Mathematics 09 [9]

Citation preview

‫رﻳاضﻲ‬

‫د پﻮﻫﻨ‪ ３‬وزارت‬

‫وزارت ﻣعارف‬ ‫کتب درسی‬

‫ﻧﻬم ！ﻮلگﻰ‬ ‫رياضي نهم ټول‪／‬ى‬

‫‪x‬‬

‫‪a+b‬‬

‫‪0‬‬

‫‪60 o‬‬

‫‪144444244444‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪90‬‬

‫‪ 1398‬ﻫـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫‪c‬‬

‫‪80‬‬

‫‪a+b+‬‬

‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40 45 50‬‬

‫‪O‬‬

‫‪90‬‬

‫‪80‬‬

‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40 45 50‬‬

‫‪O‬‬

‫ملﻲ سرود‬ ‫دا وطن افغانســـتـــان دى‬

‫دا عــــزت د هـــر افـغـان دى‬

‫کور د سول‪ ３‬کور د تورې‬

‫هر بچی ي‪ ３‬قهرمـــــان دى‬

‫دا وطن د ټولـــو کـور دى‬

‫د بـــــلـو＇ـــــــو د ازبـکــــــــو‬

‫د پ‪＋‬ـــتــون او هـــــزاره وو‬

‫د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو‬

‫ورســـره عرب‪ ،‬گوجــر دي‬

‫پــاميــريـــان‪ ،‬نـورســـتانيــــان‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه يان‬

‫دا ه‪５‬ــــــواد به تل ځلي‪８‬ي‬

‫لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان‬

‫په ســـينــه ک‪ ３‬د آســـيـــا به‬

‫لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان‬

‫نوم د حق مـــو دى رهبـــر‬

‫وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫رﻳاضﻲ‬ ‫ﻧﻬﻢ‬ ‫！ﻮﻟ‪／‬ﻰ‬ ‫‪1398‬‬

‫اﻟﻒ‬

‫د تاب ان ت او‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫مضمون ر ا‬

‫مؤلف ن د تعل مي نصاب د ر ا‬

‫ديپار نت د در‬

‫تابونو مؤلف‬

‫ا يټ وون ي د پ تو ب د اډيټ د پار نت غړي‬ ‫ټول‬

‫دم‬

‫نهم‬

‫به پ تو‬

‫ان شاف ور وون‬

‫خ روون‬

‫د اپ ال‬ ‫د اپ ا‬ ‫اپخونه‬

‫بر نال‬

‫د تعل مي نصاب د پراخت ا او در‬

‫تابونو د تأل ف لو ر است‬

‫د پوهن وزارت د اړ و او عامه پوهاوي ر است‬ ‫هجري شم‬ ‫ابل‬ ‫ته ‪[email protected]‬‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫تابونو د چاپ و ش او پلورلو حق د افغانستان اس مي جمهور ت د پوهن‬ ‫د در‬ ‫پلورل او پ رودل منع دي له غړوون و ه‬ ‫وزارت ه محفوظ د په بازار‬ ‫قانو‬

‫ب‬

‫چلند‬

‫ي‬

‫د‬

‫ن د ز ر غام‬

‫اقرأ باسم رب‬ ‫مو ته ي وند راب ل او د لوست او لي‬ ‫ش ر ه ا وو‬ ‫د لو او ب ون خدا‬ ‫اله‬ ‫له نعمت خه ي برخمن ي يو او د الله تعال ر وروست غم محمد مصطف‬ ‫لوم ن غام ورته لوستل و درود وايو‬ ‫هجري ريز ال د وهن د ال ه نامه ونومول شو له د امله به‬ ‫ولو ته اره ده‬ ‫رن ه‬ ‫اداره‬ ‫تاب وون‬ ‫زده وون‬ ‫د ران ه واد وونيز نظام د ورو بدلونونو شاهد وي وون‬ ‫د ه واد د وون‬ ‫او د والدينو شورا ان د ه واد د وهنيز نظام ش و بنس يز عنا بلل ي ي‬ ‫او روزن ه راختيا او رمختيا مهم رول لري ه داس مهم وخت د افغانستان د وهن وزارت‬ ‫د م تابه مقام د ه واد ه وونيز نظام د ود او راخت ا ه لور بنس يزو بدلونونو ته من د‬ ‫له همد امله د وونيز نصاب اص ح او راختيا د وهن وزارت له مهمو لوم يتوبونو خه دي همدارن ه‬ ‫وونيزو تأسيساتو د در تابونو محتوا يفيت او‬ ‫ه وون يو مدرسو او ولو دولت او خصو‬ ‫د با يفيته در‬ ‫ا لري مو ه د باور يو‬ ‫توز ع ته املرنه د وهن وزارت د ارو ه‬ ‫تابونو له شتون رته د وون او روزن اسا اهدافو ته رس دل نشو‬ ‫ورتنيو موخو ته د رس دو او د اغ زنا وونيز نظام د رامن ته ولو ل اره د راتلون نسل د روزون و‬ ‫ه تو ه د ه واد له ولو ز ه سواندو وون و استادانو او مسل مديرانو خه ه درناوي هيله وم‬ ‫تابونو ه تدريس او د محتوا ه ل دولو هي ول ه ه او هاند‬ ‫د ه واد ب يانو ته د د در‬ ‫زيار او و‬ ‫ونه س موي او د يوه فعال او ه دين م او انتقادي تف ر سمبال نسل ه روزنه‬ ‫ه ه د نيت لوست ل ي‬ ‫و ي هره ور د من ه نوي ولو او د مسؤوليت ه در‬ ‫ران زده وون به سبا د يوه رمختل افغانستان مع ران او د ولن متمدن او ور‬ ‫د نن ور‬ ‫اوس دون وي‬ ‫د ه واد ارز تنا ه ان ه ده غو تنه لرم و له هر فرصت‬ ‫همدا راز له خو و زده وون و خه‬ ‫و او فعالو ونوالو ه تو ه او وون و ته ه‬ ‫ه روسه د‬ ‫خه ه ورته ي او د زده‬ ‫درناوي ه له تدر س خه ه او اغ زنا ه استفاده و ي‬ ‫د‬ ‫د وون او روزن له ولو وهانو او د وونيز نصاب له مسل هم ارانو خه‬ ‫ه ا‬ ‫دي مننه وم او د لو‬ ‫دون هل ل‬ ‫د تاب ه لي لو او متو ولو ي نه ست‬ ‫بريا غوا م‬ ‫له دربار خه دو ته ه د س ي ل او انسان جو وون ه‬ ‫خدا‬ ‫و ي خ لوا وه او‬ ‫وونيز نظام او د داس ودان افغانستان ه ه له‬ ‫د معياري او رمختل‬ ‫سو اله وي‬ ‫د وهن وزير‬ ‫د تور محمد م ويس بلخ‬

‫ج‬

‫فﻬرست‬ ‫ﻟﻮﻣ‪７‬ى ＇پرکﻰ‪ :‬داﻳره‬

‫ﻣـــخ‬ ‫‪١‬‬

‫د داﻳرې عﻨاصر‪ ،‬د ﻳﻮې ﻣستﻘﻴﻤ‪ ３‬کر＊‪ ３‬حاﻟتﻮﻧﻪ‪ ،‬د داﻳرو ﻣﻮﻗعﻴت ﻧظر ﻳﻮ بﻞ تﻪ‬

‫د داﻳرې اړوﻧد زاوﻳ‪３‬‬ ‫د داﻳرې د وتر او شعاع ‪＄‬اﻧگ‪７‬تﻴاوې‬ ‫د داﻳرې ﻣحﻴطﻲ او ﻣﻤاسﻲ زاوﻳ‪３‬‬ ‫دوﻳﻢ ＇پرکﻰ‪ :‬پﻪ ﻳﻮه داﻳره ک‪ ３‬د اوږدواﻟﻲ اړﻳک‪３‬‬ ‫د ﻳﻮه ！کﻲ طاﻗت ﻧظر داﻳرې تﻪ‬ ‫د داﻳرې ﻣﻤاس کر＊ﻪ‪ ،‬د داﻳرې دﻧﻨ‪ ９‬او باﻧدﻧ‪ ９‬زاوﻳﻪ‬ ‫ﻣحﻴطﻲ او ﻣحاطﻲ داﻳره‬ ‫پﻪ داﻳره ک‪ ３‬د ﻣرسﻮم ＇ﻠﻮر ضﻠعﻲ ‪＄‬اﻧ‪７／‬تﻴاوې (خﻮاص)‬ ‫د ﻣﻨظﻤ‪ ３‬ﻣضﻠع ترسﻴﻢ‪ ،‬د د اﻳرې ﻣحﻴط او ﻣساحت‬ ‫در‪４‬ﻢ ＇پرکﻰ‪ :‬تحﻠﻴﻠﻲ ﻫﻨدسﻪ‬ ‫د دوو ！کﻮ تر ﻣﻨ‪ ＃‬وا！ﻦ (ﻓاصﻠﻪ)‬ ‫د ﻳﻮه ﻗطعﻪ خط (！ﻮ！‪ ３‬کر＊‪ )３‬د ﻣﻨ‪％‬ﻨﻲ ！کﻲ ﻣختصات‬ ‫د ﻣستﻘﻴﻤ‪ ３‬کر＊‪ ３‬ﻣﻴﻞ‪ ،‬د ﻣﻮازي او عﻤﻮد کر＊ﻮ ﻣﻴﻠﻮﻧﻪ‬

‫‪٢٧‬‬

‫‪٥٥‬‬

‫د ﻣستﻘﻴﻤ‪ ３‬کر＊‪ ３‬ﻣعادﻟﻪ‪ ،‬د ﻫغ‪ ３‬ﻣستﻘﻴﻤ‪ ３‬کر＊‪ ３‬ﻣعادﻟﻪ چ‪ ３‬ﻣﻴﻞ او ﻳﻮ ！کﻰ ﻳ‪ ３‬ﻣعﻠﻮم وي‬

‫د ﻣستﻘﻴﻤ‪ ３‬کر＊‪ ３‬عﻤﻮﻣﻲ ﻣعادﻟﻪ‬ ‫د خطﻲ ﻣعادﻟﻮ سﻴستﻢ‬ ‫د خطﻲ ﻣعادﻟﻮ د سﻴستﻢ حﻞ پﻪ تعﻮﻳضﻲ او اﻓﻨا طرﻳﻘ‪ ３‬سره‬ ‫د ‪＄‬ای بدﻟﻮن‪ ،‬اﻧتﻘال‪ ،‬اﻧعکاس او دوران‬ ‫＇ﻠﻮرم ＇پرکﻰ‪ :‬ﻣثﻠثات‬ ‫پﻪ ﻣثﻠث ک‪ ３‬د تاﻟس ﻗضﻴﻪ‬ ‫د حاده زاوﻳ‪ ３‬ساﻳﻦ‪ ،‬کﻮساﻳﻦ او تاﻧجﻨت‬ ‫د ‪＄‬اﻧ‪７／‬و زاوﻳﻮﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻪ‪ ،‬د ﻣﻴﻞ او تاﻧجﻨت تر ﻣﻨ‪ ＃‬اړﻳک‪３‬‬ ‫ﻣثﻠثاتﻲ جدول‪ ،‬د ﻗاﻳﻢ اﻟزاوﻳﻮ ﻣثﻠثﻮﻧﻮ حﻞ‬ ‫ﻣثﻠثاتﻲ ﻣعادﻟ‪３‬‬

‫د‬

‫‪٩٥‬‬

‫ﻣـــخ‬ ‫‪١٢٧‬‬

‫فﻬرست‬ ‫پﻨ‪％‬ﻢ ＇پرکﻰ‪＇ :‬ﻮ جﻤﻠﻪ ﻳﻲ گاﻧ‪３‬‬ ‫پﻪ ﻓکتﻮروﻧﻮ تجزﻳﻪ‬ ‫د اﻟجبري اﻓادو ضرب‪ ،‬د ﻣکعبﻮﻧﻮ ﻣجﻤﻮع او تﻔاضﻞ‬ ‫کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب‬ ‫د اﻟجبري اﻓادو و‪４‬ش‬ ‫د اﻟجبري اﻓادو د عﻤﻠﻴﻮ د سرتﻪ رسﻮﻟﻮ ترتﻴب‬ ‫‪١٥١‬‬ ‫شپ‪８‬م ＇پرکﻰ‪ :‬ﻧاﻣساوات‬ ‫د خطﻲ ﻧا ﻣساواتﻮ حﻞ‬ ‫ﻓاصﻠ‪ ３‬ﻳا اﻧترواﻟﻮﻧﻪ‬ ‫د بﻴﻨﻮم د عﻼﻣ‪！ ３‬اکﻞ‪ ،‬د کسري اﻓادو د عﻼﻣﻮ تحﻠﻴﻞ او ！اکﻞ‬ ‫کسري ﻧاﻣساواتﻮﻧﻪ‪ ،‬دوه ﻣتحﻮﻟﻪ خطﻲ ﻧاﻣساوات‬ ‫د ﻧاﻣساواتﻮ سﻴستﻤﻮﻧﻪ‬ ‫‪١٧٥‬‬ ‫اووم ＇پرکﻰ‪ :‬ﻳﻮ ﻣجﻬﻮﻟﻪ دوﻳﻤﻪ درجﻪ ﻣعادﻟ‪３‬‬ ‫د دوﻳﻤ‪ ３‬درج‪ ３‬د ﻣعادﻟﻮ حﻞ‬ ‫غﻴر خطﻲ اړﻳک‪３‬‬ ‫پﻪ ﻫﻨدسﻴﻲ ﻻره د دوﻳﻤ‪ ３‬درج‪ ３‬د ﻣعادﻟﻮ حﻞ د ﻣحﻤد بﻦ ﻣﻮسﻰ ﻓﻮرﻣﻮل‪ ،‬تکﻤﻴﻞ ﻣربع‬ ‫‪١٩٥‬‬ ‫اتﻢ ＇پرکﻰ‪ :‬احصائﻴﻪ‬ ‫د ډﯦټا ‪ data‬د دستﻪ بﻨدي ﻻره‪ ،‬د ﻧ‪＋‬تﻮ ﻳا ﻣتصﻠﻮ ډ‪＂４‬ا ‪ data‬گاﻧﻮ دستﻪ بﻨدي او وزﻧﻲ اوسط‬ ‫ﻣستطﻴﻠﻲ او داﻳروي گراﻓﻮﻧﻪ‬ ‫ﻣﻴاﻧﻪ‪ ،‬د تحﻮل ساحﻪ او د اﻧحراف اوسط‬ ‫‪٢٢١‬‬ ‫ﻧﻬﻢ ＇پرکﻰ‪ :‬احتﻤاﻻت‬ ‫د ﻧا＇اپﻪ پ‪＋５‬ﻮ اتحاد او تﻘاطع‬ ‫بشپ‪ ７‬او ﻣکﻤﻞ س＀‬ ‫پﻪ س＂ﻮﻧﻮ ﻣدل جﻮړول‬ ‫د شﻤ‪５‬رﻟﻮ اصﻮل‬

‫هـ‬

‫لوم‪７‬ى څپرکى‬ ‫دايــــره‬

‫دايــره (‪)CIRCLE‬‬

‫شکل ته پام وک‪７‬ئ هغه هندسي شکلونه‬ ‫چــ‪ ３‬په تصويــر کــ‪ ３‬وينــئ‪ ،‬نومونه ي‪３‬‬ ‫واخلئ‪.‬‬

‫يــو ټکــى د کاغــذ پر مخ وټاکئ‪ ،‬د ‪ 4cm‬پــه اوږدوالي د پرکار خولــه خالصه او ددې ټکي‬ ‫شاوخواته‪ ،‬يو بشپ‪ ７‬دوران ورک‪７‬ئ‪ ،‬السته راغلى شکل او ټاکل شوى ټکى څه نوم‪８５‬ي؟‬

‫په يوه مستوي ک‪ ３‬د هغو ټولو ټکو سټ چ‪ ３‬له يوه ټاکلي‬ ‫ټکي څخه مساوي واټن(فاصله) ولري‪ ،‬دايره نوم‪８５‬ي‪ ،‬يا په‬ ‫بل عبارت دايره له يوې ت‪７‬لي منحني څخه عبارت ده چ‪３‬‬ ‫له يوه ټاکلي ټکي څخه مساوي واټن ولري‪.‬‬ ‫ت‪７‬ل‪ ３‬منحني ته د دايرې محيط او ټاکلي ټکي ته د دايرې‬ ‫مرکز وايي چ‪ ３‬په ) ‪ C (O, r‬ښودل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د دايرې مرکز په شکل ک‪ O ３‬او شعاع ي‪ ３‬د ‪ r‬په تورو‬ ‫ښودل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪O‬‬

‫په الندې شکل ک‪ ３‬د ‪ B ، A‬او ‪ D‬ټکو ځايونه (موقعيت)‬ ‫نظر‪ O‬دايرې ته وټاکئ‪.‬‬ ‫د هغو ټکو واټن د دايرې له مرکز څخه اندازه او د دايرې د‬ ‫شعاع له اوږدوالي سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په خپله خوښه درې نور ټکي چ‪ ３‬په دايره ک‪ ３‬دننه او له‬ ‫دايرې څخه بهر پراته وي‪ ،‬په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪ .‬أيا السته‬ ‫راغل‪ ３‬اړيک‪ ３‬د دې ټکو لپاره هم سم‪ ３‬دي؟‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫پايله‪:‬‬ ‫‪ -1‬د هغو ټکو سټ چ‪ ３‬واټن ي‪ ３‬د دايرې له مرکز څخه د دايرې له شعاع څخه کوچنى وي‪،‬‬ ‫د دايرې دننه ساحه(منځ) بلل ک‪８５‬ي‪ ،‬يا‬ ‫}‪I = { A / | OA |< r‬‬ ‫‪ -2‬د هغو ټکو سټ چ‪ ３‬واټن ي‪ ３‬د دايرې له مرکز څخه د دايرې له شعاع سره مساوي وي‪،‬‬ ‫د دايرې محيط يا مخ ويل ک‪８５‬ي‪ ،‬يا‬ ‫}‪C = {B / | OB |= r‬‬ ‫‪ -3‬د هغو ټکو سټ چ‪ ３‬فاصله ي‪ ３‬د دايرې له مرکز څخه د دايرې له شعاع څخه لوی وي‪،‬‬ ‫د دايرې باندن‪ ９‬ساح‪ ３‬په نامه ياد‪８４‬ي‪ ،‬يا‬

‫}‪E = {D / | OD |> r‬‬

‫‪ -4‬د مستوي هغه برخه چ‪ ３‬د دايرې د محيط او د هغ‪ ３‬د د اخلي سطح‪ ３‬په واسطه جال‬ ‫شوي وي‪ ،‬د دايرې د سطح‪ ３‬په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪ -1‬يوه دايره د ‪ 2cm‬په شعاع رسم ک‪７‬ئ‪ .‬د الندې ټکو څخه کوم يو ي‪ ３‬د دايرې په دننه‪ ،‬بهر او په‬ ‫محيط ک‪ ３‬پروت دى‪:‬‬ ‫‪ A‬ټکي واټن د دايرې له مرکز څخه ‪1.4cm‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ B‬ټکي واټن د دايرې له مرکز څخه ‪2.3cm‬‬

‫‪ C‬ټکي واټن د دايرې له مرکز څخه صفر‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ D‬ټکي واټن د دايرې له مرکز څخه ‪cm‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪ -2‬په کوم حالت ک‪ ３‬يو ټکى د دايرې پر محيط پروت‬

‫‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫د دايرې ﻋﻨاصر‬ ‫)‪(Elements of a Circle‬‬ ‫شکل ته پام وک‪７‬ئ د ک‪５‬ک مخ کوم‬ ‫هندسي شکل را ښيي او پرې شوې برخه‬ ‫ي‪ ３‬د دايرې کوم عنصر راښيي؟‬

‫د دايرې د عناصرو تعريف‬ ‫لوم‪７‬ی شکل او د دايرې د عناصرو تعريفونه خپلو کتابچوته نقل او وروسته الندې تعريفونه د‬ ‫شکل له اړوندو عناصرو سره‪ ،‬په خپلو کتابچو ک‪ ３‬ونښلوئ‪.‬‬ ‫قوس(‪:)Arc‬‬ ‫د دايرې د محيط يوه برخه د‬ ‫دايرې د قوس په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫شعاع(‪:)Radius‬‬ ‫هغه کرښه چ‪ ３‬د دايرې مرکز‬ ‫د محيط له يوه ټکي سره نښلوي‬ ‫د دايرې شعاع بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫وتر(‪:)Chard‬‬ ‫هغه قطعه خط چ‪ ３‬د دايرې‬ ‫د محيط دوه ټکي ونښلوي د‬ ‫دايرې وتر بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪r‬‬ ‫قطر(‪:)Diameter‬‬ ‫هغه وتر چ‪ ３‬د دايرې له مرکز څخه‬ ‫ت‪５‬ر شي‪ ،‬د دايرې قطر بلل ک‪８５‬ي او‬ ‫اوږوالى ي‪ ３‬د شعاع دوه برابره وي‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪G F‬‬ ‫قطاع(‪:)Sector‬‬ ‫د دايرې د سطح‪ ３‬يوه برخه چ‪ ３‬د دوو‬ ‫شعاع گانو يا وړانگو او اړوند قوس په واسطه‬ ‫د دايرې له سطح‪ ３‬څخه جال شوي وي‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪W‬‬ ‫‪H‬‬ ‫قطعه(‪:)Segment‬‬ ‫د دايرې د سطحي يوه برخه‬ ‫چ‪ ３‬د وتر په واسطه د دايرې‬ ‫له سطح‪ ３‬څخه جال شوي وي‬ ‫د دايرې د قطع‪ ３‬په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪ 4cm‬شعاع په اندازه يوه دايره رسم او له کاغذ څخه هغه پرې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د غه دايره داس‪ ３‬قات ک‪７‬ئ چ‪ ３‬دواړه نيم‪ ３‬دايرې يو پر بل منطبق‪ ３‬شي‪.‬‬ ‫کاغذ خالص ک‪７‬ئ‪ ،‬د کاغذ پر مخ قات شوې کرښـه د څه په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫دا ځل دوه نيم‪ ３‬دايرې بيا قات او قات کاغذ داس‪ ３‬خالص ک‪７‬ئ چ‪ ３‬څلور مساوي برخ‪３‬‬ ‫السته راغل‪ ３‬وي‪ .‬څو قطعه خطونه(ټوټه کرښ‪)３‬وينئ‪ .‬هر يو د څه په نامه ياد‪８４‬ي؟‬ ‫څلور السته راغل‪ ３‬زاوي‪ ３‬اندازه ک‪７‬ئ او وواياست چ‪ ３‬يو له بل سره څه اړيک‪ ３‬لري؟‬ ‫د يوې دايرې د قطر او شعاع تر منځ اړيک‪ ３‬څه دي؟‬ ‫دايره داس‪ ３‬قات ک‪７‬ئ چ‪ ３‬دوه نامساوي برخ‪ ３‬جوړې شي‪ ،‬هغه خالصه ک‪７‬ئ‪ ،‬جوړه شوې‬ ‫کرښه د څه په نامه ياد‪８４‬ي؟ د هغ‪ ３‬اوږدوالى د دايرې له قطر سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫پايله‪:‬‬ ‫ومو ليدل چ‪ ３‬په هره دايره ک‪ ３‬که چ‪５‬رې د دايرې د محيط دوه ټکي سره ونښـلوو‪ ،‬د دايرې‬ ‫وتر السته راځي‪.‬‬ ‫په هره دايره ک‪ ３‬ترټولو لوى وتر‪ ،‬د دايرې قطر دى چ‪ ３‬د شعاع دوه برابره دى‪.‬‬ ‫د يوې دايرې هر قطر‪ ،‬وتر‪ ،‬خو هر وتر قطر نه دى‪.‬‬ ‫" هغــه قــوس چــ‪ ３‬د يوې دايــرې د محيط له نيمايــي څخه کوچنــى وي‪ ،‬د کوچني قوس‬ ‫(‪ )minor Arc‬په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫" هغــه قــوس چــ‪ ３‬د يــوې دايــرې د محيــط لــه نيمايــي څخــه لــوى وي‪ ،‬د لــوى قوس‬ ‫(‪ )major Arc‬په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪ C (0 , 4) -1‬دايره رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ )a‬د دايرې شعاع يا وړانگه‪ ،‬قطر‪ ،‬قطعه او قطاع په شکل ک‪ ３‬و ښيئ‪.‬‬ ‫‪ )b‬د دايرې د قطر اوږدوالى وټاکئ‪.‬‬ ‫‪ )c‬د دايرې محيط په څلورو مساوي برخو وو‪４‬شئ‪ ،‬له دې څخه‪ ،‬کومه پايله په الس راځي؟‬ ‫‪ )d‬د دايرې داخلي ناحيه‪ ،‬خارجي ناحيه او د دايرې محيط د مختلفو رنگونو په واسطه په‬ ‫نښه ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫له دايرې سره د يوې مستقيم‪３‬‬ ‫کرښ‪ ３‬حالتونه‬ ‫مخامخ شکل ته پام وک‪７‬ئ او وواياست چ‪３‬‬ ‫قلمونه او هندسي بکس‪ ،‬له دايرې سره څه‬ ‫اړيک‪ ３‬لري؟ هره يوه توضيح ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫يــوه دايره او مســتقيمونه داســ‪ ３‬رســم ک‪７‬ئ چ‪ ３‬له دايرې ســره يوټکــى‪ ،‬دوه ټکي او ه‪５‬څ‬ ‫گ‪(６‬مشترک) ټکى و نه لري‪.‬‬ ‫د دايرې له مرکز څخه په هره مستقيمه کرښه باندې عمودي کرښ‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬د دايرې د‬ ‫مرکز اوکرښ‪ ３‬تر منځ واټن اندازه ک‪７‬ئ او هر حالت‪ ،‬د دايرې د شعاع له اوږوالي سره پرتله‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د پورتني فعاليت له ک‪７‬ن‪ ３‬څخه ليدل ک‪８５‬ي چ‪ ３‬يوه مستقيمه‬ ‫کرښه او دايره نظر يو بل ته درې الندې حالتونه لري‪:‬‬ ‫‪ -1‬که چيرې مستقيمه له دايرې سره گ‪ ６‬ټکي و نه لري‪،‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مستقيمه له دايرې څخه بهر پرته ده‪ ،‬په دې حالت ک‪ ３‬د‬ ‫مستقيم‪ ３‬واټن د دايرې له مرکز څخه د دايرې له شعاع‬ ‫څخه لوى دى يعن‪:３‬‬ ‫‪d >r‬‬ ‫‪ -2‬که چيرې مستقيمه له دايرې سره يو گ‪ ６‬ټکى ولري‪،‬‬ ‫نو د مستقيم‪ ３‬ته پر دايره مماس وايي‪ .‬په دې حالت‬ ‫ک‪ ３‬د مستقيم‪ ３‬واټن د دايرې له مرکز څخه د دايرې‬ ‫له شعاع سره برابر ده يعن‪d = r :３‬‬

‫‪7‬‬

‫‪r‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪d‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪O‬‬

‫‪C2‬‬ ‫دايرې ‪C 1‬‬ ‫سره‬

‫دوه گ‪ ６‬ټکي ولري‪،‬‬ ‫‪ -3‬که چيرې د مستقيم له‬ ‫‪r‬‬ ‫مستقيم ته د دايرې قاطع وايي‪ ،‬په دې‪O‬حالت ک‪ ３‬د مستقيم‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫څخه کوچنى دى‪،‬‬ ‫واټن د دايرې له مرکز څخه د دايرې له شعاع ‪A‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪P‬‬ ‫يعن‪d < r ３‬‬ ‫‪3cm‬‬

‫‪E‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫(ب‪５‬لگه) مثال‪ ) O ( :‬ټکى په پام ک‪ ３‬نيسو‪ ،‬د ( ‪ ) O‬په مرکز‬ ‫د ‪ 3 2‬سانتي مترو په شعاع دوې متحدالمرکز دايرې رسم‬ ‫ک‪７‬ئ‪ .‬د مستقيم‪ ３‬کرښ‪ ３‬واټن د دايرې له مرکز څخه ‪C1‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2cm‬‬ ‫دايرو له شعاع ګانو سره څه اړيک‪ ３‬لري؟‬ ‫‪، C2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫حل‪ :‬په شکل ک‪ ３‬ليدل ک‪８５‬ي چ‪ ３‬د مستقيم واټن د ‪C1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫دايرې له مرکز څخه د هغ‪ ３‬دايرې د وړانگ‪ ３‬يا شعاع سره برابر‬ ‫دى يعن‪d = r :３‬‬ ‫مستقيم واټن د ‪ C2‬دايرې له مرکز څخه د هغ‪ ３‬دايرې له وړانگ‪ ３‬يا شعاع څخه کوچنى‬ ‫دى يعن‪d < r :３‬‬ ‫‪3cm‬‬

‫‪C2‬‬ ‫‪C1‬‬

‫‪Page 7‬‬

‫‪ 3cm‬شعاع په اوږدوالي سره يوه دايره رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬په دې دايره ک‪ ３‬کرښ‪ ،３‬په الند‪４‬نيو راک‪７‬ل‬ ‫شويو واټنو ک‪ ３‬رسم او حالتونه ي‪ ３‬څرگند ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫الف‪ :‬د کرښ‪ ３‬واټن د دايرې له مرکز څخه ‪. 2.5cm‬‬ ‫ب‪ :‬د کرښ‪ ３‬واټن د دايرې له مرکز څخه ‪. 4cm‬‬ ‫ج‪ :‬د کرښ‪ ３‬واټن د دايرې له مرکز څخه د دايرې له شعاع سره برابره ‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫د دايرو موقعيت نسبت يو بل ته‬

‫مخامخ شکل ته په پام سره ووايئ چ‪:３‬‬ ‫‪ -1‬د بايسيکل ټايرونه کوم هندسي شکل‬ ‫لري؟‬ ‫‪ -2‬ټايرونه يو له بل سره څو حالتونه غوره‬ ‫کوالى شي؟‬

‫دوې دايرې داس‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ چ‪:３‬‬ ‫‪ :1‬يو له بل سره يو گ‪ ６‬ټکى ولري‪.‬‬ ‫‪ :2‬دوه گ‪ ６‬ټکي ولري‪.‬‬ ‫‪ :3‬له يو بل سره گ‪ ６‬ټکى و نه لري‪.‬‬ ‫د دايرو د مرکزونو تر منځ اوږدوالى په پورته حالتونو ک‪ ３‬د هغو له شعاع سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫له پورتني فعاليت څخه الندې پايل‪ ３‬په الس راځي چ‪:３‬‬

‫‪d‬‬ ‫'‪O‬‬

‫'‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪O‬‬

‫که چيرې د دوو دايرو د مرکزونو ترمنځ‬ ‫واټن‪ ،‬د هغو د شعاع له مجموعي‬ ‫اوږدوالي څخه زيات وي‪ ،‬په دې حالت‬ ‫ک‪ ３‬دايرو ته ناپر‪４‬ک‪７‬ي يا نا متقاطع دايرې‬ ‫وايي‪ ،‬يعن‪d > r + r ' ３‬‬

‫‪9‬‬

‫‪d‬‬ ‫'‪O‬‬

‫'‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪O‬‬

‫که چيرې د دوو دايرو د مرکزونو تر منځ‬ ‫واټن د هغو د شعاع له مجموع‪ ３‬سره‬ ‫مساوي وي‪ .‬په دې حالت ک‪ ،３‬دايرو ته‬ ‫خارجا ً مماس وايي‪ ،‬يعن‪d = r + r' ３‬‬

‫‪d‬‬

‫‪r‬‬

‫'‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫'‪O O‬‬

‫'‪r‬‬ ‫کــه د دوو دايــرو د مرکزونــو تــر‬ ‫منــځ واټــن‪ ،‬د هغــو د شــعاع گانو‬ ‫د مجموعــ‪ ３‬لــه اوږدوالــي څخه‬ ‫کوچنــى او د شــعاع گانــو د تفريق‬ ‫حاصل له مطلقه قيمت څخه لوى‬ ‫وي‪ ،‬دايــرې يو له بل ســره متقاطع‬ ‫‪ ،‬يعن‪r r < d < r + rd３‬‬ ‫‪r‬‬

‫'‪O‬‬

‫که د دوو دايرو د مرکزونو‬ ‫تر منــځ واټــن صفر وي‪،‬‬ ‫دايــرې د متحدالمرکــز‬ ‫پــه نامــه ســره ياد‪４‬ــ‪８‬ي‪،‬‬ ‫‪O2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫يعن‪d = 0 ３‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪O1‬‬

‫‪O‬‬

‫کــه د دوو دايــرو د مرکزونــو‬ ‫ترمنــځ واټن د هغو د شــعاع‬ ‫گانو د تفريق حاصل له مطلقه‬ ‫قيمت سره مساوي وي‪ ،‬دايرو‬ ‫ته له دننه مماس وايي‪ ،‬يعن‪３‬‬ ‫‪d= r r‬‬

‫'‪ O‬شعاع‪ ، 6cmO‬د دويم‪ ３‬دايرې‬ ‫دوې دايرې داس‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ چ‪ ３‬د لوم‪７‬ۍ دايرې‬ ‫'‪O‬‬ ‫مثال(ب‪５‬لگه)‪O :‬‬ ‫'‪O O‬‬

‫او '‪r‬‬ ‫لوم‪７‬ۍ دايرې مرکزونو تر منځ واټن ‪ 2cm‬او د دويم‪ ３‬دايرې شــعاع د لوم‪７‬ۍ دايرې د شــعاع‬

‫‪ 2‬برابره وي‪ ،‬په دې حالت ک‪ ،３‬د دې دوو دايرو موقعيت نظر يو بل ته پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪3‬‬

‫حل‪ :‬که د لوم‪７‬نى دايرې شعاع ‪ r1‬او د دويم‪ ３‬دايرې شعاع ‪ r2‬ونوموو‪ ،‬نو لرو‪:‬‬ ‫‪O2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪r2 = × 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪r2 = 4cm‬‬

‫‪r1 = 6cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r2 = r1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪d = | r1 r2 | = | 6 4 | = | 2 | = 2‬‬

‫څرن‪／‬ه چ‪:３‬‬ ‫ال مماس دي‪.‬‬ ‫نو له دايرې سره داخ ً‬

‫‪Page 8‬‬ ‫‪-1‬دوې دايرې د ‪ 4cm 6cm‬په شعاع په پام ک‪ ３‬و نيسئ او په الندې توگه ي‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ال(له دننه) سره مماس وي‪.‬‬ ‫الف‪ :‬دايرې خارجا ً (له باندې) سره مماس دي‪ .‬ب‪ :‬دايرې داخ ً‬ ‫د‪ :‬دايرې سره غير متقاطع(ناپر‪４‬ک‪７‬ې) وي‪.‬‬ ‫ج‪ :‬له دايرې سره متقاطع وي‪.‬‬ ‫هـ ‪ :‬دايرې متحدالمرکزه(گ‪ ６‬مرکز) وي‪.‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪Page 8‬‬

‫د دايرې اړوند زاوي‪)Circle of a Angles( ３‬‬

‫د دايرې مرکزي زاوي‪３‬‬ ‫تصوير ته پام وک‪７‬ئ‪ ،‬هغه هندسي شکلونه‬ ‫چــ‪ ３‬په هغــه ک‪ ３‬ليــدل ک‪８５‬ي‪ ،‬نــوم ي‪３‬‬ ‫واخلئ؟‬

‫په پورتني شکل ک‪ ،３‬څو زاوي‪ ３‬ليدالى شئ‪.‬‬ ‫د دې زاويو گ‪ ６‬خاصيتونه کوم دي؟‬ ‫د )‪ C (0 , 3‬دايره رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په دې دايره ک‪ ３‬يو پر بل دوه عمود قطرونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫څو مرکزي زاوي‪ ３‬السته راځي؟ د هرې زاوي‪ ３‬د مقابل قوس اندازه څو درج‪ ３‬ده؟‬ ‫د دې دايرې محيط څو درج‪ ３‬دى؟‬ ‫د پورتني فعاليت له نتيج‪ ３‬څخه ليکالى شو چ‪:３‬‬ ‫د يوه قوس اوږدوالى د هغه د مرکزي زاوي‪ ３‬په پراخوالي پورې اړه لري‪ ،‬يعن‪:３‬‬ ‫‪ AOB‬د قوس اوږدوالی‬ ‫=‬ ‫‪ 360o‬د دايرې محيط‬ ‫‪A‬‬ ‫هغه زاويه چ‪ ３‬راس ي‪ ３‬د دايرې په مرکز پروت او ضلع‪ ３‬ي‪ ３‬د‬ ‫‪O‬‬

‫دايرې شعاع گان‪ ３‬وي‪ ،‬مرکزي زاويه بلل ک‪８５‬ي‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪AOB‬‬

‫يا د‬

‫‪11‬‬

‫`‬

‫زاويه‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫هره مرکزي زاويه له دايرې څخه يو قوس ب‪５‬لوي چ‪ ３‬دغه قوس د خپل‪ ３‬مخامخ مرکزي زاوي‪３‬‬ ‫زاوي‪ ３‬سره مساوي دی‪.‬‬

‫سره مساوي اندازه لري‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪ AB‬قوس چ‪ ３‬له‬ ‫د قرارداد له مخ‪ ３‬ويالى شو چ‪ ３‬په يوه دايره ک‪ ３‬د مخامخ قوس اندازه د درج‪ ３‬له مخ‪ ３‬له‬ ‫مرکزي زاويي سره مساوي ده‪ ،‬يعن‪:３‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که د (‪ C)O , r‬په دايره ک‪ ３‬لوى قوس د کوچني قوس پنځه برابره وي‪ ،‬نو د‬ ‫کوچني قوس‪ ،‬لوى قوس او د هغ‪ ３‬د مرکزي زاويو اندازه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫= ‪AOB = AB‬‬

‫حــل‪ :‬که کوچنى قوس ‪ PQ = x‬وي‪ ،‬نو لوی قــوس ي‪x ３‬‬

‫‪ PAQ = 360‬دى نو ليکالى‬

‫شو‪ ،‬چ‪:３‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪PQ + PAQ = 360 o‬‬

‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪PAQ mag = 5PQ min‬‬

‫‪E‬‬

‫‪O‬‬

‫‪x + 5x = 360 o‬‬

‫‪A‬‬

‫‪6x = 360 o‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪POQ = x = 60‬‬ ‫‪360o o‬‬

‫‪J‬‬

‫‪x = 60 o‬‬

‫‪PAQ = 5x = 5 × 60 = 300 oo‬‬

‫‪ EK‬د دايرې قطر وي‪ .‬د‬ ‫دويم مثال‪ :‬په الندې شکل ک‪ ３‬که ‪ER,, EOJ = 82o , KOS = 31o‬‬ ‫‪ SJ , KJ , SK‬د ‪ ES‬قوسونه په درجه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫د مرکزي زاوي‪ ３‬مخامخ قوس ‪.....‬‬

‫‪oo‬‬ ‫‪SK‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪SK‬‬ ‫‪SK===31‬‬ ‫‪31o‬‬

‫‪oo‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪KOJ‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪EOJ‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪KOJ‬‬ ‫‪KOJ===180‬‬ ‫‪180 o EOJ‬‬ ‫‪EOJ===180‬‬ ‫‪180 o 82‬‬ ‫‪82 o===98‬‬ ‫‪98Po‬‬

‫‪S‬‬ ‫‪K‬‬

‫‪oo‬‬ ‫‪SK‬‬ ‫‪SOK‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪SK‬‬ ‫‪SK‬‬ ‫=‪SK++‬‬ ‫‪SOK===31‬‬ ‫‪31o‬‬ ‫‪+SOK‬‬

‫‪31o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪O‬‬

‫‪E‬‬

‫‪O129oo o‬‬ ‫‪== 129‬‬

‫‪oo o‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪oo o‬‬

‫‪SJ‬‬ ‫‪SK‬‬ ‫‪KJ‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪SJ‬‬ ‫‪SJ===SK‬‬ ‫‪SK+++KJ‬‬ ‫‪KJ===31‬‬ ‫‪31 +++98‬‬ ‫‪98 = 129‬‬

‫‪o‬‬

‫‪82‬‬

‫‪oo‬‬ ‫‪JE‬‬ ‫‪EOJ‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪JE‬‬ ‫‪JE===EOJ‬‬ ‫‪EOJ===82‬‬ ‫‪82 o‬‬

‫‪Q‬‬ ‫‪J‬‬

‫‪oo‬‬ ‫‪KOJ‬‬ ‫‪KJ‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪KOJ‬‬ ‫‪KJ‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪KOJ‬‬ ‫‪KOJ====KJ‬‬ ‫‪KJ====98‬‬ ‫‪98 o‬‬

‫‪31 = 149‬‬

‫‪oo o‬‬

‫‪EK‬‬ ‫‪EOK‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪EK‬‬ ‫‪EEK‬‬ ‫‪O==S=EOK‬‬ ‫‪=EOK‬‬ ‫‪180===180‬‬ ‫‪S O K = 180‬‬ ‫‪180‬‬

‫‪E O S = ES =149‬‬

‫‪-1‬د ‪ B , A‬او ‪ C‬درې ټکي د ) ‪ C (O , r‬پر دايره داس‪ ３‬پراته دي چ‪BOC = 136o , AOB = 75o ３‬‬

‫زاوي‪ ３‬د ‪ OB‬دواړو خواوو ته پرت‪ ３‬وي‪ AC ،‬حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬يوه مرکزي زاويه‪ ،‬د ‪ 180 o‬په اندازه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫د دايرې د وتر خواص‬

‫‪E‬‬

‫شکل ته پام وک‪７‬ئ ‪CD ، AB‬‬

‫‪D‬‬

‫‪EF‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫مســتقيم‪ ３‬کرښــ‪ ３‬په څه نامه ياد‪８４‬ي؟ د‬ ‫‪ EF‬کرښ‪ ３‬ځانگ‪７‬تيا څه ده؟ او له ‪AB‬‬ ‫او ‪ CD‬کرښ‪ ３‬سره څه اړيک‪ ３‬لري؟‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬

‫) ‪ C (O , r‬په دايره ک‪ ３‬د ‪ AB‬وتر رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دايرې د ‪ ED‬قطر داس‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ چ‪ ３‬د ‪ AB‬په وتر د ‪ H‬په نقطه عمود وي‪.‬‬ ‫)‪ (O‬ټکى د ‪ B A‬سره ونښلوئ‪ ،‬السته راغلى مثلث څه ډول مثلث دى؟‬ ‫په الندې تشو ځايونو ک‪ ３‬د( = ‪ < ,‬يا > ) وړ نښ‪ ３‬وليکئ‪.‬‬ ‫‪HB‬‬

‫‪EB , AH‬‬

‫‪OB , AE‬‬

‫‪OA‬‬

‫د دې فعاليت له پايل‪ ３‬څخه کوالى شو‪ ،‬الندې قضيه بيان او ثبوت ک‪７‬و‪.‬‬ ‫قضيه‪ :‬په هره دايره ک‪ ３‬په وتر عمود قطر‪ ،‬وتر او د هغ‪ ３‬مقابل قوس نيموي‪.‬‬ ‫ثبوت‪ A HO B HO :‬دوو مثلثونو څخه ليکالى شو چ‪:３‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫د دايرې شعاع ‪OA = OB.........‬‬ ‫‪AOH‬‬ ‫‪OHB‬‬ ‫‪AHO OHB‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪H‬‬

‫‪A‬‬

‫ﻗﺎﻳﻤﻪ ‪H1 = H 2 ..........‬‬ ‫ﻣﺸﺘﺮك ‪OH = OH........‬‬

‫‪E‬‬

‫نو د دوو مثلثونو له تساوي څخه داس‪ ３‬پايله السته راځي‪ ،‬چ‪ AH = HB :３‬ا‬ ‫‪ BOH‬مرکزي زاويي سره مساوي دي‪ ،‬په پايله ک‪. AE = EB ３‬‬ ‫مثال‪ C(O, 26) :‬دايره راک‪７‬ل شوې ده‪ ،‬که چيرې پر وتر د عمود اوږدوالى‪ ،‬د دايرې له‬ ‫مرکز څخه (‪ )2‬واحده وي‪ ،‬د ‪ AB‬وتر اوږدوالى حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪AOH‬‬

‫‪13‬‬

‫‪ OAH‬په مثلث ک‪ ３‬د فيثاغورث د قضي‪ ３‬له مخ‪ ３‬لرو چ‪:３‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫‪OA = AH + OH‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(26) 2 = AH + (10) 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪26‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪(10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪AH = (26‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪AH = 676 100 = 576‬‬ ‫‪AH = 24‬‬ ‫‪AB = 2AH = 2 × 24 = 48unit‬‬

‫)‪ C (0 , 3‬دايره رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په دايره ک‪ ３‬د ‪ ER PQ‬دوه مساوي وترونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د دايرې له مرکز څخه د ‪PQ‬‬

‫‪ ER‬په وترونو عمود کرښ‪ ３‬رسم او اوږدوالى ي‪ ３‬معلوم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫د دې فعاليت له پايل‪ ３‬څخه الندې قضيه بيان او ثبوتوو‪.‬‬ ‫قضيه‪ :‬په هره دايره ک‪ ３‬د هغ‪ ３‬مساوي وترونه‪ ،‬د دايرې له مرکز څخه مساوي واټن لري‪.‬‬ ‫ثبوت‪PMO :‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪ RNO‬د دوو مثلثونو څخه لرو چ‪:３‬‬ ‫د دايرې شعاع‪OP = OR ...........‬‬

‫‪P‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪M‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪RNO‬‬

‫‪PMO‬‬

‫ﻗﺎﻳﻤﻪ‪1 = 2 ........................‬‬ ‫مساوي وترونه ‪PQ = RS ........‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪OM = ON‬‬ ‫‪PQ RS‬‬ ‫‪PM = RN‬‬ ‫=‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫په پايله ک‪ ３‬ويالى شو چ‪ ３‬په هره دايره ک‪ ３‬مساوي وترونه له مرکز څخه مساوي واټن لري‪.‬‬ ‫‪PM = RN‬‬

‫‪ C (0 ,13) -1‬په دايره ک‪ ３‬د ‪ AB‬وتر د دايرې له مرکز څخه ‪ 5‬واحده واټن لري‪ ،‬د ‪AB‬‬

‫اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬که چيرې د يوې دايرې قطر د وتر له نيمايي څخه ت‪５‬ر شي‪ ،‬ثبوت‬ ‫ک‪７‬ئ چ‪ ３‬پر وتر عمود دى‪.‬‬ ‫‪ -3‬په يوې دايره ک‪ AB = 8cm ３‬وتر رسم ک‪７‬ئ‪ .‬که چيرې د وتر‬ ‫عمودي واټن له مرکز څخه ‪ OH = 3cm‬وي‪ ،‬د دايرې قطر او‬ ‫محيط محاسبه ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪H‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪14‬‬

‫د دايرې د شعاع ځانګ‪７‬تياوی‬

‫شــکل ته په پام ســره‪ ،‬د ‪OB ،OA‬‬ ‫‪ OC‬کرښ‪ ３‬څه نوم‪８５‬ي او د کرښه‪ ،‬د‬ ‫دايرې او له ‪ OB‬وړانگ‪ ３‬سره څه اړيک‪３‬‬ ‫لري؟‬

‫‪C‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬

‫په مخامخ شکل د( ) مستقيمه کرښه‪ ،‬د )‪C (0 , 2‬‬ ‫دايرې د ‪ T‬په ټکي ک‪ ３‬مماس ده‪ .‬د ‪D C , B , A‬‬ ‫ټکي‪ ،‬د مماس پر مخ د ‪ T‬ټکى دواړو خواوو ک‪３‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬

‫وټاکئ او د دايرې له مرکز سره ي‪ ３‬ونښلوئ‪.‬‬ ‫قطعه خطونه‪ ،‬د خط کش په مرسته اندازه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫د دايرې د مرکز او مماس تر منځ لن‪ ６‬واټن وښاياست؟‬ ‫تر ټولو کوچنی واټن د يوه ټکي او يوې مستقيم‪ ３‬کرښ‪ ３‬تر منځ‪ ،‬کوم واټن دی؟‬ ‫له پورتنيو دوو حالتونو څخه‪ ،‬څه پايله السته راوړئ؟‬ ‫د دې فعاليت له پايل‪ ３‬څخه په الندې توگه قضيه بيان او ثبوتوو‪.‬‬ ‫ﻗﻀﻴﻪ‪ :‬د دايرې شعاع‪ ،‬د تماس په ټکي ک‪ ،３‬پر مماس عمود ده‪.‬‬ ‫ثبﻮت‪ :‬په الندې شکل ک‪ ３‬ليدل ک‪８５‬ي چ‪:３‬‬ ‫‪OT < OB < OA‬‬ ‫‪OT < OC < OD‬‬

‫پوه‪８５‬و چ‪ ３‬تر ټولو کوچنی واټن‪ ،‬د يوه ټکي او‬ ‫مستقيم ترمنځ عمودي واټن دی‪ .‬په پايله ک‪ ３‬ويالى‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ OT‬دي‪.‬‬ ‫شو چ‪ ３‬مستقيم‪ ３‬کرښ‪:３‬‬

‫‪15‬‬

‫‪O‬‬

‫‪C‬‬

‫‪T‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫مستقيمه کرښه‪ ،‬د ‪ A‬په ټکي‪ ،‬د ) ‪ C (O , r‬پر‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬په الندې شکل ک‪ ،３‬د‬

‫دايره مماس ده‪ .‬که چ‪５‬رې د ‪ AOB‬مساوي ‪60o‬‬

‫‪ x ،‬زاويه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪y = 90o‬‬

‫‪OA‬‬

‫‪BA‬‬

‫‪o + x + y = 180o‬‬

‫‪O‬‬

‫‪60o + x + 90o = 180o‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x = 180o 150o‬‬

‫‪B‬‬

‫‪o‬‬

‫‪x = 30‬‬

‫الندې شکل ک‪ ،３‬د مستقيمه کرښه‪ ،‬د ) ‪ C (O , r‬پر دايره مماس ده‪ ،‬که‬ ‫دويم مثال‪ :‬په ‪O‬‬ ‫‪ ON = 5unit OM = 4unit‬اوږدوالى ولري‪ ،‬د ‪ MN‬اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬ ‫شعاع‪ ،‬د ‪B‬‬ ‫تماس په ټکي‪ ،‬پر مماس عمود ده په پايله ک‪ ３‬د ‪OMN‬‬ ‫حل‪ :‬پوه‪８５‬و‪ ،‬چ‪ ３‬د دايرې‬

‫‪A‬‬

‫په قايم الزاويه مثلث ک‪ ،３‬د فيثاغورث د قضي‪ ３‬پربنسټ لرو چ‪:３‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪O‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O‬‬

‫‪4A = 9‬‬

‫‪10 A‬‬

‫‪T‬‬

‫‪8‬‬

‫‪W‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ T‬په ټکي‪ ،‬د ) ‪C (O , r‬‬

‫ممــاس وي‪ TW=3unit ، OS = 1unit ،‬وي‪ ،‬د‬ ‫پــر دايرې‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ TX OW , SN , AS , OA‬اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪O‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪ -1‬په ‪B‬‬ ‫شــکل ک‪ ３‬د کرښــه د ) ‪ P(C , r‬پــر دايرې مماس‬ ‫مخامخ ‪OA‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ BC = 10unit‬اوږدوالــى ولري‪ ،‬د ‪10AB‬‬ ‫ده‪ ،‬کــه ‪AC = 8unit‬‬ ‫‪NZ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫پيدا‬ ‫‪B‬‬ ‫اوږدوالى ‪A‬‬

‫مخامخ شکل‪O‬ک‪ ،３‬که ‪WZ‬‬ ‫‪ - 2‬په‬ ‫‪S‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2X‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪=5‬‬

‫‪X‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪MN = 3‬‬

‫‪8M‬‬

‫‪C‬‬

‫‪O‬‬

‫‪2‬‬

‫‪MN = ON‬‬

‫‪Y2‬‬

‫د دايرې شعاع‪ ،‬د تماس په ټکي ک‪ ،３‬پر مماس عمود وي‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫هر مماس‪ ،‬په هغه شعاع چ‪ ３‬د تماس له ټکي څخه ت‪５‬ر‪８４‬ي‪ ،‬عمود دى‪.‬‬ ‫‪Z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪OM‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪10N‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ON = OM + MN‬‬

‫‪O‬‬

‫‪M‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪108‬‬

‫‪8‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪TZ‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪T‬‬

‫‪S‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪N‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪W‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪16‬‬

‫‪W‬‬

‫د دا‪４‬رې محيطي زاويه‬ ‫)‪(Inscribed Angel of a Circle‬‬

‫حسﻴب اﷲ‬

‫بﻼل‬

‫د فوټبــال د ميــدان پــه مرکــزي دايــره ک‪３‬‬ ‫حســيب اهلل‪ ،‬بالل ته او بالل الياس ته توپ‬ ‫پاس ک‪ .７‬هغه شکل چ‪ ３‬د توپ د شوټ له‬ ‫مسير څخه جوړ‪８４‬ي‪ ،‬څه ډول دى؟‬

‫اﻟﻴاس‬

‫هغه زاويه چ‪ ３‬رآس ي‪ ３‬د دايرې پر محيط او ضلع‪ ３‬ي‪ ３‬د دايرې دوه وترونه وي‪ ،‬محيطي زاويه‬ ‫بلل ک‪８５‬ي‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪ ABC‬يا د‬

‫‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪O‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬

‫د ) ‪ C (O , r‬په دايره ک‪ ３‬د ‪ ABC‬محيطي زاويه چ‪ ３‬د ‪BC‬‬

‫په ياد ولرئ چ‪:３‬‬

‫د مرکــزي زاويــ‪ ３‬پراخوالى‬ ‫ضلع ي‪ ３‬د دايرې له مرکز څخه ت‪５‬ره شي‪ ،‬رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د خپــل مخامــخ قوس ســره‬ ‫د ‪ A‬ټکى د دايرې له مرکز )‪ (O‬سره ونښلوئ‪ ،‬څرنگه مساوي دى‪.‬‬ ‫په هــر مثلث ک‪ ３‬د خارجي‬ ‫مثلث السته راځي؟‬ ‫زاويــ‪ ３‬پراخوالى لــه مجاورې‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬زاوي‪ ３‬د ‪ OAB‬په مثلث ک‪ ３‬يو له بل سره څه زاوي‪ ３‬پرته د دوو داخلي زاويو‬ ‫له مجموع‪ ３‬سره مساوي دى‪.‬‬ ‫اړيک‪ ３‬لري؟‬ ‫د ‪AOC‬‬

‫‪17‬‬

‫‪ A‬او ‪ B‬له زاويو سره څه اړيک‪ ３‬لري؟‬

‫د مخکيني مخ د فعاليت له پايل‪ ３‬څخه په الندې توگه‪ ،‬قضيه بيان او ثبوتوو‪.‬‬ ‫قضيه‪ :‬د هرې محيطي زاوي‪ ３‬پراخوالى د خپل مخامخ قوس نيمايي دى‪.‬‬ ‫دلته قضيه په هغه حالت ک‪ ３‬ثبوتوو چ‪ ３‬د محيطي زاوي‪ ３‬يوه ضلع د دايرې قطر وي‪ .‬د دوو‬ ‫نورو حالتونو ثبوت د کورن‪ ９‬دندې په توگه‪ ،‬زده کوونکو ته پات‪ ３‬شو‪.‬‬ ‫‪Δ‬‬ ‫ثبوت‪ AOC :‬زاويه د ‪ AOB‬د مثلث خارجی زاويه ده‪ ،‬ليکالى شو چ‪:３‬‬

‫‪B‬‬

‫‪O‬‬

‫مرکزي زاويه ‪AOC = AC .....‬‬

‫‪AOC = A + B‬‬

‫‪AOC = 2 B‬‬

‫وﻟﻰ‪A = B .......‬‬

‫نو‪:‬‬ ‫‪AC = 2 B‬‬ ‫په پايله ک‪AC ３‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪AOC = B+ B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ ABC‬د محيطي زاوي‪ ３‬پراخوالى له‬

‫‪1‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪AOC = 2 B‬‬

‫سره برابر دى‪.‬‬

‫مثال‪ C(O , r) :‬په دايره ک‪ ３‬که مرکزي زاويه ‪ AOB = 60o‬وي‪ ،‬د ‪ ACB‬محيطي‬ ‫زاوي‪ ３‬مخامخ ‪ AB‬قوس‪ ،‬ي‪ ３‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬په يوه دايره ک‪ ３‬د مرکزي زاوي‪ ３‬او د هغ‪ ３‬د مخامخ قوس له اړيکو څخه ليکالى شو‬ ‫چ‪:３‬‬ ‫‪AOB = 60o‬‬ ‫‪AB = 60o‬‬

‫‪O‬‬

‫‪A‬‬

‫‪AOB = AB‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪60o‬‬ ‫‪= 30o‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪AB = 60o‬‬ ‫= ‪ACB‬‬

‫‪AB‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ACB‬‬

‫‪ - 1‬په يوه دايره ک‪ ３‬د‪ 90°‬په اندازه‪ ،‬محيطي زاويه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬د دايرې پر محيط د ‪ B A‬دوه ټکي په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪ .‬د ‪ AB‬د قوس په مقابل ک‪،３‬‬ ‫‪D‬‬ ‫څو محيطي زاوي‪ ３‬رسموالى شو‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ - 3‬په باندې شکل ک‪ ３‬په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪ ،‬د مجهول زاوي‪ ３‬قيمت پيدا‬

‫ک‪７‬ئ‪B.‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪18‬‬

‫د دايرې مماسي زاويه‬

‫شــکل ته پام وک‪７‬ئ‪ ،‬هغو مســتقيمو کرښو‬ ‫چــ‪ ３‬د زاويــه ي‪ ３‬جــوړه کــ‪７‬ې ده‪ ،‬نوم‬ ‫واخلئ او د زاوي‪ ３‬رآس چ‪５‬رته پروت دى؟‬

‫‪O‬‬

‫هغه زاويه چ‪ ３‬يوه ضلع ي‪ ３‬پر دايره مماس او دويمه ضلع ي‪ ３‬د ‪A‬‬ ‫دايرې وتر وي او رآس ي‪ ３‬د تماس په ټکي ک‪ ３‬پروت وي مماسي‬ ‫زاويه بلل ک‪８５‬ي‪ ،‬لکه‪ :‬د زاويه‪.‬‬

‫‪O‬‬

‫)‪ C(0 , 6‬دايره رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په دې دايره ک‪ ３‬يوه مماسي زاويه ‪ CTP‬رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د دايرې د وتر انجامونه ‪ PT‬له مرکز سره ونښلوئ‪ ،‬څه ډول مثلث السته راځي؟‬ ‫د دايرې له مرکز څخه پر وتر عمود رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ TOP‬مرکزي زاويه او د ‪ PTC‬مماسي زاوي‪ ３‬سره څه اړيک‪ ３‬لري؟‬ ‫د دې فعاليت له پايل‪ ３‬څخه الندې قضيه ثبوتولى شو‪.‬‬ ‫قضيه‪ :‬په يوه دايره ک‪ ３‬د مماسي زاوي‪ ３‬پراخوالى‪ ،‬د هغ‪ ３‬د مخامخ قوس نيمايي په اندازه دى‪.‬‬ ‫‪Δ‬‬ ‫ثبوت‪ OHT :‬قايم الزاويه مثلث او ‪ OTC‬قايم‪ ３‬زاوي‪ ３‬څخه لرو چ‪:３‬‬ ‫‪1= 4‬‬ ‫‪PT‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪19‬‬

‫= ‪PTC‬‬

‫‪3+ 1 = 3+ 4‬‬ ‫‪POT PT‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫=‪1‬‬

‫‪P 3+ 1 = 90‬‬

‫‪3+ 4 = 90‬‬

‫‪O 2‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪T‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬په الندې شکل ک‪ ３‬که د )‪ C(0 , r‬په دايره ک‪ ３‬د هغ‪ ３‬مرکزي زاويه ‪45o‬‬

‫وي‪ ،‬د محيطي او مماسي زاويو پراخوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د مرکزي زاوي‪ ３‬او د هغ‪ ３‬د مخامخ قوس له اړيکو څخه په گټه ليکالى شو چ‪:３‬‬ ‫‪AB = 45o‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BOC = 135‬‬

‫‪BC = 135‬‬

‫‪o‬‬

‫‪45º‬‬

‫‪O‬‬

‫‪A‬‬

‫‪o‬‬

‫‪BC 135o‬‬ ‫= ‪BCD‬‬ ‫=‬ ‫‪= 67.5o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪BC‬‬

‫‪D‬‬

‫‪AOB = 45o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪45º‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AB 45‬‬ ‫= ‪ACB‬‬ ‫=‬ ‫‪= 22.5o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪ ATX‬زاوي‪ ３‬مخامخ ته واقع دی‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬په الندې شکل ک‪ ３‬د ‪ OAT‬قوس چ‪ ３‬د‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪6) o‬‬ ‫‪ ATX ،‬مماسي زاوي‪ ３‬اندازه پيدا ک‪７‬ئ‪O .‬‬ ‫مخامخ قوس لــه اړيکو څخه د گټ‪ ３‬اخيســتلو له مخ‪３‬‬ ‫حـﻞ‪ :‬د مماســي زاويــ‪ ３‬او‪D‬دهغ‪ ３‬د ‪C‬‬ ‫ليکالى شو‪ ،‬چ‪:３‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪T‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ATX‬‬ ‫‪ATX = AT‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ATX‬‬ ‫)‪6)oo‬‬ ‫‪ATX = (2‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪==( ( 33))oo‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪X‬‬

‫‪T‬‬

‫‪X‬‬

‫پايله‪ :‬محيطي او مماسي زاوي‪ ３‬چ‪ ３‬د عين قوس په مقابل ک‪ ３‬پرت‪ ３‬وي‪ ،‬سره مساوي دي‪.‬‬ ‫مماسي زاويه‪ ،‬د مخامخ قوس نيمايي ده‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪140º‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪X 110º‬‬

‫‪B‬‬

‫‪110º‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪D‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪ -١‬د ‪X‬مماسي زاويو اندازه په الندې شکلونو ک‪ ３‬په الس راوړئ‪.‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪O‬‬

‫‪A‬‬

‫‪BX‬‬

‫‪90º‬‬

‫‪110º‬‬

‫‪o‬‬

‫‪X‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫‪X D‬‬

‫‪40º‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪140º‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪C‬‬

‫‪90º‬‬

‫‪140º‬‬

‫‪o‬‬

‫‪X‬‬

‫‪X‬‬

‫‪90º‬‬

‫‪110º‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪C‬‬

‫‪110º‬‬

‫‪o‬‬

‫‪40º‬‬

‫‪D‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪40º‬‬

‫‪D‬‬

‫‪20‬‬

‫د لوم‪７‬ي څپرکي لن‪６‬يز‬ ‫داﻳره‪ :‬د هغو ټکو سټ يا هندسي محل چ‪ ３‬له يوه ټاکلي ټکي څخه مساوي واټن ولري‪،‬‬ ‫دايره بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د هغو ټکو سټ چ‪ ３‬واټن ي‪ ３‬د دايرې له شعاع څخه کوچنى وي‪ ،‬د دايرې دننه ساحه بلل‬ ‫ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د هغو ټکو سټ چ‪ ３‬واټن ي‪ ３‬د دايرې له مرکز څخه د دايرې له شعاع سره مساوي وي‪ ،‬د‬ ‫دايرې محيط يا مخ بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د هغو ټکو سټ چ‪ ３‬واټن ي‪ ３‬د دايرې له مرکز څخه نسبت د دايرې شعاع ته لوي وي‪ ،‬د‬ ‫دايرې باندن‪ ９‬ساحه بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د مستوي هغه برخه چ‪ ３‬د منحني او د دايرې د داخلي سطح‪ ３‬په واسطه ب‪５‬له شوې وي‪ ،‬د‬ ‫دايرې سطحه بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د داﻳرې شﻌاع‪ :‬هغه کرښه چ‪ ３‬د دايرې مرکز او د محيط يو ټکى سره نښلوي‪ ،‬د دايرې‬ ‫شعاع بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د داﻳرې وتر‪ :‬هغه ټوټه کرښـه چ‪ ３‬د دايرې د محيط دوه ټکي سره نښلوي‪ ،‬ددايرې وتر‬ ‫بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د داﻳرې ﻗطر‪ :‬د دايرې هغه وتر چ‪ ３‬له مرکز څخه ت‪５‬ر‪８４‬ي د دايرې قطر بلل ک‪８５‬ي‪ .‬هر‬ ‫قطر‪ ،‬د شعاع دوه برابره دى‪.‬‬ ‫د داﻳرې ﻗﻮس‪ :‬د دايرې د محيط يوه برخه چ‪ ３‬د دوو ټکو په مرسته ب‪５‬له شوې وي‬ ‫قوس بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د داﻳرې ﻣﻤاس‪ :‬هغه کرښه چ‪ ３‬له دايرې سره يو گ‪ ６‬ټکى ولري‪ ،‬مماس بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د دايرې قطعه‪ :‬د دايرې هغه برخه چ‪ ３‬د دايرې د وتر او اړونده قوس تر منځ پرته وي‪ ،‬د‬ ‫دايرې قطعه بلل ک‪８５‬ي‬ ‫د داﻳرې ﻗطاع‪ :‬د دايرې يوه برخه ده چ‪ ３‬د دوو شعاع گانو او اړوند قوس په مرسته‪ ،‬د‬ ‫دايرې له سطح‪ ３‬څخه ب‪５‬له شوې وي‪.‬‬ ‫که يو مستقيم له يوې دايرې سره يو گ‪ ６‬ټکى ولري‪ ،‬د مماس او که چيرې دوه گ‪ ６‬ټکي ولري‪،‬‬ ‫د قاطع په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫په هره دايره ک‪ ３‬د دايرې له مرکز څخه پر وتر عمودي کرښه‪ ،‬وتر او مخامخ قوس نيماي‪３‬‬ ‫کوي‪.‬‬

‫‪21‬‬

‫د دايرې شعاع د تماس په ټکي ک‪ ３‬پر مماس عمود ده‪.‬‬ ‫د يوې دايرې مساوي وترونه‪ ،‬د هغ‪ ３‬له مرکز څخه مساوي واټن لري‪.‬‬ ‫ﻣرکزي زاوﻳﻪ‪ :‬هغه زاويه چ‪ ３‬رآس ي‪ ３‬د دايرې په مرکز پروت او ضلع‪ ３‬ي‪ ３‬د دايرې شعاع‬ ‫گان‪ ３‬وي‪ ،‬مرکزي زاويه بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د هرې مرکزي زاوي‪ ３‬اندازه‪ ،‬د هغ‪ ３‬له مخامخ قوس سره مساوي ده‪.‬‬ ‫‪ AOB‬د قوس اوږدوالى‬ ‫د مرکزي زاوي‪ ３‬د مخامخ قوس اوږدوالى د دې رابط‪３‬‬ ‫=‬ ‫‪ 360 o‬د دايرې محيط‬ ‫څخه په الس راځي‪.‬‬ ‫ﻣحﻴطﻲ زاوﻳﻪ‪ :‬هغه زاويه ده چ‪ ３‬رآس ي‪ ３‬د دايرې پر محيط او ضلعى ي‪ ３‬د دايرې وترونه‬ ‫وي‪ ،‬محيطي زاويه بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د هرې محيطي زاوي‪ ３‬پراخوالى‪ ،‬د هغ‪ ３‬د مخامخ قوس له نيمايي سره مساوي دى‪.‬‬ ‫" هره محيطي زاويه‪ ،‬د هغ‪ ３‬د مرکزي زاوي‪ ３‬نيمايي ده چ‪ ３‬د عين قوس په مخامخ ک‪３‬‬ ‫پر ته ده‪.‬‬ ‫ﻣﻤاسﻲ زاوﻳﻪ‪ :‬هغه زاويه ده چ‪ ３‬يوه ضلعه ي‪ ３‬په دايرې مماس او بله ي‪ ３‬د دايرې وتر او‬ ‫رآس ي‪ ３‬د تماس په ټکي ک‪ ３‬د دايرې پر محيط پروت وي‪ ،‬مماسي زاويه بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫هره مماسي زاويه د هغ‪ ３‬مرکزي زاوي‪ ３‬نيمايي ده چ‪ ３‬د عين قوس په مخامخ پرته وي‪.‬‬ ‫د دوو دايرو حالتونه يو بل ته‪:‬‬ ‫_ که د دوو دايرو د مرکز ونو د واټن اوږدوالى د هغو د شعاع ګانو له مجموع‪ ３‬څخه لوی وي‬ ‫دايرې غير متقاطع بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫_ که د دوو دايرو د مرکزونو د واټن اوږدوالى د هغو د شعاع ګانو له مجموع‪ ３‬سره مساوي وي‬ ‫دايرې له باندې خوا مماس بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫_ که د دوو دايرو د مرکزونو اوږدوالى د هغو د شعاع گانو له اوږدوالي څخه کوچنى او د شعاع‬ ‫ګانو د تفريق حاصل ي‪ ３‬له مطلقه قيمت څخه لوی وي‪ ،‬متقاطع بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫_ که د دايرو د مرکزونو تر منځ واټن‪ ،‬د هغ‪ ３‬د شعاع ګانو د تفريق حاصل مطلقه قيمت سره‬ ‫مساوي وي دايرې (دننه) مماس دی‪.‬‬ ‫_ که د دايرو د مرکزونو تر منځ واټن صفر وي دايرې متحد المرکز(د يوه مرکز لرونکي) بلل‬ ‫ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪22‬‬

‫د لوم‪７‬ي څپرکي پوښتن‪３‬‬ ‫په الندې پوښتنو ک‪ ３‬د هرې پوښتن‪ ３‬لپاره‪ ،‬څلور ځوابونه ورک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬سم ځواب په نښه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د يوې دايرې د قطر اوږدوالى مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪(c‬‬ ‫‪(b‬‬ ‫‪3r (a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2r (d‬‬

‫‪ -2‬دايره په الندې ډول ښودل ک‪８５‬ي‪:‬‬ ‫‪0 (a‬‬

‫‪(1, 2) (b‬‬

‫‪(b,a) (c‬‬

‫‪C(o, r) (d‬‬

‫‪-3‬هغه مستقيمه کرښه چ‪ ３‬له دايرې سره يو گ‪ ６‬ټکى ولري‪:‬‬ ‫‪ )a‬د وتر په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪ )b‬د قوس په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪ )c‬د مماس په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪ )d‬د محيط په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪ -4‬د هغو ټکو سټ چ‪ ３‬واټن ي‪ ３‬د دايرې له شعاع څخه لوي وي‪:‬‬ ‫‪ )a‬د دايرې مخ بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪ )b‬د دايرې خارج بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪ )c‬دايره بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪ )d‬د دايرې داخل بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪ -5‬هغه وتر چ‪ ３‬د دايرې مرکز ته له نورو وترونو څخه نژدې وي نظر نورو وترونوته‪:‬‬ ‫‪ )a‬لن‪ ６‬وتر دی‪.‬‬

‫‪ )b‬اوږد وتر دی‪.‬‬

‫‪ )c‬مساوي دی‪.‬‬

‫‪ )d‬هيڅ يو‪.‬‬

‫‪ -6‬که يوه مستقيمه کرښه‪ ،‬دايره په دوو ټکو ک‪ ３‬پرې ک‪７‬ي‪ ،‬هغ‪ ３‬ته‪:‬‬ ‫‪ )a‬عمود وايي‪.‬‬

‫‪ )b‬قاطع واي‪.３‬‬

‫‪ )c‬مماس واي‪.３‬‬

‫‪ )d‬موازي واي‪.３‬‬

‫‪ -7‬که د يوې دايرې مرکزي زاويه ‪ 80o‬وي‪ ،‬د مخامخ قوس اندازه ي‪ ３‬مساوي په‪:‬‬ ‫‪90o (a‬‬

‫‪70'(b‬‬

‫‪80" (c‬‬

‫‪80o (d‬‬

‫‪ -8‬يوه مستقيمه کرښه له يوې دايرې سره څو حالتونه لري‪:‬‬ ‫‪3 )a‬‬

‫‪7 )b‬‬

‫‪4 )c‬‬

‫‪ -9‬هغه زاويه چ‪ ３‬راس ي‪ ３‬د ايرې پر محيط او ضلع‪ ３‬ي‪ ３‬دوه وترونه وي‪:‬‬ ‫‪ )a‬مرکزي زاويه ده‪.‬‬ ‫‪ )c‬محيطي زاويه ده‪.‬‬

‫‪23‬‬

‫‪ )b‬مماسي زاويه ده‪.‬‬

‫‪1 )d‬‬

‫تش ځايونه په مناسبو کلمو ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪ -1‬د دايــرې هغــه برخــه چ‪ ３‬د وتر په واســطه د دايرې له ســطح‪ ３‬څخه ب‪５‬له شــوې وي‪ ،‬د دايرې‬ ‫د‪ ...................‬په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫‪ -2‬د دايرې تر ټولو لوى وتر ‪ ...................‬بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪ -3‬د هغو ټکو سټ چ‪ ................... ３‬د دايرې له شعاع څخه ل‪ ８‬وي د دايرې ‪...................‬‬ ‫بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪ -4‬که مســتقيمه کرښــه له يوې دايرې سره ه‪５‬څ گ‪ ................... ６‬ونلري هغه مستقيمه کرښه له‬ ‫دايرې څخه‪ ...................‬پر ته ده‪.‬‬ ‫‪ -5‬په هره دايره ک‪ ３‬پر وتر‪ ...................‬قطر‪ ،‬وتر نيمايي او ‪ ...................‬قوسونه د هغ‪３‬‬ ‫څخه ب‪５‬لوي‪.‬‬ ‫‪ -6‬په هر قايم الزاويه مثلث ک‪ ３‬د وتر ‪ ...................‬د ‪ ...................‬ضلعو د مربعاتو له‬ ‫مجموع‪ ３‬سره مساوي ده‪.‬‬ ‫‪ -7‬په هره دايره ک‪ ３‬هغه وتر چ‪ ３‬مرکز ته نژدې وي‪ ،‬تر ټولو ‪ ...................‬وتر دى‪.‬‬ ‫‪ -8‬د دايرې شعاع د تماس په ټکي پر ‪ ...................‬عمود وي‪.‬‬ ‫‪ -9‬مرکزي زاويه هغه زاويه ده چ‪ ................... ３‬ي‪ ３‬د دايرې په مرکز او ضلع‪ ３‬ي‪ ３‬د‬ ‫دايرې‪ ...................‬وي‪.‬‬ ‫‪ -10‬هغه زاويه چ‪ ３‬يوه ضلع ي‪ ................... ３‬په دايره او بله ي‪ ３‬د دايرې ‪ ...................‬او‬ ‫راس ي‪ ３‬د ‪ ...................‬په ټکي پروت وي د ‪ ...................‬زاوي‪ ３‬په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫په الندې جملو ک‪ ３‬سم‪ ３‬او نا سم‪ ３‬جمل‪ ３‬د(ص) او (غ) د تورو په واسطه په نښه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪( -1‬‬

‫) د يوې مستوي د ټولو ټکو سټ چ‪ ３‬د( ‪ ) O‬له يوه ټاکلي ټکي څخه د( ‪ ) r‬مساوي فاصل‪３‬‬

‫ولري‪ ،‬دايره بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪( -2‬‬

‫) دايره د خپل محيط په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪( -3‬‬

‫) هغه قطعه خط يا ټوټه کرښه چ‪ ３‬د دايرې د محيط دوه ټکي سره نښلوي‪ ،‬د دايرې د‬

‫قطر په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫‪( -4‬‬

‫) په يوه دايره ک‪ ３‬شعاع يا وړانگه د قطر نيمايي ده‪.‬‬

‫‪( -5‬‬

‫) د دايرې قطعه د( ) په نښه ښودل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪24‬‬

‫‪ ) ( -6‬د هغو ټکو سټ چ‪ ３‬د دايرې له شعاع سره مساوي‪B‬واټن ولري‪ ،‬د‪P‬دايرې د باندن‪A９‬ساحه‬ ‫‪6‬‬ ‫بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ ) ( -7‬په يوه دايره ک‪ ３‬عمود قطر په وتر‪ ،‬وتر نيمايي او دوه ب‪５‬الب‪５‬ل قوسونه منځ ته راوړي‪.‬‬ ‫‪( -8‬‬ ‫‪( -9‬‬

‫‪D‬‬

‫) ټوله دايره‪ ،‬د دايرې د قوس په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫)‬

‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪Q‬‬

‫= ‪ d‬په رابطه ک‪ d ３‬قطر او ‪ r‬د دايرې شعاع ده‪.‬‬

‫‪PA‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪ ) ( -10‬د يوې دايرې شعاع د تماس په ټکي پر مماس عمود وي‪.‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪A‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪R‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الندې پوښتن‪ ３‬په تفصيل سره حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D I‬‬ ‫‪QO‬‬ ‫‪ -1‬په الندې شکل ک‪ ３‬که ‪ CI‬د دايرې قطر او ‪ CA || ON‬وي‪ ،‬ثبوت ک‪７‬ئ چ‪AN = NI ３‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪I‬‬

‫‪ -2‬په الندې شکل ک‪ ３‬که ‪AB = AC = 155‬‬

‫‪1 55‬‬

‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪ x‬پيدا‪B‬ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪55‬‬

‫‪x‬‬

‫‪B‬‬

‫‪25‬‬

‫‪O‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪P‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪Q‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪O‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪،‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪O x‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪AB‬‬

‫‪ -3‬په الندې شکل ک‪ ３‬د ‪x‬‬

‫‪ y‬اندازه وټاکئ‪.‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪ -4‬په الندې شکل ک‪ ３‬د ‪x‬‬

‫‪ y‬اندازې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪100°‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪26‬‬

‫دويم څپـــرکى‬ ‫په يوه دايره ک‪ ３‬د‬ ‫اوږدوالي اړيﮑ‪３‬‬

‫په دايره ک‪ ３‬د اوږدوالي اړيﮑ‪３‬‬ ‫‪B‬‬

‫هغه ټوټه کرښ‪ ３‬چ‪ ３‬په مخاخ شکل‬ ‫ک‪ ３‬وينئ‪ ،‬نوم ي‪ ３‬واخلئ‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪P‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫د اوږدوالي اړيک‪ :３‬په يوه هندسي شکل ک‪ ،３‬د کرښو د اجزاوو تر منځ اړيک‪ ３‬د اوږدوالي د‬ ‫اړيکو په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪ P‬له ټکي څخه چ‪ ３‬د ) ‪ C )O , r‬دايرې په بهر ک‪３‬‬ ‫پروت‪ ،‬د ‪ PCD PAB‬قاطع کرښ‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ B‬ټکی له ‪ C‬ټکي سره ونښلوئ‪.‬‬ ‫‪ A‬ټکى له ‪D‬‬ ‫ويالى شئ چ‪ ３‬د ‪PAD‬‬

‫‪ PCB‬مثلثونه‪ ،‬مشابه دي‪.‬‬

‫په پورته دوو مثلثونو ک‪ ،３‬د تشابه نسبتونه وليکئ؟‬

‫مرسته‬ ‫کــه چيرې په دوه مثلثونو ک‪ ３‬دوه‬ ‫زاويــ‪ ３‬ســره مســاوي وي‪ ،‬دريمه‬ ‫زاويه ي‪ ３‬هم سره مساوي وي‪.‬‬ ‫په مشــابه مثلثونو ک‪ ３‬د مســاوي‬ ‫زاويو مخامخ ضلع‪ ３‬متناسب‪ ３‬دي‪.‬‬

‫د دې فعاليت له پايل‪ ３‬څخه الندې قضيه څرگند‪８４‬ي‪.‬‬ ‫قضيــه(‪ :)2-1‬کــه چيــرې د يــوې دايرې لــه بهرني ټکــي څخه پر دايره دوه قاطع کرښــ‪ ３‬رســم شــي‪،‬‬ ‫د يــوې قاطــع د قطعاتــو د ضــرب حاصــل‪ ،‬د بــل قاطــع د قطعاتو د ضــرب له حاصل ســره مســاوي دي‪.‬‬ ‫يعن‪:３‬‬

‫‪29‬‬

‫‪PA.PB = PC. PD‬‬

‫‪ PCB‬مثلثونو تر منځ‪ ،‬الندې‬

‫ثبوت‪:‬‬ ‫اړيکی شته دي‪.‬‬

‫‪PAD‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪PA PB = PC PD‬‬

‫‪O‬‬

‫د عين قوس محيطي زاوي‪D = B ３‬‬

‫‪A=C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪P=P‬‬

‫گ‪６‬‬

‫‪P‬‬

‫‪A‬‬

‫تساوي څخه‬ ‫‪PAD‬‬ ‫‪P‬‬ ‫د پورتنيو درې زاو‪４‬و له ‪O‬‬ ‫پوه‪８５‬و چ‪ ３‬د‪6 P‬‬ ‫ليکالى شو چ‪:３‬‬

‫مثال‪ :‬په الندې شکل ک‪PA ،３‬‬ ‫که‪PC = 6cm , PA 6= 10cm P‬‬

‫‪C‬‬

‫‪PA PD‬‬ ‫=‬ ‫‪PC PB‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪4PA PB =C PC PD‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ PCB‬مثلثونه مشابه دي‪ ،‬نو‬

‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‬

‫‪A‬‬ ‫‪PCB ~ PAD‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪ C )O , r ) PB‬د‪A‬دايرې دوه قاطع کرښ‪ ３‬دي‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ PD =O4cm‬اوږدوالى‬ ‫‪DB‬‬ ‫ولري‪ ،‬د ‪BPB‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪C‬‬

‫اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪4‬‬ ‫قطعات(ټوټه کرښ‪ )３‬چ‪ ３‬د ‪ P‬له ټکي څخه رسم‪８５‬ي او د(‪ )2-1‬قضي‪ ３‬په مرسته‬ ‫حل‪ :‬هغه‬ ‫‪D‬‬ ‫ليکالى شو چ‪:３‬‬ ‫‪PA PC = PB PD‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪DA‬‬

‫‪O‬‬

‫‪P‬‬

‫‪6‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪cB‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪6‬‬

‫‪P‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪10 6 = PB 4‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪60 = 4 PB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪PB = 15cm‬‬

‫‪O‬‬

‫‪DB = PB PD‬‬ ‫‪DB = 15 4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪DB = 11cm‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪O‬‬ ‫يوې قاطع د قطعاتو د ضرب‬ ‫که چيرې د يوې دايرې له بهرني ټکي څخه‪ ،‬پر دايره دوه قاطع کرښ‪ ３‬رسم شي‪ ،‬د ‪D‬‬

‫‪c‬‬

‫حاصل‪ ،‬د بل قاطع‪x‬د قطعاتو د ضرب له حاصل سره مساوي دى‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪O‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2x+1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪c‬‬

‫‪-1‬په الندې شکلونو ک‪ ،３‬د ‪ x‬عددي‪x‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2x+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5O‬‬

‫‪P‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2x+1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪c‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪30‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪P‬‬

‫د يوه ！ﮑي ﻃاقت‪ ،‬نﻈر دايرې ته‬

‫‪T‬‬ ‫مخامخ شکل ته پاملرنه وک‪７‬ئ‪ ،‬ويالى شئ‬ ‫چ‪ ３‬د ‪ QR QS = QU QT‬مســاوات‬ ‫سم دی‪.‬‬

‫‪S‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪R‬‬

‫‪O‬‬

‫‪U‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪ P‬له يوه ټاکلي ټکي څخه چ‪ C)O , r) ３‬د دايرې‬ ‫‪O‬‬ ‫څخه بهر پروت دى پر هغه د ‪ PAB‬قاطع رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ P‬له بهرنى ټکي څخه‪ ،‬د ‪ PCD‬قاطع داس‪ ３‬رسم‬ ‫ک‪７‬ئ چ‪ ３‬د ) ‪ C )O , r‬دايرې له مرکز څخه ت‪５‬ر شي‪.‬‬ ‫‪ PCD PAB‬د قطعه خطونو ترمنځ اړيک‪ ３‬د (‪ )1-2‬قضي‪ ３‬له مخ‪ ３‬وليکئ‪.‬‬ ‫‪ PD‬اوږدوالى‪ ،‬د دايرې له مرکز څخه وليکئ؟‬ ‫په پورتن‪ ９‬اړيکه ک‪ ،３‬د ‪PC‬‬ ‫که د ‪ P‬ټکي واټن‪ ،‬د دايرې له مرکز څخه په (‪ )d‬او شعاع يا وړانگه په(‪ )r‬سره وښيو‪ ،‬پورتن‪９‬‬ ‫اړيکه د ‪ r d‬تر منځ وليکئ‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫د پاسنى فعاليت له پايل‪ ３‬څخه الندې قضيه څرگن‪８４６‬ي‪.‬‬ ‫قضيه(‪:)2-2‬کهديوه ټاکليټکيڅخهدوېقاطعکرښ‪،３‬پهيوهدايرهداس‪３‬رسمک‪７‬ئچ‪،３‬دويمهقاطع‬ ‫د دايرې له مرکز څخه ت‪５‬ره شي‪ .‬د لوم‪７‬ى قاطع د ټوټه کرښو تر منځ د ضرب حاصل د يوه ټاکلي اندازې‬ ‫( ‪ ) d 2 r 2‬سره مساوي دی‪ )d( ،‬د ټاکلي ټکي او د دايرې د مرکز تر منځ واټن او(‪ )r‬د دايرې‬ ‫شعاع يا وړانگه ده‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫لوم‪７‬ى حالت‪ :‬که چ‪５‬رې ټاکلی ټکى د دايرې په بهر ک‪３‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪r‬‬ ‫پروت وي‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ثبوت‪ :‬که چ‪５‬رې د ‪ P‬ټکی د دايرې په بهر ک‪ ３‬او واټن ي‪ ３‬له‬ ‫‪d‬‬ ‫مرکز څخه په(‪ )d‬او د دايرې شعاع په(‪ )r‬سره وښيو‪ ،‬د(‪)1-2‬‬

‫‪31‬‬

‫)‪PA PB = PC PD....( 2 1‬‬ ‫) ‪PA PB = (PO CO )( PO + OD‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬

‫) ‪PA PB = (d r )(d + r‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫‪PA PB = d 2‬‬

‫‪r .2‬‬

‫‪..‬‬

‫‪.‬‬ ‫د ‪ PA PC = d 2 r 2‬اړيکه د ‪ P‬د ټکي طاقت‪. . ،‬‬ ‫نظر د )‪ C(o, r‬دايرې ته وايي چ‪ ３‬ثابته‬ ‫‪minor‬‬ ‫اندازه ده چ‪ ３‬د ‪ P( o ) = d 2 r 2‬په شکل ښودل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪minor‬‬ ‫‪minor‬‬ ‫‪major‬‬ ‫‪major‬دايرې له‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که د يوې دايرې قطر ‪ 10cm‬او د ‪ P‬ټکى د ‪ 13cm‬په اندازه‪ ،‬د‬ ‫‪major‬‬ ‫مرکز څخه واټن ولري‪ ،‬د ‪ P‬ټکي طاقت‪ ،‬نظر )‪C(o, r‬‬ ‫‪D 10‬‬ ‫= =‪r‬‬ ‫‪= 5cm‬‬ ‫دايرې ته پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪Q2 2 2T2‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چ‪ ３‬د دايرې قطر راک‪７‬ل شوى دى‪ ،‬لوم‪７‬ى‬ ‫‪P(O) = d r‬‬ ‫‪R‬‬ ‫د دايرې شعاع وروسته د ‪ P‬ټکي طاقت‪ ،‬نظر دايرې ته‬ ‫‪P(O)O= (13) 2 (5) 2‬‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪P(O) = 144‬‬

‫که د يوه ټکي طاقت نظر يوې دايرې ته مثبت وي‪ ،‬ټکى له دايرې څخه‬ ‫بهر پروت دى‪ P(o) = d 2 r 2 > 0 d 2 > r 2 ،‬لکه د(‪ )2-2‬قضي‪３‬‬ ‫شکل‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫که د يوه ټکي طاقت نظر دايرې ته صفر وي‪ ،‬ټکى د دايرې پر محيط‬ ‫‪O‬‬ ‫پروت دى‪ ،‬يعن‪３‬‬ ‫‪P(o) =P0( 0 ) ,= d 2 r 2 = 0 d 2 = r 2‬‬ ‫که د يوه ټکي طاقت‪ ،‬نظر دايرې ته منفي وي ټکى د دايرې‪B‬دننه ‪C‬پروت‬ ‫‪P(o) , ,‬عالمو په مرسته اړيک‪ ３‬ولري‪ ،‬د نامساوي په نامه ياد‪８４‬ي‪،‬‬ ‫لکه‪. ... 18 18 , 5 > 4 :‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪,3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4, 2 ,‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫عددونه‪ ،‬د عددونو په محورونو وټاکئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫له مناسبو عالمو څخه په کار اخيستلو سره پورتني عددونه په ترتيب سره له کوچني څخه تر‬ ‫لوى پورې وليکئ‪.‬‬ ‫د عددونو په محور‪ ،‬د عددونو د ترتيب او د عددونو د ځاى تر منځ څه اړيک‪ ３‬وينئ؟‬ ‫د پورتني فعاليت کتنی‪ ،‬په الندې ډول داس‪ ３‬لن‪６‬وو‪:‬‬ ‫د عددونو په محور‪ ،‬هغه عدد چ‪ ３‬د عدد ښ‪ ９‬خواته پروت وي لوى او له هغه عدد څخه چ‪ ３‬د‬ ‫هغ‪ ３‬کي‪ ３２‬خوا ته پروت دى‪ ،‬کوچنى عدد دى‪.‬‬ ‫په بشپ‪ ７‬ډول سره ويالى شو چ‪ ３‬که د ‪ c b , a‬درې حقيقي عددونه وي‪ ،‬نو صورت نيسي‪،‬‬ ‫‪a 3‬‬

‫‪157‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3x x < 5 1‬‬ ‫‪2x < 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x>3‬‬

‫‪ -1‬د الندې نامساوي ګانو حل پيدا او د هغوى دحل ساحه د عددونو په محور ک‪ ３‬وښيئ‪.‬‬ ‫)‪a1‬‬ ‫‪) 44xx 88‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪b2)8‬‬ ‫‪) +‬‬ ‫‪+ xx x + 7‬‬ ‫‪4) 3 x 4 > x + 7‬‬ ‫‪e) 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ef5‬‬ ‫> ‪)) 3 xx 11‬‬ ‫‪xx 2‬‬ ‫>‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪g6‬‬ ‫‪)) 0.5 x < 3 x 1‬‬ ‫)‪f6‬‬ ‫‪0.5 x < 3 x 1‬‬ ‫‪h7)2‬‬ ‫)‬ ‫‪g7)2‬‬ ‫‪7) ) 2 11xxx 222‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫‪h8)2‬‬ ‫> ‪) xx 55 77xx‬‬ ‫‪> 00‬‬ ‫‪8)2‬‬ ‫‪i9)5‬‬ ‫‪) xx +‬‬ ‫‪+ 66 >> 00‬‬ ‫‪9)5‬‬

‫‪ 1325 -2‬د و‪４‬ش پر ‪ 25‬بايد تر ټولو لوى عدد پيدا ک‪７‬و چ‪ ３‬په ‪ 25‬ک‪ ３‬ضرب او له ‪1325‬‬ ‫څخه کوچنى يا ورسره مساوي شي‪ ،‬دا عبارت په نامساوي وښيئ او خارج قسمت ي‪ ３‬پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬که تاس‪ ３‬ته وويل شي چ‪ ３‬د يوه فعاليت د سرته رسولو لپاره حد اکثر ‪ 5‬ورځ‪ ３‬وخت‬ ‫لرئ‪ ،‬دا عبارت په نامساوات وښيئ‪.‬‬

‫‪158‬‬

‫ﻓا‪請‬ل‪( ３‬انتروالونه)‬

‫‪4‬‬

‫د يــوه نامســاوي د حل لپاره کوالی شــو‪،‬‬ ‫ډ‪４‬ر عددونــه‪ ،‬پــه الس راوړو چ‪ ３‬د هغه‬ ‫نامســاوي حل وي‪ ،‬داســ‪ ３‬ټــول حقيقي‬ ‫عددونه که د يوه ســټ پــه ډول په پام ک‪３‬‬ ‫ونيسو‪ ،‬دې سټ ته د نامساوي حل وايي‪.‬‬

‫‪0‬‬

‫‪{x‬‬

‫}‪: x 4‬‬

‫د مثال په ډول‪ 3x 2 > 7 x > 3 :‬نامساوي حل د ى‪ ،‬ځکه هر هغه عدد چ‪ ３‬له ‪3‬‬ ‫څخه لوى وي‪ ،‬په نوموړى نامساوي ک‪ ３‬صدق کوي‪ ،‬دا د حل سټ‪ ،‬د رياضي په ژبه داس‪３‬‬ ‫}‪{x IR : x > 3‬‬ ‫ښودل ک‪８５‬ي‪:‬‬ ‫داس‪ ３‬لوستل ک‪８５‬ي‪ :‬د ‪ x‬ټول هغه حقيقي عددونه‪ ،‬چ‪ ３‬له در‪４‬و(‪ )3‬څخه لوى وي‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫ليدل ک‪８５‬ي چ‪ ３‬ددې ډول عددونو مجموعه‪ ،‬د عددونو د محور يوه برخه ده چ‪ ３‬په رياضي‬ ‫ک‪ ３‬ورته واټن يا انتروال وايي‪.‬‬ ‫عددونو په‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪–1‬هغه واټن (انتروال) دی‪ ،‬چ‪ ３‬له ‪ -1‬څخه‬ ‫ټاکل‪ 0‬شوى‬ ‫‪–1‬‬ ‫محور ‪0‬‬ ‫په الندې شکل ک‪4３‬د ‪1 2 3‬‬ ‫لوى يا ورسره مساوي او له ‪ 4‬څخه کوچنى يا ورسره مساوي دى‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬ ‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫دا واټن‪ ،‬په ]‪ 2[ 1,34‬يا }‪ {x IR : –11 0x 41‬سره ښودل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪ 4‬عددونه په فاصله ک‪ ３‬گ‪６‬ون لري‪ .‬په هغه حالت ک‪ ３‬چ‪ ３‬د‬ ‫پاملرنه وک‪７‬ئ‪ ،‬چ‪ ３‬د ‪1‬‬ ‫‪ –1‬ت‪７‬لي واټن وايي‪.‬‬ ‫ولري‪ ،‬دې‪0‬واټن ته‬ ‫انتروال د پيل او پاى ټکى گ‪６‬ون‬ ‫‪1 2 3 4‬‬ ‫‪ –1‬ټکي گ‪６‬ون و نه لري‪ ،‬دې واټن ته خالص واټن وايي‬ ‫نو که په ‪4‬پورتني‪ 3‬واټن‪2‬ک‪1،３‬د ‪4 0-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪x < –3‬‬ ‫او په الندې ډول ي‪ ３‬ښودالى شو‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0 01‬‬

‫}‪1 < x < 4‬‬

‫‪–3 –1‬‬

‫‪x < –3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪159‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x < –3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪IR :‬‬

‫‪( 1, 4) ={x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫واټن د پاى له ټکو څخه‪a‬يوازې يو ټکى‪ ،‬لکه ‪ 4‬په واټن ک‪ ３‬شامل وي‪ ،‬هغه واټن‬ ‫که د مخکيني ‪b‬‬ ‫ته نيمه خالص يا نيم ت‪７‬لى واټن وايي او هغه په الندې شکل ښيو‪:‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪a‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2 03 14‬‬ ‫‪–10 01 1 2 –1‬‬ ‫‪–1 –1‬‬ ‫‪0 1 a23 34 4‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪a‬‬

‫‪–1‬‬

‫}‪4‬‬

‫‪1< x‬‬

‫‪IR :‬‬

‫‪( 1, 4] = {x‬‬

‫په عمومي ډول‪b،‬د هرو دوو ‪ a‬او ‪ ba‬حقيقي عددونو چ‪ a b ،３‬څخه وي لرو‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪b‬‬ ‫واټن‬ ‫‪ b‬ت‪７‬لي‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫خالص واټن‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫نيمه خالص واټن‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ b‬نيمه ت‪７‬لي واټن‬

‫‪ba‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪ab‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪[a , b] ={x IR : a‬‬

‫‪a‬‬

‫}‪x b‬‬

‫‪a‬‬

‫}‪(a , b) = {x IR : a < x < b‬‬

‫‪a‬‬

‫}‪(a , b] = {x IR : a < x b‬‬

‫‪a‬‬

‫}‪x < b‬‬

‫‪[a , b) = {x IR : a‬‬

‫پاملرنه وک‪７‬ئ چ‪ ３‬د عددونو په محور باندې کوالى شو‪ ،‬هغه واټن په پام ک‪ ３‬ونيسو چ‪ ３‬له يوې خوا څخه‬ ‫ت‪７‬لي نه وي‪ ،‬په دې حالت ک‪ ،３‬واټن‪ ،‬د عالم‪ ３‬څخه په گټ‪ ３‬اخيستن‪ ３‬سره‪ ،‬چ‪ ３‬هغه ب‪ ３‬نهايت لولو‪،‬‬ ‫ښيو‪ ،‬لکه‪ :‬د هغو عددونو سټ چ‪4 ３‬له ‪ 4‬څخه لوى‪ 0‬يا ورسره مساوي وي‪ ،‬داس‪ ３‬ښيو‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 44‬‬

‫‪0 4‬‬

‫) ‪x} = [4,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪00‬‬

‫‪{x IR : 4‬‬

‫‪0‬‬

‫او هغه عددونه چ‪ ３‬له ‪ 4‬څخه کوچنی وي عبارت دي له‪:‬‬ ‫)‪,4‬‬ ‫‪4‬‬

‫( = }‪{x IR : 4 > x‬‬

‫‪0‬‬

‫نو په عمومي ‪4‬ډول‪4 ،‬که ‪ a0‬يو ‪0‬حقيقي عدد وي‪ ،‬نو لرو چ‪:３‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0 00‬‬ ‫‪4 44‬‬ ‫}‪IR : a < x‬‬ ‫‪ a‬څخه لوى حقيقي عددونه‬ ‫}‪IR : a x‬‬ ‫‪ a‬څخه لوى يا ورسره مساوي حقيقي عددونه‬ ‫}‪IR : x < a‬‬ ‫‪ a‬څخه کوچني حقيقي عددونه وي‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x > 3‬‬ ‫عددونه‪IR : x a} .‬‬ ‫ورسره‬ ‫مساوي ‪0 0‬‬ ‫کوچني‪3‬يا > ‪3x3‬‬ ‫حقيقي ‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫څخه ‪x‬‬ ‫‪> 3a‬‬ ‫‪x > 3‬‬

‫‪x >xx3>> 33‬‬

‫‪33‬‬

‫‪3‬‬

‫‪00‬‬

‫‪( a , ) = {x‬‬ ‫‪[ a , ) = {x‬‬ ‫‪( , a ) = {x‬‬ ‫‪( , a ] = {x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ -1‬الندې انتروالونه د سټ په شکل وليکئ او د عددونو په محور ي‪ ３‬وښيئ‪.‬‬ ‫) ‪5) [2,‬‬

‫]‪4) (6,1‬‬

‫)‪3) [ 2,8‬‬

‫‪ -2‬الندې سټونه‪ ،‬د انتروال په ډول وليکئ‪.‬‬ ‫}‪x 5‬‬

‫‪IR : 3‬‬

‫‪2) B = {x‬‬

‫)‪2) (9, 3‬‬

‫]‪1) [5,7‬‬

‫}‪1) A = {x IR :2 < x < 6‬‬ ‫}‪3) C = {x IR :0 x < 4‬‬

‫‪160‬‬

‫د لوم‪７‬ى درﺟ‪ ３‬بينوم د ﻋﻼم‪！ ３‬اکل‬

‫‪y‬‬

‫‪1‬‬ ‫–‬

‫په مخامخ شکل ک‪ x ،３‬د کوم قيمت‬ ‫لپاره د ‪ y = x 1‬مستقيمه کرښه‪ ،‬د‬ ‫‪ x‬محور نه د پاسه او ‪ x‬د کوم قيمت‬ ‫لپاره مستقيمه کرښه‪ ،‬د ‪ x‬محور نه‬ ‫الندې پرته ؟‬

‫‪x‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ 2 x 4‬الجبري افاده څو حده ده؟‬ ‫دا افاده د ‪ x‬متحول په کوم قيمت له صفر سره مساوی ده؟‬ ‫دا افاده د ‪ x‬متحول په کومو قيمتونو سره مثبت ده؟‬ ‫دا افاده د ‪ x‬متحول په کومو قيمتونو سره منفي ده؟‬ ‫‪ P( x) = 2 x 4‬الجبري افادې گراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د پورتني فعاليت رياضي بيان‪ ،‬په الندې ډول په جدول ک‪ ３‬لن‪６‬وو‪:‬‬ ‫‪x>2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫په همدې ترتيب‪ ،‬هغه قيمتونه چ‪ ３‬بينوم په هغ‪ ３‬ک‪ ３‬منفي وي‪ ،‬عبارت دي له‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x< 3‬‬ ‫‪2 x>6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪x>6‬‬

‫=‪P‬‬

‫‪1‬‬ ‫جدول ک‪ ３‬راټولوو‪:‬‬ ‫السته راغلي پايل‪ ３‬په‬ ‫الندې ‪3‬‬ ‫‪2 x+‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪6‬‬

‫–‬

‫=‪P‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪2 x +=3 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 x +3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x+3< 0‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x‬‫—–‬ ‫—– 0‬‬

‫‪(2‬‬

‫‪:a < 0‬‬

‫‪a a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪b‬‬

‫>‪b‬‬‫—‪– x‬‬ ‫‪a 2‬يــا‬ ‫عبــارت دی لــه ‪x < 2‬‬ ‫) ‪, 2) U (2 ,‬‬

‫(‬

‫‪2x‬‬ ‫مثال‪1 :‬‬ ‫‪5x + 3‬‬

‫کسري نامساوي حل ک‪７‬ئ؟‬

‫حل‪ :‬د نامساوي د حل سټ د پيدا کولو لپاره‪ ،‬لوم‪７‬ى کسري افاده له صفر څخه يو وار کوچن‪９‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫يا لويه ليکو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪5x + 3‬‬ ‫‪3x 3‬‬ ‫‪5x + 3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x= 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5x + 3‬‬ ‫)‪2 x (5 x + 3‬‬ ‫‪5x + 3‬‬

‫‪3x 3 = 0‬‬ ‫‪5x + 3 = 0‬‬

‫اوس د نامساواتو د عالمو د ټاکلو له جدول څخه د نامساوي حل په الس راوړو‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫—–‬ ‫‪5‬‬

‫‪x‬‬

‫‪–1‬‬

‫–‬ ‫–‬ ‫‪+‬‬

‫–‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫تعريفﻧﺸﺪه‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫شوى‬ ‫– نه دى‬ ‫نامساوي حل‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوات‬ ‫دﺣﻞ‬

‫‪+‬‬ ‫–‬ ‫–‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫پورتني جدول ته په پاملرن‪ ３‬سره د نامساوي حل عبارت دى له‪} :‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪–3x – 3‬‬ ‫‪5x + 3‬‬ ‫‪–3x – 3‬‬ ‫‪5x + 3‬‬

‫< ‪{x IR : 1 x‬‬

‫په بشپ‪ ７‬ډول د کسري نامساوي د حل لپاره په الندې ډول پر مخ ځو‪:‬‬ ‫نامساوي داس‪ ３‬ليکو چ‪ ３‬له صفر څخه کوچن‪ ９‬يا لويه وي‪.‬‬ ‫نامساوي د عالمو د ټاکلو له جدول څخه د نامساوي د حل سټ په الس راوړو‪.‬‬

‫د الندې نامساواتو د حل سټ پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪7x 2‬‬ ‫‪>< 3‬‬ ‫‪3 2x‬‬

‫)‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x + 10‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪2x 3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6x + 7‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪7 6x‬‬

‫‪x 9‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪ 1‬نامساواتو د حل سټ دى‪.‬‬ ‫) ‪d ) ( 2,‬‬

‫) ‪b) (2,‬‬

‫) ‪c) (1,‬‬

‫‪ -4‬که ‪ 0 < a < b‬څخه وي‪ ،‬له الندې اړيکو څخه کومه يوه سمه ده‪.‬‬ ‫ځوابونه ‪ b , a‬او ‪c‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪b< a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ 0‬نامساوي د حل سټ دى؟‬

‫‪1 1‬‬ ‫ 2 e)

y>2 x> 3 y+x 0‬وي‪ ،‬نو په دې صورت ک‪ ３‬د معادل‪ ３‬حلونه کوم دي؟‬ ‫‪-3‬که ‪ = b 2 4ac < 0‬وي‪ ،‬نو د حلونو د لرلو په صورت ک‪ ３‬د معادل‪ ３‬حلونه کوم دي‪.‬‬ ‫له پورتني فعاليت څخه الندې پايله په الس راځي‪:‬‬ ‫لوم‪７‬ۍ پايله‪ ax 2 + bx + c = 0 :‬دويم‪ ３‬درجه معادل‪ ３‬چ‪b , a ３‬‬

‫‪.‬‬

‫‪189‬‬

‫‪ c‬حقيقي ‪0‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ = b 2 44ac‬چ‪ ３‬د قاسم‪ ３‬په نوم ياد‪８４‬ي‪ ،‬له مخ‪ ３‬لرو‪:‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫‪ -1‬که ‪> 0‬‬

‫وي‪ ،‬معادله دوه ب‪５‬الب‪５‬ل حلونه لري چ‪ ３‬عبارت دي له‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪-2‬که ‪= 0‬‬

‫= ‪x2‬‬

‫‪,‬‬

‫وي‪ ،‬معادله دوه مساوي يا مضاعف حلونه لري چ‪ ３‬عبارت دي له‪:‬‬

‫‪ -3‬که ‪ < 0‬وي‪ ،‬معادله د حقيقي عددونو په س‪５‬ټ ک‪ ３‬حل نه لري‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫دويمه پايله‪:‬د حلونو د جمع او ضرب حاصل ‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬

‫‪4ac c‬‬ ‫=‬ ‫‪4a 2 a‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪4a‬‬

‫‪2a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫=‬

‫‪2a‬‬

‫‪b+‬‬ ‫‪2a‬‬

‫×‬

‫= ‪x1‬‬

‫‪b‬‬ ‫= ‪x1 = x2‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪b+‬‬ ‫‪2a‬‬

‫= ‪x1 + x2‬‬

‫‪b+‬‬ ‫‪2a‬‬

‫= ‪x1 × x2‬‬

‫د جذرونو د جمع او ضرب له حاصل څخه کوالى شو د دويم‪ ３‬درجه معادل‪ ３‬په تجزيه کولو‬ ‫ک‪ ３‬گټه واخلو‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ x 3x + 1 = 0 :‬معادل‪ ３‬حلونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= b 4ac = 9 4 ×1×1 = 5‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د قيمت پيدا کوو‪:‬‬ ‫څرنگه چ‪ > 0 ３‬ده‪ ،‬نو معادله دوه ب‪５‬ال ب‪５‬ل حلونه لري‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ax‬حلونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دويم مثال‪9x22 12 x + 4 = 0 :‬‬ ‫حل‪ :‬لرو چ‪:３‬‬ ‫‪(4 × 9 × 4) = 144 144 = 0‬‬ ‫څرنگه چ‪３‬‬

‫‪=0‬‬

‫ده‪ ،‬معادله دوه مساوي حلونه لري‪:‬‬

‫= ‪x2‬‬

‫‪3+ 5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫= ‪x1‬‬

‫‪= b 2 4ac = ( 12) 2‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪12 12 2‬‬ ‫= ‪x1 = x2‬‬ ‫=‬ ‫= =‬ ‫‪2a 2 × 9 18 3‬‬

‫در‪４‬م مثال‪ 5 x 2 + 2 x + 1 = 0 :‬معادله حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬نوموړې معادله د حقيقي عددونو په س‪５‬ټ کی حل نه لري‪ ،‬ځکه ‪< 0‬‬

‫څخه ده يعن‪３‬‬

‫‪= b 2 4ac = 22 4 × 5 ×1 = 4 20 = 16‬‬

‫څلورم مثال‪ 4 x 3x 1 = 0 :‬معادل‪ ３‬د جذرونو د جمع او ضرب حاصل پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪a 4‬‬

‫= ‪x1 × x2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪b 3‬‬ ‫=‬ ‫‪a 4‬‬

‫= ‪x1 + x2‬‬

‫الندې معادل‪ ３‬حل ک‪７‬ئ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b) x 2 bx) x3 =+ 06 x + 9c=) 03 x 2 2 x 1 c=) 03x 12 x + 60 = 0‬‬

‫‪a ) x 2 + 4 x 21 = 0‬‬

‫‪190‬‬

‫د اووم څپرکي لن‪６‬يز‪:‬‬ ‫د دويم‪ ３‬درجه معادل‪ ３‬عمومي ب‪２‬ه د ‪ ax 2 + bx + c = 0‬چ‪ a 0 ３‬ډول ده‪.‬‬ ‫هغه معادل‪ ３‬چ‪ ３‬د ‪ax 2 + c = 0‬‬

‫‪ ax 2 + bx = 0‬په ډول وي‪ ،‬د دويم‪ ３‬درج‪３‬‬

‫نيمگ‪７‬ي معادل‪ ３‬په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ ax 2 + bx = 0‬معادل‪ ３‬حل عبارت دی له ‪, x1 = 0‬او‬ ‫‪a‬‬

‫= ‪. x2‬‬

‫هره دويمه درجه معادله‪ ،‬له دوو برخو(مستقيمه کرښه او يوه منحني) جوړه شوې ده‪.‬‬ ‫که يو مستقيم منحني په دوو ټکو ک‪ ３‬قطع معادله دوه حله لري‪.‬‬ ‫که يو مستقيم له منحني سره مماس وي‪ ،‬معادله دوه مساوي حلونه لري‪.‬‬ ‫که مستقيمه کرښه له منحني سره تقاطع ونه لري‪ ،‬معادله په حقيقي عددونو ک‪ ３‬حل نه لري‪.‬‬ ‫د دوو قوسونو د ضرب حاصل هغه وخت مساوي په صفر دى‪ ،‬چ‪ ３‬ل‪ ８‬تر ل‪８‬ه يو ي‪ ３‬مساوي‬ ‫په صفر وي‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫د حلونو د جمع حاصل له دې اړيک‪ ３‬څخه‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫له دې اړيک‪ x1 × x2 = ３‬څخه په الس راځي‪.‬‬ ‫‪a‬‬

‫= ‪ x1 + x2‬او د حلونو د ضرب حاصل‬

‫په بشپ‪ ７‬ډول‪ ،‬د هرې دويم‪ ３‬درج‪ ３‬معادل‪ ３‬جذرونه يا حل‬

‫څخه په الس راځي چ‪4ac ３‬‬

‫‪= b2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪b±‬‬ ‫‪2a‬‬

‫که چ‪５‬رې ‪> 0‬‬

‫وي‪ ،‬معادله دوه ب‪５‬الب‪５‬ل حلونه لري‪.‬‬

‫که چ‪５‬رې ‪= 0‬‬

‫وي‪ ،‬معادله دوه مساوي حلونه لري‪.‬‬

‫که چ‪５‬رې ‪< 0‬‬

‫وي‪ ،‬معادله د حقيقي عددونو په ‪ set‬ک‪ ３‬حل نه لري‪.‬‬

‫= ‪ x1, 2‬فورمول‬

‫د دويمــو درجــو معادلــو د تشــکيل لپــاره ‪ x 2 ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0‬يــا‬ ‫‪ ( x x1 )( x x2 ) = 0‬څخه گټه اخلو‪.‬‬

‫‪191‬‬

‫د اووم څپرکي پوښتن‪３‬‬ ‫په الندې سوالونو ک‪ ３‬هر سوال ته څلور ځوابونه ورک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬سم ځواب ي‪ ３‬وټاکئ‪.‬‬ ‫‪ 4 x = 3x 2 -1‬معادل‪ c b , a ３‬ضريبونه عبارت دي له‪:‬‬ ‫‪a = 3 , b = 4 , c c==+11‬‬ ‫الف) ‪a = 3 , b = 4 , c = 1‬‬ ‫ه‪５‬څ يو‪.‬‬ ‫‪a=4 , b=3 , c= 1‬‬ ‫‪-2‬د ‪ 3x 2 8 x + 5 = 0‬معادل‪ ３‬حلونه عبارت دي له‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫الف) ‪, x1 = 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪x2‬‬

‫الف او ب‬

‫‪5‬‬ ‫‪, x2 = 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪x1‬‬

‫هيڅ يو‪.‬‬

‫‪ y = x 2 -3‬معادل‪ ３‬گراف عبارت دى له‪:‬‬ ‫منحني دى‪.‬‬ ‫الف) مستقيم دى‪.‬‬ ‫د) ه‪５‬څ يو‪.‬‬ ‫ج) الف او ب‪.‬‬ ‫‪ -4‬د ‪ x 2 10 x + 16 = 0‬معادل‪ ３‬د حلونو د جمع حاصل برابر دى له‪:‬‬ ‫ب) ‪x1 + x2 = 5‬‬ ‫الف) ‪x1 + x2 = 5‬‬ ‫ج) ‪x1 + x2 = 8‬‬ ‫د) ‪x1 + x2 = 10‬‬ ‫‪ -5‬که ‪ > 0‬څخه وي معادله‪:‬‬ ‫ب) دوه حقيقي او مختلف حلونه لري‪.‬‬ ‫الف) دوه مساوي حلونه لري‪.‬‬ ‫د) يو حل لري‪.‬‬ ‫ج) حل نه لري‪.‬‬ ‫تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪ -1‬د يو مجهوله دويمه درجه معادلو عمومي ب‪２‬ه ‪ ..................‬ده‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪c‬‬ ‫د حلونو ‪ ..................‬او‬ ‫‪a‬‬

‫د حلونو ‪ ..................‬دى‪.‬‬

‫‪ -3‬که ‪ ..................‬وي‪ ،‬معادله حل نه لري‪.‬‬ ‫‪ -4‬که د معادل‪ ３‬درجه دوه وي‪ ،‬معادله ‪ ..................‬لري‪.‬‬ ‫‪ x 2 x + 0.25 = 0 -5‬معادل‪ ３‬حلونه ‪ ..................‬او ‪ ..................‬دى‪.‬‬

‫‪192‬‬

‫الندې پوښتن‪ ３‬ولولئ د سم په مخ ک‪(３‬س) او د ناسم په مخ ک‪(３‬غ) کلمه وليکئ‪.‬‬ ‫‪(-1‬‬

‫) که ‪ b 2 4ac < 0‬وي‪ ،‬معادله د حقيقي عددونو په ‪ set‬ک‪ ３‬حل نه لري‪.‬‬ ‫‪b±‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪(-2‬‬ ‫‪(-3‬‬ ‫‪ x 2‬څخه‬ ‫‪(-4‬‬ ‫گټه اخلو‪.‬‬ ‫‪ ) ( - 5‬که چ‪５‬رې په يوه دويمه درجه معادله ک‪ ３‬د عالمو تحول نه وي‪ ،‬نو معادله يو منفي‬ ‫حل لري‪.‬‬ ‫= ‪x1, 2‬‬

‫‪.‬‬

‫) د محمد بن موسى فورمول‬ ‫) ‪ 2 x 2 4 x = 0‬معادل‪ ３‬يو حل‪ ،‬صفر دى‪.‬‬ ‫) د دويم‪ ３‬درجه معادل‪ ３‬د تشکيل لپاره ‪( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0‬‬

‫الندې پوښتن‪ ３‬حل ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪ c‬ضريبونه و ښيئ او وواياست کومه معادله بشپ‪７‬ه او کومه‬

‫‪ -1‬په الندې معادلو ک‪b , a ３‬‬

‫معادله نيم‪７／‬ې ده‪.‬‬ ‫‪b) 3 x 2 1 = 0‬‬

‫‪c) 2 x 2 6 x = 0‬‬

‫‪a) 3x 2 4 x + 1 = 0‬‬

‫‪ -2‬د الندې معادلو حل پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x 2=0‬‬

‫‪c) 6 x 2‬‬

‫‪b) x 2 + 4 x 32 = 0‬‬

‫‪a) 3x 2 + x 4 = 0‬‬

‫‪ -3‬الندې معادل‪ ３‬د تجزيي په الر(طريقه) حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪b) x 2 + 4 x 32 = 0‬‬

‫‪a) 3x 2 3x 4 = 0‬‬

‫‪d ) cx 2 2acx + ca 2 = 0‬‬

‫‪c) xx22 22 33 +x 3+ =3 0= 0‬‬

‫‪ -4‬الندې معادل‪ ３‬په هندسي تﮓ الره ي‪ ３‬سره حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪b) x 2 2 x + 1 = 0‬‬

‫‪a) 2 x 2 + 7 x 1 = 0‬‬

‫‪ -5‬الندې معادل‪ ３‬د تجزي‪ ３‬په طريقه حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x 6‬‬ ‫=‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪d ) x 2 + 3x = 0‬‬ ‫‪b) x 2 +‬‬

‫‪193‬‬

‫‪a) 4 x 2 + 3x 1 = 0‬‬ ‫‪c) 2 x 2 + 3 x + 1 = 0‬‬

‫‪ -6‬الندې معادل‪ ３‬له عمومي فورمول څخه په گټ‪ ３‬اخيستن‪ ３‬سره حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪a) 7 x 2 8 x + 1 = 0‬‬

‫‪b) x 2 3 x + 2 = 0‬‬

‫‪c) t 2 0.27 + 0.6t = 0‬‬

‫‪ -7‬که د يوه مستطيل مساحت ‪ 20cm 2‬او اوږدوالى د سور دوه برابره وي‪ ،‬د مستطيل اوږدوالى‬ ‫او سور پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪ -8‬که د يوه قايم الزاويه مثلث د قايمو ضلعو اوږدوالى ‪ 2a + 1 2a‬وي‪ ،‬د وتر اوږدوالى‬ ‫ي‪ ３‬پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪ -9‬که ديوه مستطيل مساحت ‪ 24cm 2‬او محيط ي‪ 36cm ３‬وي‪ ،‬اوږدوالى او سور ي‪ ３‬پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪ -10‬هغه معادل‪ ３‬وليکئ چ‪ ３‬حلونه ي‪ ３‬په الندې ډول دي‪.‬‬ ‫‪2 1, 2‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪c) 0, 2‬‬

‫‪b) 3, 1‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪2, 0.5‬‬

‫‪-11‬دوه تنه بايسيکل چلوونکي‪ A ،‬ټکي څخه يو ختيځ لور ته او بل شمال لورته حرکت‬ ‫وک‪ ،７‬په هغه وخت ک‪ ３‬چ‪ ３‬د دوى تر منځ واټن ‪ 17 m‬دى‪ ،‬هغه بايسيکل چلوونکى چ‪３‬‬ ‫ختيځ لور ته ي‪ ３‬حرکت ک‪７‬ى دى ‪ 7m‬زيات واټن ي‪ ３‬له هغه تن څخه چ‪ ３‬شمال لور ته ي‪３‬‬ ‫حرکت ک‪７‬ى وهلی دى‪ .‬د هغه الجبري معادل‪ ３‬په واسطه د هر يوه بايسيکل چلوونکى د وهل‬ ‫شوې الرې واټن معلوم او وي‪ ３‬وليکئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪17m‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪194‬‬

‫اتم څپـــرکى‬ ‫احﺼاﺋيه‬

‫د ډ‪＂４‬ا(‪ )Data‬د دسته بندۍ ﻻره‬

‫آيا تاس‪ ３‬په خپل ټولگي ک‪ ３‬تر ټولو جگه‬ ‫ونه لرئ؟ که چ‪５‬رې فلپين او يا اندونيزيا‬ ‫ته والړ شئ‪ ،‬څنگه؟‬ ‫په کومه کچه په يوه ه‪５‬واد ک‪ ３‬جﮓ او په‬ ‫بل ه‪５‬واد ک‪ ３‬لن‪６‬ې ون‪ ３‬شــم‪５‬رل ک‪８５‬ي؟‬ ‫معيارونه ي‪ ３‬کوم دي؟‬

‫د يو شم‪５‬ر کورنيو شم‪５‬ر چ‪ ３‬په څو کليو ک‪ ３‬پرت‪ ３‬دي‪ ،‬د کليو په اړه ي‪ ３‬په الندې ډول ليکل‬ ‫شوي اطالعات په الس راغلي‪:‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪38‬‬ ‫‪41‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪53‬‬ ‫‪37‬‬

‫‪45‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪42‬‬ ‫‪39‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪38‬‬

‫‪49‬‬ ‫‪55‬‬

‫‪52‬‬ ‫‪51‬‬

‫غواړو دا راک‪７‬ل شوى ډ‪４‬ټا ‪ ،data‬په دريو صنفونو ک‪ ３‬داس‪ ３‬ځاى پر ځاى ک‪７‬و‪ ،‬تر څو پوه شو‪،‬‬ ‫چ‪ ３‬کوم کلی ډ‪４‬ر‪ ،‬منځني او کم وگ‪７‬ي لري‪.‬‬ ‫أيا کوالى شو چ‪ ３‬يو يا څو ورک‪７‬ل شوې ډ‪４‬ټا ‪ data‬له منځه يوسو؟‬ ‫تر ټولو لوي‪ ３‬او تر ټولو کوچن‪ ９‬کورن‪ ９‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ل‪８‬و او ډ‪４‬رو ډ‪４‬ټا ګانو ‪ data‬تر منځ وسعت (پراخوالی) څومره دى؟‬ ‫دا وسعت‪ ،‬د صنفونو په شم‪５‬ر وو‪４‬شئ‪ .‬فکر وک‪７‬ئ‪ ،‬دا عدد څه شى راښيي؟‬ ‫له عددونو څخه په گټ‪ ３‬اخيستن‪ ３‬سره جدول ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د کليو شم‪５‬ر‪ f‬د کورنيو شم‪５‬ر‬ ‫ميله يي گراف ي‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪35 - 41‬‬ ‫‪42 - 48‬‬ ‫‪49 - 56‬‬

‫‪197‬‬

‫د ډ‪４‬ټا ‪ data‬د صنف بندي کولو لپاره الندې گامونه په وار سره تر سره ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ د ډ‪４‬ټا ګانو د زيات مقدار او کم مقدار وسعت په الس راوړئ‪.‬‬‫ دا وسعت د دستو په تعداد وو‪４‬شئ او د صنفونو اوږدوالى په الس راوړئ‪ ،‬که چ‪５‬رې حاصل‬‫ي‪ ３‬طبيعي عدد نه وي‪ ،‬کوالى شئ هغه(‪)round up‬ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ له دې مقدارونو څخه صنفونه جوړ ک‪７‬ئ‪.‬‬‫مثال‪ :‬په الندې جدول ک‪ ３‬د ‪ 30‬روغتونونو ناروغان چ‪ ３‬په اټکلي ډول نيول شوي‪ ،‬داس‪ ３‬راغلي‬ ‫‪:‬‬ ‫‪163‬‬ ‫‪149‬‬ ‫‪177‬‬

‫‪165‬‬ ‫‪153‬‬ ‫‪158‬‬

‫‪161‬‬ ‫‪146‬‬ ‫‪146‬‬

‫‪140‬‬ ‫‪154‬‬ ‫‪169‬‬

‫‪157‬‬ ‫‪174‬‬ ‫‪170‬‬

‫‪160‬‬ ‫‪172‬‬ ‫‪172‬‬

‫‪152‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪165‬‬ ‫‪168‬‬

‫‪151‬‬ ‫‪166‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪165‬‬

‫‪152‬‬ ‫‪164‬‬ ‫‪172‬‬ ‫‪160‬‬

‫دا ډ‪４‬ټا په ي‪ ３‬څلورو صنفونو ک‪ ３‬ځاى پر ځاى ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ که چيرې د ناروغانو شم‪５‬ر په يوه روغتون ک‪ ３‬له ‪ 175‬څخه زيات وي‪ ،‬هغه روغتون ته‬‫ازدهامي(گ‪２‬ه گو‪１‬ه) يي روغتون وايي‪ .‬څو روغتونونه ازدهامي(گ‪２‬ه گو‪１‬ه) دي؟‬ ‫ د ګ‪２‬ه ګون‪ ３‬د پرتله کولو لپاره ميله يي گراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬‫حل‪ :‬د دې لپاره چ‪ ３‬ډاډه شو‪ ،‬ټول ارقام په يوه جدول ک‪ ３‬ځاى پر ځاى کوو او تر ټولو زيات‬ ‫او تر ټولو کم ارقام ي‪ ３‬په الس راوړو‪.‬‬ ‫‪ = 140‬ترټولو ټيټ رقم‬ ‫‪ = 177‬تر ټولو لوړ رقم‬ ‫‪ = 177 140 = 37‬ټيټ رقم – لوړ رقم‬ ‫د صنفونو د اوږدوالي دپيدا کولو لپاره دا وسعت د صنفونو په شم‪５‬ر و‪４‬شو ‪ 37 = 9.25‬له دې‬ ‫‪4‬‬

‫عدد څخه د صنف په وســعت ک‪ ３‬گټه اخلو‪ ،‬خو د کار د أســاني لپاره دا عدد رون‪ ６‬اپ په پام‬ ‫ک‪ ３‬نيسو چ‪ ３‬په دې ډول‪ ،‬د صنف وسعت د(‪ )10‬عددپه الس راځي‪.‬‬ ‫د روغتونونو کثرت‪f‬‬

‫‪f·X‬‬

‫د ناروغانو شم‪５‬ر‬

‫‪4 × 144.5 = 575‬‬

‫‪144.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪140 –150‬‬ ‫‪149‬‬ ‫‪140‬‬

‫‪7 × 154.5 = 1081.5‬‬

‫‪154.5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪150 –160‬‬ ‫‪159‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪11 × 164.5 = 1809.5‬‬

‫‪164.5‬‬

‫‪11‬‬

‫– ‪160‬‬ ‫‪169‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪170‬‬

‫‪8 × 174.5 = 1396‬‬

‫‪174.5‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪n = 30‬‬

‫‪170 –180‬‬ ‫‪179‬‬ ‫‪170‬‬

‫‪198‬‬

‫د روغتوننونو شم‪５‬ر‬ ‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪f·X‬‬ ‫ناروغانوشم‪５‬ر‬ ‫د‬

‫‪180‬‬

‫‪4 × 144.5 = 575‬‬

‫‪170‬‬

‫‪160‬‬

‫‪144.5‬‬

‫‪150‬‬

‫‪140‬‬

‫‪O‬‬

‫‪4‬‬

‫رون‪６‬‬ ‫خوا× ‪7‬پوره په پام ک‪ ３‬و‬ ‫پراخوالی=پورته‬ ‫‪154.5‬نه نيســو‪ ،‬يعن‪7 ３‬‬ ‫‪154.5‬‬ ‫پاملرنه وک‪７‬ئ‪ ،‬که چ‪５‬رې د صنف ‪1081.5‬‬ ‫راځي‬ ‫مجموعه‪ ،‬له ‪37‬‬ ‫اپ(‪ )Round up‬ي‪ ３‬نه ک‪７‬و‪ ،‬د صنفونو د‬ ‫پراخوالي × ‪11‬‬ ‫‪164.5 = 1809.5‬‬ ‫‪164.5‬‬ ‫څخه ل‪ ８‬په الس ‪11‬‬ ‫چ‪ ３‬په دې ډول يو شم‪５‬ر ډ‪４‬ټا له جدول څخه خارجي‪８‬ي او دا سم کار نه دی‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪174.5‬‬ ‫‪8 × 174.5 = 1396‬‬ ‫وي‪n،‬‬ ‫په ځينو وختونو ک‪ ３‬د صنفونو د شم‪５‬ر پر ځاى‪ ،‬د صنفونو پراخوالی موږ ته پ‪５‬ژندل شوي‪= 30‬‬ ‫په دې حالت ک‪ ３‬د صنفونو شم‪５‬ر موږ ته اهميت نه لري‪ .‬د صنفونو د پراخوالي په لرلو سره‬ ‫داس‪ ３‬ليکو چ‪ ３‬د هغو پراخوالی د فرض شويو صنفونو سره برابر وي او وروسته ي‪ ３‬جدول‬ ‫پوره کوو‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬په پورتني مثال ک‪ ３‬که د صنفونو پر ځاى د صنفونو پراخوالی ‪ 8‬فرض ک‪７‬و‪ ،‬اوسط ي‪３‬‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫حل‪ :‬ټيټ رقم يعن‪ 140 ３‬څخه پيل کوو‪ .‬څرنگه چ‪ ３‬د صنف پراخوالی ‪ 8‬دى‪ ،‬د دوو‬ ‫الندې پرله پس‪ ３‬سرحدونو تر منځ واټن بايد ‪ 8‬وي‪ ،‬يعن‪ ３‬د دويم صنف الندن‪ ３‬سرحد بايد‬ ‫‪ 148‬وي‪ .‬اته‪ ،‬اته تر هغه زياتوو‪ ،‬تر څو ډ‪４‬ره ډ‪４‬ټا په جدول ک‪ ３‬ځاى پر ځاى شي په دې توګه‪،‬‬ ‫تر پايه دوام ورکوو‪.‬‬ ‫د رغتونونو شم‪５‬ر‪ f‬د ناروغانو شم‪５‬ر‬

‫‪f·x‬‬

‫‪199‬‬

‫‪430.5‬‬

‫‪143.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪140 – 147‬‬

‫‪909‬‬

‫‪151.5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪148 – 155‬‬

‫‪957‬‬

‫‪159.5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪156 – 163‬‬

‫‪1507.5‬‬

‫‪167.5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪164 – 171‬‬

‫‪1053‬‬

‫‪175.5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪n = 30‬‬

‫‪172 – 179‬‬

‫‪– 149‬‬

‫‪– 159‬‬

‫‪– 169‬‬

‫‪– 179‬‬

‫‪ -1‬الندې ډ‪４‬ټا د ‪ 20‬زده کوونکو د رس‪５‬دلو وخت په دقيقو له کوره تر ښوونځى راښيي‪:‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪65‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪50‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪29‬‬

‫پورتن‪ ９‬ډ‪４‬ټا په اووه ډلو ک‪ ３‬صنف بندي ک‪７‬ئ؟‬ ‫د هر صنف کثرت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ميله يي گراف ي‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫کــه چ‪５‬ــرې ډ‪４‬ټــا په هغو ډلو ک‪ ３‬چ‪ ３‬د صنف پراخوالی يــ‪ 10 ３‬وي ک‪８５‬دو‪ ،‬د کثرت جدول‬ ‫ي‪ ３‬جوړ ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪ -2‬يو مثال راوړئ چ‪ ３‬ډ‪４‬ټا د صنف بندي لپاره د صنفونو له پراخوالي څخه گټه اخيستل شوې‬ ‫وي‪.‬‬ ‫‪-3‬د موضوع د څ‪７５‬لو لپاره يو مثال ورک‪７‬ئ چ‪ ３‬د ډ‪４‬ټا د صنف بندي لپاره‪ ،‬د صنفونو له شــم‪５‬ر‬ ‫څخه گټه اخيستل شوې وي‪.‬‬

‫‪200‬‬

‫د ن‪＋‬تو يا متﺼلو ډ‪＂４‬ا ‪－‬انو دسته بندي‬

‫‪165cm‬‬

‫که چ‪５‬رې له تاس‪ ３‬څخه پوښتنه وشي چ‪３‬‬ ‫ونه (قد) مو څومره جگه ده‪ ،‬څه ځواب‬ ‫ورکوئ؟ﻛﻪ ﺳﺘﺎﺳﻮﻗﺪ په متر اندازه شي‬ ‫ستاسو له اټکل سره به څومره سمون‬ ‫ولري؟‬

‫که له تاس‪ ３‬څخه پوښتنه وشي چ‪ ３‬څو ورو‪１‬ه لرئ‪ ،‬څه وايئ؟ أيا کوالى شئ‪ ،‬ادعا وک‪７‬ئ‬ ‫چ‪ ３‬د دغه ډول پوښتن‪ ３‬په ځواب او يا نورو عمومي پوښتنو چ‪ ３‬ال ټيک وسايل مو لرلي‪،‬‬ ‫کوالى مو شول چ‪ ３‬د خپلو ټول‪／‬يوالو شم‪５‬ر په ټيک ډول و وايئ؟‬ ‫ناڅاپي متحول مو څه شی دى او له کومو ډولونو څخه دى؟‬ ‫که ستاس‪ ３‬يو دوست ووايي‪ ،‬د قد اوږدوالى ي‪ 156 ３‬سانتي متره دى‪ ،‬أيا د ون‪(３‬قد) اوږدوالى‬ ‫ي‪ ３‬پوره ‪ 156‬سانتي متره دى؟‬ ‫د ‪ 15‬زده کوونکو د قدونو اوږدوالى وروسته له پوښتن‪ ３‬څخه داس‪ ３‬ورک‪７‬ل شوی دی‪.‬‬ ‫‪136‬‬ ‫‪139‬‬ ‫‪146‬‬

‫الندې جدول بشپ‪ ７‬ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫‪138‬‬ ‫‪141‬‬ ‫‪132‬‬

‫‪151‬‬ ‫‪141‬‬ ‫‪139‬‬

‫‪148‬‬ ‫‪131‬‬ ‫‪159‬‬

‫‪153‬‬ ‫‪142‬‬ ‫‪152‬‬

‫د زده کوونکو شم‪５‬ر‪ f‬د زده کوونکو د ون‪ ３‬جگوالى‬

‫په فکر وک‪７‬ئ او ووايئ‪ ،‬چ‪ ３‬ول‪ ３‬د ‪ 140‬عدد يو وار د صنفونو‬ ‫د پورتني سرحد په څ‪５‬ر او يو وار د صنفونو د الند‪４‬ني سرحد په‬ ‫څ‪５‬ر راوړل شوي دي؟‬ ‫که چ‪５‬رې د يوه س‪７‬ي د قد اوږدوالى ‪ 140‬سانتي متره وي‪ ،‬څه فکر کوئ چ‪ ３‬په کوم صنف‬ ‫ک‪ ３‬به وي؟‬

‫‪201‬‬

‫که چ‪５‬رې يو نښتى يا متصل متحول ولرو‪ ،‬د اطالعاتو په صنف بندۍ ک‪ ３‬د يوه صنف پورتنى‬ ‫سرحد به له کوزني سرحد سره برابر وي‪ ،‬د قرارداد له مخ‪ ３‬که ډيټا د پورتني صنف سره برابره‬ ‫وي‪ ،‬په ورپس‪ ３‬سرحد ک‪ ３‬لو‪８４‬ي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 25‬ډول ډول موټرونو چټکتيا په الندې ډول احصاﺋيه نيول شوې ده‪:‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪28‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪47‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪44‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪31‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪38‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪37‬‬

‫‪32‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪54‬‬

‫د کثرت جدول ي‪ ３‬ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫که چ‪５‬رې په ښار ک‪ ３‬د چلولو پرمهال مجاز سرعت په يوه ساعت ک‪ 30 ３‬کيلومتره وي‪ ،‬څو موټرونه‬ ‫د چټکتيا له مجاز سرعت څخه زيات چل‪５‬دلي دي؟‬ ‫د صنفونو د کثرت د جمع حاصل څو دى؟ دا عدد له څه شي سره برابر دى؟‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چ‪ ３‬سرعت يو متصل متحول دى‪ ،‬نو د نښتي يا متصل متحول لپاره جدول‬ ‫جوړوو‪ .‬د ‪ 30‬عدد په دويم صنف ک‪ ３‬او د ‪ 40‬عدد په در‪４‬م صنف ک‪ ３‬لو‪８４‬ي‪ ،‬د صنفونو‬ ‫د کثرت جمع له ‪ n = 4 + 9 + 7 + 5 = 25‬سره برابره ده‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻌﺪاد‪f‬‬ ‫چ‪ ３‬د موټرونو له شم‪５‬ر سره مساوي ده او(‪ )21‬موټرونه له‬ ‫‪20 – 30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪30 – 40‬‬ ‫‪9‬‬ ‫خپل جواز څخه چټک چليدلي دي‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪40 – 50‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪50‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪50 – 60‬‬

‫‪ -1‬الندې ډيټاگان‪ ３‬چ‪ ３‬د ‪ 34‬زده کوونکو د هوش ضريب‪ ،‬د ښوونځي په لوم‪７‬ي کال ک‪３‬‬ ‫راښيي‪ ،‬په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪:‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪105‬‬

‫‪101‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪108‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪77‬‬

‫‪103‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪111‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪106‬‬

‫‪111‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪77‬‬

‫‪108‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪108‬‬

‫‪108‬‬ ‫‪103‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪95‬‬

‫‪86‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪111‬‬

‫د ‪ 4‬صنفي جدول په جوړولو سره د صنفونو د کثرت د جمع حاصل پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪202‬‬

‫وزني اوسﻂ يا من‪％‬نى قيمت‬ ‫(‪)Weighted Mean‬‬ ‫که څوک ښه کار سرته ورسوي‪ ،‬انعام ي‪３‬‬ ‫نظر کوم عدد ته څو برابره دى؟‬

‫اوريدلي مو دي چ‪ ３‬هغه زده کوونکى چ‪ ３‬دولسم ټولگى پاى ته ورسوي‪ ،‬د کانکور أزموينه په څلورو‬ ‫څانگو ک‪ ３‬له خاصو ضريبونو سره سرته رسوي او د هغ‪ ３‬د نمرو په اساس د پوهنتونونو بيالبيلو پوهنځيو‬ ‫ته و‪４‬شل ک‪８５‬ي‪ .‬اټکل کوو چ‪ ３‬د دوو زده کوونکو د کانکور نمرې په الندې ډول دي‪:‬‬ ‫ژبه او ادبيات د ‪ 3‬په ضريب‬

‫ﻣﻀﻤﻮن‬

‫ﺿﺮﻳﺐ‬ ‫لوم‪７‬ى زده کوونکى‬

‫دويم زده کوونکى‬ ‫ضريب‬

‫طبيعي علوم د ‪ 3‬په ضريب‬

‫رياضي د ‪ 4‬په ضريب‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪61‬‬ ‫‪61‬‬

‫‪66‬‬ ‫‪66‬‬

‫‪62‬‬ ‫‪62‬‬

‫‪61‬‬ ‫‪60‬‬

‫د دويم زده کوونکى نمبرې‬

‫ټولنيز علوم د ‪ 2‬په ضريب‬

‫مضمون‬ ‫رياضي‬ ‫طبيعي علوم‬ ‫ټولنيز علوم‬ ‫ژبه او ادبيات‬

‫ضريب‬

‫د لوم‪７‬ى زده کوونکى نمبرې‬

‫مضمون‬ ‫رياضي‬ ‫طبيعي علوم‬ ‫ټولنيز علوم‬ ‫ژبه او ادبيات‬

‫د دواړو زده کوونکو د نمرو منځنى يا وسطي قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د کوم مضمون نمرې په منځني يا وسطي قيمت ډ‪４‬ره اغيزه لري‪ ،‬ول‪３‬؟‬ ‫د کوم مضمون نمرې په منځني يا وسطي قيمت ل‪ ８‬اغ‪５‬زه لري‪ ،‬ول‪３‬؟‬ ‫کــه د زده کوونکــو د رياضــي د مضمون په نمــرو ‪ 5‬نمرې او همدارن‪／‬ــه د ټولنيزو علومو په‬ ‫مضمون ‪ 5‬نمرې ور زيات‪ ３‬شي‪ ،‬منځنی يا وسطي قيمت‪ ،‬په کوم حالت ک‪ ３‬ډ‪４‬ر بدلون مومي‪.‬‬

‫‪203‬‬

‫که چ‪５‬رې ډ‪４‬ټا په ځانگ‪７‬ى ضريب سره ورک‪７‬ل شوې وي‪ ،‬دا په دې معنا ده چ‪ ３‬د ډ‪４‬ټا اغ‪５‬زه يوشان نه‬ ‫ده‪ ،‬بلک‪ ３‬د هغ‪ ３‬له ضريب سره ت‪７‬او لري‪ .‬په دې حالت ک‪ ３‬د ضريبونو د کثرت جدول‪ ،‬د ډ‪４‬ټا‬ ‫کثرت په عنوان حساب‪８５‬ي او په ‪ W‬سره ښودل ک‪８５‬ي‪ .‬په الس راغلي اوسط ته‪ ،‬وزني اوسط وايي‪:‬‬ ‫‪w1 x1 + w2 x2 + ... + wn xn‬‬ ‫‪w1 + w2 + ... + wn‬‬

‫= ‪ x‬وزني اوسط‬

‫مثال‪ :‬په ځينو پوهنتونونو ک‪ ３‬نمرې د تورو په اساس‪ ،‬لکه‪ F D , C , B , A :‬اعالن‪８５‬ي‪،‬‬ ‫په دې پوهنتونونو ک‪ ３‬د ‪ A‬ارزښت څلور‪ ،‬د ‪ B‬ارزښت درې‪ ،‬د ‪ C‬ارزښت دوه‪ ،‬د ‪D‬‬ ‫ارزښت يو او د ‪ F‬ارزښت صفر وي‪ ،‬يوه محصل الندې نمرې اخيست‪ ３‬دي‪.‬‬ ‫د کريدتونو شم‪５‬ر‬

‫نمرې‬

‫ د دې محصل د نمرو اوسط څو دى؟‬‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪W·X‬‬

‫عددي نمرې =‪w‬‬

‫د کريدتو شم‪５‬ر =‪x‬‬

‫ﺣﺮﻓﻲ ﻧﻤﺮه‬

‫‪3×3=9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪4 × 3 = 12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2×2=4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3×3=9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪4 ×1 = 4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪A‬‬

‫‪9 + 12 + 4 + 9 + 4 38‬‬ ‫=‬ ‫‪= 3.16‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫مضمون‬ ‫رياضيات‬ ‫فزيک‬ ‫کيميا‬ ‫بيولوژي‬ ‫ژبه‬

‫ژبه‬

‫‪ n = 12‬د کريدتونو شم‪５‬ر‬ ‫= ‪ = x‬وزني اوسط يا منځنى‬

‫که د کانکور په يوه أزموينه ک‪ ３‬د يوه زده کوونکي نمرې په ترتيب سره ‪ 65, 61, 53‬او ‪ 70‬او‬ ‫ضريبونه ي‪ ،３‬په ترتيب سره ‪ 3,2,1,1‬وي‪ ،‬د دې زده کوونکي د نمرو اوسط حساب ک‪７‬ئ؟‬

‫‪204‬‬

‫‪25cm‬‬

‫مستطيلي ﮔراف‬ ‫(‪)Histogram‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪10cm‬‬

‫‪23cm‬‬

‫که د يوه مســتطيل اوږدوالى ‪ 25‬ســانتي‬ ‫متــره او ســور ي‪ 10 ３‬ســانتي متــره او د‬ ‫بل مســتطيل اوږدوالى ‪ 23‬ســانتي متره‬ ‫او ســور ي‪ 11 ３‬ســانتي متره وي‪ ،‬د دې‬ ‫دواړو مستطيلونو مساحتونه پيدا او يو له‬ ‫بل سره ي‪ ３‬پرتله ک‪７‬ئ؟‬

‫‪S2‬‬

‫‪11cm‬‬

‫‪S1 < S2‬‬

‫?‬

‫د يوه ښوونځي د ‪ 70‬زده کوونکو د ونو(قدونو) اندازه‪ ،‬په الندې ډول‪ ،‬په جدول ک‪ ３‬ورک‪７‬ل‬ ‫شوې ده‪:‬‬ ‫‪170 – 180‬‬

‫‪165 – 170‬‬

‫‪160 – 165‬‬

‫‪150 – 160‬‬

‫‪10‬‬

‫‪25‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫ونه په سانتي‬ ‫کثرت‪f‬‬

‫کثرت‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬

‫ونه‬

‫‪10‬‬ ‫‪180‬‬

‫‪160 165 170‬‬

‫‪150‬‬

‫‪O‬‬

‫په پورتني گراف ک‪ ３‬د مستطيلونو قاعدې څه شى راښيي؟‬ ‫د هر مستطيل مساحت په الس راوړئ‪ .‬د مستطيل مساحت څه شی راښيي؟‬ ‫د مستطيلونو ارتفاع څه شى راښيي؟‬ ‫پورتنى گراف‪ ،‬له ميله يي گراف سره څه توپير لري؟‬ ‫يو ځل بيا د يوه ښوونځي د ‪ 500‬زده کوونکو ون‪( ３‬قد) چ‪ ３‬اندازه ي‪ ３‬په الندې جدول ک‪３‬‬ ‫ورک‪ ７‬شوې ده‪ ،‬په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪:‬‬

‫‪205‬‬

‫‪174 – 178‬‬

‫‪170 – 174‬‬

‫‪166 – 170‬‬

‫‪162 – 166‬‬

‫‪158 – 162‬‬

‫ونه په سانتي متر‬

‫‪50‬‬

‫‪175‬‬

‫‪200‬‬

‫‪50‬‬

‫‪25‬‬

‫کثرت‪f‬‬

‫کثرت‬

‫ونه‬

‫‪200‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪174‬‬

‫‪178‬‬

‫‪166‬‬

‫‪170‬‬

‫‪162‬‬

‫‪O 158‬‬

‫جدول ته په پاملرن‪ ３‬سره‪ ،‬د مستطيل قاعده څه شى راښيي؟‬ ‫د مستطيل اوږدوالى څه شى راښيي؟‬ ‫ميله يي گراف له پورتني گراف سره څه توپير لري؟‬ ‫‪200‬‬ ‫‪175‬‬

‫اخلو‪ ،‬په دې ‪- 50‬‬ ‫‪50 - 60‬‬ ‫لپاره‪ -‬له‪70‬مستطيلي‪- 70‬‬ ‫د نښتو يا متصلو ډيټاګانو د ښودلو ‪90‬‬ ‫‪150‬‬ ‫گراف‪45‬ک‪،３‬‬ ‫‪ 60‬څخه گټه‬ ‫گراف‬

‫‪40 - 45‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪6‬‬ ‫پراخوالي سره برابر ‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫مساحتونه‪ ،‬د‬ ‫دى‪ .‬په مستطيلي‪12‬گراف ک‪３‬‬ ‫د مستطيل عرض‪ ،‬د صنفونو له‬ ‫‪75‬‬ ‫‪50‬‬ ‫هر صنف کثرت راښيي چ‪ ３‬په أسان‪ ９‬يو له بل سره د ‪25‬مقايس‪ ３‬وړ دي‪.‬‬ ‫‪O 158‬‬ ‫‪166‬‬ ‫‪170‬‬ ‫کثرت‪45‬پرتله‬ ‫‪60‬مساحتونو پر‬ ‫شو د‬ ‫وي‪162،‬کوالى‬ ‫سره برابر‬ ‫‪ 178‬يو له‪174‬بل‬ ‫که د صنف پراخوالی‬ ‫ځاى راسا ً‬ ‫‪- 50‬‬ ‫‪50 - 60‬‬ ‫‪- 70‬‬ ‫‪70 - 90‬‬ ‫‪0.4‬کثرت راښيي‪.‬‬ ‫ک‪７‬و په دې حالت ک‪ ３‬عمودي محور‪،‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫مثال‪ :‬د يوه ټولگي د زده کوونکو وزن په الندې جدول ک‪ ３‬راک‪７‬ل شوى دى‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪125‬‬

‫‪70 - 90‬‬

‫‪60 - 70‬‬

‫‪50 - 60‬‬

‫‪45 - 50‬‬

‫‪40 - 45‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪90‬‬

‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40 45 50‬‬

‫‪O‬‬

‫‪0.8‬‬

‫د زده کوونکو وزن په کيلو گرام‬

‫د زده کوونکو شم‪５‬ر‬ ‫‪9 - 13 13 - 17 17 - 21 21- 25‬‬

‫رسمولو ‪18‬‬ ‫دلته ليدل ک‪８５‬ي چ‪ ３‬د صنفونو واټن مساوي نه دي‪ ،‬د مستطيلي گراف‪8‬له ‪14‬‬ ‫څخه‬ ‫‪- 50‬‬ ‫‪50 - 60‬‬ ‫‪60 - 70‬‬ ‫‪- 90‬‬ ‫واټن‪45‬ته په پام‪- 45‬ک‪40３‬نيولو سره د ټولو صنفونو‬ ‫ارتفاع يوه گ‪６‬‬ ‫مستطيلونو‬ ‫‪ 70‬ده چ‪ ３‬د‬ ‫الزمه‬ ‫مخک‪３‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫لپاره پيدا ک‪７‬و‪ ،‬په دې مثال ک‪ 5Kg ３‬گ‪ ６‬يا مشترک دى‪ ،‬نو کوالى شو چ‪ ３‬ټول پنځه واړه‬ ‫واحده‪ ،‬د ‪ x‬په محور په يوه واحد وښيو‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫د ‪ 40 45‬صنف لپاره يو واحده‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1-5‬‬ ‫‪5 - 9 9 - 13 13 - 17 17 - 21 21- 25‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫د ‪ 45 50‬صنف لپاره يو واحده‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د ‪ 50 60‬صنف لپاره دوه واحده‪.‬‬ ‫‪O 40 45 50‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪70‬‬ ‫د ‪ 60 70‬صنف لپاره دوه واحده‪.‬‬ ‫د ‪ 70 90‬صنف لپاره څلور واحده‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪40 - 45‬‬

‫‪206‬‬

‫‪16‬‬

‫‪5-9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪75‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪178‬‬

‫‪174‬‬

‫‪170‬‬

‫‪162‬‬

‫‪166‬‬

‫‪O 158‬‬

‫د مستطيلونو د عمودي اوږدوالي د پيدا کولو لپاره‪ ،‬د صنفونو کثرت‪ ،‬د صنفونو په پراخوالي‬ ‫و‪４‬شو‪:‬‬

‫‪60 - 70‬‬

‫‪70 - 90‬‬

‫‪44‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 14‬‬ ‫‪==00.8.8‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6 50 -660‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪= 1 .2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪= 1.2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪= 0 .8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪50 - 60‬‬ ‫‪60 - 70‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪= 0.4‬‬ ‫‪1.220‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪70 - 90‬‬ ‫‪0.4‬‬

‫‪40 45‬‬

‫‪45 - 50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪45‬‬

‫‪40 - 45‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪50 60‬‬ ‫‪60 70‬‬

‫‪45 - 50‬‬ ‫‪70 90‬‬

‫‪1.2‬‬

‫‪40 - 45‬‬ ‫‪0.8‬‬

‫اوس په الس راغل‪ ３‬پايل‪ ３‬په الندې جدول ک‪ ３‬ترتيب او د راک‪７‬ل شوي مثال مستطيلي گراف‬ ‫رسموو‪:‬‬ ‫‪9 - 13 13 - 17 17 - 21 21- 25‬‬ ‫‪70-90‬‬

‫‪60-70‬‬

‫‪50-60‬‬

‫‪45-50‬‬

‫‪40-45‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪Kg‬‬ ‫کوونکو وزن په‪18‬‬ ‫‪ 8‬د زده ‪14‬‬ ‫کثرت نظر واحد فاصل‪ ３‬ته‬

‫کثرت‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫د زده کوونکو وزن‬

‫‪207‬‬

‫‪90‬‬

‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40 45 50‬‬

‫‪O‬‬

‫‪16‬‬

‫‪5-9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪70 - 90‬‬

‫‪60 - 70‬‬

‫‪50 - 60‬‬

‫‪45 - 50‬‬

‫‪40 - 45‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪70 - 90‬‬

‫‪60 - 70‬‬

‫‪50 - 60‬‬

‫‪45 - 50‬‬

‫‪40 - 45‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪1.2‬هغو ټاکلو ‪0.8‬‬ ‫ورځو د ناروغانو شم‪５‬ر راښيي چ‪ ３‬په روغتون ک‪ ３‬بستر‬ ‫‪ 1.2‬يوه روغتون د‬ ‫‪0.8-1‬الندې جدول د‬ ‫شوي دي‪:‬‬

‫‪9 - 13 13 - 17 17 - 21 21- 25‬‬

‫‪8‬‬

‫‪14‬‬

‫‪18‬‬

‫‪16‬‬

‫د ورځو شم‪５‬ر‬

‫‪5-9‬‬

‫‪1-5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪ 12‬د ناروغانو شم‪５‬ر‪f‬‬

‫_ د پورتني جدول مستطيلي گراف رسم ک‪７‬ئ؟‬ ‫کوونکو د ‪( IQ‬ذکاوت) په أزموينه ک‪ ３‬گ‪６‬ون ک‪７‬ى دى چ‪ ３‬پايل‪３‬‬ ‫‪ -2‬د يوه ټولگي د ‪ 50‬زده‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ي‪ ３‬په الندې ډول دي‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪118‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪114‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪112‬‬

‫‪117‬‬ ‫‪116‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪116‬‬ ‫‪117‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪114‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪111 106‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪11540 45 5010360‬‬ ‫‪121 126‬‬ ‫‪107 113‬‬

‫‪130‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪103‬‬

‫‪92‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪102‬‬

‫‪118‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪118‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪129‬‬

‫‪109‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪118‬‬ ‫‪116‬‬ ‫‪98‬‬

‫‪113‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪134‬‬

‫‪115‬‬ ‫‪127‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪94‬‬

‫ نوموړو ډ‪４‬ټا ته د کثرت جدول جوړ ک‪７‬ى‪ .‬د دې جدول لپاره ‪ ٧‬گروپونه داس‪ ３‬په پام ک‪３‬‬‫ونيسئ چ‪ ３‬د صنفونو پراخوالی ي‪ ３‬مساوي وي‪.‬‬ ‫ د دې ډ‪４‬ټا مستطيلي گراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬‫‪ -‬څه پايل‪ ３‬اخلئ؟‬

‫‪208‬‬

‫دايروي ﮔراف‬

‫مخامخ شکل‪ ،‬د لرگي يوه کنده ده‪ ،‬هغه‬ ‫کرښ‪ ３‬چ‪ ３‬ددې لرگي په مقطع ک‪ ３‬وينئ‪،‬‬ ‫د څه شي شکل ته ورته دی؟‬

‫د افغانستان د ښوون‪ ３‬او روزن‪ ３‬وزارت په ‪ 1387‬کال ک‪ ３‬الندې ارقام د ښوونځيو د زده کوونکو‬ ‫د شم‪５‬ر په اړه خپاره ک‪７‬ي دي‪ :‬د ابتدايي زده کوونکو شم‪５‬ر ‪ 250000‬د منځنيو ښوونځيو د زده‬ ‫کوونکو شم‪５‬ر ‪ 200000‬او د ثانوي زده کوونکو شم‪５‬ر ‪. 150000‬‬ ‫که د هرې ډ‪４‬ټا نسبي کثرت‪ ،‬په ‪ 360o‬درجو ک‪ ３‬ضرب ک‪７‬و‪ ،‬هره دوره به څو درج‪ ３‬وي؟‬ ‫يوه دايره رسم او مرکزي زاوي‪ ３‬ي‪ ３‬د الس ته راغلو عددونو په اندازه ب‪５‬ل‪ ３‬ک‪７‬ئ د هرې زاوي‪ ３‬دننه‬ ‫د اړونده تحصيلي دورې نوم وليکئ‪.‬‬ ‫يو عنوان‪ ،‬د گراف لپاره و ټاکئ او د گراف الندې ي‪ ３‬وليکئ‪.‬‬ ‫په دايروي گراف ک‪ ３‬څه‪ ،‬څه سره پرتله ک‪８５‬ي؟‬ ‫د دايرې په کوچني ک‪５‬دو يا لو‪４‬يدو سره په دايروي گراف ک‪ ３‬څه توپير راځي؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه پوه شو او کوالى شو ډ‪４‬ټا د دايرې په مرسته وښيو‪ .‬د يو ناڅاپي يا اتفاقي‬ ‫متحول د ډ‪４‬ټا ښودل‪ ،‬د دايرې په مرسته د دايروي گراف په نامه ياد‪８４‬ي‪ ،‬په دايروي گراف ک‪ ３‬لوم‪７‬ى‬ ‫د هر صنف کثرت د ټول‪ ３‬ډيټا په شم‪５‬ر و‪４‬شو او وروسته ي‪ ３‬په ‪ 360o‬ک‪ ３‬ضربوو چ‪ ３‬د صنفونو‬ ‫مرکزي زاويه راښيي؛ يعن‪:３‬‬ ‫د ډ‪４‬ټا کثرت‬ ‫‪×360o‬‬ ‫= کثرت د درج‪ ３‬له جنسه‬ ‫د ټولو ډ‪４‬ټا شم‪５‬ر‬

‫‪209‬‬

‫مثال‪ :‬يوه مﺆسسه چ‪ ３‬د کارکوونکو شم‪５‬ر ي‪ 200 ３‬او د تحصيل د درج‪ ３‬له مخ‪ ３‬و‪４‬شل‬ ‫شوي دي‪:‬‬ ‫دولسم پاس‬

‫څوارلسم پاس‬

‫‪40‬‬

‫‪45‬‬

‫‪40‬‬

‫‪40‬‬

‫ليسانس‬ ‫‪100‬‬

‫‪45‬‬

‫‪45‬‬

‫ماسټر‬

‫‪100‬‬

‫‪10‬‬

‫ډاکټر‬

‫‪10‬‬

‫د تحصيل درجه‬ ‫د کارمندانو شم‪５‬ر‪f‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫د دې ډ‪４‬ټا دايروي گراف په الندې ډول دى‪.‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪—— × 360° = 9°‬‬ ‫‪200‬‬ ‫مرکزي زاويه د درج‪ ３‬له جنسه‬

‫‪5‬‬

‫کثرت ‪f‬‬

‫د تحصيل درجه‬

‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪—— × 360° = 9°‬‬ ‫‪—— ×5 360°‬‬ ‫‪——=×18°‬‬ ‫‪360° = 9°‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪5‬‬

‫ډاکټر‬ ‫‪10‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪× 360° = 18°‬‬ ‫‪——=×180°‬‬ ‫——= ‪360°‬‬ ‫‪18°‬‬ ‫‪—— ×10360°‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪10‬‬

‫ماسټر‬ ‫‪100‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪—— =× 81°‬‬ ‫——= ‪360°‬‬ ‫‪180° × 360° = 180°‬‬ ‫‪——100‬‬ ‫‪× 360°‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪45‬‬ ‫ليسانس‬

‫‪45‬‬ ‫‪45‬‬ ‫——= ‪—— × 360°‬‬ ‫‪81° × 360° = 81°‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪—— 45‬‬ ‫‪× 360°‬‬ ‫‪200 = 72°‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪45‬‬

‫څوارلسم پاس‬ ‫‪40‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫——= ‪× 360°‬‬ ‫‪72°‬‬ ‫‪× 360° = 72°‬‬ ‫—— ‪40‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪40‬‬

‫دولسم پاس‬

‫ډاکټر‬

‫ماسټر‬ ‫څوارلسم پاس‬

‫دولسم پاس‬

‫ د الندې جدول په پام ک‪ ３‬نيولو سره د کورنيو د و‪４‬ش دايروي گراف د جمعيت له مخ‪ ３‬رسم‬‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫جمع‬

‫ل‪ ８‬جمعيت منځنى جمعيت سره ډ‪４‬ر جمعيت‬

‫ دايروي گراف د څه ډول متحول لپاره مناسب دى؟‬‫‪ -‬که د ډ‪４‬ټا کثرت دوه برابره ک‪７‬و‪ ،‬أيا مرکزي زاويه ي‪ ３‬بدلون مومي؟‬

‫د کورنى نوع‬ ‫د کورنى شم‪５‬ر‪f‬‬

‫‪210‬‬

‫ميــانه‬ ‫(‪)Median‬‬ ‫کــه له تاســ‪ ３‬څخه وپوښــتل شــي چ‪ ３‬د‬ ‫نومرو اوســط مو څو دى؟ له اوسط څخه‬ ‫گټه اخلئ که له تاســ‪ ３‬څخه وپوښتل شي‬ ‫چ‪ ３‬هغه نمرې چ‪ ３‬ستاســو په اطالعنامه‬ ‫کــ‪ ３‬ډ‪４‬ــرې تکرار شــوې دي‪ ،‬څــو دي؟‬ ‫که له تاســ‪ ３‬پوښــتنه وشــي چ‪ ３‬تاســ‪ ３‬د‬ ‫ښــو زده کوونکــو په منځ ک‪ ３‬ياســت‪ ،‬که‬ ‫د کمــزورو زده کوونکــو پــه منــځ کــ‪،３‬‬ ‫تاســ‪ ３‬دې پوښتن‪ ３‬ته څه ځواب ورکوئ؟‬

‫‪10‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4+6‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪2‬‬

‫?‬

‫فکر وک‪７‬ئ؟ د((ميان‪ ))３‬لغت يعن‪ ３‬څه؟‬ ‫که يو شم‪５‬ر ډ‪４‬ټا ولرو‪ ،‬څرنگه کوالى شو‪ ،‬د هغو وسطي مقدار پيدا ک‪７‬و؟‬ ‫که د ډ‪４‬ټا شم‪５‬ر طاق وي‪ ،‬أيا وسطي مقدار د ډ‪４‬ټا په ميانه ک‪ ３‬شته دى؟‬ ‫که د ډ‪４‬ټا شم‪５‬ر جفت وي‪ ،‬ايا وسطي مقدار د ډ‪４‬ټا په ميانه ک‪ ３‬شته دى؟‬ ‫أيا کوالى شو وسطي مقدار پرته له ترتيب کولو څځه د ډ‪４‬ټا په الس راوړو؟‬ ‫که د ډ‪４‬ټا مقدار جفت وي‪ ،‬اټکل کوالى شئ چ‪ ３‬څه مقدار د وسطي مقدار په عنوان‬ ‫وټاکو؟‬ ‫الندې ډ‪４‬ټا په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ وسطي مقدار ي‪ ３‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬‫ د ډيټا شم‪５‬ر‪ ،‬د وسطي مقدار ځخه وروسته د مخکين‪ ９‬ډ‪４‬ټا له شم‪５‬ر سره څه اړيکه لري؟‬‫ الندې ډ‪４‬ټا په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪.‬‬‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ يو وسطي عدد پيدا ک‪７‬ئ چ‪ ３‬د ډ‪４‬ټا شم‪５‬ر ي‪ ３‬وروسته او د مخکني له هغه عدد د ډ‪４‬ټا له‬‫شم‪５‬ر سره برابر وي‪.‬‬ ‫د ډيټا له ترتيبولو څخه وروسته هغه عدد چ‪ ３‬له هغه څخه وروسته د ډيټا شم‪５‬ر او له هغه څخه مخک‪３‬‬ ‫د ډيټا له شم‪５‬ر سره برابر وي‪ ،‬ميانه بلل کي‪８‬ي‪ .‬که چيرې د ډيټا شم‪５‬ر طاق وي‪ ،‬نو منځن‪ ９‬ډيټا له ميان‪３‬‬ ‫څخه عبارت ده‪ ،‬خو که چيرې د ډيټا شم‪５‬ر جفت وي‪ ،‬نو ميانه د دوو منځنيو ډيټاګانو له وسط څخه‬

‫‪211‬‬

‫عبارت ده‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 5‬کورنيو مياشتنی عايد‪ ،‬د افغان‪ ９‬له مخ‪ ３‬په الندې ډول راک‪７‬ل شوی دی‪:‬‬ ‫‪3000‬‬

‫‪6000‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪7000‬‬

‫ددې ‪ data‬ميانه حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى ‪ data‬مرتب کوو‪:‬‬ ‫‪3000‬‬

‫‪4000‬‬ ‫‪6000‬‬ ‫‪7000‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫ليدل ک‪８５‬ي چ‪ ３‬د ‪ 6000‬عدد د عددونو په وسط(منځ) ک‪ ３‬شتون لري‪ ،‬نو ‪ 6000‬د پورتنی‬

‫‪ data‬ميانه ده‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د الندې‪ data‬ميانه وټاکئ‪.‬‬

‫‪10‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫حل‪ :‬د ميان‪ ３‬د حسابولو لپاره عددونه (‪ )data‬ترتيب کوو‪.‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫ليدل ک‪８５‬ي چ‪ ３‬د ‪ data‬په منځ ک‪ ３‬داس‪ ３‬عدد نشته چ‪ ３‬د ميان‪ ３‬خاصيت صدق ک‪７‬ي‪ ،‬نو که چ‪５‬رې‬ ‫تاس‪ 4 + 6 = 5 ３‬په پام ک‪ ３‬ونيسئ چ‪ ３‬د ميان‪ ３‬ځان‪７／‬تيا پک‪ ３‬صدق کوي او دا عدد د پورتن‪ ９‬ډيټا‬ ‫‪2‬‬

‫ميانه ده چ‪ ３‬له ‪ 5‬څخه وروسته‪ ،‬د ډيټا شم‪５‬ر له ‪5‬څخه د مخک‪ ３‬د ډيټا له شم‪５‬ر سره برابر دى‪.‬‬

‫‪ -1‬د ډيټا الندې دوه ګروپونه‪ ،‬په پام ک‪ ３‬ونيسئ او د هغوی ميانه پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪1 ,2 ,3‬‬ ‫‪0 , 2 ,100‬‬ ‫‪ -2‬الندې ډيټا راک‪７‬ل شوې ده‪ ،‬د دغ‪ ３‬ډيټا ميانه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5 ,15 , 4 , 0 , 12‬‬ ‫‪, 15 , 5 , 6 , 5 , 0‬‬ ‫‪ -3‬که له ټولو ډ‪４‬ټا وو سره يو ثابت عدد جمع شي‪ ،‬د ميان‪ ３‬په مقدار ک‪ ３‬څه اغ‪５‬زه منځ ته‬ ‫راځي؟ په يوه مثال ک‪ ３‬ي‪ ３‬وښيئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬که ډ‪４‬ټا دوه برابره ک‪７‬و‪ ،‬د ميان‪ ３‬په مقدار څه اغ‪５‬زه کوي؟ په يوه مثال ک‪ ３‬ي‪ ３‬وښاياست‪.‬‬

‫‪212‬‬

‫د تحول ساحه‬ ‫(‪)Range‬‬

‫د خپلو هم ټولگيوالو قد مو اندازه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د تر ټولو لوړ قد او تر ټولو ټيټ قد تر منځ‬ ‫توپير حساب ک‪７‬ئ‪ ،‬که چ‪５‬رې وغواړئ‬ ‫چ‪ ３‬د زده کوونکو د قدونو ترمنځ تر ټولو‬ ‫زيات توپير پيدا ک‪７‬ئ‪ ،‬أيا الزمه ده چ‪３‬‬ ‫د نورو زده کوونکو قدونه اندازه ک‪７‬ئ؟‬

‫د اووم ټولگي د ‪ 10‬زده کوونکو او د لسم ټولگي د ‪ 10‬زده کوونکو د قدونو لوړوالى چ‪ ３‬په اتفاقي‬ ‫ډول ټاکل شوي‪ ،‬په الندې ډول دي‪:‬‬ ‫‪ : 142 ,145 ,146 ,148 ,148 ,148 ,149 ,149 ,150 , 152‬د اووم ټولگي زده کوونکي‬ ‫‪ : 150 ,151 ,153 ,156 ,158 ,158 ,159 ,160 ,160 , 160‬د لسم ټولگي زده کوونکي‬

‫د دواړو ډلو د لوړو او ټيټو قدونو تر منځ توپير پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫ايا د دواړو ډلو د عددونو تر منځ توپير يو شان دى؟‬ ‫که چ‪５‬رې ډ‪４‬ټا و نه لرو‪ ،‬أيا د ډ‪４‬ټا د ل‪８‬و او ډ‪４‬رو توپيرونو په لرلو سره ډلو موږ کوالى شو ډواړه ډل‪３‬‬ ‫چ‪ ３‬سره پرتله ک‪７‬و‪.‬‬ ‫ايا د بدلون يا تحول د ساح‪ ３‬برابروالي په دواړو ډلو ک‪ ３‬د ډ‪４‬ټا د يووالي په معنا دى؟‬ ‫د نمون‪ ３‬د تعريف په پاملرن‪ ３‬سره که دا ډل‪ ،３‬د ټولن‪ ３‬په عنوان په پام ک‪ ３‬ونيسو په نمونه ک‪ ３‬د واټن‬ ‫د اوږدوالي زياتوالی‪ ،‬په ټولنه ک‪ ３‬د واټن د اوږدوالي د زياتوالي پايله راکوي‪.‬‬ ‫له پورتني فعاليت څخه پوه‪８５‬و چ‪ ３‬د هغه واټن اوږدوالى چ‪ ３‬متحول په هغ‪ ３‬ک‪ ３‬د بدلون امکان‬ ‫لري‪ ،‬د تحول د ساح‪ ３‬په نامه ياد‪８４‬ي‪ .‬دا معيار د تر ټولو لوي‪ ３‬او تر ټولو کوچني ډ‪４‬ټا ترمنځ وسعت‬ ‫را په ګوته کوي‪.‬پاملرنه بايد وشي چ‪ ３‬په يوه ټولنه ک‪ ３‬د تحول د ساح‪ ３‬لوى والى‪ ،‬په هغه ټولنه ک‪ ３‬د‬ ‫تيت والی يا پراگندگي ډ‪４‬ر والى دى‪ .‬هر څومره چ‪ ３‬دا تيت والی کم وي‪ ،‬د وگ‪７‬و پراگندگي کمه ده‪ .‬د‬ ‫يوې ټولن‪ ３‬وگ‪７‬ي‪ ،‬د دې ځانگ‪７‬تيا له مخ‪ ３‬يو بل ته نژدى دى که د تحول ساحه صفر وي‪ ،‬که د وگ‪７‬و‬ ‫د څ‪７５‬نو د ځانگ‪７‬تياوې سره برابري او يو شان وي په دې حالت ک‪ ３‬ټولنه يوه متجانسه ټولنه بولو‪.‬‬

‫‪213‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫مثال‪ :‬د دوو زده کوونکو د ‪ 4‬مياشتن‪ ９‬أزموين‪ ３‬نمرې‪ ،‬په الندې ډول دي‪:‬‬ ‫اﻟﻒ‪39 , 38 , 37 , 36 , 35 , 33 , 32 , 25 , 21 , 20 :‬‬ ‫ب ‪39 , 35 , 34 , 34 , 35 , 35 , 35 , 34 , 33 , 20 :‬‬ ‫د دواړو صنفونو د تحول ساحه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫أيا د ډ‪４‬ټا تيت والی يا پراگندگي په لوم‪７‬ي او که په دويم گروپ ک‪ ３‬کمه ده؟‬ ‫حل‪ :‬د دواړو ډلو د تحول ساحه يوه برابر ده‪.‬‬ ‫‪39 – 20 =19‬‬ ‫د دويم‪ ３‬ډل‪ ３‬د ډ‪４‬ټا تيت والی يا پراگندگي ل‪ ８‬ده‪ ،‬ځکه په ډ‪４‬ټا ک‪ ،３‬د ‪ 35 34‬عددونه زيات تکرار‬ ‫شوي دي‪ ،‬واټن ي‪ ３‬کم دى‪ ،‬خو پراگندگي په لوم‪７‬ى ډله ک‪ ３‬ډ‪４‬ره ده‪ ،‬د تحول ساحه يوازې له ل‪８‬و او‬ ‫زياتو مقدارونو سره کار کوي‪ .‬د ډ‪４‬ټا په اړه او د هغوى تر منځ ه‪５‬څ اطالعات موږ ته نه راکوي‪ ،‬نو د‬ ‫تحول د ساح‪ ３‬په لرلو سره نشو کوالى‪ ،‬د ډ‪４‬ټا د ميان‪ ３‬د پراگندگي د ميزان اټکل وک‪７‬و‪.‬‬

‫‪ -1‬الندې ډ‪４‬ټا په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪.‬‬ ‫‪1 ,2 ,5 ,6 ,6 ,7 ,8‬‬ ‫‪,9 ,10 ,11 ,15‬‬ ‫ددې ډ‪４‬ټا د تحول ساحه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫که د پورتن‪ ،data ９‬تر ټولو زيات او کم ‪ data‬له منځه يوسو‪ ،‬د تحول ساحه ي‪ ３‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دا دواړه د تحول ساحه يو له بل سره پرتله ک‪７‬ئ او وواياست چ‪ ３‬د کوم يوه پراگندگي زياته ده؟‬

‫‪214‬‬

‫د انحراف اوسﻂ‬ ‫(‪)Average deviation‬‬ ‫که د يوه سيند د يوه ټکي ژوروالى ‪1.5‬‬ ‫متره وي‪ ،‬فکر وک‪７‬ئ چ‪ ３‬د سيند د ټولو‬ ‫ټکو ژوروالى يو شان دى؟‬

‫?‬

‫‪1.5m‬‬

‫پنځو تنو زده کوونکو په يوه صنفي أزموينه ک‪ ３‬الندې نمرې اخيستي دي‪.‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪14‬‬

‫‪16‬‬

‫‪18‬‬

‫‪20‬‬

‫د دې نمرو اوسط او يا منځنى قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ټولو ډ‪４‬ټا وو د اوسط توپير پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د هرې ډ‪４‬ټا د اوسط د توپير د جمع حاصل وليکئ‪.‬‬ ‫د هرې ډ‪４‬ټا د اوسط د توپير د مطلقه قيمتونو د جمع حاصل پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په الس راغلي قيمتونه سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫تاس‪ ３‬په خپله د ‪ 5‬ډيټاګانو يو مثال ورک‪７‬ئ او پورتن‪ ９‬عملي‪ ３‬پرې سر ته ورسوئ‪.‬‬ ‫له پورتني فعاليت څخه پوه‪８５‬و هغه توپير چ‪ ３‬د ډ‪４‬ټا او اوسط تر منځ دى د منځني يا اوسط‬ ‫انحراف په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫‪ data‬د منځنى يا اوسط انحراف مجموعه‪ ،‬هم‪５‬شه صفر ده‪ .‬په دې دليل د ‪ data‬د‬ ‫څ‪７５‬ن‪ ３‬لپاره له انحراف د مطلقه قيمت څخه گټه اخلو‪ .‬که د ټولو انحرافونو مطلقه قيمت‬ ‫‪ data‬په شم‪５‬ر ي‪ ３‬وو‪４‬شو‪ ،‬د انحراف اوسط ورته ويل ک‪８５‬ي‪ ،‬د الندې فورمول‬ ‫جمع ک‪７‬و‬ ‫په مرسته حساب‪８５‬ي‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x + ... + xn‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪215‬‬

‫‪x + x2‬‬

‫‪x1‬‬

‫= د انحراف اوسط يا منځى‬

‫دلته ‪ X1 , X 2 ... X n‬عبارت له ‪ data‬او ‪ X‬د ډ‪４‬ټا يا اوســط او ‪ n‬د ډ‪４‬ټا شــم‪５‬ر دى‪ ،‬ليدل‬ ‫ک‪５‬ــ‪８‬ي‪ ،‬چ‪ ３‬هر څومره د اوســط انحراف لوى وي ‪ ،‬نو پــه هم هغه اندازه د ‪ data‬د پراگندگي‬ ‫له اوسط نه ډ‪４‬ره ده‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 40‬تنو زده کوونکو نمرې په الندې جدول ک‪ ３‬ورک‪７‬ل‬ ‫نمرې‬ ‫کثرت‬ ‫شوې دي‪.‬‬ ‫‪0 – 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10 – 20‬‬ ‫‪7‬‬ ‫د پورتنيو نمرو د انحراف اوسط پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪20 – 30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د اوسط مقدار په الس راوړو‪.‬‬

‫)‪. – x‬‬ ‫‪f(x‬‬

‫‪x – x‬‬

‫‪f·x‬‬

‫‪2 × (–32.5) = –65‬‬

‫‪5‬‬

‫‪30 – 40‬‬

‫‪10‬‬

‫‪40 – 50‬‬

‫‪12‬‬

‫‪50 – 60‬‬

‫د ديتا گانو اوسط ‪ =f‬کثرت‬

‫‪5 – 37.5 = –32.5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7 × (–22.5) = –157.5‬‬

‫‪15 – 37.5 = –22.5‬‬

‫‪105‬‬

‫‪15‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4 × (–12.5) = –50‬‬

‫‪25 – 37.5 = –12.5‬‬

‫‪100‬‬

‫‪25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5 × (–2.5) = –12.5‬‬

‫‪35 – 37.5 = –2.5‬‬

‫‪165‬‬ ‫‪175‬‬

‫‪35‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10 × 7.5 = 75‬‬

‫‪45 – 37.5 = 7.5‬‬

‫‪450‬‬

‫‪45‬‬

‫‪10‬‬

‫‪12 × 17.5 = 210‬‬

‫‪55 – 37.5= 17.5‬‬

‫‪660‬‬ ‫‪600‬‬

‫‪55‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫———‬ ‫‪n = 40‬‬

‫———‬ ‫‪1500‬‬

‫‪10 + 105 + 100 + 175 + 450 + 660 1500‬‬ ‫=‬ ‫‪= 37.5‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ ff.( x‬د جمع حاصل له صفر سره مساوي دی‪ ،‬نو بايد مطلقه قيمت‬ ‫=‪x‬‬

‫ليدل ک‪８５‬ي چ‪ ،３‬د ) ‪x‬‬

‫ي‪ ３‬سره جمع ک‪７‬و‪.‬‬

‫| ‪| 65 | + | 157.5 | + | 50 | + | 12.5 | + | 75 | + | 210‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪65 + 157.5 + 50 + 12.5 + +75 + 210 570‬‬ ‫= د انحراف اوسط‬ ‫=‬ ‫‪= 14.25‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪4‬‬

‫= د انحراف اوسط‬

‫د ‪ A‬او ‪ B‬دوو جمعيتونو انحرافونه په الندې ډول راک‪７‬ل شوى‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د ‪ A‬جمعيت انحرافونه ‪4 :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د ‪ B‬جمعيت انحرافونه ‪8 :‬‬ ‫● د ‪ A‬جمعيت د انحراف اوسط پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫● د کوم جمعيت پراکندگي زياته ده؟‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬

‫‪216‬‬

‫د اتم څپرکي لن‪６‬يز‬ ‫صنف د هغ‪ ３‬ډ‪４‬ټا مجموعه ده چ‪ ３‬گ‪６‬ې ځانگ‪７‬تياوې ولري‪ .‬د ډ‪４‬ټا د صنف بندۍ لپاره الندې‬ ‫پ‪７‬اوونه په پام ک‪ ３‬نيسو‪:‬‬ ‫ د تحول ساحه‪ :‬د ډ‪４‬ټا د ډ‪４‬رو ل‪８‬و او ډ‪４‬رو زياتو مقدارونو تر منځ وسعت‪.‬‬‫ د صنف پراخوالی‪ :‬د تحول د ساح‪ ３‬او د صنفونو د شم‪５‬ر نسبت‪.‬‬‫ د صنفونو کثرت‪ :‬د هغو ډ‪４‬ټاګانو د صنفونو شم‪５‬ر چ‪ ３‬په هر صنف ک‪ ３‬شته‪.‬‬‫ د صنف مرکز‪ :‬د هر صنف د اوسط محاسبه‪.‬‬‫کــه پــه صنف بندي ک‪ ３‬متحولونه نښــت‪ ３‬يا متصل وي‪ ،‬د راتلونکي صنف پورتنى ســرحد د‬ ‫مخکيني صنف د الند‪４‬ني ســرحد ســره برابر دى‪ .‬په هغه حالت ک‪ ３‬چ‪ ３‬ډ‪４‬ټا د صنف د پورتنى‬ ‫سرحد سره برابر وي‪ ،‬هغه ډ‪４‬ټا په راتلونکي صنف پورې اړه لري‪.‬‬ ‫د صنفونو د ډيټاګانو د شم‪５‬ر مجموعه‪ ،‬د ټول‪ ３‬ډ‪４‬ټا له شم‪５‬ر سره برابره ده‪.‬‬ ‫‪data‬ګان‪ ３‬په ترتيب سره د ‪ W1 ,W2 ...Wn‬ضريبونو لرونکي‬ ‫فرض کوو‪ ،‬د ‪ X 1 , X 2 ... X n‬ډيټا‬ ‫وي‪ ،‬دغه اطالعات کوالى شو په الندې جدول ک‪ ３‬خالصه ک‪７‬و‪.‬‬ ‫‪data‬‬

‫‪Xn‬‬

‫…‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪Wn‬‬

‫…‬

‫‪W2‬‬

‫‪ W 1‬د ضريب (وزن)‬

‫په دې حالت ک‪ ３‬د پورتنى ډ‪４‬ټا منځنى قيمت (اوسط) په الندې ډول محاسبه ک‪８５‬ي‪:‬‬ ‫‪w1 x1 + w2 x2 + ..... + wn xn‬‬ ‫‪w1 + w 2 + ..... + wn‬‬

‫= وزني اوسط‬

‫هستوگرام يا مستطيلي گراف‪ ،‬عبارت له هغه گراف څخه دى چ‪ ３‬د کثرت توزيع ي‪ ３‬د‬ ‫مستطيلونو په مرسته ښودل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د مستطيل جگوالى‪ ،‬د صنف له کثرت سره برابر دی‪.‬‬ ‫د هر مستطيل مساحت د صنفونو د پراخوالي او د صنف د کثرت له حاصل ضرب سره برابر‬ ‫دى‪.‬‬ ‫په مستطيلي گراف ک‪ ３‬مستطيلونه له يو بل سره ت‪７‬لي او د ت‪７‬ليو(متصلو) متحولينو څخه د گراف‬ ‫د ښودلو لپاره گټه اخلي‪.‬‬

‫‪217‬‬

‫په يوه اختياري شعاع يوه دايره د مرکزي زاوي‪ ３‬په مرسته په ‪ n‬برخو و‪４‬شو‪ ،‬داس‪ ３‬چ‪ ３‬دهرې‬ ‫برخ‪ ３‬د مرکزي زاوي‪ ３‬اندازه‪ ،‬د کثرت له قيمت سره متناسبه وي‪ ،‬په دې حالت ک‪ ３‬ي‪ ،３‬مرکزي‬ ‫زاويه نظر لوم‪７‬ي صنف ته عبارت ده له‪:‬‬ ‫د ډ‪４‬ټا کثرت‬ ‫‪×360o‬‬ ‫= کثرت د درج‪ ３‬له مخ‪３‬‬ ‫د ټولو ډ‪４‬ټا شم‪５‬ر‬ ‫د ميان‪ ３‬د پيدا کولو لپاره په لوم‪７‬ي پ‪７‬او ک‪ ３‬ډ‪４‬ټا منظم کوو او وروسته‪:‬‬ ‫ که د ډ‪４‬ټا شم‪５‬ر طاق وي‪ ،‬د ډ‪４‬ټا ميانه له منځن‪ ９‬ډيټا څخه عبارت ده‪.‬‬‫ که د ډ‪４‬ټا شم‪５‬ر جفت وي‪ ،‬ميانه د دوو منځنيو ډيټاګانو اوسط دى‪.‬‬‫د تر ټولو کوچن‪ ９‬ډ‪４‬ټا او تر ټولو لويي ډ‪４‬ټا ترمنځ توپير‪ ،‬د تحول له ساح‪ ３‬څخه عبارت ده‪ ،‬يا‬ ‫په بل عبارت‪ ،‬ډ‪４‬ټا په هغه ساحه ک‪ ３‬بدلون کوي‪.‬‬ ‫د هرې ډ‪４‬ټا د اوسط تفاضل ته د منځني د اوسط انحراف وايي‪.‬‬ ‫د انحراف اوسط د انحرافونو د مطلقه قيمت له اوسط څخه عبارت دى او فورمول ي‪ ３‬د اړوندې‬ ‫ډ‪４‬ټا لپاره په الندې ډول ليکو‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪+ xn‬‬

‫‪...‬‬

‫‪x+‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪x + x2‬‬

‫‪x1‬‬

‫= د اﻧﺤﺮاف اوﺳﻂ‬

‫‪218‬‬

‫د اتم څپرکي پوښتن‪:３‬‬ ‫‪ -1‬الندې جدول ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫جمعي کثرت‬

‫کثرت‪f‬‬

‫د صنف مرکز‬

‫صنف‬

‫‪7.5-10.5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10.5-13.5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪13.5-16.5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫پورتنى جدول د کوم‪ ３‬دسته بندي گراف راښيي‪ .‬پيوسته يا نښتى يا مجزا؟‬ ‫‪ -2‬الندې جدول د ‪ 100‬شل کلنو ځوانانو د ونو اوږدوالى راښيي‪.‬‬ ‫د صنف مرکز‬

‫کثرت‪f‬‬

‫صنف‬

‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪149.5-156.5‬‬ ‫‪156.5-163.5‬‬ ‫‪163.5-170.5‬‬ ‫‪170.5-177.5‬‬ ‫‪177.5-184.5‬‬

‫‪153‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪167‬‬ ‫‪174‬‬ ‫‪181‬‬ ‫مستطيلي گراف ي‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪-3‬د ‪ E D , C , B , A‬په ښارونو ک‪ 200 ،３‬ميليونه افغان‪ ９‬سرمايه په کار اچول شوى ده‪ ،‬داس‪３‬‬ ‫چ‪:３‬‬

‫د ‪ B‬ښار لپاره ‪ 32‬ميليونه افغان‪９‬‬ ‫د ‪ D‬ښار لپاره ‪ 14‬ميليونه افغان‪９‬‬

‫د ‪ A‬ښار لپاره ‪ 110‬ميليونه افغان‪９‬‬ ‫د ‪ C‬ښار لپاره ‪ 24‬ميليونه افغان‪９‬‬ ‫د ‪ E‬ښار لپاره ‪ 20‬ميليونه افغان‪.９‬‬ ‫ورک‪７‬ل شوى معلومات په جدول ک‪ ３‬پوره او دايروي گراف ي‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ښارونه‬

‫سرمايه په فيصدۍ‬

‫د سرماي‪ ３‬ويش په ميليون‬

‫سرمايه په درجه‬

‫‪A‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ -4‬يو شم‪５‬ر کورن‪ ９‬د خپلو غ‪７‬و له شم‪５‬ر سره په الندې جدول ک‪ ３‬ورک‪ ７‬شوې دي‪.‬‬ ‫کورنى‬ ‫د کورنى غ‪７‬ي‪f‬‬

‫‪219‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫ميانه يا منځنى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د تحول ساحه ي‪ ３‬محاسبه ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫د کورنى موډ(‪ )Mode‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫اوسط ي‪ ３‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪ -5‬د يوه ټولگي د زده کوونکو د قدونو اندازه په الندې جدول ک‪ ３‬ورک‪７‬ل شوې ده‪:‬‬ ‫‪1.9-2‬‬

‫‪1.8-1.9‬‬

‫‪1.7-1.8‬‬

‫‪1.6-1.7‬‬

‫‪1.5-1.6‬‬

‫د قد اندازه‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪16‬‬

‫‪5‬‬

‫کثرت‪f‬‬

‫د صنفونو مرکز حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫د صنف موډ مشخﺺ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫اوسط ي‪ ３‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -6‬يوه ښوونکي د يوې صنفي أزموين‪ ３‬د اوسط محاسبه داس‪ ３‬وک‪７‬ه‪:‬‬

‫‪ = 1 4 + 3 6 + 2 8 + 7 9 + 3 10 + 3 11 + 5 12 + 1 15‬د ازموين‪ ３‬اوسط‬ ‫‪25‬‬

‫د ټولگي د زده کوونکو شم‪５‬ر پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫څو نمرې د ‪ 13 8‬تر منځ قرار لري؟ د (‪ 13 8‬په گ‪６‬ون)‬ ‫عمومي اوسط ي‪ ３‬څو دى؟‬ ‫‪ -7‬الندې ميله ي‪ ３‬گراف د هغو کتابونو شم‪５‬ر راښيي چ‪ ３‬په يوه‬ ‫مياشت ک‪ ３‬مطالعه شوى دى‪.‬‬ ‫احصاﺋيوي جدول ي‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د مطالعه شويو کتابونو شم‪５‬ر په مياشت ک‪ ３‬څو دى؟‬

‫‪18‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪42‬‬

‫‪39‬‬

‫‪36‬‬

‫‪28‬‬

‫‪ -8‬که د تحول ساحه له صفر سره برابره وي‪ ،‬له ډ‪４‬ټاګانو څخه څومره پايله اخلئ؟‬ ‫‪ -9‬که په ډ‪４‬ټاګانو باندې يو ثابت مقدار زيات ک‪７‬و‪ ،‬د تحول ساحه څرنگه تحول کوي؟‬ ‫‪ -10‬د څلورو زده کوونکو د هغو ساعتونو شم‪５‬ر چ‪ ３‬لوبو ته ي‪ ３‬ورک‪７‬ي دي‪ ،‬په الندې ډول راغلي‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪:‬‬ ‫د پورتن و ډ‪４‬ټاګانو‪ ،‬د انحراف اوسط حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪220‬‬

‫نﻬـم څپـرکى‬ ‫احتماﻻت‬

‫د ناڅاپو پ‪＋５‬و اتحاد‬ ‫په دواړو شکلونو ک‪ ３‬يو ځاى څو هيل‪９‬‬ ‫وينئ‪ .‬هيل‪ ９‬په کومه حلقه پورې اړه لري؟‬

‫د يــوې دانــ‪ ３‬رمــل د اچولــو په تجربــه کــ‪ S = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6} ،３‬نمون‪ ３‬فضــا او د‬ ‫}‪ C = {1, 2} B = {4 , 5 , 6} , { A = {1, 2 , 3‬ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ３‬په پام ک‪ ３‬نيسو‪.‬‬ ‫‪ C A‬ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ３‬يو له بل سره څه اړيک‪ ３‬لري؟‬ ‫که د ‪ A‬يا د ‪ B‬پ‪５‬ښ‪ ３‬رامنځ ته شوي وي‪ ،‬أيا ويالى شئ چ‪ ３‬د ‪ A U B‬پ‪５‬ښه رامنځته شوې ده؟‬ ‫‪ A‬پ‪５‬ښه رامنځ ته شوې او بله کومه اختياري پ‪５‬ښه چ‪ ３‬ه‪５‬څ پ‪５‬ښه شوې نه ده نا ممکنه يا‬ ‫پ‪５‬ښه نومول ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪ A‬پ‪５‬ښ‪ ３‬يو له بل سره څه توپير لري؟‬ ‫ويالى شئ‪ ،‬چ‪ ３‬د ‪A U‬‬ ‫د پورتني فعاليت پايل‪ ３‬په عمومي ډول د ‪ S‬په نمونه ي‪ ３‬فضا ک‪ ３‬د ‪ B , A‬او ‪ C‬ناڅاپي پ‪５‬ښو‬ ‫لپاره په الندې ډول په الس راوړو‪.‬‬ ‫پايله‪:‬‬ ‫که چيرې د ‪ S‬په يو نمونه يي فضا ک‪B ３‬‬

‫‪ A‬يوه ناڅاپ‪ ３‬پيښه وي‪ ،‬په دې حالت ک‪:３‬‬

‫‪AUB= B‬‬ ‫‪ B‬ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ３‬وي‪ ،‬د ‪A U B‬‬ ‫که چيرې د ‪ S‬په يوه نمونه يي فضا ک‪A ３‬‬ ‫‪ B U A‬پ‪５‬ښ‪ ３‬يو له بل سره توپير نه لري؛ يعن‪:３‬‬ ‫‪A UB = BUA‬‬ ‫که چيرې د ‪ S‬په يوه نمونه يي فضا ک‪ ３‬د ‪ A‬يا ‪ B‬يوه پ‪５‬ښه رامنځ ته شي‪ ،‬نو د ‪A U B‬‬

‫‪223‬‬

‫پ‪５‬ښه هم رامنځ ته شوې ده او سرب‪５‬ره په دې‬ ‫‪AUB‬‬

‫‪AUB‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫د ‪ A‬پ‪５‬ښه د ‪ S‬په نمونه يي فضا ک‪ ３‬پ‪５‬ښه شوې ده او يوه بله پ‪５‬ښه چ‪ ３‬ه‪５‬څ نه پيښي‪８‬ي‪،‬‬ ‫يعن‪ ، ３‬په دې معنا ده چ‪ ３‬يوازې د ‪ A‬پ‪５‬ښه را منځ ته شوې ده‪.‬‬ ‫‪AU / = A‬‬

‫‪ A U B‬ناڅاپي پ‪５‬ښه په دې معنا ده چ‪ ３‬ل‪ ８‬تر ل‪８‬ه د ‪ A‬يا ‪ B‬پ‪５‬ښه منځ ته راغل‪ ３‬ده‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬که چ‪５‬رې د ‪ C‬ناڅاپي پ‪５‬ښه د ‪ B A‬دوې ب‪５‬ال بيل‪ ３‬ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ３‬په خپل ځان‬ ‫ک‪ ３‬ولري‪ ،‬په دې حالت ک‪ ３‬د ‪ A U B‬ناڅاپي پ‪５‬ښه هم په خپل ځان ک‪ ３‬لري‪ ،‬په يوه مثال‬ ‫ک‪ ３‬ي‪ ３‬روښانه ک‪７‬ئ؟‬ ‫حل‪ C = {1, 2 , 3 4} B = {2 , 3} , A = {1, 2} :‬پ‪５‬ښ‪ ３‬په پام ک‪ ３‬نيسو ليدل ک‪８５‬ي‬ ‫چ‪ B C A C ３‬دى‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪AUB‬‬

‫}‪B U A = A U B = {1 , 2 , 3‬‬

‫‪ S‬له يوې نمونه يي فضا څخه‪ ،‬د ‪B , A‬‬

‫‪-1‬‬ ‫په مرسته ي‪ ３‬د الندې اړيکو سم والى وڅ‪７５‬ئ‪.‬‬

‫‪ C‬د ناڅاپي پ‪５‬ښو لپاره د يوه مثال (ب‪５‬لگ‪)３‬‬

‫‪a) A U / = A‬‬ ‫‪b) A U A = A‬‬ ‫)‪c) (A U B) U C = A U (B U C‬‬ ‫‪ -2‬که ‪ A B‬وي په يوه مثال ک‪ ３‬وښيئ چ‪. A U B = B ３‬‬ ‫‪ A U B‬ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ３‬سره برابرې وي‪ ،‬په يوه گراف ک‪ ３‬ي‪３‬‬ ‫‪ - 3‬که چ‪５‬رې د ‪A‬‬ ‫وښاياست‪ ،‬چ‪ A ３‬ناڅاپي پ‪５‬ښه د ‪ B‬ناڅاپ‪ ３‬پ‪５‬ښه په بر ک‪ ３‬لري‪.‬‬

‫‪224‬‬

‫د ناڅاپي پ‪＋５‬و تقاﻃﻊ‬

‫د نــور د اصلي رنگونو لــه تقاطع څخه‬ ‫کوم نور رنگونه السته راځي؟‬

‫د رمل د يوې دان‪ ３‬د اچولو نمونه يي فضا }‪S = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6‬‬

‫}‪، A = {2 , 4 , 6‬‬

‫}‪ C = {1, 3 , 5} B = {4 , 6‬ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ３‬په پام ک‪ ３‬نيسو‪.‬‬ ‫د ‪ B I A A I B‬ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ،３‬يوه له بل‪ ３‬سره څه اړيکه لري؟‬ ‫أيا د ‪ B A‬پ‪５‬ښ‪ ３‬د ‪ A I B‬ناڅاپي پ‪５‬ښه په بر ک‪ ３‬لرلى شي‪ ،‬که نه؟‬ ‫وښيئ‪ ،‬چ‪ ３‬د ‪ C I B‬ناڅاپ‪ ３‬پ‪５‬ښه يوه ناشون‪ ３‬پ‪５‬ښه ده‪.‬‬ ‫که د ‪ B‬پ‪５‬ښه د ‪ A‬پ‪５‬ښه په ځان ک‪ ３‬ولري‪ ،‬د ‪ A I B A‬ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ３‬سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫له پورتني فعاليت څخه کوالى شو الندې پايل‪ ３‬په عمومي ډول بيان ک‪７‬و‪:‬‬

‫ﭘاﻳﻠﻪ‪:‬‬ ‫د ‪ S‬په يوه نمونه يي فضا ک‪ ３‬د ‪ C B , A‬ناڅاپي(تصادفي) پ‪５‬ښو لپاره لرو‪:‬‬ ‫د ‪ A I B‬او ‪ B I A‬ناڅاپي‪ ،‬پ‪５‬ښ‪ ３‬يو شان دي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬هره ناڅاپي پ‪５‬ښه هره يوه ي‪ ３‬د ‪ A I B‬ناڅاپي پ‪５‬ښه په خپل ځان ک‪ ３‬لري‪.‬‬ ‫که د ‪ A‬او ‪ B‬د دوه پ‪５‬ښو لپاره = ‪ A I B‬وي‪ ،‬په دې حالت ک‪ ３‬د ‪ B A‬پ‪５‬ښ‪３‬‬ ‫يوه له بله بيل‪ ３‬پيښ‪ ３‬بلل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬پيښ‪ ３‬لپاره لرو‪:‬‬ ‫‪A IS = A ، A I / = /‬‬ ‫که چ‪５‬رې د ‪ B‬پ‪５‬ښه د ‪ A‬پ‪５‬ښه په خپل ځان ک‪ ３‬ولري‪ ،‬نو ‪ A I B = A‬سره ده‪.‬‬

‫‪225‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫مثال‪ :‬د يوه ښوونځي د فوټبال له ټيم څخه درې تنه د ښوونځي د واليبال د ټيم غ‪７‬ي هم دي‪.‬‬ ‫که چيرې د فوټبال د ټيم غ‪７‬ي په ‪ A‬د واليبال د ټيم غ‪７‬ي په ‪ B‬او د دواړو ټيمونو گ‪ ６‬غ‪７‬ي په‬ ‫‪ C‬سره وښيو‪ ،‬په دې حالت ک‪ ３‬د سټونو تر منځ اړيکه‬ ‫د سټ د تيورۍ په ب‪２‬ه وليکئ‪:‬‬ ‫‪AIB=C‬‬

‫‪S‬‬

‫هم واليبال او هم د فوټبال ټيم غ‪７‬ى‬ ‫‪B‬‬

‫د واليبال د ټيم‬ ‫ټول غ‪７‬ي‬

‫د فوټبال د ټيم‬ ‫ټول غ‪７‬ي‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫أيا پوه‪８５‬ئ چ‪ ３‬د ‪ B‬د سټ په مکمله سټ ک‪ ３‬يعن‪３‬‬ ‫‪ B‬ک‪ ３‬د واليبال د ټيم ټول غ‪７‬ي گ‪６‬ون لري‪ ،‬که نه؟‬ ‫د فوټبال د ټيم د غ‪７‬و سټ‬ ‫د واليبال د ټيم د غ‪７‬و سټ‬ ‫نو ‪ B‬په سټ ک‪ ３‬ټول هغه زده کوونکي ګ‪６‬ون لري‬ ‫چ‪ ３‬د فوټبال د ټيم غ‪７‬ي نه دي‪ .‬څرنگه چ‪ 3 ３‬تنه زده کوونکي د واليبال د ټيم غ‪７‬ي چ‪ ３‬په‬ ‫عين حال ک‪ ３‬د فوټبال د ټيم غ‪７‬ي هم دي‪ ،‬په ‪ B‬ک‪ ３‬گ‪６‬ون نه لري‪ ،‬نو په دې اساس د واليبال‬ ‫ټيم د ‪ B‬سټ په پام ک‪ ３‬نيولو سره نيم‪７／‬ی دى‪.‬‬

‫‪ B‬د ب‪５‬الب‪５‬لو حاالتو لپاره چ‪ ３‬د ‪C‬‬

‫‪ B , A -1‬ناڅاپي پ‪５‬ښه د دياگرام په مرسته د ‪A‬‬ ‫پ‪５‬ښه د ‪ A‬او ‪ B‬پ‪５‬ښ‪ ３‬په خپل ځان ک‪ ３‬لري‪ ،‬وښيئ او وضاحت ورک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬په يوه مثال ک‪ ３‬د ‪B , A‬‬

‫‪ C‬پ‪５‬ښ‪ ３‬چ‪A ３‬‬

‫‪ B‬په خپل ځان ک‪ ３‬لري‪ ،‬وښيئ چ‪:３‬‬ ‫‪a) ( A U B) = A I B‬‬ ‫‪b) ( A I B ) = A U B‬‬

‫‪ -3‬الندې پ‪５‬ښ‪ ３‬په بيان سره وليکئ‪:‬‬ ‫‪a) A U B‬‬ ‫‪b) A I B‬‬ ‫‪c) A U B‬‬

‫‪226‬‬

‫بﺸپ‪ ７‬س＀‬

‫کــه چيرې‪ S ،‬د افغانســتان واليتونه ‪A‬‬ ‫د شــمال او ‪ B‬نــور پاتــ‪ ３‬واليتونه وي‪،‬‬ ‫نــو ‪ S A‬او ‪ S B‬کــوم واليتونــه‬ ‫راښيي؟‬

‫}‪A = {1, 3 , 5‬‬

‫رمل يوې دان‪ ３‬د اچولو نمونه يي فضا }‪S = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6‬‬

‫ناڅاپي پيښه په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪.‬‬ ‫‪ A‬د ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ３‬مکمله يعن‪ A ３‬کومه ناڅاپي پ‪５‬ښه کيدلى شي؟‬ ‫يوه ناڅاپي پ‪５‬ښه پيدا ک‪７‬ئ چ‪ A ３‬ي‪ ３‬په بر ک‪ ３‬ولري او په ‪ A‬ک‪ ３‬شامله نه وي‪.‬‬ ‫أيا کوالى شئ د ‪ S‬له نمونه يي فض ْا څخه يوه پيښه پيدا ک‪７‬ئ چ‪ ３‬په يوه وخت ک‪ ３‬نه په ‪A‬‬ ‫ک‪ ３‬او نه په ‪ A‬ک‪ ３‬گ‪６‬ون ولري؟‬ ‫‪ A‬د ناڅاپي پ‪５‬ښو اتحاد له حتمي پ‪５‬ښ‪ ３‬سره څه اړيکه لري؟‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ A A‬پ‪５‬ښو تقاطع‪ ،‬د ناشون‪ ３‬پ‪５‬ښ‪ ３‬سره څه اړيکه لري؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه الندې پايله په الس راځي‪:‬‬ ‫ﭘاﻳﻠﻪ‪:‬که چيرې ‪ S‬يوه نمونه يي فضا او ‪ A‬يوه ناڅاپي پ‪５‬ښه وي‪:‬‬ ‫‪ A‬يوه ناڅاپي پ‪５‬ښه ده چ‪ ３‬په يوه وخت د ‪ A‬سره نه پ‪５‬ښ‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪ A‬د هرې ناڅاپي پيښ‪ ３‬لپاره لرو چ‪:３‬‬ ‫‪A U A = S (a‬‬ ‫‪(b‬‬

‫‪P(A U A) = P(S) = 1‬‬

‫‪(c‬‬

‫)‪P(A) = 1 P(A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫د ‪ S‬نمونه فضا‬

‫‪227‬‬

‫مثال‪ :‬که د ‪ S‬په يوه نمونه يي فضا ک‪ ３‬د ‪ A‬ناڅاپي پ‪５‬ښه د ‪ B‬ناڅاپي پ‪５‬ښه په خپل ځان‬ ‫ک‪ ３‬ولري‪ ،‬په گرافيکي ډول وښاياست‪ ،‬چ‪ ３‬د ‪ B‬ناڅاپي پ‪５‬ښه د ‪ A‬ناڅاپي پ‪５‬ښه په خپل‬ ‫ځان ک‪ ３‬لري؟‬ ‫‪ B‬وښيو‪ ،‬نو له الندې‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چ‪ B A ３‬دى که چيرې موږ په شکل ک‪A ３‬‬ ‫رسم شوي شکل څخه په أسان‪ ９‬سره ليدل ک‪８５‬ي چ‪A B :３‬‬

‫‪S‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ A‬عمودي کرښ‪３‬‬

‫‪S‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ B‬افقي کرښ‪３‬‬

‫‪ -1‬د يوه مثال او گراف په مرسته د ‪ S‬د نمونه يي فضا او د ‪A‬‬

‫‪ B‬ناڅاپ‪ ３‬پ‪５‬ښو لپاره‬

‫وښيئ چ‪:３‬‬

‫‪-2‬‬ ‫وليکئ‪.‬‬

‫‪ S‬نمونه يي فضا او د ‪A‬‬

‫)‪a‬‬ ‫‪(A U B) = A I B‬‬ ‫‪b) S = /‬‬ ‫‪c) S = /‬‬ ‫‪ B‬ناڅاپ‪ ３‬پ‪５‬ښو لپاره الندې پ‪５‬ښ‪ ３‬په عبارت سره‬ ‫‪AIB‬‬ ‫)‪(A U B‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬

‫‪228‬‬

‫په س＂ونو م‪６‬ل ﺟوړول‬ ‫}‪A = {2, 4, 6,8} B = {1, 3, 5,7‬‬

‫تر اوســه مو له الجبري يا هندسي قوانينو‬ ‫څخه د ژوندانه د مســايلو په حل ک‪ ３‬گټه‬ ‫اخيســتله‪ .‬أيا فکر مو ک‪７‬ی چ‪ ３‬د ســټونو‬ ‫څخه هم کوالى شــو چ‪ ３‬د خپلو مسايلو‬ ‫د حل لپاره گټه واخلو؟‬

‫?‬

‫د يوه ټولگي له ‪ 23‬زده کوونکو څخه مو د خويندو او ورو‪１‬و لرونکو زده کوونکو احصاﺋيه راټوله‬ ‫ﺳﺖ ﺗﻤﺎم ﺷﺎﮔﺮدان ﺻﻨﻒ‬ ‫ک‪７‬ې ده چ‪ ３‬په الندې دياگرام ک‪ ３‬ليکل شوې ده‪.‬‬ ‫په شکل ک‪ ３‬ټول هغه زده کوونکي چ‪ ３‬خويندى لري ‪S‬‬ ‫‪ A‬په سټ او هغه زده کوونکي چ‪ ３‬ورو‪１‬ه لري د‬ ‫‪ B‬په سټ سره ښودل شوي دي‪.‬‬ ‫شکل په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪ ،‬د الندې فعاليت سوالونو ته‬ ‫ځواب پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫څو تنه خويندې لري؟‬ ‫څو تنه ورو‪１‬ه لري؟‬ ‫څو تنه هم خويندې او هم ورو‪１‬ه لري؟‬ ‫څو تنه‪ ،‬نه خويندى او نه ورو‪１‬ه لري؟‬ ‫څرنگه کوالى شو‪ ،‬دا مسﺂله د رياضي په ژبه وليکو؟‬ ‫ټول هغه کسان چ‪ ３‬خويندې نه لري‪ ،‬څو تنه دي؟‬ ‫ليدل ک‪８５‬ي چ‪ ３‬پورتنی گراف کوالى شي پورتنيو ټولو سوالونو او د هغوى په څ‪５‬ر نورو سوالونو‬ ‫ته په ښه توگه ځواب ورک‪７‬ي‪.‬‬ ‫نو له پورتني فعاليت څخه الندې پايله په الس راوړو‪:‬‬

‫‪229‬‬

‫پايله‪ :‬ليدل ک‪８５‬ي چ‪ ３‬دسټ د تيوري په کارولو سره‪ ،‬د ډ‪４‬رو هغو مسايلو حل چ‪ ３‬په ورځني‬ ‫ژوند ک‪ ３‬ورسره مخامخ ک‪８５‬و حل پيدا ک‪７‬و او هغه و ارزوو‪.‬‬ ‫د سټ د تيوري تطبيق په احتماالتو ک‪ ３‬او يا په بل عبارت‪ ،‬د هغو ناڅاپي پ‪５‬ښو د پ‪５‬ښ‪５‬دو د‬ ‫مساﺋلو حل او د سټ د تيورۍ په مرسته د هغ‪ ３‬ښودنه‪ ،‬د سټ د تيورۍ يوه بله د اهميت وړ‬ ‫د تطبيق ساحه شم‪５‬رل کيداى شي‪.‬‬ ‫مثال‪ S :‬د نمونه يي فضا او د ‪ C B , A‬ناڅاپه پ‪５‬ښ‪ ３‬په الندې دياگرام ک‪ ３‬ورک‪７‬ل شوې‬ ‫دي‪ ،‬په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪ ،‬د الندې پ‪５‬ښو د پ‪５‬ښ‪５‬دو احتمال مطلوب دي‪:‬‬ ‫‪ .a‬د دې احتمال شته چ‪ ３‬د ‪ A‬يا ‪ B‬ناڅاپي پ‪５‬ښه رامنځته شي‪.‬‬ ‫‪ .b‬د دې احتمال شته چ‪ ３‬د ‪ A‬پ‪５‬ښه رامنځته شي‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .c‬د دې احتمال شته چ‪ ３‬د ‪ C‬پ‪５‬ښه رامنځته شي‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪ A .a‬يا ‪ B‬احتمال په حقيقت ک‪ ３‬د ‪ A U B‬احتمال دى‪ ،‬څرنگه چ‪ ３‬دا پيښـ‪ ３‬يو له بل‬ ‫څخه ب‪５‬ل‪ ３‬يا مستقل‪ ３‬دي‪ ،‬يعن‪ A I B = ３‬دى‪ ،‬نو‪P(A U B) = P(A) + P(B) :‬‬ ‫ﺳﺖ ﺗﻤﺎم ﺷﺎﮔﺮدان ﺻﻨﻒ‬ ‫‪ (b‬د دې احتمال چ‪ ３‬د ‪ A‬ناڅاپي پ‪５‬ښه رامنځته شي‪،‬په دې معنا چ‪ ３‬د ‪ A‬پ‪５‬ښه نه ده‬ ‫‪S‬‬ ‫پ‪５‬ښه شوې‪ ،‬په بل عبارت‪ ،‬هغه پ‪５‬ښه ده چ‪ ３‬د ‪ C‬يا ‪ B‬حادثه پ‪５‬ښه نه شي‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫)‪ P(A) = 1 P(A‬څرنگه چ‪ P(A) = P(C U B) ３‬دی‪ ،‬نو‬ ‫)‪P(A) = 1 (P(C U B)) = 1 P(C) P(B‬‬

‫‪A‬پيښ‪ ３‬د پيښ‪５‬دو له احتمال‬ ‫‪ (c‬د دې احتمال شته چ‪ ３‬د ‪ C‬ناڅاپي پ‪５‬ښه رامنځته نه شي د هغ‪３‬‬ ‫‪B‬‬ ‫سره برابر دى چ‪ ３‬د ‪ A‬يا ‪ B‬پيښ‪ ،３‬پيښ‪ ３‬شي او دا د ‪ A U B‬دپيښ‪ ３‬د پيښ‪５‬دو څخه عبارت‬ ‫ده‪.‬‬ ‫)‪P(C) = P(A U B) = P(A) + P(B‬‬

‫‪ -1‬هغه مثال چ‪ ３‬په فعاليت ک‪ ３‬مو ترې گټه اخيست‪ ３‬ده په پام ک‪ ３‬ونيسئ‪:‬‬ ‫‪ )a‬د دې احتمال مطلوب دى چ‪ ３‬له دې ټولگي څخه يو زده کوونکى په تصادفي يا ناڅاپي‬ ‫ډول وټاکل شي چ‪ ３‬خور او ورو ونه لري‪.‬‬ ‫‪ )b‬د يوه داس‪ ３‬زده کوونکي د ټاکلو احتمال شته چ‪ ３‬په ناڅاپي ډول ټاکل ک‪８５‬ي‪ ،‬پيدا ک‪７‬ئ‬ ‫چ‪ ３‬ل‪ ８‬تر ل‪８‬ه خور يا ورور ولري‪.‬‬

‫‪230‬‬

‫د شم‪５‬رلو ا‪請‬ل‬ ‫د ‪ A‬ټولگى د غ‪８５‬ن‪５‬وونکو سټ‬

‫‪ B A‬دوو ټولگيــو څخــه درې تنــه د‬ ‫غ‪５‬ــ‪８‬ې نيولو لپاره ټاکل شــوي دي‪ ،‬د ‪ A‬او‬ ‫‪ B‬د ټيمونو غ‪７‬ي‪ ،‬په څو ډوله کوالى شي‪،‬‬ ‫چ‪ ３‬يو له بل سره په غ‪８５‬ه ورشي؟‬

‫لوم‪７‬ى غ‪８５‬ن‪５‬وونکى‬

‫د ‪ B‬ټولگى د غ‪８５‬ن‪５‬وونکو سټ‬

‫دريم غ‪８５‬ن‪５‬وونکى‬

‫لوم‪７‬ى غ‪８５‬ن‪５‬وونکى‬

‫دويم غ‪８５‬ن‪５‬وونکى‬

‫دريم غ‪８５‬ن‪５‬وونکى‬

‫دويم غ‪８５‬ن‪５‬وونکى‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫د غ‪８５‬ن‪５‬وونکو ميدان‬

‫دوه عدده‪ ،‬تور او سرمه يي رنگه پتلونونه له درې عدده سپين‪ ،‬أبي او پوالدي رنگه کميسونو‬ ‫سره په پام ک‪ ３‬نيسو‪.‬‬ ‫په څو ډوله کوالى شوو هغه واغوندو؟‬ ‫د شم‪５‬رن‪ ３‬د ترتيب لپاره له ونه ييز گراف څخه گټه واخلئ‪.‬‬ ‫د اغوستلو د ټولو امکاناتو او د پتلونونو او کميسونو د شم‪５‬ر تر منځ څه ډول اړيکه شته ده؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه الندې پايله په الس راوړو‪.‬‬

‫پايله‪:‬‬ ‫‪ -1‬د دوو سټونو د عناصرو په ترکيب ک‪ ３‬د ټولو امکاناتو شم‪５‬ر د هر سټ د عناصرو د شم‪５‬ر‬ ‫د ضرب له حاصل سره مساوي دى‪.‬‬ ‫‪ -2‬که چيرې د امکاناتو شم‪５‬ر او يا د يوه سټ عناصر په ‪ m‬او د يو بل سټ د عناصرو شم‪５‬ر‬ ‫مساوي په ‪ n‬وي‪ ،‬په دې حالت ک‪ ３‬دواړه ټاکن‪ ３‬يو له بل سره په )‪ (m × n‬ډوله امکان لري‪.‬‬ ‫مثال‪ 4 3،2،1،0 :‬رقمونو څخه په گټ‪ ３‬اخيستن‪ ３‬سره څو دوه رقمي عددونه جوړوالی‬ ‫شو؟ ونه ييز گراف ي‪ ３‬رسم ک‪７‬ئ او هغه احتمال پيدا ک‪７‬ئ چ‪ ３‬له دې عددونو څخه يو عدد‬ ‫په ناڅاپي ډول و ټاکل شي چ‪ ３‬هغه عدد په ‪ 2‬د و‪４‬ش وړ وي‪.‬‬

‫‪231‬‬

‫د هر‬

‫د دې کار لپاره د ذکر شوي دوه رقمي عدد د جوړولو لپاره دوه تش ځايونه‬ ‫رقم لپاره په پام ک‪ ３‬نيسو‪.‬‬ ‫له کي‪ ０‬خوا په په تش ځای ک‪ ３‬د راک‪７‬ل شويو پنځو رقمونو څخه ‪ 4‬امکانه (پرته له صفر) د‬ ‫‪ 4 3 , 2 ,1, 0‬عددونو د ځاى پر ځاى کولو لپاره شته دي‪ ،‬خو د ښ‪ ９‬خوا د تش ځای لپاره‬ ‫‪ 4 3 , 2 ,1, 0‬هرو پنځو عددونو څخه گټه اخلو‪ .‬په دې ترتيب د دې رقم د ټاکلو پنځه‬ ‫امکانه شته دي چ‪ ３‬په مجموعي ډول د پورتنيو عددونو په وسيله د دوه رقمي عدد د جوړولو‬ ‫لپاره ‪ 4 × 5 = 20‬امکانه شته دي‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫دا مطلب کوالى شو د ونه ي‪５‬ز گراف په مرسته په الندې ډول‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وښيو‪ ،‬لکه‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﭘﻞ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫د دې لپاره چ‪ ３‬نوموړى‪ ،‬رقم پر ‪ 2‬د و‪４‬ش وړ وي د ښ‪ ９‬خوا په تش ځاى ک‪ ３‬د ‪ 5‬برابرو‬ ‫امکاناتو څخه يوازې ‪ 3‬امکانه د (‪ ) 4 2,0‬شته دى‪ .‬د داس‪ ３‬عددونو د جوړولو لپاره چ‪ ３‬پر‬ ‫‪ 2‬د و‪４‬ش وړ وي‪ ،‬د ‪ 4 × 3 = 12‬برابر حالتونه دي چ‪ ３‬په دې حالت ک‪ ３‬د هغه رقم د ټاکل‬ ‫کيدو احتمال چ‪ ３‬پر ‪ 2‬د و‪４‬ش وړ وي عبارت دی له‪:‬‬ ‫‪12 3‬‬ ‫‪= = 0.6 = 60%‬‬ ‫‪20 5‬‬

‫=)په ‪ 2‬د و‪４‬ش وړ عدد(‪=P‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ -1‬د (م‪ ،‬ر‪ ،‬ى‪،‬م) تورو څخه په گټ‪ ３‬اخيستن‪ ３‬سره څو څلور حرفي معنا لرونکي او معنا نه‬ ‫لرونکي کلم‪ ３‬جوړوالى شو؟ موضوع د ونه ي‪５‬ز گراف په مرسته تشريح ک‪７‬ئ؟‬ ‫که چ‪５‬رې له دې ترکيبي کلمو څخه په ناڅاپي ډول يوه کلمه وټاکو د دې احتمال پيدا ک‪７‬ئ چ‪３‬‬ ‫دا کلمه((مريم)) وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬د ‪ 9 8 , 7 , 4 ,1, 0‬عددونو څخه د مبايل تل‪５‬فون څو داس‪ ３‬شپ‪ ８‬رقمي نمرې جوړوالى‬ ‫شو چ‪ ３‬له کي‪ ０‬خوا څخه‪ ،‬په ‪ 077‬پيل شوي وي؟‬

‫‪232‬‬

‫د نﻬم څپرکي لن‪６‬يز‪:‬‬ ‫د دې لپاره چ‪ ３‬وکوالى شو د ناڅاپي پ‪５‬ښو د ترکيب د ب‪５‬ال ب‪５‬لو حالتونو د پرتله کولو لپاره د‬ ‫سټونو د تيوري په کارولو سره يو ښه تصور ولرو‪ ،‬هغه مو په الندې جدول ک‪ ３‬راټول ک‪７‬ل‪.‬‬ ‫د پ‪ ３＋５‬احتمال‬

‫د ‪ Venn‬ديا‪－‬رام‬ ‫او ناڅاپي پ‪＋５‬ه‬ ‫‪S‬‬

‫څرن‪／‬ه چ‪ P(S) = 1 ３‬دى‬

‫‪A‬‬

‫نو )‪P(A) = 1 P(A‬‬

‫د بيان ښودنه د‬ ‫س＀ په واسطه‬

‫د ناڅاپي پ‪ ３＋５‬بيان‬

‫‪A =S A‬‬ ‫يا‬ ‫‪S= AUA‬‬

‫د ‪ S‬هغــه ټولــ‪ ３‬ناڅاپ‪３‬‬ ‫پيښ‪ ３‬چ‪ ３‬د ‪ A‬پيښه په‬ ‫ک‪ ３‬گ‪６‬ون و نه لري د ‪A‬‬ ‫پيښ‪ ３‬عکس دى‪.‬‬

‫‪AIB‬‬

‫د ‪ A‬ناڅاپه پيښه او د ‪B‬‬ ‫ناڅاپه پيښه پيښي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪S‬‬

‫)‪P(A I B‬‬ ‫)‪= P(A) + P(B) P(A U B‬‬ ‫)‪P(A U B‬‬

‫)‪= P(A) + P(B) P(A I B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪S‬‬

‫‪AUB‬‬

‫لــ‪ ８‬تــر لــ‪８‬ه د ‪ A‬يــا د ‪B‬‬ ‫د ناڅاپــي پيښــو څخه يوه‬ ‫پيښي‪８‬ي‪.‬‬

‫ترکيب ک‪ ３‬د ټولو امکاناتو شم‪５‬ر‪ ،‬د هرې ترکيبي‬ ‫د شم‪５‬رن‪ ３‬حل‪ :‬د دوو سټونو د عناصرو په‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫مجموع‪ ،３‬د عناصرو د ضرب له حاصل‪B‬سره مساوي دی‪.‬‬ ‫که د سټ د عنصرونو امکان په ‪ m‬ډول او د بل سټ د عنصرونو امکان په ‪ n‬ډول‪ ،‬وي يو له‬ ‫بل سره د دوى د ترکيب د ټولو امکاناتو شم‪５‬ر‪ ،‬د‪ m × n S‬سره برابر دى‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫د نﻬم څپرکي پوښتن‪３‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ناڅاپه پيښه وي وښاياست چ‪:３‬‬ ‫‪-1‬که ‪ S‬يوه نمونه يي فضا او ‪ A‬د هغ‪B ３‬يوه‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ A‬وي وښيئ چ‪ P(A) = 0 ３‬دى‪.‬‬ ‫‪ )a‬که‬ ‫‪ )b‬که ‪ S A‬وي په دې حالت ک‪ P(A) = 1 ３‬دى‪.‬‬ ‫‪ -2‬که چ‪５‬رې د ‪ C‬ناڅاپي پ‪５‬ښه‪ ،‬د ‪ A‬او ‪ B‬ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ３‬په ځان ک‪ ３‬ولري‪ ،‬وښيئ چ‪３‬‬ ‫همدارنگه‪ ،‬د ‪ C‬ناڅاپي پ‪５‬ښه د ‪ A U B‬په ځان ک‪ ３‬ولري‪.‬‬ ‫‪ -3‬که چ‪５‬رې ‪ S‬د ‪ A‬او ‪ B‬يوه نمونه يي فضا وي‪ ،‬د ‪ B‬او ‪ A U B‬ناڅاپي پ‪５‬ښ‪ ３‬يو بل په بر‬ ‫ک‪ ３‬ولري‪ ،‬وښيئ چ‪ ３‬د ‪ A U B‬او د ‪ B‬احتمال يو د بل سره برابر دي‪.‬‬ ‫‪ -4‬که د ‪ S‬په يوه نمونه يي فضا ک‪ ３‬د ‪ B‬ناڅاپه پ‪５‬ښه د ‪ A‬پ‪５‬ښه په بر ک‪ ３‬ولري‪ ،‬وښيئ چ‪３‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ A U B‬ناڅاپه پ‪５‬ښ‪ ３‬يو بل په ځان ک‪ ３‬لري‪ .‬سربيره پر دې واضح ک‪７‬ئ چ‪ ３‬د دې‬ ‫ناڅاپي پ‪５‬ښو احتمال يو له بل سره څه اړيکه لري؟‬

‫‪ -5‬که چ‪５‬رې ‪ S‬يوه نمونه يي فضا وي او ‪ B‬د هغ‪ ３‬يوه ناڅاپه پ‪５‬ښه وي‪ ،‬وښيئ چ‪. S B = B :３‬‬ ‫‪ -6‬د گراف په مرسته وښيئ چ‪ ３‬د‪ S‬يوې نمونه يي فضا د ‪ A‬او ‪ B‬دوو ناڅاپي پيښو لپاره‬ ‫‪ B A‬او ‪ A B‬سره مساوي دي‪ ،‬يعن‪. A B = B A :３‬‬

‫]‬

‫[‬

‫‪ -7‬وښيئ چ‪ ،３‬د )‪ A I (A I B) U (A I B‬ناڅاپي پي）‪ ،‬احتمال له صفر سره مساوي دى‪.‬‬

‫‪233‬‬