MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA - - Editorial MAPFRE

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Indice general

PRÓLOGO ... .... ..... ... ... .... ... .... ... .. ..... .... ... .... ... .... ... ..... .... ....... .... ....... ...... .. .... .... ... ...... .... .... ... . XIII INTRODUCCIÓN .. ... .... ..... ......... ..... .. ... ..... ... ... ......... .. .. .... ............. ... ...... .. ..... .... ... ..... ...... ... . XVII l.

2.

PROBABILIDAD DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA ....... ...... ....... .... .... .... ...... .... .

1

1.1. Introducción .. ........................................................... ....................... ..... ...... ..... ..... 1.2. Principales variables aleatorias ................. .... ........................................ ... ............ 1.2.1. Edad de muerte de un recién nacido ......... .. .. ....... ................................. 1.2.2. Edad de muerte de una persona de edad x ............ ..... ....... .. ................. 1.2.3. Función de supervivencia .... ............... ......... .......... .. ........ .. .... .. ........... .... 1.2.4. Vida residual ..... ..... ........................... ........ ... .. ........... ............................... 1.2.5. Número de años completos de vida hasta la muerte.......... ........ .. .. .. .. .... 1.3. Probabilidades básicas de muerte y supervivencia..... ........................................ 1.4. Tanto instantáneo de mortalidad ............... ... ....................................................... 1.5. Esperanza de vida ................... .... ... ..... ... .... ... ............................ .. ......... ... ........ ..... 1.5.1. Esperanza de vida completa ........................ .......... .................. .... ... ........ 1.5.2. Esperanza de vida abreviada ................................ .... ........ ...... ................ 1.6. Modelos de supervivencia ................ ... ... .... ......................................................... 1.6.1. Ley exponencial............................................................... .... ..... ................ 1.6.2. Ley de De Moivre ........... .. .... ... ........ ....................................................... 1.6.3. Ley de Gompertz .... ....................................... ... .... .. ....... ......................... 1.6.4. Ley de Makeham ..................................................................................... 1.7. Ejercicios ...... .. ... .... .... .......... .... .. ......... ...... ............................................................

1 1 1 2 2 3 3 4 5 8 8 9 9 10 11 13 14 15

TABLAS DE MORTALIDAD....................................................................... ...............

23

2.1. 2.2 . 2.3. 2.4. 2.5.

23 26 31 33 34

Tablas de Mortalidad ........................... ................................................................ La Función de Supervivencia........................ ... .............................. ...................... La Interpretación Determinista .................. ... ....................................................... Construcción de Tablas de Mortalidad................................................................ Cálculo de Probabilidades Básicas para Edades Fraccionarias.......................... VII

VIII

3.

4.

5.

fNDICE GENERAL

2.6. Tablas de Seleccionados .. .... .. ... .... ......... ... ... ... ... ..... .. ..... ...... ... .. ...... .. .. .... ... ......... .. 2.7. Ejercicios ................................................................. .............. ... ..... ... .... .................

39 40

EL FACTOR DE ACTUALIZACIÓN ACTUARIAL ... .... ... ...... ........ .. .....................

45

3.1. Introducción ......... ... .......... .. ...... ... ... ......... ...... ...... .. ....... .. .................................... 3 .2. Factor de Actualización Actuarial ....... .. ........... .............................. ........... ......... 3.2 .1. Definición ....... .......................... ............. .... .......... .... ... .. .. ...... ............ ....... 3.3 . Propiedades ........................................ ...... ....... ..... ... .. ....................... ....... .......... .. 3 .4. Factor de capitalización actuarial .. ..... ... .. ......................................... .............. .. .. 3.5. Funciones de conmutación ... ... ... .... ... .... .... ... ... ... ... ... .... .. . .... ... .... .. ..... ... .. .. .... ...... 3 .6. Intereses variables ................ ... .......... ..... ... ........ ... ......... ... ........... .. ..................... .. 3.7 . Ejercicios ....................... .... ... ... ....... .. ........ ...... .. .... ............ ... ... .. .. ...... .. .... .... ...... ....

45 45 45 47 51 52 53 54

SEGUROS DE VIDA ............. ... ........ ...... .. ... ................. ... ...... .......... .. ..... ....... ..............

57

4.1 . Introducción .................... .. .. ............... ..... .. ................. ... .... .. .. ...................... .. ...... 4.2. Seguro Vida Entera ...... .... ... .... ............... ....................... .. .. .... ....... .... ....... .......... ... 4.2.1. Pago del capital asegurado en el momento del fallecimiento ............... 4.2.2 . Pago del capital asegurado al final del año de fallecimiento .......... ...... 4.2.3 . Funciones de Conmutación .... .. .. ..... ............ ..... ........ ...... .... ........... ... ...... 4.3 . Seguro Temporal. .............................. .... ........... ..... ...... .......... ...................... ......... 4.3 .1. Pago del capital asegurado en el momento del fallecimiento ............... 4.3 .2. Pago del capital asegurado al final del año de fallecimiento ... .. ... .... .... 4.4 . Seguro Vida Entera Diferido .............. ................................................. .. ... .. ..... ... 4.4.1. Pago del capital asegurado en el momento del fallecimiento ...... ... ...... 4.4.2. Pago del capital asegurado al final del año de fallecimiento .. .. ..... ... .. .. 4.5 . Seguro Mixto Simple ........... ..... ....... ............ ............... .......... .. ............. .. ..... ... ...... 4.5 .1. Pago del capital asegurado en el momento del fallecimiento ............... 4.5.2. Pago del capital asegurado al final del año de fallecimiento .............. .. 4.6. Seguros Variables ......... ... .......................... .. .. ... .... .. ... .......... ...... ............. .............. 4.6.1. Pago del capital asegurado en el momento del fallecimiento ........... ... . 4.6.2. Pago del capital asegurado al final del año de fallecimiento ... ..... .. .... .. 4.6.3. Seguros variables en progresión aritmética y geométrica. Funciones de conmutación..... .......... .................................... .. .. ........... ..... ...................... 4.7. Relacción entre A x y A x ..................................................... ........ .. .. .. .................... 4.8. Relaciones recurrentes ................................................................. ....... .. .... ... ....... . 4.9. Intereses variables ...... ....... .. .. .......... ........ ..... .. ... .... .. ... ....... .... .. ....... ...................... 4.10. Ejercicios....................... .. ..... .... ... .......... ......... .... .... .. .. ... ........ ... ... ........ .. ...... .. ........

57 57 58 62 64 65 65 68 69 69 72 74 75 76 76 76 80

RENTAS VITALICIAS (I) . RENTAS CONSTANTES ............... .... .. ........................

103

5.1. Introducción .. .. ............ ............. ................................ .. ............. .. ....... .. ..... .. .......... 5.2 . Rentas Inmediatas e ilimitadas .. ... ........................................................ .. ......... ... 5.2.1. Caso discreto ... ......... ...... ... ....................... .... .... .... ....... ... ................ .. .. ..... 5.2.2. Caso continuo ......... ..... .... ..... ........................ .. ....... .. .... .. .... .....................

103 103 104 109

85 88 90 91 93

iNDICE GENERAL

6.

7.

8.

IX

5.3. Rentas Temporales ...... ..... .... ...... ....................... ..... .......... .. ....... .. .. .... ... .. ........ .. .... 5.3 .1. Caso discreto ..................... ...... ......... ..... ............. ...................... ............... 5.3 .2. Caso continuo ........... ...... ......... ................. .............................. .. .. .... .. .. .... 5.4. Rentas Diferidas ...................................... ... ... ..... ..... .. .. .. ............ .. ............. ... ......... 5.4 .1. Caso discreto ... .... .. .. ........ ... ................................. ....... ....... .. .................... 5.4.2. Caso continuo ................... .. .. ........... .. ... ....................... ......... .......... .. ...... 5.5. Expresiones recursivas ..................................... ... .. ... .. ... ... ..... .. ... .. ... .. .. .. .. ............ 5.5.1. Rentas discretas ............................................ ... .... .. ..... ..... .. ... .. ........... ...... 5.5.2. Rentas continuas ........... .... .... .. ............ .................. ........... ... .... ............... . 5.6. Tipos de interés variables ............... ....... .. ....... .......... ........... ........................ ........ 5.7. Ejercicios ...................... ... ......... ..... ....... ......... ............ ............ .. ......... .... . .... .... ... .. ..

115 115 119 120 120 123 124 124 125 127 129

RENTAS VITALICIAS (II). RENTAS FRACCIONADAS Y RENTAS VARIABLES

137

6.1. Introducción ....................... .. ..... ............. .. ......... ............. ............... .. ......... ..... ... ... 6.2. Rentas Fraccionadas Constantes ..... .................... .... ..... ...... .. .... .. .... ..................... 6.2.1. Hipótesis de distribución uniforme de los fallecimientos........ .. ........ .... 6.2.2. Hipótesis de linealidad de Dx ......................................................... .. .. .... 6.3. Rentas Variables ........................................ ... .... .......... .... ... .. .......... .... .... ... .......... .. 6.3 .l. Rentas variables continuas ....... .... .. ... ..... .................. ............. ... .. .......... ... 6.3 .2. Rentas variables discretas ....................... ........... .......... .............. .. ........... 6.4. Rentas Variables Fraccionadas ................... .... ..................... .. ...... ........... ... .... .... .. 6.5. Ejercicios ............................... .................. ... ......... ............... ....... ......... ... ......... ......

137 137 138 140 142 142 144 154 157

PRIMAS PURAS........... .. .... ........................... ......... ... .. ..... ... ......... ..... ................... .. ......

161

7 .l. Primas. Concepto y clasificación ............... .............. .............. ............................. 7.2. Principios de equivalencia ................ ... ............... ....... .. .. ... .... .. .... .. ....................... 7 .2.1. Principio de equivalencia actuaria! ....... .. .. ....... ............. ....... ............ .. .... 7.3. Primas únicas ....... .. ............................................. ............ ..... .. ............ .................. 7 .4. Primas anuales constantes ............ ........ ...... ...... ... ... ............................ ... ...... ....... . 7 .4.1. Seguro vida entera ....................................... ................ ................... ........ 7.4 .2. Seguro temporal ............................. ...................................................... .. . 7.4 .3. Seguro mixto simple ................................................................ .... .. ......... 7.5. Primas anuales variables ... ........... .. ................. ..... .... ..... ....... ...................... .......... 7.5 .l. Un seguro de vida en general ........ ............. ........................................... . 7 .6. Primas fraccionarias y primas fraccionales ... ......... .... ...... ............... .................... 7.7. Contraseguro de primas .............................. ....... ....... .. ...... .. ....... ......................... 7 .8. Ejercicios .......................... .... ............ .... ............. ...................... ........... .. ............... . 7.9. Apéndice. El Principio de Utilidad Nula ...........................................................

161 162 162 162 166 167 172 17 4 178 17 8 179 181 181 190

RESERVAS MATEMÁTICAS A PRIMA PURA....................... ...... ... ...... ... ... ............

193

8.1. Reserva matemática de una operación de seguro de vida ................................. 8.2. Reserva matemática discreta.... ............................ .............................. ..... ............ . 8.2.1. Definición .................................................... .................. ... ................. ...... 8.2.2. Reserva matemática para el seguro vida entera ............ .........................

193 194 194 196

fNDICE GENERAL

X

8.2.3. Reserva matemática para otras modalidades ................... .... .... .... ........ .. 8.2.4. Ecuación recurrente de las reservas ...... .............. ............. .. .................... Reservas en periodos fraccionarios ...... ...... .......... .. ..... ... ..... .. ............... .. .... .. ....... Reserva matemática continua .............................................................................. 8.4.1. Definición ................................................................................................ 8.4.2. Reserva matemática para el seguro vida entera ......... ............. .. ............. 8.4.3. Reserva matemática para otras modalidades ......................................... 8.4.4. Ecuación diferencial dinámica de las reservas. Ecuación de Thiele ..... Descomposición de la prima. Prima de riesgo y prima de ahorro .. .... .... ...... .... 8.5 .l. Caso discreto ............ .. ...... .... .... ...... .... .... .. .. .. .... .... ...... .... .. .. .... ...... .... ...... . 8.5.2. Caso continuo .. .... .................. .. ..... ................... .... ............ ....................... Ejercicios .................................................. ............. .. ..... .... .... .... ..... ........ ... .. .. ........ Apéndice. Aplicaciones de las expresiones recurrentes ......................... .. .........

200 202 208 209 209 211 214 216 217 217 220 221 230

RECARGO DE SEGURIDAD Y RECARGOS ECONÓMICOS ........... ............. ....

235

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

235 236 240 243 246

8.3. 8.4.

8.5.

8.6. 8.7. 9.

Introducción .... .... ................. .. .... .. .......................... .. ..... ....... ............................... Recargo de seguridad. Prima recargada ...................... .................... ... ...... ......... . Primas de inventario y comercial.. .. ........ ......... .. .......... ............... .. .. ..... .. ............. Reserva matemática a prima de inventario y a prima comercial .... .. ..... .. .......... Valores garantizados ............................................................................................ Apéndice. Sobre la Ley de los Grandes Números y el Teorema Central del límite ................. ~.. ..... . . ........ .. ... .. . . . ... . .. ..... .. . . ......................................... . ..... ....... ...... 9.6.1. Ley de los Grandes Números...... .. .............. ..... ....... .. ..... .. ... ................... 9.6.2. Teorema Central del Límite..... ...................................... ... ..... .................

248 248 251

10. PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA SOBRE VARIAS CABEZAS ..... .:........................... ........ ................... .......... ....................................................

257

10.1. Introducción ......................... .. ............. ......... ... ........................... ... ... ..... .............. 10.2. Grupos que se extinguen al primer fallecimiento .. ... ......................................... 10.2.1. Introducción .......................................................... ... ............... ........ ... ..... 10.2.2. Probabilidades de muerte y supervivencia ........ ... .. ..... .. ........ .. .............. 10.2.3. Tanto instantáneo de mortalidad ........................................................... 10.2.4. Esperanza de vida ................................................................................... 10.2.5. Cálculos abreviados. Leyes de Gompertz y Makeham ......................... 10.2.6. Estimación de las probabilidades de muerte y supervivencia mediante las tablas de mortalidad .......... .... ........ ...... .... .... .. .... .... ..... .......... .... .... ..... 10.3. Grupos que se extinguen al último fallecimiento .... .. ..... .. .... ..... ..... ... .......... .. .... 10.3.1. Introducción.... ............. ..... ................ ................ .. .... .... .... .................. ... ... 10.3.2. Probabilidades de muerte y supervivencia ...... .. ... .. .. ........ .... ............... .. 10.3.3. Esperanza de vida ........ .......... .................... .. .... ........ ........ .. .............. ....... 10.4. Grupos que se extinguen a un fallecimiento determinado ............. .. ................. 10.4.1. Introducción............ .. .. .. ... .......................................... ........ ............. .. ...... 10.4.2. Probabilidades de muerte y supervivencia ............................................ 10.5. Grupos compuestos ....................... .. ......... ... ........................................................

257 257 257 258 260 260 261 262 262 262 263 266 267 267 267 270

fNDICE GENERAL

XI

10.6. Órdenes de fallecimiento (funciones contingentes) .... ... ... .. ... ..... ..... .. ... ..... .. .. .... 10.7. Ejercicios ........................................... .. .... ........ ... ...... ................ ........ .... ........ .........

272 275

11. RENTAS Y SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS ............. ............. ....... ...............

283

11.1. 11.2. 11.3 . 11.4. 11.5. 11.6. 11.7 .

Introducción ...................................... ...... ... .. ................................. ...... ............... . Seguros sobre varias cabezas .. .... ...... ............... ......... ................ .... ... .. ..... ............. Rentas sobre varias cabezas ............ .... .. ............................................................... Rentas de supervivencia ...................................... ................................................ Primas y reservas matemáticas .. .. . ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. Funciones de conmutación .. .... ........... .............. .................................. .. .. ...... .... .. Ejercicios ............................................................................................. .............. ...

283 283 291 294 296 297 299

BIBLIOGRAFÍA .............................................. ...... .... .............. .............. ........... .. .. .... ............

307

1 Probabilidad de muerte y supervivencia

1.1

Introducción

Dada una persona de edad x (o cabeza de edad x, en terminología actuaria!), que a partir de ahora representaremos por (x), no cabe duda de que los sucesos "fallecer antes de cumplir la edad x + t" o "so brevivir a la edad x + t "son aleatorios. La determinación de las probabilidades de estos y de otros sucesos relativos a la vida humana debe constituir el punto de partida de la construcción de la matemática de los seguros de vida. 1.2

Principales variables aleatorias

Para realizar un estudio riguroso de las probabilidades de muerte y supervivencia hemos de referirnos a algunas variables aleatorias y a su distribución de probabilidad. Este es el objetivo del siguiente apartado.

1.2.1 Edad de muerte de un recién nacido Denotamos por X a la variable aleatoria" edad de muerte de un recién nacido", que suponemos continua. Representando por F a su función de distribución, tendremos

F(x) = P(X

~

(1.1)

x)

donde x 2: O y F(O) = O. Conocida F pueden determinarse fácilmente las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de que un recién nacido fallezca entre las edades x y x

P(x

x) = 1- F(x)

(1.3)

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

2

e) Probabilidad de que una persona de edad x fallezca entre las edades x y x P( X

1.2.2

X) =

F(x + t) - F(x) 1- F(x)

-----'------=----..,..--,---_;__:_

+ t, (1.4)

Edad de muerte de una persona de edad x

Representando por Yx a la citada variable aleatoria y por Fx a su función de distribución, tenemos que

F (y) = P(r: t) = 1- Gx(t) =

s(x + t) s(x)

+ t:

(1.16)

Para t = 1 tenemos la probabilidad de que una cabeza de edad x alcance con vida la edad x +l. Esta probabilidad se representa por Px, omitiendo el valor de t, y se denomina tanto de supervivencia a la edad x.

b) tqx: probabilidad de que una cabeza de edad x fallezca antes de alcanzar la edad x+t: s(x)- s(x + t) (1.17) tqx = P(Tx :S t) = Gx(t) = s(x) Cuando t=1 tenemos la probabilidad de que una cabeza de edad x fallezca antes de la edad x+ 1, que se representa mediante qx y se denomina tanto de mortalidad a la edad x. Es claro que

e) s/tqx: probabilidad de que una persona de edad x fallezca entre las edades x + s y

X+ S+ t. sjtqx = P(s < Tx :S s + t) = Gx(s + t)- Gx(s) =

s(x+s)-s(x+s+t) s(x)

(1.18) Para t = 1 tenemos la probabilidad de que una persona de edad x fallezca entre las edades x + s y x + s + 1, que se representa por 8 ¡qx. Obtendremos a continuación algunas sencillas propiedades de las anteriores probabilidades:

l. s+tPx =

s(x + s + t) s(x + s).s(x + s + t) = s(x) s(x).s(x + s)

sPx tPx+s

(1.19)

\

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA

5

esto es, la probabilidad de que una cabeza de edad x alcance con vida la edad x + s +tes igual a la probabilidad de que (x) alc~nce la edad x + s por la de que (x + s) alcance con vida la edad x + s +t. Ciertamente para t entero y positivo (1.20) tPx = Px Px+l.. .... Px+t- 1

2. sftqx

=

s(x + s)- s(x + s + t) (s(x + s)- s(x + s + t)) s(x + s) s(x) = s(x).s(x + s) =

=

s(x + s) s(x + s)- s(x + s + t) s(x) s(x+s) =

sPx tqx+s

(1.21)

esto es, la probabilidad de que (x) fallezca entre las edades x + s, x + s + t es igual a la probabilidad de que (x) alcance con vida la edad x + s por la probabilidad de que (x + s) fallezca antes de alcanzar la edad x + s +t. 3. Recordando ahora la variable aleatoria Kx, número de años completos de vida hasta la muerte de una persona de edad x, tenemos (siempre para valores no negativos y enteros de k):

(1.22)

1.4

Tanto instantáneo de mortalidad

Definiremos a continuación uno de los elementos clave de la matemática de los seguros de vida: el tanto instantáneo de mortalidad o fuerza de mortalidad. Sabemos que la probabilidad de que una persona de edad x fallezca entre las edades x y x' es

, F(x)- F(x) P(x x) = -----'--___.:.__....:........:. 1- F(x) 1

Puesto que X es una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), y suponiendo que x' es una edad muy cercana a x, esta probabilidad puede aproximarse por

f(x) (x'- x) 1- F(x) El tanto instantáneo de mortalidad a la edad x (o fuerza de mortalidad a la edad x), que se representa por f..Lx , se define como

f(x) f..Lx

= 1- F(x)

(1.23)

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

6

Ciertamente J..Lx 2: O. Teniendo en cuenta que f(x) = -s' (x), es claro que s' (x) dLn(s(x)) J..L = - - - = X s(x) dx

(1.24)

Observación 1 De la definición anterior podría deducirse que J..Lx representa la probabilidad de que una persona de edad x fallezca entre las edades x, x + 1 (esto es, cuando x' = x + 1) . Es importante hacer notar que esto no es cierto, basta tener en cuenta que en muchas ocasiones J..Lx > l. Es importante insistir en que sólo cabe, para .6-x suficientemente cercano a cero, interpretar J..Lx .6.x como la probabilidad de que una persona de edad x fallezca entre las edades x y x + .6.x. 1

Observación 2 El tanto instantáneo de mortalidad a la edad x 1-"x+t

=

f(x s(x

+t

es igual a

+ t) + t)

Basta dividir por s(x) el numerador y denominador para obtener 9x(t) 1-"x+t

(1.25)

= 1- Gx(t)

expresión que se puede interpretar también como la fuerza de mortalidad de (x) a la edad x + t. Asimismo resulta claro que (véase ejercicio 1. 3) 1-"x+t = -

dLn(tPx) dt

(1.26)

Conocido el tanto instantáneo de mortalidad es posible expresar las probabilidades definidas en los epígrafes anteriores en función de éste. Veamos algunos casos. l. Expresemos tPx y tqx en función del tanto instantáneo de mortalidad:Ya que 1-"z = -

dLn(s(z)) dz

integrando

l

X

así -

l

x

x+t J..Lzdz

=

x+t

J..Lzdz = -

¡x+t dLn(s(z)) X

Ln(s(x + t))- Ln(s(x))

dz

=

Ln

dz

s(x + t) s(x)

=

Ln( tPx)

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA

7

por lo que .,+t

tPx =e- J:"'

d

J.l..

(1.27)

z

j

as1m1smo

(1.28) y haciendo en esta expresión el cambio de variable s facilidad

=

z- x, se obtiene con

(1.29) y

(1.30) 2. Expresemos ahora la función de densidad de Tx (vida residual de (x)) en función del tanto instantáneo. Sabemos que

__ s' (x + t) s(x)

9x (t ) -

multiplicando y dividiendo por s(x+t) tenemos,

---'s(--:x--:-+----'-t) s' (x + t) s(x) s(x + t)

_

9x (t ) - - -

tPx 1-Lx+t

(1.31)

Tasa central de mortalidad En relación con el tanto instantáneo de mortalidad se define la tasa central de mortalidad a la edad x (o entre las edades x , x + 1), que representaremos mediante mx, como la media de 1-Lx ponderada por la función de supervivencia en dicho intervalo, esto es, J:+1 fl-z s(z) dz m - - . , - ;1 - ; - - x ¡:+ s(z) dz

(1.32)

Realizando el cambio de variable s = z - x, y posteriormente dividiendo el numerador y denominador por s(x), tenemos elementalmente r1

Jo 11-z+s

mx

= ----;----¡g s(x+s) ds

s(z+s) s(z) ds

rl~ds Jo a(z)

(1.33)

Asimismo la tasa central de mortalidad entre las edades x y x + n es

J:+n fl-z nmx

s(z) dz

= ---,---¡:+ns(z) dz

(1.34)

8

1.5

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

Esperanza de vida

Obtendremos a continuación los primeros momentos de las variables aleatorias Tx y Kx· De ahora en adelante aceptaremos la existencia de una edad límite w tal que s(x) =O para x;::: w, lo que nos facilitará el cálculo de los citados momentos, cuya existencia depende de la conve~gencia de integrales impropias y'de series numéricas.

1. 5.1

Esperanza de vida completa La esperanza matemática de Tx se denomina esperanza de vida (o vida media) completa y se representa por e: .

~x= E(Tx) =

¡+oo lo t 9x(t) dt

integrando por partes, tomando U=

t

y

-(1- Gx(t)),

V=

tenemos

du = dt

y

dv = 9x(t) dt

por lo que

~x= E(Tx)

¡+oo ¡+oo =lo t 9x(t)dt = -t(1- Gx(t))]Ó 00 +lo (1- Gx(t)) dt = ¡+oo =lo tPxdt

(1.35)

ya que 1 - Gx (t)

= tPx Y

lim t (1 t---++oo

Gx(t)) =O

Notemos que para t;::: w- x, Gx(t) =l. Procediendo de forma análoga se calcula la varianza de Tx. Es fácil comprobar que

E(T;) =

¡+oo lo t

2

¡+oo

9x(t)dt = 2 lo

t tPx dt

por lo que

¡+oo t tPxdt- ( lo¡+oo tPx dt ) 2

Var(Tx) = E(T;)- (E(Tx)) = 2 lo 2

(1.36)

Obsérvese que la existencia de una edad límite garantiza la convergencia de todas las integrales anteriores.

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA

9

1.5.2 Esperanza de vida abreviada Calculemos ahora la esperanza matemática de Kx (número de años completos de vida hasta la muerte). Se denomina esperanza de vida abreviada y se representa por ex.

(s(x

+ 1)- s(x + 2)) + 2 (s(x + 2)- s(x + 3)) + 3 (s(x + 3)- s(x + 4)) + .. s(x) S(X + 1) + S(X + 2) + S(X + 3) + · .. = ~ s(x) L._¿

k+ lPx

(1.37)

k=O

De nuevo la existencia de la edad límite asegura la convergencia de estas series. Procediendo de forma análoga tenemos que

00

= L(2k + 1)

k+lPx

k=O

Por lo que

Var(K.) 1.6

~E( K!)- E(K,) ~ ~(2k + 1) k+IP•- (~ 2

2

k+lP•)

(1.38)

Modelos de supervivencia

Hemos visto en apartados anteriores que las probabilidades básicas de muerte y supervivencia pueden calcularse con facilidad a partir de la ley de mortalidad (o tanto instantáneo de mortalidad) J.Lx· Este hecho ha provocado que los estadísticos y demógrafos hayan dedicado grandes esfuerzos a la búsqueda de una ley de mortalidad que sea válida para cualquier población humana, quizás motivados por el éxito de las leyes físicas en la explicación de los fenómenos naturales. Este esfuerzo ha resultado vano, y no ha sido posible encontrar esa ley universal de mortalidad, \ que probablemente no existe. Por otra parte, los modernos ordenadores hacen posible calcular con facilidad las citadas probabilidades básicas sin necesidad de contar con dicha ley. Sin

10

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

embargo, a veces es posible el ajuste de alguna ley teóiica {típicamente, la ley de Makeham) en algunas poblaciones y para ciertos tramos de edad, lo que hace interesante su estudio. A continuación comentamos dicha ley de Makeham, así como otras leyes de más difícil aplicación pero interesantes por su simplicidad o por su importancia histórica (leyes Exponencial, de De Moivre y de Gompertz). La exposición de las leyes de mortalidad clásicas no pretende ser exhaustiva,_ ya que existen muchas más leyes teóricas de mortalidad, de las que sólo mencionaremos dos (leyes de Pareto y Weibull) en los problemas del final del capítulo. 1.6.1 Ley exponencial Esta ley supone que el tanto instantáneo de mortalidad es constante, esto es, f.Lx =

¡.t

X

2::

Ü

(1.39)

Intuitivamente es claro que la fuerza de mortalidad debe aumentar con la edad, lo que implica la imposibilidad de ajustar una ley exponencial a una población real, salvo quizás en periodos de tiempo muy cortos. Sin embargo, la simplicidad de la ley exponencial y la facilidad de los cálculos, así como su importancia histórica (véase el siguiente capítulo), nos lleva a comentarla en primer lugar. Obtengamos su función de supervivencia:

s(x) = xPO =e- J; J.' dz = e-¡.t.x

(1.40)

Como sabemos, a partir de la función de supervivencia es posible obtener todas las distribuciones y probabilidades básicas. Así: tPx =

s(x + t) s(x)

e-J.L (x+t) =----=e-~-' t

(1.41)

Obsérvese que la probabilidad de supervivencia durante t años (o de muerte antes de dicha edad) sólo depende de t y no de la edad x del individuo, lo que obviamente no se verifica en la realidad. La función de distribución de la variable vida residual es, obviamente,

(1.42) y la correspondiente función de densidad,

(1.43)

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA

11

Obsérvese que la vida residual resulta ser una variable aleatoria exponencial, lo que justifica que esta ley de mortalidad sea conocida como ley exponencial. La función de cuantía de la variable número de años completos de vida hasta la muerte es:

P(K =k) = s(x +k)- s(x +k+ 1) x s(x)

(1.44) La esperanza de vida completa:

(1.45) Y la esperanza de vida abreviada: 00

00

ex= E(Kx) = Lk P(Kx =k)= L k =O

k+IPx =

k= O

(1.46) Obsérvese que la esperanza de vida de los individuos no depende de su edad, lo que claramente no es cierto en la realidad.

1.6.2

Ley de De Moivre

Como hemos comentado anteriormente, intuitivamente resulta claro que la fuerza de mortalidad debe aumentar con la edad. La ley de De Moivre incorpora este efecto mediante una fórmula matemática sencilla. El tanto instantáneo de mortalidad es, para esta ley, J.Lx

1

= -W-X

(1.47)

en la que w es la edad límite. Es claro que la fuerza de mortalidad tiende a infinito conforme la edad tiende a la edad límite.Por ejemplo, para w = 100 la

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

12

representación gráfica de la función es:

'

0 .2

0 .1

o

60

20

100

X

Ley de De Moivre. Obtengamos, en primer lugar la función de supervivencia. Es claro que

s(x)

= xPO =e- J,o"' J.Lzdz =e- J,"' o

I

d

=e L n (w-z )]"'o

¡;;-=z z

X = W -- = 1- -X

w

w

A partir de la función de supervivencia es posible obtener todas las distribuciones y probabilidades básicas. Así:

tPx

s(x + t) = s(x)

w- x - t

W -

_w_= w- x

-w

X -

t

w-x

t

=1---

w-x

La función de distribución de la variable vida residual resulta ser:

(1.48) y la correspondiente función de densidad:

d 9x(t) = -d Gx(t) t

1 w-x

(1.49)

= --

La función de cuantía de la variable número de años completos de vida hasta la muerte:

P(Kx=k)= s(x+k)-s(x+k+1)

s(x)

w- x - k _ w- x - k - 1 __w=-------=w___ _ w

1 w-x

(1.50)

13

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA

La esperanza de vida completa:

ex= E(Tx) =

1

w- x

o

t 9x(t) dt =

¡w - x 0

t2

t

--dt = ( )]~-X= ww-x 2w-x 2

X

(1.51)

Y la esperanza de vida abreviada: w- x - 1

ex= E(Kx) =

L

w- x - 1

k P(Kx =k) =

k=O

L

1 W -X- 1 k w---x = - -2

(1.52)

Corno vernos, la ley de De Moivre resulta más adecuada que la exponencial para la representación de la mortalidad real, ya que en las fórmulas anteriores aparecen las dos variables t y x. Sin embargo, la vida residual asociada con esta ley resulta ser una variable-aleatoria uniforme, lo que claramente no se verifica en la realidad. Por esta razón son escasas las posibles aplicaciones prácticas de esta ley (salvo para periodos cortos de tiempo), que sin embargo tiene gran importancia histórica, como veremos en el siguiente capítulo. 1.6.3 Ley ck Gompertz Esta ley asume que cada individuo presenta una resistencia a las enfermedades que resulta decreciente con la edad, por lo cual la fuerza de mortalidad crece con la edad. Se asume asimismo que el crecimiento relativo de la fuerza de mortalidad (es decir, &.. ) es constante, de donde se deduce que dicha fuerza de mortalidad crece Jl,. exponencialmente, es decir, viene dada por la expresión

1-Lx = B.ex

X

2: o, B > o, e>

1

(1.53)

8

+

+

Leyes de Gompertz para B = 1.5, y dos valores e= 1.01 (++),e= 1.02 (- ).

14

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

Su función de supervivencia es

s(x)

=

xPO

tPx

=

=e- J; B.cz dz

= eL!c (l - c"') = g c"' - l

(1.54)

donde luego obtenemos que

1.6.4

s(x + t) s(x)

(1.55)

Ley de Makeham

Como hemos comentado anteriormente, a menudo se obtienen buenos ajustes de la ley de Makeham (o de leyes parecidas, "tipo Makeham") en ciertos tramos de edad. El tanto instantáneo de mortalidad de una ley de Makeham añade simplemente una constante arbitraria (que representa la mortalidad accidental, independiente de la edad) al tanto instantáneo de Gompertz:

J.Lx =A+ B.cx

X~

O, B >O, e> 1, A> -B

(1.56)

..• • .· . . .....·

+

+

•• .. .. ....

.. .. .. .. .. .. ....... •••

Leyes de Makeham B

= 1.5,c = 1.01, para A= 1 (- ),A= 1.5 (++).

Su función de supervivencia es (1.57)

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA

15

siendo y, evidentemente,

tPx

=

s(x + t) s(x)

(1.58)

Es claro que la ley de Makeham solamente resulta adecuada para edades adultas, ya que en las edades infantiles la mortalidad es decrececiente. l. 7

Ejercicios

1.- a) Razone las condiciones que debe cumplir una función para que pueda ser considerada como una función de supervivencia. b) Indique si las funciones propuestas pueden representar una función de supervivencia: b.l)

b.2) x2

s(x) - 1 - - 10000 '

O -oo F(x) =O debe sustituirse por F(O) =O .

16

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

En consecuencia, la función de supervivencia s(x) deberá cumplir las guientes propiedades:

* s(x)

debe ser no creciente. * s(x) debe ser continua por la derecha.

* s(O) =

1 y limx-++oo F(x) =O.

b) Representemos las gráficas de las tres funciones: b.1)

0.2

oo

1.5

0.5

2

b.2)

O. O.

O. 0.2

s(x) = 1- 1 ~

b.3)

oo

20

40

X

60

80

100

SI-

17

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA

O. O. O.

0.2

s(x) =

oo

C-!-x)4

1.5

0.5

2

Es evidente que las tres funciones anteriores cumplen las propiedades exigidas en el apartado anterior, por lo que pueden representar funciones de supervivencia.

2.- Dada la función de supervivencia

s(x) = (1 - ~) 3

O::; x::; 100.

100

Calcule las funciones de densidad y distribución de la edad de muerte de un recien nacido, f(x) y F(x) respectivamente, así como el tanto instantáneo de mortalidad 1-Lx y las probabilidades tqx. Solución: Es claro que q - 1t x-

3 s(x + t) - 1 (1 - .tl1) 100 s(x) - - (1 - 1~)3

luego

F(x) = xqo = 1- (1- ~ ) 3

10

(resultado que también podríamos haber obtenido teniendo en cuenta que F(x) 1- s(x)). En consecuencia,

f(x)

=d - [ 1- (1- -X )

dx

100

3] = 3- ( 1 - -)2 X

100

100

Por otro lado, 2 s'(x) - 3 (1- -L ) 100 x - - s(x) - 100 (1- ~) 3

¡.¿ -

1

3 100 (1- 1~)

=

18

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

3.- Pruebe que

llx+t = -

dLn(tPx) dt

Solución:

1t(l - tPx)

9x(t)

tPx d

dLn( tPx) dt

_di tPx _

tPx

4.- Demuestre que las derivadas parciales respecto a x y n de la función nPx son

a ax ( nPx) = a

8n ( nPx)

nPx (Jlx- llx+n) = - nPx·Jl:E+n

Solución:

a nPx

ax

=e- ¡:+" ~-'• dt ~ [-1x+n Jl dt]

ax

x

t

a nPx =e- ¡:+.. ~-'• dt ~ [-1x+n llt dt] an an x _ - J:+n1-'t dt () __ - e llx+n nPx llx+n

5.- Pruebe las siguientes expresiones:

a)

b) Solución:

=

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA

19

a)

d~ (ex) = :X (1

1

00

00

tPx dt)

=

(

d~ tPx) dt =

1

00

[tPx (!Lx - ILx+t)] dt =

b) Sabemos que 00

00

k= 1

k= 2

Por otra parte, también sabemos que s+tPx k~ 2 será

kPx

= sPx· tPx+s , luego en particular para

= Px k- 1Px+1

En consecuencia, obtenemos que 00

ex= Px

+L

00

kPx

= Px + Px·

k= 2

L

k- 1Px+1

~

k= 2 00

= Px + Px

L

kPx+l

= Px + Px

ex+ 1

k= 1

6! Supuesto que la función de supervivencia es

s(x) = (1- ~ ) 2 O~ x ~ 110 110

Calcule: a) Las probabilidades sP2o, q28, 4q32, 3/5 q3o. b} El tanto instantáneo de mortalidad a los 40 años, e) La esperanza de vida completa a los 35 años, 35 . Solución:

e

a) sP2o

s(25) (1 = s( 20) = (1 _

ffo)

0

2

12~ )2

289

= 324 = 0.89198

¡..t40 _

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

20

ffo)

= s(28) - s(29) = (1 28 q s(28)

4q32

2

ffo) 2

(1(1- 12: 0 )2 -

= 163 = 0 024242 6724 ·

= s(32) - s(36) = (1 - ffo)2- (1- ffo)2 = 152 =O 099934 s(32) (1 - 13120 )2 1521 .

3/5q3o

f!¡¡) 2 -

= s(33) - s(38) = (1 s(30)

(1-

(1-

f&) 2 =

131oo)2

149 = 0 11641 1280 .

b) Sabemos que ¡.t x

s'(x) s(x)

= --- =

1

55(1- 1 ~0 )

, y por tanto 1

1-L40

=

1

( - ~) = 35 = 0.028571

55 1

110

e) Sabemos que o

-¡w-x

ex-

s(x + t) ( )

S X

0

dt

, por tanto o e 35

¡110- 35

=

~)2

(1 -

(

1-

o

35 ) 2

110

dt

= 25

7.-Calcule la función de supervivencia asociada con cada una de las siguientes expresiones de la fuerza de mortalidad: a) Ley de Weibull: b) Ley de Pareto: a

1-Lx

Solución: a)

= X+ b

21

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA

Si J.tx

= k.xn , siendo k>O

s(x) = exp(-

y n>O, entonces

¡x o

= exp( -k

¡.t8 ds)

Lx snds) o

x~l = exp( -k--)

n

+1

es decir, k

s(x) = exp( ---.xn+l) n+1

b) Si 1-tx =

x~b

s(x) = exp(-

¡

X

o

,

siendo a>O y b>O, entonces

¡.t8 ds)

= exp(-

¡x 0

a

+b

X

X

+b

--ds) = exp( -a.log -b-) = (--ra s+b

b

8.- Demuestre que la fuerza de mortalidad 1-tx coincide con la función de deasidad de la vida residual de un individuo de edad x, evaluada en el punto O. Solución:

= lim Pr ob (X < X < X + t / X > X) = lim tqx =

¡.t X

t

t ---> 0

. tqx -o qx = [ -d = bm t--->0

t

dt

t--->0

tqx ]

d (t )] == [ -Gx t=O

dt

t

=

9x (O)

t=O

Esta propiedad permite interpretar aproximadamente J.tx b.x como la probabilidad de que una cabeza de edad x fallezca entre las edades x y x + b.x, siendo mejor la aproximación cuanto más pequeño sea el intervalo b.x (recuérdese la Observación 1 del Apartado 1.4).

2 Tablas de mortalidad

2.1

Tablas de Mortalidad

Es un hecho bien conocido que la probabilidad de que un individuo concreto fallezca en un determinado periodo depende de muchos factores, como por ejemplo su edad (el único factor que hemos estudiado en el capítulo anterior), sexo, estado de salud, factores genéticos y ambientales, etc. En efecto, es evidente que la mortalidad aumenta con la edad (salvo en el caso de las edades infantiles). También se sabe que la mortalidad femenina, a igualdad de los restantes factores, es inferior a la masculina. Asimismo es evidente que la mortalidad está relacionada con la aparición de enfermedades graves, aparición que puede acelerarse o retardarse por factores genéticos y ambientales. Por otro lado, las estadísticas y censos relativos a una población suelen registrar las edades y el sexo de sus componentes, pero no su estado de salud ni su posible exposición a factores de riesgo genéticos o ambientales. Además, si la población es suficientemente grande entonces el principal factor determinante de la mortalidad resulta ser la edad de los individuos. Por esta razón, en el capítulo anterior hemos considerado únicamente la edad como factor determinante de l~ mortalidad. Llamaremos población homogénea a una población en la que se verifique la propiedad anterior, es decir, en la que la edad sea el principal factor determinante de la mortalidad de los individuos. A partir de ahora nos referiremos exclusivamente a una población homogénea, que intuitivamente podemos identificar con la población masculina o con la población femenina de un determinado país o región. Una Tabla de Mortalidad (o de Supervivencia) contiene los elementos básicos guep~rmit~n cakula.r las_pr:_uhahilidades de_muerte y supervivencia en una población homogénea, a _partir de las cuales se lle-yan ~ ca~ los cálculos actuariales. Una tabla de mortalidad típica puede tener la siguiente estructura: 23

24

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

qx 0.012964 0.001011 0.000704

X

o 1 2

~

107 108

•• o •• o o o o o •• o o

1.000000 1.000000

dx 12964.000 997.893 694.171

lx 1000000.000 987036.000 986038.107

.................

....... ..............

4396.000 000.000

4396.00D 000.000

ex 72.80 72.75 71.82 0.50 0.00

La rimera columna representa las edades de los individuos, que únicamente

t~valores enteros. La se@!!_(!a columña-representa las pro_l>abilidades d~~s individuos de edades x = 0,.1,-2, ... mueran antes de un año. En_el_capítulo anterior hemos denominado.qx a dichas probabilidades. La última columna representa como sabe!:Ilos,Ja es12eranza de· vida (abreviada) a las distintas edades*. Conocidos los valores de las qx se pueden calcular fácilmente las demás probabilidades básicas tPx, tqx, sftqx (aunque solamente para valores enteros .de x, s y t). En efecto, sabemos que Px = 1 - qx, y en el apartado 1.3 demostraiños que tPx = Px Px+l···Px+t- 1· Además, es claro que tqx = 1 - tPx· Finalmente, de nuevo por un resultado de 1.3 tenemos que s¡tqx = sPx tqx+s· Por tanto, la tabla de mortalidad nos proporciona la distribución de probabilidaü de la Y!:tr~ieatoria_-ff:x (número c_ompletos de años de vida hasta la mu~rj;e de (x)). Incluso la última columna se puede obtener a partir de los qx, ya que, como sabemo~ por el apartado 1.5.2, se- verifiCa que ex = L~=o k+IPx· En c;-nsecuen~ia, las tablas de mortalidad podrían c;nstar tan solo de ;:;.na única columna de v~lores c!e__gx. J>ero tradjcionalmente las tablas de mortalidad incluyen dos columnas más, que informan de los valores de dos nuevas variables denotadas como dx y lx, y que definiremos a continuación. Consideremos un grupo de lo recién nacidos, por ejemplo lo = 1000000 (la elección de su valor es arbitraria). La supervivencia hasta la edad x de uno cualquiera de los recién nacidos es un suceso aleatorio que se puede representar como una variable aleatoria de Bernouilli, que toma el valor 1 con probabilidad s(x) y el valor O con probabilidad 1- s(x). Definamos una nueva variable aleatoria x como el número total de recién nacidos que sobreviven hasta la edad x. ~ claro que la variable .C(x) resulta ser suma de l 0 variables de Bernouilli, y por tanto, suponiendo independencia entre ellas, .C(x) debe ser una variable aleatoria _binomial. Llamaremos lx (l de living, vivos) a la esperanza de la variable bino~ial *En algunas tablas, admitiendo la hipótesis de distribución uniforme de la mortalidad (véase ejercicio 4, se suma a la esperanza de vida abreviada para cada edad de forma que se obiene la esperanza de vida completa

!

25

TABLAS DE MORTALIDAD

.C(x) que, como es bien conocido, es igual a l0 s(x). Tenemos entonces:

- -

---

lx

(2.1)

= E(.C(x)) =lo s(x)

Los valores de las lx (número esperado de recién nacidos que sobreviven a las distintas edades x = O, 1 , 2, 3 ... ) están tabulados en la cuarta columna de nuestro ejemplo de tabla de mortalidad. Vemos, así, que el número esperado de recién nacidos que llegan a cumplir un año de edad es 987036, el de los que llegan a cumplir dos años de edad es 986038.107, etc. Obviamente, los valores de lx decrecen según aumenta la edad x, hasta llegar a la edad límite w (108 años en nuestro ejemplo) en donde evidentemente se tiene que lw =O. Los valores de las lx parecen algo arbitrarios, ya que dependen de la elección de l 0 . Sin embargo, como veremos a continuación, las probabilidades básicas de muerte y supervivencia tPx , tqx , sftqx pueden calcularse fácilmente a partir de dichas lx. En efecto,

lx =lo s(x)

===:>

s(x) = lx

lo

y por tanto:

tPx tqx

sjtqx

=

=

===:>

s(x + t) = lx+t lo

s(x + t) lx+t s(x) =----¡; lx- lx+t lx

= 1 -t Px = ----'-

s(x + s)- s(x + s + t) lx+s - lx+s+t s(x) = lx

(2.2) (2.3) (2.4)

Por otro lado, sea V(x , t) una nueva variable aleatoria que representa el número de individuos del grupo inicial de l 0 recién nacidos que mueren entre las edades x y x +t. Llamaremos a su esperanza tdx (d de dead, muertos):

tdx Es evidente que V(x , t)

= E(V(x, t))

= .C(x)- .C(x + t). Por tanto, tomando esperanzas, tdx

= lx - lx+t

En particular, tomando t=1 obtenemos el número esperado de individuos que mueren entre las edades x y x + 1, y que notaremos como dx:

dx

= lx- lx+l

MATEMÁTICA DE LOS SE GUR OS DE VIDA

26

Los valores de dx están tabulados en la tercera columna de nuest ro ejemplo de tabla de mortalidad, donde podemos comprobar fácilmente que se verifica la relación anterior: si a lo=lOOOOOO le restamos l¡ =987036 obtenemos do=12964, si a l1 le restamos l2=986038.107 obtenemos d 1 =997.893, etc. En consecuencia, si conocemos lo y la columna de dx podremos calcular la columna de lx (ya que lx+ 1 = lx - dx, y por tanto lx = l0 - ¿~~~ di) y de ahí obtener todas las probabilidades básicas. Son interesantes las relaciones:

tqx =

lx- lx+t lx

tdx lx

--

(2.5)

de donde se deduce que

dx qx = lx

(2.6)

Finalmente,

s/tqx =

lx+s - lx+s+t lx

tdx+s lx

--

(2.7)

Concluímos este apartado mencionando una vez más que las probabilidades básicas tPx, tqx y s¡tqx pueden calcularse en una tabla de mortalidad, o bien a partir de la columna de qx, o bien a partir de la columna de lx, o bien a partir de l0 y la columna de dx. Es claro que la segunda opción resulta la más recomendable, pues las fórmulas que aparecen son relativamente sencillas y fáciles de recordar. Por esta razón, aunque la información proporcionada puede variar de una tabla a otra, todas las tablas contienen con seguridad la columna de lx.

2.2

La Función de Supervivencia

Aunque en las tablas solamente aparecen los valores de lx para x entero, la función lx puede perfectamente definirse para cualquier x real y positivo. En tal caso lx se denomina Función de Supervivencia. Se trata de una función real de variable real, decreciente y que interseca al eje de ordenadas en l 0 y al de abscisas en w. Pero debemos hacer una pequeña precisión. En el apartado 1.2.3 definimos la función de supervivencia como aquella que para cada edad x proporciona la probabilidad de que un recién nacido alcance con vida dicha edad, y la denotamos como s(x). Ahora denominamos función de supervivencia a lx, número esperado de individuos del colectivo inicial de l 0 recién nacidos que sobreviven a la edad x. Es claro que la función lx depende de la elección de l0 , y por tanto deberíamos hablar realmente de una colección de funciones, todas ellas proporcionales entre sí, siendo precisamente s(x) una de ellas, la correspondiente a la elección de lo = 1

TABLAS DE MORTALIDAD

27

(en efecto, puesto que lx = l0 .s(x), si l0 = 1 entonces lx = s(x)). Puesto que tanto s(x) como las lx asociadas a cualquier lo =f 1 pertenecen a la misma familia y son proporcionales entre sí, a partir de ahora las denotaremos a todas ellas con la misma denominación de Función de Supervivencia. Al igual que sucedía con el tanto instantáneo o fuerza de mortalidad, muchos investigadores han propuesto expresiones analíticas de la función de supervivencia. De hecho, se trata del mismo problema, ya que obviamente la fuerza de mortalidad y la función de supervivencia se encuentran relacionadas. En efecto, en el apartado 1.4 comprobamos que s'(x) J.Lx = - s(x) Pero

( ) SX

lx =lo

J.Lx =

-l:

y, por tanto,

l'

1(

=}S

)

X

l' =l:

d = - dx Ln(lx)

(2.8)

luego conocida la función de supervivencia se puede calcular la fuerza de mortalidad, que resulta ser la variación relativa de aquella. Inversamente, el lector puede comprobar que lx = l0 .e- ¡; JJ..ds (2.9) Así, por ejemplo, cuando la fuerza de mortalidad es constante (ley exponencial) se comprueba fácilmente a partir de la fórmula anterior que

lx = lo.e - JJ.x

(2.10)

En el apartado 1.6 hemos discutido la hipótesis de una fuerza de mortalidad constante, llegando a la conclusión de que no resulta realista. Sin embargo, esta hipótesis tiene gran importancia histórica. A continuación comentaremos brevemente algunas de las primeras tablas de mortalidad que aparecieron en la segunda mitad del siglo XVII, así como las funciones de supervivencia y leyes de mortalidad subyacentes. Es bien conocido que el primer texto impreso sobre Teoría de la Probabilidad fue De Ratiociniis in Ludo Aede, escrito por Christian Huygens y publicado en 1657. En 1662, tan sólo cinco años después, John Graunt publicó sus Observations upon the Bills of Mortality, trabajo que ha sido posteriormente reconocido como el precursor de la Estadística Demográfica. En él Graunt incluyó la primera tabla de mortalidad de la historia, relativa a la población de Londres. Reproducimos a continuación su famosa tabla:

28

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

X

o 6 16 26 36 46 56 66 76

lx

100 64 40 25 16 10 6 3 1

Los registros de mortalidad a los que tuvo acceso Graunt indicaban la causa de la muerte y el sexo los difuntos, pero no su edad. Graunt registró la proporción de personas que morían de enfermedades infantiles (las cuales presumiblemente han de ser niños), añadiendo la mitad de las que morían de enfermedades como sarampión o viruela (que afectan igualmente a niños y adultos), y concluyendo que 36 de cada 100 personas morían antes de los 6 años. Esto proporciona la segunda fila de su tabla de mortalidad. La hipótesis de que casi nadie sobrevivía a los 76 años de edad proporciona su última fila. Graunt no explica cómo obtuvo las filas intermedias. Un gran número de investigadores se han planteado este problema, y algunos llegan a la conclusión de que inventó los números. Otros (véase Hacking (1995)) aventuran la hipótesis de que Graunt llevó a cabo una interpolación entre los 6 y los 76 años siguiendo una ley exponencial: en efecto, tomando f-L = 0.047 y redondeando a alguno de los enteros más cercanos, podemos reproducir aproximadamente la tabla de Graunt. -Si l6 = 64 entonces l 16 = 64 e - 0 ·047 O, tenemos que

OnEx

-----¡¡¡-
x:n

ax:nl

Para el cálculo de la varianza de L.escribiremos

L=

1-Z __ = (1 + px:nl)

z- p x:nl-

8

8

z _ px:nl 8

donde

L={

vTx

vn

Tx :S n Tx > n.

Así

Var(L)

=

(1

+ p (~,n¡)) 2 Var(Z)

(1

=

+ P (~,n¡)) 2

(

2

Ax:ni -(Ax,n¡) 2 ) (7.34)

y cuando la prima obedece al principio de equivalencia actuaria!, tenemos 2 -

Var(L) =

-

Ax:ni -(Ax,n¡)

2

-)2 (8 a x:nl

2 -

-

Ax:ni -(Ax:ni) (1- Ax,n-,) 2

2

(7.35)

La "prima semicontinua", que surge cuando el capital para el caso de fallecimiento se paga en el momento del fallecimiento y las primas al principio de cada año mientras viva el asegurado, es elementalmente

P( A -) _ -'>x:nl

-

A~,n¡ +A

Ax:ni

(7.36)

iix:ni

Verificándose, bajo la hipótesis de distribución uniforme de la mortalidad, la siguiente relación con la prima discreta:

-

P(Ax,n¡) =

'/,

--¡: p~:nl u

+ p x:nl_!_

(7.37)

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

178

7.5

Primas anuales variables

7. 5.1 Un seguro de vida en general Realizaremos un planteamiento general de un seguro de vida en el caso discreto. Consideremos una cabeza de edad X y sean e = {el ) e2 ) .... ) ew- x} ) e' = {Cb, e~, .... , C~ - x - 1 } y P ={Po, P1, .... , Pw- x- I}, los conjuntos que representan respectivamente los capitales en caso de fallecimiento (hipótesis de pago al final del año del mismo), los capitales a recibir en caso de supervivencia y las primas anuales a pagar al comienzo de cada año respectivamente. Tomando algunos de ellos el valor cero podemos obtener distintos tipos de seguros de vida. El resultado de la póliza es una variable aleatoria L = eK.,+IvKx+I

+ (VaC')K.,+II-

donde

(VaP)K.,+II

Kx =O, 1, 2, ... , w- x- 1

n- 1

(Vae')rq = Le~ vt

n- 1

y

(VaP);¡ = L p vt

t=O

t=O

El principio de equivalencia actuaria! E(L) =O conduce a

(VaP)x = (V Ae)x + (Vae')x

(7.38)

Conocidos los elementos de e y C', habrá que determinar los valores de P0 , P 1 , .... , Pw- x- l (que no serán únicos ni iguales, en general) para los que se verifica la igualdad anterior. Consideremos dos casos particulares. • Supongamos en primer lugar que las primas varían en progresión geométrica de razón q, esto es, P = {Px, Rx q, Px q2 , Px q3 .••• } . El principio de equivalencia actuaria! conduce a

de donde la prima correspondiente al primer año es

p = (V AC)x + (Vae')x x qiix • Supongamos ahora que las primas varían en progresión aritmética cuya diferencia se establece en un porcentaje p de la primera prima. Ahora P = {Px, Px + p Px, +Px + 2 p Px, .... }. De nuevo la aplicación del principio de equivalencia actuaria! conduce a (recuérdese (6.76))

Px (iix

+ p I¡(Iii)x)

=(V Ae)x + (Vae')x

PRIMAS PURAS

de donde

179

p _ (V AC)x + (ViiC')x iix + P 1/(Iii)x x-

Asimismo es posible realizar un planteamiento general en el caso continuo. Para una cabeza de edad x, sea la función

C: [O ,w- x]

~

R

donde C(z) nos proporciona el capital asegurado a pagar si dicha cabeza fallece a la edad x + z y sean las funciones

C',P: [O,w- x]

~

R

que representan las densidades de capital correspondientes a la prestación en caso de supervivencia y al pago de primas respectivamente. El principio de equivalencia actual conduce a

(VaP)x = (V AC)x + (VaC')x

(7.39)

Dadas las funciones C y C', el problema será la determinación de la función

P. 7.6

Primas fraccionarias y primas fraccionadas

Hasta el momento las primas periódicas estudiadas han sido anuales. En el presente apartado trataremos las primas cuyo periodo es una fracción de año, comúnmente un mes, trimestre o semestre. En este punto hemos de distinguir dos casos: 1.- La prima es calculada para la fracción de año elegida. Estaremos ante primas mensuales, trimestrales o semestrales. Estas primas reciben el nombre de primas fraccionarias. De estas primas se dice que poseen poder liberatorio, esto es, el pago de la correspondiente prima da derecho al cobro de la indemnización completa en caso de producirse el suceso causante de la misma. Consideremos un seguro vida entera para una cabeza de edad x bajo la hipótesis de pago del capital asegurado al final del año del fallecimiento. Supongamos que las primas se corresponden con una determinada fracción m-ésima de año pagándose al principio de la misma, son constantes y se pagan hasta el fallecimiento del asegurado. Si representamos mediante p(m) X

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

180

la cuantía total de los pagos anuales por primas, es claro que pJm}

m

es la cuantía de la prima correspondiente a la fracción de año elegida. Para establecer la equivalencia actuaria! hemos de recurrir a las rentas fraccionadas estudiadas en el capítulo 6. La aplicación del principio de equivalencia actuaria! conduce elementalmente a p(m) ii(m) = X

X

AX

esto es p(m} x

= Ax

.. (m)

ax

y asumiendo, por ejemplo la hipótesis de linealidad de los Dx (véase el apartado 6.2.2) p(m) = __A_x_-=x ·· m- 1 ax_2_m_

Si las primas se pagan mientras viva el asegurado pero como máximo durante n años, tendremos n

p(m} .. (m)_ X

ax:nl-

A

X

esto es n

p(m) _ x -

Ax .. (m}

ax:nl

2.- La prima calculada es anual,dándose la posibilidad al tomador del seguro de satisfacerla mediante varios pagos. En este caso se produce un recargo puramente financiero y las primas pagadas en las fracciones de año no poseen poder liberatorio, por lo que, en caso de producirse el siniestro, de la indemnización se detraerá la parte de la prima anual no satisfecha en ese momento. Este tipo de primas se denominan fraccionadas. De forma elemental la prima anual Px se sustituye por m pagos iguales de cuantía p(m) al comienzo de cada una de las m fracciones del año. La cuantía de p(m) se obtiene fácilmente a partir de

Px = m p

.

ii11

= m p -._t- (1 + it~ ali = m p J(m)

(1 + it~ j(m) (1 + í) i

donde el tipo de interés aplicado no tiene porqué coincidir con el tipo de interés técnico.

PRIMAS PURAS

181

En las condiciones de la póliza puede establecerse, por ejemplo, que el pago de la prima se hará por anualidades anticipadas, pudiendo acordarse su pago fraccionado mediante un recargo del 1% si el fraccionamiento es semestral, del 2% si es trimestral y del 3% si es mensual.... En caso de fraccionamiento, si se produce el suceso que da lugar a la indemnización, de la suma asegurada se descontarán las fracciones no pagadas de la prima. 7. 7

Contraseguro de primas

En aquellas modalidades de seguro en las que puede darse el caso de no recibir nada a cambio de las primas pagadas (pensemos en un seguro temporal si la vida residual del asegurado supera la temporalidad, o es un capital diferido si el asegurado fallece antes), en algunas ocasiones, fundamentalmente por razón de hacerlas más atractivas, suelen comercializarse incluyendo en las condiciones de la póliza una denominada cláusula de contraseguro por la cual de no producirse el suceso que da derecho a la percepción de la indemnización (en nuestros ejemplos: fallecimiento durante el periodo de cobertura o alcanzar con vida la edad estipulada) se devuelve el total o una parte de las primas pagadas, incluso capitalizadas. En la práctica, la inclusión de cláusulas de contraseguro supone incluir en la póliza una cobertura adicional. Así, un seguro temporal con contraseguro de primas es equivalente a un seguro mixto de capitales distintos y un capital diferido con contraseguro equivale a un seguro mixto en el que el temporal es variable. Por ejemplo, consideremos este último caso para una cabeza de edad x una temporalidad de n años, capital asegurado unitario y primas anuales y constantes de cuantía Px,;:;¡; si en el caso de devolución lo serán las primas pagadas hasta el momento del fallecimiento sin capitalizar, la equivalencia actuaria! conduce a

Px,;:;¡ iix,;:;¡ = A de donde

p

_!_

x:nl

+ Px ,;:;-¡(1 A) J:.~ · A¡

x:~

x:;:;l

= iix:nl - - (I A) 1 x:nl

Conviene hacer notar que en la práctica la prima devuelta es la prima comercial que incluye distintos recargos y será objeto de estudio en el capítulo 9. 7.8

Ejercicios

1.- Para un seguro vida entera bajo la hipótesis de pago del capital asegurado en el momento del fallecimiento, compare la varianza y el coeficiente de asimetría de la variable aleatoria L en los casos de prima

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

182

única y prima continua constante y vitalicia calculadas de acuerdo al principio de equivalencia. Solución: Representemos mediante Lu y Lp las correspondientes variables para los casos de prima única y vitalicia respectivamente. Sabemos que (7.3) Var(Lu) =

2

}k -(Jk) 2

Var(L ) =

2 Ax -(}k)2 (1- Ax)2

y que (7.15) p

Por tanto, ya que }k::; 1, tenemos

Var(Lu)::; Var(Lp) En cuanto al coeficiente de asimetría, tenemos

y

y

y ya que

p (lk)

L p

Por tanto,

8}k 1- Ax

=VT"(-1-) Ax -~ Ax 1-

1-

PRIMAS PURAS

J.= (vT"' (__1,_) O 1- A.,

3

=

3

(

=

9x (t) dt

A'!:. ) 1- A.,

-

(1-

183

2A.,-(A.,)2)2 (1- A.,) 2

A.Y J.= (vr"' (__!,_) O 1-A.,

3

A! ) 1- A.,

9x (t) dt

3

( 2 Ax -(Ax)2)2

=

fo= ( VT.,_

Á,

r

9x(t) dt

( 2 Ax -(Ax) 2 )~

.

= AszmLu

por lo que los coeficientes de asimetría coinciden.

2.- Pruebe que las siguientes pólizas para una cabeza de edad x poseen la misma duración matemática: a) Un seguro vida entera con pago del capital asegurado en el momento del fallecimiento a prima única. b) Un seguro vida entera con pago del capital asegurado en el momento del fallecimiento a prima continua constante y vitalicia. e) U na renta inmediata, constante, continua y vitalicia a prima única. Solución: a) Del ejemplo 8 es claro que, la duración matemática será aquél valor de t para el que e - l i t - Ax =O de donde ln(Ax)

t=---

8

b) Ahora, la duración matemática será aquél valor de t para el que

e

- lit

--

-

- P(Ax) ati = O,

donde

Ax

--

P(Ax) = -::ax

Ahora bien, e-lit-

P(Ax) ati =e- l i t - ~ 1- e - lit ax ó =e - lit

(ti ax

+ Ax) _

Ó llx

Ax Ó llx

=e - lit

=e - lit

(1

+

Ax ) - Ax {j llx

ó llx

(-1-) _ Ax Ó llx 8 llx

=

184

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

Por tanto, de

se sigue t

= _ln(Ax) 8

e) La duración matemática será aquél valor de t para el que

esto es

1 -e - 5

t

o sea de donde nuevamente t = __ ln--'-(Ax_---'-)

8

3.-0btenga la función de densidad y la función de distribución del resultado de un seguro vida entera con pago del capital asegurado en el momento del fallecimiento, en los casos de pago de una prima única y de pago de prima continua constante y vitalicia. Solución: Recordemos el valor actual del seguro vida entera:

Conocemos las funciones de densidad y distribución de Z (véase el capítulo 4) la función de densidad del valor actual es h( z)Pz .J.Io:+h(z)

f( z ) = { o

5.z

si si

0< z~ 1 z~ Oó z> 1

y la función de distribución

F(z)

~{

o h(z)Px

1

S't

z~ O

si 0< z~1 si z > 1

185

PRIMAS PURAS

_lniz)_

donde h(z) = a) A prima única

L=Z-II y si dicha prima única se encuentra calculada de acuerdo al principio de equivalencia actuaria!, II = E(Z) =Ax La distribución de probabilidad deL se obtiene con facilidad. Basta realizar el cambio de variable l = z- A (donde A =Jk) . La función de distribución es

~(l+A)P•

F(l) = {

l ::; -A

S'/,

si -A1-A

y la función de densidad es h(I+A)P"' -1-'"'+ h(l+ A)

f(l) =

{

o

S'/,

6.(1+A)

-A < l ::; 1 - A

si l ::; -A ó l > 1 - A

Cuando la prima única no obedece al principio de equivalencia, basta sustituir en las expresiones anteriores A por dicha prima para obtener la distribución de probabilidad del resultado. b) En el caso de que las primas se paguen de forma constante uniforme y continua, recordando que L

=

VT.,_

f> (Jk)

1 -.VT"'

= VT"'(1 + F (fk))- f> (Ax)

podemos escribir

L=aZ+b con

Z=vT"' a= (1 + P (Ax) 8 ) '

y

b=

p (lk) 8

Tenemos ahora que realizando el cambio de variable l = a z de distribución es Ü S't l ::; b

F(l) =

{

he : b)Px 1

s~ b O y P (Ax) ---t O. Es fácil ver que las funciones de distribución tienden a coincidir cuando el tipo de interés crece. Aparentemente esta convergencia es más lenta segun crece la edad. Notemos que P(:.,) tiende más despacio a cero al ser lógicamente P (Ax) mayor.

¡1&.- Para una cabeza de edad x consideremos un seguro temporal en el que en caso de fallecimiento el beneficiario recibe el capital asegurado, que supondremos unitario, más las primas pagadas hasta el momento del fallecimiento, que consideraremos anuales y constantes, capitalizadas al tipo de interés técnico i. Empleando la hipótesis de pago del capital asegurado al final del año de fallecimiento, se pide: a) Distribución de probabilidad del resultado L para esta póliza. b) Cálculo de la prima anual y constante aplicando el principio de equivalencia actuaria!. e) Calculo de la varianza de L. Solución: Notemos que, en conjunto, tenemos un seguro temporal de capital asegurado variable. Representaremos por Px:ñl la prima anual constante y aceptaremos la hipótesis de pago del capital al final de año de fallecimiento. Así el capital asegurado sera 1 + px:ñl sn si el asegurado fallece a la edad x, 1 + Px:ni 821

si fallece a la edad x

+ 1, y así sucesivamente,

hasta

1 + px:ñl sn¡ si fallece a la edad x + n - l. La variable aleatoria L se define fácilmente

L={ (1 + P

x:nl

- a-S.. K.,+li ) VK.,+l - p x:nl K.,+li

Kx=0 , 1,2, .. . , n-1 Kx =

-Px:ni an¡

n,n+ 1, ....

ahora bien

(1

+

··- - ) K.,+l _ K.,+ l px:fil 8 K.,+ll V -V

+ px:nl_

·· _ _ aK.,+ll

por lo que

L={

vK.,+l

Kx -Px:ni an¡ Kx

= O, 1, 2, ... , n - 1 = n,n+ 1, .. ..

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

188

Aplicando el principio de equivalencia actuaria!, ya que w- x - 1

n- 1

E(L)

L vK.+

=

1

L

k¡qx-

Px,-;;-1 a;J kfqx

=

A±,;J - Px,;J a;J nPx

k=n

de E(L) =O, se sigue

A1-

p x:;J = .. x:n l an¡ nPx En cuanto a la varianza de L , es claro que w- x - 1

n- 1

Var(L) = E(L

2

)

=

L(vK.+ 1 ) 2

L

kfqx-

(Px:ni lin¡) 2 k/qx =

k=n

=2

Al-_ x:n l

7.- Siendo

1 11 f""'X-

110-

X

X

(Al-) 2 x :n l nPx

>_ 0 ·,

Í

= 0.03

Calcule la prima única pura y la prima anual continua y constante para un seguro vida entera de capital asegurado la unidad que se paga en el instante del fallecimiento para un asegurado de 30 años de edad. Solución: Sabemos que la prima única pura es la esperanza matemática del valor actual, esto es,

- ¡BO (l.03tt

AJo=

0

1 1 (1+003) - t]SO ( · ) dt = - = 0.3831442799 80 80 1n 1.03 0

En cuanto a la prima anual continua constante, basta tener en cuenta que

P

30

=

ó Aao = Ln(1.03) 0.3831442799 = . 0 01835970006 1- AJo 1 - 0.3831442799

8.- Consideremos la operación de seguro contratada sobre una cabeza de edad x consistente en el cobro mientras viva y al principio de

PRIMAS PURAS

189

cada año de un capital de cuantía d = i/(1 + i) (donde i es el tipo de interés técnico), y el cobro además por parte de los beneficiarios de una unidad monetaria al final del año en que fallezca el asegurado. Supuesto que la operación se contrata a prima única, estúdiese la variable aleatoria L. Calcule asimismo la esperanza de L (prima única pura) y su varianza. Solución: Ciertamente se han contratado dos coberturas distintas: un seguro vida entera de capital asegurado unitario y una renta vitalicia inmediata ilimitada y prepagable. de cuantía anual d. El valor actual de cada una de ellas ya ha sido estudiado en los capítulos 4 y 5, siendo

Z ¡ -- V K.,+!

K x-,, - o 1 2 , ...

para el seguro vida entera, y

z2 = d a-- 1K.,+ll-

vK.,+l

Kx=0,1,2, ...

para la renta. La suma de estas variables aleatorias, es una

Z = Z 1 + Z2

= 1 Kx

variabl~

que toma los valores

= O, 1, 2, ...

Ciertamente

L = 1- Ilx

Kx =O, 1, 2, ...

Así, su esperanza matemática, prima única pura , es

Ilx = E(Z)

=1

Notemos que a este resultado se llega sin más que recordar la relación

dax+Ax=l. Por otra parte, la varianza de L es claramente

Var(L) =O. Sugerimos al lector una reflexión sobre el riesgo que comporta este tipo de póliza.

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VEDA

190

9.- Establezca la prima natural en los siguientes seguros: a) Vida entera o temporal. b) Integral. Solución: Representemos mediante PJ: la prima natural correspondiente al año en que el asegurado posee la edad x + k

pn 1

X

x+1

P:) ............................. P;:_ 1

x+ 2....................... x +n -1

x+n ..... .

a) En este caso, bajo la hipótesis de pago del capital asegurado al final del año de fallecimiento, es claro que

b) Supuesto una temporalidad den años (recordemos que en caso de fallecimiento el capital asegurado se paga al final de año n),

Pkn 7.9

=V

n- k

qx+k

Apéndice. El Principio de Utilidad Nula

El Principio de Equivalencia Actuaria! comentado en el apartado 7.2.1 no es el único principio de cálculo de primas que encontramos en la bibliografía actuarial, aunque sí el más usado en la práctica. En este Apéndice comentamos brevemente un principio alternativo denominado Principio de la Utilidad Nula (zero utility principie), muy riguroso desde el punto de vista teórico y del cual el Principio de Equivalencia Actuaria! resulta ser un caso particular, aunque de difícil aplicación en la práctica. Para simplificar la exposición, consideraremos únicamente el caso de primas únicas, así como un periodo de exposición al riesgo no muy grande (por ejemplo un año). El Principio de la Utilidad Nula se basa en la hipótesis de que la prima a pagar depende de las preferencias subjetivas de cada asegurado y de sus actitudes ante el riesgo, reflejadas en su función de utilidad. Asumiendo por tanto la existencia de tales funciones, y llamando W a la riqueza inicial del asegurado, U a su función de utilidad, S a la (incierta) siniestralidad a la que deberá hacer frente durante el periodo considerado y P a la prima (única) a pagar a cambio de transferir dicha

PRIMAS PURAS

191

siniestralidad a la empresa aseguradora, la teoría de la utilidad de Von Newmann y Morgenstern nos permite asegurar que la prima P deberá ser tal que

U(W- P) = E[U(W- S)] El principio anterior se denomina Principio de la Utilidad Nula, y su interpretación es evidente. El primer miembro de la igualdad, U (W- P), representa la utilidad de la cantidad (cierta) de riqueza resultante de restar a la riqueza inicial W del asegurado la prima que este paga por protegerse del riesgo. El segundo miembro, E [U (W- S)], representa la utilidad (esperada) de la cantidad (incierta) de riqueza resultante de restar a la riqueza inicial W del asegurado la siniestralidad S a la que este debería hacer frente durante el periodo en caso de no asegurarse. El primer miembro, por tanto, representa la utilidad del asegurado después de pagar la prima, mientras que el segundo miembro representa su utilidad después de pagar el coste de los siniestros. Suponiendo, como es habitual, que las funciones de utilidad son crecientes, si la prima fuese demasiado alta, de forma que el primer miembro fuese menor que el segundo, el posible asegurado preferiría pagar él mismo los siniestros; si fuese mayor el primer miembro que el segundo, el asegurado preferiría evidentemente pagar la prima que los siniestros, e incluso aceptaría pagar una prima algo mayor. El Principio de Utilidad Nula representa la situación límite entre las dos anteriores. El Principio de Utilidad Nula resulta impecable desde el punto de vista teórico, pero presenta serios inconvenientes que hacen inviable su aplicación práctica, como el que la prima dependa de las preferencias del asegurado, o la determinación efectiva de las funciones de utilidad. En la práctica, las empresas suelen aplicar el Principio de Equivalencia Actuaria!, que en el contexto de primas puras únicas que estamos suponiendo aquí establece que

P=E[S] Es fácil comprobar que dicho Principio de Equivalencia Actuaria! resulta ser un caso particular del Principio de Utilidad Nula, el caso en el que la función de utilidad es lineal:

U(x)=a.x+b Evidentemente, en tal caso se tiene: U (W - P)

=

a(W - P)

E [U (W - S)]

=

a (W - E

+b [S])

+b

y, por tanto,

U(W- P) = E[U(W- S)] P =E [S]

192

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

Como ejercicio, el lector puede tratar de extender el Principio de Utilidad Nula al caso de periodos de exposición al riesgo más largos, así como de primas periódicas, y comprobar posteriormente que en el caso de funciones de utilidad lineales se obtiene precisamente el Principio de Equivalencia Actuaria! tal y como está enunciado en 7.2.1. Es preciso comentar, finalmente, que el fundamento tradicional del Principio de Equivalencia Actuaria! no reside en la Teoría de la Utilidad sino en la Ley de los Grandes Números. El lector puede encontrar un desarrollo más extenso de esta fundamentación en el apéndice del capítulo 9.

8 Reservas matemáticas a prima pura

8.1

Reserva matemática de una operación de seguro de v ida

Recordando lo expuesto en el capítulo 7, en el momento de efectuarse el contrato de seguro si las primas han sido calculadas de acuerdo con el principio de equivalencia actuaria!, la esperanza matemática de la diferencia entre el valor actual de las obligaciones futuras del asegurador y el valor actual de los futuros pagos por primas es cero. Con posterioridad al inicio de la cobertura la esperanza matemática de la citada diferencia ya no será, en general cero, y es denominada reserva matemát ica. Las reservas matemáticas constituyen uno de los elementos más importantes del pasivo de las empresas de seguros que operan en el ramo de vida, y en relación con ellas se encuentran regulados algunos derechos que, en ciertas modalidades, posee el tomador del seguro: los valores garantizado s. Aunque en la notación matemática no habrá ningún signo distintivo, es importante señalar que, a la hora de calcular la reserva matemática, las bases técnicas de valoración no tienen que coincidir con las empleadas para el cálculo de la prima, y que a nuestro entender las bases técnicas con que ha de calcularse la reserva matemática no tienen que ser las mismas si la finalidad es el cálculo de la reserva que ha de figurar en el balance o sobre la que ha de girar la cuantía de los valores garantizados. En este capítulo estudiaremos las reservas matemáticas discretas y continuas a prima pura, haciendo referencia a las reservas de las modalidades clásicas del seguro de vida. Junto a los tradicionales métodos de cálculo prospectivo y retrospectivo estudiaremos la dinámica de las reservas mediante las expresiones recursivas y la ecuación diferencial de Thiele, que poseen importantes aplicaciones prácticas. Finalmente trataremos la descomposición de la prima en prima de r iesgo y prima de ahorro. 193

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

194

8.2

8.2.1

Reserva matemática discreta

Definición

Consideremos una operación de seguro de vida para una cabeza de edad x cuyas primas (discretas) se han calculado de acuerdo al principio de equivalencia. Supongamos que h años después la citada cabeza sigue con vida* . Definamos hL como la diferencia, en ese momento, entre el valor actual de las obligaciones futuras del asegurador y el valor actual de los futuros pagos por primas. Representemos mediante Kx+h la variable aleatoria número de años completos de, vida hasta la muerte de una cabeza de edad x + h (cabe recordar ahora que la distribución probabilidad de Kx+h no tiene que coincidir con la que se derivaría de las bases técnicas con la que se calcularon las primas) Lógicamente hL es una variable aleatoria que depende de Kx+h· Definiremos la reserva matemática discreta h años después del inicio de la operación, que se representa mediante h V, como la esperanza matemática de hL. Esta es la definición prospectiva de la reserva matemática. Para fijar ideas consideremos un seguro de vida general. Tornemos una cabeza de edad x , y sean C = {C1 ,C2 , . ... ,Cw-x } y P = {P0 ,P1 , .... ,Pw- x- 1 } los conjuntos que representan respectivamente los capitales en caso de fallecimiento (hipótesis de pago al final del año del mismo) y las primas anuales a pagar al comienzo de cada año (no habría ningún problema en la inclusión de capitales para el caso de supervivencia).

c2······························ch X

x+l

Po X

x

+ 2......................... x + h

x+h+l.. ...

p2·······························ph x+l

x+ 2......................... x+ h

x+h+l.. ....

Supuesto que, para unas determinadas bases técnicas, la primas obedezcan al principio de equivalencia, ha de verificarse

(Vé:iP)x = (V AC)x •Supondremos que la póliza se extingue al fallecer el asegurado. Más adelante haremos referencia a alguna modalidad en la que esto no sucede. Véanse ejercicios 2 y 3.

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

195

Calculemos la reserva matemática h años después de suscrita la póliza. Ciertamente la variable aleatoria hL toma los valorest

hL -e - h+Kx+h+l V K.,+h+l-

Kx+h ~ L....,¡

K x+h --o , 1 , 2 , ...

D rh+t Vt,

t= O

siendo k

P(hL

= ch+k+l vk+l- L Ph+t vt) = k/qx+h

k=

o, 1, 2, ...

t= O

Por tanto

w- x- h- l hVx

= E(hL) =

L

k

(Ch+k+l vk+l-

k=O

t= O

w- x- h- l

L

L Ph+t vt) k/qx+h =

w- x- h- l k ch+k+l vk+l k/qx+h -

L (L Ph+t vt) k¡qx+h = k=O

k=O w- x- h- l

¿

t=O

w- x- h- 1 ch+k+l vk+l kfªx+h-

¿

Ph+k kEx+h

k=O

k=O

esto es, la reserva matemática calculada por el método prospectivo es

hVx = (V AC)x+h - (VaP)x+h

(8.1)

Ahora bien, multiplicando y dividiendo en (8.1) por hEx tenemos h

_ ~x (V AC)x+h - hEx (VaP)x+h V:X hEx

h¡(V AC)x- h¡(VaP)x hEx

((V AC)x- (V AC)J:,hi)- ((VaP)x- (VaP)x:hi) hEx t Supondremos que la prima Ph que ha de pagarse a la edad x+h no ha vencido todavía en el momento de realizar la valoración. Por tanto su cuantía forma parte de los pagos futuros por primas.

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

196

y ya que (ViiP)x

= (V AC)x, h11, =

(ViiP)x·hi - (V AC) 1 ·

x :hl

(8.2)

hEx

que es la reserva matemática calculada por el método retrospectivo. En general, el método retrospectivo consiste en "valorar en x + h" la diferencia de las obligaciones entre x y x + h del tomador del seguro y del asegurador. De la deducción realizada de la expresión retrospectiva es posible afirmar que la reserva matemática calculada por el método prospectivo y por el método restrospectivo coinciden, siempre que se utilicen las mismas bases técnicas y además sean las empleadas para el cálculo de las primas. Estudiaremos a continuación con detenimiento la reserva matemática del seguro vida entera, así de para otras modalidades clásicas de seguro.

8.2.2 Reserva matemática para el seguro vida entera Consideremos en primer lugar un seguro vida entera para una cabeza de edad x. Supongamos que la prima pura anual constante ha sido calculada, para unas bases técnicas determinadas, de acuerdo al principio de equivalencia actuaria!, esto es,

Ciertamente, los valores que toma la variable aleatoria hL son Kx+h

= 0,1,2, ...

siendo además

Por lo que, elementalmente, la reserva matemática es

(8.3) Puede tener interés el conocimiento de la varianza de hL, para ello escribamos

por lo que

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

197

Es importante hacer notar que en las anteriores expresiones de la esperanza y varianza de hL, no necesariamente las bases técnicas de su cálculo han de coincidir

con aquellas que se emplearon en el cálculo de la prima Px. Estudiemos ahora otras expresiones para la reserva matemática. En éstas, dadas las simplificaciones realizadas es necesario el mantenimiento de las bases técnicas empleadas para el cálculo de las primas. 1.- Recordando que Ax+h = 1- d iix+h, y que Px = t-~: hVx

=

Ax+h- Px iix+h

=

d Ax Ax+h- 1- Ax

Ax+h- Ax 1- Ax

(8.5)

2.- Asimismo, hVx

=

Ax+h- Px iix+h

3.- Recordando que Px hVx

= J.a, -

=

1- (d

+ Px)

(8.6)

iix+h

d, se obtiene

= 1 - (d + Px)

iix+h

= 1 - a~+h

(8.7)

ax

4.- Finalmente, h"Vx = Ax+h- Px iix+h = (¿x+h - Px) iix+h = (Px+h- Px) iix+h ax+h

(8.8)

donde

p

_ Ax+h x+h- .. ax+h

es la prima anual constante de un seguro vida entera para una cabeza de edad

x+ h.

La· expresión retrospectiva de la reserva matemática es

.. --A~-~ Px ax:hl x:h hVx = hEx

(8.9)

Siendo A1,hi hkx= - E h

X

el denominado coste acumulado del seguro, tenemos hVx

=

Px sx:hi- hkx

(8.10)

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

198

Así la reserva matemática retrospectiva h años después de suscrita la póliza se obtiene como la diferencia del valor en ese momento de las primas a pagar entre las edades x y x + h y el coste del riesgo cubierto entre esas edades. Expresemos la reserva matemática mediante símbolos de conmutación. Sabemos que

p

Ax

= X

••

ax

por tanto, la expresión prospectiva de la reserva matemática es lT

h Vx

=

A

x+h -

p

··

x ax+h

Mx+h

Mx Nx+h

= -D - N -D x+h

x

(8. 11)

x+h

Hagamos notar que los símbolos de conmutación referidos a la prima Px no tienen por qué estar calculados con las mismas bases técnicas que los correspondientes a Ax+h y ax+h· Consideremos finalmente el caso de primas anuales constantes que se pagan mientras viva el asegurado pero como máximo durante n años. Ahora la reserva matemática se representa mediante

donde el pre-superindice n indica precisamente la temporalidad en el pago de primas. Por (7. 7) sabemos que Ax nPx = -.. ax:1il

Para obtener la expresión de la reserva matemática h años después de suscrita la póliza, hemos de distinguir dos casos: a) h < n, esto es, se calcula la reserva matemática cuando aún no ha finalizado la obligación del pago de primas. La reserva calculada por el método prospectivo es

y por el retrospectivo nPx ax:hi r hn lVx

=

A ~ x:hl

------=

hEx

b) h ~ n, esto es, ya ha concluido la obligación del pago de primas.

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

199

La reserva calculada por el método prospectivo es ~V.,=

Ax+h

y por el retrospectivo nlT h Vx

=

nPx

ax :nl--Ax :hl 1

_

hEx

Ejemplo 10 Como ya hemos indicado, según sea la finalidad, el cálculo de la reserva matemática no tiene porgué_ realizarse con las mismas bases técnicas con las que se calculó la prima. Consideremos un seguro vida entera para una cabeza de 30 años de edad, con pago del capital asegurado (la unidad) al final del año de fallecimiento y primas vitalicias constantes. Si las bases técnicas de calculo de la prima son la tabla de mortalidad GKMBO y un tipo de interés técnico i = 0.03, la prima anual constante es ~o

P3o = -.. - = 0.01210068 a3o donde w- 30- 1

L

A3o =

(1

+ 0.03) - (k+l)

k/q30

k =O

y w- 30-1

a3o =

L

(1

+ 0.03) - k kP30

k =O

La siguiente tabla muestra la cuantía de la reserva matemática a los 1O, 20 y 30 años de suscrita la póliza, para distintos tipos de interés: 10VJ0

0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

0.221490 0.169348 0.126887 0.092274 0.064034

20VJ0

0.378270 0.326219 0.281492 0.242977 0.209743

30VJO

0.541232 0.495142 0.453796 0.416639 0.383186

En la siguiente figura se representan wVJo (+), 20VJo (o) y 3oV30 (D)

...__

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

200

o

[]

e

0 .~

e o

e

[]

o

o

o

e e o

o

0.4 o

o

o

o

o

1! .3

+

o o o

o

o o o o

+

+ +

+ + + +

0 .1 0 .02

...

o o o o o

e

o

+ + + + + +

0 .03

0 .025

o

J o

... ... ...

0 .2

e e o o e

... -t

0.035

int•ris

o

0 .04

R eserva y tipo de interés Ahora h

V3o =

donde

A3o+h -

O, 01210068

a30+h

w-30- h - 1 A30+h

L

=

+ it(k+I)

(1

k/q30+h

k=O

y w- 30- h - 1 a3o+h

=

L

(1

+ itk

kP3o+h

k=O

para i =O, 02 , .... , 0.04 8.2.3

Reserva matemática para otras modalidades

Seguro temporal

La prima anual constante calculada de acuerdo al principio de equivalencia, supuesto que la temporalidad del pago de primas coincide con la de la cobertura del seguro, es P

_

1,n¡-

A1:z::nl

a:z::n- 1

La reserva matemática por el método prospectivo h años después de suscrita la póliza (h < n) es h V1:z::nl

= A

1

__ -

x+h:n-hl

P1:z::n- l

a +h·-hl X .n-

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

201

Asimismo, nVI- =0 x:n 1

Seguro a capital diferido La prima anual constante es p

_ 1-

A! x:ni

x:ni

..

ax:ni

La reserva matemática por el método prospectivo h años después de suscrita la póliza (h < n) es hV 1 =A _!_-P..!. ax+h:n - hl x:ni x+h:n - hl x:nl

y nV 1 x:ni

=1

Notemos que el capital diferido vence un instante después de calcularse la reserva cuya cuantía ha de coincidir con la de aquél. En este caso, la fórmula retrospectiva de la reserva (para h < n) resulta especialmente sencilla,

p

hvx:ni 1

1

ax :hi

x:~=P¡ hEx

x:ni

8

x:hi

Seguro mixto simple La prima anual constante es

p

A:l,,n¡ +A x:ni

=

·· ax:ni

..!. x:nl

Ax:ni ax:ni

La reserva matemática por el método prospectivo h años después de suscrita la póliza (h < n) es h Vx:ni = Ax+h:n- hl -

Px:ni ax+h:n - hl

siendo n

vx:nl =

1

En el ejercicio 1 haremos un estudio más detenido de la reserva matemática de esta modalidad de seguro obteniendo interesantes expresiones tanto para la reserva matemática como para la varianza de h L.

202

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

Renta diferida Tomemos ahora una renta diferida n años y prepagable de cuantía anual _la unidad, para una cabeza de edad x, con pago de primas anuales constantes mientras viva el asegurado pero como máximo durante n años de cuantía P( nfiix)· El principio de equivalencia actuaria! conduce a

de donde

La reserva matemática por el método prospectivo h años después de suscrita la póliza para h < n es

y para h 2: n (ya ha finalizado la obligación del pago de primas),

8.2.4 Ecuación recurrente de las reservas Además de los métodos prospectivo y retrospectivo para el cálculo de las reservas matemáticas son importantes, desde el punto de vista operativo, las fórmulas recurrentes que relacionan la reserva matemática correspondiente a un periodo de tiempo con la del inmediato anterior o posterior. Ciertamente, conocido el valor inicial o final de la reserva es fácil, mediante un simple tratamiento informático, obtener la correspondiente a toda la duración del contrato. Deduciremos a continuación una expresión recurrente de las reservas válida, en general, para todo tipo de seguros. Para ello retomenos el seguro de vida planteado en el apartado 8.2.1 Consideremos una cabeza de edad X y sean e= {CI, C2, .... , Cw- x} y p = {Po, P1 , .... , Pw-x- d los conjuntos que representan respectivamente los capitales en caso de fallecimiento (hipótesis de pago al final del año del mismo), y las primas anuales a pagar al comienzo de cada año. Supondremos además que las primas obedecen al principio de equivalencia, esto es, w-x-l

w- x - l

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

203

Asimismo la variable aleatoria hL toma los valores Kx +h hL =

eKx+h+h+l V Kx+n+1 -

~ ~

o t rh+t V

Kx+h

=

Ü, 1, 2, ...

t= O

por lo que la reserva matemática h años después de suscrita la póliza, que representaremos mediante h Yx ,es w- x - h - 1 hVx

¿

=

w- x - h- 1 ck+h+l vk+

1

¿

kjqx+h -

k=O

Pk+h V

k

kPx+h

k =O

y también w- x - h - 1 h+l

Vx

=

L

w - x-h-1

L

ck+h+l vk k - 1¡qx+h+1-

k= l

pk+h vk -

1

k - lPx+h+l

k= 1

Escribiendo w- x - h - 1 hVx = ch+1 V qx+h- ph

+

¿

w- x - h - 1 ck+h+1 vk+

1

¿

k¡qx+h -

k=1

Pk+h V

k

kPx+h

k= 1

y teniendo en cuenta que k¡qx+h

= Px+h

Y

k - 1/qx+h+l

kPx+h

= Px+h

k-1Px+h+1

tenemos h

Yx =

ch+l V qx+h -

ph +V Px+h h+l Vx

(8.12)

de donde, se obtienen las siguientes relaciones hVx

=

v(Ch+1 qx+h

+

Px+h h+lVx)- Ph

(8.13)

y Tr - ( h h+1 Vx-

Vx + Ph)(1 + i) -

ch+1 qx+h

(8.14)

Px+h

que nos permiten obtener, conocida la cuantía de las reservas matemáticas de un periodo, bien la del anterior o bien la del siguiente. Asimismo se obtiene la expresión ( h Vx

+ Ph)(1 + i) =

h+l Vx Px+h

+ Ch+l

qx+h

(8.15)

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

204

cuya interpretación es clara: la reserva matemática constituida al comie nzo de un año más la prima cobrada en ese momento con los intereses que genera su inversión han de ser suficientes bien para hacer frente al pago del capital asegurado al final de dicho periodo en caso del fallecimiento del asegurado (suceso que posee probabilidad qx+h) bien para constituir la reserva del período siguiente en caso de supervivencia del asegurado (suceso que posee probabilidad Px+h)· Esta última expresión puede ser escrita también como

En ésta h Vx + Ph puede interpretarse como la prima única pura para un seguro mixto de un año de duración en el que ch+1 y h+l Vx son los capitales para el caso de fallecimiento y supervivencia, respectivamente. Asimismo en la expresión (8.12) es claro que ch+1 V qx+h es la prima natural a la edad x + h, Pf:. Por lo que podemos escribir también (8.16) y TT

h Vx

-

h+1 Vx-

+ (PhE

1

Pf:)

(8.17)

x+h

Ejemplo 11 Consideremos un seguro temporal para una cabeza de 30 años y una temporalidad de 1O años con pago de primas anuales y constantes. Como bases técnicas de valoración se toma un tipo de interés técnico anual del 6% y la tabla

GKMBO. La equivalencia actuarial que nos permite calcular la prima es 1 P30:101

de donde

ii3o 101 :

1 = A 30:101

A¡_

p! - = .. 30' 101 =o, 00139642405719 30:101

a 30 ,101

La expresión recursiva de las reservas es t r _ ( h+1 Y30-

h V3o +O, 00139642405719)(1 + 0.06) P3o+h

teniendo en cuenta que

oV3o =O

q30+h

RESERVAS MATEMÁTICAS A PRIMA PURA

205

se calcula con facilidad el valor de la reserva matemática para los sucesivos años. Año

Reserva matemática

o

o

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0002184852289 O. 0004364 760364 O. 0006444458055 0.0008248741169 0.0009576583168 0.0010199461622 O. 0009859520348 0.0008267540146 0.0005100686786

o

La gráfica de su evolución es

0 .001

Reservas matemáticas. Seguro temporal Hagamos notar que en esta modalidad de seguros las reservas matemáticas poseen una escasa cuantía. En nuestro ejemplo para un capital asegurado de 1. 000.000 su mayor valor es de 1O19. Observación 7 No existe problema alguno en incluir en el seguro planteado en este epígrafe capitales en caso de supervivencia. Suponiendo que éstos se encuentran representados por los elementos del conjunto C' = {Cb, C~, .... , C~ - x - l}, la

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

206

expresión recurrente para las reservas matemáticas es elementalmente (8. 18) Es razonable pensar que Ph y

C~

no serán simultáneamente positivos.

Ejemplo 12 Para ilustrar esta última observación tomemos como ejemplo una renta unitaria, prepagable, diferida n años, para una cabeza de edad x, con pago de primas anuales y constantes mientras viva el asegurado pero como máximo durante n anos. La equivalencia actuaria[ conduce a que la prima anual y constante es

En este caso no existen capitales en caso de fallecimiento y sí para el caso de supervivencia. La expresión recursiva a emplear es h+IVx =

(h Vx

+ (Ph-

C~))(1

+ i)

~----~----~~--~

Px+h

en la que

={

R h

P( n¡iix) O

cuando h < n cuando h ~ n

y

C' = { O cuando h < n h 1 cuando h ~ n Tomando como tabla de mortalidad la GRM80, puede el lector comprobar que para una cabeza de 30 años, un diferimiento de 20 años y un tipo de interés técnico del 6% se obtiene una prima

P( 2o¡ii3o) = O, 34007967 y si el tipo de interés es del 2%,

P( 2o¡ ii3o) = O, 856980768 Ya que las reservas iniciales son cero, empleando la expresión recursiva dada es posible obtener el valor de la reserva matemática para los años sucesivos. Así, para i = 0.06 e i = 0.02, en la siguiente tabla tenemos algunos valores de la reserva matemática:

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

h

h

o o

V3o (i = 0.06)

2.03938315 4.79314205 8.54150176 12.5353550 13.7102169 13.5397978 12.8037118 11.7474406 9.17647991 6.34758274 3.94728218 2.44591407

5 10 15 19 20 21 25 30 40 50 60 70

h

o

207

V3o (i = 0.02)

4.56491658 9.65148234 15.3716379 20.5223977 21.9064401 21.4305645 19.4998269 17.0275625 12.0318298 7.57823794 4.37052703 2.57887074

En la figura siguiente representamos gráficamente la evolución de la reserva para los tipos de interés indicados. Para i = 0.02 (+++)y para i =O, 06 (oooo).

••

+ + •••

20

+

+ + + +

10

••

•• ••

o

••+ ••••

+

o o

+

e;.¡.

+

+

+ o + o + o + o

10

••+

+

+ +

+

+ o + o

•• •••• •••·"!'+.

o

+o

+.f

+d' .O

o

20

40

60

80

-

Reserva matematica. Renta diferida.

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

208

8.3

Reservas e n periodos fraccionarios

En muchas ocasiones puede ser necesario el cálculo de la reserva matemática en un momento no coincidente con uno de los aniversarios de la celebración del contrato. Sean h entero y rE (0, 1) y hemos de calcular la reserva matemática h + r periodos después de suscrita la póliza, esto es, h+r Vx. h+IVx

x

+h

x+h +r

x

+h +1

~------~------~ ~------~------_; r l- r

Por analogía con la expresión (8.15),

de donde TT

h+r Vx

=

TT

h+l Vx V

l- r

l - rPx+h+r

+Ch+l

V

l- r

l - rqx+h+r

(8.19)

Notemos que como el momento h + r no coincide con uno de los aniversarios de la póliza, no se produce ningún ingreso por primas. Si sólo disponemos de probabilidades de muerte y supervivencia para años enteros, habremos de recurrir a alguna de las hipótesis estudiadas en el capítulo 2 para estimar 1-rqx+h+r· Así, por ejemplo, si aceptamos la hipótesis de distribución uniforme de la mortalidad, tendremos

y

l - rPx+h+r

=

Px+h

--~~---

1- r

qx+h

por lo que podemos obtener una sencilla expresión para la reserva matemática TT

h+r VX

=

TT

h+ 1 VX V

l- r

Px+h

1- r

qx+h

+eh+ 1 V l - r (1- r) 1- r

qx+h qx+h

t Ciertamente,

1- rQx+h+r

=

s(x + h + r)- s(x + h + 1) s(x+h+r)

=

(1- r) s(x + h) + r s(x + h + 1)- s(x + h + 1) (1-r)s(x+h)+rs(x+h+1)

_ (1- r) s(x + h)- {1- r) s(x + h + 1) _ {1- r)- (1- r) Px+h (1- r) s(x + h) + r s(x + h + 1) {1- r) + r Px+h

_

{1- r) Qx+h 1- r Qx+h

=

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

vl - r

209

.

1 - r qx+h

(h+t V., Px+h + Ch+l (1 - r) qx+h)

(8.20)

Asimismo, teniendo en cuenta (8.15), es claro que Ch+l qx+h = ( h V.,+ Ph)(1

+ i)-

h+t Vx Px+h

por lo que 1- r

h+rVx =

v ((1- r) ( hVx + Ph) (1 + i) + r h+l V., Px+h) 1- r qx+h

(8.21)

En la práctica suele emplearse la siguiente expresión h+r V.,

= (1- r) ( hVx + Ph) + T

(8.22)

h+l V.,

que puede considerarse una aproximación de la anterior siempre que í y qx+h estén cercanos a cero. También puede escribirse como h+rVx

= ((1- r)

hVx

+ r h+l V.,)+ (1- r)

Ph

(8.23)

Esta última expresión es la habitualmente utilizada para el cálculo de la reserva de balance, para la que las normas legales exigen que incluya la reserva para riesgos en curso, esto es, la parte de prima no consumida al cierre del balance que en la citada expresión viene representada por (1- r) Ph·

8.4

Reserva matemática continua

8.4.1 Definición Sea ahora una operación de seguro de vida para una cabeza de edad x en la que el pago del capital asegurado se realiza en el momento del fallecimiento y con prima continua calculada de acuerdo al principio de equivalencia. Supongamos que h años después la citada cabeza sigue con vida. Definamos la variable aleatoria hL como la diferencia, en ese momento, entre el valor actual de las obligaciones futuras del asegurador y el valor actual de los futuros pagos por pnmas. Representemos mediante Tx+h la variable aleatoria vida residual o tiempo de vida hasta la muerte de una cabeza de edad x+h. Definiremos la reserva matemática continua h años después del inicio de la operación, que se representa mediante hV x , como la esperanza matemática de hL. Esta es la definición prospectiva de la reserva matemática.

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

210

Plantearemos ahora en el campo continuo una operación general de seguro. Supongamos que una cabeza de edad x contrata un seguro de vida mediante el cual en el momento del fallecimiento sus beneficiarios recibirán un capital cuya cuantía viene determinada por una función C:[O,w-x]~R

A cambio el contratante paga la correspondiente prima de forma continua y hasta el momento del fallecimiento del asegurado a una tasa anual determinada por la función P : [0, w - x] ~ R Supuesto que P(t) obedece al principio de equivalencia, esto es,

E(L) =¡(X) (C(t) e- lit - ¡t P (s) e- lis ds) 9x(t) dt =O tenemos

¡ (X)

P (t) e- lit tPx dt = ¡CXJ C(t) e- lit 9x(t) dt

El resultado h años después de suscrita la póliza es

{ T"'+h

hL = C(h + Tx+h) e- liT.,+,. -Jo

P (h + s)

e- lis,ds

Tx+h ~O

y la reserva matemática h años después de suscrita la póliza es, elementalmente,

hVx =E( hL) = ¡ CXJ C(h+t) e- lit 9x+h(t) dt- ¡ CXJ(¡t donde 9x+h(t) es la densidad de la vida residual de (x Operando§,

hVx =¡(X) C(h + t) e- lit 9x+h(t) dt- ¡ (X)

P (h+s) e- lis ds) 9x+h(t) dt

+ h).

P (h + t) e- lit tPx+h dt =

§Tomando

1t P(h + s) e- ós ds =u y

-

(1- Gx+h(t)) =V

por tanto

P(h + t) e-ót dt = du

y

9x+h(t) dt = dv

Integrando por partes tenemos 00

1

(1t

00

P(h + s) e-ós ds) 9x+h(t) dt = 1

P(h + t) e-ót tPx+h dt

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

=

¡oo C(h + t)

e - .st

211

P (h + t) tEx+h dt =

9x+h(t) dt- ¡oo

esto es

hV"'

=

(V AC)x+h - (VaP)x+h

(8.24)

que es la expresión prospectiva de la reserva matemática. Realizando sencillas operaciones tenemos h

h¡(VAC),.,- h¡(VaP),., hEx

_ hEx (VAC)x+h - hEx (VaP)x+h V :z;hEx

((VAC),.,- (VAC)~,hi)- ((VaP),.,- (VaP),.,,¡;-1) hEx esto es, h

_ (VaP),.,;¡J- (VAC)~,hi V :z;hEx

(8.25)

que es la expresión retrospectiva de la reserva matemática. Hagamos notar de nuevo que la igualdad de (8.24) y (8.25) requiere que las bases técnicas de cálculo sean las empleadas para el cálculo de la prima.

8.4.2

Reserva matemática para el seguro vida entera

Consideremos en primer lugar un seguro vida entera para una cabeza de edad x. Supongamos que la prima continua ha sido calculada de acuerdo al principio de equivalencia actuaria!, esto es,

p (Ax)

Ax a,.,

Ciertamente

hL

=

vTx+h_ p (A,.,) ar.,+,.l'

Tx+h ~O

Por lo que la reserva matemática es

hV(A,.,) = E(hL) = ¡ oo(vt-

P (A,.,)

00

=¡

ati) 9x+h(t) dt =

00

vt 9x+h(t) dt-

P (A,.,) ¡

ati 9x+h(t) dt

- - - - - - -- --..,

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

212

Calculemos la varianza de hL. Basta escribir

por lo que

Var(hL) = (1

= (1 + p

+ P (Ax)) 2 Var(vT"'+h)

=

8

~Ax) )

2

(

2

Ax+h -(Ax+h) 2 )

(8.26)

En las expresiones dadas de la esperanza y varianza de hL, no necesariamente las bases técnicas de su cálculo han de coincidir con aquellas que se emplearon en el cálculo de la prima. Estudiemos ahora otras expresiones para la reserva matemática análogas a las dadas para el caso discreto. En éstas, dadas las simplificaciones realizadas, sí es necesario el mantenimiento de las bases técnicas empleadas para el cálculo de las pnmas. - óA. 1.- Recordando que Ax+h= 1-8 ax+h, y que P (Ax) = ~ 1- A.,

8 Ax 1- Ax+h = Ax+h - --_8 1- Ax

-

-

Ax+h- Ax 1- Ax

(8.27)

2.- Asimismo,

(8.28) 3.- Recordando que

P (Ax) = J-8, a.,

se obtiene,

(8.29) 4.- Finalmente,

RESERVAS MATEMÁTICAS A PRIMA PURA

= (P (Ax+h)- P (Ax)) ax+h

213

(8.30)

donde

p (Ax+h) =

1-x+h ax+h

es la prima continua anual constante un seguro vida entera para una cabeza de edad x +h. Procediendo análogamente al caso discreto podemos llegar a la expresión retrospectiva de la reserva matemática h

p ii -1 V( Ax) = x x :hi- A x:hl

hEx

(8.31)

Siendo - - A~,hi hkx-hEx

el denominado coste acumulado del seguro, tenemos

hV(Ax) =Px sx,hi- h kx Consideremos finalmente el caso de prima continua y constante que se paga mientras viva el asegurado pero como máximo durante n años. Ahora la reserva matemática se representa mediante

~V(Ax) donde el pre-superindice n indica precisamente la temporalidad en el pago de primas. Por (7.15) sabemos que

nP(Ax)

Ax a x :nl -

Para obtener la expresión de la reserva matemática h años después de suscrita la póliza, hemos de distinguir dos casos: a) h < n, esto es, se calcula la reserva matemática cuando aún no ha finalizado la obligación del pago de primas. La reserva calculada por el método prospectivo es -~V(Ax) =Ax+h- n P (Ax) a x+h:nhl

---·---

---~

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

214

y por el restrospectivo _

_

~V(Ax)

=

n

P (Ax)

iix·-hl - A1

.

-hl

x:

hEx

b) h 2': n, esto es, ya ha concluido la obligación del pago de primas. La reserva calculada por el método prospectivo es

y por el retrospectivo _

_

~V(Ax)

=

n

F (Ax)

iix·ñl - A1 -hl

.

X:

hEx

8.4.3 Reserva matemática para otras modalidades Seguro temporal La prima constante y continua calculada de acuerdo al principio de equivalencia, supuesto que la temporalidad del pago de primas coincide con la del seguro, es _ A1x :nl p 1_ ---x :nl ax:ñl

La reserva matemática por el método prospectivo h años después de suscrita la póliza (h < n) es hV(Al-) =A x+h:n1 x:nl hl

-PIii h-h, x:nl x+ :n-

asimismo

Seguro a capital diferido La prima anual constante y continua es P(A

A1 ¡) = _x:ñl x:ni

ax:ni

la reserva matemática por el método prospectivo h años después de suscrita la póliza (h < n) es hV(A _!_) =A x:nl

_1_-

x+h:n- hl

P(A _!_) ax+h:n- hl x:nl

215

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

y n V(A

_!_) = 1 x :nl

En este caso la fórmula retrospectiva de la reserva (para h < n) resulta especialmente sencilla,

P(A _!_) iix:hi x:n~

=

hV( A _!_) x :nl

h

= P(A _!_)

sx:hi

x:nl

x

Seguro mixto simple La prima anual constante y continua es

- -

P(A -) = x :nl

A1.n¡ +A _!_ A · x :nl = x:nl

ax:nl-

a -

x:nl

La reserva matemática por el método prospectivo h años después de suscrita la póliza (h < n) es hV (Ax :nl)

= Ax+h:n- hl

- P(Ax:nl) ax+h:n- hl

siendo nVx:ni

=1

En el ejercicio 1 haremos un estudio más detenido de la reserva matemática de esta modalidad de seguro obteniendo interesantes expresiones tanto para la reserva matemática como para la varianza de hL.

Renta diferida El principio de equivalencia actuaria! conduce a

P( n¡ax) i:ix:ni = n/ax de donde la prima anual constante es

_ ) _ nfUx P( n/ ax - _ ax:ni

La reserva matemática por el método prospectivo h años después de suscrita la póliza para h < n es hV( n/ax)

=

n-h/ax+h-

P( n¡ax) ax+h:n-hl

y para h ~ n (ya ha finalizado la obligación del pago de primas), h V( n/ax) = ax+h

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

216

8.4.4 Ecuación diferencial dinámica de las reservas. Ecuación de Thiele Retomando la operación general de seguro de 8.4.1, supongamos que una cabeza de edad x contrata una operación de seguro de vida mediante la cual en el momento del fallecimiento sus beneficiarios recibirán un capital cuya cuantía viene determinada por una función C(t). A cambio el contratante paga la correspondiente prima de forma continua y hasta el momento del fallecimiento del asegurado a una tasa anual determinada por la función P(t). Supondremos que P(t) obedece al principio de equivalencia, esto es,

E(L)

=Loo (C(t) e- ct

- ¡t P (s) e-es ds) 9x(t) dt

=O

y también

Loo P (t) tEx dt =Loo C(t) e - et 9x(t) dt h años después de suscrita la póliza la diferencia entre el valor actual de las obligaciones futuras del asegurador y los pagos futuros por primas es

La reserva matemática h años después de suscrita la póliza es,por tanto

Para derivar la ecuación diferencial de las reservas, hagamos h Ciertamente

+t

r.

Derivemos esta expresión respecto a h.

d hVx _ {oo d ----;¡-¡;:}h dh ((C(r) llx+r- P(r))

e

-c(r - h)

( ( -( )) r-hPx+h) dr- C h) llx+h- P h

Ahora bien

ddh ((C(r) llx+r- P(r)) e- c(r- h) r- hPx+h) =

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

217

= (C(r) ¡.tx+r- P(r)) (ó e- c(r- h) r- hPx+h + e- c(r- h) r- hPx+h ¡.tx+h) = = (C(r) ¡.tx+r - P(r)) e- c(r-h) r- hPx+h (ó + ¡.tx+h) y

¡CXJ (C(r) ¡.¿x+r- P(r)) = (ó + ¡.tx+h)

¡CXJ (C(r)

e- c(r-h) r- hPx+h (ó

+ ¡.¿x+h)

dr

=

¡.tx+r- P(r)) e-c(r-h) r- hPx+h dr

=

= (ó + ¡.tx+h) hVx Por tanto,

dhVx

----¡¡¡;:- =

-

_

(ó + ¡.tx+h) hVx- (C(h) ¡.tx+h- P(h))

(8.32)

Esta es la Ecuación Diferencial de Thiele. Notemos que C(h) ¡.tx+h nos proporciona la densidad de la prima natural continua a la edad x + h, P(h). 8.5

Descomposición de la prima. Prima de riesgo y prima de ahorro

Nos referiremos ahora a un resultado teórico importante que se deriva elementalmente de las relaciones recursivas obtenidas en los apartados 8.2.4 y 8.4.4. Estas nos permitirán expresar la prima de cada periodo como suma de las denominadas prima de riesgo y prima de ahorro. Distinguiremos los casos discreto y continuo.

8. 5.1 Caso discreto Partiendo de la expresión recurrente (8.13), es claro que

hYx = v( ch+I qx+h

+ (1 -

qx+h) h+I Vx) - ph =

= v(h+I Vx + (Ch+I -h+I Vx) qx+h)- ph

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

218

y por tanto (8.33)

pudiendo escribirse

donde (8.34)

es la-denominada prima de ahorro y, (8.35)

la prima de riesgo. Siendo la diferencia

el capital en riesgo. Probemos a continuación que la reserva matemática de un periodo se puede obtener como la suma de las primas de ahorro capitalizadas hasta ese periodo, esto es, k- 1

kVx =

L PJ: (1 + i)k- h h=O

En efecto k- 1

k- 1

L PJ: (1 + il- h = L(v

h+1

Vx- hVx) (1 + il-h = 1 Vx (1 + i)k - 1 +

Ciertamente

Volviendo al ejemplo 11 del seguro temporal, empleando las expresiones (8.34) y (8.35) es posible obtener fácilmente la descomposición de la prima anual en las primas de riesgo y ahorro.

RESERVAS MATEMÁTICAS A PRIMA PURA

Prima de riesgo

Año

Prima de ahorro

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.00020611814055 0.00119030591664 0.00019328461671 0.00120313944047 0.00017149170461 0.00122493235257 0.00013373732371 0.00126268673347 0.00007857712535 0.00131784893183 0.00000455504373 0.00139186901345 -0.00008980273319 0.00148622679038 -0.00020599541723 0.00160241947442 -0.00034555714799 0.00174198120518 -0.00051006867865 0.00190649273584

o

Recordemos que

pi - = 0.00139642405719 30:101

El siguiente gráfico analiza la evolución de estas primas

0 .0015

0 .001

0.0005

o

2

8

-0.0005

Prima de riesgo y prima de ahorro

219

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

220

8.5.2

Caso continuo

Partiendo de la ecuación diferencial de Thiele dh~x dh = (8

h Vx

+ f-Lx+h)

-

-(C(h)

f-Lx+h-

P(h))

puede escribirse -

P(h) = (C(h)-

-

d

h Vx) f-Lx+h

+(

h

~X

dh

- 8

-

h Vx)

lo que permite expresar, como en el caso discreto, la tasa de prima h años después de suscrita la póliza como suma de sus componentes de ahorro

(8.36) y de riesgo

(8.37) Y también análogamente al caso discreto, la capitalización de las primas de ahorro proporciona la reserva matemática, esto es kVx = ¡ k

Pa(h)

e 6(k- h)

dh

Esta igualdad es fácil de probar:

r F(h) lo k

r (d lo dh k

eó(k-h)

dh =

-

hVx-

8

h

~x)

,Integrando por partes. Tomando e- 6 "=u se tiene

y

d

;:x

dh = dv

eé(k - h)

dh =

RESERVAS MATEMÁTICAS A PRIMA PURA

8.6

221

Ejercicios

l.-Estúdiese la variable hL para un seguro mixto simple bajo la hipótesis de pago del capital asegurado al final del año de fallecimiento. Solución: Ciertamente h

L

=

- a·· K., + h+ll VK.,+h+l - p x:nl n- h - Px:ni an·· hl V

{

siendo

vK., +h+l

Z={ vn - h

K x+h- O, 1 , 2 , ·n - h- 1 K x+h = n - h 'n - h + 1 ' ···

Kx+h =O , 1, 2, .n- h- 1 Kx+h = n - h, n - h + 1, ...

es claro que hL = Z _ p _ 1- Z x :nl -d-

Ya que E(Z)

= Ax+h:n- hl

podemos obtener la siguiente expresión para la reserva matemática

V

h x:ni

=

E( L) h

=

A

x+h:n- hl -

A

= x+h:n-hl

(1

p

x:ni

px:ni)

1 - Ax+h:~ d px:ni

+ -d- - d

Asimismo la varianza de hL es, elementalmente Var( hL)

= Var(Z) (1 + Pdn¡) 2 =e Ax+h:n- hl- (Ax+h :n- h1) 2) (1 + Pdn¡) 2

Cuando las primas obedecen al principio de equivalencia, procediendo como en la obtención de las relaciones (7.30) tenemos Var(hL)=

2A

-

- (A

-2

x+h:n - hl x+h:n hl) -)2 (d iix :nl

(Ax+h:~)2 (1- Ax:ni)2

2 Ax+h:n'=hí-

Invitamos al lector a que desarrolle expresiones análogas para el caso de pago del capital asegurado en el momento del fallecimiento

Observación 8 Estas fórmulas simples para la varianza de hL (y de L) sólo se dan para los seguros vida entera y mixto simple. En gen eral, el Teorema de Hattendorf (véase Gerber {1995} apartado 6. 1} nos proporciona una expresión sencilla para el cálculo de la citadas varianzas:

MATEMÁTICA DE LOS SEGUR OS DE VIDA

222

00

Var(L) =

L

2 2 2 v k+ (ck+l- k+l V) k+lPx qx+k

k =O

y 00

Var( hL) =

L

v 2k+ 2 ( ch+k+l -

h+k+l V)

2

k+lPx+h qx+h+k

k=O

~- Consideremos una cabeza de edad x que contrata una operación de seguro mediante la cual si fallece entre las edades x y x + n, recibirán sus beneficiarios una unidad monetaria cuando hubiese alcanzado la edad x + n. Las primas son anuales y constantes y se pagan mientras viva el asegurado pero como máximo durante n años. Calcúlese la reserva matemática h años después de suscrita la poliza. Solución: Nos encontramos ante una operación de seguro que no se extingue con la muerte del asegurado. El cálculo de la reserva matemática se realiza como es habitual calculando la diferencia entre el valor esperado de las obligaciones futuras del asegurador y el de los futuros pagos por primas. Calculemos en primer lugar la prima anual y constante. El principio de equivalencia actuarial conduce a

de donde p - - vn nqx x :n l -

··

ax:nl

Para el cálculo de la reserva matemática h años después de suscrita la póliza, ya que ésta no se extingue con el fallecimiento del asegurado, hemos de distinguir dos casos: a) Si el asegurado está con vida a la edad x + h h Vx:nl

= V n- h n- hqx

-

p

b) Si el asegurado ha fallecido h Vx:ni =V

··

x:ni ax+t:n- tl

n- h

RESERVAS MATEMÁTICAS A PRI MA PURA

223

Notemos que ya no hay que pagar primas pero el asegurador tendrá que pagar el capital unitario dentro den- h años.

Ú$..- En las mismas condiciones del ejercicio anterior consideremos ahora un seguro a término fijo que consiste en que el asegurado de edad x recibirá un capital unitario cuando hubiese cumplido la edad x+n, esté con vida o haya fallecido a dicha edad. Solución: Ciertamente la aleatoriedad de esta operación de seguro proviene de que las primas se pagan mientras viva el asegurado. Asimismo la póliza no se extingue al fallecimiento del asegurado. Prima anual y constante. De px:nl i:ix:nl

tenemos

=

vn

vn px·nl =a·· -, ·

x:n

Reserva matemática h años después de suscrita la póliza. a) Si el asegurado está con vida a la edad x + h

V

h x:nl

= V n- h -

p

·· x:nl ax+t:n- tl

b) Si el asegurado ha fallecido hvx:nl

=

vn- h

4.-Establezca la expresión prospectiva de la reserva matemática h años después de suscrita la póliza para una operación de seguro vida entera en la que el capital asegurado se paga en el momento del fallecimiento mientras que las primas son discretas, constantes y vitalicias. Encuentre la relación entre esta reserva "semicontinua" y la reserva discreta aceptando la hipótesis de distribución uniforme de la mortalidad. Solución: Ciertamente la diferencia de las esperanzas matemáticas de las obligaciones del asegurador y asegurado en el momento dado es hV(Ax) =Ax+h- P(Ax) iix+h

--

- - - - -- -- - - - - - -- - -- - - - -

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

224

donde como sabemos

¿x ax

P(Ax) = La reserva discreta es

Sabemos asimismo que bajo la hipótesis de distribución uniforme de mortalidad, -

2

Ax=-Ax 8 y -

P(Ax) =

i

8 Px

Por tanto, elementalmente.

5.-Resuelva el ejercicio anterior para un seguro mixto simple. Solución: Ciertamente la reserva semicontinua es

y la reserva discreta

Sabemos que bajo la hipótesis de distribución uniforme de la mortalidad -

2

A1x:nl -= - A1 - + A 1 8 x:nl x:nl y -

P(Ax:nl) = Por tanto elementalmente

2

-¡ P~,n¡ u

+ Px:nl_!_

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

225

6.- La reserva matemática de un seguro vida entera con pago de primas fraccionarias h años después de suscrita la póliza es vO

tenemos hVx(m)

>

hVx

(j .- Consideremos un seguro para una cabeza de edad x con las siguientes coberturas: si la citada cabeza alcanza con vida la edad x + n recibirá un capital unitario y si fallece recibirán sus beneficiarios la

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

226

reserva matemática al final del año de fallecimiento. Las primas son anuales y constantes. Calcúlese la prima anual y la reserva matemática t años después de suscrita la poliza. Solución: En este y en el siguiente ejercicio se muestra la utilidad de las fórmulas recurrentes para el estudio de algunos tipos de seguro. En este caso la expresión (8.33), al ser ph = p y ch+I = h+l Vx, queda

P =

V h+I Vx

-

h

Vx

La prima pura coincide con la prima de ahorro. Esta última ecuación, escrita en la forma

es una ecuación en diferencias finitas lineal de primer orden con coeficientes constantes La solución particular que obedece a la condición inicial 0 Vx =O, es ll TT

-

h Vx-

p 1 - (1

+ í)h ·

-z

Ahora bien ciertamente en este caso 1= p

n

Vx

- p ··_ -

=

Sh i

1, por tanto

..

sn¡

esto es, . la prima anual constante es 1

P=..

sn¡

Notemos que esta es una simple operación de constitución de un capital unitario mediante n imposiciones anuales constantes. En caso de fallecimiento II En general, la solución particular de la ecuación en diferencias finitas Yt+I- a Yt = b

para la condición inicial Yo

= "{ es Yt = 'Y at

1- at

+ b1-a --

RESERVAS MATEMÁTICAS A PRIMA PURA

227

logicamente se recupera el capital constituido hasta el final del año en que ocurre (reserva matemática) .

.-Resuelva el ejercicio anterior suponiendo que el capital en caso de fallecimiento es la unidad más la reserva matemática constituida. Solución: Ahora Ph = P y Ch+ 1 = 1 + h+ 1 Vx , la expresión (8.33) queda P =V

h+1 Vx-

h Vx +V qx+h

Notemos que ahora la prima de riesgo coincide con la prima natural. Tenemos ahora una ecuación en diferencias finitas lineal de primer orden con coeficientes variables

+ i)

(1

h+l Vx -

hVx =

(1 + i) P - qx+h

La solución particular que obedece a la condición inicial h- 1

h Vx

=

.. - ""' k- h+1 qx+k shi L...,; V

p

k= O

Ahora bien, ciertamente en este caso n Vx = 1, por tanto n- 1

1

·· - ""' s;:;¡ L...,; V k- n+1 qx+k

=P

k=O

esto es, la prima anual constante es p

=

1 + '\'n -

1 k- n+1 L..,k- 0 V qx+k S;:;¡

.. En general la solución particular de la ecuación en diferencias finitas Yt+1- at Yt

= bt

para la condición inicial Yo = 'Y es t- 1

Yt =('Y

+

8 !1~::

t -1

ai)!! ak

0 Vx

=

O es**

228

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

9- Aceptando el modelo determinista, y siendo X

lx

dx

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

982676 981436 980184 978911 977599 976232 974790 973253 971598 969803 967843

1240 1252 1273 1312 1367 1442 1537 1655 1795 1960 2151

Estudie la evolución de las reservas de un seguro mixto simple de 10 años de temporalidad con capital para el caso de muerte y supervivencia C = lOOO para un colectivo de 982676 cabezas de 30 años de edad con pago de primas anuales y constantes. El tipo de interés de valoración es i= 0.03. Solución. Puede el lector comprobar que la prima anual constante es

1000 A 1

_

30:101

+ 1000 A

?30:101 =

1

30 101 ' =

85.35204

ii30:101

Observemos la siguiente tabla h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A 83873404.39 83767567.86 83660707.10 83552053.95 83440072.07 83323395.83 83200318.18 83069132.09 82927874.46 82774667.54 En esta tabla

B 83873404.39 168917174.4 256393396.7 346364252.6 438883252.3 534006145.7 631784648.3 732270319.8 835511303.9 941556310.5

e 86389606.52 173984689.6 264085198.6 356755180.2 4520497 49.9 550026330.1 650738187.7 754238429.4 860576643.0 969802999.8

D 1240000 1252000 1273000 1312000 1367000 1442000 1537000 1655000 1795000 1960000

E 85149606.52 172732689.6 262812198.6 355443180.2 450682749.9 548584330.1 649201187.7 752583429.4 858781643.0 967842999.8

F 86.76 176.22 268.47 363.58 461.65 562.77 667.04 774.58 885.52 1000

RESERVAS MATEMÁTICAS A PRIMA PURA

• A= P 30, 101

l30+h - I

229

representa el global de primas ingresadas al principio del

año h.

• B = A + Rh- I donde Rh-1 representa la reserva para el conjunto de los asegurados al principio del año h .

• e= B

(1

+ o.o3).

• D = 1000 d 3o+h - 1 esto es los pagos por fallecimientos ocurridos en el ano correspondiente, realizados al final del año h.

• E=

e- D =

Rh .

• F = ..E:!L = h Vx, que ha de coincidir con la reserva por cada uno de los R 1z+h supervivientes.

10.- Siendo

ftx = ft

y ó constante. Calcule:

a) La prima anual continua constante para un seguro vida entera de capital asegurado la unidad con pago en el instante del falledmiento para un asegurado de edad x. b) Plantee y resuelva la ecuación diferencial de Thiele. Solución: a) Por el ejercicio 6 del capitulo 4 sabemos que Ax=

r=

Jo

e- 5

te-~' t

J-t dt

=

_J-t_

ó + ¡.t

por tanto -

~

ó Ax li+J.l Px= - - - - = _ __1!:_ = ft 1- Ax 1 li+J.l -

Notemos que la prima no depende de la edad del asegurado. b) La ecuación diferencial de Thiele es en este caso

d h V X = (ó + ¡.t) h V X

dh

-

(¡.t - ¡.t)

230

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

esto es d hVx

dh=

( ó+J.L)hVx

Su solución general es elementalmente

La condición inicial es

oVx =O esto es, las reservas iniciales son cero (la prima se calcula de acuerdo al principio de equivalencia actuaria!). Por tanto, de donde e= o. La solución particular que nos proporciona la evolución de las reservas matemáticas es hVx =O Este resultado era de esperar ya que la prima anual constante (Px= ¡.t) coincide con la prima natural.

8. 7

Apéndice.- Aplicaciones de las expresiones recurrentes

Es importante señalar que las expresiones recursivas estudiadas en el apartado 8.2.4 así como las correspondientes ecuaciones diferenciales del caso continuo que se trataron en el apartado 8.4.4 poseen una aplicabilidad mayor que el simple cálculo de las reservas matematicas de una operación de seguro. Es conocido que una ecuación diferencial o en diferencias finitas permite, a partir de la caracterización de la variación de los estados de un fenómeno en un pequeño intervalo de tiempo, el conocimiento de su evolución en toda su duración. Las soluciones de las citadas ecuaciones diferenciales y en diferencias nos permiten conocer la evolución de la operación de seguro a que se refieren, siendo esta, en algunas ocasiones, la forma más sencilla de estudiar algunas operaciones de seguros tanto para el cálculo de las primas como de las reservas matemáticas (véanse por ejemplo los ejercicios 6 y 7 de este capítulo o, para una ampliación de estas ideas la consulta del capitulo 5 de Nieto y Vegas (1995)). Asimismo, las expresiones recurrentes son útiles en otras aplicaciones como las que brevemente comentamos a continuación: 1.- El reaseguro de vida.

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

231

Sabido es que mediante el reaseguro el asegurador directo traspasa una parte de los riesgos asumidos a otra empresa, la reaseguradora, a cambio de una prima de reaseguro. La características de los contratos de reaseguro, al depender de la voluntad de las partes implicadas, son muy variadas, pero es habitual que el reaseguro en vida se realice en función del capital en riesgo. Supongamos que en un año el asegurador directo traslada todo el riesgo a una reaseguradora. Sabemos que la prima que recibe el asegurador directo se descompone en prima de riesgo y prima de ahorro, esto es, Ph

=

Pf:

+ P~

donde Pf:

JYf:

=V

h+ 1V -

hV

h+l Vx) qx+h

=V (Ch+l-

(8.38) (8.39)

Siendo el capital en riesgo, Ch+l- h+l Vx

se entregará a la reaseguradora. la cantidad P~

=V

(ch+l -

h+l Vx) qx+h

A cambio, en caso de fallecimiento del asegurado la reaseguradora pagará al asegurador directo, al final del año, la indemnización Ch+t-

h+t Vx

Por otra parte la empresa se queda con la prima que ahorro, que junto a la reserva matemática h Vx y los intereses permite obtener ( hVx

+ Pf:)(l + i) =

h+ t Vx

Si el asegurado sigue con vida al final del año considerado, la empresa tiene constituída la reserva necesaria h+l Vx. Si el asegurado fallece, esta reserva más lo que se recibe de la reaseguradora permite pagar el capital asegurado h+l v

+ (ch+l -

h+l

v)

= ch+l

Evidentemente, lo normal es trasladar sólo una parte del riesgo asumido; en este caso, la prima de riesgo y la parte del capital en riesgo que, en su caso,

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

232

tendrá que abonar la reaseguradora se repartirán de acuerdo a las estipulaciones del contrato.

2.- Seguros flexibles. Las expresiones recursivas como

nos proporcionan las relaciones entre primas, capitales asegurados y reservas matemáticas que mantienen la equivalencia de la operación en un periodo determinado. Por ello, este tipo de expresiones puede ser de gran utilidad en aquellos seguros en los que se permite al asegurado cierta flexibilidad mOdificar algunas de sus características, como las primas a ingresar, el ahorro generado y los capitales asegurados (por ejemplo los "Universal Life" de gran implantación en el mercado anglosajón) y en los que las componentes de ahorro y riesgo del seguro poseen cierta autonomía. Ciertamente, al comienzo de un periodo [h, h + 1] se encuentra constituída una reserva h Vx. (que puede considerarse como el ahorro del asegurado); si nos fijamos en la relación recurrente anterior, si el asegurado decide la prima que entrega Ph y el capital a recibir en caso de fallecimiento Ch+I, dicha expresión recurrente nos proporcionará la reserva h+I Vx disponible para el periodo siguiente.

3.- Beneficio por rentabilidad. Consideremos un seguro vida entera para una cabeza de edad x, con un capital asegurado constante y de cuantía C que se paga al final del año del fallecimiento y primas vitalicias, anuales y constantes cuya cuantía, para unas determinadas bases técnicas (tabla de mortalidad y tipo de interés técnico i), es

Supuesto que el asegurado se encuentra con vida h años después de suscrita la póliza, la cuantía de la reserva matemática será h Vx

········· ·····h V,+ Px X

x+l

.......... x+h

x+h+l.. ....

Supongamos que durante el año [x+h, x+h+l]la rentabilidad real obtenida es Ír

>

Í

RESERVAS MATEMATICAS A PRIMA PURA

233

Si la rentabilidad hubiese coincidido con el tipo de interés técnico i, sabemos que ( h Vx

+ Px)(1 + i) =

h+l Vx Px+h

+e qx+h

pero al ser ir, podemos escribir (notemos que (1 +ir)= (1 + i) +(ir- i)), ( h Vx

+

Px) ( 1 + Ír)

= ( h Vx +

Px) ( 1 +

i) + ( h Vx +

Px)

(ir - i) =

+e qx+h + (v h+l Vx Px+h +V e qx+h) (ir- i) = = (1 +V (ir- i)) h+l Vx Px+h + (1 +V (ir- i)) e qx+h

h+l Vx Px+h

por lo que el citado incremento de rentabilidad puede traducirse en un incremento de v (ir - i) veces tanto del capital asegurado del citado año como de la reserva matemática a constituir al final del mismo Un incremento en la misma proporción de las primas sucesivas permitirá que el capital asegurado de los sucesivos años sea (1 + v (ir- i)) C. En efecto, sabemos que para la operación original se verifica h+l Vx

+ Px

iix+h+l

=e

Ax+h+l

por tanto

(1 +V (ir- i)) h+l Vx

+ (1 +V

(ir-

i))

Px iix+h+l

= (1 +V (ir- i)) e

Notemos que iix+h+l y Ax+h+l están calculados con el tipo i.

Ax+h+l

9 Recargo de seguridad " y recargos economzcos 9.1

Introducción

Tal y como se indicó en el capítulo 7, la prima es el precio del servicio prestado por el asegurador y ha de ser suficiente para que éste pueda hacer frente a todos los costes que se derivan de la póliza, tanto las prestaciones determinadas en la misma por mortalidad yjo supervivencia del asegurado como los diversos gastos que acarrea su gestión. Es por tanto necesario sumar a la prima pura los correspondientes recargos que permitan resarcir a la empresa de estos gastos de gestión. Aunque la estructura de estos gastos depende lógicamente de la organización propia de cada empresa, en general suelen distinguirse los denominados gastos de gestión interna y gastos de gestió n externa. Típicamente los gastos de gestión interna se corresponden con los sueldos y salarios, amortizaciones, gastos generales etc. El problema es la imputación de estos gastos a cada una de las pólizas. En la práctica el recargo para gastos de gestión interna se establece bien en función del capital asegurado, bien en función de las primas comerciales. Los gastos de gestión externa son los correspondientes a la producción o adquisición y fundamentalmente son las comisiones a agentes (descontadas o periódicas) y otros gastos que, en general, podemos denominar como de mantenimiento del negocio y cobro de recibos. Habitualmente los recargos para gastos de gestión externa suelen establecerse como porcentajes de la prima comercial. Así tendremos un porcentaje de la primera prima comercial (comisión descontada) y un porcentaje de cada una de las primas comerciales (comisiones p e riódicas y otros gastos de adquisición). Ahora bien, si la prima pura es la esperanza matemática de una determinada variable aleatoria (recordemos el principio de equivalencia actuaria!), un mal comportamiento de ésta debido por ejemplo a una desviación desfavorable de la mortalidad puede tener como consecuencia que la empresa sea incapaz de hacer frente a sus obligaciones. Por otra parte, parece rawnable la existencia de una 235

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

236

esperanza de beneficio en la actividad aseguradora. Surgen así el recargo de seguridad y el recargo para beneficio, si bien en seguros de vida suele existir un único recargo que engloba a los dos y que en muchas ocasiones suele establecerse de forma implícita en la prima pura. La prima pura más el recargo de seguridad recibe el nombre d e prima recargada. La prima recargada más el recargo para gastos de gestión interna recibe el nombre de prima de inventario. La prima de inventario más el recargo para gastos de gestión externa recibe el nombre de prima comercial.

9.2

Recargo de seguridad. Prima recargada

Recargo implícito. Bases de primer orden En muchas ocasiones el recargo de seguridad se encuentra establecido implícitamente en las bases de cálculo que contienen tablas de mortalidad y tipos de interés técnico que difieren de los reales (en este caso suele hablarse de bases técnicas de primer orden). En los seguros para el caso de muerte la utilización de tablas de mortalidad anticuadas, que presentan unos tantos de mortalidad superiores a los reales, implica que las primas puras únicas y periódicas sean superiores a las reales. Asimismo considerar un tipo de interés técnico inferior a la rentabilidad realmente obtenida conduce a primas superiores a las reales. En los seguros para el caso de vida el empleo de tablas actualizadas, que normalmente se encuentran proyectadas, y tipos de interés técnico inferiores a los reales permiten establecer implícitamente el recargo de seguridad. Si deseamos conocer el recargo de seguridad implícito como un porcentaje A de la prima pura real, basta despejarlo en la ecuación

p e = (1 +A) pr en la que:

pe representa la prima cobrada calculada de acuerdo a las bases técnicas de primer orden.

pr representa la prima pura real, esto es, la que resultaría del empleo de las bases técnicas reales. - A pr es el recargo de seguridad implícto resultante.

237

RECARGO DE SEGURIDAD Y RECARGOS ECONÓMICOS

Ciertamente a priori es imposible conocer la mortalidad real y el interés real durante el período de vigencia de una póliza. A modo de ejemplo, consideremos un seguro vida entera para una cabeza de edad x de capital asegurado unitario con pago de primas vitalicias anuales y constantes. La prima pura cobrada (es ciertamente una prima recargada) es, de acuerdo al principio de equivalencia, pX e _- -Ax iix

siendo

w- x-1

A x = "" ~

V k+1 k f qx

k= O

y w- x - 1 iix

=

L

iik+11 k / qx

k=O

donde v , iik+ll y las probabilidades k¡qx están calculadas respectivamente con el tipo de interés y la tabla de mortalidad correspondientes a las bases técnicas de primer orden. Por otra parte, la prima pura real es

p; =A; a,rX

con

w- x - 1

ArX = "" ~

vk+1 r

k/ qrX

k= O

y w- x - 1 ·· r

ax

=

"" ~

·· r

r

ak+ll k / qx

k=O

donde Vn ii~+ 11 están calculados con el tipo de interés real ir y las probabilidades k/ q; son las reales Definamos a continuación la variable aleatoria "resultado real" de la póliza K.,+1

Lr = vr

-

pe X

··_r_ _ aK.,+11

Kx =O, 1, 2, .... ,w-

X-

(9.1)

1

siendo ··r ) _ P(Lr = vrk+1 - peX ak+11 -

r

k / qx

k= 0, 1, 2, .. .. , W-

X-

1

(9.2)

238

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

Ahora la esperanza de esta variable

es el resultado esperado de esta poliza que no tiene que ser cero necesariamente y

A= p~ -1 pr X

es, en tanto por uno, el recargo de seguridad implícito en cada prima anual. Tomando unos valores concretos, sean:

e X=

30.

• Bases técnicas de primer orden: tipo de interés técnico i de mortalidad GKM80. • Interés técnico real ir

= 0.035 , y

= 0.03 y tabla

tabla de mortalidad real GKM95.

Puede el lector comprobar que para estos datos se obtiene:

• Prima pura cobrada • Prima pura real

P30

P~0

= 0.012100687.

= 0.009648554.

• Recargo de seguridad A = 0.254145. • Resultado real esperado E(Lr) negativo representa ganancias).

= -0.056416305. (recordemos que el signo

En la figura 9.1 representamos la funciones de cuantía de la variable aleatoria "resultado" (notemos que la altura de la gráfica en cada uno de los valores de la variable representa la probabilidad del mismo) para los casos: a) Coincidencia de las bases técnicas empleadas con las reales (L). (línea continua). b) Datos del ejemplo (Lr) (línea de puntos).

239

RECARGO DE SEGURIDAD Y RECARGOS ECONÓMICOS

+

+

+

+

+o 0 .016 +

+ +

+ +

+

0.01

+ +++ ++ ++

••

++++········~

0 .2

0.4

1 1

0.6

o o o

0 .8

Figura 9.1

Recargo explícito. Bases de segundo orden Aunque en la práctica es menos frecuente, cuando el cálculo de la prima se realiza con el tipo de interés y tabla de mortalidad reales (denominadas bases técnicas de segundo orden), el recargo de seguridad ha de figurar de forma explícita y se expresa habitualmente como un porcentaje de la prima pura. En este caso la prima recargada suele expresarse como p;ec

= (1 + >.) Px

Tomando el mismo ejemplo que para el recargo implícito, tendremos que la prima pura, de acuerdo al principio de equivalencia, es

Px

=

pr _A; X--

Q,TX

El resultado de la póliza es una variable aleatoria L r -_

Kx+1 Vr -

prec ··r _ Kx+1 _ X aKx+11- Vr

(1

+ /\')

p

X

··r aKx+ll

K X -- O' 1 ' 2 '

••• ,

W -

siendo

P(Lr = v~+l- (1

+ >.)

Px ii~+II)

= k/q~ k= o, 1, 2, ... . ,w- X - 1

X -

1

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

240

Su esperanza matemática es

(9.3) Tenernos, por tanto, la relación que existe entre el recargo de seguridad y el resultado esperado de la póliza, que no es más que el valor actual actuaria! de los recargos de seguridad incluídos en cada prima anual. Asimismo

E(Lr)

=-.\A~

(9.4)

Así, fijado el resultado esperado para la póliza mediante criterios de rentabilidad y /o solvencia, las relaciones anteriores nos permiten obtener el valor de .X y, por tanto, el recargo de seguridad de cada prima. Ciertamente la determinación del recargo de seguridad ha de hacerse más bien para toda una cartera que para una poliza particular, y teniendo en cuenta los distintos elementos de solvencia del negocio asegurador. En este punto nos remitirnos al apéndice de este capítulo.

9.3

Primas de inventario y comercial

Estableceremos en este apartado, para una determinada estructura organizativa de la empresa, las primas de inventario y comercial de un seguro vida entera de capital asegurado unitario para una cabeza de edad x. Aceptaremos la hipótesis de que los gastos de gestión interna imputables a la póliza son un porcentaje a del capital asegurado y se producen al comienzo de cada año mientras la póliza esté vigente (en este caso hasta el fallecimiento del asegurado). Supondremos asimismo que los gastos de gestión externa son un porcentaje (3 de la primera prima comercial, que se corresponde con la comisión descontada, y un porcentaje ¡ de cada prima comercial, correspondiente a las comisiones periódicas y otros gastos de adquisición. El capital asegurado se paga al final (o a mitad) del año de fallecimiento y las primas discretas son anuales y constantes.

Prima de inventario Establezcamos en primer lugar la prima anual de inventario. Emplearemos para ello el principio de equivalencia actuaria!: la prima anual de inventario será aquella que haga que el valor actual actuaria! de las primas iguale al valor actual actuaria! de las indenmizaciones pactadas en la póliza más el valor actual actuaria! de los gastos de gestión interna que genera. Esto es, en términos de esperanza matemática,

RECARGO DE SEGURIDAD Y RECARGOS ECONÓMICOS

241

en el momento de firmarse la póliza las obligaciones futuras del tomador del seguro han de ser iguales a las obligaciones futuras de la empresa de seguros. Distinguiremos dos casos: a) Las primas son vitalicias. En este caso la prima anual de inventario se representa mendiante P~ y la equivalencia actuaria! es

P~ iix = Ax + a iix por lo que la prima anual de inventario es

,

px

Ax -+a ax

=..

en esta expresión ~ Ill-lPa y a= Rggi, el recargo para a., = Px es la prima anual pura v-gastos de gestión interna (notemos que, en este caso, la cuantía de este recargo coincide con los gastos de gestión interna imputados a la póliza). b) El pago de primas posee una temporalidad de n años. En este caso la equivalencia actuaria! conduce a la ecuación

nP~ iix:ni = Ax + a iix por lo que la prima anual de inventario es ahora n

siendo nPx

p'x = ..Ax

ax:ni

= /:... la prima anual pura y x:nl

+ a ..iix

ax:ni

a a.a.":_

= Rggi el recargo para gastos de

:z::nl

gestión interna. Notemos que

ax a - - >a iix:ni esto es, el recargo para gastos de gestión interna es superior al correspondiente recargo con primas vitalicias. La razón es simple: en el caso de primas temporales, una vez finalizado el período de pago de primas se seguirán produciendo gastos de gestión interna que ya no se podrán recuperar; por ello, en aquellos años en los que se cobran primas habrá que cobrar un recargo superior para hacer frente a esos gastos en los años en que no se cobran.

Prima comercial Calculemos ahora la prima anual comercial. Considerando los gastos de gestión externa indicados y aplicando el principio de equivalencia actuaria! tenemos:

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

242

a) Las primas son vitalicias. En este caso la prima anual comercial se re presenta mendiante P~' y la equivalencia actuarial es

p~' iix

Ax + a iix + (3 P~' + 1 p~' iix

=

por lo que, despejando P~' , la cuantía de la prima anual comercial constante es p"

=

x

Ax +a iix (1 - 1) iix - (3

y una vez conocida P~' , podemos escribir

Ax

p" X-

••

ax

a (3 p~' + + ax ·· + 1

p" X

lo que nos permite descomponer la prima anual comercial en prima pura ( ~), ax recargo para gastos de gestión interna Rggi = a y recargo para gastos de gestión externa (3 p~' 11

Rgge = - .-. -

ax

dentro del cual

+1 Px

(3 p~'

ax es la denominada cuota anual de amortización de las comisiones descontadas que merece un comentario. La comisión descontada es abonada al agente de una sola vez a la realización del contrato, suele establecerse como un porcentaje (3 (normalmente elevado) de la primera prima comercial, por lo que supone para la empresa un importante gasto inicial que no recupera del asegurado al cobrar esa primera prima sino que lo hace a lo largo de varios años: cobrando al tomador en cada prima 13 ax ..p~' , en términos medios, recuperará la comisión descontada (3 Px" . b) El pago de primas posee una temporalidad de n años. En este caso la equivalencia actuarial conduce a la ecuación 11

11

nPx ax:ni = Ax +a iix

+ (3 nPx + 1

11

nPx ax:nt

por lo que, despejando nP;, la cuantía de la prima anual comercial constante es p" _ n

x -

(

Ax +a iix .. a 1 -~ ) ax: nl- fJ

y una vez conocida np~', podemos escribir

RECARGO DE SEGURIDAD Y RECARGOS ECONÓMICOS

243

expresión en la que queda descompuesta la prima comercial en prima pura más los corr espondientes r ecargos para gastos de gestión interna y externa. Notemos que (3 p" (3 p" ~>--x-

ax:ni

ax

la cuota anual de amortización de las comisiones descontadas es ahora superior al caso de primas vitalicias ya que con primas temporales habrá que recuperar la comisión descontada en menos tiempo.

9.4

Reserva matemática a prima de inventario y a prima comercial

·Con posterioridad al momento de suscripción de la póliza, es posible calcular la diferencia entre las obligaciones futuras del asegurador y del tomador del seguro. Si entre las obligaciones futuras del asegurador se consideran los distintos gastos de gestión, y en las primas a pagar por el tomador se incluyen los correspondientes recargos para hacerles frente, la esp eranza matemática de la citada diferencia será la reserva matematica a prima de inventario (se consideran los gastos de gestión interna y el correspondiente recargo) y la reserva matemática a prima comercial (se consideran los gastos de gestión interna y externa y los correspondientes recargos).

Reserva a prima de inventario Para el seguro del apartado anterior estabezcamos en primer lugar la reserva a prima de inventario a los h años de vigencia del contrato. Dist ingamos los casos: a) Primas vitalicias. La diferencia de valores esperados de las obligaciones del asegurador y tomador del seguro, reserva matemática a prima de inventario, es h

v:

= Ax+h

ax+h - P~ ax+h

+a

sustituyendo ,

Ax

px = -.. ax

+ = Q

Px

+

Q

obtenemos hV,:

=

Ax+h

+a

ax+h- (Px +a) ax+h

=

Ax+h- Px ax+h

que coincide con la reserva a prima pura (véase (8.3)) . b) Primas temporales. Ahora hemos de distinguir:

244

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

b.l) h < n, esto es, todavía no ha finalizado la obligación del pago de primas. La reserva a prima de inventario es

sustituyendo '

n Px

se obtiene

Ax

= -.. -

nv' A h X= x+h +

~~

Q

+

iix Q

-.. -

~~

..

nPx

( n p X+

ax+h-

= (Ax+h- nP¡ iix+h:n - hl)

=

+(a

Q

+

ax Q

-.. -

~~

ax ) .. ax+h:n - hl = ax ,;J

-.. -

a

iix+h-

Q

~ iix+h:n - hl) ax ,;J

Ahora la reserva a prima de inventario se puede descomponer en suma de la reserva a pnma pura ~"Vx = Ax+h - n~ iix+h:n - hl y de la reserva para gastos de gestión interna

Invitamos al lector a interpretar esta diferencia. b.2) h ~ n, esto es, ya ha finalizado la obligación del pago de primas. Ahora

siendo ~Vx

=

Ax+h

y la reserva para gastos de gestión interna

Reserva a prima comercial Tratemos la reserva a prima comercial a los h años de vigencia del contrato. Distingamos los casos: a) Primas vitalicias. La diferencia entre los valores esperados de las obligaciones del asegurador y tomador del seguro, reserva matemática a prima de inventario, es ,,

h 'V:,

11

=

Ax+h

+Q

iix+h

+/

,,

Px iix+h - Px

iix+h

RECARGO DE SEGURIDAD Y RECARGOS ECONÓMlCOS

245

sustituyendo 11

11

px = Px

(3 Px

+ a + -.-.- + 1 ax

11

px

y organizando adecuadamente, tenemos

,

hVx

=

Ax+h

..

+a ax+h + 1 = (Ax+h

11

{3 Px

" ..

+a+ - ..- + 1

Px ax+h - (Px

ax

" ..

Px) ax+h

=

.. ) f3 p~' .. Px ax+h - - .. - ax+h

-

ax

donde hVx

=

Ax+h - Px iix+h

es la reserva a prima pura y (restando),

f3

p~' ..

- .. ax

ax+h

es el valor de las comisiones descontadas pendientes de amortizar. b) Primas temporales. Ahora hemos de distinguir. b.l) h < n, esto es, todavía no ha finalizado la obligación del pago de primas

~~' =

+a

Ax+h

iix+h

+ IV\p~'

iix+h-

np~'

ax+h:n- hl

sustituyendo p n

11

Ax

_

+

X-··

ax,;:;l

a

••

f3~?;

iix

+ ··

ax,-;:;-1

ax,;:;l

p

+1

11

X

h

tenemos nv" h X

=

=

A

••

f"1x+h +a ax+h +1{\

p

11 ••

X

ax+h:n- hi-

A p .. ) ( x+h- n X ax+h:n- hi

+ (a

(

n

p

..

X

f3

pll

11 V' x •• +a-..ax -+-..-+1,p X ) ax+h:nhi ax:;:;l ax:;:;l

..

f3

=

pll

.. ax .. ) ,, x .. ax+h- a.. - ax+h:n- hi - -..- - ax+h:n- hi ax:;:;l ax:ni

Ahora la reserva a prima de inventario se puede descomponer en suma de la • r reserva a pnma pura

~Vx

=

Ax+h -

nF; iix+h:n - hl

la reserva para gastos de gestión interna iix

..

~Vg =a iix+h- a~ ax+h:n - hl ax:nl

246

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

y

{3 p~' ..

--

.. ax+h:n - hl ax:;:;l

la cuantía de las comisiones descontadas pendientes de amortizar. b.2) h ~ n, esto es, ya ha finalizado la obligación del pago de primas. Ahora

nv" h = X

A ~+h

+

Q

•·

ax+h

siendo

y la reserva para gastos de gestión interna

Lógicamente ahora las comisiones descontadas han de estar completamente amortizadas, ya que no se van a cobrar más primas al tomador.

Observación 9 Es habitual que, legalmente, la reserva matemática que han de hacer figurar las empresas en sus balances sea la reserva a prima de inventario. Notemos que en general

nv'> nv" h h X-

X

ya que en la reserva a prima de inventario no se restan las comisiones pendientes de amortizar. Para compensar, a las empresas se les suele permitir " activar las comisiones descontadas". Asimismo es común que las legislaciones no permitan que las reservas matemáticas sean en ningún caso negativas. 9.5

Valores garantizados.

La idea general de que las reservas matemáticas se constituyen con los excesos pagados por el tomador del seguro sobre los gastos que realmente ha supuesto el riesgo y otros costes soportados por la empresa, implica que, en algunas modalidades de seguros de vida, suele reconocerse al tomador del seguro ciertos derechos denominados valores garantizados cuya cuantía se encuentra en relación con la de la reserva matemática. Refirámonos brevemente a los valores garantizados: rescate, reducción y anticipos sobre pólizas.

RECARGO DE SEGURIDAD Y RECARGOS ECONÓMICOS

247

Rescate Es la cuantía que tiene derecho a percibir el tomador del seguro de acuerdo con los valores que para el mismo se encuentran establecidos en la póliza, que queda rescindida a partir de dicho momento. El reconocimiento del derecho de rescate es habitual e incluso obligado por ley en los seguros vida entera y similares, no siendo reconocido en aquellas otras modalidades en las que puede darse la antiselección al rescatar aquellas pólizas que menos posibilidades poseen de recibir las indemnizaciones previstas. Pensemos en los seguros a capital diferido o rentas diferidas, pólizas que serían rescatadas en cuanto exista la posibilidad cierta de que el asegurado no llegue con vida a cobrar las prestaciones previstas. Parece lógico que el valor de rescate se encuentre en relación con el de la reserva matemática y de hecho teóricamente coincide con ella aunque se han de restar ciertas cantidades debido a ciertos perjuicios que el rescate causa a la empresa aseguradora: existencia de comisiones descontadas no amortizadas, antiselección, reducción de la masa de pólizas y por ello de su estabilidad, costes de desinversión, etc. Así, por ejemplo, si para un seguro vida entera en el que la reserva a prima de inventario h años despues de suscrita la paliza es

~V:: =

(Ax+h -

nPx iix+h:n - hl)

+ (0: iix+h -

ii 0: .. x_ iix+h:n - hl)

ax:nl

la penalización puede consistir en suprimir la reserva para gastos de gestión interna y restar las comisiones descontadas pendientes de amortizar, con lo que el valor de rescate quedaría hRx

= (A x+h- n PX

.. ax+h:n - hl

{3 p~' ..

) -

~ ax+h:n - hl ax:nl

que es la que se denomina Reserva Totalmente Zillmerizada o Rescate Teórico En otras ocasiones el valor de rescate es simplemente establecido como un porcentaje de la reserva matemática.

Reducción La reducción no implica la rescisión de la póliza sino que consiste en la trasformación en un seguro del mismo tipo liberado del pago de primas y, en general, con un capital asegurado inferior.

248

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

La cuantía del nuevo capital asegurado, denominado capital reducido será aquella que resulte de considerar el valor de rescate de la póliza como la prima única de inventario. Esto se debe a que al considerar el valor de rescate se supone que la empresa ya se ha resarcido al menos de las comisiones descontadas pendientes de amortizar y que al estar la póliza liberada no se van a producir gastos de gestión externa. Así, para un seguro vida entera, el capital reducido h Wx se obtendría al despejar en la siguiente ecuación

Anticipos sobre pólizas. Consiste en la concesión por parte de la empresa al tomador del seguro de un préstamo cuya cuantía máxima es el valor del rescate de la póliza. El tipo de interés del préstamo no tiene por qué coincidir con el tipo de interés técnico. Cuando la cuantía del capital e intereses alcance el valor del rescate se considerará rescindida la póliza. En caso de siniestro la cuantía del anticipo se deduce del capital asegurado.

9.6

Apéndice. Sobre la Ley de los Grandes Números y el Teorema Central del límite.

En este apéndice nos proponemos precisar brevemente algunas importantes y a menudo mal comprendidas cuestiones sobre los fundamentos estadísticos del negocio asegurador, tales como: * la importancia de contar con un gran número de asegurados. * la importancia de que los riesgos sean estadísticamente independientes. * la elección del Principio de Equivalencia Actuaria! como principio básico para el cálculo de primas. Como veremos, las respuestas a estas cuestiones se basan en la Ley de los Grandes Números y su relación con la estabilidad de la empresa aseguradora. Enunciamos a continuación dicha Ley, cuya demostración se basa en la desigualdad de Chebyshev y se puede encontrar en cualquier libro de Cálculo de Probabilidades (véase, por ejemplo, DeGroot (1988), capítulo 4): 9. 6.1 Ley de los Grandes Números Sea X 1 , ... ,XN una muestra aleatoria de una variable aleatoria X con media¡.¡, finita. Entonces para cualquier é > O se tiene que lim Pr

N -+ oo

[1 X -

¡.¡, 1
O se tiene que lim Pr [IJN- PI< e]= 1

N-+oo

es decir, la frecuencia relativa converge (en probabilidad) a la verdadera probabilidad. Como veremos a continuación, ambos resultados tienen importantes implicaciones actuariales. Por ejemplo, como aplicación inmediata de este último podemos afirmar que la frecuencia relativa de asegurados de edad x que sobreviven un año más estará probablemente muy cercana al valor de la probabilidad Px , siempre que el número de asegurados sea elevado y que se trate de riesgos estadísticamente independientes entre sí. Lo mismo podríamos afirmar respecto al resto de probabilidades básicas de muerte y supervivencia. En consecuencia, podremos tener cierta confianza en que nuestros cálculos actuariales teóricos, basados en las estimaciones de las probabilidades básicas que aparecen en las tablas de mortalidad, no nos proporcionarán valores excesivamente alejados de los que finalmente observaremos. Por otro lado, esta argumentación es considerada por algunos como una posible justificación de la interpretación determinista de las tablas de mortalidad (que, recordemos, consiste en interpretar las probabilidades como frecuencias relativas). Consideremos a continuación la tercera cuestión planteada al principio del Apéndice, relativa al uso del Principio de Equivalencia Actuaria! para el cálculo de las primas. Este no es, evidentemente, el único principio que se podría usar con tal finalidad; en efecto, podríamos alternativamente diseñar principios de tarificación basados en la Teoría de la Utilidad (véase el apendice del capítulo 7), muy razonables desde un punto de vista teórico pero difíciles de aplicar en la práctica a causa de la dificultad de cuantificar las funciones de utilidad de los asegurados; asimismo podríamos utilizar principios intuitivamente atrayentes pero carentes de justificación teórica, como por ejemplo el que calcula las primas sustituyendo la edad de muerte del asegurado, que es una variable aleatoria, por su esperanza matemática. Sin embargo, el Principio de Equivalencia Actuaria! resulta justificable desde un

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

250

punto de vista práctico, ya que su aplicación no resulta excesivamente complicada, y también desde un punto de vista teórico, ya que como veremos a continuación tiene relación con la Ley de los Grandes Números y con la solvencia de la empresa. Consideremos, por simplicidad, únicamente el caso de un seguro de prima única. El Principio de Equivalencia Actuarial establece, en tal caso, que la prima única debe calcularse como la esperanza matemática de la suma de los distintos tipos de costes que genera el asegurado, de los cuales el más importante es el coste de la siniestralidad, aunque también existen costes de gestión y de producción (recuérdense los capítulos 7 y 8). En última instancia, se trata de sustituir una variable aleatoria (los costes del seguro, a los que tendrá que hacer frente la empresa) por su esperanza matemática (que es un ingreso cierto para la empresa). La Ley de los Grandes Números garantiza aparentemente que al efectuar esta sustitución de costes aleatorios por ingresos ciertos no se pondrá en peligro la solvencia de la empresa, ya que, si el número de asegurados es grande y los riesgos son independientes, el coste medio de un seguro será ~uy probablemente muy parecido a su esperanza matemática, que es precisamente la prima cobrada por la empresa aseguradora. Sin embargo, debemos hacer una importante precisión: aunque el coste medio esté próximo a la prima, no será, evidentemente, exactamente igual que esta, y estas pequeñas diferencias entre gastos e ingresos por póliza podrían causar, al considerar la totalidad de la cartera, una gran discrepancia entre los gastos totales y los ingresos totales de la empresa aseguradora. En terminología matemática, si llamamos X 1 , ... , XN a los costes generados por las distintas pólizas, que suponemos independientes e idénticamente distribuídos, y P = E (X) a la prima única obtenida aplicando el Principio de Equivalencia Actuarial, entonces si N es grande la Ley de los Grandes Números nos garantiza que lim Pr

N-->oo

pero esto no implica que

Ji>."~ Pe [

[IX - PI < E J =

t

X, - N.P
S+ ó E(X)) =a DT(X) DT(X) o sea

P(( > S+ ó E(X)) = -

DT(X)

siendo Y(l - n)

ó=

a

con ( ,...., N(O , 1)

DT(X) - S E(X)

Así, tomando S= 50 y a = 0.02, para la cartera de 5000 polizas se obtiene ó = 0.0981 y para la de 10000 ó = 0.2. En ambos casos disminuye pero logicamente lo hace en mayor medida en la cartera de menos pólizas. 2.- Para carteras de seguros de vida tradicionales de larga duración y recargo de seguridad implícito, la aproximación normal puede también ser de utilidad. Supongamos, por ejemplo, una cartera de 1000 pólizas de seguro vida entera emitidas en este momento tal que 300 asegurados tienen 30 años; 200, 35 años; 200, 40 años y 300, 45 años. El capital asegurado es para todas ellas de 100 y las bases técnicas de calculo son la tabla de mortalidad GKM95 y un tipo de interés técnico i = 0.03. Suponiendo que la tabla elegida refleja fielmente la mortalidad de los asegurados pero que la rentabilidad real obtenida es ir = 0.0325, puede el lector comprobar que a partir de la distribución de probabilidad del resultado ( Lr) de cada póliza (fórmulas (9.1) y (9.2)) es posible obtener: a) Para cada póliza cuyo asegurado posee 30 años:

E(Lr) = -1.41799 Var(Lr) = 279.106 ó = 0.057 b) Para cada póliza cuyo asegurado posee 35 años:

E(Lr) = -1.42932 Var(Lr) = 345.899

RECARGO DE SEGURIDAD Y RECARGOS ECONÓMICOS

255

8 = 0.050

e) Para cada póliza cuyo asegurado posee 40 años:

E(Lr) = -1.41302 Var(Lr)

=

445.122

8 = 0.043

d) Para cada póliza cuyo asegurado posee 45 años:

E(Lr) = -1.36637 V ar( Lr)

=

585.109

8 = 0.03652

Aceptada la independencia, el resultado de toda la cartera tendrá

E( L) = 300 ( -1.41799)

+ 200

( -1.42932)

+ 200

( - 1.41302)

+ 300 ( -1.36637)

=

= -1400.521 (recordemos que un valor negativo indica beneficio) y,

Var(L) = 300 279 .106 + 200 345.899 + 200 445 .122 + 300 585.109 =

= 417469.28 por lo que

DT(L) = 646.118 Aceptando la aproximación normal podemos afirmar que el resultado de la cartera sigue una dist ribución normal N(-1400.5216 , 417469.28) , cuya función de densidad representamos en la figura 9.2

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

256

.4)()()

-3000

-2000

1000

X

Figura 9.2 Usando las tablas de la distribución normal es posible obtener la probabilidad de un resultado positivo (probabilidad de ruina) P(L >O) =O, 01509.

10 Probabilidades de muerte y supervivencia sobre varias cabezas

10.1

Introducción

Comenzamos ahora el estudio de los seguros sobre varias cabezas. En esta lección se tratan las probabilidades de muerte y supervivencia relativas a grupos de varias cabezas. Considerando el grupo de varias cabezas corno una unidad, es posible hacer un planteamiento de su estudio paralelo al realizado para el caso de una cabeza en cuanto a la notación empleada y los resultados obtenidos. Ahora bien, es importante definir cuándo se considera extinguido el grupo. Siguiendo las definiciones habituales en la literatura actuaria!, distinguiremos entre grupos que se extinguen al primer fallecimiento, grupos que se extinguen al último fallecimiento y grupos que se extinguen a un fallecimiento determinado. El objetivo es expresar las probabilidades relativas a los distintos tipos de grupos en función de probabilidades de supervivencia de grupos que se extinguen al primer fallecimiento ya que éstas, aceptando la hipótesis de independencia de las vidas residuales de las cabezas del grupo, se pueden calcular sin dificultad corno producto de las correspondientes probabilidades de cada una de las cabezas, para lo que pueden emplearse las tablas de mortalidad habituales. Finalizaremos este capítulo tratando los grupos compuestos de grupos de cabezas individuales y con el estudio de los órdenes de fallecimiento, esto es, el estudio de las probabilidades de que dentro de un grupo los fallecimientos acaezcan en un orden determinado.

10.2

Grupos que se extinguen al primer fallecimiento

10.2.1 Introducción Trataremos en primer lugar los grupos que se extinguen al primer fallecimiento. Para este tipo de grupos siguiendo el estudio de las probabilidades de muerte y supervivencia para una cabeza, definimos las variables aleatorias vida residual y número completo de años de vida hasta la muerte, cuya distribución de probabilidad 257

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

258

se puede obtener a partir de las de las cabezas individuales. Las probabilidades de muerte y supervivencia para el grupo se obtienen con facilidad, así como el tanto instantáneo de mortalidad (que en este caso resulta ser la suma de los tantos instantáneos de cada una de las cabezas) y las esperanzas de vida. Aunque en la actualidad no poseen tanto interés debido a las grandes posibilidades de cálculo de los modernos computadores, nos referiremos a los métodos de cálculo abreviado para los casos en que la mortalidad de cada cabeza siga la ley de Gompertz o Makeham. Dado un grupo den cabezas de edades x 1 , x 2 , ... , Xn· Se considera extinguido este grupo al primer fallecimiento, esto es, en el momento de fallecer uno cualquiera de sus miembros. El grupo esta "vivo" mientras están vivos todos sus miembros, refieriéndonos a él mediante

1O. 2.2

Probabilidades de muerte y supervivencia

Consideremos el citado grupo de n cabezas que se extingue al primer fallecimiento. Definamos en primer lugar la variable aleatoria vida residual o tiempo de vida hasta la muerte de u= x 1 x 2 ... Xn, que representaremos mediante Tu. Supondremos conocidas las distribuciones de probabilidad de la vida residual de cada componente del grupo y aceptaremos su independencia. Es claro que

La función de distribución de Tu

Gu(t)

=

P(Tu ~ t) = 1- P(Tu > t) = 1- P(Tx 1 > t, ... , Txn > t)* =

= 1- ( tPx¡···· · tPxJ Tenemos, por tanto, que la probabilidad de que este grupo se extinga antes de t años es (10.1) tqu = tqX¡X2 ... Xn = Gu(t) = 1 - ( tPx¡· ···· tPxn) Siendo la probabilidad de que el grupo sobreviva t años más

tPu = tPx1x2 ... Xn = 1 -

tqX!X2 ... Xn = tPx¡ ····· tPxn

(10.2)

La función de densidad de Tu, para un grupo de dos cabezas u= x 1x2 es,

d dt ---------------------------

d dt

9u(t) = -(Gu(t)) = -(1- tPxá tPx2) =

*Haciendo uso de la hipótesis de independencia.

1

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA SOBRE VARIAS CABEZAS

=-

tPx¡ ( -tPx2 J.Lx 2+t) -

tPx2 ( -tPx¡ J.Lx 1+t)

tPx¡ tPx2 (J.Lx 1+t

259

=

+ J.Lx2+t)

(10.3)

Recordemos que d

dt (tPx) =

-tPx J.lx+t

Es fácil probar, por inducción, que cuando u densidad de la vida residual del grupo es

9u(t) = ( tPx¡

····· tPx.J (J.Lx¡+t

X1X2 ... Xn,

la función de

+ ··· + J.Lxn+t)

(10.4)

Consideremos ahora la variable aleatoria Ku, número completo de años de vida hasta la muerte del grupo. Ciertamente

P(Ku =k)= P(k t Z = { 0 si T,. ~ t con

P(T... > t) = tPu

y

P(T... ~ t) = tqu

Su esp eranza m atemát ica es el correspondiente factor de actualización actuarial (prima única pura del seguro a capital diferido)

tEu

= E(Z) = vt tPu 283

(11.1)

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

284

Ejemplo 20 Sea u = x 1x 2 , el capital unitario se paga en caso de que el grupo siga con vida dentro de t años, o sea, que vivan am~as cabezas dentro de t años. Evidentemente

Para los grupos que se extinguen al primer fallecimiento, el factor de actualización actuaria! sigue verificando la propiedad de escindibilidad, esto es,

cuya prueba es elemental teniendo en cuenta (10.6). Esta propiedad no es cierta en general para el resto de los grupos. El factor de actualización actuaria! para otros grupos se puede expresar en función de los factores de actualización actuaria! de grupos que se extinguen al primer fallecimiento. Analicemos algunos casos:

Ejemplo 21 Sea u = x 1 x 2 x 3 , el grupo se extingue al último fallecimiento, por tanto, dentro de t años se considera con vida si al menos una de las tres cabezas se encuentra con vida. tEx¡X2X3

+ tEx 1 +

vt( tPx 1

=

+ tPxa tEx 2 + tEx 3 -

tPx2

=

E(Z)

=

tPx1x2 -

vt tPx¡X2X3 tPx¡xa -

tEx 1x 2 -

tEx 1x 3 -

=

tPx2xa

+

tEx2xa

tPx1x2xa)

+

=

tEx 1x2xa

Ejemplo 22 Sea u = x 1 : x 2 x 3 • El grupo se considera vivo dentro de t años cuanto esta viva (xt) y al menos una de las cabezas (x 2) y (x3 ). Ahora

= vt tPx1 ( tPx2 + tPxa = tEx 1x 2 + tEx 1xa

-

tPx2

xa) =

tEx 1x2xa

Centrándonos en los seguros para el caso de fallecimiento, en el supuesto de que el capital asegurado se paga al final del año de extinción de u y representando mediante Ku la variable aleatoria número de años completos de vida hasta la extinción del grupo, el valor actual, para el caso de un seguro vida entera es una variable aleatoria

RENTAS Y SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS

285

Supuesto conocida la distribución de probabilidad de Ku, que en general se obtiene a partir de las probabilidades de muerte y supervivencia de cada cabeza del grupo, es posible obtener la esperanza matemática de Z, prima única pura, 00

Au

=

E(Z)

=

L

vk+I

P(Ku =k)

(11.2)

k=O

Asimismo para el seguro temporal, el valor actual actuaria! es, elementalmente

n-1

A¿,;;¡ =

L

vk+l

P( K u = k)

k=O

y para el seguro vida entera diferido 00

n¡Au

=

L

vk+I

P(Ku =k)

k=n

El lector puede obtener sin dificultad los correspondientes momentos de orden superior. Ejemplo 23 Sea u = XI x 2 , un grupo de dos cabezas que se extingue al primer fallecimiento. Consideremos un seguro sobre este grupo que implica el pago de un capital unitario al final del año de extinción del mismo. Sabemos que

P(Ku =k)= Así

=

k/qx 1x 2

kPx1x2 qx¡+k x2+k

00

A flx1x2

=

"'"' L..,¡ V k+I kPx1x2 qx¡ +k x2+k k=O

Ejemplo 24 De nuevo para u = XI x 2 podemos plantear un seguro mixto simple tal que si u se extingue antes de n años al final del año de fallecimiento se produce el pago de un capital unitario y si el citado grupo viven años más se pagará asimismo un capital unitario. El valor actual actuaria[ es n-I

A x1x2:nl - -- "'"' L..,¡ V k+l

kjqx1x2

+ Vn

k=O

En la anterior expresión n-1

AxíX 1

2

= "'"'vk+I :;;i L..,¡ k =O

kjqx¡x 2

nPx1x2

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

286

es el valor actual actuaria[ del correspondiente seguro temporal para el grupo u = x 1 x 2 que se extingue al primer fallecimiento y

A

..!_

= Vn

nPx 1x2

= ( nEx1x2)

X¡X2 :nl

el capital diferido. Ejemplo 25 Sea u = x 1x 2 x 3 , un grupo de tres cabezas que se extingue al último fallecimiento . Consideremos un seguro sobre este grupo que implica el pago de un capital unitario al final del año de extinción del mismo. Sabemos que

Por tanto

00

A

_ "\"' k+l rlX¡X2X3 -~V

kjqXJX2X3

=

k=O 00

=

L

vk+l ( kjqx¡

+

kjqx2

+

kjqxa -

k/qXJX2 -

k/qX¡Xa -

k/qX2X3

+

kjqXJX2X3) =

k=O

con lo que la prima única pura de este seguro queda en función de las primas únicas de seguros para grupos que se extinguen al primer fallecimiento. Notemos que para los seguros sobre grupos que se extinguen al último fallecimiento es fácil establecer la siguiente fórmula general (análoga a la establecida en el capítulo anterior para la probabilidad de supervivencia),

con Notemos que k/qu

=

kPu -

k+lPu

por lo que la estructura de la expresión de las probabilidades de supervivencia en función de las correspondientes a un grupo que se extingue el primer fallecimiento, se trasmite a las probabilidades de fallecimiento.

.....__

RENTAS Y SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS

287

Ejemplo 26 Sea u = x 1 x 2 un grupo que se extingue al último fallecimiento, el valor actual actuaria[ de un seguro temporal es n-1 A

_ l_ _

X1X2:nl

=

n-1

""' L...._¿ V k+1 k/qx 1x 2

=

""' L...._¿ V k+l( kjqx1

k =O

+

kjqx2 -

kjqx1x2

) --

k=O =A1-+A1--A 1 _ x1:nl x2 :nl xíX2:nl 2

Ejemplo 27 Sea u -x 1 x 2 x 3 x 4 un grupo de cuatro cabezas que se extingue al tercer (4-2+ 1) fallecimiento, pagándose el capital asegurado al final del año de fallecimiento. Siguiendo el mismo razonamiento del ejemplo y observación anteriores el valor actual actuaria[ del correspondiente seguro es 00

A

V ~-~-~-~- = L k=O

k+l

2

= Ax1x2

k/q

2

X}X2X3X4

=

. 2 ( J.

4

L (-1 )3J= 2

1) s; = s: -

2- 1

+ Axtxa + Ax1x4 + Ax2xa + Ax2x4 + Axax4 - 2 Ax1x2xa -2 Ax1xax4 - 2 Ax2xax4 + 3 Ax1x2xax4

Hagamos notar que no tendría sentido un seguro sobre el grupo

2

s: + 3 st =

2

Ax1X2X4-

[2] x 1 x 2 x3x 4 .

Asimismo es posible establecer seguros sobre grupos compuestos.

Ejemplo 28 Sea u = vw con v = x 1 y w = x 2 x 3 . El capital asegurado se paga a la extinción de u, esto es, una vez extinguidos v y w. Por tanto el capital se paga cuando hayan fallecido la cabeza de edad x 1 y una o ambas de edad x 2 y x 3 . El valor actual actuaria[ es 00

Ax1 :x2xa

=

00

L

vk+l k/qx1:x2xs

=

L

k=O

vk+l ( kjqx1

+

kjqx2xs -

k/qx1x2x3)

k=O

=

Ax 1

+ Ax2x3- Ax1x2x3

=

kPx1:X2X3 -

Not emos que kjqx1 :X2X3

= ( kPx1 +

kPx2x3-

=

kPx1 x2x3) k¡qXl

+

( k+lPxt k j qX2X3 -

k+1Pxt:X2X3

+

=

k+lPx2x3-

kjqX1X2X3

k+lPx1x2x3)

=

=

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

288

Cuando el capital asegurado se paga en el momento de la extinción de u, el valor actual para el caso de un seguro vida entera es una variable aleatoria

conocida la función de densidad gu(t) de Tu (vida residual de u), la esperanza matemática del valor actual es,

(11.3) pudiéndose obtener fácilmente las expresiones de momentos de orden superior. De igual forma el valor actual actuaria! del seguro temporal es

y del seguro vida entera diferido

Ejemplo 29 Considerando u = x 1x 2 x 3 , es claro que la esperanza matemática del valor actual del seguro vida entera con pago de un capital unitario en el momento del primer fallecimiento es

recordemos que

Ejemplo 30 Sea u= x 1x 2x 3 . El capital asegurado se paga en el instante del último fallecimiento y la esperanza matemática del valor actual es -

Ax 1x2x3=

¡

00

V

t

gx 1x 2x 3 (t)

dt

0

Ahora bien, sabemos que 3

gx1x2x 3 (t)

= :l)-l)j- l j=l

(-S;)=

(-S~)- (-S;)+ (-S~)

289

RENTAS Y SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS

siendo

-s; = 2.::: ( tPx;¡ :... :x;) (¡..¿Xi¡ +t + ... + Mx;j +t) G)

la suma de las funciones de densidad de la vida residual de los grupos de j cabezas que se extinguen al primer fallecimiento y que se pueden formar con las n cabezas del grupo inicial, por tanto,

¡

00

-

Ax1x2xa=

t

V gx¡x2xa(t) dt =

0

=

¡OO Vt (gx¡(t) + gx2(t) + gxa(t)- gX¡X2(t)- gX¡X3(t)- gX2X3(t) + gX¡X2X3(t)) dt = =Ax 1 + Ax2

+ Axa

-

Ax1x2 -

Ax¡xa - Ax2x3

+ Ax1x2x3

Ejemplo 31 Consideremos un seguro temporal sobre el grupo u= x 1 x 2 cuando el capital asegurado se paga en el momento del último fallecimiento siempre que éste suceda antes de n años. A_l__ = x1x2:nl

lor

vt gX1X2(t) dt ==

lor vt (gx1(t) + gx2(t)- gX1X2(t)) dt =

=A 1 - +A 1 - - A

X¡ :ni

x2:nl

1

_

Xl:X2:nl

donde A

1

_=

xíX2:nl

¡n vt gx x2(t) dt lo 1

es el valor actual actuarial de un seguro temporal de n años sobre el grupo que se extingue al primer fallecimiento u = x1x2.

También existen seguros en los que para el cobro del capital asegurado se exige el fallecimiento en un determinado orden. En estos casos la valoración es más compleja debiendo seguirse un razonamiento diferente. Analicemos dos ejemplos:

Ejemplo 32 Sea un seguro vida entera sobre dos cabezas de edades x 1 y x2, tal que el capital asegurado se paga en el instante de fallecer (x 1) pero sólo si (x2) sigue con vida. Representemos mediante Z a la variable aleatoria valor actual de la indemnización y calculemos la prima única pura

A1X1X2 =E(Z)

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

290

para ello necesitamos definir la variable aleatoria condicionada

(Z/Tx 1 = t) = ·{

O

vt

(si x 2 ha fallecido) con probabilidad (1- tPx 2 ) (si (x 2 ) no ha fallecido) con probabilidad tPx 2

S e trata, obviamente, de una variable aleatoria discreta cuya esperanza resulta ser E(Z/Tx 1 = t) = vt tPx 2 Ya estamos en condiciones de calcular la prima única pura apoyándonos en una conocida propiedad de las esperanzas condicionadas,

Ejemplo 33 Sean ahora tres cabezas de edades XI, x 2 y x 3 . Supongamos que el capital asegurado se paga al fallecer (xi) pero sólo si es la segunda cabeza en fallecer . Al igual que en el ejemplo anterior, llamamos Z a la variable aleatoria valor actual de la indemnización y calculamos la prima única pura

para ello definamos la variable aleatoria condicionada

(Z/Tx 1 = t) =

¡

(si (xi) no es el segundo en morir con probabilidad (1 - tP 111 )

O vt

X2 :X3

(si

es el segundo en morir) con probabilidad tP 111

(XI)

x2:xa

Su esperanza matemática es

E(Z/Tx 1 = t) = vt tP

PI :t2 :xa

y la prima única pura,

A

2 X¡X2X3

= E(Z) = Et(E(Z/Tx¡ = t)) = Et(d

tP_ii_ J ) X2X3

=

loroo vt

tP

I! J X2X3

9x¡ (t) dt =

r

RENTAS Y SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS

=

roo

.fo

Vt tP_iii_ tPx 1 1-tx 1+t x2x3

dt

=

roo

.fo

Vt ( tPx2

+

tPx3 -

291

2 tPx2x3) tPx¡ 1-tx1+t

dt

=

=A1X¡X2 +A1X¡X3 -2 A1X¡X2X3 Recordemos que

tP__l!L X2X3

11.3

=

L( -1)1

·- 1

2

J

(") 1

sj = SI

- 2

s2

=

tPx2

+

tPx3 -

2

tPx2X3

j=l

Rentas sobre varias cabezas

Para el estudio de las rentas sobre varias cabezas el planteamiento es similar al de los seguros. Limitándonos únicamente a la renta unitaria e ilimitada para los casos discreto prepagable y continuo, el lector no ha de tener dificultad en desarrollar las rentas temporales y diferidas asi como el caso discreto postpagable. Dado un grupo u, los capitales vencen mientras dicho grupo no se extinga. El valor actual de la renta es una variable aleatoria cuyos valores son

z=

f(Kr~')

= aK. . +II

Ku

=o, 1, 2, ....

y además

P(Z = iik+II) =

k= O, 1, 2, ...

k¡qu

La esperanza matemática de esta variable aleatoria, valor actual actuaria! de la renta que se representa por iiu, es 00

iiu

= E(Z)

=

L

iik+II kf qu

(11.4)

k=O

Al igual que en las rentas sobre una cabeza, el valor actual actuaria! de la renta puede obtenerse como la suma de los valores actuales actuariales de cada uno de los capitales unitarios con vencimiento al comienzo de cada año en caso de supervivencia de u. Se prueba con facilidad que 00

..

~

au =L...,; V

k

kPu

(11.5)

k=O

ya que kPu puede expresarse en función de las probabilidades de supervivencia para grupos que se extinguen al primer fallecimiento, es claro que de forma natural iiu quedará expresado como función de rentas sobre grupos que se extinguen al primer fallecimiento.

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

292

En el caso de la renta continua, el valor actual de la renta es una variable aleatoria cuyos valores son

La esperanza matemática de esta variable aleatoria, valor actual actuarial de la renta que se representa por iiu , es

iiu= E(Z)

=loo ati 9u(t)

(11.6)

dt

y también

(11.7) Espresándose iiu en función de rentas de grupos que se extinguen al primer fallecimiento.

Ejemplo 34 Sea u= x 1 x 2 x 3 • Los capitales de la renta vencen al principio de cada año mientras esté viva al menos una de las tres cabezas. Tenemos 00

aXJX2X3

=

L

vk kPx¡X2X3

=

k=O 00

=

L

vk( kPx¡

+

kPx2

+

kPx3

-

kPx¡X2 -

kPx¡X3 -

kPx2:X3

+

kPx¡X2XJ

=

k =O

En general, representando mediante

podemos escribir

o también, en caso de una renta que se paga mientras en un grupo den cabezas vivan al menos m,

a

m

XJX2 ·• · Xn

=

~ (-1 )j- m L.__,¡

j=m

(

j - 1)

m - 1

sa J

lo que puede generalizarse a las rentas temporales y a las diferidas.

293

RENTAS Y SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS 2

Ejemplo 35 Siendo u -x 1 x 2 x 3 , el valor actual actuarial de una renta unitaria diferida n años y postpagable es 00

¿

=

n/a__2 _ X¡X2X3

V

k

-

kP_2_X¡X2X3

k=n+I

00

L

+

vk( kPx¡X2

+

kPx¡xa

2

kPx2X3 -

kPx!X2X3) =

k=n+I -

n¡ax 1x 2

+

nfax 1xa

+

njax2xa -

2 njax1x2xa

Asimismo es posible establecer rentas sobre grupos compuestos.

Ejemplo 36 Sea u = vw con v =

.... =

atl

aX!X2:Xa,

XI x2

00 "'k = D V

yw =

kPx!X2:Xa,

k=O

L

vk( kPx¡

+

kPx2 -

kPx!X2) kPxa,

kPX!X2 kPxa,

=

=

L

vk( kPx¡xa,

+

kPx2X3,- kPx¡X2X3)

=

k =O

=

iix 1xa,

+ iix2xa, -

Ejemplo 37 Considerando u = x 1 x~x 3 continua y unitaria para este grupo es iix1x2xa=

¡

V

00

k=O

=

00 "'k = D k=O

00

=

X3,

¡

,

iix1x2xa

el valor actual actuarial de una renta

00 iiti

9x¡x2xa(t) dt

00 ati (9x 1 (t)

+ 9x 2 (t) + 9x 3 (t)- 9x 1x2(t)- 9x¡xa(t)- 9x2xa(t) + 9x¡X2X3(t))

=iix 1 + iix2

+ iixa

-

iix1x2 -

iix¡xa -

iix2xa

+ iix1x2xa

dt

=

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

294

11.4

Rentas de supervivencia

Dadas dos cabezas de edades xi y x 2 (o en dos grupos de varias cabezas u y v), podemos pensar en una renta a cobrar mientras viva x 2 ( v) pero a partir del fallecimiento de XI (u). Tal renta se denomina de supervivencia. Para un tratamiento elemental de estas rentas estudiaremos en primer lugar el valor actual de un capital unitario que vence dentro de t años si vive x2 habiendo fallecido xi. Ciertamente el valor actual es una variable aleatoria

z= {

vt

O

si Tx 2 > t y Tx 1 ~ t si en otro caso

Ya que P( Z =

vt) =

tqx 1 tPx 2

la esperanza matemática de este valor actual, que representaremos mediante es tEx¡jx 2 = E( Z) = vt tqx 1 tPx 2 = vt (1 - tPx 1 ) tPx 2

tEx¡jx 2

(11.8)

Notemos ademas que

En general, para dos grupos u y v

(11.9) Representando mediante ax¡fx 2 el valor actual actuaria! de una renta anual unitaria a cobrar mientras viva (x 2 ) pero a partir del fallecimiento de XI (notemos que el primer término de la renta vence al final del año de fallecimiento de XI siempre que esté viva x 2 ), tenemos ()()

()()

axJ/x2

=

L

tEx¡/X2

=

t=I

L(

tEx2 -

tEx¡x2)

=

ax2 - ax1X2

(11.10)

t=I

En general para dos grupos u y v,

(11.11) Ejemplo 38 Sean u= xix2 y v

= x3

los términos de la renta vencen mientras viva (x 3 ), pero una vez que hayan fallecido

(xi) y (x2).

RENTAS Y SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS

295

En el caso de la renta continua

1

00

iixtfx 2=

1

00

tEx¡jx 2 dt =

tPx 1) tPx 2 dt =iix2 - ax 1x2

Vt (1 -

(11.12)

En general para dos grupos u y v, se tiene -

-

-

au¡v=av - auv

Las rentas de supervivencia pueden se interpretadas como seguros cuyo capital asegurado se paga si fallece en primer lugar una de las cabezas. En efecto, tomemos (11.12) iix¡fx 2= 1oo vt (1- tPxJ tPx 2 dt = 1oo vt tPx 2 tqx 1 dt = 00

=

1

00

Vt tPx 2 (1t zPx 1 /-Lx 1+z dz) dt

1

=

(1t Vt tPx 2 zPx 1 /-Lx 1+z dz) dt

tenemos una integral doble cuyo recinto de integración es

A = {(t, z) E R 21 O ~ t < oo, O ~ z ~ t} conjunto que puede expresarse también como

A

= { ( t,

z)

E

R 2 1 O ~ z < oo, z ~ t ~ oo}

por lo que 00

iix¡fx 2 = 1oo (1

1

vt tPx2 zPx 1 1-Lx¡+z dt) dz

00

=

1

=

1oo (1oo vt tPx 2 dt) zPx 1 I-Lx 1+z dt

=

00

zjax2 zPx¡ I-Lx 1+z dt

1

=

Vz zPx2 ax2+z zPx¡ /-Lx 1+z dt

=

00

=

Vz ax2+z zPx2 zPx1 /-Lx 1+z dt

que coincide con el valor actual actuarial de un seguro sobre el grupo de dos cabezas de edades x 1 y x 2 , cuyo capital asegurado se paga si fallece la primera cabeza antes que la segunda, siendo el capital asegurado una renta vitalicia para la segunda cabeza, a recibir a partir del fallecimiento de la primera.

296

11.5

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

Primas y reservas matemáticas

En cuanto a las primas periódicas en el momento de establecer la equivalencia actuaria!, se ha de tener cierto cuidado respecto a la finalización de su pago con el fin de evitar el supuesto de pago de primas cuando ya no existe posibilidad de indemnización alguna.

Ejemplo 39 Sea u = x 1x 2 x 3 . Consideremos un seguro vida entera con pago del capital asegurado (unitario) al final del año de extinción de u . Ya que el grupo se extingue al primer fallecimiento, es razonable pensar que las primas se han de pagar como maximo mientras las tres cabezas se encuentren con vida. Repesentando la prima anual constante mediante Px 1x 2 x 3 , la equivalencia acturial conduce a

En caso de que se estableciese una temporalidad para el pago de primas de n años, escribiríamos nPX)X2X3 aX)X2X3:;¡

=

Ax¡X2X3

donde ax 1x 2 x 3 ,;¡ representa el valor actual actuaria[ de una renta temporal n años sobre el grupo u. Ejemplo 40 Sea u= x 1 x 2 , y un seguro vida entera con pago del capital asegurado al final del año de extinción de u. Ahora el pago de primas se realizará como máximo hasta el último fallecimiento. Si esto es así, la equivalencia actuaria[ quedará

Ejemplo 41 Consideremos una renta de supervivencia a cobrar mientras viva x 2 pero a partir del fall ecimiento de x 1 . Es logico que el pago de primas se realice como máximo hasta el primer fallecimiento. En este caso la equivalencia actuarial es

En relación con la reserva matemática hemos de indicar que, en general, cuando el grupo y la póliza se extinguen al primer fallecimiento, la valoración prospectiva no se diferencia de la corrrespondiente a seguros sobre una cabeza. Cuando esto no sucede el cálculo de la reserva puede hacerse mas complejo debido a la necesidad de contemplar las diferentes situaciones en que pueden encontrarse las cabezas del grupo h años después de suscrita la poliza. Analicemos algunos ejemplos.

RENTAS Y SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS

297

Ejemplo 42 Para el seguro vida entera del ejemplo 39, en el que el grupo se extingue al primer fallecimiento es claro que la reserva matematica h años después de suscrita la póliza es h Vx1x2xa

=

Ax¡ +h x2+h xa+h -

Px¡x2x3 ax¡ +h x2+h xa+h

Ejemplo 43 En el seguro vida entera del ejemplo 40, el grupo no se extingue al primer fallecimiento por lo que puede "estar vivo" h años despues de suscrita la póliza con diversas situaciones que condicionan la cuantía de la reserva matemática. Así: a) Si viven X¡ y x2 h Vx!X2

b) Si sólo vive

e) Si sólo vive

=

Ax,+h

x~+h-

PXJX2 a

x1 h Vx!X2

=

Axl +h -

PX!X2 ax¡ +h

h VX!X2

=

Ax2+h -

PX!X2 ax2+h

x2

Ejemplo 44 En el caso de la renta de suprvivencia del ejemplo 41, la póliza se extingue al fallecer x 2 • La reserva matemática h años después de suscrita la paliza es a) Si viven X¡ y x2 hV(ax1 / x2)

=

ax1+h/x2+h- P(ax¡ f x2) ax1+h:x2+h

b) Si sólo vive x 2 h V(ax¡fx2)

11.6

=

aX2+h

Funciones de conmutación

Al igual que para el caso de los seguros para una cabeza, en los de varias cabezas también se han empleado las funciones de conmutación para facilitar los cálculos actuariales. Así, se define la función :Z:J:Z:2

Dx¡X2 ... Xn = V

•••

n

Xn

[XJX2 ... Xn

(11.13)

MATEMÁTICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

298

y a partir de ella, mediante suma 00

N X¡X2

(11.14)

... Xn -""'D - ~ x¡+t X2+t ... Xn+t

t= O

y 00

Sx¡X2 ... Xn

=

L

(11.15)

Nx¡+t x2+t .. . Xn+t

t=O

Asimismo, la función

(11.16)

... Xn

y también mediante suma 00

Mx¡X2 ... Xn

=

L

Cx¡+t x2+t ... Xn+t

(11.17)

Mx¡ +t x2+t ... Xn+t

(11.18)

t=O

y 00

Rx¡X2 ... Xn

=

L t=O

El cálculo mediante estas funciones de los valores actuales actuariales de rentas y seguros para grupos que se extinguen al primer fallecimiento, es sencillo. Veamos algunos ejemplos: 1.- Para el factor de actualización actuaria! ZJ +:z:2+ ... +z n

t

E XtX2

t ... Xn

= V tPxtX2 ...

Xn

=

V V

:Z:J

+t

n :Z:J +:z:2+ ... n

lx¡+t x2+t ... Xn+t +:r:n

lXtX2 ...

Xn

+t+:z:2+t+ ... +:z: n +t

V

lx¡+t x2+t ... Xn+t V

2.- Seguro vida entera

Dx¡ +t x2+t ... Xn +t DXiX2 ... Xn

(11.19)

RENTAS Y SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS

=

f

CXl~

299

x2+k ... Xn+k

(11.20)

X1X2 ... Xn

k= O

3.- Renta prepagable

..

= Loo

aX1X2 .. . Xn

ooD = L._¡ ~ x1+k

kEx X

1 2 . .. Xn

k= O

NX1X2 ··· Xn

x2+k .. . Xn+k

(11.21)

Dx1x2 ··· Xn

Dx1x2 .. . Xn

k= O

4.- Renta temporal prepagable

.

a

X1X2 ... Xn :ml

=

m- 1

L

m- 1

E k

X1X2 ... Xn -

k=O

LD

X2+k ... Xn +k

X }+ k

D

k= O

Xl X2 .. .

Xn

Nx1x2 ... Xn- Nx1+m x2+m .. . Xn+m

(11.22)

DX1X2 ... Xn

11.7

Ejercicios

1.- Pruebe las siguientes igualdades.

a) A:C]X2 __=

1- daX1X2

Ax1x2=

1- 8 iix1x2

b)

e) A

=1-óa

2 X}X2X 3

2

X1X2X3

Solución: a) 00

A

_

F1:X 1x2 -

00

~

L._¡ V

k+l

_ k j qx1x2 -

k= O

-

L._¡ V

k+1(

kPx1x2 -

k+1Px1X2

) -_

k= O

()()

-

~

()()

~ rl=--=-- ~ rl=--=-) -- v a _ - a:cp _ L._¡ vk+l krx1x2 L._¡ vk+1 k+1rx1x2 :cp 2 2 k= O

k= O

= v a_ x¡x2

(a_ - 1) x¡x2

=

1 - (v - 1) a_ x ¡x2

= 1-

d a_ x¡x2

b) Ahora basta tener en cuenta _

ax1x2=

{

00

1 - vt

Jo -

8

1

9x 1x 2 (t) dt

= 8(1-

Ax 1x 2 )

MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA

300

e) Igual que para b)

_

a_2_= X¡X2X3

¡oo - - g_2_(t) 1- vt

0

Ó

1 dt = -(1- A_2_) Ó

X¡X2X3

X¡X2X3

2.- Interprete la expresión

y exprésela en función de los valores actuales actuariales de seguros sobre grupos que se extinguen al primer fallecimiento. Solución: La expresión dada representa el valor actual actuarial de un seguro vida entera con pago del capital asegurado al final del año de la extinción del grupo que se produce al extinguirse los grupos u = x 1x 2 y w = X3X 4 • Para que se produzca ese hecho basta con que fallezca una o dos de las cabezas de un grupo y se produzca el primer fallecimiento en el otro grupo.

00

=

L

vk+l( k/qX!X2

+

k/qX3X4 -

k/qX!X2X3X4)

=

Ax!x2

+

Ax3X4 -

Ax!X2X3X4

k=O

3.-Interprete y calcule las expresiones:

a) b) b) Solución: a) Es el valor actual actuarial de un seguro vida entera cuyo capital asegurado se paga en el momento de la extinción del grupo x 1 x 2 , siempre que esta acaezca

RENTAS Y SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS

301

antes del fallecimiento de (x 3 ); esto es el capital asegurado se paga al fallecimiento de (x 1) o (x 2) pero siempre que no haya fallecido previamente (x3).

=

A_.!.._ XJX2X3

lo¡oo vt tPx¡X2X3 f..Lx¡ +t:x2+t dt = lo¡oo vt tPx¡X2X3 (f..Lx¡ +t + f-Lx2+t) dt = =A1X¡X2X3 +AX¡X2X3 1

b) Es el valor actual actuaria! de un seguro vida entera cuyo capital asegurado se paga en el momento de la extinción del grupo x 1 : x2, siempre que (x3) haya fallecido previamente, esto es, el capital asegurado se paga al fallecimiento de (x 1) o (x2) una vez fallecido (x3) .. A

.2. X!X2X3

=

lor= vt tq:z;3 tPX!X2 f-Lx¡ +t:x2+t dt = lor=vt(l- tPxa) tPx¡X2 (f..Lx¡ +t + f-Lx2+t) dt = -

-

-

= Ax1 '"'2 - A X¡X2X3 1 - AX¡X2X3 1 e) Es el valor actual actuaria! de un seguro vida entera cuyo capital asegurado se paga en el momento de la extinción del grupo x 1x2, siempre que esta acaezca antes del fallecimiento de x 3 ; esto es el capital asegurado se paga al fallecimiento de (x 1) y (x2) pero siempre que no haya fallecido previamente (x3) .. A_J_ X¡X2X3

=

lo¡oo vt tPxa 9x¡x2(t) dt = lor=vt tPxa =A¡

X¡X3

+A1

X2X3

(gx¡

(t)

+ 9x2(t)- 9x¡x2(t))

dt

=

-A 1

:z:í