Lezioni di Elettrotecnica [1 ed.]

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Cesare Mario Arturi

LEZIONI DI

ELE 11 ROTECNICA

PROGeno

00 Leo-woo

BOLOGNA

Indice

PREFAZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 GRANDEZZE ELETI'RICHE 1.1 TENSIONE ELETTRICA - VOLTMETRO . . . 1.2 CORRENTE ELETTRICA - AMPEROMETRO 1.3 POTENZA ELETTRICA - WATTMETRO . . . 1.4 STRUMENTI DI MISURA REALI ED IDEALI

. . . .

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. . . .

• . . .

. . . .

. . . .

2 COMPONENTI: CLASSIFICAZIONE ENERGETICA 2.1 PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA . . . . . 2.2 RESISTORE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Alcuni resistori particolari . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Nozione di valore efficace di una corrente o di una tensione . . . . . . . . . . . 2.3 INDUTTORE . . . . . . . . . . . . 2.4 CONDENSATORE . . . . . . . . . 2.5 CONVERl'ITORE . . . . . . . . . 2.5.1 Sorgente ideale di tensione . 2.5.2 Sorgente ideale di corrente .

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3 RETI DI BIPOLI E METODI SEMPLICI DI ANALISI 3.1 BIPOLO, NODO, M_AGLIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 LEGGE DI KikCJillOFF DELLE CORRENTI . . . . . . . 3.3 LEGGE DI KIRCIIliOFF DELLE TENSIONI . . . . • . .

3.4

xi

1 1 3 5 8 9 9 12 15 17 19 25 31 32 34

37 37 39 40 PARTITORI RESISTIVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

iv

Indice

3.5

3.6

3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12

3.13

3.4. l Partitore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Partitore di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . PARTITORI INDUTTIVI . . . . . . . . . . . • . . • . . . . 3.5.1 Partitore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Partitore di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . PARI'ITORI CAPACITIVI . . . . . . • . . • . . . . . . . . 3.6. l Partitore di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Partitore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . SORGENTI DI TENSIONE IN SERIE. . . . . . . . . . . . SORGENTI DI CORRENTE IN PARALLELO . . . . . . . BIPOLO ATTIVO TIPO SERIE . . . . . . . . . . . . . . BIPOLO ATTIVO TIPO PARALLELO . . . . . . . . . . . EQUIVALENZA FRA BIPOLI SERIE E PARALLELO . . METODO DEL GENERATORE EQUIVALENTE SERIE E PARALLELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.l Alcuni casi singolari nell'applicazione del metodo del generatore equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . METODO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

4 DOPPI DIPOLI RESISTIVI 4.1 4.2

4.3

4.4

4.5 4.6 4.7

4.8

42 44 46 46 47 49 49 51 53 54 54 59 64 66 69 71

73

TRIPOLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TRIFOLO RESISTIVO LINEARE A CORRENTE IMPRESSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Circuito equivalente di un due-porta resistivo a correnti impresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TRIFOLO RESISTIVO LINEARE A TENSIONE IMPRESSA .. . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Circuito equivalente di un due-porta resistivo a tensioni impresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INVERSIONE DELLA RAPPRESENTAZIONE OMOGENEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TRASFORMAZIONE TRIANGOLO-STELLA . . . . . . . TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO . . . . . . . 4.6. l Casi singolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TRWOLO RESISTIVO LINEARE IN FORMULAZIONE IBRIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . 4.7.l 'Irasformatore ideale resistivo . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Fsempio di applicazione del trasformatore ideale resistivo. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4.7.3 Circuito equivalente nella formulazione ibrida . . . . TRIPOLO RESISTIVO LINEARE IN FORMULAZIONE

DI TRASMISSIONE . . ... . . . . . . . . . . . . .. . . . _ , , , _ ... ...,1''71'

73 75 79 80 82 84 85 86 87 88 91

92 93

94

....... ...... . 95

Indice 4.10 SORGENTE DI TENSIONE CONTROLLATA IN CORRENTE (SVCC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 SORGENTE DI CORRENTE CONTROLLATA IN TENSIONE (SCCV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 SORGENTE DI CORRENTE CONTROLLATA IN CORRENTE (SCCC) . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 SORGENTE DI TENSIONE CONTROLLATA IN TENSIONE (SVCV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14 GIRATORE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15 DIODO REALE E DIODO IDEALE . . .. . . . . . . . . . 4.16 TRANSISTORE A GIUNZIONE BIPOLARE N-P-N. . . . 4.17 TRANSISTORE IN CONNESSIONE A BASE COMUNE . 4.18 TRANSISTORE IN CONNESSIONE A EMETTITORE COMUNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18.1 Polarizzazione del transistore e determinazione del punto di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19 TRANSISTORE AD EFFETTO DI CAMPO . . . . . . . .

5 AMPLIFICATORE OPERAZIONALE 5.1 AMPLIFICATORE OPERAZIONALE . . 5.2 AMPLIFICATORE INVERTENTE . . . 5.3 AMPLIFICATORE NON INVEITTENTE 5.4 AMPLIFICATORE DIFFERENZIALE . 5.5 SOMMATORE INVERTENTE . . . . . . 5.6 INTEGRATORE . . . . . . . . . . . . . . 5.7 DERIVATORE . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . .

TRANSITORI 6.1 INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 TRANSITORIO GC IN RISPOSTA LIBERA 1' . . .. . 6.3 TRANSITORIO GC IN RISPOSTA FORZATAi s+ = =>i =-2n=2;

(3.97)

Il valore di corrente i' per il quale si ha la minima potenza elettrica p assorbita è la metà della corrente di cort O·

(3.99)

'

Il rapporto fra la tensione v• ai terminali e la corrente i' assorbita dal bipolo serie nella condizione di minima potenza assorbita vale:

~ = Vs/2 = -R i'

-i0 /2

(3.100)

ossia la rete connessa ai terminali elettrici, qualunque sia la sua reale costituzione, appare come un resistore di resistenza pari alla resistenza interna del bipolo serie. La curva della potenza elettrica erogata pi = -p t opposta a quella della potenza elettrica assorbita. La potenza p' erogata risulta pertanto massima nel punto di coordinate (v', i'). La potenza erogata da un bipolo tipo serie t massima quando il rapporto fra la tensione ai suoi terminali e la corrente erogata - ossia la resistenza equivalente esterna R. - t uguale alla sua resistenza interna R (criterio della massima potenza erogata):

(3.101) Si può esaminare il comportamento energetico di questo bipolo considerando i segni delle potenze p e Pi assorbite dalla porta elettrica e meccanica (o di altro tipo) (F:ig.3.17). • Quando la corrente assorbita i è positiva, la potenza proveniente dal sistema fisico interagente Pi < O e pertanto Pi è realmente uscente, mentre la potenza elettrica assorbita alla porta elettrica p > O, ossia è realmente entrante. Il bipolo funziona effettivamente da utilizzatore elettrico ( ad esempio pud essere un motore elettrico in corrente continua o un accumulatore elettrochimico nella fase di ricarica, o aUro ), da generatore di altro tipo e dissipa la potenza Pd > Oche è comunque la differenza fra la potenza realmente entrante e la potenza realmente uscente.

• Quando la corrente assorbita i è negativa ed t minore, in valore assoluto, della corrente di corto-circuito, la potenza proveniente dal sistema fisico interagente Pi > O, ossia è realmente entrante, mentre la potenza elettrica p < O, ossia è realmente uscente. Il bipolo funziona effettivamente da generatore elettrico ( ad esempio pud essere una dinamo o un accumulatore elettrochimico nella fase di scarica, o altro) e da utilizzatore di altro tipo, e dissipa in calore la differenza fra la potenza che realmente entra e la potenza che realmente esce.

3.10 BIPOLO ATTIVO TIPO PARALLELO

59

• Quando la corrente as.sorbita i è negativa e maggiore, in valore assoluto, della corrente di corto-circuito, la potenm p > O e la potenza p; > O, ossia sono entrambe realmente entranti. Il bipolo funziona effettivamente da utilizzatore elettrico e da utilizzatore di altro tipo e dissipa in calore tutto il lavoro entrante. Se l'analisi del bipolo serie si effettua considerando la potenza elettrica uscente, invece che entrante, ossia si cambia il verso della corrente i ed essa esce dal terminale verso il quale punta la freccia della tensione v, si può dedurrre, con analoghe osservazioni, che l'equazione costitutiva risulta:

v = Vs-Ri

(3.100)

che corrisponde alla retta mostrata nella Fig.3.18 , avente per intercette con gli assi la tensione a vuoto v. = Vs per i = O e la corrente di cortocircuito Ìe = Vs/ R per v = O.

a=arctgR

Figura 3. 18. Caratteristica del gencraton: serie.

E' istruttivo tracciare e discutere, anche in questo caso, le curve delle poten:ze scambiate, riconoscere le coordinate del punto di massimo della potenm elettrica erogata ed il valore della resistenza equivalente esterna della rete connessa ai terminali.

3.10 BIPOLO ATTIVO TIPO PARALLELO La procedura di analisi del bipolo attivo tipo parallelo è perfettamente duale della precedente appena vista per il bipolo tipo serie, purché si consideri una struttura esattamente duale di quella precedente. Ciascuna proposizione formulata per il bipolo tipo serie vale anche per il bipolo tipo parallelo pur

60

3. RETI DI BIPOLI E METODI SEMPLICI DI ANALISI

di aostituire alcuni 8ostantitli con altri colTispondenti nella dualità : Serie

Parallelo

Maglia

Nodo

Tensione

Corrente

Re8istenza

~

Conduttanza

Circuito - aperto

~

Corto - circuito

Questo modo di procedere, qualche volta da noi 110lutamente enfatizzato, è del tutto generale e particolarmente utile per sviluppare due punti di vista

simultanei del tutto e,quivalenti ma ciascuno più appropriato dell'altro a seconda del contesto in cui si opera. Cosi circa la metà di questi appunti sono soltanto la traduzione dell'altra metà. Questa considerazione permette di semplificare lo studio e rendere più efficace e razionale l'apprendimento. Un bipolo attivo tipo parallelo o a tensione impre8Sa è costituito da una sorgente di corrente indipendente e da un resistore in parallelo (Fig.3.19). Il primo elemento è in grado soltanto di convertire ed il secondo è in grado soltanto di dissipare.

V

0W,

~

p

Figura 3.19. Bipolo utilizzatore tipo parallelo.

Si immagini di raochiudere questi due bipoli in una superficie ideale e di studiare gli scambi di calore e di lavoro, elettrico e di altro tipo, con il sistema fisico interagente, e, per fissare le idee, supponiamo che quest'ultimo sia di tipo meccanico o chimico. Si consideri la potenza elettrica p entrante ai morsetti, ovvero la corrente i entrante dal terminale verso cui punta la freccia della tensione v. La sorgente di corrente è caratterizzata dalla corrente ls ed il resistore abbia conduttanza G. Il lavoro 6W; entrante e proveniente dal sistema fisico interagente, espresso in termini di grandezze elettriche, risulta: 5W;

= -lsVdt

(3.103)

3.10 DIPOLO ATTIVO TIPO PARALLELO

61

dovendo essere uguale ed opposto al lavoro elettrico assorbito dal convertitore puro (I5 vdt). Il bipolo riceve da una rete elettrica, attraverso i suoi terminali, il lavoro elettrico SW,:

SW,

= vidt = pdt

(3.104)

ed eroga il calore SQ:

(3. lCl.5) Poichè non vi sono elementi capaci di accumulo, la variazione di energia dU è nulla e per il principio di conscrvszione deve aversi che:

(3.106)

sw.+6W;-6Q=o da cui

ivdt - lsVdt - Gv2dt

=O

(3.107)

Ma allora, in termini di potenze, si ha che:

iv-Isu-Gv2 =0

(3.108)

=

ovvero la somma della potenza elettrica entrante (p vi) e della potenza proveniente dal sistema fisico interagente (p; = -lsv) deve eguagliare la potenza dissipata dal resistore (p4 = Gv2 ):

(3.109) Da ciò segue il vincolo fra le correnti del nodo ossia la legge delle correnti:

i-1s-Gv=0

(3.110)

qui ottenuta come corollario del primo principio della tennodinamica. Esplicitando la corrente i si ottiene l'equazione costitutiva i(v) del bipolo

tipo serie: i=ls+Gv che è una retta di ordinata all'origine ls e coefficiente angolare G (Fig.3.20).

62

3. RETI DI BIPOLI E METODI SEMPLICI DI ANALISI

v.

V

V

Figura 3.20. Caratteristiche del bipolo utilizzatore tipo parallelo.

I punti di intersezione della retta caratteristica con gli assi individuano due condizioni limite di funzionamento: quello di funzionamento in cortocircuito:

(3.lll) e quello di funzionamento a woto :

.

i=O ⇒ v.

ls = -G

(3.112)

Con le intercette si può scrivere l'equazione segmentaria della caratteristica del bipolo:

(3.113) La potenza proveniente dal sistema fisico interagente è descritta graficamente da una retta passante per l'origine ed avente pendenza negativa

(-Is): p; =-lsv

(3.114)

La potenza p entrante dalla porta elettrica, in funzione della tensione v, è descritta graficamente da una parabola: p=

lsv+Gv2

(3.115)

La potenza elettrica entrante p si annulla in due punti dell'assecdella tensione, in corrispondenza del funzionamento in corto-circuito (v O) e del funzionamento a vuoto (i = O) del bipolo ed ha un punto di minimo intermedio per v ' .

=

3.10 BIPOLO ATTIVO TIPO PARALLELO

63

L'ascissa v' del punto di minimo della potenza elettrica assorbita p, si ottiene annullando la derivata prima della funzione p(v):

dp - =ls+2Gv;

(3.116)

dv

dp

-

dv

=O=} ls

ls + 2Gv' =O=} v' = --G = 2

tlv

- ; 2

(3.117)

Il valore di tensione v' per il quale si ha la minima potenza elettrica p assorbita è la metà della tensione a vuoto Vv- La corrente i' per la quale si ha il minimo della potenza p assorbita vale: i·•

= I s+ Gv • = I s+ G( - ls) G = ls 2 2

(3.118)

ovvero la metà della corrente di corto-circuito i 0 • Si può verificare che la potenza assorbita p ha davvero un minimo nel punto di coordinate (v' , i'), osservando il segno positivo della derivata seconda di p rispetto alla tensione v : rflp

(3.119}

dv2 = _ 2G> O;

Il rapporto fra la corrente i' e la tensione v' ai terminali del bipolo serie nella condizione di minima potenza assorbita vale:

(3.120} ossia la rete connessa ai terminali elettrici, qualunque sia la sua reale costituzione, appare come un resistore di conduttanza pari alla conduttanza interna del bipolo serie. La curva della potenza elettrica erogata pi -p è opposta a quella della potenza elettrica assorbita. La potenza erogata risulta pertanto massima nel punto di coordinate (i', v'). La potenza erogata da un bipolo tipo serie è massima quando il rapporto fra la corrente e la tensione ai suoi terminali - ossia la conduttanza equivalente esterna G,- è uguale alla sua conduttanza interna G (criterio della massima potenza erogata):

=

G,=G

(3.121}

Si può esaminare il comportamento eneryetico di questo bipolo considerando i segni delle potenze p e Pi assorbite dalla porta elettrica e meccanica (o di altro tipo) (Fig.3.20}.

64

3. RETI DI BIPOLI E METODI SEMPLICI DI ANALISI

• Quando la tensione v è positiva, la potenza proveniente dal sistema fisico interagente Pi < O e pertanto Pi è realmente uscente, mentre la potenza elettrica assorbita alla porta elettrica p > O, ossia è realmente entrante. Il bipolo funziona effeUivamente da utilizzatore elcttriw ( ad esempio wme motore elettriw in wrrente wntinua o accumulatore elettrochimiw in fase di ricarica, o altro}, da generatore di altro tipo e dissipa la potenza p4 > O che è comunque la differenza fra la potenza realmente entrante e la potenza realmente uscente. • Quando la tensione v è negativa ed t minore, in valore assoluto, della tensione à vuoto, la potenza proveniente dal sistema fisico interagente Pi > O, ossia è realmente entrante, mentre la potenza elettrica p < O,ossia è realmente uscente. Il bipolo Cunziona effettivamente da generatore elettriw ( ad esempio come dinamo o accumulatore elettrochimico in fase di scarica, o altro) e da utilizzatore di altro tipo, e dissipa in calore la differenza fra ciò che realmente entra e ciò che realmente esce. • .Quando la tensione è negativa e maggiore, in valore assoluto, della tensione a vuoto, la potenza p > O e p, > O, ossia sono entrambe realmente entranti. Il bipolo funziona effettivamente da utilizzatore elettrico e da utilizzatore di altro tipo e dissipa in oalore tutto il lavoro entrante.

Se l'analisi del bipolo parallelo si effettua considerando la potenza elettrica uscente, invece che entrante, ossia si cambia il verso della tensione rispetto al caso precedente, cosicchl! la wrrente i esce dal tenninale verso il quale punta la freccia della tensione v, si può dedurrre, con analoghe osservazioni, che l'equazione costitutiva risulta:

i= ls -Ri

(3.122)

che corrisponde alla retta, mostrata nella Fig.3.21, avente per intercette con gli assi la corrente di corto i 0 ls per v O e .la tensione a vuoto Vv Is/G ~ i O. E' istruttivo tracciare e discutere, anche in questo caso, le curve delle potenze scambiate, riconoscere le coordinate del punto di massimo della potenza elettrica erogata ed il valore della conduttanza equivalente esterna della rete connessa ai terminali.

=

=

=

=

3.11 EQUIVALENZA FRA BIPOLI SERIE E PARALLELO Si consideri un bipolo attivo tipo serie ed uno di tipo parallelo (Fig.3.22). Questi due sistemi elettrici si dicono elettrioamente equivalenti agli effetti

3.11 EQUIVALENZA FRA BIPOLI SERIE E PARALLELO

65

p,

Figura 3.21. Bipolo generatore tipo parallelo.

esterni se con la stessa tensione v erogano la stessa corrente i, ossia erogano la stessa potenza elettrica p.

Figura 3.22. Bipoli generatori serie e parallelo.

I due circuiti oonsiderati sono quindi elettricamente equivalenti agli effetti esterni se hanno la medesima caratteristica o legame oostitutivo fra la tensione e la corrente ai terminali. Questo accade se sono uguali le interoette delle caratteristiche v(i) e i(v) oon gli assi tensione e corrente ossia se sono uguali la temione a vuoto e la corrente in corto-circuito. Considerando i bipoli oome generatori, per il bipolo tipo serie si ha: v~ Vs; ic Vs/R mentre per il bipolo tipo parallelo si ha: Vv ls/G; ic ls. Ne oonsegue che deve essere:

=

= =

=

Vs=!§_

(3.123)

Vs R=Is

(3.124)

G

e che

Ma, per valere simultaneamente, esse implicano che sia: 1

R=c

(3.125)

66

3. RETI DI BIPOLI E METODI SEMPLICI DI ANALISI

Pertanto, da un bipolo attivo di tipo serie avente resistenza R di valo.-e finito, è possibile ottenere un bipolo attivo di tipo parallelo, elettricamente equivalente agli effetti esterni, e viceversa. Per ottenere le condizioni di cquivalen1,a elettrica agli effetti esterni si è imposto l'eguaglianza della potenza elettrica p erogata, che è pari lilla differenza fra la potenza p; proveniente dal sistema lisico interagente e la potenza dissipata in calore pd: (3.126)

p=p,-pd

ma è evidente che la precedente uguaglianza di p non vincola la potenza proveniente dal sistema fisico interagente p; o la potenza dissipata Pd ma solo la loro differenza p; - Pd • Si può oeservare quale conseguenza comporta il vincolo di eguaglianza anche della potenza p; proveniente dal sistema fisico interagente (e conseguentemente della potenza dissipata in calore). Per il modello tipo serie Pi Vsi mentre per il modello tipo parallelo p; lsv. Se queste due potenze devono essere uguali si ha:

=

=

v Vs st = 1sV =>i= ls

V: .

Ma il rapporto

(3.127)

f: è uguale alla resistenza interna R del modello serie: Vs =R ls

(3.128)

e pertanto l'unico punto di funzionamento nel quale si ha equivalenza totale, non solo agli effetti della potenza elettrica p erogata ma anche agli effetti delle altre potenze scambiate, è quello per il quale il rapporto fra la tensione e la corrente ai terminali uguaglia la resistenza interna R: (3.129) che coincide con la condizione di massima potenza erogata.

3.12 METODO DEL GENERATORE EQUIVALENTE SERJE E PARALLELO Sia data una rete attiva lineare, racchiusa in una superficie ideale, collegata ad una rete elettrica esterna mediante due terminali (Fig.3.23). Si vuole rappresentare il contenuto di questa superficie ideale con un circuito equivalente minimo (costituito cioè da un numero minimo di elementi circuitali).

3.12 METODO DEL GENERATORE EQUIVALENTE SERIE E PARALLELO

Figura 3.23. Rete attiva lineare e applicazione del metodo del generatore equivalente.

Il collegamento di più componenti con caratteristica lineare presenta, ad una qualunque coppia di terminali, una caratteristica lineare. Essendo possibile associare un bipolo attivo di tipo serie o di tipo parallelo ad una caratteristica lineare, ne consegue che una qualunque rete attiva lineare, vista da una generica coppia di terminali, è equivalente, agli effetti della potenza elettrica scambiata a quella coppia di terminali, ad un bipolo tipo serie oppure ad un bipolo tipo parallelo (generatore equivalente

serie o parallelo) (Fig.3.24).

Figura 3.24. Bipoli serie e parallelo.

Considerando la potenza 119CCnte dai terminali della rete da rappresentare, il circuito equivalente minimo di tipo serie (equivalente di Thevenin) ha la seguente caratteristica: 11=

Vs-Ri

(3.130)

e per essa si devono determinare i parametri Vs ed R. • Per determinare la tensione Vs della sorgente di tensione del modello tipo serie è necessario effettuare una prova a woto, ossia con corrente scambiata nulla, e misurare o calcolare la tensione ai terminali: i= O;Vs

= llv

(3,131)

• Per determinare la resistenza R del bipolo equivalente serie è necessario eseguire una prova.in corto-circuito ai terminali esterni e misurare

67

68

3. RETI DI BIPOLI E METODI SEMPLICI DI ANALISI

o calcolare la corrente di cortocircuito i 0 :

v=O;i 0 =

~

(3.132)

Ma la tensione Vs è già nota dalla precedente prova a vuoto e pertanto si può valutare la resistenza R come rapporto fra la tensione a vuoto e la corrente in corto-circuito:

(3.133) E' possibile determinare la resistenza R anche disattivando tutte le sorgenti della rete, ovvero ponendo a zero la tensione della sorgente equivalente, e misurando la resistenza vista dai terminali esterni. Disatt.ivare una sorgente di tensione significa sostituirla con una sorgente nulla, ossia con un corto-circuito. Disatt.ivare una sorgente di corrente significa sostituirla con una sorgente nulla, ossia con un circuito-aperto. Una rete priva di sorgenti si dice passiva. Applicando tra i due terminali di ingresso una tensione v, si misura una corrente i assorbita. 11 rapporto tra la tensione applicata e la corrente assorbita è la resistenza R del bipolo equivalente. Il circuito e,quivalente minimo di t.ipo pamllelo (equivalente di Norton), con potenza uscente dai terminali della rete attiva lineare in esame, ha la seguente caratteristica:

i= ls -Gv

(3.134)

e per essa si devono determinare i parametri ls ed G. • Per determinare la corrente ls della sorgente di corrente del modello tipo parallelo è necessario effettuare una prova in corto-circuito,

v=O;ls=ic

(3.135)

• Per determinare la conduttanza G del bipolo equivalente serie è n&cessario eseguire una prova a vuoto: .

I=

ls ,v.,=o

O:

(3.136)

ma la corrent.e ls è già nota dalla precedente prooo in oorto-circuito e pertanto si può valutare la conduttanza G come rapporto fm la corrente in corto-circuito e la tensione a vuoto:

(3.137) E' possibile determinare la conduttanza G anche disattivando tutte le sorgenti della rete. Applicando tra i due terminali di ingresso una tensione v, si misura una corrente i assorbita. Il rapporto tra la corrente assorbita e la tensione applicata è uguale alla conduttanza G del bipolo equivalente.

3. 12 METODO DEL GENERATORE EQUIVALENTE SERIE E PARALLELO

3.12.J

Alcuni casi singolari nell'applicazione del metodo del generatore equivalente.

E' possibile passare dal circuito equivalente di tipo serie a quello di tipo parallelo, e viceversa, se e solo se i parametri resistenza R e conduttanza G hanno valore finito. Nel caso in cui è nulla la resisten1,a R del circuito equivalente serie, non esiste il corrispondente circuito equivalente di tipo parallelo. Infatti, la corrente della sorgente 1s Vs/ R. Ma se R O, non ~definitala corrente 19 . E viceversa: nel caso in cui è nulla la conduttanza G del circuito equivalente parallelo, non esiste il corrispondente circuito equivalente di tipo serie. Si osservi che una generica rete elettrica costituita da un numero qualsivoglia di elementi circuitali collegati in parallelo ad una sorgente ideale di tensione Vs, è equivalente, agli effetti elettrici esterni, alla sorgente ideale di tensione, essendo del tutto ininfluenti gli altri componenti in parallelo. Duabnente, una generica rete elettrica costituita da un numero qualsivoglia di elementi circuitali collegati in serie ad una sorgente ideale di con-ente 1s, è equivalente, agli effetti elettrici esterni, alla sorgente ideale di corrente, essendo del tutto ininfluenti gli altri componenti in serie. Esempio. Sia dato il circuito di Fig.3.25. Si voglia determinare il valore della resistenza R,,. affinchè sia massima la potenza da essa assorbita.

=

=

Figura 3.25. &empio di applicazione del metodo del generatore equivalente.

Per far ciò è opportuno determinare la rete equivalente di Thevenin della sezione·a sinistra dei tecmlnali A e B fra i quali è oollegato il resistore di resistenza R,,.. Detta Rr la resistenza equivalente di Thevenin, la condizione di massima potenza richiede che sia:

(3.138) Per determinare il circuito equivalente di Thevenin o Norton di una rete elettrica comunque complessa, vista da una generica coppia di terminali, si può utilmente seguire una procedura semplice ed assai efficiente che consi,\ ate in una sequenza di semplificazioni successive il cui scopo è di ridurre la rete co\lcssa ad una rete equivalente minima. Per far questo, si cons~eri

G9

70

3. RETI DI BIPOLI E METODI SEMPLICI DI ANALISI

il bipolo equivalente minimo più lontano dai terminali A-B, che è, nel caso in e,ame, di tipo serie ed ha come parametri Vs 1 , R 1 • Si 06SerVi ora che un socondo bipolo equivalente serie, avente parametri Vs2, R2,è in parallelo al precedente e che i due possono essere ridotti ad uno solo. Ma per far questo, nel modo più semplice, è conveniente dapprima trasformare i due bipoli equivalenti serie nei corrispondenti bipoli di tipo parallelo, in modo da ottenere due sorgenti di corrente in parallelo fra loro ed in parallelo a due conduttanze. E' immediato dedurre il circuito equivalente di Norton. Procedendo nella semplificazione, il successivo bipolo elementare da includere nella rete semplificata è il resistore di resistenza R3 , che è in serie al prccedente circuito equivalente di tipo parallelo. La semplificazione richiede di trasformare il circuito equivalente di tipo parallelo nel corrispondente di tipo serie e poi semplificare la serie dei due resistori R 1,2 ed R3. Il circuito equivalente serie che cosl si ottiene Vs1,2, R1,2,3 è ora in parallelo con la sorgente di corrente I 53. La semplificazione richiede la preliminare trasformazione del bipolo serie Vs1,2, R1 ,2,3 nel corrispondente parallelo I s1,2, G1 ,2,3 prima di considerare il parallelo con la sorgente [53 . Semplificando i due elementi in parallelo si ha una sorgente di corrente che somma 1s 1,2 con /53 e che ha in parallelo la conduttanza G1,2,3 · Cosl si è ridotta tutta la rete ad un equivalente minimo di tipo parallelo. Qualunque sia il grado di complessitd della rete assegnata, la procedura appena delineata conduce, attraverso una serie di semplificazioni successive, all'equivalente serie o parallelo per una qualsivoglia coppia di terminali di una rete lineare e rappresenta il metodo principe per risolvere una generica rete lineare con carta e penna, senza particolari strumenti di calcolo; essa assume un carattere preminente dal punto di vista metodologico e didattico. Sia dato il circuito di Fig.3.26, comprendente, fra tutti gli elementi lineari anche un resistore non lineare. Il metodo del generatore equivalente (Thevenin/Norton) può essere utilizzato per determinare il punto di lavoro del resistore non lineare, determinando l'equivalente di Thevenin di tutti i componenti lineari e osservando che l'equivalente di Thevenin è ora semplicemente in serie con il resistore non lineare. Pertanto la corrente che Ii percorre è la medesima corrente. Le coordinate del punto di lavoro (v', i') si determinano analiticamente o graficamente, determinando l'intersezione fra la caratteristica lineare v(i) della rete lineare e la caratteristica v(i) del resistore non lineare. li metodo del generatore equivalente serie/parallelo ovvero l'applicazione del teorema di Thevenin/Norton permette di risolvere una qualunque rete linet1re, qualunque sia la sua complessità, mediante un numero finito di trasformazioni di circuiti semplici serie/parallelo.

3.13 METODO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

71

R,

Figura 3.26. Circuito con resistore non lineare e applicazione del metodo del generatore equivalente.

3.13 METODO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI II metodo di sovrapposizione degli effetti è utile per l'analisi delle reti lineari. In generale, in un sistema linear O) per qualunque valore delle correnti. Questo richiede che siano positivi gli autovalori della forma quadratica e ciò accade se è positivo il determinante della matrice delle resistenze e dei suoi minori principali: det(r)

> O;

(r11 , r22)

>O

(4.13)

(4.14)

Il determinante maggiore di zero comporta che sia:

(4.15)

4.2 1'RIPOLO RESISTIVO LINEARE A CORRENTE IMPRESSA

77

Ln determinazione dei coefficienti della matrice resistioo r si effettua mediante due prove a circuito-aperto ( o a woto). Con una prova a circuitoaperto sulla porta 2 (i2 O) (Fig.4.4)si determina la prima colonna della matrice dei coefficienti misurando le tensioni di porta e la corrente della porta alimentata:

=

(4.16)

FigurA 4.4. Prova a vuoto sul lato 2 del doppio bipolo resistivo per la determinazione dei coefficienti della prima colonna della matrice resistiva.

Associamo i versi della tensione e della corrente del lato alimentato (v 1 e i 1 ) come per un utilizzatore. Il coefficiente di resistenza ru risulta allora positivo in quanto è positivo il lavoro elementare assorbito dalla porta alimentata:

(4.17) Se la tensione della porta non alimentata ha lo stuso segno della tensione della porta alimentata, allora i terminali ai quali sono collegati i morsetti contrassegnati dei due voltmetri si dicono cofrispondenti. Noi supporremo che i voltmentri siano collegati sempre in ugual mode rispeUo ai terminali cofrispondenti e che le correnti di porta siano sempre entmnti dai terminali cofrispondenti. In tal caso la mutua resistenza r2 1 risulta maggiore di zero. Altrimenti r2 1 è minore di zero. Con una prooo a circuito-aperto sulla porta 1 (i 1 O) (Fig.4.5) si determina la seconda colonna della matrice dei coefficienti:

=

(4.18) I coefficienti r 11 e r 22 sono detti autoresistenze o resistenze di ingresso a circuito-aperto e devono essere positivi. I coefficienti r 12 e r2 1 sono detti mutue resistenze ed esprimono l'influenza della corrente di una porta sulla

78

4. DOPPI BIPOLI RF,SISTIVI

Figura 4.5. Prova a vuol.o sul lato 1 del doppio bipolo resistivo per la determinazione dei coefficienti delta seconda colonna della matrice resistiva.

tensione dell'altra porta; questi coefficienti sono positivi se il collegamento degli strumenti di misura t effettuato in ugual modo rispetto ai tcnninali corrispondenti. Se i due coefficienti di mutua resistenza assumono lo stesso valore, il due-porta è reciproco e la matrice delle resistenze t simmetrica. In tal caso la matrice delle resistenze del sistema in esame è identificata da tre soli parametri: r 11 , r 22 r 12 r2 1 rm. Il determinante della matrice delle resistenze può essere maggiore o uguale a zero:

= =

(4.19) Si può definire un coefficiente di accoppiamento a correnti impresse k, per esprimere il rapporto:

(4.20) La reciprocità è una peculiarità dei doppi bipoli resist.ivi strettamente dissipativi, ovvero dei doppi bipoli la cui esclusiva capacità energetica consiste nell'assorbire lavoro elettrico dalle due porte e tmsfonnarlo irreversibilmente in calore. Se il due porta resistivo include anche componenti non reciproci esso pull essere non reciproco agli effetti esterni ( ma non necessariamente). Se il due-porta è non reciproco, r12 -/ r21 . In tal caso la matrice di resistenza può esprimersi come somma di una parte simmetrica e di una parte antisimmetrica:

=fu] + [o-= ~]

r22

2

O

di cui solo la parte simmetrica contribuisce alla potenza dissipata:

(4.21)

4.2 TRIPOLO RESISTIVO LINEARE A CORRENTE IMPRESSA

p

= { ii

= { i,

i2

i 2 } [ r11 r21

1[ ::;t'"

r12 ] { i1 } r22 12

;:r" ]{ :~ }

79

(4.22)

L'interno del tripolo resistivo può essere costituito da un numero qualsivoglia di resistori comunque collegati fra loro.

4,2.1

Circuito equivalente di un due-porta resistivo a correnti impresse

Ad una rete resiatioo reciproca, facente capo a tre tenninali, si può associare un circuito equivalente mininw costituito da una terna di resistori. Alla rappresentazione a correnti impresse corrisponde una rete equivalente costituita da tre resistori collegati a stella o a T (Fig.4.6).

Figura 4.6. Circuito equivalente a stella associato alla formulazione a correnti impresse del due porta resistivo.

Infatti, le equazioni costitutive esprimono l'equilibrio delle tensioni in due maglie indipendenti. Per stabilire la corrispondenza fra le resistenze della stella equivalente (r1, r2, r3) ed i coefficienti di resistenza della matrice r, si scrivono le equazioni delle due maglie indipendenti del circuito equivalente a stella: vi

1l2

= r1i1 + ra(i1 + i2) = (r. + ra)i1 + rai2 = r2i2 + r3(i1 + i2} = (r2 + r3}i1 + r3i2

(4.23}

e si confrontano con le equazioni costitutive. Il confronto consente di affermare che: r11 r 22

=r1 + ra ; r12 =r3 = r2 + r3; r21 = r3

(4.24)

80

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

e che r1

= ru -r12

r2

= r22 -

r 12

r3

=

r21

r12

=

(4.25)

Si osservi che un muUipolo resistivo reciproco con n terminali richiede n(n - 1)/2 parametri indipendenti per essere identificato. Se n > 3, il circuito equivalente a stella non t in grado di rappresentare il mullipolo. Infatti la stella ha, al più, solo n elementi indipendenti, che sono sempre minori di

n(n-l)/2sen>3. Se il due porta resistivo deve mantenere necessariamente distinti i terminali delle due porte, può essere rappresentato mediante un modello circuitale minimo il quale, per essere associato alla formulazione a correnti impresse, deve essere costituito da due maglie indipendenti (Fig.4.7), una per ciascuna delle due equazioni costitutive del due-porta:

v 1 = r 11 i, +r12i2 = r2 1i 1 + r22i2

v2

(4.26)

Figura 4.7. Circuito equivalente del due porta resistivo a correnti impresse facente uso di sorgenti di corrente pilotate. L'equilibrio delle tensioni espresso dalla prima equazione è associato alla porta l e si rappresenta mediante un resistore di resistenza r 11 in serie con una aorgente di tensione pilotata dalla corrente del lato 2 (r 12i 2 ). Analogamente, la seconda equazione è associata alla porta 2 e si rappresenta mediante un resistore di resistenza r22 in serie con una sorgente di tensione pilotata dalla corrente del lato l (r2 1i 1).

4.3 TRIPOLO RESISTIVO LINEARE A TENSIONE IMPRESSA Un due-porta resistivo lineare - in cui cioè le variabili dipendenti sono combinazione lineare delle variabili impresse - a tensioni impresse è caratterizzato dalla seguente coppia di equazioni:

4.3 TRIPOLO RESISTIVO LINEARE A TENSIONE IMPRESSA

i1 = G11111 +G12t12 i2 = G21111 + G22112

81

(4.27)

le quali, in forma matriciale, diventano:

(4.28) e, in forma matriciale compatta, si esprimono come:

i=Gv

(4.29)

La trasformazione lineare è caratterizzata dalla matrice di coefficienti di conduttanza G. Sostituendo le equazioni costitutive nell'espressione della potenza psi ha:

{

p=111i1 +112i2 =111(G11111 +G12112)+112(G21111 +G22112) = G1111~ +G2211? + (G12 + G21)111112

(4.30)

che è una forma quadratica. Essa è definita positiva se il due porta resistivo è realmente sede di potenza dissipata (p > O). La determinazione dei coefficienti della matrice di conduttanza G si effettua mediante due prove in corto-circuito, ovvero a tensioni impresse e nulle. Con una prova in corto-circuito sulla porta 2 (112 = O)(Fig.4.8) si determina la prima colonna della matrice dei coefficienti:

(4.31)

Figura 4.8. Prova in corto-circuito sul lato 2 per la determinazione dei coefficienti della prima colonna della matrice delle conduttanze del due-porta resistivo. Il coefficiente di conduttanza G 11 risulta alloca positivo in quanto è positivo il lavoro elementare assorbito dalla porta alimentata:

82

4. DOPPI DIPOLI RESISTIVI

(4.32)

Assumendo le correnti di pori.a entranti dai terminali corrispondenti, il rapporto fra le correnti in corto-circuito è negativo e quindi la mutua

conduttanza G2 1 risulta negativa. Con una prova in corto-circuito sulla porta 1 (v 1 = O)(Fig.4.9) si determina la seconda colonna della matrice dei coefficienti:

(4.33)

Figura 4.9. Prova in corto-circuito sul lato 1 per la determinazione dei coefficienti della seconda colonna della matrice delle conduttanze del due-porta resistivo.

I coefficienti G II e G22 sono detti autoconduttanze o conduttanze di ingresso in corto-circuito. I coefficienti G 12 e G 21 sono detti mutue conduttanze ed esprimono l'influenza della tensione della porta alimentata sulla corrente della porta in cort O] e che siano maggiori di zero tutti i minori principali della matrice delle conduttanze (G11,G22) >O. · L'interno del tripolo resistivo può essere costituito da un numero qualsivoglia di resistori comunque collegati fra loro .

.f3.1

Circuito equivalente di un due-porta resi.stivo a tensioni impresse

Ad una rete resistiva reciproca, facente capo a tre terminali, si può associare un circuito equivalente minimo costituito da una terna di resistori.

4.3 TRIPOLO RESISTIVO LINEARE A TENSIONE IMPRESSA

83

Alla rappresentazione a tensioni impresse corrisponde una rete equivalente costituita da tre resistori collegati a triangolo o a Il (Fig.4.10).

i,

ÌI

v,

v,

FigurA 4.10. Circuito equivalente a triangolo associato alla formulazione a tensioni impresse del due porta resistivo.

Infatti, le equazioni costitutive esprimono l'equilibrio delle correnti in due nodi indipendenti. Per stabilire la corrispondenza fra le conduttanze del triangolo equivalente (G1, G2, G3) cd i coefficienti di conduttanza della matrice G, si scrivono le equazioni dei due nodi indipendenti del circuito equivalente a triangolo: i1 = G2v1 + G3(v1 -v2) = (G2 + G3)v1 - G3v2 i2 =G1v2 +G3(v2-vi) = _-G3U2 + (G1 +G3)v 1

(4.34)

e si confrontano con le equazioni costitutive. Il confronto consente di affermare che:

Gu =G2+G3; G12 = -G3 G22 = G, + G3; G21 = -G3;

(4.35)

G1 =G22+G12 G2=G11+G12 G3 = -G,2 = -G21

(4.36)

e che

Si osservi che un muUipolo resistivo reciproco con n terminali richiede > 3, il circuito equivalente a poligono completo (in cui cioo tutte le coppie di terminali sono collegate fra loro) è sempre in grado di rappresentare il muUipolo. Infatti il poligono ha n(n-1)/2 elementi indipendenti, tanti quanti ne servono per identificare il multipolo con un generico numero di terminali n > 3. Se il due-porta resistivo ha due porte distinte, senza alcun terminale in comune, ·il circuito equivalente può essere rappresentato da due nodi indipendenti, ciascuno associato ad una porta: il nodo associato alla po_rta

n( n - l) /2 parametri indipendenti per essere identificato. Se n

84

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

1 presenta un resistore di conduttanza G 11 in parallelo .con una sorgente di con-ente pilotata dalla tensione della porta 2 (G,2112); il nodo associato alla porta 2 presenta un resistore di conduttanza G22 in parallelo con una sorgente di corrente pilotata dalla tensione della porta 1 (G2 1v 1 ) (Fig.4.11) .

Figura 4.11. Circuito equivalente del due porta resistivo a tensioni impresse facente uso di sorgenti di tensione pilotate.

4.4 INVERSIONE DELLA RAPPRESENTAZIONE OMOGENEA L'equazione costitutiva, in forma vettoriale, di un multipolo resistivo lineare controllato in con-ente è:

(4.37)

v=ri mentre di un tripolo resistivo lineare controllato in tensione è:

(4.38)

i=Gv

Sostituendo l'espressione della tensione vin quest'ultima equazione si ha:

i= Gr i ⇒ Gr = (1) ⇒ G = r-'; r

= a- 1

(4.39)

ossia il prodotto Gr è una matrice diagonale unitaria; la matrice delle conduttanze si ottiene come inversa della matrice delle resistenze, e viceversa..

L'operazione di inversione di una matrice richiede che essa sia non singolare e cioè che sia non nullo il suo determinante. Quando la matrice caratteristica di una rappresentazione è non singolare, esiste la rappresentazione duale. Nel caso del tripolo resistivo lineare è possibile associare alla invertibilità della rappresentazione anche la trasformazione dal circuito equivalente a triangolo al circuito equivalente a stella, e viceversa.

4.5 TRASFORMAZIONE TRIANGOLO-STELLA

85

4.5 TRASFORMAZIONE TRIANGOLO-STELLA Le resistenre (r1, r2 , r3) della stella equivalente possono essere dedotte dalle conduttan1.c del triangolo equivalente (G 1,G2,G3) mediante l'inversione:

r=c- 1

(4.40)

cd osservando che:

detG= G 11 G22-G12G21 = (G2+G3)(G1 +G3)-~ = = G1G2 +G1G3 +G2G3

(4.41)

Esprimendo il reciproco di G, i coefr.cienti di resistenza si esprimono come segue:

G22

ru

= detG ~ r, +r3 =

G, +G3 detG

(4.42)

(4.43) G11 G2 +G3 r22 = detG ~ r2 +r3 = detG

(4.44)

dalle quali si deduce che:

(4.45)

(4.46) G3 r 3 = detG

(4.47)

Indicando con R; il reciproco della conduttanza G, di un lato del triangolo, la resistenza della stella equivalente risulta:

r,

86

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

In maniera analoga si possono dedurre r 2 ed 1·3 e si ottengono le formule per il passaggio dal triangolo alla stella equivalente agli effetti esterni: (4.49) (4.50) Si noti che una resistenza della stella equivalente è uguale al prodotto delle altre due del triangolo diviso la somma di quelle del triangolo. Se il triangolo è costituito da tre elementi uguali, la resistenza (r) di un lato della stella è uguale a un terzo della resistenza ( R) di un lato del triangolo: R r=- 3

(4.51)

4.6 TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO Le conduttanze ( G1, G2, G3) del triangolo equivalente possono essere dedotte dalle resistenze della stella €(JUivalentc (r 1 , r 2, r 3) mediante l'inversione:

(4.52) ed osservando che: detr = r 11 r22 - r12r2 1 = (r 1 + r3)(r2

+ r3) -

r5 = r

1r 2

+ r 1 ra + r2r3 (4 .53)

Esprimendo il reciproco di r, i coefficienti di conduttanza si esprimono come segue:

= r2 + r3 detr . detr _.!E_ =>Ga = _!L detr dctr ...!:!!_ => G G _ r1 + r3 detr ,+ 3 - detr ~ => G2 + G3

(4.54) (4.55) (4.56)

dalle quali si deduce che:

G1

G2 G3

r, detr r2 detr ra detr

(4.57)

(4.58) (4.59)

4.6 TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO

87

Indicando con 9; il reciproco della resistenza r; di un lato della stella, la conduttanza 9; del triangolo equivalente risulta:

G1 = ~ d t

e r

=

I + 9192

,t I

giga

,t

9293

+ g,gs I = .,+.,+., = 91 +92 +93 g,g-u,

(4.60)

In maniera analoga si possono dedurre G2 e Ga e si ottengono le formule per il passaggio dalla stella al triangolo equivalente agli effetti esterni: 9391

91

+ 92 + 93

(4.61) (4 .62)

Si noti che una conduttanza del triangolo e,quioolente è uguale al prodoUo delle altre due della stella diviso la somma di quelle della stella. Se la stella è costituita da tre elementi uguali, la conduttanza (G) di un lato del triangolo è uguale a un terzo della conduttanza (9) di un lato della stella:

G=~

3

(4.63)

4.6. 1 Casi singolari Se non è definita la matrice di resistenza, non esiste la rappresentazione omogenea a corrente impressa. Se la matrice di resistenza è definita ma è singolare, non esiste la sua inversa e pertanto non esiste la corrispondente rappresentazione omogenea a tensione impressa. Ad esempio, si consideri il circuito equivalente a stella nel quale le due resistenze serie siano nulle (Fig.4.12):

(4.64) La matrice di resistenza è definita ma è singolare e risulta:

(4.65) In tal caso non esiste la matrice di conduttanza e non esiste la corrispondente rappresentazione omogenea a tensioni impresse. Duabnente, se non è definita la matrice di conduttanza, non esiste la rappresentazione omogenea a tensione impressa.

88

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

; , (i)r, =O

r,=o(i) i 2

l'3~ F G)

Figura ( .12. Caso singolare di tripolo resistivo a correnti impresse.

Se la matrice di conduttanza è definita ma è singolare, non esiste la sua inversa e pertanto non esiste la corrispondente rappresentazione omogenea a corrente impressa.

Ad esempio, ai consideri il circuito equivalente a triangolo nel quale le due conduttanze parallelo siano nulle (Fig.4.13):

G 1 =0;G2=0;G3>0

(4.66)

Figura 4.13. Caso singolare di tripolo resistivo a tensioni impresse.

La matrice di conduttanza è definita ma è singolare e risulta: -Ga] G = [ Ga -G Ga ~detG=O 3

(4.67)

In tal caso non esiste la matrice di resistenza e non esiste la corrispondente rappresenta2ione omogenea a correnti impresse. Quando non esiste né la rappresentazione a tensione impressa né quella a corrente impressa, esiste, in generale, la rappresentazione ibrida.

4.7 TRIPOLO RESISTIVO LINEARE IN FORMULAZIONE IBRIDA Il due-porta resistivo lineare in formulazione ibrida è caratterizzato dal seguente sistema di equazioni costitutive:

4.7 TRIPOLO RESISTIVO LINEARE IN FORMULAZIONE IBRIDA

v, i2

= h11 i1 + h12V2

89

(4.68)

= h21i1 + h22V2

in cui i coefficienti di proporzionalità h,; non sono dimensionalmente omogenei. In forma matriciale si ha:

(4 .69)

Gli elementi della matrice H di proporzionalità sono detti coefficienti ibridi. Il coefficiente h11 è dimensionalmente omogeneo ad una resistenza; h 12 e ~ 1 sono dimensionalmente numeri puri; ~ è dimensionalmente una conduttanza. I coefficienti h,; della rappresentazione ibrida si ottengono mediante due prove, una con valore nullo della seconda variabile (112 O), ossia effettuando una prova in corto-circuito alla porta 2, ed un 'altra azzerando il valore della prima variabile (i 1 = O), ossia effettuando una prova a circuito-aperto alla porta 1. Con la prova in cortocircuito sulla porta 2 (Fig.4.14) si ricava la prima colonna dei coefficienti della matrice H:

=

(4.70)

Figura 4.14. Prova in corto-circuito sulla porta 2 del du-port.a resistivo per la valutazione della prima colonna dei coefficienti della matrice ibrida. Il coefficiente h 11 esprime la resistenza d'ingresso della porta l con porta 2 in corto-circuito R1cc, mentre il coefficiente ~ 1 esprime il rapporto fra la corrente di uscita e quella di entrata in corto-circuito. Con la prova a vuoto sulla porta l (Fig.4.15) si ricava la seconda colonna della matrice H :

90

4. DOPPI DIPOLI RESISTIVI

(4.71)

Figura 4.15. Prova a vuoto sulla porta 1 del due-porta resistivo per la valutazione della second" colonna dei coefficienti della matrice ibrida.

Il coefficiente h22 esprime la conduttanza d'ingresso della porta 2 con porta 1 a vuoto C 211 , mentre il coefficiente h12 esprime il rapporto fra In tensione di uscita e quella di entrata a vuoto. Con le equazioni costitutive del tripolo resistivo lineare a tensioni impresse:

(4.72) si può ottenere, con la porta 2 in corto-circuito (t12 le correnti: i2

hii

I

C21

-r21

det r

=O), il rapporto fra r21

= ii v,..o = C11 = detr-;:;- = - r22

(4.73)

D'altra parte, con le equazioni costitutive del tripolo resistivo lineare a correnti impresse:

(4.74) si può ottenere, con la porta 1 a circuito-aperto (i 1 le tensioni:

=O), il rapporto fra (4.75)

4.7 TRIPOLO RESISTIVO LINEARE IN FORMULAZIONE IBRIDA

91

Dalle precedenti uguaglianze è evidente che la matrice H dei coefficienti d'innuenza ibridi è antisimmetrica:

h12

= -h21

(4.76)

La reciprocità del due-porta si manifesta mediante l'antisimmetria della matrice caratteristica quando l'insieme delle variabili impresse è un insieme ibrido. La potenza p dissipata si può esprimere nel seguente modo:

(4.n)

=

ed essendo h12 -h21, si ha che la potenza dissipata in calore è una forma quadratica pura, ossia senza termini di prodotto fra le variabili indipendenti. Questa è una peculiarità della caratteriz:zazione ibrida di un qualunque due-porta lineare reciproco. Se i coefficienti ibridi h11 e h22 sono nulli, la potenza dissipata p è nulla, sebbene siano entrambe non nulle le variabili indipendenti (i 1 , t12) e il dueporta prende il nome di trasformatore ideale resistivo:

h 11

=h-i2 =O ~ trasformatore ideale resistivo

(4.78)

Con procedimento analogo al precedente è possibile esprimere il comportamento del due-porta resistivo lineare attraverso la seconda formulazione ibrida avente la coppia (111, i2) come variabili impresse.

4- 7.1

Trasformatore ideale resistivo

Il trasformatore ideale resistivo è un due-porta reciproro che. nari dissipa alcuna potenza. In esso, in lavoro elettrico entrante è uguale al lavoro elettrico uscente. La rappresentazione del trasformatore ideale è possibile solo mediante le equazioni costitutive ibride o di trasmissione. Consideriamo le equazioni costitutive ·ibride del trasformatore ideale resistivo (h 11 O, h22 =0): .

=

111 } { · i2

=[

n ] { i1 -n O 112

O

}

~

{

111 i2

nt12 ==-ni1

·

(4.79)

n rapporto fra le tensioni è inverso del rapporto fra le correnti cambiato di segno. Il rapporto n è detto rapporto di trasformazione:

92

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

v,

i2

112

i,

-=-- =n

(4.80)

Il simbolo del trasformatore ideale resistivo è riportato in Fig.4.16. Un trasformatore ideale resistivo si può rappresentare mediante un due porta costituito da una soryente di tensione pilotata dalla tensione dell'altra porta e da una soryente di corrente pilotata dalla corrente dell'altro porta aventi coefficienti di pilotaggio uguali e opposti (h12 -h21) (Fig.??):

=

11 1

i2

= h,2112

=hi,i,

(4.81)

Figura 4.16. Trasformatore ideale e suo modello mediante sorgenti pilotate di tensione e di corrente.

4. 7.!2 Esempio di applicazione del trasformatore ideale resistivo. Dato un generatore equivalente di tipo &erie, avente resistenza interna Rs, si voglia alimentare un carico resistivo di resistenza R.,. diversa da Rs e si desideri fornire ·ad esso la massima potenza. F.ssendo Rs fa R.,. la potenza trasferita dalla sorgente al carico, se esso è direttamente collegato ai terminali della sorgente equivalente, non può essere la massima possibile. Si può realizzare la condizione di massima potenza, se fra la sorgente equivalente e il caricò si interpone un trasformatore ideale resistivo di opportuno rapporto n di trasformazione (Fig.4.17). Si vuole appunto determinare il rapporto n. La potenza Pc richiesta dal resistore di resistenza R.,. è uguale alla potenza p1 richiesta dalla porta d'ingresso (primario) del trasformatore ed è anche uguale ed opposta alla potenza P2 entrante dai terminali secondari, in quanto il tra8fomuw,re non dwipa alcuna potenza. Di conseguenza si ha:

4.7 TRIPOLO RESISTIVO LINEARE IN FORMULAZIONE IBRIDA

93

n Figura 4.17. Trasformatore ideale resistivo adattatore per la massima potenza erogata da una sorgente equivalente.

Pc

= -pz = -"2i2 = -(-R.:i2)i2 = Rei~

r=

Pc= Pt

V1i1

= R~ti

n:, = Re ( ~ = R.:(-n)2 = R.n2

(4.82)

La resistenza R~ è la resistenza del reiistore di carico vista dal primario del trasformatore ideale. Una resistenza R.: alimentata attraverso un trasformatore ideale di rapporto di trasformazione n appare alla sorgente equivalente come un resistore di resistenza R~ R.,n2 • Essendo Rs la resistenza della sorgente, si ha la massima potenza trasferita dalla sorgente al carico se:

=

Rs

= R.n2

(4.83)

Pertanto il trasformatore, affinché adaUi il carico per la massima potenza, deve avere il rapporto di trasformazione pari a:

(4.84)

4- 7.3

Circuito equivalente nella formulazione ibrida

Le equazioni costitutive del due-porta resistivo nella formulazione ibrida:

v 1 = h11 i 1 + h12V2 i2 = ~1i1 + hi2"2

(4.85)

rappresentano l'equilibrio delle tensioni in una maglia e l'equilibrio delle correnti in un nodo, rispettivamente. La mag/ia associata alla prima equazione rappresenta il circuito equivalente visto dalla porta 1; esso presenta un resistore di resistenza hu in aerie

94

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

con una sorgente di tensione pilotata dalla tensione della porta 2 (h12v2)II nodo associato alla seconda equazione rappresenta il circuito equivalente visto dalla porta 2; esso presenta un resistore di conduttanza h22 in parallelo con una sorgente di corrente pilotata dalla corrente della porta l (h2 1i 1 ) (Fig.4.18) .

h,,

Figura 4.18. Circuito equivalente del du.,.porta resistivo in formulazione ibrida con generatori pilotati.

Al posto della sorgente pilotata di tensione del lato l e della sorgente di corrente pilotata del lato 2 si può sostituire, nel circuito equivalente, un trasformatore ideale resistivo (Fig.4.19) .

4.8 TRJPOLO RESISTIVO LINEARE IN FORMULAZIONE DI TRASMISSIONE Il tripolo resistivo lineare in formulazione mista di trasmissione è caratterizzato dalle seguenti equazioni costitutive:

Figura 4.19. Circuito equivalente del due-porta resistivo in formulazione ibrida ·con trasformatore ideale.

4.9 SORGENTI CONTROLLATE

{ ~; } = [ ~:: ~~ ]{

~i2 }

95

(4.86)

che esprimono le grandezze d'ingresso in funzione delle grandezze di uscita. La matrice T dei coefficienti è detta matrice di trasmissione. La procedura di definizione e calcolo dei coefficienti t;; è analoga a quella già vista in precedenza per le altre rappresentazioni. Il segno meno davanti alla corrente è utile per tener conto che usualmente, nella formulazione di trasmis5ione, si considera la corrente uscente dal lato 2. In modo ovvio è inoltre possibile considerare la seconda forma di trasmissione.

E' possibile passare da una caratterizzazione all'altra solo se la matrice caratteristica della forma di partenza è invertibile.

4.8.J ESERCIZI Si determini la matrice delle resistenza, delle conduttanze, ibrida e di trasmis5ione del due-porta resistivo rappresentato in Fig.4.20

2

2'

Figura 4.20. &,ercizio sul due-porta resistivo.

4.9 SORGENTI CONTROLLATE Ua convertitore perfetto è un dispositivo capace 'di convertire lavoro elettrico, o di altro tipo, in lavoro elettrico senza dissipazione né accumulo. Una sorgente di tensione o di corrente possono rappresentare la porta elettrica di_un convertitore di lavoro elettrico in lavoro di altro tipo, o viceversa. La grandezza carotteristica della sorgente può essere indipendente o controllata da un'altra grandezza (elettrica, meccanica, chimica o di altro tipo).

96

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

La grandezza in grado di oontrollare la tensione o la oorrente di una sorgente elettrica è applicata ad una porta ausiliaria (o di controllo). In ambito strettamente elettrico si possono oonsiderare sorgenti di tensione o di corrente controllate (o pilotate) in tensione o in oorrente. Ma i concetti chiave qui delineati possono essere estesi all'elettromeccanica, all'elettrochimica o all'elettroottica ovvero a qualunque altro processo di conversione controllato. Un convertitore perfetto controllato non assorbe alcun lavoro per effettuare il controllo ( controllore ideale) ma, come uno strumento ideale di misura voltmetrico o amperometrico, ha soltanto una grandezza non nulla, la tensione o la corrente, fornita per controllare la grandezza caratteristica della sorgente, la tensione o la corrente. La porta di controllo ideale costituisce pertanto un corto-circuito ideale se il controllo avviene mediante una corrente oppure un circuito aperto ideale, se il controllo avviene mediante una tensione. E' evidente che, sebbene non sia esplicitamente rappresentata, deve sempre esistere, per il primo principi-O della termodinamica, una terza porta (elettrica, meccanica, chimica, ottica o di altro tipo) che assorbe un lavoro uguale ed opposto al lavoro assorbito dalla sorgente oontrollata. Il modello di un convertitore controllato rappresenta solo il legame fra le grandezze della porta di controllo e quelle della porta controllata e non evidenzia le grandezze dell'altra porta sede di un flusso di lavoro finito uguale ed opposto a quello della sorgente controllata. Tali componenti sono quindi rappresentati oome doppi bipoli adinamici ( o algebrici} non reciproci né dissipativi né capaci di accumulo. Si possono quindi avere quattro tipi di sorgenti controllate: sorgente di tensi-One controllata in corrente, sorgente di corrente controllata in tensione, sorgente di corrente controllata in corrente e sorgente di tensione controllata in tensione.

4.10 SORGENTE DI TENSIONE CONTROLLATA IN CORRENTE (SVCC) Si consideri un componente tripolare caratterizzato dalla seguente equazione costitutiva omogenea:

(4.87) La porta 1 è un corto-circuito, mentre la porta 2 si presénta come una sorgente di tensione controllata dalla corrente della porta 1 (Fig.4.21). Non entra alcun lavoro dalla porta 1 mentre entra un lavoro, in generale non nullo, dalla porta 2. La matrice délle resistenze non t simmetrica e

4.11 SORGENTE DI CORRENTE CONTROLLATA IN TENSIONE (SCCV)

Figura 4.21. Sorgente di tensione controllata in corrente (SVCC).

quindi il componente non t reciproco. Il coefficiente r m prende il nome di mutua resistenza. L'energetica consiste in un lavoro elettrico assorbito dalla porta 2 sotto il controllo effettuato dalla corrente della porta 1. La natura algebrica delle equazioni costitutive del doppio bipolo in esame fa escludere la possibilità di accumulo. Questo doppio bipolo viene chiamato socgente di tensione pilotata (o controllata) in corrente e viene anche indicato con· l'acronimo inglese SVCC.

4.11

SORGENTE DI CORRENTE CONTROLLATA IN TENSIONE (SCCV)

Si consideri un componente tripolare caratterizzato dalla seguente equazione costitutiva omogenea:

{ :~ } = [ ~m

~] { :

}

⇒{

i/~;:v,

(4.88)

La porta 1 è un circuito aperto, mentre la corrente della porta 2 è controliata dalla tensione v 1 della porta 1 (Fig.4.22).

Figura 4.22. Sorgente di corrente controllata in corrente (SCCV).

Non entra alcun lavoro dalla porta 1 mentre entra un lavoro, in generale non nullo, dalla porta 2. La matrice delle conduttanze non t aimmetrica

97

98

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

e quindi il componente non t! reciproco. Il coefficiente gm prende il nome di mutua conduttanza. L'energetica è rappresentata da un lavoro elettrico assorbito dalla porta 2 sotto il controllo effettuato dalla tensione della porta 1. La natura algebrica delle equazioni costitutive del doppio bipolo in esame fa escludere la possibilità di accumulo. Questo doppio bipolo viene chiamato sorgente di corrente pilotata (o controllata) in tensione e viene anche indicato con l'acronimo SCCV.

4.12

SORGENTE DI CORRENTE CONTROLLATA IN CORRENTE (SCCC)

Si consideri un componente tripolare avente la seguente equazione costitutiva:

(4.89) La porta 1 è un corto-circuito, mentre la corrente della porta 2 è controllata dalla corrente della porta 1 (Fig.4.23) .

Figura 4.23. Sorgente di corrente controllata in corr=te (SCCC).

Il coefficiente h esprime il rapporto tra le due correnti e prende il nome di roefficiente di amplificazione di rorrente. La matrice ibrida H non t! antisimmetrica e pertanto il romponente non t! reciproco. Valgono per questo componente le medesime osservazioni energetiche già espreme per i;, due precedenti sorgenti pilotate. Il componente in esame è un convertitore di lavoro elettrico in lavoro di altro tipo, nel quale la corrente di una porta è pilotata mediante la corrente dell'altra porta. Fsso viene anche chiamato sorgente di corrente controllata in corrente, e indicato attraverso il suo acronimo SCCC.

4.13 SORGENTE DI TENSIONE CONTROLLATA IN TENSIONE (SVCV)

99

4.13 SORGENTE DI TENSIONE CONTROLLATA IN TENSIONE (SVCV) Infine, si consideri un componente tripolare avente la seguente equazione costitutiva:

i, } { t12

= [ oh' oO ] { v,t2

}~{

t12

==h'ov,

i,

(4 .90)

La porta l è un circuito aperto, mentre la tensione della porta 2 è controllata dalla tensione della porta l (Fig.4.24).

Figura 4.24. Sorgente di tensione controllata in tensione (SVCV) . Il coefficiente h' è il rapporto tra le due tensioni e prende il nome di coefficiente di amplificazione di tensione. La matrice ibrida H' non è antisimmetrica e pertanto il componente non è reciproco. Valgono per questo componente le mede;ime oeservazioni energetiche già espresse per i precedenti generatori pilotati. Il componente in esame è un convertitore di lavoro elettrico in lavoro di altro tipo nel quale la tensione di una porta è piiotata mediante la tensione dell'altra porta. F.sso viene anche chiamato sorgente di tensione controllata in tensione, e indicato con l'acronimo SVCV. I quattro componenti tripolari appena presentati sono frequentemente utilizzati nei modelli dei componenti elettronici, transistori e amplificatori e nei modelli dei convertitori elettromeccanici o di altro tipo.

4.14 GIRATORE Il giratore è il modello di un convertitore perfetto non reciproco di lavoro elettrico in lavoro eleUrico. Le s~e equazioni costitutive a tensioni impresse sono:

100

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

(4.91) La tensione della porta 2 determina la corrente della porta l attraverso un coefficiente G detto conduttanza o costante del gimtore. La tensione della porta l determina la corrente della porta 2 attraverso la costante G del giratore cambiata di segno. In sintesi, la tensione di una porta si trasforma nella corrente dell'altra porta, con lo stesso segno o con segno cambiato. La matrice delle conduttanze del giratore non è simmetrica e pertanto iJ gimtore è un componente non reciproco. li simbolo del giratore è mostrato in Fig.4.25.

Figura 4.25. Simbolo del giratorc.

La potenza totale assorbita assorbita da un gimtore è nulla:

. . o v1 =v,,,-v,,,=

. . . i1 ( - G ) p=p1+P2=V1t1+t12t2=v1t1+G

(4.92)

e cioè il gimtore non dissipa alcuna potenza né accumula alcuna energia; la potenza assorbita ad una porta è, istante per istante, uguale a quella erogata dall'altro porta. L'energetica espressa dalle equazioni costitutive del giratore è quindi in accordo con la definizione di convertitore perfetto. Si considerano qui di seguito tre applicazioni del giratore. l) Si supponga di collegare alla porta di uscita di un giratore un condensatore di capacità C (Fig.4.26).

L'energia dielettrica accumulata nel condensatore risulta: (4.93)

Mediante il legarne costitutivo del giratore si può esprimere l'energia U in funzione della corrente primaria:

(4.94)

4.14 GIRATORE

101

Figura 4.26. Giratore e condensatore in cascata.

in cui la quantità

L.,,

e

= G2

(4.95)

è dimensionalmente omogenea con una induttanza. Un condensatore di capacità C, visto attraverso un gimtore, appare quindi come un induttore di induttanza L•• C/G2 . La cascata di un giratore e un condensatore è equivalente, agli effetti esterni, ad un induttore e serve per simulare la presenza di un induttore senza che questo sia realmente presente. 2) Supponiamo ora di collegare alla porta di uscita di un giratorc un induttore di induttanza L (Fig.4.27) .

=

Figura 4.27. Giratore e induttore in cascata.

L'energia magnetica eccumulata nell'induttore risulta:

(4.96) Utilizzando la relazione che lega la corrente del giratore sul lato secondario con la tensione sul lato primario, si può esprimere l'energia in funzione della tensione primaria:

(4.97)

102

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

Il termine

(4.98) è la capacità equivalente di un giratore di costante G in cascata con un induttore di induttanza L, con un comportamento duale rispetto al caso precedente. 3) Si supponga di avere due giratori in cascata, il primo con conduttanza G12 ed il secondo con conduttanza Ga, (Fig.4.28).

Figura 4.28. Due giratori in cascai.a sono equivalenti ad un trasformatore ideale.

Le equazioni costitutive dei due giratori in cascata sono:

(4.99) da cui si può dedurre il legame costitutivo fra le grandezze d'ingresso del primo giratore e le grandezze d'uscita del secondo giratore. A tale scopo si esprimono le equazioni costitutive di ciscun giratore nella forma di trasmissione:

-k] {

0

V4_ }; -i4

(4.100) da cui è immediato dedurre che:

{

~l

•1

}

{ :: } =

_i_][ Ga, o

l a.;

Gn

[ ~12

O

[g,!

Q

~

o

};

] { V4

-i◄

Si osservi che il ro.pporto fra le tensioni delle con-enti:

~

]{ ~i4 } =>

(4.101) (4.102)

opposto al ro.pporto inverso

4.15 DIODO REALE E DIODO IDEALE

103

G:w - - V4 - G12

(4.103)

.!.!. - - G, 2

(4.104)

v1

'• -

G:w

e che queste equazioni sono quelle di un trasformatore ideale resistivo il cui rapporto n fra le tensioni è uguale al rapporto fra la conduttanza del giratore di uscita e la conduttanza del giratore di entrata: v1

n=

G:w

V4 = G,2

(4.105)

Pertanto, due giratori in cascala sono equivalenti, agli effetti esterni, ad un trasformatore ideale resistivo, e viceversa. Questo li anche un esempio di due componenti non reciproci i quali, agli effetti esterni, presentano un comportamento reciproco.

4.15 DIODO REALE E DIODO IDEALE In vista dell'analisi delle caratteristiche a bassa frequenza del transistore bipolare npn, premettiamo alcune osservazioni sulla struttura fisica di un diodo reale e sulla sua equazione costitutiva i(v). 11 diodo è un elemento bipolare realizzato con materiali semiconduttori (silicio o germanio), cioè materiali tetravalenti con struttura cristallina che sono classificati con caratteristiche intermedie fra gli isolanti ed i conduttori. La loro resistenza elettrica decresce al crescere della temperatura. Il silicio viene drogato, mediante l'aggiunta (dell'ordine di 1 parte su 107 ) di impurezze trivalenti per favorire un difetto di elettroni, ovvero un eccesso di lacune, che consente un notevole aumento della conduttività del materiale drogato, rispetto al silicio puro. E viene denominato semiconduttore tipo-P. Un eccesso di lacune (o difetto di elettroni) può essere considerata come un portatore di carica positiva. 11 silicio viene anche drogato, mediante l'aggiunta di impurezze pentavalenti per favorire un eccesso di elettroni, ovvero un difetto di lacune, che consente un notevole aumento della conduttività del materiale drogato, rispetto· al silicio puro. E viene denominato semiconduttore tipo-N. Un eccesso di elettroni (o difetto di lacune) può essere considerata come un portatore di carica negativa. 11 diodo mostrato in Fig.4.29 è formato mediante la giunzione di materiali tipo-P e tipo-N. Nella giunzione, gli elettroni liberi del materiale tipo-N e le lacune libere del materiale tipo-Psi combinano lasciando il lato N con una carica positiva

104

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

~do

A

$

~ o d o b) e

Figura 4.29. Diodo a giunzione. (a) Struttura e (b) simbolo.

ed il lato P con una carica negativa. Da qui nasce una barriera di potenziale

a cavallo della giunzione avente un valore dell'ordine di 0.6 V. Il lato P del diodo viene detto anodo mentre il lato N viene detto catodo. Quando si applica una tensione v positiva all'anodo rispetto al catodo, maggiore della barriera di potenziale di 0.6 V, fluisce una corrente i positiva (diretta) che dA luogo ad una caduta di tensione dell'ordine di 0.7 V alla corrente nominale (corrente ammissibile in servizio continuativo con sovratemperatura non maggiore della massima ammissibile) . Quando si applica una tensione v negativa all'anodo rispetto al catodo (tensione inversa), si applica un campo elettrico che muove i portatori di carica positiva e negativa nei Iati P ed N, rispettivamente, lontano dalla giunzione impedendo il flusso della corrente e consentendo alla giunzione di sostenere la tensione applicata senza conduzione apprezzabile. La giunzione è cosi sotto l'azione di un elevato campo elettrico e la presenza di una separazione di carica di segno opposto nei lati P ed N della giunzione ne fanno una struttura capace di accumulo dielettrico, assimilabile ad un condensatore. L'agitazione termica rompe qualche legame del cristallo e comporta dei portatori di carica associati ad una corrente negativa (o inversa) o corrente di dispersione. Un incrementò della tensione inversa applicata porta ad un incremento del numero di portatori minoritari di carica attraverso la giunzione. Questi portatori di carica possono avere sufficiente energia cinetica per rimuovere altri portatori mediante collisioni. All'aumentare della tensione inversa, questo fenomeno conduce ad una valanga di portatori di carica con conseguente distruzione della giunzione per cedimento. La caratteristica i(v) di un diodo può essere approssimata da una funzione esponenziale:

i= ls(e9fVT - 1)

(4.106)

dove 1s è detta corrente di aaturazione inveraa. La grandezza Vr è detta = kT/q., dove k è la costante di Boltzmann ( k = 1.3806 x 10- 23 J K- 1 ), T è la temperatura as.,oluta in gradi Kelvin (K), q. è la carica dell'elettrone (q. = 1.60'22 x potenziale termico e,quivalente ed è definito come: Vr

4.15 DIODO REALE E DIODO IDEALE

105

10- 19 C} . Il potenziale termico equivalente è proporzionale alla temperatura assoluta di lavoro. Ad una temperatura ambiente 00 25°C,T 298"K, si ha Vr 25.7 mV. Com'è evidente, il legarne costitutivo i(v} dipende dalla temperatura di funzionamento T . Questa caratteristica non esprime il ramo della scarica a valanga (per elevati valori della tensione inversa) né gli effetti capacitivi ai quali si è prima aocennato, particolarmente importanti nel funzionamento ad alta frequenza. Un diodo è caratterizzato essen.zialmente dalla massima con-ente diretta I o e dalla massima tensione inver.ro VR ammissibili in aervizic continuativo. Questi valori consentono di individuare la potenza del diodo. Un diodo al silicio di piccola potenza può avere una cofTeflte di aaturazione inveraa ls dell'ordine di 10- 10 + 10- 12 A mentre in un diodo di elevata potenza (diodo di potenza} ls è dell'ordine di pochi milliampere. La caratteristica i(v) di un diodo è riportata in Fig. 4.30 a,isieme al simbolo del diodo reale ed ai versi associati di tensione e corrente.

=

=

u

e

=

V

Figura 4.30. Caratteristica i(v) del diodo.

Si considerano ora gli altri versi poasibili di misura della tensione e della corrente di un diodo e le corrispondenti espressioni analitiche e grafiche dell'equazione costitutiva i(v). Se si considera la tensione del diodo con verso opposto rispetto al precedente (v' -v), l'equazione costitutiva risulta:

=

(4.107) e l'andamento grafico di i(v'} è mostrato io Fig.4.31. Se infine si considerano i versi opposti sia di tensione sia di corrente

(i'= -i ,v'

= -v) si ha:

(4.108} e si oeservi l'andamento grafico di i'(v') mostrato io Fig.4.32.

106

4. DOPPI IllPOLI RESISTIVI

u

e

Figura 4.31. Caratteristica del diodo con tensione inversa.

A

·-'~

~ e

Figura 4.32. Caratteristica del diodo con tensione e corrente inversa.

4.16 TRANSISTORE A GIUNZIONE BIPOLARE N-P-N Il transistore è un elemento tripolare realizzato con materiali semiconduttori drogati di tipo-Pedi tipo-N. Il transistore bipolare a giunzione, o BJT (Bipolar Junction Transistor), è un dispositivo formato da tre strati N-P-N o P-N-P. Le tre regioni definiscono due giunzioni semiconduttrici Fig.4.33.

i, G)

Emetti/ore

olltllort1

v•• ~

Base

b

@

Figura 4.33. Transistore N-P-N: struttura e simbolo. Il transistore al quale si fa riferimento nel seguito è il transistore N-PN (due zone esterne con drogaggio N, una intermedia con drogaggio P) . Vengono considerate le caratteristiche tipiche di un transistore per l'elaborazione di segnali (08Sia di piccola potenza) avente una corrente diret-

4.17 TRANSISTORE IN CONNESSIONE A BASE COMUNE

107

ta massima dell'ordine di poche decine di milliampere e tensioni inverse massime dell'ordine di qualche decina di volt. I tre terminali del transistore prendono il nome di emetutore, collettore, base.

4.17 TRANSISTORE IN CONNESSIONE A BASE COMUNE Un transistore bipolare a giunzione NPN a bassa frequenza si comporta come un resistore non lineare a tre tcnninali in cui la resistenza d'ingresso di una porta può essere controllata, entro valori molto ampi, dalla tensione applicata all'altra porta. Si consideri le equazioni costitutive i(v) del transistore nella configurazione con base comune. Il terminale di base è cioè in comune a entrambe le porte individuate da emettitore e base e da collettore e base (Fig.4.34)

@ Figura 4.34. Transistore NPN nella con..-ione con base comune.

Le equazioni costitutive i(v) esprimono le correnti di emettitore e di collettore in funzione delle tensioni emettitore-base e ooUettore-base e sono note come equazioni di Ebers-Moll:

(e-~ - 1) +aRlcs (e-~ - 1) =iu +i.. (4.109)

i.

-lEs

ic

aplEs(e-~-1)-lcs(e-~-l)=i .. +icc (4.110)

Nelle due equazioni si riconoscono le correnti di saturazione di emeUitore e di collettore !es ed Ics, il cui valore è nei diodi per piccole potenze dell'ordine di 10- 10 + 10- 12 A, il coefficiente OR, che è un numero puro di valore 0.5 + 0.8, il coefficiente ap, che è un pure un numero puro di valore 0.99, e, infine, il potenziale termico Vr 26 mV. Questi valori numerici sono riferiti alla temperatura di 25° C.

=

108

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

La corrente di emettitore i 0 è somma di due contributi (i 00 , iec), ciascuno dei quali dipende da una sola delle variabili impresse (veb, vcb), Un contributo della corrente di emettitore, quello di autoinfluenza (i..,), consiste nella caratteristica inversa di un diodo Dcb: la corrente i 00 entra dal catodo e la tensione Ve1, è applicata fra catodo e anodo. Nel circuito equivalente del transistore con base comune, questo contributo si può rappresentare graficamente mediante un diodo reale Deb· L'altro contributo della corrente di emettitore, quello di mutua influenza, è una corrente pilotata dalla tensione della porta collettore-base e si può rappresentare mediante una sorgente di corrente comandata in tensione f(vcb) (Fig.4.35) .

G);

F

@

Figura 4.35. Circuito equivalente del transistore con base comune.

La corrente di collettore ic è somma di due contributi (ice, ice), ciascuno dei quali dipende da una sola delle variabili impresse ( ve1,,ve1, ). Un contributo della corrente di collettore, quello di autoinftuenza (ice), è la caratteristica inversa di un diodo Dcb: la corrente ice entra dal catodo e la tensione Vcb è applicata fra catodo e anodo. Nel circuito equivalente del transistore con base comune, questo contributo si può rappresentare graficamente mediante un diodo reale Dcb, L'altro contributo della corrente di collettore, quello di mutua influenza ice, è una corrente pilotata dalla tensione della porta emettitore-base e si può rappresentare mediante una sorgente di corrente comandata in tensione f(ve1,) (Fig.4.35) . La struttura delle equazioni costitutive del transistore a base comune è evidentemente simmetrica e ad esse può essere associato il circuito equivalente rappresentato in Fig.4.35. Dal punto di vista geometrico, le equazioni del transistore rappresentano due superfici. Si possono analizzare le curve caratteristiche che si ottengono tagliando dette superfici con dei piani individuati dalla tensione dell'altra porta, che viene assunta come parametro. 1. La corrente di emettitore i 0 è rappresentata da una famiglia di caratteristiche parametrizzate da Vcb (Fig.4.36). La corrente di emettitore

i0 è trascurabile se la tensione collettore-base Vc1> è nulla, riducendosi alla corrente im1er:,a di un diodo. Ma tale corrente aumenta notevolmente se la tensione collettore-base Vc1> cresce negativamente. Con un

4.17 TRANSISTORE IN CONNESSIONE A BASE COMUNE

109

i,[mA]

5

V.,[V]

Figura 4.36. Caratteristica della porla emettitore-base al variare della tensione collettore-base

Vcb •

certo valore negativo della tensione collettore-emettitore, la caratteristica i 0 (veb) della porta emettitore-base presenta una fase rapidamente crescente (fase non lineare) cui seguono un ginocchio ed una fase di saturazione, nella quale la corrente ie è praticamente indipendente dalla tensione Veb • Trascurando la fase non lineare, la caratteristica può essere approssimata con una caratteristica lineare con due trotti, uno coincidente con l'asse della corrente ie e l'altro avente la corrente Ìe linearmente crescente in funzione della tensione Veb con un certo valore della tensione negativa veb. La caratteristica lineare a tratti può essere rappresentata mediante un circuito equioolente costituito da tre elementi in parallelo, un diodo ideale Deb, per rappresentare la caratteristica di conduzione unidirezionale, una sorgente pilotata di corrente oostante f(veb), per rappresentare l'ordinata iniziale del tratto saturo, ed un resistore di conduttanza Geb, per rappresentare la pendenza del tratto saturo (Fig.4.37).

i,[mA]

J~

1----------

5

-

Vc1,[V]

Figura 4.37. Caratteristica aemplificala della porla emettitore-baae di un transistore NPN con base comune.

110

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI Questo modo di procedere è del tutto generale ed è di notevole utilità per rappresentare in modo semplice ed eff1C8CC una caratteristica non lineare di un componente fisico reale mediante un insieme di componenti perfetti lineari.

2. La corrente di collettore ic è espressa da una famiglia di curve del tutto simile a quelle già viste per la corrente di emettitore i,, assumendo la tensione emettitore-base tleb come parametro (Fig.4.38).

ic[mA]

v 0

(4.112)

=

ossia la conduttanza offerta dalla porta alimentata è finita Geb(eq) > O ed il suo valore dipende dal punto di intersezione fra la caratteristica lineare della sorgente equivalente tipo serie v(i) e la caratteristica non lineare della porta emettitore-base i.(v.b, vcb) (Fig.4.42):

i./ve1,

Vb, ·{

=Vs - Rsi. i.(ve1,) I,..

(4.113)

Con determinati valori dei parametri della sorgente equivalente tipo serie

(Vs, Rs), il valore della tensione di pilotaggio vcb determina il punto di intersezi.one fra le due camtteristiche che può aver luogo: • sul tratto iniziale della caratteristica i 0 (veb), ossia prima del ginocchio, quando la tensione Vcb è sufficientemente negativa. La tensione Veb risulta allora molto piccola e la porta emettitore-base offre, di conseguenza, una conduttanza Geb(eq) i./vcb relativamente assai grande, come per un interruttore chiuso ( punto 1 di Fig.4.42);

=

• sul tratto saturo della caratteristica ic(Veb), 06Sia dopo del ginocchio, con una tensione Ve1, relativamente grande offrendo, conseguentemente, una conduttanza Geb(eq) i./veb finita di valore dipendente da vcb ( punto 2 di Fig.4.42).

=

4.18 TRANSISTORE IN CONNESSIONE A EMETTITORE COMUNE

i,[mA] _!i_:

113

_ _ _ __ 1

R,+R,

v,b[V] Figura 4.42. Transitore con base comune e punti di lavoro. Il transistore funziona cosl come un interruttore il cui stato - aperto o

chiuso - è pilotato dalla tensione vcb oppure come una 90rgente di corrente pilotata in tensione. I tempi di commutazione di questo interruttore elettronico possono essere minori di I µ&.

4.18 TRANSISTORE IN CONNESSIONE A EMETTITORE COMUNE Il transistore bipolare a giunzione nella configurazione con emettitore comune, rappresentato in Fig.4.43, viene utilizzato in molti circuiti di amplificazione.

Figura 4.43. Transistore in connessione a emettitore comune: Il comportamento può essere definito mediante una forma omogenea controllata in tensione. Le variabili impresse sono la tensione base-emettitore e la tensione collettore-emettitore (ve1,, v... ); le variabili dipendenti 80DO la corrente di base e la corrente di collettore (ib, ie)• Le equazioni coatitutive

114

4. DOPPI BIPOLI RESISTIVI

si possono ricavare da quelle del collegamento con base comune tramite le seguenti uguaglianze:

ib

= -(ie + ic)

(4.114)

= -Veb

(4.115)

Vbe

Vce

= Vcb -

(4.116)

Veb

Le equazioni costitutive risultano allora:

ib

= (! ic

l) + (l - ;" - l) = ib1 + ib2

aF)fEs (e~ -

= O, dall'equazione di vincolo 11i+11n=O

(6.55)

-un(t) = -R in(t) -R ii(t) = -Rhoe-~

(6.56)

si ricava

La tensione ha quindi il l'andamento di Fig.6.19.

V

t

Figura 6.19. Andamento nel tempo della tensione sull'indut.tore.

Si osservi che esiste una discontinuità di prima specie nella tensione per t=O. Il calore dissipato nel resistore in un tempo infinitesimo vale

6.5 TRANSITORIO RL IN RISPOSTA FORZATA

6Q = Ri2 dt

157

(6.57)

Il calore totale dissipato durante il transitorio è quindi:

_;u

2 [

= Rle,o

o

e • dt

2 (

T

= RILO --e 2

_;u, •

00 )

o

2 TI -oo 01 2 lL = Rle,o(2 e - e ) = Rle,o 2R.

(6.58) Il calore totale dissipato è quindi pari all'energia presente nell'induttore all'i,,tante iniziale. In base al primo principio della ùrmodinamica ci si poteva attendere questo ri,,ultato, senza svolgere alcun calcolo.

6.5 TRANSITORIO RL IN RISPOSTA FORZATA Si supponga di avere un induttore di induttanza L, inizialmente carico con una corrente ILO, e si realizzi il seguente circuito nel quale è presente anche una sorgente ideale di tensione Vs (Fig.6.20) .

Figura 6.20. Circuito per lo studio del transitorio RL forzato.

=

All'i,,tante t O avviene la commutazione dell'interruttore, dalla posizione A alla posizione B. Si voglia ricavare l'andamento della corrente nell'induttore. A tale scopo si considerano i tre i8tanti chiave e si deducono

158

6. TRANSITORI

le tre reti equioolenti nelle quali l'induttore viene sostituito da un cortocircuito per t o- e per t oo e mediante una sorgente ideale di corrente nell'istante t o+. Con questi circuiti si valutano i valori delle grandezze che interessano nei medesimi istanti. Il raccordo fra valori iniziali e finali avviene sempre mediante una fonzione esponenziale di costante di tempo T = L/ R Il regime di stazionarietà finale, per via della sorgente, non presenta energia nulla nell'elemento conservativo (come nel caso della risposta libera), ma una energia finita, in generale diversa da quella iniziale. Altrimenti il transitorio non ha luogo, nonostante la manovra degli interruttori, in quanto lo stato iniziale e finale dell'energia è il medesimo. Per t o- si ha che:

=

=

=

=

(6.59) Per ipotesi l'interruttore è sulla posizione A da lungo tempo, e quindi tutte le grandezze del circuito hanno raggiunto una condizione di stazionarietà:

(6.60) In questo istante l'induttore è equivalente ad un corto-circuito (Fig.6.14) . Per t = o+, l'induttore è equivalente ad una sorgente di corrente ideale per cui il circuito equivalente risulta quello di Fig.6.21.

cfyi,~

V.±

,,

Figura 6.21. Circuito equivalente per t

=o+.

Con il circuito equivalente all'istante t = o+ si po890no immediatamente dedurre i valori di tutte le grandezze. La tensione sulla resistenza è imposta dalla sorgente di corrente idesle in serie ad essa: vR(o+) = Rho , La tensione VL sull'induttore deve fare equilibrio alle altre due tensioni VR e Vs nella maglia, per cui si ha:

vL(o+)

= Vs-vR = Vs-Rho

(6.61)

Per t = oo l'induttore è equivalente ad un corto-circuito ed il circuito equivalente risulta quello di Fig.6.22.

6.5 TRANSITORIO RL IN RISPOSTA FORZATA

Figura 6.22. Circuito equivalente per t Per il quale si ha immediatamente che IIR(oo)

159

= oo.

= Vs e pertanto iL(oo) =

Vs/R. Con la procedura matematica (per distinguerla dalla procedura energeticacircuitale, appena esposta), lo studio del transitorio prevede di scrivere l'equilibrio delle tensioni nella maglia: Vs-llL-IIR=O

(6.62)

(6.63)

(6.64) Il vincolo imposto alle correnti si traduce in una equazione differenziale non omogenea (termine noto diverso da zero) lineare del primo ordine a coefficienti costanti nell'incognita. La soluzione si ottiene sommando alla soluzione della corrispondente equazione omogenea associata una soluzione particolare (soluzione di regime):

iL(t)

= Ae'' + iL(oo)

(6.65)

dove A è una costante da determinarsi, s è la frequenza naturale del circuito, è l'integrale particolare. L'equazione caratteristica è Ls+R=O

(6.66)

R

1

L

T

8=-- =--

(6.67)

160

6. TRANSITORI

Il termine L

T

= R. (s]

(6.68)

prende il nome di costante di tempo del circuito. Si determini ora la costante arbitraria A con la condizione iniziale ii(o+) :

Ae•·0 +ii(oo) = A +ii(oo) => ii(o+) - ii(oo)

(6.69)

L'eneryia accumulata nell'induttore:

UL

= 2lL.21L

(6.70)

è una funzione continua del tempo. Di conseguenza ai deve avere:

(6.71)

(6.72)

La soluzione del transitorio in esame è quindi:

iL(t)

= [ii(O+) :'-iè,(oo)] e-~ + iL(oo)

(6.73)

Con i valori iniziali e di regime ai ottiene in definitiva:

(6.74)

Nel caso di reti con più re.,i$tori e so,yenti ma con un solo indutUore, la soluzione si affronta seguendo esattamente la procedura appena espressa per la rete minima del primo ordine, pur di sostituire la rete vista dall'induttore, nei tre istanti chiave del transitorio, mediante una rete equivalente di Thevenin/Norton. Nel calcolo della costante di tempo -r, la resistenza R è la conduttanza vista dai terminali dell'induttore quando la rete presenta tutti i generatori disattivati. L'unica differenza, pertanto, fra la soluzione del transitorio di una generica rete RL del primo ordine e quella del transitorio canonico RL (cioè

6.6 TRANSITORIO GLC IN RISPOSTA LIBERA

161

relativo alla rete minima RI,), qui presentato, consiste nell'applicazione preliminare del metodo del generatore equivalente, allo eoopo di semplificare la rete assegnata, per ricondurla ad una rete minima tkl primo ordine. L'andamento di una qualunque grandezza (tensione e corrente) nel circuito è comunque espresso da una relazione del tipo:

J(t)

= [J(o+)- J(oo)] e-f + J(oo) = o-

(6.75)

=

I valori di tutte le grandezze negli istanti t e t oo si possono calcolare senza l'ausilio del calcolo differenziale, perchè il circuito equivalente nei tre istanti chiave non presenta esplicitamente elementi conservativi, essendo questi stati sostituiti da circuiti aperti (ovvero da una sorgente di corrente nulla) o da corto-circuiti (ovvero da una sorgente di tensione nulla) o da sorgenti di valore finito. n circuito equivalente da studiare nei tre istanti chiave presenta quindi solo sorgenti di tenswne/corrente e resistori. Il grado dell'equazione differenziale che esprime la variabilità nel tempo di una qualunque tensione (o corrente) in un circuito durante un transitorio di una rete lineare contenente n elementi conseroativi indipendenti, fra uno stato iniziale ed uno stato finale caratterizzato da diversi valori di energia negli n elementi conservativi indipendenti, è uguale ad n. Il numero n di elementi conservativi indipendenti esprime anche il grado di complessitd della rete. Le equazioni differenziali sono lineari se i parametri capacitivi, induttivi e resistivi sono costanti; in tal caso ammettono come soluzione una combinazione lineare di esponeru:iali. Le ampiezze A, di 9uesti esponenziali si determinano mediante le n condizioni iniziali indipendenti fornite dallo stato iniziale degli n elementi conservativi indipendenti. Se i parametri non sono costanti, non esiste, in generale, la soluzione analitica in forma chiusa e la soluzione viene determinata mediante i metodi approssimati di analisi o mediante l'analisi numerica.

6.6 TRANSITORIO GLC IN RISPOSTA LIBERA Si consideri il seguente circuito costituito da un condensatore e da un induttore inizialmente carichi e da un resistore (Fig.6.23). Il condensatore di capacità C inizialmente presenta una tensione Vc:0 L 'induttore di induttanza L inizialmente è attraversato~ una corrente

hoPoichè vi sono due elementi conservativi indipendenti, Il transitorio del circuito è governato da una equazione differenziale del 8tl00ndo ordine. All'istante t O avviene la commutazione di entrambi gli interruttori e il circuito si presenta come in Fig.6.24. Si osservi che la tensione v è comune ai tre componenti e si imponga l'equilibrio delle correnti nel nodo comune al condensatore, all'induttore e al resistore:

=

162

6. TRANSITORI

Figura 6.23. Circuito GLC per lo studio del transitorio di risposta libera.

Figura 6.24. Circuito GLC durante il transitorio.

ic+ia+iL =0

(6.76)

Esprimendo ciascuna corrente in funzione della tensione ti comune, si ha:

d11 1 (' cdi+G11+Llo 11dt+iL(0)=0

(6.77)

Si è ottenuto una equazione integro-differenziale che può essere trasformata in una equazione differenziale del secondo ordine derivando rispetto al tempo:

(6.78) L'equazione differenziale lineare del secondo ordine cosl ottenuta è a coefficienti C, G, L costanti. L'integrale è rappresentato dalla tensione 11(t). La soluzione si esprime come combinazione lineare di due esponenziali. Data una soluzione:

11(t)

= Ae' 1

(6.79)

6.6 TRANSITORIO GLC IN RISPOSTA LIBERA

163

si osservi che

-dv = sAe'' ·' tflv = s2 Ae't di, dJ,2

(6.80)

e cioè all'operatore di derivata di ordine k si può sostituire sk. Sostituendo nell'equazione differenziale si trova: 2

( Gs +Gs+

i)

Ae•t

=O

(6.81)

L'equazione algebrica camtteristica dell'equazione differenziale del secondo ordine è quindi:

(6.82) Le radici di questa equazione algebrica rappresentano le frequenze naturali del circuito:

(6.83) Si definisce il coefficiente di dissipazione

G 2G

a=-

(6.84)

e la pulsazione di risonanza l

Wo

= .,/w

(6.85)

Le radici dell'equazione caratteristica risultano:

(6.86) Si distinguono tre casi, a seconda del valore del discriminante :

t:,. Se t:,. > O, si osserva che:

= a 2 -w~

(6.87)

164

6. TRANSITORI

2 2 G) o 2 -w.>O ⇒ a2>w.2 ⇒ ( 2G

l ⇒ > LC

l

G2 1 ⇒ G2>4C ⇒ G>2 -=G ->4C2 LC L L e

(6.88)

La quantità Gc è detta conduttanza critica. Le due radici sono reali, distinte e negative (Fig.6.25):

(6.89)

82

I = -o-Jo2-w2• = -T2

(6.90)

Im Re

Figura 6.25. Radici reali e distinte sul piano complesso.

La soluzione dell'equazione differenziale del secondo ordine risulta:

(6 .91)

Le costanti arbitrarie si determinano con le condizioni iniziali.

·{

u(O) =Ai+ A2

~1,-o = s1A1 +s2A2

All'istante iniziale il circuito equivalente è quello di Fig.6.26. Da cui si ha:

(6.92)

6.6 TRANSITORIO GLC IN RISPOSTA LIBERA

Figura 6.26. Transitorio GLC. Circuito equivalente al tempo t

v(O)

= Vc0

165

=o+ .

(6.93)

Inoltre si osservi che:

da cui

~, dt

i-o

= ic(o+) = C

ic(o+) + ii(o+) C

1 (/

= -C

LO+

cv. ) GO

{6.96)

In questo modo si ricavano le costanti arbitrarie. L'andamento di v(t) è detto sovrasmorzato perchè la conduttanza~ maggiore di qual/a critica (G > Gc) • Assumendo

Vc0>0;ho>O

(6.97)

si può rappresentare v(t) sommando algebricamente i due esponenziali (che hanno diversa costante di tempo) {Fig.6.27). Con la scelta fatta per VGO e per ho si ottiene:

tan/3= ~, dt

=O

Se t:,. = O, le due radici caratteristiche sono reali, coincidenti e negative (Fig.6.28):

166

6. TRANSITORI

v(t)

Figura 6.27. Transitorio libero GLC. Andamento nel tempo dei due esponenziali e della loro somma nel caso sovrasmorzato.

1m -a

Re

Figura 6.28. Circuito CLG. Rappresentazione delle frequenze naturali ooincidenti e negative sul piano complesso.

81,2

= -a

(6.99)

La soluzione dell'equazione differenziale del secondo ordine risulta:

v(t) == A1e' 1 + A2te••

(6.100)

Le costanti arbitrarie si determinano con le condizioni iniziali.

ti(O)

= A1

(6.101) (6.102)

6.6 TRANSITORIO GLC IN RISPOSTA LIBERA

167

Ma

-dvi

dt •=o

v(O) = vdl

(6.103)

l = --(ho+GVc0)

(6.104)

e

e quindi (6.105)

dvi

A2= -

dt

,=0

I G -sA1=--ho+-Vc0 C 2C

(6.100)

L'andamento di v(t) è detto critico. Assumendo

Vc0 > O;ho > O

(6.107)

si veri fica che

(6.108) La soluzione del transitorio risulta:

(6.109) Si può rapprescntarev(t) moltiplicando l'esponenziale per la retta (Fig.6.29) . < O, si osserva che:

Se D.

(6.110)

Posto (6.111) si chiama pulsazione naturale la quantità wd , Le due radici sono complesse coniugate, con parte reale negativa (Fig.6.30):

(6.112)

168

6. TRANSITORI

e"

"'

v(t)

Figura 6.29. Circuito GLC. Transitorio di risposta libera per frequenze naturali reali negative e coincidenti (andamento critico).

Re

Figura 6.30. Circuito GLC. Rappresentazione delle frequenze naturali complesse e coniugate sul piano complesso.

La soluzione dell'equazione differenziale del secondo ordine è:

= A1e-"1ei"'•1 + A2e-"'e-;..,, = e-"'(A 1 ei"'•' + A2e-;"'•') Il termine e-t è detto faUore smorzante. Applicando le formule di Eulero si ha:

(6.113)

6.6 TRANSITORIO GLC IN RISPOSTA LIBERA

169

(6.114) Si determini il legame tra (K 1, K2) e (K,,p). Si può scrivere:

= K oos(,p)cos(w0 t) + K sin(,p)sin(w0 t)

(6.115)

K1

= K oos(,p)

(6.116)

K2

= Ksin(,p)

(6.117)

Sommando i quadrati di K 1 e K2 si ottiene:

K 2 -- K2, + K22 => K

= J'A J\j" + J(2 2

(6.118)

Inoltre / ',

a= O=> wd = wo

(6.125)

v(t) = K cos(wot - ip)

(6.126)

con cui si ha:

6.6 TRANSITORIO GLC IN RISPOSTA LIBERA

171

b)

Figura 6.32. Andamento della tensione e della corrente del circuito oscillante (a) ; energia del condensatore e dell'induttore del circuito oscillante (b).

La pulsazione di risonanza wo è quindi la pulsazione dell'oscillazione in assenza di smorzamento. L'andamento della corrente nell'induttore risulta:

.

dv(t)

-•e(t) = -Cdl CKWQsin(wot-O

Figura 6.34. Circuito GLC in transitorio forzato .

Per l'analisi si impone l'equilibrio delle correnti:

.ic + ÌL + ic = ls

(6.128)

(6.129) Sì ha una equazione integro-differenziale che può essere trasformata in una equazione differenziale del secondo ordine derivando rispetto al tempo:

(6.130)

6.8 TRANSITORIO RLC

173

Si ottiene la medesima equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti già considerata in precedenza. Il transitorio è pertanto qualitativamente identico al procedente, salvo le diverse condizioni iniziali e finali. All'istante t o+ il circuito equivalente si presenta come in Fig. 6.35.

=

Figura 6.35. Circuito equivalente al tempo t

= o+

per lo studio del transitorio

G LC foriato.

L'equilibrio delle correnti permette di scrivere:

(6.131)

La derivata della tensione all'istante iniziale ora dipende anche da I s e cos\ pure le costanti A 1 e A2.

6.8 TRANSITORIO RLC

r

Si consideri il circuito di Fig.6.36.

Fig1Jra 6.36. Transitorio RLC oerie in risposta libera. Il condensatore di capacità C inizialmente presenti una tensione Vc0. L'induttore di induttanza L inizialmente sia attraversato da una corrente lu, . All'istante t O avviene la commutazione di entrambi gli interruttori ed il circuito si presenta ora come in Fig. 6.37. La somma delle tensioni della maglia deve essere zero:

=

174

6. TRANSITORI

Figura 6.37. Circuito equivalente RLC per t > O.

t1c+t1R+t1c=0

(6.132)

f

(6.133)

ovvero:

L~+m+b

id.t+vc(0) =0

da cui, derivando ripetto al tempo, si ottiene:

tP ·

di 1 (6.134) dt dt C Si ha una equazione differenziale lineare del secondo ordine, a coefficienti costanti, duale di quella già vista per il transitorio GLC parallelo. L'equazione caratteristica risulta:

L_!_2 +R-+-id.t =0

·R

1

s2+1;8+LC=0

(6.135)

e le sue radici sono:

(6.136) Non si ritiene di dover procedere oltre nell'analisi, in quanto tutti i risultati che possono ottenersi sono perfettamente duali di quelli già visti per il transitorio GLC parallelo.

6.9 TRANSITORIO RL CON FORZANTE SINUSOIDALE Si consideri ora il transitorio di un circuito RL serie (Fig.6.38) al quale venga applicata, al tempo t = O, una sorgente di tensione sinusoidale:

6.9 TRANSITORIO RL CON FORZANTE SINUSOIDALE

175

Figura 6.38. Transitorio RL forzato in regime sinusoidale.

vs(t)

= VM · cos(wt + oo)

(6.137)

L'equilibrio delle tensioni nella maglia impone che:

Vs

(6.138) la soluzione dell'equazione differenziale del primo ordine fornisce la corrente i(t) nella maglia: ·

i(t)

Ae-f

+ i 00 (t) =

= i,(t) + i 00 (t)

(6.139)

= IMcos(wt + 0 + ; F'2vr = IF2vrlei(w,t+.,),

(7.26)

il loro prodotto coniugato:

(7.27) è un vettore rotante di ampiezza pari al prodotto delle ampiezze, velocità angolare pari alla differenza delle due velocità angolari e angolo di fase iniziale pari alla differenza degli angoli iniziali. Se, in particolare, i due vettori rotanti banno la atessa velocità angolare w, oesia sono associati a due sinusoidi isofrequenziali, il vettore risultante ba velocità angolare nulla e angolo di fase pari alla differenza dei due angoli d i fase, oesia è un semplice numero complesso:

(7.28) Il fasore associato al prodotto coniugato di due sinusoidi isofrequenziali di valore efficace F1 ed _F 2 è un numero compleaao:

F

= F, · E2 = F1F2ei

(7.29)

Il prodotto di un fasore per il proprio coniugato risulta:

(7.30) ed è cioè pari al quadrato del oolore e ~ del fasore in questione.

186

7. REGIME SINUSOIDALE

7.3.5 Rapporto Dati due vettori rotanti di velocità angolare w 1 e w2 e fasi iniziali (Fig. 7. 7):

7.4 BIPOLI IN REGIME SINUSOIDALE

189

1] Figura 7.7. Generico bipolo in regime sinusoidale.

v(t) i(t)

(7.44) (7.45)

La potenza istantanea p(t) assorbita dal bipolo risulta:

p(t)

v(t) · i(t) = VMIM (oos(wt)) (oos(wt -)) l

l

2VM1Moos+ 2VM1Moos(2wt -)= VI oost{> +VI cos(2wt - )

(7.46)

ed è evidente che il primo contributo al secondo membro rappresenta anche il oolor rmdio della potenza istantanea:

p (7.47) Il lavoro eleUrico complessivamente assorbito in un ciclo T vale:

W

=

f

p(t)dt

=P ·T

(7.48)

Nel modello di bipolo in esame, questo lavoro può essere interamente convertito in altro forma di lavoro (meccanico, chimico o altro) o aolo parzialmente (convertitore con perdite). In un bipolo reale, una frazione del lavoro entrante ai trasforma sempre in calore, a causa dell'irreversibilitd delle trasformazioni fisiche. Il secondo contributo della potenza istantanea (V I cos (2wt - tf>)) ha pulsazione doppia e non contribuisce al lavoro netto assorbito in un ciclo dal bipolo (Fig.7.8) .

190

7. REGIME SINUSOIDALE

Figura 7.8. Potenza istantanea p(t) assorbita da un bipolo in regime sinusoidale; potenza media P; angolo di ritando 4> = 60" della corrente i(t) rispetto alla tensione v(t).

=

Se l'angolo ,t, è maggiore di zero, coo,t, < 1, la potem:a media P V I coo ,t, è minore dell'ampiezza massima della componente pulsante (V I) . In tal C890 vi è in un ciclo T un intervallo di tempo, in cui la potenza istantanea è negativa, ossia il bipolo eroga realmente lavoro (6W vidt < O). Quando ciò avviene, il bipolo è sede di accumulo di energia magnetica o dielettrica, ossia il circuito equivalente agli effetti esterni del bipolo è cootituito da un induttore o un condensatore oltre che da un resistore.

=

7.4-1

Potenza apparente complessa

Nel dominio dei fasori si definisce la potenza apparente complessa. Essa si ottiene dal prodotto del fasore tensione i7 per il coniugato del fasore corrente[:

A ,A.

=

p

Q A

"'

=

VL=Aei'=P+jQ VI (VA] !Al coo,t, =VI coo,t, [W] !]il sin ,t, =V I sin ,t, [var]

(7.49) (7.50) (7.51)

JF2+Q2

(7.53)

arctan2

(7.54)

p

(7.52)

7.4 BIPOLI IN REGIME SINUSOIDALE

191

Le componenti cartesiane della potenza apparente complessa sono la potenza reale (o attiva) Pela potenza reattiva Q. Si riconosca che la potenza reale coincide con il valor medio della potenza istantanea ( P = V I cos ,f,) e che il modulo della potenza apparente A = \I I è uguale all'ampiezza della componente pulsante della potenza istantanea (V I cos (2wt + ,t,)). Alla terna delle potenze apparente, reale e reattiva si può associare un triangolo rettangolo (Fig.7.9).

~Q p Figura 7.9. Triangolo delle potenze in regime sinusoidale.

7.4-2 Resistore in regime sinusoidale Un resistore lineare ha le seguenti equazioni costitutive (Fig.7.10):

Im

TI

l

V Re

Figura 7.10. Resistore in regime sinusoidale e diagramma dei fasori.

1a ~V=Rl Gv~ I=GV

V

oppure i

(7.55) (7.56)

In un resistore, la tensione e la corrente sono in fase {Fig.7.11). La potenza assorbita vale:

oppure p

~ A=VL=RI2 Gv2 ~ A= VI= GV2 = P 2

1a

p

=

(7.57)

(7.58)

192

7. REGIME SINUSOIDALE

Figura 7.11. Tensione, corrente e potenza istantanea in un resistore in regime

sinusoidale.

La potenm istantanea è proporzionale al quadrato della corrente (o della tensione). La potenm apparente ha solo la componente reale. In un resistore controllato in corrente: i(t)

= IM oos(wt),

(7.59)

la tensione vale:

(7.60) e la potenm istantanea vale:

p(t)

=

Ri2

=mi (cos(wt))2 =!rui[1 + cos2wt] = 2

Rfl + Rfl C09 2wt

= p + p 006 2wt

I,

(7.61)

Analogamente, in un resistore controllato in tensione:

=VM cos(wt) ,

(7.62}

= Gv = GVM cos(wt) = IM coswt

(7.63)

v(t) La corrente vale: i(t)

e la potenza istantanea vale:

7.4 BWOLI IN REGIME SINUSOIDALE

p(t)

Gv2

= GVft (oos(wt)) 2 =

GV2 + GV 2 cos2wt

193

~GVft[l + oos2wt) =

= P + Poos2wt

(7.64)

Si noti che in un resistore 'la potenza i&tantanm non è mai negativa. Si osservi anche che il lavoro elementare assorbito da un resistore è:

=vidt =vdq

6W

(7.65)

e che il lavoro complessivo assorbito in un ciclo vale:

W=

f

(7.66)

vdq

Riconoscendo che la carica elettrica q(t) che fuisce nel resistore è sfasata in ritardo di ; rispetto alla corrente i(t) del resistore:

q(t) =

Iu ·-' w cos(wt -

1r

2)

(7.67)

il ciclo di lavoro descritto nel piano di coordinate (v, q) è ellittico centrato e peroorso in senso antiorario (Fig.7.12) di area uguale al lavoro elettrico assorbito e al calore generato in un ciclo:

lu W=1r-Vu w

= VI•T= P·T

(7.68)

7.,pJ Induttore in regime sinusoidale Un induttore lineare ha le seguenti equa.zioni costitutive (Fig.7.13):

V

oppure i

di

Liii

r

!

⇒

vdt

-

V

⇒

= jwLI- = jXLI-

(7.69)

rI= -:-V= -jBLV

(7.70)

-

JW

dove XL= wL è la reattanza induttiva, che si misura in ohm, e Bi

=

E= -dr; è la suscettanza induttiva dell'induttore (o reattore), che si misura in siemens.

· ··

In un induttore, la tensione è sfasata in anticipo di con-ente (Fig.7.13).

i

rispetto alla

194

7. REGIME SINUSOIDALE

2

xt0~ q(I)

,..

...

/"'

r----,___

'\

/

....

_, \.

_,..

.,

-2

V

...........

/

...

....

Figura 7.12. Ciclo ellittico di lavoro di un resistore: la tensione istantanea è posta in ascissa e la carica istantanea è posta in ordinata. Il ciclo è percorso in senso antiorario e corrisponde ad un lavoro assorbito positivo.

Im

v II..

2

T

Re

Figura 7.13. Induttore in regime sinusoidale e diagramma dei rasori.

Figura 7.14. Tensione, rorrente e potenza istantanea in un induttore in corrente alternata a 50 Hz.

7.4 DJPOLI IN REGIME SINUSOIDALE

195

La potenza assorbita da un induttore lineare vale:

vi= Li~

p

oppure

r

2

f / v dt

~ ~

= iQL

(7.71)

A= VL=iBLV =iQL

(7.72)

A= VI= iXLti 2

La potenza istantanea è proporzionale al prodotto della corrente per la sua derivata (oppure al prodotto della tensione per il suo integrale). La potenza apparente ha solo la componente immaginaria positiva che è detta potenza reattiva e vale:

(7.73) In un induttore controllato in con-ente:

= IM cos(wt),

(7.74)

di = Ldt = -wLIMsin(wt) = -VMsinwt

(7.75)

i(t)

la tensione vale:

v(t)

e la potenza istantanea vale: .!

v(t) · i(t)

p(t)

= -wL/i{sin(wt)cos(wt) =

(7.76)

- XL/lt sin2wt = -XL/2 sin2wt =

=

-QLsin2wt

La potenza istantanea massima dell'induttore è uguale alla potenza reattiva ed ba valor medio nullo. Analogamente, in un induttore controllato in tensione:

v(t)

= VM cos(wt),

(7.77)

La corrente vale:

(7.78) e la potenza istantanea vale:

196

7. REGIME SINUSOIDALE

p(t)

= =

v(t)i(t)

E1:

=VM cos(wt)IM sinwt =

sin2wt = BLV2 sin 2wt = (7.79)

QLsin2wt

In un induttore la potenza istantanea è alternativamente positiva e negativa con pulsazione doppia. Si osservi che il lavoro elementare assorbito da un induttore è:

6W

= vidt = id,t,

(7.80)

e che il lavoro complessivo assorbito in un ciclo vale: (7.81) Riconoscendo che il flusso concatenato ,t,(t) dell'induttore è sfasato in ritardo di ! rispetto alla tensione v(t) dell'induttore, esso risulta in fase con la corrente i(t):

,t,(t)

= =

VM w cos(wt - 2 ) = 11"

'1tMsin(wt)

(7.82)

Il ciclo di lavoro descritto nel piano di coordinate (,t,, i) è rettilineo degenere (Fig.7.15) ossia di area nulla essendo nullo il lavoro elettrico assorbito in un ciclo:

(7.83) Alla nozione di potenza reattiva Q = XLI2 = BL V 2 si può anche 8S'30ciare quella di lavoro reso alla SOJYente durante la fase di scarica dell'induttore. Il lavoro reso è definito come il valore assoluto dell'integrale della potenza istantanea p(t) assorbita negativa. Esso è il doppio dell'aria del triangolo di base lM e al~za l{IM, com'è evidente dalla caratteristica di magnetizzazione o dal ciclo di lavoro degenere:

l 2 1{,MJM

2

=

= l{IMJM

VM 2 2Q -lM=-VI=-=ZUi w w w

(7.84)•

2w

(7.&5)

(J]

7.4 BIPOLI IN REGIME SINUSOIDALE

197

-1 ~ - - - - - ~ - - ~ - - ~ -1 -0.5 o 0.5 Figura 7.15. Ciclo rettilineo degenere di lavoro di un indutt.ore: la corrente istantanea (i(t)) è posta in ascissa e il flusso concatenato istantaneo (fc(t)) è posto in ordinata.

Il lavoro reso alla sorgente è il doppio dell'energia massima UL dall'induttore ma è anche proporzionale alla potenm reattiva Q dell'induttore. La nozione di lavoro reso alla 110rgente da un componente elettrico ha un importante significato termodinamico per quei componenti capaci di effettuare una conversione di lavoro eleUrico tn lavoro ,di altro tipo, in quanto da esso dipende il rendimento termodinamico della"conversione (induttori tempo-varianti con scambio di lavoro meccanico o di altro tipo). Quanto maggiore è il lavoro reso alla 90rgente primaria in un ciclo di lavoro tanto minore è il rendimento termodinamico.

7.4.4

Condensatore in regime sinusoidale

Un condensatore lineare ba le seguenti equazioni costitutive (Fig.7.16):

dv Cdl

oppure

11 . -

S

=}

-I=jwcv =jBcV -

J -

1 idt ⇒ V= ;wel

=

(7.86)

-jXcl

(7.87)

=

dove Be wC è la au.,cettanza capacitiva, che si misura in ohm, e Xc ~ è la reattanza capacitiva del condensatore, che si misura in

=t =

siemens.

In un condensatore, la corrente t sfasata in anticipo di tensione (Fig. 7.16). La potenm assorbita da un condensatore lineare vale:

i

rispetto alla

198

7. REGIME SINUSOIDALE

TI

Im

e e

.

l 1I.

2

i7 Re Figura 7.16. Condensatore in regime sinusoidale e diagramma dei fasori.

Figura 7.17. Tensione, corrente e potenza istantanea in un condensatore in regime sinusoidale a 50 Hz.

7.4 BlPOLI IN REGIME SINUSOIDALE

=

p

vi= Cv~ => A= VI= -iXr,/ 2 = -iQc (7.88) S

oppure p

199

f

i 2 dt => A= VL

= -jBcV2 = -jQc

(7.89)

La potenza istantanea è proporzionale al prodotto della tensione per la sua derivata (oppure al prodotto della corrente per il suo integrale). La potenza apparente ha solo la componente immaginaria negativa che è detta potenza reattiva e vale:

(7.90) In un condensatore controllato in tensione:

v(t)

=VM cos(wt),

(7.91)

la corrente vale:

i(t)

=C~ =-wCVM sin(wt) = -IM sinwt '

(7.92)

e la potenza istantanea vale:

p(t)

= =

v(t) . i(t) = -wcvt sin(wt) cos(wt) = BcV2 -Tsin2wt=-BcV2 sin2wt=

(7.93)

-Qcsin2wt

(7.94)

La potenza i.,tantanea massima del condensatore è uguale alla potenza reattiva ed ha valor medio nullo (Fig.7.17). Analogamente, in un condensatore controllato in con-ente:

(7.95) la tensione vale:

v(t) =

b

fidi,=~~ sinwt = VM sinwt

e la potenza istantanea vale:

(7.96)

200

7. REGIME SINUSOIDALE

p(t)

= IM cos(wt)VM sinwt = = ,:2é sin 2wt = Xcl 2 sin 2wt =

(7.97)

=

(7.98)

v(t)i(t)

Qisin2wt

In un condensatore la potenza istantanea è alternatiwmente positiw e , negativa con pulsazione doppia. · Si osservi che il lavoro elementare 8SSOrhito da un condensatore è:

(7.99)

5W = vidt = vdq e che il lavoro complessivo assorbito in un ciclo vale:

W=

f

(7.100)

vdq

Riconoscendo che la carica q( t) (ovvero il flusso dielettrico t/1 0 ( t)) del condensatore è sfasato in ritardo di rispetto alla corrente i(t), essa risulta in fase con la tensione v(t):

i

q(t)

= =

IM ""w""'coe(wt -

11'

2) =

qMsin(wt)

(7.101)

Il ciclo di laooro descritto nel piano di coordinate (q,v) è rettilineo degenere (Fig. 7.18) oesia di area nulla essendo nullo il lavoro elettrico assorbito in un ciclo:

W=

f

(7.10'2)

vdq=O

=

=

Alla nozione di potenza reattiva Q Xc/2 Bcv2 si può anche associare quella di lallOl"O reso alla sorgente durante la fase di scarica del condensatore. Il lavoro reso è definito come il valore assoluto dell'integrale della potenza istantanea p(t) assorbita negativa. Esso è il doppio dell'aria del triangolo di base VM e altezza qM, com'è evidente dalla caratteristica di magnetizzazione o dal ciclo di lavoro degenere (Fig.7.18): l

2 qMVM

2

Uc

=qMVM

JM 2 2Qc -VM=-Vl=-=2Uc w w w Qc w

(7.103) (7.104)

7.4 BIPOLI IN REGIME SINUSOIDALE

201

q

o

0.5

Figura 7.18. Ciclo degenere dì lavoro dì un condensatore: la tensione istantanea (v) è posta in ascissa e la carica elettrica (q) (o il flusso dielettrico) istantaneo è posta in ordinata.

Il lavoro reso alla sorgente è il doppio dell'energia massima Uc ma ,è anche proporzionale alla potenza reattiva Qc. La nozione di lavoro reso alla sorgente da un componente elettrico ha un importante significato tennodinamico per quei componenti capaci di effettuare una conversione di lavoro eleUrico in lavoro di altro tipo (condensatori tempo-varianti con scambio di lavoro meccanico o dì altro tipo), in quanto da esso dipende il rendimento termodinamico della conversione. Quanto maggiore è il lavoro reso alla sorgente primaria in un ciclo di lavoro, tanto minore è il rendimento termodinamico.

7.f5

RLC in regime sinusoidale

Si consideri ora i tre bìpoli passivi RLC in serie fra loro e alimentati da una sorgente sinusoidale (Fig.7.19).

Figura 7. 19. Circuito RLC tipo serie in regime sinl190idale.

Per l'equilibrio delle tensioni della maglia si ha:

202

7. REGIME SINUSOIDALE

V

Vn+ Vi+ Ve= R] +jXiI-jXcl (R+ jXi -jXc ]I = Zl

(7.105)

dove Z è l'impedenza del bipolo equivalente. L'impedenza è un operatore complesso che applicato al fasore corrente dà il fosore tensione. Quando è nulla la parte immaginaria dell'impedenza di un circuito contenente almeno un induttore e un condensatore, il circuito si dice in risonanza. L'impedenza Z si può esprimere in forma cartesiana:

Z = R+j(Xi -Xc)= R+jX

(7.106)

o polare

(7.107) Si passa dalla forma cartesiana a quella polare mediante le seguenti relazioni:

z

JR 2 + (Xi -Xc) 2 Xi-Xc arctan --R--

(7.108) (7.109)

Dalla forma polare si passa alla forma cartesiana mediante le seguenti relazioni:

R

z ca, 4>

Xi-Xc

Zsinq,

(7.110) (7.111)

I parametri R, Xi - Xc, Z ca,tituiscono i cateti e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo (Fig. 7.20).

R Figura 7.20. Triangolo dell'impedenza.

7.4 BIPOLI IN REGIME SINUSOIDALE

203

lm VL

v,+V:,

-----,,V

z f/)

Vc

R

v.

I

Re

Figura 7.21. Diagramma dei fasori del circuito RLC.

Il diagramma dei fo.sori del circuito RLC rappresenta le tensioni e la corrente nel piano complesso (Fig.7.21). Ponendo la corrente 7 sull'asse reale, 7 I e pertanto V ZI ZJeief>, ossia l'angolo caratteristico 4> dell'impedenza Z è anche l'angolo di sfasamento della tensione V rispetto alla corrente 7. La potenza apparente e le sue componenti reale e immaginaria assorbite dal circuito RLC valgono:

=

A

=

A

=

p Q

VL= ZII= Z/2 = ZI 2ei" = Aei" = P + jQ VI Acos4> = R/2 Asinq,

=(XL -

Xc)/2

=

=

{7.112) {7.113) {7.114) (7.115)

Si osservi che la potenza reattiva Q è sempre la differenza fra due contributi, uno dovuto all'induttore ed uno dovuto al condensatore. La potenza reattiva è nulla se il circuito è in risonanza (XL - Xc= O) . Nel dominio del tempo, a corrente impressa:

(7.116)

si ha:

204

7. REGIME SINUSOIDALE

VR(t) vL(t)

RlMcoswt -WLlMsinwt -XLlMsinwt

= Z: j lMcoswt dt

vc(t)

1 I

(7.117) (7.118)

(7.119)

.

wG M&mwt XclMsinwt Ma per l'equilibrio delle tensioni:

V

=

=

VR +vL +ve RlMcoswt+(Xc-XL)lMsinwt

(7.120)

e il contributo dovuto all'induttore e al condensatore sono in opposizione di fase e quindi si compensano parzialmente o totalmente. La potenza istantanea p(t):

v(t) i(t)

p(t)

=

RI?, ca?wt + (Xc -XL)l?, sinwtcoswt RIJ.,

=

G+ ~cos2wt) +

(Xc - XL)IJ.,~sin2wt

Rl2+Rflcos2wt+(Xc-XL)l2 sin2wt

(7.121)

e il contributo dovuto all'induttore e al condensatore sono in opposizione di fase e si compensano parzialmente o totalmente (Fig.7.22) . Il oolor medio della potenza istantanea è P RI2 è quello associato alla dissipazione nel resistore.

=

7.f 6 'Iras/ormazione serie-parallelo Dato un bipolo di tipo serie è naturale caratterizzarlo a corrente impressa. Ma l'analisi di una rete della quale quell'elemento fa parte può richiedere una rappresentazione controllata in tensione, ovvero di esprimere il bipolo tipo serie con un equivalente tipo parallelo (Fig. 7.23). L'equazione costitutiva del circuito RLC controllato in tensione risulta:

dove il numero complesso dell'impedenza Z:

V

è

l'àmmettanza del circuito ed è l'inverso

7.4 DIPOLI IN REGIME SINUSOIDALE

205

1.5~--~--~---~--~

10

20

30 t[msD 40

Figura 7.22. Potenze istantanee in un circuito RLC; potenza istantanea totale (p); potenza istantanea induttiva (pL); potenza istantanea capacitiva (pC); potenza istantanea resistiva (pR); potenza media (P).

,·

Figura 7.23. Bipolo equivalente parallelo di un circuito RLC.

206

7. REGIME SINUSOIDALE

V

y tan(-4>)

1

1

= Z = R+j(Xi-Xc) R-j(Xi-Xc)

R

.Xi

.Xc +Jp

=

= Z2-J z2 G+j(Bc-BL) =

=

Ye-i4'

{7.122)

JG2 + (Be - BL) 2

(7. 123)

R2+(Xi-Xc)2

(Bc-BL)

(7.124)

e

½)

Si noti che l'ammetten1Ja ha modulo inverso dell'impeden1Ja (Y = e angolo caratteristico opposto (-q,). Sono cosl definite la conduttan1Ja equivalente G, la suscettan1Ja equivalente capacitiva Be e quella induttiva Bi :

e Be Bi

R

z2 Xc

Z2 Xi

Z2

{7.125) (7.126) {7.127)

La potenza apparente a tensione impressa vale:

A A P Q

=

VL=VYV=J:'.:V 2 YV 2 ei" = P + jQ YV 2

(7.129)

cv2

(7.130)

(Bi-Bc)V 2

(7.131)

(7.128)

ossia la poten1Ja apparente ha i medesimi attributi dell'ammetten1Ja coniugata l'.: = Yei.

7.4- 7 Trasformazfone parollelo-serie Dato un bipolo di tipo parallelo è naturale caratteriz1Jarlo a tensione impressa. Ma l'analisi di una rete della quale quell'elemento fa parte può richiedere una rappresentazione controllata in corrente, ovvero di esprimere il bipolo tipo parallelo con un equivalente tipo serie. L'equazione costitutiva del circuito RLC controllato in tensione risulta:

7.5 PAIITITORE DI TENSIONE

207

Figura 7.24. Partitore di tensione in regime sinusoidale.

dove il numero complesso dell'ammettenza Y:

z

Z

è l'impedenza del circuito ed è l'inverso

1

1

Y = G+j(Bc-BL) G-j(Bc-BL) + (Be - BL)2

(J2

G

.Be

.BL

= y2 - 1 y2 + 1 y2

(7.132)

R+j(XL-Xc) Sono cosl definite la resistenza equivalente R, la reattanza equivalente induttiva XL e quella capacitiva Xc :

G

R

XL Xc

y2 ·

= =

BL y2 Be y2

(7.133) (7.134) (7.135)

7.5 PARTITORE DI TENSIONE Un insieme di bipoli in serie vengono caratterizzati a corrente impressa e costituiscono un partitore di tensione (Fig.7.24). Per l'equilibrio delle tensioni nella maglia, si ha:

208

7. REGIME SINUSOIDALE

Figura 7.25. Partitore di corrente in regime sinusoidale.

V

z

V 1+V2= Z11+z21=(z1+Z2)1

=

ZI

(7.136)

Z1+Z2

(7.137) (7.138)

L'impedenza equivalente di piÌI impedenze in serie è la somma delle impedenze. E questo ronsente di semplificare la rappresentazione di piÌI impedenze in serie oon una sola impedenza. La tensione V I su di una impedenza Z 1 della catena sta a tutta la tensione V come l'impedenza Z I sta all'impedenza totale Z. E questa è la regola del partitore di tensione in regime sinusoidale.

7.6 PARTITORE DI CORRENTE Un insieme di bipoli in parallelo viene caratterizzato a tensione impressa e costituisce un partitore di corrente (Fig.7.25). Per l'equilibrio delle correnti nel nodo, si ha:

1

y 11 1

1. +12= Y1V + Y2V = (Y1 + Y2) V

= =

(7.139)

YV

Y1+Y2 Y1 y

(7.140) (7.141)

L'ammettenza equit1Glente di piÌI ammettenze in parallelo è la somma delle ammettenze. E questo consente di semplificare la rappresentazione di piÌI ammettenze in parallelo oon una sola ammettenza.

7.7 TRASFORMAZIONE TRIANGOLO-STELLA E STELLA-TRIANGOLO

Figura 7.26. Trasformazione stella-triangolo e triangolo-stella.

La corrente I I in una ammettenza Y I dell'inaieme sta a tutta la corrente I come l'ammettenza Y I sta all'ammettenza totale Y. E questa è la regola del partitore di corrente in regime sinusoidale.

L

7. 7 TRASFORMAZIONE TRJANGOLO-STELLA E STELLA-TRIANGOLO Le formulazioni dei tripoli e dei doppi bipoli in regime stazionario possono essere estese al regime sinusoidale pur di sostituire alla tenaione il fasore tensione, alla corrente il fasore corrente, alla resistenza l'impedenza, alla conduttanza l'ammettenza, ai rapporti reali fra tensioni a vuoto o correnti di corto i corrispondenti rapporti fra fasori. Si possono cosi riprodurre le due formulazioni omogenee, a correnti impresse e a tensioni impresse, le formulazioni ibride e quelle di trasmissioni, estendendo al regime sinusoidale considerazioni analoghe a quelle già viste in dettaglio per il regime stazionario. Questa estensione non sarà effettuata qui di seguito, ritenendo di aver già fornito allo studente lo strumento logico necessario per effettuarla autonomamente. Ci si limiterà ad evidenziare solo alcuni punti, quale la trasformazione stella-triangolo, utile per semplificare le reti oggetto di analisi. Un triangolo di ammettenze può essere sostituito da una stella di impedenze {Fig. 7.26). Le impedenze della stella sono legate alle ammettenze del triangolo dalle seguenti relazioni:

209

210

7. REGIME SINUSOIDALE

Z 11,2,3)Y

v(I.~'" =>

(7.142)

detY t>

I

z;

-

r.z; + z7z, + tr. -

I

Z2Z3

(7.143)

Z1+Z2+Z3 t>

e analogamente per le altre due. Se le tre impedenze sono uguali, una impedenza della stella equivalente è ½di una impedenza del triangolo. E dualmente si passa dalla stella al triangolo:

v1,.2,3)"

Z(t,2,3)Y

(7.144)

detZy ..lY,

V';'Y, + Y,iY, + Y,1Y, Y2Y3 Y1+Y2+Y3

I

(7.145)

y

con espressioni perfettamente duali.

Se però ci si ostina a ragionare solo in termini di impedenze, come purtroppo frequentemente accade, si perde la simmetria della tro.sfonnazione.

7.8 SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Come nel regime stazionario, anche nel regime sinusoidale vale la sovrapposisione degli effetti per le reti lineari. In un sistema lineare, l'effetu, risultante di più cause agenti simultaneamente t! pari alla somma degli effetti delle singole cause agenti separatamente.

Le cause in una rete elettrica sono, di regola, le tensioni e le correnti delle sorgenti. Gli effetti sono le tensioni e le correnti sui lati della rete. Ogni tensione ed ogni corrente di lato si può calcolare come somma di tanti contributi quante sono le sorgenti della rete. Il generico contributo viene calcolato lasciando attiva solo una sorgente e disattivando tutte le altre (corto-circuitando quelle di tensione e aprendo quelle di corrente). Questo metodo di analisi torna comodo quando una rete elettrica è alimentata con sorgenti sinusoidali non isofrequenziali e sorgenti continue. Si risolve la rete ad ogni frequenza di ciascuna sorgente (o gruppo di sorgenti isofrequenziali) con il metodo dei fasori e si trovano i contributi parziali di tensione e corrente. Alla fine si sommano i vari contributi.

7.8 SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

211

Figura 7.27. Esempio di applicazione del metodo della sovrapposizione degli effetti. Ad esempio, si voglia determinare la potenza dissipata nel risistore R della rete di Fig.7.27. La sorgente di tensione Vs e di corrente 1s abbiano diversa frequenza /1 ed h- La potenza P dissipata nella resistenza R vale:

P=Rl2 =R(lr+m

(7.146)

dove li e 12 sono i valori efficaci delle correnti nel resistore di resistenza R dovute alla sorgente di tensione e di com,nte, rispettivamente. Si osservi, per inciso, che il quadrato del' valore effu:ace di una corTente sinusoidale composta da più sinusoidi non isofrequenziali t semplicemente uguale alla somma dei quadrati dei valori efficaci delle singole sinusoidi :

(7.147) Nessun contributo è dovuto ai doppi prodotti, presenti nel quadrato del valore istantaneo della corrente risultante, in quanto essi non contribuiscono al va/or medio del quadrato del valore istantaneo, che si effettua per il calcolo del valore efficace di una qualunque grandezza:

+ ½(t)

i(t) p(t)

. i1 (t)

p

Rr2

12

~ {T i2dt =

Ri2 (t)

(7.148) (7.149) (7.150)

T fo

f 1T

(i~+i~+2i1i2)dt=lf+li

(7.151)

212

7. REGIME SINUSOIDALE

Figura 7.28. Rete attiva lineare ed equivalente tipo serie.

7.9 THEVENIN-NORI'ON Una qualsivoglia rete attiva lineare con sorgenti isofrequenziali, vista da una qualsivoglia coppia di terminali, è equivalente ad una sorgente equivalente (di tensione o di corrente) e ad un elemento passivo (in serie o in parallelo). Questo è conseguenza del fatto che un insieme di elementi lineari deve presentare sempre, agli effetti esterni, una caratteristica lineare ossia definita da due parametri ai quali si possono associare, in generale, una sorgente ed un elemento passivo. Si noti, comunque, che anche una rete contenente elementi non lineari pu Im[z] = - Im[zsl

(7.164}

ma allora la prima diventa: 8D

8Re[zj Re[z]

(7.165}

La locale stazionarietd della potenza P erogata richiede un vincolo fra l'impedenza Z e l'impedenza della sorgente Zs : le loro parti immaginarie devono essere opposte mentre le parti reali devono essere uguali. Che la locale stazionarietà sia un punto di massimo della potenza erogata P (ovvero di minimo del denominatore D) dipende dal valore del determinante delle derivate parziali seconde, o meglio dal valore del determinante della matrice costruita con tali derivate parziali. Se:

det

[

ll'D

ll'p

8Re(Z)8Im(Z)

BRe~l1;t(z) 8Im(Z)2

~

]

>O

(7.166}

la runzione D ha un minimo e quindi la potenza P ha un massimo. Le derivate seconde:

216

7. REGIME SINUSOIDALE

2

2

2

Re (Z5 ] + 2 [Im(Zs)+Im(Zl] 1 Re3(Z] Re3(Z]

°Z=.Z.,,

=

1

2Re{Z} > O;

(7.167)

1 2Re(Z) > O;

(7.168)

-2 (Im(Zs] + Im(Z]] 8Re(Z)éHm(Z]

Re2[z)

I-z-z.s =

O

(7.169)

Pertanto il determinante risulta: 4

det( ...) = Re2(Z] > O

(7.170)

La funzione D ha un minimo e la potenza erogata P ha un massimo per

Z = Z..S se Re(Zs] > O, come di regola avviene.

=

Nel caso in esame, la potenza erogata P Re(ZJ (l ha un massimo semplicemente in quanto si assume positiva la parte reale dell'impedenza

Zs-

La condizione di massima potenza erogata da una rete equivalente tipo serie è che l'impedenza Z collegata ai terminali sia coniugata dell'impedenza Zs della rete equivalente:

(7.171)

7.11 TEOREMA DI BOUCHEROT Il teorema di Boucherot consente di risolvere una rete elettrica in regime sinusoidale mediante l'algebra dei numeri reali, osservando quanto segue: 1. le potenze attive degli elementi che coetituiscono la rete si sommano

aritmeticamente; 2. le potenze reattive degli elementi che coetituiscono la rete si sommano algebricamente (sono positive le potenze reattive di tipo induttivo e negative le potenze reattive di tipo capacitivo);

3. le potenze apparenti complesse degli elementi che costituiscono la rete si sommano vettorialmente.

7.11 TEOREMA DI BOUCHEROT

f

e

e

d

b

217

a

Figura 7.31. Rete a ocala per l'applicazione del !«>rema di Boucherot.

E ' particolarmente conveniente applicare il teorema di Boucherot nelle reti 11 scala, costituite cioè da impedenre in serie ed amrnettenre in parallelo,

alternativamente (Fig.7.31). . Sia, ad esempio, noto il valore di tutte le impedenre (o ammettenre) . Siano note le condizioni di funzionamento della ae.zione fino.le 11, ovvero siano note le potenre P, Q (induttiva o capacitiva), e la tensione V. Si voglia ricavare le condizioni di funzionamento della aezione iniziale f, ovvero la potenza attiva Ps, quella reattiva Qs e la tensione Vs. L'applicazione del teorema di Boucherot richiede di suddividere il circuito in sezioni contenenti ciascuna una sola impedenza (o ammettenza). Per ogni sezione, partendo da quella finale, si determinano potenre attive e reattive. Si prooede verso la sezione iniziale f componendo, dopo ogni tratto di circuito, le potenze per determinare la tensione o la corrente, a seconda dei casi. Viene qui di seguito descritta la prooedura.

• Sezione 11 (fino.le). Per essa siano note la potenza attiva P, reattiva Q, e la tensione V . Con esse si calcola la potenza apparente e, nota la tensione V, si calcola la corrente:

A I

=

Jf"J+Q2 A

v

(7.172) (7.173)

• ThJtto 11-b. Conoscendo l'impedenza serie Zas(R39, Xss), si ricava la potenm attiva e reattiva del tratto di circuito in esame:

(7.174) (7.175)

218

7. REGIME SINUSOIDALE • Sezione b. Si compongono le potenre precedenti e si calcola la tensione:

• 'lìutto b-c. Conoscendo l'ammettenza in parallelo Y2p(G2p, B2p ), si ricavano la potenza attiva e reattiva del tratto di circuito in esame:

(7.177) (7.178) • Sezione c. Si compongono le potenre precedenti e si determina la corrente:

• 'lìutto c-d. Conoscendo l'impedenza serie Z2s(R2s, X25), si ricava la potenza attiva e reattiva del tratto di circuito in esame:

(7.180) (7.181) • Sezione d. Si compongono le potenre precedenti e si calcola la tensione:

Si determinano in questo modo le grandezze incognite. Il presente metodo è caratterizzato da una serie di composizioni di potenre attive e reattive e richiede conteggi esclusivamente di tipo algebrico con numeri reali. Diversamente, componendo le impedenre/ammettenre si perviene al medesimo risultato mediante conteggi di tipo algebrico ma con numeri complessi.

7.12 RISONANZA Il fenomeno della risonanza è un 'esclusiva di tutti quei sistemi fisici nei quali coesistono due forme di accumulo di energia..· Si verifica, ad esempio, nei sistemi meccanici che posseggono energia cinetica e potenziale e nei sistemi elettrici che posseggono energia dielettrica e magnetica. Si consideri un circuito GLC in parallelo alimentato da una sorgente di corrente (Fig.7.32).

7.12 RISONANZA

219

Figura 7.32. Risposta in frequenza del circuito GLC.

Per l'equilibrio delle correnti si ha:

1s

-

-

-

-

-

1-

Ia+Ic+Ii =CV +jwCV +~Lv JW

1 [c+j(wC- wL)]V=Y(w)V

(7.183)

L'ammettenza Y(w) è funzione della pulsazione: -

I

(7.184)

Y(w)=C+j(wC- wL)

cd il sistema si dice in risonanza quando la pulsazione w, la capacità C e l'induttanza L sono tali che la suscettanza equivalente sia nulla:

(7.185) La pulsazione Wo in corrispondenza della quale si annulla la reattanza equivalente è detta appunto pulsazione di risonanza. Poichè un circuito risonante ha suscettanza nulla, la potenza reattiva complessivamente assorbita è pari a zero. Inoltre, in risonanza, la corrente impressa e la tensione sono necessariamente in fase:

1s =Y(wo)V =CV

(7.186)

E' J)06Sibile mostrare graficamente la variazione dell'ammettenza (modulo e fase) in funzione della pulsazione, tracciandone nel piano complesso il diagramma polare (Fig. 7.33). La parte reale dell'ammettenza V ha valore ooetante C mentre la parte immaginaria varia al variare di w. In corrispondenza della pulsazione di risonanza Wo, l'ammettenza giace sull'asse reale. Per valori di pulsazione w minori di wo la 8118CCttanza B wC - ~ è negativa; l'angolo caratteristico dell'ammettenza è quindi negativo ed il comportamento è di tipo ohmicc-induttivo. Per valori di pulsazione maggiori di wo la suscettanza B = wC - dr; è positiva; l'angolo caratteristico dell'ammettenza è quindi positivo ed il comportamento è di tipo ohmicc-capacitivo.

=

220

7. REGIME SINUSOIDALE

1m

Figura 7.33. Diagramma polare dell'ammettenza di un circuito GLC al variare della pulsazione.

Il luogo dell'ammettenza ~ quindi una retta parallela all'asse immaginario che interseca l'asse reale in corrispondenza della conduttanza G. L'impedenza del circuito può essere descritta graficamente tenendo presente che: -

Z(w)

l

= Y(w)

(7.187)

L'inverso di una retta ~ una circonferenza ossia l'estremo dell'impedenza descrive una traiettoria circolare. L'angolo caratteristico dell'impedenza Z(w) è uguale ed opposto a quello dell'ammettenza Y(w). Invertendo quindi il luogo dell'ammettenza Y(w) si ottiene il luogo dell'impedenza Z(w) (Fig.7.34). Per w tendente a zero, l'impedenza tende a zero ed è caratterizzata da un angolo tendente a i. Il .comportamento del circuito tende ad essere puramente induttivo. · Al crescere di w, ma per valori di pulsazione inferiori a Wo, il circuito mostra un comportamento ohmico-induttivo. In corrispondenza della pulsazione di risonanza, l'impedenza giace sull'asse reale e 88SUme il suo.valore massimo (dove l'ammettenza assume il valore minimo). Al crescere di w (per valori di pulsazione superiori a Wo) il circuito m'&itra un comportamento ohmico-a,pacitivo. Il punto del luogo dell'impedenza è il coniugato del punto Pi evidenziato nel diagramma dell'ammettenza. : Per w -+ oo l'impedenza ha valore nullo, ma è caratterizzata da un angolo di fase pari a Il comportamento del circuito è puramente capacitivo. La tensione è legata alla corrente impressa dalla seguente relazione:

P;

-i·

V(w)

=Z(w)ls

(7.188)

7.12 RISONANZA

221

Im

G

Re

Figura 7.34. Diagramma polare dell'impedenza di un circuito GLC al variare della pulsazione ..

e di conseguenza, la tensione V(w), al variare di w, è rappresentata dal diagramma polare dell'impedenza, a meno di un fattore di scaia. L'andamento dell'ampiezza della tensione in funzione della pulsazione è il seguente (risposta in ampie.ua)(Fig.7.35).

v_ ,___ __,_,_. {2

ti}

Figura 7.35. Risposta in ampiezza di un circuito GLC in funzione della pulsazione.

E' possibile individuare sul grafico un intervallo di pulsazione liw, detto ampie.ua di banda, agli estremi del quale la tensione è pari a Con

72'·

222

7. REGIME SINUSOIDALE

questa tensione, la potenza dissipata nella conduttanza è

(7.189)

In questo caso si è nella condizione di funzionamento a potenza dimezzata (si dissipa cioè nella conduttanza una potenza che è la metà di quella che si dissipa in condizioni di risonanza). Per tutti i valori di w compresi nella banda t:.w viene dissipata una potenza sicuramente compresa tra ½Pma, e pffl.4~•

Si definisce fatu,re di merito Qm di un circuito in risonanza il rapporto tra la potenza reattiva (capacitiva o induttiva) del circuito risonante e la potenza dissipata nel circuito. Si ha quindi:

Q

Qi BiV2 1 R R --------Pc - GV 2 - woLG - woL - Xio

(7.190)

= Qc = BcV22 = woC = ...!!:...

(7.191)

m -

oppure Qm

Pc

GV

G

Xc o

L'andamento dell'angolo caratteristico dell'ammettenza in funzione della pulsazione ( risposta in faae) risulta quella mostrata in Fig. 7.36.

f\/1J)_x,__ __

2 (ù

Figura 7.36. Risposta in fase di un circuito GLC in funzione della pulsazione.

Essendo caratteristico dell'ammettenza, l'angolo t/) è opposto rispetto all'angolo di sfasamento tra tensione e corrente (disegnato tratteggiato nella Fig.7.36).

7.13 RIFASAMENTO DEI CARICHI INDUSTRIALI

223

7.13 RIFASAMENTO DEI CARICHI INDUSTRIALI I carichi industriali sono generalmente di tipo ohmico-induttivo e vengono alimentati in regime sinusoidale a frequenza industriale (50 + 60 Hz). La rete di alimentazione, vista dal carico, può essere sempre ridotta ad un generatore di tensione sinusoidale in serie a un 'impedenza (anch'essa tipicamente di tipo ohmico-induttivo, in quanto tiene conto della resistenza e dell'induttanza equivalente della linea) . Per un sistema monofase si ha la rete di Fig.7.37.

Re

Figura 7.37. Rete equivalente che alimenta un carico monorasc e diagramma dei rasori per la visualizzazione della c.d.t. sulla linea. Il carico assorbe una corrente 7 con una certa tensione V in anticipo rispetto alla corrente di un angolo

Vs, Vs2 Vs3 -=- + -=- + -=Z1

Z2

Z3

= O

Questo avviene se le tre impedenre di carico sono uguali (Z1

(8.IG)

= Z2 =

z = Z) e se le tre tensioni di rase della sorgente sono simmetriche (sorgente 3

trifase simmetrica), ossia hanno somma nulla:

(8.17)

Se il carico è simmetrico ma la sorgente trifase non è simmetrica, In tensione fra i centri stella risulta: (8.18) Di regola, per un carico dissimmetrico la tensione V0 , 0 non è nulla.

Negli impianti industriali di produzione, trasmissione e distribuzione del lavoro elettrico, in condizioni di normale fonzionamento (assenza di guasti), si realizza frequentemente, con buona approssimazione, la simmetria delle tensioni e l'equilibrio delle correnti e dei carichi. Queste condizioni, quando sono realizzate esattamente, comportano un flusso di potenza trirase costante nel tempo nei generatori, nelle lince e nei carichi, coppie elettromagnetiche costanti nel tempo nei convertitori elettromeccanici. A ciò si associa il maasimo rendimento delle trasformazioni energetiche che hanno sede nei componenti del sistema elettrico. Con sistema simmetrico ed equilibrato le tensioni e le correnti delle tre rasi sono uguali in ampiezza e srasate di 120° fra loro ed è nulla la tensione V0 , 0 fra i vari centri stella del sistema. Risulta allora conveniente considerare, per l'analisi del sistema, un circuito equivalente monofase del sistema trifase.

8.4 POTENZA Si consideri un carico trifase (Fig.8.11). Il componente trifase è definito assegnando due correnti e due tensioni di linea. Assumendo il terminale 3 come terminale di riforimento per le tensioni, si ha che la potenza apparente totale assorbita è pari alla somma di due contributi:

236

8. SISTEMI TRIFASE

Figura 8.11 . Componente trifase e potenza assorbita.

P

Q

=

-

-

-

V1al1 cos V 1sl1 + V23/2 cos V23[2 Vul1sin V1al1

+ V23l2sin V2al2

(8.19)

(8.20) (8.21)

Si definisce fattore di potenzll trifase il rapporto fra la pote117,B attiva e la potenza apparente trifase:

cos4>

= !:._A

(8.22)

Questa definizione è generale e prescinde dal fatto che il sistema in esame sia simmetrico o dissimmetrico, equilibrato o squilibrato. In, generale, la potenza assorbita da un componente n-fase si esprime come la somma di n - 1 termini. , La misura della.~ attiva Psi effettua mediante due Wllttmetri in coUegamenbi Aron (Fig.8.12). I due contributi della potenza trifase possono essere entrambi positivi oppure uno positivo e l'altro negativo, in rei.azione all'angolo di sfasamento fra I.a tensione e la corrente di ciascuna fase. Il wattmetro, di regola, fornisce soltanto valori positivi di potenza; se la potenza misurata è negativa può essere ugualmente misurata cambiando il segno della tensione applicata ai terminali voltmetrici del wattmetro, mediante un commutatore di cui lo strumento è normalmente provvisto. Per un sistema simmetrico ed equilibrolo, sia V il valore effi~ deÌla tensione di linea, I il valore efficace della corrente di linea e •ti> l'angolo ., di sfasamento tra la ,tenaione di fo.&e e I.a corrispondente con-ente di fa.se (Fig.8.13).

8.4 POTENZA

I

237

I I V,, ~ p '---~

Figura 8.12. Collegamento Aron per la misura della potenza assorbita da un componente trifase.

Figura 8.13. Fasori per il collegamento Aron nella misura della potenza asoorbita da un componente trifase.

238

8. SISTEMI TRIFASE

Le potenze trifase risultano:

p

= VI cos(tf>- 30) + VI cos(q\+ 30) v'3 2V I cosq\cos30" = 2V I cosq\ 2 = JJv I cosq\

(8.23)

Q

Q13 + Q23 =VI sin(,/>- 30) +VI sin(,/>+ 30)

(8.24)

P 13

=

+ P23

2V I sin ,t,cos 30" = 2V I sin ,t,

~=

JJv I sin ,t,

Jp2 +Q2 = JJvI

A

(8.25)

p

costi>

(8.26)

= A

Si considerino ora i valori istantanei delle grandezze di fase di un carico trifase simmetrico ed equilibroto. Le tre tensioni di fase sono uguali ed ugualmente sfasate:

=

VM1coswt

(8.27)

"2/

VM1cos(wt-~)

(8.28)

"3/

VM1cos(wt- ~)

(8.29)

fJ1/

e le tre correnti di fase sono pure uguali ed ugualmente sfasate:

(8.30) (8.31) (8.32) Le tre potenze di fase risultano:

P1(t) P2(t)

=

tJ11i11=VMJIM1(cos(wt))·(cos(wt-,t,))= v,1,cos,t,+ v,I,cos(2wt-,t,) "2Ji2 1

= v11, ( cos ( wt- 2;)). (

= v,I,cos,t,+ v,I,cos ( 2wt + PJ(t)

2 cos (wt- ;

;,r -

,t,)

(8.33)

-4>)) = (8.34)

4 tJJii31 = v1 I 1 ( cos ( wt- ~)) . ( coo (wt- ; -ti>))=

(8.35)

8.5 SISTEMA TRIFASE A QUATTRO FILI

239

e la potenza totale assorbita dal carico trifase simmetrico ed equilibrato è semplicemente costante:

(8.36) in quanto le tre componenti pulsanti della potenza istantanea costituiscono un sistema trifase a somma nulla ( tre componenti uguali ed ugualmente sfasate) . Si noti che per un sistema dissimmetrico e squilibrato, l'angolo il> che definisce il fattore di potenza trifase :

p

cosil>

=A

(8.37)

non coincide con alcuno degli angoli ~ 1 ,tp,i,tp,i di fase. L'angolo il> è l'angolo di cui si deve ruotare la terna de11e correnti rispetto alla terna de1le tensioni di fase affinché sia massima la potenza attiva P assorbita. Si osservi che se il carico è fortemente reattivo (prevalentemente induttivo o capacitivo), la potenza trifase misurata con il co11egamento Aron presenta due indicazioni quasi uguali e opposte. La potenza totale è quindi molto piccola rispetto a ciascuna delle sue componenti misurate. Ne consegue un elevato errore nella misura, tipico delle misure per differenza fra quantità circa uguali, che può essere eliminato soltanto effettuando la misura con tre wattmetri anziché due. A tale scopo si deve realizzare un punto a potenziale intermedio fra i potenziali dei terminali di linea, mediante tre impedenze uguali collegate a stella e alimentate dal medesimo sistema di tensioni di linea oggetto di misura (Fig.8.14). Il oentro stella realizzato è nel baricentro del triangolo delle tensioni di linea (o concatenate) e pertanto offre la possibilità di alimentare ciascuna voltmetrica dei wattmetri mediante una tensione di fase del sistema trifase. Ciascun wattmetro è ora alimentato da una delle correnti di linea e da una de11e tensioni di fase e dà una indicazione positiva. Cosl la potenza totale si ottiene come somma di tre termini aventi lo stesso segno, limitando l'errore di misura:

(8.38)

8.5 SISTEMA TRIFASE A QUATTRO FILI Gli impianti di produzione di lavoro elettrico (alternatori trifase) operano a livelli di tensione dell'ordine di 10+20 kV trifase e sono collegati a1le linee di trasmissione trifase, che operano a livelli di tensione di 130-220-400 kV ( alta tensione, AT), mediante cabine (o stazioni) di trasformazione, dotate di

8. SISTEMI TRWASE

240

*

I I,

z z z Figura 8.14. Realizzazione di un centro stella per la misura della potenza mediante tre wattmetri.

trasformatori trifase. Nei centri di utilizzazione il lavoro elettrico viene trasformato di nuovo abbassandone la tensione in uno o più stadi fino al livello di 20 kV (media ten.none, MT), per la fornitura grosse utenze industriali con cabina propria di trasformazione, o fino al livello di 380V;mv (bassa tensione, BT) per la fornitura ad utenze domestiche o a utenze industriali di piccola potenza. Una stazione di tmsfornuu:ione da media ten.none (MT) a bassa tensione ( BT) è essenzialmente costituita da un trasformatore trifase, il cui avvolgimento primario è collegato a triangolo ed il cui avvolgimento secondario è collegato a stella con neutro accessibile, e dagli organi di manovra e protezione (Fig.8.15). Sul lato MT è di regola previsto un sezionatore trifase (a scopo di isolamento della cabina .dalla linea di alimentazione) ed una terna di fusibili (a scopo di protezione da correnti di guasto). Sulla sezione di uscita vi è un interruttore automatico quadripolare. La distribuzione del lavoro elettrico in bassa tensione avviene mediante quattro terminali (sistema trifase a quattro fili), tre di fase ed uno collegato al neutro del secondario a stella del trasformatore. Fra i conduttori di fase vi è la tensione di linea V, mentre fra un conduttore di fase ed il conduttore di neutro si ha una tensione J3 volte minore. Il doppio sistema di tensioni permette di fornire lavoro in regime sinusoidale a 50 Hz per usi industriali, ossia per alimentare carichi trifase (a 380 V in valore ellìcace), e per usi domestici, ossia per alimentare carichi monofase (a 220 V in valore efficace), fra ciascun conduttore di fase e il conduttore neutro. Agli effetti esterni, un utilizmtore, trifase Q monofase, alimentato dal lato di bassa tensione, può considerare un equivalente di Thevenin trifase o, più semplicemente, una aorgente ideale trifase di tensione sinusoidale con In serie tre impedenze uguali (Fig.8.16).

8.5 SISTEMA TRIFASE A QUATTRO FILI

241

BT

MT ~o-----0:=l;r'-'---{ ~o-(.t::::i)~

o

►

Figura 8.15. Rappresentazione schematica di una cabina di trasformazione media tensione-bassa tensione (MT-BT) .

BT

1-+'R..,_...,,....________

MolaolriftK

s T

135kV 20kV

Figura 8.16. Rappresentazione schematica di una sorgente trifase a 4 fili.

242

8. SISTEMI TRIFASE

Un carico trifase (ad esempio un motore elettrico trifase) viene alimentato con i tre conduttori di fase. Un carico monofase (ad esempio una lampada) viene invece alimentato da un conduttore di fase e dal conduttore neutro. Per applicazioni industriali, quindi, le Società Elcttrocommcrcinli forniscono quattro conduttori, mentre per le applicazioni domestiche sono resi disponibili una coppia di conduttori, uno di fase ed uno di neutro. Il cin:uito canonico di un sistema trifase a quattro fili è caratterizzato da un generatore trifase che alimenta un carico trifase a stella e da un carico monofase collegato ai centri stella (Fig.8.17).

o

O'

Figura 8.17. Rete trifase canonica a 4 fili.

Per la determinazione delle correnti di fase e di neutro si procede esattamente come già visto nel caso trifase a 3 fili. Si determina la tensione V0 , 0 fra i centri stella, mediante una trasformazione serie-parallelo, e con essa si determinano le correnti di linea:

1s Y

1s1 +/52+/53

= Y1 +Y2+Y3+Yo

~+~+~

z,

z,

z, t.+f.+t.+to

(8.39)

da cui si ha la corrente in una generica fase o di neutro:

Vs1.2.3-V•.• Z1,2,3 Yo•o lo = - Zo

(8.40) (8.41)

9 MUTUOINDUTIOREMULTI-PORTA INDUTTIVO

9.1

ENERGETICA DEL MUTUO INDUTTORE

Il mutuo induttore o muUi-porta induttivo è un componente oon esclusiva capacità di accumulo di energia di tipo magnetioo, avente due o più porte elettriche (Fig.9.1).

dU

Figura 9.1. Mutuo induttore o due-porta induttivo.

Un mutuo induttore reale include, come effetto secondario, anche la capacità produrre calore 6Q. L'incremento di energia magnetica di un due-porta induttivo è pari alla differenza fra i lavori elementari entranti ed il calore uscente:

244

9. MUTUO INDUTTORE - MULTI-PORTA INDUTTIVO

Figura 9.2. Grafo delle rappresentazioni di un due porta induttivo.

dU

= 6We1 + 6We2 -

6Q

(9.1)

Se il mutuo induttore è perfetto, se cioè non vi è alcuna causa di dissipazione, 6Q O e si ha la seguente equazione energetica fondamentale in forma differenziale:

=

dU

= 6We1 + 6W.2

(9.2)

Ciascuna porta elettrica è caratterizzata da una coppia di variabili di sta-

to coniugate: la con-ente assorbita e il flusso magnetico totale concatenato con l'induttore associato a ciascuna porta. Esprimendo il lavoro elementare entrante da ciascuna porta 6We; i;d,f,;, l'equazione energetica fondamentale in forma differenziale si può esprimere in funzione delle variabili di stato:

=

(9.3) Per la conoscenza completa del sistema in esame, si deve determinare la relazione fondamentak che esprime la variazione finita dell'energia accumulata t::.U in [unzione del numero minimo di variabili di stato o gradi di libertd del aiatema di accumulo. Vi sono quattro variabili di stato e due vincoli fra tali variabili, rappresentati dai due legami costitutivi di porta. Complessivamente si hanno sei caratterizzazioni possibili, tante cioè quante se ne ottengono combinando a due a due le quattro variabili (Fig.9.2). Se le variabili impresse sono le due con-enti (i 1 , i2) o i due.flussi (,t,1 , ,t, 2 ), la rappresentazione si dice omogenea; se le due variabili impresse sono la con-ente di una porta è il flusaso dell'altra porta (i,,,t,2) oppure (,t, 1,i2), la rappresentazione si dice ·ibrida; se, infine, le due variabili impresse sono il flusso e la con-ente di una m«leaima porta (,t, 1,i 1) oppure (,t,2 ,i2), la rappresentazione si dice di trMmissione. La variazione di energia aocumulata nel sistema si può quindi esprimere in funzione di due variabili scelte come indipendenti o impresse al dueporta induttivo. La combina.tione a due a due delle quattro variabili di stato conduce a sei possibili relazioni fondamentali:

9.2 EQUAZIONI COSTITUTIVE CONTROl,l,A'l'fll I

Figura 9.3. Simbolo del mutuo induUora

Il

N l'Ollllft,N'l'I', ' ..

245

, rt• l11iluUl~11 cluo-(• 1

(0.4)

U(ii, i2), U(1/J 1, ,t,2), V(V'1, 1,), U(i1, tf,2}, U(i1, tf,i), U(i2, .,,~)

(9.5}

Ul1•11l,lvr "..,,,,.uno delle quali le prime quattro eono particoln111nuto ~h\1 1 trattate in dettaglio nel seguito. ..-irln In r.o11 Per la determinazione della relazione Coml111ullnt.nln 11 "' 11 1111,..-,-,, a noscenza delle corrispondenti equazioni ooet.ltul.lvo, 11 ,.,rri•II ' flussi impressi o con variabili ibride o miste l111pnww'• Il simbolo del mutuo induttore è mostrnto In Flg.fl.:I.

9.2 EQUAZIONI COSTITUTIVE CONTROLLATE IN CORRl~NTJi: rt,i tu,1111.t,lvu II i,orLe equazioni costitutive del mutuo induttore o ,1110-tK' renti impresse hanno la seguente forma:

(!Ui)

'P1 = ti\(i,,i2) , { 1/J2 = 'P2(i1, i2)

. rl 111n ,lrw11n r-...•eQueste equazioni possono essere lineari o l,n~ lrtlltll r ,lr/lc re algebriche e con mnultaneo annullamento drl Jlu.c.tt n1t1t~• In lhlf1llrn, E con-enti. In quanto segue si assumerà che il mutuo lmlut.ton• ~ pertanto si assumerà:

"°"

(ll.7) 'l\111 ,~11•ffk-lr>11ti con L1J coefficienti costanti di auto ·e mutiin h11luttn 11 "'· r.rllmto nl 1 11 operano sulle oorrenti di porta per fornire il C1)

+ l2M cos(kwt -

02 - ~) + ...

(11.15)

dove

if>k

= arctag kwL--L kwC R

(11.16)

è l'angolo di sfasamento tra la k-esima armonica di tensione e la k-esima armonica di oorrente,

rkM

= vkM

Zk è l'ampiezza massima della k-esima armonica, ed infine

Zk=

✓R2+(kwL- ~)2

(11.17)

{11.18)

è l'impedenza di un bipolo RLC ad una generica armonica.

11.3.1

Valore efficace di tensioni e correnti

Si definisce valore efficace di una funzione periodica /(t) la radice quadrata del valor medio, in un periodo T, del quadrato della funzione:

F=

.!..

T

r P O, O mentre vm -2v9 < O, essendo il diodo ~ in controparallelo con le sorgenti.

VDt

=

=

• Con eemionda negativa della sorgente, Il diodo D 1 è in blocco mentre il diodo ~ è il conduzione. Vi è corrente eolo nella maglia ~. R. Il circuito equivalente è riportato In Fig.12. 7.

=

In tal caso, com'è evidente dal circuito equivalente, VR -v9 > O, vm O mentre VD1 2v9 < O, essendo il diodo D1 in parallelo con

=

=

le sorgenti. L'andamento delle tensioni v 9 , "R, "Dt e vm è rappresentato in Fig.12.8. Si osservi che in questo caso la tensione di uscita è rappresentata da un treno di semionde tutte positive, il cui valor medio è doppio rùpetto al raddrizzatore a semplice aemiol'lda del paragrafo precedente. Infatti si ha che: · Vm = 21 la" sm . che lo percorre, con simultanoo annullamento delle due variabili (Fig.13.6). A flusso impresso si ha:

(13.27) dove R è la riluttanza del riluttore, che si misura in H- 1 (henry- 1 ) ed è costante, se il riluttore è lineare, oppure è funzione del flusso 4>, se il riluttore è non lineare. A tensione impressa si ha: if>=AM

(13.28)

dove A è la permeanza del riluttore, che si misura in henry [H] ed è costante, se il riluttore è lineare, oppure è funzione della tensione magnetica M, se il riluttore è non lineare. La riluttanza è l'inverso della permeanza:

R=.!_

A

(13.29)

Per un riluttore associato ad un tronco di tubo di flusso con campo disuniforme, la riluttanza si calcola valutando la tensione magnetica M fra le sezioni estreme (i terminali) 1 e 2 del tronco, lungo una generica linea I

13.5 RILUTTORE

335

d)

Figura 13.6. Riluttore e sua caratteristica di magnetizzazione 4>(M) lineare o non lineare.

che li congiunge, ed il flusso sulla sezione S, mediante i corrispondenti integrali di linea e di superficie : M . -tH-dl R-------=!.L.::.... -

-

fsB ·dS

(13.30)

Si noti che le linee di flusso che descrivono la superficie di un tubo di flusso con campo uniforme sono parallele, essendo l'induzione B ovunque la medesima. Si osservi anche che una linea o superficie che sia ovunque ortogonale al campo H è detta equipotenziale (agli effetti del potenziale magnetico scalare M) in quanto fra due generici punti di essa è nullo l'integrale di linea del campo magnetico H :

(13.31) Si noti anche che in un generico tubo di flusso l'induzione è maggiore nelle sezioni minori, dovendo essere invariato il flusso lungo il tubo (Fig.13. 7) :

(13.32) Un fascio di linee di flusso consente di rappresentare graficamente il campo. Un tubo di flusso è individuato da due linee di flusso adiacenti. La rappresentazione è fatta in modo che tutti i tubi abbiano lo stesso flusso

336

13. STRUTI'URE MAGNETICHE

Figura 13.7. Tronco di tubo di flusso magnetico a sezione variabile.

64>. li campo è pii! intenso dove le linee di flusso sono pii! dense ed è meno intenso dove le linee di flusso sono meno dense. Un fascio di linee equipotenziali è ovunque ortogonale alle linee di flusso'. Se si assume oostante la d .d.p. 6M fra due linee equipotenziali adiacenti, si ottiene un reticolo isopammetrico (Fig.13.8). Infatti, ad ogni tronco di tubo di flusso individuato da due linee di flusso e da due linee equipotenziali adiaceòti oorrisponde sempre lo stesso valore del parametro riluttanza R:

(13.33)

Figura 13.8. Fascio di tubi di flusso e di linee equipotenziali (reticolo isoparametrico).

Questo tipo di rappresentazione del campo si applica a qualunque campo vettoriale a divergenza nulla nelle regioni di spazio prive di sorgenti (regioni irrotazionali: rotH =O).

13.5 RILUTTORE

337

Se il riluttore è associato ad un tronco di flusso con campo uniforme (Fig.13.9), 06Sia con H e B aventi ovunque lo stesso valore, la riluttanza si calcola senza necessità di effettuare integrali: R=!!._=!!....!_=.!_.!_ 4' BS µS

(13.34)

dove l è la lunghezza media del tronco ed S è la sua sezione trasversale.

s

I~ 1 ► i

-4Q M Figura 13.9. Tronco di tubo di Russo con campo uniforme.

L'incremento di energia accumulata in un riluttore uguaglia il lavoro magnetico assorbito:

dU =M dlfl

(13.35)

Graficamente, la variazione di energia accumulata in un riluttore lineare si interpreta come l'area del trapezio rettilineo sottfflo fra la caratteristica lineare e l'asse del flusso (Fig.13.l0b) . Pertanto la variazione finita del/ 'energia accumulata f!.U in un riluttore si valuta integrando il differenziale dU fra uno stato iniziale 1 ed uno finale 2:

(13.36)

Se il riluttore è non lineare, il legame costitutivo 4>(M), detto anche caratteristica di magnetizzazione del riluttore, deve essere una curva comunque passante per l'origine degli assi. La variazione di energia accumulata è rappresentata dall'area del trapezio curvilineo sotteso fra la curva 4>(M) e l'asse del flusso. Una caratteristica 4>(M) non lineare è tipica di un riluttore che modellizza un tronco di circuito ferromagneticD (Fig.13.lOc). Per un riluttore lineare, a flusso impresso, si ha: (13.37)

338

13. STRUTTURE MAGNETICHE

Figura 13.10. Rappresentazione geometrica dell'energia di un riluttore lineare e non

lineare.

mentre a tensione impressa si ha:

ll.U= ldU= l M d(AM)=~A(M:-M;)

(13.38)

Infine, in funzione 6ia del flusso sia della tensione magnetica si ha:

(13.39) Quando lo stato iniziale è caratterizzato da variabili di valore nullo, si usa associare a questo stato un valore nullo di energia magnetica e si usa parlare di energia accumulata U nel riluttore:

(13.40) La variazione di densità di energia du,p accumulata in un volume infinitesimo dV di un tronco di tubo di flusso vale: du,p

= dU = Md4> =Hl d(BS) =HdB V

V

Sl

(J/m3)

(13.41)

13.S RILUTTORE

339

Integrando questo differenziale fra uno stat.o iniziale ed uno finale, caratterizzato dalla coppia di variabili locali (B, H) si ottiene la variazione finita della densità di energia ll.u•p fra i due stati (Fig.13.11):

(13.42)

Btlusp

B2 B1

2

I

Hi lii H Figura 13.11. Significato grafico della vanaz1one della densit..t. di energia accumulata in un materiale magnctioo non lineare.

Per un materiale magnetico lineare, a. induzione B impressa, si ha:

ll.u•P

=

1.

2

1

du,p

=

12BI

/l

dB

= -211-µ

(Bi- BD

(13.43)

mentre, a. campo H impresso, si ha:

ll.u,p

=

J.

2

du•p

=

l

H d(µH)

= ~µ (lfi -

Hl}

{13.44)

Infine, in funzione sia. dell'induzione B sia. del campo H, si ha:

(13.45) Quando lo stato iniziale è caratterizzato da variabili locali di valore nullo, si usa associare a questo stato un valore nullo di densità di energia magnetica e si usa parlare di densità di energia accumulata. u•P nel materiale: 2

u•P

l B l l 2 = -= -µH = -BH 2 µ 2 2

(J/m3 ]

(13.46)

340

13. STRUTTURE MAGNETICHE

I materiali ferromagnetici hanno una caratteristica di prima magnetizza.tione B(H) non lineare (13.12).

B

B(H

H Figura 13.12. Curva di magnetizzazione tipica B(H) di un materiale ferromagnetico e andamento della permeabilità µ in funzione del campo

H. Ponendo l'induzione B in ordinata e il campo H in a.5eissa, la concavitd della curva B(H) è rivolta verso l'alto (positiva) per val,;ri bassi del campo H applicato; detta concavità si riduce gradualmente all'aumentare del campo H, fino ad annullarsi, e poi cambia eegno, per valori del campo H relativamente elevati. Si ha cosi un ginocchio dopo il quale la curva descrive il trotto in satumzione che tende verso un asintoto obliquo, la cui inclinazione è pari alla pennrobilità del woto µ0. La penneabilità apparente:

B

µ=H

(13.47)

del materiale ferromagnetico descrive la pendenza della retta che passa per l'origine e per un generico punto della curva B(H). La permeabilità apparente cresce fino ad un valore massimo e poi decresce monotonamente.

13.5.1 Riluttori particolari E' utile introdurre dei riluttori particolari o singolari aventi cioè riluttanza nulla oppure permeanza nulla.

Rlluttore di riluttanza nulla: cortM=0, V~

(13.48)

13.5 RILUTl'ORE

'v'

R=O

~t=:7

341

Ml M=R2 =0 se R=O, V 2

(13.50)

Rlluttore di permeanza nulla: circuito magnetico aperto Se si suppone che sia nulla la permeanza del riluttore A = O, esso costituisce un circuito magnetico aperto (o interruttore magnetico ideale aperto), ossia un bipolo per il quale il 8usso magnetico è nullo qualunque sia il valore della tensione magnetica M (Fig.13.14): =A M=O -~ =O; ·VM

(13.51)

La penneanza nulla di un riluttore associato ad un tronco di tubo di flusso con campo uniforme si esprime come:

342

13. STRUTTURE MAGNETICHE

L

M

Figura 13.14. Riluttore di permeanza nulla o circuito magnetico ideale aperto.

A =µ

s

1 =0

(13.52)

F.ssendo in generale finite e non nulle la lunghezza I e la sesione S del tronco, affinché sia nulla la permeanza A, deve essere nulla la penneabilità µ del mezzo magnetico. L' eneryia accumulata in un circuito magnetico ideale aperto ( A = O) è zero, qualunque sia la tensione magnetica M :

(13.53) La permeanza A tende comunque a zero se tende a zero la sezione S anche quando la permeabilità µ e la lunghezza I hanno valore finito. Una intemuione di un circuito magnetico si realizza avvolgendo sul corrispondente tronco un aolenoide perfetto chiuso in corto-circuito, come per realizzare un tensiometro magnetico. Sul tensiometro magnetico si deve ora fare qualche precisazione. Il tenaiometro magnetico ideale è uno strumento che non perturba il sistema magnetico oggetto di misura. Per far ciò, il tronco di tubo di flusso sul quale è avvolto il solenoide sonda non deve accumulare alcuna energia, qualunque sia la tensione magnetica M oggetto di misura, ossia non deve assorbire alcun flUS90 qualunque sia la tensione magnetica M applicata ai suoi estremi. Indipendentemente dalle difficoltà tecnologiche di realizzazione di un elemento circuitale di permeanza nulla (A = O), esso è utile per la costruzione dei modelli dei sistemi magnetici reali.

13.6 SORGENTI: SOLENOIDI E MAGNETI PERMANENTI 13.6.1 Solenoidi Un solenoide di N spire, alimentato con una corrente impressa i, costituisce una sorgente di forza magneto-motrice (o di tensione magnetica) di valore uguale a:

M. =Ni

(13.55)

Un solenoide di N spire, alimentato con una temione impreaaa 11, costit uisce, invece, una sorgente reale_di flusso magnetico di valore uguale

a:

(13.56) essendo il flusso totale concatenato t/1 con il solenoide pedetto uguale all'integrale della tensione 11:

(13.57)

344

13. STRUTI'URE MAGNETICHE

Figura 13.15. Magnete permanente, modello circuitale e caratteristica magnetica esterna +(M).

ed avendo assunto, per semplicità, tutte le spire del aolenoide concatenate con il medesimo flusso ~ del campo, come accade quando un solenoide è avvolto su un nucleo di materiale ad elevata permeabilità. La sorgente di flusso è perfetta ae ~ nulla la reaistenza del conduttore con cui è costruito il solenoide.

19.6.2 Magneti permanenti Un magnete pennanente reale è un dispositivo caratterizzato dalla capacità prevalente di pennanere in uno stato di magnetizzazione, espresso da una induzione magnetica residua B., quando oessa l'azione di un campo magnetico esterno H precedentemente applicato. Un magnete pennanente reale è costituito da ferro e sue leghe, ferriti o da terre rare. Può avere la forma di un cilindro di sezione S e lunghezza I ossia di volume V (Fig.13.15) . A tale cilindro si può associare il modello di una sorgente di flusso magnetico ~s = B,S. Il materiale del magnete permanente presenta una permeabilitൠche è relativamente elevata (µ/ µ 0 » 1) per il ferro e le sue leghe mentre è proosima alla permeabilità del vuoto per le terre rare (µ/µ 0 ~ 1). Al cilindro di materiale magnetico permanente si deve a\lora associare anche un tubo di flusso di permeanza /)-s. = µf che assorbe parte del flusso ~s generato. Agli effetti esterni, pertanto, un magnete permanente reale può essere rappresentato da una sorgente di flusso magnetico ~s in parallelo con una riluttore di permeanza A8 .

13.6 SORGENTI: SOLENOIDI E MAGNETI PERMANENTI

345

Se si assume costante la permeabilità µ del materiale del magnete pennanente, il modello è lineare e la sua equazione costitutiva esprime il legame fra il flusso Il, ai suoi terminali e la tensione magnetica M, oome discende dall'equilibrio dei flussi nel nodo magnetioo formato dalla sorgente, dalla permeanza As e dal terminale esterno. Assumendo il magnete permanente come un generatore, ossia con il lavoro magnetico uscente dai terminali del modello, si ha:

lfl=lfls-AsM

(13.58)

La rappresentazione grafica della caratteristica magnetica esterna di un magnete permanente lineare è una retta nel piano lfl(M), OOII pendenza -As rispetto all'asse della tensione magnetica M e ordinata all'origine pari al flusso della sorgente lfls (Fig.13.15b). Si noti che frequentemente la rappresentazione della caratteristica lfl(M) di un magnete permanente si effettua assumendo il magnete oome un utilizzatore, oesia con il lavoro magnetico entrante dai terminali del modello, e si considera pertanto una tensione magnetica opposta a quella qui evidenziata (Fig.13.15a). Va da sé che se il materiale oon cui è fatto il magnete permanente ha una permeabilità nulla (µ O) si ha una permeanza nulla per la sorgente equivalente As = Oed una sorgente ideale di ftuaso costante lfls è sufficiente per rappresentare quello che può essere definito un magnete pennanente ideale. Si definisce, quindi, magnete permanente ideale un componente realiz.. zato con materiale di permeabilità nulla avente oome proprietà eaclusiva la generazione di un flusso magnetico costante llls. n modello del magne-

=

te permanente ideale t una sorgente ideale di ftuaso magnetico costante lfls =B,S. Un magnete permanente, di induzione residua B., permeabilitàµ, sezione S e lunghezza !, rappresentato dalla sorgente di flusso lfls in parallelo alla permeanza As, che alimenta un circuito magnetico lineare, equivalente ad una permeanza A, eroga un lavoro magnetico che uguaglia l'energia

magnetica 11CCUmulata nella permeanza A.

(13.59) Tale energia è rappresentata graficamente nel piano \Tl(M) dal triangolo sotteso fi:a la caratteristica magnetica esterna lfl(M) e l'asse del flusso (Fig.13.16). Il punto di lavoro del magnete permanentè'è determinato dall'inter3ezione fra la caratteristica esterna del magnete e la caratteristica della rete alimentata:

346

13. STRUTTURE MAGNETICHE

Figura 13.16. Caratteristica ~(M) di un magnete permanente e caratteristica della permeanza di carico. -Visualizzazione dell'energia accumulata nella permeanza di carico.

{

4> = 4's-AsM 4>=AM

(13.60)

La ~ma energia accumulata nella rete magnetica di permeanza A si ha quando tale permeanza uguaglia la permeanza As della sorgente equivalente:

A=As

(13.61)

ed ·esprime la condizione di massimo scambio di lavoro magnetico fra il magnete permanente ed il carico da esso alimentato. Si consideri la perfetta analogia con il criterio della massima potenza scambiata nei circuiti elettrici. Nel punto di massima eneryia accumulata, il flll8SO esterno 4> è la metà del flusso della sorgente 4> 8 • Pertanto l'energia accumulata nel riluttore esterno vale:

(13.62) e l'eneryia totale, accumulata nel riluttore esterno ed interno (A+ As = 2As), è doppia della precedente ed è la massima possibile per il magnete permanente in esame. L'energia totale massima può ESSere espressa in funzione dell'induzione residua B., della permeabilità µ e del volume V = S l del magnete permanente, ricordando l'espressione del flusso della sorgente 4>s = B,S e della sua permeanza As µS/1 :

=

13.6 SORGENTI: SOLENOIDI E MAGNETI PERMANENTI

347

Figura 13.17. Rappresentazione della caratteristica del magnete permanente ideale e del carico. Visualizzazione dell'energia accumulata nel riluttore di carico alimentato da un magnete permanente ideale.

U,, 0

'= 2U,max = !4 éf>} = ! (B,S)2 = !2 (!2 B:) V As 4 µf µ

(J]

(13.63)

ed è la metà dell'energia che accumulerebbe il volume occupato dal magnete permanente se operasse con una induzione pari a quella residua B, . Un magnete permanente ideale (éf>s, As O) non accumula alcuna energia essendo, per definizione una aoryente ideale di flusao: come tale converte, in modo perfetto, lavoro elettrico in lavoro magnetico. Un magnete permanente ideale genera il flusso éf>s che alimenta un riluttore esterno di permeanza A e consente di accumulare in quest'ultimo una energia che dipende esclusivamente dal valore della permeanza A (Fig.13.17):

=

· (13.64) Riducendo la permeanza A aumenta l'energia magnetica U erogata dal magnete permanente. E' evidente dalla precedente trattazione che tanto minore è la permeanza As del magnete permanente tanto maggiore è l'energia che esso può fornire al circuito magnetico da esso alimentato. La riduzione della permeanza As = µf del magnete permanente si realizza scegliendo un materiale di permeabilità la pill piccola possibile. Si può realizzare un magnete permanente ideale mediante una bobina di resistenza nulla ( aup=nduUrice} di N spire la quale, dopo l'applicazione iniziale di una tensione ti per un certo tempo t , 06Sia dopo la creazione di un flusso concatenato tJ, = f~ ti dt, sia chi11S8 in corto-cin:uito (ti = O), in modo da conservare immutato il flusso !(,. Il flusso generato dal magnete permanente auperconduttore vale éf>s = 1(,/N. La tensione magnetica

348

13. STRUTI'URE MAGNETICHE

Figura 13.18. Rappresentazione schematica di un elettromagnete.

M ai terminali della sorgente ideale di flusso s dipende dalla riluttanza R del carico magnetico alimentato (M Rs) , Corrispondentemente, la corrente i nella bobina superconduttrice assume un valore pari a i M / N .

=

=

13.7 INDUTTORE MONO-PORTA CON NUCLEO IN FERRO Allo scopo di evidenziare la procedura di analisi di un induttore con nucleo di materiale fenomagnetiro, si considera il caso semplice di un elettromagneu. Fsso è costituito da un nucleo di materiale ferromagnetico laminato interrotto da un traferro e da un aolenoide di N spire di materiale conduttore avvolto intorno al nucleo (Fig.13.18) . . Il solenoide, quando è percorso da una corrente i oppure è alimentato da una tensione 11, genera un campo magnetico che può essere approssimato e modellizzato mediante un tubo di flusso magnetico che percorre il nucleo in ferro e attraversa i traferri, ed è ugualmente concatenato con tutte le spire N del solenoide. · ·: :, , Una manifestazione della presenza del campo magnetico è la forza di attraz.ione fra I due elementi del nucleo, quello superiore e quello inferiore, come manifestazione della tendenza -'POntanea del sistema ad euolvere verso uno atato di e,quilibrio. Il calcolo di questa forza può essere uno degli obiettivi dell'analisi del circuito magnetico dell'elettromagnete, e sarà discusso in una delle prossime lezioni. Altri obiettivi immediati p0880no essere: 1. il calcolo dell'induzione magnetica B in ogni sezione del nucleo e del

traferro; 2. il calcolo della conente i assorbita dall'elettromagnete quando è alimentato con tensione 11 impressa;

13.7 INDUTIORE MONO-POIITA CON NUCLEO IN FERRO

349

3. il calcolo dell'induttanza equivalente L (o della elastanza induttiva r) dell'elettromagnete. Il primo passo dell'analisi consiste nel sostituire l'oggetto reale con un modello elettromagnetico. Se si è interessati prevalentemente agli effetti magnetici che hanno luogo nell'elettromagnete, si può supporre perfetto il solenoide, e cioè tra.9Curarne la resistenza elettrica. In tal modo i terminali del solenoide sono i terminali di un induttore perfetto d'induttanza L che assorbe il lavoro elettrico elementare 6W. i di{, . Dal punto di vista magnetico il solenoide è una sorgente di tensione magnetica o di flusso magnetico 4>s , a seconda che esso sia alimentato a corrente i impressa oppure a tensione v impressa. Se supponiamo il solenoide alimentato da una tensione impressa v, esso si rappresenta magneticamente come una sorgente di flusso:

=

4>s

"' =N = N1 lo{' v dt + 4>(0)

(13.6.5)

per qualunque valore della tensione v applicata. Se la tensione applicata è sinusoidale nel tempo con pulsazione w, la corrente ·i assorbita, il flusso magnetico 4> e la tensione magnetica M sono pure sinusoidali. Il tal caso conviene applicare, per la soluzione, il metodo

dei fasori. Il valore efficace del flusso 4>s vale:

lii 1V 4>s=- =-N Nw

(13.66)

assumendo che V sia il valore efficace della tensione applicata. Il fasore flusso is è sfasato in ritardo di 1r/2 rispetto al fasore tensione V, essendo ottenuto mediante una operazione di integrazione. In prima approssimazione si può supporre che il circuito magnetico· sia costituito da un solo tubo di flusso, che è percorso dal flusso 4> s impresso dalla sorgente di flusso e che può essere suddiviso in più tronchi in aerie, due nel ferro e due nel traferro (Fig.13.19). L'induzione Bt media sulla sezione St in ogni tronco del tubo di flusso vale Bt ~ Il valore clficace V della tensione indotta sul solenoide in regime sinusoidale si può quindi esprimere in funzione del valore massimo delle grandezze magnetiche:

= .

~M

V= w ../2

21rf =wN4>sM ../2 = ../2 NB1c.11S1c z. 4.44/NB1c.11S1c

{13.67)

che costituisce una espressione di notevole utilità pratica nel proporzionamento degli induttori con ferro.

350

13. STRUTTURE MAGNETICHE

s { M) del riluttore associato al tronco in ferro. Nota la curva B(H) del mat.eriale si ottiene la curva 4-{M) IFe non lineare del tronco in ferro, moltiplicando l'induzione B per la sezione SF• del ferro e il campo H per la lunghezza del ferro lp.:

{13.78) La caratteristica lineare del traferro 4-(M)I, si ottiene moltiplicando l'ascissa e l'ordinata della retta B µ 0 H per la lunghezza I, e la sesione S, del traferro, 8SSUmendo per semplicità uniforme il campo al traferro. La caratt.eristica non lineare 4-{M)I .., risultant.e dal collegamento in serie dei due tronchi si ottiene sommando, a pari flusso, le tensioni magnetiche delle due curve 4-(M), com'è richiesto dall'equazione di equilibrio delle tensioni per la maglia in esame:

=

13.8 INDUTTORE B1-POIITA CON NUCLEO IN FERRO

353

Figura 13.21. Rappresentazione schematica di un due-porta induttivo con nucleo in ferro.

Mio,(+)= Mp,(+) + M,(+)

{13.79)

Con i diversi valori di tensione ti appli~ta ai terminali del solenoide, si ottengono i diversi valori di flusso + nel circuito magnetico e, mediante la curva risultante +(M)I,.,, si ottiene la tensione magnetica Me la corrente i corrispondente assorbita dal solenoide. Nel caso non lineare, il legame algebrico v,(i) è non lineare e lo si usa cosi com'è senza evidenziare la nozione di induttanza. Comunque, si può considerare il legame algebrico fra flUS90 e corrente, evidenziando una induttanza apparente funzione della con-ente 1(,{i) = L(i) i ottenuta dal rapporto fra il flusso concatenato e la corrispondente corrente in ogni punto della curva 1(,{i), oppure il legame incrementale 11v, = L1!1i oppure il legame differenziale dt/J = Lddi, o le corrispondenti relazioni duali a flusso impresso.

13.8 INDUTTORE BI-PORTA CON NUCLEO IN FERRO Si considera ora il caso di un due-porta induttivo costituito da un nucleo di materiale ferromagnetico laminato, interrotto da un traferro, sul quale sono avvolti due solenoidi di N 1 ed N2 spire di materiale conduttore (Fig.13.21). I solenoidi possono eisere alimentati a rorrente impressa o a tensione impressa o con grandezze ibride impresse. Di conseguenza si avranno nella rete magnetica due sorgenti entrambe di lensione magnetica o entrambe di flusso oppure una di tensione magnetica ed una di flUS90, nel caso di grandezze ibride impresse ai terminali elettrici.

354

13. STRUTTURE MAGNETICHE

La rete magnetica passiva connessa alle due sorgenti, qualunque sia la sua reale complessità, sarà ridotta ad un riluUore bi-porta al quale può essere associata una rete magnetica equivalente minima, in perfetta analogia con quanto già fatto per le reti elettriche resistive o induttive. Ai parametri del due-porta riluttivo corrispondono i parametri del due-porta induttivo ad esso associato. Agli effetti esterni, cioè agli effetti della rete connessa alle due coppie di terminali elettrici, si potrà rappresentare il due-porta induttivo in modo algebrico mediante la sua matrice caratteristica, di induttanza L, di elastanza induttiva r o ibrida H, o in modo circuitale con il suo circuito equivalente minimo. Si può stabilire cosl una corrispondenza fra rappresentazione algebrica e rappresentazione circuitale. Per effetto del campo magnetico si ha una forza di attrazione fra i due elementi del nucleo, quello superiore e quello inferiore. Possibili obiettivi dell'analisi sono: 1. il calcolo della forza di attrazione fra il giogo superiore e quello

inferiore; 2. il calcolo dell'induzione magnetica B in ogni sezione del nucleo e del traferro; 3. il calcolo della grandezze elettriche coniugate di quelle impresse ai terminali elettrici; 4. il calcolo della matrice di induttanza L, elastanza induttiva r, o ibrida H dell'elettromagnete. Il primo passo dell'analisi consiste nel sostituire l'oggetto reale con un modello elettromagnetico. Al solito, i solenoidi saranno assunti perfetti, ossia privi di resistenza elettrica. In tal modo, dai terminali dei due solenoidi entra un lavoro elettrico elementare cosl esprimibile:

(13.80) che uguaglia in ogni istante l'incremento di energia accumulata:

(13.81)

13.8.1 Bi-porta induttivo a correnti impresse Assumiano impresse le correnti i 1 e i 2 nei due solenoidi. Si vogliano calcolare i flussi concatenati (T/1 1 ,1/12 ) e le tensioni di porta ( V1, V2) del due-porta induttivo. Dal punto di vista magnetico i due solenoidi a corrente impressa sono equivalenti a due sorgenti di tensione magnetica M81 ed M52(Fig.l3.22).

13.8 INDUTTORE B1-PORI'A CON NUCLEO IN FERRO

i

355

(i)

Li Figura 13.22. Rete magnetica dell'elettromagnete con due sorgenti tensione magnetica.

L'effettivo campo magnetioo dell'elettromagnete viene approssimato con un circuito magnetico costituito da tre vie in parallelo fra loro, due delle quali hanno in serie le sorgenti di tensione magnetica Ms, ed Ms2- Si considerino le con-enti nei solenoidi entranti dai tenninali cofTispondenti e le tensioni misurate in modo che il lavoro elettrico sia entrante da ciascuna coppia di tenninali. Qui è facile vedere quali sono i terminali corrispondenti senm dover fare alcuna misura preliminare. I terminali corrispondenti dei due solenoidi sono quelli dai quali deve entrare la corrente, nel funzionamento a vuoto, per avere flussi ooncatenati e tensioni oon lo stesso segno ai terminali. In altre parole, i flussi del nucleo 1 e 2 associati alle due tensioni v1 e v2, devono essere concordi nel circuito magnetico comune (Fig.13.22). Si noti la corrispondenm fra I versi delle oorrentl e delle tensioni al terminali e i versi dei flussi e delle tensioni magnetiche delle sorgenti. Per semplicità, si assume infinita la penneabilità del ferro, talché i tronchi in ferro siano rappresentati da corto-circuiti magnetici. La rete magnetica è lineare ed è costituita da tre riluttori, uno per ciascun traferro, due dei quali sono in serie con le due sorgenti di tensione magnetica Ms, ed Ms2 (Fig.13.22) . Il due-porta induUivo t lineare e per esso si po8SOno valutare i coefficienti della matrice di induttanza L che trasforma linearmente il vettore delle correnti di porta i nel vettore dei flussi di porta ,t,:

{t}=[t: t:] {:~}

(13.82)

A queste due equazioni costitutive elettriche oorrispondono due equazioni costitutive magnetiche, riconoscendo il legarne esistente fra flussi concatenati di porta e flussi delle sorgenti magnetiche:

(13.83)

356

13. STRUTIURE MAGNETICHE

e fra correnti di porta e tensioni delle sorgenti magnetiche:

(13.84) Sostituendo i flussi concatenati e le correnti con le corrispondenti grandezze magnetiche, si ha:

ovvero:

{ :~ } = ([ ~I

i2

r [t: t ][~I i2r) {z~ } (13.86)

che scriviamo come:

(13.87) dove la matrice delle auto e mutue permeanze A corrisponde alla trasformazione della matrice delle auto e mutue induttanze L attraverso la matrice diagonale dei numeri di spire N dei solenoidi:

e cioè:

(13.89)

E viceversa:

(13.90) ovvero:

13.8 INDUTTORE BI-PORTA CON NUCLEO IN FERRO

357

In forma compatta si può esprimere la matrioe delle elastanze A in funzione della matrice delle induttanze L:

(13.92) e la matrice di induttanza L in funzione della matrice di permeanza A:

(13.93)

L=NAN

L'analisi della rete magnetica consente di determinare i ooefficienti della matrice delle permeanze A del due-porta magnetico e, da questa, ottenere la matrice delle auto e mutue induttanze L. Dopo aver calcolato le permeanze della rete magnetica, associando ad ogni traferro una permeanza Ak:

(13.94) avendo assunto uniforme il campo nel tronco di tubo di flusso in esame, si può procedere alla determinazione dei coefficienti di auto e mutua permeanza della matrice A, mediante due prove a leruioni magnetiche impruse e nulle, ossia due prove di corto-circuito magnetico. Ponendo M2 O, e valutando il rapporto fra i due flussi di sorgente e la tensione magnetica impressa dalla sorgente attiva Mi, si determina la prima colonna dei coefficienti di permeanza A11 , A2 1 (Fig.13.23):

=

(13.95)

=

La prova a tensione magnetica nulla sul lato non alimentato (M2 O) è una prova di corto-circuito magnetico. Ma M2 N2 i2 Osignifica anche i2 O e cioè che la prova di corto-circuito magnetico corrisponde ad una prova a woto ai terminali elettrici. Dalla particolare configurazione della rete magnetica in esame dipenderà il valore dei coefficienti di auto e mutua permeanza A11 , A21. Nel caso in esame è facile dedurre l'espressione di questi ooefficieoti per semplice ispezione delia rete magnetica appena considerata. La permeanza Au è la permeanza equivàlénte della rete magnetica vista dai terminali della sorgente attiva ed è uguale alla"serie della permeanza A1 con il parallelo di A2 e A3:

=

=

=

358

13. STRUTI'URE MAGNETICHE

.

Ci)

~ Figura 13.23. Figura - Rete magnetica nella prova di corto-circuito magnetico M2=0.

A _ A1(A2+Aa) 11 - A1 + A2 + Aa

(13.96)

La permeanza A21 è il rapporto fra il flusso 2 medio per spira concatenato con il solenoide 2, non percorso da corrente, e la tensione magnetica M 1 della sorgente attiva. Il Husso 2 è una frazione del Husso 1 secondo la regola del partitore di flusso :

(13.97) con cui si ha:

(13.98)

E' evidente che, con il collegamento assunto degli strumenti di misura elettrici e magnetici, la mutua permeanza è positiva (A2 1 > O). Ponendo M1 = O, e valutando il rapporto fra I due Hussi di sorgente e la tensione magnetica. impressa dalla sorgente attiva M2, si determina la seconda colonna dei coefficienti di permeanza A12, A22:

A12

= M12

I

M,..O

; A22

= M22

I

(13.99)

Mi=O

=

La prova a tensione magnetica nulla sul lato non alimentato (M1 O) è una prooo di corto-circuito magnetico. M.a M1 = N 1 i 1 = O significa anche

13.8 INDUTTORE 81-POIITA CON NUCLEO IN FERRO

Figura 13.24. Rete magnetica nella prova di corto-circuito magnetico M1

i1

359

= O.

=

O e cioè che la prova di corto-circuito magnetico corrisponde ad una prova a vuoto ai tenninali elettrici (Fig.13.24). Dalla particolare configurazione della rete magnetica in esame dipende il valore dei coellìcienti di mutua e auto permeanza A12, A22 - Nel caso in esame è facile dedurre l'espressione di questi coefficienti per semplice ispezione della rete magnetica appena considerata. La permean7.a A22 è la permeanza equivalente della rete magnetica vista dai terminali della sorgente attiva cd è uguale alla serie della permeanza A2 con il parallelo di A1 e A3:

(13.100) La permeanza A12 è il rapporto fra il Russo 1 medio per spira concatenato con il solenoide 1, non percorso da corrente, e la tensione magnetica M2 della sorgente attiva. Il Russo 1 è una frazione del Russo 2 secondo la regola del partitore di flusso :

A1 1=2--A1+Aa

(13.101)

con cui si ha:

(13.102) che è, come deve essere, uguale a A2 1 per la reciprocitd della rete magnetica. Sono cosi noti i coefficienti di permeanza, e, da questi, si possono calcolare, attraverso i numeri di spire dei solenoidi, i corrispondenti coefficienti di induttanze del due-porta induttivo con nucleo in ferro e traferri.

360

13. STRUTTURE MAGNETICHE

Caso particolari: permeanza di dispersione nulla

Se il mutuo induttore ha permeanza A3 = O, i due flussi delle sorgenti magnetiche sono uguali 4> 1 4>2, ossia sono uguali i flussi dei tronchi di

=

nucleo sui quali sono avvolti i due solenoidi, qualunque valore abbiano le tensioni magnetiche M1 , M2 delle sorgenti corrispondenti e delle correnti (i1, i2) dei solenoidi. Si usa dire che è nullo il flusso di dispersione 4>3 4> 1 - 4>2 e che è nulla la penneanza di dispersione A3 (Fig.13.25) .

=

Figura 13.25. Rete magnetica con permeanza di dispersione nulla A3

= O.

Ciò comporta che il rapporto fra i flussi concatenati (,J, 1 , ,J,2 } è uguale al rapporto fra i numeri di spire dei solenoidi:

(13.103}

4>1 = 4> 2 => t/11 t/12

= N14>1 = N1 N24>2

(13.104)

N2

e lo stesso rapporto si ba fra le tensioni dei terminali dei solenoidi

v1

e

112, se si prescinde da eventuali flussi iniziali:

(13.105) Inoltre, se è nulla la penneanza di dispersione A3

= O, l'accoppiamento

t perfetto fra i due induttori : (13.106)

=

Se t nulla la penneanza di di6persione AJ O, si ha anche che ponendo in corto-circuito i terminali di un solenoide, ad esempio 112 O => 1/12 O => 4>2 O, deve essere altrettanto nulla la teneione dei terminali alimentati:

=

=

=

13.8 INDUTTORE 81-PORI'A CON NUCLEO IN FERRO

361

4> 1 = O => f/, 1 = O => 111 = O, qualunque sia la oorrente iniettata i1. In tal caso, inoltre, le due tensioni magnetiche M1 e M2 sono uguali e oppo6te: M 1 = - M2 e pertanto si ha N 1 i1 = -N2i2, ovw:ro le correnti nei due solenoidi stanno fra loro nel rapporto inverso dei numeri di spire, a parte il segno.

13. 8. 2 Bi-porta induttivo a flussi impressi ( o tensioni impresse) Assumiano impressi i ft11SSi ooncatenati ,(, 1 e ,t,2 nei due solenoidi, ovvero le tensioni 111 e 112 applicate ai terminali. Si voglia caloolare le oorrenti di porta (i 1, i2) del due-porta induttivo. Dal punto di vista magnetico, i due solenoidi a fluseo impresso sono equivalenti a due sorgenti di /IUS6o magmtw, 4>s1 ed 4>52. L'effettivo campo magnetioo dell'elettromagnete viene approssimato oon un circuito magnetico costituito da tre vie in parallelo fra loro, due delle quali hanno in serie le sorgenti di flusso magnetico 4>s1 ed 4>52. Si oonsiderino le oorrenti nei solenoidi entranti dai terminali oorrispondenti e le tensioni misurate in modo che il lavoro elettrico 8ia entrante da ciascuna coppia di tenninali. Si noti la corrispondenza fra tensioni e correnti ai terminali ed i versi dei flussi e delle tensioni magnetiche delle sorgenti. Per semplicità, si assume infinita la permeabilità del ferro, talché i tronchi in ferro siano rappresentati da corto-circuiti magnetici. La rete magnetica è lineare ed è costituita da tre riluttori, uno per ciascun traferro, due dei quali sono in serie oon le due sorgenti di flusso magnetico 4>s1 ed 4>52 (Fig.13.26) .

Figura 13.26. Rete magnetica dell'elettromagnete oon due aorgent.i di ftusao.

Il due-porta induttivo ~ lineare e per esso si possono valutare i coefficienti della matrice di elaatanza che trasforma linearmente il vettore dei flussi di porta 1/J nel vettore delle oorrenti di porta i:

r

(13.1CY7)

362

13. STRUTTURE MAGNETICHE

A queste due equazioni costitutive elettriche corrispondono due equazioni costitutive magnetiche, riconoscendo il legame esistente fra flussi concatenati di porta e flussi delle sorgenti magnetiche :

(13.108) e fra correnti di porta e tensioni delle sorgenti magnetiche:

(13.109) Sostituendo i flussi concatenati e le correnti con le corrispondenti grandezze magnetiche, si ha:

N1 O ] { 4>1 } [ O N2 4>2 (13.110) ovvero:

che scriviamo come:

(13.112) dove la matrice delle auto e mutue riluttanze corrisponde alla trasrormazione della matrice delle auto e mutue elastan:re r attraverso la matrice diagonale dei numeri di spire N dei solenoidi:

[ :~: :~ ] = [ ~I

!2 ][ ~~:

~~: ][ ~I

!2

(13.113)

In forma sintetica si può scrivere:

R=NrN

(13.114),.

mentre i coefficienti di elastanza sono espressi in funzione di quelli di riluttanza mediante la seguente relazione:

13.8 INDUTTORE 81-PORl'A CON NUCLEO IN FERRO

363

(13.115} ovvero:

R11 ru = --,.;r; rn = R12 N,

N1N2

~I

r 21 = N2N1; r22=!lJf

(13.116}

(13.117}

L'analisi della rete magnetica consente di determinare i coefficienti della matrice delle riluttanre R del due-porta magnetico e, da questa, ottenere la matrice delle auto e mutue elastanze r. Dopo aver calcolato le riluttanze della rete magnetica, associando ad ogni traferro una riluttanza Rt:

.... = 2..~ Ilo s D.

k

(k = 1'2' 3} '

(13.118}

avendo assunto uniforme il campo nel tronco di tubo di flusso in esame, si può proccclcre alla determinazione dei coefficienti di auto e mutua riluttanza della matrice R, mediante due prove a flussi magnetici imposti e nulli, ossia due prove magnetiche a woto. Ponendo il>2 = O, e valutando il rapporto fra le due tensioni di sorgente e il ftllS90 magnetico impresso dalla sorgente attiva 1 , si determina la prima colonna dei coefficienti di riluttanza R11, R-.n(Fig.13.27}:

M11

Rn="i'" 1

+,-o

M21

;~1=:,;-

... , +,-o

(13.119)

Figura 13.27. Rei.e magnetica nella prova a circuito magnetico aperto il>2

= O.

364

13. STRUTTURE MAGNETICHE

=

La prova a flll8SO magnetico nullo sul lato non alimentato (4>2 O) è una prova a circuito magnetico aperto. Ma 4-2 ,t, 2 / N 2 O significa anche 'f/,2 O ~ 1'2 O e quindi la prova a circuito magnetico aperto corrisponde ad una prova in corto-circuito ai terminali elettrici. La tensione magnetica M2 N2i2 è misurata dal prodotto del numero di spire N2 per la corrente i2 circolante nel solenoide in corto-circuito. Il solenoide in corto-circuito si comporta quindi come un tensiometro magnetico che misura la tensione magnetica M2. Porre un solenoide di resistenza nulla (ovvero perfetto) in corto-circuito significa interrompere il circuito magnetico, ovvero imporre che nel tronco di tubo di flusso del circuito magnetico ooncatenato oon il solenoide il flusso sia necessariamente nullo. Nel porre in oorto-circuito un solenoide si ha una oorrente in esso che moltiplicata per il numero di spire uguaglia la tensione magnetica che si determina sul tronoo di circuito magnetico rimasto interrotto per effetto della chiusura in oorto-circuito del solenoide. Un solenoide in corto-circuito è equivalente, magneticamente, ad un interruttore magnetico ideale aperte. Per interrompere un circuito magnetico ovvero per deviare il flll8SO magnetico è sufficiente awolgere su di esso un solenoide e chiuderlo in corto-circuito. Il oorto-circuito del solenoide impone l'interruzione del flusso (4>2 O) e comporta nel solenoide alimentato una f.m.m. M 1 che sta in un rapporto negativo costante oon la f.m.m . M2 del solenoide in corto- M2 O, deve essere altrettanto nulla la corrente del solenoide alimentato: M1 O =:> i 1 O, qualunque sia la tensione v 1 applicata. Questo fatto si esprime dicendo che ~ nulla la corrente assorbita a vuoto ( o di magnetizzazione) da un mutuo induttore con nucleo di penneanza infinita. La condizione di riluttanza praticamente nulla del cin:uito magnetico comune è realizzabile, in pratica, con buona approosimazione, mediante un nucleo di materiale ferromagnetico di elevata permeabilità ed una costruzione che realizzi il nucleo con traferri minimi, come avviene di regola nei trasformatori di grande potenza. Il mutuo induttore qui considerato e la sua rete magnetica costituiscono infatti un modello appropriato di un trasformatore a due awolgimenti. Se la rete magnetica del mutuo induttore presenta riluttanza nulla della maglia comune alle due sorgenti magnetiche (R 1 = ~ = O), ovvero

=

=

=

=

368

13. STRUTIURE MAGNETICHE

=

permeanza infinita dei tronchi del circuito magnetico comune (A 1 oo, A2 oo), non è definita la matrice delle induttanze L (permeanze A) a correnti impresse e non esiste la formulazione a con-enti impresse del mutuo induttore ( singolarità dovuta al circuito magnetico comune avente permeanza infinita) Se, d'altra parte, la rete magnetica del mutuo induttore presenta permeanza di dispersione nulla (A3 = O), ovvero riluttanza infinita del tronco di dispersione (Ra oo), non è definita la matrice delle elastanze r (riluttanze R) e non esiste la formulazwne a flussi impre88i, ovvero a tensioni impresse, del mutuo induttore ( singolarità dovuta alla compenetmzione perfetta dei due solenoidi con riluttanza infinita di dispersione, per effetto del perfetto interallacciamento fra le spire dei due solenoidi, che condividono idealmente lo stesso spazio). La riunione delle due precedenti sitll82ioni produce una doppia singolarità: non esiste né la formulazione a correnti impresse né quella a flussi impressi (ovvero a tensioni impresse) . Non esiste né la matrice delle auto e mutue induttanze L né la sua reciproca r, da noi detta delle elastanze induttive. In tal caso si ha:

=

=

R1

= ~ =O;

AJ =O

(13.132)

La rete magnetica è costituita da due corto-circuiti e da un circuito aperto. L' energia in essa accumulata è zero, con qualunque flusso e con qualunque tensione magnetica. La rete magnetica cosl individuata è quella di un trasformatore ideale induttiw per il quale i flussi concatenati 1/J, e le tensioni vcorrispondenti, stanno nello stesso rapporto dei numeri di spire dei solenoidi e le correnti i stanno nel rapporto inverso dei numeri di spire, con segno cambiato:

(13.133)

(13.134)

Una formulazione possibile per il trasformatore ideale induttivo è quella ibrida, che adotta come. variabili impresse la corrente di un solenoide ed il flusso concatenato dell'altro eolenoide.

13.8.3 Bi-porta induttivo con variabili ibride impresse Assumiano impressi il flusso concatenato di una porta e la corrente de.I~ . l'altra porta: 1{! 1 , i2 oppure i1, ,j,2. Si hanno, corrispondentemente, due formula.iioni ibride. Supponiamo che sia impressa la prima coppia di variabili ibride.

13.8 INDUTI'ORE B1-POin'A CON NUCLEO IN FERRO

369

Dal punto di vista magnetico i due aolenoidi aono equivalenti a due sorgenti: una di flusso 4> 81 ed una di tensione magnetica M 82 {Fig.13.30).

.

G)

~ Figura 13.30. Rete magnetica dell'elettromagnete con due sorgenti, una di 8UMO ed una di tensione magnetica, utile per la caratterizzazione con variabili ibride impresse.

L'effettivo campo magnetico dell'elettromagnete viene approssimato con un circuito magnetico costituito da tre vie in parallelo fra loro, due delle quali hanno in serie le sorgenti 4>s1 ed M52. Si supponga di misurare le correnti e le tensioni dei solenoidi in modo che il lavoro elettrico sia entrante da ciascuna coppia di terminali e che entrambe le correnti siano entranti dai terminali corrispondenti. Si noti la corrispondenza fra la misura delle tensioni e delle correnti ai terminali e la misura dei flussi e delle tensioni magnetiche delle sorgenti. Per semplicità, si assume infinita la penmobilità del fem,, talché i tronchi in ferro siano rappresentati da corto-circuiti magnetici. La rete magnetica è lineare ed è oostituita da tre riluttori, uno per ciascun traferro, due dei quali sono in serie con la aorgente di flusso magnetico 4>s 1 e con la sorgente di tensione magnetica M52 {Fig.13.30). Il due-porta induttivo t lineare e per esso si possono valutare i aiefficienti della matrice ibrida H che trasforma linearmente il vettore delle variabili impresse in quello delle variabili dipendenti:

{13.135} A queste due equazioni costitutive eleUr-ìcm corrispondono due equazioni costitutive magnetiche, riconoscendo il legame esistente fra grandezze elettriche e grandezre magnetiche impresse:

{ ~; } = [ ~I N~' ]{ e grandezre dipendenti:

(13.136}

370

13. STRUTTURE MAGNETICHE

(13.137)

Sostituendo le grandezre elettriche con quelle magnetiche, si ha:

ovvero:

che scriviamo come:

(13.140)

dove la matrice elettrica ibrida H corrisponde alla trasformazione della matrice magnetica ibrida a attraverso la matrice di trasformazione dei numed di spire dei solenoidi:

1

[ :~: :: ] = [ ~

N~ 1

1 ] [ ~:

~: ]

[ ~

N~l ]

(13.141)

e cioè:

(13.142)

o anche:

[ ~: ~: J = [

Nr i2 J [ :::

::: J [

Nr i2 J

(13.143)

e cioè

(13.144)

13.8 INDUTTORE B1-POIITA CON NUCLEO IN FERRO

371

L'analisi della rete magnetica consente di determinare i coefficienti della

matrice magnetica ibrida 0 del due-porta magnetico e, da questa, ottenere la matrice elettrica ibrida H del due-porta induttivo. Dopo aver calcolato le riluttanze della rete magnetica, associando ad ogni traferro una riluttanza Ri:: o. = _!_~ ,..., µo sk

(k

= l ' 2' 3} '

(13.145}

avendo assunto uniforme il campo nel tronco di tubo di flusso in esame, si può procedere alla determinazione dei coefficienti magnetici ibridi mediante due prove, una a tensione magnetica impressa e nulla ( corto-

circuito magnetico) e l'altro a jlWJSo magnetico imposto e nullo (prova a vuoto magnetico). Ponendo M2

= O nelle equazioni magnetiche costitutive (Fig.13.31} : (13.146)

si determina la prima colonna dei coefficienti di riluttanza 011 , 021 :

(13.147)

Figura 13.31. Rete magnetica nella prova in oort1 O) vista dai terminali della sorgente attiva ed è uguale alla serie della riluttanza~ e della riluttanza R3 :

=

13.8 INDU'ITORE B1-PORI'A CON NUCLEO IN FERRO

1 822=---

373

(13.152}

Ri+R:i

Il coellìciente ibrido 812 è il rapporto fra la tensione magnetica M 1 del ramo magnetico aperto e la tensione magnetica M2 della sorgente e si esprime con la regola del partitore di tensione:

812

M1 1

Ra

= M2 ~,..o= - Ri + Rs

(13.153}

che è, come deve essere, uguale ed opposto a 82 1 per la reciprocitd della rete magnetica. · Sono COGl noti i coefficienti magnetici ibridi e da questi si possono calcolare, attraverso i numeri di spire dei solenoidi, i corrispondenti coefficienti elettrici ibridi del due-porta induttivo con nucleo in ferro e traferri:

(13.154} Nel circuito equivalente associato alla formulazione ibrida:

{!~ }=[~: ::] {~; },

(13.155)

e rappresentato in Fig.13.33, risultano espressi in modo esplicito i parametri. Tale circuito è adatto a rappresentare il comportamento di un · generico dU,

I

Mi-4

= R1

+

M11

=

Jl,.iflà = O; 612= =-1 Jl,.i + llJJ M2 ••""" · (13.168)

378

13. STRUTIURE MAGNETICHE 021

= éf,éf>12 1M =o = l;

022

= 2 1

M2 4>,=0

2

= --1- = O ~ + R3

(13.169)

che esprime il comportamento magnetico di un trasformatore ideale induttivo (Fig.13.36) : è nulla la riluttan7,a della rete magnetica in corto-circuito magnetico (ossia a vuoto elettrico) ed è nulla la permeanza a vuoto magnetico (ossia in corto-drcuito elettrico). Corrispondentemente aaranno nulli i coefficienti di auto infiuen7.a ibridi h 11 e ~ delle equazioni elettriche costitutive, come deve essere in un trasformatore ideale induttivo. Inoltre i coefficienti ibridi di mutua influenza risultano h12 = -h21 : [

h11 ~I

h12]

hn

=[

t

N,

_!!:,.] N,

(13.170)

o

m i

a)

Ci)

~8:J 11

.

b)

i,

.

li

v,

'hn=O ;::::::.__.::::;----o

L1,,.=oo

P-1g11ra 13.36. Circuito equivalente del trasformatore ideale induttivo rappresentativo del porta-induttivo io formulazione ibrida quando è nulla la permeanza di dispersione (Aa =O) ed è nulla la riluttanza di magnetizzazione (R 1 = R2 = O} .

In un trasformatore ideale induttivo è nulla la corrente assorbita a vuoto (ovvero è infinità l'induttanza di magnetizzazione), ed è nulla la tensione di corto-circuito (ovvero è nulla l'induttanza di corto-circuito); il rapporto fra i flussi concatenati è uguale al rapporto fra le spire mentre il rapporto fra le correnti è uguale all'inverso del rapporto fra le apire, cambiato di segno.

13.9 INDUTTORE MULTI-PORTA CON NUCLEO DI FERRO

379

13.9 INDUTTORE MULTI-PORTA CON NUCLEO DI FERRO Il caso appena esaminato del due-porta induttore è di notevole significato sia teorico sia pratico in quanto ad esso si riconduce il comportamento di una numerosa classe di dispositivi elettromagnetici statici con nucleo di materiale ferromagnetico (trasformatori, reattori, relè magnetici, etc.). Le ricadute pratiche e teoriche della completa comprensione di questo argomento sono quindi enormi per tutti coloro che desiderano disporre di un approccio razionale e intcromente deduttivo del comportamento agli effetti interni di questi dispositivi. E' anche molto produttivo, concettualmente, riunire e porre a confronto i due punti di vista affrontati nell'analisi dei due-porta induttivi: quello elettrico, dai terminali elettrici, ossia agli effetti esterni, esaminato nel capitolo dei mutui induttori, e quello magnetico, dai terminali magnetici, ossia agli effetti interni, esaminato nel presente capitolo. Il metodo di analisi espresso per i due-porta induttivi con nucleo ferromagnetico può essere esteso ad un generico multi-porta in regime stazionario o in regime variabile, e, in particolare, in regime sinusoidale, monofase o trifase. Se il funzionamento è in regime sinusoidale, monofase o trifase, si applica, come di consueto il metodo dei fasori anche al dominio delle grandezze magnetiche. Si possono cosi modellizzare trasformatori e reattori monofasi e trifasi con due o più avvolgimenti, intendendo con avvolgimento un insieme di solenoidi o bobine collegate fra loro per costituire una porta elettrica monofase o trifase.

13.10 CONDIZIONI AL CONTORNO NEL CAMPO MAGNETICO STATICO Le linee di flusso di un campo magnetico d'induzione B subiscono una rifrazione quando incontrano una superficie di separazionefra due mezzi di permeabilità diversa µ 1 e 1'2· Gli angoli a 1 e a 2 che la linea di flusso forma con la normale alla superficie di separazione dei due mezzi adiacenti sono legati alle corrispondenti permeabilità µ 1 e l'2 (Fig.13.37). Il legame fra gli angoli a 1 e a2 e le permeabilità µ 1 e l'2 può essere dedotto considerando i vincoli imposti all'induzione B ed al campo magnetico H nell 'intoroo della superficie di separazione. Deve essere nullo il flusso magnetico totale uscente da una qualunque superficie chiusa. Pertanto, considerando un cilindretto di volume molto piccolo ti.V, di base ti.Se altezza molto piccola ti.I, contenuta per metà al mezzo 1 e per metà al mezzo 2 (Fig.13.38), si ha che il flusso entrante da una base deve uscire dalla base opposta, essendo trascurabile il flusso uscente dalla superficie laterale di altezza ti.I:

380

13. STRUTTURE MAGNETICHE

µ,

B.

µ, B,

Figura 13.37. Rifrazione delle linee di llu880 nel campo magnetico.

(13.171) ossia ai conserva la componente normale dell'induzione attraverso la superficie di separazione.

Figura 13.38. Conaervazione della componente normale dell'induzione magnetica.

Inoltre, in regime magnèto.statico, la circuitazione del campo magnetico H lungo una generica linea chiusa I deve uguagliare la con-ente che attraversa la auperficu avente la linea I come cont.orno. Prendendo come linea I di calcolo della circuitazione del campo H il perimetro di un rettangolo di superficie tJ.S avente due !i\ti lunghi di lunghezza tJ.I immersi nel mezzo 1 e nel mezzo 2, rispettivamente, e du,, lati corti ort.ogonali alla superficie di separazione (Fig:13.39}, si ha che:

i I

H·dl =HntJ.l-Hr2tJ.l = JtJ.S => Hr2 .

= Hn -

tJ.S Jti:i

(13.172)

13.10 CONDIZIONI AL CONTORNO NEL CAMPO MAGNETICO STATICO

dove J è la densità di corrente attaverso la superficie 118. La quantità J si chiama anche deruitd lineare di correnù lungo la superficie di separazione e si misura in A/m. ·

't,

Figura 13.39. Discontinuità nella componente tangenziale del campo magnetico H.

La componente tangenziale del campo magnetioo H presenta una discontinuità sulla ·superficie di separazione se su tale superficie vi è una densità di corrente non nulla. Se si suppone nulla la densitd di corrente J, la componenù tangenziale del campo magnetico H si con.,erva: J =0=> H 11 = Ht2

(13.173)

Con deruitd di correnù nulla sulla superficie di separazione, il rapporto fra le tangenti degli angoli a 1 e a2 si può esprimere come segue:

tana1 _ tana2 -

i::i_ _ Bu _

t - B,2 -

µ 1Hu _ µ1 ~H,2 - µ2

(13.174)

E questa relazione esprime la legge della rifrazione delle linee di ftuaso nel campo magnetico. Nei dispositivi elettromagnetici nei quali le linee di flusso passano da materiali con permeabilità µ 1 elevata {ferro e sue leghe) a materiali con permeabilità~ bassa (traferro), o viceversa, tali linee subiscono una rifr&zione in corrispondenzs della superficie di separazione e se µ 1 ;,, ~ si ha che la tangente dell'angolo a 1 è molto maggiore della tangente dell'angolo

(13.175)

381

384

13. STRUTTURE MAGNETICHE

assorbito 6We ed il calore generato 6Q:

dU=6W.-6Q

(13.177)

Il lavoro elettrico elementare assorbito 6W. vale:

6W.

=t1 i dt = i d,f,.

(13.178)

Per una variazione finita dello stato, fra un valore iniziale finale 1/12 del flusso concatenato, si ha:

J =[•i J •• dU

d,f,-

6Q

*

t.U

= t.W. -

t.Q

1/1 1

ed uno

(13.179)

con la quale si può valutare il lavoro elettrico assorbito ( /1 w.) ma non si può valutare né l'incremento di energia accumulata (t.U} né il calore erogato (t.Q). Per una variazione ciclica del flusso concatenato, fra uno stato iniziale ed uno stato finale coincidente con lo stato iniziale, si ha una traiettoria di magnetizmzione chiusa per la quale la variazione complessiva dell'energia accumulata è necESSariamente nulla:

(13.180) da cui consegue che il lavoro w. romplessivamente assorbito in un ciclo, che è uguale all'area del ciclo, deve essere uguale al calore Q generato. Se il ciclo viene descritto molto lentamente, ossia la frequenza fondamentale f del flusso e della corrente è relativamente bassa (minore di 1 Hz}, talché sia trascurabile l'effetto della variazione del campo magnetico sul calore generato, il calore è generato pretJalentemente a causa dell'isteresi magnetica che è peculiare dei materiali ferromagnetici sottoposti a magnetizzazione alternativa. Se si aumenta la frequenza f del Russo concatenato 1/1, supposto sinusoidale, lasciando invariato il suo valor massimo, si osseroa sperimenta/men,. te che l'area del ciclo di lavoro aumenta, ossia aumenta la larghezza t.i del ciclo per ogni valore del Russo concatenato diverso dal valore massimo positivo e negativo. Al calore generato per isteresi magnetica si aggiunge, quando la frequenza non è più molto piccola, il calore generato dalle correnti parassite indotte nel materiale ferromagnetico dal campo magnetico variabile nel tempo, per effetto della conduttitlità elettricn non nulla del materiale. In generale, quindi, la magnetizzazione alternativa ad una certa frequenza genera un

13.11 ISTERESI MAGNETICA E PERDITE RELATIVE

385

calore per ciclo somma di due contributi, uno per isteresi, presente solo nei materiali ferromagnetici, ed uno per con-enti parassite, presente in tutti i materiali con conduttività elettrica non nulla, che aumenta all'aumentare della frequenza. La separazione dei due contributi può essere effettuata disponendo di una serie di rilievi a diversa frequenza. Delle perdite per correnti parassite si dirà di piÌI in una delle prossime lezioni. Fin qui si è considerato il ciclo d'isteresi dell \nduttore, ossia il calore totale dissipato per isteresi magnetica in tutta la massa del nucleo ferromagnetico dell'induttore: Per ciclo d'isteresi di un materiale ferromagnetico s'intende invece il legame B(H) fra le grandezze magnetiche locali (Fig.13.43) . Per passare dalle grandezze integrali, che sono quelle misurate, alle grandezze locali Be H, si richiede un provino che consenta di avere una induzione praticamente uni/onne in tutta la sezione S. Il nucleo può avere forma toroidale, di raggio medio relativamente grande rispetto alla differenza fra il raggio esterno e quello interno, in modo da avere una induzione poco variabile sulla sezione, sul quale è avvolta una bobina di eccitazione con N spire serrate e uniformemente distribuite.

Figura 13.43. Ciclo d'isteresi B(H) di un materiale ferromagnetico e circuito per ·

il rilievo del ciclo d'isteresi.

Il campo magnetico H si ottiene dalla f.m.m. della bobina di eccitazione N i e dalla legge della circuitazione applicata alla lunghezza media I del nucleo toroidale: H= Ni [A/m] (13.181) l L'induzione magnetica B si ottiene dal flusso nel nucleo toroidale E:! Ei = ~ Et

(14.21)

Se, ad esempio, si considera un isolamento costituito da una barriera di

carta ed un canale di olio minerale si ha: (14.22) e quindi

14.2 CAMPO ELETTROSTATICO

397

V

Figura 14.4. Condensatore piano con due dielettrici in serie.

Eolio

Ecorto

= t'et1rta

e!

2

(14.23)

eolio

ovvero l'olio subisce una solled~one circa doppia di quella della carta. Se si considera che il massimo campo elettrico ammissibile nell'olio è una piccola frazione del massimo campo elettrico ammissibile nella carta (dell'ordine di 1/4 + 1/5), si comprende che la distribuzione della Bllccitazione nell'olio e nella carta è l'opposto di quello che sarebbe desiderabile per la tenuta dielettrica. Inoltre, in considerazione del fatto che il campo elettrico ammissibile in un dielettrico Bi riduce all'aumentare dello spessore, si comprende la necea1ità di frazionare l'isolamento delle macchine e degli apparecchi in alta tensione mediante una successione di canali di olio e barriere di cartogeno, al fine di aumentare la tensione di tenuta.

lff.9 Condensatore cilindrico Un condensatore cilindrico è costituito da due armature cilindriche coa.s-siali, di raggio r 1 e r2, ·separate da un dielettrico di permettività E. Fra le armature è applicata una tensione t1 e su di esse è accumulata una carica +q e -q, rispettivamente (Fig.14.5). La capacità C del condensatore cilindrico è, per definizione, il rapporto fra la carica sulle armature e la tensione fra di esse:

(14.24)

398

14. STRUTI'URE DIELETTRICHE

Figura 14.5. Condensatore cilindrico.

Per calcolare l'espressione della capacità C si deve semplicemente valutare il rapporto q/v in fonzione della geometria della struttura e della permettività del materiale dielettrico interposto fra le armature. Il campo elettrico del condensatore cilindrico ha simmetria cilindrica: le linee di forza sono dei raggi e le superfici equipotenziali sono dei cilindri concentrici con le armature. Il campo dielettrico diminuisce d'intensità all'aumentare del raggio r dovendo mantenere costante il flusso dielettrico 1{, che attraversa una qualunque superficie cilindrica di raggio r :

1{,

= q = D(r) 21rrl

(14.25)

L'ind~zione dielettrica D(r) ed il campo elettrico E(r) valgono, di conseguenza:

D(r)

'P 'P 1 = 21rrl :} E(r) = 2irEI;:

(14.26)

Sia l'induzione dielettrica che il campo elettrico si riducono iperbolicamente all'aumentare del raggio r. Con l'espressione del campo elettrico E(r) si può valutare l'espressione della tensione v applicata:

v= [

•

E(r)dr= [

1{11 ,/J r2 --dr=-log,, 2irEI r 2,rEI r1

(14.27)

Facendo il rapporto fra la carica q e la tensione v si valuta l'espressione della capacità C :

(14.28)

14.2 CAMPO ELETI'ROSTATICO

399

E' utile considerare l'espressione del campo elettrico E(r) in funzione della tensione applicata " e dei dati goometrici:

~ti Er- ,fJ l_Cvl_1os., 1_

()

2,rE:lr

2,relr

"1

m

21rel r - log!:2. r [V/ J

.,

(14.29)

dalla quale è evidente che, con una certa tensione applicata v, il campo elettrico sul raggio interno r 1 , E(r1 ), aumenta al diminuire del rapporto

r2/r 1 • La zona di dielettrico adiacente all'armatura interna è la phl sollecitata ma tutto lo spessore radiale è rilevante agli effetti della tenuta. Se la sollecitazione supera il valore ammissibile, s'innesca una scarica parziale nella regione di dielettrico con campo elettrico più elevato, ossia il dielettrico si ionizza localmente con conseguente produzione di calore. Segue un transitorio tennico nel quale aumenta la temperatura locale del dielettrico ma anche lo stato di ionizzazione ed il calore generato. Se comunque il calore generato non supera il calore che. può essere scambiato con l'ambiente circostante, il fenomeno tende ad uno stato di equilibrio stabile ( stabilitd tennica). Se invece il calore generato è maggiore del calore che può essere scambiato, il calore accumulato fa aumentare la temperatura locale ed estende la zona di dielettrico interessata dalla scarica parziale ( instabilitd tennica). La regione di dielettrico adiacente all'armatura interna assume cosl una conduttività relativamente elevata e, pertanto, il mggw interno efficace del condensatore aumenta, con coneeguente riduzione dello apeuore utile di i.,olamento. La riduzione dello spessore utile di isolamento causa la propagazione della scarica parziale a tutto lo spessore radiale, attraverso un canale conduttore di materiale fortemente ionizzato, con scarica totale e di.,truzione irrevembile dell'iaolamento solido interposto fra le due armature. La scarica parziale che ha luogo nei materiali dielettrici gassosi si manifesta con un ellluvio e con emissione di radiazioni visibili ( effetto

corona). Un isolamento gassoso o liquido, a differenza di un isolamento solido, può autoripristinare, in parte, le proprietà di tenuta dielettrica dopo una o più scariche totali, se viene tolta momentaneamente la tensione applicata fra le armature e viene prodotto un rimescolamento del dielettrico liquido o gasaoeo. La quantità di 806tanze ottenute dalla decomposizi,,ne del dielettrico, per effetto dell'elevata temperatura locale, riduoe comunque nel tempo le proprietà di tenuta di un certo volume di materi!l,le. Si deve allora provvedere, periodicamente, alla sostituzione dell'isol~ento liquido o gassoso esausto con nuovo isolamento o al filtraggio ed alla rigenerazione del precedente per ripristinare pienamente le proprietà dielettriche di un dielettrico liquido o gassoso.

400

14. STRUTTURE DIELETTRICHE

E. D11

Figura 14.6. Rifrazione nel campo dielettrico.

14.3 CONDIZIONI AL CONTORNO DEL CAMPO ELETTROSTATICO Sulla superficie di separazione fra due regioni di spazio con permettività diverse E 1 e E2, in assenza di carica netta in quella regione, si conserva la componente normale dell'induzione dielettrica Dnt = Dn2 e la componente tangenziale del campo elettrico En E,2 lungo una generica linea di flusso in assenza di densità superficiale di carica. Ne consegue che, con consid&razioni analoghe a quelle già viste pèr il campo magnetico, il rapporto fra le tangenti degli angoli o 1 ed 02, che la linea di forza forma con la normale alla superficie di separazione fra i due mezzi, è uguale al rapporto fra le permettività E1 e E2 (Fig.14.6):

=

(14.30) Questa relazione esprime la rifrazione del campo dielettrico e permette di traociare le linee di flusso in una regione con dielettrici di diversa permettività.

14.4 CONDENSATORE CON TRE ARMATURE Quanto segue presenta la tmtta.zione del condensatore tripolare e ripropone, cambiando quel che vi è da cambiare, quanto già detto per il mutuo induttore. Si ritiene che, dal punto di vista didattico, la ripetizione sostanziale della trattazione pos.,a giovare al lettore. Alla con-ente dell'induttore corrisponde la tensione del condensatore, al ft=o concotenato dell'induttore conisponde la carica ( o il jlU6So dielettri-

14.4 CONDENSATORE CON TRE ARMATURE

401

co) del condensatore. Ai coefficienti di induttanza corri&pondono i coefficienti di capacità, ai coefficienti di elastanza induttivi convpondono i coefficienti di elastanza capacitivi. All'energia magnetica corri&ponde l'energia dielettrica. Il più semplice mutuo condensatore è rappresentato da un tripolo capacitivo che è una struttura dielettrica coetituita da tre annature oonduttrici separate da un isolamento. Lo stato di un tripolo capacitivo è individuato, agli effetti esterni, dalle tensioni t11 e "2 di due armature rispetto alla terza, assunta oome riferimento, e dalle cariche q1 e 112 delle due armature. L'armatura di riferimento ha una carica uguale ed opposta alla somma delle altre due: q3 q1 + 'l'l) (Fig.14.7).

= -(

% 2

;, (i)

Tripolo capacitiw,

v,

i2

(i)

~

V2

G)

3

Figura 14.7. Tripolo capacitivo con indicazione del criterio di misura delle grandezze di porta.

Il tripolo in esame ha esclusiva capacità di accumulo di energia di tipo dieletlnco. Per esso, il primo principio della termodinamica impone che, l'incremento di energia dielettrica è pari alla differenza fra i lavori elementari entranti in fase di carica: dU

= 6We1 +6W.2

(14.31)

Questa è I' equazione energetica fondamentale in fonna differenziale. Ciascuna porta è caratterizzata da una coppia di ooriabili di stato coniugate: la tensione applicata fra ciascuna armatura indipendente e l'armatura di riferimento e la mrica accumulata su ciascuna armature indipendente. Esprimendo il lavoro elementare entrante da ciascuna porta 6W.; t>;dq;, l'equazione energetica fondamentale in forma differenziale si può esprimere in funzione delle variabili di stato:

=

(14.32)

402

14. STRUTIURE DIELE'ITRICHE

Per la oonoscenza oompleta del sistema in esame, si deve determinare la relazione fondamentale che esprime la variazione finita dell'energia accumulata t:,.U in funzione del numero minimo di variabili di stato o gmdi di libertd del sistema di accumulo. Vi sono quattro variabili di stato e due vinooli fra tali variabili, rappresentati dai due legami costitutivi di porta. Complessivamente si hanno sei caratterizzazioni possibili, tante cioè quante se ne ottengono oombinando a due a due le quattro variabili (v,, v2 ; q1 , q2 ). Se le variabili impresse sono le due tensioni (v,, V2) o le due cariche (1/J,, 1{J2), la rappresentazione si dice omogenea; se le due variabili impresse aono la tensione di una porta e la carica dell'altro porta (v,, Q2) oppure (q1 , V2), la rappresentazione si dice ibrida; se, infine, le due variabili impresse sono la carica e la tensione di una medesima porta (q1 ,v 1} oppure ( '12, v2 ), la rappresentazione si dice di trasmissione. La variazione di energia accumulata nel sistema si può quindi esprimere in funzione di due variabili scelte come indipendenti o impresse al multiporta induttivo. La combinazione a due a due delle quattro variabili di stato conduce a sei J)Ol!!Sibili relazioni fondamentali:

U(v1,v2), U(q1,'l2}, U(q1,v2), U(v1,112), U(v1,q 1), U(v2,'l2) (14.33) delle quali le prime quattro sono particolamente significative e saranno trattate in dettaglio nel seguito. Per la determinazione della relazione fondamentale è necessaria la conoscenza delle oorrispondenti equazioni costitutive: a tensioni impresse, a cariche impresse o oon variabili ibride o miste impresse.

14.5 EQUAZIONI COSTITUTIVE A TENSIONI IMPRESSE Le equazioni costitutiw del mutuo oondensatore o due-porta capacitivo a tensioni impresse hanno la seguente forma: Q1 =~1(v1,V2) (14.34} 'l2 = 112(v1,V2) Queste equazioni J>Ol!!SODO essere lineari o non lineari ma devono essere algebriche e con simultaneo annullamento delle cariche e delle tensioni. In quanto segue si assumerà che il mutuo condensatore sia lineare, ossia che la permettività e dei dielettrici sia indipendente dall'intensità del campo elettrioo. Pertanto si assumerà: {

(14.35}

14.5 EQUAZIONI COSTITUTIVE A TENSIONI IMPRESSE

403

con C,; coefficienti costanti di auto e mutua capacità. Tali ooefficienti operano sulle tensioni di porta per rornire il corrispondente contributo alla carica accumulata su ciascuna armatura indipendente. In rorma matriciale si ha:

{14.36) La matrice della capacità C trasforma il vettore delle tensioni v nel vet,. tore delle cariche elettriche q. Le precedenti equazioni esprimono il meccanismo dell'induzione dielettrica: la carica elettrica indotta su ciascuna armatura, che è uguale al flusso dielettrico totale usoente da quell'armatura, è 006tituita da due contributi uno di auto induzione (q 11 C 11v 1 ) , dovuto alla tensione v1 fra questa armatura e l'armatura di rirerimento, e un altro (q12 = C12t12) di mutua induzione, dovuto alla tensione t12 rra la seconda armatura e l'armatura di rirerimento. Analogamente dicasi per la carica q2 . In generale, quindi, la carica su ciaacuna armatum di un aistema con più di due annature dielettricamente accoppiate, dipende oltre che dalla propria tensione anche dalle tensioni delle altre annature rispetto all'armatum di riferimento. Frequentemente l'armatura di rirerimento, in innumerevoli strutture dielettriche, è la terra o una struttura metallica di contenimento o strutturale collegata alla terra.

=

14 .5.1

Identificazione dei coefficienti della matrice di capacità

I coefficienti della matrice delle capacità possono essere determinati mediante due prove a tensione impressa.: con tensione impressa v2 = O; si determina la prima colonna dei coefficienti di capacità, ossia Cn e C21, mentre con tensione impressa v1 = O, si determina la seconda colonna dei coefficienti di capacità, ossia C 12 e ~- Per effettuare le prove è richiesto di misurare le due tensioni, mediante wllmetri elettrostatici, e le due cariche, mediante amperometri i~tori (q = f~ i dt + q(O)) . Si assume che gli amperometri siano collegati per misurare le correnti entmnti nei terminali associati alle armature indipendenti. I voltmetri sono coordinati con gli amperometri in modo da considerare il lavoro elettrico entrante da ciascuna porta. Con t12 = O, ossia con i terminali della porta 2 in corto-circuito, si ha il circuito di misura di Fig.14.8. Dalla misura della tellf!ione v1 applicata alla porta alimentata e della · misura delle cariche sulle "armature q1 e Q2 si ottiene:

{14.37)

404

14. STRUTTURE DIELETTRICHE

i1

(i)

G)

Tripelo ClplCitivo

j

V1

V2=0

I

-

-

Figura 14.8. Prova in oorto circuito sul lato 2 (v, coefficienti di capacità C11 e C21.

= O),

dove le cariche sulle armature, assumendo nulli risultano:

q,

=

i2

'l

1·

i, dt; 1/2

=

1·

per la misura dei

loro valori iniziali,

(14.38)

i2 dt;

La procedura di misura delle cariche è pertanto identica a quella delle corrispondenti correnti. Durante questa prova, il rapporto fra la carica sull'armatura non alimentata e quella sull'armatura alimentata è costante: negativo o nullo, con le correnti entranti dai terminali collegati alle armature indipendenti:

~,.;o

(14.39)

q,

=

in quanto il flusso dielettrico usoente dall'armatura 1 (t/11 q1), deve in parte entrare nell'armatura 2 (,t,2 = qz) e in parte deve entrare nell'armatura di riferimento (113 = q1 - q2), che sono equipotenziali fra loro. La corrente i2, assunta entrante dal terminale collegato all'armatura 2, è . negativa durante il processo di carica dell'armatura 1. Se il rapporto è diverso da zero le due porte capacitive si dicono mutuamente accoppiate (o interagenti), altrimenti si dicono disaccoppiate (o non

interagenti). Partendo da uno stato iniziale con cariche tutte nulle, la porta alimentata assorbe, durante la prova in corto-circuito, il lavoro elementare positivo:

(14.40) mentre la porta non alimentata (in corto-circuito) non assorbe lavoro,

14.5 EQUAZIONI COSTITUTIVE A TENSIONI IMPRESSE

6W.2

=112~ =O

405

{14.41)

essendo stabilmente nulla la tensione 112· E' evidente che la tensione assorbita v 1 deve avere lo ste!so segno della carica q1 • Quindi il coefficiente di auto capacità C 11 qi/v1 deve necessariamente essere maggiore di zero. Il rapporto fra le cariche 112/q1 risulta anche uguale al rapporto fra il coefficiente di mutua capacità C21 e quello di auto capacità C 11 :

=

{14.42) Dalle precedenti osservazioni risulta evidente che il modo in cui sono collegati gli amperometri inugmtori per la misura delle cariche, e solo quello, determinerà il segno del coefficiente di mutua capacità C21 • Si sottolinea anche il fatto che i coefficienti di auto cnpacitd sono intrinsecnmente positivi. A scopo di ulteriore esemplificazione si consideri un esperimento nel quale si applichi alla porta alimentata un impulso di corrente positiva di ampie2za costante is di durata t1 {Fig.14.9). Durante il tempo t 1 , la carica e la t ensione del lato alimentato (qi, v 1 ) crescono linearmente entrambi con segno positivo. la carica 'l'l cresce anch'essa linearmente ma può avere segno negativo o positivo, a seconda che l'amperometro integratore del lato 2, che fornisce tale carica, misuri la corrente i2 entrante o uscente. Il coefficiente di mutua cnpacitd C2 1 i negativo se la corrente ½ è 899Unta entrante dal terminale 2. Dall' istante in cui la corrente applicata alla porta alimentata diventa nulla, la porta alimentata risulta a vuoto, la carica su di essa q 1 diventa costante e altrettanto può dirsi della tensione v1 e della carica 'l'l · In modo analogo si determinano I coefficienti di capacità C12 ed ~. ponendo in corto-circuito il lato l ed alimentando il lato 2 del due-porta capacitivo.

Figura 14.9. Carica di un tripolo capacitivo in corto-circuito con v,

=

= O.

Con 111 O , ossia con i terminali della porta l In corto-circuito, si ha Il circuito di misura di Fig.14.10.

406

14. STRUTI'URE DIELE'ITRICHE

i1 _ (ì)

-

'' Vi=O

Tripolo capocitivo

I

G) ~

ii

~

Vz

-

Figura 14.10. Prova in corto circuito sul lato l (t11 coefficienti di capacità C12 ed C.2.

= O),

per la misura dei

Dalla misura della tensione "2 applicata alla porta alimentata e delle cariche delle armature indipendenti q1 e q,z si ottiene:

(14.43) Con analoghe osservazioni a quelle già fatte, si osservi che il coefficiente di mutua capacità C 12 è negativo o poaitivo, a seconda che ai mi.,uri la corrente i 1 entmnte o uacente della porta 1.

1.f5.2

Variazione di energia del due-porta capacitivo a tensioni impresse

La variazione di energia ll.U in un due-porta capacitivo a tensioni impresse si valuta integrando il corrispondente differenziale dU fra uno stato iniziale ed uno stato finale. Se lo stato iniziale è associato ad una coppia di variabili impresse entrambe nulle, si ha:

ll.U =

r••• dlJ = lo,o f' •"' (u1dq1 +v-.idq,z)

lo,o

(14.44)

Per effettuare l'integrazione si devono esprimere le variabili dipendenti in funzione di quelle impresse: i flussi concatenati q1 e ~ devono essere espressi in funzione delle tensioni u1 e 112:

(14.45) (14.46)

14.5 EQUAZIONI COSTITUTIVE A TENSIONI IMPRESSE

407

Figura 14.11 . Prima traiettoria eemplioc per il calcolo della variazione di energia di un due-porta capacitivo. con cui si ha:

(14.47) F.ssendo l'energia una funzione di stato, il valore di questo integrale non dipende dalla traiettoria d'integrazione ma solo dai suoi estremi, oosia dai valori iniziali e finali delle tensioni di porta. La troiettoria più semplice d'integrazione di una funzione di stato di pii) variabili è quella costituita da una successione di variazioni complete ed esclu8ive delle variabili indipendenti: varia completamente, da zero al suo valore finale, ciascuna variabile mentre le altre permangono nel loro valore, nullo o finito. Nel caso in esame, di queste traiettorie di massima semplicità ve ne sono due, essendo due le variabili di stato. . Considerando quella traiettoria che vede dapprima la variazione della tensione t1 1 e successivamente la variazione della tensione "2 si ottiene

(Fig.14.11):

l:J.U

=[." o.o

0

dU + [''"' dU v,,o

= (~C11t1~) + (t11C12"2 + ~C22f1)

(14.48)

Considerando, invece, quella traiettoria chè\.eéle dapprima la variazione della tensione "2 e successivamente la variazione della tensione t11 si ottiene

(Fig.14.12}:

408

14. STRUTTURE DIELBTl'RICHE

U(v1,Vi)

Figura 14.12. Seconda traiettoria semplice per il calcolo della variazione di energia di un duc,.porta capacitivo.

Dal confronto fra i due risultati è evidente che deve aversi che:

{14.50) )a quale esprime l'uguaglianza dei coefficienti di mutua induttanza come

conseguenza diretta del faUo CM l'energia è una funzione di stato. Si indicherà quindi con Cm sia C 12 che C21 - Questa uguaglianza consente anche di affermare che l'influenza di una tensione di una armatura sulla carica dell'altra armatura è la medesima ed esprime appunto la reciprocitd del componente in esame. La varia2ione di energia fra uno stato iniziale ed uno finale risulta espressa da una forma quadratica definita positiva delle variabili di stato, essendo comunque positiva la variazione di energia fra uno stato iniziale con tensioni nulle ed uno finale con tensioni diverse da zero, per qualunque variazione, positiva o negativa, delle due tensioni:

{14.51) Questo comporta un vincolo per la matrice dei coefficienti di capacità C, rappresentato dal fatto che essa deve avere autovalori positivi. Questo richiede che il determinante della matrice C e dei suoi minori fondamentali deve essere positivo: det(C)

> O; (C11 ,C22) > O

{14.52)

14.5 EQUAZIONI COSTITUTIVE A TENSIONI IMPRESSE

409

Si evidenzia cosi di nuovo, per via matematica, che i coefficienti di auto capacità devono essere positivi. Inoltre II vincolo sul determinante è un vincolo fra i valori dei coefficienti di capacità:

(14.53) e pertanto deve aversi che:

G12 C12 = -JCuC22

(14.62)

e pertanto:

(14.63) Ne consegue che, nel caso limite in esame, le due tensioni di porta sono uguali:

(14.64)

Se deve easere realiuata la condizione limite di variazione nulla dell'eaccumulata, le tenaioni di porta devono easere uguali.

nergia magnetica

14.5 EQUAZIONI COSTITUTIVE A TENSIONI IMPRESSE

411

Se il due-porta capacitivo funziona in corto-cin:uito, ossia una delle due tensioni è uguale a zero mentre l'altra è finita, poniamo tl2 O, si ha una variazione finita dell'energia aocumulata:

=

(14.65)

14-5.3 Legame fra tensioni capacitivo

e

correnti di un due-porta

Riconosoendo che la corrente di porta di un multi-porta capacitivo è uguale alla derivata temporale della carica accumulata sull'armatura associata a quella porta: .

dq dt

t=-

(14.66)

è immediato ottenere il legame fra le CMTenti di porta e le tensioni di porta di un due porta-capacitivo lineare. Dalle equazioni costitutive:

(14.67) derivando in funzione del tempo, si ottiene infatti che:

(14.68) e, in particolare, in regime sinusoidale, con i fasori, si ha:

~1 { ricordando che zioni come:

~i"

h

= jwCu ~ + jwC12~ = jwOii Vi + jwC-n V2

(14.69)

=jw ... Si poesono anche scrivere le precedenti equa(14.70)

412

14. STRUTTURE DIELETTRICHE

avendo indicato oon:

B11 = wC11; B12 = wC12; { B21 = wC2,; B22 = wC22;

(14.71)

le auto e mutue suscettanze del due-porta capacitivo a tensioni impresse.

J..f.5.4

Circuito equivalente del due-porta capacitivo a tensioni impresse

Il legame fra tensioni e tensioni di porta di un due-porta capacitivo nella formulazione oon tensioni impresse esprime l'equilibrio delle tensioni in due nodi indipendenti:

(14.72) Sul nodo associato alla porta 1 incidono un condensatore di capacità C11 in parallelo oon una sorgente di corrente pilotata dalla derivata della tensione della porta 2 (~) e avente coefficiente d'influenza pari a C 12 . Altrettanto, sul nodo associato alla porta 2 incidono un condensatore di capacità C22 in parallelo con una sorgente di corrente pilotata dalla derivata della tensione della porta 1 (!/,it) e avente coefficiente d'influenza pari a C2 1 (Fig.14.13).

Figura 14.13. Circuito equivalente del du-porta capacitivo a tensioni impresse con oorgenti pilotate.

Alle equazioni costitutive di un tripolc capacitivo, rappresentativo del legame fra le due cariche e le due tensioni di un sistema di tre armature cariche o di un numero qualsivoglia di armature delle .quali solo solo tre

14.5 EQUAZIONI COSTITUTIVE A TENSIONI IMPRESSE

413

siano accessibili per la misura delle tensioni rispetto ad un'armatura di riferimento e delle cariche, si può associare una rete equivalente minima costituita da tre condensatori collegati a triangolo che collegano ciascuna armatura con le altre due (Fig.14.14).

Figura 14.14. Rete equivalente a triangolo di una struttura dielettrica con tre armature accoppiate.

Infatti, è facile verificare che fra i coefficienti di capacità della matrice C e le capacità C 1 , C2, G3 della rete equivalente a triangolo vi sono le seguenti relazioni:

(14.73) e che pertanto si ha:

(14.74) Un n - polo può sempre essere rappresentato da un circuito equivalente costituito da un grafo completo di capacità avente n(n - 1)/2 parametri indipendenti. Il vincolo rappresentato dall'energia U necea.,anamente positiva comporta dei vincoli per il valore delle capacità della rete equivalente a triangolo. Dovendo essere po8itilli i roefficienti di auto capacita, deve essere positiva, la somma delle capacità incidenti nei due nodi indipendenti della rete equivalente:

C2+C3>0=> Ca>-C2 { C1 + C3 >O=> Ca > -Ci

(14 .75)

ossia la capacità C3 che collega le armature 1 e 2 deve essere maggiore dell'oppoeto delle capacità C1 e ~ che collegano le armature l e 2 con l'armatura di riferimento.

414

14. STRUTTURE DIELETTRICHE

Inoltre, dovendo -«e positivo il determinante della matrice dei coefficienti di capacità C, si deve anche avere:

(14.76) Quest'ultima disequazione si può anche scrivere nel seguente modo:

(14.77) dalla quale discende per la capacità

Cs il seguente vincolo:

c,c,

(14.78)

C3>----

C,+C2

oesia la capacità C3 deve e&&ere maggiore dell'opposto della media armonica fra C 1 e C2 • Questo restringe il campo di valori di C3 già fissato dalle precedenti condizioni in quanto la media armonica fra due numeri t aempre minore di cia6cuno di essi. Pertanto, se si assumono positive le due capacità C1 e O,, la capacità C3 può anche assumere valore negativo purché sia det( C) > O. Questo può accadere in strutture dielettriche con molte armature di cui solo tre sono accessibili dall'esterno. Comunque, nel caso di un sistema con tre armature equipotenziali si è già osservato che la capacità C3 è positiva ( Cs c12 -C12 > O) essendo sempre negativa la carica indotta sull'armatura 2 quando questa è posta allo stesso potenziale dell'armatura di riferimento (se tr 1 > O, q1 > O, q2 < O con tr2 = O). Il caao limite di sistema &emi definito poaitivo corrisponde ad un sistema con tre armature nel quale l'armatura di riferimento è allontanata sufficientemente dalle.altre due in modo che siano trascurabili (idealmente nulle) le capacità C, e C2 rispetto alla capacità O,. In tal caso la struttura degenero in un condensatore con due sole armature 1 e 2, che sono totalmente disaccoppiate dall'armatura 3 di riferimento, e fra le quali vi è una capacità Cs>O. La aituazione limite di accoppiamento perfetto in corto-circuito evidenzia cbe il modello adottato è impropriamente dotato di due equazioni non indi,. pendenti fra loro, mentre ne basta una sola, essendo una aola la grandezza che puc! e&&ere impressa, o la carica (uguale ed opposta) sulle armature 1 e 2 o la tensione fra esse. Le aingolarità, i ca6i limite e le ffltJl1%ioni degeneri esprimono, di regola, la punizione per gli abu.9i commessi nella scelta di uli modello inadeguato ed eccusioo rispetto al numero di parametri indipendenti e non nulli di- ' · sponibili. Quando si constata una aingolarità, si riceve la segnalazione che il problema in esame richiede un modello pid semplice di quello adottato.

= =

14.6 EQUAZIONI COSTITUTIVE A CARICA IMPRESSA

415

14.6 EQUAZIONI COSTITUTIVE A CARICA IMPRESSA Le equazioni costitutive del mutuo condefl3-porta capacitivo a carica impressa hanno la seguente forma:

111 =~1(q1,112) { v,z = v,z(q1,112)

(14.79)

Per un mutuo condematore lineare si ha: (lUl)

dove S,; sono i coefficienti costanti di auto e mutua elaatanza capacitivo. Tali coefficienti operano sulle cariche delle armature indipedenti per fornire il corrispondente contributo alle tensioni fra queste e l'armatura di riferimento. In forma matriciale si ha: (14.81) La matrice delle elastanze S trasfocma il vettore delle cariche indipendenti q nel vettore delle tensioni 11. ·

1f6.1 Identificazione dei coefficienti della matrice delle

elastanze capacitive I coefficienti della matrice delle elaata~ capacitive poo90no essere determinati mediante due prove a carica iminusa, ovvero con armature flottanti (o a woto): con carica impressa 112 = O, ossia con armatura 2 ftottante, si determina la prima colonna dei coefficienti di elastanza, Ollsia S11 e S21 , mentre con carica impressa q1 = O, ossia con armatura 1 ftottante, si determina la seconda colonna dei coefficienti di elastanza, ossia S 12 e S22. Per effettuare le prove è richiesto di misurare le cariche accumulate sulle armature indipendenti, mediante due amperometri integratori (q = i dt+q(O)), e d_ue tensioni rispetto all'armatura di riferimento, con due voltmetri elettrostatici. Con 'l'l = O, ossia con i terminali della porta 2 aperti, ii = O, e con carica iniziale nulla, 112(0) = O, si ha il circuito di misura di Fig.14.15. Dalla misura della carica q1 e delle due tensioni 111 e v,z si ottiene:

J;

'·(,., S11=~1 ;S21=~1 q1 ,,.-o q1

,,.-o

(14.82)

416

14. STRUTTURE DIELETTRICHE

0

© Figura 14.15. Circuito per la misura dei coefficienti di clastanza S11 ed

S21 -

dove le cariche di ciascuna porta, assumendo nulli i loro valori iniziali, risultano:

ql

=

1I

i1 dt;

~=

1I

i2 dt;

(14.83)

La procedura di misura delle cariche è pertanto identica a quella di misura delle corrispondenti correnti. Durante questa prova, il rapporto fra la tensione misurata sulla porta non alimentata e quella misurata sulla porta alimentata è costante: pooitivo, negativo o nullo:

(14.84) Se il rapporto è diverso da r.ero, le due porte si dicono mutuamente accoppiate ( o interagenti), altrimenti si dicono disaccoppiate (o non interagenti). Il rapporto è positivo se i morsetti contrassegnati dei due voltmetri sono collegati alle armature indipendenti. Partendo da uno stato iniziale con cariche nette nulle sulle armature, la.,porta alimentata assorbe, durante la prova a vuoto (~=O), un lavoro elementare positivo:

(14.85) mentre la porta a vuoto non assorbe lavoro,

(14.86) essendo nulla la variazione della carica 'l'l = O. E' evidente che la tensione assorbita V1 deve avere lo stesso segno dell'incremento della carica q1 e che quindi il ~fficiente di auto ela&tanza S 11 = v 1 /q1 deve necessariamente

essere maggiore di zero.

14.6 EQUAZIONI COSTITUTIVE A CARICA IMPRESSA

417

Il rapporto fra le tensioni v2/v1 risulta anche uguale al rapporto fra il coefficiente di mutua elastanza S21 e quello di auto elastanza S 11 :

(14.87)

Il coeflìcieate di mutua elastanza S2 1 è positivo se i morsetti contrassegnati dei voltmetri sono collegati alle armature indipendenti del condensatore. Dalle precedenti osserva2ioni risulta evidente che il modo in cui sono collegati i voltmetri per la misura delle tensioni, e solo quello, determina il segno del coefficiente di mutua elastanza S21. Si sottolinea il fatto che i coefficienti di auto elastanza sono invece intrinsecamente positilli. A scopo di ulteriore esemplificazione si consideri un esperimento nel quale si applichi alla porta alimentata un impulso di corrente positiva di ampiezza costante is per un tempo finito t1(Fig.14.16) . Durante tale tempo ti, la carica e la tensione del lato alimentato (q1, v1) crescono linearmente entrambi con segno positivo. la tensione del lato a vuoto t12 cresce anch'essa linearmente ed ha segno positivo se il morsetto contrassegnato del voltmetro è collegato all'armatura indipendente. In tal caso il coefficiente di mutua elastanza S21 ~ positiw. Dall'istante in cui la corrente applicata alla porta alimentata diventa nulla, detta porta risulta a vuoto (i 1 O), la carica accumulata sull'armatura ad essa associata q1 diventa costante ed altrettanto deve dirsi della tensione v1 e della tensione t/2,

=

Figura I U 6. Carica del tripolo capacitivo a vuoto con q,,

=O.

In modo analogo si determinano i coefficienti di elastanza S12 ed S22 1 ponendo a vuoto il lato l ed alimentando il lato 2 del due-porta capacitivo. Con q1 O, ossia con 1 terminali della porta l a vuoto, si ha il circuito di misura di Fig.14.17. Dalla misura della carica 'l2 e delle tensioni di porta v 1e tl2 si ottiene:

=

(14.88)

418

14. STRUTTURE DIELETTRICHE

© Figura 14.17. Circuito per la misura dei coefficienti di elastanza S12 cd

8'.2.

Con analoghe oeservazioni a quelle già fatte si ha che S12 è positivo, se il morsetto contrassegnato del voltmetro che misura la tensione 111 è collegato all'armatura 1.

14 .6.!1

Variazione di energia del due-porta capacitivo a cariche impresse

La variazione di energia t:.U in un due-porta capacitivo a cariche impresse si valuta integrando il corrispondente differenziale dU fra uno stato iniziale ed uno stato finale. Se lo stato iniziale è 8590Ciato ad una coppia di variabili impresse entrambe nulle, si ha: t:.u

= r..,. dU = r·,q· (111dq1 +112~) lo,o

Jo,o

(14.89)

Per effettuare l'integrazione si devono esprimere le variabili dipendenti in funzione di quelle impresse: le tensioni 111 e 112 devono essere espresse in funzione delle cariche 'h e 'h:

(14.90)

E con ciò si hà: , . t:..U = .

Ii, .,. l

0,0

dU

=r.•·"2 (Suq1 + S12q2)dq1 + (S21q1 + Bzl'h)dq2 0,0 (14.91)

Essendo l'energia una funzione di stato, il valore della sua variazione non dipende dalla traiettoria d'integrazione ma solo dai suoi estremi, ossia dai valori iniziali e finali delle cariche (q1 ,(h). La tmiettoria più semplice d'integrazione di una /unzitlne di stato di più ooriabili è costituita da una

14.6 EQUAZIONI COSTITUTIVE A CARICA IMPRESSA

419

q,

Figura 14.18. Prima traiettoria semplice per il calcolo della variazione di energia di un due-porta capacitivo a carica impressa.

U(q,,q,.)

q,

Figura 14. 19. Seconda traiettoria semplice per il calcolo della variazione di energia di un duE-rporta capacitivo a carica impressa.

.ruccessiane di ooria.iioni complete e,d esclusive delle ooriabili indipendenti: varia completamente, da zero al suo valore finale, ciscuna variabile mentre le altre permangono nel loro valore, nullo o finito. Nel C&'IO in esame, vi sono due tmiettorie di l7l088ima semplicità, essendo due le variabili di stato. Considerando quella traiettoria che vede dapprima variare il flusso q, e successivamente il flusso q2 si ottiene (Fig.14.18):

(14.92) Considerando, invece, quella traiettoria che ve,de dapprima variare il

flusso 'l'l e successivamente il flusso q1 si ottiene (Fig.14.19):

(14.93)

420

14. STRUTTURE DIELETTRICHE

Dal confronto fra i due risultati è evidente che deve esserci uguaglianza fra i coefficienti di mutua elastanza: {14.94)

Questo risultato è diretta conseguenza del ratto che l'energia è una funzione di stato. Questa uguaglianza (S12 = S21 = Sm) consente anche di affermare che la carica dell'armatura 1 influenza il valore della tensione dell'armatura 2 in modo identico a come la carica della porta 2 influenza la tensione della porta 1 ed esprime la la reciprocitd del due-porta in esame. Un multi-porta pcrfotto di tipo conservativo è caratterizzato da una funzione di stato rappresentata dall'energia interna, che è dielettrica nel caso in esame. Fra le variabili di due diverse porte vige la reciprocitd come necessaria conseguenza dell'essere il multi-porta caratterizzato da una funzione di stato. La variazione di energia fra uno stato iniziale ed uno finale risulta espressa da una forma quadratica definita positiva delle variabili di stato, essendo comunque positiva la variazione di energia fra uno stato iniziale nullo ed uno finale ottenuto con una qualunque variazione, positiva o negativa delle due cariche: (14.95)

Questo comporta un vincolo per la matrice dei coefficienti di elastanza S rappresentato dal ratto che essa deve avere autovalori positivi. E ciò richiede che il determinante della matrice S e dei suoi minori fondamentali deve essere positivo: det(S)

> O; (Su,S22) > O

(14.96)

che evidenzia di nuovo, per via matematica, che i coefficienti di auto elastanza sono positivi. Inoltre il vincolo sul determinante maggiore di zero è un vincolo fra i valori dei coefficienti di elastanza in quanto: (14.97)

e pertanto deve aversi che: {14.98)

Questo fatto si esprime anche affermando che il oosidetto coefficiente di

acroppiamento (a carica impressa) kq del mutuo condensatore deve essere minore di uno:

14.6 EQUAZIONI COSTITUTIVE A CARICA IMPRESSA

kq

=~ < 1 ~

421

(14.99)

Ne consegue che il valore assoluto del coefficiente di mutua elastanza deve essere sempre miMre della media ·geometrie.a dei coefficienti di auto elastanza. La variazione di energia di un due-porta capacitivo a cariche impresse può anche esprimersi in forma matriciale:

(14.100) ovvero:

(14 .101) avendo evidenziato il vettore dei flussi q, il suo trasposto qT e la matrice S dei coefficienti di elastanza. Questa espressione della forma quadratica è generalizzabile ad un multipolo capacitivo con un numero qualsivoglia di armature accessibili per la misura.

Come caso limite di un due-porta capacitivo può accadere che con flussi di porta entrambi non nulli si abbia una· variazione di energia nulla:

(14.100) Questo può accadere quando, con coefficienti di elastanza di valore finito, la matrice S t singolare, ossia è nullo il suo determinante:

(14.103) ed è unitario il coefficiente di accoppiamento (a carica impressa):

kq

=1

e l'accoppiamento si dice perfetto. In altre parole, /a tensione dell'armatura 1 t uguale alla tensione dell'armatura !! (v 1 = v2), OflSia le due armature 1 e 2 sono equipotenziali e costituiscono una sola armatura. La matrice delle elastan:r.e risulta in questo caso costituita da due righe uguali:

422

14. STRUTTURE DIELETTRICHE

(14.104) dove Sa è l'elastanza del oondensatore formato dall'armatura di riferimento e dalla riunione delle armature 1 e 2, equipotenziali fra loro. In tal caso si ha anche che:

(14.10-5) e pertanto:

(14.106) Ne oonsegue che nel roso limite di accoppiamento perfetto si ha il vincolo di uguaglianza fra i valori delle tensioni di porta del due-porta capacitivo:

~=+~=1 q1

t

vs;;

(14.107)

La cariche dei due elettrodi 1 e l! t la medesima carica ( q1 = 'l'l) , se realizzata la condizione limite di variazione nulla dell'energia dielettrica

accumulata. In altre parole, le due armature 1 e 2 costituisoono un 'unica armatura e questo rende singolare il modello che le aveva assunte distinte fra loro. Se Il tripolo capacitivo aingolare funziona a woto, 065ia una delle due cariche è uguale a zero mentre l'altra è finita, poniamo 'l2 = O, si ha variazione finita dell'energia aocumulata: (14.108)

14,6.9 Legame fra tensioni e commti di un due-porta capacitivo Riconoecendo che la carica di ciascuna armatura indipendente è uguale all'integrale della oorrente del terminale connesso a quell'armatura:

14.6 EQUAZIONI COSTITUTIVE A CARICA IMPRESSA

q=

l

è immediato ottenere il legame

idt+q(O)

423

(14.109)

fra le tensioni di porta e le con-enti di

porta di un due-porta capacitivo lineare. Dalle equazioni costitutive:

(14.110)

si ottiene:

(14.lll)

e in regime sinusoidale, con i fasori, si ha:

(14.112)

ricordando che equazioni come:

J..dt. = -J.; .... Si possono anche scrivere le precedenti

(14.113)

avendo indicato con: Xu { X21

= fu;

X12

= .in;

= ~;X22 = ~;

(14.114)

le auto e mutue reattanze del due-porta capacitivo a correnti impresse.

1,t. 6.4

Circuito e,quivalente del due-porta capacitivo a cariche impresse

cii -~n

Il legame fra tensioni e tensioni di porta due-porta capacitivo nella formulazione con cariche impresse, ovvero oon oorrenti impresse, esprime l'equilibrio delle tensioni in due maglie indipendenti:

424

14. STRUTTURE DIELETTRICHE

(14.115) Sulla maglia associata alla porta l incide un condensatore di e lastanza S 11 in serie con una eorgente di tensione pilotata dall'integrale della corrente della porta 2 (S12 i2dt), avente un coefficiente d'influenza pari a S 12 , e due eorgenti di tensione costanti pilotate dalle cariche iniziali (q 1 (0) e 'b(O)) e d i valore v 11 (0) S 11 q1(0); v 12(0) S12Q2(0). Altrettanto, sulla maglia associata alla porta 2 incide un condensatore di clastanza S22 in serie con una eorgente di tensione pilotata dall'integrale della corrente della porta l (S21 i1dt), avente un coefficiente d'influenza pari a S21, e due sorgenti di tensione costanti pilotate dalle cariche iniziali ( q1 (O) e Q2 (O)) e di valore 1121(0) ~1Q1(0); V22(0) S221b(O) (Fig.14.20).

J;

=

=

J;

=

=

Figura 14.20. Circuii.o equivalente del tripolo capacitivo con generatori pilotati per la formulazione a cariche impresse.

Un tripalo capacitivo ammette anche come circuito equivalente minimo una stella di condensatori di elastanza S 1 ,S2 , S 3 (Fig.14.21).

Figura 14.21. Circuito equivalente a et.ella del tripolo capacitivo a cariche impresse.

..,

Dal confronto fra le ~uazioni delle due maglie della rete equivalente a stella e le equazioni costitutive del tripolo capacitivo è facile 088ttvare che

14.6 EQUAZIONI COSTITUTIVE A CARICA IMPRESSA

425

rra

i coefficienti di elastanza della matrice Se le elastanre Si, 8,z, Sa della rete equivalente a stella vi sono le seguenti relazioni:

(14.116) e che pertanto si ha:

(14.117) Il vincolo rappresentato dall'energia U necessariamente positiva comporta dei vincoli per il valore delle elastanre della rete equivalente a stella. Dovendo essere positivi i coefficienti di auto elastanza, deve essere positiva la somma delle elastanre incidenti nelle due maglie indipendenti della rete equivalente: S1 + Sa > O=> Sa > -S1 { S2 + Sa > O=> Sa > -S2

(14.118)

ossia l'elastanza S3 deve essere maggiore dell'opposto sia di 8 1 sia di S 2. Inoltre, dovendo essere positivo il determinante della matrice dei coefficienti di capacità S, si deve avere:

(14.119) Quest'ultima disequazione si può anche scrivere nel seguente modo:

(14.120) dalla quale discende per Sa il seguente vincolo:

(14.121) ossia Sa deve essere maggiore dell'opposto della media annonica fra S 1 e 82 . Questo restringe il campo di valori di Sa già fissato dalle precedenti condizioni in quanto la media armonica fra due numeri è sempre minore di ciascuno di essi. Pertanto, se si assumono positive le due elastanre S 1 e S2, l'elastanza S3 può anche assumere valore negativo purché sia det(S) > O.

426

14. STRUTI'URE DIELETTRICHE

Comunque, si è già osservato che nel caso di tre armature Sa = S 12 > O, · essendo t12 > O quando 'l'J > O e q1 > O. Il caao limite di sistema aemi definito poaitivo si realizza mediante tre elettrodi nel quale i due elettrodi 1 e 2 si avvicinino fino ad assumere lo stesso potenziale (v 1 = "2) rispetto all'elettrodo di riferimento ovvero siano trascurabili le elestanze S1 e Si rispetto alla eia.stanza Sa. In tal caso la struttura degenera in un condensatore con le due armature 1 e 2 equipotenziali rispetto all'armatura di riferimento ed aventi una elastanza Sa > O rispetto a quest'ultima.

14.7 CORRISPONDENZA FRA MATRICE DI CAPACITA' E DI ELASTANZA Per la formulazione a tensioni impresse di un due-porta capacitivo si ha:

(14.122)

q=Cv e per la formulazione a cariche impresse si ha:

(14.123)

v=Sq Sostituendo la seconda nella prima, o viceversa, si ha: q = e Sq ~es= [1)

(14.124)

ossia il prodotto della matrioe di capacità C e della matrice di elestanza S è la matrice diagonale unitaria [l). Pertanto, la matrice di elastanza, quando esiste, è uguale all'inverso della matrice di capacità:

(14.125) e viceversa. I coefficienti di ela.stanza risultano:

C22 Cu Su= C11 ~ - ~m ;S22 = C11 C22- ~; m. C12 Cu~-G!;S21

=

C21 C11C22-~

(14.126)

(14.127)

14.8 EQUAZIONI COSTITUTIVE CON VARIABILI IBRIDE

427

ed i coefficienti di capacitd risultano:

(14.128)

(14.129)

Si ha anche:

e,

s,

S,- det(C)' C, - det(S)' k.,,-k,,

< l (i= 1,2,3)

(14.130)

dove S, e C, sono, rispettivamente, le elastanze e le capacità delle reti equivalenti a stella ed a triangolo. L'equivalenza triangolo-stella vale solo per un tripolo mentre non vale, in generale, per un sistema con pià di tre armature indipendenti, per il quale si ha la rappresentazione circuitale a grafo completo ma non esiste, -in generale, alcuna rappresentazione a stella. Casi singolari: l. Se i coefficienti della matrice di capacità C hanno valore finito ma il determinante della matrice è nullo (C1 = C 2 = O, k,, = 1) ( accoppiamento perfetto a tensioni impresae), non esiste la matrice delle eiastanze S. E non esiste la fonnidazione a cariche impresse del tripolo capacitivo.

2. Se i coefficienti della matrice d'elastanza S hanno valore finito ma il determinante della matrice è nullo (S1 = S 2 = O, kq = 1) (accoppiamento perfetto a cariche impreaae ), non esiste la matrice delle elastanze C. E non esiste la formu/a.zj;Jne a con-ente impressa del tripolo capacitivo. 3. Caso doppiamente singolare. Se sia i coefficienti della matrice d'eiastanza S sia quelli della matrice di capacità hanno valore infinito, non esiste né la formulazione a tensioni impresse né la formulazione a cariche impresse del tripolo capacitivo ma esiste sempre la formulazione ibrida e quella di trasmissione del due-porta capacitivo.

14.8 EQUAZIONI COSTITUTIVE CON VARJABILI IBRIDE ,.... Le equazioni costitutive del mutuo condensatore con variabili ibride hanno la seguente forma:

428

14. STRUTTURE DIELETTRICHE

(14.131)

Queste equazioni possono essere lineari o non lineari ma devono essere algebriche e con simultaneo annullamento delle ooriche e delle tensioni. In quanto segue si assumerà che il mutuo condensatore sia lineare. E pertanto si ha:

(14.132)

dove '4; sono i coefficienti costanti ibridi di auto e mutua influenza. Tali ooefficienti operano sulle variabili impresse di porta per fornire il corrispondente contributo alle ooriabili coniugate di porta. In forma matriciale si ha:

(14.133)

La matrice dei coefficienti ibridi H trasforma il vettore delle variabili ibride impresse nel vettore delle variabili ibride coniugate.

14"8.l

Identificazione della matrice ibrida

I ooefficienti della 'matrice ibrida H possono essere determinati mediante due prove, una a tensione impressa, 112 O, ovvero in corto-circuito, per determinare la prima colonna dei coefficienti ibridi h 11 e ~ 1 , ed una a carica impressa, q1 O, ovvero con armatura flottante, per determinare la seconda colonna dei coefficienti ibridi h12 e /in. Per effettuare le prove è richiesto di misurare le cariche delle due armature, mediante due amperometri Integratori (q i dt + q(O)), e due tensioni di porta, con due voltmetri. Con 1'2 O, 088Ì8 con i terminali della porta 2 in corto-circuito, si ha il circuito di misura di Fig.14.22. Dalla misura della tensione v 1 e delle due cariche q1 e '12 si ottiene:

=

=

= J;

=

(14.134)

dove le cariche di ciascuna armatura indipendente, 888Umendo nulli i loro valori iniziali, risultano:

14.8 EQUAZIONI COSTITUTIVE CON VARIABILI IBRIDE

Figura 14.22. Prova di corto circuito sul lato 2 ("2 coefficienti ibridi hu ed h21 .

q,

=

1·

Ìt

dt; 'l2

=

1·

= O)

i2 dt;

429

per la misura dei

(14.135)

La procedura di mi, dove ;z, è il flusso del tronco di tubo associato al traferro. L'elettromagnete assorbe il lavoro elettrico elementare 5W, i d-r/J dalla porta elettrica e il lavoro meccanico 5Wm = f dx dalla porta meccanica. La forza / è applicata dall'esterno e tende ad aumentare lo spffiSOl"e x del traferro.

=

=

J;

=

Figura 16.8. Induttore con nucleo ferromagnetico e traferro. Calcolo della foru sulle armature. L'induttore scarico, oesia privo di corrente, può essere configurato meccanicamente senza spendere alcun lavoro. Una volta configurato meccanicamente, l'induttore può essere riempito di energia U, fornendogli un ugual lavoro elettrico W. L'energia U accumulata vale:

(16.35) ed esprimendo la permeanza A e la riluttanza R in funzione delle grandezze meccaniche si ha:

(16.36)

e

L'energia U del campo è interamente accumulata in un tronco di tubo di flusso uniforme di lunghezza x e sezione A associato al traferro. L'energia U dipende da due gr~dezze meccaniche - la distanza z fra le armature in ferro, oesia la lurighezza del tronco, e la sezione A del tronco - e da una elettrica, la corrente i oppure il ft us,o concatenato t/1. Come tende a riconfigurarsi spontaneamente il tubo di flusso contenen~ l'energia U? Per il principio generale di minimo del potenziale termodinamico, la tendenza spontanea è quella di ridurre al minimo il potenziale termodinamico.

16.3 AZIONI MECCANICHE NEL CAMPO MAGNETICO

471

Ma cos'è il potenziale termodinamico? Per individuarlo è necessario precisare le condizioni al contorno, ossia lo alato della porta eleUrica durante la riconfigurazione meccanica spontanea. La porta elettrica può essere energeticamente chiusa o aperta.

16. 9.1 Induttore elettricamente non alimentato Se la porta elettrica è energeticamente chiusa, non consente alcun f111SSO di lavoro durante la riconfigurazione spontanea, ossia il sistema di accumulo è isolato dalla sorgente elettrica. Ciò avviene a flusso t/J costante, ossia con tensione ti nulla ai terminali del solenoide (corto-circuito) durante la riconfigurazione meccanica (si ricordi che si sta considerando un induttore perfetto, cioè privo di resistenza elettrica). In tal caso si ha:

dU

= 6W,+6Wm =i dtf,+p dV

(16.37)

dove p è la pressione esercitata dall'esterno sul volume V del tronco di tubo di f111SSO e tende a far aumentare il volume V e fornire dall'esterno il lavoro meccanico 6Wm . Il volume V ed il suo differenziale valgono:

V=Ax~dV=Adx+xdA

(16.38)

e quindi per il primo principio della termodinamica si ha:

dU(1'J,x,A)

6W,+6Wm =i

=

dt/l+p( A dx+x dA)

i df/l+p% A dx+PA x dA

= (16.39)

L'energia U ha come coordinate libere il f111SSO concatenato t/J, la lunghezza del tronco di tubo di flusso x, e la sezione A del tronco. Il suo differenziale è appropriato per la valutazione della pressione p che agisce sulla superficie laterale del tronco. La pressione esterna p deve fare equilibrio alla pressione magnetica Pm. Quest'ultima è la gmnde.ua intenaiua con cui si manifesta la tendenza spontanea alla riconfigurazione meccanica del sistema. Pertanto, a fl!J88o concatenato impruso, l'energia U coincide con il potenziale termodinamico e tende spontaneamente a ridursi al minimo. L'energia U è una funzione di stato ed è continua e differenziabile con le sue derivate. 11 suo differenziale totale si può esprimere nel seguente modo:

(16.40)

Dal confronto con la precedente espressione del differenziale di dU discende il significato delle derivate parziali prime:

472

!G. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

. i=

fJU PAX={)A

fJU {},/J ;

(16.41)

dalle quali si ottiene l'espressione della pre3sione esterna longitudinale p% :

P% A P%

= =

fJU

8

éJx - 8x

(I

x 2µAN 2 1/J

2) - 2µAN I I 1/J2=> 2

11 211 22 2µA2N2t/J 2µA2N2~ N

=

!__l_ 2µA 2 N2

(BA) 2

N2

=

!_!_B2 2µ

=

[N/m2 )

{16.42)

e l'espressione della pre3sione esterna laterale p A : PAX

{16.43)

Le due pressioni esterne sono numericamente uguali ma di segno opposto e coincidono numericamente cori la densità di energia magnetica. La pre3sione magnetica (interna) è uguale e opposta alla pressione esterna:

p..,,. PAm

-p% -PA

11 2 = ---B 2µ

=

(16.44)

11 --B2 2µ

{16.45)

Il segno delle pressioni magnetiche interne esprime che la pressione magnetica longitudinale P= tende a ridurne la lunghezz:a x mentre la pressione magnetica laterale PAm del tronco di tubo di flusso tende ad aumentarne la ae.zione A. Spontaneamente, quindi, un tronco di tubo di flusso contenente energia tende a dilatarsi lateralmente ed a contrarsi longitudinalmente. Sulle sezioni estreme del tronco agiscono due forre uguali ed opposte che agiscono sulle armature e tendono a ridurne la distanza. La forza è data dalla pressione per la superficie: 2

1

%

f.,,.=p=A=-!_!_B2A=-!!_B2AAN x =-~"AN• 2µ 2µ AN 2 x x

,p2

=-~ [N)

x

(16.46)

16.3 AZIONI MECCANICHE NEL CAMPO MAGNETICO

473

Cosl la forza agente sulle armature di un traferro, rappresentato da un tubo di flusso con campo uniforme, si esprime semplicemente come il rapporto fra l'energia U del traferro e la distanza x fra le armature. Si può rappresentare il significato ge.ometrico delle derivate parziali prime dell'energia U rispetto alla lunghezza x e alla sezione ·A del tronco. L'enerr-a U in funzione di x è una retta passante per l'origine (U ½µA•N• t/1 ); la sua derivata rispetto a x è la forza esterna f. applicata alle estremità del tronco di tubo di flusso, che è costante e indipendente dalla lunghezza x (f. p. A= lJ!f ½~t/12 ). La forza magnetica f.m che tende a ridurre l'energia U(x), tende a ridurre la distanza x fra le armature, ed è opposta alla forza esterna: f.m -f•. L'energia U tende a ridursi ad un estremo nullo, corrispondente ad una lunghezza x nulla del tronco (Fig.16.9a).

=

=

=

=

u

U(x)

u

lx

~

; 6W. i dt/J O) mentre riceve un lavoro meccanico negativo a forza f costante dal sistema meccanico che contrasta

½~t/12 );

=

= -½

=-

=

=

=

=

=

=

=

474

16. CONVERSIONE ELE'ITROMECCANICA

LIU -t{ldi+pdV=> -t/Jdi+pdV=> -t/Jdi+pdV

(16.50)

dove

(16.51)

F= U-it/J

è il potenziale tennodinamico del sistema a corrente i impressa. Il potenziale tennodinamico si ottiene dall'energia interna U soUroendo il prodotto delle variabili coniugate ( itf,) della porta sede di flusso di lavoro durante la riconfigurazione spontanea. La trasformata di Légendre consente di openre sull'energia interna U per avere il potenziale termodinamico F. Osservando che il sistema è lineare si ha la seguente semplice espressione del potenziale termodinamico:

F(i,x, A)= U - it/J = !it/J-it/J = _!itf, = -U = _! µAN2 i 2 (16.52) 2 2 2 X • Il potenziale termodinamico F risulta in tal caso l'opposto dell'energia interna U. La forma differenziale appropriata del sistema in esame è quella che esprime il differenziale del potenziale termodinamico:

dF = -'!(Idi +p dV

(16.53)

Con le stesse osservazioni già fatte per il differenziale del volume dV si ha:

dF(i,x,A)

=

-1(ldi+p( A dx+x dA)

=

= -t{ldi+p. A dx+p,4 x dA

(16.54)

Ma il potenziale termodinamico F è una funzione di stato, continua con le sue derivate, il cui differenziale totale si esprime nel seguente modo:

476

16. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

dF(i,x,A)

8F

8F

8F

= 8i di+ ax dx+ BA dA

(16.55)

Dal confronto con la precedente espressione del differenziale dF discende il significato delle derivate parziali prime:

PA

8F x= 8A

(16.56)

dalle quali si ottiene l'espressione della pressione esterna longitudinale p, : 8F

p, A

p.

•

=

= !._ (_!µAN 2 i 2) = !µAN 2 i2 ⇒ •

!µN2 i2 2x2

2

2

X

= !.t.2 H2x2 = ! µH2 2x

~

[N/m2]

2

(16.57)

e l'espressione della pressione esterna laterale PA: 8F

PAX

OA

=

= .!!._ (-!µAN2 OA

2

x

i2)

_!µN2 i2 = _!_e_ H2x2 2x2 2x2

= _!µN 2 i2 ⇒ 2 x

= _! µH2 [N/m2] 2

(16.58)

Le due pressioni esterne sono numericamente uguali ma di segno opposto e coincidono numericamente con la densità di energia magnetica. La pressione magnetica {interna) è uguale e opposta alla pressione esterna:

Pzm PAm

= -2l µH2 l = -PA = -2 µH 2 -p.

(16.59) (16.60)

li segno delle pressioni magnetiche interne esprime che la pressione magnetica longitudinale p.,.. tende a ridurne la lunghezza x mentre la pressione magnetica laterale PAm del tronco di tubo di flusso tende ad aumentarne la sezione A . Si riconosca che questa espressione della pressione magnetica è identica a quella prima ottenuta a flusso impresso, osservando che B = µH . Spontaneamente, quindi, un tronco di tubo di flusso contenente eneryia tende a dilatarsi lateralmente ed a conlrarsi longitudinalmente, in obbedienza al principio generale di minimo del potenziale termodinamico. Sulle sezioni estreme del tronco agiscono due forre uguali ed opposte che si trasmettono alle armature e tendono a ridurne la distanza. La forza è data dalla pressione per la superficie:

16.3 AZIONI MECCANICHE NEL CAMPO MAGNETICO

f zm =p zm

477

l 1 x2 _l eAN' i2 U 2A=--µlflA-= 2 z A=--µH =--X IN] 2 2 XX X (16.61)

Cosi la forza agente sulle armature di un induttore si esprime nuooomente come il rapporto fra l'energia U del traferro e la distanza x fra le armature. Si può rappresentare il significato geometrico delle derivate parziali prime del potenziale termodinamico F rispetto alla lunghezza x e alla sezione A del tronco. Il potenziale termodinamico F(i, x, A), come già visto, si esprime come: F

= _! 1,AN2 i2 2

(16.62)

X

ed è funzione lineare negativa di A passante per l'origine. La sua derivata rispetto ad A è la forza esterna laterale per unità di lunghezza del perimetro della sezione A del tronco(!,._= PA x = ~ = i 2), che è costante e indipendente dalla sezione A. La forza magnetica / ,._,,., che tende a ridurre il potenziale termodinamico F(x) , è opposta alla forza esterna: f Am = - f ,._ e tende ad aumentare la sezione A. n potenziale termodinamico F(A) tende a ridursi ad un estremo infinito, corrispondente ad una sezione A infinita del tronco (Fig.16.lla).

-½~

F}----J: ~ F(A) t a) Figura 16.11. Interpretazione geometrica della tendenza spontanea a riconfigurasi meccanicamente di un tronco di tubo di ftusso di un induttore con traferro a oorre~te i impressa.

Il potenziale termodinamico F in funzione della lunghezza x è una iperbole negativa; la sua derivata rispetto a x è un 'iperbole quadratica positiva ed esprime la forza esterna longitudinale del tronco (/z p,, A = ½ i 2 ). La forza magnetica longitudinale / zm, che tende a ridurre il

e~f

=

= :~

478

16. CONVERSIONE ELE'ITROMECCANICA

potenziale termodinamico F(x), è opposta alla forza esterna: /,,,,.

= -/.

ed è una iperbole quadratica negativa; essa tende a ridurre la lunghezza x. li potenziale termodinamico F(x) tende a ridursi ad un estremo che è

meno infinito, e corrispondentemente la lunghezza x del tronco tende a zero (Fig.16.llb). Se il vincolo che impone la distanza x fra le armature dell'induttore ne consente una riduzione spontanea quasi-statica a corrente i costante, aumenta l'induttanza L = N2µ.1 e il flusso concatenato '1/J ('1/J = L i). Detto 1 lo stato iniziale e 2 lo stato finale, la traiettoria di stato è un segmento della retta i =cost (Fig.16.12a).

a)

I

Figura 16.12. Traiettoria di stato di riconfigurazione dell'induttore a corrente i impressa sul piano delle variabili elettriche e sul piano delle variabili meccaniche.

Durante la riconfigurazione spontanea, l'induttore descrive la traiettoria di stato 1-+ 2 e riceve un lawro eleUrico positiw:

(16.63)

Contemporaneamente riceve, dal sistema meccanico che contrasta la riconfigurazione, un lavoro meccanico negatiw a forza f variabile iperbolicamente (Fig.16.12b):

16.3 AZIONI MECCANICHE NEL CAMPO MAGNETICO

1•2 f

dx=

1•2 !µAi:2

z1

z 1

2-21•2 2l

l -µAN,

2

!µAN 2 i 2 2

•a

2

479

i2 dx=

X

dx=

X

(-_!_ + _!_) = X2

-~(1/>2 -1/>,) i< O

X1

(16.64)

L'energia U del sistema aumenta della quantità t.U:

(16.65) che è la metà del lavoro elettrico entrante. L'altra metà esce sotto forma di lavoro meccanico (-6Wm > O).

16.3.3 Azioni meccaniche su una bobina Si consideri una bobina in aria, di forma cilindrica e molto snella, ossia di lunghezza l molto maggiore del raggio medio r (Fig.16.13). Si desidera valutare la tendenza spontanea alla deformazione della bobina percorsa da corrente i .

Figura 16.13." Tendenza alla deformazione spontanea di un 90Jenoide. Il campo magnetico è concentrato essenziaÌlriente all'interno della bobina ed è rappresentato da un tronco di tubo di flusso nel quale il campo H può essere assunto uniforme, in prima approssimazione. Il campo H è legato alla

480

IG. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

f.m.m. M campo:

= N i dalla legge della circuitazione lungo una linea di flusso del

f

(16.66)

H · dl=Ni

'Iì-ascurando la c.d.t .m. all'c:stemo del solenoide, dove il campo è relativamente assai meno intenso del campo all'interno, si può assumere che l'intera f.m.m. compensi essenzialmente la c.d.t.m. lungo il tronco interno del tubo di flusso:

Hl=Ni~H=Ni l

(16.67)

Con la semplificazioae effettuata, tutta l'energia U del campo è accumulata in un tronco di flusso uniforme. Le azioni meccaniche di deformazione spontanea del tronco di tubo di flusso si trasmettono alla bobina che genera il campo, la quale, tende spontaneamente a contrarsi longitudinalmente ed a dilatarsi trasversalmente. La bobina è pertanto sottoposta ad una com,. pressione assiale e ad una dilatazione trasversale. La forza assiale sulla bobina è nulla alle estremità e cresce verso la mezzeria, dove diventa massima. Sulla mezzeria della bobina agiscono due forze f1 uguali ed opposte il cui valore si ottiene dividendo l'energia U per la lunghezza assiale I del tronco di tubo di fluS90:

. u /,=-,

[N]

(16.68)

La pressione magnetica laterale p uguaglia la densità di energia del campo magnetico, come nel caso del tronco di tubo di flusso 8S90Ciato al traferro dell'elettromagnete considerato in precedenza:

1 2

PA = -µH 2

16.S.4

[N/m2 ]

{16.69)

Azioni meccaniche su una coppia di bobine concentriche

Si consideri una coppia di bobine in aria, di forma cilindrica e concentriche, avvolte su un nucleo di materiale ferromagnetico a mantello (Fig.16.14). L'altezza delle due bobine sia circa uguale all'altezza h della finestra del nucleo ferromagnetico. Le due bobine abbiano resistenza trascurabile ( mutuo indutore perfetto) e siano interessate da due f.m.m. uguali ed opposte, come in pratica avviene quando una di esse, ad esempio quella interna,

16.3 AZIONI MECCANICHE NEL CAMPO MAGNETICO

481

F, ,-1h

◄-

'l

_L

.. I'

........ --.-

00

~

'

Figura 16.14. Coppia di bobine concentriche su nucleo in fono e tendenza alla deformazione spontanea.

viene posta in oorto-circuito mentre l'altra· viene alimentata oon una certa tensione. Si desidera valutare le azioni meccaniche sulle bobine derivanti dalla tendenza spontanea alla deformazione del sistema capace di accumulo magnetico. L'accumulo di energia magnetica avviene essenzialmente nella cilindro cavo compreso fra le due bobine, sopposte per semplicità di ingombro radiale trascurabile. Il cilindro caw costituisce essenzialmente un tronoo di tubo di flusso uniforme che, tende a contmrsi assialmente e a dilatarsi trasversalmente. L'azione di deformazione spontanea del tubo di flusso si trasmette alle due bobine che costituiscono i supporti del campo. Entrambe le bobine, pertanto, tendono a oontrarsi assialmente; la forza di oompressione massima ha luogo sul piano di mezzeria delle due bobine. La forza totale / sul piano di mezzeria delle due bobine si caloola semplicemente facendo il rapporto fra l'energia U del tubo di flusso e la lunghezza h. L'azione di dilatazione rodiale della sezione del tronoo di flusso del campo comporta una pressione diretta 11erso l'interno 8Ulla bobina interna mentre è diretta 11erso l'esterno 8Ulla bobina esterna La pressione magnetica ha ovunque lo stesso valore ed uguaglia la densità di energia magnetica, qui supposta, per semplicità, uniforme.

482

16. CONVERSIONE ELETI'ROMECCANICA

16.4 CONVERSIONE, CICLI DI LAVORO E RENDIMENTO Affinché un induttore o un ccndensatore a ccnfigurnzione meccanica tempovariante possano funzionare come macchine, ossia convertire con continuità lavoro elettrico in lavoro meccanico, o viceversa, è necessario che le variabili a ciascuna porta abbiano una variazione ciclica nel tempo, talché si ripristini periodioamente lo stato iniziale. Per il primo principio della termodinamica si ha:

dli= 6W. +6Wm

(16 .70)

Se si considera un ciclo chiuao di lavoro.si ha una variazione complessivamente nulla di eìÌ;,..gia ed il lavoro elettrico complessivamente entrante deve essere uguale ed opposto al lavoro meccanico complessivamente uscente: (16.71) Un ciclo di lavoro, affinché sia utile, deve avere un'area netta non nulla (Fig.16.15).

W..= fdx O, se motore, oppure meccanici 6Wm f O, se generatore) (Flg.16.16):

=

=

dx>

w....(e)

~-• i d-r/J

1.,,_

>O

(motore)

= J~r"'-· .,,_,. f dx> O (generatore)

(16.72) (16.73)

Figura 16.16. F.scmpio di ciclo di lavoro e visualizzazione del lavoro &880rbito e . del lavoro reso alla sorgente primari&. Il lavoro reso alla 8orgente primaria è il valore eseoluto della somma dei lavori elementari negativi (elettrici 6W. i dt(J < O, se motore, oppure meccanici 6Wm f O, se generotore)(Fig.16.16):

=

=

dx
½(q1 '- g,J)(v1 +v.) < O;

con

= = ½(~\ -1/12)(i1 + it) < O; l'energia U diminuisce, 6Uc•-•> = Ui-U• = h1v,-½q4t14 (6Uc•-•> = tl.We(t-1)

U1 - Ut = ½1/11i1 - ½!/ltit)-

L'area del ciclo eletlrico è stata descritta in senso antiorario e quindi corrisponde ad un lavoro assorbito positivo ( motore elettrico). Per il condensatore si .ba: 1 "'"'' =

2(v2 +va)(g,J -

q1)

(16.78)

Il lavoro reso alla sorgente elettrica (primaria) vale:

(16.79)

16.S MACCHINA ELEMENTARE

487

Il lauoro conuertito è la differenza fra il lavoro 8SSOrbito e il lavoro reso e vale:

(16.80) Il rendimento termcdinamico del motore elettrico a condensatore tem~ variante vale: 'IT

=

Wconv

w...

=1 _

!½(t11 +tJ4){q1 - q,z)j ½(112 +t1J)(q,z - qt)

+ t14) !(112 + t13)

1- ½(t11

= (16.81)

e risulta uguale al complemento a uno del rapporto fra la rmdia delle

tensioni del condensatore della fese di ripristino delle condizione iniziali (scarica) e la media delle tensioni nella fase di carica. Inevitabilmente la media delle tensioni nella fase di scarica del condensatore è maggiore di zero e, di conseguenza, il rendimento termodinamico del convertitore è minore di uno. Per l'induttore si hanno espressioni duali del lavoro assorbito e reso e del rendimento termodinamico rispetto a quelle del condensatore (t1 - i, q - '1/1). . Se si percorre il precedente ciclo elettrico in 8CJl9() orario, si realizza un generatore elettrico elementare (Fig.16.19).

Figura 16.19. Cicli di lavoro di un condenaat.ore o indutt.ore funzionamenti come generai.ori elettrici.

L'area del ciclo meccanico è descritta in senso antiorario e corrisponde

ad un /atlOro assorbito positivo (generaù?r;e elettrico): (16.82)

488

16. CONVERSIONE ELE'ITROMECCANICA

Il lavoro reso alla sorgente meccanica (primaria) vale:

(16.83) Il lavoro convertito è la differenza fra il lavoro assorbito e il lavoro reso e vale:

(16.84) Il rendimento tennodinomico del generatore elettrico vale:

(16.85)

e risulta uguale al complemento a uno del rapporto fra la forza li della fase di ripristino delle condizione iniziali (scarica) e la forza h della fase di carica del condensatore (induttore) . Si osservi l'identità strutturale del rendimento tennodinomico di un generatore elettromeccanico e di quello di una generatore termomeccanico che compie il ciclo di Carnot:

(16.86)

costituito, com 'è noto da due trasformazioni isoterme, a temperatura assoluta T2 della sorgente calda e T 1 della sorgente fredda, e due isoentropiche a entropia Si e 8 1 • Il calore elementare acambiato in una trasformazione reversibile è 6Q T dS, ed il ruolo là svolto dalla sorgente termica è qui svolto dalla sorgente meccanica il cui lavoro elementare è 6W f dx. Qui il ciclo di lavoro è costituito da due isoforza e due isodistanza. Alla temperatura assoluta T corrisponde la forza f ed alla entropia S corrisponde la distanza x . L'espressione del rendimento termodinamico del motore elettrico è una generalizzazione del rendimento del ciclo di Carnot al caso di ciclo ~ ~ forze generalizzate non costanti durante la fase di carica e la fase di ripristino delle condizioni iniziali. In ogni caso i cicli di lavoro di una qualsivoglia macchina elettrica o di altro tipo sono dei cicli generalizzati di Carnot nel dominio delle variabili coniugate appropriate del processo di conversione in esame.

=

=

16.6 CONVERSIONE CON SISTEMA DI ACCUMULO MAGNETICO O DIELETTRICO

489

16.6 CONVERSIONE CON SISTEMA DI ACCUMULO MAGNETICO O DIELETTRICO La preferenza del campo magnetico come sistema di accumulo per la conversione elettromeccanica con potenze in gioco elevate è dovuta al fatto che la densità di energia magnetica t molto maggiore della densità di energia dielettrica. Il loro rapporto vale:

(16.87) Assumendo una induzione magnetica B dell'ordine di 1 T e un campo elettrico E dell'ordine di lit V/m, ricordando che la velocità della luce e nel vuoto è il reciproco della radice quadrata del prodotto µ 0 c0 , si ha: 2

Um Ud

I 8 1 -c?!c!! ( 3 · 1d') 2 =9-10•.,,,1os = 2 -;;:- !c!!2 2

½cE2

(106)

(106)

(16.88)

La necessità di avere elevate potenze specifiche (W/ m3 J fa pertanto pr~ ferire, di regola, i convertitori elettromeccanici basati sul campo magnetico. Vi sono comunque innumerevoli dispositivi di trasduzione e di conversione continua di lavoro elettrico in lavoro meccanico di piccola e piccolissima potenza ( micromotori e microottuatori) basati sulle proprietà di accumulo di un campo dielettrico a configurazione variabile.

17 CONVERSIONE ELETIRON.IECCANICA

17.1 MACCHINA SINCRONA ANISOTROPA MONOFASE La macchina aincrona anisotropa (o a riluttanza) monofase è un induttore a configurazione tempo-variante che converte lavoro elettrico in lavoro meccanico e viceversa con il vincolo che la velocitd del rotore deve essere uguale o sottomultiplo della pulsazione delle con-enti alternate che alimentano gli avvolgimenti della struttura di statore. La macchina sincrona a riluttanza è costituita da uno statore cilindrico cavo di materiale ferromagnetico con cave longitudinali, uniformemente distribuite e prospicienti al traferro, nelle quali vengono alloggiati i lati attivi dell'avvolgimento (Fig.17.1). Nel caso pii\ semplice, l'avvolgimento è costituito da una sola spira a passo diametrale, percorsa da corrente alternata. Nella costruzione reale si ix-:,no avere pii\ spire nella stessa coppia di cave, per costituire una matassa a passo diametrale e l'avvolgimento può essere formato da un insieme di matasse, sfasate fra loro di un certo angolo e collegate fra loro in serie o in parallelo. Per fissare le idee, si supponga nel seguito, che vi sia una sola spira a passo diametrale con conduttori attivi 1-1'. All'interno del cilindro cavo vi è il rotore non cilindrico, pure di materiale ferromagnetico mediante il quale. il dispositivo può assorbire lavoro meccanico da una sorgente esterna. n troferro compreso tra statore e rotore non ha spuaore costante e pertanto la struttura si dice anisotropa, in quanto le proprietà magnetiche sono

492

17. CONVERSIONE ELE'ITROMECCANlCA

Figura 17.1. Struttura della macchina sincrona monofase anisotropa.

diverse lungo le diverse direzioni radiali. Il dispositivo in esame è essenzialmente un induttore tempo-ooriante, con posizione angolare o relativa fra rotore e statore variabile nel tempo. Esso può essere rappresentato, agli effetti energetici, come un due-porta elettro-meccanico (Fig.17.2).

dU ~

oW..=Cdz Figura 17.2. Rappresentazione schematica di un dut>-porta elettro-meccanico.

La porta eleUrica è associata ai terminali dell 'avvolgimento di statore ed è interessata da una corrente i e da una tensione 11 dtf, / dt (al solito si as-

=

sume nulla la resistenza dell'avvolgimento) . Essa assorbe il lavoro elettrico elementare: 6W. = i dtf,. La porta meccanica è interessata da una coppia C applicata dall'esterno e da una velocità angolare f! = 11,ff . La posizione angolare o relativa fra

17.1 MACCHINA SINCRONA ANISOTROPA MONOFASE

493

rotore e statore può essere espressa in funzione del tempo t e della velocità angolare {1 nel seguente modo:

(17.1) dove c,0 è la posizione angolare relatiVB tra rotore e statore nell'istante iniziale t O. In pBrticolare, se la velocità angolare {1 è costante, l'angolo e, risulta:

=

et=!1t+a0

(17.2)

=

La porta moccanica BSSOrbe il lavoro elementare: 6Wm C da. Per il primo principio della termodinamica, l'incremento dell'energia magnetica dU deve uguagliare il lavoro totale assorbito, elettrico e meccanico:

dU

=6W.+5Wm = i d,t,+C da

(17.3)

Affinché il dispositivo in esame sia in grado, almeno potenzialmente, di funzionare come maochina, deve avere una relazione fondamentale accoppiata, ossia l'energia magnetica U deve poter essere variata sia dalle variabili meccaniche sia dalle variabili elettriche.

17.1 .1 Macchina sincrona anisotropa monofase a corrente impressa A corrente i impressa, l'energia U del sistema, in funzione anche dell'angolo et, si esprime come segue:

U(i,a) = ~L(et) i 2

(17.4)

dove l'induttanza L(et) è funzione della posizione angolare. Per dedurre l'andamento della funzione L(a), si osservi, innanzitutto, che l'induttanza è proporzionale alla permeanza A(a) del circuito magnetico, attraverso il quadrato del numero di spire dell'avvolgimento concentrato nella coppia di cave a passo diametrale:

L(a)

= N 2 A(a)

(17.5)

e che la permeanza A(a) è massima quando il rotore è allineato con l'asse dell'avvolgimento di statore (a= O) (Fig.17.3) e minima quando il rotore

494

17. CONVERSIONE ELE'ITROMECCANICA

a=tr/2 Figura 17.3. Rappresentazione qualitativa del campo magnetico nella macchina a riluttanza per o O e per o = -.:/2.

=

è ruotato di 90 gradi rispetto alla precedente posizione di allineamento

(o:= -.:/2) (Fig.17.3).

= -.: =

Si 089Crvi inoltre che l'induttanza L per o è uguale a quella che si ha per o: O e che, analogamente, L(-.:/2) L(3-.:/2). L'induttanza L(o:) è quindi una funzione periodica dalla posizione angolare o:. La legge di variazione dipende dalla distribuzione dei conduttori attivi dell'avvolgimento e dalla forma del rotore. Qui, per semplicità, si assume con variazione

=

cosinusoidale a frequenza doppia.

(17.6) dove L 4 è il valoc medio ed Lb è la variazione dell'induttanza intorno al .valor medio (Fig.17.4) . Con un awolgimento concentrato a passo diametrale, la distribuzione periodica effettiva presenta anche armoniche di ordine superiore, che qui si trascurano, oltre all'armonica fondamentale a frequenza doppia. Con un awolgimento distribuito, l'andamento dell'induttanza in funzione dell'angolo o: non si discosta comunque apprezzabilmente dalla distribuzione sinusoidale qui assunta. L'energia U del sistema può, quindi, essere controllata sia tramite la porta elettrica (controllando la corrente i) sia tramite la porta meccanica (controllando la posizione angolare o: e dunque l'induttanza L(o:)). Il sistema t accoppiato ed il dispositivo può, potenzialmente, funzionare sia come trasduttore, ossia convertire una grandezza meccanica in una grandezza elettrica, o può funzionare come macchina, e cioè effettuare una conversione continua di lavoro elettrico in lavoro meccanico, o viceversa, compiendo un ciclo di lavoro. Supponendo di alimentare il solenoide a corrente impressa i costante, si vuole ora studiare l'evoluzione 8J)ontanea del sistema, ossia la tendenza

17.1 MACCHINA SINCRONA ANISOTROPA MONOFASE

o

495

21t afrad]

Figura 17 .( . Andamento 006inusoidale della indutt.anza dell'avvolgimento della macchina anisotropa.

spontanea alla riconfigurazione meccanica del sistema posto in una generica posizione angolare a . Con corrente impre.,sa, la porta elettrica può assorbire lavoro e la funzione potenziale da oonsiderarsi per caloolare le azioni meccaniche del processo spontaneo è il potenziale tennodinamico F:

U - i ,p = -U(a) = -!L(a) i 2 =

F(a)

2

=

-~[L.+Lboos2aji 2

(17.7)

Si osservi che, poichè il sistema è lineare, il potenziale termodinamioo F è opposto dell'energia U. Il potenziale termodinamioo F(a) dipende dunque dall'angolo a oosl come ne dipende l'induttanza L(a), a meno del segno e di un fattpre di scala rappresentato dal quadrato della corrente i (Fig.17.5). · In obbedienza al principio di minimo, il sistema tende spontaneamente al minimo del potenziale .termodinamioo F. I punti di equilibrio sono quelli di minimo_o di massimo della funzione F(a) e soddisfano alla condizione di stazionarietd:

8FI Ber

=0 is0

e corrispondono agli angoli a = O, ±1r, ±2,r. I punti di equilibrio sono instabili se:

(17.10)

=

e corrispondono agli angoli a ±,r/, ±3,r/2. Il differenziale del potenziale termodinamico a corrente impressa risulta:

dF

=-'I/Idi+ Cda

(17.11)

Ma il potenziale termodinamico F è una funzione di stato ed è quindi differenziabile in modo totale:

dF(i,a)

=-

8:I

di+ QCCO.l

!FI.

(17.12)

da

Q l=coet

Eguagliando le due espressioni del differenziale del potenziale termodinamico si ricava, in particolare, l'espressione della coppia C applicata dall'esterno per equilibrare la coppia elettromagnetica C. interna:

(17.13) 05Sia l'equazione costitutiva della porta meccanica, che lega la grandezza meccanica dipendente Calle coordino.te libere o indipendenti (i, a) (Fig.17.5). Con rotore fermo o rotante a velocità angolare !1 costante, deve essere nulla la risultante delle coppie:

c+c. =O=>C= -c.

(17.14)

avendo indicato con C. la coppia elettromagnetica, che spinge il rotore verso la più vicina posizione di equilibrio stabile. Se il rotore si trova in una generica posizione angolare a compresa fra

=

-,r /2 e +ir/2, esso tende spontaneamente alla posizione a O che è di equilibrio stabile, tendendo a ruotare in senso orario o antiorario, a seconda dei casi. Per mantenere il rotore in una determinata posizione fissa, la

17.1 MACCHINA SINCRONA ANISOTROPA MONOFASE

-27t

o

-lt

1t

497

a[rad 27t

Figura 17.5. Macchina sincrona anisotropa. Coppia esterna C, coppia elettromagnetica Ce e potenziale termodinamico F in funzione dell'angolo a a corrente i impressa e costante.

coppia esterna C deve essere uguale e opposta alla coppia elettromagnetica C• . Se, invece, il rotore si trova in ~n angolo a compreso fra -,,;/2 e 3-,,: /2, esso tende ed oirientarsi verso la posizione a 1r, che è di minimo del potenziale termodinamico F. La coppia eleUromagnetica t la manifeatazione della tendenza qon-tanea del sistema a riconfigurarsi e determina il valore della coppia esterna C neoessaria per mantenere il rotore in una determinata posizione angolare

=

c.

a.

=

Se si suppone di imporre un giro completo al rotore, partendo da a O, nel primo quarto di giro l'area compresa fra la curva di ooppia C(a) e l'ascissa a è un lavoro meccanico entrante positivo: 12 [

Cda>O

(17.15)

ossia effettivamente entrante; nel secondo quarto di giro, l'area è uguale ed opposta alla precedente e corrisponde ed un lavoro meccanico effettivamente uscente. Ne consegue che, in un ciclo di lavoro, descritto in un giro completo, è nullo il lavoro meccanioo complessivamente assorbito:

(17.16)

.f98

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

in quanto è nulla la coppia media in un giro: l

Cm,d

/2w

= 2 Jo 11"

C(o)da = O

(17.17)

Affinché sia non nullo il lavoro meccanico complessivamente assorbito, deve quindi essere non nulla la coppia media Cm,d in un giro. Anche il lavoro elettrico compleisivamente assorbito in un ciclo dalla porta elettrica è nullo (W, = O). Sulla porta elettrica, infatti, con corrente i costante, si ha un flusso 1/) che varia in modo cosinusoidale:

1/!(cr) = L(o) i= [L. +Lbcos2o] i

(17.18)

proporzionalmente all'induttanza L(o), intorno ad un valor medio L 4 i ; la traiettoria del ciclo di lavoro elettrico è un segmento della retta i = cost e costituisce un ciclo di lavoro degenere (Fig.17.6).

······i

Y'i ··············

i

Figura 17.6. Ciclo di lavoro degenere della struttura anisotropa rotante e corrente coetante.

Durante il ciclo elettrico degenere vi è lavoro elettrico elementare assorbito non nullo 6W, = i d1/) f, O, ma il ciclo è di area nulla: (17.19) Per avere un ciclo non degenere è necessario imporre alla corrente una

variazione ciclioa. Con corrente i sinusoidale: I

i= I coswt

la coppia C risulta:

(17.20)

17.1 MACCHINA SINCRONA ANISOTROPA MONOFASE

Lb i 2 sin 2aLbP

C(i,a-)

= Lb P cos2 wt

· sin 2a-

- -(1 +cos2wt)sin2(nt +a-0 ) 2 Lbf' .

Lbl2

499

=

= .

-2- sm 2(0t + O, ossia nel funzionamento come generatore.

La potenza reattiva totale assorbita dagli avvolgimenti di statore risulta: (17.151)

e, oltre al contributo di autoinlluenza (wLufL.) proporzionale al quadrato della corrente di statore, presenta un contributo di mutua influenza (LMI3IMcosa 0 ), dovuto alla mutua interazione fra statore e

542

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA rotore e proporzionale alla corrente di eccitazione. A vuoto (0,0 la potenza reattiva totale risulta:

= O)

(17.152) e modificando il segno e l'ampiezza della corrente di eccitazione [ 3 si ha modo di assorbire una potenza reattiva positiva negativa o nulla e regolabile oon continuità ( compensatore sincrono di potenza reattiva). Il flusso ,j,3 concatenato con l'avvolgimento di rotore presenta due componenti tempo invarianti, una di autoinfluenza (L33fa) ed una di mutua influenza (}LMlMCOSOlo)-

Le tensioni ai tenninali di ciascun avvolgimento si ottengono derivando nel tempo i flussi concatenati e risultano:

d:, =

tlt

~[L1ifMcoswt+LMlacos(wt+0ro)] =

-wL 11 lMsinwt-wLMlasin(wt+a0 ) = jwLulM -wLMlasin0ro + jwLMlacosOro = -WLM[3sin0r0 + j(wL11IM +wLMiacos0r0 )

v, 112

d:

V2

w~I1,1ooswt+wLMl3cos(wt+0ro) = (w~Iu +wL1,1/3cos0ro)+ jwLMlasinao =

113

2

=

(17.153)

= ~(~IMsinwt +LM/3sin(wt+0i0 )] =

d,t,3

d[

=

=

(17.154)

)

(17.155)

cii"=dtLMlucos0ro+Lsala =O

Notando che L 11 ~ Ls, ciascuna tensione di statore è sfasata in anticipo rispetto alla corrispondente oorrente di un angolo /3 + ,r/2, dove l'angolo f3 è tale che: · tan/3

=

=

wLMiasina0 wLslM +wLMlacosao

(17.156)

La tensione ai terminali di rotore è nulla. La potenza istantanea entrante nelle fasi di statore vale: Ps

Pt +P2 =t11i1 +t12i2 =

(-wL11lM sinwt-wLMlasin(wt + Olo))lMcoswt + (w~I1,1coswt +wLMiacos(wt +a0 )]IM sinwt (17.157) e cioè la potenza istantanea t costante nel tempo ed opposta alla potenza meccanica.

17.3 MACCHINA SINCRONA POLIFASE

543

La potenza istantanea assorbita dall'avvolgimento di rotore è nulla, essendo nulla la tensione V3 ai suoi terminali. Non ci si sorprenda davanti a questo risultato e si pensi che l'avvolgimento di rotore è stato supposto perfetto, ossia ha, per definizione, una resistenza nulla. li potenziale termodinamico F della macchina sincrona bifsse simmetrica e con correnti impresse, risulta:

- U = -2l L1111·2 -

1 r -- -2

1r-

-2

2~r,l2 - 2~JJl3 -

L 13 (Q )1113 . . -

-~3(a)i2i3 • )2 - 2l LslM2 (coswt) 2 - 21 LslM2 (stnwt - l Lsl32 2

-LM(cos(wt + a 0 ))IM(ooswt)l3 -

-LM(sin(wt + a 0 ))IM(sinwt)l3 - 1 LslM2 - 1Lsi.23 -LMIMl3oosa.

2

(17.158)

2

=

li potenziale termodinamico F in sincronismo (f! w) è indipendente dal tempo, e cosi l'energia magnetica U accumulata nel traferro, e varia con l'angolo di carico a 0 • I punti di equilibrio stabile in assenza di coppia applicata dall'esterno (ossia nel funzionamento a vuoto) sono quelli di minimo del potenziale termodinamico F, nei quali oosa0 1 => a 0 O. Si sottolinea il fatto che la potenza istantanea assorllita dagli avvolgimenti di statore è rostante se e solò se i due avvolgi.menti di atatore sono rostruttitlamente simmetrici e la sorgente è pure simmetrica. Quando ciò accade anche la coppia elettromagnetica è oostante nel tempo e oos\ pure la potenza istantanea meccanica 8580l"bita. Per la macchina polifase aimmelrica alimentata a con-enti impresae e simmetriche si ha che è nulla la somma delle potenze istantanee asaorbite dalle fasi, essendo rostante l'energia interna del sistema. Non è importante, in linea di principio il numero di fasi della macchina. Lo statore di una macchina polifase simmetrica, alimentata da una sorgente polifase simmetrica di rorrenti 8580l"be una potenza roatante e genera una roppia elettromagnetica rostante. Per le potenze elevate, le macchine sono di regola di tipo trifase.

=

17.3.f

=

Mutuo induttore bifase in formvlazione ibrida

Le equazioni elettriche rostitutive del mutuo induttore tempo-variante, con flussi impressi di statore (t/1 1,,t, 2) e corrente impressa di rotore (i3), sono: fu,J, 1 +f12'P2 + h13i3

(17.159)

f21'P1 + f22'f12 + ~i3 ha1 'flt + ha2'f12 + f,J3i3

(17.160) (17.161)

544

17. CONVERSIONE ELETl'ROMECCANlCA

I roefficienti della matrice mmtteristica sono funzione della posizione angolare a fra statore e rotore. La prima colonna dei coefficienti si determina ponendo ia = O, t/12 = O e alimentando l'avvolgimento I con un flusso t/1 1 costante; al variare dell'angolo a si osserw la wriazione dei coefficienti (r 11 (a), r21(a), ha 1(a)) che può essere interpretata come la wriazione delle variabili dipendenti (i 1, i2, t/1 3 ) per unità della grandezza impressa t/1 1:

I r2,(a) = i2(a) I t/11 ha1(a) = t/la(a) I ru(a) = i,(a) t/11

cost

(17.162)

o

(17.163)

,t,2 =0,is=O

,t, 2 ..0,is•O

t/J1

(17.164)

.,2 =0,is=O

Il coefficiente di autoelastanza T 11 è indipendente dall'angolo a, in quanto la riluttanza del circuito magnetico visto dall'avvolgimento 1 non cambia con l'angolo a, essendo gli altri due avvolgimenti non percorsi da corrente. Si osservi che la corrente i2 nell'avvolgimento 2 è stabilmente nulla in quanto esso è ortogonale all'avvolgimento alimentato, con il quale ha pertanto un coefficiente di accoppiamento nullo, e l'avvolgimento di rotore, che ha con l'avvolgimento 2 di statore un accoppiamento non nullo e variabile con l'angolo a, è inerte, non essendo percorso da corrente. Pertanto r21 = O. Infine, il flusso t{/3 concatenato con l'avvolgimento di rotore varia cosinusoidalmente in funzione dell'angolo a e cosl pure ha1(a). La seconda colonna dei coefficienti della matrice caratteristica si determina ponendo 1/) 1 O, ,j,2 -f. O, ia = O:

=

I I I

r 12 (a) =i1(a) -= t/12 .,,-o,,,..o

o

(17.165)

r22(a) = i2(a) = cost 1P2 .,,-o,,•..o

(17.166)

ha2(a) = t/la(a) t/12

(17.167)

1/1 1 -0,is-O

·-

hMsina

Valgono per i parametri r 12,r22,h32 gli stessi argomenti già esposti per r21,ru,hs1, rispettiwmente. Ponendo, infine, v, 1 = O, t/1 2 = O, is .# O, si determina la terza colonna

dei coeffìcienti della matrice caratteristica (Fig.17 .34):

17.3 MACCHINA SINCRONA POLIFASE

h 13(0)

= i,(o)I

h 23 (o)

= i21(o) I

t3

3

L:J3(0)

= 1/13_(0) t3

=

545

-hMrosa

(17.168)

= .-hM sin o

(17.169)

=

(17.170)

t/1,~.tib',-=0

,,,, -0,tJt,-=0

I

cost

"11-0,V,,a:0

ifa)

Figura 17 .34. Corrente di rotore e di statore in funzione dell'angolo o nella prova ron rotore alimentato e statore in rorto-circuito.

Si osservi che nella formulazione 'ibrida del multiporta la matrice dei coefficienti deve essere antisimmetrica e cioè: (17.171) (17.172) (17.173)

Il differenziale dell'energia magnetica dU aocumulata nel traferro vale:

dU

=

i1dt/1 1 +i2dt/12+i3d1{13+Cda= (fut/1 1 + h13i3)dt/11 + (f22t/1 2 + ~is)dt/12 + +i3d(h31 t/11 + h321/J2 + L:!lis) + Cda

-

fut/1 1dt/1 1 +f221/12dt/12+L33i3dis+Cda

(17.174)

546

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

e integrando dU fra il valore nullo e il valore finale delle variabili di stato, mediante una loro successione di variazioni complete ed esclusive, si ottiene l'energia U : (17.175)

=

=

avendo già tenuto conto del fatto che r 12 -r2 1 O. L'energia U è quindi una forma quadratica pura dell'insieme ibrido delle variabili impresse. Il potenziale tennodinamico F è la trasformata di U:gendre di ordine uno dell'energia U, essendoci solo la porta elettrica 3 con corrente impressa:

F

U-f/,3 ia

= ~ruf/,~ + ~r22f/,~ + ~L334- (ha1t/J 1 + ha2t/J 2 + Laaia)ia 1 21 21-2 2ru1P1 + 2r221P1 - 2Laa'a

-ha1(a)f/,1ia - h:i2(a)f/,2ia

(17.176)

Il differenziale_dF del potenziale termodinamico risulta:

dF

d(U - iat/Ja)

=

= dU -

iadt/Ja - f/, 3 dia

=

=

i1df/J 1 +i2dt/J2 -f/Jadia +Cda 8F {}F 8F . {}F 8"'1 df/J1 + 8"'2 df/J2 + &i.a dia + {}a da

(17.177)

da cui si ha che la coppia esterna C multa: 8F

e

=

{}a

= -t/Jiia {}h1a(a) oa

f/, ia {Jhi3(a) 2 oa

f/, 1ishMsina-f/,2iahMcosa

= (17.178}

Supponendo di alimentare gli avvolgimenti di statore ron un sistema simmetrico bifase di tensioni alternate sinusoidali e trascurando, al solito, le resistenze degli avvolgimenti, anche i flussi concatenati di statore sono imposti e sinusoidali. Inoltre, con l'avvolgimento di rotore alimentato in corrente ·continua, e rotante con velocità angolare costante !l, si ha:

1P1

=

1P2 ia a

q,1 coswt; q,2sinwt;

(17.179) (17.180)

la

(17.181)

=

11t+a0

(17.182}

17.3 MACCHINA SINCRONA POLIFASE

M7

con cui la coppia esterna C risulta: C

hM1lt1la(coswt)sin(nt +

0

~hM1lt1la sin(wt+ nt +

0 0 )-

0) -

hM1lt2[3 sinwtcos(nt +

0

0 )

~hM(l1[3sin (wt- nt- a.,)

-~hM1lt2fa sin (wt + nt + 0 0 )

-~hM1lt2l3sin (wt-nt- 4 ) per_unità della grandezza impressa ,t, 1: fu= i1(a)1 1/>1 .,-o,•• -o,i,-0

=

f21 = ~, 1/>1 .,-o,•• -o,i,-0

I

ia f31=· ' t/11 .,-o.• ~- o,i,-o hu(a)

=: 1/>,(a) .

1/>1

I.,-o.••

-o,i,-0 .

=

fs

(17.198)

!rs 2

(17.199)

1

2fs

(17.200)

hM008°'

(17.201)

Il coefficiente di autoel&'!tanza r 11 è indipendente dall'angolo a, in quanto l'avvolgimento in moto relativo rispetto allo statore è inerte, ossia non è percorso da corrente e quindi non può modificare la riluttanza del circuito magnetico visto dall'avvolgimento 1 al variare dell'angolo a. La corrente~ circolante nell'avvolgimento 2 di statore è diversa da zero e in rapporto fisso con i 1 in quanto tale avvolgimento presenta un coefficiente di accoppiamento non nullo ma oostante con l'avvolgimento alimentato. Se l'avvolgimento 2 f088e allineato con l'avvolgimento l, si avrebbe f21 =-fu . Essendo l'avvolgimento 2 in anticipo dell'angolo f-ir rispetto all'avvolgimento 1, si ha f21 = -fu cos(j-ir) = ½fu. E, analogamente,

17.3 MACCHINA SINCRONA POLIFASE

551

f31 = -f11cos(!1r) = ½fu. Pertanto, per ragioni di simmetria, si ha f 11 = f 22 = f3 3 = fs e quindi f 21 = ½f 5 • Infine, il flusso ,t,4 concatenato con l'avvolgimento di rotore varia cosinusoidalmente in funzione dell'angolo o e cosi pure 1141 (o). La seconda colonna dei coefficienti della matrice caratteristica si determina ponendo ,t, 1 = O, ,t,2 -I O, ,t,3 = O, i◄ =O: · (17.202) (17.203)

La terza colonna dei coefJìcienti della matrice caratteristica si determina ponendo ,t, 1 = O, ,t,2 = O, ,{13 -I O, i4 = O:

i. f13=,t,3

I.,,--0,.,,..0,,,-0 I -0,.,,--0,;,--0.

!fs 2

(17.206)

f23 = i2 ,{13 ...

!fs 2

(17.207)

f33 = i3 I ,P3 .,,--0,.,,--0,,.--0

fs

(17.208)

h43(0) = Vl4(0) ,{13

I.,,--0,.,,--0,,.-0

hM cos(o -

4

31r)

(17.209)

La quarta colonna dei coefficienti della matrice caratteristica si determina, infine, ponendo ,t, 1 = O, ,{12 = O, ,t, 3 = O, i4 -I O: hu(a) = i,(o)I

.,,-0,.,,,-0

t.11,

=

h34(0) = i3~0)

3)

=

;-hM cos(o -

3)

=

cost

t'1-0,f',-O

I

'• .,,..o,.,,-o

L44 = ~•,

'• .,,-o,.,,..o

2,r

-hMcos(o-

~.(o)= i2(0) I '"

(17.210)

-hMcosa

4,r

(17.211) (17.212) (17.213)

552

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

Il rapporto fra i flussi a vuoto deve essere opposto al rapporto fra le correnti in corto circuito (Fig.17.37).

i.=cost

\ a[rad]

Figura 17.37. Corrente di rotore e di statore in funzione dell'angolo a nella prova con rotore alimentato e statore in cor~circuito.

La matrice dei coefficienti è simmetrica nella parte omogenea e antisimmetrica nella parte ibrida:

-1141

hu ~

h3,t

r12 r1a r23

ru

= = = = =

-h,2 -h43

-r21 -ra1 -ra2

=r22 =r33 =rs;L44 = LR

(17.214) (17.215) (17.216) (17.217) (17.218) (17.219)

(17.220)

Il differenziale dell'energia magnetica dU accumulata nel traferro vale: (17.221) e integrando dU fra il valore iniziale nullo e il valore finale finito delle variabili di stato, mediante una loro successione di variazioni oomplete ed esclusive, si ottien.e l'energia U:

17.3 MACCHINA SINCRONA POLIFASE

J =J J J J

i1dt/J1 + i2dt/J2 + i3dt/J3 + i4dt/J4

dlJ

U

(fut/J 1 +f121/12+f13t/J3+h1,i,)dt/J1

553

=

+

(f211/1 1 + f221"2 + f23t{J3 + h24i4) dt/J2 + (f311"1 + fs2t/J2 + f33t/)3 + h34i4) dt/Js +

j i,h,1dt/J 1+i,h,2dt/J2 +i,h,udt{J =

3

+i,L«di•

J J

[fut/J 1 +f121"2+f13t/J3 +(hu +hu)i,)dt/J1 + [f211/11 + f221/12 + f231/J3 + (~ + h,2)i,) dt/J2 +

j [fs11"1 + fs21"2 + f331/J3 + (~ + h,s)i,)d1/13 +

J

i,L,,di,

l

21

21

2 1 .2

2fut/J 1 + 2f22t/J2 + 2f33t{J3 + 2L.. , 4 + +f12t/111/12 + f1st/11t/ls + f2st/12t/Js

(17.222)

Il potenziale termodinamico F è la trasformata di Légendre di ordine uno dell'energia U, essendoci solo la porta elettrica 4 a corrente impressa:

F

=

U-i,1/14 U - i, (h,11"1 + h,2t/12 + h,st/13 + L44i4) = 1 21 21 21 -2 2fut/11 + 2r221"2 + :l""'s - 2L«i4 + +f12t/111/12 + f1s'P1!/ls +f231/12'Ps -ht1i•'P1 - htii,,t,2 - h,ui4,Ì,3

(17.223)

Il differenziale dF del potenziale termodinamico r~ulta:

d(U - i,1/14) = dU - i,d,t,4 - v,4di 4 = i1d,t, 1 +i2d'P2+isd!/13-,f,4di,+Cda= éJF éJF éJF éJF . éJF = 01/Ji d1/J1 + &,J, d'f/J2 + 81J,a d'I/Ja + ai, dt4 + 8a do{l 7.224) 2 da cui si ha che la coppia esterna C r~ulta: dF = =

17. CONVERSIONE ELE'ITROMECCANICA

554

8F

e

80

= -t/J1i, 8h1,(o) _ ,p2i, 8~4 (o) _ ,p3i, 8h34(0) = 80

00

80

f/1 1i,hMsino + v,2i,hM sin(o - ~,r) +,/13i,hu sin(o -;1r)

(17.225)

Supponendo di alimentare gli avvolgimenti di statore con un sistema simmetrico trifase di teruioni alternate sinU3oidali e trascurando, al solito, le resistenze degli avvolgimenti, anche i flussi concatenati di statore sono imposti e sinusoidali. Inoltre, con l'avvolgimento di rotore alimentato in corrente continua e rotante con velocità angolare costante f! si ha: 'P1 'P2 V,3

i, o

W1coswt; 'lt 2 cos(wt -

'l'a cos(wt -

(17.226) 2

31r);

(17.227)

4

31r);

(17.228)

1,

(17.229)

11! + 0 0

(17.230)

con cui la coppia esterna C risulta:

C

=

hM'lt1I,(coswt) sin(f!t + 0 0 ) + hMW2I,(cos(wt- ~1r))sin(l1t +0 0 +hM'llaI,(ros(wt - ~,r))sin(f!t +

=

~,r) +

-

Oo -

;1r)

~hM'llil,sin((f!+w)t+o 0 )+ ½hu(11J,sin((f!-w)t +00 ) + ~hM'll2I,sin ((11 +w)t -

;11' +0

0)

+

~hM'lt2I, sin ((11- w) t + 0 0 ) + ~hM'llaI,sin ((11+w)t-;,r+o0 ) + ~hM'l'aI, sin ((11- w) t + 0 0 )

(17.231) .I

=

dalla quale è evidente che, se la sorgente bifase è simmetrica ('l' 1 f!2 ,{,3 "'s), le tre componenti a pulsazione n + w sono di uguale

=

=

17.3 MACCHINA SINCRONA POLIFASE

555

ampiezza e sfasate di ~ e pertanto hanno somma nulla in ogni istante. Le tre oomponenti a pulsazione 11-w sono in fese e sommate danno la ooppia istantanea:

{17.232)

Se il rotore ha la velocità di sincronismo (11 risulta:

= w)

la ooppia istantanea

{17.233)

La coppia istantanea C è costante nel tempo. Ad essa corrisponde un lavoro meccani co assorbito in un ciclo pari a:

{17.234)

ed una potenza meccanica entrante pari a:

(17.23.5)

Le con"eflti di statore e il jlu.s&o concatenato di rotore risultano:

556

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

fs'llscoswt +

i1

1 2 rs'llscos(wt - 1r) + 2 3

1 4 :/s,J)scos(wt - 1r) - hMI4 cos(wt + 0 0 )

3

1

2 1

2

rs'llscoswt -hMI4 cos(wt + 0

(17.236)

0 )

2

rs'llscoswt +rs'll2cos(wt- 1r) +

1

3

4

2,r

2rs'llscos(wt- 3,r) - hMl4 cos(wt + Oo - 3) 1

2

2

rs'llscos(wt -

1

31r) -

hMI4 cos(wt + o. -

1

fs'llscos(wt -

) (17.237)

2

2rs'llscoswt + 2rs'llscos(wt- 31r) +

i3

2,r

3

4

4,r

31r)- hMI4 cos(wt + Oo - 3 )

= 21rs%cos(wt - 341r)- hMl4cos(wt +0

4,r

0 -

3 ) (17.238)

hMW s cos (wt + 0 0 ) coswt + 2,r 2 hM'llscos(o)cos(wt- 1r) +

3

hM'llscos(o-

=

4,i-

3

3

)cos(wt -

4

31r) + L«I4 (17.239)

L44[4

Le tre correnti di statore costituiscono un sistema trifase simmetrico a somma nulla. Le tre fasi si possono quindi collegare a stella e alimentare con un sistema trifase simmetrico di tensioni. Ciascuna corrente di statore presenta due componenti (Fig.17.38):

in fase con il flusso concatenato, come in un comune induttore tempo-invariante, che origina un ciclo rettilineo degenere ed una potenza reattiva assorbita positiva ( Qs1 = ½wrswi di fase; Qss = Jwrswi per le tre fasi);

1. una di auto induzione

2. ed una componente sfasata di un angolo ,r + 0 0 rispetto al flusso concatenato, che dà un ciclo ellittico non centrato. Scomponendo questa componente nella sua componente in opposizione (lsRo = hMl4coso0 ) e nella componente in quadratura in ritardo (lsRq = hMl4 sino_) rispetto al flusso, si hanno due cicli, uno rettilineo e de-genere con potenza reattiva erogata (QsR/ = ~WhMl4W5coso. di fase; Qsn = !whMl4Wscoso0 per le tre fasi), ed uno ellittico cen-.· trato di area pari al lavoro elettrico assorbito in un ciclo che per le due fasi vale: w. -21rhMI4 '11 5 sino0 , cui corrisponde la potenza

=

17.3 MACCHINA SINCRONA POLIFASE

557

lm

ii, b)

Figura 17.38. Macchina sincrona trifase. Diagramma dei Casori di una Case e cicli di lavoro di mutua interazione.

=

=

P. -21rfhM[4,Jlssinao -fwhM[4,Jlssina0 , uguale e opposta a quella media assorbita dalla porta meccanica.

Dalla porta di rotore entra una potenza istantanea nulla essendo costante il flusso concatenato t/)4 e, quindi, nulla la tensione 114 • La po Lenza reaUiva complessivamente assorbita risulta:

(17.240)

dalla quale è evidente la possibilità di utilizzare la macchina sincrona bifase a vuoto (a 0 O) come compensatore sincrono di potenza reattiva, con possibilità di assorbirne o erogarne e regolandone il valore mediante la corrente di eccitazione [3. Il potenziale termodinamico F in sincronismo (O= w) risulta:

=

558

17. CONVERSIONE ELETI'ROMECCANICA

F

,t,,,. -

= l ru'P12+1 r22'P12+1 r33t/112- 1 L,,i. -2 - h41 ( o )·

2

2

-h42(0),t,2i◄

-

2

2

h43(0),t,3i◄

)2 l 2( ( 2 2 = 2l fs'11 2( 5 coswt + 2rs'11 5 cos wt- 31r)) + ( 4 2 1 2 +21 fs>l1 2( 5 cos wt - 3ir)) - 2L44/4 -l◄ (hM cos(wt + 0 0 ))111s (coswt) -

-l◄(hM cos(wt +0

0 -

~,r))11ts ( cos(wt - ~1r)) -

-l4(hMcos(wt+a.-;1r))1lts ( cos(wt-;ir)) ;rs>ll~ - ~L«l;- ;hM1ltsl3COSOo

{17.241)

Il potenziale termodinamico F è costante nel tempo. Il sistema tende ad assumere, se vi è il consenso dei vincoli meccanici, configurazioni di equilibrio stabile che coincidono con le configurazioni di minimo potenziale termodinamico F, nei quali coso. l => à0 O (funzionamento a vuoto). 11 risultato dell'analisi è sostanzialmente identico a quello che si può ottenere con la formulazione a correnti impresse negli avvolgimenti .di statore. La macchina sincrona trifase isotropa, detta anche alternatore a poli lisci, è adoperata con potenze elevate (dell'ordine delle centinaia di MW) nelle centrali per la generazione di lavoro elettrico. Viene anche adoperata come compensatore sincrono della potenza reattiva, nelle reti elettriche di potenza.

=

17.3,4

=

Numero di poli di un avvolgimento

Finora si sono considerati avvolgimenti di macchine rotanti aventi passo diametrale, ossia pari a 180" meccanici. Con ciò, in un giro completo, il flusso magnetico risulta entrante nello statore in mezza circonferenza ed uscente nella mezza circonferenza successiva (Fig.17.39). L'avvolgimento si dice a due poli e gli angoli elettrici uguagliano gli angoli meccanici, o, Om, I lati attivi della matassa sono entranti in una cava (o gruppo di cave) e uscenti nella cava (o gruppo di cave) a 180° meccanici ed elettrici. Considerando l'intera circonferenza si deve comunque avere, per la legge di Ga1188, un flusso netto 1180ente nullo. Se si considera un passo di 90° fra i lati attivi di una matassa, ossia con quattro gruppi di cave alternativamente con correnti entranti ed :iscenti disposti a 90° fra loro, il flusso magnetico al traferro entra ed esce dal rotore quattro oolte con segno alternato (Fig.17.40).

=

17.3 MACCHINA SINCRONA POLIFASE

559

p=2poli Figura 17.39. Andamento qualitativo delle linee di fttl890 generate da una spira a passo diametrale, costituente una sorgente di campo magnetico a due poli.

p=4poli Figura 17.40. Andamento qualitativo delle linee di fll1S90 di una sorgente di campo magoetioo a quattro poli.

560

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

Questo fatto si esprime dicendo che l'avvolgimento ha quattro poli . La distribuzione dell'induzione al traferro è alternata con due onde complete in 360". Un polo ~ dunque una semionda della distribuzione dcll'induzi-One magnetica al traferro di un avvolgimento distribuito nelle cave della struttura di statore o di rotore di una macchina rotante. E' evidente che con quattro poli si hanno due cicli magnetici in un ciclo meccanico e pertanto gli angoli elettrici sono il doppio degli angoli meccanici. In generale, con p poli, gli angoli elettrici sono ~ volte gli angoli meccanici:

(17.242) Passando alla velocità angolare meccanica e alla pulsazione elettrica, si ha:

~n ~ 21r/ = ~27rn ~ 1'1fJ/ Igu, . ·;mm .I 2P27rN 60 ~ N = -p-

w

21rf

(17.243)

dove f è la frequenza, n è la velocità in giri al secondo ed N è la velocità in giri al minuto. Alla frequenza / 50 Hz, oon due poli (p 2) la velocità di sincronismo è N 3000 girifmin, mentre oon quattro poli (p 4) la velocità si dimezza, e ooel via per un diverso numero di poli. Va da sé che per aumentare la velocità di sincronismo oltre il valore di 3000 giri/min, è necessario aumentare la frequenza f di alimentazione. I generatori sincroni trifase di grande potenza, specialmente quando sono accoppiati oon motori primi idraulici (turbine idrauliche), sono frequentemente costruiti per velocità di sincronismo relativamente basse e, a tal fine, hanno un numero relativamente elevato di poli (8+10). In tal caso, per comodità di montaggio, il rotore non è cilindrico ed il traferro non è costante ma si realizzano i poli salienti (Fig.17.41). L'avvolgimento di rotore, peroorso da oorrente continua, viene anche detto avvolgimento di eccitazione, induttore o di campo. L'avvolgimento di statore, percorso da corrente alternata monofase o polifase, viene anche detto avvolgimento d'indotto.

=

=

=

=

17.3.5 Avvolgimento distribuito Fin qui si è sempre, per semplicità, supposto che ciascun avvolgimento di un mutuo induttore rotante sia costituito da una coppia di spire a passo diametrale. Con ciò si è ottenuto una distribuzione ad onda quadra dell'induzione al traferro (Fig.17.13). Se si considera un insieme di coppie di spire a passo diamentrale, sfasate fra loco del passo di cava Ile si ba un insieme di distribuzioni ad onda quadra

17.3 MACCHINA SINCRONA POLIFASE

561

p•4po/l

Figura 17.41. Sezione schematica di una generai.ore sincrono primitivo a 4 poli

salienti.

sfasate fra loro del medesimo angolo 0 0 • Le varie spire, in serie fra loro, costituiscono un avvolgimento distribuito. Avendo, al solito assunto infinita la permeabilità del traferro, l'energia è accumulata interamente nel traferro e nelle cave, e, essendo il mezzo magnetico lineare, si può applicare la sovrapposizione degli effetti per determin11re la distribuzione dell'induzione magnetica risultante al traferro, che risulta di tipo a gradini ed ha un minor scostamento dall'andamento sinusoidale ad esso sincrono rispetto alla semplice distribuzione ad onda quadra (Fig.17 .42). Pertanto distribuendo i conduttori attivi di una fase in un certo numero di cave, si ottiene l'effetto di avere una curva di induzione al traferro con minor contenuto armonico rispetto all'onda quadra. Di conseguenza, la mutua induttanza fra questo avvolgimento e un avvolgimento in moto relativo, posto sul rotore, risulta presenta un andamento in funzione dell'angolo a che è seDS1bilmente più vicino all'onda sinusoidale di quanto non lo sia l'onda triangolare (associata ad un 'onda quadra di induzione al traferro). Infine, la distanza fra i due lati attivi della medesima matassa si usa metterli ad una distanza minore di 180 gradi elettrici (passo accorciato) per ridurre la lunghezza delle connessioni frontali (testate) e per ridurre il contenuto 11rmonico dell'onda di induzione al traferro nelle macchine polifasi simmetriche. In tal caso, di regola, ciascuna cava è occupata da due strati di lati attivi e, quindi, vi sono delle cave occupate da lati attivi appartenenti a fasi diverse.

562

17. CONVERSIONE ELE'ITROMECCANICA

11

11

b)

Figura 17.42. Struttura reale di statore di una macchina rotante con cave uniformemente distribuite per avvolgimento distribuito (a). Campo al traferro prodotto da due apire a pam., diametrale sfasale dell'angolo o , (b).

17.4 MACCHINA ASINCRONA BIFASE La macchina asincrona, a differenza della macchina sincrona, effettua la conversione elettromeccanica con una velocità del rotore non vinoolata ad uguagliare la pulsazione della tensione alternata di alimentazione o un suo sottomultiplo intero (nel caso di un numero di poli p maggiore di due O=

-;fe). La macchina asincrona può essere monofase, bifase o trifase, ossia l'avvolgimento di statore può essere monofase, bifase o trifase. In ogni caso, il rotore ospita un numero di avvolgimenti uguale a quelli di statore. Lo statore di una maochina asincrona non differisce in alcun modo dallo statore di una macchina sincrona (Fig.17 .43a). La differenza fra le due macchine risiede nel rotore, il quale, nella macchina asincrona, è interessato da oorrente alternata, monofase, bifase o trifase, a seconda dei casi, e di pulsazione wR in generale diversa dalla pulsazione ws dell'avvolgimento di statore. . Nel seguito si oonsidererà la maochina asincrona bifase, che è la base del funzionamento di una qualunque macchina asincrona polifase. La macchina asincrona bifase elementare è costituita da due avvolgimenti 1 e 2 uguali e ortogonali sullo statore, come per la macchina sincrona bifase, e due avvolgimenti 3 e 4 uguali e ortogonali sul rotore. La maochina asincrona bifase esprime il funzionamento di un mutuo induttore a oonfigurazione tempo-variante oon quattro porte elettriche ed una meccanica. r I due avvolgimenti di statore si suppongono alimentati oon una sorgente simmetrica bifase di tensioni di pulsazione w5 , ossia costituito da due tensioni sinusoidali di uguale ampiezza e sfasate fra loro di Anche i due

½·

17.5 Macchina asincrona bifase billlimenlata

563

avvolgimenti di rotore siano alimentati da una aorgente simmetrica bifdi tensioni di pulsazione WR (Fig.17.43b). In questo caso si ha la macchina asincrona bi,.alimentata. Molto frequentemente, in pratica, I due avvolgimenti di rotore sono semplicemente posti in corto-circuito. Questo secondo caso verrà pure esaminato nel seguito. Ma l'analisi inizia dal caso della macchina asincrona bifase bi-alimentata.

Figura 17.43. Struttura tipica di una macchina asincrona (a); struttura della macchina sincrona bifase primitiva (b).

17.5 Macchina asincrona bifase bialimentata Il differenziale dell'energia magnetica aocumulata nel traferro dU del mutuo induttore tempo-variante con quattro porte elettriche ed una meccani.ca risulta, per il primo principio della termodinamica risulta: (17.244) Dal momento che il funzionamento è previsto a tensioni imprease, e quindi a flussi impresai, l'energia coincide con il potenziale termodinamico ( F = U) e il suo differenziale è appropriato per esprimere la coppia esterna C che presiede al lavoro meccanico assorbito 6Wm = C da, in quanto la coppia elettromagnetica C. = -C esprime la tendenza apontanea alla riconfigurozùme del 6istema eneryeticamente iaolato, oesia in assenza di lavoro assorbito dalle porte elettriche:

8U

d1J

8U

8U

8U

8U

= Ot/J, dt/11 + 8tp2dt/12 + Ot/Ja dt/J3 + a.,4dt/14 + lJa da

(17.245)

564

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

E dal confronto fra le due espressioni si ha:

C=au

(17.246)

aa

Per valutare la coppia C si deve esprimere la dipendenza dell'energia U dall'angolo a che esprime la posizione angolare del rotore rispetto allo statore. L'energia magnetico U del quadriporta induttivo risulta una forma quadratica definita positiva:

riconoscendo che le equazioni costitutive elettriche sono lineari:

(17.248)

I coefficienti di autoelastanza induttiva f11,f22,f33,fu sono costanti e indipendenti dalla posizione angolare a e fertanto i corrispondenti termini dell'energia (½fui/{+ ½f22"1; + ½f33v, 3 + ½fuvi!) non contribuiscono alla coppia C. I coefficienti di mutua elestanza fra avvolgimenti ortogonali sono nulli (f 12 O, f 34 O) mentre i coefficienti di mutua elastanza fra a11110lgimenti in moto relativo sono periodici e saranno qui assunti, per semplicità, semplicemente sinusoidali:

=

=

= =

-fMcos(a-

,r

2 );

(17.249)

2); f:u=-fMcos(a);

(17.250)

-fMcos(a); fu=-fMcos(a+ ,r

e sono gli unici a concorrere alla produzione della coppia C :

(17.251) con le loro derivate rispetto all'angolo a :

17 .5 Macchina asincrona bifase bialimentata

ar12

565

(17.252l

8a ar23

(17.253l

8a Con ciò si ha: C

=

1/111/13rMsin(al+l/l11/14rMsin(a+il+ +1/121/13rMsin(a- il +1/121/14rM sin(al

(17.254l

Esprimendo i flussi concatenati e l'angolo a in funzione del tempo e assumendo la simmetria delle sorgenti ('111 = '112 = ,i, s ; '113 = ,i, 4 = ,i, nl si ha (Fig.17.44l:

"'·

1/13

'11s cos(wstl; 1/1 2 = '11s cos(wst -

=

a

ifri Vi

(17.255l

nt+a0

(17.257l

(17.256l

ifr.

-c'\s 1C.l2

Vi

,r

2l; ,r '11ncos(wntl ; 1/14 ='11ncos(wnt- ); 2

ifr.

-

V. b)

a)

Figura 17.44. Fasori delle tensioni di statore e di rotore della macchina asincrona bifase bialimentata. con i quali la coppia C risulta:

C =

rM'11s'11 n (cos(wstl)(cos(wnt))(sin(l1t + a.)l + rM'11s'11n (cos(wst)l ( cos(wnt - il) (sin(nt+ a.+ il)+ +rM'11s'11n ( cos(wst- il) (cos(wnt)) (sin(nt + a. - il)+ rM'11s'11n (cos(wst-

i>) (cos(wRt -i>) (sin(11t +a.X).7.258)

566

17. CONVERSIONE ELETI'ROMECCANICA

Sviluppando i tripli prodotti delle funzioni trigonometriche si ha:

C

rM111s'11n(¼sin(!1t+a.+wst-wnt)+ ¼ sin (!1t +

0

0 -

wst + WRt) +

¼sin (nt + a 0 + wst + WRt) +¼sin (nt + a 0 -wst - wnt)] + 0

0

+ wst + wRt) - ¼sin (!1t +

0

0

-wst -wRt) -

~ sin (nt + 0

0

+wst - WRt) +~sin (!1t +

0

0

-wst +wnt) -

¼sin (nt +

¼sin(nt+a0 +wst +wnt) + ~sin(nt+a0 -wst-wnt)-

~ sin(nt + 0

0

+ w5t -wRt) +

~ sin(nt+a

0

-wst +wnt) +

~sin (!1t +

00

+wst-wnt) + ~sin(nt +00 -wst +wnt) -

¼ sin (nt +

0

+ wst +wRt) - ~sin(nt +a0 -wst -wnt)]

0

fM'11s'11nsin {In- (ws -wn)]t + a.}

(17.259)

Se il fattore che moltiplica il tempo nell'argomento della funzione sinusoidale è nullo, (17.260} si ha una coppia mediPscos(wst- il- rMwR[(oos(o- il) (cos(wRt)l + (coso) (cos(wRt-il)l

=

f22Wsoos(wst-

11"

•

11"

•

2 l-fMWRsm(o+wRtl

2)- fMWRsm((n+wR)t+o.) • = f22Wsoos(wst- 211" l-fMWRsm(wst+o l f22'llscos(wst-

0

(17.268l

17.5 Mllcchina asincronll bifase bialimentat.a

i3

569

r31 w1 + r32'P2 + r33,t,3 -r Mcosa• >llscoswst - rM oos(a-

lr

lr

2) · .Pscos(wst - 2) +

r33.Pncos(wnt)

=

-rM.Ps[(cosa)(coswst) + ( cos(a -

i>) (cos(wst - i>)I +

r33.Pncos(wnt)

-rM>llscos (-a+ wst) + f33.Pncos(wnt) -fMWscos (-nt- a.+ (fl+wn)t) + r33.Pncos(wnt)

-fM.Pscos(wnt - a.)+ f33Wnoos(wnt)

.,

(17.269)

r,1,t, 1 + r,2w2 + r .. w, -rMcos(a +

lr

lr

2) · .Pscos(wst) - rMcos(a) · .Pscos(wst - 2) +

r .. wncos(wnt-rM.Ps[(cos(a +

ru.Pnoos(wnt-

2> lr

i>) (cos(wst)) + (cos(a)) (cos(wst -i>)I + lr

2)

.

-rM.Pssm(-a+wst)+r«.Pncos(wnt-

-rM.Pssin (wnt - a.) +ru.Pncos(wnt-

lr

2)

i>

(17.270)

Ciascuna corrente di statore è costituita da una componente di autointerazione isofrequenziale e in fase con il oocrispondente flusso concatenato, che produce un ciclo rettilineo degenere, come in un induttore tempo invariante, con lavoro medio nullo e una potenza reattiva assorbita positiva. Sommando i due contributi uguali delle due fasi si ha la potenza reattiva totale di autointerazione dello statore della macchina asincrona bifase:

1 Qss =2 Vsls1

2

=wsrssifl2s

(17.271)

Ciascuna corrente di statore possiede anche una componente di mutua interazione isofrequenziale e sfasata rispetto al corrispondente flusso concatenato di un angolo di ir + a 0 (Fig.l 7.46a). Questa componente di corrente produce un ciclo di lavoro ellittico non centrato, che si può scomporre in un ciclo degenere ed un ciclo ellittico centrato, se si scompone questa componente attiva nelle sue componenti in opposizione e in quadratura in ritardo rispetto al flusso concatenato corrispondente (Fig.17.46b-c) . La componente in opposizione si associa ad una potenza reattiva totale assorbita di mutua interazione fra statore e rotore pari a:

570

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

lm

V.

a)

I...

Re

~---.-..+~1----------: i.,, o/,

4,.;

Figura 17.46. Diagramma dei f&llOri del ftl1S90 concatenato e della corrente di una fase di statore (a) •e cicli di lavoro di mutua interazione fra fase di statore e avvolgimento di rotore (b,c).

(17.272) La potenza reattioo totale aasorbita dagli awo/gimenti di statore risulta uguale alla somma dei precedenti due contributi: :,, ...

\

·:·. ·, ·· ,. , __,., iQs ;,

= ws (fss'1i~ -rM'1iR'1iscosa.)

(17.273)

•·. \ · i • '.·'l\ 1 • I , ' '

La componente della corrente di mutua interazione in quadratura in ri,. tardo con il 1111880 concatenato produce un ciclo ellittico centrato e area pari al /awro elettrico medio aasorbito in un ciclo: (17.274) Si noti che se sin a. > O, il ciclo 1liene descritto in aenso orario ossia il lavoro 81B>Ì-bitò ·è negativo ossia effettivamente erogato. Il /awro elettrico totale aasorbito in un ciclo dalle due fasi di statore è il doppio di w~1• e vale: (17.275) Ciascuna CMTmte di rotore è oostituita da una componente di autointerazione isofrequenziale e in fase con il corrispondente flusso concatenato

17 .5 Macchina asincrona birase bialiment.ata

571

e produce un ciclo rettilineo degenere, come in un induttore tempo invariante, con lavoro medio nullo e una potenza reattiva assorbita positiva (Fig.17.47a). Sommando i due contributi uguali delle due fasi si ha la potenza reattiva totale di autointerozione del rotore della macchina asincrona bifase:

(17.276) Ciascuna corrente di rotore possiede anche una componente di mutua interazione isofrequenziale e sfasata rispetto al corrispondente flusso concatenato di un angolo di 7f - 0 0 • Questa componente di corrente produce un ciclo di lavoro elliUico non centrato, che si può ecomporre in un ciclo degenere ed un ciclo elliUico centrato, se si scompone questa componente attiva nelle sue componenti in opposizione e in quadratura in anticipo rispetto al flusso concatenato corrispondente (Fig.17.47b-c). La componente in opposizione si associa ad una potenza rcaUiva totale assorbita di mutua interazione fra statore e rotore pari a: (17.277)

lm

V. a)

i..

·-- - . iRSq Re

Figura 17.47. Diagramma dei fasori di una fase di rotore (a) e cicli di lavoro di

mutua interazione fra rotore e statore (b-c).

La pote,w reattiva totale assorbita dagli awolgimenti di rotore risulta uguale alla somma dei precedenti due con~ributi: (17.278)

572

17. CONVERSlONE ELETTROMECCANlCA

La componente della corrente di mutua interazione in quadratura in anticipo con il flusso concatenato produce un ciclo ellittico centrato e area pari al lavoro elettrico medio assorbito in un ciclo: (17.279) Si noti che se sin a 0 > O, il ciclo tliene descritto in senso antiorario 06Sia il lavoro essorbito è positivo 06Sia effettivamente assorbito. Il lavoro elettrico totale assorbito in un ciclo dalle due fasi di statore è il doppio di W.3 e vsle: (17.280) Pertanto, dai terminali degli avvolgimenti di statore entra in un ciclo un lavoro uguale e opposto a quello che entra dai terminali del rotore:

W.s

= -W.n

(17.281)

Il lavore elettrico entrante nell 'unità di tempo si chiama potenza elettrica media (o attiva) ed è in generale diverso per lo statore ed il rotore: Pems

=

fsW.s

-

-ws · fMlJtslJtnsina.

P.,,.n

fnWen

=

WR ·

= -21rfsfMlJtslJtnsina; (17.282)

= 21rfnfMlJtslJtnsinao

fMlJtslJtnsina 0

(17.283)

ed il rapporto fra le potenre elettriche medie risulta: P.,,.s P.,,.n

ws

= - wn

(17.284)

Questa relazione evidenzia la peculiarità della macchina asincrona polifase e ne suggerisce l'uso come convertitore di lavoro elettrico in lavoro elettrico con variazione di frequenza (convertitore rotante di frequenza). Il segno meno significa semplicemente che se la potenza media entrante nello statore è positiva, 06Sia è effettivamente entrante, quella entrante dai terminali di rotore deve essere negativa, ossia effettivamente uscente. La variazione della pulsazione deve avvenire in ogni caso in obbedienza al tlincolo della contleTSione asincrona:

O=ws-wn

(17.285)

17.6 Macchina asincrona con rotore in corto-circuito

573

talch~, ad esempio, se la velocità del rotore è opposta a quella di sincronismo (f! = -ws), la pulsazione di rotore è doppia di quella di statore (wn = ws - n = 2ws). La somma delle potenze elettriche medie entranti dai terminali degli avvolgimenti di statore e di rotore risulta: Pem

=

Pems + PemR -rM.Ps.Pnsinao · (ws -wn) (17.286) -rM.Ps.Pnsina0 • {l

ed è uguale ed oppa;ta alla potenza meccanica media entrante, come deve essere per il primo principio della termodinamica applicato ai lavori per unità di tempo: PemS +PemR + Pm =0 Il segno del seno dell'angolo di carico potenza media:

0

0

(17.287)

decide il segno dei flussi di

I. Se sin 0 0 > O, entro lavoro meccanico alla velocità angolare f!, entro lavoro elettrico dai terminali di rotore a pulsazione wn, ed esce lavoro elettrico dai terminali di statore a pulsazione Ws.

2. Se sin 0 0 < O, esce lavoro meccanico alla velocità angolare f!, esce lavoro elettrico dai terminali di rotore a pulsazione wn, ed entro lavoro elettrico dai terminali di statore a pulsazione Ws-

17.6 Macchina asincrona con rotore in corto-circuito Nel caso più comune della macchina asincrona, gli avvolgimenti di rotore non assorbono lavoro da una sorgente esterna ma sono chiusi in cortocircuito. In tal caso, la conversione asincrona del lavoro elettrico in lavoro meccanico è possibile grazie al lavoro elettrico dissipato in calore nella resistenza delle due fasi di rotore. Questo lavoro è effettivamente uscente dal sistema di conversione. Per conservare intatto tutto l'impianto /ogirodeduttivo fin qui ripetutamente collaudato, e che ha dato ottimi frutti per comprendere il meocanismo intimo della conversione elettromeccanica, continuiamo a pensare all'avvolgimento di rotore come perfetto, cioè privo di resistenza e colleghiamo ai suoi terminali fittizi una resistenza esterna uguale a quella effettiva dell'avvolgimento reale. Si tiene cosl separato il convertitore reversibile, cioè privo di dissipazioni, dal carico elettrico resistivo di rotore, che sostituisce la sorgente elettrica che alimenta il rotore.

574

17. CONVERSIONE ELE'ITROMECCANICA

Il lavoro elementare entrante dai terminali di rotore (iad,t,3

+ i4d,p4 )

è negativo, ossia effettivamente uscente e uguale al calore dissipato nelle

resistenze di rotore:

(17.288) F.aaendo stata trascurata qualunque causa di dissipazione negli avvolgimenti di statore e nei materiali ferromagnetici, la potenza elettrica media entrante Pe,ns viene di solito chiamata potenza trasmessa (Pr) dallo statore al rotore. Nel funzionamento come motore, la potenza trasmessa Pr uguaglia la somma della potenza media dissipata nelle resistenze di rotore (PJR -P=R) e della potenza meccanica uscente (-Pm), Introducendo la nozione di scorrimento relativo B fra la velocità del rotore in sincronismo n. Ws e la generica velocità del rotore n,

=

=

8

= n.-n = 1-..!!. = WR = JR

n.

n.

Ws

ls

(17.289)

ed essendo

Pe,ns Pe,nR

Ws

Pr

=-WR =-pJR

(17.290)

si ha anche che la potenza dissipata per effetto Joule negli avvolgimenti di rotore è a volte la potenza trasmessa Pr:

(17._291) Questa relazione fornisoe il aignificat-0 energetico dello scorrimento relativo s: lo scorrimento relativo s di una macchina asincrona esprime la disaipazione relatiro che ha luogo nelle resistenze di rotore, assumendo come grandezza di riferimento la potenza trasmessa PrNella macchina asincrona la potenza dissipata per effetto Joule negli avvolgimenti di rotore è tanto piil piccola quanto piil prossimo a zero è lo soorrimento relativo a, ossia quanto piil prossima alla velocità di sincronismo 110 è la velocità angolare 11 del rotore. F,d è evidente, a questo punto, che la conversione aaincrona del lavoro può avi,:si solo grazie alla potenza disaipata nella resistenza degli avvolgimenti di rotore. E' essenziale per un qualunque convertitore elettromeccanico la conoscenza della cosidetta caratteristica meccanica ossia il legame fra la coppia elettromagnetica e la velocità di rotazione 11 o lo scorrimento relat~vo

c.

8.

La coJ)1ria elettromagnetica della macchina asincrona bifase è espressa dalla seguente relazione: ·

17.G Macchina asincrona con rotore in corto-circuii.o

575

(17.292)

nella quale si deve esprimere esplicitamente il flusso di rotore '11 R e il seno dell'angolo di carico °'•• nel CBSO di macchina.asincrona con avvolgimenti di rotore in corto-circuito, ossia alimentata soltanto dai terminali di statore. A questo scopo si consideri l'avvolgi mento 3 di rotore, per il quale si ha:

(17.293)

dove la corrente i3 risulta:

i3

fa11/1 1 + f321/12 + f33V,3 -rM"1scos(wRt - o.) +f331{, 3

(17.294)

Sostituendo la corrente nell'equazione differenziale precedente, si ha:

(17.295)

Si ottiene una equazione differenziale lineare in ,p3 , che è del primo ordine, a coefficienti costanti, con forzante oosinusoidale di pulsazione WR· La soluzione di regime, t/)3 '11 R coswRt, che è sovrapposta alla soluzione transitoria smorzata con costante di tempo -r risulta lsofrequenziale con la /orzante RafM"1s(cos(wRt-a0 )) e deve soddisfare la precedente equazione. Pertanto, la sua ampiezza è pari a:

=

= ~,

576

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

Il flusso concatenato con una fase di rotore a regime t/13 = 'I! R cos w nt è sfasato in ritardodell'angolo-y rispetto alla forzantè (R3f M'l!s (cos (wnt - 0 0 ))) Ciò consente di dedurre il valore dell'angolo di carico 0 0 :

sina0

'IIRcos(wRt-a.--y) = >l'RCOSWnt => 'Y = -o. WR WR arctan R3f33 => °'• = -arctan R3f33 => WR SWS 2 2 + (R3f33) + (llJf33) 2

Jwk

Js w~

8

{17.297)

c.

Con ciò, la coppia elettromagnetica della macchina asincrona bifase può essere finalmente espressa in funzione di quantità note e dello scorrimento relativo s:

c. =

-fM'l!s'l!RsinOo

=

+fM>l's

>l's

=

+ ( R>J:• ) 2

8

(Rol's, ) s2 ws

ri,r,t~ f33

r

8 82

fM'l!i

i:;~.,

r

R;~., ✓82 + ( R>J;• ✓82 +(R>Js"'

fM'l!i

R;~.,

8

R3f33 8 2

(...!,/.tl_) +1 Rsr" = ri>1i[;. La corrente di avviamento a piena tensione di alimentazione (tensione nominale Vn) non è, di regola, ammissibile in un motore a corrente continua, in quanto è di alcune decine di volte più grande della corrente nominale In. Infatti, se si assume che il rendimento elettrico nominale (che tiene conto solo delle perdite per effetto Joule nell'indotto a corrente nominale) del motore a corrente continua sia T/e(n) 0.98, riconoscendo che:

=

=

=

11e(n)

(17.338) si ha che:

~~ = l -i:,;-

(

)

TJe(n) ~ ~In = 1- TJe(n) Vn = (l - 0.98)Vn = 0.02 Vn (17.339)

e cioè la e.d.t . nella resistenza d'indotto, a corrente nominale, è del 2% della tensione nominale. Ma si ha anche che:

t

=-l - ~ 1-TJe(n)

1- TJe(n)

~

_ _l _ l - T/e(n)

= _l_ = 50

In

0.02

(17.340)

e cioè la corrente di avviamento a tensione nominale è 50 volte la corrente nominale. L'integritd del collettore con i suoi contatti mobili, per via

598

17. CONVERSIONE ELETl'ROMECCANICA

degli effetti termici ed elettrodinamici, non consente l'assorbimento di correnti apprezzabilmente maggiori della corrente nominale In . Pert.anLo è da escludere che si possa fare, di regola, un avviamento a piena tensione di un motore a corrente continua con eccitazione indipendente. Per la coppia di avviamento valgono le stesse considerazioni appena fatte per la corrente di avviamento. C4vv(n) _ I4vv(n) _ _ _l__

Cn

-

In

- 1-

'le(n)

(17.341}

Per limitare la commte e la coppia di avviamento si deve alimentare con tensione V ridotta rispetto a quella nominale oppure si deve aumentare la resistenza della maglia d'indotto aggiungendo un reostato esterno con resistenza addizionale 14.d.d di valore praticamente uguale (di poco inferiore) alla resistenza nominale della maochina R,. f:, se si vuole limitare la corrente e la coppia di avviamento a circa il loro valore nominale:

=

(17.342) e la potenza da dissipare è circa pari alla potenza nominale della macchina. La velocità di funzwnamento a IIUÒto (in assenza di coppia resistente) di un motore a corrente continua con eccitazione indipendente si ottiene osservando che è nulla la corrente I assorbita. Pertanto la tensione indotta a vuoto meccanico V;0 Kil>'10 è uguale alla tensione V applicata. Con ciò si ha che la velocitd di funzwnamento a vuoto risulta:

=

V

n.= Kil>

(17.343}

ed è proporzionale alla tensione V di alimentazione ed inversamente proporzionale al flusso il> di eccitazione. A carico, ossia con coppia frenante non nulla, la velocità di funzionamento del motore è data dal punto di intersezione fra la caratterisitca motrice e quella resistente (Fig.17.66). La velocità di funzionamento a carico può essere variata variando la tensione V applicata al motore, oppure la corrente di eccitazione Iec,; e il corrispondente flusso il>. Si noti però che, riducendo il flusso il>, aumenta la velocità a vuoto n., ma diminuisce la coppia di avviamento (C4 , , Kil>f.} e pertanto l'effetto della variazione del flusso sulla velocità a carico non è univooo. La fase di avviamento del motore è governata dall'equazione di equilibrio delle coppie elettromagnetica (motrice), meccanica esterna (resistente) e d'inerzia:

=

17.7 MACCHINA A CORRENTE CONTINUA

599

(17.344) dove J è il momento d'inerzia della parte rotante e J~ è la coppia d'inerzia. F.aprimendo la coppia elettromagnetica e quella esterna in funzione della velocità angolare C.(fl), Cm(fl), si può risolvere l'equazione differenziale e esprimere la velocità angolare in funzione del tempo. Se, per semplicità, si assume costante o nulla la coppia frenante, essendo Cm k 1 - ~fl, si ha:

c. -

d!l d!l Jai ~ J dt

fl(t)

+ k2fl = k1

~

fl.x,(1- e-f)

=t

=

(17.345)

= i;

dove fl 00 è la velocità di regime, T è la costante di tempo meccanica (Fig.17.67). Dopo un tempo pari a circa 5r la parte rotante avrà raggiunto la velocità di regime ed avrà accumulato una eneryia cinetica pari a:

(17.346) che restituisce in fase di rallentamento (Fig.17.67).

n

c.

C-=cost

c. n

•

Figura 17.67. Caratteristica meccanica del moi.ore a corrente continua con eccitazione indipendente e transitorio di avviamento a coppia resistente ooetante.

600

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

17.7.2 Motore a corrente continua con eccitazione in serie Se l'avvolgimento di eccitnzione viene posto in serie all'avvolgimento d'indotto, la corrente di eccitazione coincide con la corrente di armatura Ieee = I (Fig.17.68).

Figura 17.68. Rappresentazione schematica del motore in corrente continua con eccitazione in serie.

Per determinare l'andamento della corrente assorbita e della coppin elettromagnetica in funzione della velocità angolare, è necessario osservare che il flusso di eccitazione cl> è ora funzione non lineare della corrente di indotto I (Fig.17.69). Le espressioni della tensione indottn V; e della coppia elettromagnetica Ce sono quelle solite:

V;

= I< cl> !1;

Ce

=K

cl> I

(17.347)

alle quali si aggiungono i seguenti vincoli:

I= Ieee; cl>= cl>(l)

(17.348)

La caratteristica di magnetizzazione (Fig.17.69) si può, per semplicità di analisi, suddividere in due tratti rettilinei: 1. uno a ftu.sso proporzionale con la corrente cl> cx J; per flussi e correnti compresi fra ·zero e quelli associati ad un punto che diciamo di

saturazione cl>s(ls); 2. ed uno a ftu.sso costante cl> = cl> s, per correnti maggiori della corrente di saturazione I> ls. Con questa soelta, l'equazione di equilibrio delle tenaioni nella maglia d'indotto e di eccitazione risulta:

17.7 MACCHINA A CORRENTE CONTINUA

601

(1) della macchin• a corrente continua con eccitazione in serie e sua approssimazione con due tratti rettilinei raccordati nel punto di saturazione.

V= (R; + R.oc)I + K4>0 ~

(17.349)

(R; + R.oc)I + K'm ~ V (R; + R.oc) + K' n per I< ls

V

lei>

(R; + R.oc)I +K4>Q ~

V

Ic2)

(17.350)

V-K4>0 (17.351) per I> ls R; + R.cc Is), la corrente si riduce iperbolicamente al

Alle basse correnti (I < crescere della velocità n, mentre decresce linearmente per correnti elevate (I > Is), fra la corrente di avviamento J4 .,., e la corrente di saturazione ls vR,~~~• (Fig.17.70a). Conseguentemente, le equazioni di coppia forniscono:

= R,:R. ..

=

2

C,(t)

per I

C,(2) per I

K4>I = K'I 2 = K' (

V (R; + R,cc)

< ls Kil>I ;= K'I 2

> ls

+ K' n

)

(17.352)

= Kil> V -

K4>f!

R; + R.oc

(17.353)

602

17. CONVERSIONE ELETfROMECCANICA I

l

e a)

n,

n

e n,

n

e)

c. . I, b)

Figura 17.70. Caratteristica di corrente e di coppia in funzione della velocità angolare nel motore a oorrente continua con eccitazione in serie.

A basse correnti (I < ls) , la coppia è proporzionale al quadrato della corrente I e pertanto si riduce, al crescere della velocità !1, secondo una iperbole quadratica, mentre decresce linearmente per correnti elevate (I > 1s), fra la corrente di avviamento I• .,. e la corrente di saturazione 15 vR,~~~• (Fig.17.70b). E ' evidente che a vuoto, ossia per coppia frenante nulla, la velocità del motore serie tende all'infinito, ossia il motore va in fuga. Questo tipo di motore deve pertanto funzionare necessariamente a carico. Nel tratto iperbolico della caratteristica meccanica, la potenza meccaniéa è pressocché costante (P'" Cl1 ~oost). Essendo le perdite solo qualche percento della potenza &'lSOrbita, se si trascurano del tutto, si può assumere la potenza elettrica assorbita pure praticamente costante al variare della velocità. Ne consegue che il motore, se è alimentato a tensione V costante assorbe una corrente praticamente costante al variare della velocità angolare nel tratto iperbolico della caratteristica. Questa peculiarità del motore serie è particolarmente apprezzata quando una rete di alimentazione alimenta in parallelo un certo numero di motori di questo tipo funzionanti a carico variabile, com'è il caso di una rete di alimentazione per trazione elettrica. La regolazione della velocità del motore tipo serie può essere effettuata variando la tensione di alimentatione V . Ciò può essere fatto interponendo

= R,:n...

=

=

17.7 MACCHINA A CORRENTE CONTINUA

603

un chopper fra la sorgente di tensione oostante (batteria di accumulatori o uscita di un raddrizzatore) e il motore (Fig.17.71). Il chopper è essenzialmente un convertitore corrente-continua/corrente continua (c.c.-c.c.). Esso è realizzato mediante un interruttore elettronico allo stato solido (un transistore di potenza o un tiristore) che consente di aprire il circuito e chiuderlo con una frequenza di parecchie centinaia di Hz con possibilità di variare il rapporto fra il tempo di chiusura t!..tc e la durata del periodo T da cui dipende il valor medio V,.. della tensione applicata al motore: (17.354)

/nltrrut. di commutaz.

+

r~nsione continua

Figura 17.71. Circuito semplificato di un sistema di controllo della velociU. a chopper di un motore a corrente continua con eccitazione in serie.

Quando l'interruttore elettronico è chiuso, la corrente cresce nel motore, mentre quando l'interruttore elettronico di apre la corrente nel motore decresoe, seguendo il transitorio di un circuito RL con in serie una sorgente di tensione pilotata V; = K 4>{1, che rappresenta la tensione indotta nel motore (detta anche f.e.m. d'annatura) alimentato da una socgente di tensione V0 oostante (Fig.17.72). In parallelo al motore vi è un diodo che consente alla corrente di continuare a circolare durante il transitorio che segue all'apertura dell'interruttore elettronico ( diodo di ricircolo).

17.7.3 Dinamo con eccitazione indipendente Il generatore a corrente continua con eccitazione indipendente riceve lavoro meccanico da un motore primo ·che impone una velocità di rotazione

604

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

T

T Figura 17.72. Fonne d'onda della tensione e della corrente nel motore alimentato mediante un chopper.

costante e fornisce una coppia motrice uguale ed opposta alla coppia elettromagnetica (frenante) dovuta alla corrente I erogata dal generatore avente tensione V ai terminali esterni (Fig.l 7.73a). Come per una qualunque macchina in corrente continua si ha:

V.

K•M1

(17.355)

c.

Kèl>I

(l 7.35!ì)

L'equazione di equilibrio della maglia di armatura risulta:

V=V.-R;I

(17.357)

che esprime il legame lineare fra la tensione V ai terminali e la corrente I erogata dal generatore a velocità angolare fl costante (Fig.17.73b). · La c.d.t. fra vuoto e carico nominale risulta di qualche percento:

(17.358) oesia numericamente uguale al complemento a uno del rendimento elettrico. A vuoto, cioè con corrente nulla erogata, la tensione generata è proporzionale alla velocità angolare fl. Questo suggerisce l'uso di questa macchina

17.7 MACCHINA A CORRENTE CONTINUA

lcc

605

I - -~

[j e

V.cc

V

a)

V 'Vi

fecc=cost

b)

I

Figura 17.73. Dinamo con eccitanzionc indipendente; a) modello circuitale; b) caratteristica esterna V(/).

come dinamo tachimetrica, ossia come strumento di misura della velocitA di rotazione 11 attraverso la misura della tensione a vuoto ai terminali d'armatura: 11 cx

17. 7.4

Vi

(17.359)

Dinamo con eccitazione derivata

Nel generatore a corrente continua con eccitazione derivata il circuito di eccitazione è collegato in parallelo ai terminali esterni di armatura e quindi è alimentato con la medesima tensione V esterna (Fig.17. 74). La corrente generata lg (corrente d'indotto) è uguale alla somma della corrente di eccitazione Ieee e della corrente I assorbita dal carico: (17.360) Si deve osservare che facendo passare una corrente nell'avvolgimento di eccitazione di una macchina in corrente continua con eccitazione indipendente funzionante a vuoto (e poi riducendola a zero, il circuito magnetico conserva, dopo l'annullamento della corrente, un flusso magnetico residuo 4>, che è dell'ordine di qualche percento del flusso nominale (Fig.17.75) .

606

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

Figura 17. 74. lùppresentazione schematica della dinamo con eccitazione derivata.

Ne consegue che il tratto della caratteristica di magnetizzazione a corrente crescente è sempre sottostante quello a corrente decrescente.

f2=cost

[,cc•

f ecc

Figura 17.75. Caratteristi~ di m~etizzazione a corrente di eccitazione crescente e decrescente di una maochina in corrente continua con eocitazione indipendente nel funzionamento a vuoto e visualizzazione della tensione residua.

Quando una dinamo con eccitazione indipendente, che ha subito una procedente eccitazione, viene posta in rotazione alla velocità nominale, il flusso residuo , induce una tensione nell'avvolgimento di armatura pari a l';(,)

=K ,

n

(17.361)

che è dell'ordine di qualche percento della tensione nominale Vn .

17.7 MACCHINA A CORRENTE CONTINUA

007

1=0

Figura 17.76. Rappresentazione della dinamo con eccitazione derivata oon tensione residua in ASSertza di eccitazione ..

Si ponga ora in rotazione alla velocità n una dinamo con eccitazione derivai.a, funzionante a vuoto (I = O) e diseccitata (Ieee = O), che abbia un interrutore SW aperto nella maglia comprendente sia l'avvolgimento di armatura sia quello di eccitazione {Fig.17.76). Il voltmetro in parallelo ai terminali di armatura misura la tensione residua V;c,J K 4>, !l mentre l'amperometro in serie al circuito di eccitazione misura una corrente Ieee = O, essendo l'interruttore SW aperto. Nell'istante immediatamente successivo alla chiusura dell'interruttore SW, la maglia è alimentata dalla tensione residua V;(,) e presenta una resistenza totale pari a R.; + R.:ee oltre che una induttanza equivalente della serie dell'avvolgimento di armatura e di eccitazione L . Per l'equilibrio delle tensioni nella maglia si ha:

=

(17.362) La corrente è nulla nell'istante iniziale dopo la chiusura dell'interruttore, mentre la sua derivata è positiva:

diecc dt

I t=O+

o+) =O

V.c,,(t = o+) L

>0

{17.363)

e pertanto la corrente di maglia, che è anche corrente di eccitazione inizia a crescere. Un incremento t.iecc della corrente corrisponde ad un incremento dello stesso segno del flusso t.4> che si aggiunge a quello preesistente e fa aumentare la tensione indotta V;{iecc) = K!l 4>( ieee), la quale cresce con la corrente di eccitazione iecc allo stesso modo del flusso 4>, secondo la curva non lineare saturabile con concavità ;,cl'so il basso. All'aumentare della corrente di eccitazione iecc, cresce linearmente la c.d.t. (R.; + R,,,,,,)iece e, pertanto, decresce, al crescere di Ìeee, la c.d.t. induttiva:

608

17. CONVERSIONE ELETIROMECCANICA

Figura 17.77. Autoeccitazione di una dinamo in derivazione nel funzionamento a vuoto.

. L di~cc

= V;{iecc) -

{R.; + 14cc) Ìeec

Con essa decresce la derivata della corrente regime pari a: I

{17.364)

o/,, che raggiunge il valore di

- V;{Iea:) ecc - R.; + 14cc

{17.365)

che corrisponde al punto di intersezione della retta {R.; + 14cc) Ìecc con la curva V;{iecc) {Fig.17.77). Il fenomeno appena descritto, che determina un aumento della tensione ai terminali esterni della dinamo derivata, prende il nome di transitorio di autoeccitazione. Il punto di funzionamento a regime dipende largamente dal valore della resistenza del circuito di eccitazione 14cc, che è di regola molto maggiore della resistenza d'indotto R.;, e che può essere variata mediante un reostato esterno. Si noti che se la pendenza della retta (14cc + R.;)iecc è poco diversa da quella del tratto lineare della curva saturabile V; (iecc), l'intersezione fra la retta e la curva può variare apprezzabilmente per piccole variazioni di resistenza Recc, dovute ad esempio a variazioni di temperatura, con conseguenti forti variazioni della tensione ai terminali esterni. Nel funzionamento a carico, si ha:

16 =I+ le«

(17.366)

ma se si considera che la corrente di eccitazione nominale i, oesia quella associata alla tensione nominale Vn è dell'ordine dell'1% della corrente

17.7 MACCHINA A CORRENTE CONTINUA

609

nominale In, si può ritenere, con buona approssimazione, la corrente di armatura 19 praticamente uguale alla corrente di carico I: (17.367) Partendo dal funzionamento a vuoto/= O (vedi Fig.17.78), con tensione V0 ai terminali esterni, con una certa resistenza Re di si ha una ai terminali tensione V ed una corrente I = X... Per tracciare la caratteristica esterna V(1}, si deve fissare un valore della corrente di eccitazione iecc• Ad essa corrisponde una tensione V = Rccciec,:; sulla retta della caratteristica di eccitazione, che è anche la tensione V del carico, ed una tensione indotta V; sulla curva V;(iec,:;) , nel secondo quadran• te della Fig.17.78. La differenza fra la tensione indotta V; e la tensione V ai terminali esterni è la c.d.t. LI.V sulla resistenza di armatura R.; :

carico

LI.V= V;-V

= R;I

(17.368)

dalla quale si ottiene la corrente I corrispondente ad una certa tensione

V: LI.V I=. R;

(17.369)

Per ogni valore della corrente di eccitazione iecc, si ottiene quindi la tensione V ai terminali esterni e la corrente di carico I corrispondente. Partendo dal funzionamento a vuoto, la tensione V diminuisce monotonamente mentre la corrente / dapprima aumenta, fino ad un valore massimo Im.,. = 6 ~ .. , in corrispondenza della massima distanza verticale fra la curva V;(iecc) e la retta V = R,,xiecc, e poi decresce fino alla corrente di

=~lv..o'

corto-circuito I .. associata ad una tensione nulla ai terminali. Si noti che la corrente di corto-circuito è relativamente piccola rispetto alla corrente nominale e questa è una vantaggiosa peculiarità della dinamo con eccitazione derivata, che può funzionare in corto-circuito senza alcun danno. Per contro, la dinamo con eccitazione presenta una notevole variazione della tensione V ai terminali al variare della corrente di carico. Si deve inoltre osservare che quando la pendenza della retta di carico V = Rei si riduce al disotto del valore critico associato al punto di massima corrente (R.:(crit) =tagete,;,), si hanno elevate variazioni di tensione V ai terminali con modeste variazioni della resistenza di carico.

610

17. CONVERSIONE ELETTROMECCANICA

Figura 17.78. Costruzione della caratteristica esterna di una dinamo con eccitazione derivata.

18 APPENDICI

18.1 PROPRIETA' ELETTRICHE DEI MATERIALI 18.1.1 Resistività., conducibilità. e coefficiente di temperatura Resist ività p (!lm], conducibilità ratura a (0 c - 1J a 20°C. Materiale Argento Rame Alluminio Zinco Ottone Ferro puro Ferro al silicio(l + 5%Si) Oro Acciaio 'I\mg;steno Nickel Manganina Costantana Piombo 'Torreni

elettrica a (S/ml e coefficiente di tempep[µnmJ a(MS/ml 0.0162 61.7 58.0 0.0172 0.0062 38.2 16.7 0.0599 0.0667 15.0 0.0971 10.3 0.27+0.67 (1.49 + 3.70) 0.0244 41.0 0.10+0.25 4+10 18.2 0.0549 14.5 0.0690 0.42+0.45 2.22+2.38 0.49+0.51 1.96+ 2.04 0.21 + 0.22 -'4.55 + 4.76 1D8 + 1010 10- 10 + 10- 8

q(10-3•c- 11 4.0 3.9 4.0 3.7 (1 +2) 6.0 4.5 (3.4 + 3.8) 4.5+5 4.2 6.0 (2 + 50) X 10- 3 20 X 10- 3 3.9+4.0

612

18. APPENDICI

18.1.2 Costante dielettrica relativa t: n Aria Ossido di alluminio Bakelit.c Titanato di bario Germanio Vetro Ghiaccio Mica Neoprene Nylon Carta secca Carta impregnata di olio Plexiglas Polietilene Porcellana Vetro pirex Quarzo fuso Gomma Silicio Teflon Acqua distillata

1.0006 25 4.74 1200 16 4+7 4.2 5.4 6.6 3.5 3 3.9 3.45 2.26 6

4

Legno

3.8 2.5+3 11.8 2.1 80 1.5+7

Cellulosa Isolanti in carta e olio O !io per trasformatori

3+7 3+4.5 2.2+2.5

18.1.3 Permeabilità relativa µn Alluminio Nickel Ghisa Cobalto Ferrite (tipico) Permalloy 45 Lamiera di ferro per nuclei Numetal Supermalloy

18.1.4

1.000 50 60 60 1 000 2 500 3 000.;..4 000 20 000 100 000

Densità di massa 'Y (kg/m3) a 2(]'C

Rame crudo Alluminio crudo Ferro al silicio

8 890

2 703 7 650

18.1 PROPRIETA' ELETTRICHE DEI MATERIALI

613

2 ..-------,------,-----,----, B(T)

'

'

~-i-+- ~----------++···~· - ··-1-·· • --+- ---- 1.5 ------k ~_... ! : : ·f'

'

:

:

-!-

·· ····----··r··-----------1···----------1·····-------' ' '

'

'

------------:-------------j-------------:-------------

0.5

O-;-: _ ____.__ _ _..,__ _~l...._H_(N_m_)__,

O

2000

4000

6000

8000

Figura 18.1. Caratteristica di mAgnctizzazione di una lamiera di ferro legata al

silicio (Si%=3%) di spessore 0.5 mm, con SCAie lineari.

18.1. 5

Caratteristica di magnetizzazione e di perdita totale di una tipica lamiera magnetica

Caratteristica di magnetizzazione con scale lineari e semilogaritmiche di una tipica lamiera ferromagnetica legata al silicio (Si%=3%) di spessore 0.5 mm, adatta per nuclei di macchine rotanti di grande potenza (Fig.18.1 e 18.2) e caratteristica di perdita (Fig18.3) . B (T) O 0.3 0.4 0.5 0 .6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 H (A/m) O 30 36 43 49 56 66 75 88 110 150 B (T) 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 H (A/m) 290 1 250 1 750 5 000 8 000 12 000 20000

B (T)

2.0

H (A/m)

35 000

614

18. APPENDICI

B[TI

I

1.5

I

I

t

I

0 1 01

I

I

t

t

I

11111

I

I

I

O ti

t-l ll l!Ll_ ___ t_LlLUJl __JJJhJl : : : :::::: :J..-Hft!:: : : ::::::

___ J__

l llllHYJll!!:Hl l l!!!t

---rn~:r--: -n::rm- -T;-r!iii 0.5

---1--n1111~----1-1-1-r1t~1---1--1-11111: I

I

I

t

t

Ot •O

I

I

I

lii"

I

Q ~-J'-•'~• J•~•u'u'.'•'-~•-~.•J•~•~•J•••••-~•r::-c:'-rrirl'H::'',:-"\+''

101 Figura 18.2. Carati.eristica di magnetizzazione di una lamiera di ferro legata al silicio (Si%=3%) di spessore O.S mm, con scale semilogaritmiche.

4

.

.

.

,

Psp[W/kg) :

:

:

/

.

. f

3·5 ·············1···············t····· ·········1·· /-········ 3

.•

L... . . . . t.......... Y..... . ...

2.5 ...•...•.....

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