Logica Simbolica

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SIMBOLICA IRVIIMC3 M . C O P I University of Hawaii

VIGÉSIMA REIMPRESIÓN MÉXICO, 2001

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Título original de la obra: SYM BOLIC LOGIC Traducción autorizada por: Copyright © by Macmillan Publishing Co. Copyright © by Irving M. Copi Traducción: Andrés Sestier Boulier, M. en C.

Lógica simbólica Derechos reservados respecto a la edición en español; © 1979, Irving M. Copi/Macmillan Publishing Co. © 1979, Compañía Editorial Continental, S.A. de C.V. © 2000, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. de C.V. bajo el sello de Compañía Editorial Continental Renacimiento 180, Col. San JuanTlihuaca Delegación Azcapotzalco, C.P. 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Registro núm. 43 ISBN 968-26-0134-7

Impreso en México Printed in México

Segunda edición: 1979 Décima novena reimpresión: 2000 Vigésima reimpresión: 2001

Para

AM ELIA

Prefacio

El enfoque general de este libro es el mismo de las ediciones an­ teriores. De acuerdo con Aristóteles, consideramos a la lógica desde dos puntos de vista distintos: Por un lado, la lógica es un instrumento orgánico para apreciar (o evaluar) la corrección del razonamiento; por otro lado, los principios y los métodos de la lógica usada como un instrumento orgánico son temas de interés e importancia para investigarlos en forma sistemática. Este enfoque dual de la lógica es, en especial, apropiado para la lógica simbólica moderna. A tra­ vés del desarrollo de sus símbolos especiales la lógica ha llegado a ser incomparablemente más poderosa como instrumento de aná­ lisis y deducción. Y los principios y los métodos de la lógica simbó­ lica se investigan de manera fructífera por medio del estudio de los sistemas logísticos. En la primera mitad de este libro, los Caps. 1 a 5, se presentan las notaciones, los métodos y principios estándar de la lógica sim­ bólica que se usan al determinar la validez o invalidez de los ar­ gumentos. En esta parte se consideran sucesivamente los modos cada vez más complejos de argumentación: primero aquellos cuya validez tiene que ver con los compuestos función de verdad* de enunciados simples; después, los que involucran los tipos más sim­ ples de cuantificación; luego las cuantificaciones múltiples más com­ plejas, y por último, los argumentos relaciónales. Se introducen los métodos estándar de las tablas de verdad, las reglas de inferencia, los modos de prueba condicional e indirecto y la teoría de la cuanti­ ficación por medio de las técnicas de “deducción natural”. Se desarro­ lla en un capítulo aparte la lógica de las relaciones, que incluye la teoría de la identidad, las descripciones definidas, los predicados de tipo superior y la cuantificación de las variables predicativas Se in­ cluyen numerosos ejercicios para ayudar al estudiante a adquirir un dominio práctico del material. * Tam bién

se llam a a e9ta composición, composición veritativo-funcional.

(N .

del

T .)

La segunda mitad del libro contiene un tratamiento sistemático de los principios lógicos que se uscm en la primera mitad. Después de un breve estudio de los sistemas deductivos en general, se desarro­ lla un cálculo proposicional de acuerdo con los estándares de rigor modernos más elevados, y se prueba que es consistente y completo. Se presentan notaciones y fundamentos axiomáticos alternativos para los cálculos proposicionales, y entonces, se desarrolla un cálculo funcional de primer orden. Se muestra que este último es equivalente a los métodos de “deducción natural” de la primera mitad del libro, y también se demuestra que es consistente y completo. Hay tres apéndices: el primero presenta las Expansiones Boolea­ nas como un método algebraico de evaluación de la corrección de los argumentos función de verdad; el segundo trata del álgebra de clases, y el tercero de la teoría ramificada de los tipos. Esta cuarta edición de Lógica Simbólica difiere de las anteriores en muchos aspectos. Uno es de organización puramente: la regla de Prueba Condicional Reforzada pasa del Cap. 4 al Cap. 3, donde se le puede usar al trabajar con argumentos puramente de función de verdad. Otros aspectos en que la nueva edición difiere son los si­ guientes. En la Sec. 1.2 hay un examen un tanto más cuidadoso de las distinciones entre enunciados, proposiciones y oraciones. En la Sec. 2.1 se presta atención al papel que desempeñan palabras como “o” , “ni” , “ambos” y frases como “ni . . . n i . . . ” y “a menos que” y al significado que tiene la posición que ocupa la palabra “no” en enunciados compuestos. En. la Sec. 2.3 se enuncia más explícita­ mente lo que se supone al desarrollar la lógica de las funciones de verdad. En la Sec. 3.2 se sugieren otras reglas prácticas para encon­ trar las pruebas formales de validez. En la Sec. 7.6 se da una mejor prueba del Metateorema V. En la Sec. 8.2 señalamos el peligro de la definición “creativa” y se presenta una prueba diferente de la com­ pletud deductiva del sistema de Hilbert-Ackermann que da al estu­ diante una visión de dos métodos independientes y muy distintos para establecer resultados de completud deductiva de cálculos pro­ posicionales. En la Sec. 9.1 hay una prueba más sencilla de consis­ tencia para el cálculo de primer orden. Se agrega una nueva Sec. 9.7 en la que se deriva la teoría de la identidad a partir de un solo esquema de axioma adicional, siguiendo una sugestión del profesor Hao Wang. La primera mitad del libro está escrita para ayudar a los estu­ diantes a adquirir dos habilidades distintas. Una es la habilidad de analizar enunciados y argumentos del lenguaje ordinario y traducir­ los a las notaciones de la lógica simbólica. La otra es la habilidad para aplicar las técnicas y los métodos de la lógica simbólica a la

determinación de la validez o invalidez de los argumentos ya simbo­ lizados. Cuando en un problema se necesitan las dos técnicas, un error de traducción puede anular el ejercicio de apreciación de la validez. En consecuencia, se proponen más ejercicios para ayudar al estudiante a desarrollar estas habilidades por separado. Más ejer­ cicios de simbolización se han insertado en los Caps. 2, 4 y 5 y nuevos argumentos ya simbolizados se insertaron en los Caps. 3, 4 y 5 como ejercicios de apreciación de la validez. En esta nueva edición aparecen más de doscientos nuevos ejercicios: ejercicios de traducción al lenguaje simbólico y ejercicios de estimación de la validez; algunos ejercicios nuevos para ayudar al estudiante a reco­ nocer las formas y las formas específicas de los enunciados y los argumentos; y algunos respecto a diferentes sistemas de axiomas de los cuales hay que probar la independencia, la consistencia y la completud. Numerosos profesores de lógica han tenido la amabilidad de su­ gerir maneras de mejorar el libro. He considerado con sumo interés todos los consejos recibidos, aunque no he podido incorporar todos los cambios sugeridos. Por las útiles sugestiones comunicadas estoy de manera especial agradecido con el profesor Alan Ross Ander­ son de la Universidad de Pittsburgh, Lynn Aulick del Cedar Crest College, William F. Barr del State University of New York College en Corúand, Walter A. Bass de la Universidad Estatal de Indiana, Robert W. Beard de la Universidad Estatal de Florida, Richard Beaulieu de París, James C. Bohan'Jr., de la Universidad Estatal de Wichita, Murray Braden del Malcalyster College, Lorin Browning del College of Charleston, Mario Bunge de la Universidad McGill, David R. Dilling del Grace College, Earl Eugene Eminhizer de la Uni­ versidad Estatal de Youngstown, Barry R. Gross del York College, Universidad de la Ciudaid de Nueva York, Herbert Guerry de la Uni­ versidad Estatal de Idaho, James N. Hullett de la Universidad de Boston, R. Jennings de la Universidad Simón Fraser, Robert W. Loftin de la Universidad Stetson, Warren Matthews del Oíd Dominion College, Robert W. Murungi de la Universidad de Dubuque, Jean Porte del Centre National de la Recherche Scientifique, Samuel A. Richmond de la Universidad Estatal de Cleveland, Donald Scherer de la Universidad Bowling Green, Anjan Shukla de la Universidad de Hawaii, Leo Simons de la Universidad de Cincinnati, Frederick Suppe de la Universidad de Illinois, Norman Swartz de la Universidad Si­ món Fraser, William J. Thomas de la Universidad de Carolina del Norte en Charlotte, William C. Wilcox de la Universidad de Missouri y Jason Xenakis de la Universidad Estatal de Louisiana.

Desearía expresar mi agradecimiento a mi hija Margaret Copi y a la Srita. Karen Lee por su ayuda en la lectura de las pruebas. Ante todo, agradezco profundamente a mi esposa su aliento y ayuda en la preparación de esta nueva edición. I. M. C.

Indice de M aterias

Ca p .

P ág .

Prefacio.................................................................................. 1

7

Introducción: La Lógica y el Lenguaje ...........................

15

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

15 16 18 20

¿Qué es la L ó g ic a ? ........................................................ La Naturaleza del Argumento .................................... Verdad y V a lid e z .......................................................... Lógica Simbólica ..........................................................

2 Argumentos que Contienen Enunciados Compuestos ........

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Enunciados Simples y Compuestos ............................ Enunciados Condicionales............................................ Formas de Argumentos y Tablas de V e rd a d .............. Formas Sentencíales ....................................................

3 El Método de Deducción ......................................................

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9.

Prueba Formal de V a lid e z ............................................ La Regla de Reemplazo .............................................. Demostración de la In v a lid e z...................................... No Completud de las Diecinueve Reglas .................. La Regla de Demostración C on d icion al...................... La Regla de Demostración In d ire c ta .......................... Demostración de Tautologías ...................................... La Regla de Demostración Condicional Reforzada . . Técnica Abreviada de Tabla de Verdad— Método de Re­ ducción al Absurdo ......................................................

4 Funciones Proposicionales y Cuantificadores

...............

4.1. Proposiciones Singulares y ProposicionesGenerales . . 4.2. Demostración de Validez: Reglas Preliminares de Cuan­ tificación ....................................................................... 4.3. Demostración de In v a lid e z .......................................... 4.4. Proposiciones Múltiplemente G en erales......................

23

23 31 34 43 49

49 56 66 67 72 75 78 80 84 87

87 96 102 109

4.5. Reglas de Cuantificación ............................................ 4.6. Verdades Lógicas que Involucran Cuantificadores . . . 5

La Lógica de las Relaciones................................................

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 6

Sistemas Deductivos ............................................................

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 7

8

Definición y D edu cción................................................ La Geometría Euclidíana ............................................ Sistemas Deductivos Formales .................................. Atributos de los Sistemas Deductivos F o rm a le s.......... Sistemas Logísticos ......................................................

141

141 156 161 167 177 185

185 187 191 194 197

Un Cálculo Proposicional ..................................................

203

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

203 205 218 223 230 244

Lenguaje Objeto y M etalengu aje................................ Símbolos Primitivos y Fórmulas Bien F o rm a d a s ........ Axiomas y Demostraciones ........................................ Independencia de los A x io m a s .................................... Desarrollo del C á lc u lo .................................................. Completud D eductiva....................................................

Sistemas y Notaciones Alternativos.....................................

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 9

Símbolos para las Relaciones ...................................... Argumentos que Involucran R elacion es...................... Algunos Atributos de las R ela c io n e s .......................... Identidad y la Descripción D e fin id a ............................ Variables Predicadas y Atributos de A trib u tos............

115 132

Sistemas Alternativos de Lógica ................................ El Sistema de Hilbert-Ackermann................................ El Uso de Puntos como Corchetes................................ Una Notación sin Paréntesis ...................................... Los Operadores Raya y D a g a ...................................... El Sistema de Nicod ....................................................

Un Cálculo Funcional de PrimerO r d e n ...............................

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7.

El Nuevo Sistema Logístico RSa .............................. Desarrollo de R S a .......................................................... Dualidad........................................................................ RSa y las Técnicas de “Deducción Natural” ................ Formas Normales ........................................................ Completud de RSa ............................................ ........... RSa con Identidad ......................................................

255

255 257 273 276 277 279 289

289 295 302 307 311 319 331

PÁG. Apéndice A: Formas Normales y ExpansionesBooleanas

...

335

Apéndice B: El Algebra de C lases......................................

343

Apéndice C: La Teoría Ramificada de losT ip o s ................

355

Soluciones de Ejercicios Selectos ....................................

367

Símbolos

..........................................................

393

Reglas de Cuantificación....................................................

395

Reglas de Interferencia ......................................................

396

Indice Alfabético ................................................................

397

Especiales

I Introducción: La Lógica y el Lenguaje 1.1. ¿Qué es la Lógica? Es fácil hallar respuestas a la pregunta “¿Qué es la Lógica?” Según Charles Peirce, “Se han dado casi un centenar de definiciones de ella’*.1 Pero Peirce continúa diciendo: “Sin embargo, se concederá generalmente que su problema central es la clasificación de los argumentos, de modo que todos los que sean malos se pongan de un lado y los que sean buenos del otro . . . ” El estudio de la Lógica, entonces, es el estudio de los métodos y principios usados al distinguir entre los argumentos correctos (buenos) y los argumentos incorrectos (m alos). Con esta defini­ ción no se intenta implicar, desde luego, que uno puede hacer la distinción sólo si ha estudiado lógica. Pero el estudio de ésta ayudará a distinguir entre los argumentos correctos y los incorrec­ tos, y lo hará de varias maneras. Ante todo, en el estudio propio de la lógica, ésta se aborda como un arte y como una ciencia y el estudiante hará ejercicios en todas las partes de la teoría estudiada. Aquí, como en cualquier parte, la práctica ayudará a alcanzar la perfección. En segundo lugar, el estudio de la lógica, especialmente la lógica simbólica, como el estudio de cualquier ciencia exacta in­ crementará la capacidad de razonamiento. Y por último, el estudio de la lógica dará al estudiante ciertas técnicas para probar la vali­ dez de todos los argumentos, incluyendo los suyos. Este conocimiento tiene valor porque cuando los errores son de fácil detección es menos probable que se cometan. La lógica se ha definido con frecuencia como la ciencia del razonamiento. Esta definición, aunque da una clave a la naturaleza 1 "L(p v q ), queda resuelta por nuestro convenio para significar la primera de éstas, pues la tilde puede (y en consecuencia por nuestro convenio lo hace) aplicarse a la pri­ mera componente p y no a la expresión más larga p v q. La palabra “either” tiene varios usos en inglés.* Tiene fuerza conjuntiva en “The Disjunctive Sillogism is valid on either interpretation of the word “ ‘or’ Con frecuencia sólo sirve para introducir el primer enunciado disyunto de una disyunción, como en "Either the United Nations will be strengthened or there will be a third world war”. Tal vez la función más útil de la palabra “either” sea la de puntuar algunos enunciados compuestos. Así, en la oración More stringent antí-pollution mea sures will be enacted and the laws will be strictly enforced or the quality o f life w ill be degraded still further.

puede levantarse la ambigüedad en una dirección colocando la pala­ bra “either” en su comienzo, y en la otra dirección insertando la * Y , además, no tiene equivalente en español. L a prim era oración se traduce "el Silogismo Disyuntivo es válido en la una y en la otra de la s interpretaciones de la letra ‘o’ L a segunda oración entre comillas, “o Se refuerzan la s N . CJ. o h ab rá una tercera guerra m un d ial” , y la tercera oración se ttaduce “ *e decretarán m edidas más severas contra la contaminación y las le y e 9 serán ejecutadas estrictamente o la calidad de la vida será aún m ás re b a ja d a ” . En español, elim inaríam os tam bién la am bigüedad poniendo la letra “o” al comienzo de la oración o después de la letra “ y’*: “o se decretan m edidas más severas contra la contam inación y se ejecutan las leyes estricta­ mente, o la calidad . . . ” es u n sentido, y el otro sentido lo d a “ se decretan medidas más severas contra la c o n t a m i n a c i ó n y/o se ejecutan las leyes estrictamente, o la calidad . . . ” ( N . del T .)

palabra “either” inmediatamente después de ‘‘and”. En nuestro len­ guaje simbólico esta puntuación se efectúa por medio de paréntesis. La fórmula ambigua p • q v r discutida en el párrafo precedente corresponde a la oración ambigua que consideramos en éste. Las dos puntuaciones diferentes de la fórmula corresponden a las dos puntuaciones diferentes de la oración, efectuadas con las dos dife­ rentes inserciones de la palabra “either”. N o todas las conjunciones se formulan explícitamente colocando la palabra “y” entre oraciones completas, como en “Carlitos es limpio y Carlitos es encantador”. De hecho, ésta se expresaría más natural­ mente como “Carlitos es limpio y encantador”, y “Juan y Carolina subieron a la colina” es la manera más natural de expresar la con­ junción “Juan subió a la colina y Carolina subió a la colina”. Lo mismo con las disyunciones: “o Alicia o Beatriz serán elegidas” ex­ presa más brevemente la proposición que alternativamente se formula como “Alicia será elegida o Beatriz será elegida” ; y “Carlota será secretaria o tesorera” expresa de manera un tanto más breve la mis­ ma proposición que “o Carlota será secretaria o Carlota será tesorera” . La negación de una disyunción se expresa a menudo usando la frase “ni-ni”. Así, la disyunción “Alicia o Beatriz serán elegidas” queda negada por el enunciado “ni Alicia ni Beatriz serán elegi­ das”. La disyunción se simbolizaría como A v B, y su negación como ^ ( A v B ) o como ( ^ A ) ■ (~ 'B ). (L a equivalencia lógica de estas dos fórmulas se discutirá en la Sec. 2.4.) Negar que al menos uno de los enunciados es verdadero es asegurar que ambos enunciados son falsos. La palabra “ambos” tiene varias funciones. Una de ellas es sólo cuestión de énfasis. Decir “Ambos Juan y Carolina subieron a la colina” es sólo para recalcar que los dos hicieron lo que se dice que hicieron al decir “Juan y Carolina subieron a la colina” . Una función más útil de la palabra “ambos” es de puntuación, como la de la pa­ labra inglesa "either'’, recién explicada. “Ambos . . . y - ■- no son -------” se usa para expresar lo mismo que “N i . . . ni - • - es -

En oraciones tales el orden que guardan las palabras “ambos” y “no” es de mucha significación. Hay una gran diferencia entre

y

Alicia y Beatriz no serán ambas elegidas. A licia y Beatriz arabas no serán elegidas.

La primera se simboliza como /^(A B ), la última como ( '- 'A ) • (-B ). Finalmente, hay que observar que la frase “a menos que” puede también usarse en la expresión de la disyunción de dos enunciados.

Así, “Nuestros recursos pronto se agotarán, a menos que se procesen más materiales de desecho” puede expresarse también como “O se procesan más materiales de desecho o se agotarán pronto nuestros recursos” y se simboliza como M v E. Como una disyunción exclusiva asegura que al menos uno de los disyuntos es verdadero pero no ambos, podemos simbolizar la disyun­ ción exclusiva de dos enunciados p y q cualesquiera simplemente como ( p v q ) • ^ ( p • q ). Así, podemos simbolizar las conjunciones, las negaciones y las disyunciones inclusivas y exclusivas. Todo enun­ ciado compuesto construido a partir de enunciados simples por apli­ cación repetida de conectivos de función de verdad, tendrá valores de verdad completamente determinados por los valores de verdad de esos enunciados simples. Por ejemplo, si A y B son enunciados ver­ daderos y X y Y son falsos, el valor de verdad del enunciado com­ puesto ^ [ ( ^ A v X ) v ^ ( B - Y ) ] puede encontrarse de la manera siguiente. Como A es verdadero, ^ A es falso, y como X es falso, tam­ bién la disyunción ( ^ A v X ) es falsa. Dado que Y es falso, la conjun­ ción (B • Y ) es falsa y su negación ^ ( B • Y ) es verdadera. De este modo, la disyunción ( ^ A v X ) v ^ ( B - Y ) es verdadera, y su ne­ gación, que es el enunciado original, es falsa. Este procedimiento paso a paso, iniciado en las componentes (m ás) internas nos per­ mite, siempre, determinar el valor de verdad de un enunciado com­ puesto función de verdad partiendo de los valores de verdad de sus enunciados simples componentes. E J E R C I C I O S

1

I. Si A y B son enunciados verdaderos y X y Y son falsos, ¿cuáles de los si­ guientes enunciados compuestos son verdaderos? *1.

~~(AvX)

2.

~~A v ~ X

12. X v [ A - ( Y v B ) ]

3.

— B —

13.

4.

~(B*Y)

Y

1 1 . A v [ X * ( B v Y)]

{~[~-(A

14.

* 5. A v ( X - Y )

*15.

6. ( A v X ) * Y

16.

X)

A] •~ X }

[ ~ ( A • ~ B ) ■— A ] • ~ A } [(A-X)v ~ f l] - ~ [ ( A - X ) v ~ B ] [ ( X * A ) v -— Y ] v — [ ( X * A ) v ~ ~ Y ]

7. ( A v B ) * ( X v Y )

17.

[A -(X vY )]v-[(A -X )v(A -Y )]

8. ( A - B ) v ( X - Y )

18.

[X

9. ( A * X ) v (B* Y )

1 9 . [ X * ( A v B) ] v ~ [ ( X v A ) • ( X v B) ]

*10. A * [ X v (B* Y) ]

1 L as

20.

v

(A-Y)]v - [ ( X

v

A )-(X

v

Y)]

[ X v (A * Y) ] v ~ [ ( X v A ) v (X v Y) ]

soluciones de ejercicios marcados ae encuentran

al fin al

del

libro.

II. Usando Jas letras A, B, C y D para abreviar los enunciados simples: “Atlanta gana el campeonato de su división” , “ Baltimore gana el campeo­ nato de su división” , “ Chicago gana el Supertazón” y “Dallas gana el Supertazón” , simbolizar los siguientes: *1. O Atlanta gana el campeonato de su división y Baltimore gana el cam­ peonato de su división o Chicago gana el Supertazón. 2. Atlanta gana el campeonato de su división y o Baltimore gana el cam­ peonato de su división o Dallas no gana el Supertazón. 3. Atlanta y Baltimore no ganarán ambos los campeonatos de su división, pero Chicago y Dallas ambos no ganarán el Supertazón. 4. O Atlanta o Baltimore ganará el campeonato de su división, pero ni Chicago ni Dallas ganarán el Supertazón. *5. O Chicago o Dallas ganará el Supertazón, pero no ganarán ambos el Supertazón. 6. Chicago ganará el Supertazón, a menos que Atlanta gane el campeonato de su división. 7. N o es el caso que ni Atlanta ni Baltimore ganen el campeonato de su di­ visión. 8. O Chicago o Dallas ganará el Supertazón, a menos que ambos Atlanta y Baltimore ganen los campeonatos de su división. 9. O Chicago o Dallas ganará .el Supertazón, a menos que ambos Atlanta y Baltimore ganen los campeonatos de su división. 10. O Chicago gana el Supertazón y Dallas no gana el Supertazón o ambos Atlanta y Baltimore ganan los campeonatos de su división. III. Usando mayúsculas para abreviar los enunciados simples, simbolizar los siguientes enunciados: *1. Es blanda su boca más que la manteca, pero lleva la guerra en su corazón. (Salmo 55:21) 2. N i de oriente ni de occidente ni del desierto vendrá la salvación. (Salmo 75:6) 3. Los días del hombre son como la hierba; como flor del campo, así florece. ( Salmo 103:15) 4. El vino es petulante y los licores, alborotadores. (Proverbios 2 0 :1 ) *5. Dios hizo recto al hombre, mas ellos se buscaron muchas maquina­ ciones. (Eclesiastés 7:2 9) 6. No es de los ágiles el correr ni de los valientes el combate. . . (E cle­ siastés 9:1 1) 7. Que es fuerte el amor como la muerte y son como la tumba duros los celos. (Cantares de Salomón 8 :6 ) 8. N o romperá la caña cascada, ni apagará la mecha que se extingue. (Isaías 42:3) 9. Saúl y Jonatán amados y queridos en vida. . . (2 Samuel 1:23) 10. N i se habían debilitado sus ojos, ni se había mustiado su vigor. (Deuteronomio 34:7) 11. La voz es la de Jacob, pero las manos son las de Esaú. (Génesis 27:22) 12. No vuelve más a su casa y no lo reconoce ya su lugar. (Job 7:1 0)

2.2, Enunciados Condicionales El enunciado compuesto “Si el tren se retrasa entonces perdere­ mos nuestro transbordo" es un condicional ( o un hipotético, una im­ plicación o un enunciado im p lica tivo). El enunciado componente si­ tuado entre el “si” y el “entonces” es llamado el antecedente (o el implicante o prótasis), y el componente que sigue al “entonces” es el consecuente (o el implicado o apódosis). Un condicional no afirma que su antecedente sea verdadero o que su consecuente lo sea; sólo afirman que si su antecedente es verdadero, entonces su con­ secuente es también verdadero, o sea, que su antecedente implica su consecuente. La clave del significado de un condicional es la relación de implicación que se asegura que existe entre su antecedente y su consecuente, en ese orden. Sí examinamos un cierto número de condicionales diferentes veremos que pueden afirmar diferentes implicaciones. En el condi­ cional “Si a todos los gatos les gusta el hígado y Dina es un gato, entonces a Dina le gusta el hígado”, el consecuente se sigue lógica­ mente del antecedente. Por otro lado, en el condicional “Si la figura es un triángulo, entonces tiene tres lados” , el consecuente se sigue del antecedente por la definición misma de “triángulo”. Pero la verdad del condicional “Si el oro se sumerge en agua regia, entonces el oro se disuelve” no es cuestión de lógica ni de definición. Aquí la cone­ xión afirmada es causal y debe descubrirse empíricamente. Este ejemplo muestra que hay diferentes clases de implicaciones que constituyen diferentes tipos de sentidos de la frase “si-entonces”. Observadas estas diferencias, ahora buscamos un significado común identificable, algún significado parcial común a éstos que, como hemos aceptado, son diferentes tipos de condicionales. Nuestra discusión de “si-entonces” correrá paralela a nuestra pre­ via discusión de la palabra “o”. Primero, señalamos dos sentidos diferentes de esa palabra. Segundo, notamos que había un significado parcial común: el hecho de que al menos un disyunta sea verdadero, se vio que estaba involucrado tanto en el “o” inclusivo como en el exclusivo. Tercero, introdujimos el símbolo especial “v” para repre­ sentar este sentido parcial común (que era todo el significado de “o” en su sentido inclusivo). Cuarto, observamos que, dado que ar­ gumentos como el Silogismo Disyuntivo son válidos en cualquier interpretación de la palabra “o” , simbolizar cualquier ocurrencia de la palabra “o” por el símbolo cuña preserva la validez de tales argumentos. Y como nos interesan los argumentos desde el punto de vista de la determinación de su validez, esta traducción de la palabra "o" en ‘V* que puede abstraer o ignorar parte de su signi­

ficado en algunos casos, es enteramente adecuada para nuestros propósitos actuales. Un significado parcial común de estas diferentes clases de enun­ ciados condicionales surge cuando preguntamos cuáles serían cir­ cunstancias suficientes para establecer la falsedad de un condi­ cional. ¿En qué circunstancias acordaríamos que el condicional “Si el oro se sumerge en agua regia entonces el oro se disuelve” es falso? Claramente, el enunciado es falso en el caso de que se sum.erja el oro en esta solución y no se disuelva. Cualquier condicional de ante­ cedente verdadero y consecuente falso debe ser falso. Luego, cual­ quier condicional si p entonces q se sabe que es falso en el caso de que la conjunción p • ^ q sea conocida verdadera, esto es, en caso de que el antecedente sea verdadero y su consecuente falso. Para que el condicional sea verdadero la condición indicada deberá ser falsa. En otras palabras, para que cualquier condicional si p enton­ ces q sea verdadero, ^ ( p * —q ), la negación de la conjunción de su antecedente con la negación de su consecuente, también debe ser verdadera. Luego, podemos considerar esta última como parte del significado del condicional. Introducimos un nuevo símbolo “ D”, llamado herradura, para representar el significado parcial común en todos los enunciados condicionales, definiendo “p D q” como una abreviación de “ ^ ( p * —q ) ”. La herradura es un conectivo de función de verdad, cuya significación exacta queda indicada por la tabla de verdad siguiente: p T T F F

q T F T F

~~q F T F T

p'

q F T F F

~ (P ‘ ~q) T F T T

V D