Mathematics 09 [9]

Citation preview

‫رﻳاضﻰ‬ ‫وزارت ﻣعارف‬

‫صنف ‪9‬‬ ‫رﻳاضﻲ صنف ‪9‬‬

‫‪x‬‬

‫‪a+b‬‬

‫‪0‬‬

‫‪60 o‬‬

‫‪144444244444‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪a b‬‬

‫‪90‬‬

‫‪ 1398‬ﻫـ ‪ .‬ش‪.‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪c‬‬

‫‪a+b+‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40 45 50‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪90‬‬

‫‪O‬‬

‫‪80‬‬

‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40 45 50‬‬

‫‪O‬‬

‫سرود ملی‬ ‫دا وطن افغانســـتـــان دى‬

‫دا عــــزت د هـــر افـغـان دى‬

‫کور د سول‪ ３‬کور د تورې‬

‫هر بچی ي‪ ３‬قهرمـــــان دى‬

‫دا وطن د ټولـــو کـور دى‬

‫د بـــــلـوڅـــــــو د ازبـکــــــــو‬

‫د پښـــتــون او هـــــزاره وو‬

‫د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو‬

‫ورســـره عرب‪ ،‬گوجــر دي‬

‫پــاميــريـــان‪ ،‬نـورســـتانيــــان‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه يان‬

‫دا ه‪５‬ــــــواد به تل ځلي‪８‬ي‬

‫لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان‬

‫په ســـينــه ک‪ ３‬د آســـيـــا به‬

‫لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان‬

‫نوم د حق مـــو دى رهبـــر‬

‫وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫‪1398‬‬

‫اﻟﻒ‬ ‫اﻟﻒ‬

‫ﻣشخصات‌کتاب‬ ‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫ﻣضﻤﻮن‪‌:‬رﻳاضﻰ‬ ‫ﻣؤﻟفان‪‌:‬گروه مؤلفان کتابﻫاى درسﻰ دﻳپارتمﻨت رﻳاضﻰ نصاب تعلﻴمﻰ‬ ‫وﻳراستاران‪‌:‬اعضاى دﻳپارتمﻨت وﻳراستارى و اﻳدﻳت زبان درى‬ ‫صﻨف‪‌:‬نﻬم‌‬ ‫زبان‌ﻣتﻦ‪‌:‬درى‬ ‫اﻧکشاف‌دﻫﻨده‪‌:‬رﻳاست عمﻮمﻰ انکشاف نصاب تعلﻴمﻰ و تالﻴف کتب درسﻰ‬ ‫ﻧاشر‪‌:‬رﻳاست ارتباط و آگاﻫﻰ عامﺔ وزارت معارف‬ ‫سال‌چاپ‪ 1398‌:‬ﻫجرى شمسﻰ‬ ‫اﻳﻤﻴﻞ‌آدرس‪‌[email protected]‌‌:‬‬ ‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫حق طبع‪ ،‬تﻮزﻳع و فروش کتابﻫاى درسﻰ براى وزارت معارف جمﻬﻮرى اسﻼمﻰ‬ ‫افغانستان محفﻮظ است‪ .‬خرﻳد و فروش آن در بازار ممﻨﻮع بﻮده و با متخلفان برخﻮرد‬ ‫قانﻮنﻰ صﻮرت مﻰگﻴرد‪‌ .‬‬

‫ب‬

‫پیام وزیر معارف‬ ‫اﻗرأ باسﻢ ربﻚ‬ ‫سپاس و حﻤد بﻴﻜران آﻓرﻳدﮔار ﻳﻜتاﻳﻰ را ﻛﻪ بر ﻣا ﻫستﻰ بخشﻴد و ﻣا را از ﻧﻌﻤت بزرگ خﻮاﻧدن‬ ‫و ﻧﻮشتﻦ برخﻮردار ساخت‪ ،‬و درود بﻰپاﻳان بر رسﻮل خاتﻢ‪ -‬حﻀرت ﻣحﻤد ﻣصﻄﻔﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﻧخستﻴﻦ پﻴام اﻟﻬﻰ بر اﻳشان «خﻮاﻧدن» است‪.‬‬ ‫چﻨاﻧچﻪ بر ﻫﻤﻪﮔان ﻫﻮﻳداست‪ ،‬سال ‪ 1397‬خﻮرشﻴدى‪ ،‬بﻪ ﻧام سال ﻣﻌارف ﻣسﻤﻰ ﮔردﻳد‪ .‬بدﻳﻦ‬ ‫ﻣﻠحﻮظ ﻧﻈام تﻌﻠﻴﻢ و تربﻴت در ﻛشﻮر ﻋزﻳز ﻣا شاﻫد تحﻮﻻت و تﻐﻴﻴرات بﻨﻴادﻳﻨﻰ در ﻋرصﻪﻫاى‬ ‫ﻣختﻠﻒ خﻮاﻫد بﻮد؛ ﻣﻌﻠﻢ‪ ،‬ﻣتﻌﻠﻢ‪ ،‬ﻛتاب‪ ،‬ﻣﻜتب‪ ،‬اداره و شﻮراﻫاى واﻟدﻳﻦ‪ ،‬از ﻋﻨاصر ششﮔاﻧﻪ‬ ‫و اساسﻰ ﻧﻈام ﻣﻌارف اﻓﻐاﻧستان بﻪ شﻤار ﻣﻰروﻧد ﻛﻪ در تﻮسﻌﻪ و اﻧﻜشاف آﻣﻮزش و پرورش‬ ‫ﻛشﻮر ﻧﻘش ﻣﻬﻤﻰ را اﻳﻔا ﻣﻰﻧﻤاﻳﻨد‪ .‬در چﻨﻴﻦ برﻫﺔ سرﻧﻮشتساز‪ ،‬رﻫبرى و خاﻧﻮادة بزرگ‬ ‫ﻣﻌارف اﻓﻐاﻧستان‪ ،‬ﻣتﻌﻬد بﻪ اﻳجاد تحﻮل بﻨﻴادى در روﻧد رشد و تﻮسﻌﺔ ﻧﻈام ﻣﻌاصر تﻌﻠﻴﻢ و‬ ‫تربﻴت ﻛشﻮر ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫از ﻫﻤﻴﻦرو‪ ،‬اصﻼح و اﻧﻜشاف ﻧصاب تﻌﻠﻴﻤﻰ از اوﻟﻮﻳتﻫاى ﻣﻬﻢ وزارت ﻣﻌارف پﻨداشتﻪ‬ ‫ﻣﻰشﻮد‪ .‬در ﻫﻤﻴﻦ راستا‪ ،‬تﻮجﻪ بﻪ ﻛﻴﻔﻴت‪ ،‬ﻣحتﻮا و ﻓراﻳﻨد تﻮزﻳﻊ ﻛتابﻫاى درسﻰ در ﻣﻜاتب‪،‬‬ ‫ﻣدارس و ساﻳر ﻧﻬادﻫاى تﻌﻠﻴﻤﻰ دوﻟتﻰ و خصﻮصﻰ در صدر برﻧاﻣﻪﻫاى وزارت ﻣﻌارف ﻗرار‬ ‫دارد‪ .‬ﻣا باور دارﻳﻢ‪ ،‬بدون داشتﻦ ﻛتاب درسﻰ باﻛﻴﻔﻴت‪ ،‬بﻪ اﻫداف پاﻳدار تﻌﻠﻴﻤﻰ در ﻛشﻮر‬ ‫دست ﻧخﻮاﻫﻴﻢ ﻳاﻓت‪.‬‬ ‫براى دستﻴابﻰ بﻪ اﻫداف ذﻛرشده و ﻧﻴﻞ بﻪ ﻳﻚ ﻧﻈام آﻣﻮزشﻰ ﻛارآﻣد‪ ،‬از آﻣﻮزﮔاران و‬ ‫ﻣدرسان دﻟسﻮز و ﻣدﻳران ﻓرﻫﻴختﻪ بﻪﻋﻨﻮان تربﻴت ﻛﻨﻨدهﮔان ﻧسﻞ آﻳﻨده‪ ،‬در سراسر ﻛشﻮر‬ ‫احتراﻣاﻧﻪ تﻘاﺿا ﻣﻰﮔردد تا در روﻧد آﻣﻮزش اﻳﻦ ﻛتاب درسﻰ و اﻧتﻘال ﻣحتﻮاى آن بﻪ ﻓرزﻧدان‬ ‫ﻋزﻳز ﻣا‪ ،‬از ﻫر ﻧﻮع تﻼشﻰ درﻳﻎ ﻧﻮرزﻳده و در تربﻴت و پرورش ﻧسﻞ ﻓﻌال و آﮔاه با ارزشﻫاى‬ ‫دﻳﻨﻰ‪ ،‬ﻣﻠﻰ و تﻔﻜر اﻧتﻘادى بﻜﻮشﻨد‪ .‬ﻫر روز ﻋﻼوه بر تجدﻳد تﻌﻬد و حس ﻣسؤوﻟﻴت پذﻳرى‪،‬‬ ‫با اﻳﻦ ﻧﻴت تدرﻳس راآﻏاز ﻛﻨﻨد‪ ،‬ﻛﻪ در آﻳﻨدة ﻧزدﻳﻚ شاﮔردان ﻋزﻳز‪ ،‬شﻬروﻧدان ﻣؤثر‪ ،‬ﻣتﻤدن‬ ‫و ﻣﻌﻤاران اﻓﻐاﻧستان تﻮسﻌﻪ ﻳاﻓتﻪ و شﻜﻮﻓا خﻮاﻫﻨد شد‪.‬‬ ‫ﻫﻤچﻨﻴﻦ از داﻧش آﻣﻮزان خﻮب و دوست داشتﻨﻰ بﻪ ﻣثابﻪ ارزشﻤﻨدترﻳﻦ سرﻣاﻳﻪﻫاى ﻓرداى‬ ‫ﻛشﻮر ﻣﻰخﻮاﻫﻢ تا از ﻓرصتﻫا ﻏاﻓﻞ ﻧبﻮده و در ﻛﻤال ادب‪ ،‬احترام و اﻟبتﻪ ﻛﻨجﻜاوى ﻋﻠﻤﻰ از‬ ‫درس ﻣﻌﻠﻤان ﮔراﻣﻰ استﻔادة بﻬتر ﻛﻨﻨد و خﻮشﻪ چﻴﻦ داﻧش و ﻋﻠﻢ استادان ﮔراﻣﻰ خﻮد باشﻨد‪.‬‬ ‫در پاﻳان‪ ،‬از تﻤام ﻛارشﻨاسان آﻣﻮزشﻰ‪ ،‬داﻧشﻤﻨدان تﻌﻠﻴﻢ و تربﻴت و ﻫﻤﻜاران ﻓﻨﻰ بخش ﻧصاب‬ ‫تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻛشﻮر ﻛﻪ در تﻬﻴﻪ و تدوﻳﻦ اﻳﻦ ﻛتاب درسﻰ ﻣجداﻧﻪ شباﻧﻪ روز تﻼش ﻧﻤﻮدﻧد‪ ،‬ابراز‬ ‫ﻗدرداﻧﻰ ﻛرده و از بارﮔاه اﻟﻬﻰ براى آنﻫا در اﻳﻦ راه ﻣﻘدس و اﻧسانساز ﻣﻮﻓﻘﻴت استدﻋا دارم‪.‬‬ ‫با آرزوى دستﻴابﻰ بﻪ ﻳﻚ ﻧﻈام ﻣﻌارف ﻣﻌﻴارى و تﻮسﻌﻪﻳاﻓتﻪ‪ ،‬و ﻧﻴﻞ بﻪ ﻳﻚ اﻓﻐاﻧستان آباد و‬ ‫ﻣترﻗﻰ داراى شﻬروﻧدان آزاد‪ ،‬آﮔاه و ﻣرﻓﻪ‪.‬‬ ‫دﻛتﻮر ﻣحﻤد ﻣﻴروﻳس بﻠخﻰ‬ ‫وزﻳر ﻣﻌارف‬

‫ج‬

‫صفحه‬ ‫فهرست‬ ‫‪1‬‬ ‫فصل اول‪ :‬دایره‬ ‫ﻋﻨاصر داﻳره‪ ،‬حاﻻت ﻳﻚ ﻣستﻘﻴﻢ با داﻳره‪ ،‬ﻣﻮﻗﻌﻴت دو داﻳره ﻧﻈر بﻪ ﻳﻜدﻳﮕر‬ ‫زواﻳاى ﻣربﻮط بﻪ داﻳره‬ ‫خصﻮصﻴات وتر و شﻌاع داﻳره‬ ‫زاوﻳﺔ ﻣحﻴﻄﻰ داﻳره‪ ،‬زاوﻳﺔ ﻣﻤاسﻰ داﻳره‬ ‫‪27‬‬ ‫فصل دوم‪ ،‬روابط بین دایره و خطوط مستقیم‬ ‫روابﻂ ﻃﻮﻟﻲ در داﻳره‬ ‫ﻃاﻗت ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻧﻈر بﻪ ﻳﻚ داﻳره‬ ‫خﻂ ﻣﻤاس بﻪ داﻳره‪ ،‬زاوﻳﺔ داخﻠﻰ داﻳره‪ ،‬زاوﻳﺔ خارجﻰ داﻳره‬ ‫داﻳرة ﻣحﻴﻄﻰ‪ ،‬داﻳرة ﻣحاﻃﻰ‬ ‫خصﻮصﻴات چﻬار ﺿﻠﻌﻰ ﻣرسﻮم بﻪ داﻳره‬ ‫ترسﻴﻢ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﻈﻢ‪ ،‬ﻣحﻴﻂ و ﻣساحت داﻳره‬ ‫‪55‬‬ ‫فصل سوم‪ :‬هندسة تحلیلی‬ ‫ﻓاصﻠﻪ بﻴﻦ دو ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻣختصات ﻧﻘﻄﺔ وسﻄﻰ ﻳﻚ ﻗﻄﻌﻪ خﻂ‬ ‫ﻣﻴﻞ ﻣستﻘﻴﻢ‪ ،‬ﻣﻴﻞ ﻣستﻘﻴﻢﻫاى ﻣﻮازى‪ ،‬ﻣﻴﻞ ﻣستﻘﻴﻢﻫاى ﻋﻤﻮد بﻪ ﻫﻢ‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ‪ ،‬ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣستﻘﻴﻤﻲ ﻛﻪ ﻣﻴﻞ و ﻳﻚ ﻧﻘﻄﺔ آن ﻣﻌﻠﻮم باشد‬ ‫شﻜﻞ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ‬ ‫سﻴستﻢ ﻣﻌادﻻت خﻄﻰ‬ ‫حﻞ سﻴستﻢ ﻣﻌادﻻت خﻄﻰ بﻪ روش تﻌﻮﻳﻀﻰ و اﻓﻨأ‬ ‫تﻐﻴﻴر ﻣﻜان‪ ،‬اﻧتﻘال‪ ،‬اﻧﻌﻜاس‪ ،‬دوران‬ ‫‪95‬‬ ‫فصل چهارم‪ :‬مثلثات‬ ‫ﻗﻀﻴﺔ تاﻟس در ﻣثﻠثات‬ ‫ساﻳﻦ زاوﻳﺔ حاده‪ ،‬ﻛﻮساﻳﻦ زواﻳﺔ حاده‪ ،‬تاﻧجاﻧت زاوﻳﺔ حاده‬ ‫ﻧسبتﻫاى ﻣثﻠثاتﻰ زواﻳاى خاص‪ ،‬رابﻄﺔ ﻣﻴﻞ و تاﻧجاﻧت‬ ‫جدول ﻣثﻠثاتﻰ‪ ،‬حﻞ ﻣثﻠثﻫاى ﻗاﻳﻢاﻟزاوﻳﻪ‬ ‫ﻣﻌادﻻت ﻣثﻠثاتﻰ‬

‫د‬

‫فهرست‬ ‫فصل پنجم‪ :‬افادههاي الجبري‬ ‫تجزﻳﻪ بﻪ ﻓﻜتﻮر‬ ‫ﺿرب اﻓادهﻫاى اﻟجبرى‪ ،‬ﻣجﻤﻮع و تﻔاﺿﻞ ﻣﻜﻌبات‬ ‫ﻛﻮچﻚترﻳﻦ ﻣﻀرب ﻣشترك‬ ‫تﻘسﻴﻢ اﻓادهﻫاى اﻟجبرى‬ ‫ترتﻴب ﻋﻤﻠﻴات در اﻓادهﻫاى اﻟجبرى‬ ‫فصل ششم‪ :‬نامساوات‬ ‫ﻧاﻣساوات‪ ،‬حﻞ ﻧاﻣساواتﻫاى خﻄﻰ‬ ‫ﻓاصﻠﻪ ﻳا اﻧتروالﻫا‬ ‫تﻌﻴﻴﻦ اشارة بﻴﻨﻮم‪ ،‬تﻌﻴﻴﻦ اشارة اﻓادة ﻛسرى‬ ‫ﻧاﻣساواتﻫاى ﻛسرى‪ ،‬ﻧاﻣساواتﻫاى خﻄﻰ با دو ﻣتحﻮل‬ ‫سﻴستﻢ ﻧاﻣساواتﻫا‬ ‫فصل هفتم‪ :‬معادالت یک مجهوله درجه دوم‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ ﻳﻚ ﻣجﻬﻮﻟﺔ درجﻪ دوم‪ ،‬حﻞ ﻣﻌادﻻت ﻳﻚ ﻣجﻬﻮﻟﺔ درجﻪ دوم‬ ‫روابﻂ ﻏﻴر خﻄﻰ‬

‫صفحه‬ ‫‪127‬‬

‫‪151‬‬

‫‪175‬‬

‫حﻞ ﻣﻌادﻻت درجﻪ دوم بﻪ روش ﻫﻨدسﻰ‪ ،‬تجزﻳﻪ‪ ،‬ﻃرﻳﻘﺔ تﻜﻤﻴﻞ ﻣربﻊ‪ ،‬ﻓﻮرﻣﻮل ﻣحﻤد بﻦ ﻣﻮسﻰ‬

‫فصل هشتم‪ :‬احصائیه‬ ‫روش دستﻪبﻨدى ‪ ، Data‬دستﻪبﻨدى ‪ Data‬پﻴﻮستﻪ‪ ،‬اوسﻂ وزﻧﻰ‬ ‫ﮔراف ﻣستﻄﻴﻠﻰ‪ ،‬ﮔراف داﻳروى‬ ‫ﻣﻴاﻧﻪ‪ ،‬ساحﺔ تحﻮل‪ ،‬اوسﻂ اﻧحراف‬ ‫فصل نهم‪ :‬تیوری احتماالت‬ ‫اتحاد و تﻘاﻃﻊ حﻮادث اتﻔاﻗﻰ‬ ‫ست ﻛﻠﻰ و ﻣﻜﻤﻠﻪ‬ ‫ﻣدلسازى با ستﻫا‬ ‫اصﻞ شﻤارش‬

‫‪195‬‬

‫‪221‬‬

‫ﻫـ‬

‫فصل اول‬ ‫دایـره‬

‫دایــره‬ ‫‪CIRCLE‬‬ ‫به شــکل مقابل توجه کنید و اشکال‬ ‫هندســی یــی را که در شــکل دیده‬ ‫میشوند‪ ،‬نام ببرید‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫یک نقطه را روى کاغذ تعیین کنید و به اطراف این نقطه به فاصلۀ ‪ 4cm‬پرکار را‬ ‫مکمل دور بدهید؛ شکل تشکیل شده و نقطۀ تعیین شده‪ ،‬چه نام دارد؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ســت تمام نقاط یک مستوى که از یک نقطۀ ثابت‬ ‫فاصلۀ مساوى داشــته باشد‪ ،‬دایره نامیده می شود‪ .‬یا‬ ‫بــه عبارت دیگر منحنی بســتهیی کــه از یک نقطۀ‬ ‫ثابت فاصلۀ مساوى داشــته باشد‪ ،‬بهنام محیط دایره‬ ‫و نقطــۀ ثابــت را مرکز دایره میگویند و به شــکل‬ ‫)‪ C(o, r‬نمایش داده می شــود‪ .‬در شــکل‪ ،‬مرکز‬ ‫دایره به حرف )‪ (o‬و شــعاع آن‪ ،‬به حرف)‪ (r‬نشان‬ ‫داده شده است‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪O‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫در شکل مقابل موقعیت نقاط ‪ B, A‬و ‪ D‬را نظر به دایره‬ ‫تعیین نمایید‪.‬‬ ‫فاصلۀ نقاط را از مرکز دایره اندازه نموده‪ ،‬با طول شــعاع‬ ‫مقایسه کنید‪.‬‬ ‫ســه نقطۀ دلخواه دیگــر را در داخل دایره‪ ،‬روى دایره و‬ ‫بیرون دایره در نظر بگیرید‪ .‬آیا رابطۀ دریافت شــده‪ ،‬براى‬ ‫این نقاط نیز درست است؟‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫نتیجه‬ ‫‪ -1‬ست نقاطی که فاصلۀ آنها از مرکز دایره کوچکتر از شعاع دایره باشد‪ ،‬نقاط‬ ‫}‪I = { A / | OA |< r‬‬

‫ساحۀ داخلی دایره گفته می شود یا‪:‬‬

‫‪ -2‬ست نقاطی که فاصلۀ آنها از مرکز دایره مساوى به شعاع دایره باشد‪ ،‬نقاط محیط‬ ‫}‪C = {B / | OB |= r‬‬

‫دایره گفته می شود یا‪:‬‬

‫‪ -3‬ست نقاطی که فاصلۀ آنها از مرکز دایره بزرگتر از شعاع دایره باشد‪ ،‬نقاط ساحۀ‬ ‫خارجی دایره گفته می شود یا‪:‬‬

‫}‪E = {D / | OD |> r‬‬

‫‪ -4‬قسمتي از مستوى که توسط محیط دایره و سطح داخلی آن جدا میشود‪ ،‬سطح‬ ‫دایره نامیده می شود‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬دایرهیي به شعاع ‪ 2cm‬رسم کنید‪ .‬کدام یک از نقاط زیر در داخل دایره‪ ،‬خارج‬ ‫دایره و روى دایره قرار دارند‪:‬‬ ‫فاصلۀ نقطۀ ‪ A‬از مرکز دایره ‪ 1.4cm‬است‪.‬‬ ‫فاصلۀ نقطۀ ‪ B‬از مرکز دایره ‪ 2.3cm‬است‪.‬‬ ‫فاصلۀ نقطۀ ‪ C‬از مرکز دایره صفر است‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫فاصلۀ نقطۀ ‪ D‬از مرکز دایره ‪ cmcm‬است‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬توضیح دهید‪ ،‬چه وقت یک نقطه در روى دایره قرار ميگیرد؟‬

‫‪4‬‬

‫عناصر دایره‬ ‫‪Elements of a Circle‬‬

‫به شکل مقابل توجه نمایید‪ ،‬روي کیک‬ ‫کدام شکل هندسی دارد؟ قسمت قطع‬ ‫شدۀ آن‪ ،‬کدام عنصر دایره را نشان‬ ‫میدهد؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ابتدا شــکل دایــره و تعریفهاى مربوط عناصر آنرا در کتابچههــاى تان انتقال و بعد‬ ‫تعریفهاى مربوط هر عنصر دایره را به شکل مربوط آن وصل کنید‪.‬‬ ‫قوس)‪(Arc‬‬ ‫یک قسمتی ازمحیط دایره بهنام‬ ‫قوس دایره یاد میشود‪.‬‬

‫شعاع)‪(Radius‬‬ ‫خطی که مرکز دایره را به یکی‬ ‫ازنقاط محیط دایره وصل نماید‪،‬‬ ‫شعاع دایره نامیده میشود‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫وتر)‪(Chord‬‬ ‫قطعه خطی که دو نقطۀ محیط‬ ‫دایره را با هم وصل کند وتر‬ ‫دایره نامیده میشود‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪r‬‬ ‫قطر)‪(Diameter‬‬ ‫وتري که از مرکز دایره بگذرد‪،‬‬ ‫بهنام قطر دایره یاد میشود‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪H‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪G F‬‬

‫قطاع)‪(Sector‬‬ ‫آن قسمت از سطح دایره که توسط دو‬ ‫شعاع و قوس مربوطه از سطح دایره جدا شده‬ ‫باشد‪ ،‬قطاع دایره نامیده میشود‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪W‬‬

‫قطعه)‪(Segment‬‬ ‫قسمتی از سطح دایره که‬ ‫توسط وتر جدا شده باشد بهنام‬ ‫قطعۀ دایره یاد میشود‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫دایرهیی به شعاع ‪ 4‬سانتی متر رسم کنید‪ .‬بعد دایرۀ مذکور را قیچی کنید‪.‬‬ ‫این دایره را طورى قات کنید که دو نیمدایره باالى هم قرار گیرند‪.‬‬ ‫کاغذ را باز کنید و بگویید‪ ،‬خط قات شده را که روى کاغذ می بینید‪ ،‬چه نام‬ ‫دارد؟‬ ‫این بار دو نیمدایره را دوباره قات نموده‪ ،‬آن را بازکنید‪ .‬چند قطعه خط را می بینید؟‬ ‫هر کدام چه نام دارد؟‬ ‫چهار زاویۀ تشکیل شده را اندازه نموده‪ ،‬بگویید که با همدیگر چه رابطه دارند؟‬ ‫رابطۀ قطر با شعاع دایره چیست؟‬ ‫دایره را طورى قات کنید که دو قسمت نامساوى تشکیل شود‪ .‬آن را باز کنید‪،‬‬ ‫خط تشکیل شده چه نام دارد؟ اندازۀ آن را با قطر دایره مقایسه کنید‪.‬‬ ‫نتیجه‪:‬‬ ‫همان طورى که دیدیم‪ ،‬هر گاه در هر دایره دو نقطۀ دایره را به هم وصل کنیم‪،‬‬ ‫یک وتر تشکیل میشود‪.‬‬ ‫در هر دایره بزرگترین وتر‪ ،‬قطر دایره است که دو برابر شعاع مي باشد‪.‬‬ ‫در یک دایره هر قطر‪ ،‬وتر است؛ ولی هر وتر قطر نیست‪.‬‬ ‫قوسي که از نصف محیط دایره کوچکتر باشد‪ ،‬به نام قوس کوچک )‪Arc‬‬ ‫‪ (minor‬یاد میگردد‪.‬‬ ‫قوسي که از نصف محیط دایره بزرگتر باشد‪ ،‬به نام قوس بزرگ )‪(majorArc‬‬ ‫یاد میگردد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫دایرۀ )‪ C(O,4‬را رسم نمایید‪.‬‬ ‫‪ (a‬شعاع‪ ،‬قطر‪ ،‬قطعه و قطاع را در شکل نشان دهید‪.‬‬ ‫‪ (b‬طول قطر دایره را تعیین نمایید‪.‬‬ ‫‪ (c‬اگر محیط آنرا به چهار حصۀ مساوى تقسیم نمایید؛ از آن چه نتیجه می گیرید‪.‬‬ ‫‪ (d‬ساحۀ خارجی‪ ،‬داخلی و روى دایره را به رنگهاى مختلف نشان دهید‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫حالتهای یک مستقیم با دایره‬

‫بــه شــکل مقابــل توجــه نمــوده‪،‬‬ ‫بگویید‪،‬شــکلها بــا دایــره در کدام‬ ‫حالتها قرار دارند‪ ،‬هر یک را توضیح‬ ‫دهید‪.‬‬

‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫یک دایره ویک خط مستقیم را طورى رسم نمایید که با دایره یک نقطه‪ ،‬دو نقطه‬ ‫و هیچ نقطۀ مشترک نداشته باشد‪.‬‬ ‫از مرکز دایره به هر یک از این خطوط‪ ،‬عمودها رسم نموده‪ ،‬فاصلۀ مرکز دایره از‬ ‫خط را اندازه نمایید و هر حالت را با شعاع دایره مقایسه نمایید‪.‬‬ ‫از انجام فعالیت باال دیده می شود که یک خط مستقیم و دایره نسبت به هم سه حالت‬ ‫زیر را دارد‪:‬‬ ‫‪ -1‬اگر مستقیم با دایره نقطۀ مشترک نداشته باشد؛‬ ‫مستقیم خارج دایره قرار دارد‪ .‬در اینصورت فاصلۀ‬ ‫‪B‬‬ ‫مستقیم از مرکز دایره بیشتر از شعاع دایره است‪،‬‬ ‫یعنی‪d > r :‬‬ ‫‪ -2‬اگر مستقیم با دایره یک نقطۀ مشترک داشته‬ ‫باشد‪ ،‬مستقیم را مماس به دایره گویند‪ .‬در این حالت‬ ‫فاصله مستقیم از مرکز دایره برابر با شعاع دایره‬ ‫است؛ یعنی‪d = r :‬‬

‫‪7‬‬

‫‪r‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪d‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪O‬‬

‫‪C2‬‬ ‫‪C1‬‬

‫‪3cm‬‬

‫‪ -3‬اگر مستقیم با دایره دو نقطۀ مشترک داشته باشد‪،‬‬ ‫حالت فاصلۀ مستقیم از‬ ‫مستقیم را قاطع گویند‪ .‬در این ‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪c‬‬ ‫مرکز دایره کمتر از شعاع دایره است‪2 ،‬‬ ‫یعنی‪d < r :‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪d‬‬

‫‪P‬‬

‫‪B‬‬

‫مثال‪ :‬نقطۀ ‪ O‬را در نظر می گیریم‪ ،‬دو دایرۀ متحدالمرکز‬ ‫با مرکز ‪ O‬با شعاعهاى ‪ 2‬و ‪ 3‬سانتی متر را رسم نمایید‪ .‬فاصلۀ مستقیم‬ ‫دایره با شعاعهاى هر دو دایرۀ ‪ C1‬و ‪ C 2‬چه رابطه دارد؟‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪C1‬‬

‫‪T‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪3cm‬‬

‫حل‪ :‬در شکل دیده می شود که‪:‬‬ ‫فاصلۀ خط از مرکز دایره ‪ C1‬برابر با شعاع آن دایره‬ ‫است؛ یعنی‪d=r :‬‬ ‫فاصلۀ خط از مرکز دایره ‪ C2‬کوچکتر از شعاع دایره‬ ‫است؛ یعنی‪d r + r :‬‬

‫‪9‬‬

‫'‪O‬‬

‫'‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪O‬‬

‫اگر فاصله بین مراکز دو دایره مساوى‬ ‫به مجموع طول شــعاع ها باشد‪ ،‬در این‬ ‫صورت دو دایــره را ممــاس گویند‪،‬‬ ‫یعنی‪:‬‬ ‫‪d =r+r‬‬

‫‪d‬‬

‫‪r‬‬

‫'‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫'‪O O‬‬

‫'‪r‬‬

‫اگــر فاصله بین مراکــز دو دایره‬ ‫کوچکتر از مجموع طول شعاع ها‬ ‫و بزرگتــر از حاصــل تفریــق‬ ‫قیمت مطلقۀ شــعاع هاى دایرهها‬ ‫باشــد‪ ،‬دو دایره با هم متقاطع اند‪.‬‬

‫'‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫اگر فاصله بیــن مراکز دو اگر فاصلــه بیــن مرکزهاى‬ ‫دایــره صفر باشــد بــه نام دو دایــره مســاوى به حاصل‬ ‫دایرههاى متحدالمرکز یاد تفریق قیمت مطلقۀ شعاع هاى‬ ‫دو دایــره باشــد‪ ،‬دوایــر را‬ ‫میشوند؛ یعنی‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫داخ ً‬ ‫ال ممــاس گویند‪ ،‬یعنی‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d2 = 0‬‬

‫‪r r