Les prérequis pour réussir - Licence de sciences 9782100811090

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Sous la direction de Thibaud Etienne

Licence de Sciences Maths pour les sciences • Physique • Chimie Géosciences • Sciences de la vie

© Dunod, 2020 11, rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-081109-0

Partie

Table des matières 1

CHAPITRE

1

2

CHAPITRE

3

CHAPITRE

4

Partie



VII

Préambule



X

Remerciements



1

Méthodologie scientifique

CHAPITRE

2

Les selfies des auteurs

Introduction à l’analyse dimensionnelle



4



4



7



8



9



10

1   Lecture attentive de l’énoncé 2   Résolution du problème 3   Répondre à la question posée 4   Mise en situation



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10



11



12

LA Démarche scientifique



15

1   La méthode scientifique 2   Le sens de l’esprit critique



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Savoir communiquer



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33



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35

1   Grandeurs physiques, dimensions et unités 2   Les préfixes d’unités et les ordres de grandeur 3   Homogénéité des expressions en sciences 4   Quelques constantes

La résolution d’un exercice

1   Rigueur du langage, précision du vocabulaire 2   Expression rigoureuse d’une grandeur numérique 3   Les schémas, les graphes, les tableaux

Mathématiques pour les sciences CHAPITRE

5

Éléments d’algèbre

1   Les nombres 2   Les symboles 3   Vers un langage formel 4   Intervalles et ensembles 5   Les opérations 6   Racine carrée et puissance d’un nombre 7   Les produits remarquables 8   Les (in)équations

III

CHAPITRE

6

CHAPITRE

Partie

7

3

CHAPITRE

8 9

CHAPITRE

Partie

10

IV

1   Les angles géométriques 2   Propriétés de formes géométriques élémentaires 3   Introduction au calcul vectoriel 4   Orientation du plan, cercle trigonométrique et angles orientés 5   Retour au calcul vectoriel : le produit scalaire

Analyse

1   Les suites numériques 2   Variations et convergence d’une suite 3   Fonction réelle d’une variable réelle 4   Calcul différentiel 5   Calcul intégral 6   Fonctions usuelles



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100



111

Physique

CHAPITRE

4

Géométrie et calcul vectoriel

La mécanique du point matériel

1   La cinématique du point 2   La dynamique du point matériel 3   Puissance, travail et énergie en référentiel galiléen

les ondes

1   Les ondes mécaniques 2   Les ondes électromagnétiques 3   Les ondes progressives 4   Les ondes progressives sinusoïdales

L’optique Géométrique

1   De l’optique ondulatoire à l’optique géométrique 2   Propagation de la lumière 3   Instruments d’optique 4   Les lentilles minces 5   Application des lentilles minces

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140



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149

Chimie CHAPITRE

11

L’alphabet du chimiste

1   Qu’est-ce qu’un élément chimique ? 2   Classer pour prévoir 3   De quoi est fait un atome ? 4   Prévoir les propriétés des éléments

 154 

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165

CHAPITRE

12

CHAPITRE

13

CHAPITRE

Partie

14

5

CHAPITRE

15 16

CHAPITRE

17

Partie

1   Les différents types de liaisons chimique 2   Écrire des formules chimiques 3   Nommer les composés

Les transformations de la matière 1   Modélisation par une équation chimique 2   Quelques grandes catégories de transformations

Les aspects quantitatifs

1   Quelques grandeurs importantes en chimie et leurs unités 2   Calculs basés sur la réaction chimique 3   Application au cas d’un titrage

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 181 

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 189 

189



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201

Géosciences

CHAPITRE

6

Les Composés chimiques

Présentation générale et spécificités 1   Une science de l’observation 2   Durée et dimension des processus 3   Attention au vocabulaire

Outils mathématiques, PHYSIQUES ET CHIMIQUES 1   Outils mathématiques pour les géosciences 2   La géophysique 3   La géochimie

Dynamique de la planète Terre 1   La planète Terre 2   La dynamique du globe

 206 

207



209



213

 215 

215



219



223

 231 

231



242

Sciences de la vie CHAPITRE

18

CHAPITRE

19

Anatomie humaine

1   Présentation générale 2   Quelques définitions et ordres de grandeur 3   Les systèmes du corps humain 4   Un système particulier : le système immunitaire

Organisation générale de la cellule

1   Organisation des cellules procaryotes 2   Organisation des cellules eucaryotes 3   Les caractères distinctifs entre cellules procaryote et eucaryote

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264

V

CHAPITRE

20

CHAPITRE

21

CHAPITRE

22

CHAPITRE

23

CHAPITRE

24

VI

L’information génétique et son expression 1   Acides nucléiques : ADN et ARN 2   Les protéines

Les différents processus de division cellulaire 1   La mitose 2   La méiose

La diversité du vivant

1   La diversité génétique intra-spécifique 2   Facteurs et mécanismes influençant la biodiversité 3   Diversité du vivant et évolution de la biodiversité

Grandeurs et conversions utilisées en biologie 1   Focus sur le dalton 2   Préparation d’une solution

Résoudre une problématique en biologie 1   Tracé d’un graphe 2   Analyse de documents issus d’expériences en biologie

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 288 

288



289

Index



293

Crédits iconographiques



299

Les selfies des auteurs Thibaud Etienne

Jean-Luc Aymeric

Je suis maître de conférences en chimie théorique à l’université de Montpellier, où j’enseigne principalement le calcul en première année de Licence, la mécanique et la chimie quantiques en Licence et en Master. Mes recherches portent sur la construction et l’utilisation de modèles mathématiques permettant de décrire et prédire ce qui se produit lorsque des molécules interagissent avec la lumière.

Titulaire d’un doctorat de microbiologie de l’université d’Aix-­ Marseille I, je suis enseignant-chercheur à l’université de Montpellier. J’enseigne la microbiologie et l’immunologie, notamment sur les thématiques d’interactions hôtes-microorganismes. Depuis plus de dix ans, je suis responsable de la Licence des Sciences de la Vie et j’ai également assuré la responsabilité d’un Master de Biotechnologie, puis d’un Master de microbiologie. J’interviens également dans les préparations aux différents concours de l’enseignement (agrégation, CAPES et CAPET). Au sein de l’UMR, je m’intéresse à l’échappement immunitaire des bactéries entéropathogènes qui vivent en symbiose avec des nématodes.

Rodolphe Cattin

Je suis professeur à l’université de Montpellier, où j’enseigne en Licence et en Master la géodynamique, la géophysique et les risques naturels. Mes recherches portent sur la dynamique actuelle des chaînes de montagnes, notamment sur le rôle des phénomènes extrêmes comme les séismes et les crues éclair en Himalaya. J’ai commencé ma carrière à l’École Normale Supérieure de Paris, où j’ai pendant plusieurs années assumé la responsabilité de directeur des études du magistère interuniversitaire des sciences de la Terre. Depuis dix ans, j’anime en première année de Licence des cours interactifs permettant de faire découvrir aux étudiants les grands enjeux sociétaux que doivent relever les géosciences. L’idée est de faciliter la transition lycée-université en étant en prise directe avec les recherches actuellement menées pour comprendre le dérèglement climatique, répondre aux besoins énergétiques et minéraux, mieux gérer les ressources en eau et favoriser un aménagement réfléchi du territoire prenant en compte les risques naturels.

Anne-Laure Dalverny

Je suis professeure agrégée à l’université de Montpellier et docteure en chimie théorique. Formée à l’École Normale Supérieure de Cachan, j’enseigne aujourd’hui la chimie en Licence et en Master à la Faculté des Sciences de Montpellier. Responsable du Master MEEF Physique-chimie, je prépare les étudiants aux concours de l’enseignement. Depuis plusieurs années, je suis également impliquée dans des enseignements de remédiation à destination des étudiants en première année de Licence.

VII

VIII

Jérôme Dorignac

Je suis enseignant-chercheur en physique théorique dans l’équipe « Systèmes Complexes et Physique Non linéaire » du laboratoire Charles Coulomb de l’université de Montpellier. Je travaille sur des thèmes de recherche assez variés comme les excitations non linéaires classiques et quantiques, la dynamique des nano-leviers ou encore des problèmes à l’interface entre physique et biologie. Depuis un peu plus de dix ans, je consacre une part importante de mes activités à l’enseignement de la physique et du calcul en Licence 1. J’ai notamment créé et mis en place une UE de calcul destinée aux étudiants de première année de l’université de Montpellier. J’interviens également comme responsable de la physique dans le « parcours d’adaptation » qui propose une remise à flot scientifique en Licence 1 et je participe régulièrement à des dispositifs de soutien ou de transition lycée-université. Enfin, je m’intéresse aussi beaucoup à la psychophysique de la couleur que j’enseigne en Licences 2 et 3.

Laila Gannoun

Je suis maître de conférences à l’université de Montpellier, docteure en biochimie et habilitée à diriger les recherches en biochimie/biologie moléculaire. Diplômée de l’université Paris 7 (Paris Diderot), j’ai effectué ma thèse de doctorat en sciences biologiques et biochimiques à l’université Paris-Est Créteil. Au sein de la faculté des sciences de Montpellier, j’enseigne essentiellement la biochimie en Licence, et j’interviens aussi en biologie moléculaire et en microbiologie en Master. Je suis également responsable de la licence Sciences de la Vie à l’université de Montpellier. J’effectue mes travaux de recherche au sein du laboratoire CNRS-UMR 5235, dans lequel je suis responsable d’un axe de recherche sur l’étude des interactions hôtes-bactéries pathogènes et sur la recherche de nouvelles stratégies anti-infectieuses.

Frédéric Lemoigno

Après une thèse en chimie théorique à l’Institut des Matériaux Jean Rouxel de Nantes, je suis devenu maître de conférences à l’université de Montpellier. J’y enseigne la chimie physique et la chimie théorique. Je suis également responsable de la remédiation à la faculté des sciences depuis plusieurs années où j’enseigne la chimie aux étudiants « oui, si » engagés dans le parcours adapté.

Fleurice Parat

Je suis enseignante-chercheuse en Pétrologie-Géochimie à l’université de Montpellier. Mes recherches portent sur la genèse des magmas et plus spécifiquement sur le rôle des fluides profonds. Mes principaux chantiers d’étude sont le rift Est-Africain, le Hoggar algérien, le Haut Atlas marocain et l’Islande. Responsable de l’équipe « Manteau et Interfaces » à Géosciences Montpellier, j’anime les recherches sur les interactions magmas-roches et fluides-roches en couplant pétrophysique et pétro-géochimie. J’enseigne la pétrologie magmatique, la minéralogie, la géochimie et les ressources minérales en Licence et en Master « Sciences de la Terre et de l’Environnement » et « Biologie-Ecologie ». Coresponsable de la préparation à l’Agrégation SV-STU, je prépare également les étudiants aux concours de l’enseignement.

Nicolas Saby

Après avoir soutenu ma thèse en mathématiques à l’université Joseph Fourier de Grenoble, je suis devenu maître de conférences à la faculté des sciences de Montpellier où j’ai pris la direction du département de mathématiques de 2003 à 2006. Actuellement directeur du département d’enseignement scientifique et de recherche sur l’enseignement (DESciRE) de Montpellier et ancien directeur de l’IREM (institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques) à Montpellier également, la pédagogie des mathématiques est une question centrale dans mon activité professionnelle.

Coralie Weigel

Je suis enseignante-chercheuse en physique à la Faculté des Sciences de l’université de Montpellier. J’ai obtenu mon doctorat en sciences des matériaux à Sorbonne Université (Paris). Mes recherches portent sur la physique des verres, en particulier les propriétés mécaniques et structurales des verres d’oxydes. Je suis fortement impliquée dans les enseignements de L1 depuis plus de 10 ans. J’ai eu l’occasion d’enseigner la mécanique du point, l’optique géométrique, la thermodynamique ainsi que l’électrostatique en première année de licence.

IX

Préambule Chaque rentrée universitaire est l’occasion pour nous de constater à quel point il existe une différence significative entre les acquis du lycée et les prérequis universitaires, c’est-à-dire entre ce qui a été effectivement intégré au lycée et les bases réellement « attendues » avant la toute première heure de cours à l’université. Nous avons tenu à présenter dans cet ouvrage, dans un format aussi synthétique que possible, un contenu dont la maîtrise, nécessaire mais pas suffisante à la réussite de la première année, est considérée comme un exigible pour les nouveaux entrants qui abordent des études scientifiques universitaires. Par souci de concision et de pragmatisme, nous nous sommes strictement focalisés sur les connaissances et compétences fondamentales, primitives, et qui donnent les clés nécessaires à l’abord d’autres matières. Ainsi, ne sont pas mentionnés les outils acquis au lycée et pouvant être déduits des prérequis élémentaires repris ici. Nous avons délibérément fait le choix de ne conserver que les prérequis strictement essentiels, et donc indispensables à la réussite. Dans un contexte où les « attendus » prennent une place importante dans l’accès aux études supérieures, nous avons tenu à fournir une référence relative à ce qui était réellement « attendu » d’un étudiant entrant en première année de licence en sciences naturelles (physique, chimie, géosciences et sciences de la vie) et ce, au-delà d’un savoir purement disciplinaire. Cette première année constitue une véritable charnière entre les enseignements reçus au lycée et ceux qui suivront à l’université : une grande partie de ce qui est vu au lycée est revue en Licence 1, mais avec une teinte plus formelle et conceptuelle, à laquelle beaucoup d’étudiants ne sont pas préparés. Nous insistons dans cet ouvrage sur l’importance (et l’éventuelle difficulté) du passage d’une approche à l’autre. Nous avons également voulu offrir une formulation des concepts connus qui permette de rafraîchir des connaissances tout en les revisitant dans une approche plus proche de celle à laquelle les étudiants seront confrontés pendant leurs études supérieures. Ce livre n’est donc pas un manuel scolaire pour la fin de lycée, ni un manuel de cours pour la Licence 1, mais bien un ouvrage-outil destiné à accompagner les bacheliers entamant des études en sciences naturelles, durant cette étape de transition lycéeuniversité. Ils y trouveront également, en plus des parties dédiées explicitement aux disciplines fondamentales que sont la physique, la chimie, les sciences de la vie et les géosciences, une introduction à la méthodologie scientifique et des rappels de mathématiques pour les sciences.

X

Remerciements L’ensemble des chapitres de ce manuel a fait l’objet d’une relecture attentive. Les auteurs souhaitent remercier vivement les personnes suivantes : Pour la partie Mathématiques pour les sciences : – Sophie Beaud, professeur au lycée Gosse à Clermont l’Hérault ; – Dominique Moinet, professeur au lycée Joffre à Montpellier ; – Pascale Sénéchaud, maître de conférences à l’université de Limoges. Pour la partie Physique : – Michel Goetz, professeur à l’École de l’Air à Salon de Provence ; – Carole Gaulard, maître de conférences au Laboratoire de physique des 2 infinis Irène Joliot-Curie. Pour la partie Chimie : – Pierre Méjean, professeur au lycée Frederic Bazille à Montpellier, intervenant en APESS (ancienne année L0 à l’université de Montpellier) ; – Nathalie Perol, maître de conférences à l’université de Lyon 1. Pour la partie Géosciences : – Christophe Barreau, professeur au lycée Joffre à Montpellier ; – Laurent Jolivet, professeur à Sorbonne Université. Pour la partie Sciences de la Vie : – Sophie Bleves, professeur à Aix-Marseille Université ; – Martine Boccara, professeur à Sorbonne Université.

1

Partie

1 A

près avoir détaillé les notions de grandeur, dimension, unités, ordre de grandeur, etc., nous allons introduire une méthodologie de résolution d’exercice se décomposant en plusieurs actions : la lecture attentive de l’énoncé, la résolution du problème posé, et sa formulation dans une réponse claire et exprimée avec rigueur et précision. Nous présenterons ensuite quelques concepts simples permettant d’aborder la notion de « méthodes scientifiques ». Celles-ci sont mises en œuvre dès les premières années de licence car elles permettent notamment d’apporter un cadre pour la rédaction des compte-rendus de travaux pratiques (TP) ou des rapports de stages. Nous aborderons également la notion d’esprit critique, qui est un élément essentiel de toute approche scientifique. Finalement, nous donnerons quelques conseils relatifs à la manière d’exprimer une information ou un ensemble d’informations. Nous reprendrons un rappel sur la rigueur à observer dans l’usage de certaines terminologies, avant de nous tourner vers l’expression d’un résultat : nous rappellerons comment écrire correctement un résultat numérique, et quelles sont les choses importantes à observer lorsque l’on schématise, que l’on trace un graphe, ou que l’on rapporte des données numériques dans des tableaux.

2

Méthodologie scientifique CHAPITRE

1

Introduction à l’analyse dimensionnelle



4

La résolution d’un exercice



10

La démarche scientifique

 15

CHAPITRE

2

CHAPITRE

3

CHAPITRE

4

Savoir communiquer



19

3

CHAPITRE

1

Introduction à l’analyse dimensionnelle

Ce chapitre introduit le lecteur aux notions d’analyse dimensionnelle qui permettent de comprendre et de caractériser ce que représente physiquement une grandeur. Cela s’avère particulièrement utile lorsqu’un phénomène physique fait apparaître une quantité (grandeur) dont on ne cerne pas aisément a priori la signification.

1 Grandeurs physiques, dimensions et unités La mesure d’une grandeur physique G est sa détermination quantitative par une expérience qui permet de la comparer à l’étalon de cette grandeur. C’est cet étalon qui définit l’unité de la grandeur G que l’on notera u(G ). Ainsi, si on note {G} la valeur numérique de G dans l’unité u(G ), on a G = {G} u(G ) Exemple Supposons qu’une masse soit de 1,17 kilogramme. Appelons m la grandeur « masse ». Comme nous le verrons ci-après, le symbole caractérisant l’unité de la masse dans le système international est u(m) = kg. La valeur de la masse est ici {m} = 1,17. On écrit donc simplement : m = 1,17 kg.

1.1  Les unités de base du système international (SI)

Le Système International d’unités (SI) est le système d’unités le plus employé en sciences. Il est fixé par la conférence générale des poids et mesures, qui le révise tous les quatre ans. Ce système comprend sept unités de base (ou fondamentales) qui quantifient toutes les grandeurs physiques indépendantes. Le tableau ci-dessous présente le nom des grandeurs fondamentales, leur unité, le symbole de cette unité ainsi que le symbole de leur dimension.

1.2  La dimension

La dimension d’une grandeur physique G indique, indépendamment de ses unités, de quelle puissance des grandeurs fondamentales celle-ci se compose. On la note généralement [G]. Les symboles usuels des dimensions des grandeurs fondamentales sont indiqués dans le tableau 1.1.

4

chapitre 1  •  Introduction à l’analyse dimensionnelle

Tableau 1.1  Les sept grandeurs SI fondamentales. Grandeur

Unité

Symbole d’unité

Symbole de dimension

Longueur

mètre

m

L

Masse

kilogramme

kg

M

Temps

seconde

s

T

Courant électrique

ampère

A

I

Température

kelvin

K

Θ

Quantité de matière

mole

mol

N

Intensité lumineuse visuelle

candela

cd

J

Exemple La vitesse v, définie par le rapport d’une distance et d’un temps, a la dimension [v] = L ⋅ T−1. On dit encore qu’elle est homogène à une distance divisée par un temps. Son unité SI est donc le mètre par seconde, u(v) = m ⋅ s−1.

Grandeur sans dimension Lorsqu’une grandeur physique G n’a pas de dimension, on note [G ] = 1. De la sorte, le produit G × A a manifestement la même dimension que celle de A. En effet, [G × A] = [G ] × [A] = 1 × [A] = [A]. Attention ! Le fait qu’une grandeur n’ait pas de dimension n’implique pas qu’elle n’ait pas d’unité ! En effet, un angle est défini comme le rapport de la longueur de l’arc de cercle qu’il sous-tend au rayon de ce cercle : il est donc sans dimension. Néanmoins, son unité SI est le radian. De même, sa généralisation à trois dimensions, l’angle solide, qui est un rapport de deux surfaces, est lui aussi sans dimension mais s’exprime dans une unité SI appelée stéradian.

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

1.3  Les unités dérivées du système i­ nternational Toutes les quantités (grandeurs) physiques dimensionnées ont une unité. Toutefois, seules les sept quantités citées précédemment sont fondamentales. Toute autre grandeur physique a une unité dérivée de ces dernières même si certaines quantités physiques possèdent un nom d’unité de mesure qui leur est propre. C’est, par exemple, le cas de la force dont l’unité SI est le newton (N) ou encore de la pression, qui représente une force par unité de surface et dont l’unité SI est le pascal (Pa). Ces unités proviennent généralement du nom du scientifique qui en a formalisé le concept. On peut toujours en donner une expression en terme des unités de bases en utilisant une expression les reliant aux quantités fondamentales. Exemple   La relation fondamentale de la dynamique de Newton, F = ma, permet de trouver que le newton est équivalent au produit d’une masse par une accélération, soit N = kg ⋅ m ⋅ s−2.

5

Partie 1    Méthodologie scientifique

Le tableau 1.2 fournit les unités SI et l’équivalent en unités SI fondamentales de quelques grandeurs physiques importantes. Enfin, quelques conversions d’usage, importantes en science au quotidien, sont compilées dans le tableau 1.3. Tableau 1.2  Les principales grandeurs et unités courantes. Grandeur (symbole usuel)

Unité

SI fondamental

Interprétation

Fréquence (  f  ) Force (F) Pression (P)

hertz (Hz) newton (N) pascal (Pa = N ⋅ m −2 )

s−1

m ⋅ kg ⋅ s−2 m −1 ⋅ kg ⋅ s−2

inverse de la période masse × accélération force/surface

Énergie (E) Travail (W) Chaleur (Q)

joule (J = N ⋅ m)

m 2 ⋅ kg ⋅ s−2

force × distance

Puissance (P) Charge électrique (q) Tension électrique (U) Résistance électrique (R) Champ magnétique (B) Aire (S) Volume (V)  Vitesse (v )  Accélération (a) Masse volumique (ρ ) Densité de courant ( j) Concentration (c) Concentration massique (cm)

watt (W = J ⋅ s−1 ) coulomb (C) volt (V = W ⋅ A −1 ) ohm (Ω = V ⋅ A −1 ) tesla (T = V ⋅ s ⋅ m −2 ) mètre carré mètre cube mètre par seconde mètre par seconde carrée kilogramme par mètre cube ampère par mètre carré mole par mètre cube kilogramme par mètre cube

m 2 ⋅ kg ⋅ s−3 A⋅s m 2 ⋅ kg ⋅ s−3 ⋅ A −1 m 2 ⋅ kg ⋅ s−3 ⋅ A −2 kg ⋅ s−2 ⋅ A −1 m2 m3

travail/temps courant × temps travail/charge tension/courant tension × temps/surface surface volume distance/temps vitesse/temps masse/volume courant/surface quantité de matière/volume masse/volume

m ⋅ s−1 m ⋅ s−2 kg ⋅ m −3 A ⋅ m −2 mol ⋅ m −3 kg ⋅ m −3

Tableau 1.3  Quelques conversions d’usage entre unités.

6

Grandeur

Unité

Symbole

Valeur dans SI

Temps

minute heure jour

min h j

1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 j = 24 h = 86 400 s

Angle

degrés



1 = π /180 rad

Aire

hectare

ha

1 ha = 1 hm 2 = 10 4 m 2

Volume

litre

L

1 L = 1 dm 3 = 103 cm 3 = 10 −3 m 3

Masse

tonne dalton

t Da

1 t = 103 kg 1 Da = 1,660 539 × 10 −27 kg

Énergie

électronvolt calorie

eV cal

1 eV = 1,602 176 × 10 −19 J 1 cal = 4,184 J

chapitre 1  •  Introduction à l’analyse dimensionnelle

Grandeur

Unité

Symbole

Valeur dans SI

Pression

bar millimètre de mercure atmosphère

bar mm Hg atm

1 bar = 0,1 MPa = 100 kPa = 10 5 Pa 1 mm Hg = 133,322 Pa = 1 Torr 1 atm = 101 325 Pa

Longueur

Ångström

Å

1 Å = 0,1 nm = 100 pm = 10 −10 m

1.4 Détermination de l’unité SI d’une grandeur Pour déterminer l’unité SI d’une grandeur physique, il suffit d’en connaître une expression en termes des sept grandeurs fondamentales, c’est-à-dire de connaître une loi physique qui exprime sa relation à ces grandeurs. Exemple L’intensité F de la force de rappel d’un ressort peut se mettre sous la forme F = kx où x représente l’élongation du ressort et k sa constante de raideur. L’unité SI de la constante k est déterminée par la relation u(k ) = u( F )/u( x ) soit u(k ) = N ⋅ m −1. En unités SI fonda­ mentales, on a N = kg ⋅ m ⋅ s−2 et donc, u(k ) = kg ⋅ s−2.

2 Les préfixes d’unités et les ordres de grandeur

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

Les préfixes d’unités sont des préfacteurs numériques qui permettent d’adapter l’unité d’une grandeur à l’échelle de l’objet ou du phénomène considéré. Ils représentent l’ordre de grandeur des résultats de mesure attendus lors d’expériences sur cette grandeur. Exemples Les forces qu’on exerce actuellement sur des molécules d’ADN pour les déplier sont de l’ordre du piconewton (pN = 10 −12 N). Toutes les expériences effectuées dans ce domaine utilisent donc ce préfixe pour présenter leurs résultats de mesure. En microfluidique, on s’intéresse à des volumes de fluide allant typiquement du nanolitre (nL) à l’attolitre (aL). On utilise donc plutôt ces unités, naturelles dans ce contexte, que le mètre cube. Les ­distances typiques entre deux atomes dans un cristal sont de l’ordre de quelques angströms (Å = 10 −10 m). On utilise donc fréquemment cette unité ou les nanomètres (nm) pour décrire les distances interatomiques en physique de la matière condensée. Tableau 1.4  Les principaux ordres de grandeurs utilisés en science. Facteur

Préfixe

Symbole

Facteur

Préfixe

Symbole

1018 1015 1012 109 106 103 102 101

exapétatéragigamégakilohectodéca-

E P T G M k h da

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

décicentimillimicronanopicofemtoatto-

d c m m n p f a

7

Partie 1    Méthodologie scientifique

3 Homogénéité des expressions en sciences 3.1 Homogénéité d’une somme Le simple constat qu’on « ne peut ajouter des pommes à des poires », indique que : lorsque l’expression d’une quantité physique est une somme de termes, tous ces termes doivent avoir la même dimension. Exemple Si x est une distance et v une vitesse, le résultat d = x + v n’a aucun sens : on ne peut ajouter une distance à une vitesse ! En revanche, le résultat d = x + vt, où t représente un temps a un sens, car tous les termes de l’expression représentent des distances : en effet, [x ] = L et [v][t ] = L ⋅ T−1 ⋅ T = L.

3.2 Fonctions de grandeurs physiques Soit f une fonction et f ( x) sa valeur au point x. On appelle x l’argument de la fonction f. Dimension des fonctions Les fonctions qui ne sont pas du type « puissance », c’est-à-dire telles que f ( x ) = kx a où k et a sont deux nombres sans dimension, doivent être sans dimension ainsi que leur argument. En particulier, si x n’a pas de dimension ([x ] = 1) alors exp ( x ), ln ( x ), cos ( x ) , sin ( x ) , tan ( x ) etc. sont bien définies et sont également sans dimension : [exp ( x )] = 1 ou encore [sin ( x )] = 1, par exemple.

Exemple Déterminons les dimensions des quantités A, k et w dans une onde plane de pression p = A cos (kx − ω t ) où p représente la pression dans un fluide au point x à l’instant t. À l’évidence, [x ] = L et [t ] = T. Comme le cosinus n’a pas de dimension, [ A] = [ p]. La quantité A est donc homogène à une pression. D’autre part, comme l’argument du cosinus est aussi sans dimension, [kx − ω t ] = 1. Or, dans une somme, tous les termes ont la même dimension. Donc [kx ] = 1 et [ω t ] = 1. Soit finalement, [k ] = 1/[x ] = L−1 et [ω ] = 1/[t ] = T −1.

3.3 Remarque sur les grandeurs vectorielles Les grandeurs vectorielles peuvent avoir une dimension. Dans ce cas, la dimension est la même pour toutes les composantes (coordonnées) du vecteur. Par exemple,  le vecteur position r est tel que toutes ses composantes ( x, y, z) représentent des  distances. Dans ce sens, on peut écrire [r ] = L .

3.4 Remarque sur les dérivées et les intégrales

La dimension des grandeurs physiques obtenues par dérivation ou intégration s’obtient très simplement en considérant la dérivation comme une division et 8

chapitre 1  •  Introduction à l’analyse dimensionnelle

l’intégration comme une somme de produits. En effet, par définition, la dérivation est la limite d’un quotient entre deux quantités et d’autre part, l’intégration est la limite d’une somme de produits. Si A =

df ds

∫

alors [A] = [f ] / [s] et si B = f ( x ) dx alors [B] = [f ][x ].

   dr , implique [v ] = L ⋅ T −1 . Par exemple, la définition de la vitesse, v = dt

3.5 Vérification d’une expression Il est indispensable, à la fin de tout calcul, de vérifier que le résultat obtenu est bien homogène à la quantité cherchée. Cela implique de vérifier que les dimensions de part et d’autre d’une égalité (ou d’une inégalité) sont bien les mêmes mais cela implique aussi de vérifier que la nature des expressions est bien la même. Exemple   Une relation du type F = ma où F est un vecteur force, m une masse et a une accélération est bien homogène quant à ses dimensions mais elle n’a aucun sens car le membre de gauche de l’égalité est tandis que celui de droite est un scalaire (nombre). Une relation  un vecteur  correcte est F = ma.

Enfin, comme livres, cours et articles scientifiques, sont rarement exempts de coquilles dans les formules, il est indispensable d’en faire une lecture critique et de vérifier l’homogénéité des résultats annoncés avant de les appliquer.

4 Quelques constantes © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

Nous concluons ce chapitre avec quelques constantes universelles (tableau 1.5) extrêmement courantes dans les premières années d’étude de licence scientifique, et qui nous seront également très utiles dans les prochaines parties. Tableau 1.5  Constantes fréquemment utilisées au début des études scientifiques. Quantité

Unité

Symbole

Valeur

Célérité de la lumière dans le vide

m ⋅ s−1

c

299 792 458

Nombre d’Avogadro

mol −1

A

6,022 × 10 23

J ⋅ mol −1 ⋅ K −1 ⋅ Pa ⋅ mol −1 K −1

R

8,314

Constante gravitationnelle

N ⋅ m 2 ⋅ kg−2

G

6,673 × 10 −11

Permittivité du vide

kg−1 ⋅ m −3 ⋅ A 2 ⋅ s4

ε0

8,85 × 10 −12

Constante gaz parfaits

m3

9

CHAPITRE

2

La résolution d’un exercice

1 Lecture attentive de l’énoncé La première chose à faire face à une question posée est de lire cette question jusqu’au bout, éventuellement plusieurs fois, afin d’en intégrer le sens. Une stratégie souvent efficace pour résoudre un exercice est de commencer par lister (mentalement ou par écrit) l’ensemble des informations que nous fournit l’énoncé. Il peut être utile de définir des symboles appropriés pour caractériser les grandeurs de l’énoncé si celui-ci n’en propose pas. Cette étape permet aussi de réfléchir à la dimension des grandeurs fournies. Exemple Quelle est la masse volumique d’une bille de polystyrène de rayon 1,0 mm et de masse 4,22 mg ? Liste des informations à extraire de cette question : – la masse de la bille (dimension masse, symbole usuel m) : m = 4,22 mg – le rayon de la bille (dimension longueur, symbole usuel r) : r = 1,0 mm Lorsqu’il existe un risque d’ambiguïté, il ne faut pas hésiter à utiliser des indices pour caractériser plus précisément chaque grandeur (par exemple mbille , rbille).

Il s’agit ensuite d’effectuer la démarche importante d’identification de l’inconnue du problème, en gardant à l’esprit que cette inconnue peut être multiple. Cette étape consiste très simplement à se poser la question « que me demande-t-on ? », ou « qu’attend-on de moi ? » et de formuler la chose de la manière la plus précise possible afin de discerner très clairement l’objectif de l’exercice, et de le conserver à l’esprit afin de mener la résolution du problème dans ce sens, et dans ce sens uniquement.

2 Résolution du problème L’étape suivante est de rechercher, parmi les connaissances et savoir-faire acquis durant la formation dans laquelle s’inscrit la question posée, ainsi que dans les bases et prérequis sur lesquels se repose cette même formation, quels sont les éléments utiles, qu’il faut parfois combiner entre eux, pour répondre à la question posée. Notez bien que parfois, la réflexion menée au cours de la résolution d’un problème est plus importante et intéressante que la réponse à la question.

10

chapitre 2  •  La résolution d’un exercice

Modélisation La résolution du problème peut éventuellement nécessiter un développement mathématique afin de modéliser le problème ou pour simplifier une application numérique. Cela n’est cependant pas systématique : certaines questions peuvent être de réflexion pure, ou purement formelles afin de mener à une expression mathématique. Dans le cas où la question nécessite une application numérique, il est important de toujours établir d’abord une expression littérale de la grandeur recherchée et de vérifier l’homogénéité des grandeurs en présence avant d’introduire les valeurs numériques. Il faut veiller à ce que tous les symboles apparaissant dans cette expression aient bien été définis (dans l’énoncé ou préalablement dans la rédaction). Écrire clairement et avec attention les expressions mathématiques permet souvent d’éviter des erreurs d’inattention (oubli de puissance, de facteurs,...). Enfin, lors du remplacement des symboles des grandeurs par leurs valeurs numériques, il faut s’assurer de la cohérence entre les unités des différentes grandeurs. Par exemple, si plusieurs grandeurs de même dimension interviennent dans le calcul, il est important d’utiliser une même unité.

3 Répondre à la question posée

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1. Voir § 2 du chapitre 3

La dernière étape est bien évidemment de formuler convenablement, de la manière la plus rigoureuse et précise possible, une réponse. La formulation en elle-même est très importante, car une grande part de crédibilité peut rapidement être perdue si un manque de rigueur est observé, ou si la réponse est partielle1. Il sera toujours indispensable de se poser les questions suivantes après rédaction d’une réponse : « ai-je répondu à la question que l’on m’a posée ? Cette réponse est-elle formulée de la manière souhaitée et dans les bonnes unités ? Cette réponse a-t-elle un sens ? » Ces questions peuvent paraître simples ou évidentes en apparence, mais il est trop fréquent que – des réponses rédigées lors d’évaluations ne soient pas des réponses correspondant à la question posée, parce que la question posée n’a pas été comprise, ou parce que l’objectif de la question a été perdu de vue en cours de résolution, – qu’un résultat soit donné dans de mauvaises unités : erreurs de conversions d’unités, méconnaissance de la dimensionalité du problème ou de la quantitécible, – que la valeur numérique de la réponse donnée n’ait pas de sens : une goutte d’eau d’une tonne, le rayon atomique d’un élément supérieur à la distance Terre-Lune...

11

Partie 1    Méthodologie scientifique

4 Mise en situation Énoncé Donner, en joule et en électronvolt (eV), l’énergie liée à un rayonnement dans le vide de longueur d’onde λ1 = 97, 28 nm , sachant qu’un électronvolt équivaut à 1,602 10 −19 J , et que l’énergie d’un tel rayonnement est donnée par la relation hc = hf λ où f est la fréquence du rayonnement en hertz, h est une constante, appelée constante de Planck, ayant pour valeur 6,626 × 10 −34 J ⋅ s , et c est la célérité de la lumière dans le vide, valant 2,997 108 m/s. Déduire la fréquence du rayonnement, en s−1. E =

A – Que sait-on ? •• Expression de E, son lien avec la fréquence et valeur des constantes h et c ; •• Valeur de l1 en nm ;

•• Facteur de conversion de J vers eV.

B – Que me demande-t-on ? •• La fréquence du rayonnement, en s −1 ;

•• L’énergie du rayonnement, en J et en eV.

C – Quels outils sont à ma disposition ? •• Je sais que 1 Hz = 1 s −1 ;

•• Je sais que 1 nm = 10 −9 m ;

•• Je connais les règles régissant les produits et quotients de puissances ayant la

même base (voir section dédiée dans la partie mathématiques) ; •• Je connais la règle de trois (voir encart). Le reste est purement calculatoire.

D – Résolution du problème Dans une première étape, vérifions tout d’abord la dimension de E à partir de son expression. C’est ce que l’on appelle une équation aux dimensions E=

hc

λ

→ [E ] =

[h][c] [λ ]

=

M ⋅ L2 ⋅ T −2 ⋅ T ⋅ L ⋅ T −1 L

En termes d’unités, cela donne J ⋅ s ⋅ m ⋅ s−1 m

= J.

On introduit ensuite simplement les valeurs numériques : hc

λ1 12

=

(6,626 × 10 −34 ) × (2,997 × 108 ) 97,28 × 10 −9

chapitre 2  •  La résolution d’un exercice

Rappel de la règle de 3 par un exemple Problème L’ensemble de trois billes en verre identiques a une masse de 31,5 g. Quelle est la masse d’un ensemble de cinq de ces mêmes billes ? Solution Pour résoudre ce problème, nous posons la masse m d’une de ces billes ; on nous dit que 3m = 31, 5 g . On en déduit que m = (31, 5)/3 = 10, 5 g. Nous avons donc finalement que la masse de cinq billes, 5m, vaut 5 × 10, 5 = 52,5 g. Une manière d’envisager cette règle de trois est d’écrire la correspondance que l’on connaît : on sait que trois billes de masse m correspondent à 31, 5 g 3m ↔ 31, 5 g(2.1)



puis d’écrire la correspondance comportant notre inconnue 5m ↔ x g.(2.2)



Réécrivons ces deux correspondances l’une au-dessus de l’autre en prenant soin de garder de chaque côté ce qui dépend de m (colonne de gauche) et de l’autre ce qui est exprimé en grammes (colonne de droite)

3m ↔ 31, 5 g(2.3)



5m ↔ x g(2.4)

Divisons la correspondance du dessus par celle du dessous en ne gardant que les valeurs numériques : 3 31, 5 = (2.5) 5 x

Il ne nous reste plus qu’à isoler x :

x=

31, 5 × 5 = 52, 5.(2.6) 3

On retrouve bien que 5m correspondent à 52, 5 g.

On réarrange le tout en regroupant les puissances de 10 : © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

hc

λ1

=

6,626 × 2,997 10−34 × 108 97,28

10−9

En appliquant les règles relatives aux puissances (voir section dédiée dans la partie mathématiques), on trouve 0,2041 × 10−34+8+9 = 0,2041 × 10−17, et nous noterons notre réponse E1 = 2,041 × 10 −18 J pour une écriture scientifique (un chiffre devant la virgule, et utilisation d’une puissance de dix). Nous avons donc répondu à une première partie de la question. Cependant, l’énergie du rayonnement nous était également demandée en électronvolt. Nous devons donc à présent nous poser la question de la conversion entre unités d’énergie : 2,041 × 10 −18 J ↔ x eV 13

Partie 1    Méthodologie scientifique

Pour ce faire, une simple règle de 3 : nous connaissons la conversion joule/électronvolt

1 eV ↔ 1,602 × 10 −19 J (2.7)

Nous pouvons donc superposer la correspondance connue et celle inconnue

1 × eV ↔ 1,602 × 10 −19 J(2.8)



x eV ↔ 2,041 × 10 −18 J (2.9)

et diviser les deux correspondances, en gardant les valeurs numériques 1 x

=

1,602 × 10 −19 2,041 × 10 −18

1 x

=

1,602 × 10 −19 2,041 × 10

−18

⇔x=

2,041 × 10 −18 1,602 × 10

−19

=

2,041 1,602

10 −18− ( −19) = 1,274 × 101 = 12,74

2,041 × 10 −18 2,041 −18− ( −19) = 10 ⇔ x =      = 1,274 × 101 = 12,74 (2.10) −19 1,602 1,602 × 10 L’énergie E1 du rayonnement est donc de 12,74 eV. Il nous reste maintenant à déduire la fréquence correspondant à ce rayonnement. On sait que E = hf . Pour savoir quelle valeur de E (en eV ou en J) nous devons utiliser, une simple équation aux unités u(h)u( f ) = u( E ) ↔ J ⋅ s ⋅ s−1 = J nous indiquera qu’il faut insérer la valeur de E en J pour trouver la fréquence en hertz, c’est-à-dire en s −1 : f1 =

f1 =

E1 h

=

0,2041 × 10 −17 6,626 × 10 −34

E1

=

0,2041 × 10 −17

=

0,2041 10 −17 0,2041 × = × 10 −17+ 34 = 0,03080 × 1017 = 3,0 − 34 6,626 10 6,626

6,626 × 10 −34 0,2041 10 −17 0,2041 = = × × 10 −17+ 34 = 0,03080 × 1017 = 3,080 × 1015 s −1 . − 34 6,626 6,626 10 Conclusion : la réponse aux questions posées sera finalement que le rayonnement a une énergie de 2,041 × 10 −18 J, équivalant à 12,74 eV, pour une fréquence de 3,080 × 1015 s −1 . h

– Il est possible que de nouvelles informations, inconnues jusqu’alors, soient introduites dans l’énoncé d’une question lors, par exemple, d’une évaluation. Cela ne doit pas être un motif de panique, car une telle information ne sera jamais introduite dans le contexte d’une évaluation sans qu’il ne soit possible de la comprendre en faisant appel aux connaissances acquises antérieurement. Un tel type de procédé, très courant, permet d’évaluer une compétence très importante : la capacité d’être flexible et de s’adapter à une situation faisant intervenir des éléments nouveaux. – Faisons également remarquer que la réponse à une question posée n’est pas toujours une valeur numérique. Cela peut être une conclusion basée sur un raisonnement pur, ou encore un ensemble de valeurs numériques rapporté, par exemple, sous la forme d’un graphique. Pour cette éventualité, se reporter à la section 2 dans le chapitre 3. 14

CHAPITRE

3

La démarche scientifique

1 La méthode scientifique La méthode scientifique désigne l’ensemble des approches mises en œuvre pour produire des connaissances scientifiques. Chaque discipline scientifique possédant ses spécificités, cette démarche n’est pas unique. On peut cependant définir, quelle que soit la discipline abordée, quatre piliers sur lesquels repose la méthode scientifique : la théorie, la prédiction, l’expérience et l’observation (figure 3.1).

Théorie ou hypothèse pouvant être testée Utiliser la théorie ou l’hypothèse pour prédire a priori le résultat d’une expérience.

Comparaison des observations à la prédiction permettant de confirmer, enrichir ou remplacer la théorie ou l’hypothèse

Figure 3.1 

Observations

Prédiction

Mesures répétées, incertudes

Mise en place d’une expérience permettant de tester la prédiction.

Effectuer l’expérience

Expérience Une théorie ne peut être qualifiée de scientifique que si elle a un caractère réfutable, c’est-à-dire qu’il doit exister des expériences permettant de produire des observations pouvant elles-mêmes être comparées à la prédiction de la théorie. Cette méthode scientifique permet ainsi de conforter, modifier ou réfuter une théorie. Exemple Considérons un étudiant qui, pour un TP de physique, doit définir les divers types de mouvements d’un pendule rigide au repos de longueur R en fonction de la vitesse v0 initialement communiquée à ce pendule.

15

Partie 1    Méthodologie scientifique

– Théorie : dans un premier temps, cet étudiant devra s’appuyer sur ses connaissances en dynamique newtonienne, notamment sur la notion de conservation de l’énergie mécanique. – Prédiction : d’après cette théorie le pendule oscillera si v0 est inférieure à une vitesse critique vc = 2 gR , où g est l’accélération de pesanteur. – Expérience : l’étudiant devra ensuite mettre en place un protocole expérimental permettant de tester la validité de cette prédiction. Il pourra par exemple tester le mouvement d’un pendule en répétant la même expérience et en faisant varier v0 entre 0 et 2vc. – Observation : les mesures de la hauteur atteinte par le pendule sont faites en fonction de v0. La répétition des mesures permet d’estimer une incertitude sur v0 et les hauteurs associées. À partir de ses observations, l’étudiant pourra soit confirmer cette théorie, soit la compléter en indiquant que le système n’est pas parfaitement conservatif et que les forces de frottement doivent être prises en compte. Le plan de son compte-rendu sera alors une introduction présentant le cadre théorique (théorie) et la question scientifique abordée (prédiction), un paragraphe présentant l’approche développée (expérience), suivi d’une présentation des résultats (observations) et d’une discussion (confrontation des observations avec la théorie). Enfin une conclusion résumera les résultats obtenus et les conséquences en termes de remise en cause de la théorie initiale.

Cet exemple simple permet d’illustrer plusieurs points importants : 1. Une théorie scientifique se distingue d’une superstition ou d’un mythe en ce qu’elle est réfutable, c’est-à-dire qu’il doit exister des expériences qui peuvent la confirmer ou l’infirmer. 2. Il n’existe pas de « recette » pour découvrir des théories, l’approche scientifique est basée sur des connaissances existantes pouvant être remises en cause : « Si j’ai pu voir plus loin, c’est que je me tenais sur les épaules épaules de géants ». On doit cette phrase au philosophe français du xiie siècle Bernard de Chartres. Cette métaphore fut reprise par Isaac Newton en 1675. 3. Il n’est pas toujours aisé de savoir si l’inadéquation entre prédiction et observations doit conduire à une remise en cause d’une théorie ou si elle est liée à des limitations expérimentales. La répétition et la reproductibilité d’une expérience est sans doute la meilleure approche pour tester sa validité. 4. Il ne faut pas mélanger dans les compte-rendus de TP ou les rapports de stages les parties « résultat » et « discussion ». La première doit être uniquement factuelle, c’est-à-dire sans a priori sur ce qu’il faudrait obtenir, ni interprétation. Elle peut contenir des tableaux ou des graphes synthétisant les observations faites. À l’inverse, dans la seconde, la robustesse des résultats (c’est-à-dire la stabilité/ solidité de ces résultats face à des perturbations) doit être discutée en mettant en évidence les limites du dispositif expérimental. Cette partie doit également présenter une interprétation des résultats. La discussion sur la validité de la théorie ne doit apparaître qu’à la fin de cette partie.

2 Le sens de l’esprit critique Pour être mise en œuvre, la démarche scientifique nécessite la capacité à s’interroger sur la validité d’une théorie établie. Cette démarche de remise en question,

16

chapitre 3  •  La démarche scientifique

appelée esprit critique, est celle qui permettra de définir une expérience capable de confirmer ou d’infirmer une théorie (figure 3.1). L’esprit critique n’est cependant pas une négation systématique des connaissances existantes, mais une approche exigeante et rigoureuse nécessitant une maîtrise des savoirs établis ainsi que de bonnes capacités d’analyse, de jugement et de réflexion. L’objectif étant à terme de montrer les limites d’une théorie ou d’une hypothèse et d’être capable d’en formuler une nouvelle. Cette démarche inclut donc une capacité à l’autocritique. Acquérir un esprit critique est difficile. C’est pourtant une étape clé du passage du lycée vers l’université. La méthode du questionnement critique permet d’initier cette démarche :

Cette théorie est-elle réfutable ? Comme nous venons de le voir, si ce n’est pas le cas, cette théorie ne peut pas être qualifiée de scientifique. Elle ne peut donc pas remplacer la théorie précédemment admise.

Pourquoi cette nouvelle théorie ? D’après la figure 3.1 pour réfuter une théorie et en proposer une nouvelle, il est impératif que les observations soient correctes et pertinentes. Réfuter une théorie nécessite donc de répéter une expérience et d’estimer à quel point les mesures faites sont significatives.

Qui expose cette théorie ? Un expert ou une personne qui ne maîtrise pas bien le domaine. Par exemple, à propos des dérèglements climatiques, on n’accordera pas le même crédit à un physicien climatologue, à un journaliste scientifique ou à un auteur à succès. Ceci ne signifie pas pour autant qu’il faut prendre quelque chose pour vrai parce que la personne qui le dit fait autorité.

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Quelle est la source de cette théorie ? Un livre d’enseignement, un article scientifique, une revue de vulgarisation, un site internet ou un réseau social. Toutes les sources ne sont pas équivalentes : certaines comme les livres d’enseignement ou les articles scientifiques font appel à des relecteurs experts et indépendants avant toute publication.

Quand a été émise cette théorie ? Il s’agit ici de déceler des anachronismes.

Comment est présentée cette théorie ? Il existe de nombreuses méthodes donnant l’illusion d’un développement construit ou d’une véritable démonstration : 1. des omissions et des petites erreurs qui conduisent à des théories révolutionnaires. Par exemple, considérons x et y deux nombres égaux non nuls. On peut donc

17

Partie 1    Méthodologie scientifique

écrire en multipliant l’égalité y = x par x, que x 2 = xy. En soustrayant par y2 de part et d’autre de l’égalité résultante on obtient x 2 − y 2 = xy − y 2 . En divisant par ( x − y) on obtient x + y = y . Or x étant égal à y, on a 2 y = y et y étant non nul, on obtient 2 = 1. Ce qui revient en soustrayant 1 à montrer que 1 = 0. C’est fou ? C’est surtout faux, car si x = y on ne peut pas diviser par la différence x − y qui est nulle ; 2. la confusion entre causalité et corrélation. Pierre Bayle en 1680 donne un célèbre exemple de la différence entre causalité et corrélation : « Ainsi les témoignages des historiens se réduisent à prouver uniquement qu’il a paru des comètes et qu’ensuite, il y a bien eu des désordres dans le monde ; ce qui est bien éloigné de prouver que l’une de ces deux choses est la cause ou le pronostic de l’autre ». Dans ce cas, il y a corrélation entre « le désordre » et « l’apparition » des comètes, mais cela ne prouve pas que les comètes soient la cause du « désordre » ; 3. la réunion de plusieurs arguments fragiles qui ne donne pas une preuve robuste. Par exemple, la probabilité d’apparition de la vie sur une planète est proche de zéro, mais pas nulle. La preuve, nous existons. Puisqu’il y a un très grand nombre de planètes dans l’Univers, une forme de vie extra-terrestre est très probable. Cette affirmation est fausse : en effet comme indiqué dans le chapitre 7 la limite du produit de deux fonctions l’une tendant vers 0 et l’autre vers +∞ est indéterminée ; 4. le raisonnement circulaire qui consiste à faire admettre au départ ce que l’on entend prouver. Il existe de nombreux exemple de raisonnements circulaires plus ou moins évidents : « Tout objet moins dense que l’eau flotte. En effet, ces objets sont tellement peu denses qu’ils ont la propriété de ne pas couler. ». Développer un esprit critique nécessite donc pour l’étudiant une participation active aussi bien en cours magistraux, qu’en travaux dirigés ou pratiques, ainsi que la lecture régulière de livres d’enseignement et de revues scientifiques. Cet effort est extrêmement payant, car il lui permettra d’intégrer et de mieux comprendre des notions complexes et d’acquérir une démarche rigoureuse visant à mieux savoir ce qu’il sait et ce qu’il ne sait pas. Il pourra alors se prémunir efficacement des théories pseudo-scientifiques, complotistes et autres fausses informations conçues volontairement pour induire en erreur et être diffusées dans des médias à large audience.

18

CHAPITRE

4

Savoir communiquer

1 Rigueur du langage, précision du vocabulaire Nous insistons ici sur l’importance d’utiliser une nomenclature appropriée au contexte. Contre-exemples Commençons avec les propositions1 – « Le poids de l’objet B est plus lourd que celui de l’objet A. » – « La distance est plus longue. » – « La vitesse de A est plus rapide que celle de B. » – « Le réchauffement de la température » Tandis que dans la première proposition, deux valeurs sont supposément comparées, dans les trois derniers cas, l’intention de la proposition porte sur la variation de valeur d’une grandeur quantifiable, dont la valeur croît ou décroît. L’erreur consiste à donner des attributs physiques (longueur, poids, vitesse, etc.) à des grandeurs : ce n’est pas la vitesse qui est plus rapide, c’est l’objet mobile qui se meut plus rapidement, et dont sa vitesse augmente. Par ailleurs, on veillera toujours à être très explicite sur les objets auxquels se rapportent les quantités-cibles. S’il s’agit d’un corps qui est plus lourd, et d’un mobile qui est plus rapide, on préférera donc les propositions plus rigoureuses telles que – « Le poids du corps est plus grand. » – « La longueur entre les deux points augmente. » – « La vitesse du mobile croît. » Notez cependant que l’on peut qualifier la « rapidité » de l’évolution d’une grandeur en disant qu’elle (dé)croît plus ou moins rapidement entre deux points qu’entre deux autres. Cette notion sera discutée en détails à la section 4.3 du chapitre 7. 1. Une proposition dans ce contexte n’est pas entendue comme une notion liée à l’action de proposer/offrir, mais est plutôt un ensemble de notions reliées ensemble dans une affirmation, à laquelle on peut attribuer une « valeur de vérité » (la proposition est vraie ou elle est fausse). Une proposition vraie est une assertion. Ces deux mots reviendront régulièrement dans cet ouvrage, et il convient de les distinguer.

19

Partie 1    Méthodologie scientifique

Attention également à ne pas confondre les termes suivants :

Définitions – Un axiome est une assertion considérée comme évidente, non-démontrable, et universelle. – Un lemme est un résultat important mais faisant partie d’une démonstration plus large. – Un théorème est un résultat démontré, résultat d’une conjonction de propositions. – Un scholie (à une pas confondre avec une scholie qui est une note philologique ou historique) est une note, un commentaire succèdant à une proposition ou à la démonstration d’un théorème. – Un corollaire est un résultat important mais dérivant d’une proposition très forte la précédant et, par extension, toute proposition découlant d’une autre. – Un postulat est une assertion non-démontrable, proche de l’axiome en mathématiques. – Une loi est une proposition liant plusieurs grandeurs physiques. – Un principe en physique a des similitudes avec une loi universelle qui n’aurait été ni démontrée ni invalidée. – La définition est ce qui caractérise un objet, une quantité, un phénomène...

2 Expression rigoureuse d’une grandeur numérique Il est important de respecter les conventions d’écriture d’une grandeur, qu’elle soit mesurée ou issue d’un calcul : [Symbole de la grandeur] = [Valeur]. [Symbole de l’unité] Ainsi les expressions du type : masse = 2,0 g ou m = 2,0 grammes sont à exclure. La valeur numérique doit être donnée préférentiellement en écriture scientifique et avec une nombre de chiffres adapté à la précision avec laquelle la grandeur peut être connue. Exemple On mesure deux baguettes avec deux règles de précisions différentes, on obtient 23,33 cm pour la première baguette et 22,6 cm pour la seconde. La somme des deux nombres est 55,93 cm. Cependant, on peut seulement dire que les deux baguettes mises bout à bout mesureront 55,9 cm car nous ne connaissons la précision de la deuxième baguette qu’au dixième de centimètre.

Lors de l’expression du résultat d’un calcul, il faut veiller à ce que :

•• le résultat d’une addition ou soustraction comporte au maximum autant de

décimales que la grandeur qui en a le moins ;

•• le résultat d’une multiplication ou division comporte au maximum autant de

chiffres significatifs que le facteur qui en a le moins.

Il est donc inutile de recopier tous les chiffres donnés par la calculatrice s’ils sont au-delà de la précision atteignable.

20

chapitre 4  •  Savoir communiquer

Dans le cas où un résultat est exprimé avec son incertitude, on veillera à ce que la précision de la grandeur soit cohérente avec celle de l’incertitude indiquée. Incorrect l = 23,33 ± 0,016 cm l = 23,334 ± 0,02 cm

Correct l = 23,33 ± 0,02 cm l = 23,334 ± 0,016 cm

3 Les schémas, les graphes, les tableaux Le tracé et l’analyse des graphes sont abordés plus en détail dans la partie 6 (Sciences de la vie)2. De façon générale, quel que soit le type de figure, il est indispensable de donner un titre. Celui-ci doit être suffisamment significatif pour permettre de comprendre ce qui représenté même hors contexte. Par exemple : « Titrage pH-métrique d’une solution de soude par une solution d’acide chlorhydrique » plutôt que « pH = f(V) ». Quelques points spécifiques aux graphes : •• les axes doivent être tracés à la règle et doivent porter en étiquette le symbole de la grandeur et son unité le cas échéant ; •• les échelles doivent être indiquées et choisies de façon à optimiser la répartition des points dans l’espace ; •• si possible, les points de mesure doivent être indiqués avec les barres d’erreur de mesure. Il est souvent recommandé de relier les points de mesures entre eux ; •• enfin, une légende doit permettre de clairement identifier chaque courbe.

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2. Voir chapitre 24

21

Partie

L

2

’ enseignement des mathématiques est différent s’il est à destination des mathématiciens, des mécaniciens, des informaticiens, ou des scientifiques naturalistes (c’est-à-dire pratiquant les sciences naturelles – physique, chimie, sciences de la vie et géosciences). Nous avons choisi dans cet ouvrage de ne pas concevoir les mathématiques comme un objet d’étude mais bien comme un outil à destination des sciences naturelles, l’objectif étant d’adapter cette contribution à l’apprentissage et à l’usage qui est fait des mathématiques en licence en sciences naturelles. Au début de cette partie, nous avons voulu reprendre les choses depuis les bases les plus fondamentales, avec des rappels tels que les ensembles de nombres, la priorité des opérations, les simplifications de fractions et de puissances... Parmi les préliminaires à notre contribution, nous avons tenu à démystifier le langage mathématique en fournissant les clés de compréhension/décodage et d’écriture de propositions mathématiques. Après ces rappels d’algèbre parmi lesquels figurent également les (in)équations, nous avons repris dans un second chapitre les bases de la géométrie et du calcul vectoriel. Pour ce faire, nous avons redéfini les notions les plus élémentaires telles que les angles géométriques, et nous avons repris les propriétés des principales formes géométriques rencontrées en science. Les vecteurs dans le plan et l’espace sont ensuite introduits, avec leurs propriétés, avant de considérer des angles orientés et les rudiments de trigonométrie circulaire. Le produit scalaire est abordé à la fin du second chapitre. Dans le dernier chapitre, nous revenons sur les bases de l’analyse en donnant quelques rappels relatifs aux suites numériques avant d’aborder les fonctions réelles d’une variable réelle (leur définition, leur représentation, leur manipulation, leurs propriétés). La notion de limite est également introduite, ce à quoi succède le calcul différentiel et intégral. Avec ces outils en main, nous proposons finalement une présentation des fonctions courantes utilisées en science.

22

Mathématiques pour les sciences CHAPITRE

5

Éléments d’algèbre



24

Géométrie et calcul vectoriel



40

Analyse

 59

CHAPITRE

6

CHAPITRE

7

23

CHAPITRE

5

Éléments d’algèbre Dans ce chapitre, nous allons revoir quelques informations élémentaires qui seront nécessaires à la compréhension des prochains chapitres. Il s’agit ici de généralités dont la connaissance et la maîtrise sont à travailler et qui sont approfondies dans les enseignements de L1. Plus particulièrement, dans ce chapitre, nous reprenons quelques éléments du langage mathématique, avec une transition du langage naturel vers un langage plus formalisé.

1 Les nombres

1. Notez que la virgule des nombres décimaux est parfois remplacée par un point selon d’autres conventions (anglo-saxonnes notamment). Notez également qu’un nombre décimal a un nombre fini de chiffres, ce qui exclut par exemple 3,66666...

2. L’apposition d’un astérisque dans le cas de la suppression du zéro d’un ensemble est également utilisée pour les autres ensembles que celui des réels.

24

Le concept de nombre est fondamental pour les usages des mathématiques en algèbre, en analyse et en géométrie. Les ensembles de nombres sont rangés par type de nombre : –– l’ensemble  des (nombres) entiers naturels (0, 1, 2, etc.) ; –– l’ensemble  des (nombres) entiers relatifs (–3, 0, 12, etc.) ; –– l’ensemble  des (nombres) rationnels, quotients d’entiers relatifs (–3/4, 7/2, etc.) ; –– l’ensemble  des (nombres) décimaux1, quotients d’entiers relatifs par une puissance de 10 (7,48 = 748/100 ou – 0,498 = – 498/1000 par exemple) ; –– l’ensemble  des (nombres) réels ( 2, p , etc.). Tous ces ensembles de nombres peuvent être vus comme inclus les uns dans les autres en une suite croissante d’ensembles : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Par exemple, –5 est un entier relatif, mais il peut également s’écrire comme le quotient de –5/1 et fait donc bien partie des nombres rationnels. On peut ainsi penser les relatifs comme généralisant les naturels, les rationnels comme généralisation des entiers, les réels comme généralisation des rationnels... On peut également exclure des nombres d’un ensemble en lui retranchant un sous-ensemble, ce qui s’écrit en utilisant le symbole « \ ». Exemple * = \{0} est l’ensemble des réels dans lequel on a supprimé 2 0. Un autre exemple est celui de l’ensemble des irrationnels, soit l’ensemble des réels auxquels on a retranché l’ensemble des nombres rationnels, et peut s’écrire \.

Nous rappelons également dans le tableau 5.1 la valeur approchée de quelques constantes mathématiques très courantes, sans dimension.

chapitre 5  •  Éléments d’algèbre

Tableau 5.1  Quelques constantes mathématiques utiles. Constante

Valeur décimale approchée

Constante

Valeur décimale approchée

e

2,718

p

3,141593

2

1,4142

3

1,7321

log10 e = (ln 10)–1

0,434

log10 2

0,301

ln 2

0,693

ln 10

2,303

2 Les symboles L’usage des symboles est une différence importante entre le langage mathématique et la langue naturelle. Les symboles que nous reprenons ici sont des éléments de langage qui permettent de formuler des propositions de manière plus compacte et sans ambiguïté. Les tableaux suivants présentent les différents symboles que nous emploierons dans cet ouvrage avec, entre parenthèses, des exemples d’application ou l’identification des objets auxquels s’appliquent les différentes significations des symboles évoqués.

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Tableau 5.2  Symboles ensemblistes.

3. Il existe aussi des symboles propres à la géométrie, l’algèbre, ou l’analyse que nous ne présentons pas dans ce chapitre et que vous trouverez dans les sections dédiées.

{}

délimiteurs d’un ensemble ({0,1,2})

∅

ensemble vide

∈

« appartient à » (2 ∈ )

⊂

« est inclus dans » ( ⊂ )

∪

union de deux ensembles (A ∪ B)

∩

intersection de deux ensembles (A ∩ B)

\

« à l’exclusion de » (\{0} :  privé de 0)

=

égalité

Le langage de la logique utilise lui aussi des symboles, dont il est fait un grand usage dans les écritures mathématiques. Il s’agit3 d’une part des connecteurs : –– la conjonction : le mot « et » ; –– la disjonction : le mot « ou » ; –– l ’implication : le mot « implique » ou l’expression « si ..., alors » et le symbole ⇒ ; –– l’équivalence : l’expression « équivaut à » et le symbole ⇔ ; –– la négation ; et d’autre part des quantificateurs : –– le quantificateur universel « Pour tout » ou « Quel que soit », noté ∀ ;

25

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

4. Peut également s’interpréter comme « Pour au moins un ... » 5. Peut également s’interpréter comme « Pour un et un seul ... »

–– le quantificateur existentiel « Il existe au moins un ... , tel que... », noté4 ∃. Décoré d’un « ! », à savoir « ∃! », il signifie alors5 « Il existe un et un seul..., tel que... » ; –– suivant les usages, vous rencontrerez aussi le symbole « : » pour l’expression « nous avons que » et le symbole « | » pour l’expression « tel que », bien que ce ne soient pas des symboles de la logique. Ces deux symboles sont parfois utilisés comme des synonymes. Le tableau 5.3 reprend les symboles couramment utilisés en mathématiques (notamment les symboles logiques), et le tableau 5.4 reprend pour sa part l’alphabet grec. Tableau 5.3  Symboles courants en mathématique, notamment des symboles logiques. ∀

« Pour tout »

∃

« Il existe au moins un »

⇒

« implique »

⇔

« équivaut à (propositions) »

∃!

« Il existe un et un seul »

:=

« est défini comme »

« nous avons que »



« tel que »

:

Tableau 5.4  Alphabet grec. A

alpha

a

N

nu

n

B

bêta

b

X

xi

x

Γ

gamma

g

O

omicron

o

∆

delta

d

∏

pi

p

E

epsilon

e

P

rhô

r

Z

zêta

z

∑

sigma

s

H

êta

h

T

tau

t

Θ

thêta

q

Y

upsilon

u

I

iota

i

Φ

phi

j

K

kappa

k

C

chi

c

Λ

lambda

λ

ψ

psi

y

M

mu

m

Ω

omega

w

Suivant le contexte, il faudra pouvoir s’affranchir d’habitudes très bien ancrées qui consistent à réserver certaines lettres pour certains usages ( f pour une fonction, x pour une variable, a pour un paramètre, a pour un simple nombre, etc.) car dès lors que la nomenclature est précisée et claire, que ce soit dans un cours, un énoncé d’exercice, ou une explication, n’importe quelle lettre peut être utilisée

26

chapitre 5  •  Éléments d’algèbre

pour désigner ce que l’on veut, même si des conventions plus ou moins respectées existent. Il faudra dès lors apprendre à être très flexible sur ses propres « définitions » car il est extrêmement courant que les conventions et notations varient d’un enseignant à un autre, ou d’un auteur (de livre, d’article, de page web scientifique) à un autre.

3 Vers un langage formel L’utilisation des symboles mathématiques est soumise à des règles qui permettent l’écriture des propositions, au même titre qu’il existe des règles de grammaire et d’orthographe en français. À titre d’exemple, deux usages de ces symboles : Exemple 1 Considérons la proposition qui dit : « Tout entier naturel pair est divisible par 2. » Elle signifie aussi : « Pour tout entier naturel n, si n est pair, alors il existe un entier naturel k tel que n = 2k » et elle s’écrit dans le langage symbolique :



∀n ∈ , [ ( n pair) ⇒ ( ∃k ∈  | n = 2k )]

(5.1)

Exemple 2 L’énoncé « 2x = 3 équivaut à x = 3/2 » pourra s’écrire



2 x = 3 ⇔ x = 3/ 2 

(5.2)

Afin d’éviter toute ambiguité d’écriture, vous rencontrerez parfois des équivalences ou des implications dans lesquelles les deux membres sont placés entre parenthèses afin de les identifier formellement et d’éviter toute ambiguïté d’interprétation. Dans notre exemple, cela donnerait :

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(2 x = 3) ⇔ ( x = 3 / 2). 

(5.3)

4 Intervalles et ensembles On distingue deux façons de décrire les ensembles : –– l’une en extension, où l’on donne la liste explicite des éléments délimitée par des accolades, comme dans cet ensemble contenant trois éléments :

 32   = − ,2, π   7 

–– l’autre en compréhension, où l’on définit les éléments de l’ensemble comme ceux vérifiant une propriété :

 + = { x ∈  | x ≥ 0} ;

*− = { x ∈  | x < 0} 27

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

soit, dans les exemples ci-dessus, l’ensemble des réels positifs ou nuls + et l’ensemble des réels strictement négatifs *−. –– Ces deux mêmes ensembles peuvent encore être définis au moyen d’intervalles  + = [0, +∞[ ;

*− = ] −∞, 0[

où l’infini, qui n’est pas un nombre, est toujours rejeté de l’intervalle tandis que 0 est inclus dans + mais est exclus de *−. L’union des deux intervalles précédents rend donc l’ensemble des réels *− ∪  + = ] −∞, 0[ ∪ [0, +∞[ = . Les intervalles peuvent se définir de manière plus générale. Par exemple, si la borne inférieure est incluse dans l’intervalle tandis que la borne supérieure en est exclue, cet intervalle peut s’écrire comme [a, b[ = { x ∈  | a ≤ x < b} . (5.4)



On notera les cas particuliers des intervalles [a,b] dits fermés comprenant tous les réels allant de a à b inclus, et les intervalles ]a, b[ dits ouverts et comprenant tous les réels allant de a à b exclus. On retiendra que l’intersection de deux intervalles (par exemple [ −4,6[ ∩ [ −5,0] = [ −4,0]) [ −4,6[ ∩ [ −5,0] = [ −4,0]) est toujours un intervalle, tandis que l’union de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle, comme par exemple ] − 2,0] ∪ [2,8] qui n’en est pas un. Il existe une différence entre les dénominations nombre positif et nombre strictement positif : la deuxième dénomination exclut le zéro, tandis que la première ne le fait pas. Cela est également valable pour les nombres négatifs et strictement négatifs.

5 Les opérations Les quatre opérations élémentaires sont naturellement l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Les deux premières opérations font intervenir des termes (on additionne/soustrait plusieurs termes) tandis que les deux dernières font intervenir des facteurs. Suivant l’ensemble de nombres sur lequel on les considère, les opérations n’ont pas toutes le même statut. Ainsi, si l’addition et la multiplication sont toujours des opérations binaires, c’est-à-dire, qu’à tout couple de nombres, elles renvoient un nouveau nombre (par exemple 2 + 3 = 5 ou 13 × 4 = 52), il n’en est pas de même pour la soustraction ou la division. Cette lacune peut être vue comme l’origine de l’extension des ensembles de nombres et de la définition des rationnels  ou des réels  dans lesquels la soustraction est une opération binaire et la division l’est presque, puisque seule la division par 0 n’est pas possible.

28

chapitre 5  •  Éléments d’algèbre

On veillera naturellement à ne pas confondre opposé et inverse : l’opposé d’un nombre a est – a, tandis que son inverse est 1/a, pour autant que a soit non nul.

Notations Dans une expression algébrique, le produit se notera par une croix « × », un point médian « · » ou simplement en accolant les deux facteurs multipliés ensemble : a × b = a ⋅ b = ab . Il est difficile d’énoncer une règle générale d’usage de ces notations qui dépendent du contexte ou de l’ambiguïté de l’écriture. Pour la multiplication de valeurs numériques décimales, par exemple 2,31 et 4,56, on évitera de les multiplier en utilisant un point. On choisira de les écrire séparées par une croix, comme dans « 2,31 × 4,56 ». Cela est également vrai pour les produits de valeurs numériques sans décimale.

5.1 Les propriétés de l’addition de nombres réels

–– L’addition est commutative : soient x et y deux réels. Alors, x + y = y + x . –– L’addition est associative : soient x, y, et z trois réels. Alors, x + ( y + z) = ( x + y) + z. –– Le nombre 0 est neutre : si x est un réel. Alors, x + 0 = 0 + x = x.

5.2 Les propriétés de la multiplication de nombres réels

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–– Le produit est commutatif : soient x et y deux réels, x × y = y × x . –– Le produit est associatif : soient x, y, et z trois réels, x × ( y × z) = ( x × y) × z. –– Le nombre 0 est absorbant : si x est un réel, alors 0 × x = x × 0 = 0. –– Le nombre 1 est neutre : si x est un réel, alors 1 × x = x × 1 = x . Voici également quelques propriétés simples mais utiles : pour tous w, x et y réels, avec w non nul, 1 w

(wxy) =

1 w

(wyx) =

1 w

( xwy) =

1 w

( ywx) =

1 w

( xyw) =

1 w

( yxw) = xy = yx, (5.5)

  − x = −( x) = (−1) × x,(5.6)

−( − x) = ( −1)( − x) = x, (5.7)



(− x)(− y) = xy, (5.8) − ( x + y) = − x − y,



(− x)(− y) = xy,

− ( x + y) = − x − y,(5.9)

où l’on fera attention à ne pas confondre −( x + y) et (− x + y). Nous avons également la règle du produit nul qui dit que, pour tout réel x et tout réel y,

( xy = 0) ⇔ ( x = 0 ou y = 0),(5.10) 29

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

où le « ou » est non exclusif, c’est-à-dire que x et y peuvent tout à fait être nuls tous les deux.

5.3 La manipulation des fractions 6. Dans les exemples de cette section, les réels se retrouvant au dénominateur, c’està-dire sous la barre de fraction (le numérateur étant au-dessus de celleci), sont non nuls.

Voici quelques propriétés des fractions dont la maîtrise est indispensable lors d’étapes calculatoires en sciences, notamment la simplification de calculs6. 1. L’opposé dans les fractions : soit x un réel et y un réel non nul, on a x x −x  x −  = − = = .(5.11)  y y −y y



2. Simplification : soient a, b et k trois réels (b et k non nuls). Alors,

a×k



b×k

a⋅k

=

b⋅k

=

ak

=

bk

a b

.(5.12)

3.1 Addition 1 : soient a et c deux réels quelconques et b un réel non nul. Alors,

a



b

+

c b

=

a+c b

.(5.13)

3.2 Addition 2 : soient a et c deux réels quelconques et soient b et d deux réels non

nuls. Alors,

a



b

+

c d

=

ad bd

+

cb bd

ad + cb

=

bd

.(5.14)

Attention cependant aux simplifications généralement fausses : a



b

+

c d

≠

a+c

. b + d (5.15)

4. Multiplication : dans les mêmes conditions,

a



b

×

c d

=

a×c b×d

=

ac

. bd (5.16)

5. Quotient de quotients : soit a un réel quelconque et soient b, c et d trois réels

non nuls. Alors,



30

a /b c /d

=

ad bc

.(5.17)

chapitre 5  •  Éléments d’algèbre

Notons que

a /b c

=

a/b c /1

=

a bc

et

a b /c

=

a /1 b /c

=

ac b

. (5.18)

Prenons également garde à des erreurs d’interprétation dans les fractions écrites directement dans du texte : a / bc ≠ (a / b)c. En effet, on a, par la priorité des opérations (voir ci-dessous) l’identité (a / b)c = (ac)/ b . De manière générale, l’utilisation du trait oblique est déconseillée pour éviter ce genre d’ambiguïté, et pour éviter de se retrouver avec des expressions comme a / b / c , qui n’ont pas de sens, au même titre que l’écriture a x= b c ce qui nous donne l’occasion de rappeler que le trait de fraction principal doit toujours se trouver au niveau du signe « = »

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5.4 Priorité des opérations Considérant la soustraction comme l’addition de l’opposé d’un nombre, et la division comme le produit par l’inverse d’un nombre, nous allons réviser ici la priorité des opérations simples : a. parenthèses, crochets, racine, barre de fraction ; b. puissances ; c. produits ; d. sommes. Afin de ne pas alourdir le parenthésage, il est d’usage de réduire le nombre de parenthèses en imposant des règles de priorité de la multiplication sur l’addition. On vous conseille de commencer par lire l’expression et d’identifier si des éléments de type a. sont présents. Si tel est le cas, il faudra commencer par effectuer les opérations présentes à l’intérieur de ces éléments, en respectant la hiérarchisation du parenthésage (parenthèses dans des parenthèses). Par exemple, 1 + (2 − (3 + 4)) = 1 + (2 − (7)) = 1 + (−5) = − 4. L’étape suivante consiste à tenir compte des éventuelles puissances. Finalement, on retiendra que les produits et quotients sont prioritaires sur les sommes et les différences. Exemple 6−5 1 2 (1 + 3 × 2 )2 − 25 ( 50 − 1 + 1)  − . Simplifions   2 5  4+3 Dans l’ordre, nous avons : a. Les deux racines carrées 25 = 5 ; 50 − 1 =

49 = 7 ;

31

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

a. L’intérieur des parenthèses et des crochets

1 2 5 4 1 − = − = 2 5 10 10 10 et, en respectant la priorité du produit sur la somme 50 − 1 + 1 = 7 + 1 = 8 ;

1 + 3 × 2 = 1 + (3 × 2) = 7 ;

a. Le numérateur et dénominateur de la première fraction 6−5 (6 − 5) = avec 6 − 5 = 1 et 4 + 3 = 7 ; 4+3 (4 + 3)

b. L’exposant sur les parenthèses (1 + 3 × 2)2 = (7)2 = 72 = 49 ;

c. Le produit de la première fraction par le carré du contenu des parenthèses 6−5 1 (1 + 3 × 2)2 = × 72 = 7 ; 4+3 7

c. Le produit du résultat de 25 par le contenu des parenthèses et des crochets 1 2 1 25 ( 50 − 1 + 1)  −  = 5 (8 )   = 4 ;  2 5   10 

d. La différence des deux termes résultants 6−5 1 2 (1 + 3 × 2 )2 − 25 ( 50 − 1 + 1)  −  = 7 − 4 = 3.  2 5  4+3

On remarquera dans le développement ci-dessus que l’on aura bien fait attention à faire la distinction suivante : 50 − 1 ≠ 50 − 1 On sera également attentif au fait que 1+ 3 × 2 ≠ 4 × 2 ainsi que l’on pourrait être tenté de l’écrire en lisant l’expression de gauche à droite sans prendre garde à la priorité du produit sur la somme. 7. Plus rigoureusement, de telles identités ­s eraient fausses en général.

Voici également une liste d’erreurs 7 très courantes dans les simplifications d’expressions algébriques liant 1. Opposé et fraction : − 2. Produit et exposant :

x+y z

≠−

x z

+

y z

;

x( y − z)w ≠ ( xy − xz)w ;

32

chapitre 5  •  Éléments d’algèbre

3. Exposants et associativité de la somme : (2 x + y3 ) − w3 = 2 x + ( y3 − w3 ) ≠ 2 x + ( y − w)3 ; 4. Exposants et associativité du produit : (2 x)( y3 )(− w)3 ≠ 2 xy3 − w3 .

6 Racine carrée et puissance d’un nombre Définition La racine carrée d’un réel a positif est l’unique réel positif, noté a tel que



(

a )2 = a. 

(5.19)

Ci-dessous nous énumérons quelques propriétés liées à la racine carrée 1. Si a ∈  + et b ∈  + , ab = a b . (5.20)

2. Si a ∈  + et b ∈ *+ ,

a = b



a . (5.21) b

3. Si a ∈ ,

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 a a 2 =  a =   −a

≥ 0) (5.22) (a ≤ 0) (a

La valeur absolue | a | est souvent utilisée en sciences pour dire que deux réels a et –a sont égaux au signe près : on peut dire qu’ils sont « égaux en valeur absolue ». 4. Si r et s sont des entiers naturels non nuls, et a et b sont deux réels, nous avons trois propriétés : 4.1 Le produit et le quotient de deux puissances d’une même base

ar a s = ar + s ,

ar = ar − s as

(a ≠ 0),(5.23)

qui permet par exemple de déduire

1=

ar = ar − r = a 0 .(5.24) ar

33

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

4.2 La puissance d’une puissance et la puissance d’un quotient



() a b

(ar )s = ars ,

r

=

ar br

(b ≠ 0),(5.25)

4.3 Le produit de deux puissances de même exposant

ar br = ( ab )r .(5.26)

Attention : De la même manière,

( 43 )

2

=

32 3 ≠ (5.27) 42 4

− ar ≠ (− a)r (5.28)

à part dans le cas de la puissance p ième impaire ( p = 2n + 1 avec n ∈N) d’un nombre négatif –a :

n

(− a) p = (−1)2 n +1 a p = (−1)2 n (−1)a p = ( (−1)2 ) (−1)a p = − a p .(5.29)

comme par exemple (−3)3 = −27 = −(33 ). Nous voudrions conclure cette section en mentionnant le fait que des puissances d’entiers relatifs (102, 10–4, etc.) sont régulièrement utilisées en sciences pour une notation scientifique.

7 Les produits remarquables Il peut parfois être utile de transformer une somme de termes en produit de facteurs. Plusieurs produits remarquables sont connus, et très régulièrement utilisés. Pour tous a et b réels, on a : –– le carré d’une somme

8. Opération consistant en la réécriture d’une expression sous la forme d’un produit.

34



(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 ;(5.30)



(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2 (5.31)

qui dans le cas de la factorisation8 se lira de droite à gauche ; –– la différence de carrés

a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) ;(5.32)

chapitre 5  •  Éléments d’algèbre

–– le cube d’une somme (a + b)3 = a3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ;(5.33)



–– la différence de cubes a3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ).(5.34)



8 Les (in)équations Nous aimerions dans cette section non seulement revenir sur quelques propriétés de l’équation, mais étendre cette discussion aux inéquations. à travers cette section nous continuerons à mettre en évidence certains raccourcis dangereux dans la manipulation d’(in)équations.

8.1 Les équations 9. Si l’égalité est vérifiée quelle que soit la valeur attribuée à la ou aux variables qu’elle comporte, on parle alors d’identité. Par exemple, les produits remarquables mentionnés plus hauts ont été écrits sous forme d’identités remarquables.

Considérons des égalités entre des expressions mathématiques. La résolution d’une équation (une égalité entre deux expressions, comportant une ou plusieurs variables), consiste alors en la détermination des valeurs de la ou des variable(s) qui vérifient celle-ci. L’équation est vérifiée si l’égalité des deux expressions, appelées membres de l’équation, est vraie pour de telles valeurs9. Pour commencer, souvenons-nous de quelques règles élémentaires régissant la transformation d’une équation à une inconnue réelle x : 1. Simplifier des termes : soient a et b deux réels,

( x + a = b + a) ⇔ ( x = b).(5.35)

2. Simplifier des facteurs : soient a et b deux réels (a non nul),



( xa = ba) ⇔ ( x = b).(5.36)

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3. Isoler un des termes : prenons l’équation



x + a = b (5.37)

où a et b sont des réels et le réel x est l’inconnue. Une manière très courante d’envisager l’isolement de l’inconnue x est de se figurer que l’on « envoie » a de l’autre côté de l’égalité en lui affectant le signe « – ». Ce raisonnement peut facilement mener à des erreurs calculatoires, et nous lui préférons le raisonnement suivant : « Nous retranchons le même nombre a dans les deux membres de l’équation »

x + a − a = b − a (5.38)

35

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

que l’on peut d’ailleurs écrire

x = b − a = − a + b(5.39)

où l’on aura appris à traiter –a comme un nombre en tant que tel, ce qui nous fait écrire x = b + (− a), c’est-à-dire, sachant que l’addition de deux nombres est commutative ( m + n = n + m), x = (− a) + b = − a + b. Prenons maintenant un autre cas de figure et isolons x dans ax = b avec a et b deux réels (a non-nul) :

 ax b   =  ⇔x=    a a

b  (5.40) a

Dans ce cas-là, le raisonnement n’aura pas été de se dire « Je prends a que je fais passer de l’autre côté en divisant au lieu de multiplier », mais bien « Je multiplie les deux membres de l’équation par l’inverse de a ». Combinons : soient a, b et c deux réels (a non-nul). Nous pouvons alors isoler la variable réelle x dans ax + c = b

( ax + c = b ) ⇔  x = b − c  (5.41) a

en combinant les deux méthodes d’isolement précédentes, qui peuvent se faire dans n’importe quel ordre, pourvu que l’égalité soit préservée : on peut indifféremment diviser le membre de gauche et celui de droite par a puis retrancher c / a de part et d’autre de l’égalité, ou commencer par retrancher c à gauche et à droite, puis diviser le résultat pour chaque membre par a. Nous aimerions rappeler ici trois manipulations d’expression ou d’égalité, très simples, que l’on rencontre souvent lorsqu’il s’agit d’isoler une inconnue dans une équation. La première est la mise au même dénominateur : Prenons l’expression b a+ c où a, b et c sont des réels (c non-nul). Nous pouvons mettre les deux termes de cette somme au même dénominateur en multipliant a par c / c : c b ac + b . a + = c c c La deuxième manipulation est la mise en évidence. Prenons la somme suivante (a, b et c sont des réels) : ab + ac. 36

chapitre 5  •  Éléments d’algèbre

Nous constatons que les deux termes de cette somme sont le produit d’un même réel a par le réel b dans le premier terme et le réel c dans le second terme. Le facteur commun, a, peut donc être mis en évidence : ab + ac = a(b + c). Il est également possible de revenir de la forme factorisée (membre de droite dans l’égalité ci-dessus, ainsi nommée car nous avons le produit de deux facteurs au lieu de la somme de deux termes) à la forme éclatée de l’expression (membre de gauche ci-dessus) en réalisant une distribution. Finalement, citons le classique produit en croix : soient a, b, c et d quatre réels (b et d non-nuls). Alors, a c  =  ⇔ (ad = bc).(5.42) b d



Erreurs courantes Voici des erreurs très fréquentes rencontrées chez les étudiants de début de licence lors de la simplification d’équations, ou l’isolement d’une variable10. Ces erreurs sont de plusieurs types : 1. Confusion des propriétés d’un terme et celles d’un facteur Exemple 1 :    ( x + a = ya ) ⇔ / ( x = y)

(

)

b a 2. Manipulation d’un terme en lui attribuant également les propriétés d’un facteur Exemple 2 :    ( x + a = b ) ⇔ / x=

 2 y3  = 5 x  ax +  4

⇔ /

4  2  ax − 5 x = − 3  y

3. Confusion : dénominateur d’un terme et dénominateur d’un membre

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4. Erreur de distribution

( 1a + b = x)

(1 + b = ax )

⇔ /

Exemple 1 :       ( a(b − c ) = d ) ⇔ / Exemple 2 :       ( a(b − c ) = d ) ⇔ / 5. Confusion entre facteur d’un terme et facteur de tout un membre b (ax + c = b) ⇔ x= −c / a

(

( ab = d + c )

(−c = abd )

)

10. Comme précédemment, nous dirons que les propositions listées seraient fausses en général.

37

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

8.2 Les inéquations Contrairement à ce que peut inspirer cette terminologie, les inéquations constituent une sorte d’inégalités pouvant ne pas être strictes : lorsque deux expressions sont séparées par ≤ ou ≥, cela n’exclut évidemment pas l’égalité entre les deux expressions, contrairement aux inégalités dites « strictes », où deux expressions sont comparées par un symbole > ou y) ⇔ ( x + w > y + w)(5.43)

2. Invariance de sens par multiplication par un nombre strictement positif : pour

tout w réel strictement positif,



( x > y) ⇔ (wx > wy) (5.44)

3. Inversion de sens par multiplication par un nombre strictement négatif : pour

tout w réel strictement négatif,



( x > y) ⇔ (wx < wy) (5.45)

4. Transitivité de l’inégalité : on peut également utiliser deux inégalités de même

type (un des quatre types d’inégalité mentionnés dans la remarque ci-dessus) pour tirer une conclusion sous la forme d’une troisième inégalité du même type que les deux autres



y >x x >z

}

⇒ ( y > x > z) ⇒ ( y > z).(5.46)

De manière générale, on parle de transitivité lorsque plusieurs relations font intervenir des objets mathématiques liés de manière consécutive, donnant lieu à la formulation d’une conclusion liant le premier et le dernier élément de la chaîne. Nous retrouverons dans d’autres chapitres cette notion de transitivité, par exemple dans la relation de Chasles en calcul vectoriel (cf. chapitre 6) et en calcul intégral (cf. chapitre 7).

38

chapitre 5  •  Éléments d’algèbre

Nous voudrions attirer l’attention du lecteur sur le danger de raccourcis empiriques liés aux inégalités, très courants mais manquant de généralité, tel que la proposition incomplète 11 ( x < y) ⇒ ( − x < y) découlant du constat, par exemple, que si 3 est inférieur à 5, −3 lui est a fortiori également inférieur, ce qui n’est évidemment pas toujours vrai (un contre-exemple très simple est celui où x = −5 et y = 2).

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11. Pour la compléter, il faut préciser que cette implication est vraie pour un couple de nombres x et y, avec x positif ou nul et y strictement positif.

39

CHAPITRE

6

Géométrie et calcul vectoriel Nous reprenons dans ce chapitre les informations classiques et souvent très utiles liées aux formes géométriques couramment rencontrées en sciences, et nous posons les bases de l’utilisation des vecteurs, sachant que bon nombre de grandeurs (position, vitesse, force, etc.) exposées dans les parties suivantes de cet ouvrage sont des grandeurs vectorielles.

1 Les angles géométriques La donnée de deux demi-droites [OA) et [OB), de même origine O, découpe le plan en deux parties, nommées secteurs angulaires. Ce découpage est illustré figure 6.1. Considérons un cercle  de rayon R centré en O. Ce cercle intercepte les deux demi-droites [OA) et [OB) aux points A′ et B′ . Dans ces conditions, la mesure de l’amplitude géométrique de l’angle de chaque secteur angulaire (a et b à la figure 6.1) s’obtient comme le rapport entre la longueur de l’arc de cercle contenu dans ce secteur (lα et lβ figure 6.1) et le rayon du cercle :

α =



lβ lα , β = .(6.1) R R

[OB) B0

l

•

R Figure 6.1 

O•

↵

l↵ [OA) •

A0

Illustration de la définition d’un angle plan. 40

chapitre 6  •  Géométrie et calcul vectoriel

1. Cette définition fait appel à celle d’un angle au centre, soit un angle formé par deux rayons d’un cercle ou par deux demi-droites sécantes ayant la même origine, cette origine étant à la fois le sommet de l’angle et le centre du cercle.

2. Nous donnons ici ces quelques mesures d’amplitude géométrique d’angles également en degrés car, bien que ce soit le radian qui soit le plus couramment utilisé en mathématiques, les degrés sont quant à eux très utilisés en sciences naturelles.

Cette mesure s’exprime en radian, ce qui nous amène à la définition de ce qu’est le radian1 :

Définition Un radian est la mesure de l’amplitude géométrique d’un angle au centre, cet angle étant sous-tendu par un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle.

On comprend dès lors, étant donné que le périmètre d’un cercle C de rayon R est pC = 2π R, que la mesure de l’amplitude géométrique d’un angle de 360° est de 2p radian. Ce résultat permet de déduire simplement que la mesure de l’amplitude géométrique d’un angle plat (180°) est de p radian, et que celle d’un angle droit (90°) est de π / 2 radian. Cette équivalence est donnée dans le tableau 6.1 pour quelques angles remarquables2. Tableau 6.1  Six mesures (en degrés et en radian) de l’amplitude géométrique d’angles, couramment rencontrées en géométrie et en sciences. Mesure (°)

Mesure (radian)

Mesure (°)

Mesure (radian)

360

2p

180

p

90

π /2

60

π /3

45

π /4

30

π /6

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2 Propriétés de formes géométriques élémentaires Nous réviserons prioritairement les caractéristiques de formes manipulées régulièrement notamment en physique, et dont la bonne maîtrise permet de développer un sens de la visualisation qui se révèle souvent très bénéfique lors du contact avec un problème physique concret.

2.1 Le cercle, la sphère Le cercle et la sphère sont des objets géométriques fondamentaux, « centraux » en physique. Il s’agit, respectivement dans deux et trois dimensions de l’espace, du lieu (l’ensemble) des points équidistants à un point nommé centre. La distance entre le centre et tout point du cercle ou de la sphère se nomme le rayon, et a donc les dimensions d’une longueur. Nous nous contenterons de rappeler le périmètre pc et la surface Sc d’un cercle de rayon R :

pC = 2π R,

SC = π R 2 (6.2)

41

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

Nous rapporterons également la surface Ss et le volume Vs d’une sphère S de rayon R : Ss = 4π R 2 ,



Vs =

4 π R3 .(6.3) 3

2.2 Les triangles Soit un triangle ABC quelconque, aux côtés de longueur a, b et c tel que celui représenté figure 6.2. Son périmètre pt et son aire St s’expriment comme pt = a + b + c,



St =

bh (6.4) 2

où b est la longueur d’une base et h la longueur de la hauteur correspondante. Chaque côté peut être choisi comme base. La hauteur qui lui correspond est la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par le sommet qui lui est opposé (voir bas de la figure 6.3). Sa mesure (h ci-dessus), est la longueur du segment de hauteur joignant le sommet au côté. Si la hauteur rejoint le prolongement d’un côté du triangle hors de celui-ci (en-bas à droite de la figure 6.3), la longueur utilisée pour calculer la surface du triangle reste celle du côté sans prendre en compte son prolongement, soit la longueur AC sur la figure 6.3. B β

c

a

Figure 6.2  C

γ

↵ b

A

Mesures dans le triangle quelconque. Proposition

La somme des mesures de l’amplitude géométrique des angles d’un triangle est égale à p radian.

2.2.1  Médiane, médiatrice, bissectrice Outre la hauteur, d’autres objets géométriques remarquables sont également identifiables :

Définitions – La médiane, ce segment de droite partant d’un sommet du triangle et rejoignant le milieu du côté faisant face à ce sommet. Elle est représentée à la figure 6.3. Tout comme la hauteur, nous en avons trois par triangle. – La médiatrice d’un côté du triangle (et plus généralement la médiatrice d’un segment de droite) est le lieu des points équidistants des extrémités de ce côté (ou du segment de droite considéré si l’on parle de manière générale). On voit que la médiatrice est donc une droite orthogonale (perpendiculaire) au segment de droite en question, et que l’intersection entre la médiatrice et le segment se produit au milieu de celui-ci. La médiatrice est également représentée à la figure 6.3.

42

chapitre 6  •  Géométrie et calcul vectoriel

– Une bissectrice (voir figure 6.3) est une demi-droite issue du sommet d’un secteur angulaire et coupant ce dernier en deux secteurs angulaires dont la mesure de l’amplitude géométrique des angles est égale.

Dans un triangle isocèle, c’est-à-dire un triangle ayant deux côtés de même longueur ou, de manière équivalente, deux angles de même mesure, la médiatrice caractéristique du troisième côté est également une médiane et une hauteur du triangle, ainsi que la bissectrice d’un des angles du triangle. Il en va de même pour n’importe laquelle des trois médiatrices d’un triangle équilatéral (trois côtés de même longueur et trois angles de même amplitude). B

[OA)

M0

C

m

A

M

B

A

C

M

O

m

↵ ↵

E

b

D [OB)

Figure 6.3  h

C

A

C

B

H

H

A

B h

Droites, demi-droites et segments de droites remarquables : la médiatrice (en-haut à gauche), la médiane (en-haut au milieu), la bissectrice (en-haut à droite), et deux sortes de hauteur (en-bas).

Nous pouvons également définir plusieurs points importants dans un triangle.

Définitions © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

– L’orthocentre, qui est le point de rencontre des hauteurs. – Le centre de gravité, qui est le point de rencontre des médianes. – Les médiatrices se croisent quant à elles en un point définissant le centre du cercle circonscrit au triangle (cercle dans lequel le triangle est inscrit, et qui passe par les trois sommets de celui-ci). – les bissectrices se rencontrent en un point définissant le centre du cercle inscrit dans le triangle (celui que l’on peut tracer à l’intérieur du triangle et qui « touche » ce triangle en trois points, un par côté).

2.2.2  Triangles rectangles et trigonométrie Définitions

1

1

Un triangle est rectangle s’il possède un angle droit (figure 6.4). Dans un tel triangle, cet angle droit fait face à ce que l’on appelle l’hypothénuse, c’est-à-dire le côté d’un triangle 1 rectangle dont la longueur est la1 plus grande.

43

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

Afin d’introduire la trigonométrie du triangle rectangle, considérons un triangle ABC, rectangle en A. Notons : •• a la longueur du côté faisant face au sommet A de mesure α = π /2 ; •• b la longueur du côté faisant face au sommet B de mesure b ; •• c la longueur du côté faisant face au sommet C de mesure g . Nous pouvons définir trois nombres trigonométriques, le sinus (sin), le cosinus (cos) et la tangente (tan), relatifs aux mesures de l’amplitude géométrique des deux angles qui ne sont pas droits dans ABC : sin β =

b a

,

cos β =

,

cos γ =

c a

,

tan β =

,

tanγ =

b c

=

sinβ cosβ

et sin γ =

c a

b a

c b

=

sinγ cosγ

.

Définitions De manière générale, pour tout autre angle que l’angle droit dans un triangle rectangle, – le sinus de la mesure de l’amplitude géométrique de cet angle s’obtient en divisant la longueur du côté opposé à celui-ci par la longueur de l’hypothénuse ; – le cosinus de la mesure de l’amplitude géométrique de cet angle s’obtient en divisant la longueur du côté qui lui est adjacent (autre que l’hypothénuse) par la longueur de l’hypothénuse ; – la tangente de la mesure de l’amplitude géométrique de cet angle s’obtient en divisant le sinus de cette mesure par son cosinus.

ThéorÈme de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Pour un triangle ABC rectangle en A, cela s’écrit BC 2 = AB 2 + AC 2 .(6.5)

C γ

a

b

Figure 6.4  A

↵

β c

Mesures dans un triangle rectangle en A.

44

B

chapitre 6  •  Géométrie et calcul vectoriel

2.2.3  Triangles quelconques et trigonométrie Nous pouvons également utiliser la trigonométrie pour déduire des propriétés de triangles quelconques : soit A (respectivement B et C) le sommet d’un triangle quelconque ayant a (respectivement b et g ) pour mesure d’amplitude géométrique d’angle et faisant face au côté de longueur a (respectivement b et c). Ce triangle est représenté à la figure 6.2. Alors, a



sin α

=

b sin β

=

c sin γ

.(6.6)

On trouve également (théorème d’Al-Kashi, aussi appelé théorème de Pythagore généralisé)

= b 2 + c 2 + 2bc cosα ,

a 2 = b 2 + c 2 + 2bc cosα ,

b 2 = a 2 + c 2 + 2ac cosβ ,

a 2 = b 2 + c 2 + 2bc cosα ,

b 2 = a 2 + c 2 + 2ac cosβ ,

c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cosγ .

b 2 = a 2 + c 2 + 2ac cosβ ,

c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cosγ . (6.7)

Finalement, on trouve que l’aire St du triangle s’écrit comme St =



ab sin γ 2

=

bc sin α 2

=

ac sin β 2

. (6.8)

2.3  Les quadrilatères convexes Après les polygones à trois côtés, nous passons maintenant aux polygones à quatre côtés. Une nouvelle notion intervient dès que le nombre de côtés atteint ou dépasse quatre : la convexité.

Définition

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Un quadrilatère est convexe si pour tout choix de côté, ce quadrilatère est entièrement inclus dans le même demi-plan délimité par le côté choisi.

Parmi les quadrilatères convexes, nous trouvons les trapèzes (deux des quatre côtés sont parallèles), les parallélogrammes (les côtés sont parallèles deux à deux), les losanges (les côtés sont parallèles deux à deux et tous les côtés sont de même longueur), les rectangles (côtés parallèles deux à deux, et tous les côtés sont à angle droit de leurs voisins), et un cas particulier de rectangle qu’est le carré (côtés parallèles deux à deux, tous les côtés sont à angle droit de leurs voisins, et tous les côtés sont de même longueur). Tous ces quadrilatères ont leurs caractéristiques résumées dans le tableau 6.2 et sont représentés, avec le tracé d’au moins une hauteur (sauf pour le rectangle et le carré dont les hauteurs sont les côtés), à la figure 6.5. Proposition

La somme des mesures de l’amplitude géométrique des angles d’un quadrilatère convexe est égale à 2p radian. 45

c2 = a

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

2.4  Les polygones réguliers convexes 3. Notez que tout comme il existe des triangles autres qu’équilatéraux, un polygone à plus de trois côtés peut tout à fait être irrégulier. 4. La définition est identique à celle donnée pour un quadrilatère.

Nous avons déjà observé qu’un triangle pouvait être équilatéral (trois côtés de même longueur) et qu’un rectangle pouvait être carré (longueur et largeur identiques). Il est possible de généraliser l’existence de telles formes géométriques à n côtés de même longueur a : les polygones réguliers3 convexes4. Après le triangle équilatéral (trois côtés) et le carré (quatre côtés), nous aurons donc le pentagone régulier (cinq côtés), l’hexagone régulier (six côtés), etc. Tableau 6.2  Caractéristiques de quadrilatères remarquables. Nom

Propriétés

Aire

Parallélogramme

Côtés parallèles deux à deux

S = bh

Rectangle

Quatre angles droits

S = ab

Carré

Quatre angles droits et quatre côtés de même longueurs

S = a2

Losange

Quatre côtés de même longueur

Trapèze

Deux côtés parallèles

S =

lh 2

(a + b)h 2

S =

a

h

a

b

h

b

Figure 6.5 

l

a

a

h b

a

Quadrilatéres remarquables. En-haut : le trapéze (gauche) et le parallélogramme (droite). En-bas, de gauche à droite : le rectangle, le carré et le losange.

On rappellera à cette occasion les préfixes grecs mono, di, tri, tetra, penta, hexa, hepta, octo, nona, deca, undeca, dodeca qui permettent, entre autres choses, de dénombrer les côtés d’un polygone, régulier ou non. 46

chapitre 6  •  Géométrie et calcul vectoriel

En plus du triangle équilatéral et du carré, nous avons représenté deux polygones réguliers couramment utilisés en sciences (notamment en chimie) figure 6.6 : le pentagone régulier et l’hexagone régulier. Figure 6.6 

Principaux polygones réguliers. De gauche à droite : le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier et l’hexagone régulier.

On retiendra la mesure de l’égale amplitude de chacun des trois (triangle équilatéral), quatre (carré), cinq (pentagone régulier) ou six (hexagone régulier) angles au centre, à savoir respectivement 120°, 90°, 72° et 60°, ainsi que la mesure des angles formés par chaque paire de côtés adjacents dans ces quatre objets géométriques, à savoir respectivement 60°, 90°, 108° et 120°.

2.5  Les polyèdres réguliers convexes Si l’on passe de deux à trois dimensions, nous ne parlerons plus de polygones (plusieurs côtés) mais de polyèdres (plusieurs faces). Les polyèdres réguliers sont donc des objets géométriques à n faces identiques. Chacune de ces faces est un polygone régulier, et chaque sommet est le résultat de la convergence du même nombre d’arêtes. On étend aussi la définition de convexité aux polyèdres : il est convexe si pour tout choix de face, les autres faces du polyèdre sont situées dans le même demi-espace délimité par la face choisie. Les plus régulièrement utilisés sont les tétraèdres (pyramides, quatre triangles équilatéraux), hexaèdres (cubes, six carrés) et octaèdres (huit triangles équilatéraux), illustrés figure 6.7.

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Figure 6.7 

Principaux polyèdres réguliers convexes. De gauche à droite : le cube, le tétraédre régulier et l’octaédre régulier.

3 Introduction au calcul vectoriel 1

5. La perpendicularité des directions Ox et Oy relève d’un choix arbitraire, conférant à ce repère des propriétés intéressantes pour la suite de notre développement.

3.1  Les coordonnées dans le plan

Soit un repère du plan, que nous noterons (O ; x, y), avec les directions Ox et Oy perpendiculaires5 (tous les angles à l’intersection des axes Ox et Oy ont une mesure de 90°). Les axes Ox et Oy sont conventionnellement orientés de gauche à droite pour les x croissants et de bas en haut pour les y croissants, ce qui est rappelé graphiquement par une flèche figure 6.8. 47

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

Nous pouvons, à tout point A dans ce plan, attribuer des coordonnées cartésiennes, xA selon x et yA selon y. Le repérage de A par ses coordonnées (xA, yA) dans le repère (O ; x, y) est représenté à la figure 6.8. Sur cette figure, on voit que la longueur du segment de droite gris et parallèle à Ox (respectivement, à Oy) correspond à la mesure de la coordonnée xA (respectivement, yA). Si l’échelle (la graduation) du repère est identique selon l’axe Ox et l’axe Oy, le repère est dit orthonormé, et on dira que la longueur de la projection du point A dans la direction Ox est égale à xA, et similairement pour yA. y A •

yA

Figure 6.8  1 O

•

x

xA

1

Coordonnées dans le plan.

6. Certaines références utilisent une f léche au-dessus de cette lettre comme nous ; d’autres choisissent d’écrire simplement cette lettre en gras (t) ; d’autres encore choisissent de combiner les deux  (υ ). On ne s’étonnera donc pas de trouver l’une ou l’autre de ces conventions dans des livres ou des articles scientifiques.

Nous avons mentionné que les vecteurs sont très frèquemment utilisés, notamment en physique. Revenons sur la définition même de ce qu’est un vecteur, en commençant par traiter le cas d’un vecteur dans le plan (deux dimensions) avant de finir avec les vecteurs définis dans l’espace (trois dimensions). Ces outils sont généralisables à plus de trois dimensions, mais leur représentation est plus complexe, et dépasse le cadre de cet ouvrage.

3.2 Les vecteurs dans le plan Nous avons vu comment il était possible de définir les coordonnées (xA, yA) d’un point A dans un repère (O ; x, y) à deux dimensions. Nous pouvons maintenant  définir un vecteur6 AB allant de A jusqu’à un autre point, B, de coordonnées (xB, yB). y B •

yB

Figure 6.9 

yA

A

•

−−! AB

1 O

•

1

xA

xB

x

Représentation d’un vecteur dans le plan. 48

chapitre 6  •  Géométrie et calcul vectoriel

Nous voyons que ce vecteur a une origine (A), une direction (la direction AB), un sens (le vecteur va de A vers B), et une longueur, toujours positive ou nulle : sa norme. Le sens et la direction sont deux choses différentes : parler de l’axe nord-sud ou dire que l’on va du sud vers le nord, c’est parler respectivement de la direction et du sens.   Rien ne nous empêche de renommer le vecteur AB en vecteur v, ou en utilisant n’importe quelle lettre de n’importe quel alphabet d’ailleurs. Tout comme nous attribuions des coordonnées aux points A et B, nous pouvons  attribuer des coordonnées, ou composantes, au vecteur v : sa composante selon Ox sera xB − x A , et sa composante selon Oy sera yB − yA . On remarque que nous prenons à chaque fois la coordonnée du point d’arrivée, à laquelle nous retranchons la coordonnée du point de départ :   x B − x A   vx  v = .  =   yB − y A   v y  Notons que changer de repère lorsque l’on décrit un vecteur implique une modification des composantes de ce vecteur. Cela est également vrai pour les coordonnées d’un point. Nous voyons qu’une telle définition d’un vecteur implique qu’un autre vecteur, d’ori gine C et de point d’arrivée D, parallèle au premier, et de même norme que v sera  tout simplement égal à v (voir figure 6.10) puisqu’il aura les mêmes composantes. Si le deuxième vecteur n’allait pas de C vers D mais de D vers C, nous verrions que les vecteur seraient simplement l’opposé de celles de     composantes de ce deuxième  v , et nous aurions donc DC = −CD = − v. On aura remarqué que permuter l’origine et l’arrivée du vecteur aura eu pour effet d’en prendre l’opposé. B

A

Figure 6.10 

D

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− ! v C

Égalité de deux vecteurs dans le plan.

Ainsi que mentionné plus haut, un vecteur est également défini par sa norme. Celleci s’obtient par le théorème de Pythagore et s’écrit comme

 AB =

( xB − x A )2 + ( yB − yA )2 , (6.9)

soit, en d’autres termes,

 v =

vx2 + vy2 . (6.10) 49

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

Propriétés

   0  Notons immédiatement la définition du vecteur nul : AA = 0 =   , et énonçons  0 quelques propriétés des vecteurs : 1. Multiplication par un réel (colinéarité)  vx   mvx   ∀m ∈ , mv = m   =  .(6.11)  vy   mvy    En d’autres termes, si deux vecteurs v et w sont liés entre eux par la multiplication par un scalaire (synonyme d’un nombre réel dans ce contexte), ils sont dits « colinéaires ».   u x    vx  2. Somme de deux vecteurs : soient u =   et v =   . On a  vy   uy 





   u x   vx   u x + vx  u+v =  +  =  .(6.12)  uy   vy   uy + vy 

La représentation de cette opération est donnée figure 6.11, où l’on voit que l’on  peut soit représenter le vecteur v en plaçant son origine sur le point d’arrivée du  vecteur u (partie de gauche) ou bien en la faisant coïncider avec celle de u (partie de droite). –– Dans le premier cas, on utilisera la règle de Chasles qui nous dit que    AB + BC = AC ,(6.13) de laquelle on peut tirer notamment que     AB + BA = AA = 0,(6.14) ce qui vérifie bien

     AB + BA = AB − AB = 0.(6.15)

 ans le second cas (partie de droite de la figure 6.11), on construit un –– D   parallélogramme dont on prend la grande diagonale pour obtenir u + v.

Figure 6.11 

   Somme de deux vecteurs dans le plan.

50

chapitre 6  •  Géométrie et calcul vectoriel

7. On pourrait écrire cette locution : « ∀(m,n) ∈  ×  ≡  2  », ce qui signifie « pour tout couple de nombres réels ».

3. Mise en évidence : pour tous m et n réels7,

   mu + nu = (m + n)u.(6.16)   Si l’on écrit deux vecteurs, ex et ey, orientés selon les directions Ox et Oy respectivement, et ayant tous les deux une norme unitaire (égale à 1), c’est-à-dire



1  ex =   0

et

0  ey =   , 1

il est possible de combiner les propriétés ci-dessus pour écrire n’importe quel  vecteur v dans le plan comme v   0     vx    v =   = vx + v y =  x  +   = vx ex + vy ey .(6.17) v  0   y  vy     Ce faisant, nous avons exprimé le vecteur v « dans la base ( ex , ey ) ». Cela est illustré à la figure 6.12.

y ! (xB − xA )− ex

yB

•

−−! ! AB = (xB − xA )− ex −−! ! − AB + (yB − yA )ey

! (yB − yA )− ey

Figure 6.12 

yA

A

B

•

− ! ey

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O

•

− ! ex

xA

xB

x

Décomposition d’un vecteur dans une base.

    Notez bien que l’on aurait très bien pu appeler ex et ey autrement, i et j par exemple. L’essentiel est de l’expliciter, d’être clair dans sa nomenclature, et de rester cohérent tout au long d’un développement.   De ce qui précède, il découle que l’on peut écrire, dans la base ( ex , ey ) et pour tous m et n réels, la somme de deux vecteurs, eux-mêmes multiples des vecteurs   u et v :

    mu + nv = (mux + nvx ) ex + (mu y + nvy ) ey .(6.18)

51

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

3.3  De deux à trois dimensions 8. Le nombre de dimensions correspond au nombre de coordonnées grâce auxquelles on peut localiser un point dans cet espace, ce qui correspond également au nombre de composantes de nos vecteurs dans ce qui précède.

Pour passer d’un repère à deux dimensions8 à un repère à trois dimensions, c’est-à-dire pour passer du calcul vectoriel dans le plan au calcul vectoriel dans l’espace à trois dimensions, il nous suffit simplement d’ajouter une coordonnée supplémentaire dans la définition de nos points, et une composante en plus à nos vecteurs. Par exemple, si x et y représentent la longueur et la largeur d’une forme dans un plan, nous pouvons également en considérer la hauteur, z, hors de ce plan. Notre repère devient donc (O ; x,y,z), avec trois directions    orthogonales entre elles. Dans ce référentiel, on peut écrire une base ( ex, ey , ez ). Nous pouvons écrire les coordonnées de tout point M dans l’espace (Mx, My, Mz), et, si (0,0,0) de notre repère est O, le point M sera repéré par un l’origine  vecteur OM qui pourra s’écrire     OM = M x ex + M y ey + M z ez = ( M x , M y , M z ).(6.19) Sa norme sera  OM =



M x2 + M y2 + M z2 . (6.20)

  Pour un vecteur général u = AB dans l’espace tridimensionnel, nous avons          u = ux ex + u y ey + uz ez = ( xB − x A ) ex + ( yB − y A ) ey + ( zB − z A ) ez(6.21) La norme de ce vecteur sera

  u = AB =

( xB − x A )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2 (6.22)

  La somme de deux vecteurs quelconques, multiples de deux vecteurs u et v , s’écrira, pour tous réels m et n,

     mu + nv = (mux + nvx ) ex + (mu y + nvy ) ey + (muz + nvz ) ey .(6.23) Toutes les propriétés des vecteurs définis dans le plan sont transférables aux vecteurs définis dans l’espace.

4 Orientation du plan, cercle trigonométrique et angles orientés Le plan est conventionnellement orienté par une notion de gauche et de droite et de sens de rotation. Ainsi, on nomme sens trigonométrique, le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens anti-horaire).

52

chapitre 6  •  Géométrie et calcul vectoriel

Munissons le plan d’un repère orienté (O ; x, y). Traçons un cercle  de centre O et de rayon unité. Nous l’appellerons le cercle trigonométrique. Nommons A le point de coordonnées (1,0). Tout point M de  définit un angle orienté de mesure α entre le segment [OM] et la demi-droite des abscisses positives : si on se déplace dans le sens anti-horaire de A vers M sur le cercle trigonométrique, cet angle est noté positivement, si on se déplace dans le sens horaire, cet angle est noté négativement. En suivant le sens trigonométrique, la mesure d’un angle croît donc de manière anti-horaire, en passant successivement par les quadrants repérés Q1, Q2 , Q3, puis Q4 sur la figure 6.13. Les coordonnées de M dans ce repère seront (cos α , sin α ). Un tour complet fait 360°, ce qui équivaut à 2π radian. Comme précédemment, on peut donc définir le demi-cercle (360°/2 = 180°, 2π / 2 = π radian), le quart de cercle (360°/4 = 90°, 2π / 4 = π / 2 radian), etc. Un autre axe orienté est également défini : l’axe de la tangente (en gris sur la fi ­ gure 6.13), parallèle à Oy, « tangent » à  en A et passant par un point B de coordonnées (1, − 1). Cet axe est orienté de bas en haut, avec la même échelle (graduation) que Oy, ce qui permet de définir tanα , un autre nombre trigonométrique relatif à l’angle orienté de mesure α : soit C le point d’intersection de la droite OM avec la droite AB. Ce point C a pour coordonnées (1, tanα ). Nous présentons également quelques valeurs remarquables de sin et cos dans l’intervalle [0, π /2], soit le premier quadrant (Q1), à la figure 6.14. sin

tan

(0, 1)

C • (1, tan ↵)

•

C

(cos ↵, sin ↵)

sin ↵

•

M

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

R=1

Figure 6.13 

•

Q2

( 1, 0) Q3

(0, 0)

(0, 1)

•

↵

•

Q1 A • cos cos ↵ Q4 (1, 0)

(1, 1) • B

Le cercle trigonométrique.

53

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

sin p ! 1 3 , 2 2 p

(0, 1) •

•

•

Figure 6.14 

(0, 0)

•

⇡ 4

⇡/6

p ! 2 2 , 2 2 ! p 3 1 , • 2 2

⇡ 3 •

(1, 0)

cos

Valeurs utiles dans le premier quadrant du cercle trigonométrique.

Nous voyons géométriquement que

−1 ≤ cos α ≤ 1,

− 1 ≤ sin α ≤ 1(6.24)

Par le théorème de Pythagore, on retrouve 9. Dans un triangle ABC, on trace une droite parallèle au côté faisant face à A. Cette droite intercepte [AB] en D et [AC] en E. On a alors AD AB

=

AE AC

=

DE BC

.

cos 2α + sin 2α = 1, (6.25)

et par manipulation simple du théorème de Thalès9, on a

tanα 1

=

sin α cos α

.(6.26)

Ce cercle introduit la notion de périodicité : les nombres trigonométriques relatifs à un angle α et à un autre angle α + k ⋅ 2π , où k est un entier relatif, seront identiques.

4.1  Les angles associés Il est possible de retrouver géométriquement des relations entre des angles dits « associés » :

4.1.1  Les angles supplémentaires a et p - a Les cosinus de deux angles supplémentaires sont opposés : cos α = − cos(π − α ). Les sinus de deux angles supplémentaires sont égaux : sin α = sin(π − α ).

54

chapitre 6  •  Géométrie et calcul vectoriel

4.1.2  Les angles opposés a et – a Les cosinus de deux angles opposés sont égaux : cos α = cos(−α ). Les sinus de deux angles opposés sont opposés : sin α = − sin(−α ).

4.1.3  Les angles anti-supplémentaires a et p + a Les cosinus de deux angles anti-supplémentaires sont opposés : cos α = − cos(π + α ). Les sinus de deux angles anti-supplémentaires sont opposés : sin α = − sin(π + α ).

4.1.4  Les angles complémentaires a et (p /2) – a Les sinus et cosinus d’angles complémentaires sont échangés :

π  cos  − α  = sin α 2 

et

π  sin  − α  = cos α (6.27) 2 

Un tracé du cercle trigonométrique est la manière la plus sûre de retrouver tous ces résultats.

4.2  Relations trigonométriques

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Ci-dessous sont listées des formules dont l’intérêt pratique est particulièrement avéré en sciences physiques, et qui permettent notamment de simplifier des expressions trigonométriques, ce qui constitue parfois la clé de la résolution d’un problème. 1. Formules d’addition : pour tout réel α 1 et tout réel α 2 ,

cos (α1 + α 2 ) = cos (α1 )cos (α 2 ) − sin (α1 ) sin (α 2 ).(6.28)

Pour le sinus, on trouve

sin (α1 + α 2 ) = sin (α1 ) cos (α 2 ) + cos (α1 ) sin (α 2 ),(6.29)

2. Formules de duplication : de ces relations, on tire, en posant α 1 = α 2 = α ,



cos (2α ) = cos 2 (α ) − sin 2 (α ) = 2 cos 2 (α ) − 1 = 1 − 2 sin 2 (α ). (6.30)

Pour le sinus, on trouve

sin(2α ) = 2sin(α ) cos(α ).(6.31)

55

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

De 6.30 on tire également

cos(α ) = 2 cos 2

(α2 ) − 1 = 1 − 2 sin (α2 ). (6.32) 2

4.3  Les équations trigonométriques On parle d’équation trigonométrique lorsqu’il s’agit de trouver toutes les solutions vérifiant une égalité impliquant des nombres trigonométriques. Citons un exemple simple :

sin x =

2 2

.(6.33)

Résoudre cette équation dans  revient à trouver tous les x réels qui vérifient cette égalité. En l’occurrence, on sait que les angles de mesure π /4 et 3π /4 ont un sinus de cette mesure égal à 2/ 2, mais cela est également vrai pour ces deux angles incrémentés d’un nombre entier de fois 2π . La réponse complète à la requête « Résoudre sin x = 2 / 2 dans  » sera donc π / 4 + k ⋅ 2π et 3π /4 + k ⋅ 2π , avec k ∈. Il est également possible de rencontrer des équations du type cos( x /4) = 2 / 2, auquel cas on constatera que c’est lorsque x± = ±π + k ⋅ 2π avec k ∈ que l’équation est vérifiée. En effet, on a bien, par les angles associés (ici, opposés), que cos(π /4) = cos ( −π /4) = 2/ 2 , ce qui est également vrai si l’on incrémente n’importe laquelle de ces deux mesures d’angle par un nombre entier de fois 2π . Les angles associés peuvent également nous aider à résoudre des équations du type sin(α x) = cos(β x) : tous les x satisfaisant cette équation peuvent se trouver en se souvenant des propriétés des angles complémentaires et supplémentaires. On a donc

π   (sin(α x) = cos(β x)) ⇔  sin(α x) = sin  − β x   , (6.34) 2  

ce qui se résout en déduisant que, pour tout entier relatif k, si α ≠ − β ,

    π 1 π  + k ⋅ 2π   (6.35)  α x = − β x + k ⋅ 2π  ⇔  x = 2 α +β 2

et, sachant que les sinus de deux angles supplémentaires sont égaux, on a, si α ≠ β ,

56

π      1 π  + k ⋅ 2π   .(6.36)  α x = π −  − β x  + k ⋅ 2π  ⇔  x = 2 α −β 2

chapitre 6  •  Géométrie et calcul vectoriel

5 Retour au calcul vectoriel : le produit scalaire Dans ce qui suit, on considérera le produit scalaire dans un repère orthonormé (voir plus haut). Il existe deux définitions du produit scalaire, équivalentes. À deux dimensions, nous avons       u ⋅ v = ux vx + u y vy = u v cos ( u ; v ),(6.37)   u ; v ) est la mesure de l’angle orienté entre les deux vecteurs dans un plan orienté où ( muni du repère (O ; x , y) . Pour retrouver cette mesure, prenons, comme à la figure 6.15, dans le même plan   que u et v, un cercle  de centre O et de rayon quelconque. Soient A et B deux points     tels que OA = u et OB = v . Les points A′ et B′ d’intersection de [OA) et [OB) avec  définissent deux angles orientés de mesure α A et α B , dont la différence (α B − α A )   rend la mesure de l’angle orienté (u ; v ). Cette procédure de déduction de la mesure de l’angle orienté entre deux vecteurs est décrite figure 6.15. Notons qu’un angle orienté a une infinité de mesures α + k ⋅ 2π , k ∈, mais qu’une seule d’entre elles, α , appelée mesure principale de cet angle orienté, est dans l’intervalle  −π , π  . À trois dimensions, nous avons également deux définitions du produit scalaire :

      u ⋅ v = ux vx + u y v y + uz vz = u v cos ( u; v ).(6.38)

Plusieurs propriétés caractérisent le produit scalaire : –– il est commutatif     u ⋅ v = v ⋅ u. (6.39)

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–– Il est distributif (linéarité)

(u + v ) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w .(6.40)

–– Il permet de détecter l’orthogonalité (perpendicularité) entre deux vecteurs     u ⋅ v = 0 ⇔ u ⊥ v .(6.41) –– Il est lié à la norme d’un vecteur par

  u ⋅u =

   u u cos(0) = u .(6.42)

On remarque figure 6.16 que dans les deux cas (angle obtus entre les deux vecteurs - partie de gauche - et angle aigu entre les deux vecteurs - partie de droite), le produit scalaire peut s’interpréter comme une projection sur un axe aligné avec

57

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

− ! u y A

•

•

B

• B0

A0 •

Figure 6.15  O

•

↵A ↵B

x − ! v

C ! ! \ (− u;− v ) = ↵A − ↵B

Illustration de la définition de l’angle orienté entre deux vecteurs.

le vecteur à partir duquel l’angle orienté part. Cette notion de projection a déjà été rencontrée plus haut (cf. figure 6.8). B

B

Figure 6.16 

↵ B

0

O

A

↵ O

B0

A

Produit scalaire et projection dans le plan.

 Il n’est pas rare de rencontrer le « carré d’un vecteur » u 2. Cela peut s’interpréter comme le produit scalaire du vecteur sur lui-même, et il en résulte simplement le carré de sa norme. Nous pouvons donc utiliser les produits remarquables et   les appliquer à deux vecteurs u et v :             (u ± v )2 = || u ||2 + || v ||2 ± 2 u ⋅ v , (u + v ) (u − v ) = || u ||2 − || v ||2 . (6.43)

58

CHAPITRE

7

Analyse

1 Les suites numériques Les suites sont un outil de modélisation des phénomènes discrets (i.e., impliquant un ensemble dénombrable de valeurs qu’une grandeur peut prendre) très utiles en sciences comme l’évolution d’une population bactérienne par exemple. Une suite est une fonction de  ou d’une partie de  dans . On note généralement les valeurs un de cette fonction prise en un entier n : u:N→R n  un Exemples

( )

1  1 = est une suite définie sur  . – n     n +1 n + 1 n ∈ – La suite définie par un = n 2 − 2 est définie sur l’ensemble \{0,1}, et u2 = u3 = 7 , etc.

2,

1.1  Les suites arithmétiques

Soient r ∈  et u0 ∈  . La suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 est définie par la donnée de u0 et la relation de récurrence : ∀n ∈ , un +1 = un + r. Exemples – La suite ( n) n ∈ est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 0. – La suite (4( n + 3)) n ∈ est arithmétique de raison 4 et de premier terme 12.

Somme des n + 1 premiers termes Pour la suite ( n) n∈, on a pour tout n > 0 : 1+ 2 ++ n =

n( n + 1) . 2

On peut utiliser ce résultat pour calculer la somme des premiers termes d’une suite arithmétique quelconque.

59

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

1.2  Les suites géométriques

Soient q ∈  et u0 ∈  . La suite géométrique de raison q et de premier terme u0 est définie par la donnée de u0 et la relation de récurrence : ∀n ∈ , un +1 = qun. On a alors (avec la convention q 0 = 1) ∀n ∈ , un = q n u0 .

Somme des n + 1 premiers termes Soit (un ) , la suite géométrique de raison q ≠ 1 et de premier terme 1. On a pour tout n > 0 : 1 + q + q2 +  + qn =

1 − q n +1 . 1− q

2 Variations et convergence d’une suite Une suite (un ) est croissante si pour tout n ∈ , on a un +1 ≥ un. Elle est strictement

croissante si, pour tout n ∈  , on a un +1 > un. On définit de même les suites dé-

croissantes et strictement décroissantes. Toutes ces suites sont dites monotones.

2.1  Limites finies et infinies 2.1.1  Les limites finies Soient (un ) une suite et l un nombre réel. La suite (un ) converge vers l si tout ­intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note lim un = l.

n →∞

Plus l’intervalle qu’on se donne contenant l est petit, c’est-à-dire de longueur petite, plus, en général, on doit chercher un rang N grand pour lequel tous les termes de la suite de rang n ≥ N sont dans ce petit intervalle.

2.1.2  Les limites infinies Soit (un ) une suite. La suite (un ) converge vers +∞ si tout intervalle de la forme ] A, + ∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note lim un = +∞.

n →∞

60

chapitre 7  • Analyse

Exemples – Si α > 0, alors lim 1 = 0. n→∞ α n – Si α > 0, alors lim nα = +∞ . n→∞

2.2  Les suites monotones

Une suite ( un ) est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n naturel, un ≤ M . Si (un ) est une suite croissante et majorée, alors elle est convergente. Une suite croissante non majorée tend vers +∞. Exemple La suite ( 3 − 1 / n 2 )n ∈* est croissante, majorée (par 3) et converge vers 3.

2.3  Les suites adjacentes

Deux suites u et v sont adjacentes si les trois conditions suivantes sont vérifiées : •• la suite (un ) n∈ est croissante ; •• la suite (vn ) n∈ est décroissante ; •• lim ( un − vn ) = 0 . n →∞

Notons que si u et v sont adjacentes, alors pour tout n ∈  et tout m ∈  , un ≤ vm , les suites u et v sont convergentes et lim un = lim vn .

n →∞

n →∞

2.4  Limites et ordre Soient deux suites convergentes (un ) et (vn ), telles que pour tout n, un ≤ vn. Alors, lim un ≤ lim vn .

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n →∞

n →∞

– Il se peut que pour tout n, on ait un < vn et que cependant, lim un = lim vn . n →∞ n →∞ – On utilise souvent ce résultat avec une des deux suites constante. Par exemple, si un ≤ 1 pour tout n, et si (un ) converge, alors, lim un ≤ 1. n →∞

ThéorÈme des gendarmes

Soient trois suites u, v, w telles que pour tout n entier, vn ≤ un ≤ wn et lim vn = lim wn = l (finie ou infinie). Alors, n →∞

n →∞

lim un = l.

n →∞

61

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

2.5  Opérations sur les limites Soient u et v deux suites. On définit les suites u + v et u ⋅ v par : (u + v) n = un + vn et (u ⋅ v) n = un ⋅ vn . Si λ est un réel, on définit également la suite λ u par (λ u) n = λ un . On peut souvent déduire la nature de ces suites de celles de u et v, comme le montre le tableau 7.1 où λ est supposé non nul et l, l ′ sont réels. Les points d’interrogation signifient qu’on ne peut pas conclure dans le cas général : il y a indétermination. Tableau 7.1  Opérations sur les limites de suites. u

v

u+v

u⋅v

λu

l

l′

l + l′

l ⋅ l′

λl

+∞

+∞

+∞

+∞

signe(λ ) (+∞)

+∞

−∞

?

−∞

signe(λ ) (+∞)

−∞

−∞

−∞

+∞

– signe(λ ) (+∞)

l ≠ 0

+∞

+∞

signe(l) ∞

λl

0

+∞

+∞

?

0

3 Fonction réelle d’une variable réelle Une fonction numérique de variable réelle f est une application d’une partie  de  dans . Elle associe à tout réel x de la partie  un unique réel, noté f ( x) et appelé image de x par f . Si pour un réel y, il existe un x tel que y = f ( x), x est appelé un antécédent de y et cet antécédent n’est pas nécessairement unique. L’ensemble des points où f est définie est l’ensemble de définition de f , noté  f . Une telle fonction se note schématiquement f : f →  x  f ( x). Exemples –– La fonction f :→ x  x2 lie chaque réel x à un et un seul réel x 2. Elle est définie sur tout . x2 + 3   est définie sur  \{−1, 1}. –– La fonction  x  2 x − 1  

62

chapitre 7  • Analyse

Si f est une application de  f dans , alors pour toute partie  de  f , on note f ( ) = {y ∈  | ∃x ∈  , y = f ( x)} l’ensemble des images des éléments de  par f et pour toute partie  de , on note f −1 ( I ) = {x ∈ D f | f ( x) ∈ I } l’ensemble des antécédents des éléments de  par f , appelé image réciproque de  par f .

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3.1 Représentation d’une fonction Une manière simple de se représenter visuellement l’évolution d’une fonction réelle f d’une variable réelle x sur son domaine de définition est d’en tracer le graphe. Pour ce faire, nous commençons par tracer deux axes orientés, un horizontal pour les abscisses (généralement notre x), et un vertical pour les ordonnées (généralement notre f ( x)). La plupart du temps, les axes sont orientés de gauche à droite (x croissants) et de bas en haut (valeurs de f ( x) croissantes), mais d’autres conventions peuvent être adoptées à partir du moment où cela est clairement indiqué par l’orientation (sens de la flèche) des axes. Il est courant de voir l’origine du repère au point de croisement de l’axe des abscisses et celui des ordonnées, mais là également le choix peut être arbitrairement différent pour autant que cela soit identifiable. Si aucune indication n’est donnée explicitement, on supposera implicitement que les axes se croisent en (0,0). Ce que l’on nomme graphe est donc l’ensemble des couples ( x, f ( x)) pour x ∈  dans le plan rapporté à notre repère, tandis que l’on entend par graphique la représentation du graphe dans un repère du plan. En dehors du cas de la fonction constante ((a) sur la figure 7.1) dans lequel on a une fonction dont les valeurs f ( x) sont égales pour tout x, il est courant d’indiquer au moins une graduation selon x et une selon f ( x). Cela est fait pour qu’à l’observation du graphique de la fonction on puisse déduire l’échelle des abscisses et ordonnées, ainsi que l’intervalle de  et celui de  considéré. La présence d’au moins deux graduations permet également, à bonne résolution, d’évaluer approximativement la valeur de f ( x) partout sur l’intervalle représenté, et de déduire certaines coordonnées remarquables. Cela est d’un usage particulièrement courant en sciences. Il n’est également pas rare de reproduire plusieurs courbes sur le même graphe afin de les comparer, ou d’en trouver des coordonnées de croisement. En général, on choisit la même échelle sur les deux axes orthogonaux, ce qui revient à choisir un repère orthonormé. Dans le cas général, il importe de bien indiquer l’orientation des axes et de donner au moins une graduation pour chacun d’entre eux avec, si nécessaire, la précision des coordonnées du point de croisement de l’axe des abscisses et de celui des ordonnées. Il est également nécessaire de reporter très clairement sur ce graphique la variable (dans notre cas, x) auprès de la tête de flèche de l’axe des abscisses, et d’identifier la fonction (dans notre cas, [ x  f ( x)]) soit en tête de flèche de l’axe

63

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

des ordonnées, soit à proximité de la courbe de la fonction, soit dans une légende si plusieurs courbes sont représentées sur la même figure dans le même repère. Une telle représentation graphique d’une fonction nous permet en un coup d’oeil d’observer et d’identifier son comportement (croissance, concavité, parité...) et ses points remarquables (zéros, discontinuités, extrema, points d’inflexion...). 4

2

2.0

g(x) = x

3

1.5

2

f (x) = C, C=2

1

-1

0.0

0 0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

-1

0

-1.5

-4 4

j(x) = x3

-2

-2.0

1.5

10

l(x) =

3 1.0 2

k(x) =

0.5 1 0 -1

2

-1.0

-1

-3

-2

1

-0.5

-2

i(x) = x2

h(x) = |x|

0.5

0 -2

1.0

1

p

5

x 0

0.0 0

1

2

-2

-1

1 x

0

1

2

-5

0

5

-1 -0.5 -2

-5 -1.0

-3 -4

-10

-1.5

Figure 7.1 

  Représentation graphique de fonctions courantes.

3.2 Opérations sur les fonctions Soient f :  f →  et g : g → . On définit les fonctions f + g et f ⋅ g sur  f ∩ g . On définit aussi la fonction composée g  f sur f −1 (g ) par (g  f )( x) = g( f ( x)). Si f ( f ) ⊂ g, on peut définir g  f sur  f . Exemples Soient

f :  \{−1, +1} →  x 

et

x2 − 4 x2 − 1

g : ]0,+ ∞[→  x  ln x.

64

chapitre 7  • Analyse

On a alors f + g : ]0,1[∪]0,+∞[→  x  ln x +

x2 − 4 , x2 − 1

f ⋅ g : ]0,1[∪]0,+∞[→  x  ( ln x ) ⋅

x2 − 4 , x2 − 1

g  f : ] −∞ , − 2[∪]2 , +∞[→  x  ln

x2 − 4 . x2 − 1

La figure 7.2 illustre quelques opérations sur les fonctions et les modifications que ces opérations couramment rencontrées en début de licence en sciences induisent sur le graphique des fonctions choisies pour les illustrer.

3.3 Parité et périodicité 3.3.1  La parité La parité d’une fonction est une caractéristique simple qui permet d’en restreindre le domaine d’étude. Elle est utile lors de l’observation de résultats sous la forme d’un graphique, ou lors de la manipulation de fonctions. Une fonction paire est définie sur une partie  symétrique (pour tout x élément de , − x ∈ ) et vérifie :

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

∀x ∈  , f (− x) = f ( x). Dans ce cas, on observe que le graphique de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées à l’origine (l’axe vertical qui coupe celui des abscisses en (0,0)), c’est-à-dire que la partie droite du graphique est le reflet de la partie gauche comme dans un miroir (on parle d’ailleurs de réflexion pour cette symétrie). Plusieurs exemples de fonctions paires ont été donnés figure 7.1 : la fonction constante, la fonction [ x  x 2 ] et la fonction valeur absolue [ x  x ]. Une fonction impaire est définie sur une partie  symétrique et vérifie : ∀x ∈  , f (− x) = − f ( x). Dans le cas des fonctions impaires, on parlera plutôt de symétrie centrale : dans un repère orthonormé, tout point (x, f ( x)) du graphique est aligné avec l’origine (0,0) et avec le point (− x, − f ( x)). Figure 7.1, les fonctions [ x  x], [ x  1 / x] et [ x  x 3 ] sont impaires. Connaître la parité de deux fonctions permet de prédire la parité de leur somme et de leur produit, ainsi que le révèle le tableau 7.2.

65

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

27

1.0

a f (x), a > 1

18

f (x) = cos(x) a f (x), a < 0

0.5

9

0.0

0 p

-p

-3.5

0.0

3.5

g(x + a), a < 0 -9

g(x) = x3

-0.5

g(x + a), a > 0

-18 -1.0

Figure 7.2 

-27 4.5

1.5

h(x) + a, a > 0 h(x) =

x2

i( x)

h(x) + a, a < 0

i(x) =

0.0 -2

p

x

0.0 0

2

-2

0

2

i(x)

-4.5

-1.5

Principales opérations sur les fonctions.

Des fonctions peuvent n’être ni paires ni impaires, comme par exemple la fonction [ x  x + 3]. Tableau 7.2  Parité de fonctions : opérations. f

g

f+g

f · g et f / g

paire

paire

paire

paires

impaire

impaire

impaire

paires

paire

impaire

?

impaires

impaire

paire

?

impaires

3.3.2  La périodicité La périodicité d’une fonction permet de restreindre son étude sur un intervalle plutôt que sur  tout entier : une fonction f :  →  est périodique de période T si ∀x ∈  , x + T ∈  et f ( x + T ) = f ( x).

Exemples Les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2π , et la fonction tan est périodique de période π .

66

chapitre 7  • Analyse

3.4  Croissance d’une fonction

Une fonction f :  →  est croissante si

∀( x, y) ∈  2 , ( x ≤ y) ⇒ ( f ( x ) ≤ f ( y)) et strictement croissante si ∀( x, y) ∈  2 , ( x < y) ⇒ ( f ( x ) < f ( y)) Exemple La fonction [ x  1. On dit parfois d’une fonction décroissante qu’elle a une croissance négative.

x ] est strictement croissante sur  +.

Une fonction f :  →  est décroissante1 si ∀ ( x, y) ∈  2 , ( x ≥ y) ⇒ ( f ( x ) ≤ f ( y )) et strictement décroissante si ∀( x, y) ∈  2 , ( x > y) ⇒ ( f ( x ) < f ( y)). Exemple La fonction [ x | x |] est strictement décroissante sur  − (voir section 7.2).

La croissance peut aussi être vérifiée sur le taux d’accroissement de la fonction : une fonction f :  →  est croissante si  f ( x ) − f ( y)  ∀( x , y) ∈  2 , ( x ≠ y ) ⇒  ≥ 0 .   x−y Une fonction f :  →  est décroissante si

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 f ( x ) − f ( y)  ∀ ( x, y) ∈  2 , ( x ≠ y) ⇒  ≤ 0 .   x−y Finalement, une fonction (strictement) monotone sur un intervalle est une fonction (strictement) croissante ou (strictement) décroissante sur cet intervalle.

3.5  Limites et continuité 3.5.1  Les limites Soient I un intervalle de  de bornes a et b réelles (par exemple [a, b[ ou ]a, b[) et f une fonction définie sur I. 1. Limites finies : la fonction f a une limite réelle l en x0 ∈ I , si tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs f ( x) pour x assez proche de x0 . Dans ce cas, la limite est unique et on note lim f ( x) = l . x → x0

67

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

Exemple Soit la fonction f :→ x  2 x. Soit x0 un réel. On a f ( x ) − f ( x0 ) = 2 x − x0 , donc, pour tout intervalle ouvert centré en l = 2 x0 de type ]l − ε , l + ε [ et pour x proche de x0 à moins de ε / 2 près, on a f ( x ) ∈ ]l − ε , l + ε [ puisque f ( x ) − f ( x0 ) = 2 x − x0 < ε .

2. Limites infinies : la fonction f a pour limite +∞ en a (respectivement b) et on

note lim f ( x) = +∞, si tout intervalle de type ] A, +∞[ contient toutes les valeurs x→ a

f ( x) pour x assez proche de a (respectivement b). On définit de manière analogue lim f ( x) = −∞. x→ a

Exemple La fonction f :] 0, +∞[→  x 

1 x

a pour limite +∞ en 0. Lorsqu’une fonction a une limite ±∞ en x0, alors la courbe représentative a une asymptote verticale en le point de coordonnées ( x0 ,0) . Il en est ainsi, par exemple, pour la fonction [ x  1/ x ] en 0.

3. Limites à gauche et à droite : la fonction f a une limite à gauche l (finie ou

infinie) en x0 ∈ ]a, b[ si la fonction g

g : ]a, x0 [ →  x  f ( x) a pour limite l en x0 . La fonction g est la restriction de f à l’intervalle ]a, x0 [. De même, la fonction f a une limite à droite l (finie ou infinie) en x0 ∈ ]a, b[ si la fonction h : ]x0 , b[ →  x  f ( x) a pour limite l en x0. On note lim f ( x) = l pour la limite à gauche et lim f ( x) = l pour la limite à droite.

< x→a

> x→a

Notons que si f est définie en x0, il se peut que lim f ( x) ≠ f ( x0 ) ou lim f ( x ) ≠ f ( x0 ). < x→a

68

> x→a

chapitre 7  • Analyse

Exemple La fonction f définie sur  par ( f ( x ) = 0 si x < 0 , f ( x ) = 1 si x > 0 et f (0) = 2), a une limite à gauche et à droite différente en 0 : lim f ( x ) = 0 , lim f ( x ) = 1. < x→ 0

> x→ 0

4. Limites en l’infini : soient I = ]a, +∞[, et f une fonction définie sur I.

La fonction f a une limite réelle l en +∞ si tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs de la fonction f pour x dans un intervalle de la forme [ B, +∞[. La fonction f a une limite +∞ en +∞ si tout intervalle de la forme [ A, +∞[ contient toutes les valeurs de la fonction f pour x dans un intervalle de la forme [ B, +∞[.

– Lorsqu’une fonction a une limite finie l en ±∞, alors la courbe représentative admet une asymptote horizontale en le point de coordonnées (0, l). – Lorsqu’une fonction a une limite infinie en ±∞, plusieurs cas peuvent se produire. Il n’y a pas nécessairement d’asymptote oblique, comme le montre la fonction [ x  x 2 ].

3.5.2  Opérations sur les limites Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle commun et admettant en x0 des limites l finies ou non. Le tableau 7.3 donne les limites lorsqu’elles existent de f + g, f ⋅ g et 1 / f . Tableau 7.3  Opérations sur les limites de fonctions. g

f+g

f

g

f·g

f

1/f

l

l'

l + l'

l

l'

l · l'

l≠0

1/l

+∞

l'

+∞

+∞

l' ≠ 0

signe(l')∞

+∞ ou -∞

0

-∞

l'

?

-∞

0

?

0

?

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

0 et f > 0

+∞

+∞

-∞

?

+∞

-∞

-∞

0 et f < 0

-∞

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f

3.5.3  Continuité Soient f une fonction définie sur un intervalle I de  et x0 un élément de I. La fonction f est continue en x0 si elle a une limite en x0 . Cette limite est nécessairement f ( x0 ). La fonction f est continue à gauche (respectivement à droite) en x0 si elle a une limite à gauche (respectivement à droite) en x0 et si lim f ( x) = f ( x0 ) (res< x → x0

pectivement lim f ( x) = f ( x0 )). En revanche, on dira qu’elle a une discontinuité > x → x0

en x0 si elle n’est pas continue en x0 . Intuitivement, on peut voir la « représentation » graphique d’une fonction, comme une déformation de la droite réelle sans brisure, ce qui exclut les « trous » et les « sauts » par exemple. Il ne faut cependant pas oublier que cela est vrai pour le

69

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

domaine de définition de la fonction. Par exemple, figure 7.1, il n’y a pas de sens à parler de (dis)continuité de la fonction [ x  1 / x] en x = 0 car il s’agit d’un point exclu du domaine de définition de la fonction. On dira simplement que la fonction est continue sur ] − ∞,0[ et sur ]0, +∞[. En revanche, la fonction f :→ x  1 / x si x ≠ 0 00 n’est pas continue en x = 0, et la fonction g:→  x  −2 si x ∈] − ∞,1[ x  +2 si x ∈[1, +∞[ n’est pas continue en x = 1. Cette dernière est représentée à la figure 7.3.

Figure 7.3 

Illustration graphique d’une fonction discontinue.

3.6 Opérations sur les fonctions continues Soient I un intervalle, x0 un élément de I, λ un réel, f et g deux fonctions définies sur I et continues en x0 . Les fonctions suivantes sont alors continues en x0 : f , f + g, f ⋅ g, λ f et f / g si g ( x0 ) ≠ 0 . Ces mêmes fonctions sont continues sur I si f et g sont continues sur I (pour f /g, g ne doit pas s’annuler sur I). 70

chapitre 7  • Analyse

4 Calcul différentiel Le calcul différentiel concerne l’approximation des fonctions à l’ordre un, c’est-à-dire par des fonctions affines. La dérivation est une notion importante dans l’étude des fonctions. Il est utile de comprendre le lien que cette notion entretient avec ses applications en sciences, notamment dans l’évolution des grandeurs. Il est en effet très fréquent d’évaluer la « vitesse d’évolution » d’une grandeur en utilisant ce que l’on appelle son gradient, soit la dérivée de la fonction ou du vecteur qui caractérise cette grandeur.

Définition Soient f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 un point de I. La fonction f est dérivable en x0 , si le rapport f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 a une limite à gauche finie et une limite à droite finie en x0 et si ces deux limites sont égales. Cette limite commune est le nombre dérivé de f en x0 , noté f ′( x0 ). r ( x) =

Pour rappeler cette notion de taux d’accroissement, il est courant d’écrire aussi x = x0 + ∆x qui rappelle que x est obtenu à partir de x0 par un accroissement ∆x. On a aussi ∆x = x − x0. La définition de la dérivée peut alors s’écrire :



f ′( x0 ) = lim

∆x → 0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆f = lim ( x0 ) (7.1) ∆x ∆x → 0 ∆x

df ( x0 ). Cette dx écriture rappelle que le nombre dérivé f ′( x0 ) est obtenu à partir de la fonction f par une opération de limite d’un taux d’accroissement ∆ f ∆x et qui est signifié par l’écriture df, vue comme un accroissement infinitésimal de f et dx vu comme un accroissement infinitésimal de x. Notations : on trouvera souvent en sciences l’écriture de f ′( x0 ) sous la forme

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La fonction f est dérivable à droite en x0 (respectivement dérivable à gauche en x0 ) si le rapport r ( x ) a une limite à droite finie (respectivement à gauche) en x0 .

– Si une fonction est dérivable en x0, alors elle est dérivable à droite et à gauche en x0. – Attention, une fonction peut être dérivable à droite et à gauche en x0 sans être dérivable en x0 , comme le montre la fonction [ x  x ], qui est dérivable à droite et à gauche en 0, mais n’est pas dérivable en 0. – Si une fonction est dérivable en x0 , alors elle est continue en x0 . – Si f est dérivable sur I, c’est-à-dire en tout point de I, la fonction dérivée, notée f ′ ou df /dx, est l’application qui fait correspondre à tout élément x de I le nombre dérivé de f en x.

4.1 Interprétation graphique Le développement qui suit est illustré figure 7.4 : soit une fonction [ x  f ( x)] définie en un x0 donné et continue en tout point entre x0 et x0 incrémenté de ∆ x (c’est-à-dire x0 + ∆ x). Traçons une droite, appelée sécante, passant par ( x0 , f ( x0 ))

71

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

et ( x0 + ∆ x, f ( x0 + ∆ x )). Le coefficient directeur de cette sécante est précisément le quotient ∆f / ∆ x de l’équation 7.1. Lorsque la fonction est dérivable en x0, si l’on se rapproche de x0 en diminuant progressivement ∆ x jusqu’à le faire tendre vers zéro, la droite sécante tend vers une droite limite. Il s’agit de la « tangente » au graphe en ce point, dont l’équation est donnée à la figure 7.4. La valeur de la dérivée de la fonction f en x0 correspondra au coefficient directeur de cette droite, si elle existe (i.e., si elle n’est pas indéterminée, voir figure 7.5 où la tangente est verticale) et qu’elle est unique, c’est-à-dire que la demi-tangente gauche ( x → 0 − ) et droite ( x → 0 +) forment un angle plat, ce qui n’est par exemple pas le cas de la fonction valeur absolue (également reproduite sur la figure 7.5) en x = 0, et pour lequel nous avons fourni quelques explications ci-dessus. y = f 0 (x0 )(x

tangente

•

f (x0 )

x0 ) + f (x0 )

s´ecantes

• •

f (x0 +

Figure 7.4 

•

x)

f (x) =

1 (0, 0) 1

x0

x0 +

x2

4 2

x

x

Interprétation graphique de la dérivée.

f (x) = |x|

2

f (x) =

Figure 7.5 

p |x|

1

x 0 -2

-1

0

1

2

-1

-2

1

Illustration du cas ( | x | en x = 0) où les deux demi-tangentes en un point ne forment pas un angle plat, et celui où le coefficient directeur de la tangente est indéterminé en un point ( x en x = 0). 72

chapitre 7  • Analyse

4.2 Opérations sur les fonctions dérivables Soient I un intervalle, x0 un élément de I, u et v deux fonctions définies sur I et dérivables en x0 , et λ un réel. Les fonctions suivantes sont alors dérivables en x0 : u + v, λ u, u ⋅ v et

u si v( x0 ) ≠ 0. v

Ces mêmes fonctions sont dérivables sur I (pour u/v, v ne doit pas s’annuler sur I). Les nombres dérivés ou les fonctions dérivées correspondantes sont obtenus à l’aide du tableau 7.4. Tableau 7.4  Opérations sur les dérivées. fonction

dérivée

u+v

u′ + v′

λu

λu′

u⋅v

u′ ⋅ v + u ⋅ v′

u/v

u′ ⋅ v − u ⋅ v′ v2

Exemples Sachant que la dérivée de la fonction sin est la fonction cos et que celle de la fonction cos est la fonction –sin (voir plus loin), on a : –– La dérivée de la fonction [ x  3 x 2 + x sin x ] est la fonction [ x  6 x + sin x + x cos x ] ; sin 1 –– La fonction tan = , définie sur ] − π / 2, π / 2[, est dérivable de dérivée = 1 + tan 2. cos cos 2

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Dérivée d’une fonction composée Soient f et g deux fonctions dérivables telles que g  f soit définie sur un intervalle I (non réduit à un point). Alors g  f est dérivable sur I et ∀x ∈ I , (g  f )′( x) = g′( f ( x)) ⋅ f ′( x). Exemples –– La dérivée de la fonction [ x  cos ( x 2 )] est la fonction [ x  −2 x sin ( x 2 )] ; –– La dérivée de la fonction [ x  (sin(3 x 2 ))2 ] est la fonction [ x  12 x sin (3 x 2 ) cos (3 x 2 )] ; –– Si f est une fonction dérivable de dérivée f ', alors pour tout entier n ≥ 1, la fonction f n est dérivable de dérivée : [ x  nf n −1 ( x ) ⋅ f ′( x )].

73

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

4.3  Croissance, concavité, extremum et point d’inflexion

4.3.1  Croissance Le résultat suivant que vous démontrerez en licence à l’aide du théorème des accroissements finis fait le lien entre monotonie et signe de la dérivée. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. On a les équivalences suivantes : –– la fonction f est constante sur I si et seulement si f ′( x) = 0 pour tout x ∈ I ; –– la fonction f est croissante sur I si et seulement si f ′( x) ≥ 0 pour tout x ∈ I ; –– la fonction f est décroissante sur I si et seulement si f ′( x) ≤ 0 pour tout x ∈ I. Exemple En guise d’illustration, considérons la vitesse v en fonction du temps t d’un objet en chute libre sans vitesse initiale, à la surface de la Terre : v(t ) = − gt avec g une constante physique (9,81 m·s–2). On voit donc que lorsque t va doubler en passant d’une seconde à deux secondes, la vitesse sera deux fois plus petite (−2g au lieu de −g). Le raisonnement est identique si l’on triple, quadruple,... le temps. On dit donc que l’évolution de la vitesse en fonction du temps est linéaire, et sa représentation graphique dans un repère orthonormé est une droite. La dérivée de [t  v(t )] par rapport à t sera [t  − g], avec g la constante positive donnée plus haut. La représentation graphique de v dans un repère orthonormé sera donc une droite décroissante avec un coefficient directeur −g identique en tout t. Cela s’interprète comme le fait que la vitesse décroît de manière constante à travers le temps. La hauteur z du même objet en fonction du temps s’écrit 1 z(t ) = − gt 2 + z0 2 où z0 est la hauteur initiale de l’objet, en mètres. Cette fois-ci, on voit que la dérivée de la fonction d’intérêt est −gt. On constate donc que la hauteur z(t ) va décroître (g et t sont positifs, donc −gt est négatif pour toute valeur de t), mais que le coefficient directeur de la tangente à z(t ) en t, c’est-à-dire −gt, n’est pas constante et dépend du temps : au début la pente est douce (faible valeur de t), et la pente augmente avec t. Cela signifie qu’à incrément de temps égal la variation de z(t ) est de plus en plus grande, c’est-à-dire, graphiquement, que z(t ) décroît plus « brutalement », ou plus « vite » (on parle de vitesse de variation) quand t augmente. On remarquera que la dérivée de z, [t  − gt ], correspond à l’expression de la vitesse en fonction du temps. Sa dérivée, −g, correspond donc à la dérivée de la dérivée de z. On parle de dérivée seconde. Puisque la dérivée seconde de la position (ici, la hauteur car nous ne considérons qu’une dimension et qu’il s’agit de la hauteur de l’objet) est la dérivée première de la vitesse, on peut interpréter la dérivée seconde de la position, soit la dérivée première de la vitesse, comme une mesure de la variation de la vitesse, c’est-à-dire l’accélération a(t ). Les dérivées temporelles se notent souvent par un point :

74

z(t ) = v(t ),

 z (t ) = v(t ) = a(t ).

(7.2)

chapitre 7  • Analyse

4.3.2  Concavité et extremum Tandis que la dérivée première nous renseigne sur le caractère croissant/décroissant d’une fonction et sur sa vitesse de variation, la dérivée seconde d’une fonction nous renseigne sur la concavité de la fonction : si la concavité de la fonction est tournée vers le haut, la dérivée seconde sera positive, alors qu’elle serait négative pour une concavité tournée vers le bas. Ces deux informations sont importantes, notamment lorsque l’on cherche un extremum d’une fonction : lorsque la fonction passe par un minimum ou par un maximum, sa dérivée première s’annule. Si la dérivée seconde en ce point-là est positive, c’est que la concavité est tournée vers le haut et nous avons trouvé un minimum ; si la dérivée seconde est négative, c’est que la concavité est tournée vers le bas et nous avons trouvé un maximum. – Ce n’est pas parce que la dérivée première d’une fonction s’annule que nous avons un extremum : par exemple, la dérivée première de [ x  x 3 ] s’annule en x = 0, mais sa dérivée seconde également. – S’il existe plusieurs minima ou maxima, on veillera bien à différencier un minimum/maximum global (le plus bas/haut) d’un minimum/maximum local (n’importe quel autre).

4.3.3  Points d’inflexion Il est possible de détecter un changement de concavité en un point d’une fonction : la tangente traverse la courbe et la dérivée seconde s’annule en ce point. On appelle cela un point d’inflexion. Il peut être horizontal lorsque la dérivée première s’annule également en ce point (comme dans x 3) ou oblique (voir figure 7.6) dans le cas contraire. Un point d’inflexion vertical peut exister lorsque la dérivée première et la dérivée seconde n’existent pas en un point.

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Point d’inflexion

Figure 7.6 

f (x) = sin(x)

1 •

⇡

(0, 0)

x ⇡

Illustration du changement de concavité au passage d’un point d’inflexion oblique.

Tandis que les dérivées première et seconde d’une fonction f peuvent s’écrire

f ′( x ) =

df dx

et

f ′′( x) =

d2 f ,(7.3) dx 2 75

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

les dérivées d’ordre supérieur s’écrivent f (k ) ( x) =



dk f .(7.4) dx k

4.4  Étude de graphe Nous avons maintenant plusieurs outils nous permettant de caractériser le graphe d’une fonction : nous pouvons tout d’abord, connaissant l’expression de la fonction en sa variable, déterminer son domaine de définition et son domaine image, ce qui, entre autres choses, nous aide à comprendre pourquoi la fonction sera représentée graphiquement dans un repère du plan dont les abscisses sont éventuellement limitées à un intervalle choisi. Considérant l’ensemble du domaine de définition de la fonction, nous pouvons dresser une table reprenant, éventuellement en définissant des sous-intervalles, quelles sont les caractéristiques de la fonction à l’intérieur de ces (sous-)intervalles : son signe, sa croissance, sa concavité. Nous pouvons également nous appuyer sur le calcul des racines, des extrema et points d’inflexion pour délimiter les sous-intervalles à considérer.

Définitions Ensemble de définition C’est l’ensemble  f des réels en lesquels la fonction f est définie. Par exemple, l’ensemble de définition de la fonction définie par f ( x ) = ln sin x est  f = R \ {kπ | k ∈ Z}. Ensemble d’étude C’est une partie e de  f sur laquelle il suffit de connaître f pour connaître f sur  f . Ce sont des propriétés de la fonction f qui permettent de déterminer e. éléments de symétrie Si la fonction est paire, il suffit d’étudier f sur [0, +∞[ ∩  f (ou ] − ∞,0] ∩  f ) et la droite d’équation x = 0 est un axe de symétrie de la courbe représentative. Si la fonction est impaire, il suffit d’étudier f sur [0, +∞[ ∩  f (ou ] − ∞,0] ∩  f ) et l’origine O est centre de symétrie de la courbe représentative. Périodicité Si f est périodique de période T, la courbe représentative est invariante par toute translation  de vecteur u (kT , 0) avec k ∈  , et il suffit d’étudier f sur un ensemble de la forme [α , α + T [ ∩  f , où α est quelconque. Si de plus f présente une symétrie par parité, on peut choisir α = −T / 2, et il suffit d’étudier f sur un ensemble de la forme [0,T / 2[ ∩  f . étude des variations de f Le plus souvent, la fonction f est dérivable sur des intervalles contenus dans l’ensemble d’étude. L’étude du signe de f ′, qui peut nécessiter le recours à l’étude des variations d’une autre fonction, donne les variations de f.

76

chapitre 7  • Analyse

étude aux bornes de e Généralement, e est une réunion d’intervalles. L’étude aux bornes consiste alors à étudier la fonction aux bornes de ces intervalles. On doit alors préciser en ces bornes les limites de f, la continuité, la dérivabilité. Tableau de variations On résume dans un tableau de variations les différentes propriétés de la fonction f sur e : croissance, décroissance, extrema, limites aux bornes.

Exemple Pour illustrer cela, nous avons choisi la fonction f définie par f ( x ) = sin x + sin (2 x ). 1. On a  f = . 2. La fonction f est périodique de période 2π . Elle est impaire. On choisit donc e = [0, π ]. 3. Les zéros de f sont (k ∈ ) :

{k ⋅ π , ± 23π + k ⋅ π }.

2π et π (en particulier, nous noterons x0 = 2π /3). 3 4. La fonction est continue et dérivable sur . On a Sur e , nous avons donc 0,



f ′( x ) = cos x + 2 cos 2 x = cos x + 2 (2 cos 2x − 1) = 4 cos2 x + cos x − 2. 



(7.5) (7.6)

Les zéros de f ′ sont donc donnés par l’équation 4 cos 2 x + cos x − 2 = 0. Posons cos x = t. L’équation devient 4t 2 + t − 2 = 0

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dont les solutions sont t1 =

−1 + 33 −1 − 33 ≈ 0,59 et t2 = ≈ − 0,84. 8 8

Ces deux solutions appartiennent à [−1,1]. On a donc deux solutions x1 et x2 telles que cos x1 =

−1 + 33  π et x1 ∈ 0,  ⊂ e  2 8

cos x2 =

−1 − 33 π  et x2 ∈  , π  ⊂ e , 2  8

car cos est une bijection de [0, π ] sur [−1, 1], avec t1 > 0 et t2 < 0. On obtient alors le tableau de variations de f (voir tableau 7.7). 5. On peut alors tracer le graphe de f sur [0, π ] et on complète par des translations de vecteur  uk (2kπ ,0), avec k ∈ . La représentation graphique de f est donnée à la figure 7.8.

77

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

x

0

x1

2⇡ 3

x2

⇡

cos x = t

1

t1 ⇡ 0,59

−1/2

t2 ⇡ −0,84

−1

4t2 + t − 2

+

0

−

0

+

f 0 (x)

+

0

−

0

+

f (x1 )

Figure 7.7 

f (x)

0

0

0

f (x2 )

Tableau de variations de la fonction [ x  f ( x ) = sin x + sin ( 2 x )]. (x1 , f (x1 ))

•

1 f (x) = sin x + sin(2x)

Figure 7.8 

(x0 , 0)

(0, 0) •

•

•

⇡

x

•

(x2 , f (x2 ))

Illustration de l’étude du graphe de f ( x ) = sin x + sin ( 2 x ).

5 Calcul intégral

1

Au même titre que la dérivée, l’intégrale joue un rôle majeur en sciences. Nous rappellerons donc ici très brièvement le lien entre dérivation et primitivation, avant de connecter la notion de primitive à celle d’intégrale. Tout comme pour la dérivée, nous donnerons ici une interprétation graphique à l’intégrale, avant de rappeler quelques propriétés de l’intégration et quelques primitives usuelles, couramment utilisées dans les premières années de licence en sciences. 78

chapitre 7  • Analyse

5.1 Primitives : lien avec la dérivée

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f est une fonction F dérivable sur I vérifiant ∀x ∈ I , F ′( x ) = f ( x). Exemple Soient I = [0, π / 2] et f : x  cos x. La fonction F : x  sin x est une primitive de f sur I car F ′( x ) = cos x .

Une fonction f définie sur un intervalle I qui admet au moins une primitive F sur I en admet une infinité qui diffèrent toutes de F par une constante : si G est une autre primitive de f sur I, alors ∃C ∈ , ∀x ∈ , G ( x) = F ( x) + C .

∫

On note donc f ( x) dx une primitive de f à une constante près. Proposition

Soit f une fonction de x, continue sur un intervalle  donné. Il est possible d’écrire une fonction F telle que sa dérivée rende f : F ′( x) = f ( x).(7.7)



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5.2 L’intégrale et son interprétation graphique 2. Le symbole d’intégration (le grand S) est une transposition de celui de sommation au calcul infinitésimal : on somme pour x variant infinitésimalement de a à b le produit de f (x) par cet incrément infinitésimal dx. On notera que l’on peut écrire de manière équivalente le « dx » avant ou après « f (x) » puisqu’il s’agit d’un produit.

Vous avez défini au lycée l’intégrale d’une fonction continue positive sur un intervalle [a, b] comme l’aire de la surface comprise entre l’axe des abscisses et le graphe de f ( x) entre a et b. Lorsque la fonction est de signe variable, l’intégrale est une aire algébrique positive ou négative suivant la position de la courbe par b

rapport à l’axe des abscisses. Cette quantité se note2 ∫ f ( x) dx. a

Vous avez admis au lycée que pour une fonction continue f sur un intervalle I, on a pour tout a et b de I : b

∫a f ( x)dx = F (b) − F (a) = [F ( x)] ba(7.8)

On dit aussi que

b

∫a f ( x)dx est l’intégrale « définie » car on en définit les bornes,

par opposition à l’intégrale indéfinie

∫ f ( x)dx = [ x  F ( x) + C ] (7.9)

qui désigne la famille de primitives.

79

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

On dit que l’on utilise la valeur algébrique de l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses car lorsque f ( x) est positive, l’aire est comptée positivement, tandis qu’elle est comptée négativement lorsque f ( x) est négative. Par exemple, figure 7.9, on peut retrouver la valeur de l’intégrale x0

∫a



f ( x) dx (7.10)

en additionnant l’aire des portions grisées de gauche et de droite, et en leur soustrayant celle du centre.

Figure 7.9 

Représentation graphique de la définition intuitive de l’intégrale. Propriétés

– Formule de Chasles (convention) Si a ≥ b, on pose b

a

∫a f ( x)dx = − ∫b f ( x)dx. Soient f : I →  une fonction continue sur I et a, b, c des éléments de I. Alors, b

c

b

∫a f ( x)dx = ∫a f ( x)dx + ∫c f ( x)dx. – L’intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales. b

b

b

∫a ( f ( x) + g( x))dx = ∫a f ( x)dx + ∫a g( x)dx ; – L’intégrale du produit par un réel est égale au produit de l’intégrale par ce réel. b

∫a

80

λ f ( x) dx = λ

b

∫a f ( x)dx.

chapitre 7  • Analyse

C’est la linéarité de l’intégrale. Cette dernière propriété est constamment utilisée : 7

∫0 7

∫0

π 5

π 5

(tan x + 3cos x + 2 x 2 + 1) dx =

2

(tan x + 3cos x + 2 x + 1) dx = 7

∫0

π 5

dx tan x + 3

7

∫0

π 5

7

∫0

dx cos x + 2

π 5

7

∫0

dx tan x + 3

π 5 x2

dx +

7

∫0

7

∫0 π 5

π 5

dx cos x + 2

7

∫0

π 5 x2

dx +

1dx.

– Positivité : soit f une fonction continue et positive sur I : ∀x ∈ I , f ( x) ≥ 0. Soient a et b deux éléments de I, alors  (a ≤ b) ⇒  



b

∫ a f ( x)dx ≥ 0  .

On en déduit par la linéarité de l’intégrale la propriété suivante : – Soient f et g deux fonctions continues sur I un intervalle de  et telles que : ∀x ∈ I , f ( x) ≤ g( x). Alors, b

b

∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx pour a ≤ b. – On rappelle que la fonction ln est la primitive définie sur *+ de [ x  1/x] qui s’annule en x = 1. Sachant que ∀x ∈ [1, + ∞[,

1

≤ 1,

x

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on en déduit ∀x ∈ [1, + ∞[, ln x =

x

∫1

dt t

≤ x − 1.

On peut ensuite montrer que cette dernière inégalité est vraie sur tout *+ en utilisant les propriétés de l’intégrale. – Valeur absolue de l’intégrale : soit f une fonction continue sur I un intervalle de . Alors b

∫a

f ( x) dx ≤

b

∫a

f ( x) dx.

81

7

∫0

π 5

1dx.

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

6 Fonctions usuelles Nous allons revoir ici quelques types de fonctions très fréquemment utilisées en sciences, incluant les fonctions du premier et second degré, les fonctions puissance, l’exponentielle, le logarithme et les fonctions circulaires.

6.1 Le premier degré Parmi les fonctions polynômes les plus simples, la plus simple étant la fonction de degré zéro (c’est-à-dire une fonction constante), la fonction polynôme du premier degré peut s’écrire sous la forme

f :  → (7.11)



x  mx + p(7.12)

où m et p sont deux réels. Reporter l’évolution des valeurs f ( x) de f en fonction de x sur un graphique en utilisant un repère orthonormé consistera à tracer une droite d de coefficient directeur m et d’ordonnée à l’origine f ( x = 0) = p . Cette fonction sera dite linéaire lorsque l’ordonnée à l’origine sera nulle, et affine dans le cas contraire. Prenons deux couples de coordonnées dans notre repère orthonormé : le point A ( x A , f ( x A )) et le point B ( xB , f ( xB )) . Le coefficient directeur de la droite, m, se calcule alors comme le rapport m=



f ( xB ) − f ( x A ) .(7.13) xB − x A

Cela est représenté à la figure 7.10. L’ordonnée à l’origine est quant à elle la valeur f ( x = 0), c’est-à-dire l’ordonnée lorsque la droite d coupe l’axe des ordonnées (l’axe vertical). Nous noterons qu’une droite peut être horizontale quand m = 0, ou verticale (x = p) avec une pente indéterminée.

3. Dans le cas d’une représentation graphique dans un repère orthonormé pour lequel la représentation de f serait une droite, on sait qu’en géométrie euclidienne, par deux points il ne peut passer qu’une seule droite.

82

Fait intéressant, de l’expression de deux fonctions du premier degré [ x  f ( x) = m f x + p f ] et [ x  g( x) = mg x + pg ] , nous pouvons détecter si leur représentation graphique dans un repère orthonormé consiste en deux droites qui sont paralléles (m f = mg) ou perpendiculaires (m f = −1/ mg). Il est possible de reconstruire l’expression d’une fonction du premier degré [ x  f ( x) = mx + p] à partir de la connaissance de deux couples de valeurs3 ( x0 , f ( x0 )) et ( x1 , f ( x1 )) :

f ( x) =

f ( x1 ) − f ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ),(7.14) x1 − x0

chapitre 7  • Analyse

f (x) =

✓ |

yB xB

{z m

yA xA

◆

B

yB

•

yB

Figure 7.10 

yA

x+p

}

A •

xB

xA

yA

•

p

p/m

xA

xB

x

Représentation graphique d’une fonction du premier degré dans un repère orthonormé.

que l’on peut remettre sous la forme y = mx + p :

f ( x) =

f ( x1 ) − f ( x0 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) x + f ( x0 ) − x0 .(7.15) x1 − x0 x1 − x0    m p

Considérant la représentation graphique de f dans un repère orthonormé, de trois points dont les coordonnées correspondent à trois couples du graphe de f, soient ( x1,  f ( x1 )), ( x2 ,  f ( x2 ) ) et (x3 , f ( x3 )), l’on sait qu’ils sont nécessairement alignés dans ce repère et qu’ils vérifient donc

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f ( x3 ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x1 ) = .(7.16) x3 − x1 x2 − x1

1 de deux fonctions du premier degré Finalement, si l’on a l’expression [ x  f1 ( x) = m1 x + p1 ] et [ x  f2 ( x) = m2 x + p2 ] , il est possible de trouver quelles sont les coordonnées auxquelles les droites correspondant à leur représentation graphique dans un repère orthonormé se croisent, si elles se croisent. Dans l’affirmative, deux droites qui se croiseraient auraient la même ordonnée dans ce repère, impliquant que f ( x1 ) = f ( x2 ), ce qui nous permet d’égaler m1 x + p1 et m2 x + p2 pour trouver : p − p1   (m1 x + p1 = m2 x + p2 ) ⇔  x = 2  .(7.17)  m1 − m2 

Le x que nous venons d’isoler correspond à l’abscisse à laquelle les deux droites se croisent. Pour trouver l’ordonnée ( f ( x1 ) = f ( x2 ) = yc ) à laquelle les droites se croisent, il suffit d’injecter le résultat précédent dans l’expression de l’une ou l’autre des deux fonctions : m p − m2 p1 p − p1 p − p1 + p1 = m2 2 + p2 = 1 2 yc = m1 2 . (7.18) m1  −m m1 −m m1 − m2 2 2     f1 f2 83

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

L’intersection de deux droites est illustrée à la figure 7.11.

7 x+3 4

f (x) =

Figure 7.11 

1 •

(0, 0)

g(x) = x

✓

16 5 , 11 11

◆ x

1

1

Exemple : coordonnées de croisement de deux droites représentant chacune graphiquement une fonction du premier degrè dans un repère orthonormé.

6.2 Le second degré La représentation d’une fonction polynôme du second degré

f :  → (7.19)



x  ax 2 + bx + c(7.20)

est, dans un repère orthonormé, une parabole. Il est important de retenir que si a > 0, la concavité de la parabole est tournée vers le haut, tandis que si a < 0, la concavité de la parabole est tournée vers le bas (voir figure 7.12). Si f possède un ou plusieurs zéro(s), c’est-à-dire une ou plusieurs valeurs de x telle(s) que f ( x) = 0, nous pouvons les trouver en commençant par calculer ce que l’on appelle un discriminant : 1

∆ = b 2 − 4 ac.(7.21)

Nous avons alors plusieurs possibilités :

•• ∆ > 0, et les zéros s’écrivent

84

x± =

−b ± ∆ ,(7.22) 2a

chapitre 7  • Analyse

f (x) = −

Figure 7.12 

1 (1 −

p

6, 0)

•

(0, 0)

5 x +x+ 2 2

g(x) =

⊕

⊕

a0

•

1

(1 +

p

6, 0)

x

Illustration des propriétés graphiques d’une fonction du second degré concave (gauche) et convexe (droite).

avec, en considérant la somme et le produit des zéros −b c S = x+ + x− = , P = x+ x− = ,(7.23) a a la possibilité d’écrire ( ax 2 + bx + c = 0 ) ⇔ ( x 2 − Sx + P = 0 ).(7.24)



Le trinôme du second degré peut quant à lui se réécrire ax 2 + bx + c = a( x − x+ )( x − x− ),(7.25)



où l’on voit que l’on est passé d’une somme de termes à un produit de facteurs : on dit que l’on a factorisé le trinôme du second degré. b ∆ = ( xe , f ( xe )), L’extremum de la parabole aura pour coordonnées − , − 2a 14 a ce qui permet à nouveau de réécrire le trinôme sous la forme dite canonique 1

(

)

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ax 2 + bx + c = a( x − xe )2 + f ( xe ) c’est-à-dire

(

ax 2 + bx + c = a x +

b 2a

)

2

−

b 2 − 4 ac . 4a

•• ∆ = 0, et nous avons une solution double :



xr =

−b , 2a

ax 2 + bx + c = a( x − xr )2 .(7.26)

On appelle cela une solution double car on peut réécrire le trinôme du second degré comme a( x − xr )2, c’est-à-dire a( x − xr )( x − xr ), où l’on voit que xr annule deux facteurs ( x − xr ), identiques (d’où « une » solution double). •• ∆ < 0, et il n’y a pas de solutions réelles.

85

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

6.3 La fonction puissance entière [x  xn] Pour tout entier relatif n ∈ , on définit la fonction [ x  x n ] qui est définie pour tout x réel si n ≥ 0 et pour tout x ≠ 0 si n < 0. Cette fonction vérifie les propriétés suivantes : –– elle est continue sur son domaine de définition ; –– pour tout n ∈ , elle est dérivable de dérivée [ x  nx n −1 ] ; –– pour tout n ≥ 0 et n pair, la fonction est convexe, décroissante sur  − et croissante sur  + et on a les limites suivantes : lim x n = +∞, lim x n = +∞;

x →+ ∞

x →− ∞

–– pour n ≥ 0 et n impair, la fonction est croissante et bijective de  dans  et on a les limites suivantes : lim x n = +∞, lim x n = −∞;

x →+ ∞

x →− ∞

–– pour tout n ≠ −1, la fonction [ x  x n ] admet des primitives

∫ x n dx = [ x  4. Un polynôme est une somme de monômes. Par exemple, 2x3 est un monôme.

5. Une combinaison linéaire d'objets est la somme de ces objets, chacun de ces objets ayant été multiplié par un nombre. Une combinaison linéaire ne fait pas apparaître de « terme croisé », produit de plusieurs objets de départ (exemple : a3 x1 x2).

86

x n +1 + C] ; n +1

–– en particulier, pour un k réel,

∫kx 0 dx = ∫kdx = [ x  kx + C ] ; –– pour n = −1, la fonction [ x  x −1 ] admet pour primitives [ x  ln | x | +C ].

6.4 Les fonctions polynomiales Une fonction polynôme4  x  P( x)  est une combinaison linéaire5 de fonctions puissances entières naturelles [ x  x n ] : P:→ x  an x n + an −1 x n −1 +  + a2 x 2 + a1 x1 + a0 Selon cette écriture, le degré du polynôme est le degré le plus élevé de son terme non nul. Dans l’exemple ci-dessus, nous avions un polynôme de degré n si an ≠ 0.

chapitre 7  • Analyse

Une racine xr d’une fonction polynôme est une valeur de son indéterminée qui annule la fonction polynôme : P( xr ) = 0 .

6.5 La fonction racine carrée [x  x ] La fonction racine carrée [ x  x ] est définie de  + dans  +. Elle est aussi notée en notation exponentielle, [ x  x1 2 ] et cela a une utilité pour se rappeler les formules de dérivation ou d’intégration. Cette fonction vérifie les propriétés suivantes : –– elle est continue, strictement croissante de  + dans  + ; –– elle est dérivable sur *+ de dérivée : [x 

1

2 x

=

1 − 12 x ]; 2

–– on a les limites suivantes : lim

x = +∞, lim

x → 0+

x →+ ∞

–– elle admet pour primitives [ x 

d x = +∞ ; dx

2 3 2 3 x + C = x 2 + C ]. 3 3

6.6 La fonction exponentielle La fonction exponentielle est définie comme la fonction exp :  → , solution de l’équation différentielle y′ = y et vérifiant exp(0) = 1. On note souvent exp( x) = e x. Cette fonction vérifie les propriétés suivantes : –– elle est continue, strictement croissante de  sur *+, convexe ; –– de par sa définition, la fonction exp est indéfiniment dérivable et

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

∀x ∈ , exp′( x ) = exp( x) ; –– c ’est une bijection (une application établissant entre deux ensembles une relation telle que tout élément de l’un soit l’image d’un seul élément de l’autre) de  dans *+ : ∀y ∈ *+ , ∃! x ∈ , exp( x) = y ; –– elle admet des primitives :

∫ e x dx = [ x  e x + C ] . –– Nous citerons quelques valeurs remarquables : exp(0) = 1, exp(1) = e

87

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

–– ainsi que les limites suivantes : ex = +∞. x →+ ∞ x

lim e x = +∞, lim e x = 0, lim

x →+ ∞

x →− ∞

Nous reprendrons plus loin la représentation graphique de cette fonction, et nous nous arrêterons pour le moment sur ses propriétés algébriques remarquables : ∀( x , y) ∈  2 , e x + y = e x ⋅ e y ; ∀x ∈ , e − x = ∀( x , y) ∈  2 , e x − y

1 ; ex ex = y; e

∀x ∈ , ∀α ∈ , eα x = (e x )α .

6.7 La fonction logarithme

La fonction logarithme népérien est la primitive sur *+ de la fonction [ x  1/ x] qui s’annule en 1 : ∀x ∈ *+ , ln x =

x

∫1

dt . t

C’est aussi la réciproque de la fonction exp et elle a des propriétés héritées de l’exponentielle : –– elle est continue, strictement croissante de *+ sur , concave ; 1 –– elle est dérivable sur son domaine de définition de dérivée : [ x  ] ; x –– c’est une bijection de *+ sur  ; –– elle admet des primitives :

∫ ln(x ) dx = [x  x ln x + C ] et

∫ ln x dx = [ x  x(ln x − 1) + C ]. –– on a les limites suivantes : ln x = 0; x →+ ∞ x

lim ln x = +∞, lim ln x = −∞, lim

x →+ ∞

x→ 0

–– quelques valeurs remarquables : ln1 = 0, ln e = 1.

88

chapitre 7  • Analyse

La fonction ln vérifie aussi des propriétés algébriques remarquables : ∀( x, y) ∈ *+ × *+ , ln ( xy) = ln x + ln y ; 1 = − ln x ; x x ∀( x, y) ∈ *+ × *+ , ln = ln x − ln y ; y ∀x ∈ *+ , ln

∀x ∈ *+ , ∀α ∈ , ln xα = α ln x.

6.8 Les fonctions exponentielles de base a

Soit a un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base a, notée [ x  a x ] est la fonction définie sur  par ∀x ∈ , a x = exp ( x lna) = e x ln a . Cette fonction a des propriétés héritées de l’exponentielle : –– c’est la fonction constante 1 si a = 1 ; –– elle est continue, strictement croissante, si a > 1 (respectivement décroissante si a < 1) de  sur *+, convexe ; –– elle est dérivable : ∀x ∈ ,

d x a = a x ln (a) ; dx

–– c’est une bijection de  dans *+ ; –– elle admet des primitives : si a ≠ 1,

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

∫a x dx = [ x 

ax + C] ; ln a

–– quelques valeurs remarquables : a 0 = 1, a1 = a ; –– on a les limites suivantes, si a > 1 : lim a x = +∞, lim a x = 0 ;

x →+ ∞

x →− ∞

–– on a les limites suivantes, si a < 1 : lim a x = 0, lim a x = +∞.

x →+ ∞

x →− ∞

89

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

Cette fonction a les mêmes propriétés algébriques que la fonction exp : ∀( x , y) ∈  2 , a x + y = a x ⋅ a y ; ∀x ∈ , a − x =

1 ; ax

∀( x , y) ∈  2 , a x − y =

ax ; ay

∀x ∈ , ∀α ∈ , aα x = (a x )α .

6. Une conjecture est une assertion dont il n’existe pas de démonstration, mais qui est communément admise car non invalidée.

Les plus connues sont en base 10 (10 x), en base 2 (2 x) et en base e (e x, avec e le nombre d’Euler – voir tableau 5.1). Les exponentielles dans ces bases ont de nombreuses applications intéressantes : c’est une exponentielle en base 10 qui est couramment utilisée pour lier la transmittance à l’absorbance en chimie ; c’est une exponentielle en base 2 qui sert communément à formaliser la conjecture6 de Moore en informatique, et c’est une exponentielle en base e qui figure dans les lois de décroissance radioactive enseignées en physique ou de croissance de population enseignées en biologie.

6.9 Les logarithmes de base a Le logarithme (ou fonction log) en base a se définit par sa relation avec l’exponentielle :

∀a ∈ *+ \ {1} , ∀x ∈ *+ , ∀y ∈ ,

loga ( x) = y ⇔ ( a y = x )(7.27)

avec comme propriété essentielle

loga ( a x ) = x = a loga ( x ) ,(7.28)

ce qui permet aussi d’écrire : ∀x ∈ *+ , loga ( x) =

ln x . ln a

Cette fonction a des propriétés héritées du logarithme : –– elle est continue, strictement croissante, si a > 1 (respectivement décroissante si 0 < a < 1) de  sur *+, convexe ; –– elle est dérivable : ∀x ∈ ,

d 1 loga ( x) = ; dx x ln a

–– c’est une bijection de  dans *+ ; –– quelques valeurs remarquables : loga (1) = 0, loga (a) = 1 ; 90

chapitre 7  • Analyse

–– on a les limites suivantes, si a > 1 : lim loga ( x) = +∞, lim loga ( x) = −∞ ;

x →+ ∞

x→ 0

–– on a les limites suivantes, si 0 < a < 1 : lim loga ( x) = −∞, lim loga ( x) = +∞.

x →+ ∞

x→ 0

La fonction loga vérifie aussi des propriétés algébriques remarquables : ∀( x, y) ∈ *+ × *+ , loga ( xy) = loga x + loga y ; 1 = − loga x ; x x ∀( x, y) ∈ *+ × *+ , loga = loga x − loga y ; y ∀x ∈ *+ , loga

∀x ∈ *+ , ∀α ∈ , loga xα = α loga x.

Notations

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Conventionnellement, on notera le logarithme en base e de x « ln x », et le logarithme en base 10 de x tout simplement « log x ». Le premier se nomme logarithme naturel (ou népérien) tandis que le second se nomme le logarithme décimal. Les fonctions exponentielles et logarithmes ont un graphe facilement identifiable, que nous avons reproduit à la figure 7.13 dans deux cas de figure : celui où la base est supérieure à l’unité, et celui où la base est comprise entre zéro et l’unité.

Figure 7.13 

Représentation graphique des fonctions exponentielles et logarithmes en base a, dans le cas où a est plus grand que l’unité (gauche) ou compris entre zéro et l’unité (droite).

91

Partie 2    Mathématiques pour les sciences

6.10 Les fonctions trigonométriques Dans le chapitre 6, nous rappelions ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle de mesure a (ou x). Si l’on considère toutes les valeurs de a (ou x) sur le cercle trigonométrique et y associons une valeur de sinus, cosinus et tangente, nous obtenons des fonctions définies sur l’intervalle [0,2π ] ou sur des parties de [0,2π ] pour la tangente et la cotangente. Ces fonctions peuvent être prolongées par périodicité sur  ou une partie de  si on imagine que l’on tourne indéfiniment sur le cercle trigonométrique.

6.10.1  La fonction sin C’est une application impaire de  dans , périodique de période 2π et indéfiniment dérivable sur . Le graphe de cette fonction sur [0, π ] suffit pour construire le graphe complet, en tenant compte de la symétrie par rapport à O et de la périodicité. Il est représenté sur la figure 7.14. On a les propriétés suivantes : –– elle est continue, impaire, périodique de période 2π sur  ; –– elle est dérivable : ∀x ∈ , sin ′ x = cos x ; –– elle admet des primitives :

∫ sin(x ) dx = [x  − cos x + C ] ; –– on a la limite suivante : lim

x→ 0

sinx = 1. x

6.10.2  La fonction cos C’est une application paire de  dans , périodique de période 2π et indéfiniment dérivable sur . Le graphe de cette fonction sur [0, π ] suffit pour construire le graphe complet, (voir figure 7.14). On a les propriétés suivantes : –– elle est continue, paire, périodique de période 2π sur  ; –– on a la limite suivante : lim

x→ 0

cos ( x) − 1 = 0; x

–– elle est dérivable : ∀x ∈ , cos ′ x = − sin x ; –– elle admet des primitives :

∫ cos(x ) dx = [x  sin x + C ]. 92

chapitre 7  • Analyse

6.10.3  La fonction tan   π . Son ensemble de définition est R \ (2k + 1) | k ∈ Z ,   cos x 2   π car cos x s’annule pour toutes les valeurs de (2k + 1) | k ∈  . C’est une applica  2 tion impaire, périodique de période π et indéfiniment dérivable sur son domaine de définition. Le graphe de cette fonction sur  0, π /2  suffit pour construire le graphe complet, (voir figure 7.14). On a les propriétés suivantes : –– elle est continue sur son domaine de définition, impaire, périodique de période π ; –– elle est dérivable : 1 ∀x ∈ , tan ′x = = 1 + tan 2 x ; cos 2 x Elle est définie par tan x =

sin x

–– on a les limites suivantes : lim tan x = +∞ ;

8

cm · an–1

Un rift13 est une déchirure continentale qui correspond à un système en extension et se traduit par un amincissement de la lithosphère et la remontée du Moho (figure 17.10). L’extension est localisée dans la croûte continentale et peut être le résultat de contraintes tectoniques distensives de grande ampleur liées aux mouvements horizontaux des plaques et/ou le résultat de la remontée d’un panache mantellique qui forme un bombement et un étirement de la lithosphère. La divergence est alors assez lente, comprise entre quelques mm · an–1 et 1 cm · an–1. Un rift continental peut s’étendre sur 3 000 km (comme le rift Est-africain) et l’extension est souvent accompagnée d’un volcanisme alcalin important. L’érosion des reliefs est responsable de dépôts sédimentaires syn-rift et post-rift, le plus souvent lacustres. Un rift continental peut soit avorter (morphologie en horst et graben de quelques dizaines de kilomètres de large le long de failles normales, comme par exemple le rift de la Limagne), soit évoluer vers un rift océanique avec la formation d’une lithosphère océanique et une océanisation (Mer Rouge).

2.1.2  Subduction et collision

14. Comparées à l’âge des continents, les plaques océaniques sont donc jeunes car leur âge ne dépasse pas 180 millions d’années.

244

Associées à des frontières convergentes, les subductions et les collisions sont des zones où les plaques lithosphériques disparaissent dans le manteau. Ces contextes sont associés à une sismicité de magnitude importante pouvant dépasser 9. Une grande partie des zones de subduction actuelles sont réparties autour de l’océan Pacifique, appelée la Ceinture de feu (figure 17.9). Outre les séismes, les zones de subduction sont associées à des reliefs importants et du volcanisme. La subduction est liée au refroidissement de la plaque océanique qui devient plus dense à mesure qu’elle s’éloigne de la dorsale. Quand sa densité dépasse celle de l’asthénosphère sous-jacente, la plaque chevauchée (ou inférieure) s’enfonce alors pour être recyclée dans le manteau14. L’enfoncement de la lithosphère océanique, froide et dense, a pour conséquence de produire des anomalies thermiques et gravimétriques et une

chapitre 17  •  Dynamique de la planète Terre

point chaud subduction

lithosphère océanique

dorsale

lithosphère continentale

Figure 17.10 

rift

collision

craton 0

100 670 pro fon deu r

NOYAU Panache ascendant

(km

)

2900

au nte ma rieur é f in

au nte r ma érieu sup

Contextes géodynamiques.

15. La profondeur de la fosse des Mariannes excède 10 km.

concentration importante de la sismicité dans le plan interplaque (plan de WadatiBenioff), mais également au sein de la plaque plongeante. En surface, les structures tectoniques et la géomorphologie des reliefs mettent en évidence des variations topographiques majeures, notamment une fosse océanique, étroite et profonde15 le long de la bordure où une plaque commence à s’enfoncer sous l’autre. Entre la fosse et la plaque chevauchante, les sédiments s’accumulent, se plissent et forment un prisme d’accrétion. Les prismes d’accrétion sont recoupés par de nombreuses failles inverses, témoins d’un raccourcissement important. À environ 200 km de la fosse, sur la plaque chevauchante (ou supérieure), on trouve un relief marqué par une chaîne de montagnes si la plaque chevauchante est continentale (la cordillère des Andes) ou un arc insulaire si elle est océanique (chapelet d’îles volcaniques comme aux Antilles). On peut également trouver un bassin d’arrière arc qui correspond à une zone en extension située sur la plaque chevauchante en arrière de l’arc volcanique et qui dans un cas de forte extension peut conduire à l’ouverture d’un océan.

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Magnitude des séismes La définition de l’importance d’un séisme a longtemps été basée sur la notion d’intensité, c’est-à-dire sur les effets observés en surface d’un tremblement de Terre. La difficulté est qu’en un lieu donné, un séisme lointain et important peut avoir la même intensité qu’un séisme local de faible importance. On définit aujourd’hui l’importance ou la magnitude d’un séisme à partir du moment sismique qui dépend de l’énergie libérée par ce séisme :

M = Mw =

2 log ( M 0 ) − 6 (17.13) 3

avec M0 le moment sismique définit comme

M 0 = µ × S × d (17.14)

avec m la rigidité du milieu, S la surface de glissement et d le déplacement moyen sur le plan de faille. L’échelle étant logarithmique, un tremblement de Terre de magnitude 7 libérera 1 000 fois plus d’énergie qu’un de magnitude 5 et 32 fois plus qu’un de magnitude 6.

245

Partie 5   Géosciences

Les roches magmatiques et mantelliques qui composent la lithosphère océanique sont des basaltes, gabbros et péridotites. L’enfouissement de la lithosphère océanique au niveau des zones de subduction va se traduire par une transformation des minéraux et des assemblages minéralogiques. Les minéraux vont se rééquilibrer aux nouvelles conditions de pression et de température dans lesquelles ils se trouvent. Un basalte formé d’olivine, de plagioclase et de verre silicaté par exemple va se transformer en schiste vert, puis schiste bleu (1), puis éclogite (2) suivant les réactions métamorphiques (figure 17.11) :  

(1) actinote + chlorite + plagioclase → glaucophane + H 2O

(2) glaucophane + H 2O

→ omphacite + grenat + H 2O

(17.15)

Figure 17.11 

Schiste bleu à gauche avec glaucophane donnant une couleur bleutée à la roche et Eclogite à droite avec grenat (rouge) et omphacite (vert).

L’augmentation de la pression va notamment avoir pour conséquences la déshydratation des minéraux et un transfert de fluides depuis la plaque océanique plongeante vers le manteau, abaissant ainsi la température de fusion du manteau et permettant la fusion partielle et la formation de magmas d’arc. Ces magmas, moins denses, peuvent remonter vers la surface et produire un volcanisme explosif car riche en eau. Si les contraintes tectoniques ne le permettent pas, ces magmas vont être bloqués dans la croûte océanique ou continentale sus-jacente et former des plutons granitiques. Le devenir de la plaque lithosphérique plongeante est un sujet encore largement débattu quant à savoir comment et jusqu’où la plaque peut plonger. Les études couplées de tomographie sismique, de géochimie des laves, et de modélisations numériques, permettent cependant de mettre en évidence un recyclage des panneaux de lithosphère dans le manteau inférieur jusqu’à la limite manteau inférieur – noyau externe à  2 900 km de profondeur (figure 17.10). La formation des chaînes de montagnes est associée à la collision entre deux continents. On parle alors de subduction continentale (figure 17.10). Contrairement aux subductions océaniques, la plaque plongeante n’est pas plus dense que le manteau asthénosphérique. Comme un bouchon qu’on tenterait d’immerger, la plaque chevauchée n’est maintenue en profondeur que sous l’effet du poids de la

246

chapitre 17  •  Dynamique de la planète Terre

16. Le poids des reliefs est pour l’essentiel compensé par la poussée d’Archimède qu’exerce le manteau sur la racine crustale.

plaque chevauchante. Ceci génère des mouvements verticaux importants, responsables de la formation des plus hauts sommets de notre planète comme l’Everest qui culmine à plus de 8 800 m et des hauts plateaux comme le Tibet ou les Andes. La collision se traduit par un épaississement de la croûte qui peut être caractérisé par des observations géologiques (structurale, métamorphique, géomorphologique) et géophysiques (sismologique, gravimétrique, thermique). En surface, les structures tectoniques et la géomorphologie des reliefs mettent en évidence des variations topographiques importantes. Le plongement de la plaque inférieure génère un bassin d’avant pays dans lequel les sédiments associés à l’érosion de la chaîne se déposent. Le prisme orogénique, associé à la formation des chaînes de montagnes, implique alors une échelle crustale plus importante que pour les subductions océaniques. Plus à l’intérieur de la chaîne, les hauts reliefs sont maintenus isostatiquement16. Comme pour les subductions océaniques, l’enfoncement de la plaque plongeante va se traduire par une transformation des minéraux et de l’assemblage minéralogique des différentes roches qui la constituent, en passant par les faciès schiste vert, schiste bleu et éclogitique. Mentionnons deux différences majeures entre subduction et collision : l’absence de volcanisme et le rôle majeur des processus de surface dans la dynamique orogénique.

2.1.3  Les failles transformantes On trouve de grands décrochements aussi bien en domaine océanique (faille de Clipperton) que continental (faille de San Andreas, faille Nord Anatoliennne). Ce contexte est associé à une sismicité de magnitude forte pouvant atteindre 8,5 comme en 2012 dans l’océan Indien. Ce type de contexte est associé à des mouvements uniquement horizontaux. Les failles transformantes ont souvent une géométrie simple sub-verticale. Ces failles peuvent cependant juxtaposer deux lithosphères de propriétés et d’âges différents. Les différences de flottabilité ou de capacité à être érodé peuvent alors générer des variations de relief qui sont observables sur le terrain et en télédétection.

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2.1.4  Les cycles de Wilson Les différents contextes géodynamiques présentés ne sont pas isolés les uns des autres mais contribuent ensemble à l’évolution spatiale et temporelle du globe terrestre. Le cycle définit par Tuzo Wilson (1908-1993) décrit cette évolution en intégrant la formation puis la dislocation d’un supercontinent sur une période d’environ 400 à 600 millions d’années (figure 17.12). Ce cycle s’est reproduit, selon les modélisations, de 8 à 12 fois sur la durée des temps géologiques. Ces modélisations suggèrent que ces cycles sont loin d’être réguliers. La question de leur périodicité n’est pas tranchée à l’heure actuelle. La convection asthénosphérique est responsable du mouvement des plaques lithosphériques. Les courants ascendants de convection

247

Partie 5   Géosciences

Figure 17.12 

  Cycle de Wilson qui décrit le « ballet » des continents à la surface de la Terre au cours des temps géologiques.

se manifestent par une décompression adiabatique (sans transfert thermique) et une fusion partielle du manteau créant la croûte océanique au niveau des dorsales (volcanisme des dorsales) tandis que les courants descendants de matériel froid correspondent à la plongée des plaques lithosphériques dans le manteau au niveau des zones de subduction, formant les domaines en convergence. Nous pouvons noter que les vitesses de subduction (1 à 12 cm ⋅ an–1) sont du même ordre que les vitesses d’accrétion. Les mouvements horizontaux superficiels du manteau sont quant à eux les moteurs du déplacement des plaques lithosphériques et de la divergence à partir des dorsales.

2.1.5  Les cratons Actuellement, les quantités de croûte continentale formée et recyclée dans le manteau se compensent. La croissance des continents doit donc être recherchée dans le passé. En effet, comment expliquer la formation des roches les plus anciennes et le fait qu’elles aient échappé à plusieurs cycles de Wilson depuis plus de 4 milliards d’années ? L’étude de la distribution des âges de la croûte continentale montre que le cœur des plaques lithosphériques continentales est

248

chapitre 17  •  Dynamique de la planète Terre

constitué de matériaux non recyclés depuis environ 2 milliards d’années. Ceci suggère que la croissance de ces régions appelées cratons a eu lieu avant la mise en place de la tectonique des plaques telle que nous la connaissons aujourd’hui. Les cratons se seraient donc mis en place au cours de la différenciation du manteau primitif (figure 17.7).

2.2  Processus de surface La dynamique terrestre ne se limite pas à la dynamique interne qui vient d’être décrite. Ainsi la surface de la Terre est le lieu où la lithosphère, l’hydrosphère, l’atmosphère et la biosphère interagissent. Loin d’être immuable, la totalité de la surface terrestre évolue sous l’effet combiné des forçages internes (orogènes, volcans ou séismes), externes (changements climatiques, tempêtes ou inondations) ou anthropiques (dérèglements globaux, aménagement des territoires ou exploitation des ressources). La complexité réside dans les interactions et couplages existants entre ces forçages (figure 17.13). Par exemple, nous avons vu que la collision entre deux plaques continentales va donner naissance à une chaîne de montagnes, c’està-dire à de fortes variations de la topographie. Celles-ci peuvent alors perturber la circulation des masses d’air dans l’atmosphère et donc modifier la localisation des précipitations. C’est par exemple le phénomène de mousson dû à la barrière orographique Himalayenne. Cette modification des précipitations va à son tour perturber la capacité des rivières à éroder et transporter des sédiments. Enfin ces transferts de masse vont modifier la topographie (les zones les plus érodées ayant tendance à se surélever), perturbant alors la circulation des masses d’air et ainsi de suite...

Transfert de masses

Érosion

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Forçage tectonique compression Figure 17.13 

Mouvements verticaux

Perturbation des précipitations

Modification des masses d’air

Couplages entre les processus internes et externes dans la dynamique terrestre à la surface du globe.

249

Partie 5   Géosciences

2.2.1  Les mécanismes d’érosion Avec des amplitudes souvent inférieures à 0,1 mm · an–1, l’érosion moyenne est un processus lent en comparaison de la tectonique des plaques. Localement, dans les chaînes de montagnes très actives, le taux d’érosion peut cependant atteindre 1 cm · an–1 comme en Himalaya ou en Nouvelle-Zélande. Enfin, l’érosion peut être associée à des phénomènes extrêmement rapides comme des chutes de blocs ou des glissements de terrain, qui représentent des risques pour les populations et qui doivent donc être pris en compte dans l’aménagement du territoire.

2.2.2  Le transport sédimentaire Les transferts de masses associés au vent, aux rivières et aux glaciers sont colossaux. On estime ainsi que la charge de sédiment transportée par les rivières à l’échelle mondiale s’élève à environ 18 milliards de tonnes par an. Dans les rivières, on distingue plusieurs types de charge sédimentaire. La charge dissoute correspond aux produits de l’altération comme les ions hydrogénocarbonate HCO3– (équation 16.20), calcium Ca2+ ou sulfate SO42–. Cette charge constitue la principale source de matière dissoute dans les océans. Cependant, contrairement à l’eau océanique, les rivières du globe ont une salinité faible. Pour la charge solide, on distingue la charge en suspension et la charge de fond. La première correspond à des particules très fines (argiles et limons) qui sont maintenues en suspension par la turbulence du cours d’eau. La seconde est associée aux sables et aux galets qui sont transportés sur le fond de rivières. La distance de transport dépend de la vitesse de l’eau et de la taille des particules considérées. La distance de transport de la charge de fond est ainsi plus faible que celle de la charge en suspension, qui peut parcourir plusieurs centaines, voire plusieurs milliers de kilomètres, en quelques années.

2.2.3  La sédimentation Lorsque la dynamique des rivières diminue, la charge sédimentaire se dépose. Tout le matériel transporté s’accumule alors dans des bassins pour former des dépôts sédimentaires. Ces dépôts sont stratifiés car les sédiments se déposent en couches successives. À mesure que les sédiments sont recouverts par de nouveaux dépôts, ils subissent des transformations qui vont conduire à une roche sédimentaire. L’ensemble de ces transformations chimiques et mécaniques est appelé diagenèse. Elle inclut de nombreux processus comme la compaction du sédiment, la cimentation, la déshydratation, des phases de dissolution, et la recristallisation. On distingue trois types de roches sédimentaires en fonction de leur origine : –– détritique, les roches sont formées à partir d’un dépôt composé d’éléments solides en provenance de la désagrégation mécanique des roches préexistantes ; –– chimique, les roches sont formées à partir de la précipitation ou de la cristallisation de la charge dissoute ; –– organique, les roches sont formées à partir de sédiments composés essentiellement de restes d’organismes vivants, ou d’un matériel produit de façon directe ou indirecte par des êtres vivants. Cette dernière catégorie comprend notamment les hydrocarbures et le charbon, dont l’exploitation représente encore aujourd’hui plus de 75 % de la consommation énergétique mondiale. 250

chapitre 17  •  Dynamique de la planète Terre

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Ces trois grands groupes de roches sédimentaires se forment rarement indépendamment les uns des autres. Cette classification doit donc être vue comme une description simplifiée, la plupart des roches sédimentaires pouvant être un « mélange » de deux, voire trois de ces types. La composition, la taille des particules, la couleur des roches sédimentaires traduisent des variations temporelles de la nature des sédiments transportés. L’origine de ces variations peut être multiple comme des variations du niveau marin, des changements climatiques ou des phénomènes extrêmes (séisme, tempête, éruption volcanique). Les roches sédimentaires peuvent également être datées grâce à l’étude des fossiles qu’elles peuvent contenir ou en utilisant des radiochronomètres (voir chapitre 16). Les bassins sédimentaires permettent donc d’accéder à un enregistrement de la dynamique terrestre passée sur des périodes de plusieurs centaines de millions d’années.

251

Partie

6

L

es sciences de la vie, ou biologie (du grec bios « la vie » et logos, « discours »), regroupent les domaines de la science qui impliquent l’étude des composantes et des mécanismes du monde vivant. Dans cette partie, nous reprenons les notions de base de biologie cellulaire et moléculaire ainsi que les notions de diversité du vivant étudiées au collège et au lycée. Nous faisons également appel à des notions de chimie et de mathématiques (développés dans les parties 2 et 4 de cet ouvrage) qui sont indispensables à la résolution de problèmes courants rencontrés en sciences de la vie. Cette partie commence par une présentation de l’anatomie humaine et des différents systèmes qui composent le corps humain, suivie d’une description des structures du vivant aux différentes échelles. Nous décrivons ensuite l’organisation générale des cellules procaryote et eucaryote, ce qui permet d’aborder les mécanismes de traitement de l’information génétique et de son expression au sein d’une cellule. Un chapitre est consacré à la dynamique du cycle cellulaire, plus précisément aux deux types de divisions cellulaires chez les organismes sexués  : la mitose et la méiose. Enfin, la diversité du vivant est abordée à travers la présentation des différents mécanismes permettant d’expliquer la variabilité des phénotypes existant au sein d’une même espèce et entre espèces différentes. Nous terminons par la résolution de problèmes rencontrés en biologie en insistant sur la méthodologie, les unités et la rédaction de réponses aux questions posées.

252

Sciences de la vie

CHAPITRE

18

Anatomie humaine

 254

Organisation générale de la cellule

 260

L’information génétique et son expression

 266

Les différents processus de division cellulaire

 273

La diversité du vivant

 277

Grandeurs et conversions utilisées en biologie

 285

Résoudre une problématique en biologie

 288

CHAPITRE

19

CHAPITRE

20

CHAPITRE

21

CHAPITRE

22

CHAPITRE

23

CHAPITRE

24

253

CHAPITRE

18

Anatomie humaine

1 Présentation générale Afin de pouvoir aborder les principes fondamentaux qui régissent le fonctionnement de l’organisme humain, il est important de bien comprendre et connaître les différents niveaux structuraux qui vont de l’organisme aux molécules. Un organisme est formé de plusieurs organes ayant des fonctions différentes. Ces organes sont structurés pour donner naissance à un système. La structure ainsi que l’emplacement de ces organes dans l’organisme sont décrits en anatomie. Cette discipline étudie aussi les relations inter-systèmes et -organes. La physiologie, quant à elle, s’intéresse au fonctionnement des différentes parties de l’organisme. Étudier et comprendre la physiologie d’un organisme ne peut se faire sans avoir des connaissances solides en anatomie. L’anatomie d’un corps humain avec les principaux organes vitaux est représentée figure 18.1.

Figure 18.1  254

  Les principaux organes du corps humain.

chapitre 18  • Anatomie humaine

Les niveaux d’organisation du corps humain sont, du plus complexe au plus simple : le niveau de l’organisme, puis les niveaux systémique, organique, tissulaire, cellulaire et enfin le niveau atomique. Les niveaux atomique et cellulaire représentent les niveaux de base.

2 Quelques définitions et ordres de grandeur Définitions Organisme : ensemble de systèmes interdépendants. Système : association d’organes et de tissus qui assurent la même fonction ou un ensemble de fonctions. Tissu : cellules semblables et de même origine qui forment un ensemble fonctionnel. Cellule : unité biologique fondamentale, structurelle et fonctionnelle, constituée d’un ensemble de molécules et d’organites. Organite : structure spécialisée contenue dans une cellule, délimitée par une ou plusieurs membranes. Molécule : ensemble d’atomes.

Les tailles de ces différentes structures sont représentées figure 18.2.

Virus de la grippe

Cellule animale Embryon humain

Mitochondrie Protéine

Oeuf de poule

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Atome

Lipides

Cellule végétale

Bactérie

Oeuf de grénouille

Oeuf d’autruche

Femme adulte

Relative sizes on a logarithmic scale 0,1 nm

1 nm

10 nm

100 nm

1 μm

10 μm

100 μm

1 mm

10 mm

100 mm

1m

Visible à l’œil nu Microscope optique Microscope électronique

Figure 18.2 

  Tailles relatives des différentes structures du vivant.

255

Partie 6    Sciences de la vie

3 Les systèmes du corps humain Les différents organes sont structurés en systèmes dont chacun possède des ­fonctions spécifiques. Le corps humain est composé de douze systèmes majeurs ; tous sont aussi nécessaires les uns que les autres pour que l’organisme fonctionne ­normalement. Une représentation schématique de chaque système est indiquée dans la figure 18.3, et leurs fonctions sont succintement décrites ci-dessous : •• Le système squelettique, composé des os, cartilages, tendons et ligaments, fournit un support pour le corps et des sites d’attachement pour les organes. •• Le système musculaire est responsable des mouvements. Le muscle cardiaque (ou myocarde) est responsable de la contraction du cœur. •• Le système circulatoire est composé du cœur, des vaisseaux sanguins et du sang. Il assure le transport des nutriments, des gaz (dioxygène, dioxyde de carbone), des messagers (hormones, cytokines) et des déchets à travers tout le corps. •• Le système nerveux comprend le cerveau, la moelle épinière et les nerfs périphériques. Il a pour fonction de transmettre, générer et relayer des signaux électriques à travers le corps. Il dirige le comportement et les mouvements, et contrôle les processus physiologiques comme la digestion, la circulation et la respiration entre autres. •• Le système respiratoire est composé du nez, de la trachée et des poumons. C’est une interface d’échange de gaz entre le sang et l’environnement. Le dioxygène est absorbé de l’atmosphère vers le sang, et le dioxyde de carbone est rejeté du corps. •• Le système digestif assure le transport et la transformation des substances qui sont nécessaires à la croissance et au maintien de l’activité d’un organisme. Il est composé de la bouche, de l’œsophage, de l’estomac, des intestins ainsi que du foie et du pancréas. •• Le rôle du système urinaire (rein, uretère, vessie, urètre) est de filtrer et d’éliminer les déchets cellulaires, les toxines et l’excès d’eau ou de nutriments du système sanguin. •• Le système endocrinien est composé des nombreuses glandes qui sécrètent des hormones (par exemple hypophyse, thyroïde, pancréas, surrénales). Il permet de relayer des messages chimiques à travers le corps. En coopération avec le système nerveux, ces messages chimiques aident à contrôler des processus physiologiques comme l’absorption de nutriments ou la croissance. •• Le système reproducteur diffère selon les sexes. Chez la femme, il comprend les ovaires, les trompes, l’utérus, le vagin et les glandes mammaires ; chez l’homme, les testicules, les vésicules séminales, les canaux déférents et le pénis. Son rôle principal est de produire des cellules appelées gamètes qui vont permettre la reproduction, et, chez la femme, il assure également le développement de l’ovule fécondé jusqu’à la naissance d’un bébé. •• Le système lymphatique est composé de la lymphe, des vaisseaux lymphatiques et des ganglions lymphatiques. Ce système aide à éliminer les excès de fluide et contribue à la fonction du système immunitaire (rate, ganglions lymphatiques, globules blancs), qui a pour but principal de détruire et éliminer le non-soi et le soi altéré (comme dans le cas de tumeurs). 256

chapitre 18  • Anatomie humaine

•• Le système tégumentaire, composé de la peau, des poils et des ongles, a un rôle

de protection du corps, de régulation de la température corporelle, d’élimination des déchets et de réception des stimulus sensoriels.

Système digestif

Système squelettique

Système musculaire Système tégumentaire Système lymphatique Système endocrinien

Système de reproduction masculin

Système de reproduction féminin

Figure 18.3 

Système respiratoire

Système urinaire

Système nerveux

Système circulatoire

  Les douze systèmes du corps humain.

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4 Un système particulier : le système immunitaire C’est le seul système au sein duquel il n’existe pas de continuité physique entre ses différents constituants ; de plus, il englobe un autre système, le système lymphatique. Le système immunitaire est composé d’organes, de cellules mobiles et de molécules qui permettent de défendre le corps contre les infections, certains dysfonctionnements de l’organisme (cellules tumorales) et, plus généralement, contre les agressions de l’environnement. Les cellules et les molécules du système immunitaire diffusent essentiellement par le sang et le système lymphatique (voir partie haute de la figure 18.4). Les cellules du système immunitaire définissent l’immunité cellulaire alors que les molécules définissent l’immunité humorale. Certains de ces composants interviennent quel que soit le danger (ex : macrophages) ; ils relèvent de l’immunité naturelle (ou innée). D’autres, comme les lymphocytes T ou les anticorps, ne reconnaissent que certains déterminants moléculaires appelés antigènes ; ils relèvent de l’immunité adaptative. 257

Partie 6    Sciences de la vie

Veine sous-clavière Thymus Ganglions lymphatiques Canal thoracique

Appendice

Amygdales Ganglions lymphatiques cérébraux Moelle osseuse rouge Rate

Ganglions inguinaux

Ganglion lymphatique poplité

Lymphatique afférent Cortex Centre germinatif Paracortex

Follicule Capsule Médulla Lymphatique efférent Veine Artère

Figure 18.4    (haut) Le système lymphatique : tissus, organes et vaisseaux ; (bas) La réponse immunitaire à médiation humorale (réponse anticorps). Stimulés par les antigènes et activés par les lymphocytes TCD4, les lymphocytes B contenus dans les follicules des ganglions lymphatiques prolifèrent et se différencient en plasmocytes. La prolifération se caractérise par la formation d’un centre germinatif et la différenciation en plasmocytes permet la production des anticorps.

258

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chapitre 18  • Anatomie humaine

Au cours de la réponse immunitaire, les différentes cellules communiquent entre elles par des messagers moléculaires appelés cytokines. Cet échange d’information optimise l’activité et le recrutement des cellules les plus adéquates pour éliminer le danger. Les cytokines permettent – entre autres – aux cellules de l’immunité naturelle de sensibiliser les cellules de l’immunité adaptative aux antigènes caractéristiques des pathogènes. Les cytokines sont différenciées en fonction de la nature biochimique des molécules ; on distingue ainsi les interleukines (IL), les interférons (IFN), les facteurs nécrosant les tumeurs (TNF), entre autres. L’immunité naturelle intervient dès la perception du danger, essentiellement grâce aux cellules sentinelles présentes dans tous les tissus de l’organisme ; parmi ces cellules, les macrophages jouent un rôle majeur. En effet, les macrophages éliminent directement le danger (des micro-organismes par exemple) par phagocytose et présentent les antigènes aux lymphocytes TCD4, permettant l’activation de l’immunité adaptative. Le déclenchement de l’immunité naturelle se manifeste sous la forme de la réaction inflammatoire (ou inflammation) dont les signes (ou symptômes) sont caractéristiques : rougeur, œdème, chaleur (ou température) et douleur. La réaction inflammatoire s’accompagne par l’expression de cytokines caractéristiques qualifiées de pro-inflammatoires ; parmi celles-ci, citons le TNF-α , l’IL-6, l’IL-1β ou l’IL-12. Les lymphocytes T (Ly T ou LT), prennent naissance dans la moelle osseuse puis migrent ensuite dans le thymus pour y subir une maturation et une différenciation fonctionnelle. Dans le thymus, les Ly T reconnaissant le Soi sont éliminés ; on parle de sélection thymique. À l’issue de la sélection thymique, deux sous-populations de Ly T quittent le thymus : •• les Ly T exprimant le marqueur membranaire CD8 (désignés par Ly T8 ou LTCD8) qui détruisent les cellules altérées (infectées ou tumorales, notamment) ; •• les Ly T exprimant le marqueur CD4 (Ly T4 ou LTCD4) qui activent toutes les cellules de l’immunité parmi lesquelles les lymphocytes B pour la synthèse des anticorps. Dans les ganglions lymphatiques, les lymphocytes T et B s’activent en présence de leurs antigènes spécifiques (voir partie basse de la figure 18.4). Au cours d’une réaction immunitaire, les lymphocytes T et B sont capables de générer des cellules mémoires qui pourront réagir plus rapidement et plus efficacement lors d’une rencontre ultérieure avec les mêmes antigènes.

259

CHAPITRE

19 3

Organisation générale de la cellule

Comme énoncé précédemment, un tissu est composé d’un ensemble de cellules semblables et de même fonction. La théorie cellulaire repose sur trois principes élémentaires : 1. tous les organismes vivants sont constitués d’au moins une cellule ; 2. la cellule est l’unité organisationnelle et fonctionnelle de base de la vie ; 3. toutes les cellules proviennent d’autres cellules vivantes. La taille moyenne d’une cellule étant la plupart du temps inférieure au millimètre, le détail de l’organisation interne d’une cellule n’est pas observable à l’œil nu. Afin de les observer, le recours au microscope est donc nécessaire. Suivant que l’on veuille observer une cellule entière ou les organites intracellulaires, le microscope optique ou le microscope électronique sera utilisé respectivement. Le microscope optique est composé d’une association de lentilles convergentes permettant de grossir l’image de l’ordre de 500 à 2 500 fois (voir chapitre 10 sur l’optique géométrique). La lumière émise par la source lumineuse traverse l’objet (par exemple une coupe de tissus) puis une partie de la lumière est transmise vers la lentille de l’objectif, puis dans celle des oculaires (figure 19.1).

Figure 19.1 

  (gauche) Schéma d’un microscope classique ; (droite) Observation d’une cellule d’oignon au microscope optique (×500).

L’observation au microscope optique de cellules montre que toutes les cellules sont délimitées par une membrane plasmique contenant le cytoplasme qui est constitué d’une solution aqueuse (la notion de solution aqueuse a été vue en chimie, lorsqu’il a été question de dilution) appelée cytosol.

260

chapitre 19  •  Organisation générale de la cellule

De nombreux êtres vivants ne sont constitués que d’une seule cellule, ce sont les organismes unicellulaires comme les bactéries. D’autres organismes sont constitués de plusieurs cellules ; ce sont les organismes multicellulaires, comme les cellules de plantes et d’animaux. Ces derniers contiennent un nombre très variable de cellules en fonction de l’espèce. Ainsi, le corps humain compte de l’ordre de cent mille milliards de cellules (1014). Il existe deux grands types d’organisme cellulaire, les cellules procaryotes et les cellules eucaryotes.

1 Organisation des cellules procaryotes Les cellules procaryotes (du grec pro, qui signifie « avant » et karyon qui signifie « noyau ») sont généralement identifiées aux bactéries. Les bactéries sont des êtres vivants microscopiques constitués d’une seule cellule, dont la taille peut varier de 1 à 10 µ m. Elles présentent des morphologies très diverses telles que cylindriques (exemple : Escherichia coli) ou sphériques (exemple : Staphylococcus aureus) entre autres (figure 19.2). Présentes dans tous les écosystèmes (l’air, les sols, l’eau, l’organisme), certaines bactéries peuvent provoquer des maladies chez les animaux, les plantes ou chez l’espèce humaine comme par exemple la tuberculose due à la bactérie Mycobacterium tuberculosis, ou la pneumonie due principalement à Streptococcus pneumoniae. D’autres bactéries sont utiles au bon fonctionnement de l’organisme, comme par exemple celles constitutives du microbiote intestinal qui contribuent au développement du système immunitaire, participent à la digestion et pourvoient l’organisme en nutriments indispensables comme la vitamine B12. D’autres bactéries sont utilisées pour fabriquer des aliments comme Lactobacillus bulgaricus et Streptococcus thermophilus pour les yaourts.

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Figure 19.2 

  (gauche) clichés de bactéries Escherichia coli ; (droite) clichés de bactéries Staphylococcus aureus

Les bactéries présentent une cellule dépourvue de noyau et délimitée par une membrane plasmique comme pour toutes les cellules ; au-delà de cette membrane, la plupart des cellules bactériennes possèdent une paroi (figure 19.3). Ces cellules possèdent aussi un ADN circulaire ou linéaire, associé à des protéines spécifiques appelées protéines « histone-like » (protéines comparables aux histones des cellules eucaryotes). La structure formée par l’assemblage de l’ADN avec les protéines histone-like constitue le nucléoïde ; ce dernier est situé dans le cytoplasme sans compartimentation. De cette manière, la réplication, la transcription et la traduction de l’ADN (voir plus loin) se font directement dans le cytoplasme. Les bactéries sont des organismes haploïdes qui le plus souvent ne contiennent qu’un seul chromosome. 261

Partie 6    Sciences de la vie

Membrane plasmique Nucléoïde (ADN)

Cytoplasme

Flagelle

Pilus

Figure 19.3 

Ribosome

Paroi cellulaire

Représentation schématique d’une bactérie.

1. Voir chapitre 22, section 2.3.

Le cytoplasme des cellules procaryotes, qui représente le matériel biologique situé à l’intérieur de la cellule et qui est délimité par la membrane cellulaire, occupe 60-70 % du volume total de la cellule. Ce cytoplasme contient les principales molécules qui sont sources d’énergie pour la cellule et qui participent à la synthèse de molécules plus complexes. Il est aussi le siège de nombreuses réactions métaboliques. De nombreuses bactéries hébergent dans leur cytoplasme une ou plusieurs petites molécules d’ADN circulaires appelées plasmides. Ces molécules ont une réplication autonome et ne sont pas intégrés dans l’ADN bactérien. Elles permettent aux bactéries de s’adapter au mieux à leur environnement. Par exemple, la famille des plasmides R, famille la plus largement répandue parmi les bactéries, confère des résistances aux antibiotiques et permettent aux bactéries de survivre à l’action de ces composés. Ces plasmides peuvent être transférés à d’autres bactéries par conjugaison1, ce qui joue un rôle important dans la propagation des résistances aux antibiotiques.

2 Organisation des cellules eucaryotes Quant aux cellules eucaryotes (du grec eu qui signifie « vrai », donc cellule contenant un vrai noyau), elles sont plus grandes que les cellules procaryotes, avec une taille comprise entre 10 µm et 100 µm (figure 19.4). Ces cellules contiennent un noyau délimité par une membrane, contenant plusieurs molécules d’ADN organisées en chromosomes. Ces cellules sont également caractérisées par la présence de différents organites qui ont des fonctions biologiques spécialisées. L’observation des cellules eucaryotes animales et végétales au microscope optique révèle que les cellules possèdent toutes un milieu intracellulaire, délimité par une membrane plasmique. À l’exception des cellules animales, les cellules eucaryotes possèdent également une paroi externe, de nature diverse en fonction des organismes. L’espace intérieur d’une cellule est appelé protoplasme. Il contient le noyau et le cytoplasme. Le cytoplasme des cellules eucaryotes est lui-même constitué

262

chapitre 19  •  Organisation générale de la cellule

Cellule animale

Cellule végétale Paroi cellulaire

Vésicule de pinocytose Lysosome Vésicules de Golgi Réticulum endoplasmique granuleux (REG) Réticulum endoplasmique lisse (REL) Membrane cellulaire plasmique Ribosome Microtubules

Vésicules de Mitochondries Golgi Ribosome Appareil de Réticulum Golgi endoplasmique Nucléole lisse (REL) Nucléole Noyau Noyau Réticulum Centrioles endoplasmique granuleux (REG) Cytoplasme Grande vacuole centrale Amyloplaste (grain d'amidon)

Figure 19.4 

Membrane cellulaire Appareil de Golgi Chloroplaste Membrane de la vacuole Cristal raphide Cristal druse Mitochondries Cytoplasme

  Organisation générale d’une cellule animale et végétale.

d’une matrice aqueuse, le cytosol, et de plusieurs organites. Les cellules eucaryotes présentent des cloisonnements cytoplasmiques permettant la formation des organites parmi lesquels le noyau, le réticulum endoplasmique, l’appareil de Golgi, les lysosomes ou les mitochondries. Ces organites nagent dans le cytosol, qui, chez les eucaryotes, est fluide. Le noyau des cellules eucaryotes est l’organite le plus volumineux qui est délimité par une double membrane directement connectée au réticulum endoplasmique lisse (REL) ou granuleux (REG). Dans le noyau se réalisent la réplication et la transcription de l’ADN alors que la traduction s’effectue dans le cytoplasme de la cellule.

Définitions Le cytoplasme représente l’intérieur des cellules contenu entre la membrane plasmique et le noyau. Il s’agit d’une phase liquide qui contient de nombreuses molécules et organites cellulaires. Le cytosol est la matrice aqueuse qui constitue le cytoplasme. Le protoplasme représente le contenu d’une cellule et comprend le cytoplasme et le noyau.

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Le noyau est la structure cellulaire qui contient l’information génétique ; il est délimité par une double membrane. Nucléole : zone du noyau dépourvue de membrane ayant pour fonction la synthèse de petits ARNs non codants. Le réticulum est un réseau de cavités délimité par une membrane simple qui est en contact avec la membrane nucléaire. Le réticulum endoplasmique lisse participe aux différentes réactions métaboliques cellulaires en synthétisant les lipides et en stockant le calcium cellulaire. Le réticulum endoplasmique granuleux est le siège de la synthèse des protéines sécrétées à l’extérieur de la cellule ou des protéines (voir chapitre 20, section 2) à destination de l’intérieur des organites. Les lysosomes sont des vésicules (petites structures sphériques) délimitées par une membrane et localisées dans le cytoplasme des cellules eucaryotes. Les lysosomes contiennent des protéines (notamment des enzymes) qui permettent la dégradation de molécules intracellulaires indésirables pour la cellule. Les mitochondries sont des organites à double membrane présents dans les cellules eucaryotes. Ces organites sont le siège de réactions qui fournissent l’énergie nécessaire au métabolisme cellulaire.

263

Partie 6    Sciences de la vie

L’appareil de Golgi est composé de disques empilés appelés saccules. La plupart des molécules synthétisées dans le réticulum transitent par l’appareil de Golgi où leur maturation est achevée. Cet appareil fait partie du réseau de membranes internes impliqué dans le transport des macromolécules. Organisme haploïde : organisme dont les cellules ne comportent qu’un seul exemplaire de chaque chromosome. L’information génétique est monoallélique. Cytosquelette : réseau formé par de nombreuses protéines qui permet le maintien de la forme de la cellule. Pour les cellules eucaryotes, il sert d’ancrage aux organites, alors que pour les cellules procaryotes, il joue un rôle dans la division cellulaire. Métabolisme : ensemble des réactions de dégradation (catabolisme) et de synthèse (anabolisme) de molécules biologiques mises en jeu par un organisme pour permettre sa croissance. Lipides : les lipides biologiques constituent un groupe de composés chimiquement variés, dont le caractère commun et déterminant est leur insolubilité dans l’eau. Les fonctions biologiques des lipides sont aussi diverses que leur chimie. Les graisses et les huiles sont les principales formes d’énergie stockées dans de nombreux organismes. Les phospho-lipides et les stérols sont des éléments structurels majeurs des membranes biologiques.

3 Les caractères distinctifs entre cellules procaryote et eucaryote Comme énoncé plus haut, il existe des différences notables entre l’organisation d’une cellule procaryote et eucaryote. Ces différences sont résumées dans le tableau 19.1 et sous forme de schémas comme à la figure 19.5. Cellule procaryote

Cellule encaryote animale Pilus Capsule Ribosome Vacuole

Figure 19.5 

Nucléoïde Cytoplasme Membrane plasmique Vacuole digestive

Mitochondrie Ribosome Centrioles Golgi Réticulum endoplasmique granuleux (REG) Nucléole Noyau Cytoplasme Lysosome Membrane plasmique Vésicule de pinocytose

Flagelle

Comparaison entre une cellule bactérienne et une cellule animale.

264

chapitre 19  •  Organisation générale de la cellule

Tableau 19.1  Comparaison des caractéristiques d’une cellule procaryote et eucaryote. Cellule procaryote

Cellule eucaryote

Taille

1 à 10 µ m

10 à 100 µ m

Type de noyau

Nucléoïde (pas de véritable noyau)

Vrai noyau avec double membrane

Division cellulaire

Division simple

Mitose : réplication de la cellule Méiose : pour la formation des gamètes

Membrane nucléaire

Non

Oui

Nombre de chromosomes

1 le plus souvent ; parfois 2

> 1 (dépend des organismes)

Chromosome circulaire

Oui

Non

ADN extrachromosomique

Plasmides (ADN circulaire le plus souvent)

ADN mitochondrial (circulaire) ADN chloroplastique (linéaire)

Histones

Non (mais protéines similaires compactant l’ADN = histone-like)

Oui

Nucléole

Non

Oui

Organites

Non

Oui (mitochondries, chloroplastes...)

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Caractéristiques

265

CHAPITRE

20

L’information génétique et son expression

Malgré la diversité des organismes vivants, une organisation commune est conservée. Toutes les cellules sont constituées d’une majorité d’eau, d’éléments minéraux (tels que le sodium et calcium) et de molécules organiques indispensables à leur structure et à leur développement, les glucides, les lipides et les protéines. Ces dernières sont synthétisées à partir du matériel génétique représenté par les molécules d’ADN et d’ARN. Les principaux éléments qui constituent les molécules du vivant sont le carbone (C), l’oxygène (O), l’hydrogène (H) et l’azote (N) et à une moindre proportion, le phosphore (P), le magnésium (Mg), le calcium (Ca) et le soufre (S) (Cf Partie 4). Dans ce chapitre, nous allons rappeler comment l’information génétique est stockée, puis traduite.

1 Acides nucléiques : ADN et ARN L’information génétique est portée par la molécule d’ADN (Acide DésoxyriboNucléique) qui est localisée essentiellement dans le noyau des cellules eucaryotes et dans le cytosol des cellules procaryotes. L’ADN de chaque cellule est enroulé et compacté sous forme de chromosomes, groupés par paires chez les animaux et végétaux, et dont le nombre est particulier à une espèce donnée (23 paires chez l’espèce humaine, par exemple). Les chromosomes sont formés soit d’une chromatide, soit de deux chromatides lorsqu’ils sont en cours de division ; dans ce dernier cas, on parle alors de chromosome bichromatidien (figure 20.1). Une chromatide correspond à une molécule d’ADN double brin condensée. Les deux chromatides qui composent les chromosomes sont reliées au niveau d’un resserrement que l’on appelle le centromère. Ces chromatides sont strictement identiques au sein d’un même chromosome et sont des copies l’une de l’autre (figure 20.1). Chromosome simple

Chromosome bichromatidien

Centromère

Figure 20.1  Chromatide

Chromatide Chromatide Chromatides sœur

Représentation schématique d’un chromosome et des chromatides. 266

chapitre 20  •  L’information génétique et son expression

L’ADN est une molécule filamenteuse (2 nm d’épaisseur) qui est constituée par un enchaînement de quatre unités différentes appelées nucléotides. Les nucléotides sont composés d’une structure appelée base sur laquelle est fixé un sucre, le désoxyribose et un, deux ou trois groupements phosphate. Les quatre bases contenues dans la molécule d’ADN sont l’adénine, la thymine, la cytosine et la guanine, identifiées respectivement par les lettres A, T, C et G. La molécule d’ADN se trouve majoritairement sous la forme d’une double hélice dans laquelle deux chaînes d’ADN complémentaires sont entrelacées. Chaque nucléotide A d’une chaîne est associé à un nucléotide T alors que chaque nucléotide C est complémentaire du nucléotide G (figure 20.2). Nucléotide

Figure 20.2 

Représentation schématique d’une molécule d’ADN et de ses nucléotides.

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De plus, la molécule d’ADN se trouve sous une forme compacte en association avec des protéines, appelées histones, sur lesquelles elle s’enroule de façon plus ou moins complexe (figure 20.3).

ADN

Histones

Figure 20.3 

Chromosome

Repliement de l’ADN autour des histones.

267

Partie 6    Sciences de la vie

La portion d’ADN codant une protéine donnée est un gène. Le locus est l’endroit où se situe le gène sur le chromosome. Les informations génétiques codées au niveau d’un même gène peuvent être différentes. Les différentes formes possibles d’un gène donné sont appelées les allèles. La diversité allélique résulte de la variabilité des séquences nucléotidiques possibles d’un même gène. L’ensemble des allèles détenus par un individu constitue le génotype. L’enchaînement particulier de ces bases A, T, G, C qui constitue l’information génétique, est ensuite transcrit en ARN (Acide RiboNucléique) dans le noyau des cellules eucaryotes ou dans le cytoplasme bactérien. L’ARN est constitué d’une seule chaîne de nucléotides. Chimiquement très proche de l’ADN, l’ARN s’en distingue par le sucre qui entre dans sa composition : ribose dans l’ARN et désoxyribose pour l’ADN. Par ailleurs, l’ARN ne contient pas de thymidine mais de l’uracile (cf. tableau 20.1). Tableau 20.1  Nomenclature des principaux nucléotides. Bases

RiboNucléotide (ARN)

DésoxyRiboNucléotide (ADN)

Adénine

Adénosine-mono Phosphate

DésoxyAdénosine-mono Phosphate

Cytosine

Cytidine-mono Phosphate

DésoxyCytidine-mono Phosphate

Guanine

Guanosine-mono Phosphate

DésoxyGuanosine-mono Phosphate

Thymine Uracile

DésoxyThymidine-mono Phoshate Uridine-mono Phosphate

Chez les eucaryotes, les gènes sont le plus souvent constitués de deux types de séquence nucléotidique : •• les exons, qui contiennent l’information, sont transcrits (en ARN) et traduits (en protéine). Cette séquence est appelée séquence codante ; •• les introns qui ne contiennent en général pas l’information génétique mais peuvent jouer le rôle de régulateur de l’expression génétique. Ces séquences sont transcrites en ARN messager (ARNm) mais non traduites en protéines (voir plus bas). L’ARN est ensuite traduit dans le cytoplasme pour donner une protéine.

2 Les protéines 2.1 Rôle des protéines dans la cellule Les protéines représentent environ 20 % de la masse corporelle. Environ 2,5 % de la masse totale des protéines doit être renouvelée chaque jour. Ces molécules, présentes de manière universelle, constituent le composant le plus abondant dans une cellule après l’eau. Les protéines assurent les fonctions essentielles des cellules (réactions chimiques, transmission de signaux ou transport). Les enzymes sont des protéines qui accélèrent les réactions chimiques et participent ainsi au métabolisme cellulaire. D’autres protéines sont impliquées dans la structure des molécules, comme les histones qui participent à la compaction de l’ADN. Enfin,

268

chapitre 20  •  L’information génétique et son expression

certaines protéines participent à la communication hormonale, comme l’insuline. Les fonctions chimiques retrouvées dans la structure des protéines sont les fonctions acides carboxyliques (–COOH) et les fonctions amines primaires (–NH2). L’ensemble des protéines présentes dans une cellule est produit à partir des séquences codantes de l’ADN, les gènes. Les gènes codant les protéines sont dans un premier temps transcrits en ARN messager (ARNm) grâce à une ARN polymérase, puis les ARNm synthétisés sont traduits en protéines. Ces étapes sont appelées transcription puis traduction.

2.2 Transcription de l’ADN en ARN La transcription de l’ADN en ARN est un mécanisme qui se déroule dans le noyau chez les eucaryotes et dans le cytosol chez les procaryotes. Cette étape permet de synthétiser les ARN messagers (ARNm), mais aussi les ARN non codant (ARN ribosomaux ou ARNr et ARN de transfert ou ARNt) qui servent d’outils pour la synthèse des protéines. Dans le noyau des cellules eucaryotes, l’enzyme ARN polymérase parcourt la portion d’ADN correspondant au gène, sépare transitoirement les deux brins d’ADN et, au fur et à mesure de son déplacement sur le brin d’ADN, cette enzyme assemble les ribonucléotides (A, U, G, C) par complémentarité avec l’un des deux brins d’ADN (figure 20.4). L’ARN pré-messager ainsi synthétisé est un ARN qui peut subir des modifications, appelées épissage, au cours desquelles les introns (séquences non codantes), sont supprimés et les exons (séquences codantes) sont raboutés entre eux. L’ARNm ainsi obtenu sort alors du noyau et est traduit en protéines dans le cytosol cellulaire. En fonction des mécanismes d’épissage, plusieurs protéines différentes peuvent être traduites à partir du même ARNm. NOYAU

CYTOPLASME

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ADN double brin

Le brin d’ARN quitte le noyau à travers le pore nucléaire et se retrouve dans le cytoplasme

l’ADN de la double hélice est séparé en deux brins d’ADN

l’ARN polymérase ajoute des ribonucléotides

Figure 20.4 

Un ARN nouvellement synthétisé est formé

ARN messager (ARNm)

  Mécanisme de la transcription dans une cellule eucaryote.

269

Partie 6    Sciences de la vie

Chez les procaryotes, en revanche, transcription et traduction se déroulent de manière simultanée dans le cytosol du fait de l’absence de noyau : dès que l’ARNm est synthétisé, il sert de matrice pour la synthèse d’une protéine. Les ARNm procaryotes ne possèdent pas d’introns et ne subissent donc pas d’épissage. L’étape finale de l’expression génétique correspondant à la synthèse des protéines à partir de l’ARNm est appelée traduction.

2.3 Traduction de l’ARN en protéines Les protéines sont composées d’une ou de plusieurs chaînes peptidiques (appelées polypeptides) elles-mêmes constituées d’un enchaînement d’acides aminés. Les acides aminés sont des molécules organiques qui possèdent une fonction carboxylique (-COOH), une fonction amine (-NH2) et un groupement radical noté R, qui est spécifique de chaque acide aminé. Il existe 20 acides aminés différents, possédant chacun des propriétés chimiques et fonctionnelles spécifiques. L’enchaînement de ces acides aminés dans une protéine suit le même ordre que la succession des informations génétiques sur l’ADN, de sorte que la succession des nucléotides d’un gène indique l’enchaînement des acides aminés qui constituent la protéine. La lecture de l’information génétique s’effectue suivant un cadre constitué de trois nucléotides, appelé codon ou triplet de nucléotides, régi par un code génétique. Un codon est donc un groupe de trois nucléotides qui permet la mise en place d’un type d’acide aminé. Le code génétique est un ensemble de règles que la cellule utilise pour établir la correspondance entre les triplets de nucléotides et un acide aminé (figure 20.5).

Figure 20.5 

Le code génétique et sa redondance. 270

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chapitre 20  •  L’information génétique et son expression

Le code génétique est redondant (ou dégénéré), c’est-à-dire qu’un acide aminé peut être codé par plusieurs codons. En revanche, chaque triplet de nucléotides ne code que pour un seul acide aminé, toujours le même, ce qui fait que le code génétique est univoque. Par ailleurs, il est non chevauchant et non ponctué, c’est-à-dire que les trois nucléotides n’appartiennent qu’à un codon et que les codons se succèdent sans intervalle ni trou. Le code génétique est universel, c’est-à-dire commun à l’ensemble des êtres vivants hormis quelques exceptions pour lesquelles quelques codons diffèrent. Il est à noter que le codon AUG, qui code une méthionine, est appelé codon initiateur car, en général, la méthionine est le premier acide aminé d’une protéine. Par ailleurs, trois codons (UAA, UAG, UGA) sont appelés codons stop car ils induisent l’arrêt de la traduction. La traduction est le processus par lequel les protéines sont synthétisées à partir des ARNm en utilisant le code génétique. Ce processus est localisé dans le cytoplasme cellulaire à partir de l’ARNm au niveau de structures appelés ribosomes. Le ribosome est un complexe composé d’ARN et de protéines ribosomiques. Commun à toutes les cellules (procaryotes et eucaryotes), la composition du ribosome varie en fonction des organismes, même s’il est toujours composé de deux sous-unités distinctes. La petite sous-unité est capable de reconnaître et de se fixer sur une molécule d’ARNm, alors que la grosse sous-unité, associée à la petite sous-unité permet l’assemblage des acides aminés (figure 20.6). La traduction démarre par le codon initiateur AUG, puis le ribosome se déplace de codon en codon en raboutant les acides aminés les uns aux autres grâce à la création d’une liaison peptidique (figure 20.7) entre les acides aminés correspondant à chaque codon et l’acide aminé précédent dans la chaîne protéique. Cette étape s’appelle l’élongation de la traduction. Puis, finalement, la traduction se termine lorsque le ribosome atteint un codon stop. Le ribosome se dissocie alors et la protéine formée est ainsi libérée dans le cytoplasme. Plusieurs ribosomes se fixent successivement sur la molécule d’ARNm et peuvent traduire en même temps l’ARNm en protéines. L’ensemble des ribosomes fixés sur l’ARNm forme le polyribosome. Chez les eucaryotes, les ARNm permettent la synthèse d’une seule protéine : ils sont monocistroniques. Chez les procaryotes, certains ARNm permettent la synthèse de plusieurs protéines différentes à partir d’un seul ARNm car ils contiennent plusieurs séquences successives bordées par des codons initiateur et stop. On dit que les procaryotes ont des ARNm polycistroniques.

Définition Liaison peptidique : liaison covalente (cf. partie chimie) qui s’établit entre la fonction carboxyle (−COOH) d’un acide aminé et la fonction amine (–NH2) de l’acide aminé suivant dans la chaîne peptidique. Ces liaisons sont illustrées à la figure 20.7.

271

Partie 6    Sciences de la vie

Chaîne peptidique naissante Grande sous-unité ribosomale

Figure 20.6 

Petite sous-unité ribosomale

Brin d’ARNm

Assemblage des acides aminés sur un ribosome.

Figure 20.7 

Réaction chimique entre deux acides aminés aboutissant à la formation d’une liaison peptidique. À pH neutre, les acides aminés sont ionisés au niveau des groupements COOH et NH2 en COO− et NH3+ .

272

CHAPITRE

21

Les différents processus de division cellulaire

En fonction du type de cellules (procaryote versus eucaryote) et du devenir des cellules filles, les modalités sont très diverses. Chez les eucaryotes, les cellules somatiques (cellules qui ne participent pas à la reproduction) se divisent selon un processus désigné par le terme global de mitose ; la formation des gamètes haploïdes (nécessaires à la reproduction sexuée) s’effectue selon le processus de la méiose.

1 La mitose Le cycle d’une cellule peut être divisé en deux phases (figure 21.1) : •• l’interphase correspondant à la croissance cellulaire et la réplication de l’ADN c’est-à-dire aux phases G1, S et G2. C’est la phase où les chromosomes deviennent bichromatidiens (figure 20.1) ; •• la mitose correspondant à la division de la cellule en deux cellules-filles identiques. Au cours de cette étape, les différents constituants cellulaires, chromosomes compris, sont partitionnés entre les deux cellules. C’est au début de cette phase que les chromatides se condensent. chromosome bichromatidien Interphase mitose G2

1 chromatide identique dans chaque cellule-fille

Synthèse du matériel mitotique

Interphase S

Réplication de I’ADN

Figure 21.1 

Croissance cellulaire

Interphase G1

  Les deux étapes du cycle cellulaire.

273

Partie 6    Sciences de la vie

La mitose correspond au processus cellulaire au cours duquel les chromosomes dupliqués en phase S sont alignés, séparés, puis ségrégés entre les deux cellules-filles qui s’individualisent ensuite. Les cinq étapes impliquant les chromosomes sont regroupées sous le terme de karyokinèse et sont représentées dans la figure 21.2. Au cours de la prophase, les chromosomes se condensent, la membrane nucléaire se désagrège et les fuseaux mitotiques émergent à partir des centrosomes. Prophase

Anaphase

Prométaphase

Métaphase

Télophase

Figure 21.2 

  Les étapes de la karyokinèse.

La prométaphase correspond à la formation des kinétochores (complexes protéiques) au niveau des centromères ; les kinétochores (deux par centromère) assurent l’attachement des chromosomes sur les fuseaux mitotiques. Au cours de cette étape, chacun des deux centrosomes se localise aux pôles opposés de la cellule. Au cours de la métaphase, tous les chromosomes s’alignent le long de l’équateur pour former la plaque équatoriale. Au cours de cette étape, les chromosomes sont au maximum de leur condensation, ce qui permet d’établir les caryotypes. L’anaphase correspond à la séparation des deux chromatides d’un même chromosome au niveau du centromère. Un lot de chromatides migre vers un centrosome, pendant que l’autre lot migre vers l’autre centrosome ; ils constituent les nouveaux chromosomes des futures cellules-filles. Les fuseaux mitotiques non liés à des chromatides continuent à croître, permettant l’élongation de la cellule (non représenté sur la figure). Pendant la télophase, chaque lot de chromosomes atteint un pôle opposé de la cellule, les fuseaux mitotiques se désagrègent et les enveloppes nucléaires se reforment autour de chacun des lots chromosomiques. À l’issue de ces étapes, le cytoplasme de la cellule se sépare physiquement pour engendrer les deux cellules-filles ; ce processus est appelé cytokinèse (figure 21.3).

274

chapitre 21  •  Les différents processus de division cellulaire

Figure 21.3 

La cytokinèse.

2 La méiose C’est le processus permettant de générer les gamètes haploïdes (n chromosomes) à partir de cellules diploïdes (c’est-à-dire comportant deux représentants homologues de chaque chromosome, soit 2n chromosomes) ; ce résultat est obtenu par une phase de réplication chromosomique (phase S) suivie par deux cycles de division cellulaire (méioses I et II) dont beaucoup des mécanismes mis en jeu sont proches ou identiques à ceux de la mitose. La figure 21.4 illustre sommairement ce processus. Au cours de la prophase I, les chromosomes homologues (paternels et maternels) s’associent et ce sont des paires qui migreront ensuite vers l’équateur de la cellule. L’association par paires se traduit par la formation de chiasmas (croisements) entre les deux chromosomes d’une même paire et des séquences homologues peuvent s’échanger ; c’est l’enjambement ou crossing-over (figure 21.5).

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Méiose I

Interphase

Prométaphase I

Anaphase I Prophase II

Métaphase II

Prométaphase II Prophase I

Cytokinèse

Méiose II

Métaphase I

Télophase II

Anaphase II

Télophase I Cytokinèse

Figure 21.4 

  Les différentes étapes de la méiose.

275

Partie 6    Sciences de la vie

La réduction chromosomique s’effectue au cours de la première division (méiose I). À l’issue de la méiose I, chacun des deux chromosomes bichromatidiens recombinés se retrouve dans une cellule-fille différente (prophase II). Au cours de la prométaphase I, les fuseaux mitotiques issus d’un centrosome lient les kinétochores d’un chromosome d’une paire homologue, tandis que les fuseaux issus de l’autre centrosome lient le second chromosome de la paire. Cette distribution induit la séparation des deux chromosomes d’une paire au cours de l’anaphase I ; chacun migre vers un centrosome opposé. À l’issue de la première cytokinèse sont générées deux cellules-filles ne possédant qu’un lot de chromosomes (haploïdes) ; leur information génétique diffère donc. Les deux cellules haploïdes subissent alors les événements de la méiose II qui sont semblables à ceux de la mitose ; à l’issue de ce nouveau cycle, quatre cellules haploïdes ont été générées.

Figure 21.5 

Le chiasma (gauche) induit (droite) un enjambement ou crossing-over.

276

CHAPITRE

22

La diversité du vivant

1 La diversité génétique intra-spécifique Au sein d’une espèce, aucun individu ne partage un génotype identique à un autre, à l’exception des jumeaux et « multiplés » homozygotes. Cette multiplicité de génotypes différents définit la diversité génétique. La diversité génétique intra-spécifique (c’est-à-dire entre des individus appartenant à une seule et même espèce) est due à deux types de mécanismes, le brassage génétique et la mutagénèse.

1.1  Le brassage génétique Il s’agit du réarrangement et du mélange du matériel génétique au sein d’une population, ce qui correspond à un réassortiment de la séquence et de la nature des chromosomes au cours de la méiose. Il en résulte une combinatoire importante et une diversité allélique accrue au niveau des gamètes générés. Le brassage génétique résulte de la combinaison des brassages intra-chromosomique et inter-chromosomique.

1.1.1  Le brassage intra-chromosomique Il résulte du crossing-over (figure 21.5) et constitue la première source de variabilité génétique. Avant leur séparation, certains chromosomes homologues (d’une même paire) d’origine paternelle et maternelle échangent une partie de leur ADN ; à l’issue de la recombinaison, ils deviennent différents. En effet, comme les événements de crossing-over sont aléatoires quant aux chromosomes concernés et aux séquences échangées, chaque méiose produit des résultats différents, donc des chromosomes différents. Les chromosomes recombinés après les crossing-over portent alors de nouvelles combinaisons alléliques ; la diversité allélique portée par les gamètes est donc accrue par rapport à celle des cellules somatiques.

1.1.2  Le brassage inter-chromosomique Il est dû à la migration indépendante des chromosomes homologues lors de l’anaphase de la première division (figure 21.4). Pour chaque paire de chromosomes, il y a deux possibilités de gamètes : celui qui hérite du chromosome d’origine paternelle et celui qui hérite du chromosome d’origine maternelle. Chez l’espèce humaine, comme il y a 23 paires de chromosomes, il y a donc 223 répartitions possibles, soit 223 gamètes différents (8 388 608 précisément).

277

Partie 6    Sciences de la vie

Le brassage inter-chromosomique conduit donc à une grande diversité de gamètes portant des combinaisons alléliques différentes. La fécondation résultant de la fusion de deux gamètes (paternel et maternel), il y a donc 223 × 223 assortiments possibles, soit plus de 70 mille milliards. En d’autres termes, un couple parental unique peut engendrer (théoriquement) 70 mille milliards enfants différents ! Le brassage génétique (inter-ou intra-chromosomique) ne génère une diversité accrue que si les cellules subissant la méiose sont hétérozygotes (c’est-à-dire portant des allèles différents) pour les gènes concernés.

1.2  La mutagénèse Tout au long du cycle cellulaire, l’ADN peut subir des modifications aléatoires de sa séquence ; ce sont des mutations. Ces événements peuvent être d’origine endogène, dus à des erreurs de l’ADN-polymérase, ou à un environnement cellulaire particulier (hydrolyse, potentiel redox, acidité...), ou résulter de l’action de composés extracellulaires (radiations ionisantes, agents alkylants, composés intercalants...) qualifiés d’agents mutagènes. Trois types de mutations peuvent être différenciés selon leur nature : – les mutations ponctuelles correspondant à la modification d’un nucléotide ; – les insertions correspondant à l’ajout d’un ou plusieurs nucléotides ; – les délétions correspondant à la perte d’un ou plusieurs nucléotides. Seules les mutations germinales (affectant les gamètes) contribuent à la diversité génétique. Si la mutation affecte une séquence codante, elle peut donner un nouvel allèle du gène affecté ; ce nouvel allèle sera transmis à la descendance et contribuera à accroître la diversité génétique au sein de l’espèce. En ce qui concerne les mutations ponctuelles, leur fréquence d’apparition est évaluée entre 2 à 3 pour 108 pb (paires de base) par génération. Chaque gamète contenant 3,2 × 109 pb, le nombre de mutations peut être estimé entre 60 et 90 ; un individu issu de la fécondation entre deux gamètes héberge donc de 120 à 180 mutations génomiques par rapport à ses parents.

2 Facteurs et mécanismes influençant la biodiversité Si les mutations et la reproduction sexuée expliquent en grande partie la diversité intra-spécifique, d’autres processus de diversification des êtres vivants existent qui sont à l’origine de la multiplicité des espèces (3,5 millions à l’heure actuelle environ) ; tous ces processus ne sont pas que d’ordre génétique.

2.1  Intervention des gènes du développement Des modifications portant sur l’expression des gènes du développement sont à l’origine de phénotypes très différents. Ces modifications peuvent porter sur la localisation, l’intensité ou la chronologie de l’expression de ces gènes.

278

chapitre 22  •  La diversité du vivant

Définition Phénotype : ensemble des caractéristiques morphologiques, anatomiques et physiologiques qui définissent un être vivant, tant qualitativement que quantitativement.

Parmi les gènes du développement, les gènes homéotiques, retrouvés dans toutes les espèces animales avec des homologies de séquences importantes, contrôlent la mise en place des organes et des appendices. Des modulations dans leur séquence et leur expression peuvent perturber l’organisation spatiale de l’organisme et sa morphologie. Exemples Chez les serpents, le gène Hox6, responsable de la formation de côtes, s’exprime tout le long de l’axe antéro-postérieur, contrairement à ce qui se passe chez les autres vertébrés où la limite antérieure est localisée au niveau de la transition cervical/thoracique ; ceci explique la présence de côtes sur toutes les vertèbres des serpents. Chez les pinsons de l’espèce Geospiza fortis, c’est l’intensité et la durée d’expression du gène Bmp4 qui déterminent la croissance du bec, créant ainsi une multitude de formes différentes.

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2.2  La polyploïdisation La polyploïdisation est un mécanisme classique au sein des végétaux alors qu’il est très rare chez les animaux. On estime que 70 % des espèces angiospermes ont connu au moins un événement de polyploïdisation au cours de leur histoire évolutive. La polyploïdie est le fait pour un organisme de posséder plus de deux jeux de chomosomes homologues. Ainsi, si l’espèce humaine est diploïde avec 2n = 46 chromosomes, certains êtres vivants sont triploïdes avec 3n chromosomes, tétraploïdes avec 4n chromosomes,... Par exemple, la banane possède 3 lots de 11 chromosomes (3n avec n = 11), le blé tendre possède 6 lots de 7 chromosomes (6n avec n = 7) et le coton 4 lots de 13 chromosomes (4n avec n = 13) ; les cellules qui en résultent ont une taille supérieure et la production végétale est accrue. Lorsque cet événement concerne un même génome, il s’agit d’autopolyploïdie ; lorsque des génomes différents sont impliqués, il s’agit d’allopolyploïdie. L’autopolyploïdisation résulte d’une méiose anormale au cours de laquelle les chromosomes homologues ne se séparent pas, soit par absence de cytokinèse, soit par la non-formation des fuseaux mitotiques ; la mitose suivante génère des gamètes à 2n. Les 48 chromosomes (4n) de la pomme de terre résultent d’une autopolyploïdisation. L’allopolyploïdisation résulte de la rencontre de gamètes provenant d’espèces différentes (figure 22.1). Au cours de la première mitose, la réplication des chromatides s’effectue mais la division cellulaire n’a pas lieu car il n’y a pas d’appariement de chromosomes homologues (génomes différents). Par la suite, la mitose suivante se déroule normalement. Les 42 chromosomes (6n) du blé tendre résultent d’une double allopolyploïdisation : la première a eu lieu il y a 500 000 ans et a donné naissance à une espèce à 28 chromosomes (4n), la seconde s’est déroulée il y a 9 000 ans et a donné l’espèce actuelle.

279

Partie 6    Sciences de la vie

Gamète A

Gamète B fécondation Zygote stérile (pas de division possible)

Figure 22.1 

Réplication des chromosomes Mitose anormale (pas de cytokinèse) Réplication des chromosomes

Hybride polyploïde (fertile)

Mécanisme d’allopolyploïdisation.

2.3  Les transferts horizontaux de gènes Les transferts horizontaux correspondent aux passages d’ADN d’un organisme donneur à un organisme receveur sans que ce dernier ne soit un descendant du donneur. Ces transferts peuvent se dérouler selon différents mécanismes : – la capture par le receveur d’un ADN libre, libéré par le donneur ; – la mise en place d’un pilus de conjugaison pour le transfert de plasmides entre bactéries (figure 22.2) ; – l’intervention d’un virus insérant son ADN dans le génome de l’hôte au cours de l’infection. plasmide

Figure 22.2 

Pilus de conjugaison chromosome

Bactérie donatrice

Bactérie réceptrice

La conjugaison bactérienne : la bactérie donatrice, pourvue d’un plasmide (ADN extrachromosomique), élabore le pilus de conjugaison qui contacte la bactérie réceptrice. Un brin de l’ADN plasmidique est alors transféré grâce au pilus conjugatif. Les ADN-polymérases de chacune des bactéries synthétisent ensuite le brin complémentaire. 280

chapitre 22  •  La diversité du vivant

Les transferts horizontaux sont fortement impliqués dans la dissémination des résistances aux antibiotiques chez les bactéries, notamment par la conjugaison des plasmides R qui portent plusieurs gènes de résistance. L’émergence de souches multirésistantes pose un sérieux problème de santé publique, surtout lorsqu’elles sont présentes dans les établissements de soins. Exemple Chez les primates, les gènes codant les syncitines-1 et -2, nécessaires à la formation du placenta, proviennent des rétrovirus HERV-W et HERV-FRD, respectivement. La syncitine permet au virus d’adhérer à la cellule-hôte, puis de fusionner son enveloppe avec la membrane plasmique de cette dernière. Lorsqu’elle est exprimée par certaines cellules embryonnaires, elle induit la fusion des membranes et la formation de cellules géantes multinucléées à l’origine du placenta. On estime que près de 8 % de l’ADN humain provient de rétrovirus, et près de 50 % pour l’ADN du maïs.

2.4  La symbiose L’exemple le plus connu est le lichen qui résulte de la symbiose entre un champignon et soit une algue verte, soit une cyanobactérie ; le champignon est appelé mycobionte et le partenaire photosynthétique est le phycobionte. Par sa capacité de photosynthèse, le phycobionte synthétise la matière organique tandis que le mycobionte prélève, dans l’environnement, l’eau et les éléments minéraux et assure l’ancrage de la structure symbiotique. Cette symbiose génère une nouvelle espèce de par sa morphologie et sa capacité à se développer dans de nouveaux écosystèmes par rapport à chacun des partenaires. La théorie endosymbiotique postule que des symbioses ancestrales ont conduit à la genèse de la mitochondrie et du chloroplaste et ont permis l’émergence des eucaryotes aérobies dans un premier temps et photosynthétiques par la suite (figure 22.3). La double membrane des mitochondries et des chloroplastes témoigne

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1

Des repliements membranaires ont donné naissance à des organites parmi lesquels le noyau et le réticumum endoplasmique, générant un eucaryote ancestral

3

Au cours d’une capture ultérieure, une cyanobactérie évolue en chloroplaste

réticulum endoplasmique

noyau

3 1

Procaryote ancestral

cellule eucaryote chlorophyllienne actuelle

cyanobactérie

2

2

L’eucaryote ancestral ingère une bactérie aérobie qui évolue en mitochondrie

bactérie aérobie

mitochondrie

Cellule eucaryote hétérotrophe actuelle

Figure 22.3 

  La théorie endosymbiotique. 281

Partie 6    Sciences de la vie

de l’existence d’une membrane bactérienne en plus de la membrane de l’hôte ; de même l’existence d’un ADN propre ayant des caractéristiques spécifiques témoigne d’une ancienne origine cellulaire.

2.5  La transmission culturelle Au sein d’une même espèce, des populations occupant des écosystèmes spécifiques peuvent adopter des comportements différents afin de s’adapter au mieux à leur environnement. Ces comportements, qui ne relèvent pas d’un déterminisme génétique, s’acquièrent par apprentissage ; les animaux « novices » reproduisant les comportements adoptés par les autres membres de la communauté. Exemple Les baleines à bosse fréquentant le golfe du Maine ont adopté une technique de chasse différente des autres populations de l’espèce ; au lieu de produire un filet de bulles d’air, elles donnent de grands coups de queue dans l’eau. Initialement observé chez une seule baleine en 1980, ce comportement avait été acquis par 40 % des animaux en 2007. Les observations menées entre 1980 et 2007 ont montré que les baleines pratiquant la pêche avec coups de queue l’avaient fait après avoir été en association avec un congénère pratiquant cette technique dans 87 % des cas.

La transmission d’un comportement peut s’effectuer par d’autres modalités que l’observation. Exemple Les moineaux à couronne blanche apprennent leur chant d’adulte entre l’âge de 10 à 50 jours. Les moineaux qui n’entendent aucun chant pendant cette période sont incapables d’émettre un chant d’adulte clair ; ceux ayant entendu un chant différent reproduisent le chant entendu, une fois adulte. L’origine de l’œuf n’a pas d’influence sur le chant, prouvant le caractère non génétique de ce comportement.

3 Diversité du vivant et évolution de la biodiversité La diversité, issue des mécanismes précédemment décrits, est soumise à deux forces évolutives : la sélection naturelle et la dérive génétique. Il en résulte des modifications quantitatives et qualitatives des différentes populations pouvant conduire à leur disparition ou à l’apparition d’une nouvelle espèce ; ces modifications caractérisent l’évolution de la biodiversité.

3.1  La dérive génétique Il s’agit d’un mécanisme aléatoire conduisant à une modification de la fréquence des allèles au sein d’une population donnée. Exemple Lors de la dernière glaciation, des papillons d’une espèce ancestrale de Zerynthia ont trouvé refuge dans le sud de l’Italie et le sud des Balkans ; chaque population a été soumise à une dérive génétique différente. À l’issue du processus évolutif, les deux populations diffèrent

282

chapitre 22  •  La diversité du vivant

par les organes reproducteurs, empêchant toute hybridation. Chacune de ces populations constitue une espèce distincte, Zerynthia cassandra et Zerynthia polyxena. À l’heure actuelle, les deux espèces ont colonisé à nouveau l’ensemble du continent européen ; elles cohabitent sans possibilité de reproduction entre elles.

3.2  La sélection naturelle Bien que la biodiversité soit très élevée, elle est toutefois inférieure à celle attendue en prenant en compte l’ensemble des mécanismes qui y contribuent. Cette différence est due à la sélection naturelle qui tend à éliminer les formes de vie mal adaptées à leur environnement en favorisant les populations capables d’assurer leur succès reproducteur en dépit des épreuves environnementales. Exemple L’évolution des variétés de la phalène du bouleau (Biston betularia) au cours du temps, en Angleterre, illustre ce processus de sélection naturelle. Originellement de couleur claire, tachetées de noir, les ailes de ce papillon se confondaient avec l’écorce des bouleaux (figure 22.4). Des mutations de l’allèle codant la couleur sont à l’origine d’individus noirs (variété carbonaria) qui étaient rapidement éliminés car facilement repérables par les prédateurs (oiseaux). Avec l’industrialisation de l’Angleterre, les formes noires ont supplanté les formes claires (variété typica) dans les régions industrialisées car les arbres étaient recouverts de suie ; jusqu’à 98 % des phalènes étaient noires. À l’heure actuelle, la pollution a disparu dans les régions considérées et la proportion de la variété carbonaria est retombée à moins de 1 %.

Figure 22.4 

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Les variétés typica (gauche) et carbonaria (droite) de la phalène du bouleau.

3.3  La spéciation La sélection naturelle et la dérive génétique peuvent conduire à l’apparition de nouvelles espèces, cette émergence est qualifiée de spéciation. La spéciation peut résulter d’une séparation physique des différentes populations ; il n’y a plus d’échanges génétiques et les dérives génétiques conduisent à l’émergence de nouvelles espèces comme dans le cas de Zerynthia (cf. section 3.1). Une telle spéciation est qualifiée d’allopatrique. La spéciation peut se réaliser dans un même écosystème, à l’occasion de l’apparition d’un allèle qui permet à certains individus d’exploiter différemment les ressources ; les deux populations qui en résultent ne partagent plus les mêmes niches ­écologiques et, la dérive génétique aidant, ne peuvent plus se reproduire entre elles. Cette spéciation est qualifiée de sympatrique. 283

Partie 6    Sciences de la vie

Exemple Dans le lac Apoyo (Nicaragua), l’espèce Amphilophus citrinellus s’est diversifiée pour donner la nouvelle espèce A. zaliosus en rencontrant de nouvelles conditions environnementales. Issus de cours d’eau de faible profondeur, l’arrivée de ces poissons dans le lac dont la colonne d’eau a une profondeur de 200 mètres a permis l’émergence d’individus capables de se développer dans les profondeurs et d’en exploiter les ressources. A. zaliosus vit au large et possède une mâchoire qui ne contient que des petites dents pointues ; A. citrinellus vit au bord du lac et a une mâchoire avec des molaires.

La spéciation peut se réaliser sur une durée variable, selon la population de départ, l’espèce considérée, le milieu et les possibilités d’échanges génétiques entre les individus ; il est donc possible d’en observer le déroulement. Exemple À l’heure actuelle, en Amérique du Nord, la mouche Rhagoletis pomonella est soumise à une spéciation sympatrique. À l’origine, les larves de la mouche se développent sur l’aubépine, mais depuis la fin du XIXe siècle sont apparues des larves se développant sur le pommier. Bien qu’appartenant à la même espèce, le taux d’hybridation entre les mouches se reproduisant dans la pomme et celles se nourrissant de cenelles (fruit de l’aubépine) n’est que de 4 % à 6 % ; en laboratoire, toutefois, les mouches du pommier et celles de l’aubépine se croisent facilement en donnant une descendance fertile !

3.4  La notion d’espèce La définition de l’espèce n’a cessé d’évoluer au cours du temps, en fonction du développement des techniques de l’identification. À l’heure actuelle, l’espèce peut être définie comme une population d’individus isolés génétiquement des autres populations. Cette notion inclut également le concept de barrière de reproduction entre espèces différentes.

284

CHAPITRE

23

Grandeurs et conversions utilisées en biologie

1 Focus sur le dalton Outre le nombre d’Avogadro, la notion de mole, le nombre de moles, la masse ­molaire, la concentration molaire, la masse volumique et la densité qui sont des notions déjà vues au chapitre 14, ainsi que le pourcentage massique vu au chapitre 11, nous aimerions revoir l’unité de masse moléculaire qu’est le dalton, défini comme le douzième de la masse d’un atome de carbone, et dont le symbole est Da. Exemples 1. Masse moléculaire de l’eau (H2O) : 2 × 1 + 16 = 18 Da, ce qui nous dit que la masse molaire de l’eau est de 18 g · mol-1. 2. Masse moléculaire du glucose (C6 H12O6) : 6 × 12 + 12 × 1 + 6 × 16 = 180 Da, ce qui nous dit que la masse molaire du glucose est de 180 g · mol-1.

2 Préparation d’une solution Nous aimerions également donner un exemple d’application à la biologie de la préparation d’une solution : Exemple Une solution de sérum physiologique contient 0,9 % de NaCl. Quelle masse de NaCl est nécessaire pour préparer 1 L de solution ? Solution : 0,9 % de NaCl signifie que la solution contient 0,9 g de NaCl pour 100 g de solution. Donc, il faut 9 g de NaCl pour 1 000 g (1 kg) de solution. Or, la masse volumique de l’eau étant de 1 kg ⋅ L–1, 1 kg d’eau correspond à 1 L. Donc, pour préparer 1 L de solution à 0,9 % on doit peser 9 g de NaCl à resuspendre dans 1 L d’eau. Notez bien qu’il s’agit là d’une approximation, couramment utilisée dans la pratique. En effet, 9 g de NaCl dans 1000 g d’eau, cela fait un pourcentage massique de (9/1009) × 100, ce qui est très proche des (9/1000) × 100 (la variation due à l’approximation est négligeable dans la pratique).

1. Pour la définition du pH, se reporter au chapitre 13 de la partie 4 (Chimie).

2.1  pH d’un milieu physiologique En biologie, le pH1 est une grandeur essentielle au bon fonctionnement d’un organisme vivant. Dans leur état physiologique, les différents constituants de l’organisme (cellules, tissus, liquides) présentent des pH très variables, pouvant se situer dans des gammes plus ou moins étroites. Par exemple, le pH du sang artériel se situe autour de 7,4 avec une variation très faible de l’ordre de 0,05 unité. Le pH du sang a donc des valeurs comprises entre 285

Partie 6    Sciences de la vie

7,35 et 7,45 ; en deçà d’un pH de 7,35, les personnes sont en état d’acidose et peuvent présenter des troubles divers allant jusqu’à la mort pour un pH de 7. En ce qui concerne l’estomac, le pH peut varier dans une large gamme comprise entre 1,5 et 5. Les pH de divers compartiments de l’organisme sont indiqués dans la figure 23.1.

salive (6 - 7,4)

cerveau (7,1) coeur (7 - 7,4) urine (4,5 - 7,5)

foie (7,2)

Figure 23.1 

côlon (7,9 - 8,5) sang artériel (7,4)

estomac (1 - 5)

intestin grêle (7,5 - 8) peau (5,5)

pH de quelques fluides et tissus de l’organisme.

Ces valeurs de pH sont en adéquation avec la physiologie et le fonctionnement des tissus. Ainsi, le pH acide de l’estomac permet une dégradation optimale des protéines par la pepsine (enzyme présente dans le suc gastrique) dont le pH d’action se situe autour de 2. À l’inverse, les enzymes de l’intestin requièrent un pH basique (ou alcalin) pour fonctionner de manière optimale. Chez la femme, le pH vaginal est acide (4 à 4,5), ce qui contribue à réduire la prolifération de bactéries pathogènes, dont le staphylocoque doré (Staphylococcus aureus). Ce pH acide est dû au microbiote du vagin (flore de Döderlein) qui synthétise de l’acide lactique.

2.2 Les unités fondamentales En biologie, les échelles caractéristiques sont les suivantes : •• Longueur : mètre (m) ; 3 •• Volume : mètre cube (1 m3 = 1 000 L) ; centimètre cube (1 cm = 1 mL) ; •• Masse : gramme (g) ; dalton (Da) ; •• Temps : heure (h) ; minute (min) ; seconde (s). et on utilise en plus les puissances de 10 et les préfixes correspondants : kilo (k) = 103 ; milli (m) = 10 −3 ; micro (µ ) = 10−6 ; nano (n) = 10−9 ; pico (p) = 10−12 ; femto (f) = 10−15. 286

chapitre 23  •  Grandeurs et conversions utilisées en biologie

2.3  Relation de proportionnalité et dilutions Ces notions calculatoires de base sont très couramment utilisées en biologie. Pour illustrer nos propos, voici quelques exemples concrets : Exemples 1. V  ous devez préparer 50 mL d’une culture bactérienne en présence de kanamycine (antibiotique). La concentration de kanamycine est à 25 mg ⋅ mL−1. Quel volume d’antibiotique devez-vous ajouter pour avoir au final 20 mg ⋅ mL−1 de kanamycine dans la culture bactérienne ? Le processus de dilution a été détaillé dans la partie 4, notamment à la figure 14.2. Méthodologie : • Avant de se lancer dans les calculs, il est nécessaire de convertir la concentration de kanamycine finale en mg ⋅ mL−1. Sachant que 1 mg = 10−3 mg, 20 mg ⋅ mL−1 correspondent à 20 × 10 −3 mg ⋅ mL−1. Dans la solution, à tout moment, la quantité de matière ne varie pas, ce qui correspond à « nombre de moles de l’état initial (n1) est égal au nombre de moles de l’état final (n2) ». Or, le nombre de moles de kanamycine est égal à la concentration de kanamycine multipliée par le volume de kanamycine. On a donc C1V1 = C2V2 , avec C1 : concentration initiale, C2 : concentration finale, V1 : volume initial, V2 : volume final • Application numérique : on sait que C1 = 25 mg ⋅ mL−1 et C2 = 20 × 10 −3 mg ⋅ mL−1, ainsi que V2 = 50 mL. On doit alors trouver



V1 =

C2V2 (20 × 10 −3 ) × 50 = = 4 × 10 −2 mL, 25 C1

soit 40 µ L.

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2. Le volume recommandé d’une solution aqueuse administrable par voie orale chez la souris et le rat est de 10 mL ⋅ kg−1. Quel sera le volume de solution aqueuse administré à une souris de 30 g ? un rat de 250 g ? Méthodologie : on utilisera ici encore la règle de trois rappelée au chapitre 2 : 1 000 g ↔ 10 mL(23.1) on trouve



30 g ↔ x mL (23.2)

(

)

1 000 10 30 × 10   = ⇔ x = = 0,3    1 000 x 30

(23.3)

ce qui nous donne comme volume administrable 0,3 mL, soit 300 mL. Pour un rat de 250 g, le raisonnement est identique, et on obtient comme réponse 2,5 mL. Remarquez que la masse du rat est 4 fois inférieure à 1 kg, ce qui confirme le résultat du volume obtenu : 4 fois inférieur à 10 mL.

287

CHAPITRE

24

Résoudre une problématique en biologie

1 Tracé d’un graphe Le dosage de protéines dans certains liquides biologiques repose sur la technique de Bradford. Il s’agit d’un dosage colorimétrique basé sur l’utilisation du bleu de Coomassie. Ce colorant se fixe sur les protéines et absorbe alors à une longueur d’onde de 595 nm. Cette technique nécessite la réalisation d’une gamme étalon à partir de concentrations connues d’une protéine de référence, le plus souvent la BSA (albumine bovine sérique). Le tableau 24.1 indique l’absorbance à 595 nm de différentes concentrations de BSA. Tableau 24.1  Absorbance à 595 nm de différentes concentrations de BSA. Concentration en BSA (mg ¥ mL-1)

0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,75

Absorbance à 595 nm

0,06 0,12 0,23 0,38 0,45 0,55 0,69 0,80

Énoncé 1. À partir des valeurs du tableau 24.1, tracez la droite étalon représentant l’absorbance

à 595 nm en fonction de la concentration de BSA. 2. Quelle est la concentration en protéines d’une solution diluée au 1/2, présentant une absorbance de 0,5 ? 3. À quelle absorbance théorique doit correspondre une solution de 10 mL contenant 2,5 mg de BSA ?

Corrections 1. Tracé de la courbe : voir figure 24.1. Quelques conseils :

•• dans un premier temps, il est nécessaire de déterminer quelles sont les grandeurs

à placer sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées. C’est-à-dire, qu’on doit placer l’absorbance (A à 595 nm) sur l’axe des abscisses et la concentration en BSA (mg ⋅ mL-1) sur l’axe des ordonnées. Il faut ensuite déterminer les échelles (abscisse et ordonnée) afin que la courbe occupe un volume optimal sur le document : les différents points de la courbe doivent apparaître suffisamment distants les uns des autres ; •• pensez à donner un titre à la figure et à préciser les grandeurs et unités des différents axes ;

288

chapitre 24  •  Résoudre une problématique en biologie

•• l’alignement des points suggère une relation linéaire donc représentée par une

droite. Celle-ci ne passe pas par tous les points ; il s’agit de la droite moyenne qui passe le plus près possible du plus grand nombre de points. Cette droite moyenne prend en compte les incertitudes liées aux mesures.

0,9

0,9 0,8

0,7

Absorbance à 595 nm

Figure 24.1 

Absorbance à 595 nm

0,8

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Concentration en BSA (mg.mL–1)

0,7

0,8

 

0

0

0,1

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Concentration en BSA (mg.mL–1)

0,7

0,8

(gauche) Absorbance à 595 nm de la BSA en fonction de la concentration, détermination de la concentration pour une absorbance donnée et (droite) détermination d’une absorbance théorique à partir de la concentration. 2. On voit par ailleurs sur la partie gauche de la figure 24.1 que pour une absorbance de

0,5 la courbe donne une concentration voisine de 0,45 mg ⋅ mL−1. La solution étant diluée au 1/2, la concentration réelle est deux fois plus importante, soit 0,90 mg ⋅ mL−1. 3. Absorbance théorique : la solution contient 2,5 mg pour un volume total de 10 mL, ce qui signifie que pour 1 mL de solution, il y a 0,25 mg de protéine ; la concentration de la solution est donc de 0,25 mg ⋅ mL−1. La valeur théorique de l’absorbance de la solution est donc 0,28 ou 0,29 ; l’échelle des ordonnées ne permet pas de discriminer entre ces deux valeurs.

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En toute rigueur, vous ne devez pas donner la valeur de 0,285. En effet, les valeurs d’absorbance indiquées ne sont précises qu’au dixième ; vous ne pouvez donc pas être précis au centième !

2 Analyse de documents issus d’expériences en biologie Méthode 1. Dans un premier temps, il est nécessaire de définir/identifier la problématique ; 2. ensuite, il faut tenir compte des documents fournis pour résoudre la problématique ;

3. puis, il faut décrire le graphe en insistant sur ce qui est présenté en abscisses et

en ordonnées ; 4. enfin, on peut interpréter les graphes en utilisant ses connaissances, et conclure le propos par quelques phrases, résumant les interprétations.

289

Partie 6    Sciences de la vie

Énoncé Au cours de leur croissance, de nombreuses bactéries sont capables de libérer des vésicules membranaires pouvant renfermer diverses molécules de la cellule. Un schéma simplifié de ce processus est illustré figure 24.2.

Figure 24.2 

Libération de vésicules membranaires par une bactérie.

Le rôle des vésicules dans le pouvoir pathogène d’E. coli est étudié dans les expériences présentées ci-après : dans une première expérience, 5 µg de vésicules d’E. coli sont injectés, par voie intra-péritonéale, à des souris. Le fluide broncho-alvéolaire (BAL) est récupéré et la nature et la quantité des cytokines présentes sont déterminées. Les résultats obtenus sont indiqués dans la figure 24.3 partie gauche.

Figure 24.3 

(gauche) Taux de cytokines présentes dans le fluide broncho-alvéolaire des souris inoculées en fonction du temps. « *, **, *** » : différences significatives ; (droite) Survie des souris après injection de 25 µg de vésicules. Triangle : souris inoculées avec du tampon PBS (un tampon phosphate), disques : souris inoculées avec 25 µg de vésicules en suspension dans du tampon PBS. IL : interleukines ; IFN : interféron ; TNF : facteur nécrosant les tumeurs. 1. Que pouvez-vous conclure des résultats de la partie gauche de la figure 24.3 ?

2. Dans une deuxième expérience, la survie de différentes souris est suivie après injection de 25 µg de vésicules d’E. coli par voie intra-péritonéale (le péritoine

est une membrane épithéliale tapissant les organes abdominaux). Les résultats sont visualisés dans la partie gauche de la figure 24.3. Comment expliquez-vous ces résultats ?

Compétences sollicitées pour la question 1 •• Savoir bien lire l’énoncé et se représenter l’expérience : noter que l’injection

est intrapéritonéale et que le fluide broncho-alvéolaire est récupéré : il y a un

290

chapitre 24  •  Résoudre une problématique en biologie

effet à distance et donc diffusion des vésicules. Il faut également noter que les prélèvements s’effectuent sur trois temps différents : il y a donc au moins trois lots de souris (en plus du lot de contrôle) et chacun des lots sera sacrifié aux temps indiqués après l’injection. •• Savoir lire un graphe : malgré la grandeur des intervalles d’erreur, il est précisé que les différences sont significatives. L’échelle des ordonnées est interrompue ; il s’agit donc d’une technique qui permet de loger des valeurs qui sortiraient de la représentation si l’échelle de départ était conservée. Il faut également remarquer que la réponse maximale est obtenue au bout de 6 h, puis décroît à 12 h. •• Mobiliser les connaissances : connaître les cytokines pro-inflammatoires ainsi que la chronologie du déclenchement de la réponse inflammatoire (maximum entre 6 h et 12 h chez l’Homme).

Exemple de réponse à la question 1 On observe que la présence de cytokines pro-inflammatoires (TNF-α et IL-1 notamment) augmente fortement en présence de vésicules, indiquant un effet pro-inflammatoire. Ces cytokines sont présentes dans le BAL alors que les vésicules ont été injectées dans le péritoine, prouvant une diffusion des vésicules dans l’organisme et le déclenchement de la réponse immunitaire loin du site de production. La réponse n’est observée qu’à partir de 6 h, et continue jusqu’à 12 h, ce qui pourrait laisser supposer que jusqu’à 6 h, la réponse immunitaire n’est pas suffisante face au pouvoir pathogène des bactéries. Ce délai de réponse correspond au délai de diffusion des vésicules jusqu’au système respiratoire et au déclenchement de la réponse inflammatoire. Cette réponse diminue par la suite ; on peut conclure que les vésicules sont en voie d’élimination.

Compétences supplémentaires sollicitées pour la question 2

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•• Un esprit de synthèse : l’expérience précédente avait conclu au déclenchement

de la réaction inflammatoire par les vésicules ; la mort si rapide des animaux s’explique donc par cette réaction inflammatoire exacerbée. •• Notez également la différence de concentration des vésicules utilisées entre les expériences 1 et 2 (5 fois plus dans l’expérience 2). Ceci explique pourquoi les animaux meurent au cours de l’expérience 2 et survivent (élimination des vésicules) dans l’expérience 1.

La nécessité de témoins lors de l’expérimentation Le témoin négatif correspond au taux de survie des souris inoculées avec une solution tampon PBS, c’est-à-dire ne contenant pas de vésicules. Les valeurs de survie obtenues dans ces conditions sont donc comparées à celles obtenues dans les conditions « présence de vésicules » afin de pouvoir conclure sur le rôle des vésicules dans la survie des souris.

Exemple de réponse à la question 2 Les vésicules induisent la mort des souris, vraisemblablement par exacerbation de la réaction inflammatoire au regard du temps à partir duquel les souris commencent à mourir (24 h). 291

Index A

absolu (âge) 214 absorbant 29 absorption 134 accélération 98 accommodation 150 accroissement infinitésimal 71 acide aminé 270 acidose 286 action et réaction 103 ADN 266 ADN bactérien 262 ADN extrachromosomique 265 âge de la Terre 233 aire algébrique 79 allèle 268 allopatrique 283 allopolyploïdie 279 anaphase 274, 276 anatomie 254 angle anti-supplémentaire 55 associé 54 au centre 41 complémentaire 55 droit 41 géométrique 40 limite 137 opposé 55 orienté 52 plat 41 supplémentaire 54 antécédent 62 antigène 257 application 62 ARN de transfert 269 ARN messager 268 ARNm monocistronique 271 ARNm polycistronique 271 ARN non codant 269 ARN polymérase 269 ARN pré-messager 269 ARN ribosomal 269 assertion 19 asthénosphère 239 asymptote horizontale 69 asymptote verticale 68 atome 155 autopolyploïdie 279 avancement d’une réaction chimique 195

axe optique 145 axiome 20

B

bactérie 261 barrière de reproduction 284 base 267 bilan de masse 228 bissectrice 42 Bradford (méthode de) 288 brassage génétique 277

C

calcul différentiel 71 canonique (forme) 85 carré 45 catastrophisme 210 causalité 18 cellule 260 eucaryote 262 mémoire 259 procaryote 261 somatique 273 centre de gravité 43 centre optique 145 centromère 266 cercle 41 cercle circonscrit 43 cercle inscrit 43 cercle trigonométrique 52 chiasma 275 chiffre significatif 20 chromatide 266 chromosome 262 chromosome bichromatidien 266 code génétique 270 codon 270 coefficient directeur 72 collision 246, 249 combinaison linéaire 86 commutative 29 composante 49 concavité 75 concentration 193, 285 conditions de Gauss 146 conjecture 90 conjonction 25 conservation de la masse 154 conservation de l’énergie mécanique 119

293

constante d’Avogadro 192 constante de réaction 199 continue 69 convexité 45 coordonnées 47 coordonnées cartésiennes 48, 99 corollaire 20 corps pur 156 corrélation 18 cosinus 44 couche de valence 162 couples acido-basiques 187 craton 249 cristallographie 223 croissance d’une fonction 67 crossing-over 275 croûte 239 croûte/manteau 240 cytokine 259 cytokinèse 274 cytoplasme 260, 262 cytosol 260, 263 cytosquelette 264

D

dalton 285 décimaux 24 décrochement 247 définition 20 degré 86 délétions 278 dénominateur 30 densité 191, 285 dérivation 71 dérive génétique 282 diffraction 130 diffusion 134 dilution 193 dimension 4 dioptre 134 diploïde 275 discontinuité 69 disjonction 25 dissipation de l’énergie mécanique 119 dissolution 184, 193 distance focale 145 distance focale image 145 distance focale objet 145 distribution 37 diversité 282 diversité génétique 277 dorsale 242 dosage colorimétrique 288 dynamique 100

294

E

écriture scientifique 20 électron 158 électronégativité 167 élément chimique 154 émergence rasante 137 énergie cinétique 115 énergie potentielle 116 enjambement 275 ensemble de définition 76 ensemble de nombres 24 ensemble d’étude 76 entier naturel 24 entier relatif 24 enzyme 268 épissage 269 équation 35 équation chimique 181 équation trigonométrique 56 équilatéral 43 équilibre de phases 225, 227 équivalence 25 équivalence d’un titrage 202 érosion 217, 229, 250 espèce 284 esprit critique 17 état fondamental 160 exon 268 exposant 34 extremum 75

F

facteur 28 facteur nécrosant les tumeurs 259 factorisation 34 faisceau lumineux 131 famille chimique 162 fonction 69 affine 82 circulaire 82 dérivée 71 linéaire 82 numérique 62 paire 65 polynomiale 86 puissance 86 racine carrée 87 force 103 de Debye 172 de Keesom 172 de London 172 de van der Waals 172

électrostatique 105 (non) conservative 116 forme de la Terre 235 formule brute 173 de conjugaison 146 de Lewis 174 développée 173 semi-développée 176 topologique 176 foyer principal image 143 foyer principal objet 143 fréquence 125 fréquence temporelle 130 fuseau mitotique 274

G

gamète 256, 273 gamète haploïde 275 gène 268 gène homéotique 279 génotype 268, 277 géochronologie 216 géoïde 238 gradient 71 grandissement transversal 144 graphe 63 graphique 63

H

hexagone 46 histone 265, 268 homogénéité 8 homozygote 277 hormone 256 hypothénuse 43

I

image 62 droite 144 inversée 144 point image 141 réciproque 63 réelle 141 viruelle 142 immunité 257 implication 25 incidence normale 136 indétermination 62 indice de réfraction 133 indice optique 133 inéquation 38

inertie 101 infra-rouge 129 insertion 278 insuline 269 intégrale 78 définie 79 indéfinie 79 inter-chromobrassage 277 interférence 130 interféron 259 interleukine 259 interphase 273 intervalle 27 intra/inter-chromosomique (brassage) 277 intron 268 inverse 29 ion 159 isocèle 43 isomère 174 isotope 159

K

kinétochore 274

L

lemme 20 lentille 145 liaison covalente 168 hydrogène 173 intermoléculaire 172 ionique 168 métallique 168 peptidique 271 polarisée 170 limite 60 lithosphère 239 locus 268 logarithme décimal 91 logarithme naturel 91 logarithme népérien 88 loi 20 de Beer-Lambert 194 de Kohlrausch 194 de Snell-Descartes 221, 222 des proportions définies 155 périodique 156 longueur de la projection 48 longueur d’onde 125, 130 losange 45 lumière blanche 132 lymphocyte B 259 lymphocyte T 259

295

M

macrophage 259 manteau 239, 240 masse atomique relative 156 masse de la Terre 220 masse molaire 192, 285 masse volumique 190, 285 médiane 42 médiatrice 42 méiose 273, 276 membrane nucléaire 265 mesure algébrique 140 mesure d’un angle 40 mesure principale 57 métal 166 métalloïde 166 métaphase 274 méthode scientifique 15 microbiote 261 milieu dispersif 139 homogène 133 isotrope 133 transparent 133 mise au même dénominateur 36 mitose 273 modèle de l’oeil réduit 150 modélisation 11 mole 192 molécule 155, 254 molécule organique 175 moment dipolaire 171 mutagénèse 277 mutation 278 mutation germinale 278 mutation ponctuelle 278 mycobionte 281

N

négation 25 neutre 29 neutron 158 nombre d’Avogadro 285 nombre dérivé 71 nombre trigonométrique 44 nomenclature systématique 176 non exclusif 30 norme 49 noyau 239, 240 externe 240 interne 240 nuage électronique 171 nucléoïde 261

296

nucléole 265 nucléotides 267 numérateur 30 numéro atomique 158

O

objet réel 141 objet virtuel 142 octaèdre 47 oeil 149 onde 121 onde électromagnétique 122 onde longitudinale 124 onde mécanique 122 onde P 221, 222, 240 onde progressive 123 onde progressive sinusoïdale 124 onde S 240 onde transversale 124 opération sur les limites 62 opposé 29 optique géométrique 129 organe 254 organisme 254 orientation du plan 52 orthocentre 43 orthonormé 48

P

parallélogrammes 45 parité d’une fonction 65 pentagone 46 période 124, 157 période sidérale 219 périodicité 54 périodicité d’une fonction 66 pH 285 phagocytose 259 phase 126 phénotype 278 photon 129 phycobionte 281 physiologie 254 plan d’incidence 135 plan focal image 143 plan focal objet 143 plaque équatoriale 274 plasmide 262 poids 104 point d’incidence 135 point matériel 96 polynôme 86 polypeptide 270

polyploïdie 279 polyribosome 271 position 97 postulat 20 poussée d’Archimède 105 primitivation 78 principe d’inertie 101 priorité des opérations 31 prisme 139 produit en croix 37 produit scalaire 57 profil spectral 132 prométaphase 274 proposition 19 protéine 268 proton 158 protoplasme 262 puissance 33 puissance d’une force 111 pulsation 125 punctum proximum 150 punctum remotum 150

Q

quantificateur existentiel 26 quantificateur universel 25 quantité de matière 191 quantité de mouvement 102

R

racine 87 racine carrée 31, 33 radian 41 radiochronomètre 216 raideur 106 raison 59 rationnels 24 rayon incident 135 lumineux 131 réfléchi 135 réfracté 135 réactif limitant 184 réaction acido-basique 185 d’auto-protolyse 186 d’oxydoréduction 187 équilibrée 198 inflammatoire 259 normale 107 totale 198 rectangle 45 réels 24

référentiel 96 référentiel galiléen 101 réflexion 65, 134 réflexion totale 137 réfraction 134 règle de l’octet 169 règle de trois 12 relatif (âge) 214 relation fondamentale de la dynamique 102 relation trigonométrique 55 rendement d’une réaction 197 repère 97 repère du plan 47 représentation d’une fonction 63 ribosome 271 rift 244

S

scholie 20 sécante 71 secteur angulaire 40 sélection naturelle 282 sens trigonométrique 52 séquence codante 268 sinus 44 Snell-Descartes (réflexion) 135, 136 solubilité 185 source monochromatique 132 polychromatique 132 primaire 131 secondaire 131 spéciation 283 spectre 132 sphère 41 stœchiométrie 155, 182 subduction 230, 244 suite adjacente 61 arithmétique 59 croissante 60 décroissante 60 géométrique 60 majorée 61 monotone 60 numérique 59 symbiose 281 symétrie centrale 65 sympatrique 283 système 254 circulatoire 256 digestif 256 endocrinien 256

297

immunitaire 256, 257 international d’unités 4 lymphatique 256 musculaire 256 nerveux 256 reproducteur 256 respiratoire 256 squelettique 256 tégumentaire 257 urinaire 256

T

tableau de variations 77 tableau périodique 157 tangente 44 taux d’accroissement 71 tectonique des plaques 206 télophase 274 tension du ressort 106 termes 28 tétraèdre 47 théorème 20 théorème de l’énergie cinétique 116 théorème de l’énergie mécanique 118

298

théorie endosymbiotique 281 tissu 260 titrage 201 transfert horizontal 280 transitivité 38 trapèzes 45 travail d’une force 112 triangle 42 triangle rectangle 43

U

ultra-violet 129 uniformitarisme 210 unité 4 unité dérivée 5

V

variable 35 variable réelle 62 vergence 145 vitesse 97 vitesse de l’onde 127 vitesse de variation 74

Crédits iconographiques Figure 9.1 : simonkr/iStock.com. Figure 10.1 : tiré de A. Douillet et al. Physique, collection Fluoresciences, Dunod, 2017. Figure 12.1 : tiré de I. Bonnamour et al. Mémo visuel de chimie générale, collection Tout en fiches, Dunod, 2019. Figure 13.1 : natros/Adobe Stock.com. Figure 14.2 : adapté de Artemida-psy/shutterstock.com. Figure 16.5 (droite) : Parent Géry/Wikipedia/CC BY-SA 3.0. Figure 16.6 : d’après PW Bridgman. The phase diagram of water to 45,000 kg/cm2. The Journal of Chemical Physics, 5(12) :964–966, 1937.Figure 16.7 : Geological Society of London. Figure 17.2 : modifié d’après Murthy et Patterson, 1962. Figure 17.7 : modifié d’après Rajdeep Dasgupta. Ingassing, storage, and outgassing of terrestrial carbon through geologic time. Reviews in Mineralogy and Geochemistry, 75(1) :183–229, 2013. Figure 17.10 : modifié d’après Geoffrey F Davies and Mark A Richards. Mantle convection. The Journal of Geology, 100(2) :151–206, 1992. Figure 17.12 : tiré de A. Provost et al. Mini manuel de géologie : roches et géochimie, Dunod, 2011. Figure  18.1  : macrovector/Adobe Stock.com. Figure  18.2  : d’après CNX OpenStax/CC BY 4.0. Figure 18.3 : macrovector/Adobe Stock.com. Figure 18.4 (haut) : Ewelina Kowalska/123RF. com, (bas) : d’après J.-L. Aymeric et al. Immunologie humaine, De Boeck Supérieur, 2009. Figure 19.1 (gauche) : dsveta/Adobe Stock.com, (droite) : Claudio Divizia/Adobe Stock.com. Figure 19.2 (gauche) : Ezume Images/Adobe Stock.com, (droite)  : nobeastsofierce/Adobe Stock.com. Figure  19.3  : olenkaukr/Adobe Stock.com. Figure  19.4  : vecton/Adobe Stock.com. Figure 19.5 : Artemida-psy/Adobe Stock.com. Figure 20.1 : fancytapis/Adobe Stock.com. Figure 20.2 : designua/Adobe Stock.com. Figure 20.3 : zvitaliy79/Adobe Stock.com. Figure 20.4 : Soleil Nordic/ shutterstock.com. Figure 20.5 : National Human Genome Research Institute. Figure 20.6 : timonina/Adobe Stock. com. Figures 21.1, 21.2, 21.3, 21.4, 21.5 et 22.3 : modifié d’après http ://cnx.org/contents/[email protected]. Figure 23.1 : Adapté d’après Dongxue Wang et al. Mol Syst Biol (2019) 15:e8503. https :// doi.org/10.15252/msb.20188503. Figure 24.2 : modifié d’après Scientific Reports volume 6, Article number : 24931 (2016) https ://doi.org/10.1038/srep24931. Figure  24.3  : d’après : Park K-S, Choi K-H, Kim Y-S, Hong BS, Kim OY, et al. (2010) Outer Membrane Vesicles Derived from Escherichia coli Induce Systemic Inflammatory Response Syndrome. PLoS ONE 5(6) : e11334. doi :10.1371/journal.pone.0011334.

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