.

150

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Definition 4.14 Man sagt, / besitze an der Stelle Xj^eDf ein absolutes Maximum M = f{x)SfixJ

=M

fiir alle XGD^ ist,

/{XM),

wenn (4.31)

und an der Stelle x^eDf ein absolutes Minimum m = / ( x j , wenn / ( x ) ^ / ( x j = m fiir alle xeDy-ist.

(4.32)

M und m heiBen die absoluten Extremwerte von / . Bemerkung: 1st / auf Dj beschrankt, so besitzt Wj- nach Abschnitt 1.3.3 die obere Grenze sup Wj- und die untere Grenze inf Wf. Diese Werte miissen jedoch von / nicht angenommen werden, d.h. es miissen nicht notwendig Werte x^, X2GDJ SO existieren, daB f{x^) = inf Wj- und /(X2) = sup Wjist. Sind jedoch sup Wj- bzw. inf Wf Elemente der Wertemenge Wf, dann heiBen sie nach obiger Definition absolutes Maximum bzw. absolutes Minimum von / , und man bezeichnet sie mit M bzw. m. Wie der folgende Satz zeigt, gehort bei einer auf einem abgeschlossenen Intervall stetigen Funktion sowohl die obere als auch die untere Grenze ihres Wertebereichs Wf stets dieser Menge

Satz 4.15 (Satz von WeierstraB) iiiiiiiiiiiii|B liiiiii

"' • • • • • •

ilii

^mmmm

ilii

Auf einen Beweis dieses Satzes verzichten wir (s. z.B. [1]). Beispiel 4.45 Die Funktion /:xh-

1 1+x^

mit XG[—1,3]

ist auf ihrem Definitionsbereich stetig und besitzt damit nach Satz 4.15 ein absolutes Maximum und absolutes Minimum, namhch M = 1 und m = Yo- Diese Werte werden an der Stelle x^^ = 0 und x^ = 3 angenommen, da / auf [ — 1,0] streng monoton wachsend, auf [0,3] streng mono ton fallend ist. FolgHch ist 3^ = / ( 3 ) ^ / ( x ) ^ / ( 0 ) = l (s. Bild 4.34).

furallexe[-l,3].

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

1 1 Bild 4.34: — = m ^ ^ M = 1 fiir alle XG [ — 1,3] 10 1+x^

151

Bild 4.35: Absolute Extremwerte v o n / : x ^-> x(x^ - 4)

Der Satz von WeierstraB sagt nur etwas iiber die Existenz der absoluten Extremwerte aus. Er besitzt keine praktische Bedeutung, da aus ihm kein Verfahren zur Berechnung der absoluten Extremwerte von auf [a, b] stetigen Funktionen abgeleitet werden kann. Jedoch kann man die absoluten Extremwerte z. B. der Funktion / : xi->x(x^ —4) mitxe[ —2,2] (s. Bild 4.35) mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmen (s. Abschnitt 8.7.2). Ohne Beweis sei mitgeteilt, daB das absolute Maximum von / an der Stelle x^ = — f .^3, das absolute Minimum von / , da / ungerade ist, an der Stelle x^ = \-sJ^ angenommen wird. Folglich ist - ^ x / 3 = / ( x J ^ fix) S /{XM) = ^ V ^ fiir alle XG[ —2,2]. Der folgende Satz gibt eine (anschaulich selbstverstandliche) Eigenschaft einer stetigen Funktion wieder. Verlauft der Graph einer stetigen Funktion durch einen Punkt oberhalb und einen Punkt unterhalb der x-Achse, so muB er zwischen diesen Punkten mindestens einmal die x-Achse schneiden. Satz 4.16 (Satz von Bolzano)

Bemerkungen: 1. Dieser Satz findet z.B. bei der Losung von Gleichungen Anwendung. Kann man namlich ein Intervall [a, 6] angeben, in dem die Funktion / die Voraussetzungen des Satzes von Bolzano erfiillt, so muB in diesem Intervall mindestens eine Nullstelle von / liegen. Durch wiederholte Halbierung der Intervalle laBt sich diese Nullstelle immer genauer einschachteln, wenn man jeweils das Halbierungsintervall wahlt, auf dem / die Voraussetzungen des Satzes von Bolzano erfiillt.

152

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

2. 1st / unstetig, so gilt die Aussage des Satzes i.a. nicht. Die Funktion /:xh->/(x) =

fx fiir — 1 < X < 0 1 fiir 0< X < 1

(s. Bild 4.36) z.B. besitzt in [ - 1 , 1 ] keine NuUstelle, obwohl / ( - 1 ) / ( 1 ) < 0 ist. / ist an der Stelle 0 unstetig.

1

t-i Bild 4.37: f(x) ^ 0 fiir alle XGL

Bild 4.36: / besitzt auf [ - 1 , 1 ] keine NuUstelle

Beweis zu Satz 4.16 Wir wollen annehmen, daB f{a) < 0 und f{b) > 0 ist (s. Bild 4.37). Fiir den Fall, daB f{a) > 0 und f{b) < 0 ist, verlauft der Beweis entsprechend. Es sei L={x|xG[a,Z?]

und / ( x ) ^ 0 }

(s. Bild 4.37).

Wegen aeL und x < 6 fiir alle XGL ist L nicht leer und nach oben beschrankt. Folglich besitzt L eine obere Grenze ^ = sup L. Wir zeigen, daB f{^) = 0 ist. Indirekter Beweis: Gegenannahme: Es sei f{^) ^ 0 Dann gilt M) > 0 oder f{0 < 0. Es sei f{^) > 0. Dann existiert nach Satz 4.13 eine Umgebung U^{^) mit /(x) > 0 fiir alle Fiir alle XE{^ — S,^) ist daher /(x) > 0. Dann ist sup L^^ — d (Widerspruch). Entsprechend fiihrt die Annahme f{i) < 0 zu einem Widerspruch. Folglich ist / ( Q = 0. Als Verallgemeinerung von Satz 4.16 erhalt man Satz 4.17 (Zwischenwertssatz)

XEU^{^).

•

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

153

Beweis: Wir nehmen an, daB f{a) < f{b) ist (s. Bild 4.38). Fur den Fall, daB f{a) > f{b) ist, verlauft der Beweis entsprechend. Es sei f{a) /(x) =

x+1 X

fiir fiir

-l^x 1

Nach Satz 4.19 ist die allgemeine Exponentialfunktion fiir alle aG[R^\{l} streng monoton. Sie besitzt folglich eine Umkehrfunktion, die man mit log^ bezeichnet (s. Bild 4.41). Definition 4.16 Es sei ae[R'^\{l}. Die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion / : x^-^a"" heiBt Logarithmusfunktion zur Basis a oder allgemeine Logarithmusfunktion. Schreibweise: log^: xK->log„x

158

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Bemerkungen: 1. Als Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion besitzt die log^-Funktion den Definitionsbereich D^^^^ = W^ und den Wertebereich W^^^^ = R (s. Definition 2.2). 2. Wegen des Zusammenhangs, der zwischen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion besteht (s. Abschnitt 2.1.2), gelten die sogenannten logarithmischen Identitaten log^a"" = X fiir alle xe IF fli°ga^ = x

fiir alle xeff

(4.38) (4.39)

3. Wahlt man speziell a = 10 bzw. a = e, so erhalt man den dekadischen bzw. den natiirlichen Logarithmus. Schreibweise: logio^ = lg^ dekadischer Logarithmus loggX = In X natiirhcher Logarithmus Die log^-Funktion besitzt entsprechende Eigenschaften wie die In-Funktion (siehe Satz 3.10). Zusatzlich konnen wir Aussagen iiber die Stetigkeit und das Grenzwertverhalten dieser Funktion machen. Satz 4.20

Bemerkung: Wegen a = e> 1 folgt aus e) bzw. f) nun: Die In-Funktion ist auf R^ stetig und es gilt: lim In X = +00 und lim In x = — oo. Beweis: Wir zeigen nur c) und iiberlassen den Beweis der iibrigen Formeln dem Leser als Ubungsaufgabe.

4.4 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion

159

Es sei aeU^ \{1} und xeU^. Dann gilt fiir oceU u = log^xoa" = xarcosh x

Bild 4.48: Graph der Funktionen /:xi-^artanh X und /:xi-^arcothx

4.5 Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

165

Beispiel 4.49 Gleitet ein vollkommen biegsames Sell der Lange / und der Masse m reibungslos iiber eine Tischkante (s. Bild 4.49), so folgt aus dem Newtonschen Gesetz X = x{t) = XQ cosh /-71.

^ 1, wachst fiir x -> oo schneller als x"" fiir alle a, j5e [R^, und zwar so schnell, daB - ^ -^ 0 strebt. Beweis: Nach (4.42) ist lim - ^ = 0 fiir a, J5G[R"^. Setzt man hier x = win a, aG(l, oo), so ist wegen w -> oo fiir x->oo e

X -> 00 und Satz 4.7: 0 = lim - ^ = lim - ^ (In af = (In af lim - ^ , d.h. lim - ^ = 0. iiiiiiiiiiM^^

liilB^

lillBl |||||||||ii|||l|§^^^^

^^•Jllllll

Beweis: Setzt man (1 + x)"' — 1 = M, so gilt w -> 0 fiir x -^ 0, und es ist (1 + x)'' - 1 = uo{l + x)" = w + laln(l + x) = ln(l + w) ^ 0. Fiir X> — 1 und x^O (d.h. u^0) erhalt man ln(l + x) (l + x)""—1 u Maln(l + x) X X X X ln(l + w) ln(l + w)*

f 1 4- x^'''

d.h. wegen (4.46), Satz 4.5 und Satz 4.7 lim ^^ ^ ^ x-o

X

1

ln(l + x) lim X = a-^^—— = ,. ln(l + M) lim "^0

•

5

Die komplexen Zahlen

5.1 Definition der Menge C Nach (1.22) haben die reellen Zahlen u.a. die Eigenschaft, daB ihre Quadrate immer groBer oder gleich Null sind. Deshalb hat die Gleichung x^ = — 1 im Reellen keine L5sung. Formal bietet sich als eine Losung dieser Gleichung das Symbol >/— 1 an. Aus dem vorher Gesagten folgt, daB v^— 1 sicher keine reelle Zahl ist. Insofern ist auch nicht bekannt, welchen Rechengesetzen dieses Symbol unterHegt. Als Losung von x^ = — 1 miiBte fiir x = ^—l auf jeden Fall gelten

Verwenden wir das Symbol >/— 1 zunachst formal, so wiirde sich z.B. die Gleichung x^ + 4x + 13 = 0 wie folgt losen lassen: (x + 2)2 + 9 = 0

^

{x + 2)2

=-1-9

o

^+2

= 4-3.y_i ^

Allgemein wiirden wir fiir die quadratische Gleichung x^ + px + ^ = 0 folgende Losungen erhalten:

rH'jr-..o: ... = -^ M : ; Im zweiten Fall erhalten wir daher Ausdriicke der Form a-\- ^—l-b, mit a, beU. Dieser Ausdruck ist, da er das Symbol y — 1 enthalt, keine reelle Zahl. Selbst die Operationszeichen » + «und»'« haben hier nur formale Bedeutung. Addition und Multiplikation sind namlich bisher nur zwischen reellen Zahlen, Funktionen, Matrizen und Vektoren definiert, und -v/— 1 gehort zu keiner dieser vier Mengen. Setzen wir uns zunachst iiber diese Schwierigkeiten hinweg und tun so, als ob der Ausdruck a-\-u — \-h definiert sei.

170

5 Die komplexen Zahlen

1st Zi = a^ + -yj — I'h^ und Z2 = ^2 + v — 1 •/?2' dann bietet sich unter Verwendung der Rechengesetze reeller Zahlen als Addition an: Zi + Z2 = «! + ^2 + V ~ l'(^l + ^2)

(5.1)

und als Multiplikation (wegen ^ — l - y / — 1 = — 1): Zi-Z2 = a i a 2 — ^1^2 + V "~ I'C'^i^i + /— 1. Es ist zweckmaBig, statt des (nicht definierten) Ausdrucks fl + ^ — 1 - b geordnete Zahlenpaare {a,h\ a,heU zu betrachten. Sind z^={a^,h^\ Z2 = {a2,h^, so ergibt sich nach (5.1) und (5.2): Zi + Zi = (ai, h^) + ((22,62) = (^1 + ^2. ^1 + ^2)

(5.3)

z^•Z2 = (a^, h^)'{a2, ^2) = (^i^3}^2 + ^2^3^!)

Durch Vergleich stellt man fest: Zi-(z2-Z3) = (Zj-Z2)-Z3. 4. Fiir ^ = (1,0) ergibt sich Z'g = (x,y)-(1,0) = (x^y) = z. Die Eindeutigkeit kann wieder wie oben gezeigt werden. 5. Falls z~^ ={a,b) von z = (x, y) ^ (0,0) existiert, muB gelten: z~ ^• z = eo{a,b)'{x,y) = (l,0)