Lineare Übertragungssysteme [1 ed.]

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Mitteilungen

aus

dem

Institut für Automation

der AEG

Lineare Übertragungssysteme Eine exakte Begründung

ihrer Theorie

mittels verallgemeinerter Funktionen und Operatoren

Otto Föllinger und Gerd Schneider

ALLGEMEINE

ELEKTRICITATS-GESELLSCHAFT

Inhaltsverzeichnis Seite Otto

Föllinger und Gerd

Schneider

Einleitung Inhaltsübersicht

Otto Föllinger und Gerd Schneider 1. Das

lineare Übertragungssystem

mathematische Beschreibung Gerd

und

seine

Schneider

2. Über die vollständige mathematische rationaler Übertragungssysteme

Beschreibung

Gerd Schneider 3. Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs und exakte Begründung des Rechnens mit Ö-Funktionen

16

Otto Föllinger 4. Beschreibung

von

27

Übertragungssystemen

mit Vorgeschichte mit Hilfe des ö-Kalküls

Otto Föllinger 5. Operatoren

35

als Symbole von Abbildungen

Gerd Schneider 6. Die Lösung von Differentialgleichungen unter ausschließlicher Otto

Benutzung

Föllinger

7. Die Beschreibung des Übertragungsverhaltens bei vektorieller

Darstellung

der Systemgrößen

und das Anfangswertproblem

Herausgeber und Verlag:

ALLGEMEINE

ELEKTRICITATS-GESELLSCHAFT

Berlin-Grunewald. Schriftleitung:

Klaus Johannsen, Berlin-Grunewald.

Die hier veröffentlichten Originalarbeiten weitere Genehmigung vorausgesetzt, daß genau

43

der Operatorenrechnung

angegeben

jede

werden,

bei der Veröffentlichung Verfasser und Quellen und der Schriftleitung nach dem

zwei Belegexemplare vollständigem

können ohne

auszugsweise wiedergegeben

zur Verfügung

Erscheinen

gestellt werden.

Nachdruck und Übersetzung

bitten wir jedoch, vorher Genehmigung

Bei

in fremde Sprachen

einzuholen.

Photokopieren einzelner Teile, auch für berufliche Zwecke, wird erlaubt. Bestellungen

und sonstige Mitteilungen

Schriftleitung, Berlin-Grunewald, Eingereicht am 19. Juni 1961

sind zu richten an die

Hohenzollerndamm

150.

47

Einleitung

Man

wird

die

Theorie

eines

physikalischen

oder

tech-

nischen Erfahrungsbereiches nur dann als befriedigend ansehen können, wenn sie einerseits mathematisch exakt

begründet ist und sich andererseits möglichst eng an die Erfahrungstatsachen anschließt. Zwischen beiden Forderungen

besteht

ein

gewisser

Widerspruch;

denn

eine

mathematisch strenge Beschreibung der Wirklichkeit bringt

leicht Einschränkungen in den Voraussetzungen und Umständlichkeiten in der Behandlung der Probleme mit sich und läßt dadurch den engen Anschluß an die Erfahrungstatsachen vermissen. Auf der anderen Seite tendieren Begriffsbildungen, die unmittelbar den realen Verhältnissen entnommen sind, zur Ungenauigkeit und führen daher leicht zu unzutreffenden Schlußfolgerungen.

Bei der Beschreibung des dynamischen Verhaltens linearer Übertragungssysteme

mathematischer

Wirklichkeit

tritt

Exaktheit

besonders

an

diese

und

Diskrepanz

engem

zwei

Anschluß

Stellen

hervor.

zwischen

an

die

Zunächst

einmal bei der Betrachtung der Zeitfunktionen, welche die Einund Ausgangsgrößen charakterisieren. Unter ihnen

der treten

Übertragungssysteme nämlich häufig Funk-

tionen auf, die sich sprungartig ändern und dabei Systeme wirken, die durch Differentialgleichungen schrieben werden. Lehnt man sich unmittelbar an

auf bedie

realen Verhältnisse an, so wird man die Wirkungsweise dieser Systeme durch die Annahme zu erfassen suchen, daß die Differentiation von Sprungfunktionen zu Impulsen von großer Höhe und sehr geringer Breite führt, also zu Impulsfunktionen nach Art der Diracschen ö-Funktion. Diese Vorstellung ermöglicht in vielen Fällen eine zügige und übersichtliche Behandlung der Probleme. Versucht man aber, mit ihr systematisch zu arbeiten, so werden sich

alsbald Widersprüche einstellen. Diese Widersprüche rühren daher,

tionen

ihren

keine

Funktionen

Werteverlauf

daher auch

wandfreies

nicht den

der

üblichen

charakterisiert

Operieren

üblichen

mit

daß

die

Impulsfunk-

Art sind, die

werden.

Rechenregeln.

ihnen

erforderlich, den Funktionsbegriff Erweiterungen liegen vor in den

zu

durch

Sie genügen Um

ermöglichen,

ein ein-

ist es

zu erweitern. Solche „Distributionen“ von

L.Schwartz und den „Operatoren“ von J.Mikusinski. Diese mathematischen Begriffsbildungen sind aber sehr allgemeiner Natur und nicht speziell auf die Theorie

der Übertragungssysteme zugeschnitten. Mit ihnen wird der Funktionsbegriff viel stärker verallgemeinert, als es für die Beschreibung des Übertragungsverhaltens mittels Impulsfunktionen notwendig ist. Demgemäß ist der mathematische Aufwand für das hier angestrebte Ziel zu groß.

Eine zweite Stelle, wo mathematische Strenge und unmittelbarer

Anschluß

an

die

Wirklichkeit

sich

nicht

decken,

ist

die Beschreibung des Einflusses eines Übertragungssystems auf seine Eingangsgrößen. Ein sehr einfaches und leicht zu

handhabendes

Operator

wegen regeln

Hilfsmittel

hierzu

in seiner ursprünglichen

ist

Form.

der

Heaviside-

Er kann

jedoch

der unzureichenden Begründung seiner Rechenzu Fehlschlüssen führen und versagt überdies bei

der Behandlung Anfangswerten.

von Problemen

mit nichtverschwindenden

Diesen Schwierigkeiten unterliegt die Laplace-Transformation nicht. Es muß aber: als ein Umweg erscheinen, wenn

man zur Behandlung von Funktionalbeziehungen zwischen reellen Zeitfunktionen diese erst in komplexe Funktionen

verwandelt,

und

zwar

durch

eine

der Stetigkeit von Funktionen

usw.

so

komplizierte

analy-

tische Begriffsbildung wie ein uneigentliches Parameterintegral. Hierdurch werden Schwierigkeiten in die Behandlung der Probleme hineingetragen, die nicht aus der Sache stammen, die vielmehr den Begriffsbildungen der Analysis anhaften, wie Fragen nach der Existenz von Grenzwerten, Die

vorliegende

gründung

der

Aufsatzfolge

Theorie

hat

linearer

das

Ziel,

eine

Be-

Übertragungssysteme

zu

geben, die einerseits mathematisch streng ist und sich andererseits möglichst unmittelbar an die Wirklichkeit anschließt.

Dies

geschieht

durch

zwei

Operationen.

Zu-

nächst wird durch eingehende Analyse des Übertragunasverhaltens eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs

geschaffen, die dem Verhalten der Übertragungssysteme besonders angepaßt ist. Auf dieser Grundlage wird dann

ein den von sind

Operatorbegriff eingeführt, der sich unmittelbar an ursprünglichen Heaviside-Operator anschließt, aber dessen Nachteilen frei ist. Beide Begriffsbildungen aus der Beschäftigung mit Problemen der industriellen

Regelungstechnik erwachsen. Wenn man den Umfang der mathematischen Ausführungen in dieser Aufsatzfolge beurteilt, muß man berücksichtigen, daß hier die Theorie mit den gesamten Beweisen abge-

wickelt wird. An mathematischen Voraussetzungen werden jedoch nur einige einfache Sätze der Differential- und Integralrechnung sowie die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung

einer

linearen

Differentialgleichung

benutzt.

Nur

für den letzten Aufsatz werden zusätzlich die Grundregeln der Matrizenrechnung benötigt.

In der vorliegenden Arbeit wird nur die Begründung der Theorie linearer Übertragungssysteme behandelt. Eine Darstellung der Theorie selbst und ihrer Anwendungen

auf der Basis des hier entwickelten zwar

für

die

Belange

des

Begriffssystems,

Regelungstechnikers,

wird

und

in

dem Buch „Dynamisches Verhalten von Regelkreisen — Beschreibung und Untersuchung mittels Strukturbild, Frequenzkennlinien und Analogrechner” von O. Föllinger

und G. Gloede gegeben, das demnächst im Rahmen der AEG-Veröffentlichungen erscheinen wird. Dort ist bei der Darstellung des Rechnens mit verallgemeinerten Funk-

tionen

und

Operatoren

mathematischen

kein

Wert

auf

Ausführung

der

Beweise gelegt, vielmehr liegt das Schwer-

gewicht auf der Anwendung. Die vorliegende Aufsatzfolge bildet daher die Ergänzung dieses Buches nach der mathematischen Seite hin.

Die hier gegebene Begründung der Theorie linearer Übertragungssysteme, einschließlich einer Anwendung auf Tot-

zeit-

Prof.

und

W.

Abtastsysteme, Oppelt

ist der

angeregten

Gegenstand

einer

zweisemestrigen

von

Vor-

lesung, die von G. Schneider am Institut für Regelungstechnik der Technischen Hochschule Darmstadt ge-

halten wird.

Otto Föllinger und Gerd Schneider .

Inhaltsübersicht

I. Das

lineare

Hier werden

Übertragungssystem

die im folgenden

und seine mathematische

benötigten

Grundbegriffe

Beschreibung

eingeführt.

Es

soll das Verhalten der Übertragungssysteme von einem gewissen Zeitpunkt t=0 ab untersucht werden, der etwa durch die Aufschaltung äußerer

Größen oder die Vornahme von Parameteränderungen gegeben ist. Die Zeitfunktionen x*(f), welche die Systemgrößen für alle Zeiten beschreiben, interessieren also erst für # > 0. Man kann daher von den x*(t) zu den verkürzten

Funktionen

x(t)

übergehen,

die für # >

0 mit den

x*(f)

über-

einstimmen, für F< 0 jedoch “verschwinden: :Man--erhält sie aus. den x* (f), indem man diese Funktionen mit dem Einheitssprung of) multipliziert, der

für

t 0

gleich

1

ist:

x() =x*{f) oft).

Besteht zwischen den verkürzten Eingangsfunktionen x£(f) und der verkürzten Ausgangsfunktion x, (f) eines Übertragungssystems ein ein-

deutiger linearer Zusammenhang, so kann dieser als eine Abbildung der xelf) auf x,(f) aufgefaßt werden und sei als lineares Übertragungs-

glied

bezeichnet.

Das

lineare

Übertragungsglied

beschreibt

also

das

Verhalten des Übertragungssystems für t > 0, hat aber vor diesem Zeitpunkt nichts mit dem realen System zu tun, Das Übertragungssystem werde dann für den Zeitraum f > 0 ebenfalls als linear bezeichnet. Die für regelungstechnische Untersuchungen wichtigste Übertragungsglieder ist dadurch charakterisiert, daß

Klasse linearer die Eingangs-

funktion xg(f) mit der Ausgangsfunktion x, (f) durch eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und verschwindender Anfangsbedingung verknüpft ist, sofern x£(f) genügend oft stetig differenzierbar ist. Übertragungsglieder dieser Art seien als rationale Übertragungsglieder (R-Glieder) bezeichnet. Übertragungssysteme, die für t > 0 durch rationale Übertragungsglieder und Summierungsstellen schrieben werden, seien rationale Übertragungssysteme genannt.

be-

2. Die vollständige mathematische Beschreibung rationaler Übertragungssysteme Für ein gegebenes

Systemgröße

X

Übertragungssystem

infolge

der

kann

der

unvermeidlichen

zeitliche

Meßfehler

Verlauf

niemals

einer

exakt

ermittelt werden. Man erhält vielmehr in der X-t-Ebene nur einen gewissen Streifen endlicher Breite, von dem man weiß, daß in ihm die Systemgröße verläuft. Im Rahmen der hierdurch gegebenen Unsicherheit

kann

jede

gelegen

Funktion

ist, zur

x{t), deren

näherungsweisen

Kurvenzug

innerhalb

Darstellung

des

dieses

Streifens

zeitlichen Verlaufs der

Systemgröße X herangezogen werden. Damit kann die Abhängigkeit einer Systemgröße von der Zeit wahlweise durch unstetige, stetige oder

den können, d.h. durch Funktionen, die außer an isolierten Ausnahmestellen beliebig oft differenzierbar sind, bei Annäherung an eine Aus-

nahmestelle samt ihren Differentialquotienten endliche links- und rechts-

seitige Grenzwerte haben und für t< 0 verschwinden, Die vollständige Beschreibung des Übertragungsverhaltens, nämlich seine Beschreibung für beliebige zulässige Eingangsfunktionen, ist dann durch das

Gleichungssystem r

YyE =

ein- bzw. mehrfach differenzierbare Funktionen dargestellt werden. Welche der Möglichkeiten man wählt, wird im allgemeinen nur von der Einfachheit der Darstellung bestimmt. So wird man z.B. den zeitlichen Verlauf einer Systemgröße durch die bequem zu definierende Sprungfunktion beschreiben, wenn der gemessene Verlauf eine solche Dar-

(m)

: tr

idarh

en

axXı

tr

.

ApXı

=

boxg

+

biXg

(m)

anyat:--

{m-1)

gegeben

ist, so

ist diese

Beschreibung

unvollständig,

da

man

bei

ihrer

Verwendung gezwungen ist, den zeitlichen Verlauf der Eingangsgröße durch n-mal differenzierbare Funktionen darzustellen. Diese Beschränkungen

werden

gesetzt,

daß

Hier wird

im

zweiten

nämlich

von den

sie für # >

3. Verallgemeinerung

Aufsatz

beseitigt.

vorkommenden

0 durch

zulässige

des Funktionsbegriffs

Systemgrößen

nur voraus-

griff der verallgemeinerten

man

durch

komplexen

Erweiterung Zahl

erhält.

des

Funktion,

Begriffs

Dieses

und

der

Begründung

des Rechnens

auf

reellen

durch

ähnliche

Zahl die

den

Weise,

Begriff

Erklärung

wie

der

eines

allgemeinerten Funktionen erklärt, nämlich mit Elementpaaren {f N; k} aus einer zulässigen Funktion f(f) und einer ganzen, nichtnegativen

Zahl k. Dabei werden insbesondere bezüglich der Addition, der Faltung und der Ableitung folgende Festsetzungen getroffen:

EHEN = + SF... Salldr;kifürkzi, (k-1)-fach

=tflolik+l,

EikyY=tlik+t}.

Man kann zeigen, daß bezüglich dieser Operationen die speziellen verallgemeinerten ‚Funktionen {fi ; 0% mit den zulässigen Funktionen identifiziert

werden

dürfen,

wobei

die

Bildung

der

Ableitung

einer

mit verallgemeinerten

Funk-

überall differenzierbaren zulässigen Funktion f(t) dem Übergang zum gewöhnlichen Differentialquotienten df/dt = f(t) entspricht. Aus diesen Festsetzungen

ergeben

sich für das

Rechnen

tionen ganz entsprechende Regeln wie für das Rechnen mit zulässigen Funktionen, Eine besondere Rolle spielen in diesem Kalkül die Ableitun-

gen der Sprungfunktion o (t-t9), die der Reihe nach als erste Ableitung der ö-Funktion, usw., bezeichnet werden:

tt) So,

wie

man

jede

let) =, komplexe

Zahl

{a;

b)

diejenige Funktion, die k-mal zwischen den

und

Rechnens mit Paaren (a; b) reeller Zahlen und der anschließenden Identifikation der speziellen Zahlenpaare (a; 0) mit den reellen Zahlen a und der Bezeichnung des speziellen Zahlenpaares (0; 1) als imaginäre Einheit j. Ganz entsprechend wird hier ein Rechnen mit ver-

Ekel:

gegeben. Das heißt: Man integriere die gegebene Eingangsfunktion xg£ zunächst so oft (k-fach) zwischen den Grenzen 0 und t, bis eine mindestens n-mal stetig differenzierbare Funktion y£ entsteht, Diese Funktion yg wähle man als Eingangsfunktion zur ursprünglichen Differentialgleichung und bestimme deren Lösung y, für verschwindende Anfangswerte. Die gesuchte Ausgangsfunktion x, erhält man schließlich als

wer-

zwar

geschieht

t

beschrieben

exakte

d-Funktion,

= in der

Form

a + bj darstellen

{n)

+buve;

S x, )de=yı 0 k-fach

Funktionen

Die Einführung der ö-Funktionen erfolgt durch eine Erweiterung des im zweiten Aufsatz eingeführten Begriffs der zulässigen Funktion zum Be-

.

tbiVet---

(m-1)

bxg:

,0=x,(0)=...=x,0=0

:

tayatapnambove

y,‚0)=...=y,,0=0,

(n) +...t+

XE (er) dr,

k-fach

stellung mit hinreichender Genauigkeit zuläßt. Wenn deshalb die mathematische Beschreibung eines Übertragungssystems für #t > 0 durch das rationale Übertragungsglied Ama

f 0

yj

Grenzen

0 und ft integriert,

ergibt. mit

ö-Funktionen

kann, kann auch jede verallgemeinerte Funktion als Summe einer zulässigen Funktion und einer Linearkombination von ö-Funktionen und deren Ableitungen geschrieben werden. Man erhält so folgende Gegen-

überstellung:

Reelle Zahlen a, b

Zulässige Funktionen

Komplexe Zahlen «= (a; b)

Verallg.

Imaginäre

Einheitj

ö-Funktionen

lt),

a=a+bj

eh

ls

f {t)

Funktionen o (f) = {f(t) ; k} und

ihre Ableitungen:

to...

M+L

k-1 2

a)

20

F,ö”lt-t,)

Unter Benutzung verallgemeinerter Funktionen kann die im zweiten Aufsatz formulierte vollständige Beschreibung des Übertragungsverhaltens eines rationalen Übertragungssystems wesentlich einfacher gefaßt werden. Man erhält sie nun einfach dadurch, daß man die Differentialgleichung des rationalen Übertragungsgliedes als eine Differentialgleichung zwischen verallgemeinerten Funktionen auffaßt und daher die

gewöhnlichen meinerten

aM)

Differentialquotienten durch die Ableitungen

Funktionen

+...+

der veralige-

ersetzt:

aXı + agxı = boxe + bixe +...

+bxeln.

Jede solche Differentialgleichung hat bei gegebener verallgemeinerter Eingangsfunktion x£ eine eindeutig bestimmte verallgemeinerte Funktion x, als Lösung. Betrachtet man die Lösung dieser verallgemeinerten Differentialgleichung für den Fall, daß als Eingangsfunktion die ö-Funktion bzw. eine ihrer Ableitungen gewählt wird, so zeigt sich, daß man diese Lösungen näherungsweise auch dadurch erhalten kann, daß man als Eingangsfunktionen die in der Literatur zur Erklärung der ö-Funktion bzw. ihrer Ableitungen benutzten Folgen aus sehr hohen, sehr schmalen Impulsen verwendet. Damit ist der Anschluß an die übliche Betrachtungsweise hergestellt.

4.

Beschreibung

In den

deren

drei

von

ersten

Verhalten

im

Übertragungssystemen

Aufsätzen

werden

Bereich

t >

Eingangsgrößen durch eine lineare Koeffizienten

beschrieben

wird,

0

für

mit

Vorgeschichte

Übertragungssysteme genügend

oft

die

Hilfe des

differenzierbare

Differentialgleichung

wobei

mit

betrachtet,

mit konstanien

Anfangswerte

der

Ausgangs-

größe und ihrer Differentialquotienten verschwinden.

Es treten nun aber

häufig

Anfangswerte

Übertragungssysteme

auf,

bei

denen

diese

von

Null verschieden sind. Beispiele hierfür bilden elektrische Systeme mit Kapazitäten, die bei f= 0 eine Ladung besitzen, sowie mechanische

ö-Kalküls Sprünge handelt,

aufweisen können. Diese Frage wird im wobei sich die folgende Antwort ergibt.

Der Zusammenhang durch

eine

vierten

be-

zwischen den Funktionen x£ und x, wird wiederum

Differentialgleichung

hergestellt,

sofern

man

verallgemeinerte Funktionen auffaßt und demgemäß rentiation anwendet:

+

Aufsatz

+ aa

x£

und

x,

als

die erweiterte Diffe-

= borelt) +... + bre N + st.

Systeme mit Teilen, die zu Beginn der Betrachtung bereits in Bewegung sind, sich in Spannungszuständen befinden, usw. Stets dann, wenn ein Übertragungssystem zu Beginn der Untersuchung gespeicherte Energie

In dieser Differentialgleichung der verallgemeinerten Funktion

Anfangswerten zeigen. Jedoch gibt es auch andere Möglichkeiten für das Auftreten von Null verschiedener Anfangswerte. Auf jeden Fall aber sind sie durch das Verhalten des Systems vor dem Beginn der Betrach-

auf, in welchem der Einfluß der Vorgeschichte des Systems enthalten ist.

in

irgendeiner

Form

enthält,

wird

sich

dies

in

nichtverschwindenden

tung bestimmt, entstammen also dessen Vorgeschichte. Die Behandlung solcher Systeme mit Vorgeschichte wirft keine besonde-

tritt aber

nun

ein

Störglied

in Gestalt

st) = All) +... + A, m Die Koeffizienten A}... . , A] hängen nämlich von den Werten xE (- 0), “e

(-0),...

und

xA (-0), x

(-0),....

ab,

mit denen

die

Ein-

und

Aus-

ren Schwierigkeiten ‚auf, solange die Eingangsgröße im Bereich t >0 genügend oft differenzierbar ist und sich die Ausgangsgröße samt ihren Differentialquotienten bei t = 0 stetig an den vorhergehenden Verlauf anschließt. Ist dies aber nicht der Fall, so ist die Differentialgleichung

gangsgröße und ihre Differentialquotienten in den Zeitpunkt f = 0 einlaufen. s (t) werde deshalb als Speicherfunktion des Systems mit Vor-

der Ausgangsgröße lassen sich nicht mehr ohne weiteres aus der Vorgeschichte des Systems ablesen. Es erhebt sich daher die Frage, durch welche Funktionalbeziehung zwischen xg(f) und x,{f) das Verhalten eines Systems mit Vorgeschichte im Zeitraum t > 0 beschrieben wird, wenn die Ein- und Ausgangsgröße samt ihren Differentialquotienten

Die Funktionalbeziehung zwischen x; und x, läßt sich in zwei Differentialgleichungen zerspalten, von denen die eine xg(f), die andere s({f) als Eingangsfunktion besitzt und deren Ausgangsgrößen addiert werden.

nicht mehr

auf

5. Operatoren

die

Eingangsgröße

anwendbar,

und

die

Anfangswerte

geschichte

bezeichnet.

Ist

die

Eingangsgröße

für

>= 0

genügend

differenzierbar, so geht die Funktionalbeziehung zwischen x£ und in die übliche Differentialgleichung mit Anfangsbedingung über.

oft

x,

Ein Übertragungssystem mit Vorgeschichte kann somit durch die Summierung zweier rationaler Übertragungsglieder beschrieben werden.

als Symbole von Abbildungen

In den Aufsätzen 1 bis 4 wird das Verhalten einzelner Übertragungsglieder untersucht. Es ist aber häufig notwendig, Systeme mehrerer Übertragungsglieder zu betrachten, beispielsweise dann, wenn das dynamische Verhalten technischer Anlagen analysiert und verbessert

sprüngliche Heaviside-Kalkül nicht bewältigen konnte. Die Erfassung der Vorgeschichte eines Übertragungssystems mit Hilfe des neuen Operatorbegriffs ist aber ohne weiteres möglich, da diese Vorgeschichte in der

verschiedensten Weise umgeformt werden, z. B. durch Vertauschung von Gliedern, Zusammenfassung mehrerer Glieder zu einem einzigen, Zerlegung eines Gliedes in einfachere. Die Durchführung solcher Umformungen ist aber sehr schwerfällig und unübersichtlich, wenn man sie mit den Differentialgleichungen der Übertragungsglieder ausführt. Wie im fünften Aufsatz gezeigt wird, läßt sich diese Schwierigkeit beheben, wenn man die Auffassung des Übertragungsgliedes als eindeutige Abbildung der Eingangsfunktionen x£({f) auf die Ausgangsfunktionen x, (f) zugrunde legt und als Symbol dieser Abbildung den Heavisideschen Operator G(p) wählt. Ein solches Vorgehen ist durch die Einführung verallgemeinerter Funktionen ermöglicht, da hierdurch der grundlegende Satz gilt, daß zu einer gegebenen Eingangsfunktion xg(f) eine eindeutig bestimmte Lösung x,(f) der Differentialgleichung des Übertragungsgliedes gehört. Dadurch fallen die Schwierigkeiten bezüglich des Anfangswertproblems weg, die der ur-

Das Übertragungsglied wird also nunmehr durch die Operatorgleichung

werden

soll.

Hierzu

muß

das

System

der Übertragungsglieder

6. Die Lösung von Differentialgleichungen

in der

den

können.

Die

damit yuN=oeEt)

Lösung

Operatorgleichungen

der

wobei

sich

gy(f)

aus

7. Die

Beschreibung

der

des

sofort angegeben

Differentialgleichung

tert...

(n-m) + nmel

des

wer-

R-Gliedes

lautet

bleiben,

und

der

insbesondere

Partialbruchzerlegung

Übertragungsverhaltens

mit

also

ihnen nur

nutzen. Dies ist vor allem dann

durchführbaren

die

ergibt.

Für

den

bei vektorieller

spe-

Darstellung

gewöhnliche

der Fall, wenn

Rechenoperationen Differentiation

zu

die Ausgangsgröße

zu

be-

des

Übertragungsgliedes durch ein numerisches oder graphisches Verfahren, beispielsweise mit Hilfe eines Digitalrechners, bestimmt werden soll, da diese Verfahren nur auf Funktionen angewandt werden können, die

durch

ihren Werteverlauf

gegeben

sind.

Funktion

ist, auf welche

angewandt

der

werden

Operator

wie

auf

jede

kann.

x) = GP) xelN

charakterisiert. Auf Grund der Tatsache, daß der Operator G(p) das Symbol einer Abbildung ist, hat er eine wohlbestimmte inhaltliche Be-

deutung,

aus der die

gefolgert

werden

mit dem um die

Rechenregeln

können.

formalen

Produkt

Das

für die Operatorgleichungen

Ergebnis

ist überaus

einfach,

exakt

Man

kann

G(p) x({f) so rechnen, als ob es sich wirklich

ein Produkt von Zahlen handele, sofern man auf die Operatoren vier Grundrechenarten und auf die Zeitfunktionen Addition, Sub-

traktion und Faltung anwendet. Damit ist insbesondere das Ziel einer einfachen und übersichtlichen Umformung der Systeme von Übertragungsgliedern erreicht, vor allem dann, wenn man sich zur anschaulichen Darstellung der Operatorgleichungen

des

Strukturbildes

bedient.

Es ist dann

ziellen Fall m > n erhält man als Darstellung der Ausgangsgröße unter der Voraussetzung, daß die Eingangsgröße eine zulässige Funktion ist,

das Duhamel-Integral: f

xlt)

= (xek)

golt-) de

+ coXelf)

mit cg = 0

fürm

>

n.

0

Das

Verfahren

zur

Lösung

der

Differentialgleichung

fachen, wenn es gelingt, die gegebene sung einer solchen Differentialgleichung funktion darzustellen, also in der Form

läßt

sich

verein-

Eingangsfunktion selbst als Lömit der ö-Funktion als Eingangsxe£(t}) = Gg£(p} ält). Der zu einer

solchen Differentialgleichung gehörende Operator G£(p) geht in die Laplace-Transformierte der Funktion xg(f) über, wenn man das Symbol p

+ golf) *xel),

So zweckmäßig die Beschreibung und Untersuchung des Übertragungsverhaltens mittels verallgemeinerter Funktionen auch ist, so treten doch Fälle auf, in denen es notwendig wird, im Bereich der gewöhnlichen

Funktionen

enthalten

unter ausschließlicher Benutzung der Operatorenrechnung

Indem man die Differentialgleichung eines rationalen Übertragungsgliedes als Operatorgleichung schreibt, wird nicht nur das Rechnen mit Differentialgleichungen als Ganzes sehr vereinfacht, sondern es eröffnet sich eine Möglichkeit, die Lösung der Differentialgleichung explizit anzugeben. Dies wird im sechsten Aufsatz gezeigt. Die Bestimmung der Lösung beruht darauf, daß auf Grund der im fünften Aufsatz eingeführten Rechenregeln zu jedem Operator G(p) eine Partialbruchentwicklung existiert. Ihre Glieder stellen einfache Operatoren dar, für welche die

Lösungen der zugehörigen

Speicherfunktion

verallgemeinerte

erforderlich,

vom

Rechnen mit verallgemeinerten Funktionen zum Rechnen mit gewöhnlichen Funktionen überzugehen. Dies wird dadurch ermöglicht, daß man auf Grund der im dritten Aufsatz angegebenen Tabelle jede verallgemeinerte Funktion als einen Vektor

durch

die

der

komplexe

Systemgrößen

auffassen

wobei

kann,

die erste

Variable

s ersetzt.

und das Anfangswertproblem

der

endlich

Komponente

oder

unendlich

eine zulässige

viele

Funktion

Komponenten

ist, während

hat,

alle

übrigen feste Zahlen sind. Dabei treten die letztgenannten Komponenten nur auf, wenn die verallgemeinerte Funktion keine gewöhnliche Funktion darstellt. Die Wirkung des Übertragungsgliedes, die in einer Abbildung der Eingangsfunktion x£(f) auf die Ausgangsfunktion x,(t) besteht,

kann nun aufgefaßt werden Euy von

der

xg£(f)

auf

Gleichungen

die

als eine Abbildung

Komponenten

zwischen

den

Auflösung nach den Unbekannten ten und letzten Aufsatzes.

Dabei

zeigt sich folgendes:

allgemeinerten gleichung mit

At),

beiden

Auv

von

der Komponenten x, (f).

Die

Komponentengruppen

A {f), Au

ist Gegenstand

Die Differentialgleichung

Funktionen xg und x, zerfällt in gewöhnlicher Differentiation, also

E{f),

Herleitung

und

des

ihre

sieben-

zwischen den ver-

eine eine

DifferentialDifferential-

gleichung Alt), und

der ein

Anfangswerten

üblichen Art, zwischen den ersten Komponenten E({t) System gewöhnlicher linearer Gleichungen zwischen

E (+ 0), E(+0),...

und den

und A (+ 0), A (#0), ..... sowie den

weiteren Komponenten Euv und AuvLöst man dieses nach den A,, und den Anfangswerten von A{f) auf,

Gleichungssystem was in sehr ein-

facher Weise möglich ist, so ist A(t) durch die Differentialgleichung einschließlich dieser Anfangswerte eindeutig bestimmt. Treten in E{f),

A(t) oder deren Differentialquotienten für t > 0 Sprünge auf, so gilt die Differentialgleichung zwischen E(t) und A(f) intervallweise, nämlich von Sprungstelle zu Sprungstelle, und zu Beginn jedes intervalls tritt eine neue Anfangsbedingung auf, die sich aus dem linearen

Gleichungssystem ergibt." Die "Bestimmung der Komponenten von x A aus denen

von

xg£ enthält

somit

werte A (+ 0), A(+0),...

als. Kernpunkt

. Diese Aufgabe

die

Ermittlung

muß

der

auf jeden

Anfangs-

Fall gelöst

1. Das lineare Übertragungssystem

werden, auch lediglich A(t)

Der

dann, wenn xg und x, gewöhnliche aus E(t) zu ermitteln ist.

Zusammenhang

zwischen

den

Funktionen

Komponenten

von

xg

sind,

also

x,

kann

und

sehr übersichtlich in Matrizenform geschrieben werden. Geht man von den verallgemeinerten Funktionen zu ihren Komponenten über, so wird also das Übertragungsglied nicht mehr durch einen Operator, sondern durch eine Matrix charakterisiert, die nun an die Stelle des Operators tritt und deshalb als Operatormatrix bezeichnet sei. Der Verknüpfung mehrerer Übertragungsglieder entspricht dann die Verknüpfung der zugehörigen Operatormatrizen. Dabei gehört zur Reihenschaltung der Übertragungsglieder, ganz analog wie bei den Operatoren, die Multi-

plikation der Operatormatrizen, während der Parallelschaltung. nicht wie bei den Operatoren die Addition, sondern eine kompliziertere Opera-

tion,

die

Verschiebungsaddition,

entspricht.

und seine mathematische Beschreibung

Otto Föllinger und Gerd Schneider

j0

Die in einem realen System, etwa einem technischen Gerät, vorkommenden zeitveränderlichen Größen kann man unterteilen in unabhängige, deren Werteverlauf in gewissem

Umfang frei gewählt werden kann, und in abhängige, deren Werteverlauf durch die unabhängigen Größen ein-

deutig festgelegt ist. Diese Größen werden für alle Zeiten t durch Funktionen der Zeit beschrieben, die durch einen Stern gekennzeichnet seien, um sie von anderen Zeitfunktionen zu unterscheiden, die die Systemgrößen nur für gewisse Zeitintervalle beschreiben. Die durch einen Stern gekennzeichneten Zeitfunktionen repräsentieren die System-

größen

hinsichtlich der mathematischen

Beschreibung voll-

ständig, so daß man zwischen ihnen und den Systemgrößen nicht zu unterscheiden braucht.

Definition 1.1

Wenn man zur Lösung einer bestimmten Aufgabe von einem System nur zu wissen braucht, wie einige seiner abhängigen Größen x{(t) , x%, (f), ... von einigen seiner unabhängigen Größen xf, (t), x% (f), --. beeinflußt wer-

den,

so

bezeichnet

man

das System

in diesem

Zusam-

Mrs

Ne

| überzugehen,

au

durch Kay

=

(t)

0

fürt >0 x,

voraus,

sie

seien

festgelegter Weise zeitlich veränderlich.

konstant

oder

in

in zahlreichen

Fällen,

z.B.

in den

gesamten regelungstechnischen Anwendungen, nicht für beliebige Zeiten t interessiert, sondern erst von einem gewissen Zeitpunkt ab von Interesse ist. Dieser Zeitpunkt kann durch Aufschalten oder Ändern einer Eingangsgröße

oder

meter

auch

des

gewöhnlich

Betrachtung,

durch

Verändern

Systems

mit t=0; d.h.,

von

gegeben

er

ihm

eines

sein.

ist der ab

oder

Man

mehrerer

bezeichnet

Anfangszeitpunkt

wünscht

man

den

Para-

ihn

der

Zusam-

menhang zwischen xz, (f),x&% (f) ,... und xi, (1), x%, (f),.-.

zu

kennen,

wogegen

der

Verlauf

dieser

La2..,

(2)

SO

25

1,

v-

’

(t)

(3) (4)

eg

den

verkürzten

Funktionen

xsı {f), xe2 (f), ...

und

xaı {f),

Funktionen

xeı {t),

XA2 (t), si:

Eine

Funktionalbeziehung, eine

die

den

weitere

Funktion

x, (t) zuordnet,

werde als eine Abbildung der Funktionen xeı (f), xe2 (f),. ..

Die mathematische Beschreibung eines Übertragungssystems besteht somit aus den Vorschriften, durch die man bei gegebenen Eingangsgrößen xf, (f) , xt, (f), ... die unbekannten Ausgangsgrößen x%, (f) , x%, {f), bestimmen kann. Es ist nun sehr wesentlich, daß das Verhalten eines

Übertragungssystems

(N)

(5) v=-12..., (ol), x, N=xf bezeichnen kann. Bei ihnen handelt es sich um Funktionen, die mit den Ein- und Ausgangsgrößen des Übertragungssystems für + >0 übereinstimmen, für = 0 von diesen aber ganz verschieden sein können. Die Beschreibung des Übertragungsverhaltens für den Betrachtungszeitraum t > 0 ist dann gegeben durch Funktionalbeziehungen zwischen

xe2 (f), ... eindeutig

Größen

9)

v=1,2,...,

mit Hilfe des Einheitssprunges

u"

abhängigen

un-

S

fürt>0 fürt =0

Definition 1.2

Dabei setzt man von den verbleibenden

(t)

0

menhang als ein Übertragungssystem mit den Eingangsgrößen xt) ,xtalt), ... und den Ausgangsgrößen x%, (f),

ul)...

fürt

x,

die man

_ auch

fürt>0’

Funktionen

vor

diesem Zeitpunkt nicht interessiert. Um keine unnötigen Werte mitschleppen zu müssen, ist es daher zweckmäßig,

bei der Beschreibung des Übertragungsverhaltens in dem allein interessierenden Beirachtungszeitraum t > 0 zu den verkürzten Funktionen

auf die Funktion XA (f)

=G

xı (t) bezeichnet:

[xsı (t), XE2 (f),

Bu

.]

Im Hinblick auf die anschauliche

.

"

Darstellung funktionaler

Zusammenhänge durch Strukturbilder sagt man auch, durch die definierte Abbildung sei ein Übertragungsglied mit den Eingangsgrößen xeı (f), xea {f), und der Ausgangsgröße xı (t) gegeben.

Zu einem Übertragungssystem mit m Ausgangsgrößen gehören somit mindestens m Abbildungen oder m Übertragungsglieder, die die mathematische Beschreibung des Systems darstellen. Wird ein Übertragungssystem mit m Ausgangsgrößen durch mehr als m Übertragungsglieder

beschrieben, so treten

im Falle von M

(M > m) Übertra-

gungsgliedern M-m innere Größen auf, durch die man einen Einblick in die Struktur des Übertragungssystems erhält, insbesondere, wenn man sich zur anschaulichen Darstellung einer solchen Beschreibung eines Strukturbildes !) Diese die durch

Bezeichnungsweise

Zuordnungsvorschrift eine

darf explizit

Differentialgleichung

nicht

so

verstanden

vorliegen; gegeben.

z.B.

werden,

ist x, (ft)

als oft

müsse implizit

bedient, wie risiert ist:

es

durch

die

folgende

Definition

charakte-

Definition 1.3

Gegeben

als

sei eine Menge

mathematische

von

Übertragungsgliedern

Beschreibung

eines

(etwa

Übertragungs-

systems), wobei vorausgesetzt werde, daß jede der vorkommenden Größen höchstens einmal als Ausgangsgröße in Erscheinung tritt. Das zur Menge der Übertragungs-

glieder gehörende Strukturbild ist die anschauliche Darstellung der Verknüpfungen, die zwischen den Übertragungsgliedern bestehen. In dieser Darstellung sind die Übertragungsglieder durch Blocks symbolisiert, die mit

einer Kennzeichnung der funktionalen Abhängigkeit versehen sind. Die Größen eines Übertragungsgliedes werden durch gerichtete Linien symbolisiert, die in den zugehörigen

Block hinein- bzw. aus ihm herausführen, je nachdem, ob die Größen Eingangs- bzw. Ausgangsgrößen des Übertragungsgliedes sind. Tritt dieselbe Größe in mehreren Übertragungsgliedern auf, so werden die zugehörigen gerichteten Linien zu einem gemeinsamen, gerichteten

Linienzug, der Wirkungslinie der Größe, verbunden. Man

bedient

schreibung

sich

des Strukturbildes,

des dynamischen

weil

es bei der

Be-

Verhaltens eines technischen

Aufstellung des Strukturbildes eine enge Beziehung zu der Geräteanordnung

des

Systems,

sprechung von Bauelementen schreibung

was

sich

in

einer

werden.

Für lineare Übertragungsglieder gelten zwei wichtige Sätze: Satz 1.1

Jedes lineare Übertragungsglied mit m Eingangsgrößen kann man sich aus m linearen Übertragungsgliedern mit einer Eingangsgröße mengesetzt denken.

Der Begriff durch die

der

und

Summierungsstelle

festgelegt

Definition 1.5

Unter einer Summierungsstelle (S-Stelle) versteht man ein. lineares Übertragungsglied mit m Eingangsgrößen xeı {f), . , XEm (f), für dessen Ausgangsgröße xy (t) gilt: xıl)=

txalt)E...Exmlf).

Die Linearität einer Summierungsstelle folgt dabei ohne weiteres aus Definition 1.4. Wenn man den funktionalen

zwischen

mehreren

Übertragungsgliedern

ff), ... , XEm (t)]

(6)

durch ein Strukturbild graphisch darstellt, so wird für die Summierungsstelle das in Bild 1.1] angegebene Symbol verwendet. Zum Beweis von Satz 1.1 sei ein lineares Übertragungsglied durch

und Wirkungslinien äußert, wodurch der Überdem realen System in die mathematische Be-

und umgekehrt

sehr erleichtert wird. Zweitens

seine

Blocks

in ihre

elementaren

Bestandteile

zer-

Bild 1.1. xılt)

Dabei ist es durchaus möglich, daß Übertragungsglieder auftreten, die nicht als Beschreibung eines realen Übertragungssystems aufgefaßt werden können, die aber dennoch bei der Untersuchung realer Systeme von Nutzen

=

Glxeı

gegeben. Auf Grund der Gültigkeit des Superpositionsprinzips von Definition 1.4 ergibt sich hieraus Ss

= ).C0,...,0,x,0, 0,...,0), wobei

die Übertragungsglieder

xt)

= G,%.,f]l=

Definition 1.4

Bild 1.2.

XA (t) =

GIxsı

(t), sw

als linear bezeichnet,

wenn

A] Se Elke

fh

es

Rn

folgendes

gilt:

Wr aa

+ Re

Superpositionsprinzip:

G [xeı (f) + ver), .-. , XEm (f) + YEm f)] = G [xeı (f),..., Xem N] + Glyeı (f),..., Yem f)]. ein Übertragungssystem

schon bewiesenen Satzes 1.1 dargestellt. Satz 1.1 hat zur

Folge, daß eine Theorie der linearen Übertragungsglieder im wesentlichen als Theorie von Übertragungsgliedern mit einer einzigen Eingangsgröße aufgebaut werden kann.

5 XEm (t)]

G Tee

(8)

mit der einzigen Eingangsgröße x;,, (f) auf Grund der Linearität des Übertragungsgliedes (6) ebenfalls linear

sind. Der Inhalt des damit ist in Bild 1.2 anschaulich

Ein Übertragungsglied

6l0,..., Xu (lda..., 0],

“=|1...m,

sind. Beispielsweise kann dies dann vorkommen, wenn ein

Übertragungsglied, das ein reales Übertragungssystem beschreibt, in einfachere Glieder zerlegt wird, denen dann nicht sämtlich reale Teilsysteme zu entsprechen brauchen. In allen folgenden Aufsätzen wird vorausgesetzt, daß die betrachteten Übertragungsglieder die Eigenschaft der Linearität haben, die wie folgt definiert ist:

(7)

u=|

welche speziellen Systeme durch sie beschrieben werden,

Kann

ist hierbei

zusam-

Ent-

legt; das ist für die Berechnung von Einschwingvorgängen vorteilhaft. Bei den folgenden Untersuchungen von Übertragungsgliedern sind ausschließlich deren allgemeine Übertragungseigenschaften von Interesse, und es ist gleichgültig,

werde

einer Summierungsstelle "

und Blocks, von realen Ver-

ist die gegenseitige Beeinflussung der verschiedenen Übertragungsglieder im Strukturbild weit besser zu überblicken als im Gleichungssystem. Und drittens stimmt das Strukturbild mit dem Koppelplan des Analogrechners überein, wenn

man

genannt

Zusammenhang

Systems gegenüber dem System der Funktionalgleichungen mehrere Vorzüge aufweist. Erstens besteht bei geeigneter

bindungen gang von

glieder beschrieben werden, so soll es ein lineares Über-

tragungssystem

durch lineare Übertragungs-

Satz

1.2

Setzt sich ein Übertragungsglied aus endlich vielen linearen Übertragungsgliedern zusammen, so ist es ebenfalls linear. Beweis: Es sei ein Übertragungsglied von Funktionalgleichungen

durch

das

System

mit den Anfangswerten

xl)

= xaı (f),

x,

= 6, [Ka (f), X Mi; Ku (Mh nun %, Me

(9)

gegeben

val...n,

gegeben (Bild 1.3). Dies schließt die Voraussetzung ein, daß durch die Funktionalgleichungen (9) die Funktion xı (f) eindeutig bestimmt ist. Da die durch die Gleichungen (9) Xg1 XE2

(m—]

0 Kann

ul... Er

ist.

ein

Übertragungssystem

gungsglieder

so soll werden.

es

durch

rationale

Übertra-

Übertragungssystem

genannt

und Summierungsstellen

ein

rationales

|

an

Kl

beschrieben werden,

A viam "rk

m

MA

Bild 1.4.

Die

Linearität

der

rationalen

Übertragungsglieder

folgt

unmittelbar aus Definition 1.4. Im Strukturbild wird für ein rationales Übertragungsglied vorläufig das in Bild 1.4 an-

Bild 1.3.

gegebenen Übertragungsglieder

nach Voraussetzung

sind, folgt

exılt)

linear

= cxu ff),

ex,M=Glexuyl),.:..,c%n(M; ER) aus EM];

(10)

vy=]...n,

d.h., die Funktion cxı(t) löst zusammen mit den Funktionen cxa,lt), ?=2...n, das Gleichungssystem (9) für die Eingangsfunktionen cx;,(t), #=1... m. Da die Lösung eindeutig ist, ist damit nachgewiesen, daß die erste Bedingung von Definition 1.4 erfüllt ist. Entsprechend ergibt

sich aus den Gleichungen (9) zusammen mit YA (t)

=

yMN

Yıv (t)

=

G, lysı

+ YEm (t);

ya Hl,

m

G, [X;ı (t) + Ypı (t) rare

v’—=1.::h,;

gilt, d.h., die

Funktion

Agm ()+

(12)

YEm (t);

Yan

die durch

rationalen

?»=2...n,

mit

das Glei-

die folgende

Definition

gekenn-

Übertragungsglieder.

einem

rationalen

Übertragungsglied

(R-Glied)

ver-

‚steht man ein lineares Übertragungsglied mit einer einzigen Eingangsgröße xe(t), dessen Ausgangsgröße x; {f)

bei n-mal stetig differenzierbaren!) Eingangsfunktionen xe {f)

für alle t durch die Lösung der Differentialgleichung (m)

AmXA

+...

.

+

QaIXA ®

+

3.xt)

=0

(n)

,

!) Unter einer O-mal stetig differenzierbaren stetige Funktion verstanden werden.

fürtsO, (m—1)

iv)

>

n

a,xi * _=

(vr)

2b,x

Am;

Pn#0,

t>d.

vr=0

v-=0

Die Voraussetzungen

]

und

3 besagen,

daß

das

System

m+0, Funktion

xA(t) = xi (t). Hieraus

+0 soll

hierbei

folgt

wegen

Voraussetzung

5,

daß die Funktionen xe(t) und xA(f) die Differentialgleichung in Definition 1.6 erfüllen. Schließlich ist I»

v=0,1,...,m-

setzung 3 sämtlich

1], und

iv)

iv)

xı (+0) = xi(+0) = xi(-0) diese Werte sind wegen

für

Voraus-

Null, so daß xı (ft) die Anfangsbedin-

gung in Definition 1.6 erfüllt. Ein Übertragungssystem, das die Voraussetzungen ] bis 5 erfüllt, werde als ein bis zum

Zeitpunkt

t=0

in Ruhe

befindliches

rationales

Übertra-

gungssystem bezeichnet. Sein Übertragungsverhalten wird für t>0- ja sogar für alle t — durch ein rationales Übertragungsglied beschrieben.

Wenn

mindestens

t n

bestimmte

Vermutung,

wie

im

allgemeinen

Fall

der

Übergang zur vollständigen Beschreibung vorzunehmen ist. Diese Vermutung werde sogleich als ein Satz formuliert. das

Übertragungsverhalten

eines

Systems

im

Zeit-

raum t >0 für n-mal stetig differenzierbare zulässige Eingangsfunktionen durch die Abbildung (m) AmXa

+...

+ aıxa

(m-1)

ad

eeseirurt

bare Funktion

+

x

=

boxe

+

bixe

+...

feiner

+

men

gegeben

durch

das

(42)

Gleichungssystem

'

(43)

ye= [| xedr.°)

+

, aıya

+ ya

= boye

+

j bıye

+...

+

Hilfssatz

ye(t).

Wegen

zur Folge, daß

ist. Man

kann

leicht zeigen, daß

dann

auch

2.1

Fiii= Diese

Eir)dr.

Funktion

(44)

f(t) kann

durch

ft) = Fit-0)

(45)

[ade = v

(m +])

eindeutig

eine

zu-

lässige Ausgangsfunktion zu, so daß sie gemäß Postulat2 und Satz 2.4 die Erweiterung der Beschreibung (42) darstellt.

bedeutet:

Man

integriere

die

gegebene

Eingangs-

funktion xg zunächst (m + 1)-mal zwischen den Grenzen 0 und f, wodurch man eine mindestens m-mal stetig differenzierbare Funktion ye erhält; wegen m >n ist ye dann auch mindestens n-mal stetig differenzierbar. Dieses ye wähle man als Eingangsfunktion zur ursprünglichen Differentialgleichung (42) und bestimme deren Lösung yı für

verschwindende Anfangswerte. Die gesuchte Ausgangsfunktion xy erhält man schließlich als diejenige Funktion, 5) Hier und im folgenden wird (m + 1)-fache Integration zwischen

t. FR(t)= [Fir-O)de. Ö Sind

ı h

Insbesondere

Am wichtigsten Zusammenhang

erhält so das Resultat

59t-1,)0o (t-t0) =

2 fh,

ist o(to-t#,) = 1 und

so daß

a

x(alt-t0)=XMolt-t)+

= o(t-t,).

o(t-1,)-0(fo-t,)

stellung von x (t), so gilt

folgt.

Damit

folgt aus (10) die Gleichung

Funktion

(k)

f(t-0)=X(t-0)

x) alt-t0] = x (ft) o(t-t0) + X (to-0) 0’ (t-t0). Man

ist

abgesehen,

(11)

sieht, daß diese Differentiationsregel ganz analog der

Produktregel

der gewöhnlichen

Differentiation gebaut ist.

Wendet man die Formel (11) nochmals an, so erhält man [x (t) o (t-t0)]” = [x (f) o (to) =x”(t)o(t-to)

+ X (to—0) 0” (t-to) =

+ Xı (to-0) 0’ (t-to)

+ X (to-0) 0” (t-to),

(12) 29

WW

wobei Xı (t) der zulässige Bestandteil in k-1

=

+I N X," "(t-t,) u

(13)

v=0

)

X, =X(u +0)-X (rn -0) die Sprunghöhe des v-ten Differentialquotienten, die auch Null sein darf, so gilt (n)

x) =X-0) +22

ist. Um ihn zu bestimmen, geht man von der Darstellung X (t) = {X (t); 1} aus. Bezeichnet man die Sprungstellen

von mit

(0)

X(f) mit z,, die Sprunghöhen

(0)

X,

und

subtrahiert

IX, o(lt-n), x

so

X(t)

die

erhält man

eine

überall

Rest-

ist (0)

X

t)= Xslt; 1} + 2X, ölt-n).

Wie

bereits

Sa, [url

A

von

X (ft) ab, so ist

X(t) = Xs(t), und daher gilt an allen Stellen t X (t-0) = Xs (t-0), so daß

xt) = X(t-0) + SX,ölt-n). zulässige

Bestandteil

in x’(t)

v0 Nach Satz 4.2 gilt

ist also

X (t-0).

Damit

v0

+

worin

#1)

A

(-0)0’(t-t0)

A(t) die zulässige

+...

Funktion

+ A (to-0)oW

’

In dieser Weise fortfahrend, erhält man den

vl

(t)- A (to-0) 0’ (t-t0)-...-Alto—0) ob (t to).

Eine ganz entsprechende Formel gilt auch für xe®) (t)o (t-to).

Setzt man diese Ausdrücke in (19) ein, so erhält man

Satz 4.2

(Differentiationsregel für die verkürzte Funktion): Es ist [x (t) o (t-t0)]9 = x

(ft) o (to)

Ss a, m

+ X (to-0) 0’ (t-t0) +...+ X (to-0) ol (t-#0),

(15)

wobei X (t) die zulässige Funktion in der vektoriellen Darstellung der verallgemeinerten Funktion x (t) ist. Nebenbei hat sich beim Beweis dieses Satzes eine weitere

Regel für das Rechnen mit verallgemeinerten Funktionen ergeben. Setzt man nämlich (14) in (13) ein, so erhält man die Differentiationsregel für die vektorielle Darstellung der

verallgemeinerten

Funktion,

auf die n-te Ableitung chen sei.

in dem

die

samt

folgenden

X)

(t)

_

v=|

+

(n-1)

ihrer

Satz

Erweiterung ausgespro-

r—1

-Za, [Alb-0)0’ (t-t0) +... + Alto-0) ob) (F-10)] = v=-0

= 3 b,xeb) (f) -

(20)

v=(0

n

(v-1)

-Db,[Elto-0)0’(t-t0) +... + E(to-0) ob) (t-to)], v=|

wobei

E (t) die zulässige

stellung von xe {f) ist. Die zweite ist gleich

Summe

auf

Funktion der

in der vektoriellen

linken Seite dieser

Dar-

Gleichung

aıA (to—0) 0’ (t-to)

+ 2A (to-0) 0’ (t-to) + a2A (to-0) 0” (t- to)

Satz 4.3

(Differentiationsregel für die verallgemeinerte Funktion in vektorieller Darstellung): k-1

(v)

Itxt)=Xth)\ +33 0 X, 6 (t-t,)! und sind r, die Sprung-

0

stellen von X{t),

X, =X(n

so ist .

(0)

=XLt-0) +IXöt-D) A

+0)-X (rt, -0) die Sprungk-1

HIN

X,,D(t-t,).

(16)

u v»=0

Sind allgemeiner r, die Stellen, an denen mindestens einer n-]

schließlich 30

(t-to),

in der vektoriellen Dar-

= XP

der

(18)

olt-t)] = 2 b, [ee lt) o(t-t)]. (19)

[x (f) o (t-t0)]” =

"N

nun-

zwischen x: (f) und x (f)

x” (t) a (t-10) + X (to-0) 0’ (t-t0) + X (to-0) 0” (to).

höhen,

werden

alt=xrl)elt-t)

stellung von x; (t) ist. Infolgedessen ist x (t)o(t-to) =

folgt aus (12)

wurde,

zb) = Ira (t) olt-toj]e) = xar) (6 (t-40) +

(14)

A

Der

bemerkt

Um den Funktionalzusammenhäng

X = (&slt-0), 0) + 2%, ölt=n). Ausnahmestellen

in Abschnitt 4.1

zu erkennen, drückt man in der Differentialgleichung (4) die Funktionen xe(t) und xA (f) durch Xe(t) und X (f) aus. Hierzu wendet man auf (4) die Operation der Verkürzung an. Nach Satz 4.] entsteht dann die Gleichung

und somit

den

(17)

Die Funktionalbeziehung zwischen der verkürzten Eingangs- und Ausgangsfunktion eines rationalen Übertragungsgliedes

xl)=xelf)o(t-to),

(T-O)dr=Xslt),

Sieht man von

(t-4,).

4.3

eingeführt.

Da Xs (t) stetig ist, gilt nach Hilfssatz 2.1 die Beziehung

(%

X,

u v=0

mehr bei einem beliebigen rationalen Übertragungsglied an Stelle der Funktionen xe (f) und xı ({f) die bis zur Stelle to verkürzten Funktionen

ä

also

XKönlt-n)+

v=0

+22

Treppenfunktion stetige

(n-1-»}

k-1

X (r, +0)-X (, -0)

von

funktion Xs (t). Damit

A

n-1

ersten

X (t)

Differentialquotienten

selbst)

einen

Sprung

von

aufweist,

X(t)

und

(ein-

ist

tm)

(m-2)

+ amA (to-0) 0’ (t-t0) + amA (to-0)0” (t-%) +... + mA

.

(to -0) om) (to)

=

(m-1)

= [014 (0-0) + mA (to-0) +... + amA (t0-0)] 0’ (t- to) (m -2)

+ [0A (to-0) +... + @amA (t0-0)] 0” (to) + mA (to0) om (to). Da Entsprechendes auch für die zweite Summe auf der rechten Seite von (20) gilt, kann man (20) in der folgenden Form schreiben:

/()

SERTONESSIRALIOEN

v=0

m

v=0

O-

(m-»v)

+3

[a,A(to-0) +... + amA (to-0)] oW) (10) -—

v-]

n

(n-»)

-S[b, Elto-0) +... + baE (to-O)]ow(t-t0).

(21)

R

u(t)

v=]

Dieses Resultat sei in einem Satz formuliert.

a C

Satz 4.4

Y

Liegt ein beliebiges rationales Übertragungsglied vor, das durch die Differentialgleichung m

n

Zaxır=N%b,xer, v=0

a,,b, konstant,

Bild 4.1

am, bn #0,

v=(

beschrieben wird, wobei xe(f) und xı (f) verallgemeinerte Funktionen sind, so ist der Zusammenhang zwischen den bis auf die Stelle t9 > 0 verkürzten xlt)=xello(t-t),

Funktionen

>> ax

v=0

x; (-0)

(22)

m

+... +

{m-»)

mA

(to-0)] a

der

Eingangs-

bzw.

Ausgangs-

bringt. s (ft) sei als Speicherfunktion

einzelnen

Werte

x?(-0),...

n-1

, 2-0)

bzw.

x? (-0),....

,

(m-1)

werten, die durch xe(+0)=x?(+0),... und x (+0) = xı (+0), ... gegeben sind. Nur dann, wenn x? (f) und x7 (f) in t= 0 genügend oft stetig differenzierbar sind, fallen

(t- to) —

v=]

(n-v)

-0 t-t0), )]om() bnE (to-O +... + (o -Z[b,E N

als Speicherwerte

zur Auswirkung

x% |-0) als Speicherwerte der Eingangs- bzw. Ausgangsgröße. Sie sind wohl zu unterscheiden von den Anfangs-

v=0

Dabei ist

s(t) = 3 [a,Alto-0)

(m-1)

des Übertragungssystems mit Vorgeschichte bezeichnet, die

+ s{t)

= Zbxer

sich im Zeitraum #0

Alt)=xalt)o(t-to)

durch die Funktionalbeziehung

gegeben.

O-

v=]

wobei E(t) bzw. A(f) die zulässige Funktion toriellen Darstellung von xe (f) bzw. xı (t) ist.

(23)

in der vek-

Speicher-

Funktionen

und

und

Anfangswerte

zusammen.

ihre Differentialgquotienten

Weisen

diese

aber Sprünge

bei t = 0 auf, welcher Fall hier gerade interessiert, so sind Speicherwerte und Anfangswerte verschieden. Als Beispiel werde das in Bild 4.1 dargestellte RC-Netzwerk betrachtet, bei dem sich der Strom i(t) in Abhängig-

Beschreibt das hier betrachtete rationale Übertragungsglied . keit von der vorgegebenen Spannung u(f) ändert. Zum insbesondere ein reales Übertragungssystem, so sind xe (f) Zeitpunktt = 0, in welchem der Kondensator nicht geladen und xı (t) zulässige

Funktionen,

m)

I»)

und

es ist dann

sei, werde

E (to—-0) = xe(to-0) = xt (to-0), 9)

A(to—0)

iv)

iv)

, um Bit

= xı(to-0) = x (to-0).

Führt man nunmehr in den Gleichungen (22) und (23) to als

neuen ÄAnfangszeitpunkt ein und bezeichnet die Funktionen, in die x: (f) und X, (f) dabei übergehen, mit xe (f) und xı {f), so erhält man die Funktionalgleichung m

Sax) = Ebremft+sl),

v=0

v0

m>n,

am, bn+0,

(24 a)

mit

st=

m

[2 a,A-9)+...+

m

wobei

(24 b)

die Koeffizienten

sind.

b, mit » > n Null zu setzen

an

der

weiterhin

(25)

Das Verhalten des Netzwerks interessiert aber erst von einem Zeitpunkt to > 0 ab, so daß man zu den Funktionen

ult)=ulf)olt-to) , i(f) = ilt)o(t-to) übergeht.

Das

Integral

in (25) stellt die Ladung

zur Zeit t auf dem

Kondensator to

Qt) = fide= 0

..— bunxt (-0)] or) (1) = SA, om (t), v=]

aufgeschaltet,

1% lid.

t

Im-v)

mi -0)-b,xf(-0)-...

v=]

(m-»)

die Spannung

beliebige sprungartige Änderungen vorgenommen werden dürfen. Dann gilt die Gleichung

r)

Kondensator

Für Q@ (t) kann man

dar, die sich

t

fidr + fidr. 0 ir

Das erste dieser beiden

auf dem

Qt)

befindet. Für t > to ist

Integrale ist die zum

befindliche Ladung

dann im Zeitraum t > to

Zeitpunkt to

@b = Q (to—0).

t

Man

darf annehmen, daß durch die Gleichungen (24) das

Übertragungssystem mit Vorgeschichte für beliebige zulässige Eingangsfunktionen xe (t) beschrieben wird, und im folgenden Abschnitt wird gezeigt werden, daß dies in der Tat der Fall ist. Zuvor seien aber noch einige Bezeichnun-

gen eingeführt, sowie die Herleitung der Gleichungen (24)

an einem einfachen Beispiel veranschaulicht. Die Funktion s (t) gemäß (24 b) repräsentiert das Gedächtnis des Übertragungsgliedes, das gewisse Daten aus der

alt) = Qlto-0) + fidr t 0 schreiben. Damit geht (25) in die Gleichung Q (to —0

1: +7 Sid 'o über. Multipliziert man diese mit o (t-to), so gehen sämtliche Funktionen in die zugehörigen verkürzten Funktionen über und man erhält u=Ri+ en el

31

t ji) dr. 'o Diese Gleichung beschreibt das Verhalten des Netzwerkes

ut) = Rilt) + Qtbo-0) = 9 o(t-to) +

im Betrachtungszeitraum t> to, wobei aus der Vorgeschichte des Systems der Term Q (to—0) eingeht. Um zur Differentialgleichung überzugehen, hat man den erweiterten Differentiationsbegriff zu verwenden, da die

auftretenden Funktionen im allgemeinen _ weisen. Man erhält so die Gleichung v(t) = Ri’ (f) ae, oder wegen

(t to)

Sprünge

auf-

Q (to-0) = Cu (to-0)-RCi(to—0):

Nullpunkt i(to—0)

=

man

der

nun

nachträglich

Zeitachse

* (to—0),

machen

u (to-0)

= u* (to

die

und

Stelle

so

zum

wegen

0):

Diese Gleichung, die hier aus den physikalischen Verhältnissen des speziellen Systems abgeleitet wurde, ergibt sich

natürlich sofort aus den Gleichungen (24), wenn man von der aus (25) folgenden Differentialgleichung RCi’ + i = Cu’ ausgeht.

Nunmehr soll bewiesen werden, daß die Gleichungen (24)

tatsächlich das Übertragungssystem mit Vorgeschichte nach Definition 4.1 beschreiben, und zwar für beliebige zulässige Eingangsfunktionen. Der Gedankengang hierzu ist folgender: Man bildet aus der Eingangsgröße xe (t) und den Daten aus der Vergangenheit des Systems den Vektor

r= bel); 2-0),

..., 82-0);

(m-1)

xi(-0),..., x (-0)]

wie

über, nerte diese kurz

Funktion X: (t) und (24a) geht in die a0Xı

=

Xe (t)

die nach Satz 3.3 eindeutig durch eine verallgemeiFunktion xı (t) lösbar ist. Es ist leicht zu sehen, daß sogar zulässig ist. Die so erklärte Abbildung werde durch

symbolisiert. Ist r insbesondere n-mal stetig differenzierbar,

d.h., hat xg (ft) diese Eigenschaft für + > O und erfüllt überdies (3), so läßt sich zeigen, daß die Abbildung xı = Fr in die durch (1) und (2) definierte Abbildung übergeht, also

eine Erweiterung derselben auf den Bereich aller Vektoren x darstellt. Diese Erweiterung ist stetig, d. h., zwei Bild-

beliebig wenig

voneinander ab,

wenn nur der Unterschied der zugehörigen Vektoren r genügend klein ist. Da nun leicht einzusehen ist, daß es nur eine einzige stetige Erweiterung der durch (1) und (2) definierten Abbildung auf den Bereich aller Vektoren x gibt, hat man in (24) diese stetige Erweiterung gefunden. Weil die durch das reale Übertragungssystem bewirkte

Abbildung

gewiß

stetig

sein

muß,

beschreibt

also

(24)

zwangsläufig das Verhalten aller realen Systeme, für die im Spezialfall n-mal stetig differenzierbarer Vektoren die

Gleichungen (1), (2) gelten, also das Verhalten aller Über-

tragungssysteme mit Vorgeschichte im Sinne der Definition 4.1. Im folgenden Abschnitt wird das hier umrissene Programm im einzelnen ausgeführt.

32

+

‚

(26)

(27)

oz = Aıo +...

o (ft). Somit

sie

in

Gestalt

der

+ Am om)

auffassen,

und

zwar

mit

ist xa(t)=y(f)+z{f)

Speicherfunktion

s(t)

der

eine

auftreten,

wöhnliche Funktionen entspricht.

vorauser dem für ge-

Hilfssatz 4.1

Ist x (f) irgendeine

verallgemeinerte

Funktion, so gilt

x(t)*o(l)=x{t).

(28)

Ist nämlich x {t) = {f{t) ;k}, also nach Definition 3.2

xt)rot)=

{HN *ol);

so

ist

k+1}=

=; K= xl.

x’ (t) = {f(t);k +1},

ffl)dr;

(24b) in (24a) ein, so erhält man

Da,

(t)=Nb,xen(t) +

v0

v0

v=|

k+1}= die Gleichung

A, or) (f)

(29)

{m-»)

A,=a,xil-0)+...+

am (-0)-b,xt(-0)-... (m-»)

...— bmx: (0), wobei zu beachten ist, daß b, = 0 für » > n. Wendet man nun auf (29) (m + 1)-mal nacheinander die Faltung mit o {f) an und berücksichtigt,

= Fe

funktionen xı (f) weichen

+ bnxe")

gänzlich vermeidet. Hierzu wird ein Hilfssatz geschickt, der auch an sich von Interesse ist, da Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

mit

+

+...

zulässige Funktion. Nunmehr werde die Abbildung xa = Fr auf eine Form gebracht, welche die Verwendung nicht zulässiger Funktionen,

Differentialgleichung +...

+...

Differentialgleichungen

Setzt man

AmXaT)

boxe

y(t) nach Satz 3.3 ebenfalls eine zulässige Funktion dar. Dasselbe gilt auch für z (t), denn (27) kann man in der Form

und faßt (24) als eine Abbildung auf, die jedem solchem Vektor eindeutig eine Funktion xı (t) zuordnet. Setzt man nämlich x in die rechte Seite von (24a) ein, so wird diese eine verallgemeinerte

=

aufspaltet, diese nach y und z auflöst und die beiden Lösungen addiert. Da xe(f) zulässig und m > .n ist, stellt :

Eingangsfunktion

RCi’(t) + i{f) = Cu’ (f) + [RCi* (-0)- Cu*(-0)] 0 (#).

(n-1)

+...+0y

AmzM) +...+002=sit)

den

t =to

erhält

amyIm)

schreiben, wo die A, feste Zahlen sind, kann (27) also als eine Differentialgleichung vom Typ der in Satz 3.3 vorkommen-

Cu’ (t) + [RCi (to —0) - Cu (to—0)] 0’ (t- to). kann

x; (f)

dadurch erhalten, daß man (24a) in die beiden Gleichungen

Amz

+ ei)

RC’ (f) + il) =

Hierin

4.4 Eigenschaften der Abbildung xı = Fr Man kann die zum Vektor r gehörige Bildfunktion

daß für eine zulässige

Funktion

die

Faltung mit o (t) die Integration von O bis + bedeutet, so

wird

beispielsweise

wegen

aus

(28) zunächst

xe(f)

xe"(f) und

nach

dann

!

»-maliger

ff

ö

xe(r)dr.

Faltung

Es ent-

(m+1-»)

steht so die Gleichung t

Am | XA dr+...+ 0

+A

ft

t

(m +1)

Bezeichnet man dieses Polynom

fredr = yelt), [ade = yalt), 0 (m+1) met) so kann man für (30) auch schreiben + aoya {m-1)

= boye

yı()=...=yı(0)=0.

(30)

mit P (t) und setzt

r

+...

(m+1-n)

ot)

zT

t

bn fxe dr 0

(m +1)

"Hanf

(m) Amya

t

aofxa dr = bofxe dr+...+ ö d

{n) +... + bnye+

(31)

Plt)o(t),

(32)

Die Gleichungen (31) und (32) sind äquivalent zu den Gleichungen (24) und stellen daher eine zweite Form dar, in

der die Abbildung xa = Fr geschrieben werden kann, Sie ist geeignet nachzuweisen, daß diese Abbildung

für

n-mal stetig differenzierbare Vektoren r in die durch (1), (2) definierte Abbildung übergeht. Ist xe(f) für t>0 n-mal differenzierbar,

so

ist

ye(t)

(m + n +

1)-mal

damit die Lösung ya (f) von (32) (2m + 1)-mal stetig differenzierbar. Somit kann man die Differentialgleichung (32) noch (m + T)-mal differenzieren, wobei wegen (31)

(m +1)

Xg0 (+0)

und

X

x.(1) P xo(-0)

(m +1)

yalt)=xılt) und yelt)=xeflt) ist. Mit b=0 für v>n kann man die Differentialgleichung (32) für t>0 auch in der Form (m) AmYA

+...

+

aoya

FA An Feet

=

boye

+

...

+

(m) bmyEe

+

- Bild 4.2

Ana Am-1o7+ mt Am;

Differenziert man sie einmal und läßt dann t— + 0 gehen,

so erhält man

AmXa (+ 0) = bmxe (+ 0) + Am =

gilt, also die weiteren Komponenten von r in der n-Umgebung der weiteren Komponenten von xo liegen. Der n-Streifen um xeo (f) ist dabei nach Bild 4.2 definiert?) und, völlig entsprechend, der e-Streifen um xao (t). Um

bmxe (+ 0) + amxi (- 0) — bmxt (-0),

wegen

0

(33)

schreiben.

woraus

Kt)

nun die Stetigkeit der Abbildung xa = Fr zu beweisen,

zerlegt man sie nach (26) und (27) in zwei Teilabbildungen,

x: (+ 0) = xt (-0)

xı (+0) = xi(-0)

(34)

folgt. Differenziert man nun (33) für t>0 läßt dann t— +0 streben, so ergibt sich

zweimal

und

deren

In

dieser

Weise

xe(+ 0) = xE (-0)

fortfahrend,

gelangt

man

nach

m-maliger Differentiation von (33) für t > 0 zu der Gleichung (m-1)

xa(l+0)

(m-1)

= xx (-0).

Die (m + 1)-malige Differentiation von (33) für # > 0 liefert

schließlich die Differentialgleichung (m)

AmXa

+...

+ GoXa

differenzierbaren

+ bmXeE.

x in der

zu dem

Tat

durch

r=

ro = [xeo (f) ; x5, -0) ,...,xi, (-0)]

[x (f) ;xt(-0),...,xx (-0)]

zwei

xao (t) und xA(f) ihre Bildfunktionen.

beliebige

Dann

Vektoren,

heißt die AbTr

in dem e-Steifen um xao(t) liegt, sofern nur xe(t) für 0n. Damit folgt aus (26) m

m

v0

v=0

Zn a,p alt)=

42

Zb,prxuel)+

ia)

m

3 mS,prolt).

v=]

durch

Az)

Satz 4.5

Am

=,

1

v=]|

S=—=-—[arl-0)+...+

die-

bı =C sowie x,*(-0) = i* (-0) und x#(-0) = u* (-0). Man erhält daher in diesem speziellen Fall aus Bild 5.5 das in

(26)

Speicherfunktion

1

b, 1 +..+—a —get+S,0+S,.,1

v=(0

schreibt

a,

des Systems

durch das Bild 5.4

veranschaulicht, welches also lediglich das in die Operatorschreibweise übersetzte Bild 4.3 ist. Man kann aber das Übertragungssystem auch in anderer Weise im Strukturbild

den

jenigen Werte dar, die man auf die Ausgänge der einzelnen Integratoren zu schalten hat, um die Vorgeschichte

Bild 5.4

Diese drei Operatorgleichungen

a,

Sie

Am | ya)

auf diese Gleichung

hervorgeht, daß man hinter jedem Integrierglied eine Summierungsstelle einfügt, in welche die Funktion S, o {f) eingespeist wird. Bild 5.5 zeigt, wie das rationale Übertragungssystem mit Vorgeschichte, insbesondere also die Speicherfunktion, durch eine Analogrechenschaltung realisiert werden kann. Hieraus wird die reale Bedeutung der Koeffizienten A, = amS, der Speicherfunktion ersichtlich:

ot),

xy S(p)

man

an, so ergibt sich

mit Vorgeschichte

betrachtet. Die Gleichungen von Satz 4.6, die sein Verhalten charakterisieren, können jetzt als Operatorgleichungen geschrieben werden. Ist

A(p)=

Wendet

Bild 5.6

6. Die Lösung von Differentialgleichungen Benutzung der Operatorenrechnung

unter ausschließlicher

Gerd Schneider Im vorangehenden Aufsatz wurden die in Tabelle 5.1 zusammengestellten Rechenregeln für Operatorgleichungen verwendet, um gewisse Umformungen im Strukturbild —

wie

z.B.

die

Zerlegung

eines

R-Gliedes

in elementare

Glieder — durchzuführen. Das Ergebnis hiervon war ein besserer Einblick in den vorliegenden Wirkungszusammen-

hang, wodurch unter anderem die Nachbildung dieses Wirkungszusammenhangs auf dem Analogrechner ermöglicht wurde; ein Weg zur expliziten Darstellung der Ausgangsgröße in Abhängigkeit von der Eingangsgröße war jedoch damit nicht gegeben. Ohne daß weitergehende

mathematische

Hilfsmittel

—

wie

z. B.

die

Theorie

der

Laplace-Transformation — Verwendung finden, ist es jedoch unter alleiniger Verwendung der in Tabelle 5.1] angegebenen Regeln möglich, auch diese Aufgabe zu lösen,

d.h., die Lösung einer Differentialgleichung Amka) Am

+...+

+ 0,

bn

explizit anzugeben. zeigt werden.

N)

Dies soll im vorliegenden

Die Lösung der Differentialgleichung 1. Schritt:

beliebig

Zurückführung gegebener

tialgleichung

der

Lösung

Eingangsfunktion

(1) für die

spezielle

der

Aufsatz

Differentialgleichung

x; (ft) auf

die

Lösung

der

in

(1)

bei

Differen-

Eingangsfunktion ö {t).

Hierzu wird die Differentialgleichung (1) durch die Opera-

torgleichung xl

bo + bıp +... + bnp?

xe(t) =

= G (pl

ao+

ap-Tr...+

Amp”

q

—k

ka

für n>

0

Qi) =

(2) (3)

Damit erhält man gemäß der Multiplikationsregel für Zeitfunktionen (Tabelle 5.1) aus den Gleichungen (2) und (3):

Definition

6.1

Unter der Gewichtsfunktion

xılt) = G(p)xe(f)

sei

standen:

(4)

g (f) zur Differentialgleichung

ihre

Lösung

für

xe(f) = ölt)

ver-

st)=C(plöh.

(5)

Somit ergibt sich auf Grund der Gleichung (4) die Lösung der Differentialgleichung (1) für eine gegebene Eingangsfunktion xe (f), indem man letztere mit der zugehörigen

Gewichtsfunktion g {t) faltet:

aN=gl)*xel). 2. Schritt:

Zurückführung

Differentialgleichung

der

(6) Bestimmung

(1) auf die

der

Bestimmung

Gewichtsfunktion spezieller

einem

|

Gewichts-

bekannten Satz [1] kann die rationale Funk-

G(s) =

ao

+

bns”

aıs-+t...+ Ams”

n-m;

für :

fürnm i=0 Bildet man nun den Operator

zur

funktionen.

Nach

m.

i=1

n-m

ersetzt. Nach Satz 3.2, Regel 11 bzw. 19, gilt

xl) = Glp)[ölt) * xelt)] = [G(p)ölt] * xeli).

m vom

Ir;=

Durch Gleichung (11) wird offenbar die Bestimmung der allgemeinen Gewichtsfunktion g (t) auf die Bestimmung der

xe (ft)

xelt) = xelt)*ölt) = ölt)*xelt).

füralles,

(ST ai]*

Das Polynom ist hierbei n

n.

3. Schritt: Bestimmung der speziellen Gewichtsfunktionen

Zur

Ermittlung

von

g(f)

(k = 1,2,...)

der Fall k = 1 betrachtet

(12) und (13)

werde

zunächst

=.1

16)

Die zugehörige Differentialgleichung lautet: g’-agı

=Ö.

(17)

=etoh)

ist, verifiziert man sofort durch Anwendung

Satz 4.3, Gleichung (16). Es soll nun durch vollständige

Induktion

daß g« (f) durch

9 =

ü

dargestellt chung (18)

N = enteo,

gezeigt

118)

von

werden,

kl...

|

(19)

werden kann, was für k=]1 gemäß Gleigewiß der Fall ist. Angenommen, die Bezie-

tung des Satzes 3.2 und der Tabelle 5.1:

=

rd,

120)

-— a].

(21)

=

ml),

(22)

=

[ga

(3

-— sm],

=

m),

=

[e “tg (t)] * en

= ame o = En

(24)

15) ertg (t)

‚

erert-Ndr|olt),

- ertc(f),

(26) (27) (28)

_ — etc). auch

Gleichungen

n-m

gt) =-2 q N

(9), (11), (19) und q

‚HU (t) + co

T

z

Cik 2 Roy

wir

3

m

;1

cia

für k= m + 1. Damit

pn

X,

sammenfassend der folgende Satz, wenn man bei der Bildung des Produktes g (t)* xe(t) die Regel 19 von Satz 3.2

Satz 6.1:

Die Lösung der Differentialgleichung AmXka)

+... + aoxa = boxe +... + bnxe,

ned,

bed

(32)

ist darstellbar in der Form

slt)=glt)*xelt), (33) wo gt) die zur Differentialgleichung gehörige Gewichtsfunktion bedeutet. Lautet die Partialbruchzerlegung des zugehörigen

Operators n-m

.

Gp)=Scpi+ i=0

so

ist

die

durch

n-m

gegeben.

q

fr

3

37:

7

vektorielle

n=Zemm+|z °

Iri=m,?

PT

Darstellung q

q

Cik

der

heit

(34)

Gewichtsfunktion

Serie" [a i

z

en } (35)

fi

:

2 KENT

tkle

af

| | off)

(36)

für den zulässigen Bestandteil der Gewichtsfunktion lautet damit

die

explizite

Darstellung

der

Lösung:

Alt) = 2j=0 cell (t) + [golt) *xe(f] -2) Im

Strukturbild

entspricht

der

Partialbruchzerlegung

2) Hierbei entfällt die erste Summe für m > n.

Co c4

p-04 C21

44

!

Mit der Abkürzung

golf) = | 2

0-Q2

Bild 6.1

ot) , 2) (31)

cp

.

-1 08 Meet

tri=m

Comp”

n-m

(30):

ie1 Über die Lösung der Differentialgleichung (1) gilt also zu-

(29)

Gleichung (19) besteht somit ist sie für alle k bewiesen.

(30)

beachtet:

hung (19) sei für k= m als richtig nachgewiesen. Dann folgt aus den Gleichungen (12), (18) und (19) unter Beach-

In

hit) = piölt) = SUR).

Für die allgemeine Gewichtsfunktion g (t) erhält man damit

aus den

Daß die Lösung dieser Differentialgleichung durch _ gegeben

Die Bestimmung von h;{f) (j=1,2,...) besteht offenbar darin, daß man die der Operatorgleichung (13) entsprechende Differentialgleichung anschreibt:

Cm1 P-Am

u

(37) von

G (p), auf der letztlich das ganze Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Operatorenrechnung beruht, die Zerlegung eines rationalen Übertragungsgliedes in die Parallelschaltung einfacherer Übertragungsglieder, wie dies für den Fall, daß das Nennerpolynom von G(s) keine mehrfachen Nullstellen hat, in

Bild 6.1 angegeben wurde. Satz 6.1 soll nun noch für den wichtigen Fall ausgesprochen

werden, daß durch die Differentialgleichung (32) das Verhalten eines rationalen Übertragungssystems wiedergegeben wird. Satz 6.2:

Wird

das

Übertragungsverhalten

durch die Abbildung

eines Systems

= Giplxehl, Gip)= HOP FH

für t>0

mMt+0,mn#+0,m2n

(38) der zu-

gt)=gol)+coölt) mtco=0 fürm>n, (39) wobei der zulässige Anteil go (ft) nur bei t= 0 eine Aus-

nahmestelle hat. Für zulässige Eingangsfunktionen xg erhält man also eine explizite Darstellung der Abbildung (38)

durch

XA (t) = f xe (7) 90 (t- r) dr + coxe {f) 0

mitco=0 Wird

fürm>n.

an Stelle der

funktion

(40)

Gewichtsfunktion

g (t) die

u(t) = G(p) o(t) zur Kennzeichnung

verwendet, so ist für zulässige Abbildung (38) auch durch f

Übergangs-

des Systems

Eingangsfunktionen

xg die

.

xl) =Sxellultt-T-O)de+u(+0)xe(t) 0

(41)

gegeben.

Da der erste Teil dieses Satzes einen speziellen Fall der Aussage von Satz 6.1 darstellt, muß nur noch die Möglichkeit einer Darstellung (41) nachgewiesen werden. Diesbezüglich folgt wegen

utt)=glt)*olt)

(42)

ut=gltrolt)+cöl)*olt),

(43)

ul

(44)

aus Gleichung (39)

un mit

ul + oh)

us n=f

(do(t-r)dr

= je

(ddr.

(45)

Auf Grund von Hilfssatz 2.] ergeben die Gleichungen und (45) unter Beachtung von o[t-0)=0 für alle t womit

ut-)=

gl),

sich

der

aus

v(+0)= co,

Darstellung

(40)

(44)

(46) unmittelbar

stellung (41) ergibt, was zu beweisen war.

die

Dar-

Die Anwendung des Satzes 6.1 soll nun an Hand eines Beispiels erläutert werden. Gefragt sei nach der Lösung der Differentialgleichung X

+

2x

+

5x

=

15 xE-6xE -

xXE

ist. Gemäß

(47)

für die Eingangsfunktion

(48)

Gesucht wird also die explizite Darstellung einer Funktion,

die implizit durch die Operatorgleichung _15-6p-p? _15-6p-p?

ee

zunächst die Gewichts-

_15-6p-p?

GP) = 57 2p + pP}

=

in Partialbrüche 3)

|

„1226,02 +61:

womit sich nach Satz 6.1 ergibt, daß die zu G(p) rende Gewichtsfunktion g (f) durch

gehö-

gt) =-Öölt) + [-2-6jJet'+2dt + (-2 +6j)et}-2i]o(t) (22) bzw. gt) =-Ö(t) + [-4et(cos2t-3sin2t)] o {f)

(53)

das Faltungsprodukt aus letzterer und der Gewichtsfunk-

tion gebildet werden. Dazu wird von den Gleichungen

und (52) ausgegangen

und beachtet, daß

[eo] * [er ot]=1— gilt, wie

man

sich leicht überlegt.

(48)

“+ß (54)

3 (lee) ]olt) , So erhält man

xl) = 1-6) + [-2-6j)et1+2Dt

+. c.c.]o(t)] * [et o(t)]

(55)

= et ot) + [= 2-65) [e-'+20t 01] *[eto(t] + c.c.] (56) = toll) 4 ge let2üt-eN\ol)+cc] (7) lt) = etl-1 +13 + j(eeit-1) + c.c]loh) (58) = e*t[5-2(3cos2t + sin2t)] o {f)

(59)

Damit ist die explizite Darstellung funden.

der Funktion

Aus diesem Beispiel ersieht man, daß die Faltungsproduktes aus der Gewichtsfunktion

(47) ge-

Bildung des und der ge-

gebenen Eingangsfunktion mühsam wird, wenn weder g {f) noch xe (t) eine einfache Darstellung haben. Deshalb ist es wichtig zu wissen, daß man immer dann diese Faltungsmultiplikation vermeiden kann, wenn es gelingt, die Eingangsfunktion xe (f) selbst als Gewichtsfunktion einer Differentialgleichung (T) darzustellen. Gilt nämlich

xe(f) = Ge (p)ölt),

(60)

so folgt auf Grund der Multiplikationsregel ren (Tabelle 5.1) aus Gleichung (2)

für Operato-

xt) = [6 (p) Ge (p)] 5 (f),,

(61)

und die Bestimmung von x, (t) ist damit auf die Ermittlung der Gewichtsfunktion zum Produkt G (p) Ge (p) der beiden Operatoren G(p) und Ge(p) zurückgeführt, wozu keine Faltungsmultiplikation

mehr

nötig ist.

Im obigen Beispiel sieht man leicht, daß die Eingangsfunktion (48) die Lösung der Differentialgleichung xEe +xe=

Öff)

(62)

ist, d.h.

xEf) = Ge(p)ölt) = T+p° Setzt man

dies in Gleichung

3) Die Bestimmung

xelt)=etoft).

Satz 6.1 wird

geliefert wird. Um die Lösung der obigen Differentialgleichung für die Eingangsfunktion (48) zu erhalten, muß

BT,

beschrieben, so lautet die vektorielle Darstellung gehörigen Gewichtsfunktion g(t) = G (p) 6 {t)

gegeben

funktion g (f) zur Differentialgleichung (47) bestimmt. Hierzu zerlegen wir den Operator

von

G (s) kann

im

der Koeffizienten

chung (8) mit dem Koeffizienten der so

allgemeinen

).

(63)

(49) ein, so findet man: c;, in der Partialbruchentwicklung

dadurch

erfolgen, daß

man

die

(8)

Glei-

Nennerpolynom von G(s) multipliziert und die entstehenden Polynome einander gleichsetzt. Wenn

jedoch das Nennerpolynom

von G (s) nur einfache Nullstellen hat — wie

im gerade betrachteten Fall —, so erhält man die ce daß man Gleichung (8) mit (s-«;) multipliziert und setzt.

einfacher dadurch, anschließend s = a;

45

15-6p-p?

XA (t)

Es stimmt

= T+p)6+2p+p

also

die Lösung

ö (t) .

der Differentialgleichung

G (p)

G(p=

7

+ p)

(5

+

2p

+

(65)

p?)

gegeben ist. Da das Nennerpolynom.. .von..-G.(s) Ge (s) offenbar die einfachen Wurzeln ı =-1, 2,3=-1+#2j hat, kann man für die Partialbruchzerlegung von G (s) Ge (s)

folgenden Ansatz machen: 1

_

Gl) Gel)= IT ts woraus

c31

cC3]

mtr

ohne Mühe cı=5,

16 )

cı=-3H+j,

c3ı = -3-j,

GP) Ge(P= Si

..

8ei

p+ 1-27

+ c.c.]

of),

(68) (69)

= et[5-2(3cos2t + sin2t)]o (f), was mit Gleichung An

Hand

=

(N)

Boye + ... + Bye;

(78)

(M-1)

man)

aufgefaßt werden, woraus sich nach Gleichung (2.83)

ef}

= H)Etolt}

(7?)

Fi)=sF (si!

(80)

F(s)=F(s)

(81)

bzw. Damit

__sd#]

pr1+2]

+ :.. + Aoya

yAı(0)=...=yA(0) =0 t Sfre)de= ya

(67)

folgt. Auf Grund der Gleichungen (61) und (68) findet man nun durch Anwendung von Satz 6.1 x lt) = [5 e+-[(3-j)e1+2

AmyA

66

d.h. bb

{M)

ergibt. Wegen Gleichung (77) folgt hieraus

:

zer alles,

[o(r)dr

men

(47)

für die Eingangsfunktion (48) mit der Gewichtsfunktion einer Differentialgleichung überein, deren zugeordneter Operator durch 1526 , _ -op-Pp

t

ye=

(64)

(70)

(59) übereinstimmt.

dieses Beispiels sieht man, daß es nützlich wäre,

für alle s.

ist der erste Teil des Satzes bewiesen.

Ist andererseits die Laplace-Transformierte einer sigen Funktion f(f) eine rationale Funktion F(s), deren

Zählergrad

nach Satz 6.1 durch

kleiner als ihr Nennergrad.

tt)=F(p)ö(t)

et}

Damit wird

(82)

gewiß eine zulässige Transformierte — wie

d.h.

zulässo ist

Funktion gegeben, deren Laplacebereits bewiesen — gleich F(s) ist,

= el).

(83)

ein Verzeichnis zu besitzen, in dem für häufig vorkommende zulässige Funktionen x£ eine Darstellung xe (ft) =

Da sowohl f (t) als auch f(t) zulässige Funktionen sind, wo-

jedoch

Gleichung (83)

Ge (p)ö(t)

gegeben

hervor,

bereits existieren.

daß

wird.

Aus

dem

umfangreiche

folgenden

Tabellen

Satz

dieser

geht

Art

= fl)

Ist die zulässige

Funktion

Differentialgleichung

f(t) als

mit dem

Gewichtsfunktion

Operator

einer

F(p) darstellbar:

ft) = F(p)öt),

(71)

so ist ihre Laplace-Transformierte

F()= [filertdt

(84)

(72)

0

tt)=F(p)ölt),

(85)

was zu beweisen war.

Auf Grund des Satzes 6.3 sind die vorhandenen Tafeln zur Laplace-Transformation auch für unsere Zwecke verwendbar, sofern man sich bei den Laplace-Transformierten auf rationale Funktionen beschränkt. Durch eine solche Tafel

wird dann im Sinne von Satz 6.3 ein Verzeichnis gegeben, das man benutzen kann,

F(s)=F(s)

für alle s

(73)

1. um

ft) =FiP)öh).

(74)

Beweis: Aus Gleichung (71) folgt zunächst, daß m >.n gilt, da nach Satz 6.1 nur dann die Gewichtsfunktion einer Differentialgleichung (1) eine zulässige Funktion ist. Nach

öl) = pol)

(75)

Fl) = [pf (pl ot) = Hp) o (#)

(76)

kann Gleichung (71) auch durch ersetzt werden, wobei

man

jetzt in

Bo + B .... + BupN An + Aıp +... + AmpM M> N annehmen darf. Auf Grund der Gleichungen und (77) kann nach Satz 3.3.3 f(t) auch als Lösung r

Hp) = pFlp) 2

Gleichungssystems

zu

einer

gegebenen

zulässigen

Funktion

f(f)

die-

Übergang

von

jenige Differentialgleichung (in Operatorschreibweise) zu finden, deren Gewichtsfunktion mit f(t) überein-

gegeben. Ist umgekehrt die Laplace-Transformierte einer zulässigen Funktion f(t) eine rationale Funktion F(s), so kann f(t) als Gewichtsfunktion der Differentialgleichung mit dem Operator F(p) dargestellt werden:

46

für alle t,

d.h.

Satz 6.3:

durch

mit sich ihre Funktionswerte an Sprungstellen eindeutig aus Funktionswerten an Stetigkeitsstellen ergeben, folgt aus

stimmt.

Dem

entspricht

in der Tafel

der

einer gegebenen Zeitfunktion zur zugehörigen Laplace-

Transformierten;

2. um zu einer gegebenen Differentialgleichung (in Operatorschreibweise) die zugehörige Gewichtsfunktion zu finden. Dem entspricht in der Tafel der Übergang von einer

gegebenen

rigen Zeitfunktion.

Laplace-Transformierten

zur

zugehö-

Um stets zulässige Funktionen zu erhalten, hat man hierbei unter Umständen lediglich die in der Tafel angegebenen Zeitfunktionen für t 0 gibt, erhält man aus der Diffe-

rentiationsformel des Hilfssatzes 7.1. = da

Et-0)+E(+0)0(f), ja

E(-0)=A(-0)

=

x/=AÄ(lt-0)+A(+0)0’(f), ist, also

(0)

E=E(+0)

und

(0)

A=

A (+0) gilt. Setzt man diese Ausdrücke in (1) ein und be-

rücksicht die Additionsso erhält man

und

Faktorregel

in Hilfssatz

7.1,

TÄ(-0)+ A +TA(+0)0 f) = KTE(-0)+KTE(+0)0 (f).

erhält mit A =

der Gleichheitsregel

in Hilfssatz 7.1

t>0,

TÄM+AN=KTEN),

(m-1)

Ayo

’

fiziert werden. Aus dem betrachteten

+

nochmals

Beispiel

durch

erkennt

Einsetzen

man

veri-

xt)

+ Arolm) +

A

[am

A

+...

+

2A

a1Aı

+

+

(0)

a1 A

+

aoAı] 0’

(0)

+...+mA

+

aoA2]

oc"

(0)

+

[amA

+

[amAı

+

Am-ıÄı

+...+

+...

01Am

+

+

aoAm]

om)

a0Am+1]

om+1)

müssen.

Nach

Hilfssatz

7.]

müssen

also

die

entsprechen-

den Komponenten übereinstimmen. Dies führt zu dem Gleichungssystem in Tabelle 7.1, wobei die b, mit »>n Null

zu setzen sind. Die Untersuchung

der Gleichungen

dieser Gleichungen sowie

in den beiden folgenden

Tabellen wird

durch das folgende Indizesgesetz sehr erleichtert: In jedem

Term

muß

die Summe

der

Indizes der

beiden

Faktoren

gleich der Nummer der Gleichung sein, in welcher der Term steht; die Ordnungen der Differentialquotienten sind

dabei als negative Indizes zu zählen.

Dieses Gleichungssystem zerfällt in drei Teile, die durch römische Ziffern am linken Rand bezeichnet sind. Teil (Il) besteht lediglich aus der Differentialgleichung, welche die

Beziehung

(0)

zwischen E(t) und

A({f) herstellt. Teil (ll) setzt

sich aus den Gleichungen zusammen,

()+...,

v}

Term

= Alt-0)+ A (+0) + Ar ou (+...

am-ı

+mA(t-0) 0)

Einen völlig entsprechenden Ausdruck erhält man für die rechte Seite der Differentialgleichung (1). Beide Ausdrücke stellen verallgemeinerte Funktionen dar, die gleich sein

E(+0)0’(f) +... + E(+0)oW(f)

(A-1)

+

(m -2)

das Prinzip,

schen den weiteren Komponenten von xe und xı, also den Koeffizienten der o-Ableitungen, herstellen. Das hiermit umrissene Programm werde für den Fallm>n ausgeführt. Dazu wendet man die Differentiationsformel von Hilfssatz 7.1 auf xe(f) und xı (f) an, wodurch man

(A

A

.

fangswerten von Et) und A(t) sowie gegebenenfalls zwi-

+ E04

(m-1)

[am

+

von xe und xa. Alle anderen sind gewöhnliche lineare Gleichungen, welche die Beziehungen zwischen den An-

(A-1)

a

(m -2)

t>0 gültige Differentialgleichung mit gewöhnlicher Differentiation zwischen den ersten Komponenten E({t) und A {f)

(A)

+

(0)

(m)

nach dem die Herleitung des Zusammenhangs zwischen den Komponenten der Ein- und Ausgangsgröße erfolgt: Die Differentialgleichung (1), in der die erweiterte Differentiation auf die Funktionen x£ und xı angewandt wird, zerfällt bei vektorieller Darstellung dieser Funktionen in ein System mehrerer Gleichungen. Eine dieser Gleichungen ist eine für

xt) =E(t-0)+

u

Ao’+...+Aom-N

= mAlt-0)+...+a1A(t-0)

xe(t) = E(t) erfüllt, folgt unmittelbar aus der Heraber

(m-2)

Ayolm+)

+

+...]

.

(9)

der Anfangsbedingung (9) die Funktion A (t) eindeutig. Daß die so bestimmte Ausgangsgröße xı(t) = A (t) tatsächlich die Differentialgleichung (7) zu der gegebenen Eingangskann

(0)

+ ao [A (t-0) + A1o’ + A2c” +...]

tritt. (8) stellt eine Differentialgleichung mit gewöhnlicher Differentiation für A(f) dar und bestimmt zusammen mit

xı,

in die

+0 der

+ a1[Ält-0) + A 0 + Arc” +...]

die Anfangsbedingung

leitung von

(m-1)

+ am1[Alt-0)+

(8)

A(+0)=KE(+0)

größe

diese Ausdrücke

+A0+...+Aom

Azcm+29 +,...]

TA(+0)=KTE(+0).

Da für t>0 E({t) und A{f) keine kritischen Stellen aufweisen, also stetig differenzierbar sind, gilt die Differentialgleichung wozu

(m)

[A (t-0)

Um

TÄ(t-0) + Alf) = KTE(t-0),

. Setzt man

Kürze halber weggelassen wird, so erhält man für die linke Seite dieser Differentialgleichung die verallgemeinerte Funktion

Jede Seite dieser Gleichung ist eine verallgemeinerte Funktion in vektorieller Darstellung, nämlich von der Form

X(t) + Xı 0’ (t). Nach folgt daher

1,2,...

Differentialgleichung (1) ein, wobei das Argument

(v)

A=A(+0),

die mindestens einen

v=0,1,...,m-1,

enthalten,

wäh-

rend das Teilsystem (Ill) aus Gleichungen besteht, in denen

(0)

(+... +A(+ 0) (ft)

nur

Koeffizienten

A,

der

o-Ableitungen

aus

xı(f)

auf-

treten.

Tabelle 7.1 (m)

|

mAlt-0)+...+ 1Alt-0) + aA (t-0) [1]

Il

{m-1) AmÄ +

(m -2) am-ıÄ +...+

(m -2) (0) mA +...+mA +

[2]

[m + 1]

A)

=

aıAı

+

aA:

(0)

[m]

II | [m+2]

(0) aA +

AmÄ+

AmAı

+

Am-ıA2

+...

AmÄ2 +...

+ Am.

+ a1Amıı

.

(m-1) bnE +

\

...+

=

(m - 2) bm-ıE +... {m - 2) bmE +... +

=

—

+ QpAmı2

{n)

— boE (t-0) + biE(t-0) +... + bnE(t-0)

bmEı

90Am

=

+

bm-ıEa

(0) + biE +

boEı

(0) baE +

bıEı

(0)

bmE

+...

+

+

bm-ıEı

boEr

+...

+

boEm

+ boEmaı

bmE2 +... + biEm:1ı + boEm+2

49

Gleichungen

Es werde zunächst das Teilsystem (Ill) untersucht. Wenn xe

Man

ö-frei ist, also alle E, = 0 sind, ist dieses Gleichungssystem homogen.

Falls mindestens ein Koeffizient E, + 0 ist, sei der höchste

bnEm+v.n. =...=0

alle

Summanden

vor

dem

von

so

[{Ill), also

als zweites

N DE,o®

xe=E()+

derartige Koeffizient En. Betrachtet man dann die rechte Seite der Gleichung [m + v], so verschwinden wegen

bn.ı = bnı2=...=0

hat

aus

[m+D],

...,

Zwischenresultat:

mit

N>m-n,

It

[m +1].

m>n

und

so ist xa=Aft)+

v=]

D

SA, ob) mit D=

Glied

N-(m-n).

Die Koeffizienten Aı, ..., An

v=]

Andererseits verschwinden wegen En-ı = En.2 sämtliche Summanden _ hinter _c

erhält man aus dem folgenden

bmiv-nEn. Ist daher m +» —-n>N, so müssen alle Glieder auf der rechten Seite der Gleichung [m + »] Null

AmÄD

!

=

Am-1Ap + AmAD-ı

sein. Es werde nun zunächst der Fall betrachtet, dßBNN, und zwar für » = 1,2,..., also für alle Gleichungen des Teilsystems (Ill). Nach dem soeben Gesagten verschwinden

deuten, daß jede derartige Zeile mit steigendem Index der A, bzw. E, so weit nach links fortzusetzen ist, bis ent-

Welche

weder An bzw. En erreicht ist oder aber der Koeffizient ao bzw. bo auftritt. Ist im letzteren Fall die linke Randspalte noch nicht erreicht, so ist die Zeile durch Nullen zu ver-

Die

daher alle rechten Seiten von (Ill), d.h.: (III) ist ein homogenes Gleichungssystem für die A, . Lösung

hat nun

dieses Gleichungssystem®

Da alle

A, von einem bestimmten Index ab verschwinden, etwa für» >M, tritt in (III) schließlich eine Gleichung amAm = 0 auf. Wegen

am +0

folgt aus

ihr Am = 0. Die

vorherge-

x

mit N0

bnENn-ı

=

+ AmA

+ m

mit

Differential-

ersetzen,

man zu der Darstellung in Tabelle 7.2 gelangt.

der Gleichungen

können

um

quotienten

[Im +D+1], [m +D+2],.... verschwinden. Daraus folgt wie oben, daß Au = Au-ı =... = Ad.ı = 0 ist.

Die A,

Punkte

gültige Gleichungssystem für den Fall m>n, wie es in Tabelle 7.2 dargestellt ist. Da die Differentialgleichung (Il) nur für +>0 von Interesse ist, kann man die Grenzwerte

.... Hier stm+r=m+D+u,

die rechten

stehenden

Gewißheit verschwinden. Kehrt man außerdem die Reihenfolge der Gleichungen von (ll) um und setzt das auf (10) reduzierte Teilsystem (Ill) vor (ll), so erhält man das end-

u=1,2,..., und dmt m+v-n=m+DH+u-n= m + N-(m-n)+u-n=N+u>N. Wie oben ge-

zeigt, müssen

Zeilen

system (ll) zu, so hat man zu beachten, daß b, = 0 für v»>nsowieE,=0fürv»>N und A,=0für» > N+n-m

Nunmehr werde der Fall N>m-n untersucht. Die Differenz N-(m-.n), welche größer als Null ist, sei vorübergehend mit D bezeichnet. Man betrachte wiederum

das

unteren

Gleichungssysteme, ohne daß dies jedes Mal ausdrücklich gesagt wird. Bisher wurde ausschließlich das Teilsystem (Ill) von Tabelle 7.1 ausgewertet. Wendet man sich nun dem Teil-

fortfahrend, erkennt man, daß sämtliche A, verschwinden. Man erhält so als erstes Zwischenresultat: It m > n und

N oder xg=E(f) +NE,o®

den

vollständigen. Entsprechendes

hende Gleichung lautet am-ıÄm + QmAm-ı = 0. Wegen Am=0 erhält man aus ihr Au-ı = 0. In dieser Weise

xe=Ef{t)

in

+ baEmanıı ...+ bufm-n

=

(0) ... + bn-ıEı + BE

=

boEı

(0) +bıiE+...

+

(n-1) E

{m-1)

(m-1)

r

A = A (+0), aus denen

diese eindeutig bestimmt wer-

den können. In dem weitaus wichtigsten Fall, daß also xe(t) ö-frei ist, lautet dieses Gleichungssystem Tabelle 7.2: (0)

AmÄA

N = 0, gemäß

= (0

(0) Am-1A +

m AmA

(0) MÄ+

Satz 7.1

(m-n)

mııÄAH+...+

am

A

In der Differentialgleichung (1) sei m>n. Die Eingangsgröße xe (f) weise für t >0 keine kritischen Stellen auf, und N

(0) =

hervor und kann auch leicht verifiziert werden. Sie ist daher die gesuchte Ausgangsgröße. Die bisherigen Resultate seien abschließend in einem Satz

zusammengefaßt, der die Ergänzung zu Tabelle 7.2 bildet:

=0

ı)

Die so bestimmte Funktion xA(f) stellt in der Tat eine Lösung der Differentialgleichung (1) zu der gegebenen Eingangsgröße xe(f) dar; dies geht aus ihrer Herleitung

b,E

es sei xe=E(tf)

(0)

aA

0)

+

(Im)

+ am

mÄAH+...

(0)

A

= bıiE + bE

m

Der erste Fall sei auch durch Dann

(n-1)

eine

der

einzige

vorhergehenden,

nacheinander bestimmen (0)

(m-n-1)

A=0,...,

A

Unbekannte

auftritt

so

daß

man

die

kann. Man erhält so

und

=0,

(0) [Bn-ıE +

O

werten von E (t) ab, und zwar

ist

0,

’=0ü,1: .„m-n-] 40)

A=

|

U,in-mulE

mM +

U, wien

#

+01

ex.

vn E

-m)

m=n

gilt

nur

die

zweite

Zeile

dieser

Formel.

(12) Die

Koeffizienten u, werden ausschließlich durch die a, und b,, d.h. durch die Struktur des Übertragungsgliedes, bestimmt und können in der oben skizzierten Weise berechnet werden. Ihre zeigen.

physikalische

Bedeutung

2

A, ob(t)

v=]

(

Die Komponenten A (t) und belle 7.2. It Nm-n.

A, von xı erhält man aus Tafällt das Teilsystem (Ill) weg sind Null zu setzen. Aus dem erhält man die Anfangswerte

{m-1)

wird

sich weiter

Der Fall mn zu behandeln. Das Gleichungssystem, welches den Zu-

sammenhang zwischen beiden Komponentengruppen herstellt, ist in Tabelle 7.3 wiedergegeben. Analog zu Satz 7.1 hat man den

n

v»=m-n,..,„m-]| Für

A t)+

aus Teilsystem (Ill) und At) aus Teilsystem (Il).

m

an

usw. Die Anfangswerte von A (t) hängen also von den Anfangs-

In

N = O charakterisiert.

A=A(+0)... A= A (+0) von Alt), die zusammen mit der Differentialgleichung (l) A (t) eindeutig bestimmen. It N> m-n, so erhält man zunächst die Koeffizienten A,

1) (m - n) brE - am-ı A ]

Ambn1-am.ıbn en

mit En #0.

für N m und gelten

von Satz 7.1, so ist

A,oW(f)

im

mit Anın-m#0.

v=]

Die

Komponenten

system system

A,

von

xı

erhält

man

aus

dem

Teil-

(Ill) von Tabelle 7.3. Setzt man sie in das Teil(ll) dieser Tabelle ein, so ergeben sich die An(0) (m-1)

fangswerte

A, ....,

A , womit

A(t) als Lösung

der Diffe-

(III)

rentialgleichung (l) eindeutig bestimmt ist. Ist speziellN = 0, so fallen die Gleichungen [n + N], ..., [In + 1] weg und in den restlichen Gleichungen sind die A, mit v>n-m sowie die E, Null zu setzen.

dieses System von derselben Bauart ist wie das soeben betrachtete Teilsystem (ll), erhält man die Unbekannten in der gleichen einfachen Weise wie dort. Setzt man diese A, in das Teilsystem (Il) von Tabelle 7.2 ein, so treten als ein-

Es werde nun ein Beispiel betrachtet, bei dem das Ergebnis nicht von vornherein auf der Hand liegt. Und zwar möge die Übergangsfunktion des Operators

m-]

A (+ 0), womit A (t) eindeutig bestimmt ist. Im Falle N>

m-.n

löst man als erstes das Teilsystem

aus Tabelle 7.2 nach den N-(m-.n) Unbekannten A; auf, welche die Koeffizienten des ö-Anteils von xı bilden. Da

(0

m-]

zige Unbekannte nur noch die Anfangswerte A, .. A von A (f) auf, die man nun wieder sukzessive aus (Il) berechnen

kann. Sie hängen (n-1)

E

von

E(t)

auch

außer von von

den

den Anfangswerten Koeffizienten

ö-Anteils von xe ab. Sind die Anfangswerte

kannt, so ist A (t) durch (I) eindeutig bestimmt.

(0) E, ....,

Eı, ..., En (0)

A,...,

(m -1)

A

des be-

_

G (p) .

bap* + bap? + bap? + bıp + bo ap? +aıp + ao

mit aa, b4 + 0 bestimmt werden. Hier ist m=2undn = 4, womit der Fall n > m vorliegt. Da die Übergangsfunktion die Reaktion des Systems auf den Einheitssprung darstellt,

ist xe = o(f) und somit E{f) = 1 WW)

=1,E=E(+0)=0

(0)

für alle t>0,E=E(+0)

für» > 1, sowie N = 0. Nach Satz 7.2

51

Tabelle 7.3 (m)

|

:

mAl)+...+mAlt)+mAlt) [n

+ N]

=

AmÄNsn-m

=

[r + N-1] | am-1Ansn-m + AmAnsn-m-ı

—

[n]

[m

+

...

QGmÄn-m

1]

...

+

amÄı

:

bnENn

...

(m-1)

aAı +m1A+...+am

A

+

...

bn-ıEı

+

bmkı

+

+

b.E

(0) bmsıE +...

(0)

=

(0)

1]

t>0

bn-ıEn + baEn-ı

=

... + Am-1Aı + mA

{n)

+biElt) +... + Elf),

—

(0)

[m]

Il

+

.

bee)

+bn

In-m-1) E

(n- m)

2... + bm-1Eı + bmE +... + bn E

\

(0)

=

{n-1)

boEı+biE +...

+bnE

m0

aıy(+0)+...+amy(+0) = bixe(+0)+...+ bnxe(+0)

[4]

a2A2

=b4

Amz (+ 0)

[3]

a1A2 + aaAı

= b3

. (m-1) : aız(+0)+...+ am zZ (+0) = Aı=

[2]

(0)

aoA2 + aıAı + a2A aoAı

+ aA

(0)

beziehungsweise

=b2 (ı)

+ mA

+ am X (-0)-bix} (-0)-...-bn

ı)

Übertragungses im vierten Übertragungs-

systemen mit Vorgeschichte mit Hilfe des ö-Kalküls” behandelt wurde, um den allgemeinen Zusammenhang zwi-

schen den Anfangs- und Speicherwerten der Ausgangsgröße xı (ft) zu bestimmen. Es sei daran erinnert, daß die

Zeitfunktion x} (f) die Ausgangsgröße für alle Zeiten beschreibt, während xA(t) = xi {f} o ({f) ist, also mit x7 (f) für + > 0 übereinstimmt, und daß Entsprechendes für x? (f) und xe (ft) gilt. Nach Satz 4.6 kann ein Übertragungssystem mit

Vorgeschichte durch die drei Gleichungen

+... +a1z’ +a02 = Arc’ +... + Ama), xı=yHtz

entsprechenden

der

(v)

+ z(+0)

und

x4(+0) = y(+0)

die Terme mit x(-0)

die linke Seite, so erhält man

auf

=0

(16)

or [a (+ -xtl-O +... + ml xa (+ 0)- xt[-0j] = (n-1)

(n-1)

bi [xe (+) -xf(-0)]) +... + bn[ xe (+ 0)- xt (-0]. Dieses Gleichungssystem v)

ist von derselben

(r)

Form wie (11),

(r)

Ve

statt A hier xa(+0)-xi (-0), statt E

xe(+ 0)

(v)

(v)

(14)

(v)

ist. Wegen m >n und xe {f) = E({f) sind nach Satz 7.1 auch y(t) und z{t) ö-frei, also y(t) = Y{t) und z{t)=Z{t). Das zu der Differentialgleichung (13) bzw. (14) gehörige Gleixe

letzten

v)

(r)

ist, bringt außerdem

am (x, (+0)-x%(-0)]

beiden

v)

- xt (-0) steht. Setzt man daher diese Ausdrücke für A und

(15)

von

Gleichungen

(13)

beschrieben werden, wobei hier abweichend von der Bezeichnung in Satz 4.6 statt xaı und xa2 y und z geschrieben

Komponenten

die

nur daß

Amy +... +a1y’+aoy = boxe + bıxg +... + bnxe),

den

x} (-0).

Systeme und beachtet, daß wegen (15)

A auf, so ist hierdurch x (f) eindeutig bestimmt.

zwischen

(-0) +...

Satz 4.5, Gleichung (40), entnommen, und es ist berücksichtigt, daß alle b, mit v» > n verschwinden. Addiert man nun

(0)

chungssystem

ai {n-1)

Hierbei sind die Koeffizienten A, der Speicherfunktion aus

=bı

Als weitere Anwendung werde ein reales system mit Vorgeschichte betrachtet, wie Beitrag dieses Buches „Beschreibung von

= Am = amxXi (- 0)

(m-1)

Löst man diese Gleichungen sukzessive nach A», Aı, A und

52

der b, einzusetzen sind. Es lautet, bei Berücksichtigung der Gleichheit von xe und E, y und Y, z und Z:

Äl)+aÄlt)+aAl)

[1]

Amz

bzw. o und z kann direkt aus dem Gleichungssystem (11) erhalten werden, wobei im letzteren Falle die A, an Stelle

y

E in (12) ein, so erhält man

die

Lösung

des

letzten

Glei-

(v)

chungssystems. Bringt man hierin die Terme x% (-0) wieder auf die rechte Seite, so ergibt sich

(+0) (m-n-])

x

= xt(-0) (+0)

=

(m

-n-])

0)

(17)

(m-1)

setzen. Man kann das Gleichungssystem dann als die fol-

+ 0

=

-0)+ welt 0)-r2(-0)]

(+0)

= xt (-0)+ mlxel+ xt CO] +...

gende Matrizengleichung schreiben:

\ (m -1)

(n-1) (n-1) +u[x(+0)-x(-0].

Als Resultat erhält man

(im

realen

Sinne

der

xa(+0),...,

Übertragungssystem

Definition

4.1)

sind

mit Vorgeschichte

die

Anfangswerte

xı (+ 0) der Ausgangsgröße xı (f) durch das

zienten u, allein von den a, und b, abhängen. Da x: (+ 0) ist, hängt

Sprunghöhen

der

die

Funktion

Differentialquotienten

rechte

x% (t)

in t = 0

Seite von und

ab. Wenn

ihrer

(17) von n-1

den

ersten

xi(-0),...

7.3

, “ (-0)

überein, sonst aber

(1) zwischen den verallgemeinerten Funktionen xe(f) und xı (f), da in ihr ja lediglich die gewöhnliche Differentiation

angewandt wird. Sie kann daher nicht als Operatorgleichung A(p)xA(t)=B(p)xe(t) oder xi(t) = G(p)xe{f) geschrieben werden, da der Operator p ein Symbol für die erweiterte Differentiation ist. Kennzeichnhet man zum Unterschied hierzu die gewöhnliche Differentiation durch das Symbol q, so kann man die Differentialgleichung (I) in der Form

“(q) = mg"

0

A

0

Om-1

Om

A

0

a

@3... Um

bzw. Alt)=y(dER

(18)

+...+ag +,

zu

der

gegebenen

Funktion

E(t)

gar

nicht eindeutig bestimmt, vielmehr müssen noch die Anfangswerte A(+0), AA(+0),... aus den weiteren Gleichungen von Tabelle 7.2 bzw. 7.3 hinzugenommen werden. Mit den rationalen Funktionen » (g) ist jedoch genau so zu

rechnen wie mit den rationalen Funktionen G(p), also gemäß den in der Definition 5.2 angegebenen Rechenregeln. Betrachtet man nunmehr zunächst Tabelle 7.2, also den Fall m>n, und hier wieder den Fall Nm-n, allo n+N>m, so wird das Gleichungssystem von Tabelle 7.2 durch die folgende Matrizengleichung dargestellt: a(g)

0

0...

0

Um

0...

0

Om-1

Om

0

a 0

19)

ist.!) Die Gleichung (18) ist lediglich eine abgekürzte Schreibweise für die Differentialgleichung (l), welche für das Folgende zweckmäßig ist. Sie ist jedoch keineswegs eine Operatorgleichung, so wenig wie y(g) ein Operator, d.h. das Symbol einer Abbildung, ist. Denn durch (I) allein ist A(t)

—

0

At) Älsn-m

.

Aı

—

(0)

v (q) Aa) «.(q)

Funktion

(0)

a

Pig) = bang’ +... + big + bo,

die

lan

En

Die Operatormatrix

«(JAlt)=PlaElt

Am

nicht.

Die Gleichungssysteme in den Tabellen 7.2 und 7.3 werden übersichtlicher, wenn man sie in Matrizenform darstellt. Hierzu muß zunächst eine einfache symbolische Schreibweise für die Differentialgleichung (l) eingeführt werden. Sie ist keineswegs identisch mit der Differentialgleichung

schreiben, wobei

o

also x? (t) samt

diesen Differentialquotienten stetig durch t = 0 geht, stimmen die Anfangswerte von xı(f) mit den Speicherwerten m-1

0

0

{m-1)

(v)

(v)

©...

{m -i)

Gleichungssystem (16) bzw. (17) gegeben, wobei die Koeffi-

= xt(+0)

oo

N)

so den

Satz 7.3

Bei einem

“()

natürlich vermieden,

A,

sind

auch um

Null

Alg),

zu

Blg),

Verwechslungen

ao

:

0

0

Plq) 0 0

0

Am

0

0...00...Qm-1

Am

0

0

0

bn

0..

bi

bn

0

.

.

(m-)) A

Ef) En

bo 0

0

"

A

Ei bo .

(21)

(0)

b

0...bo...bn-ı

0 bn

E .

(n-1)

Die quadratischen Matrizen sind ebenso aufgebaut wie (20), haben aber jetzt den Rıngn+ N +1.

in

Im Falle m n die Anfangswerte der ÜbergangsR-Gliedes, aber erst vom (m-n)-ten an,

sie für mn und schalte die Eingangsgröße xe = om") (f) auf. Dann it n + N = m. Daher wird xe durch den Vektor X: mit den Elementen 0, 1, 0, ... repräsentiert. Die Ausgangsgröße ist die (m —n)-te Ableitung der Übergangsfunktion?). Ihr Vektor Xa

1 0

E(t),

(0)

Um die Bedeutung der u, zu erkennen, betrachte man zu-

IxXık=dB

(q) 1,

E, verschwinden, welcher Fall durch N=0 charakterisiert sei. Dann wird der Zusammenhang zwischen den Kompo-

einfach mit u,, so ist also

0

Komponenten

stetig differenzierbar ist und entweder En =# 0

mit un], so geht die zweite, dritte, ... Gleichung in die erste, zweite, ... des vorhergehenden Systems über. Daher ist u2 = un, U = um, ..., allgemein un, = u, v1, v=2,3,.... Somit hat u2 die Elemente 0, 0, un, un, . Ganz entsprechend zeigt man, daß uz3 die Elemente 0,0, 0, U, U12, ... aufweist, usw. Bezeichnet man schließlich v1,

no

seine

ein R-Glied werde die Eingangsgröße x£e(t) =E{f) N + 3 E,oW) (f) geschaltet, wobei E (t) für t>0 beliebig oft

AmU21

»

Für

Auf

Am-2U21 + Am-ıU22 + AmU23 = bn1

s-o

AXı=

Satz 7.5

alsouo=0,

0

(+0),....

in der Übergangsfunktion des R-Gliedes dar. Zusammenfassend erhält man den

=,

=0,

u

u

man xe{t) = o{t) auf, so itm sind,

mit t,, 4 = 1,2,..., bezeichnet und außer ihnen noch die

Stelle to = 0 zu den

t,, gerechnet,

ganz

gleich, ob sie kri-

tisch ist oder nicht. Ist t, insbesondere eine ö-Stelle von xe, so ist mindestens ein E,,+ 0, und es gibt dann eine positive Zahl

N. derart, daß E,,

N, +0

ist, aber sämtliche E,,,

mit» >N, verschwinden. "Alle N, sind kleiner oder höch-

stens öleich einer festen Zahl k. Ist t, keine ö-Stelle von xe, so verschwinden alle zugehörigen E, und es werde dann N, = 0 gesetzt. Falls t, > 0 ist, liegt in diesem Fall eine

Ausnahmestelle von E (t) vor, und es muß daher mindestens einer der Differentialquotienten von E (ft) (zu denen auch

E (t) selbst gerechnet wird) bei t,

Es muß

also mindestens

einen Sprung

einer der Werte

(v)

aufweisen. (v)

E, = Eit,+ 0)

(v)

-Eit,-0) von Null verschieden sein. Die vektorielle stellung von xe kann dann auf die Form N,

xelt)=EN)

+NN u

Em

v=]

Dar-

ol) (t-#,)

(29)

gebracht werden. Die Ausgangsgröße Form angesetzt:

xl) =

xa (f) wird nun in ganz entsprechender Mi,

Al+N SA, u

v=]

ot),

(30)

wobei die t, dieselben sind wie in xe. Hierbei ist also insbesondere angenommen, daß die von Null verschiedenen kritischen Stellen von xı in denen von xe enthalten sind; von xg auch eine kritische Stelle von xı ist. Es zeigt sich, daß dieser Ansatz eine Lösung der Differentialgleichung (1) zu der Eingangsgröße (29) liefert. Da die Lösung von (1) nach Satz 3.3 eindeutig bestimmt ist, hat man damit in der

Tat die Ausgangsfunktion x, (f) gefunden. Geht man mit den vektoriellen Darstellungen (29) und (30) in die Differentialgleichung (1) des R-Gliedes hinein und nimmt

dann

einem

ganz

dieselben

Umformungen

gleichung

vor wie

entsprechenden

Ergebnis.

(l) von Tabelle 7.1 zwischen

Die

At)

nach wie vor und

nimmt wieder die Form

ar

.

Alt)+.

in dem

Spezialfall, so gelangt man

in

zu

Differential-

und Et)

ist, und

gilt

.

.+ a1A(t) + a0A(f) = boE (f) + biE (f) +

(31)

an, sofern man die Ausnahmestellen von E (f) ausschließt. An die Stelle des Gleichungssystems (Il, III) von Tabelle 7.1

tritt für t = 0 sowie für jede kritische Stelle I, 0 ein völlig analoge: Gleichungssystem, wobei E, durch E,,, A y w)

v)

durch A,, ‚E durch E,=E(t, (v)

A

R

+0)-E(t,-0)

A,„= Alt, +0)-Alt, -0) ersetzt ist. 56

r

Au

und A durch

in ganz

dies mit (Il, Il) in ist, so erhält man xe (f) an der Stelle charakterisiert, der

dann

mit

entsprechen-

den Abschnitten 7.2 folgendes Resultat: t, werde durch den mit e, Nullen be-

für mn+N,

den

Elementen

Ey:

N:

u

Es

EE, ...fortsetzt. Der Vektor r,, beschreibt das irreguläre Verhalten von xe an der Stelle t, , insofern er die Koeffizien-

ten der o-Ableitungen tialquotienten

Verhalten

von

von

Ef)

und die Sprunghöhen enthält.

Ganz

xA (f) bei t, durch

mit den Elementen

A ur M,

den

‚ Au,

analog

der Differenwerde

das

Spaltenvektor

0)

0

Ay,

Au

ra,

... charakte-

risiert, wobei JS 0

für N, m-n

-.n)

ist, also im ersteren

Fall keine

A,

auftreten.

Bezeichnet

man nun die Matrix, die man aus A bzw. B durch Streichen

der ersten Zeile und Spalte erhält und in der also außer Nullen

nur

die

Elemente

a,

bzw.

b,

vorkommen,

mit

A

bzw. 3, so gilt für jede Stelle t, die Matrizengleichung AU,,= dr, Diese

u=d, 1,2,....

Matrizengleichungen

rentialgleichung

treten

(32)

also noch

(31) hinzu. Gibt es keine

zu der

Diffe-

kritische Stelle

von xe, die größer als Null ist, so liegt (32) nur für « = 0 vor, und dann stellen (31) und (32) zusammen gerade die

Gleichung (25) des Spezialfalles dar.

Betrachtet man die zur Stelle t, gehörige Matrizengleichung (32), so stellt diese ein unendliches Gleichungssystem dar. Aus den r, ersten Gleichungen dieses Systems, wo Pu das Maximum von m und n + N ist, erhält man die Koeffizienten Ag v=|],..., N,, der zu t, gen’

hörigen

o-Ableitungen

{m-1)

.,

A,

der

m

an der Stelle t

in x,

ersten

Hat man

sowie

die Sprunghöhen

Differentialquotienten

von

(0)

A,

Aft)

so die A,,, für alle Stellen t, er-

mittelt, so ist der ö-Anteil von xı (t) bekannt. Die Berechnung des zulässigen Anteils A (t) kann nun stück-

weise

erfolgen. ({m-1) _%

Da

man

die

Anfangswerte

(0)

Ay = A(+0),

1)

..., An=A(+ 0) kennt, läßt sich A(f) als Lösung der Diffsrentinlgleichung (31) im Intervall O0