Matemáticas aplicadas a la Economía. 9788417261511, 8417261516

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA Manuel Úbeda Flores Manuel Ángel Gámez Cámara

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Matemáticas aplicadas a la economía © del texto: Manuel Úbeda Flores Manuel Ángel Gámez Cámara Colección Libros Electrónicos nº 94 © de la edición: Editorial Universidad de Almería, 2019 [email protected] www.ual.es/editorial Telf/Fax: 950 015459 ¤ ISBN: 978-84-17261-51-1 Depósito legal: AL 436-2019

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA precio

D(x) Función de demanda

O(x) Función de oferta

Superávit de los consumidores

Punto de equilibrio

Superávit de los productores

p

q

unidades

Manuel Úbeda Flores Manuel Ángel Gámez Cámara Colabora: Facultad de Ciencias Experimentales

Índice general Prefacio

VII

1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad 1.1. Funciones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Monotonía, extremos y acotación . . . . . . . . . 1.2. Principales funciones elementales . . . . . . . . . . . . . 1.3. Operaciones con funciones reales de una variable real . . . 1.4. Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Teoremas sobre funciones continuas . . . . . . . . . . . . 1.6. Algunas funciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 2 3 5 7 8 8 16 19 20 23

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26 26 29 29 30 32 34 35 39 42 43 46

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2. Derivación de funciones reales de una variable real 2.1. Definición. Interpretación geométrica y aproximación lineal 2.2. Primeras derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Derivadas de algunas funciones elementales . . . . . 2.3. Tasas de variación: marginalidad . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Teoremas fundamentales sobre derivación . . . . . . . . . . 2.6. Crecimiento, extremos y concavidad . . . . . . . . . . . . . 2.7. Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. La elasticidad de la demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV

Índice general

V

3. Integración de funciones reales de una variable real 3.1. Primitivas de una función. Integral indefinida . . . . . . . . . 3.2. Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Integración inmediata: tabla de primitivas . . . . . . . 3.2.2. Integración por cambio de variable . . . . . . . . . . . 3.2.3. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Planteamiento del problema: definiciones y propiedades 3.3.2. Cálculo de integrales definidas . . . . . . . . . . . . . 3.4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Aplicaciones de las integrales (I): cálculo de áreas . . . . . . . 3.5.1. Área determinada por la gráfica de una función y el eje OX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Área limitada por las gráficas de dos funciones . . . . 3.6. Aplicaciones de las integrales (II): superávit de los consumidores y de los productores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Series geométricas 4.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Series geométricas. Cálculo de su suma . . . . . . . . . . . . 4.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Capítulo 5. Matrices 5.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Primeras definiciones . . . . . . . . . . 5.1.2. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Operaciones con matrices . . . . . . . 5.1.4. Inversa de una matriz cuadrada . . . . . 5.1.5. Traspuesta de una matriz . . . . . . . . 5.1.6. Potencia entera de una matriz cuadrada 5.2. Transformaciones elementales . . . . . . . . . 5.3. Determinantes de matrices cuadradas . . . . . . 5.4. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . 5.4.1. Definiciones y discusión de sistemas . . 5.4.2. Métodos de resolución de sistemas . . . 5.5. Modelo input-output de Leontief . . . . . . . . 5.6. Diagonalización de matrices cuadradas . . . . . 5.6.1. Valores y vectores propios . . . . . . .

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50 50 51 51 55 56 57 57 59 61 64 64 66 68 70 73 73 74 77

78 . 79 . 79 . 79 . 81 . 84 . 85 . 86 . 87 . 89 . 94 . 94 . 95 . 100 . 103 . 103

Índice general

VI

5.6.2. Aplicaciones de la diagonalización: sistemas dinámicos108 5.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6. Funciones reales de varias variables reales 6.1. Primeras definiciones. Curvas de nivel . . . . . . . 6.2. Límites y continuidad en funciones de dos variables 6.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Definiciones y cálculo . . . . . . . . . . . 6.3.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Extremos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Extremos sin condicionamiento . . . . . . 6.4.2. Extremos condicionados . . . . . . . . . . 6.5. Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . 6.5.2. Función de producción Cobb-Douglas . . . 6.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . Exámenes resueltos Febrero 2012 . . Septiembre 2012 . Febrero 2013 . . Septiembre 2013 . Febrero 2014 . . Septiembre 2014 . Febrero 2015 . . Septiembre 2015 . Febrero 2016 . . Septiembre 2016 . Febrero 2017 . . Septiembre 2017 . Febrero 2018 . . Septiembre 2018 . Bibliografía

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119 . 119 . 121 . 126 . 126 . 128 . 130 . 131 . 132 . 134 . 134 . 135 . 136

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140 141 145 150 154 158 162 166 170 174 179 184 188 192 195

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199

Prefacio Este libro de texto está enfocado, fundamentalmente, como material docente de la asignatura de Matemáticas para los alumnos de los primeros cursos de los grados en: Administración y Dirección de Empresas; Economía; Finanzas y Contabilidad; y Marketing e Investigación de Mercados. El libro supone una buena herramienta de estudio encaminada al aprendizaje de las Matemáticas y algunas de sus aplicaciones en la Economía, proporcionando problemas resueltos relacionados con la materia. La obra está enfocada a la práctica, si bien aborda la teoría necesaria para resolver los ejercicios; de hecho, no se proporcionan demostraciones teóricas de los principales resultados. Se recogen desde problemas básicos que sirven de introducción y comprensión de las lecciones teóricas, hasta ejercicios de mayor complejidad y profundidad aplicados, en muchas ocasiones, a situaciones reales. De esta manera, se recurre frecuentemente a enunciados de tipo económico y empresarial que muestran al lector la relación entre ambas ciencias. Se desarrollan temas clásicos del Análisis Matemático —funciones reales de variable real, derivación e integración de funciones reales de variable real, series geométricas y funciones reales de varias variables reales— y del Álgebra Lineal —matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y diagonalización—. Al final de cada capítulo se proponen una serie de ejercicios relacionados con el tema. Además, dedicamos un capítulo completo a la resolución de ejercicios de exámenes de diversas convocatorias, en concreto, aquellas comprendidas entre los años 2012 y 2018, ambas inclusive. Con ello, pretendemos que el alumno también efectúe su propia autoevaluación con la comprobación de sus propios resultados. Los autores Almería, marzo de 2019

VII

Capítulo 1 Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad Son muchos los ejemplos en los que el uso de funciones describe situaciones cotidianas: la función de posición de un móvil, su velocidad y aceleración, la descripcíón de términos económicos, como la oferta, la demanda, la producción, etc. También puede ser interesante conocer el valor en torno al que tiende a estabilizarse en el ímite una función de beneficios o de costes, una determinada población de animales, etc. El siguiente problema muestra la utilidad del estudio de las funciones reales de una variable real. Problema 1.1 Un agricultor desea adquirir cierto tipo de abono para sus plantaciones. La industria que lo vende tiene la siguiente política de precios: para los primeros 100 kg, el precio es de 0,30 euros el kg; a partir de 100 kg el precio baja a 0,26 euros; a partir de 1000 kg el precio desciende a 0,20 euros. a) Determinar la función de coste C(x) que a un número x de kg le asocia la cantidad que el agricultor debe pagar por ella C(x) (en una sola compra). b) ¿Cuánto le costaría al agricultor comprar 990 kg? c) Si el agricultor quiere comprar tantos kg como pueda, y dispone de 800 euros, ¿cuántos kg de abono comprará?

1.1. Funciones reales de variable real En esta primera sección daremos las primeras definiciones sobre funciones reales de una variable real y algunas de sus propiedades o características 1

2

Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad

más importantes.

1.1.1. Primeras definiciones Comenzamos dando la definición de función real de una variable real. Definición 1.1 Una función real de variable real f : A −→ R es una aplicación que asigna a cada punto x ∈ A ⊆ R el valor y = f (x) ∈ R. A x se le denomina variable independiente, mientras que a la y se le llama variable dependiente. En la definición anterior, al conjunto A se le denomina dominio de la función f , se denota por Dom(f ) y se define como el conjunto Dom(f ) = {x ∈ A : existe f (x)}, es decir, el dominio consta de todos los valores de la variable independiente para los cuales la función f tiene sentido, esto es, para los cuales la función existe. Se define la imagen (o rango) de f como el conjunto de valores f (x) que toma la función en el dominio, es decir, Im(f ) = {y ∈ R : f (x) = y, con x ∈ Dom(f )}. Ejemplo 1.1 Determine el dominio y la imagen de la función f (x) =

x2

x−1 . +x−2

Solución: El dominio de la función f es el conjunto formado por todos los números reales que no anulan el denominador. Como las dos raíces (reales) de la ecuación x2 + x − 2 = 0 son x = 1 y x = −2, tenemos que Dom(f ) = R−{−2, 1}. Por otro lado, para calcular Im(f ) debemos resolver la ecuación x2

x−1 =y +x−2

respecto a la variable independiente, es decir, la x. Para ello, operamos en la ecuación y obtenemos yyx2 + (y − 1)x − 2y + 1 = 0, cuyas soluciones son p p 1 − y + (y − 1)2 − 4y(1 − 2y) 1 − y + 9y 2 − 6y + 1 x= = 2y 2y p 1 − y + 9(y − 1/3)2 1 − y + 3(y − 1/3) = = . 2y 2y

1.1. Funciones reales de variable real

3

Nótese que las soluciones para x son aquellas tales que y 6= 0, y como x 6= 1, entonces resolviendo 1 − y + 3(y − 1/3) 1= , 2y se obtiene que y 6= 1/3 (de x 6= −2 no se obtiene valor para y); por tanto, Im(f ) = R − {0, 1/3}. Toda función real de una variable real f puede representarse en el plano R . Esta representación se denomina gráfica y se define como 2

Graf(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Dom(f ), y = f (x)} (véase la figura 1.1). Y Eje de ordenadas f(x) b=f(a)

(a,b) a

X

Eje de abscisas

Figura 1.1: Gráfica de una función

1.1.2. Monotonía, extremos y acotación Toda función tiene una serie de características que nos permitirán, entre otras cosas, realizar su representación gráfica. A continuación definiremos algunas de esas características. Definición 1.2 Una función f : A −→ R es monótona creciente (respectivamente, decreciente) en el intervalo (a, b) ⊆ A si para todo x1 y x2 de (a, b) tales que x1 < x2 , entonces f (x1 ) ≤ f (x2 ) (respectivamente, f (x1 ) ≥ f (x2 )). Además, la función es estrictamente creciente (respectivamente, decreciente) cuando se produce la desigualdad estricta, esto es, f (x1 ) < f (x2 ) (respectivamente, f (x1 ) > f (x2 )).

4

Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad

a

c

b decreciente

creciente

Figura 1.2: Ejemplo de crecimiento y decrecimiento de una función En la figura 1.2 vemos un ejemplo sobre los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Definición 1.3 Una función f : A −→ R está acotada superiormente (respectivamente, inferiormente) si existe M ∈ R (m ∈ R) tal que f (x) ≤ M (respectivamente, f (x) ≥ m) para todo x ∈ A. La función f está acotada si lo está superior e inferiormente. A la vosta de esta definición podemos también decir que una función está acotada superiormente (respectivamente, inferiormente) si su imagen está acotada superiormente (respectivamehte, inferiormente). En la figura 1.3 podemos encontrar algunos ejemplos de gráficas de funciones acotadas (superiormente y/o inferiormente). Definición 1.4 Sea f una función. Entonces: 1. f tiene un mínimo local o relativo en el punto x0 si existe un δ > 0 tal que f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ); es decir, en x0 la función pasa de decreciente a creciente; 2. f tiene un máximo local o relativo en el punto x0 si existe un δ > 0 tal que f (x0 ) ≥ f (x) para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ); es decir, en x0 la función pasa de creciente a decreciente; 3. f tiene en el punto x0 un mínimo absoluto o global si se verifica que f (x0 ) ≤ f (x) para todos los valores x del dominio de la función;

1.2. Principales funciones elementales

Función acotada inferiormente

5

Función acotada superiormente

Función acotada

Figura 1.3: Ejemplos de funciones acotadas (superiormente y/o inferiormente) 4. f tiene en el punto x0 un máximo absoluto o global si se verifica que f (x0 ) ≥ f (x) para todos los valores x del dominio de la función. En la figura 1.4 podemos encontrar algunas gráficas con distintos ejemplos de máximos o mínimos (relativos y/o absolutos).

x1

ni mínimo ni máximo

máximo relativo

x2

mínimo relativo

mínimo global

Figura 1.4: Ejemplos de existencia de máximos y mínimos (relativos y/o absolutos)

1.2. Principales funciones elementales En esta sección presentaremos algunos ejemplos de funciones reales de variable real con algunas de sus propiedades más importantes.

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Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad

Funciones polinómicas. Son aquellas de la forma f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , donde ai ∈ R, con n ∈ N ∪ {0}, y an 6= 0. Su dominio es todo R, y su imagen depende del grado n. Funciones racionales. Son aquellas de la forma f (x) =

p(x) , q(x)

donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas. Su dominio es el conjunto de números reales para los cuales el denominador no se anula (recuérdese el ejemplo 1.1). Funciones potenciales. Son funciones de la forma f (x) = xr , donde r ∈ R. Su dominio contiene a R+ . Si r es un número racional, entonces se trata de una función irracional, y tiene la forma √ f (x) = n xp = xp/n , siendo n y p dos números naturales, y puede aparecer combinada con expresiones polinómicas. Funciones exponenciales. Son funciones de la forma f (x) = ax , donde a > 0. Su domino es todo R. En particular, si a = e ≈ 2,71828 entonces f (x) = ex . Funciones logarítmicas. Son aquellas de la forma f (x) = loga (x), con a > 0 y a 6= 1. Su dominio es R+ y su imagen es R. En particular, si a = e escribimos f (x) = ln(x), y en este caso se denomina función logaritmo neperiano.

1.3. Operaciones con funciones reales de una variable real

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Funciones trigonométricas: Son aquellas que aurgen a partir de la definición del seno y coseno de un ángulo, esto es, f (x) = sen x y

f (x) = cos x.

Su dominio es todo R y su imagen es el intervalo [−1, 1]. A partir de ellas se definen las funciones tangente, secante, cosecante y cotangente de la siguiente manera: tg x =

sen x ; cos x

sec x =

1 ; cos x

cosec x =

1 ; sen x

cotg x =

cos x . sen x

Las inversas de las funciones seno, coseno y tangente se denominan arcoseno, arcocoseno y arcotangente, respectivamente. Funciones definidas a trozos: Son funciones definidas con distintas expresiones según el intervalo considerado. Por ejemplo, la función valor absoluto de x es una función definida a trozos dada por ( x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0.

1.3. Operaciones con funciones reales de una variable real En las siguientes definiciones tenemos las distintas operaciones que pueden realizarse con dos funciones reales de variable real. Definición 1.5 Dadas dos funciones f y g con dominio común D, y dado c ∈ R, se define: 1. Suma de f y g: (f + g)(x) = f (x) + g(x). 2. Producto de f por un escalar c: (c ·f )(x) = c ·f (x). 3. Producto de dos funciones f y g: (f ·g)(x) = f (x)·g(x).   f f (x) 4. Cociente de dos funciones f y g: (x) = , siempre que g g(x) g(x) 6= 0.

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Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad

Definición 1.6 Dadas dos funciones f : A −→ R y g : B −→ R tales que Im(f ) ⊆ Dom(g), se define la composición de f y g, y se denota (g ◦ f ), como la función definida por

para todo x ∈ Dom(f ).

(g ◦ f )(x) = g(f (x))

En general, la composición de funciones no cumple la propiedad conmutativa, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.2 Dadas las funciones f (x) = x + 1 y g(x) = x2 , se tiene: (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 ) = x2 + 1.

Por tanto, (g ◦ f )(x) 6= (f ◦ g)(x).

1.4. Límites y continuidad Estudiaremos en esta sección dos nociones fundamentales de las funciones reales de una variable real, como son los conceptoa de límite y de continuidad.

1.4.1. Límites El límite de una función f (x) es una herramienta importante para estudiar el comportamiento de la función cuando f se aproxima a un punto o tiende a infinito. Definición 1.7 Dada una función f definida en un intervalo [a, b] y un punto x0 ∈ (a, b), se dice que la función f tiene límite L ∈ R en el punto x0 , y se denota l´ım f (x) = L, x→x0

si para todo ε > 0, existe δ(ε) > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ, entonces |f (x) − L| < ε.

A la vista de la gráfica en la figura 1.5, podemos comprobar que es posible aproximarse al punto x0 mediante valores menores que x0 o mayores que x0 . Surge así el concepto de límite lateral, pudiendo definirse tanto por la derecha como por la izquierda, y que damos en la siguiente definición.

1.4. Límites y continuidad

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Figura 1.5: Límite de una función en un punto Definición 1.8 Sea f una función definida en [a, b], x0 ∈ (a, b) y L ∈ R. Se dice que el límite por la derecha (respectivamente, izquierda) de f en x0 es L, y se denota l´ım f (x) = L

x→x+ 0

(respectivamente, l´ım− f (x) = L, x→x0

si para todo ε > 0, existe δ(ε) > 0 tal que si 0 < x − x0 < δ (respectivamente 0 < x0 − x < δ), entonces |f (x) − L| < ε.

En la figura 1.6 representamos qué significado gráfico tiene esta última definición para el caso del límite por la derecha. Una condición necesaria y suficiente para la existencia del límite de una función en un punto la tenemos en el siguiente resultado. Teorema 1.1 Una función f : [a, b] −→ R tiene límite L en el punto x0 ∈ (a, b) si y solo si los límites laterales en dicho punto existen y además coinciden, siendo su valor L. Es decir: l´ım f (x) = L ⇐⇒ l´ım− f (x) = l´ım+ f (x) = L.

x→x0

x→x0

x→x0

Además, en caso de existencia de límite, tenemos también su unicidad. Teorema 1.2 Si una función tiene límite en un punto entonces dicho límite es único.

10 Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad

Figura 1.6: Límite por la derecha de una función en un punto Resolvemos a continuación un primer ejemplo de cálculo de límite de una función en un punto. Ejemplo 1.3 Calcule el límite siguiente: x2 − 4 . x→2 x − 2 l´ım

Solución: Antes de resolver un límite, tratamos primero, si es posible, simplificar la expresión. Así: x2 − 4 (x + 2)(x − 2) = l´ım = l´ım (x + 2) = 4. x→2 x − 2 x→2 x→2 x−2 l´ım

Es posible que el límite de una función no dé un valor numérico. Tenemos entonces la siguiente definición. Definición 1.9 Dada una función f : [a, b] −→ R y un punto x0 ∈ (a, b), se dice que el límite de f en el punto x0 es ∞ (respectivamente, −∞), y se escribe l´ım f (x) = ∞ (respectivamente, l´ım f (x) = −∞),

x→x0

x→x0

si para todo M > 0, existe δ(ε) > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ entonces f (x) > M (respectivamente, f (x) < M).

1.4. Límites y continuidad

11

Asimismo, es posible calcular el límite de una función cuando los valores del dominio tienden a infinito. Definición 1.10 Sea una función f: [a, ∞) −→ R (f: (−∞, a] −→ R). Se dice que el límite de f en más infinito (menos infinito) es L, y se escribe l´ım f (x) = L

x→+∞

(respectivamente,

l´ım f (x) = L),

x→−∞

si para todo ε > 0 existe N ∈ R tal que si x > N (respectivamente, x < N) entonces |f (x) − L| < ε.

El siguiente resultado nos permitirá calcular límites para un amplio espectro de funciones. Teorema 1.3 (Álgebra de límites) Sean f y g dos funciones definidas en un mismo dominio tales que l´ım f (x) = L

x→x0

y

l´ım g(x) = M.

x→x0

Entonces se verifica que: 1. l´ım [f (x) + g(x)] = l´ım f (x) + l´ım g(x) = L+M. x→x0

x→x0

x→x0

2. l´ım [f (x) · g(x)] = l´ım f (x) · l´ım g(x) = L · M. x→x0

x→x0

l´ım f (x) f (x) L x→x0 = = x→x0 g(x) l´ım g(x) M

3. l´ım

x→x0

x→x0

si M 6= 0.

Ejemplo 1.4 Sean p(x) = an xn +· · ·+a1 x+a0 y q(x) = bm xm +· · ·+b1 x+b0 . Entonces:   0 si n < m p(x) ∞ si n > m l´ım = x→+∞ q(x)  a   n si n = m. bm

En muchas situaciones, al intentar calcular un límite, nos encontramos que su valor (inicial) no es un número ni es infinito ni oscila; en este caso hablamos de indeterminaciones, y pueden ser del siguiente tipo: +∞ , +∞

0 , 0

0 · ∞,

∞ − ∞,

00 ,

Resolvemos a continuación varios ejemplos.

1∞ ,

∞0

12 Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad Ejemplo 1.5 Calcule, si es posible, el límite siguiente: x2 + x . x→0 7x2 l´ım

Solución: (Obsérvese la indeterminación 0/0). Tenemos que x(x + 1) x+1 x2 + x = l´ ım = l´ ım . x→0 x→0 7x x→0 7x2 7x2 l´ım

x+1 x+1 → +∞, mientras que l´ım− → −∞, con lo x→0 x→0 7x 7x que el límite no existe. Ahora bien, l´ım+

Ejemplo 1.6 Calcule, si es posible, el límite l´ım √

x→∞

5x + 1 . x2 + x + 1

Solución: (Obsérvese la indeterminación l´ım √

x→∞

∞ ). ∞

x(5 + x1 ) 5x + 1 = l´ım q x→∞ x2 + x + 1 x2 (1 + 1 + x

1 ) x2

x(5 + x1 ) q x→∞ |x| · 1 + x1 +

= l´ım

Tenemos lo siguiente: = l´ım √ x→∞

x(5 + x1 ) q 2 x · 1 + x1 +

1 x2

1 x2

Teniendo en cuenta la definición de |x|, concluimos: ( 5 si x → +∞ 5x + 1 l´ım √ = x→∞ −5 si x → −∞. x2 + x + 1 Observación 1.1 Para resolver la indeterminación 1∞ se utiliza el siguiente resultado. Si l´ım f (x) = 1 y l´ım g(x) = ∞, x→x0

entonces

x→x0

l´ım g(x)[f (x) − 1] l´ım [f (x)]g(x) = ex→x0 .

x→x0

Ejemplo 1.7 Calcule l´ım



x→+∞

3x + 1 3x − 7

2x

.

1.4. Límites y continuidad

13

Solución: (Obsérvese la indeterminación 1∞ ). Tenemos que     16x 3x + 1  2x −1 l´ım l´ım 2x 3x + 1 3x − 7 l´ım = ex→+∞ 3x − 7 = e16/3 . = ex→+∞ x→+∞ 3x − 7

Observación 1.2 Para resolver una indeterminación ∞0 se puede utilizar el siguiente resultado. Si l´ım f (x) → ∞ y

l´ım g(x) = 0,

x→x0

entonces

x→x0

l´ım g(x) · ln[f (x)] l´ım [f (x)]g(x) = ex→x0 .

x→x0

Ejemplo 1.8 Calcule l´ım (5x3 + 4x − 1)

ln(x2

x→+∞

1 + 7x − 5) .

Solución: (Obsérvese la indeterminación ∞0 ). Tenemos que 1 ln(5x3 + 4x − 1) l´ ım 2 2 l´ım ( 5 x3 + 4x − 1) ln(x + 7x − 5) = ex→+∞ ln(x + 7x − 5)

x→+∞

3 ln(x) + ln(5 + x42 − x13 ) ln(x3 [5 + x42 − x13 ]) l´ ım x→+∞ ln(x2 [1 + 7 − 52 ]) x→+∞ 2 ln(x) + ln(1 + 7 − 52 ) x x x x =e = e 4 1 3 + ln(5 + x2 − x3 )/ln(x) l´ım x→+∞ 2 + ln(1 + 7 − 52 )/ln(x) x x =e = e3/2 ≈ 4,48. l´ım

El siguiente resultado puede aplicarse al calcular el límite de una función cuando esta se encuantra acotada (superior e inferiormente) por dos funciones para las cuales se conoce su límite. Teorema 1.4 (Regla del sándwich) Si f , g y h son tres funciones tales que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en un entorno de un punto x0 , y se verifica que l´ım f (x) = l´ım h(x) = L,

x→x0

x→x0

entonces l´ım g(x) = L.

x→x0

14 Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad También la acotación de una función puede ser útil para el cálculo del límite, como muestra el siguiente resultado. Teorema 1.5 Si una función f (x) está acotada en el entorno del punto x0 y se verifica que l´ım g(x) = 0, entonces: x→x0

l´ım [f (x) · g(x)] = 0.

x→x0

Ejemplo 1.9 Obsérvese que 

  1 l´ım x · sen = 0, x→0 x   1 ya que la función sen está acotada en [−1, 1]. x

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente cuando por lo menos una de las variables (x o y) tiende a infinito. A continuación damos su definición formal. Definición 1.11 (a) Se dice que la recta x = x0 es una asíntota vertical de la función f (x) si: l´ım f (x) = + ∞

x→x+ 0

o

l´ım f (x) = + ∞.

x→x− 0

(b) Se dice que la recta y = y0 es una asíntota horizontal de la función f (x) para x → +∞ o x → −∞ cuando: l´ım f (x) = y0

x→+∞

o

l´ım f (x) = y0 .

x→−∞

(c) Se dice que la recta y = mx + n es una asíntota oblicua de la función f (x) para x → +∞ o x → −∞ cuando: l´ım [f (x) − (mx + n)] = 0 o

x→+∞

l´ım [f (x) − (mx + n)] = 0.

x→−∞

Además, los coeficientes de la asíntota oblicua se calculan de esta manera:   f (x) f (x)     m = l´ ım m = l´ ım     x→+∞ x x→−∞ x o       n = l´ım [f (x) − mx] n = l´ım [f (x) − mx]. x→+∞

x→−∞

1.4. Límites y continuidad

15

Asíntota vertical Asíntota horizontal

Asíntota oblicua

Figura 1.7: Ejemplos de asíntotas En la figura 1.7 representamos las diferentes asíntotas de una función. Ejemplo 1.10 Consideramos la función f (x) =

x2 + 2 . x−2

Como x2 + 2 → +∞ y x→+∞ x − 2

l´ım f (x) = l´ım

x→+∞

x2 + 2 → −∞, x→−∞ x − 2

l´ım f (x) = l´ım

x→−∞

la función no presenta asíntotas horizontales. Por otra parte l´ım− f (x) = l´ım−

x→2

x→2

x2 + 2 → −∞ x−2

y

l´ım+ f (x) = l´ım+

x→2

x→2

x2 + 2 → +∞, x−2

la función presenta una asíntota vertical en x = 2. Finalmente, como f (x) x2 + 2 x2 + 2 = l´ım = l´ım 2 =1 x→∞ x x→∞ (x − 2)x x→∞ x − 2x

m = l´ım

n = l´ım (f (x) − mx) = l´ım x→∞



x→∞

y

 x2 + 2 2x + 2 − x = l´ım = 2, x→∞ x−2 x−2

la función presenta una asíntota oblicua en la recta y = x + 2. En la figura 1.8 representamos la gráfica de la función.

16 Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad

Figura 1.8: Representación gráfica de la función del ejemplo 1.10

1.4.2. Continuidad La continuidad de una función es una de las propiedades más importantes en el estudio de las funciones. Intuitivamente, una función es continua cuando podemos dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. En Economía, gran parte de las funciones que describen fenómenos económicos son funciones continuas, de ahí la importancia de su estudio. Comenzaremos dando la definición de continuidad de una función en un punto. Definición 1.12 Una función f : A −→ R es continua en el punto x0 ∈ A si se verifican las tres siguientes condiciones: 1. Existe f (x0 ). 2. Existe l´ım f (x) = L. x→x0

3. Ambos valores coinciden: l´ım f (x) = f (x0 ) = L. x→x0

Si la función f no es continua en un punto, se dice entonces que es discontinua en dicho punto. Podemos extender la definición anterior al caso de intervalos. Definición 1.13 Una función f : A −→ R es continua en un intervalo [a, b] ⊆ A si es continua en todos los puntos del intervalo.

1.4. Límites y continuidad

17

Como consecuencia del álgebra de límites, de la definición de función continua y de la composición de funciones, tenemos los siguientes resultados. Teorema 1.6 (Álgebra de funciones continuas) Sean f y g dos funciones continuas definidas sobre cierto dominio común, tales que son continuas en un punto a del dominio. Entonces se tiene: 1. f + g y f · g son continuas en a. 2. f /g es continua en a siempre que g(a) 6= 0. Teorema 1.7 Sean f y g dos funciones tales que Im(f ) ⊆ Dom(g). Si f es continua en un punto a de su dominio y g es continua en f (a), entonces la función compuesta (g ◦ f ) es continua en a. Teorema 1.8 Sean f y g dos funciones tales que l´ım f (x) = L y g es contix→x0

nua en L. Entonces se verifica que

l´ım (g ◦ f )(x) = l´ım g(f (x)) = g(L).

x→x0

x→x0

Queremos hacer notar que todas las funciones elementales son continuas en su conjunto maximal de definición, esto es, en su dominio. Veamos un ejemplo. Ejemplo 1.11 Determine el valor de a para que sea continua en todos los puntos de su dominio la función ( (5 − x)/3 si x < −1 f (x) = ax si x ≥ −1 Solución: Las funciones (5−x)/3 y ax son continuas en (−∞, −1) y (−1, +∞), respectivamente. Como f (−1) = −a = l´ım + f (x) y l´ım − f (x) = 2, conx→−1

x→−1

cluimos que para que la función f sea continua en x = −1 es necesario que a = −2. Tipos de discontinuidades

Cuando una función f no es continua en un punto, se dice entonces que es discontinua en dicho punto (recuérdese la definición 1.12). Ahora bien, la discontinuidad puede ser de varios tipos, los cuales detallamos a continuación:

18 Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad (a) Una función f presenta una discontinuidad evitable en el punto x0 ∈ A cuando existe l´ım f (x) y: x→x0

i. no existe f (x0 ), o ii. existe f (x0 ) pero f (x0 ) 6= l´ım f (x). x→x0

(b) Una función f presenta una discontinuidad de salto (finito) en el punto x0 ∈ A cuando existen los límites laterales de la función en el punto pero no coinciden, esto es, l´ım f (x) = L 6= M = l´ım− f (x) ⇒ ∄ l´ım f (x)

x→x+ 0

x→x0

x→x0

(c) Una función f presenta una discontinuidad esencial en el punto x0 ∈ A cuando alguno de los límites laterales (o ambos) de la función en el punto es infinito (esencial de primera especie o de salto infinito) o no existe alguno (o ambos) de los límites laterales (esencial de segunda especie). Observación 1.3 En el caso de una discontinuidad evitable, si la función no está definida en el punto x0 , puede ampliarse la continuidad de la función en dicho punto simplemente definiendo f (x0 ) = l´ım f (x). x→x0

En la figura 1.9 representamos gráficamente distintos tipos de discontinuidad.

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto

Discontinuidad esencial

Figura 1.9: Distintos tipos de discontinuidad Veamos a continuación algunos ejemplos.

1.5. Teoremas sobre funciones continuas

19

Ejemplo 1.12 Sea la función  2  x − 25 f (x) = x−5  a

si x 6= 5 si x = 5.

Por ser f una función racional, es continua en todo R excepto, quizá, en el punto x = 5. Por un lado tenemos que f (5) = a, y (x − 5)(x + 5) x2 − 25 = l´ım = l´ım (x + 5) = 10. x→5 x→5 x→5 x − 5 x−5 Por tanto, la función es continua en todo R si a = 10; mientras que si a 6= 10, la función presenta una discontinuidad evitable. l´ım

Ejemplo 1.13 Sea la función  2 x − 25   si x < 5   x−5 f (x) = 10 si x = 5   1   si x > 5. x−5

x2 − 25 = 10 = f (5), mienx→5 x−5 → +∞. Por tanto, la función es continua

Para esta función tenemos: l´ım− f (x) = l´ım− x→5

1 x→5 x→5 x − 5 en R − {5}, presentando una discontinuidad de salto infinito en el punto x = 5. tras que l´ım+ f (x) = l´ım+

Ejemplo 1.14 Consideremos la función ( 1 si x ∈ Q f (x) = 0 si x ∈ R − Q,

donde Q representa el conjunto de los números racionales. Esta función no es continua en ningún punto, presentando discontinuidades esenciales de segunda especie en todos sus puntos.

1.5. Teoremas sobre funciones continuas En esta sección presentaremos una serie de resultados acerca de la continuidad de las funciones reales de una variable real que, en algunos casos, tendrán aplicaciones prácticas.

20 Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad Teorema 1.9 Sea f : [a, b] −→ R una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f está acotada en [a, b]. El anterior teorema nos sirve para enunciar el siguiente resultado. Teorema 1.10 (de los valores extremos o de Weierstrass) Sea f : [a, b] −→ R una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f alcanza el máximo y el mínimo absolutos en dicho intervalo. Recordemos que, intuitivamente, una función es continua cuando puede dibujarse de un solo trazo. Esta propiedad es utilizada en el siguiente teorema. Teorema 1.11 (de los valores intermedios de Darboux) Si f : [a, b] −→ R es una función continua en [a, b], entonces f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b); es decir, para cualquier k ∈ [f (a), f (b)] existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = k. Como consecuencia de este teorema tenemos el teorema de Bolzano, que permitirá demostrar la existencia de soluciones (o ceros) de muchas ecuaciones de la forma f (x) = 0.

Teorema 1.12 [de Bolzano] Si f : [a, b] −→ R es una función continua en [a, b] y en los extremos de dicho intervalo la función toma signo distinto, entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. Observación 1.4 Es importante hacer notar que el teorema de Bolzano no nos informa del número exacto de raíces reales de una función en un intervalo, solo de su existencia. En la figura 1.10 vemos el significado gráfico del teorema de Bolzano. Ejemplo 1.15 La ecuación ex = 3x tiene, al menos, una raíz real en el intervalo [0, 1]. En efecto, si consideramos la función f (x) = ex − 3x, tenemos que se trata de una función continua en todo R (en particular en [0, 1]), y f (0) = 1 y f (1) = e − 3 ≈ −0,28. Aplicando el teorema de Bolzano, el resultado se sigue.

1.6. Algunas funciones económicas Las actividades económicas son aquellas que tienen como finalidad la satisfacción de las necesidades humanas de carácter económico, es decir, aque-

1.6. Algunas funciones económicas

21

f(b) f(x)

a b

c

f(a)

Figura 1.10: Significado gráfico del teorema de Bolzano llas que se satisfacen mediante recursos. Las actividades económicas, por tanto, comprenden todas aquellas relacionadas con la producción, la distribución y el consumo de bienes y servicios. Entre las funciones de tipo económico que interactúan en las actividades económicas, podemos citar las siguientes: • La función de utilidad es una función real que mide la “satisfacción” obtenida por un consumidor cuando disfruta vía consumo de cierta cantidad de bienes. • La función demanda establece la cantidad que un consumidor estaría dispuesto a pagar por un determinado bien o servicio. • La función ingreso hace referencia a las cantidades que se reciben por la venta de un producto o servicio, o a la renta recibida por los ciudadanos. En algunas ocasiones es posible calcularla como la función de demanda multiplicada por el número de unidades del bien. • La función coste hace referencia al montante económico que representa la fabricación de cualquier componente o producto, o la prestación de cualquier servicio. • La función oferta representa la relación existente entre la cantidad de un bien o servicio que los productores están dispuestos a ofrecer a cada uno de sus distintos precios cuando los costes de producción se mantienen constantes.

22 Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad • El beneficio económico es la ganancia (o pérdida) que obtiene el actor de un proceso económico. Se calcula como los ingresos totales menos los costes totales de producción y distribución. Veamos algunos ejemplos aplicados a funciones económicas. Ejemplo 1.16 Considere las funciones oferta y demanda dadas respectivamente por po = q 2 + q − 12 y pd = −2q + 4, donde p representa el precio unitario (en euros) y q el número de unidades de producto. a) ¿A partir de qué número de unidades hay oferta? b) ¿A partir de qué número de unidades no hay demanda del producto? Solución: El número de unidades a partir del cual hay oferta será aquel que cumpla po ≥ 0, esto es, q 2 + q − 12 ≥ 0. Como q 2 + q − 12 = (q − 3)(q + 4), resulta entonces que (q − 3)(q + 4) ≥ 0 si se cumplen las siguientes condiciones: (i) q − 3 ≥ 0 y q + 4 ≥ 0, de donde q ≥ 3; o bien (ii) q − 3 ≤ 0 y q + 4 ≤ 0, de donde q ≤ −4. Como el número de unidades ha de ser positivo, habrá entonces oferta a partir de 3 unidades. De forma análoga, no habrá demanda cuando pd ≤ 0, es decir, −2q +4 ≤ 0, o lo que es lo mismo, q ≥ 2; por tanto, no hay demanda a partir de 2 unidades. Ejemplo 1.17 El coste √ total (en euros) de un cierto bien viene dado por la función C(x) = 100x x + 500, siendo x el número de unidades. a) Hallar el coste de producir 100 unidades. b) Si se fabrican n unidades, hallar el incremento de coste en la producción al fabricar una unidad más. Solución: El coste de producir 100 unidades es sencillamente la√sustitución de esa cantidad en la función dada, es decir, C(100) = 100 · 100 100 + 500 = 100 500 euros. Por otro lado, si se producen n unidades, el incremento de coste al producir una unidad más, es decir, n + 1, es √ √ C(n + 1) − C(n) = 100(n + 1) n + 1 + 500 − 100n n + 500 √ √ = 100[(n + 1) n + 1 − n n] euros.

1.7. Ejercicios propuestos

23

1.7. Ejercicios propuestos 1. Calcule el dominio de las siguientes funciones: 1 (b) f (x) = ln(x2 − 1) x−3 r x+1 x2 + 8 (c) f (x) = (d) f (x) = x−3 |x + 1|   1 3x − 2 (e) f (x) = ln (f) f (x) = 2 x−5 ln(x − 3x + 3) (a) f (x) = √

2. Calcule los siguientes límites de funciones: (a) (c) (e) (g)

x−2 l´ım 2 x→−∞ x − 3x − 1

√ √ x+3− x+1 √ l´ım √ x→+∞ x+2− x+4 x−1 l´ım √ x→1 x−1

(b)

x2 + x (d) x→0 x − 2x2 + x3    1 1 1 l´ım − (f) x→−4 x 4 x−4 l´ım

l´ım

x→+∞

sen x x

x x→0 |x| l´ım

(h)

l´ım+

x→0

ln(1 + x) − ln(x) x

3. Halle el valor del parámetro a para que se cumpla: l´ım



x→+∞

x+a x+1

2x+3

= l´ım



x→+∞

x+2 x+1

(a+3)x+4

4. Dé un ejemplo de una función f (x) que verifique simultáneamente: l´ım f (x) = +∞,

x→3+

l´ım f (x) = −∞

x→3−

5. Calcule los límites laterales de la función f (x) = en el punto x = 1.

1 1

1 + e 1−x

y

l´ım f (x) = 1.

x→+∞

24 Capítulo 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad 6. Estudie la continuidad de las siguientes funciones y clasifique las discontinuidades en su caso: |x − 2| x−2  2  x −1 x−1 (c) f (x) =  2  1      x−1 b (d) f (x) =      −1 x3 + 1

(a) f (x) =

(b)

f (x) =

x−2 x3 − 8

si x 6= 1 si x = 1 si x < 0 si x = 0 si x > 0

7. Razone para qué valores de los parámetros a y b la siguiente función es continua:  2   b + a(1 − x) si x > 0 4a + 1 si x = 0 f (x) =   2 ax + 2b − 5 si x < 0.

8. Considere la función

 2 x − x − 2 si x 6= 2 f (x) = x−2  0 si x = 2.

Estudie la acotación de dicha función en el intervalo [1, 3]. 9. Sea f (x) una función continua en [1, 9] verificando que f (1) = −7 y f (9) > 0. ¿Podemos asegurar que la función g(x) = f (x) + 3 tiene, al menos, un cero en el intervalo (1, 9)? 10. Pruebe que existe algún número real x que satisface la ecuación ln(x)− e−x = 0. 11. Justifique que las ecuaciones (a) x5 − 3x = 1; (b) x2x = 1; (c) 3 ln(x) = x; tienen, al menos, una solución real positiva.

1.7. Ejercicios propuestos

25

12. El precio en céntimos de euro de una llamada telefónica a través de cierta compañía viene determinada por la función ( x2 + x si 0 ≤ x < 5 f (x) = 15 +3x si x ≥ 5, donde x representa el tiempo en minutos de la llamada. Demuestre, utilizando alguno de los resultados teóricos vistos, que hay llamadas desde su establecimiento hasta los 10 minutos que pueden costar 42 céntimos de euro y determine su tiempo de duración.

Capítulo 2 Derivación de funciones reales de una variable real Un tema importante en las disciplinas científicas, incluyendo la economía, es el estudio de la velocidad de variación de las cantidades con el tiempo. Para calcular la posición futura de un planeta, para predecir el crecimiento de una población de una especie biológica, o para dar una estimación de la demanda futura de un bien, necesitamos información sobre la tasa de variación. El concepto matemático que se usa para describir esta tasa es el de derivada. Problema 2.1 Una empresa se dedica a la fabricación de un determinado producto. El coste de la producción viene dado por la función p C(p) = 500 p2 + 1000p,

siendo p el número de kilogramos elaborados de ese producto. Suponiendo que se vendiera toda la producción a un precio de 1500 euros/kg, y que la empresa no puede producir más de 2000 kg cada semana, determinar cuántos kilogramos debe producir semanalmente la empresa para que (a) obtenga máximos beneficios, y (b) sufra mayores pérdidas.

2.1. Definición. Interpretación geométrica y aproximación lineal En esta primera sección vamos a definir la noción de derivada, analizaremos su interpretación geométrica y estudiaremos la aproximación lineal de una función utilizando el concepto de derivada. 26

27

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real

Definición 2.1 Se dice que la función f : A ⊆ R −→ R es derivable en un punto a ∈ A si existe el límite f (x) − f (a) , x→a x−a l´ım

o equivalentemente

f (a + h) − f (a) . h→0 h l´ım

Este límite se denomina derivada de f en a y se denota f ′ (a). Ejemplo 2.1 Calcule la derivada de la función f (x) = R+ ∪ {0}.

√

x en el punto c ∈

Solución: Utilizando la definición de derivada de una función en un punto, tenemos la siguiente cadena de igualdades: √ √ √ √ √ √ ( c + h − c)( c + h + c) c+h− c ′ √ f (c) = l´ım = l´ım √ h→0 h→0 h h( c + h + c) c+h−c 1 1 = l´ım √ √ = l´ım √ √ = √ . h→0 h( c + h + 2 c c) h→0 c + h + c En el capítulo anterior vimos que la existencia e igualdad de los límites laterales de una función en un punto equivalía a la existencia del límite de dicha función en ese punto. Como la derivada de una función es, en definitiva, un límite, podemos hablar por tanto de derivadas laterales de una función en un punto. Definición 2.2 Sea f : A ⊆ R −→ R una función y a un punto de A. Se define la derivada por la derecha de la función f en el punto a como f ′ (a+ ) = l´ım+ h→0

f (a + h) − f (a) , h

siempre que el límite exista, y la derivada por la izquierda de f en el punto a como f (a + h) − f (a) f ′ (a− ) = l´ım− , h→0 h siempre que dicho límite exista. Por tanto, tenemos el siguiente resultado.

2.1. Definición. Interpretación geométrica y aproximación lineal

28

Teorema 2.1 La derivada de una función en un punto existe si y solo si existen las derivadas laterales en dicho punto y son iguales. A continuación vamos a ver una aplicación de este teorema. Ejemplo 2.2 La función f (x) = |x| no es derivable en el punto x = 0 ya que f ′ (0+ ) = l´ım+ h→0

f (h) − f (0) h−0 = l´ım+ =1 h→0 h h

y

f (h) − f (0) −h − 0 = l´ım+ = −1, h→0 h→0 h h esto es, las derivadas laterales existen en el punto x = 0 pero no coinciden. f ′ (0− ) = l´ım−

En el siguiente resultado encontramos la relación existente entre derivación y continuidad. Teorema 2.2 Sea f : A ⊆ R −→ R una función y c un punto de A. Si f es derivable en c entonces es continua en dicho punto. Observación 2.1 El recíproco del teorema 2.2 no es cierto en general. Por ejemplo, si consideramos de nuevo la función f (x) = |x|, hemos visto en el ejemplo anterior que dicha función no es derivable en x = 0; sin embargo, sí es continua en dicho punto. Nótese que l´ım |x| = l´ım− (−x) = 0 y

x→0−

x→0

l´ım |x| = l´ım+ x = 0.

x→0+

x→0

Por tanto, el concepto de derivabilidad es “más fuerte” que el de continuidad. Definición 2.3 Se dice que una función f es derivable en un conjunto A ⊆ R si f es derivable en todo punto de A. Interpretación geométrica de la derivada La tangente a una curva en un punto es la recta que sigue la dirección de la curva en ese punto. Pues bien, dada una función f y un punto c de su dominio, la derivada de la función f en el punto c –esto es, f ′ (c)– representa la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función en dicho punto, expresándose dicha recta tangente como y − f (c) = f ′ (c)(x − c).

29

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real

Aproximación lineal Cuando resulta difícil trabajar con una función complicada, a veces es posible hallar una función más sencilla que, en cierto sentido, aproxime la dada. Si f es una fución derivable en un punto c de su dominio, utilizamos la ecuación de la recta tangente de f en el punto c para definir la aproximación lineal de f en un entorno de c como f (x) ≈ f (c) + f ′ (c)(x − c). Podemos así utlizar esta aproximación para determinar valores próximos de una función en un punto que puedan resultar difíciles de calcular. √ Ejemplo 2.3 Halle la aproximación lineal a f (x) = x en√un entorno del punto c = 1 y utilícela para calcular el valor aproximado de 1,03. 1 Solución: Como f ′ (x) = √ (recuérdese el ejemplo 2.1 y la definición 2.3), 2 x la aproximación lineal de f en un entorno del punto c = 1 viene dada por √

1 x ≈ f (1) + f ′ (1)(x − 1) = 1 + (x − 1). 2

Así, por ejemplo, si queremos calcular el valor sqrt1,03 lo podemos hacer utilizando su aproximación lineal, es decir, p 1 1,03 ≈ 1 + (1,03 − 1) = 1,015. 2 √ Nótese que, “directamente”, 1,03 = 1,014889156.

2.2. Primeras derivadas En esta sección veremos algunos resultados que nos permitirán el cálculo de las primeras derivadas de funciones.

2.2.1. Reglas de derivación En este primer resultado veremos cómo derivar sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones reales de una variable real derivables. Teorema 2.3 (Álgebra de funciones reales derivables) Sean f : A ⊆ R −→ R y g : A ⊆ R −→ R dos funciones derivables en un punto c ∈ A. Entonces:

2.2. Primeras derivadas

30

1. α · f es derivable en c para todo α ∈ R y (α · f )′ (c) = α · f ′ (c). 2. f + g es derivable en c y (f + g)′ (c) = f ′ (c)+ g ′ (c). 3. f · g es derivable en c y (f · g)′(c) = f ′ (c)g(c) + f (c)g ′(c). 4. Si g(c) 6= 0, entonces f /g es derivable en c y  ′ f f ′ (c)g(c) − f (c)g ′(c) . (c) = g [g(c)]2 Además, la derivada de una composición de funciones puede calcularse como se indica en el siguiente resultado. Teorema 2.4 (Regla de la cadena) Si f es una función derivable en un punto c, y g es otra función derivable en f (c), entonces (g ◦ f ) es derivable en c y la derivada viene dada por (g ◦ f )′ (c) = g ′(f (c)) · f ′ (c).

2.2.2. Derivadas de algunas funciones elementales En esta subsección vamos a calcular en la práctica derivadas de funciones, empezando por las derivadas de las funciones más elementales. ◮ Función Constante: f (x) = k, k ∈ R =⇒ f ′ (x) = 0 ◮ Función Potencial: f (x) = xa , a ∈ R =⇒ f ′ (x) = a xa−1 ◮ Función Logarítmica: f (x) = loga (x), a > 0 y a 6= 1 =⇒ f ′ (x) = 1 x ln(a) ◮ Función Exponencial: f (x) = ax , a > 0 y a 6= 1 =⇒ f ′ (x) = ax ln(a) ◮ Función Seno: f (x) = sen(x) =⇒ f ′ (x) = cos(x)

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real

31

◮ Función Coseno: f (x) = cos(x) =⇒ f ′ (x) = −sen(x) ◮ Función Arcoseno: f (x) = arcsen(x) =⇒ f ′ (x) = √

1 1 − x2

◮ Función Arcocoseno: f (x) = arccos(x) =⇒ f ′ (x) = √ ◮ Función Arcotangente: f (x) = arctg(x) =⇒ f ′ (x) =

−1 1 − x2

1 1 + x2

Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 2.4 La derivada de la función f (x) = tg(x) puede calcularse de la siguiente manera: como sen(x) tg(x) = , cos(x) entonces, aplicando la derivada de un cociente, tenemos que f ′ (x) =

cos(x)cos(x) − sen(x)(−sen(x)) cos2 (x) + sen2 (x) 1 = = . 2 2 cos (x) cos (x) cos2 (x)

Ejemplo 2.5 La derivada de la función f (x) = ln(sen(x)) se calcula aplicando la regla de la cadena a las funciones g(x) = sen(x) y h(y) = ln(y). Así, como f = (h ◦ g), tenemos f ′ (x) = h′ (g(x)) · g ′ (x) =

1 cos(x) · cos(x) = = cotg(x). sen(x) sen(x)

Observación 2.2 Nótese que, de forma más general, aplicando la regla de la cadena obtenemos, por ejemplo: ◮ d(x) = [f (x)]n =⇒ d′ (x) = n f ′ (x)[f (x)]n−1 , f ′ (x) ◮ g(x) = ln (f (x)) =⇒ g (x) = , f (x) ′

◮ h(x) = sen(f (x)) =⇒ h′ (x) = f ′ (x) · cos(f (x)), ◮ j(x) = ef (x) =⇒ j ′ (x) = f ′ (x) · ef (x) , ◮ l(x) = arctg(f (x)) =⇒ l′ (x) =

f ′ (x) . 1 + [f (x)]2

2.3. Tasas de variación: marginalidad

32

Derivación logarítmica Para derivar la función h(x) = [f (x)]g(x) , donde f y g son dos funciones derivables no constantes, hay que seguir los siguientes pasos: 1. Tomar logaritmos neperianos en ambos miembros y aplicar sus propiedades: ln(h(x)) = ln(f (x)g(x) ) = g(x) ln(f (x)). 2. Derivar en ambos miembros: h′ (x) f ′(x) = g ′ (x)ln(f (x)) + g(x) . h(x) f (x) 3. Despejar h′ (x): 

 f ′ (x) h (x) = h(x) g (x)ln(f (x)) + g(x) . f (x) ′

′

√ x2 la derivada de la función h(x) = (arctg Ejemplo 2.6 Para calcular x) , √ 2 llamamos f (x) = arctg x, y g(x) = x . Así, siguiendo los tres pasos anteriores (o aplicando directamente la fórmula) tenemos:   √ √ x2 x2 ′ √ h (x) = (arctg x) 2x ln(arctg x) + √ . 2 x(1 + x)(arctg x)

2.3. Tasas de variación: marginalidad Supongamos que una cantidad y está relacionada con una cantidad x mediante y = f (x). Si x toma el valor a y lo variamos a a + h, entonces se producirá para y una variación de f (a + h) − f (a). Esto nos lleva a las siguientes definiciones. Sea f una función y a un punto de su dominio: Definición 2.4 Se llama tasa de variación de f en el intervalo [a, a + h], y denota por TV([a, a+h]), a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a + h, esto es, TV([a, a + h]) = f (a + h) − f (a).

33

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real

Definición 2.5 Se llama tasa de variación media de f en el intervalo [a, a + h], y se denota por TVM([a, a + h]), al cociente TVM([a, a + h]) =

f (a + h) − f (a) . h

Representa la velocidad media de crecimiento en un intervalo. Definición 2.6 Se llama tasa de variación instantánea de f en el punto a, y se denota por TVI(a), al límite de la TVM([a, a + h]) cuando el intervalo se aproxima al punto a, esto es, TVI(a) = l´ım TVM([a, a + h]) = f ′ (a). h→0

Veamos un par de ejemplos prácticos Ejemplo 2.7 Los costes de producción (en miles de euros) de una fábrica se relacionan con las unidades x producidas (en√miles) mediante una función de costes que viene dada por C(x) = 25 + 3 2x. Halle las tasas de variación media del coste en los intervalos [0, 2], [2, 18] y [0, 18]. Interprete los resultados en términos económicos. Solución: Aplicando la definición de TVM, tenemos que el valor de esta en los tres intervalos viene dada por: TVM([0, 2]) = 3, TVM([2, 18]) = 0,75 y TVM([0, 18]) = 1. Como la TVM representa la velocidad media de crecimiento del coste en cada intervalo, podemos comprobar que la mayor se produce en el intervalo [0, 2], y la menor en [2, 18]. Ejemplo 2.8 Una colonia de bacterias crece a un ritmo marcado por la función f (t) = 106 · et−2 , siendo t el tiempo en meses. Entre el segundo y el cuarto mes las tasas de variación, de variación media y de variación instantánea (esta en el cuarto mes) vienen dadas, respectivamente, por TV([2, 4]) = f (4)−f (2) ≃ 6,4·106, TVM([2, 4]) ≃ 3,2·106 y TVI(4) = f ′ (4) =≃ 7,4·106 individuos. Aplicando aproximación lineal, la tasa de variación para un increment h de la cantidad x puede aproximarse de la siguiente manera: f (x + h) − f (x) ≈ f ′ (x) · h. A la cantidad f ′ (x) · h se le denomina diferencial de la función f , se suele denotar por df y representa la variación de la función f cuando se incrementa la variable x en h unidades.

2.4. Derivadas de orden superior

34

Si en la expresión anterior tomamos el valor h = 1, entonces se trata de la marginal de la función f , y representa la variación de dicha función cuando se incrementa la variable x en una unidad. Este concepto puede aplicarse a cualquiera de las funciones económicas: así se habla de coste marginal, beneficio marginal, etc. Ejemplo 2.9 Sea C(x) = x2 + 3x + 100 la función de costes (en euros) de la fabricación de cierto producto, donde x representa el número de unidades. ¿Cuál es el coste marginal de 100 unidades? Solución: Como C ′ (x) = 2x + 3, entonces C ′ (100) = 203 euros, y representa (de forma aproximada) el incrementoo de coste entre vender 101 unidades y 100, es decir C(101) − C(100); en otras palabras, el coste adicional de vender una unidad más de las 100.

2.4. Derivadas de orden superior En ocasiones, para una función f derivable en un punto, es posible hallar la derivada de f ′ en ese punto. Esto da lugar a la siguiente definición. Definición 2.7 Si f es una función derivable en un punto a de su dominio y f ′ es su derivada, se define la derivada segunda de f en el punto a, y se denota f ′′ (a), como f ′ (a + h) − f ′ (a) f (a) = l´ım . h→0 h ′′

Las derivadas sucesivas se definen de forma análoga. En general, la derivada n-ésima de la función f en el punto a se denota f (n) (a). En la práctica, para calcular las derivadas sucesivas (segunda, tercera, etc.) basta derivar las funciones derivadas correspondientes de la función. Ejemplo 2.10 Las sucesivas derivadas de la función f (x) = ln(x + 1) son: f ′ (x) =

1 −1 2 −6 , f ′′ (x) = , f ′′′ (x) = , f (4) (x) = , 2 3 x+1 (x + 1) (x + 1) (x + 1)4

etc. Siguiendo este patrón, la derivada n-ésima viene dada por: f (n) (x) =

(−1)n−1 (n − 1)! . (x + 1)n

35

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real

2.5. Teoremas fundamentales sobre derivación En esta sección veremos algunos resultados relacionados con la derivada de una función que proporcionan información importante sobre algunos aspectos de la propia función. Teorema 2.5 (de Rolle) Sea f una función continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que f (a) = f (b). Entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0. El teorema de Rolle tiene una importante interpretación geométrica: bajo su hipótesis, existe al menos un punto en el que la recta tagente a la función en dicho punto es paralela al eje de abscisas. Como consecuencia del teorema de Rolle, tenemos el siguiente resultado. Corolario 2.1 Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b). Si la ecuación f ′ (x) = 0 tiene n raíces reales distintas en el intervalo (a, b), entonces la ecuación f (x) = 0 tiene, a lo sumo, n + 1 raíces reales distintas en (a, b). Este corolario afirma del número máximo de ceros que tiene una función (bajo ciertas condiciones), pero es posible que no tenga ninguno. Veamos un ejemplo de aplicación del corolario 2.1 combinado con el teorema de Bolzano visto en el capítulo anterior. Ejemplo 2.11 Verifique que la ecuación x4 + 3x2 + x − 2 = 0 tiene una sola raíz real en el intervalo [0, 1]. Solución: Tenemos los siguientes resultados. 1. Sea la función f (x) = x4 + 3x2 + x − 2. Claramente f es continua en [0, 1], derivable en (0, 1) y f (0) = −2 y f (1) = 3. Entonces, por el teorema de Bolzano, existe, al menos, una raíz de la ecuación f (x) = 0 en (0, 1). 2. Por otro lado tenemos que f ′ (x) = 4x3 +6x+1. Como f ′ (x) ≥ 1 si x ≥ 0, se tiene que f ′ (x) = 0 no tiene raíces en (0, 1). Por la consecuencia del teorema de Rolle entonces f (x) = 0 tiene, a lo sumo, una raíz real en (0, 1). 3. Como consecuencia de 1 y 2, la ecuación tiene una sola raíz real en el intervalo (0, 1).

2.5. Teoremas fundamentales sobre derivación

36

Otra consecuencia del teorema de Rolle es el siguiente resultado. Teorema 2.6 (del valor medio de Lagrange o de los incrementos finitos) Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) f ′ (c) = . b−a

Ejemplo 2.12 Utilice el teorema del valor medio de Lagrange para demostrar que arctg(2) − arctg(1) < 1/2. Solución: Consideramos la función f (x) = arctg(x) y el intervalo [1, 2]. 1 Como f ′ (x) = , es claro que la función f es continua en el intervalo 1 + x2 [1, 2] y derivable en (1, 2). Por tanto, existe al menos un c ∈ (1, 2) tal que arctg(2) − arctg(1) =

1 . 1 + c2

Ahora bien, como c > 1, entonces c2 > 1, y así 1 + c2 > 2, de donde 1 1 < , con lo que obtenemos el resultado. 1 + c2 2 Una tercera consecuencia del teorema de Rolle es el siguiente resultado. Teorema 2.7 (de Cauchy o del valor medio generalizado) Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) f (b) − f (a) = , ′ g (c) g(b) − g(a)

siempre y cuando g ′(c) 6= 0 y g(b) 6= g(a).

Como consecuencia del teorema de Cauchy tenemos el siguiente resultado, que permite el cálculo de ciertos límites que presentan determinadas indeterminaciones. Teorema 2.8 (Regla de L’Hˆ opital) Sean f y g dos funciones derivables en un entorno de un punto c. Si se verifica que l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0, o bien l´ım f (x) = l´ım g(x) = ∞, entonces:

x→c

x→c

x→c

f (x) f ′ (x) = l´ım ′ , x→c g(x) x→c g (x) l´ım

siempre y cuando este último límite exista o sea infinito.

x→c

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real

37

Veamos unos cuantos ejemplos. Ejemplo 2.13 Al ser

senx 0 = , x→0 x 0 opital queda: al aplicarle la regla de L’Hˆ l´ım

1 sen x cos x = l´ım = = 1. x→0 x→0 x 1 1 l´ım

Ejemplo 2.14 Es posible que, en ocasiones, hay que aplicar la regla de L’Hˆ opital repetidas veces en un mismo límite, como ocurre, por ejemplo, en el siguiente: ex − e−x − 2x ex − (−e−x ) − 2 ex − e−x = l´ım = l´ım x→0 x→0 x→0 x − sen x 1 − cos x sen x x −x e − (−e ) = l´ım = 2. x→0 cos x l´ım

Ejemplo 2.15 En el siguiente límite (que presenta una indeterminación del tipo ∞ − ∞) multiplicamos y dividimos la función por su “conjugado”: √ √ √ (x − x2 − x)(x + x2 − x) 2 √ l´ım (x − x − x) = l´ım x→∞ x→∞ x + x2 − x x2 − (x2 − x) x √ √ = l´ım . = l´ım x→∞ x + x→∞ x + x2 − x x2 − x

Ahora existen dos posibilidades: o sacar x factor común, o bien aplicar la regla de L’Hˆ opital, resultando en este último caso: l´ım

x→∞

1 1+

2x−1 √ 2 x2 −x

= l´ım

x→∞

1+

1 √

x(2−1/x) 2x

1−1/x

1 2−1/x x→∞ 1 + √

= l´ım

2

1−1/x

1 = . 2

Ejemplo 2.16 El siguiente límite presenta una indeterminación del tipo 00 . Para ello aplicamos la fórmula l´ım g(x) · ln(f (x)) l´ım[f (x)]g(x) = e x→c ,

x→c

pasándose a un límite que involucra una indeterminación del tipo 0 · ∞, para ∞ que resolveremos utilizando finalmente transformarse en un límite del tipo ∞ la regla de L’Hˆ opital. l´ım [sen(x) · ln(1 − cos(x))] l´ım (1 − cos(x))sen(x) = e x→0 .

x→0

2.6. Crecimiento, extremos y concavidad

38

Ahora bien, l´ım [sen(x) · ln(1 − cos(x))] = l´ım

x→0

x→0

=

sen(x) 1−cos(x) l´ım x→0 − cos(x) sen2 (x)

ln(1 − cos(x)) 1 sen(x)

sen3 (x) x→0 (1 − cos(x)) · cos(x)

= − l´ım

3 sen2 (x) cos(x) x→0 −(1 − cos(x)) sen(x) + cos(x) sen(x) 3 sen(x) cos(x) = − l´ım = 0. x→0 −(1 − cos(x)) + cos(x) = − l´ım

Concluimos que l´ım (1 − cos(x))sen(x) = e0 = 1. x→0

2.6. Crecimiento, extremos y concavidad En esta sección estudiaremos las principales características de las funciones reales de variable real, como es el estudio de los intervalos donde la función es creciente o decreciente, los extremos locales y globales 8si existen), los intervalos donde la función es cóncava y convexa y la existencia de puntos de inflexión. Todo ello nos ayudará a representar la gráfica de una función. En el primer resultado nos da una condición suficiente pata la existencia de un extremo relativo. Teorema 2.9 Sea la función f : A −→ R derivable en un punto c de su dominio. Entonces f tiene un extremo relativo en c si f ′ (c) = 0. Observación 2.3 Es posible que una función no sea derivable en un punto c y sin embargo presente un extremo absoluto en él. Por ejemplo, la función f (x) = |x| no es derivable en x = 0, pero presenta un mínimo absoluto en dicho punto (véase la figura 2.1). Observación 2.4 Como consecuencia de la observación anterior, para el cálculo de los extremos absolutos de una función f hay que tener en cuenta: 1. puntos del dominio tales que f ′ (x) = 0, 2. puntos del dominio donde la función no es derivable, y

39

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real 10 8 6 4 2 -10

-5

5

10

Figura 2.1: Representación gráfica de la función f (x) = |x| 3. los extremos de los intervalos donde la función esté definida. En el siguiente resultado veremos que, en virtud del signo de la derivada de una función, determinaremos en qué intervalos la función es creciente o decreciente. Teorema 2.10 Sea f una función derivable en un intervalo abierto (a, b). Entonces: a) f es monótona creciente en (a, b) si y solo si f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). b) f es monótona decreciente en (a, b) si y solo si f ′ (x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b). Observación 2.5 Si en el teorema 2.10 la función f es estrictamente monótona, entonces las desigualdades son estrictas. Además, como consecuencia de este mismo teorema, si c es un punto del dominio y existe δ > 0 tal que f ′ (c) < 0 en (c−δ, c) y f ′ (c) > 0 en (c, c+δ), entonces f presenta un mínimo relativo en el punto c. De forma análoga, si f ′ (c) > 0 en (c − δ, c) y f ′ (c) < 0 en (c, c + δ), entonces f presenta un máximo relativo en el punto c. A parte de lo dicho en la observación 2.5 sobre los extremos relativos, otra manera de verificar si la función presenta un máximo o un mínimo relativo en un punto es comrpobar el signo de la segunda derivada en dicho punto, como muestra el siguiente resultado. Teorema 2.11 Sea f una función derivable en un intervalo (a, b) y c un punto del intervalo (a, b) tal que f ′ (c) = 0.

2.6. Crecimiento, extremos y concavidad

40

a) Si f ′′ (c) > 0 entonces f presenta un mínimo relativo en el punto c. b) Si f ′′ (c) < 0 entonces f presenta un máximo relativo en el punto c. c) Si f ′′ (c) = 0 no podemos asegurar nada a priori. Para la representación gráfica de funciones debemos estudiar otras propiedades geométricas de la gráfica de la función, como es la concavidad y la convexidad. Comenzamos dando una definición bastante intuitiva de dichos conceptos. Definición 2.8 Sea f una función definida en un intervalo I. Se dice que f es cóncava (respectivamente, convexa) en el intervalo I si el segmento que une dos puntos cualesquiera de f queda por “debajo” (respectivamente, por “encima”) de la gráfica de f . El siguiente resultado proporciona condiciones acerca de la concavidad y convexidad de una función en un intervalo en términos del signo de su segunda derivada. Teorema 2.12 Sea f una función continua en [a, b] y dos veces derivable en (a, b). Entonces, a) Si f ′′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es convexa en (a, b). b) Si f ′′ (x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es cóncava en (a, b). Como consecuencia de estos conceptos, podemos dar la siguiente definición. Definición 2.9 Una función f (x) presenta un punto de inflexión en c si existe δ > 0 tal que f (x) es cóncava en en el intervalo (c − δ, c) y convexa en el intervalo (c, c + δ) o viceversa. En la figura 2.2 representamos la concavidad y convexidad (y punto de inflexión) de una función. Observación 2.6 Una función f (x) puede cumplir que f ′′ (c) = 0 en cierto punto c, y sin embargo no presentar ningún punto de inflexión en dicho punto. Por ejemplo, la función f (x) = x4 cumple que f ′′ (x) = 12x2 = 0 si y solo si x = 0. Pero la función no tiene un punto de inflexión en x = 0, ya que f ′′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ R.

41

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real

Figura 2.2: Intervalos de concavidad y convexidad de una función Veamos un ejemplo de estudio detallado de una función y su representación gráfica. Ejemplo 2.17 Consideremos la función f (x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x + 3. Vamos a realizar un estudio detallado y representar su gráfica a partir de los datos obtenidos. Solución: Por ser la función f polinómica, es continua y derivable en todo R, siendo su derivada f ′ (x) = 12x3 + 24x2 − 12x − 24. Los candidatos a extremos relativos de esta función son aquellos valores x tales que f ′ (x) = 0, esto es, 12x3 + 24x2 − 12x − 24 = 0. Aplicando, por ejemplo, la regla de Ruffini a esta ecuación, obtenemos tres valores reales: x = 1,

x = −1,

x = −2.

Por tanto podemos escribir la derivada de la función f de la siguiente manera: f ′ (x) = 12(x − 1)(x + 1)(x + 2). Esto nos ayuda a estudiar el signo de f ′ (es decir, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ), ya que: ⋆ Si x ∈ (−∞, −2) =⇒ f ′ (x) < 0 =⇒ f decrece. ⋆ Si x ∈ (−2, −1) =⇒ f ′ (x) > 0 =⇒ f crece. ⋆ Si x ∈ (−1, 1) =⇒ f ′ (x) < 0 =⇒ f decrece. ⋆ Si x ∈ (1, +∞) =⇒ f ′ (x) > 0 =⇒ f crece.

2.7. Optimización

42

Así, en x = −2 y x = 1 la función presenta dos mínimos relativos, y en x = −1 un máximo relativo. Estudiamos ahora la concavidad de la función f , para ello hallamos su segunda derivada e igualamos a 0, es decir, f ′′ (x) = 36x2 +48x−12 = 0, con lo que f ′′ (x) = 12(x+1,55)(x−0,21). Estudiando el signo de f ′′ , obtenemos: ⋆ Si x ∈ (−∞, −1,55) =⇒ f ′′ (x) > 0 =⇒ f es convexa.

⋆ Si x ∈ (−1,55, 0,21) =⇒ f ′′ (x) < 0 =⇒ f es cóncava. ⋆ Si x ∈ (0,21, +∞) =⇒ f ′′ (x) > 0 =⇒ f es convexa.

Por lo tanto, x = −1,55 y x = 0,21 son puntos de inflexión de la función f . Finalmente, como l´ım f (x) = l´ım f (x) → +∞,

x→−∞

x→+∞

tenemos que la función no tiene máximo absoluto, mientras que el mínimo absoluto está en x = 1 (ya que f (1) = −16 y f (−2) = 11); y al no presentar la función asíntotas de ningún tipo, con todos los datos obtenidos podemos realizar la representación gráfica de la función f (véase la figura 2.3): 40

30

20

10

-3

-2

-1

1

2

-10

Figura 2.3: Representación gráfica de la función del ejemplo 2.17

2.7. Optimización Hemos visto anteriormente que cuando una función es derivable podemos hacer un estudio de sus extremos relativos (y absolutos). Si se trata de una función económica como las descritas en el capítulo anterior, podemos plantearnos el estudio de la maximización o minimización en problemas económicos reales. En general, a este estudio se le denomina optimización.

43

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real Veamos un par de ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.18 Un fabricante de lámparas tiene unos costes diarios (en euros) de producción determinados por la función C(x) = 10 x (siendo x el número de unidades). Si los ingresos diarios (en euros) vienen dados por I(x) = 2 800 + x4 , y en un día puede llegar a vender hasta 50 lámparas, determine el beneficio máximo y el beneficio mínimo y a cuánto ascenderían dichos beneficios. Solución: Los beneficios vienen determinados por la función B(x) = I(x) − 2 C(x) = x4 − 10x + 800 con x ∈ [0, 50]. Se trata de una función continua y derivable en todo R (en particular en el intervalo [0, 50]), con B ′ (x) = x2 −10. Haciendo B ′ (x) = 0 obtenemos que x = 20. Así: ⋆ Si x ∈ (0, 20) =⇒ B ′ (x) < 0 =⇒ B decrece.

⋆ Si x ∈ (20, 50) =⇒ B ′ (x) > 0 =⇒ B crece.

Por tanto, en x = 20 hay un mínimo relativo, que es además el mínimo absoluto de la función. Por otro lado, en los extremos del intervalo [0, 50] se tiene que B(0) = 800 y B(50) = 925. Concluimos que vendiendo 20 lámparas se obtendrá un mínimo beneficio de B(20) = 700 euros, y vendiendo 50 lámparas se obtendrá el máximo beneficio, siendo este de 925 euros. Ejemplo 2.19 Un agricultor quiere vallar un terreno rectangular con un perímetro total de 1000 metros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea máxima? Solución: Sean x e y los dos lados (no paralelos) del terreno rectangular; por tanto su perímetro será 2x + 2y = 1000, o lo que es lo mismo, x + y = 500. Por otro lado, el área del terreno es A = xy; así que despejando una de las variables de la ecuación x+ y = 500, por ejemplo, y = 500 −x, queda que el área viene dada entonces por la función f (x) = x(500 − x). Se trata de una función continua y derivable en todo R, siendo su derivada f ′ (x) = 500−2x; de donde, f ′ (x) = 0 si y solo si x = 250. Este valor (un extremo de la función) es un máximo relativo, ya que f ′′ (250) = −2 < 0. Como además es máximo global, tenemos que el terreno de área máxima es un cuadrado de lado 250 metros.

2.8. La elasticidad de la demanda La elasticidad de la demanda se refiere a la respuesta por parte del consumidor frente a un cambio de precio en el producto, la cual va a depender

2.8. La elasticidad de la demanda

44

mucho del valor del mismo. Por ejemplo, supongamos que queremos conocer en cuántas unidades variará la cantidad demandada de un producto cuando el precio cambia en tan solo 1 euro. Este número de unidades demandadas variará mucho dependiendo de si estamos considerando el precio de otro producto, como un coche o un kg de harina, ya que esta variación no afectará de la misma manera. Esto ocurre si la elasticidad de la demanda la medimos en las mismas unidades para ambos productos y en términos absolutos de unidades demandadas. Este problema se resuelve si consideramos para medir esta variación términos relativos, es decir, variación porcentual de las unidades demandas respecto a la variación procentual del precio del producto que estamos considerando. De esta manera, si denotamos por q la cantidad de unidades de un producto, p el precio y Ed la elasticidad de la demanda, entonces se tiene Ed ≈

cambio porcentual en la cantidad q cambio porcentual en el precio p

Por ejemplo, si para un incremento del 5 % en el precio, la cantidad deman2 dada decrece un 2 %, entonces tenemos que Ed = − = −0,4 (la elasticidad 5 es un número, no interviene unidad alguna). Formalmente, la demanda es una función donde se relaciona el precio por unidad con el número de unidades demandadas, lo que permite que pueda venir expresada de dos formas diferentes: una como p = f (q) y otra como q = g(p), donde q es la cantidad de unidades demandadas y p el precio por unidad. Así pues, la elasticidad de la demanda tiene la siguiente definición: Definición 2.10 Dada la función demanda de un determinado producto, la elasticidad de la demanda se calcula como Ed =

f (q) q · f ′ (q)

si

demanda

p = f (q)

Ed =

p · g ′(p) g(p)

si

demanda

q = g(p)

Es fácil comprobar que la demanda será siempre una cantidad negativa (es decir, Ed ≤ 0). Dependiendo del valor de Ed , tenemos tres tipos de demanda: 1. Si Ed < −1, la demanda es elástica (el ingreso marginal es positivo).

2. Si Ed = −1, la demanda tiene elasticidad unitaria.

45

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real 3. Si Ed > −1, la demanda es inelástica (el ingreso marginal es negativo). Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 2.20 Consideremos la función demanda p = f (q) = 1200 − q 2 . Entonces, la elasticidad de la demanda viene dada por f (q) 1200 − q 2 1200 − q 2 Ed = = =− . q · f ′ (q) q · (−2q) 2q 2 Sea q = 10 (unidades de un producto). Entonces Ed = −5,5. Esta cantidad se interpreta de la siguiente manera: si el precio se incrementa un 1 % cuando q = 10, entonces la cantidad demandada disminuiría, aproximadamente, en un 5,5 % (y, viceversa, si el precio disminuye un 1 % cuando q = 10, entonces la cantidad demandada aumentaría, aproximadamente, en un 5,5 %). En este caso, tenemos que la demanda es elástica (el ingreso marginal es positivo). De manera análoga, una disminución en el precio de un 0,5 % para q = 10, se tendría un cambio (aumento) aproximado en la demanda del (−0,5 %)· (−5,5) ≈ 2,75 %. Ejemplo 2.21 Supongamos que la cantidad demandada de un cierto bien viene dada por q = D(p) = 8000p−1,5 , donde p es el precio unitario. Halle el porcentaje exacto de variación de la cantidad demandada cuando el precio aumenta un 1 % a partir de p = 4. Solución: En este caso se tiene Ed =

p · D ′ (p) p · (−12000)p−2,5 = = −1,5. D(p) 8000p−1,5

Como la elasticidad no depende del precio (es constante), tenemos que un aumento del precio en un 1 % conlleva que la cantidad demandada baja, aproximadamente en un 1 %, cualquiera que sea el precio. Ahora bien, para el caso de p = 4, vamos a aplicar otra idea. Si el precio aumenta un 1 %, entonces el nuevo precio será 4 + 4/100 = 4,04, con lo que la variación de demanda será D(4,04) − D(4) = 8000 · 4,04−1,5 − 8000 · 4−1,5 = −14, 81. Así, la variación porcentual de la demanda a partir de D(4) = 1000 es, aproximadamente, −14,81 · 100 = −1,481 %. 1000

2.9. Ejercicios propuestos

46

2.9. Ejercicios propuestos 1. Dada la función

a x2 − 1 f (x) = , x aplicando la definición de derivada, halle el valor de a ∈ R para que f ′ (1) = 0.

2. Demuestre que la función f (x) = |x + 1| no es derivable en x = −1.

3. Estudie la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:  2  x  x + 1 si x > 0 e − 1 si x ≥ 0 1 si x = 0 (b) g(x) = (a) f (x) = x3 si x < 0  1 − x2 si x < 0 4. Dada la función

f (x) =



a(x − 1) si −1 < x < 1 x ln x si x ≥ 1,

determine el valor de a sabiendo que f (x) es derivable. 5. Calcule las derivadas de las siguientes funciones, expresando el resultado en la forma más simple posible: 2

x) (a) f (x) = eln(sen (b) f (x) = [sen3 (3x)]cos(3x) r 1 + sen x 2 (c) f (x) = ln (d) f (x) = ex 5x 1 − sen x  ln(x) √ x+1 (e) f (x) = (f) f (x) = ( x)cos(x) x−1

6. Calcule la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se indican entre corchetes, utilizando la derivada. (a) f (x) = 2ex−1 , [x = 1];

(b) f (x) = x2 ln x, [x = e]

7. Los costes de producción (en√euros) de cierto artículo vienen dados 3 por la función C(x) = 25 + x2 , donde x es el número de unidades. Determine la tasa de variación media en el intervalo [2, 4], la tasa de variación instantánea para x = 2 y el coste marginal para 100 unidades, e interprete los resultados obtenidos en términos económicos.

47

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real 8. Calcule las tres primeras derivadas de las siguientes funciones, expresando el resultado en la forma más simple posible: (a) f (x) = sen (2x) (b) f (x) = ex cos(x) (c) f (x) = e3x 9. ¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f (x) = en el intervalo [−3, 5]?

p 3

(x − 1)2

10. Dada la ecuación x101 + 2x − 5 = 0, demuestre que tiene exactamente una solución real. 11. Pruebe que la función benificio dada por B(x) = x5 − 2x − 3/4 tiene exactamente tres valores reales para los cuales no se producen ni ganancias ni pérdidas. 12. Dada la función f (x) =



x2 + 3x − 2, si −1 ≤ x ≤ 1 5x − 3, si 1 < x ≤ 3,

compruebe que verifica las hipótesis del teorema del valor medio de Lagrange y halle el valor “c” al que hace referencia dicho teorema. 13. Sean las funciones definidas en [0, 4] dadas por f (x) = x2 − 1 y g(x) = x + 2. ¿Se puede aplicar para ellas el teorema de Cauchy? En caso afirmativo, halle el punto cuya existencia asegura el mismo. 14. Calcule los siguientes límites: x cos(x) − sen(x) x→0 x3

(a) l´ım

(d) l´ım (x2 − x→∞

√

x ln(1 + x) (c) l´ım+ 3x ln(x) x→0 1 − cos(x) x→0

(b) l´ım

x4 − x2 + 1) (e) l´ım+ [tg(x)]tg(x) (f) l´ım+ x2 e1/x x→0

x→0

15. Dada la función f (x) = x2 + ax + b , obtenga los valores de a y b de forma que f (x) alcance un mínimo en (−1, 2). 16. Sea f (x) = 2 ln(x) + 5x2 − 12x + 3 con x > 0 . Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y los mínimos de esta función.

2.9. Ejercicios propuestos

48

17. Para las siguientes funciones, halle los intervalos de monotonía y de concavidad y convexidad, los extremos relativos y absolutos, y los puntos de inflexión, y esboce su gráfica. a) f (x) = x3 − x2 − 8x + 1, en el intervalo [−3, 3]. b) g(x) = x2 ln(x), en el intervalo [1, e]. c) h(x) = 2sen(x) , en el intervalo [0, π]. 18. El coste de producción de x hamburguesas es C(x) = 5000 + 0,56x. Si la demanda mensual viene dada por D(x) =

60 000 − x , 20000

¿cuál es el beneficio total y marginal para 30000 unidades? 19. Supongamos que la función B(x) = 2x3 − 9x2 − 24x + 120 representa los beneficios por la producción de x unidades de un cierto bien, llegando a producirse hasta un máximo de 10 unidades. a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios. Halle el número de unidades con el que se obtiene el máximo beneficio. Determine, además, ese beneficio máximo. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios marginales. Dé una explicación en términos económicos de los que significa un beneficio marginal nulo. 20. Una empresa produce x kg de un determinado producto. El coste de producción viene dado por la función C(x) = x3 − 300x2 + 29 400x, mientras que el precio del producto es de 100 euros/kg. La dirección de la empresa ha decidido fabricar no más de 150 kg. Si se supone que se vende todo el producto, ¿qué cantidad habrá de fabricar para maximizar el beneficio? ¿Para qué cantidad se produce mínimo beneficio? 21. Al comercializar cierto producto, una empresa ha descubierto que la demanda se ajusta a la función 50 p = D(x) = √ , x donde p representa el precio y x es el número de unidades.

49

Capítulo 2. Derivación de funciones reales de una variable real (a) Si el coste de producción de x unidades es C(x) = 0,5x + 500, calcule el precio por unidad que proporciona el máximo beneficio. (b) Calcule la elasticidad de la demanda ε(x) y compruebe que el ingreso marginal siempre es positivo.

22. Sabiendo que la función demanda de un producto es D(p) = 440 − p − p3 , se pide calcular la elasticidad demanda-precio cuando p = 10, y determine si corresponde a una demanda elástica o inelástica.

Capítulo 3 Integración de funciones reales de una variable real Este capítulo está dedicado a la integración de funciones reales, cuyas aplicaciones son muy variadas. La más común es cuando se conoce la tasa de variación de una función desconocida y se desea conocer o, al menos, obtener algunos datos de esta función. Otros tipos de aplicaciones son el cálculo de áreas de superficies y de volúmenes de sólidos; obtención de valores medios de funciones; el cálculo de la reserva de divisas de un país; etc. Problema 3.1 En un mercado en equilibrio se estima que la curva de demanda viene dada por la función D(x) = p = 900 − x2 , mientras que la de oferta es O(x) = p = 200+15x, donde el precio de adquisición (p) está dado en decenas de euros y las unidades de los artículos (x) en millares. Halle el exceso de consumo y el exceso de producción en este mercado.

3.1. Primitivas de una función. Integral indefinida En este apartado veremos que a partir del dato conocido f ′ obtendremos la función f , siempre y cuando ello se pueda realizar. Empezamos así dando la primera definición de primitiva de una función. Definición 3.1 Dada una función f : A −→ R, se dice que la función F es una primitiva de f cuando F es derivable y F ′(x) = f (x) para todo x ∈ A. 50

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

51

Observación 3.1 Puesto que dos funciones que se diferencian en una constante poseen la misma derivada, si F (x) es una primitiva de f (x), entonces F (x) + C con C ∈ R también es una primitiva de f (x). Nótese, por ejemplo, que las funciones g(x) = x2 + 1 y h(x) = x2 + 2 son dos primitivas de la función f (x) = 2x; de hecho, hay infinitas primitivas que se diferencian en una constante. Definición 3.2 Dada una función f (x), se llama integral indefinida de la misma al conjunto de todas sus primitivas, y se suele escribir como: Z f (x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una primitiva de f (x). A la función f (x) se le llama integrando. Cuando existe una primitiva de una función f (x), se dice que la función f (x) es integrable. El siguiente resultado muestra cómo afecta la suma y resta de funciones y el producto por escalares a la integral indefinida, a esto se le conoce como propiedades de la integral indefinida. Teorema 3.1 Sean f y g dos funciones integrables. Entonces se tiene: Z Z 1. α·f (x) dx = α· f (x) dx para cualquier α ∈ R. 2.

Z

[f (x) + g(x)] dx =

Z

f (x) dx +

Z

g(x) dx.

3.2. Métodos de integración En esta sección vamos a explorar diferentes métodos de cálculo de integrales indefinidas, si bien solo abordaremos unos pocos. Tenemos que añadir que no siempre es posible encontrar la primitiva de una función.

3.2.1. Integración inmediata: tabla de primitivas Se denomina integración inmediata cuando la función f que se desea integrar es la derivada de alguna función elemental, una suma o un producto por un escalar. Presentamos a continuación una lista de las integrales indefinidas de las principales funciones elementales.

3.2. Métodos de integración

52

•

Z

a dx = a x + C, con a ∈ R

•

Z

xm+1 x dx = + C, con m ∈ R − {−1} m+1

•

Z

1 dx = ln|x| + C x

•

Z

ax a dx = + C, con a ∈ R+− {1} (nótese que ln a

•

Z

sen x dx = −cos x + C

•

Z

cos x dx = sen x + C

•

Z

1 dx = tg x + C cos2 x

•

Z

1 dx = arctg x + C 1 + x2

•

Z

√

m

x

Z

ex dx = ex + C)

1 dx = arcsen x + C 1 − x2

Veamos unos ejemplos de applicación en los que haremos uso de esta tabla de integrales inmediatas y de las propiedades de las integrales definidas vistas anteriormente. Ejemplo 3.1 Calcule la siguiente integral: Z √ (4x5 − x + 1 + tg2 x) dx. Solución: Para realizar esta integral, téngase en cuenta lo siguiente: 1.

√

x = x1/2 ; y

2. 1 + tg x = 1 + 2



sen x cos x

2

sen2 x sen2 x + cos2 x 1 = 1+ = = . 2 2 cos x cos x cos2 x

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

53

Así pues, tenemos:  Z Z  √ 1 5 2 5 1/2 dx (4x − x + 1 + tg x) dx = 4x − x + cos2 x Z Z Z 4 6 2 3/2 1 = 4x5 dx− x1/2 dx+ = dx x − x + tg(x) + C. cos2 x 6 3 En ocasiones es necesario realizar algún tipo de operación (o transformación equivalente) en el integrando, como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.2 Calcule la siguiente integral: Z x2 dx. x2 + 1 Solución: Sumando y restando una unidad en el numerador nos queda: Z Z 2 Z 2 Z x2 x +1−1 x +1 −1 dx = dx = dx + dx 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 Z Z 1 = 1 dx − dx = x − arctg x + C. x2 + 1 El siguiente resultado muestra que podemos generalizar la tabla de integrales inmediatas gracias a la aplicación de la Regla de la Cadena. Teorema 3.2 Si f y g son dos funciones tales que la función f ′ (g(x))·g ′(x) existe y es integrable, entonces su primitiva viene dada por f (g(x)) + C, esto es, Z f ′ (g(x))·g ′(x) dx = f (g(x)) + C.

Coomo consecuencia de este teorema podemos dar una lista de integrales inmediatas más general que la aportada con anterioridad. •

Z

[f (x)]p+1 f (x) · [f (x)] dx = + C, con p ∈ R y p 6= −1 p+1

•

Z

f ′ (x) dx = ln |f (x)| + C f (x)

•

Z

af (x) f ′ (x) dx =

′

p

af (x) +C ln a

3.2. Métodos de integración •

Z

f ′ (x) sen [f (x)] dx = −cos [f (x)] + C

•

Z

f ′ (x) cos [f (x)] dx = sen [f (x)] + C

•

Z

f ′ (x) dx = tg [f (x)] + C cos2 [f (x)]

•

Z

f ′ (x) dx = arctg [f (x)] + C 1 + [f (x)]2

•

Z

p

54

f ′ (x) dx = arcsen [f (x)] + C 1 − [f (x)]2

Observación 3.2 Veremos posteriormente que también es posible calcular estas últimas integrales utilizando el método del cambio de variable. Resolvamos un par de ejemplos. Ejemplo 3.3 Calcule la siguiente integral: Z 5x + 2 dx. x2 + 1

Solución: Tenemos que Z Z Z 5x + 2 5x 2 dx = dx + dx 2 2 2 x +1 x +1 x +1 Z Z 1 x dx + 2 dx =5 x2 + 1 x2 + 1 Z Z 5 1 2x = dx + 2 dx 2 2 2 x +1 x +1 5 = ln(x2 + 1) + 2 arctg x + C. 2 Ejemplo 3.4 Calcule la siguiente integral: Z 5 sen x cos2 x dx.

Solución: Teniendo en cuenta que la derivada de la función cos x es −sen x, entonces Z Z cos3 x 2 5 sen x cos x dx = −5 (−sen x) cos2 x dx = −5 + C. 3

55

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

3.2.2. Integración por cambio de variable Este método consiste en sustituir la variable del integrando por otra variable transformando la integral en una inmediata. En concreto, si f y g son dos funciones tales que existe Z g ◦ f , f es derivable y g tiene primitiva entonces, para calcular la integral

g(f (x))f ′(x) dx, seguimos los siguientes pasos:

1. realizamos el cambio de variable t = f (x); 2. sustuituimos en el integrando f (x) por t, y f ′ (x) dx por dt; Z 3. resolvemos la integral g(t) dt; 4. deshacemos el cambio de variable. Ejemplo 3.5 La integral del ejemplo 3.4 también se puede resolver utilizando, por ejemplo, el cambio de variable t = cos x, con lo que dt = − sen x dx, y así Z

2

5 sen x cos x dx = −5 = −5

Z

2

(−sen x) cos x dx = −5

cos3 x + C. 3

Z

t2 dt = −5

t3 +C 3

Ejemplo 3.6 Calcule la siguiente integral: Z 1 dx. x e + e−x Solución: En primer lugar, hacemos una pequeña transformación equivalente en el integrando, multiplicando el numerador y el denominador por la función ex : Z Z 1 ex = dx. dx ex + e−x (ex )2 + 1 Realizamos a continuación el cambio de variable t = ex , con lo que dt = ex dx. Así: Z Z ex 1 dx = dt = arctg (t) + C = arctg (ex ) + C. x 2 2 (e ) + 1 t +1

3.2. Métodos de integración

56

3.2.3. Integración por partes Este método se suele aplicar cuando el integrando es un producto de dos funciones y la integral de uno de ellos es inmediata. A una de las funciones la llamamos u y a la otra v ′ dv (ambas dependientes de la variable x). Entonces derivamos la función u (obteniendo du) e integramos v ′ dv (obteniendo v). De esta manera, este tipo de integral, basada en la derivada de un producto, se puede calcular aplicando la siguiente igualdad: Z Z ′ u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u′ (x) dx. Además, es posible que en este tipo de integración haya que aplicar partes en más de una ocasión para el cálculo de una integral. Ejemplo 3.7 Calcule la siguiente integral: Z x2 ex dx. Solución: Elegimos u(x) = x2 (para disminuir el grado del polinomio, en esta ocasión) y v ′ (x) = ex . Entonces u′ (x) = 2x y v(x) = ex , con lo cual: Z Z Z 2 x 2 x x 2 x x e dx = x e − 2x e dx = x e − 2 x ex dx. Volviendo a aplicar partes a la última integral (con u(x) = x y v ′ (x) = ex ):   Z Z 2 x 2 x x x x e dx = x e − 2 x e − e dx = x2 ex − 2(x ex − ex ) + C = ex (x2 − 2x + 2) + C.

Ejemplo 3.8 Calcule la siguiente integral: Z ln x dx. Solución: En este caso tomamos u(x) = ln x (con lo que u′ (x) = 1/x) y v ′ (x) = 1 (con lo que v(x) = x). Así: Z Z Z 1 ln x dx = x ln x − x· dx = x ln x − dx = x ln x − x + C. x

57

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

Observación 3.3 Queremos hacer notar que, en ocasiones, es posible el cálculo de una integral empleando diferentes métodos. Por ejemplo, la integral Z sen x cos x dx

es posible calcularla mediante un cambio de variable (por ejemplo, t = sen x), o bien utilizando el método por partes. En este último caso se aplica partes dos veces y el resultado es una integral denominada cíclica, es decir, se repite la integral de partida y, por tanto, basta despejarla para obtener la primitiva.

3.3. Integral definida El origen de la integral definida surge en el cálculo del área de figuras planas determinadas por la gráfica de una función y el eje OX.

3.3.1. Planteamiento del problema: definiciones y propiedades Supongamos que queremos hallar el área de la región que encierra la gráfica de una función f (x) con el eje OX. Una idea sencilla consiste en dividir la región en rectángulos verticales. Esto puede realizarse mediante dos aproximaciones diferentes (por defecto y por exceso), como muestra la figura 3.1.

Figura 3.1: Aproximación de un área mediante rectángulos Así el área de la región se puede aproximar mediante la suma de las áreas de los rectángulos, todos ellos con la misma base (∆x). El área de cada rectángulo se obtiene multiplicando la base ∆x por su altura respectiva f (xi ); y

3.3. Integral definida

58

el área que buscamos será entonces la suma de las áreas de los rectángulos cuando el número de estos va siendo cada vez mayor. Una generalización de este problema es el cálculo del área encerrada entre la gráfica de la función f (x), el eje OX y las rectas x = a y x = b. Tras este planteamiento inicial, tenemos así la siguiente definición. Definición 3.3 Sea f : [a, b] −→ R una función continua. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho ∆x = (b−a)/n. Sean x0 , x1 , . . . , xn los puntos extremos de cada subintervalo, siendo x0 = a y xn = b. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el iésimo subintervalo [xi−1 , xi ] con i = 1, . . . , n. Se define entonces la integral definida de f en el intervalo [a, b] como el número l´ım

n→∞

n X

f (ti )∆x.

i=1

La integral definida se denota de la siguiente forma: Z b f (x) dx, a

siendo a el límite inferior y b el límite superior de integración. En el siguiente resultado resumimos las principales propiedades de la integral definida. Teorema 3.3 Sean f y g dos funciones integrables en un intervalo [a, b], Entonces se tiene: Z b Z b 1. α·f (x) dx = α· f (x) dx, para cualquier α ∈ R. a

2.

a

Z

b

Z

a

Z

b

Z

b

[f (x) + g(x)] dx =

a

3.

Z

b

f (x) dx +

a

Z

b

g(x) dx. a

f (x) dx = 0.

a

4.

f (x) dx = −

a

5.

a

f (x) dx =

Z

a

Z

a

f (x) dx.

b

c

f (x) dx +

Z

b c

f (x) dx, para cualquier c ∈ (a, b).

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

59

3.3.2. Cálculo de integrales definidas Para el cálculo de integrales definidas, el siguiente resultado es importante tanto desde el punto de vista teórico como por sus aplicaciones. Teorema 3.4 [Fundamental del Cálculo] Sea f una función continua en un intervalo [a, b]. Entonces la función F definida en [a, b] por Z x F (x) = f (t) dt a

es una primitiva de f y es derivable, siendo F ′ (x) = f (x) para todo x ∈ [a, b]. Veamos un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 3.9 Calcule la segunda derivada de la función Z x g(x) = et sen2 t dt. 0

Solución: La función f (t) = e sen t es continua en R (en particular, en cualquier intervalo de R) por ser producto de funciones continuas. Así t

2

g ′ (x) = ex sen2 x, con lo que g ′′ (x) = ex sen2 x + 2 ex cos x sen x = ex sen x(sen x + 2 cos x). Como consecuencia del teorema Fundamental del Cálculo tenemos el siguiente resultado que, en la práctica, es el que utilizaremos para la resolución de una integral definida. Teorema 3.5 (Regla de Barrow) Sea f una función integrable en un intervalo [a, b], y sea F una primitiva de f en [a, b]. Entonces Z b f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a). a

[F (x)]ba

es una forma de denotar F (b) − F (a).

Observación 3.4 Cuando se quiere resolver una integral definida utilizando un cambio de variable, se puede hacer aplicando la regla de Barrow una vez deshecho el cambio, pero también es posible resolverla realizando los cambios en los límites de integración nada más realizar el cambio de variable, esto es, Z Z b

f (b)

g(f (x))f ′(x) dx =

a

g(t) dt.

f (a)

3.3. Integral definida

60

Veamos algunos ejemplos de resolución de integrales definidas. Ejemplo 3.10 Calcule la siguiente integral: Z 2 1 dx. 2 0 x +4

Solución: La idea para resolver esta integral definida (recuérdese que primero hemos de hallar una primitiva para psteriormente aplicar la regla de Barrow) es transformar el denominador en una función del tipo (1 + [g(x)]2 ), para luego intentar que aparezca en el numerador la derivada de g(x). Así: Z Z Z Z 1 1 1 1 1 1 2 dx = dx = dx = dx = 2 x2 + 4 4 ( x2 )2 + 1 4 12 [( x2 )2 + 1] 4( x4 + 1) Z 1 x 1 1 2 dx = arctg = + C. 2 ( x2 )2 + 1 2 2 Con lo que  Z 2  x 2 1 1 1 dx = = [arctg (2) − arctg(0)] ≈ 0,55. arctg 2 2 2 0 2 0 x +4

Ejemplo 3.11 Calcule la siguiente integral: Z 4 1 √ dx. 2x + 1 0

Solución: Vamos a realizar el cambio de variable t = 2x + 1 (con lo que dt = 2dx, esto es, dx = dt/2). Calculando primero una primitiva, deshaciendo el cambio y aplicando la regla de Barrow tenemos Z Z Z √ √ 1 1 dt 1 √ √ dx = = t−1/2 dt = t + C = 2x + 1 + C. · 2 2x + 1 t 2 Así,

√ √ √ 1 dx = [ 2x + 1 ]40 = 9 − 1 = 2. 2x + 1 0 Nótese que, a la vista de la observación 3.4, podemos asimismo resolver la integral de esta manera: a la vez que hacemos el cambio de variable, “adaptamos” los límites de integración a la nueva variable; es decir, al ser t = 2x+1, si x = 0 entonces t = 1, y si x = 4 entonces t = 9; con lo que Z 4 Z √ √ √ 1 1 9 −1/2 √ dx = t dt = [ t ]91 = 9 − 1 = 2. 2 1 2x + 1 0 Z

4

√

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

61

En el siguiente ejemplo vemos una aplicación práctica de la integral definida. Ejemplo 3.12 El coste marginal (en euros) para fabricar x metros de tela viene dado por la función C ′ (x) = x ln x, con x > 0. Encuentre el incremento del coste si el nivel de producción se eleva de 1 a 3 metros. Solución: Se trata de calcular la integral Z 3 x ln x dx. 1

Para ello calculamos una primitiva utilizando el método por partes: Sea u(x) = ln x (con lo que u′(x) = (1/x)) y v ′ (x) = x (con lo que v(x) = x2 /2). Así, Z Z 2 Z x2 x2 x2 1 x2 x 1 x ln x dx = ln x − · dx = ln x − x dx = ln x − . 2 2 x 2 2 2 4

Con lo que  2 3 Z 3 x 9 1 x2 9 x ln x dx = ln x − = ln 3 − + ≈ 2,94 euros. 2 4 1 2 4 4 1

3.4. Integrales impropias En esta sección vamos a extender la definición de integral a casos más generales: (i) cuando el intervalo de integración no está acotado, (ii) cuando la función no está acotada en dicho intervalo o (iii) cuando ocurren ambos casos a la vez. A estas integrales se les denominan impropias. A modo de ejemplo, las siguientes integrales son impropias: Z +∞ (a) en e−x dx el intervalo de integración no es acotado: [0, +∞); 0

(b) en

Z

1

dx el integrando es una función que no es continua en x = 0; x

(c) en

Z

2

dx la función no es continua en x = 1 ∈ [0, 2]; x−1

0

0 1

dx el intervalo de integración no es acotado y el integrando no −∞ x es continuo en el punto x = 0 ∈ (−∞, 1].

(d) en

Z

3.4. Integrales impropias

62

Para resolver este tipo de integrales necesitamos las siguientes definiciones, que recogerán los distintos casos que se pueden producir. Definición 3.4 Una integral se dice impropia de primera especie cuando está definida en un intervalo no acotado. 1. Intervalo del tipo [a, +∞): Z

+∞

f (x) dx = l´ım

k→+∞

a

Z

f (x) dx.

a

2. Intervalo del tipo (−∞, a]: Z a Z f (x) dx = l´ım k→−∞

−∞

k

a

f (x) dx.

k

3. Intervalo del tipo (−∞, +∞). Sea a ∈ R, entonces: Z

+∞

f (x) dx = l´ım

h→−∞

−∞

Z

a

f (x) dx + l´ım

k→+∞

h

Z

k

f (x) dx.

a

Definición 3.5 Una integral se dice impropia de segunda especie cuando el integrando es una función no acotada en algún punto del intervalo de definición. 1. Si f es continua en [a, b) y tiene una discontinuidad de salto infinito en Z b Z k b: f (x) dx = l´ım− f (x) dx. k→b

a

a

2. Si f es continua en (a, b] y tiene una discontinuidad de salto infinito en Z b Z b a: f (x) dx = l´ım+ f (x) dx. k→a

a

k

3. Si f es continua en [a, b] excepto en algún punto c ∈ (a, b), en el cual f tiene una discontinuidad de salto infinito: Z b Z c Z b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, a

a

c

siendo suma de dos integrales de los dos tipos anteriores

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

63

Definición 3.6 Una integral se dice impropia de tercera especie cuando es una combinación de integrales impropias de primera y segunda especie. Además, una integral impropia puede ser convergente (en dicho intervalo) si da como resultado un número (esto es, el límite existe), divergente si el resultado del límite es +∞ o −∞, u oscilante en otro caso. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 3.13 Calcule, si es posible, la siguiente integral: Z +∞ sen x dx. 0

Solución: Se trata de una integral impropia de primera especie. Así, Z +∞ Z a sen x dx = l´ım sen x dx = l´ım [−cos x]a0 = 1 − l´ım cos a; 0

a→+∞

0

a→+∞

a→+∞

por tanto, esta integral es oscilante.

Ejemplo 3.14 Calcule, si es posible, la siguiente integral: Z 1 1 √ dx. 1 − x2 0

Solución: Es una integral impropia de segunda especie (el integrando no está acotado en x = 1). Así, Z 1 Z b 1 1 √ √ dx = l´ım− dx = l´ım− [arcsen x]b0 2 2 b→1 b→1 1−x 1−x 0 0 π = l´ım− (arcsen b − arcsen 0) = ≈ 1,57; b→1 2 por tanto, la integral es convergente. Ejemplo 3.15 Calcule, si es posible, la siguiente integral: Z +∞ 1 dx. x−1 0

Solución: Esta integral es de tercera especie, ya que el intervalo no es acotado y además la función no está acotada en el punto x = 1. Así, Z +∞ Z 1 Z +∞ 1 1 1 dx = dx + dx. x−1 x−1 0 0 x−1 1

3.5. Aplicaciones de las integrales (I): cálculo de áreas

64

La segunda integral vuelve a ser de tercera especie, por tanto elegimos un punto cualquiera del intervalo (1, +∞) (por ejemplo, c = 2), obteniendo Z +∞ Z 1 Z 2 Z +∞ 1 1 1 1 dx = dx + dx + dx. x−1 x−1 0 0 x−1 1 x−1 2

Resolvemos la primera de estas tres integrales (que es de segunda especie): Z 1 Z b 1 1 dx = l´ım− dx = l´ım− [ln|x−1|]b0 = l´ım− ln|b−1| → −∞, b→1 b→1 b→1 0 x−1 0 x−1

con lo que esta integral diverge y, por tanto, la integral de partida también.

3.5. Aplicaciones de las integrales (I): cálculo de áreas Como apuntamos anteriormente, el primer planteamiento de la integral definida y, por extensión, la integral impropia, es el cálculo de áreas, y que veremos a continuación, pero también queremos apuntar que también tiene otras muchas aplicaciones, como el cálculo de longitudes de curva, áreas laterales de cuerpos de revolución, trabajo ejercido por una fuerza, momentos y centros de gravedad de una lámina, etc. A continuación estudiaremos dos casos: el área delimitada por la gráfica de una función y el eje OX y el área delimitada por las gráficas de dos funciones.

3.5.1. Área determinada por la gráfica de una función y el eje OX El siguiente resultado permite determinar el área delimitada por la gráfica de una función y el eje de abscisas. Teorema 3.6 Sea f una función integrable sobre un intervalo [a, b]. Entonces el área determinada por la gráfica de f y el eje de abscisas viene dada por Z b A(f ) = |f (x)| dx. a

Por tanto, para determinar el área limitada por la gráfica de la función f (x) y el eje OX entre las rectas x = a y x = b es necesario hallar los cortes con

65

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

el eje OX (si existen). Posteriormente se determinan las integrales definidas en cada intervalo tomando sus valores en valor absoluto. El área es la suma de todas las áreas de cada uno de los recintos. Así, por ejemplo, en el caso de la figura 3.2, el área viene dada por la fórmula A(f ) =

Z

r a

f (x) dx −

Z

s

f (x) dx + r

Z

b

f (x) dx.

s

Figura 3.2: Área limitada por la gráfica de una función y el eje OX Como hemos indicado anteriormente, también es posible hallar áreas en casos en los cuales el intervalo no está acotado o la función presenta una discontinuidad de salto infinito en un intervalo, es decir, hay que resolver una integral impropia. El siguiente ejemplo es una clara muestra de ello. x2 dx. Vamos a calcular 1 + x6 el área delimatada por la gráfica de la función f (x) y el eje de abscisas. Solución: Un estudio detallado para esta función nos permite representar su gráfica (véase la figura 3.3). Por tanto, el área delimitada por la gráfica de la función f (x) y el eje de abscisas es:

Ejemplo 3.16 Consideremos la función f (x) =

Z

+∞

−∞

x2 dx. 1 + x6

Se trata entonces de una integral impropia de primera especie. Vamos a calcular primero una primitiva. Para ello, realizamos el cambio de variable t = x3

3.5. Aplicaciones de las integrales (I): cálculo de áreas

66

Figura 3.3: Gráfica de la función del ejemplo 3.16 (con lo que dt = 3x2 dx, esto es, x2 dx = dt/3). Así, Z Z Z x2 1 1 dt 1 1 dx = · = dt = arctg(t) + C 6 2 2 1+x 1+t 3 3 1+t 3 1 = arctg(x3 ) + C. 3 Como la función pasa por el origen de coordenadas, tenemos entonces Z +∞ Z 0 Z j x2 x2 x2 = l´ ım + l´ ım dx dx dx = 6 j→+∞ 0 1 + x6 h→−∞ h 1 + x6 −∞ 1 + x  0  j 1 1 3 3 = l´ım + l´ım arctg x arctg x j→+∞ 3 h→−∞ 3 h 0 1 1 π = − l´ım arctg h3 + l´ım arctg j 3 = ≈ 1,05. 3 h→−∞ 3 j→+∞ 3

3.5.2. Área limitada por las gráficas de dos funciones Para este segundo caso, utilizaremos el siguiente resultado. Teorema 3.7 Sean f y g dos funciones integrables sobre un intervalo [a, b]. Entonces el área determinada por sus respectivas gráficas viene dada por Z b A(f, g) = |f (x) − g(x)| dx. a

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

67

Por tanto, para determinar el área limitada por f (x) y g(x) entre los puntos a y b (o entre las rectas x = a y x = b) es necesario saber los puntos de corte (si existen) entre ellas. Posteriormente se hallan las integrales definidas por separado en cada intervalo en valor absoluto y se suman todas las áreas de cada uno de los recintos. Así, por ejemplo, en el caso de la figura 3.4, el área viene dada por la fórmula A(f, g) =

Z

a

c

[g(x) − f (x)] dx +

Z

c

d

[f (x) − g(x)] dx +

Z

b d

[g(x) − f (x)] dx.

Figura 3.4: Área limitada por las gráficas de dos funciones Observación 3.5 Nótese que el área delimitada por la gráfica de una función f (x) y el eje de abscisas puede entenderse como un caso particular del área entre dos funciones f (x) y g(x) sin más que considerar g(x) = 0. Ejemplo 3.17 Vamos a calcular el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones f (x) = 2x3 y g(x) = 2x. Solución: Un estudio detallado de estas funciones (crecimiento, extremos, etc.) nos permite representar sus respectivas gráficas (véase la figura 3.5). Los puntos de corte de las funciones se calculan igualando las dos funciones f (x) = g(x); así 2x3 = 2x (o lo que es lo mismo, 2x3 − 2x = 0) nos da como raíces (reales) x = −1, x = 0 y x = 1. De este modo,   Z 0 Z 1 1 1 3 3 A(f, g) = (2x − 2x) dx − (2x − 2x) dx = − − = 1. 2 2 −1 0

3.6. Aplicaciones de las integrales (II): superávit de los consumidores y de 68 los productores g(x)

f(x) −1 1

Figura 3.5: Gráficas de las funciones del ejemplo 3.17

3.6. Aplicaciones de las integrales (II): superávit de los consumidores y de los productores En esta sección vamos a ver otra de las aplicaciones de las integrales, esta vez en la Economía. Una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza la función de oferta (o curva de oferta) para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Por otro lado, la empresa utiliza la función de demanda (o curva de demanda) para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio, por eso esta función es decreciente. El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y la curva de la oferta da el punto de equilibrio del mercado, donde los consumidores compran a un precio (p) la misma cantidad del producto (q) que los fabricantes quieren vender.

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

69

Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio, mientras que algunos fabricantes están dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio de equilibrio. Las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que los consumidores aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas, y se llama el superávit de los consumidores (o exceso de consumo). Esta cantidad se calcula de la siguiente manera: Z q Exceso de consumo (EC) = [D(x) − p] dx. 0

El total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para éstos, y se llama el superávit de los productores (o exceso de producción). Esta cantidad se calcula de la siguiente manera: Z q Exceso de produccion (EP) = [p − O(x)] dx. 0

Gráficamente, el área bajo la curva de demanda hasta la recta que representa el precio de equilibrio p es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q artículos, esto es, el superávit de los consumidores; mientras que el área bajo el precio de equilibrio p hasta la curva de oferta es el superávit de los productores (véase la figura 3.6). Ejemplo 3.18 Sean D(x) y O(x) las funciones demanda y oferta dadas por D(x) = 1000 − 0,4x2 y O(x) = 42 x, respectivamente, siendo x el número de unidades. Calcule los excesos de consumo y de producción. Solución: Calculamos en primer lugar el punto de equilibrio; para ello igualamos las funciones demanda y oferta: 1000 − 0,4x2 = 42 x (o lo que es lo mismo, 0,4x2 + 42 x − 1000 = 0), de donde x = −125 y x = 20. Como x no puede ser negativo, el punto de equilibrio se produce para una cantidad de q = 20 unidades a un precio de p = D(20) = O(20) = 840 (euros). Por tanto, el exceso de consumo es EC =

Z

0

q

[D(x) − p] dx =

Z

0

20

[1000 − 0,4x2 − 840] dx = 2133,33 euros.

Esta cantidad indica el ahorro de los consumidores comprando los productos al precio de equilibrio en lugar del precio que habrían estado dispuestos a

3.7. Ejercicios propuestos

70

Figura 3.6: Superávit de los consumidores y de los productores pagar, que generalmente es más alto que el precio de equilibrio. Y, por otro lado, el exceso de producción es EP =

Z

0

q

[p − O(x)] dx =

Z

0

20

[840 − 42x] dx = 8400 euros,

que indica la ganancia de los productores por el suministro de bienes al precio de equilibrio en lugar del precio al que están dispuestos a proporcionar los bienes, que suele ser un precio más bajo que el precio de equilibrio.

3.7. Ejercicios propuestos 1. Calcule las siguientes integrales indefinidas: 5x √ 5e dx (b) sen x cos x dx (c) dx 1 − x2 √ Z √ Z Z 5 ln x x3 + 6 x √ (d) dx (e) x3 (1 + x4 )1/5 dx (f) dx x x Z Z Z (g) x sen x dx (h) arc sen x dx (i) e−3x cos 3x dx

(a)

Z

−6x

Z

5

Z

Capítulo 3. Integración de funciones reales de una variable real

71

2. Calcule la derivada de la función Z 3

2

e−t dt.

x

3. Halle la función f y el valor a ∈ R tal que para todo x ∈ R.

Z

x a

f (t) dt = cos(x) − 1

4. Se ha determinado que el coste marginal de un cierto artículo viene determinado por la función 12 f (x) = √ . 3 12x + 1 Halle la función de coste si sabemos que el precio de fabricar 13 artículos es de 100 euros. (Este tipo de problema se denomina problema de valores iniciales). 5. Si el coste marginal de producción de una empresa es C ′ (x) = 0,3 − 0,003x2 ,

0 ≤ x ≤ 10,

donde x representa las toneladas producidas al mes y C ′ (x) está medido en miles de euros, determine el incremento del coste si la produccción pasa de cinco a seis toneladas al mes. 6. Calcule el valor de las siguientes integrales definidas: (a)

Z

1

−x2

xe

dx (b)

0

Z

e2 e

dx (c) x(ln x)2

3

Z

2 −x

xe

dx (d)

0

Z

2

−2

|x| dx

7. Calcule, cuando existan, las siguientes integrales impropias: Z +∞ x Z 1 2 1 + ex (a) dx (b) dx x 5 −∞ −1 1 − e (c)

Z

+∞ 1−x

xe

dx

0

(d)

0

x dx −∞ x + 1

Z

8. Estudie para qué valores de m ∈ R es convergente la integral impropia siguiente: Z +∞

xm dx.

1

3.7. Ejercicios propuestos

72

9. Halle el área limitada por las gráficas de las siguientes funciones: (a) (b) (c) (d) (e)

f (x) = x2 − 2x − 3, x = 3 y f (x) = 2 − x2

y

g(x) = x.

y

g(x) = x2 .

f (x) = ex − 1,

g(x) = x + 1,

f (x) = x3 − x

f (x) = x3 − 6x2 + 8x, y = 0.

x = 5.

x = −1

y

x = 1.

10. Determine el exceso de consumo y el exceso de producción en un mercado en equilibrio con curvas de demanda y oferta dadas por D(x) = 900 − x2 y O(x) = 200 + 15x, respectivamente, siendo x el número de unidades. Interprete el resultado en términos económicos.

Capítulo 4 Series geométricas Un interés de las series (infinitas) de números reales es ver cómo es posible (aunque pueda parecer paradójico) calcular en algunos casos la suma de infinitos números reales, aun siendo todos ellos positivos. Por ejemplo, si hacemos las sucesivas subdivisiones medias de una superficie de área dada infinitas veces y sumamos las áreas de todos esos infinitos términos, su valor es el área original. Otros ejemplos interesantes en economía pueden ser los siguientes: cálculos sobre interés compuesto, depreciación de valores con el paso del tiempo, agotamiento de recursos a largo plazo, etc. Problema 4.1 Una máquina que cuesta 10 000 euros se deprecia un 20 % de su valor cada a˜ no (es decir, el primer a˜ no se deprecia 0,2 · 10 000 = 2000 euros, el segundo 0,2 · 8000 = 1600 euros, ya que el precio en este a˜ no es de 8000 euros, y así sucesivamente). Calcular la depreciación total a largo plazo.

4.1. Definiciones y propiedades Esta sección trata de algunos aspectos generales sobre series, comenzando por la propia definición. Definición 4.1 Una serie es una suma infinita de números reales: a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · =

+∞ X

an .

n=1

Puede ocurrir que esta suma infinita de números reales dé como resultado un número o bien sea infinito. 73

Capítulo 4. Series geométricas

74

Definición 4.2 Si la suma de una serie da un número, se dice que la serie converge (o es convergente); en otro caso, se dice que la serie diverge (o es divergente). En el siguiente resultado encontramos una condición necesaria para que la serie sea convergente. Teorema 4.1 Una condición necesaria para que una serie converja es que l´ım an = 0.

n→+∞

Algunas de las propiedades más salientes de las series las proporciona el siguiente resultado. Teorema 4.2 Sean

+∞ X

an y

n=1

1.

+∞ X n=1

2. Si

(α · an ) = α ·

+∞ X

an y

n=1 +∞ X

serie

+∞ X

+∞ X

bn dos series. Entonces:

n=1

+∞ X n=1

an para todo α ∈ R.

bn convergen con sumas respectivas a y b, entonces la

n=1

(an + bn ) converge con suma a + b.

n=1

3. Si

+∞ X n=1

an converge y

diverge.

+∞ X

bn diverge, entonces la serie

n=1

+∞ X

(an + bn )

n=1

4.2. Series geométricas. Cálculo de su suma Entre los diferentes tipos de series que existen y del cálculo de sus sumas (las cuales dependen de la estructura del término general), vamos a centranos en un tipo particular: las series geométricas. Definición 4.3 Una serie es geométrica si es de la forma +∞ X n=k

rn ,

4.2. Series geométricas. Cálculo de su suma

75

pudiendo ser k cualquier número natural (incluido el 0), y r ∈ R se llama la razón de la progresión geométrica. El siguiente resultado proporciona una caraterización de la convergencia de una serie geométrica. Teorema 4.3 La serie geométrica

+∞ X n=k

r < 1.

r n es convergente si y solo si −1
0, existe δ(ε) > 0 tal que |f (x, y) − L| < ǫ siempre que (x, y) ∈ D y 0 < ||(x − a, y − b)|| < δ.

El siguiente gráfico muestra la dificultad de hallar límites de funciones para dos variables, ya que podemos acercarnos al punto por diferentes trayectorias (véase la figura 7.3):

6.2. Límites y continuidad en funciones de dos variables

123

Figura 6.3: Diferentes trayectorias de acercamiento a un punto de R2 Por tanto, el límite dependerá de la trayectoria que elijamos para acercarnos al punto. Esto da lugar al siguiente resultado. Teorema 6.1 Sea f una función tal que yectoria C1 y entonces

l´ım

(x,y)→(a,b)

l´ım

(x,y)→(a,b)

l´ım

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = L1 por una tra-

f (x, y) = L2 por otra trayectoria C2 , donde L1 6= L2 ,

f (x, y) no existe; pero si L1 = L2 , entonces no sabemos si

existe el límite o no, solo podemos asegurar que de existir, su valor sería L1 . Así pues, ante el cálculo del

l´ım

(x,y)→(a,b)

f (x, y) podemos encontrarnos con

que el límite exista, en cuyo caso se puede calcular directamente, o que se produzca una indeterminación. En este caso, para verificar si el límite existe o no, podemos utilizar diferentes técnicas, las cuales resumimos a continuación: 1. Dividir numerador y denominador (si se da esta opción) por los mayores grados de x y de y. 2. Límites iterados, que son:   l´ım l´ım f (x, y) y x→a y→b



 l´ım l´ım f (x, y) .

y→b x→a

Si son distintos, podemos decir que el límite no existe; pero si son iguales, hemos de emplear otra técnica. 3. Trayectorias rectilíneas, que consisten en hallar el siguiente límite: l´ım f (x, m(x − a) + b),

x→a

Capítulo 6. Funciones reales de varias variables reales

124

siendo m la pendiente de la recta y = m(x − a) + b. Si el valor del límite depende de m, entonces el límite no existe; pero si el límite da un valor constante, entonces hay que aplicar otra técnica. 4. Trayectorias parabólicas, que consisten en hallar el límite: l´ım f (x, m(x − a)2 + b),

x→a

siendo m la amplitud de la parábola y = m(x − a)2 + b. Si el valor del límite depende de m, entonces el límite no existe; pero si el límite da un valor igual que, por ejemplo, los límites por trayectorias rectilíneas, entonces solo podemos asegurar que el límite, si existe, su valor es tal. Veamos unos cuantos ejemplos Ejemplo 6.5 El límite 3x + y 2 (x,y)→(2,1) x2 + y 2 l´ım

no presenta ningún tipo de indeterminación, por lo que 3x + y 2 7 = . (x,y)→(2,1) x2 + y 2 5 l´ım

Ejemplo 6.6 Calcule el límite 3x2 y 2 . (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

Solución: Nótese que este límite presenta una indeterminación del tipo 0/0. Por tanto, dividimos numerador y denominador por los mayores grados de x y de y, esto es, x2 y 2 , con lo que 3x2 y 2 3 = l´ım = 0. 2 2 −2 (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) y + x−2 l´ım

Ejemplo 6.7 Calcule el límite x2 − y 2 . (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

6.2. Límites y continuidad en funciones de dos variables

125

Solución: este límite presenta una indeterminación del tipo 0/0. Calculamos los límites iterados:   x2 − y 2 x2 = l´ım l´ım 2 = l´ım 1 = 1, l´ ım x→0 y→0 x + y 2 x→0 x2 x→0   2 2 2 x −y −y = = l´ım (−1) = −1. l´ım l´ım 2 l´ ım y→0 x→0 x + y 2 y→0 y 2 y→0 Como los límites iterados no coinciden, entonces el límite no existe. Ejemplo 6.8 Calcule el límite l´ım

(x,y)→(0,0)

x2 y 2 . x2 y 2 + (x − y)2

Solución: este límite presenta una indeterminación del tipo 0/0. En este caso, puede comprobarse que los límites iterados coinciden, siendo 0 su valor. Utilizamos entonces trayectorias rectilíneas; para ello sustituimos la variable y por mx, que es una recta de pendiente m que pasa por el origen. Tenemos entonces x2 m2 x2 x2 (m2 x2 ) l´ım 2 2 2 = l´ ım x→0 x m x + (x − mx)2 x→0 x2 [m2 x2 + (1 − m)2 ] m2 x2 0 = l´ım 2 2 = = 0, 2 x→0 m x + (1 − m) (1 − m)2 excepto si m = 1, en cuyo caso la sustitución sería y por x. En este caso, l´ım

x→0

x2 x2 x4 = l´ ım = l´ım 1 = 1. x2 x2 + (x − x)2 x→0 x4 x→0

Por tanto, el límite no existe.

Ejemplo 6.9 Calcule el límite l´ım

(x,y)→(0,1)

x2 y . x2 + y − 1

Solución: Tenemos nuevamente una indeterminación del tipo 0/0. Para su cálculo vamos a emplear trayectorias parabólicas. Para ello, sustituimos la variable y por mx2 + 1, esto es, un conjunto de parábolas que pasan por el punto (0, 1) con distinta amplitud. Entonces se tiene l´ım

x→0

x2 (mx2 + 1) x2 (mx2 + 1) mx2 + 1 1 = l´ ım = l´ ım = , 2 2 2 x→0 x (1 + m) x→0 1 + m x + mx 1+m

que depende de m y, por tanto, el límite no existe.

126

Capítulo 6. Funciones reales de varias variables reales

la definición de contnuidad de una función de dos variables es similar a la de una función de una variable. Definición 6.8 Una función f de dos variables es continua en un punto (a, b) si se cumple: l´ım f (x, y) = f (a, b). (x,y)→(a,b)

Se dice que f es continua en un conjunto D si es continua en todos los puntos de D. Las propiedades sobre continuidad de funciones reales de una variable son extensibles a funciones de dos variables, por lo que no nos detendremos en su estudio. Ejemplos de funciones continuas en dos variables (en todo su dominio) son: f (x, y) = x + 2y 2, g(x, y) =

x2 − y , ... x2 + 1

6.3. Derivadas parciales A diferencia de lo que ocurre en funciones de una variable, ahora, en las funciones de dos variables, cuando queramos hallar su derivada deberemos distinguir sobre qué variable se realiza. Por tanto, ahora tendremos dos derivadas, a las que llamaremos derivadas parciales, una para cada variable. En esta sección definiremos las derivadas parciales de una función de dos variables y veremos algunas de sus aplicaciones.

6.3.1. Definiciones y cálculo Comenzamos dando la definición de derivadas parciales (de primer orden) de una función de dos variables reales. Definición 6.9 Para una función de dos variables z = f (x, y), las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones: ∂f f (x + h, y) − f (x, y) (x, y) = fx (x, y) = l´ım , h→0 ∂x h f (x, y + h) − f (x, y) ∂f (x, y) = fy (x, y) = l´ım . h→0 ∂y h

6.3. Derivadas parciales

127

En la práctica, para calcular fx (respectivamente fy ), consideramos que y (respectivamente fx ) es constante y derivamos con respecto a x (respectivamente, y). Ejemplo 6.10 Las derivadas parciales primeras de la función f (x, y) = son y

x2 − xy 3 ex2 y + 2

2

2

(2x − y 3)(ex y + 2) − (x2 − xy 3 )(2xyex y ) fx (x, y) = (ex2 y + 2)2 2

2

(−3xy 2 )(ex y + 2) − (x2 − xy 3 )(x2 ex y ) fy (x, y) = . (ex2 y + 2)2 Además, si queremos conocer su valor en un punto, por ejemplo en el (1, 0), entonces fx (1, 0) = 2/3 y fy (1, 0) = −1/9. Las derivadas parciales segundas de una función de varias variables f se obtienen volviendo a derivar las derivadas parciales primeras respecto de una de las variables (considerando la otra como una constante): ✄ Derivada parcial segunda de f respecto de x dos veces:   ∂2f ∂ ∂f = fxx = ∂x2 ∂x ∂x ✄ Derivada parcial segunda de f respecto de y dos veces:   ∂2f ∂ ∂f = fyy = ∂y 2 ∂y ∂y ✄ Derivada parcial segunda de f respecto de x (primero) y respecto de y (a continuación):   ∂ ∂f ∂2f = fxy = ∂x∂y ∂y ∂x ✄ Derivada parcial segunda de f respecto de y (primero) y respecto de x (a continuación):   ∂2f ∂ ∂f = fyx = ∂y∂x ∂x ∂y

128

Capítulo 6. Funciones reales de varias variables reales

Ejemplo 6.11 Dada la función f (x, y) = 10x3 y 2 − 5x + 2y 3 − 3xy, tenemos: fx (x, y) = 30x2 y 2 − 3y − 5, fy (x, y) = 20x3 y − 3x + 6y 2, fxy (x, y) = 60x2 y − 3, fyx (x, y) = 60x2 y − 3. Nótese que en el ejemplo 6.11 se tiene fxy (x, y) = fyx (x, y) para todo punto (x, y) del dominio, que en este caso es R2 . Esto ocurre siempre que fx , fy , fxy y fyx son funciones continuas (teorema de Schwarz).

6.3.2. Aplicaciones Al igual que ocurre con funciones de una variable, para funciones de dos variables también aparece el concepto de marginalidad. En este caso representa la variación de una de las variables (por ejemplo, económicas) cuando la otra se mantiene constante. Ejemplo 6.12 Sea la función de producción f (x, y) = x1/3 y 2/3 , donde las variables x e y representan, respectivamente, el capital y el trabajo. Entonces las productividades marginales en el punto (8, 27) vienen dadas de la siguiente manera. 1. Como fx (x, y) = (1/3)x−2/3 y 2/3 , entonces fx (8, 27) = 3/4, y significa que si el trabajo se mantiene constante en 27 unidades y el capital se incrementa en una unidad (de 8 a 9), la producción subirá en aproximadamente 3/4 de unidad. 2. Como fy (x, y) = (2/3)x1/3 y −1/3 , entonces fy (8, 27) = 4/9, y significa que si el capital se mantiene constante en 8 unidades y el trabajo se incrementa en una unidad (de 27 a 28), la producción subirá en aproximadamente 4/9 de unidad. A continuación daremos unas definicioones que nos llevarán a otra aplicación de las derivadas parciales de una función de dos variables. Definición 6.10 Sea f (x, y) una función de dos variables. Se llama diferencial total de f a la expresión: df (x, y) =

∂f ∂f (x, y) · dx + (x, y) · dy. ∂x ∂y

la diferencial total de una función de dos variables representa la variación de la función f ante un cierto incremento de todas sus variables.

6.3. Derivadas parciales

129

Definición 6.11 Se define el gradiente de una función de dos variables f (x, y) como el vector   ∂f ∂f ∇f (x, y) = (x, y), (x, y) . ∂x ∂y El gradiente de una función se utiliza para conocer la dirección de máximo crecimiento (o decrecimiento) para dicha función. Definición 6.12 Sea f (x, y) una función de dos variables y u = (u1 , u2 ) un vector unitario, esto es, de norma 1. Entonces la derivada direccional de f en un punto (a, b) según la dirección del vector u se define como Du f (a, b) = ∇f (a, b) · (u1 , u2 ) =

∂f ∂f (a, b) · u1 + (a, b) · u2 . ∂x ∂y

La derivada direccional de una función f representa la tasa de variación de la función en la dirección elegida. Ejemplo 6.13 Sea la función f (x, y) = x2 y ln(y + 3). Calcule la derivada direccional de f en el punto P = (2, 1) según la dirección del vector v = (3, 4). Solución: En primer lugar calculamos el gradiente de la función f en el punto (2, 1). Como ∇f (x, y) =



∂f ∂f (x, y), (x, y) ∂x ∂y



=



 x2 y 2xy ln(y + 3), x ln(y + 3) + , y+3 2

tenemos entonces ∇f (2, 1) = (8 ln 2, 1 + 8 ln 2). Por otra parte, el vector v no es unitario. Para conseguir √ un vector unitario, dividimos dicho vector por su norma. Como ||v|| = 32 + 42 = 5, entonces tomamos   v 3 4 = , . ||v|| 5 5

Con lo que la derivada direccional pedida es: Dv f (2, 1) = 8 ln 2 ·

3 4 + (1 + 8 ln 2) · ≈ 8,56. 5 5

130

Capítulo 6. Funciones reales de varias variables reales

Elasticidades parciales En el capítulo 2 hemos introducido el concepto de elasticidad de la demanda para funciones de una variable. Ahora estudiaremos el concepto correspondiente para funciones de dos variables. Gracias a ello, podremos distinguir, por ejemplo, entre la elasticidad de la demanda con respecto al precio o con respecto a la renta. Sea f (x, y) una función de dos variables. Se define la elasticidad parcial de f con respecto a una de las variables, como la elasticidad de f con respecto a esa variable cuando la otra se considera constante. Tendremos, por tanto, dos elasticidades parciales, a saber: (Ed )x =

x · fx (x, y) f (x, y)

y

(Ed )y =

y · fy (x, y) . f (x, y)

Veamos un ejemplo. Ejemplo 6.14 Considere la función demanda 1 − p, s donde q es la cantidad demandada, p es el precio del producto y s es el precio sustitutivo de un producto alternativo. Encuentre la elasticidad parcial con respecto al precio alternativo para una unidad y un precio real unitario de 1 euro. Solución: Tenemos que   1 s· − 2 s · Ds (p, s) 1 s (Ed )s = = = . 1 D(p, s) ps − 1 −p s Por otro lado, como q = p = 1, entonces 1 = (1/s) − 1, de donde s = 0,5. Así, (Ed )s = −2. q = D(p, s) =

6.4. Extremos de funciones Muchas situaciones económicas necesitan resolver problemas de optimización –esto es, el cálculo de máximos beneficios, mínimos ingresos, máximos costes, etc.– cuando se manejan dos variables estando sometidas, o no, a ciertas condiciones. Estudiamos a continuación estos dos casos de condicionamiento.

6.4. Extremos de funciones

131

6.4.1. Extremos sin condicionamiento Comenzamos con la definición de extremos relativos de una función de dos variables. Definición 6.13 Se dice que la función f (x, y) en un dominio suficientemente peque˜ no A tiene un mínimo (respectivamente, máximo) relativo en el punto (a, b) si f (x, y) ≥ f (a, b) (respectivamente, f (x, y) ≤ f (a, b)) para todo punto (x, y) ∈ A. Una condición para que un punto sea candidato a extremo relativo de una función es que su derivada se anule en dicho punto. Para el caso de funciones de dos variables, hemos de tener en cuenta las derivadas parciales primeras de la función.

Definición 6.14 . Sea f (x, y) una función definida en A y (a, b) un punto de A. Se dice que (a, b) es un punto estacionario (o punto crítico) de f si fx (a, b) = fy (a, b) = 0. Para verificar si un punto critico es un máximo o un mínimo relativo utlizamos el siguiente resultado. Teorema 6.2 Sea f (x, y) una función de dos variables, (a, b) un punto estacionario y D la cantidad definida por el determinante fxx (a, b) fxy (a, b) , D(a, b) = fyx (a, b) fyy (a, b)

es decir,

D(a, b) = fxx (a, b)fyy (a, b) − fx,y (a, b)fyx (a, b).

Entonces se tienen los siguientes casos:

(a) Si D(a, b) > 0 y fxx (a, b) > 0 ⇒ f tiene un mínimo relativo en (a, b). (b) Si D(a, b) > 0 y fxx (a, b) < 0 ⇒ f tiene un máximo relativo en (a, b). (c) Si D(a, b) < 0 ⇒ f tiene un punto de silla en (a, b). (d) Si D(a, b) = 0, no puede afirmarse nada. Veamos un ejemplo de aplicación.

132

Capítulo 6. Funciones reales de varias variables reales

Ejemplo 6.15 Una envasadora comercializa dos tipos de botellas de vino A1 y A2 cuyos respectivos precios unitarios de coste son x e y euros. Si los ingresos por la venta de una unidad de cada tipo de vino vienen dados por la función I(x, y) = −3xy − 9x2 − 15y 2 + 112x + 226y − 876, determine el precio de coste de cada tipo de vino para que el beneficio sea máximo y calcule el valor de este. Solución: La función coste viene dada por C(x, y) = x+y. Tenemos entonces que la función beneficio es B(x, y) = I(x, y) − (x + y), esto es, B(x, y) = −3xy − 9x2 − 15y 2 + 111x + 225y − 876. Determinamos a continuación los puntos estacionarios de la función B: ∂B (x, y) ≡ −3y − 18x + 111 = 0 ∂x ∂B (x, y) ≡ −3x − 30y + 225 = 0 ∂y cuyas soluciones son: x = 5 e y = 7. Como Bxx (5, 7) = −18, Byy (5, 7) = −30, Bxy (5, 7) = −3 y Byx (5, 7) = −3, tenemos que D(5, 7) = 531 > 0 (siendo Bxx (5, 7) < 0). Por tanto, el punto (5, 7) es un máximo relativo (de hecho, es un máximo absoluto, pero no entramos en detalle), siendo su valor (beneficio máximo) B(5, 7) = 189 euros. Así, el precio de coste de cada tipo de botella es 5 y 7 euros, respectivamente.

6.4.2. Extremos condicionados Como hemos indicado con anterioridad, muchas de las variables que aparecen en los problemas económicos de optimización estan sometidas a ciertas condiciones. vamos a considerar en esta subsección problemas de dos varibles con una restricción de igualdad y, para resolver dicho problema utilizaremos el método de los multiplicadores de Lagrange. Definición 6.15 Sea f (x, y) la función a optimizar, la cual está sujeta a la condición g(x, y) = 0. Definimos la función de Lagrange como L(x, y; λ) = f (x, y) + λ·g(x, y). Al valor λ se le llama multiplicador de Lagrange. El siguiente resultado describe el método al que hemos aludido con anterioridad.

6.4. Extremos de funciones

133

Teorema 6.3 (Método de los multiplicadores de Lagrange) Consideremos el problema de optimizar la función de dos variables f (x, y) sujeto a la condición g(x, y) = 0. Sea (a, b) un punto estacionario de la función de Lagrange L. Consideremos la matriz   Lxx Lxy gx H(x, y, λ) =  Lyx Lyy gy  . gx gy 0 (a) Si |H(a, b, λ)| < 0 entonces (a, b) es un mínimo relativo de f .

(b) Si |H(a, b, λ)| > 0 entonces (a, b) es un máximo relativo de f . Veamos un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 6.16 Una empresa decide emplear 10 000 euros en publicidad. Para ello contrata vallas con un coste de 500 euros cada una, y anuncios en televisión a razón de 1000 euros cada uno. Se evalúa que el impacto previsto por x vallas e y anuncios viene dado por la función f (x, y) = 200 + 4y − x2 − 2y 2. Determine cuántas vallas y cuántos anuncios deben contratarse para que el impacto sea máximo. Solución: La restricción en este problema es que el coste total de los anuncios en vallas y en televisión es de 10 000 euros, por tanto 500x+1000y = 10 000; de donde g(x, y) = 500x + 1000y − 10 000. Utilizando los multiplicadores de Lagrange, sea L(x, y; λ) = 200 + 4y − x2 − 2y 2 + λ(500x + 1000y − 10 000). Hallamos los puntos estacionarios de L. Para ello consideramos las derivadas parciales primeras de L junto con la restricción: ∂L (x, y; λ) ≡ −2x + 500λ = 0 ∂x ∂L (x, y; λ) ≡ 4 − 4y + 1000λ = 0 ∂y 500x + 1000 y = 10000. Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas da como solución x = 6, y = 7 y λ = 0,024. Además,   −2 0 500 −4 1000  . H(6, 7, 0,024) =  0 500 1000 0

134

Capítulo 6. Funciones reales de varias variables reales

Como |H(6, 7, 0,024)| = 3 000 000 > 0, entonces (6, 7) es un máximo relativo. Por tanto, para que el impacto sea máximo, hay que contratar 6 vallas y 7 anuncios de televisión.

6.5. Funciones homogéneas En esta sección vamos a estudiar un tipo de función de dos variables con importantes aplicaciones económicas: las funciones homogéneas. Como caso particular, estudiaremos la función de producción de Cobb-Douglas.

6.5.1. Definición y propiedades Comenzamos dando la definición de función homogénea. Definición 6.16 Una función f (x, y) se dice homogénea de grado α si para todos los valores λ > 0 y para todo punto (x, y) se cumple que f (λx, λy) = λα f (x, y). Ejemplo 6.17 La función f (x, y) = 4x7 y 3 es homogénea de grado 10, ya que: f (λx, λy) = 4(λx)7 (λy)3 = λ10 (4x7 y 3) = λ10 f (x, y). El siguiente resultado supone una caracterización de las funciones homogéneas. Teorema 6.4 (de Euler) Sea f (x, y) una función homogénea de grado α. Entonces: x·fx (x, y) + y·fy (x, y) = α·f (x, y). Si la función homogénea representa, por ejemplo, una función de producción, entonces el teorema de Euler se interpreta diciendo que la producción total es igual a la suma de los valores que se obtienen al multiplicar la cantidad de factor productivo por su productividad marginal. Ejemplo 6.18 La función f (x, y) = 4x7 y 3 del ejemplo anterior verifica el teorema de Euler, ya que fx (x, y) = 28x6 y 3 y fy (x, y) = 12x7 y 2 , con lo que: x·fx (x, y) + y·fy (x, y) = x·28x6 y 3 + y·12x7y 2 = 28x7 y 3 + 12x7 y 3 = 40x7 y 3 = 10·f (x, y) = α·f (x, y).

6.5. Funciones homogéneas

135

6.5.2. Función de producción Cobb-Douglas La función de producción de Cobb-Douglas es una función homogénea muy utilizada en economía que proporciona el número de unidades producidas en función del número L de unidades de trabajo empleadas (por ejemplo, en horas) y el número de unidades de capital invertido (por ejemplo, en euros). Esta función viene dada por P (L, K) = A · Lα K β , donde A es una constante, y es una función homogénea de grado α + β. Aplicaciones de la función de producción Cobb-Douglas La importancia de la función de producción Cobb-Douglas es que permite realizar, a partir de su grado de homogeneidad, interpretaciones económicas, en concreto los denominados rendimientos a escala, los cuales describen el cambio que experimenta la cantidad producida cuando hay un incremento proporcional en todos los factores productivos. (a) Si el grado de homogeneidad es igual a 1, los rendimientos a escala son constantes, con lo que el nivel de producción crece en la misma proporción que los factores productivos. (b) Si el grado de homogeneidad es superior a 1, los rendimientos a escala son crecientes, con lo que el nivel de producción crece en mayor proporción que los factores productivos. (c) Si el grado de homogeneidad es inferior a 1, los rendimientos a escala son decrecientes, con lo que el nivel de producción crece en menor proporción que los factores productivos. Ejemplo 6.19 Supongamos que la producción total diaria de cierto producto viene dada por P (L, K) = 2L0,16 K 0,84 , siendo L unidades de trabajo y K el capital invertido. Su grado de homogeneidad es α = 1, por tanto sus rendimientos a escala son constantes.

Capítulo 6. Funciones reales de varias variables reales

136

6.6. Ejercicios propuestos 1. Determine y represente gráficamente el dominio de las funciones: (a) z =

√

x + ln y

(c) f (x, y) =

(b) f (x, y) =

ln(y − 2x + 3) (x − 1)(y − 4)

x2 + y 2 y−x+2

2. Empareje la gráfica de las siguientes funciones con su correspondiente curva de nivel:

3. Construya algunas curvas de nivel de las funciones: (a) z = x + y

(b) z = y/x

(c) z = y − x2

(d) z = 2x − y

4. Dada la función   x−y x+y f (x, y) =  0

si x + y 6= 0

si x + y = 0 ,

¿se puede afirmar que la función f es continua en el punto (0, 0)? 5. Calcule los límites iterados en (0, 0) de la función f (x, y) =

2xy . x2 + y 2

¿Cuál será el límite de la función si nos aproximamos al origen a lo largo de la recta y = x?

6.6. Ejercicios propuestos

137

6. Estudie la existencia de los siguientes límites: 2xy 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 4 2y 2 (c) l´ım (x,y)→(2,0) (x − 2)2 + y 2

(a)

l´ım

x+y (x,y)→(0,0) x + y 3 xy (d) l´ım 2 (x,y)→(1,1) x + y 2

(b)

l´ım

7. Un estudio de la demanda de leche halló que el consumo venía determinado por la función C(r, p) = Ar 2,08 p−1,5 (con A > 0), donde p es su precio relativo y r la renta por familia. Calcule las respectivas tasas de variación para un precio de 2 euros y una renta de 600 euros, así como la variación ante un incremento simultáneo del 1 %. 8. Dada la función f (x, y) = x3 +xy 2 −5xy 3 +y 5, pruebe que fxy (x, y) = fyx (x, y). 9. Los gustos de un consumidor están dados por la siguiente función de utilidad: 2 U(x, y) = 14x2 y − x3 y 2, 3 donde x e y representan las cantidades consumidas de cada uno de los bienes. Calcule las utilidades marginales respecto a cada bien para un consumo de x = 2 e y = 3. 10. La demanda de un bien depende de su precio p y del nivel de renta medio R, según la función s R D(p, R) = 12 + 3 . p Calcule la derivada direccional de D según la dirección del vector (1, 3) en el punto (2, 3). 11. Calcule los puntos críticos o estacionarios de las siguientes funciones y determine de qué tipo son, siempre que sea posible. (a) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy

(b) f (x, y) = x4 + y 4 + 8x3 + 6x2 + y 2 12. Una empresa produce dos tipos distintos A y B de un bien. El coste diario de producir x unidades de A e y unidades de B es C(x, y) = 0,04x2 + 0,01xy + 0,01y 2 + 4x + 2y + 500

138

Capítulo 6. Funciones reales de varias variables reales Supongamos que la empresa vende toda su producción a un precio unitario de 15 euros para el tipo A y 9 euros para B. Halle los niveles de producción x e y que maximizan el beneficio.

13. Una fábrica produce dos tipos de maquinaria x e y, la función coste viene dada por C(x, y) = x2 + 2y 2 − xy. ¿Cuál será el coste mínimo y cuál debe ser la producción, si el total de las máquinas a producir debe ser 24? 14. La función de producción de una empresa, que depende del número de máquinas utilizadas k y del número de horas de mano de obra m, viene expresada por: P (k, m) = 30m + 15k − m2 − 1,5k 2 .

Cada unidad producida supone un coste de 12 euros por cada máquina empleada y 8 euros por cada hora de mano de obra empleada. Calcule el número de máquinas necesarias y el número de horas de trabajo para minimizar el coste, garantizando una producción de 240 unidades. 15. Un invernadero produce dos tipos de alimentos A y B cuyos precios de venta son funciones de las demandas p1 = 280 − 3x, p2 = 260 − y, siendo x e y las cantidades demandadas de los productos A y B, respectivamente. El coste de fabricación de x unidades de A e y unidades de B viene dado por la función C(x, y) = x2 + y 2 + 4xy. Calcula las unidades que se deben producir de A y B para que el beneficio sea máximo, así como el valor de este. 16. Determine si son o no homogéneas las siguientes funciones, indicando, cuando proceda, el grado de homogeneidad: xy (a) f (x, y) = x sen(x/y) + y cos(x/y) (b) f (x, y) = 2 x + y2 17. Sea f (x, y) una función homogénea de grado 3, y f (2, 4) = 6. ¿Es verdadero o falso que entonces f (1, 2) = 3/4 y ∂f ∂f 9 (1, 2) + 2 (1, 2) = ? ∂x ∂y 4 18. Sea f (x, y) una función homogénea de la que se conocen los siguientes datos: ∂f ∂f f (a, 3) = 1; (a, 3) = 4; (a, 3) = −4. ∂x ∂y

6.6. Ejercicios propuestos

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Utiliza el teorema de Euler para determinar el valor de a, sabiendo que el grado de homogeneidad de f es igual a 2a. √ 19. Sea Q(K, L) = 20 KL la cantidad producida de un cierto bien, siendo K el capital invertido y L el número de horas trabajadas. Estudie si se verifica o no el teorema de Euler para un capital de 100 euros y 25 horas de trabajo. 20. ¿Se puede decir que la función de producción q = f (K, L) = 2K 0,5 L0,85 tiene rendimientos a escala decrecientes?

Exámenes resueltos En este capítulo presentamos ejercicios planteados en exámenes de Matemáticas de diversas convocatorias desde el año 2012 hasta el año 2018 para los distintos Grados en Economía. Pretendemos con ello que el alumno pueda realizar una autoevaluación de los contenidos desarrollados en este texto, mostrando su resolución para que el propio alumno pueda comprobar por sí mismo su propio trabajo.

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Exámenes resueltos

Examen de Matemáticas. Febrero 2012. 1.

a) Calcular el siguiente límite: x2 cos x . x→0 sen2 x l´ım

b) Estudiar el carácter y la suma, si es posible, de la siguiente serie: ∞ X 2n − 3n

4n

n=1

.

Solución: a) Tenemos: x2 cos x 2x cos x + x2 (− sen x) 0 0 ′ Hˆ o pital) = l´ ım = = (L = x→0 sen2 x x→0 0 2 sen x cos x 0 2 2 cos x − 2x sen x − 2x sen x − x cos x = (L′ Hˆopital) = l´ım x→0 2 cos2 x − 2 sen2 x 2 = = 1. 2 l´ım

b) Se tiene: ∞ X 2n − 3n n=1

4n

=

∞  n X 2 n=1

3n − 4n 4n



=

∞  n X 1 n=1

2

−

∞  n X 3 n=1

4

.

Por tanto, tenemos dos series geométricas convergentes por tener razón comprendida entre −1 y 1; concretamente, R1 = 1/2 y R2 = 3/4. Con lo cual, la suma total S es: S=

1/2 3/4 − = 1 − 3 = −2. 1 − (1/2) 1 − (3/4)

2. Dada la función f (x) = x(x − 3)2 : a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje OX, y las rectas x = −1 ; x = 3.

142 Solución: a) Calculamos su derivada para analizar los signos y poder determinar los intervalos de monotonía: f ′ (x) = (x−3)2 +x 2(x−3) = (x−3)[(x−3)+2x] = 3(x−3)(x−1). Así, f ′ (x) = 0 implica que x = 1 y x = 3; de donde es fácil ver que f ′ (x) > 0 en (−∞, 1) ∪ (3, +∞) (⇒ f creciente); y f ′ (x) < 0 en (1, 3) (⇒ f decreciente). b) Utilizando el estudio del apartado a) junto con el hecho de que f ′′ (x) = 6(x − 2) = 0 implica que x = 2 (es decir, f es cóncava en (−∞, 2) y convexa en (2, +∞)), f (0) = 0, f (1) = 4 y f (3) = 0 (véase la gráfica de f en la figura 6.4), es fácil determinar que el área A

Figura 6.4: Representación gráfica de la función f (x) = x(x − 3)2 . de la región pedida es: 0

3

x4 x3 x2 A= −f (x)dx + f (x)dx = − + 6 − 9 4 3 2 −1 0  4  3 2 3 x x x + −6 +9 = 13,5. 4 3 2 0 Z

Z



0

  3 2 3. Dada la matriz A = : 2 3 a) Calcular sus valores propios y sus vectores propios. b) Utilizar las matrices diagonal y de paso para calcular A5 .

−1

143

Exámenes resueltos Solución: a) Comenzamos determinando su polinomio característico e igualándolo a 0 para determinar sus valores propios: 3−λ 2 = (3 − λ)2 − 4 = λ2 − 6λ + 5 = 0, 2 3−λ

de donde λ1 = 5 y λ2 = 1 son los valores propios de la matriz A. Veamos ahora los vectores propios asociados. Para determinar los vectores propios asociados al valor propio λ1 = 5 tenemos que resolver:      3−5 2 x1 0 = ⇒ −2x1 + 2x2 = 0 ⇒ x1 = x2 , 2 3−5 x2 0

con lo que un vector propio genérico de dicho valor propio es (x1 , x1 ), con x1 6= 0; en particular, podemos tomar vλ1 = (1, 1). Análogamente, para el valor propio λ2 = 1 tenemos que resolver      3−1 2 x1 0 = ⇒ 2x1 + 2x2 = 0 ⇒ x1 = −x2 , 2 3−1 x2 0 de donde un vector propio genérico es (x1 , −x1 ), con x1 = 6 0; en particular, tomamos vλ2 = (1, −1).

b) Sabemos que por ser A semejante a su matriz diagonal D, tenemos     1 1 5 0 −1 −1 D = P AP ⇒ A = P DP , con P = yD = . 1 −1 0 1

Procedemos a calcular P −1 ; para ello tenemos det(P ) = −2 y la matriz adjunta de P es sencilla de calcular al ser de tamaño 2, concretamente   −1 −1 Adj(P ) = , −1 1 de donde P

−1

1 = −2

  −1 −1 . −1 1

Con lo cual, al ser la matriz A diagonalizable,   5    1 −1 −1 1 1 5 0 5 5 −1 A = PD P = 1 −1 0 15 −2 −1 1   1563 1562 . = 1562 1563

144 4. Una empresa fabrica un solo producto en dos plantas diferentes. Los costes totales de producción en cada planta son, respectivamente, C1 (x) = 20x3 − 24x + 5

y

C2 (y) = 27y 2 + 10,

donde x e y son las cantidades producidas en cada planta. El precio del mercado para el producto es de 216 euros/unidad, para las dos plantas. a) Calcular las cantidades que se deben producir en cada planta para maximizar el beneficio. b) Calcular el beneficio máximo. Solución: a) Comenzamos determinando la función beneficio, que viene dada por: B(x, y) = 216(x + y) − (20x3 − 24x + 5 + 27y 2 + 10) = −20x3 − 27y 2 + 240x + 216y − 15. Calculamos ahora sus derivadas parciales y las igualamos a cero para determinar los puntos candidatos a extremos para la función beneficio: Bx (x, y) = −60x2 + 240 = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x ± 2 By (x, y) = −54y + 216 = 0 ⇒ y = 4. Por tanto, el único candidato a punto extremo es P = (2, 4), puesto para el valor x = −2 no podemos considerarlo, ya que marca un valor negativo que no tiene sentido en el contexto del ejercicio planteado. Para ver si este punto P es máximo o mínimo calculamos     Bxx (x, y) Bxy (x, y) −120x 0 H(x, y) = = . Byx (y, x) Byy (x, y) 0 −54 Como

  −240 0 H(2, 4) = , 0 −54

tenemos que det(H(2, 4)) = 12960 > 0 y Bxx (2, 4) < 0, tenemos que el máximo beneficio se consigue para una producción de x = 2 e y = 4. b) El máximo beneficio es B(2, 4) = −20 · 23 − 27 · 42 + 240 · 2 + 216 · 4 − 15 = 737 euros.

145

Exámenes resueltos

Examen de Matemáticas. Septiembre 2012. 1.

a) Calcular el siguiente límite: l´ım+

x→1

(x − 1) − ln x . (x − 1) ln x

b) Estudiar el carácter y calcular la suma, si es posible, de la siguiente serie: ∞ X 22n+3 + 3 . 9n−1 n=1

Solución: a) Tenemos l´ım+

x→1

1 − x1 (x − 1) − ln x 0 0 = = (L′ Hˆopital) = l´ım+ 1 = x→1 ln x + (x − 1) (x − 1) ln x 0 0 x = (L′ Hˆopital) = l´ım+ x→1

1 x2

1 x

+

1 x2

=

1 = 0,5. 1+1

b) Se tiene ∞ X 22n+3 + 3 n=1

9n−1

∞ X 22n 23 + 3

 ∞  X 4n 8 3 = = + 9n 9−1 9n 9−1 9n 9−1 n=1 n=1 ∞  n ∞  n X X 4 1 = 72 + 27 . 9 9 n=1 n=1

Tenemos dos series geométricas convergente por tener razones comprendidas entre −1 y 1, concretamente R1 = 94 ≈ 0,44 < 1 y R2 = 1 ≈ 0,11 < 1; por tanto, la suma S de la serie es: 9 S = 72 ·

4 9

1−

4 9

+ 27 ·

1 9

1−

1 9

=

288 27 + ≈ 60,97. 5 8

2. Las curvas de demanda y oferta de un bien son, respectivamente, D(q) = −3q + 5 y

O(q) = q 2 + 1.

a) Esbozar las curvas de oferta y demanda. b) Calcular el punto de equilibrio y los excedentes del productor y del consumidor.

146 Solución: a) La curva demanda es una recta, por lo que calculando dos valores para ella y representándolos en los ejes, bastará unirlos para obtener su gráfica, por ejemplo, D(0) = 5 y D(1) = 2. La curva oferta es una parábola, y es la trasladada de la función f (q) = q 2 una unidad en sentido positivo (hacia arriba) en el eje de ordenadas (véase la figura 6.5 para ambas representaciones).

Figura 6.5: Gráficas de las curvas oferta y demanda del problema 2. b) Para calcular el punto de equilibrio debemos igualar la oferta a la demanda. Así, D(q) = O(q) ⇒ −3q + 5 = q 2 + 1 ⇒ q 2 + 3q − 4 = 0 ⇒ q = −4, 1. Obviamente el valor q = −4 no es válido, ya que es absurdo considerar producciones nevativas, por lo que el equilibrio del mercado lo tenemos en q¯ = 1, para el que el precio de equilibrio es p¯ = D(1) = O(1) = 2. Con lo cual:  3 1 Z 1 q 2 1 2 Ex. P roductor = (¯ p − q − 1)dq = − + q = − + 1 = , 3 3 3 0 0 Ex. Consumidor =

Z

0

1

q2 (−3q + 5 − p¯)dq = −3 + 3q 2 

1 0

3 = . 2

3. Dadas las matrices:       1 0 −1 1 0 5 −3 4     A= 0 m −3 ; B= 3 2 ; C= −3 −2 2 4 1 m −1 1 a) Indicar los valores de m para los que A es inversible.

147

Exámenes resueltos b) Resolver, para m = −2, la ecuación XA − B t = C (donde B t es la matriz traspuesta de B). Solución: a) A es inversible si y solo si |A| 6= 0; por tanto, |A| = m2 + 4m + 3 = 0 ⇒ m = −3, −1, con lo que si m 6= −3, −1, la matriz A es inversible. b) Comenzamos resolviendo la ecuación de manera general: XA − B t = C ⇒ XA = C + B t ⇒ X = (C + B t )A−1 . Por lo tanto, debemos calcular la inversa de la matriz A, para lo que tomando m = −2 calculamos el determinante de A, que es |A| = −1. Pasamos a calcular la matriz adjunta de A y su traspuesta: 

   7 −12 8 7 −1 −2 3 , Adj(A) = −1 2 −1 ⇒ [Adj(A)]t = −12 2 −2 3 −2 8 −1 −2

de donde,

A−1

   −7 1 2 7 −1 −2 1  3  =  12 −2 −3 . −12 2 = −1 8 −1 −2 −8 1 2 

Para calcular el valor de X, comenzamos determinando       5 −3 4 1 3 −1 6 0 3 t C +B = + = , −3 −2 2 0 2 1 −3 0 3 con lo cual X=

    −7 1 2 6 0 3  −66 9 18  12 −2 −3 = . −3 0 3 −3 0 0 −8 1 2





4. Dada la función f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy: a) Calcular sus puntos críticos. b) Determinar cuáles de ellos son extremos.

148 Solución: a) Para determinar los puntos críticos, debemos calcular las primeras derivadas parciales e igualarlas a cero, es decir, fx (x, y) = 3x2 − 3y = 0 fy (x, y) = 3y 2 − 3x = 0.

Si despejamos de la primera ecuación obtenemos y = x2 , y sustituyendo en la segunda llegamos a que,
2
x2 − x = 0 ⇒ x x3 − 1 = 0 ⇒ x = 0, 1. Por tanto, calculando el valor de y para cada uno de los valores anteriores de x, tenemos dos puntos críticos, que son: P1 = (0, 0) y P2 = (1, 1). b) Para ver si los puntos P1 y P2 del apartado a) son extremos, calculamos   6x −3 H(x, y) = , −3 6y

evaluamos el determinante y verificamos si cumplen las condiciones de extremo: |H(0, 0)| = −9 < 0 ⇒ Punto de silla. |H(1, 1)| = 27 > 0, fxx (1, 1) = 6 > 0 ⇒ Minimo.

5. Dada la función f (x, y) = 2x2 y − x3 + 5y 2x + y 3:

a) Comprobar que es homogénea y determinar su grado de homogeneidad. ∂f b) Comprobar que la función es homogénera de grado 2 y que ∂x verifica el teorema de Euler.

Solución: a) Aplicando la definición, tenemos: f (tx, ty) = 2(tx)2 ty − (tx)3 + 5(ty)2tx + (ty)3 = 2t2 x2 ty − t3 x3 + 5t2 y 2 tx + t3 y 3 = t3 (2x2 y − x3 + 5y 2x + y 3) = t3 f (x, y);

por tanto, f es homogénea su grado de homogeneidad es 3. b) Llamamos, g(x, y) =

∂f (x, y) = 4xy − 3x2 + 2y 2. ∂x

149

Exámenes resueltos Calculamos gx (x, y) = 4y − 6x y gy (x, y) = 4x + 4y, y comprobamos si se verifica el teorema de Euler: xgx (x, y) + ygy (x, y) = x(4y − 6x) + y(4x + 4y) = 4xy − 6x2 + 4xy + 4y 2 = 2(4xy − 3x2 + 2y 2) = 2g(x, y), con lo que se verifica el teorema de Euler, y comprobamos que su grado de homogeneidad es 2.

150

Examen de Matemáticas. Febrero 2013. p 1. Sea la función demanda p = D(q) = 300 − 10q, 0 ≤ q ≤ 30, donde p es el precio por unidad y q es el número de unidades demandadas. a) Calcula la elasticidad de la demanda. b) Calcula para qué nivel de demanda, un pequeño porcentaje de subida del precio provoca el mismo porcentaje de bajada de la demanda. c) Para q = 15, calcula la variación de la demanda si el precio baja el 1,5 %. Solución: a) Tenemos que la elasticidad de la demanda viene dada por: √ D(q) 300 − 10q 2(300 − 10q) Elasticidad(η) = = = −10 ′ qD (q) −10q q 2√300−10q =

60 − 2q 60 =2− . −q q

b) Necesitamos que η = −1, por tanto 2− con lo que p =

√

60 = −1 ⇒ 3q = 60 ⇒ q = 20, q

300 − 10 · 20 = 10.

c) Calculamos, utilizando el apartado a), η(15) = −2, y dado que por definición de la elasticidad tenemos que, η · % del precio ≈ % demanda, entonces, para nuestro caso, −2 · (−1,5 %) = 3 % será el aumento en la demanda. 2. Las curvas de demanda y oferta de un determinado producto son, respectivamente, D(q) = −0,3q 2 + 70,

O(q) = 0,1q 2 + q + 20,

0 ≤ q ≤ 15.

a) Encuentra el punto de equilibrio del mercado. b) Suponiendo que el mercado se encuentra en equilibrio, calcula los excedentes del consumidor y del productor. Explica el significado económico de los resultados.

151

Exámenes resueltos Solución: a) Para calcular el punto de equilibrio igualamos la oferta a la demanda: D(q) = O(q) ⇒ −0,3q 2 + 70 = 0,1q 2 + q + 20 ⇒ 0,4q 2 + q − 50 = 0 ⇒ q = −12,5; q = 10. El valor negativo no lo consideramos por no tener sentido producciones negativas, por lo que el equilibrio lo tenemos para una cantidad q¯ = 10 y un precio p¯ = 40. b) Tenemos: Ex. Consumo =

Z

10

0

q3 (−0,3q +70− p¯)dq = −0,3 + 30q 3 2



10 = 200, 0

y nos indica el ahorro por parte de los consumidores al comprar productos al precio de equilibrio en lugar de un precio superior que estarían dispuestos a pagar. Z 10 Ex. P roduccion = (¯ p − 0,1q 2 − q − 20)dq 0  10 q3 q2 = −0,1 − ≈ 116,6, + 20q 3 2 0 y nos indica la ganancia por parte de los productores poniendo un precio menor que el precio de equilibrio. 3. En un mercado con varios sectores productivos, el modelo de Leontief es el siguiente: X = AX + D donde A es la matriz de los coeficientes técnicos, D es la demanda externa y X la producción necesaria para satisfacer el mercado. a) ¿Qué condición deben cumplir las matrices para que el modelo tenga solución?     0,2 0,3 120 b) Si A = yD = , calcula la producción necesa0,4 0,1 90 ria para satisfacer el mercado. Solución a) Tenemos: X = AX + D ⇒ (I − A)X = D ⇒ X = (I − A)−1 D. Luego necesitamos que exista la matriz inversa de I − A y, por tanto, que |I − A| 6= 0.

152 b) Tenemos que determinar X, para ello,       1 0 0,2 0,3 0,8 −0,3 I −A= − = . 0 1 0,4 0,1 −0,4 0,9

Pasamos a calcular (I − A)−1 , para lo cual tenemos lo siguiente: 0,8 −0,3 −0,4 0,9 = 0,72 − 0,12 = 0,6 y

    0,9 0,4 0,9 0,3 t Adj(I − A) = ⇒ [Adj(A)] = , 0,3 0,8 0,4 0,8

de donde tenemos

(I − A) Finalmente, 1 X= 0,6



0,9 0,3 0,4 0,8

−1

1 = 0,6



 0,9 0,3 . 0,4 0,8

      1 110,7 120 184,5 = = . 9 90 0,6 55,2

4. Una empresa elabora dos tipos de productos A y B, (con x = unidades semanales de A, y = unidades semanales de B). Se conoce que los precios a los que comercializa cada unidad de producto son, respectivamente, 9 y 7 (miles de euros) y que la función de costes totales es C(x, y) = 6x2 + 5y 2 − 3xy. a) Calcula la función beneficio B(x, y).

b) Calcula el nivel de producción semanal que maximiza el beneficio. c) Determina el beneficio mensual (cuatro semanas) que obtiene la empresa con el nivel de producción obtenido en el apartado anterior. Solución: a) La función beneficio, que viene dada por los ingresos menos los costes totales, es: B(x, y) = (9x+7y)−(6x2 +5y 2 −3xy) = −6x2 −5y 2 +3xy +9x+7y. b) Calculamos las primeras derivadas parciales y las igualamos a cero:   Bx (x, y) = −12x + 3y + 9 = 0 −12x + 3y + 9 = 0 ⇒ By (x, y) = −10y + 3x + 7 = 0 3x − 10y + 7 = 0

153

Exámenes resueltos Multiplicando por 4 la segunda ecuación y sumando ambas ecuaciones tenemos −37y + 37 = 0 ⇒ y = 1, sustituyendo en cualquier de las ecuaciones tenemos que x = 1, por lo que el único punto critico es (1, 1). Para ver si es máximo o mínimo, calculamos     Bxx (x, y) Bxy (x, y) −12 3 H(x, y) = = , Byx (x, y) Byy (x, y) 3 −10 con lo que, como |H(1, 1)| = 111 > 0 y Bxx (1, 1) =< 0, tenemos que el punto crítico (1, 1) es un máximo. Por tanto, para tener beneficios máximos debemos tomas x = 1; y = 1. c) Si calculamos B(1, 1) = 8 (en miles de euros), obtendríamos el beneficio máximo en una semana, como queremos tenerlo para un mes, bastará multiplicar por 4 y, por tanto, este será igual a 32000 euros.

154 Examen de Matemáticas. Septiembre 2013. 1.

a) Calcula el siguiente límite: l´ım

x→∞



1 1+ x

2 ln x

b) Estudia el carácter y la suma, si es posible, de la siguiente serie:  ∞  n+1 X 3 n−1 − 2(0,9) 2n+1 4 n=1 Solución: a) Como  2 ln x 1 L = l´ım 1 + = 1∞ , x→∞ x

tomamos logaritmos neperianos (en L y en el límite) y calculamos:   2 ln x 2 ln x 1 1 ln L = ln l´ım 1 + = l´ım ln 1 + x→∞ x→∞ x x
  ln 1 + x1 1 ∞ = l´ım (2 ln x) ln 1 + = (∞ · 0) = 2 l´ım = x→∞ x→∞ x ln x ∞ = (L′ Hˆopital) = 2 l´ım

x→∞

−1/x2 1+1/x

1/x

= 2 l´ım − x→∞

1 = 0, x+1

de donde L = e0 = 1. b) Nótese que  X ∞  n+1 ∞ ∞ X X 3 3n+1 n−1 = 2(0,9)n−1 − 2(0,9) − 2n+1 2n+1 4 4 n=1 n=1 n=1   ∞ ∞ n 3X 3 2 X = (0,9)n . − 4 n=1 16 0,9 n=1

Por tanto, tenemos dos series geométricas de razones comprendidas (es3 trictamente) entre −1 y 1, concretamente R1 = 16 y R2 = 0,9, con lo que ambas series son convergentes y su suma S viene dada por: S=

3 4

3 · 16 2 9 = − 20 ≈ −19,53. 3 + 1 − 0,9 54 1 − 16

155

Exámenes resueltos

2. Dada la función f (x) = x(x − 3)2 : a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, b) Halla el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje OX y las rectas x = −1 y x = 3. Solución: Véase el problema 2 de la convocatoria de febrero de 2012.   2 1 3. Dada la matriz A = : 1 2 a) Calcula sus valores y vectores propios. Determina una matriz diagonal D y una matriz de paso P asociadas. b) Calcula A10 , utilizando las matrices D y P anteriores. Solución: a) Comenzamos determinando su polinomio característico e igualándolo a 0 para determinar sus valores propios: 2−λ 1 = (2 − λ)2 − 1 = λ2 − 4λ + 3 = 0, 1 2−λ

de donde λ1 = 3; λ2 = 1 son los valores propios de la matriz A. Veamos ahora los vectores propios asociados. Para determinar los vectores propios asociados al valor propio λ1 = 3 tenemos que resolver:      2−3 1 x1 0 = ⇒ −x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = x2 , 1 2−3 x2 0

con lo que un vector propio genérico de dicho valor propio es (x1 , x1 ), con x1 6= 0; en particular, podemos tomar vλ1 = (1, 1). Análogamente, para el valor propio λ2 = 1 tenemos que resolver:      2−1 1 x1 0 = ⇒ x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = −x2 , 1 2−1 x2 0 de donde un vector propio genérico es (x1 , −x1 ), con x1 = 6 0; en particular, tomamos vλ2 = (1, −1). Por tanto,     1 1 3 0 P = ; D= . 1 −1 0 1

156 b) Sabemos que por ser A diagonalizable tenemos D = P −1 AP ⇒ A = P DP −1. Procedemos a calcular P −1. Para ello, tenemos que det(P ) = −2 y la matriz adjunta de P es sencilla de calcular al ser de tamaño 2, concretamente   −1 −1 Adj(P ) = , −1 1 de donde,

P Con lo cual, 10

A

10

= PD P

−1

−1

1 = −2

  −1 −1 . −1 1

   10    1 −1 −1 1 1 3 0 = 1 −1 0 110 −2 −1 1   −59050 −59048 . = −59048 −59050

4. Dada la función de producción de Cobb-Douglas f (x, y) = 3x 3 y 2

−1 2

:

a) Comprueba, utilizando la definición, que f es una función homogénea y comprueba que verifica el teorema de Euler, b) Calcula las producciones marginales en el punto (4, 1) e interprétalas económicamente, c) Calcula cuál es la variación (en %) que experimenta la producción cuando x e y aumentan un 2 %. Solución: a) Aplicando la definición tenemos que f (tx, ty) = 3(tx)2/3 (ty)−1/2 = 3t2/3 x2/3 t−1/2 y −1/2 = t1/6 f (x, y), por tanto, la función f es homogenea de grado 61 . Para ver que verifica el teorema de Euler, calculamos sus derivadas parciales, 2 1 1 fx (x, y) = 3 · x− 3 y − 2 , 3

1 2 3 fy (x, y) = −3 · x 3 y − 2 , 2

157

Exámenes resueltos y tenemos  2 3 3 x · fx (x, y) + y · fy (x, y) = x · 2x y + y · − x 3 y− 2 2 2 1 3 2 1 1 2 1 = 2x 3 y − 2 − x 3 y − 2 = x 3 y − 2 2 2 1 2 1 1 = · 3x 3 y − 2 = f (x, y), 6 6 

− 13 − 21

lo que indica que se verifica el teorema de Euler, pues el grado de homogeneidad es 1/6. b) Calculamos las marginales en el punto indicado: 1

1

fx (4, 1) = 2 · 4− 3 1− 2 ≈ 1,26, 3 2 3 fy (4, 1) = − · 4 3 1− 2 ≈ −3,78. 2 La marginal fx determina el aumento de la producción cuando la variable x pasa de 4 unidades a 5 manteniendo constante y = 1, mientras que la marginal fy determina, en este caso, la disminución de la producción cuando la variable y pasa de 1 unidad a 2, manteniendo constante x = 4. c) Como x e y aumentan (a la vez) un 2 %, entonces debemos calcular en primer lugar     2 2 102 102 f x+x· ,y + y · · x, ·y . =f 100 100 100 100 Como la función f es homogénea de grado 1/6, entonces se tiene la siguiente igualdad: f



102 102 · x, ·y 100 100



=



102 100

1/6

· f (x, y).

Por tanto, el aumento de la producción (en %) viene dado por " # 1/6 102 − 1 · 100 ≈ 0,33 %. 100

158

Examen de Matemáticas. Febrero 2014. 1. [0.5] Calcula el siguiente límite:  π l´ım− x − tg x. 2 x→ π2 Solución: Tenemos que  (x − π2 ) sen x π 0 l´ım− x − tg x = l´ım− = = (L′ Hˆopital) = 2 cos x 0 x→ π2 x→ π2 =

l´ım π−

x→ 2

sen x + (x − π2 ) cos x = −1. − sen x

2. Una empresa comercializa un producto cuya función demanda es p = 54 − 3q, donde p es el precio por unidad y q es el número de unidades vendidas. Los costes mensuales son C(q) = 3q 2 + 30q + k, donde k es una constante. Sabiendo que cuando se producen 10 unidades los costes son de 300 euros, determina las unidades que se han de producir mensualmente para maximizar el beneficio, a qué precio debe venderse el producto y cuál es el benficio máximo. Solución: En primer lugar averiguamos el valor de la constante k, para ello utilizamos la información de que para q = 10 el coste es de 300 euros, por tanto, C(10) = 3 · 102 + 30 · 10 + k = 300 ⇒ k = −300. La función beneficio es B(q) = p·q−C(q) = (54−3q)q−(3q 2 +30q−300) = −6q 2 +24q+300. Si calculamos su derivada e igualamos a cero obtenemos: B ′ (q) = −12q + 24 = 0 ⇒ q =

24 = 2. 12

Es fácil comprobar que B ′ (q) > 0 para q ∈ [0, 2) (por ejemplo, nótese que B ′ (1)12 > 0), y B ′ (q) < 0 si q > 2, con lo que q = 2 es un máximo local. Es sencillo deducir que también es un máximo global. Por tanto, el máximo beneficio es B(2) = −6 · 22 + 24 · 2 + 300 = 324 euros.

159

Exámenes resueltos

3. Las curvas de demanda y oferta de un determinado bien vienen dadas, respectivamente, por D(q) = 131 −

q2 , 3

2 O(q) = 50 + q 2 . 3

a) Calcula el punto de equilibrio. b) Calcula los excedentes de producción y de consumo. Solución a) Para calcular el punto de equilibrio, igualamos la oferta a la demanda: 131 −

q2 2 = 50 + q 2 ⇒ 131 − 50 = q 2 ⇒ q 2 = 81 ⇒ q = ±9. 3 3

Como no tiene sentido producciones negativas, el equilibrio del mercado lo tendremos para una cantidad q¯ = 9 y un percio de equilibrio de p¯ = D(9) = 104. b) Tenemos: Ex. Consumo =

Z

9

0

Ex. P roduccion =

Z

0

 9

  9 q2 q3 131 − − p¯ dq = 27q − = 121,5. 3 6 0



  9 2 2 2q 3 p¯ − 50 − q dq = 54q − = 324. 3 9 0

4. Dos empresas se reparten el mercado de un producto este año de la siguiente forma: la empresa A tiene el 25 % y la empresa B el 75 %. Se sabe que los clientes, cada año, cambian de empresa según el siguiente esquema fijo: la empresa A retiene el 72 % de sus clientes y el resto se cambia a B y la empresa B conserva al 58 % y el resto se cambia a A. a) Expresa matricialmente el esquema anual de cambio de compañía. b) Utiliza la técnica de diagonalización de matrices para calcular cómo se repartirán el mercado ambas empresas dentro de 3 años. c) ¿Cuál es la tendencia a largo plazo? Solución a) Se trata de un sistema dinámico. Si notamos por XA los clientes de la compañia A para esta año; XB los de la compañia B para este año; XAS los clientes de la compañia A para el siguiente año y,

160 por último, XBS los de la compañia B para el siguiente año, tenemos entonces el siguiente esquema:  S    XAS = 0,72XA + 0,42XB XA 0,72 0,42 XA ⇒ = . XBS = 0,28XA + 0,58XB XBS 0,28 0,58 XB b) Tenemos que diagonalizar la matriz   0,72 0,42 T = , 0,28 0,58 para lo cual comenzamos buscando los valores propios de T : 0,72 − λ 0,42 = (0,72 − λ)(0,58 − λ) − 0,28 · 0,42 0,28 0,58 − λ = λ2 − 1,3λ + 0,3 = 0,

con lo que los valores propios son λ1 = 1 y λ2 = 0,3. Para calcular sus correspondientes vectores propios, tenemos que resolver, primero para el caso de λ1 = 1, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:      2x1 −0,28 0,42 x1 0 = ⇒ −0,28x1 +0,42x2 = 0 ⇒ x2 = , 0,28 −0,42 x2 0 3 con lo que el vector genérico asociado es (x1 , 2x1 /3), con x1 6= 0; en particular, tomamos vλ1 = (3, 2). Análogamente, para calcular el vector propio asociado al valor propio λ2 = 0,3, resolvemos el sistema      0,42 0,42 x1 0 = ⇒ 0,42x1 + 0,42x2 = 0 ⇒ x2 = −x1 , 0,28 0,28 x2 0 con lo que el vector genérico asociado es (x1 , −x1 ), con x1 6= 0; en particular tomamos vλ2 = (1, −1). Sabemos que por ser la matriz T diagonalizable tenemos     1 0 3 1 −1 −1 D = P T P ⇒ T = P DP , con D = ;P = . 0 0,3 2 −1 Como inicialmente el mercado se reparte un 25 % para A y un 75 % para B, al cabo de 3 años la cuota de mercado será:    3  −1      3 1 1 0 3 1 0,25 0,59 3 0,25 T = = , 0,75 2 −1 0 (0,3)3 2 −1 0,75 0,42

161

Exámenes resueltos esto es, al cabo de 3 años, A tendrá el 59 % de la cuota de mercado y B el 41 %. c) A largo plazo, las cuotas de mercado serán:     n  −1   3 1 1 0 3 1 0,25 n 0,25 l´ım T = l´ım n→∞ 0,75 n→∞ 2 −1 0 (0,3)n 2 −1 0,75    −1     3 1 1 0 3 1 0,25 0,6 = = , 2 −1 0 0 2 −1 0,75 0,4

es decir, A tendrá el 60 % y B el 40 % de mercado. 5. La función de producción de una empresa es: P (x, y) = 100x0,75 y 0,25

a) Comprueba que P verifica el teorema de Euler, calcula el grado de homogeneidad e interpreta los resultados económicamente. b) Estudia qué ocurre con la producción si x e y aumentan el 3 %. c) Si actualmente los valores para x e y son x = 625, y = 256, calcula las productividades marginales de ambas variables e interprétalas económicamente. Solución: a) Para ver que la función P (que se podría interpretar como una función de Cobb-Douglas) verifica el teorema de Euler, calculamos sus derivadas parciales: Px (x, y) = 75x−0,25 y 0,25 y Py (x, y) = 25x0,75 y −0,75 , con lo que x · Px (x, y) + y · Py (x, y) = x(75x−0,25 y 0,25 ) + y(25x0,75 y −0,75 ) = 75x0,75 y 0,25 + 25x0,75 y 0,25 = 100x0,75 y 0,25 = P (x, y), lo que nos prueba que se verifica el teorema de Euler, con grado de homogeneidad 1. Y significa que si variamos los factores productivos a escala en la misma cantidad, la producción crece en la misma proporción. b) Como el grado de homogeneidad es 1, la producción crecerá en la misma proporción, esto es, el 3 %. c) Tenemos Px (x, y)(625, 256) = 75 · 625−0,25 2560,25 = 60 (si x aumenta de 625 a 626 y la y permanece constante, la producción aumenta en 60) y Py (x, y)(625, 256) = 25 · 6250,75 256−0,75 ≈ 48,8 (si y aumenta de 256 a 257 y la x permanece constante, la producción aumenta en 48,8).

162

Examen de Matemáticas. Septiembre 2014. 1. Estudia el carácter y calcula la suma, si es posible, de la serie  ∞  n+2 X 5 n−1 − 2(0,7) 2n+1 8 n=1

Solución: Nótese que  X ∞ ∞  n+2 ∞ X 5 5n 52 X 2(0,7)n n−1 − = − 2(0,7) 82n+1 82n 8 n=1 0,7 n=1 n=1 n ∞  ∞ 2 X 25 X 5 (0,7)n , − = 8 n=1 64 0,7 n=1

con lo que tenemos dos series geométricas con razones comprendidas 5 entre −1 y 1, concretamente R1 = 64 y R2 = 0,7, pot tanto ambas sumas son convergentes. Calculamos su suma S: S=

5 82

· 25 2 125 2 8 = − ≈ −6,4. 5 − 1 − 0,7 472 0,3 1 − 82

2. La función demanda de un producto es p = precio y q son las unidades demandadas.

3000 , donde p es el 100 + q

a) Calcula la elasticidad de la demanda en función del precio. b) Si la cantidad de unidades demandada actualmente es de 200 y se sube el precio el 0,5 %, estudia qué variación experimenta la demanda. Solución: a) Tenemos que la elasticidad de la demanda viene dada por: 3000

D(q) 100 3000 100+q Elasticidad(η) = = −3000 = −1 − = . ′ qD (q) q 100p − 3000 q (100+q)2 b) Calculamos, utilizando el apartado a), η(200) = −1,5, y dado que por definición de la elasticidad tenemos que η · % del precio ≈ % demanda,

entonces, para nuestro caso, −1,5 · (0,5 %) = −0,75 % será la bajada en la demanda.

163

Exámenes resueltos

3. Calcula la siguiente integral: Z +∞ 1

−3x e−x dx.

Solución: Dado que se trata de una integral impropia de primera especie, tenemos: Z +∞ Z b −x −3x e dx = l´ım −3x e−x dx = (∗) b→+∞

1

1

Calculamos en primer lugar la integral indefinida por partes:   Z Z u = 3x u′ = −3 −x −x −3x e dx = = 3xe − 3e−x dx v ′ = e−x v = −e−x = 3xe−x + 3e−x + C = 3e−x (x + 1) + C,

con lo que regresando a (∗), tenemos: 

3(x + 1) (∗) = l´ım b→+∞ ex 3 = l´ım b = 0, b→+∞ e

b

1

3(b + 1) ∞ = = (L′ Hˆopital) b→+∞ eb ∞

= l´ım

por tanto, se trata de una integral convergente. 4. Una empresa produce gas, aceite y gasolina. Se conoce que: para producir una unidad de gas se requiere 1/5 del mismo, 2/5 de aceite y 1/5 de gasolina; para producir una unidad de aceite se requiere de 2/5 de gas y 1/5 de aceite; para producir una unidad de gasolina se usa 1 unidad de gas y 1 de aceite. Si la demanda externa del mercado es de 100 unidades de cada producto, plantea el modelo de Leontief corespondiente y determina la producción bruta de cada producto necesaria para satisfacer el mercado. Solución: Definimos tres sectores productivos, Sector 1 = Gas; Sector 2 = Aceite y Sector 3 = Gasolina. Sabemos que el modelo de Leontief está determinado por una matriz de coeficientes técnicos, aij =, que

164 representa la cantidad del Sector i que es requerida por el Sector j para producir una de sus unidades. Por tanto, según los datos del problema, tenemos     1/5 2/5 1 100    A = 2/5 1/5 1 , D = 100 , 1/5 0 0 100 donde D es el vector de las demandas. Si notamos por X el vector de las producciones totales, el modelo de Leontief determina AX + D = X ⇒ X = (I − A)−1 D. Comenzamos calculando (I − A)−1 . Como   4/5 −2/5 −1 I − A = −2/5 4/5 −1 , −1/5 0 1

tenemos det(I − A) = 6/25; además,   4/5 1/5 4/5 Adj(I − A) = 2/5 3/5 2/5  , 6/5 6/5 12/5 con lo que

T    4/5 1/5 4/5 4 2 6 5  5 2/5 3/5 2/5  = 1 3 6  , = 6 6 6/5 6/5 12/5 4 2 12 2

(I − A)−1

de donde la producción necesaria será,        100 1000 4 2 6 1200 5 5 X = 1 3 6  100 = 1000 = 833,3 . 6 6 4 2 12 100 1800 1500 5. Dada la función f (x, y) = −x3 + 6xy − 3y 2 + 1: a) Halla sus puntos críticos.

b) Determina cuáles son extremos relativos y calcula el valor de f en dichos extremos.

165

Exámenes resueltos Solución: a) Para determinar los puntos críticos calculamos las derivadas parciales primeras e igualamos a cero: fx (x, y) = −3x2 + 6y = 0;

fy (x, y) = 6x − 6y = 0.

De la segunda ecuación obtenemos x = y, con lo que sustituyendo en la primera: −3x2 + 6x = 0 ⇒ 3x(−x + 2) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 2. Así pues, los puntos críticos son P1 = (0, 0) y P2 = (2, 2). b) Para determinar la naturaleza de los puntos críticos calculamos     fxx (x, y) fxy (x, y) −6x 6 H(x, y) = = . fyx (x, y) fyy (x, y) 6 −6 Como det(H(P1 )) = −36 < 0, se tiene que P1 es un punto de silla; y como det(H(P2 )) = 36 > 0 y fxx (2, 2) = −12 < 0, tenemos que P2 es un máximo local.

166

Examen de Matemáticas. Febrero 2015. 1. Sea C(x) = 2x2 + 5x + 18 la función de costes de fabricación de cierto producto, siendo x las unidades fabricadas. Calcule el número de unidades que han de fabricarse para minimizar el coste promedio, C(x) que viene definido mediante C(x) = . Compruebe que para dicho x número de unidades, el coste marginal coincide con el coste promedio. ¿Ocurre eso mismo para cualquier función derivable (con x > 0)? Solución: Calculamos la función coste promedio 18 C(x) 2x2 + 5x + 18 C(x) = = = 2x + 5 + . x x x Para determinar su mínimo debemos calcular su derivada e igualarla a cero: 18 ′ C (x) = 2 − 2 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ±3. x Obviamente la única solución válida es x = 3, y es fácil comprobar que ′ ′ C (x) < 0 en [0, 3) y C (x) > 0 para x > 3, con lo que el mínimo para el coste promedio se alcanza en x = 3. Para 3 unidades se tiene C(3) = 2 · 3 + 5 + 18/3 = 17 y C ′ (3) = 4 · 3 + 5 = 17, con lo que C(3) = C ′ (3).

Por último, si calculamos la derivada de la función promedio tenemos: 

f (x) x

′

=

f ′ (x)x − f (x) = 0 ⇔ f ′ (x)x − f (x) = 0 x2 f (x) ⇔ f ′ (x) = x

para todo x > 0. 2. Dada la función f (x) = e−x cos x: a) Compruebe, calculando la integral, que Z e−x (sen x − cos x) I = f (x) dx = + C, 2 donde C ∈ R es constante.

167

Exámenes resueltos b) Utilice el valor de la integral del apartado anterior para determinar la medida del área de la región plana limitada por la gráfica de f y el eje de abscisas (OX) en el intervalo [0, π]. Solución: a) Calculamos la integral por partes:   Z u = e−x u′ = −e−x −x e cos x dx = v ′ = cos x v = sen x Z −x = e sen x − −e−x sen x dx Z −x = e sen x + e−x sen x dx   u = e−x u′ = −e−x = v ′ = sen x v = − cos x Z −x −x = e sen x + e (− cos x) − e−x cos xdx.

Por tanto, Z Z −x −x −x e cos x dx = e sen x + e (− cos x) − e−x cos x dx,

tratándose de una integral cíclica, de donde fácilmente obtenemos Z e−x (sen x − cos x) e−x cos x dx = + C, 2 siendo C una constante real.

b) Como e−x > 0 para todo x ∈ R, el signo de f (x) depende solo de cos x. Por tanto es fácil deducir que Z π Z π/2 Z π Area = |f (x)|dx = f (x)dx + −f (x)dx 0

0



e−x (sen x − cos x) = 2 =

e

−π/2

2

+

π/2

π/2 0

1 e e − + 2 2 2 −π



e−x (sen x − cos x) − 2

−π/2

π

π/2

≈ 0,69.

3. Una empresa elabora dulces a partir de x kg de azúcar e y kg de harina. La función de producción de las unidades de dulces fabricadas es: xy P (x, y) = 9x + 10y − x2 − y 2 − . 2

168 a) Calcule las producciones marginales para x = 2 e y = 6, dando el significado económico de las mismas. b) Determine para qué valores se tiene una producción máxima, justificando que lo es. Solución: a) Calculamos las producciones marginales para el punto indicado: y 6 Px (x, y) = 9 − 2x − ⇒ Px′ (2, 6) = 9 − 2 · 2 − = 2 2 2 x 2 Py (x, y) = 10 − 2y − ⇒ Py′ (2, 6) = 10 − 2 · 6 − = −3. 2 2 Px (2, 6) nos indica que si aumentamos los kilos de azucar de 2 a 3 manteniendo constante los kilos de harina en 6, entonces la producción de dulce aumenta en 2 unidades. Por otra parte, Py (2, 6) nos indica que si umentamos los kilos de harina de 6 a 7 manteniendo constante los kilos de azucar en 2, entonces la producción de dulce disminuye en 3 unidades. b) Para determinar la producción máxima igualamos a cero las producciones marginales: Px (x, y) = 9 − 2x − (y/2) = 0 18 = 4x + y ⇒ Py (x, y) = 10 − 2y − (x/2) = 0 20 = x + 4y

Despejando de la segunda ecuación tenemos, x = 20 − 4y, y sustituyendo en la primera, 62 ∼ = 4,1, 15 para el que x ∼ = 3,6. Para justificar qué tipo de extremo es, calculamos 1 Pxx (3,6, 4,1) Pxy (3,6, 4,1) −2 − 15 2 = >0 Pyx (3,6, 4,1) Pyy (3,6, 4,1) = 1 4 −2 − 2 18 = 4(20 − 4y) + y ⇒ y =

y Pxx (3,6, 4,1) < 0; por tanto, se trata de un máximo (local).

4. Halle una matriz diagonal y una matriz de paso asociadas a la matriz   0 0 0 2 . A =  −1 1 0 0 −1

169

Exámenes resueltos Solución: En primer lugar calculamos los valores propios: −λ 0 0 −1 1 − λ = −λ(1 − λ)(−1 − λ) = 0, 2 0 0 −1 − λ

de donde λ1 = 0, λ2 = 1 y λ3 = −1.

Calculamos los vectores propios asociados. Para λ1 = 0 resolvemos el sistema       0 0 0 0 x1 −x1 + x2 + 2x3 = 0  −1 1 2   x2  =  0  ⇒ −x3 = 0 0 0 0 −1 x3  x1 = x2 ⇒ x3 = 0;

por lo que un vector propio genérico será (x1 , x1 , 0), con x1 6= 0; en particular, podemos tomar vλ1 = (1, 1, 0). Para λ2  −1  −1 0

= 1 resolvemos el sistema      0 0 x1 0 −2x1 = 0       0 2 x2 = 0 ⇒ −x1 + 2x3 = 0 ⇒ x1 = x3 ;  0 −2 x3 0 −2x3 = 0

por lo que un vector propio genérico será (0, x2 , 0), con x2 6= 0; en particular, podemos tomar vλ2 = (0, 1, 0). Para λ3 = −1 resolvemos el sistema       0 1 0 0 x1 x1 = 0  −1 2 2   x2  =  0  ⇒ −x1 + 2x2 + 2x3 = 0 0 0 0 x3 0  x1 = 0 ⇒ x2 = −x3 ;

por lo que un vector propio genérico será (0, x2 , −x2 ), con x2 6= 0; en particular, podemos tomar vλ3 = (0, 1, −1).

Así pues, las matrices diagonal y de paso son, respectivamente,     0 0 0 1 0 0 0  y P = 1 1 1 . D= 0 1 0 0 −1 0 0 −1

170

Examen de Matemáticas. Septiembre 2015. 1.

a) Calcule, si es posible, la suma de la siguiente serie: ∞ X 3n+1 − 2n−1

5n

n=1

.

b) Calcule el siguiente límite: 1

l´ım (1 + x) x .

x→∞

Solución: a) Nótese que ∞ ∞ ∞  n ∞  n X X 3 3n+1 X 2n−1 1X 2 = − =3 − n n 5 5 5 2 n=1 5 n=1 n=1 n=1

∞ X 3n+1 − 2n−1 n=1

5n

Tenemos dos series geométricas con razones R1 = 3/5 ∈ (−1, 1) y R2 = 2/5 ∈ (−1, 1), con lo cual, la suma S viene dada por S = 3·

3 5

1−

3 5

2 1 − · 5 2 1−

2 5

=

9 1 25 − = ≈ 4,17. 2 3 6

b) Obsérvese que 1

L = l´ım (1 + x) x = ∞0 (Indeterminacion). x→∞

Tomamos logaritmo neperiano, resolvemos el límite y “desharemos” el neperiano. 1

ln(1 + x) = (L′ Hˆopital) x→∞ x

ln L = l´ım ln(1 + x) x = l´ım x→∞

= l´ım

x→∞

1 1+x

1

= 0.

Así pues, ln L = 0 ⇒ L = e0 = 1.
2. El coste marginal de una empresa viene dado por Cm (x) = x ln xe , donde x representa los miles de unidades producidas de un determinado artículo. Calcule el nivel de producción que debe fijar la empresa para que el coste marginal sea el menor posible.

171

Exámenes resueltos Solución: Tenemos que calcular la derivada del coste marginal e igualarla a cero: ′ Cm (x) = ln

x x x 1/e +x· = 0 ⇒ ln + 1 = 0 ⇒ = e−1 ⇒ x = 1. e x/e e e

′ ′ Comprobamos que Cm (1/2) = −0,69 < 0 y Cm (2) = 0,69 > 0. Por tanto, Cm es decreciente en (0, 1) y creciente para x > 1; por tanto, en ′′ x = 1 hay un mínimo local. Nótese que Cm (x) = 1/x > 0 para todo x > 0, con lo que Cm es convexa (véase la figura 6.6). Por tanto, x = 1

Figura 6.6: Gráfica de la función Cm (x) = x ln(x/e) del problema 2. es mínimo global. 3.

a) Calcule la siguiente primitiva:

Z

ln x dx.

b) Estudie la convergencia de la integral impropia Solución: a) Resolvemos la integral por partes: Z

u = ln x, u′ = x1 ln x dx = v=x v ′ = 1, = x ln x − x + C, 

siendo C ∈ R una constante.



Z

= x ln x −

1

ln x dx. 0

Z

x·

1 dx x

172 b) Al tratarse de una integral impropia de segunda especie, tenemos: Z 1 Z 1 ln x dx = l´ım+ ln xdx = l´ım+ [x ln x − x]1a 0

a→0

a

a→0

= l´ım+ (−1 − a ln a + a) = −1 − l´ım+ a ln a a→0

a→0

ln a 1/a = (L′ Hˆopital) = −1 − l´ım+ a→0 1/a a→0 −1/a2 = −1 + l´ım+ a = −1.

= −1 − l´ım+ a→0

Por tanto la integral impropia es convergente. 4. La función de producción de una empresa es P (K, L) = K 3 + L3 + K 2 L, donde K y L son las cantidades empleadas de dos factores de producción. a) Para (K, L) = (2, 1) calcule la producción marginal respecto de cada factor de producción e interprete los resultados obtenidos. b) Compruebe que la función de producción es homogénea y utilice esta propiedad para calcular la variación de la producción que se conseguiría al aumentar un 10 % cada uno de los factores de producción. Solución: a) Calculamos las producciones marginales con las derivadas primeras parciales: PK (K, L) = 3K 2 + 2KL ⇒ PK (2, 1) = 3 · 22 + 2 · 2 · 1 = 16 PL (K, L) = 3L2 + K 2 ⇒ PL (2, 1) = 3 · 12 + 22 = 7.

PK (2, 1) indica que si el factor productivo K lo aumentamos de 2 a 3 unidades, entonces la producción final aumenta en 16 unidades; mientras que PL (2, 1) indica que si el factor productivo L lo aumentamos de 1 unidad a 2 unidades, entonces la producción final aumenta en 7 unidades. b) Utilizando la definición tenemos: P (tK, tL) = (tK)3 + (tL)3 + (tK)2 tL = t3 (K 3 + L3 + K 2 L) = t3 P (K, L), luego la función P es homogénea de grado 3. Por tanto, si aumentamos los factores productivos en un 10 % se tiene P ((1,1) · K, (1,1) · L) = (1,1)3 P (K, L) = (1,21) · P (K, L),

173

Exámenes resueltos con lo que la producción final aumenta en un (1,21 − 1) · 100 = 21 %.

5. Dadas la matrices 

 1 1    2 −1  2 −1 2 3  y B= A= :  1 1  1 1 3 0 1 0

a) Calcule el determinante de AB. b) Calcule la inversa de BA.

Solución: a) Tenemos:    1 1 3 0 5 3    2 −1   3 −3 −1 6 2 −1 2 3 · A·B = =  1  3 1  1 1 3 0 0 5 3 1 0 2 −1 2 3

   

Para calcular el determinante de AB, como la segunda y tercera filas son iguales, el determinante es cero. En cualquier caso, si desarrollamos por adjuntos utilizando la columna 2, tenemos 3 3 5 3 5 3 det(AB) = −3 · 3 5 3 − 1 · 3 −1 6 = 0. 3 2 2 3 5 3 b) Para calcular la inversa de BA, comenzamos calculando esta matriz:   1 1      2 −1  2 −1 2 3 5 5   BA = · = . 6 3 1 1 3 0 1 1  1 0 Calculamos ahora su inversa, para lo cual comenzamos viendo que det(BA) = −15; así:     1 3 −6 3 −5 −1 Adj(BA) = ⇒ (BA) = . −5 5 5 −15 −6

174

Examen de Matemáticas. Febrero 2016. 1. Calcule, si es posible, la suma de la siguiente serie: 0,045 + 0,015 + 0,005 + · · · Solución: Nótese que 0,045 0,045 0,045 + 0,015 + 0,005 + · · · = 0,045 + + +··· 9  3 1 1 = 0,045 1 + + · · · ; 3 9

por tanto, nuestra suma se puede calcular como la serie ∞  n X 1 0,045 + 0,015 + 0,005 + · · · = 0,045 · . 3 n=0

Como se trata de una serie geométrica de razón 1/3, entonces podemos calcular su suma S, que es: S = 0,045 ·

1 1−

1 3

= 0,0675.

2. Supongamos que la función demanda de un producto viene dada por 120 p= , donde p es el precio y q son las unidades demandadas. 35 + q a) Calcule la elasticidad de la demanda en función de las unidades demandadas. b) Si la cantidad de unidades demandada es 25 y el precio baja un 4 %, utilice el apartado a) para estudiar qué porcentaje de variación experimenta la demanda. Solución: a) Dada la demanda p = D(q) =

120 , tenemos 35 + q

120

D(q) 35 + q 35+q Elasticidad = = −120 = − . ′ qD (q) q q (35+q)2 b) Para q = 25, tenemos Elasticidad(q = 25) = −

35 + 25 = −2,4, 25

175

Exámenes resueltos de donde, por definición de la elasticidad de la demanda, Elasticidad · % precio ≈ % demanda ⇒ (−2,4) · (−4) = 9,6, es decir, la demanda aumentará un 9,6 %.

3. Dada la función f (x) = 3x e−2x : Z a) Calcule f (x) dx. b) Utilice el apartado a) para calcular, si es posible,

Z

+∞

f (x) dx.

0

Solución: a) Calculamos la integral por partes:   Z Z u = 3x u′ = 3 3xe−2x 3e−2x −2x 3xe dx = −2x − dx = v ′ = e−2x v = e−2 −2 −2   3xe−2x 3e−2x 3e−2x 1 = + +C = x+ + C, −2 −4 −2 2 siendo C una constante real. b) Se trata de una integral impropia de primera especie, por tanto: Z

0

+∞ −2x

3xe

dx = l´ım

Z

b −2x

3e−2x −2

 b 1 x+ 2 0

dx = l´ım b→+∞ " #
3 b + 21 3 = l´ım − = (L′ Hˆopital) 2b b→+∞ −2e −4 b→+∞

=

3xe



0

3 1 3 − l´ım = , 2b 4 b→+∞ 4e 4

esto es, se trata de una integral convergente. 4. Los costes totales de una empresa, que fabrica x unidades/minuto de fundas para iPad mini e y unidades/minuto de fundas para iPhone 6, vienen dados mediante la función C(x, y) = 6x2 + 5y 2 − 3xy. Además, se conoce que cada funda para iPad mini la comercializa a 9 euros y cada funda para iPhone 6 la comercializa a 7 euros. a) Calcule el número de unidades/minuto de cada tipo de funda que ha de fabricar la empresa para conseguir el máximo beneficio.

176 b) Si la jornada laboral es de 8 horas, ¿cuál es el máximo beneficio diario de dicha empresa? Solución: a) Determinamos en primer lugar la función beneficio B. Como la función ingreso es I(x, y) = 9x + 7y, entonces: B(x, y) = I(x, y) − C(x, y) = 9x + 7y − 6x2 − 5y 2 + 3xy. Calculamos ahora las dos derivadas parciales primeras y las igualamos a cero: Bx (x, y) = 9 − 12x + 3y = 0 By (x, y) = 7 − 10y + 3x = 0,

de donde, despejando de la primera ecuación tenemos que y = 4x − 3 y sustituyendo en la segunda obtenemos 7 − 10(4x − 3) + 3x = 0, es decir, −37x + 37 = 0, lo que implica x = 1 e y = 1, por lo que el punto critico es el (1, 1). Para determinar la naturaleza del punto calculamos     Bxx (x, y) Bxy (x, y) −12 3 H(x, y) = = , Byx (x, y) Byy (x, y) 3 −10 con lo que |H(1, 1)| = 111 > 0, y al ser Bxx (1, 1) = −12 < 0, el punto (1, 1) se trata de un máximo (local). b) Como la función beneficio está dada en minutos, y 8 horas tiene 480 minutos, tenemos que el beneficio máximo diario es 480 · B(1, 1) = 480 · 8 = 3840 euros. 5. Dos marcas de leche, A y B, controlan el mercado lácteo repartiéndoselo al 60 % y 40 %, respectivamente. Si los consumidores de la marca A son cada a˜ no fieles en un 30 % y los de la marca B son fieles en un 40 %: a) ¿Cómo se repartirán las dos marcas el mercado al cabo de 10 a˜ nos? b) ¿Cómo se repartirán las dos marcas el mercado a largo plazo? Solución: a) Si notamos por xt e yt los consumidores en el instante t de la marcas A y B, respectivamente, tenemos el siguiente sistema dinámico:      xt+1 0,3 0,6 xt = . yt+1 0,7 0,4 yt

177

Exámenes resueltos Necesitamos calcular los valores propios y vectores propios de la matriz que regula el cambio en este mercado; así pues 0,3 − λ 0,6 = (0,3−λ)(0,4−λ)−0,42 = λ2 −0,7λ−0,3 = 0 0,7 0,4 − λ

implica que los vectores propios son λ1 = 1 y λ2 = −0,3. Para determinar el vector propio asociado a λ1 = 1 resolvemos el sistema      0,3 − 1 0,6 x1 0 = ⇒ 0,7x1 = 0,6x2 , 0,6 0,4 − 1 x2 0

con lo que un vector propio genérico será (x1 , 7x1 /6), con x1 6= 0; en particular podemos tomar vλ1 = (6, 7). Para determinar el vector propio asociado a λ1 = 2 resolvemos el sistema      0,3 − (−0,3) 0,6 x1 0 = ⇒ 0,6x1 = −0,6x2 , 0,6 0,4 − (−0,3) x2 0 Por lo que un vector propio genérico será (x1 , −x1 ), con x1 6= 0; en particular, podemos tomar vλ2 = (1, −1).

Por tanto, la matriz diagonal (de valores propios) y la matriz de paso vienen dadas por     1 0 6 1 D= y P = , 0 −0,3 7 −1 respectivamente.

Si notamos por X0 el vector columna con los consumidores de cada marca al inicio, tenemos que al cabo de 10 años estos vendrán dados por A10 X0 = P D 10 P −1 X0 , ya que la matriz A es diagonalizable. Como   1 −1 −1 −1 P =− , 13 −7 6 entonces se tiene    10     1 6 1 1 0 0,6 −1 −1 10 A X0 = − 7 −1 0 (−0,3)10 0,4 −7 6 13   0,46 = , 0,54

178 por tanto, al cabo de 10 años, A tendrá el 46 % de mercado y B el 54 %. Para ver qué ocurre a largo plazo tenemos que calcular l´ım An X0 = l´ım P D n P −1 X0 .

n→∞

Como l´ım

n→∞

concluimos que



n→∞

1n 0 0 (−0,3)n n

l´ım A X0 =

n→∞

 

=



0,46 0,54

1 0 0 0 



,

,

de donde se observa que se obtiene el mismo resultado que al cabo de 10 años, esto es, el mercado se estabiliza.

179

Exámenes resueltos

Examen de Matemáticas. Septiembre 2016. 1. Calcule el siguiente límite: x − tg x . x→0 x − sen x l´ım

Solución: Se tiene que

1 − cos12 x x − tg x 0 0 ′ l´ım = = (L Hˆopital) = l´ım = x→0 x − sen x x→0 1 − cos x 0 0 2 sen x − 2 3 = (L′ Hˆopital) = cos x = l´ım − 3 = −2. x→0 sen x cos x 2. Para la función f (x) = 5x e(−x/5) , determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos, si los hubiera. Solución: Vamos a calcular la derivada de la función f y estudiar su signo. Como x

f ′ (x) = 5e− 5 −

x x 1 · 5xe− 5 = e− 5 (5 − x) 5

y e− 5 > 0 para todo x ∈ R, tenemos que f ′ (x) > 0 si x ∈ (−∞, 5) y, por tanto, la función f es creciente; mientras que f ′ (x) < 0 si x ∈ (5, +∞) y, por tanto, f es decreciente. Se sigue entonces que f (x) tiene un mínimo relativo en x = 5. x

3. Las curvas de demanda y oferta de un determinado producto son, respectivamente, p = D(q) =

8 , q+1

p = O(q) = q 2 + q + 2,

donde q está expresada en miles de unidades y p en decenas de euros. a) Encuentre el punto de equilibrio del mercado. b) Suponiendo que el mercado se encuentra en equilibrio, calcule los excedentes del consumidor y del productor (expresándolos en euros) e interprete los resultados obtenidos en términos económicos.

180 Solución: a) Para determinar el punto de equilibrio, igualamos la oferta a la demanda y resolvemos la ecuación: 8 = q 2 + q + 2 ⇒ q 3 + 2q 2 + 3q − 6 = 0. q+1 Utilizando, por ejemplo, la regla de Ruffini y probando con los divisores del término independiente, tenemos que la solución es q = 1 (las otras dos raíces son números complejas conjugados), con lo que sustituyendo en la ecuación de oferta o demanda tenemos que el punto de equilibrio es (¯ q , p¯) = 1, 4. b) Tenemos que 1



 8 Ex. Consumo = − 4 dq = [8 ln(q + 1) − 4q]10 q+1 0 = 8 ln(2) − 4 − 8 ln(1) + 0 ≈ 1,55, Z

y nos indica el ahorro monetario (15,5 euros) por parte de los consumidores al comprar un producto a un precio por debajo del que estaría dispuesto a pagar. Por otro lado,  1   q3 q2 2 Ex. P roduccion = 4 − (q + q + 2) dq = 2q − − 3 2 0 0 1 1 = 2 − − ≈ 1,17, 3 2 Z

1

e indica el beneficio (11,7 euros) que obtiene el productor por la venta de su producto al venderlo a un precio menor del que estarían dispuesto a cobrar. x+y , donde x x2 + y 2 representa el capital e y el número de máquinas de cierta empresa.

4. Se considera la función de producción f (x, y) =

a) Demuestre, utilizando la definición, que f es una función homogénea e indique su grado de homogeneidad. b) Compruebe que la función f verifica el teorema de Euler. c) Calcule las producciones marginales en el punto (2, 1) e interprételas en términos económicos.

181

Exámenes resueltos d) Determine la variación (en %) que experimenta la producción cuando los factores productivos aumentan un 4 %. Solución: a) Utilizando la definición de función homogénea tenemos: f (tx, ty) =

tx + ty t(x + y) = 2 2 = t−1 f (x, y), 2 2 (tx) + (ty) t (x + y 2 )

por tanto f es una función homogénea con grado de homogeneidad −1.

b) El teorema de Euler nos dice que h(x, y) := xfx (x, y) + yfy (x, y) = α · f (x, y), donde α es el grado de homogeneidad. Comprobemos que la función f verifica el teorema: x2 + y 2 − (x + y)2x x2 + y 2 − (x + y)2y + y (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2)2 −x2 (x + y) − y 2 (x + y) (x2 + y 2)(x + y) = = − (x2 + y 2)2 (x2 + y 2 )2 x+y = −f (x, y). =− 2 x + y2

h(x, y) = x

c) Utilizando las derivadas parciales calculadas en el apartado anterior tenemos 4+1−3·4 ∼ fx (2, 1) = = −0,28, 25 y representa la pérdida o disminución de la producción cuando el capital x aumenta de 2 a 3 unidades manteniendo constante el número de maquinas y = 1. Por otro lado, fy (2, 1) =

5−6 1 =− ∼ = −0,04, 25 25

y representa la pérdida o disminución de la producción cuando el número de maquinas y aumenta de 1 a 2 unidades manteniendo constante el capital x = 2. d) Como la función f es homogénea con grado de homogeneidad −1, si aumentamos a escala los factores productivos en un 4 %, se tiene f (1,04x, 1,04y) = (1,04)−1 f (x, y) = 0,9615 · f (x, y), y como (0,9615 − 1) · 100 = −3,85, tenemos que la producción final disminuye un 3,85 %.

182 5. Considere las matrices A=



0,1 0,2 0,2 0,4



,

B = (5 7),



 1 1 1 C =  1 1 1 . 1 1 1

a) Resuelva la ecuación matricial X(2I − A) = B, donde I es la matriz identidad. b) Calcule unas matrices D (de valores propios) y P (de paso, o de vectores propios) de la matriz C. Solución: a) Si despejamos X de la ecuación, y teniendo en cuenta el orden en la multiplicación, tenemos que X = B · (2I − A)−1 . Así pues,       2 0 0,1 0,2 1,9 −0,2 2I − A = − , = 0,2 0,4 0 2 −0,2 1,6 por tanto, 

1,9 −0,2 X = 5 7 −0,2 1,6 = (3,13 4,77).


−1

=


1 5 7 3



1,6 0,2 0,2 1,9



b) Calculamos los valores propios de la matriz C: 1−λ 1 1 1 1−λ 1 = (1 − λ)3 + 2 − 3(1 − λ) = λ2 (3 − λ) = 0, 1 1 1−λ

de donde los valores propios son λ1 = 0 (doble) y λ2 = 3. Calculemos ahora sus vectores propios asociados. Para λ1 = 0 tenemos que resolver el sistema      1 1 1 x1 0  1 1 1   x2  =  0  ⇒ x1 + x2 + x3 = 0, 1 1 1 x3 0

de donde x3 = −x1 − x2 , por lo que la solución se puede expresar como (x1 , x2 , −x1 − x2 ) = (x1 , 0, −x1 ) + (0, x2 , −x2 ), lo que nos permite sacar dos vectores propios asociados distintos, por ejemplo vλ1 ,1 = (1, 0, −1) y vλ1 ,2 = (0, 1, −1).

183

Exámenes resueltos Para el valor propio λ2 = 3 resolvemos el sistema       0 −2 1 1 x1 −2x1 + x2 + x3 = 0  1 −2 1   x2  =  0  ⇒ x1 − 2x2 + x3 = 0, 0 1 1 −2 x3

de donde x1 = x2 = x3 , por lo que un vector propio genérico será (x1 , x1 , x1 ), con x1 6= 0; en particular, podemos tomar vλ2 = (1, 1, 1). Así pues, las matrices diagonal y de paso son, respectivamente,     0 0 0 1 0 1 1 1  D= 0 0 0  y P = 0 0 0 3 −1 −1 1

Queremos hacer notar que la matriz C es diagonalizable, ya que las multiplicidades algebraica y geométrica de cada valor propio coinciden.

184

Examen de Matemáticas. Febrero 2017. 1.

a) Calcule el siguiente límite: ln(1 + x) − sen x . x→0 x sen x l´ım

b) Calcule, si es posible, la suma de la siguiente serie:  ∞  n+1 X 2 −3 n+1 − 3 · (0,9) . n 5 n=1 Solución: a) Se tiene: 1 − cos x ln(1 + x) − sen x 0 0 1+x ′ l´ım = = (L Hˆopital) = l´ım = x→0 x→0 x sen x 0 sen x + x cos x 0 1 − x + sen (1+x)2 = (L′ Hˆopital) = l´ım x→0 cos x + cos x − x sen x = −0,5.

b) Nótese que la serie puede escribirse de la siguiente manera: ∞  n ∞  n ∞ X X X 2 1 =2· 0,9n . −3· − 3 · 0,9 · 5 5 n=1 n=1 n=1

Tenemos tres series geométricas con razones en el intervalo (−1, 1), por tanto la serie de partida es convergente y su suma S es S=

2 · (2/5) 3 · (1/5) 2,7 · 0,9 ∼ − − = −23,72. 1 − (2/5) 1 − (1/5) 1 − 0,9

2. Estudie la convergencia de la integral Z ∞ 1 dx. x(ln x)8 2 Solución: Se trata de una integral impropia de primera especie, por tanto se tiene Z ∞ Z b 1 1 dx = l´ım dx = (∗) 8 8 b→+∞ x(ln x) 2 2 x(ln x)

185

Exámenes resueltos Calculamos en primer lugar el valor de la integral indefinida, y lo hacemos utilizando cambio de variable:   Z Z Z 1 t−7 1 t = ln x −8 dt +C = = dx = = t dt 1 dt = x dx x(ln x)8 t8 −7 1 =− + C, 7(ln x)7 de donde volviendo a (*) tenemos   b  1 1 1 (∗) = l´ım − = l´ım − ≈ 1,86 + b→∞ 7(ln x)7 2 b→∞ 7(ln b)7 7(ln 2)7 y, por tanto, la integral es convergente.

3. Una empresa produce dos tipos distintos T1 y T2 de un determinado bien. El coste total diario de producir x unidades del tipo T1 e y unidades del tipo T2 es C(x, y) =

x2 xy + y 2 + + 4x + 2y + 500 . 25 100

Si la empresa vende toda su producción a un precio de 15 euros cada unidad del tipo T1 y 9 euros cada unidad del T2 , calcule los niveles de producción x e y que maximizan el beneficio de dicha empresa. Solución: Determinamos en primer lugar la función beneficio, que viene dada por los ingresos menos los costes totales: B(x, y) = I(x, y)−C(x, y) = 15x+9y−

x2 xy + y 2 − −4x−2y−500. 25 100

A continuación igualamos a cero las derivadas parciales primeras para determinar sus puntos críticos: 2x y − −4=0 25 100 x y By (x, y) = 9 − − − 2 = 0. 100 50

Bx (x, y) = 15 −

resolviendo el sistema obtenemos x = 100 e y = 300. Para ver si el punto crítico es un máximo, calculamos las derivadas parciales segundas que determinan la matriz     Bxx (x, y) Bxy (x, y) −0,08 −0,01 H(x, y) = = . Byx (x, y) Byy (y, y) −0,01 −0,02

186 Como |H(100, 100)| = 0,0015 > 0 y Bxx (100, 300) = −0,08 < 0 tenemos que el punto (100, 300) es un máximo (local). 4. Dos empresas se reparten el mercado de un producto este año de la siguiente forma: la empresa A tiene el 62 % y la empresa B el 38 %. Se sabe que los clientes, cada año, cambian de empresa según el siguiente esquema fijo: la empresa A retiene el 40 % de sus clientes y el resto se cambia a B y la empresa B conserva al 80 % y el resto se cambia a A. a) Exprese matricialmente el esquema anual de cambio de compañía y calcule el porcentaje de clientes que tendrá cada empresa pasado un año. b) Supuesto que se mantiene esa tasa de cambio, ¿qué pasará a lo largo del tiempo (largo plazo)? Solución: a) Al tratarse de un sistema dinámico, si notamos por xt e yt a los consumidores en el instante t (en años) de las empresas A y B, respectivamente, tenemos      xt xt+1 0,4 0,2 = yt yt+1 0,6 0,8 Por tanto, pasado un año tendremos        x1 0,4 0,2 0,62 0,324 = = , y1 0,6 0,8 0,38 0,676 es decir, A tendrá el 32,4 % del mercado y B el 67,6 %. b) La matriz de transacción es T =



0,4 0,2 0,6 0,8



.

Necesitamos calcular los valores y vectores propios de la matriz T . Comenzamos con los valores propios: 0,4 − λ 0,2 = λ2 − 1,2λ + 0,2 = 0 ⇒ λ1 = 1; λ2 = 0,2. 0,6 0,8 − λ

Veamos ahora los vectores propios asociados. Para λ1 = 1 resolvemos el sistema      0,4 − 1 0,2 x1 0 = ⇒ 0,6x1 = 0,2x2 , 0,6 0,8 − 1 x2 0

187

Exámenes resueltos por lo que un vector propio genérico será (x1 , 3x1 ), con x1 6= 0; en particular, podemos tomar vλ1 = (1, 3). Veamos ahora los vectores propio asociados a λ2 = 0,2. Resolvemos el sistema      0,4 − 0,2 0,2 x1 0 = ⇒ 0,2x1 = −0,2x2 , 0,6 0,8 − 0,2 x2 0 por lo que un vector propio genérico será (x1 , −x1 ), con x1 6= 0; en particular, podemos tomar vλ2 = (1, −1).

Por tanto las matrices diagonal D y de paso P (y su inversa P −1 ) para T son       1 0 1 1 0,25 0,25 −1 D= ; P = ; P = . 0 0,2 3 −1 0,75 −0,25

Como la matriz T es diagonalizable, para determinar el comportamiento a largo plazo calculamos el siguiente limite:   n    1 1 1 0 0,25 0,25 0,62 l´ım 0,75 −0,25 n→∞ 3 −1 0 0,2n 0,38      1 1 1 0 0,25 0,25 0,62 = 3 −1 0 0 0,75 −0,25 0,38   0,25 = . 0,75 Así pues, A se estabiliza en el 25 % y B en el 75 %.

188

Examen de Matemáticas. Septiembre 2017. 1. El consumo total de hierro en 2016 fue de 794 millones de toneladas. Si el consumo disminuye cada a˜ no un 5 % con respecto al anterior y las 10 reservas son de 2 · 10 toneladas, ¿se agotarán alguna vez las reservas? Solución: Comenzamos planteando la información dada: Consumo año 1: 794 · 106 toneladas.

5 = 0,95 · 794 · 106 toneladas. Consumo año 2: 794 · 106 − 794 · 106 · 100 5 Consumo año 3: 0,95·794·106 −0,95·794·106 · 100 = (0,95)2 ·794·106 toneladas.

Por tanto, repitiendo el proceso sucesivamente, la suma que debemos calcular es la siguiente: ∞ X n=0

6

n

6

794 · 10 · (0,95) = 794 · 10 ·

∞ X

(0,95)n .

n=0

Se trata de una serie geométrica de razón 0,95 y, por tanto, convergente, con lo que su suma S viene dada por 794 · 106 S= ≈ 1,59 · 1010 . 1 − 0,95 Como el consumo total es menor que las reservas (1,588 · 1010 < 2 · 1010 ), tenemos que estas no se agotan. √ 2. Sea q = q(p) = 300 − p2 , para 0 ≤ p ≤ 300, la relación entre el precio p y la demanda q de un cierto bien. a) Determine la elasticidad de la demanda y analice, según los valores de p, cuándo es elástica, inelástica y unitaria. b) Halle el ingreso total, determine su crecimiento y decrecimiento y calcule el máximo del ingreso. Solución: a) Como la función demanda nos la dan en función del precio, tenemos: η = Elasticidad = La demanda será:

q ′ (p) · p 2p2 =− . q(p) 300 − p2

189

Exámenes resueltos 2p a) Unitaria si η = −1, esto es, si − 300−p 2 = −1, es decir p = 10. 2

2p b) Inelástica si η ∈ (−1, 0), esto es, si −1 < − 300−p 2 < 0, es decir, p < 10. 2

2p c) Elástica si η < −1, esto es, si − 300−p 2 < −1, es decir, p > 10. 2

Queremos hacer notar que podíamos haber calculado la elasticidad de la demanda en función de q para, posteriormente, sustituirlo por q(p), obteniéndose el mismo resultado. b) El ingreso total de√la venta por un número de unidades q viene dado por I(q) = p · q = q 300 − q. Si calculamos su derivada e igualamos a cero tenemos p q I ′ (q) = 300 − q − √ = 0, 2 300 − q

es decir, 600 − 3q = 0, siempre y cuando q < 300, de donde obtenemos q = 200. Por tanto, I ′ (q) > 0 si q < 200 (con lo que el ingreso es creciente), mientras que I ′ (q) < 0 si q > 200 (con lo que el ingreso es decreciente). Luego, para q = 200 tenemos un máximo local (que, como es fácil verificar, también es global). Queremos hacer notar que también se podía haber calculado el máximo ingreso en función del precio. En este caso, la función ingreso viene dada por I(p) = p(300 − p2 ), y se obtiene el máximo para p = 10.

3. Dada la función f (x) = x3 e−x : Z a) Calcule f (x) dx. 4

b) Determine el valor del área encerrada por la gráfica de la función f (x) y el eje de abscisas en el intervalo [−1, 1].

Solución: a) Para la resolver la integral lo hacemos por cambio de variable:   Z Z 1 t 1 t t = −x4 3 −x4 x e dx = = e dt = e +C 3 dt = −4x −4 −4 1 −x4 e = + C, −4

siendo C una constante real.

190

Figura 6.7: Gráfica de la función f (x) = x3 e−x del problema 3. 4

b) Como e−x > 0 para todo x ∈ R, tenemos que el signo de f (x) depende solo de x3 (en la figura 6.7 tenemos su representación gráfica), por lo que el área pedida es  0  1 Z 0 Z 1 1 −x4 1 −x4 Area = −f (x) dx + f (x) dx = − − e + − e 4 4 −1 0 −1 0 1 1 1 1 = − − + ≈ 0,32. 4 4e 4e 4 4

4. Considere que la función de producción de una determinada empresa p 3 0,75 0,25 es f (x, y) = 5x y − x2 y, donde x e y representan las unidades producidas de dos productos P1 y P2 . a) Compruebe que f es una función homogénea y calcule su grado de homogeneidad. b) Calcule las productividades marginales cuando se producen 16 unidades de cada producto. Interprete en términos económicos los resultados obtenidos. Solución: a) Utilizando la definición de función homogénea tenemos p p f (tx, ty) = 5(tx)0,75 (ty)0,25 − 3 (tx)2 (ty) = t5x0,75 y 0,25 − 3 t3 x2 y p = t5x0,75 y 0,25 − t 3 x2 y = t · f (x, y),

por lo tanto, f es una función homogénea de grado 1. b) Por un lado tenemos

1 fx (x, y) = 5 · 0,75x−0,25 y 0,25 − 2xy(x2 y)−2/3 , 3

191

Exámenes resueltos

con lo que fx (16, 16) = 3,08, y nos indica que si aumentamos la produccion de x de 16 unidades a 17 manteniendo fija la producción de y en 16 unidades, la producción final se asciende en 3,08 unidades; y por otro, 1 fy (x, y) = 5 · 0,25x0,75 y −0,75 − x2 (x2 y)−2/3 , 3 de donde fy (16, 16) = 0,92, lo que nos indica que si aumentamos la produccion de y de 16 unidades a 17 manteniendo fija la producción de x en 16 unidades, la producción final asciende en 0,92 unidades.   1 2 5. Considere la matriz A = . Utilice diagonalización para cal2 4 cular A5 . Solución: Necesitamos calcular los valores y vectores propios de la matriz A. Empezamos con los valores propios: 1−λ 2 = 4 + λ2 − 5λ − 4 = λ(λ − 5) = 0, 2 4−λ de donde λ1 = 0 y λ2 = 5.

Para calcular el vector propio asociado a λ1 = 0 resolvemos el sistema      1−0 2 x1 0 = ⇒ x1 + 2x2 = 0, 2 4−0 x2 0

por lo que un vector propio genérico será (2x2 , −x2 ), con x2 6= 0, en particular podemos tomar vλ1 = (2, −1); y para calcular el vector propio asociado a λ2 = 5 resolvemos el sistema      1−5 2 x1 0 = ⇒ 2x1 − x2 = 0, 2 4−5 x2 0

por lo que un vector propio genérico será (x1 , 2x1 ), con x1 6= 0, en particular podemos tomar vλ2 = (1, 2). Por tanto las matrices diagonal D y de paso P (y su inversa P −1 ) para T son       1 2 −1 0 0 2 1 −1 D= ; P = ; P = , 0 5 −1 2 5 1 2

con lo que, como A es diagonalizable, entonces A5 = P D 5 P −1, y así   5      1 2 −1 2 1 0 0 625 1250 5 A = . = −1 2 0 55 5 1 2 1250 2500

192

Examen de Matemáticas. Febrero 2018. 1. Calcule el siguiente límite: l´ım

x→0

√

2x + 1 − x − 1 . x2

Solución: Se tiene lo siguiente: l´ım

x→0

√

2

√ −1 2x + 1 − x − 1 0 0 2 2x+1 ′ (L Hˆ o pital) = l´ ım = = = 2 x→0 x 0 2x 0 −3/2 −(2x + 1) = (L′ Hˆopital) = l´ım = −0,5. x→0 2

2. La curva de demanda para cierto producto viene dada por p = donde p representa el precio y q el número de unidades.

400 , q+1

a) Calcule la elasticidad de la demanda. b) Si la demanda es de 24 unidades y el precio baja el 3 %, estime el porcentaje de la variación de la demanda. Solución: a) Calculamos la elasticidad η: 400

p(q) q+1 q+1 η= = = − . −400 q · p′ (q) q q · (q+1)2 b) Para q = 24, la elasticidad es η(24) = −1,04, y por la definición de elasticidad tenemos η · % precio ≈ % demanda, entonces para una bajada del precio de un 3 % tenemos −1,04 · −3 % = 3,12 %, es decir, un aumento de la demanda en un 3,12 %. 3. Estudie la convergencia de la integral

Z

+∞

Z

b

1

√

e− √

x

x

dx.

Solución: Se trata de una integral impropia de primera especie, por tanto Z

+∞ 1

√

e− √

x

x

dx = l´ım

b→+∞

1

√

e− √

x

x

dx = (∗)

193

Exámenes resueltos Calculamos en primer lugar la integral indefinida mediante cambio de variable:  Z  √ Z −√ x t=− x e √ dx = = (−2)et dt = −2et + C 1 √ = − dt dx x 2 x = −2e−

√

x

+ C,

siendo C una constante real. De esta manera, volviendo a (∗) se tiene h h √ √ i √ ib 2 − 1 − x − b (∗) = l´ım −2e + 2e = l´ım −2e = ≈ 0,74, b→+∞ b→+∞ e 1 y, por tanto, se trata de una integral impropia convergente.

4. Dada la función f (x, y) =

x−y , se pide: x2 + y 2

a) Demostrar que f (x, y) es homogénea. b) Determinar el porcentaje de variación de f (x, y) cuando x e y aumentan en un 1 %. Solución: a) Comprobemos que la función f (x, y) es homogénea aplicando la definición: f (tx, ty) =

tx − ty t(x − y) x−y = 2 2 = t−1 2 = t−1 f (x, y), 2 2 2 (tx) + (ty) t (x + y ) x + y2

por tanto f es homogénea con grado de homogeneidad −1.

b) Si aumentamos a escala las variables x e y en un 1 %, debemos mul1 tiplicar ambas variables por 1 + 100 = 1,01, por lo que aplicando la homogeneidad de la función tenemos: f (1,01x, 1,01y) = (1,01)−1 f (x, y) = 0,99 · f (x, y), con lo que la función f (x, y) disminuye en un (0,99 − 1) · 100 = 1 %. 5. Dos marcas A y B se distribuyen el mercado de un determinado producto. La relación entre las cantidades consumidas de cada marca en el periodo t + 1 en relación con las consumidas en el periodo anterior t vienen dadas por la ecuaciones xt+1 = 0,3xt + 0,8yt yt+1 = 0,7xy + 0,2yt .

194 Sabiendo que las cuotas iniciales de mercado son x0 = 300 e y0 = 600 para las marcas A y B, respectivamente, determine sus cuotas de mercado a largo plazo. Solución: Se trata de un sistema dinámico, y la matriz que regula este mercado es   0,3 0,8 A= . 0,7 0,2

Para ver lo que ocurre con el mercado a largo plazo, si X0 denota al vector de cuotas iniciales, debemos calcular,    0,3 0,8 300 n l´ım = A X0 = , n→∞ 0,7 0,2 600

siempre y cuando la matriz A sea diagonalizable. Necesitamos, pues, calcular los valores y vectores propios de la matriz A: 0,3 − λ 0,8 = (0,3−λ)(0,2−λ)−0,56 = λ2 −0,5λ−0,5 = 0, 0,7 0,2 − λ

de donde λ1 = 1 y λ2 = −0,5. Calculemos ahora el vector propio asociado a λ1 = 1; para ello, resolvemos el sistema      0,3 − 1 0,8 x1 0 = ⇒ −0,7x1 + 0,8x2 = 0, 0,7 0,2 − 1 x2 0

0,7 por lo que un vector propio genérico será (x1 , 0,8 x1 ), con x1 6= 0; en particular, podemos tomar vλ1 = (8, 7). Para calcular el vector propio asociado a λ2 = −0,5 resolvemos el sistema      0,3 + 0,5 0,8 x1 0 = ⇒ x1 + x2 = 0, 0,7 0,2 + 0,5 x2 0

por lo que un vector propio genérico será (x1 , −x1 ), con x1 6= 0; en particular, podemos tomar vλ2 = (1, −1).

Por lo tanto, al ser la matriz A diagonalizable, podemos utilizar la matriz diagonal D y de paso P de la matriz A, obteniéndose   n     1 8 1 1 0 300 −1 −7 n l´ım A X0 = 7 −1 0 (−0,5)n −15 −1 8 600 n→∞        8 1 1 0 1/15 1/15 300 480 = = , 7 −1 0 0 7/15 −8/15 600 420 esto es, A tendrá una cuota de 480 y B de 420.

195

Exámenes resueltos

Examen de Matemáticas. Septiembre 2018. 1. Calcule, si es posible, la suma de la serie

∞ X 3 − 4n−1 n=2

Solución: Nótese que ∞ X 3 − 4n−1 n=2

52n+1

∞ X

52n+1

.

∞ X 4n−1 = − 52n+1 n=2 52n+1 n=2 n n ∞  ∞  3 X 1 1 X 4 = · − , · 5 n=2 25 20 n=2 25

3

con lo que tenemos dos series geométricas de razones en el intervalo (−1, 1) y, por tanto, covergentes, con lo que podemos calcular la suma: S=

(3/5)(1/25)2 (1/20)(4/25)2 ∼ − = −0,0005. 1 − (1/25) 1 − (4/25)

2. Dada la función f (x) =

2x2 : x4 + 1

a) Pruebe que f ′ (x) =

4x(1 + x2 )(1 + x)(1 − x) . (x4 + 1)2

b) Utilice el apartado a) para calcular los máximos y mínimos absolutos de la función f (x) en el intervalo [−2, 2]. Solución: a) Vamos a calcular la derivada de la función pedida y comprobaremos que el resultado que obtenemos es igual al planteado: 4x(x4 + 1) − 2x2 4x3 4x(x4 + 1 − 2x4 ) 4x(1 − x4 ) f (x) = = = (x4 + 1)2 (x4 + 1)2 (x4 + 1)2 4x(1 + x2 )(1 − x2 ) 4x(1 + x2 )(1 + x)(1 − x) = = . (x4 + 1)2 (x4 + 1)2 ′

b) Para determinar sus candidatos a extremos igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación: f ′ (x) = 0 ⇔ 4x(1 + x2 )(1 + x)(1 − x) = 0 ⇔ x = −1, 0, 1.

196 Para determinar qué clase de extremos son, analizamos el signo de la derivada. Nótese que f ′ (x) > 0 para x ∈ (−2, −1) ∪ (0, 1) (es decir, ,la función es creciente), y f ′ (x) < 0 para x ∈ (−1, 0) ∪ (1, 2) (es decir, la función es decreciente). Por tanto, en x = −1 y x = 1 tenemos sendos máximos relativos, mientras que en x = 0 tenemos un mínimo relativo. Como f (−2) = f (2) ≈ 0,47, f (−1) = f (1) = 1 y f (0) = 0, concluimos que en x = −1 y x = 1 hay sendos máximos globales, y en x = 0 hay un mínimo global. 3. Las funciones de oferta y demanda de cierto producto vienen dadas por O(q) = 52 + 2q y D(q) = 100 − q 2 , respectivamente, donde q representa el número de unidades y p el precio (en miles de euros). Asumiendo que el mercado está en equilibrio, calcule los excendentes del productor y del consumidor e interprete los resultados obtenidos en términos económicos. Solución: Para calcular el equilibrio, igualamos la oferta a la demanda: O(q) = D(q) ⇒ 52+2q = 100−q 2 ⇒ q 2 +2q −48 = 0 ⇒ q = 6, −8. Como el valor negativo no tiene sentido el equilibrio del mercado lo tenemos en (6, 64). A continuación calculamos los excedentes.  3 6 Z 6 q 2 Ex. Consumidor = (100 − q − 64)dq = − + 36q = 144, 3 0 0

y representa el ahorro de los consumidores (144000 euros) al comprar a un precio más bajo del que estarían dispuestos a pagar. Por otro lado, Z 6  6 Ex. P roductor = (64 − 52 − 2q)dq = 12q − q 2 0 = 36, 0

y representa la ganancia de los productores (36000 euros) por el pago del producto por un precio inferior al precio de equilibrio.

4. Una empresa fabrica chocolate según la siguiente función de producción: Q(x, y) = −x3 − 3y 2 + 3x2 + 24y

donde x es la cantidad de cacao e y la de leche (ambas, en decenas de kg.) para su fabricación. a) Calcule las producciones marginales para 10 Kg. de cacao y 20 kg. de leche e interprete los resultados en términos económicos.

197

Exámenes resueltos b) Determine la producción máxima de chocolate. Solución: a) Por un lado tenemos: Qx (x, y) = −3x2 + 6x ⇒ Qx (1, 2) = 3, e indica que si aumentamos los kilos de cacao de 10 a 20 kgs., manteniendo los kilos de leche en dos decenas, entonces la producción de chocolate aumenta en 3 unidames. Por otro lado, Qy (x, y) = −6y + 24 ⇒ Qy (1, 2) = 12, e indica que si aumentamos los kilos de leche de 20 a 30 kgs., manteniendo los kilos de cacao en una decena, entonces la producción de chocolate aumenta en 12 unidames. b) Para determinar la producción máxima anulamos las marginales y resolvemos el sistema:  Qx (x, y) = −3x2 + 6x = 0 x = 0, x = 2 ⇒ Qy (x, y) = −6y + 24 = 0 y = 4, por lo que tenemos dos puntos críticos P1 = (0, 4) y P2 = (2, 4). Para determinar de qué tipo son debemos calcular sus derivadas parciales segundas y analizar el signo del determinante Qxx (x, y) Qxy (x, y) −6x + 6 0 = 36x − 36. = D(x, y) = 0 −6 Qyx (x, y) Qyy (x, y)

Como D(0, 4) = −36 < 0 entonces P1 es un punto de silla; mientras que para P2 tenemos D(2, 4) = 36 > 0 y Qxx (2, 4) = −6 < 0, con lo que P2 es un máximo. Por tanto, la máxima producción se tiene para P2 y Q(2, 4) = 52. 5. Dadas las matrices   1 1 A= 2 1

B=



1 −1 0 1 2 1



C=



0 1 1 1 1 3



resuelva la ecuación matricial A · X + B = C.

,

Solución: Comenzamos resolviendo de manera genérica la ecuación matricial A · X + B = C ⇒ A · X = C − B ⇒ X = A−1 (C − B).

198 Como det(A) = −1, existe A−1 , siendo   −1 1 −1 A = . 2 −1 Además, C−B =



0 1 1 1 1 3



−



1 −1 0 1 2 1



=



−1 2 1 0 −1 2



con lo que X=



−1 1 2 −1

     −1 2 1 1 −3 1 · = . 0 −1 2 −2 5 0

,

Bibliografía J. C. Arya y R. W. Lardner. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía, 4.a edición. Prentice Hall, México, 2002. J. A. Barrios, C. González y J. C. Moreno. Álgebra matricial para economía y empresa. Delta Publicaciones. Madrid, 2006. M. L. Bittinger. Cálculo para ciencias económico-administrativas. Pearson Educación, Bogotá, 2008. M. E. Calvo, G. M. Fernández, M. C. García, M. P. Ordás, R. Ibar y M. C. Escribano. Problemas resueltos de matemáticas aplicadas a la economía y empresa. Ediciones Paraninfo, 2003. A. Cámara, R. Garrido y P. Tolmos. Problemas resueltos de matemáticas para economía y empresa. Thomson, 2002. E. F. Haeussler. Matemáticas para administración y economía. Prentice Hall, México, 2008. L. D. Hoffman, G. L. Bradley y J. García. Cálculo aplicado a administración economía, contaduría y ciencias sociales. MacGraw-Hill, 1995. R. E. Larson, R. P. Hostetler y B. H. Edwards. Cálculo, vol. 1, 8.a edición. MacGraw-Hill, México, 2006. R. E. Larson, R. P. Hostetler, B. H. Edwards y D. E. Heyd. Cálculo, vol. 2, 8.a edición. MacGraw-Hill, México, 2006. A. Muñoz, G. Fabián y J. Santos. Problemas de matemáticas para economía, administración y dirección de empresas. Ediciones Académicas, Madrid, 2003. J. Rodríguez y J. Samamed. Matemáticas 2: economía y empresa. Teoría. Centro de Estudios Ramón Areces, Madrid, 1991. 199

200

Bibliografía

K. Sydsaeter y P. J. Hammond. Matemáticas para el análisis económico. Prentice Hall, Madrid, 2006.