Mathematik für Informatik [Vierte erweiterte Auflage] 9783885381174

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Berliner S u ienreihe zur Math-em Band 17

IV!.Drmota, B. Gittenberger :rs

Karigl, A. Panholzer

atik für Informatik 1erte erweiterte Auflag.e

0

UB-TUWIEN

.IIHlll 111 IUI11Lt fx. +EM9e703501

Berliner Studienreihe zur Mathematik

herausgegeben von

H. Begehr und R. Gorenflo Fachbereich Mathematik Freie Universität Berlin

Hcldermann Verlag

fichael Drmota

BernhardGittenberger Günther Ka.rigl

t 'k und Geometrie Alois Panholzer . f"ur Diskrete. _Mathema t Institut . TechnischeUnivers1ta.t\V1en Wiedner Hauptstraße 8-10/104 A-1040 Wien

1 Außage 2007 2 Außage 2008 3 Auflage 2010 4. rweiterte Auflage2014

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geechutzt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes iat ohne Zustimmuni des Verlagesunzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für VervJelfilt1gungen, Ubersetzungen.Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ver-

arbeitung1nelektronischenSystemen. Gedruckt auf saurefreiem Papier.

Copyright2014by Heldermann Verlag, Langer Graben 17, 32657 Lemgo, Germany; wwwheldennann de AU r1ghtsreserved.

ISBN97&.3-88638-117-4

Berliner Studienreihe zur Mathematik Band 17

M. Drmota, B. Gittenberger G. Karigl, A. Panholzer

Mathematik für Informatik Vierte erweiterte Auflage l

Heldermann Verlag

Inhaltsverzeichnis Vorwort

1

Grundlagen

1

Ll 1.2 1.3 l.4 1.5

1

1.6 2

Zahlen Elementare Zahlentheorie Elementare Aussagenlogik Mengen .......... Relationen und Funktionen Übungsaufgaben .....

. . . . .

16 24

31 37 46

Diskrete Mathematik 2.1 Kombinatorik . . 2.2

2.3 2.4

3

vü

50

50 62

Graphentheorie ..... Algebraische Strukturen Übungsaufgaben . . . .

78

97

Lineare Algebra 3 .1 Vektoren .

101 102

3.2 3.3

Matrizen . . . . . . Lineare Abbildungen

113

3.4

Lineare Gleichungssysteme

125

Gruppen- und Linearcodes . 3.6 Determinanten ...... . 3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.8 Skalarprodukte . 3.9 Tensoren . . . . 3.10 Übungsaufgaben

122

3.5

4

.

Folgen, Reihen und Funktionen 4.1 Folgen reeller Zahlen . . . . . . . . .

141 144 148

150

154

Unendliche Reihen ......... . Asymptotischer Vergleich von Folgen Elementare Funktionen . . . . . . . . Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Übungsaufgaben ............. .

154 163 173 175 186 193

Differential- und Integralrechnung in einer Variablen

198

5. I 5.2

199

4.2

4.3 4.4 4.5

4.6

5

133 137

Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Taylor'sche Fonnel und der Mittelwertsatz ..

205

,f

Inhaltsverzeichnis V1 -------------

220 225 233 236

..... 5.3 -4 .:,. 5.5 5.6

Das unbestimmteIntegral . . Das bestimmteIntegral· · · · · Uncigenllichelntegrale· · · · · Übungsaufgaben• · · · · · · ·

. · · ·

. · · ·

. · · ·

. · · ·

. · · ·

. · · ·

. . . . . . · .. · · · · · · · · · ·

241

• ehrerenVariablen 6 Oifferential-undIntegralrechnung m ID 6. l 6.2 6.3 6.4 6.5

241 249 259

Funktionenin mehrerenVariablen. ·. . . . . . . . Differentialrechnung in mehrerenVanabJen · Bestimn1ung vonExtrema. • • · · · · Integralrechnung in mehrerenVariablen • • • Übungsaufgaben. . . . . . . . • • · · · · · · · · ·

265

281

7 Differenzen• undDifferentiaJgleichungen 7. 1 7.2 7.3 7.4 7.5

Differenzengleichungen - Einführungund Beispiele Differenzengleichungen ersterOrdnung . . . . . . LineareDifferenzengleichungen zweiterOrdnung. EinenichtlineareDifferenzengleichung. . . . . . ZelluläreAutomatenund das Spieldes Lebens . . 7.6 GewöhnlicheDifferentialgleichungen-Einführungund allgemeineTheorie . 7.7 Lineare Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung . . 7.8 NichtlineareDifferentialgleichungen und qualitativeMethoden 7.9 Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . 7.10 Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Fourier-Analyse 8.1 Fourier-Reihen............ ... 8.2 DiskreteFourier-Transformation 8.3 Fourier-Transformation · · · · · · · 8.4 Abtasttheorem 8.5 Laplace-Transfo~ati~n· · · · · · · · · · · · · 8.6 z-Transfonnation gaben : : : : : · · · · · 8.7 Übungsuuf ♦

♦

♦

•

•

Literatuner:zeichnis Sach•erzeichnis

•

♦

•

1

311

320 326 355

361 · · · · · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

361 379 386

· · · · · · · · · · · · ·

394 397

·· · ·· · ·· · · · 1

♦

1

♦

♦

0

I

t

O

♦ O

9 NumerischeMathematik 9.1 Pehl:rproblernatikin der Computernumerik 9.2 Auflo„ungvonGleichungenund01 . h ..... 9.3 Verfahrenzur Lö eic ungssystemen . sung1mearerGleichun gssysteme .. 9.4 Appro~imationund Interpolation 9:5 NumenscheIntegration · · · · · · · · 9.6 s· , · · · · 1muation von DifferentiaJgleich~~ . . . . . . 9.7 ~•e Methodeder FinitenElemente g n . . . . 9-8 Ubungsaufgaben · · · · · . . .. .

.

286 286 289 298 303 305 307

•

.

....

1

•••

0

404 406 411 411

416 423 428

437 442 447 452

455 457

Vorwort Das vorliegende Buch ist aus Mathematik-Vorlesungen für Studierende der Informatik an der Technischen Universität Wien entstanden, die von den Autoren seit vielen Jahren betreut werden. Es behandelt alle ertorderlichen Gebiete, die im Studienplan vorgesehen sind. versucht aber auch, durch inhaltliche Ergänzungen zum Weiterlesen und zum Weiterstudium anzuregen. Das Buch richtet sich vorrangig an Studierende der Informatik. Es soll einerseits ein begleitendes Lehrbuch für die mathematischen Grundvorlesungen sein, sicherlich Unterlage zur Prüfungsvorbereitung, es soll aber genau so als Mathematik-Nachschlagewerk für das ge~amte Studium dienen. Dieses Buch ist schließlich auch zum Selbststudium geeignet. und die Autoren würden sich freuen, wenn es ebenso von dritter Seite Verwendung finden würde. Eine besondere Herausforderung war es, trotz der knappen Darstellung so~ohl die Lesbarkeit als auch die Vollständigkeit der behandelten Themenkreise zu erhalten. Weiters wurden viele inhaltliche Bezüge zur Informatik hergestellt, insbesondere in den im Texr ausgefti.hrten Beispielen, und der algorithmische Aspekt steht, wo immer es möglich war, im Vordergrund. So werden unter anderem der Euklidische Algorithmus, die Berechnung von Prüfziffern, das RSA-Verschlüsselungsverfahren, fehlerkorrigierende Linearcodes, ctie Berechnung elektrischer Netzwerke, die Eigenwertmethode zur Reihung von Webseiten, Aufwandsabschätzungen von Algorithmen wie z.B. Bubblesort und Quicksort, zelluläre Automaten wie z.B .. ,Spiel des Lebens", die Fast-Fouricr-Transforrn in der Signalverarbeitung und verschiedene Aufgabenstellung,en aus der Physik und Elektrotechnik behandelt. Wie bereits angedeutet, orientiert sich der Inhalt an den mathematischen Grundvorlesungen. Nach den Grundlagen (d.s. im Wesentlichen Zahlen, elementare Aussagenlogik und Mengenlehre) befasst sich bereits das zweite Kapitel mit Informatik-nahen Themenbereichen aus der diskreten Mathematik, nämlich mit kombinatorischen Methoden. Graphentheorie und Grundlagen algebraischer Strukturen. Codierungstheorie und Kryptografie wurden nur in Beispielen behandelt, da diese für die Informatik. zweifel1os wichtigen Gebiete an der TU Wien in einer eigenen Lehrveranstaltung unterrichtet werden. Das dritte Kapitel befasst sich m.illinearer Algebra. Hier wurde bewusst ein allgemeiner Zugang (über beliebigen Sl--alarkörpcm)gewählt. Trotzdem wird versucht, den Bezug zur Anschauung immer wieder herzustellen. Die nächsten drei Kapitel sind der Analysis gewidmet. Das vierte Kapitel beginnt mit dem Grenzwertbegriff und behandelt weiters Folgen. Reihen und elementare Funktionen. Das fünfte Kapitel umfasst die Differential- und Integralrechung in einer Variablen und das • echste die in mehreren Variablen. Einen besonderen Stellenwert nehmen Extremwertaufgaben ein. Die letzten drei Kapitel sind spezielleren Themenk.-reisen gewidmet. Das siebente beschäftigt sich mit Differenzen- und Diff erentialgleichungcn. Dabei werden so~ohl Lösungsverfahren, einschließlich der Methode der erzeugenden Funktionen, als auch die qualitative Theorie behandelt. Hier findet man zahlreiche Anwendungsbeispiele aus Naturwi, enschaft und

Vorwort

~Vl::,:11~--------------------

--

:- Automaten.elektri'lcher Schwing"-rci!), 1are · 1 'thmen iellu · · · lg 1c1c · h ung der . h g und die Dtffcrentia ,r, h 'k• Komplexität,on Sort1eragon · · ,cc m . . 1 . die Welleng1e1c un G . h k . .. h nut verschiedenen e~1c t~pun ·ten w.achsrumsmodellein der Baoog1e. . T . h Kapilelbefasst sie ingendcnMembran.Das ac te . h n werden die fast-Founer- rans(orm h sc w i-1 . . chen Founerre1e . . . . ·t· n11au·onbehandelt. Schheßltch ~md 1m der Fourieranalye. l eben den "a.,sis . d d' Laplacetranso . .. f'C'CT) die Fouriertransforrnauon un ie . h •, z B Nähcruno,vertahren Lur Lo ung \n • , . , .. he Verta ren wie . . e . . tionsverfahren,numerische IntegrauonsneumenKapitelnochemfachenumc.:nsc 1nterpo1a , . d GI . ·huno-.sy:-.temen. II Pl ,on Gleichungenun ei1.: e· ~- ·.:J' loleichunoen70 sammenge~te l. Aul, atz'h •rfahrenfur D1uerent1a o o . verfahrenund ä erungsvc . d an • • • ~ l e lU den Themen Part1t10nen. Pem1Utat1onen, Catalan. · 1 renAlgebravorgenommen,be1sp1eswe s . · kl' h d planare Graphen Hinzugekommen smd auch das Abtasttheorem Zahlensowieazy • 1 ·c e un • . au der""1gnalverarbeitung und ein Abschnittzur Computernume~ik. . Das Le en de Bucheserfordert keine lipeliellenVorkenntmc;sc.Es werden alle Begn ffe grundlegendcrklän. und durch zahlreicheBilder und durchgerechnet~Beispi~le wi~d ~crucht,dte angegebenenMethodenund Resultatezu illustrieren.Jedes Kapitel schließt mJt emer SammlungausgewählterÜbungsaufgaben. Sie sollten alle mit den im Text dargestel1ten Methodengelö t werdenkönnen. Wennauch keinespeziellenVorkenntnisse erforderlichsind.so möchten wir trot7dem einen Rat zur Benutzungdes Buchesgeben.der steh in erster Linie an Anfängerinnen und Anfänger bzw \\emger Geübterichtet Die Mathematikist geprägt von einem intensiven Gebrauch von Abkürzungenund Symbolen.die am Anfangabschreckendund vielleicht auch unnötig kompltL1erterscheinenmögen.Dassdie~eSymboleüberausnüu.hch,ja sogar notwendig sind, wird c t nach einer gewissenVertiefungverständlichDieser Unterschied zur Alltag~sprache hat aberwr Folge,da...,manMathematikbücher nichteinfachdurchliestund schon deren Inhalt belässt ich nurdurchlt:aming by dmngbegreifen.Deshalb sollte man beim herrscht:Mathematik_ Lesendieses Buchesimmerwied~rinnehaltenund- mit Hilfevon Bleistift und Papier einzelne Passagendurchdc_nken. Auf_dieseArt werdenSie als Leser dieses Buches rasch Fortschritte machenund hoffentJ,chauchviel Freudean der Mathematikfi d n en. DieAutorenmochten ich vorallembei ihr

Koll

..

.

Korrekturlesen de M 1cr· . em egen GuntherE1genthaler für das genaue bedankenWi d k anu h M1p~s und für seine zahlreichenwertvollenVerbesserungsvorschläge ir an en auc ichaelWallnerfür seineO R d d' der Endredaktmnder überarbeitetn ,, .. U at un Je gewissenhafte Abwicklung u e ,ersion. nser Dankgebührt w·ßt· verlagfür die Aufnahmeund Unterstüt be' sc 1e ich dem Heldcrmannzung t der Herausgabedes Buches.

Wien,1mAugu t 2014 MICHAEL ÜRMOTA BERNHARD GITTENBERGER ÜÜNTJIER

KARIGL

ALOIS PANHOLZER

"')

Kapitel 1 Grundlagen Mathematik hat sich historisch aus der Notwendigkeit entwickelt, zählen und messen bzw. quantifizieren zu können. Wir führen daher gleich am Anfang die natürlichen, ganzen. rationalen, reellen und komplexen Zahlen ein. Daran schließt eine kleine Einführung in die elementare Zahlentheorie und in das Rechnen mit Kongruenzen. Die moderne Mathematik ruht hingegen auf zwei Säulen, auf der Mathematischen Logik und der Mengenlehre. Für unsere Zwecke dienen diese Grundlagen auch zur Sprachregelung. die wir im weiteren Verlauf benützen \\ erden. Die nächsten Unterkapitel sind daher der Aussagenlogik und der Mengenlehre gewidmet. Abschließend kommen wir noch zu weiteren grundlegenden Begriffen, zu Relationen und Funktionen.

1.1 Zahlen 1. Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen 1 sind die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... In der Mathematik fasst man sie zu einer Menge zusammen, die mit N = {0. 1, 2, 3 .... } bezeichnet wird. Die wesentliche Eigenschaft der natürlichen Zahlen ist, dass es zu jeder natürlichen Zahl n einen Nachfolgern' = n + 1 gibt. Das entspricht dem intuitiven ,Jmmerweiterzählen". Streng genommen können die natürlichen Zahlen etwa durch die Peanoaxiome charakterisiert werden: 1.

0 (Null)

ist eine natürliche Zahl.

2. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger. 3. 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl. 4. Verschiedene natürliche Zahlen besitzen verschiedene Nachfolger. 5. Jede Eigenschaft, welche O zukommt tmd sich von jeder natürlichen Zahl auf den folger überträgt, kommt bereits allen natürlichen Zahlen zu. Das letzte Axiom heißt auch Induktionsaxiom. LNachÖNORM ist O (Null) auch eine natUrlicheZahl.

ach-

1 Grundlagen

. fi. f (Peano-)Axiome eind eh diese un 1 1) . ürJ' chen Zahlen ur d . l t dassdie nat i fi 1 ndermaßen arsteJlen (siehe Abb. . . .Manüberlegts!chleG1~; ,his~hkann man,~ie o ~achfolger von 1, usw. d • b"stimmt smd. P = 1 1st der 2 O eubeu~. ~l O' der Nachfolger von . Da 11s, 1

3

2

4

. natürlicbenZahlen Abbildung1.1D1e

Struktur nach den Peano. . Abb. 1. 1 ancregebene e,

. t' warumdie rn Die folgendeTabelle_ ze1~ . die ~--"inzig möglicheist. ax1omen

0

unmöglichwegen 3.

n'

2

0-1-

-···--n n anstelle von n < m und m > n anstelle von 11 s; m.

Das mteressantesteAxiomist das Induktionsaxiom 5. Aus diesem leitet man das Beweisprin,ip der vollständi~en Induktion ab.

Es sei 1-'(11) eine Eigenschaft',die fiir eine natürlicheZahl n gelten kann oder nicht (siehe Beispiele1.1 bis J.3). Wirwollenuntersuchen,ob P (n) für alle natürlichen Zahlen wahr ist. Da.,Induktionsaxiom besagt,P(n

+ 1)) ===> Vn E N:

P(n).

Zur Illustration dieser Schlussregel betrachten wir ein einfaches Beispiel, das eine Summenformel nachweist.

Beispiel 1.1 Es sei P(n) die Aussage 3

n(n+l) 2

~k= LJ

.

k==O

Offensichtlich ist P(O) wahr, da

L~=o k = 0. Ist nun P(n) wahr, dann gilt n

n+l

Lk

Lk+(n+l)

k=O

k=O

n(n

+ 1) + (n+l )

2

(n+l)(n+2) 2 Also ist auch P(n ist.

+ 1) wahr. Damit

ist gezeigt, dass P(n) für alle natürlichen Zahlen n wahr D.

Die Überprüfung von P(0) wird auch als Induktionsanfang und der Schluss P(n) ⇒ P(n + 1) als Induktionsschritt bezeichnet, dabei nennt man P(n) Induktionsvora~tzung und P( n + 1) Induktionsbehauptung. Im nächsten Beispiel illustrieren wir, dass der Induktionsanfang verschoben werden kann. d.h. man überprüft P(n 0 ) und den Induktionsschritt P(n) =>P(n + 1) für allen> n 0 • Daraus folgt die Gültigkeit von P(n) für allen> n0 .

Beispiel 1.2 Es sei P(n) die Aussage

Offensichtlich ist diese Aussage für n = 0. n = l und n = 2 nicht richtig. Allerdings gilt P(3} wegen 23 = 8 > 5 = 2 + 3, und es ist nahe hegend, dass auch P(4), P(5) .... alle richtig sind. Für den Nachweis verschieben wird den Induktionsanfang zu n = 3 und versuchen nun, den Schritt P(n) => P(n + 1) für n > 3 zu überprüfen. Wir nehmen also an. dass 2" > 11+ 2 für ein n > 3 richtig ist. Multipliziert man mit 2, so ergibt sich direkt

2 · 2rl = 2n+l > 2(n + 2) Daher gilt P(n) für allen> 1 · Wir

Z"lhlen,so ist

I:

k:O

(n

+ 1) + 2.

3.

benützen hier dns Summcnzeichen n

= 2n + 4 > n + 4 >

L· dasgroße griechische

Sigma. Ist

O(h a 1 , •• , • O und l > 0) definiert man

1

r

m

k l

= - < s =- n

{=:::}

m ·l


l heißt Pnmz l • • Definition1.19 Eine naturhc~eZ P er Prlrozahlenwird llllt :r bezeichnet. die Zahlen ±1 und ±psind. Dte Menged

. p d ,kt ganzer 'Zahlena1,a2, . .. , ar, also p\a, a2 ... ar, Satz 1.20 Teilt eine Primzahlp em ro L l pja fü"rein j E {l, 2, ... 'r}. • der Faklorena so ·1 dann teiltsie wenigstensemen , . . . . . _ 2 Zahlena = ai, b = a2 . Der allgemerne Fall folgt .. Wir beweisenden Satz nur für, . BeweJJ. daraus mit Hilfe volls~dige~ lnduk:~ ist nichtszu beweisen. da der ggT ein Teiler von p sein muss, aber p Es sei also pjab.Gilt bei:eitsvia{, ) _ 1 Ist hingegenPfa, s~ gilt ggT P,;; 18 zwei ganze Zahlen e, f mit 1 = ep + Ja. Also 1 ausscheidet.Demnachgibt es wfiegrda est~lltwerden. Sowohlbep als auch .fab sind durch P kann b rn der Form b ==bep + a arg □ teilbar,also gilt auch pjbep+ fa,b==b. Satzl.ll (FundamentaJsatz derZahlentheorie)Jede natürliche Zahl a > 2 lässt sich aLs Produktvon Primzahlendarstellen: a = P1· P2 ·····Pr

mit Pi, P2,. ··,Pr E lP,

wobeidie Darstellungbis auf die Reihenfolgeeindeutigist.13 Beweis.Wir zeigen zuerst,dass es immermöglichist, a.als Produkt von Primzahlen darzustellen.bt a E JP>,so ist nichtszubeweisen.Ist a (/:IP,so kann man a als a = a 1 · a2 mit 1 < a1 < a und 1 < a2 < a schreiben.Nun kannmandieselbeFallunterscheidungfür a 1 und a 2 anwenden. Nach endlich vielen Schrittenmuss dieses Verfahrenabbrechen, da die Teiler immer kleiner werden,also erhält mandie gewünschteDarstellung.(Man vergleiche auch mit dem induktiven

Beweisaus Beispiel1.3.) Nehmenwir nun an, es gäbe zweiDarstellungenvon a als Produkt von Primzahlen: a

=P1 · P2 · ...

Insbesonderegilt p1lrz1 • q2 • ..•

· Pt

==Q1 · Q2 · ...

· Qs,

• q,q.Demnachgilt

nilq1oder

Pilq2 oder

oder P1lqs.

Essei o.B.d.A.Pi lq1.Darausfolgt aberP1==q1(da P11 1 ist). Also erhält man P2. P:1..... Pt ==q2 . q3 .....

qs

un.dkanndieselbe Überlegungwieder anw n . . . Pnmzahlen PJ,p2 , • .• , p,,,und e ~en. Dt~ses Verfahren ergibt natürlich, dass die sondere ist,. - .~. qlt q2 ' · • ·, qs (bis auf die Reihenfolge) übereinstimmen, insbe-

7~~----

• ~ sar1.g,11fönnal auchfür die natürlicheZ·hl defin!CTI

a

.-

O

-

0 1· wennman - wie üblich - das „leere Produkt„ als 1

1.2 Elementare Zahlentheorie

19

Für eine natürliche Zahl a und eine Primzahl p schreibt man vµ(a) = k, faJJs gilt Jfla, aber Pk1-i f a. Aus dem Fundamentalsatz erhält man dann durch Zusammenfassung der entsprechenden Primzahlleiler zu Primzablpotenzen die sogenannte Primfaktorenzerlegung 14 a

=

2v2(a) . 3"J(a) .

=

5 v::i(a) . 7v-;(a) ...

II

p"p(a).

pEP

Man beachte auch, dass mit Hilfe der Primzahlzerlegung werden können:

Teilbarkeitseigenschaften

abgelesen (1.2)

=

60 gilt 60 = 22 • 3 • 5. Hier i t v2 (60) v5(60) = 1. Für alle anderen Primzahlen setzt man uµ(60) = 0.

Beispiel 1.22 Für die Zahl a

=

2, z.1 3 (60)

=

1 und 6

Satz 1.23 Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen, trachte man die Zahl

es gäbe nur endliche viele Primzahlen: 1P = {p 1 , q = P1 · ... · Ps

....

Plv}. Dann be-

+ 1.

Offensichtlich gilt

P1 f q, P2 f q, · · ·, PN f q,

und die Primzahlen P1,P2, ... , PN können daher njcht in der PrimzahlendarsteHung kommen. Das widerspricht aber der Annahme.

von q vor□

Mit Hilfe von (1.2) gelingt auch der Nachweis der Darstellung des ggT und des kgV auf Grund der Primfaktorenzerlegung.

Satz 1.24 Es seien a = a, b E N. Dann gilt

ggT(a,b)

TIpEP p""(a)

npEIP

und b

= IIPmin{vp(a).vp(b)}

die Prim/ aktoren~erlegungen

pvp(b)

kgV(a,b)

und

pEIP

\'On

= IIPmax{vp(a),vp(b)}_ pEP

Insbesondere gilt auch ggT(a, b) · kgV(a, b)

= ab.

3. Kongruenzen und Restklassen Eine wichtige Anwendung der Zahlentheorie isl das Rechnen mit Kongruenzen bzw. das Rechnen modulo m. 14

Das große griechische n

z.B.

n i"'=l

aj

TIwird -

in Analogie zum Swmnenzeichen

eine Kurzschreibweise für das Produkt

a1 · a2 ·

a::i·, .. · a,l·

I: - al~ Produktzeichen verwendet. So ist

•

der so genannte :Modul, ausgezeichnet.

'7 ....

1 m, anzeL&U · Man odulo &alls111ein Teiler von b - a 1st. 711, 1 ' m ..... naruent heißeO ...,...,.. Restklasse a modulo m versteht man die me posIuve

b mod

i

1

Unter einer a

{ a

,., , a, a + m, a + 2m, . • •} 2,n. a , 1

=b moclm}.

Die Mengealler Re tklassenmodulom wirdmit Zmbezeichnet. ,In, - oenaudann gilt wenn a == b mod m. Der Name „RestkJas e'· Manbeachteauch, ~ s a 0 e • . .~n.· • ·n"r RestklassegenauJeneganzenZahlen zusammengefasst werden, dte ommtdaher, ~ m e, c . I · · · kbei der Divisiondurch m denselbenRest r haben (verg~eicherrutSatz 1.15). st be1sp1:lswe1sc m = 2. so be~tchtö = 2zaus den geradenZahlen und 1 - 1 + 2Z aus den ungeraden Zahlen. atz 1.26 Fürjede positfrenatürlichel,ahl m gibt es genau m Restklassen:

z,,.= {o,T.... . m -1}. Btrneis. Dividiertmaneine ganzeZahl n durch 111(mit Rest) so gilt n = qm+ r mit O < r < m. Es i t also n r mo 1. Tl

ro + l0c1 + ...+ 10kck -= eo+ cl

+ . . . + Ck mod 9 .

Das heißt,die (dekadische)Ziffernsumm . zu n kongruent mOd l 9 In b e von n tst . u o . s esondere 1st durch 9 genau dann teilbar, wenn die z·tr t emsummedurch 9 teilbar ist. 6 Fonnuhcrtmandie obige Überlcgung frur Kongruenzklassenum, so erhält man:

c b d

a±b=cid

. ~b-a - c . d.

Diesrechtfe.n, t die folgendeDefinition.

( 1 3) .

manSummeund Produktdurch (1.4)

t .2 Elementare Zahlentheorie

21

Beispiel 1.29 Für rn = 3 besteht Z:1 sind folgendermaßen definiert:

=

{Ö,I, 2} aus 3 Elementen, und die Rechenoperationen

+ 0 1 2 0 ö I 2 1 I 2 0 2 2 ä 1

0 I 2

ö ö 0 0 I 0 1 2 2 5 2 I

6

Man beachte, dass für diese Operationen definitionsgemäß die entsprechenden Rechenregeh1 aus Satz 1.4 gelten, z.B. a + b = a + b = b + a = b + a. Die neutralen Elemente sind O und I. Für alle Restklassen a gibt es auch eine negative Restklasse -a = -a. Wir wollen als nächstes untersuchen, welche RestkJassen eine multiplikativ inverse Rest„ klasse besitzen, also für welche Restklassen a es eine Restklasse b = a 1 mit a •b = I gibt. 1 Im Beispiel rn = 3 besitzen übrigens alJe Restklassen =/=-0 eine inverse Restklasse: I- = I --) -

2

= 2.

Satz 1.30 Eine Restklasse ä E Zm besitzt genau dann eine multiplikativ inverse Restkl.asse. wenn ggT(a, m) = 1 ist.

Beweis. Besitzt a eine inverse Resklasse b, so gilt ab = I + qm fü.r eine ganze Zahl q. also 1 = ab - qm. Jeder gemeinsame Teiler von a und m teilt daher auch 1. Somit ist sicherlich ggT(a, m) = 1. Ist umgekehrt ggT(a, m) = 1, so gibt es ganze Zahlen b. c mit a - b + m · c = 1. d.h. die Restklasse bist zu a invers. D Beispiel 1.31 Gesucht sei die inverse Restklasse von 15 modulo 17. Wegen ggT(l5, 17) = 1 kann man mit Hilfe des Euklictischen Algorithmus ganze Zahlen (hier 8 und - 7) finden mit 1 = 8 · 15 - 7 · 17. --1

Daraus liest man unmittelbar 15

-

= 8 ab.

In Ergänzung zu (1 .3) beantwortet Satz 1.30, wann man in einer Kongruenz dividieren kann. Dies ist nur dann möglich, wenn Divisor und Modul teilerfremd sind. d.h.

a • c - b • c mod m,

ggT(c, m)

=1

==> a = b mod m.

Man beachte, dass aus Satz 1.30 folgt. dass für einen Primzahlmodul m alle Restklassen a -f:.Oinvertierbar sind. Wir werden diesen Sachverhalt in Abschnitt 2.3 noch ausführlicher diskutieren. Eine erste zahlentheoretische Anwendung stellt die Berechnung ,·on Prüfziffern zur Fehlererkennung bei Artikelnummern, Sozialversichemngsnwnmern. Bankkontonummern. u.s. w. dar. Betrachten wir etwa die (bis 2007 gültige) zehustellige Internationale tandard-BuchNummer ISBN, welche wie folgt aufgebaut ist

1 Grundlagen

~n=------------------------------. G Verlagund Titel eines Buches. Die letzle Ziffer HierinbeliChreiben die ersten9 Z1ffem ruppc, i 1 die Prüfziffer,wobei ( 1.5) . , ...+ 3a11+ 2a9 + p ;__0 mod 11 10a1+9a2-r- ua+ . d. Darstellungp a1 t- 1a2 + ... + 9ag rnob folgt. Bespielsweise ist die 0 apos1mn es zweitenobigenBeispiels: a

=}

Wennfür reelle7Ahlen , d' B . . x,y ie eziehungx = Y gilt, dann gilt auch x 2 = :1/. DerBeweisdieserImplikation istevidentAl, . . . In vielenFällenw· d • . . · so 1stdaID1tauch der ursprüngliche Satz bewiesen. ' ir einmd1rekter Bew· · h · ·t an_gegeben wird.Mannimmt d b . eis mc t so geführt,dass die Kontrapostion exphz 1 an ass rucht ·1 ( l . . Widerspruch steht.,alsomit •'h . gi t a so dass ,b gilt) und zeigt dass -,b nut a un be . . . a nie t verembarist D h 'ß ' wiesenwmJ.In diesemBei ielk" · as e1 t natürlich nichts anderes, als dass -,a p onntedgsetwaso lauten:

l.4 Mengen

31

Beweis. Angenommen es wäre x spruch steht. Also ist x

i=,11.

= y, dann

folgt daraus x 2

= y2, was mit

x2

f:.y2 im Wider0

Nebe~ mathematischen Sätzen mil einer lmpJikationsstruktur a ⇒ b gibt es auch Sätze, die eine Aquivalenz a {=} b ausdrücken. ln diesem Fall muss also neben n ⇒ b auch b ~ a gelten. Beispielsweise können wir die Frage ~teilen, ob das zweite obere Beispiel in diesem Sinn erweiterbar ist, ob der Satz

Für reelle 'Zahlen X, y gilt .r2

-::/=y 2 genau

dann, wenn x :f y gilt.

richtig ist? Das kann man relativ einfach mit einem so genannten Gegenbeispiel beantworten. 2 Es gilt (-2) = 22 , aber -2 =/ 2. Anders ausgedrückt, die Implikation b ⇒ a ist nicht ricbtig. Man beachte, dass hier nur ein einziges Beispiel ausreichend war, die Implikation zu falsifizieren, während es nicht ausreichend ist, für den Nachweis der (richtigen) Implikation a =} b eines (oder mehrere) Beispiele anzugeben.

1.4

Mengen

1. Der Mengenbegriff Die Mengenlehre wurde vor etwa I 00 Jahren von Georg Cantor begründet. Er benutzte damals die folgende Dcfirütion, die zwar streng formal widerspriich1ich ist. sich für unsere Anwendungen aber durchaus als zweckmäßig und ausreichend erweist. 18

Definition 1.38 (Cantor) Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Beispiel 1.39 Die Zahlen 1, 2, 3 bilden eine Menge .A = {1. 2. 3}. ebenso wie die ganzen Zahlen Z = {... 1 -2 1 -1, 0, 1. 2, ... }. 6. Definition 1.40 Die Objekte x, die in einer Menge A zusammengefasst werden. bezeichnet man als Elemente der Menge A. Man sagt auch. dass x in .4 enthalten ist und schreibt x E A. Ist x in A nicht enthalten, so schreibt man dafür .i ~ A. Die Menge 0, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge.

Eine Menge heißt endlich, wenn sie endlich viele Elemente enthält. andernfalls heißt sie unendlich. Für eine endliche Menge A bezeichnet man mit IAIbzw. #A die Anzahl der Elemente von A. Definition 1.41 Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B. im Zeichen i1 C B, wenn jedes Element :t aus A auch in B enthalten ist. Zwei ?\-fengen A~ B sind gleich. al~-oA B,

=

wenn sie dieselben Elemente enthalten. 18

Beispielsweise stellt sich heraus. dass die ,.Menge aller Mengen", die nach der folgenJen Definition t.'ine Menge sein müsste, ein widersprüchlicher Begriff ist. Fom1al wurde-dksl.'r Widerspruch dadun.:h gelö~L,das~ dk Mengenlehre streng axiomatisch aufgebaut wurde (Axiomensystem von Zem1t'lo und Fraenkd),, och einfillirer ist es, eine große Menge. ein Universum t,;, vorausz.usctzcn und nur Teilrr1engendes Onh·ersum zu betrachten. Dadurch ktjnncn keine Widerspriiche dieser Art entstehen.

.d d gleich, wenn sowohl . l Teilmenge von H als 11111 tz t.42 Z¾eiMengenA, B sm genau ' auchB Teilmengevon ist. d.li. A=B~A .r E B (defimtiongemäß) nichh anderesals .A~ Bund V.r .. r E B ⇒ l E .A entsprechend ß C L Aho i t A = B gleichbedeutendmit A )al 'Relation (siehe Beispiel 1.62 (c)). Dann at eisp1e · · d Inklusion s l 6 menge vonAl= {l, 2, 3}mit er di .-Abb 110 angegebene Gesta t. . Halbordnuncr . . das Hassediagramm dieser o em

{1, 2, 3}

/~

{l·x·x·3} {l}

~/

{2}

{3}

0

Abbildung1.lOfüissediagramm

AbschließendwerdennochzweiBegriffebetrachtet,die erst bei unendlichen H~bordnungen wirklichrelevantwerden,nämlichdas HausdorffscheMaximalitätsprinzip und die transfinite Induktion.

.

Eine Kette Keiner Halbordnung(H,R) ist eine Teilmengevon H, die mit der RelatI~n R eme Totalordnung bildet.EineKetteheißtmaximal, wenn es nicht möglich ist, K um ~m Elementvon lf zu erweitert,so dass R wiedereine Totalordnungbildet. (Beispielsweise 18t K {0·{1,2}. ( u. 3}) eineKetteVODP ({1,2,3), Zuordnung oder ab t interpretieren kann.Einerna E A wild(eindeutig)ein b f (a) E B zugeordnet bz-.

=

ff

be von E A ird einb = f(a) E

B ausgegeben.

·

heißtinjekth oder Injektion, wenn e~ zu jedem 1bt d h ~ 1mpliztertJ(a1) =/f(a 2).

B

A

bbildnngl.12lnjektiveFunktion

e1ßt u~jektiv idcr urjektion, wenn e, zu jedem b E B

A

B

Abbildung l ·13SWJel.:uve · . Funktion

et t bijekth oder ßijekf mn, wenn es zu jedem b E B genauem.

A

0 i UTJ

uv i

'eh l . I t ich ISt

B

Abbildung1 14 .. . 81JektiveFunktio n

•

emc Funktion/ .. A

➔

B genau dann b.. k . tJe ttv, wenn sie injektiv und

J.5 Relationen und Funktionen

Beispiel 1.66 Die Funktion

45

lR ➔ JR,:r H :r:i ist weder injektiv noch surjektiv. Die Funktion h : JRt ➔ JR,x H I 2 ist injektiv, aber nicht surjektiv. 20 Die Funktion Ja: lR ➔ x H .r2 ist surjektiv, aber nicht injektiv. --t x H .c2 ist injektiv und surjektiv. also auch bijektiv~ Die Funktion f4 : Man beachte, dass in allen vier Funktionen die Zuordnungsvorschrift x i-+ dieselbe ist. Die Funktionen sind aber alle voneinander verschieden, da Definitions- und Zielmengen verschieden sind. f:::.. !1 :

JRt,

JRt JRt,

r

In gewissen Fällen ist eine Funktion genau dann injektiv. wenn sie surjektiv ist.

Satz 1.67 Haben Dvei endliche Mengen A, B gleich viele Elemente, d.h. IAI= !BI,dann ist eine injektive Funktion f : A ➔ Bauch surjektiv und damit bijektiv. Entsprechend ist eine surjektive Funktion f : A ➔ B auch injektiv und ebenfalls bijektiv. Beweis. Es seif: A ➔ B injektiv und IAI= IBI= n. Schreibt man für A = {a1.a2•... ~ moghchenPart1honcneiner71~element' M - O, uuct Sn,o = 0, n > 1). Die Anzahl aller

(~t

rgen engewerdenals Bellzahlen

2.1 Kombinatorik

55

beLeichnet. Diese erfüllen die Rekursion

(mit der Anfangsbedingung

f31 = 1).

ln der Zahlentheorie betrachtet man auch Zahlpartitionen, also die Aufteilung einer natürlichen Zahl n in Summanden. Beispiebweise kann die Zahl n = 4 auf folgende Arten zerlegt werden: 1+1+ l

+L

1+ l

+ '2.

2

2.

-r

l

+ :3.

4:

also p(4) = 5. Man beachte, dass 1 + :! und ;J + 1 njcht unterschieden werden, die Reihenfolge der Summanden also keine Rolle spielt. Die An1.ahl Pl" aller möglichen Zahlpartiuonen einer natürlichen Zahl n wird als Partitionsfu.nktion bezeichnet. Bezeichnet man mit p(n. k) die Anzahl der Zahlpartionenn von n in genau k Summanden, ~o gilt die Relursion

p( 11, k) (müden Anfangsbedingungen 1 p(n, k) gegeben.

Z:Z_

= p( 11 - k, k) + p( n -

p(n, l)

=

p(n.n)

=

1. k - 1)

1) und p(n

i.t dann durch p(n) -

Eine weitere grundlegende kombinatorische Technik. ist das Schubfachprinzip. \Vic bei Partitionen teilt man eine n-elementige Menge in k paarweise disjunkte Teilmengen auf. wobei - im Unterschied zu einer Partition - die Teilmengen auch leer sein können. Man kann auch sagen, man verteilt n Objekte auf k „Schubfächer". Das Schubfachprin,ip sagt nun. dass 1m Fall n > k wenigstens eine der Teilmengen (oder Schubfächer) mehr al~ em Element enthalten muss. (Andernfalls wäre nämlich k > n.) Mit der selben Idee kann man sogar sagen, dass bei einer Aufteilung von n Elementen in k Teilmengen \\enistem, eine der Teilmengen fn Elemente enthalten muss. Beispielsweise gibt es in einer Gruppe von wenigstens 13 Personen immer zwei Personen, die im selben Monat Geburtstag haben (hier ist 11 > 13 und k = 12). Ein anderes Beispiel ist, dass es bei 6 natürlichen Zahlen immer zwc-igeben mu. s. deren Differenz durch 5 teilbar ist. Dafür teilt man die 11 - 6 Zahlen gemäß ihrer Restkla~scn modulo k = 5 auf (d.h. man dividiert eine Zahl durch 5, bleibt dabei der Rest; t: {0, L 2. J. 1}. dann kommt die Zahl in die Restklasse A"). Wegen des Schubfachprin1ips gibt e in einer Re,tklasse wenigstens zwei Zahlen. Aber Zahlen in derselben Restklasse modulo 5 hahcn die Eigensd1J.ft. dass ihre Differenz durch 5 teilbar ist. womit dieses Beispiel gelöst ist.

kl

2. Der Binomische Lehrsatz ln den Anzahlfonl1eln (2.5) und (2.6) für die Anzahl von Tcilml'ngen und für die nzahl, m Tcilmultimcngen (b7w, für die An1ah) V föoen.schafl rechnetmanfür O~ k < n leichtnac .

~

G)+ (k:1)=

k!(nn~k)! + (k + l)!{;'_ k - l)!

n'

= k!(n - ~ -

(

1 1)! n - k

1 )

+ k+l

n! n+ 1 = k!(n - k - 1)1. (n - k)(k + 1)

(n + 1)!

= (k + l)!(n -

k)!

=G:D Ist k < 0 oderk ~ n,so ist dieseBeziehungdefinitionsgemäßrichtig.

□

Es bestehtein engerZusammenhang zwischenden Binomialkoeffizienten und dem so genanntenPascal'Sthen Dreieck:

k=O k=l n=O n= 1

1 1

n=2 n;:::3 n=4 n=5

1 1 1 1

l 2 3 4 5

k=2 k=3 k=4 l 3 6 10

1 4 10

k=5

...

1

5

1

E.~wird so gebildet dass in der Ot , . werden Daraufhinbere,che ,• h - en_Spalte und m der Hauptdiagonale Einsen gesetzt 11:n sie a1le weiterenE'1 tr · · ·d ~ agungenJeweils als Summe der bei ~n Zahlen,die unmittelbarin derT:b d .. II k~ber ~nd linksdarüber stehen. Beispielsweise ~stdie ~l 2 m der Zeilen ::;;'2 und 1 die Summe 1 + 1 von den beiden Zahlen 1n der Zeiler, l und in den Spaltenk _ Weg das Pascal'scheDreieckz.e·i -fü 1 und . -1. di esem . k -- 0· n_ O{S 1st eicht zu sehen, dass auf 1 e r Zelle g b'ld · g~~tz mit Satz2.4, ~ofolgtdirekt d . . e 1 et wird. Vergleicht man dieses BildungsBmom1alkoeffizienten ilhere'tn ·t' ' ass die Emtragungendes Pascal'schen Dreiecks mit den s 1mmen.

;p:lt:

2.1 Kombinatorik

57

k=O n=O n=l

n=2 n=3

n=4 n=5

(~) (~) (~) (~) (~) (~)

k=l

k=2

G) G)

e)

k=3

k=4

(;) (;)

(;) (~) (;)

(~)

...

k=5

G) (~)

(!) (!)

(;)

G)

Man beachte, dass aus der rekursiven Beschreibung auch folgt, dass liche Zahl ist, was aus der Definition nicht unmittelbar ersichtlich ist.

G) immer

eine natür-

Binomialkoeffizienten erfüllen zahlreiche weitere Beziehungen. Beispielsweise ist

(2.7)

Auf beiden Seiten der Gleichung werden Teilmengen der linken Seite wird nach der Größe k der Teilmengen rechten Seite steht die Gesamtanzahl der Teilmengen. tergrund, der auch den Namen „Binomialkoeffizient'' Lehrsatz.

Satz 2.5 (Binomischer Lehrsatz) Für

11

einer n-elementigen Menge gezählt. auf unterschieden und summien, und auf der Diese Beziehung hat einen tieferen Hinerklärt, den so genannten Binomischen

> 0 und beliebige

Die Beziehung (2.7) ergibt sieb aus dem Spezialfall .r. = y

1',

y E

C gilt

= 1. Für n = 3 lautet (2.8) etwa

Beweis. Man benützt das Beweisprinzip der vollständigenInduktion. Die Gleichung C~.8)ist offensichtlich richtig für n = O (und auch für n = l). N1m1nehme nun an, sit'" St:i für ein n > 0 richtig, dann folgt mittels Anwendung von Satz 2.4 (Und unter ßc-achtung der Konvention

""L-

u 1:s-"'1t;t~ M~mematik

58

-

D 3. lnklusions-Exklusions-Prinzip Jm letzenTeilabschnitt überKombinatorik beschäftigenwir uns mit der aJlgemeinen Summenregelfür die Berechnung von IAU BI,wennA und Bauch gemeinsame Elemente haben können(undmit entsprechenden Verallgemeinerungen für mehrere Mengen). Man überzeugt sich leicht,dassetwadie Beziehung

IAUBI= IAI+ IBI- IAnBI gilt d.h.zurBestimmung der Anzahlder Elementevon AUBaddiert man zunächst die Anzahl d~ Elemc~tevonA und von B (Inklusion)und subtrahiert danach jene Elemente, die man emmalzuvielaufgenommen hat (Exklusion).Man kann dieses Prinzip folgendermaßen exakt

B

Abbildung 2 1y, • . ere1mgung vonzweiMengenA und B

faa8en (SieheAbb2.1): A B

BI+ IAn BI+ 1B \ Al IA BI+IAnBI+IB\AI+ IAn BI - IAn BI A

A

+IBI IAnB1.

2. l Kombinatorik

59

Die Situation wird bei drei Mengen etwas aufwändiger. Jedenfalls erhält man (nach einer kleinen Rechnung)

IAu B u Cl = IAI+ IBI+ ICI- IAn BI - IAn Cl - IBn Cl+ IAn B n c1. Es zeigt sich schon, wie das lnklusions-Exklusions-Prinzip im allgemeinen aussehen wird. Tatsächlich giJt der folgende Satz.

Satz 2.6 (lnklusions-Exklusions-Prinzip oder Siebformel) Es seien A 1 , A 2 , •.. Mengen. Dann gilt

,

An endliche

n

LJAi

= 1A 1 U A 2 U · · · U An 1

i=] 71

I:

(-l)IIl-1

0#;/~{1.2 ..... n}

nAi tEl

Beweis. Man benützt das Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Die Siebfonnel ist (wie bereits bemerkt) für n = l und n = 2 (und auch für n = 3) richtig. Man nehme nun an, sie sei für ein n > 2 richtig, dann folgt

n

n

i=l

i=l

L

(-1)11!-l

0#!5-~-9 , u, ...
-1.V1 + A2. V2 + A3. V3 = 0. wobei z.B.

>.3 #

0 ist, so erhält man V3

= -->-1· V1 - ->.2· V2, >.3

A3

Es lässt sich also einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen. Da die lineare Unabhängigkeit das Gegenteil der linearen Abhängigkeit ist haben wir folgende alternative Beschreibung nachgewiesen.

Satz 3.12 Eine Menge Al

= {v 1 • v 2 , •..• vn}

von Elementen eines Vektorraums V ist genau dann linear unabhängig, wenn nur die triviale Linearkombination den Nulfrektor darstellt:

A1 · V1

+ A2 · V2 +···+An · Vn

= 0

==}

Ai = ,,\2 = · · · = An = 0.

J\;Jist genau dann linear abhängig, wenn es eine nichttriviale Linearkombination gibt. die den Nullvektor darstellt:

:3 (A1,A2,... , An) f: (0, 0, ... , O) mit Ai · V1 +Ai·

V2

+···+An · t•n = 0.

Man beachte, dass dieser Satz wortwörtlich auch für Listen von Vektoren gilt. Beispiel 3.13 Wir möchten nochmals untersuchen, ob die drei Vektoren ui, v2, va bzw. die Menge M

= {v 1 , v 2 , v 3 }

der Vektoren aus Beispiel 3.11 linear unabhängig oder linear abhängig sind. Dazu betrachten wir

Anders angescluieben ist dies ein lineares Gleichungssystem:

.

1,\ 1 -f l 3)q

\2

-

L\i

-

+ 2>.2+O,\i =

4,\1 + 2,\2 + 2,\J

0,

0,

= o. =

Dieses Glcichungssy~tcm hat z.B. die nkhtuivi.1le Lö~ung ,\! 2, ~2•. ;::. 3, Vektoren sind also (wie wir bereits :lu:--Bl·ispiel J.11 w1sst!n) hnenr 1hhnng1g,

~3 -

-1. Die ~

-

J Lmeare ~ebra

110

Beispiel3.14 Diedrei Vektoren l

-2 Vt :=

,

3 0

0 3 V2 == -2 1

0 , V3

0

=

2 -!>

2 . v2 + .. . ht t nan nämlichin der Linearkombination ;\ 1 • v 1 + .,\ ind linearunabhang1g. Betrac e • .. S l . f . K di t so folgtsofort .,\1 0. Im nachsten c 1ntt olgt aus .,\2 . v 2 + ~ . 113 ==0 die erste oor na e, . 0 d ., . h ' der zweitenKoordinate.Xi= un uam1t auc /\i = O. ' _ d h Betrn~htung ,\3 • 113 - 0 urc . • Fa st mandiesedreiVektorenw emeMatnx 1 0 0 -2 3 0 3 -2 2 0 1 -5

zusammen(vergleiche mitDefinition3.20),dann bildet diese eine so genannte Halbdiagonal4 form,d.h.. alle Eintragungenoberhalb(bzw. unterhalb)der Diagonale sind 0. Offensichtlich sind in einersolchenSituation,wo zusätzlichdie Diagonalelemente nicht verschwinden, die (Spalten-)Vek1oren immerlinearunabhängig. 6 un wollenwirLinearkombinationen von linear unabhängigen Vektoren v 1 , v 1 , ...• vn betrachten.Ist etwaderVektorx in der linearenHülle dieser Vektoren enthalten, also X==

Ai· V1

+ A2· V2

t- · · · + An · Vn,

so sinddie Koeffizienten Ai,A2,.... Aneindeutigbestimmt Wäre es nämlich möalich x in der

ro~

.

X=

Jll 'V1

o

,

+ JJ.2.V2 + · ·· + J..ln• Vn

mit möglicherweise anderenKoeffiz' t · . 1enen 111.µ2, .... µ 11 zu schreiben, so erhalten wtr· nach Differenzb1Jdung X - X=

(A1- Jt1). VJ + (A2-

J1,2). V2

+ ... + (An -

µn)

. Vn

= 0,

also emenichttriVJale Linearkombination von V1, V2, · · • , Vn, die . den Nullvektor darstellt. Dies . 1st aberwegende . DieseUbe 1 r voraus~esetzten linearenUnabhängigkeitnicht möglich. r egungenfuhrenunszu eine d .h. Vektorrciumen zumBegn"ff. . m er wic ttgsten Begriffe im Zusammenhang von · emer8 as1s .

~mesVektorraumsV heißt Basis von V wenn sie linear

..... .a.-~ IIIIAR

._

~ 111 1

llllllC

BJ gleichV ist.

'

~ Ll~earko~bination von Vektoren der Basis darnationheißenKoordinatenvon x bezüglich der

Ei~ wichtig~EigenschaftvonVektorraum .

. en 1st• dass Jede Basis gleich viele Elemente hat. Die n igenschaftnachgewiesen: •.Diaaon.JeemerMatnx · A = (~ ) b'lde . oben'6 1

Dieswirdnut Hdfeder folgende E' nach

htsunten

" die Elementeau, a22, ... , d.h., die Diagonale verläuft von

3. 1 Vektoren

Jll

Satz 3.16 (AustauschJemma) Es sei M -- {V1 , V2 • • • • , Vn } eme • Menge von Vektoren und a = . . J.l1 · V1 + · · · + /ln · Vn eme Lmearkombination dieser Vektoren.Weiter sei AJ1= (}d \ {v } U 1 {a} =.• {v1,••·,vJ-1,a,v·+ v }jü• · · ...1. · 1 1 . , . .1 ' · • • n r em J mlf 111 r 0. Dann 1st .\J genau dann linear unabhangzg, wenn lv[ hnear unabhängig ist, und es gilt immer [Af']= [Al]. Beweis. Wir betrachten eine Linearkombination der Vektoren aus ~U':

+ · ·· ~ Aj-1 · VJ-1 + AJ · a + Aj+l · v 1+J + ... +An. Vn = A1 · V1 + · ·. ~ Aj 1 · Vj-1 + Aj · (µ1 · V1 + · -. + µ . V ) + >.. J+ 1 . tJJ-r-1 + ... + \ . Vn

A1 · V1

ri

= (>.1+ Ajµ1) . V1+ ''. + (>-j-1 + >.]µ) 1) · V)

+ (AJ+I + A;µ;+i) · VjH

+···+(An+

1

n

+ A1P1

An

(3.1)

· VJ

Ä1/J•n) · V 71 •

Setzt man nun voraus, dass Pvf linear unabhängig ist, und nimmt man an, dass diese Linearkombination der Vektoren aus M' den Nullvektor darstellt. so folgt zunächst (v.,egen µ f: 0), dass AJ= 0 ist, also J

Daraus folgt aber auch >-1 = · · · = >-i-l = \+ 1 = linear unabhängig ist. Man beachte nun, dass vJ als Linearkombination __

VJ -

--

µ1 µj

. V1 -

...

-

µj-1

--

µj

. Vj-1

•..

=

An = 0 und sch}ießlich, dass .\11

+ -l . a - --Jlj+l . V;+l µ)

µ,

-

...

-

/Ln . J.l;

-

Vn

(3.2)

der Vek_~orenaus J\11 dargestellt werden kann, wobei der Koeffizient l 11,,1 -::i.0 ist. Aus denselben Uberlegungen wie vorhin folgt nun, dass A,f linear unabhängig sein muss, wenn man voraussetzt, dass M' linear unabhängig ist. Weiters folgt aus der obigen Darstellung (3.1 ), dass in jedem Fall [Jf'] i;:; [.,1f]ist. da jede Linearkombination von Vektoren aus Af' als Linearkombinalion von Vektoren aus ,U dargestellt werden kann. Wegen (3.2) gilt auch die umgekehrte lnk.lusion, also insgesamt [.U~ = l.U]. '.J Wir nehmen nun an, dass B = {b 1 , b,;,..... b11 } eine (endliche) Basis eines Vekto1nmms \ · ist, und C = {c 1 , c 2 } sei eine linear unabhängige Menge. Wir wollen jetzt Yersuchen, nicht nur einen Vektor aus B (wie in Satz 3.16) auszutauschen, sondern zwei. (Aus Giiinden der Einfachheit betrachten wir zunächst nur zwei Elemente.) Wir gehen schrittweise vor. Wegen c 1 I: 0 sind in der Darstellung von c 1 als Linearkombination der Vektoren aus B nicht alle Koeffizienten 0. Wir nehmen o.B.d.A. an, der Koeffizient von b 1 wäre ungleich 0. Dann folgt aus dfiln Aus-tauschlemma, dass B' = {c 1 , b 2 , ... , b11} wieder eine Basis von \ i t. Im zweiten S~hritt wollen wir c 2 gegen einen Vek'tor aus B' austauschen. Dazu betrachten wir jene Linearkombination von Vektoren aus B', die c 2 darstellt. Angenommen. alle Koeffizienten der Vektoren b2, ... , bn wären O,dann wäre c2 ein Vielfaches von c 1 . Diel- ist jedoiel3.18 Die Vektorene1•e2,· · ·, sondernspannenwegen l 0

X1

,r2

x=

-==X1· ;Tri

+x2·

n

s f

,.

'

0 0

t···+Xn·

= x1 · e1 + X2 · e2 + · · ·+ Xn · en

s a

1

0

0

I

aus Beispiel 3.10 sind nicht nur linear unabhängig

e

0 1

s

auchalle Vektorenaus Kn auf.Sie bilden daherejne Basis, die so genannte kanonische Basis E-= {e1• e2.•• . , e,J vonI.. B) ==.x. (A . B), (v) (.,\. A) · B (vi) (A + Bf ==AT+ BT, (iv)

.') (A · B)T -- 3T . AT' (vn (viii) (.X·Af ==.X.AT.

.

.

n Wir greifen die zweite heraus. Ist A = (aij), aft ind leichtnachzurechne · ( ) h AlleEigensc en s . . h d Element von (A. B). C an der Stelle i, l durch B = (b,.1c) undC ==(ckz),so bestunmtsie as

~ (~

aijbjk)

Ckl

J

k

unddas entsprechende Elementvon A . (B . C) durch

DiesebeidenDoppelsummen sindjedoch wegender Rechengesetze für Addition und Multiplikationin K gleich.

2. lnvertierbare Matrizen Die erste Eigenschaftvon Satz 3.24 besagt, dass die Einheitsmatrix ein neutrales Element der ist. Diesführt uns direkt zum Begriff einer inversen Matrix. Matrizenrnultiplikation

Ddnitien 3.25 Sei A E Knxneine quadratischeMatrix. Sie heißt invertierbar oder regullr wenneseineMatrix A 1 E Knxn gibt mit A ·A

1

= A- 1 . A = In.

1

DieMatrixA heißtdann die zu A inverseMatrix.Nicht invertierbare Matrizen werden ab alsalnplir bezeichnet. Satz3.26.Es s~ienA und B zwei invertierbare Matrizen in Knxn_ Dann sind A . B und AT ebenfallsmvert,erbar;und es gilt (i) (A. B)- 1 ==B-1 . A-1 (ii) (AT) l (A-1)1'. '

=

3.2 Matrizen

117

Wir werden später .noch ausführlich besprechen, wie man entscheiden kann, o b eme · M atn.x invertierbar ist, und wie man die inverse Matrix gegebenenfalls berechnen kann. W!r geben al_sn~chstes eine natürliche Interpretalion der Matrilenmultip1ikation mit Hilfe von Lrnea.rkombmat10nen. Dazu betrachten wir zunächst die Multiplikation einer rn x n-Matrix A w1d eines n-dime~sionalen Spaltenvektors: A . x. Be.leicbnet man mit 01 , ai .... , On die Spalten von A und nut X1, ,rz, ... , :rn die Koordinaten von x, so gilt

A .X

= ( a1

a2

...

an ) · X

= J'1

+ J:2 · a2 + · · · -+-Xn

· a1

·

lln.

Das Produkt einer Matrix mit einem (Spalten-)Vektor ist also nicht anderes als eine Linearkombination der Spalten von A, wobei die Koeffizienten die Koordinaten von x sind. Daraus folgt etwa

A · eJ - a 1 • das Produkt einer Matrix A mit dem j-ten kanonischen Basis,ektor ist die J-te Spalte von 4. Ist nun B einen x q-Matrix nlit Spalten b1 , b2 , ...• b11, dann ist die J-te Spalte des Matrizenprodukts A · B das Produkt von .4.mit bf

A · B = ( A · b 1 A · b2

···

A · bq ) .

Anders ausgedrückt, die Spalten von A · B sindLinearkombinationen der Spalten von A..wobei die Koeffizienten dieser Linearkombinationen in den entsprechenden Spalten von B stehen. Offensichtlich kann man damit

direkt überprüfen. Eine andere Interpretation der Multiplikation einer Matrix mü einem Spaltenvektor beruht auf dem Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen(siehe Abschnitt 3.4). Ein einfaches Beispiel eines linearen Gleichungssystems ist etwa:

2x1 + 3.r2 -

5,

7.r1 - 5x2 -

2.

Offensichtlich lässt sich dieses in der Fonn

schreiben. Diese Interpretationen des Matrizenprodukts können genützt werden. im ertierbare Matrizen

zu charakterisieren. Satz 3.27 Eine quadratische Matrix A E /{nxn ist genau dann i,n•ertierbar.wenn ihn' Sp.-ä +ä 1 ersetzt. Die entstehende Matrix wird wieder mit .4' bezeichnet. Wir wenden nun die entsprechende inver~e Umformung auf die Basis Ban, also z.B. würde der Vektor bi durch -,X• b; + bJ ersetzt werden. Aus dem Austauschlemma (Satz 3.16) folgt, dass die resulLierende Menge B' von Vektoren wieder eine Basis ist. Außerdem sind die Koordinaten der Vektoren v 1 , ... , Vn bezüglich 8' gerade die Spalten von A'. Die lineare Hülle der Spahen von A bzw. von A.' entspricht daher der linearen Hülle der Vektoren v1 , ... , Vn. Der Spaltenrang bleibt daher bei Zeilenumfonnungen C unverändert.

Beispiel 3.32 Wir benützen Satz 3 .3 1, um den (Spalten- )Rang einer Matrix Lu bestimmen. Ziel ist es, die MatLix mit geeigneten Spalten- und Zeilenumformungen in Ha1bdtagona1form überzuführen, da man den Rang einer Matrix dieser GesLalt direkt ablesen kann (vergleiche mit Beispiel 3.14). Es sei

1 2 -3 2 5 1 -1 -2 4 4 0 2

A=

0 8

1 6

Die Spalten von A bezeichnen wir mit a 1 , a 2 , a 3 • a 4 . Wir erzeugen oberhalb bzw. recht \OO der Diagonale Nullen. Dazu ersetzen wir zunächst die zweite Spalte a2 durch a2 - 201 und die dritte durch

a 3 + 3a1: 1 0 0 0 2 1 7 8 -1 0 1 1 4 -8 14 6

A'=

In dieser Matrix ersetzen wir die dritte Spalte durch

A"

=

a;- 7a;und die vierte durch a~- &i;:

1

0 0 0

2

1

0

0

-1 0 1 1 4 -8 70 70

SchJießlich ersetzen wir hier die vierte Spalte durch

a1- a3und erh alt.en eine M.utri~ der Form

1

0 0 0

2

1 0 0

(3.3)

A'" = -1 0 l 0 4 -8 70 0

• . . M • ·(A' 3 da die er ten drei Spalten linear unahhängig sind Ouuens1chthch hat diese atnx rg - ' . . ~h ebenfalls r , , A) = 3 11)

_

. . I 3 . 14). D1'e1.1rsprünghchc Matnx hat dcmnal: . hc mit, Be1spie (verg 1e\c ,

~ g,

•

1~20~---------

------

-----

3 Li nearc Algcbra -

--

. d . ar abhängigund spannen einen dreidimen~ionalen Unte . d.h„die SpaltenvonA ,in 1me ~ rraurn ,on K.axl . auf· drei Spalten gleich 1. Wären ~ie . dd'e Diagonalelementedercr!'>ten 1 Ind1e-.em Be1~p1e -.m . . . . e1hgen .. 1 . d l)) . ) könnteman durch Mult1phkat1on mit. den _1ev. Kehrw von 1.verschieden(k un . r da"s •'-l die Diagonalelemente~chlteßlich . . . ertcn alle gleich 1 ,md Entsc.:hei·d die Spalten,o , a11eren. ,. . . . • · end . d G . d gerad•"beschnebcnenVertahrens 1-;t auch, da~~ thc auftretenden Di·igo al für a, e1mgen es " .. . . . ' n· jrschi·ectenci'nd Anocnommen.es ware bereits 1m cr,t~n Schntt :1,4 -

-

-2

lli (Satz 3.41) auch Jösbar. Setzt man x 3 und wegendas Satzesvon J(ronecker-Cape

=

t 1 und

.r.1 ==t:h so errechnetman

x,

3 - 2x2 + 2x3-

-

3X4

- 7 + 10t1 - 13t2.

Alle Lösungensind daherdurch 7

Xt X2

X3

-2 0 0

-

X4

+ t1

-13

10 -4

5 0

+t2

1

(3.10)

1

0

mit t1 , t 2 E K gegeben. . . . . Selbstverständlich hätte man mit einer weiterenZeilenumformung auch zu emer Matnx der Fonn (3.6) umformenkönnen:

1 0 0 0

2 -2 3 3 1 4 -5 -2 0 0 0 0 0 0 0 0

➔

1 0 0 0

0-10 13 7 1 4 -5 -2

0 0

0 0

0 0

0 0

Die Lösung(3.IO)erhält mandannohneweitere Rechung aus Satz 3.44.

Wir formulierennun das Gauß'scheEliminationsverfahren. Es sei also A · x = b (A E Kmx11, b E Km) ein linearesGleichungssystem,wobei wir voraussetzen, dass A nicht die Nullmatrix. ist.6 Manbildetdie erweiterteSystemmatrix(A b) und führt folgende Zei lenumformungendurch: (i) Durch etwaigesZeilenvertauschenin (Ab) bzw. Spaltenvertauschen in

A erreicht man,

dass a11_# 0 ist. Danachersetzt man die j-te Zeile (aj bj) von ( A b) (für 2 durch (aJbi) - a 1/aj1(ä1 b1)und erhält eine Matrix der Form 8 7

O amz

R. Offensichtlich gilt auch 8(C') =

f.

Definition 3.52 Eine injektive Abbildung f: Ak ---t .4.",k < n, heißt Blockcode. Ein Blockcode heißt systematisch, falls für alle v = r 1 v2 ... v,_ E A gilt. dass /(t') _ Vi'V2 · · · vkvk+L · · · u,o d.h. die ersten k Stellen des Bildworts /('() stimmen mit dem Ausgangswort v überein. Bemerkung: 1. Alle Wörter eines Blockcodes sind gleich lang. F.1lb 4 - Xk und J : xk· ➔ _ykf den Wiederholungscode der Länge / üher .-1.bezeichnet. dann i t f (bzw. J(Xk)) ein Blockcode. 2. Die Parüätsprüfung (Anhängen eines Ptiifbits. parity check) i"l ein S) ,tem..tfr,ch~r Blockcode, der zur Erkennung einfacher Fehler geeignet i ·t. Das Anhängen einer fixen AnLahl H"'n Prüfbits kann zum Konstruieren eines leistungsfähigeren y,temati-,chen Blockcüdcs \Cf\\ endet werden. Sei A ein Alphabet und (.4. +) eine abelsche Gruppe. Dann 1.:;t auch (.1A·_ ) eme abdsche Gruppe. Als Code wählen wir einen injckti\eo Gruppcnhomt)lllOrphi,mu~ f \ \' "T ~ I (A", +).Dann gilt C = J(A.) 0 und

2 91t922

-

912

> 0,

und genau dann negativ definit falls

g 11

...__O

und

911922 -

9i'l...,. O.

148

----

------------------

3 LineareAlgb

~

. . u a dafür nützen, um den Charakter relativer E · orenkntenum · · . . . Xtrema WirwerdendasHauptnun·tionen in mehrerenVeränderlichen zu bestimmen (siehe Kapitel6 .ffi enzierbaren Funk . ). vondI er . . kann man allgemeine Skalarprodukte definieren MitHilfepositivdefiruterMatnzen . . . ., . x11 · positivdefiniteMatnx. Dann 1st durch l)e8nl1ioD 3.86SeiG E Rn eme

{x,y)c

= xT

.

G .y

E R„ bezüglichG definiert. . _ Skalarprodukt(x, y)c dieselben Eigenschaften hat wie dasge-

~ Skalarprodukt vonx und Y

Manbeachte,dassdieses . . . 11 . , . dukt Esist übrigensem Spezialfall des a gememen Skalarprodukts wenn wöhnhche SkaJarpro · ' manfürGdieEinheit~matrix [n verwendet:

(x,y) = XT · y

= (x, y) In·

Insbesondere geltendieCauchy-Schwarz'sche Ungleichung und die Dreiecksungleichung auch imallgemeinen Fall.

3.9 Tensoren IndiesemAbschnitt werdenwirkun eine Verallgemeinerungvon Skalaren, Vektoren undMatrizenbetrachten, sogenannteTensoren.Tensoren kommen ursprünglich aus der Physikund wurdenin derKontinuumsmechanik eingesetzt.Mittlerweile hat die Tensorrechnung auchEingangindieInformatik gefunden:Quantencomputerwerden mit sogenannten Qubits realisiert, derenZustände durcheinenVektorin einem zweidimensionalen Vektorraum beschriebenwerden.Computer ausmehrerenQubitskönnendann durch ein Tensorprodukt beschrieben werden. Vektorraum V über IR.Der Skalarkörper R kannals Betrachten wireinenn•dimensionalen eind~mensionale~ Vektorraum (übersichselbstals Skalarkörper) aufgefasst werden. Jede lineare Abbtldung f : V ➔ IRkanndaherdurcheine einzeilige Matrix beschrieben werden.

Drl ._ l.87 Sei V ein n-dimensiona1erVektorraum über IR. Eine lineare Abbildung ~wirdLinearrormgenannt Die Menge V* aller Linearfonnen bildet mitder

-•V

tionundderskalarenMultiplikationeinen Vektorraum. Dieser wird der Dual· genannt ImletitenAbschnitt h be · • M · en auchdaz a n wrrrmtdem allgemeinen Skalarprodukt oesehen, dass atnz. werden können,Abb'1ldungenmit zwei Argumenten o in be"deuAverwendet . zu beschrei·ben' die t n rgumenten hnearsind K nkr . IR.mitder E1gen.~haft, da~sf' . d · o et smd das Abbildungen f : V x V ~ ) linearsind Diez·urlJe en Vektorv E V die Abbildungen x H f(x v) und x f-'f f(~,x · te menged Abb' ' h 1ßen Bilinearformen undk" er tldung ist der Skalarkörper. Solche Abbildungen e) xTAy. Linearformonnden ?~rcheine Matrix A beschrieben werden: Es gilt dann f (x,~ ~ en un Bihnearfo . k.. r diein C1i1em bzw.zweiArg . nnen smd also Abbildungen in den Skalar orpe' . diein mehreren Arguumentenlmearsind. In analoger Weise lassen sich Formen" definieren, gelernt: DieDetenru menten!inearsind.Eine solche Multilinearfo~ hab~n wir bereitskenn~n deng1...., nanteeinern x M . 1 ektorenU1 NUarkörper aufgefasst d n- atrix A kann als Abbildung der Spa tenv d die Abbildungen x 1-► det(a wer en. Aus den Rechenregeln für Determinanten folgt, ass l,.' · 1 as 1 X 1 a ' s+1, • • . , a,i) linear sind.

J.9

renson:11

149

LU linearen Abhtldung gilt für Multilinear'o . Analog . . . auch . ,, rmen etn· Fortsetzungssatz: l st \/ ein II d1men,1onaler Veklorraum nut einer Basis JJ (b l · • lJn ) Unu.i J . \ ---,. ~ Ir\. eme Multilinearform. dann 1st J durch dte Bilder f(b , , • • • • b ,.,. ) • \\obe·1 d·e 1 l n ct· I ze, 2 1 • • • im alle Zahlen l, ~- .... 11 dun.:hlautcn. bcretts eindeutig bestimmt.

~efiniti~~ 3~~~ Sei \/ _ein ,,-di~n_ensionalerVektorraum. B = (b 1 , •.. b ) eine Basi \On Y und J . ~ -t IR eme Mult1hnearfonn. Dann heißt das m-dimen ionale Zahlenschema gebildet am, den Zahlen

t' i .,2. ,.,, ·= f(b ' mit. ( z1,

••.

, 1.m

) E { 1, ')........

Bemerkung: 1. Wir merken

Tl }

111

• • em

ll

• • . l

b 1.,. )

kontravananter · Tensor·m-terStufe

an, das1.,m der Thcone der Tensoren andere Notationc.:nüblich

sind. lm.höondere werden InroduZent verarbeitet . Wochen eines Monatsranten 3.17Ein Oe Verbrauchder Rohstoffewährend v1er s . L!· _...aP.I\ werden sol1en. r · ow1edie 1"lu-vo--. . , t sindin nachstehender Tabelle angegeben: RohslOffpretSC derL1e,eran en · 3,16Mant,eWeise dieRangfonner

R2 R3 12

Woche / Rohstoff R1 8 4 l. Woche 10 6 2.Woche 8 7 3. Woche 11 7 4. Woche

Rohstoff/ Lieferant~ R1

5 5 9

1

8 10 7

R2 R3

L2 4

6 8

Man vergleiche dieRohstoffkosten für alle vier Wochen.Soll der Produzent beim LieferantenLi oder L2 bestellen? 111 Bestimmen SiemitdemGauß'schenEliminationsverfahrendie Lö,ung des Gleichungssystems k

demKörperK: 3zt t X2 - 2x3+

=2 (1) Xl t X2 - X3 - X4 = 1 Stt +x2 - 3x3+3x4= 1 2z1

t

+:Z:3= 1

X2

+xa=1

7x1

2:i1+ lxt2- 2x3= 5

t

(e) 3i}

K ==Q, (f) K ==Z11,

X3 =4

- Z2+ 2x3= 1

2

• .... ..._

5

7

4

.r4 = 2

K =IRl

+ .l'2 t- XJ - .r1 = 1 -5.r1 + x2 -r- :~x:\ T :3.x1= 1 2x1 + x2 + .r3 = 0 X1 + X3 - l 4X1 + X3 = -1 x1 +2.x2 xa +x4 3x1 +x2 -2x3 +4:r4

J(

=2 =

2 x1 +4x2 +3xa -3.r:4 = 2 2x1 +4x2 +x4 = 1

11f Manbaecbne diefolgenden Determinanten: 2 4 -1 3 (1) 1 2 0 -1 1

+ :r2 + 2x:i +

-X1

K ==Q, (d) K=l3.

+X3=1

(C) Xt

-3x1

K = IR, (b) K ==Z2,

X4

3 - l

1

= z-i.

K-=C, K ::::Z1-

5

2

(b)

7 0 2 -1 -2 4 0 6. 0 2 1 -3 plllefllrdieMatrizen ausÜbungsaufgabe 3.10 die Formel det( A- B)

6

"- • ikk E Q istdieM · :~.~:;,;:: t ; ~ !) A singulär? \1 •.;;. . .

= det( A)-del(B),

J

(

atrix

.(b) A

=

3

~

x

-~

1 T)Zp (p Primzahl) ist die Matrix A singulär?

: -i: •

(b) 'U~-

A

=(

! l !)

0 1 2 . _... . . Hilfe""" gsaufgabe 3.11 die inversen Matnzen 1111t

l'fuaw.enausObun

3. 1o Übungsaufgaben

153

3.24 Man löse das lineare Gleichungssystem aus Übungsaufgabe 3.18 (e) für K .= R mit Hilfe der cramer'schen Regel. 3.25 Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A: (a) A

=

A

=

(c)

3 ( -1

-1 ) 3

1 ~ t2 )

O ½ (

220

(d) A

=

(

5 -8

10

-8 10 ) 11 2

2

2

3.26 Für die Vektoren x = (1, 2, 3)1',y = (3, -1, 2f und z = (2, 2, 1)7 berechne man (a) die Längen von x, y und z, (b) den Winkel '-Pzwischen x und y, (c) das Volumen des von x, y und z aufgespannten Parallelepiped1:1.

3.27 Für a E Z ist eine (so genannte) quadratische Form q0 : IR2 -t JR durch q4 (:r, y) = 3.r~ + axy + 2xz + 2y2 + 2yz + 2z 2 gegeben. Man bestimme eine symmetrische Matm. G 0 E 1R2 x 2 mit qa(x, y) = (x, y) · Ga · (x, yf. Weiters bestimme man ein a E Z, so dass Ga (und somit auch die quadratische Form Qa) positiv definit ist.

4

, ,/

1

t

Kapitel4 Folgen,ReihenundFunktionen DerGrenzwertbegriff, d.h.der Übergangvom Endlichen zum Unendlichen, ist in der MathematikvonzentralerBedeutung. VielephysikalischeZusammenhänge lassen sich einfacherverstehen.wennstattdiskreterObjektekontinuierlicheverwendet werden. Anfänge der Bildung vonGrenzwerten findensich bereitsin der Antike, z.B. bei den Baby Ioniern (Approximation irrationaler ZahlenimZusammenhang mit dem Lösen von quadratischen Gleichungen) undetwasspäterbeidenGriechen(Exhaustionsmethode, d.h. Approximation krummlinig begrenzter BereichedurchVielecke). Der Umgangmit Grenzwerten blieb jedoch bis ins 19. Jahrhundert sehrintuitiv.Erstin derzweitenHälftedes 19. Jahrhunderts gelang es Weierstraß, den Grenzwertbegriff mathematisch exaktzu fassen. In denfolgendenAbschnittenwerdenwir diesen Begriff für Folgen, Reihen und Funktionenentwickeln. ErdientalsGrundlageeinesder leistungsfähigsten Werkzeuge der Mathematik, nämlichderDifferentialund Integralrechnung,die wir im nächsten Kapitel kennenlernenwerden.

4.1 FolgenreellerZahlen 1.Definition undGrenzwert

Beispiel 4.1 Betracht · d' - 3 1·1• enwrr 1eZahlenao = 3, a1 = 3.1 a2 = 3.14 a3 = 3.141, a4 =3.1415, a5 - • -tln9,l2ß~ 3.141592 All · · .' • ' · b. zur n-tenNachk · '· · · gemem sei an die Dez1malentw1cklung von 7f is ommastelle.Je größe 1st · d . . • d h der Ahstandla _ I . . r n • esto besser Wlfd n von an approximiert, · ·• n n wirdrrutwachse d · . · b· enau approximiert· Legt . n em n unmer kleiner. Dabei wird 1r sogar belle Jg g · manzu B · -m) so wirddieseVorgabe egmneme erlaubte Abweichung fest (z.B. höchstens 10 ' vona11 en a mit hi · h d > z)auch erfüllt.DiesistdieG d d n nreic en großem Index (in diesem Fal1 n _ rr " run l eedes Grenzwertbegriff s. tJ

Deftnittön 4•2 Unter emer · reelle

}1' 1 z3hlen S ~ 0 ge versteht man eine Anordnung von reellen a ere chre1bweis ·1st ( ) F ktionen aufgefasstwerde d ·e a,, n2:0· Folgen können auch als Uil d'e I PoJge aufgebaut is• nenntn n. d~ icsemFa))gilt a(n) = an. Die Zahlen an, aus denen t .., 1an 1eGI' d r Js an BeiBedarfk Je er der Folge, und n heißt Index des Fo]gengie · · manbe annderIndexauch .t l . n d.b. trachtetdannFoloend G IIll oder einer anderen natürlichen Zahl k beginne' ö er estalt ( ) an.n~l bzw. (an)n2:k·

aoa

"2 . . Eine and

l

u

---folgen reeller -Zahlen -------------------~

155

Natürlich kann ~mn Folgen nicht ~ur über lR betrachten. ~ondem über beliebigen Mengen 'K,d.~., an E .! 1Y(J\") : On

,

/{,

, d ~ , ..t,re•.... t lim1 a, - ...,,. AlütlU · e.. . • ......,,.. {oder unktedefiniert.Der größte Haufuogspunkt (une1gentliche mit r..uno

•e•"didleHiufuDISP .

(man schreibt: limsUPn-+co(I"). der kleinste Häufungs-

umes supenor

eim!CSCllll~D)beißt

punkt Umesinferior(limmfn~

an).

.

. .

.

.

. . G ~rteiner Folge wenn folgendes gilt. Gibt man einen Abstand e Zahl a ,st somit renzwe , das~ ab vor,s u ~a~n der klemerals • ist. So ein S muss es für Jedes geben, egal wie klem Ab~tand\JOU . ' . .o::--Umoebuno von a, die unendlich viele Folgenglieder nicht eewählt\\af. Fmdet man eme o o _ eniliält.so kanna nichtGrenzwertder Folge scm.

1 111 IIHla

II 1

ao

Abbildung.i I Konvergenzvon Folgen

FüreinenHäufungspunkta ist hingegennur verlangt. da5Sbei bei iebig aber fest vorgegebenemAbstand~unendlichvieleFolgengliederdiesen Ab5tand von a unterschreiten. Die Anzahl der Folgengliedermit größeremAbstand kann endlich. aber auch unendlich sein. Der Limes c;uperior undder Limesinferiorexistierenim Gegensatz zum Grenzwert (siehe Beispiel 4.5) für jede Folge(eigentlichoder uneigentlich). Wiemanleichtsieht.istjeder Grenzwerteiner Folge (a 11) 11>u auch ein Häufung. punkt dieser Folge.Die Umkehrungist aber nicht richtig. Falls a und b Lwei verschiedene Häufungspunkte von (un)n>O sind (vgl. dazu Beispiel4.5b), so gilt für c: < ½la- bj, dass l 'c-(a)n Uc(b)==0. Daherkönnennichtfastalle a11 sowohlin U~(a) als auch in r:c (b) 1icgen. Aus dieser Überlegung folgtauch die Eindeutigkeitdes Grenzwerts:Da in jeder Umgebung des Grenzwerts fast alle Folgenglieder liegen,kanneine konvergenteFolge nur einen Häufungspunkt besitzen. Im Falle der Konvergenz gilt also limn➔oc 0 11 = lim :;upn ➔ :xi an -- lim nf n-+?C c,11• 1·

Beispiel4.5

!,

(a) Gegebensei die Folge (~Li>i = (1, ¼, 1~, ... ) und ein c > 0. Dann gilt O l\ (c) -- l7'i 1 J. som1t1st • · 0 Gren.zwert dieser Folge. (b) Sei =(-l)n 1· . ' al 0 (°'n) = (l,-1),-111,-1, ... ).DicseFolgcistdivergent.Es iegendJewetls unendlich viele Folgengliederin jeder ~-Umgebung V ( 1) und U, ( 1)· Also sm -1 und1 Häufungspunkte der Folge. Daher besitzt diese Folge & keinen Grenzwert. (c) Die Folgea - (n2) _ (O 1 d 1 fürjede bel~'b' nEN , 4 , 9, 16, • .. ) ist uneigentlich konvergent gegen +oo. ~ ast ic •g vorgegebeneZahl K > 0 eine Quadratzahl existiert, die größer als /\

2....._

undBeschränktheit

wollennuneungeBegriffezur qual' .

itativenBeschreibung von Folgen vorstellen.

\

t

J

Folgen reeller Zahlen

-~--

~-----------

157

Definition 4.6 . . Eine . Folge (an . )n>o - heißt monotonfällend , wenn Un+l < a f'uralle, E N. Gilt sogar die strikte Ungleichung a,' +i < 0 n, so ,spn·cht man von emer •- streng monoton fallenden Folge. Falls an+l 2::a" bzw. a"+I > "" für allen E N, o heißt die Fol e monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend. g Beispiel 4.7 Die Folge 1

1

C~t>iist streng

monoton fallend, da wegen (n + l)2 >

112

die Un-

. h ung (n-11)· ·1 K gle1c ;;'2 gi l. Onoheißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl s gi~t, so_dass an O gibt e~ daher 1V1 und N2 , so dass lan- a 1< i/2 für n > N1 und lb11 - bl< E./2 für 11 > N 2 gilt. Darau!) folgt. dass \an± bn - (a ± b)I ~ lan- al+ Ibn- bl < E füralle u > max(N 1 , N 2 ). 0 Zu bemerken ist, dass die ersten beiden Rechenregeln aul) Satz 4.14 imphzierea dass die Menge F aller konvergenten Folgen zusammen mit der Folgenaddition und der Multiplikation mit einem Skalar aus IR einen Vektorraum bildet. Diese beiden Rechenregeln zeigen nämlich. dass man in F uneingeschränkt addieren und multiplizieren kann. Daher i-.t Fein Unterraum des Vektorraums aller Funktionen f : N ➔ R. Vorsicht ist geboten beim Rechnen mit uneigentlichcn Grenzv.,erten. Die Rechenregeln für konvergente Folgen lassen sich nicht übertragen. da die rech.ten Seiten der obigen Gleichungen nicht definiert sind. Die Addition und die Multiplikation sind ja fü.r unendliche Größen nicht erklärt.

ßeispiel 4.15 (Uneigentlich konvergente Folgen) Betrachten wir die Folgen n~ = n und b, n + Cn, Cn > 0. Beide Folgen sind uneigentlich konvergent gegen +x. Über die Differenz a11 - bn -= Cn kann jedoch a priori keine Aussage gemacht werden. Ihr Verhalten hängt von der Folge c,1 ab. Ähnlich verhält es sich bei Quotienten zweier uneigentlich konvergenten Folgen oder bei Quotienten zweier Nullfolgen: Es gilt beispielsweise

2n

n

-➔ 2.

2 ➔ 0,

n

n

Diese Beispiele zeigen, dass man Ausdrücken wie - oo, : oder Hkeinen sinnvollen Wert zuweisen kann. Solche Ausdrücke heißen auch unbestimmte Formen. Wir "'erden Ull-" m Abschnitt 5 .2 näher damit befassen. Auch 100 • 00° und 0° zählen zu den unbestimmten Formen (siehe Beispiel 4.19). . . . . Die i.m vorigen Satz beschriebenen Rechenregeln fii.rGrenzwerte smd mtt bestunmten Emschränkungen dennoch auch für uneigentliche Grenzwerte gültig.

Satz 4.16 Sei (an)n~oeine uneigentlich konvergente Folge und A ER Es gelte

Ji~an =

und lim bn = b. Dann gilt n.➔oo

(i) lim (ltn n.-+oo

+ bn) = oo,falls b E IRoder b = oo,

.. . { oo, falls A > 0, (u) 7~~ (Aan) = . -oo, falls A < 0, (iii) lim (anbn) = oo, falls b > 0, n ➔oo

(iv) lim bn n-+oo

an

= 0,falls

b E IR.

2 n-1 • . B · d. Folge sind Zähler und cnncr unei\!l'ntlkh kome('g_cnteBe1sp1el4 17 a = 11 t . et ieser .. · h F • ·n. ~n d 4 l 6 nicht direkt ,lfl\\endbar sind. Heraushebender höc ~tt'n olgen, so dass d1~ Satze •14__ un · 14 an\\cndbar unJ lk-fel1 Potenz und anschließendes Kurzen macht aber Sau 4 ·

4

l

lim a,l =

n-+00

. 1+ " Inn ')

n--'~'v

,l -

1

-11~ ~

l+0-0

1

-------- ~!- O - 3 ·

6

4 Folgen, Reihen und Fu .

nktionen

-

·1t

n

. . 4 18 für diegeometrische Folgea.n- q gt

{ 0 falls lq\< 1, lim q'1==- l falls q = 1, n-t · falls q > 1.

fk1Sp•el.

. .. h t q _ l + p > 1. Dann gilt Umdaszuzeigen,sei zunac s -

q" =(1+ p)" =l

+ np-1

n P > l + np ➔ oo (2n)p" + ··· + ('t/,) '>

Tl

➔

!

(vgl.dazuauchSatz4.20).Für O < q < 1 gilt > 1 und daher .~. oo. Darausfol~ 1 n o dennsetzt man in Satz 4.16 an = qn und bn = 1, so folgt qn = k0 ...,0 " q -, · • aDer r bc Fall _ 1 '< O divergent.Ähnlichlässt sich auch für q E arg_umcn_tieren. Geometrische 1 Folgenim Komple~en konvergierenalso für q mnerhalb des Emhe1tskre1ses sowie für q ;::1

1 + 2x, da x' -· O.Es ' 1 t- nx. Multiplikationmit l + x liefert

=

l

+

r+1 > (1 + nx)(l + x) = 1 + (n -t l)x + nx

.r

2

> 1 + (n + l)X1

wiebehauptet.

C

1 Beispiel4.21(Fortsetzun vo 4 . . .. ~·cb 19 zeigen,dass(1 + 1 )" • g n - ) Mil Hilfe der Bemou lli 'sehen Ungleichung lasSI n einemonotonwachsendeFolge ist. Es gilt

+Tr-

(1(1 -)

1

>

(

1+ l ) n

(

)n+= (1 +-n1)(1 -

l + n~l 1+~

(1+ ~) (1__!__) _ n l n -------1 n-tl n+ln

1if )n-1-l

1

(n +

t-

n

·

~i6~1

4.1 Folgen reell_e_r_Z_ah_le_n _______________________

Daraus folgt, dass ( 1 + ¾) n streng monoton wächst. Weiters erhalten wir mit Hilfe de binomischen Lehrsatzes

( l+

~

r

= 1 + (~

H"G):.

+ (;) "1,+ - -+

1

o „ k 1. ( ) eine kom crRenteTe1/fal'!,cnut Gnm-Hen u konve.rg1erendeTezlfolge.Falls umge 1) vor. Dann g1bt e · m l (o unendlich viele •

En

11

> 0 (z.B. , 0 = 1. &11 -

n u

g_____________________ ~162

4_F_o_lg_e_n_, _R_e_ih_e_n_:u:.:.:n:::_d F nk.

~

• äh' n eines aus beispielsweise an0 • Danach Wählen . . Wir w 1e ' . wirein ) ( Folgenglieder von Uti n~O· Onnn ist (a .)kEN eme gegen a konvergente Teilfolg . n > no,usw. wu• nk_ ,, e von (a) m1~ 1 b ' es(:'> 0 gibt es elll ko, so dass C > C.ko > Cko-t-1 > ... > 0 F" llni E Dennbei Vorgae c11l " · ur (On)n20• . I0 _ al< €. allek ~ kogilt dah~r m, te Teilfoloegeoeben.Dann ist ihr Grenzwert a, ein Häufu , . k hrt emekonvergen o e . . ngs. Se1wnge e . . d --Umgebungvon a liegen fast alle Glieder der Teilfolge al· nktvon(a )n>O• dennm Je er c ' so pu n d]. h vieleFoloeno-lieder von ( a,Jn2:0· 0 0 O insböondereunen 1c Weierstraß)Jede beschränkte foenthält einenHäu Satz4.27(SatzvonBolzano· · Ju11gsp1mk1. . D. A des Satzesist nach Satz 4.26 äquivalent zur Existenz einer konvergenten Beweis. 1e ussage .. . . A f d der Beschränktheit von ( an)n>Ound des Hauptsatzes uber monotoneFolgen Te11to1ge. u grun . . .. t dieExistenzeinermonotonenTeilfolge nachzuweisen. genuges. .. { Iu Wirdefinierenzunächsteine Menge Nf gemäß Al -= k E N v m > k : a.m < ak},d.h., k E ,u isl gleJchbedeutend damit,dass ak größer ist als s~tli_che Folgen~lieder mit größerem Index.Wir konstruierennun eine monotoneFolge, wobei w1r unterscheiden müssen, ob M unendlichist odernicht.Falls J.Wunendlichviele Elemente enthält, so ist (ak)kEMbereitseine monotonfallendeTeilfolgevon (an)n>O· Denn wenn k1. k2 E l\f mit k1 < k2, dann ist% lautDefinitionvon Af größerals alle nachfolgenden Folgenglieder, also insbesondere größer alsa~. Falls U endlichist. so bekommenwir mit der oben beschriebenen Vorgangsweise nurendlich vieleElementeund somit keineTeilfolge. In diesem Fall kann man aber eine monoton wachsendeTeilfolgekonstruieren.Da ,\! beschränktist, existiert ein n 1 E N, mit n 1 > k für ällek EM. Dannist ari1 nichtgrößerals alle nachfolgenden Folgenglieder, weil sonst n1ja in JWenthältenwäre.Es gibtalsoein mindestensebenso großes Folgenglied an2 mit n2 > n1. Da ~uch_ n2 ~ .M,mussa,13 mit n3 > n2 und a113 > an2 existieren. Diesen Prozess setzen wirad mfimtum fortunderhaltenauf diese Art eine monotonwachsende Teilfolge von (an)n2:0· D

u.1

D I ttlN1..28EinereelleFolgeheißt Cauchyfolge, wenn für alle c > Oein N(e) existiert, •• aml< c für allen, m > N(c). d A~schaulich bedeutetdies,dass Cauchyfolgengenau jene Folgen sind, für welche die Glieer ßlJtgroßemIndexnahebeieinanderliegen.

Satz4.29(Caucliykriteri ) E' · einec·auchrfi . um znereelleFolge (an)n>oist genau dann konvergent, wenns'e Y o1ge 1st. -

Bemerkung: Manbeachte d d . . . . · FolgerationalerZahl .' ass as Cauchykritenumin (Qnicht gilt. Nehmen wir irgendein_e en, die gegen eine · · 1 h d' DeLlmalentwickJung von,.,/2 , . mationa e Zahl konvergiert, z.B. die durc te . konvergent unddaher b~~•mmte_Folge (_1.1.4,1.41, 1.414, 1.4142, ... ). Diese Folge iSt O

.in:

leichtzu sehenist) Daadc Gemobigen Kriterium eine Cauchyfolge (was übrigens auch dt~h L • er renzwcrtaber keme · rationale . · d1l mct 1 &.ODVergent. Zahl ist, ist diese Folge 10 V, 1

In derMathematik werdenauchabstrakte M nten o. Den Grenz wen vun (an) n>O nennen wir . a. Dann · · \'( ) d, . d 1 . cx1st1e1t. _ c I crart, ass · nun 11.- m > (E). Dann gilt . ( 0 11 - al < c, talls n > V()E .• Seien lan-a_m 1 - a, (lOm-a)l:$l l\. . l\ (..), la,:.1: al < E folgt. Sei nun 11 '> \ und J.: > llla,(K. Y). so da,, aho auch n,.,.> ,\ gilt. Dann lolgt lan- al < \u11- a11„ I + i,1n.1:- nl< 2 und daher n,. --+ a. D

Beispiel 4.30 Gegeben ist die rekur ·h definierte Folge u +1 = 71-(lau mit 110 = 1. Die e 1,tcn . d d i:.: l · d 3 1 11 11 . GI1c er er ro ge sm L 2 • 5 . 12 . 29 • . . . Die dadurch autlrnmmende V~m1utunn I < a 1 ...._2 lässt sich leicht mit vollständiger Induktion bev.ei..,cn.Sei nun 11 -. 11,. Dann gilt - ~ 11

2 + On

1

2 + 0 111

1

1 + an 1 1 + nm 1 (2 t On i)(l + 0 111 1)- (2 + tlm i}{l (1 + (lTI 1)(1 + a,,._t)

(l

+ l ist der Nenner des obigen Ausdrucks größer oder gleich 4. Darau~ folgt Ion- aml< -\lari1 - a 111 1 1-Iteriert man diese Vorgangs,,eisc. ,o erhalt man lan- aml~ -A,lao - a,._m 1 ~ ~, wobei die letzte Ungleichung aus der Ah~chätzung an < 2 und der

Wegen

o ist daher eine Cauch~folge und sllmit kom rgent. Sei a = \irnn ...... x an. Führt man in der definierenden Rekun;ion den Grenzübergang für n ➔ durch, so ergibt sich a ~~ ~. Lösen dieser Gleichung unter Beruck--i htung , on l

~

rtn

:$ 2 ergibt a

= ./2.

6

4.2 Unendliche Reihen Wir wenden uns nun Folgen zu. die eine -.pc1ielleDarstellung aufoe1~cn, ,Q genannt n Rcih n. Dies sind Folgen. deren Glieder endliche Summen sind. die au:- einc1 anderen Folge g bildet werden.

Beispiel 4.31 (Dezimalentwicklungen) Reelle Zahlen lassen sKh hcknnntlkh ab Dezimalenlwicklungen schreiben. Wie 101 vorigen Ahschnitt besprochen. kann man sie aber auch nl Grenzwerte von Folgen interpretieren. indem m.m all' der Dt·zimal nt\\ icklung :in Rllgc kon truie-rt Die Folgenglieder las cn sich auch als Summen von Zchncrpt.,tenzcn auffa · n: l

ü = o,l 11...

L--.. l

l()k

k:::t

l

l

1

= 10+ 100+ 1000 + ....

4 Folgen, Reihen und Funktion

~-------.--------_...;;c..----

164 -----~

~

. . E werden über einen Zeitraum gleich hohe Beträge in Beispiel4.32 (Zmseszmsrech_nung) b sh e·noezahlt.Wir interessieren uns für den Wert f\ des . Ab t . den auf cm par ,1 regehnäß1gen an . al uceh• 1oEinLahlungcn.Sei b die Höhe der Ratenzahlung Kaptt s na ' . , auf dem Sparbuch lieOan ge d.h., a -+ 0.

konverg1ert, · so 1st · die · Folge · NuJl'r, der Reihenglieder eme ':lol ·

Beweis LautVorausetzunggilt L _. . . . geh abermit HJlfeder p . . n~O Un - hmn➔oo Sn = s E :IR.Die Reihen?lteder lassen Grenzwert ercnbt hm art1alsurnl menfolgedurch an ==Sn - Sn i beschreiben. Übergang zurn e· • an 1mn➔oo •~n _ 1·linr,--too .Sn-1 = 8 - S = 0. D

Beilplel4.36 Die harmonische Reihe ist definiertdurch '°'1 LJ n 1n

1

l+l 1 -+-+ 2 3 4

1 l 1 1 +-+ 5 6 7+8+

...

4.2 Unendliche Reihen

i65

l

l

2

_ l

1

1

2

l

- +2+2+2+ ... Die Partialsu1nmenfolge (sn)n~oist also monoton wachsend. und nach den obigen Überlegungen gilt s 2" > 1 + ~ ➔ oo. Die harmonische Reihe ist somit divergent Dies zeigt dass die Umkehrung des vorigen Satzes nicht richtig ist Aus an -+ O folgt im Allgemeinen nicht die Konvergenz der Reihe ~n;?.O an. ß

Beispiel 4.37 Unter einer geometrischenReihe versteht man eine Reihe der Fonn

L qn = i + q + l

+ l + ....

71~0

Die Partia1summenfolge (s1Jn>Oder geometrischen Reihe ist daher Sn = 1 + q +

Folglichgilt

1 ist die geometrische Reihe divergent, da die Folge der Summanden. also (qn)l'H:N• 6 keine Nullfolge ist.

Beispiel 4.38 Gegeben ist die Reihe

1 n(n +i).

Die PartialsummenfolgeiSl somit

1 (1 l ) = ~ k{k + 1) = ~ k - k + = (1~)+ (~ - ~) + (~ -D+ ... + (~- 11: 1) n

Sn

I:n~l n

1

=1---

1

n+l

Nach der Definition der Sun1meeiner Reihe gilt 00

~

1

~ri(n+l) n=l

(4 ...)

=

tim

Sn

. = hm

1

n4~,

,1-i-00

. .

_Tl+ _J__) =L

(1

) . ftret--nnenntmanTeleskopsun1men.

Summen,bei denen Auslöschungen wie m (4·2

,lU

t

•

4 Folgen, Reiben und Fuuktion _,~-----------------

en

~

2 Konvergenzkriterien . , • . . fil die Konvergenl von Reihen finden. Das Cauchy. .· einioe Kntenen r Als nächsteswolleo wir . 0 .. • h direkt auf Reihen übertragen, indem man es auf die kriteriumfür Folgen (Satz 4.29) lasst sie Partia1summenfo1ge anwendet. E R . e 1: a ist genau dann konvergent, wenn für alle 1 Satz 4.39(Cauch~k~iteriumd) 1"~m -1 allem> > N(E). e > oein N(s) e.nsttert.so ws LJk n k . ihe" beißt alternierend,wenn die Glieder an abwechselnd Dei .,._ 4.40Eine Re LJn?::Ollil po&itiv undnegativ ind. AlternierendeReihensindetwajene au Beü,piel4.33.

e1:O

lanI konvergent

wekbe nichtal,sg}utkonvergentist, nennt man bedingt konver•

Satz4.44 Eineab.,oluJkonvergenteReihe ist auch konvergent.

~~i Ln~ absol~t~onvergent.Aus dem Cauchykriterium (Satz 4.39) folgt, dass für PI e > 0 em N ex1st1ert, so da'isfür alle m ~ n > N

lctnl + lan+il + ... + laml< c. ... An-eadamg derDre'leC&aUDgleichung 1.ergibt

1"'-+ °"+ 1 + .. · + 0ml < 1+ 1an+" + ... + 1am 1 < E' - 1 U71,

--••felttaadlnocbmati gerAnWendung von Satz 4.39 die Konvergenz von I:naw

0

4.2 Unendliche Reihen

167

Beispiel 4.45. Betrach~en wir nochmals die Reihe aus Beispiel 4.42. Wir haben bereits gesehen, dass es ~ich_um eme. konverge~te Reihe handelt. Die aus den Beträgen ihrer Summanden gebildete Reihe 1~t aber .die _harmonische Reihe Ln.~l ~, deren Divergenz wir in Beispiel 4.36 gezeigt haben. D1ese Reihe 1stdaher ein Beispiel einer bedingt konvergenten Reihe. b.

Man kann zeigen, dass jede Umordnung (Änderung der Summationsreihenfolge) einer absolut konvergenten Reihe gegen denselben Grenzwert konvergjert. Man spricht daher auch von unbedingt konvergenten Reihen. Für bedingt konvergente Reihen ist dies nicht der Fall Es gilt nämlich der folgende Satz, den wir ohne Beweis anfuhren.

Satz 4.46 (Riemann'scher Umordnungssatz) Eine bedingt konvergente Reihe lässt sich so umordnen, dass sie gegen eine beliebige Zahl a E lRU {-oo. +oo} (uneigentlich) k.om·ergien. Satz 4.47 (Majorantenkriterium) Seien Z:11 an und Eribn zwei Reihen mit !a~1 ~ bnfür fast alle n. Falls I:n bn konvergent ist, so ist a." absolut konvergent. lTldiesem Fall nennt man die Reihe I:n bn eine Majorante von Lnan.

En

Beweis. Anwendung des Cauchykriteriums: Für alle€ > 0 gibt es ein ."!\.E N, so dass m

m

k=n

k=r~

L \akl< L bk < für alle rn

> n > N. Daraus

€

folgt die absolute Konvergenzvon ~n an.

D

Analog zum Konvergenzbeweis mittels Abschätzung nach oben durch konvergente ?\13joranten lässt sich auch ein Divergenzbeweis mittels Abschätzung nach unten durch divergente Minoranten durchführen. Man erhält Satz 4.48 (Minorantenkriterium) Seien Ln(ln und Enbnzwei Reihen, so dass O < für fast allen. Falls I:nan divergent ist, so ist auch die Reihe Lnb,i dii'ergent.

a. < b,.. 0

Beweis. Übungsaufgabe.

Beispiel 4.49 Da -4 eine monotone Nullfolge ist. folgt mit Hilfe des Leibnizkriteriums die (-V''. Wir wollen nun zeigen, dass diese Reihe auch absolut konvergent Konvergenz von ~ L.m>l n . . B . . l 4 18 1 · t D azt1 b enutzen wrr ~ ct· für n > 2. Wrr wissen aus etsp1e ·- , 1s. 1e Ab scha··tzung~ -< _L.... n(n-1) dass

~ 1 -1 Li n(n -1) - · n>2

Die Voraussetzungen des Majorantenkriteriums sind somit _erf~llt.u~d ~~he~ konve~iert. die 1 u··b d ert sagt das Maiorantenkntenum mchts a~. Man kann aber Ret'h e ~ Lm>I ~er en O renzw '.J zeigen, dass 1 7T2

En2~ (). · n~l

Es gilt weiters

_1

< ~ für a > 2. Infolge dessen ist die Reihe

n" -

n

(4.3)

4 Folgen, Reihen und Funktionen 168

• (siehe Abschnitt 5.5), dass dies sogar für alle O > 1 für alle 1. Für a < 1 sind sie divergent, HyperharmomscheReiben M" ranten.kriteriwns(Abschätzung nach unten durch die har~ wie man durch An~end~ngdes 1no 6

monischeReihe)leicht sieht. • ) L' II · e Zahl q gibt' so dass Satz 4.50 (Wurzelkriternun ra s es em

iiäJ::;q < 1für fast allen,

(4.4)

dann isl EnUn absolutkonvergent.Falls hingegen

vfaJ" > Ifür unendlich vielen,

(4.5)

so ist Lno.ridivergent.

Bemerkung:Man beachte,dass die Konstanteq in der ersten Ungleichung wesentlich ist. Die Bedingung

(4.6) reicht nicht aus, wie das folgende Beispiel zeigt: Für die divergente harmonische Reihe ist = 1/ efn. D.h., die Bedingung(4.6) ist erflillt. Ferner gilt y'n ➔ 1. Somit konvergiert auch gegen l, also muss die Folgejede a priori vorgegebene Schranke q < 1 überschreiten. Die Bedingung(4.4) des Wurzelkriteriumsist somit verletzt. Zu beachtenist aber, dass in diesem Fall auch (4.5) nicht erfüllt ist. Mit Hilfe des Wurzelkriteriums kann also nicht für jede Reihe eine Entscheidung über Konvergenz bzw. Divergenz getroffenwerden.

vfaJ vfaJ

Beweis.Aus (4.4) folgt, dass

lanl::; q'~für fast alle n.

Daher ist die geometrische Reihe Ln>oqn eine konvergenteMajorante,worausdie absolute Konvergenz von an folgt. keine Bedingung(4.5) impliziert,dass lanl ~ 1 für unendlich vielen. Somit kann (an)n>O Nullfolgesein und daher Lnannicht konvergieren. D

Ln

Eine leicht abgeschwächte,jedoch oft einfacherhandhabbare Formulierung des Wurzelkriteriumsist die folgende.

Satz4.51 (Eimesf~rmdesWurzelkriteriums) Aus lim supn➔oo < 1 folgt die absolute Konvergenzder Reihe" a und li n/f:rl ~n n aus m supn➔oo y ,an1 > 1 deren Divergenz.

v1aJ

v'i;;;:j= 1 ist wiederkeine Aussage über das Konvergenzverhalten der lm F~l ~imsupn-+:x, Reihe moghch. Bemerkung:DassSatz 4.51 tatsä hl· h • .. . . .a1 c tc eine Abschwachungvon Satz 4.50 ist zeigt das tnYl e • •1 . Beispie 1für fast so divergiert die Reihe

alle n,

Ln an.

Beweis. Im ersten Fall gilt für einen Index N und allen > N die Ungleichung lan+il< qjanl und daher lanl< qn-N aN. Daher ist die geometrische Reihe Ln la:vjqn-' eine konvergente

Majorante.

1°::1 1

Im Fall > 1 für fast allen ist lllnleine ab einem gewissen Index N monoton \\achsende Folge positiver Zahlen und damit sicherlich keine Nullfolge. 0

Auch beim Quotientenkriteriumkannder Fall eintreten,dass keineder beidenBedingungen zutrifft und daher keine Aussage über das Konvergenzverhaltender Reihe gemacht werden kann. Die harmonische Reihe ist etwa ein Beispiel, wo das Quotientenkriteriumversagt. Satz 4.53 (Limesform des Quotientenkriteriums)Aus lim supn➔ lan+ifan! < 1 folgt die absolute Konvergenz der Reihe

Lnan und aus liminfn➔oo lan+ifanl> 1 derenDfrerg('n:..

D

Beweis. Übungsaufgabe.

Beispiel 4.54 (a) Wir untersuchen die Exponentialreihe Xn

t"" Ln! n~O

X2

X

3

= l + x + -2,.. + -3, + ...

für festes x E lR. Es gilt

· h end gro ße ,n, da .M. eine Nullfolgeist. Das Quoticntenkriteriumsagt un. nun. . h'mre1c fiur n+1 dass ~ xn für alle x E lRkonvergiert. Lm>O nl kri · z· 1 \U ..!!!.Wieder führt das Quotienten tenum zum 1e: negen (b) Gege b en-sei· d'1eRe1'h c "" L...m~l n" · (4.l)gilt

und daher ist die Reihe konvergent.

Folgen, Reihen und Funktionen

4

~•70~------------•

1

(c) Seta2n ==Fund

-

a2n+I

-

1 tn=T·

~= On

Dann ist 4 falls 11 gerade, falls 11ungerade. { ..L 16

a Ja == l und lim infii-+--can 1-da11-= 1/LG.Das Quotienten• n+1 11 ' . · sich dahe kem· ~ Aussage Der Versuchmit dem W u1·ze} k ntcnum erweist kritenum11e1ert r .. · jedoch als zielführend.denn l ~ 2 23 ln-+-1/o 1 1 z, _ _ i"\'/::= n+l ~ = v8' -4 , für n, -} '.X). - 2• V -1n-l 22n+l 2 2 - .

Dah . er. g11t .1llll"

,

:sUPn-tOO

und daraus folgt die Konvergenzvon Lnan• Allgemein lässt sich zeigen,dass das Wurzelkriteriu~ leistungsfähiger ist als das Quotientenkriterium.Letzteresist jedoch in vielen Fällen emfacher lU handhaben.

3. Du Cauchyproduktund Potenzreihen Die Tatsaehe.dass die Summe einer konvergentenReihe als Grenzwert einer Folge (nämlich ihrer Partialsummenfolge)definiert ist. erlaubt es, die Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen (Satz4.14) direkt auf Reihen zu übertragenbzw. algebraische Operationen für Reihen zu definieren.AufgrundderVektorraumeigenschaftdes Raums der konvergenten Folgen können konvergente Reihenaddiert und mit Skalaren multipliziert werden. Für konvergente Reihen

LnO

In KapitelSwerdenwir sehen.da s dies auch für n

i

N 1utrifft.

xo)"eine Potenzreihe.Dann existiert ein R ,-nitO ~ R ~ oo,so da~sdie Reihefi,,-alle:c E C mit \x - x 0 \ < R absolut konvergent und für alle x E C mit !.r._ .rol> R divergentist. Der Konvergenzbereich der Potenzreihe ist somit ein Kreisinder Gauß'schen Zahlenebene mitdemRadiusR. Die Zahl R heißt Konvergenzradius der Reihe,md 'atz 4.59 Sei I:n>O an(.r-

kannmitder Formel

1 R = ---------=-lim SllPn➔oo

~

berechnetwerden. Bemerkung: 1. Fallslimsupn➔oo oo, so ist R - 0 zu setzen. Die Potenzreihekon· vergiertdannnurfür x ~ 0. Im Fall limsupn->oo = 0 gilt R . oo, d.h., das Konvergenz• gebieti t danndiegesamteGauß'scheZahlenebene. 2. Wiebereitsin einigenvorangehendenBeispielen (4.54a, 4.58) kann der Konvergenzra· diusin vielenFällensehreinfach(auch)mit dem Quoticntenkriterium in Limesfonn berechnet werden.

vfaJ·

vTaJ

Beweis.Setzenwir

1 R=------lim SUPn ➔oo ~ undbetrachten zunächt denFall \x- xo\< H. Dann gilt lims~p v'lo.nllx- :i·oln = \x-

xo\lim sup ~ < R. n➔ oo

lim sup n~oo

~ ==1.

Die derRe,'he fOlgt nunaus dem Wurzelkriterium. Im Fall Ix - xo1 > R argutnC~ llertKonvergenz mananalog.

EineemfacheKt Folgerung d' . . · chen abgeschlossenen • h . aus tesemSatz 1st,dass eine Potenzreihe in jeder konzentris_h e1ssce1be d' · . wsc e Reibe alsMaJorante be . ' ie mnerhalbdes Konvergefl.lk.reiscs liegt, eine geome sitzt.

Sltz4.60Sei"i..J OUn(X - Xo)neine Pi . . . R Sei weiters R. Dannexist' i, otenzrethemit dem Konvergenzrad1us · fi'' all, ,erenI\Onstanten > 0 d )" 1 < c 1a11 1s11 aufgrund der Konvergenz der Reihe eine Nullfolge und daher beschränkt ,ein muss. □

4.3 Asymptotischer Vergleich von Folgen Folgen werden beispielsweise in der Performance-Analy!>evon Algorithmen zur Beschreibung der Lauf,cit verwendet. Die Algorithmen operieren auf Daten,trukruren der Größe n. z.B .. wenn n Zahlen ihrer Größe nach sortiert werden sollen. Mil a , bezeichnen '-' ir die henötigte Laufzeit. Eine Angabe in Sekunden ist dabei natürlich nicht ,weck.mäßig. da diese ,on der Hardware. aber auch von der konkreten Implementierung abhäng1gist und daher üher die Qualität des Algorithmus nichts aussagt. Ein sinnvolles Maß für die Komplexität eine!SAlgorithmus ist die Anzahl der benötigten Operationen, wobei unter einer Operation ein elementarer Schritt des Algorithmus (eine Addition, eine Multiplikation, ein Vergleich. etc.) LU ,er,tehen 1st. Man unterscheidet dann zwischen Average-Case-Analyseund Worst-Case-Analyselm er.-ten Fall ist an die mittlere Anzahl der Operationen, die zum Bearbeiten eines Datensatze, der Größe n notwendig ist. Bei der Worst-Case-Analyse ist an die maximale Anzahl von Operationen. die der Algorithmus für Datensätze der Größen benötigt.

Beispiel 4.61 Sortieren von n Zahlen z 1•••. , Zn mittels Bubblesort. Der Algorithm~ vergleicht der Reihe nach je zwei benachbarte Elemente und vertauscht diese. falb ,ie nicht m der richtigen Reihenfolge angeordnet sind. Dieses Verfahren wird so lange wiederholt. bis dien Zahlen sortiert sind. Es sollen z.B. die Zahlen 65, 8, 5 , 97, 3 sortiert \a.erdeo.In der folgenden Tabelle werden jeweils die unterstrichenen Zahlen verglichen: 1. Durchlauf

65,8,58,97,3

~

8.65.58.97.3

8,65,58,97.3

~

8,58,65.97.3

~

8.58.65.3.Q?

~

8,3.58.65,97

8, 3, 58. 65. 97 __.

3.,,5 ,65.97

1

8,58,65,97,3 8,58.65,97.3 2. Durchlauf

8,58,65,3,97 8,58,65.3,97 8,58,65.3,97

3. Durchlauf

8,58.3,65.97 8.58,3.65,97

4. Durchlauf

Fertig! ~ I"· he die Bubblcsort henütigt. um n Zahlen zu Bezeichnen wir mit an die Anzahl der erg etc · 6. . . ~ sortieren, so gilt offensichlhch a,1=== 2 ·

4 Folgen, Reihen und F nk.

-

-~

174

. . teressiertman sich für die Größenordnung der nu·t1 . A}oonthmen 10 • . t eren BeimVergleich von .1:) • b . Algorithmusdoppelt oder dre1mal so lange brauch . . . h . wtchui1o ein t W1e Laufzeit.Es1stnie t so . 1:)al' wndenselbenkonstanten Faktor handelt. Braucht ab . 2 , es sichfur 1e 71 • • • , d.... . erein "inanderer.~olange Al 'th ius hingegen n Schritte. so 1st l;f 1.we1teAlgorith 1,; • • derer gon n • lllUs Algorithmusn. em an der chlcchtcre. da S mbole)Seien (an)n>OWld(bn)n2'.:0Folgen Dann schreibtman· l)e8Ditioa 4.62(LaD u- Y · . (oesprochen:,, a11 ist groß O von bn'"), falls es eine Konstante (i) O(bn)für n --t oo o · C > ogibt,sodass ~ \ < C für fast alle n E N b11 -

gilt.

(gesprochen:.,a"' ist klein O von b,i''), falls limn-+oca,ifbn==0 o(b für n ~ (u) a,. gilt bn(gesprochen: .. anist asymptotisch.gleich brt). falls ~~mn-+'Xl an/~11 = l gilt. tv) n bn)fürn --t oo (gesprochen:,, a,1 1stOmega von bn ). falls es eme Konstante C > Ogibt,so dass

b ~

< C für fast alle n

E N

gilt Weitersgilt:a,1 = D(bn)genaudann, wenn bn =- O(an). (v) a,. 8(b ) fürn ➔ oo (gesprochen:,, an ist Theta von b,i"), falls es positive Konstan11

ten C1 undC2 gibt,so dass

C1lbnl~

lanl~ C2lbnlfür fast allen

E N

gilt,dh. 11n 0(bn) genaudann. wenn sowohl an = O(b, 1 ) als auch an ==f2(l zutrifft. Bemerkung: Es genügtin (i), die Ungleichungfür fast alle n E N zu fordern. Denn daes dannnur endlichvieleAusnahmengibt, kann man durch Wahl einer entsprechend größeren Kontantendie Gültigkeitder Ungleichungfür alle n > 0 erreichen. Weiters beachteman, ~ durchdieobigeDefinitionnichtder isolierte Ausdruck O(b11 ) definiert wird, sondemnur die 8~?eutungder Fonnclan O(bn) als ganzes. Offensichtlich kann man keine formale t ~fi~tJ}on\fürO(bn)so angeben,da_ ss nn = O(bn)äquivalent zur Existenz einer KonSanten c; mit !!:n. < c 1· l. Der Grund hegt dann, . dass hier das Gleichheitszeichen . ,,=..nicht · 111 · b der Bedeutung • Fur .. n ➔ oo gilt beispielsweise, dass Jede • FOlge' die d libhchen h C 2 be .. verwendet wrrd. urc F In sc~ankt i t, auch durch C'n3 beschränkt ist da n3 J.a noch schneller wächst Jede o ger)n( ri mtt 1 0( n2 ) erfüllt also auch a = ' O' (n 3 ). Umgekehrt sind folgenllii ) ~ -n = 3 3 2 mit an - L n mcht t d. n hr"nkl wiedasBei · n~ weo tgerweisedurch einen Ausdruck der Form Cn besc ' p1e1Un -= n sofortze· t I cl d die Landau· Symbole auchalsStell tg · n er mathematischen Literatur wer en . O(n) lSt einedurchCn be vhe~etcrfürkonkreteFolgen oder Funktionen verwendet, d.h.~rru_~bl. b· sc rankteFolg, · ·b se u ic · O(n2)::: n3 . c ?cmemt. Konkret ist die folgende Schrei_wei fahchDie ,Gleichung" 0 ( ) 1st eme wahre Aussage, O( n3 ) = O(n 2 ) ist hingegen 2) c Korrekter wäredah 0 n )).Aberdies b.) ans~llevono• - 0 (b.) zu schreiben (und folglich0( n d;, Landau-Symbole enthnalt ( ~tbematikunüblichund außerdem beim Rechnen rnit Termen. en wiez•B• Cl,i +ra ( bn)),eher unpraktisch. 1

'l'

i:tw:; ~(

f

. 4 Elementare f unktionen _:__---_________________

____!17~5

Jeispiel4.63 Es folgen einige Beispiele zur Landau'schen Notation n(,~-1) _ 112 -11 _ 0( 2) d ri(n-1) 2 · 11 (a)

(b)

2

11 (,~-

1

-

2,

'

-

a

2 = o(n.1) = o(2n), denn 11(111)

-y-n3 (c)

Uaus derBemoulh h n Ungle1 hung (Satz 4.20)

( m - c)n

= mn ( l -

€ ) n

-

m

> m'

,

(i-

n )

-E

mn _

. nm

m

F 11 • . . n-1 > y Also i t dann ( n 11 a s f hmre1chcnd klein ist. gilt m s · nm · . emcn . . . rhalt nochmal ,derspruch m - € emc ohcre Schranke von 1\1,und wir e en fn(ni) = m" ~ .IJgelten.

• onut mus al

4 Folgen, Reihen und Fun1...

~~-------------------

_ ____.;;;.----..:.:..:...~l•1U\tionen

!_78

· f eine Umkehrfunktion J;;1 : JR+ ➔ }Ri-b . d s die Funkuoo 11 •• • esuzt. AusSatz4.67 folgt, as . mit rationalen Exponenten erklarcn: Sei n E N w· .. . h das Potenzieren . E . ir Auf dieseArt lasstsie J n . die Potenz für alle ganzzahligen xponenten definierti .. h -n _ (-) , womit . . st. setzenzunac st .r - . .I Zahl /q mitp E 'l und q E 1~T~ \ {O} de fi nteren Wtr Für 11E N \ {0} undrationale en p

xq I!

=

(

xqi)P.

4.•

S: li: li

B d

w

l vonx genanntund oft als y'x geschrieben. DieZahl.6 wirddi~~-te häl~ean leichtdie bekanntenRechenregeln xr.l's = xr+s,xr/xs AusdieserDefirut1on er t m . . n, . h l . . · . d ( )r _ ryr fiu'rratmnaleZahlen r 1 s. vve1terser a ten Wtr unmittelbar f.-"' ( x'"t ==xr:. un xy - x die folgendenMonotonieeigenschaften. 1

•

•

> undr . Satz4.68 Seienx, Y 0

E 11'11+ Dannist x '\l

·

< y äquivalent zu xr < y,._ D

Beweis.Übung. Satz4.69 Sei x > Oundr, s E Q mit r < s. Dann ist .i:r
1 (bzw. xr > xs,falls

X< 1).

l

BeweLtO.B.d.A.sei x > 1. Dann folgt aus Satz 4.68, dass xs /xr = xl!-r > 1s-r darausdirektdie Behauptung.

= 1 und D

Die Erweiterung des Potenzierensauf irrationaleExponenten ist nicht ganz so einfach.& genügt,siebhier aufpositiveZahlenzu beschränken,da man mit der Regel x-n = dann auchdiePotenzenfür negativeirrationaleZahJendefinieren kann. Jede reelle Zahl a > 0 lässt sich durchdieFolge(an)n~ovonrationalenZahlen,die man durch Abbrechen der Dezimalentwicklungvono nachn Stellenerhält,approximieren.Dann ist (an)n;?:O monoton wachsendund au -; CY.EbensoistwegenSatz4.69die Folgex 0 n für x > 1 monoton wachsend und beschränkt durchxK. wobeiK E Q einebeliebigeobere Schranke von On ist. Daher ist xan konvergent. Nunkönntenwirx" definierenals limn➔oo xbn' für eine Folge bn mit limn-+oo bn = a. Wu müssenabernochzeigen,dassdieserGrenzwertfür allgemeine Folgen ebenfalls existiert undnicht vonder WahlderFolgeabhängt.

(~r

?

Satz4 8 ~ei (an)n:2:0 eineNullfolgerationaler'Zahlenund x > O eine fest vorgegebene'Zahl. Danngilt hmn-+oo x°" = l.

Beweis . .~r Fall x = 1 ist trivial.Im Fall x < 1 ist 1/ x > l und xa" = (1/ x )-a..' wobei -ll-,i naturhchebenfallseine Nulli0 1 A >1 . annehmenp·· hi . ge rationalerZahlen ist. Wir können also o.B.d. · x · ur nre1chendgroße · t d ~ s tz 4 68 l < y'i < v'nN . n ts ann ouensichtlich x < n und daher wegen a · 1 demSandwic~\.h~:gi t (a;erv1n ➔ 1 für n -+ oo (vgl. Aufgabe 4.8), wesha.lb schließlich aus Setnune ; 0 berl~mb. atz 4·22) v'x➔ l folgt. Genauso gilt auch x l/n ~ 1. ,, te 1gvorgegeben D . -1/m < 1 , 1 x ~ 1 +e. Da . cn. ann gibt es ein m E N mit 1 - c < x us st Satz4.69folgtnun ~¾)n~O und eine monoton fallende Folge (bn)r>i. (vgl.lntervallschachtelungen aus Abschnitt 1.1). Für allen E N gilt ao < an < bn :s;bo. ~ inddiesebeidenFolgenkonvergent.Die Differenl b11 - lln ist die Länge des n-ten Intervalls. Deshalbbildendie Differenzeneine Nullfolge. Es folgt somit lim"_. x, CLn = limn➔x bn= o, alsolimn➔:xi ean =- limn➔I')() eb,·= e0 • Wegene0 " < y < eh" gilt eQ = .lJ'womit die Surjektivität derExponentialfunktion gezeigtist. 0 DieExponentialfunktion Pxp : 1R➔ R+ besitzt also eine Umkehrfunktion. Diese wirdna• türlicher Logarithmus (oderlogarithmusnaturalis) genannt und mit dem Symbol ln bezeichnet. Damitist y = lnx gleichbedeutendmit x = eY, und aus den Rechenregeln für Potenzen folgenunmittelbareinigeRechenregelnfür den Logarithmus:

h1(ab)=lna+lnb,

ln(i)=blna,

ln(i)=1na-lnb.

Auch ·a1funkt1on · zur Basis • a > Obesitzt - erne • U mkehrfunknon, · den rithdieal1°emeine • Exponenti . O Logad d almus z~r Basisa, f (x) = log0 x. Dabei können die allgemeine Exponentialfunknon un . er lgememeLogarithmus,wie · man leicht · · · naturhc ·· · he Expolf k. le1gen kann direkt auf die en ia un t10n bzw den t"" li h . , . lii• nundt lo8;a:z:= In x • na ur c en Loganthmus zurück geführt werden. Es gilt ai :::e lna ·

4. Darstellungen derExponentialf unktion2 ZieldiesesAbschnittsist es, die f0 1genden Eigenschaften . . zu zejgen. der Exponentialfunktion ~

~'=

Satz4.74 Dienatürliche Ex'J • 1 :ij;~;::-~~=~--=-/0 1e:n:t a:lfunktion ex besitzt die folgenden Eigenschaften.

111

diesemAbschmtt · werden wichtigeE" SatzIn 4·74 • DJCse qpd zusammengefasst. De igenschaftender Exponentialfunktion hergeleitet. i5ist 1meress· rt Le r gesamteAbsch · 151 · o· er aewt ftlr sehntte : e sergedachtundkann..be · mtt dem Beweis dieses Satzes gewidmet. ,es denA~ 1 u Kapitel darunterleidet. u rsprungcnwerden,ohne dass das Verständnis der nachfolgen

4.4 Elementare Funktionen

181

(i) Darstellung als Grenzwert einer Folge: ;r,

e

. 1UD = n~:x

( l+-

x)n .. n

(4.7)

(ii) Darstellung durch eine Potenzreihe: (4.8)

(iii) Funktionalgleichung: (4.9)

Bemerkung: Für ..r = 1 ergibt sich dann insbesondere 1

e=l+l+-+-+2!

1 31

...

Die Funktionalgleichung (4.9) folgt direkt aus der Definition als Potenz der Euler·schen Zahle. Um die anderen Eigenschaften zu zeigen, wollen wir zunächst 0

3!

+ -x

5!

- + . ..) = 1. (4.12)

Hierist aberzu beachten,dass zwei Grenzübergänge durchgeführt werden, nämlichder Grenzwertfür x ~ 0 und das Aufsummieren der Reihe (Grenzwert der Partialummenfolge).Das kannzu Problemenführen, da das Vertauschen zweier Grenzübergänge man~hmalnic~tzumselbenErgebnisführt. Man kann aber zeigen, dass man hier(ebenso ~,e allgemeinim Konvergenzbereich jeder Potenzreihe) diese beiden Grenzübergänge unemge~chränkt vertauschenkann, was diesen Ansatz rechtfertigt. AufvölhganalogeWeiselässt sich zeigen, dass . cosx - 1 hm---=0 .t➔O X

(d) ~i~h

A~~ 1/

(4.13) .

9 s~ Für ·' ➔ oo konvergiert 1/ x gegen Ound daher sin ~ et,enso · .lO, lmkesBild).Das impliziert

!)·

lim

l

2:➔oo 1 +9 sin l::c -

1 1+ g 1 · · , lffi.z:-►oo Slil

-1

= 1.

Man X. erkennt anhand der bet h ..durdi&chcnd gezeichnet" d rac teten Beispiele, dass es Funktionen gibt, dere~Gf8Pb (alSO wer en kann, d.h., dass die Funktion keine Sprünge aufwetSl

4_5 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit

---~----------~~

189

links- und rec~tss~~tiger o.Dann besitzt J auf [a b) mindestenseine Nullstelle,d.h.,es gibt ein c E [a,blmit f (c) = 0. '

~:•· 2'.'~ ~eweis konslruierenwir zwei Folgen (an)n~ound (bn)n>Onach folgendemAl· ~°"/m(u~e)t a.o.= Jo

2

0: Dann setzenwir a1 = aound b1 = ~ 2 . Fallsfo wir 0: Dann h k • habenwir die gewunschteNullstelle und sind fertig. „

uaw.

811

noc eme Null,1eUcgefundenhaben, wenden wir das obige Verfahren auf [a,,b,i '

AufdieseWeiseerhältman entwed h . . od . wei Folgen (a.) und(b ) Af er nac endhch vielen Schri ttcn eine Nullstelle er ' nd 0 n n~o- u gruo 0 Dari.Jbe, hinau\ sind die l·olgen (a ) d (l . wachsend und letztere monoton fall· d W • " o un '" )n>o be chrankt.e~tcre ist monoton cn egcn u'l b„I= la- bj · 2 ri konvergierensowohl (a,, )r1 0 als auch (b"),. >o gegen denselben Gren,wcn , . Aus 1·un,, . a = 1.nn b - c . folgt nun au 1grun.ddder Stct1gkell von J, das hrn , •X J( U,r ) _ f" n-:io. n - 1lllln .. ..,,_, (br,) = f(c) Weoen J( 1:: /(dan) 0, so dass J(, Y. ' ' Y < Y + 0 ein passendesN(t:) angeben.

(a) an=

(c)

an=

sin n

+ cos n

fo,

(b)

iln

=

sinn 4-C yfl

n2 l+n

2

4.2 Gibt es eine Folge reeller Zahlen, so dass die Mengeihrer lfäufungs.punkt Q). -

4 Folgen. Reihen und F k .

~194~--------------------,

-------

un lt~

4.6 ManuntefSUChe die ,,kursiv gegebenen Folgen tnn),.;eo(mit HiIk voll ständiger Induktionl MOOolonie unde,sct,ränktlteit undbestimmegegehenenfalls den Grenzwert lnn•-~ "•· auf (a) (c)

ao= 3, On+t = ,ifa.. -li für allen 2: 0. (bl ao = 1. a,.+t · v 6a" - 9 für alle n 2cO. 0 ao= 2. a..+t = ,Jä,.. -r 1 fur alle 11 ,C:0. (dl U o Man t,erechne die Fokengheder a„ für n == U. L .... 10. untcr-;uchc o • Sandw des , . ,ci,:Theorems (Satz 4 22) - Gauf Konvergenz und best1.mmen Sie gegebenenfalls mit Hilfe n · en ren1wert.

I: n i+ k

an=

1r I

(c) On

2

4.6 übungsauf gaben

195

4.14 Beweisen Sie mit Hilfe von Beispiel 4.21, dass für O E R gilt: litn,l-.~ (1

+ ;f

= eQ.

4.15 Es sei litnn ➔oo an= a. Man bestimme den Grenzwert der beiden Reihen I:n>o(a,,,-t-1 r;n 20 (an+2 - an)4.l 6 Es sei limn➔oo an = 0. Man bestimme den Grenzwert der Reihe En?0(-1

-

Un) und

-

yn(On+ 1 + an}.

4.17 Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Reihen.

3

00

(a)

00

"--

(b)'""

~ n(n + 2) n

oo

(c)

1

~ n(n + 1) 00

(d) '""

L (n + 1)!

n

+1

~ (n + 2)1

n=l

4.18 Zeigen Sie durch Angabe eines konkreten Beispiels. dass die Monotoruebedinguogin Satz 4.41 nicht notwendig ist, d.h., dass die Umkehrung des Leibnizkriteriumsnicht richtig isL 4.19 Beweisen Sie das Minorantenkriterium (Satz 4.48). 4.20 Untersuchen Sie die folgenden Reiben auf Konvergenz. 2

'""3n + 1 (a) ~ 5n 3 - 2

(b)

L

n~O

n;:::O

(d) '""_· ~'Tin

~n+2 (c) ~ ß1t n;:::o

Hinweis: Man benütze (4.1). ~

(t)

n~O

n+3 2n

7n 2 -

+1

~n-1 D ~

l)n

( I:---;::::::;;-::::::::::::::: n~O

(k)

~

n~O

n~O

(i)

n'

Tl>l

~ 2n 2 + 1 (e) 0 n4 + 2 (g)

n-2 2n 3 +5n-3

G)

Jn2 + 2

L

n2:0

( 1yi 3-

'°"' (-1)'1 L + 5n n3'2

"

(l) L

+

n.>O ,.Yn 2

(-l)n (n +

3)

413

n~O

-· · · d di Folge ( 3 .. ) für alle a E lReine 1.~un~ 4.21 Man zeige mit Hilfe des Quotientenkritenwns, ass e ,iT nEN folge ist. 4.22 Sei an > 0 und die Reihe "En>O O'>(Beweis er Gegen\.1etsp11.: . konvergiert. Gilt dies auch ohne die Voraussetzunga,1 - · 4.23 Für welche x E IRbzw. z E C konvergierendie folgenden Reihen (a)

~ (½) xn L n20 00

(C)

~

w

n>O

-

1

L 2n -

1 (X

z2ntl

(2n

+ l)!

L (~:i)xn n~O

"

n=l

(e)

(b)

,n,

-

l

r

4 Folgen, Reihen und Fu .

~

~'.--------------------

.!_96

4.U Manzeige:

"- an

~

b" _ ~°" (ci+ b)"

~ 111- 0 ,-

11.

n-0

a. b c-c.

n'

m ~.

.

~ eten KonvergenLkriteriumsfür Reihen, dass die Potenzreih e der 4.25Zeigen~1e_ • C absolutkonvergiert. Exponcntialfunktion (4.8)tn ganz der aus der Euler'schen Formel (4.10) folgenden - Moivre' h unterBenutzung . sc en 4.26 Manbercchne ( ) + , 81·n(nx) den Grenzwert der Reihe: • · x)n -- cos n.r • Fom1el(cosx +i sm cos !!!!: ~II n; (b) 2n3 ~'

0

s· 011t Hilfeeinesgee1gn „

~

I:

(a)

-

---::;;-

n>O

~

_und ~-Be:Liehungenzwischen den Folgen an, bn und Cnbestehe h 0 1 4.27 Untersuchen Sie.we c c o-. n. 2 2 b _ 1 ,. _ _ Sn 4 n>O

.

n2

(a)

an==2n. bn==T· Cn =

3n 6n'l+1 ·

(b) an==

n'

n -

Ti'2''---n

-

4n3+1 ·

_ ManbestimmedieGrößenordnungen von 4 28 (a) 2.7n2 - 0.5n + l. 5 (b) 0 35· 2n+ 5n , (c)

J1+1.ln 2 .

Femerzeigeman.dass (d) an= 0(1) ~ ta,) beschränkt,und (e) an= o(l) ~ (a.,) Nullfolge.

4.29 ZeigenSie diefolgendenasymptotischenBeziehungen für festes kund n ~ oo:

n)~ k! (

nk:

(a)

k

(b)

(n+ 1)~ nkk! kk

4.30 ZeigenSiediefolgendeasymptotischeBeLiehungfür die Anzahl der Variationen ohneWiederho-

lungenfür festesk undn ~ oo:

[n}k=n(n-1) .. ·(n-k+

1) =

nk

1

+O(nk-

4.31 ZeigenSie mit Hilfeder St1rling'schenApproximationsformel n! p1el4.63d): (aJ

(2:) ~~

(b)

4.32 BeweisenSieSatz4.68. 4.33 s·te, d'.15~eme · FunktionE(x), die E(l) rfi 2e· fi~gen' e uIIt ur x E Q nut exübereinstimmen muss.

(3:)~

).

~

nnc-nJ'iim

(sieheBei-

c:r{!,;,

= c und die Funktionalgleichung aus Satz4.11

::+~/~ildungen siuh,cosh: R -> 1Rsind definiert durch: sinh(x) = ½(e' - c-•), cosW); i ). est1mmcnS1ed1ePotenaeihenentwicklungvon cosh(.r:) und sinh(.r) an der Stellcxo- . 4.35 Beweisen SiedieFo l ( +y}::: smh(x)cosh(y)+cosh(x ;::~,~(:~h (x + Y) = cosh(x) cosh (y) + sin h (.r) sinh (y) und sinb ' 436 Manbe~timmc diePolen ·h • Produktbildung LW.· p z~e1enentw1cklung von / (.r) eier otcnzre1hen. 4.37 Manbe fimmedie · Potenzrc'b • Produktbildung zw . p . 1 enentw1cklung von J(x) eier otcnzre1hcn.

= (:r.2+ 1) sin x an der Stellexo -- 0du((b

= (l-x2)

- 0du c-os.r.an der Stellexo-

4 _6 Übungsaufgaben

197

4.38 Die Signumfunktion ist definiert durch

{~l füt

sgn(x)

=

X> 0,

für X< 0,

für X= 0.

Zeichnen Sie den Graphen nachstehender Funktion /(x) und bestimmenSie alle Stellen, an denen f(x) stetig ist.

= (x - -rr/2)sgn(cosx)

(a)

f(x)

(c)

J(x) = xsgn(sinx)

(b) /(x)

= (x2 -

(d) J(x)

= xsin

l)sgn(sin(1rx)) (J:sgn(x))

4.39 Man zeige, dass die folgenden Funktionenf(x) stetige Umkehrfunktionen haben, und be!.timme diese: (a)

J(x)

(c)

f(x)

=

1- x 3

= (1, oo) = (1 + Jx)7, Dt = (O,oo) X3

DJ

,

4.40 Seif : [O,a] -+ IR stetig, f (0) auch J(x) > x für O < x < a gilt.

(b)

f(x)

1- x 7

- ' n, = (1.oo)

=

x' (d) f(x)=(l+J:i:}5

D 1 =(0,oo)

1

= 0, f(a) > a und f(x) 1 x für O < x < a. Man zeige.~

4.41 Man zeige, dass es zu jeder stetigen Funktion f : [a, b) ➔ [a, b]wenigstens ein xo J(xo) = xo gibt. 4.42 Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion f : lR\ {O}➔ JR,f(x) dass f (x) an der Stelle xo = 0 keinen Grenzwert besitzt. Hinweis: Man betrachte die beiden Folgen Xn = 1/(mr) und Xn

(a) lim ( x41

1-

X

2-

. 1 - cosx (C) 1lffi --x40

X

1

3

= 1/(2nrr

+ n/2).

- X

3)

17x2 + 4x -1 x➔oo x3 - 12x2 + 1

(b) tim

-----c=----:----"".""

xcosx - r.(11'- x) (d) x-Hr lim

(1nI

-

E fa, b] mit

= sin(l,'x), wtd be\\e1sen ie,

4.43 Man berechne die folgenden Grenzwerte:

2

dann

1n1f' )"l

Kapitel5 Differential-und Integralrechnung in einer Variablen Am Beginn der Differentialrechnungsteht die Frage nach der Änderung einer Funktion in ei-

nem Punkt Diese Größe ist für viele Anwendungen von Bedeutung. So hängt zum Beispiel der Ort eines physikalischenObjekts,aufgefasst als Funktion der Zeit, mit der Geschwindigkeit dieses Objektsüber die Differentialrechnung(genauer: den Differentialquotienten) zusammen. Ähnlichverhältes sich mit den physikalischenGrößen Arbeit und Kraft. Auch zahlreiche Optimierungsaufgaben, wo eine Funktion minimiert oder maximiert werden soll, können als Aufgabender Differentialrechnungformuliertwerden. Dynamische Systeme (radioaktiver Zerfall, Bevölkerungsentwicklung, Klimamodelle),wo die momentane Änderung einer Größe vom aktuellen Wert abhängt, also eine Rückkopplungstattfindet, werden durch so genannte Differentialgleichungenbeschrieben. Die Differentialrechnungennöglicbt es weiters, komplizierte Funktionen durch einfachere :w approximierenund die dabei gemachtenFehler zu quantifizieren. Dies ist z.B. bei rechenintensiven Simulationenvon komplexenModellen von Bedeutung. Auch numerische Verfahren wie z.B. ?a(x)und [f 1>(x)= f'(x)

dx

definiert ist. Ist

J O für all.eX t: · o us der D'ffi · · · · ·en 1 Grenz.wertefür 1 . --~ , . : · erenz1erbarkeitvon f (x) folgt dass die einseitig . , .1 o i- und x ➔ x · • ' wir o- existieren und übereinstimmen. Daher haben

5.2 Die Taylor'sche Formel und der Mittelwert.sau

207

einerseits /'(xo)

=

lim /(x) - f(xo) :r.--+ru-r

:r - :.ro

>0

und andererseits /'(xo)

=

lim f(:r) - J(xo) < 0 X - :ro - .

cr ➔.cu-

woraus die Behauptung folgt.

D

y

Abbildung 5.4 links: Extrema von Funktionen. rechL'i.Die Umkehrung von Satt 5.12 giltnr ht.

Sei nun J(:r) eine differenzierbare Funktion. In :r 0 existiert die Tangente. derenAn ;rie2 durch f'(xo) gegeben i~t. Die Funktion kann lokal. d.h. meiner Umgebung von r 0 • durch i~ Tangente angenähert werden: lokal um x0 gilt

f(.r) ~ J(xo) + f'(xo)(x - :ro), Der Fehler R(x)

=

J(.r) - f(.r.0 )

-

lim R(:r) .~~:ro X -

f'(x 0 )(:r - .r0 ) erfüllt R(x)

=

To

= o(x-

lim J(x) - f(:i·o) - J'(.ro) x➔ .ro

X -

x,o)fü.rx ➔ x0 • d nn

= 0.

Xo

Umgekehrt gilt aber, dass eine Funktion. die durch ihre Tangente mit einem Fehler R(r) = o(x - .ro) für :r -+ .r0 angenähert werden kann, diffcrcn1;erbarist. da in die. em Fall der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. zu~ammcnla st.·ndgilt aI,o:

Satz 5.13 Eine Fw1/...-tion f (x) ist genau dann dijferen:.ierbarin xo, uenn ie auffolr!.endeUe.i e linear approtimierbar ist: f(x) - J(.ro)

= J'(.ro)(x

- xo) + R(x)

mirR(x)

= o(x -

xo .

c. )

Bemerkung: Man beachte den Unter~chicdzur Stetigkeit,, o bloß /(x} - J(:i·o)-+ 0 verlangt

wird. Damit kommen wir zu einem zentralen atz der Diffon'nti.lre\.hnung. d m "litt lwc~:at.i.. Die Ableitung beschreibt die lokale Än die mittlere Änderung im Intervall [aI b). nlso 0 · Konvergenz er ib ehe, dass Potenzre en LID I 11 I . lxln< c/2. Aufgrund der Stetigkeit der Funktiein N > 0 gibt, so dass ~~>(N_nh. ~ Satz 4 86) gilt auch En>N nlanl· IYln< € für aUe " 1 1 . lxl sie .., . 1 d kl . ) Daher spalten wir die Sumn1e (5 .5) auf und bekommen on g(x ) = ~n~O ~ a, • y E Ui5(x)(mit 8 hinreichen em · (für y E Üi5(x))

wobei

~ an(Yn-1 +yn-2x + ... + yxn-2 + xn-1) < ~ nanmax(lxln, lvln)< c. ~

n>N

n>N

Daher liefertder Grenzübergangy ➔ x schließlich N

J'(x) =

L

+ RN

nanXn-I

n=O

D

Bei Potenzreihensind also Summationund Differentiation vertauschbar. Das bedeutet, dass für Funktionen f (x), die eine Reihendarstellung der Form Ln>O an(X besitzen, die obigenÜberlegungenfür Polynomedirekt übertragbar sind. Die K~effizienten der Reihe können daher durch die Ableitungenvon f ausgedrücktwerden. Wir erhalten somit den folgenden Satz.

xor

Satz 5.18 (Eindeutigkeitssatzftir Potenzreihen)Besitzt die Funktion J(x) in einer E-Vmge· bung von Xo eine Darstellungals Potenzreihe d.h., gilt J(x) = Ln>o an(X - xot fü.r alle 1 XE Us(xo),sofolgt an= f(n~xo), für allen E .N.Die Potenzreihenda;~tellung einer Funktion ist, sofernsie existiert,eindeutigbestimmt. Ohne Beweis sei noch ein weiterer Satz über Funktionen und deren Potenzreihen angeführt.

'°'

Satz 5.19(Abel'"scher Grenzwertsatz)Sei f (x) == a (x _ x )n die Summenfunktion · Pi 'he . Lm>O n O . . t einer vtenzrez. mit KonvergenzradiusR Weiterssei L~>o a1iRn konvergent. Dann extstter der Grenzwerthmx➔R- f (x), und es gilt -

ri:?:.O

B~a~rlich ~assen~ichnicht_alleFunktionenin eine Potenzreihe entwickeln. Eine notw~odi~e ,,_ n~ nbg.~1e sWio eme Funktion f erfüllenmu.ss,ist offenbar dass f unendlich oft stetig difd. i 1.,u,nz1er ar tst. 1rwollenabe h d ' . • un flihre dah d. r auc an ere Funktionen durch Polynome approximieren n er 1efolgendenBegriffeein.

5_2 Die Taylor'scbe Formel und der Mittelwertsatz

211

Definition5.20 Die Reihe

heißt Tay_lorreihe von f (x) im.Entwicklungspunkt (mit Anschlussstelle) xo, Der SondetfaD xo = 0 wird auch McLaurmre1hegenannt. Bricht man die Taylorreihe nach n Gliedern ab, so erhält man

Dies nennt man die Taylor'scbe Formel mit Restglied fln. Die Summe vordem Restglied wird Taylorpolynom n-ter Ordnung genannt. Rnist der Abbruchfehlerund selbstverständlich von n, X und Xo abhängig. Ohne Beweis sei der folgende Satz angeführt.

Satz 5.21 (Satz von Taylor) Sei f auf dem Intervall I

= [x0 , .r] (bzw. [.r..r0 lJn-mal

stetig

0

differenzierbar und im Inneren 1 von 1 (n

+ 1)-mal differenzierbar. Dann exisrien

eine lilhl

0

( E J, so dass n

f(x) =

L

j(k)(

)

j(n+l)(,:.)

k!Xo (x - xol

+ (n + l)!(x -

.ror+

1 .

k=O

Der Term Rn= JCn+l)(f) (x - xor+ 1 heißt Restglied von Lagrange. Falls f unendlich oft stetig . (n+l). . • 'h · differenzierbar ist, so ist auch die Taylorreihe von J definiert. Die Taylorrei e stzmmt genau dann mit der Funktion f (x) überein, wenn lim11-+oo Rn= 0. Mit Hilfe dieses Satzes lassen sich Funktionen, die unendlichoft stetig differenzierbar sind und deren Ableitungen nicht zu schnell wachsen, beliebig genau durch Polynome approximieren.

Beispiel5.22 Beispiele für Taylorentwicklungen. (a) Gegeben sei die Funktion J(x) = ex mit der Anschlussste~lex? = 0. Es gilt .f O.

Beweis. Sei J"(xo) < 0. Ein relatives Maximum liegt vor, wenn für x in einer hinreichen~ kleinen e:-UmgebungUe(xo)von x0 gilt: .f(x) S J(x 0). Wir approximieren f (x) in Ue(xo)nut Hilfe des Satzes von Taylor. Da J"(x0) < O und J" stetig ist, folgt aus Satz 4.87, dass€ so klc~ngewählt werden kann, dass f"(~) < Ofür alle ( E Ue(xo)gültig ist. Für x E UE(xo)und( zwischen .ro und x folgt daraus

f(.r) = f(xo) +!1;iJ,(x - xo) + !'~(~)~x -vxo): < J(xo),

=0 wie behauptet

~

0 0

Beisp!el5.2~ (Fort,etzung von 5.24) Wir betrachten wieder f(x) = x2rx. Extrerna die~er Funktmn mussen f'(:r:) - o rfüll w· . 1 e en. ie wir oben gesehen haben, gilt dies ausscht•eßllch

5.2 Die Taylor'sche Formel und der Mittelwertsatz

für :r

215

= 0 und x = - 2 -.Diese be~den Punkte sind somit die einLigen Kandidaten für relative

Extrema. Prüfen der zweiten AbleLtungergibt

J"(x)

2

= (x + 4x + 2)e-i: =}

.f"(O) = 2 > 0 und f"(-2)

= -2e- 2 < O.

Daraus folgt, dass an der Stelle O ein relatives Minimum und bei -2 ein relatives .Maximum vorliegt. 6. Die Bedingung des vorigen Satzes ist zwar hinreichend, aber nicht notwendig. Be1sptelsweise besitzt die Funktion f(.c) = .i bei J' = 0 ein Minimum, da J(i-) > Ofür alle :r =f O. Es gilt aber J"(x) = 12x 2 und daher /"(O) = 0. 3 Auch die Funktion g(x) = x erfüllt g'(O)= g"(O) = 0. Für aller, y E ;R mit r < y folgt aber x3 < y 3 , d.h., die Funktion g(x) ist streng monoton wachsend. Daher kann an der Stelle .eo= O kein lokales Extremum liegen. Wie die beiden Funktion x 3 und x 4 zeigen. kann im Fall J'(.r) = J"(O) - Oalso ein Extremum der Funktion vorliegen oder auch nicht Was lässt sich nun über das lokale Verhalten einer Funktion aussagen, wenn nicht nur die erste sondern auch die zweite Ableitung \·erscb\\ mdet? Man kann die Beweisidee des Satzes 5.25 verwenden, um die Frage nach lokalen Extrema weitgehend zu klären.

Satz 5.27 Gegeben sei einen-mal stetig differenzierbareFunkrionf, deren Ableirnn~engenau bis zur Ordnung n - 1 an der Stelle x 0 verschwinden.Es gelte also J'(xo) f'\ro 1 = · · · = j(n-l)(x 0) = 0 und j(n)(xo) =/=0. Dann gilr: (i) Falls n gerade ist, so besitzt

f

in xo ein relativesMaximum, wenn Jl")(:ro) < Ü. und ein relatives Minimum anderenfalls. (ii) Falls n ungerade ist, so existiert eine E-UmgebungC von .ro, so dass f in ( 5 creng monoton ist. und zwar streng monotonfallend im Fall Jtn\.ro) < 0 und streng monoton wachsend anderenfalls.

Beweis. Es genügt, den Fall j(n)(xo) > 0 zu betrachten. Den anderen Fall behandelt man ~~-

Sei· zunächst

s

· für · geeignetes · n gerade. Dann gilt c > O und x E Uf (x0 ) nach dem atl \'On

Taylor

und daher liegt in x 0 ein lokales Minimumvon f. . . • , c;") u 'h in die. h d' Taylorentwtcklungwte m ,~.v . \; Nun zum Fall n ungerade. Wir betrac ten ie r lm Restglied findet jedoch ein orzeisem Fall reduziert sich das Taylorpolynom auf f(. o)). ') d J 0 bz~v.f"(x) < 0. Dass die Umkehrung des zweiten Teils von Satz 5.30 nicht richtig ist. d.h .. dass strikte Konvexität auf einem Intervall J nicht f 11( x) > 0 für alle .r E J impliziert. sieht man anhand des einfachen Beispiels f (x) = x4 • Die Ableitung f' (x) = 4.r3 ist auf ganz IRstreng monoton und J daher dort nach Satz 5.29 strikt konvex. Es ist aber f"(0) =0.

Definition 5.31 Sei f differenzierbar. Eine Stelle x heißt \\'endepunkt, \\enn relativesExtremum besitzt.

J' in a: ein

: D -t R dreimal differenzierbar und x ED. Falls J1'(:r)= 0 wui f','(:r) -:/:0. einen Wendepunkt an der Stelle x.

Satz5.32 Seif

f

so besitzt

□

Beweis. Fo1gt aus Satz 5.25.

Die Betrachtungen über Extrema im vorigen Abschnitt (Satz 5.27) erlauben oatUrlichauch hier eine Charakterisierung der Wendepunkte: Ein Punkt .r ist genau dann \Vendepunl.."t "'00 f · wenn J"(x) = 0 und die erste nicht verschwindende Ableimng höherer Ord.mmgan der ' tdle x von ungerader Ordnung ist. · Übergano von .Kom·e~itäl Anschaulich sind Wendepunkte Stellen Xo, wo es emen ~ · . zu K(,n• kavitätoder umgekehrt gibt (siehe Abb. 5.9). In diesem Fanwechsell daher der Funknon~graph vonder einen Seite der Tangente in x 0 auf die andere. rd Beispiel5.33 (Fortsetzung von 5.26) Wir betrachten wieder das,Bei picl !(x~ = ~ · ~ . ) .c ,,, ) _ (l'i + 1J' + 2}ei und 1 \:r mahges Differenzieren ergibt f'(;r) = :r(J' + 2 e • 1 \•r • bl · . . d Null t n"n der u, e1tcn Ntunc. \\ ..\.." (;r2 + 6:r + 6)ex. Mögliche Wendepunkte hegen an en s e 1: r. ..J.,.~1 d' 1..., •.l„ .....·utl · .2 + 1 •+•)is1 \\ lf C~u~uk"O IC uclu...0 , ~ 1 g eich bedeutend mit den Nullstellen des Polynoms .r · .l , - ~ • . ,.• T /w( ) 0 stellenx 2 Jn2 d - -2 + r,:;2Einsetzenin dte dntt~ ~\ble1tungl\: igt .r, 'f.1 - - v L- un X2 Y ~. D,. füri ===1 2 .

r.

)

b 5 Differential-und Integralrechnung in einer Van·

c-i~~---------------~

--

- - - -

~n

.ro

Abbildung5.9 Wendepunklund Wendetangenle

5. Derverallgemeinerte Mittelwertsatzund die Regel von de !'Hospital

Die Regelvonde l'Hospital4 dient der Berechnung von Grenzwerten der Form limr ➔xo ~~;~ mit lim:z:-,zof(x)= lim.i:-+.rn9(X) = 0 oder lim.c ►xo f(.r) = lim.r➔l'o g(.r) = ~ . Solche Grenzwerte liefern also bei direkter Anwendungder Rechenregeln für GrenLwerte (Satz 4.14 und Beispiel4.83, vgl. auch Satz 4.92) eine unbestimmte Form, nämlich § blw. :::s:.Auch das Auftreten andererunbestimmterFormen,wie O· oo, oo - oo, 1~ oder 0° kann auf diese Fälle zurück geführtwerden.Die Grundlagefür die Regel von de I' Hospital 1iefert die folgende Verallgemeinerungdes Mittelwertsatles.

Satz5.34 Gegebenseienzweiauf dem Intervall [a,b]stetige Funktionen f und g, die auf (a,b) dffferenzierbar smd. Weilersgelrel(.r) ::fOfür alle x E (a, b). Dann existiert eine Zwische11stellel E (a,b). so dass !'({) J(b) - J(a) g'(f,) = g(b) - g(a). Bemerkung:Man beachte.dass nach dem Mittelwertsatz (getrennt an ewendet auf f ~ndg) folgt,dass ~1 und 6 existierenmit f'(6) = f(b)-J(o.) g'(E,) _ g(b)-9 0: Nach (5.8) gi1t

ln.c x-

ln x lim -

.

= .r-tO hm -

:c..-+O:i;-a

n)= 0.

. ( = x➔O hm

.lx ,.-l

-.c-1

1

j

. _ hix · ;1ur 1 1 1

= x->

- (X- 1)?-

wobei im letztenSchritt die Kettenregel zur Anwendung kam. Nun löst ~an den Doppelbruchauf und erhält nach abermaliger Anwendung der Regel von de 1 Hospitaldas Ergebnis

. -(x - 1)2

.

hm.-'---=hm x-11 X ln X

x--+1

•

)

-2(x - 1 _ ln X

1 -

+X . ;

0 0+1

_ 0 ·

-

Aufgrundder Stetigkeitvon e·r gilt nun limexp((.c- l)lnlux)

x➔ l

= exp(lim(xx➔ l

l)lnlnx)

= e0 = l.

(g) EinefalscheAnwendungder Regel von de l'Hospital: Wir „berechnen" x3 - x2 + x - 1 lim -----2 x➔ 1 x + 3x - 4

3x2 - 2x + 1 ----x➔ 1 2x + 3

= lim

=

6x - 2

lim --.c--t 1

2

= 2.

Der FehlerdieserRechnungliegt darin, dass die Regel von de l 'Hospital nur anwendbar ist, wennwir beimGrenzübergangin Zähler und Nenner eine unbestimmte Form erhalten. Dies ist beimzweitenGrenzwertnicht der Fall. Denn hier können wir x = 1 einsetzen,da ja ein QuotientstetigerFunktionen vorliegt und die Nenncrfunktion keine Nullstellehat. Die zweiteAnwendungder Regel von de l'Hospita] ist also hier falsch. Es gilt vielmehr lim .r-tl

x

. 3x 2 - 2x x2 +x - 1 = 11m----x2 +3x-4 x-41 2x+3

3

-

+l

2

5

5.3 DasunbestimmteIntegral BeispielS.37(Gle·ichm"ß' 3 ig beschleunigteBewegung) Unter gleichmäßig beschleunigterBe· wegung verstehtman eine Be • . hl igung, w· d . wegung nut konstanter also zeitunabhängiger Besc eun . 1eetwa en freienFall im Yak S • d' ' hwind1g· keit zum z 'tp k . uum. ei a 1eBeschleunigung und v =- v(t) die Gesc t) e1 un t t, dann gilt v(t) _ t F . . w, ::::s( zum Zeitpunktt D" - a: rage: Wie groß ist der zurückgelegte eg s .. 1

des Wegesenru·tt.J ~ M(omentangeschwmdigkeitlässt sich bekanntlich durch Differ~noauont e n. v t) ==at - ds w· h Able1tuoga ist, z.B. s(t) ==~t2 Abe .- di· _ir suc en also eine Funktion s(t), deren D 2 2 · rauch die Funktion ~t + 100 hat die Ableitung at.

, 3 Das unbestimmte Integral

-),J

---

221

---------------~~

1. JJJtegration als Umkehrung der Differentiation Die Umkehrung der Differentiation nennt man Integra6on 0 , p bl . • d . · as ro em. vor das wu ge teilt sind.ist also, aus d er Kenntms er Ableitung f' die ursprünglicheF nkti / .ed . · B - -l · • . · u on w1 er zu ge\\ innen Wie das vonge e1sp1e zeigt, 1st dieses Umkelirproblem01-'ht • d . . · c em euug 1osbar. Definition5.3.8 Sei I ein Interva11und f : I ➔ Jlt Jede Funk·t'o F . 1 n . rv{ ) _ 'ß S l n . ➔ a 'filll r r: f (:r)für alle :r E T he1 t tammfunktionoder unbestimmtesIntegralvon J und wird mit demSymbol

j J(x) dx

bezeichnet. Die Funktion

f

nennt man in diesem Zusammenhangden Integrandund x die

Integrationsvariable. Aus Satz 5 .16 folgt direkt, Jass die Menge der Stammfunktioneneiner Fum.'tionJ eine ~hr einfacheStruktur hat.

Satz5.39 Ist F(x) eine Stammfunktion von .f,dann s;nd alle Stammfimktumenvon f \'on der GestaltF(x) + r mit einer Konstanten c, d.h., es gilt G(x)

= F(x) + c ~ G'(x) = f(x).

Man schreibt daher auch J f(x) dx = F(:c) + c. Da das unhestimmteIntegral die Umkehrung der Differentiation ist, erhält man aus jeder Differentiationsregelsofort eine lntegrntion\regel.Insbesondere liefern die Ableitungen der elementarenFunktionenBeispiele für Grundintegrale.

Beispiel5.40 (Grundintegrale) Sei im Folgenden c E IRbeliebig. (a) Potenzfunktionen:

für () E lR\ { - 1}. Hier muss der Definitionsbereich entsprechend eing:eschrJnkt\\ erdei~.fall O € ~- Für negative ganze Zahlen a muss .r, = O ausgeschlossenwerden, für mcht ganLZahhge a

zusätzlich noch x < 0. 1 · Funkt10n · x- 1 : Wu· wissen, · ist Je odurch

J. 00

f(x)

=

e-tt:z:-J dt

definiert. Dieses Integral ist uneigentlich bei t = oo und für x < 1 auch bei t = O. Damit die Gammafunktion sinnvolJdefiniert ist, muss das Integral komcrgieren. Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenz, gibt es für jedes :.r:eine Kon tante Cr,so dass e t < t .c 1, also c ' · t.c 1 $ t- 2 für alle t > C~.Darau folgt

Die Konvergenz des Integrals folgt aus Übungsaufgabe5.34. o da...s da Integral insgesamt konvergent und r(x) wohl definiert ist. 10

6

o·+-r-,rr--r-m~~~,...,.,....,""";" 0

4

,...,......-r:;:,

Abbildung 5.15 Der Graphder GammafunJ,lion r(:r)

. . d F ktionalnlckhun~für die G mma...e 1 ~ F( Mittels partieller Integration lässt sich die fo 1gen e un • B · h g '\\ •ise l· (x) = lmi.s... r o· funktion herleiten. Wir verwenden die ezetc 000 ~~ t.: 0

))o.

Mit dem Startwert

1'(1)=

l

e~•tDdt- -

'[

1

. o, 3) - ? • f(2) 2. 1, 1(4 1 ) 2 1 erhalten wir C(2) = l · f(l) = 1, 1 (, ~ .. N Die Gammafunktmn• t dahereme . l'( n + l) - nl tilr n E · und somit. allgcmcm . h ....,.ahhoc WerteYOO' mc t ga.""" eo Vcrallgcmeincmng der Puku1ta„t Ji 1· •mf '

.

,

~

.

'{

.......,

-· ·- ...-·· Differential-und Lntegralrechnungin einer Vanb ~

5 ...::--=..:...----

~23~6~ ____________

. . . d. Konvergenzdes Integrals mit Abschätzungen durch Im letzten Beispielhaben wt~ ieGanzallgemeingilt, ähnlich wie bei Reihen, ein Majorge. eignte konvergente Integralegezeigt. antenkriterium. . f d stückweisestetigeFunktionenauf (0, ) und gelte IJ(x)I:Sg(x)Jür Satz 5.61 Seren00 un g . t ro., J(x) dx ebenfalls konvergent. alle i: ~ 0. Ist fo g(x) dJ; konvergent,so zs Jo . d r uneigentlichen Integrale lässt sich ein weiteres Konvergenzkrite · Mit Hilfe der Theone e rium für Reihen finden.

Satz 5.62 (lntegralkriteriurn)Sei f : [l, oo) ➔oolR eine nichtnegati ve und monoton fallende Funktion.Dann ist das uneigentlicheIntegral f(x) dx genau dann konvergent, wenndie

f1

Reihe I::=I /(n) konvergiert. Beweis. Analog zu Beispiel5.57 b (siehe Abb. 5.13) erhält man die Abschätzung n

n

~ f(k) und nach Grenzübergangfür n

➔

5

!,

n-L

f(x) dx
l konvergiert genau dann, wenn a > 1. Für o ~ 2 (bzw. a, :s;1) haben wir die Konvergenz(bzw. Divergenz) bereits in Beispiel4.49 gezeigt.Nach dem Integralkriteriumkonvergiert im Fall a > 0 die Reihe genau dann, wenndas entsprechendeIntegralkonvergiert.Für a =/l gilt 1

oo

dx

oo

!, !, -=0

X -ad X=

X

1-a

c➔oo l 1· lIIl--

~

X

C

O'

=

L

{

00

für a < 1

_l_ o:-1

fürn>l.

1

Im Fall a-= 1 liegt die harmonischeReihe vor, deren Divergenz wir bereits im vorigen Kapitel nachgewiesenhaben.Man kann aber auch in diesem Fall das Integralkriterium anwenden. 6

5.6 Übungsaufgaben 5.1 Sei n E N und f(x) - 1/ n 2e· -n/-x"+ x · tgen s· ie direkt, d.h. analog zu Beispiel 5.2(d), dass /'( x) -1• S.2 BerechnenSie (arcsinx y und (arccosx )'.

5.3 BerechnenSie die Ableitungvon f (x)

= x . lx 1.

5.4 UntersuchenSie, wodie Funktion 2

J(x) = {x sin ½ falls x 0 falls x

=/=-O

. . =O differenzierbarist, un:J • ei er Beschreibung s -Ort im .11'. wtrd eme Geschwindigkeit zu eordn . von_ tromungen auf (jedem dargestellt ist), ebenso bei Magnet- od Gg . ~t, die selbst wieder al~ Vek1ordes JR3 er rav1tat:tonsf eldem. etc. y

~///II ~_,,-#

/

__,__.,...,,,,,,.,.

/f ? ' ,I' ,

~..-,,,,.,.

~

1

f ,

, r

-~~~~~:,,,,,~,,,~~-L, _j„4----1.., _J>Ll"''.._.l.,,.:..__..~_rt!....,,._~ __~..,~ ~ /.,,,,,

~/

/ ~ /

X'

,,,,,,.,. , / ,,,,,,.,. /',,,,, ,,,,.,,,.

Abbildung 6.3 Das Vek.1orfeld aus Gleichung(6.1)

(t) Q~adrat!sche Formen sind Funktionen q : IR" ➔ 1Rder Bauart q(x) = _r.4: \\Obei A eme symmetrische n x n-Matrixist, d.h. .4T _ A. Für .4 = (a ) _ i~fü 1J tJ-1 .... ,n

q(x)

= L;~,LJ=i a,;x,:r;.Z.B. ist die durchdie MatrixA = ( _; -~)

c

he,timm1e

quadratische Form

q(x,y) = (x,y)

9 (J') ( -54-5) y

4.r2

-

l(lr.y + 9y2 .

Diese quadratische Fom1 lässt sich auch als Summe Z\\eicr Quadrate. nämlich ah 2 q(x,y) = (2x - iv) + ~1 y2 schreiben und nimmt daher mit Ausnahme der -.h:Ue (x, Y) = (0, 0) nur positive Werte an. QuadratischeFom1enmit dieser Eigenschaft ,und ebenso die entsprechenden Matrizen) heißen positivdefinit(sit'he .\h. "hnitt 3.7 . Analog heißt q negativ definit, faJls q(x, y) < 0 für alle (1·,y) r lo,0). Falls die englcichung nicht strikt gilt, also q(x, y) > Obzw. q(.r, y) $ 0 für alle (x, y) C ·\ st1 ·rri 'ht man von positiv bzw. negativ semidefiniten quadratb.ch~nFonm:n.Fonnen. die ni ht ~ midc· finit (und daher auch nicht definit) sind. nennt man indefinit.Ein infa ·hc, Knteriurn 2ur FeststeJJung der Definitheit einer Matrix ist das in Abschnitt ".7 genannte Hauptminorcnkriterium.

~244~-------------

6

Otffcrenrial-und Integralrct:hnung in mehreren Variablen

--

2. Grenzwertund Stetigkeit

1r ·h ung für Funktionen in mehreren Variablen entwickel nd .ier Theorie der Funktionen in einer Variablen üi...·,rn Um die Differential-~ d_IntBegra_:ecanu'" k" ü •sen wtr 1e egnu, "u uc zu ·onnen. m s B · 0 so wählen, dass das gesamte • s ·( Beweis. e1 Xo,Yo < lsl < t i = 1 2} in D liegt. Wir betrachten nun die S ) 1 , Qua dr at {( xo + s1, Yo+ 2 10Funktionen g (-i:)= f(x, y0 +t) - f(x, Yo),

1

>

92(Y)= f(xo

+ t, y) -

f(xo, y).

Diese Funktionensind differenzierbar,denn f ist partiell differenzierbar, und daher ist g~(x) = fx(x, y0 + t) - fr(x, y0) und fh(Y)= fy(x 0 + t, y) - fy(xo 1 y). Nun betrachten wir die (in einer Umgebung von 0 definierte)Funktion h(t) =g1(xo+ t) - 91(xo) =J(xo + t, Yo+ t) - f (xo + t, Yo)- J(xo, Yo+ t)

+ f (xo, Yo) = 92(Yo+ t) - 92(Yo)-

Aufgrund der Differenzierbarkeü von g1 können wir den Mittelwertsatz anwenden und ein 6 E (xo,Xo + t) finden,so dass

91(Xo+ t) - 91(xo)= g~(6)t = Ux(~1,Yo+ t) - fx(6, Yo))t= fxy(6i'TJ1)t2, wobei die Existenz der Konstanten 171 E (y0 , y0 + t) aus abermaliger Anwendung des Mittelwertsatzes folgt. Nun können wir mit g2 analog verfahren und erhalten h(t) = fvx(6, "12)mit E2 E (xo,Xo + t) und T/2E (Yo,Yo+ t). Führen wir den Grenzübergang t ➔ 0 durch, dana folgt (i ➔ Xound 'Tli➔ Yo,und wegen der Stetigkeit von fxy und fyx erhalten wir schließlich fcey(Xo,Yo)= fyx(xo, Yo)Der zweite Teil der Behauptung ergibt sich durch mehtfache Anwendung des Satzes. D Im Fall~ von vektorwertigen Funktionenwird partielle Differenzierbarkeit natenfunkttonenauf den skalarwertigenFal1zurück geführt.

über die K00rdi-

~ 6.12 Sei D ~ Rn eine offene Menge und f : D ➔ Rm. Die vektorwertige Funktioaf ~ partie~diff~e~bar, wenn sämtliche Koordinatenfunktionen f 1 , ..• , fm partiell ~ smd. Die partielleAbleitung ist dann durch

-

für k - 1

)

... ' n

~ 249

Diffe~re~n:..::ti::.:..aJ_re_c_h_nu_n-=g_i_n_m_e_hr_e_r_en_V_an_·a_b_le_n _______________

~

6.2 Differentialrechnungin mehrerenVariablen die Existenz der partiellen Ableitungen einer Funktion nicht einmal d S . . Da · tetigke1tgaran. . eren . rt ist partielles D111erenz1erena 11 em sicher kein brauchbaresWerkzeu di A .. tte , . . . . . g, um e nderung des Wir werden daher un folgendenAbscbnitt • mt Funktl.onswertes zu studieren. . emen u assenderen Ableitungsbegriffentwickeln. [+

•

1. Die totale Ableitung AmBeginn von Kapitel„5 habe~ wi~ bereits _dieBedeutungder Tangenteals lineareApproximationeiner Fwtktion erwahnt. Eme d1fferenz1erbareFunktionf(x) verhältsich in der i ähe einer Stellexoungefähr so wie ihre Tangente, nämlich die Geradet(x) = J(xo)+ J'(xo)(x-xo). ,,Ungefähr"bedeutet in diese1~ Kontext, dass der Fehler für x ~ x0 die Größenordnungo(lx - ,r 0 1) hat.überträgt man diese Uberlegungen auf den Fall von Funktionenin zwei Variablen~so heißt das,dass diese sich lokal wie ihre T~_ngentialebenenverhaltenmüssen.Der Fehlermuss verhältnismäßigklein sein. Die lokale Anderung der Funktion ist dann eine lineare Abbildung A : JR2 ➔ IR und lässt sich daher als Matrix schreiben. Diese Vorgangsweisekönnen'1Virauch aufden allgemeinen Fall f : ffi.11 ➔ Rm anwenden. Definition6.13 Sei D C ~n offen. Eine Funktion f : D ➔ JRmheißtim l>unktXo E D total differenzierbar, falls eine lineare Abbildung f' : JRn➔ lRmexistiert,so dass

f(x) = f(x 0 )

+ f'(x - Xo)+ R(x)

giltund der Rest R( x) die Bedingung

=0 llx- :xoll

lim IIR(x)II x-txo

(63)

erfüllt.Die lineare Abbildung f' heißt Ableitung von f im PunktXo,die dazu gehörigeMatrix A heißt Jacobi-Matrix oder Funktionalmatrix.Setzen wi'( x = (:r1,· .. ,:r.,.)undXo = (xo,1, ... , xo,n), so können wir die obige Gleichung ausführlicherschreibenals fi(x1 1 .•• ,x 11 )) (

:.

f m(X1,... , Xn)

=

(f

1(xo,1,-··,xo,n)) :.

+A

(x1-Xo,i) ) (6_4) : + R{x.1,.. , ,

f m(xo,I,... , Xo,ri)

Xn •

Xn -

Xo,n

Bemerkung: Man beachte, dass die Bedingung (6.3) äquivalentzu R(x)

=O llx- xoll

lim ---'-~

(6.5)

x-+xo . hl . . Wir werdenim Folgendensowo 1st 1st. , wobeider Grenzwert koordinatenweise zu verstehen von(6.3) als auch von (6.5) Gebrauch machen. t hren Funk. . fi . . im konkretenFall von ~ a ' . Wirwollen uns nun überlegen, was diese ~e mtt?n kt = (.ro,Yo).Dann gibt es eine tionenbedeutet. Sei f : JR2➔ IR total differenzierbar m1Pun Xo l x 2·Matrix A = (a, b) mit

:r -

:ro) + Rp-,y).

f (xi y) = f (xo,Yo)+ (a b) ( y - Yo 1

6 Differential-und lntegralrechnung in mehreren Variablen

--------~:::::.=-=----

-----=-:

~25~0

Daraus folgt insbesondere

J(x, ,IJo)= f (xo, Yo)+ (a, Da lim

:i:➔.ro

R(.r..yo) .r-xo

b)

(·r-.to) + R(.r,y O

0)

= f (xo,Yo)+ a(x - xo)

1-R(x, Yo).

= 0 ist. folgt a

. f(:r,y 0) =J:➔X(l lim . J -

f(xo,Yo)

= J.(:ro,yo). .2

.1:Q

. schl'1e8en wir b = Jy (.r0 . y0 ). Offensichtlich lassen• sich diese Argumente In analoger ,1., vvetse • . . . . • '"an·ablen übertraaen. Wrr haben damit gezeigt, dass Jede total diffeauch auf Funkt10nenm n v, o . . · b kalarweru· ae Funktion auch partiell differenzierbar 1st. o renz1er are, s Definition6.14 Sei D ~ JR11 eine offene Menge und J : D ➔ 1R.eine total differenzierbare Funktion.Dann heißt der Vektor

Gradientvon f. Nach den obigen Betrachtungenund der Tatsache, dass wir bei skalaren Funktion die einzeilige Matrix .4.in (6.4) auch als Spaltenvektorschreiben können, wenn wir statt dem Matrizenprodukldas Skalarproduktverwenden,ergibt sich der folgende Satz.

Satz 6.15 Sei D ~ !Rneine offeneMenge und f : D -4 lReine total differenzierbare Funktion. Dann ist die Matrix der Ableitung von f gleich dem Gradienten von f. Für x, x 0 E D gilt also f(x) mit limx➔xo R(x)/llx -

= f (xo)+ grad f (xo) · (x - xo) + R(x)

Xoll= 0.

Bemerkung:In Leibniz'scherSchreibweisehaben wir im eindimensionalen Fall die Ableitung als geschrieben. Die Beziehung zwischen der Ableitung und ihrer Funktion lässt sich dann au~h als df = ((.ro) dx schre~~n. Interpretiert man rlx als Änderung des Arguments 1-, dann h~ißt~as, d~ss die z_ugehörige Anderungvon f umso besser durch df = f'(.r·o)cl:rapproximiert wird, Je kleiner dJ' ist. Auch für das Rechnen mit Funktionen in mehreren Vaiiablen lässt sich die Leibniz'sche Notationanwenden.Setzen wir

f

dann überset:1.t sich (6.4) (mit m

= l) in

df = grad f(xo) dx = fJ:1(Xo)dx1 t ... + fx» (xo) dxn. Der Ausdruck dj wird das vollstäOd' . 11· ständige Differentialist eine A _•g~~•ffere~_tial von J an der Stelle x 0 genannt. ~as ~oer lldxll ist. pproxunationder Anderung von .f,die umso besser ist, Je klein

6_2 Differentialrechnung in mehreren Variablen 251

_ pkft•• hinKegel~tumpf1stdurch den Radius R = 6 der Grundfläche, den Radius r = 4 der Dec ac e und di H„h h Wie ändert sich das Volumen V = 1r;i(r2+ rR + R2 ) be' .. e O e .. 10 gegebenen. 1 der Großen R. rund h? Die Änderung wird näherungsweise durch das vollst" di DiA?derun~ an ge fferenttaJ Beispiel 6.16 (Volumsänderung

eines Kegelstum fs) E'

dV = grad V dx = (~) Vi

· (~~)

dh

h

7r

=

3 (h(r

= VR dR + ,_rdT + i ,h dh V„

+ 2R) dR + h(2r + R) dr + (r2 + rR + R2)dh)

angegeben. Eine __ Änderung der Angabe auf R = 5.7, r näherungsweise Anderung des Volumens V ~ 795.87um

=

4.l und h

=

10 _2 bewirkteine

l 601r l 401r 7för -3-. (-0.3) + -3-. 0.1 + 3. 0.2 ~-19.7.

also um etwa 2.5%.

Im Gegensatz ztu-partiellen Differenzierbarkeitfolgt aus der totalen Differenzierbark.eitsehr wohl die Stetigkeit

Satz 6.17 Jede total differenzierbare (skalar- oder vektorwertige)Funl-1ionist auch srerig. Beweis. Durchführen des Grenzübergangs in (6.4) unter Beliicksichtigungder Linearität (insbesondereder Stetigkeit und A · 0 = 0) und der Bedingungfür den Rest R(x) führt unmittelbar auf die Behauptung. D

Satz6.18 Ist eine vektorwertige Funktion total differenzierbar,so sind es auch alle Koordinatenftmktionen. Die Einträge der Jacobi-Matri.xA sind die partiellenAbleitungende-rKoordinatenfunktionen, d. h., für f : Rn ➔ ~mgilt

Folgerung:Jede total differenzierbare Funktion ist aud1partiell differen:ierbar.

Beweis. Sei A dann

= (aij )i=l ,...,m;j=L

... ,n

die Jacobi-Matrixvon f. Oi:ei-tc-Zeile ,on (6.4) lautet n

fi(x) - fi(xo) =

L nu(.i:,- XoJ)+ R,.( ). j=l

D R( ) .

. h fü R-(x) zutreffen.Darausfolgt .1herbt.x die Bedingung (6.3) erfüllt, muss.das au~ r ~.~, dtc Bchauptun_g. die konkrete re1tsdie erste Behauptung: fi(x) ist total differenzierbar. ic l\\ '" 6 10 GestaJt der Jacobi-Matrix, ist nun eine unm1tte · lbarc Folgerum!\·on -,atz · "·

~

..c

2. Ableitunpregeln.

cli S mmenregel überträgt sich direkt auf den mchrdimen~io-1 0'ie e1·nfachste Able1tungsrege, u Gleichungen ' .. d' ebeiden der Form (6.4), d'ie f und g entspreche nalen ie . f' und g ' gehongen .. . n, . Fall' denn man di muss. nur ·h atürlich auch die tu den Ableitungen Matriaddieren. Dann ad eren sie n zen. Es gilt also (f + g)' -=-f' + g' tSummenregel). . .. . Auch die Produktregelund die Kettenregellassen .:;ichubert1agen.

Satz6.l (Produktregel)Sei D ..

1

Üf

&x

mit y 0

= f(x 0 ).

(df ) (Yo) - Bx(xo)

1

6_2 Differentialrechnung in mehreren Variablen

253

g!

Beweis.Sei A = (g(xo)) uoctB = ~(Xo). Weiterssind d' · F torenx, f(x), usw. als Spaltenvektoren aufzufassen.Danngilt1eim olgendenbenötigten Vekf(g(x)) g(x) . l" wobei IIDx-4xo

IIR1(g(x))II llg(x)-g(xo)II

_ -

= f(g(xo)) + A(g(x) - g(:xo))+R1(g(x)), = g(xo) + B(x - x0 ) + ~(x), l"1111

l\~(xll x➔xo llx-xoll

(6.6)

{6.7)

= 0. Aus (6.6) und (6.7) folgt

f(g(x)) - f(g(x 0)) = A(g(x) _ g(X-O)) + Ri (g(x))

= A.(B(x - Xo)+ R2(x)) + R 1 (g(x)) = AB(x - x0 ) + R(x) mit R(x) = AR2(x) ~ R1(g(x)). Da IIB(x - Xo)ll/llx - Xolldurch den größtenEigen\\ert vonB beschränkt ist, gilt ...

(A.R2(x) + R1(g(x)) . llg(x) - g(:xo)I[) llx - :xoll llg(x) - g(Xo)II llx - Xo!I = lim (A· R2(x) + R1(g(x)) _ IIB(x-Xo) +R2(x)II) = llx - Xoll llg(x) - g(:xo)II llx - Xoll ·

R(x) = lirn x➔xo llx - xoll x-4xo lim

0

x

4

xo

unddaher ist die Jacobi-Matrix von f o g gleich AB.

0

Beispiel6.21 Wir betrachten eine Funktion f : IR2 ➔ R. Wie lässt sich die Änderung der Funktionbeschreiben. wenn wir nicht in kartesischen,sondern in Polarkoordinatenrechnen. Die Transformation auf Polarkoordinaten geschieht mittels der Substitution .r = r('(k,-; und y = rsin 0 fürh)hinreichend f ( ) .. < t 1:>tCek.lem genug). dann folgtdaraus f (x + > j, _x fur O ~ 11h11 < c. Somit liegt ein relativesMinimum vor. 1st Der Term hll1(x)h a?er eme q~adratische Form {siehe Bei piel 6.lf), denn aufgrund desrSatzes vo~ Schwarz ist H 1(~) eme s~mmetrischeMatrix. Somit ist die Bedingung die He~~e · •~t. · 1n hHJ( x)h > . 0. gleichbedeutend .damit, dass • · -Matn·x H f (x ) post·t·1v defi mt analogerWeise ~-olgtaus der negativen Definitheitvon Hi(x) das Vorliegeneine. lokalen iaximums.Diese Uberlegungen führen somit zum folgenden Satz.

Satz 6.34 Sei D ~ IR. eine offene Menge und f : D ➔ !Il Weiterssei x0 E D ein Punl1 mir grad J(xo) = 0. Bezeichne H(x) die Hesse-Matrixvon f in x. Falls H(X-O) negativdefinit isr, so liegt bei Xo ein relatives Maximum vor. Im positiv de.finitenFallliegt ein relatirel Afinimum vor.Ist H(x 0 ) indefinit, so ist an der Stelle Xo kein Extremum.sondernein Sattelpunkt,·on j. 11

Bemerkung: In einem relativen Minimum x genügt laut Definition f (x + h) ~ J(x) für 11h11 < c. Trotzdem reicht es nicht, wenn H1(x) bloß positiv emidefinit ist. Denn fall Hi(- } positiv sem.idcfinit, aber nicht definit ist, dann könnte man h mit I hl < ~ .o \\ ählen. da ~ hHi(x)hr = 0. Dann würde aber in (6.11) das Vorzeichen"on f(x + h) - ffx) nicht durch dieHesse-Matrix sondern durch das Verhaltender Termedritter undhöhererOrdnungbe ·timmt. Folglichist dann keine Aussage über das Vorhandenseineines relativenExtremum, möglich. Beispiel 6.35

!5.r-

(a) Gesucht sind die relativen Extrema der Funktion /(:r, y) = .r~ + 3rf 12y 2 (siehe Abb 6.9). Partielles Differenzieren liefert J,J.r, y) = 3x'" + 3y - 1->= 0 und Jy(x,y) _ 6xy - 12 = 0. Wir erhalten das nichtlineareGleichungssystem 2 y=-. . .r · stattonaren · .. Punkte s1'nd• E1"nsetzen der zv.eiten in die e.r--t dessen Lösungen genau d1e . 2 Gleichung führt auf die biquadratische Gleichung:;-4 - 5.r + 4 = l~:die nach ~er"_uh. d . h Gl ·chung ~5 ~.. + 4 0 ubereeht. Da führtd 2 . stitution z = x m die qua rattsc e ei ~ •

=

letztendlich auf folgende Kandidaten für relative Extrema: (l, 2). (-1. - 2), ( 2- 1) un

(-2, -1). Die Hesse-Matrix

H1(x, Y) =

.

..

.

f xx f xy)_ (6x6Y) ( /xy fw - 6y für f -

2

?,

6. > Ound det HJ(x,y) = 36(.r -!f) > 1stgenau dann pos1ttvdefinit, wenn ;i·.r - 1 d d t .1 (x y) > o \Vir seucn die . d fi . enn ßa· < 0 un e 1l J . , . , und genau dann negatlv e rut, w . h - und bekommend t H1(l. 2 . wu. oben bestimm . t haben, .der. Reihe oac em 11 Punkte, die . kfinit und es lkgt an diesen te en

0 und dct, Hi (-1 2) < 0. Die MalrlX1stdaher mc • d r (2 1) _ 12 0 1st m 0 un Jr:r. • ' d II (2 1) ....._ kein relatives Extremum vor. Wegen et f . · r ; fi }ot aus dl't H (-:, 1) ' 0 und 81 0 (2, l) ein relatives Minimum von f. Und sc~hc ct_ , e„a.,i~uum,on / hegt. ' . (- 2 -1) em re1a i, t: ·• !:i:.c( -2, -1) = - 12 < O, dass m , .. . /{ . ) = :r, y· 2„1 1 Die (b) Gesucht sind die relativen Ex.trcma der Funkt,ond /{• ~ ~,) _ 2 x. Die Kandidaten . . ( ) 'J;: - :Jyun Jt1 .1,:, partiellen Ableitungen sind f:r ,u Y -

6

Differential-und lnLegralrechnung in mehreren Variablen

~262~------~~:::=:.----=:c__-----'------...:..::.__:__:--

30

100

20 0 10 -100 4

0

0

-4

2

y

X

Abbildung6.9 Die Funktionenf (x, y) = x:.i+ 3xy2 - 15x - 12y und

f (x, y) = x2 + y2 - 2xy +l

für relativeExtrema, also die stationären Punkte? sind daher alle Punkte der Form (a,a). Wegen

2 -2

-2

2

=Ü

ist die Hesse-Matrixan keiner Stelle definit. Das Kriterium von Satz 6.34 versagt alsohier. In diesem Fall lassen sich die Extrema dennoch leicht bestimmen. Denn schreibt manJ 2 in der Fonn J(x, y) = (x-y) 2 + 1, so folgt sofort f (x, y) > 1 für alle (x, y) E IR., wobei Gleichheitnur in den Punkten (a,a) mit a E IRgilt. Damit ist jeder der oben bestimmten Kandidatenein Minimum, ja sogar ein globales Minimum. Da f nicht beschränkt ist (siehe Abb.6.9), gibt es kein Maximum.

Wir haben in diesem Abschnitt alle Sätze für Funktionen forn1uliert, deren Defmitionsbereich eine offeneMenge ist. Der Rand gehört in diesem Fall nicht zum Definitionsbereich. Falls

man es mit Definitionsbereichenzu tun hat, die keine offenen Mengen sind, so muss man bei der Suche nachglobalenExtremawie folgt vorgehen. Zunächst müssen alle lokalen Extremaim Inneren des Definitionsbereichs- wie oben beschrieben - gefunden werden. Durch Vergleich der entsprechendenFunktionswertefindet man Maxima und Minima unter den lokalen Extrema. Es könnenjedoch auch am Rand des Definitionsbereichs Stellen mit noch größeren bzw. kleinerenFunktionswertenexistieren, die aber keine stationären Punkte sind. Deshalb müssen die Funktionswerteam Rand gesondert untersucht werden (vgl. Übungsaufgabe 6.36).

2. Extremamit Nebenbedingungen Beispiel.6•36 F"ur ct· · ie. HerStellung emes Produkts D sind die Zwischenprodukte A, B und. C erforderlich.Aus x Emheiten von A, y Einheiten von B und z Einheiten von C lassen s1_ch t~'J1z) = 12./XYz Einheitenvon D herstellen. Eine Einheit von A kostet 3 Euro, eine Ein;~ ..nktes PrM~uktsB 2 Euro und eine Einheit von C 5 Euro. Das Budget sei durch 60 Euro ?ea • 1tdemvorhandenenB d t 11 . D roduziert werdenGe h . u ge so en nun möglichst viele Einheiten von P d 1 . suc t ista so das Maximumder Produktionsfunktion .f (x, y, z) = 12ftyt unter er

------------

6.3 Bestimmung von Extrema

4

263

Nebenbedingung 3.r !-2y +-5z - 60 ==o ff M" . . V . . me oghch.keitd' Sub.Litutio~einer an~blen aus der Nebenbedin uno· ' iese AufgabeL.ulö,en, ist mmeh • J(1 1/,z) ern und besl1mmt die Extrema de , g e· Man setzt LB. z ==12 .3, - _ J _ ', . . f . . r so gewonnenenF k . . . .., -1./ ) m ProblemI l darrnt au eine Extremwertaufgabe ohne _untion rn i:~e, Variablen D~ . . . . . ebenbedlßgungZurück gefühn. Die ,m obigen Be1sp1e1vorgeschlaocne y, . ._., . . t:, organoswe1sefunkt" . benbedingung nach erner Variablen auflösen Iä, t e . . iornen nur. \\enn Kh dJe :'\e. 1· . F ss . 5ie i~toft eher h denn, dJCexp 1z1te orm der Nebenbedingung h· t . . . mu ~amanluwenden. e..,..,e1 · · F • . a eme hinreichend · , b werden wir 1m olgcnden erne rn vielen Fälle I emiac e Ge talt De'lhalb n e egamere Method .. . e pra-.entieren.die .Mechode der Lagrange'schen Multiplikatoren. Betrachten wir eine Funklion f (:r y) de E . . , ' ren xtrema wie unter d be ) g(:c.y = 0 bestimmen wollen. Die Funktion/( k" . er e nbedmgung . . :r, Y) 'Onnenwir durch ihr •· anschauJtchen (Abb. 6.10). Die ebenbedinguno b . hr .b e l\eau 1m1en,er. . - . . . o esc e1 t eine Kurve C r.:-~ B h wll' mit f die Em chrankung von J auf dje Meng C D· . im ~"l • eze1c nen . e · ann md die Extrema von J t d gegebenen Ne benbedrngung nichts anderes als d' E un er er · • ( ) · ie xtrema von f Jede Niveaul · "" veau c te1ltdie x> y -Ebene in zwei Gebiete näml'ch d G b' . ime nrrn ~"1jenes, wo J(x, y) < eist. . I as e iet,aufdem/(i-.y) >< gilt.und

Abbildung6.10

iveaulinien einer Funktion J und die durchdie ebenbcdingungg(r, y) = l) be~chne~nt: Kun~

. An jedem Schnittpunkt der Kurve C mit einer Niveauliniehat C mit heiden dieser Gebiete emen_nichtleeren Schnitt. Daher kann hier kein Extremum von J vorliegen. Ein Extrcrnwn von f ist daher ein Punkt, wo sich eine Nivcaulinievon f und die Kur\'e C nicht ~hneiden. s~nctcrnnur berühren. Da der Gradient von J nonnal auf die iveauliniensteht und C eine Ni_veaulinie von g ist Uene zum Niveau O).folgt daraus,dass die Gradienten,oa J und~ parallel sein müssen, sofern letzterer nicht verschwindet. Lt x eines der gesuchten E,trema. '-O mus!es infolge dessen ein ).0 E IR geben mit grad /(x) = ,\qi,rad gtx). Anders formulien: Die Funktion

F(x, ,,\)= J(x) - ,\g(x) erfülltan der Stelle (x , ;\ ) die Gleichung gTadF = o.Ähnfü:hlann man ,·orgt•hen."t·nn man mehr_ereNebenbedingungen O O • .. • 111 ß l'Otlill 1..- ·h hat, deren Gradienten hnear unahh:m,gig · • d· o·"' tt:$e tungen liefern die Grundlage des folgenden Satzes.

--4

c .

1

D·1ct·-p---.--, •

--

te . rodukt1onstunkrion

---

--

J(.c:,y, ::)

für .r, !I,:?

·

11•n d""'iVanablenist \\ m.iJas Ma,imwn

0 monoton m a

t:

•~

•

.

•

•)

~ elt: wenn das vorhandene Budget voll ausgenülll wird. AndcmfalL mll~'-tedi~ dx·nt-iedmguni,lc .. -!I + 0 ~ - 60 'S O lauten.

_~'.------------_.:::_.::.::.:..:.-----

6 Differential-und Integralrechnung in mehrerenV· . -------.:..:..::·

~64

anablen

e'scben Multiplikatoren) Sei D C IRneine offeneM Satz6.37 ~letbode der L!gr(~gl m) seien stetig differenzierbare Funktionen. f ben_ge, 1R 1 . D --t .11\. l - , · · · , esuze und J: D ~ , 9 • unter den Nebenbedingungen 91(x) = Ü, · · • , .9m(x)= O,undd' . . lokales Extremum . .. . D . . ie ,n Xo em d (Xo)seien linear unabh angig. ann exzstierc ein V.kt 0 Gradientengrad 91(xo), · · ·, gr~ Fgmk . e r >. ) E ]Rm, so dass die un twn (..\01,... ' Om m

F(x, A1,... , Am)= f (x) - ~ AJ9j(x) j=l

die Gleid1ung erfüllt.

Anwendungder Methodeder Lagrange'schenMultiplikatoren: ~ir wollen die Extremavon f(x) unterden Nebenbeclingungen g1 (x) = 0, ... , 9m(x) = 0 bestimmen. Dazu machenwir denAnsatz und suchendie Lösungender Gleichunggrad F(x, A1,. ... Am) = 0. Wir erhalten dien Gleichungen

F.c;(x,..\1,... , Am)= f:c,(x) -

L Aj9xi(x) =- 0 j=l

sowiedie m GleichungenF>.,(x, ,\ 1, ••• , ,\m) = gi(x) = 0, die genau mit den Nebenbedingungen übereinstimmen. Man bestimmtnun alle Lösungen dieses Gleichungssystems und erhält aufdieseWeiseallePunkte,die Lösungender Extremwertaufgabe unter den gegebenenNebenbedingungen seinkönnen.Für jeden clieserPunkte muss noch gesondert geprtift werden,obes sichumein Extremumhandeltund um welche Art von Extremum (Minimum oder Maximum). DieseÜberprüfungensind oft schwierig.Hier können aber in manchen Fällen zusätzliche Argumenteherangezogenwerden.Zum Beispiel kann die Menge aller Punkte, die sämtliche N:benbedingunge~ erfüllen,nämlich C = {x E D l g1 ( x) = O für 'i = 1, ... , m}, kom~akt sem. Wennf stetig ist, dann besitzt f auf C ein globales Maximum und Minimum.Diese beide~Extremasind auchlokaleExtrema und lösen daher obiges Gleichungssystem. nd, Vte]eExtremwertaufgaben haben einen physikalischen oder wirtschaftlichen Hintergru so dass auf die Existenzeines Extremums und dessen Art aus sachlichen Überlegungengeschlossenwerdenkann.

!eis~iel 6•38 (Fortsetzung von6.36) Wir waren im vorigen Beispiel mit einer Produkti~nsf(x, y. z) = 12/xYzu_ndder Nebenbedingung 3x + 2y + 5z - 60 = 0 ko~frontJ~rt: ~rundder Problemstellungmteressieren uns nur Werte mit x y z > O. Mit dieserEtn schrankungbesche·bt ct· N b . , ' also · k · r 1 te e enbeclingungeinen beschränkten Ausschnitt einer Ebene,. . KOord1na· eme ompakteMengeC A R d te gleichO· t . fti : m an von C, das sind jene Punkte wo mindestens eine >0 1 gilt. Desh~~•g~~:;s :n~ch~Jichf \x, Y, z) = 0, während global 'die Ungleichung J(x, Y,~\ika· torenmachenw· d An em Maximum.Gemäß der Methode der Lagrange'schen Multip ir en satz

A;;1100

F(x, Y,z, A) = 12\l'xyz - ..\(3x + 2y + 5z - 60)

.4 Integralrechnung in mehreren Variablen ________

~265

~:::...----e---___:_:_-=::'._ 6

nd setzen al1e partiellen Ableitungen o. w·ir erhaJten nach inf h

U

cbungssystem

e

~ zweite Gleichung ergibt = _x,

2-

Divisionder ersten durch die

xz 3 -=A y

✓yz X

fiii = 5>.. 6y-;-

'

{iji

. y xz -

ac er Umformung das Glei-

y

3

V;J.= ~ = "i'

Nunnimmt man statt der zweiten die dritte Gleichungund erhält 3

z -=-

5

X

Darausergibt sich mit Hilfe der Nebenbedingung schließlich

x=

20

3 , Y = 10, z = 4 und f(x,y,z) = 80v'6.

6.4 Integralrechnungin mehrerenVariablen Wie bei Funktionen in einer Variablen wollen wir nun auch für Funktionenin mehrerenVaria?len die Inte~ralrechnung entwickeln. Wieder bieten sich zwei Zugängean. Eine Möglichkeit 1st,das Integneren als Umkehrung des Differenzierenszu betrachten,die andere.die Volumsberechnungin Analogie zur Flächenberechnung durchzufiihren.Da die zweite Möglichkdt ehr ähnlichzum eindimensionalen Fall ist, beginnen wir zunächstdamit. 1. Bereichsintegrale

Wirbeschränken uns hier auf Funktionen in zwei Variablen.Sei also f (I. y) eine stetige Funl-tion in zwej Variablen. Anstelle des Integrationsintervallstretennun zweidimensionaleBereiche. 1 Der einfachste Fall ist wohl das kartesische Produkt von zwei Intervallen.also b x ,L·.d}. DieseMenge ist ein Rechteck in der Ebene. Das bestimmtelntegral einer Funktion in einer ~ariablen über ein Intervall [a.,b]ließ sich als Grenzwertvon Riemann·sehenZwischensummen mterpretiercn.Dabei wurde das Intervall in viele kleine Teilintervallezerlegtund in jedem Teil• intervallein Funktionswert an einer so genannten Zwischenstelleau~gewählt.Das gleiche Verfahren funktioniert auch in zwei Dimensionen. Das Integral Ifra.bJ'

1

h,f(x,y)d(x,y)

= J.2~ ((-sint)2+cos

2

t)dt=21r.

0

DieIntegrabilitätsbedi ngungen sind daher nur notwendige,aber keinehinreichendenBedin2Ullgenfür die Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals. e b.

Definition6.64 Ein Gebiet D C Rn heißt einfachzusammenhängend, wenn siY,z)

US F~

= !1 folgt

= j(y2+ z) dx = xy2 + xz + c(y, z)

miteiner von y und z abhängigen Integrationskonstauten c (Y, z) • Darausfolgt 2xy

daher cy(y1 z)

+ z3 = Fy(x,Y,z) = 2xy + ey(y,z),

= z 3 und in weiterer Folge c(y) z) --

yz3 + d(z). Schließlicb . gilt

X+ 3yz2 = Fz(x, Y, z) = x + Cz(Y,z) ==X+3yz2+ d'(z) und folglich d' (z)

= 0, also ist d(z) konstant.Zusammenfassendfolgt F(x,y,z) = xy 2 +xz+yz

3

+d

mit d E JR.

..

6.5 Ubungsauf gaben 6.1 Manstelle den Definitionsbereich und den WertebereichfolgenderFunktionenfest und beschreibe dieNiveaulinien:

✓ (b) J(x,y) =1-

y2 4 9. x2

6.2 Gegebensei die Polynomfunktion J(x, y) = xy 2 - lOx.Man bestimmedie Gleichungenihrer Schnittkurven mit den senkrechten Ebenen x = xo bzw. y = Yosowie die Niveaulinien für .: = Zo undskizziere alle drei Kurvenseharen. Mittels eines Computeralgebrasystems ermittlemaneine 30Da(Stellung der gegebenen Funktion. 6,3 Gegebensei die quadratische Form q(x) = q(x, y) = 4x2 +2/ay + 25y2 mitb ER. Wielautet~ zugehörigesymmettische Matrix A, sodass q(x) = xr Ax. Für welche Wertevonbist dieFormposttiv definit? 6·4 Eine Funktion f(x , ... 1 (x1,· · · , Xn)gilt

, xn)

heißt homogen vomG,radr, falls für jedes feSle

..\

> O undalle

J(>.xi, ... , .Xxn)= ).." J(x1,.. • ,x,-i).

Manbeweise,dass die beiden Produktionsfunktionen (a) J(x,y)

= cxoyl~o:

(b)

g(:.r,y)= (c.ra+dt/o)l/a

(~Arbe· . • ff enitätsgrad r = 1 sincl. Prilfal s· it, Y Kapital, c, d, a konstant) homogene Funkuonenvom omog iefernernach, ob

(c) f(x 1 y, z) = x

+ (yz) 112

(für y, z

c 0)

(e) f(x, y) = axbyc (mit a, b, c E JR,x, Y > O) homogen sind.

(d) /(:r,y) = St +Y

6

Differential- und Integralrechnung i.nmehreren V .

--~:__-----------~-:::::.::..=:=.:..-----=------=------=--=-:..:~~blen

~82

--

. . ß E IRden Grenzwert limt-tO f (at, ßt) der folgenden Fun.kt' 6.5 Manuntersuchefürbe1Leb1ge a, . ? lonen. lst die FunktionJ(x, y) im Punkt (0, 0) steug. (a)

(b)

_ ) /( x, Y -

IYI für (.i:,y) -1(0,0) und f (01O)= 1 lxl 3 + IYI _ 2y2 für (:li,y) i=(0,O)und J(O,0) = 0 !( x. y) - !xi+ y2 x cos ½+ y sin y f (X'y) = 2x - y

6.6 Sei

für Of 2x -1,y. Man untersucheund vergleichedie iterierten Grenzwerte lim lim J(x y)

y➔O x--tO

'

lim lim f(x, y).

und

x-tO y-'tO

Existiertder Grenzwertlirn(:r,y)➔(o,o) f(x, y)? 6.7 Sei

x

f(x,y) = für O# y

+ ycos

l

x+y

Y

J -x. Manuntersucheund vergleichedie iterierten Grenzwerte lim lim J(x, y)

liro lim f(x, y).

und

y➔O:i;➔O

x➔ Oy ➔O

Existiert der Grenzwertlim(x,y)-t(O,O) J(x, y)?

6.8 Man untersuchedie Funktionf (a) f(x, y) (b)

xy

: IR2 ➔ IRauf Stetigkeit (Hinweis:

a

+ b 2: 2'1ah

für a 1 b 2:0):

.

= !xi+IYI für (x,y) i= (0,0) und J(O,O)= O,

f(x, y) =

xy2 + x2y

X2

+

y2

für (x, y) # (0, 0) und J(0, 0)

~-9 Sei [ : lR~➔ lRdefiniertdurch f(x, y, z) nonsbere1ches1stf stetig?

= cos(xy) +

= 0.

l+s;~~welchen Punkten des Defini2.

[n

Y

6.10 ZeigenSie: Die Kompositiong o f stetiger Funktionen f f(I) ~ Mist wiederumstetig.

: J ~ IR --t IRn,g : M ~ IRn➔ Ilr mit

6.11 Manuntersuchedie Stetigkeitder Funktion J : ]R2 -➔ IRim Punkt ( O,O): f(x,y)

= { :~~t~ 0

(x,y) i= (0,0) für (x, y) = (0, 0)

für

d~-1~ ~ü~ die Funktion f(x, y) = ✓1 - x 2 - y 2 berechne man die partiellen Ableitungen f'];,fy uocl ie 1e1c ung der Tangentialebenean der Stelle (Xo,Yo)= (0. 2' 0. 3). ,~ 1~ Man ber(echnealle partiellenAbleitungenerster und zweiter Ordnung für die Funktion f(x, y):::: X Sm Y + COS X+ 2y).

6.14 Manprüfenach ob die g • h . punk,tiO nen f(x, y) übereinsti~en: enusc ten partiellen Ableitungen fxy und f vx für die folgenden (a) f(:t1Y) = ~

'

1 +y2

R

(c) J(x, y) ==

-

6.5 Übungsaufgaben

283

. 6_15 Man bestimme den Definitionsbereich der folgendenVeklorfu . wo sie existiert: nktionenf(t) ,ow1edte Ableitung, (a) f(t)

=

(

(

✓1 ~ 3t2 2t

4

)

1

5

'sin 1 +t'

)

(b) f(t)

=

(

sUO(l+ cos t),

tl )

✓i-t 2

6·16 Manbesümme die partiellen Ableitungen der ~olgenden Funkllonen· . 4x2y2 . (a) J(-t, y) = arctan 1 + :r + Y (b) f(x. Y, z) = Y, Jxz (c) J(x ' y)

1 + $in2 (.xyz)

2x 3y

= arclan y ---x3

(d)

J(.c,y. z) =

VI+ y3z'2 1 + cos2 (1 + x)

6.17 Man bestimme die Funktionalmatrix der folgendenFunktionen: (a) f(x,y,z)

(c) f(x,y,z)

=

(

= (

sin (x

+y -

cos~

z) )

(b) f(x.y.::)

=(

(d) f(x,y,z)

=(

z

~)

z·e

Y

x

~ xY:2

)

ln(~ctan(.r+y2)) ) xcos(y~ - ,/r). tan\:ry.:)

6.18 In welcher Richt:lmg erfolgt die maximale Änderungvon

f(.r:, y, z)

= x2 sin(yz) - y2cos(yz)

vomPunkt Po(4, 1, 2) ans, und wie groß ist sie annähernd?

6.19 Durch z = :r1y ist eine Fläche im IR3 gegeben. Die Beschränkungvon :r.und y auf die Wenc x = et und y = c-t (t E IR) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimme ;ftmiueb Kettenregel und mache die Probe, indem man zuerst x und y in ;; einsetzt und anschließendnach dem Parameter t differenziert.Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche horizontal? 2 undgi,(u, t·) = f,g(u, t') = -u...t..t•:i_ 1 ) = 'U -i· 6.20 Für eine Funktion g(u, v) eig.u(v,v) = ,fug(11,1. Man bestimme h(t)

= ig(2t, t2 + 1).

6.21 Mit Hilfe der Kettenregel berechne man den Wertder partiellenAbleitungder Funktion F( x. Y) = f (g(x, y), h(x, y)) nach y an der Stelle (0, O),wobei f(u.1·) = u2 + l' 2, g(.r, y) = j, vertauscht man ai und a,,, wodurch das Pivotc-lcmcnlan nh n u , ai nn die korrekte Position kommt: Alle dem Pivotclemenl\'OrangehcndcnElcme-.nte der Liste ind dann kleiner als dieses. und alle nachfolgenden Elemente sind größer od~r gld h. D"r bc tb.rieben Prozess wird daraufhin mit den beiden Teillisten a, . .... 1 -1 und a +1, .•. , ~ rek'll h fi rtgesetzt. bis sich letztlich alle Listenelemente an der k.om;ktenPositionbefindenund die "otti -rung damit abgeschlossen ist. Wir fragen nun nach der durch"chnitllichrn nzahl t'n \JOO \ c rgkkhcn ( , ITT!!_!t' u e Analyse), die man beim Sortieren von 1 ,~rnchicd~nenfiktncill n t"in r Lhte minet...Qui k~on durchführen muss. (Bei der Anal)SC't>ine5 Igo1ithmu,sind darüber hinau \\ 1terc K nn.großcn wie etwa die Anzahl rekursiver \ufnife. \'~rgkkh~t'J}C'rationcn für 8'. t n,e und \\ nn;t Case oder der Speicherbedmf von Bedeutung. 1-'ürfl = 1 i~tt'1. 0. fur ......1 i t d1 nz-ahJ der Vergleiche, die man benötigt. um du-.J h·otelemt'Jlta m d1 nchtigt~ P 0 gibt, so dassfür alle Lösungsfolgen(xn) mit lxo - x' 1< ö(c) gilt lxn - .c·I< c für allen. Ein Gleichgewichtspunktx* heißt asymptotischstabil, wenn es außerdem ein festes o > Ogibt, so dass für alle (:rn)mit j:r0 - x*I < Ogilt limri-.ooXn = x". Anderfälls heißt x* instabil. Ein GJeichgewichtspunkt.r* ist also stabil, wenn jede Lösungsfolge der Differenzengleichung in einer beliebig vorgegebenenUmgebung von x* bleibt. falls sie nur nahe genug bei .r• beginnt. Konvergiertdie Lösungsfolge zudem gegen .r*, so ist der Gleichgewichtspunkt asymptotischstabil. Ob eine Lösungsfolge gegen einen Fixpunkt konvergiert, ob sie um einen Fixpunkt oszilliert oder divergent ist, ist aus der graphischen Darstellung ersichtlich. Die in Abb. 7.3 dargestellteDifferenzengleichungbeispielsweise besitzt zwei Gleichgewichtspunkte xi und x 2. Offensichtlichkonvergiert die Folge :r0 , I 1, x 2 , x 3 , . . . gegen x 2. dieser ist asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.Anderseits gibt es keine Folge ( x·ri), welche gegen xi konvergiert(mit Ausnahmeder konstanten Folge (xr)). Der Fixpunkt x7ist abstoßend unddaher instabil. Die Gleichung in Abb. 7.4 besitzt einen asymptotisch stabilen Fixpunkt xi mit oszillierendemLösungsverhaltenund einen instabilen Fixpunkt x 2 sowie divergente Lösungen.

= f (xn) ist asympto-

Satz7.13 Ein Gleichgewichtspunktx* der Differenzengleichung x . h b I n+l tisc sta ll, falls J'(x ·) 1 < 1, und instabil,falls If' (x*) 1 > 1 gilt.

in der lf'(x)I ~ A < 1 fur em geeignetes>.< 1 gtlt. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt dann

B~~is. ~Fa11 lf'(x•)I

Is~der Starrn-~rt Xo 0, folgt sofort 1,, > 0 für alle 11. Wir berechnen zun 'chSt die Gleichgew1chtslugen d1e:-.ermchtlinearen Gleichung gemäß -

f(x)

=

1(.r+ ~) I

⇒

2

=

x

=

a

x• =

\ o.

Zur Überprüfung der Stabilität von i·• bilden wir f'(.r-)

= ~ (12

a,,)⇒ f'(.r*) = f'(,lä)

r

= 0 < 1.

~lso ist der einzige Gleichgewichtspunkt .r• -= v a asymptoti~cb,tabiL (Tat chli h k n, rgiert ) Jede Lösungsfolge der Differenzengleichung mit beliehig.em(po iti, -n 1 .'tart,,ert geg n 6.

Beispiel 7.15 Die Gleichung .r71 !\ 2 5.rn - O.Olx! für n - 0.1. 2.... he chre1bt in o g~nanntes diskretes logistisches Wachstum. d.i. ein grundl gcnd ' \\ h,tum mod 11mit znhlrctchen Anwendungen u.a. in Biologie und \Virtschaft. Die Fixpunkte di r Glci hung ind .rj 0 und .r -= 150. Mit J(.r) = 2.5:r - 0.012·i i,t /'( ·) 2 5 - 0 02.r. mit folgt 2 1/'(0)I = 2.r>> l und lf'(!.")0)1 0.5 < Ld.h„derGlei·hg wi ht punkt i Oi tin l bil ~

und

.r;= 150 ist asymptotisch stabil.

7 Differenzen- und Differentialgleich

„9,_8 __

un~_n

~----------------------

LineareDifferenzengleichungenzweiter Ordnung

7.3

Vielfach las en ~jchAufgab~nstellungcnam, den An~end~n~en, ":':lche durch mehrere Differenzengleichungenbeschrieben werden könne~, auf eine einzige D1fferenz~ngleichung höherer Ordnung zurückführen. Wir beschränken um,m1 F?lg~nden au~ de~ Fall hn~arer Differenzengleichungen z\\eiter Ordnung mit konstanten Koeffizten~en.Die hier beschnebenen Resultate können jedoch direkt auf Gkichungen höherer Ordnung ubertragen werden. Ausgangspunktin diesem Abschnitt ist die lineare Differenzengleichung zweiter Ord-

nung der Fom1

+ OXn+l + b.r. = Sn, Tl= 0, 1, 2, ... , a und b konstante Koeffizientensind (mit b # 0) und Sn eine möglicherweise Xn+2

(7.5)

11

von n abhängige Störfunktion bezeichnet. Ist ~11 = 0 für alle n, spricht man wieder von einer homogenen, andcrnfall, von einer inhomogenenGleichung. Wie bei den Gleichungen erster Ordnung besteht auch bei linearen Differcnzengleichungenzweiter Ordnung folgender Zusammenhang:

\\O

atz 7.16 Die Lösungsgesamtheiteiner linearen Differenzengleichung zweiter Ordnung ist ge(h) d.ze aIIgemeine . w·sung d er zuge horzgen ·· . geben durcJ1 .rn = Xn(h) + .l'n(p) , wo :.rn homogenen Gleichung und x~) eine beliebigepartikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist.

Dementsprechendgliedert sich der Lösungsweg in folgende Schritte: 1. Be timmungder allgemeinenLösung x~h) der homogenen Gleichung, 2. Bestimmungeiner partikulärenLösung .r~), 3. Ermittlungder Lösungsocsamtheit oemäß x n to

= •r(h) ·n + x(P) 11

•

Wir beginnen mit der homogenenGleichung Xn-t2

+ axn+l + bxn =

0,

(7.6)

n = 0, 1, 2, ...

. 1e L·· osung JC zweiter Ordnung gemäß Schritt 1· Offensichtlich 1·s•t .n >.2+ a,,\+ b -

0

0.

Wir erhalten somit eine quadratische Gleichung,die so genannte charakterl~tische Gleichung für>.. Ihre Wurzeln A1und >.2werden als charakteristischeWurzelnbezdclmet. f\.1i1Af und>..; sind dann nach Satz 7. l 7 auch alle Linearkomhinatiouenx'l = C1>.r+ Qz.,\2wieder Lösungen der homogenen Gleichung. In Abhängigkeit von der Diskriminante a2 - b der ch:mu.:teristi~ sehen Gleichung unterscheiden wir drei Fälle: (i) a2 Xn

-

=

4b > 0: In diesem Fall sind die Wurzeln >.1 und A2 reell und verschieden. und C 1 ,W+ C2 ,,\~ mit C 1 • C2 E IRste1Jldie allgemeineLö-ung dar. Denn v.egen

ist die Bedingung von Satz 7 .17 erfiillt. (ii) a 2 - 4b < O:In diesem Fall sind >.1 und >. 2 konjugiert komplex (und wieder ''-',rschied n). Auch jetzt ist durch Xn ==C 1 Af + C2 ,\~ die allgemeine l üsuog der Glekhung gegeben. allerdings sind die Lösungen i. Allg. komplex (Jicsmal mit t. 1 • C2_€ C). Um daruu, diereellen Lösungen zu erhalten. setzen \\lit ,\ 1 und ,\z in Polarl;:ourdtnntenan. al,-.. ~1 .... r (cos .7= {C1 + C2n)>.~' mit

C1, Ci C lR

Lösung, und zwar die allgemeineLö~ung, denn {l)

Xo

,.(1) •'' 1

(a

(2)

Xo

1.(2) · l

= ohätte wegen a 2 = 4b auch b ==0 zur Folge, was nicht möglich

ist).

Wir fassen zusammen: 2

Satz 7.18 Sind ).1 und ).2 die Lösungender charakteristischenGleichung >. +a,.X+b = 0, dann lautet die allgemeineLösung der linearen homogenen Differenzengleic:hungXn t2 + UXn+i + b.r.n= 0

falls Ai -/::,\2 reell falls ,\ 1,2 = r(roscp ± isin-;,) konjugiert komplex falls .X1 = A2reell mit Cl,C'.l.ER.

Beispiel7.19 (a) Die DifferenzengleichungXn+ 2 + i·n➔ 1 - 6x 11 = 0 besitzt die charakteristische Gleichung >.2 + ,\ - 6 = 0 mit den Lösungen ,\1 = 2 und .,\2 = -3. Folglich lautet die allgemeine Lösung gemäß (i) ,r;n = C12n -t C2(-3t, C1, C2 E lR. (b) Die Gleichung Xn+ 2 - 2.t.n+J+ 2.rn

=

2.;\+ 2 = 0 mit den Lösungen ,\ 1,2 nach Fall (ii)

2 >-.

0 hat dagegen die charaktcristsiche Gleichung = 1 ± i-= v'2(cos .?!. ± i sin 2r). Also ergibt sich 4 4

Beispiel7.20 (Fibonacci-Folge, Fortsetzung) Wir sind nun in der Lage, eine explizite Oarste11ungfür die Fibonacci-Zahlenl, 1, 2, 3, fi, 8, 13, ... anzugeben. Die Folge genügt der Gleichung N, N, 1 + Nt 2 für l - 2, :l.... mit den Anfangswerten No = N 1 -= 1 (vergleiche B~1sp1el7 ..3). Das ist eine lineare homogene Differenzengleichung zweiter Ordnung. Wir be· sttmmen die charakteristi ehe Gleichung .,\2 - .,\ - 1 =()mit den beiden Wurzeln A1,2 = ~Folgbch lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Gleichung

N, -Ci

(1\./5)'c-./6)' +C 2

2

7.3 Lineare Differenzengleichungen zweiter Ordoung

301

Die . spezielle Lösung · 1·meares . zur Anfangsbedingung . · ~\' o -- , ·1 -- 1 scht·,eßlicb r··hrt u auf em Gleichungssystem m den Vanablen C 1 und C2 mit der Lösung

Demnach lautet die gesuchte explizite Darstellung der Glieder der Fibonacci•Folge

N1 =

y

~s v

l(1+2Js)t+1 - (1-2v'S)t-t-1]= t

für

0. L 2 ....

Unsere nächste Aufgabe ist es, eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung (7.5) Xn+2

+ axn+l + bx.,..= Sn,

n

= 0.1,

2, ,...

gemäß Schritt 2 zu finden. Damit ist dann auch die allgemeine Lö ung dieser Gleid)ung durch Addition der allgemeinen Lösung der zugehörigenhomogenenGleichung und der partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung gefunden. Ist die Störfunktion sn = s konstant (und 1 + a + b f- 0). so führt der unbe~timmte A.n~acz x!f>= A auf die konstante Lösung x}rl = s/(1 --1-a 4- b). (Dieser \Vert ~teilt übrigens wieder einen Gleichgewichtspunkt der Differenzengleichung dar.) Ist .s. mcht kon~Lanl. .l--annin vielen Fällen eine partikuläre Lösung nach der Methode des unbestimmten Ansatzes gefunden werden. Bei dieser wird auf Grund der speziellen Fonn der Störfunk"tion (Kon'.~k = (C1+ C'2n).xr

in Übereinstimmung mit Satz 7.18.

7 .4

Eine nichtlineare Differenzengleichung

Für nichtlineare Differenzengleichungen gibt es keine so schöne nllgcmeine Lö u.ng,theorie wie im linearen Fall. Sie sind nur in seltenen Fällen explizit lösbar. Di 'Cr Ab 1:hniui" 01b:r-•• p 0 puJau·onen. d.te te rbe n nac h • wemgen Gene~at10nen aus. Andere werden schnell stabil oder werden zu o zillatoren. Wieder andere Populationen verändern sich stets unregelmäßig. Beispiele einfacher KonstelJationen sind so genannte Blinker. Blocke. Gleiter oder Verschlinger (siehe Abb. 7,7 bzw. Übungsaufgaben). Ferner gibt es Raum,chitTe. Gleiterkanonen. Brüter, den Garten Eden, u. v.a.

Abbildung 7 .7 Spiel des Lebens: Blinker und \erschlinge-r

Typische Fragen sind etwa folgende: Gibt es Au ·gangsmuster. für \"\; eiche die Population ins Grenzenlose wächst? Welche Ausgangsmuster sterben vollständig aus. welche w~rden tabi.Loder oszillieren? Oder: Lassen die Regeln des „Game of Life„ die Kon~truktion eine Universalcomputers zu? Zahlreiche weitere Beispiele, Fragen und Antworten findet man in der umfangreichen Literatur zu diesem Thema (siehe z.B. [2. 101). 6

7 .6

Gewöhnliche Differentialgleichungen - Einftihrung und allgemeine Theorie

Das kontinuierliche Gegenstück zu den Differenzengleichungen stellen Diffurentialgld'-hungen dar. Diese spielen im Zusammenhang mit Prozessen eine Rolle. \\eiche ~ontinuierli h ablaufen, wie z.B. Bewegungsvorgänge in der Physik, technische hlaufo. che-mLche Reak\ionen, Wachstumsprozesse in Biologie oder Wirtschaft. u~w. Die Be~chreibung dt.~gcr Pn)Ze erfolgt vielfach mittels Differentialgleichungen. das sind Gleichungenfür Funktio~.n meiner oder mehreren Variablen. welche neben den m1be-kanmenFunktionen ,ml'h g \\ -hnli ·he cider partielle Ableitungen dieser Funktionen enthalten. Beispiel 7.26 (Freier Fall) Bczeichnl.'n\\ ir mit ,-.(t) den zurückgekgten \Vt.~g eine Körpers m Abhängigkeit von der Zeit t und mit g die Erdbeschleunigung (al~o g - 9.-. hw- ). Dann wini die Bewegung beim freien Fall beschrid~n durch die Glek·hung

/'(t) -

g.

7 Differenzen- und Differentialgle1chuno, . ~

308

öhnlicheDifferentialgleichungzweiter Ordnung für s( t). Durch Integ . . !l. 2 Ct C . C C rationerh.. dmans'(t) = gt + C, und weiter s(t) = ,t + .1 + _•mit_ 1, 2 E R Letztere GI . alt stelltdie so genannteallgemeineLösung der Differenualgletchung dar. Die beiden ~;chung onskonstanten und können durch Vorgabe von Anfangs~ed1ngungen, etwa s(O)~atiund s'(O)= Vo bestirrlllltwerden:Ci = vo,C, = so-Sonut erhalt man als Lösung mit so Anfangsbedingungen das Weg-Zeit-Gesetzs(t) = + vot + so. obig~ . .

.1. eme gew

c,

c,

~

!t'

Beispiel7.27 (LogistischesWachstum) Es handelt sich um ein grundlegendes Wach~~ . . dell in der Biologiezur Beschreibung oder b · . vondZellwachstum E "kl . Populat10nswachstum,aeraucb in der w,rtschaft,ern,•zur~es~hre1bung er ntw1c ung emes Marktanteils. Sei N (t) dieGröße einerPopula~onin Abhang1gke1~ von ~er Zeit t~-ferner se~r_eine Wachstumsrateund K ei so genannteSärugungskonstante. Die Gleichung für das logistische Wachstum lautet dann ne

N'(t)

= rN(l

- ~).

D.i. eine gewöhnliche,nichtlineareDifferentialgleichungerster Ordnung für N(t). D' Gl, chungbesitztdie Lösung ie ei-

N(t) =

K

1

+ Ce-rt'

CE lR, sowie N(t) = O,

wieman durchEinsetzenbestätigt.Denn N K ( 1 ) KG -rt r N( l - -K ) = r--l - ---= r e 1 + Ce-rt 1 + Ce-rt (1 + Ce-rl)2 -- N ' (t). .. Anfangsbedingung, etwa N(O) Dabei kann die Konstante C wie · der aus emer · . werden.Manerhält dann c = K-No . Jle Losung .. No und dann·t a· 1e spez1e

N(t)

= 1 + K-No K

e-rt

.

= No,ermitte

{;:,

No

Beispiel 7.28 (Diffusion . emdnnens1onale . . . . tungsgleichung lautet ' Wärmeleitung) Die Diffusions- bzw. wannelet

.

8c EPc öt = D ox2

u~d ~schreibt . Temperaturverteilung) c(x, t) mA~ . hang1gkeit von eine einerKonzentrationsvert Orts . bl el·1u~g (bzw. eme . . •ffi onskonstante.Da in diesevana GI . en h x und. emer Zeitvanablen t; D ist die so genannteD1 um

kommen.handeltessich: eic un~ keme gewöhnlichen, sondern partielle Ableitungenvo ist z.B.durch m eme partielleDifferentialgleichung. Eine Lösung dieserGleichu

c(x,t)=(Acos(Cx)+Bsin(Cx))e-c2Dt

AB

CER

gegeben,das ist jedoch be· . . , ' ' gleichung.Dieseenthältna·· 1 w1· eh1temrucht die Lösungsgesamtheit der partiellen Different 1 Funkf m tc an Stelle In · · } lbll p . ,one~.SpezielleLösungenerhäl von tegrationskoostanten sogar beliebig wä art1elleD1fferentialgleichm t man zu vorgegebenen Anfangs- oder Randbedingung igen werdenspa"t er m . diesem . Kapitel ausführlich behandelt. L

g

I· rc

n.

6

7 .6 Gewöhnliche Differentialgleichungen_ Einf·i.-. . wuung und aJlgememeTheorie

309

------ ..- --------------------K

Popul.ationsgröße N(t)

2.eit t -2

-1

ll

Abbildung 7.8 PartikuläreLösung zu Beispiel 7."2.7

Allgemein heißt eine Gleichung der Form

F(x. y. y\ y", ... , y1,.')

=O

y(..r)und deren Ableitungen y'(x), y"(:r), ... y(k)(x) eine gewöhnlich Differentialgleichung k-ter Ordnung. Insbesondere ist also eine Differentialgleichung ~rster Ordnung implizit durch F(:i:.y, y') = 0 oder explizit durch y' = f(x, .IJ)gegeben. Ist die Funktion F (bzw. f) linear in der Funktion y und deren Ableitungen, spricht man , l.,n einer linearen. sonst von einer nichtlinearenDifferentialgleichung. für eine Funktion

Unter einer Lösung (einem Integral) der Differentialgleichung ,e~tehen "'ir eine Funk"tion y(x), welche mit ihren Ableitungen die gegebene Gleichung erflillt. \'\ u untersdlejden: (i) Die allgemeine Lösung enthält beliebig wählbare Parameter 0 1 . (,;. w.w.und entspricht einer Schar von Lösungskurven. In Beispiel 7 .26 etwa lautet die allgemeine ldLung s(t) = ~t2 + C\t + C2 mit C 1, C2 E R. Einige der Lösung~kurven au~ dte~cr Z\\eidi~ mensionalen Kurvenschar sind in Abb. 7.9 dargestellt. (ü) Eine partikuläre Lösung erhält man durch spezielle\ ahl der Parameter zu \uf'b"e~erenen Anfangsbedingungen, also durch Au~,vahl ein~r be~tiuunten Lfüung~kurve au d ·r Schar der allgemeinen Lösung. Z.B. ist die partikuläre Lö~ung zur \nfang,bedingung N(O) = in Beispiel 7.27 durch die Funktion :\ (f) K \' -r e: "") geg ocnlllld stellt eine einzelne Lösungskurve durch den , orgegebenen Punk1 (0. ~) dar (,iche b '\ 7. · .

%

=

(iii) Manchmal gibt es noch weitere so gcnunute singuläre Lösungen.die k incr L · ,m1.gs~ schar angehören. So ist z.B. die Lösung iVtt)-= 0 in Beispiel ?.27 eine-smgul~ire-U ung der logistischen Differentialgleichung. da sie nicht durrh :-perielk \\ahl dö Pantmeh.'rs

C aus der allgemeinen Lösung erhalten werden kann. Wie kommt man mm zu Lösungen einer Diflcrcn1ialgleichu11g. Fiit be,timmt"' Differenti:alglcichungstypen cribt es exakte l 0$ungsvt.·rfohrl'n~ "dche ein :xpliritt•St: nnummc. aller

Lösungen der Differ:nlialglekhung ermöglichen. Bini~cdieser Ve-rfahren '"erden im fl lgenden

7 Differenzen- und Differenlial 1 .

!31~0~------------------

--- ---

c, = -1,0,1,2

l\

g~ 20

2=0 15

C1 = 0 c2 = -1, 0, 1. 2, 2 -5

r

,

,

-5

-4

-1

-2

-1

2

3

--1

-5 -2

Abbildung7.9 Kurvenscharder allgemeinen Lösung 1u Bcisp1cl7.26

Abschnittbehandelt.Ist eine exakte Lösung nicht möglich, so kann man ver uchen, Lösungen auf numenschemWegüberein Näherungsverfahrenzu erhalten. Numerische Verfahrenliefern jedochnur spezielleLösungen,welche nach Vorgabeeiner oder mehrerer Anfangsbedingungen berechnetwerdenkönnen.Daraufwerden wir im Kapitel über numerische Mathematikzuruckkommen. Im Fall einer explizitenDifferentialgleichungerster Ordnung der Form y' - f(x,y) kann das Auffindenvon Lösungengeometrischanschaulich gedeutet werden: Durch y' - f (x.11\ wirdJedemPunkt (x0 • y0 ) der Ebene eine Richtung y~ - f (xo, Yo) zugeordnet. welcheden AnstiegderTangentean die Lösungskurvedurch (.:r0 , y0 ) angibt. Zeichnet man in jedemPunkt (x , y ) eine kurze Strecke mit der Steigung .!/~,so entsteht das so genannte Richtungsfeld 0 0 der Differentialgleichung (siehe Abb.7 .10). Einzelne Punkte und zugehörige Richtungen,also Tripelder Form (x0 y0 , y~) werden als Linienelementebezeichnet. Die Gesamtheit allerLinienelementebildet das Richtungsfeld.Nun ist y = y(x) genau dann eine Lösungskurve der Differentialgleichung, wenn in Jedem Kurvenpunkt das dort zugeordnete Linienelementtangentialverläuft.Geometrischbestehtdie Aufgabe, alle Lösungen der Gleichung zu finden.also darin,geeigneteKurvenin das Richtungsfeldder Gleichung „einzupassen".

Beispiel7.29 In Abb. 7.10 ist das Richtungsfeld der Differentialgleichung erster Ordnune y' = f(x,y) dargestellt.Die durch f (.r, y) c, c E )R, bestimmten IsoklinendesRicbtu~gsf~ldcs _sindi~ diesemFall Geradendurch den Koordmatenursprung und in der Abbil.dun 5 Slnchherteingezeichnet.Längs einer Isokline haben alle Linienelemente denselben An t1eg Ausre_i_cheocl vieleLinienelementeermöglicheneinen guten optischen Eindruck vom Verhalte der Lösun_gskurven, welche im konkreten Fall durch konzentrische Kreise um den Ursprun gegeben smd.

-!

Die Bestimmungder konkreten L·· . . . osung emcr Differentialgleichung setzt-wie• \.\t,·r c-ocsehe haben - nebender Kenntnis · hung die • Vorgabe einer oder mehrerer An fangs-bedingu . . der GIetc gen voraus. im Fall · Man . m d'tescm zusammenhangvon einem Anfangswertprob 1ent, welc . spricht emer 0 1fferentialgleich ung erSlerOrdnung von der Fonn

y' ==f (:r,y),

u(.ro)= Yo

(?,!

EtneAntwortauf die Fra 0 b „ blelllgt tmv. wanndiese · d . ge: es uberhauptLösungen 1u einem Anf angswertpro 1 t.

em eutig beSltmmtsind, geben die beiden nachstehenden Sützc.

7.7 Lineare Differentialgleichungen erster und zwener · 0 r d nung

311

~ y 1 l ~

1 1

-----r--r---r- =--l-+ + +--: 1 ;

,

1

1 1

-+-1 1

1

Abbildung 7.10 Richlungsfeld der Diffcnmtialgleichung y'

=- i

Satz 7.30 (Allgemeiner Existen~atz von Peano) Ist f(x y) eine in einem Gebiet D C R1 stetige Funktion, dann besitzt die Differentialgleichung y' - f(x. y) dun-h j~den Punkl (xo, Yo) E D (mindestens) eine Lösung y = y(x). Satz 7.31 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz} lsr f (x. y) eine ~tetige Funhion auf eillem Rechtecksbereich D ~ JR2 und erfüllt dort eine so genannte lipsc/dt-J,edingung

lf (;i:,yi)

-

f (.r. Y2)I:s;LIY1 -

1121 für alle x. Y1-'!h

mit einer von x, y 1 und y 2 unabhängigen Konstanten L > 0. dann bcsir:1die D~fjerenria1r:_leichung y' = f (x, y) durch jeden. Punkt (:r0 , y0 ) ED genau eine Lösung y = y(:t}.

7.7 Lineare Differentialgleichungen erster und z\\~ejterOrdnung 1. Lineare Differentialgleichungenet ter Ordnung Einer der einfachsten und 1ugleich auch wichtig~tenDifferenrialglekhungstypen i t die lineare Differentialgleichung erster Ordnung. d.i. eine Gkkhung der Fom, ,

Y

+ ,7 (.t)y

{ 0 ..:.c

homogt.'ne: Glekhung

s(.t) inhomogeneGtc:-khu.ng.

(7.11)

Dabei sind a(x) und s(.r) stetige Funktionen in :r, •{r) heißt Störfunktion. Falt die törfun\.'tion verschwindet, spricht mun von einer homogenrn. "on~t, on rincr inhomogenmGlekhung. Gmndlcgend für die I ö~ung linearer Diffcremialgle'i·hungen h\ de-.rnach cehende au

7 D1fferenLen- und Differentialgl'"'ih

!31~2:..----------------------

- --~

. der 1,·nearenDifferentialgleichung y' + a(J·)y :::::s(x) . · 1sr ) wo y, (x) die allgemeine Lösung der zugehörigen 1z gegebendurchy(x~ ==,1/h((:i;)) _YQ y (.,) eine beliebige partikuläre Lösung der geg,:,m,,. genen Gleichung + a ·: Y P nen inhomogenenG/e1chu11g ist. . . be eits von den linearen Differenzengleichungen her kennen (v 1 Diese . . • • • . g· · Aussage, . • . d1e.wir nr Differenzen-und D1fterenttalgle1chungen beliebiger Ordnun Satz 7·5)' .gilt für a11 e 1·meare . auch hier . folgender . .. g. h gen ergibt sich danut Losungsweg: 1e1c un Wiebei D1fferenzeng · l. Lösungder homogenenGleichungdurch „Trennung der Variablen",

· ·· '" ewmt e11 Satz 7.32 Die J.jjsung.g · +h (

:nd

~

•nerpartt'kulärenLösung der inhomogenen Gleichung durch „Variationder . 2. Besummunge1 Konstanten"und 3. Ermittlungder Lösungsgesamtheitgemäß y(x) = Yh(.r) + YP(.r). Wir wendenuns zunächst gemäß Schritt 1 der homogenen Gleichung y'

+ a(x)y = ozu.

Umfonnungund anschließendeIntegrationführt zu y' -a(x)

-

y

ln \y\ -

Yh(x) mit Co E lRund C

-J

a(.r)dx + Co

ce-f a(x)d.z:

= ±t=FBerücksichtigen wir, dass C = 0•

0 die konstante Lösung y = 0

ergibt. so gilt G E iR. In der Praxiswirddie gegebeneDifferentialgleichungderart umgeformt, dass die beidenVariablenx bzw. y nur auf der rechtenbzw. linken Seite der Gleichung auftreten, und anschließend integriert,d.h.

dy dx

+ a(x)y = 0 =}

y

dy

= -a(x)d.r

=}

Jy = - J lly

a(x)d:r. usw.

Es werdenalsodie beiden Variablenx und y getrennt und beide Seiten der Gleichung fonnaleinmalnach x und einmalnach y - integriert. Aus diesem Grund spricht man von der Methode der Trennung der Variablen. W11kommennun gemäß Schritt 2 zur inhomogenen Gleichung. Wir benötigen ein Verfah· ren. um eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung y' + a(:r)y = s(x) zu finden. E"msolchesVerfahrenliefert die von den Differcnzengleichungen her bekannte Methodeder Variationder Konstanten.Dazu machtman den Ansatz

Yp(x) = C(x)e- f a(.c)dx,

d.h..manersetztdie KonstanteC in der homogenen Lösung gemäß Schritt l durch eineii,lli!ICbll ~ unbekannteFunktionC(x) (man spricht in diesem Zusammenhang von der„va, ~ der Konstanten).DurchEinsetzenvon y (x) und y' (x) in die inhomogene Gleichutll wJWdann C(x) ermittelt:

P

a x)i,, C'(x)e- f a(z)tb:

-

a(x)C(x)e- J a(x)dx

JJ

+ a(x )C(x)e-

=> G(x) = J s(x)ef a(x)dx dx.

J a(;t) JdTT

=-

J

kdt

==? ln

ITI= -kt + ln C ⇒ Tit(t) = ce-11

mit C E .IR.. Nun kommen wir zur Variation der Konstanten und ersetzen die Integration-.kon!'>1ante C durch eine Funktion C(t), d.h., wir machen den Ansatz Tµtt) = C(t)e kt. ~lit ~(t) = C'(t)e-kt - kC(t)e-kt und nach Einsetzen in die ursprüngliche inhomogene Glekbu_ngfolgt

r;+kTP C'(t)e-k 1 - kC(t)e-k 1 + kC(t)e-kt C'(t) C(t) -

k~

kTt: kT~ekt

Tce"1

und somit Tp(t) = C(t)e-kt = Te.(Bei der Integrationvon C'(t) kann die Integration -kon,tante beliebig, insbesondere gleich O gewählt werden.) Somit lautet die allgemeine Lö ·ung unserer Differentialgleichung T(t) = Th(t) + Tp(t) = Ce kt + Tf'. Die Konstante C be_ti~en v,ir schließlich aus dem Anfangswert T(O) = Ta w1d erhalten C = T.,- Te, worau ~,h der gesuchte Temperaturverlauf ergibt. Für t -+ oo strebt die Temperatur T(t) gegen T~.wie erwru1et(siebe Abb. i .1!).

A

Beispiel 7.34 Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen Differcntialgkkhung l-.t y'--y=4l'.

2

X

Wir lösen zunächst die zugehörige homogene Gleichung d1.m::hTrennung. der Variablen und erhalten (wieder mit der lntegrationskonst.mten In C)

dy y

Jw-mit dem Parameter .\. Zur Bestimmung "on \ ~tzen \\ ir in die Gleichung ein und erhalten

Somit genügt .Xejner quadratischen Gleichung. der ~o genannten charakteristischen Glei• chung. Deren Lösungen, welche reell oder komplex ein können. seien \ und \". die so genannten charakteristischen Wurzeln der Differentialgleichung. Offen ichtlich inJ dann 1 y 1 (x) = c.>..ixund Y2(:r) = e>-. .r Lösungen der homogenen Differentialgleichung..Je nachdem. ob .A1 und >. 2 reelle oder komplexe Zahlen sind, lautet die allgemeine Lö!'>ungder Differentialgleichung wie folgt:

Satz 7.35 Sind .\ 1 , ,\ 2 die Li5sungen der charakteristisn nsatze, bcHimmt werden können. Insbesondere gilt fU.rdie Lösung der homogenen Glcü.·hung im allgemein n

Fall der folgende Satz. Satz 7.38 Sei y(k) + a,__1y(k - 1) + ... + a 1y' -+ a0y = 0 eine linrare homa~ene Oif.fermtialgleichung k-ter Ordnung. und seien ,.\1•••• , ,\ die {verschirdl'nen I Null~lelle.nder dtambcristischen Gleichung ,.\k+ a„ 1,,\k-t + ... +a 1,\ + oo= ü mit den Vil'(fadil1eite11 k1, .••• kt (nvbd

k1+ ••• + k1 = k). Dann besitztjede J.fisungy(x) im Komph•xn die V,1ntelllm.g ,v(x)==Pi,1.,-1(,)e.\1x+···+.A1.i wohei p

l ,k1 - I , · · •

n 1 '

i(x)r"r

n,...l)·twmc WJl1l Grnd ~ k1 - 1, •.. , ~ ~ - 1 b, ~eichne.n.

l .k1-1 ru .

7 Differenzen- und Diffcrentialgleich

~

~32~0~-------------------..

di I' are Differentialoleichung dritter Ordnung

Beispiel7.39 Wrr losen e me

e

y'" _ 4y" + 4y' ==l - 3e

.r. 3

2

. Gl · h g besitzt die charakteristische Gleichung X L.L~+ L,\= ,,\(,,\ _ 2)2 ::::: Die homogene e1c un .. . . "" h Wurzel A - o J..-1 = 1 und der zweifachen Wurzel A:.i= 2 A:,2 _ 2 ,1 - , . , • 0 m1t der em1ac en alloemeine Lösung der homogenen Gleichung Dementsprechend lautet die o 2 Yh(.r)= Pui + A,1 (.r)e2x = C1 + (C2 t- C3x)e ·r mit C\, C2, C:,ER. Für die Störfunktion der inhomogenen Gleichung gilt s(.r) = 81(.r) -r- ~2(.r)mit 81 (x) ;;:: l,s (i·) = -3e-x. Die erste Funktion ..,1 (x) = 1 ist eine Konstante und legt f~r die entspre2 chende partikuläre Lösung den unbestimmten Ansat~ Y1(x)-=--~nahe. Da aber Jede konstante Funktion bereits Lösung der homogenen Gleichung 1st, muss dieser Ansatz noch mit x multipliziert werden: y 1(:r) = Ax. Durch Ableiten und Einsetzen in die Differentialgleichung mit der Störfunktion s 1 erhält man A = { und damit Yt(:r) = Die zweite Funktion s2 (x) = -3e-.r ist eine Exponentialfunktion und führt auf den Ansatz y (i·) = Be-x. Einsetzen in die entsprechende Differentialgleichung und ein Koeftizientenver2 gleich für e .r ergeben B = ½ und somit Y2(.-c)= ½e .c. Nach dem Superpositionsprinzipist dann yP(x) = Y1(.r) + Y2(x) - ¼,r+ eine partikuläre Lösung der gegebenen Gleichung. Durch Addition zur homogenen Lösung Yh erhält man schließlich die allgemeineLösung

t·r.

½e-x

7.8 NichtlineareDifferentialgleichungenund qualitative Methoden N~ben d~n lin~aren Differentialgleichungengibt es eine Reihe weiterer spezieller Typen von

Differentialgle1chungen,für die exakte Lösungsverfahren existieren. So kann die Methodeder Trennung ~er ~ariablen au~? bei nichtlinearen Differentialgleichungen mit Erfolg angewendet werden, wie die folgenden Uberlegungenzeigen. Es sei (7.14) y' - f(x) · g(y) eine so. genannteseparable(oder trennbare) D1fferentialgle1chung · . . · stetige · n erster Ordnung mit Funktionen · f nur von x und g nur von y abhängig · 1st. · G'b 1 t es . s ct· te Funkhon . . f und ·g derart• das e~~ Yomit _g(~o)=~·so besitzt die Gleichung (7.14) die konstante Lösung y = y0 • Für g(y) i-O konnen wir die Gleichung durch g (Y) d'ividteren · · · Substitut10nsrege · 1 und erhalten auf Grund der

'= f(x)g(y) ==>Jy' -() dx ;·f(x) dx ~ J dy = JJ(x) dx. gy g(y)

Y

==--

Nach Trennungder Variablenk" . . ewertet werden Dadur h h=·i onn~n dte Integrale auf beiden Seiten der Gleichung ausg . c er a t man eme implizite Darstellung der Lösung y(x), welche man

7 .8 Nichtlineare Differentialgleichungen und qualitative Methoden

321

nach Y aufzulösen trachtet. Die konst.amenLösungen zusammen mit den durch Tirennung der Variablen erhaltenen Lösungen (und allfälligen weiteren Lösungen. die sich darau.s :,tuckwei.se zusammensetzen la~sen) bilden die Lösung~gesamlheitder Differentialgleichung.

t

Beispiel 7.40 Die Differentialgleichung .v'=-ist von der Form (7.14) mit f (x) g(y) - ~. Es gibt keine konstanten Lösungen. Wir erhalten

r.iy = -~ d.r y 2

=?

j y dy = - j

x dI

⇒ y2 = 2

=

-x und

2

- x -+ C

2

2

und schljeßlich .r + Y = C; mit Cf = 2C ?'.0. Die Lösungen bilden also lauter konzentrische Kreise um den Ursprnng (siehe Abb. 7.10). n. Beispiel 7.41 (Logistisches Wachstum, Fortsetzung) Wir kommen zurück zur Gleichung für das logistische Wachstum /V'(t) = rJ\'(1 - ;) aus Bei piel 7.27. einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung für die Populationsgröße Y(t). Die dort angegebene Lö"ung soll nun nach der Methode der Trennung der Variablen hergeleitet werden Zunächst gilt N(l = 0 für N = 0 oder.\ = n. Das sind zwej konstante U.hungen. Für ~N/- 0 > N /- l{ erhält man durch Trennung der Variablen

i)

dN ( - J,;) dt - r N 1 K => Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung N(/

J(! +

K

l\')

J

h. df\' X(l< - S) -

=

J

rdt

.

= ~ + K~,,- folgt

~ N)

d.\ lnN - ln(K - .V) -

j rdt rt

+ ln C

s K-.V .\·

-

1 + Cer' .

· · sie · h sch].1eßl'tcb die a· llgen1eine Lö · ung~ der fomsli~ ben GleiAus der letzten Gle1chung ergibt · ~ chung gemäß 1-i..·

N(t)

= 1 + C,e-rt

mit

Ct ER .

0 1 = 0 eine d r beiden (Genau genommen gilt zunächst C1 ../.. ~ o, J"edoch rtefiertnachträtilich e6 konstanten Lösungen, nämlich N = l\ .) · anderer Typ unter den mc · htl'meare . n DifferentialtTlekhungen i~t dk ~o g nanntt.'e a~"te Ern i:;;, ~ . · h um eine Gleichung Differentialgleichung. Dabei. hande 1t es sie ...dt.'rFonn

y' =

f(.r, y) bzw. J(x, y) d:r +g(.l'. y) dy g(,t, y)

= 0.

(7.15)

. GTntOll 1·" i~t• al~(\eine- tammfunktirn1,,(.;r,, y) mit gr • du wobei. das Vektorfeld (') em nt"ni'.cld t l' • 9 f • • · ,, d d" ] ltegrabilitfü~bc'-lingungfJI !l.r rli.lllt ~eln (\gJ. besitzt. Notwcnd1gcrwe1semuss ann te 1 Abschnitt 6.4, Punkt 4).

C,)

=

7 Differenzen- und Differentia1gleich

~3~22~-------------------------~~~ . Se1nun u

= u(x, Y) ei·nesolche Stammfunktion und y = f(:c)

eine Lösung der Differen -

tialgleichung (7. 15),dann folgt mit Hilfe der Kettenregel

.!!__ u(x,y (x )) = ux d1·

+ uy . y' = f + g · y' = 0 ⇒

. C ~ die Stammfunktionist also längs der Lösung y nut E ~( ) eine implizite Gleichung für die gesuchte Lösung y x .

'u(x, y(x)) - C

= y(x)

konstant. Damit erhält man

Beispiel7.42 Gegeben sei die Differentialgleichung

+ (-x + 2y) dy =

J(:i:.y) dx + g(x. y) dy = (2.t - y) dx

Es gilt fy

=

-1

0.

= gx, die Gleichung

ist exakt. Eine p:sse~de Stammfunkt!on ist, wie man 2 leicht nachrechnet. gegeben durch u(x, y) = .z: - xy + y . Wir setzen daher x - xy + y2 ==c und berechnen daraus die Lösung y(x) = ½(.r± J4C - 3.r2 ) mit C 2::0 in expliziter Form.6. Ist die Differentialgleichung(7.15) nicht exakt, so kann man versuchen, die Gleichungmit Hilfe der ~tethode des integrierendenFaktors in eine exakte Gleichung übcrzuführen. Dazu sucht man eine Funktionrn(.r. y ), den so genannten integrierenden Faktor, so dass die Differentialgleichung m(x, y)f(x,y) dx + m(.r. y)g(x, y) dy = 0 (7.16) exakt wird. Es muss dann !(mf) = %.c(mg)gelten. Daraus folgt mxg - rnyf = m(fy - 9z), d.i. eine partielle Differentialgleichungfür m(x. y). Angenommen, die Funktion m = m(x) hängt nur von :r ab, so folgt weiter 1nm(.x) = m 3jm = (fy - g,1:)/g, wobei die rechte Seite dann ebenfalls nur von x abhängendarl, und m kann durch gewöhnliche Integration bestimmt werden. Analog kann ein integrierenderFaktor rn = m(y) aus ln m,(y) = -(Jy - 9x)!f gefundenwerden,falls die rechte Seite dieser Gleichung nur von y Yabhängigist.

t.

l

Beispiel7.43 Wir betrachtendie Differentialgleichung

f(x, y) dx + g(x, y) dy - y d.c + (2x 2 y - x) dy

= 0.

Die Gleichung is~infolge Jy = 1, 9x = 4xy - 1 nicht exakt, kann aber wegen (fy - 9:rJ/g== -( 4xy - 2)/(2.r Y - x) = -2/x mittles eines integrierenden Faktors m = m(x) auf eine e~akte Form gebracht werden. Aus :fxlnm(:c) = _1 folgt m(.r) = J_2 und damit die exakte

Differentialgleichung

x

m(x)J(x, y) dx + m(x)g(x, y) dy

=

x

Y dx + (2y - ~) dy

x2

= 0.

:r

DurchJLAufsuchen einer geeig t S . u(x y) erhält man die Lösung u (x, Y) -C. . . . ne en tam.mf unktton 2 1 Y - x = m 1mphz1terForm. b.

Neben den hier betrachtetenTy ·b . ·aJglei· chun en für . .. pen gt t es zahlreiche weitere Klassen von DifferenU 1 renti!12ieich::gcheLosungsmethodenbekannt sind. So kann etwa die Bernoulli'sche Diffell'

+ n(x)y + b(x)yo = 0 (a

E IR, a

I

l)

(7.l7)

7.8 Nichtlineare Differentialgleichungen und qualitative Methoden

durch die Transformation z geführt werden.

= y1-" auf eine lineare ff"

iuerenu

323

·a1 1 •

..

g eichung 1. Ordnung zuruck-

Ejn Beispiel für eine lineare Differentialgleichung m;t ru·chtkonstanten , v. ffi · · d. • • • uu n..oe 121enten 1st 1e

Euler'sche D1fferentialgle1chungder Fonn

(7.18)

J?iese kann. mit llilfe. der Substitution r = P1 • y( x) = : (t) (oder kurz y( -.r)= .:(ln(.z:)))in eine hneare Gle1cl~ungmit konstanten Koeffizienten für z transfonniert werden. welche dann mitoder mittels Laplace-Transformation (siebe Abschnitt 8.5) oelöst werden tels ExpOL1e11trnlansatz kann. Für die Einzelheiten sowie weitere Klassen von Differentialgleichungen sei auf die Standardliteratur (z.B. das Buch von Heuser [16]) verweisen. ~ Wir wenden uns nun der qualitativen Theorie von Differentialgleichungen zu und wählen als Ausgangspunkt die explüite Differentialgleichung erster Ordnung

y'

= f (y),

(7.19J

wo f eine i. Allg. nichtlineare Funktion in y ist. welche nicht von ., abhängt. Dahei handelt es sich um eine so genannte autonome Differentialgleichung. Zum Beh.piel 1st eile Gle-tchwtg y' = ry(l -y) mit r > 0 (ein SpezialfalJ der logistischen Wachstumsgleichung) eine Gleichung von obigem Typ mit J(y) = ry(l - y). Ist die Differentialgleichung (7 .19) njchtlinear, so ist eine exakte Lö,ung \ielfäch nicht mehr möglich. In den Anwendungen interessiert man sich häufig für Eige-nschaflender Lö-.ungsfWlktion y(x), welche ohne Kenntnis der expliziten Lösung der Gleichung gefunden \\erden önnen. Dazu zählen Aussagen über den qualitativen Verlauf der Lfüung. über mögliche Gleichgewichtslagen und deren Stabilität. Typische Fragen der quaJitativen Theone sind: 1. Welche Gleichgewichtspunkte besitzt die Differentialgleichung y' 2. Wie verhalten sich die Lösungen der Differentialgleichung in der

= f(y)? ähe eines Gleichge-

wichtspunktes? 3. Wie sieht das globale Lösungsverhalten bzw. das LangzcitYerhaltender Lösungen dt-r Differentialgleichung aus? Mit dem in Punkt t angesprochenen Begriff Gleichgewicht ,erbindet man bd Differenti-

algleichungen - so wie auch bei Differenzengleichungen - eine k0nstanlc LöMmg und , omit einen stationären Zustand des Systems.

Definition 7 .44 Man nennt y* einen Gleichgewichtspunkt oder tationiren Zustand der Differentialgleichung 11'= f(y). falls f(y*) = 0. Jm Gleichgewicht gilt also y' = O.d.h„ dass keine .\ndenmg voo ~ st.attfimkt. . Qba~~l dl"r Wert y = y* erreicht ist. Mit jedem Gleichgewichtspunk't i~t autonlaus h.cme kon:-tant~Lo--ung

Y(,t) = y• der Differentialgleichung verbunden.

= ry{l - y). \\'egcn O~ p;= O,yi - 1

Beispiel 7.45 Wir wählen die Differentialgleichung y' f(y)

= r,r;(l -

y) -

7 Differenzen- und Differentialgte· h

I32~4~--------------------

----....::...:..:.:~

.b di . Gleichgewichtslagen Yi = 0 sowie Y2= 1. Somit kennen wir auch z . t es e zwei . ·. . .. r h - 0 d .. We1 konstante Lösungen der Different1algle1cbun~,n~ ic .II - . _un y - 1. Je?e Losung, die . al . di bei·deiln'erte annimmt wird diesen Wert m alle Zukunft beibehalten /\ "' , . ~ emm emen eser g1

Das Verhalten von Löswigen der Differen~alglcic~ung in der Nähe eines Gleichgewichts Punkt 2 kommt in der Stabilität des Gle1chgew1chtspunkteszum Ausdruck. Analog gernäß . . h . h kt * . zur Stabilitätbei Differenzengleichungenkann ern Gle1c gew1c tspun y stabil, asymptotisch stabil oder instabil sein. Definition7.46 (Stabilitätvon Gleichgewichtslagen)Ein Gleichgewichtspunkt y* der Differentialgleichungy' -= J(y) heißt stabil, wenn es zu jedem E > 0 ein 8(E) > Ogibt, so dass für alle Lösungen y(x) der Gleichung,we!che ~ie B~dingun~ !y(.ro)- Y.1 ö(c) (für ein xo) erfüllen,jy(.c) _ y"! < E für alle x > x 0 gilt. Em Gleichgewichtspunkt y heißt asymptotisch stabil, wenn es außerdem ein festes 8 > 0 gibt, so dass für alle y(x) mit jy(x 0 ) -y*I < 8 gilt lim ➔ y(.i:)==y*. Andernfallsheißt y• instabil.

gilt. .II von Y 0

= f(y)

ist asymptotisch stabil, falls f'(y*)
l} g11l

J(y)

=, y(l

=r

- y).;;;.J'(y)

- 2ry.

!/r-

Im Gleichgewichtspunkt 0 ist f' (0) ==, > lJ. '-O dass Yiinstabil t it. fur y2 = l ergibt ich dagegen /'( 1) , < 0, also i\t y~ a'.'lymptotischstabiler Gleichgev.icht punkt (Im ~ach wmsmodell entspricht die Gleichgewichtslage 11ijent:r Population große. welche auf Dauer aufrecht erhalten werden kann.) 6 Wir kommen schließlich ,ur Diskussion des globalen Lö~ung~,erhn1ten bzw. de Lnngzenverhaltcns der Lösungen der Ditlerentialgleichung gemäß Punkt 3. Das 1onotonie~erhalten d Lfoung von y' J(!J) ist au\ dem Vorzeichender Funktion f (y) e~ichtHch und knnn m der (y. y')-Ebenl!. der \O gcnanntl!n Pha enebene, grc1phischdargestellt \\erden. Die Pha.!enebene

y'

J(y) = ry( 1-y)

\

\ fallend

v wachsend

y fallend

Abbildung 7.15 Lösungs\erhalten m (k~ (y. y')-Ph scn benc

..

m bhlin· · • h der Funl1i n und ihrer d -.0 Zu ammen11angZ\\ 1-. cn (z.B. di~ h,turn,g ' h\\ indigl-eit)' nk •

1eigt nicht den Graphen der Losungsfu ;,tionY

.

.

.

d

(3·) d h den V~rlnufder Funktion •

•

~~~~:~:;~i/~~a~~ab~~y)·d~;Ä:;ru~gsr~tc \\a n beschreibt. gilt off cnsichtlich

f(y) {

,, chsend ,tation.tr yi t { fallend.

7 Differenzen-und Differcntialgleich

~32~6~----------------- -------~

~g~

PartielleDiffercntialgleicbungen

7.9

. ll D'flerentialoleichungen, wobei die bereits in Abschnitt 7 .6 (B . e 1 e. . . . e1.. mel~itungsgleichuno darunter fällt. Weitere wichtige Gleichung 0 piel 7.28) vorncste11te War " . • ~. , • • cn d vucnengletchungund die Potenttalglc1chung, welche m diesem Ab • • -_ 1 dieses ,v, . • . Typs smu 0 und Funktionen,p(x) und t,J(.t).Wir wollen nun in der allgemeinen Lösung(7.28) dieser Gleichungdie Funktioneny und h so bestimmen, dass die Anfangsbedingungen erfüllt werden.DurchEinsetzen dieser Bedingungenin die al \gemeine Lösung (7 .28) erhalten wirdie

folgenden Gleichungen:

u.(x.0) = ;p(.r)= 9(1·) + h (.r), Ut( .r. 0) ==l/J(.r) = c ( h' (.r) - g'(.1:)).

(7.3la) (7.31b)

DurchIntegration von Gleichung(7.31b) erhält man weiters: h(x) - g(x) = -l C

J..rl+J(~)d~+ I 0 eine clhpttsche 011 ercn t g wird auch häufig als

iltl

=u

7 Diffcren1.cn-und Differentialute· h

~3~42~-----------------

- - - -

l ce Operator~ . ·hrieben wobei ~ den so genannten l ,ap a . nnge!-ic ·. d. . nte Poisson-Gle1chung

--s~~ 2

112 + i.J.t-i ny2 bezeichnet

D

·

Selbsh cn,tändhch ist „1uch ie \O genan

~U = .

II.r.r

f (.I', Y)

+ llyy

2

be n Funktion f (x IJ)auf ganz IR elliptisch.

.

mit emer VY ~ + Ct1-,y l

b = A~xlJx + B(~xT/y1-T/.r~y)+ C~yT/y, C = A17;+ 2BrJx1Jy + C11;. Es lässt :ich leichtn~chweisen,dass die beiden Differentialgleichungen (7 .68) und (7.70)immer vom gleichen Typ smd. Wir nehmen im Folgenden an, dass A =/=o gilt. Fal1s A = o und C f o ist werdendie Rollen · der vertauscht. Wenn A = C' = 0 gilt, liegt bereits' eine hyper· . von. :.cund .y miteman bohsche D1ff.erentialgleichung10 · Norrnalform vor, wie · wir • später sehen werden. Um gee1gne · te T _ranl sf~nnh attOJicnf. = ~(x. y) und 'l - TJ(.1, y) ro bestimmen betrachten wir nun die Diffcren· t 1ag1e1c ung '

Ilz~+ 2Bzxzy +Cz2 = 0 (7.71) 11 ' welche als charakteristischeDitT • . • • ne 2. Ordnung (7 68) b , h . ere~tialgleichungder quasilinearen Differentialgleichu~ Gleichung(7.6s) ::d .. 01• LöSungenvon (7.71) werden Char_akteristiken Je• 1 n 10 Gleichung (7.71) nach zx auf, liefert dies

ge:.::~:. ~:~

Z;i: -

-2Bz11 ± J4ß2z~ - •lACzi

2A

(

= -

B A

1 ---)

± A ✓B2

-

AC

· Zy-

7.9 Partielle Differentialgleichungen

:343

In faktorisierter Form lautet (7.7 J) also (7.72)

Es ergeben sich nun je nach Vorzeichen der Diskriminante AC _ ß.? d . · 'h •u · •h .1: un som11Je nac Dtuerentia 1g 1e1c ung 10Jgendedrei Fälle:

'T.

-1.}'pder

(a) hyperbolische Differentialgleichung: AC - B 2 < o. In diesem f-all kann man die beiden Faktoren von (7. 72) getrennt betrachten und die folgenden beiden RumpfDifferentialgleichungen studieren:

Azx + (B + JB 2 -AC)~=

0.

(7.73a)

+ (B- JB 2 -AG}z,;

= 0.

7.i3b}

Azx

Man wählt nun für die Substitution f, = ((.r. y) eine Lösung der Differentialgleichung (7 .73a) und für 17= ry(x,y) eine Lösung der Differentialgleichung (7.73b). Durth diese Wahl folgt sofort, dass die Koeffizientena und c in Gleichung (7.70) ~e.n;chw1oden. Dividiert man in (7.70) nun noch durch 2b. so-erhält man die. onnalform fürh)perbolische Differentialgleichungenin der Gestalt (7.7 )

(b) parabolische Differentialgleichung:AC - B 2 = 0. In diesem Fall ind die beiden fak• toren von (7.72) gleich und liefern die Rumpf-DifTerentialglekhung

Azx + Bzy = 0.

(7.':/5)

Man wählt nun für die Substitution ~ = {(.r., y) eine Lö.~ung der Differentialgleichung (7.75), wohingegen man für 11= r,(.r.y) eine beliebige Funktion \Vählt. so da,, aber die Koordinatentransformation stetig differenzierbar und im ertieroarist Durch die ~ Wahl von~ folgt sofort, dass der Koeffizient a in Gleichung (7.70) \ersc-hwindet ,ve,.ge.n 2 C = ~ und b = A(~x + ~(y){77J:+ 111y)-;::0 ,ersc-h,vindet aber au.:-hder Kt.lCffin• ent b, und man erhält nach Division durch r aus Gkic-hung (7.70 die 1 · ormalformJür parabolische Differentialgleichungenin der Gestalt

(c) elliptische Differentialgleichung:AC B 2 > 0. Hierex1stierenkdn~n.~llcn l n,ungcn der charakteristischen Differentinlgleichung (7.72). Man kann tlher die komplt~x\\ rti~e Lösung z(:r,y) = cp(l'>y)+ it/{r,.11)derRumpf-Diftt.--remfalglkbung

Azl. + (B

+ J B2 -

AC)zy = 0

(7 77

betrachten und die Substitutionen [. =- if(,r. Y) und 7/ = \ '(:r, Y)d~rchfü~n.-n. fan \\ ählt also rurdie Koordinntentrausfonnation den Rc-alldl und den lmnginruic1lder kompk:\en Charakteristik z.(.·r,y). Aus Gleichung (7.77 folg, n.1tilrl1 h, das:

+ ')ß~ ~ + c~ A 'Y2 "'a· '"' '-.t' ...Y "Y 2

=O

und

~:t

+ :.fü

+ rf~

11

0

-i±~----------------7_D_iff_e_re_n_z_en_~_u_n_d_D_iff_._er_en..:::..:t::.:ia~lg~lei

h

~

~44

•_ ) ( ) _ in'•(xy) die zu z(x, y) konjugiert komplexe F11nl, • wobei z(x,y = cp .c,y '+' ' · ffi · b· ( "-llf..tion ilt g '. M hn t nun leicht nach, dass der Koe z1ent m 7 .70) verschwindet· bezeichnet. an rec e • b = A~x1Jx+ B(~x1Jy+ 1'/x(y)+ C(y'T/y +- z _ ~ ( z + z)

= A(z 2 z)J 2i ~t + B (2 z+ z

+ c(2

_

(z - z)

~ Y+

x

_

(z + z) (z - z ) -2-

2i \

Y

z- z)

)/ 2i

y

=

L(A(z; _ z;) + 2B(z.z,, - z,z,) + C(z! - •!))

=

:i((Az; + 2Bz,z,, + cz;)- (Az!+ 2Bz,Zy + cz;))= 0.

Analog weist man nach, dass in (7.70) ~ie Beziehung a .. c gi~t. ~ach D~vision durcha erhält man somit aus Gleichung (7.70) die Normalform fur elhptlsche Differentialglei-

chungender Gestalt

(7.78)

Beispiel7.63 Wirbetrachten die Differentialgleichung 'l.txx+ 4XUxy für ein Gebiet D mit x

+ 5x2 Uyy = 0

(7.79)

> 0. Da AC - B 2 = x 2 > 0 ist, liegt in Deine elliptische Differential-

gleichung vor. Dies liefert die charakteristische Gleichung

z; + 4xz:i:zy+ 5x2 z~ = (zx + (2x + ✓4x 2 - 5x2 )zy)(zx + (2x - ✓4x 2

-

2

5x )zy) = 0.

Die daraus entstehende Rumpf-Differentialgleichung Zx

+ (2 - i)xzy = 0

lässt sich mit der Methodeder Charakteristiken leicht lösen: eine komplexwertige Lösung dieser Gleichung ist gegeben durch x2 z(x, y) = y - x 2 + i-. 2 Wir wählen daher als Koordinatentransfonnation

€(x, y) = y -

x2'

und .definieren_U(~,TJ) = u(x,y). Ableiten nach der Kettenregel liefert dann die fo}gerrtlen

part1el1enAbleitungen: Uzx

= 4x2u,( -

·

4x2U~1/ + x2Ur,,,., + u'T/- 2Uf.,

Uxy

= -2xUf.€. + xU~T/)

Einsetzen in die Differentialgleichung (7.79) liefert dann die Gleichung x2Uf.f.+ x2U11r, + U,,,- 2U( = 0 undsomit die Nonnalfonn

'Uyy::;:Ue~·

7.9 Partielle DiffercntiaJgleichungen

--

-~--------

345

Wir wollen nun noch ein Lö~ung verfahren ,orstellen, \\clche für ctne Reihe \'On w1 htigen partiellen Differentialgleichungen verwendet werden kann. Wir bes brJ.nken un bei der Dar-,tdlung auf Gleichungen für eine Funktion u(x y) in zwei Vanablen. die 1ethode l -.ich aber in bc\timmten Fällen auch für Gleichungen in mehreren Van blen an\\end n D bei wählt man für die Lm,ung der gegebenen partiellen DiJferentialgJeichungemen genannten ßernoulli'schen Produktansatz (auch Separation ansatz, 1lrennun ansatz oder nur Produktansatz genannt)

11(.r. . .11)= X(.r). }'(y) mll gcmigentl oft d1ftcrcnz1crbarenFunktionen X(~) und} (y). Man trachtet aJ o dana h, cmc multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen. wes\\egen die 1ethode auch Trennung der Variablen oder Separation der Variablen genannt "ird. Wir illu...,triercnd1e!)eMethode an H.md der homogenen linearen paniellen D1fferent1algle1chung 2. Ordnung, \Velche man durch geeignete Koordinatentran,fonn uon immer auf folg nde Gestalt bnngen kann: al.r,

Der Ansal1

11( .r.

y)

.11)11:r

+ c(.r. y)u 1111+ d(:i·.u)uz + e(:.r,y)u 11+ f

:r. y u

0

X ( r)} · 1J) liefert dann durch Ein,et1en die Gleichung

aX"}"

.i.

,,X)'"+ dX'}'

.i.

cXY' -r- J.. ">:..} - 0.

Ent!)chcidcnd für da, Gelingen des Ansatzes t\t nun die Annahme. da s au h m den Koeffizicntcnfunklionen a - a(.r. y). etc. eine Variablentrennung möglich i ;t,. da man nach eventueller Division durch eine Funktion ,,:{:.r.y) # 0 eine Gleichung folgender Ge tah erhalt: 0

Die Variablen lassen ich nun nach Di\ 1,10ndurch X} \Oll tändig trenn n. Wld man ethält die Gleichung ai(x)

Y" X

Y'

a2(,rf_\

1" + a~i(.r)= - ( b1(Y)y + b2 y)y} ' + b3( )

1

Da die linke Seite von Gleichung (7.80) nicht von Y abhängt. d.h. kon,t nt in i t k~ ~ s in der rechten Seite von (7 .80) keine Abhängigkeit von Y.bc l~h n. D bedeut t. C · lmke · set·t c ,on (7.\ 0) gleich einer rechte Seile und somit auch die . •Kt n tant dn E chtJm n .1· A .. t nktion u(x y = X x } unter :n gen müssen. Daraus folgt wetter. dass ute nsat, u ' . . .h • Ä . 1 .. d "egeben o D1tf erennalgl J ung ,,t. " nu . h Ordnw1gerfüll n: Vorau,setLungen genau dann cme O ung_ er::: ---. • 1e1 ung n -· und }. ( !/) die folgenden linearen gcwöhnhchen D1fü.'rc.ntrnlg a1 \'"

•

a2X'

+ (a3 -

>-..)X=0. bi1.,, + l>iY' + (b;J+ ~)l

=O

nut ~ e C

(7. 1

. ben sind. i t die cparnti rl'-melhod nur dann Falls 1usät1lich noch ehenbcdmgungcn,orgegcG lt 'nd dns ,i h m Bcdmgung n für 1 . . l YOll emer JC~ln ,1 ' •• anwendbar. wenn dte~e Bcdmgungei sen'' falls R ndbcdi ung ' . h ri· d' uiab1c y ••trenn n I ..für die nichttriviale Lösungen X (I) =/=0 der Differentialgleichung existieren. welche auch die in (7.84) gegebenen Randbedingungen erfüllen (X(r) = 0 und somit C, = C2 = 0 ist zwar immer eine Lösung dieses Randwertproblems, aber nicht \'on weiterem lntere&~e).Einsetzen der Randbedingungen in die Lösung (7.85) liefert nun folgendes lineare Gleichungss) ,tem für C1,C2:

Ci. 6) Nichttriviale Lösungen existieren daher genau dann, wenn die S) stemmatrix

M

= ( ),,

/,x,)

des Gleichungssystem>

(

c ,~

6

-'.tx, ) ( Ä) = ( ~ )

singulär ist, also det( A1) = Ogilt. Dies liefert die folgende Gleichung für ,\: 1= e-.fi.t - e./>..

0 bzw.

1 o2 ''>.. = 1.

Diese Gleichung besitzt nun im Komplexen die Lfü:ungen 2J>...f= 21rin mit n E Z. · httn·vm · le Lo··sr des~ Randwertproblems für folgendt '\\erte1noen Also er h a 1ten WII· mc 1.;, (die so genannten Eigenwerte):

.,\n= -( . .

•·

n?-)"\ n E N \ {0}. \ , x) (so ornanntt' Eigenfunktionen) zu den . · e1u, h n.. Oh'.,, Gl"l ·hungs,vstem(1. 6) ru Pdrac Len, vö

:.

Um nun entsprechende nichttnv1alcLosungen "'

Eigenwerten Arizu finden, brauchen wir· nur

tgts

't:"

·,

7

Differcnl.en-und Differentialgte·'h

-- - -- - - -- - ~

~34~8~----------------

. . \l . ht regulär i t fallen nämlich die beiden Gleichungen zusammen die Systemmatnx mc ' r-. • · , Und .b d. tc Bedingung übrig. welche C2 = -t. i ltetert. Jede Wahl von C 1 0 es blet . Eigenfun . kt1on. . 'I ;= . . t nur 1c crs. C _ C eine nichttriviale ln~besondere erhält m

ergibt zu~ammennut

c, ~ -i

1

2 -

.

an fur

.

folgendeEigenfunktionX.(r) zumEigenwert A.,. i(

,r

Xn(x) ==Ciej'r;..c+ G2e-""".r.= -2

~u t t

-

c

-~·

i:c)_

l (•)'

.

(mr ))

-2 ...u:nn 7,r

nrr). =sin (7x

(7.87)

Zu jedem Eigenwert Aubestimmt man nun noch die allgemeine Lösung der in (7 .83) gegebenen Differentialgleichungfür T(t):

Die charakteristi.ehe Gleichungc?+ (~1r) ~ = 0 für diese lineare Differentialgleichung zweiter Ordnungliefertdie komplexenLösungena1,2 = ± CTr 1., wodurchman die allgemeineLösung ')

cmr ) Tn(t) = ansin ( Tt

+ bucos

(cn rr ) - 1-t

(7.88)

erhält. Setztman die Lösungen (7.87) und (7.88) für X, (.r) und 7~1(t)in den Separationsansatz ein, dann erhält man die so genannte n-te Eigenschwingung der Saite: Un(X,

t)

, =Än(x)T,.(t) = Sill.

(mr ex) [ansm. (cn1r -e-t ) + bn (crm -c-')]' ('OS

mit n E N \ {0}

Nun versucht man noch, mittels Superposition der Eigenschwingungen, also 00

u(.r.,t)

=

L

ILn(X,

t)

n-1

die vorgegebenenAnfangsbedingungenzu erfüllen: (7.89a) 00

Ut(x.O)=

L cr;1r ansin (n;.r)= g(J').

(7.89b\

n-1

Um die Koeffizientenan und bn ·m (7·89) zu bestJmmen, • · Fun1 0. falls

J(t+ T)

= f(t),

filralle ER

Wir sprechen dann auch von einer T-periodlschen FuDktloa· J

n

"rtige 2rr-perlodili.he Funkuoncn. und

Beispiel 8.2 Die Funktionen siu l und w~t sm rec \\\; , , ... o . . p . xi l-:r da e c 2 ist eine komplexwcrtige Funknon mit cn( e · ·

r

,

t„

t

Di R........ 1 e

l.'UI

•

'.\62~---------------- -- --T ow1 0 i ·t definiert durch ecksChwingung nut Pcn .--L falls l J gerade, f(t)~ { -A, fallsl~~Jungeradc. •

• • ..1

*

.--,

\

---,

1

1

1 1

-T

7'/2

0

1

r-1

1 1 1

t· 1

-A

1 1 1

1 1

tr~ 1 1 1

1 1 .___, ......___.

Abbildung8.1 Rechteck-.chwingungmit Periode T und Amplitude .4

Bemerkung:EineT-periodischeFunktion J(t) läßt sich durch die Substitution F(x) ~ /(~). mit ..i ~ ':; immerauf eine 2,r-pcriodischeFunktion F (x) zurückführen. denn F(x + 2irf, J(~) = f(~ -· T) ==f(~) - F(.i). Vereinbarung: Währenddes gesamten Abschnittes definieren wir in ZusammenhangmitT2

periondie ·)rr-periodischenigonomeu·ische Reihe f (I) = L" 0:

(8.15) bzw. durchEinsetzenvon c = J2,die für uns relevante Gleichung:

(t'{ -2t2} e =

J

Y7f v'2e_w2s .

Somiterhaltenwir schließlichals Lösung der untersuchten Integralgleichung:

Beispi~.l8.~9 Wir lx:trachtendie folgende lineare partielle Differentialgleichung zweiter0t O gelten soll (1,, > 0 sei eine Konstante): ut(X, t)

Weiters.. soll u(x' t) für t -f (x) erfüllen:

=

J,,

Ua;x ( X1 t) .

of o1gende Anfangsbedingung mit

einer vorgegebenen Funktio

u(x, 0) = f (x), x E JR.

Zum Lösen dieser Diffe f algl • • d Va· riablen x a d h . ren l e1chung wenden wir die F-Transformation bezüghch er al U(w t) _ {as( etiß)}t,Ut wird wie ein konstanter Parameter behandelt. Wir notierendiesb's ' x u x, . nter Verwend d R . d nn auso I· ger Differentialgle·h . ung er echenregel (8.14g) erhalten wir a fl für U(w,t): IC ung folgell 0,be· kannt sind und man nun die Funktion f (t) vollständig aus diesen Werten rekonstruierenmöch-

te. Klarerweisekann das nur unter bestimmten Voraussetzungen, welche die Funktion /(t) und die ogenannteAbtastfrequenzoJJ,q= ~~ erfüllen müssen, gelingen. Unter solch geeigneten Voraussetzungen, welcheim unten angegebenen Abtasttheorem oder Sampling-Theoremange· gebencnsind, tritt also durch die alleinige Kenntnis der Funktion f (t) an den Abtastwerten f(k-6.t) kein lnfonnationsverlustauf und wir können die Funktion f (t) auf ganz IRdurchdie sogenannteAbtastformelaus den Abtastwertendarstellen.

Deftnitlon 8.51 DieAbtastformelfür eine Funktion J : JR-t C ist wie folgt gegeben: 00

/(t)

)=,x:{:/tk6.t))f(k6.t),

t

E

IR,

wobeisi ) die in Beispiel8.50 definierteSpaltfunktion bezeichnet. Wir we~?enjetzt unterSuchen,wann die Abtastformel (8.16) tatsächlich gültig iSL AlsVor· betttun~'."' den allgem~incnFall betrachten wir das Problem zunächst für den Spezialf~I e •kennenalso die Abtastwerte(eiwkßt) w· f . ct· Abtastwerte alsfunk tlonenh (w) u.,1,;t,, • • keZ• ir assen nun 1e k e m der Variablenw auf. Wegen

!( )

8.4 AbLasltht!orcm

395

~ind dies v..J.,-periodische Funktionen' we1che .tn der Fou . R . . aui. dem Frequcn.Lmtervall -w a ; 2 < W < W /? d f ner· e1henent\\1cklun11 c em·er bellCb 1gen Funktion g(w) auftreten: - ' - e mienen und w.-pemxhsch fortgesetzten

S'g(w)= ~ -- ~ L- r.Le•::k" Lk

k A.t c1.e...,

k

X

mit ·>n Weiterserfülledie AbtastfrequenzWs -= "Si· ass w.'i . . d . ·h d. FcmktionJ(t) vollständig aus den Abtastwerten Dann gilt, ass stc te . .. gemäß Abtastformel(8.16) rekonstrwerenlasst.

f (k6.t) mit k E Z, '

. w· b erken zunächst dass aufgrund der Beschränktheit und stückweisen Stetigke·t Be.weis. tr cm , · . . 1 ·) darauf tatsächlich die inverse F-Transformation anwendbar ist und somit dasdie von F( w 1tl) • • w· ZeitfunktionJ(t) bestimmendeIntegral für all~ t E ~ ex~sti~rt. 1~-er etzen nun die Funktion ,..,tdurch die in (8.17) berechnete Fourier-Reihe, wobei wir ausnul/en, dass n < ws/2 und :omit aufgrund de Darstellungs,satzes8.27 ~ie Fourier-Rei~e im gesamten Intervall -n < ..v < n gleichmäßigkonvergiertund die Funktion darstellt. Wir erhalten al o

und weiter

da wir aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe diese gliedweise integrierendürfen. also Summation mit Integration vertauschen können. Die auftretenden Integralesind laut Definitiongenau die Funktionen f (k6.t) und wir erhalten also tatsächlich die Abtastformel (8.16). D Die für die Gültigkeit der Abtastformel wichtigen Voraussetzungen an die FunktionJ(t) und die Abtastfrequenzw seien nachfolgend nochmals zusammengefasst. 11

Wtlua 8.53 Die Abtastbedingungen oder Nyquist-Bedingungen lauten: 1

Jt

bateineendllcheBandbreiten,also F(w)

DJie Abfat1frequenz Wa 2f2

= J'{J(t)} = 0 fiir lwl> n.

t ist mehr als doppelt so groß wie die Bandbreite n,also

:;ne:~ung; Im Falle ei_nerlJnterabtastung, wenn al,o w,

< 2 n ist, stellt die Abtastfo 0. dann gilt: (i) F(s)

= L{f(t)}

existiertfür alles> a.

J;e- st J(t)dt konvergiertfürs

(ii) das Integral (iii)

> so > ergleichmäßig,

f (t) ilitbis auf die Funktionswertean den Unstetigkeitsstellen durch F(s) eindeutigbestimmt,

F(s) = O. Bemerkung:Es gibt Laplace-transformierbareFunktionen, welche die Voraussetzungenvon (iv) lim.s➔oo

Satz 8.56 nicht erfüllen. Bemerkung:Als Konvergenz-Abszisse uc der Laplace-Transformierten F(s) einer Funktion J(t) bezeichnetman das Infimum (also die größte untere Schranke) der Menge aller Werte s E 1lt für die die Laplace-Transformiertevon f (t) existiert, also:

ac = inf {s

E

IR : es existiert das Integral

j

00 (

-.~t f(t)dt

}-

o

Ähnlichwie bei der eng verwandtenFourier-Transformierten sind in der Praxis eineReihe von Rechenregelnfür die Laplace-Transformationsehr nützlich. Der Beweis der nachfolgeod angeführtenRechenregelnwird als Übungsaufgabe gestellt. ~atz 8-5~ Seien f(t) : [O,oo) ➔ IRund g(l) : [O,oo) ➔ R Laplace-transformierbareFun~· t,onen mit Laplace-Transformierten F(s) = L{J(t)} und G( 8 ) _ ,.c{g(t)}. Es geltendanndit

folgenden Rechenregeln. • Lirzearitiit: L{o/(t)

+ ßg(l)} = oF(s)-+ ßG(.s), o, ß E lR.

(8.183)

= ~ F(~), c-/=0.

(8.1h)

• Streckung:

l{J(ct)}

8.5 Laplact·-Transformation

---

-----------~99

• Differentiation und Integration 1·".. 1 LKt 7_•,b • h • e.re,c : falls J(t) nd f'( ) b ~-i t ~- f(t) und f (t L-trans.formterbar sind und f (t) bzw. f(t) !'( ) dann gilt · t · · · ·. j< (t) ste11gauf (0 ) md.

L {J'(I)}

= s J,,( ,'i) _ f (u~).

( .1 )

L{Ja) l . h ;·ß· . f [O ) ,, · . LJ1=0 :u"- - - g e1c • ma 1g au , oo 11..onverg1en, falls s > o1st· Wegen Satz g• 11 A~-" • ßlll~ Summa. • wu1 nun 1ntegratmn t100 vertauscht werden, und wir erhalten weiter:

Die Nützlichkeit der L-Transformation für da~ Lösen von Differentialgleichungenwird in den folgenden Beispielen demonstriert. Beispiel 8.62 Eine wichtige Anwendung der L-Transfonnationheg1im Lösen \On linearen Anfangswertproblemen mit konstanten Koeffizienten.Dabei '-"irddie lmeare Differemiah?le-1c-huno .., e 1nit konstanten Koeffizienten, welche die Funktion J.·(t) erfüllt. mit Hilfe der L-Transfonnation in eine Gleichung für die L-Transformierte X (s) = l {x( t)} übergeführt. wobei die Anfangswerte bereits in diesem Schritt eingearbeitet werden. Am,chließend\\ird die Glei bung nach X(s) aufgelöst. Als letzten Schritt bleibt noch die Rücktransfonnation .r(t) = L 1{ ~( ,)} durchzuführen, wobei sich in der Praxis die Rechenregeln. aber auch umfangreiches Tabellenwerk für die L-Transfonnation, als nützlich erweisen. Wtr iHustrierendas Verfahrenan Hand des folgenden linearen Anfangswertproblems für i~(t):

+ 9x(t) = cos(wt). mit .,,,,> 0 x(O) = c0 und i:(O) = c1 . Wir behandeln nun die gesamte Gl i(t)

khung mit und Anfangswerten der L-Transformation und erhalten unter Zuhilfenahme von (8.18c) und unter Vef\\endung der Notation X(s) = .G{x(t)}:

Daraus erhalten wir als Lösung von X (s) unmittelbar die folgende Formel: C',oS

X(s) = .~+g Für die Rticktransfonnation x(t)

C1

( .19)

$

+ 82+ 9 + (~-2+1.4,2)(,2+9)

= ,c,-1 {X(s)}

werden wir nun die Falle

= 3 und

unterscheiden. . 9) · Pärtialbtuchz~ Falls w :f. 3, führen wir beim dritten Summanden in Gleichung.( . I eme

gung durch, das heißt, wir wählen den An atz

s

A$+ B

(s2+w2)(~..2+9) =

C +D ..2+~2 + s2+9

Man erhält die Darstellung

s

1

(s2+w2)(s2+~l) -9-wt

(

~

s~+u.i

s

)

9 .

A~'..--------------------

---

~02

woraus wir folgendes bt!kommen: ,_ 1 {

L

'

(s2 +..v2)(s2+9)

1

}=

2

9-w

_

8 Fourier-An~, --~

(co~(wt)-cos(3t)).

. R"chenregel (8.18h) auf den dritten Summanden in Gleichung (S 1 _ ., .. , . . 9) Falls ..JJ= 3, wendeo wir c . B · h ng F(s) = L{J(f)} -= ( ., 1-9)2 und erhalten. an. Wir wählen d1e eLetc nu .s·

)

r)O

.c{J~t} = j!I Da

F(u)du 1

l-1 { 2(s2 + 9)

erhalten wir weiters

J(t)

r

= Js }

=l

1 1 (u2 + 9)'2du= - 2 u2 + 9 u

l,_

6L

3

1{

s2 + 9

- 1 { (s2 ~ ) 2 s

9

}

}-l.6

1 - 2(s2 + 9).

~

(·>t)_f(t) ~111 "

-

-

t-,

= 61t siu(3t).

Unter Verwendungder Rücktransformiertender ersten beiden Summanden in Gleichung (8.19) erhalten wir schließlichdie gesuchte Lösung .r(t) des Anfangswertproblems für alle Wertew>

0:

1

x(t)

{½tsin(3t),

.

= l-0cos(3t)+ -3c1 sm{3t)+ _ 1_w 9

2

( 0 gemäß Definition zunächst:

r{t'x}

,J.,J

100 t dl. e -~t

0

O

Durchdie Variablensubstitutionu = •sl 11·e'ert d'1esweiter: . 1'

8.5 Laplace-Transformal1on

403

Das hier _auftrct_endeIntegral wurde bereits im Kapitel 5 ,orge,tellt. ~ i 1 die :SO genannte Gmnmafunkt1on. Wir erhalten aho für u -> O:

Die!-.> benützen wir nun, um die Rücktransformation durchzuführen. Wlf erhalten au Gleichung (8.20) omit die allgemeine Lösung der Differentialgleichung un Zeitbereich. mit c E l

C'Jt 2

I'(~) =x(O)..i..ct::. Beispiel 8.64 Wir betrachten elektrische Schaltungen mit den Schaltelementen Ohm"sdier Widerstand R, Kondensator mit Kapazität C und Spule mit lndukti, ität L. Den zeitlichen Spannungs- bzw. Stromverlauf bezeichnen wir mit t1,t) bn\. 1(t). deren L-Tran formierte mit (' ( .s) bt.~- 1 ( s ), wobei wir vom ruhenden Zw,tand au::-gehen, da, heilit für t < 0 gdt u(t) i(t) = 0. Ab dem Zeitpunkt t = 0 wird beim Eingang eine Quellspannung u,.(t • für t > 0. angelegt. Der Zusammenhang l~iscben dem Sp~nnung~ahfall bei de.n einzelnen Schaltelementen und der Strom tärke sowohl 1mZeitbereich al auch im Bildbe.ret ·h \\ird im Folgenden tabellarisch dargestellt.

R --c=J--

C

-U-

r, ---

im B1ldbere1ch

im Zeitbereich

Schaltelement

llR(t) = Ri(t) ~R1(0 uc(t) = u

~ J~1(r)dr ll.h(,) = /.f(,)

d t) = L d~,n

J

i it ...) = r„ 1l :-)

Wir betrachten nun konkret den in Abb. 8.12 dargestellten RCL-Stromkret,. Eine An\\endung

L C

R

Ahhtldung 8. l :! DerRC'l-Sm.'ntlt\'i, der Kirchhoff'schcn

· f

· Zeitbereich·

Maschcnregcl hc crt ,m

Htt(f) + tl{'(t)

·

+ Ut (t) = t¼!(t),

8 Fourier-Anal --~

404 bzw. im Bildbereich:

Uu(s) + Uc(s) + U1(s)

= U«(s).

Für die Stromstärke im Bildbereich gilt deshalb die Gleichung:

Rl(s) + ~_,1(s) + Lsl(8)

~ (Rt

~,, 1-Ls) 1(s)

= U,(s),

. . B'ldberei·chden folgenden Zusammenhang zwischen der Quellspannung undd woraus wtr 1m I er Stromstärkeerhalten:

Cs

mit

H(s)

8.6

= LCs 2 + RC.c;+ l.

z-Transformation

Wie im vorigen Abschnitt betrachten wir ein kontinuierliches komplexwertiges Signal J(t), t ~ O.welches nun aber nur zu diskreten Zeitpunkten k!J.f, für k E: N, im Takt 6.t > 0 abgetastet wird. Man erhält dadurch ein diskretes Signal fk = J(k.6.t). k ( N, also eine komplexe Zahlenfolge (JkheN•In Analogie zur L-Transformation für kontinuierliche Signale könnenwir nun darangehen,für die Folge von diskreten Abtastwerten die Reihe oc

L J(k6t)e-8k.:lt k 0

zu bilden. Ersetzen wir darin noch z

= e-~~,führt dies bereit~ zum

zentralen Begriff die es

Abschnitts. Definition 8.65 Sei (fk)k N, mit f k E C, eine komplexe Zahlenfolge. Die Folge (/k) heißt z-tramfonnierbar,wenn die unendliche Reihe OC,

.F(z)

= Z{(A)} =

L hz-k k-=0

füre_m E C konvergiert.F(z) heißt dann die z-Transformierte Die mverseAbbildung (fk)kEN= 'L 1{ F(z)}

von (fk)-

wudalsinvenez-Tramformationbezeichnet. Bemerkung· La • Wie oben ausgef'h u rt, kann die z-Transformation als diskretes Analogonzur p1ace-Tra_nsfor!!1ation angesehenwerden und wird deshalb auch "Laplace-Transformation für Abtastfunktionen . · · des . . . genannt· w·tr wo11 en weiters erwähnen dass die hier gemachte Oefirutlon erenals emse1tige oder unilatera1e z-Transformation bezeichnet ' ·· · auch Öft analoge •« fi• wird, da in der Praxis . . .. . T r10rmauon 8 egnue ur Folgen (f ) mit k E '77 1 Verwendungfinden. k ' 1u, a s lWe1se1t1geoder bilaterale z- rans

40S

8.6 z-Transformation ------~-------------~~

D_erBe~ff _derz-Transformation F( z) einer Folge ( h) ist offensichtlich eng \erwandt mit dem rn Abs~hmtt 7.2 vorge st ellten Konzept der erzeugenden Funktionen. Setzen \\'ir nämlich

x

= ¾ und F(.1') =

F(½), so ist

gerade die erzeugende Funktion der Folge Uk)- Wie in Abschnitt 4.2 erläutert. konvergiert F(x) 1 als Potenzreihe für alle x E: C mit l.rl< R, wobei R = der Konveroenzradius hm,-upk-x

(/ijj

e

ist. Daraus ergibt sich unmittelbar, dass die z-TransformierteF(.::) für alle .: E C mit jz > } = lim supk-t existiert. Weiters folgern wir. dass eine Folge (/1; genau dann :transformierbar ist, falls

v'fKT

v17J< ::x:.

limsup k-+QC

Eine wichtige Bedeutung der z-Transformationwie auch der erzeugenden Funktionenbesteht darin, dass Operationen der Signalfolgen (wie z.B. Ver chiebungen oder Faltungen) sich oftmals mittels der z-Transfom,ierten einfacher beschreiben lassen.

Beispiel 8.66 Gegeben seien die Signalfolgen (fk) und \9k) mit h = 1 und g;. = 2". für k E N. Die Folge (h1;;) soll durch Faltung dieser Folgen entstehen, also h1,.= L,~_ 3• 0 !,m.Betrachten wir die entsprechenden z-TransformiertenFt.:) = :::.{(!,;)},G(:) = Z.l(g )} und H ( z) = Z{ ( hk)} 1 so ergibt sich sofort der Zusammenhang

H(z)=

Loo(kLfJ9k-; k=O

)

oc Lf

z ,._.=

1 .:-

oc 1 LYk-J.:-(i.-,)=F(.::)•G(z).

;=0

j=O

k= J

F(z) und G(z) lassen sich durch Anwenden der geometrischen Reiheberechnen: 1

00

= L z-k

F(z)

= 1- 1 =

k=O

'

00

1 -1_1-.:-2'

~2k..,.-k

G(}i,=1-...,

'

z

____

k=O

= Z{(hk)}:

H(z) = F(z) · G(:::)= (::_ l){.:-_ 2) .

z H(")------L "' - 1 -

kd

urc

=:- 2 -

: - 1'

h p ...rt;albrochzerlegungentstand. Reihene-nn1, ic-klungliefertnun

z -2

J.:1>2.

z

Damit ergibt sich für die z-Transformierte H(z)

wobei der letzte Ausdruc

1::1 > 1.

z - 1,

1- !

wu

- .,,

(~)k - z~ (!)k= .L- .

k>O :

'·--.., ~✓ V

~

(2k+l -1)

;;-t,

k'l>O

z z . -~ ,ffizientcnablc~en du~h~etuhrt " erden kann. Die sodass die inverse z-Transfonnat1ondurch Koc Folge (hkhEN= z-1{H ( z)} ist somit gegeben durch

hk = 2k+l

-

was sich auch sofort durch Berechnen der Summe ,_ Reihe überprüfen lässt.

l.

,..f

,g~ 1

mittels l"ndlichergeometrischer 6.

8 Fourier-Anal ~

~40~6~-------------------------

8.7 Übungsaufgaben 8.1 Unter Zuhilfenahmeder Potenzreihenentwicklung ez + e-z ___ --z2n cosl1 z = (2 n) ! ' 2 Tl~Ü

L

z E C,

bestimme man den Wert der folgendentrigonometrischen Reihe:

t

n=O

cos(2nt). (2n)!

•

00

Anleitung:Man fasse die Reihe als Realteil von En=O

cos 2nt )+i :.in(2nt (2-n !

f au ·

8_2 Man zeige die in Satz 8.1 l zusarrunengefasstenwichtigen Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Funktionenreihen.

8.3 Man bestimme die Fourier-Reihe folgender 2n-periodischer Funktion J(t) swohl für die SinusCosinus-Formals auch für die Exponentialform: J(t)

= t,

O< t

< 21r, 21r-periodischfortgesetzt.

8.4 Man bestimmedie Fourier-Reihefolgender 21r-periodischerFunktion J(t): J(t) = t 2 ,

O~ t

< 21r, 21r-periodischfortgesetzt.

8.5 Man bestimmedie Fourier-Reihefolgender 21r-periodischerFunktion

J (t):

J(t) = cos t + 1cos t 1. 8.6 Man zeige die in Satz 8.16 angeführten Rechenregeln (8.5d) und (8.5f) für die Streckung bzw.

Verschiebungim Frequenzbereicheiner T-periodischen Funktion J(t). 8.7 Man zeige, dass eine gerade T-periodische Funktion, d.h. eine T-periodische Funktion J mit J(-t) = J(t) für alle t, in ihrer reellen Fourier-Entwicklung(= Sinus-Cosinus-Form) keine SinusAusdrückeenthaltenkann, also b1, = 0 für allen ~ l gilt.

8.8 Man zeige, dass eine ungerade T-periodische Funktion, d.h. eine T-periodischeFunktion f mit f(-t) = - f(t) für alle t. in ihrer reellen Fourier-Entwicklung(= Sinus-Cosinus-Form) keine CosinusAusdrückeenthalten kann, also an = 0 für allen ~ Ogilt. 8.9 S_eif (t). die~ (8.6) definierte 21r-periodischeRechteckschwingung mit Amplitude 1. Man zeige, dass die Founer-Re1heS1(t) von J(t) in der Sinus-Cosinus-Form wie folgt gegeben ist: 4

L 2n 1_ 1 sin ((2n-

S1(t) =:;;:

l)t).

n~l

~-10. Unter:Verwend~ngder in Aufgabe8.9 bestimmtenFourier-Reihe der in (8.6) definierten Rechteckschwm_gu~gJ(t) bestimme man die Fourier-Reiheder im Intervall [O 21r] folgendermaßen definierten 21r-penocbschenFunktiong(t): ' g(t)

= {l,

21r- t,

0< tt ~ $

1r

JiJ( )dr mit g(t).

Anleitung:Man vergleiche

T

$

1r,

21r,

2n-periodisch fortgesetzt.

8.7 Übungsaufgaben

407 8. U Man entwickle die Funktion

0$t 1.

409 8.29 Zur Berechnung von Fourier-lntegralen: (a)

Unter Verwendung des fourier-lntegral•L.-orem wc zeige man: 1

oc

J -rx

+ ,ie.

l

t.Jtdt

= 1rt:

(h) Mittels partieller Integration ,eige man sodann:

1

t

:x;

-x

(1

-u.,tdt

1,~

t2)2 e

---;;-e-

(c) Daraw, folgere man unter Bcnüuung H>n Aufgabe 8.14:

r-x.{1+' t2)2 :-in{t...:t)dt= 'iwe--. Jo

für w > 0.

8.30 Zur Berechnung von Laplacc-lnlegraJen:

= e-

(a) gilt: Man ,eige. das-. für die F-Trnnsfonniene F(...J)der Funktion /(t) F( .... :)

=

r • mI1 a >

_,.0. r1101gen,~

a2: ...... '>a

r

(b) Mit Hilfe des Fourier-lntegrallheorems zeige man sodann:

für t

> 0.

für t

> 0.

(c) Analog zeige man:

8.31 Man löse mit Hilfe der Fourier-Transformationfolgende Integralgleichung, m fredh lm•~"Pfür J'( t):

8.32 Man lö c unten angegebene Integralgleichung für f(t) : (0, .. )

f lo

und

f(t) ~in( ·t)dt - { l - w,

o.

Anleitung: Man betrachte die ungerade Fortsetzung,on /(t) auf und ,tclk: emcn Zusammcnh sehen dem angegebenen Integral und der h.mricr-Tmn,fonnicrtcn incr ung n Fun -ti n her. 1 Aufgabe 8.24. Man beachte \\Citers den Zu,ammcnhang F(-t.1) -F(u•) fi1rdie N.)uner--'J"'r;, ncll,V1micrte F(..v) = 3"{ / (t)} einer ungeraden Funkti\)n/(t). 8.33 Man bestimme die Laplace Transfonnirrte H'n folgend n Funktionen. wobe1man filrTcil 3 Konstanten und a hestunmt (Summensützeoder Moivre-Hmnl). o da ,iu (t) o n (a)

fi(t)

1t

rsin(r)dr,

(b) /2(t)

8.34 Man zeige dÜ.'in Satz '.57 angeführtenBcziehung\.n(._l r) und der Ableitung und dt'r Stmnmfunklion cind Funktion /(t).

l Trarufomuen

Satz 8.57 ang'-=führtt·n\crs'-h1ehung fomtdn

1 1\ und ( 1 ) filr die l

8.35 Man zeige die Transfom1iertc.

in

8 rourier-Analys ----..:.::

4LO

rtproblem mit Hilfe der L-Transformation: . 8.36 Man löse das folgende Anf angswe , y"(.r) - ;Jy'(.r) + 2y{.r) = 6e-.r, y(O) = 9, y (0) = G. . ) . . ( lSI) definierte Faltungspro 0 unter der An-

fangsbedingungi(O) = 0 für

(a)

lLe ( t)

= 64,

8.44 Ein RCL-Stromkretsbesteht aus einer Spule L der Induktivität 0.05 Henry, einem WiderstandR von 20 Ohm, einem KondensatorC der Kapazität 100 Mikrofarad sowie einer QueUspannung (,,Batterie") mit Ue - Ue(t) = 100cos(200t) Volt, die in Reihe geschaltet sind. Man berechne mit Hilfe der L-Transformation den Strom i(t) zu einem beliebigen Zeitpunkt t > 0 unter der Anfangsbedingung i(O) = 0.

Kapitel 9 Numerische Mathematik V~elfac~ ko1:1m~es b~'. der Lös~ng mathematischer Probleme vor, das~Z\\ar Existenz. ja sogar Emdeut1gkc1t emer Losung gesichert sind, aber keine explizite Lösungsdarstellungangegeben werden kann. Man denke bloß an dje Auflösung nichtlmearerGleichungen oder an die Int~tion von Funktionen, welche keine elementare Stammfunktion besitzen '" gl. Brg1bt ,,eh dann

~z :;

z- :

_

+ !/~~)ll+e3) + (.r.+ y)E'3

1 (.r..:1

:;

r+y -

r -f1(l .r ..._y

-·

< ( _!_

y ( +E:l) 1- -2 l .r. y .J...

:r+y

_Y_ x+y

+

1)

cp,.

2 .. · • rd Hahen r und y das. dbc \ rzeichen. 1 et· wobei die Terme mit eps \'emachlas~igt \\ u en ~~ d h d rcl th Fehler wa im Fall der Addition zweier positiwr Zahlen. fol~t l7I ~ 2 er_..• dr \\ h1no ß .. , der relattvc Fehler d ·r ...umm3Jl n nn ·-e der Summe ist maximal doppelt so gro \.\tt.: d l 'ich gf\lß ~md kann d1 u cm m 1 1 gen .r und Y cntgegcngeloietztcVorzeichen ha.benutn tasl ~ ~i d r ubtrali1on g boten. \\ :nn ... . F hier führen \or-K lt ,, a '-l unerwartet großen re latl\'Cn e · fit t 1an pncht m d1 m FaJI \"Oll en. l • 11 gnl&n Zahkn. au rr Differenzen von annähernd geil' - • B durch mfi nnun2 de lll I1u811011 2 · eine dcrarttl'e . d einer Auslöschung und tut gut aran. :::-

berechnenden Aus~_ruckszu vem~eidcn. . Multi lil-.."Dtion und 01,1si n k mc \erst rkung. Eine ähnliche Uherkgung ,c1gt, dass hc1 J. • Pt 'tt )\\ hl für dru Produ\."t\\. fur den ,1a11,cnfehle~ cm n \ · ma hlfi ituni! der Fchle.rgh.;u1;r ~-:t... LJt aher auch keine Dämpfung l tes n.: 1 1V"' 1 . . , ähcrung d.h. unter .... Quotienten ergehen "-tch 111er~tc.:r· -· hcrer Ordnung. die Fchlcrahschhtwngcn ~(.r.

y)

~

3 cps bZ\\,

9 NumerischeMath

~~---------------------------=-~~ematik 416

B . . _ Zur Illustration der FeWerproblematik in der Gleitkomma-Arithmetik Wählenw· 19 3 eisspie M(lü _ g) x = 4 3536 und y = 4, 3522, welche gerundet i ==0 4354Et lfd , 4 , 9, , . , . _ )J:: _ _' un das ystem y = 0,4352E l ergeben. Für die Summe z .= .r_~ y - 8, 7l o8 berechnet man ~ = 0,8706Et, der relative Fehler beträgt 0,002 %. Für die D1~ferenzz . x - y = 0, 0014 hingegen liefert die Arithmetik den Wert z = 0,2000E-2, was eme1:11 relat1_venFehle~ von un~efähr 43 % (bei einer Maschinengenauigkeit eps = 0,05 %) entspncht! J?te Rechenfehler beim Produkt bzw. Quotienten von :rund y liegen mit 0,01 % b~':· 0,03_% w1e~er unter de_mPron~llebereich. Dramatisch ist auch die schlechte Kond1t10nbe1 der D1fferenzenb1ldung 1m vorüegenden Fal1einer Auslöschung. Eine Änderung des Operanden Y zu Y1= y+O, 007 =- 4 1 3592, gerundet y1 = 0,4359El, also eine Erhöhung um 0, 16 % gegenüber y, ergibt in unserer Arithmetik für die neue Differenz 2-i = x - Yt den Wert i 1 = -0,5000E-2, was eine Veningerung um 350 % gegenüber z bedeutet. Di_~Änderu~g in der letzten Stelle der ~antisse Sub~ahenden f} bewirkt demzufolge eine Anderung m der ersten Stelle der Manusse der Differenz z. 6

?~s

Auch die vertrauten Rechenregeln im Körper IR sind - mit Ausnahme der Kommutativität von Addition und Multiplikation - in M nicht erfüllt. Das hat zur Folge, dass bei der Auswertung eines arithmetischen Ausdrucks sowohl die Reihenfolge der Berechnungen als auch mathematisch äquivalente Umformungen Auswirkungen auf das numerische Ergebnis haben können. Darüber hinaus findet man zahlreiche weitere Effekte und unerwartete Ergebnisse beim Rechnen mit Maschinenzahlen in der einschlägigen Lehrbuchliteratur.

Beispiel 9.4 Wir verwenden nochma1sdas System M(l0, 4, -9, 9) und wählen :r = 0,l 104E3, y = 0,4522E-l und z:;;;:0,4487E-l in M. Dann gilt in der Arithmetik von M, d.h. bei Rundung aller Zwischenergebnisse auf 4 signifikante Stellen

x + (.IJ+ z) = 0,1104E3 + 0,9009E-l = 0,1105E3

(x + y) + z = 0,1104E3 + 0,4487E-l

=

0,1104E3,

also ist das Assoziativgesetz der Addition verletzt. Dasselbe gilt für das Distributivgesetz, denn

= 0,1104E-l · 0,3500E-3 = 0,3864E-l x · z = 0,4992El - 0,4954El = 0,3800E-l.

x · (y - z)

x ·Y -

9.2 Auflösung von Gleichungen und Gleichungssystemen Jedes P?lynom /(~) = anxn+°'n-1Xn-l +· · ·+a1x+a 0 vom Grad n mit reellen oder komplexen 8 Koeffizienten besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n N ul !stellen m · C, fa11 . man Jede Nullstelle mit ihrer Vielfacbhei·t zäh" Jt. Nur fur ·· n < 4 gibt es aber al1gemein · gu ··ttige · Verfahren zur exakten Berechnung der Nu11stellen. Fur . diese . .. Polynome , rf . vom Grad 3 oder 4 sind 1 ve ahren allerdings so. aufwändig, dass sie · m · der Praxis . kaum Verwendung finden. Neben • den al gebrruschenGleichungen die b · d Nul ·bt ahlr • h . ' et er lstellenbestimmung von Polynomen auftreten, g1 es z e1c e weitere Gleichungen w· B d'1 o O welche i Allg b f .h ie z. · e transzendente Gleichung e:.c- 10 x :::: , . . . e en a11s mc t exakt lösbar sind. Wrr werden nun ein Verfahren k . .. gen x einer vorgegebene GI . h ennen1emen, das die schrittweise Bestimmung von Losun~ einem abgeschlossenen I;erv:~ I u~g f (x) . 0 errn~glicht. Dazu sei f : I -+ IR eine ~uf - IRdefimerte stetige Funktion. Erklärt man eine FunktJoO

9.2 Auflösung von Gleichungen und Gleichungs~y.stemen -

i.p :

!,

4

_________________

4.:...:1:...:..7

~ dur~h lf'(.r_)= :r - f(;r), so entspricht der Gleichung /(.r)

= Odie daLUaquivalente

Gleichung i.p(x) . .t. Jede Nullstelle .r· von J. also · h ung !( :i •} = 0 ... . J·ede Lö.i-ung der Gleu: 1 erlullt dann au~h e Bedmgung_.p~x") = ..r·, d.h.. ~-·ist em Fixpunktvon-;, und umeekehn. Nehmen wir ernr.nalan, es ~e1eme Näherung i·o eines Fixpunk.Le~ \oo ·t bekannt. Bilden 1Ait I 1 =. ,p(.ro), _dannwird.- da mit f auch ..Peme '>let1ge Funktion J.'>t- J' 1 ebenfall. eme Naherune f~r diesen F1xpunkl sem. Derart fortschreitend konMruierenwir mil Hilfe des Startwert.eo, eine Folge J.:o, .r1, :r2, ... nach der Vorschrift

?

.r;

Dann gilt Ist die Folge (.-r11) konvergent und g1lt limn-x .r.., 1 Stetigkeit von c.p

•1

••

'>O folgt auf

Grund der

d.h., x* ist ein Fixpunkt von ..p.Tndiesem Fall werden al o die Folgenglieder I den unbekannten Fixpunkt .r:"'schrittweise approximieren. und wir haben ein Verfahren zur Lfü,ung de, Problems gefunden. Man nennt ein solches Verfahrender ~chrinwe1~n Annäheruog an die Lüsung

ein Iterationsverfabren. Die Funktion .p heißt in diesem Zuc;ammenhanglterationslunk"tion. und die Folge (.rn) nennt man eine Iterationsfolge. l t sie konvergent. 1;0 nennt man auch d~ lterationsverfahren konvergent. Beispiel 9.5 Gegeben sei die quadratische Gleichung

Lös1mgen x*

= 1 und

:1-"'*

f (.r) = 1·~ - 3.r ~ 2 - 0 mit den exnkte-n

= 2.

(a) Wir formen die Gleichung um zu 'fö(,r) = .r - J(.r) = -:r ➔ 4; - '2und berechnen die Iterationsfolge ( x'll) mit x~i+l = ,,..-0 (,rn) zum Startwert r 0 = -0.5. Dabei erhalten\\ ir 2

.r:0

= -0.5, x 1 = -4.25 .. r 2 = -37.06 .. r3 = -15:H.~

Offensichtlich ist das Jterationsverfahren nicht konvergent. (b) Eine m1dere Äquivalenzumfonnung der Gleichung f(x) = 0 führt zu .r = ~1(x) = · " tge (,rn ) nu·t .rn ...1 -- -.. , (r ) zum ,clbcn lan½(r2 + 2). Die entsprechende lterat1ons10 1 n wert lautet in diesem Fall .ro = -0.5,

J'1

= 0.751 r:? = 0.SG,.r:l = 0.9L .r4 = 0.9426, ...

.. . d ur. rl ·"' 1 einer Wurzel der gegebenen Glckhung. und nahert s1ch em vvel• .z - • • . --..(r) _ _ Oäqtli,a1enteGktchung.; ~i • hl' ßf hd."zuf(.r) (c) ;:~) :1:nd1~m~;a;; de:;t;ratio.ns,;rfahrcns und nochmals 0 auf eine komergenteFolge mit lim ➔ ,/ä führt. Dieses Verfahren. welches bereits vor 3000 Jahrenvon den Babylomem,erwendet wurde. ist heule vielfach die Grundlage zur \\unelberechnung im Cc,mputer. b] mit b ~ ~ \ in sich lb t ab, Die lterationsfunkt10n .;J bildet jedes Intenall J = [ wie man durch Nachrechnen bestätigen kann. und es gilt dort

JI.

Also ist ..p auf I eine kontrahierende Abbildung mit .,\ = ½-Diese be irzt dahergenauem n Fixpunkt .r· E /, nämlich x· -= /ä. (die einzige Lfü,ungder Gleichung :r = ~(x in /). Da für .ro > O stets .r 1 - ½(1· 0 + ;0 ) ~ Jä und da.mitx 1 E / (für ein passend ge\\ählte b) gilt. konvergiert jede rterationsfolge (.r.n)mit .r.o> 0 gegen /a (siehe Abb. 9.2). 6 y

y = ( 1/2){x+al.t)

X,

X

Abbildung 9 2 Iterationbeim Bab)loni,chcn \\unelriche'li

.

·) - 0 dem Au,oang punkt un, rer .

rlcgung n. u ltc· · rück un - Xn,

. der M' 1.,. as Produkt(:r - :.ro)(x- x ) ( · en .t·1 m FaII aqu1 1stanter Stütlstell dort der lntcrpolationsfehle . llte des Intervall,[Xo 1 ' • :t - :r• i im der Extrapolation trill zum:i:~ei~enngsten ist Außerhalbde; ~te:i~em[sten. soda i.Allg. um vielesgrößererFehlerauf"( . h .To,:r:n]. d.h. im Fall sie e Abb.9.9).

l.5

-2

p(.r)

-1

--0.

bei. Interpolation Abbildung 9 ·9 y,erfah rcns,ehler , . von /(x) =

1]~

durchcm Polynom r achten~

5· Spline-Interpolation ~ach Sal7 9.15 gibt es ,u n + 1 Jnterpolationsstcllcngenaucin lnt rpolati nspol)ltOm'"" /chS tens 11-tcm Grad. Bei einer großen Anzahl ,on lnteq1olation,teilen I t I llg auchder olynorngrad groß, so dass einerseits unerwünschte chwankungendes lnterpolatlOßspolYnom auftreten können, andercNeits uroße Fehler 1wbchcnden tütl tcllenmöglichsind us die scm Gnmd vermeidet man zu Interpolations1wcckcn,iclfa h Polynomehöheren Gradesund g_ehtüber zu stückweiser Interpolation mit Hilfe,on Polynom5 für t l. W1f est1mmen zunächst 1e 1tterpu ge -"Hl - • ·Xo = 0. Nach dem Euler'schen Verfahren(9.24)ist dann Yi+l

= Yi + hf(xi,

Yi) = Yi +0.25.ri(l - Y1),

. . . . S h ·tt :::: xO + 0.25 = 0.25undYi = wobei y0 = 0 .1 ist. Also ergibt sich 1m ersten n Xi ~., n.. ...c.-hnic. der , . - 0 5 y = O.l5u..,.usw.~ ""'P.,.._,. Yo+ 0.25x 0 (1 - Yo) = 0.1, im zweiten Schntt x2 - · , 2 Rechnung ist in unten stehender TabellezusammengefasSt . lt manu - .,_ +A(k1 +kt) , ..&,,;l,....,. (9 25)enn1tte .:,.H- ~ 2 Nach dem verbesserten Euler sehen Veua.11.1..,n ·• mit

°

, . hk1}==(x,+0.25)(1-M-0.2541) = xi(l - y1) und k2= f(xi + h Y + • IQ't deutlich~ NlheUnderhäl·t d .t . c· Rahmender verwendetenGenawg et am.t eme 1m fUbrtist k1 = f (xi, Yi)

1

rung, die ebenfalls in nachfolgender Tabelleange

1

·

9 Nume1ischeMathematik 446

. _Kutta-Verfahrens gemäß (9 .26) berechnet man im Bei Anwendung des klassischen Runge ersten Schritt zunächst k 1 = f (.eo,Yo) . xo(1 - Yo]k O' 0_125( 1 _ o.1O) = 0 .1125, 1 k2 = J(.to + h/ 2, Yo+ (~/2))~ )) = 0.12S(l _ 0.1141) = 0.1107, k3 = f (:eo+h/ 2, Yo+ ( / ~ r.:( _ o 1277) = 0.2181 k4 = J(xo + h, Yo+ hk3) = 0.2D l . k k ) = 0.1277. Zur Berechnung der weiteren Näherungen 2 2 2 3 4 und danut Y1 = Yo+ + k +K +5 hr.tte anzuschließen, deren Ergebnisse ebenfalls in der . y sind analoge Rungeutta- c 1 Y2,.. ·, 12 Tabelle zusammengefa~st sind. .

h

6 ( k1

t

x.

Yi

0

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.1000 0.1000 0.1563 0.2617 0.4001

0.1000 0.1281 0.2065 0.3211 0.4537

0.0000 0.2181 0.3971 0.5095

1.25

0.5501 0.6907 0.8067 0.8913 0.9456 0.9762 0.9911 0.9972

0.5860 0.7041 0.8000 0.8719

0.5459 0.5151 0.4383 0.3407

0.9219 0.9546 0.9746 0.9863

0.2437 0.1613 0.0991 0.0566

1 2

3 4

5 6 7 8 9 10 lL 12

1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00

exakte Lösung

Runge-Kutta

verb. Euler y,

Euler

k1

k2

ka

k4

0.1125 0.J 107 0.2181 0.3169 0.3123 0.3971 0.4654 0.4600 0.5094 0.5387 0.5355 0.5455 0.5373 0.5385 0.5141 0.4781 0.4844 0.4364 0.3858 0.3965 0.3379 0.2852 0.2982 0.2403 0.1942 0.2074 0.1575 0. 1223 0. L339 0.0955 0.0715 0.0805 0.0536 0.0388 0.0452 0.0278

Yi

y(xi)

0.1000 0.1277 0.2058 0.3206 0.4541

0.1000 0.1277 0.2058 0.3206 0.4541

0.5879 0.7078 0.8053 0.8781

0.5879 0.7078 0.8053 0.8782

0.9283 0.9604 0.9794 0.9899

0.9284 0.9605 0.9795 0.9900 2

2

Die Tabelle enthält auch noch die Werte der exakten Lösung y(x) = 1 - 0.9e-x / (die im vorliegenden Fall durch Trennung der Variablen analytisch bestimmt werden kann) und erlaubt einen direkten Vergleich der Güte der verwendeten Verfahren bei fester Schrittweite. In Abb. 9.14 ist die exakte Lösung gemeinsam mit der Näherungslösung nach dem Euler'schen Polygonzugverfahren graphisch dargestellt. Die beiden Lösungen nach de111verbesserten Eulerverfahren bzw. nach dem Runge-Kutta-Verfahren fallen mit der exakten Lösung trotz der relativ großen Schrittweite praktisch zusammen. 6 Wir schließen diesen Abschnitt mit zwei Bemerkungen zur Fehlerproblematik und zur Schrittweitenbestimmung. Bei jedem numerischen Verfahren sind, wie bereits eingangs erwähnt, sowohl der Verfahrensfehlerwie der Rechenfehler von Bedeutung. Sowohl der globale Verfahrensfehler c:v wie der Rechenfehler ER sind - bei gegebener Di.fferentialgleichung, gewähltem Lösungsverfahren und festem Integrationsintervall _ Funktionen der Schrittweite h. Große Werte von h haben zwar kurze Rechenzeiten, i.Allg. aber auch große Verfahrensfehler zur Folge. Mit fallender Schrittwei.tenimmt der Verfahrensfehler wohl ab, dafür aber steigen dann die Rechenzeit und die Rundungsfehler. Der qualitative Verlauf der Fehlerkomponenten ~v und cR sowie des Ge~amtfe!tlerse = Ev +c:Rist in Abb. 9.15 dargestellt. Aus der Abbildung 1stzu ersehen, ~ass ~s e~neoptimale Schrittweite hCYJJt gfüt, die den Gesamtfehler minimiert. In ~er Pra~1so~1ent1ertman sich vielfach an der so genannten Schrittkennzahl K ==hA, wo h die Schrittweite und A eine Lipschitzkonstante für die Funktion .f bezeichnet, und wählt

9.7 Die Mclhodc der Finiten c.LIememe --

-

--

1(

08

0

I

04

I

I

I I

02

,,,,/ 0.0

05

/

I

YEuln(:.t)

10

20

2.!i

Jj)

Abbildung 9.14 Exakte Lö~ungy(x) und Eu1er.scherPol)gonz ug YE1.11t-r(:r) zurSchrilt\\edch _ 0 25

Fehler

E

GesamtfehlerE = -=-, -r cR

RechenfehlerfR hopt

Schritt\\eiteh

Abbildung 9.15 Verfahrensfehler und Redienfehler

h derart, dass 0.05 < /\. < 0.2 gilt. Man spricht dann von einemVertahrenmit Sdlrittweitensteuerung. Wird nämlich ,,\lokal für jeden Integrationsschrittneu berechnetodergcschätzt. kann man bei vorgegebenem K einen für den jeweiligen Schrittal1UellenWert\'Oll h bestimmen und damit die benutzte Schrittweiteden lokalenGegebenhcicen anpassen.

9.7 Die Methode der Finiten Elemente Partielle Diffcrcntialglcichungcn lassen sich nur in den wenigstenSpezialfillenexplizitlösaL Au~diesem Grund wurden zur näherungsweisenLösungdie verschieden.teil numerischen Verfahren entwickelt. die hier aus Platzgründennichteinmalann~wei~ voll~ bcbandelt werden können. Wir beschränken uns daher auf die Beschreibung emes derwicbtipleD Verfahren, der Methode der Finiten Elemente. Der Name .,Finite Elemente" kommtdaher. dasSdas~

ineinegroßel.1111

-

9 NumerischeMathematik

448

~------------------

kleiner aber endlich vieler Elemente unterteilt wird. Auf diesen „Elementen" werden Aasatzfunkti~nen definiert, mit deren Hilfe man anstelle der partiellen Differentialgleichung (näherungsweise) ein großes Gleichungssystem erhält, das dann mit anderen Verfahren (siehe Abschnitt 9.2 und 9.3) gelöst werden kann. Wir beschränken uns weiters auf eine ganz spezielle (aber wichtige) partielle Differentialgleichung, nämlich auf das Poisson-Problem ~u

=f

u

=0

in n, auf öD.,

b -b 2

2

"

wobei ~ = + den Laplace-Operator in der Ebene bezeichnet. üblicherweise sucht man dabei eine Funktion u(x, y), die in einem Gebiet n zweimal stetig differenzierbar und auf dessen Rand an stetig ist. Es erweist sich aber günstig, eine etwas schwächere Formulierung zu verwenden, insbesondere für die numerische Behandlung. Im Speziellen werden wir nur verlangen müssen, dass u stückweise stetig differenzierbar und stetig ist. Wir bezeichnen die Menge aller Funktionen u auf n U 80 mit diesen Eigenschaften und der Randbedinung u ==0 auf anmit V. Offensichtlichbildet V einen Vektorraum. Die grundlegendeIdee ist nun die folgende.Man multipliziert die Differentialgleichung mit einer beliebigen Funktion v(x, y) aus V und integriert übern:

1(

L'.u) · u d:rdy

=

1f ·

v dx dy.

SetLt man nun G(u,v) = fn(~u) · vrlxdy und L(v) = fnf bilineare Abbildung auf dem Raum V, d.h.,

G(.X1 U1 +.-\2u2,µ1 V1 +µ2v2)

• ud:rdy, so ist G(u,v) eine

= >-.1µ1 G(U1, V1 )+.X11.12G( u 1, u2)+.-\21i1G( u 2, v1)+>-.2µ 2G( u 2 , v 2 ),

und L( u) ist eine lineare Abbildung auf V, also

L(µ1v1+ µ2v2) = µ1L(v1) + µ 2 L(v 2 ). Ist nun u(x, y) die Lösung der partielJenDifferentialgleichung D.u =

G(u, v) = L(v)

für alle v E V.

J, so gilt (9.27)

Betrachten wir einmal G(u, v) für ein Rechtecksgebiet n = (a b) x (c, d) etwas näher. Wegenu(a1y) = u(b,y) = 0 folgt aus der partiellen Integrationsregel'

fb

b

{ Ux . Vx dx. a Ux~ • V dx = - Ja

j n. Entsprechendgilt

undfolglich (9.28)

9_7 Die Methode der Finuen Elemente

·-~-----------~449

Offensichtlich gilt eine entsprechende Foi;nielauch für Gebiete!l, die ich al endliche eroinigung von Rechtecken darstellen l_assen:und (aus Stetigkeitgriinden)auch für Gebiete,d,e sich durch Rechtecksgeb1ete beheb,g genau approximierenlassen,also fur Gebiete,auf deJteD ein Riem~nn Integral definiert V.erdenkann. Wir könnendaher fur unsere7.Mockc die Gülttgkeit der ~ormel (9.28) annehmen. Dies zeigt aber auch. das man G(u t fur alle E \ sinnvoll definieren kann, 0, xo > 0 ist) auf graphischemWeg und zeige, dass stets X1

~

X2

~

X3

> · · · > /ä

gilt,d.h.,die Iterationsfolge(xn) ist ab n =1 monoton fallend und nach unten durch

Jabeschränkt.

~.5. Manberechneden numerischenWert von /7 mit Hilfe des Babylonischen Wurzelziehensauf 8 s1grufikante Stellengenau.

6 ~· M~ zeige:Für a _>0 konvergiertdie Iterationsfolge (xn) gemäß Xn+l = 2xn - ax! mit ia < xo des Interpolanonspo yn X::::: 1 3 5? , , . . .. ·eichedie Werte~ au Aufgabe 9 14 9-16 Man ermittle die natürliche kubischeSplmefunkuon. 'W , .~~ 11deskubtdlen l~ interpo11ert, · . n· x - 1 3 5 mit ~ne und vergleiche die Funktions\vcrte ur · - • ' Polynoms.

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454 :::::::::______________

9_Numerische Mathematik

9.17 Mit Hilfe der Sehnentrapezfonnel berechne man Jr aus