Matemáticas empresariales. 9788437085708, 8437085705

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MATEMÁTICAS EMPRESARIALES

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES UN ENFOQUE MULTIDISCIPLINAR

Carlos Ivorra, Carmen Juan

UNIVERSITAT DE VALÈNCIA 2007

Colección: Educació. Laboratori de Materials, 7 Director de la colección: Guillermo Quintás Alonso

Este texto ha sido publicado en el marco de los programas desarrollados dentro de la «Convocatoria del Ministerio de Educación y Ciencia para la financiación de la adaptación de las instituciones universitarias al Espacio Europeo de Educación Superior» (septiembre de 2006)

© Los autores, 2007 © De esta edición: Universitat de València, 2007 Maquetación: Los autores Diseño de la cubierta: Celso Hernández de la Figuera

ISBN: 978-84-370-8570-8

´Indice Pr´ ologo

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Introducci´ on Tema 1: Conjuntos y funciones 1.1 El espacio Rn . . . . . . . . . 1.2 Subconjuntos de Rn . . . . . 1.3 Funciones de varias variables 1.4 Problemas de optimizaci´ on . 1.5 Elementos de topolog´ıa . . . . 1.6 Notas . . . . . . . . . . . . . 1.7 Ejercicios . . . . . . . . . . .

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Tema 2: Derivadas 2.1 Definici´ on de derivada parcial . . . 2.2 Interpretaci´ on de la derivada . . . 2.3 Derivadas sucesivas . . . . . . . . . 2.4 Gradientes, jacobianas y hessianas 2.5 Complementos . . . . . . . . . . . 2.6 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

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Tema 3: Diferenciales 3.1 Diferenciabilidad de funciones . . . . . . . 3.2 Direcciones de crecimiento de una funci´ on 3.3 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Tema 4: Funciones compuestas, impl´ıcitas y homog´ eneas 4.1 Derivaci´ on de funciones compuestas . . . . . . . . . . . 4.2 Derivaci´ on de funciones impl´ıcitas . . . . . . . . . . . . 4.3 Funciones homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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87 87 91 95 98 99

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´Indice

8 Tema 5: Convexidad 5.1 Conjuntos convexos . . . . . . . . . . . . 5.2 Funciones c´ oncavas y convexas . . . . . 5.3 Funciones cuasic´oncavas y cuasiconvexas 5.4 Complementos . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Tema 6: Optimizaci´ on 6.1 Problemas de optimizaci´ on . . . . . . . . 6.2 Las condiciones de Kuhn y Tucker . . . . 6.3 La condici´ on suficiente de Kuhn y Tucker 6.4 La interpretaci´ on de los multiplicadores . 6.5 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Tema 7: La integral definida 7.1 La integral de Riemann 7.2 Integrales impropias . . 7.3 Integral m´ ultiple . . . . 7.4 Complementos . . . . . 7.5 Notas . . . . . . . . . . 7.6 Ejercicios . . . . . . . .

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Tema 8: Ecuaciones diferenciales 197 8.1 Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Ap´ endice A: Elementos de ´ algebra A.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Determinantes . . . . . . . . . . . A.3 Sistemas de ecuaciones lineales . . A.4 Matrices inversas . . . . . . . . . . A.5 Sistemas de ecuaciones arbitrarias A.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

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Ap´ endice B: Tablas

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Ap´ endice C: Derivadas e integrales

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Pr´ ologo Este libro presenta el material de trabajo para la asignatura de Matem´ aticas Empresariales, correspondiente a la Diplomatura en Ciencias Empresariales, aunque puede utilizarse, en todo o en parte, en cualquier asignatura de matem´ aticas orientadas a la econom´ıa y la empresa. Una de las mayores dificultades con las que se encuentra el alumno que estudia matem´ aticas es que, a menudo, le cuesta comprender la importancia y finalidad de los contenidos que tiene que estudiar y ello repercute muy negativamente en su rendimiento. Para paliar en lo posible este problema, hemos dado a estos materiales un enfoque multidisciplinar innovador, que consiste en no presentar la teor´ıa matem´atica de forma aislada, sino siempre en contextos en los que el alumno se la encontrar´ a en otras asignaturas dentro de su titulaci´ on (Microeconom´ıa, Teor´ıa Econ´ omica, Matem´atica Financiera, Estad´ıstica, etc.). Confiamos en que este enfoque multidisciplinar no s´ olo contribuya a que el alumno adquiera una visi´ on m´ as clara, profunda y motivadora de las matem´ aticas que estudia, sino que tambi´en le prepare para afrontar estas otras asignaturas con la base matem´ atica adecuada. Para evitar que los contenidos matem´ aticos queden dispersos entre los ejemplos y aplicaciones, hemos dado una estructura muy concreta al texto, que permite leerlo en varios niveles de profundidad. La lectura lineal del texto est´ a pensada como la m´as adecuada para una primera toma de contacto con cada tema, ya que incluye las explicaciones, ejemplos y problemas resueltos intercalados en los lugares que hemos cre´ıdo m´as oportunos desde un punto de vista did´ actico. Por otra parte, la teor´ıa matem´atica propiamente dicha est´ a bien delimitada para que, en una segunda lectura (de cara, por ejemplo, a la preparaci´ on del examen), el alumno pueda centrarse en ella sin omitir por accidente nada importante. M´ as a´ un, las ideas fundamentales que el alumno debe asegurase de haber asimilado, est´an destacadas en forma de recuadros. Los conceptos propios de otras asignaturas que no han sido imprescindibles para motivar la parte matem´atica aparecen agrupados al final de cada tema en una secci´ on de complementos, en la que se incluye tambi´en algunos contenidos matem´aticos que podr´ıan omitirse a juicio del profesor. Tras la secci´on de complementos se incluye otra de notas destinada a que el alumno interesado pueda profundizar un poco m´ as, tanto en la teor´ıa matem´atica como en sus aplicaciones a la econom´ıa, si bien no est´ an pensadas para ser explicadas en clase como parte del programa. Adem´as de los ejemplos y problemas resueltos integrados en el texto, cada tema tiene una amplia colecci´on de ejercicios para que el alumno pueda practicar. Algunos de estos ejercicios requieren resultados que aparecen en las secciones de complementos pero nunca de las notas. Otro elemento innovador que nos ha parecido muy u ´til para que el alumno no vea las matem´aticas como algo distante y abstracto, ha sido el incidir, bastante m´ as de lo habitual, en las representaciones gr´ aficas, de modo que el alumno pueda concebir como algo concreto y tangible los problemas que ha de resolver. 9

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Pr´ ologo

La idea de escribir este libro surgi´ o a partir de una iniciativa de la Facultad de Econom´ıa de promover, en una serie de reuniones interdisciplinares, la elaboraci´ on de un material de trabajo para los alumnos que relacionara, en la medida de lo posible, los contenidos de las asignaturas que componen las distintas titulaciones. Agradecemos a Ma ¯ Luisa Escriche Bertol´ın, tanto en su papel de Coordinadora de T´ıtulo para la Diplomatura en Ciencias Empresariales como en el de profesora del Departamento de An´ alisis Econ´ omico, y a Pedro Cantos S´ anchez, profesor tambi´en de dicho departamento, su apoyo y sus valiosos consejos. Por u ´ltimo, queremos agradecer tambi´en todas las sugerencias, comentarios y materiales diversos facilitados por nuestros compa˜ neros a lo largo de los u ´ltimos a˜ nos. Valencia, septiembre de 2007 Carlos Ivorra, Carmen Juan

Introducci´ on: las matem´ aticas en la econom´ıa y en la empresa El objetivo principal de este curso es proporcionarte las herramientas matem´ aticas b´ asicas que requiere la econom´ıa y, m´ as concretamente, que necesitar´as en otras asignaturas de la carrera. Son muchos los alumnos con problemas para asimilar los contenidos de esta asignatura, lo cual se debe en gran parte a la dificultad que requiere trabajar con conceptos abstractos. Para atenuar este inconveniente trataremos de exponer los conceptos que requiere la asignatura en un entorno lo m´ as “confortable” posible para un alumno familiarizado o que empieza a familiarizarse con la teor´ıa econ´omica b´asica. Ahora no puedes formarte una idea general del papel y la funci´ on que desempe˜ nan las matem´aticas dentro de la econom´ıa, pero conviene que comprendas desde el primer momento que las matem´aticas son imprescindibles en muchos contextos y convenientes en otros. La aplicaci´ on m´ as directa de la matem´atica a la econom´ıa la tenemos en la matem´atica financiera. Es la que nos permite resolver problemas tales como cu´anto dinero me ha de dar un banco despu´es de haber tenido depositado un capital durante tantos a˜ nos con tal tipo de inter´es, o qu´e pensi´on mensual me corresponder´a cuando me jubile si durante los u ´ltimos 20 a˜ nos he estado aportando tales cantidades a un plan de pensiones con tales condiciones de rentabilidad, etc. Un ejemplo m´ as sofisticado es el problema de valorar inversiones. Por poner un caso especialmente delicado ¿cu´ anto vale un seguro de vida?, es decir, ¿cu´ anto ha de cobrar una empresa aseguradora a sus clientes de modo que sus tarifas sean lo suficientemente bajas para ser competitivas y lo suficientemente altas para obtener un cierto margen de beneficio? Este problema involucra un estudio estad´ıstico sobre el riesgo de mortalidad de la poblaci´ on, que ya de por s´ı requiere un cierto aparato matem´ atico, pero aun hecho esto, todav´ıa hay que estudiar c´ omo usar esta informaci´on para llegar a una valoraci´ on fiable. Por otro lado la matem´ atica puede aplicarse al estudio del comportamiento de realidades matem´aticas complejas, de modo que nos permite hacer conjeturas razonables sobre el comportamiento de los precios en un mercado en funci´ on de la oferta y la demanda, etc. En el campo de la empresa, la matem´atica es u ´til a la hora de tomar decisiones. Por ejemplo, un estudio detallado de una empresa puede sugerir variaciones que permitan reducir costes o aumentar beneficios, pero a menudo las posibilidades son demasiadas para analizarlas todas hasta el punto de poder comparar unas con otras, y la matem´ atica proporciona m´etodos para buscar la mejor soluci´ on viable que satisfaga los objetivos buscados. Se podr´ıan poner muchos ejemplos m´as. La modelizaci´ on matem´ atica Para entender el uso de las matem´aticas en econom´ıa es fundamental el concepto de modelizaci´on. Las matem´aticas no reflejan la realidad tal cual es, sino que la modelizan, lo cual supone hacer abstracci´ on de aquellos 11

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Introducci´ on

aspectos de la realidad que no son relevantes para el problema que se estudia. Sucede lo mismo en todas las aplicaciones de la matem´atica: para estudiar un eclipse de luna podemos considerar al Sol, la Tierra y la Luna como tres esferas de ciertos radios y a ciertas distancias. En realidad la Tierra no es una esfera, pues tiene valles y monta˜ nas, pero eso no importa para el estudio de los eclipses. Por ello una esfera es un modelo matem´atico aceptable de la Tierra. Similarmente, a la hora de estudiar las relaciones b´ asicas entre la demanda de un art´ıculo en un mercado y su precio, podemos suponer que la demanda s´ olo depende del precio, lo cual no es cierto, pero las conclusiones que obtengamos ser´an v´ alidas en un contexto en el que otros factores que tambi´en influyen, como pueda ser la inflaci´ on, el comportamiento de la competencia, etc. permanezcan constantes y no afecten a la demanda. En realidad, determinar qu´e aspectos de la realidad son relevantes en un problema es algo muy complejo, por lo que las consecuencias de cualquier modelizaci´on matem´atica en econom´ıa deben ser contrastadas con la realidad para determinar su fiabilidad. Matem´ atica continua y matem´ atica discreta Las matem´aticas (o, m´as precisamente, las t´ecnicas matem´aticas que vamos a estudiar en este curso) sirven para estudiar las relaciones entre distintas magnitudes, es decir, datos que pueden expresarse mediante n´ umeros. En la Econom´ıa podemos encontrar numerosos ejemplos de magnitudes cuyo comportamiento puede estudiarse matem´aticamente. Veamos un ejemplo elemental que ilustre este hecho: Problema 1 La funci´ on de oferta de una empresa es Q = 1 000 000 p unidades de producto diarias. (Esto significa que Q es la cantidad de producto que la empresa est´ a dispuesta a fabricar diariamente si el precio de venta es de p C). Por otra parte, se estima que la cantidad de producto demandada por el mercado viene dada por D = 2 000 000 /p. Determina el precio de equilibrio, es decir, el precio para el que la cantidad producida por la empresa coincide con la cantidad demandada. Conviene observar que, para plantear este problema, es necesario haber resuelto antes otros dos problemas. Si estos datos correspondieran a un caso real, primero habr´ıamos tenido que averiguar c´ omo depende la capacidad de producci´ on de la empresa del precio de venta y qu´e demanda cabr´ a esperar para un precio de venta dado. En nuestro caso, las respuestas ser´ıan los datos del problema, las relaciones matem´aticas Q = 1 000 000 p y D = 2 000 000/p. Es a la teor´ıa econ´omica a quien corresponde el problema de determinar qu´e relaciones entre distintas magnitudes son razonables y cu´ ales no. Por ejemplo, si nos hubieran dicho que la demanda esperada es D = 1 000 000 p nos encontrar´ıamos ante una situaci´ on, cuando menos, ins´ olita, ya que ello implicar´ıa que a un precio de, por ejemplo, p = 2 C los consumidores demandar´ıan 2000000 unidades de producto y, si el precio subiera a p = 4 C , la demanda ascender´ıa a 4000000 unidades de producto. No es razonable suponer que los consumidores compran m´as y m´as producto cuanto m´ as sube su precio. La relaci´ on D = 1 000 000 p es matem´aticamente v´alida, pero contradice a la teor´ıa econ´omica, por lo que no es aceptable. En lo sucesivo no volveremos a discutir cuestiones de este tipo. A la teor´ıa econ´omica le corresponde determinar qu´e caracter´ısticas debe cumplir una funci´ on de oferta, una funci´ on de demanda, una funci´ on de costes, etc., mientras que a las matem´aticas les corresponde el problema de extraer consecuencias de esta clase de datos, en nuestro ejemplo, calcular el precio de equilibrio que pide el problema.

Introducci´ on

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´ n: El precio de equilibrio es el que hace igual la oferta a la demanda, es Solucio decir: √ √ 1 000 000 p = 2 000 000/p ⇒ p2 = 2 ⇒ p = 2 C o p = − 2 C. Un√c´alculo puramente matem´atico nos da dos soluciones posibles. Una de ellas, p = − 2 C, es obviamente inadmisible, ya que la empresa no puede vender su producto a un precio negativo. En cuanto a la otra, requiere alg´ un comentario. Hemos obtenido que el precio de equilibrio es p = 1.414213562373 . . . C. ¿Tiene esto sentido o hemos de descartar tambi´en la segunda soluci´ on? Imaginemos que el art´ıculo que produce la empresa es un peri´ odico. ¿Qu´e pasar´ıa si fu´eramos a un quiosco a comprar un peri´ odico y el quiosquero nos dijera que le hemos de pagar 1 euro, 41 c´entimos, 4 mil´esimas de euro, 2 diezmil´esimas, 1 cienmil´esima, 3 millon´esimas, y as´ı una sucesi´on interminable de cifras decimales? Por otra parte, nos sale que el n´ umero de peri´ odicos que puede imprimir la empresa al precio de equilibrio es √ Q = D = 1 000 000 2 = 1 414 213.562373 . . . ejemplares diarios. ¿Tiene esto sentido? La respuesta es que la soluci´on que hemos obtenido puede ser aceptable si se interpreta as´ı: El precio de equilibrio es de p = 1.42 C, que corresponde a una producci´ on de 1 414 213 ejemplares diarios. Simplemente, hemos redondeado los resultados eliminando los decimales carentes de sentido, pero conviene tener presente que esta “depuraci´on” de la soluci´ on no siempre es fiable: Todas las t´ecnicas que vamos a estudiar en este curso corresponden a lo que se conoce como matem´ atica continua, caracterizada por la necesidad de admitir que todas las magnitudes consideradas puedan tomar valores con cualquier n´ umero de decimales (tal vez infinitos), y, en particular, que cualquiera de ellas puede experimentar variaciones arbitrariamente peque˜ nas. S´ olo bajo este supuesto podemos utilizar libremente funciones como la ra´ız cuadrada, o el logaritmo, o exponenciales, etc., as´ı como calcular l´ımites, derivadas e integrales, que son los conceptos fundamentales en los que nos vamos a apoyar. Estas t´ecnicas proporcionan resultados aceptables en la medida en que podamos redondear los resultados eliminando los decimales carentes de interpretaci´ on, tal y como hemos hecho en el problema anterior. Sin embargo, a veces sucede que estos redondeos desvirt´ uan completamente la soluci´on, de modo que la soluci´ on redondeada es muy diferente del valor que realmente se quiere obtener. Veamos un ejemplo de ello: Problema 2 Una empresa fabrica dos art´ıculos A y B en cantidades (diarias) x e y. Por cada unidad producida de A obtiene un beneficio de 8 u.m., mientras que por cada unidad de B obtiene un beneficio de 10 u.m. La tabla siguiente recoge el n´ umero de horas de trabajo que requiere cada producto y el coste de producci´ on: Horas de trabajo Coste

Producto A 4 8

Producto B 6 3

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Introducci´ on

Determina la producci´ on que maximiza el beneficio de la empresa teniendo en cuenta que dispone de 24 horas diarias de trabajo y de un presupuesto de 24 u.m. diarias. Resolveremos este problema en la p´agina 94. All´ı veremos que la producci´ on que aporta a la empresa el mayor beneficio es (x, y) = (2, 2.66). Observemos que la funci´ on de beneficios es B = 8x + 10y, luego el beneficio m´aximo diario que puede conseguir la empresa es de B(2, 2.66) = 8 · 2 + 10 · 2.66 = 42.6 u.m. Supongamos ahora que no tiene sentido que la empresa produzca cantidades fraccionarias de A y B, sino que x e y s´olo pueden tomar valores enteros. Si hacemos como en el problema anterior, podr´ıamos redondear la soluci´ on y concluir que lo mejor que puede hacer la empresa es fabricar dos unidades de cada producto (no podemos redondear hacia arriba y producir (x, y) = (2, 3) unidades diarias porque eso requerir´ıa 26 horas de trabajo y 25 u.m. de capital, que es m´ as de lo disponible). De este modo, el beneficio m´aximo resulta ser en realidad de B(2, 2) = 8 · 2 + 10 · 2 = 36 u.m. diarias. Sin embargo, es f´ acil ver que la empresa tambi´en puede producir (x, y) = (0, 4) unidades de producto diarias, ya que ello requiere 24 horas de trabajo y 12 u.m. de capital, y el beneficio que proporciona esta soluci´ on es B(0, 4) = 40 u.m. diarias. As´ı pues, la soluci´ on (0, 4) resulta ser mejor que la soluci´ on (2, 2) que hemos obtenido al redondear la soluci´ on con decimales. En estos casos en los que no podemos redondear las soluciones para deshacernos de decimales “molestos” es necesario emplear t´ecnicas distintas de las que vamos a estudiar en este curso, t´ecnicas que corresponden a lo que se conoce como matem´ atica discreta, y que tienen en cuenta que algunas magnitudes no pueden tomar valores fraccionarios, o no pueden dividirse m´ as all´ a de cierto l´ımite (como los euros, que no pueden dividirse m´as all´a de los c´entimos de euro). Las t´ecnicas de la matem´atica discreta son, en general, menos potentes que las de la matem´atica continua y no suelen ser de gran utilidad sin la ayuda de ordenadores. Por el contrario, las t´ecnicas de la matem´atica continua, en los contextos en los que pueden ser aplicadas con fiabilidad, que no son pocos, resultan ser m´ as vers´atiles y convenientes para formular y analizar la teor´ıa econ´omica. Por ejemplo, un problema que, con t´ecnicas discretas, puede requerir sumar laboriosamente m´as de mil n´ umeros que hay que calcular previamente, puede ser resuelto de forma muy aproximada mediante una u ´nica integral que se calcula en dos l´ıneas. Evidentemente, el inter´es de la matem´atica discreta reside en que hay circunstancias en las que las t´ecnicas continuas no son aplicables, como el problema que acabamos de discutir. En resumen, en lo sucesivo conviene recordar que en todos los problemas que abordaremos partiremos del presupuesto de que cualquiera de las magnitudes que intervengan podr´ a tomar valores con cualquier n´ umero de decimales, tanto si al final esto tiene sentido como si no. Problema 3 Supongamos que la demanda de un art´ıculo viene dada por D = p2 − 1, donde p es el precio. Vemos entonces que la demanda se reduce a 0 en cuanto el precio llega a p = 2, por lo que el precio de venta ha de estar comprendido entre 0 y 2 C. ¿Cu´ antos valores distintos puede tomar el precio del art´ıculo? Desde el punto de vista de la matem´atica discreta, es decir, teniendo en cuenta que no tiene sentido considerar fracciones de euro inferiores a un c´entimo, los precios posibles son 0.01 C, 0.02 C, 0.03 C, . . . 1.97 C, 1.98 C, 1.99 C.

Introducci´ on

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En total hay 199 precios distintos posibles. Sin embargo, para nosotros, es decir, desde el punto de vista de la matem´atica continua, la respuesta ser´ a que el precio puede tomar infinitos valores posibles, ya que hay infinitos n´ umeros p que cumplen las condiciones 0 < p < 2. Aqu´ ı estamos contando precios como p = 0.015 C o p = √ 2 C, que no pueden darse en la pr´ actica, pero que necesitamos admitir como valores te´oricamente posibles para que las t´ecnicas que vamos a estudiar sean aplicables.

Tema 1

Conjuntos y funciones 1.1

El espacio Rn

Una realidad econ´ omica puede tratarse matem´aticamente a partir del momento en que encontramos un medio de describirla mediante magnitudes num´ericas cuyo comportamiento y relaciones mutuas podamos estudiar (precios, salarios, r´editos, probabilidades, tasas de inflaci´ on, de desempleo, beneficios, costes, etc.) Los distintos valores que puede tomar, en principio una magnitud cualquiera, sin ninguna clase de restricci´ on son lo que, en abstracto, llamamos n´ umeros reales. No vamos a tratar de definir aqu´ı lo que son los n´ umeros reales, sino que los supondremos conocidos. Informalmente, y no sin cierta imprecisi´ on, podemos decir que los n´ umeros reales son todos los n´ umeros que caben en una calculadora. Por ejemplo, si tecleamos ln 0.7 en una calculadora y obtenemos −0.356674943939 . . ., eso es un ejemplo de n´ umero real, como lo son tambi´en √ √ 1+ 5 5 −12, 0, 2/5 = 0.4, 7 = 1, 475773161595 . . . , = 1, 61803398875 . . . 2 Hay infinitos n´ umeros reales. Algunos de ellos tienen nombre propio, como π = 3, 14159265359 . . .

e = 2, 718281828459 . . .

pero, independientemente de c´ omo se llamen o de qu´e expresi´on los represente, m´as sencilla o m´as compleja, todos son una misma clase de cosa: n´ umeros. Llamaremos R al conjunto de todos los n´ umeros reales. A la hora de analizar matem´ aticamente una situaci´ on, es muy poco probable que ´esta quede completamente determinada por un u ´nico dato num´erico. Lo habitual es que necesitemos trabajar simult´aneamente con varios n´ umeros, y por ello resulta u ´til el concepto de vector: Un vector de n´ umeros reales es un sistema formado por varios n´ umeros reales repetidos o no y en un cierto orden, que reciben el nombre de componentes o coordenadas del vector. Representaremos los vectores poniendo sus coordenadas entre par´entesis y separadas por comas. Por ejemplo: (−2, 7) es un vector de dos componentes, o tambi´en, un par de n´ umeros reales; (0, 0, 4) es un vector de tres componentes, o tambi´en una terna de n´ umeros reales. 17

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Tema 1. Conjuntos y funciones

En general, seg´ un su n´ umero de componentes, podemos dividir a los vectores en pares, ternas, cu´ adruplas, qu´ıntuplas, etc. Convendremos en que los n´ umeros son vectores de una componente, de modo que es lo mismo escribir (5) que 5, y normalmente no pondremos par´entesis. Ejemplo 1.1 Una sala de cine vende a sus clientes palomitas, refrescos, barras de chocolate y caramelos. En tal caso, el consumo de un cliente dado no vendr´ a dado por un n´ umero, sino por un vector C¯ = (p, r, b, c) de cuatro componentes que contendr´ a las cantidades de cada producto que ha adquirido el cliente. Por ejemplo, si el consumo de un cliente es C¯1 = (2, 1, 0, 0) significa que ha comprado una raci´ on doble de palomitas, un refresco y ninguna barra de chocolate ni caramelos. En cambio, si el consumo de otro cliente es C¯2 = (1, 0, 2, 0), se trata de un consumo muy diferente, pues corresponde a una raci´ on de palomitas y dos barras de chocolate. En particular vemos que (2, 1, 0, 0) = (1, 0, 2, 0), es decir, que el orden de las componentes de un vector es relevante. Si lo alteramos, estamos cambiando de vector. Es cierto que, en lugar de (p, r, b, c) = (1, 0, 2, 0), podr´ıamos escribir separadamente p = 1, r = 0, b = 2, c = 0, sin hacer referencia a vectores, pero veremos que a menudo es preferible usar vectores y en ocasiones es imprescindible. Llamaremos R2 al conjunto de todos los vectores de dos componentes, R3 al conjunto de vectores de tres componentes, etc. En general, Rn ser´a el conjunto de todos los vectores de n componentes. El signo ∈ se utiliza para expresar que un vector pertenece a un conjunto. Por ejemplo x ¯ ∈ R3 nos dice que x ¯ es, concretamente, un vector de tres componentes, es decir, que es de la forma x ¯ = (x, y, z). Cuando queramos hablar de un vector de un n´ umero arbitrario n de componentes, sin especificar cu´antas son, las representaremos con sub´ındices: x ¯ = (x1 , x2 , . . . , xn ). Cuando queremos hablar de n´ umeros por oposici´on a vectores es frecuente llamarlos escalares. As´ı, decimos que (3, 5) es un vector y 2 un escalar. En resumen: escalar significa lo mismo que n´ umero. En general, para indicar que una letra representa a un vector formado por varios n´ umeros y no a un u ´nico n´ umero, representaremos los vectores con una barra. Por ejemplo, la letra x representar´ a a un n´ umero real, mientras que x ¯ representar´ a a un vector de n´ umeros reales. As´ı, si estamos trabajando con vectores de R5 , cuando escribamos 0 nos referiremos al n´ umero real 0 ∈ R, mientras que si escribimos ¯0 se entender´a que nos referimos al vector ¯0 = (0, 0, 0, 0, 0) ∈ R5 .

1.1. El espacio Rn

19

Operaciones con vectores • Suma. Si x ¯ = (x1 , . . . , xn ), y¯ = (y1 , . . . , yn ), definimos x ¯ + y¯ = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ). Ejemplo: (4, −2, 1/2) + (−1, 0, 2) = (3, −2, 5/2). • Producto por un escalar. Si α ∈ R y x ¯ = (x1 , . . . , xn ), definimos α¯ x = (αx1 , . . . , αxn ). Ejemplo: −3(1, 0, 1/3, −4) = (−3, 0, −1, 12). • Producto escalar de vectores. Si x ¯ = (x1 , . . . , xn ), y¯ = (y1 , . . . , yn ), definimos x ¯y¯ = x1 y1 + · · · + xn yn . Ejemplo: (2, −1, 5)(1, 0, 10) = 2 · 1 + (−1) · 0 + 5 · 10 = 52. Notemos que el producto escalar de dos vectores es un n´ umero (un escalar) como indica su nombre, y no otro vector. Por ejemplo: (8, 1, 0, −2)(0.5, 2, 1, 1) = 8 · 0.5 + 1 · 2 + 0 · 1 − 2 · 1 = 4. Ser´ıa un error calcular: (8, 1, 0, −2)(0.5, 2, 1, 1) = (4, 2, 0, −2) ¡MAL! Problema 1.2 Una familia acude al cine del ejemplo 1.1. El consumo del padre es ¯ = (1, 1, 0, 5), el del hijo mayor es H ¯ 1 = (2, 1, 1, 10) y P¯ = (1, 1, 0, 0), el de la madre M ¯ el del hijo menor H2 = (0, 1, 3, 0). 1. Calcula mediante operaciones vectoriales el vector de consumo total C¯ de la familia y el vector de consumo medio C¯m . 2. Si el vector de precios de los cuatro art´ıculos es p¯ = (1, 1.20, 0.90, 0.50) C, calcula mediante una u ´nica operaci´ on vectorial el gasto total de la familia. ´ n: El consumo total C¯ vendr´ Solucio a dado por la suma de vectores: ¯ +H ¯1 + H ¯ 2 = (1, 1, 0, 0) + (1, 1, 0, 5) + (2, 1, 1, 10) + (0, 1, 3, 0) = (4, 4, 4, 15). C¯ = P¯ + M El vector de consumo medio resulta de multiplicar el vector de consumo total por el escalar 1/4: 1 1 C¯m = C¯ = (4, 4, 4, 15) = (1, 1, 1, 7.5). 4 4 Finalmente, el gasto total de la familia C se obtiene como el producto escalar del ¯ vector de precios p¯ por el vector consumo total C: C = p¯ · C¯ = (1, 1.20, 0.90, 0.50) · (4, 4, 4, 15) = 1 · 4 + 1.20 · 4 + 0.90 · 4 + 0.5 · 7.5 = 19.9.

20

1.2

Tema 1. Conjuntos y funciones

Subconjuntos de Rn

En muchas ocasiones, no estaremos interesados en considerar todos los vectores posibles de Rn , sino u ´nicamente aquellos que verifican algunas condiciones. Esto nos lleva a la noci´ on de subconjunto de Rn : Un subconjunto S ⊂ Rn es un conjunto formado por aquellos vectores x ¯ ∈ Rn que ´ cumplen una o varias condiciones. Estas condiciones vendr´an expresadas habitualmente en forma de igualdades o desigualdades. Esto se expresa en general de la forma siguiente: S = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | condiciones que han de cumplir x1 , . . . , xn }. No debes confundir los signos ∈ y ⊂. El primero se utiliza para expresar que un vector est´a en un conjunto, mientras que el segundo se emplea para expresar que un conjunto est´ a en otro conjunto. Por ejemplo, ser´ıa incorrecto decir que S ∈ Rn , ya que esto significar´ıa que S es un vector de Rn , es decir, que ser´ıa de la forma S = (x1 , . . . , xn ), pero S no es un vector de n componentes, sino que es un conjunto formado (en general) por infinitos vectores de n componentes. Entre los principales subconjuntos de Rn con los que nos vamos a encontrar est´an los que especifican los distintos valores que pueden tomar las magnitudes involucradas en un problema. Por ejemplo, las distintas cantidades que puede adquirir un consumidor de una serie de bienes, las distintas cantidades que puede producir una empresa de una serie de art´ıculos, los distintos precios a los que una empresa puede vender sus art´ıculos, etc. A menudo, estas cantidades no pueden fijarse arbitrariamente, sino que est´an sujetas a una o varias restricciones que hay que exigir necesariamente. Al conjunto de vectores que cumplen las restricciones impuestas a un problema se le llama conjunto de oportunidades. Cuando tenemos un conjunto de oportunidades S, los vectores que pertenecen a S (es decir, las que cumplen todas las restricciones del problema) se llaman soluciones factibles del problema, mientras que las soluciones que no pertenecen a S (las que no cumplen alguna de las restricciones del problema) se llaman soluciones infactibles. Problema 1.3 Escribe y representa gr´ aficamente el conjunto de oportunidades de un consumidor que puede comprar dos bienes: hamburguesas y refrescos, teniendo en cuenta que los precios son (ph , pr ) = (1, 1.50) C y que su presupuesto es de 6 C . ´ n: El problema tiene tres restricciones. La primera es la restricci´ Solucio on presupuestaria, seg´ un la cual el consumidor no puede adquirir ning´ un vector de bienes cuyo coste exceda su presupuesto. Concretamente, ha de ser: h + 1.5r ≤ 6

coste ≤ presupuesto.

Pero ´esta no es la u ´nica restricci´ on del problema. Hay otras dos que, por obvias que sean, en muchos casos ser´a crucial hacerlas constar de forma expl´ıcita. Son las llamadas condiciones de no negatividad, que expresan el hecho evidente de que el consumidor no puede comprar cantidades negativas de hamburguesas o refrescos: h ≥ 0, r ≥ 0.

1.2. Subconjuntos de Rn

21

As´ı pues, el conjunto de oportunidades es: S = {(h, r) ∈ R2 | h + 1.5r ≤ 6, h ≥ 0, r ≥ 0}. Gr´ aficamente, S es la regi´on sombreada en la figura siguiente: r h + 1.5r = 6

h=0

h

r=0

Debes prestar atenci´on a la forma en que hemos expresado el conjunto S del ejemplo anterior: 1. Como norma general, los conjuntos se representan con llaves. Por eso hemos escrito: S = {· · ·} S es igual al conjunto . . . 2. Dentro de las llaves indicamos en primer lugar qu´e clase de elementos contiene el conjunto S, en nuestro caso pares (h, r) que pertenecen a R2 . Por eso hemos escrito: S = {(h, r) ∈ R2 · · ·}

S es el conjunto de todos los pares (h, r) de R2 . . .

3. Despu´es de indicar la clase de elementos que contiene S, ponemos una barra | que se lee “tales que” o “que cumplen”, y a continuaci´ on ponemos todas las condiciones (restricciones) que han de cumplir h y r para que el par (h, r) est´e en S: S es el conjunto de todos los pares (h, r) de R2 que cumplen h + 1.5r ≤ 6,

h≥0

y r ≥ 0.

Problema 1.4 Para el conjunto de oportunidades del problema 1.3, indica si las soluciones siguientes (h, r) son factibles o infactibles y explica por qu´e: (0, 0), (3, 2), (5, 1), (−2, 1), (1.5, 3). ´ n: La soluci´on (0, 0) es factible porque cumple las tres restricciones: Solucio 0 + 1.5 · 0 = 0 ≤ 6,

0 ≥ 0,

0 ≥ 0.

Lo mismo sucede con (3, 2): 3 + 1.5 · 2 = 6 ≤ 6,

3 ≥ 0,

2 ≥ 0.

La soluci´ on (5, 1) es infactible porque tiene un coste mayor que el presupuesto: 5 + 1.5 · 1 = 6.5 ≤ 6.

22

Tema 1. Conjuntos y funciones

La soluci´on (−2, 1) es infactible porque no cumple una condici´ on de no negatividad (no se puede comprar −2 hamburguesas: −2 ≤ 0. La soluci´ on (1.5, 3) es factible porque cumple las tres restricciones: 1.5 + 1.5 · 3 = 6 ≤ 6,

1.5 ≥ 0,

3 ≥ 0.

Esta soluci´ on consiste en que el consumidor compra una hamburguesa y media y tres refrescos. Ciertamente, no es razonable suponer que al consumidor le vayan a vender media hamburguesa, pero tenemos que admitir esta posibilidad como factible si queremos aplicar al problema las t´ecnicas de la matem´atica continua, tal y como hemos explicado en la introducci´ on. (Siempre podemos pensar que el consumidor comparte una hamburguesa con un amigo pagando la mitad cada uno.)

Problema 1.5 Repite el problema 1.3 con el supuesto adicional de que el consumidor quiere agotar todo su presupuesto comprando hamburguesas y refrescos. Revisa tambi´en en este caso la respuesta al problema 1.4. Problema 1.6 Escribe y representa gr´ aficamente el conjunto de oportunidades del problema 2 de la introducci´ on (p´ agina 13). Razona si las soluciones (x, y) = (2, 8/3), (2, 2), (2, 3) y (0, 4) son factibles o infactibles. ´ n: El problema tiene cuatro restricciones: Solucio 4x + 6y ≤ 24 8x + 3y ≤ 24 x ≥ 0, y ≥ 0

horas empleadas ≤ horas disponibles, coste de la producci´ on ≤ presupuesto, condiciones de no negatividad.

Por consiguiente, el conjunto de oportunidades es S = {(x, y) ∈ R2 | 4x + 6y ≤ 24, 8x + 3y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0}, y su representaci´on gr´ afica es la que aparece en la figura. La soluci´ on (2, 8/3) es factible porque cumple las cuatro restricciones:

x=0 8x + 3y = 24

4 · 2 + 6 · 8/3 = 24 ≤ 24, 4x + 6y = 24

8 · 2 + 3 · 8/4 = 24 ≤ 24,

2 ≥ 0, 8/3 ≥ 0.

La figura muestra claramente que las soluciones (2, 2) y (0, 4) quedan dentro de la zona sombreada, luego son factibles, mientras que (2, 3) queda fuera de la y = 0 zona sombreada, luego es infactible. Sobre este problema, v´ease tambi´en la nota 2 al final del tema.

1.3. Funciones de varias variables

1.3 1.3.1

23

Funciones de varias variables Funciones y dominios

La relaci´on m´ as elemental que puede darse entre varias magnitudes es que podamos calcular una de ellas cuando conocemos las dem´as. Entonces se dice que la primera es funci´ on de la otras. Ejemplo 1.7 La cantidad D que un consumidor demanda de un producto X, puede depender de varias magnitudes: sin duda depender´ a del precio p del producto y de la renta I de la que disponga el consumidor, aunque tambi´en puede depender de muchas otras, como del precio p
de otro producto sustitutivo (es decir, de otro producto an´ alogo que el consumidor podr´ıa comprar en lugar de X). Si se estima que la forma en que D depende de p, I, p
viene dada por √
Ip , D= 2p entonces tenemos expresada D como funci´ on de I, p y p
, porque si sabemos los valores de estas tres magnitudes podemos calcular el valor de D. Para expresar que no consideramos a D como una variable m´ as, sino como una funci´ on de I, p y p
, podemos escribir: √
Ip
, D(I, p, p ) = 2p Siempre que veamos una expresi´on como D(I, p, p
), hemos de entender que la magnitud D es funci´ on de (puede calcularse a partir de) las magnitudes I, p y p
, aunque no nos digan expl´ıcitamente la forma de hacerlo. Si tenemos unos valores concretos de las variables, por ejemplo (I, p, p
) = (25, 1, 1), el valor correspondiente de D se expresa de la forma siguiente: √ 25 · 1 D(25, 1, 1) = = 2.5 u.p. 2·1 Es importante que te fijes en la notaci´ on que estamos empleando: la forma de expresar matem´aticamente “el valor que resulta de sustituir I por 25, p por 1 y p
por 1 en la expresi´ on que define a D” es simplemente D(25, 1, 1). Ejemplo 1.8 Podemos hablar de funciones sin que tengan necesariamente una interpretaci´ on econ´ omica. As´ı ln z f (x, y, z) = x−y es otro ejemplo de funci´ on de tres variables, que nos permite calcular f (que no significa nada) a partir de tres datos x, y, z (que tampoco significan nada). Por ejemplo, si nos piden calcular f (2, 3, 4), la respuesta es f (2, 3, 4) =

ln 4 = −1, 38629436112 . . . 2−3

24

Tema 1. Conjuntos y funciones

Ahora bien, ¿qu´e ocurre si nos piden calcular f (2, 2, 5) o f (3, 1, −2)? Resulta que no es posible: ln 5 ln(−2) ? = ?, f (3, 1, −2) = = . 0 2 2 Vemos que f (2, 2, 5) no se puede calcular porque no es posible dividir entre 0 y f (3, 1, −2) no se puede calcular porque no existe el logaritmo de un n´ umero negativo. f (2, 2, 5) =

Esto nos lleva a la noci´ on de dominio de una funci´ on: Si f es una funci´ on de n variables, esto no significa que f (¯ x) pueda calcularse para cualquier vector x ¯ ∈ Rn , sino que puede haber vectores x ¯ para los que el c´alculo sea posible y vectores x ¯ para los que no lo sea. El conjunto D formado por los vectores x ¯ ∈ Rn donde s´ı que es posible calcular la funci´ on se llama dominio de f , y es un subconjunto de Rn , es decir, D ⊂ Rn . Problema 1.9 Calcula el dominio de la funci´ on f del ejemplo 1.8. ´ n: Hemos visto que hay dos motivos por los que f (x, y, z) podr´ıa no existir: Solucio que el denominador de f valga 0 (por lo que hemos de exigir que esto no suceda: x − y = 0) o que dentro del logaritmo haya un n´ umero negativo o cero (y para que esto no suceda hemos de exigir que z > 0). Por lo tanto, el dominio es: D = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y = 0, z > 0}. Ahora ya podemos entender, con todos sus matices, el concepto de funci´on escalar de varias variables: Definici´ on Una funci´ on escalar de n variables definida en un dominio D ⊂ Rn es cualquier criterio f que a cada vector x ¯ ∈ D le asigna un n´ umero real llamado imagen de x ¯ y que representaremos por f (¯ x). Expresaremos esto con la notaci´on f : D ⊂ Rn −→ R. En general, para calcular el dominio de las funciones que vamos a manejar nosotros ser´a suficiente tener en cuenta los hechos siguientes: 1. El denominador de una fracci´ on ha de ser = 0. 2. El argumento (lo que hay dentro) de un logaritmo ha de ser > 0. 3. El radicando de una ra´ız de ´ındice par ha de ser ≥ 0. 4. La base de una potencia de exponente variable ha de ser > 0. Nota: A la hora de aplicar las reglas anteriores hay que tener presente que si en una funci´ on aparece un exponente negativo, ´este “esconde” una fracci´on a la que habr´a que aplicar la regla 1, y si aparece un exponente fraccionario, este “esconde” una ra´ız, a la que habr´a que aplicar la regla 3 si el ´ındice es par. Ello es debido a que: √ 1 x−n = n , xm/n = n xm . x Por ejemplo, la funci´ on del ejemplo 1.8 es una funci´ on f : D ⊂ R3 −→ R, donde el dominio D es el conjunto que hemos calculado en el problema 1.9.

1.3. Funciones de varias variables

25

Ejemplo 1.10 Calcula el dominio de la funci´ on  √ 3 x2 − y 4 − y + (x − 1)y − 31/x g(x, y) = . 2x − y ´ n: Basta aplicar ordenadamente las cuatro reglas anteriores: Solucio 1. Denominadores de fracciones: La funci´ on g tiene dos fracciones, una con denominador 2x − y y la otra con denominador x. Por lo tanto, para que g est´e definida hay que exigir 2x − y = 0, x = 0. 2. Logaritmos: La funci´ on g no tiene logaritmos, luego esta regla no se aplica. 3. Ra´ıces de ´ındice par: La funci´ on g tiene una ra´ız c´ ubica (de ´ındice 3, impar, luego no afecta al dominio) y una ra´ız cuadrada (de ´ındice 2, par), luego para que g est´e definida hay que exigir que el radicando cumpla y ≥ 0. 4. Potencias con exponente variable: La funci´ on g tiene cuatro potencias. 2 4 Dos de ellas (x e y ) tienen un exponente fijo (2 en un caso y 4 en el otro), luego no afectan al dominio; otra, (x − 1)y tiene exponente variable y (exponente variable quiere decir que la y puede variar y tomar valores distintos). Por ello hemos de exigir que la base, en este caso x − 1, cumpla x − 1 > 0; la cuarta potencia 31/x tambi´en tiene exponente variable, por lo que habr´ıa que exigir que la base fuera > 0, en este caso 3 > 0, pero esto no es ninguna condici´ on sobre x, y, sino que se cumple siempre. Por lo tanto, tampoco afecta al dominio. En total, el dominio resulta ser: D = {(x, y) ∈ R2 | 2x − y = 0, x = 0, y ≥ 0, x − 1 > 0}. Notemos que la u ´ltima condici´ on es x > 1, luego la condici´ on x = 0 se puede eliminar por redundante. El resultado es: D = {(x, y) ∈ R2 | 2x − y = 0, y ≥ 0, x − 1 > 0}.

Problema 1.11 Calcula el dominio de la funci´ on de demanda del ejemplo 1.7. ¿Pertenece el punto (I, p, p
) = (−4, −1, −2) al dominio de D? ´ n: Como la funci´ Solucio on se llama D, usaremos otra letra para nombrar su dominio. S´ olo se aplican la regla de las fracciones y la de las ra´ıces. El dominio es: E = {(I, p, p
) ∈ R3 | Ip
≥ 0, p = 0}. El punto dado s´ı que cumple (−4, −1, −2) ∈ E. Esto podemos comprobarlo de dos formas distintas: 1. Viendo que cumple todas las condiciones que definen a E: Ip
= (−4)(−1) = 4 ≥ 0,

p
= −2 = 0.

2. Viendo que podemos calcular la demanda para una renta I = −4 y unos precios p = −1, p
= −2: √  (−4)(−1) 4 2 D(−4, −1, −2) = = = = −1. −2 −2 −2

26

Tema 1. Conjuntos y funciones

Subdominios con sentido econ´ omico El problema anterior plantea inmediatamente una cuesti´on: aunque, como hemos visto, podemos calcular la funci´ on de demanda para una renta y unos precios negativos, lo cierto es que esto no tiene ning´ un sentido desde un punto de vista econ´ omico. Cuando una funci´ on tiene una interpretaci´on, (como en el caso anterior, en el que la funci´ on D(I, p, p
) se interpreta como la demanda que cabe esperar para una renta y unos precios dados), tenemos que distinguir entre los puntos donde es posible calcular una funci´ on y los puntos donde este c´ alculo tiene sentido econ´omico. M´ as en general, no tenemos por qu´e estar interesados en estudiar una funci´ on en todos los puntos de su dominio matem´ atico, sino que en ocasiones puede que nos interese estudiarla solamente en un subconjunto de dicho dominio, en un subdominio, por ejemplo, el subdominio donde el c´ alculo de la funci´ on tiene sentido econ´ omico. Problema 1.12 Calcula el subdominio con sentido econ´ omico de la funci´ on de demanda del ejemplo 1.7. ¿Pertenecen a dicho subdominio los puntos (I, p, p
) = (16, 3, 1), (16, 0, 1), (16, 1, 0)? ´ n: Para que I pueda interpretarse como la renta de un consumidor hemos Solucio de exigir que I ≥ 0. En principio, no hay por qu´e excluir el caso de un consumidor sin dinero (I = 0), aunque tambi´en podr´ıamos decidir que ese caso no nos interesa y exigir I > 0. Todo depende de qu´e queramos hacer con la funci´ on D. En cuanto a los precios, tendremos que exigir que sean positivos p > 0, p
> 0. Por lo tanto, el dominio con sentido econ´ omico es E0 = {(I, p, p
) ∈ R3 | I ≥ 0, p > 0, p
> 0}. Es f´ acil ver entonces que (16, 3, 1) ∈ E0 (porque cumple las tres desigualdades), mientras que (16, 0, 1) ∈ / E0 , (16, 1, 0) ∈ / E0 (porque en ambos puntos hay un precio igual a 0). Polinomios De entre las funciones que vamos a manejar habitualmente, las m´ as sencillas son los polinomios, y es importante saber reconocer qu´e funciones son polinomios y cu´ ales no: Un polinomio es una funci´ on escalar determinada por una expresi´ on en la que las u ´nicas operaciones entre las variables son sumas, productos, productos por n´ umeros reales y potencias con exponentes naturales. Por ejemplo, la funci´ on P (x, y, z) = 3x4 yz + y 2 z 3 − 12x + 3y − 8 es un polinomio, mientras que las funciones x2 y −3 ,

x5 +

√

y,

x+y x−y

no son polinomios. La primera por tener un exponente negativo, la segunda por tener una ra´ız cuadrada1 y la tercera por tener un cociente. √ Notemos, no obstante, que la funci´ on f (x, y) = 2 x+y ln 5 s´ı que es un polinomio, porque, aunque tiene una ra´ız cuadrada y un logaritmo, ´estos afectan s´ olo a n´ umeros, por lo que f es de la forma n´ umero por variable + n´ umero por variable. Es, pues, una funci´ on lineal. 1

1.3. Funciones de varias variables

27

De entre los polinomios, a su vez, los m´as sencillos son las llamadas funciones lineales: Una funci´ on lineal es un polinomio de la forma a1 x1 + · · · + an xn , es decir n´ umero por variable + · · · + n´ umero por variable. Por ejemplo, la funci´ on Q(x, y, z) = 3x − 2y + 5z es lineal, mientras que la funci´ on 5 R(x, y) = x + 2y − xy + x no es lineal, porque tiene dos variables multiplicadas entre s´ı y otra multiplicada por s´ı misma cinco veces. Observemos que, como las sumas y los productos siempre pueden calcularse, el dominio de un polinomio de n variables (y en particular el de una funci´ on lineal) es n siempre D = R . Funciones vectoriales Del mismo modo que a menudo hemos de trabajar al mismo tiempo con varios n´ umeros (escalares) y entonces consideramos vectores de varias componentes, a veces es necesario trabajar simult´aneamente con varias funciones escalares, y entonces conviene considerar vectores de funciones, a los que llamaremos funciones vectoriales: Definici´ on Una funci´ on vectorial f : D ⊂ Rn −→ Rm es cualquier criterio que a cada vector x ¯ que pertenezca a un dominio D le asigna un vector f (¯ x) ∈ Rm . En general, cada una de las coordenadas de la imagen f (¯ x) vendr´a dada por una funci´ on escalar fi : D ⊂ Rn −→ R. Estas funciones escalares fi se llaman funciones coordenadas de la funci´ on vectorial f . De este modo, una funci´ on vectorial f : D ⊂ Rn −→ Rm tiene (y, de hecho, no es m´as que) m funciones coordenadas fi : D ⊂ Rn −→ R, donde i = 1, . . . , m. Al igual que un n´ umero puede verse como un vector de una coordenada, las funciones escalares pueden considerarse como funciones vectoriales de una coordenada, por lo que todo lo que digamos para funciones vectoriales vale en particular para funciones escalares. √ x + 1 xy Ejemplo 1.13 La funci´ on f (x, y) = ( x, on vectorial. Con, e ) es una funci´ y−1 cretamente f : D ⊂ R2 −→ R3 , donde el dominio D es D = {(x, y) ∈ R2 | y − 1 = 0, x ≥ 0}. Las funciones coordenadas de f son: f1 (x, y) =

1.3.2

√

x,

f2 (x, y) =

x+1 , y−1

f3 (x, y) = exy .

Incrementos

Una de las aplicaciones de la teor´ıa que vamos a desarrollar en este curso es estudiar el efecto que tiene sobre unas magnitudes la variaci´ on de otras (c´omo var´ıa la demanda si var´ıan los precios, c´omo var´ıa un capital cuando var´ıa el tiempo, etc.). Esto nos lleva a la noci´ on de incremento:

28

Tema 1. Conjuntos y funciones

Cuando una magnitud x experimenta una variaci´ on, definimos su incremento como ∆x = valor final de x − valor inicial de x. En particular, para referirnos al incremento que experimenta una funci´ on arbitraria n ¯ de las variables y cuando una de f : D ⊂ R −→ R cuando partimos de unos valores x ellas sufre un incremento ∆xi , manteniendo las dem´as constantes (a esto lo llamaremos un incremento parcial de la funci´ on f ) usaremos la notaci´ on: x)(∆xi ) = f (x1 , . . . , xi + ∆xi , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn ). ∆xi f (¯ Cuando se incrementan simult´aneamente todas las variables de f (o varias de ellas, sin excluir que algunas sufran un incremento cero) hablaremos de un incremento total de f , y lo representaremos as´ı: ∆f (¯ x)(∆¯ x) = f (¯ x + ∆¯ x) − f (¯ x) = f (x1 + ∆x1 , . . . , xn + ∆xn ) − f (x1 , . . . , xn ). Notemos que, en este sentido espec´ıfico, “incremento” no es sin´onimo de “aumento”, sino que un incremento ∆x corresponde con un aumento cuando ∆x > 0, con una disminuci´ on cuando ∆x < 0 y con ausencia de variaci´ on si ∆x = 0. Problema 1.14 La cantidad D que un consumidor demanda de un producto X viene dada por la funci´ on √
Ip
D(I, p, p ) = , 2p donde I es la renta del consumidor, p es el precio del producto X y p
el precio de un bien sustitutivo. Actualmente, ambos bienes se venden al precio de 1 C y el consumidor destina al producto X una renta de 36 C. 1. Calcula la cantidad de X que actualmente demanda el consumidor. 2. Calcula el incremento de demanda que se producir´ a si el precio del art´ıculo X aumenta en 20 c´entimos. Interpreta el resultado. 3. Calcula el incremento de demanda que se producir´ a si el precio del bien sustitutivo aumenta a 2 C (y el de X se mantiene en 1 C ). Interpreta el resultado. 4. Calcula el incremento de demanda que se producir´ a si suceden simult´ aneamente las variaciones de los dos apartados anteriores. 5. Calcula el incremento de demanda que se producir´ a si el consumidor duplica su renta, pero los precios de ambos art´ıculos tambi´en se duplican. Interpreta el resultado. ´ n: 1) La cantidad demandada es Solucio √ 36 · 1 = 3 u.p. D(36, 1, 1) = 2·1 2) El incremento de demanda es ∆p D(36, 1, 1)(0.20) = D(36, 1.20, 1) − D(36, 1, 1)

1.3. Funciones de varias variables

29

√

36 · 1 − 3 = 2.5 − 3 = −0.5 u.p. 2 · 1.20 El incremento es negativo, como cab´ıa esperar: al aumentar el precio del producto, la demanda disminuye en 0.5 unidades. 3) Si p
aumenta a (no en) 2 C, el incremento es ∆p
= 2 − 1 = 1 C. Por lo tanto: =

∆p
(36, 1, 1)(1) = D(36, 1, 2) − D(36, 1, 1) √ 36 · 2 = − 3 = 4.24 − 3 = 1.24 C. 2·1 Ahora el incremento es positivo: si aumenta el precio del bien sustitutivo, el consumidor comprara menos de ´este y m´as del bien X, por lo que la demanda aumenta. 4) Los incrementos anteriores eran parciales. Ahora nos piden un incremento total: ∆D(36, 1, 1)(0, 0.20, 1) = D(36, 1.20, 2) − D(36, 1, 1) √ 36 · 2 = − 3 = 3.54 − 3 = 0.54. 2 · 1.20 Cuando aumentan los dos precios en las cantidades indicadas, la demanda aumenta en 0.54 u.p. 5) Si la renta se duplica, su incremento es ∆I = 72 − 36 = 36. Igualmente tenemos que ∆p = 2 − 1 = 1, ∆p
= 2 − 1 = 1. Por lo tanto: ∆D(36, 1, 1)(36, 1, 1) = D(72, 2, 2) − D(36, 1, 1) = 3 − 3 = 0. Resulta que si tanto la renta como los precios se duplican, la demanda de X no experimenta ninguna variaci´ on. Esto es razonable, porque el poder adquisitivo del consumidor no ha cambiado. Problema 1.15 La funci´ on de costes de una empresa viene dada por C(q) = q 3 − 9q 2 + 36q + 20, donde q es el nivel de producci´ on diaria. El nivel de producci´ on actual es de q = 2 u.p. 1. Calcula el coste de producci´ on actual. 2. Calcula el coste medio actual. 3. Calcula el incremento de coste que supondr´ıa aumentar la producci´ on en una unidad. 4. Calcula el incremento correspondiente del coste medio. ´ n: El coste de producci´ Solucio on es C(2) = 64 u.m. Si producir dos unidades tiene un coste de 64 u.m., el coste medio de cada una de ellas es CMe(2) =

64 = 32 u.m./u.p. 2

El incremento de coste que nos piden es ∆C(2)(1) = C(3) − C(2) = 74 − 64 = 10 u.m.

30

Tema 1. Conjuntos y funciones Producir una tercera unidad de producto diaria tiene un coste de 10 u.m. Por u ´ltimo: ∆CMe(2)(1) = CMe(3) − CMe(2) = 24.66 − 32 = −7.33 u.m./u.p. Aqu´ı hemos usado que CMe(3) =

74 C(3) = = 24.66 u.m. 3 3

As´ı, vemos que el coste aumenta cuando producimos una unidad m´ as, mientras que el coste medio disminuye: cada unidad resulta m´ as barata si producimos 3 u.p. que si producimos 2 u.p.

1.3.3

Estudio gr´ afico de funciones

Funciones de una variable Las funciones de una variable pueden representarse gr´ aficamente: Ejemplo 1.16 Vamos a representar gr´ aficamente la funci´ on de costes C(q) = q 3 − 9q 2 + 36q + 20, del problema 1.15, as´ı como la funci´ on de coste medio: CMe(q) =

20 C(q) = q 2 − 9q + 36 + , q q

la funci´ on de coste variable:2 Cv (q) = C(q) − CF = q 3 − 9q 2 + 36q, y la funci´ on de coste variable medio: Cv Me(q) = 100

CMe(q)

Cv (q) = q 2 − 9q + 36. q C(q)

80

Cv (q)

60 40 20

Cv Me(q) 2

4

6

8

Las gr´aficas nos permiten visualizar muchos datos sobre el comportamiento de las funciones: 2

El coste fijo CF es el coste que permanece cuando no se produce nada, en este caso C(0) = 20, luego el coste variable es C(q) − CF .

1.3. Funciones de varias variables

31

1. En el problema 1.15 hemos visto que, partiendo de una producci´ on de q = 2 u.p., el coste aumenta cuando aumenta la producci´ on. ¿Es cierto esto si partimos de cualquier otro nivel de producci´ on? 2. Tambi´en hemos visto que el coste medio disminuye cuando pasamos de producir 2 unidades a producir 3. ¿Sucede lo mismo si partimos de otro nivel cualquiera de producci´ on y producimos una unidad m´ as? 3. ¿Cu´ ando crece m´as lentamente el coste total, para producciones peque˜ nas, medias o grandes? 4. ¿Para qu´e valores de q el coste medio es mayor que el coste total?, ¿por qu´e? 5. ¿A qu´e tiende el coste medio cuando la producci´ on tiende a 0? 6. ¿Y el coste variable medio? 7. Calcula aproximadamente, a partir de la gr´ afica, el valor m´ınimo del coste medio (al menos, el m´ınimo en el intervalo de producci´ on [0, 8] que muestra la gr´ afica). 8. Calcula igualmente el valor m´ınimo del coste variable medio. Funciones de varias variables Una funci´ on de dos variables admite una representaci´on gr´ afica tridimensional, pero no suele ser de mucha ayuda, y si el n´ umero de de variables es mayor que dos, la representaci´on requerir´ıa un espacio de m´as de tres dimensiones, por lo que no es posible en la pr´ actica. Pese a ello, exiten varias formas de estudiar gr´ aficamente una funci´ on de dos o m´ as variables mediante representaciones parciales. En esta secci´on vamos a describir las m´as sencillas. Una posibilidad es representar la funci´ on fijando todas las variables menos una: Ejemplo 1.17 Consideremos la funci´ on de demanda del ejemplo 1.7, es decir, √
Ip
D(I, p, p ) = . 2p Vamos a estudiar gr´ aficamente c´ omo depende la demanda D del precio p del art´ıculo, suponiendo que la renta de los consumidores permanece fija I = 36. Respecto al precio aficas correspondientes a tres valores de p
del bien sustitutivo, vamos a dibujar tres gr´ p
, concretamente, p
= 1, p
= 2 y p
= 3: 4 3.5 3 2.5 2 1.5

p
= 3

Concretamente, hemos representado las funciones: √ √ 36 72 , D(36, p, 2) = , D(36, p, 1) = 2p 2p √ 108 . D(36, p, 3) = 2p

De este modo, la curva para p
= 1 nos muestra c´omo var´ıa la demanda D a medida que var´ıa el precio p p
= 1 0.5 “ceteris paribus”, es decir, suponiendo que la renta permanece constante igual 25 y que el precio p
per4 1 2 3 manece constante igual 1. Lo mismo vale para p
= 2 y p
= 3. 1

p
= 2

32

Tema 1. Conjuntos y funciones 1. En el problema 1.14 hemos visto que, cuando p = 1, un aumento de precio produce una disminuci´ on de la demanda. ¿Es esto v´ alido para otros valores iniciales de p? 2. Tambi´en hemos visto que, partiendo de p = 1, cuando p
pasa de 1 a 2, la demanda aumenta. ¿Sigue siendo cierto para otros valores iniciales de p? 3. ¿C´omo se comporta la demanda cuando el precio p tiende a 0? Interpr´etalo.

Otra forma de estudiar el comportamiento de una funci´ on de dos variables (o de m´as, manteni´endolas todas constantes menos dos de ellas) es a trav´es de las llamadas curvas de nivel. Definici´ on La superficie de nivel α de una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R, donde α ∈ R, es el conjunto de todos los puntos del dominio D donde f toma el valor α, es decir: x ∈ D | f (¯ x) = α}. Sα (f ) = {¯ Como dec´ıamos, este concepto es especialmente interesante para funciones de dos variables, ya que entonces las superficies de nivel son curvas de nivel y podemos dibujarlas.3 Ejemplo 1.18 La utilidad√que obtiene un consumidor con el consumo de dos bienes √ viene dada por U (x, y) = 3x + y. La figura siguiente muestra las curvas de nivel (curvas de indiferencia) correspondientes a niveles de utilidad de 4, 5 y 6 unidades. 10

8

6

U =6

4

U =5 2

U =4 2

4

6

8

10

1. Si el consumo actual es (x, y) = (3, 4), ¿sobre cu´ al de las curvas de indiferencia nos encontramos? 2. Si, partiendo del consumo actual, el consumidor tuviera que renunciar a una unidad del bien x, ¿cu´ antas unidades de y deber´ıa consumir para conservar su nivel de utilidad? 3. Partiendo de y = 4, ¿cu´ antas unidades deber´ıa consumir de x aproximadamente para aumentar su utilidad una unidad? 4. Si el consumidor quisiera mantener su nivel de utilidad consumiendo s´ olo el bien x, ¿cu´ antas unidades deber´ıa consumir?

3 Para las funciones con una interpretaci´ on econ´ omica, las curvas de nivel reciben nombres distintos en funci´ on de dicha interpretaci´ on. As´ı, cuando f es una funci´ on de utilidad, las curvas de nivel representan los consumos que proporcionan al consumidor la misma utilidad, de modo que le es indiferente uno u otro, por lo que se llaman curvas de indiferencia, si f es una funci´ on de producci´ on, las curvas de nivel representan las combinaciones de factores de producci´ on que permiten producir la misma cantidad de producto, por lo que se llaman isocuantas, etc. Conviene tener presente que todos estos nombres hacen referencia al mismo concepto matem´ atico.

1.4. Problemas de optimizaci´ on

33

Nota Compara las gr´ aficas de los ejemplos 1.17 y 1.18. Deber´ıas comprender que, pese a su similitud, representan conceptos matem´aticos muy distintos entre s´ı: la primera representa las gr´aficas de varias funciones, obtenidas a partir de una misma funci´ on fijanto los valores de todas sus variables menos una; la segunda, en cambio, representa las curvas de nivel de una funci´ on, donde no fijamos ninguna variable, sino el valor que toma la funci´ on.

1.4

Problemas de optimizaci´ on

Considera el problema siguiente: Ejemplo 1.19 Un consumidor dispone de un presupuesto de 6 C para comprar hamburguesas y refrescos. Cada hamburguesa vale 1 C, mientras que cada refresco vale 1.50 C. La utilidad que obtiene de su consumo viene dada por la funci´ on U (h, r) = hr. Calcula la cantidad de refrescos y hamburguesas que debe adquirir para maximizar su utilidad. Estamos ante un ejemplo t´ıpico de lo que es un problema de optimizaci´ on. Esto significa que tenemos una serie de opciones (comprar m´as o menos refrescos y m´as o menos hamburguesas) y, de entre todas esas opciones, buscamos la mejor en un sentido u otro (en este caso, la que proporciona la m´ axima utilidad, en otros casos podr´ıamos buscar el m´aximo beneficio, el m´ınimo coste, la m´axima producci´ on, el m´ınimo riesgo en una inversi´ on, etc.) El primer paso para resolver un problema de optimizaci´ on es formularlo como un problema matem´atico. Esto es lo que se llama modelizar el problema. Podemos dividir el proceso de modelizaci´on en los pasos siguientes: 1. Establecer las variables de decisi´ on del problema. Se trata de las cantidades que nos piden calcular. En nuestro caso: h: hamburguesas que conviene comprar. r: refrescos que conviene comprar. Cada par de valores (h, r) ∈ R2 se llama una soluci´ on del problema. 2. Determinar las restricciones del problema. Se trata de las condiciones que ha de cumplir una restricci´ on (h, r) para que tenga sentido o pueda llevarse a la pr´ actica. En nuestro caso son tres (todas igual de importantes): h + 1.5r ≤ 6 h ≥ 0, r ≥ 0

el coste de la consumici´on ha de ser ≤ que el presupuesto. condiciones de no negatividad.

3. Determinar la funci´ on objetivo del problema, la funci´ on que determina c´ omo es de buena o de mala una soluci´ on. En nuestro caso es la funci´ on de utilidad: U (h, r) = hr. 4. Con todo esto ya podemos escribir el modelo o planteamiento matem´atico del problema: Max. hr s.a h + 1.5r ≤ 6 h, r ≥ 0

34

Tema 1. Conjuntos y funciones

Aqu´ı Max. significa “maximizar”, es decir, que buscamos el m´aximo de la funci´ on hr. (La alternativa ser´ıa Min., por “minimizar”, cuando buscamos un coste m´ınimo, etc.) Finalmente, s.a significa “sujeta a”, es decir, que buscamos el m´aximo de la funci´ on hr sujeta a las restricciones que se indican. De este modo: Resolver un problema de optimizaci´ on consiste en encontrar, de entre las soluciones factibles (es decir, las que cumplen las restricciones del problema) aquella o aquellas que hacen m´ axima (o m´ınima, seg´ un se indique) la funci´ on objetivo. Dichas soluciones se llaman soluciones o ´ptimas del problema. Cuando el problema tiene dos variables podemos representarlo gr´ aficamente, dibujando el conjunto de oportunidades (el conjunto de todas las soluciones factibles) y algunas curvas de nivel de la funci´ on objetivo (concretamente, de abajo arriba, est´ an representados los niveles de utilidad U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8): 6

5

4

3

2

1

1

2

4

3

5

6

1. A la vista de la figura, ¿cu´ al es el m´aximo nivel de utilidad que podemos alcanzar sin salirnos del conjunto de oportunidades (es decir, sin pasarnos del presupuesto)? 2. ¿Con qu´e consumo de hamburguesas y refrescos se consigue? Problema 1.20 Resuelve on de utilidad √ el problema anterior pero cambiando la funci´ 2 2 por U (h, r) = (h, r) = h + r . La figura muestras las curvas de indiferencia para los niveles U = 1, 2, 3 . . . 6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

Para m´ as observaciones sobre este caso, v´ease la nota 3 al final del tema.

1.5. Elementos de topolog´ıa

1.5

35

Elementos de topolog´ıa

Introducimos aqu´ı varios conceptos que subyacen en la pr´ actica totalidad de los conceptos que estudiaremos m´as adelante y que est´an relacionados con la noci´ on de proximidad entre vectores. La norma de un vector Para precisar la noci´ on de proximidad entre dos vectores empezamos precisando la noci´on de tama˜ no: Ejemplo 1.21 Imaginemos que queremos medir el ´ındice de precios de dos pa´ıses A y B atendiendo a los precios de dos bienes que consideramos especialmente representativos. En el pa´ıs A el vector de precios es p¯A = (3, 4) C, mientras que en el pa´ıs B tenemos p¯B = (1.5, 5.1) C. ¿Qu´e pa´ıs tiene los precios m´ as altos? ´ n: No hay una respuesta un´ıvoca a este problema, sino que el problema de Solucio establecer un indicador razonable del nivel de precios de un pa´ıs (un IPC) puede ser muy complejo y requiere un buen conocimiento de la econom´ıa del pa´ıs. Aqu´ı s´olo buscamos un objetivo m´ as modesto, que es el de fijar un criterio que nos permita comparar vectores, y establecer cu´al es m´as grande y cu´ al m´as peque˜ no. Como decimos, hay muchos criterios alternativos, y en cada contexto puede ser m´as conveniente emplear uno distinto. Por ejemplo, para el caso de los precios podr´ıa ser razonable comparar las medias: 3+4 1.5 + 5.1 p¯B = 3.5 > 3.3 = . 2 2 p¯A Con este criterio, los precios del pa´ıs A son m´as altos que los del pa´ıs B. Sin embargo, nos va a ser m´ as u ´til otra forma de medir el tama˜ no de un vector, que resulta natural si atendemos a su representaci´on gr´ afica. En la figura vemos que el vector p¯B es m´as largo que p¯A . El teorema de Pit´ agoras nos permite calcular ambas longitudes, que resultan ser: ¯ pA  =



32 + 42 = 5,

¯ pB  =



(1.5)2 + (5.1)2 = 5.32.

Respecto a este criterio, los precios del pa´ıs A son m´as bajos que los del pa´ıs B.

Definici´ on Si x ¯ ∈ Rn definimos la norma de x ¯ como el escalar ¯ x =



x21 + · · · + x2n .

El concepto de norma tambi´en nos permite medir el parecido o la proximidad que hay entre dos vectores x ¯, y¯ ∈ Rn . Podemos definir la distancia entre ambos como la norma de la diferencia: d(¯ x, y¯) = ¯ x − y¯, que ser´a m´as peque˜ na cuando m´as parecidos sean los dos vectores. Tal y como hemos visto en el ejemplo anterior, la norma de un vector es su longitud, seg´ un la representaci´ on geom´etrica usual.4 De este modo, cuando hablemos de vectores “peque˜ nos” querremos decir vectores de norma peque˜ na. 4

En el caso de vectores de dos coordenadas. Si tienen tres coordenadas, podr´ıamos representarlos en un espacio de tres dimensiones y la norma sigue siendo la longitud. Para vectores de m´ as componentes, ya no podemos representarlos gr´ aficamente, pero la norma es la generalizaci´ on natural del concepto de longitud.

36

Tema 1. Conjuntos y funciones

Sobre la interpretaci´ on econ´ omica de la norma, v´ease tambi´en la nota 1 al final del tema. Existe una relaci´ on entre la norma y el producto escalar que conviene conocer: Teorema

Si x ¯, y¯ ∈ Rn son vectores distintos de ¯0, entonces x ¯ · y¯ = ¯ x ¯ y  cos α,

donde α es el a ´ngulo que forman ambos vectores. En particular, x ¯ · y¯ = 0 equivale a que los vectores sean perpendiculares, ya que cos α = 0 s´ olo cuando α = π/2 radianes (= 90◦ ). Problema 1.22 Considera los vectores x ¯, y¯, z¯ ∈ R2 representados en la figura. Calcula los a ´ngulos formados por x ¯ e y¯ y por x ¯ y z¯. z¯ ´ n: Calculamos el producto escalar Solucio x ¯ · y¯ = (2, 4)(−2, 1) = −4 + 4 = 0.

x ¯ α y¯

Como da 0, esto significa que x ¯ e y¯ son perpendiculares. (Forman un a´ngulo de 90◦ , tal y como, de hecho, se puede apreciar en la figura.) En cambio:

x ¯ · z¯ = (2, 4)(−2, 6) = −4 + 24 = 20. √ √ √  z  = (−2)2 + 62 = 40. El teorema Ahora calculamos ¯ x = 22 + 42 = 20, ¯ anterior nos da la relaci´ on √ √ x ¯ · z¯ = 20 = 20 40 cos α, lo que nos permite despejar cos α = √

20 1 √ =√ , 20 40 2

⇒

1 α = arccos √ = 45◦ . 2

Los vectores x ¯ y z¯ forman un a´ngulo de 45◦ (o π/4 radianes). Continuidad La noci´ on m´ as importante de esta secci´on es la de continuidad, ya que los resultados que estudiaremos en los temas siguientes exigen, salvo en casos muy especiales, que las funciones involucradas sean continuas: Definici´ on Una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ Rm es continua en un punto x ¯0 ∈ D si para asegurar que un punto cualquiera x ¯1 ∈ D cumple f (¯ x1 ) − f (¯ x0 ) < ', donde ' > 0 es un ¯0  < δ, donde δ > 0 es un n´ umero tan peque˜ no como se quiera, basta exigir que ¯ x1 − x n´ umero suficientemente peque˜ no. En otras palabras, si llamamos ∆¯ x=x ¯1 − x ¯0 , lo que dice la definici´ on anterior es x, se cumplir´ a que si partimos de x ¯0 e incrementamos las variables en unas cantidades ∆¯ x) < ' siempre que ∆¯ x < δ, para un δ adecuado. que ∆f (¯ x0 )(∆¯

1.5. Elementos de topolog´ıa

37

M´ as llanamente a´ un: f es continua en un punto x ¯0 de su dominio (es decir, en un punto donde f est´e definida) si los incrementos peque˜ nos de las variables dan lugar a incrementos peque˜ nos de la funci´ on. Vamos a analizar lo que supone en la pr´ actica afirmar que una funci´ on es continua desde un punto de vista econ´ omico en primer lugar y desde un punto de vista matem´atico en segundo lugar: Desde un punto de vista econ´ omico, la continuidad es el requisito b´ asico indispensable que hemos de suponer en las funciones con las que trabajamos para que les sean aplicables las t´ecnicas que vamos a estudiar en este curso (que por eso se llaman t´ecnicas de matem´ atica continua). La utilidad pr´ actica de estas t´ecnicas se debe, pues, entre otras cosas, a que en la mayor´ıa de los casos la continuidad es un supuesto razonable. As´ı, suponer que una funci´ on de utilidad es continua significa suponer que si un consumidor var´ıa muy poco su consumo, la utilidad que obtendr´ a con este cambio ser´a muy parecida a la que ten´ıa en un principio; suponer que una funci´ on de costes es continua significa suponer que si variamos muy poco la producci´ on, esto afectar´a algo al coste, pero muy poco tambi´en; suponer que la evoluci´ on de una inversi´ on respecto del tiempo es continua significa que el valor del capital invertido no fluctuar´ a bruscamente de un momento a otro, sino que ir´ a aumentando o disminuyendo poco a poco. Obviamente, esto no tiene por qu´e ser siempre as´ı. Los cambios bruscos (como un hundimiento burs´ atil) se corresponden matem´aticamente con discontinuidades. Analizar la evoluci´ on de una inversi´ on en bolsa mediante funciones continuas equivale a suponer que la bolsa no se hundir´ a en el periodo estudiado. Desde el punto de vista matem´atico, suponer que una funci´ on es continua es una hip´ otesis razonabil´ısima, que podemos dar por hecha pr´ acticamente en todo momento, en virtud del teorema siguiente: Teorema Toda funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R construida por composici´ on5 de polinomios, sumas, productos, cocientes, exponenciales, ra´ıces, logaritmos, senos y cosenos, es continua en todos los puntos de su dominio. M´ as claramente, si llamamos “funciones usuales” a las funciones descritas en el teorema anterior (que son las u ´nicas funciones con las que vamos a trabajar), podemos afirmar que: Una funci´ on no puede ser continua en un punto en el que no est´e definida (es decir, en un punto en el que no se pueda calcular, al igual que no puede tener ninguna de las propiedades que estudiaremos m´ as adelante: ser derivable, diferenciable, etc.), pero, salvo en este caso obvio y siempre y cuando la funci´ on no sea cualquiera, sino que sea una funci´ on usual, ser´ a continua en todos los puntos donde s´ı que se pueda calcular. √ Problema 1.23 Estudia si la funci´ on f (x, y, z) = xy + z 4 es continua en los puntos (−4, 0, 1) y (−4, 1, 1). ¿Cu´ al es el conjunto de puntos en los que es continua? ´ n: La funci´ Solucio on f s´ı que es continua en el punto (−4, 0, 1) porque: 1. f es una composici´on de una ra´ız cuadrada y dos polinomios. 5

Componer funciones es poner unas dentro de otras. Por ejemplo, la funci´ on ln(x2 +1) es composici´ on 2 de la funci´ on ln y con la funci´ on y = x + 1.

38

Tema 1. Conjuntos y funciones 2. f est´a definida en el punto: f (−4, 0, 1) =

√

0 + 14 = 1.

Por el contrario, f no a definida en √ es continua en el punto (−4, 1, 1), ya que no est´ el punto: f (−4, 1, 1) = −4 + 1 no se puede calcular. Al ser una composici´on de una ra´ız y dos polinomios, el conjunto de puntos donde es continua es simplemente su dominio: D = {(x, y, z) ∈ R3 | xy ≥ 0}.

A t´ıtulo de curiosidad, en la nota 4 estudiamos un ejemplo de funci´ on discontinua, mientras que en la nota 5 mostramos algunos ejemplos adicionales de funciones continuas que no son del tipo descrito en el teorema anterior. Conjuntos abiertos Cuando calculamos, por ejemplo un incremento de una funci´ on: ∆f (¯ x)(∆¯ x), para que el c´ alculo sea posible no basta con que f est´e definida en el punto x ¯, esto es necesario, pero tambi´en hace falta que f est´e definida en el punto x ¯ + ∆¯ x, ya que ¯ = f (¯ ∆f (¯ x)(∆X) x + ∆¯ x) − f (¯ x). En otras palabras, hace falta que al pasar a x ¯ + ∆¯ x no nos salgamos del dominio de f . Muchas de las propiedades que vamos a estudiar en temas posteriores tienen que ver con el comportamiento de las funciones ante incrementos peque˜ nos de las variables, y el concepto de abierto que vamos a definir ahora nos garantiza precisamente que podemos realizar incrementos sin salirnos del conjunto en el que estamos trabajando: Definici´ on Un subconjunto D ⊂ Rn es abierto si, cuando un punto x ¯ ∈ D, existe un ' > 0 tal que x ¯ + ∆¯ x ∈ D para todo incremento que cumpla ∆¯ x < '. En otras palabras, D es abierto si, cuando estamos en un punto x ¯ ∈ D, podemos estar seguros de que no nos vamos a salir si incrementamos las coordenadas de x ¯ de cualquier forma, siempre y cuando el incremento sea peque˜ no en el sentido de tener norma suficientemente peque˜ na. Otra forma de decir esto es la siguiente: D es abierto si, cuando un punto x ¯ est´a en D, todos los puntos de alrededor de x ¯ est´an tambi´en en D. En la pr´ actica, lo u ´nico que conviene tener presente es que todos los resultados sobre funciones que vamos a exponer y que involucren incrementos, directa o indirectamente, nos obligar´ an a exigir que las funciones involucradas est´en definidas en conjuntos abiertos. (La definici´ on de continuidad es una excepci´ on.) Puntos interiores y puntos frontera de un conjunto Terminamos distinguiendo dos clases de puntos en relaci´on con un subconjunto dado S ⊂ Rn . Ejemplo 1.24 Consideremos el conjunto S = {(x, y) ∈ R2 | x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}. Podemos decir que los puntos (1, 3) y (3, 0) son puntos frontera, mientras que, por ejemplo, el punto (2, 1) es un punto interior.

1.6. Notas

39

La diferencia entre unos y otros est´ a clara sin m´ as que mirar la figura, pero una forma de expresarla con palabras es la siguiente: Si S ⊂ Rn , un punto interior de S es un punto x ¯ ∈ S tal que todos los puntos n de R cercanos a x ¯ pertenecen tambi´en a S, mientras que un punto frontera de S es un punto x ¯ ∈ Rn (que puede estar en S o no) tal que hay puntos cercanos a x ¯ que est´an en S y puntos cercanos a x ¯ que no est´an en S. Para expresar con precisi´ on la noci´ on vaga de “puntos cercanos” hemos de usar el concepto de norma: Definici´ on Si S ⊂ Rn , un punto interior de S es un punto x ¯ ∈ S tal que exite un ' > 0 n tal que todos los puntos y¯ ∈ R que cumplen ¯ y−x ¯ < ' est´an tambi´en en S. Un punto frontera de S es un punto x ¯ ∈ Rn tal que, para cualquier ' > 0 existe al menos un punto y¯ ∈ S y otro punto z¯ ∈ / S tales que ¯ y−x ¯ < ', ¯ z−x ¯ < '. En la pr´ actica, tal y como se puede observar en el ejemplo 1.24, cuando un conjunto est´a definido por varias desigualdades (a partir de funciones continuas), sus puntos frontera son los puntos que cumplen alguna de las condiciones con igualdad. As´ı, en dicho ejemplo, el punto (1, 3) cumple la condici´ on x + y ≤ 4 con igualdad, mientras que (3, 0) cumple con igualdad la condici´ on y ≥ 0. Por el contrario, los puntos interiores son los que cumplen todas las condiciones con desigualdad estricta.

1.6

Notas

1. Sobre la interpretaci´ on econ´ omica de la norma Tal y como hemos explicado tras la definici´ on de norma, este concepto nos permite hablar coherentemente del tama˜ no de un vector: un vector “peque˜ no” es un vector con norma peque˜ na, y esta idea ser´a importante en lo sucesivo. Sin embargo, tambi´en conviene tener presente que la noci´ on de norma es puramente geom´etrica, y son pocos los casos en los que puede usarse razonablemente para comparar dos vectores de manera que la comparaci´ on tenga una interpretaci´ on econ´omica aceptable. El ejemplo 1.21 nos da una primera muestra de por qu´e esto es as´ı. En realidad, decir que los precios del pa´ıs A son m´as bajos que los del pa´ıs B porque la norma de su vector de precios sea menor no tiene ning´ un fundamento econ´ omico. M´as concretamente: la ra´ız cuadrada de la suma de los precios al cuadrado tiene una interpretaci´ on geom´etrica evidente, pero no significa nada desde un punto de vista econ´omico. Aunque podamos representar los vectores de precios como longitudes en el plano, lo cierto es que los precios no son longitudes. Por el contrario, la comparaci´on en t´erminos de precios medios (seg´ un la cual es B el pa´ıs con los precios m´as bajos) s´ı que tiene una interpretaci´ on econ´omica clara. Se podr´ a discutir si es razonable calcular la media sin m´ as, o si habr´ıa que valorar m´ as uno de los bienes frente al otro, o si habr´ıa que considerar otros bienes distintos para valorar los precios, etc., pero, en cualquier caso, lo que no puede discutirse es que la media de los precios es un indicador del nivel de los precios del pa´ıs. Esto se entender´a mejor con otro ejemplo donde los criterios adecuados de comparaci´ on sean menos pol´emicos: Consideremos un consumidor que puede comprar dos bienes, hamburguesas y refrescos, y queremos comparar dos posibles consumos, digamos, (h, r) = (2, 9) frente a (h, r) = (6, 5). La forma natural de

40

Tema 1. Conjuntos y funciones comparar dos consumos es a trav´es de una funci´ on de utilidad. El caso m´ as elemental ser´ıa la funci´ on U (h, r) = h+r, que valora simplemente el n´ umero total de bienes adquiridos. Con este criterio ambos consumos tienen la misma magnitud, ya que en total se consumen 11 bienes: U (2, 9) = 11 = U (6, 5). Una funci´ on de utilidad m´ as fina es U (h, r) = hr, que da preferencia a los consumos m´as equilibrados. Por ejemplo, con esta funci´ on resulta que U (2, 9) = 18 < 30 = U (6, 5), lo cual viene a expresar que el consumidor prefiere tener aproximadamente el mismo n´ umero de hamburguesas que de refrescos frente a un exceso de refrescos. √ Si us´ aramos la norma U (h, r) = h2 + r2 como funci´ on de utilidad el resultado ser´ıa U (2, 9) = 9.2 > 7.8 = U (6, 5), pero esta preferencia por el primer consumo√no tiene ninguna interpretaci´ on econ´omica. De hecho, la funci´ on U (h, r) = h2 + r2 no ser´ıa muy razonable como funci´ on de utilidad para un ejemplo como ´este.6 Es cierto que si representamos los consumos en el plano, el punto (2, 9) queda “m´ as lejos” del consumo nulo (0, 0) que el consumo (6, 5), pero esa “lejan´ıa en el plano” no significa nada desde un punto de vista econ´ omico. 2. Un problema de matem´ atica discreta Considera de nuevo el problema 2 de la introducci´ on (p´ agina 13) con el supuesto de que la empresa no puede fabricar cantidades fraccionarias de sus art´ıculos. En el problema 1.6 hemos representado el conjunto de oportunidades del problema: la regi´ on sombreada representa las infinitas combinaciones de A y B que puede producir la empresa. Ahora bien, si suponemos que las producciones no pueden ser fraccionarias, de esas infinitas producciones s´olo nos quedan 13 soluciones factibles (los trece puntos de la cuadr´ıcula que quedan dentro de la zona sombreada). Escribe esas 13 soluciones (x, y) y, para cada una de ellas, calcula el beneficio que obtiene la empresa que, ecordemos, viene dado por B(x, y) = 8x + 10y. Comprueba que la soluci´ on que proporciona el m´ aximo beneficio es (x, y) = (0, 4). Con esto has resuelto un problema de optimizaci´ on discreta. Ciertamente, la forma de resolverlo ha sido muy simple, pero ello se debe a que el problema era muy peque˜ no. Emplear esta t´ecnica en un problema “normal” requerir´ıa comprobar millones de soluciones una a una, y esto puede ser costoso hasta para un ordenador. Por ello es necesario desarrollar t´ecnicas que permitan buscar la soluci´ on o´ptima sin analizar una a una todas las soluciones factibles. En esta asignatura no vamos a abordar este tipo de problemas. 3. Discusi´ on sobre el problema 1.20 Conviene observar que, cualquiera que sea la restricci´on presupuestaria (aunque los precios sean otros y el presupuesto cambie tambi´en), el conjunto de oportunidades ser´ a siempre un tri´ angulo con un v´ertice en (0, 0), y la consumici´ on o´ptima (h, r) ser´a la que tenga norma m´ axima, es decir, la que est´e m´as lejos del punto (0, 0), y ´esta siempre va a ser otro de los v´ertices del tri´angulo, de la forma (h, 0), como en 1.20, o de la forma (0, r). As´ı pues, con esta funci´ on de utilidad, todos los “consumidores racionales” comer´ıan hamburguesas sin beber nada (si las hamburguesas son m´ as baratas) o beber´ıan refrescos sin comer nada (si los refrescos son m´as baratos). Vemos as´ı que, tal y 6

Por ejemplo porque implicar´ıa que, para maximizar su utilidad con un presupuesto limitado, el consumidor deber´ıa no comprar ning´ un refresco o no comprar ninguna hamburguesa. V´ease la nota 3

1.6. Notas

41

como dec´ıamos en la nota 1, esta funci´ on de utilidad no es apropiada desde un punto de vista econ´ omico, aunque matem´aticamente no haya ning´ un problema en resolver el correspondiente problema de optimizaci´ on. 4. Un ejemplo de funci´ on discontinua Supongamos que alquilamos un coche por horas, de modo que por cada hora o fracci´ on que lo tenemos alquilado hemos de pagar 10 C. Llamemos C(t) a la funci´ on que nos da el coste de alquilar el coche en funci´ on del n´ umero de horas t que lo tenemos alquilado. La funci´ on C(t) es discontinua en los puntos 1, 2, 3, . . . En efecto, veamos, por ejemplo, que no cumple la definici´ on de continuidad para t0 = 1: Si alquilamos el coche exactamente durante 1 hora, el coste es C(1) = 10 C, pero cualquier incremento (positivo) ∆t en el tiempo que tenemos el coche alquilado, sea de un minuto, de un segundo o de una mil´esima de segundo, hace que el coste pase a ser C(t) = 20 C. En otras palabras: partiendo de t0 = 1, cualquier incremento de t, por peque˜ no que sea, provoca un incremento grande del coste: ∆C(1)(∆t) = 10 C. Esto es justo lo que la definici´ on de continuidad exige que no ocurra: para que nos de t deber´ıan dar lugar a C fuera continua en t0 = 1, incrementos peque˜ incrementos peque˜ nos de C, y no es as´ı. Podr´ıa objetarse que es discutible si un incremento de coste de 10 C es un incremento peque˜ no o grande, pero la definici´ on de continuidad dice, m´ as concretamente, que, para que C sea continua, ha de cumplir que si llamamos “incremento peque˜ no” a un incremento de cualquier tama˜ no que elijamos, ' > 0, hemos de poder asegurar que la funci´ on sufre incrementos peque˜ nos (menores que ') cuando las variables sufren incrementos de tama˜ no suficientemente peque˜ no δ. En nuestro caso podemos elegir como “peque˜ no” ' = 5 C y nos encontramos que, por peque˜ no que sea ∆t, el incremento ∆C supera con creces (duplica) el valor de ' permitido. Esencialmente, son situaciones de este tipo las que pueden hacer que en un contexto econ´omico aparezcan funciones discontinuas. En tales casos, o bien no se puede aplicar las t´ecnicas de matem´atica continua que vamos a estudiar nosotros, o bien pueden aplicarse en la medida en que no suponga una gran distorsi´ on de la realidad aproximar la funci´ on discontinua por otra funci´ on continua. Por ejemplo, imaginemos que estamos interesados en alquilar el coche por un largo periodo de tiempo, digamos, cercano a un a˜ no. Si tratamos de dibujar una funci´ on escalonada como la anterior pero con 365 × 24 = 8 760 escalones en lugar de 3, la figura que obtendremos ser´ a indistinguible de una recta, concretamente, ˜ = 10t, por lo que, a tan larga escala, ser´ıa razonable suponer que de la recta C(t) la funci´ on de coste es simplemente 10t, que es continua por ser un polinomio. 5. Otras funciones continuas Vamos a discutir dos casos de funciones continuas que, por ser de uso menos frecuente, no hemos incluido en el teorema de la p´ agina 37. La primera es la funci´ on valor absoluto, es decir, la funci´ on |x| que le quita el signo negativo a x cuando es negativo y lo deja igual si es positivo.

42

Tema 1. Conjuntos y funciones La funci´ on valor absoluto es continua en su dominio, que es todo R, y podr´ıamos haberla a˜ nadido en la lista de las del teorema de la p´ agina 37, de tal forma que podemos afirmar que “toda funci´ on compuesta de polinomios, sumas, productos. . . y valores absolutos es continua en su dominio”. Hay una prueba muy simple de la continuidad del valor absoluto que adem´ as tiene la utilidad de refutar la “leyenda urbana” seg´ un la cual √ x = x2 . En contra de la opini´ on popular, esto es falso. Es cierto cuando x ≥ 0, pero no se cumple cuando x es negativo. Por ejemplo, si x = −3 tenemos que  √ (−3)2 = 9 = 3 = −3. La igualdad correcta es: |x| =

√

x2 ,

y precisamente esta igualdad prueba que el valor absoluto es continuo en todo R, ya que muestra que es composici´on de una ra´ız cuadrada y un polinomio. Otro ejemplo de funci´ on continua que podr´ıamos haber a˜ nadido en el teorema de la p´ agina 37 es la funci´ on U (x, y) = m´ın{x, y}, que a cada par de n´ umeros les asigna el m´ınimo de ambos. Por ejemplo, U (2, 7) = 2, U (π, e) = U (3.14, 2.71) = e. La funci´ on m´ınimo tiene inter´es porque representa la utilidad que proporcionan dos bienes complementarios perfectos. En efecto, pongamos que x e y son las cantidades que posee un consumidor de C.P.U.’s y pantallas de ordenador, respectivamente. Si tenemos x = 2 C.P.U.’s e y = 7 pantallas, la utilidad que tenemos es U (2, 7) = 2, exactamente la misma que tendr´ıamos si tuvi´eramos u ´nicamente 2 pantallas, porque las 5 pantallas de m´ as no nos reportan ninguna utilidad si no podemos conectarlas a ninguna C.P.U. Las curvas de indiferencia de esta funci´ on de utilidad tienen la forma indicada en la figura. En efecto, por ejemplo: todos los puntos a la derecha de (2, 2) tienen la misma utilidad 2, al igual que todos los puntos arriba de (2, 2), ya que corresponden a que, partiendo de 2 C.P.U.’s y 2 pantallas, compramos m´as C.P.U.’s s´olo o m´as pantallas s´olo, lo cual no modifica la utilidad. M´ as adelante veremos que, aun siendo continua, no es una buena funci´ on para aplicar las t´ecnicas de la matem´atica continua, y un indicio de ello es que las curvas de indiferencia tienen “picos”, hecho que no nos encontraremos habitualmente.

1.7

Ejercicios

1. Calcula la norma de los vectores siguientes: x ¯1 = (24, 7),

x ¯2 = (−12, 35),

y¯1 = (5, 4, −2, 2),

x ¯3 = (5, 1),

y¯2 = (2, 1, 11, 4),

x ¯4 = (0, 0),

y¯3 = (1, 1, −1, −1).

¯2 , x ¯3 , x ¯4 es mayor? Determina si y¯1 es perpen¿Cu´ al de los cuatro vectores x ¯1 , x dicular a y¯2 o a y¯3 .

1.7. Ejercicios

43

2. Una empresa fabrica dos art´ıculos A y B. Las ventas del u ´ltimo semestre vienen dadas por la tabla siguiente: J A S O N D A 3 0 9 15 10 12 B 5 0 6 17 11 9 Determina, realizando siempre operaciones con vectores de R2 , (a) el vector S¯ de ventas en septiembre, (b) el vector v¯ de ventas totales en el semestre, (c) el vector v¯m de ventas medias mensuales en dicho periodo, (d) el vector ∆¯ v de incremento de ventas de noviembre a diciembre. Si el vector de precios es p¯ = (3, 5), calcula —siempre con operaciones vectoriales— los ingresos de la empresa en el semestre. 3. Una empresa fabrica cuatro art´ıculos A, B, C, D en cantidades 10, 15, 50 y 25. La empresa dispone de un total de 1 200 horas diarias de mano de obra. El tiempo necesario para producir una unidad de cada art´ıculo es de 2, 1, 2 y 3 horas respectivamente. Por otra parte, la empresa ha fijado su nivel de producci´ on diaria en 500 unidades. La tabla siguiente recoge los costes unitarios de producci´ on y los precios a los que la empresa vende sus art´ıculos. A B C D Coste ( C) 30 15 35 40 Precio ( C) 35 21 37 42 Determina: ¯ de nivel de producci´ ¯ de consumo de (a) El vector N on por art´ıculo, el vector H horas por producto, el vector C¯ de costes y el vector P¯ de precios de venta. ¿En qu´e espacio Rn estas trabajando? (b) Calcula mediante una operaci´ on entre vectores el consumo total de horas realizado para los niveles de producci´ on considerados. (c) Calcula mediante operaciones entre vectores el vector de beneficio neto por unidad de producto. (d) Calcula mediante operaciones entre vectores el beneficio total de la empresa para el vector de niveles de producci´ on considerado. (e) Supongamos que la empresa considera aumentar los precios de venta de A y C en 1 unidad, mantener el mismo precio de B y disminuir el de D en 0.5 unidades. Escribe el vector incremento de precios ∆P¯ . Determina el nuevo vector de precios P¯1 . 4. Una empresa fabrica tres art´ıculos A, B y C en cantidades x, y, z. En la producci´ on intervienen dos grupos de trabajadores especializados I y II. La siguiente tabla recoge el tiempo necesario de cada tipo de mano de obra para cada tipo de producto: A B C Horas mano de obra Tipo I 1/15 1/15 1/15 Horas mano de obra Tipo II 1/2 3/4 1

44

Tema 1. Conjuntos y funciones Por otra parte, el coste de producci´ on unitario es de 3 u.m. para el producto A, 5 u.m. para el producto B y 2 u.m. para C. Determina: ¯ de nivel de producci´ ¯ I de consumo de (a) El vector N on por art´ıculo, el vector H ¯ II de consumo de horas horas de tipo I por unidad de producto, el vector H de tipo II por unidad de producto y el vector de costes C¯ por art´ıculo. ¿En qu´e espacio Rn est´as trabajando? ¯ B ¯ y C¯ de consumo de horas de tipos I y II para cada uno (b) Los vectores A, de los productos A, B y C respectivamente. ¿En qu´e espacio Rn est´as trabajando ahora? (c) Expresa mediante una operaci´ on entre vectores el consumo total de horas de tipo I realizado para los niveles gen´ericos de producci´ on considerados. (d) Expresa mediante una operaci´ on entre vectores el consumo total de horas de tipo II realizado para los niveles gen´ericos de producci´ on considerados. (e) Expresa mediante operaciones entre vectores el coste total de la empresa para el vector gen´erico de niveles de producci´ on considerado. (f) Mejoras introducidas en el proceso productivo han permitido reducir los costes de producci´on de A y C en 0.2 y 0.5 unidades respectivamente. Escribe ¯ Determina el nuevo vector de costes el vector de incremento de costes ∆C. ¯ C1 . 5. Calcula el dominio de las funciones siguientes: (a) U1 (x, y, z) = x0.3 y 0.5 z 0.2 , (b) U2 (x, y, z) = 2x + 3y + 5z, (c) C1 (u, v, w) = 120 ln(2 + 3u + v + 3w), (d) C2 (C0 , i, t) = C0 (1 + i)t , (e) C3 (C0 , i, t) = C0 eit , √

(f) V (t) = e0.4 t , (g) D1 (I, p, q) =

√ 3

Ip2 q ,

√ 4

Ip3 q ,

(h) D2 (I, p, q) =

ep/q +eq/p , q−r = x3 y + 4xy 2

(i) f (p, q, r) = (j) B(x, y, z)

+ 3xz 4 .

6. Entre las funciones del problema anterior, s´ olo hay 2 que sean polinomios y 1 que sea lineal. Identif´ıcalas. 7. Calcula el dominio matematico y el subdominio con sentido econ´ omico de las siguientes funciones de utilidad: (a) U (X, Y ) = 3X + 2Y √ (b) U (X, Y ) = XY 2

1

(c) U (X, Y ) = X 3 Y 3 . (d) U (X, Y ) = m´ın{X, 5Y }.

1.7. Ejercicios (e) U (X, Y ) =

45 −1 X

+

−1 Y .

(f) U (X, Y ) = ln X + ln Y . (g) U (X, Y ) = ln X + Y . 8. Representa dos curvas de nivel para cada una de las funciones de utilidad del problema anterior. 9. Considera la funci´ on demanda de un bien D(I, p, q1 , q2 ) =

Iq1 , 2pq2

donde p el el precio del bien, I la renta del consumidor y q1 , q2 los precios de otros bienes. (a) Calcula su dominio y el subdominio con sentido econ´ omico. (b) Estudia gr´ aficamente su comportamiento respecto del precio del bien p, suponiendo I = 25 y q1 = 4 y q2 = 2. 10. Considera la funci´ on demanda √ D(I, p, q) =

Iq , 2p

donde p es el precio del bien, I la renta del consumidor y q el precio de otro bien. (a) Calcula su dominio y el subdominio con sentido econ´ omico. (b) Estudia gr´ aficamente su comportamiento respecto del precio del bien p, suponiendo I = 25 y q = 4. 11. Calcula el dominio matem´ atico y√el subdominio con sentido economico de la funcion de producci´ on Q(K, L) = L2 + K 2 . Representa dos curvas de nivel de la funcion anterior. 12. Escribe y representa gr´ aficamente el conjunto de oportunidades de un consumidor que compra diariamente dos art´ıculos que valen 2 C y 3 C respectivamente y cuyo presupuesto para los mismos es de 12 C diarios (pero no es necesario que gaste todo su presupuesto). (a) Razona si los consumos (0, 0), (6, 0), (4, 4), (1.5, 3) y (−1, 2) son factibles o infactibles. (b) Repite todo el problema suponiendo adem´ as que el consumidor necesita cada d´ıa un m´ınimo de 1 unidad del primer art´ıculo y 2 del segundo. 13. Escribe y representa gr´ aficamente el conjunto de oportunidades de una empresa que fabrica diariamente dos art´ıculos en cantidades x e y, pero de tal forma que la producci´ on total no puede exceder las 8 unidades diarias. Adem´ as, el coste de producci´ on del primer art´ıculo es de 3 u.m., y el del segundo de 1 u.m., y el presupuesto diario de la empresa es de 12 u.m. (a) Pon un ejemplo de soluci´ on factible que permita producir 8 unidades agotando el presupuesto.

46

Tema 1. Conjuntos y funciones (b) Pon otro ejemplo de producci´ on que d´e lugar a 8 unidades de producto sin agotar el presupuesto. (c) Pon un ejemplo de soluci´ on que sea infactible por pasarse del presupuesto.

14. Escribe el conjunto de oportunidades de una agencia de viajes que est´ a preparando una oferta de tres rutas tur´ısticas, teniendo en cuenta que el n´ umero total de plazas para las tres rutas est´a limitado a 600, y que, para que la promoci´ on sea rentable, es necesario que se contraten al menos un total de 200 viajes. Razona si las soluciones (100, 50, 50), (600, 600, 600) y (−100, 500, 0) son factibles o infactibles. Pon un ejemplo de soluci´ on factible en la que s´ olo se contrate una de las tres rutas. 15. Una empresa fabrica dos art´ıculos en cantidades X e Y , de modo que sus posibilidades de producci´ on est´an limitadas por la condici´ on X 2 + 4Y 2 ≤ 100. (a) Representa gr´aficamente el conjunto de oportunidades para la producci´ on de la empresa. (b) Identifica la frontera de posibilidades de producci´ on, es decirl la curva de producciones posibles que aprovechan m´ as eficientemente los recursos de la empresa. (c) Repite el problema si las posibilidades de producci´ on vienen limitadas por X 2 + 2Y 2 = 900. 16. Celedonia consume cada mes 8 helados de chocolate, 2 de fresa y 6 de vainilla. √ 6 Si la utilidad que obtiene del consumo de helados es U (C, F, V ) = C 2 F 3 V , responde a las preguntas siguientes: (a) ¿Cu´ al es el nivel de utilidad actual de Celedonia? (b) ¿Le convendr´ıa a Celedonia dejar de consumir helados de fresa? (c) Elpidio, el novio de Celedonia, planea invitarla a un helado (extra). Si quiere darle una sorpresa, ¿qu´e sabor le conviene elegir? (Expresa la respuesta en t´erminos de incrementos parciales.) (d) Calcula el dominio de la funci´ on de utilidad y el subdominio con sentido econ´omico. 17. El capital ahorrado por Filomena en el periodo 2000-2006 viene dado por la funci´ on A(t) = 70t3 − 370t2 + 1440 C , donde el tiempo est´a en a˜ nos y t = 0 corresponde al a˜ no 2000. La figura muestra la gr´ afica de esta funci´ on. 3000 2500 2000 1500 1000 500 1

2

3

4

5

6

1.7. Ejercicios

47

(a) Calcula el capital inicial y el capital final. (b) Calcula el capital que ahorr´ o de media Filomena en el periodo considerado. (c) Calcula el incremento de los ahorros de Filomena correspondiente al a˜ no 2001 (es decir, desde el 1 de enero de 2001 hasta el 1 de enero de 2002). (d) Deduce de la gr´ afica en qu´e periodo Filomena estuvo en “n´ umeros rojos”. Comprueba anal´ıticamente que, al principio y al final de ese periodo, sus ahorros eran nulos. 18. El n´ umero de litros de cerveza que Cris´ostomo consume al mes viene dado por la funci´ on 3I I2 D(I, p) = − , 2p 100 donde p es el precio del litro e I es la renta del consumidor. Pongamos que el precio actual del litro de cerveza es de p = 2 u.m. y que Cris´ ostomo dispone de una renta de I = 20 u.m. La figura muestra las funciones D(I, 2) y D(I, 3): D

14 12 10 8 6 4 2 10

20

30

40

I

(a) Razona qu´e curva corresponde a p = 2 y cu´ al a p = 3. (b) ¿Cu´ antos litros de cerveza mensuales consumir´a Cris´ostomo en las condiciones actuales? (c) A partir de la gr´ afica, determina si el n´ umero de litros consumidos aumentar´ a o disminuir´ a si Cris´ostomo pasa a tener una renta de 4 u.m. (d) Calcula a partir de la expresi´ on anal´ıtica de D el incremento parcial de la demanda correspondiente al apartado anterior. (e) A partir de la gr´ afica, estima aproximadamente cu´antos litros de cerveza al mes estar´ıa dispuesto a consumir como m´aximo Cris´ostomo mientras el precio sea de 2 u.m. ¿De qu´e renta deber´ıa disponer para ello, aproximadamente? (f) Determina anal´ıticamente la variaci´ on del consumo de cerveza si, manteniendo su renta de I = 20 u.m., el precio se incrementa en 1 u.m. (g) A partir de la gr´ afica, determina si, en caso de que, partiendo de los valores iniciales (I, p) = (20, 2) la renta pase a ser de I = 25 u.m. y el precio pase a p = 3 u.m., Cris´ ostomo consumir´a m´as o menos cerveza que ahora. (h) Calcula anal´ıticamente el incremento correspondiente al apartado anterior. (i) Un bien se dice normal si cuando los consumidores tienen m´as renta aumentan el consumo, y se dice inferior en caso contrario. Razona a partir de las gr´ aficas si la cerveza es un bien normal o inferior, para Cris´ ostomo. (La respuesta es que depende, pero razona de qu´e depende.)

48

Tema 1. Conjuntos y funciones (j) Calcula a partir de qu´e precio Cris´ostomo no estar´a dispuesto a comprar cerveza con su renta actual. (k) Dibuja la gr´ afica de la funci´ on D(20, p), es decir, la demanda de cerveza de Cris´ostomo en funci´ on del precio para su renta actual. (l) Un bien Giffen es un bien que se consume m´as cuando aumenta su precio. A la vista de la gr´ afica del apartado anterior, di si la cerveza es, para Cris´ostomo un bien Giffen o no (al menos para su renta actual).

19. P´ anfilo estudia el primer curso de la diplomatura en Empresariales. Su padre, que es psic´ologo y lleva estudi´ andolo casi veinte a˜ nos, ha calculado la nota que puede sacar en matem´aticas en funci´ on del n´ umero de horas semanales h que dedique a estudiar la asignatura y del empe˜ no, esfuerzo y atenci´ on e que ponga en el estudio (medido en una escala desde el esfuerzo nulo e = 0 hasta el m´aximo esfuerzo que es capaz de realizar, e = 10.) Dicha nota N viene dada por la funci´ on N (h, e) = 1.5h + 6.4e − 0.05h2 − 0.4e2 − 26.85. La figura muestra las curvas de nivel de la funci´ on N para los niveles 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

10 8 6 4 2 5

10

15

20

25

(a) P´ anfilo pretende estudiar matem´ aticas dos horas al d´ıa sin contar los fines de semana, con un nivel de esfuerzo de e = 5. Calcula la nota que va a conseguir as´ı. (b) Calcula el incremento de nota que podr´ıa conseguir P´ anfilo si decidiera estudiar, adem´ as, 3 horas cada fin de semana. (c) Calcula el incremento de nota que podr´ıa conseguir P´ anfilo si, adem´ as, decide aumentar su nivel de esfuerzo hasta e = 5.5. (d) A partir de la figura, determina aproximadamente cu´ antas horas como m´ınimo tiene que estudiar P´ anfilo a la semana para aprobar las matem´ aticas. ¿Qu´e nivel de esfuerzo necesitar´ıa para aprobar estudiando ese n´ umero de horas? (e) ¿Puede P´ anfilo sacar un sobresaliente si estudia 10 horas a la semana?, ¿por qu´e? (f) ¿Le interesa a P´ anfilo estudiar m´ as de 15 horas a la semana?

1.7. Ejercicios

49

20. Toribio es pastelero. Seg´ un el modo en que asigne a la producci´ on los recursos de que dispone, la cantidad x de tartas dulces y la cantidad y de tortas saladas que puede fabricar diariamente pueden variar en el conjunto S = {(x, y) ∈ R2 | 3x2 + y 2 ≤ 6 300, x ≥ 0, y ≥ 0}. Cada tarta se vende a 3 C y cada torta a 2 C. La figura representa el conjunto de oportunidades S y las curvas de nivel de la funci´ on de ingresos para 200, 210 y 220 C. 100 80 60 40 20 10

20

30

40

50

60

70

(a) Escribe el problema de optimizaci´ on que permite calcular la producci´ on que maximiza los ingresos de Toribio. (b) ¿Cuantas tartas diarias podr´ıa producir Toribio como m´ aximo? (c) ¿Y cuantas tortas? (d) ¿Podr´ıa Toribio fabricar 30 tartas y 40 tortas diarias? (e) ¿Y 60 de cada? (f) Pon un ejemplo de soluci´ on infactible (x, y) que cumpla x ≤ 10, y ≤ 10. (g) Deduce, a partir de la figura, cu´ al es el mayor nivel de ingresos diarios que puede conseguir Toribio. (h) Calcula la producci´ on que maximiza los ingresos. 21. Melecio es el due˜ no de una peque˜ na empresa en la que tiene contratados ocho trabajadores (adem´ as de ´el mismo, con lo que el n´ umero total de trabajadores es de L = 9). Actualmente, la producci´ on se lleva a cabo con la ayuda de K = 2 m´aquinas, pero Melecio est´a pensando en invertir en nueva maquinaria que le permita reducir la plantilla para reducir costes. El coste de cada nueva m´ aquina es de 1 u.m., mientras que el de cada trabajador es de 3 u.m. Por otra parte, la funci´ on de producci´ on de la empresa es Q(K, L) = K 2 L. (a) Calcula el coste y el nivel de producci´ on actual. (b) Melecio est´a interesado en posibles cambios que mantengan, como m´ınimo, el nivel de producci´ on actual, y que minimicen el coste. Formula el problema de optimizaci´on que quiere resolver Melecio. Escribe su conjunto de oportunidades y repres´entalo gr´ aficamente. (c) ¿Ser´ıa factible mantener el nivel de producci´ on con K = 3 despidiendo a 5 trabajadores? Representa gr´ aficamente esta soluci´on. ¿Es mejor o peor que la soluci´ on actual?

50

Tema 1. Conjuntos y funciones (d) ¿Ser´ıa factible despedir a siete trabajadores sustituy´endolos por un capital K = 4? Representa gr´aficamente esta soluci´on. (e) Representa las curvas de nivel de la funci´ on objetivo correspondientes a unos costes de 15, 12 y 9 u.m. (f) Calcula la combinaci´ on de capital y trabajo que minimiza el coste. ¿A cu´antos de sus empleados despedir´a Melecio? ¿Cu´al es el coste m´ınimo?

22. Macario y Dorotea disponen este mes de un presupuesto de 120 C para actividades culturales. Como son las fiestas de su pueblo, Macario propone comprar entradas para todas las corridas de toros que puedan. Sin embargo, Dorotea declara que no pisar´ a una plaza de toros hasta que no pongan a los toreros atados de pies y manos ante el toro. En su lugar, propone comprar libros. Macario confiesa que, hasta ahora, jam´ as le ha encontrado utilidad alguna a un libro, as´ı que propone repartir el dinero a partes iguales entre libros y entradas para los toros. Dorotea acepta el reparto, pero no a partes iguales. Tras cierta reflexi´ on y ciertos c´alculos, determina que la utilidad que le reporta comprar x libros puede medirse √ mediante la funci´ on UL (x) = x. Macario no entiende lo que esto significa, pero s´ı que entiende que, para que su matrimonio no se vaya al traste, debe admitir que la utilidad que ´el le encuentra a una corrida de toros no es ni mayor ni menor que la que su mujer le encuentra a un libro, por lo que Dorotea adopta como utilidad de comprar y entradas para √ los toros la funci´ on UT (y) = y. Cada libro vale 8 C, mientras que cada entrada para los toros cuesta 12 C. (a) Escribe el problema que debe resolver Dorotea para determinar cu´ antos libros y cu´ antas entradas hay que comprar para maximizar la utilidad conjunta (es decir, la suma de las utilidades). (b) Escribe el conjunto de oportunidades y repres´entalo gr´ aficamente. (c) ¿Qu´e soluci´on corresponder´ıa a la propuesta de Macario (repartir el dinero a partes iguales)?, ¿qu´e utilidad proporciona? (d) Se˜ nala en el dibujo d´ onde est´an las soluciones que utilizan todo el presupuesto disponible. Observa que, entre ellas, hay exactamente 6 soluciones con coordenadas enteras. Calc´ ulalas. (e) Calcula la utilidad que proporciona cada una de las seis soluciones indicadas en el apartado anterior. (f) ¿La soluci´ on propuesta por Macario es o´ptima? (g) ¿Cu´ anta utilidad pueden conseguir Dorotea y Macario como m´ınimo? (h) Calcula el dominio de la funci´ on objetivo. 23. Eutiquio consume habitualmente vino de mesa, pero de vez en cuando le gusta comprar una botella de un vino caro cuyo precio es veinte veces mayor. La utilidad que obtiene por comprar x litros de vino de mesa e y litros de vino caro viene dada por √ U (x, y) = x + y.

1.7. Ejercicios

51

(a) Formula el problema de optimizaci´ on que determina la cantidad anual que debe comprar Eutiquio de cada tipo de vino si dispone de presupuesto para comprar hasta 120 litros de vino de mesa. (b) La figura muestra las curvas de indiferencia de Eutiquio para unos niveles de utilidad de 8, 9, 10, 11 y 12. Razona cu´ al es cual. 12 10 8 6 4 2 20

40

60

80

100

120

140

(c) Tambi´en est´a representada la recta presupuestaria correspondiente a 120 u.m. y la correspondiente a 81 u.m., de la que hablaremos luego. Identifica cu´ al es cu´al. Una de las curvas de indiferencia parece tocar a la recta presupuestaria (de 120) en un u ´nico punto. Aqu´ı tienes una vista “con lupa” del dibujo: 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 80

90

100

110

120

130

Razona anal´ıticamente que la curva de indiferencia y la recta presupuestaria se tocan realmente en un u ´nico punto y calcula cu´ al es. (Calcula el vector de consumo (x, y).) (d) Razona a partir de la representaci´ on gr´ afica que el punto (x, y) que has encontrado es el consumo ´optimo de Eutiquio para su nivel de renta. (e) Repite el los apartados c) y d) en el caso en que Eutiquio dispusiera u ´nicamente de 81 unidades de renta. 24. Eulogia est´ a planificando sus vacaciones de verano. Dispone de un total de 30 d´ıas, que quiere distribuir entre un viaje a Par´ıs y descansar en la playa. El viaje a Par´ıs le supone un gasto de 4 u.m. por d´ıa, mientras que la estancia en la playa le cuesta 2 u.m. por d´ıa. Su presupuesto para las vacaciones es de 80 u.m. En cuanto a sus preferencias, considera que tres d´ıas en la playa valen tanto como dos d´ıas en Par´ıs.

52

Tema 1. Conjuntos y funciones (a) Modeliza el problema de optimizaci´ on que permite calcular las vacaciones que maximizan la utilidad de Eulogia. (b) Escribe el conjunto de oportunidades S y repres´entalo gr´ aficamente. (c) A Eulogia le gustar´ıa pasar 15 d´ıas en Par´ıs y 15 en la playa. ¿Es una soluci´ on factible? Repres´entala gr´ aficamente. (d) A la vista de la representaci´ on de S, ¿cu´al es el m´aximo n´ umero de d´ıas que Eulogia puede pasar en Par´ıs?, ¿y en la playa? ¿Qu´e utilidad conseguir´ıa yendo s´ olo a la Par´ıs o s´olo a la playa? (e) ¿Ser´ıa factible pasar 15 d´ıas en Par´ıs y 10 en la playa? ¿Eso ser´ıa mejor o peor que las opciones del apartado anterior? (f) Dibuja las curvas de indiferencia de Eulogia para los niveles de utilidad U = 60, 65 y 70. (g) ¿Puedes determinar cu´ al es la mejor combinaci´on para las vacaciones de Eulogia?

Tema 2

Derivadas En este tema empezaremos a abordar un problema que nos ocupar´ a una buena parte del curso: estudiar c´ omo var´ıa una funci´ on cuando var´ıan sus variables. Aqu´ı nos ocuparemos del caso en que s´olo se modifica una variable, y en el tema siguiente abordaremos el caso general en el que se modifiquen varias variables simult´ aneamente.

2.1

Definici´ on de derivada parcial

Para introducir el concepto de derivada vamos a considerar el ejemplo siguiente: Ejemplo 2.1 Consideremos nuevamente la funci´ on de demanda de un bien X dada por √
Ip D(I, p, p
) = , 2p donde I es la renta de un consumidor, p es el precio de X y p
es el precio de un bien sustitutivo. Consideremos, concretamente, un consumidor cuya renta sea I = 36 u.m., as´ı como que los precios actuales son p = p
= 1. De este modo, la demanda actual del consumidor es D(36, 1, 1) = 3 u.p. Vamos a estudiar c´omo var´ıa dicha demanda cuando var´ıa el precio p. Una forma de hacerlo es calcular el incremento de demanda que ocasiona cada incremento de precio ∆p: 3 −3 ∆p D(36, 1, 1)(∆p) = D(26, 1 + ∆p, 1) − D(36, 1, 1) = 1 + ∆p 3 − 3(1 + ∆p) −3∆p = = . 1 + ∆p 1 + ∆p As´ı, por ejemplo, un incremento ∆p = 2 provocar´ıa un incremento de demanda −3 · 2 = −2 u.p. 1+2 Alternativamente, podemos decir que, cuando el precio se incrementa en 2 u.m., la demanda sufre un incremento medio de −2/2 = −1 u.m./u.p. Para un incremento arbitrario ∆p, el incremento medio resulta ser: ∆p D(36, 1, 1)(2) = −

∆p D(36, 1, 1)(∆p) −3 = . ∆p 1 + ∆p 53

54

Tema 2. Derivadas

El inter´es del incremento medio es que, como veremos enseguida, nos permite resumir la informaci´ on esencial sobre la forma en que D var´ıa con p en un u ´nico n´ umero. Antes de seguir con este ejemplo, conviene dar la definici´ on general: Definici´ on Si f : D ⊂ Rn −→ R es una funci´ on escalar definida en un abierto D y x ¯ ∈ D, llamaremos derivada parcial de D respecto de la variable xi en el punto x ¯ (si existe) al n´ umero1 

∂f  ∆xi f (¯ x)(∆xi ) f (x1 , . . . , xi + ∆xi , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn ) = l´ım = l´ım . ∆xi →0 ∂xi x¯ ∆xi →0 ∆xi ∆xi Vamos a aplicar esta definici´on general al ejemplo anterior. Ejemplo 2.1 (continuaci´ on) concluir que

Los c´alculos realizados anteriormente nos permiten



∆p D(36, 1, 1)(∆p) −3 ∂D  = l´ım = l´ım = −3 u.p./u.m. ∆p→0 1 + ∆p ∂p (36,1,1) ∆p→0 ∆p Observemos que, para obtener la derivada del ejemplo 2.1, hemos tenido que hacer unos c´alculos relativamente laboriosos (c´alculos que se complicar´ıan mucho en otros casos): hemos tenido que calcular una expresi´ on para el incremento de D en funci´ on de ∆p, pasar al incremento medio, simplificar la expresi´ on y calcular el l´ımite. En la pr´ actica, nunca tendremos necesidad de calcular derivadas de esta forma tan engorrosa, debido a las observaciones siguientes: Definici´ on Si una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R es derivable respecto de una de sus variables xi en todos los puntos del abierto D, entonces tenemos definida la funci´ on derivada parcial ∂f : D ⊂ Rn −→ R ∂xi como la funci´ on que a cada punto x ¯ ∈ D le hace corresponder



∂f  . ∂xi x ¯

Al comparar la definici´ on de derivada parcial con la definici´ on de derivada de una funci´ on de una variable se llega f´ acilmente a la siguiente conclusi´on: La derivada parcial de una funci´ on f respecto de una variable x puede calcularse con las mismas reglas de derivaci´on v´ alidas para funciones de una variable sin m´as que considerar como constantes a las dem´as variables de f . Problema 2.2 Calcula las derivadas parciales de la funci´ on √
Ip D(I, p, p
) = , 2p en el punto (36, 1, 1). df Cuando la funci´ on f tiene s´ olo una variable es costumbre representar la derivada por dx en lugar De todos modos, podemos considerar correcto emplear el signo ∂ para funciones cualesquiera, de sean de una o de m´ as variables, mientras que el uso de d s´ olo es admisible de forma opcional (aunque preferible) para funciones de una variable. 1

∂f . ∂x

2.1. Definici´ on de derivada parcial

55

´ n: Para derivar respecto de I tratamos a p y p
como si fueran n´ Solucio umeros. Si, por ejemplo, tuvi´eramos √ 1 I6 1 √ 6. , la derivada ser´ıa 2·8 2 · 8 2 I6 Aplicando las mismas reglas: ∂D 1 p
1 √
· p
= √
. = ∂I 2p 2 Ip 4p Ip Igualmente: 1 ∂D 1 I √
I = √
. =
∂p 2p 2 Ip 4p Ip En cambio, para derivar respecto de p podemos considerar toda la expresi´ on como un n´ umero. Si tuvi´eramos 17 = 17(2p)−1 2p

la derivada ser´ıa

√

Ip


− 17(2p)−2 2,

luego en nuestro caso √ √
 ∂D Ip 2 Ip
−2
=− 2 . = − Ip (2p) 2 = − ∂p 4p2 2p Ahora sustituimos en el punto que nos dan: 

1 ∂D  1 = √ = ∂I (36,1,1) 4 36 24 

∂D  36 = √ = 1.5 
∂p (36,1,1) 4 36 √  ∂D  36 =− = −3  ∂p (36,1,1) 2 Notemos que esta u ´ ltima derivada es la misma que en el ejemplo 2.1 hemos calculado mediante la definici´ on de derivada. Ahora la hemos obtenido (mucho m´ as f´acilmente) aplicando las reglas usuales de derivaci´ on. Derivadas y aproximaci´ on de incrementos De acuerdo con la definici´ on de derivada y con la interpretaci´ on de los l´ımites2 , podemos concluir que a medida que ∆xi se hace m´as parecido a 0, o dicho de otro modo, si ∆xi ≈ 0, entonces tenemos que 

x)(∆xi ) ∂f  ∆xi f (¯ ≈ . ∂xi x¯ ∆xi Con palabras, esta aproximaci´ on se expresa as´ı: La derivada de una funci´ on f respecto de una variable xi en un punto x ¯ indica aproximadamente el incremento que experimenta f por cada unidad que se ¯ para las variables y suponiendo incrementa la variable xi , partiendo de un valor x que las variables distintas de xi permanecen constantes. 2

Sobre la noci´ on de l´ımite v´ease la nota 1 al final del tema.

56

Tema 2. Derivadas Tambi´en es u ´til reformular como sigue la expresi´ on anterior: 

∆xi f (¯ x)(∆xi ) ≈

∂f  ∆xi . ∂xi x¯

Escrita de esta forma, y recordando de nuevo que la aproximaci´ on proviene de un l´ımite cuando ∆xi → 0, la aproximaci´ on puede leerse as´ı: El incremento parcial que experimenta una funci´ on f cuando se incrementa una de sus variables xi es aproximadamente igual a la derivada de f respecto de la variable xi calculada en el punto de partida x ¯ y multiplicada por el incremento que sufre la variable. Esta aproximaci´ on es m´as exacta cuanto menor sea el incremento ∆xi . Problema 2.3 Considera la funci´ on de demanda del problema 2.2. Supongamos que la renta del consumidor es I = 36 y que los precios de ambos bienes son p = p
= 1. Calcula de forma exacta y de forma aproximada mediante derivadas el incremento de demanda que cabe esperar si el precio de X disminuye en 0.05 u.m. Calcula el porcentaje de error cometido con la aproximaci´ on. ´ n: El incremento que nos piden calcular es ∆p D(36, 1, 1)(−0.05). CalcuSolucio lado de forma exacta es √ √ 36 36 ∆p D(36, 1, 1)(−0.05) = D(36, 0.95, 1) − D(36, 1, 1) = − = 0.158 u.p. 2 · 0.95 2 · 1 De forma aproximada es 

∆p D(36, 1, 1)(−0.05) ≈

∂D  · (−0.05) = −3 · (−0.05) = 0.15 u.p. ∂p (36,1,1)

Vemos que los dos resultados son muy parecidos. Concretamente, el error cometido es E = valor aproximado − valor exacto = 0.15 − 0.158 = −0.008, y en porcentaje es %E =

valor aproximado − valor exacto −0.008 · 100 = · 100 = −5.06%. valor exacto 0.158

En ejemplos como el anterior, para que las derivadas proporcionen una buena aproximaci´on al incremento de una funci´ on, es esencial considerar u ´nicamente incrementos “peque˜ nos” de las variables, pero “peque˜ no” es un t´ermino relativo. Para comprender este hecho, consideremos el siguiente ejemplo sencillo. Ejemplo 2.4 Sea F (x) una funci´ on y supongamos que x = 50. Queremos calcular de forma aproximada ∆x F (50)(∆x), con un error inferior al 5%. Si F (x) = 6x, entonces podremos utilizar cualquier ∆x y obtendremos siempre que la aproximaci´ on es perfecta3 (el incremento real y el incremento aproximado coinciden). Ahora bien, si F (x) = x3 , entonces −2.42 ≤ ∆x ≤ 2.58 para que nuestro error sea inferior al 5%. Y si F (x) = ex , necesitaremos que −0.098 ≤ ∆x ≤ 0.102 para alcanzar la misma precisi´ on en la aproximaci´ on del 5%. 3

Esto ocurre siempre con las funciones lineales.

2.2. Interpretaci´ on de la derivada

57

Problema 2.5 Interpreta las derivadas calculadas en el problema 2.2. ´ n: La derivada Solucio



∂D  1 = = 0.042 u.p./u.m. ∂I (36,1,1) 24 significa que por cada unidad que aumente la renta del consumidor, su demanda del bien X aumentar´ a en 0.042 unidades de producto, partiendo de que actualmente la renta es de I = 36 u.m., de que el precio de X es p = 1, que el precio del bien sustitutivo es p
= 1 y suponiendo que los precios no se modifican. La derivada



∂D  = 1.5 u.p./u.m. ∂p
(36,1,1)

significa que por cada unidad que aumente el precio del bien sustitutivo, la demanda del consumidor aumentar´ a en 1.5 unidades de producto, partiendo de que actualmente la renta es de I = 36 u.m., de que el precio de X es p = 1, que el precio del bien sustitutivo es p
= 1 y suponiendo que la renta del consumidor y el precio de X no se modifican. La derivada



∂D  = −3 u.p./u.m. ∂p (36,1,1)

significa que por cada unidad que aumente el precio del bien X, la demanda del consumidor disminuir´ a en 3 unidades de producto, partiendo de que actualmente la renta es de I = 36 u.m., de que el precio de X es p = 1, que el precio del bien sustitutivo es p
= 1 y suponiendo que la renta del consumidor y el precio del bien sustitutivo no se modifican.

2.2

Interpretaci´ on de la derivada

En la secci´on anterior hemos visto la interpretaci´ on general de la derivada de una funci´ on, que en esencia es una aproximaci´ on del incremento que experimenta la funci´ on cuando la variable se incrementa una unidad. Aqu´ı vamos a incidir en diversos aspectos de esta interpretaci´ on, algunos de car´ acter igualmente general, otros relacionados con el contexto econ´omico y otros de car´acter geom´etrico. Incrementos marginales De la propia definici´ on de derivada se sigue que ´estas nos permiten aproximar incrementos de funciones para incrementos “peque˜ nos” de las variables, pero “peque˜ no” es un t´ermino relativo. Para una funci´ on en abstracto, no es posible decir nada a priori sobre c´ omo de peque˜ no ha de ser un incremento de una variable para que la derivada proporcione una aproximaci´ on razonable del incremento de la funci´ on. Esto depender´ a tanto de la funci´ on en concreto que estemos considerando como del punto concreto del que parta el incremento. Ahora bien, en la medida en que estemos considerando una funci´ on que pretenda describir m´ as o menos precisamente una situaci´on econ´ omica razonable, s´ı que podemos tener en cuenta ciertas consideraciones para determinar hasta qu´e punto podemos extraer consecuencias de sus derivadas. Quiz´a sea u ´til considerar primero un ejemplo que no tiene nada que ver con la econom´ıa:

58

Tema 2. Derivadas

Imaginamos que vamos en coche y, en un momento dado, el indicador de velocidad marca 120 km/h. ¿Significa esto que dentro de una hora habremos avanzado 120 km.? Habremos avanzado exactamente 120 km. si durante todo ese tiempo mantenemos exactamente la velocidad de 120 km/h, y podremos decir que habremos avanzado aproximadamente 120 km. en la medida en que, durante toda la hora, la velocidad se haya mantenido aproximadamente en 120 km/h. Ahora bien, ¿qu´e ocurre si, al cabo de un cuarto de hora de viaje, nos damos cuenta de que nos hemos olvidado de algo importante y decidimos dar media vuelta? En tal caso, no s´ olo no habremos avanzado 120 km. al cabo de una hora, sino que nos encontraremos m´ as atr´as de donde est´abamos cuando miramos el indicador de velocidad, y ello no contradice que, cuando lo miramos, la velocidad era de 120 km/h, ni m´ as ni menos. Del mismo modo, si en el mes de abril el n´ umero de parados ha aumentado en 1 000 personas, podemos decir que el paro est´a aumentando a un ritmo de 12 000 parados/a˜ no, lo cual no significa necesariamente que dentro de un a˜ no vaya a haber 12 000 parados m´as, ya que, por ejemplo, al llegar el verano puede crearse mucho empleo temporal y el n´ umero de parados de agosto podr´ıa incluso ser inferior al de abril. En general, una derivada nos da una “previsi´ on” que ser´ a fiable para incrementos de la variable que sean lo suficientemente peque˜ nos como para que no quepa esperar que provoquen cambios sustanciales en el ritmo de crecimiento de la funci´ on. En econom´ıa es habitual llamar incrementos marginales a los incrementos que cumplen este requisito. Por ejemplo, si una empresa tiene un nivel de producci´ on de q = 2 000 unidades de producto, es evidente que un incremento ∆q = 1 no puede provocar ning´ un cambio sustancial en en proceso productivo y as´ı, si estamos estudiando, por ejemplo, su funci´ on de costes C(q), cabe esperar que el incremento de coste provocado por este incremento de la producci´ on sea casi id´entico al que predice la derivada. Si no fuera as´ı, la conclusi´ on ser´ıa que la funci´ on C(q) que estamos considerando no es razonable como funci´ on de costes (o, como m´ınimo, que est´ a describiendo una situaci´ on muy peculiar muy alejada de las situaciones que estudia la teor´ıa econ´omica general). Por otro lado, tambi´en es esencial prestar atenci´on a las unidades en que vienen expresadas las magnitudes involucradas. Por ejemplo, podemos decir que la producci´ on diaria de una mina es de q = 2 000 kg de mineral o que es de q = 2 Tm, y es muy distinto plantearse qu´e ocurrir´ıa si la empresa decidiera incrementar su producci´ on en ∆q = 1 kg o en ∆q = 1 Tm. Es obvio que, para la empresa, es insignificante extraer un kg m´ as o menos de mineral, mientras que incrementar su producci´ on en una tonelada podr´ıa acarrear toda una serie de costes adicionales que hicieran absurdo tratar de predecir el incremento de coste a partir de la tasa de crecimiento actual (la derivada para la producci´ on actual). Podemos decir que 1 kg es una unidad marginal de producto, mientras que 1 Tm. no es una unidad marginal. Cuando una funci´ on no esta expresada en unidades marginales, sus derivadas s´ olo pueden interpretarse como tasas de crecimiento, como meras proporciones entre incrementos. Por ejemplo, si decimos que la derivada de la funci´ on de coste de la mina es de  ∂C  = 20 000 C/Tm, ∂q 2 esto significa que los costes de la empresa crecen a raz´on de 20 000 C por cada tonelada extra´ıda adicional, pero eso no significa necesariamente que si se incrementara la producci´ on en 1 Tm los costes se incrementar´ıan en 20 000 C. Probablemente el

2.2. Interpretaci´ on de la derivada

59

incremento de coste ser´ıa mucho mayor. Lo que nos permite asegurar esta derivada es que si, por ejemplo, incrementamos la producci´ on en 0.002 Tm (es decir, 2 kg, un incremento marginal) el incremento de coste ser´a aproximadamente ∆C(2)(0.002) ≈ 20 000 · 0.002 = 40 C. Magnitudes marginales En econom´ıa es frecuente referirse a la derivada de una magnitud a˜ nadi´endole a ´esta el adjetivo “marginal”. Por ejemplo, si C(x, y) es una funci´ on de costes, donde x e y son las cantidades producidas de dos art´ıculos, la derivada ∂C ∂x es el coste marginal respecto de x. En principio, este nombre s´ olo es exacto si las unidades en que se mide la producci´on de x son marginales, ya que entonces el coste marginal es el coste de (producir) una unidad marginal (adicional).4 No obstante, es costumbre llamar coste marginal a esta derivada sean cuales sean las unidades empleadas. Si ´estas no son marginales, se trata del incremento de coste por cada unidad adicional, entendido como una mera proporci´ on, tal y como hemos explicado. Igualmente, si U (x, y) es la utilidad que obtiene un consumidor al adquirir cantidades x e y de dos productos A y B, entonces la utilidad marginal respecto de y es la derivada ∂U , ∂y que, (si el consumo se mide en unidades marginales) ser´a igual a (el incremento de) la utilidad que obtendr´ıa el consumidor al consumir una unidad m´ as del producto B. Si B(t) son beneficios de una empresa en un tiempo t, entonces el beneficio marginal es dB , dt que se interpreta como el beneficio que se obtiene al pasar una unidad de tiempo, etc. Es importante se˜ nalar que ´estas y todas las interpretaciones particulares del adjetivo “marginal” en su uso en econom´ıa son casos particulares de la interpretaci´ on general de las derivadas parciales. Unidades de las derivadas Fij´emonos en las unidades de las derivadas del problema 2.5. Por ejemplo, la u ´ltima era de −3 u.p./u.m., ya que la demanda disminuye en 3 unidades de producto por cada unidad monetaria. En general: Las unidades de una derivada

∂f ∂x son unidades de f /unidad de x (unidad de x en singular: la velocidad de un coche se mide en kil´ometros por hora, no en kil´ ometros por horas). 4

Tambi´en es frecuente expresarlo de otra forma equivalente: es el coste de la u ´ ltima unidad producida.

60

Tema 2. Derivadas

El signo de la derivada Recordemos que un incremento puede representar un aumento o una disminuci´ on seg´ un que su signo sea positivo o negativo. Como consecuencia: La derivada de una funci´ on f respecto de una variable x ser´a positiva si un aumento de x da lugar a un aumento de f , y ser´a negativa si, por el contrario, un aumento de x da lugar a una disminuci´ on de f . Por ejemplo, en condiciones normales, la derivada de la demanda de un producto respecto de su precio ser´a negativa, pues un aumento del precio da lugar a una disminuci´ on de la demanda. Sin embargo, la derivada de la demanda respecto al gasto en publicidad ser´ a positiva, pues un aumento del gasto publicitario da lugar a un aumento en la demanda. La derivada y la representaci´ on gr´ afica Viendo la gr´ afica de una funci´ on (de una variable) podemos hacernos una idea aproximada sobre el comportamiento de su derivada. Ejemplo 2.6 Consideremos de nuevo la funci´ on de producci´ on C(q) = q 3 − 9q 2 + 36q + 20 del ejemplo 1.16, donde q es el nivel de producci´ on. En la figura est´ a representada la funci´ on C(q) junto con la funci´ on de coste marginal: Cm (q) =

dC = 3q 2 − 18q + 36. dq

Hemos de ser capaces de ver c´ omo las propiedades de una funci´ on se corresponden con las de la otra. Por ejemplo, el hecho de que el coste aumenta a medida que aumenta la producci´ on se corresponde con el hecho de que C (q) s´ o lo 80 m toma valores positivos. 60 Por otra parte, vemos que el coste crece 40 cada vez m´as lentamente. Por ejemplo, notemos que el coste cuando no hay producci´ on Cm (q) 20 (el coste fijo) es C(0) = 20 u.m., mientras que C(1) = 48, luego la primera unidad ha 4 2 6 8 tenido un coste (marginal) de 28 u.m. Se cumple que C(2) = 64, luego pasar de la primera unidad a la segunda tiene un coste marginal de 64 − 48 = 16 u.m. (menor que el anterior). Similarmente, C(3) = 74, luego pasar de la segunda unidad a la tercera tiene un coste marginal de 74 − 64 = 10 u.m. (menor que el anterior). En suma, tanto la gr´ afica como los c´alculos num´ericos muestran que cuanto m´as producimos menor es el coste de producir una unidad m´ as, menor es el coste marginal. Esto se plasma tambi´en en la gr´ afica de Cm (q), concretamente, en el hecho de que (al principio) es una funci´ on decreciente. Sin embargo, la gr´ afica de Cm (q) muestra que este car´acter decreciente del coste marginal no se mantiene a largo plazo, sino que, a partir de cierto nivel de producci´ on, el coste marginal pasa a ser creciente. A partir de ese momento, cada nueva unidad producida nos cuesta m´ as cara que la anterior, lo cual se ve tambi´en en la gr´ afica de C(q), que asciende m´as r´apidamente. 100

C(q)

2.3. Derivadas sucesivas

2.3

61

Derivadas sucesivas

Si una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R es derivable en el abierto D, entonces podemos calcular sus n derivadas parciales ∂f : D ⊂ Rn −→ R. ∂xi Si ´estas a su vez son derivables, podemos calcular las que llamaremos derivadas segundas de f . Si ´estas a su vez son derivables, podremos calcular las derivadas terceras, y as´ı sucesivamente. Para nombrar a estas derivadas sucesivas de f usaremos la notaci´ on que ilustra el ejemplo siguiente: ∂6f ∂x31 ∂x2 ∂x23 representa una de las derivadas sextas de f . Concretamente, a la funci´ on que resulta de tomar f y 1. derivarla respecto de x1 , 2. derivar el resultado obtenido respecto de x1 otra vez, 3. derivar el resultado obtenido respecto de x1 otra vez, 4. derivar el resultado obtenido respecto de x2 , 5. derivar el resultado obtenido respecto de x3 , 6. derivar el resultado obtenido respecto de x3 otra vez. Problema 2.7 Dada la funci´ on f (x, y, z) = e2x y 3 cos z, calcula 

 ∂6f  .  ∂x3 ∂y∂z 2 (0,1,0)

´ n: Hemos de derivar f seis veces, de manera que vamos obteniendo las Solucio derivadas sucesivas: ∂f = 2e2x y 3 cos z ∂x ⇒

∂2f = 4e2x y 3 cos z ∂x2

⇒

∂4f = 24e2x y 2 cos z ∂x3 ∂y ⇒

⇒

⇒

∂3f = 8e2x y 3 cos z ∂x3

∂5f = −24e2x y 2 sen z ∂x3 ∂y∂z

∂6f = −24e2x y 2 cos z. ∂x3 ∂y∂z 2

Ahora ya podemos sustituir: 

 ∂6f  = −24e0 12 cos 0 = −24.  3 2 ∂x ∂y∂z (0,1,0)

62

Tema 2. Derivadas

Problema 2.8 Sea C(x, y) la funci´ on de costes de una empresa, donde x e y son las cantidades producidas de dos art´ıculos A y B. Interpreta econ´ omicamente las condiciones siguientes: ∂C > 0, ∂x

∂2C < 0, ∂x2

∂2C > 0, ∂x∂y

∂2C < 0. ∂x∂y

´ n: La primera derivada es el coste marginal respecto de x, el coste de Solucio aumentar la producci´ on de A en una unidad. El signo indica que, por cada unidad que aumenta la producci´ on del art´ıculo A, los costes de la empresa aumentan. La segunda derivada es la derivada respecto de x del coste marginal respecto de x. Es lo que aumenta el coste marginal respecto de x por cada unidad que aumenta la producci´ on del art´ıculo A. El signo negativo indica que, por cada unidad que aumenta la producci´ on de A, el coste marginal disminuye: a medida que aumenta el nivel de producci´ on de A, resulta m´ as barato producir una unidad m´ as. La tercera derivada es la derivada respecto de y del coste marginal respecto de x. Es lo que aumenta el coste marginal respecto de x por cada unidad que aumenta la producci´ on del art´ıculo B. El signo positivo indica que, por cada unidad que aumenta la producci´ on de B, resulta m´ as caro fabricar una unidad m´ as del art´ıculo A: la producci´ on de B quita recursos a la producci´ on de A y la hace m´as cara. La cuarta derivada describe la situaci´ on inversa: a medida que aumenta la producci´ on de B resulta m´as barato fabricar una unidad m´ as de A: los recursos destinados a aumentar la producci´ on de B pueden ser aprovechados tambi´en para aumentar la producci´ on de A. Seg´ un acabamos de ver, una funci´ on de dos variables f (x, y) tiene dos derivadas parciales de primer orden: ∂f ∂f , , ∂x ∂y cuatro derivadas parciales de segundo orden: ∂2f , ∂x2

∂2f , ∂x∂y

∂2f , ∂y∂x

∂3f , ∂x∂y 2

∂3f , ∂y∂x2

∂2f , ∂y 2

ocho derivadas de tercer orden: ∂3f , ∂x3

∂3f , ∂x2 ∂y

∂3f , ∂x∂y∂x

∂3f , ∂y∂x∂y

∂3f , ∂y 2 ∂x

∂3f , ∂y 2

y as´ı sucesivamente. En general, para una funci´ on f con cualquier n´ umero de variables, si todas las derivadas de primer orden existen y adem´ as son continuas (en su dominio) diremos que la funci´ on f es de clase C 1 ; si adem´as todas las derivadas de segundo orden existen y son continuas, diremos que la funci´ on es de clase C 2 , etc. M´ as formalmente: Definici´ on Una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R definida en un abierto D es de clase C k si existen sus derivadas de primer, segundo, tercer orden, etc. hasta orden k y todas ellas son continuas. La funci´ on f es de clase C ∞ si existen todas sus derivadas de todos los ´ordenes posibles y adem´as todas ellas son funciones continuas. Una funci´ on vectorial es de clase C k o de clase C ∞ si lo son sus funciones coordenadas. Teniendo en cuenta que las funciones usuales pueden derivarse con las reglas usuales de derivaci´ on, as´ o como que las derivadas vuelven a ser funciones usuales, es evidente el teorema siguiente:

2.4. Gradientes, jacobianas y hessianas

63

Teorema Toda funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R definida en un abierto D y construida por composici´ on de polinomios, sumas, productos, cocientes, exponenciales, ra´ıces, logaritmos, senos y cosenos, es de clase C ∞ en todos los puntos de su dominio, salvo quiz´ a en los puntos donde alguna ra´ız valga 0. Destaquemos la excepci´on del teorema anterior: Aunque una funci´ on usual f est´e definida en un punto x ¯, si contiene una ra´ız que se anula en x ¯, entonces f ser´a continua en x ¯, pero no tiene por qu´e ser derivable en x ¯. √ Por ejemplo, la funci´ on f (x) = 3 x es continua en todo R, pero no es derivable en x = 0. En esencia, la raz´ on es que su derivada es df 1 1 , = x−2/3 = √ 3 dx 3 3 x2 que no est´a definida para x = 0. En general, las ra´ıces pasan al denominador al ser derivadas, por lo que si la ra´ız vale 0, la funci´ on existe, pero la derivada no. En la nota 2 al final del tema estudiamos la funci´ on con m´as detalle, mientras que en la nota 3 veremos que, pese a todo, tambi´en puede darse el caso de que una ra´ız sea derivable donde se anula. Por u ´ltimo, en la nota 4 mostramos otro ejemplo de funci´ on continua no derivable.

2.4

Gradientes, jacobianas y hessianas

Vamos a ver aqu´ı algunas formas de organizar las derivadas de una funci´ on. Vector gradiente Si f : D ⊂ Rn −→ R es una funci´ on escalar derivable en el abierto D, definimos su vector gradiente como el vector formado por sus derivadas parciales: 

∇f =

∂f ∂f ,..., ∂x1 ∂xn



Problema 2.9 Dada la funci´ on f (x, y, z) = x2 yz 3 , calcula ∇f (1, 2, −1). ´ n: Primero hemos de calcular el gradiente en un punto arbitrario: Solucio 

∇f =

∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z



= (2xyz 3 , x2 z 3 , 3x2 yz 2 ),

y ahora ya podemos calcular (sustituyendo) ∇f (1, 2, −1) = (−4, −1, 6).

64

Tema 2. Derivadas

Matriz jacobiana Si f : D ⊂ Rn −→ Rm es una funci´ on vectorial cuyas funciones coordenadas sean derivables en el abierto D, se define la matriz jacobiana de f como la matriz formada por todas las derivadas parciales primeras de sus funciones coordenadas f1 , . . . , fm :  ∂f  ∂f1 1 · · · ∂x ∂x1 n  . ..  Jf =  .   ..  ∂fm ∂x1

···

∂fm ∂xn

Problema 2.10 Dada la funci´ on f (x, y, z) = (x2 yz, x + y, xyz), calcula Jf (−1, 5, 3). ´ n: La matriz jacobiana en general es Solucio 



2xyz x2 z x2 y   1 0 , Jf =  1 yz xz xy luego





−30 3 5   1 1 0 . Jf (−1, 5, 3) =  15 −3 −5 Matriz hessiana Si f : D ⊂ Rn −→ R es una funci´ on escalar de clase C 2 en el abierto D, definimos su matriz hessiana como la matriz formada por sus derivadas parciales de orden 2:   ∂2f ∂2f · · · 2 ∂x ∂x n  1  ∂x1   .. .. Hf =   . .   2 2 ∂ f ∂ f · · · 2 ∂xn ∂x1 ∂x n

Problema 2.11 Dada la funci´ on f (x, y) = x2 y 5 e−z , calcula Hf (2, 1, 0) ´ n: Para calcular las segundas derivadas necesitamos las primeras: Solucio ∂f = 2xy 5 e−z , ∂x Por consiguiente:  ∂2f 2  ∂∂x2 f  Hf =  ∂y∂x ∂2f ∂z∂x

∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y 2 ∂2f ∂z∂y

Sustituyendo queda:

∂2f ∂x∂z ∂2f ∂y∂z ∂2f ∂z 2

∂f = 5x2 y 5 e−z , ∂y 

∂f = −x2 y 5 e−z . ∂z





2y 5 e−z 10xy 4 e−z −2xy 5 e−z    =  10xy 4 e−z 25x2 y 4 e−z −5x2 y 5 e−z  .  −2xy 5 e−z −5x2 y 5 e−z x2 y 5 e−z 



2 20 −4   Hf (2, 1, 0) =  20 100 −10  . −4 −10 4

2.5. Complementos

65

La matriz Hessiana de una funci´ on de clase C 2 es siempre una matriz sim´etrica, como 5 se deduce del teorema siguiente: Teorema de Schwarz Si f : D ⊂ Rn −→ R es una funci´ on escalar de clase C 2 en el abierto D, entonces, para i, j = 1, . . . , n se cumple que ∂2f ∂2f = , ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi es decir, el orden de la derivaci´ on no afecta al resultado. Esto, a su vez tiene consecuencias sobre las derivadas sucesivas. Por ejemplo, para cualquier funci´ on f de clase C 5 se cumple que ∂5f ∂5f = , ∂x∂z∂x2 ∂y ∂x3 ∂y∂z por lo que siempre podemos escribir las derivadas sucesivas con los denominadores “ordenados”.

2.5

Complementos

Incrementos porcentuales Es frecuente (y, a menudo, m´ as significativo) que los incrementos de una funci´ on no se expresen en t´erminos absolutos, sino en porcentajes. En general, si una funci´ on F depende (entre otras) de una variable x, la derivada ∂F ∂x nos dice (aproximadamente) el incremento que experimenta F por cada unidad que aumenta x. Si dividimos este incremento entre el valor que toma F en cada punto, es decir, calculamos 1 ∂F F ∂x Tenemos el incremento de F en tanto por 1. Si lo multiplicamos por 100 lo tenemos en tanto por cien. En resumen: Si F es una funci´ on derivable respecto de una variable x, las expresiones 1 ∂F F ∂x

o

100 ∂F F ∂x

(calculadas en un punto x ¯) representan el tanto por 1 (o tanto por 100) de incremento que experimenta F por cada unidad que aumenta la variable x, partiendo de los valores x ¯ y suponiendo que las dem´ as variables no se modifican. 5

En algunos libros de econom´ıa se le llama Teorema de Young.

66

Tema 2. Derivadas

Ejemplo 2.12 Si C(t) es un capital que evoluciona en funci´ on del tiempo t, el incremento porcentual 1 ∂C i∞ = C ∂t se llama tasa de inter´es continuo al que crece en cada instante el capital, y representa el tanto por uno de incremento del capital por cada unidad de tiempo que transcurre o, equivalentemente, la rentabilidad que proporciona cada unidad de capital por unidad de tiempo. Problema 2.13 Hemos comprado unas acciones en el momento t = 0 (donde el tiempo est´ a en a˜ nos) por un valor de 5 000 C, y las hemos vendido al cabo de 3 a˜ nos. Durante este periodo, su valor ha venido dado por la funci´ on V (t) = 200t3 − 900t2 + 1200t + 5000 C. 6000

1. Calcula el valor final de las acciones.

5500

V (t)

5000 4500 4000 3500 0.5

1

1.5

2

2.5

3

2. La figura muestra que, a partir de cierto o momento t1 , el valor de las acciones empez´ a decrecer, pero en otro momento posterior t2 volvi´ o a crecer. Calcula estos instantes donde el valor de las acciones tom´ o un m´ aximo primero y un m´ınimo despu´es.

3. Calcula la rentabilidad inicial de las acciones, la rentabilidad final y la rentabilidad en los instantes t1 y t2 . ´ n: Vamos a resolver u Solucio ´nicamente el punto 3, dado que los anteriores son problemas an´ alogos a otros ya resueltos. Calculamos ∂V = 600t2 − 1800t + 1200, ∂t con lo que la rentabilidad de las acciones en un tiempo t es i∞ (t) =

1 ∂V 600t2 − 1800t + 1200 6t2 − 18t + 12 = = . V ∂t 200t3 − 900t2 + 1200t + 5000 2t3 − 9t2 + 12t + 50

La rentabilidad inicial era i∞ (0) =

12 = 0.24 = 24%. 50

Esto significa que, en el momento inicial, cada euro invertido estaba proporcionando una rentabilidad de 24 c´entimos/a˜ no. La rentabilidad final ha sido de i∞ (4) =

12 = 0.20 = 20%, 59

luego al final del periodo, cada euro invertido estaba proporcionando una rentabilidad de 20 c´entimos/a˜ no. on V (t) toma un valor m´ aximo y un valor m´ınimo, En los instantes t1 y t2 la funci´ luego ambos son puntos cr´ıticos y en ambos la derivada vale 0, luego tambi´en ha de ser i∞ (t1 ) = i∞ (t2 ) = 0.

2.5. Complementos

67

Elasticidad La elasticidad es otra forma de expresar la tasa de variaci´ on de una funci´ on, donde ahora no s´ olo expresamos la variaci´on en porcentaje, sino que consideramos tambi´en incrementos porcentuales de la variable. Si una funci´ on F depende (entre otras) de una variable x, hemos visto que 100 ∂F F ∂x representa el porcentaje en que aumenta F por cada unidad que se incrementa x. Por consiguiente, 100 ∂F ∆x F ∂x es el porcentaje en que aumenta F cuando la variable x sufre una variaci´ on ∆x. Si aplicamos esto a una variaci´ on de un 1% del valor actual de x, es decir, a ∆x = x/100, el resultado es 100 ∂F x x ∂F = . F ∂x 100 F ∂x As´ı pues: Si F es una funci´ on derivable respecto de una variable x, las elasticidad respecto de x x ∂F EF,x (¯ x) = F ∂x expresa el porcentaje de variaci´ on de la funci´ on F por cada 1% que aumente la variable x partiendo de los valores x ¯ y suponiendo que las dem´ as variables permanecen constantes. Problema 2.14 Considera la funci´ on de demanda del ejemplo 2.1: √
Ip
D(I, p, p ) = 2p y calcula su elasticidad respecto de las tres variables para un consumidor de renta I = 36 suponiendo que los precios son p = p
= 1. Interpreta los resultados obtenidos. ´ n: Las derivadas de D est´an calculadas en el problema 2.2: Solucio √
∂D Ip ∂D I ∂D p
= √
, = √
, =− 2 .
∂I ∂p ∂p 2p 4p Ip 4p Ip Por consiguiente: ED,I =

p
I ∂D Ip
I . = √
√
= Ip 4p Ip D ∂I 2Ip
2p

ED,p
=

I p
∂D p
Ip
√ √ = = . Ip
4p Ip
D ∂p
2Ip
2p

ED,p

√
Ip p ∂D p = . =−√
Ip 2p2 D ∂p 2p

68

Tema 2. Derivadas En particular:6 ED,I (36, 1, 1) = 0.5,

ED,p
(36, 1, 1) = 0.5,

ED,p (36, 1, 1) = −1.

Las interpretaciones son: Por cada 1% que aumente la renta del consumidor, su demanda del bien X aumentar´ a un 0.5%, partiendo de una renta de 36, de un precio p = 1 y de un precio p
= 1 del bien sustitutivo, y suponiendo que los precios no se modifiquen. Por cada 1% que aumente el precio del bien sustitutivo, la demanda del bien X aumentar´ a un 0.5%, partiendo de una renta de 36, de un precio p = 1 y de un precio p
= 1 del bien sustitutivo, y suponiendo que el precio de X y la renta del consumidor no se modifiquen. Por cada 1% que aumente el precio del bien X, su demanda disminuir´ a un 1%, partiendo de una renta de 36, de un precio p = 1 y de un precio p
= 1 del bien sustitutivo, y suponiendo que la renta del consumidor y el precio del bien sustitutivo no se modifiquen. Inter´ es continuo Para introducir el concepto que queremos discutir aqu´ı conviene resolver antes el problema siguiente: on en el Problema 2.15 Hemos invertido un capital C0 , de forma que su evoluci´ it tiempo ha venido dada por la f´ ormula C = C0 e , donde i es una constante. Calcula la tasa de inter´es continuo a la que ha crecido el capital en cada instante t. ´ n: El inter´es continuo i∞ (t) es, por definici´ Solucio on, la derivada de la funci´ on C(t) expresada en tanto por uno, es decir: i∞ (t) =

1 dC 1 C0 eit i = i. = C dt C0 eit

La respuesta es que el inter´es continuo ha sido constante igual a i en todo instante t. Leyendo al rev´es la conclusi´on a la que hemos llegado al resolver el problema anterior, podemos enunciarla as´ı: Si un capital evoluciona en el tiempo sometido a una tasa de inter´es continuo constante i∞ , entonces su valor en cada instante vendr´ a dado por C = C0 ei∞ t , donde C0 es el capital en t = 0. La f´ ormula C = C0 eit es lo que en matem´atica financiera se llama una ley de capitalizaci´ on, es decir un criterio para transportar capitales en el tiempo. Concretamente, es la ley de capitalizaci´on correspondiente a un inter´es continuo i∞ . 6 Vemos que “casualmente” las elasticidades de la funci´ on D son constantes, es decir, que no dependen de los valores de I, p o p
. En general, las variables podr´ıan haber aparecido en las expresiones de las elasticidades, y entonces habr´ıamos tenido que sustituirlas por los valores dados.

2.5. Complementos

69

La ley de capitalizaci´ on m´ as utilizada en la pr´ actica es, sin duda, la del inter´es compuesto: C = C0 (1 + i1 )t , donde i1 representa un tanto por uno de inter´es anual (y el tiempo t est´a en a˜ nos). La diferencia de interpretaci´ on entre ambas consiste en que, con ´esta u ´ltima, los intereses generados se capitalizan (es decir, se suman al capital y pasan a su vez a generar nuevos intereses) cada a˜ no, mientras que con la ley del inter´es continuo los intereses se capitalizan en el mismo instante en que se generan. Aunque, como ya hemos dicho, la ley del inter´es compuesto es la m´as usada en la pr´ actica, a efectos te´oricos es m´as frecuente utilizar la del inter´es continuo, a veces porque, ciertamente, se ajusta m´as exactamente a los procesos que se pretende describir y a veces porque matem´aticamente es m´as manejable (es m´as f´acil de derivar y de integrar). En la nota 5 al final del tema se explica por qu´e esta cuesti´on de conveniencia est´a justificada. El problema siguiente muestra un ejemplo donde el uso del inter´es continuo no es una mera cuesti´on de conveniencia, sino que es m´as apropiado desde un punto de vista te´orico: Problema 2.16 El producto interior bruto de un pa´ıs en el a˜ no 2000 fue de 1 500 u.m. Empez´ o entonces un periodo de crisis econ´ omica, de forma que en 2003 se hab´ıa reducido a 900 u.m. A partir de ese instante el pa´ıs inici´ o un proceso de recuperaci´ on, y en 2007 su P.I.B. ascend´ıa a 2 300 u.m. Calcula la tasa media de crecimiento del pa´ıs durante todo el periodo, la tasa media de crecimiento durante el periodo de crisis y la tasa media de crecimiento durante el periodo de recuperaci´ on. ´ n: Al considerar que un pa´ıs, como un todo, reinvierte en s´ı mismo sus Solucio beneficios, no es razonable considerar que ´estos se capitalizan al final de cada a˜ no, sino m´as bien que cada beneficio se reinvierte en el mismo momento en que se genera. Por ello, para medir el ´ındice de crecimiento de la econom´ıa de un pa´ıs, los economistas prefieren la ley de capitalizaci´ on correspondiente al inter´es continuo. As´ı pues, para el periodo 2000 − 2007 tenemos que 2 300 = 1 500ei∞ 7 . Para despejar i∞ tomamos logaritmos: e7i∞ =

2 300 1 500

⇒

7i∞ ln e = ln

2 300 = 0.427444 1 500

⇒

i∞ = 0.061 = 6.1%.

As´ı, durante los siete a˜ nos considerados, la econom´ıa del pa´ıs creci´o a un ritmo medio del 6.1% anual. Para el periodo de crisis 2000 − 2003 tenemos que 900 = 1 500ei∞ 3 , y despejando como en el caso anterior concluimos que i∞ = −17%. Como cab´ıa esperar, el crecimiento econ´omico medio de este periodo nos sale negativo. Para el periodo de recuperaci´ on tenemos 2 300 = 900ei∞ 4 , y el crecimiento medio durante este periodo resulta ser i∞ = 23.5%. Conviene explicar algo sobre la expresi´ on “crecimiento medio”, que hemos empleado en el problema anterior:

70

Tema 2. Derivadas

Cuando un estudiante obtiene una nota media de 7, eso no significa que haya sacado un 7 en todos los ex´ amenes que ha hecho, sino u ´nicamente que el resultado es el mismo que habr´ıa obtenido si hubiera sacado un 7 en todos los ex´ amenes, aunque pueda haber sacado m´as nota en unos y menos en otros. Del mismo modo, cuando decimos que el crecimiento medio del pa´ıs en el periodo 2000 − 2007 ha sido del 6.1% hemos de entender que el balance ha sido el mismo que si en todo momento hubiera mantenido una tasa de crecimiento anual del 6.1%, aunque pueda haber atravesado periodos mejores y peores (como, de hecho, ha ocurrido en nuestro ejemplo). Derivadas y optimizaci´ on Una aplicaci´ on importante de las derivadas es el c´ alculo de m´aximos y m´ınimos de funciones, es decir, la resoluci´ on de problemas de optimizaci´on. Es muy importante tener presente que todo lo que vamos a decir en este apartado es v´alido u ´nicamente para problemas de optimizaci´ on sin restricciones, de modo que tenemos u ´nicamente una funci´ on objetivo de la que queremos hallar sus m´ aximos o sus m´ınimos. La idea fundamental es la siguiente: consideremos una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R derivable en un punto x ¯ ∈ D. Si, para cierta variable xi , sucede que 

∂f  > 0, ∂xi x¯ esto significa que un peque˜ no incremento positivo de xi dar´ a lugar a un incremento positivo de f , mientras que un incremento negativo de xi dar´ a lugar a un incremento negativo de f . En particular, f no puede tomar en x ¯ ni su valor m´ aximo ni su valor m´ınimo, ya que toma valores mayores y menores en otros puntos. Similarmente, si  ∂f  < 0, ∂xi x¯ tenemos un un incremento positivo de xi hace disminuir a f , mientras que un incremento negativo de xi la hace aumentar. Nuevamente sucede que f no puede tomar en x ¯ ni su valor m´ aximo ni su valor m´ınimo. Como conclusi´ on: Si una funci´ on derivable toma un valor m´ aximo o m´ınimo en un punto x ¯ de su dominio, ha de cumplir necesariamente 

∂f  =0 ∂xi x¯ para todas las variables xi . Los puntos x ¯ donde todas las derivadas de f valen 0 se llaman puntos cr´ıticos de la funci´ on. Problema 2.17 Calcula el punto de inflexi´ on de la funci´ on de costes del ejemplo 2.6, es decir, el nivel de producci´ on exacto donde el coste marginal pasa de ser decreciente a ser creciente. ´ n: Buscamos el punto donde la funci´ Solucio on Cm (q) = 3q 2 − 18q + 36 toma el valor m´ınimo. Seg´ un la observaci´ on precedente, para ello es necesario que dCm = 6q − 18 = 0. dq

2.5. Complementos

71

Esto sucede u ´nicamente para el nivel de producci´ on q = 3 u.p., luego ´este es el punto de inflexi´ on que buscamos. Cuando la producci´ on de la empresa supera las 3 unidades de producto, los costes marginales empiezan a ser crecientes, cada nueva unidad producida cuesta m´ as que la anterior. Nota En el problema anterior sab´ıamos que q = 3 correspond´ıa a un m´ınimo de la funci´ on Cm (q) porque la gr´ afica muestra que Cm (q) tiene un m´ınimo. Sin la gr´ afica, en principio no sabr´ıamos si el punto cr´ıtico hallado es un m´ aximo o un m´ınimo. M´ as a´ un, sucede que un punto cr´ıtico de una funci´ on puede no ser ni un m´ aximo ni un m´ınimo. De aqu´ı se sigue una consecuencia importante: Si una funci´ on tiene una derivada igual a 0 en un punto (respecto de una variable x), puede ser creciente, decreciente, tener un m´ aximo o tener un m´ınimo en ese punto (respecto de dicha variable). Por lo tanto, del mero hecho de que una derivada sea igual a 0 no podemos extraer ninguna conclusi´ on sobre la forma en que var´ıa la funci´ on cuando var´ıa la variable: Las derivadas nulas no pueden interpretarse. Problema 2.18 Calcula el nivel de producci´ on q para el que la funci´ on Cv Me(q) del ejemplo 1.16 alcanza su valor m´ınimo. Calcula cu´ al es este coste variable medio m´ınimo. En el caso de funciones de una variable podemos llevar m´ as lejos el an´alisis anterior: Si f (x) es una funci´ on de clase C 2 en un abierto y x0 es un punto cr´ıtico, es decir, un punto donde la derivada vale 0, para determinar si es un m´ aximo o un m´ınimo podemos calcular la segunda derivada. Si, por ejemplo, se cumple que 

d2 f   > 0, dx2 x 0

esto quiere decir que alrededor de x0 , la primera derivada aumenta a medida que aumenta la x. Puesto que la derivada vale 0 en x0 , ha de ser negativa a la izquierda de x0 y positiva a la derecha de x0 . Esto se traduce en que la funci´ on f es decreciente antes de llegar a x0 y, a partir de este punto, pasa a ser creciente. Por consiguiente, f tiene un m´ınimo en x0 . Similarmente se razona que si la derivada segunda es negativa, x0 ha de ser un m´aximo. Uniendo esto a lo que ya sab´ıamos, podemos concluir: Para que una funci´ on de una variable tenga un m´ aximo o un m´  ınimo en un df  punto x0 es necesario que x0 sea un punto cr´ıtico, es decir, que = 0. Para dx x0 saber si un punto x0 que cumpla esto es un m´ aximo o un m´ınimo, calculamos d2 f   . Si la derivada segunda es positiva, x0 es un m´ınimo, si la derivada dx2 x 0 aximo, pero si la derivada segunda vale 0, puede segunda es negativa, x0 es un m´ ocurrir que x0 sea un m´ aximo, un m´ınimo o que no sea ni m´ aximo ni m´ınimo. El recuadro anterior no puede entenderse correctamente sin tener en cuenta la posibilidad descrita en el problema siguiente:

72

Tema 2. Derivadas

Problema 2.19 Hace ocho a˜ nos (t = 0) invertimos 1000 C en acciones. La cotizaci´ on de dichas acciones hasta el d´ıa de hoy (t = 8) ha venido dada por la funci´ on V (t) = 4t3 − 42t2 + 135t + 1000. Calcula el momento en que las acciones han alcanzado su valor m´ aximo, as´ı como dicho valor. ´ n: Vamos a resolver MAL el problema, siguiendo al pie de la letra lo dicho Solucio en el recuadro anterior. Luego discutiremos por qu´e la soluci´on a la que vamos a llegar es falsa. Seg´ un el recuadro, el punto donde el valor de las acciones alcanza su m´ aximo ha de ser un punto cr´ıtico de la funci´ on V (t), es decir, ha de cumplir dV = 12t2 − 84t + 135 = 0. dt Por consiguiente, t=

84 ±

√

842 − 4 · 12 · 135 84 ± 24 = , 24 24

aximos o luego tenemos dos puntos cr´ıticos: t1 = 2.5 y t2 = 4.5. Para saber si son m´ m´ınimos calculamos la segunda derivada: d2 V = 24t − 84. dt2 Vemos que d2 V dt2

    

= −24 < 0, 2.5

d2 V dt2

    

, = 24 > 0, 4.5

luego, siempre seg´ un el recuadro anterior, concluimos en t = 4.5 las acciones alcanzaron su valor m´ınimo y que el instante que buscamos es t = 2.5, donde las acciones alcanzaron su valor m´ aximo. Dicho valor m´ aximo es V (2.5) = 1 137.5 C. ´ Esta ser´ıa, te´ oricamente, la respuesta que nos pide el problema, pero es f´ acil darse cuenta de que es incorrecta. Acabamos de afirmar que el mayor valor que han alcanzado las acciones es de 1 137.5 C, pero esto es falso, ya que, por ejemplo, en el instante actual las acciones valen V (8) = 1 440 C, que es bastante m´as que el “presunto m´aximo”. Igualmente puede verse que el “presunto m´ınimo” que hab´ıamos encontrado no es en realidad un m´ınimo, ya que en el instante t = 4.5 el valor de las acciones era mayor que los 1 000 C que val´ıan en t = 0. 1400 1300 1200 1100 1000 2

4

6

8

El error que hemos cometido se comprende f´ acilmente sin m´as que observar la gr´ afica de la funci´ on V (t). En ella vemos que el valor de las acciones fue creciendo desde t = 0 hasta alcanzar un valor m´ aximo en t1 = 2.5, y a partir de ese momento empez´o a descender, pero luego, en t1 = 4.5 las cotizaciones volvieron a remontar hasta superar el valor m´aximo alcanzado en t1 .

2.6. Notas

73

El punto t1 es lo que se denomina un m´ aximo local de la funci´ on. Esto quiere decir que el valor de las acciones tom´o un valor m´ aximo en ese instante s´olo en el sentido de que en t1 = 2.5 val´ıan m´ as que unos meses antes y tambi´en m´as que unos meses despu´es, pero eso no impide que, dejando pasar suficiente tiempo, el valor de las acciones no pueda remontar y superar ese m´ aximo, como de hecho ha sucedido. Del mismo modo, el m´ınimo alcanzado en t2 = 4.5 es s´olo un m´ınimo local, en el sentido de que en ese instante las acciones val´ıan menos que unos meses antes y menos tambi´en que unos meses despu´es, pero lo cierto es que, tiempo atr´as, en t = 0, las acciones tomaban un valor menor a´ un. Lo que realmente ped´ıa el enunciado (lo que realmente tiene inter´es) era encontrar el instante en que el valor de las acciones alcanz´o su m´ aximo global, es decir, el mejor valor de todos los tiempos considerados, y la respuesta, tal y como muestra la gr´ afica, es que dicho m´aximo se alcanza en el instante actual t = 8, y resulta ser igual a ´ V (8) = 1 140 C. Esta es la respuesta correcta al problema. Si pudi´eramos asegurar que el valor de las acciones va a seguir viniendo dado por la funci´ on V (t) para tiempos futuros t ≥ 8 (y ya les gustar´ıa a los agentes de bolsa poder asegurar cosas as´ı), entonces podr´ıamos ver, prolongando la gr´ afica, que la funci´ on V (t) ya no deja de crecer nunca, luego si nos preguntaran en qu´e momento toman las acciones su valor m´aximo para todos los tiempos t ≥ 0, la respuesta ser´ıa que no hay ning´ un valor m´ aximo global, sino que, a largo plazo, cuanto m´ as tiempo pasa, m´as valen las acciones. Su valor crece sin parar. As´ı pues: A la hora de resolver un problema de optimizaci´ on, es muy importante ser consciente de la diferencia entre m´ aximos (o m´ınimos) globales y locales. Un m´ aximo local es una soluci´ on factible donde la funci´ on objetivo es mejor (o igual) que en cualquier otra soluci´ on factible, y ´estas son las soluciones que realmente se desea encontrar. Por el contrario, un m´ aximo local es una soluci´ on factible donde la funci´ on objetivo es mejor (o igual) que en las dem´ as soluciones cercanas, pero de forma que cabe la posibilidad de que la funci´ on “remonte” en soluciones factibles lejanas y supere dicho m´ aximo. La b´ usqueda de m´ aximos y m´ınimos locales puede interesar a la hora de conocer con detalle el comportamiento de una funci´ on, pero no como soluci´ on en s´ı de un problema de optimizaci´ on. El problema con que nos encontramos es que en ocasiones puede ser dif´ıcil distinguir si una soluci´ on obtenida es un m´ aximo local o global de un problema y, como hemos visto, no hacer lo necesario para resolver la duda puede llevarnos a conclusiones totalmente err´oneas.

2.6

Notas

1. Sobre el concepto de l´ımite Resumimos aqu´ı los hechos b´asicos sobre l´ımites necesarios para entender la definici´ on de derivada y su interpretaci´ on. Concretamente, en la definici´ on de derivada, tal y como la hemos presentado, el concepto de l´ımite se aplica a la funci´ on (de una variable para x ¯ fijo) g(∆xi ) =

x)(∆xi ) ∆xi f (¯ . ∆xi

74

Tema 2. Derivadas En estos t´erminos, tenemos que 

∂f  = l´ım g(∆xi ). ∂xi x¯ ∆xi →0 Observemos que la funci´ on g no est´a definida cuando ∆xi = 0, pues si la variable xi no var´ıa (y las dem´as tampoco, pues las suponemos constantes desde el principio), la funci´ on f tampoco lo hace y ∆xi f (¯ x)(0) = 0. Esto hace que g(0) =

0 =? 0

Sin embargo, la funci´ on g s´ı que est´a definida para valores de ∆xi = 0 suficientemente peque˜ nos. Esto se debe a que el dominio de f es abierto y contiene a x ¯, por lo que al variar poco xi seguimos dentro del dominio, podemos calcular ∆xi f (¯ x)(∆xi ) y dividirlo entre ∆xi para obtener g(∆xi ). on definida en puntos tan pr´ oximos En general, si g : D ⊂ Rn −→ R es una funci´ a p¯ como queramos, pero no necesariamente en el propio punto p¯, se dice que x) = l l´ım g(¯

x ¯→¯ p

si podemos conseguir que g(¯ x) − l < ', donde ' > 0 es un n´ umero tan peque˜ no como se quiera, sin m´as que tomar puntos x ¯ = p¯ que cumplan ¯ x − p¯ < δ, donde δ > 0 es un n´ umero suficientemente peque˜ no. Esto significa que el valor de g(¯ x) se parece m´as al l´ımite l cuando m´ as se acerca x ¯ al punto p¯. Dicho de otro modo, si x ¯ ≈ p¯ (pero x ¯ = p¯), entonces g(¯ x) ≈ l, entendiendo que la segunda aproximaci´ on puede mejorarse m´as y m´as, sin l´ımite alguno de precisi´ on, cuando m´ as se mejora la primera aproximaci´on. En el caso de la derivada tenemos un l´ımite cuando ∆xi → 0, por lo que podemos afirmar que, cuanto m´ as parecido sea ∆xi ≈ 0 (pero sin ser cero), m´as se parece g(¯ xi ), que es ∆xi f (¯ x)(∆xi ) , ∆xi al l´ımite l, que en este caso es la derivada 

∂f  . ∂xi x¯ Esto es justo lo que hemos afirmado tras la definici´ on de derivada. Pocas veces nos vamos a encontrar en la necesidad de calcular l´ımites, y en la mayor´ıa de las ocasiones podremos hacerlo sin m´as que tener en cuenta este hecho: comparando las definiciones de l´ımite y continuidad es f´ acil demostrar que si una funci´ on g : D ⊂ Rn −→ R es continua en un punto p¯ ∈ D, entonces existe x) = g(¯ p). l´ım g(¯

x ¯→¯ p

As´ı, en el ejemplo 2.1 hemos calculado 

∂D  ∆p D(36, 1, 1)(∆p) −3 = l´ım = l´ım = −3. ∆p→0 1 + ∆p ∂p (36,1,1) ∆p→0 ∆p

2.6. Notas

75

La primera igualdad es por definici´ on de derivada, la segunda es simplemente el c´alculo expl´ıcito de los incrementos que aparecen en el l´ımite, y la tercera igualdad (el c´alculo del l´ımite) est´a justificado por la observaci´ on que acabamos de hacer: la funci´ on −3 g(∆p) = 1 + ∆p es continua en ∆p = 0 porque es un cociente de polinomios y est´ a definida en dicho punto g(0) = −3, luego tiene l´ımite en 0 y es igual a g(0) = −3. 2. Una funci´ on usual no derivable Vamos a analizar m´as de cerca la funci´on √ f (x) = 3 x. Sabemos que es continua en todo R, y es de clase C ∞ en todos los puntos excepto en x = 0, donde no existe ni siquiera la primera derivada. Veamos por qu´e: Si partimos de x = 0 y consideramos un incremento de la variable, ∆x, el incremento que experimenta la funci´ on es √ √ √ 3 3 3 ∆f (0)(∆x) = ∆x − 0 = ∆x,

1

0.5

-1

-0.5

0.5

1

luego el incremento medio por cada unidad que se incrementa x es

-0.5

1 ∆x1/3 ∆f (0)(∆x) = = ∆x−2/3 = √ 3 -1 ∆x ∆x ∆x2 Pero si intentamos calcular el l´ımite para incrementos cada vez m´as peque˜ nos nos encontramos con 

df  ∆f (0)(∆x) 1 1 = l´ım = = ∞. = l´ım √ ∆x→0 3 ∆x2 dx 0 ∆x→0 ∆x 0 As´ı pues, podemos decir que la derivada no existe porque deber´ıa tomar un valor infinito. 3. Una ra´ız que s´ı que es derivable donde se anula Consideremos ahora la √ funci´ on f (x, y) = 3 xy, que es continua en todo R2 . Vamos a ver que, aunque f (0, 0) = 0, s´ı que existen sus derivadas en el punto (0, 0). Las reglas de derivaci´on no sirven de ayuda, pues nos dan √ 3 y ∂f 1 −2/3 y= √ , = (xy) 3 ∂x 3 3 x2 y esta expresi´on no puede calcularse en (0, 0). Pero es que la regla de derivaci´ on de las ra´ıces no es v´alida cuando ´estas se anulan. Sin embargo, podemos aplicar la definici´ on de derivada. Calculamos el incremento parcial de f : √ √ 3 3 ∆x f (0, 0)(∆x) = f (∆x, 0) − f (0, 0) = 0 − 0 = 0, luego ∆x f (0, 0)(∆x) = 0, ∆x y, por consiguiente,



∆x f (0, 0)(∆x) ∂f  = l´ım = 0. ∂x (0,0) ∆x→0 ∆x

76

Tema 2. Derivadas Igualmente se comprueba que la derivada respecto de y en (0, 0) existe y vale 0.

4. La utilidad de dos bienes complementarios perfectos Recordemos que la funci´ on de utilidad de dos bienes complementarios perfectos viene dada por U (x, y) = m´ın{x, y}. Vamos a probar que esta funci´ on de utilidad no es derivable en los puntos (x, y) que cumplen x = y (en los picos de sus curvas de indiferencia). Por concretar vamos a considerar el punto (3, 3), aunque el argumento es v´ alido para cualquier otro punto con coordenadas iguales. Tambi´en podemos pensar que los bienes son C.P.U.’s y pantallas de ordenador. Si un consumidor tiene 3 C.P.U’s y tres pantallas, su utilidad es U (3, 3) = m´ın{3, 3} = 3. Si el consumidor aumenta el n´ umero de C.P.U.’s en una cantidad ∆x > 0, pero no compra m´as pantallas, las nuevas C.P.U.’s no le proporcionar´ an ninguna utilidad: U (3 + ∆x, 3) = m´ın{3 + ∆x, 3} = 3. Por consiguiente, ∆x U (3, 3)(∆x) = 3 − 3 = 0 y ∆x U (3, 3)(∆x) = 0. ∆x El incremento de utilidad por cada unidad que aumenta el consumo de C.P.U.’s (partiendo de un consumo (3, 3)) es nulo. Si la funci´ on U (x, y) fuera derivable, habr´ıa de ser  ∂U  = 0. ∂x (3,3) Ahora bien, si consideramos incrementos negativos, es decir, si el consumidor reduce su n´ umero de C.P.U.’s en ∆x < 0 unidades, entonces ∆x de las pantallas que ten´ıa le dejan de ser u ´tiles, y la utilidad total pasa a ser U (3 + ∆x, 3) = m´ın{3 + ∆x, 3} = 3 + ∆x < 3. El incremento de utilidad es negativo: ∆x U (3, 3)(∆x) = 3 + ∆x − 3 = ∆x < 0, y el incremento medio es ∆x U (3, 3)(∆x) ∆x = = 1. ∆x ∆x As´ı pues, por cada unidad que disminuye el consumo de C.P.U.’s (partiendo de un consumo de (3, 3)), la utilidad disminuye en una unidad. Si la funci´ on U (x, y) fuera derivable, su derivada deber´ıa ser 

∂U  = 1. ∂x (3,3)

2.6. Notas

77

Como la derivada no puede ser a la vez 0 y 1, concluimos que la funci´ on U (x, y) no tiene derivada en el punto (3, 3). M´ as t´ecnicamente, la derivada es, por definici´ on, 

∂U  ∆x U (3, 3)(∆x) = l´ım .  ∆x→0 ∂x (3,3) ∆x Hemos probado que el l´ımite por la izquierda es 1 y el l´ımite por la derecha es 0, luego el l´ımite no existe. 5. Comparaci´ on entre inter´ es continuo e inter´ es compuesto Ante todo conviene aclarar que la oposici´ on “inter´es continuo / inter´es compuesto” no es t´ecnicamente correcta, ya que el inter´es continuo es en realidad una forma de inter´es compuesto en el sentido de que capitaliza intereses peri´odicamente, en contraste con el inter´es simple, que no capitaliza intereses. La matem´atica financiera nos ense˜ na que, al considerar una ley de capitalizaci´ on con inter´es compuesto, el periodo de capitalizaci´on de los intereses es secundario, en el sentido de que un inter´es efectivo anual i1 es equivalente al inter´es efectivo on: 1+i1 = (1+i12 )12 . Dicho de otro modo, mensual i12 determinado por la ecuaci´ es lo mismo que un banco nos capitalice los intereses cada a˜ no a un tipo efectivo i1 o que lo haga cada mes a un tipo i12 rebajado seg´ un la relaci´ on precedente. El capital final ser´ a el mismo en ambos casos. Del mismo modo, rebajando a´ un m´ as el tipo de inter´es a un valor adecuado i365 , el capital final obtenido capitalizando diariamente los intereses ser´a tambi´en el mismo. Lo mismo sucede con el inter´es continuo, en el que los intereses se capitalizan cada “0 a˜ nos”, es decir, instant´ aneamente. (Notemos que el sub´ındice de la i es el n´ umero de capitalizaciones por a˜ no. Si capitalizamos cada instante, el n´ umero de capitalizaciones al a˜ no es infinito, de ah´ı que representemos por i∞ al inter´es continuo.) Si igualamos las dos f´ ormulas para obtener el capital final: C = C0 ei∞ t = C0 (1 + i1 )t , simplificando C0 y tomando logaritmos queda que ln ei∞ t = ln(1 + i1 )t

⇒ i∞ t ln e = t ln(1 + i1 ).

Simplificando t y teniendo en cuenta que ln e = 1, queda: i∞ = ln(1 + i1 ). Esto quiere decir que, por ejemplo, utilizar la ley de capitalizaci´ on del inter´es compuesto con i1 = 5% produce exactamente el mismo resultado que usar la del inter´es continuo con i∞ = ln(1.05) ≈ 4.88%. Por ello, a efectos te´oricos podemos usar la que m´ as c´omoda nos resulte, que suele ser la del inter´es continuo.

78

Tema 2. Derivadas

2.7

Ejercicios

1. Calcula las derivadas parciales de las funciones siguientes: (a) f1 (x, y, z) = 3x5 y + xy 4 z + y 5 + 2z 2 + 5, (b) f2 (x, y) = x5 cos 3y 4 , (c) f3 (x, y, z) = (x2 + 2xy + yz 5 )ex+2y−z+1 , (d) f4 (x, y) = sen8 (x2 + y 3 ), (e) f5 (x, y) = sen(x + 2y 2 )8 , √ 5 (f) f6 (x, y) = exy2 , √ 3 (g) f7 (x, y) = 2x+y , y − y3 , x2 + 2y − 1 x cos y , (i) f9 (x, y, z) = √ y + 2z

(h) f8 (x, y) =

(j) f10 (x, y) = ln3 (x/y). 2. Calcula el vector gradiente de las funciones siguientes: (a) f (x, y, z) = x5 y − 3x2 z + xyz − 3y + 2, (b) g(x, y) = x/y 3 , √ (c) h(x, y, z) = x sen(x2 + y 2 + z 2 ), u+v (d) p(u, v) = 2 , u + v2 p (e) t(p, q) = . 1 + q2 3. Calcula la matriz hessiana de las funciones siguientes: (a) f (x, y) = x2 − 2xy 3 + 3x, 2

(b) g(x, y, z) = ex sen(y + z), (c) h(u, v, w) = u + 2v − w, 1 (d) r(a, b) = . a + b5 4. Calcula la matriz jacobiana de las funciones siguientes: (a) f (x, y, z) = (x + y 2 , xyz), √ (b) T (s) = (s2 + 1, 1/s, 3 s), (c) g(x, y) = (x, y, ln(x + y), x sen y), 3

(d) r(x, y, z) = (xy 2 − z 5 , 8, 2xy ). 5. Indica el signo que tendr´ an en condiciones normales las derivadas siguientes: (a) La derivada del salario de un trabajador respecto al tiempo. (b) La derivada parcial de la demanda de un art´ıculo respecto de su precio. (c) La derivada parcial del volumen de ventas de una empresa respecto de su inversi´ on en publicidad.

2.7. Ejercicios

79

(d) La derivada parcial del ahorro medio de los habitantes de un pa´ıs respecto del ´ındice de precios. (e) La derivada respecto al tiempo de la poblaci´ on de un pa´ıs en el que cada familia tiene una media de 1.8 hijos. (f) La derivada del ´ındice general de la bolsa de Madrid respecto del tiempo. 6. El precio del petr´ oleo es una funci´ on P que depende —entre otras variables— de la oferta x de crudo en el mercado. ¿Cu´ al ser´a —en condiciones normales— el ∂P signo de la derivada ∂x ?



7. La funci´ on de demanda de un art´ıculo es D(p, r) = ln 1 + 2r p , donde p es el precio y r la renta media de los consumidores. El precio actual es p = 2 u.m. y r = 100 u.m. (a) Justifica que D(p, r) es una funci´ on de clase C ∞ en su dominio. (b) Calcula las derivadas parciales de D para los valores actuales de las variables e intepr´etalas. (c) Determina sin usar calculadora (o, al menos, sin calcular ning´ un logaritmo) qu´e producir´ıa un mayor incremento de la demanda: i. Un incremento de la renta de ∆r = 10 u.m. ii. Un incremento del precio de ∆p = −0, 5 u.m. (d) Calcula (con calculadora) los incrementos exactos de la demanda correspondientes a cada caso y comp´aralos con las estimaciones anteriores. 8. Una empresa fabrica un art´ıculo X a partir de dos factores de producci´ on A y B. 2 La funci´ on de producci´ on es P (x, y) = x + y + 0.005 xy unidades de X, donde x e y son las cantidades de los factores de producci´ on. Calcula la producci´ on actual si se est´an empleando 100 unidades de A y 80 unidades de B. Calcula la producci´ on marginal respecto de y para la producci´ on actual. Indica su interpretaci´ on y las unidades en que viene expresada. Calcula el incremento de producci´ on que puede obtenerse si la cantidad empleada del factor B pasa a ser de 82 unidades. Haz el c´alculo exacto y el c´alculo aproximado a partir de la producci´ on marginal y comp´aralos. ´Idem si se utilizan 200 unidades de B. Compara los resultados en ambos casos. 9. La tasa de paro (porcentual) de dos pa´ıses A y B viene dada por las funciones PA (t) = 8(1.1)t

y

PB (t) = 8(0.9)t .

Determina la tasa de paro en la actualidad (t = 0). Estudia la evoluci´ on del paro en ambos pa´ıses ¿cu´al es m´as favorable? 10. La funci´ on de beneficios de una empresa es B(t), donde t est´a en a˜ nos y B(t) en euros. Se conocen los datos siguientes: 

B(1) = 100.000 C,

∂B  = 1.000 C/a˜ no, ∂t 1



∂B  = 600 C/a˜ no. ∂t 2

Interpreta estos datos. Haz una estimaci´on de los beneficios acumulados por la empresa al final del segundo a˜ no (t = 2) y al final del primer trimestre del segundo a˜ no (t = 1 + 3/12). ¿Qu´e estimaci´on ser´a m´as fiable?

80

Tema 2. Derivadas

11. Una editorial A es una de las principales suministradoras de libros a una peque˜ na ciudad, aunque tiene una u ´nica competidora B. La empresa estima que la demanda de sus libros en la ciudad depende del precio medio al que los vende p1 , del precio medio a que vende los libros la editorial B y del precio medio de los art´ıculos de primera necesidad. Si la funci´ on de demanda (de los libros de A) es D(p1 , p2 , p3 ) y la empresa estima que, para los precios actuales p¯0 , se tiene 



∂D  = −2, ∂p1 p¯0



∂D  = −1, ∂p2 p¯0

∂D  = 2, ∂p3 p¯0

¿Cu´al de las variables p2 , p3 representa —presumiblemente— a los precios de la editorial B y cu´ al a los precios de los art´ıculos de primera necesidad? ¿Qu´e efecto tendr´ıa para la editorial una rebaja media de sus precios de 0.8 unidades monetarias? 12. Sea C(x) la funci´ on de costes de una empresa, donde x es la cantidad producida de un art´ıculo. (a) Explica la diferencia de interpretaci´ on entre 

∂C  ∂x 10

y



∂C  . ∂x 1000

(b) ¿Cu´ al es el signo que cabr´ıa esperar en estas derivadas? (c) ¿Cu´al de las dos cabe esperar que sea mayor? 13. Sea U (x) la funci´ on de utilidad de un consumidor, donde x es la cantidad adquirida de un art´ıculo. (a) Explica la diferencia de interpretaci´ on entre 

∂U  ∂x 10

y



∂U  . ∂x 1000

(b) ¿Cu´ al es el signo que cabr´ıa esperar en estas derivadas? (c) ¿Cu´al de las dos cabe esperar que sea mayor? 14. Sobre el ejercicio 23 del tema 1: Utiliza las derivadas de la funci´ on U para justificar que Eutiquio “se cansa” del vino de mesa a medida que consume m´as, mientras que con el vino caro no le sucede lo mismo. 15. La funci´ on de costes de una empresa viene dada por C(q) = q 2 + 2q + 16, donde q es el n´ umero de unidades producidas. 10000 8000 6000 4000 2000 50

100

150

200

2.7. Ejercicios

81

(a) Si la empresa vende su producto a un precio p, calcula la funci´ on de beneficios B(p, q) (ingresos menos costes). (b) La figura muestra las funciones B(190, q), B(200, q) y B(210, q). Razona cu´ al corresponde a cada curva. (c) Para cada uno de los posibles precios de venta p = 190, 200, 210, calcula la producci´ on que maximiza el beneficio de la empresa. (d) Repite los razonamientos anteriores para un precio p arbitrario, con lo que obtendr´ as la funci´ on de oferta de la empresa q(p). (e) Si la demanda del art´ıculo que fabrica la empresa viene dada por D(p) = 500 − 2p, calcula el precio de equilibrio. (f) Calcula el coste marginal de la empresa para el precio de equilibrio. Interpr´etalo. 16. Considera la funci´ on de costes del problema 1.15 (p´ agina 29): C(q) = q 3 − 9q 2 + 36q + 20. La funci´ on de beneficios de esta empresa ser´a B(p, q) = pq − q 3 + 9q 2 − 36q − 20. La figura muestra esta funci´ on para p = 7, 8, 9, . . . , 25, 26:

20

2

4

6

8

-20 -40 -60 (a) Aqu´ı tienes una ampliaci´ on de la gr´ afica que muestra las funciones para p = 7, 8, 9, 10. Comprueba que para p = 8 no hay un beneficio m´ aximo, mientras que para p = 10 s´ı que lo hay (calcula con qu´e producci´ on se alcanza). ¿Y para p = 9?

-44 -46 -48 -50

1

2

3

4

(b) Seg´ un la gr´ afica, ¿a partir de qu´e valor de p la producci´ on empieza a ser rentable?

(c) Calcula la producci´ on que maximiza el beneficio para un precio p = 21. Calcula el beneficio m´aximo que puede conseguir la empresa a ese precio.

82

Tema 2. Derivadas

17. La funci´ on de beneficios de una empresa viene dada por B(t) = 5t2 u.m., donde t es el tiempo en a˜ nos. El a˜ no actual es t = 1. ¿A qu´e ritmo est´a aumentando el beneficio marginal de la empresa? 18. Sobre el ejercicio 22 del tema 1: (a) Considera la soluci´ on factible (x, y) = (9, 4). Calcula su utilidad y escribe la ecuaci´on de la curva de indiferencia correspondiente a dicho nivel de utilidad. (b) Despeja y(x) y calcula la Relaci´ on Marginal de Sustituci´ on: 

dy  . RMS(9) = − dx 9 (c) Interpreta esta derivada. (d) Dorotea trata de explicar a Macario que, al establecer la funci´ on de utili√ un el cual la utilidad dad UL (x) = x ha tenido en cuenta el principio seg´ marginal es decreciente: cuantos m´as libros has comprado, menos u ´til te es comprar un libro m´ as. Comprueba, calculando las derivadas oportunas, que la funci´ on UL cumple esta propiedad. (e) Macario no est´a de acuerdo con el principio que le ha explicado Dorotea. Seg´ un ´el, despu´es de haber visto cien corridas de toros, una m´ as le ser´ıa igual de u ´til que la primera. Con un gran esfuerzo, llega a la conclusi´ on de que la funci´ on UT (y) = y da lugar a una utilidad marginal constante para las corridas de toros. Consciente de que la igualdad de derechos es esencial para mantener la estabilidad matrimonial, propone que el reparto del presupuesto familiar se establezca con la funci´ on de utilidad U (x, y) = x + y. Calcula el n´ umero de libros y de entradas para los toros que hay que comprar para maximizar la funci´ on de utilidad propuesta por Macario. ¿Beneficia a Macario su propuesta? 19. Sobre el ejercicio 20 del tema 1: (a) Calcula la funci´ on y(x) que nos da la cantidad de tortas que ha de fabricar Toribio en funci´ on de la cantidad de tartas fabricadas para mantenerse en la frontera de las posibilidades de producci´ on. (b) Calcula la relaci´ on de transformaci´ on del producto: RT P = −

dy dx

para la soluci´ on o´ptima e interpr´etala. 20. Sobre el ejercicio 21 del tema 1: (a) Escribe la ecuaci´on de la isocuanta (la curva de nivel de Q) correspondiente a al nivel de producci´ on actual y repres´entala gr´ aficamente. (b) A partir de dicha ecuaci´ on, calcula la funci´ on L(K), as´ı como la relaci´on de sustituci´ on t´ecnica  dL  . RST (2) = − dK 2 Interpreta esta derivada. ¿El resultado es bueno o malo para los empleados de Melecio?

2.7. Ejercicios

83

21. Ofelia y Eulalia van juntas al cine y al teatro. Al a˜ no, van unas 45 veces al cine y unas 15 al teatro. Sin embargo, sus preferencias no son exactamente las mismas. Sus funciones de utilidad respectivas son √ √ 5 5 UO (C, T ) = C 6 T, UE (C, T ) = C + T . Para cada una de ellas: (a) Calcula su nivel de utilidad actual. (b) Escribe la ecuaci´ on de la curva de nivel correspondiente. (c) Calcula la funci´ on T (C) que nos da el n´ umero de veces al a˜ no que ha de ir al teatro para mantener su nivel de utilidad si va C veces al cine. (d) Calcula la relaci´ on marginal de sustituci´ on RM S = −

dT . dC

(e) Calcula RM S(45) e interpr´etala. ¿A quien le apetece menos ir al teatro, a Ofelia o a Eulalia? (f) Calcula las derivadas ∂2U , ∂C 2

∂2U , ∂T 2

∂2U . ∂C∂T

Interpreta el signo de estas derivadas en los dos casos. ¿Qui´en es m´as entusiasta del cine y del teatro, Ofelia o Eulalia? √ 22. La funci´ on de costes de una empresa es C(x, p) = 600 p ln x, donde x es la producci´ on y p el precio medio de sus ´ınputs. Actualmente la producci´ on es de 100 unidades de producto y el precio de 4 unidades monetarias. (a) Calcula el dominio de C y el subdominio con sentido econ´ omico. (b) Calcula el efecto que tiene sobre el coste marginal (respecto a la producci´on) un incremento unitario del precio de los ´ınputs. (c) ¿Cu´anto aumentar´ıa aproximadamente el coste si el precio pasara a ser de p = 4.1 u.m.?, ¿y el coste marginal? 23. Para cada una de las funciones de utilidad: U1 (x, y) = xy,

U2 (x, y) = x2 y 2 ,

U3 (x, y) = ln x + ln y,

(a) Calcula la relaci´ on marginal de sustituci´ on correspondiente a un nivel de utilidad α, es decir, despeja y(x) de la ecuaci´on U (x, y) = α y calcula RMS(x) = −

dy . dx

(b) Comprueba que la funci´ on RMS(x) es decreciente en los tres casos. (c) Calcula la utilidad marginal respecto de x y estudia en cada caso si aumenta o disminuye a medida que x aumenta.

84

Tema 2. Derivadas (d) Interpreta los resultados obtenidos en t´erminos de las preferencias del consumidor.

24. La funci´ on de costes de una empresa viene dada por C(q) = 5q 3 − 123q 2 + 1 100q + 6 075 C. Su nivel de producci´ on actual es q = 12 u.p. (a) Calcula la funci´ on de coste marginal Cm (q) y la funci´ on de coste medio CMe(q) =

C(q) . q

(b) Calcula el coste, el coste marginal y el coste medio para el nivel de producci´on actual. Interpr´etalos. (c) A partir de las gr´ aficas, haz una predicci´ on sobre el signo que tendr´ a la derivada  d2 C   . dq 2 12 (d) Calcula la derivada del apartado anterior e interpr´etala. (e) A partir de las gr´ aficas, determina aproximadamente el nivel de producci´ on en el que los costes marginales pasan de ser decrecientes a ser crecientes. Calc´ ulalo anal´ıticamente de forma exacta. (f) La teor´ıa econ´omica establece que el nivel de producci´on m´ as eficiente es aquel en el que el coste medio coincide con el coste marginal. Deduce de las gr´ aficas cu´al es este nivel de producci´on q1 y compru´ebalo anal´ıticamente. (g) Calcula el incremento de coste que supone a la empresa alcanzar este nivel de producci´ on a partir del nivel actual. 25. Eufrasia consume dos productos A y B, de los que consigue una utilidad dada por U (x, y) = ln(1 + xy), donde x e y son las cantidades de producto que adquiere. Supongamos que actualmente consume (x, y) = (10, 10). (a) Calcula la utilidad marginal respecto del producto A. Interpreta su signo. (b) Justifica matem´ aticamente esta afirmaci´on: “Por cada unidad que Eufrasia aumenta el consumo de A, la utilidad marginal disminuye, es decir, Eufrasia obtiene cada vez menos satisfacci´on adicional al incrementar su consumo de A”. (c) Justifica matem´aticamente esta afirmaci´on: “Por cada unidad que aumenta el consumo de B la utilidad marginal de A aumenta, es decir, si Eufrasia aumenta el consumo de B, entonces le es m´as u ´til aumentar el consumo de A.” (d) Pon un ejemplo de dos productos para los que estas propiedades sean razonables.

2.7. Ejercicios

85



26. La funci´ on de demanda de un art´ıculo es D(p, r) = ln 1 + 2r p , donde p es el precio y r la renta media de los consumidores. Determina el dominio matem´atico y el subdominio econ´ omico de la funci´ on D. Calcula la elasticidad (respecto al precio) para (p, r) = (2, 100). Interpr´etala. 27. Calcula la elasticidad de la funci´ on de demanda D(p) = 100/p. 28. Calcula la elasticidad de la funci´ on de demanda D(p) = 100−p y estudia el efecto que tiene sobre la elasticidad un aumento del precio. 29. Sobre el ejercicio 18 de tema 1: (a) Calcula las derivadas 



∂D  , ∂I (20,2)

∂D  ∂p (20,2)

e interpr´etalas. (b) Calcula el incremento de consumo que se producir´ a si el precio de la cerveza aumenta 1 u.m. Haz el c´alculo de forma exacta y de forma aproximada con derivadas. ¿Es buena la aproximaci´ on? ¿A qu´e puede deberse? (c) Calcula la elasticidad-precio y la elasticidad-renta de la demanda en el punto (20, 2). Interpr´etalas. (d) Calcula la derivada



∂D  ∂I (25,3)

e interpr´etala (si puedes). (e) A partir de la expresi´ on de ∂D , ∂p razona que la cerveza no es un bien Giffen para Cris´ ostomo sea cual sea el precio al que se venda, es decir, razona que Cris´ ostomo siempre disminuir´a su consumo de cerveza ante un aumento de precio (ceteris paribus). (f) Recordemos que un bien se dice normal si cuando los consumidores tienen m´as renta aumentan el consumo, y se dice inferior en caso contrario. Determina a partir de qu´e nivel de renta la cerveza pasa a ser un bien inferior para Cris´ ostomo cuando p = 2. 30. Sobre el ejercicio 17 del tema 1: (a) Determina en qu´e momento los ahorros de Filomena empezaron a remontar. (b) ¿Cu´ al es el mayor nivel de endeudamiento alcanzado por Filomena? (c) Determina la tasa media de crecimiento (en tanto por ciento continuo) de los ahorros de Filomena en el periodo considerado. (d) Determina la tasa media anual de crecimiento del periodo 2005-2006. (e) Elige un instante (para un t entero que no sea el momento final t = 6) en el que los ahorros de Filomena estaban aumentando y calcula su tasa de crecimiento (continuo, en porcentaje) en ese instante. Interpr´etalo.

86

Tema 2. Derivadas (f) Explica qu´e error podr´ıa cometer alguien que busque el momento t en que los ahorros de filomena alcanzan su valor m´ aximo si no se fija en la gr´ afica. ¿A qu´e conclusi´on (falsa) llegar´ıa?

31. Pancracio ha plantado un a´rbol frutal que, seg´ un las previsiones, deber´ıa vivir unos 30 a˜ nos. El valor del a´rbol va variando a medida que pasa el tiempo, en funci´ on de su productividad. Se estima que este valor viene dado por la funci´ on V (t) = 30t − t2 u.m., donde el tiempo t est´a en a˜ nos. (a) Pancracio ha decidido que vender´ a el ´arbol en el momento en que ´este alcanza su m´aximo valor en el mercado. Determina cu´ ando tiene que vender el a´rbol Pancracio, mirando la gr´ afica y tambi´en sin usarla para nada. (b) Pancracio tiene un amigo economista, que, al conocer su proyecto, le hace ´ ver lo equivocado de sus planes. Este se˜ nala a Pancracio que, en cualquier momento en que venda el ´arbol, podr´ıa invertir el dinero en otros negocios que le reportar´ıan una rentabilidad continua i∞ = 5%. Esto le permite transportar el valor del a´rbol en un instante t al tiempo actual t = 0. Calcula esta funci´ on V0 (t), cuya gr´ afica se muestra tambi´en en la figura. (c) Calcula el instante en que le conviene a Pancracio vender su a´rbol para maximizar el valor actual (en t = 0) que tendr´ a el ´arbol en el momento de la venta, es decir, el m´aximo de la funci´ on V0 (t). (d) Calcula la tasa de crecimiento en porcentaje R(t) del valor del a´rbol V (t), cuya gr´ afica es la indicada. Calcula esta tasa para el instante calculado en el apartado anterior. Razona que, en efecto, ´este es el momento en que a Pancracio le conviene vender su a´rbol. (e) Si pudi´eramos aumentar el factor de descuento, ¿eso anticipar´ıa o retrasar´ıa el momento ´optimo para la venta? (Si dudas, prueba con i∞ = 6%.) 32. Ahora Pancracio ha comprado un a´rbol que, en un momento dado, piensa talar para vender la madera. La situaci´ on es diferente, porque el a´rbol puede vivir muchos m´as a˜ nos que el propio Pancracio y, conforme crece, su valor nunca deja √ 0.4 t de aumentar, digamos que seg´ un la relaci´ on V (t) = e u.m. (a) Determina el momento en que Pancracio deber´ıa talar el a´rbol maximizando (como en el problema anterior) el valor actual del beneficio de la venta considerando un factor de descuento i∞ = 4%. (Ayuda: aunque no es imprescindible, puedes simplificar el c´ alculo si tienes en cuenta que buscar el m´aximo de una funci´ on de la forma ef (t) equivale a buscar el m´ aximo de f (t).) (b) Obt´en el mismo resultado (pero m´as f´acilmente) calculando la tasa de crecimiento del a´rbol en porcentaje. El momento m´ as adecuado para la tala ser´ a cuando ´esta se reduzca hasta el 4%.

Tema 3

Diferenciales 3.1

Diferenciabilidad de funciones

En el tema anterior hemos estudiado los incrementos parciales de funciones, es decir, el efecto que tiene sobre una funci´ on que se incremente una de sus variables, mientras las restantes permanecen constantes. Ahora vamos a ocuparnos de estudiar lo que sucede cuando se modifican simult´aneamente varias variables. Ejemplo 3.1 Supongamos que la funci´ on de utilidad de un consumidor respecto de dos bienes A y B es de la forma U (x, y) = xy 2 , donde x e y son las cantidades adquiridas. Supongamos que el consumo actual es (x, y) = (10, 5). Vamos a analizar c´ omo var´ıa la utilidad cuando las cantidades consumidas se alteran en cantidades ∆x y ∆y. Para ello calculamos: ∆U (10, 5)(∆x, ∆y) = U (10 + ∆x, 5 + ∆y) − U (10, 5) = (10 + ∆x)(5 + ∆y)2 − 250 = (10 + ∆x)(25 + 10∆y + ∆y 2 ) − 250 = 250 + 100∆y + 10∆y 2 + 25∆x + 10∆x∆y + ∆x∆y 2 − 250 = 25∆x + 100∆y + 10∆x∆y + 10∆y 2 + ∆x∆y 2 . Vamos a comparar esta expresi´on con lo que ya sabemos por el tema anterior. Si s´ olo se incrementara el consumo de A, el incremento de utilidad ser´ıa 

∂U  ∆x U (10, 5)(∆x) ≈ ∆x = y 2 |(10,5) ∆x = 25∆x. ∂x (10,5) Si s´ olo se incrementara el consumo de B, el incremento de utilidad ser´ıa: 

∂U  ∆y U (10, 5)(∆y) ≈ ∆y = 2xy|(10,5) ∆y = 100∆y. ∂y (10,5) Por consiguiente, la expresi´ on que hemos obtenido para el incremento total puede descomponerse as´ı: ∆U (10, 5)(∆x, ∆y) ≈ ∆x U (10, 5)(∆x) + ∆y U (10, 5)(∆y) + un resto, donde el resto es 10∆x∆y + 10∆y 2 + ∆x∆y 2 . 87

88

Tema 3. Diferenciales Dicho con palabras:

El incremento total de utilidad cuando se incrementa simult´ aneamente el consumo de ambos bienes es aproximadamente igual al incremento parcial de utilidad que se producir´ıa si s´ olo se incrementara el consumo de A, m´ as el incremento parcial de utilidad que se producir´ıa si s´ olo se incrementara el consumo de B m´ as un resto, que, para incrementos marginales, es peque˜ no en relaci´ on con los incrementos parciales indicados. Comprobemos la u ´ltima afirmaci´ on: si, por ejemplo, ∆x = 0.1, ∆y = −0.2, los incrementos parciales son ∆y U (10, 5)(−0.2) = −20,

∆x U (10, 5)(0.1) = 2.5, y el resto es

10 · 0.1(−0.2) + 10(−0.2)2 + 0.1(−0.2)2 = 0.204, que, ciertamente, es insignificante en comparaci´on con los incrementos parciales. No todas las funciones se comportan igual que la del ejemplo anterior ante un incremento de sus variables, pero s´ı la mayor´ıa de ellas, las que cumplen la propiedad que vamos a definir a continuaci´ on. La idea esencial es que una funci´ on es diferenciable cuando el incremento total que experimenta cuando se alteran todas sus variables es igual a la suma de los incrementos parciales que se producir´ıan si se incrementara cada una de ellas por separado m´ as un resto peque˜ no que podemos despreciar cuando los incrementos son marginales. Para precisar esta idea, conviene hacer antes una observaci´ on: Supongamos que una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R tiene derivadas parciales en un punto x ¯ ∈ D. Si incrementamos la variable xi en una cantidad ∆xi , sabemos que el incremento que experimenta f es aproximadamente 

∆xi f (¯ x) ≈

∂f  ∆xi . ∂xi x¯

Si consideramos incrementos para cada una de las variables, la suma de los incrementos parciales es 



∂f  ∂f  ∆x1 + · · · + ∆xn =  ∂x1 x¯ ∂xn x¯





 

∂f  ∂f  ,..., (∆x1 , . . . , ∆xn ) = ∇f (¯ x) · ∆¯ x.  ∂x1 x¯ ∂xn x¯

Las funciones diferenciables son las funciones para las que esta suma de incrementos parciales es una buena aproximaci´ on del incremento total de la funci´ on. La definici´ on precisa es la siguiente: Definici´ on Una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R definida en un abierto D es diferenciable en un punto x ¯ ∈ D si cumple dos condiciones: 1. La funci´ on tiene derivadas parciales en x ¯ (o, equivalentemente, existe ∇f (¯ x)). 2. Para cualquier vector de incrementos ∆¯ x, se cumple que ∆f (¯ x)(∆¯ x) = ∇f (¯ x)∆¯ x + ∆¯ x r(∆¯ x), donde el resto r(∆¯ x) es una funci´ on continua en ¯0 tal que r(¯0) = 0.

3.1. Diferenciabilidad de funciones

89

Las condiciones sobre el resto equivalen a que r(∆¯ x) ≈ 0 cuando ∆¯ x ≈ ¯0, o sea, que el resto es peque˜ no para vectores de incrementos marginales. Pero la definici´ on de diferenciabilidad exige adem´ as que el resto est´e multiplicado por ∆¯ x. Para incrementos que hagan |r(∆¯ x)| < 1, esto implica que el resto completo (con la norma incluida) no s´olo es peque˜ no, sino que es peque˜ no en relaci´ on al tama˜ no del propio vector de incrementos. Esta condici´on t´ecnica sirve para asegurar que la aproximaci´ on 

∆f (¯ x)(∆¯ x) ≈ ∆f (¯ x)∆¯ x=



∂f  ∂f  ∆x1 + · · · + ∆xn  ∂x1 x¯ ∂xn x¯

es la mejor posible. Al miembro derecho se le llama diferencial de f en x ¯. M´ as precisamente: Definici´ on Si f : D ⊂ Rn −→ R es una funci´ on diferenciable en un punto x ¯, se llama diferencial de f en x ¯ a la aplicaci´ on df (¯ x) : Rn −→ R dada por 



∂f  ∂f  df (¯ x)(∆¯ x) = ∇f (¯ x) · ∆¯ x= ∆x1 + · · · + ∆xn .  ∂x1 x¯ ∂xn x¯ Habitualmente, esto se expresa mediante la notaci´on1 df =

∂f ∂f dx1 + · · · + dxn , ∂x1 ∂xn

que es la expresi´on usual para la diferencial de una funci´ on escalar. La interpretaci´ on de la diferencial est´ a contenida en la relaci´ on ∆f (¯ x)(∆¯ x) ≈ df (¯ x)(∆¯ x), cuya interpretaci´ on es que: El incremento que experimenta una funci´ on diferenciable cuando se incrementan marginalmente sus variables es aproximadamente la diferencial de la funci´ on en el punto de partida del incremento actuando sobre el vector de incrementos. La definici´ on de funci´ on diferenciable no es u ´til para decidir si una funci´ on dada lo es. En la pr´ actica nos bastar´a con esta condici´on suficiente: Teorema Toda funci´ on de clase C 1 en un abierto (es decir, con derivadas parciales continuas) es diferenciable en dicho abierto. Por consiguiente, todas las funciones usuales son diferenciables en su dominio, salvo si est´an compuestas por ra´ıces, en cuyo caso pueden no ser diferenciables (ni siquiera derivables) en los puntos donde alguna ra´ız se anule. 1

Con rigor, hemos de observar que si f es simplemente la funci´ on f (¯ x) = xi , entonces la expresi´ on anterior se reduce a dxi (∆¯ x) = ∆xi , por lo que, para una funci´ on arbitraria f , la expresi´ on anterior equivale a   ∂f  ∂f  df (¯ x)(∆¯ x) = x) + · · · + x).  dx1 (∆¯  dxn (∆¯ ∂x1 x¯ ∂xn x¯ Si f es diferenciable en su dominio esto es cierto para todo punto x ¯ y todo vector de incrementos ∆¯ x, por lo que podemos expresar esta igualdad como una igualdad de funciones, lo cual nos lleva a la f´ ormula del recuadro.

90

Tema 3. Diferenciales

Problema 3.2 Calcula la diferencial de la funci´ on de utilidad U (x, y) = xy 2 . Si partimos de un consumo (x, y) = (10, 5), calcula el incremento de utilidad que resulta de aumentar el consumo del primer bien en 0.1 unidades y disminuir el consumo del segundo en 0.2 unidades. Haz el c´ alculo de forma exacta y de forma aproximada con la diferencial. Calcula el porcentaje de error de la aproximaci´ on. ´ n: El incremento de la utilidad es Solucio ∆U (10, 5)(0.1, −0.2) = U (10.1, 4.8) − U (10, 5) = 232.704 − 250 = −17.296. Para calcularlo de forma aproximada calculamos la diferencial de la funci´ on de utilidad: ∂U ∂U dU = dx + dy = y 2 dx + 2xy dy, ∂x ∂y y usamos la aproximaci´ on: ∆U (10, 5)(0.1, −0.2) ≈ dU (10, 5)(0.1, −0.2) = 52 · 0.1 + 2 · 10 · 5 · (−0.2) = −17.5. El error relativo es %E =

valor aproximado − valor exacto −17.5 − (−17.296) · 100 = · 100 = 1.18%. valor exacto −17.296

Aunque te´ oricamente no es exacto, en la pr´actica podemos pensar que dU depende de las mismas variables que U (en el problema anterior x, y) y de las diferenciales de las variables de U (en el problema dx, dy), es decir: Si f es una funci´ on diferenciable en un abierto, entonces df es una funci´ on cuyas variables son las variables xi de f y las variables dxi . Cuando calculamos la diferencial en un punto x ¯, entonces df (¯ x) es una funci´ on de las variables dxi . En particular, no debe desconcertarnos la notaci´ on U (10, 5)(0.1, −0.2), con doble par´entesis. Hemos de entender que los dos primeros n´ umeros son los valores de x e y, mientras que los otros dos son los valores de dx y dy. Para terminar con la interpretaci´ on de la diferenciabilidad, volvemos a la idea inicial: La diferenciabilidad de una funci´ on en un punto se traduce en que el incremento total que experimenta al incrementar marginalmente sus variables es aproximadamente igual a la suma de los incrementos parciales producidos por el incremento de cada variable por separado. Esto es as´ı porque el incremento total se aproxima por la diferencial y ´esta no es m´as que la suma de las aproximaciones de los incrementos parciales que proporcionan las derivadas. Aunque suponer que las funciones con las que trabajamos son diferenciables es una hip´ otesis razonable en la teor´ıa econ´omica, existen algunos casos en los que no se cumple. V´ease la nota 1 al final del tema para analizar un ejemplo.

3.2. Direcciones de crecimiento de una funci´ on

91

Diferenciabilidad de funciones vectoriales Diremos que una funci´ on vectorial n m f : D ⊂ R −→ R es diferenciable en un punto cuando lo sean todas sus funciones coordenadas, y en tal caso la diferencial de f es la funci´ on vectorial cuyas funciones coordenadas son las diferenciales de las funciones coordenadas de f , es decir: df = (df1 , . . . , dfm ). Problema 3.3 Justifica que la funci´ on f (x, y) = (xy 2 , xey , x + 2y) es diferenciable en 2 R y calcula su diferencial en el punto (3, 0). ´ n: La funci´ Solucio on f es diferenciable en R2 porque lo son sus tres funciones coordenadas. Todas ellas est´an definidas en todo R2 y son de clase C 1 . La primera y la tercera por ser polinomios, la segunda por ser composici´ on de una exponencial y polinomios. df = (df1 , df2 , df3 ) = (y 2 dx + 2xy dy, ey dx + xey dy, dx + 2 dy), luego df (3, 0) = (0, dx + 3dy, dx + 2dy).

Diferenciabilidad, derivabilidad y continuidad Las relaciones existentes entre los conceptos de diferenciabilidad, derivabilidad y continuidad (para cualquier funci´ on f : D ⊂ n m R −→ R definida en un abierto D) son los siguientes: 1. Si f es diferenciable en un punto x ¯ ∈ D, entonces es continua en x ¯ y tiene derivadas parciales en x ¯. 2. No obstante, f puede ser continua en un punto x ¯ ∈ D y tener derivadas parciales en x ¯ y, a pesar de ello, no ser diferenciable en x ¯. 3. Si f tiene derivadas parciales en D y adem´as ´estas son funciones continuas en D, entonces f es diferenciable en D.

3.2

Direcciones de crecimiento de una funci´ on

Seg´ un hemos visto, la diferencial de una funci´ on nos permite calcular de forma aproximada la forma en que variar´ a una funci´ on cuando sus variables sufren variaciones (peque˜ nas) arbitrarias. Ahora vamos a obtener algunas consecuencias geom´etricas de este c´alculo aproximado. Concretamente, si tenemos una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R diferenciable en un punto p¯ ∈ D, vamos a estudiar qu´e incrementos ∆¯ x hacen que f aumente y qu´e incrementos hacen que disminuya. Hemos de suponer adem´as que ∇f (¯ p) = ¯0, pues en tal caso podemos expresar el incremento de f en t´erminos del ´angulo α que forman los vectores ∇f (¯ p) y ∆¯ x: ∆f (¯ p)(∆¯ x) ≈ df (¯ p)(∆¯ x) = ∇f (¯ p) · ∆¯ x = ∇f (¯ p) ∆¯ x cos α. Puesto que las normas siempre son positivas, el signo positivo o negativo del incremento ∆f (¯ p)(∆¯ x) depender´ au ´nicamente del signo del coseno de α. Observemos que

92

Tema 3. Diferenciales

el ´angulo α entre dos vectores puede variar entre 0 (si ambos apuntan en la misma direcci´on) y π radianes (180◦ ) si tienen la misma direcci´on pero sentidos opuestos. En este intervalo, la gr´ afica de la funci´ on cos α es la indicada en la figura. Vemos que cos α (y, por consiguiente, tambi´en el incremento ∆f (¯ p)(∆¯ x) alcanza su valor m´ aximo cuando α = 0. Esto significa que, para incrementos ∆¯ x con la misma norma, el que da lugar a un mayor increΠ Π  2 mento de f es el que apunta en la misma direcci´on que ∇f (¯ p). Asimismo, el incremento ser´a positivo mien-1 tras α no supere los π/2 radianes (90◦ ), mientras que los incrementos ∆¯ x que formen un a´ngulo mayor que 90◦ con el gradiente dar´ an lugar a incrementos negativos (decrecimientos) de f . Espec´ıficamente, cuando el a´ngulo sea de π radianes (180◦ ), es decir, cuando ∆¯ x tenga la direcci´ on del gradiente pero apunte en sentido contrario, se producir´ a el m´aximo decrecimiento de f (siempre para incrementos ∆¯ x de una misma norma). Recapitulando: 1

Si f es una funci´ on diferenciable en un punto p¯ tal que2 ∇f (¯ p) = ¯0, las direcci´ones (suficientemente peque˜ nas) ∆¯ x que forman un ´angulo menor de 90◦ con ∇f (¯ p) son las direcciones de crecimiento de f , es decir, los incrementos que hacen aumentar el valor f (¯ p); mientras que las que forman un ´angulo mayor de 90◦ son las direcciones de decrecimiento de f , es decir, las que hacen disminuir el valor f (¯ p). Las direcciones que forman un ´angulo de exactamente 90◦ , es decir, las perpendiculares al gradiente (o, equivalentemente, las que cumplen ∇f (¯ x) · ∆¯ x = 0), son las direcciones de crecimiento nulo, es decir, las que dan lugar a las menores variaciones de f (¯ p). De entre las direcciones de crecimiento de f , la direcci´ on de m´ aximo crecimiento, es decir, la que provoca el mayor incremento de f (¯ p) (de entre todos los incrementos ∆¯ x con una misma norma suficientemente peque˜ na) es la direcci´ on marcada por ∇f (¯ p) y, de entre las direcciones de decrecimiento de f , la direcci´ on de m´ aximo decrecimiento es la opuesta a ∇f (¯ p). A la hora de especificar la direcci´ on de m´aximo crecimiento, podemos dar cualquier vector que tenga la misma direcci´ on y sentido que ∇f (¯ p), podemos tomar el propio gradiente o, para eliminar algo irrelevante como es su longitud, podemos dividirlo entre su norma para tener un vector de norma 1. En tal caso: DMCf (¯ p) =

∇f (¯ p) , ∇f (¯ p)

DMDf (¯ p) = −

∇f (¯ p) . ∇f (¯ p)

En cuanto a las direcciones de crecimiento nulo, puede haber infinitas aunque las tomemos de norma 1. En general, est´an determinadas por la ecuaci´ on ∇f (¯ p) · ∆¯ x = 0. A menudo, la ecuaci´ on anterior es m´as u ´til en t´erminos de los posibles valores finales x ¯ = p¯ + ∆¯ x que no en t´erminos de incrementos: ∇f (¯ p)(¯ x − p¯) = 0. Notemos que si ∇f (¯ p) = ¯ 0 la funci´ on podr´ıa tener un valor m´ aximo en p¯, con lo que no habr´ıa direcciones de crecimiento, o un valor m´ınimo, con lo que no habr´ıa direcciones de decredimiento. 2

3.2. Direcciones de crecimiento de una funci´ on

93

Problema 3.4 Considera la funci´ on f (x, y) = 3y+x2 . Calcula su direcci´ on de m´ aximo crecimiento y su direcci´ on de m´ aximo decrecimiento en el punto (2, 1). Repres´entalas gr´ aficamente, as´ı como las direcciones de crecimiento nulo y la curva de nivel de f en el punto (2, 1). Indica tambi´en en el dibujo las direcciones de crecimiento y las de decrecimiento. ´ n: Necesitamos el vector gradiente en el punto (2, 1): Solucio ∇f (x, y) = (2x, 3)

∇f (2, 1) = (4, 3). √ Ahora calculamos la norma: ∇f (2, 1) = (4, 3) = 42 + 32 = 5. Por lo tanto: 

⇒







4 3 4 3 , DMD f (2, 1) = − , − . , DMC f (2, 1) = 5 5 5 5 Las direcciones de crecimiento nulo son las que cumplen la ecuaci´on (4, 3)(∆x, ∆y) = 0

(4, 3)(x − 2, y − 1) = 0.

o mejor

Si desarrollamos la u ´ltima ecuaci´on queda: 11 4 y =− x+ . 3 3 Como f (2, 1) = 7, la curva de nivel que nos piden representar es 1 3y + x2 = 7 ⇒ y = (7 − x2 ). 3 La figura muestra todo lo que hemos obtenido. Seg´ un la definici´ on que hemos dado, s´olo hay dos direcciones de crecimiento nulo, que son los dos vectores de longitud 1 situados sobre la recta que hemos calculado. 4(x − 2) + 3(y − 1) = 0

⇒

3

y = − 43 x +

2.5

2

DCN

11 3

Direcciones de crecimiento

DMC

1.5

Direcciones 1 de decrecimiento

Direcciones de crecimiento

0.5

DCN

DMD 0.5

1

1.5

2

2.5

3

Direcciones de decrecimiento

El problema anterior muestra el significado de la ecuaci´ on ∇f (¯ p)(¯ x − p¯) = 0. Es una ecuaci´ on lineal (en el problema anterior era y = − 43 x+ 11 afica es 3 ), luego su gr´ 3 una recta. Es la recta que resulta de movernos en las direcciones que menos modifican el valor f (¯ p) o, dicho de otro modo, la recta que menos se aleja de la curva de nivel de f en p¯. As´ı pues: Las direcciones de crecimiento nulo de una funci´ on f en un punto p¯ determinan la recta (o el plano, etc.) tangente a la curva de nivel de f en p¯. Por consiguiente, el gradiente ∇f (¯ p) (al igual que la DMC o la DMD) es perpendicular a la curva de nivel de f en p¯. 3

O a un plano si la funci´ on tiene tres variables, o a una variedad af´ın si tiene m´ as variables. Una variedad af´ın es la generalizaci´ on de las rectas y los planos a dimensiones mayores que 2.

94

Tema 3. Diferenciales

Aplicaci´ on a la optimizaci´ on En general, el gradiente de una funci´ on toma un valor distinto en cada punto, pero esto no es as´ı en el caso de las funciones lineales. Por ejemplo, si f (x, y) = 2x+5y, entonces ∇f = (2, 5) en todos los puntos (x, y). Esto hace que sea especialmente sencillo estudiar c´omo crece y c´omo decrece una funci´on lineal, lo que a su vez nos permite resolver gr´aficamente muchos problemas de optimizaci´on en los que la funci´ on objetivo es lineal. Veamos con un ejemplo el m´etodo que podemos utilizar. Se trata del problema 2 de la Introducci´ on (p´ agina 13), que ya hemos estudiado: Problema 3.5 Una empresa fabrica dos art´ıculos A y B en cantidades (diarias) x e y. Por cada unidad producida de A obtiene un beneficio de 8 u.m., mientras que por cada unidad de B obtiene un beneficio de 10 u.m. La tabla siguiente recoge el n´ umero de horas de trabajo que requiere cada producto y el coste de producci´ on: Horas de trabajo Coste

Producto A 4 8

Producto B 6 3

Determina la producci´ on que maximiza el beneficio de la empresa teniendo en cuenta que dispone de 24 horas diarias de trabajo y de un presupuesto de 24 u.m. diarias. 1. En general, el primer paso para resolver un problema de optimizaci´ on es modelizarlo. En nuestro caso, el modelo es: Max. s.a

8x + 10y 4x + 6y ≤ 24 8x + 3y ≤ 24 x, y ≥ 0

horas empleadas ≤ horas disponibles, coste de la producci´on ≤ presupuesto, condiciones de no negatividad.

2. Para resolver gr´ aficamente el problema, a continuaci´ on dibujamos el conjunto de oportunidades. Ya lo hab´ıamos dibujado en la p´ agina 22. 3. Escogemos un punto cualquiera del conjunto de oportunidades, por ejemplo, (0, 0) (que cumple f (0, 0) = 0, luego su curva de nivel es 8x + 10y = 0). Dibujamos la curva de nivel de dicho punto y ∇f = (8, 10) de dicho punto (en realidad hemos dibujado el vector (4, 5) por no “salirnos del papel”, lo que significa que el gradiente es, en realidad, el doble de largo, pero no importa, porque s´ olo nos interesa saber hacia d´ onde apunta el gradiente). ∇f 8x + 3y = 24 f = m´aximo x=0 4x + 6y = 24 y=0 8x + 10y = 0

3.3. Complementos

95

4. Ahora razonamos como sigue: Hemos dibujado la curva de nivel f = 0, que contiene los puntos donde el beneficio es 0. Las curvas de nivel correspondientes a otros niveles de beneficios ser´an las rectas paralelas a la que hemos dibujado (porque han de ser todas perpendiculares al vector gradiente, que es siempre el mismo). Adem´as, dichas rectas corresponder´an a beneficios mayores a medida que las desplacemos en la direcci´on de m´ aximo crecimiento, marcada por el gradiente. Por consiguiente, hemos de buscar la curva de nivel (paralela a la que hemos dibujado) que resulte de trasladar lo m´ as lejos posible la que tenemos en la direcci´ on del gradiente, pero sin salirnos del conjunto de oportunidades. Dicha curva m´ axima es la que en la figura aparece indicada como f = m´aximo y toca al conjunto de oportunidades en un u ´nico punto, se˜ nalado en la figura. En dicho punto se alcanza el beneficio m´aximo. 5. Calculamos las coordenadas de la soluci´on o´ptima que hemos localizado en la figura. Para ello nos fijamos en que el punto est´ a sobre las rectas de ecuaciones 8x + 3y = 24 y 4x + 6y = 24, luego basta resolver el sistema de ecuaciones: 8x + 3y = 24 4x + 6y = 24



8x + 3y = 24 ⇒ 2x + 3y = 12



8x + 3y = 24 ⇒ 6x = 12



luego x = 2, y = 8/3. El beneficio m´ aximo se obtiene cuando se producen 2 unidades del producto A y 8/3 unidades del producto B. 6. Calculamos el valor o´ptimo de la funci´ on objetivo: f (2, 8/3) = 8 · 2 + 10 ·

8 = 42.6 u.m. 3

Si el problema hubiera sido de minimizar, la u ´nica variante ser´ıa que habr´ıamos desplazado la curva de nivel en la direcci´ on de m´aximo decrecimiento, es decir, en la direcci´on opuesta a la marcada por el gradiente.

3.3

Complementos

El polinomio de Taylor Consideremos una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R definida en un abierto D y diferenciable en un punto p¯ ∈ D. Esto implica que podemos aproximar los incrementos de f mediante la f´ ormula: ∆f (¯ p)(∆¯ x) ≈ df (¯ p)(∆¯ x) = ∇f (¯ p) · ∆¯ x, donde la aproximaci´ on es buena para vectores de incrementos peque˜ nos. Si llamamos x ¯ = p¯ + ∆¯ x, la relaci´ on anterior equivale a f (¯ x) − f (¯ p) ≈ ∇f (¯ p) · (¯ x − p¯) o, despejando: f (¯ x) ≈ f (¯ p) + ∇f (¯ p) · (¯ x − p¯), donde la aproximaci´ on es buena para puntos x ¯ ≈ p¯.

96

Tema 3. Diferenciales

Definici´ on Si f : D ⊂ Rn −→ R es una funci´ on definida en un abierto D y diferenciable en un punto p¯ ∈ D, llamaremos polinomio de Taylor de grado 1 de f en p¯ al polinomio P 1 fp¯(¯ x) = f (¯ p) + ∇f (¯ p) · (¯ x − p¯). Seg´ un acabamos de ver, el polinomio de Taylor de grado 1 nos proporciona valores aproximados de los valores que toma f en puntos x ¯ ≈ p¯. Problema 3.6 La funci´ on de costes de una empresa es C = q 2 + wq, donde q es la producci´ on y w el salario de los trabajadores. La producci´ on actual es de 100 unidades, mientras que el salario es de 4 u.m. Calcula el polinomio de Taylor de grado 1 de la funci´ on C. Supongamos que el salario de los trabajadores aumenta a 5 u.m. Calcula el coste de producir 90 u.p. en estas nuevas condiciones. Haz el c´ alculo con la funci´ on C y con su polinomio de Taylor. Calcula el porcentaje de error del segundo m´etodo. ´ n: Para calcular el polinomio de Taylor necesitamos calcular previamente: Solucio 1. C(100, 4) = 10 400, 2. ∇C = (2q + w, q)

⇒

∇C(100, 4) = (204, 100),

y ahora la f´ ormula de Taylor nos da: P 1 C(100,4) (q, w) = 10 400 + (204, 100)(q − 100, w − 4) = 10 400 + 204(q − 100) + 100(w − 4). Si pasamos a (q, w) = (90, 5), el nuevo coste ser´a C(90, 5) = 8 550. Calculado de forma aproximada con el polinomio de Taylor es: P 1 C(100,4) (90, 5) = 10 400 + 204 · (−10) + 100 · 1 = 8 460. El error relativo de la aproximaci´ on es E=

8 460 − 8 550 · 100 = −1.05%. 8 550

Si calculas las derivadas del polinomio de Taylor que acabamos de calcular, ver´ as que son 204 y 100, es decir, las mismas que las de la funci´on C, con la diferencia de que, para la funci´ on C, estos valores s´olo son v´ alidos para el punto (100, 4), mientras que en el caso del polinomio de Taylor las derivadas son las mismas en todos los puntos. Esto puede interpretarse as´ı: El polinomio de Taylor de una funci´ on f en un punto p¯ nos da los valores que tomar´ıa la funci´ on f si las derivadas de f permanecieran constantes. Por ejemplo, si f (t) nos da el espacio recorrido por un coche en cada instante t, el polinomio P 1 ft0 (t) nos da el espacio que habr´ıa recorrido el coche en un tiempo t si se hubiera movido en todo momento con la velocidad que llevaba en el momento t0 .

3.3. Complementos

97

El caso de funciones de una variable f´ ormula de Taylor se reduce a:

Para una funci´ on f (x) de una variable, la 

df  P fp (x) = f (p) + (x − p). dx p 1

Problema 3.7 Considera de nuevo la funci´ on de costes C(q) = q 3 − 9q 2 + 36q + 20 del ejemplo 2.6 y calcula su polinomio de Taylor para los niveles de producci´ on q = 1, 3, 5. Repres´entalos gr´ aficamente. ´ n: Necesitamos el coste marginal: Solucio dC = 3q 2 − 18q + 36. dq 

Para q = 1 tenemos C(1) = 48,

dC  dq 1

= 21, luego

P 1 C1 (q) = 48 + 21(q − 1). 

Para q = 3 tenemos C(3) = 74,

dC  dq 3

= 9, luego

P 1 C3 (q) = 74 + 9(q − 1). 

Para q = 5 tenemos C(3) = 100,

dC  dq 5

= 21, luego

P 1 C3 (q) = 100 + 21(q − 1). La gr´ afica muestra las tres rectas que hemos calculado, as´ı como la funci´ on C(q). P 1 C1 (q)

120

C(q)

100

P 1 C3 (q)

80 60 40

P 1 C5 (q)

20 1

2

3

4

5

6

En el ejemplo anterior vemos c´omo la gr´ afica funci´ on P11 C(q) es la recta tangente a la gr´ afica de C(q), y el punto de tangencia es precisamente q = 1 (el punto donde hemos calculado el polinomio de Taylor). Esta recta indica el modo en que variar´ıa el coste de la producci´ on si el coste marginal se mantuviera constante igual a 21 u.m./u.p. (que es el coste marginal cuando q = 1. Al aumentar la producci´ on, la funci´ on de coste queda por debajo de la recta tangente, y esto es debido a que, en realidad, los costes marginales no permanecen constantes, sino que van disminuyendo. Por ejemplo, cuando q = 3, los costes marginales ya no son de 21 u.m/u.p, sino s´ olo de 9 u.m./u.p. La recta

98

Tema 3. Diferenciales

tangente P31 (q) indica c´ omo variar´ıan los costes si los costes marginales se mantuvieran constantemente iguales a 9 u.m./u.p., pero vemos que la curva C(q) pasa a estar luego por encima de la tangente, porque, a partir de q = 3, los costes marginales aumentan, y en q = 5 vuelven a valer 21 u.m./u.p. En general: La gr´ afica del polinomio de Taylor de grado 1 de una funci´ on f en un punto p¯ es la recta (en el caso de una variable, o plano, en el caso de dos, etc.) tangente a la gr´ afica de f en el punto p¯. Al igual que el polinomio de Taylor de grado 1 de una funci´ on f en un punto p¯ toma en el punto p¯ el mismo valor que f y tiene en el punto p¯ las mismas derivadas que f , es posible construir un polinomio de grado 2 que, adem´ as, tenga en el punto p¯ las mismas derivadas segundas que f . Cerca del punto p¯, este polinomio se parecer´a a la funci´ on f a´ un m´ as que el polinomio de grado 1. Viene dado por la f´ ormula siguiente: Definici´ on Sea f : D ⊂ Rn −→ R una funci´ on de clase C 2 en un abierto D y sea p¯ ∈ D. El polinomio de Taylor de grado 2 de f en p¯ es el polinomio dado por: 1 P 2 fp¯(¯ x) = f (¯ p) + ∇f (¯ p) · (¯ x − p¯) + (¯ x − p¯)Hf (¯ p)(¯ x − p¯)t . 2 En particular, para funciones de una variable, la f´ ormula se reduce a: 



df  1 d2 f  P 2 fp (x) = f (p) + (x − p) +  (x − p)2 .  dx p 2 dx2 p

3.4

Notas

1. Una funci´ on continua no diferenciable Consideremos de nuevo la funci´ on de utilidad U (x, y) = m´ın{x, y} correspondiente a dos bienes complementarios perfectos (por ejemplo, C.P.U.’s y pantallas de ordenador). En el tema anterior vimos que esta funci´on no tiene derivadas parciales para los consumos (x, y) que cumplen x = y, luego en particular no es diferenciable en dichos puntos. Esto puede verse tambi´en como consecuencia de que, para esta funci´on de utilidad, no es cierto que el incremento total de utilidad que proporciona un incremento del consumo de los bienes sea aproximadamente la suma de los incrementos parciales provocados por el incremento de cada variable por separado. Por ejemplo, si partimos de que disponemos de 3 C.P.U.’s y 3 pantallas, la utilidad correspondiente es U (3, 3) = 3. Si compramos una nueva C.P.U. y mantenemos el mismo n´ umero de pantallas, la utilidad sigue siendo U (4, 3) = 3, es decir, el incremento es nulo. Lo mismo sucede si compramos una pantalla pero mantenemos constante el n´ umero de C.P.U.’s. En cambio, si compramos a la vez una C.P.U. y una pantalla, la utilidad aumenta a U (4, 4) = 4. En suma: cada adquisici´ on por separado no proporciona ninguna utilidad, pero las dos conjuntamente proporcionan un incremento de una unidad de utilidad. As´ı pues, el incremento total (1 unidad) no es (aproximadamente) la suma de los ´ incrementos parciales (0 + 0 unidades). Esta es esencialmente la raz´on de que la funci´ on no sea diferenciable.

3.5. Ejercicios

3.5

99

Ejercicios

1. Calcula la diferencial de las funciones siguientes: (Estudia previamente si son diferenciables en su dominio): (a) P = 2x3 y − 3x + 4y 2 , (b) Q = 3x − 5y + 7, (c) z = ln xy, (d) T = e3u (e) V = (f) r =

 3

√ 3

2 +y−

√

t,

sen(x2 y),

x . p

2. Dada la funci´ on V (p, q) = p3 + pq + 2, ¿es diferenciable en (3, 1)?, ¿y en (2, 1)? Calcula dV (3, 1) y dV (2, 1)(2, 3). 3. Dada la funci´ on S(x, y, z) = x sen y + z 2 justifica que es diferenciable en (2, 0, 1) y calcula dS(2, 0, 1). 4. Sea f (x, y) =

√

x − y.

(a) ¿La funci´ on f tiene derivadas parciales en el punto (1, 1)? (b) ¿Es f diferenciable en el punto (1, 1)? (c) ¿Es f de clase C 1 en el punto (1, 1)? (d) ¿Es f de clase C ∞ en el punto (1, 1)? (e) ¿Es f continua en el punto (1, 1)? 5. Determina si la funci´ on f (x, y) = x + y cos x2 es diferenciable en el punto (2, 1). ¿Es continua en dicho punto? 

6. Determina si la funci´ on f (x, y) = 4 x2 + y es diferenciable en los puntos (1, 1), (2, −4) y (1, −4). ¿Es continua en dichos puntos? 7. Razona por qu´e la funci´ on P (u, v) = eu Calcula su diferencial en dicho punto.

2 −v 3 −1

es diferenciable en el punto (3, 2).

8. Copia 100 veces en un papel: “Nunca dir´e que toda funci´ on continua es diferenciable”. 9. Calcula la direcci´ on de m´ aximo crecimiento, m´aximo decrecimiento y las direcciones de crecimiento nulo de las funciones siguientes en los puntos indicados. Justifica previamente que son diferenciables en los puntos correspondientes. (a) f (x, y) = x2 + 2xy en (3, 4, 1), (b) g(u, v, w) = u2 ev−w en (2, 3, 3), (c) h(p, q) = 3p + 4q en (1, 1), (d) j(a, b) = ab en (3, 1).

100

Tema 3. Diferenciales

10. Una empresa fabrica dos productos A y B en cantidades x e y. Los beneficios que obtiene con su producci´ on vienen dados por una cierta funci´ on B(x, y). Actualmente los beneficios ascienden a 200 u.m., pero la empresa tiene m´as demanda de la que realmente est´a cubriendo, por lo que se plantea aumentar su producci´ on. Sus recursos le permiten un aumento de 10 unidades de producto. La empresa estima que, para la producci´ on actual p¯ = (x, y) se cumple 

∂B  = 3 u.m./unidad de A, ∂x p¯



∂B  = 2 u.m./unidad de B. ∂y p¯

(a) ¿Cu´ al es exactamente la interpretaci´on de estas derivadas en este contexto concreto? (b) ¿Qu´e beneficios pasar´ıa a obtener la empresa si aumentara en 5 unidades la producci´ on de A? ¿Y si aumenta en 5 unidades la producci´ on de B? (c) Para estimar con estos datos los beneficios de la empresa en el supuesto de que aumente simult´ aneamente 5 unidades la producci´ on de A y 5 la de B necesitamos una hip´ otesis sobre la funci´ on B, ¿cu´al? (d) Con dicha hip´ otesis, ¿cu´ales pasar´ıan a ser los beneficios de la empresa? 11. Una empresa estima que sus beneficios B(p, x) dependen del precio medio de sus materias primas p y de la cantidad de producto que fabrica x. Actualmente sus beneficios son de 100 u.m. y corresponden a una producci´ on de x = 5 unidades y a unos precios de p = 1 u.m. As´ı mismo considera que 

∂B  = −3 u.m./u.m, ∂p (1,5)



∂B  = 2 u.m./u.prod. ∂x (1,5)

a) Interpreta las derivadas, especialmente su signo. b) ¿Qu´e beneficios cabr´ıa esperar si los precios aumentan a 1.3 u.m.? c) ¿Y si, adem´as de dicho aumento de precios, la empresa aumenta su producci´ on en 3 unidades? d) ¿Hace falta alguna hip´ otesis matem´atica sobre la funci´ on B para justificar la respuesta a c)? 12. Sea D(p, r, t) la funci´ on de demanda de un art´ıculo en un mercado, donde p es el precio (en u.m.), r la renta media de los consumidores (en u.m.) y t el tiempo en a˜ nos. Actualmente (t = 0) se tiene (p, r) = (5, 14) y D(5, 14, 0) = 200. Adem´ as 

∂D  = 20, ∂t (5,14,0)



∂D  = −15, ∂p (5,14,0)



∂D  = 10. ∂r (5,14,0)

(a) Interpreta estas derivadas e indica las unidades en que vienen expresadas. (b) ¿Qu´e demanda cabr´ıa esperar dentro de un a˜ no si la renta ha pasado a r = 13 u.m. y el precio a p = 4.5 u.m.?, ¿qu´e hip´ otesis sobre D es necesaria para responder a esta pregunta con los datos disponibles?

3.5. Ejercicios

101

13. Considera la funci´ on de utilidad U (x, y) = xy. (a) La figura muestra dos de sus curvas de indiferencia. Deduce el nivel de utilidad que corresponde a cada una de ellas.

7 6 5

(b) Calcula las coordenadas de los tres vectores (de norma 1) que aparecen en la figura.

4 3

(c) Calcula las ecuaciones de las dos rectas que aparecen dibujadas en la figura.

2 1

(d) Calcula la ecuaci´ on de la recta que contiene las direcciones de crecimiento nulo de la funci´ on U (x, y) en el punto (4, 2). Sup´ on que Cirilo consume refrescos y hamburguesas de acuerdo con la funci´ on de utilidad U (x, y) = xy, as´ı como que el precio de cada refresco es de 1 C y el de cada hamburguesa de 2 C .

1

2

3

4

5

6

7

(e) Si el presupuesto semanal de Cirilo (para este consumo) es de 8 C, escribe la restricci´on presupuestaria de Cirilo. Comprueba si los consumos (2, 3), (4, 2) y (6, 1) son soluciones factibles. (f) Representa gr´ aficamente la restricci´on presupuestaria, los puntos indicados en el apartado anterior, las direcciones de m´ aximo crecimiento de U en dichos puntos y las rectas que contienen las direcciones de crecimiento nulo de U en dichos puntos (pero no representes las curvas de nivel de U en dichos puntos). (g) Teniendo en cuenta u ´nicamente los datos representados gr´aficamente en el apartado anterior, ¿puedes razonar geom´etricamente si cada uno de los tres vectores de consumo representa o no el consumo ´optimo semanal de refrescos y hamburguesas para Cirilo? (Se trata de razonarlo individualmente con cada punto. Por ejemplo, dado que U (2, 3) = 6 y U (4, 2) = 8, est´a claro que (2, 3) no maximiza la utilidad, pero la pregunta es si puedes razonar que (2, 3) no es ´optimo sin tener en cuenta lo que sucede con (4, 2).) 14. Nicasio est´a montando en su pueblo una f´ abrica de art´ıculos de droguer´ıa y perfumer´ıa. El volumen de producci´ on x de la secci´on de droguer´ıa y el volumen y de la secci´on de perfumer´ıa est´an limitados por la relaci´ on x2 + 5y 2 ≤ 21. La figura muestra el conjunto de oportunidades para la producci´ on de la f´ abrica de Nicasio. Las preferencias de los habitantes del pueblo respecto a los productos de ambas √ √ secciones vienen determinadas por la funci´ on de utilidad U (x, y) = 8 x + 5 y. La figura muestra tambi´en la direcci´ on de m´aximo crecimiento y la recta de direcciones de crecimiento nulo de U para los niveles de producci´ on (1, 2) y (4, 1). (a) Razona a partir de la figura, sin hacer ning´ un c´alculo, que los niveles de producci´ on (1, 2) no maximizan la utilidad de los paisanos de Nicasio, mientras que los niveles de producci´ on (4, 1) s´ı que lo hacen.

3 2.5 2 1.5 1 0.5 1

2

3

4

5

(b) Calcula los vectores y las rectas que aparecen en la figura.

102

Tema 3. Diferenciales (c) Calcula la m´axima utilidad que pueden conseguir los paisanos de Nicasio gracias a su f´ abrica. (d) Observa que si Nicasio fijara su volumen de producci´ on de droguer´ıa en 9 unidades y su volumen de producci´ on de perfumer´ıa en 4 unidades obtendr´ıa una utilidad U (9, 4) = 34, que es m´as que la utilidad m´ axima calculada en el apartado anterior. ¿C´ omo es esto posible? (e) Para las dos soluciones consideradas, calcula la Relaci´on Marginal de Sustituci´ on (despejando y(x) en la ecuaci´on de la curva de indiferencia) y la Relaci´on de Transformaci´ on del Producto (despejando en la ecuaci´ on de la frontera de producci´ on). (f) Interpreta los c´ alculos del apartado anterior.

15. Telesforo es un ejecutivo que est´a planificando la apertura de una sucursal de su empresa. La producci´ on depende de dos factores: capital K y trabajo L, seg´ un 2 la funci´ on Q(K, L) = K L. El coste de cada unidad de trabajo equivale a 3 unidades de capital. Telesforo quiere determinar la combinaci´ on o´ptima de los factores de producci´ on para conseguir un nivel de producci´ on de 36 unidades con coste m´ınimo. (a) Plantea el problema de optimizaci´ on que quiere resolver Telesforo. (b) La figura muestra el conjunto de oportunidades de Telesforo, junto con la direcci´ on de m´aximo decrecimiento de la funci´ on objetivo en varios puntos. Calcula esta direcci´ on.

10

8

(c) Calcula, a partir de la figura, cu´ al es la combinaci´on (K, L) de los factores de producci´ on que minimiza el coste de la empresa, as´ı como el coste m´ınimo.

6

4

(d) Calcula la Relaci´ on de Sustituci´ on T´ecnica para la soluci´ on o´ptima. Interpr´etala. 2

1

2

3

4

5

6

(e) Si, en un arrebato de locura, Telesforo decidiera buscar la combinaci´ on de factores que maximiza el coste, ¿cu´al 7 ser´ıa?

16. Considera de nuevo la funci´ on de costes del ejemplo 1.16. En el problema 2.18 ten´ıas que calcular la producci´ on donde el coste variable medio tomaba su valor m´ınimo, lo cual se obtiene con un c´ alculo elemental. En la figura de la p´ agina 30 se ve que el coste medio tambi´en toma un valor m´ınimo, para un nivel producci´ on cercano a las 5 unidades. Nos planteamos aqu´ı el problema de calcular este nivel de producci´ on. Recordemos que el coste medio viene dado por CMe(q) = q 2 − 9q + 36 +

20 , q

luego el problema consiste en resolver la ecuaci´on 20 dCMe(q) = 2q − 9 − 2 = 0 dq q o, equivalentemente, 2q 3 − 9q 2 − 20 = 0.

3.5. Ejercicios

103

(a) Trata de resolver la ecuaci´on, si eres valiente.

P 2 f5 (q)

50 25 1

2

3

4

5

6

-25 -50 -75 -100

f (q) P 1 f5 (q)

(b) Si eres cobarde, o eres valiente y te has rendido ya, resuelve la ecuaci´ on cambiando la funci´ on f (q) = 2q 3 − 9q 2 − 20 por su polinomio de Taylor de grado 1 en q = 5.

(c) Resuelve de nuevo la ecuaci´on, pero usando ahora el polinomio P 2 f5 (q). Nota: El c´ alculo del apartado (c) se simplifica considerablemente si en el polinomio de Taylor llamas ∆q = q − 5, calculas el valor de ∆q y luego calculas q = 5 + ∆q. on que minimiza el coste (d) Sabiendo que el valor exacto4 del nivel de producci´ medio es q = 4.914105540 . . ., calcula el porcentaje de error de las dos aproximaciones de q que has calculado. (e) ¿C´omo podr´ıamos haber pensado en calcular los polinomios de Taylor en q = 5 sin mirar ninguna figura?

17. Eufrasio, Gelasio y Protasio reciben de sus padres una paga de 48 C mensuales que reparten entre matar marcianos (en una sala de juegos recreativos) o ver c´ omo los matan otros (en el cine). Cada entrada de cine cuesta 6 C , mientras que en una sesi´on en los recreativos se vienen a gastar 4 C . Su tiempo libre les permite dedicar un m´ aximo de 10 tardes mensuales a sus dos aficiones, pero sus padres no les permiten ir m´ as de 6 veces al cine ni m´as de 9 veces a los recreativos. Las preferencias de los tres hermanos son muy diferentes entre s´ı, y vienen expresadas por las funciones de utilidad: Ue (x, y) = x + 2y,

Ug (x, y) = 2x + y,

Up (x, y) = 5x + 4y,

donde x es el n´ umero de veces que van al cine e y el n´ umero de veces que van a los recreativos. (a) Plantea los tres problemas de optimizaci´ on que permiten calcular los consumos que maximizan la utilidad de cada uno de los hermanos. (b) Dibuja el conjunto de oportunidades (que es el mismo para los tres problemas). Escribe la ecuaci´on de cada restricci´on junto a cada recta. (c) Resuelve gr´aficamente los tres problemas. Dibuja en cada una de las tres soluciones ´optimas el gradiente de la funci´ on objetivo. (d) Indica el n´ umero de veces que ir´a cada hermano al cine y a los recreativos, as´ı como la utilidad que obtiene cada uno. 18. Eleuteria se gasta cada mes 12 C en helados y refrescos. Cada helado le cuesta 0.80 C y cada refresco 0.40 C. Determina el n´ umero de helados x y el n´ umero de refrescos y que Eleuteria consumir´ a cada mes si su elecci´on maximiza la funci´ on   √ √ 3 3 El valor exacto, exacto resulta ser q = 32 + 16 1809 − 108 235 + 12 67 + 4 235. La f´ ormula para resolver ecuaciones de tercer grado an´ aloga a la conocida f´ ormula para resolver ecuaciones de segundo grado fue descubierta por Niccol` o Fontana (Tartaglia) en 1535, en el transcurso de un torneo p´ ublico de matem´ aticas. 4

104

Tema 3. Diferenciales de utilidad U (x, y) = 3x + 2y. ¿Y si, por cuestiones de dieta, Eleuteria toma la decisi´on de no consumir en total m´ as de 20 helados o refrescos al mes?

19. Una empresa quiere reestructurar una cadena de montaje estableciendo el n´ umero de m´aquinas K y el n´ umero de trabajadores L que minimicen los costes de producci´ on. La funci´ on de producci´ on es Q(K, L) = KL y cada trabajador puede controlar por s´ı solo el funcionamiento de hasta 4 m´ aquinas. El salario de cada trabajador equivale al coste de mantenimiento de 6 m´ aquinas. Determina el n´ umero de m´aquinas y de trabajadores que debe emplear la empresa para conseguir, como m´ınimo, un nivel de producci´ on de 100 unidades de producto. 20. Calcula el polinomio de Taylor de grado 1 de las funciones siguientes en los puntos indicados. Justifica previamente que son de clase C 1 en dichos puntos. (a) f (x, y) = cos(x − y) en (a, b) = (π, 0). (b) f (u, v) = uv 3 − 3uv 2 + u en (a, b) = (2, −1). (c) f (x, y, z) = 3x − 2y + z en (a, b, c) = (3, 2, 1). 21. Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de las funciones siguientes en los puntos indicados. Justifica previamente que son de clase C 2 en dichos puntos. (a) Q(r, s, t) = rs3 + 2rt + 3r en (a, b, c) = (1, 0, 2). √ (b) S(x, z) = 3 x + 2z en (a, b) = (−1, 1). (c) f (x, y) = x cos y en (a, b) = (2, π). 22. Calcula aproximadamente (sin usar calculadora) 1.2e0.05 usando el polinomio de Taylor de grado 2 de la funci´ on f (x, y) = xey en el punto adecuado ¿es la funci´ on 2 de clase C ? Compara el resultado con el que da la calculadora. ¿Cu´ al es el porcentaje de error? 23. Calcula los polinomios de Taylor de grado 1 y de grado 2 de la funci´ on f (x, y) = x ln y en el punto (2, 1). Calcula con ellos las aproximaciones correspondientes de 1.9 ln 1.3 y el porcentaje de error de cada una de ellas. ¿Es la funci´ on de clase C 2 en el punto? 24. Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de la funci´ on f (x, y, z) = x3 y − z 3 ´ alrededor del punto (1, 2, 3). Usalo para calcular aproximadamente f (1.1, 1.9, 3.8). Determina el error (absoluto) cometido en dicha aproximaci´ on. 25. Las funciones de oferta y demanda de una empresa vienen dadas por S(p) = 45 ln p,

√ D(p) = 240 − 60 p,

donde p es el precio de venta de su producto, que actualmente es p = 9 C.

3.5. Ejercicios

200

105

(a) A la vista de la gr´ afica, ¿vender´ a la empresa toda su producci´ on al precio actual?

D(p) S(p)

150

(b) Calcula la oferta y la demanda actual de la empresa.

100

(c) Plantea la ecuaci´ on que determina el precio de equilibrio.

50 1

5

3

7

9

11

13

15

(d) Si eres valiente, trata de calcular el precio de equilibrio.

(e) Si eres cobarde, o eres valiente y ya te has rendido, comprueba que el precio de equilibrio es p0 = 6.65091 . . . Calcula la producci´ on Q0 de la empresa para el precio de equilibrio p0 .

100 90 80 70

Ahora vas a resolver inteligentemente el problema que no has sabido resolver por fuerza bruta: (f) Calcula los polinomios de Taylor de grado S ∗ (p) 1 de las funciones de oferta y demanda alS(p) rededor del precio actual. Los vamos a llaD(p) mar S ∗ (p) y D∗ (p). D∗ (p)

60 7

8

9

10

Las funciones S ∗ (p) y D∗ (p) no son las aut´enticas funciones de oferta y demanda, pero se parecen mucho, como muestra la figura.

(g) Calcula el precio de equilibro p∗0 usando las funciones S ∗ (p) y D∗ (p). on Q∗0 de la empresa (h) Calcula (con las funciones S ∗ (p) y D∗ (p)) la producci´ para el precio que has calculado en el apartado anterior. (i) Calcula el error relativo cometido al aproximar p0 por p∗0 y Q0 por Q∗0 . (j) Se˜ nala en la figura los valores p0 , p∗0 , Q0 y Q∗0 . 26. Sinforosa es quiosquera y est´ a planeando alquilar una m´ aquina expendedora de chicles durante un periodo de 6 meses, de la que espera obtener un rendimiento continuo de 1 000 C/a˜ no. El alquiler que deber´ a pagar (por adelantado) es de 480 C. Para comparar esta posibilidad con otras alternativas, Sinforosa quiere calcular la TIR de la inversi´ on, es decir, el factor de descuento (continuo, por simplicidad) i∞ con respecto al cual el valor inicial de los rendimientos de la m´aquina durante los seis meses coinciden con la cantidad desembolsada (el alquiler). Estar´ as de acuerdo en que cualquiera que posea un t´ıtulo universitario relacionado con la Econom´ıa tendr´ıa que saber resolver este simple problema de matem´atica financiera. La mala noticia es que t´ u no sabes resolverlo. La buena noticia es que aprender´ as a resolverlo en el tema 7. La mala noticia es que, seg´ un veremos all´ı (ejercicio 17), el valor inicial del rendimiento previsto para la m´ aquina resulta ser V0 =

1 000 (1 − e−i/2 ), i

106

Tema 3. Diferenciales por lo que la TIR que Sinforosa quiere calcular es la soluci´ on de la ecuaci´ on 1 000 (1 − e−i/2 ) = 480 i o, equivalentemente:

25 − 12i − 25e−i/2 = 0.

Observemos que una soluci´ on de esta ecuaci´on es i = 0, pero no es ´esta la soluci´on que buscamos. (a) Intenta encontrar la otra soluci´ on de la ecuaci´ on, si eres valiente. (b) Si eres cobarde o si ya te has rendido, comprueba que la otra soluci´ on (la TIR que quiere calcular Sinforosa) es i = 0.16441 . . . = 16.44%. P 1 f0 (i) 0.02 0.015 0.01

f (i)

(c) Llamando f (i) = 25 − 12i − 25e−i/2 , calcula los polinomios de Taylor de f en 0 de grados 1 y 2.

(d) Comprueba que, tal y como muestra la figura, si tratas de resolver la ecuaci´on cambiando f por su polinomio de Taylor de grado 1, s´ olo 0.020.040.060.080.10.120.140.160.18 encuentras la soluci´ on i = 0, que no nos vale. P 2 f0 (i)

0.005

(e) Calcula aproximadamente la TIR cambiando f por su polinomio de Taylor de grado 2. (f) Supongamos que Sinforosa tiene la posibilidad de invertir los 480 C en atender un pedido extraordinario que, al cabo de un mes, le reportar´ıa un beneficio neto de 10 C. ¿Le conviene a Sinforosa posponer un mes el alquiler de la m´aquina y atender el pedido, o es mejor alquilar la m´ aquina ahora?

Tema 4

Funciones compuestas, impl´ıcitas y homog´ eneas 4.1

Derivaci´ on de funciones compuestas

Definici´ on Si y¯ = y¯(¯ x) : A ⊂ Rm −→ Rn y z¯ = z¯(¯ y ) : B ⊂ Rm −→ Rk son funciones tales que y¯[A] ⊂ B, es decir, tales que, cuando x ¯ ∈ A, entonces y¯(¯ x) ∈ B, n k podemos calcular la funci´ on compuesta z¯(¯ x) : A ⊂ R −→ R como la funci´ on dada por z¯(¯ x) = z¯(¯ y (¯ x)). En otras palabras, z¯(¯ x) es la funci´ on que a cada punto x ¯ le asigna el resultado de calcular y¯ a partir de x ¯ y despu´es calcular z¯ a partir de y¯. Veamos un ejemplo: Ejemplo 4.1 La demanda de una empresa D est´ a en funci´ on de los precios p1 y p2 a los que vende sus dos art´ıculos. A su vez, la empresa fija estos precios en funci´ on de los precios q1 y q2 de las materias primas que emplea en su fabricaci´ on. Concretamente, D(p1 , p2 ) = 50/(p1 p2 ), donde a su vez p1 = 3q1 + q2 , p2 = q1 + 2q2 . La composici´on de estas funciones es la funci´ on D(q1 , q2 ) que nos da la demanda de la empresa en t´erminos de los precios q1 y q2 de las materias primas. En este caso D(q1 , q2 ) =

50 . (3q1 + q2 )(q1 + 2q2 )

En la pr´ actica, calcular una composici´on de funciones se reduce a sustituir unas funciones en otras. Es muy importante no confundir la funci´ on D(p1 , p2 ) con la funci´ on compuesta D(q1 , q2 ). Es frecuente que se use el mismo nombre para ambas (en este caso D), y entonces se distinguen por las variables. La regla de la cadena nos da (entre otras cosas) la relaci´on entre las derivadas de una funci´ on compuesta y las derivadas de las funciones que la componen: Regla de la cadena Sean y¯ = y¯(¯ x) : A ⊂ Rm −→ Rn y z¯ = z¯(¯ y ) : B ⊂ Rm −→ Rk funciones tales que y¯[A] ⊂ B. Si y¯ es diferenciable (o de clase C 1 , C 2 , . . . , C ∞ ) en un punto x ¯0 ∈ A y z¯ es diferenciable (o de clase C 1 , C 2 , . . . , C ∞ ) en y¯0 = y¯(¯ x0 ). 1 2 ∞ Entonces la funci´ on compuesta z¯(¯ x) es diferenciable (o de clase C , C , . . . , C ) en x ¯0 y      ∂zi  ∂zi  ∂y1  ∂zi  ∂ym   =  + ··· +  ∂xj x¯ ∂y1 y¯0 ∂xj x¯ ∂ym y¯0 ∂xj x¯ 0

0

107

0

108

Tema 4. Funciones compuestas, impl´ıcitas y homog´eneas

Problema 4.2 Para las funciones del ejemplo 4.1, calcula 

∂D  ∂q1 (1,2) directamente y mediante la regla de la cadena. ´ n: Ante todo, como en la derivada aparece la variable q1 , hemos de entenSolucio der que la funci´ on D es la funci´ on compuesta D(q1 , q2 ) y no la funci´ on D(p1 , p2 ). Por eso (porque es una funci´ on compuesta) tiene sentido que nos pidan calcular la derivada por la regla de la cadena. Para el c´ alculo directo necesitamos la funci´on compuesta: D(q1 , q2 ) =

50 = 50(3q1 + q2 )−1 (q1 + 2q2 )−1 , (3q1 + q2 )(q1 + 2q2 )

cuya derivada es:

 ∂D = 50 −(3q1 + q2 )−2 3(q1 + 2q2 )−1 − (3q1 + q2 )−1 (q1 + 2q2 )−2 . ∂q1

Ahora sustituimos:    ∂D  3 1 = 50 − − ∂q1 (1,2) (3 + 2)2 (1 + 2 · 2) (3 + 2)(1 + 2 · 2)2 

= 50 − q1 p1 D

❅ ❅ p2

3 1 − 125 125



= −1.6 u.p/u.m.

El c´ alculo con la regla de la cadena consiste en usar la f´ ormula ∂D ∂p1 ∂D ∂p2 ∂D = + . ∂q1 ∂p1 ∂q1 ∂p2 ∂q1

❅ ❅ q2

q1

La forma m´as f´ acil de recordar esta f´ormula es deducirla del esquema que recoge la dependencia entre las distintas variables. Cada su❅ ❅ q2 mando en la f´ ormula corresponde con un “camino” que lleva desde la funci´ on D que derivamos hasta la variable q1 respecto a la que derivamos. Concretamente, hemos de derivar las funciones: D(p1 , p2 ) =

50 = 50(p1 p2 )−1 , p1 p2

p1 = 3q1 + q2 ,

p2 = q1 + 2q2 .

Por lo tanto:

∂D = −50(p1 p2 )−2 p2 · 3 − 50(p1 p2 )−2 p1 · 1. ∂q1 Ahora hemos de sustituir (q1 , q2 ) = (1, 2), aunque “casualmente” estas variables no aparecen en el resultado (podr´ıan haber aparecido). Las variables que s´ı que aparecen son p1 y p2 , y las hemos de sustituir por p1 (1, 2) = 3 · 1 + 2 = 5, El resultado es

p2 (1, 2) = 1 + 2 · 2 = 5.



50 50 ∂D  = − 2 · 5 · 3 − 2 · 5 = −1.6 u.p./u.m.  ∂q1 (1,2) 25 25 Como ten´ıa que ser, el resultado es el mismo.

4.2. Derivaci´ on de funciones impl´ıcitas

109

Observemos que, adem´as de proporcionarnos una regla de c´ alculo, la regla de la cadena nos asegura que cuando componemos funciones diferenciables (o C 1 , etc.) obtenemos tambi´en una funci´ on diferenciable. En la nota 1 al final del tema aprovechamos esto para dar un ejemplo de funci´ on que, aunque es continua y tiene derivadas parciales, no es diferenciable.

4.2

Derivaci´ on de funciones impl´ıcitas

Problema 4.3 Supongamos que la funci´ on de producci´ on de una empresa es de tipo Cobb-Douglas, digamos: q(K, L) = 3K 2 L3 , donde K es el capital y L el trabajo. Actualmente, la empresa utiliza los factores (K, L) = (5, 4). Calcula la relaci´ on de sustituci´ on t´ecnica dK RST = − dL que indica el capital que puede reducirse, por cada unidad adicional de trabajo que se utilice, para mantener el nivel de producci´ on actual. Haz el c´ alculo a partir de la funci´ on K(L) y derivando impl´ıcitamente la ecuaci´ on de la isocuanta correspondiente a la producci´ on actual. ´ n: El nivel de producci´ Solucio on actual es q(5, 4) = 4 800 u.p., luego la isocuanta correspondiente a la producci´ on actual es 3K 2 L3 = 4 800. La primera forma de hacer el c´alculo es obtener expl´ıcitamente la funci´ on K(L) despejando en la ecuaci´ on de la isocuanta: 

K=

1 600 = 40L−3/2 . L3

Vemos entonces que RST = −

dK 60 3 = 40 L−5/2 = √ dL 2 L5

Para el valor actual L = 4 queda: RST(4) = 1.875. Esto significa que, por cada unidad que se incremente el trabajo, la empresa podr´ a reducir 1.875 u.m. de capital sin variar el nivel de producci´ on. La segunda forma de hacer el c´alculo es no molestarnos en despejar K(L), sino considerar que, en la ecuaci´ on de la isocuanta, K y L no q son ambas variables, sino que K depende de L (de la forma que hemos ❅ ❅L calculado antes, pero que ahora no necesitamos obtener). Entonces derivamos la ecuaci´on usando la regla de la cadena, seg´ un el esquema indicado. Teniendo en cuenta que la derivada del miembro derecho es 0 (porque es constante), el resultado es: ∂q dK ∂q + = 0. ∂K dL ∂L K

L

110

Tema 4. Funciones compuestas, impl´ıcitas y homog´eneas Al calcular las derivadas de q queda: dK + 9K 2 L2 = 0. dL Ahora s´ olo tenemos que despejar la derivada que busc´ abamos: 6KL3

3K dK 9K 2 L2 =− =− . dL 6KL3 2L As´ı pues, RST =

3K 2L

y, para (K, L) = (5, 4), obtenemos 3·5 = 1.875. 2·4 Como ten´ıa que ser, el resultado es el mismo. RST(4) =

Observemos que, no s´olo el c´alculo mediante derivaci´ on impl´ıcita es t´ecnicamente m´as simple que derivando expl´ıcitamente la funci´ on K(L), sino que la expresi´ on para la relaci´on de sustituci´ on t´ecnica obtenida mediante derivaci´ on impl´ıcita (3K/2L) es tambi´en m´as simple que la obtenida al derivar expl´ıcitamente (que tiene una ra´ız cuadrada). M´ as a´ un, sucede que en la teor´ıa econ´omica es interesante estudiar c´omo depende la RST del cociente α = K/L, y vemos que esta dependencia es obvia si hacemos el c´alculo impl´ıcitamente (queda RST = (3/2)α) y no es evidente en absoluto con la expresi´ on calculada expl´ıcitamente. La derivaci´ on impl´ıcita a partir de una ecuaci´ on no es sino una aplicaci´ on de la regla de la cadena, que no requiere ning´ un resultado te´ orico adicional excepto por un hecho: para que el c´ alculo tenga sentido es necesario que exista la funci´ on que estamos derivando y que sea derivable. Existe una sencilla comprobaci´ on que garantiza que esto es as´ı sin necesidad de despejar expl´ıcitamente la variable que queremos derivar: Teorema de la funci´ on impl´ıcita Sea f : D ⊂ Rn −→ R una funci´ on de clase C k (k = 1, 2, . . . , ∞) en el abierto D y p¯ ∈ D un punto tal que f (¯ p) = 0. Si se cumple que 

∂f  = 0, ∂xn p¯ entonces existe una funci´ on xn : U ⊂ Rn−1 −→ R de clase C k en el abierto U tal que (p1 , . . . , pn−1 ) ∈ U y, para cada (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ U , el n´ umero xn = xn (x1 , . . . , xn−1 ) ´nico punto cercano1 a p¯ que cumple la ecuaci´ on hace que x ¯ = (x1 , . . . , xn ) sea el u f (¯ x) = 0. M´ as claramente: Para que una ecuaci´ on f (x1 , . . . , xn ) = 0 determine una variable xn como funci´ on impl´ıcita de las dem´as, xn = xn (x1 , . . . , xn−1 ) (es decir, para que se pueda despejar en ella xn ) es suficiente con que la derivada de f respecto de as precisamente: si dicha derivada no vale 0 en un punto p¯, xn no valga 0. M´ la funci´ on impl´ıcita existir´ a para valores (x1 , . . . , xn−1 ) cercanos a (p1 , . . . , pn−1 ) on impl´ıcita se puede derivar y tomar´ a valores cercanos a pn . Adem´as, la funci´ tantas veces como f . 1

“Cercano” ha de entenderse como perteneciente a un cierto abierto V ⊂ Rn que contiene a p¯.

4.2. Derivaci´ on de funciones impl´ıcitas

111

Problema 4.4 La utilidad de un consumidor viene dada por U (x, y) = xey + yex , donde x e y son las cantidades adquiridas de dos bienes. Calcula la relaci´ on marginal de sustituci´ on dy RMS = − dx para un nivel de utilidad U = 1. Te´oricamente, lo que tendr´ıamos que hacer ser´ıa despejar y en funci´ on de x en la ecuaci´on de la curva de indiferencia xey + yex = 1, pero eso no es posible, al menos no en t´erminos de las funciones usuales (int´entelo el esc´eptico). Ahora bien, que en la pr´ actica no sepamos despejar y en funci´ on de x no significa que no pueda hacerse en teor´ıa. La figura muestra las curvas de indiferencia correspondientes a los niveles de utilidad U = 0.5, 1, 0.8 2, 3, y 4. Vemos que, sepamos despejar o no, existe la funci´ on y(x) que a cada consumo de x le asigna el 0.6 consumo necesario de y para que la utilidad resultante sea 1. Por ejemplo, se ve en la gr´afica que y(0) = 1, es 0.4 decir, que si no consumimos nada del primer art´ıculo, hemos de consumir una unidad del segundo para obte0.2 ner una utilidad U = 1. Tambi´en puede comprobarse anal´ıticamente. Si hacemos x = 0 en la ecuaci´on, ob0.2 0.4 0.6 1 0.8 tenemos y = 1. Para x = 0.5, la gr´ afica muestra que el consumo de y ha de ser de aproximadamente 0.22 unidades, etc. Sin embargo, como el camino “expl´ıcito” para resolver el problema no es viable, usaremos la derivaci´ on impl´ıcita justificando previamente lo que muestra la gr´ afica, es decir, que la funci´ on impl´ıcita existe realmente: 1

´ n: Vamos a aplicar el teorema de la funci´ Solucio on impl´ıcita a la ecuaci´on2 xey + yex = 1. Queremos probar que esta ecuaci´on define una funci´ on impl´ıcita y = y(x), y la condici´ on para ello es que ∂U = xey + ex = 0. ∂y Esto es cierto siempre que x, y ≥ 0 ya que ex , ey > 0. Por lo tanto, existe la funci´ on y(x) y, como U es de clase C ∞ (por ser composici´on de exponenciales y polinomios), tambi´en lo es y(x). Ahora aplicamos la regla de la cadena: ∂U ∂U dy + = 0. ∂x ∂y dx Concretamente: ey + yex + (xey + ex )

dy = 0. dx

Para ajustarnos al enunciado del teorema deber´ıamos escribir f (x, y) = xey + yex − 1 = 0, pasando a la izquierda el t´ermino independiente, pero en la pr´ actica da igual porque se va a ir al derivar. 2

112

Tema 4. Funciones compuestas, impl´ıcitas y homog´eneas Despejando: RMS = −

4.3

dy ey + yex . = y dx xe + ex

Funciones homog´ eneas

La homogeneidad es una propiedad de ciertas funciones que tiene inter´es en la teor´ıa econ´omica. la definici´ on es la siguiente: Definici´ on Una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R definida en un abierto D es homog´enea de grado m ∈ R si para todo x ¯ ∈ D y todo λ > 0 tal que λ¯ x ∈ D se cumple que f (λ¯ x) = λm f (¯ x). Problema 4.5 Estudia la homogeneidad de la funci´ on f (x, y) = x/y 2 . ´ n: Si λ > 0 se cumple que Solucio f (λx, λy) =

λx x x = 2 = λ−1 2 = λ−1 f (x, y), 2 2 λ y λy y

luego f es homog´enea de grado m = −1. Veamos algunas propiedades elementales de las funciones homog´eneas: Teorema

Sean f , g : D ⊂ Rn −→ R funciones definidas en un abierto D. Entonces

1. Si f y g son homog´eneas de grado m entonces f + g es homog´enea de grado m. 2. Si f es homog´enea de grado m y α ∈ R, entonces αf es homog´enea de grado m. 3. Si f es homog´enea de grado m y g es homog´enea de grado r, entonces f g es homog´enea de grado m + r. 4. Si f es homog´enea de grado m, g es homog´enea de grado r y g no se anula en D, entonces f /g es homog´enea de grado m − r. 5. Si f es de clase C 1 en D y es homog´enea de grado m, entonces sus derivadas parciales son homog´eneas de grado m − 1. El resultado principal sobre funciones homog´eneas es el siguiente: Teorema de Euler Si f : D ⊂ Rn −→ R es una funci´ on de clase C 1 en un abierto D, entonces f es homog´enea de grado m si y s´ olo si x1

∂f ∂f + · · · + xn = mf ∂x1 ∂xn

Las funciones homog´eneas tienen inter´es en econom´ıa por diversas razones. Por una parte, muchas de las funciones utilizadas como funciones de producci´ on, de utilidad, etc. son homog´eneas, como es el caso de las funciones de tipo Cobb-Douglas. En la nota 2 al final del tema mostramos algunos ejemplos de c´omo la homogeneidad de ciertas funciones puede aparecer, no ya como un supuesto, sino como una consecuencia de otras hip´ otesis generales.

4.4. Complementos

4.4

113

Complementos

La elasticidad de sustituci´ on Si Q(K, L) es una funci´ on de producci´ on que depende de dos factores de producci´ on K y L, la relaci´ on de sustituci´ on t´ecnica RST = −

dK dL

para un nivel de producci´ on dada puede expresarse en funci´ on del cociente ρ = K/L. Esto es cierto en teor´ıa para cualquier funci´ on de producci´ on razonable, aunque en la pr´ actica la forma de expresar la RST en t´erminos de ρ puede ser muy complicada. En on RST(ρ), y entonces el caso de las funciones homog´eneas es f´acil calcular3 la funci´ podemos calcular la llamada elasticidad de sustituci´ on, que se define como la inversa de la elasticidad de la funci´ on RST(ρ), es decir:4 

ES =

ρ dRST RST dρ

−1

.

Problema 4.6 Calcula la elasticidad de sustituci´ on de la funci´ on de producci´ on Q(K, L) = 3K 5 + 2L5 . ´ n: En primer lugar calculamos la RST considerando a K como funci´ Solucio on de L y derivando en cualquier isocuanta: 3K 5 + 2L5 = α. Seg´ un la regla de la cadena: ∂Q dK ∂Q + = 0, ∂K dL ∂L lo que se traduce en 15K 4

dK + 10L4 = 0. dL

Despejando: 10 dK 10L4 = RST = − = 4 dL 15K 15



L K

4

.

Como L/K = ρ−1 , queda: RST(ρ) =

10 −4 ρ 15

Por lo tanto: 

ES =

ρ 10 −5 10 −4 15 (−4)ρ ρ 15

−1

1 = (−4)−1 = − . 4

En el problema anterior ha resultado que la ES no depende de ρ. La funci´ on dada es una funci´ on de producci´ on con elasticidad de sustituci´ on constante (ESC). En general, la ES puede depender de ρ. 3

V´ease la nota 3 al final del tema. Puede probarse que la inversa de la elasticidad es la elasticidad de la funci´ on inversa ρ = ρ(RST), por lo tanto, lo que mide la ES el el porcentaje en que var´ıa la proporci´ on K/L de los factores de producci´ on empleados por cada 1% que aumenta la RST. 4

114

4.5

Tema 4. Funciones compuestas, impl´ıcitas y homog´eneas

Notas

1. Una funci´ on continua y derivable pero no diferenciable En las notas del √ tema 2 hemos visto que la funci´on f (x, y) = 3 xy es continua en R2 y derivable en el punto (0, 0). Sin embargo, ahora vamos a ver que no es diferenciable en dicho punto. Lo razonaremos por reducci´ on al absurdo. Vamos a suponer que s´ı que es diferenciable y llegaremos a algo imposible. Concretamente, si fuera diferenciable, como la funci´ on y = x es diferenciable en 0 (es√un polinomio), la regla de la cadena nos 3 dar´ıa que la funci´ on compuesta f (x) = x2 tambi´en ser´ıa diferenciable en 0. Pero esto es absurdo, porque esta funci´ on no tiene derivada en 0. Para comprobarlo calculamos: √ 3 ∆f (0)(∆x) = f (∆x) − f (0) = ∆x2 , luego ∆f (0)(∆x) 1 ∆x2/3 . = = ∆x−1/3 = √ 3 ∆x ∆x ∆x Por lo tanto:



df  1 1 = = ∞. = l´ım √ dx 0 ∆x→0 3 ∆x 0

2. La homogeneidad de las funciones de demanda Si un consumidor puede comprar n art´ıculos en cantidades x1 , . . . , xn , las funciones de demanda Marshalliana xi (p1 , . . . , pn , I) son las funciones que determinan la cantidad adquirida de cada bien en funci´ on de los precios p1 , . . . , pn y de la renta I del consumidor bajo el supuesto de que ´este trata de maximizar su utilidad (sujeto a la restricci´ on presupuestaria). As´ı pues, los valores de xi para cada vector de precios y cada nivel de renta, son las soluciones del problema de optimizaci´ on Max. U (x1 , . . . , xn ) s.a p1 x1 + · · · + pn xn = I, x1 , . . . , xn ≥ 0. Vemos entonces que si todos los precios y la renta se multiplican por un mismo factor λ > 0, la restricci´ on presupuestaria pasa a ser λp1 x1 + · · · + λpn xn = λI, con lo que podemos simplificar λ y el problema resulta ser el mismo. As´ı pues, las funciones de demanda cumplen que xi (λp1 , . . . , λpn , λI) = xi (p1 , . . . , pn , I), es decir, son homog´eneas de grado 0. Las funciones de demanda hicksiana o demanda compensada xi (p1 , . . . , pn , V ) son las funciones que determinan la cantidad adquirida de cada bien en funci´ on de los precios y del nivel de utilidad V deseado por el consumidor, bajo el supuesto

4.6. Ejercicios

115

de que ´este trata de minimizar el presupuesto. Ahora, los valores de xi son las soluciones del problema Min. p1 x1 + · · · + pn xn s.a U (x1 , . . . , xn ) = V, x1 , . . . , xn ≥ 0. En este caso vemos que si los precios se multiplican por un mismo λ > 0 (pero V permanece constante), la funci´ on objetivo se multiplica toda ella por λ, luego tambi´en podemos eliminar λ sin alterar la soluci´ on o´ptima del problema (una funci´ on f y la funci´ on λf toman los m´aximos y los m´ınimos en los mismos puntos). Concluimos que xi (λp1 , . . . , λpn , V ) = xi (p1 , . . . , pn , V ), de modo que las funciones de demanda compensada no son globalmente homog´eneas, pero s´ı que son homog´eneas de grado 0 las funciones que resultan de mantener fijo un nivel de utilidad, es decir, que son homog´eneas como funciones de los precios. 3. Homogeneidad y la relaci´ on marginal de sustituci´ on Vamos a ver un ejemplo de c´ omo influye el hecho de que una funci´ on sea homog´enea. Concretamente, si Q(K, L) es una funci´ on de producci´ on homog´enea de grado m, entonces, al aplicar la Relaci´ on de Sustituci´ on T´ecnica derivando impl´ıcitamente la funci´ on K(L) en la ecuaci´on Q(K, L) = α de una isocuanta, tenemos que ∂Q dK ∂Q + = 0, ∂K dL ∂L luego ∂Q dK RST = − = ∂L . ∂Q dL ∂K Ahora bien, por las propiedades de las funciones homog´eneas, las derivadas de Q son funciones homog´eneas de grado m − 1, luego el cociente es homog´eneo de grado 0. As´ı pues, tenemos expresada la Relaci´on de Sustituci´ on T´ecnica como una funci´ on RST(K, L) homog´enea de grado 0. Por definici´ on, esto significa que RST(K, L) = RST(λK, λL), para todo λ > 0. Si aplicamos esto a λ = 1/L resulta que RST(K, L) = RST(K/L, 1) = RST(ρ, 1). Vemos as´ı que es f´acil expresar la RST en funci´ on de ρ = K/L. Basta sustituir K por K/L y L por L/L = 1. Para funciones no homog´eneas, llegar a esta expresi´on es mucho m´as complicado.

4.6

Ejercicios

1. Calcula la composici´on de la funci´ on q(r, s, t) = t − 2s + r3 con las funciones 2 3 s = r , t = −r .

116

Tema 4. Funciones compuestas, impl´ıcitas y homog´eneas

2. Dadas las funciones f (x, y) = x2 + y, x = y 2 calcula la funci´ on compuesta. Calcula ∂f (x, y) ∂f (y) y . ∂y ∂y En el caso de la derivada de la derecha, haz el c´ alculo derivando directamente la funci´ on y por la regla de la cadena. 3. Sea f (x, y) = x2 + 3y − y 3 , donde y = x2 + 3. Calcula ∂f ∂x

y

df , dx

usando la regla de la cadena cuando sea posible. 4. Sea z = xy, x = u2 + v, y = u − v. Calcula 

∂z  ∂u (1,2) por la regla de la cadena. 5. Sea w = x2 + y 2 + z 2 , donde z = x + 2y. Entonces ∂w ∂w ∂w ∂z = + . ∂y ∂y ∂z ∂y Explica la diferencia entre las dos primeras derivadas que aparecen en la f´ ormula. Calcula la del miembro izquierdo en el punto (x, y) = (2, 1). 6. Sea f (x, y, z) = x2 − y 3 − z, donde z = x2 + y 3 + y. Calcula la derivada respecto de y de la funci´ on compuesta mediante la regla de la cadena. Comprueba que da lo mismo que si la calculas directamente. 7. Considera la funci´ on f (x, y) = x2 + y 2 , donde a su vez x e y dependen de t por la relaci´ on x = sen t, y = cos t. Comprueba mediante la regla de la cadena que df = 0. dt ¿C´omo se interpreta este hecho? (para entenderlo, calcula la funci´ on compuesta f (t)). 8. El coste de producci´ on de una empresa est´a en funci´ on del precio de cada uno de los dos inputs que utiliza, C(x, y) = 2 + 3x + 5y u.m. Por otra parte, el precio de los inputs var´ıa con el tiempo. Concretamente x(t) = 1 + 2t u.m., y(t) = 1 + t u.m., donde t es el tiempo expresado en a˜ nos. (a) Calcula los precios de los inputs en el primer a˜ no estudiado (t = 0). Calcula el coste correspondiente. (b) Calcula la funci´ on C(t). (c) Calcula el incremento de costes correspondiente al primer a˜ no (periodo [0, 1]).

4.6. Ejercicios

117

(d) Calcula las derivadas 



∂C  , ∂x (1,1)

∂C  , ∂y (1,1)



dC  dt 0

derivando directamente cada funci´ on (indica las unidades correspondientes). (e) Calcula la u ´ltima derivada del apartado anterior mediante la regla de la cadena. (f) Interpreta todas las derivadas que has calculado. 9. Sea B(p, p
) la funci´ on de beneficios de una empresa E, donde p es el precio de su producto y p
el precio medio de la competencia. Para los precios actuales p = 21, p
= 20 se estima que 

∂B(p, p
)  = −3,  ∂p (21,20)



∂B(p, p
)  = 2. ∂p
(21,20)

Supongamos que la competencia ajusta sus precios seg´ un los de la empresa E, de
modo que p = p − 1. Calcula  ∂B(p)  ∂p 21 y explica la diferencia entre esta derivada y la anterior (desde un punto de vista matem´atico y en cuanto a su interpretaci´ on econ´omica). ¿Cu´al de ellas nos indica el efecto que tendr´ıa sobre los beneficios una disminuci´ on del precio p de 2 u.m.? 10. Una empresa estima que sus beneficios vienen dados por la funci´ on 4 + 0.2t B(t, p) =  2 , p −5 donde el numerador es una estimaci´ on de la demanda futura en funci´ on del tiempo t y el denominador es una correcci´ on en funci´ on del IPC p. El tiempo actual es t = 1 y el IPC es p = 3 u.m. No hay ninguna previsi´ on fiable de la evoluci´ on del IPC, pero la empresa estima que en la actualidad 

dp  = 0.2. dt 1 Seg´ un estas estimaciones, ¿los beneficios de la empresa van a aumentar o a disminuir a corto plazo? 11. Una empresa fabrica un producto que vende a un precio de 6 u.m. por unidad. La producci´ on tiene unos costes fijos de 50 u.m., y unos costes variables de 2 u.m. Adem´as la empresa destina una cantidad P a publicidad. Con estos datos, la funci´ on de beneficios de la empresa es B(x, D, P ) = 6D − 2x − P − 50, donde x es la cantidad de producto que fabrica y D la demanda del producto en el mercado (la cantidad que vende). Justifica esta afirmaci´ on. (a) Calcula las derivadas parciales de B e interpr´etalas.

118

Tema 4. Funciones compuestas, impl´ıcitas y homog´eneas (b) Supongamos que la empresa ajusta su producci´ on a su demanda, es decir, considera a x como funci´ on de D en la forma m´ as simple posible: x = D. Calcula la funci´ on compuesta B(D, P ) as´ı como sus derivadas. Explica las diferencias respecto de las derivadas anteriores (por ejemplo, la derivada respecto a D es 6 en el caso anterior y 4 ahora, ¿c´omo hay que entender esto?) (c) El signo de ∂B/∂P es negativo, ¿c´omo se interpreta esto?, ¿es razonable? (d) La demanda de la empresa depende de su inversi´ on en publicidad, es decir, tenemos una funci´ on D(P ). La empresa no conoce esta funci´on, pero estima que, para la inversi´ on actual P0 , se cumple 

∂D  = 1. ∂P P0 ¿Es esto razonable? (e) No podemos calcular la funci´ on compuesta B(P ), pero s´ı que podemos calcular  dB  . dP P0 Calcula esta derivada e interpr´etala. ¿Le conviene a la empresa aumentar su inversi´ on en publicidad? 12. Sea D(p, r, t) la funci´ on de demanda de un art´ıculo en un mercado, donde p es el precio, r la renta media de los consumidores y t el tiempo en a˜ nos. Actualmente (t = 0) se tiene (p, r) = (5, 14) y D(5, 14, 0) = 200. Adem´ as 



∂D  = 20, ∂t (5,14,0)

∂D  = −15, ∂p (5,14,0)



∂D  = 10. ∂r (5,14,0)

(a) Interpreta estas derivadas. (b) ¿Qu´e demanda cabr´ıa esperar dentro de un a˜ no si la renta ha pasado a r = 15 u.m. y el precio a p = 4.5 u.m.?, ¿qu´e hip´ otesis sobre D es necesaria para responder a esta pregunta con los datos disponibles? (c) Supongamos que r = r(t) y p = p(t), de modo que 



dr  = 0.2, dt 0

dp  = 0.1. dt 0

Interpreta estas derivadas. (d) Calcula



dD(t)  , dt 0

(e) Interpreta esta derivada explicando especialmente la diferencia con la interpretaci´ on de  ∂D(p, r, t)  .  ∂t (5,14,0) 13. Estudia la homogeneidad de las funciones siguientes:

4.6. Ejercicios (a) f (x, y) =

119  4

xy 2 − x3 ,

(b) P (r, s) = r + 2s, (c) Q(K, L) = K 3 L5 , 14. Estudia la homogeneidad de las funciones siguientes: ac2 + 2b3 , a−b−c (b) h(u, v) = u2 + v 4 , (a) g(a, b, c) =

(c) t(x, y, z) = x sen(yz). 15. Considera una funci´ on de producci´ on de Cobb-Douglas Q(K, L) = AK α Lβ , donde A, α, β > 0, definida sobre el dominio D = {(K, L) ∈ R2 | K > 0, L > 0}. (a) Comprueba que es homog´enea, y calcula el grado de homogeneidad. (b) Aplica el teorema de la funci´ on impl´ıcita para justificar que la ecuaci´ on de cualquier isocuanta Q(K, L) = b, con b > 0, define a K como funci´ on impl´ıcita K = K(L) alrededor de cualquier punto de D. (c) Calcula la Relaci´on de Sustituci´ on T´ecnica derivando impl´ıcitamente la ecuaci´on de una isocuanta, y expr´esala en t´erminos de ρ = K/L. (d) Comprueba que la elasticidad de sustituci´ on es constante igual a 1. 16. Considera la funci´ on de producci´ on Q(K, L) = aK α + bLα , donde a, b > 0 y α = 0, 1, definida sobre el dominio D = {(K, L) ∈ R2 | K > 0, L > 0}. (a) Estudia su homogeneidad. (b) Razona que las isocuantas Q(K, L) = c definen a K como funci´ on impl´ıcita K = K(L) en todos los puntos de D. (c) Calcula la Relaci´on de Sustituci´ on T´ecnica y expr´esala en t´erminos de ρ = K/L. (d) Comprueba que la elasticidad de sustituci´ on es constante ES = 1/(1 − α). 17. Considera la funci´ on de producci´ on Q(K, L) = aK + bL, donde a, b > 0. (Es el caso α = 1 del ejercicio anterior.) (a) Estudia su homogeneidad. (b) Razona que las isocuantas aK + bL = c definen a K como funci´ on impl´ıcita de K = K(L), mediante el teorema de la funci´ on impl´ıcita y calculando expl´ıcitamente la funci´ on K(L). (c) Calcula la Relaci´on de Sustituci´ on T´ecnica derivando impl´ıcitamente la isocuanta y derivando expl´ıcitamente la funci´ on K(L). Comprueba que el resultado es el mismo. (d) Comprueba que, al ser constante la RST, la elasticidad de sustituci´ on es 1/0 = ∞. 18. Considera la funci´ on de producci´ on Q(K, L) = K 2 + KL. (a) Estudia su homogeneidad.

120

Tema 4. Funciones compuestas, impl´ıcitas y homog´eneas (b) Razona que (para K, L > 0) sus isocuantas Q(K, L) = b definen a K como funci´ on impl´ıcita K = K(L). (c) Calcula la Relaci´on de Sustituci´ on T´ecnica y expr´esala en t´erminos de ρ = K/L. (d) Comprueba que la elasticidad de sustituci´ on no es constante. (e) Calcula expl´ıcitamente la funci´ on K(L) y calcula su derivada directamente. ¿A que es m´as complicado?

19. Eusebia compra 10 libros al a˜ no, va 40 veces al cine y 5 veces al teatro. La utilidad que consigue con estas aficiones viene dada por la funci´ on U (L, C, T ) = L2 CT 3 . (a) Escribe la ecuaci´on de la curva de indiferencia sobre la que se encuentra actualmente Eusebia. (b) Razona que dicha ecuaci´ on define a C como funci´ on impl´ıcita C = C(L, T ). (c) Calcula las derivadas



∂C  , ∂L (10,5)



∂C  ∂T (10,5)

sin calcular la funci´ on C(L, T ). (d) Interpreta las derivadas del apartado anterior. (e) Puestos a cambiar de h´ abitos, ¿Qu´e preferir´ıa Eusebia, leer un poco m´ as o ir un poco m´ as al teatro? (f) Calcula la funci´ on C(L, T ) y, a partir de ella, vuelve a calcular las derivadas anteriores. 20. Una f´ abrica elabora dos productos en cantidades x e y, y su frontera de posibilidades de producci´ on viene dada por la ecuaci´ on 2x2 + y 3 = 80. La producci´ on actual es (x, y) = (6, 2). (a) Comprueba que la ecuaci´ on anterior permite definir a y como funci´ on impl´ıcita de y = y(x) para producciones similares a la actual. (b) Calcula la Relaci´ on de Sustituci´ on del Producto 

RSP = −

dy  dx 6

derivando impl´ıcitamente. (c) Calcula expl´ıcitamente la funci´ on y(x) y calcula la RSP derivando directamente. (d) Interpreta el valor obtenido para la RSP. 21. La demanda de un art´ıculo viene dada por la funci´ on D=

r2 p
3 + 3, p2 p

donde p es su precio, p
el precio de un bien sustitutivo y r la renta de los consumidores.

4.6. Ejercicios

121

(a) Si, actualmente, el art´ıculo se vende a 3 C , el bien sustitutivo a 6 C y la renta de los consumidores es de 90 C , calcula la demanda del producto. (b) Estudia la homogeneidad de la funci´ on de demanda. ¿Es razonable el resultado? (c) Expresa la relaci´ on dada en la forma Q(D, p, p
, r) = 0, donde Q es un polinomio. (Multiplica ambos miembros por p3 y pasa todo a la izquierda.) (d) Razona que la ecuaci´ on del apartado anterior permite definir a p como funci´ on impl´ıcita p = p(D, p
, r) para valores de cada variable pr´ oximos a los actuales. (e) Calcula



∂p  , ∂r (908,6,90)



∂p  , ∂p
(908,6,90)



∂p  . ∂D (908,6,90)

(f) Interpreta las derivadas del apartado anterior. (g) ¿Sabr´ıas calcular expl´ıcitamente la funci´ on p(D, p
, r)? 22. La funci´ on de costes de una empresa viene dada por C = q 3 − 6q 2 + 15q + 5, donde q es el nivel de producci´ on. (a) Calcula la funci´ on de beneficios de la empresa B(p, q), donde p es el precio al que la empresa vende su producto. (b) La producci´ on q que maximiza el beneficio (para un precio fijo p) debe cumplir la condici´ on de punto cr´ıtico ∂B = 0. ∂q Calcula esta producci´ on o´ptima para un precio p = 195 C. (c) ¿Puedes asegurar que has encontrado un m´ aximo global? (d) Calcula el beneficio m´ aximo que obtiene la empresa. (e) Considera ahora la ecuaci´ on de punto cr´ıtico ∂B =0 ∂q para un precio gen´erico p, y demuestra que define a q como funci´ on impl´ıcita q = q(p) para valores pr´ oximos a (p, q) = (195, 10). (La funci´ on q(p) es la funci´ on de oferta de la empresa.) (f) Calcula



∂q  ∂p 195

e interpreta el resultado. (g) ¿Sabr´ıas calcular expl´ıcitamente la funci´ on de oferta q(p)? (No es muy dif´ıcil.) Si lo consigues, calcula expl´ıcitamente la derivada anterior. (h) Esta pregunta es m´ as dif´ıcil: Partiendo de la producci´ on actual, q = 10, ¿cu´anto podr´ıa aumentar aproximadamente la producci´ on de la empresa si estuviera dispuesta a aumentar sus costes en una unidad?

Tema 5

Convexidad 5.1

Conjuntos convexos

Si p¯ = q¯ son dos puntos de Rn , la recta que pasa por ellos est´a formada por los puntos de la forma x ¯ = (1 − λ)¯ p + λ¯ q, λ ∈ R. Al variar λ obtenemos los distintos puntos de la recta. Concretamente, para λ = 0 pasamos por x ¯ = p¯ y para λ = 1 pasamos por x ¯ = q¯. Si exigimos que 0 ≤ λ ≤ 1 obtenemos los puntos del segmento de extremos p¯ y q¯. Con esto podemos definir ya los conjuntos convexos: Definici´ on Se dice que un conjunto C ⊂ Rn es convexo si cuando x ¯, y¯ ∈ C y 0 ≤ λ ≤ 1, entonces (1 − λ)¯ x + λ¯ y ∈ C. Ejemplo 5.1 En la figura hemos dibujado los conjuntos C1 = {(x, y) ∈ R2 | x1/2 + y 1/2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}, C2 = {(x, y) ∈ R2 | x3/2 + y 3/2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}. 1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

C1 0.2

0.4

0.6

0.8

1

C2 0.2

0.4

0.6

0.8

1

La figura muestra que C1 no es convexo, pues el segmento que aparece representado a todo ´el contenido en C1 . En en ella une dos puntos que est´ an dentro de C1 , pero no est´ cambio, el segmento que aparece dibujado sobre C2 une dos puntos de C2 y est´a todo ´el contenido en C2 . (El hecho de que C2 sea convexo significa que esto es cierto para el segmento dibujado y para cualquier otro que podamos dibujar, siempre que tenga sus extremos dentro de C2 .) Aunque gr´ aficamente se ve a simple vista si un conjunto es convexo o no, necesitamos criterios que nos permitan averiguar si un conjunto dado es convexo sin necesidad 123

124

Tema 5. Convexidad

de dibujarlo. Los conjuntos C1 y C2 del ejemplo anterior est´ an definidos por tres desigualdades cada uno. Cuando tengamos que estudiar la convexidad de un conjunto definido por varias condiciones, lo primero que haremos ser´ a descomponerlo en intersecci´on de conjuntos definidos, cada uno de ellos, por una u ´nica condici´ on y usar el teorema siguiente: Teorema

La intersecci´ on de conjuntos convexos es convexa.

Conjuntos definidos por funciones lineales Los conjuntos m´ as sencillos a la hora de estudiar la convexidad son los definidos por funciones lineales: Teorema

Los conjuntos de la forma H = {¯ x ∈ Rn | c1 x1 + · · · + cn xn = b},

donde c1 , . . . , cn , b ∈ R,

es decir, definidos por una funci´ on lineal igualada a un n´ umero, se llaman hiperplanos y son siempre convexos. Los conjuntos de la forma S = {¯ x ∈ Rn | c1 x1 + · · · + cn xn ≤ b},

donde c1 , . . . , cn , b ∈ R,

es decir, definidos por una funci´ on lineal y una desigualdad (que puede ser de tipo ≤, ≥, < o >) se llaman semiespacios y son siempre convexos. Problema 5.2 Estudia si es convexo o no el conjunto G = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + y − z < 5, x + 2y = 3, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}. ´ n: Como G est´a definido por cinco condiciones, lo descomponemos como Solucio intersecci´on de cinco conjuntos convexos: G = G1 ∩ G2 ∩ G3 ∩ G4 ∩ G5 , donde G1 = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + y − z < 5}, G2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y = 3}, G3 = {(x, y, z) ∈ R3 | x ≥ 0}, G4 = {(x, y, z) ∈ R3 | y ≥ 0}, G5 = {(x, y, z) ∈ R3 | z ≥ 0}. Vemos que G1 es un semiespacio, porque la funci´ on 2x + y − z es lineal, luego es convexo; G2 es un hiperplano, porque la funci´ on x + 2y es lineal, luego tambi´en es convexo; G3 , G4 y G5 son semiespacios, porque las funciones x, y, z, son lineales, luego los tres son convexos. Como los cinco conjuntos son convexos, G es convexo por ser intersecci´on de convexos. Conjuntos de nivel Consideramos ahora el caso de un conjunto definido por una condici´ on de la forma: {¯ x ∈ D | f (¯ x) = b}, que son las curvas (o superficies, etc.) de nivel, {¯ x ∈ D | f (¯ x) ≥ b} llamados conjuntos de nivel superior (vale tambi´en con >), {¯ x ∈ D | f (¯ x) ≤ b} llamados conjuntos de nivel inferior (vale tambi´en con o en lugar de ≥), donde D es un conjunto convexo y f es una funci´ on definida en D, basta ver si la funci´ on f es cuasic´oncava (o, en particular, si es c´oncava). Para estudiar si un conjunto de nivel inferior {¯ x ∈ D | f (¯ x) ≤ b} es convexo (o con < en lugar de ≤), donde D es un conjunto convexo y f es una funci´ on definida en D, basta ver si la funci´ on f es cuasiconvexa (o, en particular, si es convexa). 2

Ejemplo 5.3 Consideremos la funci´ on f (x, y) = xy, definida sobre el dominio convexo D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0}. Sus curvas de nivel son hip´erbolas, y sus conjuntos de nivel superior son las regiones que quedan por encima de estas hip´erbolas, como la sombreada en la figura, que es, concretamente, el conjunto de nivel superior

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

2

C = {(x, y) ∈ D | xy ≥ 1} = {(x, y) ∈ R2 | xy ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}. Claramente, C y todos los dem´ as conjuntos de nivel superior de la funci´ on xy son conjuntos convexos, luego la funci´ on xy es cuasic´ oncava en el cuadrante positivo D.

5.2

Funciones c´ oncavas y convexas

Geom´etricamente, una funci´ on f es c´oncava si, cuando unimos con un segmento dos puntos de su gr´ afica, el segmento queda por debajo de la gr´ afica (como le ocurre a la

126

Tema 5. Convexidad

funci´ on de la izquierda, mientras que es convexa si el segmento queda por encima de la gr´ afica. Si llamamos x ¯ e y¯ a los puntos cuyas im´agenes unimos, un punto entre ambos es de la forma (1 − λ)¯ x + λ¯ y , donde 0 < λ < 1, el punto del segmento que une f (¯ x) y f (¯ y ) situado sobre ´el es el determinado por el mismo λ, es decir, Funci´ on c´ oncava

(1 − λ)f (¯ x) + λf (¯ y ),

Funci´ on convexa

mientras que el punto de la gr´ afica de f situado sobre ´el es f ((1 − λ)¯ x + λ¯ y ). Teniendo esto en cuenta, podemos definir como sigue la concavidad y convexidad de funciones: Definici´ on Sea f : D ⊂ Rn −→ R una funci´ on definida sobre un conjunto convexo D. Diremos que f es c´ oncava en D si para todo x ¯, y¯ ∈ D y todo n´ umero 0 < λ < 1 se cumple que f ((1 − λ)¯ x + λ¯ y ) ≥ (1 − λ)f (¯ x) + λf (¯ y ). Diremos que f es convexa en D si para todo x ¯, y¯ ∈ D y todo n´ umero 0 < λ < 1 se cumple que f ((1 − λ)¯ x + λ¯ y ) ≤ (1 − λ)f (¯ x) + λf (¯ y ). La funci´ on es estrictamente c´ oncava o estrictamente convexa si cumple la definici´on correspondiente cambiando la desigualdad ≥ o ≤ por > o 0,

A2 > 0,

A3 > 0,

...

para todo x ¯ ∈ D,

entonces la funci´ on f es estrictamente convexa en D. (b) Si los menores principales conducentes alternan en signo empezando en negativo: A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, . . . entonces la funci´ on f es estrictamente c´ oncava en D. (c) En cualquier otro caso, f no es ni c´ oncava ni convexa en D. 2. Si |H(¯ x)| puede tomar el valor 0 en puntos de D, calculamos todos los menores principales de H(¯ x). (a) Si todos los menores principales son ≥ 0, la funci´ on f es convexa en D. (b) Si todos los menores principales de orden 1 son ≤ 0, todos los de orden 2 son ≥ 0, todos los de orden 3 son ≤ 0, etc., la funci´ on f es c´ oncava en D. (c) En cualquier otro caso, f no es ni c´ oncava ni convexa en D. Problema 5.5 Estudia si la funci´ on f (x, y, z) = 4x1/2 y 1/2 +9z 1/3 es c´ oncava o convexa en los conjuntos D = {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0, y > 0, z > 0} y

D
= {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0, y > 0, z < 0}.

´ n: Calculamos la matriz hessiana de f , para lo cual necesitamos las priSolucio meras derivadas: ∂f = 2x−1/2 y 1/2 , ∂x Por lo tanto:



∂f = 2x1/2 y −1/2 , ∂y

∂f = 3z −2/3 . ∂z 

−x−3/2 y 1/2 x−1/2 y −1/2 0  −1/2 −1/2  Hf =  x y −x1/2 y −3/2 0  −5/3 0 0 −2z Para aplicar el criterio de Jacobi necesitamos el determinante: |Hf | = −2x−1 y −1 z −5/3 + 2x−1 y −1 z −5/3 = 0.

128

Tema 5. Convexidad Como ha dado 0, hemos de calcular todos los menores principales: orden 1

orden 2

A1 = −x−3/2 y 1/2 ≤ 0

A12

A2 = −x1/2 y −3/2 ≤ 0

A13

A3 = −2z −5/3 ≤ 0

A23

  =    =    = 

orden 3

  =0≥0 

−x−3/2 y 1/2 x−1/2 y −1/2

x−1/2 y −1/2 −x1/2 y −3/2

−x−3/2 y 1/2 0

 0 −3/2 1/2 −5/3  y z ≥0 −5/3  = 2x −2z

−x1/2 y −3/2 0

 0 1/2 −3/2 −5/3  y z ≥0 −5/3  = 2x −2z



A123 = 0 ≤ 0



Donde los signos est´an calculados para puntos (x, y, z) ∈ D. Como los signos alternan seg´ un el orden de los menores empezando en negativo, podemos concluir que la funci´ on f es c´oncava en D. Si (x, y, z) ∈ D
, teniendo en cuenta que ahora z < 0, los signos de los menores son: orden 1 A1 ≤ 0 A2 ≤ 0 A3 ≥ 0

orden 2 orden 3 A12 = 0 A13 ≤ 0 A123 = 0 A23 ≤ 0

Como los menores de orden 1 no tienen todos el mismo signo, podemos decir que f no es ni c´oncava ni convexa sobre el dominio D
. Cuando la matriz hessiana es diagonal (es decir, que todos sus coeficientes fuera de su diagonal principal valen 0), podemos saber si la funci´ on es c´oncava o convexa sin m´as que considerar sus menores principales de orden 1 (es decir, los coeficientes de la diagonal): Teorema Sea f : D ⊂ Rn −→ R una funci´ on de clase C 2 un abierto convexo D y supongamos que su hessiana H(¯ x) es una matriz diagonal en todos los puntos. Entonces: 1. Si todos los coeficientes de la diagonal son ≥ 0, la funci´ on es convexa (y si todos son > 0 es estrictamente convexa). 2. Si todos los coeficientes de la diagonal son ≤ 0 la funci´ on es c´ oncava (y si todos son < 0 es estrictamente c´ oncava).

Problema 5.6 Estudia si la funci´ on f (x, y) = x4 + y 4 es c´ oncava o convexa en R2 . ´ n: Es f´ Solucio acil ver que su matriz hessiana es 

H(x, y) =

12x2 0 0 12y 2



.

Vemos que es una matriz diagonal, as´ı como que A1 = 12x2 ≥ 0, A2 = 12y 2 ≥ 0, luego podemos concluir que f es convexa en todo R2 .

5.3. Funciones cuasic´ oncavas y cuasiconvexas

129

El caso de funciones de una variable Para funciones de una variable, la matriz hessiana se reduce a la segunda derivada y s´ olo hay un menor principal. Por lo tanto, el criterio de concavidad / convexidad se reduce a: Una funci´ on de una variable de clase C 2 es c´oncava donde su segunda derivada es negativa, y es convexa donde su segunda derivada es positiva. Ejemplo 5.7 Una funci´ on de costes C(q) es c´ oncava si su segunda derivada es negativa, pero la segunda derivada es la derivada del coste marginal Cm (q), luego C(q) es c´ oncava si el coste marginal tiene derivada negativa, es decir, si el coste marginal es decreciente: cuanto m´ as se produce, menor es el coste marginal. Por el mismo motivo, unos costes marginales crecientes se traducir´ıan en la convexidad de la funci´ on de costes.

5.3

Funciones cuasic´ oncavas y cuasiconvexas

Hemos definido la cuasiconcavidad y la cuasiconvexidad de una funci´ on en t´erminos de sus conjuntos de nivel superior e inferior. En la nota 1 al final del tema discutimos una definici´ on alternativa similar a la de la concavidad y la convexidad. Ahora vamos a dar una condici´ on suficiente para asegurar que una funci´ on dada f de clase C 2 es cuasic´oncava. Para ello hemos de calcular la hessiana orlada con el gradiente:  ∗

H f (¯ x) =

0 ∇f (¯ x) t ∇f (¯ x) Hf (¯ x)



.

Obviamente, el primer menor principal de esta matriz es siempre A1 = 0. La cuasiconcavidad depende de si los restantes alternan en signo como en la regla de Jacobi: Teorema Sea f : D ⊂ Rn −→ R una funci´ on de clase C 2 definida sobre un abierto x) convexo D. Si los menores principales conducentes de la matriz hessiana orlada H ∗ f (¯ alternan en signo empezando (el segundo) en negativo (y con desigualdades estrictas): A12 < 0,

A123 > 0,

A1234 < 0,

...

para todo x ¯ ∈ D, entonces la funci´ on f es cuasic´ oncava en D. Podemos dar un criterio similar para funciones cuasiconvexas,1 pero, para no acumular criterios distintos, quiz´a sea m´as c´omodo aplicar la propiedad siguiente: Teorema

Una funci´ on f es cuasiconvexa si y s´ olo si −f es cuasic´ oncava.

El problema siguiente muestra que una funci´ on puede ser cuasic´oncava sin necesidad de ser c´oncava. Problema 5.8 Estudia si la funci´ on f (x, y) = xy es c´ oncava o cuasic´ oncava en el dominio D = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}. 1

Para que una funci´ on sea cuasic´ oncava, la condici´ on es que todos los menores principales conducentes de la hessiana orlada sean < 0 a partir del segundo.

130

Tema 5. Convexidad ´ n: Para estudiar si es c´oncava calculamos su matriz hessiana: Solucio 

Hf (x, y) =

0 1 1 0



.

No es diagonal, as´ı que hemos de aplicar el criterio de Jacobi. Calculamos su determinante: |Hf | = −1 = 0, luego basta calcular los menores principales conducentes: A1 = 0,

A12 = −1.

Vemos que f no es c´oncava, porque tendr´ıan que ser A1 < 0, A12 > 0, ni tampoco convexa, porque tendr´ıan que ser A1 > 0, A2 > 0. As´ı pues, f no es ni c´oncava ni convexa. Para ver si es cuasic´oncava orlamos la hessiana con el gradiente ∇f = (y, x). La hessiana orlada es:   0 y x   H ∗ f (x, y) =  y 0 1  . x 1 0 ´ El primer menor principal conducente es A1 = 0. Este no lo tenemos en cuenta. Calculamos los otros dos:   0  A12 =   y

 y   = −y 2 < 0, 0 

  0 y   A123 =  y 0   x 1

x 1 0

     = 2xy > 0.  

Para calcular los signos hemos tenido en cuenta que (x, y) ∈ D, de modo que x > 0, y > 0. Como los menores alternan en signo empezando en negativo, la funci´ on f es cuasic´oncava en D. Es importante destacar que la condici´ on que hemos dado para reconocer las funciones cuasic´oncavas exige que los menores principales conducentes sean distintos de 0. No se cumple un resultado an´ alogo al criterio para la concavidad que pueda aplicarse cuando alg´ un menor es nulo. Sin embargo, esto no significa que si alg´ un menor es igual a 0 la funci´ on ya no pueda ser cuasic´ oncava (s´olo significa que no podemos asegurarlo mediante el criterio de los menores principales). Por ejemplo, el argumento empleado en el problema anterior no permite justificar que la funci´ on f (x, y) = xy sea cuasic´oncava en el dominio D
= {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0}, porque en los puntos donde x = 0 o y = 0 tenemos que A123 = 0. Pese a ello, sucede que la funci´ on f s´ı que es cuasic´oncava en D
. Esto es cierto para cualquier funci´ on: Teorema

Si una funci´ on f es cuasic´ oncava (o cuasiconvexa) en el dominio D = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}

y es continua en

D
= {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0},

entonces es cuasic´ oncava (o cuasiconvexa) en D
. M´ as a´ un, esto sigue siendo cierto si cambiamos R2 por Rn .

5.4. Complementos

131

Cuasiconcavidad y funciones crecientes De la definici´ on de cuasiconcavidad se deduce f´ acilmente que una funci´ on f (¯ x) es cuasic´oncava (o cuasiconvexa) si y s´olo si lo es g(f (¯ x)), donde g es cualquier funci´ on creciente. Ejemplos de funciones crecientes son las potencias xa (si x ≥ 0 y a > 0), las exponenciales ax (si a > 1) y el logaritmo ln x. Esto quiere decir que, en la pr´ actica, para comprobar si una funci´ on es cuasic´oncava o cuasiconvexa, podemos a˜ nadir o quitar potencias, exponenciales o logaritmos que afecten a toda la funci´ on. Veamos un ejemplo: Ejemplo 5.9 Vamos a estudiar si la funci´ on f (x, y) = ex+y es cuasic´ oncava en R2 Si calculamos la hessiana orlada: 

0



H ∗ (x, y) =  ex+y ex+y



ex+y ex+y  ex+y ex+y  x+y x+y e e

vemos que |H ∗ | = 0, por lo que no podemos aplicar el criterio que conocemos. Sin embargo, como la exponencial es una funci´ on creciente, podemos eliminarla, con lo que nos queda la funci´ on x + y que, al ser lineal, es c´oncava y convexa al mismo tiempo, luego ex+y es cuasic´oncava y cuasiconvexa. Por otra parte, si aplicamos la regla de Jacobi a la hessiana: 

H(x, y) =

ex+y ex+y ex+y ex+y



,

vemos que A1 = ex+y ≥ 0 A12 = 0 ≥ 0 A2 = ex+y ≥ 0 luego la funci´ on ex+y es convexa y no c´oncava.

5.4

Complementos

Cuasiconcavidad y la relaci´ on marginal de sustituci´ on La cuasiconcavidad de una funci´ on de dos variables tiene una importante interpretaci´ on econ´omica: Una funci´ on de utilidad U (x, y) es cuasic´oncava si y s´olo si da lugar a una Relaci´on Marginal de Sustituci´ on decreciente. Esto se interpreta como que, cuanto m´as cantidad posea del art´ıculo x, la cantidad de y a la que el consumidor estar´ a dispuesto a renunciar por tener una unidad m´ as de x ser´a menor. Dado que ´esta es una hip´ otesis muy razonable sobre la conducta de los consumidores, se entiende as´ı por qu´e es habitual que las funciones de utilidad consideradas en econom´ıa sean cuasic´oncavas. En cambio, no hay ninguna raz´ on en especial para exigir que sean c´oncavas.

132

5.5

Tema 5. Convexidad

Notas

1. Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad Es f´ acil comprobar que una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ R definida en un dominio convexo D es cuasic´oncava si y s´olo si cuando x ¯, y¯ ∈ D y 0 ≤ λ ≤ 1, se cumple que f ((1 − λ)¯ x + λ¯ y ) ≥ m´ın{f (¯ x), f (¯ y )}, mientras que es cuasiconvexa si f ((1 − λ)¯ x + λ¯ y ) ≤ m´ax{f (¯ x), f (¯ y )}. A su vez, de aqu´ı es f´acil deducir que las funciones c´ oncavas son cuasic´oncavas y las funciones convexas son cuasiconvexas. 2. Cuasiconcavidad y la relaci´ on marginal de sustituci´ on Sea U (x, y) la funci´ on de utilidad de un consumidor, donde x e y son las cantidades adquiridas de dos bienes, definida sobre el dominio D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0}, y consideremos una curva de indiferencia U (x, y) = α. Supongamos adem´ as que U es diferenciable y que la ecuaci´on permite expresar a y como funci´ on impl´ıcita de x, es decir, que podemos despejar y = y(x), de modo que la curva de nivel puede verse tambi´en como la gr´afica de la funci´ on y(x).

U (x, y) ≥ α

U (x, y) = α

Una funci´ on de utilidad razonable ha de cumplir adem´ as que sus derivadas sean positivas, es decir, que si aumentamos el consumo de cualquiera de los art´ıculos, la utilidad aumenta. Esto hace que el conjunto de nivel superior {(x, y) ∈ D | U (x, y) ≥ α}

est´e formado por los puntos situados por encima de la gr´ afica de la funci´ on y(x). Si comparamos la definici´ on de convexidad de una funci´ on con la definici´ on de convexidad de un conjunto, vemos que si el conjunto de nivel superior es convexo, entonces la funci´ on y(x) tambi´en es convexa,2 pues si unimos con un segmento dos puntos de la gr´ afica, la definici´ on de convexidad de funciones exige que el segmento quede por encima de la gr´afica y la de convexidad de un conjunto que quede dentro del conjunto (que en este caso es el conjunto de puntos por encima de la gr´ afica, luego decimos lo mismo). As´ı pues, que la funci´ on U sea cuasic´oncava en D equivale a que las funciones y(x) determinadas impl´ıcitamente por sus isocuantas sean funciones convexas. A su vez, esto equivale a que la segunda derivada sea positiva o, lo que es lo mismo, a que la derivada dy/dx sea creciente (por tener derivada positiva). Como la relaci´on marginal de sustituci´ on es RMS = −

dy , dx

y un signo negativo transforma una funci´ on creciente en decreciente, podemos concluir que la cuasiconvexidad de U equivale a que la RMS sea decreciente. 2 Esto es una caracterizaci´ on alternativa de la convexidad de una funci´ on: una funci´ on es convexa si y s´ olo si el conjunto de puntos situados por encima de su gr´ afica es un conjunto convexo, y es c´ oncava si y s´ olo si el conjunto de puntos situados por debajo de su gr´ afica es un conjunto convexo.

5.6. Ejercicios

5.6

133

Ejercicios

1. Estudia si las funciones siguientes son c´ oncavas o convexas: (a) f (x, y, z) = 30 + 5x + 2y − 2x2 + 2xy − y 2 − 3z 2 . (b) g(x, y, z) = 4x2 + 9y 2 − z 2 + 12xy + xz + yz. (c) h(x, y, z) = x2 + 6y 2 + 9z 2 + 4xy + 2xz. (d) p(x, y, z) = 3x2 + 5y 2 + 4z 2 − 2x − z + 3. (e) r(s, t) = es+t . (f) s(u, v) = e−u + e−v . (g) C(r, s, t) = 5r4 + s + 2t6 . (h) L(x, y, z) = x2 y − 3xz 2 . 2. Estudia si las funciones siguientes son c´ oncavas o convexas en los dominios indicados: 1 , en D = {(a, b) ∈ R2 | a > 0, b > 0}. ab (b) M (u, v) = uv − u3 − v 3 en D = {(u, v) ∈ R2 | u > 1, v > 1}. (a) R(a, b) =

(c) f (x, y) = x3 + 3xy 2 en D = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}. (d) h(x, y, z, w) = 3x − 5y + 2z − w en D = R4 . (e) j(x, y, z) = ln x + ln y + ln z en D = {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0, y > 0, z > 0}. (f) s(x, y) = 6xy − x2 − 9y 2 en D = R2 . 3. Estudia si las funciones siguientes son c´ oncavas o cuasic´oncavas en el dominio D = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}. (a) f (x, y) = xy + x2 , (b) g(x, y) = xey , (c) h(x, y) = x − ex − ex+y , (d) q(x, y) = x + ln y, (e) r(x, y) = x2 y 5 . 4. Estudia si la funci´ on f (x, y) = x2 − y 2 es c´oncava, convexa, cuasic´oncava o cuasiconvexa en los dominios D1 = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x < y},

D2 = {(x, y) ∈ R2 | 0 < y < x}.

5. Justifica que la funci´ on U (x, y, z) = xyz es cuasic´oncava en el dominio D = {(x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}. 6. Estudia si los conjuntos siguientes son convexos: (a) C1 = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x − 5y + z ≤ 5, x < 16}. (b) C2 = {(x, y, z, w) ∈ R4 | x − 3y = x + 2w}. (c) C3 = {(x, y) ∈ R2 | xy ≥ 5, x ≥ 0, y ≥ 0}.

134

Tema 5. Convexidad (d) C4 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 25}. (e) C5 = {(x, y) ∈ R2 | x + y ≤ 25}. (f) C6 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 4 ≥ 4}. (g) C7 = {(x, y) ∈ R2 | 2xy − x2 − y 2 ≥ 4}. (h) C8 = {(x, y, z) ∈ R3 | xy + z 4 ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}. (i) C9 = {(x, y, z) ∈ R3 | x < 0, y > 0}. (j) C10 = {(x, y, z) ∈ R3 | x < y + z}. (k) C11 = {(x, y, z) ∈ R3 | ln(x + y + z) ≥ 0, x + y + z > 0}. (l) C12 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + 3y 2 + 2xy ≥ −1, x − y < 15}. (m) C13 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 ≤ 16}. (n) C14 = {(x, y) ∈ R2 | ln(x + y) ≤ 10, x + y > 0}.

7. Resuelve el ejercicio 23 (b) del tema 2 usando el concepto de funci´on cuasic´oncava. 8. Sea U (x, y) = Axα y β una funci´ on de Cobb-Douglas, donde A, α, β > 0. Comprueba que U es cuasic´oncava en D = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}. ¿Lo es tambi´en sobre D
= {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0}?

Tema 6

Optimizaci´ on En este tema aprenderemos a resolver problemas de optimizaci´on sin depender para nada de la representaci´ on gr´ afica. Abordaremos problemas de varias variables con varias restricciones, aunque el esquema b´asico del proceso de resoluci´on es el mismo que ya conocemos para funciones de una variable sin restricciones. En este caso buscamos los puntos cr´ıticos de la funci´ on objetivo (igualando su derivada a 0) y, cuando los tenemos, estudiamos si son m´aximos o m´ınimos con la segunda derivada. Igualmente, vamos a encontrar unas condiciones de punto cr´ıtico para problemas de varias variables con restricciones (que se llaman condiciones de Kuhn y Tucker) y luego daremos condiciones para determinar si los puntos de Kuhn y Tucker que hemos encontrado son m´ aximos o m´ınimos (o nada). Los resultados sobre convexidad vistos en el tema anterior nos permitir´ an establecer si son m´aximos o m´ınimos globales, que es lo que realmente tiene inter´es, y no meros m´aximos o m´ınimos locales.

6.1

Problemas de optimizaci´ on

Vamos a recoger aqu´ı los hechos b´asicos sobre los problemas de optimizaci´on que ya hemos discutido en temas anteriores: Un problema de optimizaci´ on consiste en buscar los puntos donde una funci´ on (la funci´ on objetivo del problema) toma su valor m´aximo o m´ınimo, de entre los puntos que satisfacen un conjunto de restricciones (sin excluir el caso de que el problema no tenga ninguna restricci´ on). Los puntos que cumplen las restricciones del problema se llaman soluciones factibles y el conjunto de todas las soluciones factibles se llama conjunto de oportunidades del problema. Al hablar de m´aximos y m´ınimos de funciones hemos de distinguir entre m´aximos y m´ınimos locales y globales:1 Definici´ on Sea x ¯ una soluci´ on factible de un problema con funci´ on objetivo f . • x ¯ es un m´ aximo global si f (¯ x) ≥ f (¯ y ) para toda soluci´ on factible y¯. • x ¯ es un m´ınimo global si f (¯ x) ≤ f (¯ y ) para toda soluci´ on factible y¯. 1

Para m´ as detalles sobre la distinci´ on entre ´ optimos locales y globales v´ease el problema 2.19 (p´ agina 72) y las observaciones que le siguen.

135

136

Tema 6. Optimizaci´on • x ¯ es un m´ aximo local si f (¯ x) ≥ f (¯ y ) para toda soluci´ on factible y¯ tal que ¯ y −x ¯ < ', para un cierto ' > 0. • x ¯ es un m´ınimo local si f (¯ x) ≤ f (¯ y ) para toda soluci´ on factible y¯ tal que ¯ y −x ¯ < ', para un cierto ' > 0.

Usamos la palabra ´ optimo para referirnos a un m´ aximo o un m´ınimo indistintamente.

6.2

Las condiciones de Kuhn y Tucker

En el tema 2 razonamos que para que un punto x ¯ pueda ser el m´aximo o el m´ınimo de una funci´ on f no sujeta a ninguna restricci´ on es necesario que sea un punto cr´ıtico, lo que significa que las derivadas parciales de f han de ser nulas o, m´ as concisamente, que ∇f (¯ x) = ¯ 0. En un problema con restricciones, esta condici´ on sigue siendo necesaria para soluciones factibles x ¯ que sean puntos interiores del conjunto de oportunidades, ya que si alguna derivada de la funci´ on objetivo es diferente de 0 en x ¯, esto se traduce, por el mismo razonamiento que vimos en el tema 2, que podemos pasar de x ¯ a otro punto cercano (que seguir´a siendo una soluci´ on factible) en el que la funci´ on objetivo sea mejor que en x ¯, luego x ¯ no puede ser la soluci´ on o´ptima. Sin embargo, si la soluci´ on o´ptima x ¯ es un punto frontera, ya no es necesario que cumpla ∇f (¯ x) = ¯ 0. En su lugar, ha de cumplir otras condiciones algo m´ as t´ecnicas que vamos a introducir seguidamente. Definimos antes el concepto de funci´ on lagrangiana de un problema, que nos aparecer´ a en la discusi´ on posterior: Definici´ on La funci´ on lagrangiana de un problema de optimizaci´ on es una funci´ on auxiliar L cuyas variables son las mismas que las del problema m´as una variable adicional por cada restricci´ on del problema. Estas variables nuevas se llaman multiplicadores de Kuhn y Tucker del problema. Concretamente, la funci´ on lagrangiana est´a formada por la funci´ on objetivo m´as un sumando por cada restricci´ on, consistente en el multiplicador de Kuhn y Tucker de la restricci´ on multiplicado por la restricci´ on despejada hacia la derecha. Problema 6.1 Dado el problema de optimizaci´ on √ Max. x+y s.a x + 20y = 81 x, y ≥ 0 escribe su funci´ on lagrangiana. ´ n: Llamemos λ al multiplicador de Kuhn y Tucker de la primera resSolucio tricci´on, µ al de la restricci´on x ≥ 0 y ν al de y ≥ 0. La funci´ on lagrangiana es, entonces, √ L(x, y, λ, µ, ν) = x + y + λ(81 − x − 20y) + µ(−x) + ν(−y). En la pr´ actica escribiremos directamente: √ L(x, y, λ, µ, ν) = x + y + λ(81 − x − 20y) − µx − νy.

Introduciremos las condiciones de Kuhn y Tucker analizando el ejemplo siguiente:

6.2. Las condiciones de Kuhn y Tucker

137

Ejemplo 6.2 Los alcaldes de varios pueblos de una comarca rural se han reunido para aprobar la construcci´ on de un parque de bomberos com´ un. Respecto al lugar donde se instalar´ a, el alcalde de Villajusta ha propuesto situarlo lo m´ as c´entricamente posible, de forma que se minimice la m´ axima distancia que los bomberos tendr´ıan que recorrer para llegar a un pueblo donde se los necesite en un momento dado; el alcalde de Villaverde ha propuesto que el parque se sit´ ue lo m´ as cerca posible de la Charca de las Ranas, que es la mayor reserva ecol´ ogica de la regi´ on y habr´ıa que preservarla a toda costa de un posible incendio forestal; finalmente, el alcalde de Villarrica argumenta que, dado que su pueblo va a aportar la mayor parte del presupuesto del parque, lo l´ ogico es que no se sit´ ue a m´ as de 5 km. de Villarrica. Despu´es de un acalorado debate, se han aprobado las propuestas de Villarica y Villaverde, mientras que la de Villajusta se ha descartado por no ser compatible con las otras dos. Teniendo en cuenta que la Charca de las Ranas se encuentra 8 Km. al este de Villarrica y 6 Km. al norte, determina el lugar donde se situar´ a el parque de bomberos. El primer paso para resolver ´este y cualquier otro problema de optimizaci´ on es modelizarlo, es decir, determinar las variables, la funci´ on objetivo y las restricciones del problema. En nuestro caso, las variables que hemos de determinar son las coordenadas (x, y) en el mapa del futuro parque de bomberos. Podemos elegir el sistema de coordenadas de modo que Villarrica se encuentre en la posici´on (0, 0), y la Charca de las Ranas est´e en (8, 6). La funci´ on objetivo que queremos minimizar es la distancia del parque (x, y) al punto (8, 6), donde est´ a la charca. La distancia entre dos puntos es la norma de su diferencia: distancia a la charca = (x, y) − (8, 6) =



(x − 8)2 + (y − 6)2 .

Por otra parte, la u ´nica restricci´ on es que la distancia del parque (x, y) al punto (0, 0) (donde est´ a Villarrica) sea menor o igual que 5: distancia a Villarrica = (x, y) − (0, 0) =



x2 + y 2 ≤ 5.

Por consiguiente, el problema queda modelizado as´ı: Min. s.a

 

(x − 8)2 + (y − 6)2 x2 + y 2 ≤ 5.

No obstante, antes de hacer nada m´ as, conviene observar que podemos simplificar el modelo si tenemos en cuenta dos cosas: 

x2 + y 2 ≤ 5 es equivalente a x2 + y 2 ≤ 25. √  2. Como la funci´ on es creciente, la funci´on objetivo (x − 8)2 + (y − 6)2 tomar´a su valor m´ınimo en el mismo punto donde la funci´ on (x − 8)2 + (y − 6)2 tome su valor m´ınimo. 1. La restricci´on

Esto nos permite reformular el problema como Min. (x − 8)2 + (y − 6)2 s.a x2 + y 2 ≤ 25.

138

Tema 6. Optimizaci´on

Aunque esto es justo lo que no nos interesa ahora, vamos a resolver el problema gr´ aficamente para que entendamos mejor cu´al es la situaci´on que queremos abordar anal´ıticamente. Charca de El mapa muestra la situaci´ on de Vilas Ranas 2 2 x + y = 25 llarrica, el conjunto de oportunidades, formado por los puntos situados en un radio de de 5 Km., la posici´on de la Charca de las Ranas, y algunas curvas de nivel de la funci´ on objetivo, es decir, las curvas formadas por los puntos que se encuentran a una Villarrica misma distancia de la charca. Vemos as´ı que la localizaci´ on o´ptima del parque de bomberos es (x, y) = (4, 3), porque todos Villaverde los puntos situados a menos distancia de la charca Villajusta quedan fuera del conjunto de oportunidades. Nuestro problema es encontrar un m´etodo para llegar al punto (3, 4) sin mirar el dibujo. Para ello vamos a comparar lo que sucede en el punto (3, 4) con lo que sucede en otro punto que no es la soluci´ on o´ptima, por ejemplo, el punto (4, 3). En las figuras siguientes hemos dibujado las direcciones de m´ aximo decrecimiento de 2 2 la funci´ on objetivo f (x, y) = (x−8) +(y −6) en los puntos (4, 3) y (3, 4). (Como estamos minimizando la funci´ on objetivo, nos interesan las direcciones que hacen decrecer a la funci´ on objetivo. Si estuvi´eramos maximizando, considerar´ıamos las direcciones de m´aximo crecimiento.) Tambi´en hemos dibujado la recta de direcciones de crecimiento nulo. Sabemos que todas las direcciones situadas sobre la recta de DCN son direcciones de decrecimiento de f , es decir, direcciones en las que podemos movernos de modo que la funci´ on objetivo mejora (disminuye). DMC(g) DMD(f ) Direcciones de decrecimiento de f

DCN(f )

DMC(g) = DMD(f ) Direcciones de decrecimiento de f

DCN(f )

Vemos entonces que la diferencia entre el punto (4, 3) y el punto (3, 4) consiste en que, en (4, 3), podemos movernos por direcciones de decrecimiento sin salirnos del conjunto de oportunidades, con lo que pasamos a soluciones factibles mejores; por el contrario, en (3, 4) vemos que todas las direcciones de decrecimiento nos llevan fuera del conjunto de oportunidades, por lo que la soluci´ on (3, 4) no puede mejorarse (al menos, localmente). Para plasmar esta diferencia sin tener que mirar el dibujo, observamos que podemos expresarla comparando la DMD(f ) con la DMC de la funci´ on g(x, y) = x2 + y 2 que determina la restricci´on. En efecto, podemos ver la frontera del conjunto de oportunidades como la curva de nivel de la funci´ on g correspondiente al nivel 25, y sabemos que la DMC(g) ha de ser perpendicular a esta frontera (tal y como muestran tambi´en las figuras). Lo que hemos visto es que, para que un punto (x, y) pueda ser la soluci´ on o´ptima del problema, es necesario que curva de nivel de la funci´ on objetivo f toque a la frontera

6.2. Las condiciones de Kuhn y Tucker

139

del conjunto de oportunidades (determinada por la funci´ on g), pero que la toque sin cortarla, sin que ambas se crucen, como ocurre en el punto (3, 4) y no en el punto (4, 3). Esta condici´ on de tangencia equivale a que ambas curvas de nivel tengan la misma recta tangente, o tambi´en a que DMD(f ) = DMC(g), tal y como muestra la figura. De momento, no vamos a preocuparnos de si ambos vectores tienen el mismo sentido o sentidos opuestos (pues eso depender´a de que consideremos direcciones de m´aximo crecimiento o de m´aximo decrecimiento) y centr´emonos en lo que se ha de cumplir para que ambos est´en sobre la misma recta, tanto si apuntan en el mismo sentido o si tienen sentidos opuestos. Dado que, tanto la DMC como la DMD (sin preocuparnos del sentido) son las direcciones determinadas por el vector gradiente, lo que estamos exigiendo es que los gradientes ∇f y ∇g est´en situados sobre la misma recta (sin ser necesariamente de la misma longitud). Dos vectores cumplen esto cuando uno es un m´ ultiplo del otro, es decir, cuando cumplen: ∇f (x, y) = λ∇g(x, y), ´ para cierto n´ umero real λ. Esta es la condici´ on de punto cr´ıtico para un problema con varias variables y una restricci´ on. En realidad, el razonamiento anterior presupone que el punto (x, y) que estamos considerando se encuentra sobre la frontera del conjunto de oportunidades, es decir, que cumple g(x, y) = 25 y no g(x, y) < 25. Para que un punto situado en el interior del conjunto de oportunidades pudiera ser o´ptimo (cosa imposible en este caso concreto, pero que podr´ıa darse en otros problemas), ya hemos observado que la condici´ on que ha de cumplir es simplemente: ∇f (x, y) = (0, 0). Ahora bien, esta condici´ on no es m´as que la condici´ on de punto cr´ıtico con λ = 0. En resumen, tenemos una condici´on adicional sobre λ: o bien x2 + y 2 = 25, o bien λ = 0. Esto se puede expresar m´as brevemente as´ı: λ(25 − x2 − y 2 ) = 0. Esta condici´ on se llama condici´ on de holgura complementaria. Para escribir expl´ıcitamente la condici´ on de punto cr´ıtico de nuestro problema, conviene reformularla en t´erminos de la funci´ on lagrangiana, que en nuestro caso es la funci´ on: L(x, y, λ) = f (x, y) + λ(25 − g(x, y)) Considerando a L como funci´ on u ´nicamente de x e y, es claro que ∇L = ∇f + λ(−∇g) = ∇f − λ∇g, por lo que la condici´ on de punto cr´ıtico se expresa de forma equivalente como ∇L = ¯0 o, m´as simplemente a´ un: las derivadas de la funci´ on lagrangiana respecto de x e y (no respecto de λ) han de ser 0. En resumen, hemos obtenido que la soluci´ on o´ptima (x, y) de nuestro problema ha de cumplir unas condiciones muy sencillas que pueden formularse sin mirar ninguna

140

Tema 6. Optimizaci´on

figura. En la pr´ actica, a la hora de resolver nuestro problema, empezar´ıamos planteando la funci´ on lagrangiana: L(x, y, λ) = (x − 8)2 + (y − 6)2 + λ(25 − x2 + y 2 ), y a continuaci´ on impondr´ıamos las condiciones siguientes: Factibilidad El punto (x, y) ha de cumplir las restricciones del problema. En nuestro caso: x2 + y 2 ≤ 25. Punto cr´ıtico Las derivadas de la funci´ on lagrangiana respecto de las variables x, y del problema (no respecto del multiplicador) han de ser 0. En nuestro caso: ∂L = 2(x − 8) − 2xλ = 0, ∂x

∂L = 2(y − 6) − 2yλ = 0. ∂y

Holgura complementaria El sumando de la funci´ on lagrangiana correspondiente a 2 cada restricci´ on ha de ser 0. En nuestro caso: λ(25 − x2 − y 2 ) = 0. Seg´ un hemos visto, de entre los puntos que cumplen las condiciones de factibilidad, tenemos los interiores, para los que la condici´ on de holgura exige que λ = 0, y entonces la condici´ on de punto cr´ıtico significa que las derivadas de la funci´ on objetivo han de ser 0, y tambi´en los puntos frontera, para los que la condici´ on de punto cr´ıtico exige que la curva de nivel de la funci´ on objetivo sea tangente a la frontera del conjunto de oportunidades. Para tener todas las condiciones de Kuhn y Tucker todav´ıa nos falta a˜ nadir una condici´ on m´ as, pero llegaremos a ella al ver qu´e nos encontramos al resolver las condiciones que hemos obtenido hasta ahora. Una vez escritas las condiciones de Kuhn y Tucker, el proceso para resolverlas es el siguiente: 1. Descomponemos cada condici´on de holgura complementaria en dos casos: 

λ(25 − x2 − y 2 ) = 0

⇒

λ=0 25 − x2 − y 2 = 0

(caso 1), (caso 2).

2. Resolvemos las ecuaciones de cada caso juntamente con todas las dem´as condiciones de Kuhn y Tucker que sean igualdades: Caso 1 Resolvemos: 



  λ=0  λ=0  2(x − 8) − 2xλ = 0 ⇒ 2(x − 8) = 0 ⇒ (x, y, λ) = (8, 6, 0).     2(y − 6) − 2yλ = 0 2(y − 6) = 0 2

Seg´ un explicaremos m´ as adelante, para una restricci´ on es de igualdad la condici´ on de holgura es redundante, y no hay que ponerla.

6.2. Las condiciones de Kuhn y Tucker

141

Caso 2 Resolvemos: 25 − x2 − y 2 = 0 2(x − 8) − 2xλ = 0 2(y − 6) − 2yλ = 0 x2 + y 2 = 25 y−6 ⇒ x−x y =8 λ = y−6 y ⇒

  

x2 + y 2 = 25 ⇒ x − xλ = 8   y − yλ = 6

  

  

x2 + y 2 = 25 ⇒ x − xλ = 8   λ = y−6 y

x2 + y 2 = 25 ⇒ xy − xy + 6x = 8y   λ = y−6 y 16 2 9 y



  

    

x2 + y 2 = 25 x = 43 y ⇒   λ = y−6 y

    



  + y 2 = 25  y2 = 9  4 x = 3y ⇒ x = 43 y     λ = y−6 λ = y−6 y y

La ecuaci´on y 2 = 9 nos da dos soluciones y = ±3, de las que deducimos los puntos: (x, y, λ) = (4, 3, −1), (−4, −3, 1). 3. Comprobamos si los puntos que hemos obtenido cumplen las condiciones de Kuhn y Tucker que sean desigualdades (en nuestro caso x2 + y 2 ≤ 25): 82 + 62 ≤ 25,

42 + 32 ≤ 25,

(−4)2 + (−3)2 ≤ 25.

As´ı, descartamos el punto (8, 6, 0) por no cumplir una desigualdad. En principio, dos puntos de Kuhn y Tucker: (4, 3, −1) y (−4, −3, 1), pero esto no es cierto, porque, como hab´ıamos dicho, todav´ıa nos falta deducir una u ´ltima condici´ on que nos permitir´ a descartar el segundo punto. Si miramos la primera de las figuras entenderemos qu´e tiene de especial el punto (−4, −3, 1): es el punto factible mas lejano a la Charca de las Ranas, es decir, el punto que maximiza, en lugar de minimizar, la funci´ on objetivo. La condici´ on que nos falta nos permitir´ a descartar m´aximos cuando buscamos m´ınimos y m´ınimos cuando buscamos m´aximos. Para enunciarla miramos el punto m´ as de cerca. Tal y como hemos explicado, la condici´ on de punto cr´ıtico Villarrica exige que la direcci´on de m´ aximo decrecimiento de la funci´ on objetivo f est´e sobre la misma recta que la direcci´on de m´ aximo DMD(f ) crecimiento de la restricci´on g, y esto pasa en el punto (−4, −3), pero la direcci´ on de m´ aximo decrecimiento de la funci´ on objeDMC(g) tivo apunta hacia dentro del conjunto de oportunidades, lo que significa que el punto no puede ser un m´ınimo, ya que entrando en el conjunto de oportunidades encontramos otras soluciones factibles donde la funci´ on objetivo es menor. As´ı pues, lo que hemos de exigir es que la DMC de la funci´ on objetivo (en problemas de maximizar) o la DMD (en problemas de minimizar) apunte hacia fuera del conjunto de oportunidades (como sucede en (4, 3)) y no hacia dentro (como en (−4, −3)), para que la u ´nica forma de mejorar la funci´ on objetivo sea salirse del conjunto de oportunidades. Para expresar esta condici´ on, tengamos en cuenta que, si la restricci´on es de tipo ≤, es decir, si es g(x, y) ≤ α (como sucede en nuestro problema), el gradiente ∇g apunta hacia fuera del conjunto de oportunidades (pues apunta hacia donde g aumenta, y si g

142

Tema 6. Optimizaci´on

se hace mayor que α nos hemos salido); mientras que si la restricci´on es g(x, y) ≥ α, entonces ∇g apunta hacia dentro del conjunto de oportunidades (pues si g se hace mayor que α se sigue cumpliendo la restricci´on). Por otra parte, recordemos que el multiplicador λ es el que relaciona los gradientes: ∇f = λ∇g, por lo que si λ > 0 ambos gradientes tienen el mismo sentido, mientras que si λ < 0 tienen sentidos opuestos. Esto nos lleva a la: Condici´ on de signo El signo de cada multiplicador de Kuhn y Tucker depende de si el problema es de maximizar o de minimizar y del tipo de desigualdad de la restricci´ on: Restricci´on ≤ ≥ =

Problema de Maximizar λ≥0 λ≤0 λ cualquiera

Problema de Minimizar λ≤0 λ≥0 λ cualquiera

Por ejemplo, si el problema es de minimizar y la restricci´ on es de ≤, que es nuestro caso, tenemos que ∇g apunta hacia fuera del conjunto de oportunidades, y queremos que la DMD de f apunte tambi´en hacia fuera, como la DMD tiene sentido opuesto a ∇f , lo que queremos que que ∇f y ∇g tengan sentidos opuestos, por lo que hemos de exigir λ ≤ 0. Igualmente se razonan los dem´as casos. Si la restricci´on es de igualdad, el conjunto de oportunidades es una curva y, sea cual sea el sentido de ∇f , el movimiento nos saca de la curva, por lo que no podemos saber a priori el signo que debe tener λ. As´ı pues, en nuestro ejemplo nos faltaba la condici´ on de Kuhn y Tucker λ ≤ 0, que nos descarta al punto (−4, −3, 1), luego s´olo hay un punto de Kuhn y Tucker, que es (x, y, λ) = (4, 3, −1).

Cuando el problema tiene varias restricciones, los razonamientos anteriores se complican un poco m´ as porque hay que tener en cuenta qu´e sucede en los puntos que cumplen con igualdad varias restricciones al mismo tiempo, pero las condiciones a las que se llega son las mismas. Problema 6.3 Encuentra los puntos de Kuhn y Tucker del problema3 √ Max. x+y s.a x + 20y = 81 x, y ≥ 0 ´ n: Ya hemos calculado la funci´ Solucio on lagrangiana: L(x, y, λ, µ, ν) =

√

x + y + λ(81 − x − 20y) − µx − νy.

Escribimos las condiciones de Kuhn y Tucker: 3

Es el problema estudiado ya en el ejercicio 23 (e) del tema 1, consistente en maximizar la utilidad de un consumidor sujeta a una restricci´ on presupuestaria.

6.2. Las condiciones de Kuhn y Tucker

143

Factibilidad Se han de cumplir las restricciones del problema: x ≥ 0,

x + 20y = 81,

y ≥ 0.

Punto cr´ıtico Las derivadas de L respecto de x e y han de ser 0: ∂L 1 = √ − λ − µ = 0, ∂x 2 x

∂L = 1 − 20λ − ν = 0. ∂y

Signo Como el problema es de maximizar, los multiplicadores tienen signos opuestos a las restricciones: µ ≤ 0, ν ≤ 0. (Y λ no tiene condici´ on de signo porque su restricci´ on es de igualdad.) Holgura complementaria Los sumandos de la lagrangiana correspondientes a las restricciones de desigualdad son 0: µx = 0,

νy = 0.

No es necesario a˜ nadir λ(81 − x − 20y) = 0 porque esto ya est´a contenido en la condici´ on de factibilidad. Si lo a˜ nadimos, complicamos innecesariamente el problema. A continuaci´ on resolvemos las condiciones de Kuhn y Tucker. Para ello empezamos por las de holgura complementaria, separando cada una en dos casos y combinando los casos entre s´ı:   x = 0, y = 0, νy = 0 ⇒ µx = 0 ⇒ µ = 0, ν = 0. Al combinar estos 2 × 2 casos, obtenemos cuatro casos: Caso Caso Caso Caso

1: 2: 3: 4:

x = 0, x = 0, µ = 0, µ = 0,

y=0 ν=0 y=0 ν=0

Resolvemos independientemente cada caso junto con las condiciones de Kuhn y Tucker que son igualdades (en este problema tenemos 3): Caso 1 Resolvemos: x= 0 y= 0 x + 20y = 81 1 √ − λ−µ= 0 2 x 1 − 20λ − ν = 0

            

Al sustituir las dos primeras ecuaciones en la segunda, nos queda 0 = 81. Como esto es imposible, este caso no tiene soluci´on.

144

Tema 6. Optimizaci´on

Caso 2 Resolvemos: x= 0 ν= 0 x + 20y = 81 1 √ −λ−µ= 0 2 x 1 − 20λ − ν = 0

            

Aqu´ı tenemos un problema muy especial: cuarta ecuaci´on no est´ a definida cuando x = 0, y ello se debe a que la funci´ on objetivo no es derivable en puntos con x = 0. La u ´nica soluci´ on factible que cumple x = 0 (despejando en la primera restricci´ on) es 81 (x, y) = (0, ). 20 A este punto no se le pueden aplicar las condiciones de Kuhn y Tucker. Caso 3 Resolvemos µ= 0 y= 0 x + 20y = 81 1 √ − λ−µ= 0 2 x 1 − 20λ − ν = 0

            

Al sustituir la segunda ecuaci´ on en la tercera obtenemos x = 81. La cuarta ecuaci´on nos da λ = 1/18 y la quinta ν = −/9. En definitiva: 1 1 (x, y, λ, µ, ν) = (81, 0, , 0, − ). 18 9 Caso 4 Resolvemos µ= 0 ν= 0 x + 20y = 81 1 √ −λ−µ= 0 2 x 1 − 20λ − ν = 0

            

La quinta ecuaci´ on nos da λ = 1/20, la cuarta x = 100 y la tercera y = −19/20. En total: 19 1 (x, y, λ, µ, ν) = (100, − , , 0). 20 20 Comprobamos si los dos puntos que hemos obtenido cumplen las condiciones de Kuhn y Tucker que son desigualdades. Concretamente, hemos de comprobar: x ≥ 0,

y ≥ 0,

µ ≤ 0,

ν ≤ 0.

El punto del caso 4 no cumple y ≥ 0, luego no es un punto de Kuhn y Tucker. Por el contrario, el punto del caso 3 cumple las cuatro condiciones: 1 81 ≥ 0, 0 ≥ 0, 0 ≤ 0, − ≤ 0. 9 As´ı pues, hemos encontrado un u ´nico punto de Kuhn y Tucker: 1 1 (x, y, λ, µ, ν) = (81, 0, , 0, − ) 18 9 y una soluci´ on factible (x, y) = (0, 81 20 ) a la que no se le pueden aplicar las condiciones de Kuhn y Tucker porque la funci´ on objetivo no es derivable.

6.3. La condici´ on suficiente de Kuhn y Tucker

145

Vamos a enunciar en general los conceptos y resultados que hemos obtenido: Definici´ on Dado un problema de optimizaci´ on y un punto x ¯ en el que todas las funciones del problema (la funci´ on objetivo y las que definen las restricciones) sean de clase C 1 , diremos que x ¯ es un punto de Kuhn y Tucker si existe un vector de multiplicadores de Kuhn y Tucker con el cual cumple las condiciones de Kuhn y Tucker: Factibilidad El punto cumple las restricciones del problema. Punto cr´ıtico Las derivadas de la funci´ on lagrangiana respecto de las variables del problema (no de los multiplicadores) valen 0. Signo En un problema de maximizar, los multiplicadores de las restricciones de ≤ son ≥ 0 y los de las restricciones de ≥ son ≤ 0. En un problema de minimizar, los multiplicadores de las restricciones de ≤ son ≤ 0 y los de las restricciones de ≥ son ≥ 0. Holgura complementaria Cada sumando de la lagrangiana correspondiente a una restricci´on de desigualdad es igual a 0. Los argumentos que hemos expuesto en el ejemplo 6.2, generalizados al caso de varias restricciones, permiten demostrar: Teorema (Condici´ on necesaria de Kuhn y Tucker) Si x ¯ es la soluci´ on ´ optima de un problema de optimizaci´ on y las funciones del problema son de clase C 1 alrededor de x ¯, entonces x ¯ es necesariamente4 un punto de Kuhn y Tucker del problema. La programaci´ on cl´ asica Un problema de optimizaci´ on se dice que es de programaci´ on cl´ asica si no tiene restricciones o bien todas sus restricciones son de igualdad. En tal caso, no hay condiciones de signo ni condiciones de holgura complementaria, por lo que las condiciones de Kuhn y Tucker se reducen a las de factibilidad y punto cr´ıtico. Entonces se llaman condiciones de Lagrange y los multiplicadores de Kuhn y Tucker se llaman multiplicadores de Lagrange.

6.3

La condici´ on suficiente de Kuhn y Tucker

Como en el caso de problemas de una variable, que hayamos encontrado un punto de Kuhn y Tucker no nos garantiza que sea la soluci´ on o´ptima del problema. Vamos a ver un ejemplo que nos prevenga de confiar en que cualquier punto de Kuhn y Tucker es ´optimo: 4 Los argumentos del ejemplo 6.2 exigen que las funciones sean de clase C 1 porque involucran las direcciones de m´ aximo crecimiento y m´ aximo decrecimiento de las funciones. Hay otra hip´ otesis que hemos aceptado t´ acitamente en todo el razonamiento, y es que, en el caso en que (x, y) est´e en la frontera del conjunto de oportunidades, el gradiente ∇g(x, y) ha de ser distinto de (0, 0), ya que lo hemos usado como referencia para determinar si ∇f tiene la direcci´ on y el sentido correctos. Si ∇g(x, y) fuera (0, 0), ya no ser´ıa posible expresar ∇f = λ∇g (aunque ∇f apuntara en la direcci´ on correcta) y todo el razonamiento fallar´ıa. Cuando el problema tiene varias restricciones, existen distintas condiciones muy generales bajo las cuales se puede garantizar que la soluci´ on o ´ptima ser´ a un punto de Kuhn y Tucker. As´ı, aunque es te´ oricamente posible que la soluci´ on o ´ptima no sea un punto de Kuhn y Tucker, lo cierto es que es una situaci´ on muy ins´ olita. De todos modos (v´ease la nota al pie de la p´ agina 150) esta posibilidad no deber´ a preocuparnos en los problemas concretos que vamos a resolver.

146

Tema 6. Optimizaci´on

Problema 6.4 Una empresa fabrica dos art´ıculos con una funci´ on de costes C(x, y) = 250 ln(0.1 + x) + 30y 2 + 80. Si vende el primero a un precio de 100 u.m. y el segundo a 120 u.m., calcula la producci´ on que maximiza el beneficio de la empresa. ´ n: La funci´ Solucio on de ingresos es I(x, y) = 100x + 120y, la funci´ on de beneficios es B(x, y) = I(x, y) − C(x, y), luego el problema que hemos de resolver es: Max. 100x + 120y − 250 ln(0.1 + x) − 30y 2 − 80 s.a x, y ≥ 0 Construimos la funci´ on lagrangiana: L(x, y, λ, µ) = 100x + 120y − 250 ln(0.1 + x) − 30y 2 − 80 − λx − µy. Planteamos las condiciones de Kuhn y Tucker: Factibilidad x ≥ 0, y ≥ 0. Punto cr´ıtico 100 −

250 0.1+x

− λ = 0, 120 − 60y − µ = 0.

Signo λ ≤ 0, µ ≤ 0. Holgura complementaria λx = 0, µy = 0. Para resolver las condiciones desdoblamos las condiciones de holgura y combinamos los casos:   µ = 0, λ = 0, µy = 0 ⇒ λx = 0 ⇒ y = 0. x = 0, Se forman cuatro casos: Caso Caso Caso Caso

1: 2: 3: 4:

x = 0, x = 0, λ = 0, λ = 0,

y=0 µ=0 y=0 µ=0

Caso 1 Resolvemos: x=0 y=0 250 100 − 0.1+x −λ=0 120 − 60y − µ = 0

        

⇒ (x, y, λ, µ) = (0, 0, −2 400, 120).

Caso 2 Resolvemos: x=0 µ=0 250 100 − 0.1+x −λ=0 120 − 60y − µ = 0

        

⇒ (x, y, λ, µ) = (0, 2, −2 400, 0).

6.3. La condici´ on suficiente de Kuhn y Tucker

147

Caso 3 Resolvemos: λ=0 y=0 250 100 − 0.1+x −λ=0 120 − 60y − µ = 0

        

⇒ (x, y, λ, µ) = (2.4, 0, 0, 120).

Caso 4 Resolvemos: λ=0 µ=0 250 −λ=0 100 − 0.1+x 120 − 60y − µ = 0

        

⇒ (x, y, λ, µ) = (2.4, 2, 0, 0).

Descartamos los puntos de los casos 1 y 3 porque no cumplen las condiciones de signo. As´ı pues, este problema tiene dos puntos de Kuhn y Tucker: (x, y, λ, µ) = (0, 2, −2 400, 0),

(2.4, 2, 0, 0).

Cuando tenemos varios puntos de Kuhn y Tucker, lo primero que podemos hacer es calcular en ellos la funci´ on objetivo y descartar los peores: B(0, 2) = 615,

b(2.4, 2) = 51.

Vemos as´ı que el segundo punto no puede ser la producci´ on que maximiza los beneficios, ya que proporciona menos beneficios que el primero. Ahora es crucial destacar que lo u ´nico que podemos concluir de los c´ alculos que hemos hecho es que, si existe una producci´on que maximiza los beneficios, ´esta ha de ser5 (x, y) = (0, 2). Ahora bien, ¿es ciertamente ´esta la producci´ on o´ptima?, ¿hay una producci´ on o´ptima? La respuesta es que no y, para comprobarlo, basta observar que, por ejemplo, B(15, 2) = 861. Puesto que la producci´ on (15, 2) proporciona mayores beneficios que (0, 2), resulta que ´esta producci´ on no es ´ optima y, como sab´ıamos que no puede haber otra producci´ on ´optima, concluimos que no hay producci´ on o´ptima. La figura muestra la gr´ afica de la y B(0, 2) funci´ on B. Vemos que en el punto (0, 2) tiene un m´ aximo local. Si, desde ese punto, aumentamos o dismix nuimos la y, el beneficio disminuye. Si aumentamos la x, el beneficio tambi´en disminuye, pero a partir de un cierto punto pasa a aumentar y, cuando llega a x = 15, el beneficio ya supera a B(0, 2). Si seguimos aumentando la producci´ on de x, el beneficio aumenta m´as y m´as. No hay un beneficio m´aximo. 5 El hecho de que las restricciones del problema sean lineales es una de las condiciones aludidas en la nota al pie de la p´ agina 6.2 que permiten garantizar que la soluci´ on o ´ptima ha de ser necesariamente un punto de Kuhn y Tucker.

148

Tema 6. Optimizaci´on

Naturalmente, esto no significa que la empresa pueda hacerse millonaria. Lo que sucede es que en el planteamiento del problema no hemos tenido en cuenta otras restricciones posibles, como que la empresa puede tener una frontera de producci´ on, o que la demanda puede estar limitada, etc. Sobre el punto de Kuhn y Tucker que hemos descartado, v´ease la nota 1 al final del tema. En la soluci´ on del problema anterior han aparecido dos ideas que conviene destacar: Si encontramos varios puntos de Kuhn y Tucker, podemos descartar los que tengan peor valor de la funci´ on objetivo, pues nunca podr´ an ser ´optimos globales. Si encontramos una soluci´ on factible mejor que todos los puntos de Kuhn y Tucker, podemos asegurar que el problema no tiene soluci´ on o´ptima.6 As´ı pues, queda claro que no es suficiente con encontrar los puntos de Kuhn y Tucker de un problema, sino que necesitamos una condici´ on que nos asegure que los puntos de Kuhn y Tucker son o´ptimos. En la pr´ actica nos bastar´a con la siguiente: Teorema (Condici´ on suficiente de Kuhn y Tucker) Sea x ¯ un punto de Kuhn y Tucker de un problema de optimizaci´ on. Supongamos que se cumplen las condiciones siguientes: 1. El conjunto de oportunidades S es convexo. 2. Si el problema es de maximizar, la funci´ on objetivo es cuasic´ oncava sobre S y, si es de minimizar es cuasiconvexa sobre S. 3. El gradiente de la funci´ on objetivo no es ¯0 en el punto x ¯. entonces x ¯ es un o ´ptimo global del problema. Si la funci´ on objetivo no s´ olo es cuasic´ oncava o cuasiconvexa, sino que, de hecho, es c´ oncava o convexa, entonces no hace falta comprobar la tercera condici´ on. Continuaci´ on del ejemplo 6.2 En el ejemplo 6.2 hemos encontrado un u ´nico punto de Kuhn y Tucker, que era (x, y) = (4, 3), pero, con los c´ alculos hechos all´ı, no tenemos la garant´ıa de que sea la soluci´on o´ptima del problema. (Aunque sabemos que lo es por la resoluci´ on gr´ afica.) Vamos a aplicar el teorema anterior para comprobar que, en efecto, se trata de la localizaci´on que minimiza la distancia a la charca. 1. Comprobamos que el conjunto de oportunidades es convexo: Se trata del conjunto S = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 25}. Como es un conjunto de nivel inferior, hemos de ver si la funci´ on g(x, y) = x2 + y 2 es convexa o cuasiconvexa. Estudiamos primero si es convexa, porque es m´as f´acil. La hessiana es   2 0 Hg = 0 2 Como es diagonal y todos los elementos de la diagonal son > 0, concluimos que g es convexa, luego S es convexo. 6 Aqu´ı es necesario tener garantizado que la soluci´ on o ´ptima ha de ser un punto de Kuhn y Tucker, cosa que, tal y como hemos explicado, es cierta salvo en casos muy “patol´ ogicos” (y se cumple en todos los problemas que vamos a tratar).

6.3. La condici´ on suficiente de Kuhn y Tucker

149

2. Como el problema es de minimizar, comprobamos si la funci´on objetivo es convexa o cuasiconvexa. Empezamos viendo si es convexa, que es m´as f´acil. La funci´ on es f (x, y) = (x − 8)2 + (y − 6)2 , y su hessiana es tambi´en



Hf =

2 0 0 2



,

luego tambi´en se cumple que f es convexa (y no hace falta comprobar la condici´ on 3). Por la condici´ on suficiente de Kuhn y Tucker, la soluci´ on (4, 3) es un m´ınimo global del problema. Problema 6.5 Comprueba que el punto de Kuhn y Tucker (81, 0) obtenido en el problema 6.3 es un m´ aximo global. ´ n: Aplicamos la condici´ Solucio on suficiente de Kuhn y Tucker: 1. Comprobamos que el conjunto de oportunidades es convexo. Se trata del conjunto S = {(x, y) ∈ R2 | x + 20y = 81, x ≥ 0, y ≥ 0}. Tenemos que S es convexo porque es intersecci´on de un hiperplano y dos semiespacios. 2. Estudiamos si la funci´ on objetivo es c´ oncava o cuasic´oncava en S. Se trata de la √ funci´ on f (x, y) = x + y. Su hessiana es 

Hf =

− 14 x−3/2 0 0 0



que es diagonal y los elementos de la diagonal son ≤ 0 en el conjunto S0 = {(x, y) ∈ R2 | x + 20y = 81, x > 0, y ≥ 0}. No podemos poner x ≥ 0 porque la hessiana no est´ a definida cuando x = 0. Concluimos que f es c´oncava en S0 . Ahora bien, en general, si hemos comprobado la concavidad (o convexidad, o cuasiconcavidad o cuasiconvexidad) de la funci´ on objetivo en un conjunto convexo S0 en el que aparecen desigualdades estrictas, podemos asegurar que el punto de Kuhn y Tucker es ´optimo en el conjunto S que resulta de cambiar las desigualdades estrictas por no estrictas. Lo u ´nico que se requiere7 para ello es que la funci´ on objetivo sea continua en S (y en nuestro caso, aunque no es derivable en los puntos con x = 0, s´ı que es continua). El argumento (particularizado a nuestro caso) es el siguiente: Podemos cambiar la restricci´ on x ≥ 0 por x ≥ , para cualquier  > 0. El punto (81, 0) sigue siendo un punto de Kuhn y Tucker, y la condici´ on suficiente nos da que es el m´ aximo global sobre los puntos de S con x ≥ , para todo  > 0, luego es el m´ aximo global sobre todos los puntos de S con x > 0. Ahora, un sencillo argumento -δ de continuidad implica que (81, 0) es el m´ aximo global sobre los puntos con x ≥ 0. (Esta nota es para quienes saben algunas matem´ aticas m´ as que las que se explican en este libro.) 7

150

Tema 6. Optimizaci´on

6.4

La interpretaci´ on de los multiplicadores

Al encontrar la soluci´ on o´ptima de un problema de optimizaci´ on, no s´ olo encontramos el valor ´optimo de cada variable, sino que tambi´en obtenemos unos valores para los multiplicadores de Kuhn y Tucker del problema. Estos valores tambi´en contienen informaci´ on relevante. Concretamente: Si el multiplicador de Kuhn y Tucker asociado a una restricci´ on es = 0, entonces nos indica (aproximadamente) la variaci´ on que experimentar´ a el valor o´ptimo de la funci´ on objetivo por cada unidad (marginal) que aumente el t´ermino independiente de la restricci´ on. Si el multiplicador es = 0 no podemos interpretarlo. Problema 6.6 Interpreta los multiplicadores de Kuhn y Tucker del ejemplo 6.3. ´ n: Recordemos que el problema era Solucio √ Max. x+y Utilidad s.a x + 20y = 81 gasto = renta x, y ≥ 0 y que la soluci´ on o´ptima era (x, y, λ, µ, ν) = (81, 0, 1/18, 0, −1/9). • El multiplicador λ = 1/18 significa que por cada unidad que aumente la renta del consumidor, la utilidad m´ axima que puede conseguir aumentar´ a 1/18 unidades. • El multiplicador µ = 0 no lo interpretamos. • El multiplicador ν = −1/9 significa que si cambiamos la restricci´on y ≥ 0 por y ≥ 1, es decir, si el consumidor se empe˜ na en consumir una unidad del segundo art´ıculo (a pesar de que, seg´ un la soluci´ on o´ptima, no le conviene) la utilidad m´axima que podr´ıa conseguir disminuir´ıa en 1/9 unidades.

6.5

Complementos

Simplificaci´ on de problemas La resoluci´on de las condiciones de Kuhn y Tucker puede desdoblarse en muchos casos, por lo que es u ´til darse cuenta de que, en muchas ocasiones, podemos eliminar algunos de ellos. La idea b´ asica es que si un problema cumple las hip´ otesis de la condici´on suficiente de Kuhn y Tucker, nos basta con encontrar un punto de Kuhn y Tucker para asegurar que es el o´ptimo. No necesitamos encontrarlos todos. En cuanto tenemos uno, o bien no habr´ a m´as, o bien todos los dem´as tendr´ an el mismo valor de la funci´ on objetivo (no ser´ an ni mejores ni peores) porque todos tienen que ser o´ptimos.8 De este modo, en cuanto hemos encontrado un punto de Kuhn y Tucker resolviendo un caso, no necesitamos resolver los dem´ as casos (salvo que estemos interesados en saber si hay soluciones ´optimas alternativas). M´ as a´ un, en muchas ocasiones podemos predecir a priori que algunos de los casos no nos pueden llevar a la soluci´ on o´ptima. Veamos algunos ejemplos: 8

Precisamente por esto, tampoco ha de preocuparnos la posibilidad de que la soluci´ on o ´ptima no cumpla las condiciones de Kuhn y Tucker: si hemos encontrado un punto de Kuhn y Tucker y hemos comprobado que se cumple la condici´ on suficiente de Kuhn y Tucker, podemos afirmar que dicho punto es ´ optimo, tanto si se cumple la condici´ on necesaria de Kuhn y Tucker como si no.

6.5. Complementos

151

• Supongamos que queremos encontrar la producci´ on (x, y) que maximiza un beneficio sujeto a una frontera de producci´ on, por ejemplo, x2 + 2y 2 ≤ 100. El problema ser´ıa: Max. B(x, y) s.a x2 + 2y 2 ≤ 100 x, y ≥ 0 Como hay tres restricciones de desigualdad, las condiciones de Kuhn y Tucker contienen tres condiciones de holgura complementaria, que se combinan para formar ocho casos distintos que, en principio, hay que resolver por separado. Ahora bien, si la funci´ on de beneficios es razonable, resultar´ a que, cuando m´ as se 9 produce de cada producto, mayores son los beneficios. Si esto es as´ı, es evidente que la producci´ on o´ptima ha de estar sobre la frontera de producci´ on, es decir, ha de cumplir x2 + 2y 2 = 100. La condici´ on de holgura de esta restricci´ on es λ(100 − x2 − 2y 2 ) = 0 y, de los ocho casos que aparecen en total, cuatro corresponder´an a λ = 0 y los otros cuatro a 100 − x2 − 2y 2 = 0. El razonamiento anterior nos dice que no hace falta resolver los cuatro casos con λ = 0, sino que la soluci´ on o´ptima la encontraremos en uno de los cuatro casos restantes. As´ı nos ahorramos la mitad del trabajo. Alguien podr´ıa pensar que, en estas circunstancias, ser´ıa m´as f´acil plantear el problema directamente como Max. B(x, y) s.a x2 + 2y 2 = 100 x, y ≥ 0 pero esto no nos conviene en absoluto. Para empezar, as´ı perdemos la condici´ on de signo sobre λ, en este caso λ ≥ 0, que nos puede ser u ´til para descartar algunos puntos de Kuhn y Tucker y, lo que es m´ as grave, el conjunto de oportunidades del problema original es convexo, mientras que el conjunto de este segundo problema no lo es, luego no podemos aplicarle la condici´ on suficiente de Kuhn y Tucker. • Consideremos ahora el problema t´ıpico de maximizar una utilidad sujeta a una restricci´on presupuestaria: Max. U (x, y) s.a px + qy = r x, y ≥ 0 Como antes, si la funci´ on U es razonable, podemos asegurar que el consumo optimo agotar´ ´ a el presupuesto. En este caso no hay inconveniente en plantear el problema con una restricci´ on de igualdad porque, al ser lineal, no afecta a la convexidad (estamos cambiando un semiespacio por un hiperplano). En todo caso, si nos hiciera falta, siempre podr´ıamos a˜ nadir la condici´ on de signo λ ≥ 0 que tendr´ıamos si hubi´eramos escrito la restricci´on presupuestaria con ≤. Las condiciones de holgura complementaria se desdoblan en cuatro casos: 9

T´ecnicamente, la hip´ otesis es que las derivadas parciales de la funci´ on de beneficios son > 0 en todos los puntos factibles.

152

Tema 6. Optimizaci´on Caso Caso Caso Caso

1: 2: 3: 4:

x = 0, x = 0, µ = 0, µ = 0,

y=0 ν=0 y=0 ν=0

El primer caso corresponde a no consumir nada, y es obviamente imposible. El caso 2 se dar´ıa si al consumidor no le conviene adquirir nada del primer bien. Es lo que se llama una soluci´ on de esquina (y lo mismo vale para el caso 3). A veces, podemos asegurar que la soluci´ on o´ptima no puede ser una soluci´ on de esquina. Por ejemplo, si la funci´ on de utilidad es de tipo Cobb-Douglas, U (x, y) = axα y β , es claro que las soluciones de esquina (con x = 0 o y = 0) tiene utilidad 0, luego no pueden ser o´ptimas. Esto nos permite descartar los casos 2 y 3 y resolver u ´nicamente el caso 4. Por otra parte, el caso 4 consiste en hacer µ = 0 y ν = 0, lo cual da lugar a las mismas ecuaciones que si no hubi´eramos puesto en la funci´ on lagrangiana las condiciones de signo, es decir, este caso nos lleva a los puntos de Kuhn y Tucker del problema Max. U (x, y) s.a px + qy = r sin condiciones de no negatividad. En general podemos empezar planteando (y resolviendo) este problema. Esto significa que estamos “apostando” a que la soluci´ on o´ptima no va a ser de esquina. Si tenemos suerte y encontramos un punto de Kuhn y Tucker razonable (es decir, con variables no negativas) y adem´ as se cumple la condici´on suficiente, ya tenemos el ´optimo de nuestro problema, y no hemos necesitado incluir las condiciones de signo. (El punto que hemos obtenido es el que nos habr´ıa salido en el caso 4.) Ahora bien, si al resolver este problema nos sale alguna coordenada negativa, hemos de interpretar esto como que las condiciones de no negatividad son relevantes, lo que nos obliga a plantear el problema completo y resolver los casos 2 y 3 en busca de soluciones de esquina. Esto es lo que sucede en el problema 6.3. Si lo resolvemos sin condiciones de signo, llegamos al punto de Kuhn y Tucker (100, −19/20), que es un punto de Kuhn y Tucker del problema sin condiciones de signo, pero no si las incluimos, y ello se debe a que la soluci´on o´ptima es de esquina. Optimizaci´ on y funciones crecientes Otra simplificaci´ on que podemos hacer en un problema de optimizaci´ on es la que hemos hecho en el ejemplo 6.2: si la funci´ on objetivo es de la forma f (g(x)), donde f es una funci´ on creciente (por ejemplo, una potencia xa (si x ≥ 0 y a > 0), una exponencial ax (si a > 1) o un logaritmo ln x) podemos eliminar la funci´ on f , ya que los m´aximos y los m´ınimos seguir´ an siendo los mismos. En el caso de 6.2 hemos eliminado una potencia ( )1/2 de la funci´ on objetivo.

El teorema de la envolvente Supongamos que tenemos un problema de optimizaci´on en el que la funci´ on objetivo F y/o las restricciones dependen de un par´ ametro a. ∗ Podemos considerar entonces la funci´ on F (a) que nos da el valor o´ptimo de la funci´ on objetivo para cada valor de a.

6.5. Complementos

153

Observemos que podr´ıa haber valores de a para los que el problema no tuviera soluci´on o´ptima, pero en la mayor´ıa de los casos podemos garantizar que tiene que haberla. Por ejemplo, si el problema es maximizar la utilidad de un consumidor sujeto a una restricci´ on presupuestaria, podemos estudiar c´ omo depende la utilidad m´ axima del precio de uno de los bienes y, si el problema est´ a bien planteado, siempre habr´ a una soluci´ on o´ptima para cualquier precio a ≥ 0. La funci´ on lagrangiana, adem´ as de depender del vector x ¯ de variables del problema y ¯ de multiplicadores de Kuhn y Tucker, depender´ del vector λ a tambi´en del par´ ametro a. ¯ La representamos, pues, como L(¯ x, λ, a). La funci´ on F ∗ (a) puede ser complicada de calcular, y puede haber valores (excepcionales) de a para los que no sea derivable. Cuando existe su derivada, el teorema de la envolvente nos proporciona un m´etodo muy simple para calcularla: Si, para un valor ¯ ∗ , se cumple que a del par´ ametro, la soluci´ on o´ptima es x ¯∗ con multiplicadores λ 

¯ a)  ∂F ∗ (a) ∂L(¯ x, λ, =   ∗ ¯∗ ∂a ∂a (¯ x ,λ ,a) En palabras: Para conocer la variaci´ on que experimentar´ a el valor o ´ptimo de la funci´ on objetivo por cada unidad que aumenta un par´ ametro, basta derivar la funci´ on lagrangiana respecto del par´ ametro y sustituir en la soluci´ on ´ optima. Problema 6.7 Consideremos de nuevo el problema 6.3: √ Max. x+y s.a x + 20y = 81 x, y ≥ 0 consistente en maximizar la utilidad de un consumidor sujeto a una restricci´ on presupuestaria. Sabemos que la soluci´ on ´ optima es (x, y, λ, µ, ν) = (81, 0, 1/18, 0, −1/9), que proporciona una utilidad U (81, 0) = 9. Determina c´ omo variar´ a esta utilidad m´ axima por cada unidad que aumente el precio del primer bien. ´ n: El precio del primer bien aparece en la restricci´ Solucio on presupuestaria. Actualmente es p = 1, pero, en general, la restricci´ on ser´ıa: px + 20y = 81. La funci´ on lagrangiana, para un p arbitrario, es √ L(x, y, λ, µ, ν, p) = x + y + λ(81 − px − 20y) − µx − νy. Por el teorema de la envolvente, s´olo hemos de calcular la derivada: ∂L = −λx, ∂p y sustituirla en la soluci´ on o´ptima (λ = 1/18, x = 81): 

81 dU ∗  = − = −4.5.  dp 1 18 As´ı pues: por cada unidad que aumente el precio del primer bien, la utilidad m´ axima que puede conseguir el consumidor disminuir´ a en 4.5 unidades. En las notas 3, 4 y 5 al final del tema mostramos otras aplicaciones del teorema de la envolvente.

154

6.6

Tema 6. Optimizaci´on

Notas

1. Puntos de silla Entre los puntos de Kuhn y Tucker de un problema, adem´ as de los ´optimos globales que buscamos, podemos encontrarnos con ´optimos locales que no son globales (como el punto (0, 2) en el problema 6.4), y tambi´en otros puntos que no son ni m´ aximos ni m´ınimos, locales o globales. Es el caso del punto (2.4, 2) del problema 6.4. Si nos fijamos en la gr´ afica de la funci´ on de beneficios, en el punto (0, 2) tenemos un m´aximo local; si vamos aumentando la producci´ on de x manteniendo y = 2, el beneficio va disminuyendo, pero llega un punto en ´ el que vuelve a aumentar. Este es precisamente el punto (2.4, 2). As´ı, resulta que, partiendo de este punto, cualquier peque˜ no incremento ∆x, sea positivo o negativo, hace aumentar los beneficios; pero tambi´en vemos en la gr´afica que cualquier incremento ∆y, sea positivo o negativo, hace disminuir los beneficios. Por consiguiente, el punto no es ni un m´ aximo ni un m´ınimo local, ya que a su alrededor hay puntos mejores (los que resultan de modificar la x) y puntos peores (los que resultan de modificar la y). Pese a ello, las dos derivadas de la funci´ on de beneficios en (2.4, 0) valen 0. En efecto: la derivada respecto de x vale 0 porque, si s´olo tenemos en cuenta las variaciones de la x, estamos en un m´ınimo local, y la derivada respecto de y vale 0 porque, si s´ olo tenemos en cuenta las variaciones de la y, estamos en un m´aximo local. En general, un punto de una funci´ on donde las derivadas valgan 0 porque la funci´ on toma un valor m´ aximo para incrementos de una variable y un valor m´ınimo para incrementos de la otra (por lo que el punto no es globalmente ni un m´aximo ni un m´ınimo) se llama un punto de silla de la funci´ on, porque la gr´ afica se parecer´a necesariamente a una silla de montar. Los puntos de silla cumplen las condiciones de punto cr´ıtico con todos los multiplicadores iguales a 0, por lo que autom´ aticamente cumplen las condiciones de signo y de holgura complementaria. Si son factibles, entonces son puntos de Kuhn y Tucker, a pesar de no ser m´aximos ni m´ınimos. 2. Optimizaci´ on y la relaci´ on marginal de sustituci´ on Supongamos que buscamos el consumo que maximiza la utilidad de un consumidor sujeto a una restricci´ on presupuestaria y que estamos buscando una soluci´ on que no sea de esquina. Esto nos permite plantear el problema como Max. U (x, y) s.a px x + py y = r La funci´ on lagrangiana es L(x, y, λ) = U (x, y) + λ(r − px x − py y), luego las condiciones de punto cr´ıtico son: ∂L ∂U = − λpx = 0, ∂x ∂x

∂L ∂U = − λpy = 0. ∂y ∂y

Si despejamos λ de ambas ecuaciones e igualamos resulta: ∂U ∂U ∂y λ = ∂x = px py

6.6. Notas

155

y, reordenando: ∂U px = ∂x = RMS. ∂U py ∂y As´ı pues, en este caso, las condiciones de punto cr´ıtico equivalen a que la relaci´ on marginal de sustituci´ on ha de ser igual al cociente de los precios. Dicho cociente puede verse como la derivada (cambiada de signo) de la funci´ on y=

r − px x , py

es decir, de la funci´ on impl´ıcita y(x) definida por la restricci´ on presupuestaria. Por lo tanto, la condici´ on puede interpretarse as´ı: La cantidad del bien y a la que el consumidor estar´ a dispuesto a renunciar a cambio de una unidad m´ as de x (para mantener su nivel de utilidad) coincide con la cantidad del bien y a la que el consumidor deber´ a renunciar si compra una unidad m´ as de x para mantener el mismo gasto. Conviene tener presente que esta relaci´on no se cumple necesariamente si la soluci´ on o´ptima es de esquina. 3. La interpretaci´ on de los multiplicadores La interpretaci´ on que hemos dado de los multiplicadores de Kuhn y Tucker es un caso particular del teorema de la envolvente. En efecto, si b es el t´ermino independiente de una restricci´ on con multiplicador λ, la funci´ on lagrangiana tiene la forma: L(¯ x, λ, µ, . . . , b) = F (¯ x) + λ(b − g(¯ x)) + · · · y la derivada del miembro derecho respecto de b es precisamente λ, luego el teorema de la envolvente nos da que dF ∗ (b) = λ, db que es lo que afirma la interpretaci´ on del multiplicador: λ nos da la variaci´ on del valor o´ptimo de la funci´ on objetivo por cada unidad que aumenta el t´ermino independiente b. 4. El lema de Shephard Consideremos el problema de minimizar el gasto de que ha de hacer un consumidor para obtener un nivel de utilidad prefijado U0 . El problema es: Min. px x + py y s.a U (x, y) = U0 x, y ≥ 0. Supongamos que hemos calculado como depende el gasto m´ınimo E de los par´ ametros px , py , U0 , de modo que conocemos la funci´ on E(px , py , U0 ). Vamos a aplicar el teorema de la envolvente al par´ ametro px . La funci´ on lagrangiana es L(x, y, λ, µ, ν, px ) = px x + py y + λ(U0 − U (x, y)) − µx − νy,

156

Tema 6. Optimizaci´on luego



∂E ∂L  = = x∗ (px , py , U0 ), ∂px ∂px (x∗ ,y∗ ,px )

pero x∗ es la funci´ on de demanda compensada (ver la nota 2 del tema 4), es decir, la cantidad que el consumidor adquirir´ a del art´ıculo x en funci´ on de los precios y del nivel de utilidad deseado. Esto es lo que afirma el lema de Shephard: La funci´ on de demanda compensada de un bien es la derivada de la funci´ on de gasto respecto del precio de dicho bien. 5. La identidad de Roy Vamos a obtener un resultado similar al lema de Shephard para la funci´ on de demanda marshalliana. Para ello partimos del problema de maximizar la utilidad sujeta a una restricci´ on presupuestaria. El problema es Max. U (x, y) s.a px x + py y = r x, y ≥ 0. Supongamos que hemos calculado la funci´ on de utilidad indirecta U ∗ (px , py , r), que nos da la m´ axima utilidad que puede conseguir el consumidor con unos precios y un nivel de renta dados. La funci´ on lagrangiana es: L(x, y, λ, µ, ν, px , py , r) = U (x, y) + λ(r − px x − py y) − µx − νy. Aplicando el teorema de la envolvente a los par´ ametros px y r obtenemos: ∂U ∗ ∂L = = −λ∗ x∗ (px , py , r), ∂px ∂px ∂U ∗ ∂L = = λ∗ , ∂r ∂r luego la funci´ on de demanda marshalliana es ∂U ∗ ∂px . x∗ (px , py , r) = ∂U ∗ ∂r ´ Esta es la identidad de Roy: La demanda marshalliana de un bien el igual a la derivada de la utilidad compensada respecto del precio del bien dividida entre la derivada de la utilidad compensada respecto de la renta del consumidor.

6.7

Ejercicios

1. Recordemos el ejercicio 20 del tema 1 (p´agina 49): El pastelero Toribio quiere maximizar el beneficio diario que obtiene al fabricar x tartas dulces e y tortas saladas, teniendo en cuenta su frontera de producci´ on: Max. 3x + 2y s.a 3x2 + y 2 ≤ 6 300 x, y ≥ 0

6.7. Ejercicios

157

(a) Plantea las condiciones de Kuhn y Tucker del problema. ¿A cu´ antos casos dan lugar las condiciones de holgura complementaria? (b) Razona que la soluci´ on o´ptima tiene que estar sobre la frontera de las posibilidades de producci´ on, por lo que puedes descartar la mitad de los casos. (c) Resuelve las condiciones de Kuhn y Tucker. (d) Razona que el punto de Kuhn y Tucker que has obtenido es la soluci´ on optima. ´ (e) Indica cu´ antas tartas y cu´ antas tortas fabricar´ a Toribio diariamente y qu´e beneficio conseguir´ a con ellas. (f) Si, mediante una inversi´ on adecuada, Toribio puede mejorar sus posibilidades de producci´ on hasta 3x2 + y 2 ≤ 6 420, ¿cu´anto aumentar´ıan con ello sus beneficios diarios? 2. Recordemos el ejercicio 22 del tema 1 (p´agina 50): Macario y Dorotea quieren repartirse su presupuesto de 120 C comprando x libros e y entradas para los toros, de forma que se maximice la suma de sus utilidades: √ √ Max. x+ y s.a 8x + 12y ≤ 120 x, y ≥ 0 (a) Encuentra un punto de Kuhn y Tucker teniendo en cuenta las consideraciones siguientes: i. Razona que la soluci´ on o´ptima ha de agotar el presupuesto, por lo que puedes eliminar la mitad de los casos. ii. Teniendo en cuenta que la funci´ on objetivo no es derivable cuando x = 0 o y = 0, trata de resolver primero los casos en los que x = 0 e y = 0. (b) Razona que el punto de Kuhn y Tucker que has obtenido es la soluci´ on optima. Indica cu´ ´ antas corridas de toros ver´ a Macario y cu´ antos libros leer´ a Dorotea. Calcula la utilidad conjunta que conseguir´ an con ello. (c) Interpreta el multiplicador de Kuhn y Tucker de la restricci´ on presupuestaria. (d) Utiliza el teorema de la envolvente para determinar qu´e har´ıa disminuir m´ as la utilidad que pueden conseguir Macario y Dorotea, si el aumento de 1 C en el precio de los libros o el aumento de 1 C en las entradas de los toros. 3. En el ejercicio 18 del tema 2 (p´ agina 18), Macario propon´ıa a Dorotea la funci´ on de utilidad alternativa U (x, y) = x + y. (a) Resuelve el problema anterior con esta nueva funci´ on de utilidad. Indica ahora cu´ antas corridas de toros ver´ a Macario y cu´ antos libros leer´ a Dorotea y qu´e utilidad conjunta conseguir´ an con ello. (b) ¿C´ omo variar´ıa la utilidad conjunta m´ axima si Dorotea permitiera a Macario comprar una entrada para los toros? (c) ¿Y si Dorotea encontrara otra librer´ıa donde le vendieran los libros a 7 C? (d) ¿Y si Macario y Dorotea se gastan 24 C saliendo a cenar, con lo que el presupuesto se reduce en dicha cantidad?

158

Tema 6. Optimizaci´on

4. Recordemos el ejercicio 13 del tema 3 (p´agina 101): Cirilo quiere maximizar la utilidad que obtiene consumiendo x refrescos e y hamburguesas sujeto a una restricci´on presupuestaria: Max. xy s.a x + 2y ≤ 8 x, y ≥ 0 (a) Resuelve el problema. (Simplifica la resoluci´ on razonando que la soluci´ on optima ha de agotar el presupuesto y que es imposible que sea una soluci´ ´ on de esquina.) (b) Indica cu´ antos refrescos y cu´antas hamburguesas consumir´ a Cirilo, as´ı como la utilidad que conseguir´ a con ello. (c) Razona c´omo variar´ıa esta utilidad si el presupuesto de Cirilo pasara a ser de 9 C . (d) ¿Y si el precio de las hamburguesas bajara 0.50 C? 5. Recordemos el ejercicio 14 del tema 3 (p´agina 101): Nicasio quiere maximizar la utilidad que sus paisanos conseguir´ an si su f´ abrica produce x art´ıculos de droguer´ıa e y de perfumer´ıa, sujeto a una frontera de posibilidades de producci´ on: √ √ Max. 8 x + 5 y s.a x2 + 5y 2 ≤ 21 x, y ≥ 0 (a) Resuelve el problema. (A la hora de buscar un punto de Kuhn y Tucker, razona que la soluci´ on o´ptima se ha de encontrar en la frontera de las posibilidades de producci´ on y, como la funci´ on objetivo no es derivable cuando x = 0 o y = 0, resuelve primero los casos en los que esto no ocurre.) (b) Indica cu´ antos art´ıculos de droguer´ıa y cu´ antos de perfumer´ıa producir´ a Nicasio, as´ı como la utilidad m´ axima que conseguir´ a con ellos. (c) Razona c´omo variar´ıa esta utilidad m´ axima si la frontera de las posibilidades de producci´ on pasara a ser alguna de ´estas: x2 + 5y 2 = 23,

x2 + 4y 2 = 21,

2x2 + 5y 2 = 21.

√ √ (d) ¿Y si la funci´ on de utilidad pasara a ser 9 x + 5 y ? 6. Recordemos el ejercicio 15 del tema 3 (p´agina 102): Telesforo quiere minimizar el coste de producci´on de una f´ abrica garantizando un nivel de producci´ on: Min. K + 3L s.a K 2 L ≥ 36 K, L ≥ 0 (a) Resuelve el problema (simplificando en lo posible el proceso). Indica la cantidad de capital y de trabajo necesarios, as´ı como el coste m´ınimo. (b) ¿Cu´ anto aumentar´ıa el coste si Telesforo quisiera exigir una producci´ on de 42 unidades de producto?

6.7. Ejercicios

159

(c) La funci´ on de producci´ on es de tipo Cobb-Douglas: K α Lβ . Calcula c´omo cambiar´ıa la utilidad m´ axima ante una variaci´ on unitaria de cada uno de los par´ ametros α y β. 7. Recordemos el ejercicio 24 del tema 1 (p´agina 51): Eulogia quiere maximizar la utilidad que obtiene de sus 30 d´ıas de vacaciones yendo x d´ıas a Par´ıs e y d´ıas a la playa, y teniendo en cuenta que su presupuesto es de 80 C : Max. 3x + 2y s.a x + y ≤ 30 4x + 2y ≤ 80 x, y ≥ 0 (a) Resuelve el problema. (En principio has de considerar 16 casos. Busca primero una soluci´ on con variables distintas de 0, con lo que los casos se reducen a 4.) (b) Indica el n´ umero de d´ıas que Eulogia pasar´ a en Par´ıs y el n´ umero de d´ıas que pasar´ a en la playa, as´ı como la utilidad que conseguir´ a con sus vacaciones. (c) Determina c´omo cambiar´a esta utilidad m´ axima si el jefe de Eulogia le pidiera que acudiera al trabajo cinco d´ıas m´as. (d) ¿Y si su presupuesto ascendiera a 90 u.m.? (e) Sup´ on que la agencia de viajes le comunica a Eulogia que el precio de la estancia en Par´ıs a subido a 5 u.m. por d´ıa. ¿C´ omo afectar´ıa esto a la utilidad que puede conseguir Eulogia? 8. Recordemos el problema 2 de la introducci´ on (p´ agina 13): Una empresa quiere maximizar el beneficio que consigue produciendo x unidades del art´ıculo A e y unidades del art´ıculo B sujeta a una limitaci´ on de horas de trabajo y otra de presupuesto: Max. 8x + 10y s.a 4x + 6y ≤ 24 Horas de trabajo ≤ horas disponibles 8x + 3y ≤ 24 Coste ≤ presupuesto x, y ≥ 0 (a) Resuelve el problema. (Busca primero las soluciones con variables no nulas.) (b) Indica la cantidad que conviene producir de cada art´ıculo as´ı como el beneficio que la empresa consigue con dicha producci´ on. (c) Interpreta el multiplicador de Kuhn y Tucker de las dos primeras restricciones. (d) Indica c´ omo afectar´ıan al beneficio los cambios siguientes: i. Un cambio en la maquinaria permite reducir a 3 las horas de trabajo que requiere el producto A. ii. Un aumento del precio de una materia prima aumenta el coste de cada unidad del art´ıculo B hasta 3.5 u.m.

160

Tema 6. Optimizaci´on

9. Recordemos el ejemplo 1.19 (p´agina 33): Se trata de maximizar la cantidad de hamburguesas y refrescos que ha de adquirir un consumidor para maximizar su utilidad, sujeto a una restricci´ on presupuestaria: Max. hr s.a h + 1.5r ≤ 6 h, r ≥ 0 Resuelve el problema e interpreta el multiplicador de la restricci´ on presupuestaria. Razona c´omo afectar´ıa a la utilidad del consumidor una subida de 0.10 C en el precio de los refrescos. 10. En el problema 1.20 resolvimos gr´ aficamente el problema anterior con otra funci´ on de utilidad:  x2 + y 2 Max. s.a h + 1.5r ≤ 6 h, r ≥ 0 (a) Razona que puedes eliminar la ra´ız cuadrada de la funci´ on objetivo. (b) Encuentra todos los puntos de Kuhn y Tucker del problema. (Hay dos.) (c) ¿Puedes aplicar la condici´ on suficiente de Kuhn y Tucker? (d) Razona gr´ aficamente cu´al de los dos puntos de Kuhn y Tucker es la soluci´ on optima. ´ (e) Interpreta los multiplicadores de Kuhn y Tucker (de la soluci´ on o´ptima) que no son nulos. (f) Dibuja la curva de indiferencia correspondiente al punto de Kuhn y Tucker que no es el ´optimo, y, a partir de ella, razona gr´ aficamente si es un m´aximo o un m´ınimo, local o global.) 11. Nic´eforo suele ir al cine unas 12 veces al mes, unas 3 veces al f´ utbol y 2 veces al teatro. Su funci´ on de utilidad es U (C, F, T ) = CF T . El precio de las entradas utbol y 4 C las de teatro. Pero Nic´eforo tiene es de 6 C las de cine, 8 C las de f´ una amiga, Calixta, que estudia Empresariales quien, aplicando las matem´ aticas que ha est´a estudiando, llega a la conclusi´ on de que el consumo de Nic´eforo no es nada eficiente: (a) Por una parte, Calixta ha comprobado que Nic´eforo podr´ıa conseguir la misma utilidad con un gasto mucho menor. Determina cu´ antas entradas deber´ıa comprar Nic´eforo de cada clase para minimizar su gasto y mantener el mismo nivel de utilidad. ¿Cu´ anto dinero se ahorrar´ıa Nic´eforo con esta posibilidad? (b) Por otra parte, Calixta ha comprobado tambi´en que, si Nic´eforo est´a dispuesto a seguir gastando la misma cantidad de dinero en espect´ aculos que gasta ahora podr´ıa conseguir mucha m´as utilidad. Concretamente, Calixta le sugiere la soluci´on (C, F, T ) = (6, 4, 9). Resuelve t´ u el problema (sin usar la soluci´ on de Calixta) y di si est´ as de acuerdo con ella. ¿Podemos asegurar que la soluci´ on que propone Calixta es la mejor o s´ olo que es muy buena10 ? 10

En realidad, es la mejor soluci´ on. Tal vez Calixta ha tenido suerte, o tal vez ha cursado la asignatura de Programaci´ on Matem´ atica y ha utilizado un ordenador.

6.7. Ejercicios

161

Compara la m´ axima utilidad que puede conseguir Nic´eforo con la utilidad que obtiene actualmente. (c) De las dos propuestas que le ha hecho Calixta, a Nic´eforo le interesa m´as la que le permite minimizar el gasto, pero hay un problema: La soluci´ on de Calixta exige ir al teatro 6 veces al mes, cuando el teatro del pueblo s´olo hace dos funciones distintas cada mes, as´ı que la propuesta es infactible. Calixta modifica sus c´ alculos para obtener el consumo que minimiza el gasto exigiendo adem´as Nic´eforo vaya al teatro, como m´aximo, dos veces al mes. Determina la nueva soluci´on que ha obtenido Calixta. ¿Cu´ anto puede ahorrarse ahora Nic´eforo? (d) Nic´eforo acepta la u ´ltima soluci´ on que le ha propuesto Calixta. ¿Cu´ anto podr´ıa ahorrarse, partiendo de esta opci´ on, si el teatro de su pueblo representara 3 funciones al mes? 12. Anacleto va a montar una peque˜ na f´ abrica y estudia el tipo de personal que va a contratar. Puede optar entre trabajadores cualificados, con titulaci´ on universitaria, a los que tendr´ıa que pagar 9 000 C al mes y/o trabajadores sin titulaci´ on universitaria, a los que pagar´ıa 2 000 C al mes. Anacleto calcula que, con x trabajadores universitarios e y trabajadores no universitarios, la producci´ on mensual que puede conseguir viene dada por la funci´ on Q(x, y) = xy + 50x + 20y. (a) Determina cu´ antos trabajadores deber´ a contratar Anacleto de cada clase para conseguir un nivel de producci´ on de 600 unidades mensuales con coste m´ınimo. (b) Un t´ıo de Anacleto le ha pedido que coloque a su hijo (reci´en licenciado) en su f´ abrica. ¿C´ omo afectar´ıa a los costes este enchufe? (c) ¿Cambiar´ıa mucho la soluci´ on si Anacleto encontrara universitarios dispuestos a aceptar el trabajo por 4 000 C al mes? 13. Una empresa fabrica tres art´ıculos en cantidades x, y, z. El beneficio neto que obtiene de cada unidad del primero es de 16 u.m., del segundo 24 u.m. y del tercero 12 u.m. (a) Determina el m´aximo beneficio que puede obtener la empresa11 si sus posibilidades de producci´ on est´an limitadas por 2x2 + 3y 2 + z 2 ≤ 2900. (b) ¿C´ omo afectar´ıa al beneficio m´ aximo que las posibilidades de producci´ on se ampliaran a 2x2 + 3y 2 + z 2 ≤ 2950? (c) ¿Y si el beneficio unitario del tercer producto aumentara a 13 u.m.? 14. La funci´ on de producci´ on de una empresa es Q(K, L, M ) = KLM , donde K, L y M son las cantidades empleadas de tres factores de producci´on. (a) Determina la m´ axima producci´ on que puede conseguir la empresa si la funci´ on de costes es C(K, L, M ) = 2K + L + 3M + 2 y el presupuesto es de 20 u.m. 11 Ayuda: F´ıjate que si alguna variable fuera 0, la condici´ on de punto cr´ıtico correspondiente obligar´ıa a que su multiplicador de Kuhn y Tucker fuera positivo, lo cual es imposible. Esto te descarta todos los casos de la holgura complementaria menos uno.

162

Tema 6. Optimizaci´on (b) Calcula c´ omo variar´ıa esa producci´ on m´ axima por cada unidad que la empresa aumentara su presupuesto. (c) Estudia c´ omo afectar´ıa a la producci´ on m´axima que el precio de K pasara a ser de 2.1 u.m.

15. Una empresa produce dos art´ıculos, de forma que sus posibilidades de producci´ on est´an limitadas por la relaci´ on x2 + 3y 2 ≤ 146. Si la empresa vende sus productos en un mercado cuyas preferencias vienen determinadas por la funci´ on de utilidad U (x, y) = x + ln y, determina qu´e cantidad debe producir la empresa de cada art´ıculo para maximizar la utilidad de sus consumidores.

Tema 7

La integral definida 7.1

La integral de Riemann

El concepto de integral definida En el tema 2, hemos visto c´omo calcular magnitudes marginales a partir de magnitudes acumuladas (p.ej., una funci´ on de beneficio marginal a partir de la funci´ on que nos da el beneficio acumulado). Ahora vamos a abordar el problema contrario: a partir de una magnitud marginal, vamos a calcular la correspondiente magnitud acumulada. Ejemplo 7.1 Por fijar ideas, vamos a considerar que conocemos el beneficio marginal de una empresa a lo largo de un periodo de un a˜ no y que queremos calcular cu´ al ha sido el beneficio que ha acumulado en dicho periodo. Si llamamos t = 0 al instante inicial del periodo, contando el tiempo en a˜ nos, el periodo resulta ser el intervalo [0, 1], y conocemos la funci´ on de beneficio marginal Bm : [0, 1] −→ R. Aunque, como hemos dicho, vamos a razonar con este ejemplo en concreto, es importante que la parte matem´ atica de cuanto diremos se aplica igualmente a cualquier funci´ on f : [a, b] −→ R, y la interpretaci´ on es v´alida siempre que f represente cualquier magnitud marginal (beneficio, coste, etc.) El problema es muy simple si podemos asegurar que el beneficio marginal ha sido el mismo en todo el periodo. Por ejemplo, si sabemos que, a lo largo de un a˜ no, el beneficio marginal ha sido Bm (t) = 200 u.m./a˜ no, podemos asegurar que el beneficio acumulado ser´ a B = 200 u.m./a˜ no × 1 a˜ no = 200 u.m.

0

Un caso m´as general, pero tambi´en muy sencillo, se da cuando el beneficio marginal ha ido variando durante el a˜ no, pero ha sido constante cada mes. Por ejemplo, supongamos que el beneficio marginal ha sido de 20 u.m./a˜ no durante el mes de enero, de 40 u.m./a˜ no durante el mes de febrero, 60 u.m./a˜ no en marzo, etc. En este caso, podemos 1 calcular el beneficio acumulado como 1 1 B = 20 u.m./a˜ no × de a˜ no + 40 u.m./a˜ no × de a˜ no + · · · 12 12 1 de a˜ no = 130 u.m. · · · + 240 u.m./a˜ no × 12 163

164

Tema 7. La integral definida

Conviene observar que el c´alculo que hemos hecho, adem´as de la interpretaci´ on econ´omica que le hemos dado, tiene tambi´en una interpretaci´ on puramente geom´etrica: hemos sumado las ´areas de los rect´angulos dibujados en la figura (base × altura). El primer rect´angulo tiene una base de 1/12 y una altura de 20, etc. Supongamos ahora que la funci´ on de beneficio marginal var´ıa en todo momento. Por ejemplo, supongamos que es Bm (t) = 240t. (A partir de aqu´ı todos los razonamientos ser´an generales, es decir, valdr´ an para esta funci´ on en concreto o para cualquier otra.) Aunque nuestro objetivo es calcular el beneficio acumulado exacto a que da lugar este beneficio marginal, vamos a empezar content´andonos con encontrar aproximaciones razonables. Para ello podemos razonar como sigue: consideramos el a˜ no dividido en doce partes (doce meses) que numeramos del 1 al 12. En cada uno de estos periodos, el beneficio marginal ha ido variando. Llamemos mi al m´ınimo valor que toma en el periodo i y Mi al m´aximo valor que toma en ese mismo periodo. Concretamente: El mes de enero (i = 1) es el comprendido entre los tiempos t0 = 0 y t1 = 1/12. En este periodo, el beneficio marginal ha variado entre no m1 = Bm (0) = 0 u.m./a˜

y

M1 = Bm (1/12) =

240 = 20 u.m./a˜ no. 12

El mes de febrero (i = 2) es el comprendido entre los tiempos t1 = 1/12 y t2 = 2/12. En este periodo, el beneficio marginal ha variado entre: m2 = Bm (1/12) =

240 = 20 u.m./a˜ no 12

y M2 = Bm (2/12) =

240 · 2 = 40 u.m./a˜ no. 12

Del mismo modo, podemos ir calculando el beneficio marginal m´ınimo y m´ aximo de cada mes. Podemos representarlos en una tabla: Mes mi Mi

E 0 20

F 20 40

M 40 60

A 60 80

M 80 100

J 100 120

J 120 140

A 140 160

S 160 180

O 180 200

N 200 220

D 220 240

Ahora viene la idea fundamental que subyace en todo el razonamiento que estamos presentando: Si multiplicamos el beneficio marginal m´ınimo de cada mes por la longitud del mes y sumamos, lo que obtenemos es un valor inferior al beneficio acumulado que buscamos, pues ser´ıa el beneficio acumulado si, en cada mes, el beneficio marginal se hubiera mantenido en su valor m´ınimo. Por el contrario, si hacemos el c´ alculo con el valor m´ aximo de cada mes, lo que obtenemos es un valor superior al beneficio acumulado. Llevemos esto a la pr´actica: Con los valores m´ınimos obtenemos: s(Bm , P ) = 0 ·

1 1 1 + 20 · + · · · + 220 · = 110 u.m. 12 12 12

Con los valores m´aximos obtenemos: S(Bm , P ) = 20 ·

1 1 1 + 40 · + · · · + 240 · = 130 u.m. 12 12 12

A´ un no sabemos cu´ anto vale el beneficio acumulado, pero ahora podemos asegurar que est´a entre 110 u.m. y 130 u.m. Podemos decir que lo conocemos con un error

7.1. La integral de Riemann

165

m´aximo del 17%. Vamos a ver que, yendo un poco m´ as lejos, podemos acabar con el resultado exacto, pero antes conviene analizar los c´alculos que hemos hecho hasta ahora. El valor s(Bm , P ) se llama suma inferior de Riemann de la funci´ on Bm correspondiente a la partici´ on P , donde P es simplemente la divisi´on del a˜ no en meses que hemos tomado para hacer las cuentas: P = {0, 1/12, 2/12, · · · , 12/12 = 1}. Igualmente, S(Bm , P ) es la suma superior de Riemann correspondiente a la misma partici´ on. Bm (t)

Bm (t)

La figura nos da la interpretaci´ on geom´etrica de estas sumas: al multiplicar el m´ınimo valor de Bm en cada intervalo por la longitud del intervalo y sumar, estamos calculando la suma de las a´reas de los rect´angulos sombreados en la figura de la izquierda, mientras que si usamos el m´aximo de cada intervalo estamos calculando el ´area sombreada en la figura de la derecha. Observemos que la primera es menor que el ´area total que queda debajo de la gr´ afica de la funci´ on, mientras que la segunda es mayor que dicha a´rea. La clave para calcular el beneficio acumulado exacto consiste en no limitarnos a partir el a˜ no en meses, sino en considerar particiones en muchos m´as intervalos mucho m´as peque˜ nos. Por ejemplo, vamos a considerar la partici´ on Pn que divide el a˜ no en n intervalos de longitud 1/n (as´ı, si n = 365, estamos partiendo el a˜ no en d´ıas, pero queremos considerar particiones en d´ıas, en horas, en minutos, etc.) Vamos a calcular las sumas s(Bm , Pn ) y S(Bm , Pn ). La tabla que antes ten´ıa 12 intervalos ahora tiene n intervalos: Intervalo mi Mi

[0, 1/n] 0 240 · 1/n

[1/n, 2/n] 240 · 1/n 240 · 2/n

[2/n, 3/n] 240 · 2/n 240 · 3/n

··· ··· ···

[(n − 1)/n, n/n] 240(n − 1)/n 240n/n

Por lo tanto: s(Bm , Pn ) = 0 ·

1 240 1 240 · 2 1 240 · (n − 1) 1 + · + · + ··· + · = n n n n n n n 



240 240 (n − 1)n 1 (1 + 2 + · · · + n − 1) = 2 , = 120 1 − 2 n n 2 n 240 · 1 1 240 · 2 1 240 · n 1 S(Bm , Pn ) = · + · + ··· + · = n n n n n n   240 n(n + 1) 1 240 . = 120 1 + = 2 (1 + 2 + · · · + n) = 2 n n 2 n Con estos c´alculos podemos asegurar que el beneficio acumulado B que buscamos cumple que     1 1 120 1 − ≤ B ≤ 120 1 + , n n

166

Tema 7. La integral definida

y lo mismo puede decirse del ´area que queda por debajo de la gr´ afica de la funci´ on Bm (t). Finalmente, como esto ha de ser cierto para todo n, y sucede que 

1 l´ım 120 1 − n→∞ n







1 = 120 = l´ım 120 1 + , n→∞ n

podemos concluir que el beneficio acumulado que buscamos ha de ser exactamente B = 120 u.m., y adem´ as coincide con el ´area comprendida bajo la gr´ afica del beneficio marginal. En general: Diremos que una funci´ on f : [a, b] −→ R est´a acotada si existen valores m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], es decir, si f est´a siempre comprendida entre un valor m´ınimo m y un valor m´aximo M . Una partici´ on P de [a, b] es un conjunto de puntos P = {x0 = a < x1 < · · · < xn = b}. Si f est´a acotada en [a, b], podemos definir mi y Mi como el valor m´ınimo y el valor on f toma en el intervalo [xi−1 , xi ]. A su vez, esto nos permite definir m´aximo1 que la funci´ la suma inferior y la suma superior de Riemann de f respecto de la partici´on P como: s(f, P ) =

n 

mi ∆xi ,

S(f, P ) =

i=1

n 

Mi ∆xi ,

i=1

on. donde ∆xi = xi − xi−1 es la longitud del intervalo i-´esimo de la partici´ A partir de las sumas de Riemann podemos calcular la integral inferior y la integral superior de f en [a, b], que se representan por −b f (x) dx ≤ f (x) dx.

 b

−a

a

Concretamente, la integral inferior es el mayor valor al que nos podemos aproximar mediante sumas inferiores para distintas particiones, mientras que la integral superior es el menor valor al que nos podemos aproximar con sumas superiores. Definici´ on Una funci´ on f : [a, b] −→ R es integrable Riemann en [a, b] si es acotada en el intervalo y su integral inferior coincide con su integral superior. En tal caso, a ese valor com´ un se le llama integral de Riemann de f en [a, b], y se representa por  b

−b f (x) dx = f (x) dx.

 b

f (x) dx = a

1

−a

a

T´ecnicamente, deber´ıamos decir el ´ınfimo y el supremo de los valores que f toma en [xi−1 , xi ], pero no vamos a entrar aqu´ı en esta distinci´ on.

7.1. La integral de Riemann

167

En el ejemplo 7.1 hemos visto que, tanto con sumas inferiores como con sumas superiores, podemos acercarnos cuanto queramos al valor 120, por lo que ´este es tanto el valor de la integral inferior como de la integral superior. En definitiva, hemos probado que  1

240t dt = 120. 0

Ahora deber´ıa estar clara la interpretaci´ on marginal de la integral de Riemann: Si la funci´ on f (x) representa el incremento marginal de una funci´ on F para b cada valor de x, entonces a f (x) dx representa el incremento acumulado de F en el intervalo [a, b], es decir, es igual a F (b) − F (a). El ejemplo 7.1 tambi´en muestra que la integral es igual al a´rea que queda por debajo de la gr´ afica de la funci´ on dentro del intervalo en que se calcula (con la salvedad de que si, en una regi´ on, la funci´ on toma valores negativos, el ´area correspondiente se cuenta tambi´en con signo negativo). C´ alculo de integrales En la pr´ actica, nunca tendremos necesidad de calcular integrales mediante la definici´ on de integral (calculando sumas superiores e inferiores). Los teoremas siguientes nos permiten determinar f´acilmente si una funci´ on es integrable o no, as´ı como el valor de la integral: Teorema Si una funci´ on acotada f : [a, b] −→ R es continua en todo [a, b] salvo a lo sumo en un n´ umero finito de puntos entonces es integrable Riemann en [a, b]. En particular toda funci´ on continua en un intervalo [a, b] es integrable Riemann. Regla de Barrow Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on continua en [a, b] entonces existe una funci´ on F : [a, b] −→ R continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ tal que F
= f y si F es cualquier funci´ on que cumpla esto entonces  b a

f (x) dx = F (b) − F (a).

Una funci´ on F que cumpla F
= f se llama una primitiva de f . Ejemplo 7.2 Para calcular de 240t, luego  1 0

1 0

240t dt basta observar que F (t) = 120t2 es una primitiva

240t dt = [120t2 ]10 = 120 − 0 = 120.

Para un ejemplo de funci´ on no integrable Riemann v´ease la nota 2 al final del tema. Es importante observar que la regla de Barrow s´ olo puede aplicarse a funciones continuas. Si la funci´ on que queremos integrar tiene una o varias discontinuidades, descomponemos la integral en suma de integrales de funciones continuas usando la u ´ltima propiedad del teorema siguiente:

168

Tema 7. La integral definida

Teorema

Se cumplen las propiedades siguientes:

1. Si f y g son funciones integrables Riemann en [a, b] entonces f + g tambi´en lo es y  b

 b

(f (x) + g(x)) dx = a

 b

f (x) dx + a

g(x) dx, a

2. Si f es una funci´ on integrable Riemann en [a, b] y α ∈ R, entonces αf tambi´en lo es y  b

 b

αf (x) dx = α a

f (x) dx, a

3. Si f y g son funciones integrables Riemann en [a, b] y para todo x ∈ [a, b] se cumple f (x) ≤ g(x), entonces  b a

f (x) dx ≤

 b

g(x) dx. a

En particular la integral de una funci´ on no negativa es no negativa y la integral de una funci´ on no positiva es no positiva. 4. Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on acotada en [a, b] y a < c < b, entonces f es integrable Riemann en [a, b] si y s´ olo si lo es en [a, c] y en [c, b], y en tal caso  b

 c

f (x) dx = a

 b

f (x) dx + a

f (x) dx. c

Estos resultados nos permiten “olvidarnos” de la definici´ on de integral en t´erminos de sumas superiores e inferiores a la hora de hacer c´alculos concretos,2 pero conviene tener presente que es en esta definici´on donde reside el significado del n´ umero que obtenemos al calcular una integral. En la pr´ actica, no es necesario tener en cuenta los detalles de la definici´ on, sino tan s´ olo una dr´ astica simplificaci´on de la misma. Lo que hemos visto es que, en esencia,  b

f (x) dx a

es el n´ umero al que llegamos cuando partimos el intervalo [a, b] en muchos trozos muy peque˜ nos de longitud ∆x, multiplicamos f (x)∆x (para un x en cada peque˜ no intervalo), sumamos todos estos productos, y luego estudiamos qu´e sucede a medida que las longitudes ∆x se hacen cada vez m´as peque˜ nas. Pero, desde que se invent´ o el c´alculo integral, los matem´ aticos han concebido las integrales seg´ un una versi´ on simplificada de este esbozo: la integral es el n´ umero que resulta de dividir el intervalo en infinitos intervalos de longitud dx infinitamente peque˜ na, multiplicar f (x) dx y sumar para los infinitos valores de xentre a y b. De hecho,  el signo es una S, abreviatura del lat´ın Summa, de modo que ab sugiere “suma para todos los valores de x entre a y b”. Obviamente, hablar de una suma de infinitos sumandos infinitesimales, que es lo que estamos haciendo aqu´ı, no es riguroso, porque no existen n´ umeros infinitamente peque˜ nos, pero, precisamente, lo que garantiza la definici´ on de integral es que los razonamientos en t´erminos de sumas de infinitesimales pueden traducirse en argumentos rigurosos en t´erminos de sumas de Riemann. 2

Sobre esto, v´ease, no obstante, la nota 1 al final del tema.

7.2. Integrales impropias

169

Problema 7.3 Calcula el coste de producir 10 unidades de un art´ıculo si los costes fijos son de 20 u.m. y la funci´ on de coste marginal es Cm (q) = 30 + 40e−q/20 . 20 u.m.

dC

´ n: Cuando la producci´ Solucio on es q = 0 tenemos un coste de 20 u.m. y, a medida que la pro0 dq 10 ducci´ on q va aumentando, el coste aumenta tambi´en. Cuando el nivel de producci´ on es q, un incremento infinitesimal de producci´ on dq da lugar a un incremento de coste dC dq = (30 + 40e−q/20 ) dq. dq

dC =

Por consiguiente, el coste total cuando el nivel de producci´ on llega a q = 10 ser´a el que ya ten´ıamos en 0 m´as la suma de los infinitos incrementos infinitesimales de coste dC provocados por los infinitos incrementos infinitesimales de producci´ on dq necesarios para pasar de q = 0 a q = 10:  10

C(10) = 20 +

(30 + 40e−q/20 ) dq = 20 + 30

0

 10

 10

dq + 40 0

e−q/20 dq

0

−q/20 10 = 20 + 30[q]10 ]0 = 20 + (10 − 0) + 40(−20e−10/20 + 20e0 ) = 0 + 40[−20e

20 + 10 − 485.22 + 800 = 1315.22 u.m.

7.2

Integrales impropias

La integral de Riemann que hemos definido en la secci´ on anterior requiere que el integrando f cumpla dos propiedades: 1. Que est´e definidas en un intervalo acotado [a, b] (y no en un intervalo no acotado, como [2, +∞[, ]−∞, 5] o ]−∞, +∞[), 2. Que est´e acotadas en dicho intervalo, es decir, que no tienda a ±∞ en ning´ un punto del intervalo [a, b]. Cuando no se cumple una de estas condiciones, o ambas a la vez, es posible extender el concepto de integral mediante l´ımites. Las integrales definidas de esta forma se llaman integrales impropias. Concretamente: Definici´ on Sea f : [a, +∞[ −→ R una funci´ on integrable Riemann en cada intervalo [a, b] con b > a. Se define la integral impropia de primera especie  +∞

 t

f (x) dx = l´ım

t→+∞ a

a

f (x) dx.

Si el l´ımite no existe se dice que la integral es divergente. En caso contrario es convergente. Similarmente, si f : ]−∞, b] −→ R es integrable en cada intervalo [a, b], con a < b, se define   b

−∞

b

f (x) dx = l´ım

t→−∞ t

f (x) dx.

170

Tema 7. La integral definida Por u ´ltimo, si f : R −→ R es integrable en todo intervalo [a, b], se define  +∞

 a

f (x) dx =

−∞

 +∞

−∞

f (x) dx +

f (x) dx, a

donde a ∈ R es cualquier n´ umero prefijado, entendiendo que la integral es convergente si y s´olo si lo son las dos integrales impropias de la derecha. Es f´acil ver que el valor de la integral completa no depende de la elecci´on de a. Definici´ on Si f : [a, b[ −→ R es una funci´ on integrable Riemann en cada intervalo [a, t], con a < t < b, entonces se define la integral impropia de segunda especie  b

 t

f (x) dx = l´ım

f (x) dx.

t→b− a

a

Como en el caso de las integrales de primera especie, se dice que la integral es convergente si existe el l´ımite y divergente si no existe. Similarmente, si f : ]a, b] −→ R es integrable en los intervalos [t, b], con a < t < b se define   b

b

f (x) dx = l´ım

f (x) dx.

t→a+ t

a

Si la funci´ on f : ]a, b[ −→ R es integrable en cada intervalo [t1 , t2 ], con a < t1 < t2 < b, definimos    b

c

f (x) dx =

b

f (x) dx +

a

a

f (x) dx, c

donde c es cualquier punto tal que a < c < b, entendiendo que la integral es convergente si y s´olo si lo son las dos integrales impropias de la derecha. M´as en general, siempre que el dominio de una funci´ on f pueda descomponerse en intervalos donde f sea integrable impropia de primera o segunda especie, se define la integral impropia de f como la suma de las integrales de f en cada uno de estos dominios. Problema 7.4 Calcula la integral  +∞ dx

x2

1

.

´ n: Tenemos que Solucio  +∞ dx 1

x2

= l´ım

 t dx

t→+∞ 1

x2



= l´ım

t→+∞

−

1 x

t



= l´ım 1

t→+∞

Problema 7.5 Estudia si la integral  9 0

 3



1 − + 1 = 1. t

dx (x − 1)2

es convergente o divergente y, si es convergente, calcula su valor.

7.3. Integral m´ ultiple

171

´ n: Observamos que el integrando es continuo en [0, 9] excepto en x = 1, Solucio donde la funci´ on se hace infinita porque el denominador se anula. Por consiguiente, descomponemos:  9 0

 1

dx  = 3 (x − 1)2

dx  + 3 (x − 1)2

0

 9 1

dx . (x − 1)2

 3

Estudiamos por separado ambos sumandos:  1 0

dx (x − 1)2

 3

 t

=

l´ım

t→1− 0

1

dx (x − 1)2

 3

t→1−

 9

= =

t→1−

l´ım 3((t − 1)1/3 − (−1)) = 3.

=  9

(x − 1)−2/3 dx = l´ım 3[(x − 1)1/3 ]t0

l´ım

t→1+ t

(x − 1)−2/3 dx = l´ım 3[(x − 1)1/3 ]9t t→1+

l´ım 3(2 − (t − 1)

1/3

t→1−

) = 6,

luego la integral es convergente y  9 0

7.3

dx = 3 + 6 = 9. (x − 1)2

 3

Integral m´ ultiple

Nos ocupamos ahora de la integraci´ on de funciones de varias variables. Del mismo modo que hemos definido la integrabilidad de funciones acotadas en intervalos acotados [a, b], ahora vamos a definir la integrabilidad de funciones acotadas en cubos, es decir, en conjuntos de la forma [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] = {¯ x ∈ Rn | a1 ≤ x1 ≤ b1 , . . . , an ≤ xn ≤ bn }. La definici´ on es an´aloga a la de funciones de una variable. Por no complicar la notaci´ on la veremos para funciones de dos variables, aunque todo es v´ alido en general. En dos variables, un cubo es, m´ as concretamente, un rect´angulo [a, b] × [c, d]. Ahora consideramos particiones P1 y P2 de los dos intervalos: P1 = {a = x0 < x1 < · · · < xm = b},

P2 = {c = y1 < y2 < · · · < yn = d}.

Tal y como muestra la figura, cada par de particiones divide al rect´ angulo en mn peque˜ nos rect´angulos de lados ∆yj ∆xi = xi − xi−1 y ∆yj = yj − yj−1 . Si f es una funci´ on acotada definida en el rect´ angulo [a, b] × [c, d], podemos c definir mij y Mij como el m´ınimo y el m´ aximo valor, reson f toma en el rect´angulo (i, j) a ∆xi b pectivamente, que la funci´ de la partici´ on. Por ejemplo, m5,4 ser´ıa el m´ınimo valor que toma f en el rect´angulo sombreado en la figura. d

A partir de aqu´ı, la definici´ on de la integral es id´entica al caso de una variable:

172

Tema 7. La integral definida

Consideramos una funci´ on f : R −→ R definida en un rect´angulo R = [a, b] × [c, d] y acotada en ´el, es decir, tal que existen valores m y M tales que m ≤ f (¯ x) ≤ M para todo x ¯ ∈ R. Dadas dos particiones P1 = {a = x0 < x1 < · · · < xm = b},

P2 = {c = y1 < y2 < · · · < yn = d},

llamamos mij y Mij al los valores m´ınimo y m´aximo3 que f toma en el rect´angulo [xi−1 , xi ]×[yj−1 , yj ]. Definimos la suma inferior de Riemann y la suma superior de Riemann de f respecto de las particiones P1 y P2 como s(f, P1 , P2 ) =

n m  

mij ∆xi ∆xj ,

S(f, P1 , P2 ) =

i=1 j=1

n m  

Mij ∆xi ∆xj ,

i=1 j=1

donde ∆xi = xi − xi−1 , ∆yj = yj − yj−1 . (En definitiva, multiplicamos cada mij o Mij por el ´area del rect´angulo ∆i ∆xj y sumamos.) Llamamos integral inferior de f (x, y) en R al mayor valor al que podemos aproximarnos mediante sumas inferiores de f (para distintas particiones) y la integral superior es el menor valor al que podemos aproximarnos mediante sumas superiores. Las representamos por  R

−

−

f (x, y) dxdy ≤

f (x, y) dxdy. R

Diremos que la funci´ on f es integrable Riemann en R cuando estas dos integrales coinciden, y a este valor com´ un se le llama integral de f en R: 

−



f (x, y) dxdy =

f (x, y) dxdy =

R

R

−

f (x, y) dxdy. R

Si f : D ⊂ R2 −→ R es una funci´ on acotada en un dominio D y se cumple que D est´a contenido en un rect´angulo D ⊂ R = [a, b] × [c, d], diremos que f es integrable Riemann en D si lo es en R, entendiendo que f toma el valor 0 en los puntos de R que no est´an en D, y la integral de f en R (consider´andola nula fuera de D) se representa por 

f (x, y) dxdy. D

Tal y como hemos dicho, esta definici´on es v´alida igualmente para funciones de cualquier n´ umero de variables, sin m´ as que considerar una partici´ on para cada intervalo. Como en el caso de funciones de una variable, aunque no todas las funciones son integrables Riemann en todos los conjuntos, lo cierto es que s´ı que lo son todas las que nos aparecer´an en la pr´ actica. No vamos a enunciar expl´ıcitamente un resultado a este respecto, pero baste saber que todas las funciones continuas (acotadas) definidas sobre conjuntos (acotados, es decir, contenidos en cubos) definidos mediante desigualdades con funciones continuas, son integrables Riemann. En la pr´ actica, para calcular integrales usaremos el teorema siguiente que, por simplicidad, lo enunciamos para funciones de dos variables, aunque es v´ alido en general: 3

T´ecnicamente, el ´ınfimo y el supremo.

7.3. Integral m´ ultiple

173

Teorema Sea R = [a, b] × [c, d] un rect´ angulo en R2 y sea f : R −→ R una funci´ on integrable Riemann en R. Entonces  b  d



f (x, y) dxdy = R



f (x, y) dy dx, a

c

donde la integral de dentro del par´entesis es la integral de f (x, y) que resulta de considerar a x como una constante. Problema 7.6 Calcula



2 D (x y

+ z) dxdydz, donde D = [1, 3] × [−1, 2] × [0, 1].

´ n: Se cumple que Solucio 

(x2 y + z) dxdydz =

 3 2  1



 3 2

=

z2 x yz + 2



=

1

2

−1

1

−1 0

1

D

 3 x2 y 2

2

1

 3



= 1

y + 2

 3 2 

dydx =

2

(x2 y + z)dzdydx

−1

1

0

 3

dx = 1

−1





1 x y + − 0 dydx 2 2





x2 1 2x + 1 − dx + 2 2 2



3x2 3 x3 3x dx = + + 2 2 2 2

3

= 18 − 2 = 16. 1

En el problema anterior hemos integrado primero respecto de z, luego respecto de y y luego respecto de x. En general, podemos elegir el orden en que integramos. El resultado final ser´ a el mismo, aunque puede ocurrir que la integral sea m´ as f´acil o m´as dif´ıcil de calcular seg´ un el orden que elijamos, tal y como sucede en el problema siguiente: Problema 7.7 Calcula la integral 

xex(y−1/2) dx dy, D

donde D = [0, 10] × [0, 1]. ´ n: Vamos a integrar primero respecto de y. (Si quisi´eramos integrar priSolucio mero respecto de x, tendr´ıamos que integrar por partes, y el c´ alculo ser´ıa m´as complicado).   

xex(y−1/2) dx dy =  10 

= 0

D

ex(y−1/2)

1 0

 10

dx = 0

 10 0

1

xex(y−1/2) dy dx

0

(ex/2 − e−x/2 ) dx = [2ex/2 + 2e−x/2 ]10 0

= 2e5 + 2e−5 − 4 ≈ 11 012.

174

Teorema

Tema 7. La integral definida

Propiedades de la integral de Riemann:

1. Si D = D1 ∪ D2 ⊂ Rn y D1 ∩ D2 = ∅, entonces una funci´ on f : D −→ R es integrable Riemann en D si y s´olo si lo es en D1 y en D2 , y en tal caso  D



f dx1 · · · dxn =

f dx1 · · · dxn +

D1



f dx1 · · · dxn .

D2

2. Si f y g son integrables Riemann en D, entonces f + g tambi´en lo es y  D

(f + g) dx1 · · · dxn =

 D

f dx1 · · · dxn +

 D

g dx1 · · · dxn .

3. Si f es integrable Riemann en D y α ∈ R, entonces αf tambi´en lo es y  D

αf dx1 · · · dxn = α

 D

f dx1 · · · dxn .

Veamos ahora un ejemplo de c´alculo de una integral sobre un dominio que no es un cubo. Problema 7.8 Calcula la integral de la funci´ on f (x, y) = 6x + 3y 2 sobre el dominio D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10, x + y ≥ 10}. 10

´ n: Hemos de calcular la integral Solucio 

(6x + 3y 2 ) dxdy, y = 10 − x 0

x

D

donde D es la regi´on sombreada en la figura. Vamos a descomponerla en dos integrales sucesivas eligiendo el orden de integraci´ on. 10 Por ejemplo, si integramos primero respecto de y nos queda: 

  2

(6x + 3y ) dy dx, donde falta determinar los extremos de las dos integrales. Para la integral exterior (respecto de x) observamos que, si queremos recorrer todo el dominio D, la variable x ha de variar entre 0 y 10. Por eso escribimos:  10 

 2

(6x + 3y ) dy dx. 0

Ahora viene la parte m´ as delicada: Fijado un valor para x entre 0 y 10 (por ejemplo, el indicado en la figura), en principio la y var´ıa tambi´en entre 0 y 10, pero hemos de tener presente que integrar sobre D significa considerar que la funci´ on vale 0 fuera de D (en la parte blanca de la figura). As´ı pues, como vemos en la figura, la funci´ on s´olo vale 6x + 3y 2 cuando y var´ıa entre 10 − x y 10. Por eso, la descomposici´on de la integral es     10

(6x + 3y 2 ) dxdy = D

0

10

10−x

(6x + 3y 2 ) dy dx.

7.4. Complementos

175

A partir de aqu´ı s´olo falta un c´ alculo rutinario:  10  10

 2

 10 

(6x + 3y ) dy dx = 0

10−x

 10

= 0

 10

= 0

6xy + y 3

0

10 10−x

dx

(60x + 1 000 − 6x(10 − x) − (10 − x)3 ) dx 

(10 − x)4 (1 000 + 6x − (10 − x) ) dx = 1 000x + 2x + 4 2

3

10

3

0

= 10 000 + 2 000 − 2500 = 9 500.

Interpretaci´ on de la integral m´ ultiple Al igual que en el caso de una variable, las integrales m´ ultiples se pueden interpretar como sumas de infinitos sumandos infinitesimales. Por ejemplo, supongamos que la figura de la p´ agina 171 representa un barrio de una ciudad, y que la funci´ on f (x, y) representa el precio del metro cuadrado de terreno (que ser´a distinto en distintas zonas del barrio en funci´ on de la distancia al centro de la ciudad, de los servicios de la zona, etc.) Si dividimos el barrio en peque˜ nas parcelas, como indica la figura, tenemos que la parcela (i, j) mide ∆xi ∆yj m2 , y los valores mij y Mij son los valores m´ınimo y m´aximo entre los que oscila el precio del metro cuadrado en dicha parcela, por lo que mij ∆xi ∆yj y Mij ∆xi ∆yj son aproximaciones por abajo y por arriba del valor de la parcela. Las sumas de Riemann s(f, P1 , P2 ) y S(f, P1 , P2 ) son, por lo tanto, aproximaciones por abajo y por arriba del precio total del terreno, y la integral 

f (x, y) dxdy R

es el precio exacto del terreno. En la pr´ actica podemos prescindir de los detalles t´ecnicos de la definici´on de la integral y pensar que f (x, y)dxdy es el precio infinitesimal de una parcela infinitesimal de terreno de lados dx y dy, y que la integral es la suma de los precios de las infinitas parcelas infinitesimales en que podemos dividir el terreno R. Para ver un caso concreto de este ejemplo mira el ejercicio 26.

7.4

Complementos

Valores medios Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on integrable Riemann en [a, b], su valor medio se define como b f (x) dx µ= a . b−a Problema 7.9 El beneficio marginal de una empresa en un periodo de 3 a˜ nos ha venido no dado por la funci´ on Bm (t) = 20 + 10t − 4t2 u.m./a˜ ´ n: El beneficio medio es Solucio 3

µ=

0

(20 + 10t − 4t2 ) dt . 3−0

176

Tema 7. La integral definida

Calculamos aparte la integral:  3 0



4 (30 + 10t − 4t2 ) dt = 20t + 5t2 − t3 3

30

3

= 60 + 45 − 36 − 0 = 69 u.m.

0

La integral es el beneficio acumulado en los tres a˜ nos: si la empresa ha acumulado 69 u.m. en tres a˜ nos, su beneficio medio ha sido de

25 20 15

µ=

10

69 = 23 u.m./a˜ no. 3

5 0.5

1

1.5

2

2.5

3

Notemos que el beneficio medio es el valor medio del beneficio marginal, no del beneficio acumulado. (No pod´ıa ser de otro modo: para que una integral tenga una interpretaci´on, el integrando ha de ser una magnitud marginal.) Si en la definici´ on de valor medio despejamos:  b a

f (x) dx = µ(b − a),

obtenemos la interpretaci´ on geom´etrica del valor medio: el miembro izquierdo es el ´area por debajo de la gr´ afica, mientras que el miembro derecho es el ´area del rect´angulo que queda por debajo del valor medio. As´ı, en la figura del ejemplo anterior, el a´rea que “se sale” por el centro por encima del valor medio es igual al ´area que “falta” por los lados para llegar al valor medio. Para otro ejemplo sobre valores medios, v´ease la nota 3 al final del tema. Excedente del productor y excedente del consumidor Si S(p) es la funci´ on de oferta de un producto a un precio p y P es el precio actual, la integral p

 P

S(p) dp

D(p)

0

P

se llama excedente del productor. Si D(p) es la funci´ on de demanda, la integral

S(p) q

 +∞

D(p) dp P

es el excedente del consumidor. (En la pr´ actica, si hay un precio m´ aximo P1 a partir del cual la demanda se hace nula, podemos cambiar el +∞ por dicho precio P1 .) En la figura, el excedente del productor es el a´rea sombreada por debajo del precio P , mientras que el excedente del consumidor es el ´area sombreada por encima de P . Las interpretaciones de estas integrales no son evidentes. Las discutimos en las notas 4 y 5 al final del tema.

7.4. Complementos

177

Rentas continuas En el sentido m´ as amplio, una renta es un capital distribuido en el tiempo. M´ as concretamente, podemos pensar en un capital que se va pagando o cobrando poco a poco, a lo largo de un periodo de tiempo. La renta es discreta si consiste en un n´ umero finito de pagos, habitualmente repartidos de forma peri´ odica (cada d´ıa, o cada mes, o cada a˜ no, etc.), pero aqu´ı vamos a tratar las rentas continuas, en las que suponemos que en todo momento se est´a realizando un peque˜ no pago. Una renta continua est´ a determinada por una funci´ on de reembolso (acumulado) R(t), que nos da el capital reembolsado hasta el instante t. Alternativamente, tambi´en queda determinada por la funci´ on de reembolso marginal, la derivada del reembolso acumulado, que indica el ritmo al que aumenta la cantidad reembolsada por unidad de tiempo. Problema 7.10 Un ahorrador ingresa dinero4 en una cuenta bancaria a raz´ on de 900, t2 C /a˜ no durante un periodo de 3 a˜ nos (que comienza en t = 0). Determina la funci´ on A(t) que da el ahorro acumulado durante dicho periodo, la cantidad ingresada durante el segundo a˜ no y la cantidad ingresada en todo el periodo. ´ n: La funci´ Solucio on que nos dan es el ahorro marginal Am (t) = 900 t2 C /a˜ no. Para calcular el ahorro acumulado, aplicamos el razonamiento est´ andar: a partir de un tiempo t y durante un intervalo infinitesimal dt, la cantidad ingresada en el banco es dA =

dA dt = 900 t2 dt. dt

Por consiguiente, la cantidad ingresada desde t = 0 hasta un tiempo t = T es la “suma” de los ingresos infinitesimales correspondientes a los infinitos valores posibles de t entre dichos instantes, es decir:  T

A(T ) =



900 t2 dt = 300 t3

0

T 0

= 300 T 3 C.

La cantidad ingresada durante el segundo a˜ no (el periodo [1, 2]) puede calcularse sumando los ingresos infinitesimales de dicho periodo, es decir, como:  2

900 t2 dt,

1

o tambi´en, a partir de la funci´ on que ya hemos calculado: A(2) − A(1) = 300 · 23 − 300 · 13 = 2 100 C. Del mismo modo, la cantidad total ingresada puede calcularse como  3

900 t2 dt,

0

o tambi´en como A(3) = 8 100 C. Observemos que, en el problema anterior, los 8 100 C que hemos obtenido son la cantidad total que el ahorrador ha ingresado en el banco, que no es lo mismo que el saldo 4

Es evidente que nadie ingresa dinero en un banco de forma continua, pero si plante´ aramos el problema en t´erminos de una renta discreta con pagos mensuales, para calcular la cantidad total ingresada tendr´ıamos que realizar una suma de 36 sumandos, algo mucho m´ as molesto que la integral que vamos a resolver.

178

Tema 7. La integral definida

final de su cuenta. Si el banco le da un inter´es por sus ahorros, en los 8 100 C anteriores no est´an contados los intereses que ha generado este capital. En general, es raro que tenga inter´es sumar todo el capital reembolsado de una renta, sino que, dado que estamos sumando capitales correspondientes a tiempos distintos, lo que realmente tiene inter´es es la suma de los capitales transportados a un mismo instante de acuerdo con una ley de capitalizaci´ on. Es lo que se llama el valor de la renta en un momento dado. Concretamente, si Rm (t) es la funci´ on de reembolso marginal de una renta que se percibe en un intervalo [ti , tf ], su valor en un instante t0 , considerando un factor de capitalizaci´ on i∞ de inter´es continuo, se calcula como sigue: La cantidad reembolsada en un tiempo t y durante un intervalo infinitesimal dt viene es igual a Rm (t) dt; transportamos este capital al instante t0 mediante la ley de capitalizaci´ on del inter´es continuo y obtenemos5 dV = Rm (t)ei∞ (t0 −t) dt, donde dV es la parte infinitesimal del valor que queremos calcular correspondiente al reembolso efectuado en el tiempo t; el valor total de la renta en t0 ser´a la suma de estos valores infinitesimales dV correspondientes a todos los tiempos t en el intervalo [ti , tf ], es decir:  tf

V = ti

Rm (t)ei∞ (t0 −t) dt.

Todo este razonamiento vale igualmente si la renta es perpetua, es decir, que se cobra hasta tf = +∞. En tal caso, obtenemos una integral impropia. Problema 7.11 Calcula el saldo final de la cuenta del ahorrador del problema 7.10 si el banco le ofrece un inter´es continuo del 2%. ´ n: La cantidad ingresada en un tiempo t durante intervalo infinitesimal dt Solucio es dA = 900 t2 dt. En t = 3, este capital se habr´a convertido en dV = 900 t2 e0.02(3−t) dt = 900 t2 e0.06−0.02t dt. El saldo final ser´ a la suma de todos estos capitales:  3

V =



900 t2 e0.06−0.02t dt =

0



= −900 t · 50e 2



u = 900 t2 , dv = e0.06−0.02t dt

0.06−0.02t

3 0

 3

+

du = 1 800t dt v = −50e0.06−0.02t

90 000te0.06−0.02t dt =

0

u = 90 000t du = 90 000 dt dv = e0.06−0.02t dt v = −50e0.06−0.02t



= −405 000 + −4 500 000te0.06−0.02t 

3 0

 3

+

4 500 000e0.06−0.02t dt

0

−405 000 − 13 500 000 + −225 000 000e0.06−0.02t

3 0

= −238 905 000 + 238 913 222.97 = 8 222.97 C.

5

Observemos que estamos transportando un capital desde el tiempo t hasta el tiempo t0 , luego el tiempo final es t0 y el tiempo inicial es t. Por ello el exponente es t0 − t.

7.4. Complementos

179

Si alguien piensa que las rentas continuas no existen deber´ıa prestar atenci´ on al ejemplo siguiente: Ejemplo 7.12 Un inquilino firma un contrato de alquiler por 10 a˜ nos que estipula un pago de 400 C mensuales (por adelantado) que se incrementar´ an anualmente en un 2%. Calcula el valor inicial del alquiler considerando un factor de descuento del 5% anual. En la nota 6 al final del tema resolvemos este problema de forma exacta con las t´ecnicas usuales de la matem´atica financiera. Como puede verse all´ı, la soluci´ on es V0 = 41 340.09 C. Aqu´ı vamos a resolverlo suponiendo que el alquiler no se paga mensualmente, sino continuamente. Por comodidad, vamos a traducir los datos del problema a inter´es continuo con la on del alquiler equivale a un ln(1.02) = f´ ormula i∞ = ln(1 + i): el 2% anual de revisi´ 0.0198 continuo, y el 5% de descuento equivale a ln(1.05) = 0.04879. Tambi´en por comodidad, trabajaremos en a˜ nos, de modo que los 400 C mensuales son 400 · 12 = 4 800 C /a˜ no. Para la revisi´ on del alquiler usamos la ley de capitalizaci´ on correspondiente al inter´es continuo, de modo que el inquilino pagar´ a 0.0198t Rm (t) = 4 800e C /a˜ no. As´ı, no s´ olo suponemos que el alquiler se paga de forma continua, sino tambi´en que el incremento del alquiler no se produce de golpe al principio de cada a˜ no, sino que el precio del alquiler aumenta tambi´en gradualmente a cada instante. Con estas transformaciones, hemos llegado a un enunciado t´ıpico de los que te puedes encontrar en la colecci´on de problemas: Calcula el valor inicial de una renta continua de 4 800e0.0198 C/a˜ no a pagar durante un periodo de 10 a˜ nos con un factor de descuento continuo de i = 0.0488. ´ n: En un tiempo t y durante un intervalo dt, la cantidad reembolsada es Solucio dR = 4 800e0.0198 dt, y su valor inicial es dV0 = 4 800e0.0198 e0.0488(0−t) dt = 4 800e−0,029t dt. El valor inicial de la renta ser´ a la “suma” de estos valores infinitesimales para todos los tiempos t entre 0 y 10 a˜ nos:  10

V0 =

0

4 800e−0.029t dt = −

4 800  −0.029t e 0.029

10 0

=−

4 800 −0.29 − 1). (e 0.029

Operando queda V0 = 41 666.72 C. El porcentaje de error es E = 100 ·

41 666.72 − 41 340.09 = 0.79%. 41 340.09

Adem´as de lo peque˜ no que es el error, es interesante comparar la sencillez, tanto conceptual como de c´alculo, del planteamiento continuo con lo farragoso que resulta el planteamiento discreto desarrollado en la nota 6. Estas diferencias resultan cruciales cuando no se trata de obtener un resultado num´erico, sino de obtener f´ ormulas generales que permitan estudiar un problema de este tipo y el modo en que influyen los datos o las posibles variaciones de los datos.

180

Tema 7. La integral definida

Variables aleatorias Informalmente, una variable aleatoria X es una variable que no se sabe qu´e valor va a tomar. Por ejemplo, considera el caso en que X es la nota final que vas a tener en la asignatura Matem´ aticas Empresariales. Si una variable aleatoria s´ olo puede tomar un n´ umero finito de valores, se trata de una variable aleatoria discreta. Seg´ un el sistema de calificaciones de la Universidad de Valencia, la variable X (tu nota) es una variable aleatoria discreta que s´ olo puede tomar 101 valores: X = 0.0,

0.1,

0.2,

...

9.8,

9.9,

10.

Aunque no sepamos el valor que va a tomar X, podemos hablar de la probabilidad de que X tome un valor u otro. Si el profesor de la asignatura fuera a decidir tu nota sacando una bola de un bombo, podr´ıamos decir que tu probabilidad de sacar un 4.3 ser´ıa 1 Pr(X = 4.3) = . 101 (Es la probabilidad de que salga la bola 4.3 de entre las 101 bolas que hay en el bombo.) Pero es poco probable que est´es interesado en saber qu´e probabilidad tienes de sacar exactamente un 4.3. Seguro que consideras m´ as interesante conocer la probabilidad ´ que tienes de suspender. Esta se calcula sumando: 50 Pr(X < 5) = Pr(X = 0) + Pr(X = 0.1) + Pr(X = 0.2) + · · · + Pr(X = 4.9) = . 101 M´ as claramente: Pr(X < 5) ≈ 49.5%. Como era de esperar, las t´ecnicas de matem´atica continua que estudiamos en este curso no tienen que ver con las variables aleatorias discretas, sino con las continuas, es decir, las que pueden tomar cualquier valor (a lo sumo, dentro de un rango prefijado). As´ı, considerar a tu nota X como una variable aleatoria continua significa suponer que puede tomar cualquier valor entre 0 y 10, como X = 8/3 o X = 4 ln 12. (¿Te gustar´ıa sacar esta nota?) Algo que en principio resulta sorprendente es que, si consideramos tu nota como una variable continua, la probabilidad de que saques un 4.3 ya no es Pr(X = 4.3) = 1/101, sino Pr(X = 4.3) = 0. Como hay infinitos valores posibles, la probabilidad de cada uno de ellos ¡ha de ser cero! Afortunadamente, sigue sin interesarnos qu´e probabilidad tienes de sacar un 4.3, sino que queremos saber qu´e probabilidad tienes de suspender Pr(X < 5). Para calcular la “probabilidad acumulada” hasta un nivel α de una variable aleatoria continua, es decir, Pr(X < α), lo que hacemos es sustituir la suma que hemos planteado antes por —c´omo no— una integral, la integral de la “probabilidad marginal” de la variable, como la llamar´ıan los estad´ısticos si fueran economistas, o la “densidad de probabilidad”, que es como la llaman realmente: Aunque la probabilidad de que una variable aleatoria continua X tome un valor x es cero, la probabilidad de que tome un valor x salvo un infinit´esimo dx, es decir, el incremento de la probabilidad acumulada Pr(X ≤ x) cuando x se incrementa en dx, es un infinit´esimo de la forma f (x) dx, para cierta funci´ on f (x) llamada funci´ on de densidad de probabilidad de la variable X. El equivalente al m´etodo del bombo para determinar la nota con igual probabilidad para todos los casos ser´ıa la funci´ on de densidad 

f (x) =

1/10 si 0 ≤ x ≤ 10, 0 en otro caso.

7.4. Complementos

181

As´ı, la “suma” de las probabilidades infinitesimales de las infinitas notas menores que 5 es:  5  5 1 x 5 Pr(X < 5) = = dx = = 0.5 = 50%. 10 0 10 0 10 (Como ves, sales perdiendo, ahora es m´as probable que suspendas.) Pero, por suerte para unos y por desgracia para otros, la nota no va a depender de ning´ un bombo ni de su an´ alogo continuo. En realidad, tu probabilidad de aprobar no es la misma que la de suspender, y no tiene por qu´e ser la misma que la de cualquiera de tus compa˜ neros. Si has estudiado, ser´ a poco probable que suspendas, mientras que si no lo has hecho, ser´a casi seguro que suspender´as. La funci´ on de densidad f (x) no es muy adecuada para describir tus probabilidades reales. Cada alumno tendr´ a su propia funci´ on de densidad personalizada. Problema 7.13 Sup´ on que la funci´ on de densidad de probabilidad de tu nota X es   0     x−1   

0.25 0.2

f (x) =

0.15 0.1 0.05 2

4

6

24 9   −x    8    0

si x < 1, si 1 ≤ x < 7, si 7 ≤ x ≤ 9, si 9 < x.

10

8

Calcula tu probabilidad de suspender, tu probabilidad de aprobar y tu probabilidad de sacar un notable. (La figura muestra la gr´ afica de f (x) y la de la distribuci´ on 1/10 que consider´ abamos antes.) ´ n: Tu probabilidad de suspender es la “suma” de todas las probabilidades Solucio de sacar una nota menor que 5:  5

Pr(X < 5) =

f (x) dx =

 5 x−1

0



(x − 1)2 dx = 24 48

1

5

= 1

16 = 33.3%. 48

Por consiguiente, tu probabilidad de aprobar ha de ser 100 − 33.3 = 66.6%. Tu probabilidad de sacar un notable es la suma de las probabilidades infinitesimales de todas las notas entre 7 y 9: Pr(7 ≤ X < 9) =

 9

f (x) dx = 7

 9 9−x 7

8



(9 − x)2 dx = − 16

9

= 7

4 = 25%. 16

Conviene observar que cualquier funci´ on f : R −→ R integrable (impropia) en ]−∞, +∞[ puede considerarse como la funci´ on de densidad de una variable aleatoria, siempre y cuando cumpla dos condiciones obvias: 1. f nunca toma valores negativos (porque no puede haber probabilidades negativas),  +∞

2.

−∞

f (x) dx = 1(porque esta integral es la probabilidad Pr(−∞ < X < +∞),

que, obviamente, ha de ser 1).

182

Tema 7. La integral definida

Hay muchos datos que nos orientan sobre lo que podemos esperar de una variable aleatoria X. Entre ellos est´a el que se llama precisamente su esperanza, y que se representa por E[X]. Es la media aritm´etica que cabr´ıa esperar si el proceso aleatorio que determina la variable se repitiera muchas veces. En el caso de tu nota, E[X] es la nota media que obtendr´ıas si te examinaras, digamos, un mill´ on de veces: Definici´ on La esperanza de una variable aleatoria X determinada por una funci´ on de densidad f (x) se define como  +∞

E[X] =

xf (x) dx.

−∞

Si quieres entender por qu´e la esperanza se define precisamente as´ı, lee la nota 7 al final del tema. Problema 7.14 Calcula cu´ al ser´ıa tu nota esperada si tu funci´ on de densidad fuera la del problema anterior. ´ n: La esperanza es: Solucio  +∞

E[X] =

xf (x) dx =

−∞

 7 2 x −x

24

1



1 x3 x2 = − 24 3 2

7

dx +

 9 9x − x2 7



1 9x2 x3 + − 8 2 3 1

9

= 7

8

dx

17 = 5.6. 3

Variables aleatorias correlacionadas Puede ocurrir que dos variables aleatorias est´en relacionadas, de modo que el valor que toma una influye sobre las probabilidades de que la otra tome unos u otros valores. Por ejemplo, sea X la nota que ha sacado un alumno en la asignatura Matem´ aticas Empresariales e Y el n´ umero de clases (en tanto por 1) a las que ha asistido a lo largo del curso. En casos como ´este no tiene sentido dar dos funciones de densidad independientes para ambas variables, sino que tenemos una misma funci´ on de densidad com´ un para ambas. Una funci´ on razonable podr´ıa ser: 

f (x, y) =

1 11 012

si (x, y) ∈ [0, 10] × [0, 1], en otro caso.

xex(y−1/2)

0

(El n´ umero 11 012 es el necesario para que la funci´ on integre 1, de acuerdo con el problema 7.7.) Problema 7.15 Calcula la probabilidad de que, al elegir un alumno al azar, haya aprobado y haya asistido al menos a un 90% de las clases. ´ n: Nos piden la probabilidad de que el par (X, Y ) pertenezca al rect´angulo Solucio [5, 10] × [0.9, 1]. Lo calculamos integrando la funci´ on de densidad sobre este rect´angulo: P(5 ≤ X ≤ 10, 0.9 ≤ Y ≤ 1) = =

1 11 012

 10  5

ex(y−0.5)

1 0.9

 10  1

dx =

5

0.9

1 11 012

1 xex(y−1/2) dydx 11 012  10 5

(e0.5x + e0.4x )dx

7.5. Notas =

183

1  0.5x 2e + 2.5e0.4x 11 012

10 5

=

1 (2e5 + 2.5e4 − 2e2.5 − 2.5e2 ) = 0.8272. 11 012

Problema 7.16 El sistema de evaluaci´ on de una asignatura consiste en hacer dos ex´ amenes parciales, de modo que aprueba quien saca, de media, una nota mayor o igual que 5. Sean X e Y las variables aleatorias que nos dan las notas de un alumno del grupo escogido al azar. Supongamos que su funci´ on de densidad es 

f (x, y) =

6x+3y 2 13 000

0

si 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10, en otro caso.

Calcula la probabilidad que tiene un alumno de aprobar la asignatura. ´ n: Aprobar´ Solucio an los pares de notas que cumplan X+Y ≥ 5 o, equivalente2 mente, X + Y ≥ 10. Por lo tanto, la probabilidad de aprobar es 1 P(X + Y ≥ 10) = 13 000



(6x + 3y 2 ) dxdy, D

a donde D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10, x + y ≥ 10}. La integral est´ calculada en el problema 7.8, y es 9 500, luego la probabilidad que nos piden es P(X + Y ≥ 10) =

7.5

9 500 = 0.7308 = 73.08%. 13 000

Notas

1. Aproximaci´ on num´ erica de integrales No todas las integrales de funciones continuas pueden calcularse en la pr´ actica con la regla de Barrow. Consideremos, por ejemplo, una integral de apariencia tan simple como  b

e−x

2 /2

dx.

a

El integrando es una funci´ on continua en todo R, por lo que la regla de Barrow garantiza que tiene una primitiva F (x), con la que te´ oricamente podr´ıamos calcular la integral. Sin embargo, sucede que la funci´ on F (x) no puede expresarse como composici´on de funciones usuales (polinomios, exponenciales, logaritmos, etc.). Sin embargo, esto no impide calcular la integral mediante la definici´ on de integral, es decir, considerando una partici´ on del intervalo con el n´ umero suficiente de puntos como para que la diferencia entre la suma superior y la suma inferior est´e en una cifra decimal m´ as all´a del n´ umero de cifras exactas que necesitemos. De este modo, las primeras cifras decimales comunes a ambas sumas coinciden con las primeras cifras decimales de la integral. Existen t´ecnicas consistentes esencialmente en modificar la definici´on de las sumas superiores e inferiores para conseguir m´ as exactitud con menos esfuerzo, pero a´ un as´ı, los c´alculos necesarios para obtener resultados suficientemente precisos son

184

Tema 7. La integral definida excesivamente laboriosos para hacerlos a mano. Ahora bien, un ordenador puede hacerlos muy r´ apidamente. La integral que hemos puesto como ejemplo tiene gran importancia en estad´ıstica, pues, modificada con una constante para que su integral en [−∞, +∞] sea igual a 1 se convierte en 1 2 f (x) = √ e−x /2 , 2π que es la densidad de probabilidad de la distribuci´ on normal (de media 0 y varianza 1). Dada su utilidad, existen tablas para calcularla, las cuales, a su vez, han sido calculadas con un ordenador mediante t´ecnicas num´ericas basadas en la definici´ on de integral y no en la regla de Barrow.

2. Una funci´ on no integrable Cada n´ umero real puede escribirse en forma decimal. En unos casos los decimales necesarios son un n´ umero finito, y en otros hacen falta infinitos decimales. Considera la funci´ on f : [0, 1] −→ R dada por 

f (x) =

0 1

si x se expresa con un n´ umero finito de decimales, en caso contrario.

Por ejemplo, f (0) = 0, f (1) = 0, f (1/4) = 0 (porque 1/4 = 0.25), pero f (1/3) = 1 (porque 1/3 = 0.3333 . . .) f (ln 2) = 1 (porque ln 2 = 0, 69314718 . . .), etc. Ciertamente, se trata de una funci´ on acotada en [0, 1]. Vamos a aplicar a f la definici´ on de integral de Riemann. Para ello, consideramos una partici´ on del intervalo [0, 1], digamos P = {0 = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = 1}. Sucede que cualquier intervalo [xi−1 , xi ] contiene tanto n´ umeros con un n´ umero finito de decimales como n´ umeros con infinitos decimales, luego el valor m´ınimo de f en el intervalo es mi = 0 y su valor m´ aximo es Mi = 1. Al calcular las sumas de Riemann resulta que s(f, P ) =

n 

mi ∆xi = 0,

S(f, P ) =

i=1

n 

Mi ∆xi =

i=1

n 

∆xi = 1.

i=1

As´ı pues, todas las sumas inferiores de f valen 0 y todas las sumas superiores valen 1. Lo m´ aximo que podr´ıamos decir del “´area” bajo la gr´ afica de f es que ha de ser ≥ 0 y ≤ 1, pero no podemos conseguir aproximaciones mejores que nos determinen un valor concreto. Puesto que −1

 1

f (x) dx = 0 < 1 = −0

f (x) dx, 0

 1

concluimos que no existe la integral

f (x) dx. 0

3. Rentabilidades medias Sea C(t) un capital que var´ıa con el tiempo (un capital invertido en bolsa, o el producto interior bruto de un pa´ıs, etc.). Vamos a calcular su rentabilidad media entre un tiempo inicial ti y un tiempo final tf .

7.5. Notas

185

En principio, la rentabilidad (continua) del capital en tanto por 1 viene dada por i∞ (t) =

1 dC , C(t) dt

que puede ser distinta en cada instante t (puede haber momentos en los que el capital crezca m´as r´apidamente y otros en los que crezca m´as lentamente, o incluso que decrezca). La rentabilidad media ser´ a  tf C
(t)

i∞ =

ti

C(t)

dt

tf − ti

t

=

[ln C(t)]tfi ln C(tf ) − ln C(ti ) Cf 1 = = ln . tf − t i tf − ti t f − ti Ci

Operando queda: ln luego

Cf = i∞ (tf − ti ) Ci

⇒

Cf = ei∞ (tf −ti ) , Ci

Cf = Ci ei∞ (tf −ti ) .

As´ı pues, podemos calcular la rentabilidad media sin necesidad de calcular ninguna integral. Basta plantear la ley de capitalizaci´ on con el capital inicial, el capital final y el incremento de tiempo y despejar i∞ . Esto es lo que hac´ıamos en el problema 2.16 (p´ agina 69). 4. El excedente del productor Vamos a interpretar el excedente del productor  P

S(p) dp,

E= 0

donde S(p) es la funci´ on de oferta de una empresa y P el precio de venta. Para ello, veremos cu´al es el significado de la variaci´ on de E cuando el precio de venta pasa de un valor P1 a otro valor P2 . Esta variaci´ on viene dada por  P2

S(p) dp.

∆E = P1

La clave est´a en que, a corto plazo y, para precios suficientemente grandes como para que la producci´ on sea rentable, el nivel de producci´ on de una empresa (el que maximiza sus beneficios) es aquel para el que el coste marginal coincide con el precio de venta. Es decir, si q = S(p), entonces p = Cm (q). p P2 P1

Esto significa que si, en la figura, vemos la curva S(p) Cm (q) como funci´ on del precio p, se trata de la gr´ afica de la funci´ on de oferta S(p), mientras que si la vemos como funci´ on de q, se trata de la funci´ on de coste marginal Cm (q). Ahora observamos que el ´area del rect´angulo de base Q2 y altura P2 es P2 Q2 , y esto (precio × cantidad) q Q1 Q2 es I(P2 ), el ingreso cuando el precio es P2 . Similarmente, el a´rea del rect´angulo de base Q1 y altura P1 es I(P1 ), el ingreso cuando el precio es P1 . Por consiguiente, el a´rea sombreada en la figura es ∆I,

186

Tema 7. La integral definida el incremento de los ingresos cuando el precio pasa de P1 a P2 . Esta a´rea se descompone en dos partes: la que est´a a la izquierda de la gr´ afica es ∆E, el incremento del excedente del productor, mientras que la que queda por debajo es la integral del coste marginal:  Q2

∆I = ∆E + Q1

Cm (q) dq.

Como el coste marginal es la derivada del coste (o, dicho al rev´es, el coste es una primitiva del coste marginal) la regla de Barrow nos da que ∆I = ∆E + C(Q2 ) − C(Q1 ) = ∆E + ∆C. Por consiguiente: ∆E = ∆I − ∆C = ∆B. En definitiva: El incremento del excedente del productor (a corto plazo) cuando el precio de venta pasa de P1 a P2 coincide con el incremento correspondiente de los beneficios de la empresa. 5. El excedente del consumidor Ahora vamos a interpretar el excedente del consumidor:  +∞ D(p) dp, E= P

donde D(p) es la funci´ on de demanda de un art´ıculo y P es el precio. Como en el caso del excedente del productor, vamos a interpretar el incremento  +∞

∆E = P1

D(p) dp −

 +∞

 P2

D(p) dp = P2

D(p) dp P1

que se produce cuando el precio baja de P2 a P1 . Notemos que esta integral est´a definida incluso aunque la integral que define a E sea divergente (cosa que puede ocurrir). Supongamos, m´ as concretamente, que D(p) es una funci´ on de demanda compensada (v´ease la nota 2 del tema 4), es decir, la demanda de un consumidor que desea mantener un nivel de utilidad U0 . Entonces, el lema de Shephard (v´ease la nota 4 del tema 6) nos da que D es la derivada de la funci´ on de gasto: D(p) = G
(p). Por consiguiente, la regla de Barrow nos da que:  P2

∆E = P1

D(p) dp = G(P2 ) − G(P1 ) = −∆G.

As´ı pues, ∆E es la disminuci´ on del gasto que le supone al consumidor que el precio del art´ıculo baje de P2 a P1 si sigue manteniendo su mismo nivel de utilidad o, rec´ıprocamente, si P1 es el precio actual, ∆E es lo que se ahorra por el hecho de que el precio sea P1 y no P2 . Cuando podemos hacer P2 = ∞ (por ejemplo, porque la demanda se hace 0 a partir de cierto precio), el excedente E se interpreta como el beneficio (o, mejor, el bienestar) que obtiene el consumidor del hecho de que el precio del art´ıculo sea P y no otro precio cualquiera mayor.

7.5. Notas

187

Si la funci´ on de demanda es una funci´ on de demanda Marshalliana, es decir, la demanda que maximiza la utilidad de un consumidor sujeto a una restricci´ on presupuestaria, la situaci´ on es m´as delicada, pues, si el precio sube de P1 a P2 , el nivel de utilidad del consumidor se mantendr´ a constante (por ejemD(p, U2 ) D(p) plo si puede comprar un bien sustitutivo que no haya subido de precio) o, lo que es m´ as probable, disminuir´ a de un nivel U1 a un nivel U2 . Esto hace que tengamos tres excedentes del consumidor: el calculado para la demanda compensada D(p, U1 ) a un nivel U1 , el calculado para la demanda compensada D(p, U2 ) a un nivel U2 y el calculado para la demanda marshalliana D(p) (para un nivel de renta fijo). La situaci´ on es la que muestra la figura: el incremento del excedente del consumidor calculado con la demanda Marshalliana (el a´rea sombreada) toma un valor intermedio entre el calculado con D(p, U1 ) y el calculado con D(p, U2 ). Para incrementos peque˜ nos de los precios, la diferencia puede ser irrelevante. D(p, U1 )

P2 P1

6. Matem´ atica continua frente a matem´ atica discreta Vamos a resolver aqu´ı de forma exacta el problema del ejemplo 7.12. Tenemos que transportar a t = 0 un total de 10 × 12 = 120 pagos mensuales y sumarlos. El importe de estos pagos es de 400(1.02)m , donde m = 0, . . . , 9 es el a˜ no correspondiente. Para un m fijo, tenemos doce pagos, cuyo valor a 1 de enero del a˜ no correspondiente ser´a: 400(1.02)m +400(1.02)m (1.05)−1/12 +400(1.02)m (1.05)−2/12 +· · ·+400(1.02)m (1.05)−11/12

Para sumarlos podemos usar la f´ ormula de la suma de los t´erminos de una progresi´on geom´etrica, seg´ un la cual: Vm = 400(1.02)m

1.05−1 − 1 = 4 694, 32(1.02)m . (1.05)−1/12 − 1

´ Este es el valor de los pagos del a˜ no m al principio del a˜ no m. Todav´ıa hemos de descontarlo hasta t = 0: m

−m

4 694.32(1.02) (1.05)



1.02 = 4 694.32 1.05

m

= 4 694.32(0.9714)m .

Ahora s´ olo falta sumar estos capitales para todos los a˜ nos m = 0, . . . , 9, para lo cual podemos usar nuevamente la f´ ormula de las progresiones geom´etricas: V0 = 4 694.32

(0.9714)10 − 1 = 41 340.09 C. 0.9714 − 1

M´ as interesante que el resultado num´erico es que la f´ormula general exacta para V0 es

 V0 = C(12)

1+j t −1 1+i 1+j 1+i − 1

(1 + i)−1 − 1 , (1 + i)−1/12 − 1

188

Tema 7. La integral definida donde C(12) es el alquiler mensual inicial, t el tiempo del contrato en a˜ nos, i el factor de descuento y j el factor de revisi´ on del alquiler. En cambio, la f´ ormula que proporciona el modelo continuo es V0 ≈

C(1) (1 − e−(j−i)t ), j−i

donde C(1) es el alquiler anual inicial y aqu´ı i y j son tantos continuos; sin duda una expresi´ on mucho m´ as clara y manejable. M´ as a´ un, la f´ ormula exacta se complicar´ıa a´ un m´ as si el periodo del alquiler no abarcara un n´ umero exacto de a˜ nos, o si el primer pago se hiciera, digamos, en agosto y las revisiones del alquiler fueran en enero, mientras que la f´ ormula aproximada es v´ alida igualmente en estos casos. 7. La esperanza de una variable aleatoria Sea X la nota final que vas a sacar en esta asignatura, considerada como variable aleatoria continua con funci´ on de densidad de probabilidad f (x). Imagina que te examinas M veces, donde M es un n´ umero muy grande (digamos, un mill´ on). Vamos a calcular la nota media que cabe esperar. Para ello hemos de sumar las M notas que obtendr´ıas. Podemos hacerlo agrupando las que sean iguales: para cada nota posible x, vamos a calcular cu´antas veces obtendr´ıas la nota x, con lo que tendremos que multiplicar este n´ umero por x y sumar para los infinitos x posibles. Ahora f´ıjate en este razonamiento: Si tu probabilidad de sacar exactamente un 5 en un examen fuera 0.1 y te examinaras un mill´ on de veces, el n´ umero de veces que sacar´ıas exactamente un 5 ser´ıa, aproximadamente 0.1 · 1 000 000 = 100 000. En general, para determinar cu´ antas veces sacar´ıas la nota x, multiplicamos M por la probabilidad de que tu nota sea x, salvo un detalle: la probabilidad de que tu nota sea x es 0, pero la probabilidad de que sea x salvo un infinit´esimo dx es f (x) dx. Ya s´olo nos queda atar cabos: el n´ umero de veces que sacar´ıas la nota x es M f (x) dx, la suma de todas estas notas iguales a x es xM f (x) dx, la suma de todas las notas es   10

10

xM f (x) dx = M 0

xf (x) dx, 0

luego la nota media (resultante de dividir esta suma entre M ) es:  10

E[X] =

xf (x) dx. 0

El resultado es lo que hemos definido como la esperanza de X y, en particular, vemos que el n´ umero de veces M que te examines es irrelevante.

7.6

Ejercicios

1. Calcula  √π 0

x sen x2 dx,

 17 √ 10

x − 1 dx,

 5 0

xex dx,

 5 0

2

x3 ex dx

7.6. Ejercicios  π/2 0

189

sen5 x cos x dx,

 5 0

dx , 3x + 2

 1

2

xex dx,

 5

0

(x3 + ln x) dx.

1

2. Durante un periodo de 5 a˜ nos (desde t = 0) los beneficios de una empresa han 0.1t sido de 10 000e C /a˜ no. (a) Calcula el beneficio acumulado por la empresa en dicho periodo. (b) Calcula el beneficio obtenido en los dos u ´ltimos a˜ nos. (c) Calcula el beneficio medio de los dos u ´ltimos a˜ nos. (d) Calcula el beneficio acumulado por la empresa en los cinco a˜ nos aplicando un factor de capitalizaci´ on (continuo) del 10%. 3. Los costes fijos de una empresa son de 100 u.m., mientras que la funci´ on de costes marginales es Cm (q) = 3x2 − 60x + 345 u.m./u.p. (a) Calcula el coste de producir 8 unidades de producto. (b) Calcula la funci´ on de coste total. 4. La funci´ on de costes marginales de una empresa es   10

Cm (x) =



8 5

si 0 ≤ x < 100, si 100 ≤ x < 500, si 500 ≤ x,

donde x es la cantidad producida de un cierto art´ıculo. Justifica que esta funci´ on es integrable Riemann en cualquier intervalo [0, a]. Calcula el coste variable medio de producir 300 unidades del art´ıculo. ´Idem con 1 000 unidades. 5. Las funciones de oferta y demanda de un bien son S(p) = 27 + 2p2 ,

y D(p) =

1 000 − 1. p+4

(a) Comprueba que el precio de equilibro es p = 6. (b) Calcula el precio a partir del cual el producto deja de tener demanda. (c) Si el precio de venta es el precio de equilibrio, calcula el excedente del productor y el excedente del consumidor. 6. La funci´ on de oferta de un bien en un mercado es S(p) = 1 250p, donde p es el precio de venta. La demanda la determina un total de 1 000 consumidores, cada uno de los cuales sigue la funci´ on de demanda 10 D(p) = √ , p (a) Calcula el precio de equilibrio. (b) Calcula el nuevo precio de equilibrio si el n´ umero de consumidores aumenta a 1 100. (c) Calcula el incremento del excedente del productor y el incremento del excedente del consumidor debidos a la variaci´ on del precio.

190

Tema 7. La integral definida

7. Considera la variable aleatoria X del problema 7.13, es decir, la nota de un alumno en la asignatura de Matem´ aticas Empresariales. (a) Comprueba que la funci´ on de densidad f (x) cumple las condiciones necesarias para ser realmente una funci´ on de densidad. (b) En el problema 7.13 hemos calculado la probabilidad de aprobar restando de 1 la probabilidad de suspender. Calcula directamente la probabilidad de aprobar, mediante una integral. (c) ¿Cu´al es la probabilidad de sacar m´ as de 9?, ¿puedes poner un ejemplo de circunstancias en las que se diera este caso? 8. Sea X la edad de un alumno de clase escogido al azar, y supongamos que X es una variable aleatoria con esta funci´ on de densidad: 

f (x) =

45−2x 20

0

si 18 ≤ x ≤ 22, en otro caso.

(a) Comprueba que la funci´ on f (x) es aceptable como funci´on de densidad. (b) Calcula la edad media E[x] de los alumnos de la clase. (c) Calcula la mediana M de las edades de los alumnos de la clase, es decir, la edad M para la que P(X ≤ M ) = 0.5. (d) Calcula la probabilidad de que un alumno tomado al azar tenga 18 a˜ nos (y ten presente que una persona no tiene 18 a˜ nos s´olo el d´ıa de su cumplea˜ nos, sino que tiene 18 a˜ nos hasta que cumple 19 a˜ nos). 9. Sup´ on ahora que X es la nota que sacar´a en esta asignatura un alumno del grupo tomado al azar (no la nota de un alumno en concreto). No ser´ıa descabellado que la funci´ on de densidad de X fuera de la forma 0.3 

f (x) =

k(5 − x)2 0

0.25

si 0 ≤ x ≤ 10, en otro caso.

0.2 0.15 0.1

(a) Calcula el valor de k para que f (x) sea ciertamente una funci´ on de densidad.

0.05 2

4

6

8

10

(b) Da una posible interpretaci´ on de la funci´ on f (x), suponiendo que aproximadamente la mitad de los alumnos del grupo no va a clase. (c) Calcula la probabilidad de que X corresponda a un aprobado justo (no a un notable ni a un sobresaliente). (d) Calcula la nota media esperada para el grupo. 10. Sea X una variable aleatoria cuya funci´ on de densidad sea de la forma 

f (x) = (a) Calcula el valor de k. (b) Calcula P(2.1 ≤ X ≤ 3.5). (c) Calcula la esperanza de X.

k(1 + 0

√

x) si 0 ≤ x ≤ 4, en otro caso.

7.6. Ejercicios

191

11. En las encuestas de evaluaci´on del profesorado, los alumnos responden a varias preguntas sobre su profesor puntu´ andolas entre 1 y 5. Sea X la media de las respuestas de un alumno del grupo escogido al azar y supongamos que la funci´ on de densidad de probabilidad de X es de la forma 

f (x) =

k(1 − x)(25 − x2 ) si 1 ≤ x ≤ 5, 0 en otro caso.

(a) Calcula el valor de k. (b) Calcula la valoraci´ on media que los alumnos han hecho del profesor (la esperanza E[x]). (c) Calcula la probabilidad de que un alumno asigne al profesor una valoraci´ on mayor que 4. 12. El ahorro de una persona viene dado por A(t) = 1200 + 6t C/a˜ no. Si el banco le da un inter´es i∞ = 0.05, calcula el ahorro acumulado en los primeros 5 a˜ nos. 13. La funci´ on de reembolso de una renta percibida en un periodo de 15 a˜ nos (a partir 2 de t = 0) es R(t) = 3000 t C (donde el tiempo t est´a en a˜ nos). Calcula la cantidad total percibida y el valor final de la renta, considerando un inter´es continuo del 7%. 14. Calcula el valor inicial de una renta continua de 150 000e0.1t C /a˜ no a percibir dentro de 2 a˜ nos y durante un periodo de 3 a˜ nos valor´ andola con un factor de descuento continuo de i∞ = 8%. Calcula tambi´en el reembolso acumulado en dicho periodo. 15. Consideremos una renta continua con reembolso R(t) = 1000t u.m./a˜ no durante un periodo de dos a˜ nos (desde t = 0). (a) Comprueba que el reembolso medio es de 1000 u.m./a˜ no. (b) ¿Es preferible esta renta u otra con reembolso 1000 u.m./a˜ no, durante el mismo periodo? (Considera, por ejemplo, un factor de capitalizaci´ on del 10%). 16. Una empresa estudia una inversi´ on de 200 u.m. en maquinaria, de la que espera obtener un rendimiento de 100 e−0.04t u.m./a˜ no durante 5 a˜ nos. Determina si la inversi´ on es rentable calculando su VAN, es decir, calcula la diferencia entre el valor inicial de los rendimientos menos la cantidad invertida. Para el descuento considera un inter´es continuo de i∞ = 0.06. Calcula tambi´en el rendimiento medio anual de la inversi´ on. 17. En el ejercicio 26 del tema 3, Sinforosa quer´ıa calcular el valor inicial de una inversi´ on que, durante un periodo de 6 meses, le iba a proporcionar un rendimiento de 1 000 C/a˜ no, en funci´ on del factor de descuento (continuo) i. Comprueba que, tal y como afirm´ abamos all´ı, este valor inicial es V0 =

1 000 (1 − e−i/2 ). i

192

Tema 7. La integral definida

18. Determina si las integrales siguientes son convergentes y en caso afirmativo calcula la integral:  +∞ dx

x4

0

 6

,

−2

(x − 2)

5/3

 −1

dx,

−∞

 +∞

x

e dx,

 1

x

e dx, 1

0

dx . 1−x

19. Calcula las integrales siguientes (supuesto que converjan):  2 0

√ 3

 +∞

x2

−1

−x− x1

e 0

 2

x

dx, 0



 3

x dx, 2 x −1



1 − 1 dx, x2

2

 +∞ dx −∞

x6

x dx, 2 x −1

 1

 +∞ −1/2 x

,

0

1+x

−1

dx,

√ 3

x x2

−1

dx,

 +∞ dx 0

√ . x

20. Sea X la edad de una persona tomada al azar en una poblaci´ on dada. Supongamos que la densidad de probabilidad de X es 

f (x) =

0.025e−0.025x 0

si x ≥ 0, en otro caso.

(a) Comprueba que la funci´ on f (x) es realmente una funci´ on de densidad de probabilidad. (b) Calcula la edad media de la poblaci´ on (la esperanza de E[x]). (c) Calcula la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, su edad est´e comprendida entre los 6 y los 14 a˜ nos. (d) Calcula la edad a que cumple P(X ≤ a) = 0.95. (e) Calcula la probabilidad de encontrarnos con una persona de m´ as de 500 a˜ nos. 21. Sea X una variable cuya funci´ on de densidad de probabilidad es la de la distribuci´ on normal: 1 2 f (x) = √ e−x /2 . 2π Comprueba que la esperanza de X vale 0. 22. Se estima que los dividendos marginales de una empresa van a ser Dm (t) = e0.01t u.m./a˜ no. Calcula el valor de las acciones de la empresa en t = 0, es decir, el valor actual de los dividendos que la empresa producir´ a en el periodo [0, +∞[, actualizados con un inter´es continuo del 7%. no o una renta durante 10 a˜ nos 23. ¿Qu´e preferir´ıas, una renta perpetua de 2 000 C/a˜ de 3 000 C/a˜ no? Aplica un factor de descuento del 5%. 24. Un producto se vende a un precio p = 2 C , y su funci´ on de demanda es D(p) =

500 . p2

Calcula el excedente del consumidor. (F´ıjate en que, por muy grande que sea el precio, la demanda nunca llega a ser 0.)

7.6. Ejercicios

193

25. Calcula las integrales siguientes: 

(a) D

x2 (y − 1)dxdy,

donde D = [1, 2] × [1, 3].



(b)

donde D = [1, 2] × [0, π].

x cos xy dxdy, D

(c)

(xy + z) dxdydz,

donde D = [0, 1] × [0, 1] × [−1, 1].

(x + z 2 ) dxdydz,

donde D = [−1, 1] × [0, 1] × [2, 3].

D

(d) D



y dxdy,

(e)

donde D es el recinto indicado en la figura.

D

(3x2 + 2x)dxdy, donde D es el recinto limitado por y 2 = x3 + x2 .

(f) E

2 E

y = 1/x

y 2 = x3 + x2

−1

D 2 26. El concejal de urbanismo de Villavillana recibe una propuesta de soborno de un constructor que desea que un parque cercano a la playa se recalifique como zona urbanizable. El precio del metro cuadrado del parque var´ıa en funci´ on de su cercan´ıa al mar, aunque tambi´en influye la cercan´ıa a las carreteras que lo comunican con el pueblo. La distribuci´ on de precios puede aproximarse por la funci´ on f (x, y) = 250 000

xy C /m2 (o millones de C/Km2 ), (x2 + y 2 )2 donde x e y son las coordenadas en km seg´ un el mapa de la figura, que muestra tambi´en las curvas de nivel de f .

6

5.5

(a) Calcula el importe que el constructor deber´ a pagar al concejal si han acordado que sea un 10% del valor del terreno.

5

4.5

4 2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

(b) Calcula el precio medio del metro cuadrado.

27. Como en el problema 7.15, sup´ on que la nota X de un alumno y el tanto por 1 de asistencia a clase Y son variables aleatorias con funci´ on de densidad 

f (x, y) =

1 11 012

0

xex(y−1/2)

si (x, y) ∈ [0, 10] × [0, 1], en otro caso.

(a) Calcula la probabilidad de que un alumno apruebe, es decir: P(5 ≤ X ≤ 10) = P(5 ≤ X ≤ 10, 0 ≤ Y ≤ 1).

194

Tema 7. La integral definida (b) Calcula la probabilidad de que un alumno asista al menos al 90% de las clases. (c) Calcula la probabilidad de que un alumno no asista a m´ as del 10% de las clases. (d) Calcula la probabilidad que tiene de aprobar un alumno que haya asistido al menos al 90% de las clases. Esto es lo que se llama una probabilidad condicionada, y viene dada por el cociente: P(5 ≤ X ≤ 10 | 0.9 ≤ Y ≤ 1) =

P(5 ≤ X ≤ 10, 0.9 ≤ Y ≤ 1) . P(0.9 ≤ Y ≤ 1)

(e) Calcula la probabilidad que tiene de aprobar un alumno que haya asistido como m´aximo al 10% de las clases, que viene dada por el cociente: P(5 ≤ X ≤ 10 | 0 ≤ Y ≤ 0.1) =

P(5 ≤ X ≤ 10, 0 ≤ Y ≤ 0.1) . P(0 ≤ Y ≤ 0.1)

28. Considera de nuevo el problema 7.16, de modo que las variables X e Y son las notas de los ex´amenes parciales de un alumno tomado al azar, determinadas por la funci´ on de densidad 

f (x, y) =

6x+3y 2 13 000

0

si 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10, en otro caso.

(a) Comprueba que f (x, y) es realmente una funci´ on de densidad de probabilidad. (b) ¿Cu´ al de los dos parciales es m´as f´acil? (Calcula la probabilidad de suspender cada uno de ellos.) (c) Calcula la probabilidad que tiene de aprobar un alumno que haya suspendido el primer parcial: P(X + Y ≥ 10 | X < 5) =

P(X + Y ≥ 10, X < 5) . P(X < 5)

(d) Calcula la probabilidad de aprobar si s´ olo son compensables las notas mayores o iguales que 3. 29. Los habitantes de Villaperdida se gastan aproximadamente unas 5 u.m. mensuales en el cine. M´as concretamente, el ingreso mensual X de la sala de cine del pueblo es una variable aleatoria con distribuci´ on normal 1 2 f (x) = √ e−(5−x) /2 . 2π En cambio, la recaudaci´ on mensual Y del teatro del pueblo es mucho m´ as impredecible, y puede representarse con una distribuci´ on uniforme 

g(y) =

1 10

0

si 0 ≤ y ≤ 10, en otro caso.

En tales circunstancias, la distribuci´ on conjunta del par de variables es simplemente el producto  

h(x, y) =



2 1 √ e−(5−x) /2 10 2π

0

si 0 ≤ y ≤ 10, en otro caso.

7.6. Ejercicios

195

Calcula la probabilidad de que la recaudaci´ on mensual conjunta del cine y del teatro no supere las 5 u.m, es decir, calcula P(X + Y ≤ 5, X ≥ 0, Y ≥ 0). 30. Los habitantes de Villaperdida consumen dos bienes en cantidades X e Y que vienen determinadas por una funci´ on de densidad de probabilidad de la forma   k 1 + 1 x y f (x, y) =  0

si 2 ≤ x, y ≤ 9, en otro caso.

(a) Calcula el valor de k para que f sea una funci´ on de densidad de probabilidad. (b) Si la funci´ on de utilidad de los habitantes de Villaperdida es U (x, y) = xy, calcula la probabilidad de que un habitante escogido al azar no supere las 36 unidades de utilidad con su consumo de ambos bienes.

Tema 8

Ecuaciones diferenciales 8.1

Ecuaciones de variables separables

Cuando conocemos la derivada de una funci´ on, podemos conocer la funci´ on (salvo una constante) calculando la integral. Ahora vamos a ver que para esto no es necesario conocer la derivada, sino, m´ as en general, tener una ecuaci´on que satisfaga dicha derivada. Ejemplo 8.1 El economista L´eon Walras propuso el siguiente modelo sobre la forma en que el precio p de un bien evoluciona con el tiempo: dp = k(D(p) − S(p)), dt donde D(p) es la funci´ on de demanda, S(p) la funci´ on de demanda y k > 0 una constante. La interpretaci´ on de la ecuaci´on es sencilla: si, para un precio dado, la demanda es mayor que la oferta, el miembro derecho es positivo, luego la derivada dp/dt es positiva, y esto significa que el precio aumenta. Por el contrario, si la demanda es menor que la oferta entonces la derivada es negativa y el precio disminuye. La constante k refleja la rapidez con la que el precio responde a los desequilibrios entre la oferta y la demanda. Por fijar un caso concreto, vamos a considerar que k = 1, as´ı como que S(p) = 5p,

D(p) =

20 . p

En este caso, la ecuaci´on de Walras se reduce a dp 20 = − 5p dt p o, tambi´en:

20 − 5p2 dp = . dt p

Esto es un ejemplo de ecuaci´ on diferencial, es decir, una ecuaci´on en la que aparece una funci´ on p(t) y su derivada. Al resolverla habremos determinado c´ omo var´ıa con el tiempo el precio del bien. Para ello empleamos el procedimiento siguiente: 197

198

Tema 8. Ecuaciones diferenciales

Separamos las variables Es decir, pasamos las p’s a la izquierda y las t’s a la derecha: p dp = dt. 20 − 5p2 Integramos ambos miembros (y calculamos las integrales): 

−

p dp = 20 − 5p2



dt,

1 ln(20 − 5p2 ) = t + c 10

Despejamos la inc´ ognita (en este caso p): ln(20 − 5p2 ) = −10t + c ⇒

20 − 5p2 = e−10t+c = Ce−10t ,

⇒

5p2 = 20 − Ce−10t 

p2 = 4 − Ce−10t

⇒

4 − Ce−10t .

p(t) =

Hemos obtenido la soluci´ on general de la ecuaci´on diferencial, que depende de una constante C. Para determinar esta constante necesitamos un dato m´as. Una forma de especificar una soluci´ on particular de una ecuaci´ on diferencial es a partir de una condici´ on inicial, es decir, una condici´ on de la forma p(t0 ) = p0 . Por ejemplo, supongamos que el precio actual (en t = 0) es de 3 unidades de producto. Esto nos da la condici´ on inicial p(0) = 3. Si la sustituimos en la soluci´ on general: 3=



4 − Ce0

⇒

9=4−C

⇒

C = −5

obtenemos el valor de la constante. La soluci´ on particular es: p(t) = 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.2

0.4

0.6

0.8



4 + 5e−10t .

La figura muestra la funci´ on p(t) para distintos precios iniciales, desde 0.5 hasta 4. Vemos que, al cabo de un tiempo, el precio termina siendo pr´ acticamente igual a 2 (y es f´acil ver que 2 es el precio de equilibro) independientemente de cu´al sea el precio inicial. Esto puede probarse a partir de la soluci´ on general:  √ l´ım p(t) = l´ım 4 − Ce−10t = 4 − 0 = 2.

t→+∞

t→+∞

Definici´ on Una ecuaci´ on diferencial es una ecuaci´on en la que aparecen una funci´ on, las variables de las que depende, y algunas de sus derivadas. Si la funci´ on es de varias variables, la ecuaci´ on se llama ecuaci´ on en derivadas parciales, mientras que si la funci´ on es de una variable es una ecuaci´ on diferencial ordinaria. Si en una ecuaci´ on diferencial ordinaria aparece una funci´ on y(x) junto con sus derivadas primera, segunda, etc. hasta orden n, se dice que es una ecuaci´ on diferencial (ordinaria) de orden n.

8.2. Ejercicios

199

Nosotros s´olo vamos a considerar ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, es decir, ecuaciones diferenciales en las que s´olo aparece una funci´ on y(x), la variable x y la primera derivada dy/dx. Una ecuaci´ on diferencial (ordinaria de primer orden) tiene, en general, infinitas soluciones, que dependen de una constante de integraci´ on c. La soluci´ on en t´erminos de c se llama la soluci´ on general de la ecuaci´ on. Una condici´ on inicial es una condici´ on de la forma y(x0 ) = y0 . Resolver una ecuaci´ on diferencial sujeta a una condici´ on inicial significa encontrar la soluci´ on particular que, adem´as de cumplir la ecuaci´ on, cumple la condici´ on inicial (lo que equivale a especificar un valor de la constante c para que esto suceda). En estos t´erminos, en el ejemplo precedente hemos resuelto la ecuaci´on diferencial dp 20 − 5p2 = dt p p(0) = 3

    

No existe una t´ecnica que permita resolver cualquier ecuaci´on diferencial, sino que existen muchos m´etodos distintos o, equivalentemente, muchos tipos de ecuaciones diferenciales, seg´ un el m´etodo que pueda aplicarse para resolverla. Una ecuaci´on diferencial es de variables separables si es posible separar la inc´ognita y y la variable x (al igual que dy y dx) cada uno en un miembro. Cuando esto es posible, la ecuaci´ on puede resolverse por el procedimiento explicado en el ejemplo 8.1.

8.2

Ejercicios

1. Resuelve: dy = 2y, dx x dy =− , (b) dx y dy = ex , y(0) = 1, (c) (1 + ex )y dx (d) (1 + y 2 ) dx + (1 + x2 ) dy = 0, (a)

(e) (1 + y 2 ) dx + xy dy = 0, dy (f) sen x = y cos x, dx √  (g) x 1 − x2 dx + y 1 − y 2 dy = 0, (h) y ln y dx + x dy = 0,

y(0) = 1,

y(1) = 1.

2. Sea D(p) la demanda de un art´ıculo en funci´ on de su precio. Supongamos que cuando p = 1 la demanda es de 100 unidades de producto, as´ı como que la elasticidad es constante: p dD = −1. D dp Calcula la demanda correspondiente a un precio p = 5 u.m.

200

Tema 8. Ecuaciones diferenciales

3. Un art´ıculo se vende a un precio de p = 2 C y su demanda actual es de 200 u.p. Se estima que, para valores de p cercanos al actual, la elasticidad de la demanda es p − 4. Calcula la demanda que cabr´ıa esperar si el precio se incrementara en 0.5 C. 4. La oferta y la demanda de un bien dependen de su precio p, pero tambi´en var´ıan con el tiempo t (dado en meses), de modo que S(p) = (40 + 10p)(t + 1),

D(p) = (100 − 20p)(t + 1).

Actualmente (en t = 0) el precio es de p = 3 C . Determina el precio que cabe esperar para dentro de un mes, para dentro dos meses y para dentro de tres meses seg´ un la ecuaci´ on de Walras del ejemplo 8.1, tomando k = 0.02. Compara los resultados con el precio de equilibrio. 5. La poblaci´ on de cierto pa´ıs aumenta proporcionalmente al n´ umero de habitantes. Si despu´es de dos a˜ nos la poblaci´ on se ha duplicado y despu´es de tres a˜ nos es de 20.000 habitantes, calcula la poblaci´ on inicial. 6. Depositamos un capital de 1000 u.m. durante 10 a˜ nos a un inter´es continuo variable, que ha resultado ser i∞ (t) = 0.05 + 0.01t. Calcula el capital final. 7. Hemos invertido 1000 C durante un a˜ no en unos fondos cuya rentabilidad ha resultado ser la dada por i∞ = 10 cos 2πt. Calcula el capital final que hemos obtenido. 8. Se nos plantea la posibilidad de invertir un capital por un periodo de tres a˜ nos. De entre las distintas expectativas sobre la rentabilidad de la inversi´ on, la menos favorable pronostica que la evoluci´ on del inter´es ser´a i∞ (t) = 5 + 16t − 3t2 %. Determina el m´ınimo capital que debemos invertir para asegurarnos un capital final de 1000 C. 9. Una empresa fija su nivel de producci´ on q de modo que el coste marginal dC dq sea igual al precio del mercado. El nivel de producci´ on actual es q = 5, y los costes de la empresa son de 41 u.m. (a) Determina la funci´ on de costes C sabiendo que, para cualquier nivel de producci´ on q, los ingresos de la empresa son I = 2C − 32. (b) Calcula el precio del mercado. (c) Calcula la funci´ on de beneficios de la empresa. (d) ¿A partir de qu´e nivel de producci´ on q la empresa obtiene beneficios? (e) ¿Cu´al es el precio de cierre de la empresa, es decir, el precio de mercado por debajo del cual no resulta rentable la producci´ on?

Ap´ endice A

Elementos de ´ algebra A.1

Matrices

Si m, n ≥ 1 son n´ umeros naturales, una matriz m × n de n´ umeros reales es un conjunto A de m · n n´ umeros reales ordenados en m filas y n columnas. Al n´ umero que ocupa la fila i y la columna j se le representa por aij . Por lo que una matriz A se representa tambi´en por A = (aij ). As´ı pues, una matriz m × n es de la forma 



a11 · · · a1n  .. ..  A= . .  am1 · · · amn Ejemplos

La matriz A es 3 × 3, mientras que B es 2 × 4: 





2 1 −1   4 , A =  1 √0 0 2 −8

B=

3 0 −1 −1 2 1 1/2 9



Las matrices con el mismo n´ umero de filas que de columnas se llaman cuadradas, mientras que las que no son cuadradas se llaman rectangulares. Los vectores de Rn son un caso particular de matrices. Por ejemplo, podemos ver a (2, 3, 5, 5) como un vector de R4 o como una matriz 1×4. Estas matrices que tienen una sola fila se llaman vectores fila. Igualmente, las matrices con una sola columna se llaman vectores columna. Debes ser capaz de realizar las operaciones siguientes con matrices: Suma Si A = (aij ) y B = (bij ) son matrices m × n, entonces A + B = (aij + bij ). Ejemplo:       1 3 −2 −1 1 −2 0 4 −4 + = . 2 1 9 4 0 0 6 1 9 Producto por un escalar Si α ∈ R y A = (aij ) es una matriz m × n, entonces αA = (αaij ). Ejemplo: 

−3

1 3 −2 2 1 9





=

201

−3 −9 6 −6 −3 −27



.

202

Ap´endice A. Elementos de ´algebra

Producto de matrices Si A = (aij ) es m × n y B = (bij ) es n × r, entonces AB es la matriz que en la posici´ on (i, j) tiene el n´ umero ai1 b1j + · · · + ain bnj . Ejemplo: 

1 3 −2 2 1 9







  2 −1 0 2 + 3 − 2 −1 − 3 − 2 0 + 9 + 0    1 −1 3  = 4 + 1 + 9 −2 − 1 + 9 0 + 3 + 0 1 1 0 

3 −6 9 14 6 3

=



.

Trasposici´ on Si A es una matriz m × n, se llama matriz traspuesta de A a la matriz n × m representada por At dada por atij = aji , es decir, At es la matriz que resulta de cambiar filas por columnas. Ejemplo: 

A=

1 3 −2 2 1 9







1 2   At =  3 1  . −2 9

,

Una matriz cuadrada A es sim´etrica si coincide con su traspuesta, es decir, si A = At . Por ejemplo, la matriz S es sim´etrica, pero T no lo es: 





1 2 3   S =  2 −2 4  , 3 4 0



1 2 3   T =  2 −2 4  . 1 4 0

Para terminar, se define la matriz nula m × n como la matriz cuyos coeficientes son todos 0. La matriz identidad m × m es la matriz Im que tiene unos en la diagonal y ceros fuera de la diagonal. Por ejemplo: 

I1 = (1),

A.2

I2 =

1 0 0 1





,



1 0 0   I3 =  0 1 0  , 0 0 1

...

Determinantes

Cada matriz cuadrada A tiene asociado un n´ umero real llamado determinante de A, y que representaremos por |A| o det A. Como la definici´ on te´ orica de determinante es complicada, ser´a suficiente con que sepas c´omo calcularlos en la pr´ actica: Matrices 1 × 1

Simplemente, |a| = a. Ejemplo, | − 5| = −5.

Matrices 2 × 2

La f´ ormula es   a b    c d

Ejemplo:

    = ad − bc. 

   1 3      = 4.  −1 1 

A.2. Determinantes Matrices 3 × 3

203

La f´ ormula es

  a b    d e   g h

Ejemplo:

c f i

     = aei + bf g + cdh − ceg − af h − bdi.  

   1 −1 3      2 1  = 0 + 3 + 6 + 3 − 2 − 0 = 10.  1    −3 2 0 

Para dimensiones superiores conviene reducir el determinante a otros de menor tama˜ no mediante la regla siguiente: Teorema

Si A es una matriz cuadrada n × n y 1 ≤ i ≤ n, se cumple que |A| =

n 

(−1)i+j aij Aij ,

j=1

donde Aij es el determinante de la matriz que resulta de tachar la fila i y la columna j de A. Lo mismo es v´ alido cambiando filas por columnas. Ejemplo

Desarrollamos el determinante siguiente por la segunda fila:   1 2   2 0    −1 3   0 2

  2 −1 3   −2  3 −3 1   2 1 1

−1 1 −3 1

3 2 1 1

     =   

        1 −1 3   1 2 3   1 2              + 0  −1 −3 1  − 1  −1 3 1  + 2  −1 3         0  0 2 1   0 2 1 1 

−1 −3 1

      

= −2 · 20 − 1 · (−3) + 2 · 13 = −11 A menudo es pr´ actico manipular previamente los determinantes para hacer que tengan una fila o columna con todos los coeficientes nulos salvo uno, de modo que el desarrollo tiene un u ´nico sumando. Para ello nos basamos en la propiedad siguiente: Teorema Si a una fila o columna de un determinante le sumamos otra multiplicada por un n´ umero, el determinante no var´ıa. Ejemplo

Vamos a calcular de nuevo el determinante del ejemplo anterior:

  1 2   2 0    −1 3   0 2

−1 1 −3 1

3 2 1 1

     1   2 −1 3     −4 3 −4    0 −4   3 −4      4  = −11. =  = +1  5 −4   0   5 −4 4      2 1 1    0 2 1 1 

En el primer paso, a la segunda fila le hemos sumado la primera multiplicada por −2 y a la tercera le hemos sumado la primera multiplicada por 1. Luego hemos desarrollado por la primera columna.

204

A.3

Ap´endice A. Elementos de ´algebra

Sistemas de ecuaciones lineales

En esta secci´on consideraremos las ecuaciones del tipo m´as simple posible: aquellas en las que las variables aparecen u ´nicamente multiplicadas por escalares y sumadas. Por ejemplo, el sistema  x + 2y − z = 3   2x − y + 3z = 6  −x + y + 4z = 3  es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres inc´ognitas. Observemos que admite la expresi´ on matricial 









1 2 −1 x 3      3  y  =  6   2 −1 −1 1 4 z 3 En general, un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas admite siempre la expresi´ on matricial A¯ xt = ¯bt , donde A es una matriz m × n llamada matriz de ¯ ∈ Rn es el coeficientes del sistema, ¯b ∈ Rm es el vector de t´erminos independientes y x vector de inc´ ognitas. Para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones podemos emplear el m´etodo de reducci´ on de Gauss, consistente transformar el sistema teniendo en cuenta que si a una ecuaci´ on le sumamos otra multiplicada por un escalar, el sistema que resulta sigue teniendo las mismas soluciones, al igual que si multiplicamos o dividimos una ecuaci´ on por un escalar no nulo. Por ejemplo, 







x + 2y − z = 3  x + 2y − z = 3    2x − y + 3z = 6 ⇒ −5y + 5z = 0 ⇒     −x + y + 4z = 3 3y + 3z = 6 x + 2y − z = 3  x + 2y − z = 3    −y + z = 0 −y + z = 0 ⇒   2z = 2  y+z = 2  Con esto hemos triangulado el sistema, es decir, hemos dejado la x s´olo en la primera ecuaci´on, la y s´olo en las dos primeras ecuaciones y la z (s´olo) en las tres primeras ecuaciones. Resolver un sistema triangulado es inmediato: z=

2 = 1, 2

y = z = 1,

x = 3 − 2y + z = 3 − 2 + 1 = 2.

La soluci´on es, pues, (x, y, z) = (2, 1, 1). Sistemas indeterminados En general un sistema de ecuaciones lineales no tiene por qu´e tener una u ´nica soluci´ on. El m´etodo de Gauss es aplicable tambi´en aunque haya m´ as de una. Ve´ amoslo en un ejemplo: 



x + 2y + z = 4  x + 2y + z = 4    2x + y − z = 2 ⇒ −3y − 3z = −6 ⇒   −6y − 6z = −12  7x + 8y + z = 16 

A.3. Sistemas de ecuaciones lineales

205 

 x + 2y + z = 4   x + 2y + z = 4 y+z = 2 ⇒  y+z = 2 y+z = 2 

Ahora el sistema ha quedado triangulado, pero hay menos ecuaciones que inc´ ognitas. En tal caso asignamos valores arbitrarios a todas las variables de la u ´ltima ecuaci´on excepto a una. Por ejemplo, hacemos z = λ, donde λ ∈ R es un n´ umero real arbitrario. Al despejar queda: z = λ,

y = 2 − λ,

x = 4 − 2y − z = 4 − 2(2 − λ) − λ = λ.

Las s´oluciones del sistema son, pues, (x, y, z) = (λ, 2 − λ, λ), para todo λ ∈ R. El hecho de que λ pueda tomar cualquier valor se expresa diciendo que λ es un par´ ametro. Como λ puede tomar infinitos valores, el sistema tiene infinitas soluciones. A veces podemos necesitar una soluci´on particular del sistema. Para encontrarla basta elegir valores concretos para los par´ ametros de los que dependa la soluci´ on general. Por ejemplo, si hacemos λ = 3 obtenemos la soluci´on particular (x, y, z) = (3, −1, 3). Sistemas incompatibles Tambi´en puede suceder que un sistema de ecuaciones lineales no tenga soluci´on. El m´etodo de Gauss nos permite reconocer si se da el caso: 





2x − y + 3z = 2  2x − y + 3z = 2  2x − y + 3z = 2     x+y− z = 1 3y − 5z = −3 3y − 5z = −3 ⇒ ⇒    4x + y + z = 6  3y − 5z = 2  0= 5  Como la u ´ltima ecuaci´on es imposible, concluimos que el sistema no tiene soluci´on. (En realidad esto se ve ya al comparar las dos u ´ltimas ecuaciones del sistema del centro.)

Clasificaci´ on de los sistemas de ecuaciones lineales Los casos anteriores agotan todas las posibilidades para un sistema de ecuaciones lineales: o bien tiene una u ´nica soluci´ on, y entonces se dice que es compatible determinado, o bien tiene infinitas soluciones, que quedar´ an en funci´ on de uno o m´ as par´ ametros, en cuyo caso se dice que es compatible indeterminado, o bien no tiene soluci´ on, en cuyo caso se dice que es incompatible. La regla de Cramer La regla de Cramer es otro m´etodo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes. El caso principal es el de un sistema con el mismo n´ umero de ecuaciones que inc´ognitas cuya matriz de coeficientes tiene determinante no nulo. Por ejemplo: 

x + 2y − z = 3   2x − y + 3z = 6  −x + y + 4z = 3  Seg´ un la regla de Cramer,

x =      

   3 2 −1     3   6 −1    3 1 4 

−60

 = = 2. −30 1 2 −1   2 −1 3   −1 1 4 

206

Ap´endice A. Elementos de ´algebra

El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes del sistema, mientras que el numerador resulta de sustituir en esta matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los t´erminos independientes. Si sustituimos los coeficientes de y obtenemos el valor de y:

y= Igualmente:

z=

  1 3    2 6   −1 3

−1 3 4

      

  1 2 3    2 −1 6   −1 1 3

      

−30

=

−30 = 1. −30

=

−30 = 1. −30

−30 La soluci´on es, por tanto, (x, y, z) = (2, 1, 1).

Si tenemos menos ecuaciones que inc´ognitas tambi´en podemos aplicar la regla de Cramer del modo siguiente: x + y − 2z + w = 4 2x + 2y + z + 2w = 3



Buscamos una submatriz 2 × 2 de la matriz de coeficientes con determinante no nulo. Vemos que el formado por las dos primeras columnas no sirve, pero el formado por la segunda y la tercera s´ı:   1 1    2 2

    = 0, 

   1 −2      = 5.  2 1 

Entonces dejamos la segunda y la tercera columna a la izquierda y pasamos las restantes a la derecha:  y − 2z = 4 − x − w 2y + z = 3 − 2x − 2w Las variables de la derecha las convertimos en par´ ametros: x = λ, w = µ, y las de la izquierda las calculamos por la regla de Cramer:    4 − λ − µ −2       3 − 2λ − 2µ 1  1   = (4 − λ − µ + 6 − 4λ − 4µ) = 2 − λ − µ, y=  1 −2  5      2 1     1 4− λ− µ       2 3 − 2λ − 2µ  1

= (3 − 2λ − 2µ − 8 + 2λ + 2µ) = −1. 5 5 La soluci´on es (x, y, z, w) = (λ, 2 − λ − µ, −1, µ), para todo λ, µ ∈ R. z=

A.4

Matrices inversas

El c´ alculo de matrices inversas es una herramienta muy u ´til para trabajar con sistemas de ecuaciones lineales:

A.4. Matrices inversas

207

Definici´ on Si A es una matriz cuadrada n × n, se llama matriz inversa de A a la matriz A−1 de orden n × n que cumple AA−1 = A−1 A = In , donde In es la matriz identidad n × n. Es importante tener presente que no todas las matrices cuadradas tienen inversa, pero cuando existe, la matriz inversa es u ´nica, es decir, una misma matriz no puede tener dos matrices inversas distintas. Es f´acil saber cu´ando existe la matriz inversa: Teorema de 0.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y s´ olo si su determinante es diferente

Para calcular la inversas de una matriz calculamos primero la llamada matriz adjunta: Definici´ on La matriz adjunta de una matriz cuadrada A es la matriz que tiene en la posici´ on (i, j) el valor (−1)i+j multiplicado por el determinante de la matriz que resulta ˜ de tachar la fila i y la columna j de A. La representaremos por A. Teorema

Si una matriz cuadrada A tiene determinante no nulo, entonces A−1 =

Ejemplo

1 ˜t A. |A|

Vamos a calcular la matriz inversa de 



1 3 1   A =  2 −1 1  . 0 2 0 En primer lugar calculamos |A| = 2 (si hubiera dado 0, no habr´ıa inversa). La matriz adjunta es    −1      2     3   − A˜ =     2        3   −1

1 0 1 0 1 1

              

   −          − 



2 1   0 0  1 1 0 0 1 1 2 1

         

  2    0    −    1    2

−1 2 1 3 0 2 3 −1

              

        −2 0 = 2 0   4 1   

Ahora calculamos la traspuesta: 



−2 2 4   0 1 , A˜t =  0 4 −2 −7 y por u ´ltimo dividimos entre el determinante: 

A−1



−1 1 2   0 1/2  . = 0 2 −1 −7/2



4  −2  . −7

208

Ap´endice A. Elementos de ´algebra Podemos comprobar que el resultado es correcto multiplicando: 

AA−1









1 3 1 −1 1 2 1 0 0      0 1/2  =  0 1 0  = I3 . =  2 −1 1   0 0 2 0 2 −1 −7/2 0 0 1

La relaci´on entre las matrices inversas y los sistemas de ecuaciones lineales se basa en el hecho de que todo sistema admite una expresi´on matricial de la forma A¯ xt = ¯bt . Si el sistema tiene el mismo n´ umero de ecuaciones que de inc´ognitas (con lo que la matriz A es cuadrada) y |A| =  0, entonces el sistema es compatible determinado, ya que podemos calcular su soluci´ on de la forma siguiente: A¯ xt = ¯bt ⇒ A−1 A¯ xt = A−1¯bt ⇒ x ¯t = A−1¯bt . En definitiva: Si la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales A¯ xt = ¯bt es cuadrada y tiene determinante no nulo, entonces su soluci´ on viene dada por x ¯t = A−1¯bt . Ejemplo

Vamos a resolver matricialmente el sistema de ecuaciones 

x + 3y + z = 5   2x − y + z = 3 .  2y = 8  Matricialmente es











1 3 1 x 5       2 −1 1   y  =  3  . 0 2 0 z 8 La matriz A tiene determinante no nulo. De hecho, hemos calculado su inversa en el ejemplo anterior. Por lo tanto, la soluci´ on es 













x −1 1 2 5 14        −1 t 0 1/2   3  =  4 . b = 0  y =A ¯ z 2 −1 −7/2 8 −21 La soluci´on es, pues, (x, y, z) = (14, 4, −21).

A.5

Sistemas de ecuaciones arbitrarias

No existe ning´ un m´etodo general para resolver sistemas de ecuaciones arbitrarias (no necesariamente lineales). Una t´ecnica que a menudo resulta conveniente es despejar una inc´ ognita de una de las ecuaciones y sustituirla en todas las dem´ as, con lo que pasamos a tener una ecuaci´ on menos y una inc´ ognita menos. Repetimos el proceso hasta llegar a una u ´nica ecuaci´ on con una u ´nica inc´ ognita.

A.5. Sistemas de ecuaciones arbitrarias Ejemplo

209

Vamos a resolver el sistema de ecuaciones 

xyz = 6    z =3  x  xy + 2x − z = 1  Para ello, despejamos z = 3x en la segunda ecuaci´on y sustituimos en las otras: 3x2 y = 6 xy − x = 1 z = 3x Ahora despejamos y =

x+1 x

  

x2 y = 2 ⇒ xy − x = 1   z = 3x

    

en la segunda ecuaci´ on y sustituimos en la primera: x(x + 1) = 2 x+1 y = x z = 3x

      

Ahora ya podemos resolver la primera ecuaci´ on: x2 + x − 2 = 0, cuyas soluciones son x=

−1 ±

√

1+8

2



=

1, −2.

Para cada valor de x, calculamos los valores correspondientes de y, z. Las soluciones son: (x, y, z) = (1, 2, 3), (−2, 1/2, −6).

Ejemplo

Vamos a resolver el sistema de ecuaciones √



x + 7 + y = 4z   y2 = z2  x+y =3 

Despejamos x = 3 − y en la tercera ecuaci´on y sustituimos en las otras (en este caso, s´olo en la primera):  √  10 − y + y = 4z  2 2 y =z  x =3−y  Para despejar y en la segunda ecuaci´on sacamos ra´ıces cuadradas, pero entonces el resultado no es y = z, sino y = ±z. Cuando, al resolver un sistema, nos encontramos con dos alternativas, hemos de distinguir dos casos independientes, que aqu´ı son: √

10 − y + y = 4z y =z x =3−y

    

√ y

10 − y + y = 4z y = −z x =3−y

    

210

Ap´endice A. Elementos de ´algebra

Caso 1 Sustituimos y = z en la primera ecuaci´ on y nos queda √

10 − z + z = 4z.

Para resolver una ecuaci´ on con una ra´ız despejamos la ra´ız y luego elevamos al cuadrado: √



10 − z = 3z

⇒

10 − z = 9z 2

⇒

9z 2 + z − 10 = 0

⇒z=

1, −10/9,

con lo que las soluciones (de este caso) son (37/9, −10/9, −10/9).

(x, y, z) = (2, 1, 1),

Cuando se eliminan ra´ıces elevando al cuadrado, puede ocurrir que aparezcan nuevas soluciones que no corresponden a las ecuaciones originales,1 por lo que hay que comprobar si los puntos obtenidos las verifican. En este caso, el segundo punto no cumple la primera ecuaci´on,2 luego s´olo hemos encontrado la soluci´ on (x, y, z) = (2, 1, 1). Caso 2 Sustituimos y = −z en la primera ecuaci´ on y nos queda √

10 + z − z = 4z

⇒

√

10 + z = 5z

⇒

10 + z = 25z 2

⇒

25z 2 − z − 10 = 0

de donde obtenemos z = 0.6528 y z = −0.6128, lo que nos lleva a los puntos (x, y, z) = (3.6528, −0.6528, 0.6528),

(2.3872, 0.6128, −0.6128).

√ Sin embargo, la ecuaci´ on 10 + z = 5z muestra que z no puede ser negativo, lo que nos descarta la segunda soluci´on (mientras que la primera cumple las tres ecuaciones originales). As´ı que, en total, hemos encontrado las soluciones: (x, y, z) = (2, 1, 1),

A.6

(3.6528, −0.6528, 0.6528)

Ejercicios

1. Calcula los determinantes siguientes:              

−1 3 2 3 −2 3 1 1 2



2 −1 2   3 3 1   1 4 2 

         = 8,          = 27,   



2 1 5   −1 3 2  = −8,  1 1 2  

1 2 −1   2 3 3  = 18,  3 1 4 

  2 1   3  −1   3 −2   2 −2   1  5   0 2

5 2 3 1 2 0

     = 0,  

     = 2.  

√ Por ejemplo, si para resolver la ecuaci´ on x = x − 2 elevamos al cuadrado, obtenemos x = (x − 2)2 , que admite la soluci´ on x = 1, que no cumple la√ecuaci´ on inicial. 2 Esto se ve m´ as r´ apidamente en la ecuaci´ on 10 − z = 3z, que muestra que z no puede ser negativo. 1

A.6. Ejercicios

211

2. Calcula los determinantes siguientes:   2 1   −1 0    3 3   1 2

1 3 −2 1

      = 16,   

5 2 3 2

        

2 1 2 3



0 0 3  2 −1 2   = 0, 3 3 1   1 4 2 

  −1 0 0 0   3 0 2 0    1 5 3 2   2 7 5 3

      = −2.   

3. Calcula los determinantes siguientes:   2   a3 b   1   2 2 a b

  e−u    0

 0  , e−v 

  60r 2    0   0

0 0 0 0 0 60t2

  0    2x + y   x   2y 5    10xy 4

    ,  

1 a2 b2 2 ab3

    = 3 ,  a4 b4  

  2y 2x −6z   0 0  2x   −6z 0 −6x 

2x + y x   2 1  = 2xy + 2x2 ,  1 0 

    = −60x2 y 8 , 20x2 y 3 

10xy 4

  −6u    1

     = 24x3 ,  

   , 

  0   y  e   1

ey 1   0 ey  = 2e2y ,  ey 0 

  ex + ex+y    ex+y

  0    2xy 5   5x2 y 4

   0 2x −2y     2 0  = 8x2 − 8y 2 ,  2x    −2y 0 −2 

1 −6v

  6x 6y    6y 6x

   , 



ex+y ex+y

2xy 5 5x2 y 4 2y 5 10xy 4 4 10xy 20x2 y 3

    = e2x+y ,       = 60x4 y 13 ,  

   0 yz xz xy     yz 0 z y     = −3x2 y 2 z 2 .  xz z 0 x     xy y x 0 

4. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes por el m´etodo de Gauss: 



x + 2y + z = 6   −x − y + 4z = 12  2x + 3y − z = 6 

2x − y − z = −1   x + 2y + 5z = 2  −3x + y + 2z = 9 

x + 3y − z = 15   x − y + z = −1  x + 2y = 0 

−2x + y = 10   y + 2z = 0  2x + z = 6 





5x + 10y + z = 2   3x + 6y + z = 2  −2x + y + 10z = 0 





6x − y + z = 0   x + y + z = −3  2x − 3y − 4z = 2 

5. Escribe matricialmente los sistemas de ecuaciones del ejercicio anterior y resu´elvelos calculando la inversa de la matriz de coeficientes.

212

Ap´endice A. Elementos de ´algebra

6. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes: 8 − 4x − 8y = 0 10 − 6x − 3y = 0 p + 1.5q = 6 p−λ=0 q − 1.5λ = 0 √ x + y = 11 x + 20y = 120 x + 2y = 8 y−λ=0 x − 2λ = 0 yz − 2λ = 0 xz − λ = 0 xy − 3λ = 0 2x + y + 3z = 18



4x + 6y = 24 8x + 3y = 24

  

3x2 + y 2 = 6 300 3 − 6xλ = 0 2 − 2yλ = 0 √ x+y =9 x + 20y = 81

     

√4 − 2xλ = 0 x 5 √ 2 y − 10yλ = 0 x2 + 5y 2 = 21

      

     9 − λ(y + 5) = 0  

2 − λ(x + 2) = 0  xy + 5x + 2y = 6 

16 − 4xλ = 0 24 − 6yλ = 0 12 − 2zλ = 0 2x2 + 3y 2 + z 2 = 29 1 − 2xλ = 0 1 y − 6yλ = 0 x2 + 3y 2 = 146

                         

3x2 + y 2 = 6 300 3x + 2y = 210 h + 1.5r = 6 2h − p = 0 2r − 1.5p = 0 x + y = 30 4x + 2y = 80 1 − 2KLλ = 0 3 − K 2λ = 0 K 2 L = 36 3 − yzλ = 0 4 − xzλ = 0 2 − xyλ = 0 xyz = 72 3 − λ − 4µ = 0 2 − λ − 2µ = 0

7. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes: y x

5 = 10 5x + 10y = 1 600 y x

= 20 5 20x + 5y = 4 000





y x+3

=1 2x + 2y = 400 x1/2 y 1/2 = 200 y = 2x



2 −1/3 1/3 x y 3 1 2/3 −2/3 x y 3

=

8 4

                     

 

8x + 4y = 600  

2xy = 25 600 y=x



8. La figura muestra cinco rectas, aparte de los ejes, cuyas ecuaciones son de la forma y = ax + b. (a) Fij´ andote en la cuadr´ıcula, calcula sus ecuaciones. (b) Calcula las coordenadas de las cinco puntas de la estrella. (c) Calcula las coordenadas de los v´ertices del pent´agono.

5

9. La figura muestra cuatro curvas: dos rectas, cuyas ecuaciones son de la forma y = ax + b, y dos par´ abolas, cuyas ecuaciones son de 2 la forma y = ax + bx + c.

4

(a) Teniendo en cuenta la cuadr´ıcula, calcula las ecuaciones de las rectas y las de las par´abolas.

3

(b) Calcula el punto donde se cortan las rectas. 2

(c) Calcula los cuatro pares de puntos donde cada recta corta a cada par´ abola.

1

1

2

3

4

5

(d) Calcula los dos puntos donde se cortan las par´ abolas.

Ap´ endice B

Tablas Tabla de derivadas m´ as usuales ´n Funcio y = f (x)m ,

Derivada m∈R

y
= m f (x)m−1 f
(x) f
(x) f (x)

y = ln f (x)

y
=

y = af (x)

y
= f
(x)af (x) ln (a)

y = sen f (x)

y
= f
(x) cos f (x)

y = cos f (x)

y
= −f
(x) sen f (x)

y = tan f (x) y = cotan f (x) y = arcsen f (x)

f
(x) = f
(x)(1 + tan2 f (x)) cos2 f (x) −f
(x) y
= = −f
(x)(1 + cotan2 f (x)) sen2 f (x) f
(x) y
=  1 − f (x)2 y
=

−f
(x) 1 − f (x)2

y = arc cos f (x)

y
= 

y = arc tan f (x)

y
=

f
(x) 1 + f (x)2

y = arc cotan f (x)

y
=

−f
(x) 1 + f (x)2

213

214

Ap´endice B. Tablas

Tabla de primitivas inmediatas

    

f (x)n f
(x) dx =

f (x)n+1 + C; n+1

f
(x) dx = ln |f (x)| + C f (x) af (x) f
(x) dx =

1 f (x) + C; a ln a

a > 0,

a = 1

f
(x) sen f (x) dx = − cos f (x) + C f
(x) cos f (x) dx = sen f (x) + C



f
(x) dx = tan f (x) + C cos2 f (x)



f
(x) dx = −cotanf (x) + C sen2 f (x)



n = −1

f
(x) dx = arcsenf (x) + C 1 − f (x)2

  

f
(x) dx = arctanf (x) + C 1 + f (x)2  f
(x) dx = 2 f (x) + C f (x)



Un caso particular de la regla 1 que conviene separar es n = 1, con lo que tenemos: 

f (x)f
(x) dx =

f (x)2 + C. 2

Ap´ endice C

Derivadas e integrales 1. Calcula las derivadas de las funciones siguientes: (a) f (x, y, z) = x3 y − 2yz + 3z 4 − z + 1, 4

(b) f (x, y) = x2 ey x , (c) f (x, y) =



 

(b)

(e) 

y,

(f) 

(g)

(j) C(C0 , i, t) = C0 (1 + i)t ,

3x , (x+y)5 , g(s, t, u) = √sst 2 +u h(x, u) = x5 sen4 u3 ,

(m) K(x, y) =

(i)

2 − x dx,

(3x + 8)8 dx,

dx , (x − 2)3  dx (l) , x−2

(k) 



(m) 

(n)

(v) q(x, t, y) = x2 (t + 1) cos(x5 /y), 1 b ln a ,



(o)

(x − 2)(x + 3) dx, e−x/2 dx, xe−x dx, 2



(x) f (x, y) = x,

2cos x sen xdx,

(p)

(y) f (u, v, w) = u(v + 1)(w − 5), (z) K(p, q, r) =

x cos(x2 − 2) dx,



(r) r(x, y, z) = z 4 ln 2 − xy , √ (s) T (c, d) = c − d ec+d , √ 5 (t) m(a, b) = aeb , √ (u) y(f, g) = (f 2 + 2g − 1) f , (w) L(a, b) =

sen(x − 2) dx,



k 2 − 2l + kl,

√ x x dx,

 √

(j)

6x cos x5 , √ 3

4

(x2 + 1) sen(x3 + 3x) dx,

(h)

(l) d(m, n) = ln(m − 3n),

(q) S(k, l) =

dx



(k) u(x, y) = 2xy cos x,

(p) M (x) =



x3 ex dx, 

(i) f (p, q, r) = pqr + 2,

(o)

x4 4x2 − x + 2

5 dx,

(d)

(g) f (x, y, z) = ln(x + y + z),

(n)

(x2 − 3x5 ) dx,



2x+3y 2y−2z ,

√

(a)

(c)

(e) f (x, y) = 10 ln3 (xy 5 ),

(h) f (x, y) = x





x5 y,

(d) f (x, y, z) = x2 cos5 (y/z), (f) f (x, y, z) =

2. Calcula:



(q)

p √ 3 q−r .

215

5x3 dx √ , 1 − x4

216

Ap´endice C. Derivadas e integrales 

5x dx √ , 1 − x4  √ 4 (s) x + 2 dx, (r)



x

(t)

 4

2x3 + 1 dx, x4 + 2x  √ 5 x + 1 dx, (g) 

x2

− 2 dx.

3. Calcula: sen x cos x dx, 

x dx , 1 + x2  dx (c) , 1 + x2  dx (d) , x ln x  ex dx , (e) 1 + ex (b)



(f)

ln x(1/x) dx, 

(g) 

(h) 

(i) 

(j) 

(k) 

(l) 

ln x dx, x ex dx, sen2 ex sen x dx, 3 + 2 cos x ex dx , 1 + e2x e2x dx , 1 + e2x sen x √ dx cos x 2x sen 2x dx,

(m) 

(n)

√

e x √ dx. x

4. Calcula: 

xex dx,

(a) 

(b) 

(2x − 3) sen(x + 1) dx, 2

xex dx,

(c) 

(x + 1)2x−1 dx,

(d) 

(e)

 5

6x 2x2 + 3 dx,

2

x3 3x dx, 

(j)

ln x dx, 

(k)

x ln x dx, 

x5 ln x dx,

(l) 

(m)

arctan x dx 

(n) 



5

2

x 2x dx,

(h) (i)



(a)



(f)

arctan x dx, 1 + x2 tan x dx.

(o)

5. Calcula: 

x3 − 3x + 2 dx, x  sen x + cos2 x (b) dx, cos x  √ x (x2 + 3) dx, (c) (a)



(d) 

(e)

5x + 6 dx, 1 + 4x2 ex (1 + e−x ) dx.