Logica Simbolica

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MANUEL GARRIDO

LÓGICA SIMBÓLICA CUARTA EDICIÓN

temos

Diseño de cubierta: Joaquín Gallego

1.a edición, 1974 1 reim presión revisada, 2.a reim presión revisada, 3.a reim presión, 1978 4.a reim presión, 1979 5.a reim presión revisada, 6.a reim presión revisada, 7.a reim presión, 1986 8.a reim presión, 1989 2.“ edición, 1991 3.a edición, 1995 Reim presión, 1997 4.a edición, 2001 1.a reim presión, 2003 2.a reim presión, 2005

1974 1977

1981 1983

© M a n u e l G a rr id o , 1974 © Capítulo XX: C a rm e n G a rc ía -T re v ija n o , 1995 © ED IT O R IA L TECN O S (G RU PO ANAYA, S. A .), 2005 Juan Ignacio L uca de Tena, 15 - 28027 M adrid ISBN : 84-309-3747-1 D epósito Legal: M -41.778-2005

P rin ted in Spain. Im preso en E spaña por E digrafos

ÍNDICE P R Ó L O G O .................................................................................................................. Pág.

13

INTRODUCCIÓN Cap. I. A.

B.

¿QUÉ ES LA L Ó G IC A ? ...............................................................................

19

La lógica f o r m a l ...................................................................................................... § 1. El uso de argum entos .................................................................................. § 2. La form a de los a rg u m e n to s ....................................................................... § 3 . La lógica formal ........................................................................................... La lógica s im b ó lic a ................................................................................................. § 4. La m atem atización de la ló g ic a .................................................................... § 5. El uso de sím bolos ....................................................................................... § 6. Lógica tradicional y lógica sim b ó lic a ..................................................... § 7. S u m a rio ...........................................................................................................

19 19 20 21 24 24 25 26 28

Cap. II. A.

EL LEN GUA JE DE LA L Ó G IC A ...........................................................

D el lenguaje ordinario al lenguaje lógico ....................................................... § 1. Lenguaje natural y lenguaje formal. Constantes y variables ........... § 2. Predicaciones (enunciados a tó m ic o s )..................................................... a. Sujetos y predicados ........................................................................... b. Predicados absolutos y relativos ..................................................... c. Enunciados a tó m ic o s .......................................................................... d. Verdad y falsedad. Principio de bivalencia..................................... e. Variable individual. Forma en u n ciativ a............................................ § 3. C o n ecto res...................................................................................................... a. L a com posición de enunciados ....................................................... b. N e g a d o r ................................................................................................. c. C o n ju n ta r ............................................................................................... d. D is y u n to r ............................................................................................... e. Im plicador ............................................................................................. f. Coim plicador ....................................................................................... § 4. C u a n tifica d o res................................................................................ .. a. La cuantificación de enunciados ..................................................... b. G e n era liz a d o r........................................................................................ c. Particularizador ................................................................................... § 5. Interpretación y verdad lógica ................................................................ a. Interpretación y traducción .............................................................. b. Satisfacción y verdad lógica ............................................................ c. Sum ario .................................................................................................

29 29 29 30 30 30 31 34 35 37 37 38 39 40 41 44 45 45 46 47 48 48 49 50

B.

Lenguaje form al de prim er o r d e n ...................................................................... § 6. Las categorías de un lenguaje f o r m a l ..................................................... § 7. Sím bolos form ales ............................................................................... § 8. Lenguaje y m etalenguaje ......................................................................... § 9. F ó r m u la s ....................................................................................................... §10, Uso de paréntesis ...................................................................................... §11. Nociones adicionales ..............................................................................

52 52 53 54 55 57 58

DEDU CCIÓN Y C O N S E C U E N C IA ..................................................

61

Argum ento d e d u c tiv o ................................................................................. Deducción directa e indirecta. Tipos y estrategias clásicas de deduc­ ción .................................................................................................................. Los supuestos de la deducción. Deducción axiom ática y deducción h ip o té tic a ......................................................................................................... Esquemas de argumentos. Reglas de in fe re n c ia ................................... Consecuencia lógica. Teoría de la prueba y teoría de modelos . . . .

61

Cap. III. § 1. § 2. § 3. § 4. §5.

63 65 66 70

LÓGICA DE ENUNCIADOS (CÁLCULO DE CONECTORES) Cap. IV.

TAUTOLOG ÍA S .....................................................................................

75

§1. §2. § 3. § 4. *§5.

Funciones veritativas .............................................................................. Tablas de v e r d a d ....................................................................................... T a u to lo g ía s ................................................................................................ Interdefinibilidad....................................................................................... Sistema total de conectores b in a rio s ......................................................

75 76 80 82 84

ESTRATEGIAS DE DEDUCCIÓN NATURAL ............................

87

§ I. § 2. §3. § 4. § 5. *§ 6. §7.

Prelim inares .............................................................................................. Reglas básicas de implicación ................................................................ Reglas básicas de c o n ju n c ió n .................................................................. Reglas básicas de disyunción .................................................................. Reglas básicas de n e g a c ió n ...................................................................... Deducción formal (d e riv a ció n )................................................................ Resolución de argumentos ....................................................................

87 88 91 92 95 98 101

Cap. VI.

TABLAS SEM ÁNTICAS ....................................................................

111

El método de las tablas semánticas. Reglas de im p lic a c ió n ............. Reglas de conjunción y d isy u n c ió n ......................................................... Construcción de tablas sem ánticas para lógica de e n u n c ia d o s .........

111 115 117

CÁLCULO DE REG LA S D E R IV A D A S ..........................................

123

La noción de regla derivada ..................................................................... Leyes de im plicación ................................................................................. Leyes de conjunción y disyunción .........................................................

123 128 130

Cap. V.

§1. §2. §3. *Cap. VII. § 1. §2. §3.

§4. §5. §6. § 7. §8.

Leyes de n e g a c ió n ........................................................................................ Reglas adicionales de conjunción y d is y u n c ió n .................................. Leyes de coim p licació n ............................................................................... In te rc a m b io .................................................................................................... Leyes de in te rd e fin ic ió n ............................................................................

137 141 144 146 151

LÓGICA DE PREDICADOS (CÁLCULO CUANTIFICACIONAL) CUA NTIFICADORES Y M ODELOS ..............................................

159

Nueva visita a los cuantifícadores ...................................................................... §1. El interés lógico de la cuantificación ..................................................... §2. Reducibilidad de cuantifícadores a c o n e c to re s..................................... *B. Semántica c u a n tifica cio n a l................................................................................. §3. Categorías semánticas. Significado y referencia ................................ § 4 . La revisión sem ántica del concepto de v e r d a d ..................................... §5. El dom inio de la cuantificación .............................................................. §6. Referencia cuantificacional ..................................................................... a. Satisfacción ........................................................................................... b. Verdad y m o d e lo ................................................................................. c. Satisfacibilidad'y verdad ló g ic a ........................................................ d. Consecuencia lógica ...........................................................................

159 159 160 162 162 165 167 171 171 173 175 176

Cap. IX.

..............................................

179

Deducción natura! ............................................................................................... 1. Regla de elim inación de g en era liz ad o r.................................................. 2. Regla de introducción de g e n e ra liz a d o r............................................... 3. Nota sobre cl uso de la regla I G .............................................................. 4. Regla de introducción de particularizador ........................................... 5. Regla de elim inación de p a rtic u la riz a d o r............................................. 6. El conflicto de alcances entre la regla E P y la regla I G .................... 7. Intercam bio cuantificacional..................................................................... 8. Reglas de interdefinición de cuantifícadores .................................... 9. Resolución de argum entos ....................................................................... B. Tablas s e m á n tic a s ................................................................................................. §10. Tablas sem ánticas de lógica c u a n tific a c io n a l..................................... §11. E je rcic io s....................................................................................................... *C. Leyes de distribución .......................................................................................... § 12. Introducción .............................................................................................. § 13. Leyes de descenso cuantificacional y de mutación de variable li­ gada §14. Leyes de distribución de cuantifícadores ......................................... §15. Otras leyes de distribución c u a n tific a c io n a l......................................

180 180 183 185 186 187 188 191 193 194 200 200 203 205 205 206 207 215

Cap. X.

S IL O G ÍS T IC A ................................................................................................

221

La proposición c a te g ó ric a .......................................................................... Los diagram as de Venn para la proposición c a te g ó ric a .................... Teoría de la inferencia in m e d ia ta ............................................................ El problem a del com prom iso cxistencial ..............................................

221 223 228 229

Cap. VIH. A.

DEDUCCIÓN CUA NTIFICACIO NAL

A.

§ § § § § § § § §

§ 1. - § 2. §3. § 4.

~ § 5. — § 6. § 7. § 8. § 9.

El silogism o c a te g ó ric o ............................................................................... D iagram as de Venn para el silogism o c a te g ó ric o .............................. Teoría de la reducción de los modos imperfectos a modos perfectos . . Form alización de la s ilo g ís tic a ................................................................. Resolución de argum entos ........................................................................

234 237 241 242 245

Cap. XI.

LÓGICA DE R E L A C IO N E S .................................................................

249

Cuantificación m ú ltip le ......................................................................................... § 1. Cuantificación de predicados re la tiv o s ................................................... B. Deducción natural ............................................................................................... § 2. Extensión de las reglas básicas del cálculo de cuantificadores......... § 3 . Leyes de cuantificación m últiple ............................................................ § 4. Ejercicios de traducción y resolución de a rg u m e n to s.......................... C. Tablas se m á n tic a s.................................................................................................. § 5. Tablas in f in ita s .............................................................................................

249 249 252 252 254 258 260 260

IDENTIDAD Y D E S C R IP C IO N E S ...................................................

263

Funciones y térm inos .................................................................................. Id e n tid a d ......................................................................................................... D e sc rip c io n e s...............................................................................................

263 266 273

A.

*Cap. XII. § 1. § 2. § 3.

AXIOMATIZACIÓN DE LA LÓGICA Cap. XIII.

EL M ÉTODO AX IOM Á TICO ..........................................................

285

§ 1. El método a x io m á tic o ................................................................................. § 2. Historia del m étodo axiom ático ............................................................... § 3 . Form alización del método axiom ático .....................................................

285 285 287

Cap. XIV.

SISTEM AS AXIOM ÁTICOS DE LÓGICA ELEM ENTAL. . . .

289

§ § § *§ § § § §

1. Axiom atización de la ló g ic a .................................................................. 289 2. Sistema axiom ático de lógica e le m e n ta l............................................. 290 3. La regla de d e d u c c ió n ............................................................................. 295 4. Selección de teoremas. Dualidad ........................................................ 299 5. Nota histórica sobre sistemas axiomáticos de lógica de enunciados . 306 6. La axiom atización de la silogística por L ukasiew icz ................... 312 7. Axiom atización de teorías m a te m á tic a s............................................ 318 8. Form alización de la aritm ética e le m e n ta l.......................................... 318 a. El «Formulario» de P e a n o ..................................................................318 b. Sistema axiom ático de aritm ética elemental ............................ 322 § 9. Teoría de g r u p o s ...................................................................................... 323 §10. Axiom atización de teorías c ie n tífic a s................................................. 324

Cap. XV. A.

M ETALÓGICA DE E N U N C IA D O S .................................................

325

Introducción ............................................................................................................ § 1. Las cuestiones críticas de la metateoría .................................................

325 325

B.

M etalógica de enunciados .............................................................................. § 2. Consistencia de la lógica de e n u n c ia d o s................................................ §3. C om pletad de la lógica de e n u n c ia d o s .................................................. § 4. Decidibilidad de la lógica de e n u n c ia d o s .............................................. § 5. Independencia en lógica de enunciados ................................................

Cap. XVI. §1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6.

328 328 330 332 333

M ETALÓGICA DE P R E D IC A D O S ...................................................

341

Consistencia de la lógica de cuantificadores ........................................ El teorem a de com pletad de Gódel (prueba de H e n k in )...................... El teorem a de L ów enheim -S kolem ......................................................... El teorem a de com pacidad ....................................................................... El problem a de la decisión en lógica de cuantificadores. Form a nor­ mal p re n e x a .................................................................................................... Indecidibilidad general de la lógica cuantificacional poliádica (teo­ rem a de C h u r c h ) ...........................................................................................

341 343 355 356 356 368

AUTOMATIZACIÓN DE LA LÓGICA (LAS BASES LOGICAS DE LA INFORM ATICA) Cap. XVII. §1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. §7.

M Á QUIN AS DE TURING .................................................................

375

¿Qué es calcular? ....................................................................................... Las m áquinas de T u r in g ............................................................................ La m áquina universal de T u r in g .............................................................. La tesis de Church-Turing ....................................................................... Lo incalculable ............................................................................................ M áquinas de r e g is tro .................................................................................. ¿Puede pensar una máquina? ..................................................................

375 376 385 387 388 390 391

Cap. XVIII.

M ÉTODOS BOOLEANOS .............................................................

393

El lenguaje de Boole y el lenguaje de F r e g e .......................................... Formas norm ales conjuntiva y disyuntiva ............................................ Dualidad ...................' .................................................................................... Lógica de circuitos ......................................................................................

393 393 400 402

DEDUCCIÓN AU TO M ÁTICA ..........................................................

409

Los prim eros intentos de prueba automática de te o r e m a s .......................... § 1. El m étodo heurístico de N ew ell-Shaw-Sim on .................................... § 2 . El m étodo de W a n g ..................................................................................... a. El cálculo secuencial de G e n tz e n .................................................... b. El algoritmo de W ang ...................................................................... M ecánica de la refutación .................................................................................... §1. Lenguaje en forma c la u su la r.................................................................... § 2. El principio de re so lu c ió n ......................................................................... §3. Resolución en lógica cuantificacional ................................................. a. S u s titu c ió n ............................................................................................. b. U n ifica ció n ............................................................................................. c. R esolución...............................................................................................

409 409 411 411 413 421 421 425 426 427 427 429

§ 1. § 2. §3. *§ 4. Cap. XIX. *A.

B.

v — § 4. § 5.

El teorem a de Herbrand ............................................................................ Otras reglas de inferencia m e c á n ic a ....................................................... a. S u b su n c ió n ............................................................................................. b. H ip e rre so lu c ió n .................................................................................... c. P a ra m o d u la c ió n .................................................................................... d. Dem odulación ......................................................................................

*Cap. XX. §1. § 2. § 3.

§ 4. §5. § 6.

LÓGICA Y REPRESENTACIÓN DEL CON OCIM IENTO . . . .

§ 4.

§ 5. § 6.

§ 7.

LA LÓGICA DE IN T E R N E T ............................................................

La emergencia de In te rn e t.......................................................................... La lógica de la comunicación ................................................................. Tres relatos de la saga del futuro ............................................................ a. Relato primero: la formación de la red Arpanet .......................... b. Relato segundo: la transformación de la red Arpanet en la red de redes I n te r n e t......................................................................................... c. Relato tercero: el lanzam iento de la Telaraña Mundial .............. El triunfo del binomio «hipertexto+ m ultim edia»................................ a. La noción de h ip e r te x to ..................................................................... b. Los pioneros del hipertexto................................................................. c. La im plem entación tecnológica del hipertexto ............................ d. La noción de m u ltim e d ia ................................................................... Cóm o orientarse en la r e d ......................................................................... La cultura de Internet ................................................................................ a. La cultura de red y la cultura del l ib r o ............................................ b. El impacto social de Internet............................................................... La lógica en I n te r n e t................................................................................... a. El sitio M athem atical Logic around the w o r l d ............................ b. El program a Tarski ’s W o rld .............................................................. c. M áquinas de T u r in g ............................................................................ b. Autom atización del razonam iento.....................................................

Anexo: A,

441

Lógica, inteligencia artificial c ingeniería del conocim iento ............ 441 Estructura y función de un sistema experto .......................................... 442 M étodos de representación del co n o cim ie n to ....................................... 444 a. Grafos, redes sem ánticas y árboles je rá r q u ic o s ............................ 445 b. M a r c o s .................................................................................................... 449 c. Reglas de p ro d u c c ió n ........................................................................... 451 M otores inferenciales .....................................................................................453 Anatom ía de un m inisistema: un juego de adivinanzas ..................... 457 M anufactura del conocim iento y sentido común ................................ 463

*Cap. XXL § 1. § 2. § 3.

43 1 432 432 432 432 434

465 465 465 466 467 469 471 474 474 475 476 477 478 482 483 485 487 487 488 496 496

BREVE HISTORIA DE LA LÓGICA

La imagen tradicional de la ló g ic a ...................................................................... § 1. La imagen griega de la lógica ............................................................... _ a. L a lógica de A ris tó te le s ...................................................................... b. La lógica m egárico-estoica ...............................................................

499 499 499 501

B.

§ 2. La imagen m edieval de la lógica ............................................................... a. El sentido de la lógica m edieval ....................................................... b. Principales contribuciones de la lógica m edieval ......................... § 3. La im agen m oderna de la l ó g ic a ................................................................. a. El hum anism o del R e n a c im ie n to ....................................................... b. Bacon y Port-Royal .............................................................................. c. La lógica desde Kant a M i l i ................................................................ La imagen matem ática de la lógica .................................................................... § 4. El sueño de L e ib n iz ...................................................................................... a. La idea de una «mathesis universalis» .............................................. b. Los secretos del c á lc u lo ....................................................................... § 5. La revolución de Boole y Frege ................................................................ a. El álgebra de Boole .............................................................................. b. La lógica de P e irc e ................................................................................ c. La lógica de Frege ................................................................................ d. La teoría clásica de conjuntos ........................................................... § 6 . De Russell a Hilbert ................................................................................... a. La lógica de Russell y W ittg en steín .................................................. b. La teoría axiom ática de c o n ju n to s .................................................... c. El intuicionism o de B r o u w e r ............................................................. d. El form alism o de H ilb e r t..................................................................... e. Platonism o y constructivismo .......................................................... § 7. La nueva crisis de fundamentos. El teorem a de G ó d e l.......................... a. Las revolucionarias aportaciones de los años tr e in ta .................... b. El teorem a de G o d e l............................................................................. c. A través del e s p e jo ............................................................................... d. La fórm ula de Godel ........................................................................... e. La dem ostración del teorem a y su corolario ................................. f . Im plicaciones filosóficas del teorem a de G ó d e l.............................. § 8. La lógica en la segunda m itad del siglo x x ...........................................

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. ...........

502 502 503 505 505 505 506 506 506 506 506 508 508 511 512 515 518 518 522 525 526 527 529 530 530 531 531 532 530 534 537

PRÓLOGO La lógica simbólica o matemática form a parte del bagaje cultu­ ral del hombre del siglo X X y es instrumento imprescindible para el ejercicio de una tarea seria en ciencia o en filosofía. Su estudio pro­ porciona satisfacción intelectual, pero es también de utilidad, por­ que el radio de sus aplicaciones comprende esjéras tan diversas del saber como ¡a matemática, la lingüistica, la informática, las ciencias naturales y sociales, la jurisprudencia y la filosofía. Y es un medio no menos idóneo que otros para construir el tantas veces buscado «puente» entre la cultura de letras y la cultura de ciencias. Las ciencias analíticas, como es el caso de la lógica, suelen or­ denar sus materias yendo de lo simple a lo complejo. De acuerdo con este criterio los discípulos de Aristóteles, padre de la lógica tra­ dicional, la dividían en lógica del concepto, lógica del ju icio y ló­ gica de la argumentación o razonamiento (silogística). Desde Frege, padre de la lógica matemática, sus seguidores emplean una estrategia parecida. Empiezan p o r el análisis de palabras lógicas muy simples, como son, p o r ejemplo, las que corresponden a las conjunciones gramaticales «y», «o», «si..., entonces...» ; y a esta inicial plataform a (la llamada «lógica de conectores» o «lógica de enunciados») le sobreañaden luego el análisis de palabras lógicas más complejas, como son las que corresponden a las partículas gramaticales de determinación cuantitativa «todo» y «alguno»: ésta es la llamada «lógica de predicados» o «lógica de cuantifica­ dores», que viene a constituir el núcleo más distintivo de la lógica elem ental contemporánea. A este orden se ajusta en lo esencial el presente libro, que se se­ para, sin embargo, de sus homólogos en cuatro aspectos. El primero es que al tratar la teoría de la cuantificación incluyo un capítido de revisión de la silogística, donde señalo los principales puntos de fricción y de conexión entre los respectivos núcleos duros de la ló­ gica tradicional y la lógica simbólica. E l segundo obedece a mi propósito de conceder 1a, m ayor aten­ ción posible a la pluralidad de métodos deductivos. Los sistemas de deducción axiomática tipo Hilbert, las estrategias de deducción na­ tural tipo Gentzen y los métodos de tablas semánticas y analíticas

tipo Beth-Smullyan-Jeffrey son aportaciones alternativas, y cronoló­ gicamente sucesivas, de la lógica del siglo x x a la teoría del razona­ miento correcto. Un alumno de humanidades no debe desconocer­ las, aunque p o r motivos prácticos puede convenirle optar p o r fa m i­ liarizarse más con una sola. La tercera salvedad es que los problemas de metateoría (consis­ tencia, completud, decidibilidad) se abordan en este libro más tarde de lo usual, en el contexto de la axiomatización de la lógica, donde aludo también, muy sumariamente, a la axiomatización de teorías matemáticas. La cuarta es que dedico la última parte del libro, que introduje en su tercera edición y reviso y amplío en la presente, a la consideración de las relaciones de la lógica con la informática. Estas relaciones no son sólo de mera aplicación, sino también de generación de concep­ tos fundamentales. Las geniales teorías de Gódel y Turing sobre la indecidibilidad y la computabilidad, aparecidas en la década de los treinta, cuentan entre sus principales cosechas con el corazón o parte del corazón de las teorías que están a la base de la explosión de la informática y la tecnología de la comunicación, cuyo imperio en el resto del siglo se ha tornado hegemónico, desde el advenimiento de los ordenadores en los años cuarenta, hasta la reciente emergencia de Internet. La lógica de la computación es, en cierto modo, el a priori de la informática, que no impulsa ni menos aún constituye los avances de ésta, pero los condiciona canónicamente. En el nuevo ca­ pítulo sobre Internet aprovecho el comentario al programa ofrecido en red Tarski’s World para dar una versión más (ideada por Lorenzen y Hintikka) de las reglas de la lógica como juego dialógico. Y una última observación. Es bien sabido, p o r una parte, que el extraordinario desarrollo de los form alism os subsiguiente al in­ tento, protagonizado en el tercio inicial del siglo p o r Russell, Brouwer y Hilbert, de fundam entar lógicamente las teorías matemáticas tuvo p o r consecuencia un cierto alejamiento de la lógica respecto de la filosofía. Pero no es menos sabido, p o r otra, que a partir más o menos de los años sesenta se han reanudado a fo n d o las relacio­ nes de la nueva lógica con el lenguaje ordinario, el sentido común y las cuestiones perennes del filosofar. A aclarar de alguna manera las ideas del lector sobre las relaciones de la lógica con la filosofía y con la matemática quisiera contribuir la «breve historia de la ló­ gica» que figura como anexo al fin a l de este libro.

Los títulos marcados con asterisco y los pasajes y notas escri­ tos en tipografía de menor tamaño son aclaraciones especiales, históricas o terminológicas de las que se puede prescindir en una lectura rápida. Para una información sum aria de las técnicas de la lógica elem ental no hace ja ita leerse todo el libro. Bastan los capí­ tulos I/- VI y VIll-X. E incluso dentro de esta acotación el lector puede restringir su estudio a un solo método deductivo, sea sintác­ tico o semántico, concediendo menos atención al alternativo. En las últimas páginas, el lector que quiera saber más encontrará una orientación bibliográfica de libros y artículos de revista que le ser­ virá de ayuda para profundizar su conocimiento en el sentido que es­ time oportuno. Doy las gracias p o r sus críticas, comentarios y correcciones a los catedráticos de Lógica Rafael Beneyto, Alfonso García Suárez, José Sanmartín y Luis M anuel Valdés, como también a Editorial Tecnos po r el interés y cuidado que ha puesto en la confección de este libro. D e un modo más general, quisiera agradecer asimismo su anónima colaboración a las numerosas promociones de alumnos universitarios de lógica que asistieron a mis clases. De ellos no aprendí menos que ellos de mí. M. G.

INTRODUCCIÓN

¿QUÉ ES LA LÓGICA? A. § 1.

La

lógica form al

El uso de argumentos

Uno de los rasgos que distinguen al hom bre de sus antepasados antropoides es el uso del lenguaje. Y un rasgo típico del lenguaje es el uso de argumentos. Un argumento o razonamiento es una serie de frases en la cual, de la posición o afirm ación de las que preceden se sigue necesaria­ mente la posición o afirm ación de la que va al final. La mejor m anera de entender qué sea un argumento es conside­ rar unos cuantos ejem plos muy sencillos. He aquí uno: (1)

Si hay riesgo de lluvia, baja el barómetro; pero el ba­ róm etro no baja. Por tanto, no hay riesgo de lluvia.

Y he aquí otro: (2)

Todo hombre es m am ífero y todo mamífero es verte­ brado. Por tanto, todo hom bre es vertebrado.

Las principales partes o unidades lingüísticas que integran un argumento son las proposiciones o enunciados. Un enunciado o proposiciím es una frase que tiene un sentido com pleto y que puede ser afirm ada con verdad o falsedad. Así son enunciados las expresiones «hay riesgo de lluvia», «el baróm etro baja» o «todo m amífero es vertebrado». Los enunciados iniciales de un argumento reciben el nom bre específico de premisas, y el final el de conclusión. El empleo de argumentos tiene lugar tanto en la vida cotidiana como en el ejercicio de las tareas científicas. Su utilidad resulta obvia si se considera que, gracias a ellos, podemos ampliar reflexivamente nuestro conocimiento. Es claro que la observación lo amplía. Pero al pasar de las premisas de un argumento a su conclusión, incremen­ tando así con ésta el repertorio de las proposiciones que conocemos,

no ponemos en práctica nuestra capacidad de observación, sino de re­ flexión. El hecho de que además de observar podamos discurrir o ra­ zonar aumenta nuestra probabilidad de sobrevivir en el mundo. Pero veamos todavía otro par de ejemplos. Uno de ellos es un argumento que alcanzó una cierta resonancia en la historia de la bio­ logía. En la teoría de la herencia biológica se ha debatido mucho la cuestión de saber si los caracteres que un individuo adquiere durante su vida pueden transm itirse hereditariam ente a su prole. Un biólogo de finales del siglo pasado, W eissm an n , dio una prueba, que m u­ chos especialistas aceptaron, de que los caracteres adquiridos no se heredan. Esa prueba consistió en am putar la cola a ratas durante veinte generaciones seguidas y com probar después que la genera­ ción veintiuna no m ostraba en su cola la más leve m odificación. El curso del razonam iento de W eissmann se podría resum ir así: (3)

Si los caracteres adquiridos son hereditarios, entonces la am putación de un órgano, reiteradam ente efectuada a través de una serie de generaciones consecutivas, debiera ser heredada por la prole. Pero no es el caso que una tal am putación sea heredada por la prole. Por tanto, los caracteres adquiridos no son hereditarios.

Y he aquí, finalm ente, un cuarto ejemplo: (4)

§ 2.

Todo núm ero natural es racional y todo núm ero racio­ nal es real. Por tanto, todo num ero natural es real.

La fo rm a de los argumentos

La simple inspección de estos cuatro casos de argumentos per­ m ite advertir que el prim ero y el tercero (el razonam iento del baró­ m etro y el razonam iento de los caracteres hereditarios) son estructu­ ralm ente homologables. Si en el prim er ejemplo se sustituyen los enunciados «hay riesgo de lluvia» y «baja el barómetro» por los símbolos A y B, respectiva­ mente, resultaría el siguiente esquema: Si A, entonces B;

pero no B.

Por tanto, no A,

que es el mismo al que se llegaría efectuando una sustitución similar en el razonam iento de los caracteres hereditarios. En cada uno de estos dos casos el argumento consiste en la conexión o articulación de dos enunciados mediante las partículas « si..., entonces...», «pero no...» y «por tanto...» en la form a que indica el esquema. Y algo parecido sucede con los ejem plos segundo y cuarto (el argumento de los vertebrados y el de los números). Representando por P, Q, R nom bres cualesquiera del tipo de «hombre» o «número», resultaría la siguiente disposición estructural común a ambos: Todo P es Q y todo Q es R. Por tanto, todo P es R. La sem ejanza o identidad estructural entre los diferentes casos de argumentos se pone de relieve con sólo dejar com o estaban los rasgos com unes (los elementos invariantes o constantes) de los ejemplos en cuestión y cambiar por sím bolos cualesquiera, despro­ vistos de significado o contenido concreto, las partes diferenciales (los elem entos variables en cada caso). El resultado es un esquema formal o abstracto, vacío de contenido. A un esquem a de esa índole le daremos el nom bre de figura o form a lógica de argumento . (De hecho, el prim ero de los dos esquemas obtenidos es la forma lógica de un tipo de argumento que fue formulado ya por los filósofos es­ toicos y ha recibido más tarde el nombre de modus tollens. El se­ gundo esquem a es la forma lógica de un tipo de argumento que fue formulado ya por Aristóteles: el m odo de silogismo de la prim era fi­ gura, al que los lógicos medievales llam arían barbara.) Un análisis detenido de la estructura formal de estos esquemas tendrá lugar más adelante. Por el momento, baste tom ar nota de que hemos advertido una doble dimensión en los argumentos: de un lado la materia o contenido, y de otro la form a o estructura, que es una di­ mensión esencial desde el punto de vista lógico. Bertrand Russell so­ lía decir que al comprobar la solidez de un razonamiento se pierde el tiempo atendiendo a la materia, porque es la forma lo que ante todo hay que examinar. Su fuerza está en su forma.

§3.

La lógica fo rm a l

En realidad, los casos de argumento considerados hasta ahora son triviales y no hace falta ser ningún experto en lógica para deci­

dir si valen o no. Pero basta increm entar levemente su grado de com plejidad para que no resulte tan fácil resolver el problema. He aquí, a título de ilustración, un argumento tom ado de la aritm ética elemental (la dem ostración del teorema de Euclides, según el cual hay infinitos números primos): El sucesor del factorial de un núm ero prim o a cualquiera no es divisible por ningún núm ero prim o que divida a di­ cho factorial. Pero ese sucesor, o bien es primo y mayor que a, puesto que sucede al factorial de éste o bien es com ­ puesto, en cuyo caso contiene necesariamente como factor un prim o que, por la antedicha razón, es m ayor que a. Por tanto, cualquiera que sea el número prim o a, siempre habrá otro mayor que él. La simple lectura de las premisas de este argumento no le basta al lector medio para aceptar su conclusión, y ello a pesar de ser ésta la prueba de un teorem a matem ático elemental. Pero nos invita a presum ir que la dificultad de com prensión de la citada prueba no está sólo en nuestra falta de fam iliaridad con la term inología m ate­ mática, sino en su estructura lógica. Expresando en térm inos m ás generales esta m ism a presunción: si el argumento es un utensilio al que constantemente se recurre en el discurso de la vida ordinaria, en las controversias políticas y en las pruebas científicas, parece que tiene interés y sentido la tarea de estudiar los diferentes tipos de esquemas o patrones de confección de tales utensilios, o dicho más precisam ente, la tarea de llevar a cabo un inventario de formas o figuras abstractas de razonam iento y proceder al análisis y clasificación de ellas. Así es como surge la tarea de la lógica form al, y así es com o se la plantearon los filósofos griegos desde Aristóteles y los estoicos: com o un análisis de formas abstractas que tiene cierta semejanza con el trabajo del geómetra. Pues así como los antiguos geómetras consideraban la form a o figura de los objetos físicos en abstracto, prescindiendo o abstrayendo de la m ateria de que se com ponen (por ejemplo: la form a o figura de un objeto esférico, prescindiendo del hecho de que sea bronce o m árm ol la m ateria que lo constituya), así tam bién los lógicos griegos se interesaron por la foma o figura de los argumentos, haciendo abstracción de su m ateria o contenido. En el conocido cuento de Lewis C arroll Alicia en el p a ís de las maravillas la niña que lo protagoniza encuentra en el bosque un

extraño y sonriente felino, el gato de Cheshire, que aparece y desa­ parece en todo o en parte, según se le antoja, ante la m irada del es­ pectador. En una ocasión desapareció prim ero su cuerpo, quedando sólo la cabeza, y luego también ésta, quedando sólo la sonrisa del gato. Este insólito fenómeno que deja perpleja a Alicia, «la sonrisa sin gato», es una ilustración en el m undo del sueño, donde transcu­ rre la acción del cuento, de nuestra capacidad imaginativa de abs­ traer figuras, de figurarnos formas. De acuerdo con lo dicho, cabe definir la lógica fo rm a l como una ciencia abstracta que tiene por objeto el análisis formal de los argu­ mentos, o tam bién, y más concisam ente, com o teoría fo rm a l del ra­ zonamiento. En lo que sigue, y por econom ía verbal, la palabra «lógica» 1 se entenderá principalm ente en el sentido de «lógica formal». Pero conviene no ignorar que ésta no agota el ám bito de los estudios lógi­ cos. También pueden considerarse parte de la lógica la teoría de la ciencia, que estudia más en concreto la m etodología de las distintas ciencias particulares, y la. filosofía de la lógica, que se ocupa de cuestiones tales com o saber en qué consiste la verdad lógica, cómo se explica el acuerdo de las leyes lógicas con la realidad, cuál es el status científico de esas leyes, si son o no equiparables a las leyes de la física o la psicología, etc.

' N ota sobre la palabra lógica. Esta palabra pertenece desde muy antiguo al lé­ xico filosófico y científico, y forma parte tam bién del uso ordinario del lenguaje, pues es difícil encontrar una persona que no la utilice (como cuando decim os «esto es lógico», «esto no es lógico», «como es natural y lógico», etc.). Etim ológicam ente, la voz «lógica» proviene del térm ino griego lógos, que signi­ fica algo así com o «discurso», y entraña a un m ism o tiem po el triple significado de «razón», de «idea» y de «palabra». En la historia de la filosofía, el térm ino «lógica» ha cobrado acepciones tan diver­ sas que apenas si adm iten denom inador común. Los griegos llam aron «lógica», y tam bién, casi indistintam ente, «dialéctica», a la silogística de A r i s t ó t e l e s y a la teo ­ ría estoica de la proposición, es decir, a lo que m ás tarde, y desde K a n t , se ha dado en denom inar técnicam ente «lógica formal». Por su parte, el propio K a n t da el nom ­ bre de «lógica trascendental» a su crítica filosófica del conocim iento científico, es decir, a lo que m ás bien sería, al menos parcialm ente, com petencia de la teoría de la ciencia y de la filosofía de la lógica. Luego H e g e l llam ará «lógica», y tam bién «dia­ léctica», a la m etafísica misma. De él se hicieron eco los filósofos m arxistas al hablar asim ism o de «dialéctica» en un sentido filosófico opuesto al de «lógica formal», aun­ que sin im plicar por fuerza incom patibilidad con esta última. La «lógica sim bólica», «lógica m atem ática» o «logística» es una nueva denom inación de la lógica formal en su actual estado de desarrollo.

§ 4.

La matematización de la lógica

La lógica formal nació hace dos mil quinientos años, cuando A ristóteles y los estoicos se interesaron por la construcción y el análisis de esquemas de argumentos. D esde entonces, y a diferencia de otras ciencias, no ha experi­ m entado desarrollos de gran consideración hasta m ediados del si­ glo XIX. Un pensador tan avanzado en su tiempo como K a n t , que some­ tió a una revisión durísim a la metafísica tradicional, escribe en el prólogo a la segunda edición de su Crítica de la razón pura que la lógica «desde Aristóteles no ha tenido que dar un paso atrás» ni «tampoco hasta ahora ha podido dar un paso adelante. Así pues, se­ gún toda apariencia, hállase conclusa y perfecta» 2. Esto fue escrito en 1787. Pero el curso de los acontecim ientos ha venido a desautorizar un tanto la visión kantiana de la «inm ovi­ lidad» de la lógica. Porque no había de transcurrir m ucho más de m edio siglo a partir de esa fecha, cuando se inicia un progreso de la lógica form al que no encuentra precedente desde la época de los griegos. La clave de este progreso se halla en las revolucionarias apor­ taciones del inglés B oo le (hacia la m itad del siglo pasado) y del alem án F reg e (últim o tercio del x ix ) relativas a lo que suele de­ nom inarse la m atem atización de la lógica. Por «m atem atización» se entiende en m etodología científica la subordinación de una ciencia al m étodo de la m atem ática. De las ventajas inherentes a la m atem atización es claro ejem plo el caso de la física, que com enzó a m archar por el cam ino seguro del progreso científico desde que, en el siglo XVII, Galileo la som etió al rigor del m étodo m atem á­ tico. De una m atem atización de la lógica puede hablarse en la m edida en que ésta incorpora plena y eficazm ente a sus técnicas de trabajo la exactitud y el rigor del m étodo matemático. Condiciones necesa­ rias de ello son la construcción de un lenguaje simbólico adecuado y la formulación precisa de las reglas de operación, que son la base de los cálculos.

Crítica ele la razón pura, B VIII.

En realidad, al uso de sím bolos recurrieron ya los lógicos griegos, al em plear esquem as argum éntales del tipo de: «Si A, entonces B; pero no B. Por tanto, no A» y otros sim ilares. Pero tal sim bolización quedaba restringida a los elem entos variables de los esquem as lógicos. Los elem entos constantes de dichos es­ quem as (esto es, las partículas lingüísticas del tipo de «todo», «es», « s i..., en to n ce s...» , «no», «por tanto», etc., que constitu­ yen, p or así decirlo, el tem a propio de la lógica) no fueron aún sim bolizados. Y ju stam en te una de las m ás radicales innovacio­ nes que entraña la m atem atización de la lógica reside en la for­ m alización o sim bolización de esas constantes. Si se conviene, por ejem plo, en representar la partícula «si..., entonces» por una flecha: «—»», la partícu la «no» p o r el sím bolo: «—i», y la p artí­ cula «por tanto» p o r el sím bolo: « b » , y se tom a el acuerdo de dejar a un lado de m om ento, por innecesaria, la palabra «pero», el esquem a de argum ento que se acaba de reseñar (y que es, com o se indicó en página anterior, el clásico m odus tollens) que­ daría form ulado así: A -» B,

B b -> A.

Hasta qué punto la potencia operativa del cálculo depende de la form alización del lenguaje en que se apoya, es algo que puede com ­ probarse ensayando la realización de m ultiplicaciones y divisiones sin recurrir al sim bolism o aritmético, con la sola ayuda del lenguaje ordinario. A unque se dominen las reglas de operación, la falta de sim bolism o adecuado dificulta extraordinariam ente la m archa del cálculo. Pero hay u na segunda ventaja, no m enos im portante, que la m atem atizació n del cálculo lógico lleva consigo. El uso de un sim bolism o adecuado no sólo p erm ite un m ayor grado de segu­ rid ad y ex actitu d en la con stru cció n de argum entos, sino tam ­ b ién una m ayor p recisió n en la fo rm u lació n de las reglas que los gobiernan. D e hecho, la expresión «A -» B, —> B b A», no es, p ro p iam en te hablando, un argum ento, sino una «regla» de argum ento, o m ejor , la fo rm u lació n p re cisa y exacta de la estrateg ia ló g ica que sirve de base a los argum entos del tipo m odus to llens, y que se enuncia verbalm ente así: si de una h i­ p ótesis se sigue una co n secu en cia y esa co n secuencia no se da,

la h ipótesis en cuestión debe ser rechazada. La distinción, a si­ m ism o in troducida p o r la nueva lógica entre «lengaje objeto», o len guaje acerca del cual se habla, y «m etalenguaje», o lenguaje en el cual se habla acerca de otro lenguaje, ayuda a establecer con m ás nitid ez la diferencia entre un razonam iento y sus reglas. La m atem atización de la lógica ha tenido com o resultado un m ayor y m ás perfecto control técnico en la práctica del razona­ m iento, un m ejor conocim iento teórico de las leyes lógicas y el descubrim iento de nuevos y variados sistem as de reglas de razo­ nam iento que de otro modo no es fácil que hubieran sido detecta­ dos. En el actual desarrollo de la ciencia y la tecnología informáticas la lógica sim bólica ha cumplido una importante función.

§ 6.

Lógica tradicional y lógica simbólica

A la lógica form al tal y com o ha venido siendo clásicam ente cultivada, desde A ristóteles a K ant, se le suele dar el nom bre de lógica tradicional. A la lógica form al en su actual estado de m a­ tem atización o plena form alización, se le han dado los nom bres de lógica sim bólica, lógica m atem ática y logística (a propuesta de C o u t u r a t , I t e l s o n y L a l a n d e en el C ongreso Internacio­ nal de F ilosofía de G inebra de 1904), y tam bién el de álgebra lógica 3. La cuestión de las relaciones entre la lógica tradicional y la lógica sim bólica divide a los autores. Hay quienes opinan que la única lógica que m erece el nom bre de ciencia es la lógica tradi­ cional y la lógica sim bólica es tan sólo un arte tan enrevesado com o superfluo. El punto de vista opuesto está representado por los que piensan que las enseñanzas de la lógica tradicional son o inútiles o falsas. Probablem ente sea m ás sensato considerar que las relaciones entre la lógica tradicional y la lógica sim bólica no son de oposición, sino de evolución: las que hay entre una cien­ cia en su estado inicial de constitución y esa m ism a ciencia en su estado de m adurez, com o las que se dan entre la m atem ática de 3 L as denom inaciones «lógica m atem ática» y «logística» se rem ontan a L e i b n i z . La denom inación «lógica sim bólica» tiene su origen en V e n n . La de «álgebra ló­ gica» se debe a B o o l e .

Pitágoras o E uclides y la m oderna m atem ática. (A unque tam poco se puede descartar el punto de vista de que la lógica de A ristóte­ les y la lógica de B oole y Frege representan paradigm as del razo­ nam iento hum ano que no son del todo conm ensurables.) La eti­ queta «lógica sim bólica» o «lógica m atem ática» no es, pues, sino una nueva m anera de denom inar la lógica form al, aludiendo a su actual estado de desarrollo, es decir, a la lógica form al fo rm a li­ zada. En un sentido m ás preciso, sin embargo, cabría distinguir las de­ nom inaciones de «lógica simbólica» y «lógica m atemática», enten­ diendo por esta últim a la aplicación o extensión de la lógica simbó­ lica a cuestiones matemáticas.

§ 7.

Sumario

* Un argumento es una serie de proposiciones en la cual de la aceptación de las que preceden se sigue necesariamente la aceptación de la que va al final. * Una proposición o enunciado (en térm inos gramaticales: una oración declarativa) es una frase que tiene sentido completo y puede ser afirm ada con verdad o falsedad. * El uso de argumentos es uno de los rasgos m ás característi­ cos del animal racional que es el hombre y le sirve de ayuda en la vida práctica y en el estudio científico de la natura­ leza. * La fo rm a es un factor decisivo en el diseño de los argu­ mentos. * La lógica fo rm a l es la ciencia que estudia la form a y la va­ loración de los argumentos. * La lógica formal fue creada y desarrollada por A ristóte ­ les y los filósofos estoicos hace más de dos mil años. * Desde la segunda m itad del siglo pasado y gracias a la re­ volución científica protagonizada por B oole y F rege , que tomó por m odelo pautas m etodológicas del simbolismo matématico, la lógica formal ha alcanzado como L ógica sim bólica o m atem ática un desarrollo com parable al que experimentó la física en el siglo x v n gracias a la revolución científica protagonizada por G a lileo .

EL LENGUAJE DE LA LÓGICA A. § 1.

D e l le n g u a j e o r d i n a r io a l l e n g u a je ló g ic o

Lenguaje natural y lenguaje form al. Constantes y variables

La lógica coincide con la gram ática en su interés por el len­ guaje, y de ahí que el análisis lógico sea tam bién, en cierto modo, análisis lingüístico. Pero el lenguaje que interesa a la lógica no es sólo, ni principal­ mente, el lenguaje natural u ordinario, siem pre relativo a una com u­ nidad histórica de hablantes más o menos num erosa y sembrado de redundancias, lagunas y am bigüedades. La lógica formal pretende ser una ciencia universal, tan rigurosa com o la m atemática, que su­ ministre la capacidad de realizar operaciones y cálculos de m odo exacto. Ello prerrequiere la confección de un lenguaje artificial. De un modo muy general, puede decirse que toda ciencia ha de recurrir al empleo de un lenguaje artificial, del que form a parte, por ejem ­ plo, el repertorio de térm inos técnicos propio de cada una. Pero en el caso de la m atem ática y la lógica, el lenguaje artificial requerido es fo rm a l o simbólico. Un lenguaje de esta índole im plica dos cosas. U na de ellas es el uso de símbolos abstractos, que se dividen en dos grandes categorías: símbolos constantes, con un sentido fijo dentro del lenguaje en cuestión, como es el caso, por ejemplo, de los signos «+» e «=» en aritm ética elemental, y símbolos variables, cuyo sen­ tido es oscilante, pues cambia de unos casos a otros según el con­ texto, como sucede, por ejemplo, con las letras —¡ q —>p