Matematicas En La Antigua India

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Matemáticas en la Antigua India

Carlos Maza Gómez 1

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Carlos Maza Gómez, 2010 Todos los derechos reservados

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Índice Geografía e Historia Marco geográfico ..................................................... Protohistoria: La cultura de Harappa ....................... Período védico .......................................................... Período brahmánico ................................................. Ashoka y el imperio Maurya .................................... Las dinastías locales ................................................. El imperio gupta .......................................................

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Geometría védica Los Sulvasutras ........................................................ Construcción del cuadrado y el trapecio .................. El cuadrado doble y Pitágoras .................................. Suma y resta de cuadrados ....................................... Transformación entre cuadriláteros .......................... Transformaciones de cuadrado y círculo ................. El círculo para los jainas ..........................................

43 47 53 60 64 73 77

Numeración Numeración oral védica ........................................... Numeración escrita .................................................. Operaciones aritméticas ........................................... El infinito entre los jainas ........................................ El manuscrito Bakshali ............................................

84 89 97 111 116

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Geografía e Historia

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Marco geográfico La India es un inmenso subcontinente asiático que, en forma triangular, se interna en el océano Índico dividiéndolo en una parte oriental (mar de Bengala) y otra occidental (mar Arábigo) que garantizaron en la Antigüedad unas rutas comerciales de los productos venidos del oeste (Mesopotamia, Persia, mar Rojo) y otros que marchaban hacia el este (la costa asiática oriental).

Mapa de la India 5

Los ríos, como foco de civilización en aquellos tiempos, están también presentes en la India. Los dos más importantes son el Indo (hoy en Pakistán) que desemboca en el mar Arábigo y el Ganges que lo hace en el mar de Bengala. La primera forma de civilización (la cultura de Harappa y Mohenjo Daro, ciudades distantes hasta 600 kms) se estableció en las orillas del Indo (la región llamada Punjab, cinco ríos) de manera que a través de su principal puerto (Lothal) parece confirmado que estableció contacto con la cultura mesopotámica atravesando el mar Rojo. El carácter de cuna de la civilización de ambos ríos se muestra también por la divinización que han encontrado, particularmente el segundo. Sus orillas son lugares privilegiados de incineración puesto que la divinidad fluvial llevará los restos mortales hasta Siva permitiendo la reencarnación del fallecido. Sus aguas son lugares de purificación tradicionales para el hinduismo. Recorriendo el subcontinente de norte a sur se encuentran muchas de las claves del desarrollo de la cultura india. En el norte el acceso al país está prácticamente cerrado por la cordillera del Himalaya. En ella nacen los ríos citados y se abren muy pocos pasos transitables: El fundamental, al noroeste, en la frontera con Afganistán, es el paso del Khyber, lugar por el que llegaron las invasiones de los arios y de Alejandro Magno, entre otros. Cuando se viaja hacia el sur se encuentra la fértil depresión Indo-gangética, lugar de florecimiento de la mayoría de los reinos indios y donde viven actualmente las dos terceras partes de su población. El principal obstáculo que divide horizontalmente a la India son los montes Vindhya que físicamente distinguen la parte más fértil al 6

norte, de la meseta del Dekkan al sur, considerablemente más árida. La historia antigua de la India es la de la expansión de los reinos hacia el sur hasta dar con estos montes. Tanto la diferencia en riqueza como el hecho de que la cultura se haya desarrollado fundamentalmente en la parte septentrional en contacto con invasores y con el comercio occidental, ha hecho que históricamente la parte sur de la India sea más atrasada, tanto en lo económico como en lo cultural, discurriendo su historia de forma casi independiente de la que se desarrollaba en el norte del país. A dicho aislamiento ha colaborado el hecho de que la costa occidental fuera poco propicia a la navegación debido a extenderse en toda la costa la cordillera del Ghat. Por la costa oriental, sin embargo, el tránsito hacia las costas asiáticas orientales fue mayor, sobre todo a partir de nuestra era. Unida a la costa por una serie de islas se encuentra la antigua gran isla de Ceilán, hoy Sri Lanka, en la que una comunidad (los tamiles) reclama su independencia en base a las diferencias culturales, históricas y lingüísticas con el resto del país. La India resulta un país que, al igual que China, es sobre todo agrícola, dependiente de la llegada del monzón por el suroeste en el mes de julio y su salida por el noreste un mes después. Aunque su paso está jalonado de inundaciones en no pocos casos la riqueza agrícola que garantiza es mucho mayor.

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Protohistoria: La cultura de Harappa Cuando comienza el tercer milenio antes de nuestra era, es decir, sobre el año 3.000 a.C., algunos pequeños grupos de población se asentaron a orillas del río Indo procedentes de la meseta irania. Las cerámicas encontradas en ambos lugares son muy similares (de color amarillo y decoración en negro y rojo) y denotan que la llamada cultura de Amrï en el Indo estaba emparentada con la de Tepe Giyan y Bakun en la meseta más al oeste.

Restos de la cultura de Harappa 8

Cuando en el siglo XX ingenieros británicos preparaban materiales sobre el terreno destinados a la construcción del ferrocarril Lahora-Multán fueron sacando a la luz, de manera sorprendente, los restos de una antigua y floreciente cultura. Las primeras excavaciones se realizaron en un núcleo urbano llamado Harappa, de donde se tomó la denominación para esta cultura que se había extendiendo a lo largo del tercer milenio por el valle del Indo para desaparecer en el segundo por causas controvertidas.

Estanque ritual en Harappa En Harappa se encuentran restos de una cultura que había alcanzado una gran madurez económica y social. La estructura urbana muestra la existencia de graneros (dos grupos simétricos de seis almacenes cada uno) separados 9

por un ancho pasillo. Esto indica que se almacenaba grano procedente de las cosechas cercanas (trigo y cebada sobre todo), muy probablemente como consecuencia de la obligación de tributar por medio de tal producto. La presencia al norte de casas de ladrillos muy modestas respecto a las más residenciales parece indicar que había desigualdades sociales, probablemente porque una casta sacerdotal o administrativa fuera preponderante respecto a trabajadores y esclavos. En Mohenjo-Daro, la otra gran urbe descubierta y datada en la misma época, se ha encontrado una gran piscina impermeabilizada dotada de cañerías para su llenado y desagüe, que puede haberse construido por motivos rituales. El elevado nivel freático en este yacimiento impide profundizar en las excavaciones. Sin embargo, sí se han descubierto edificios espaciosos y lo que parecen salas amplias de reuniones que muestran nuevamente la existencia de un poder teocrático y sacerdotal. Sin embargo, el aspecto más destacable de la cultura de Harappa es el elevado grado de urbanización que conoció. Sus ciudades están construidas de forma reticular orientando las calles principales en la dirección de los vientos (norte a sur) para su mejor limpieza (o quizá por motivos astrológicos). Además, presentan un sistema de alcantarillado subterráneo al que hay que añadir la conexión con retretes individuales en cada casa lo que muestra un esfuerzo común notable. Tal trabajo público incide en la presencia de una sociedad organizada y jerarquizada, con una clase más poderosa y dirigente. Dados los muy escasos restos encontrados de actividad bélica se puede suponer que dicha clase fuera de naturaleza religiosa sobre todo. 10

Desde el punto de vista artístico su trabajo (como la mayoría de sus herramientas cotidianas) es en piedra (aunque conocían el cobre y el bronce) habiendo testimonios de esculturas de un alto nivel: La cabeza barbuda de Mohenjo-Daro, por ejemplo, o el torso de Harappa. Las dos ciudades principales de esta cultura, Harappa y Mohenjo-Daro, distan casi 600 kms a lo largo del río. En la desembocadura del Indo, la ciudad portuaria de Lothal presenta muelles y diques construidos con ladrillos, que denotan que era el lugar de tránsito de mercancías y comercio en general con la región mesopotámica, en la que se han encontrado restos de la cultura harappiana. Todo hace indicar que estos pueblos estaban muy relacionados y, sin llegar a formar una cultura políticamente centralizada, tenían amplios contactos comerciales. Esta circunstancia aconseja la existencia de medidas comunes en peso o longitud y, en ambos casos, se han encontrado restos significativos. Se han hallado en Lothal numerosos pesos de forma cúbica. Tomando el más frecuente como unidad (alrededor de 27,6 gramos) los hay que corresponden a 0,05; 0,1; 0,2; 0,5 ; 2; 5; 10; 20; 50; 100; 200 y 500 de dicha unidad. Ello supone una normalización favorecida por la necesidad común de medir las mercancías con las mismas unidades de peso. En segundo lugar, se registran en un fragmento de concha nueve líneas paralelas espaciadas igualmente en torno a los 6,7 mm entre cada una y la siguiente. Una de las líneas está marcada con un círculo y otra, seis más allá, con un punto grande. La distancia total entre ellas es de 33,5 mm que ha sido denominada la ‘pulgada del Indo’. Es evidente que tal precisión en las marcas revela que éste era un 11

instrumento de medida, mucho más si se tiene en cuenta que otra unidad de medida sumeria (el sushi) equivale exactamente a la mitad de una pulgada del Indo, lo que abre las puertas a hacer hipótesis sobre las relaciones entre ambas culturas. En todo caso, se han localizado en las construcciones de estas ciudades hasta quince tamaños diferentes de ladrillos pero siempre en una relación fija entre longitud, anchura y espesor, en concreto 4:2:1.

Medidas encontradas en Harappa Tanto desde el punto de vista artístico como comercial tienen especial importancia los 550 sellos de esteatita encontrados que servían para marcar la mercancía con un signo distintivo de su propietario. Son estos los restos encontrados en distintos estratos mesopotámicos y que revelan el intercambio comercial entre ambas regiones. Además, su forma artística ofrece algunos datos parciales 12

sobre dicha cultura. En concreto, entre los abundantes motivos religiosos que presentan destaca el “dios astado”, una figura sentada con las piernas cruzadas y coronado por un penacho de plumas y cuernos de búfalo, uno de los animales domésticos de aquella época. La presencia simultánea en los sellos de rinocerontes, búfalos, tigres o elefantes parece denotar que este dios sería el de los animales, mostrando una representación que mucho después tomaría el dios hinduista Siva. La cultura de Harappa parece haber llegado a su culminación entre el 2.500 y el 1800 a.C. Su declive probablemente fue debido tanto a motivos internos como externos. Internamente se llegó a un alto grado de inmovilidad social y cultural. Las excavaciones en Harappa denotan la práctica inexistencia de cambios en los últimos niveles, además de unas formas de construcción progresivamente más toscas. El motivo externo residió en la invasión aria que recorrió la zona hacia el 1500 a.C. Su importancia se ha sobreestimado por los restos de MohenjoDaro, que presentan muros incendiados, hasta veinte esqueletos mutilados en un edificio y restos de alguna batalla en el final de la ciudad. No obstante, tal cosa no sucede en Harappa y, lo que es más, Lothal sobrevivió a la caída de las otras dos ciudades durante un lapso de tiempo que no baja de los cuatro siglos. Todo indica, en suma, que una cultura decadente llegó a un colapso por el ataque directo de invasores más fuertes y organizados o por las consecuencias económicas que esta invasión implicó (el cegamiento de canalizaciones, la interrupción del comercio). Las circunstancias concretas no se conocen y, en todo caso, el examen de las inscripciones que han dejado en sellos y tablillas no ha 13

resuelto el enigma de su escritura, si llega a serlo. Sí es notable como ejemplo de escritura bustrofédica, caracterizada por empezar la primera línea a su derecha y proseguir escribiendo desde la izquierda en la línea siguiente, en un característico zig zag. Comparaciones filológicas han conducido a la sorprendente (pero seguramente casual) relación de sus signos con los de una cultura aborigen de la isla de Pascua, en el Pacífico.

Período védico Hacia el año 1.500 a.C. llegó a la India la rama más oriental de la emigración aria. Los arios eran una tribu proveniente de las estepas ucranias que, por razones desconocidas, inició una emigración masiva en busca de nuevas y mejores tierras llegando a extenderse por Europa los más occidentales, por el Medio Oriente algunas ramas (bordeando por ambos lados el mar de Aral) y entrando por el valle del Indo tras atravesar y asentarse en parte en la meseta irania cercana. Tanto su estructura social como sus valores y formas de vida eran muy distintos de aquellos que encontraron entre la población autóctona, previsiblemente una cultura de Harappa que ya había perdido el vigor de tiempo atrás. Apoyados en una sociedad jerárquica basada en el imperio de un rey asesorado por un consejo, teniendo como un valor fundamental el del poder mediante la guerra, sustentados en nuevas armas de bronce y el uso bélico del caballo, los 14

indoarios fueron extendiéndose paulatinamente por todo el valle entre el Indo, primero, y el Ganges después.

Emigraciones arias Los enfrentamientos con la población autóctona no debieron ser pocos ya que su literatura, que luego mencionaremos con mayor detalle, denota en estos primeros tiempos un choque de tipo racial, contrastando el desprecio con que son tratados los naturales de la región por su color moreno frente al blanco de los invasores. Es de notar que la palabra más antigua para denominar una casta es la misma que designa el color de la piel (varna), así como que se 15

considera un valor resaltable socialmente el color más claro de la piel. En uno de sus textos sagrados, el Rigveda ya se resalta el valor de la lucha heroica: Como una nube tormentosa, el héroe armado irrumpe en la vorágine de la batalla. ¡Gloria a ti y cuerpo ileso! ¡Protéjate la recia armadura! Con nuestro arco queremos conseguir rebaños. Con nuestro arco ganaremos batalla tras batalla. Con nuestro arco, terror del enemigo, confiamos adueñarnos de las tierras. La agricultura y el comercio, que habían sido fundamentales en la cultura harappiana, pasan a un segundo plano. La economía indoaria se basa sobre todo en el ganado respecto al cual la vaca empieza a cobrar una simbología e importancia claramente reconocibles como representación de la riqueza de la tribu, aunque aún por entonces era sacrificable. La estructura social de este pueblo ganadero se asienta en la tribu y la familia, en la que las mujeres tienen un papel especialmente importante. Sin embargo, éste es menor que en la cultura de Harappa, donde la mujer estaba encargada en muchos casos de pedir a los dioses la protección para su hogar. Entre los indoarios esta labor de intermediarios entre los hombres y los dioses son cada vez más asumido por una creciente clase sacerdotal. Los dioses también cambian considerablemente, aunque se reconoce un cierto eclecticismo final entre sus características y las propias del país al que llegaron. El más popular era Indra, en el que se combinan los rasgos de un exterminador de dragones y 16

demonios, gracias a su maza, y un rey de dioses. Como caudillo y héroe de guerra lucha desde su carro de combate contra los enemigos de piel oscura que se le enfrentan. Otros dioses son Mitra, de un poder casi semejante al de Indra y que de algún modo supone su réplica dialogante, al ser el dios de los acuerdos y tratados. Los demás dioses tienen relación con fenómenos atmosféricos (lluvia, viento, sol) denotando la estrecha dependencia que los indoarios reconocieron inmediatamente respecto a los monzones y fenómenos atmosféricos que les permitían combatir las hambrunas que registran sus escritos. No existían templos entonces sino que se construían altares de sacrificios según los lugares y la necesidad de solicitar dones a los dioses. La ética indoaria era tosca y basada en el intercambio: se pedían dones a los dioses a cambio de sacrificios pero estos dones no eran arbitrarios. Los dioses no tenían la libertad de negarse si el sacrificio seguía todos los rituales prescritos, que eran cada vez más complejos. La mala realización de un ritual anulaba todos los efectos de la petición mientras que la corrección de dicho ritual garantizaba la obtención de lo pedido. De ahí, por un lado, que el ritual fuera cada vez más importante en sus fórmulas y, por otro, que al hacerse más complejo sólo una clase sacerdotal específica fuera capaz de realizarlo y no individuos cualesquiera. En esta combinación de factores se basó la creciente importancia de esta clase sacerdotal de brahmanes, conocedores de las fórmulas y cantos rituales, su adecuada aplicación, el tono y modulación de los importantes cantos religiosos. En cierto momento impreciso en torno al año 1.000 a.C. pero con varios siglos de diferencia, se fueron codificando por escrito todos estos rituales. El fruto de ello 17

es la redacción de los llamados Vedas (o Sabiduría) integrados por sahmitas (colección de himnos), la mayoría de los cuales contienen una descripción lírica de actos rituales (encendido del fuego, ofrenda, preparación y ofrecimiento de la bebida sagrada, el soma). Existen cuatro Vedas fundamentales. El más antiguo parece ser el Rigveda, que contiene mil veintiocho himnos agrupados en diez círculos (o mandalas). Es quizá el más literario y lírico de los cuatro. Oh, Tierra, alégrense tus colinas y tus montañas cubiertas de nieve, y tus bosques. En la castaña negra, roja y multiforme, firme y amplia Tierra, protegida por Indra, estaba yo, invicto, intocado, ileso. Lo que es tu centro, oh Tierra, lo que es tu ombligo, el alivio que sale de ti, ponlo en nosotros y sé benévola, oh Tierra. La Tierra es la madre, y yo soy su hijo; Parjanya es el padre, que él nos dé abundancia. El Yajurveda entra ya a tratar en profundidad todo lo apuntado en el Veda anterior pero haciendo hincapié en las fórmulas de sacrificio dando a los elementos del mismo un carácter mágico para conseguir los objetivos perseguidos con el mismo. El Samaveda vuelve de nuevo a los mismos rituales pero centrándose sobre todo en la forma de canto de los himnos que deben acompañarlos. Los tres forman un conjunto ritual llamado Triveda, el conjunto fundamental de conocimientos que debían poseer los brahmanes para llevar a cabo los sacrificios habituales. En ellos se aprecia una 18

importancia creciente de los sacrificios y una falta de atención notable hacia los propios dioses que eran protagonistas del Rigveda pero que van perdiendo importancia en los dos siguientes textos. El cuarto y posterior, el Atharvaveda se centra en las fórmulas mágicas propiciatorias de la obtención de bienes materiales y se aparta del lirismo y la filosofía de los Vedas anteriores centrándose en mayor grado en la fe popular de los pastores y campesinos indios. Con el tiempo, a los Vedas se les fueron añadiendo unos apéndices de texto llamados Vedangas. Mientras los primeros eran verdad y sabiduría reveladas, los Vedangas tenían una naturaleza simplemente de tradición oral del pueblo indoario y, sin llegar a la importancia de los primeros, permitía agrupar las principales normas de actuación respecto al ritual de sacrificios en un formato más accesible por medio de aforismos (sutras).

Parte de un Sutra Estos Vedangas trataban hasta de seis materias diferentes: fonética, ritual, gramática, etimología, métrica y 19

astronomía. Desde el punto de vista matemático las dos ramas principales en que se muestran los conocimientos en tal ciencia son las dos últimas. En particular, la métrica trataba de los modos geométricos de construcción de los distintos altares de sacrificio. Al realizarse mediciones y construcciones mediante cuerdas (sulva) eso conducía a titular estos Vedangas como Sulvasutras (aforismos de cuerdas). Ocuparán una parte básica en esta exposición del conocimiento matemático de los antiguos indios. La historia de la India védica, que discurre aproximadamente entre el 1.500 a.C. y el 600 a.C., se puede dividir en dos períodos diferenciados: por una parte el inicial, en que las tribus indoarias van sometiendo a los naturales que viven en el valle del Indo y extendiéndose paulatinamente hacia el Este; de forma tardía, el período védico completa la ocupación del valle indo-gangético pero al tiempo se enreda en una serie continua de enfrentamientos bélicos entre los distintos grupos familiares y tribales que florecen en lugares diferentes. De todo ello se encuentra un reflejo literariamente importante en el poema épica Mahabarata entre los Kaurava y los Pandava, poema que juega un papel en la antigüedad india semejante a los cantos de Homero en la Grecia antigua. Denota además el nivel bélico alcanzado entre las distintas familias más poderosas por la extensión de su dominio y el control de los recursos estratégicos. Esta búsqueda de un gobierno poderoso y centralizado en torno a alguna ciudad emergente como Asandivat, la primera que se menciona en el texto, no llegó a fructificar. Lo que sí se extiende paulatinamente es el sistema de castas, fruto de la primera diferenciación entre los invasores indoarios y los naturales de la región, y posteriormente de 20

una segunda diferenciación entre la distinta importancia familiar de los puestos ocupados en la sociedad. Según el Rigveda, de la boca del dios Brahma surgieron los brahmanes (sacerdotes, luego profesores, científicos), de los brazos los kshatriyas (guerreros, más tarde terratenientes y aristócratas), de los muslos los vaishiyas (comerciantes, luego funcionarios y administrativos) y de los pies los sudras (agricultores). Los parias o intocables eran seres completamente impuros y fuera de las castas a los que no se les podía ni siquiera tocar. Se podían dedicar a trabajos impuros, como limpiar letrinas, recoger animales muertos, etc. En la estructura social de los arios los oficios comenzaron a ser hereditarios por una parte (consolidando el sistema de castas) y a especializarse por otra cuando la economía se hizo más sedentaria y el comercio y la agricultura mejoraron (multiplicando el sistema de castas a partir de las cuatro iniciales). Pronto quedó vedado contraer matrimonio fuera de la casta por lo que este sistema se hizo más rígido y cerrado en sí mismo. La primera tentación del lector occidental consiste en confundir el sistema de castas con las clases sociales pero el primero es un sistema con base religiosa, no económica. Pueden darse profundas diferencias económicas de manera que un guerrero (sobre todo, hoy en día) sea pobre mientras un paria se vuelve millonario, pero este último siempre estará por debajo del primero en el sistema social. Este sistema tiene claras desventajas en el mundo actual, uno de cuyos valores occidentales es la igualdad de los hombres ante la ley, los derechos humanos, etc. pero indudablemente ha dotado de una gran estabilidad social a la India, a la par que un elevado grado de inmovilismo. 21

Período brahmánico El reino de Magadha Durante el período védico parecen haberse conformado distintos reinos en pugna constante de cuyo paso sólo queda una constancia indirecta, como es el caso de la mencionada epopeya Mahabarata. En el siglo VI sí se encuentran evidencias arqueológicas del dominio de uno de los reinos sobre los demás: el de Magadha. Situado junto al valle del Ganges, en el centro del actual Bihar, alcanza un momento importante con el advenimiento de Bimbisara (546 a.C.). Rey y político hábil, contemporáneo de Buda, neutralizó la oposición de estados vecinos del norte y el oeste mediante alianzas matrimoniales para lanzarse a la guerra contra estados del este. La anexión de Anga le permitió disponer de un importante puerto comercial que comunicaba el Ganges con el sur de la India. Diversas evidencias lingüísticas (el marathi, hablado entonces en la meseta del Dekán, es de origen ario) muestran la penetración que tuvo la dinastía Nanda en el sur de la India. Bimbisara fundó una nueva y espléndida capital llamada Rajagriha, muy cerca de algunos importantes yacimientos de hierro. Ello no es casual dado que uno de los factores más importantes para el triunfo del pequeño estado de Nagadha sobre sus vecinos es el hecho de disponer de un material de combate tanto de gran tamaño (catapultas) como de tamaño reducido (armas de hierro), así como el hecho de establecer un ejército permanente que venció a las fuerzas tribales que se le oponían. 22

Su final (494 aC) fue, sin embargo, trágico porque, tras ser depuesto por su hijo Ajatashatru, éste le apartó del poder, lo que motivó que el rey depuesto se dejara morir de hambre, actitud no infrecuente en la India. La ambición por el poder de Magadha motivó la guerra con los estados vecinos parientes de Ajatashatru (concretamente, contra su tío el rey de Kosala) en la cual destacó la capacidad bélica del reino de Magadha consiguiendo apoderarse de estos estados y ampliar considerablemente su poder. Desde el punto de vista religioso Ajatashatru se mostró hostil a Buda y sus seguidores pero la influencia de éste por entonces era muy poderosa y optó finalmente por solicitar el perdón para organizar, a la muerte del maestro, un concilio que reuniese a los budistas estableciendo las bases de la extensión de su influencia. Según la tradición, sin embargo, a Ajatashatru le sucedieron tres reyes, todos ellos parricidas lo que, unido a su crueldad, provocó la reacción de sus súbditos que, por medio del ministro Shishunaga, acabaron con la dinastía en el año 414. Este instauró su propia dinastía (414 - 346) que acabó con la muerte de los diez hijos del último rey por un jefe de bandidos (Mahapadma Nanda) que, en connivencia con la reina anterior, gobernó hasta la irrupción del reino de Maurya (300 aC). Los persas en la India Situado el reino de Magadha en el este del subcontinente, el destino de la parte oeste fue el de ser ocupado por las tropas persas de Darío I que, hacia el año 518, habían fundado una satrapía (provincia) de la que ha 23

quedado constancia en diversos monumentos persas. Su ocupación no fue violenta, tal como era característico en el imperio persa, y perduró durante dos siglos. Arqueros indios participaron en la campaña griega del rey Jerjes compartiendo la derrota de Platea (479), así como la más dolorosa y definitiva derrota de Gaugamela (331) en la que Darío III tuvo que ceder el reino persa a Alejandro Magno. La influencia de la presencia persa en la India no es desdeñable. En primer lugar, se tuvo constancia de la posibilidad de fundar un gran imperio unificador que fue la inspiración en lo sucesivo para algunos reinos (en particular, la dinastía Maurya) aunque la disgregación geográfica y étnica del subcontinente indio imposibilitaron ir más allá de un cierto límite. En segundo lugar, existe una influencia cultural que se manifiesta en la promulgación de leyes (característica de nuevo de la dinastía Maurya) así como en el uso de la lengua persa, el arameo, que fue el vehículo de comunicación de toda esa zona (Bactriana, Afganistán) por varios siglos hasta derivar en la lengua karosti. Los Upanishads Desde el punto de vista religioso, a la excesiva rigidez del ritual en los Vedas le sucede una reacción que se traduce en la confección de los Upanishads (Textos de doctrina arcana), un conjunto de libros que empiezan a escribirse en el siglo VIII aC, aún en el período védico, para completarse en su forma definitiva dos milenios después. Según ellos, el hombre no debe pretender manipular la voluntad de los dioses a través de los sacrificios (como en los Vedas) sino que precisa la salvación personal. Más allá del cuerpo y del alma, se encuentra el ‘atman’, esencia 24

última de todo individuo. Aunque esta esencia esté en todo y en todos es única identificándose con el ‘brahma’, la esencia última del universo. La forma de salvarse, de responder a la unidad ‘atman-brahma’ no son los actos litúrgicos sino el conocimiento. Pero no un conocimiento intelectual y científico donde el análisis divide la realidad, mostrándola en su variedad, no en su unidad. No es la ciencia con sus definiciones, su dominio sobre las cosas, la que puede llevarnos a alcanzar la unidad, sino el amor que contempla las cosas sin ánimo de posesión. Estas ideas llevaban de inmediato al monoteísmo caracterizado por Brahma, la unidad suprema, que da nombre a todo el período ahora estudiado. Toda forma de existencia viene de Brahma y a él retorna con la muerte. Pero cada existencia es imperfecta de manera que el alma debe purificarse en la vida para volver a Brahma y existir posteriormente en una nueva reencarnación que será mejor o peor según el ánimo de purificación de la vida anterior. Esta es la ley de purificación del ‘karma’, teoría pre-aria que este pueblo incorporó a sus creencias. Algunos autores hacen derivar esta creencia de la visión prehistórica del ciclo monzónico, dador de vida para el hombre agrícola de entonces y constantemente repetido cada año. Buda y Mahavira, los reformadores El príncipe Siddharta Gautama (546 - 466 aC) es contemporáneo del rey Bimbisara, del reino de Nagadha, y se constituye en un gran reformador religioso de la vida india. Dando la espalda a su acomodada posición en palacio decide salir de él teniendo, según la literatura posterior, 25

cuatro encuentros: Con un viejo (la decrepitud), un enfermo (el sufrimiento), un cadáver (la intrascendencia de la vida) y un asceta mendigo (la injusticia social). Tras seis años de vida errante y ascética se detuvo un día en el Parque de los Ciervos de Benarés donde, bajo un árbol, tuvo una gran revelación. Convertido en Buda (el Iluminado) renunció a su salvación individual para desarrollar una vida de predicación que empezó en el propio Benarés, con el sermón de las Cuatro verdades del budismo: Ésta, monjes, es la verdad sagrada acerca del dolor: El nacimiento es dolor, la vejez es dolor, la enfermedad es dolor, la muerte es dolor, la unión con lo que disgusta es dolor, la separación de lo que place es dolor, no conseguir lo que se desea es dolor... Ésta, monjes, es la sagrada verdad de cómo surge el dolor; es la sed, que lleva de reencarnación a reencarnación, junto con la alegría y el deseo, que encuentra su alegría aquí y allá: la sed de placeres, la sed de reencarnación, la sed de aniquilamiento. Ésta, monjes, es la sagrada verdad de la extinción del dolor: La supresión de esta sed por la destrucción total de la pasión, dejarla marchar, desprenderse de ella, deshacerse de ella, no dejarle ningún lugar. Todo este desprendimiento de las pasiones humanas conduce al nirvana, a la nada más absoluta. Fruto de ello es la redacción de una serie de normas morales que permitan alcanzar un “recto modo de pensar, una recta decisión, recta palabra, recta acción, recta vida, recto esfuerzo, recto recuerdo, recta concentración”, todo ello impulsado por una orden monástica que nunca ha reconocido sucesor de Buda 26

y, durante un largo período de tiempo, ni siquiera admitió la representación escultórica de su fundador. Vardhamana Mahavira (530 - 477 aC) fue otro importante reformador religioso contemporáneo de Buda, aunque no parece que se conocieran. Pertenece a una larga serie de reformadores que crearon una escuela de pensamiento, el movimiento jaina, nombre que deriva de su fundador histórico Jaina (el Victorioso). Para esta escuela, la materia consta de átomos, cada uno de los cuales tiene cuatro propiedades: olor, color, sabor y perceptibilidad. Estos átomos se van agregando entre sí en conjuntos mayores hasta formar el cuerpo. El mundo está poblado de almas individuales relacionadas con la materia de todas las cosas vivas. Para conseguir su libertad y no ser prisioneros del cuerpo éste tiene que ser subyugado mediante una visión recta, un conocimiento recto y una conducta recta. Ello implica una disciplina y un código moral muy estrictos con privaciones y penitencias voluntarias, no violencia sobre todas las cosas vivas, el ayuno para el control del cuerpo incluso hasta la muerte, el estudio, la meditación, etc. La regla de la no violencia llega a extremos de respirar a través de un velo (por cuanto en el aire hay animales diminutos), filtrar el agua para beber (toda gota encierra muchas almas vivas) e incluso no dedicarse a la agricultura (dado que al cavar se matan muchos animales). De ahí que sus seguidores se encuentren fundamentalmente entre los comerciantes que, sin ser muy numerosos (actualmente el jainismo tiene dos millones de seguidores), sí han formado una élite poderosa en todo momento en la sociedad india. Para algunos críticos, en la escuela jaina falta toda idea de Dios, Brahma o cualquier ente superior. La salvación es individual y a ella está destinado todo el 27

control y la disciplina del seguidor jainista, no tanto a los que le rodean y sufren.

Templo jainista

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Ashoka y el imperio Maurya La dinastía Maurya Con la dinastía Maurya se asiste al primer imperio unificador conocido por la India. La primera referencia histórica del príncipe Maurya Chandragupta (322 - 291 aC) es su intento de captar como aliado a Alejandro el Grande en su intento de derrocar a la dinastía Magadha, de la que entonces formaban parte los dominios Maurya. A la negativa del general macedonio (entonces en retirada) le sucedió pocos años después el derrocamiento de la dinastía Magadha y la creación del nuevo imperio desde su capital Pataliputra (actual Patna). Chandragupta extendió sus dominios hacia occidente expulsando del Sind y el Punjab (en el valle del Indo y que constituían el reino de Ghandara) a los griegos que quedaban y llegando, por tanto, desde el mar Arábigo al de Bengala. Tras estabilizar la frontera del oeste con una alianza con el nuevo rey Seleuco (entonces más preocupado con sus enemigos del oeste) su dominio se fue extendiendo, por primera vez, a lo largo de la meseta del Dekkán, hacia el sur (aunque este logro pudo deberse a su hijo). El rey Ashoka El rey Ashoka (272 - 232), nieto de Chandragupta, es el más famoso en la historia de la India. Una de las primeras acciones que se le conocen es la sangrienta represión de la 29

región de Kalinga, que pugnaba por su independencia. Más de cien mil personas pasadas a cuchillo además de otras tantas desplazadas da idea de la crueldad, incluso para aquellos tiempos, de la acción del nuevo rey Maurya. Además de las tendencias centrífugas a las que siempre se asistirá en un subcontinente tan amplio y variado, una de las causas de esta rebelión era el poco apoyo popular de que los Maurya disfrutaban por su religiosidad brahmánica.

Mapa del territorio Maurya

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Ashoka, dice la historia, entró en una crisis personal tras el gran derramamiento de sangre y transformó su fe en la budista. Es posible que tal cambio pueda verse reforzado además por criterios políticos pragmáticos en la búsqueda de una mayor unión con la fe popular, a la que defiende desde un tono paternalista:

Edicto de Ashoka Todos los hombres son mis hijos. Como para mis hijos deseo que alcancen todo el bien, así es mi deseo para todos los hombres. Por eso considero que es mi obligación fomentar el bienester de todos los hombres, pero la raíz 31

de todo está en el uso de todas las fuerzas y en la realización de los negocios. Edictos como el anterior hasta un total de catorce aparecen sobre columnas o rocas, sea en el más antiguo lenguaje karosthi (lengua al oeste del Indo) o en el más reciente brahmi (lengua al este del Indo), así como en nagari. Su budismo no es teórico ni profundo sino que asoma en sus edictos como normas de moral práctica tanto para el gobernante como para el gobernado.

Santuario rupestre de la época Maurya En sus últimos años, según una leyenda, se volvió infantil. Su aplicación de la doctrina de la no violencia era incapaz de impedir la defección de algunas partes de su 32

imperio, tal como sucedió en Taxila y el Punjab de la que se hicieron cargo dos de sus hijos. Retirado a un santuario budista sus descendientes fueron perdiendo el dominio de un imperio tan extenso y hacia el 187 a.C. el último fue asesinado en un desfile militar por uno de sus generales, el príncipe Pushyamitra, que inauguraba para su dinastía Shunga el dominio sobre el reino de Magadha.

Esquema de una stupa Las stupas Durante la India budista cuyo dominio comienza con el rey Ashoka, dos formas artísticas destacan sobremanera: Una son los santuarios rupestres, cuevas ideales para la meditación budista que, con el tiempo, se transformaron en verdaderos templos interiores en la montaña. La otra forma artística es la stupa, un monumento funerario-religioso que Ashoka multiplicó a miles por todo el territorio de su imperio. Sobre una plataforma en forma de altar de sacrificio, representando la Tierra, se levanta una semiesfera 33

(el Cielo) rodeada de una empalizada. Habitualmente bajo el altar se enterraban reliquias de hombres santos para que los caminantes les rindieran su recuerdo al pasar junto a ellos. La bóveda fue pronto recubierta de altos y bajorrelieves constituyéndose en una obra de arte de gran valor, entre las que destaca la stupa nº 1 de Sanchi (Bhopal), erigida por orden del rey Ashoka, un monumento de 36 metros de altura y cubriendo un círculo de 32 metros de diámetro.

Stupa nº 1 de Sanchi

34

Las dinastías locales Toda la fuerza que había empleado la dinastía Maurya en unir las tierras indias en un gran imperio se vino abajo pronto. Durante los siglos II y I a.C. la llanura del Ganges (antiguo reino de Magadha) estaba dominada por los Shunga (185 - 73 a.C.), a los que siguió una corta dinastía de brahmanes, los Kanva (73 - 28 aC). La meseta del Dekkán y, en general, casi toda la India del Sur, estaba en manos de los príncipes Shatavahana, un pueblo de origen indoeuropeo que, habiendo aceptado el dominio de los Maurya, se enfrentaron finalmente a ellos durante la descomposición del imperio llegando a ocupar el reino de Magadha tras el derrocamiento de los Kanva. No obstante, en el siglo III d.C. otro pueblo indo-parto, los Pallava, consiguieron su caída. El pueblo de los yuejin fue siendo desplazado en el siglo II a.C .del noroeste de China, donde vivían hacia la Bactriana, lugar en que empujaron a los partos hacia la India. Finalmente, hacia el año 65 d.C. los yuejin invadieron el noroeste de la India y, tras derrotar a los partos, uno de sus clanes, los Kushana, se hizo con un poder que no cesaría hasta el año 300 d.C. Combinando un gobierno férreo con una buena administración de los recursos, la dinastía Kushana se estableció alcanzando su mayor grandeza con Kanishka (144 - 168 d.C.), tiempo en que resultaron ser los intermediarios perfectos de la China en el establecimiento de la Ruta de la Seda, ruta no sólo de comercio sino de extensión del budismo hacia China. 35

El imperio gupta La constitución del imperio Desde el año 300 d.C. hasta el 495 el imperio Gupta consolida una nueva unificación del subcontinente indio, al menos en lo que se refiere a la llanura indo-gangética. Se asiste así a un nuevo ciclo de una historia varias veces repetida en países geográficamente tan amplios y variados como China o la India e incluso en Egipto durante la antigüedad.

Territorio durante el imperio Gupta 36

En primer lugar hay una serie de estados pequeños y autónomos repartidos por el territorio. En segundo lugar, uno de esos estados a cuya cabeza figura un rey guerrero y también diplomático (en este caso, Chandragupta) comienza una expansión que, eventualmente, seguirán sus descendientes. El reino adquiere un considerable poder, se forma una administración cada vez más extendida para controlar todo el territorio, pero la extensión del mismo y las dificultades de comunicación con el poder central provocan que las regiones periféricas practiquen una autonomía creciente. En un determinado momento los problemas dinásticos motivan disensiones internas cuando no rebeliones abiertas y, en suma, un creciente debilitamiento del poder central, con lo que las regiones (empezando por las más distantes) imponen su independencia formando reinos pequeños que suceden al imperio anterior para reanudar el ciclo antes o después. El imperio Gupta es un nuevo caso en este proceso. El reino que gobernaba el fundador de la dinastía era pequeño y estaba situado, como varios otros, en el valle del Ganges hacia el año 300. Chandragupta fue ese rey guerrero que se ha comentado pero también un político hábil puesto que se dio un nombre que recordaba al fundador de la dinastía Maurya y, sobre todo, casó con una princesa de la familia de los Licchavi, familia de rancio abolengo desde los tiempos de Buda aunque venida a menos. Con ello dio a sus descendientes una legitimidad en el dominio imperial de la que carecían anteriormente. Su hijo Samudragupta (335 - 375) hizo de este pequeño reino un imperio que iba desde el Ganges hasta el Indo a costa de vencer a numerosos pequeños y débiles estados que se opusieron a su avance. Su ánimo de 37

conquista le llevó incluso a la llanura del Dekkán donde venció entre otros al rey Pallava entonces en el poder. Sin embargo, no se asentó en el sur aunque toda esta zona convivió tanto en lo cultural como en lo comercial con el imperio Gupta a lo largo de su existencia. La labor inconclusa que dejó su padre la completó Chandragupta II (375 - 414) que culminó la conquista de la costa occidental venciendo al reino de los sátrapas. Con él llega a su máxima expansión el imperio que, a partir de entonces, se dedicó a consolidar su poder con Kumaragupta I (414 - 455) y luego a hacer frente a una lenta decadencia cuyas razones se han comentado anteriormente. El último rey, Budhagupta (447 - 495) resulta vencido por la invasión de los hunos heftalíes que transformarán la India en un nuevo conglomerado de estados pequeños hasta la llegada islámica varios siglos después. La ruptura de las vías comerciales Una de las razones y no pequeña de la decadencia del imperio Gupta se encuentra en la interrupción del comercio hacia mediados del siglo IV. Por un lado los hunos heftalíes fueron causando dificultades en la ruta de la Seda hasta que la ocupación de los pasos fronterizos al norte de la India la interrumpieron completamente. De forma concomitante con estas dificultades hay que resaltar que el lucrativo comercio con Roma se interrumpe con la decadencia y caída del imperio romano, con lo que una de las principales fuentes de riqueza y la base del poder de los comerciantes en el imperio se deshace. La dinastía Gupta, que se había apoyado fuertemente en esta rama de la 38

población, pierde la base de su poder al no poder hacer frente a los problemas presentados. De hecho, lo que se registra en esta época es una búsqueda de mercados alternativos por parte del sur del subcontinente que se expande fuertemente hacia las costas del sureste asiático (las actuales Corea, Indonesia y Vietnam, por ejemplo) donde se asentaron de manera pacífica conformando una élite de mercaderes que, en no pocos casos, se hicieron con el poder de las comunidades preexistentes. Sin embargo, lo único que ha quedado de esta expansión en aquellas regiones ha sido la extensión del budismo. Religión y cultura Los Gupta fueron partidarios de la religión hindú, particularmente rindiendo culto a Vishnú, una de las divinidades asociadas a Brahma. Sin embargo, su imperio es un tiempo de rara tolerancia. No es necesaria una religión oficial y el budismo y el hinduismo conviven en paz sin que ninguna quiera imponerse a la otra. De tal manera, que hasta los soberanos Gupta crearon universidades y centros de estudio sobre el budismo, aunque no lo profesaran. En todo caso, el budismo fue haciéndose cada vez más intelectual y apoyándose más en la élite de los ciudadanos y el hinduismo fue ganando en arraigo popular hasta el punto de que el primero fue desapareciendo paulatinamente de la India, lugar donde había nacido, al tiempo que se expandía incontenible por China.

39

Templo de Ajanta Ello no es óbice para que una de las mayores expresiones del arte budista, las cuevas de Ajanta, un santuario rupestre que se trabajó durante varios siglos, se desarrollara a lo largo de este tiempo. La otra forma de expresión artística budista, la escultura, también está magníficamente representada por la escuela de Sarnath. Ésta, trabajando en piedra arenisca, realiza una serie de figuras (particularmente de Buda) en torno al metro y medio de altura donde la figura emerge parcialmente de la piedra de una forma característica de esta época muy ligada al altorrelieve. Por lo que el imperio Gupta, sin embargo, ha alcanzado la denominación de India clásica ha sido por la 40

protección que todos sus soberanos dedicaron a la cultura y al arte. En particular la poesía llega en su tiempo a una de sus cumbres (la que representa, por ejemplo, el poeta Kalidasa, de fuerte influencia en la literatura europea a partir del siglo XVIII, admirado por Goethe). También el conocimiento científico, particularmente las matemáticas (o como las llamaban, el ‘arte indio’) y la astronomía (con importante influencia occidental), llegan a su época de mayor esplendor en la antigüedad india.

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Geometría védica

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Los Sulvasutras Como ya mencionamos al tratar la literatura védica, los Sulvasutras o aforismos de cuerdas (cordel de medir) son apéndices de las principales obras védicas, destinadas a la construcción y medida de los altares para los sacrificios rituales. Diversos datos parecen indicar que su redacción puede situarse entre el siglo VIII a.C., cuando el sánscrito empieza a tomar la forma que aparece en estos textos, y el siglo V a.C. en que el sabio Panini codifica y establece las reglas gramaticales del sánscrito clásico.

Altar cuadrado En la religión védica cada hogar debe tener tres tipos de fuegos de sacrificio (agnis). El altar apropiado para ellos 43

son cuadrados, circulares o semicirculares. Sin embargo, los más elaborados ya corresponden a rituales complejos que deben ser llevados a cabo por los brahmanes. Estos ya vienen referenciados en los Vedas samhitas como el Rigveda, de manera que su elaboración es antigua y probablemente los Sulvasutras son versiones actualizadas de conocimientos de varios siglos atrás.

Altar en forma de halcón Los altares (vedi) más complejos tenían usualmente forma de halcón, sea con sólo la cola o también patas, aunque cabía hacerlos también en forma de garza, una simple variación del primer altar. La razón viene expresada en uno de sus libros sagrados: Aquél que desea el cielo puede construir el altar en forma de halcón, puesto que el halcón es el mejor volador entre las aves; así el sacrificante, habiéndose convertido él 44

mismo en halcón, vuela hacia el mundo celestial. Pues bien, este altar sagrado se construía con siete cuadrados y medio. Cuatro de ellos formaban el cuerpo del halcón. Luego tres más se usaban para las dos alas y la cola. Finalmente, cada ala se alargaba con un quinto de cuadrado y la cola con un décimo del mismo cuadrado, totalizándose así los siete cuadrados y medio. Cada uno de estos cuadrados tenía por lado una purusa, unidad de medida equivalente aproximadamente a 2,34 metros y que correspondían a la altura de un hombre con los brazos levantados. Hay varios Sulvasutras: el más antiguo resulta ser el de Baudhayana y luego es difícil situar a los restantes, el de Apastamaba y el de Katyayana son los más importantes, habiendo otros de menor importancia como el de Manava. El primero, por ejemplo, consta de tres partes consistentes en 113, 83 y 323 aforismos (sutras), de los cuales los 62 primeros son los más importantes desde el punto de vista matemático por consistir en: 1-21: Trata de las unidades de medida a emplear en el resto del texto. 22-49: Se aborda la construcción de cuadrados y rectángulos, incluyendo la formación de un cuadrado sobre la diagonal de un rectángulo. 50-60: Examina los métodos para transformar unas figuras en otras conservando su superficie. En concreto, el aforismo 58 presenta la transformación de un círculo en un cuadrado mientras que el 59 y 60 hacen la 45

operación contraria transformando un cuadrado en círculo de igual área. 61-62: Como fruto de lo anterior, se encarga de determinar un valor aproximado para la raíz cuadrada de 2. Todas estas operaciones eran necesarias por varios motivos: 1)

2)

3)

Los altares más importantes debían tener la misma superficie de siete purusas y media cuadradas que caracterizaban el del halcón. Dado que había altares cuadrados debía saber construirse, en primer lugar, un cuadrado de tal superficie, y después otros altares rectangulares, triangulares, trapezoidales o circulares, con la misma superficie. El procedimiento más directo consistía en transformar un cuadrado en otro tipo de figuras permaneciendo constante el área. Las reglas brahmánicas establecían que el primer altar construido en un hogar tuviera la superficie antedicha pero que si se construía uno más debía tener una purusa cuadrada más, el siguiente una más y así sucesivamente. Ello obligaba, a partir del altar cuadrado inicial, a construir un altar cuadrado (figura básica inicial, transformable en otra posteriormente) a partir de la suma de dos cuadrados desiguales. Había sacrificios que exigían un altar cuadrado, como ya se ha comentado, pero otros de distinto tipo precisaban un cuadrado que fuera la tercera parte y aún la novena parte del inicia, lo que conducía al cálculo de cuadrados equivalentes a la tercera parte de uno dado. 46

4)

Dentro de las transformaciones de un altar cuadrado en otro de distinta forma, era especialmente relevante la construcción de un altar circular por cuanto se planteaba el problema de la cuadratura del círculo o la circularidad del cuadrado, dando paso a cálculos sobre el valor más aproximado de la raíz cuadrada de dos.

A estos problemas geométricos en los que los brahmanes alcanzaron una gran habilidad y conocimiento, habría que añadir otros problemas prácticos también relacionados con las matemáticas. En efecto, los altares usuales tenían que construirse con cinco capas de ladrillos que llegaban a un hombre a la altura de la rodilla pero otros más elaborados debían llevarse a cabo con diez y hasta quince capas de ladrillos. Cada capa debía tener doscientos ladrillos hasta totalizar en el más usual el número de mil. Sin embargo, para que encajaran adecuadamente, estos doscientos ladrillos de cada capa debían colocarse de forma no coincidente, lo que obligaba a plantear las distintas formas de intercalarlos para mantener el número requerido y dar estabilidad, al tiempo, al altar. Todos estos problemas y la forma en que los brahmanes indios los solucionaron empleando métodos geométricos de gran ingeniosidad, serán tratados a continuación.

Construcción del cuadrado y el trapecio En primer lugar, el altar debía estar orientado en referencia a los cuatro puntos cardinales, de manera que la 47

primera tarea de los tendedores de cuerdas era señalarlos, tal como señala Katyayana. Para ello se colocaba una barra vertical (el gnomon) y se trazaba una circunferencia pasando por el lugar de su colocación y que tuviera la altura de dicho gnomon por diámetro. Sea en el amanecer o en el atardecer, la sombra del gnomon caería sobre otro punto de la circunferencia que permitiría tender la cuerda en la dirección este-oeste, E-O.

A continuación era necesario trazar el eje norte-sur lo que planteaba el problema de construir la perpendicular a la recta antes dibujada. Ello se hacía de un modo similar al actual: Atando cuerdas a los gnomones E-O se tendía una cuerda de longitud doble que la distancia entre el gnomon E y el O. Se marcaba con otro gnomon el punto medio de esta cuerda lo que señalaría en un sentido el norte y en el otro el sur. 48

Con esta construcción se garantizaba el dibujo de perpendiculares. Sin embargo, había otro método para su dibujo consistente en reunir tripletas pitagóricas. Así, se tomaba una cuerda dividida en dos partes: Una, por ejemplo, tenía 39 prakramas (unidad de longitud) y la otra 15. Se doblaba la cuerda hasta que la distancia entre sus extremos fuera de 36 en cuyo caso se habría construido un triángulo rectángulo de catetos 15 y 36 y de hipotenusa 39. Apastamba da otros valores, el más elemental (3, 4, 5) y algunos múltiplos, así como otras tripletas (12, 5, 13) con sus múltiplos, (15, 8, 17) ó (12, 35, 37). Había varios métodos para el trazado de un cuadrado. Conociendo los ejes E-O, N-S y tomando las 49

mismas distancias desde su punto de corte hacia las cuatro direcciones sobre dichos ejes, bastaba trazar perpendiculares por los extremos de estos ejes hasta que sus puntos de corte dieran los vértices del cuadrado buscado. Otros procedimientos, sin embargo, son más originales.

El primero tomaba un bambú recto de longitud la del lado del cuadrado deseado y con agujeros en los extremos y en su punto medio. Sujetándolo por un extremo A se hacía girar el otro libremente trazando sobre arena su trayectoria. Esta acción se repetía sujetándolo por el otro extremo B hasta que el punto de corte P de ambas trayectorias permitía construir la perpendicular de un modo semejante al visto antes. Sujetando un extremo del bambú en el punto medio O y haciéndolo pasar por el punto P se conseguía el punto Q. 50

Colocando el punto medio del bambú en Q se colocaba este bambú de manera que sus dos extremos estuvieran sobre las trayectorias dibujadas en la arena permitiendo así conseguir los vértices C y D. Baudhayana, sin embargo, ofrece otro método basado en el dibujo e intersección de circunferencias. Consiste en considerar una cuerda tan larga como el lado del cuadrado deseado fijando el punto medio, a partir del cual y tomándolo como centro se dibuja una circunferencia que tenga por diámetro el lado del cuadrado. Se trazan dos diámetros perpendiculares de esta circunferencia respetando, naturalmente, las direcciones consabidas E-O y N-S. Por los puntos donde estos diámetros corten a la circunferencia (cuatro en total) se dibujan sendas circunferencias iguales a la anterior. Los puntos de intersección de estas cuatro circunferencias marcan la posición de los cuatro vértices del cuadrado.

51

Es evidente que estos métodos sirven de base para la construcción tanto de rectángulos como de trapecios. En concreto, el vedi o altar prescrito para tomar en él la bebida embriagante y sagrada del soma tenía que tener la forma de un trapecio isósceles (mahavedi) donde la base más corta debía tener 24 padas (pies), la más larga 30 y la altura del altar o distancia perpendicular entre ambas bases había de contar 36 padas.

La construcción dada por Baudhayana es la siguiente: 1)

Se marca con la cuerda la longitud de 36 padas (XY) en dirección este-oeste. 52

2) 3)

4)

Desde el extremo este de la cuerda (X) se señala una distancia de 5 padas (punto P) y desde el extremo oeste (Y) una distancia de 8 padas (punto R). A continuación se utiliza el triángulo rectángulo (5, 12, 13) donde 5 es la distancia entre XP, de manera que 12 será el cateto restante de dicho triángulo y da el punto A. Si se realiza la misma construcción en el otro sentido se obtiene el punto D de manera que la distancia AD es de 24 padas, tal como se deseaba. Del mismo modo, a partir de R y sobre la base contraria se considera el triángulo rectángulo (8, 15, 17) de manera que, como la distancia YR era de 8 padas, el otro cateto de 15 permitirá obtener B y, sobre el sentido contrario, C. Así, la distancia entre los puntos B y C será de 30 padas, como se deseaba.

Parece pues que los indios ya eran perfectos conocedores de las relaciones pitagóricas y ello varios siglos antes de que Pitágoras le diera una completa demostración en sus Elementos. Veamos hasta qué punto es así.

El cuadrado doble y Pitágoras Dentro de la construcción de altares existen distintas ocasiones en que es necesario dibujar un cuadrado de área doble que la de uno dado. La más elemental consiste en transformar un altar cuadrado en otro en forma de triángulo isósceles del mismo área. La forma más sencilla para hacer esto es que, a partir del cuadrado inicial, se construya otro 53

de tamaño doble. A continuación se toma el lado de este nuevo cuadrado como base y altura del triángulo isósceles. Sin más que comparar la superficie de los cuatro triángulos resultantes se comprueba el resultado deseado.

Por este motivo, entre otros, los brahmanes indios precisaban construir cuadrados de área doble que uno dado. La forma más fácil de conseguir este objetivo era darse cuenta de que la diagonal del cuadrado original es el lado del cuadrado deseado. La forma en que llegaron a tal solución puede obedecer a una intuición meramente geométrica al considerar una figura como la siguiente.

54

Dice Katyayana: En la construcción del altar Paitrki haced un cuadrado de área dos purusas cuadradas y tenga los clavos (vértices del altar) en los puntos medios de los lados. Ésta es la construcción. Se puede observar que el cuadrado original consta de dos triángulos de media purusa cuadrada cada uno, mientras que el cuadrado construido sobre la diagonal del primero consta de cuatro de estos triángulos. Naturalmente éste es un caso particular de la relación más general denominada de Pitágoras pero probablemente a los brahmanes védicos les bastaba para tener el procedimiento deseado. 55

Baudhayana dice que La cuerda que se estira en el sentido de la diagonal de un cuadrado produce un área de tamaño doble del cuadrado original. El conocimiento de esta relación presente en el triángulo rectángulo era amplio y bastante general por cuanto las relaciones pitagóricas eran utilizadas habitualmente en la construcción de ángulos rectos, tal como hemos visto anteriormente en el altar trapezoidal. Apastamba, por ejemplo, maneja triadas como (3, 4, 5), la más elemental, pero también otras que no se deducen de la anterior, como (15, 36, 39), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (72, 96, 120), etc.

Posteriormente, al construir un altar cuadrado que tenga por área la diferencia de dos cuadrados desiguales, podrá encontrarse una construcción geométrica que, no sólo utiliza de forma general la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, sino que es la misma disposición que 56

permite una demostración ya conocida en el mundo chino. En efecto, el cuadrado grande de la izquierda se compone del pequeño interior más cuatro triángulos. El cuadrado de la derecha, igual que el original, se compone de los mismos cuatro triángulos y dos cuadrados construidos sobre los catetos de uno cualquiera de esos triángulos. Si eliminamos los cuatro triángulos iguales en cada uno de los grandes se obtiene la evidencia visual de que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los construidos sobre los catetos. Pues bien, la construcción de un cuadrado de área doble a partir de la diagonal del cuadrado original supone conocer, desde el punto de vista numérico, que esta diagonal se obtiene multiplicando √2 por el lado del cuadrado. En líneas generales, el cuadrado de lado unidad tiene por diagonal precisamente √2 de forma que el área del cuadrado construido sobre ella es 2. Lo cierto es que la matemática védica supo calcular una aproximación muy exacta de este valor, tal como muestran Apastamba y Katyayana: √2 ≈ 1 + 1 / 3 + 1 / 3 x 4 - 1 / 3 x 4 x 34 En otras palabras, en términos decimales tomaban la aproximación 1,41421568... siendo la actual 1,41421356... La cuestión problemática que se presenta al estudioso actual es averiguar cómo pudieron llegar a ese valor tan ajustado. Los Sulvasutras, conjuntos de aforismos de cómo proceder para realizar los cálculos oportunos son una obra eminentemente práctica que no se detiene en demostración alguna. De manera que sólo cabe hacer 57

reconstrucciones lo más verosímiles posible del modo en que llegaron a un resultado semejante. La primera sería de naturaleza algebraica: 1. Se considera un altar cuadrado de lado 12. Su área será 12 2 = 144 2. Ahora se plantea el problema de construir un altar cuadrado cuya área sea el doble que la anterior, es decir, 2 . 122 = 288 3. La mejor aproximación parece ser la del cuadrado de lado 17, ya que 17 2 = 289 4. Esto supone que 2 x 122 ≈ 172 luego √2 ≈ 17/12 que expresado a través de fracciones unitarias daría: √2 ≈ 17 / 12 = 1 + 1 / 3 + 1 / 3 x 4 5. La consideración de esa unidad de diferencia entre 288 y 289 precisaría considerar la sustracción de una fracción que sería la dada en la fórmula anterior. Sin embargo, es posible una aproximación de naturaleza geométrica que quizá estuviera más a su alcance y ser más intuitiva para justificar la fracción que se resta: Se toman dos cuadrados iguales de lado unidad. Se trata de formar un cuadrado de área doble que cualquiera de ellos recortando el segundo y uniendo las partes recortadas sobre el segundo hasta formar el cuadrado deseado. Evidentemente éste es un método aproximativo que se puede algebrizar posteriormente para dar cuenta de las acciones efectuadas.

58

Así, el segundo se divide en tres rectángulos iguales dos de los cuales se colocan sobre el primer cuadrado según la figura. A continuación el tercer rectángulo se divide a su vez en tres partes iguales, una de cuyas partes, el cuadrado, se coloca en la esquina del primero. Los otros dos cuadrados se dividen cada uno en cuatro rectángulos iguales que pueden colocarse en torno a la figura antes dibujada. Así, todo el segundo cuadrado queda repartido alrededor del primero a salvo de un pequeño cuadradito de la esquina que es necesario añadir para completar el cuadrado buscado de área doble. De esta manera, el lado de este último cuadrado mayor tendrá de lado 1 1 2  1  3 3 4 a lo que habría que quitar una pequeña cantidad para compensar el cuadradito pequeño que se ha tenido que añadir. Éste tendrá de área (1 / 3.4 ) 2 , superficie que habría que restar del cuadrado hasta ese momento formado. Pero la resta habría de ser de una pequeña franja rectangular 59

tanto en la parte superior como a la izquierda, por ejemplo, de dimensiones 1 + 1/3 + 1/3.4 de largo y una cantidad desconocida x de espesor. ¿Cuánto vale x? Habrá de cumplirse:

 1 1    x2 2 x 1    3 3  4

 1     3  4

2

Despreciando el valor de x2 por ser muy pequeño y despejando el valor de x se llega a que:

x

1 3  4  34

que justificaría la deducción mostrada por las fórmulas védicas.

Suma y resta de cuadrados La construcción de un cuadrado doble que uno dado ya supone resolver el problema de hallar el cuadrado que tenga por área la suma de dos cuadrados iguales. Pero el problema puede generalizarse a la suma de tres y más cuadrados, siempre que sean iguales. Baudhayana afirma que Un rectángulo de anchura igual a la del cuadrado e igual a la unidad y una longitud que sea su diagonal tiene una diagonal que da un cuadrado tres veces más grande. 60

El proceso es generalizable sin más que construir sucesivos triángulos rectángulos uno de cuyos catetos sea la unidad y el otro las distintas diagonales crecientes que se ven obteniendo. Sin embargo, el procedimiento más general viene dado por Katyayana tiempo después y, aunque no da explicación de cómo ha llegado al resultado que enuncia, es posible que el examen de casos particulares haya permitido inferir el más general. Consideremos la relación pitagórica que conocían (5, 12, 13). Si tomamos el cuadrado del cateto pequeño (5 2 = 25) resultaría que el segundo cateto se obtiene hallando la mitad de este cuadrado menos uno y la hipotenusa puede interpretarse como la mitad de ese cuadrado más uno, de modo que 12 = ½ (25 - 1), 13 = ½ (25 + 1). Puede comprobarse que esta relación sucede en general y da lugar a tripletas pitagóricas: 61

[√n , ½ (n - 1), ½ (n + 1) ] Este hecho general permite deducir que si se construye un triángulo rectángulo que tenga de base ½ (n 1) y de hipotenusa ½ (n + 1) el otro cateto nos dará el lado de un cuadrado de área n, siendo n cualquiera. Probablemente, Katyayana prefiere prescindir de las mitades considerando el triángulo isósceles que tenga de base (n - 1). Al mismo tiempo, como la tripleta pitagórica sigue siéndolo si cada uno de sus términos es multiplicado por el mismo número L podremos deducir que la construcción de dicho triángulo permite hallar, a partir del cuadrado de lado L, un cuadrado n veces mayor. Los problemas de este apartado se cierran con la suma y resta de cuadrados desiguales. En estos casos, la aplicación de la relación pitagórica es flexible y constante, de manera que debía de ser un procedimiento consabido: dos catetos permiten hallar una hipotenusa deseada (como en Baudhayana) y una hipotenusa junto a uno de los catetos permitía hallar el otro (Katyayana). Así, para sumar dos cuadrados desiguales Apastamba propone: Con el lado del pequeño debe cortarse un segmento del mayor. La cuerda diagonal del segmento combinará los dos cuadrados.

62

Como se puede apreciar, estas indicaciones permiten formar un triángulo rectángulo de catetos a y b, los lados de los dos triángulos desiguales que se quieren combinar. La hipotenusa de dicho triángulo tendrá de longitud la raíz cuadrada de a2 + b2 de manera que constituye el lado del cuadrado buscado, unión de los dos. Una construcción semejante realiza el mismo Apastamba para mostrar la forma de encontrar un cuadrado igual a la diferencia de otros dos desiguales. En este caso interesará formar un triángulo rectángulo que tenga por hipotenusa el lado a del cuadrado mayor y uno de sus catetos el lado b del menor. De manera que la construcción es semejante a la anterior salvo en la hipotenusa considerada. Así, se divide el cuadrado grande de forma que quede en su parte inferior el rectángulo de lados a y b. Entonces se abate el lado a sobre el lado contrario. De este modo se forma el triángulo rectángulo que tiene b por uno 63

de sus catetos y a por la hipotenusa, de manera que el otro cateto será la raíz cuadrada de a2 - b2, siendo por tanto el lado del cuadrado diferencia de los dos iniciales.

Transformación entre cuadriláteros Cuadrado en rectángulo Una vez construido el cuadrado por alguno de los procedimientos examinados, se desea construir un altar rectangular de la misma superficie, lo que implica transformar el cuadrado en rectángulo. Se han registrado 64

hasta tres métodos para ellos, el primero de los cuales (Apastamba) es muy tosco e inexacto. Consiste en considerar el cuadrado ABCD de manera que, sobre uno de los lados, se considera el segmento de longitud EF correspondiente a la anchura del rectángulo que se desea.

A continuación lo que se hace es cortar superficies sobrantes pegándolas a continuación del lado corto del rectángulo hasta completarlo. Primero un trozo de largo igual a dicha anchura y luego dividir el resto tantas veces como sea necesario. El resultado de tal acción es bastante imprevisible porque pueden obtenerse con exactitud esos trozos y unirlos a continuación o no. Más exacto como método pero también limitado es la construcción de Baudhayana o Katyayana que consiste en 65

partir el cuadrado ABCD por la mitad mediante una diagonal. Uno de los triángulos resultantes, el ABC, se divide a su vez en dos triángulos iguales que resultan rectángulos. Estos se trasladan sobre los otros dos lados del cuadrado para formar el rectángulo ACFG que tiene un área igual que el cuadrado original. El único problema de esta construcción es que al rectángulo no se le puede dar el lado que previamente se desee.

Apastamba, que había mostrado previamente un método burdo y aproximado, termina ofreciendo una 66

construcción sencilla y exacta (que sólo fue demostrada como tal por un comentador posterior). Considérese el cuadrado ABCD cuyo lado CD se lleva hasta la posición EF de manera que BE coincida con la longitud del rectángulo que se desea. Se unen entonces los vértices B y F mediante una diagonal que corta a CD en G. El rectángulo buscado es entonces el IHEB siendo IH la recta que pasa por G.

En efecto, se parte de que los triángulos BEF y BAF son iguales. De estos quitamos los triángulos GFH y GFD iguales. Resulta entonces que los trapecios BGHE y BGDA son iguales. Quitamos de estos los triángulos BGC y BGI 67

que son iguales. Queda entonces que los rectángulos IGDA y CGHE también son iguales, de donde lo restado al cuadrado se le ha añadido al rectángulo para formarlo y las áreas serán, por consiguiente, iguales. Rectángulo en cuadrado Hay que plantear el caso contrario, es decir, convertir un rectángulo en un cuadrado de la misma superficie.

68

Baudhayana lo hace considerando el rectángulo ABCD. A partir del lado AB se forma el cuadrado ABKH. Se considera entonces el segmento EM de manera que el rectángulo sobrante (HKCD) quede dividido por la mitad. El rectángulo EMCD se traslada sobre BK a la posición KBJG. Se considera entonces el cuadrado AJFE.al que habría que quitarle el cuadrado pequeño de la esquina (KGFM) para que la superficie fuera equivalente al rectángulo original. Se ha visto anteriormente el procedimiento para efectuar la sustracción de dos cuadrados desiguales, como sería el caso. Consiste en tender una cuerda desde J hasta F haciéndola girar hasta cortar en W al rectángulo original. Entonces, el cuadrado deseado tendrá por lado la longitud JS. En efecto, JS2 = JW2 - WS2 = AJ2 - BJ2 = = (AJ + BJ) (AJ - BJ) = AD x AB = Área de ABCD cálculo que no es realizado más que para efectuar una comprobación algebraica actual de la corrección del procedimiento llevado a cabo. Cuadrilátero en trapecio Los Sulvasutras ofrecen dos procedimientos para transformar un altar cuadrado o rectangular en otro trapezoidal isósceles. Baudhayana parte de un rectángulo ABCD eligiendo el segmento AF que coincida con la base mayor del trapecio deseado. Eso deja a un lado un rectángulo que se divide en dos mediante una diagonal. De los dos triángulos que resultan el más extremo se traslada al lado contrario del 69

rectángulo AFED para formar el trapecio deseado de igual superficie.

Cabe otra posibilidad a partir de un altar cuadrado ABCD.

70

Consiste en marcar sobre uno de los lados (DC por ejemplo) dos puntos equidistantes de los vértices (E y F) de manera que el segmento EF coincida con la base menor del trapecio deseado. La misma distancia que separa E del vértice D se toma sobre la prolongación del lado opuesto del cuadrado AB para conseguir los puntos G y H que definen el segmento que constituye la base mayor del trapecio. Al trazar los segmentos GE y HF, lados del altar trapezoidal, se forman triángulos que son iguales (tienen un lado igual e iguales los dos ángulos adyacentes) por lo que la misma superficie que se detrae del cuadrado original se añade, conservándose finalmente el área. Cuadrilátero y rombo La forma de construir un altar romboidal a partir de uno cuadrado resulta de una gran sencillez según el método aportado por Apastamba. Así, se considera el cuadrado y se construye uno de área doble mediante la diagonal del primero. A continuación se toma el punto medio de cada lado del cuadrado doble, uniéndose entre sí. Como es fácil deducir a partir de los ejes perpendiculares interiores, el área del rombo así obtenido es la mitad del cuadrado grande y, por tanto, presenta la misma superficie que el cuadrado pequeño original.

71

Katyayana plantea incluso la acción contraria, transformando un rombo en rectángulo, aunque éste no sea arbitrario sino que muestra uno de sus lados coincidente con la diagonal mayor del rombo. Así, la mitad del rombo se puede transformar en dos triángulos rectángulos iguales que se colocan en el lado contrario del medio rombo opuesto, de un modo similar al que se seguía en uno de los procedimientos para transformar un cuadrado en rectángulo.

72

Transformaciones de cuadrado y círculo Queriendo construir un altar circular el primer problema propuesto fue el de la 'circularidad del cuadrado', la transformación de un cuadrado en un círculo, que Baudhayana resuelve del siguiente modo: 73

En el cuadrado ABCD sea M la intersección de las diagonales. Con radio MA se traza un arco que corta en E a la perpendicular al lado AD del cuadrado que pasa por M. Si G es el punto de corte de dicha perpendicular con el lado AD, sea GN = 1/3 GE. Entonces MN es el radio del círculo que tiene un área igual al cuadrado ABCD. Calculemos la aproximación propuesta en términos actuales. Si se considera el triángulo rectángulo AGM, por el teorema de Pitágoras, resultará que ME = AM = L/✓2 siendo L el lado del cuadrado original. 74

GE = L/✓2 - L/2 = L (✓2 - 1) / 2 De modo que GN = 1/3 GE = L (✓2 - 1) / 6 finalmente, el radio del círculo equivalente sería: MN = L/2 + L (✓2 - 1) / 6 = L (✓2 + 2) / 6 De este modo, al lado L del cuadrado le correspondería un diámetro de d = L (✓2 + 2) / 3 Naturalmente, éste es un procedimiento aproximativo que conlleva la consideración final de un valor de π = 3,088273... El problema inverso, la cuadratura del círculo, es resuelto inicialmente a través de una regla algo aproximada: Dividir el diámetro en 15 partes de las cuales 13 se toman como el lado del cuadrado. Esto es decir que el lado L = 13 d / 15 lo que conduce a un valor de π = 3,004. Baudhayana, sin embargo, da una aproximación aún mayor: Si quieres cambiar un círculo en un cuadrado, dividir el diámetro en 8 partes, y nuevamente una de estas 8 partes en 29 partes; de estas 29 partes quitar 28, y además la sexta parte [de una de las partes quitadas] menos la octava parte [de la sexta parte]. En otras palabras, el lado del cuadrado buscado es 75

7 / 8 + 1 / 8  29 - 1 / 8  29  6 + 1 / 8  29  6  8 del diámetro del círculo dado. ¿Cómo pudo llegar a este valor? La búsqueda de una explicación razonable resulta un proceso interesante sobre el que se han vertido distintas hipótesis. Aquí daremos una versión algo antigua, la de Thibaut, pero de cierta sencillez. Se parte de la idea de que esta aproximación debe seguir un proceso en cierta forma inverso al que permite obtener el diámetro a partir del lado del cuadrado. Teniendo en cuenta la conclusión a la que llegamos entonces: d = L (✓2 + 2) / 3 se deduciría que L = 3 d / (✓2 + 2) Ahora bien, existe una expresión de ✓2 que es: ✓2 = 1 + 1/3 + 1/3.4 - 1/3.4.34 de manera que: ✓2 + 2 = 3 + 1/3 + 1/3.4 - 1/3.4.34 = 1393/408 de donde: L = 3 x 408 x d / 1393 = d x 1224/1393 = d x 0,878679... La cuestión entonces se reduce a saber cómo Baudhayana pudo llegar a la aproximación citada, teniendo en cuenta que es muy cercana al valor alcanzado: 7/8 + 1/8.29 - 1/8.29.6 + 1/8.29.6.8 = 0,878681... 76

Thibaut plantea que de lo que se trata es de averiguar la relación 1224/1393 de una forma más sencilla o, en otras palabras, por qué número hay que multiplicar 1393 para obtener 1224. Por ello plantea las siguientes aproximaciones: 1) 2)

Halla 1/8 de 1393, que son 174 1/8. Busca la mayor aproximación en octavos a 1224, que resulta ser 7 x 174 1/8 = 1218 7/8 3) Hemos multiplicado 1393 por 7/8 pero quedan: 1224 - 1218 7/8 = 5 1/8 ¿Cómo conseguir 5 1/8 a partir de 1393? 4) Despreciando 1/8 en 174 1/8 resulta que 174 : 29 =6 lo que supone añadir 1/8.29 pero habría que llegar a 5 1/8, no a 6. 5) Se quita 1/6 de lo anterior (o sea, una unidad): 1/8.29.6 6) y ahora se añade 1/8 de esta unidad: 1/8.29.6.8 Resultando la fórmula propuesta por Baudhayana y teniendo en cuenta un error en la aproximación que puede considerarse despreciable.

El círculo para los jainas Dentro de la concepción del mundo que tenía el jainismo, la tierra venía a ser una isla circular con un diámetro de 100.000 yojannas (aproximadamente un millón de kms). Dado que no había todavía un desarrollo 77

astronómico como el que se conocerá más tarde, probablemente éste sea el motivo de una mayor profundización en el estudio de la circunferencia y sus elementos principales como el segmento circular o la longitud de una cuerda, que tampoco parecen provenir de la construcción de altares, tema que por otra parte iba decayendo en interés por aquel tiempo.

Pataliputra, la capital jaina En todo caso, es posible registrar aproximadamente en el siglo II aC una obra (Tattwarthadhigama-sutra Bhashya) de un matemático jaina de la escuela de la capital Pataliputra (cerca de la actual Patna) de considerable importancia geométrica. Este matemático, Umaswati, propone una serie de relaciones entre estos elementos de la 78

circunferencia. Llamando C a la longitud de la circunferencia, A al área del círculo, d al diámetro, c a la longitud de una cuerda y h a la altura de un segmento circular (distancia entre la cuerda y el arco que lo define situada en el diámetro), serían los siguientes:

1)

C  10  d

2)

A

3)

c  4  h d  h 

4)

h

5)

Arco  6  h 2  c 2

6)

d 

1 C d 4



1 d  d 2  c2 2

h2  h



1 2 c 4

Atendiendo en primer lugar a la igualdad (3), su deducción resulta relativamente sencilla considerando el triángulo rectángulo formado por la semicuerda y dos radios, como se señala en la figura. Por el teorema de Pitágoras resultará que se cumple la igualdad:

1 2 1 2 d  d  c    h 2  4 4

79

2

de donde se deduce inmediatamente dicha igualdad sin más que despejar c. A partir de ella, tratándola como una ecuación cuadrática en h,

1 h 2  h d  c2 0 4 que una vez resuelta conduce a la igualdad (4). De igual manera, la expresión (6) se obtiene de la (3) sin más que despejar el valor de d. La expresión (1) da la longitud de la circunferencia en función del diámetro al multiplicarlo por un factor √10 que, en concreto, equivale a tomar como valor de π el de 80

3,162 lo cual resulta de una mayor exactitud que el clásico valor de π = 3 considerado por diversas culturas de la antigüedad, incluida la india. El origen de este número puede estar en la inscripción de un exágono dentro de un círculo, una forma clásica ya por entonces de aproximarse a la longitud de la circunferencia. Considerando que el lado del exágono (igual a d/2 por construcción) es una cuerda, se le puede aplicar la igualdad (4) antes deducida para obtener la altura h de esta cuerda:

h

 1 1 d  d 2   d 2   2  4 

d d 2 3  4 12 5 tomando 3  3 





Ahora bien, cada lado S12 del dodecágono se formaría dividiendo en dos cada lado S6 del exágono de manera que:

1 4 2 1 d      12  4 S 122  h 2 

S 62  2

10  d 2 d     2 144

de manera que el perímetro total del dodecágono, una aproximación a la longitud de la circunferencia, sería: 81

 10  d  P  12    10  d  12  Por fin, desde la aproximación (1) a la longitud de la circunferencia, se puede considerar el caso particular en que la cuerda c que aparece en otras expresiones coincide con el diámetro de la circunferencia (c = d) en cuyo caso la altura h = d/2. A partir de dicha aproximación resultaría que el arco del segmento coincide en este caso particular con la semicircunferencia:

10 d 1 10 2 C   d  2 2 4 2



6 2 d d d2  6  d2  2 4

 6 h2  d 2 llegándose a una expresión que puede generalizarse.

82

Numeración

83

Numeración oral védica Mucho antes que los signos numéricos escritos existieron las palabras numéricas. Al igual que actualmente disponemos de la misma herramienta con las palabras: uno, dos, tres, etc., los indios autores de los Vedas expresaban verbalmente las primeras cantidades. Aunque existían diversas acepciones para las mismas, dependiendo del Veda considerado, de la zona geográfica y su lenguaje, finalmente quedaron las siguientes palabras en sánscrito para describir las primeras cantidades hasta el diez: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

eka dvi tri catur pancham sas saptam astan navan dasan

Durante un largo tiempo, sobre todo en la literatura védica, estas denominaciones no fueron establecidas. El contexto era eminentemente poético, como es el caso, por ejemplo, del mandala II del Rigveda, que presenta la siguiente estrofa: Indra, ven aquí con dos corceles castaños, ven con cuatro, con seis cuando se te invoca. Ven tú con ocho, con diez, para beber el Soma. 84

He aquí el jugo, valiente guerrero, no lo desdeñes. ¡Oh, Indra!, ven aquí habiendo enganchado a tu carro veinte, treinta, cuarenta caballos. Ven con cincuenta corceles bien adiestrados, Indra, sesenta o setenta, para beber el Soma. Sin embargo, las palabras numéricas cambiaban en un contexto astronómico, filosófico, religioso o poético. Así, la unidad, que terminaría asociada a la palabra “eka”, podía escribirse como urvara o kisiti, si se refería a la Tierra, como abja o indu si mencionaba la Luna, como nayaka si trataba del héroe de una narración, como tanu si se refería al cuerpo humano. Lo mismo sucedía en todas las demás palabras numéricas: Cuatro, que terminaría escribiéndose como “catur” se decía veda si se refería a los textos sagrados, dis si trataba de un punto cardinal o yuga para las cuatro edades del mundo en el hinduismo. En estas condiciones y durante largo tiempo, no puede afirmarse que la numeración védica considerara el carácter abstracto del número sino que éste venía referido a la cualidad o elementos descritos. No sería hasta mucho después, cuando el sánscrito clásico se hubiera refinado y pulido, cuando la numeración se sistematizaría. No obstante, quedó claro desde el principio la sujeción a una forma de conteo en base diez. Ello tuvo su consecuencia inmediata en la forma de nombrar los números superiores a diez: 11 ekadasan 12 dvadasan 13 trayodasan 14 caturdasan 15 pancadasa 85

Como se puede observar, la palabra dasan (diez) seguía a la denominación de las unidades. De forma que, en términos actuales, encontraríamos algo como unodiez, dosdiez, tresdiez, cuatrodiez, cincodiez, .... Las palabras referentes a las decenas conservaban las raíces del número de decenas a que se referían: 20 30 40 50 60 70 80 90 100

vimsati trimsat catvarimsat pancasat sasti saptati asiti navati sata

para, a partir de la centena, enunciar el número de centenas correspondiente: 200 dvisata 300 trisata 400 catussata 500 pancasata ........................... Se fue convirtiendo en norma la pronunciación que comenzaba por las unidades para continuar con las decenas, miles, etc., al contrario que en castellano actual. De esta forma, teniendo en cuenta que 86

1.000 sahasra 10.000 ayutam 100.000 niyutam (o laksa) .................................... un número como 3.745, por ejemplo, se vendría a pronunciar como Pancham catvarimsat saptasata ca trisahasra donde el término ca significa junto, es decir Cinco cuarenta setecientos y tres mil En este caso las palabras numéricas aún no están inscritas en un sistema posicional dado que las que designan el número de cada unidad está relacionada indisolublemente con el tipo de unidad a que corresponde. Así, este número no se pronuncia Cinco cuatro siete tres o sea: Panchan catur saptan tri pero este paso terminó por darse en torno al siglo V d.C., cuando se dispone de los primeros signos numéricos en los edictos de Ashoka, prueba inequívoca de que las cantidades numéricas empezaban a alcanzar un carácter abstracto que antes no tenían. Esto significaba por tanto que el orden en que las palabras numéricas se dijeran era importante. Del mismo modo que el 3 en los números 38 y 83 no vale lo mismo, dado que su valor viene definido por su posición relativa a las demás cifras, catur (cuatro) no describía la misma 87

cantidad si se pronunciaba panchan catur (45) que catur panchan (54). Sin embargo, la construcción paulatina de un sistema numérico posicional de base diez exigía la introducción de algún término verbal para designar la ausencia de cantidad en una de las unidades. De otro modo, panchan catur podría representar 45 pero también 405 o 4050, por ejemplo. Para ello, ya desde las composiciones poéticas de los vedas, se utilizaban indistintamente las palabras randhra (agujero), bindu (gota, punto), ambara (espacio del cielo sin materia) o, la que quedaría finalmente como admitida en representación de lo que actualmente es el cero: sunya (vacío). De este modo, 405 se diría panchan sunya catur, mientras que 4050 se pronunciaría como panchan sunya catur sunya. El sistema posicional estaba ya plenamente establecido a falta de su versión escrita mediante determinados símbolos. La palabra sunya (vacío) no se conservó como tal. Los musulmanes adaptaron el mismo concepto a su lenguaje, denominando a este vacío numérico “as-sifr”, que es la sifra islámica o cifra latina. Curiosamente, la denominación occidental del cero proviene de la palabra griega que denomina el vacío: cephirum, y no tanto de la árabe que dio lugar, como es de suponer, a la palabra que denomina cada signo o cifra. El latín transformó la palabra griega cephirum en zefiro o zevero en Italia, palabra que terminaría perdiendo la sílaba central para transformarse en zero.

88

Numeración escrita Desde hace mucho tiempo se ha admitido como hecho comprobado que la escritura numérica occidental deriva de la india. El pueblo islámico, en rápida expansión desde el siglo VII, ocupó el subcontinente indio un siglo después. Allí los sabios encontraron una forma de contar y calcular mediante una serie de signos que asimilaron con rapidez mediante la obra de diversos estudiosos (Al Khuwaritmi, por ejemplo, en el mismo siglo VIII) que los trasladaron al papel y popularizaron su uso. Fue a través de la cultura islámica como llegó a Occidente, bien por la frontera italiana, pero sobre todo por el trasvase de información que se efectuaba en la frontera entre cristianos e islámicos en España. De ahí que la primera muestra escrita de los nuevos signos numéricos aparezca en una obra realizada en la Península Ibérica y que lleva por título Codex Vigilanus, actualmente en la biblioteca del monasterio de el Escorial. Pues bien, retrocedamos al origen de estas cifras que tanta trascendencia habrían de tener en todo el mundo muchos siglos después. El primer dato arqueológico que revela su uso se encuentra en las célebres inscripciones realizadas en tiempos de Ashoka, el emperador Maurya que reinó en su país entre el 273 y el 235 a.C., es decir, en el siglo III a.C. Eran inscripciones realizadas en grandes monolitos de piedra donde el gobernante proclamaba sus deseos de mejora, su autoridad sobre los súbditos, todo ello en varios idiomas, según la zona geográfica donde se colocaran. Eran en griego y arameo en la actual zona de Afganistán, en karosthi en el curso norte del Indo y en 89

escritura brahmi, al parecer la más generalizada, en el resto de sus amplios dominios. Entre las inscripciones aparecían excepcionalmente y de manera limitada algunos signos numéricos cuyo origen ha sido objeto de amplias discusiones. La lengua karosthi es una variante del arameo escrito por los persas tanto por sus coincidencias en caracteres formales y semánticos como por el hecho de que se escribe, al igual que la primera, de derecha a izquierda. Sin embargo, su presencia no parece haber llegado nunca más allá de Ghandara y el Punjab, es decir, el noroeste de la India, la zona más cercana a la satrapía persa allí existente.

Edicto de Ashoka 90

Cifras brahmi en los edictos de Ashoka La similitud entre los caracteres numéricos en brahmi y karosthi, prácticamente coincidentes, dio en pensar en que podrían derivar en parte del karosthi, sobre todo en aquellas cifras como el seis, cuyo trazado parece arbitrario (no así en el caso de las tres primeras cifras que se corresponden con otros tantos trazados verticales). En esa línea se interpretaba el signo como una posible abreviatura de la palabra numérica que describiese la cantidad. Sin embargo, se ha hecho evidente con el tiempo que el brahmi no sólo estaba más extendido por todo el valle indogangético sino que era anterior al karosthi. De hecho, el brahmi (que en el hinduismo denomina a una de las madres del mundo) será la lengua de la que deriven todas las demás con el tiempo. Además había diferencias esenciales en caracteres entre ambos idiomas así como en el sentido de su escritura, de izquierda a derecha en el brahmi. De manera que la relación entre ambos idiomas aún no está establecida y, en todo caso, la escritura numérica en brahmi, queda en un origen que solo se puede hipotetizar. El brahmi, con ligeras modificaciones regionales, se encuentra al sur del Ganges durante el dominio de la dinastía Shunga (185 a 75 a.C.) o cuando predomina la 91

Kanva (73 a 30 a.C.) en la misma región, posteriormente en el caso de los Kushana. Su presencia será característica del sánscrito indio aproximadamente hasta el siglo III d.C. A lo largo de ese tiempo los signos numéricos fueron evolucionando, tanto por peculiaridades regionales que acababan imponiéndose, como por las condiciones del material que se empleaba para las inscripciones. Tal como sucedió en Egipto, la piedra exigía trazos fuertes, rectilíneos. Cuando el elemento utilizado no era el cálamo, más rígido, sino el pincel como entonces, los trazos se fueron haciendo más cursivos y paulatinamente unidos entre sí. De esa forma, por ejemplo, tres trazos rectilíneos verticales terminaron dando paso a tres horizontales que se unían entre sí para conformar un signo muy parecido a nuestro 3. La razón del cambio de orientación de vertical a horizontal fue motivado, probablemente, por la coincidencia con unos trazos verticales que, en las composiciones poéticas en sánscrito, dividen estrofas y frases, sea con un trazo o con dos. Una vez los tres trazos en horizontal la tendencia a no separar el pincel de la superficie de escritura fue motivando que la terminación de uno de los trazos coincidiera con el comienzo de otro. Esto, que en el caso del dos o del tres es bastante evidente, se vuelven razones menos claras para otros signos numéricos. Esta unión, sin embargo, no se había efectuado aún en el tiempo de los Gupta, dinastía reinante entre el siglo III y comienzos del VI d.C. que, no obstante, presenta unos rasgos muy elaborados en ocasiones, tal vez producto de la imaginación de los escribas indios, tendentes a adornar en la corte gupta las letras y signos de su escritura.

92

Cifras gupta Mientras la notación brahmi, a través de sus escrituras intermedias (shunga, kushana, etc.) se transformaba en la gupta, con presencia en el norte de la India, otras derivaciones acompañaban a la derivación pallava (siglos IV a VI d.C.), con presencia en el sur del subcontinente. Desde esa zona los comerciantes indios llevaron su actividad y sus cifras por todo el sudeste asiático dando lugar a todo tipo de adaptaciones locales (cifras sinhala o cingalesas, birmanas, balinesas, javanesas, etc.). Pues bien, en torno al siglo VII d.C. las cifras gupta se unificaron paulatinamente en todo el territorio que un siglo después ocuparía el pueblo musulmán. Las que encontraron fueron las llamadas cifras nagari, la forma más evolucionada y definitiva que la cultura india supo elaborar 93

en cuanto a cifras escritas. Estas cifras, junto al sistema posicional de numeración decimal y los algoritmos de las distintas operaciones aritméticas, fueron un tesoro cultural que afortunadamente los musulmanes valoraron y adaptaron a su cultura para ejercer de transmisores posteriormente de cara al mundo cristiano occidental.

Cifras nagari 94

Evolución de las cifras

95

Cifras árabes occidentales

Codex Vigilanus, primer testimonio en Occidente cristiano 96

Operaciones aritméticas Existe muy escasa constancia escrita de los métodos utilizados por los indios en la Antigüedad para realizar las operaciones aritméticas. Sí se tiene constancia de que en los Vedas, particularmente en el Rigveda, los números orales ya muestran las nociones de suma, resta y multiplicación, sobre todo. Así, por ejemplo, nava ca navatih representa “nueve junto a noventa” o noventa y nueve, donde ca aparece como una partícula que indica unión, adición, suma entre cantidades. Pero del mismo modo se emplea otra, como en nava sakam navatih con el mismo significado pero con aplicación distinta según la naturaleza poética del discurso. Los Vedas son cánticos religiosos, composición poéticas espirituales y no tratados de aritmética. Por ello no hay ningún tratamiento sistemático de las operaciones a realizar y las pistas sobre el tratamiento verbal de las mismas es muy escaso. La noción de resta está implícita aunque nunca con un término específico. No obstante, un importante estudioso (Pandit) ha dado a conocer la utilización eventual del término avama traducible como “inferior a” o “menos que” en un contexto numérico, aunque solo ocasionalmente. Lo que sí es cierto es que, del mismo modo que la suma está implícita en la misma forma de contar los números, sobre todo a partir del diez: Eka dasan 11 = 1 + 10 Dva dasan 12 = 2 + 10 ......................................... Navan dasan 19 = 9 + 10 97

resulta que caben otras denominación, particularmente para el 19, como Eka na vimsati 19 = 20 - 1 donde veinte (vimsati) es sustraída (na) con una unidad (eka). Estas expresiones, aunque sean ocasionales, muestran que la noción de sustracción está presente, aunque sea en la descomposición de los números. El mismo objetivo de expresar una cantidad por medio de otras más sencillas es lo que lleva en el Rigveda a expresar veintiuno (eka vimasati) como trih sapta (tres veces siete). Generalmente, el efecto multiplicativo se consigue añadiendo a la palabra numérica habitual un sufijo: en el caso del tres (tri) es la terminación -h, pero también pueden ser -s, -vrt las terminaciones o añadir la partícula krtvah. De esta forma panca krtvah significaría “cinco veces”, astau krtvah por “ocho veces más”. Sin embargo, estas palabras lo que establecen es que había un sentido operativo en la misma formación de los números desde los tiempos védicos, pero no permite conocer la forma en que los indios operaban cantidades elevadas, ni siquiera cuando el sistema de numeración escrito ya estaba establecido, a partir del siglo V d.C. como mínimo. Se sabe que los musulmanes, al invadir la India en el siglo VIII, encontraron un sistema numérico muy consolidado a través de las cifras nagari. Del mismo modo, se puede rastrear la presencia de algoritmos (como el de cajas o celosía) inspirados en procedimientos similares encontrados en la India. Así pues, la cultura india, científicamente bastante desarrollada, sobre todo en 98

cuestiones astronómicas (Aryabhata, Baskhara, Bramagupta, como pilares de las mismas), debía contar con algoritmos cotidianos para realizar las operaciones aritméticas. Sin embargo, el material habitual para llevarlas a cabo (cajas de arena al parecer) no han dejado constancia escrita de su naturaleza y práctica, de manera que sólo se pueden hacer hipótesis. Una de las más interesantes a ese respecto, aunque bastante problemática, proviene de la obra de Barathi Krsna Tirthaji, también conocido entre sus discípulos como Gurudeva. Líder espiritual hindú nacido en 1884 llevó a cabo una labor de naturaleza religiosa, claro está, pero también en el terreno matemático. La fuente de su conocimiento sobre los Vedas y en concreto su estudio del Atharvaveda dejan en suspenso la naturaleza racional del mismo. En concreto, uno de sus discípulos, que resume y recopila sus fórmulas matemáticas, afirma: Obviamente estas fórmulas no se encuentran en las actuales recensiones del Atharvaveda; son realmente reconstruidas sobre la base de la revelación intuitiva, a partir de materiales dispersos aquí y allá en el Atharvaveda. Así pues, no es un conocimiento con base científica sino una hipótesis elaborada por Gurudeva, pese a lo cual, ha tenido un amplio reconocimiento por su naturaleza algorítmica especialmente sencilla. En base a este hecho exclusivamente es por lo que lo traemos a estas páginas y no por representar una interpretación ajustada a los Vedas desde un punto de vista histórico riguroso. 99

Multiplicación En una de las contadas referencias que Gurudeva da sobre textos del Atharvaveda menciona la frase que afirma “todo desde el 9 y el último desde el 10", así como “respecto de la extensión de la deficiencia, disminuir en la misma extensión”, en apoyo de su “multiplicación nikhilam”, una operación caracterizada por colocar en vertical los dos factores disponiendo a la derecha sus “deficiencias desde el 10", es decir, sus diferencias por defecto (signo negativo) o por exceso (signo positivo) respecto a diez o la potencia de diez más cercana. A continuación el resultado de la multiplicación se obtiene debajo. En la cifra de las unidades se coloca la multiplicación de las deficiencias (que eventualmente puede presentar decenas que se llevan) mientras que las cifras de las decenas se obtiene operando los factores con las diferencias pero de forma cruzada: restando si esta última aparece con signo negativo o sumando en caso contrario. Veamos algunos ejemplos donde se podrá comprobar cierta falta de generalidad en el procedimiento, adaptado siempre al tipo de números de que se trata. Se desea realizar la multiplicación

100

9 x 7 = 63

Las diferencias entre cada factor y la deficiencia del otro es siempre la misma, como puede observarse. En el caso de las llevadas, si se quiere realizar 7 x 6 = 42

Si los dos números exceden de diez, se plantea un caso como 12 x 14 = 168:

101

pero si uno de los números excede a diez y otro no, la regla cambia de manera que la cifra de las unidades ha de restarse del conjunto de decenas obtenido, como en 12 x 8 = 96:

de forma que 100 - 4 = 96 da la solución. La multiplicación nikhilam funciona igual con números cercanos a cien aunque, si están alejados de dicha cantidad, el algoritmo se puede realizar pero resulta más complejo operativamente. Un caso sencillo sería 97 x 98 = 9506

102

o bien

87 x 84 = 7308

Al objeto de superar las especificidades de este modelo de multiplicación, Gurudeva plantea otro, más probablemente cercano al que es posible realizar sobre una caja de arena, donde las cantidades se borran. Sin embargo, uno de los formatos es extraño al formato en que habitualmente vemos dispuesta la multiplicación de dos factores. Veamos el que se ajusta más a lo conocido. Deseamos realizar la multiplicación 534 x 463 La aplicación de la propiedad distributiva debe garantizar la multiplicación de todas las unidades de cada factor por todas las del otro. Ello se consigue con una disposición sistemática de cruces que se señalan con lineas que unen dichas unidades. Las unidades de orden superior que se “llevan” a su unidad correspondiente se escriben debajo del segundo factor, no en la parte superior del primero, como es habitual en la enseñanza de estos 103

algoritmos. Por lo demás, el procedimiento será claramente reconocible y similar al nuestro occidental:

de donde

534 x 463 = 247.242 104

Este algoritmo, conocido como “multiplicación Urdhva Tiryaka” conoce una variación que, en vez de sostenerse sobre el trazado de lineas y cruces que recuerden los productos parciales realizados, sustituye esto por la variable disposición de uno de los factores que “se desliza” tras cada producto parcial un lugar a la izquierda. Para que los cruces empiecen por las unidades inferiores y siga hacia las superiores, el algoritmo implica el cambiar el sentido del factor que se desliza. Así, por ejemplo, si deseamos hacer la multiplicación anterior con este nuevo formato se dispondrán los factores 534 y 364 donde el último, en orden inverso, es el que se deslizará bajo el otro alineando los productos parciales a realizar.

105

División Hay una forma de división limitada que Gurudeva denomina también “división nikhilam”. Comienza por mostrar la forma de dividir entre 9. Cuando el dividendo es 106

de dos cifras, el cociente viene dado por la misma cifra de las decenas del dividendo mientras que el resto es igual a la suma de la cifra de las unidades en el dividendo más la propia cifra de las decenas del dividendo:

En caso de que el dividendo tenga más cifras en la parte inferior se coloca la suma sucesiva de las cifras del mismo:

Esta división se limita a construir reglas para la división entre 9. Cuando se desea ampliar a otros divisores de una cifra la salvedad es que la suma de las cifras que se sitúa debajo para obtener el resto ha de multiplicarse por 2 (en el caso del 8), por 3 (en el caso del 7) y así sucesivamente. La salvedad es que, cuando el resto así 107

obtenido excede al divisor, habría que proceder a una nueva división.

Si el divisor es de dos cifras, el procedimiento es muy semejante pero referido a la centena como potencia de diez más cercana:

Para generalizar el procedimiento de división se tiene que abordar un algoritmo más cercano al occidental que, a fin de cuentas, es derivado históricamente de aquellos de origen indio. En efecto, la división adopta en el 108

procedimiento “urdhva tiryaka” una disposición semejante a la ya vista. Sin embargo, la división se realiza empezando por las cifras superiores del dividendo y dividiéndolas por la cifra superior del divisor. Colocado el resto y cociente de dicha división bajo el dividendo se forma la siguiente división uniendo el resto obtenido con la siguiente cifra del dividendo, teniendo en cuenta que a esa cantidad hay que restarle el producto de la segunda cifra del divisor por el cociente, para compensar su presencia. A partir de ahí el procedimiento se repite tantas veces como sea necesario. Así, procedamos a la división de 54.371 entre 83 que, finalmente, llegará a dar 655 de cociente y 6 de resto.

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Veamos el resultado de dividir 38.471 entre 62:

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El infinito entre los jainas Una de las aportaciones más destacadas de la matemática jaina es la noción de infinito y el modo en que es concebida en un tiempo tan antiguo. Dicha especulación, de naturaleza moral, metafísica y espiritual, no podemos sostener que esté alejada de la vida cotidiana del creyente jaina dado que la salvación mediante la consecución del nirvana es el objetivo que da sentido a la vida entera. Por otra parte, esta liberación final está estrechamente relacionada con la noción de tiempo y cosmos en el que se inscribe las creencias hindúes y jainas. Encontramos el concepto de infinito y la primera de las exhaustivas clasificaciones del mismo en la misma noción de tiempo. Para la cosmología jaina no hay principio ni final en el tiempo al existir una constante repetición de distintos ciclos cósmicos que no han sido creados ni acabarán. El tiempo se representa por una rueda de seis radios o eras que lo hacen girar hacia delante mientras que seis más hacen el giro en sentido contrario. Si el tiempo asciende en el ciclo el conocimiento e incluso el tamaño de los hombres crece para disminuir cuando el tiempo desciende. Desde un ciclo ascendente se pasa así al descendente sin discontinuidades y también en sentido contrario. El primer período descendente es la “edad extremadamente maravillosa” donde empezamos a encontrar grandes cantidades ya que se dice dura 400 billones de océanos de años. Hay que tener en cuenta que un océano de años equivale a cien millones de veces cien 111

millones de palyopamas, término que a su vez designa un período de incontables años. El palyopama es en realidad una aproximación a la noción de infinito, considerando que ya se presenta el hecho de que haya otros infinitos superiores, como el océano de años. El segundo período descendente es la “edad maravillosa”, que ya ocupa 300 billones de océanos de años, mientras que el tercero, la “edad tristemente maravillosa”, el cuarto, la “edad maravillosamente triste”, cada una de 100 billones océanos de años, dan lugar a nuestro tiempo, el quinto período o la “edad triste” que durará 21.000 años, justo el tiempo de supervivencia de la sabiduría jainista. La enormes dimensiones temporales ya nos alertan sobre el hecho de que la noción de tiempo y su infinitud no hay que tomarla en un sentido científico temporal, sino de forma alegórica. La dificultad de comprender el mundo espiritual indio para un occidental educado en un enfoque científico del mundo en que vive, es muy notable. Este hecho se agudiza al considerar la concepción del mundo entre los jainas. No pretende ofrecer una visión científica basada en postulados sobre la relación espaciotiempo al modo occidental. Para el filósofo jaina la “realidad” no se basa en estas relaciones sino en cuestiones morales, éticas y metafísicas que permiten dar un significado del mismo tipo a la vida humana. Como afirma uno de los principales estudiosos españoles del jainismo, Salvador Pániker: Los tecnicismos matemáticos de la cosmografía india,... no pretenden describir científicamente el universo, sino que miran de describirlo 112

cosmológicamente. Es decir, no tratan de descubrir las leyes abstractas de la estructura del universo, sino de proveer de un marco, un contexto en el que la vida y el camino espiritual de las personas puedan insertarse. El jainismo habla siempre de un universo moral en el que se establecen simetrías con la progresión espiritual... No es la descripción física lo que importa; es el destino del ser humano y los demás seres. Se trata siempre de ofrecer un croquis general del cosmos y su inmensidad, dentro del cual las mónadas vitales transmigran de una situación corporeizada a otra. Es decir, el mundo o loka es el escenario, casi infinito en su tamaño, donde tiene lugar el continuo flujo de renacimientos en los infinitos ciclos cósmicos. Los seres, en su devenir, lo afectan y cualifican constantemente. La ética -vía la doctrina del karma- es parte integral de la física y la metafísica. Desde este punto de vista es necesario abordar los datos matemáticos y las consideraciones jainas que aparecen en sus principales escritos. Así, el cosmos (loka) es una realidad y tiene una sustancia cósmica por naturaleza, ordenada en cuatro mundos: el mundo inferior (formado por siete niveles donde habitan seres demoníacos), el mundo intermedio (donde vive el hombre, en forma de disco visto de cara), el mundo superior, en la cima del mítico monte 113

Meru, más allá de las estrellas (compuesto por doce niveles habitados por divinidades) y el mundo de los perfectos, donde acceden las almas perfectas. Para describir este cosmos así entendido se utilizan unidades como el yojana, entre diez y quince kilómetros, y la cuerda o rajju, la distancia que recorre una divinidad durante un vuelo de seis meses a una velocidad superior a dos millones de yojanas por segundo. Lo más parecido dentro de nuestras nociones occidentales podría ser el añoluz. Pues bien, este cosmos tendría 14 rajjus de altura y un volumen de 343 rajjus cúbicos. Sin embargo, nuestro mayor interés sería la descripción que realiza el jainismo del mundo intermedio que habitamos. En torno al monte Meru que llega hasta el mundo superior en su cúspide se extienden anillos de tierra separados por océanos formando una especie de islas. La primera de ellas, la ocupada por el hombre, es la Isla del Manzano Rosa (Jambudvipa) que toma su nombre de un manzano de piedra gigantesco que se levanta cerca de la cima del monte. La isla está delimitada por el océano Salado y aparece dividida en siete partes por cordilleras. El diámetro de esta isla Jambu es de 100.000 yojanas, lo que da lugar al estudio detallado del círculo y la circunferencia de esta isla, tal como se ha visto en la sección dedicada a geometría jaina. Desde esta perspectiva se comprenderá mejor el tratamiento numérico del infinito, el sentido que daban los jainistas al mismo y el por qué de su planteamiento para describir todo este cosmos en distintas clases, a su vez cada una en diferentes niveles, tal como sucedía con el tiempo infinito e increado en el que el hombre busca su liberación mediante el nirvana. A ello hay que unir la existencia de 114

infinitas vidas que transmigran de una corporeidad a otra hasta dicha salvación, vidas que habitan tanto a los hombres como a los animales y plantas. De ahí el respeto riguroso del creyente jaina a la vida animal y vegetal, además de a la humana, su completo seguimiento de la doctrina no violenta, su renuncia a practicar oficios que impliquen transgredir esta norma (la agricultura por ejemplo, supone acabar con la vida de muchos organismos) así como sus costumbres, sorprendentes para el occidental (tapar su boca con un velo para que al respirar no se acabe con los microorganismos del aire). Pues bien, dentro de su afán clasificatorio, el filósofo jaina concibe los números habituales denominándolos numerables (samkhyata) y dividiéndolos en tres niveles: mínimos, intermedios y máximos. Esto permite llegar a un número máximo numerable N, el llamado en la matemática occidental primer número transfinito, construido por George Cantor a finales del siglo XIX. A partir de él, mediante operaciones con dicho número, se alcanza la categoría de números innumerables (asamkhyata), que se dividen en casi innumerables, verdaderamente innumerables e innumerablemente innumerables. Así, distintas operaciones con ese número N permiten definirlos de una forma que se asemejaría a los cálculos: N + 1, N + 2, ...., (N + 1)2 - 1 (N + 1)2, (N + 2)2, ..., (N + 1)4 - 1 (N + 1)4, (N + 2)4, ..., (N + 1)8 - 1 y sucesivamente. Pero después de los números innumerables aún existen los infinitos (ananta), divididos en casi infinitos, verdaderamente infinitos e infinitamente infinitos. Este 115

ananta que está presente frecuentemente en la literatura jaina es descrito en ella como: “Aquel número que no se agota por la sustracción continua por un tiempo sin fin”. Con este bagaje el filósofo jaina era capaz de describir de esta manera la distinta infinitud que mostraba el mundo espiritual y moral en el que el hombre discurría su existencia. Su acercamiento corresponde a un enfoque distinto del occidental que tardó en alumbrar conceptos semejantes más de un milenio con una utilidad matemática muy diferente de la que los mismos conceptos tenían para los jainas.

El manuscrito Bakshali Hace unos 120 años se descubrió junto al pueblo de Bakhshali, en el noroeste de la India, un manuscrito enterrado compuesto por siete decenas de hojas hechas con corteza de abedul. A pesar de su deterioro (toda la parte inicial aparece perdida) ha mostrado un compendio de problemas que la mayoría de los investigadores acuerda situar en la era gupta, aunque alguno ha llegado a postular su pertenencia al siglo XII. En todo caso, el manuscrito parece resumir y comentar reglas anteriores para resolver problemas, lo que haría que sus métodos de resolución fueran más antiguos. Aunque trata de aritmética y álgebra no tiene una unidad específica y parece más un manual de resolución de problemas de la vida cotidiana. Esto es digno de reseñar porque en todo el manuscrito no se observa referencia alguna a motivos 116

religiosos que pudieran estar en la base del planteamiento de problemas, sino a otros de naturaleza económica, como en De una cantidad desconocida de lapislázuli se pierden un tercio, un cuarto y un quinto [sucesivamente]; la pérdida [total] de la cantidad, acumulada en tres plazos, es de 27. Díme, hombre sabio, cuál es el total y también cuál será la diferencia [entre el total y la pérdida, o sea, el resto]. Solución: Habiendo sustraído las series de uno, tenemos 2/3 , 3/4 , 4/5 que si se multiplican dan 2/5 ; sustrayendo esto de uno da 3/5 , la pérdida es dividida por esta cantidad; la pérdida es 27; dividiendo esto por aquello da 45; quitando de esto la pérdida de 27, la diferencia es 18. El procedimiento seguido parte de tener una cantidad desconocida que podemos expresar como x, realizándose a continuación tres sustracciones sucesivas:

1 x x  3 2 1 2 2) x x 3 4 3 32 1 3 3) x 4 3 54

1)

2 x 3  2 x 3

queda 32 x queda 4 3 4 32 2  x  x 5 4 3 5

queda

de modo que si al final queda los dos quintos de la cantidad inicial es que se han perdido 117

3  2 1   x  x  5 5

 27  x  45

es la cantidad inicial a partir de la que puede obtenerse la diferencia de 18. Sin embargo, otros problemas parecen reflejar un deseo especulativo respecto de los números, como en Un cierto rey distribuye 57 dinares entre cinco sabios. Da una cierta cantidad al primero y, a continuación, cada vez va doblando el dinero que ha dado al sabio anterior. Al ver que todavía tiene algún dinero sobrante, le da al primero lo que le había dado a los cuatro primeros antes, al segundo lo que les había dado a los tres primeros, al tercero lo que había dado a los dos primeros y al cuarto lo que había dado al primero. El quinto sabio no recibe dinero en esta ronda, puesto que ya no le queda dinero al rey. Hallar cuánto dinero recibe cada uno de los cinco sabios. Este problema resulta de una gran sencillez algebraica si partimos de que al primer sabio le da una cantidad de x dinares. En ese caso recibirán Sabio 1) Sabio 2) Sabio 3) Sabio 4) Sabio 5)

x + 15 x = 16 x 2x+7x= 9x 4x+3x= 7x 8x+ x= 9x 16 x = 16 x

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de modo que en total habrían recibido 57 x dinares, dato que nos indica que x = 1 dinar y que las cantidades recibidas finalmente son de 16, 9, 7, 9 y 16 dinares, respectivamente. Otros problemas se refieren a la vida cotidiana, como se refleja en el siguiente de proporcionalidad donde se halla la respuesta por reducción a la unidad: Un maestro gana un sueldo de cinco en tres días; otro gana seis en cinco días. El primero le da siete al segundo de su sueldo. Dime en qué momento, después de habérselo dado, sus posesiones serán iguales. Solución: La diferencia de los sueldos diarios; las dos fracciones, su diferencia. Los sueldos diarios son 5/3 y 6/5, su diferencia es 7/15, su obsequio es 7; dividido por la diferencia de los sueldos diarios el resultado es 15; siendo doblado es 30, ése es el tiempo en que sus posesiones son iguales. En efecto, reduciendo los datos a las monedas cobradas en un día, el primer maestro ganará 5/3 de monedas y el segundo 6/5 de monedas diarias. Dado que hay una donación de siete monedas de uno a otro, el problema se resolvería con el siguiente cálculo:

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5 6 x 7 x 7  3 5  5 6    x  14   3 5 7 x  14  15 x  30 dias Aún en otros problemas se incluyen reglas sin mayores explicaciones para resolver problemas prácticos como el que da una aproximación mejor que las hasta ahora estudiadas de la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto: En el caso de un número no cuadrado, réstesele el número cuadrado más próximo; divídase el resto por el doble [del cuadrado más próximo]; la mitad del cuadrado de esta fracción se divide por la suma de la raíz aproximada y la fracción. Esto se resta y dará la raíz corregida. De esta forma, una aproximación a la raíz cuadrada de un número como 13 podría expresarse como la raíz de 32 (número cuadrado más próximo) más 4 (el resto), de manera que la regla daría la aproximación:

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13  3 

4  2 3

 4     2 3

2

 4   2  3  2 3 



 3 ,60606...  3 ,605551... que se puede observar que tiene un pequeño margen de error respecto al valor actual.

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