Analyse pour la licence [1 ed.] 2807330770, 9782807330771

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MARIE-CÉCILE DARRACQ JEAN-ÉTIENNE ROMBALDI

Analyse pour la Licence

LES PLUS

Conception graphique : Primo&Primo®

ppCours rédigé avec démonstration systématique des résultats énoncés ppChaque théorème est suivi d’une série d’applications ppTous les exercices sont intégralement corrigés

9. Intégrales impropres 10. Espaces vectoriels normés 11. Fonctions de plusieurs variables réelles 12. Suites de fonctions 13. Séries de fonctions 14. Séries entières 15. Série de Fourier d’une fonction périodique Bibliographie – Index

Docteur en mathématiques, professeur agrégé à l’université Grenoble-Alpes, Marie-Cécile Darracq enseigne les mathématiques en Licence. Membre du jury du Capes externe de 2006 à 2009, puis de l’agrégation interne depuis 2010, elle est directrice des études du Département Sciences DrômeArdèche de l’université Grenoble-Alpes. Agrégé de mathématiques, Jean-Étienne Rombaldi a enseigné à l’université Grenoble-Alpes, institut Fourier. Membre du jury du CAPES externe et de l’agrégation interne de mathématiques pendant plusieurs années, il a été responsable de la préparation à l’agrégation interne de l’université de Grenoble et préparateur à l’agrégation interne et externe de cette même université ainsi que pour le CNED.

Cours • Exercices corrigés

1. Le corps R des nombres réels 2. Suites numériques 3. Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle 4. Comparaison des fonctions et développements limités 5. Intégrales et primitives 6. Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor 7. Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2 8. Séries numériques

Analyse pour la Licence

P

arfaitement adapté à la diversité des parcours scientifiques universitaires, ce manuel couvre l’ensemble du programme d’analyse pour la première et la deuxième année de licence. Il ne s’agit pas d’un manuel de « méthodes » où l’on sacrifie la notion de rigueur qui est l’essence même des mathématiques. Les notions étudiées ici le sont de façon rigoureuse en démontrant tous les résultats énoncés. Chaque chapitre se termine par une série d’exercices tous corrigés en détail. Les chapitres 1 à 7 correspondent aux notions usuellement enseignées en première année et les chapitres 8 à 15 à celles enseignées en deuxième année. Bibliographie sélective et index viennent compléter l’ensemble.

MARIE-CÉCILE DARRACQ • JEAN-ÉTIENNE ROMBALDI

Analyse pour la Licence LICENCE 1 & 2 S MATHÉMATIQUE

• Cours complet • Plus de 200 exercices • Tous les corrigés détaillés

ISBN : 978-2-8073-3077-1

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Chez le même éditeur (extrait du catalogue) Licence et master Aebischer B., Géométrie. Géométrie affine, géométrie euclidienne et introduction à la géométrie projective Aslangul C., Des mathématiques pour les sciences. Corrigés détaillés et commentés des exercices et problèmes Belhaj S., Mathématiques pour l’économie et la gestion Belhaj S., Ben Aissa A., Mathématiques pour l’informatique Briane M., Pagès G., Analyse. Théorie de l’intégration – 7e édition Burg P., Mathématiques. Les fondamentaux en Licence 1 Canon É., Analyse numérique Carassus L., Pagès G., Finance de marché. Modèles mathématiques à temps discret Carton O., Langages formels. Calculabilité et complexité Choulli M., Analyse complexe Choulli M., Analyse fonctionnelle. Équations aux dérivées partielles Commenges D., Jacqmin-Gadda H., Modèles bio statistiques pour l’épidémiologie Cortella A., Algèbre. Théorie des groupes Cottet-Emard F., 36 problèmes corrigés pour le CAPES de mathématiques Cottet-Emard F., Probabilités et tests d’hypothèses Cottet-Emard F., Algèbre linéaire et bilinéaire Cottet-Emard F., Analyse Depauw J., Statistiques Girardin V., Limnios N., Probabilités et introduction à la statistique Girardin V., Limnios N., Probabilités. Processus stochastiques et applications Mansuy R., Mneimné R., Algèbre linéaire. Réduction des endomorphismes Pagès G., 101 quizz qui banquent. Mathématiques et finances sont-elles indépendantes ? Stoltz G., Rivoirard V., Statistique mathématique en action Wassef P., Algèbre. Arithmétique pour l’informatique

Capes et agrégation Dantzer J.-F., Mathématiques pour l’agrégation. Analyse et probabilités Darracq M.-C., Rombaldi J.-É., Mathématiques pour le Capes. Analyse Rombaldi J.-É., Mathématiques pour l’agrégation. Algèbre et géométrie Rombaldi J.-É., Exercices et problèmes corrigés pour l’agrégation de mathématiques Rombaldi J.-É., Leçons d’oral pour l’agrégation de mathématiques. Première épreuve : Les exposés Rombaldi J.-É., Leçons d’oral pour l’agrégation de mathématiques. Seconde épreuve : les exercices

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Des mêmes auteurs Darracq M.-C., Rombaldi J.-É., Mathématiques pour le Capes. Analyse Rombaldi J.-É., Mathématiques pour l’agrégation. Algèbre et géométrie Rombaldi J.-É., Exercices et problèmes corrigés pour l’agrégation de mathématiques Rombaldi J.-É., Leçons d’oral pour l’agrégation de mathématiques. Première épreuve : Les exposés Rombaldi J.-É., Leçons d’oral pour l’agrégation de mathématiques. Seconde épreuve : les exercices

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En couverture : Coupe d’un nautile © AdrianHancu/Istockphoto Maquette intérieure : Hervé Soulard/Nexeme Mise en pages de l’auteur Maquette de couverture : Primo&Primo Couverture : SCM, Toulouse Dépôt légal : Bibliothèque royale de Belgique : 2020/13647/097 Bibliothèque nationale, Paris : juillet 2020 ISBN : 978-2-8073-3077-1

Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme ou de quelque manière que ce soit. © De Boeck Supérieur SA, 2020 - Rue du Bosquet 7, B1348 Louvain-la-Neuve De Boeck Supérieur - 5 allée de la 2e DB, 75015 Paris

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Table des matières Avant-propos

ix

1 Le corps R des nombres réels 1.1 Ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy 1.3 Le corps totalement ordonné R . . . . . . . . . 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . de nombres . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . rationnels . . . . . . . . . . . .

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1 1 4 5 8

2 Suites numériques 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 2.2 Suites convergentes ou divergentes 2.3 Valeurs d’adhérence . . . . . . . . 2.4 Comparaison des suites numériques 2.5 Suites réelles monotones . . . . . . 2.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . 2.7 Le critère de Cauchy . . . . . . . . 2.8 Le théorème de Cesàro . . . . . . . 2.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . .

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13 13 14 19 20 21 23 26 27 28

réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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41 41 46 50 52 53 53 54 61 63 65 65 66

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71 71 76 78 82 82 83

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3 Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable 3.1 Limite finie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Limites à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Continuité en un point, continuité sur I . . . . . . . . . . . . . 3.4 Définition séquentielle de la continuité . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Propriétés globales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . 3.8 Dérivabilité en un point, dérivabilité sur I . . . . . . . . . . . . 3.9 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Extrema et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Le théorème de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Comparaison des fonctions et développements limités 4.1 Prépondérance, domination et équivalents . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Position d’une courbe par rapport aux tangentes ou aux asymptotes 4.5 Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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vi

Table des matières

5 Intégrales et primitives 5.1 Subdivisions. Intégrale des fonctions en escalier . . 5.2 Fonctions Riemann-intégrables . . . . . . . . . . . 5.3 Exemples de fonctions intégrables . . . . . . . . . . 5.4 Intégrale de Riemann et primitives . . . . . . . . . 5.5 Les fonctions logarithme népérien et exponentielle 5.6 Calculs d’intégrales et de primitives . . . . . . . . 5.7 Calculs de primitives particulières . . . . . . . . . . 5.8 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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87 87 91 98 103 105 107 109 114 117

6 Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor 6.1 Le théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Quelques applications du théorème de Rolle . . . . . . . . . . 6.3 Théorème et inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . 6.4 Quelques applications du théorème des accroissements finis . 6.5 La formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Le théorème de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Quelques applications de la formule de Taylor-Lagrange . . . 6.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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125 125 127 130 131 134 135 136 136 138

7 Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2 7.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . 7.2 Équations différentielles d’ordre 1 classiques . . . . . . . . . . . . . 7.3 Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants 7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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143 143 147 149 154

8 Séries numériques 8.1 Convergence d’une série numérique . . 8.2 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . 8.3 Convergence absolue, semi-convergence 8.4 Séries à termes réels positifs . . . . . . 8.5 Produit de deux séries . . . . . . . . . 8.6 La transformation d’Abel . . . . . . . 8.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .

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161 161 163 164 165 176 178 182

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9 Intégrales impropres 9.1 Définitions et exemples d’intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Les intégrales généralisées de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Opérations sur les intégrales généraliséesZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195 195 198 199

+∞

9.4 9.5 9.6 9.7

Condition nécessaire de convergence de

f (x) dx . . . . . . . . . . . . 201 a

Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales absolument convergentes . 202 Un théorème d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

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Table des matières

vii

10 Espaces vectoriels normés 10.1 Semi-normes et normes . . . . . . . . . . . . . 10.2 Topologie associée à une norme . . . . . . . . 10.3 Applications linéaires continues . . . . . . . . 10.4 Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Espaces vectoriels normés de dimension finie . 10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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219 219 220 226 227 231 233

11 Fonctions de plusieurs variables réelles 11.1 Fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . 11.2 Dérivée suivant un vecteur, dérivées partielles 11.3 Différentielles d’ordre supérieur . . . . . . . . 11.4 Théorème et inégalité des accroissements finis 11.5 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . 11.6 Recherche d’extrema . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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239 239 243 247 250 251 253 256

12 Suites de fonctions 12.1 Convergence simple et convergence uniforme . . . . . . . . . . . . 12.2 Propriétés des fonctions stables par convergence uniforme . . . . 12.3 Approximation uniforme des fonctions continues sur un segment 12.4 Le théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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263 263 267 272 277 281

13 Séries de fonctions 289 13.1 Convergence simple, uniforme et normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 13.2 Propriétés de la somme d’une série de fonctions convergente . . . . . . . . 292 13.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 14 Séries entières 14.1 Rayon de convergence d’une série entière 14.2 Opérations sur les séries entières . . . . 14.3 Fonctions développables en série entière 14.4 Séries entières et équations différentielles 14.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .

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301 301 305 307 314 315

15 Série de Fourier d’une fonction périodique 15.1 Séries entières et séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 L’espace préhilbertien D de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Polynômes trigonométriques et séries de Fourier . . . . . . . . 15.4 L’inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Convergence ponctuelle des séries de Fourier . . . . . . . . . . 15.6 Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques 15.7 Le théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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323 323 325 327 330 332 334 339 342

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Bibliographie

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Index

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Avant-propos Ce cours d’analyse s’adresse aux étudiants de première et deuxième année d’université. C’est le premier volume d’une série qui en comporte 3, le deuxième volume étant consacré à l’algèbre et la géométrie et le troisième à la théorie des probabilités. Il ne s’agit pas de manuels de « méthodes » où l’on sacrifie la notion de rigueur qui est l’essence même des mathématiques. Les notions étudiées le sont de façon rigoureuse en démontrant tous les résultats énoncés. Chaque chapitre se termine par une série d’exercices tous corrigés en détails. Ce premier volume est consacré aux notions d’analyse réelle habituellement enseignées en première et deux année de licence (L1 et L2), à savoir l’étude des suites et séries numériques, des fonctions d’une variable réelle, de l’intégration, des espaces vectoriels normés, des équations différentielles d’ordre 1 ou 2 et des suites et séries de fonctions. Les chapitres 1 à 7 correspondent aux notions usuellement enseignées en première année et les chapitres 8 à 15 à celles enseignées en deuxième année. Les élèves en classes préparatoires aux grandes écoles pourront aussi tirer profit de cet ouvrage. Ces livres seront également utiles aux candidats au Capes. Une deuxième version de ce volume d’analyse avec un dernier chapitre consacré à quelques épreuves choisies de ce concours sera également publiée à destination de ces candidats, le niveau d’exigence pour ces épreuves ne dépassant pas le niveau L1-L2. Nous espérons que ce travail leur sera utile. Pour conclure, nous tenons à remercier les éditions De Boeck et en particulier Alain Luguet pour la confiance qu’ils nous accordent en publiant ce travail.

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Chapitre 1

Le corps R des nombres réels

La lecture des démonstrations de ce chapitre assez théorique n’est pas indispensable. On peut se contenter d’une notion intuitive du corps des réels connue du Lycée avec les propriétés énoncées dans les paragraphes qui suivent. L’étude détaillée des suites numériques est faite au chapitre suivant, mais dans ce chapitre on s’autorise l’utilisation de suites rationnelles puis réelles avec la notion de convergence acquise au Lycée. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions de Z.

1.1

Ensembles ordonnés

Pour ce paragraphe, E est un ensemble non vide. Définition 1.1. Une relation d’ordre sur E est une relation, notée ≤, telle que : — pour tout x ∈ E, on a x ≤ x (réflexivité) ; — si x, y dans E sont tels que x ≤ y et y ≤ x, on a alors x = y (anti-symétrie) ; — si x, y, z dans E sont tels que x ≤ y et y ≤ z, on a alors x ≤ z (transitivité). Si de plus, on a pour tous x, y dans E, x ≤ y ou y ≤ x, on dit alors que la relation d’ordre est totale. Un ensemble E muni d’une relation d’ordre [resp. d’ordre total] est dit ordonné [resp. totalement ordonné]. Si (E, ≤) est un ensemble ordonné, on notera respectivement, pour tous x, y dans E : y ≥ x pour x ≤ y ; x < y pour x ≤ y et x = 6 y ; y > x pour y ≥ x et y 6= x. On définit également, pour tous a, b dans E, les ensembles : [a, b] = {x ∈ E | a ≤ x ≤ b} , [a, b[ = {x ∈ E | a ≤ x < b} ]a, b] = {x ∈ E | a < x ≤ b} , ]a, b[ = {x ∈ E | a < x < b}

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Le corps R des nombres réels

2

Définition 1.2. Un corps totalement ordonné est un corps commutatif K muni d’une relation d’ordre total ≤ compatible avec les opérations d’addition et de multiplication, c’est-à-dire telle si x, y, z, t dans K sont tels que x ≤ y, u ≥ 0, on a alors x + z ≤ y + z et xu ≤ yu. Exemples 1.1 Les ensembles de nombres N, Z, et Q sont totalement ordonnés par la relation usuelle ≤, Q étant un corps totalement ordonné. Pour la suite de ce paragraphe, (K, ≤) désigne un corps totalement ordonné et on note respectivement K+ = {x ∈ K | x ≥ 0} , K− = {x ∈ K | x ≤ 0} , K+,∗ = {x ∈ K | x > 0} et K−,∗ = {x ∈ K | x < 0} . On peut définir sur (K, ≤) les notions de minorant, majorant, bornes inférieure et supérieure. Définition 1.3. Soit X une partie non vide de K. On dit que m ∈ K [resp. M ∈ K] est un minorant [resp. majorant] de X si on a m ≤ x [resp. x ≤ M ] pour tout x ∈ X. On dit que m ∈ K est une borne inférieure [resp. borne supérieure] de X si m est un minorant [resp. M est un majorant] de X et si tout m′ > m [resp. tout M ′ < M ] dans K n’est pas minorant [resp. pas majorant] de X, soit : ∀ε > 0, ∃x ∈ X | m ≤ x ≤ m + ε [resp. M − ε < x ≤ M ] ce qui peut aussi se traduire en disant que m [resp. M ] est le plus grand des minorants [resp. plus petit des majorants]de X. Une partie non vide d’un corps totalement ordonné qui admet un minorant [resp. majorant] est dite minorée [resp. majorée]. On dit qu’elle est bornée si elle est minorée et majorée. Théorème 1.1. Soit X une partie non vide de K. Si X admet une borne inférieure [resp. supérieure] cette dernière est alors unique. Preuve. Supposons que X admette deux bornes supérieures M ′ < M. Pour ε = M −M ′ , on peut trouver x ∈ X tel que M ′ = M − ε < x ≤ M, ce qui contredit l’inégalité x ≤ M ′ . L’ensemble X admet donc au plus une borne supérieure. On procède de même pour la borne inférieure.  En cas d’existence, on peut donc noter m = inf (X) la borne inférieure de X et M = sup (X) sa borne supérieure. La borne inférieure ou supérieure de X quand elle existe n’est pas nécessairement un élément de X. Si inf (X) [resp. sup (X)] existe et est dans X, on dit alors que inf (X) [resp. sup (X)] est le plus petit [resp. plus grand] élément de X et on le note min (X) [resp. max (X)]. Exemples 1.2 1. Dans le cas où X est une partie finie de K, ses éléments peuvent être rangés dans l’ordre croissant et l’existence des bornes inférieure et supérieure est assurée, ces bornes étant dans X.

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Ensembles ordonnés

3

2. Pour X = [0, 1[ dans Q, 0 est le plus petit élément (et donc la borne inférieure) et 1 est la borne supérieure de X, mais cette borne supérieure n’est pas dans X, il n’y a donc pas de plus grand élément. 3. X = [0, +∞[ dans Q n’a ni plus grand élément ni borne supérieure.  4. X = r ∈ Q | r2 < 2 Q est non vide et majoré, mais n’a pas de borne supérieure dans Q (exercice 1.1). 5. Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. 6. Toute partie non vide majorée de N admet un plus grand élément. Dans (K, ≤) , on définit la valeur absolue d’un élément x par :  x si x ≥ 0 |x| = max (−x, x) = −x si x < 0 et la majoration |x| ≤ α est équivalente à −α ≤ x ≤ α ou encore à x ∈ [−α, α] . Plus généralement, les équivalences suivantes sont bien utiles : (|x − x0 | ≤ α) ⇔ (−α ≤ x − x0 ≤ α) ⇔ (x ∈ [x0 − α, x0 + α]) (|x − x0 | < α) ⇔ (−α < x − x0 < α) ⇔ (x ∈ ]x0 − α, x0 + α[) On vérifie facilement que ||x| − |y|| ≤ |x ± y| ≤ |x| + |y| et |xy| = |x| |y| pour tous x, y dans K. a + b |b − a| a + b |b − a| − et max (a, b) = + . Pour tous a, b dans X, on a min (a, b) = 2 2 2 2 On peut retenir ces égalités en remarquant que min (a, b) est la borne inférieure de a+b l’intervalle d’extrémités a, b, max (a, b) la borne supérieure et le milieu de cet 2 intervalle. On rappelle que, si X est un ensemble non vide, une suite d’éléments de X est alors une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans X. On note usuellement x = (xn )n∈N ou x = (xn )n≥n0 une telle suite. L’ensemble KN des suites d’éléments de K est un K-espace vectoriel et anneau commutatif unitaire pour les opérations classiques d’addition et de multiplication. La valeur absolue sur (K, ≤) nous permet de définir les notions de suites bornées, convergentes et de Cauchy. Étant donnée une suite (un )n∈N d’éléments de K, on peut donner les définitions suivantes, les deux premières étant déjà manipulées sur Q ou sur R au niveau Lycée. Définition 1.4. On dit que (un )n∈N est bornée, s’il existe M ∈ K tel que |un | ≤ M pour tout n ∈ N. Définition 1.5. On dit que (un )n∈N est convergente s’il existe ℓ ∈ K tel que : ∀ε ∈ K+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |un − ℓ| < ε En cas de convergence il y a unicité de la limite, ce qui permet d’écrire lim un = ℓ ou un

→

n→+∞

n→+∞

ℓ.

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Le corps R des nombres réels

4

Définition 1.6. On dit que (un )n∈N est de Cauchy si : ∀ε ∈ K+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , |un − um | < ε On vérifie facilement que s’il existe une suite (εn )n∈N d’éléments de K+ convergente vers 0 telle que |um − un | < εn pour tous m > n, la suite (un )n∈N est alors de Cauchy. En utilisant l’inégalité triangulaire dans K, on vérifie qu’une suite de Cauchy est bornée et qu’une suite convergente est de Cauchy. Mais une suite de Cauchy n’est pas nécessairement convergente dans K (voir l’exercice 1.3 pour K = Q). Les suites réelles ou complexes sont étudiées au chapitre suivant.

1.2

Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels

On explique dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. On se reportera au cours d’algèbre pour les notions d’anneau, d’idéal et d’anneau quotient. En notant C l’ensemble des suites de Cauchy de nombres rationnels, on vérifie facilement que c’est un sous-anneau de QN . Le fait que C est stable pour la multiplication se montre en utilisant le fait qu’une suite de Cauchy est bornée. Le sous-ensemble Z de C formé des suites qui tendent vers 0 est un idéal de C (là encore on utilise le fait C qu’une suite de Cauchy est bornée), ce qui permet de définir l’anneau quotient . On Z notera r la classe d’équivalence d’une suite r = (rn )n∈N modulo l’idéal Z. On rappelle qu’une suite s = (sn )n∈N ∈ C est dans la classe d’équivalence r si, et seulement si, la suite (sn − rn )n∈N converge vers 0. On rappelle également que les opérations d’addition C et de multiplication sur sont définies par r + s = r + s et r · s = r · s pour r = (rn )n∈N Z et s = (sn )n∈N dans C, où r + s = (rn + sn )n∈N et r · s = (rn · sn )n∈N . Théorème 1.2. L’anneau quotient

C est un corps. Z

C est inversible, ce qui signifie Z que si r = (rn )n∈N est une suite de Cauchy de nombres rationnels qui ne converge pas vers 0, il existe alors une une suite de Cauchy s = (sn )n∈N de nombres rationnels telle que la suite (rn · sn )n∈N soit équivalente à la suite constante égale à 1 modulo l’idéal Z, ce qui signifie que (rn · sn − 1)n∈N converge vers 0. Comme r ne converge pas vers 0, il existe ε ∈ Q+,∗ , tel que pour tout n ∈ N il existe un entier φ (n) > n tel que rφ(n) ≥ ε. ε De plus, comme r est de Cauchy, il existe un entier n0 tel que |rn − rm | < pour tout 2 ε n ≥ n0 et tout m ≥ n0 . En particulier, on a rφ(n0 ) ≥ ε et |rn0 − rm | < pour tout 2 m ≥ n0 . Il en résulte que pour tout n > n0 , on a : Preuve. Il s’agit de vérifier que tout élément non nul de


ε ε |rn | = rφ(n0 ) − rφ(n0 ) − rn ≥ rφ(n0 ) − rφ(n0 ) − rn ≥ ε − = > 0 2 2

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Le corps totalement ordonné R

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(on a φ (n0 ) ≥ n0 ), donc les rn sont tous non nuls à partir du rang n0 . Il en résulte 1 |rn − rm | 1 4 que pour tout n ≥ n0 et tout m ≥ n0 , on a − = 6 2 |rn − rm | , ce rn rm |rn | |rm | ε 1 qui implique que la suite s = (sn )n∈N définie par sn = 1 pour n < n0 et sn = pour rn n > n0 est de Cauchy telle que rn sn = 1 pour tout n ≥ n0 , donc telle que (rn · sn − 1)n∈N converge vers 0.  C Le corps est noté R et on dit que c’est le corps des réels. Un réel x est donc la Z classe d’équivalence d’une suite r = (rn )n∈N ∈ C modulo l’idéal Z. L’application qui associe à un nombre rationnel r la classe d’équivalence de la suite constante égal à r dans R (r est l’ensemble de toutes les suites rationnelles de Cauchy qui converge vers r) réalise une injection de Q dans R, ce qui permet d’identifier Q à un sous-corps de R. C L’exercice 1.3 nous donne un exemple de nombres réel (i. e. un élément de ) qui est Z ! n X 1 . irrationnel, à savoir la classe d’équivalence de la suite k! k=0

1.3

n∈N

Le corps totalement ordonné R

On peut munir R d’une relation d’ordre total prolongeant celle de Q et compatible avec la structure de corps. Pour ce faire, on note C + [resp. C − ] l’ensemble des suites de Cauchy de nombres rationnels r = (rn )n∈N telles que pour tout ε ∈ Q+,∗ il existe n0 ∈ N tel que rn ≥ −ε [resp. rn ≤ ε] pour tout n ≥ n0 . Une suite qui est dans Z (i. e. de limite nulle) est dans C + ∩ C − et réciproquement. Lemme 1.1 C + \ Z est formé des suites de Cauchy de rationnels qui sont à valeurs strictement positives à partir d’un certain rang. Preuve. Soit r = (rn )n∈N ∈ C + \ Z. Comme (rn )n∈N ne tend pas vers 0, il existe ε ∈ Q+,∗ tel que pour tout n ∈ N, il existe φ (n) ≥ n tel que rφ(n) ≥ ε. La suite r ε ε étant de Cauchy et dans C + , il existe n0 ∈ N tel que |rn − rm | < et rn ≥ − pour 2 2 ε tout m ≥ n ≥ n0 , donc rφ(n0 ) ≥ − et rφ(n0 ) ≥ ε, ce qui entraîne rφ(n0 ) ≥ ε et 2 ε ε ε rm − rφ(n0 ) > − pour m ≥ n0 , ce qui donne rm > rφ(n0 ) − ≥ > 0 pour tout n ≥ n0 . 2 2 2  Le lemme qui suit nous dit que la définition de C + [resp. de C − ] est compatible avec la relation d’équivalence modulo Z. Lemme 1.2 Soit r = (rn )n∈N ∈ C + [resp. C − ]. Toute suite s = (sn )n∈N ∈ C équivalente à r modulo Z est également dans C + [resp. dans C − ]. Preuve. Pour r ∈ C + , s ∈ r et ε ∈ Q+,∗ , on a lim (sn − rn ) = 0, donc il existe n0 ∈ N n→+∞ ε ε tel que rn ≥ − et |sn − rn | < pour tout n ≥ n0 , ce qui nous donne : 2 2 sn = rn + sn − rn ≥ rn − |sn − rm | ≥ −ε pour tout n ≥ n0 et signifie que s ∈ C + . Le lemme précédent légitime la définition qui suit.



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Le corps R des nombres réels

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Définition 1.7. Un réel x = r est dit positif [resp. négatif] si r ∈ C + [resp. r ∈ C − ].

Définition 1.8. Soient x, y deux réels. On dit que x est inférieur ou égal à y si le réel y − x est positif, ce que l’on note x ≤ y. Théorème 1.3. La relation ≤ est une relation d’ordre total sur R compatible avec les opérations d’addition et de multiplication (R est un corps totalement ordonné). Preuve. La réflexivité se déduit du fait que la suite nulle est dans C + . Si x = r et y = s sont tels que x ≤ y et y ≤ x, les suites s − r et r − s sont dans C + , ce qui implique que pour tout ε ∈ Q+,∗ il existe n0 ∈ N tel que sn − rn ≥ −ε et rn − sn ≥ −ε pour tout n ≥ n0 , ce qui donne |sn − rn | ≤ ε. On a donc s − r ∈ Z, ce qui signifie que y = x. La transitivité se déduit du fait que C + est stable par addition. Le fait que l’ordre est total provient du fait qu’une suite de Cauchy de rationnels est dans C + ou dans C − . La compatibilité de la relation ≤ avec l’addition provient également du fait que C + est stable par addition. Il reste enfin à montrer la compatibilité avec le produit. Soient donc x = r, y = s et z = t trois réels tels que x ≤ y et 0 ≤ z. Pour x = y ou z = 0, on a xz = yz, donc xz ≤ yz. Pour x 6= y et z 6= 0, les suites s − r et t sont dans C + \ Z, ce qui implique qu’il existe n0 ∈ N tel que sn − rn > 0 et tn > 0 pour tout n ≥ n0 et en conséquence, (sn − rn ) tn > 0 pour n ≥ n0 , donc xz ≤ yz.  La relation d’ordre ≤ sur R prolonge bien celle que l’on connaît sur Q. Lemme 1.3 Pour tout réel x, il existe un entier relatif n tel que n > x. Preuve. Soit r = (rn )n∈N ∈ C un représentant de x. La suite r étant de Cauchy, elle est p bornée, donc il existe un rationnel M = où (p, q) ∈ N × N∗ tel que −M ≤ rn ≤ M pour q tout n ∈ N. La suite (M − rn )n∈N de rationnels positifs étant dans C + , le réel M − x p qu’elle représente est positif, donc M = ≥ x, soit p ≥ qx ≥ x et n = p + 1 > x.  q Théorème 1.4. Archimède L’ensemble R des nombres réels est archimédien, c’est-à-dire que : ∀a ∈ R+,∗ , ∀b ∈ R, ∃n ∈ Z; na > b b Preuve. Il suffit d’appliquer le lemme précédent au réel x = .  a De ce théorème on déduit le théorème important suivant sur l’existence de la partie entière d’un réel. Théorème 1.5. Pour tout réel x il existe un unique entier relatif n tel que n ≤ x < n + 1. Preuve. Pour x entier relatif, il suffit de prendre n = x. On suppose donc x non entier. Supposons d’abord que x est strictement positif. En prenant a = 1 dans le théorème

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Le corps totalement ordonné R

7

précédent, on déduit que pour tout x > 0, il existe m ∈ N∗ tel que m > x et en conséquence, l’ensemble des entiers m ∈ N∗ vérifiant m > x est non vide, donc il admet un plus petit élément p qui vérifie p > x et p−1 ≤ x. Il suffit alors de poser n = p−1. Pour x < 0 en raisonnant avec −x on aboutit à l’existence d’un entier p vérifiant p ≤ −x < p+1. On a alors − (p + 1) < x < p (x n’est pas entier) et n = − (p + 1) convient. Si pour x réel il existe deux entiers n et p tels que n ≤ x < n + 1 et p ≤ x < p + 1, on a alors n − p < 1, soit n − p ≤ 0 et n − p > −1, soit n − p ≥ 0 et nécessairement n = p. D’où l’unicité de n tel que n ≤ x < n + 1.  Définition 1.9. Avec les notations du théorème précédent, l’entier n est appelé la partie entière de x. On le note [x] ou E (x) . L’existence de cette fonction partie entière nous suffit pour montrer que Q est dense dans R, c’est-à-dire que tout réel est limite d’une suite de nombres rationnels (exercices 1.5 et 2.3). La densité de Q dans R peut aussi se montrer directement comme conséquence du fait que R est archimédien. Théorème 1.6. Entre deux nombres réels distincts il existe un nombre rationnel. Preuve. Soient x, y deux réels distincts. On peut supposer que y > x. Comme R est archimédien il existe un entier naturel n ≥ 1 tel que n (y − x) > 1 et un entier naturel 1 m ≥ 1 tel que m > |x| . Il en résulte que l’ensemble E des entiers relatifs k tels que n k m ≤ x est non vide puisque −m ∈ E (on a − < − |x| ≤ x) et majoré par m (on a n n m k ≤ x ≤ |x| < et donc k ≤ m puisque n > 0). Cet ensemble E admet donc un plus n n p p+1 grand élément p et on a ≤ x < (p est tout simplement la partie entière de nx). n n 1 1 p p+1 Enfin avec n (y − x) > 1, on déduit que y > + x ≥ + et x < < y.  n n n n Corollaire 1.1. Tout réel est limite d’une suite de nombres rationnels. Preuve. Pour x ∈ R et n ∈ N on peut trouver rn ∈ Q tel que x < rn < x + cet encadrement on déduit que x = lim rn . n→+∞

1 . De n+1 

Dans la démonstration précédente les rationnels rn sont tels que x < rn pour tout n. On peut aussi trouver une suite de rationnels (sn )n∈N qui converge vers x et telle que 1 sn < x en utilisant l’existence de sn ∈ Q tel que x − < sn < x. n+1 Les bornes inférieures et supérieures d’un ensemble peuvent aussi s’exprimer comme limites de suites de points de cet ensemble. Cette caractérisation est souvent utilisée. Théorème 1.7. Si une parie non vide X de R admet une borne inférieure [resp. une borne supérieure], il existe alors une suite (xn )n∈N de points de X qui converge vers m = inf (X) [resp. vers M = sup (X)].

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Le corps R des nombres réels

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Preuve. Supposons que X admette une borne supérieure M. Pour tout entier naturel n, 1 < xn ≤ M. De cet encadrement on peut trouver un élément xn de X tel que M − n+1 on déduit alors que M = lim xn .  n→+∞

Si un ensemble X n’a pas de borne supérieure, on peut alors trouver pour tout entier n ≥ 1 un élément xn de X tel que xn > n et la suite (xn )n≥1 diverge vers +∞ (voir le chapitre suivant pour la notion de suite divergente vers l’infini). Il est alors naturel de noter dans ce cas là que sup (X) = +∞. De manière analogue, on notera inf (X) = −∞ si X n’est pas minoré. Au chapitre suivant nous montrerons qu’une suite réelle est convergente si, et seulement si, elle est de Cauchy (théorème 2.25) et que toute partie non vide minorée [resp. majorée] dans R admet une borne inférieure [resp. supérieure] (théorème 2.20).

1.4

Exercices

 Exercice 1.1. Montrer que le sous-ensemble X = r ∈ Q | r2 < 2 de Q est non vide et majoré, mais n’a pas de borne supérieure dans Q. Solution. Il est clair que X est non vide (par exemple 0 ∈ X) et majoré (pour r ∈ X, on a r ≤ 2 car r > 2 donne r2 > 4). Si X admet une borne supérieure M ∈ Q, on a alors 1 M ≥ 1 (car 1 ∈ X) et pour tout entier n ≥ 1, il existe r ∈ X tel que 0 ≤ M − < r ≤ M, n  2 1 1 2M − 2 . Faisant tendre n donc M − < r2 < 2, ce qui nous donne M 2 − 2 < n n n vers l’infini, on en déduit que M 2 ≤ 2. D’autre part, comme M est majorant de X, on  2 1 1 / X pour tout n ∈ N∗ , donc M + aM+ ∈ ≥ 2 et faisant tendre n vers l’infini, n n on en déduit que M 2 ≥ 2. Au final, on a M ∈ Q et M 2 = 2, ce qui n’est pas possible. p En effet, en écrivant M = avec p, q entiers naturels non nuls premiers entre eux, on q a p2 = 2q 2 qui entraîne que p est pair, soit p = 2p1 et q 2 = 2p21 entraîne q pair, ce qui contredit p et q premiers entre eux. Exercice 1.2. Montrer que pour tout réel a > −1 et tout entier naturel n, on a n (1 + a) ≥ 1 + na (inégalité de Bernoulli). n

Solution. Pour n = 0 ou n = 1, on a (1 + a) = 1 + na pour tout réel a. On suppose donc que n ≥ 2. On désigne par Pn la fonction polynomiale définie par : Pn (x) = xn − 1 − n (x − 1) = xn − nx + n − 1 On a Pn (1) = 0 et, en posant x = a + 1, il s’agit de montrer que Pn (x) > 0 pour tout x ∈ R+,∗ \ {1} , ce qui résulte de :   n−1 n−1 k−1 X X X
2 Pn (x) = xn − 1 − n (x − 1) = (x − 1) xk − 1 = (x − 1)  xj  > 0 k=0

k=1 j=0

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Exercices

9

Exercice 1.3.

Montrer que la suite (rn )n∈N =

n X 1 k=0

nels est de Cauchy, mais non convergente dans Q.

k!

! de nombres rationn∈N

Solution. On vérifie facilement que cette suite est bien définie et à valeurs dans Q. Pour m > n > 2, on a : |rm − rn | =

m X k=n+1

1 1 = k! (n + 1)!

 1+

1 1 + ··· + n+2 (n + 2) · · · (m − 1) m



m−n−1 X 1 1 n+2 1 1 1 ≤ ≤ = ≤ 1 2 k (n + 1)! (n + 1)! n 1 − (n + 1) n! n+2 k=0 (n + 2)

ce qui implique que (rn )n∈N est de Cauchy. Supposons qu’elle soit convergente vers un p rationnel r = où p, q sont deux entiers strictement positifs premiers entre eux. Pour q tout n > q, le nombre pn = n! (r − rn ) = n! lim (rm − rn ) est un entier strictement m→+∞

n+2

1 positif avec 0 < n! (rm − rn ) ≤ 2 ≤ 2 pour m > n ≥ 2, ce qui implique 0 < pn < 1 (n + 1) dans N, soit une impossibilité. La suite (rn )n∈N est donc non convergente dans Q. Exercice 1.4. 1. Montrer que pour tous réels x, y, on a xy ≤ 2. Pour n ∈ N∗ , (xk )1≤k≤n , (yk )1≤k≤n


1 2 x + y2 . 2

v uX u n dans Rn \ {0} , on note A = t x2k k=1

v uX u n 2 et B = t yk . Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et n, k=1

  1 B 2 A 2 xk + yk . En déduire l’inégalité de Cauchy-Schwarz on a xk yk ≤ A B v 2 v u u n n n X uX uX xk yk ≤ t x2 t y 2 . k

k=1

k=1

k

k=1

Solution. 2

1. Résulte de (x − y) = x2 + y 2 − 2xy ≥ 0 pour tous réels x, y. 2. Les xk [resp. les yk ] n’étant pas tous nuls, on a A > 0et B > 0. En  utilisant l’inégalité x y  xk yk 1 x2k yk2 k k précédente pour (x, y) = , , on a ≤ + 2 et multipliant cette A B A B 2  A2 B  1 B 2 A 2 inégalité par AB > 0, on en déduit que xk yk ≤ xk + yk . Additionnant 2 A B

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Le corps R des nombres réels

10

! n n n X 1 BX 2 AX 2 ces inégalités, on obtient xk yk ≤ xk + yk avec x2k = A2 et 2 A B k=1 k=1 k=1 v k=1 v uX uX   n n X X u n u n 1 B 2 A 2 A + B = AB = t x2k t yk2 . yk2 = B 2 , ce qui donne xk yk ≤ 2 A B n X

k=1

k=1

k=1

k=1

Exercice un entier b ≥ 2 et pour tout n ∈ N∗ , on note  1.5. On se donne  k Qn = | k ∈ N, 0 ≤ k ≤ bn . Montrer que pour tout réel x ∈ [0, 1] et tout bn 1 entier naturel non nul n, il existe rn ∈ Qn tel que rn ≤ x < rn + n . En déduire b que Q est dense dans R. Solution. Pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ∈ N∗ , on a [bn x] ≤ bn x < [bn x] + 1, donc [bn x] 1 rn = ≤ x < rn + n . Comme 0 ≤ x ≤ 1, on a 0 ≤ [bn x] < bn et rn ∈ Qn . De bn b 1 1 0 ≤ x − rn < n et lim n = 0, on déduit que lim rn = x, (rn )n≥1 étant une suite n→+∞ b n→+∞ b de nombres rationnels. Pour b = 10, (rn )n≥1 est une suite d’approximations décimales par défaut de x. Tout réel x pouvant s’écrire sous la forme x = p + y avec p = E [x] entier et y ∈ [0, 1] , on en déduit que Q est dense dans R. Pour b = 10, on a en fait montré que l’ensemble D des nombres décimaux est dense dans R. Exercice 1.6. Soit X une partie non vide et majorée de R. Montrer que si M = sup (X) ∈ / X, il existe alors pour tout réel ε > 0 une infinité d’éléments de X dans l’intervalle ]M − ε, M [ . Solution. On se donne ε > 0. Par définition de la borne supérieure M il existe x0 ∈ X tel que M − ε < x0 < M (on a x0 < M du fait que M ∈ / X). Toujours par définition de M, on peut trouver x1 ∈ X tel que x0 < x1 < M. Et par récurrence on construit une suite strictement croissante (xn )n∈N dans l’intervalle ]M − ε, M [ . En effet, x0 et x1 ont été trouvés et supposant trouvés x0 < x1 < · · · < xn dans ]M − ε, M [ ∩ X, on peut trouver xn+1 dans X tel que xn < xn+1 < M. Exercice 1.7. Soient A, B sont deux parties non vide et bornées de R. Montrer que :   sup (A ∪ B) = max (sup (A) , sup (B)) inf (A ∪ B) = min (inf (A) , inf (B))  A ⊂ B ⇒ inf (B) ≤ inf (A) et sup (A) ≤ sup (B) Solution. Supposons que sup (A) ≤ sup (B) . Pour x ∈ A ∪ B, on a soit x ∈ A et x ≤ sup (A) ≤ sup (B) , soit x ∈ B et x ≤ sup (B) , donc sup (A ∪ B) ≤ sup (B) . Pour ε > 0 donné, il existe x ∈ B ⊂ A ∪ B tel que sup (B) − ε < x ≤ sup (B) . On a donc sup (A ∪ B) = sup (B) . On montre de même que inf (A ∪ B) = min (inf (A) , inf (B)) . Supposons que A ⊂ B. Pour tout x ∈ A, on a x ∈ B et inf (B) ≤ x ≤ sup (B) , ce qui entraîne, par définition des bornes inférieure et supérieure, inf (B) ≤ inf (A) et sup (A) ≤ sup (B) .

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Exercices

11

Exercice 1.8. Si A, B sont deux parties non vide de R, on définit l’ensemble A + B = {x + y | x ∈ A et y ∈ B} . Montrer que si A et B sont majorés, il en est alors de même de A + B et sup (A + B) = sup (A) + sup (B) . Solution. Notons M = sup (A) et M ′ = sup (B) . Pour tout z = x+y avec (x, y) ∈ A×B, on a z = x + y ≤ M + M ′ . L’ensemble A + B est donc non vide majoré et en conséquence admet une borne supérieure M ′′ ≤ M + M ′ . Pour ε > 0, on peut trouver x ∈ A et y ∈ B ε ε tels que M − < x ≤ M et M ′ − < y ≤ M ′ , ce qui nous donne z = x + y ∈ A + B tel 2 2 que M + M ′ − ε < z ≤ M + M ′ . Le réel M + M ′ est donc la borne supérieure de A + B. Exercice 1.9. de A = {2−n

Déterminer, si elles existentles bornes inférieureet supérieure 1 n | n ∈ N} , B = [0, 1[ ∩ Q et C = (−1) + | n ∈ N∗ . n

Solution. On a 20 ∈ A et 2−n ≤ 1 pour tout n ∈ N. Il en résulte que 1 est la plus grand élément (et donc la borne supérieure) de A. Tous les éléments de A étant strictement positifs, 0 est un minorant de X. Comme pour tout réel ε > 0 on peut 1 trouver un entier naturel n tel que 0 < 2−n < ε (c’est équivalent à n > log2 ), on ε déduit que 0 est la borne inférieure de X. L’ensemble B étant contenu dans [0, 1] est borné. Comme 0 ∈ B et minore B, on a 0 = min (B) . L’ensemble B est majoré par 1 1 et pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier n ≥ 1 tel que 1 − ε < 1 − < 1 n 1 avec 1 − ∈ B, il en résulte que 1 = sup (B) et B n’a pas de plus grand élément n car 1  ∈ / B. En séparant  les entiers  pairs des entiers impairs, on a C = C1 ∪ C2 avec 1 1 | p ∈ N∗ , C2 = −1 + | p ∈ N et comme pour A, on vérifie que C1 = 1 + 2p 2p + 1 3 inf (C1 ) = 1 ∈ / C1 , sup (C1 ) = ∈ C1 , inf (C2 ) = −1 ∈ / C2 , sup (C2 ) = 0 ∈ C1 , soit 2 3 sup (C) = max (sup (C1 ) , sup (C2 )) = ∈ C et inf (C) = min (inf (C1 ) , inf (C2 )) = −1 2 n’est pas dans C. Exercice 1.10.

Montrer, en étudiant les cas d’égalité, que : √ √ √ 1. pour tous réels positifs a et b on a a + b ≤ a + b ; p p p 2. pour tous réels a et b on a |a − b| ≥ |a| − |b| . Solution. √ √ √ 2 √ √ √ √ 2 1. On a a + b = a + b ≤ a + 2 ab + b ≤ a + b , soit a + b ≤ a + b puisque toutes les quantités √ mises en jeux sont positives. L’égalité est réalisée si, et seulement si, a + b = a + 2 ab + b, ce qui équivaut à a = 0 ou b = 0. p p p p 2. En précédente,pon a |a| =p |a − b +p b| ≤ p |a − b| + p utilisant p la questionp p |b| et |b| = |b − a + a| ≤ |a − b| + |a|, donc − |a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|, p p p soit |a − b| ≥ |a| − |b| .

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Chapitre 2

Suites numériques

On note K le corps R des nombres réels ou C des nombres complexes. Les résultats basiques sur les fonctions continues ou dérivables d’une variable réelle de niveau Lycée sont supposés connus de même que les fonctions usuelles exp, ln, sin, · · · Nous utiliserons l’expression « suite numérique » pour désigner une suite de nombres réels ou de nombres complexes. Dans le cas particulier des suites réelles, c’est la notion d’ordre sur R qui fait la différence.

2.1

Généralités

Une suite numérique est une application définie sur N (ou sur une partie de N) à valeurs dans K. On note u = (un )n∈N une telle suite. Il est parfois utile de considérer une suite de terme général un pour n ≥ n0 , où n0 est une entier naturel. On note KN l’ensemble des suites numériques. Il est facile de vérifier que cet ensemble muni des opérations internes d’addition, de multiplication et de multiplication externe par un scalaire est une algèbre commutative, c’est-à-dire une anneau commutatif unitaire et un K-espace vectoriel (voir le cours d’algèbre pour ces notions). Une suite u = (un )n∈N est : — constante si un+1 = un pour tout n ∈ N ; — stationnaire (ou plus précisément stationnaire à partir d’un certain rang) si : ∃p ∈ N | ∀n ≥ p, un+1 = un — périodique s’il existe un entier p ≥ 1 tel que un+p = un pour tout n ∈ N. Définition 2.1. Soit u = (un )n∈N une suite numérique. On dit que (vn )n∈N est une suite extraite (ou une sous suite) de u s’il existe une application φ : N → N strictement croissante telle que vn = uφ(n) pour tout n ∈ N. On peut facilement vérifier par récurrence que si φ : N → N est strictement croissante, on a alors φ(n) ≥ n pour tout n ∈ N. Cette propriété est souvent utilisée. Définition 2.2. On dit que la suite numérique u = (un )n∈N est bornée s’il existe un réel M tel que |un | ≤ M pour tout n ∈ N. Dans le cas particulier des suites réelles, on a la définition suivante.

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14

Suites numériques Définition 2.3. On dit que la suite réelle u = (un )n∈N est majorée [resp. minorée] s’il existe un réel M tel que un ≤ M [resp. M ≤ un ] pour tout n ∈ N.

2.2

Suites convergentes ou divergentes

Définition 2.4. On dit qu’une suite numérique (un )n∈N est convergente s’il existe un scalaire ℓ tel que : ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |un − ℓ| < ε

(2.1)

Dans l’assertion (2.1) , les deux dernières inégalités peuvent être strictes ou larges. Il est parfois commode de se limiter à ε ∈ ]0, 1[ sans que cela ne soit restrictif. En utilisant l’inégalité triangulaire, on montre facilement que si une suite converge, sa limite ℓ est alors uniquement déterminée. En effet, s’il existe deux scalaires ℓ et ℓ′ vérifiant (2.1) , on peut alors trouver pour tout réel ε > 0 un entier n0 tel que pour tout n ≥ n0 , on ait |ℓ − ℓ′ | = |(ℓ − un ) + (un − ℓ′ )| ≤ |ℓ − un | + |un − ℓ′ | < 2ε, ce qui équivaut à ℓ − ℓ′ = 0. En cas de convergence, il est donc licite d’écrire lim un = ℓ ou un → ℓ. n→+∞

n→+∞

Le résultat suivant, qui est élémentaire, est souvent utile pour justifier la convergence d’une suite. Théorème 2.1. Si (un )n∈N est une suite numérique pour laquelle on peut trouver une suite (εn )n∈N de réels positifs telle que lim εn = 0 et |un − ℓ| ≤ εn à partir d’un n→+∞

certain rang, où ℓ est un scalaire donné, on a alors

lim un = ℓ.

n→+∞

Preuve. On a : ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |un − ℓ| ≤ εn < ε  De l’inégalité ||a| − |b|| ≤ |a − b| , valable pour tous scalaires a, b, on déduit, en utilisant le théorème précédent, que :     lim (un ) = ℓ ⇒ lim (|un |) = |ℓ| n→+∞

n→+∞

En utilisant l’inégalité triangulaire, on obtient le résultat suivant. Théorème 2.2. Une suite numérique convergente est bornée. Preuve. Si lim un = ℓ, il existe alors un entier n0 tel que : n→+∞

∀n > n0 , |un | = |(un − ℓ) + ℓ| ≤ |un − ℓ| + |ℓ| < 1 + |ℓ| et en notant M = max {|u0 | , · · · , |un0 | , 1 + |ℓ|} , on a |un | ≤ M pour tout n ∈ N.  Dans le cas particulier des suites réelles, on a le résultats suivant qui fait intervenir l’ordre sur R.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 15 — #25

Suites convergentes ou divergentes

15

Théorème 2.3. Soit (un )n∈N une suite réelle telle que

lim (un ) = ℓ.

n→+∞

1. Si ℓ > 0 [resp. ℓ < 0] on a alors un > 0 [resp. un < 0] à partir d’un certain rang. 2. Si un est positif [resp. négatif] à partir d’un certain rang, on a alors ℓ ≥ 0 [resp. ℓ ≤ 0]. Preuve. ℓ ℓ 1. Il existe n0 ∈ N tel que − + ℓ < un < + ℓ, pour tout n ≥ n0 , ce qui nous donne 2 2 ℓ un > > 0 pour tout n ≥ n0 . Pour ℓ < 0, on travaille avec la suite (−un )n∈N . 2 2. Se déduit facilement du premier point.  Avec le théorème qui suit, on regroupe les résultats relatifs aux opérations sur les suites convergentes. Théorème 2.4. Soient u = (un )n∈N et v = (vn )n∈N deux suites numériques convergentes avec lim (un ) = ℓ et lim (vn ) = ℓ′ .

n→+∞

n→+∞

1. Les suites u + v et u · v sont convergentes vers respectivement ℓ + ℓ′ et ℓ · ℓ′ . 2. Dans le cas réel, les suites (min (un , vn ))n∈N et (max (un , vn ))n∈N sont convergentes vers respectivement min (ℓ, ℓ′ ) et max (ℓ, ℓ′ ) .   un 3. Si ℓ′ = 6 0, il existe alors un entier n0 tel que la suite soit définie et vn n≥n0 ℓ cette suite converge vers ′ . ℓ 4. Dans le cas réel, pour ℓ
> 0, il existe un entier √ n0 tel que un > 0 pour tout √ un n≥n0 converge vers ℓ. n ≥ n0 et la suite Preuve. 1. Soit ε un réel strictement positif. ∃n1 ∈ N, ∀n ≥ n1 , |un − ℓ| < ε ∃n2 ∈ N, ∀n ≥ n2 , |vn − ℓ′ | < ε En posant n0 = max (n1 , n2 ) , on a : ∀n ≥ n0 , |(un + vn ) − (ℓ + ℓ′ )| ≤ |un − ℓ| + |vn − ℓ′ | < 2ε ce qui signifie que la suite u + v converge vers ℓ + ℓ′ . Par ailleurs, comme la suite convergente v est bornée, il existe un réel M > 0 tel que |vn | ≤ M pour tout n ∈ N et pour tout n ≥ n0 , on a : |un vn − ℓℓ′ | ≤ |un vn − ℓvn | + |ℓvn − ℓℓ′ | ≤ M |un − ℓ| + |ℓ| |vn − ℓ′ | ≤ (M + |ℓ|) ε ce qui signifie que la suite u · v est convergente vers ℓ · ℓ′ .

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16

Suites numériques

1 1 (a + b − |a − b|) , max (a, b) = (a + b + |a − b|) . 2 2 3. Si ℓ′ 6= 0,les  éléments de la suite v sont alors non nuls à partir d’un certain rang n0 et un la suite est définie à partir de ce rang. On peut en fait trouver n0 tel que vn n≥n0 1 2 |ℓ′ | 1 ℓ′ − vn ≤ |vn − ℓ′ | pour tout n ≥ n0 |vn | > pour n ≥ n0 , donc − ′ = ′ 2 vn ℓ ℓ vn |ℓ′ |2     1 un 1 ℓ et lim = ′ . Le résultat sur le produit nous donne lim = ′. n→+∞ vn n→+∞ ℓ vn ℓ ℓ 4. Si ℓ > 0, on peut alors trouver un entier n0 tel que un ≥ pour tout n ≥ n0 et avec 4 √ |un − ℓ| 2 √
√ √ √ √ = u − ℓ ≤ |u − ℓ| , on déduit que lim un = ℓ. √ n n n→+∞ un + ℓ 3 ℓ 2. Se déduit de min (a, b) =

 Théorème 2.5. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles telles que ′

lim (un ) = ℓ et

n→+∞

lim (vn ) = ℓ .

n→+∞

1. Si ℓ > ℓ′ , on a alors un > vn à partir d’un certain rang. 2. Si un ≤ vn à partir d’un certain rang, on a alors ℓ ≤ ℓ′ . 3. Si M est un majorant de la suite (un )n∈N , on a alors ℓ ≤ M. 4. Si m est un minorant de la suite (un )n∈N , on a alors ℓ ≥ m. Preuve. Il suffit d’appliquer le théorème 2.3 aux suites (vn − un )n∈N , (M − un )n∈N et (un − m)n∈N .  Théorème 2.6. Si (un )n∈N , (vn )n∈N et (wn )n∈N sont trois suites à valeurs réelles telles que lim (vn ) = lim (wn ) = ℓ et vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang, on a

n→+∞

alors

n→+∞

lim (un ) = ℓ.

n→+∞

Preuve. Soit ε > 0. Il existe un entier naturel n0 tel que ℓ − ε ≤ vn ≤ un ≤ wn ≤ ℓ + ε pour tout n ≥ n0 , ce qui signifie que la suite (un )n∈N est convergente vers ℓ.  Définition 2.5. Une suite numérique non convergente est dite divergente. La divergence de la suite numérique (un )n∈N peut se traduire par : ∀ℓ ∈ K, ∃ε > 0, ∀n0 ∈ N, ∃n ≥ n0 | |un − ℓ| ≥ ε Une suite non bornée est donc divergente. Parmi les suites réelles divergentes, on traite à part celles qui tendent vers l’infini.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 17 — #27

Suites convergentes ou divergentes

17

Définition 2.6. Soit (un )n∈N une suite réelle. On dit que (un )n∈N tend vers +∞ [resp. vers −∞], si : ∀M ∈ R, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , un > M [resp. ∀m ∈ R, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , un < m] On note alors →

un

n→+∞

−∞].

lim un = +∞ ou un

n→+∞

→

n→+∞

+∞ [resp.

lim un = −∞ ou

n→+∞

Dans la définition ci-dessus, les inégalités peuvent être larges ou strictes et on peut se limiter à M > 0 et m < 0 sans que cela ne soit restrictif. Une suite qui tend vers l’infini (i. e. vers +∞ ou −∞) est non bornée donc divergente. Une suite qui tend vers +∞ est nécessairement positive à partir d’un certain rang. 1 Si un = avec vn > 0 pour tout n ∈ N, on a alors lim un = 0 si, et seulement si, n→+∞ vn lim vn = +∞.

n→+∞

Théorème 2.7. Si u = (un )n∈N est une suite numérique pour laquelle on peut trouver une suite v = (vn )n∈N de réels positifs telle que lim vn = +∞ et |un | ≥ vn à partir d’un n→+∞

certain rang, elle est alors divergente. Preuve. Pour tout M ∈ R il existe n0 ∈ N tel que |un | ≥ vn > M pour tout n ≥ n0 , donc lim |un | = +∞ est u est divergente.  n→+∞

Pour étudier une suite, il est parfois commode de la comparer à une suite de référence. Les suites géométriques (exercice 2.6) font parties de ces suites de référence. Théorème 2.8. Soit u = (un )n∈N une suite numérique. 1. S’il existe un réel λ ∈ [0, 1[ tel que |un+1 | ≤ λ |un | à partir d’un certain rang n0 , on a alors lim (un ) = 0. n→+∞

2. S’il existe un indice n0 tel que un0 6= 0 et s’il existe un réel λ > 1 tel que |un+1 | ≥ λ |un | pour tout n ≥ n0 , alors u diverge.   un+1 = λ ∈ [0, 1[ , on a 3. Si un 6= 0 à partir d’un certain rang n0 , et lim n→+∞ un alors lim (un ) = 0. n→+∞   un+1 = λ > 1, alors u 4. Si un 6= 0 à partir d’un certain rang n0 , et lim n→+∞ un diverge. Preuve. 1. Si λ = 0, la suite u est alors stationnaire sur 0 à partir du rang n0 + 1. On suppose donc que λ ∈ ]0, 1[ . Montrons par récurrence sur n ≥ n0 que |un | ≤ un0 λn−n0 . C’est vrai pour n = n0 . Supposons que pour une valeur n ≥ n0 on ait |un | ≤ un0 λn−n0 ,

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 18 — #28

18

Suites numériques comme |un+1 | ≤ λ |un | , on a |un+1 | ≤ un0 λn+1−n0 et la récurrence est établie. Pour un λ ∈ ]0, 1[ la suite géométrique de terme général n00 λn converge vers 0, et comme cette λ suite majore la suite positive (|un |)n∈N on peut affirmer que cette dernière converge aussi vers 0 et il en est de même de (un )n∈N .

2. Si un0 6= 0, on vérifie alors par que un 6= 0 pour n ≥ n0 . En appliquant le   récurrence 1 1 , on déduit que lim = 0, ce qui résultat précédent à la suite n→+∞ |un | |un | n≥n0 équivaut à lim (|un |) = +∞ et u diverge. n→+∞   un+1 = λ, on a alors : 3. Si lim n→+∞ un un+1 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ∈ N, n > n0 ⇒ λ − ε < un Dans le cas où λ ∈ [0, 1[ , on peut choisir ε assez petit pour que ρ = λ + ε soit strictement inférieur à 1 et on a alors |un+1 | ≤ ρ |un | pour tout n ≥ n0 avec ρ ∈ ]0, 1[ , ce qui implique lim (un ) = 0. n→+∞

1 pour n assez grand, |un | nous dit que lim (vn ) = 0, donc lim (|un |) = +∞ et (un )n∈N diverge.

4. Le résultat précédent appliqué à la suite v définie par vn = n→+∞

n→+∞

 Théorème 2.9. Soit u = (un )n∈N une suite numérique. p 1. S’il existe un réel λ ∈ [0, 1[ tel que n |un | ≤ λ à partir d’un certain rang n0 , on a alors lim (un ) = 0. n→+∞ p 2. S’il existe s’il existe un réel λ > 1 tel que n |un | ≥ λ à partir d’un certain rang n0 , alors u diverge. p  n 3. Si lim |un | = λ ∈ [0, 1[ , on a alors lim (un ) = 0. n→+∞ n→+∞ p  n 4. Si lim |un | = λ > 1, alors u diverge. n→+∞

Preuve. 1. Résulte de 0 ≤ |un | ≤ λn pour n ≥ n0 avec lim (λn ) = 0 (λ ∈ [0, 1[). 2. Résulte de |un | ≥ λ pour n ≥ n0 avec  p n |un | = λ, on a alors : 3. Si lim n

n→+∞ lim (λn ) n→+∞

= +∞ (λ > 1).

n→+∞

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ∈ N, n > n0 ⇒ λ − ε
0 assez petit et n ≥ n0 , on a n |un | > λ − ε > 0 et un 6= 0) nous dit que lim (vn ) = 0, donc lim (|un |) = +∞ et (un )n∈N diverge. n→+∞

n→+∞



2.3

Valeurs d’adhérence

Définition 2.7. On dit qu’un scalaire a est valeur d’adhérence d’une suite numérique u = (un )n∈N , s’il est limite d’une suite extraite de u. Exemple 2.1  Les réels1 et −1 sont valeurs d’adhérence de la suite de réels définie par 1 n pour tout n ∈ N car la suite (u2n )n∈N est convergente vers 1 un = (−1) 1 + n+1 et la suite (u2n+1 )n∈N vers −1. Le résultat suivant est parfois utilisé par sa contraposée pour prouver la divergence d’une suite. Théorème 2.10. Une suite convergente a une unique valeur d’adhérence. Autrement dit : si une suite est convergente, toute suite extraite converge alors vers la même limite. Preuve. Supposons que lim (un ) = ℓ. Pour tout réel ε ∈ R+,∗ , on a : n→+∞

∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |un − ℓ| < ε et pour toute application φ : N → N strictement croissante, on a φ (n) ≥ n ≥ n0
pour tout n ≥ n0 , ce qui implique que uφ(n) − ℓ < ε pour tout n ≥ n0 . La suite uφ(n) n∈N est donc convergente vers ℓ.  L’exercice 2.7 montre que la réciproque est fausse, c’est-à-dire qu’une suite qui n’a qu’une valeur d’adhérence n’est pas nécessairement convergente. On peut aussi utiliser la suite définie par u2n = n et u2n+1 = 0 (divergente avec 0 pour unique valeur d’adhérence). Corollaire 2.1. Si f : [1, +∞[ → R est une fonction ! telle que g : x 7→ xf (x) soit n X minorée par un réel λ > 0, la suite réelle f (k) est alors divergente. k=1 n X

n≥1

n X

1 n λ ≥λ = > 0, donc la suite n+k 2n 2 k=1 k=1 diverge.  ! n X 1 Corollaire 2.2. Pour tout α ≤ 1, la suite réelle est divergente. kα ∗ Preuve. On a u2n − un =

f (n + k) ≥ λ

k=1

n∈N

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20

Suites numériques

1 avec xα 1−α xf (x) = x ≥ 1 pour α ≤ 1 et x ≥ 1.  Comme conséquence du théorème de Bolzano-Weierstrass (théorème 2.15 ou 2.19), on a le résultat suivant. Il suffit d’appliquer le résultat précédent à la fonction f : x 7→

Preuve.

Théorème 2.11. Une suite numérique est convergente si, et seulement si, elle est bornée et n’a qu’une seule valeur d’adhérence. 

Preuve. Voir le théorème 2.16. Corollaire 2.3. Une suite numérique est divergente, si et seulement si, elle vérifie l’une des deux conditions suivantes : — elle est non bornée ; — elle est bornée et admet au moins deux valeurs d’adhérence.

2.4

Comparaison des suites numériques

Définition 2.8. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites numériques. On dit que : — (un )n∈N est dominée par (vn )n∈N s’il existe un entier n0 ≥ 0 et une suite bornée (φn )n≥n0 tels que un = φn vn pour tout n ≥ n0 ; — (un )n∈N est négligeable devant (vn )n∈N , s’il existe un entier n0 ≥ 0 et une suite (εn )n≥n0 convergente vers 0 tels que un = εn vn pour tout n ≥ n0 ; — (un )n∈N est équivalente à (vn )n∈N , s’il existe un entier n0 ≥ 0 et une suite (φn )n≥n0 convergente vers 1 tels que un = φn vn pour tout n ≥ n0 . On notera : — un = — un = — un

O

(vn ) pour signifier que (un )n∈N est dominée par (vn )n∈N ;

o

(vn ) pour signifier que (un )n∈N est négligeable devant (vn )n∈N ;

n→+∞ n→+∞

v

n→+∞

vn pour signifier que (un )n∈N est équivalente à (vn )n∈N .

On vérifie facilement que la relation

∼

semble des suites numériques, c’est-à-dire u v

v

n→+∞

u (symétrie) et si u

Dire que un

v

n→+∞

v

n→+∞

v, v

définit une relation d’équivalence sur l’en-

n→+∞

v

v

n→+∞

n→+∞

u (réflexivité), si u

w alors u

v

n→+∞

vn revient aussi à dire que un − vn =

v

n→+∞

v, alors

w (transitivité).

o

n→+∞

(vn ) .

On se reportera au paragraphe 4.1 pour les notions analogues sur les comparaisons des fonctions d’une variable réelle au voisinage d’un point ou de l’infini. Les résultats énoncés pour les fonctions sont aussi valables pour les suites. Si la suite (un )n∈N converge vers un scalaire ℓ 6= 0, on a alors un v ℓ (il suffit n→+∞ un d’écrire un = ℓ), mais ce résultat est faux pour ℓ = 0. Dire que (un )n∈N est équivalente ℓ

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Suites réelles monotones

21

à 0 signifie que les un sont tous nuls à partir d’un certain rang et une suite  peut  avoir 1 ∗ une limite nulle en étant à valeurs dans K comme le montre l’exemple de . n n∈N∗ Théorème 2.12. Si u = (un )n∈N et v = (vn )n∈N sont deux suites numériques équivalentes, elles sont alors de même nature, c’est-à-dire que u converge si, et seulement si v converge. En cas de convergence, on a lim un = lim vn . n→+∞

n→+∞

Preuve. On a un = φn vn pour tout n ≥ n0 avec lim φn = 1. En utilisant le résultat n→+∞

relatif au produit de deux suites convergentes, on déduit que si u converge, il en est alors de même de v et lim un = lim φn lim vn = lim vn . Comme lim φn = 1, on n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

1 un pour n ≥ n1 , aura φn 6= 0 à partir d’un rang n1 ≥ n0 et en écrivant que vn = φn on déduit que si v converge, il en est alors de même de u et lim un = lim vn . Il en n→+∞

n→+∞

résulte que u diverge si, et seulement si v diverge.

2.5



Suites réelles monotones

Définition 2.9. On dit qu’une suite réelle (un )n∈N est : — croissante [resp. décroissante] si un+1 ≥ un [resp. un+1 ≤ un ] pour tout n ∈ N; — monotone si elle est croissante ou décroissante. En remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes on parle de suites strictement monotones. Pour étudier la monotonie d’une suite, on étudie le signe de un+1 − un ou, si un > 0 un+1 pour tout n ∈ N, le signe de − 1. un Une suite réelle (un )n∈N est décroissante si, et seulement si, (−un )n∈N est croissante. Il suffit donc de s’intéresser aux suites croissantes. Exemples 2.1 1. Pour toute fonction monotone f : R+ → R, la suite (f (n))n∈N est monotone. 2. Si f : I 7→ I est une fonction croissante, la suite (un )n∈N définie par u0 ∈ I et un+1 = f (un ) pour tout n ∈ N est alors monotone de monotonie dépendant du signe de u1 − u0 . Du théorème de la borne supérieure, on déduit immédiatement le résultat suivant. Théorème 2.13. Une suite réelle croissante [resp. décroissante] u est convergente si, et seulement si, elle est majorée [resp. minorée] et dans ce cas on a lim un = sup un [resp. n→+∞

lim un = inf un ] Sinon on a

n→+∞

n∈N

lim un = +∞. [resp.

n→+∞

n∈N

lim un = −∞].

n→+∞

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 22 — #32

22

Suites numériques

Preuve. Considérons une suite réelle u = (un )n∈N croissante. Si elle est majorée, alors l’ensemble {un | n ∈ N} qui est non vide et majoré admet une borne supérieure M. Soit ε un réel strictement positif. Il existe un naturel n0 tel que M − ε ≤ un0 ≤ M. La suite étant croissante et M étant un majorant de la suite, on a M − ε ≤ un ≤ M, soit |un − M | ≤ ε pour tout n ≥ n0 . La suite u est donc convergente vers M. Si elle n’est pas majorée, pour tout réel M > 0, il existe un entier n0 tel que un0 ≥ M et avec la croissance de u, on déduit que un ≥ M pour tout n ≥ n0 . La suite u est donc divergente vers +∞. On procède de même pour les suites décroissantes et minorées.  Le théorème 2.13 associé au résultat qui suit nous donne une démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème 2.14. De toute suite réelle on peut extraire une suite monotone. Preuve. Soit A = {n ∈ N | ∀m > n, um ≤ un } . Si A est finie, elle admet alors un majorant n0 ∈ / A et il existe un entier n1 > n0 tel que un1 > un0 . Comme n1 ∈ / A, il existe n2 > n1 tel que un2 > un1 et ainsi de suite, on construit par récurrence une suite strictement croissante d’entiers (nk )k∈N telle que unk+1 > unk pour tout k ∈ N. La suite (unk )k∈N est alors extraite de (un )n∈N et strictement croissante. Si A est infinie, on peut alors ranger ses éléments dans l’ordre croissant, soit A = {nk | k ∈ N} avec nk < nk+1 pour tout k ∈ N et par construction, on a unk+1 ≤ unk pour tout k ∈ N. La suite (unk )k∈N est extraite de (un )n∈N et décroissante.  Théorème 2.15. Bolzano-Weierstrass De toute suite numérique bornée on peut extraire une sous-suite convergente. Preuve. Résulte immédiatement du théorème précédent et du théorème 2.13 (dans le cas d’une suite de nombres complexes, on sépare les parties réelles et imaginaires pour se ramener au cas réel).  Une conséquence importante de ce résultat est le suivant. Théorème 2.16. Une suite numérique est convergente si, et seulement si, elle est bornée et n’a qu’une seule valeur d’adhérence. Preuve. On sait déjà qu’une suite convergente est bornée et qu’elle n’a qu’une seule valeur d’adhérence (théorème 2.10). Réciproquement, supposons que la suite bornée (un )n∈N admette ℓ pour seule valeur d’adhérence. Si cette suite ne converge pas vers ℓ, on peut alors trouver un réel ε > 0 tel que pour tout entier n, il existe p > n avec |up − ℓ| ≥ ε. Par récurrence on peut alors construire une suite strictement croissante
d’entiers (φ (n))n∈N telle que uφ(n) − ℓ ≥ ε pour tout n. De la suite bornée uφ(n) n∈N
on peut extraire une sous suite uψ(n) n∈N qui converge vers ℓ′ et par passage à la limite dans l’inégalité uψ(n) − ℓ ≥ ε on déduit que |ℓ′ − ℓ| ≥ ε > 0, c’est-à-dire que ℓ′ est une valeur d’adhérence de (un )n∈N distincte de ℓ, ce qui contredit l’hypothèse de départ. 

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 23 — #33

Suites adjacentes

2.6

23

Suites adjacentes

Les suites considérées dans ce paragraphe sont à valeurs réelles. Définition 2.10. Deux suites réelles u et v sont adjacentes si la suite u est croissante, la suite v est décroissante et la suite v − u est convergente vers 0. Lemme 2.1 Si (un )n∈N , (vn )n∈N sont deux suites réelles adjacentes, on a alors un ≤ vm pour tout (n, m) ∈ N2 . Preuve. Supposons qu’il existe (n, m) ∈ N2 tel que un > vm . Comme u est croissante, et v décroissante, on a pour tout entier k ≥ max (n, m) , uk ≥ un et vk ≤ vm , donc uk − vk ≥ un − vm > 0 et 0 = lim (uk − vk ) ≥ un − vm > 0, ce qui est impossible.  k→+∞

Théorème 2.17. Deux suites réelles adjacentes u = (un )n∈N et v = (vn )n∈N convergent vers la même limite ℓ, avec un ≤ ℓ ≤ vm pour tous n, m dans N. Preuve. En utilisant le lemme précédent et la monotonie des suites u et v, on a : ∀n ∈ N, u0 ≤ un ≤ un+1 ≤ vn+1 ≤ vn ≤ v0 c’est-à-dire que u est croissante majorée par v0 et v décroissante et minorée par u0 , ces deux suites sont donc convergentes avec lim vn − lim un = lim (vn − un ) = 0, n→+∞

n→+∞

n→+∞



elles convergent donc vers la même limite ℓ = sup (un ) = inf (vn ) . n∈N

n∈N

On peut remarquer qu’une majoration de l’erreur d’approximation de ℓ par les un est donnée par 0 ≤ ℓ − un ≤ vn − un pour tout n ∈ N. Corollaire 2.4. Soit f : [1, +∞[ → R une fonction continue décroissante telle que lim f (x) = 0 et F la primitive de f nulle en 1. Les suites réelles définies x→+∞

par un =

n X

f (k) − F (n + 1) et vn =

k=1

n X

f (k) − F (n) pour tout n ≥ 1 convergent

k=1

vers une même limite. Preuve. Comme f est décroissante telle que lim f (x) = 0, elle est à valeurs positives. x→+∞ Z x La fonction F est définie par F (x) = f (t) dt pour tout x ≥ 1. Pour n ≥ 1, on a : 1

Z

n+2

un+1 − un = f (n + 1) − (F (n + 2) − F (n + 1)) =

(f (n + 1) − f (t)) dt n+1

avec f continue et f (n + 1) ≥ f (t) pour tout t ∈ [n + 1, n + 2] . On a donc un+1 −un ≥ 0 Z n+1 et u est décroissante. De même, avec vn+1 − vn = (f (n + 1) − f (t)) dt ≤ 0, on dén Z n+1 duit que v est décroissante. Enfin, avec vn − un = F (n + 1) − F (n) = f (t) dt n

et f positive décroissante, on déduit que 0 ≤ vn − un ≤ f (n) et en conséquence,

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 24 — #34

24

Suites numériques

lim (vn − un ) = 0 puisque

n→+∞

lim f (n) = 0. En conclusion, ces suites sont adjacentes

n→+∞

et en conséquence convergentes vers une même limite. ! n X 1 1 Le choix de f (t) = conduit à la constante γ d’Euler γ = lim − ln (n) . n→+∞ t k k=1 Le théorème des suites adjacentes est équivalent au théorème qui suit. Théorème 2.18. Segments emboîtés Si ([an , bn ])n∈N est une suite de segments emboîtés (i. e. telle que l’on a an < bn et [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ] pour tout n ∈ N) telle que lim (bn − an ) = 0, il existe n→+∞ \ alors un réel ℓ tel que [an , bn ] = {ℓ} . n∈N

Preuve. Il est facile de vérifier que les suites (an )n∈N et (bn )n∈N sont adjacentes et ℓ = sup (an ) = lim (an ) = lim (bn ) = inf (bn ) .  n∈N

n∈N

n∈N

n∈N

Le théorème des suites adjacentes nous permet de retrouver le théorème de BolzanoWeierstrass (théorème 2.15) et la propriété de la borne supérieure pour R en utilisant une méthode de dichotomie. Théorème 2.19. Bolzano-Weierstrass De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. Preuve. Si [a0 , b0 ] est un intervalle réel qui contient tous les éléments de la suite (un )n∈N on le coupe en deux parties égales et on garde une de ces parties qui contient des un pour une infinité d’indices n. En réitérant ce procédé on construit deux suites adjacentes (an )n∈N et (bn )n∈N et une application φ strictement croissante
de N dans N telles que chaque intervalle [an , bn ] contient un terme uφ(n) . La suite uφ(n) n∈N est alors convergente.  Théorème 2.20. Toute partie non vide minorée [resp. majorée] dans R admet une borne inférieure [resp. supérieure]. Preuve. Soit E une partie non vide et majorée de R. On se donne un majorant M0 de E, y0 + M0 x0 dans E, un réel y0 < x0 (donc y0 ne majore pas E) et on pose z0 = . Si z0 est 2 un majorant de E, on pose alors y1 = y0 et M1 = z0 , sinon on pose y1 = z0 et M1 = M0 , de sorte que y1 ne majore pas E, M1 majore E, y0 ≤ y1 (c’est vrai pour y1 = y0 et pour M0 − y0 y1 = z0 , on a y1 − y0 = > 0 car y0 < x0 ≤ M0 ), M1 ≤ M0 (c’est vrai pour 2 y0 − M0 M0 − y0 M1 = M0 et pour M1 = z0 , on a M1 − M0 = < 0) et M1 − y1 = 2 2 M 0 − y0 M0 − y0 ou M0 − z0 = ). On construit alors par (M1 − y1 vaut z0 − y0 = 2 2 récurrence deux suites (yn )n∈N et (Mn )n∈N qui sont adjacentes telles que yn ne majore M n − yn pas E, Mn majore E et Mn+1 − yn+1 = pour tout n ∈ N. Pour n = 0, c’est 2 fait. Supposant construits les yk et Mk pour k compris entre 0 et n, on construit yn+1 et Mn+1 comme on a construit y1 et M1 à partir de y0 et M0 . Ces suites étant adjacentes,

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 25 — #35

Suites adjacentes

25

elle convergent vers une même limite ℓ. Comme tous les Mn majorent E, on a pour tout x ∈ E, x ≤ Mn pour tout n ∈ N et x ≤ ℓ par passage à la limite. Pour ε > 0 donné, il existe un entier n0 tel que ℓ − ε < yn ≤ ℓ pour tout n ≥ n0 . Comme yn0 ne majore pas E, il existe x ∈ E tel que yn0 < x, ce qui nous donne ℓ − ε < x ≤ ℓ. En conclusion, ℓ est la borne supérieure de E. On procède de manière analogue pour la borne inférieure.  Le théorème des suites adjacentes permet également de montrer que R n’est pas dénombrable en utilisant une méthode de « trichotomie ». Théorème 2.21. R n’est pas dénombrable. Preuve. Il suffit de montrer que [0, 1] n’est pas dénombrable. Supposons qu’il existe une application bijective φ : N → [0, 1] . En coupant I = [0, 1] en trois segments de même longueur, il en existe un que l’on note I0 qui ne contient pas φ (0) . On coupe ensuite I0 en trois segments de même longueur en notant I1 l’un de ces segments qui ne contient par φ (1) . Par récurrence, on construit ainsi une suite de segments emboîtés (In )n∈N telle 1 que, pour tout n ∈ N, In ne contient pas φ (n) et In est de longueur n , on déduit alors 3 \ du théorème des segments emboîtés que In = {x} avec x ∈ [0, 1] et x 6= φ (n) pour n∈N

tout n ∈ N, ce qui contredit la définition de φ.  Une autre application importante du théorème des segments emboîtés (ou des suites adjacentes) est le théorème des valeurs intermédiaires qui fournit de plus une méthode d’approximation d’une solution d’une équation f (x) = 0. Théorème 2.22. Si f est une fonction continue de I = [a, b] (avec a < b) dans R telle que f (a) f (b) < 0, l’équation f (x) = 0 admet alors au moins une solution α ∈ ]a, b[ . Preuve. Supposons que f (a) < 0 < f (b) (en remplaçant au besoin f par −f on se ramène toujours à ce cas). On construit, par récurrence, une suite ([an , bn ])n∈N d’intervalles emboîtés dans [a, b] de la manière suivante : [a0 , b0 ] = [a, b] et supposant construit [an , bn ] ⊂ [a, b] pour n ≥ 0, on pose :      an + bn an + bn   si f >0  an ,  2 2 [an+1 , bn+1 ] =    an + bn   , bn sinon  2 bn − an pour tout n ≥ 0, ce On a [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ] avec bn+1 − an+1 = 2 b−a qui entraîne bn − an = pour tout n ≥ 0. ([an , bn ])n∈N est alors une suite de \ 2n segments emboîtés et [an , bn ] = {α} avec α ∈ [a, b] . De plus, par construction, n∈N

on a f (an ) ≤ 0 ≤ f (bn ) pour tout n ≥ 0. En effet, c’est vrai pour n = 0 et en supposant cet n ) ≤ 0 si  encadrement vérifié au rang n ≥ 0, on a f (an+1) = f (a  an + bn an + bn an + bn f > 0 avec bn+1 = et f (bn+1 ) = f (bn ) ≥ 0 si f ≤ 0 avec 2 2 2 an + bn an+1 = . Avec α = lim (an ) = lim (bn ) et la continuité de f, on déduit alors que n∈N n∈N 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 26 — #36

26

Suites numériques

f (α) = lim (f (an )) ≤ 0 ≤ lim (f (bn )) = f (α) , ce qui équivaut à f (α) = 0. Comme de n∈N

n∈N

plus on a supposé que f (a) f (b) < 0, α est différent de a et de b.  Si f est strictement monotone, elle est alors injective et α est l’unique solution dans [a, b] de l’équation f (x)   = 0. an + bn La suite converge également vers α et pour chacune des trois suites, 2 n∈N b−a on la majoration de l’erreur d’approximation |α − xn | ≤ pour tout n ∈ N, ce 2n qui permet de déterminer un nombre suffisant d’itérations pour atteindre une précision   b−a ε > 0 donnée. On peut prendre n0 = log2 . En pratique on préfère utiliser le ε test d’arrêt |bn − an | < ε. √ Exemple 2.2 Pour approximer 2, on utilise la fonction f définie par f (x) = x2 − 2 sur [0, 2] (on a f (0) = −2 < 0 < f (2) = 2), ce qui conduit aux suites (an )n∈N et (bn )n∈N définies par [a0 , b0 ] = [1, 2] et :     2 an + bn an + bn    a , si >2 n  2 2 [an+1 , bn+1 ] =    an + bn    , bn sinon 2   √ an + bn permet d’approximer 2 avec la majoration d’erreur La suite (un )n∈N = 2 n∈N √ 1 un − 2 ≤ bn − an = . 2n

2.7

Le critère de Cauchy

Définition 2.11. On dit qu’une suite numérique (un )n∈N est de Cauchy si : ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , |un − um | < ε Comme pour la définition d’une suite convergente les inégalités peuvent être strictes ou larges et on peut se limiter à ε ∈ ]0, 1[ . De plus, comme m et n jouent des rôles symétriques, on peut se limiter à m > n. Théorème 2.23. Une suite de Cauchy est bornée. Preuve. Si (un )n∈N est une suite de Cauchy, il existe alors un entier naturel n0 ≥ 1 tel que |un − um | < 1 pour tous n ≥ n0 et m ≥ n0 , ce qui entraîne : ∀n ≥ n0 , |un | ≤ |un − un0 | + |un0 | < 1 + |un0 | et en posant M = max {|u0 | , · · · , |un0 | , 1 + |un0 |} , on a |un | ≤ M pour tout n ∈ N, ce qui signifie que la suite (un )n∈N est bornée.  Le résultat suivant est souvent utilisé pour montrer qu’une suite est de Cauchy.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 27 — #37

Le théorème de Cesàro

27

Théorème 2.24. Si (un )n∈N est une suite numérique telle qu’il existe une suite (εn )n≥n0 de réels positifs telle que lim (εn ) = 0 et |um − un | ≤ εn pour tous ∀m > n ≥ n0 , cette n→+∞

suite est alors de Cauchy et en conséquence convergente. Preuve. De lim (εn ) = 0, on déduit que pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier n→+∞

n0 tel que εn < ε pour tout n ≥ n0 , ce qui entraîne |um − un | < ε pour m > n ≥ n0 .  Lemme 2.2 Une suite de Cauchy est convergente si, et seulement si, on peut en extraire une sous-suite convergente. Preuve. La condition nécessaire est évidente. Réciproquement, soit
(un )n∈N une suite de Cauchy dont on peut extraire une sous-suite convergente uφ(n) n∈N de limite ℓ. On peut trouver pour tout réel ε > 0 un entier n0 tel que uφ(n) − ℓ < ε et |um − un | ≤ ε pour tous n ≥ n0 et m ≥ n0 . Il en résulte que |um − ℓ| ≤ um − uφ(n0 ) + uφ(n0 ) − ℓ ≤ 2ε pour tout m ≥ n0 (puisque φ (n0 ) ≥ n0 ).  Théorème 2.25. Une suite numérique est convergente si, et seulement si, elle est de Cauchy. Preuve. Soit (un )n∈N une suite convergente vers ℓ. Pour tout ε > 0 il existe un entier positif n0 tel que |un − ℓ| < ε pour tout n ≥ n0 et : ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , |un − um | ≤ |un − ℓ| + |um − ℓ| < 2ε ce qui signifie que (un )n∈N est de Cauchy. Réciproquement si (un )n∈N est de Cauchy, elle est alors bornée et il en est de même des suites réelles (xn )n∈N = (Re (un ))
n∈N et (yn )n∈N = (Im (un ))n∈N , donc on peut en extraire des suites convergentes xφ(n) n∈N et

yφ(n) n∈N (théorème de Bolzano-Weierstrass). Il en résulte que la suite uφ(n) n∈N est convergente et il en est de même de (un )n∈N d’après le lemme précédent.  Ce résultat se traduit en disant que R [resp. C] muni de la valeur absolue [resp. du module] est complet. Avec l’exercice 1.3, on a vu que Q n’est pas complet.

2.8

Le théorème de Cesàro

Théorème 2.26. Cesàro Soit (un )n∈N une suite numérique qui converge vers ! ℓ. Pour toute suite n X (αn )n∈N à valeurs dans R+,∗ telle que lim αk = +∞, on a n→+∞ k=0   n−1 X 1 αk uk  = ℓ. lim  n−1 ∑ n→+∞

k=0

αk k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 28 — #38

28

Suites numériques

Preuve. Notons An =

n−1 X

1 X αk uk pour tout n ∈ N∗ . On a : An n−1

αk et vn =

k=0

k=0

∀ε > 0, ∃nε ∈ N | ∀n ≥ nε , |un − ℓ| < ε donc pour n > nε : 1 |vn − ℓ| = An

n ε n−1 1 1 X X αk (uk − ℓ) + αk (uk − ℓ) ≤ An An k=0

k=0

n−1 P

Cε ≤ + An

k=nε +1

An

αk ε≤

Cε +ε An

n−1 X

αk |uk − ℓ|

k=nε +1

 Cε = 0 (ε étant fixé) et on Si de plus lim (An ) = +∞, il en résulte que lim n→+∞ n→+∞ An peut trouver un entier n1 > nε tel que |vn − ℓ| ≤ 2ε pour tout n ≥ n1 . D’où le résultat annoncé.  Ce théorème est souvent utilisé en considérant les moyennes arithmétiques, c’est-à-dire avec la suite (αn )n∈N stationnaire sur 1. Précisément, on a : ! !   n−1 1X uk = ℓ lim (un ) = ℓ ⇒ lim n→+∞ n→+∞ n 

k=0

Définition 2.12.On dit qu’une suite numérique (un )n∈N converge au sens de  n−1  1 P uk Cesàro vers un scalaire ℓ, si la suite est convergente vers ℓ. n k=0 n∈N∗

2.9

Exercices

Exercice 2.1.

Montrer que :

cos (n) = 0, n→+∞ n lim

n! = 0, n→+∞ nn lim

 lim

n→+∞

λn n!

 =0 n∈N

où λ ∈ C. Solution.

cos (n) ≤ 1. 1. Se déduit de n n n! nn−1 21 1 2. Se déduit de 0 < n = ··· ≤ . n n n nn n 3. Soit n0 ∈ N tel que n0 > |λ| . Pour tout n > n0 , on a n0 + k > |λ| pour tout k compris entre 1 et n − n0 − 1 et : n n n n n−n0 λ λ 0 λ 0 |λ|n−n0 λ 0 |λ| |λ| 0≤ = ≤ = n−n −1 0 n! n0 ! (n0 + 1) · · · n n0 ! |λ| n n0 ! n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 29 — #39

Exercices

29 

donc lim

n→+∞

λn n!

 = 0. n∈N

Exercice 2.2. Soit (un )n∈N une suite à valeurs dans Z. Montrer que (un )n∈N converge si, et seulement si, elle est stationnaire. Solution. Soit (un )n∈N une suite à valeurs dans Z convergente vers ℓ ∈ R. Il existe un 1 entier n0 tel que |un − un0 | ≤ |un − ℓ| + |ℓ − un0 | < pour tout n ≥ n0 , ce qui implique 2 que un = un0 pour tout un = un0 puisque les un sont entiers. La suite (un )n∈N est donc stationnaire et ℓ ∈ Z. La réciproque est évidente. Exercice 2.3. Cet exercice nous fournit une démonstration relativement simple de la densité de Q dans R. Montrer que pour tout réel x, la suite réelle définie n 1X x par un = 2 [kx] , où [·] est la partie entière, converge vers . En déduire la n 2 k=1 densité de Q dans R. Solution. Pour tout k compris entre 1 et n, on a [kx] ≤ kx < [kx] + 1, ou encore n n n X X X n (n + 1) [kx] < n, soit 0 ≤ [kx] < n, ce qui kx − x− 0 ≤ kx − [kx] < 1 et 0 ≤ 2 k=1 k=1 k=1 n+1 1 x donne 0 ≤ x − un < et lim un = . n→+∞ 2n n 2 Exercice 2.4.

Montrer que si lim (un ) = ℓ, alors pour toute application stricn→+∞
tement croissante φ : N → N, on a lim uφ(n) − un = 0. La réciproque est-elle n→+∞

vraie ? Solution. L’application φ étant strictement croissante, on a φ(n) ≥ n pour tout n ∈ N, donc pour tout réel ε > 0 il existe n0 ∈ N tel que uφ(n) −
un ≤ uφ(n) − ℓ +|ℓ − un | < ε pour tout n > n0 , ce qui signifie que lim uφ(n) − un = 0. En particulier, pour tout n→+∞

p ∈ N∗ , on a lim (un+p − un ) = 0. La réciproque est fausse comme le montre l’exemple √ n→+∞ de u = ( n)n∈N . Cette suite est divergente puisque non bornée et pour n ≥ 1, on a √ √ 1 lim n + 1 − n = lim √ √ = 0. n→+∞ n→+∞ n+1+ n

Exercice 2.5.

Montrer que

n X 1 k=1

k

! et (ln (n))n≥1 sont divergentes. n∈N∗ n X

1 n 1 ≥ = et n+k 2n 2 k=1 |v2n − vn | = ln (2) . On peut remarquer que la deuxième!suite est telle que pour tout p X 1 entier p ≥ 1, on a lim (un+p − un ) = lim = 0. n→+∞ n→+∞ n+k

Solution. En notant u et v ces suites, on a |u2n − un | =

k=1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 30 — #40

30

Suites numériques

Exercice 2.6.

Étudier la suite géométrique u = (an )n∈N où a ∈ R.

Solution. Pour a = 0, u est stationnaire sur 0. Pour |a| > 1, l’inégalité de Bernoulli (ou plus simplement la formule du binôme de Newton) nous dit que |an | ≥ 1 + n (|a| − 1) et n comme |a| − 1 > 0, on a lim (n (|a| − 1)) = +∞, ce qui entraîne que lim |a| = +∞ n→+∞

n→+∞

1 > 1, on |a| lim an = 0. Pour a = 1, u est constante égale à 1. Pour a = −1, u est n

et la suite u diverge. Pour 0 < |a| < 1, en écrivant que |a| = déduit que

1

1 |a|n

avec

n→+∞

divergente. n

Exercice 2.7. Montrer que la suite u = n(−1) valeur d’adhérence et est divergente.


n∈N

admet 0 comme unique

1 = 0, on déduit que 0 est une valeur d’adhé2n + 1 est une valeur d’adhérence non nulle de u, où φ : N → N

Solution. De lim u2n+1 = lim n→+∞

rence de u. Si ℓ = lim uφ(n) n→+∞

n→+∞

est strictement croissante, on a alors :
φ(n) φ (n) = lim φ (n) = +∞ |ln (ℓ)| = lim ln uφ(n) = lim (−1) n→+∞

n→+∞

n→+∞

ce qui est impossible. Donc 0 est l’unique valeur d’adhérence de u. Cette suite est divergente puisque non majorée (u2n = 2n). Exercice 2.8. constante.

Montrer qu’une suite périodique convergente est nécessairement

Solution. Soit (un )n∈N une suite périodique convergente vers ℓ et périodique de période p où p est un entier strictement positif. Pour tout entier naturel k, la suite extraite (upn+k )n∈N est constante de valeur commune uk et convergente vers ℓ. On a donc uk = ℓ pour tout k ∈ N. La réciproque est évidente. Exercice 2.9. Soit (un )n∈N une suite numérique telle que les deux suites extraites (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N sont convergentes. À quelle condition la suite (un )n∈N est elle convergente ? Solution. En notant ℓ, ℓ′ les limites respectives de (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N , montrons que u est convergente si, et seulement si, ℓ = ℓ′ . Si ℓ 6= ℓ′ , alors u admet au moins deux valeurs d’adhérence distinctes et en conséquence ne peut converger. Si ℓ = ℓ′ , pour tout réel ε > 0, on peut trouver des entiers n1 et n2 tels que |u2n − ℓ| < ε pour tout n ≥ n1 et |u2n+1 − ℓ′ | < ε pour tout n ≥ n2 et on a |un − ℓ| < ε pour tout n ≥ max (2n1 , 2n2 + 1) . Exercice 2.10. Montrer que si (un )n∈N est une suite numérique telle que (u2n )n∈N , (u2n+1 )n∈N et (u3n )n∈N sont convergentes, elle est alors convergente. Solution. Notons ℓ, ℓ′ et ℓ′′ les limites respectives des suites (u2n )n∈N , (u2n+1 )n∈N et (u3n )n∈N . La suite (u6n )n∈N qui est extraite de (u2n )n∈N et (u3n )n∈N converge vers ℓ

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Exercices

31

et ℓ′′ , ce qui entraîne ℓ = ℓ′′ du fait de l’unicité de la limite. De même en remarquant que (u6n+3 )n∈N est extraite de (u2n+1 )n∈N et (u3n )n∈N , on déduit que ℓ′ = ℓ′′ et ℓ = ℓ′ , c’est-à-dire que (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N convergent vers la même limite, ce qui équivaut à la convergence de u. Exercice 2.11.

Montrer que, pour tout nombre réel x, la suite (un (x))n∈N défin X xk nie par un (x) = est convergente. La limite de cette suite est l’exponentielle k! k=0 réelle de x notée exp (x) .

Solution. Pour m > n > 2, on a : m n+1 X xk |x| x xm−n−1 1+ |um (x) − un (x)| = + ··· + = k! (n + 1)! n+2 (n + 2) · · · (m − 1) m k=n+1 ! n+1 2 m−n−1 |x| |x| |x| |x| ≤ + ··· + 1+ m−n−1 (n + 1)! n + 2 (n + 2)2 (n + 2) et désignant par n0 > 2 un entier naturel tel que n0 +2 > |x| , on a pour tous m > n ≥ n0 , n+1 1 |x| avec lim (εn ) = 0, ce qui implique que |um (x) − un (x)| ≤ εn = n→+∞ (n + 1)! 1 − |x| n+2 1 (un (x))n∈N est de Cauchy, donc convergente. En écrivant εn = δn , le fait que |x| 1 − n+2   δn+1 |x| |x| lim (εn ) = 0 se déduit de lim = 1 et lim = 0, 1− = lim n→+∞ n→+∞ n→+∞ δn n→+∞ n + 2 n+2 ce qui entraîne que lim (δn ) = 0. n→+∞

Exercice 2.12. Étudier les suites réelles u = (tan (n))n∈N , v = (sin (nθ))n∈N et w = (cos (nθ))n∈N , où θ est un réel fixé. Solution. 1. u est divergente. Si déduit que ℓ =

lim (tan (n)) = ℓ, avec tan (n + 1) =

n→+∞

tan (n) + tan (1) , on 1 − tan (n) tan (1)


ℓ + tan (1) et tan (1) 1 + ℓ2 = 0 qui est impossible. 1 − ℓ tan (1)

nk

2. Pour θ = kπ avec k ∈ Z, on a pour tout n ∈ N, vn = 0 et wn = (−1) . La suite v est donc convergente et la w est convergente pour k pair et divergente pour k impair. On suppose que θ ∈ / πZ. Si lim (sin (nθ)) = ℓ, avec : n→+∞

sin ((n + 1) θ) + sin ((n − 1) θ) = 2 sin (nθ) cos (θ) / on déduit que 2ℓ = 2ℓ cos (θ) , ce qui impose ℓ = 0 puisque cos (θ) = 6 1 pour θ ∈ πZ. Puis avec sin ((n + 1) θ) = cos (nθ) sin (θ) + sin (nθ) cos (θ) , on déduit que l’on a 6 0 lim (cos (nθ) sin (θ)) = 0, ce qui entraîne lim (cos (nθ)) = 0 puisque sin (θ) = n→+∞

n→+∞

pour θ ∈ / πZ. Mais ce dernier résultat est incompatible avec cos2 (nθ) + sin2 (nθ) = 1.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 32 — #42

32

Suites numériques Si

lim (cos (nθ)) = ℓ, avec cos ((n + 1) θ) = cos (nθ) cos (θ) − sin (nθ) sin (θ) , on

n→+∞

déduit que lim sin (nθ) = n→+∞

ℓ (cos (θ) − 1) , ce qui contredit la divergence de v. sin (θ) 

Exercice 2.13.

Étudier la suite u =



λn nb

, pour λ ∈ R et b ∈ R+,∗ . n≥1

Solution. Pour λ = 0, u est constante égale à 0. On suppose donc que λ = 6 0. Avec un+1 = |λ| , on déduit que lim (un ) = 0 pour |λ| < 1 et que u diverge pour lim n→+∞ un n→+∞ 1 |λ| > 1. Pour |λ| = 1, avec |un | = b , on déduit que u est convergente vers 0. n Exercice 2.14. Montrer que la suite réelle u = (un )n∈N définie par u0 = 0 et √ √ 1+ 5 un+1 = un + 1 est convergente vers . 2 Solution. On vérifie facilement par récurrence que 1 ≤ un ≤ 2 pour tout n ≥ 1. En effet, pour n = 1, on a 1 = u1 < 2 et en supposantracquis le résultat au rang n ≥ 1, √ √ un+1 1 on a 1 < 2 ≤ un+1 ≤ 3 < 2. Et avec = 1+ > 1, on déduit que u est un un √ croissante majorée, donc convergente vers ℓ ∈ [1, 2] . De un+1 = un + 1,√on déduit que √ 1+ 5 ℓ = ℓ + 1, soit ℓ2 − ℓ − 1 = 0 avec 1 ≤ ℓ ≤ 2, ce qui équivaut à ℓ = . 2

Exercice 2.15.

Montrer directement que u =

n X 1 k=1

vers un réel γ ∈ [0, 1[ (constante γ d’Euler).

k

! − ln (n)

converge n∈N∗

1 Solution. La fonction t 7→ étant décroissante positive sur R+,∗ , on a pour tout entier t n ∈ N∗ :  Z n+1  1 1 1 − (ln (n + 1) − ln (n)) = − dt < 0 un+1 − un = n+1 n+1 t n et : un =

n X 1 k=1

k

− ln (n) ≥

n Z X k=1

k

k+1

dt − ln (n) = t

Z 1

n+1

dt − ln (n) = ln (n + 1) − ln (n) > 0 t

Donc (un )n∈N∗ est strictement décroissante minorée par 0 et en conséquence convergente 3 vers un réel γ ∈ [0, 1[ (pour n ≥ 2 on a 0 ≤ un ≤ u2 = − ln (2) w 0.806 85, donc 2 0 ≤ γ ≤ u2 < 1).

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 33 — #43

Exercices

33

Exercice 2.16. On désigne par u = (un )n∈N∗ et v = (vn )n∈N∗ les suites définies n n k−1 X X 1 (−1) par un = − ln (n) et vn = . k k k=1

k=1

1. Montrer que v2n = u2n − un + ln (2) pour tout n ≥ 1. 2. En déduire la limite de la suite v sachant que la suite u converge. Solution. 1. Pour n ≥ 1, on a : v2n =

2n k−1 X (−1)

=

2n X k=1

=

k

k=1

1 − k

n X j=1

n X k=1

  n n 2n n X X X X 1 1 1 1 1 − − = − 2j − 1 j=1 2j k j=1 2j 2j j=1 k=1

1 = u2n + ln (2n) − (un + ln (n)) = u2n − un + ln (2) k

2. Sachant que la suite u converge vers γ, on déduit que lim v2n = ln (2) . En utilisant n→+∞

1 l’égalité v2n+1 = v2n + , on a aussi lim v2n+1 = ln (2) et en conséquence n→+∞ 2n + 1 +∞ n−1 X (−1) = ln (2) . lim vn = ln (2) , ce qui s’écrit n→+∞ n n=1 Exercice 2.17. ! n X 1 u= kα k=1

Montrer directement que, pour tout réel α ∈ ]1, +∞[ , la suite est convergente.

n∈N∗

1 est décroissante sur R+∗ , donc : tα Z k Z k dt dt 1 ∀k ≥ 2, ≥ = α α α k k−1 t k−1 k

Solution. La fonction t →

et pour tout n ≥ 2, on a : un = 1 +

  Z n n Z k n X X 1 dt dt 1 1 α 1 − ≤ 1 + = 1 + = 1 + ≤ α α α α−1 k α−1 n α−1 k−1 t 1 t

k=2

k=2

La suite (un )n∈N est alors croissante majorée et donc convergente. Pour α = 2, on 1 1 1 1 peut utiliser les inégalités 2 ≤ = − pour k ≥ 2 pour déduire que k k (k − 1) k−1 k  n n  X X 1 1 1 1 un = 1 + ≤ 1 + − = 1 + 1 − ≤ 2. 2 k k−1 k n k=2

k=2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 34 — #44

34

Suites numériques  pn est qn n∈N une suite de nombres rationnels qui converge vers x, où pour tout entier n, pn est un entier relatif et qn un entier naturel non nul, on a alors lim qn = +∞ et 

Exercice 2.18.

Soit x un nombre irrationnel. Montrer que si

lim pn = +∞, si x > 0,

n→+∞

n→+∞

lim pn = −∞, si x < 0.

n→+∞

Solution. Dire que la suite (qn )n∈N ne converge pas vers l’infini signifie qu’il existe une réel α > 0 tel que pour tout entier n ∈ N, il existe un entier kn > n tel que 0 < qkn ≤ α.
On peut alors extraire de (qn )n∈N une sous-suite qφ(n) n∈N à valeurs dans [0, α] comme suit : pour n = 0 il existe φ (0) > 0 tel que 0 < qφ(0) ≤ α et en supposant construits les entiers φ (0) < φ (1) < · · · < φ (n) tels que 0 < qφ(k) ≤ α pour tout k compris entre 0 et n, on peut trouver φ (n + 1) > φ (n) tel
que 0 < qφ(n+1) ≤ α. De cette suite bornée on peut alors extraire une sous-suite qψ(n) n∈N qui converge vers un entier q ≥ 1, mais alors
pψ(n) avec pψ(n) = qψ(n) , on déduit que la suite pψ(n) n∈N est également convergente et qψ(n) sa limite p = xq est également un entier, ce qui est en contradiction avec x irrationnel. pn pn et lim =x= 6 0, on déduit que lim pn = ±∞, le signe étant Avec pn = qn n→+∞ n→+∞ qn qn celui de x. Exercice 2.19.

Soit x un réel dans [0, 1] . Montrer, sans utiliser la fonction   x n x n+1 ln, que les suites définies par un = 1 + et vn = 1 + pour tout n n n ≥ 1 sont convergentes. Solution. Pour x = 0, ces suites stationnent sur 1. On a déjà vu avec l’exercice 2.19 que u est croissante pour x > 0 (et majorée pour x ∈ ]0, 2[). Pour n ≥ 1 on a : n+1 x x  n  vn = 1 + = 1+  x  n n+1 1+ n+1  n+1  2 n+1 x n + n (1 + x) + x = 1+ n+1 n2 + n (1 + x) n+1  n+1  x x 1+ 2 = 1+ n+1 n + n (1 + x) 

x n+1



n+1



1+

et en utilisant l’inégalité de Bernoulli (ou plus simplement la formule du binôme de Newton) pour x > 0, on obtient :  1+

x 2 n + n (1 + x) 2

n+1 >1+

n2

(n + 1) x x >1+ + n (1 + x) n+1

encore équivalent à (n + 1) > n2 + n (1 + x) ou a n (1 − x) + 1 > 0 qui est vérifié pour  n+2 x x ≤ 1) et donc vn > 1 + = vn+1 , ce qui signifie que (vn )n≥1 est décroissante n+1 x pour x ∈ ]0, 1] . Enfin, pour n ≥ 1, on a vn − un = un ≥ 0, donc un ≤ vn ≤ v1 (v est n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 35 — #45

Exercices

35

xv1 et lim (vn − un ) = 0. Ces deux suites n→+∞ n sont donc adjacentes et en conséquence convergentes. décroissante), ce qui donne 0 ≤ vn − un ≤

Exercice 2.20. Montrer que les suites u = (un )n∈N∗ et v = (vn )n∈N∗ définies n n X X 1 1 par un = − ln (n) et vn = − ln (n + 1) convergent vers une même limite k k k=1 k=1 γ (la constante d’Euler). Solution. Avec l’exercice 2.15, on a déjà vu que u est décroissante. De manière analogue, pour n ≥ 1, on a :   Z n+2   Z n+2 1 t − (n + 1) n+2 1 1 − ln = − dt = dt > 0 vn+1 − vn = n+1 n+1 n + 1 t (n + 1) t n+1 n+1 c’est-à-dire que v est croissante. Puis avec :    n+1 lim (un − vn ) = lim ln = ln (1) = 0 n→+∞ n→+∞ n on conclut que ces deux suites sont adjacentes. Les encadrements vn ≤ γ ≤ um , nous permettent de donner des valeurs approchées de γ. Par exemple, pour n = m = 10, on obtient v10 ≈ 0.53107 ≤ γ ≤ u10 ≈ 0.62638. Exercice 2.21. Montrer que les suites u = (un )n∈N∗ et v = (vn )n∈N∗ définies n n X X √ √ 1 1 √ − 2 n + 1 et vn = √ − 2 n convergent vers une même par un = k k k=1 k=1 limite. Solution. Pour n ≥ 1, on a : √ √
1 1 2 √ un+1 − un = √ +2 n+1− n+2 = √ −√ n+1 n+1 n+1+ n+2 √ √ n+2− n+1 1
=√ √ √ =√
2 > 0 √ √ n+1 n+1+ n+2 n+1 n+1+ n+2 c’est-à-dire que u est croissante. De même : √
√ 1 1 2 √ vn+1 − vn = √ +2 n− n+1 = √ −√ n+1 n+1 n+ n+1 √ √ n− n+1 1
= −√ √ =√ √
2 < 0 √ √ n+1 n+ n+1 n+1 n+ n+1 c’est-à-dire que v est décroissante. Enfin avec : lim (un − vn ) = 2 lim

n→+∞

n→+∞

√ √
n + 1 − n = 2 lim

n→+∞



1 √ √ n+1+ n

 =0

on conclut que ces deux suites sont adjacentes et donc convergentes vers ℓ. Les encadrements un ≤ ℓ ≤ vm , nous permettent de donner des valeurs approchées de ℓ. Par exemple, pour n = m = 20, on obtient u20 ≈ −1.569 9 ≤ ℓ ≤ v20 ≈ −1.349.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 36 — #46

36

Suites numériques

Exercice 2.22.

Soient 0 < a < b deux réels et (un )n∈N , (vn )n∈N les suites 2 réelles définies par u0 = a, v0 = b, un+1 = 1 1 (moyenne harmonique), un + vn un + vn vn+1 = (moyenne arithmétique) pour tout n ∈ N. Montrer que ces suites 2 √ sont adjacentes de √limite ab (moyenne géométrique). Pour b = 1, on a des approximations de a. Solution. On vérifie facilement, par récurrence, que un > 0 et vn > 0 pour tout n ∈ N. un − vn Pour n ∈ N, on a vn+1 − vn = avec u0 − v0 = a − b < 0 et : 2 2

un − vn =

2un−1 vn−1 un−1 + vn−1 (un−1 − vn−1 ) − =− ≤0 un−1 + vn−1 2 2 (un−1 + vn−1 )

pour n ≥ 1. Il en résulte que (vn )n∈N est décroissante. Avec : un+1 − un =

2un vn un (vn − un ) − un = un + vn un + vn

on déduit que (un )n∈N est croissante. Enfin avec un > 0 on a : 2

0 ≤ vn+1 − un+1 =

vn − un (un − vn ) ≤ 2 (un + vn ) 2

et par récurrence : 0 ≤ vn − un ≤

b−a 2n

→

n→+∞

0

(un )n∈N et (vn )n∈N sont donc adjacentes et en conséquence convergent vers une même limite λ ≥ 0. De plus avec un+1 vn+1 = un vn , on déduit √ que un vn = u0 v0 pour tout n et √ λ2 = u0 v0 . Donc lim un = lim vn = u0 v0 = ab. n→+∞

n→+∞

Exercice 2.23.

Soient 0 < a < b deux réels et (un )n∈N et (vn )n∈N définies un + vn √ par u0 = a, v0 = b, un+1 = un vn (moyenne géométrique), vn+1 = 2 (moyenne arithmétique) pour tout n ∈ N. Montrer que ces suites sont adjacentes de même limite. Cette limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b. Solution. On vérifie facilement, par récurrence, que un > 0 et vn > 0 pour tout n ∈ N. √ u+v , on déduit que un ≤ vn pour tout n ∈ N. Avec En utilisant l’inégalité uv ≤ 2 √ u+v √ u ≤ uv ≤ v et u ≤ ≤ v pour u > 0 et v > 0, on déduit que un ≤ un+1 = un vn 2 un + vn et vn+1 = ≤ vn pour tout n ∈ N. La suite (un )n∈N est donc croissante et (vn )n∈N 2 vn − un , on déduit par récurrence décroissante. Enfin avec 0 ≤ vn+1 −un+1 ≤ vn+1 −un = 2 b−a sur n ≥ 0 que 0 ≤ vn − un ≤ n et lim (vn − un ) = 0. Les suites (un )n∈N et (vn )n∈N n→+∞ 2 sont donc adjacentes et en conséquence convergent vers une même limite ℓ > 0. On peut

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 37 — #47

Exercices

37

Z +∞ π dt p est , où E (a, b) = 2 + a2 ) (t2 + b2 ) 2 · E (a, b) (t 0 une intégrale elliptique (voir l’épreuve 1 du Capes Externe 1995).

montrer que cette limite est ℓ =

Exercice 2.24.

Soient 0 < a < b deux réels et (un )n∈N et (vn )n∈N définies par un + vn √ u0 = a, v0 = b, un+1 = , vn+1 = un+1 vn pour tout n ∈ N. Montrer que 2 sin (θ) a ces suites sont adjacentes de limite ℓ = b où cos (θ) = . θ b

Solution. On vérifie par récurrence, que 0 < un < un+1r< vn+1 < vn pour tout n ∈ N. p u0 + v0 u0 + v0 On a 0 < u0 = a < b = v0 , u1 = > u0 > 0, v1 = v0 < v02 = v0 et : 2 2 √ u1 √ √ √ v1 − u1 = u1 ( v0 − u1 ) = √ √ (v0 − u1 ) v0 + u1     √ √ u1 u1 v0 − u0 u0 + v0 =√ v0 − =√ > 0. √ √ v0 + u1 2 v0 + u1 2 On a donc bien 0 < u0 < u1 < v1 < v0 . En supposant le résultat acquis au rang n ≥ 0, on a : un+1 + vn+1 un+2 = > un+1 > 0 2 r q un+1 + vn+1 2 vn+2 = vn+1 < vn+1 = vn+1 > 0 2 vn+2 − un+2

√
un+2 √ √ √ = un+2 vn+1 − un+2 = √ (vn+1 − un+2 ) √ vn+1 + un+2   √ un+2 un+1 + vn+1 =√ vn+1 − √ vn+1 + un+2 2   √ un+2 vn+1 − un+1 =√ >0 √ vn+1 + un+2 2

La suite u est donc croissante et la√suite v décroissante.   La dernière égalité donne pour un+1 vn − un vn − un n ≥ 0, 0 < vn+1 − un+1 = √ < et par récurrence √ vn + un+1 2 2 b−a 0 < vn − un ≤ , ce qui entraîne que lim (vn − un ) = 0. Les suites (un )n∈N et n→+∞ 2n (vn )n∈N sont donc adjacentes et en conséquence iconvergent vers une même limite ℓ > 0. a πh Comme 0 < < 1, il existe un unique réel θ ∈ 0, tel que a = b cos (θ) . On a donc b 2
u0 + v0 b (1 + cos (θ)) u0 = b cos (θ) et v0 = b. Pour n = 1, on a u1 = = = b cos2 θ2 et 2 2   θ √ . De même pour n = 2, on a : v1 = u1 v0 = b cos 2

      1 + cos θ2 θ θ u1 + v1 θ = b cos = b cos u2 = cos2 2 2 2 2 22

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 38 — #48

38

Suites numériques

    θ θ √ . Par récurrence, on vérifie que pour tout n ≥ 1, on u2 v1 = b cos cos 2 22   n−1     n Y θ Y θ θ a un = b cos2 et v = b . En effet, c’est vrai pour n = 1 cos cos n n k 2 2 2k k=1 k=1 et supposant le résultat acquis pour n ≥ 1, on a : et v2 =

un+1

  1 + cos un + vn θ = = b cos n 2 2 2 Y    n θ θ = b cos2 cos 2n+1 2k

θ 2n



n−1 Y

 cos

k=1

θ 2k



k=1

Y √ = un+1 vn = b cos n+1

et vn+1

k=1



θ 2k

 . En remarquant que :


  cos θ2 θ
= sin (θ) cos 2 2 sin θ2 cos

θ 2


=

sin (θ)
2 sin θ2

      θ θ sin (θ) θ
cos cos = cos 2 22 22 2 sin θ2
  cos 2θ2 sin (θ) θ

= sin 2 2 sin 2θ2 cos 2 sin θ2

θ 22


=

sin (θ)
22 sin 2θ2

b sin (θ)
. Puis on vérifie facilement par récurrence que, pour tout n ≥ 1, on a vn = n θ 2 sin n 2   b sin (θ) 1 θ θ , on déduit que lim un = lim vn = . Pour a = √ , avec sin v n n n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2 2 θ √ 2 π 2 2 b = 1, on a θ = et les suites u et v donnent des approximations de . 4 π Exercice 2.25. Soient (un )n∈N∗ et (vn )n∈N∗ deux suites numériques convergentes respectivement vers ℓ et ℓ′ . Montrer que la suite (wn )n∈N∗ définie par n 1X wn = uk vn−k converge vers ℓℓ′ . n k=1

Solution. On a, pour tout n ≥ 1 : 1X 1X wn − ℓℓ = (uk vn−k − ℓℓ′ ) = (uk (vn−k − ℓ′ ) + ℓ′ (uk − ℓ)) n n n

n

k=1

k=1

′

1X 1X |vn−k − ℓ′ | + |ℓ′ | |uk − ℓ| (la suite (un )n∈N∗ est bornée n n n∈N∗ k=1 k=1 puisque convergente). On conclut alors avec le théorème de Cesàro. n

et |wn − ℓℓ′ | ≤ sup |un |

n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 39 — #49

Exercices

39

Exercice 2.26. Montrer que le théorème de Cesàro est encore valable pour des suites réelles (un )n∈N qui diverge vers −∞ ou +∞. On a donc le résultat suivant. Une suite numérique (un )n∈N convergente est convergente au sens de Cesàro. Si de plus cette suite est réelle et diverge vers −∞ ou +∞, elle diverge aussi au sens de Cesàro vers −∞ ou +∞. Solution. Quitte à remplacer (un )n∈N par (−un )n∈N , on peut donc supposer que lim (un ) = +∞ et on a : n→+∞

∀λ > 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , un > λ et, en gardant les notations utilisées dans la démonstration du théorème 2.26, on a pour tout n > n0 : vn =

n0 n−1 1 1 X 1 X αk uk + αk uk = An An An k=0

k=0

n−1 X

αk uk

k=n0 +1

An − An0 C0 − An0 λ C0 + λ=λ+ An An An   C0 − An0 λ Si de plus on lim (An ) = +∞, il en résulte que lim = 0 (λ > 0 étant n→+∞ n→+∞ An λ C0 − An0 λ > − pour tout n ≥ n1 , ce qui fixé) et il existe un entier n1 > n0 tel que An 2 λ donne vn > pour tout n ≥ n1 et le résultat annoncé puisque λ est quelconque. 2 >

n

Exercice 2.27. En considérant les suites définies par αn = 1 et un = (−1) , on voit que la réciproque du théorème de Cesàro est fausse. Toutefois, on a le résultat suivant. Soit (un )n∈N une suite numérique convergente au sens de Cesàro vers ℓ. Montrer que si de plus on a lim n (un − un−1 ) = 0, alors la suite (un )n∈N n→+∞

converge vers ℓ. Solution. On a : n X

k (uk − uk−1 ) =

k=1

soit

n X

kuk −

k=1

lim un −

n→+∞

n X

kuk−1 =

k=1

n X

kuk −

k=1

n−1 X

(k + 1) uk = nun −

k=0

n−1 X

uk

k=0

1X 1X uk = k (uk − uk−1 ) = 0 en appliquant le théorème de Cesàro n n n−1

n

k=0

k=1

1X uk = ℓ. n→+∞ n n−1

à (n (un − un−1 ))n∈N , ce qui donne lim un = lim n→+∞

k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 40 — #50

40

Suites numériques

Exercice 2.28.

Soit (un )n∈N une suite numérique  telle que  un soit non nul un+1 = λ, on a alors à partir d’un certain rang. Montrer que si lim n→+∞ un p  n lim |un | = λ. La réciproque est-elle vrai ?

n→+∞

Solution.  que tous les un sont non nuls. Si  On peut  supposer, quitte à réindéxer  la suite, un+1 un+1 = λ ≥ 0, on a alors lim = µ avec µ = ln (λ) pour λ réel lim ln n→+∞ un n→+∞ un et µ = −∞ pour λ = 0, soit lim (ln |un+1 | − ln |un |) = µ et le théorème de Cesàro nous n→+∞ !   n−1 X 1 1 dit que lim (ln |uk+1 | − ln |uk |) = µ, soit lim (ln |un | − ln |u0 |) = µ, n→+∞ n→+∞ n n k=0  p  encore équivalent à lim ln n |un | = µ (exercice précédent avec (ln |un |)n∈N ), ce   pn→+∞ n |un | = eµ = λ. La réciproque est fausse comme le montre l’exemple qui donne lim n→+∞

n

n

de la suite (un )n∈N définie par un = a 2 b 2 pour n pair et un = a avec 0 < a < b. On a :  √
1  a n2 b n2 n = ab pour n pair √ n 1   n1 un = √  a  2n n−1  a n+1 2 b 2 = ab pour n impair b n+2

et 

n+1

n

n+1 2

b

n−1 2

pour n impair √

→

n→+∞

ab

n+1

a 2 b2 a 2 b 2 un+1 un+1 = = n+1 n−1 = b pour n impair, donc = a pour n pair, n n un  un a2b2 a 2 b 2

un+1 un

n’a pas de limite. n∈N

Exercice 2.29. Soit α > −1 et (un )n≥1 la suite de réels définie par u0 > 0 et 1 un+1 = un + α pour tout n ≥ 0. un 1. Montrer que

lim un = +∞.

n→+∞

2. Montrer que pour tout β > 0 on a

 uβn+1

=

uβn

1+

β uα+1 n

 +o



1 uα+1 n

.

3. Donner un équivalent de un à l’infini. Solution. 1. La suite (un )n∈N est strictement croissante (par récurrence). Si elle était bornée, alors 1 elle serait convergente de limite ℓ vérifiant ℓ = ℓ + α , ce qui est impossible. Donc ℓ lim un = +∞. n→+∞    β 1 β β 2. Pour tout réel, on a un+1 = un 1 + α+1 + o un uα+1 n
α+1 3. Pour β = α + 1, on a lim un+1 − uα+1 = α + 1. Le théorème de Cesàro entraîne n n→+∞

uα+1 n alors que lim = α + 1, c’est-à-dire que un n→+∞ n

v

n→+∞

1

((α + 1) n) α+1 .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 41 — #51

Chapitre 3

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle

3.1

Limite finie en un point

Pour ce paragraphe, I est une partie non vide de R non réduite à un point. La notion de limite en un point d’une fonction est intéressante si le point est adhérent à l’ensemble de définition I de la fonction f. En un tel point la fonction f n’est, a priori, pas définie. De manière intuitive, un point adhérent à I est un réel qui « colle » à l’ensemble I. Plus précisément, on peut donner la définition suivante. Définition 3.1. On dit qu’un réel a est adhérent à l’ensemble I si : ∀ε > 0, ]a − ε, a + ε[ ∩ I = 6 ∅ Comme pour tout a ∈ I et tout ε > 0, on a a ∈ ]a − ε, a + ε[ ∩ I, on déduit que tout point de I est adhérent à I. On note I l’ensemble des points adhérents à I et on dit que I est l’adhérence (ou la fermeture) de I. On a I ⊂ I, mais ce sont les points de I \ I qui vont nous intéresser pour les problèmes de limites. Par exemple pour I = ]a, b[ ∪ ]b, c[ avec a < b < c, les points a, b et c sont des points adhérents à I qui n’appartiennent pas à I et I = [a, b] . On peut donner la caractérisation séquentielle suivante de la notion de point adhérent. Cette caractérisation est souvent utilisée. Théorème 3.1. Un réel a est adhérent à I si, et seulement si, il existe une suite (un )n∈N de points de I qui converge vers a.   1 1 Preuve. Si a est adhérent à I, pour tout n ∈ N∗ l’ensemble a − , a + ∩ I est n n 1 alors non vide, donc il existe un réel un ∈ I tel que |un − a| < et faisant tendre n vers n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 42 — #52

42

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle

l’infini, on déduit que a = lim un . Réciproquement si a est limite d’une suite (un )n∈N n→+∞

de points de I, on a alors a ∈ {un | n ∈ N} ⊂ I.  Pour ce qui suit, a est un point adhérent à l’ensemble I et f est une fonction de I dans R ou C. Définition 3.2. On dit que la fonction f admet une limite finie quand x tend vers a dans I, s’il existe un scalaire ℓ tel que : ∀ε > 0, ∃η > 0 | (x ∈ I et 0 < |x − a| < η) ⇒ |f (x) − ℓ| < ε

(3.1)

(on dit aussi que f (x) tend vers ℓ quand x tend vers a dans I). Dire que f n’a pas de limite en a équivaut à dire que pour tout scalaire ℓ il existe un réel ε > 0 tel que : ∀η > 0, ∃x ∈ I | 0 < |x − a| < η et |f (x) − ℓ| ≥ ε Il est parfois commode de traduire (3.1) sous la forme : ∀ε > 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ ]a − η, a + η[ ∩ I \ {a} , |f (x) − ℓ| < ε En utilisant l’inégalité triangulaire dans R ou C, on montre, comme pour les suites convergentes, que si f admet une limite ℓ en a, cette limite est alors unique. En effet, s’il existe deux scalaires ℓ, ℓ′ vérifiant (3.1) , on peut alors trouver pour tout réel ε > 0 un réel η > 0 tel que pour tout x ∈ I \ {a} tel que |x − a| < η on a : |ℓ − ℓ′ | = |(ℓ − f (x)) + (f (x) − ℓ′ )| ≤ |ℓ − f (x)| + |f (x) − ℓ′ | < 2ε ce qui équivaut à ℓ − ℓ′ = 0. On note alors ℓ = x→a lim f (x) ou ℓ = lim f (x) , le domaine de x∈I

x→a

définition de la fonction f étant sous-entendu. On écrira aussi f (x) → ℓ. x→a Comme dans le cas des suites convergentes, les résultats qui suivent sont souvent utilisés pour justifier le calcul d’une limite. Théorème 3.2. S’il existe ℓ ∈ R, δ ∈ R+,∗ et une fonction φ : J = ]a − δ, a + δ[ ∩ I → R+ tels que lim φ (x) = 0 et |f (x) − ℓ| ≤ φ (x) pour tout x ∈ J \ {a} , on a alors x→a

lim f (x) = ℓ.

x→a

Preuve. Pour tout réel ε > 0 il existe un réel η > 0 tel que : (x ∈ J ⊂ I et 0 < |x − a| < η) ⇒ (|f (x) − ℓ| ≤ φ (x) < ε) ce qui donne le résultat annoncé.  Par exemple, avec |sin (x)| ≤ |x| pour tout réel x, on déduit que lim sin (x) = 0 et x→0   x2 2 x avec |cos (x) − 1| = 2 sin ≤ , on déduit que lim cos (x) = 1. x→0 2 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 43 — #53

Limite finie en un point

43

Théorème 3.3. Si f est à valeurs réelles et s’il existe δ ∈ R+,∗ et deux fonction φ et ψ de J = ]a − δ, a + δ[ ∩ I dans R tels que lim φ (x) = lim ψ (x) = ℓ et : x→a

x→a

∀x ∈ J \ {a} , ψ (x) ≤ f (x) ≤ φ (x) on a alors lim f (x) = ℓ. x→a

Preuve. Pour tout réel ε > 0 il existe un réel η > 0 tel que pour tout x ∈ J ⊂ I tel que 0 < |x − a| < η, on ait ℓ − ε < ψ (x) ≤ f (x) ≤ φ (x) < ℓ + ε, ce qui donne le résultat annoncé.  Comme pour les suites convergentes, l’inégalité triangulaire nous donne le résultat suivant. Théorème 3.4. Si f admet une limite finie quand x tend vers a, il existe alors un réel η > 0 tel que la restriction de f à J = ]a − η, a + η[ ∩ (I \ {a}) soit bornée (on dit que f est bornée au voisinage de a). Preuve.

Si lim f (x) = ℓ, il existe alors un réel η > 0 tel que, pour tout x dans x→a

]a − η, a + η[ ∩ (I \ {a}) , on ait |f (x)| = |(f (x) − ℓ) + ℓ| ≤ |f (x) − ℓ| + |ℓ| < 1 + |ℓ| .  Le résultat qui suit se déduit immédiatement de la définition de la limite en a. Théorème 3.5. Supposons que lim f (x) = ℓ, la fonction f étant à valeurs réelles. x→a

1. Si ℓ > 0 [resp. ℓ < 0] il existe alors un réel η > 0 tel que f (x) > 0 [resp. f (x) < 0] pour 0 < |x − a| < η. 2. S’il existe un réel η > 0 tel que f (x) ≥ 0 [resp. f (x) ≤ 0] pour tout x dans ]a − η, a + η[ ∩ (I \ {a}) , on a alors ℓ ≥ 0 [resp. ℓ ≤ 0]. Preuve. ℓ 1. Il existe η ∈ R+,∗ tel que, pour tout x ∈ ]a − η, a + η[ ∩ (I \ {a}) , on a |f (x) − ℓ| < , 2 ℓ ℓ donc f (x) > ℓ − > > 0 pour tout x ∈ ]a − η, a + η[ ∩ (I \ {a}) . Pour ℓ < 0, on 2 2 travaille avec −f. 2. Se déduit facilement du premier point.  Une définition séquentielle de la notion de limite finie en un point est donnée par le résultat suivant. Théorème 3.6. La fonction f admet la limite ℓ quand x tend vers a dans I si, et seulement si, pour toute suite (un )n∈N de points de I \ {a} qui converge vers a, la suite (f (un ))n∈N converge vers ℓ.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 44 — #54

44

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle

Preuve. Si lim f (x) = ℓ, alors pour tout réel ε > 0 il existe un réel η > 0 tel que x→a

0 < |x − a| < η dans I entraîne |f (x) − ℓ| < ε et si (un )n∈N est une suite de points de I \ {a} qui converge vers a, il existe alors un entier n0 tel que 0 < |un − a| < η pour tout n ≥ n0 , ce qui implique |f (un ) − ℓ| < ε. On a donc bien lim f (un ) = ℓ. Pour la n→+∞

réciproque, on raisonne par l’absurde. Si f n’a pas de limite finie en a, pour tout réel ℓ, il existe alors un réel ε > 0 tel que pour tout entier n ≥ 1 on peut trouver un ∈ I tel 1 que 0 < |un − a| < et |f (un ) − ℓ| ≥ ε. On a donc ainsi une suite (un )n∈N de points de n I \ {a} qui converge vers a pour laquelle la suite (f (un ))n∈N ne converge pas.  Cette caractérisation de la notion de limite peut être utilisée pour montrer qu’une fonction n’a pas de limite en un point (voir l’exercice 3.2). Comme pour les suites numériques, on dispose du critère de Cauchy qui permet de montrer qu’une fonction admet une limite finie en un point sans connaître nécessairement cette limite. Théorème 3.7. La fonction f admet une limite finie quand x tend vers a dans I si, et seulement si, pour tout réel ε > 0 il existe un réel η > 0 tel que : 2

∀ (x, y) ∈ (]a − η, a + η[ ∩ (I \ {a})) , |f (x) − f (y)| < ε

(3.2)

Preuve. Supposons que lim f (x) = ℓ. Pour tout réel ε > 0 il existe un réel η > 0 x→a ε pour tout x ∈ J = ]a − η, a + η[ ∩ (I \ {a}) , ce qui donne tel que |f (x) − ℓ| < 2 |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − ℓ| + |f (y) − ℓ| < ε pour tout (x, y) ∈ J 2 . Réciproquement, supposons (3.2) vérifié pour tout ε > 0 donné. Si (un )n∈N est une suite de points de I \ {a} qui converge vers a, pour ε > 0 et η > 0 tel que (3.2) soit satisfait, il existe alors un entier n0 tel que un ∈ ]a − η, a + η[ ∩ (I \ {a}) pour tout n ≥ n0 , ce qui implique que |f (un ) − f (um )| < ε pour tout couple (n, m) d’entiers tels que n ≥ n0 et m ≥ n0 . La suite (f (un ))n∈N est de Cauchy, donc convergente. Désignant par (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de points de I \ {a} qui convergent vers a et en notant ℓ = lim f (un ) , n→+∞

ℓ′ = lim f (vn ) , pour ε > 0 et η > 0 tel que (3.2) soit satisfait, il existe un entier n0 tel n→+∞

que un vn soient dans ]a − η, a + η[ ∩ (I \ {a}) pour tout n ≥ n0 , et en conséquence, on a |ℓ − ℓ′ | = lim |f (un ) − f (vn )| ≤ ε. Le réel ε > 0 étant quelconque, on nécessairement ′

n→+∞ n≥n0

ℓ = ℓ . C’est-à-dire que pour toute suite (un )n∈N de points de I \ {a} qui converge vers a, la suite (f (un ))n∈N converge vers un réel ℓ, ce qui équivaut à dire que lim f (x) = ℓ. x→a  En prenant en considération la structure d’ordre sur R, on peut définir les notions de limite à gauche ou à droite en un point. On suppose toujours que a est réel dans l’adhérence de I. Définition 3.3. On dit que la fonction f : I → R a pour limite à gauche [resp. à droite ] ℓ en a si pour tout réel ε > 0 il existe un réel η > 0 tel que : (x ∈ I, a − η < x < a) ⇒ (|f (x) − ℓ| < ε) [resp. (x ∈ I, a < x < a + η) ⇒ (|f (x) − ℓ| < ε)]

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 45 — #55

Limite finie en un point

45

Il est facile de vérifier que si f admet une limite à gauche [resp. une limite à droite] en a, cette limite est alors unique et on la note f (a− ) = lim− f (x) [resp. f (a+ ) = lim+ f (x)]. x→a

x→a

De manière équivalente on peut dire que f a une limite à gauche [resp. à droite] en a si la restriction de f à I ∩ ]−∞, a[ [resp. à I ∩ ]a, +∞[] a une limite en a. Des définitions précédentes, on déduit facilement le résultat suivant. Théorème 3.8. Si I est un intervalle ouvert, la fonction f : I → R a pour limite ℓ en a si, et seulement si, elle a une limite à gauche et à droite en a, ces limites étant égales à ℓ. Le cas des fonctions monotones définies sur un intervalle ouvert (pour simplifier) est particulièrement intéressant. Théorème 3.9. Si f est une fonction monotone de l’intervalle ouvert I dans R, elle admet alors une limite à gauche et droite en tout point. Dans le cas où f est croissante, on a f (x− ) = sup f (t) ≤ f (x) ≤ f (x+ ) = inf f (t) pour tout x ∈ I. De plus pour x 0] sans que cela ne soit restrictif. Pour a = +∞ et f définie sur N, on retrouve la définition de la convergence d’une suite numérique. Dire que f n’a pas de limite finie en −∞ [resp. +∞] équivaut à dire que pour tout scalaire ℓ il existe un réel ε > 0 tel que : ∀m ∈ R, ∃x ∈ I | x < m et |f (x) − ℓ| ≥ ε [resp. ∀M ∈ R, ∃x ∈ I | x > M et |f (x) − ℓ| ≥ ε] Il est parfois commode de traduire la définition précédente, par exemple dans le cas où a = +∞, sous la forme : ∀ε > 0, ∃M ∈ R | ∀x ∈ ]M, +∞[ ∩ I, |f (x) − ℓ| < ε ou encore, pour f à valeurs réelles : ∀ε > 0, ∃M ∈ R | ∀x ∈ ]M, +∞[ ∩ I, f (x) ∈ ]ℓ − ε, ℓ + ε[ Comme dans le cas des limites finies, en utilisant l’inégalité triangulaire dans R ou C, on montre que si f admet une limite ℓ en −∞ [resp. +∞], cette limite est alors unique. On note alors ℓ = lim f (x) [resp. ℓ = lim f (x)] ou plus simplement ℓ = lim f (x) x→−∞ x∈I

x→−∞

x→+∞ x∈I

[resp. ℓ = lim f (x)], le domaine de définition de la fonction f étant sous-entendu. On x→+∞

écrira aussi f (x)

→

x→−∞

ℓ [resp. f (x)

→

x→+∞

ℓ].

Quitte à remplacer la fonction f par la fonction x 7→ f (−x) , on peut se contenter d’étudier les limites en +∞. On peut aussi se  limiter  à I = ]a, +∞[ avec a > 0 et on a 1 alors lim f (x) = ℓ si, et seulement si, lim f = ℓ. x→+∞ x→0 x Les résultats obtenus sur les limites finies en un point sont encore valables pour les limites finies à l’infini. Théorème 3.13. S’il existe un réel ℓ, un réel δ et une fonction φ : J = ]δ, +∞[ ∩ I → R+ tels que lim φ (x) = 0 et |f (x) − ℓ| ≤ φ (x) pour tout x ∈ J, on a alors lim f (x) = ℓ.

x→+∞

x→+∞

Preuve. Pour tout réel ε > 0 il existe un réel M tel que : (x ∈ J ⊂ I et x > M ) ⇒ (|f (x) − ℓ| ≤ φ (x) < ε) ce qui donne le résultat annoncé.



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 48 — #58

48

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle Théorème 3.14. Si f, g sont à valeurs réelles et s’il existe δ > 0 et deux fonction φ, ψ définies sur J = ]δ, +∞[ ∩ I à valeurs réelles tels que lim φ (x) = lim ψ (x) = ℓ et x→+∞

x→+∞

ψ (x) ≤ f (x) ≤ φ (x) pour tout x ∈ J, on a alors lim f (x) = ℓ. x→+∞

Preuve. Pour tout réel ε > 0 il existe un réel M tel que pour tout x ∈ J ⊂ I tel que x > M, on ait ℓ − ε < ψ (x) ≤ f (x) ≤ φ (x) < ℓ + ε, ce qui donne le résultat annoncé.  Théorème 3.15. Si f admet une limite finie quand x tend vers +∞, il existe alors un réel M tel que la restriction de f à J = ]M, +∞[ ∩ I soit bornée. Preuve. Si lim f (x) = ℓ, il existe alors un réel M tel que, pour tout x ∈ ]M, +∞[ ∩ I, x→+∞

on a |f (x)| = |(f (x) − ℓ) + ℓ| ≤ |f (x) − ℓ| + |ℓ| < 1 + |ℓ| .



Théorème 3.16. Supposons f à valeurs réelles et que lim f (x) = ℓ. x→+∞

1. Si ℓ > 0 [resp. ℓ < 0] il existe alors un réel M tel que f (x) > 0 [resp. f (x) < 0] pour tout x ∈ ]M, +∞[ ∩ I. 2. S’il existe M ∈ R tel que f (x) ≥ 0 [resp. f (x) ≤ 0] pour tout x ∈ ]M, +∞[ ∩ I on a alors ℓ ≥ 0 [resp. ℓ ≤ 0]. Preuve. ℓ > 0 il existe un réel M tel que, pour tout x ∈ ]M, +∞[ ∩ I, on a 2 ℓ ℓ ℓ |f (x) − ℓ| < , donc f (x) > ℓ − > > 0 pour tout x ∈ ]M, +∞[ ∩ I. Pour ℓ < 0, 2 2 2 on travaille avec −f.

1. Pour ε =

2. Se déduit facilement du premier point.  Théorème 3.17. La fonction f admet la limite ℓ quand x tend vers +∞ si, et seulement si, pour toute suite (un )n∈N de points de I qui converge vers +∞, la suite (f (un ))n∈N converge vers ℓ. Preuve. Si lim f (x) = ℓ, alors pour tout réel ε > 0 il existe un réel M tel que x > M x→+∞

dans I entraîne |f (x) − ℓ| < ε et si (un )n∈N est une suite de points de I qui converge vers +∞, il existe alors un entier n0 tel que un > M pour tout n ≥ n0 , ce qui implique |f (un ) − ℓ| < ε. On a donc bien lim f (un ) = ℓ. n→+∞

Pour la réciproque, on raisonne par l’absurde. Si f n’a pas de limite finie en +∞, pour tout réel ℓ, il existe alors un réel ε > 0 tel que pour tout entier n ≥ 1 on peut trouver un ∈ I tel que un > n et |f (un ) − ℓ| ≥ ε. On a donc ainsi une suite (un )n∈N de points de I qui converge vers +∞ pour laquelle la suite (f (un ))n∈N ne converge pas. 

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 49 — #59

Limites à l’infini

49

Comme pour les suites numériques, on dispose du critère de Cauchy qui permet de montrer qu’une fonction admet une limite finie à l’infini sans connaître nécessairement cette limite. Théorème 3.18. La fonction f admet une limite finie quand x tend vers +∞ dans I si, et seulement si pour tout réel ε > 0 il existe un réel M tel que : 2

∀ (x, y) ∈ (]M, +∞[ ∩ I) , |f (x) − f (y)| < ε.

(3.3)

Preuve. Supposons que lim f (x) = ℓ. Pour tout réel ε > 0 il existe alors un réel M x→+∞ ε tel que |f (x) − ℓ| < pour tout x ∈ J = ]M, +∞[ ∩ I et en conséquence : 2 ∀ (x, y) ∈ J 2 , |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − ℓ| + |f (y) − ℓ| < ε Réciproquement, supposons (3.3) vérifié pour tout ε > 0 donné. Si (un )n∈N est une suite de points de I qui converge vers +∞, pour ε > 0 et M tel que (3.3) soit satisfait, il existe alors un entier n0 tel que un ∈ ]M, +∞[ ∩ I pour tout n ≥ n0 , ce qui implique que |f (un ) − f (um )| < ε pour tout couple (n, m) d’entiers tels que n ≥ n0 et m ≥ n0 . La suite (f (un ))n∈N est donc de Cauchy et en conséquence convergente. Désignant par (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites dans I qui convergent vers +∞ et en notant ℓ = lim f (un ) , n→+∞

ℓ′ =

lim f (vn ) , pour ε > 0 et M tel que (3.3) soit satisfait, il existe un entier n0

n→+∞

tel que un vn soient dans ]M, +∞[ ∩ I pour tout n ≥ n0 , et en conséquence, on a |ℓ − ℓ′ | = lim |f (un ) − f (vn )| ≤ ε. Le réel ε > 0 étant quelconque, on nécessairement n→+∞ n≥n0

′

ℓ = ℓ . C’est-à-dire que pour toute suite (un )n∈N de points de I qui converge vers +∞, la suite (f (un ))n∈N converge vers un réel ℓ, ce qui équivaut à dire que lim f (x) = ℓ. x→+∞



En utilisant la caractérisation séquentielle de la limite à l’infini, on a le résultat suivant relatif aux opérations algébriques. Théorème 3.19. Soient f, g deux fonctions de I dans R ou C telles que ′

lim f (x) = ℓ et

x→+∞

lim g (x) = ℓ . On a alors :

x→+∞

1.

lim |f (x)| = |ℓ| ,

x→+∞

lim (f (x) + g (x)) = ℓ + ℓ′ ,

x→+∞

lim min (f (x) , g (x)) min (ℓ, ℓ′ ) ,

x→+∞

lim f (x) g (x) = ℓℓ′ et

x→+∞

lim max (f (x) , g (x)) = max (ℓ, ℓ′ ) pour

x→+∞

f, g à valeurs réelles ; 2. si ℓ′ 6= 0, il existe alors M ∈ R tel que

1 soit définie sur J = ]M, +∞[ ∩ I et g

ℓ f (x) = ′; g (x) ℓ 3. si pun réel M √ tel que la fonction √ f est à valeurs réelles et ℓ > 0, il existe alors f soit définie sur J = ]M, +∞[ ∩ I et lim f (x) = ℓ. on a lim

x→+∞

x→+∞

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 50 — #60

50

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle Théorème 3.20. Soient f, g deux fonctions de I dans R telles que ′

lim f (x) = ℓ et

x→+∞

lim g (x) = ℓ .

x→+∞

1. Si ℓ > ℓ′ , il existe alors M ∈ R tel que f (x) > g (x) pour tout x ∈ ]M, +∞[ ∩ I. 2. S’il existe un réel M tel que f (x) ≥ g (x) pour tout x ∈ ]M, +∞[ ∩ I on a alors ℓ ≥ ℓ′ . 3. Si M est un majorant [resp. m un minorant] de f sur I, alors ℓ ≤ M [resp. m ≤ ℓ]. Preuve. Il suffit d’appliquer le théorème 3.16 aux fonctions f − g, f − M et f − m.  Pour ce qui est des limites à l’infini des fonctions monotones, on a le résultat qui suit analogue a celui obtenu pour les suites monotones bornées. Théorème 3.21. Si f : I = [a, +∞[ → R [resp. f : I = ]−∞, b] → R] est une fonction croissante et majorée [resp. décroissante et minorée], elle admet alors une limite finie en +∞ [resp. en −∞] Cette limite est la borne supérieure [resp. inférieure] de f sur I. soit lim f (x) = sup f (x) [resp. lim f (x) = inf f (x)]. x→+∞

x∈I

x→−∞

x∈I

Preuve. On suppose que f : I = [a, +∞[ → R est croissante et majorée. L’autre cas se traite de manière analogue. Comme f est majorée sur I, elle admet une borne supérieure ℓ = sup f (x) sur cet intervalle (f (I) est non vide majorée, donc admet une x∈I

borne supérieure). Pour ε > 0, on peut trouver, par définition de la borne supérieure, un réel x0 > a tel que ℓ − ε < f (x0 ) ≤ ℓ et comme f est croissante, on en déduit que : ∀x ∈ [x0 , +∞[ , ℓ − ε < f (x0 ) ≤ f (x) ≤ ℓ < ℓ + ε.  Dans le cas où I = N, f définit une suite numérique et on retrouve le théorème sur les suites croissantes majorées.

3.3

Continuité en un point, continuité sur I

Définition 3.5. On dit que la fonction f est continue au point a ∈ I si : ∀ε > 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ I ∩ ]a − η, a + η[ , |f (x) − f (a)| < ε

(3.4)

Dans le cas des fonctions d’une variable réelle qui nous occupe, on peut aussi définir les notions de continuité à gauche ou à droite. Définition 3.6. On dit que la fonction est continue à gauche [resp. à droite] au point a ∈ I si : ∀ε > 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ I ∩ ]a − η, a[ , |f (x) − f (a)| < ε

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 51 — #61

Continuité en un point, continuité sur I

51

[resp. ∀ε > 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ I ∩ ]a, a + η[ , |f (x) − f (a)| < ε] Dans le cas où a est l’extrémité gauche [resp. droite] de I, on ne s’intéresse qu’à la continuité à droite [resp. à gauche]. La fonction f est discontinue en a ∈ I si, et seulement si, l’une des deux situations suivantes se produit : — soit f n’a pas de limite à gauche ou à droite en a ; — soit ces deux limites existent et l’une d’elles est distincte de f (a) . Des définitions, on déduit immédiatement les résultats suivants qui se déduisent des résultats analogues sur les limites. Théorème 3.22. La fonction f est continue [resp. continue à gauche [resp. à droite]] au point a ∈ I si, et seulement si, lim f (x) = f (a) [resp. lim− f (x) = f (a) [resp. x→a

x→a

lim f (x) = f (a)]].

x→a+

Théorème 3.23. Dans le cas où le point a est intérieur à l’intervalle I, la fonction f est continue en a si, et seulement si, elle est continue à gauche et à droite en a. Théorème 3.24. Si f est continue en a ∈ I, elle est alors bornée dans un voisinage de ce point. Le résultat précédent peut être utilisé pour montrer la discontinuité d’une fonction en 1 un point. Par exemple la fonction f définie sur R par f (0) = 0 et f (x) = pour x 6= 0 x n’est pas continue en 0, puisque pour tout réel M > 0, il existe un entier n ≥ 1 tel que   1 f = n > M. n Définition 3.7. On dit que la fonction f est continue sur I, si elle est continue en tout point de I.

Définition 3.8. Si a est intérieur à I et si la fonction f est discontinue en a avec des limites à droite et à gauche en ce point, on dit alors que f a une discontinuité de première espèce en a. Théorème 3.25. Si f est une fonction monotone d’un intervalle ouvert I dans R, alors l’ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable. Preuve. Supposons f croissante et l’ensemble D des points de discontinuité de f non vide. Pour tout x ∈ D, on a f (x− ) < f (x+ ) et on peut trouver un rationnel r (x)

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52

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle

dans ]f (x− ) , f (x+ )[ . De plus pour x < y dans D avec f (x+ ) ≤ f (y − ) , on déduit que r (x) < r (y) . L’application r définit donc une injection de D dans Q, il en résulte que D est dénombrable.  En général une fonction monotone f définie sur un intervalle I n’est pas nécessairement continue, mais nous verrons plus loin que si de plus f (I) est un intervalle, elle alors est continue (théorème 3.37). 1 Exemple 3.1 La fonction f définie sur [0, 1] par f (0) = 0 et f (x) =  1  est croissante x

avec une infinité de points de discontinuité. En fait, on peut montrer le résultat suivant. Théorème 3.26.

Si I est un intervalle ouvert, l’ensemble des points de discontinuité de première espèce de f est au plus dénombrable. 

Preuve. Voir [10], chapitre 4, exercice 17.

3.4

Définition séquentielle de la continuité

Une définition équivalente de la continuité en un point est donnée par le résultat suivant. Théorème 3.27. La fonction f est continue en a ∈ I si, et seulement si, pour toute suite (xn )n∈N de points de I qui converge vers a, la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (a) . Preuve. Si f est continue en a ∈ I, alors pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que |x − a| < η dans I entraîne |f (x) − f (a)| < ε et si (xn )n∈N est une suite de points de I qui converge vers a, il existe alors un entier n0 tel que |xn − a| < η pour tout n ≥ n0 , ce qui implique |f (xn ) − f (a)| < ε. On a donc bien lim f (xn ) = f (a) . Pour n→+∞

la réciproque, on raisonne par l’absurde. Si f n’est pas continue en a, il existe alors un 1 réel ε > 0 tel que pour tout entier n ≥ 1 on peut trouver xn ∈ I tel que |xn − a| < et n |f (xn ) − f (a)| ≥ ε. On a donc ainsi une suite (xn )n∈N de points de I qui converge vers a pour laquelle la suite (f (xn ))n∈N ne converge pas vers f (a) .  Dans le théorème précédent, il n’est pas utile de préciser que la limite de (f (xn ))n∈N est f (a) (exercice 3.4). Le théorème 3.27 est souvent utilisé pour montrer qu’une fonction n’est pas continue en un point. Une application importante du théorème 3.27 est le résultat de point fixe suivant. Théorème 3.28. Soient I un intervalle réel fermé, f : I → R une fonction telle que f (I) ⊂ I et (xn )n∈N la suite de points de I définie par la donnée de x0 ∈ I et la relation de récurrence xn+1 = f (xn ) . Si cette suite converge vers un point a ∈ I en lequel la fonction f est continue, on a alors f (a) = a (a est un point fixe de f ).

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Prolongement par continuité Preuve. Si

53

lim xn = a, on a alors a ∈ I puisque l’intervalle I est fermé. Pour f

n→+∞



continue sur I, on a a = lim xn+1 = lim f (xn ) = f (a) . n→+∞

n→+∞

Une autre application importante du théorème 3.27 est le principe de prolongement des identités [resp. des inégalités] : si f, g sont deux fonctions continues sur un intervalle I qui coïncident [resp. telles que f (x) ≤ g (x)] en tout point d’une partie D dense dans I (par exemple les nombres rationnels ou les nombres décimaux), elle sont alors égales [resp. on a f (x) ≤ g (x) pour tout x ∈ I]. Un exemple d’utilisation de ce principe est donné par l’exercice 3.7.

3.5

Prolongement par continuité

Si a est un réel adhérent à I et si f a une limite finie en ce point, on peut alors prolonger f par continuité en ce point. Précisément on a le résultat suivant. Théorème 3.29. Si a est un réel adhérent à I n’appartenant pas à I (un point frontière) et si la fonction f a une limite ℓ en a, il existe alors un unique prolongement de f à I ∪ {a} qui est continu en a, ce prolongement est défini par fe(x) = f (x) si x ∈ I et fe(a) = ℓ. Preuve. Il est clair que la fonction fe est un prolongement de f continu en a. Réciproquement si g est un tel prolongement, on a g = f sur I et par continuité en a, g (a) = x→a lim g (x) = x→a lim f (x) = ℓ = fe(a) . D’où l’unicité.  x̸=a

x̸=a

Exemples 3.1



1. Pour tout réel α > 0 et tout réel β, la fonction f : x 7→ x sin α

1 xβ

 définie sur R∗ se

prolonge par continuité en 0 en posant f (0) = 0. sin (xα ) définie sur R∗ se prolonge xβ par continuité en 0 en posant f (0) = 1 pour α = β ou f (0) = 0 pour α > β.   1 définie sur R∗ ne peut pas se prolonger par continuité 3. La fonction f : x 7→ sin x en 0 du fait qu’elle n’a pas de limite en ce point.

2. Pour tous réels α ≥ β > 0, la fonction f : x 7→

3.6

Opérations sur les fonctions continues

Les résultats relatifs à la continuité et les opérations usuelles sur les fonctions sont résumés par le théorème qui suit. Théorème 3.30. Soient f, g deux fonctions définies sur I, à valeurs réelles ou complexes et continues en a ∈ I. Les fonctions |f | , f + g, f g, min (f, g) et max (f, g) (pour f, g à f valeurs réelles) sont continues en a. Si g (a) 6= 0, la fonction est alors définie g dans un voisinage de a et est continue en ce point.

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54

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle

Preuve. Se déduit du théorème 3.19.  Avec la continuité de la fonction constante égale à 1 et de la fonction x 7→ x en tout point de R, on en déduit la continuité des fonctions polynomiales. De la continuité des fonctions polynomiales, on déduit la continuité des fonctions rationnelles en tout point de leur domaine de définition. De laicontinuité des fonctions sin et cos sur R, on déduit la continuité de la fonction π πh . tan sur − , 2 2 Pour la composition des applications, on a le résultat suivant. Théorème 3.31. Si f : I → R est continue en a ∈ I, J est un intervalle réel contenant f (I) et g : J → C est continue en b = f (a) , la composée g ◦ f est alors continue en a. Preuve. Pour ε > 0 donné, on peut trouver un réel η > 0 tel que |y − b| < η dans J entraîne |g (y) − g (b)| < ε et il existe η ′ > 0 tel que |x − a| < η ′ dans I entraîne |f (x) − f (a)| < η, ce qui implique |(g ◦ f ) (x) − (g ◦ f ) (a)| < ε pour tout x dans I tel que |x − a| < η ′ .  1 La continuité de peut se retrouver en composant la fonction f dans un voisinage f 1 de α où elle est non nulle avec y 7→ . y Exemple 3.2 Avec l’exercice 3.1, on déduit la continuité sur R+,∗ de x 7→ xr pour tout rationnel r.

3.7 3.7.1

Propriétés globales des fonctions continues Le théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires, pour les fonctions d’une variable réelle, peut être vu comme une conséquence du théorème de la borne supérieure sur R qui nous dit que toute partie non vide et majorée dans R admet une borne supérieure. Théorème 3.32. Soient I un intervalle réel non réduit à un point, f une fonction continue de I dans R et a < b deux réels dans I tels que f (a) f (b) < 0. Dans ces conditions, il existe au moins un réel α ∈ ]a, b[ tel que f (α) = 0. Preuve. Supposons que f (a) < 0 < f (b) (quitte à remplacer f par −f, on s’y ramène). L’ensemble A = {x ∈ [a, b] | f (x) ≤ 0} qui est une partie non vide (a ∈ A) majorée (par b) de R admet une borne supérieure α ∈ [a, b] . La  fonction  f étant continue à droite en b−a a et à gauche en b, on peut trouver un réel η ∈ 0, tel que : 2 ∀x ∈ [a, a + η] , f (x) < 0 et ∀x ∈ [b − η, b] , f (x) > 0 On a alors a 0 (yn ∈ [a, b] − A). Avec la continuité de f en α, on en déduit que f (α) = lim f (xn ) ≤ 0, f (α) = lim f (yn ) ≥ 0 et en n→+∞

n→+∞

conséquence, on a f (α) = 0.  Si, avec les hypothèses du théorème précédent, la fonction f est de plus strictement monotone, elle est alors injective et la solution α de l’équation f (x) = 0 dans l’intervalle [a, b] est unique. Corollaire 3.1. Soient I un intervalle réel non réduit à un point, f une fonction continue de I dans R et a, b deux réels dans I tels que f (a) < f (b) . Dans ces conditions, pour tout réel λ ∈ ]f (a) , f (b)[ , il existe au moins un réel α strictement compris entre a et b tel que f (α) = λ. Preuve. Il suffit d’applique le théorème des valeurs intermédiaires à g : x 7→ f (x) − λ.  Le théorème des valeurs intermédiaires est équivalent au résultat suivant. Théorème 3.33. Si I est un intervalle réel et f une fonction continue de I dans R, f (I) est alors un intervalle. Preuve. Dire que f (I) est un intervalle revient à dire que pour y = f (a) < z = f (b) dans f (I) , le segment [y, z] est contenu dans f (I) , donc tout λ ∈ ]f (a) , f (b)[ est dans f (I) et il existe α strictement compris entre a et b tel que f (α) = λ. Réciproquement, pour f continue sur I, y = f (a) < z = f (b) dans f (I) avec a = 6 b dans I et tout λ ∈ ]y, z[ , le théorème des valeurs intermédiaires nous dit qu’il existe α compris entre a et b tel que λ = f (α) ∈ f (I) , ce qui prouve que f (I) est un intervalle.  Si la fonction f n’est pas continue en tout point de I, f (I) n’est pas nécessairement un intervalle comme le montre l’exemple de la fonction f définie sur I = [0, 2] par f (x) = 1 si 0 ≤ x ≤ 1 et f (x) = 2 si 1 < x ≤ 2 (cette fonction est continue sur I \ {1} avec f (I) = {1, 2}). On peut donner une autre démonstration du théorème des valeurs intermédiaires, en utilisant le théorème des segments emboîtés. Cette démonstration ayant l’avantage de fournir une méthode d’approximation d’une solution de l’équation f (x) = 0, à savoir la méthode de dichotomie (théorème 2.22). Le résultat qui suit est intéressant dans l’étude des points fixes. Théorème 3.34. Une fonction continue de [a, b] dans [a, b] admet au moins un point fixe. Preuve. La fonction g définie sur le segment [a, b] par g (x) = f (x) − x est continue avec g (a) = f (a) − a ≥ 0 et g (b) = f (b) − b ≤ 0 dans le cas où f ([a, b]) ⊂ [a, b] . Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit alors qu’il existe un point α dans [a, b] tel que g (α) = 0.  En utilisant le fait qu’une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes (voir le théorème 3.42), on en déduit le résultat suivant (en utilisant la notion d’intégrale vue de manière approximative au Lycée).

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56

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle Théorème 3.35. Première formule de la moyenne Soient f, g deux fonctions à valeurs réelles définies et continues sur [a, b] , la fonction g étant de signe constant. Il existe un réel c ∈ [a, b] tel que Z b Z b f (x) g (x) dx = f (c) g (x) dx. a

a

Preuve. La fonction f étant continue sur le compact I = [a, b] est bornée et atteint ses bornes, donc il existe α, β dans I tels que m = inf f (x) = f (α) et M = sup f (x) = f (β) . x∈I

x∈I

En supposant g à valeurs positives ou nulles, on a mg (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) pour Z b Z b Z b Z b tout x ∈ I et m g (x) dx ≤ f (x) g (x) dx ≤ M g (x) dx. Si g (x) dx = 0, on a a a a a Z b Z b g (x) dx 6= 0, f (x) g (x) dx = 0 et n’importe quel point c convient. Si γ = alors a a Z b 1 f (x) g (x) dx ∈ [f (α) , f (β)] et le théorème des valeurs on a alors γ > 0, δ = γ a intermédiaires nous dit qu’il existe un réel c compris entre α et β tel que δ = f (c) , ce qui donne la formule de la moyenne.  En utilisant le théorème d’intégration par parties et le théorème des valeurs intermédiaires, on peut montrer la seconde formule de la moyenne qui suit. Théorème 3.36. Seconde formule de la moyenne Soient f une fonction à valeurs réelles positives de classe C 1 et décroissante sur I = [a, b] et g une fonction continue sur I. Il existe un réel c ∈ I tel que Z b Z c f (x) g (x) dx = f (a) g (x) dx. a

a

Preuve. Soit G la primitive de g nulle en a. Une intégration par parties nous donne Z b Z b f (x) g (x) dx = f (b) G (b) − f ′ (x) G (x) dx. La fonction G étant continue sur le a

a

compact I est bornée et on peut noter m = inf G (x) et M = sup G (x) . Comme f est x∈I

x∈I

à valeurs positives, on a mf (b) ≤ f (b) G (b) ≤ M f (b) . Si de plus f est de classe C 1 et décroissante, on a alors f ′ (x) ≤ 0 pour tout x ∈ I et M f ′ (x) ≤ f ′ (x) G (x) ≤ mf ′ (x) , ce qui donne par intégration : Z b M (f (b) − f (a)) ≤ f ′ (x) G (x) dx ≤ m (f (b) − f (a)) a

Il en résulte que :

Z

mf (b) − m (f (b) − f (a)) ≤ Z soit mf (a) ≤

b

f (x) g (x) dx ≤ M f (b) − M (f (b) − f (a)) a

b

f (x) g (x) dx ≤ M f (a) . Z b Si f (a) = 0, on a alors f (x) g (x) dx = 0 et la formule est vérifiée pour tout c ∈ I, a Z b 1 f (x) g (x) dx ≤ M, ce qui entraîne l’existence de sinon on a f (a) > 0 et m ≤ f (a) a a

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Propriétés globales des fonctions continues

57

Z b 1 f (x) g (x) dx = G (c) (théorème des valeurs intermédiaires pour la f (a) a fonction continue G).  Cette seconde formule de la moyenne est encore valable pour f, g continues par morceaux sur I, la fonction f étant décroissante à valeurs positives (voir [7]). La réciproque du théorème des valeurs intermédiaires n’est pas vraie, c’est-à-dire qu’une fonction peut vérifier la propriété des valeurs intermédiaires sans être continue. Plus précisément, on dit qu’une fonction f définie sur un intervalle réel I et à valeurs réelles vérifie la propriété des valeurs intermédiaires si pour tout intervalle J contenu dans I, f (J) est un intervalle. Le théorème de Darboux (théorème 3.52) nous dit qu’une fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires et il existe des fonctions dérivables de dérivée non continue. Un autre exemple est donné par l’exercice 3.12. Dans le cas des fonctions monotones, on a le résultat suivant, où I = ]a, b[ est un intervalle ouvert avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞.

c ∈ I tel que

Théorème 3.37. Si f est une fonction monotone de I dans R telle que f (I) soit un intervalle, elle est alors continue sur I. Preuve. On suppose que f est croissante. Il s’agit de montrer que pour tout x ∈ I on a lim f (t) = f (x) . On sait déjà que f admet une limite à gauche et à droite en x t→x

avec f (x− ) ≤ f (x) ≤ f (x+ ) . Il s’agit donc de montrer que f (x− ) = f (x+ ) = f (x) . Supposons que f (x− ) < f (x) , pour ε > 0 donné, on peut alors trouver x0 ∈ ]a, x[ tel que f (x− ) − ε < f (x0 ) ≤ f (x− ) < f (x) . Mais si de plus f (I) est un intervalle alors tout λ ∈ ]f (x− ) , f (x)[ étant dans ]f (x0 ) , f (x)[ s’écrit λ = f (x1 ) avec x1 ∈ ]x0 , x[ et on a λ = f (x1 ) ≤ f (x− ) en contradiction avec λ > f (x− ) . On a donc f (x− ) = f (x) . On montre de manière analogue que f (x) = f (x+ ) . Les limites à droite et à gauche en x sont donc égales à f (x) , ce qui prouve la continuité de f en x. 

3.7.2

Fonctions réciproques

Si f est une application injective de I dans R, elle définit alors une bijection de I sur f (I) et on peut définir sa fonction réciproque notée f −1 par :
y ∈ f (I) et x = f −1 (y) ⇔ (x ∈ I et y = f (x)) Un cas particulièrement intéressant est celui des fonctions strictement monotones. Théorème 3.38. Si f est une application strictement monotone de I dans R, elle réalise alors une bijection de I sur f (I) d’inverse strictement monotone et de même sens de variation que f. Preuve. En remplaçant éventuellement f par −f, on peut supposer que f est strictement croissante. Si x 6= y dans I on a x < y ou y < x (l’ordre de R est total) ce qui entraîne f (x) < f (y) ou f (y) < f (x) , soit f (x) 6= f (y) dans tous les cas. La fonction f est donc injective et elle réalise une bijection de I sur f (I) . Il est facile de vérifier que la fonction réciproque f −1 est également strictement croissante. 

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58

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle

Sans hypothèse de continuité pour f, l’image f (I) n’est pas nécessairement un intervalle comme le montre l’exemple de la fonction f définie sur [0, 2] par f (x) = x pour 0 ≤ x ≤ 1 et f (x) = x + 1 pour 1 < x ≤ 2. Le théorème qui suit est à la base des définitions de fonctions réciproques classiques comme les fonctions racines n-ième, la fonction exponentielle, les fonctions trigonométriques et hyperboliques inverses. Théorème 3.39. Si f est une application continue et strictement monotone de I dans R, f (I) est alors un intervalle de même nature que I et f est une bijection de I sur f (I) d’inverse f −1 continue strictement monotone de même sens de variation que f. Preuve. Si f est strictement monotone, elle est alors injective. Si de plus elle est continue, J = f (I) est alors un intervalle (théorème des valeurs intermédiaires). La fonction réciproque f −1 est alors strictement monotone de J sur I = f −1 (J) qui est un intervalle, elle est donc continue (théorème 3.37). Il nous reste à montrer que J = f (I) est de même nature que I. En notant −∞ ≤ a < b ≤ +∞ les extrémités de I et en supposant f strictement croissante, J est un intervalle d’extrémités : α = inf (f (I)) = x→a lim f (x) , β = sup (f (I)) = lim f (x) x>a

x→b x 0 sur R+,∗ on déduit que ln est strictement croissante sur R+,∗ , x puis avec ln (2) > ln (1) = 0, ln (2n ) = ln (2) que cette fonction n’est pas bornée et on  n 1 a lim ln (x) = +∞. Enfin avec ln = − ln (x) , on déduit que lim ln (x) = −∞. x→+∞ x→0 x La fonction ln est donc continue strictement croissante de R+,∗ sur R, c’est donc un homéomorphisme de R+,∗ sur R et sa fonction réciproque est la fonction exponentielle x 7→ ex . Cette fonction est donc définie par :
(x ∈ R et y = ex ) ⇔ y ∈ R+,∗ et x = ln (y) Pour tout entier naturel non nul n, avec la continuité et la stricte croissance de la fonction x 7→ xn de R+ sur R+ , on aboutit à la définition de la fonction racine n-ième :
√
x ∈ R+ et y = n x ⇔ y ∈ R+ et x = y n

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Propriétés globales des fonctions continues

59

Avec les mêmes arguments, on définit les fonctions trigonométriques inverses :    h π πi  et x = sin (y) , (x ∈ [−1, 1] et y = arcsin (x)) ⇔ y ∈ −   2 2   (x ∈ [−1, 1] et y = arccos (x)) ⇔ (y ∈ [0, π] et x = cos (y))   h   i    (x ∈ R et y = arctan (x)) ⇔ y ∈ − π , π et x = tan (y) 2 2 et les fonctions hyperboliques inverses :   (x ∈ R et y = argsh (x)) ⇔ (y ∈ R et x = sh (y)) (x ∈ [1, +∞[ et y = argch (x)) ⇔ (y ∈ R+ et x = ch (y))  (x ∈ R et y = argth (x)) ⇔ (y ∈ R et x = th (y)) On a vu qu’une fonction strictement monotone est injective, mais en général la réciproque est fausse comme le montre l’exemple de la fonction f définie sur [0, 2] par 1−x f (x) = x pour 0 ≤ x ≤ 1 et f (x) = pour 1 < x ≤ 2 (faire un graphique). Mais 2 dans le cas où f est continue, il y a équivalence. De manière précise, on a le résultat suivant. Théorème 3.40. Soit f une fonction continue de I dans R. Cette fonction f est injective si, et seulement si, elle est strictement monotone. Preuve. Si f est strictement monotone, on a déjà vu qu’elle est injective (qu’elle soit continue ou non). Pour la réciproque, on propose deux démonstrations. Supposons f continue et injective de I dans R. Première démonstration. S’il existe x < y < z dans I tels que f (x) < f (z) < f (y) , tout réel u dans ]f (z) , f (y)[ ⊂ ]f (x) , f (y)[ va alors s’écrire u = f (c) = f (d) avec c ∈ ]y, z[ et d ∈ ]x, y[ , donc c = 6 d, ce qui contredit l’injectivité de f. La fonction f est donc strictement monotone. Deuxième démonstration. Pour a < b dans I, on a f (a) = 6 f (b) . Supposons que f (a) < f (b) . Nous allons montrer que f est strictement croissante. Pour x < y dans I, l’application φ : t 7→ φ (t) = f (ta + (1 − t) x) − f (tb + (1 − t) y) est continue et ne s’annule pas sur [0, 1] (f étant injective, φ (t) = 0 équivaut à t (b − a)+(1 − t) (y − x) = 0 soit à t (b − a) = (1 − t) (y − x) = 0 qui est impossible). Cette fonction garde donc un signe constant sur [0, 1] et en particulier φ (0) = f (x) − f (y) est de même signe que φ (1) = f (a) − f (b) , c’est-à-dire que f (x) < f (y) . 

3.7.3

Continuité uniforme

Une notion importante est celle d’uniforme continuité. Définition 3.9. On dit que f est uniformément continue sur I si :
∀ε > 0, ∃η > 0 | (x, y) ∈ I 2 , |x − y| ≤ η ⇒ (|f (x) − f (y)| ≤ ε) Une fonction uniformément continue sur I est évidemment continue en tout point de I, la nuance est, dans le cas de l’uniforme continuité, qu’un réel η associé à ε ne dépend que de f, I et ε.

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60

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle

Exemple 3.3 Une fonction lipschitzienne (c’est-à-dire telle qu’il existe un réel λ ≥ 0 avec |f (x) − f (y)| ≤ λ |x − y| pour tous x, y dans I) est uniformément continue sur I. On peut utiliser les suites pour traduire l’uniforme continuité. Théorème 3.41. Si f : I → R est uniformément continue et si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites d’éléments de I telles que lim (un − vn ) = 0, on a alors n→+∞

lim (f (un ) − f (vn )) = 0.

n→+∞

Preuve. Résulte de la définition.  Ce résultat peut être utilisé pour montrer qu’une fonction n’est pas uniformément continue sur I (exercice 3.9). Une fonction continue n’est pas nécessairement uniformément continue. Dans le cas où I est un intervalle fermé borné, nous verrons que les notions de continuité et d’uniforme continuité sont équivalentes (théorème 3.43).

3.7.4

Fonctions continues sur un segment

Dans le cas où I est un intervalle réel fermé borné, on a les deux résultats importants qui suivent. Théorème 3.42. Toute fonction définie sur un intervalle réel fermé borné I = [a, b] à valeurs réelles et continue est bornée et atteint ses bornes. Preuve. Soit f : I = [a, b] → R continue. Si f n’est pas majorée [resp. pas minorée], on peut alors trouver, pour tout n ∈ N, un réel xn ∈ I tel que f (xn ) ≥ n [resp. f (xn ) ≤ −n] et
le théorème de Bolzano-Weierstrass nous dit que l’on peut extraire une suite xφ(n) n∈N qui converge vers un réel x ∈ I et avec la continuité de f on

a lim f xφ(n) = f (x) , ce qui est incompatible avec f xφ(n) ≥ φ (n) ≥ n [resp. n→+∞
f xφ(n) ≤ −φ (n) ≤ −n]. L’ensemble f (I) est donc une partie non vide bornée de R et donc admet une borne inférieure m = inf f (x) et une borne supérieureM = sup f (x) . x∈I

x∈I

Par définition de la borne inférieure m, pour tout entier n > 0 on peut trouver xn ∈ I 1 tel que m ≤ f (xn ) < m + . De la suite (xn )n∈N ainsi définie dans le segment I on peut n
extraire une sous-suite xφ(n) n∈N qui converge vers un réel a ∈ I. On a donc pour tout
1 entier n > 0, m ≤ f xφ(n) < m + avec lim φ (n) = +∞, ce qui nous donne n→+∞ φ (n)
f (a) = lim f xφ(n) = m, en tenant compte de la continuité de f.  n→+∞

Théorème 3.43. Heine Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue. Preuve. Soit f continue sur I = [a, b] . Supposons f non uniformément continue sur I. 1 Il existe alors un réel ε > 0 et des suites (xn )n≥1 , (yn )n≥1 dans I telles que |xn − yn | < n

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Dérivabilité en un point, dérivabilité sur I

61



et |f (xn ) − f (yn )| > ε pour tout n ≥ 1. On peut extraire xφ(n) n≥1 et yφ(n) n≥1 qui 1 1 convergent respectivement vers x et y dans I. Mais avec xφ(n) − yφ(n) < ≤ φ (n) n pour tout n ≥ 1, on déduit que |x − y| = lim xφ(n) − yφ(n) = 0, soit x = y et avec n→+∞

la continuité de f on a alors lim f xφ(n) − f yφ(n) = 0 en contradiction avec n→+∞

f xφ(n) − f yφ(n) > ε pour tout n ≥ 1.  Corollaire 3.2. Toute fonction continue f : R → R périodique de période 2T > 0 est uniformément continue. Preuve. Toute fonction f continue sur R périodique de période 2T est uniformément continue sur le compact J = [−T − 1, T + 1] . Donc pour tout ε > 0, on peut trouver un réel η ∈ ]0, 1[ tel que :
(t, x) ∈ J 2 , |t − x| ≤ η ⇒ (|f (t) − f (x)| ≤ ε) Pour x ∈ [−T, T ] et t ∈ R tels que |t − x| ≤ η on a nécessairement t ∈ [−T − 1, T + 1] 2 (η ∈ ]0, 1[) et |f (t) − f (x)| ≤ ε. Pour  (t, x) ∈ R tels que |t − x| ≤ η et n ∈ Z tel que x+T ) on a |(t − 2nT ) − (x − 2nT )| ≤ η et : x − 2nT ∈ [−T, T ] (n = E 2T |f (t) − f (x)| = |f (t − 2nT ) − f (x − 2nT )| ≤ ε On a donc ainsi prouvé que f est uniformément continue sur R.ce qui prouve la continuité de φ en x0 . 

3.8

Dérivabilité en un point, dérivabilité sur I

À toute fonction f : I → C et tout réel a ∈ I, on associe la fonction : τa : I \ {a} x

→ 7→

C f (x) − f (a) x−a

Définition 3.10. On dit que la fonction f est dérivable en a ∈ I, si la fonction τa admet une limite finie en a. Quand cette limite existe, elle est unique, on la note f ′ (a) et on dit que c’est le nombre dérivé de f en a. De manière équivalente, on peut dire que f est dérivable en a si, et seulement si, elle admet un développement limité f (x) = a0 + a1 (x − a) + o (x − a) et dans ce cas, on x→a

a a0 = f (a) , a1 = f ′ (a) (voir le chapitre 4). De la définition du nombre dérivé on déduit facilement le résultat suivant. Théorème 3.44. Si f est dérivable en a ∈ I, elle est alors continue en ce point. La réciproque de ce résultat est fausse comme le montre l’exemple de la fonction x 7→ |x| au voisinage de 0.

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62

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle Définition 3.11. On dit que la fonction f est dérivable à gauche [resp. à droite] en a ∈ I, si la fonction τa admet une limite à gauche [resp. à droite] finie en a.

Quand cette limite existe, elle est unique, on la note fg′ (a) [resp. fd′ (a)] et on dit que c’est le nombre dérivé à gauche [resp. à droite] de f en a. Là encore des définitions on déduit facilement les résultats suivants. Théorème 3.45. ◦

Si f est dérivable à gauche et à droite en a ∈ I, elle est alors continue en ce point. Théorème 3.46. ◦

Si a ∈ I, alors f est dérivable en a si, et seulement si, elle dérivable à gauche et à droite en ce point avec fg′ (a) = fd′ (a) . Cette valeur commune est égale à f ′ (a) . Si D est l’ensemble des points x ∈ I où f : I → R (ou C) est dérivable, on définit alors la fonction dérivée de f sur D par x 7→ f ′ (x) . Cet ensemble D peut être vide et dans ce cas la fonction dérivée n’est pas définie. C’est le cas par exemple pour la fonction caractéristique de Q qui est discontinue en tout point de R (exemple 3.3) et en conséquence ne peut être dérivable. Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I, sa dérivée f ′ n’est pas nécessairement   1 2 continue comme le montre l’exemple de la fonction f définie sur R par f (x) = x sin x     1 1 ′ pour x 6= 0 et f (0) = 0. On a f (x) = 2x sin − cos pour x 6= 0 et : x x   f (x) = x sin 1 ≤ |x| → 0 x x→0 x   1 donc f ′ (0) = 0. Mais f ′ n’est pas continue en 0 car la fonction g : x 7→ cos n’a pas x   1 n de limite en 0 (ce qui se déduit de g = (−1) pour tout n ∈ N∗ ). nπ Définition 3.12. On dit que f est de classe C 1 (ou continûment dérivable) sur I, si elle est dérivable en tout point de I et si la fonction dérivée f ′ est continue sur cet intervalle. Si f est une fonction dérivable sur I et si la dérivée f ′ est également dérivable sur I, sa dérivée est alors notée f ′′ et on dit que c’est la dérivée seconde de f. Par récurrence, on peut définir les dérivées successives d’une fonction, quand elles existent, comme suit : on note f (0) = f et pour n ∈ N, dans le cas où la fonction f (n) est définie et dérivable
′ sur I, on note f (n+1) = f (n) . Quand la fonction f (n) existe, on dit que c’est la dérivée d’ordre n de f.

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Opérations sur les fonctions dérivables

63

Définition 3.13. Pour n ∈ N∗ , on dit que f est n fois dérivable en a ∈ I, si f est n − 1 fois dérivable sur un voisinage de a avec f (n−1) dérivable en a. Définition 3.14. Pour n ∈ N∗ , on dit que f est de classe C n (ou n fois continûment dérivable) sur I si elle est n fois dérivable sur I avec f (n) continue sur cet intervalle. Définition 3.15. On dit que f est de classe C ∞ (ou indéfiniment dérivable) sur I, si elle est n fois dérivable sur cet intervalle pour tout n ∈ N. On note : — C 0 (I, C) l’ensemble des fonctions continues de I dans C ; — C n (I, C) l’ensemble des fonctions n fois continûment dérivables de I dans C, où n ∈ N∗ ; — C ∞ (I, C) l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de I dans C.

3.9

Opérations sur les fonctions dérivables

Les résultats importants relatifs aux opérations algébriques sur les fonctions dérivables sont résumés avec le théorème qui suit. Théorème 3.47. Soient f, g deux fonctions de I dans R (ou C) dérivables en a ∈ I. 1. Pour tous réels λ et µ, la fonction λf + µg est dérivable en a et on a ′ (λf + µg) (a) = λf ′ (a) + µg ′ (a) . ′

2. La fonction f g est dérivable en a avec (f g) (a) = f ′ (a) g (a) + f (a) g ′ (a) (formule de Leibniz). 3. Si g (a) = 6 0, alors la fonction g ne s’annule pas dans un voisinage de a, les 1 f fonctions et qui sont définies dans un tel voisinage sont dérivables en a g g avec :  ′  ′ f 1 g ′ (a) g (a) f ′ (a) − f (a) g ′ (a) , (a) = − 2 (a) = g g (a) g g 2 (a) Preuve. 1. Résulte de τa (λf + µg) = λτa (f ) + µτa (g) . 2. Résulte de τa (f g) (x) = f (x) τa (g) + g (a) τa (f ) et de la continuité de a. 3. Si g (a) 6= 0, on a g (x) = 6 0 pour  tout x dans un voisinage de a du fait de la continuité 1 1 de g en ce point. Avec τa (x) = − τa (g) pour x 6= a, on déduit par g g (x) g (a)  ′ 1 g ′ (a) passage à la limite quand x tend vers a que (a) = − 2 . La formule de g g (a) Leibniz permet d’obtenir le deuxième point. 

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64

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle Pour ce qui est de la composition et du passage à l’inverse, on a les résultats suivants. Théorème 3.48. Soient I, J deux intervalles réels f : I → J une fonction dérivable en a ∈ I et g : J → R (ou C) une fonction dérivable en b = f (a) . La fonction g ◦ f est définie ′ sur I et dérivable en a avec (g ◦ f ) (a) = g ′ (f (a)) f ′ (a) .

g (y) − g (b) pour y−b g ◦ f (x) − g ◦ f (a) f (x) − f (a) y = 6 b et pour x 6= a dans I, on a = τb (f (x)) (pour x−a x−a f (x) 6= f (a) c’est clair et pour f (x) = f (a) , les deux membres de cette égalité sont nuls). Faisant tendre x vers a on obtient le résultat du fait de la continuité de f en a, de celle de τb en b et de la définition de f ′ (a) .  Preuve. On définit la fonction τb sur J par τb (b) = g ′ (b) , τb (y) =

Théorème 3.49. Soit f : I → R une fonction continue strictement monotone dérivable en a. La fonction réciproque f −1 est dérivable en f (a) si, et seulement si, f ′ (a) 6= 0 et
′ 1 dans ce cas on a f −1 (f (a)) = ′ . f (a) Preuve. On rappelle que si f : I → R est continue strictement monotone, c’est alors un homéomorphisme de I sur f (I) (théorème 3.39). Si f −1 est dérivable en f (a) , on
′
′ a alors 1 = f −1 ◦ f (a) = f −1 (f (a)) · f ′ (a) et nécessairement f ′ (a) 6= 0. Supposons f ′ (a) 6= 0 et notons b = f (a) . Pour tout y = 6 b dans J on a f −1 (y) 6= a !−1
f f −1 (y) − f (a) f −1 (y) − f −1 (b) et = , puis avec la continuité de f −1 , on a y−b f −1 (y) − a
f f −1 (y) − f (a) f −1 (y) − f −1 (b) 1 ′ = f (a) , ce qui entraîne que lim = ′ .  lim −1 y→b y→b f (y) − a y−b f (a) De ce résultat, on déduit les dérivées des fonctions trigonométriques et hyperboliques inverses, à savoir : 1 1 — ∀x ∈ ]−1, 1[ , arcsin′ (x) = √ , arccos′ (x) = − √ ; 1 − x2 1 − x2 1 1 , argsh′ (x) = √ — ∀x ∈ R, arctan′ (x) = ; 2 1+x 1 + x2 1 — ∀x ∈ ]1, +∞[ , argch′ (x) = √ ; x2 − 1 1 — ∀x ∈ ]−1, 1[ , argth′ (x) = . 1 − x2 La fonction arcsin + arccos étant de dérivée nulle sur ]−1, 1[ , on a : ∀x ∈ ]−1, 1[ , arcsin (x) + arccos (x) =

π 2

  1 De même x 7→ arctan (x) + arctan étant de dérivée nulle sur R∗ , on a : x   1 x π ∗ ∀x ∈ R , arctan (x) + arctan = x |x| 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 65 — #75

Extrema et dérivation

3.10

65

Extrema et dérivation

Théorème 3.50. Soient I un intervalle réel d’intérieur non vide, f une fonction à valeurs réelles définie sur I dérivable en un point a intérieur à I. Si f admet un extremum local en a, on a alors f ′ (a) = 0. Preuve. On suppose que la fonction f admet un maximum local en a. Le point a étant intérieur à I, la fonction φ : t 7→ f (a + t) est définie sur un voisinage ouvert de 0 et en f (a + t) − f (a) f (a + t) − f (a) écrivant que f ′ (a) = lim ≤ 0 et f ′ (a) = lim ≥ 0, on t→0 t→0 t t t>0

t 0 tel que a ∈ ]−R, R[ et pour tout x n−1 X dans ]−R, R[ , on a |xn − an | = |x − a| xn−1−k ak ≤ nRn−1 |x − a| et pour ε > 0 k=0 ε donné, on aura |xn − an | < ε dès que |x − a| < η = . nRn−1   1 2. Pour a > 0, , on peut trouver un réel R > 0 tel que a ∈ , R et pour tout R   1 x∈ , R , on a : R !  1 n  1 n 1 n−1 X  1 n−1−k  1 k 1 n − a n = x n − a n |x − a| = x xn an  ≥n

k=0

 n−1 1 n 1 1 n x − a n R

1 n−1 n−1 1 1 donc x n − a n ≤ R n |x − a| ≤ R n |x − a| et pour ε > 0 donné, on aura n ε 1 n1 x − a n < ε dès que |x − a| < η = n−1 . R n

Exercice 3.2.

Montrer que la fonction définie par f (x) = cos

x ∈ R∗ n’a pas de limite en 0.

  1 pour tout x

1 pour n ≥ 1, on a alors nπ est divergente, ce qui prouve que f

Solution. Si (un )n≥1 est la suite définie dans R∗ par un = n

lim un = 0 et la suite (f (un ))n≥1 = ((−1) )n≥1

n→+∞

n’a pas de limite en 0. Exercice 3.3. Montrer que la fonction caractéristique de Q définie par f (x) = 1 si x ∈ Q et f (x) = 0 sinon est discontinue en tout point de R. Solution. Soit a un nombre rationnel [resp. irrationnel]. Pour tout réel η > 0, on peut trouver un irrationnel [resp. rationnel] x dans ]a − η, a + η[ et on a |f (x) − f (a)| = 1, ce qui prouve la discontinuité de f en a.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 67 — #77

Exercices

67

Exercice 3.4. Montrer que f : I → C est continue en a ∈ I si, et seulement si, pour toute suite (xn )n∈N de points de I qui converge vers a, la suite (f (xn ))n∈N est convergente (sans préciser que c’est vers f (a)). Solution. On sait déjà que si f est continue en a, alors pour toute suite (xn )n∈N de points de I qui converge vers a, la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (a) . Réciproquement supposons que pour toute suite (xn )n∈N de points de I qui converge vers a, la suite (f (xn ))n∈N soit convergente. Pour montrer que f est continue en a, il suffit de montrer que, dans ces conditions, la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (a) . Si (xn )n∈N est une suite de points de I qui converge vers a, on définit la suite (yn )n∈N de points de I par y2n = x2n , y2n+1 = a, cette suite converge vers a, donc la suite (f (yn ))n∈N converge et on a f (a) = lim f (y2n+1 ) = lim f (y2n ) = lim f (x2n ) = lim f (xn ) . n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

Soit f : ]0, 1[ → R la fonction définie par f (x) = 0 si x est p 1 si x = est rationnel où p, q sont entiers naturels irrationnel et par f (x) = q q non nuls premiers entre eux. Montrer que f est continue en tout point irrationnel et discontinue en tout point rationnel de ]0, 1[ . Exercice 3.5.

p Solution. Un rationnel r = ∈ ]0, 1[ ∩ Q est limite de la suite de nombres irrationnels q √ ! 2 (xn )n≥n0 = r + , où n0 est choisi assez grand pour que cette suite soit à n n≥n0 1 valeurs dans ]0, 1[ , et lim f (xn ) = 0 6= f (r) = . La fonction f n’est donc pas continue n→+∞ q en ce point. Soit ε > 0. Si a ∈ ]0, 1[∩(R \ Q) et η > 0 est tel que ]a − η, a + η[ ⊂ ]0, 1[ , on note E = {x ∈ ]a − η, a + η[ | f (x) > ε} . Un élément de E est nécessairement rationnel p 1 (sinon f (x) = 0 < ε), il s’écrit donc r = avec p, q premiers entre eux et f (r) = > ε q q 1 1 entraîne que E est vide ou que 1 ≤ q < et 1 ≤ p < q < (r est strictement compris ε ε entre 0 et 1). L’ensemble E est donc vide ou fini. Pour 0 < η ′ < η assez petit on aura alors E ∩ ]a − η ′ , a + η ′ [ = ∅, ce qui signifie que 0 ≤ f (x) ≤ ε pour tout x ∈ ]a − η ′ , a + η ′ [ . On a donc ainsi montré que f est continue en a. Exercice 3.6. Soit f : R → R une fonction continue telle que f (ax + b) = f (x) pour tout réel x, où a, b sont deux constantes réelles avec |a| 6= 1. Montrer que f est nécessairement constante. Solution. De f (ax + b) =
f (x) , on déduit que f (a (ax + b) + b) = f (ax + b) = f (x) , soit que f a2 x + b (a + 1) = f (x) . Par récurrence, on montre alors que pour tout entier n ≥ 1 on a : ! n−1 X ∀x ∈ R, f an x + b ak = f (x) k=0

Le résultat est vrai pour n = 1 et en le supposant vrai au rang n ≥ 1, on a : ! ! ! n−1 n−1 X X k n k n a +b =f a x+b a = f (x) f a a x+b k=0

k=0

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Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle n

n−1 X

avec a a x + b

! k

a

+ b = an+1 x + b

k=0

n X

ak . Comme |a| 6= 1, on peut écrire :

k=0 ∗

∀n ∈ N , ∀x ∈ R, f



an − 1 a x+b a−1 n

 = f (x)

et dans le cas où |a| la continuité   de f,on déduit que pour tout réel x on  < 1, avec b an − 1 n = f , c’est-à-dire que f est constante. a f (x) = lim f a x + b n→+∞ a−1 1−a Pour traiter le cas où |a| > 1, on peut remarquer, en faisant le changement  de variable  1 b t = ax + b, que la condition f (ax + b) = f (x) est équivalente à f (t) = f t− pour a a 1 tout réel t avec < 1, ce qui entraîne que f est constante. a Exercice 3.7. Soit f : R → R vérifiant l’équation fonctionnelle de Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout (x, y) ∈ R. Montrer que si f est continue en un point, elle est alors continue en tout point et on a f (x) = f (1) x pour tout réel x. Solution. Si f est continue en α, en écrivant, pour tout réel x0 , que : f (x0 + h) − f (x0 ) = f (h) = f (h + α) − f (α) on déduit que f est continue en x0 . On vérifie ensuite facilement que f (r) = f (1) r pour tout r ∈ Q et la densité de Q dans R permet de conclure. Exercice 3.8. R+ .

Montrer que la fonction x 7→

√ x est uniformément continue sur

√ √ p Solution. Cela se déduit de x − y ≤ |x − y| pour tout (x, y) ∈ R+ × R+ . Cette inégalité est triviale pour x = y et pour y > x ≥ 0 (x, y jouent des rôles symétriques), √ √ 2 √ on a x − y = y − 2 xy + x < y − x.
Exercice 3.9. Montrer que les fonctions f : x 7→ x2 et g : x 7→ sin x2 ne sont pas uniformément continue sur R. √ √ Solution. Utilisant les suites (un )n∈N et (vn )n∈N définies par un = n + 1 et vn = n, 1 √ on a un − vn = √ , donc lim (un − vn ) = 0 et avec f (un ) − f (vn ) = 1 on a n→+∞ n+ n+1 lim (f (un ) − f (vn )) = 1 = 6 0, donc la fonction f n’est pas uniformément continue sur n→+∞

R. Une démonstration directe de cette non uniforme continuité peut se faire comme suit : 1 η η2 pour η > 0, x = , y = x + , on a |x − y| < η et y 2 − x2 = 1 + > 1. En utilisant η 2 4    1 1 les mêmes suites, on a g (un ) − g (vn ) = sin (n + 1) − sin (n) = 2 cos n + sin et 2 2 cette suite est divergente.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 69 — #79

Exercices

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Exercice 3.10. Soit f : R → R une fonction uniformément continue. Montrer qu’il existe deux constantes réelles a, b telles que |f (x)| ≤ a |x| + b pour tout réel x. En déduire que la fonction x 7→ x2 n’est pas uniformément continue sur R. Solution. Avec l’uniforme continuité de f sur R on peut trouver un réel α > 0 tel que |f (x) − f (y)| ≤ 1 pour tout couple (x, y) de réels tels que |x − y| ≤ α. On en déduit alors par récurrence que : ∀n ∈ N, ∀x ∈ [nα, (n + 1) α] , |f (x) − f (0)| ≤ n + 1 Le résultat est vrai pour n = 0 et en le supposant acquis pour n ≥ 0, on a pour tout x ∈ [(n + 1) α, (n + 2) α] : |f (x) − f (0)| ≤ |f (x) − f ((n + 1) α)| + |f ((n + 1) α) − f (0)| ≤ 1 + (n + 1) = n + 2 x Si x ∈ R+ , on peut alors trouver n ∈ N tel que x ∈ [nα, (n + 1) α] et avec n ≤ , α x on déduit que |f (x)| ≤ |f (x) − f (0)| + |f (0)| ≤ n + 1 + |f (0)| ≤ + (1 + |f (0)|) . En α raisonnant avec la fonction g définie par g (x) = f (−x) , on a un résultat analogue pour les réels négatifs. Du fait qu’il n’est pas possible de trouver des réels a, b tels que x2 ≤ ax + b pour tout réel positif, on déduit que la fonction x 7→ x2 n’est pas uniformément continue sur R. Montrer que si f : R → R est périodique   continue non constante T de période T > 0, il existe alors a ∈ R tel que f a + = f (a) . 2

Exercice 3.11.

 T − f (x) est continue avec Solution. La fonction g : x ∈ R 7→ g (x) = f x + 2         T T T T g (0) = f − f (0) et g = f (T ) − f = f (0) − f = −g (0) . On 2 2 2 2 déduit alors du théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe un réel a compris entre T 0 et tel que g (a) = 0. 2 

  1 x pour x 6= 0 et f (0) = 0 vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sans être continue. Exercice 3.12.

Montrer que la fonction f définie sur R par f (x) = sin

1 , on a lim xn = 0 n→+∞ nπ + π2 n et la suite (f (xn ))n∈N = ((−1) )n∈N n’a pas de limite, donc f n’est pas continue en 0. Si J est un intervalle réel ne contenant pas 0, f est alors continue sur J et f (J) est un intervalle. Si J est un intervalle contenant 0 non réduit à un point (sinon on a 1 J = f (J) = {0}), on considère les suites (xn )n≥n0 , (yn )n≥n0 , définies par xn = , 2nπ + π2 1 yn = avec n0 ∈ N assez grand pour que ces suites soient à valeurs dans J (2n + 1) π + π2 et on a f (xn ) = −f (yn ) = 1 pour n ≥ n0 et [−1, 1] ⊃ f (J) ⊃ f ([yn , xn ]) ⊃ [−1, 1] , c’està-dire que f (J) = [−1, 1] . En définitive, f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.

Solution. En considérant la suite (xn )n∈N définie par xn =

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70

Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle

Exercice 3.13. Étudier la dérivabilité de la fonction f définie f (0) = 0 et  π  2 f (x) = x cos pour x ∈ R∗ . x   f (x) 2 1 ∗ ≤ |x| → 0, on Solution. f est de classe C sur R \ | k ∈ Z . Avec x→0 2k + 1 x 2 déduit que f est dérivable en 0 avec f ′ (0) = 0. Soit k = 2p ∈ N et xk = . Pour 2k + 1  i h  i h  π π π π π π > 0 et pour ∈ < 0, de ∈ kπ, + kπ , on a cos + kπ, (k + 1) π , cos x 2 x x 2 x 2 1 sorte que si < x < pour k 6= 0, ou x > 2 pour k = 0, on a alors : 2k + 1 k π 2   π ′ x cos f (x) − f (xk ) x = → + x2 cos =π x − xk x − xk x→xk x |x=xk et si

2 1 0, ∃η > 0 | (x ∈ I, |x − a| < η) ⇒ (|f (x)| ≤ ε |g (x)|) On note alors f = o (g) , ou plus précisément f = o (g) . x→a

Dire que f est négligeable devant g = 0 signifie que f est identiquement nulle dans un voisinage de a (éventuellement privé de a). En réalité la notation f = o (g) n’est pas une égalité, elle signifie que f appartient x→a à l’ensemble des fonctions négligeables devant g au voisinage de a et on devrait plutôt noter f ∈ o (g) . x→a Une définition équivalente est donnée par le résultat suivant. Théorème 4.1. Avec les notations précédentes, f est négligeable devant g, au voisinage de a si, et seulement si, il existe une fonction ε : I → R telle que f = εg et lim ε (x) = 0. x→a

Preuve. La condition suffisante se déduit de la définition de la limite en a et pour f (x) la condition nécessaire, on définit la fonction ε sur I par ε (x) = si g (x) 6= 0 et g (x) ε (x) = 0 si g (x) = 0. 

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 72 — #82

72

Comparaison des fonctions et développements limités Définition 4.2. Soient f, g deux fonctions à valeur réelles définies sur I. On dit que f est dominée par g, au voisinage du réel a si : ∃M ≥ 0, ∃η > 0 | (x ∈ I, |x − a| < η) ⇒ (|f (x)| ≤ M |g (x)|) On note alors f = O (g) , ou plus précisément f = O (g) . x→a

Dans le cas où a est infini les définitions précédentes deviennent. Définition 4.3. Soient f, g deux fonctions à valeur réelles définies sur un voisinage I de +∞ [resp. −∞]. On dit que g est prépondérant devant f, ou que f est négligeable devant g, au voisinage de +∞ [resp. −∞] si : ∀ε > 0, ∃η > 0 | (x ∈ I, x > η [resp. x < −η]) ⇒ (|f (x)| ≤ ε |g (x)|)

Définition 4.4. Soient f, g deux fonctions à valeur réelles définies sur un voisinage I de +∞ [resp. −∞]. On dit que f est dominée par g, au voisinage de +∞ [resp. −∞] si : ∃M ≥ 0, ∃η > 0 | (x ∈ I, x > η [resp. x < −η]) ⇒ (|f (x)| ≤ M |g (x)|) Comme dans le cas où a est réel, f est négligeable devant g au voisinage de +∞ [resp. −∞] si, et seulement si, f = εg au voisinage de +∞ [resp. −∞] avec lim ε (x) = 0 x→+∞

[resp. lim ε (x) = 0]. x→−∞

En partant des inégalités 0 < ln (x) < x pour tout réel x > 1, on déduit que, pour tout réel α > 0, ln (x) est négligeable devant xα au voisinage de l’infini, ce qui permet de déduire les résultats classiques qui suivent sur les croissances comparées des fonctions puissance, exponentielle et logarithme au voisinage de l’infini. Lemme 4.1 Pour tout réel α strictement positif, ln (x) est négligeable devant xα au voisinage de l’infini. Preuve. En posant u (x) = ln (x) , v (x) = x, on a u (1) = 0 < v (1) = 1 et pour x > 1, 1 u′ (x) = < v ′ (x) = 1, ce qui entraîne que ln (x) < x pour tout x ≥ 1. On en déduit x alors que pour tout réel α > 0, on a : α
α ln (x) 2 ln x 2 2 x2 ∀x > 1, 0 < = < → 0 xα α xα α xα x→+∞ ln (x) = 0, soit ln (x) = o (xα ) . x→+∞ xα xα Pour α ≤ 0, on a directement lim = 0 et xα = o (ln (x)) . +∞ x→+∞ ln (x)

ce qui entraîne lim

x→+∞



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 73 — #83

Prépondérance, domination et équivalents

73

Théorème 4.2. Pour tous réels α, β, γ strictement positifs, on a :
α (ln (x)) = o xβ et xβ = o x→+∞

x→+∞

(eγx )

Preuve. On a :  β  α  α ln x α α (ln (x))  = xβ β x αβ

   ln (x) xβ → 0, γx = exp x β −γ → 0 x→+∞ x→+∞ e x 

Des définitions, on déduit facilement les résultats suivants. Théorème 4.3. Les fonctions considérées étant définies au voisinage de a ∈ R éventuellement privé de a, on a : — f = o (1) si, et seulement si, lim f (x) = 0 ; x→a

— f = O (1) si, et seulement si, f est bornée au voisinage de a ; — si f = o (g) , on a alors f = O (g) ; — si f = o (g) et g = O (h) , on a alors f = o (h) ; — si f = O (g) et g = o (h) , on a alors f = o (h) ; — si f = o (g) et h = o (g) , on a alors λf + µh = o (g) pour tous réels λ, µ ; — si f = O (g) et h = O (g) , on a alors λf + µh = O (g) pour tous réels λ, µ ; — si f = O (g) et h = o (k) , on a alors f h = o (gk) .

Définition 4.5. On dit que les fonctions f et g définies au voisinage I de a ∈ R éventuellement privé de a (et à valeurs réelles) sont équivalentes au voisinage de a si f − g est négligeable devant g en a. On note alors f v g ou plus précisément f v g. x→a

Dire que f est équivalente à g = 0 signifie que f est identiquement nulle dans un voisinage de a (éventuellement privé de a). Une définition équivalente est donnée par le résultat suivant. Théorème 4.4. Avec les notations de la définition précédente, on a f v g si, et seulement si, x→a

il existe une fonction φ : I → R telle que f = φg et lim φ (x) = 1. x→a

Preuve. La condition f − g = o (g) équivaut à f − g = εg avec lim ε (x) = 0 et il x→a x→a suffit alors de poser φ = 1 + ε. 

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 74 — #84

74

Comparaison des fonctions et développements limités

Dans la pratique on utilise les critères suivant valables dans le cas où la fonction g ne s’annule pas au voisinage de a éventuellement privé de a :     f (x) f = o (g) ⇔ lim =0 x→a x→a g (x)     f f = O (g) ⇔ est bornée au voisinage de a x→a g     f (x) f v g ⇔ lim =1 x→a x→a g (x) La relation de prépondérance est transitive, mais ni réflexive ni symétrique. La relation de domination est réflexive et transitive mais non symétrique (pour λ ∈ / {0, 1} , on a t = O (λt) et λt = O (t) avec λt 6= t). Par contre pour la relation d’équivalence, comme son appellation l’indique, on montre facilement le résultat suivant. Théorème 4.5. La relation f v g est une relation d’équivalence. x→a

Preuve. La réflexivité est évidente : f = 1 · f. Si f v g, on a alors f = φg avec lim φ (x) = 1 et φ ne s’annule pas dans un voisinage de a, ce qui permet d’écrire dans x→a 1 1 ce voisinage g = g avec lim = 1, ce qui signifie que g v f. La relation est donc x→a φ (x) φ symétrique. La transitivité se déduit de f = φg, g = ψh avec lim φ (x) = 1, lim ψ (x) = 1 x→a

x→a

entraîne f = φψh avec lim (φψ) (x) = 1.  x→a Si f v g et les fonctions f, g ne s’annulent pas au voisinage de a, elles ont alors le x→a même signe dans un voisinage de a. Les équivalents sont souvent utilisés pour calculer des limites grâce au résultat suivant conséquence immédiate des définitions. Théorème 4.6. Si les fonction f et g définies au voisinage de a ∈ R éventuellement privé de a sont équivalentes au voisinage de a, alors lim g (x) = ℓ entraîne lim f (x) = ℓ. x→a

x→a

Les résultats relatifs aux opérations licites sur les équivalents sont résumés par le théorème qui suit. Théorème 4.7. Les fonctions considérées étant définies dans un voisinage I de a ∈ R éventuellement privé de a, on a : 1. si f v g et h v k, alors f h v gk ; 2. si f v g et h v k, la fonction h ne s’annulant pas au voisinage de a, alors la f g fonction k ne s’annule pas au voisinage de a et v ; h k 3. si f v g, la fonction f étant à valeurs strictement positives au voisinage de a, alors g est également strictement positive au voisinage de a et pour tout réel α, f α v g α ;

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 75 — #85

Prépondérance, domination et équivalents

75

4. si f v g et h v k, les fonctions g et k étant à valeurs positives ou nulles au voisinage de a, alors f + h v g + k ; 5. si f v g, la fonction f étant à valeurs strictement positives au voisinage de a et lim g (x) = ℓ avec ℓ ∈ R \ {1} , alors ln (f ) v ln (g) ; x→a

6. on a ef v eg si, et seulement si lim (f (x) − g (x)) = 0. x→a

Preuve. 1. Si f = φg et h = ψk avec lim φ (x) = 1 et lim ψ (x) = 1 alors f h = φψgk avec x→a

lim (φψ) (x) = 1, c’est-à-dire que f h v gk.

x→a

x→a

h (la fonction ψ ne ψ f φg φ (x) s’annule pas au voisinage de a car lim ψ (x) = 1) et = avec lim = 1, x→a x→a ψ (x) h ψk g f c’est-à-dire que v . h k f 3. Si f est à valeurs strictement positives au voisinage de a, il en est de même de g = φ et f α = φα g α avec lim φα (x) = 1 nous dit que f α v g α . 2. Si h ne s’annule pas au voisinage de a, il en est de même de k =

x→a

4. Pour tout x voisin de a tel que (g (x) , k (x)) = 6 (0, 0) on a, en supposant que g et k sont à valeurs positives ou nulles au voisinage de a : f (x) + h (x) =

φ (x) g (x) + ψ (x) k (x) (g (x) + k (x)) = θ (x) (g (x) + k (x)) g (x) + k (x)

|φ (x) − 1| g (x) + |ψ (x) − 1| k (x) ≤ |φ (x) − 1| + |ψ (x) − 1| . Notant g (x) + k (x) θ (x) = 1 pour x tel que (g (x) , k (x)) = (0, 0) , on a f (x) + h (x) = θ (x) (g (x) + k (x)) avec |θ (x) − 1| ≤ |φ (x) − 1| + |ψ (x) − 1| → 0, ce qui signifie que f + h v g + k.

et |θ (x) − 1| ≤

x→a

5. Si f est à valeurs strictement positives au voisinage de a, il en est de même de g (car f v g) et si de plus lim g (x) = ℓ avec ℓ ∈ R\{1} , on a alors lim ln (g (x)) = ln (ℓ) 6= 0, x→a

x→a

donc ln (g) ne s’annule pas au voisinage de a et :

  (x) ln fg(x) ln (f (x)) ln (f (x)) − ln (g (x)) ln (1) =1+ =1+ → 1+ =1 x→a ln (g (x)) ln (g (x)) ln (g (x)) ln (ℓ)

ce qui entraîne que ln (f ) est équivalent à ln (g) au voisinage de a. 6. Les fonctions considérées ne s’annulant jamais, on a ef v eg si, et seulement si, ef (x) lim g(x) = 1, ce qui équivaut à lim ef (x)−g(x) = 1, soit à lim (f (x) − g (x)) = 0. x→a e x→a x→a  Sans hypothèse de positivité, on ne peut pas en général ajouter des équivalents. Par exemple pour f (x) = 1 + x, g (x) = 1 + x2 , h (x) = k (x) = −1, on a f v g et f + h = x 0

n’est pas équivalent à g + k = x2 en 0. Pour ce qui est du logarithme, l’exemple de f (x) = 1 + x et g (x) = 1 nous montre que f peut être équivalent à g au voisinage de 0 avec ln (f (x)) = ln (1 + x) non équivalent à ln (g) = 0.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 76 — #86

76

Comparaison des fonctions et développements limités

Et pour ce qui est de l’exponentielle, l’exemple de f (x) = x2 + x et g (x) = x2 nous 2 montre que f peut être équivalent à g au voisinage de +∞ avec ef (x) = ex +x non g(x) x équivalent à e = e en +∞. Les notions de domination, prépondérance et équivalence se définissent de manière analogue pour les suites réelles ou complexes (voir le paragraphe 2.4) et on a des résultats similaires à ceux obtenus pour les fonctions.

4.2

Développements limités

Pour ce paragraphe, I désigne un intervalle réel non réduit à un point, a un point de I ou du bord de I (a est dans l’adhérence I de I), f une fonction définie sur I à valeurs réelles ou complexes et n un entier naturel. On note Kn [X] l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré au plus égal à n à coefficients dans K = R ou C. Dans un premier temps, on suppose que a est réel. Définition 4.6. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n en a s’il existe un polynôme P dans Kn [X] et une fonction ε définie sur I à valeurs réelles ou complexes telles que : ( n ∀x ∈ I, f (x) = P (x − a) + (x − a) ε (x) lim ε (x) = 0 x→a

n

On peut écrire que f (x) = P (x − a) + o ((x − a) ) . Théorème 4.8. Si f admet un développement limité à l’ordre n en a, ce dernier est alors unique. n

Preuve. Si R ∈ Kn [X] est tel que R (x − a) = o ((x − a) ) , on a alors R = 0.  n X k La fonction polynomiale x 7→ P (x − a) = ak (x − a) est la partie régulière (ou k=0

la partie principale) d’ordre n du développement limité au voisinage de a et la fonction n x 7→ (x − a) ε (x) le reste d’ordre n. Si f admet un développement limité à l’ordre n en a, elle admet alors un développement limité à tout ordre p compris entre 0 et n. La partie régulière s’obtenant en p X k tronquant le polynôme P à l’ordre p, c’est donc ak (x − a) . k=0

Exemples 4.1 1. Une fonction polynomiale admet un développement limité à tout ordre en tout point. 2. Avec 1 − xn+1 = (1 − x) (1 + x + · · · + xn ) , on déduit le développement limité en 0 : ∀x ∈ ]−1, 1[ ,

X X x 1 = xk + xn = xk + o (xn ) 1−x 1−x n

n

k=0

k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 77 — #87

Développements limités

77

1 s’intéresser aux développements t limités à l’infini. Si par exemple I = ]α, +∞[ avec α > 0, dire que f admet un développement limité d’ordre n à l’infini signifie qu’il existe un polynôme P dans Kn [x] et une fonction ε définie sur I à valeurs réelles ou complexes telles que :    n X 1 1 ak 1   + n ε (x) + n ε (x) =  ∀x ∈ I, f (x) = P x x xk x k=0    lim ε (x) = 0 On peut aussi par changement de variable x =

x→+∞

De l’unicité du développement limité d’ordre n en 0 on déduit le résultat suivant. Corollaire 4.1. Si I est un intervalle centré en 0 et f une fonction paire [resp. impaire] admettant un développement limité à l’ordre n en 0, sa partie régulière P est alors paire [resp. impaire]. Des définitions de la continuité et de la dérivabilité en un point, on déduit les résultats suivants. Théorème 4.9. La fonction f est continue (ou se prolonge par continuité) en a si, et seulement si, elle admet un développement limité d’ordre 0 en a. La fonction f est dérivable (ou se prolonge en fonction dérivable) en a si, et seulement si, elle admet un développement limité d’ordre 1 en a. La fonction f peut très bien admettre un développement limité à l’ordre 2 en a sans admettre de dérivée en ce point comme le montre l’exemple de la fonction définie  seconde  1 3 par f (x) = x sin pour x 6= 0 et f (0) = 0 avec a = 0. x Dans le cas des fonctions plusieurs fois dérivables, le théorème de Taylor-Young nous permet d’obtenir des développements limités. Précisément, on a le résultat suivant, où f est une fonction définie sur un intervalle réel I et a est un point intérieur à I. Ce théorème sera démontré au paragraphe 6.6 et on l’admet provisoirement. Théorème 4.10. Taylor-Young Si f est dérivable à l’ordre n ≥ 1 en a, elle admet alors, au voisinage de a, le n X f (k) (a) k n (x − a) + o ((x − a) ) . développement limité d’ordre n, f (x) = k! k=0

Ce résultat permet d’obtenir les développements limités classiques en 0 : ex =

n X xk k=0

cos (x) =

k!

+ o (xn )

n k X (−1) x2k k=0

α

(1 + x) = 1 +

(2k)! n X k=1

n k X

(−1) x2k+1 + o x2n+1 , sin (x) = + o x2n+2 (2k + 1)! k=0

α (α − 1) · · · (α − k + 1) k x + o (xn ) (α ∈ R \ N) k!

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 78 — #88

78

Comparaison des fonctions et développements limités

4.3

Opérations sur les développements limités

1 En utilisant le changement de variable x = t + a (pour a réel) ou x = (pour a infini) t on peut se contenter d’étudier les développement limités en 0. Pour ce qui est des combinaisons linéaires, du produit et de la composition des fonctions, on a les résultats qui suivent en définissant la troncature R d’un polynôme P dans Kn [X] par P (x) = R (x) + o (xn ) . Théorème 4.11. Soient f, g deux fonctions définies dans un voisinage de 0 et admettant des développements limités en 0 d’ordre n de parties régulières respectives P et Q et λ, µ des réels. Les fonctions λf + µg et f g admettent alors les développements limités (λf + µg) (x) = λP (x) + µQ (x) + o (xn ) et (f g) (x) = R (x) + o (xn ) , où R est est la troncature du polynôme P Q. Preuve. Pour les combinaisons linéaires, cela se déduit de o (xn )+o (xn ) = o (xn ) . Pour ce qui est du produit il suffit de remarquer que P (x) o (xn ) = o (xn ) pour tout polynôme P et que o (xn ) o (xn ) = o (xn ) , puis en effectuant la division euclidienne de P Q par xn+1 que P (x) Q (x) = R (x) + o (xn ) avec R dans Kn [x] .  Par exemple, à partir des développements limités de la fonction exponentielle, on déduit les développements des fonctions hyperboliques : ch (x) =

X x2k X x2k+1

ex − e−x ex + e−x = +o x2n+1 , sh (x) = = +o x2n+2 2 (2k)! 2 (2k + 1)!

Pour f (x) =

n

n

k=0

k=0

ex , on obtient : 1+x


1 3 11 53 6 103 7 2119 8 1 x − x + x + o x8 f (x) = 1 + x2 − x3 + x4 − x5 + 2 3 8 30 144 280 5760 Théorème 4.12. Soient f, g deux fonctions définies dans un voisinage de 0 et admettant des développements limités en 0 d’ordre n ≥ 1 de parties régulières respectives P et Q avec g à valeurs réelles et g (0) = Q (0) = 0. La fonction f ◦ g qui est définie au voisinage de 0 admet le développement limité (f ◦ g) (x) = R (x) + o (xn ) , où R est la troncature de P ◦ Q dans Kn [X] . Preuve. On a, pour x, y voisins de 0, f (y) = P (y) + y n η (y) et g (x) = Q (x) + xn ε (x) avec lim η (y) = 0 et lim ε (x) = 0. Avec g (0) = 0 et la continuité de g en 0, on peut écrire, y→0

x→0

n

pour x voisin de 0, (f ◦ g) (x) = P
(g (x)) + (g (x)) η (g (x)) . Comme n ≥ 1 et Q (0) = 0, n on a g (x) = x Q1 (x) + xn−1 ε (x) avec Q1 dans Rn−1 [X] et (g (x)) = xn φn (x) avec φn bornée au voisinage de 0. De plus avec lim g (x) = g (0) = 0 et lim η (y) = 0, on déduit x→0

y→0

n

que lim η (g (x)) = 0, de sorte que (g (x)) η (g (x)) = xn ε1 (x) avec lim ε1 (x) = 0. x→0

x→0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 79 — #89

Opérations sur les développements limités D’autre part, si P (y) =

n X

79

ak y k , on a alors :

k=0

P (g (x)) =

n X

n X

k

ak (g (x)) =

k=0

=

n X

k

ak (Q (x)) +

k=0

n X k=1

ak

k   X k j=1

j

k

ak (Q (x) + xn ε (x))

k=0 k−j

(Q (x))

j

xnj (ε (x)) = P (Q (x)) + xn ε2 (x)

avec lim ε2 (x) = 0. On a donc (f ◦ g) (x) = P (Q (x)) + o (xn ) et en effectuant la division x→0

euclidienne de P (Q (X)) par X n+1 , on obtient P (Q (x)) = R (x) + o (xn ) où le reste R est dans Kn [X] .  Exemple 4.1 On a sin (sh (x)) − sh (sin (x)) = −


1 11 1 7 x + x + o x14 . 45 1575

Le théorème de composition des développements limités peut être utilisé pour obtenir 1 un développement limité de . Précisément si f définie au voisinage de 0 avec f (0) 6= 0 f admet un développement limité d’ordre n ≥ 1 en 0 de partie régulière P, en écrivant 1 1 1 f (x) = f (0) (1 − g (x)) avec g (0) = 0, on déduit que = admet f (x) f (0) 1 − g (x) un développement limité d’ordre n en 0 obtenu par composition des développements 1 limités des fonctions g et u 7→ . Cette méthode permet, de manière plus générale, 1−u α d’obtenir des développements limités de (f (x)) avec α ∈ R∗ ou ln (f (x)) , la fonction α α α f étant telle que f (0) > 0. On écrit que (f (x)) = (f (0)) (1 − g (x)) [resp. que ln (f (x)) = ln (f (0)) + ln (1 − g (x))] et on compose les développements limités en 0 de α g et de (1 − u) [resp. ln (1 − u)]. Exemple 4.2 On a :
1 1 5 61 6 = 1 + x2 + x4 + x + o x7 cos (x) 2 24 720   p √
√ 1 5 2 21 3 429 4 1+ 1−x= 2 1− x− x − x − x + o x4 8 128 1024 32 768
1 2 1 4 1 6 7 ln (cos (x)) = − x − x − x + o x 2 12 45 Le théorème de composition nous permet également d’obtenir les développements limités d’une fonction réciproque. Si f est une fonction indéfiniment dérivable de I (intervalle ouvert contenant 0) dans R de dérivée strictement positive (ou négative) sur I elle définit alors une bijection de I sur f (I) et sa fonction réciproque est également indéfiniment dérivable. En supposant connu le développement limité de f en 0 à l’ordre n, en écrivant que f −1 (f (x)) = x et en utilisant l’unicité du développement limité, on peut déduire celui de f −1 dans le cas où f (0) = 0. Exemple 4.3 La fonction f définie par f (x) = x + ln (1 + x) pour x > −1 est indéx+2 finiment dérivable avec f ′ (x) = > 0, lim + f (x) = −∞, lim + f (x) = +∞, 1+x x→−1 x→+∞ donc elle réalise une bijection de ]−1, +∞[ sur R et sa fonction réciproque f −1 est

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80

Comparaison des fonctions et développements limités

également indéfiniment dérivable. En écrivant les développements limités à l’ordre 3,

x2 x3 f (x) = 2x − + + o x3 et f −1 (y) = ay + by 2 + cy 3 + o y 3 , on a : 2 3   2  x3 x2 x2 3 −1 + c (2x) + o (x3) + + b 2x − x = f (f (x)) = a 2x − 2 3 2  
a 2 a = 2ax + 4b − x + − 2b + 8c x3 + o x3 2 3 a et par unicité du développement limité à l’ordre 3 en 0, on déduit que 2a = 1, 4b − = 0 2
a x x2 2 1 3 −1 3 et − 2b + 8c = 0, ce qui donne f (x) = + x − x +o x . 3 2 16 192 Le développement d’un quotient

f , avec g (0) = 6 0, peut s’obtenir en écrivant que g

1 f (x) = f (x) , où h (0) = 0. Par exemple pour la fonction tan, on obtient g (x) g (0) (1 − h (x))
1 2 17 7 tan (x) = x + x3 + x5 + x + o x8 . 3 15 315 On peut également utiliser le théorème de division des polynômes suivant les puissances croissantes (voir le cours d’algèbre). Théorème 4.13. Si P, Q sont deux polynômes à coefficients réels avec Q (0) 6= 0 et n ∈ N, il existe alors un unique couple (K, R) de polynômes tels que P = QK + X n+1 R avec R de degré au plus égal à n. On dit que K est le quotient et R le reste dans la division suivant les puissances croissantes à l’ordre n de P par Q. Exemple 4.4 Pour P (X) = 2X + 3X 2 − X 3 , Q (X) = 1 + 2X − X 3 et n = 4, on obtient

P (x) P (X) = Q (X) 2X − X 2 + X 3 + X 5 (−1 + X) et = 2x − x2 + x3 + o x5 . Q (x) Théorème 4.14. Soient f, g deux fonctions définies dans un voisinage de 0 et admettant des développements limités en 0 d’ordre n de parties régulières respectives P et Q avec f g (0) = Q (0) 6= 0. La fonction qui est définie au voisinage de 0 admet un g développement limité en 0 d’ordre n de partie régulière K égale au quotient dans la division suivant les puissances croissantes à l’ordre n de P par Q. Preuve. Au voisinage de 0, on a : f (x) P (x) + xn ε1 (x) K (x) Q (x) + xn+1 R (x) + xn ε1 (x) = = n g (x) Q (x) + x ε2 (x) Q (x) + xn ε2 (x) −ε2 (x) K (x) + xR (x) + ε1 (x) = K (x) + xn = K (x) + o (xn ) Q (x) + xn ε2 (x) 

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 81 — #91

Opérations sur les développements limités

81

Exemple 4.5 En effectuant la division suivant les puissances croissantes de la partie régulière d’ordre 7 du développement limité en 0 à l’ordre 7 de la fonction sin par celle
2 17 7 1 x + o x8 . de cos, on retrouve tan (x) = x + x3 + x5 + 3 15 315 Dans le cas des fonctions de classe C 1 , on a le résultat suivant conséquence du théorème des accroissements finis. Théorème 4.15. Soit f une fonction de classe C 1 au voisinage de 0. Si f ′ admet un développement limité d’ordre n en 0 de partie régulière P, alors f admet un développement limité d’ordre n + 1 de partie régulière Q égale à la primitive de P qui vaut f (0) en 0, n n X X
ak k+1 soit f ′ (x) = ak xk + o (xn ) et f (x) = f (0) + x + o xn+1 . k+1 k=0

k=0

Preuve. On a f ′ (x) = P (x) + xn ε (x) . La fonction f ′ étant continue au voisinage de 0, il en est de même de xn ε (x) et cette fonction admet des primitives. On désigne par φ la primitive xn ε (x) nulle en 0 et par Q celle de P valant f (0) en 0. La fonction Q + φ est alors une primitive de f ′ et sa valeur en 0 est f (0) , on a donc f = Q + φ et il s’agit de montrer que φ est négligeable devant xn+1 . En utilisant le théorème des accroissements finis, on peut écrire pour x = 6 0 dans I, que φ (x) = xφ′ (θx x) avec 0 < θx < 1, soit que n n+1 φ (x) = x (θx x) ε (θx x) = x ε1 (x) avec lim ε1 (x) = 0 du fait que |ε1 (x)| < |ε (θx x)| . x→0



D’où le résultat. Exemple 4.6 Pour f (x) = ln (1 + x) , on a f ′ (x) = n (−1)k
P en intégrant, ln (1 + x) = xk+1 + o xn+1 . k=0 k + 1

De manière analogue, avec arctan′ (x) =

1 = 1+x

n X

k

(−1) xk + o (xn ) et

k=0

1 , on déduit les développements limités 1 + x2

de arctan (x) en 0. Pour ce qui est de la dérivation, en général il n’est pas possible dedériver  un dévelop1 3 pement limité. Par exemple la fonction f définie par f (x) = x sin pour x = 6 0 et x
f (0) = 0 admet un développement d’ordre 2  en 0de partierégulière nulle (f (x) = o x2 )  1 1 mais sa dérivée, définie par f ′ (x) = 3x2 sin − x cos pour x 6= 0 et f ′ (0) = 0, x x n’est pas dérivable en 0 et en conséquence n’a pas de développement limité d’ordre 1 au voisinage de 0. Toutefois, on a le résultat suivant conséquence immédiate du théorème précédent et de l’unicité du développement limité d’ordre n en 0. Théorème 4.16. Soit f une fonction de classe C 1 au voisinage de 0. Si f et f ′ admettent des développements limités d’ordre n et n − 1 en 0 de parties régulières respectives P et Q, on a alors Q = P ′ .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 82 — #92

82

Comparaison des fonctions et développements limités

4.4

Position d’une courbe par rapport aux tangentes ou aux asymptotes

Si la fonction f admet le développement limité d’ordre n ≥ 2 au voisinage d’un point a, n X k n f (x) = ak (x − a) + o ((x − a) ) , elle est alors dérivable en a de dérivée égale à a1 et k=0

la tangente au graphe de f en a a pour équation y = a0 + a1 (x − a) . En supposant les ak non tous nuls pour k compris entre 2 et n et en désignant par p le plus petit entier compris p entre 2 et n tel que ap = 6 0, on a g (x) = f (x) − a0 − a1 (x − a) = (ap + ε (x)) (x − a) avec lim ε (x) = 0. Pour x voisin de a la quantité ap + ε (x) est du signe de ap et on peut x→a en déduire la position du graphe de f par rapport à la tangente en a : — si p est pair et ap > 0, on a alors g (x) > 0 pour x voisin de a et différent de a et la courbe est localement au dessus de la tangente ; — si p est pair et ap < 0, on a alors g (x) < 0 pour x voisin de a et différent de a et la courbe est localement au dessous de la tangente ; — si p est impair, alors g (x) change de signe au voisinage de a, ne s’annulant qu’en a dans ce voisinage, et la courbe traverse la tangente au voisinage de a. On dit alors qu’on a un point d’inflexion ou que la tangente en a est une tangente d’inflexion. Une étude analogue peut être menée dans le cadre des courbes planes définies par des équations paramétriques. Les développements limités à l’infini permettent aussi de déterminer la position de la courbe par rapport aux asymptotes. Si on a le développement limité à l’ordre n ≥ 2 en   n X f (x) 1 ak +∞, = +o en supposant les ak non tous nuls pour k compris entre x xk xn k=0 2 et n et en notant p le plus petit indice compris entre 2 et n tel que ap = 6 0, on a alors ap f (x) − a0 x − a1 = p−1 (1 + o (1)) . On en déduit que la droite d’équation y = a1 + a0 x x est asymptote à la courbe et le signe de ap nous renseigne sur la position de la courbe par rapport à l’asymptote.

4.5

Développements asymptotiques

On désigne toujours par a un élément de R. Définition 4.7. On appelle échelle de comparaison au voisinage de a une famille (φk )k∈K de fonctions définies au voisinage de a éventuellement privé de a telles que : — pour tout k ∈ K et tout voisinage V de a, il existe x dans V \ {a} tel que φk (x) = 6 0 (φk n’est pas équivalente à 0 en a) ; — pour tous j, k dans K, on a φj = o (φk ) ou φk = o (φj ) (la famille (φk )k∈K est totalement ordonnée par o (·)).

Exemples 4.2 On peut considérer les familles de fonctions suivantes :     k k — (x − a) ou (x − a) au voisinage de a ∈ R ; k∈N

k∈Z

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 83 — #93

Exercices

83


α — xk k∈Z au voisinage de +∞ ou (|x| )α∈R au voisinage de ±∞ ou de 0 ;  
— xα lnβ (x) ou xα eβx lnγ (x) (α,β,γ)∈R3 au voisinage de +∞. 2 (α,β)∈R

On désigne par f une fonction à valeurs réelles (ou complexes) définie sur un intervalle réel I non réduit à un point et par a un point de l’adhérence de I. Définition 4.8. On dit que la fonction f admet un développement asymptotique au voisinage de a relativement à l’échelle de comparaison (φk )k∈K , si au voisinage de a éventuellement privé de a, on a une écriture de la forme n X f (x) = aj φkj (x) + o (φkn (x)) , où les aj sont des constantes réelles (ou comj=0
plexes) et φkj+1 = o φkj pour tout j compris entre 0 et n − 1.

Là encore on vérifie qu’un tel développement asymptotique d’ordre n, s’il existe, est unique. Exemple 4.7 Pour x > 0 tendant vers l’infini, on a : 1 x

x =e

4.6

ln(x) x

ln (x) 1 =1+ + x 2



ln (x) x

2

 +o

ln (x) x

2 !

Exercices

Exercice 4.1. i Montrer qu’on peut définir une suite réelle (xn )n∈N∗ par les πh conditions xn ∈ nπ, nπ + et tan (xn ) = xn . Donner un développement asymp2   1 c totique de xn de la forme xn = a + bn + + o . n n π  Solution. Notant f (x) = tan (x) − x pour x ∈ R \ + Zπ , on a f (nπ) = −nπ, 2  π lim f nπ + = +∞ et f ′ (x) = tan2 (x) > 0, donc f a un unique zéro xn − 2 x→(nπ+ π i 2) πh dans nπ, nπ + . On a tan (xn − nπ) = tan (xn ) = xn = tan (arctan (xn )) avec xn − 2   i πh π 1 , donc xn = arctan (xn ) + nπ = − arctan + nπ. nπ et arctan (xn ) ∈ 0, 2 2 x n   1 1 1 Avec xn v nπ, on déduit que arctan v v , ce qui donne n→+∞ n→+∞ n→+∞ x x nπ n n       1 1 1 π 1 1 arctan = +o et xn = + nπ − +o . xn nπ n 2 nπ n Exercice 4.2. Montrer qu’on peut définir une suite réelle (xn )n≥3 par xn ∈ ]0, 1[ et xnn − nxn + 1 = 0. Étudier la limite de cette suite et donner un équivalent de xn quand n tend vers l’infini

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 84 — #94

84

Comparaison des fonctions et développements limités

Solution. La fonction fn : x 7→ xn − nx + 1 est un homéomorphisme strictement décroissant de ]0, 1[ sur ]1, 2 − n[ , ce qui entraîne l’existence et l’unicité de xn . Pour x fixé dans ]0, 1[ , on a fn (x) v −nx, donc fn (x) < 0 pour n grand. Pour tout ε > 0 il n→+∞

existe donc n0 ∈ N tel que fn (ε) < 0 pour n ≥ n0 . On a donc 0 < xn < ε pour n ≥ n0 , 1 ce qui prouve que lim xn = 0. On a nxn = 1 + xnn avec lim xnn = 0 (xn < pour n n→+∞ n→+∞ 2 1 . grand), donc xn v n→+∞ n Exercice 4.3. Montrer qu’on peut définir une suite réelle (xn )n≥3 par les conditions xn ∈ ]1, +∞[ et xnn − xn − n = 0. Montrer que cette suite a une limite finie λ et donner un équivalent de xn − λ quand n tend vers l’infini Solution. La fonction fn : x 7→ xn −x−n est un homéomorphisme strictement croissant de ]1, +∞[ sur ]−n, +∞[ , ce qui entraîne l’existence et l’unicité de xn . Pour x fixé dans ]1, +∞[ , on a fn (x) v xn , donc fn (x) > 0 pour n grand. Pour tout ε > 0 il existe n→+∞

donc n0 ∈ N tel que fn (1 + ε) > 0 pour n ≥ n0 . On a donc 1 < xn < 1 + ε pour n ≥ n0 , ce qui prouve que lim xn = 1. On a : n→+∞

1

1

xn − 1 = (xn + n) n − 1 = e n ln(xn +n) − 1     1 ln (n) 1 ln (n) = ln (xn + n) + o ln (xn + n) = +o n n n n du fait que lim

n→+∞

1 ln (xn + n) = 0. n

cos (x) a Montrer que pour tout entier n ≥ 1, la fonction f : x 7→ x h i π un unique extremum dans nπ − , nπ en un point xn . Donner un développement 2   c 1 asymptotique de la forme xn = an + b + + o . Donner un équivalent de n n f (xn ) quand n tend vers l’infini. Exercice 4.4.

Solution. On a f ′ (x) = −

g (x) , où : x2

  1 g (x) = x sin (x) + cos (x) = x cos (x) tan (x) + = x cos (x) h (x) x 1

1 > 0 pour x > 1, on vérifie que h réalise un homéomorphisme (x) x2   h i π 1 strictement croissant de nπ − , nπ sur −∞, , d’où l’existence et l’unicité de xn . 2 nπ   1 1 De l’égalité tan(xn ) = − , on déduit qu’il existe k ∈ Z tel que xn = kπ − arctan x x n n   i π h h i 1 π et avec − arctan ∈ − , 0 , xn ∈ nπ − , nπ , on déduit que k = n. Donc 2 2 xn    1 1 1 1 xn = nπ − arctan . Avec xn v nπ, on a arctan v v , n→+∞ n→+∞ n→+∞ xn xn xn nπ Avec h′ (x) =

cos2

−

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 85 — #95

Exercices

85 

    1 1 1 et xn = nπ − +o . De xn = nπ + o (1) , on n nπ n n (−1) n déduit que cos (xn ) v (−1) et f (xn ) v . n→+∞ n→+∞ nπ soit arctan

1 xn



=

1 +o nπ

Exercice 4.5. Montrer que pour tout entier n ≥ 1,i la fonctionh f définie par π f (x) = tan (x) − th (x) a un unique zéro xn dans nπ, nπ + . Donner un 4
−δn −δn développement asymptotique de la forme xn = an + b + ce +o e . Donner un équivalent de f (xn ) quand n tend vers l’infini. π  1 > 0 sur R \ + Zπ et f réalise un ho(x) chh (x) i 2  π i πi sur − th (nπ) , 1 − th nπ + , méomorphisme strictement croissant de nπ, nπ + 4 4  π avec − th (nπ) < 0 et 1 − th nπ + > 0, d’où l’existence et l’unicité de xn dans 4 i πh nπ, nπ + . De l’égalité tan(xn ) = th (xn ) , on déduit qu’il existe k ∈ Z tel que 4 i πh , on déduit que th (xn ) ∈ ]0, 1[ xn = kπ + arctan (th (xn )) et avec xn ∈ nπ, nπ + 4 i πh et arctan (th (xn )) ∈ 0, , ce qui entraîne k = n. Donc xn = nπ + arctan (th (xn )) . 4 π −2xn

i πh 1−e π −2xn −2xn Avec th (xn ) = = tan − arctan e − arctan e ∈ 0, et , 1 + e−2xn 4 4 4
π − arctan e−2xn . Comme xn v nπ, on a on déduit que arctan (th (xn )) = n→+∞ 4
π v e−2xn . En écrivant que xn = nπ + + εn avec lim εn = 0, arctan e−2xn n→+∞ n→+∞ 4 π π on déduit que e−2xn = e− 2 e−2nπ eεn v e− 2 e−2nπ et : Solution. On a f ′ (x) =

1

cos2

−

2

n→+∞

xn = nπ +



π π π − arctan e−2xn = nπ + − e− 2 e−2nπ + o e−2nπ 4 4

Soit f : R → R de classe C 2 telle que f  (0) = 1, f ′ (0) = 0 et x a a2 f ′′ (0) = −1. Montrer que pour tout a ∈ R, on a lim = e− 2 . f √ x→+∞ x

Exercice 4.6.

Solution. Pour a = 0 le résultat est évident. On suppose donc que a est non nul. Comme f (0) = 1 et f est continue, on a f (t) > 0 pour t voisin  de 0 et on peut définir a la fonction g sur un voisinage ]α, +∞[ de l’infini par g (x) = f √ pour tout x > α. x 2
t Avec le développement limité f (t) = 1 − + o t2 , on déduit celui de g à l’ordre 1 en 2   a2 1 1 x +∞, g (x) = 1 − +o , puis celui de h (x) = ln ((g (x)) ) : 2 x x  2   a 1 1 a2 h (x) = x ln (g (x)) = x − +o = − + o (1) 2 x x 2   x a2 a a2 ce qui permet de déduire que lim h (x) = − et lim f √ = e− 2 . x→+∞ x→+∞ 2 x

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 86 — #96

86

Comparaison des fonctions et développements limités Exercice 4.7.

Calculer, pour tous réels a, b, c : 

lim x

1 a 1+ x

2

x→+∞

x



1 +b 1+ 2x

2x



1 +c 1+ 3x

3x !

Solution. On a, pour tout entier k ≥ 1, le développement limité à l’infini : 

1 1+ kx

kx

   1 1 1 11 1 +o =e 1− + 2k x 24k 2 x2 x2

et si f est la fonction définie sur R+,∗ par : 

f (x) = x

2

1 a 1+ x

x

  2x 3x ! 1 1 +b 1+ +c 1+ 2x 3x


1 on obtient f (x) = e αx + βx + γ + o (1) avec α = a + b + c, β = − 2   11 b c γ= a+ + , de sorte que : 24 4 9  +∞ si α > 0 ou (α = 0 et β > 0)     −∞ si α < 0 ou (α = 0 et β < 0) lim f (x) =   x→+∞  b 11   a+ e si α = β = 0  γe = 24 6 2

  b c a+ + et 2 3



 x Exercice 4.8. Montrer que pour λ ≥ 2, l’équation x − λ ln 1 + =0a 1+λ une unique racine xλ ∈ ]−2, −1[ . Déterminer la limite de xλ quand λ tend vers l’infini. 

 x Solution. En notant fλ (x) = x − λ ln 1 + pour tout x dans ]−2, −1[ , on a 1+λ   x+1 2 λ−1 ′ fλ (x) = < 0, fλ (−2) = −λg (λ) avec g (λ) = + ln < 0 (on a x+1+λ λ λ+1 2 g ′ (λ) = 2 2 > 0 et lim g (λ) = 0), donc fλ (−2) > 0 et fλ (−1) = −λh (λ) λ (λ − 1)  λ→+∞ 1 λ 1 avec h (λ) = + ln > 0 (h′ (λ) = − 2 < 0 et lim h (λ) = 0), donc λ→+∞ λ λ+1 λ (λ + 1) fλ (−1) < 0. Il en résulte que la fonction fλ a un unique zéro xλ ∈ ]−2,  −1[ .Pour x x fixé dans ]−2, −1[ , en posant µ = 1 + λ, on a fλ (x) = x − (µ − 1) ln 1 + et un µ   x2 + 2x 1 x (x + 2) développement limité donne fλ (x) = +o v . Pour tout réel 2µ µ λ→+∞ 2λ x (x + 2) ε ∈ ]0, 1[ , en prenant x = −2 + ε, on a < 0 et il existe λ0 ≥ 2 tel que fλ (x) < 0 2λ pour λ > λ0 et nécessairement −2 < xλ < x = −2 + ε. On a donc ainsi montré que lim xλ = −2.

λ→+∞

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 87 — #97

Chapitre 5

Intégrales et primitives

Pour ce chapitre, a < b sont des réels. Si f, g sont deux fonctions définies sur [a, b] et à valeurs réelles, la notation f ≤ g signifie que f (x) ≤ g (x) pour tout x ∈ [a, b] .

5.1

Subdivisions. Intégrale des fonctions en escalier

Pour ce paragraphe, a < b sont des réels et f est une fonction de [a, b] dans R. Définition 5.1. Étant donné un entier naturel non nul n, on appelle subdivision d’ordre n de l’intervalle [a, b] toute suite σ = (ak )0≤k≤n de n + 1 réels telle que a0 = a < a1 < · · · < an = b. Le réel δ (σ) = max (ak+1 − ak ) (à savoir la 0≤k≤n−1

longueur du plus grand intervalle de la subdivision σ) est le pas de cette subdivision. On note Σa,b l’ensemble de toutes les subdivisions de [a, b] . Si σ = (ak )0≤k≤n ∈ Σa,b , n−1 n−1 [ [ on alors la partition [a, b] = {a} ∪ ]ak , ak+1 ] = [ak , ak+1 [ ∪ {b} . k=0

k=0

Exemple 5.1 Pour n ≥ 1, la subdivision σn à pas constant est définie par les points b−a b−a ak = a+k pour k compris entre 1 et n. Le pas de cette subdivision est δ (σn ) = . n n Définition 5.2. Soient σ = (ak )0≤k≤n et σ ′ = (a′k )0≤k≤n′ deux subdivision de [a, b] . On dit que σ ′ est plus fine que σ (ou que σ est moins fine que σ ′ ) et on note σ ⊂ σ ′ si {a0 , a1 , · · · , an } ⊂ {a′0 , a′1 , · · · , a′n′ } (on a donc n ≤ n′ ). Exemple 5.2 La subdivision (a, b) est moins fine que toute subdivision σ ∈ Σa,b . Cette relation d’inclusion est une relation d’ordre partiel sur l’ensemble des subdivisions Σa,b de l’intervalle [a, b] . Si σ = (ak )0≤k≤n et σ ′ = (a′k )0≤k≤n′ sont deux subdivisions de [a, b] , on peut alors les combiner pour former une nouvelle subdivision σ ′′ = (a′′k )0≤k≤n′′ où : {a′′0 , · · · , a′′n′′ } = {a0 , · · · , an } ∪ {a′0 , · · · , a′n′ }

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 88 — #98

88

Intégrales et primitives

et max (n, n′ ) ≤ n′′ ≤ n + n′ (on élimine de σ ′ les points qui sont déjà dans σ). On note σ ′′ = σ ∪ σ ′ . Cette partition σ ∪ σ ′ est plus fine que σ et σ ′ . Pour a < c < b et toutes subdivisions σ[a,c] = (ak )0≤k≤n de [a, c] , σ[c,b] = (a′k )0≤k≤n′ de [c, b] , la réunion σ = (a0 , · · · , an−1 , c, a′1 , · · · , a′n′ ) est une subdivision de [a, b] . On la note σ[a,c] ∨ σ[c,b] . Définition 5.3. On appelle fonction en escalier (ou fonction constante par morceaux) sur le segment [a, b] une fonction f pour laquelle il existe une subdivision σ = (ak )0≤k≤n de [a, b] telle que f soit constante sur chacun des intervalle ]ak , ak+1 [ (0 ≤ k ≤ n − 1). Dans ces conditions, on dit que σ est une subdivision adaptée à la fonction f. On note E ([a, b]) l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b] . Une fonction en escalier est bornée puisqu’elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs (les λk et les f (aj )). Il n’y a pas unicité des subdivisions adaptées à une fonction en escalier. En effet si σ = (ak )0≤k≤n ∈ Σa,b est adaptée à f ∈ E ([a, b]) , alors toute subdivision plus fine   σ ′ = (a′k )0≤k≤n′ ∈ Σa,b est aussi adaptée à f puisque chaque intervalle a′j , a′j+1 est contenu un intervalle [ak , ak+1 ] et f qui est constante sur ]ak , ak+1 [ l’est aussi sur  ′ ′ dans  aj , aj+1 . La moins fine de toutes ces subdivisions est celle définie par a, b et tous les points de discontinuité de f. Exemple 5.3 La fonction partie entière x 7→ [x] est en escalier sur tout segment [a, b] . Si f ∈ E ([a, b]) et σ = (ak )0≤k≤n ∈ Σa,b est une subdivision adaptée à f avec : ∀k ∈ {0, · · · , n − 1} , ∀x ∈ ]ak , ak+1 [ , f (x) = λk on note alors I (f, σ) =

n−1 X

(ak+1 − ak ) λk . Nous allons vérifier que cette quantité I (f, σ)

k=0

ne dépend que de f. Lemme 5.1 Si f ∈ E ([a, b]) et σ, σ ′ sont deux subdivisions adaptées à f telles que σ ⊂ σ ′ , on a alors I (f, σ) = I (f, σ ′ ) . Preuve. On a σ = (ak )0≤k≤n ⊂ σ ′ = (a′k )0≤k≤n′ avec p = n′ − n ≥ 0. On fixe σ et on raisonne par récurrence sur p. Pour p = 0, on a σ = σ ′ et le résultat attendu est évident. Pour p = 1, la subdivision σ ′ est déduite de σ en lui ajoutant un point α∈ / {a0 , a1 , · · · , an } . Si j est l’unique entier compris entre 0 et n−1 tel que α ∈ ]aj , aj+1 [ , on a alors σ ′ = (a0 , · · · , aj , α, αj+1 , · · · , an ) , la fonction f est constante égale à λj sur ]aj , α[ ∪ ]α, aj+1 [ et on a : I (f, σ ′ ) =

n−1 X

(ak+1 − ak ) λk + λj (aj+1 − α) + λj (α − aj+1 )

k=0 k̸=j

=

n−1 X

(ak+1 − ak ) λk = I (f, σ)

k=0



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Subdivisions. Intégrale des fonctions en escalier

89

Théorème 5.1. Soit f ∈ E ([a, b]) . Si σ et σ ′ sont deux subdivisions adaptées à f, on a alors I (f, σ) = I (f, σ ′ ) . Preuve. La subdivision σ ∪ σ ′ étant plus fine que σ et σ ′ et adaptée à f, on a : I (f, σ) = I (f, σ ∪ σ ′ ) = I (f, σ ′ )  Le théorème précédent dit que I (f, σ) ne dépend que de f ∈ E ([a, b]) et pas d’une subdivision adaptée à cette fonction, ce qui permet de donner la définition suivante. Définition 5.4. Soit f une fonction en escalier sur [a, b] . L’intégrale de Riemann Z b n−1 X de f sur [a, b] est le réel f (x) dx = (ak+1 − ak ) λk , où σ = (ak )0≤k≤n ∈ Σa,b a

k=0

est une subdivision adaptée à f telle que pour tout k compris entre 0 et n − 1 et tout x ∈ ]ak , ak+1 [ , on ait f (x) = λk . Z On prolonge cette définition dans le cas où b = a, en posant

a

f (x) dx = 0. a

Exemple 5.4 Une fonction f : [a, b] → R constante égale à λ sur ]a, b[ est RiemannZ b intégrable et on a f (x) dx = λ (b − a) . a

Avec le théorème qui suit, on donne les propriétés essentielles de l’intégrale de Riemann des fonctions en escalier sur [a, b] . Théorème 5.2. Soient f, g dans E ([a, b]) et λ un réel.

Z

1. Pour f nulle sur [a, b] privé d’un nombre fini de points, on a Z

b

f (x) dx = 0. a

b

2.

Z b Z b (λf (x) + g (x)) dx = λ f (x) dx + g (x) dx (linéarité de l’intégrale).

a

a

a

3. Dans le cas où f = g sur [a, b] privé d’un nombre fini de points, on a Z b Z b f (x) dx = g (x) dx (on ne change pas la valeur de l’intégrale si on moa

a

difie une fonction en escalier en un nombre fini de points). 4. Si f (x) ≥ 0 pour tout x dans [a, b] privé d’un nombre fini de points, on a alors Z b f (x) dx ≥ 0. a

5. Pour tout segment [α, β] ⊂ [a, b] avec α < β, la restriction de f à [α, β] est dans E ([α, β]) et, dans le cas où f est à valeurs positives ou nulles, on a Z β Z b f (x) dx ≤ f (x) dx. α

a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 90 — #100

90

Intégrales et primitives 6. Si f (x) ≤ g (x) pour tout x dans [a, b] privé d’un nombre fini de points, on a Z b Z b g (x) dx. f (x) dx ≤ alors a a Z Z b b |f (x)| dx. 7. La fonction |f | est en escalier et on a f (x) dx ≤ a a Z b Z c Z b f (x) dx (relation de f (x) dx + f (x) dx = 8. Pour tout c ∈ ]a, b[ , on a c

a

a

Chasles). Preuve. 1. Si f est nulle sur [a, b] \ {a1 , · · · , an−1 } où a ≤ a1 < · · · < an−1 ≤ b, en notant a0 = a et an = b (dans le cas où a1 = a [resp. an−1 = b], on décale judicieusement les indices), Z b la subdivision σ = (ak )0≤k≤n est alors adaptée à f et on a f (x) dx = I (f, σ) = 0. a

2. Toute subdivision σ = (ak )0≤k≤n adaptée à f est aussi adaptée à λf et on a : Z

Z

b

b

λf (x) dx = I (λf, σ) = λI (f, σ) = λ

f (x) dx

a

a

Pour toute subdivision σ ′ = (a′k )0≤k≤n′ adaptée à g, la subdivision plus fine σ ∪ σ ′ est adaptée à f et g, donc à f + g et on a : Z b (f (x) + g (x)) dx = I (f + g, σ ∪ σ ′ ) = I (f, σ ∪ σ ′ ) + I (g, σ ∪ σ ′ ) a

Z =

Z

b

f (x) dx +

b

g (x) dx

a

a

3. Si f = g sur [a, b] privé d’un nombre fini de points, on a alors f − g = 0 sur [a, b] Z b privé d’un nombre fini de points, donc (f (x) − g (x)) dx = 0 et par linéarité de a Z b Z b l’intégrale, f (x) dx = g (x) dx. a

a

4. En modifiant au besoin f en un nombre fini de points, on se ramène à f (x) ≥ 0 pour Z b tout x ∈ [a, b] et dans ce cas, il est clair que f (x) dx ≥ 0. a

5. Soit σ = (ak )0≤k≤n ∈ Σa,b une subdivision adaptée à f. Il existe deux entiers i ≤ j compris entre 0 et n − 1 tels que α ∈ [ai , ai+1 ] et β ∈ [aj , aj+1 ] et la subdivision σ ′ = (α, ai+1 , · · · , aj , β) est alors adaptée à f|[α,β] qui est donc dans E ([α, β]) . Pour f à valeurs positives, on a : Z

β

f (x) dx = (ai+1 − α) λi + α

j−1 X

(ak+1 − ak ) λk + (β − aj ) λj

k=i+1

≤

j X k=i

Z

(ak+1 − ak ) λk ≤ I (f, σ) =

b

f (x) dx a

(pour α = ai+1 , ou β = aj , ou j = i, ou j = i + 1, le terme correspondant est nul).

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 91 — #101

Fonctions Riemann-intégrables

91

6. Résulte de g − f ≥ 0 sur [a, b] privé d’un nombre fini de points. 7. Soit σ = (ak )0≤k≤n ∈ Σa,b une subdivision adaptée à f telle pour tout k compris entre 0 et n − 1 et tout x ∈ ]ak , ak+1 [ , on ait f (x) = λk . Comme |f (x)| = |λk | pour tout x ∈ ]ak , ak+1 [ et tout k compris entre 0 et n − 1, on a |f | ∈ E ([a, b]) et : n−1 n−1 Z Z b X X b (ak+1 − ak ) λk ≤ (ak+1 − ak ) |λk | = |f (x)| dx f (x) dx = a a k=0

k=0

8. La restriction de f ∈ E ([a, b]) à tout segment [α, β] ⊂ [a, b] est dans E ([α, β]) et les fonctions f1 , f2 définies sur [a, b] par :   f (x) si x ∈ [a, c] 0 si x ∈ [a, c] f1 (x) = f2 (x) = 0 si x ∈ ]c, b] f (x) si x ∈ ]c, b] sont dans E ([a, b]) avec f1 + f2 = f, donc : Z

Z

b

f (x) dx = a

Z

b

f1 (x) dx + a

Z

b

f2 (x) dx = a

Z

c

f (x) dx + a

b

f (x) dx c



5.2

Fonctions Riemann-intégrables

Définition 5.5. Une fonction f : [a, b] → R est Riemann-intégrable sur [a, b] si pour tout réel ε > 0, il existe deux fonctions en escalier φ, ψ sur [a, b] telles que Z b φ ≤ f ≤ ψ et 0 ≤ (ψ (x) − φ (x)) dx ≤ ε. a

On note R ([a, b]) l’ensemble des fonctions à valeurs réelles Riemann-intégrables sur [a, b] . De l’encadrement φ ≤ f ≤ ψ avec φ, ψ en escalier, on déduit qu’une fonction Riemannintégrable sur [a, b] est nécessairement bornée. Il est clair que E ([a, b]) ⊂ R ([a, b]) (pour f ∈ E ([a, b]) , prendre φ = f = ψ). Pour toute fonction f ∈ R ([a, b]) , les ensembles : (Z ) b

φ (x) dx | φ ∈ E ([a, b]) et φ ≤ f

E− (f ) = a

(Z

)

b

ψ (x) dx | ψ ∈ E ([a, b]) et f ≤ ψ

E+ (f ) = a

sont non vides dans R.

Z

Z

b

Pour tout élément α =

b

φ (x) dx de E− (f ) et tout élément β = ψ (x) dx de a a Z b Z b E+ (f ) , on a φ ≤ f ≤ ψ, donc α = φ (x) dx ≤ β = ψ (x) dx, c’est-à-dire que a

a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 92 — #102

92

Intégrales et primitives

E− (f ) est majoré par tout élément de E+ (f ) et E+ (f ) est minoré par tout élément de E− (f ) . On peut donc poser : (Z ) b

φ (x) dx | φ ∈ E ([a, b]) et φ ≤ f

I− (f ) = sup E− (f ) = sup a

(Z

)

b

ψ (x) dx | ψ ∈ E ([a, b]) et f ≤ ψ

I+ (f ) = inf E+ (f ) = inf a

Par définition des bornes inférieure et supérieure, on a I− (f ) ≤ I+ (f ) . En effet pour β ∈ E+ (f ) , on a I− (f ) ≤ β puisque β majore E− (f ) et I− (f ) = sup E− (f ) est le plus petit des majorants, donc I− (f ) ≤ I+ (f ) puisque I+ (f ) = inf E+ (f ) est le plus grand des minorants. Pour tout réel ε > 0, on peut trouver deux fonctions φ et ψ dans E ([a, b]) telles que Z b Z b φ (x) dx ∈ E− (f ) et (ψ (x) − φ (x)) dx ≤ ε. Comme α = φ ≤ f ≤ ψ et 0 ≤ a a Z b β= ψ (x) dx ∈ E+ (f ) , on a : a

Z 0 ≤ I+ (f ) − I− (f ) ≤

Z

b

ψ (x) dx − a

Z

b

a

b

(ψ (x) − φ (x)) dx ≤ ε

φ (x) dx = a

et il en résulte que I+ (f ) − I− (f ) = 0, soit I+ (f ) = I− (f ) . On peut donc donner la définition suivante. Définition 5.6. L’intégrale de Riemann d’une fonction f ∈ R ([a, b]) est le réel : Z

Z

b

f (x) dx = a

φ (x) dx =

sup φ∈E([a,b]) φ≤f

Z

b

inf ψ∈E([a,b]) f ≤ψ

a

b

ψ (x) dx a

Exemple 5.5 On a vu que toute fonction f ∈ E ([a, b]) est Riemann intégrable et pour Z b Z b toute fonction φ ∈ E ([a, b]) telle que φ ≤ f, on a φ (x) dx ≤ f (x) dx avec f dans a a Z b E− (f ) , donc I− (f ) = sup E− (f ) = f (x) dx. On vérifie de manière analogue que a Z b I+ (f ) = f (x) dx. Tout cela est don cohérent. a

Théorème 5.3. Soit f : [a, b] → R. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. f ∈ R ([a, b]) ; 2. il existe deux suites (φn )n∈N et (ψn )n∈N de fonctions en escalier sur [a, b] telles Z b que φn ≤ f ≤ ψn pour tout n ∈ N et lim (ψn (x) − φn (x)) dx = 0. n→+∞

a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 93 — #103

Fonctions Riemann-intégrables Z

93 Z

b

Dans ce cas, on a

n→+∞

n→+∞

a

Preuve. Soit f ∈ R ([a, b]) . Prenant, pour n ∈ N, ε = dans E ([a, b]) telles que φn ≤ f ≤ ψn et on a : Z

b

(ψn (x) − φn (x)) dx ≤

0≤ a

b

ψn (x) dx.

φn (x) dx = lim

f (x) dx = lim a

Z

b

a

1 , on peut trouver φn , ψn n+1

1 n+1

→

n→+∞

0

La réciproque est évidente. Par définition de la borne inférieure et de la borne supérieure, pour tout entier n ∈ N, on peut trouver deux fonction en escalier φn , ψn telles que φn ≤ f ≤ ψn et on a : I− (f ) −

1 < n+1

Z

Z

b

φn (x) dx ≤ I− (f ) = I+ (f ) ≤ a

b

ψn (x) dx < I+ (f ) + a

Z

1 n+1

b

avec I+ (f ) = I− (f ) =

f (x) dx. Il en résulte que : a

Z

Z

b

0≤

b

f (x) dx − a

Z 0≤

φn (x) dx < a

Z

b

ψn (x) dx − a

b

f (x) dx < a

1 n+1

n→+∞

1 n+1

n→+∞

→

0

→

0

 Le résultat qui suit est plus commode que le précédent pour démontrer les principales propriétés de l’intégrale de Riemann. Théorème 5.4. Soit f : [a, b] → R. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. f ∈ R ([a, b]) ; 2. il existe deux suites (φn )n∈N et (θn )n∈N de fonctions en escalier sur [a, b] telles Z b que |f − φn | ≤ θn pour tout n ∈ N et lim θn (x) dx = 0. Dans ce cas, on n→+∞ a Z b Z b a f (x) dx = lim φn (x) dx. a

n→+∞

a

Preuve. Si f ∈ R ([a, b]) , il existe alors deux suites (φn )n∈N et (ψn )n∈N de fonctions en Z b escalier telles que φn ≤ f ≤ ψn pour tout n ∈ N et lim (ψn (x) − φn (x)) dx = 0. n→+∞

a

En notant, pour tout n ∈ N, θn = ψn − φn , on a |f − φn | ≤ θn avec θn ∈ E ([a, b]) Z b et lim θn (x) dx = 0. Réciproquement, si (φn )n∈N et (θn )n∈N sont des suites de n→+∞ a Z b fonctions en escalier telles que |f − φn | ≤ θn pour tout n ∈ N et lim θn (x) dx = 0, n→+∞

a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 94 — #104

94

Intégrales et primitives

en notant, pour tout n ∈ N, αn = φn − θn , βn = φn + θn , on a αn ≤ f ≤ βn avec αn et βn en escalier telles que αn ≤ f ≤ βn et : Z b Z b θn (x) dx = 0 (βn (x) − αn (x)) dx = 2 lim lim n→+∞

n→+∞

a

Z

Z

b

donc f ∈ R ([a, b]) et

Z

n→+∞

n→+∞

a

b

φn (x) dx.

αn (x) dx = lim

f (x) dx = lim a

a

b



a

Avec le théorème qui suit, on vérifie que l’intégrale de Riemann sur R ([a, b]) vérifie les mêmes propriétés que sur E ([a, b]) . Théorème 5.5. Soient f, g dans R ([a, b]) et λ un réel.

Z

b

1. Pour f nulle sur [a, b] privé d’un nombre fini de points, on a

f (x) dx = 0. a

2. λf + g est Riemann-intégrable et : Z

b

Z b Z b (λf (x) + g (x)) dx = λ f (x) dx + g (x) dx

a

a

a

(linéarité de l’intégrale). 3. Si h = f sur [a, b] privé d’un nombre fini de points, on a alors h ∈ R ([a, b]) Z b Z b et f (x) dx = h (x) dx (on ne change pas la valeur de l’intégrale si on a

a

modifie une fonction intégrable en un nombre fini de points). 4. Si f (x) ≥ 0 pour tout x dans [a, b] privé d’un nombre fini de points, on a alors Z b f (x) dx ≥ 0. a

5. Si f (x) ≤ g (x) pour tout x dans [a, b] privé d’un nombre fini de points, on a Z b Z b alors f (x) dx ≤ g (x) dx. a a Z Z b b 6. La fonction |f | est dans R ([a, b]) et on a f (x) dx ≤ |f (x)| dx. a a 7. Soit c ∈ ]a, b[ . La fonction f est Riemann-intégrable sur [a, c] et [c, b] et on a : Z

Z

b

f (x) dx = a

Z

c

f (x) dx + a

b

f (x) dx c

(relation de Chasles). Preuve. 1. Une telle fonction est en escalier et dans ce cas le résultat a été prouvé. 2. Soient (φn )n∈N , (Ψn )n∈N , (θn )n∈N et (χn )n∈N des suites de fonctions en escalier sur [a, b] telles que : ∀n ∈ N, |f − φn | ≤ θn , |g − Ψn | ≤ χn Z b Z b lim θn (x) dx = lim χn (x) dx = 0 n→+∞

a

n→+∞

a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 95 — #105

Fonctions Riemann-intégrables Z

95 Z

b n→+∞

a

Z

b

Z

b n→+∞

a

a

b

Ψn (x) dx

g (x) dx = lim

φn (x) dx,

f (x) dx = lim

a

Les suites (λφn + Ψn )n∈N et (|λ| θn + χn )n∈N sont des suites de fonctions en escalier telles que : ∀n ∈ N, |λf + g − (λφn + Ψn )| ≤ |λ| |f − φn | + |g − Ψn | ≤ |λ| θn + χn Z n→+∞

b

(|λ| θn (x) + χn (x)) dx = 0, donc λf + g ∈ R ([a, b]) et avec :

et lim

a

Z Z Z b b b (|λ| θn (x) + χn (x)) dx (λf (x) + g (x)) dx − (λφn (x) + Ψn (x)) dx ≤ a a a on déduit que : Z

Z

b n→+∞

Z

b

a

a

a

b

g (x) dx

f (x) dx +

(λφn (x) + Ψn (x)) dx = λ

(λf (x) + g (x)) dx = lim a

Z

b

3. Si h = f sur [a, b] privé d’un nombre fini de points, on a alors h − f = 0 sur [a, b] privé d’un nombre fini de points, elle est donc en escalier d’intégrale nulle et h = (h − f )+f Z b Z b Z b Z b est intégrable avec h (x) dx = (h (x) − f (x)) dx + f (x) dx = f (x) dx. a

a

a

a

4. En modifiant au besoin f en un nombre fini de points, on se ramène à f (x) ≥ 0 pour Z b tout x ∈ [a, b] . Dans ce cas, on a 0 ∈ E− (f ) et f (x) dx = I− (f ) ≥ 0. a

5. Résulte de g − f ≥ 0 sur [a, b] privé d’un nombre fini de points. 6. Soient (φn )n∈N et (θn )n∈N des suites de fonctions en escalier sur [a, b] telles que |f − φn | ≤ θn pour tout n ∈ N et : Z lim

n→+∞

Z

b

θn (x) dx = 0, a

Z

b

f (x) dx = lim

n→+∞

a

b

φn (x) dx a

Les fonctions |φn | sont en escalier telles que ||f | − |φn || ≤ |f − φn | ≤ θn , donc |f | est intégrable sur [a, b] et avec : Z Z Z b b b |f (x)| dx − |φn (x)| dx = (|f (x)| − |φn (x)|) dx a a a Z b Z b ≤ ||f (x)| − |φn (x)|| dx ≤ θn (x) dx a

a

on déduit que : Z Z Z b Z b b b |φn (x)| dx = |f (x)| dx f (x) dx = lim φn (x) dx ≤ lim a n→+∞ a n→+∞ a a 7. Vérifions que les fonctions f1 , f2 définies sur [a, b] par :   f (x) si x ∈ [a, c] 0 si x ∈ [a, c] f1 (x) = f2 (x) = 0 si x ∈ ]c, b] f (x) si x ∈ ]c, b]

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 96 — #106

96

Intégrales et primitives Z

Z

b

sont dans R ([a, b]) et que

Z

c

b

f (x) dx. En

f2 (x) dx = c

a

a

a

Z

b

f (x) dx,

f1 (x) dx =

effet, si (φn )n∈N et (θn )n∈N sont des suites de fonctions en escalier sur [a, b] telles que |f − φn | ≤ θn pour tout n ∈ N et : Z

θn (x) dx = 0,

n→+∞

  (1) les suites φn

Z

b

lim

n→+∞

a

définies par :



φn (x) si x ∈ [a, c] θn(1) (x) = 0 si x ∈ ]c, b] (1) (1) sont dans E ([a, b]) telles que f 1 − φn ≤ θn et : 0≤

Z

b

θn(1)

φn (x) dx a

n∈N

φ(1) n (x) =

Z

b

f (x) dx = lim

a

  (1) et θn

n∈N

Z

b

θn (x) dx ≤

(x) dx =

a

Z

c

a



θn (x) si x ∈ [a, c] 0 si x ∈ ]c, b]

b

θn (x) dx a

→

n→+∞

0

donc f1 ∈ R ([a, b]) . Puis avec : Z Z c b f (x) dx f1 (x) dx − a a Z Z Z c Z b b b φ(1) f (x) dx φ(1) ≤ f1 (x) dx − n (x) dx − n (x) dx + a a a a Z b Z Z c c ≤ |φn (x) dx − f (x)| dx ≤ 2 θn (x) dx f1 (x) dx − φ(1) n (x) dx + a

a

Z

Z

b

a

→

n→+∞

0

c

on déduit que

f1 (x) dx = f (x) dx. On vérifie de manière analogue que f2 est a a Z b Z b dans R ([a, b]) et que f2 (x) dx = f (x) dx. Enfin avec f1 + f2 = f, on déduit que a c Z b Z b Z b Z c Z b f (x) dx = f1 (x) dx + f2 (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a

a

a

a

c

De la propriété 5. du théorème précédent, on déduit que pour f ∈ R ([a, b]) , on a : Z (b − a) inf f (x) ≤ x∈[a,b]

b

f (x) dx ≤ (b − a) sup f (x) a



(5.1)

x∈[a,b]

Pour ce qui est de la propriété de Chasles, on a une réciproque qui nous sera utile. Théorème 5.6. Chasles Soient c ∈ ]a, b[ et f : [a, b] → R.La fonction f est Riemann-intégrable sur [a, b] si, et seulement si, elle est Riemann-intégrable sur [a, c] et [c, b] . Preuve. On a déjà vu que la condition est nécessaire. Réciproquement si f est Riemannintégrable sur [a, c] et [c, b] , il existe alors des suites (φn )n∈N et (θn )n∈N de fonctions en

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 97 — #107

Fonctions Riemann-intégrables

97

escalier sur [a, c] et des suites (Ψn )n∈N , et (χn )n∈N de fonctions en escalier sur [c, b] telles que : ∀n ∈ N, f|[a,c] − φn ≤ θn , f|[c,b] − Ψn ≤ χn Z b Z c χn (x) dx = 0 θn (x) dx = lim lim n→+∞

Z

a

c

n→+∞

Z

n→+∞

a

c

Z

b

φn (x) dx,

f (x) dx = lim a

Z

c

n→+∞

c

b

Ψn (x) dx

g (x) dx = lim

c

Les suites de fonctions (αn )n∈N et (γn )n∈N définies par :   φn (x) si x ∈ [a, c] θn (x) si x ∈ [a, c] αn (x) = γn (x) = Ψn si x ∈ ]c, b] χn si x ∈ ]c, b] sont en escalier sur [a, b] telles que |f − αn | ≤ γn pour tout n ∈ N et : Z b Z c Z b χn (x) dx = 0 θn (x) dx + lim γn (x) dx = lim lim n→+∞

n→+∞

a

n→+∞

a

donc f ∈ R ([a, b])

Z

Si f est intégrable sur [a, b] , on convient de poser

a

c

Z b f (x) dx = − f (x) dx.

b



a

Avec cette convention, la relation de Chasles est valable quel que soit l’ordre des réels a, b, c, dans la mesure où les intégrales considérées ont un sens. Corollaire 5.1. Soit σ = (ci )0≤i≤n ∈ Σa,b . La fonction f est Riemann-intégrable sur [a, b] si, et seulement si, elle est Riemann-intégrable sur chaque intervalle Z b n−1 X Z ci+1 [ci , ci+1 ] , pour 0 ≤ i ≤ n − 1. Dans ce cas, on a f (x) dx = f (x) dx. a

i=0 ci

Preuve. On procède par récurrence sur n ≥ 1. Pour toute fonction f intégrable sur [a, b] , on a : Z Z b b |f (x)| dx ≤ (b − a) sup |f (x)| f (x) dx ≤ a x∈[a,b] a



Théorème 5.7. Si f, g sont deux fonctions Riemann-intégrables sur [a, b] , la fonction f · g est alors intégrable. Preuve. Considérons tout d’abord le cas de deux fonctions intégrables à valeurs positives. Pour f ∈ R ([a, b]) à valeurs positives et ε > 0, on peut trouver des fonctions en Z b escalier sur [a, b] telles que φ′ ≤ f ≤ ψ ′ et 0 ≤ (ψ ′ (x) − φ′ (x)) dx ≤ ε. En remplaçant a

φ′ par φ = max (0, φ′ ) et ψ ′ par ψ = min (Mf , ψ ′ ) où Mf = sup f (x) , on définit des fonctions en escalier telles que 0 ≤ φ ≤ f ≤ ψ ≤ Mf et on a : Z 0≤

Z

b

(ψ (x) − φ (x)) dx ≤ a

a

b

x∈[a,b]

(ψ ′ (x) − φ′ (x)) dx ≤ ε

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 98 — #108

98

Intégrales et primitives

De même, pour g ∈ R ([a, b]) à valeurs positives, on peut trouver des fonctions en escalier Z b sur [a, b] telles que 0 ≤ α ≤ g ≤ β ≤ Mg et 0 ≤ (β (x) − α (x)) dx ≤ ε, où on a noté a

Mg = sup f (x) . On a alors φα ≤ f g ≤ ψβ, où φα et ψβ sont en escalier avec : x∈[a,b]

Z

b

(ψ (x) β (x) − φ (x) α (x)) dx a

Z

Z

b

b

ψ (x) (β (x) − α (x)) dx +

= a

Z

≤ Mf

α (x) (ψ (x) − φ (x)) dx a

Z

b

(β (x) − α (x)) dx + Mg a

b

(ψ (x) − φ (x)) dx ≤ (Mf + Mg ) ε a

La fonction f g est donc intégrable sur [a, b] . Pour f, g non nécessairement positives, en notant respectivement mf et mg les bornes inférieures de f et g sur [a, b] , les fonctions f − mf et g − mg sont intégrables positives, donc h = (f − mf ) (g − mg ) est intégrable et aussi f g = h + mf g + mg f − mf mg . 

5.3

Exemples de fonctions intégrables

On a déjà vu que les fonctions en escalier sont Riemann-intégrables.

5.3.1

Fonctions localement intégrables

Si I est un intervalle réel d’extrémités −∞ ≤ u < v ≤ +∞, son intérieur est l’intervalle ◦

ouvert I = ]u, v[ . Définition 5.7. On dit que la fonction f, définie sur un intervalle réel I non réduit à un point, est localement intégrable sur I, si elle est intégrable sur tout ◦

segment [α, β] contenu dans I. Théorème 5.8. Si f : [a, b] → R est une fonction bornée localement intégrable sur ]a, b[ , elle est alors intégrable sur [a, b] . Preuve. Si f est constante, c’est alors clair. On suppose donc f non constante. Comme f est bornée, on peut définir les réels m = inf f (x) et M = sup f (x) . Soient ε > 0 x∈[a,b]

x∈[a,b]

ε ε et b − β < (f n’est pas 2 (M − m) 2 (M − m) constante, donc m < M ). Comme f est intégrable sur [α, β] , il existe deux fonctions en Z β escalier sur [α, β] telles que φ1 ≤ f ≤ ψ1 sur [α, β] et 0 ≤ (ψ1 (x) − φ1 (x)) dx ≤ ε. et α < β dans ]a, b[ tels que α − a
0 il existe un réel η > 0 tel que :   2 (x, y) ∈ [a, b] et |y − x| < η ⇒ |f (y) − f (x)| < ε (5.2) b−a < η, on a pour tout n ≥ n0 et tous n0 b−a − ak = < η, donc |f (y) − f (x)| < ε et en n

En désignant par n0 ≥ 1 un entier tel que x, y dans [ak , ak+1 ] , |y − x| ≤ ak+1 conséquence : Z

b

(ψn (x) − φn (x)) dx = a

n−1 X

(ak+1 − ak ) (Mk − mk ) =

k=0

n−1 b−a X (f (yk ) − f (xk )) n k=0

b−a ≤ nε = ε (b − a) n Z n→+∞

b

(ψn (x) − φn (x)) dx = 0 et f est Riemann-intégrable.

On a donc lim

a



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 101 — #111

Exemples de fonctions intégrables

101

Le théorème précédent nous dit aussi que, pour f continue, on a : Z

Z

b

a

n→+∞

φn (x) dx = lim a

Z

où f (xk ) =

inf x∈[ai ,ai+1 ]

k=0

n−1 b−a X f (yk ) n→+∞ n

b

ψn (x) (x) dx = lim

= lim

n→+∞

n−1 b−a X f (xk ) n→+∞ n

b

f (x) dx = lim

a

f (x) et f (yk ) =

k=0

sup

f (x)

x∈[ai ,ai+1 ]

En prenant dans chaque [ak , ak+1 ] un point ξk , on a f (xk ) ≤ f (ξk ) ≤ f (yk ) et en Z b n−1 b − aX f (x) dx = lim f (ξk ) . conséquence n→+∞ n a k=0 Nous verrons au paragraphe 5.8 que ce résultat est en fait valable pour toute fonction Riemann-intégrable sur [a, b] . Du théorème 5.8, on déduit le résultat suivant. Théorème 5.12. Une fonction bornée sur [a, b] et continue sur ]a, b] est Riemann-intégrable. Preuve. Une telle fonction est bornée et localement intégrable sur ]a, b[ , donc intégrable sur [a, b] d’après le théorème 5.8.    1 Exemple 5.6 La fonction f définie sur [0, 1] par f (0) = 0 et f (x) = sin pour x x ∈ ]0, 1] est continue sur ]0, 1] et bornée sur [0, 1] , donc elle est Riemann-intégrable. La fonction de l’exemple précédent ne peut se prolonger en fonction continue sur [0, 1] puisqu’elle n’a pas de limite à droite en 0. Définition 5.9. On dit que la fonction f est continue par morceaux sur [a, b] s’il existe une subdivision σ = (ci )0≤i≤n ∈ Σa,b telle que, pour tout entier k compris entre 0 et p − 1, la restriction de la fonction f à l’intervalle ouvert ]ck , ck+1 [ se prolonge en une fonction continue sur le segment [ck , ck+1 ] . Théorème 5.13. Une fonction continue par morceaux sur [a, b] est Riemann-intégrable. Preuve. La fonction f étant continue sur chacun des intervalle ]ci , ci+1 [ , elle y est localement intégrable et comme elle est bornée sur [ci , ci+1 ] , elle est intégrable sur cet intervalle. Elle est donc intégrable sur [a, b] .  Z b On vu que l’on peut avoir f (x) dx = 0 pour une fonction f non identiquement a

nulle. Mais dans la cas des fonctions continues de signe constant, on a le résultat suivant.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 102 — #112

102

Intégrales et primitives Théorème 5.14. Z

b

Soit f continue sur [a, b] de signe constant. L’égalité

f (x) dx = 0 est réalisée a

si, et seulement si, la fonction f est identiquement nulle. Z Preuve. Il est clair que si f = 0, on a alors

b

f (x) dx = 0. Supposons que f soit a

continue sur [a, b] non identiquement nulle et à valeurs positives (quitte à remplacer f par −f, on peut se ramener à ce cas). Il existe alors un réel x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) > 0 et par continuité, on peut trouver un réel η > 0 tel que : ∀x ∈ [α, β] = [x0 − η, x0 + η] ∩ [a, b] , f (x) > µ =

f (x0 ) 2

En utilisant la relation de Chasles, on en déduit alors que : Z

Z

b

Z

β

f (x) dx ≥ a

α

Z On en déduit que si

β

f (x) dx ≥

µdx = µ (β − α) > 0 α

b

f (x) dx = 0, on a alors f = 0.



a

Corollaire 5.2. Soit f continue par morceaux sur [a, b] de signe constant. L’égalité Z b f (x) dx = 0 est réalisée si, et seulement si, la fonction f est nulle sur [a, b] a

privé d’un nombre fini de points. Le théorème des valeurs intermédiaires nous donne le résultat important suivant. Théorème 5.15. Première formule de la moyenne Si f est continue sur [a, b] , il existe alors c ∈ [a, b] tel que : Z

b

f (x) dx = f (c) (b − a) . a

Preuve. La fonction f étant continue sur le compact I est bornée et atteint ses bornes, il existe donc α, β dans [a, b] tels que m = inf f (x) = f (α) et M = sup f (x) = f (β) . De x∈I x∈I Z b 1 f (x) dx ∈ [f (α) , f (β)] et le théorème l’encadrement (5.1) , on déduit que µ = b−a a des valeurs intermédiaires nous dit qu’il existe un réel c compris entre α et β tel que δ = f (c) , ce qui donne la formule de la moyenne.  Z b 1 Le réel f (x) dx est la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a, b] . b−a a Le théorème précédent peut être généralisé comme suit.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 103 — #113

Intégrale de Riemann et primitives

103

Théorème 5.16. Première formule de la moyenne Soient f, g deux fonctions continues sur [a, b] , la fonction g étant de signe Z b Z b constant. Il existe un réel c ∈ [a, b] tel que f (x) g (x) dx = f (c) g (x) dx. a

a



Preuve. Voir le théorème 3.35.

5.4

Intégrale de Riemann et primitives

Sauf précision contraire f est une fonction de [a, b] dans R avec a < b. Définition 5.10. Soit I un intervalle réel non réduit à un point. Si f est une fonction de I dans R, on appelle primitive de f, toute fonction F : I → R qui est dérivable sur I de dérivée F ′ = f. Dans la définition précédente, pour I = [a, b] , il s’agit de dérivée à droite en a et à gauche en b. Théorème 5.17. Si I est un intervalle réel non réduit à un point et F, G sont deux primitives d’une même fonction f : I → R, elle diffèrent alors d’une constante, c’est-à-dire qu’il existe un réel λ tel que G = F + λ. Preuve. Cela se déduit du théorème des accroissements finis appliqué à H = G − F : pour x < y dans I, il existe c ∈ I tel que H (y) − H (x) = (y − x) H ′ (c) et dans le cas où F ′ = G′ = f, on a H ′ = 0 et en conséquence H (y) = H (x) pour tous x, y dans I, ce qui signifie que H est constante.  Le fait que I soit un intervalle est essentiel dans le théorème précédent. Exemple 5.7 Une fonction polynomiale f : x 7→

n X

ak xk , admet des primitives sur R

k=0

n X ak k+1 et ce sont les fonctions F : x 7→ x + λ. k+1 k=0

Une fonction continue par morceaux sur un intervalle I, qui est localement intégrable sur I, n’admet pas nécessairement de primitive. Le théorème de Darboux nous dit qu’une fonction admettant des primitives vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. Remarque 5.1 Une fonction admettant des primitives n’est pas nécessairementinté 1 grable. Par exemple, la fonction F définie sur R par F (0) = 0 et F (x) = x2 sin 2     x 1 2 1 pour tout x 6= 0 est dérivable sur R∗ avec F ′ (x) = 2x sin − cos et de 2 2 x x x   F (x) − F (0) = |x| sin 1 ≤ |x| pour x ∈ R∗ , on déduit que lim F (x) − F (0) = 0, x→0 x x2 x soit que F est dérivable en 0 avec F ′ (0) = 0. Donc f = F ′ admet des primitives sur

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 104 — #114

104

Intégrales et primitives 

 1 √ = −∞, elle n’est pas bornée sur [−1, 1] et en n→+∞ 2nπ conséquence, n’est pas Riemann-intégrable sur cet intervalle.

[−1, 1] , mais comme

lim f

Théorème 5.18. Soit f Zune fonction intégrable sur [a, b] et F la fonction définie sur [a, b] par x f (t) dt. Cette fonction F est continue sur [a, b] , dérivable en tout F (x) = a

point x0 où la fonction f est continue avec F ′ (x0 ) = f (x0 ) . Preuve. Le théorème 5.6 Z pour tous x, y Z F est bien définie et Z nous assureZque la fonction y

x

y

y

f (t) dt, donc f (t) dt = F (x) + f (t) dt + f (t) dt = dans [a, b] , on a F (y) = x a a Z xy Z y F (y) − F (x) = f (t) dt et |F (y) − F (x)| = f (t) dt ≤ |y − x| sup |f (x)| . La x

x

x∈[a,b]

fonction F est donc lipschitzienne sur [a, b] et en conséquence, elle est continue. Supposons que f soit continue en un point x0 de [a, b] . Pour tout réel ε > 0, il existe un réel η > 0 tel que : (t ∈ [a, b] et |t − x0 | < η) ⇒ (|f (t) − f (x0 )| < ε) donc pour x ∈ [a, b] tel que 0 < |x − x0 | < η et tout t compris entre x0 et x, on a |t − x0 | ≤ |x − x0 | < η (le segment d’extrémités t et x0 est contenu dans le segment d’extrémités x0 et x qui a une longueur strictement inférieure à η) et on a : Z x F (x) − F (x0 ) 1 = (f (t) − f (x )) dt − f (x ) 0 0 x − x0 |x − x0 | x0 Z x 1 1 ε |x − x0 | = ε ≤ |f (t) − f (x0 )| dt ≤ |x − x0 | x0 |x − x0 | On a donc ainsi prouvé que x→x lim

0 x̸=x0

F (x) − F (x0 ) = f (x0 ) , ce qui signifie que F est x − x0

dérivable en x0 de nombre dérivé F ′ (x0 ) = f (x0 ) .



Corollaire 5.3. Une fonction f continue Z sur [a, b] admet des primitives et toutes x les primitives de f sont de la forme x 7→ f (t) dt + λ, où λ est une constante a Z x réelle. La fonction F : x 7→ f (t) dt est l’unique primitive de f nulle en a. a

Preuve. Dans le cas où f est continue, le théorème précédent nous dit que la fonction F est dérivable sur tout [a, b] avec F ′ = f.  Ce corollaire peut être utilisé pour montrer qu’une fonction continue de signe constant et d’intégrale nulle sur [a, b] est nécessairement nulle (théorème 5.14). En effet, avec les notations du théorème, on a F ′ (x) = f (x) ≥ 0, donc la fonction F est croissante et avec F (a) = 0 ≤ F (x) ≤ F (b) = 0, on déduit que F = 0 et f = F ′ = 0.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 105 — #115

Les fonctions logarithme népérien et exponentielle

105

Corollaire 5.4. Soient f une fonction continue sur [a, b] et u, v deux fonctions Z v(x) dérivables de [α, β] dans [a, b] . La fonction φ : x ∈ [α, β] 7→ f (t) dt est u(x)

dérivable avec φ′ (x) = v ′ (x) f (v (x)) − u′ (x) f (u (x)) pour tout x ∈ [α, β] . Z

x

Preuve. En désignant par F : x 7→

f (t) dt la primitive de f nulle en a et en utilisant a

la relation de Chasles, on a pour tout x ∈ [α, β] : Z

Z

v(x)

f (t) dt −

φ (x) = a

u(x)

f (t) dt = F (v (x)) − F (u (x)) a

elle est donc dérivable de dérivée : φ′ (x) = v ′ (x) F ′ (v (x)) − u′ (x) F ′ (u (x)) = v ′ (x) f (v (x)) − u′ (x) f (u (x))  Corollaire 5.5. Si f est une fonction continûment dérivable sur [a, b] , on a alors Z b f ′ (x) dx = f (b) − f (a) . a

Preuve.

′

Z

Comme f est continue, la fonction φ : x 7→

x

f ′ (t) dt est dérivable de

a

dérivée φ′ = f ′ , on a donc φ = f + λ avec λ = φ (a) − f (a) = −f (a) , ce qui nous donne Z x f ′ (t) dt = f (x) − f (a) pour tout x ∈ [a, b] .  a

Le corollaire précédent est en fait valable en supposant seulement f ′ Riemann-intégrable, ce que nous démontrerons en utilisant les sommes de Riemann et le théorème des accroissements finis (théorème 5.27).

5.5

Les fonctions logarithme népérien et exponentielle

Le corollaire 5.3 nous permet de donner la définition suivante. Définition 5.11. La fonction logarithme népérien est la primitive Z xnulle en 1 sur dt 1 +,∗ pour tout R de la fonction x 7→ . On la note ln et on a ln (x) = x 1 t x ∈ R+,∗ . De cette définition on déduit immédiatement que : — ln (x) < 0 pour tout x ∈ ]0, 1[ , ln (1) = 0 et ln (x) > 0 pour tout x ∈ ]1, +∞[ ; 1 — la fonction ln est dérivable sur R+,∗ avec ln′ (x) = > 0, elle est donc strictement x croissante. En étudiant les variations de la fonction x 7→ ln (x) − x, on déduit que ln (x) ≤ x pour tout x ∈ R+,∗ . 1 Les primitives sur l’intervalle R−,∗ de la fonction x 7→ sont les fonctions définies x par F (x) = ln (−x) + λ, où λ est une constante réelle. On en déduit que la fonction

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 106 — #116

106

Intégrales et primitives

1 x 7→ ln (|x|) est une primitive sur R∗ de la fonction x 7→ . Toutes les autres primitives x sont les fonctions définies par :  ln (x) + λ1 si x > 0 ∀x ∈ R∗ , G (x) = ln (−x) + λ2 si x < 0 où λ1 , λ2 sont deux constantes réelles. Plus généralement si u est une fonction définie sur un intervalle réel non réduit à un point I, ne s’annulant jamais et dérivable, la fonction f = ln (|u|) est alors dérivable u′ sur I de dérivé . En effet, comme u est dérivable, elle est continue et ne s’annulant u jamais sur I, elle garde un signe constant (théorème des valeurs intermédiaires). On a donc f = ln (u) ou f = ln (−u) . Par composition, on en déduit que f est dérivable avec u′ u′ f ′ = . Ce quotient est la dérivée logarithmique de u. u u Le résultat qui suit nous dit que les fonctions dérivables sur R+,∗ solutions de l’équation fonctionnelle : ∀ (x, y) ∈ R+,∗ × R+,∗ , f (xy) = f (x) + f (y) (5.3) sont les fonctions λ · ln, où λ est une constante réelle Théorème 5.19. Pour tous réels x, y dans R+,∗ , on a ln (xy) = ln (x) + ln (y) et réciproquement toute fonction dérivable sur R+,∗ vérifiant l’équation fonctionnelle (5.3) est proportionnelle au logarithme népérien. Preuve. Pour y fixé dans R+,∗ , la fonction fy : x 7→ ln (xy) est dérivable de dérivée 1 fy′ (x) = , il existe donc une constant λy telle que fy (x) = ln (x) + λy . Prenant x = 1, x on obtient λy = ln (y) . Réciproquement, soit f une fonction dérivable sur R+,∗ vérifiant (5.3) . Prenant x = y = 1 dans (5.3) , on obtient f (1) = 0. En fixant y > 0 et en dérivant par rapport à x, on a yf ′ (xy) = f ′ (x) pour tout x ∈ R+,∗ et prenant x = 1, on en λ déduit que yf ′ (y) = f ′ (1) = λ, soit f ′ (y) = = λ ln′ (y) pour tout y ∈ R+,∗ , donc y f (y) = λ ln (y) + f (1) = λ ln (y) pour tout y ∈ R+,∗ .  Par récurrence, on en déduit que ln (xn ) = n ln (x) pour tous n  ∈ Net x ∈ R+,∗ . x 1 1 Avec 0 = ln (1) = ln = ln (x) + ln , on déduit que ln = − ln (x) pour x x x     x 1 tout x ∈ R+,∗ et pour x, y dans R+,∗ , ln = ln (x) + ln = ln (x) − ln (y) . Il en y y résulte que ln (xn ) = n ln (x) pour tous n ∈ Z et x ∈ R+,∗ .     n

Pour tout x ∈ R+,∗ et tout n ∈ N∗ , on a ln (x) = ln x n = n ln x n , donc  1  ln (x) p . Il en résulte que pour tous x ∈ R+,∗ et r = ∈ Q avec (p, q) ∈ Z × N∗ , ln x n = n    q  1 p p 1 on a ln (xr ) = ln x q = p ln x q = ln (x) , soit ln (xr ) = r ln (x) pour tous r ∈ Q q et x ∈ R+,∗ . 1

1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 107 — #117

Calculs d’intégrales et de primitives

107

Théorème 5.20. On a lim+ ln (x) = −∞, x→0

morphisme de R

+,∗

lim ln (x) = +∞ et la fonction ln est un homéo-

x→+∞

sur R.

  1 Preuve. Avec ln = − ln (x) , il nous suffit de montrer que lim ln (x) = +∞. x→+∞ x +,∗ La fonction ln étant strictement croissante sur R , on a ln (2) > ln (1) = 0, donc lim ln (2n ) = lim n ln (2) = +∞ et la fonction ln est non majorée, ce qui implique

n→+∞

n→+∞

que lim ln (x) = +∞. La fonction ln est donc continue strictement croissante de R+,∗ x→+∞

sur R. Elle réalise donc un homéomorphisme de R+,∗ sur R. Les limites suivantes sont souvent utiles.



Théorème 5.21. On a lim+ x→0

ln (1 + x) ln (x) = 1, lim+ x ln (x) = 0, lim = 0. x→+∞ x x x→0

Preuve. Par définition du nombre dérivé, on a : lim

x→0+

ln (1 + x) − ln (1) ln (1 + x) = lim = ln′ (1) = 1 x x x→0+

√ √ ln (x) ln (x) 2 = ln ( x) ≤ x, donc 0 < ≤ √ et en consé2 x x
ln x−1 ln (x) quence, lim = 0. Enfin de x ln (x) = − , on déduit que lim+ x ln (x) = 0. x→+∞ x x−1 x→0  La fonction réciproque de la fonction ln est la fonction exponentielle notée exp (x) ou ex , elle est donc définie par :
(x ∈ R et y = ex ) ⇔ y ∈ R+,∗ et x = ln (y) Pour tout x > 1, on a

Cette fonction est continue strictement croissante de R sur R+,∗ et on a : ex lim ex = +∞, lim ex = 0, lim = +∞ x→+∞ x→−∞ x→+∞ x Elle est aussi dérivable de dérivée exp′ (x) = exp (x) . En effet, pour x ∈ R, l’égalité 1 y = exp (x) équivaut à y ∈ R+,∗ et x = ln (y) et on a exp′ (x) = ′ = y = exp (x) . ln (y) x e −1 = 1. Pour x, y dans R, on a Par définition du nombre dérivé, on a lim+ x x→0  x+y  e ex+y x+y x y ln = ln (e ) − ln (e ) − ln (e ) = x + y − x − y = 0 = ln (1) , soit = 1 et ex ey ex ey 1 ex+y = ex ey . De e0 = ex−x = 1, on déduit que e−x = x pour tout réel x. e

5.6

Calculs d’intégrales et de primitives Z

On notera

f (x) dx une primitive de f définie à une constante additive près (quand

une telle primitive existe).

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 108 — #118

108

Intégrales et primitives

Les fonctions puissances sont définies par xα = eα ln(x) , pour α ∈ R et x ∈ R+,∗ . Connaissant les dérivées de fonctions usuelles, on en déduit les primitives suivantes. Z — Pour toute fonction constante égale à λ sur I = R, λdx = λx + µ ; Z dx — pour tout x ∈ R∗ , = ln (|x|) + µ ; x Z dx — pour tout a ∈ R et tout x ∈ R \ {−a} , = ln (|x + a|) + µ ; x+a Z — pour tout x ∈ R∗ , ln (|x|) dx = x ln (|x|) − x + µ ; Z — pour tout x ∈ R, ex dx = ex + µ ; Z eax + µ; — pour tous a ∈ R∗ et x ∈ R, eax dx = a Z xα+1 + µ; — pour tous α ∈ R \ {−1} et x ∈ R+,∗ , xα dx = α+1 Z α+1 (x + a) α — pour tous α ∈ R \ {−1} , a ∈ R et x > a, (x + a) dx = + µ; α+1 Z — pour tout x ∈ R, cos (x) dx = sin (x) + µ ; Z — pour tout x ∈ R, sin (x) dx = − cos (x) + µ ; Z dx = arctan (x) + µ ; — pour tout x ∈ R, 1 + x2 Z dx — pour tout x ∈ ]−1, 1[ , √ = arcsin (x) + µ. 1 − x2 Du théorème 5.5 on déduit le théorème d’intégration par parties suivant. Théorème 5.22. Si f, g sont deux fonctions continûment dérivables sur [a, b] , on a alors : Z

b

f (x) g ′ (x) dx = f (b) g (b) − f (a) g (a) −

a

Z

b

f ′ (x) g (x) dx

a

Preuve. La fonction h = f g étant continûment dérivable sur [a, b] , on a : Z f (b) g (b) − f (a) g (a) = a

b

h′ (x) dx =

Z

b

a

f ′ (x) g (x) dx +

Z

b

f (x) g ′ (x) dx

a

 Théorème 5.23. Intégration par parties Si u et v sont deux fonctions continûment dérivables sur [a, b] , on a alors : Z Z u (x) v ′ (x) dx = u (x) v (x) − u′ (x) v (x) dx

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 109 — #119

Calculs de primitives particulières

109

Preuve. Pour u, v continûment dérivables sur [a, b] , on a pour tout x ∈ [a, b] : Z x Z x ′ u′ (t) v (t) dt u (t) v (t) dt = u (x) v (x) − u (a) v (a) − a

a

ce qui peut s’écrire en terme de primitives : Z Z u (x) v ′ (x) dx = u (x) v (x) − u′ (x) v (x) dx  La formule de dérivation des fonctions composées nous donne le théorème de changement de variable qui suit. Théorème 5.24. Changement de variable Si φ : [α, β] → [a, b] est une fonction de classe C 1 telle que φ (α) = a, φ (β) = b Z b Z β et f une fonction continue sur [a, b] , on a alors f (x) dx = f (φ (t)) φ′ (t) dt. a

Z

α

x

Preuve. En désignant par F : x 7→

f (t) dt la primitive de la fonction continue f nulle a 1

′

en a, la fonction F ◦ φ est de classe C sur [α, β] avec (F ◦ φ) = (F ′ ◦ φ) φ′ = (f ◦ φ) φ′ et on a : Z β Z β ′ f (φ (t)) φ′ (t) dt = (F ◦ φ) (t) dt = F (φ (β)) − F (φ (α)) α

α

Z

= F (b) − F (a) = F (b) =

b

f (x) dx a

 Pour le calcul de primitives, on demande à la fonction φ de réaliser un C 1 -difféomorphisme de [α, β] sur [a, b] , de manière à pouvoir exprimer t en fonction de x.

5.7 5.7.1

Calculs de primitives particulières Fonctions à valeurs complexes

Une fonction f : I → C s’écrit f = g + ih, où g, h sont des fonctions définies sur I et à valeurs réelles (g est la partie réelle de f et h sa partie imaginaire). On dit que f est dérivable si g, h le sont et la dérivée de f est la fonction à valeurs complexes f ′ = g ′ + ih′ . On dit que f est intégrable sur [a, b] ⊂ I [resp. admet des primitives sur I], si g, h sont intégrables sur [a, b] [resp. admettent des primitives sur I] et l’intégrale de Z b Z b Z b f est f (x) dx = g (x) dx + i h (x) dx [resp. les primitives de f sont les fonctions a a a Z Z Z f (x) dx = g (x) dx + i h (x) dx]. Exemples 5.1 1. Pour tout α ∈ C∗ , on a

Z eαx dx =

1 αx e sur R. α

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 110 — #120

110

Intégrales et primitives Z

Z

xα+1 sur R+,∗ . α+1 3. Pour tout nombre complexe non réel, α = a + ib (avec b = 6 0), on a q    Z dx x−a 2 2 = ln (x − a) + b + i arctan x−α b 2. Pour tout α ∈ C \ {−1} , on a

xα dx =

eα ln(x) dx =

sur R. En effet, on a : Z Z Z Z dx dx dx (x − a) dx + ib = = 2 2 x−α (x − a) − ib (x − a) + b2 (x − a) + b2 Z  i 1  dx 2 = ln (x − a) + b2 + 2  2 b x−a 1+ b Z    dt 1 1  2 2 2 = + i arctan (t) = ln (x − a) + b2 + i ln (x − a) + b 2 1 + t2 2 q    x−a 2 = ln (x − a) + b2 + i arctan b

5.7.2

Primitives de fonctions rationnelles

On rappelle le théorème de décomposition en éléments simples dans R (X) (voir le cours d’algèbre). Théorème 5.25. P une fraction rationnelle réelle (les polynômes P et Q étant Q r s Y Y
n m premiers entre eux) avec Q (X) = (X − αk ) k X 2 + βk X + γk k , Soient f =

k=1

k=1

où r, s son deux entiers naturels, α1 , · · · , αr des réels deux à deux distincts, (β1 , γ1 ) , · · · , (βs , γs ) des couples de réels deux à deux distincts tels que βk2 −4γk < 0 pour tout k et m1 , · · · , mr , n1 , · · · , ns des entiers naturels non nuls. Il existe des réels (λj,k ) 1≤j≤r , (µj,k ) 1≤j≤s , (νj,k ) 1≤j≤s et une fonction polynomiale réelle 1≤k≤mj

1≤k≤nj

1≤k≤nj

R, uniquement déterminés, tels que : f (X) =

mj r X X j=1 k=1

λj,k (X − αj )

k

+

nj s X X

µj,k X + νj,k k

j=1 k=1

(X 2 + βj X + γj )

+ R (X)

En utilisant ce théorème, on voit que le calcul Z des primitives d’une fonction rationdx nelle réelle se ramène au calcul des primitives m , ce que l’on sait faire et des (x − α) Z (ax + b) dx 2 primitives m pour β − 4γ < 0. (x2 + βx + γ) En écrivant que : Z Z Z xdx 1 (2x + β) dx β dx − m = 2 (x2 + βx + γ)m 2 (x2 + βx + γ)m (x2 + βx + γ) Z Z 1 u′ (x) dx β dx = − 2 (u (x))m 2 (x2 + βx + γ)m

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 111 — #121

Calculs de primitives particulières

111 Z

dx m. + βx + γ) !  2 2  β x β 2 2 2 Enfin en écrivant que x + βx + γ = x + +δ = δ + + 1 avec 2 δ 2δ 4γ − β 2 x β δ2 = > 0 et en faisant le changement de variable t = + , on se ramène au 4 δ 2δ Z dx , ce qui peut se faire par récurrence sur m ≥ 1. calcul des primitives m (x2 + 1)

on se ramène au calcul des primitives

5.7.3

(x2

Primitives de fonctions rationnelles en cos (x) et sin (x) Z

P (X, Y ) est une fraction Q (X, Y ) rationnelle à coefficients complexes et à deux indéterminées, c’est-à-dire que P et Q sont des polynômes à deux indéterminées à coefficients complexes. On suppose de plus que Q (cos (x) , sin (x)) 6= 0 pour tout x ∈ I. Du fait de la 2π-périodicité des fonctions cos et sin, on peut se contenter de travailler sur un intervalle I contenu dans ]−π, π] .  i π πh x (pour x ∈ ]−π, π[ , on a u ∈ − , , donc Le changement de variable u = tan 2 2 2 ce changement de variable est licite), nous donne :  x  1 1 + u2 dx du = 1 + tan2 dx = 2 2 2 x   1 − tan2 2 2 x 2 = 1 − u x cos (x) = 2 cos −1= 2 1 + u2 1 + tan2 2 x x x 2 tan 2  = 2u  sin (x) = 2 sin cos = 2 x 2 2 1 + u2 1 + tan 2 et :  Z Z  1 − u2 2u 2du R (cos (x) , sin (x)) dx = R , 1 + u2 1 + u2 1 + u2 ce qui nous ramène au calcul des primitives  x  d’une fonction rationnelle. Le changement de variable u = tan conduit parfois à des calculs pénibles. Les 2 règles de Bioche qui suivent peuvent parfois simplifier ces calculs. On se donne une fonction f définie sur un intervalle I contenu dans ]−π, π] par P (X, Y ) est une fraction rationnelle à deux f (x) = R (cos (x) , sin (x)) , où R (X, Y ) = Q (X, Y ) indéterminées à coefficients réels ou complexes. On suppose de plus que si Q (X, Y ) 6= 0, on a alors Q (±X, ±Y ) 6= 0. Il s’agit de calculer

R (cos (x) , sin (x)) dx, où R (X, Y ) =

Lemme 5.2 Il existe deux fractions rationnelles à une indéterminée R1 , R2 telles que f (x) = φ1 (cos (x)) + sin (x) φ2 (cos (x)) . X Preuve. Si P (X, Y ) = aij X i Y j est un polynôme à deux indéterminés, en sépa0≤i≤n 0≤j≤m

rant les puissances paires de Y des puissances impaires, on peut écrire :

P (X, Y ) = P1 X, Y 2 + Y P2 X, Y 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 112 — #122

112

Intégrales et primitives

où P1 , P2 sont deux polynômes à deux indéterminées. Il
existe donc des polynômes
P1 X, Y 2 + Y P2 X, Y 2 P1 , P2 , Q1 , Q2 tels que R (X, Y ) = . Q1 (X, Y 2 ) + Y Q2 (X, Y 2 )

2 Comme Q (X, −Y ) = 6 0 si Q (X, Y ) = 6 0, on a Q1 X, Y − Y Q2 X, Y 2 6= 0 pour (X, Y ) = (cos (x) , sin (x)) et on peut écrire que :





P1 X, Y 2 + Y P2 X, Y 2 Q1 X, Y 2 − Y Q2 X, Y 2 R (X, Y ) = (Q1 (X, Y 2 ) + Y Q2 (X, Y 2 )) (Q1 (X, Y 2 ) − Y Q2 (X, Y 2 ))

= R1 X, Y 2 + Y R2 X, Y 2



P1 X, Y 2 Q1 X, Y 2 − Y 2 P2 X, Y 2 Q2 X, Y 2 R1 X, Y = Q21 (X, Y 2 ) − Y 2 Q22 (X, Y 2 )




P2 X, Y 2 Q1 X, Y 2 − P1 X, Y 2 Q2 X, Y 2 2 R2 X, Y = Q21 (X, Y 2 ) − Y 2 Q22 (X, Y 2 )

ce qui nous donne f (x) = R1 cos (x) , sin2 (x) + sin (x) R2 cos (x) , sin2 (x) et tenant compte de sin2 (x) = 1 − cos2 (x) , on a le résultat annoncé.  On déduit de ce résultat la première règle de Bioche. On suppose que f (x) dx est invariant par le changement de variable x 7→ −x, soit que f (−x) (−dx) = f (x) dx et revient à dire que la fonction f est impaire. On a alors, pour tout x ∈ I :

avec :

2




f (−x) = φ1 (cos (−x)) + sin (−x) φ2 (cos (−x)) = φ1 (cos (x)) − sin (x) φ2 (cos (x)) = −f (x) = −φ1 (cos (x)) − sin (x) φ2 (cos (x)) donc φ1 (cos (x)) = 0 et f (x) = sin (x) φ2 (cos (x)) , ce qui nous donne : Z Z R (cos (x) , sin (x)) dx = φ2 (cos (x)) sin (x) dx et le changement de variable u = cos (x) nous donne : Z Z R (cos (x) , sin (x)) dx = − φ2 (u) du ce qui nous ramène au calcul des primitives d’une fraction rationnelle. De manière analogue, on a le résultat suivant. Lemme 5.3 Il existe deux fractions rationnelles à une indéterminée R1 , R2 telles que f (x) = φ1 (sin (x)) + cos (x) φ2 (sin (x)) . On déduit de ce résultat la deuxième règle de Bioche. On suppose que f (x) dx est invariant par le changement de variable x 7→ π − x, ce qui signifie que f (π − x) (−dx) = f (x) dx et revient à dire que pour tout x ∈ I, on a : f (π − x) = φ1 (sin (π − x)) + cos (π − x) φ2 (sin (π − x)) = φ1 (sin (x)) − cos (x) φ2 (sin (x)) = −f (x) = −φ1 (sin (x)) − cos (x) φ2 (sin (x)) donc φ1 (sin (x)) = 0 et f (x) = cos (x) φ2 (sin (x)) , ce qui nous donne : Z Z R (cos (x) , sin (x)) dx = φ2 (sin (x)) cos (x) dx

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 113 — #123

Calculs de primitives particulières

113

et le changement de variable u = sin (x) nous donne : Z Z R (cos (x) , sin (x)) dx = φ2 (u) du ce qui nous ramène au calcul des primitives d’une fraction rationnelle. Lemme 5.4 Il existe deux fractions rationnelles à une indéterminée R1 , R2 telles que f (x) = φ1 (tan (x)) + cos (x) φ2 (tan (x)) . X Preuve. Si P (X, Y ) = aij X i Y j est un polynôme à deux indéterminés, pour 0≤i≤n 0≤j≤m

X = 6 0, on peut écrire P (X, Y ) =

X

 aij X i+j

0≤i≤n 0≤j≤m

Y X

j et séparant les couples (i, j)

pour lesquels i + j est pair de ceux pour lesquels i + j est impair, on a :  2k−i  2k+1−i X X Y Y P (X, Y ) = ai,2k−i X 2k +X ai,2k+1−i X 2k X X     Y Y = P1 X 2 , + XP2 X 2 , X X où P1 , P2 sont deux polynômes à deux indéterminées. Il existe donc des polynômes

Y Y P1 X 2 , X + XP2 X 2 , X

. Comme Q (X, −Y ) 6= 0 P1 , P2 , Q1 , Q2 tels que R (X, Y ) = 2 , Y + XQ 2 Y X  Q1 X   2 X ,X  Y Y − XQ2 X 2 , 6= 0 pour (X, Y ) = (cos (x) , sin (x)) si Q (X, Y ) 6= 0, on a Q1 X 2 , X X et on peut écrire que :





Y Y Y Y P1 X 2 , X + XP2 X 2 , X Q1 X 2 , X − XQ2 X 2 , X





R (X, Y ) = Y Y Y Y Q1 X 2 , X + XQ2 X 2 , X Q1 X 2 , X − XQ2 X 2 , X     Y Y + XR2 X 2 , = R1 X 2 , X X avec :





 Y Y Y Y P1 X 2 , X Q1 X 2 , X − X 2 P2 X 2 , X Q2 X 2 , X Y

R1 X , = Y Y X Q21 X 2 , X − X 2 Q22 X 2 , X



  Y Y Y Y P2 X 2 , X Q1 X 2 , X − P1 X 2 , X Q2 X 2 , X 2 Y

R2 X , = Y Y X Q21 X 2 , X − X 2 Q22 X 2 , X

ce qui nous donne f (x) = R1 cos2 (x) , tan + cos (x) R2 cos2 (x) , tan (x) et tenant 1 compte de cos2 (x) = , on a le résultat annoncé.  1 + tan2 (x) On déduit de ce résultat la troisième règle de Bioche. On suppose que f (x) dx est invariant par le changement de variable x 7→ π + x, ce qui signifie que f (π + x) dx = f (x) dx et revient à dire que pour tout x ∈ I, on a : 

2

f (π + x) = φ1 (tan (π + x)) + cos (π + x) φ2 (tan (π + x)) = φ1 (tan (x)) − cos (x) φ2 (tan (x)) = f (x) = φ1 (tan (x)) + cos (x) φ2 (tan (x))

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 114 — #124

114

Intégrales et primitives

donc cos (x) φ2 (tan (x)) = 0 et f (x) = φ1 (tan (x)) , ce qui nous donne : Z Z R (cos (x) , sin (x)) dx = φ1 (tan (x)) dx et le changement de variable u = tan (x) nous donne : Z Z φ1 (u) R (cos (x) , sin (x)) dx = du 1 + u2 ce qui nous ramène au calcul des primitives d’une fraction rationnelle. Les règles de Bioche peuvent se résumer ainsi : — si f (x) dx est invariant par x 7→ −x, poser u = cos (x) (qui est invariant par x 7→ −x) ; — si f (x) dx est invariant par x 7→ π − x, poser u = sin (x) (qui est invariant par x 7→ π − x) ; — si f (x) dx est invariant par x 7→ π + −x, poser u = tan (x) (qui est invariant par x 7→ π + x) ; x — sinon poser u = tan . 2

5.8

Sommes de Riemann

Gardant toujours les mêmes les notations, étant donnée une subdivision σ = (ai )0≤i≤n , on choisit, pour tout i compris entre 0 et n − 1, un point xi dans [ai , ai+1 ] et on note  ·  ·  n−1 X (ai+1 − ai ) f (xi ) . On dit que R f, σ est la somme de Riemann associée R f, σ = i=0

·

à la subdivision pointée σ = (ai , xi )0≤i≤n . ·

·

On note Σa,b l’ensemble de toutes les subdivisions pointées σ = (ai , xi )0≤i≤n de [a, b] et pour une telle subdivision δ (σ) est le pas de la subdivision σ = (ai )0≤i≤n . Théorème 5.26. Soit f bornée sur [a, b] . Cette fonction est Riemann-intégrable sur [a, b] d’intégrale égale à I (f ) si, et seulement si, pour tout réel ε > 0, il existe un réel η > 0 tel que :     ·   · · σ ∈ Σa,b et δ (σ) < η ⇒ I (f ) − R f, σ < ε  · Z b lim R f, σ = f (x) dx.

ce qui peut se traduire par

δ(σ)→0

a

Preuve. Supposons que f soit Riemann-intégrable sur [a, b] . Pour f = 0, il n’y a rien à montrer. On suppose donc f = 6 0, de sorte que M = sup |f (x)| > 0. Le théorème 5.4 x∈[a,b]

nous dit que, pour tout réel ε > 0, il existe deux fonctions en escalier φ et θ sur [a, b] Z b telles que |f − φ| ≤ θ et 0 ≤ θ (x) dx ≤ ε. Si σ1 et σ2 sont des subdivisions adaptées a

à φ et θ respectivement, la subdivision plus fine σε = (αk )0≤k≤r = σ1 ∪ σ2 est adaptée à

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 115 — #125

Sommes de Riemann

115

·

φ et θ. Si σ = (ai , xi )0≤i≤n est une subdivision pointée de [a, b] , chaque point αk de la subdivision σε appartient à au plus deux intervalles de la subdivision σ. Il existe donc au maximum 2r intervalles [ai , ai+1 ] qui contiennent tous les points αk . Notons J l’ensemble des indices i compris entre 0 et n − 1 tels que l’intervalle [ai , ai+1 ] contienne des αk et K le complémentaire de J dans {0, · · · , n − 1} . Avec ces notations, on a : n−1   Z ai+1 X   Z b · (ai+1 − ai ) f (xi ) − f (x) dx f (x) dx = R f, σ − a a i i=0 Z n−1 X ai+1 (f (xi ) − f (x)) dx = i=0 ai Z a i+1 X Z ai+1 X |f (xi ) − f (x)| dx |f (xi ) − f (x)| dx + ≤ i∈J

≤ 2M

ai

X

(ai+1 − ai ) +

i∈J

≤ 4M rδ (σ) +

ai+1

i∈K ai+1

ai

|f (xi ) − f (x)| dx

ai

i∈K

XZ i∈K

XZ

|f (xi ) − f (x)| dx

ai

Pour i ∈ K, le segment [ai , ai+1 ] ne contenant aucun des αk est contenu dans un intervalle ]αk , αk+1 [ où les fonctions φ et θ sont constantes égalent à φ (xi ) et θ (xi ) respectivement, donc pour tout x ∈ [ai , ai+1 ] , on a : |f (xi ) − f (x)| ≤ |f (xi ) − φ (xi )| + |φ (x) − f (x)| ≤ θ (xi ) + θ (x) = 2θ (x) Z ai+1 Z ai+1 et |f (xi ) − f (x)| dx ≤ 2 θ (x) dx. On a donc : ai

ai

XZ i∈K

ai+1

|f (xi ) − f (x)| dx ≤ 2

ai

XZ i∈K

ai+1

Z θ (x) dx ≤ 2

ai

b

θ (x) dx ≤ 2ε a

·

·

En définitive, pour toute subdivision pointée σ ∈ Σa,b , on a :   Z b · f (x) dx ≤ 4M rδ (σ) + 2ε R f, σ − a   Z b ε · et pour δ (σ) < η = , on a R f, σ − f (x) dx ≤ 3ε. Réciproquement, suppo 4M r a sons qu’il existe un réel I (f ) tel que pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que :     ·   · · σ ∈ Σa,b et δ (σ) < η ⇒ I (f ) − R f, σ < ε Pour toute subdivision σ = (ai )0≤i≤n du segment [a, b] telle que δ (σ) < η, en notant mi = inf f (x) et Mi = sup f (x) , on peut trouver dans chaque intervalle x∈[ai ,ai+1 ]

x∈[ai ,ai+1 ]

[ai , ai+1 ] des points xi , yi tels que mi ≤ f (xi ) < mi +

ε ε et Mi − < f (yi ) ≤ Mi , b−a b−a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 116 — #126

116

Intégrales et primitives

ce qui nous donne, en désignant par φ et ψ les fonctions en escalier définie respectivement par φ (x) = mi et ψ (x) = Mi pour tout x ∈ ]ai , ai+1 [ , où i est compris entre 0 et n − 1 : Z

b

φ (x) dx ≤ a

Z

n−1 X



·

Z



b

(ai+1 − ai ) f (xi ) = R f, σ
0 étant quelconque, on déduit que f (x) dx = I (f ) .  a  ·  Pratiquement, si σn est une suite de subdivisions pointées de [a, b] telle que n∈N Z b  ·  lim δ (σn ) = 0, on a alors f (x) dx = lim R f, σn pour toute fonction f n→+∞

n→+∞

a

Riemann-intégrable sur [a, b] . Prenant en particulier la subdivision de pas constant b−a , on a en désignant pour n ≥ 1, par (xi,n )0≤i≤n−1 une suite de points telle que n b−a xi,n ∈ [ai , ai+1 ] , où ai = a + i , pour 0 ≤ i ≤ n − 1, on a : n Z b n−1 b−a X f (x) dx = lim f (xi,n ) n→+∞ n i=0 a Pour xi,n = ai , on a la méthode des rectangles à gauche pour calculer une intégrale : Z

b

 n−1  b−a b−a X f a+i n→+∞ n i=0 n

f (x) dx = lim a

ai + ai+1 b−a b−a Pour xi,n = = ai + = a + (2i + 1) (le milieu de [ai , ai+1 ]), on a 2 2n 2n la méthode des points milieux pour calculer une intégrale : Z

b

 n−1  b−a b−a X f a + (2i + 1) n→+∞ n i=0 2n

f (x) dx = lim a

En utilisant le théorème des accroissements finis (voir le théorème 6.11 plus loin) et les sommes de Riemann, on a le résultat suivant qui généralise le corollaire 5.5.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 117 — #127

Exercices

117

Théorème 5.27. Si f est une fonction dérivable sur [a, b] avec f ′ Riemann-intégrable sur [a, b] , Z b f ′ (x) dx = f (b) − f (a) . on a alors a

Preuve. Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par σn = (ai )0≤i≤n la subdivision b−a b−a de pas constant où ai = a + i , pour 0 ≤ i ≤ n − 1. En utilisant le théorème n n des accroissements finis, on peut écrire pour tout n ≥ 1 : f (b) − f (a) =

n−1 X

(f (ai+1 ) − f (ai )) =

i=0

n−1 X

f ′ (ci ) (ai+1 − ai ) =

i=0

n−1 b−a X ′ f (ci ) n k=0

où ci ∈ ]ai , ai+1 [ et on reconnaît là une somme de Riemann pour la fonction f ′ qui tend Z b  f ′ (x) dx quand n tend vers l’infini. vers a

Le théorème précédent est parfois appelé théorème fondamental du calcul intégral. Il permet de généraliser le théorème 5.23 d’intégrations parties comme suit. Théorème 5.28. Intégration par parties ′ ′ Si u et v Zsont deux fonctions dérivables sur Z [a, b] avec u , v intégrables sur [a, b] ,

on a alors

u (x) v ′ (x) dx = u (x) v (x) −

u′ (x) v (x) dx.

Preuve. ZPour u, v dérivables sur [a, b] avec u′ , v ′ intégrables sur [a, b] , on a pour tout Z x x x ∈ [a, b] , u (t) v ′ (t) dt = u (x) v (x) − u (a) v (a) − u′ (t) v (t) dt, ce qui peut s’écrire a aZ Z en terme de primitives, u (x) v ′ (x) dx = u (x) v (x) − u′ (x) v (x) dx. 

5.9

Exercices

Exercice 5.1.

Soit σ ′ = (a′k )0≤k≤n′ plus fine que σ = (ak )0≤k≤n dans Σa,b .

′ 1. Montrer que pour tout j comprisentre 0 et  n − 1, il existe un unique entier k ′ ′ compris entre 0 et n − 1 tel que aj , aj+1 ⊂ [ak , ak+1 ] .

2. En déduire que δ (σ ′ ) ≤ δ (σ) . Solution. 1. Pour tout j compris entre 0 et n′ − 1, il existe un unique entier k compris entre 0 et n − 1 tel que a′j ∈ [ak , ak+1 [ et nécessairement a′j+1 ∈ ]ak , ak+1 ] . En effet, dans le cas contraire, on a ak ≤ aj′ < ak+1 < a′j+1 et ak+1 ∈ / {a′0 , a′1 , · · · , a′n′ } , ce qui contredit le  ′ ′  ′ fait que σ ⊂ σ . On a donc aj , aj+1 ⊂ [ak , ak+1 ] et a′j+1 − a′j ≤ ak+1 − ak ≤ δ (σ) .
2. Il en résulte que δ (σ ′ ) = max′ a′j+1 − a′j ≤ δ (σ) . 0≤j≤n −1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 118 — #128

118

Intégrales et primitives Exercice 5.2. Z x Soit f ∈ E ([a, b]) . Montrer que la fonction F définie sur [a, b] f (t) dt est affine par morceaux et continue. par F (x) = a

Solution. On a vu que pour tout x ∈ [a, b] , la restriction de f à [a, x] est en escalier, donc la fonction F est bien définie sur [a, b] . Soit σ = (ak )0≤k≤n ∈ Σa,b adaptée à f. Z x f (t) dt = λ0 (x − a) et pour tout k compris entre Pour tout x ∈ [a0 , a1 ] , on a F (x) = 1 et n − 1, tout x ∈ [ak , ak+1 ] , on a : Z

Z

ak

F (x) =

k−1 X

x

f (t) dt + a

a

f (t) dt = ak

(aj+1 − aj ) λj + (x − ak ) λk

j=0

Cette fonction F est donc affine sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] . Sur chaque intervalle ]ak , ak+1 [ , elle est continue et avec 0 = F (a) = lim+ F (x) : x→a

k−1 X

(aj+1 − aj ) λj = F (ak ) = lim F (x) = lim F (x) x→a+ k

j=0

x→a− k

on déduit qu’elle est aussi continue en chaque point ak . Exercice 5.3. Montrer que si f ∈ R ([a, b]) , sa restriction à tout segment [α, β] contenu dans [a, b] (avec α < β) est alors intégrable sur [α, β] . Solution. Pour tout réel ε > 0, on peut trouver deux fonctions en escalier φ, ψ sur Z b [a, b] telles que φ ≤ f ≤ ψ et 0 ≤ (ψ (x) − φ (x)) dx ≤ ε. En notant encore φ, ψ les a

restrictions de ces fonctions à [α, β] , on a des fonctions en escalier sur [α, β] telles que φ (x) ≤ f (x) ≤ ψ (x) pour tout x ∈ [α, β] et : Z

Z

β

0≤

(ψ (x) − φ (x)) dx ≤ α

b

(ψ (x) − φ (x)) dx ≤ ε a

puisque ψ − φ est en escalier positive. Donc f|[α,β] ∈ R ([α, β]) . Exercice 5.4. Montrer que la fonction caractéristique de Q définie sur R par f (x) = 1 si x ∈ Q et f (x) = 0 sinon n’est pas Riemann-intégrable sur [a, b] . Solution. Pour toute subdivision σ = (ak )0≤k≤n de [a, b] adaptée à une fonction en escaliers ψ telle que f ≤ ψ, il existe dans chaque intervalle ]ak , ak+1 [ au moins un nombre rationnel rk (densité de Q dans R), donc ψ (x) = ψ (rk ) ≥ f (rk ) = 1 pour tout x Z b n−1 n−1 P P dans ]ak , ak+1 [ et ψ (x) dx = (ak+1 − ak ) ψ (rk ) ≥ (ak+1 − ak ) = b − a. Pour a

k=0

k=0

toute subdivision σ = (ak )0≤k≤n de [a, b] adaptée à φ en escaliers telle que φ ≤ f, il existe dans chaque ]ak , ak+1 [ un irrationnel ρk (densité de R \ Q dans R), on a donc Z b n−1 X φ = φ (ρk ) ≤ f (ρk ) = 0 sur ]ak , ak+1 [ et φ (x) dx = (ak+1 − ak ) φ (ρk ) ≤ 0. Il a

k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 119 — #129

Exercices

119 Z

b

(ψ (x) − φ (x)) dx ≥ b − a pour toutes fonctions φ, ψ dans E ([a, b]) Z b telles que φ ≤ f ≤ ψ et l’inégalité (ψ (x) − φ (x)) dx ≤ ε ne peut être réalisée pour

en résulte que

a

a

ε ∈ ]0, b − a[ . En définitive, la fonction f n’est pas Riemann-intégrable sur [a, b] . Z b Z b Exercice 5.5. En utilisant les sommes de Riemann, calculer xdx, x2 dx a a Z π
et ln 1 − 2x cos (t) + x2 dt, pour tout réel x ∈ / {−1, 1} (intégrale de Poisson). 0

Solution. Les fonctions considérées étant toutes continues, elles sont intégrables sur l’intervalle considéré. 1. Soit f : x ∈ [a, b] 7→ f (x) = x. Pour tout entier n ≥ 1, on a :  n−1  2 b−a n (n − 1) (b − a) b−a X f a+k = a (b − a) + Sn = n n 2 n2 k=0

Z

2

b

xdx = lim Sn = a (b − a) +

donc

n→+∞

a

b2 − a2 (b − a) = . 2 2

2. Pour f : x ∈ [a, b] 7→ x2 , on a : Sn =

2 n−1  b−a b−a X a+k n n k=0

2

= a2 (b − a) + 2a Z

3

n (n − 1) (b − a) n (n − 1) (2n − 1) (b − a) + 2 n2 6 n3 3

(b − a) b3 − a3 = . n→+∞ 3 3 a  2 
3. On a, pour |x| 6= 1 et t ∈ [0, π] , f (x, t) = ln 1 − 2x cos (t) + x2 = ln x − eit avec x − eit > 0. La fonction t 7→ f (x, t) est donc bien définie et continue sur [0, π] pour tout x ∈ R \ {−1, 1} . Ces fonctions sont donc Riemann-intégrables sur [0, π] et on peut utiliser les sommes de Riemann : !  n−1 n−1 2  π   Y πX i kπ i kπ −i kπ n n n Sn (x) = ln x − e = ln x−e x−e n n k=0 k=0 !   n−1   2n Y kπ kπ π π 2 2 1−x i n −i n x−e = ln (x − 1) = ln (x − 1) x−e n n 1 − x2 k=1   
1−x π 0 si |x| < 1 1 − x2n → = ln 2π ln (|x|) si |x| > 1 n→+∞ n 1+x et

b

2

xdx = lim Sn = a2 (b − a) + a (b − a) +

donc :

Z 0

π


ln 1 − 2x cos (t) + x2 dt =



0 si |x| < 1 2π ln (|x|) si |x| > 1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 120 — #130

120

Intégrales et primitives

Exercice 5.6. On désigne par (Wn )n∈N la suite des intégrales de Wallis définie Z π par Wn = cos2n (t) dt. 0

1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 et tout réel t, on a : (cos (t))

2n

 2n  1 X 2n = 2n cos (2 (p − n) t) 2 p=0 p

2. Montrer que pour tout entier m ≥ 1 et tout réel θ ∈ R \ 2πZ, on a : m−1 X k=0


  sin m θ2 θ
cos (m − 1) cos (kθ) = 2 sin θ2

3. En utilisant  les sommes de Riemann, montrer que, pour tout entier n ≥ 0, on  π 2n a Wn = 2n . n 2 Solution. 1. Pour tout entier n ≥ 1 et tout réel t, on a :
2n   2n  2n  eit + e−it 1 X 2n i2(p−n)t 1 X 2n ipt −i(2n−p)t 2n e e = e = (cos (t)) = 22n 22n p=0 p 22n p=0 p et comme (cos (t)) (cos (t))

2n

2n

est réel, on en déduit que : !   2n  2n  1 X 2n i2(p−n)t 1 X 2n = Re e = 2n cos (2 (p − n) t) 22n p=0 p 2 p=0 p

2. On a : m−1 X

m−1 X

cos (kθ) = Re

k=0

! e

ikθ

= Re

k=0

m−1 X

e


iθ k

k=0

!

  θ θ θ eim 2 e−im 2 − eim 2  θ   = Re = Re  θ θ ei 2 e−i 2 − ei 2 !

  sin m θ2 i(m−1) θ sin m θ2 θ 2

= Re e = cos (m − 1) 2 sin θ2 sin θ2   θ 6= 0). (comme θ ∈ R \ 2πZ, on a eiθ 6= 1 et sin 2 3. Pour n = 0, on a W0 = π. Pour n ≥ 1, on utilise les sommes de Riemann, pour m > n :      m−1 m−1 2n  π X kπ π X 1 X 2n kπ 2n Sm = cos = cos 2 (p − n) m m m 22n p=0 p m 

1 − eimθ 1 − eiθ

k=0





k=0

 m−1   2n  π 1 X 2n X kπ = cos 2 (p − n) m 22n p=0 p m k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 121 — #131

Exercices

121

 kπ Pour p = n, on a cos 2 (p − n) = m et pour p compris entre 0 et 2n, m k=0 π ∈ R \ 2πZ (on a 1 ≤ |p − n| ≤ n < m, donc différent de n, on a θ = 2 (p − n) m 0 < |θ| < 2π) et :
    m−1 X sin m θ2 θ kπ
cos (m − 1) cos 2 (p − n) = m 2 sin θ2 k=0  sin ((p − n) π) π
=0 = cos (m − 1) (p − n) π m sin (p − n) m m−1 X



    π 1 2n π 2n ∀m > n, Sm = m = 2n n m 22n n 2   Z π π 2n et en conséquence, cosn (t) dt = lim Sm = 2n . m→+∞ n 2 0

donc :

Exercice 5.7. Montrer que la fonction en escalier f définie sur I = [0, 2] par f (x) = 0 si x ∈ [0, 1] et f (x) = 1 si x ∈ ]1, 2] n’admet pas de primitives sur I. Solution. Si F est une primitive de f sur I, on a alors F ′ (x) = 0 sur [0, 1] et F ′ (x) = 1 sur ]1, 2] , ce qui donne F (x) = α sur [0, 1] et F (x) = x + β sur ]1, 2] , où α, β sont des constantes réelles. Avec la continuité de F en 1, on déduit que α = 1 + β et F est définie par F (x) = 1 + β sur [0, 1] et F (x) = x + β sur ]1, 2] . Mais une telle fonction ne peut F (x) − F (1) F (x) − F (1) être dérivable en 1, puisque limx→1− = 0 6= limx→1+ = 1. x−1 x−1 Exercice 5.8.

Montrer que la fonction ln n’est pas une fonction rationnelle.

Solution. Supposons qu’il existe deux fonctions polynomiales P, Q avec Q (x) 6= 0 pour P (x) tout x > 0 telles que ln (x) = . Comme lim ln (x) = +∞, on a nécessairement x→+∞ Q (x) ln (x) deg (P ) > deg (Q) et comme lim = 0, on a deg (P ) < deg (xQ) = 1 + deg (Q) , x→+∞ x soit deg (P ) ≤ deg (Q) , ce qui donne une contradiction. Exercice 5.9. Calculer une primitive de la fonction f définie sur R+,∗ par f (x) = xα ln (x) où α est un réel. Solution. On suppose d’abord que α 6= −1. On écrit que f (x) = u (x) v ′ (x) , avec :  1  ′   u (x) = ln (x) , u (x) = x  xα+1   v ′ (x) = xα , v (x) = α+1 ce qui nous donne : Z Z xα+1 xα xα+1 xα+1 f (x) dx = ln (x) − dx = ln (x) − 2 α+1 α+1 α+1 (α + 1)

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 122 — #132

122

Intégrales et primitives


′ Z ln2 (x) ln (x) ln2 (x) Pour α = −1, on a f (x) = = , donc f (x) dx = . x 2 2 Calculer une primitive de f : x ∈ R 7→ arctan (x) .

Exercice 5.10.

Solution. On écrit que f (x) = u (x) v ′ (x) , avec : ( u (x) = arctan (x) , u′ (x) = v ′ (x) = 1, v (x) = x ce qui nous donne : Z Z f (x) dx = x · arctan (x) −

1 1 + x2

ln 1 + x2 x dx = x · arctan (x) − 1 + x2 2

Pour tout n ∈ N∗ , on note Fn : x ∈ R 7→ Fn (x) =

Exercice 5.11.

Z 0

1 n nulle en 0. (1 + x2 )

la primitive de

x




dt n (1 + t2 )

1. Calculer F1 . 2. Montrer que, pour tout réel x, on a 2F2 (x) = F1 (x) + valeur de F2 .

x et en déduire la 1 + x2

3. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, on a : 2nFn+1 (x) = (2n − 1) Fn (x) +

x n (1 + x2 )

2

4. On note αn =

(2n n!) pour tout n ≥ 0. 2n (2n)!

(a) Montrer que 2nαn = (2n + 1) αn+1 . n n n X X X (b) Montrer que 2 kαk Fk+1 = (2k − 1) αk Fk + αk k=1

k=1

(c) En déduire que Fn+1 (x) =

1 2nαn

x

. k (1 + x2 ) ! x . arctan (x) + αk k (1 + x2 ) k=1 k=1 n X

(d) Préciser F3 . Solution.

Z

x

1. On a F1 (x) = 0

2. On a :

Z

F2 (x) = 0

x

dt = arctan (x) . 1 + t2 Z

dt (1 +

2 t2 )

Z

= F1 (x) − 0

x

=

x

1 + t2 − t2 dt (1 +

0

t

2t

(1 + t2 )

· dt

2 t2 )

Z = 0

x

dt − 1 + t2

Z 0

x

t

2t

(1 + t2 )

· dt

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 123 — #133

Exercices

123

et une intégration par parties donne :  x Z x Z t 1 t 1 x 1 1 x 1 t · dt = − + dt = − + F1 (x) 2 2 2 2 2 21+t 0 2 0 1+t 21+x 2 0 (1 + t ) soit F2 (x) =

1 1 x 1 x 1 = arctan (x) + . F1 (x) + 2 2 1 + x2 2 2 1 + x2

3. On a :

Z

x

Z

dt

Fn+1 (x) =

n+1 t2 )

x

=

1 + t2 − t2 dt n+1

2 (1 + 0 (1 + t ) Z x Z x x t dt t = t · dt n − n+1 t · dt = Fn (x) − 2 2 2 n+1 0 (1 + t ) 0 (1 + t ) 0 (1 + t ) 0

Z

et une intégration par parties donne :  x Z x Z t 1 1 t 1 x t · dt = − dt + n n+1 2 2 2n (1 + t ) 0 2n 0 (1 + t2 )n 0 (1 + t ) 1 x 1 Fn (x) =− n + 2 2n (1 + x ) 2n soit Fn+1 (x) =

2n − 1 1 x . Fn (x) + 2n 2n (1 + x2 )n

4. (a) On a :
2 2 2n+1 (n + 1)! 4 (n + 1) 2n αn+1 = = (2n) αn = αn 2 (n + 1) (2n + 2)! 2 (n + 1) (2n + 2) (2n + 1) 2n + 1 x (b) Pour tout entier k ≥ 1, on a 2kαk Fk+1 (x) = (2k − 1) αk Fk + αk n et on (1 + x2 ) fait la somme. (c) Avec 2kαk = (2k + 1) αk+1 , on déduit que : 2

n X

kαk Fk+1 =

k=1

et :

n+1 X

n X

(2k + 1) αk+1 Fk+1 =

(2j − 1) αj Fj

j=2

k=1

(2j − 1) αj Fj =

j=2

n+1 X

n X

(2k − 1) αk Fk +

k=1

n X k=1

αk

x k

(1 + x2 )

soit : (2n + 1) αn+1 Fn+1 = α1 F1 +

n X k=1

αk

x (1 +

k x2 )

= arctan (x) +

n X k=1

avec (2n + 1) αn+1 = 2nαn , d’où le résultat. (d) On a : 1 F3 (x) = 4α2 =

3 8

x x arctan (x) + + α2 2 1 + x2 (1 + x2 ) ! x 2x arctan (x) + + 2 2 1+x 3 (1 + x2 )

!

αk

x k

(1 + x2 )

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 124 — #134

124

Intégrales et primitives Z Exercice 5.12.

Calculer

dx sur ]0, π[ et sin (x)

Z

i π πh dx . sur − , cos (x) 2 2

x Solution. Le changement de variable u = tan nous donne, à une constante additive 2 Z Z Z   x  2 dx du 1 + u 2du près, sur ]0, π[ , = . De = = ln (u) = ln tan 2 sin (x) 2u 1 + u u 2 même :
!   Z Z Z 1 + tan x2 dx 1+u du 1 + u2 2du
=2 = ln = = ln cos (x) 1 − u2 1 + u2 1 − u2 1−u 1 − tan x2   x π  = ln tan + 2 4

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 125 — #135

Chapitre 6

Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor

6.1

Le théorème de Rolle

Le théorème de Rolle est basé sur les théorèmes 3.42 et 3.50. Théorème 6.1. Rolle Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle compact [a, b] non réduit à un point, continue sur cet intervalle et dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[ avec f (a) = f (b) , il existe alors un point c ∈ ]a, b[ tel que f ′ (c) = 0. Preuve. Si f est constante, sa dérivée est alors nulle sur ]a, b[ . On suppose donc f non constante. La fonction f étant continue sur le segment [a, b] est bornée et atteint ses bornes (théorème 3.42), c’est-à-dire qu’il existe α, β dans [a, b] tels que f (α) = inf f (x) x∈[a,b]

et f (β) = sup f (x) . Si α, β sont dans {a, b} , on a alors f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = f (α) x∈[a,b]

pour tout x ∈ [a, b] et f est constante contrairement à l’hypothèse de départ, on a donc α ∈ ]a, b[ ou β ∈ ]a, b[ , ce qui entraîne f ′ (α) = 0 ou f ′ (β) = 0 (théorème 3.50).  ′ Il n’y a pas unicité d’un point c tel que f (c) = 0 (figure 6.1). √ La fonction x 7→ 1 − x2 sur [−1, 1] nous donne un exemple de situation où f n’est pas dérivable au bord (figure 6.1).

1

−1

Figure 6.1 –

1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 126 — #136

126

Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor

Le théorème n’est plus vrai si f n’est pas continue en a et b comme le montre l’exemple de la fonction f définie par f (x) = x sur ]0, 1] et f (0) = 1 (figure 6.2). Le théorème n’est plus vrai si f n’est pas dérivable sur ]a, b[ tout entier comme le montre l’exemple de la fonction f définie par f (x) = |x| sur [−1, 1] (figure 6.2). 1

−1

1

1

−1

1

Figure 6.2 – Le théorème de Rolle pour les fonctions d’une variable réelle est encore valable sur une demi-droite fermée. Précisément on a le résultat suivant. Théorème 6.2. Rolle Si f : [a, +∞[ → R est continue sur cet intervalle et dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, +∞[ avec lim f (x) = f (a) , il existe alors un point c ∈ ]a, +∞[ tel x→+∞

que f ′ (c) = 0.

Preuve. Le changement de variable t = e−x nous ramène à un intervalle compact. On définit la fonction g sur [0, e−a ] par g (0) = f (a) et g (t) = f (− ln (t)) pour t ∈ ]0, e−a ] . Cette fonction est continue sur ]0, e−a ] comme composée de fonctions continues et avec lim g (t) = lim f (x) = f (a) , on déduit qu’elle est continue en a. Elle est dérivable sur x→+∞

t→0

f ′ (− ln (t)) . Comme g (0) = g (e−a ) = f (a) , on peut utiliser t le théorème de Rolle sur [0, e−a ] pour dire qu’il existe d ∈ ]0, e−a [ tel que g ′ (d) = 0 et c = − ln (d) ∈ ]a, +∞[ est tel que f ′ (c) = 0.  On a également le résultat suivant pour les fonctions définies sur R.

]0, e

−a

[ de dérivée g ′ (t) = −

Théorème 6.3. Rolle Si f : R → R est dérivable avec ′

lim f (x) =

x→−∞

lim f (x) , il existe alors un

x→+∞

réel c tel que f (c) = 0. Preuve. Le changement dehvariablei t = arctan  π(x)  nous ramène à un intervalle compact. π π On définit la fonction g sur − , par g ± = ℓ = lim f (x) et g (t) = f (tan (t)) 2 2 2 i π πh i πx→±∞ πh pour t ∈ − , . Cette fonction est continue sur − , comme composée de fonc2 2 2 2 tions continues et avec limπ g (t) = lim f (x) = ℓ, on déduit qu’elle est continue en x→±∞ t→± 2 i π πh
π ± . Elle est dérivable sur − , avec g ′ (t) = 1 + tan2 (t) f ′ (tan (t)) . Le théorème 2 2 2 h π πi i π πh de Rolle sur − , nous dit alors qu’il existe d ∈ − , tel que g ′ (d) = 0 et 2 2 ′ 2 2 c = tan (d) est tel que f (c) = 0.  La version itérée suivante du théorème de Rolle est souvent utile.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 127 — #137

Quelques applications du théorème de Rolle

127

Théorème 6.4. Rolle Si f est une fonction à valeurs réelles de classe C m sur un intervalle réel I, où m est un entier naturel, qui s’annule en m + 1 points de I distincts, il existe alors un point c dans I tel que f (m) (c) = 0. Preuve. Pour m = 0 le résultat est évident. On suppose donc que m est non nul. Si a, b sont deux racines distinctes de f, le théorème de Rolle nous dit alors qu’entre ces deux racines il existe une racine de f ′ . On en déduit que la fonction f ′ admet m racines distinctes dans I. Une récurrence finie nous permet alors de montrer que la dérivée d’ordre m, f (m) admet au moins une racine dans I. 

6.2

Quelques applications du théorème de Rolle

Le théorème de Rolle est important pour ses nombreuses applications.

6.2.1

Sur les racines de polynômes réels

Théorème 6.5. Si P est un polynôme réel de degré n ≥ 2 scindé sur R, il en est alors de même de son polynôme dérivé. Précisément si λ1 < λ2 < · · · < λp sont les racines réelles distinctes de P avec p ≥ 2, la racine λj étant de multiplicité mj ≥ 1 p X ( mj = n), le polynôme dérivé P ′ admet alors les réels λj pour racines de j=1

multiplicités respectives mj − 1, pour 1 ≤ j ≤ p (une multiplicité nulle signifie que λj n’est pas racine de P ′ ) et des racines simples µj ∈ ]λj , λj+1 [ pour 1 ≤ j ≤ p−1. Preuve. Pour j ∈ {1, · · · , p} tel que mj ≥ 2, λj est racine d’ordre mj − 1 du polynôme p X P ′ . Ce qui donne (mj − 1) = n − p racines réelles pour P ′ . D’autre part, le théorème j=1

de Rolle nous dit que pour tout j dans {1, · · · , p − 1} il existe µj ∈ ]λj , λj+1 [ tel que P ′ (µj ) = 0, ce qui donne p − 1 racines réelles supplémentaires et distinctes pour P ′ . On a donc un total de n − 1 racines réelles pour P ′ et les µj sont nécessairement simples.  On peut remarquer que toutes les racines de P ′ sont dans l’intervalle [λ1 , λp ] .

6.2.2

Racines des polynômes de Legendre, de Laguerre et d’Hermite


n (n) Pour tout n ∈ N, on note π2n (x) = x2 − 1 et Ln = π2n . Les polynômes Ln sont les polynômes de Legendre sur [−1, 1] . Pour n = 0, on a L0 = 1. Pour n ≥ 1   n X n−k n le polynôme π2n (x) = (−1) x2k est de degré 2n et sa dérivée d’ordre n, k k=0   X (2k)! n−k n Ln (x) = (−1) x2k−n est de degré n, de la parité de n. k (2k − n)! n 2

≤k≤n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 128 — #138

128

Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor Théorème 6.6. Pour n ≥ 1, le polynôme Ln admet n racines réelles distinctes dans ]−1, 1[ .

Preuve. Pour n = 1, L1 (x) = 2x s’annule en 0. Pour n ≥ 2, on vérifie par récurrence (k) sur k ∈ {0, · · · , n − 1} , que le polynôme π2n s’annule en −1, 1 et en k points distincts de ]−1, 1[ . Le polynôme π2n admettant −1 et 1 comme racines d’ordre n, le résultat est vrai pour (k−1) k = 0. Supposons le acquis pour k − 1 ∈ {0, · · · , n − 2} (n ≥ 2). La fonction π2n est nulle en −1 < t1 < · · · < tk−1 < 1 et avec le théorème de Rolle on déduit que sa dérivée (k) π2n s’annule en k points distincts de ]−1, 1[ . D’autre part, −1 et 1 étant racines d’ordre (k) n de π2n , elles sont aussi racines d’ordre n − k > 0 de π2n . En appliquant le théorème de (n−1) Rolle à la fonction π2n qui est nulle en n+1 points distincts −1 < t1 < · · · < tn−1 < 1, (n) on déduit que Ln = π2n s’annule en n points distincts de ]−1, 1[ .  Pour tout α ∈ ]−1, +∞[ et tout n ∈ N, on définit la fonction polynomiale Lα,n par (n) (xn+α e−x ) = Lα,n (x) xα e−x . Les polynômes Lα,n sont les polynômes de Laguerre sur ]0, +∞[ . Il est facile de vérifier que Lα,n est un polynôme de degré n. En effet, on a Lα,0 (x) = 1, Lα,1 (x) = 1 + α − x. Supposons, pour n ≥ 1, que Lα,n est polynomiale de degré n pour tout réel α > −1. Avec : xn+1+α e−x


(n+1)

= (n + 1 + α) xn+α e−x


(n)

 (n) − xn+(1+α) e−x

= (n + 1 + α) Lα,n (x) xα e−x − Lα+1,n (x) xα+1 e−x = ((n + 1 + α) Lα,n (x) − xLα+1,n (x)) xα e−x on déduit que Lα,n+1 (x) = (n + 1 + α) Lα,n (x) − xLα+1,n (x) est polynomiale de degré n + 1. Théorème 6.7. Pour tout réel α > −1 et tout entier n ≥ 1, le polynôme Lα,n admet n racines réelles distinctes dans ]0, +∞[ . Preuve. Pour α > −1 et n = 1, on a Lα,1 (x) = 1 + α − x de degré 1 nul en 1 + α > 0. En supposant le résultat acquis au rang n pour tout α > −1, la fonction fn définie sur
(n) [0, +∞[ par fn (x) = xn+α+1 e−x = Lα+1,n (x) xα+1 e−x est nulle en 0, +∞ et en n points distincts de ]0, +∞[ , on déduit alors des théorèmes de Rolle (classique sur un compact et généralisé sur [0, +∞[) que sa dérivée fn′ (x) = Lα,n+1 (x) xα e−x s’annule en n + 1 points distincts de ]0, +∞[ . D’où le résultat au rang n + 1.  (n)  −x2 −x2 . Les poPour tout n ∈ N, on définit le polynôme Hn par e = Hn (x) e lynômes Hn sont les polynômes d’Hermite sur R. Il est facile de vérifier que Hn est un polynôme de degré n. Théorème 6.8. Pour n ≥ 1, le polynôme Hn admet n racines réelles distinctes. Preuve. Pour n = 1, on a H1 (x) = −2x de degré 1 nul en 0. En supposant le résultat 2 acquis au rang n, la fonction fn définie par fn (x) = Hn (x) e−x est nulle en ±∞ et en n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 129 — #139

Quelques applications du théorème de Rolle

129

points distincts, on déduit alors des théorèmes de Rolle (classique sur un compact et gé2 néralisé sur un intervalle fermé de longueur infinie) que sa dérivée fn′ (x) = Hn+1 (x) e−x s’annule en n + 1 points distincts. D’où le résultat au rang n + 1. 

6.2.3

Majoration de l’erreur dans l’interpolation de Lagrange

Soient I = [a, b] un intervalle réel fermé borné avec a < b, n un entier naturel non nul et (xi )0≤i≤n une suite de réels deux à deux distincts dans I. À toute fonction f définie sur I et à valeurs réelles on associe le polynôme d’interpolation de Lagrange Ln (f ) dans Rn [X] défini par Ln (f ) (xi ) = f (xi ) pour i compris entre 0 et n. Un tel polynôme est n X uniquement déterminé par f. On peut l’écrire sous la forme Ln (f ) = f (xi ) Ln,i avec Ln,i (x) =

n Y j=0, j̸=i

i=0

x − xj pour i compris entre 0 et n. xi − xj

Dans le cas où la fonction f est de classe C n+1 sur I, on peut donner une expression de l’erreur d’interpolation f −Ln (f ) en tout point de I. Précisément on a le résultat suivant n Y où, pour n ≥ 1, πn+1 est la fonction polynomiale définie par πn+1 (x) = (x − xi ) . i=0

Théorème 6.9. Soit f une fonction de classe C n+1 sur l’intervalle I. Pour tout x ∈ I il existe 1 πn+1 (x) f (n+1) (cx ) . cx ∈ I tel que f (x) − Ln (f ) (x) = (n + 1)! Preuve. Si x est l’un des points xi , on a alors f (x) − Ln (f ) (x) = πn+1 (x) = 0 et tout point cx ∈ I convient. On se donne donc un point x dans I \ {x0 , · · · , xn } . On désigne par Px ∈ Rn+1 [T ] le polynôme d’interpolation de Lagrange associé à la fonction f et aux points x0 , · · · , xn , x qui est défini par Px (xi ) = f (xi ) pour i compris entre 0 et n et f (x) − Ln (f ) (x) Px (x) = f (x) . On vérifie facilement que l’on a Px = Ln (f ) + πn+1 . πn+1 (x) La fonction gx = f − Px est alors de classe C n+1 sur l’intervalle I, nulle en n + 2 points distincts (x et les xi ) et le théorème de Rolle itéré nous dit alors qu’il existe un point f (x) − Ln (f ) (x) (n+1) (n+1) cx ∈ I tel que gx (cx ) = 0, ce qui compte tenu de Px = (n + 1)! πn+1 (x) f (x) − Ln (f ) (x) se traduit par f (n+1) (cx ) − (n + 1)! = 0, ou encore par : πn+1 (x) f (x) − Ln (f ) (x) =

1 πn+1 (x) f (n+1) (cx ) (n + 1)! 

6.2.4

Le théorème de Darboux

On peut donner une démonstration du théorème de Darboux qui utilise le théorème 3.40 et le théorème de Rolle.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 130 — #140

130

Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor Théorème 6.10. Darboux Si f est une fonction à valeurs réelles définie et dérivable sur un intervalle I, sa fonction dérivée f ′ vérifie alors la propriété des valeurs intermédiaires.

Preuve. Soient a < b dans I. Si f ′ (a) = f ′ (b) il n’y a alors rien à montrer. On suppose donc que f ′ (a) < f ′ (b) et on se donne λ ∈ ]f ′ (a) , f ′ (b)[ . On définit la fonction φ : [a, b] → R par φ (x) = f (x) − λx. Elle est dérivable sur [a, b] avec φ′ (a) < 0 < φ′ (b) et en conséquence elle ne peut être monotone sur I (une fonction monotone dérivable sur un intervalle a une dérivée de signe constant). Le théorème 3.40 nous dit alors que φ n’est pas injective, c’est-à-dire qu’il existe x < y dans I tels que φ (x) = φ (y) et le théorème de Rolle nous dit qu’il existe c ∈ ]x, y[ tel que φ′ (c) = 0, ce qui équivaut à f ′ (c) = λ. 

6.3

Théorème et inégalité des accroissements finis

Le théorème de Rolle pour les fonctions d’une variable réelle est équivalent au théorème des accroissements finis qui suit où [a, b] est un intervalle non réduit à un point. Théorème 6.11. Accroissements finis Si f : [a, b] → R est une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ , il existe alors un point c dans ]a, b[ tel que f (b) − f (a) = f ′ (c) (b − a) . Preuve. On se ramène aux hypothèses du théorème de Rolle en considérant la fonction g définie sur [a, b] par g (x) = f (x) − f (a) − λ (x − a) , où la constante réelle λ est telle f (b) − f (a) ). Le théorème de Rolle appliqué à la fonction que g (b) = g (a) (soit λ = b−a g nous assure de l’existence d’un réel c ∈ ]a, b[ tel que g ′ (c) = 0, ce qui équivaut à f (b) − f (a) = f ′ (c) (b − a) .  Cette formule est encore valable en permutant les rôles de a et b. L’hypothèse a < b n’est donc pas essentielle. On dispose aussi de la version suivante, un peu plus générale, du théorème des accroissements finis. Théorème 6.12. Généralisé des accroissements finis Si f, g sont deux fonctions définies sur [a, b] , à valeurs réelles, continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[ , il existe alors un point c dans ]a, b[ tel que (f (b) − f (a)) g ′ (c) = (g (b) − g (a)) f ′ (c) . Preuve. On se ramène aux hypothèses du théorème de Rolle en considérant la fonction h définie sur [a, b] par h (x) = λg (x)−µf (x) , où λ et µ sont choisis tels que h (a) = h (b) , soit λg (a) − µf (a) = λg (b) − µf (b) , ou encore λ (g (b) − g (a)) = µ (f (b) − f (a)) . On peut prendre λ = f (b) − f (a) et µ = g (b) − g (a) . Le théorème de Rolle appliqué à la fonction h nous assure de l’existence d’un réel c ∈ ]a, b[ tel que h′ (c) , ce qui équivaut à (f (b) − f (a)) g ′ (c) = (g (b) − g (a)) f ′ (c) .  Prenant g (x) = x, on retrouve le théorème classique des accroissements finis. Le théorème des accroissements finis n’est pas valable pour les fonctions à valeurs dans C (ou dans Rn avec n ≥ 2) comme le montre l’exemple de la fonction x 7→ eix sur [0, 2π] .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 131 — #141

Quelques applications du théorème des accroissements finis

6.4

131

Quelques applications du théorème des accroissements finis

Comme le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis est important pour ses nombreuses applications.

6.4.1

Sens de variation d’une fonction

Théorème 6.13. Soit f une fonction à valeurs réelles dérivable sur un intervalle réel I. Elle est croissante sur I si, et seulement si, on a f ′ (x) ≥ 0 pour tout x dans I. f (y) − f (x) y−x est alors positif ou nul et en passant à la limite quand y tend vers x, on déduit que f ′ (x) ≥ 0. Réciproquement si f est telle que f ′ (x) ≥ 0 pour tout x dans I, en utilisant le théorème des accroissements finis on déduit alors que pour tout y > x dans I on a f (y) − f (x) = f ′ (z) (y − x) ≥ 0.  1 ∗ ′ Si on considère la fonction f : x 7→ − sur R , on a f (x) > 0 et f n’est pas croissante x sur R∗ . Du théorème précédent, on déduit les résultats classiques suivants. Preuve. Si f est croissante sur I, pour x 6= y dans I le taux d’accroissement

Corollaire 6.1. Soient f, g deux fonctions à valeurs réelles dérivables sur un intervalle réel I. 1. La fonction f est décroissante sur I si, et seulement si, f ′ (x) ≤ 0 pour tout x dans I. 2. La fonction f est constante sur I si, et seulement si, f ′ (x) = 0 pour tout x dans I. 3. Si f ′ (x) > 0 [resp. f ′ (x) < 0] pour tout x dans I, la fonction f est alors strictement croissante [resp. strictement décroissante] sur I. 4. Si f ′ (x) ≤ g ′ (x) pour tout x dans I = [a, b] , on a alors : ∀x ∈ [a, b] , f (x) − f (a) ≤ g (x) − g (a) 5. Si m ≤ f ′ (x) ≤ M pour tout x dans I = [a, b] , on a alors : ∀x ∈ [a, b] , m (x − a) ≤ f (x) − f (a) ≤ M (x − a) Preuve. 1. On applique le théorème précédent à la fonction −f. 2. Si f ′ = 0, la fonction f est alors à la fois croissante et décroissante, donc constante. La réciproque est évidente. 3. Si f ′ (x) > 0 pour tout x dans I, on sait déjà que la fonction f est croissante. Si il existe a < b dans I tels f (a) = f (b) , on a alors f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) = f (a) pour tout x ∈ [a, b] et la fonction f est constante sur [a, b] d’intérieur non vide ce qui entraîne f ′ = 0 sur [a, b] en contradiction avec f ′ > 0.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 132 — #142

132

Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor

4. Résulte de la croissance de la fonction h = g − f. 5. On applique ce qui précède à (mx, f ) et (f, M x) .  On peut remarquer que le point 3. de ce corollaire implique le théorème précédent. Les deux résultats sont donc équivalents. En effet, en notant, pour tout réel m > 0, ′ gm (x) = f (x) + m, l’hypothèse f ′ (x) ≥ 0 pour tout x dans I entraîne gm (x) > 0 pour tout x dans I, donc gm est strictement croissante et pour x < y dans I, on a f (x) + m < f (y) + m pour tout m > 0 ce qui entraîne f (x) ≤ f (y) en faisant tendre m vers 0.

6.4.2

Limites et dérivation

Théorème 6.14. Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[\{c} où c est un point de ]a, b[ . Si la fonction dérivée f ′ a une limite ℓ en c, alors f est dérivable en c avec f ′ (c) = ℓ. Preuve. Comme c ∈ ]a, b[ , il existe un réel δ > 0 tel que ]c − δ, c + δ[ ⊂ ]a, b[ . Pour tout x ∈ ]c − δ, c + δ[ \ {c} il existe un réel dx strictement compris entre c et f (x) − f (c) x tel que = f ′ (dx ) et avec lim dx = c, lim f ′ (t) = ℓ, on déduit que x→c t→c x−c f (x) − f (c) ′ = lim f (dx ) = ℓ, c’est-à-dire que f est dérivable en c avec f ′ (c) = ℓ. lim x→c x→c x−c  On peut remarquer que la fonction f ′ est également continue en c. Théorème 6.15. L’Hospital Soient f, g deux fonctions à valeurs réelles continues sur un intervalle ouvert I, dérivables sur I \ {c} avec g ′ (x) = 6 0 pour tout x ∈ I \ {c} où c ∈ I. Si f (x) − f (c) f ′ (x) lim = ℓ, on a alors lim = ℓ. x→c g (x) − g (c) x→c g ′ (x) Preuve. De g ′ (t) = 6 0 pour tout t ∈ I \{c} on déduit avec le théorème des accroissements finis que g (x) = 6 g (c) pour tout x ∈ I \ {c} . Le théorème des accroissements finis généralisé appliqué à f et g sur l’intervalle compact d’extrémités x, c avec x ∈ I \ {c} f ′ (dx ) f (x) − f (c) permet d’écrire = ′ avec dx strictement compris entre x et c. Puis g (x) − g (c) g (dx ) ′ f (t) f (x) − f (c) f ′ (dx ) avec lim dx = c, lim ′ = ℓ, on déduit que lim = lim ′ = ℓ.  x→c t→c g (t) x→c g (x) − g (c) x→c g (dx ) ′ Si f, g sont dérivables en c avec g (c) = 6 0 la règle de l’Hospital n’est pas utile. Il suffit f (x) − f (c) f (x) − f (c) x−c en effet d’écrire que = et d’utiliser la définition g (x) − g (c) x−c g (x) − g (c) du nombre dérivé. La réciproque du théorèmeprécédent est fausse. Considérons par exemple les fonctions  1 f définie par f (x) = x2 sin sur R∗ , prolongé par continuité en 0 et g définie par x     1 1 ′ g (x) = x sur [−1, 1] . La fonction f est dérivable avec f (x) = 2x sin − cos x x

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 133 — #143

Quelques applications du théorème des accroissements finis f (x) − f (0) = lim x sin x→0 g (x) − g (0) x→0

pour x 6= 0 et f ′ (0) = 0. On a lim

133   1 f ′ (x) = 0 et ′ n’a pas x g (x)

de limite en 0.

6.4.3

Majoration de l’erreur dans la méthode de Simpson

Théorème 6.16. Soit f une fonction à valeurs réelles de classe C 4 sur un intervalle [a, b] . On a : Z     b b−a M4 a+b 5 f (x) dx − f (a) + 4f + f (b) ≤ (b − a) a 2880 6 2 où M4 = sup f (4) (x) . x∈[a,b]

Preuve. On se ramène à l’intervalle [−1, 1] en utilisant le changement de variable a+b b−a + t avec t ∈ [−1, 1] , ce qui conduit à introduire la fonction g définie sur x= 2 2   a+b b−a + t . L’erreur dans la méthode de Simpson sur [a, b] [−1, 1] par g (t) = f 2 2 s’écrit alors :     Z b b−a a+b E (f ) = f (x) dx − f (a) + 4f + f (b) 6 2 a  Z 1 b−a 1 = g (t) dt − (g (−1) + 4g (0) + g (1)) 2 3 −1 On désigne par φ la fonction définie sur [0, 1] par : Z x x ∀x ∈ [0, 1] , φ (x) = g (t) dt − (g (−x) + 4g (0) + g (x)) 3 −x (erreur dans la méthode de Simpson sur [−x, x]). Cette fonction est de classe C 4 sur [0, 1] avec :   φ′ (x) = 2 (g (−x) + g (x)) − 4 g (0) − x (g ′ (x) − g ′ (−x)) ,    3 3 3  1 ′ x ′′ ′′ ′ φ (x) = (g (x) − g (−x)) − (g (x) + g ′′ (−x))  3 3     φ′′′ (x) = − x (g ′′′ (x) − g ′′′ (−x)) 3 Le théorème des accroissements finis nous dit que l’on peut écrire φ′′′ (x) = −2

x2 (4) g (cx ) 3

x2 pour tout x > 0 où cx ∈ ]−x, x[ , ce qui nous donne |φ′′′ (x)| ≤ 2 L4 où on a noté 3  4 (4) b − a ′ M4 . Compte tenu de φ (0) = φ (0) = φ′′ (0) = 0, on L4 = sup g (x) = 2 x∈[−1,1]

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 134 — #144

134

Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor

en déduit que : Z x  Z x 2 x3  2 ′′′ ′′  ≤ L t dt = 2 L4 φ (t) dt |φ (x)| =  4 3   9 0 0   Z Z  x 2 x ′′ x4 φ (t) dt ≤ L4 t3 dt = L4 |φ′ (x)| =  9 18 0 0   Z Z  x  x ′ 1 x5    |φ (x)| = φ (t) dt ≤ L4 t4 dt = L4 18 90 0 0 Et pour x = 1, on obtient : Z 1  4 1 1 1 b−a g (t) dt − (g (−1) + 4g (0) + g (1)) ≤ L4 = M4 , |φ (1)| = 3 90 90 2 −1  5 5 1 b−a (b − a) M4 = M4 .  90 2 2880 Cette méthode de démonstration est encore valable pour obtenir une majoration l’erreur de quadrature dans la méthode du point milieu ou la méthode du trapèze.

ce qui donne |E (f )| ≤

6.4.4

Le théorème de Darboux

On peut donner une démonstration du théorème de Darboux qui utilise le théorème des accroissements finis et le théorème des valeurs intermédiaires. Théorème 6.17. Darboux Si f est une fonction à valeurs réelles définie et dérivable sur un intervalle I, sa fonction dérivée f ′ vérifie alors la propriété des valeurs intermédiaires. Preuve. Soient a < b dans I. Si f ′ (a) = f ′ (b) il n’y a alors rien à montrer. On suppose donc que f ′ (a) < f ′ (b) et on se donne λ ∈ ]f ′ (a) , f ′ (b)[ . On définit les fonctions τa f (x) − f (a) et τb sur [a, b] par τa (a) = f ′ (a) , τa (x) = pour x 6= a, τb (b) = f ′ (b) et x−a f (b) − f (x) τb (x) = pour x 6= b. Ces fonctions sont continues sur [a, b] puisque f est b−x dérivable sur I et on a τa (a) = f ′ (a) < λ < f ′ (b) = τb (b) . On a alors deux possibilités : soit τa (a) = f ′ (a) < λ ≤ τa (b) et le théorème des valeurs intermédiaires nous dit f (c) − f (a) qu’il existe un réel c dans ]a, b] tel que λ = τa (c) = = f ′ (d) avec d entre a c−a et c ; f (b) − f (a) soit τa (b) < λ < f ′ (b) = τb (b) et notant que τa (b) = = τb (a) , on a b−a τb (a) < λ < τb (b) et le théorème des valeurs intermédiaires nous dit qu’il existe un réel f (b) − f (c) c dans ]a, b[ tel que λ = τb (c) = = f ′ (d) .  b−c

6.5

La formule de Taylor-Lagrange

Du théorème de Rolle on déduit le résultat suivant qui généralise le théorème des accroissements finis. [a, b] désigne un intervalle compact non réduit à un point.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 135 — #145

Le théorème de Taylor-Young

135

Théorème 6.18. Taylor-Lagrange Soit f : [a, b] → R de classe C n qui est n + 1 fois dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[ . Il existe un point c ∈ ]a, b[ tel que : f (b) =

n X f (k) (a) k=0

k!

k

(b − a) +

f (n+1) (c) n+1 (b − a) (n + 1)!

Preuve. On se ramène aux hypothèses du théorème de Rolle en utilisant la fonction n X λ f (k) (x) k n+1 g définie sur [a, b] par g (x) = f (b) − (b − x) − (b − x) , où la k! (n + 1)! k=0 constante réelle λ est telle que g (b) = g (a) . Le théorème de Rolle appliqué à la fonction g nous assure de l’existence d’un réel c ∈ ]a, b[ tel que g ′ (c) = 0, ce qui équivaut à : n n X X λ f (k) (c) f (k+1) (c) k−1 k n (b − c) − (b − c) + (b − c) = 0 (k − 1)! k! n!

k=1

k=0



ou encore à λ = f (n+1) (c) . L’égalité g (a) = g (b) = 0 donne alors le résultat.

6.6

Le théorème de Taylor-Young

On rappelle qu’une fonction f définie dans un voisinage du réel a admet une dérivée d’ordre n ≥ 2 en a si cette fonction admet des dérivées jusqu’a l’ordre n − 1 dans un voisinage de a et si f (n−1) est dérivable en a. On suppose ici que f est une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle réel I non réduit à un point et que a est un point intérieur à I. Théorème 6.19. Taylor-Young Si f est dérivable à l’ordre n ≥ 1 en a, elle admet alors, au voisinage de a, le n X f (k) (a) k n développement limité d’ordre n, f (x) = (x − a) + o ((x − a) ) . k! k=0

Preuve. En définissant la fonction g sur I par g (x) = f (x) −

n X f (k) (a) k=0

k!

k

(x − a) ,

g (x) il s’agit de montrer que lim n = 0. Pour ce faire on procède par récurrence sur x→a (x − a) n ≥ 1. Pour n = 1 le résultat découle de la définition du nombre dérivé f ′ (a) . Supposons le résultat acquis pour n − 1 ≥ 1. La fonction g est dérivable dans un voisinage J de a n−1 X (f ′ )(k) (a) k avec g ′ (x) = f ′ (x) − (x − a) et l’hypothèse de récurrence appliquée à f ′ k! k=0 g ′ (x) nous dit que lim = 0, c’est-à-dire que pour tout réel ε > 0 il existe un réel x→a (x − a)n−1 η > 0 tel que [a − η, a + η] soit contenu dans J et :   n−1 (|x − a| < η) ⇒ |g ′ (x)| ≤ ε |x − a|

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 136 — #146

136

Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor

On a alors : 

∀x ∈ [a − η, a] , −ε (a − x) ≤ g ′ (x) ≤ ε (a − x) n−1 n−1 ∀x ∈ [a, a + η] , −ε (x − a) ≤ g ′ (x) ≤ ε (x − a) n−1

n−1

et il en résulte que :  ε  ∀x ∈ [a − η, a] , − (a − x)n ≤ g (a) − g (x) ≤ n  ∀x ∈ [a, a + η] , − ε (x − a)n ≤ g (x) − g (a) ≤ n

ε n (a − x) n ε n (x − a) n

(on utilise le fait que si u′ ≤ v ′ sur [α, β] , alors u (β) − u (α) ≤ v (α) − v (β)), c’est-à-dire ε n en définitive que |g (x)| ≤ |x − a| pour tout x ∈ [a − η, a + η] , ce qui signifie bien que n g (x) lim  n = 0. x→a (x − a)

6.7

Formule de Taylor avec reste intégral

[a, b] désigne un intervalle compact non réduit à un point et n est un entier naturel. La formule de Taylor avec reste intégral qui suit permet d’obtenir des résultats plus fins que la formule de Taylor-Lagrange. Théorème 6.20. Taylor avec reste intégral Si f est une fonction à valeurs réelles définie et de classe C n+1 sur [a, b] , on a Z b (n+1) n X f (k) (a) f (t) k n alors f (b) = (b − a) + (b − t) dt. k! n! a k=0

Preuve. La fonction g définie sur [a, b] par g (x) = f (b) − Z classe C 1 sur [a, b] , on peut écrire que g (b) − g (a) =

n X f (k) (x) k=0

b

k!

k

(b − x) étant de

g ′ (t) dt, soit :

a

−f (b) +

n X f (k) (a) k=0

k!

Z k

(b − a) = − a

b

f (n+1) (t) n (b − t) dt n! 

6.8 6.8.1

Quelques applications de la formule de TaylorLagrange Problèmes d’extrema

Si une fonction dérivable f : I → R, où I est un intervalle ouvert, admet un extremum local en un point a intérieur au domaine de définition, on a alors f ′ (a) = 0, la réciproque étant fausse comme le montre l’exemple de la fonction x3 au voisinage de 0. L’utilisation de la formule de Taylor-Lagrange permet de donner une condition nécessaire et suffisante d’extremum.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 137 — #147

Quelques applications de la formule de Taylor-Lagrange

137

Théorème 6.21. Soient f : I → R de classe C n avec n ≥ 2 et a dans I tel que f (k) (a) = 0 pour tout k compris entre 1 et n − 1 et f (n) (a) 6= 0. La fonction f admet un maximum [resp. minimum] local en a si, et seulement si, n est pair et f (n) (a) < 0 [resp. f (n) (a) > 0]. Preuve. Soit η > 0 tel que ]a − η, a + η[ ⊂ I. Pour tout réel h tel que |h| < η il existe θ ∈ ]0, 1[ tel que : f (a + h) = f (a) +

n−1 X k=1

f (k) (a) k f (n) (a + θh) n f (n) (a + θh) n h + h = f (a) + h k! n! n!

Si f (n) (a) < 0, du fait de la continuité de f (n) , on peut alors choisir η assez petit de sorte que f (n) (x) < 0 pour tout x ∈ ]a − η, a + η[ et f (a + h) − f (a) et de signe contraire à celui de hn . Il en résulte que pour n pair f admet un maximum local en a et pour n impair on a f (a + h) > f (a) si h < 0, f (a + h) < f (a) si h > 0, ce qui signifie qu’il n’y a pas d’extremum local en a. Pour f (n) (a) > 0, le raisonnement est analogue.  Dans le cas n = 2, si f ′ (a) = 0 et f ′′ (a) = 6 0, on a donc un maximum local en a si f ′′ (a) < 0 ou un minimum local en a si f ′′ (a) > 0.

6.8.2

Inégalités

En utilisant l’inégalité de Taylor-Lagrange, on obtient facilement les inégalités classiques suivantes :  5 3 x3 |x| x2 |x|   sin (x) − x + , ≤ , |cos (x) − 1| ≤ ∀x ∈ R, |sin (x) − x| ≤    3! 3! 5! 2   2 x ∀x ∈ R+ , |ex − 1 − x| ≤ ex   2   2    ∀x ∈ R− , |ex − 1 − x| ≤ x 2

6.8.3

Estimation de l’erreur dans la méthode des rectangles

Pour une fonction f suffisamment dérivable, on peut donner, en utilisant la formule de Taylor-Lagrange, un développement asymptotique de l’erreur d’approximation dans la méthode des rectangles à gauche. Par exemple, pour f dans C 3 ([a, b] , R) on a le résultat n−1 b − aX f (xn,k ) . suivant, où on a noté Rn (f ) = n k=0

Z Lemme 6.1 Pour tout f ∈ C ([a, b] , R) , en désignant par F : x 7→ 3

x

f (t) dt la primia

tive de f nulle en a, il existe des réel c1 , c2 , c3 dans [a, b] tels que : 2

b−a (b − a) (f (b) − f (a)) − (f ′ (b) − f ′ (a)) 2 12 4  (b − a)  (3) + f (c1 ) − f (3) (c2 ) + f (3) (c3 ) 24

F (b) = f (a) (b − a) +

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 138 — #148

138

Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor Z

Preuve. La fonction F : x 7→

x

f (t) dt est de classe C 4 sur [a, b] et le théorème de a

Taylor-Lagrange nous dit qu’il existe un réel c1 ∈ ]a, b[ tel que : Z b F (b) = f (x) dx

(6.1)

a

F ′′ (a) F (3) (a) F (4) (c) 2 3 4 (b − a) + (b − a) + (b − a) 2 6 24 f ′ (a) f ′′ (a) f (3) (c1 ) 2 3 4 = f (a) (b − a) + (b − a) + (b − a) + (b − a) 2 6 24 = F (a) + F ′ (a) (b − a) +

On a aussi, avec la formule de Taylor-Lagrange pour f : f (b) = f (a) + f ′ (a) (b − a) +

f (3) (c2 ) f ′′ (a) 2 3 (b − a) + (b − a) 2 6

ce qui donne : f ′ (a) b−a f ′′ (a) f (3) (c2 ) 2 3 4 (b − a) = (f (b) − f (a)) − (b − a) − (b − a) 2 2 4 12 et en reportant dans (6.1) , on obtient : b−a f ′′ (a) f (3) (c2 ) 3 4 (f (b) − f (a)) − (b − a) − (b − a) 2 4 12 f ′′ (a) f (3) (c1 ) 3 4 + (b − a) + (b − a) 6 24 4  b−a f ′′ (a) (b − a)  (3) 3 = f (a) (b − a) + (f (b) − f (a)) − (b − a) + f (c1 ) − f (3) (c2 ) 2 12 24 F (b) = f (a) (b − a) +

De même, avec f ′ (b) = f ′ (a) + f ′′ (a) (b − a) +

f (3) (c3 ) 2 (b − a) , on obtient : 2

f ′′ (a) (b − a) f (3) (c3 ) 3 4 (b − a) = (f ′ (b) − f ′ (a)) − (b − a) 12 12 24 2

et : 2

b−a (b − a) (f (b) − f (a)) − (f ′ (b) − f ′ (a)) 2 12 4  (b − a)  (3) + f (c1 ) − f (3) (c2 ) + f (3) (c3 ) 24

F (b) = f (a) (b − a) +



6.9

Exercices Z

Exercice 6.1.

Montrer que si f : [0, 1] → R est telle que

f (t) dt = 0

alors un point fixe dans ]0, 1[ .

1

1 , elle a 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 139 — #149

Exercices

139 Z

x

x2 est continue sur 2 0 [0, 1] , dérivable sur ]0, 1[ avec g (0) = g (1) = 0. Le théorème de Rolle nous dit alors qu’il existe c ∈ ]0, 1[ tel que g ′ (c) = 0, ce qui signifie f (c) = c. f (t) dt −

Solution. La fonction g définie sur [0, 1] par g (x) =

Exercice 6.2. Soient n ≥ 2, a, b réels et P (x) = xn + ax + b. Montrer que si n est pair, alors P a 0, 1 ou 2 racines réelles et si n est impair, alors P a une, 2 ou 3 racines réelles. Solution. Supposons n pair. On a alors P ′′ (x) = n (n − 1) xn−2 > 0 pour tout réel non nul x et P ′ est strictement croissante sur R de degré impair, elle s’annule donc une fois (théorème des valeurs intermédiaires) et une seule (P ′ est injective). Avec le théorème de Rolle on déduit alors que P s’annule au plus 2 fois. Supposons n impair. Alors P ′ est strictement décroissante sur ]−∞, 0[ , strictement croissante sur ]0, +∞[ , avec P ′ (0) = a. Il en résulte que P ′ a 2 racines réelles −ρ et ρ > 0 si a < 0, 0 pour unique racine réelle si a = 0 et pas de racine réelle si a > 0. Avec la théorème de Rolle, on déduit alors que P a au plus 3 racines réelles. Exercice 6.3. Soient f, g deux fonctions à valeurs réelles non nulles, continues sur [a, b] , dérivables sur ]a, b[ , avec f (a) g (b) = f (b) g (a) . Montrer qu’il existe f ′ (c) g ′ (c) un réel c ∈ ]a, b[ tel que = . f (c) g (c) Solution.

La fonction h définie sur [a, b] par h (x) =

dérivable sur ]a, b[ avec h′ (x) =

g (x) f ′ (x) − f (x) g ′ (x)

f (x) est continue sur [a, b] , g (x)

et h (a) = h (b) . Le théorème 2 g (x) de Rolle nous dit alors qu’il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que h′ (c) = 0, ce qui équivaut à f ′ (c) g ′ (c) = . Pour g constante égale à 1, on retrouve le théorème de Rolle classique. f (c) g (c) Exercice 6.4. Montrer que pour tout entier naturel n et toutes suites de réels (ak )0≤k≤n et (λk )0≤k≤n , les ak étant non tous nuls et les λk deux à deux distincts, n X la fonction fn définie par fn (x) = ak xλk a au plus n racines réelles distinctes k=0

dans R+,∗ .

Solution. On procède par récurrence sur n ≥ 0. Pour n = 0, f0 (x) = a0 xλ0 n’a pas de racine dans R+,∗ puisque a0 est non nul. Supposons le résultat acquis au rang n ≥ 0. n+1 X Si la fonction fn+1 = ak xλk a plus de n + 1 racines distinctes dans R+,∗ , il en est k=0

alors de même de la fonction gn+1 (x) = x−λj fn+1 (x) =

n+1 X

ak xλk −λj , où j compris

k=0

entre 0 et n + 1 est choisi tel que aj = 6 0. Le théorème de Rolle nous dit alors que la n+1 n+1 X X ′ λk −λj −1 fonction dérivée gn+1 (x) = (λk − λj ) ak x = (λk − λj ) ak xλk −λj −1 a plus k=0

k=0 k̸=j

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 140 — #150

140

Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor

de n racines distinctes dans R+,∗ et en conséquence tous les (λk − λj ) ak pour k 6= j sont nuls (hypothèse de récurrence), ce qui entraîne fn+1 (x) = aj xλj , mais cette fonction ne s’annule jamais sur R+,∗ . On aboutit donc à une impossibilité. Montrer que pour tout n ∈ N et tout x ∈ R, on a Pn (x) arctan (x) = n+1 , où Pn est un polynôme de degré n avec n racines (1 + x2 ) réelles distinctes. Exercice 6.5. (n+1)

P0 (x) avec P0 (x) = 1 sans racine réelle. 1 + x2 Pn (x) Supposant le résultat acquis au rang n, la fonction fn définie par fn (x) = n+1 (1 + x2 ) est nulle en ±∞ et en n points distincts, on déduit alors des théorèmes de Rolle (classique sur un compact et généralisé sur un intervalle fermé de longueur infinie) que sa dérivée Pn+1 (x) s’annule en n + 1 points distincts, cette dérivée s’écrivant , où le polynôme 2 )n+2 (1 + x
Pn+1 (x) = 1 + x2 Pn′ (x) − 2 (n + 1) xPn (x) est de degré égal à n + 1 (il a n + 1 racines, ou alors on peut calculer son coefficient dominant). D’où le résultat. En fait, en utilisant une décomposition simples dans C (X) , on peut montrer que ces racines sont  en éléments  kπ les xk = − cotan avec k compris entre 1 et n. n+1 Solution. Pour n = 0, on a arctan′ (x) =

Exercice 6.6. Soient (fk )1≤k≤n et (gk )1≤k≤n deux familles de fonctions à valeurs réelles, continues sur [a, b] , dérivables sur ]a, b[ et telles que gk (a) = 6 gk (b) pour tout k compris entre 1 et n. Monter qu’il existe un réel c dans ]a, b[ tel que n n X X fk (b) − fk (a) . fk′ (c) = gk′ (c) gk (b) − gk (a)

k=1

k=1

Solution. On considère la fonction φ définie sur [a, b] par : φ (x) =

n X

(fk (x) − fk (a) − λk (gk (x) − gk (a)))

k=1

fk (b) − fk (a) pour gk (b) − gk (a) 1 ≤ k ≤ n. Cette fonction est continue sur [a, b] , dérivable sur ]a, b[ avec φ (a) = φ (b) . Le théorème de Rolle nous dit alors qu’il existe un réel c dans ]a, b[ tel que φ′ (c) , ce qui donne le résultat annoncé. où les λk sont choisis tels que φ (a) = φ (b) . On peut prendre λk =

Exercice 6.7. Montrer que la fonction f définie sur R par f (x) = e− x2 pour x 6= 0 et f (0) = 0 est indéfiniment dérivable avec f (n) (0) = 0 pour tout n ∈ N. 1

2 − 12 e x 3 x pour tout x ∈ R∗ , lim f ′ (x) = 0, elle est donc dérivable en 0 de dérivée nulle et f ′ est

Solution. Cette fonction est continue sur R, dérivable sur R∗ avec f ′ (x) = x→0

continue sur R. En supposant, pour n ≥ 1, que f est de classe C n sur R avec f (n) (0) = 0,

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 141 — #151

Exercices

141

  1 1 e− x2 pour x 6= 0, où Pn est une fonction polynomiale de degré 3n, x on déduit que f est de classe C n+1 sur R∗ avec :        1 2 1 1 ′ 1 1 − x12 (n+1) f (x) = Pn − 2 Pn e = Pn+1 e− x 2 3 x x x x x f (n) (x) = Pn

le polynôme Pn+1 étant de degré 3n + 3. Puis avec lim f (n+1) (x) = 0, on déduit que f x→0

est de classe C n+1 sur R avec f (n+1) (0) = 0. Exercice 6.8. Soient n ∈ N∗ et (αk )0≤k≤n une suite de réels deux à deux distincts. Montrer que pour tout polynôme P ∈ Rn [x] de degré n, la famille de polynômes {Pk | Pk (X) = P (X + αk ) , 0 ≤ k ≤ n} est une base de Rn [X] . Solution. Pour P de degré n, la famille P (j)




est échelonnée en degré et il est n X facile de vérifier que c’est une base de Rn [x] . En effet, si P (X) = ak X k alors la 0≤j≤n

k=0

matrice de ce système dans la base canonique de Rn [x] est triangulaire supérieure avec n! an pour éléments diagonaux. En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, on les (n − j)! n X αkj (j) peut écrire que Pk (x) = P (x + αk ) = P (x) , ce qui signifie que la matrice j! j=0   1 (j) de la famille (Pk )0≤k≤n dans la base est la matrice de Vandermonde P j! 0≤j≤n   An = αkj . Dans le cas particulier où les αi sont 2 à 2 distincts cette matrice 0≤j,k≤n Y est inversible (det (An ) = (αk − αi ) = 6 0) et en conséquence (Pk )0≤k≤n est une base de Rn [x] .

0≤i 0. Si f ′′ (a) = 0 c’est alors terminé. On suppose que f ′′ (a) 6= 0. Utilisant la formule de Taylor-Lagrange f ′′ (cx ) 2 à l’ordre 2, on peut écrire que f (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + (x − a) pour tout 2 f (x) réel x 6= a, où cx est un réel compris entre a et x. De lim = 0, on déduit que x |x|→+∞ 2 f ′′ (cx ) (x − a) f ′′ (cx ) lim = −f ′ (a) , ou encore que lim (x − a) = −f ′ (a) . On x→+∞ x→+∞ 2 x 2 f (x) peut donc trouver c1 tel que f ′′ (c1 ) < 0. De même avec lim = 0, on déduit x→−∞ x ′′ f (cx ) que lim (x − a) = −f ′ (a) et il existe c2 tel que f ′′ (c2 ) > 0. Le théorème de x→−∞ 2 Darboux nous assure alors l’existence d’un réel c compris entre c1 et c2 tel que f ′′ (c) = 0.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 142 — #152

142

Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor Exercice 6.10. Soit f : R+ → R deux fois dérivable de dérivée seconde bornée. Montrer que si lim f (x) = 0, on a alors lim f ′ (x) = 0. x→+∞

x→+∞

Solution. On note M = sup |f ′′ (x)| . La formule de Taylor-Lagrange nous permet x∈R+

f ′′ (x + θh h) 2 d’écrire pour x > 0 et h > 0, f (x + h) = f (x)+hf ′ (x)+ h avec 0 < θh < 1 2 f (x + h) − f (x) + M h . Comme lim f (x) = 0, on et on en déduit que |f ′ (x)| ≤ x→+∞ h 2 peut trouver, pour tout réel ε > 0, un réel a > 0 tel que |f (x)| < ε pour tout x > a, donc : ε h ∀x > a, ∀h > 0, |f ′ (x)| ≤ φ (h) = 2 + M h 2 L’étude des variations derla fonction φ sur ]0, +∞[ nous montre que cette fonction at√ ε teint son minimum en 2 et que ce minimum vaut 2 εM . On déduit alors de l’inM √ √ égalité précédente que |f ′ (x)| ≤ 2 M ε pour tout x > a. On a donc ainsi montré que lim f ′ (x) = 0.

x→+∞

Exercice 6.11. Soient f une fonction de classe C n+1 à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvert I et a est un point de I. Pour tout réel h ∈ ]0, b − a[ , on désigne par θh un réel dans ]0, 1[ tel que : f (a + h) =

n X f (k) (a) k=0

k!

hk +

hn+1 (n+1) f (a + θh h) (n + 1)!

Montrer que si f est dérivable à l’ordre n + 2 en a avec f (n+2) (a) non nul, on a 1 alors lim θh = . h→0 n+2 n+2 X


f (k) (a) k h + o hn+2 k! k=0 et avec la formule de Taylor-Lagrange, on déduit par soustraction que : Solution. Avec la formule de Taylor-Young, on a f (a + h) =



 hn+1
f (n+2) (a) n+2 f (n+1) (a + θh h) − f (n+1) (a) = h + o hn+2 (n + 1)! (n + 2)!

f (n+1) (a + θh h) − f (n+1) (a) f (n+2) (a) = +o (1) et avec f (n+2) (a) 6= 0, on déduit θh h n+2 f (n+2) (a) + o (1) 1 n+2 que pour h voisin de 0, on a lim θh = lim f (n+1) (a+θ = . (n+1) (a) h h)−f h→0 h→0 n+2

soit θh

θh h

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 143 — #153

Chapitre 7

Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2

7.1

Équations différentielles linéaires du premier ordre

Pour ce paragraphe, I désigne un intervalle réel d’intérieur non vide et a, b deux fonctions continues de I dans R (ou dans C) et on s’intéresse à l’équation différentielle linéaire du premier ordre y ′ = ay + b. On appelle solution de cette équation différentielle sur I toute fonction dérivable y : I → R telle que y ′ = ay + b. Dans le cas réel, la représentation graphique d’une solution de cette équation différentielle est appelée courbe intégrale. Une équation différentielle de la forme αy ′ + βy + γ = 0 où α, β, γ sont des fonctions continues de I dans R (ou dans C) avec α (x) = 6 0 pour tout x ∈ I se ramène à un β γ problème du type y ′ = ay + b en posant a = − et b = − . α α Pour a = 0, l’équation différentielle y ′ = b revient à calculer les primitives de la fonction b. Z Cette fonction étant continue sur I, on sait que ses primitives sont les fonctions x

x ∈ I 7→

b (t) dt + λ, où x0 est un point fixé de I et λ une constante réelle. x0

Dans un premier temps, on s’intéresse à l’équation homogène associée y ′ = ay. Il est clair que la fonction identiquement nulle est solution de cette équation sur I. Si y : I → R en est une solution non identiquement nulle, il existe alors un réel x0 ∈ I tel que y (x0 ) = 6 0. Supposons que y (x0 ) > 0. Du fait de la continuité de y sur I, on peut trouver un réel η > 0 tel que y (x) > 0 pour tout x dans J = ]x0 − η, x0 + η[∩I et on peut y ′ (x) ′ écrire pour tout x ∈ J, = a (x) , ce qui équivaut à (ln (y (x))) = a (x) ou encore à y (x) ln (y (x)) = A (x) + µ, où A Zest la primitive de a nulle en x0 et µ une constante réelle. On x

a (t) dt la primitive de a nulle en x0 , y (x) = λeA(x) pour

a donc, en notant A (x) = x0

tout x ∈ J, où λ est une constante réelle strictement positive. Dans le cas où la fonction a est constante il est facile de montrer qu’une solution définie sur R et non identiquement nulle de l’équation différentielle y ′ = ay ne s’annule jamais (exercice 7.1).

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 144 — #154

144

Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2 Théorème 7.1. Les solutions sur l’intervalle I de l’équation différentielle y ′ = ay sont les fonc Z x a (t) dt , où x0 est un point de I et λ tions définies sur I par y (x) = λ exp une constante réelle.

x0

Preuve. Au vu de l’étude précédente, on se donne un point x0 dans I, on désigne par A la primitive de a sur I qui est nulle en x0 et à toute fonction y dérivable sur I on associe la fonction z définie sur I par z (x) = y (x) e−A(x) . Cette fonction z est dérivable sur I avec z ′ (x) = (y ′ (x) − a (x) y (x)) e−A(x) et y est solution de l’équation différentielle y ′ = ay sur I si, et seulement si, z ′ (x) = 0 pour tout x ∈ J, ce qui équivaut à dire que z est une fonction constante sur l’intervalle I. On a donc z = λ ∈ R et y = λeA .  Ce théorème peut s’exprimer en disant que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y ′ = ay est un espace vectoriel de dimension 1 engendré par la solution particulière eA . Il nous montre également que si y est une solution non identiquement nulle, elle ne s’annule alors jamais sur I et en conséquence garde un signe constant (théorème des valeurs intermédiaires). Dans le cas particulier où a est une fonction constante sur I = R, les solutions de l’équation y ′ = ay sont les fonctions définies sur R par y (x) = λea(x−x0 ) = γeax . Pour la résolution de l’équation avec second membre y ′ = ay+b, on dispose du résultat suivant. Théorème 7.2. ′ Les solutions sur l’intervalle I de l’équation différentielle Z x y = ay + b sont les fonctions définies sur I par y (x) = u (x) + λ exp a (t) dt , où x0 est un point x0

de I, λ une constante réelle et u une solution particulière sur I de l’équation y ′ = ay + b. Preuve. Si u est une solution particulière sur I de y ′ = ay + b, alors pour toute autre solution y, la fonction v = y − u est solution de y ′ = ay et le résultat se déduit du théorème précédent.  Exemples 7.1 Dans quelques cas particuliers, on peut rechercher une solution particulière du même type que le second membre b. 1. Dans le cas où a est constante et le second membre est de la forme b (x) = P (x) eαx , la fonction P étant polynomiale de degré n ≥ 0 et α étant une constante réelle (ou complexe), on cherche une solution particulière de la forme u (x) = Q (x) eαx avec Q polynomiale. L’équation u′ = au + b est alors équivalente à Q′ + (α − a) Q = P. Pour α = a, on a Q′ = P et Q est une primitive de P, donc de degré deg (P ) + 1. Pour α 6= a, on peut chercher Q de même degré que P et les coefficients du polynôme Q (dans la base canonique de R [X]) sont solutions d’un système triangulaire dont les n X coefficients diagonaux sont tous égaux à α − a. Précisément, si P (X) = pk X k avec k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 145 — #155

Équations différentielles linéaires du premier ordre n ≥ 1, en cherchant Q de la forme Q (X) =

n X

145 qk X k , on a alors :

k=0 n−1 X

((k + 1) qk+1 + (α − a) qk ) xk + (α − a) qn xn =

k=0



n X

pk xk

k=0



   ··· 0 p0 q0  . ..   .. q1   . 0   p1      . .  .  =  .  .. .. .. .. . .   .  . . .  . 0    qn−1   pn−1  0 ··· 0 α−a n  pn qn 0 ··· 0 0 α−a 2. Dans le cas où la fonction a est constante et le second membre est de la forme b (x) = P (x) eαx +Q (x) eβx (ou une somme de p ≥ 2 fonctions de la forme P (x) eαx ), les fonctions P, Q étant polynomiales et α, β étant des constantes réelles (ou complexes), on cherche une solution particulière à chacune des équations y ′ = ay + P eαx et y ′ = ay + Qeβx , puis en faisant la somme de ces solutions on obtient une solution particulière de y ′ = ay + b.    soit    

α−a

1 .. .

0 .. .

3. Soit à résoudre l’équation y ′ − y = cos (x) . Les solutions de l’équation homogène eix + e−ix , on cherche associée sont de la forme y (x) = λex . En écrivant que cos (x) = 2 ±ix e des solutions particulières pour chacune des équations y ′ − y = , ce qui donne 2 sin (x) − cos (x) 1 . u (x) = qeix , (±i − 1) q = et on obtient la solution particulière 2 2 Dans le cas où une solution particulière de l’équation différentielle y ′ = ay + b ne peut être trouvée de manière évidente, on peut utiliser la méthode de Lagrange dite de variation de la constante. Z x  Le réel x0 étant fixé dans I, on dispose de la fonction v : x 7→ exp a (t) dt qui est x0

une solution particulière de l’équation homogène l’équation différentielle y ′ = ay et cette fonction ne s’annule jamais sur I. On peut alors associer à toute fonction y dérivable sur y (x) I la fonction λ définie par λ (x) = . Cette fonction est dérivable sur I avec : v (x) ∀x ∈ I, λ′ (x) =

v (x) y ′ (x) − a (x) v (x) y (x) v (x) y ′ (x) − v ′ (x) y (x) = 2 v (x) v 2 (x)

et y est solution de l’équation différentielle y ′ = ay + b sur I si, et seulement si, λ v (x) (a (x) y (x) + b (x)) − a (x) v (x) y (x) b (x) est solution sur I de λ′ (x) = = , ce qui v 2 (x) v (x) b équivaut à dire que λ est une primitive de sur I, soit : v Z x b (t) ∀x ∈ I, λ (x) = dt + µ = λ0 (x) + µ x0 v (t) En définitive, les solutions de l’équation différentielle y ′ = ay + b sont les fonctions définies sur I par y (x) = (λ0 (x) + µ) v (x) = u (x) + µv (x) , où u = λ0 v est une solution particulière et µ une constante réelle.

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146

Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2

′ Exemple 7.1 Les solutions sur I = R de Z xl’équation différentielle y + 2xy = 1 sont 2 2 2 les fonctions définies sur R par y (x) = et −x dt + µe−x , où µ est une constante 0

réelle. La solution générale de l’équation homogène associée y ′ + 2xy = 0 est de la forme 2 2 y (x) = λe−x . Cherchant une solution particulière de la forme y (x) = λ (x) e−x , on Z x

obtient λ′ (x) = ex , soit λ (x) = 2

2

et dt + µ et la solution générale. 0

Une conséquence importante du théorème précédent est le résultat suivant, cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz. Théorème 7.3. Cauchy-Lipschitz Pour tous x0 ∈ I et y0 ∈ R, l’équation différentielle y ′ = ay + b admet une unique solution qui vérifie la condition initiale y (x0 ) = y0 . Preuve. Une solution de y ′ = ay + b s’écrit y = u + λv, où u est une solution particulière Z et v est la solution de l’équation homogène y ′ = ay définie sur I par x

a (t) dt . La condition y (x0 ) = y0 est alors équivalente à λ = y0 −u (x0 ) ,

v (x) = exp x0

ce qui définit parfaitement la fonction y.  Dans le cas d’une équation différentielle linéaire de la forme αy ′ + βy + γ = 0 où α, β, γ sont des fonctions continues de I dans R (ou dans C), la fonction α s’annulant sur l’intervalle I, les théorème 7.2 et 7.3 ne s’appliquent pas comme le montrent les exemples suivants. Exemples 7.2 1. Considérons l’équation différentielle homogène x2 y ′ − y = 0 sur R. Sur R+,∗ [resp. 1 R−,∗ ] cette équation a pour solution particulière x 7→ e− x , donc si y est solution 1 2 ′ sur R de x y − y = 0, il existe alors deux constantes λ, µ telles que y (x) = λe− x 1 pour x > 0 et y (x) = µe− x pour x < 0. Tenant compte de y (0) = 0 (déduit de 1 x2 y ′ − y = 0) et lim− e− x = +∞, on déduit que la constante µ est nécessairement x→0

nulle. Réciproquement la fonction définie sur R par y (x) = λe− x pour x ≥ 0 et y (x) = 0 pour x < 0 est dérivable et solution de l’équation différentielle et la valeur de y (x0 ) avec x0 < 0 ne peut être imposée. Par exemple, il n’existe pas de solution telle que y (−1) = 1. 1

2. L’équation différentielle xy ′ + y = xn sur R, où n est un entier naturel non nul a une unique solution sur R (exercice 7.5). 3. Considérons l’équation différentielle xy ′ −ny = xn+1 sur R, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Sur R+,∗ [resp. R−,∗ ] l’équation homogène a pour solution particulière x 7→ xn et l’équation avec second membre a pour solution particulière x 7→ xn+1 . On en déduit donc que si y est une solution sur R de xy ′ − ny = xn+1 , il existe alors deux constantes réelles λ, µ telles que y (x) = xn+1 + λxn pour tout x > 0 et y (x) = xn+1 + µxn pour tout x < 0, la condition y (0) = 0 étant bien vérifiée. Réciproquement, pour tous réels λ, µ, la fonction définie sur R par y (x) = xn+1 + λxn pour x > 0 et y (x) = xn+1 + µxn pour x < 0 est bien dérivable pour n ≥ 2 (si n = 1 on a alors yg′ (0) = µ, yd′ (0) = λ et y n’est pas dérivable en 0 si λ 6= µ) et solution de l’équation différentielle. En définitive la solution générale sur R de cette équation différentielle s’écrit en utilisant deux paramètres réels et la seule connaissance

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Équations différentielles d’ordre 1 classiques

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de y (x0 ) n’assure pas l’unicité de la solution. Cette unicité est assurée par la donnée de deux valeurs y (x0 ) et y (x1 ) où x0 , x1 sont non nuls et de signes contraires.

7.2

Équations différentielles d’ordre 1 classiques

Pour ce paragraphe l’analyse de chaque problème se fait sans rigueur (intervalle de définition non précisé, utilisation des différentielles comme un physicien, ...), la synthèse où l’on propose une famille de solutions à notre équation différentielle peut se faire de manière plus rigoureuse.

7.2.1

Équations différentielles à variables séparées

Une équation différentielle à variables séparées est une équation différentielle du type g (y) y ′ = f (x) , où f : I → R et g : J → R sont deux fonctions continues, I et J étant deux intervalles réels non réduit à un point. Le cas où Z g est une fonction constante non f (x) dx + β.

nulle nous ramène à un calcul de primitive y (x) = α

En désignant par F : I → R une primitive de f et G : J → R une primitive de g, une fonction y : I → J est solution de g (y) y ′ = f (x) si, et seulement si, on a ′ (G ◦ y) (x) = G′ (y (x)) y ′ (x) = f (x) = F ′ (x) pour tout x ∈ I, ce qui équivaut à (G ◦ y) (x) = F (x) + α pour tout x ∈ I. Dans le cas où la fonction g ne s’annule pas sur J, elle garde un signe constant sur cet intervalle et la fonction G est strictement monotone, ce qui implique qu’elle est bijective de J sur g (J) (théorème 3.38) et la fonction y : x 7→ G−1 (F (x)) est une solution sur I de notre équation différentielle. De manière intuitive, l’équation Z différentielle Z s’écrit sous la forme g (y) dy = f (x) dx, ce qui donne par primitivation

g (y) dy =

f (x) dx. On en déduit alors y en fonction

de x sur un intervalle à préciser. On fait ensuite la synthèse en vérifiant qu’on a bien obtenu une solution de notre équation différentielle. Exemple 7.2 L’équation différentielle y ′ =

1−y est à variables séparées. En l’écrivant 1+x

dy dx = , on obtient − ln (|1 − y|) = ln (|1 + x|) + α, ce qui donne 1−y 1+x 1 x+λ = ±eα (1 + x) . On en déduit que les fonctions y : x 7→ sont des solutions 1−y x+1 sur I = ]−1, +∞[ . En effet, ces fonctions sont dérivables sur I avec :

sous la forme

y ′ (x) =

1−λ (x + 1)

2

=

1−

Une équation différentielle du type y ′ = φ

x+λ x+1

1+x y

=

1 − y (x) 1+x

sur un intervalle I contenu dans R+,∗ x (ou dans R−,∗ ) est dite homogène. Elle peut se ramener à une équation différentielle à y variables séparées en effectuant le changement de fonction inconnue z = qui donne x φ (z) − z φ (z) = y ′ = xz ′ + z, soit z ′ = . x
Exemple 7.3 L’équation différentielle x2 + y 2 − x · y · y ′ = 0 est homogène (elle s’écrit
x y y ′ = + ). En posant y = x · z pour x > 0, on a 1 + z 2 x2 − x2 z (xz ′ + z) = 0, soit y x

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Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2

p dx z2 ce qui donne = ln (x) + α = ln (λx) et z = 2 ln (λx). x 2 p On en déduit que, pour λ > 0, les fonctions y : x 7 → x 2 ln (λx) sont des solutions sur   1 I= , +∞ . λ xzz ′ = 1 ou encore zdz =

7.2.2

Équations différentielles de Bernoulli

Une équation différentielle de Bernoulli est une équation différentielle de la forme y ′ = ay + by α , où a, b sont deux fonctions continues de I dans R et α un réel différent de 0 et 1 (pour α ∈ {0, 1} , on a une équation linéaire), les solutions cherchées étant à valeurs strictement positives. Le changement de fonction inconnue z = y 1−α nous
y′ z′ = (1 − α) = (1 − α) a + by α−1 , ce qui nous ramène à l’équation linéaire donne z y z ′ = (1 − α) (az + b) . 1 est solution de z ′ + z = −x2 , ce qui donne y ex 2 z (x) = λe−x − (x − 1) − 1 et y (x) = − avec λ < 1 et x ∈ R. 2 (x − 1) + 1 − λ

Exemple 7.4 Pour y ′ = y + x2 y 2 , z =

7.2.3

Équations différentielles de Ricatti

Une équation différentielle de Ricatti est une équation différentielle d’ordre 1 de la forme y ′ = ay 2 + by + c, où a, b, c sont deux fonctions continues de I dans R. Si l’on connaît une solution particulière y1 , en posant y = z + y1 , on se ramène à l’équation de Bernoulli z ′ = (2y1 a + b) z + az 2 .
Exemple 7.5 Pour x2 − x y ′ = −y 2 + (2x + 1)
y − 2x, une solution particulière est y1 (x) = x, puis z = y − x est solution de x2 − x z ′ = −z 2 + z qui peut se résoudre en dz dx λ (x − 1) séparant les variables. On a = 2 , ce qui nous donne z (x) = z − z2 x −x (1 + λ) x − λ λ pour λ > −1 et x > par exemple. 1+λ

7.2.4

Équations différentielles de Lagrange et de Clairaut

Une équation différentielle de Lagrange est une équation différentielle de la forme y = xφ (y ′ )+ψ (y ′ ) , où φ et ψ sont deux fonctions continûment dérivables d’un intervalle J dans R. Pour φ = Id, on a une équation de Clairaut y = xy ′ + ψ (y ′ ) . En cherchant des solutions C 2 sur un intervalle I avec y ′′ (x) = 6 0 pour tout x ∈ I, on ′ ′ y − φ (y ) a y ′ = φ (y ′ ) + xφ′ (y ′ ) y ′′ + ψ ′ (y ′ ) y ′′ , soit = xφ′ (y ′ ) + ψ ′ (y ′ ) . Comme on a y ′′ supposé que y ′′ ne s’annule jamais sur I, la fonction y ′ est strictement monotone, donc bijective de I sur y (I) et on peut effectuer le changement de variable t = y ′ (x) , soit x = f (t) en notant f l’inverse de y ′ , ce qui nous donne : t − φ (t) = (t − φ (t)) f ′ (t) = f (t) φ′ (t) + ψ ′ (t) y ′′ (x)

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Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants

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1 ). Cela nous y ′′ (x) ′ ′ ′ conduit donc à l’équation linéaire (t − φ (t)) z = φ (t) z + ψ (t) . Si cette équation a une solution f bijective d’un intervalle J sur I d’inverse g, alors la fonction y définie sur l’intervalle I par y (x) = xφ (g (x)) + ψ (g (x)) est une solution de l’équation de Lagrange. 1 et : En effet, en posant t = g (x) , on a x = f (t) , g ′ (x) = ′ f (t) (de f (y ′ (x)) = x, on déduit que f ′ (y ′ (x)) y ′′ (x) = 1, soit f ′ (t) =

y ′ (x) = φ (g (x)) + xφ′ (g (x)) g ′ (x) + ψ ′ (g (x)) g ′ (x) = φ (t) +

(t − φ (t)) f ′ (t) f (t) φ′ (t) + ψ ′ (t) = φ (t) + = t = g (x) f ′ (t) f ′ (t)

ce qui nous donne y (x) = xφ (g (x)) + ψ (g (x)) = xφ (y ′ (x)) + ψ (y ′ (x)) . Pour une équation de Clairaut y = xy ′ + ψ (y ′ ) , on obtient par dérivation (x + ψ ′ (y ′ )) y ′′ = 0, soit x = −ψ ′ (y ′ ) si l’on cherche les solutions telles que y ′′ (x) 6= 0 pour tout x ∈ I, ce qui nous donne en reprenant l’équation différentielle de départ : y = xy ′ + ψ (y ′ ) = −ψ ′ (y ′ ) y ′ + ψ (y ′ ) Exemple 7.6 Pour l’équation de Clairaut y = xy ′ − (y ′ ) , on obtient par dérivation x x2 2 (x − 2y ′ ) y ′′ = 0, ce qui donne y ′ = et y (x) = (y ′ (x)) = est une solution sur R 2 4 de notre équation différentielle. 2

7.3

Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants

On se donne trois réels (ou complexes) a, b, c avec a non nul, une fonction f définie sur un intervalle réel I d’intérieur non vide à valeurs réelles (ou complexes) et on s’intéresse à l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants, ay ′′ +by ′ +cy = f. Dans un premier temps, on s’intéresse à l’équation homogène associée, ay ′′ + by ′ + cy = 0. Par analogie au cas des équations différentielles linéaires d’ordre 1, on cherche des solutions exponentielles à cette équation homogène. Lemme 7.1 Pour λ dans C, la fonction x 7→ eλx est solution sur R de l’équation différentielle ay ′′ + by ′ + cy = 0 si, et seulement si, λ est une racine du polynôme P (X) = aX 2 + bX + c. Preuve. Pour λ ∈ C, la fonction yλ : x ∈ R 7→ eλx est indéfiniment dérivable et pour
tout réel x, on a ayλ′′ (x) + byλ′ (x) + cyλ (x) = aλ2 + bλ + c eλx = P (λ) eλx , donc cette fonction est solution sur R de ay ′′ + by ′ + cy = 0 si, et seulement si, λ est racine de P.  Avec les notations du lemme précédent, on dit que le polynôme P = aX 2 + bX + c est le polynôme caractéristique de l’équation différentielle ay ′′ + by ′ + cy = 0. On note ∆ = b2 − 4ac le discriminant de P. Sur C l’équation P (λ) = 0 a au moins une solution λ et la fonction yλ : x 7→ eλx est une solution particulière de ay ′′ + by ′ + cy = 0 qui ne s’annule jamais. On utilise alors la méthode de variation de la constante pour en déduire toutes les solutions de cette équation différentielle. Pour ce faire, on associe à toute fonction y deux fois dérivable de y (x) R dans C, la fonction z définie par z (x) = = e−λx y (x) . Cette fonction z est deux yλ (x)

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Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2

fois dérivable sur R et on a pour tout réel x :  y (x) = z (x) eλx , y ′ (x) = (z ′ (x) + λz eλx
(x)) ′′ ′′ ′ 2 λx y (x) = z (x) + 2λz (x) + λ z (x) e et : ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy (x) = (az ′′ (x) + P ′ (λ) z ′ (x) + P (λ) z (x)) eλx = (az ′′ (x) + P ′ (λ) z ′ (x)) eλx où P ′ (λ) = 2aλ + b. On a ainsi montré le résultat suivant. Lemme 7.2 Si λ ∈ C est une solution de l’équation caractéristique P (λ) = 0, alors une fonction y deux fois dérivable de R dans C est solution de l’équation différentielle ay ′′ + by ′ + cy = 0 si, et seulement si, la dérivée z ′ de la fonction z : x 7→ e−λx y (x) est solution de l’équation différentielle d’ordre 1, aZ ′ + (2aλ + b) Z = 0. On distingue alors deux cas de figure. b . On 2a a alors P ′ (λ) = 0 et avec les notations du lemme on est ramené à l’équation Z ′ = 0. On a donc z ′ = Z = α où α est une constante complexe et z (x) = αx + β, où β est une autre constante complexe. Les solutions de ay ′′ + by ′ + cy = 0 sont alors les fonctions y définies sur R par y (x) = eλx z (x) = (α + βx) eλx . Soit ∆ = 6 0 et l’équation caractéristique a deux racines complexes distinctes λ1 , λ2 et le 2aλ1 +b b lemme utilisé avec λ = λ1 donne Z (x) = γe− a x . En remarquant que − = λ1 + λ2 , a 2aλ1 + b b on a = 2λ1 + = λ1 − λ2 et : a a Soit ∆ = 0 et l’équation caractéristique P (λ) = 0 a une racine double λ = −

z ′ (x) = γe(λ2 −λ1 )x , z (x) =

γ e(λ2 −λ1 )x + α = βe(λ2 −λ1 )x + α λ2 − λ1

où α et β sont deux constantes complexes (si γ décrit C il en est alors de même de γ β= ). Les solutions de ay ′′ + by ′ + cy = 0 sont alors les fonctions y définies sur λ2 − λ1 R par y (x) = eλ1 x z (x) = αeλ1 x + βeλ2 x . On a ainsi montré le résultat suivant. Théorème 7.4. Si ∆ est non nul, alors en notant λ1 , λ2 les solutions complexes (distinctes) de l’équation caractéristique P (λ) = 0, les solutions définies sur R et à valeurs complexes de l’équation différentielle ay ′′ + by ′ + cy = 0 sont les fonctions définies sur R par y (x) = αeλ1 x + βeλ2 x , où α, β sont deux constantes complexes. Dans le cas où ∆ = 0, en notant λ l’unique solution complexe de l’équation caractéristique P (λ) = 0, les solutions définies sur R et à valeurs complexes sont les fonctions définies sur R par y (x) = (α + βx) eλx , où α, β sont deux constantes complexes. Ce théorème est un cas particulier d’un résultat plus général qui est le théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations différentielles linéaires d’ordre n (à coefficients non nécessairement constant). Précisément, le théorème précédent peut aussi se traduire comme suit.

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Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants

151

Corollaire 7.1. Soit (a, b, c) ∈ C3 avec a = 6 0. L’ensemble des solutions définies sur R et à valeurs complexes de l’équation différentielle ay ′′ +by ′ +cy = 0 est un Cespace vectoriel de dimension 2. Pour tous x0 ∈ R et y0 , z0 dans C, cette équation différentielle admet une unique solution définie sur R qui vérifie les conditions initiales y (x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = z0 . Preuve. En remarquant que, dans le cas où λ1 6= λ2 , les fonctions u1 : x 7→ eλ1 x et v1 : x 7→ eλ2 x (cas ∆ 6= 0) sont linéairement indépendantes et que, pour λ ∈ C, les fonctions u2 : x 7→ eλx et v2 : x 7→ xeλx (cas ∆ = 0) sont aussi linéairement indépendantes, (si αuj + βvj = 0, alors αu′j + βvj′ = 0 et pour x = 0 on aboutit à un système linéaire de déterminant non nul) on déduit du théorème précédent que l’ensemble S des solutions définies sur R et à valeurs complexes de l’équation différentielle ay ′′ +by ′ +cy = 0 est un espace vectoriel de dimension 2 sur C. Le deuxième point revient à montrer que l’application φ : y 7→ (y (x0 ) , y ′ (x0 )) réalise une bijection de S sur C2 . Cette application étant linéaire entre espaces vectoriels de même dimension, il suffit de montrer que son noyau est réduit à {0} , ce qui se déduit encore du fait que le déterminant du système :  y (x0 ) = αu1 (x0 ) + βv1 (x0 ) = 0 y ′ (x0 ) = αu′1 (x0 ) + βv1′ (x0 ) = 0 est non nul (il vaut e(λ1 +λ2 )x0 (λ2 − λ1 ) dans le cas où ∆ 6= 0 et e2λx0 dans le cas où ∆ = 0).  Dans le cas où les coefficients a, b, c sont réels et où on s’intéresse aux solutions à valeurs réelles, on a le résultat suivant. Théorème 7.5. Dans le cas où les coefficients a, b, c sont réels, avec a non nul, on a l’une des possibilités suivantes : — ∆ est strictement positif et alors, en notant λ1 , λ2 les solutions réelles (distinctes) de l’équation caractéristique, les solutions définies sur R et à valeurs réelles de l’équation différentielle ay ′′ +by ′ +cy = 0 sont les fonctions définies sur R par y (x) = αeλ1 x + βeλ2 x , où α, β sont deux constantes réelles ; — ∆ = 0 et alors, notant λ la racine double de l’équation caractéristique, les solutions définies sur R et à valeurs réelles de ay ′′ + by ′ + cy = 0 sont les fonctions définies sur R par y (x) = (αx + β) eλx , où α, β sont deux constantes réelles ; — ∆ est strictement négatif et alors, en notant λ = u + iv, λ = u − iv les solutions complexes conjuguées de l’équation caractéristique avec (u, v) dans R × R∗ , les solutions définies sur R et à valeurs réelles sont les fonctions définies sur R par y (x) = (α cos (vx) + β sin (vx)) eux , où α, β sont deux constantes réelles. Preuve. Les cas ∆ > 0 et ∆ = 0 se traitent comme dans le cas complexe. Dans le cas où ∆ est strictement négatif, les solutions à valeurs complexes sont les fonctions définies par :
∀x ∈ R, y (x) = γeivx + δe−ivx eux (7.1)

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 152 — #162

152

Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2

où γ, δ sont des constantes complexes. En particulier les fonctions à valeurs réelles :   1 ivx 1 −ivx ux ux x 7→ e cos (vx) = e + e e 2 2   1 ivx 1 e − e−ivx eux x 7→ eux sin (vx) = 2i 2i sont solutions de ay ′′ + by ′ + cy = 0 et il en est de même de toute combinaison linéaire réelle. Réciproquement si y est une solution réelle de ay ′′ + by ′ + cy = 0, c’est également une solution complexe, donc de la forme (7.1) et la condition y à valeurs réelles se traduit par y (x) = y (x) pour tout
réel x, ce qui équivaut à γeivx +δe−ivx = γe−ivx +δeivx encore équivalent à δ−γ = δ − γ e2ivx pour tout réel x. En dérivant cette relation, on en déduit qu’elle équivaut à δ = γ puisque v est non nul. On a donc :
γeivx + δe−ivx = γeivx + γeivx = 2 Re γeivx = α cos (vx) + β sin (vx) avec α, β réels.  Comme dans le cas complexe, en vérifiant que les fonctions qui interviennent dans l’expression des solutions sont linéairement indépendantes, on déduit le résultat suivant. Corollaire 7.2. Soit (a, b, c) ∈ R3 avec a = 6 0. L’ensemble des solutions définies sur R et à valeurs réelles de l’équation différentielle ay ′′ + by ′ + cy = 0 est un Respace vectoriel de dimension 2. Pour tous x0 ∈ R et y0 , z0 dans R, cette équation différentielle admet une unique solution définie sur R et qui vérifie les conditions initiales y (x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = z0 .

Exemples 7.3 1. Pour tout réel ω 6= 0, les solutions sur R de l’équation différentielle y ′′ + ω 2 y = 0 sont les fonctions définies par y (x) = α cos (ωx) + β sin (ωx) . 2. Pour tout réel ω 6= 0, les solutions sur R de l’équation différentielle y ′′ − ω 2 y = 0 sont les fonctions définies par y (x) = αeωx + βe−ωx .

Définition 7.1. Soit (a, b, c) ∈ R3 avec a 6= 0. On appelle système fondamental de solutions de l’équation différentielle linéaire ay ′′ + by ′ + cy = 0 toute base de solutions sur R. La connaissance d’un système fondamental (u, v) de solutions permet de trouver des solutions particulières de l’équation avec second membre ay ′′ + by ′ + cy = f, où f est une fonction continue de I dans R en utilisant la méthode de variation des constantes. Pour ce faire, on cherche une solution particulière de la forme y = λu + µv, où λ, µ sont des fonctions de classe C 2 de I dans R. Cela nous donne :  ′ y = λ′ u + λu′ + µ′ v + µv ′ y ′′ = λ′′ u + λu′′ + 2 (λ′ u′ + µ′ v ′ ) + µ′′ v + µv ′′ et l’équation ay ′′ + by ′ + cy = f devient, compte tenu du fait que au′′ + bu′ + cu = 0 et av ′′ + bv ′ + cv = 0 : a (λ′′ u + 2 (λ′ u′ + µ′ v ′ ) + µ′′ v) + b (λ′ u + µ′ v) = f

(7.2)

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 153 — #163

Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants

153

En imposant la condition λ′ u + µ′ v = 0 (ce que l’on peut faire du fait que l’on cherche une solution particulière), on a λ′′ u+λ′ u′ +µ′ v ′ +µ′′ v = 0, soit λ′′ u+µ′′ v = − (λ′ u′ + µ′ v ′ ) et (7.2) devient a (λ′ u′ + µ′ v ′ ) = f. En définitive, pour tout x ∈ I, (λ′ (x) , µ′ (x)) est solution du système linéaire : (

u (x) λ′ (x) + v (x) µ′ (x) = 0 u′ (x) λ′ (x) + v ′ (x) µ′ (x) =

f (x) a

(7.3)

Le déterminant de ce système est le wronskien w (x) = u (x) v ′ (x) − u′ (x) v (x) . Les fonctions u et v sont de classe C 2 sur I et la fonction w = uv ′ − u′ v est dérivable sur I de dérivée w′ = uv ′′ − u′′ v. De l’équation ay ′′ + by ′ + cy = 0 vérifiée par u et v, on déduit que :  auv ′′ + buv ′ + cuv = 0 avu′′ + bvu′ + cvu = 0 et par soustraction, on a a (uv ′′ − u′′ v) + b (uv ′ − u′ v) = 0, c’est-à-dire que w est solution sur I de l’équation différentielle linéaire d’ordre 1, aw′ + bw = 0. Ce qui nous donne b l’expression du wronskien, w (x) = w (x0 ) e− a (x−x0 ) où x0 est un point quelconque de I. Si w s’annule en un point x0 ∈ I, il est alors identiquement nul sur I et les fonctions u, v sont linéairement dépendantes. En effet si u n’est pas la fonction nulle, pour x1 dans I v (x1 ) u est solution de ay ′′ + by ′ + cy = 0 avec tel que u (x1 ) 6= 0 la fonction y = v − u (x1 ) v (x1 ) ′ w (x1 ) les conditions initiales y (x1 ) = 0 et y ′ (x1 ) = v ′ (x1 ) − u (x1 ) = = 0, c’est u (x1 ) u (x1 ) donc la fonction nulle (corollaire 7.1) et les fonctions u, v sont proportionnelles. En conclusion, ce déterminant wronskien ne s’annule jamais sur I et pour tout x ∈ I, le système (7.3) a pour solution : 0 u (x) 0 f (x) v (x) u′ (x) f (x) v ′ (x) v (x) f (x) ′ u (x) f (x) a a λ′ (x) = =− , µ (x) = = w (x) aw (x) w (x) aw (x) et une solution particulière de ay ′′ + by ′ + cy = f est donnée par : Z x u (t) v (x) − v (t) u (x) y0 (x) = f (t) dt aw (t) x0 où x0 est un point fixé dans I. Pour toute autre solution y de cette équation différentielle, la fonction y − y0 est solution de l’équation homogène associée, donc combinaison linéaire des fonctions u et v, ce qui donne y (x) = λu (x) + µv (x) + y0 (x) comme expression de la solution générale de ay ′′ + by ′ + cy = f sur I, où λ, µ sont deux constantes. La méthode de variation de la constante peut aussi être utilisée dans le cas d’une équation différentielle linéaire ay ′′ +by ′ +cy = 0 d’ordre 2 à coefficients non nécessairement constants, la fonction a ne s’annulant pas sur un intervalle I. Si on dispose d’une solution y particulière u qui ne s’annule pas sur I, alors la dérivée z ′ de la fonction z = est u solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1, ce qui nous ramène à des calculs de primitives.

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154

Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2

7.4

Exercices

Exercice 7.1. Montrer, sans utiliser la fonction exponentielle, qu’une solution définie sur R et non identiquement nulle de l’équation différentielle y ′ = y ne s’annule jamais. Solution. Soient f une solution définie sur R et non identiquement nulle de l’équation différentielle y ′ = y et x0 ∈ R tel que f (x0 ) 6= 0. La fonction g définie sur R par g (x) = f (x0 + x) f (x0 − x) est dérivable avec : g ′ (x) = f ′ (x0 + x) f (x0 − x) − f (x0 + x) f ′ (x0 − x) = g (x) − g (x) = 0 elle est donc constante égale à g (0) = f 2 (x0 ) > 0. Il en résulte que f ne s’annule jamais sur R. Par continuité, on peut préciser en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires,qu’elle garde un signe constant. Exercice 7.2. Résoudre l’équation différentielle y ′ + 2y = b sur R, la fonction b étant définie sur R par b (x) = 1 − |x| pour |x| ≤ 1 et b (x) = 0 pour |x| > 1. Z Solution. Prenant x0 = −1, on a A (x) =

x

−1

(−2) dt = −2 (x + 1) et les solutions de

−2(x+1) l’équation différentielle sont de la forme , où λ ∈ R et u est Z x y (x) = (λ + u (x)) e 2(t+1) la fonction définie sur R par u (x) = b (t) e dt. Pour x ≤ 1, on a u (x) = 0 ; pour −1 Z x Z 1+x
1 (1 + 2x) e2(x+1) + 1 ; −1 < x ≤ 0, on a u (x) = (t + 1) e2(t+1) dt = te2t dt = 4 −1 0 pour 0 < x ≤ 1, on a : Z 0 Z x Z x
1 2 u (x) = (t + 1) e2(t+1) dt + (1 − t) e2(t+1) dt = e +1 + (1 − t) e2(t+1) dt 4 −1 0 0  1  1 2 2(x+1) 2 2 = e + 1 + (3 − 2x) e − 3e = 1 − 2e + (3 − 2x) e2(x+1) 4 4 Z 1
1 et pour x > 1, on a u (x) = b (t) e2(t+1) dt = 1 − 2e2 + e4 . En résumé, on a : 4 −1    0 si x ≤ −1 1  (1 + 2x) e2(x+1) + 1 si − 1 < x ≤ 0 u (x) = 1 − 2e2 + (3 − 2x) e2(x+1) si 0 < x ≤ 1 4   1 − 2e2 + e4 si x > 1

Exercice 7.3. On se fixe un point x0 ∈ I. Montrer, dans le cas réel, que les tangentes aux courbes intégrales de l’équation différentielle y ′ = ay + b en x0 sont parallèles ou concourantes. Solution. Si u, v sont les solutions de y ′ = ay + b telles que u (x0 ) = u0 et v (x0 ) = v0 avec u0 = 6 v0 (ce qui équivaut à u 6= v), les tangentes au graphe de u et v en x0 sont alors

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Exercices

155

les droites d’équations respectives : Y − u0 = u′ (x0 ) (X − x0 ) = (a (x0 ) u0 + b (x0 )) (X − x0 ) Y − v0 = (a (x0 ) v0 + b (x0 )) (X − x0 ) Ces droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont même pente, ce qui équivaut à a (x0 ) u0 + b (x0 ) = a (x0 ) v0 + b (x0 ) , soit à a (x0 ) u0 = a (x0 ) v0 . Pour a (x0 ) = 0, cela est toujours réalisé et toutes ces tangentes sont parallèles. Sinon, ces tangentes ne sont pas parallèles (on a u0 = 6 v0 ) et le point d’intersection (X, Y ) de ces tangentes est défini par :  Y − u0 = (a (x0 ) u0 + b (x0 )) (X − x0 ) Y − v0 = (a (x0 ) v0 + b (x0 )) (X − x0 ) 

soit :

(a (x0 ) u0 + b (x0 )) X − Y = −u0 + (a (x0 ) u0 + b (x0 )) x0 (a (x0 ) v0 + b (x0 )) X − Y = −v0 + (a (x0 ) v0 + b (x0 )) x0

Par soustraction, on a a (x0 ) (v0 − u0 ) X = (v0 − u0 ) (−1 + a (x0 ) x0 ) , ce qui nous donne 1 b (x0 ) X=− + t0 et Y = − (pour a (x0 ) = 0, on retrouve le point à l’infini comme a (x0 ) a (x0 ) point d’intersection). Les coordonnées de ce point étant indépendantes des valeurs u0 et v0 , on en déduit que toutes ces tangentes sont concourantes. Exercice 7.4. Soient a, b deux fonctions continues et périodiques sur R de même période T > 0, la fonction b n’étant pas identiquement nulle. 1. Montrer qu’une solution y de l’équation différentielle y ′ = ay + b est T périodique si, et seulement si, y (0) = y (T ) . 2. Montrer que si l’équation homogène y ′ = ay a une solution non identiquement nulle qui est non T -périodique, il existe alors une unique solution T -périodique de l’équation différentielle y ′ = ay + b. 3. On suppose que l’équation homogène y ′ = ay a une solution T -périodique non identiquement nulle. Montrer que l’équation l’équation différentielle y ′ = ay +b Z T a des solutions T -périodiques si, et seulement si, b (t) e−A(t) dt = 0, où A est la primitive de a nulle en 0.

0

Solution. 1. Il est clair que si y est une solution T -périodique de l’équation y ′ = ay + b, on a alors y (0) = y (T ) . Réciproquement supposons que y soit une solution de y ′ = ay + b telle que y (0) = y (T ) . La fonction z définie sur R par z (x) = y (x + T ) − y (x) est dérivable avec : z ′ (x) = y ′ (x + T ) − y ′ (x) = a (x + T ) y (x + T ) + b (x + T ) − a (x) y (x) − b (x) = a (x) (y (x + T ) − y (x)) = a (x) z (x) et z (0) = y (T ) − y (0) = 0, ce qui équivaut à z = 0 (unicité de la solution d’un problème de Cauchy) et y est T -périodique. 2. Les solutions de l’équation différentielle y ′ = ay + b sont y définies sur  Z xles fonctions R par y (x) = u (x) + µv (x) , où µ ∈ R, v (x) = exp a (t) dt et u une solution 0

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156

Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2

particulière. Dire que v (qui est solution de y = ay) n’est pas T -périodique équivaut Z T à dire que v (T ) = 6 v (0) = 1, ce qui est encore équivalent à a (t) dt 6= 0 et une solution T -périodique de y ′ = ay + b est caractérisée par :

0

y (0) = u (0) + µ = y (T ) = u (T ) + µv (T ) u (T ) − u (0) , ce qui détermine µ et en conséquence y de manière unique. 1 − v (T ) Par exemple, pour a réel non nul, l’équation homogène y ′ = ay a pour solution non triviale v (x) = eax qui n’est pas périodique (elle est strictement monotone) et l’unique −a cos (x) + sin (x) solution 2π-périodique de y ′ = ay +cos (x) est u (x) = (on cherche a2 + 1 une solution particulière de la forme α cos (x) + β sin (x)). les fonctions y définies  Z sont x a (t) dt et u une solution sur R par y (x) = u (x) + µv (x) , où µ ∈ R, v (x) = exp soit par µ =

0

particulière. Dire que v (qui est solution de y = ay) n’est pas T -périodique équivaut Z T à dire que v (T ) = 6 v (0) = 1, ce qui est encore équivalent à a (t) dt 6= 0 et une 0

solution T -périodique est caractérisée par y (0) = u (0) + µ = y (T ) = u (T ) + µv (T ) , u (T ) − u (0) soit par µ = , ce qui détermine µ et en conséquence y de manière unique. 1 − v (T ) Par exemple, pour a réel non nul, l’équation homogène y ′ = ay a pour solution non triviale v (x) = eax qui n’est pas périodique (elle est strictement monotone) et l’unique −a cos (x) + sin (x) solution 2π-périodique de y ′ = ay +cos (x) est u (x) = (on cherche a2 + 1 une solution particulière de la forme α cos (x) + β sin (x)). 3. Les solutions de l’équation différentielle y ′ = ay + b sont les fonctions y définies sur R par y (x) = u (x) + µv (x) , où µ ∈ R, v (x) = exp (A (x)) et : Z x Z x b (t) u (x) = v (x) dt = v (x) b (t) e−A(t) dt 0 v (t) 0 Une solution T -périodique est caractérisée par : Z T y (0) = µ = y (T ) = v (T ) b (t) e−A(t) dt + µv (T ) 0

Dans le cas où v est T -périodique, on v (T ) = v (0) = 1 et cette condition est équivaZ T lente à b (t) e−A(t) dt = 0. Dans ce cas, toutes les solutions sont T -périodiques. Par 0

exemple, l’équation homogène y ′ = cos (x) y a pour solution non triviale v (x) = esin(x) Z 2π qui est 2π-périodique et pour b (x) = sin (2x) , on a sin (2t) e− sin(t) dt = 0 et la solution générale est :

0

Z

y (x) = esin(x)

x

sin (2t) e− sin(t) dt + µesin(x)

  sin(x) sin(x) + µesin(x) = 2esin(x) 1 − sin (x) e− 2 − e− 2   sin(x) = 2 esin(x) − e 2 (sin (x) + 1) + µesin(x) 0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 157 — #167

Exercices

157

Exercice 7.5. Montrer que, pour n ∈ N∗ , l’équation différentielle xy ′ + y = xn sur R a une unique solution sur R. Solution. Sur R+,∗ [resp. sur R−,∗ ] l’équation homogène xy ′ + y = 0 a pour solution 1 λ particulière x 7→ . Une fonction y = est solution de xy ′ + y = xn sur R+,∗ [resp. x x xn+1 sur R−,∗ ] si, et seulement si, λ est solution de λ′ = xn , ce qui donne λ (x) = et n+1 n x y (x) = pour solutions particulières. On en déduit donc que si y est solution sur n+1 xn λ R de xy ′ + y = xn , il existe alors deux constantes λ, µ telles que y (x) = + n + 1 x xn µ pour x > 0 et y (x) = + pour x < 0. Tenant compte de y (0) = 0 (déduit de n+1 x ′ n xy + y = x avec n ≥ 1), on déduit que les constantes λ et µ sont nécessairement nulles. xn Réciproquement la fonction définie sur R par y (x) = est solution de l’équation n+1 différentielle. En définitive cette équation différentielle a une unique solution sur R. Exercice 7.6. Résoudre l’équation différentielle xy ′ − y = intervalle à préciser.

p x2 + y 2 sur un

r  y 2 y ). En posant Solution. Cette équation différentielle est homogène (y = + 1 + x x √ √ y = x · z pour x > 0, on a x (xz ′ + z) − xz = x z 2 + 1, soit xz ′ = z 2 + 1 ou encore √ √
dz dx √ = ce qui donne ln z + z 2 + 1 = ln (λx) et z + z 2 + 1 = λx. On vérifie 2 x z +1 λ 2 x2 − 1 que, pour λ = 6 0, les fonctions y : x 7→ sont des solutions sur R. 2λ ′

Exercice 7.7. Résoudre l’équation différentielle xy ′ + y = ln (x) y 2 sur un intervalle à préciser. 1 , on y z ln (x) z aboutit à l’équation linéaire z ′ = − . Les solutions de l’équation homogène z ′ = x x x sont les fonctions x 7→ z (x) = λx sur R+,∗ . En utilisant la méthode de variation de la ln (x) constante λ, on aboutit à λ′ = − 2 et une intégration par parties donne : x Z 1 ln (x) 1 λ (x) = − ln (x) dx = + +µ 2 x x x

Solution. Cette équation différentielle est du type Bernoulli. En posant z =

On a donc z (x) = ln (x) + 1 + µx, soit y (x) = ln (x) + 1 + µx 6= 0.

1 pour x > 0 tel que ln (x) + 1 + µx

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 158 — #168

158

Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2 Exercice 7.8.

On considère sur R l’équation différentielle :

x2 + 1 y ′′ + x2 − 2x + 1 y ′ − 2xy = 0

(7.4)

1. En posant z = y + y ′ , déterminer et résoudre l’équation différentielle linéaire du premier ordre vérifiée par z. 2. En déduire les solutions de l’équation différentielle (7.4) . Solution.


′ 2 1. Notre équation différentielle s’écrit x + 1 (y + y ′′ ) =
2x (y + y ′ ) , soit en notant
z = y + y ′ , x2 + 1 z ′ = 2xz qui donne z (x) = λ 1 + x2 pour tout réel x, où λ est une constante réelle.
2. Si y est solution de (7.4) , on a alors y + y ′ = λ 1 + x2 . Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions définies sur R par y (x) = µe−x et
en utilisant la méthode de variation de la constante, on aboutit à µ′ (x) = λ 1 + x2 ex , ce qui nous donne
µ (x) = λex 3
− 2x + x2 comme solution particulière et les solutions y (x) = µe−x + λ 3 − 2x + x2 de (7.4) . Exercice 7.9.

On s’intéresse à l’équation différentielle : p

1 + x2 y ′′ + 2x 1 + x2 y ′ + y = 1 + x2

(7.5)

1. En effectuant le changement de variable x = tan (t) , montrer que l’on peut se ramener à une équation différentielle à coefficients constants. 2. Donner toutes les solutions réelles de cette équation différentielle. Solution.

i π πh 1. Pour tout y ∈ C 2 (R, R) , on définit la fonction z : − , → R par z (t) = y (tan (t)) . 2 2 i π πh Cette fonction z est de classe C 2 sur − , avec : 2 2
 ′ z (t) = 1 + tan2 (t) y ′ (tan (t))
2
z ′′ (t) = 1 + tan2 (t) y ′′ (tan (t)) + 2 tan (t) 1 + tan2 (t) y ′ (tan (t)) i π πh sur R, la fonction y est solution sur R Comme tan réalise une bijection de − , 2 2 i π πh de : de (7.5) si, et seulement si, la fonction z est solution sur − , 2 2 p
2
1 z ′′ (t) = 1 + x2 y ′′ (x) + 2x 1 + x2 y ′ (x) = −y (x) + 1 + x2 = −z (t) + cos (t) 2. Une base de solutions de l’équation z ′′ +z = 0 est (z1 , z2 ) , où z1 (t) = cos (t) , i π homogène πh z2 (t) = sin (t) pour tout t ∈ − , . La méthode de variation des constantes nous 2 2 fournit la solution particulière z0 définie par : Z t  Z t  cos(u) sin(u) z0 (t) = cos(u) du sin (t) − cos(u) du cos (t) = t sin (t) + ln (cos (t)) cos (t) 0

0

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Exercices

159

et la solution générale est de la forme z (t) = (t + α) sin (t) + (ln (cos (t)) + β) cos (t) , où α, β sont deux constantes réelles. Ce qui donne pour y (x) = z (arctan (x)) : y (x) = (arctan (x) + α) sin (arctan (x)) + (ln (cos (arctan (x))) + β) cos (arctan (x)) 1 tan (t) x 1 , cos (t) = p avec Utilisant sin (t) = p =√ =√ 2 2 2 1+x 1 + x2 1 + tan (t) i 1π +πtan h (t) x = tan (t) et t ∈ − , , cela s’écrit : 2 2  p  x 1 √ + β − ln y (x) = (arctan (x) + α) √ 1 + x2 2 1+x 1 + x2 √
αx + β + x arctan (x) − ln 1 + x2 √ = 1 + x2

Exercice 7.10.

Résoudre l’équation différentielle y ′′ + y =

1 . cos (x)

i π πh Solution. On cherche les solutions sur I = − , . L’équation homogène associée 2 2 ′′ est y + y = 0 de solution générale y (x) = λ cos (x) + µ sin (x) , où λ, µ sont deux constantes réelles. On utilise la méthode de variation des constantes pour trouver une 1 solution particulière y0 de y ′′ + y = du type y0 = λ cos +µ sin, ce qui conduit au cos (x) système   cos (x) λ′ (x) + sin (x) µ′ (x) = 0 1  − sin (x) λ′ (x) + cos (x) µ′ (x) = cos (x) de solution λ′ (x) = −

sin (x) = − tan (x) , µ′ (x) = 1 et la solution générale : cos (x)

y(x) = λ cos (x) + µ sin (x) + ln (cos (x)) cos(x) + x sin(x) Exercice 7.11. Soit ω un réel strictement positif. Résoudre sur R l’équation différentielle y ′′ − ω 2 y = f, où f est une fonction continue de R dans R. Traiter le cas où f (x) = ch (ωx) pour tout x ∈ R. Solution. 1. Un système fondamental de solutions l’équation homogène y ′′ − ω 2 y = 0 est alors donné par f1 (x) = e−λx et f2 (x) = eλx . Le déterminant wronskien est donné par w (x) = f1 (x) f2′ (x) − f1′ (x) f2 (x) = 2λ et la méthode de variation des constantes nous donne la solution particulière f0 définie sur R par : Z x f1 (t) f2 (x) − f2 (t) f1 (x) f0 (x) = φ (t) dt w (t) 0 Z x  Z x   1 −λt λx λt −λx = e φ (t) dt e − e φ (t) dt e 2λ 0 0 Les solutions réelles de cette équation différentielle sont donc les fonctions f définies sur R par f (x) = f0 (x) + αe−λx + βeλx , où α, β sont deux constantes réelles.

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Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2

  1 eλx − e−λx 2. Pour φ : x 7→ eλx , on a f0 (x) = xeλx − et pour φ : x 7→ e−λx , 2λ 2λ   eλx + e−λx 1 eλx − e−λx −λx − xe , donc pour φ : x 7→ ch (λx) = , on a f0 (x) = 2λ 2λ 2 λx −λx 1 e −e 1 la fonction f0 (x) = x = x sh (λx) est solution particulière de notre 2λ 2 2λ équation différentielle. La solution générale de cette équation différentielle étant de la 1 forme f : x 7→ x sh (λx) + αe−λx + βeλx , où α, β sont deux constantes réelles. 2λ Exercice 7.12. Soit ω un réel strictement positif. Résoudre sur R l’équation différentielle y ′′ + ω 2 y = f, où f est une fonction continue de R dans R. Traiter le cas où f (x) = cos (ωx) pour tout x ∈ R. Solution. 1. On a une équation différentielle linéaire à coefficients constants de polynôme minimal P (X) = X 2 + λ2 qui a deux racines complexes distinctes −iλ et iλ, donc un système fondamental de solutions réelles est donné par f1 (x) = cos (λx) et f2 (x) = sin (λx) . Le déterminant wronskien est donné par w (x) = f1 (x) f2′ (x) − f1′ (x) f2 (x) = λ et la méthode de variation des constantes nous donne la solution particulière f0 définie sur R par : Z x f1 (t) f2 (x) − f2 (t) f1 (x) f0 (x) = φ (t) dt w (t) 0 Z x  Z x   1 = cos (λt) φ (t) dt sin (λx) − sin (λt) φ (t) dt cos (λx) λ 0 0 Les solutions réelles de cette équation différentielle sont alors les fonctions f définies sur R par f (x) = f0 (x) + α cos (λx) + β sin (λx) , où α, β sont deux constantes réelles. 2. Pour φ (x) = cos (λx) , on a : Z x  Z x   1 f0 (x) = cos2 (λt) dt sin (λx) − sin (λt) cos (λt) dt cos (λx) λ 0 Z0 x  Z x   1 = (cos (2λt) + 1) dt sin (λx) − sin (2λt) dt cos (λx) 2λ 0  0     sin (2λx) 1 − cos (2λx) 1 x+ sin (λx) − cos (λx) = 2λ 2λ 2λ La solution générale étant de la forme :      1 sin (2λx) 1 − cos (2λx) f (x) = x+ sin (λx) − cos (λx) 2λ 2λ 2λ + α cos (λx) + β sin (λx)     sin (2λx) cos (2λx) x + + β sin (λx) + + γ cos (λx) = 2λ 4λ2 4λ2 où β, γ sont deux constantes réelles.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 161 — #171

Chapitre 8

Séries numériques

Soient n0 un entier naturel et (un )n≥n0 une suite de nombres complexes. Étudier la série de terme général un revient à étudier la suite (Sn )n≥n0 des sommes partielles définie n X X par Sn = uk pour tout n ≥ n0 . On notera plus simplement un . On dit que un k=n0

est le terme d’indice n et Sn la somme partielle d’indice n. On supposera, a priori, que n0 = 0 (par changement d’indice, on peut toujours se ramener à ce cas).

8.1

Convergence d’une série numérique

Une série numérique est une série à termes réels ou complexes. X Définition 8.1. On dit que la série un est convergente si la suite de ses sommes partielles (Sn )n∈N est convergente. Dans le cas contraire, on dit que la série est divergente. Dans le cas où la série (Sn )n∈N et on dit que

+∞ X

+∞ X X un est convergente, on notera un la limite de la suite n=0

un est la somme de la série de terme général un . On peut alors

n=0

définir la suite (Rn )n∈N des restes de cette série convergente par : ∀n ∈ N, Rn =

+∞ X n=0

un − Sn =

+∞ X

uk −

k=0

n X

uk

k=0

On dit, pour tout entier n ∈ N, que Rn est le reste d’ordre n de la série convergente +∞ X X un et on note Rn = uk . Cette suite (Rn )n∈N converge vers 0. La convergence de la série

X

k=n+1

un se traduit donc par : +∞ X ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , uk < ε k=n+1

Une condition nécessaire de convergence, élémentaire mais souvent utile pour justifier la divergence d’une série, est donnée par le résultat suivant.

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162

Séries numériques Théorème 8.1. X Si la série un est convergente, la suite (un )n∈N converge alors vers 0.

Preuve. Résulte immédiatement de un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 1.



Exemple 8.1 Pour |a| ≥ 1, la suite (an )n∈N ne converge pas vers 0, en conséquence la X série géométrique an diverge. La réciproque duthéorème précédent est fausse comme le montrent les exemples des X  X1 1 séries ln 1 + et (exercices 8.2 et 8.4). En fait, dans le cas où la suite n n (un )n∈N est réelle décroissante, on a le résultat plus précis suivant. Théorème 8.2. Soit (un )n∈N une suite de réels positifs décroissante. Si la série gente, la suite (nun )n∈N

X

un est conver  1 converge alors vers 0, c’est-à-dire que un = o . n→+∞ n

Preuve. Pour n > m ≥ 1, on a

n X

uk ≥ (n − m + 1) un , soit :

k=m

0 ≤ nun ≤

n X

uk + (m − 1) un ≤

k=m

Comme +∞ X k=m0

lim

m→+∞

+∞ X

+∞ X

uk + mun

k=m

! uk

= 0, pour ε > 0 donné, on peut trouver entier m0 ≥ 1 tel que

k=m

uk ≤ ε et on a : ∀n > m0 , 0 ≤ nun ≤ ε + m0 un

Pour m0 ainsi fixé, tenant compte de

lim un = 0, on peut trouver un entier n0 > m0

n→+∞

tel que m0 un < ε pour n ≥ n0 . On a donc nun < 2ε pour n ≥ n0 . Le réel ε étant quelconque, on a bien montré que lim nun = 0.  n→+∞

Pour ce qui est des opérations algébriques sur les séries numériques, on dispose des résultats suivants. Théorème 8.3. X X Soient un et vn deux séries numériques et λ, µ deux scalaires. 1. Si ces deux séries convergent, il en est alors de même de la série de terme +∞ +∞ +∞ X X X général λun + µvn et on a (λun + µvn ) = λ un + µ µvn . n=0

n=0

n=0

X X X 2. Si la série un converge et la série vn diverge, la série (un + vn ) est alors divergente.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 163 — #173

Séries alternées

3. Si la série

163 X X un converge, il en est alors de même de la série un , où un

est le complexe conjugué de un et on a

+∞ X

un =

n=0

+∞ X

un .

n=0

Preuve. Se déduit immédiatement des résultats relatifs aux opérations algébriques sur les suites numériques. 

8.2

Séries alternées

Définition 8.2. On dit qu’une série numérique est alternée si son terme général n est de la forme un = (−1) αn , où (αn )n∈N est une suite réelle de signe constant. X n Si (−1) αn est une série alternée, on supposera, a priori, que les αn sont positifs. Le théorème 2.17 relatif aux suites adjacentes permet de montrer le résultat suivant. Théorème 8.4. X n Soit (−1) αn est une série alternée. Si la suite (αn )n∈N tend vers 0 en X n décroissant, la série (−1) αn est alors convergente et une majoration des +∞ X k (−1) αk ≤ αn+1 pour tout n ∈ N. restes est donnée par |Rn | = k=n+1

Preuve. On vérifie que si (Sn )n∈N est la suite des sommes partielles de cette série, les suites (S2n )n∈N et (S2n+1 )n∈N sont alors adjacentes et en conséquence convergentes vers la même limite, ce qui équivaut à la convergence de (Sn )n∈N . En utilisant la décroissance de la suite (αn )n∈N , on déduit que pour tout entier n, on a :  S2n+2 − S2n = α2n+2 − α2n+1 ≤ 0 S2n+3 − S2n+1 = a2n+2 − a2n+3 ≥ 0 ce qui signifie que (S2n )n∈N est décroissante et (S2n+1 )n∈N croissante. De plus avec lim (S2n+1 − S2n ) = lim α2n+1 = 0, on déduit que ces suites sont convergentes n→+∞ n→+∞ X n et la convergence de la série (−1) αn en découle. En notant S la somme de cette séries, on a S2n+1 ≤ S ≤ S2n+2 ≤ S2n pour tout n ∈ N, ce qui entraîne que :  −α2n+1 ≤ R2n = S − S2n ≤ 0 ∀n ∈ N, 0 ≤ R2n+1 = S − S2n+1 ≤ α2n+2 ou encore |Rn | ≤ αn+1 pour tout n ∈ N.



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 164 — #174

164

Séries numériques

8.3

Convergence absolue, semi-convergence

Définition 8.3. On dit que la série numérique X si la série |un | est convergente.

X un est absolument convergente

Définition 8.4. Une série numérique convergente, mais non absolument convergente est dite semi-convergente. Le critère de Cauchy pour les suites numériques nous permet de montrer qu’une série absolument convergente est convergente. Théorème 8.5. X Soit (un )n∈N une suite numérique. Si la série |un | est convergente, la série +∞ +∞ X X X |un | . un ≤ un est alors convergente et on a n=0

n=0

X Preuve. Soit un une série numérique absolument convergente. La suite des sommes ! n X |uk | étant convergente, elle vérifie le critère de Cauchy et pour tout partielles k=0

n∈N

m X

réel ε > 0, on peut trouver un entier n0 tel que |uk | < ε pour tous m > n ≥ n0 , ce k=n+1 m m X X uk ≤ |uk | < ε pour tous m > n ≥ n0 , et signifie que la suite qui entraîne que k=n+1 k=n+1 ! n X des sommes partielles uk est de Cauchy et en conséquence convergente, ce qui k=0 n∈N X est équivalent à dire que la série un est convergente. En utilisant l’inégalité triangulaire n +∞ n +∞ X X X X |uk | et en faisant tendre n vers l’infini, on déduit que un ≤ |un | . uk ≤ n=0 n=0 k=0 k=0  Avec l’exercice 8.13, on montre le résultat précédent sans utiliser le critère de Cauchy, en utilisant uniquement le fait qu’une suite réelle croissante majorée est convergente.

Exemples 8.1 1. Pour 0 < α ≤ 1, la série de Riemann alternée

+∞ n X (−1) n=1

nα

est semi-convergente.

X 1 2. Pour tout nombre complexe z = x + iy tel que x = Re (z) > 1, la série est nz 1 1 absolument convergente du fait que z = x (on rappelle que nz = ez ln(n) ). La n n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 165 — #175

Séries à termes réels positifs

165

fonction ζ définie sur l’ensemble des nombres complexes de partie réelle strictement +∞ X 1 est la fonction dzéta de Riemann. supérieur à 1 par ζ (z) = nz n=1 Si on effectue une permutation de l’ordre des termes d’une série semi-convergente il peut se produire les phénomènes suivants : — la nature de cette série est inchangée, mais sa somme est modifiée ; — la nature et la somme de cette série sont inchangées ; — la série est transformée en série divergente. Théorème 8.6. X Soit un une série semi-convergente. Pour tout réel S, il existe une permutaX tion σ de N telle que la série uσ(n) soit convergente de somme S. On peut aussi X ′ trouver des permutation σ et σ de N telles que la série uσ(n) soit divergente X vers −∞ et la série uσ′ (n) soit divergente vers +∞. 

Preuve. Voir [2] pages 72 à 75 ou [4] volume 3, pages 37 à 43.

8.4

Séries à termes réels positifs

Dans le cas où la suite (un )n∈N et à valeurs réelles positives, la suite (Sn )n∈N des sommes partielles associées est croissante et deux cas de figure peuvent se produire : — soit la suite (Sn )n∈N est majorée et en conséquence elle converge ; — soit cette suite n’est pas majorée et lim Sn = +∞, ce qui se note n→+∞

+∞ X

un = +∞.

n=0

On a donc le résultat suivant. Théorème 8.7. X Une série à termes réels positifs un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est majorée. Dans le cas où la série diverge, on a lim Sn = +∞.

n→+∞

X Dans le cas des séries à termes réels positifs, on écrira un < +∞ pour signifier que cette dernière converge. Cette Xnotation étant justifiée par les considérations précédentes. En cas de divergence, on a un = +∞.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 166 — #176

166

Séries numériques

8.4.1

Les séries de Riemann

Théorème 8.8. Soit α un réel. La série de Riemann α > 1.

X 1 est convergente si, et seulement si nα

Preuve. Pour α ≤ 1, on utilise le fait que si la suite (Sn )n∈N converge, on a alors lim (S2n − Sn ) = 0 et pour α > 1, on montre que la suite croissante (Sn )n∈N est n→+∞

majorée. Pour α ≤ 1, on a x

1 = x1−α ≥ 1 pour x ≥ 1 et : xα

S2n − Sn =

n X k=1

X 1 n 1 1 ≥ = α ≥ n+k 2n 2 (n + k) n

k=1

1 donc la suite (Sn )n≥1 diverge. Pour α > 1, la fonction t → α étant décroissante sur t Z k Z k 1 dt dt R+∗ , on a ≥ = α pour tout k ≥ 2 et pour tout n ≥ 2, on a : α α t k k k−1 k−1   Z n n n Z k X X 1 dt dt 1 1 α Sn = 1 + ≤1+ =1+ =1+ 1 − α−1 ≤ α α kα t t α − 1 n α −1 k−1 1 k=2

k=2

La suite (Sn )n∈N est donc croissante majorée et en conséquence convergente.  +∞ 2 X 1 π Pour α = 2, on a = (exercice 8.7). De manière plus générale, on peut 2 n 6 n=1 montrer que pour tout entier p ≥ 1 on a

+∞ 2p X 1 p+1 b2p (2π) = (−1) , où les b2p sont n2p 2 n=1

les nombres de Bernoulli. X On peut remarquer que les séries de Riemann sont de la forme f (n) où f est une fonction définie sur [1, +∞[ , à valeurs positives, continue et décroissante. De manière plus précise, on a le résultat suivant. Théorème 8.9. Soit f : [1, +∞[ → R+ une fonction continue décroissante et F la primitive de f n X nulle en 1. La suite u = (un )n∈N∗ définie par un = f (k)−F (n) pour tout n ≥ 1 k=1 X est convergente et la série f (n) de même nature que la suite (F (n))n∈N∗ . En supposant f non identiquement nulle et en notant ℓ la limite de la suite (un )n∈N , n X on a f (k) ∼ F (n) + ℓ. k=1

n→+∞

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 167 — #177

Séries à termes réels positifs

167 Z

x

f (t) dt et pour n ≥ 1, on

Preuve. La fonction F est définie sur [1, +∞[ par F (x) = a:

1

un+1 − un = f (n + 1) − (F (n + 1) − F (n)) Z n+1 Z n+1 = f (n + 1) − f (t) dt = (f (n + 1) − f (t)) dt n

n

avec f continue et f (n + 1) ≤ f (t) pour tout t ∈ ]n, n + 1[ . On a donc un+1 − un ≤ 0 et (un )n∈N est décroissante. La fonction f est continue décroissante sur [1, +∞[ , donc : Z k+1 Z k+1 f (k) dt = f (k) f (t) dt ≤ ∀k ≥ 1, k

k

et pour tout n ≥ 2, on a

n X

f (k) ≥

Zk=1 n+1

n Z k+1 X

Z

n+1

f (t) dt = F (n + 1) et

f (t) dt = 1

k=1 k

f (t) dt ≥ 0 puisque f est à valeurs positives. La suite

un ≥ F (n + 1) − F (n) = n

(u)n∈N∗ est donc décroissante minorée et en conséquence convergente vers un réel ℓ ≥ 0. Comme f est à valeurs positives, la suite (F (n))n∈N∗ est croissante à valeurs positives et on a deux possibilités. Soit cette suite est majorée et elle converge alors vers un réel ℓ′ ≥ 0. +∞ X f (n) = ℓ + ℓ′ . Dans le cas contraire, on a lim F (n) = +∞ Il en résulte alors que et

+∞ X

n→+∞

n=1

f (n) = +∞. Si f n’est pas la fonction nulle, on aura F (n) ≥ F (n0 ) > 0 pour

n=1

n ≥ n0 avec n0 assez grand (puisque f est continue) et : n n n P P P f (k) f (k) − F (n) − ℓ f (k) − F (n) − ℓ k=1 k=1 k=1 = − 1 ≤ F (n) + ℓ F (n) + ℓ F (n0 ) + ℓ c’est-à-dire que

n X

f (k)

k=1

∼

n→+∞

→

n→+∞

0



F (n) + ℓ.

Si lim F (n) = +∞, on a alors F (n) + ℓ n→+∞

∼

n→+∞

F (n) et

Le résultat précédent se traduit en disant que la série Z +∞ que l’intégrale généralisée f (t) dt.

n X

f (k)

Xk=1

∼

n→+∞

F (n) .

f (n) est de même nature

1

1 En utilisant la fonction f (t) = α avec α > 0 on retrouve, en les précisant, les résultats t sur les séries de Riemann. ! n n X X 1 1 Pour α = 1, on a F (x) = ln (x) , lim − ln (n) = γ, v ln (n) , ce qui n→+∞ k k +∞ nous donne lim

n X 1

+∞ X 1

k=1

= +∞, soit = +∞. n n=1  1 1 Pour α 6= 1, on a F (x) = −1 . 1 − α xα−1 n→+∞

k=1

k

k=1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 168 — #178

168

Séries numériques

Pour α > 1, on a F (n)

→

n→+∞

+∞ X 1 1 1 = , donc + ℓ. α α−1 n α−1 n=1

n +∞ X X n1−α 1 1 v = +∞. , soit α n→+∞ k α +∞ 1 − α n n=1 k=1 Pour α ≤ 0, la série diverge puisque son terme général ne tend pas vers 0.

Pour α < 1, on a F (n)

8.4.2

→

+∞ et

Comparaison des séries à termes positifs

Théorème 8.10. X X Soient un et vn deux séries à termes réels positifs. 1. S’il existe un entier n0 tel que un ≤ vn pour tout n ≥ n0 , on a alors :  X  X   vn < +∞ ⇒ un < +∞ X  X   un = +∞ ⇒ vn = +∞ 2. S’il existe un entier n0 et des constantes m et M strictement positives tels que X P un vn > 0 et m ≤ ≤ M pour tout n ≥ n0 , les séries un et vn sont alors vn de même nature. vn+1 un+1 ≤ pour tout 3. S’il existe un entier n0 tel que un > 0, vn > 0 et un vn n ≥ n0 , on a alors :  X   X  un < +∞ vn < +∞ ⇒   X X  vn = +∞ un = +∞ ⇒ un+1 4. S’il existe un entier n0 et une constante λ ∈ ]0, 1[ tels que un > 0 et ≤λ un X pour tout n ≥ n0 , la série un est alors convergente. un+1 5. S’il existe un entier n0 et une constante λ ≥ 1 tels que un > 0 et ≥λ un X pour tout n ≥ n0 , la série un est alors divergente. Preuve. 1. En notant respectivement (Sn )n∈N et (Tn )n∈N les suites des sommes partielles des X X séries un et vn , on a Sn − Sn0 ≤ Tn − Tn0 pour tout n ≥ n0 et le résultat annoncé en découle immédiatement. X X 2. De 0 < un ≤ M vn on déduit que si vn converge il en est alors de même de un X X et de un ≥ mvn > 0, on déduit que si vn diverge il en est alors de même de un . vn0 +1 = λvn0 +1 et par récurrence, on vérifie que un ≤ λvn pour 3. On a un0 +1 ≤ un0 vn0 tout n ≥ n0 + 1. En effet, c’est vrai pour n0 + 1 et en supposant le résultat acquis au vn+1 rang n, on a un+1 ≤ un ≤ λvn+1 . On est donc ramené au premier cas. vn

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 169 — #179

Séries à termes réels positifs

169

X un+1 vn+1 ≤ pour n ≥ n0 avec vn = λn et vn converge puisque λ ∈ ]0, 1[ , un vn X donc un converge aussi.

4. On a

5. On peut là aussi utiliser vn = λn ou tout simplement remarquer que la suite (un )n≥n0 est croissante, donc un ≥ un0 > 0 pour tout n ≥ n0 et (un )n≥n0 ne peut tendre vers X 0, la série un est donc divergente.  Le théorème précédent permet de retrouver le fait qu’une série absolument convergente est convergente sans recours au critère de Cauchy (exercice 8.13). De théorème précédent, on déduit les critères de comparaison aux séries de Riemann suivant. X Corollaire 8.1. Soit un une série à termes réels positifs. α 1. S’il existe un réel α > 1tel que un )n∈N soit bornée (encore équivalent  la suite (nX 1 un est alors convergente. ), la série à dire que un = O n→+∞ nα X 2. S’il existe un réel α ≤ 1 tel que la suite lim (nα un ) = +∞, la série un n→+∞

est alors divergente. M 1 Preuve. Dans le premier cas, on a 0 ≤ un ≤ α avec α > 1 et dans le second un ≥ α n n à partir d’un certain rang avec α ≤ 1.  Si on veut comparer la série à termes positifs à une série de Riemann, on étudie en pratique la convergence de la suite (nα un )n∈N vers un réel positif ou vers l’infini. 1 L’étude des séries de Bertrand , où α et β sont deux réels donnés, peut β nα (ln (n)) se faire en utilisant celles de Riemann pour α = 6 1. Dans le cas où α = 1, on utilise le théorème 8.9 pour β ≥ 0 et on compare encore à une série de Riemann pour β < 0. Théorème 8.11. Soient α, β deux réels. X 1 1. La série converge pour α > 1 et β ∈ R. β α n (ln (n)) X 1 2. La série diverge pour α < 1 et β ∈ R. β α n (ln (n)) X 1 3. La série converge si, et seulement si, β > 1. β n (ln (n)) Preuve. 1. Pour α > 1, on peut trouver un réel γ tel que 1 < γ < α et avec : lim nγ un = lim

n→+∞

pour tout réel β, on déduit que

n→+∞

1 nα−γ

β

(ln (n))

=0

X un converge puisque γ > 1.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 170 — #180

170

Séries numériques

2. Pour α < 1, on peut trouver un réel γ tel que α < γ < 1 et avec : lim nγ un = lim

n→+∞

n→+∞

pour tout réel β, on déduit que

X

nγ−α β

(ln (n))

= +∞

un diverge puisque γ < 1.

3. Pour β ≥ 0, la fonction f définie sur [2, +∞[ par f (x) =

1

est continue et β x (ln (x)) strictement décroissante (produit X de deux fonctions strictement décroissantes à valeurs strictement positives), donc un est de même nature que la suite (F (n))n≥2 , où F est la primitive de f nulle en 2, soit : Z ln(x) Z x du dt = F (x) = β β u ln(2) 2 t (ln (t))    1  1−β 1−β  (ln (x)) − (ln (2)) si β 6= 1 1−β =   ln (ln (x)) − ln (ln (2)) si β = 1 (théorème 8.9). Pour 0 ≤ β ≤ 1, on a

lim F (n) = +∞, donc

n→+∞

X un diverge. Pour

1−β X (ln (2)) , donc un converge. Pour β < 0, on a β > 1, on a lim F (n) = n→+∞ β−1 −β −β X (ln (n)) (ln (2)) un = ≥ > 0 pour tout n ≥ 2 et un diverge. n n 

Théorème 8.12. X X Soient un et vn deux séries réelles positives telles que vn = [resp. vn =

O

n→+∞

o

n→+∞

(un )

(un )] On désigne respectivement par (Sn )n∈N et (Tn )n∈N les

suites des sommes partielles de ces séries et, en cas de convergence, par (Rn )n∈N et (Rn′ )n∈N les suites des restes correspondants. X X 1. Si un converge, il en est alors de même de vn et Rn′ = o (Rn ) [resp. Rn′ = O (Rn )]. n→+∞ X X 2. Si vn diverge, il en est alors de même de un et Tn = Tn =

O

n→+∞

n→+∞

o

n→+∞

(Sn ) [resp.

(Sn )].

Preuve. La condition vn =

o

n→+∞

(un ) [resp. vn =

O

n→+∞

(un )] signifie qu’il existe

une suite (εn )n∈N qui tend vers 0 [resp. bornée] telle que vn = εn un . Comme les suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont à valeurs positives, on peut trouver une telle suite (εn )n∈N à valeurs positives. Dans les deux cas de figure, la suite (εn )n∈N est bornée et il existe un constante X réelle λ > 0 telle X que vn ≤ λun pour Xtout n ∈ N. Le Xcorollaire 8.1 nous dit alors que vn converge si un converge et un diverge si vn diverge. 1. Si les un sont tous nuls à partir d’un rang n0 , il en est alors de même des vn et on a Rn′ = Rn = 0 pour tout n ≥ n0 et dans ce cas, on a bien Rn′ = o (Rn ) [resp.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 171 — #181

Séries à termes réels positifs

171

Rn′ = O (Rn )]. Dans le cas contraire, les suites (Rn )n∈N et (Rn′ )n∈N sont à valeurs strictement positives. Si lim εn = 0, pour tout réel ε > 0, on peut trouver nε ∈ N n→+∞

tel que 0 ≤ εn ≤ ε pour tout n ≥ nε et on a 0 < Rn′ ≤ εRn pour tout n ≥ nε . On a donc Rn′ lim = 0, ce qui signifie que Rn′ = o (Rn ) . Dans le cas où vn = O (un ) , n→+∞ Rn n→+∞ n→+∞ ′ la suite (ε ) est bornée, soit ε ≤ λ où λ > 0 et 0 < R ≤ λR pour tout n. La n n n n n∈N  ′  Rn ′ suite est donc bornée, ce qui signifie que Rn = O (Rn ) . n→+∞ Rn n∈N X X 2. Si vn = +∞, on a alors un = +∞ et les suites (Sn )n∈N et (Tn )n∈N sont croissantes non majorées, donc strictement positives à partir d’un certain rang. Si lim εn = 0, pour tout réel ε > 0, on peut alors trouver nε ∈ N tel que 0 < εn ≤ ε n→+∞

pour tout n ≥ nε et comme (Sn )n∈N est croissante non majorée, il existe un entier nε 1X vk , de sorte que : n1 ≥ nε tel que Sn ≥ ε k=0

∀n ≥ n1 , Tn =

nε X k=0

vk +

n X

vk ≤ εSn + ε

k=nε +1

n X

uk ≤ 2εSn

k=nε +1

Tn = 0, ce qui signifie que Tn = o (Sn ) . Dans le cas où n→+∞ Sn n→+∞ vn = O (un ) , la suite (εn )n∈N est bornée, soit εn ≤ λ où λ > 0 et 0 < Tn ≤ λSn n→+∞   Tn pour tout n. La suite est donc bornée, ce qui signifie que Tn = O (Sn ) . n→+∞ Sn n∈N

On a donc

lim

 Le théorème qui suit est très utile pour justifier la convergence de certaines séries positives. Théorème 8.13. X X Soient un et vn à termes réels positifs telles que un v vn . n→+∞ X X 1. Si un est convergente, il en est alors de même de vn et les restes de ces +∞ +∞ X X séries sont équivalents, soit Rn = uk v Rn′ = vk . k=n+1

n→+∞

k=n+1

X X 2. Si un est divergente, il en est alors de même de vn et les sommes parn n X X tielles de ces séries sont équivalents, soit Sn = uk v Tn = vk . k=0

n→+∞

k=0

Preuve. Dire que les suites à termes positifs (un )n∈N et (vn )n∈N sont équivalentes signifie qu’il existe une suite (φn )n∈N qui tend vers 1 telle que vn = φn un , ce qui équivaut encore à dire que pour tout réel ε ∈ ]0, 1[ il existe un entier n0 tel que (1 − ε) un ≤ vn ≤ (1 + ε) un pour tout n ≥ n0 . Dans ce qui suit on se donne un tel couple (ε, n0 ) . 1. Si la série de terme général un est convergente, des inégalités 0 ≤ vn ≤ (1 + ε) un pour tout n ≥ n0 , on déduit qu’il en est de même de la série de terme général vn . On peut

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 172 — #182

172

Séries numériques

donc définir les restes d’ordre n de ces séries, Rn =

+∞ X

+∞ X

uk et Rn′ =

k=n+1

vk et on a

k=n+1

(1 − ε) Rn ≤ Rn′ ≤ (1 + ε) Rn pour tout n ≥ n0 , ce qui traduit l’équivalence de Rn et Rn′ quand n tend vers l’infini. 2. Si la série de terme général un est divergente, des inégalités vn ≥ (1 − ε) un pour tout n ≥ n0 avec 1 − ε > 0 et un ≥ 0, on déduit qu’il en est de même de la série de terme général vn . De plus, on a Sn > 0 à partir d’un certain rang n1 > n0 et : ∀n > n1 , (1 − ε) (Sn − Sn0 −1 ) ≤ Tn − Tn0 −1 ≤ (1 + ε) (Sn − Sn0 −1 ) ce qui entraîne que, pour tout n > n1 , on a :     Tn0 −1 Tn Sn0 −1 Tn −1 Sn0 −1 + ≤ ≤ (1 + ε) 1 − + 0 . (1 − ε) 1 − Sn Sn Sn Sn Sn Avec lim

n→+∞

1 = 0, on en déduit alors qu’il existe n2 ≥ n1 tel que : Sn ∀n ≥ n0 , 1 − 2ε ≤

Tn ≤ 1 + 2ε Sn

ce qui traduit l’équivalence de Sn et Tn quand n tend vers l’infini.  L’hypothèse un et vn de mêmes signes (au moins à partir d’un certain rang) est essentielle dans le théorème précédent. Considérer par exemple la série de terme général n (−1) un = √ n . Un développement limité nous donne : n + (−1)   n n n (−1) 1 1 1 1 (−1) (−1) √ √ un = √ − + O − + vn = = n n n→+∞ n 32 n n 1 + (−1) n n √ n avec |vn | ≤ λ

1

3 , ce qui implique que la série de terme général un est divergente comme n2 X1 somme d’une série divergente (la série ) avec des séries convergentes (les séries n n X (−1)n X (−1) √ et vn ). Et pourtant un est équivalent √ qui est le terme général d’une n n série alternée convergente. X X Si un et vn sont deux séries à termes réels positifs telles que un v vn et

n→+∞

convergentes, on a seulement l’équivalence des restes, mais pas celle des sommes partielles. 1 1 Par exemple, on a v avec : n (n + 1) n→+∞ n2 Sn =

n X k=1

X1 1 1 1 = − =1− k (k + 1) k k+1 n+1 n

k=1

v

n→+∞

1

n X 1 1 π2 > 1 + ne peut être équivalent à 1 (en fait T v ). n n→+∞ 6 k2 4 k=1 Les précisions sur les sommes partielles des séries divergentes ou les restes des séries convergentes dans le théorème précédent peuvent être utilisées pour obtenir des développements asymptotiques de certaines suites. Considérons par exemple le cas de la série

et Tn =

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 173 — #183

Séries à termes réels positifs

173 n X 1

pour tout n ≥ 1. Cette série est divergente harmonique (Hn )n≥1 définie par Hn = k  k=1  1 1 et à termes positifs avec v ln 1 + , ce qui entraîne que : n n→+∞ n   ! n n  X Y 1 k+1 Hn v ln 1 + = ln = ln (n + 1) n→+∞ k k k=1

ou encore Hn

v

n→+∞

k=1

ln (n) . La suite (Kn )n≥1 définie par Kn = Hn − ln (n) est de même

nature que la série de terme général :     1 1 1 Kn+1 − Kn = + ln 1 − = O n→+∞ n2 n+1 n+1 n X 1

!

− ln (n) . k On considère ensuite la suite (Ln )n≥1 définie par Ln = Hn − ln (n) − γ. Cette suite est convergente vers 0 de même nature que la série de terme général :   1 1 1 + ln 1 − v − Ln+1 − Ln = Kn+1 − Kn = n+1 n + 1 n→+∞ 2n2

elle est donc convergente. Sa limite est la constante d’Euler γ = lim

n→+∞

k=1

Cette série est donc convergente à termes négatifs à partir d’un certain rang, ce qui +∞ +∞ X 1X 1 avec : entraîne l’équivalence des restes (Lk+1 − Lk ) v − n→+∞ 2 k2 k=n

+∞ X

(Lk+1 − Lk ) =

k=n

lim

m X

m→+∞

k=n

(Lk+1 − Lk ) =

k=n

1X 1 . Enfin avec n→+∞ 2 k2 k=n on déduit que pour m > n ≥ 2, on a : +∞

On a donc Ln

Z

k+1

v

m Z X k=n

k

k+1

Z

k

lim Lm+1 − Ln = −Ln

m→+∞

1 dt ≤ 2 ≤ t2 k

Z

k

dt pour tout k ≥ 2, 2 k−1 t

m X dt 1 1 1 = − ≤ 2 2 t n m + 1 k n k=n Z m m Z k X dt dt 1 1 ≤ = = − 2 2 n−1 m k−1 t n−1 t

dt = t2

m+1

k=n

+∞ X 1 1 1 et faisant tendre m vers l’infini (à n fixé), on déduit que ≤ ≤ pour tout n k2 n−1

1X 1 2 k2 +∞

k=n

1 n ≥ 2, ce qui implique que Ln v . On a donc en définitive le v n→+∞ n→+∞ 2n k=n   1 1 développement asymptotique Hn = ln (n) + γ + +o . En itérant ce procédé on 2n n peut obtenir des termes supplémentaires du développement asymptotique.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 174 — #184

174

Séries numériques

8.4.3

Les théorèmes de Cauchy et de d’Alembert

Toujours dans le cadre des séries à termes positifs, on dispose également des théorèmes de Cauchy et de d’Alembert, souvent utilisés, pour prouver la convergence ou la divergence d’une série. La démonstration de ces théorèmes repose sur des comparaisons à des séries géométriques. Théorème 8.14. Cauchy Soit (un )n∈N une suite réelle positive telle que

lim

n→+∞

X √ n u un n = λ. La série

est convergente pour λ < 1 et divergente pour λ > 1. Preuve. Pour λ < 1, on peut trouver un réel µ tel que λ < µ < 1 et un entier n0 tel que √ 0 ≤ n un ≤ pour tout n ≥ n0 , ce qui revient à dire que 0 ≤ un ≤ µn pour tout n ≥ n0 , X X donc la série un est convergente comme la série géométrique µn . De même, pour λ > 1, on peut trouver X un réel µ tel que 1 < µ < λ et un entier n0 tel queX un ≥ µn pour un est divergente comme la série géométrique µn .  tout n ≥ n0 et la série √ √ Dans le cas où lim n un = λ > 1, on peut aussi dire qu’on aura n un > 1 pour n n→+∞ X assez grand, donc aussi un > 1 et un diverge. Pour λ = 1 le théorème ne permet pas de conclure en général comme le montre X 1 . En effet, on a : l’exemple des séries de Riemann nα r   1 ln (n) n −α n = exp = n −α → 1 n→+∞ nα n X pour tout réel α, alors que la série un diverge pour α ≤ 1 et converge pour α > 1. Théorème 8.15. d’Alembert Soit (un )n∈N une suite à valeurs réelles strictement positives telle que X un+1 lim = λ. La série un est convergente pour λ < 1 et divergente pour n→+∞ un λ > 1. Preuve. Pour λ < 1, on peut trouver un réel µ tel que λ < µ < 1 et un entier n0 tel un+1 µn+1 que 0 < ≤µ= pour tout n ≥ n0 et le corollaire 8.10 nous dit que la série un µn X X un est convergente comme la série géométrique µn . De même, pour λ > 1, on peut un+1 µn+1 trouver un réel µ tel que 1 < µ < λ et un entier n0 tel que ≥ µ = pour un µn X tout n ≥ n0 et le corollaire 8.10 nous dit que la série un est divergente comme la série X géométrique µn .  un+1 un+1 Dans le cas où lim = λ > 1, on aura > 1 pour n assez grand et en n→+∞ un un conséquence il existe un entier n0 tel que un ≥ un0 > 0 pour n ≥ n0 (la suite (un )n≥n0 X est croissante) et un diverge puisque son terme général ne peut tendre vers 0. Pour λ = 1 le théorème ne permet pas de conclure en général comme le montre X 1 l’exemple des séries de Riemann . nα

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 175 — #185

Séries à termes réels positifs

175

Le théorèmede d’Alembert peut se déduire de celui de Cauchy en utilisant le théorème 
un+1 √ n u 2.28 (si lim = λ, on a alors lim n = λ) qui est une conséquence du n→+∞ n→+∞ un théorème de Cesàro. Ce résultat peut s’exprimer en disant que la règle de Cauchy est plus générale que celle de d’Alembert. Pratiquement cela signifie que le théorème de Cauchy pourra permettre de conclure  (mais pas toujours) si celui de d’Alembert ne le peut pas, un+1 c’est-à dire si la suite ne converge pas. un n∈N

8.4.4

Les théorèmes de Raabe-Duhamel

un+1 = 1 (avec un > 0), on peut utiliser les théorèmes de Raabeun Duhamel qui suivent. Ces résultats reposent sur la comparaison de la série étudiée à une série de Riemann. Dans le cas où lim

n→+∞

Théorème 8.16. Raabe-Duhamel   un+1 α 1 Soit (un )n∈N à valeurs dans R+,∗ telle que = 1− + o , où α un n n→+∞ n X un+1 = 1). Si α < 1, la série un est un réel (on a donc en particulier lim n→+∞ un est alors divergente et si α > 1, elle est convergente. 1 Preuve. L’idée est de comparer notre série à une série de Riemann. Si vn = β où n −β    vn+1 β 1 1 β est un réel à préciser, on a alors = 1− + o et = 1+ n→+∞ vn n n n un+1 vn+1 1 − = (β − α + εn ) , où (εn )n≥1 est une suite réelle qui tend vers 0. Pour un vn n α < 1, on choisit β tel que α < β < 1, de sorte que lim (β − α + εn ) = β − α > 0 et il n→+∞ un+1 vn+1 existe un entier n0 tel que β − α + εn > 0 pour tout n ≥ n0 , ce qui donne > un vn X X pour tout n ≥ n0 et un diverge comme vn . Pour α > 1, on choisit β tel que 1 < β < α, de sorte que lim (β − α + εn ) = β − α < 0 et il existe un entier n0 tel que n→+∞ X un+1 vn+1 β − α + εn < 0 pour tout n ≥ n0 , ce qui donne < pour tout n ≥ n0 et un un vn X converge comme vn .  Le cas où α = 1 peut être traité avec la version suivante du théorème de RaabeDuhamel. Théorème 8.17. Raabe-Duhamel   un+1 α 1 = 1− + O , où un n n→+∞ nγ un+1 = 1). La α, γ sont des réels avec γ > 1 (on a donc en particulier lim n→+∞ un X série un converge si, et seulement si, α > 1. Soit (un )n∈N à valeurs dans R+,∗ telle que

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 176 — #186

176

Séries numériques

   1 1 = o et on est γ n→+∞ n n→+∞ n ramené au théorème précédent. Pour α = 1, on introduit la suite (vn )n∈N définie par vn = ln (nun ) qui est de même nature que la série de terme général :          n+1 un+1 1 1 1 vn+1 − vn = ln + ln = ln 1 + + ln 1 − + O n→+∞ n un n n nγ      1 1 1 1 1 1 = − + O + − + O 2 3 n→+∞ n→+∞ n 2n n n nγ   1 1 1 =− 2 + O min(3,γ) n→+∞ 2n n 

Preuve. Pour α < 1 ou α > 1, on écrit que

O

donc convergente puisque γ > 1. Notant ℓ = lim vn , on a n→+∞ X eℓ signifie que un v et un est divergente. n→+∞ n

8.5

lim nun = eℓ > 0, ce qui

n→+∞



Produit de deux séries

X X Étant données deux séries numériques un et vn , on peut définir naïvement leur X produit comme la série produit un vn , où on fait le produit terme à terme comme X X pour la somme. On dit que un vn est le produit de Hadamard des séries un et X X X n n vn . Par exemple pour deux séries géométriques convergentes a et b , la série X n n produit a b est encore une série géométrique convergente, mais de manière générale +∞ +∞ +∞ X X X 1 1 on an bn = an bn = 6= . 1 − ab (1 − a) (1 − b) n=0 n=0 n=0 Le produit de deux séries est défini par analogie au produit de deux polynômes comme suit. X X Définition 8.5. Étant données deux séries numériques un et vn , leur pron X uk vn−k . duit de Cauchy est la série de terme général wn = k=0

Ce produit de Cauchy est aussi appelé produit de convolution. Pour l’exemple des séries géométriques convergentes avec a = 6 b, on a : n X

wn =

ak bn−k =

k=0

bn+1 − an+1 b−a

et : +∞ X

1 w = b − a n=0 n

+∞ X n=0

n+1

b

−

+∞ X

! n+1

a

=

n=0

1 b−a



b a − 1−b 1−a



1 1 = = ab − b − a + 1 (1 − a) (1 − b) On s’intéresse tout d’abord au produit de Cauchy de deux séries à termes positifs.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 177 — #187

Produit de deux séries

177

Théorème 8.18. X X Soient un et vn deux séries à termes réels positifs non identiquement X X X nulles et wn leur produit de Cauchy. Si un et vn sont convergentes, il ! +∞ ! +∞ +∞ X X X X en est alors de même de wn et on a wn = un vn . Si l’une n=0 n=0 n=0 X X X des deux séries un ou vn est divergente, il en est alors de même de wn ! +∞ ! +∞ +∞ X X X (l’égalité wn = un vn est encore vérifiée dans ce cas avec +∞ n=0

n=0

n=0

pour valeur commune). X Preuve. On note respectivement Sn , Sn′ et Sn′′ les sommes partielles des séries un ,   ! n n X X X X X ui  vj  = vn et wn . Pour tout entier n, on a Sn Sn′ = ui vj , où i=0

j=0

(i,j)∈An

n X k n X X X  ui vk−i = ui vj = An = (i, j) ∈ N2 | 0 ≤ i, j ≤ n et Sn′′ = k=0 i=0

X

ui vj , où

 Bn = (i, j) ∈ N2 | 0 ≤ i, j ≤ n et i + j ≤ n . Comme Bn ⊂ An ⊂ B2n et les séries sont X X X ′′ à termes positifs, on a Sn′′ = ui vj ≤ ui vj = Sn Sn′ ≤ ui vj = S2n . k=0i+j=k

(i,j)∈Bn

(i,j)∈Bn (i,j)∈An (i,j)∈B2n X X En conséquence si un et vn sont convergentes, les suites (Sn )n∈N et (Sn′ )n∈N sont alors majorées, donc aussi la suite (Sn′′ )n∈N , ce qui équivaut à dire que la série à termes X positifs wn converge. Faisant tendre n vers l’infini dans l’encadrement précédent, on ! +∞ ! +∞ +∞ X X X wn = un vn . obtient l’égalité n=0 n=0 n=0 X X Si l’une des deux séries un ou vn diverge, l’une des suites (Sn )n∈N et (Sn′ )n∈N ′′ tend vers +∞ et il en est de même de (S2n )n∈N (les un , vn sont positifs non tous nuls, X ′ donc Sn et Sn sont croissantes et strictement positives pour n grand), la série wn est donc divergente.  On en déduit le résultat suivant.

Théorème 8.19. X X wn de deux séries un et vn absolument conver! +∞ ! +∞ +∞ X X X gentes est absolument convergent et on a wn = un vn . Le produit de Cauchy

X

n=0

n=0

Preuve. Le théorème précédent nous dit qu’en notant wn′ =

n=0 n X

|uk | |vn−k | pour tout n X X ′ n ∈ N, la série wn est convergente et avec les inégalités |wn | = uk vn−k ≤ wn′ , k=0

k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 178 — #188

178

Séries numériques X

on déduit que la série

wn est absolument convergente. En notant respectivement Sn , X X X les sommes partielles des séries un , vn , wn et Tn , Tn′ , Tn′′ celles des séries X X X |un | , |vn | , wn′ on a en utilisant les notations de la démonstration du théorème précédent : X X X ′ ′′ ui vj |Sn Sn − Sn | = ui vj − ui vj = (i,j)∈An \Bn (i,j)∈An (i,j)∈Bn X X X ≤ |ui | |vj | = |ui | |vj | − |ui | |vj | ≤ Tn Tn′ − Tn′′ Sn′ , Sn′′

(i,j)∈An \Bn

avec

lim

n→+∞

(Tn Tn′

−

Tn′′ )

(i,j)∈An

= 0 puisque

lim (Sn Sn′ − Sn′′ ) = 0 et :

+∞ X

wn′ n=0

=

(i,j)∈Bn +∞ X

! |un |

n=0

Sn′′

wn = lim

n→+∞

n=0

Exemple 8.2 La série

X λn n!

= lim Sn lim n→+∞

n→+∞

Sn′

|vn | . Il en résulte que

n=0

n→+∞

+∞ X

!

+∞ X

=

+∞ X n=0

! un

+∞ X

! vn

n=0

 étant absolument convergente pour tout λ ∈ C, en notant

f (λ) sa somme, on a f (λ) f (µ) =

+∞ X

wn pour tous λ, µ dansC où :

n=0

wn =

n n   n X λk µn−k 1 X n k n−k (λ + µ) = λ µ = k! (n − k)! n! k n!

k=0

k=0

On a donc f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1. On reconnaît ici l’équation fonctionnelle qui caractérise la fonction exponentielle réelle (avec l’hypothèse de continuité en 0). Pour X λn cette raison, on note eλ la somme de la série et on définit ainsi la fonction n! exponentielle complexe qui prolonge celle que l’on connaît sur R. En réalité l’absolue convergence de l’une des deux séries suffit (l’autre série étant bien entendu convergente). Précisément on a le résultat suivant de démonstration plus délicate. Théorème 8.20. Mertens X X X Le produit de Cauchy wn de deux séries numériques un et vn convergentes, l’une d’entre elles étant absolument convergente, est convergent et on a ! +∞ ! +∞ +∞ X X X wn = un vn . n=0

8.6

n=0

n=0

La transformation d’Abel

Cette transformation que l’on peut considérer comme une intégration par parties discrète sera surtout utile lors de l’étude des séries trigonométriques.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 179 — #189

La transformation d’Abel

179

Théorème 8.21. Soient (αn )n∈N , (un )n∈N deux suites numériques et (An )n∈N la suite définie par n X An = αk pour tout n ∈ N. Pour tous entiers q > p ≥ 1, on a : k=0 q X

αk uk = Aq uq − Ap−1 up −

k=p

q−1 X

Ak (uk+1 − uk )

k=p

Preuve. En écrivant que αk = Ak − Ak−1 , pour tout entier k ≥ 1, on a : q X

αk uk =

k=p

q X

(Ak − Ak−1 ) uk =

k=p

=

q X

q X k=p

Ak uk −

k=p

q−1 X

Ak uk −

q X

Ak−1 uk

k=p

Ak uk+1 = Aq uq − Ap−1 up +

k=p−1

= Aq uq − Ap−1 up −

q−1 X

Ak (uk − uk+1 )

k=p q−1 X

Ak (uk+1 − uk )

k=p

 L’analogie avec la formule d’intégration par parties : Z

Z

b

Z

′

F (t) g (t) dt = F (b) g (b) − F (a) g (a) −

f (t) g (t) dt = a

b

a

Z où F (t) =

b

F (t) g ′ (t) dt

a

t

f (t) dt est la primitive de f nulle en a peut se faire comme suit : a

— la suite (αn )n∈N est identifiée à la fonction f ; — la suite (An )n∈N est identifiée à la fonction F (intégration discrète) ; — la suite (un )n∈N est identifiée à la fonction g ; — la suite (un+1 − un )n∈N est identifiée à la fonction g ′ (dérivation discrète) ; Z b q X — la somme αk uk est identifiée à l’intégrale f (t) g (t) dt ; k=p

— la somme

q−1 X

a

Z Ak (uk+1 − uk ) est identifiée à l’intégrale

k=p

b

F (t) g ′ (t) dt.

a

En utilisant cette transformation, on obtient le résultat suivant. Théorème 8.22. Abel Soient (un )n∈N une suite à valeurs réelles qui tend vers 0 en décroissant et (αn )n∈N une suite de nombres complexes telle que la suite (An )n∈N définie par n X X An = αk pour tout n ∈ N soit bornée. Dans ces conditions la série un αn k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 180 — #190

180

Séries numériques est convergente et, en désignant par M > 0 un majorant de la suite (|An |)n∈N , +∞ X on a les majoration des restes |Rn+1 | = αk uk ≤ 2M un+1 pour tout n ∈ N. k=n+1

Preuve. Il s’agit de montrer que la suite (Sn )n∈N des sommes partielles de la série X un αn est convergente. En utilisant, pour n ≥ 2, la transformation d’Abel : Sn =

n X

αk uk = α0 u0 +

k=0

= An un −

n X

αk uk = α0 u0 + An un − A0 u1 −

k=1 n−1 X

n−1 X

Ak (uk+1 − uk )

k=1

Ak (uk+1 − uk )

k=0

X (α0 = A0 ) cela revient à montrer que la série An (un+1 − un ) est convergente (la suite (An )n∈N est bornée et (un )n∈N tend vers 0, donc (An un )n∈N tend aussi vers 0). Pour ce faire nous allons montrer qu’elle est absolument convergente, ce qui résulte de |An (un+1 − un )| ≤ M (un − un+1 ) pour tout n ∈ N (la suite (un )n∈N est décroissante) X la série (un+1 − un ) étant convergente puisque de même nature que la suite (un )n∈N . Pour ce qui est des restes, on utilise encore la transformation d’Abel qui nous permet d’écrire pour m > n + 1 : m m−1 X X αk uk = Am um − An un+1 − Ak (uk+1 − uk ) k=n+1

k=n+1

≤ |Am um − An un+1 | +

m−1 X

|Ak | (uk − uk+1 )

k=n+1

≤M

um + un+1 +

m−1 X

!

(uk − uk+1 )

= 2M un+1

k=n+1

+∞ X αk uk ≤ 2M un+1 . puis, faisant tendre m vers l’infini, on obtient |Rn | = k=n+1 n



En utilisant la suite (αn )n∈N définie par αn = (−1) , on retrouve le théorème des séries alternées (on a |An | ≤ 1). Une utilisation classique du théorème d’Abel est l’étude des séries trigonométriques. Théorème 8.23. X Soit (un )n∈N une suite de réels positifs. Si la série un est convergente, la série X int un e est alors absolument convergente pour tout réel t. Si la suite (un )n∈N X tend vers 0 en décroissant, la série un eint est alors convergente pour tout réel t ∈ R \ 2πZ.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 181 — #191

La transformation d’Abel

181

Preuve. Le premier point résulte de un eit = un pour tout réel t. Pour le deuxième point, on a pour tout t ∈ R \ 2πZ :
n+1 n+1 n+1 n n+1 X ei 2 t e−i 2 t − ei 2 t 1 − ei(n+1)t in 2t sin 2
t = An = e eikt = = t t t 1 − eit sin 2t ei 2 e−i 2 − ei 2 k=0   1 t
et |An | ≤ (pour t ∈ R \ 2πZ, on a sin 6= 0). Le résultat découle alors du t 2 sin 2 théorème d’Abel.  Du théorème précédent, on déduit que si (un )n∈N tend vers 0 en décroissant, la série X un e−int est alors convergente pour tout réel t ∈ R \ 2πZ (remplacer t par −t) et X X en conséquence les séries un cos (nt) et un sin (nt) sont également convergentes. n Pour t = (2k + 1) π ∈ πZ, on a cos (nt) = (−1) , sin (nt) = 0 pour tout n et les séries X X X n un cos (nt) = (−1) un et un sin (nt) sont encore convergentes (la première par le théorème des séries alternées). Une petite modification de la transformation d’Abel permet de montrer le résultat suivant. Théorème 8.24. Abel Soient et (αn )n∈N et (un )n∈N deux suite de nombres complexes telles que la X X série αn soit convergente et la série (un+1 − un ) absolument convergente. X Dans ces conditions la série αn un est convergente. +∞ X

Preuve. On utilise une transformation d’Abel qui fait intervenir les restes Rn =

αk

X de la série convergente αn et non pas les sommes partielles An de cette série. Pour ce faire, on écrit que αk = Rk−1 − Rk , pour tout entier k ≥ 1 et on a : k=n+1

n X

αk uk =

k=1

n X

(Rk−1 − Rk ) uk =

k=1

=

n−1 X k=0

n X k=1

Rk uk+1 −

n X k=1

Rk−1 uk −

n X

Rk uk

k=1

Rk uk = R0 u1 − Rn un +

n−1 X

Rk (uk+1 − uk )

k=1

X Comme (un+1 − un ) est absolument convergente, elle est convergente et cette série étant de même nature que la suite (un )n∈N , cette dernière est convergente. Il en résulte X que la suite (Rn un )n∈N converge vers 0 ((Rn )n∈N tend vers 0 puisque αn converge). Enfin avec |Rn (un+1 − un )| ≤ M |un+1 − un | où M est un majorant de (|Rn |)n∈N , on déX X duit que la série Rn (un+1 − un ) est absolument convergente comme (un+1 − un ) . X En définitive, αn un est convergente. 

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 182 — #192

182

Séries numériques

8.7

Exercices

Exercice 8.1.

Étudier la série géométrique

Solution. Pour a = 1, on a

lim

n→+∞

n X

ak =

X

an , où a ∈ C.

lim (n + 1) = +∞ et la série diverge.

n→+∞

k=0

n X

1 − an+1 et la série 1−a k=0
géométrique converge si, et seulement si, la suite géométrique an+1 n∈N converge, ce +∞ X 1 − an+1 1 qui équivaut à |a| < 1 et dans ce cas, on a an = lim = . Les restes n→+∞ 1 − a 1 − a n=0 d’ordre n, pour tout n ∈ N, sont donnés par : Pour a = 6 1, les sommes partielles sont données par Sn =

Rn =

+∞ X n=0

an −

n X k=0

ak =

1 1 − an+1 an+1 − = 1−a 1−a 1−a X

Exercice 8.2.

ak =



1 ln 1 + n

Montrer que la série X1 . la divergence de la série harmonique n

 est divergente. En déduire

Solution. Pour n ≥ 1, on a :   X n n X 1 Sn = ln 1 + = (ln (k + 1) − ln (k)) = ln (n + 1) → +∞ n→+∞ k k=1 k=1    X  1 1 1 ≥ ln 1 + donc ln 1 + diverge. Avec les inégalités > 0 valables pour n n n X1 n ≥ 1, on en déduit la divergence de . n Exercice 8.3. Étant donnée une suite numérique (an )n∈N , on lui associe la série numérique (un )n∈N définie par u0 ∈ C et un = an−1 − an pour tout n ≥ 1. X Montrer que la suite (an )n∈N est de même nature que la série un . Solution. Les sommes partielles de la série n≥1: Sn = u0 +

n X k=1

(ak−1 − ak ) = u0 +

X un sont données par S0 = u0 et, pour

n X k=1

ak−1 −

n X k=1

ak = u0 + a0 − an

X ce qui donne le résultat. En cas de convergence de la suite (an )n∈N vers ℓ, la série un X converge vers u0 + a0 − ℓ et les restes d’ordre n de la série un sont données par Rn = u0 + a0 − ℓ − Sn = an − ℓ.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 183 — #193

Exercices

183

Exercice 8.4.

Étudier les séries

X

   X  1 1 ln 1 + et ln 1 − 2 . n n



 1 Solution. Avec un = ln 1 + = ln (n + 1) − ln (n) = − (an−1 − an ) , on déduit que n   X 1 la série ln 1 + diverge (vers l’infini). Pour n ≥ 2, on a : n           n−1 1 n+1 n−1 n vn = ln 1 − 2 = ln + ln = ln − ln n n n n n+1     1 1 = ln 1 − − ln 1 − = an−1 − an n n+1 et

    1 1 ln 1 − 2 = v2 + a2 − lim ln 1 − = − ln (2) . n→+∞ n n+1 n=2 +∞ X

Exercice 8.5. et vn =

Montrer que les séries de terme général un =

2n − 1 (n ≥ 3) n (n2 − 4)

1 (n ≥ 1) sont convergentes et calculer leurs sommes. n (n + 1) (n + 2)

Solution. En utilisant la décomposition en éléments simples : f (x) =

2x − 1 a b c = + + 2 x (x − 4) x x−2 x+2

1 3 5 où a = lim xf (x) = , b = lim (x − 2) f (x) = , c = lim (x + 2) f (x) = − , on a x→0 x→2 x→−2 4 8 8   3 5 1 2 + − et : un = 8 n n−2 n+2 n n n X X X 1 1 1 8Sn = 2 +3 −5 k k−2 k+2 k=3

k=3

k=3

n−2 n+2 4 4 n n+2 n X X1 X1 X X X X 1 1 1 1 1 +3 −5 =2 +3 +2 −5 =2 k k k k k k k k=3

k=1

k=5

k=3

k=1

k=n−1

k=n−1

89 3 3 5 5 = − − − − 12 n − 1 n n + 1 n + 2 +∞ X 2n − 1 89 = . De manière analogue, la décomposition en éléments 2 n (n − 4) 96 n=3 1 a b c = + + avec : simples g (x) = x (x + 1) (x + 2) x x+1 x+2

En conséquence,

a = lim xg (x) = x→0

1 1 , b = lim (x + 1) g (x) = −1, c = lim (x + 2) g (x) = x→−1 x→−2 2 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 184 — #194

184

Séries numériques

donne vn =

1 2





1 2 1 − + n n+1 n+2

2Sn =

et :

n n n X X X 1 1 1 1 1 1 −2 + = + − k k+1 k+2 2 n+2 n+1

k=1

En conséquence, on a

k=1

k=1

+∞ X

1 1 = . n (n + 1) (n + 2) 4 n=1

Exercice 8.6.

On se propose de montrer de façon élémentaire que, pour tout Z 1 +∞ n X (−1) dx . On se fixe un entier p ≥ 1 et, pour entier p ≥ 1, on a = pn + 1 1 + xp 0 n=0 n X k tout entier n ≥ 1 et tout réel x, on note fn (x) = (−1) xpk . k=0 n

p(n+1)

1 + (−1) x pour tout x ∈ [0, 1] . 1 + xp 2. En déduire que, pour tout entier n ≥ 1, on a : 1. Montrer que fn (x) =

Z 1 Z 1 p(n+1) n k X (−1) 1 x n = dx + (−1) dx p p pk + 1 1 + x 0 0 1+x

k=0

3. En déduire le résultat annoncé et préciser les résultats obtenus pour p = 1, 2, 3. Solution. n X

1. Pour tout x ∈ [0, 1] , on a fn (x) =

n

k

(−xp ) =

k=0

1 + (−1) xp(n+1) . 1 + xp

2. En intégrant sur [0, 1] , on a : Z 0

1

Z 1 n k n X (−1) 1 + (−1) xp(n+1) fn (x) dx = (−1) x dx = = dx pk + 1 1 + xp 0 0 k=0 k=0 Z 1 Z 1 p(n+1) 1 x n = dx + (−1) dx p p 1 + x 0 0 1+x Z

n X

3. Avec :

Z

1

0≤ 0

on déduit que lim

n→+∞

1

k

pk

xp(n+1) dx ≤ 1+x

(a) Pour p = 1, on a

(b) Pour p = 2, on a

pk + 1

xp(n+1) dx = 0 1

=

+∞ n X (−1)

n+1 n=0 +∞ X

1

Z

n k X (−1) k=0

Z

n

0

Z

(−1) = 2n + 1 n=0

0

Z 0

→

n→+∞

0

Z 1 +∞ n X dx (−1) dx , soit = . 1 + xp pn + 1 1 + xp 0 n=0

1

=

1 p (n + 1) + 1

dx = ln (2) . 1+x

1

dx π = . 2 1+x 4

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 185 — #195

Exercices

185

(c) Pour p = 3, on a

+∞ n X (−1) n=0

3n + 1

Z = 0

1

√ π 3 dx = ln (2) + . 1 + x3 9

+∞ X π2 1 = . À toute n2 6 n=1 suite (xn )n∈N à valeurs dans R∗ , on associe la suite (D (xn ))n∈N∗ définie par xn−1 − xn D (xn ) = pour tout n ∈ N∗ . xn

Exercice 8.7.

Le but de cet exercice est de montrer que

∗ 1. Soient  (xn )n∈N et (yn )n∈N deux suites à valeurs dans R . Montrer que xn yn = (D (xn ) − D (yn )) pour tout n ∈ N∗ . D yn yn−1 Z π2 2. Soit (Wn )n∈N la suite définie par Wn = cos2n (t) dt pour tout n ∈ N (inté0

grales de Wallis). Montrer que D (Wn ) = n ∈ N∗ .

Z

3. Montrer que

π 2

Wn−1 2n 1 et = pour tout 2n − 1 Wn 2n − 1

1 Wn pour tout n ∈ N∗ . 2n Z π2 t2 cos2n (t) dt pour la suite réelle définie par Vn =

t cos2n−1 (t) sin (t) dt =

0

4. On désigne par (Vn )n∈N

0

1 1 Wn tout n ∈ N. Montrer que D (Vn ) = + pour tout n ∈ N∗ . 2n − 1 (2n − 1) n Vn Vn 5. On désigne par (Un )n∈N la suite définie par Un = pour tout n ∈ N. Montrer Wn 1 que Un−1 − Un = 2 pour tout n ∈ N∗ . 2n n X π2 1 = − 2Un pour tout n ∈ N∗ . 6. Montrer que k2 6 k=1 h πi π 7. Montrer que 0 ≤ t ≤ sin (t) pour tout t ∈ 0, . En déduire que, pour tout 2 2 2 π 1 π2 1 n ∈ N, on a 0 ≤ Vn ≤ Wn+1 , puis que 0 ≤ Un ≤ . Conclure. 4 2n + 1 8 n+1 Solution. 1. Pour tout n ∈ N∗ , on a : xn−1   − xyn xn xn−1 yn − xn yn−1 (xn−1 − xn ) yn − xn (yn−1 − yn ) y D = n−1xn n = = yn x y xn yn−1 n n−1 yn yn−1 − yn yn yn xn−1 − xn yn − = (D (xn ) − D (yn )) = xn yn−1 yn yn−1 yn−1 h πh 2. La fonction t 7→ cos2n (t) étant continue strictement positive sur 0, , on a Wn > 0 2 ∗ pour tout n ∈ N. Pour tout n ∈ N , on a : Z π2 Z π2
Wn−1 − Wn = cos2n−2 (t) 1 − cos2 (t) dt = cos2n−2 (t) sin2 (t) dt 0

0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 186 — #196

186

Séries numériques

et une intégration par parties nous donne :   π2 Z π2 1 1 Wn−1 − Wn = − cos2n−1 (t) sin (t) + cos2n−1 (t) cos (t) dt 2n − 1 2n − 1 0 0 1 = Wn 2n − 1 Wn−1 1 Wn−1 2n Il en résulte que −1= , soit = . Wn 2n − 1 Wn 2n − 1 3. Une intégration par parties donne :   π2 Z π2 Z π2 1 1 Wn 2n−1 2n t cos (t) sin (t) dt = − t cos (t) + cos2n (t) dt = 2n 2n 0 2n 0 0 4. Comme pour (Wn )n∈N , on vérifie que Vn > 0 pour tout n ∈ N. Une intégration par parties donne : Z π2 Z π2
2 2n−2 2 t cos (t) 1 − cos (t) dt = t2 cos2n−2 (t) sin2 (t) dt Vn−1 − Vn = 0 0 ! Z π2   π2
1 2n−1 2 2n−1 2 − cos (t) t sin (t) 0 + cos (t) 2t sin (t) + t cos (t) dt = 2n − 1 0 !   Z π2 1 1 1 2n−1 = 2 Wn + Vn t cos (t) sin (t) dt + Vn = 2n − 1 2n − 1 n 0 soit D (Vn ) =

1 1 Wn + . 2n − 1 (2n − 1) n Vn

5. On a : Wn Wn Wn 1 (D (Vn ) − D (Wn )) = Wn−1 Wn−1 (2n − 1) n Vn 2n − 1 1 Wn 1 1 = = 2 2n (2n − 1) n Vn 2n Un

D (Un ) =

1 . 2n2 n n X 1X 1 V0 π 6. Pour n ∈ N∗ , on a = (Uk−1 − Uk ) = U0 − Un = − Un avec W0 = 2 k2 W0 2 k=1 k=1 n X1 π3 π2 et V0 = , ce qui nous donne = − 2Un . 2 24 k 6 k=1 i πh 2t 7. La fonction φ : t 7→ sin (t) − est C ∞ avec φ′′ (t) = − sin (t) < 0 sur 0, , π 2 h πi 2 donc φ′ est continue strictement décroissante sur 0, avec φ′ (0) = 1 − > 0, 2 π π i πh 2 φ′ = − < 0 et en conséquence, il existe un unique c ∈ 0, tel que φ′ (c) = 0. 2 π 2 La fonction φ est donc strictement croissante sur ]0, c[ , strictement décroissante sur i π h π c, avec φ (0) = φ = 0 (dessiner le tableau de variations). Il en résulte que 2 2 h πi h πi φ (t) ≥ 0 sur 0, . Pour tout t ∈ 0, , on a : 2 2
π2 π2 0 ≤ t2 cos2n (t) ≤ sin2 (t) cos2n (t) ≤ 1 − cos2 (t) cos2n (t) 4 4 ce qui équivaut à Un−1 − Un =

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 187 — #197

Exercices

187

π2 π2 1 (Wn − Wn+1 ) = Wn+1 , ce qui nous donne 4 4 2n + 1 2 2 2 π 1 Wn+1 π 1 2n + 1 π 1 0 ≤ Un ≤ = = . De cet encadrement, on 4 2n + 1 Wn 4 2n + 1 2n + 2 4 2n + 2 n X1 π2 = . déduit que lim Un = 0 et lim 2 n→+∞ n→+∞ k 6 et en intégrant, 0 ≤ Vn ≤

k=1

Exercice 8.8. On étudie les séries de termes généraux respectifs un = an einθ , sn = an sin (nθ) et cn = an cos (nθ) où (a, θ) ∈ R2 . 1. Montrer que pour θ ∈ R et |a| < 1, les trois séries convergent et calculer la somme de chacune ces séries. X X 2. Que dire des séries cn et sn pour θ ∈ πZ et a ∈ R ? 3. On suppose que θ ∈ R \ πZ et |a| ≥ 1. Montrer que la suite (sin (nθ))n∈N est X X divergente, la série sn est divergente et la série cn est divergente. Solution.

X 1. On a un = λn avec λ = aeiθ et la série un converge si, et seulement si, |λ| < 1, ce qui équivaut à |a| < 1 et θ ∈ R. Pour |a| < 1 et θ ∈ R, on a ; X

1 1 = iθ 1 − ae 1 − a cos (θ) − ia sin (θ)

un =

n≥0

1 − a cos (θ) + ia sin (θ)

=

et

X

un =

n≥0

2

(1 − a cos (θ)) +

a2

2

sin (θ)

=

1 − a cos (θ) + ia sin (θ) 1 − 2a cos θ + a2

1 − a cos (θ) − ia sin (θ) , puis : 1 − 2a cos θ + a2     X X X 1 X 1 cn = un + un  =  un + un  2 2 n≥0 n≥0 n≥0 n≥0 n≥0   X 1 − a cos ((θ)) = Re  un  = 1 − 2a cos ((θ)) + a2 X

n≥0

et

X

 sn = Im 

n≥0

X

 un  =

n≥0

a sin ((θ)) . 1 − 2a cos ((θ)) + a2

2. Si 0 pour tout n ∈ N Xθ = pπ avec p ∈ Z, on a sn = np Xet tout a ∈ R, de sorte que n p sn = 0. On a aussi cn = an (−1) = ((−1) a) et cn converge si, et seulement n≥0

si, |a| < 1. 3. La condition θ ∈ / πZ équivaut à sin(θ) = 6 0. (a) Supposons que lim sin (nθ) = ℓ. Avec : n→+∞

sin ((n + 1) θ) + sin ((n − 1) θ) = 2 sin (nθ) cos (θ)

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 188 — #198

188

Séries numériques on déduit que 2ℓ = 2ℓ cos (θ) , ce qui impose ℓ = 0 puisque cos (θ) 6= 1 si sin(θ) = 6 0. Avec sin ((n + 1) θ) = cos (nθ) sin (θ) + sin (nθ) cos (θ) , on déduit que lim (cos (nθ) sin (θ)) = 0, soit lim cos (nθ) = 0 puisque sin (θ) 6= 0, ce n→+∞

n→+∞

qui est incompatible avec cos2 (nθ) + sin2 (nθ) = 1. X (b) Supposons que sn soit convergente. On a alors lim sn = 0 et comme n→+∞ s n |sin (nθ)| = n ≤ |sn | pour |a| ≥ 1, on en déduit que lim sin (nθ) = 0 ce n→+∞ a qui est faux. X (c) Supposons que cn soit convergente. On a alors lim cn = 0 et comme n→+∞ c n |cos (nθ)| = n ≤ |cn | pour |a| ≥ 1, on déduit que lim cos (nθ) = 0 et n→+∞ a avec cos ((n + 1) θ) = cos (nθ) cos (θ) − sin (nθ) sin (θ) , il en résulte que l’on a lim (sin (nθ) sin (θ)) = 0 et lim sin (nθ) = 0 (car sin(θ) = 6 0) ce qui est faux. n→+∞

n→+∞

Exercice 8.9. Soit α un réel. Montrer que la série de Riemann alternée X (−1)n est convergente si, et seulement si, α > 0. nα Solution. Pourα ≤0 la série diverge puisque son terme général ne tend pas vers 0. Pour 1 α > 0, la suite tend vers 0 en décroissant et le théorème des séries alternées nα n≥1 X (−1)n converge. nous dit que la série nα Exercice 8.10.

Étudier la série de terme général un =

n3 cos(nπ) . (n + 1)4

n3 n = (−1) αn , la suite (αn )n≥0 conver(n + 1)4 1 x3 ≤ et αn = f (n) avec f (x) = et n (x + 1)4 n

Solution. Pour n ≥ 0, on a un = (−1) geant vers 0 en décroissant (0 ≤ αn

x2 (3 − x) f ′ (x) = < 0 pour x ≥ 4). Le théorème des séries alternées nous dit alors que (x + 1)5 X un converge. Exercice pour α réel strictement positif, la série de terme général  8.11. Étudier, n  (−1) un = ln 1 + . α (n + 1) n

Solution.

(−1) α > 0, donc un est bien défini. De (n + 1) X un est abα , on déduit que, pour α > 1, la série

Pour tout n ∈ N, on a 1 +

1 (n + 1) solument convergente. Pour 0 < α ≤ 1, un développement limité à l’ordre 2 donne n (−1) 1 1 un = lim εn = 0. La série alternée α − 2α (1 + εn ) = vn − 2 wn , où n→+∞ (n + 1) 2 (n + 1)

l’équivalence |un |

v

n→+∞

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 189 — #199

Exercices X

189

vn est convergente et wn

1

v

n→+∞

(n + 1)

2α , donc

X

vn converge si, et seulement si,

X 1 1 . Il en résulte que la série un est semi-convergente pour < α ≤ 1 et divergente 2 2 1 vers −∞ pour 0 < α ≤ . 2 α>

Exercice 8.12.

Z

1. Montrer que la suite (In )n∈N définie par In = tend vers 0 en décroissant.

π 2

cosn (x) dx pour tout n ∈ N

0 n

2. Montrer que la série de terme général un = (−1) In est convergente et calculer sa somme. Solution.

Z

Z

π 2

π 2

cos (x) cos (x) dx ≤ cosn (x) dx = In , donc 0 i πh est décroissante. Pour n ≥ 1 et ε ∈ 0, , on a : 2 Z ε Z π2 π 0 ≤ In = cosn (x) dx ≤ ε + cosn (ε) cosn (x) dx + 2 ε 0

1. Pour n ≥ 0, on a 0 ≤ In+1 =

n

0

(In )n∈N

Comme 0 < cosn (ε) < 1, on a

lim cosn (ε) = 0 et on peut trouver un entier nε  π tel que cosn (ε) < ε pour tout n ≥ nε , ce qui donne 0 ≤ In < 1 + ε pour tout 2 n ≥ nε . On a donc ainsi montré que la suite (In )n∈N tend vers 0 (en fait, on peut r π ). montrer que In ∼ n→+∞ 2n 2. Le théorème des séries alternées nous dit que cette série converge. Pour tout réel n h πi n+1 X 1 (x) k n cos x ∈ 0, , on a Sn (x) = (−1) cosk (x) = + (−1) et 2 1 + cos (x) 1 + cos (x) k=0 Z π2 Z π2 n X dx cosn+1 (x) n uk = Sn = + (−1) dx avec : 0 1 + cos (x) 0 1 + cos (x) n→+∞

k=0

Z 0≤

π 2

0 +∞ X

cosn+1 (x) dx ≤ 1 + cos (x) Z

π 2

Z

π 2

dx =2 0 1 + cos (x) n=0 x changement de variable t = tan . 2 ce qui donne

cosn+1 (x) dx = In+1

0

Z

un =

0

1

dt  (1 + t2 ) 1 +

1−t2 1+t2

→

n→+∞

0

 = 1 en effectuant le

Exercice 8.13. Montrer, sans utiliser le critère de Cauchy, qu’une série absolument convergente est convergente. Solution. On considère d’abord le cas d’une série réelle

X

un absolument convergente. X Pour n ∈ N, on a − |un | ≤ un ≤ |un | , soit 0 ≤ vn = un +|un | ≤ 2 |un | , donc la série vn

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 190 — #200

190

Séries numériques

X est convergente et avec un = vn − |un | , on en déduit que un est convergente. Dans le X cas d’une série complexe un absolument convergente, on écrit que un = xn + iyn , où xn = Re yn = Im (un ) et avec |xn | ≤ |un | , |yn | ≤ |un | , on déduit que les séries X(un ) etX réelles xn et yn sont absolument convergentes, donc convergentes et la convergence X de un suit. Exercice 8.14. Montrer que le produit de Cauchy de la série convergente X (−1)n √ par elle même est divergent. n+1 X (−1)n √ est convergente. Le Xn + 1 produit de Cauchy de cette série par elle même est la série wn définie par :

Solution. Le théorème des séries alternées nous dit que

n

wn = (−1)

n X

1

p

(k + 1) (n − k + 1)

k=0 2

et avec (k + 1) (n − k + 1) ≤ (n + 1) pour tout k compris entre 0 et n, on déduit que X |wn | ≥ 1et wn diverge puisque son terme général ne tend pas vers 0. Exercice 8.15.

Montrer que si la série réelle ou complexe

X

αn est converX gente, alors pour tout nombre complexe z tel que |z| < 1, la série αn z n est convergente. Solution. En posant un = z n , on a pour |z| < 1 : +∞ X

|un+1 − un | =

n=0

+∞ X

n

|z − 1| |z| =

n=0

Le deuxième théorème d’Abel nous dit alors que la série

Exercice 8.16.

Étudier la série

X

|z − 1| 1 − |z|

X αn z n est convergente.

n arctan (n) (−1) √ , où β est un réel positif β n (ln (n))

ou nul.   1 π Solution. En utilisant la relation arctan (x) + arctan = pour x > 0, on a x
2 n 1 π (−1) n arctan (n) n arctan n un = (−1) √ = √ + (−1) √ . Le théorème des séries β β β 2 n (ln (n)) n (ln (n)) n (ln (n)) ! X (−1)n 1 alternées nous assure la convergence de (la suite √ √ β β n (ln (n)) n (ln (n)) n≥2
1 1 n arctan n tend vers 0 en décroisant pour β ≥ 0) et avec (−1) √ , v √ β β n→+∞ n (ln (n)) n n (ln (n))

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 191 — #201

Exercices

191


arctan n1 √ est absolument convergente, donc convergente. Il en n X n arctan (n) est convergente comme somme de deux séries converrésulte que (−1) √ β n (ln (n)) X X arctan (n) X gentes. Mais la série |un | = est divergente, donc un est semi√ β n (ln (n)) convergente. on déduit que

X

n

(−1)

Exercice 8.17. On s’intéresse à la série alternée de Bertrand de terme général n (−1) un = , où α et β sont deux réels donnés. Les résultats sur les séries β nα (ln (n)) de Bertrand positives sont supposés connus. 1. Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur α et β, pour que cette série soit absolument convergente. 2. On suppose que α = 0. Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur β, pour que cette série soit convergente. 3. On suppose que α < 0. Quelle est la nature de cette série ? 4. Montrer que cette série converge pour α > 0 et β ∈ R. Solution.

X 1. La série un est absolument convergente si, et seulement si, α > 1 et β ∈ R ou α = 1 et β > 1. n (−1) 2. On a un = . β (ln (n))   −β (a) Si β ≤ 0, (|un |)n≥2 = (ln (n)) ne tend pas vers 0 et la série diverge. n≥2 X (b) Si β > 0, le théorème des séries alternées nous dit que un converge. n−α

→ +∞ et la série diverge. β (ln (n)) n→+∞ 4. Il reste à traiter les cas α = 1 et β ≤ 1 ou 0 < α < 1 et β ∈ R.

3. Pour α < 0, on a |un | =

β

(a) Supposons α = 1 et β ≤ 1. La fonction f définie par f (x) = x (ln (x)) pour x ∈ [2, +∞[ est de classe C 1 avec :   β β β−1 β ′ f (x) = (ln (x)) + β (ln (x)) = (ln (x)) 1 + ln (x) Pour 0 ≤ β ≤ 1, on a f ′ (x) > 0, donc f est croissante sur [2, +∞[ . Comme lim f (x) = +∞, on en déduit que (|un |)n≥2 tend vers 0 en décroissant et le x→+∞ X théorème des séries alternées nous dit que un converge. Pour β < 0, avec β lim = 0, on déduit que pour x assez grand f ′ (x) > 0 (précisément, on a x→+∞ ln (x) β f ′ (x) > 0 pour x > e−β et x > 2) et avec lim f (x) = lim x (ln (x)) = +∞, x→+∞ x→+∞ X on déduit du théorème des séries alternées que un converge.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 192 — #202

192

Séries numériques (b) Supposons que 0 < α < 1 et β ∈ R.. La fonction f définie sur [2, +∞[ par β f (x) = xα (ln (x)) est de classe C 1 avec :   β β β−1 β f ′ (x) = αxα−1 (ln (x)) + βxα−1 (ln (x)) = xα−1 (ln (x)) α + ln (x)   β = α > 0, on déduit que pour x assez grand, on Comme lim α+ x→+∞ ln (x) β a f ′ (x) > 0 (précisément f ′ (x) > 0 pour x > e− α ) et comme on a encore β lim f (x) = lim xα (ln (x)) = +∞, on déduit du théorème des séries alterx→+∞ X x→+∞ nées que un converge.

Exercice 8.18.

  nα 1 où α, β Étudier la série de terme général un = cos nβ

sont des réels. Solution. Un développement limité nous donne :       1 1 1 α + = ln 1 ln (un ) = nα ln cos o n − nβ 2n2β n2β   1 1 = − 2β−α + o 2β−γ n→+∞ 2n n Pour α < 2β, on a lim ln (un ) = 0, donc lim un = 1 et la série diverge. Pour α = 2β, n→+∞

n→+∞

1 1 on a lim ln (un ) = − , donc lim un = √ et la série diverge. On suppose donc que n→+∞ n→+∞ 2 e α > 2β. Pour γ réel à préciser, on a :   1 1 γ ln (n un ) = γ ln (n) − 2β−α + o 2n n2β−α   nα−2β ln (n) nα−2β =− 1 − 2γ α−2β + o (1) v − → −∞ n→+∞ 2 n 2 n→+∞ X et lim (nγ un ) = 0. Choisissant γ = 2, on en déduit que la série un converge. n→+∞

n

2(−1) On considère la suite (un )n∈N définie par un = . Que 2n X donnent les critères de d’Alembert et de Cauchy pour la série un ?

Exercice 8.19.

Solution. On a un > 0 pour tout n et : un+1 1 = 2(−1)n +1 = un 2  donc la suite

un+1 un

(

1 si n est impair 8 2 si n est pair

 diverge et le théorème de d’Alembert ne s’applique pas. Par n∈N

2 √ contre, on a n un =

(−1)n n

2

→

n→+∞

X 1 et le théorème de Cauchy nous dit que un 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 193 — #203

Exercices

193

converge. En fait, on a : S2p =

k 2p X 2(−1)

2k

k=0

et S2p+1 = S2p +

1 22p+2

=2

→

p p−1 p−1 X 1 1X 1 9X 1 1 + = + 2p 2j 2j j 2 4 2 4 4 2 j=0 j=0 j=0

p→+∞

3, donc

X

un converge et

+∞ X

→

p→+∞

94 =3 43

un = 3.

n=0

X xn Montrer que pour tout réel x ≥ 0 la série est convergente. X z n n! En déduire que pour tout nombre complexe z la série est convergente. n!

Exercice 8.20.

xn Solution. Pour x = 0 c’est clair. Pour x > 0, en notant un = , on a un > 0 et n! X xn un+1 x → 0. On déduit alors du théorème de d’Alembert que la série = un n + 1 n→+∞ n! X zn est absolument convergente, donc convergente. est convergente. On en déduit que n! Exercice 8.21. On considère les suites (un )n≥1 et (vn )n≥1 respectivement dé  √ un+1 nn n et vn = ln . finies par un = n e n! un X 1. Montrer que la série vn converge. √ n nn 2. En déduire que (un )n≥1 converge vers un réel α > 0, puis que n! v λ n n→+∞ e 1 avec λ = α √ 2 · 4 · · · · · (2n − 2) · (2n) √ = π (formule de Wallis) 3. En admettant que lim n→+∞ 1 · 3 · · · · · (2n − 1) n √ u2n et en simplifiant 2 , montrer que λ = 2π. un en n! nn 4. Étudier les série de termes généraux n et n α . n e n n! Solution. 1. Un développement limité nous donne :  n+ 12 !     1 n+1 1 1 vn = ln = −1 + n + ln 1 + e n 2 n       1 1 1 1 1 = −1 + n + − 2+ O = O n→+∞ n3 n→+∞ n2 2 n 2n   X 1 donc la série vn converge absolument (puisqu’on a aussi |vn | = O ). n→+∞ n2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 194 — #204

194

Séries numériques

X 2. Comme vn = ln (un+1 ) − ln (un ) , la série vn est de même nature que la suite (ln (un ))n≥1 qui converge. En notant ℓ sa limite, on a lim un = α = eℓ > 0. Il en n→+∞ √ n nn résulte que n! v λ n (formule de Stirling). n→+∞ e √ 2n √ 2 2 u2n (2n) 2n (n!) e2n 22n 2 (n!) √ 3. On a 2 = 2n avec : = un e (2n)! n2n n (2n)! n (2n)! = 1 · 2 · 3 · · · · · (2n − 1) · (2n) = 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) · 2n (n!) ce qui donne : √ √ √ 2n 2 n! 2 · 4 · 6 · · · · · (2n − 2) · (2n) √ u2n √ = √ = 2 → π 2 2 n→+∞ un 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) n 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) n en utilisant la formule de Wallis. Il en résulte que √ 2πnnn e−n . n! v

lim

n→+∞

√ 1 u2n = = λ = 2π, soit u2n α

n→+∞

un+1 en n! on a lim = 1 et le théorème de d’Alembert ne permet pas n n→+∞ un n X √ de conclure. Avec la formule de Stirling, on a un v = λ n et un diverge. Pour

4. Pour un =

n→+∞

nn un = n α , on a e n n!

un+1 lim = 1 et le théorème de d’Alembert ne permet pas de n→+∞ un X 1 1 un diverge pour conclure. Avec la formule de Stirling, on a un v 1 et α+ n→+∞ λ n 2 1 1 α ≤ , converge pour α > . 2 2

Exercice 8.22.

Étudier la série

X

un , où un =

1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) pour n ≥ 1. 2 · 4 · 6 · · · (2n)

un+1 = 1 et le théorème de d’Alembert ne permet pas de un  −1   un+1 1 1 1 1 1 conclure. Avec = 1− = 1− 1+ = 1− +o et le un 2n + 2 2n n 2n n X théorème de Raabe-Duhamel nous dit que un diverge. Solution.

On a

lim

n→+∞

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 195 — #205

Chapitre 9

Intégrales impropres

Pour ce chapitre, les fonctions considérées sont définies sur un intervalle réel I non réduit à un point, à valeurs réelles ou complexes et continues par morceaux.

9.1

Définitions et exemples d’intégrales généralisées

On se donne un intervalle réel I = [a, b[ avec −∞ < a < b ≤ +∞ et une fonction f : [a, b[ → R (ou C) continue par morceaux. On rappelle tout d’abord la définition d’une fonction continue par morceaux sur l’intervalle I. Définition 9.1. On dit qu’une fonction f définie sur I est continue par morceaux sur cet intervalle s’il existe une subdivision a0 = a < a1 < · · · < ap < ap+1 = b telle que f soit continue chacun des intervalle ]ak , ak+1 [ (0 ≤ k ≤ p) et admette une limite à droite en a et des limites à droite et à gauche en chacun des points ak pour k compris entre 1 et p. Avec les notations de cette définition, la restriction de la fonction f à l’intervalle ]ap , b[ se prolonge en une fonction continue sur [ap , b[ et pour tout entier k compris entre 0 et p − 1, la restriction de la fonction f à l’intervalle ]ak , ak+1 [ se prolonge en une fonction continue sur [ak , ak+1 ] . Une fonction continue par morceaux sur I est donc en particulier localement intégrable sur cet intervalle, ce qui signifie qu’elle est intégrable sur tout segment [α, β] ⊂ I. Pour f continue par morceaux sur I, on peut définir la fonction F par : Z x ∀x ∈ [a, b[ , F (x) = f (t) dt a

Z

x

Précisément, pour x ∈ [a0 , a1 [ , on a F (x) = compris entre 1 et p, on a F (x) =

k−1 XZ aj+1 j=0 aj

f (t) dt et pour x ∈ [ak , ak+1 [ avec k a0

Z

x

f (t) dt +

f (t) dt. ak

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 196 — #206

196

Intégrales impropres

Définition 9.2. Avec les notations qui précèdent on dit que l’intégrale de f sur [a, b[ est convergente, si la fonction F admet une limite finie quand x tend vers Z b f (t) dt cette limite. Le scalaire ainsi défini est b dans I. Dans ce cas on note a

appelé l’intégrale généralisée (ou impropre) de f sur [a, b[ . Dans le cas où F n’a pas de limite finie en b on dit que l’intégrale de f sur [a, b[ est divergente. Z

Z

b

On a donc, en cas de convergence,

x

f (t) dt = lim

x→b

a

f (t) dt. a

Si f : [a, b[ → R (ou C) est une fonction continue par morceaux et si c ∈ [a, b[ , alors l’intégrale de f est convergente sur [a, b[ si, et seulement si, l’intégrale de f est convergente sur [c, b[ (le problème de la convergence se pose en b) et dans ce cas, on Z b Z c Z b f (t) dt. Cela résulte immédiatement de la relation de f (t) dt + a f (t) dt = c

a

a

Chasles pour les intégrales définies. On définit de manière analogue l’intégrale d’une fonction f à valeurs réelles ou complexes définie sur un intervalle ]a, b] avec −∞ ≤ a < b < +∞ et continue par morceaux Z b Z b sur cet intervalle par f (t) dt = lim f (t) dt quand cette dernière limite existe. x→a

a

x

Pour f définie sur un intervalle ]a, b[ avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞ (et toujours continue par morceaux), on dit que l’intégrale de f est convergente sur ]a, b[ , si pour tout c Z c Z b dans ]a, b[ chacune des intégrales f (t) dt et f (t) dt est convergente. Dans ce cas la a

c

somme de ces intégrales impropres ne dépend pas de c, ce qui permet de définir l’intégrale généralisée de f sur ]a, b[ par : Z

Z

b

f (t) dt =

Z

c

f (t) dt +

a

Z

b

a

x→a

c

Z

b

f (t) dt = lim

f (t) dt + lim

y→b

x

y

f (t) dt a

Le lemme qui suit justifie l’affirmation précédente et nous dit aussi qu’il suffit de Z c Z b vérifier la convergence des intégrales f (t) dt et f (t) dt pour une valeur de c. a

c

Lemme 9.1 Si, avec les notations qui précèdent, il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que les Z c Z b intégrales f (t) dt et f (t) dt soient convergentes, l’intégrale de f sur ]a, b[ est alors a

c

convergente et pour tout réel d ∈ ]a, b[ , on a : Z

Z

d

f (t) dt + a

Z

b

f (t) dt = d

Z

c

f (t) dt +

b

f (t) dt

a

c

Preuve. Il suffit d’utiliser la relation de Chasles pour les intégrales définies.  Z b Par abus de langage, l’expression « étudier la nature de f (t) dt » sans savoir si cette a

intégrale converge ou non est un raccourci pour « étudier la convergence de l’intégrale de f sur ]a, b[ ». Z c Z b Il faut bien noter que la divergence de l’une des deux intégrales f (t) dt et f (t) dt a c Z b équivaut à la divergence de f (t) dt. a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 197 — #207

Définitions et exemples d’intégrales généralisées

197 Z

Dans le cas où a = −∞ et b = +∞ l’existence de

x

lim

x→+∞

f (t) dt ne prouve −x

pas laZ convergence de l’intégrale de f sur ]−∞, +∞[ . Par exemple pour f (t) = t x on a f (t) dt = 0 pour tout x > 0 et pourtant l’intégrale diverge. En effet, on a Z−xx lim f (t) dt = +∞. Pour prouver la convergence de l’intégrale de f sur ]−∞, +∞[ on x→+∞ 0 Z 0 Z x doit prouver indépendamment la convergence de lim f (t) dt et lim f (t) dt. x→+∞

Exemples 9.1

3. L’intégrale de f 4. L’intégrale de f 5. L’intégrale de f 6. L’intégrale de f

Z

−t

0

+∞

est convergente sur [0, +∞[ et on a e−t dt = 1. 0 Z +∞ 1 dt π : t 7→ est convergente sur [0, +∞[ et = . 2 1 + t2 1 + t 2 0 Z 1 dt 1 √ = 2. : t 7→ √ est convergente sur ]0, 1] et on a t t 0 1 : t 7→ 2 est divergente sur ]0, 1] . t : t 7→ sin (t) est divergente sur [0, +∞[ . Z 1 1 1 √ est convergente sur ]−1, 1[ et dt = π. : t 7→ √ 2 2 1−t −1 1 − t

1. L’intégrale de f : t 7→ e 2. L’intégrale de f

x→+∞

−x

Théorème 9.1. Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie et continue par morceaux Zsur un intervalle ]−a, a[ avec 0 < a ≤ +∞. Si Zf est paire [resp. impaire], a a alors f (t) dt est convergente si, et seulement si, f (t) dt l’est. En cas de −a 0 Z a Z a Z a convergence, on a f (t) dt = 2 f (t) dt pour f paire et f (t) dt = 0 pour f est impaire.

−a

−a

0

Preuve. Supposons f paire. La condition nécessaire est une conséquence immédiate des Z a Z x définitions. Si f (t) dt converge, la fonction F définie sur ]0, a[ par F (x) = f (t) dt 0

0

a alors une limite finie en a. Notons ℓ cette limite. Pour y ∈ ]−a, 0[ , le changement de variable u = −t donne : Z 0 Z −y G (y) = f (t) dt = f (u) dt = F (−y) → ℓ y

y→−a

0

Z

et le résultat annoncé. Pour f impaire, on a G (y) = −F (−y) → −ℓ et y→−a



a

f (t) dt = 0. −a

Dans le cas où la fonction f, définie sur [a, b[ avec b fini, admet une limite finie ℓ en b, le problème de convergence de l’intégrale est un faux problème. En effet, en posant f (b) = ℓ, la fonction f se prolonge par continuité en b, la fonction F est continue en b et Z x Z b f (t) dt = lim F (x) = F (b) = f (t) dt. on a lim x→b

a

x→b

a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 198 — #208

198

Intégrales impropres

9.2

Les intégrales généralisées de Riemann

Une famille importante d’intégrales généralisées est donnée par celle des intégrales de Riemann. Théorème 9.2. 1 . tα 1. L’intégrale de f sur [1, +∞[ est convergente si, et seulement si, α > 1 et dans Z +∞ dt 1 ce cas, on a = . α t α − 1 1 2. L’intégrale de f sur ]0, 1] est convergente si, et seulement si, α < 1 et dans ce Z 1 1 dt = cas, on a . α t 1 − α 0 Soient α un réel et f la fonction définie sur ]0, +∞[ par f (t) =

Preuve. 1. Pour x > 1 on a : Z 1

x

  

1 1−α

dt =  tα 

et en conséquence :

Z

1 xα−1

 −1

si α 6= 1

ln (x) si α = 1

x

lim

x→+∞



1

 1 dt  α − 1 si α > 1 =  tα +∞ si α ≤ 1

2. De même pour 0 < x < 1 on a :    1 1  Z 1  1 − si α 6= 1 dt 1−α xα−1 = α  x t  − ln (x) si α = 1 et :

Z

1

lim

x→+∞

x

 1 dt  α − 1 si α < 1 =  tα +∞ si α ≥ 1

 On pourra noter l’analogie entre les intégrales de Riemann sur [1, +∞[ et les séries de Riemann. On peut montrer de manière analogue (ou en effectuant le changement de variable 1 u = b − t [resp. u = t − a]) que pour a < b et α dans R l’intégrale de f : t 7→ α (b − t) 1 [resp. f : t 7→ α ] sur [a, b[ est convergente si, et seulement si, α < 1 et dans ce cas, (t − a) Z b Z b dt dt 1 1 on a α = α = α−1 . 1 − α (b − t) (t − a) (b − a) a a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 199 — #209

Opérations sur les intégrales généralisées

9.3

199

Opérations sur les intégrales généralisées

On se place sur I = [a, b[ et se donne deux fonctions f et g continues par morceaux sur cet intervalle. Théorème 9.3. Si les intégrales de f et g sur I sont convergentes, il en est alors de même de l’intégrale des fonction f : x 7→ f (x) et f + λg pour tout nombre complexe λ et Z b Z b f (x) dx et : on a f (x)dx = a

a

Z

Z

b

(f (x) + λg (x)) dx = a

Z

Z

b

g (x) dx a

Z

b

b

(f (x) + g (x)) dx diverge.

g (x) dx diverge, alors a

a

a

b

f (x) dx + λ a

f (x) dx converge et

Si

Z

b

Preuve. Résulte immédiatement des résultats relatifs aux opérations sur les limites.  Pour ce qui est de la somme de deux intégrales divergentes, on ne peut rien dire a 1 1 1 priori comme le montre l’exemple des fonctions f (x) = 2 , g (x) = − 2 et f (x) = 2 , x x x 1 1 g (x) = √ − 2 sur ]0, 1] . x x Pour ce qui est du produit des deux fonctions f et g d’intégrales convergentes, on ne 1 peut rien dire a priori comme le montre l’exemple des fonctions f (x) = 1, g (x) = √ x 1 1 et f (x) = √ , g (x) = √ sur ]0, 1] . x x Z Corollaire 9.1. Si f est à valeurs complexes, alors Z b Z Re (f ) (x) dx et si, et seulement si, les intégrales a

Z

b

f (x) dx = a

b

Z Re (f ) (x) dx + i

a

f (x) dx est convergente b

a

Im (f ) (x) dx sont conver-

a

gentes et en cas de convergence, on a : Z

b

b

Im (f ) (x) dx

a

f −f f +f , Im (f ) = .  Preuve. Résulte de f = Re (f ) + i Im (f ) et de Re (f ) = 2 2i L’utilisation du théorème d’intégration par parties ou du théorème de changement de variable pour les intégrales définies est parfois utile pour justifier la convergence d’une intégrale. Théorème 9.4. Intégration per parties Z a

Si f, g sont de classe C 1 sur I et si lim f (x) g (x) existe, les intégrales x→b Z b b f ′ (x) g (x) dx et f (x) g ′ (x) dx sont alors de même nature et en cas de a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 200 — #210

200

Intégrales impropres convergence, on a : Z

b

f (x) g ′ (x) dx = lim f (x) g (x) − f (a) g (a) − x→b

a

Z

b

f ′ (x) g (x) dx

a

Preuve. Z xLe théorème usuel d’intégration par parties Z x nous permet d’écrire pour tout ′ x ∈ I, f (t) g (t) dt = f (x) g (x) − f (a) g (a) − f ′ (t) g (t) dt et avec l’hypothèse a

a



lim f (x) g (x) = ℓ, on déduit le résultat annoncé.

x→b

Dans la pratique il est préférable de reprendre la démonstration de ce théorème sur l’intégrale étudiée en effectuant une intégration parties sur [a, x] , puis en passant à la limite. Théorème 9.5. Changement de variable Soient φ un C 1 -difféomorphisme croissant de J = [α, β[ sur I = [a, b[ et f une application continue sur l’intervalle I à valeurs réelles ou complexes. Les intégrales Z β Z b f (φ (t)) φ′ (t) dt et f (x) dx sont de même nature et en cas de convergence, α Z b Z β a on a f (x) dx = f (φ (t)) φ′ (t) dt. a

α

Preuve. On désigne respectivement par F et G, la primitive de f sur I nulle en a ′ et la primitive de (f ◦ φ) · φ′ sur J nulle en α. Avec (F ◦ φ) = (f ◦ φ) · φ′ = G′ et Z b F ◦ φ (α) = F (a) = 0 = G (α) , on déduit que G = F ◦ φ. Dire que f (x) dx converge a

équivaut à dire que F a une limite finie en b et avec lim φ (t) = b, on déduit que : t→β

Z

b

G (t) = F ◦ φ (t) = F (φ (t)) →

f (x) dx

t→β

a

Z β Z b ce qui signifie que f (φ (t)) φ′ (t) dt converge vers f (x) dx. Réciproquement si α a Z β f (φ (t)) φ′ (t) dt converge, alors G a une limite finie en β et avec lim φ−1 (x) = β x→b

α

(φ est un homéomorphisme), on déduit que : −1

F (x) = G ◦ φ Z ce qui signifie que

−1

(x) = G φ


(x) →

x→b

Z

b

β

f (x) dx converge vers a

Z

β

f (φ (t)) φ′ (t) dt

α

f (φ (t)) φ′ (t) dt.

α

Z

Dans la pratique, on effectue le changement de variable sur l’intégrale définie et on passe à la limite ensuite.

 x

f (t) dt a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 201 — #211 Z

+∞

f (x) dx

Condition nécessaire de convergence de

201

Z

a

9.4

Condition nécessaire de convergence de

+∞

f (x) dx a

On sait qu’une condition nécessaire de convergence d’une série numérique est que son terme général tende vers 0. Dans le cas des fonctions continues, la convergence de Z +∞ f (x) dx n’implique pas nécessairement que f soit nulle à l’infini (exercices 9.4, 9.5 a

et 9.9). Dans le cas où la fonction f est décroissante ou uniformément continue sur R+ , la condition lim f (x) = 0 est une condition nécessaire de convergence de l’intégrale. x→+∞

Théorème 9.6. Z

+∞

Si f : R+ → R est une fonction décroissante telle que

f (t) dt converge, on 0

a alors lim f (x) = 0 et f est à valeurs positives. On a aussi lim xf (x) = 0, x→+∞ x→+∞   1 c’est-à-dire que f (x) = o . x→+∞ x Preuve. On rappelle qu’une fonction monotone sur un intervalle [α, β] est Riemannintégrable. Comme f est décroissante, pour tout réel x ≥ 0, on a : Z x+1 Z x f (t) dt ≤ f (x) ≤ f (t) dt x

Z

Z

x+1

avec lim

x→+∞

x−1

x

x→+∞

Z

x

f (t) dt = 0 puisque

f (t) dt = lim

x−1

+∞

f (t) dt converge converge, 0

donc lim f (x) = 0. Toujours avec la décroissance de f, on en déduit que f est à valeurs x→+∞

positives (en effet, s’il existe x0 ≥ 0 tel que f (x0 ) < 0, on a alors f (x) ≤ f (x0 ) pour tout x ≥ x0 et lim f (x) ≤ f (x0 ) < 0, ce qui contredit lim f (x) = 0). Pour tout x→+∞ x→+∞ Z x Z x x x > 0, on a 0 ≤ f (x) ≤ f (t) dt avec lim f (t) dt = 0, donc lim xf (x) = 0. x→+∞ x x→+∞ x 2 2 2  Théorème 9.7. Z

Soit f une fonction uniformément continue sur I = [a, +∞[ . Si l’intégrale +∞

f (x) dx converge, on a alors lim f (x) = 0. a

x→+∞

Preuve. Il suffit de considérer le cas d’une fonction f à valeurs réelles. Dire que f ne tend pas vers 0 à l’infini signifie qu’on peut trouver un réel ε > 0 tel que : ∀n ≥ a, ∃xn ≥ n | |f (xn )| ≥ ε Si on suppose de plus que f est uniformément continue sur I, il existe un réel η > 0 tel que : 
ε (x, y) ∈ I 2 et |x − y| ≤ η ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 202 — #212

202

Intégrales impropres

En particulier, on a pour tout n ≥ a :

 ε ε (t ∈ [xn , xn + η]) ⇒ − ≤ f (t) − f (xn ) ≤ 2 2

Pour f (xn ) > 0 (comme |f (xn )| ≥ ε, f (xn ) est non nul), on a :   ε ε (t ∈ [xn , xn + η]) ⇒ f (t) ≥ f (xn ) − ≥ > 0 2 2 et pour f (xn ) < 0, on a :   ε ε (t ∈ [xn , xn + η]) ⇒ f (t) ≤ f (xn ) + ≤ − < 0 2 2 ε pour tout t ∈ [xn , xn + η] avec f de signe constant sur [xn , xn + η] dans 2 Z Z xn +η Z x xn +η ηε |f (t)| dt ≥ f (t) dt = , de sorte que x 7→ f (t) dt ne tous les cas et 2 xn xn a Z +∞ peut avoir de limite finie à l’infini et l’intégrale f (x) dx diverge. 

soit |f (t)| ≥

a

9.5

Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales absolument convergentes

On se place sur I = [a, b[ (avec −∞ < a < b ≤ +∞) et se donne Z x une fonction f continue par morceaux sur cet intervalle. On note toujours F : x 7→ f (t) dt. a

Théorème 9.8. Z b Z b Si f est à valeurs positives et si f (x) dx converge, on a alors f (x) dx ≥ 0. a Z ba Pour f continue sur I, l’égalité f (x) dx = 0 est réalisée si, et seulement si, f est identiquement nulle.

a

Preuve. Se déduit de la définition, des propriétés des limites et du résultat analogue sur les intégrales de Riemann des fonctions continues.  On rappelle que si F est une fonction croissante de I = [a, b[ dans R, elle admet alors une limite finie en b si, et seulement si, elle est majorée. Dans le cas où elle est majorée, on a lim F (x) = sup F (x) et dans le cas contraire, on a lim F (x) = +∞. Comme x→b

x∈[a,b[

x→b

conséquence de ce résultat, on a le suivant. Théorème 9.9. Si f est à valeurs positives, alors l’intégrale de f sur [a, b[ est convergente si, et seulement si, la fonction F est majorée. Preuve. Comme f est positive, la primitive F est une fonction croissante et elle a une limite finie en b si, et seulement si, elle est majorée. Pour F non majorée, on a lim F (x) = +∞. 

x→+∞

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 203 — #213

Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales absolument convergentes Z

203

b

f (t) dt = lim F (x) = +∞ en cas de divergence x→+∞ Z b et en cas de convergence, on notera naturellement f (t) dt < +∞. Pour f à valeurs positives, on a

a

a

Le cas d’une fonction f à valeurs négatives se ramène à celui d’une fonction positive en étudiant g = −f. On déduit du résultat précédent un théorème de comparaison analogue à celui obtenu pour les séries numériques. Théorème 9.10. Soient f, g deux fonctions définies, continues par morceaux sur [a, b[ , à valeurs réelles positives et telles que f (t) ≤ g (t) pour tout t ∈ [a, b[ . 1. La convergence de l’intégrale de g sur [a, b[ entraîne la convergence de l’intégrale Z b Z b g (x) dx. f (x) dx ≤ de f sur [a, b[ avec a

a

2. La divergence de l’intégrale de f sur [a, b[ entraîne la divergence de l’intégrale de g sur [a, b[ . Z

Z

x

Preuve. En notant F (x) =

f (t) dt et G (x) = a

x

g (t) dt pour tout x dans [a, b[ , a

on a F (x) ≤ G (x) pour tout x dans [a, b[ . Si l’intégrale de g sur [a, b[ est convergente la fonction G est alors bornée et il en est de même de la fonction F de sorte que l’intégrale de f sur [a, b[ est convergente. Si l’intégrale de f sur [a, b[ diverge, on a alors lim F (x) = +∞ x→b

et lim G (x) = +∞ de sorte que l’intégrale de g sur [a, b[ est aussi divergente. x→b



Définition 9.3. On dit que l’intégrale de f sur [a, b[ (à valeurs réelles ou comZ b plexes) est absolument convergente si |f (t)| dt < +∞. a

Comme pour les séries numérique, on dispose du résultat suivant. Théorème 9.11. Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b[ . Si l’intégrale de f sur [a, convergente, elle est alors convergente et dans ce cas, on a Z b[ est absolument Z b b |f (t)| dt. f (t) dt ≤ a a Preuve. On considère d’abord le cas d’une fonction f à valeurs réelles d’intégrale absolument convergente. De − |f | ≤ f ≤ |f | , on déduit que 0 ≤ g = f + |f | ≤ 2 |f | , ce Z b Z b qui implique la convergence de g (t) dt et de f (t) dt puisque f = g − |f | . Dans le a

a

cas d’une fonction f à valeurs complexes d’intégrale généralisée absolument convergente, on écrit que f = u + iv, où u = Re (f ) , v = Im (f ) et avec |u| ≤ |f | , |v| ≤ |f | , on déduit que les intégrales de u et v sont absolument convergentes, donc convergentes et Z b la convergence de f (t) dt suit.  a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 204 — #214

204

Intégrales impropres

Ce résultat peut aussi se montrer en utilisant le critère de Cauchy pour les limites de fonctions à valeurs réelles ou complexes. Tout d’abord voyons comment le critère de Cauchy pour les fonctions nous fournit un critère de convergence des intégrales généralisées. Théorème 9.12. Soient −∞ < a < b ≤ +∞ et f une fonction continue par morceaux sur [a, b[ . L’intégrale de f est convergente sur [a, b[ si et seulement si pour tout réel ε > 0 il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que :   Z y f (t) dt < ε (c < x < y < b) ⇒ x

Preuve. Il s’agit simplement du critère de Cauchy pour la fonction F qui nous assure de l’existence de la limite en b.  Le théorème 9.11 peut alors se montrer comme suit. Pour tous x < y dans [a, b[ Z Z y Z b y |f (t)| dt. De la convergence de |f (t)| dt on déduit que pour on a f (t) dt ≤ x

x

a

tout Z y cε dans [a, b[ tel que pour cε < x < y < b on ait Z y ε > 0 on peut trouver un réel |f (t)| dt < ε ce qui entraîne f (t) dt < ε. Le critère de Cauchy permet alors de x

x

conclure.

Définition 9.4. On dit que l’intégrale de f sur [a, b[ est semi-convergente si elle est convergente et non absolument convergente. Du théorème 9.10, on déduit un premier résultat sur la comparaison d’une intégrale généralisée à une intégrale de Riemann. Théorème 9.13. Soit f une fonction définie et continue par morceaux sur [a, +∞[ . S’il existe λ un réel α > 1 et un réel positif λ tels que pour t assez grand, on ait |f (t)| ≤ α , t Z +∞

l’intégrale généralisée

f (x) dx est alors convergente. a

Z +∞ Preuve. Du théorème 9.10, on déduit qu’il existe un réel c > a tel que f (x) dx c Z +∞ est absolument convergente, elle est donc convergente et aussi f (x) dx.  a

λ De même si f définie sur ]0, b] avec b > 0 est telle que |f (t)| ≤ α pour t > 0 voisin t Z b de 0 avec 0 < α < 1, l’intégrale généralisée f (x) dx est alors convergente. 0

Pratiquement, on peut utiliser les résultats suivant.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 205 — #215

Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales absolument convergentes

205

Théorème 9.14. Soit f une fonction définie et continue par morceaux sur [a, +∞[ . S’il existe Z +∞ α un réel α > 1 tels que lim t f (t) = 0, l’intégrale généralisée f (x) dx est t→+∞

a

alors absolument convergente.

Preuve. Si lim tα f (t) = 0, il existe un réel c > a tel que |f (t)| ≤ x→+∞

la conclusion suit.

1 pour t ≥ c et tα 

Exemple 9.1 De lim x2 P (x) e−x = 0 pour tout polynôme P, on déduit que l’intégrale Z +∞ x→+∞ 2 généralisée P (x) e−x dx est absolument convergente. 2

0

Théorème 9.15. Soit f une fonction à valeurs réels définie et continue par morceaux sur [a, +∞[ . S’il existe un réel α ≤ 1 tels que lim tα f (t) = ℓ > 0, l’intégrale généralisée t→+∞ Z +∞ f (x) dx est alors divergente. a

ℓ 1 pour t ≥ c 2 tα et la conclusion suit.  De même si f définie sur ]0, b] avec b > 0 est telle que lim tα f (t) = 0 avec α < 1 [resp. Zt→0 b α lim t f (t) = ℓ > 0 avec α ≥ 1], l’intégrale généralisée f (x) dx est alors absolument

Preuve. Si lim tα f (t) = ℓ > 0, il existe un réel c > a tel que f (t) ≥ t→+∞

t→0

0

convergente [resp. divergente]. Le résultat qui suit est analogue à celui obtenu pour les séries à termes positifs. Théorème 9.16. Soient f, g deux fonctions définies, continue par morceaux sur [a, b[ , à valeurs réelles positives et telles que f = O (g) [resp. f = o (g)]. Z 1. Si Z b x

x→b

Z b g (t) dt est convergente, il en est alors de même de f (t) dt et on a a a ! ! Z b Z b Z b f (t) dt = O g (t) dt [resp. f (t) dt = o g (t) dt ]. x→b

Z

2. Si Z x a

x→b

b

x

x

x→b

a

a

x→b

x

Z b f (t) dt est divergente, il en est alors de même de g (t) dt et on a a Z x  Z x a  Z x f (t) dt = O g (t) dt [resp. f (t) dt = o g (t) dt ]. b

x→b

a

Preuve. Si f = O (g) , on peut alors trouver un réel α ∈ [a, b[ et un réel M > 0 tels x→b

que 0 ≤ f (t) ≤ M · g (t) pour tout t ∈ [α, b[ .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 206 — #216

206

Intégrales impropres

Z b Z b f (t) dt M · g (t) dt et de g (t) dt est convergente, il en est alors de même de x x a Z b Z b Z b pour tout x ∈ [α, b[ , donc f (t) dt converge. De plus, on a f (t) dt ≤ M g (t) dt x x ! Za Z Z

b

1. Si

b

pour tout x ∈ [α, b[ , soit Z

b

f (t) dt = O

g (t) dt .

x→b

x

x

Z

b

Z

b

b

f (t) dt M ·g (t) dt et de f (t) dt est divergente, il en est alors de même de de x x a Z b pour tout x ∈ [α, b[ , donc g (t) dt diverge. De plus, on a pour tout x ∈ [α, b[ :

2. Si

Z

Z

x

a

Z

α

Z

α

x

g (t) dt

f (t) dt + M α

a

α

a

a

f (t) dt ≤

f (t) dt +

f (t) dt =

Z

x

Z x Z α Z x et comme lim g (t) dt = +∞, on a f (t) dt ≤ g (t) dt pour x voisin de b x→b α aZ α Z x  Z x Z x x et f (t) dt ≤ (M + 1) g (t) dt, donc f (t) dt = O g (t) dt . Le cas où a

α

a

x→b

a

f = o (g) se traite de façon analogue. x→b

 Théorème 9.17. Soient f, g deux fonctions définies, continue par morceaux sur [a, b[ , à valeurs réelles positives et telles que f v g. Les intégrales de f et g sur [a, b[ sont t→b

de même nature, c’est-à-dire que l’intégrale de f sur [a, b[ est convergente si, et seulement si, l’intégrale de g sur [a, b[ est convergente. En cas de convergence, on a Z b Z b Z x Z x f (t) dt v g (t) dt et en cas de divergence, on a f (t) dt v g (t) dt. x

x→b

x

a

x→b

a

Preuve. Comme f v g il existe une fonction ε définie sur un intervalle [α, b[ contenu t→b

dans [a, b[ telle que lim ε (t) = 0 et f (t) = (1 + ε (t)) g (t) pour tout t dans [α, b[ . On t→b 1 1 peut alors trouver un réel β dans [α, b[ tel que − < ε (t) < pour tout t ∈ [β, b[ . Il 2 2 1 3 en résulte alors, puisque f et g sont à valeurs positives, que g (t) < f (t) < g (t) pour 2 2 tout t ∈ [β, b[ . On conclut, pour ce qui est de la nature des intégrales, avec le théorème 9.10. On peut aussi dire que si f v g, on a alors f = O (g) et g = O (f ) , ce qui t→b

x→b

x→b

permet de retrouver le fait que les intégrales sont de même nature. D’autre part, avec f − g = o (g) , on déduit que |f − g| = o (g) et en cas de convergence des intégrales x→b ! x→b Z ! Z b Z b Z b b que |f − g| (t) dt = o g (t) dt , soit |f − g| (t) dt = ε (t) g (t) dt au x→b x x x x Z Z b b voisinage de b avec lim ε (t) = 0. Puis avec 0 ≤ (f − g) (t) dt ≤ |f − g| (t) dt, x t→b x ! Z b Z b on déduit que (f − g) (t) dt = o g (t) dt , ce qui est encore équivalent à x

x→b

x

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 207 — #217

Un théorème d’Abel Z

Z

b

b

f (t) dt v

x→b

x

207

g (t) dt. Le cas où les deux intégrales divergent se traite de manière x

analogue.  Si f v g avec g de signe constant au voisinage de b (i. e. strictement positif ou t→b

strictement négatif), alors la fonction f est également de signe constant au voisinage de b, ce signe étant celui de g. P , où P et Q sont deux fonctions polynomiales non identiqueQ ment nulles, il existe alors un réel a > 0 tel que Q (x) 6= 0 pour tout x ≥ a et on a P (x) v |ap | 1 , où p, q sont les degrés et ap , bq les coefficients dominants de P Q (x) x→+∞ |bq | xq−p et Q respectivement. Il en résulte que la fonction f a un signe constant sur [a, +∞[ et Z +∞ f (x) dx converge si, et seulement si, q ≥ p + 2.

Exemple 9.2 Si f =

a

On déduit du théorème précédent un critère supplémentaire de comparaison aux intégrales de Riemann. Théorème 9.18. Soit f une fonction définie et continue par morceaux sur [a, +∞[ . S’il existe λ un réel α et un réel non nul λ tels que f (x) v , l’intégrale généralisée x→+∞ xα Z +∞

f (x) dx est alors convergente pour α > 1 et divergente pour α ≤ 1. a

Preuve. Supposons que λ > 0. On a alors f (t) > 0 pour t assez grand, disons t ≥ c > a. Z +∞ Z +∞ dx , Le théorème précédent nous dit alors que f (x) dx est de même nature que xα c c ce qui donne le résultat annoncé.  λ De même si f définie sur ]0, b] avec b > 0 est telle que f (x) v , alors l’intégrale x→+0 xα Z b

généralisée

f (x) dx est convergente si, et seulement si α < 1. 0

A titre d’application on peut considérer le cas des intégrales de Bertrand (exercice 9.10). L’étude de la fonction Γ d’Euler est aussi un exemple typique (exercice 9.11).

9.6

Un théorème d’Abel

Le théorème de Cauchy pour les intégrales généralisées (théorème 9.12) et la deuxième formule de la moyenne pour les intégrales définies (théorème 3.36) nous permettent de montrer les résultats suivants.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 208 — #218

208

Intégrales impropres Théorème 9.19. Abel Soient f, g des fonctions continues par morceaux sur [a, b[ telles que f est déZ b croissante à valeurs positives sur [a, b[ et g (t) dt est convergente. Dans ces a Z b f (t) g (t) dt est convergente. condition, l’intégrale a

Preuve. Le second théorème de la moyenne (théorème 3.36)Znous dit que pour u < v Z v w g (t) dt. Comme f est f (t) g (t) dt = f (u) dans [a, b[ , il existe w ∈ [u, v] tel que u Z u Z v w g (t) dt et comme décroissante positive, on en déduit que f (t) g (t) dt ≤ f (a) u u Z b g (t) dt est convergente, pour tout réel ε > 0, on peut trouver un réel c ∈ [a, b[ tel a que :  Z w  (c < u < w < b) ⇒ g (t) dt ≤ ε u Z v Z b ce qui entraîne f (t) g (t) dt ≤ ε pour c < u < v < b et la convergence de f (t) g (t) dt u

a

d’après le théorème de Cauchy.  reprenant les notations de la démonstration du théorème d’Abel qui précède, on a Z En Z w v f (t) g (t) dt = f (x) g (t) dt ≤ 2M f (x) pour tout x ∈ [a, b[ et faisant tendre v x Zx b vers b, on en déduit que f (t) g (t) dt ≤ 2M f (x) . x

9.7

Exercices Z

Exercice 9.1.

Montrer que l’intégrale

sa valeur.

0

+∞


arctan t2 dt converge et calculer t2


arctan t2 = 1, on prolonge par continuité en 0 la fonction à 1→0 t2 intégrer et le seul problème de convergence est
à l’infini. Une intégration par parties
Z x Z x arctan t2 arctan x2 dt nous donne pour x > 0 F (x) = dt = − +2 (la 2 4 t x 0 0 1+t
arctan t2 fonction g : t 7→ se prolonge aussi par continuité en 0 avec g (0) = 0) et la t 1 1 1√ décomposition en éléments simples de = donne I = 2π (les 2 2 2 1 + t4 2 (1 + t ) − 2t détails sont laissés au lecteur). Solution.

Avec lim

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 209 — #219

Exercices

209 Z

Exercice 9.2.

Prouver la convergence et calculer

π 2

ln (sin (t)) dt. 0



sin (t) t





sin (t) t



+ ln (t) avec lim ln = 0, donc Solution. On a ln (sin (t)) = ln t→0+   Z π2 sin (t) t 7→ ln se prolonge par continuité en 0 et comme ln (t) dt est convergente, t 0 Z π2 ln (sin (t)) dt est convergente. Notons I la valeur de cette intégrale. on en déduit que 0 π π Le changement de variable u = − t nous donne pour 0 < x < : 2 2 Z π2 −x Z π2 ln (sin (t)) dt = ln (cos (t)) dt → + I x

Z

0

x→0

π 2

ce qui signifie que

ln (cos (t)) dt = I. On peut alors écrire que : 0

Z

Z π2 ln (sin (t)) dt + ln (cos (t)) dt 0 0  Z π2  Z π2 sin (2t) π = ln dt = ln (sin (2t)) dt − ln (2) 2 2 0 0 Z π Le changement de variable u = 2t nous dit que ln (sin (t)) dt est convergente et 0 Z π2 Z π π 1 ln (sin (t)) dt. De même, le changement de variable u = − t ln (sin (2t)) dt = 2 2 0 0 Z π Z π2 nous donne ln (sin (2t)) dt = ln (cos (t)) dt = I. On a donc : π 2

2I =

π 2

2I =

0

1 2

Z

π

ln (sin (t)) dt − 0

π π π ln (2) = I − ln (2) etI = − ln (2) 2 2 2 Z

+∞ f (t) dt → R continue telle que l’intégrale t 1 Z y f (at) − f (bt) converge. Pour 0 < a < b et 0 < x < y on pose F (x, y) = dt, t x Z bx Z by f (t) f (t) G (x) = dt et H (y) = dt. Montrer que : t t ax ay Z bx Z by f (t) f (t) 1. F (x, y) = dt − dt et lim H (y) = 0 ; y→+∞ t t ax ay     Z bx f (t) − f (0) b b 2. G (x) = dt + f (0) ln et lim G (x) = f (0) ln ; x→0 t a a ax   Z +∞ f (at) − f (bt) b 3. dt = f (0) ln . t a 0

Exercice 9.3.

Soit f : R

+

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 210 — #220

210

Intégrales impropres

Solution. 1. Les changement de variables u = at et v = bt avec a > 0 et b > 0 donnent : Z

y

F (x, y) =

f (at) dt − t

x bx

Z =

ax bx

Z =

ax

Z

y

x

Z

f (bt) dt = t

ay

Z

ay

ax

Z

f (u) du − u

ay

Z

f (u) f (u) f (v) du + du − dv − u u v bx bx Z by f (t) f (t) dt − dt = G (x) − H (y) t t ay Z

by

bx

Z

f (v) dv v

by

ay

f (v) dv v

+∞

f (t) dt, on a : t 1 Z by Z ay f (t) f (t) H (y) = dt − dt → I − I = 0 y→+∞ t t 1 1

Avec la convergence de I =

2. On a pour a > 0, b > 0 et x > 0 : Z bx Z bx f (t) − f (0) + f (0) f (t) dt = dt G (x) = t t ax ax   Z bx Z bx b f (t) − f (0) f (t) − f (0) bx = dt + f (0) [ln (t)]ax = dt + f (0) ln t t a ax ax Comme f est continue en 0, pour tout réel ε > 0, on peut trouver un réel η > 0 tel η que |f (t) − f (0)| < ε pour 0 < t < η et pour 0 < x < , on a [ax, bx] ⊂ ]0, η[ de Z   Zb bx bx f (t) − f (0) Z bx |f (t) − f (0)| b dt sorte que dt ≤ dt ≤ ε = ε ln , ce qui ax t t t a ax ax   Z bx b f (t) − f (0) dt = 0 et lim G (x) = f (0) ln . prouve que lim x→0 x→0 ax t a 3. Prenant x = 1 et y > 1, on a : Z y f (at) − f (bt) dt = G (1) − H (y) → G (1) F (1, y) = y→+∞ t 1 Z +∞ f (at) − f (bt) ce qui prouve que dt converge vers G (1) . Prenant y = 1, on a t 1 pour 0 < x < 1 :   Z 1 b f (at) − f (bt) F (1, y) = dt = G (x) − H (1) → f (0) ln − H (1) x→0 t a x   Z 1 f (at) − f (bt) b ce qui prouve que dt converge vers f (0) ln −H (1) . Il en résulte t a 0   Z +∞ f (at) − f (bt) b que dt converge vers f (0) ln + G (1) − H (1) et compte tenu t a 0   Z +∞ f (at) − f (bt) b de G (1) − H (1) = F (1, 1) = 0, cela donne dt = f (0) ln . t a 0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 211 — #221

Exercices

211

Exercice 9.4. Soit   f la fonction affine par morceaux et continue sur [1, +∞[ 1 telle que f n + = n pour tout n ≥ 1. Cette fonction est nulle sur chaque 2   1 1 1 1 et affine sur chaque interintervalle n + + n , n + 1 + − n+1 2 n2     2 (n + 1) 2 1 1 1 1 1 1 valle n + − n , n + et n + , n + + n (figure 9.1). Montrer que 2 n2 2 2 2 n2 Z +∞ f (x) dx est convergente et que f n’est pas nulle à l’infini. 1

4 3 2 1 0 −5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−1 −2 −3 −4 −5

Figure 9.1 – y = f (x) Solution. Pour tout réel x ≥ 2, on a, en notant [x] la partie entière de x : Z

Z

x

f (x) dx ≤

F (x) = 1

1

[x]+1

[x] X 1 1 = 1 − [x] ≤ 1 f (t) dt = 2k 2 k=1

+ F est croissante finie en  +∞, ce qui signifie que Z +∞majoré sur R , donc elle admet une limite  1 l’intégrale = +∞, la fonction f f (x) dx est convergente. Comme lim f n + n→+∞ 2 1 n’a pas de limite finie en +∞.

Exercice 9.5.

Soit f la fonction affine par morceaux et continue  sur [0, +∞[  1 telle que f (n) = 1 pour tout n ≥ 2. Cette fonction est nulle sur 0, 2 − 2 et 2 " # 1 1 et affine sur chaque intervalle sur chaque intervalle n + 2 , n + 1 − 2 n (n + 1)     Z +∞ 1 1 n − 2 , n et n, n + 2 pour n ≥ 2. Montrer que f (x) dx est convergente n n 0 et que f n’est pas nulle à l’infini.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 212 — #222

212

Intégrales impropres Z

Solution. La fonction f est intégrable sur R+ avec

+∞

f (t) dt = 0

elle ne tend pas vers 0 à l’infini puisque f (n) = 1 pour tout n ≥ 2.

+∞ X π2 1 = − 1 et n2 6 n=2

Z +∞ cos (t) dt et Exercice 9.6. Montrer que pour tout réel α > 1 les intégrales tα 1 Z +∞ sin (t) dt sont absolument convergentes, puis que pour α > 0 les intégrales tα Z1 +∞ Z +∞ cos (t) sin (t) dt et dt sont convergentes. α t tα 1 1 Solution. Le premier point résulte immédiatement de la convergence des intégrales de cos (t) sin (t) 1 1 Riemann à l’infini pour α > 1 et de α ≤ α et α ≤ α pour tout t ≥ 1. t t t t Z +∞ sin (t) Pour le deuxième point, on traite le cas de dt. Une intégration par parties tα 1 Z x Z x cos (x) sin (t) cos (t) donne, pour tout réel x > 1, dt = cos (1) − + α dt. On conclut α α α+1 t x 1 1 t Z +∞ cos (x) cos (t) ≤ 1 alors avec l’absolue convergence de dt et avec → 0 (on a α+1 α t x xα x→+∞ 1 α + 1 > 1). Z

+∞ sin (t) dt et Exercice 9.7. Montrer que les intégrales généralisées t Z +∞ 2 Z +∞ Z +∞ 0 2 sin (t) sin (t) sin (t) dt sont convergentes et que dt = dt. t2 t t2 0 0 0

sin (t) sin2 (t) = lim = 1, il n’y a pas de problème de convergence t→0 t→0 t t2 Z x x d’intégrale en 0. Les fonctions F : x 7→ étant sin (t) dt = 1 − cos (x) = 2 sin2 2 0 Z +∞ sin (t) bornée sur [0, +∞[ , l’exercice précédent nous dit que, pour tout réel a > 0, dt t a
Z +∞ 2 t
Z +∞ 2 a sin 2 sin 2 sin (t) est convergente avec dt = 2 dt−2 . Faisant tendre a vers 2 t t a Za +∞ Z a+∞ 2 sin (t) sin (t) 0, on en déduit que dt = dt (puisque les intégrales considérées t t2 0

0 2 a a   sin 2 a sin 2 1 convergent et = sin → 0 · = 0). a→0 a 2 a 2 Solution. Comme lim

Z Exercice 9.8.

On décrit ici une méthode de calcul de 0

1. Montrer que si f : [a, b] Z b lim f (x) sin (nx) dx = 0. n→+∞

a

→

+∞

sin (x) dx. x

R est de classe C1 , on a alors

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 213 — #223

Exercices

213

i πi 1 1 par f (x) = − 2. Montrer que l’application f définie sur 0, se prox sin (x) h π2i longe en une fonction de classe C 1 sur 0, . 2 Z π2 sin ((2n + 1) x) 3. Calculer, pour tout n ∈ N, Jn = dx. sin (x) 0 Z π2 Z +∞ sin ((2n + 1) x) sin (x) 4. Montrer que lim dx = dx. n→+∞ 0 x x 0 Z +∞ sin (x) π 5. Déduire de ce qui précède que dx = . x 2 0 Solution. 1. Une intégration par parties nous donne pour tout n ≥ 1 : b Z b  Z b cos (nx) cos (nx) f ′ (x) + dx In = f (x) sin (nx) dx = −f (x) n n a a a et en posant M0 = sup |f (x)| , M1 = sup |f ′ (x)| (ces fonctions sont continues sur x∈[a,b]

x∈[a,b]

le segment [a, b]), on en déduit que : |In | ≤

2M0 (b − a) M1 + n n

→

n→+∞

0

2. Un développement limité au voisinage de 0 nous donne : sin (x) − x f (x) = = x sin (x)



x x3 + o x4 − + o x2 3!  3! 3 = → 0 x→0 x x2 x x− 1− + o (x4 ) + o (x2 ) 3! 3! −

ce qui permet de prolonger f par continuité en 0 en posant f (0) = 0. On a alors : 1 + o (x) 1 3! → − 2 x→0 3! x 1− + o (x2 ) 3! 1 ce qui prouve que f est dérivable en 0 de dérivée f ′ (0) = − . Par ailleurs f est de 6 i πi classe C1 sur 0, avec : 2 f (x) − f (0) = x

−

cos (x) 1 x2 cos (x) − sin2 (x) − 2 = 2 sin (x) x x2 sin2 (x)    

2 x2 x2
x2 + o x3 − 1 − + o x3 1− − + o x3 2 3! 6   = =  2 x2 x3 2 3 x 1− + o (x ) + o (x4 ) x− 3 3! 1 − + o (x) 1 = 6 → − 1 + o (x) x→0 6

f ′ (x) =

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 214 — #224

214

Intégrales impropres

′ ce qui prouve que h f π est i continue en 0. En définitive, f se prolonge en une fonction 1 de classe C sur 0, . 2 3. Avec : sin ((2n + 1) x) = sin (2nx) cos (x) + cos (2nx) sin (x)

sin ((2n + 1) x) + sin ((2n − 1) x) = 2 sin (2nx) cos (x) on déduit que pour n ≥ 1, on a : Z

π 2

sin (2nx) cos (x) dx + sin (x)

Jn = 0

Z

Z

Z

π 2

cos (2nx) dx = 0

0

π 2

sin (2nx) cos (x) dx sin (x)

π 2

sin (2nx) et Jn + Jn−1 = 2 cos (x) dx = 2Jn , soit Jn = Jn−1 et par récurrence sin (x) 0 π Jn = J0 = pour tout n ≥ 0. 2 Z +∞ sin (x) 4. On sait déjà que dx converge (en utilisant une intégration par parties). x 0 Le changement de variable t = (2n + 1) x nous donne : Z

π 2

Kn = 0

sin ((2n + 1) x) dx = x

Z

(2n+1) π 2

0

sin (t) dt → n→+∞ t

Z 0

+∞

sin (x) dx x

5. En remarquant que : Z Kn =

π 2

 sin ((2n + 1) x) f (x) +

0

Z

1 sin (x)



Z dx =

π 2

sin ((2n + 1) x) f (x) dx + Jn 0

π 2

π avec lim sin ((2n + 1) x) f (x) dx = 0 (questions 2. et 1.) et Jn = , on déduit n→+∞ 0 2 Z +∞ sin (x) π que dx = lim Kn = . n→+∞ x 2 0 n

Soit f définie sur [1, +∞[ par f (x) = xeix , où n ≥ 3 est un Z +∞ f (x) dx est convergente avec lim |f (x)| = +∞. entier. Montrer que Exercice 9.9.

x→+∞

1

Solution. On a lim |f (x)| = lim x = +∞. On peut écrire que f = u′ v en notant x→+∞

x→+∞

1 1 1 1 n u (x) = eix , v (x) = n−2 . Avec lim |u (x) v (x)| = lim = 0 (on a n ≥ 3), x→+∞ n xn−2 x→+∞ ni x Z +∞ Z +∞ n ′ on déduit du théorème d’intégration par parties que u (x) v (x) dx = xeix dx 1 Z +∞ Z Z 1+∞ ixn n 2 − n +∞ eix e ′ et u (x) v (x) dx = dx sont de même nature. Comme dx n−1 ni 1 x xn−1 1 1 Z +∞ n est absolument convergente pour n ≥ 3, on en déduit que xeix dx est convergente. 1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 215 — #225

Exercices

215

Soient (α, β) ∈ R2 et f définie par f (t) =

Exercice 9.10.

1

sur β tα |ln (t)|  1 ]0, +∞[ \ {1} . Montrer que l’intégrale de f sur [e, +∞[ [resp. sur sur 0, ] est e convergente si, et seulement si, α > 1 ou α = 1 et β > 1 [resp. α < 1 ou α = 1 et β > 1]. 1 g (t) 1 = avec β γ α−γ t t tγ (ln (t)) 1 lim g (t) = 0 pour tout réel β. Donc pour t assez grand on aura f (t) < γ et avec t→+∞ t Z +∞ dt < +∞ on déduit la convergence de l’intégrale de f sur [e, +∞[ . Pour α > 1 et tγ e 1 tγ−α h (t) γ ∈ ]α, 1[ , on a f (t) = γ = γ avec lim h (t) = +∞.pour tout réel β. Donc t→+∞ t (ln (t))β t Z +∞ 1 dt pour t assez grand on aura f (t) > γ et avec = +∞ on déduit la divergence t tγ e de l’intégrale de f sur [e, +∞[ . Pour α = 1 on fait le changement de variable u = ln (t) Z x Z ln(x) dt du et pour x > e on a = et l’intégrale de f sur [e, +∞[ converge si β β u e t (ln (t)) 1 1 1 et seulement si β > 1. Enfin le changement de variable u = donne pour 0 < x < , t e Z 1e Z x1 dt du = , ce qui nous ramène au cas précédent. β β x tα |ln (t)| e u2−α (ln (u)) Solution.

Pour α > 1 et γ ∈ ]1, α[ , on a f (t) =

Exercice 9.11. On s’intéresse ici au domaine de convergence de l’intégrale Z +∞ e−t tx−1 dt, où x est un nombre réel. 0

Z

+∞

1. Montrer que

e−t tx−1 dt est convergente pour tout x ∈ R.

1

Z 2. Montrer que

1

e−t tx−1 dt est convergente si, et seulement si, x > 0.

0

Z

3. En déduire le domaine de définition de Γ : x 7→

+∞

e−t tx−1 dt.

0

4. Soit x > 0 fixé. On note, pour tout réel t > 0, f (t) = e−t , g (t) = que lim+ f (t) g (t) = 0 et lim f (t) g (t) = 0. t→0

tx . Montrer x

t→+∞

1 Γ (x + 1) . x 6. Montrer que Γ (1) = 1, puis que Γ (n) = (n − 1)! pour tout entier n ≥ 1.

5. Montrer que pour tout réel x > 0, on a Γ (x) =

Solution. Soit f (t) = e−t tx−1 pour t > 0 et x ∈ R fixé. On a f (t) > 0 pour tout t > 0. Z +∞ 1 1. Avec lim t2 f (t) = 0 on déduit que 0 < f (t) < 2 pour t grand et e−t tx−1 dt t→+∞ t 1 converge absolument pour tout x ∈ R.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 216 — #226

216

Intégrales impropres

2. Avec f (t) > 0 et f (t) ∼ 0

1

t

, on déduit que 1−x

seulement si x > 0.

Z

1

e−t tx−1 dt est convergente si et

0

3. Le domaine de définition de la fonction Γ est donc R+,∗ . tx 4. Comme x > 0, on a lim+ f (t) g (t) = lim+ e−t = 0 et comme l’exponentielle domine x t→0 t→0 tx les puissances à l’infini, on a lim f (t) g (t) = lim e−t = 0. t→+∞ t→+∞ x 5. Une intégration par parties, la convergence de Γ (x) et la question précédente donnent :    Z Z x v 1 +∞ −t x Γ (x + 1) 1 v −t x −t t Γ (x) = lim e e t dt = e t dt = + x u x u x 0 x (u,v)→(0,+∞) Z 6. On a Γ (1) =

+∞

e−t dt = 1 et la relation de récurrence Γ (n + 1) = nΓ (n) , donc

0

Γ (n) = (n − 1)! par récurrence. Exercice 9.12. Montrer que si f : R+ → R est une fonction continue par morceaux, décroissante et telle que lim f (x) = 0, alors pour tout réel λ non nul, x→+∞ Z +∞ l’intégrale f (t) eiλt dt est convergente. 0

Z x 2 1 iλx Solution. Pour tout réel x > 0, on a e − 1 ≤ eiλt dt = . La fonction f |λ| |λ| 0 Z +∞ étant décroissante sur R+ , on déduit du théorème d’Abel que l’intégrale f (t) eiλt dt est convergente pour tout réel α > 0 et tout réel λ = 6 0.

0

Exercice Z +∞ iλt 9.13. Le but de l’exercice est de déterminer la nature de l’intégrale e dt suivant les valeurs des nombres réels α et λ. tα 1 1. Traiter le cas λ = 0. On suppose, dans les questions suivantes, que λ 6= 0. Z +∞ iλt e 2. Montrer que pour α > 1, dt est absolument convergente. tα 1 Z +∞ iλt e 3. Montrer que pour 0 < α ≤ 1, dt est semi-convergente. tα 1 Z +∞ iλt e 4. Montrer que pour α ≤ 0, dt est divergente. tα 1 Z +∞ Z +∞ sin (λt) cos (λt) 5. Montrer que pour 0 < α ≤ 1, dt et dt sont semiα t tα 1 1 convergentes. Z +∞ 2 sin (t) 6. Montrer que dt est divergente. t 1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 217 — #227

Exercices

217

7. Montrer que les fonctions f, g respectivement définies par f (t) =

sin (t) √ et t

sin (t) sin2 (t) √ + sur [1, +∞[ sont équivalentes au voisinage de +∞. À t t quelle propriété, cette question fournit-elle un contre-exemple ? g (t) =

Solution.

Z +∞ 1 dt converge si, et seulement si, α > 1. Pour α > 1, on 1. Pour λ = 0, l’intégrale tα 1 Z +∞ dt 1 a alors = . α t α − 1 1 iλt Z +∞ iλt e e 1 2. Pour tout réel t ≥ 1, on a α = α , donc dt est absolument convergente t t tα 1 pour α > 1. Z x 1 iλx 2 1 iλt 3. Pour tout x > 1, on a e dt = e − eiλ ≤ . La fonction t 7→ α étant |λ| |λ| t 1 décroissante sur [1, +∞[ pour α > 0, on déduit du théorème d’Abel que l’intégrale Z +∞ iλt e dt est convergente pour tout réel α > 0 et tout réel λ = 6 0. Pour 0 < α ≤ 1, tα 1 Z +∞ iλt Z +∞ e dt on a = +∞, donc l’intégrale est semi-convergente dans ce tα dt = α t 1 1 cas. Z +∞ iλt e 4. Par conjugaison complexe, on voit que dt est convergente si, et seulement tα 1 Z +∞ −iλt Z +∞ e eiλt si, dt l’est. Il en résulte que dt est convergente si, et seulement si, tα tα 1 Z +∞ Z +∞ 1 cos (λt) sin (λt) les intégrales dt et dt le sont. Pour montrer la divergence α t tα 1 Z +∞ Z +∞ iλt 1 cos (λt) e dt pour α ≤ 0, il suffit donc de montrer celle de dt. Compte de α t tα 1 1 − tenu de la parité de cos, on peut supposer que Zλ > 0. Soient donc Z xα = −β ∈ R et x cos (λt) F la fonction définie sur [1, +∞[ par F (x) = dt = tβ cos (λt) dt. En tα 1 1 2nπ désignant par (xn )n≥1 la suite définie par xn = , on a : λ π Z xn + 2λ  π F xn + − F (xn ) = tβ cos (λt) dt 2λ xn et le changement de variable t = xn + u, nous donne : 

π − F (xn ) = F xn + 2λ

Z

π 2λ

β

(xn + u) cos (λu) du 0

π π , on a 0 ≤ λu ≤ et cos (λu) ≥ 0, de sorte que : 2λ λ π Z 2λ  π xβ β F xn + − F (xn ) ≥ xn cos (λu) du = n → +∞ 2λ λ n→+∞ 0

Mais pour 0 ≤ u ≤

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 218 — #228

218

Intégrales impropres Z

et F ne peut avoir de limite finie en +∞, ce qui signifie que Z

1

+∞

cos (λt) dt. diverge. tα

Z +∞ cos (λt) sin (λt) 5. On sait déjà que les intégrales dt et dt sont convergentes α t tα 1 1 pour tout réel α > 0 et tout réel λ. Par parité,Zon peut supposer que λ > 0. On note x |cos (λt)| dt et (xn )n≥1 est la suite F la fonction définie sur [1, +∞[ par F (x) = tα 1 2nπ définie par xn = . Pour α > 0, on a : λ π π Z 2λ Z 2λ  π |cos (λ (xn + u))| cos (λu) − F (xn ) = du = F xn + α α du 2λ (x + u) (x n n + u) 0 0 π Z 2λ 1 1

≥ cos (λu) du = π α π α 2nπ xn + 2λ λ λ + 2λ 0 Pour 0 < α ≤ 1, on a

+∞ X n=1

1 2nπ +

+∞

π 2λ


α = +∞, donc

+∞    X π F xn + − F (xn ) = 2λ n=1

+∞. Avec : n   n Z xk + π  X X 2λ |cos (λt)| π dt F xk + − F (xk ) = 2λ tα k=1 k=1 xk π Z xn + 2λ  |cos (λt)| π ≤ dt = F x + n tα 2λ 1

Z +∞  |cos (λt)| π = +∞ et l’intégrale dt est diverlim F xn + n→+∞ 2λ tα 1 Z +∞ |cos (λt)| gente pour 0 < α ≤ 1. On procède de manière analogue pour dt. tα 1   Z +∞ sin2 t 1 1 cos (2t) cos 2t 6. Pour tout réel t, on a = − . Comme dt est convert 2 t t t Z +∞ Z +∞ 21 1 sin t gente et dt est divergente, on en déduit que dt est divergente. t t 1 1   sin (t) sin (t) sin (t) √ 7. Avec g (t) = √ 1+ √ et lim = 0, on déduit que f (t) v g (t) t→+∞ +∞ t t Z t Z +∞ +∞ avec f (t) dt convergente et g (t) dt divergente. on déduit que

1

1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 219 — #229

Chapitre 10

Espaces vectoriels normés

E désigne un espace vectoriel (de dimension finie ou infinie) sur le corps R des réels.

10.1

Semi-normes et normes

Définition 10.1. Une semi-norme sur E est une application p définie sur E à valeurs réelles et vérifiant les propriétés suivantes : (i) pour tout réel λ et tout vecteur x dans E, on a p (λx) = |λ| p (x) ; (ii) pour tous vecteurs x, y dans E, on a p (x + y) ≤ p (x) + p (y) (inégalité triangulaire). Le résultat qui suit nous dit qu’une semi-norme est nécessairement à valeurs positives ou nulles et nous donne une formulation équivalente de l’inégalité triangulaire souvent utile. Lemme 10.1 Soit p une semi-norme sur E. 1. Pour tout x dans E, on a p (x) ≥ 0 ; 2. l’ensemble p−1 {0} = {x ∈ E | p (x) = 0} est un sous-espace vectoriel de E ; 3. pour tous x, y dans E, on a |p (x) − p (y)| ≤ p (x − y) . Preuve. 1. Pour tout vecteur x dans E, on a : p (0) = p (0 · x) = 0 · p (x) = 0 et 0 = p (x − x) ≤ 2p (x) 2. L’ensemble p−1 {0} est non vide puisqu’il contient 0. Avec les propriétés (i) , (ii) et la positivité d’une semi-norme on déduit que c’est un sous-espace vectoriel de E. 3. Cette inégalité se déduit de :  p (x) = p (x − y + y) ≤ p (x − y) + p (y) p (y) = p (y − x + x) ≤ p (x − y) + p (x)  On vérifie facilement que l’inégalité 3. du théorème précédent est équivalente à l’inégalité triangulaire. Le sous-espace vectoriel p−1 {0} est le noyau de la semi-norme p.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 220 — #230

220

Espaces vectoriels normés

Définition 10.2. Une norme sur E est une semi-norme de noyau réduit à {0} . Une norme sur E sera notée x 7→ kxk . Exemples 10.1 1. Sur R, une norme est de la forme Nα : x 7→ α |x| , où α ∈ R+,∗ . En effet il est clair que chaque Nα est une norme. Si N est une norme sur R, on a alors α = N (1) > 0 et pour tout x ∈ R, N (x) = N (x · 1) = |x| N (1) = α |x| . 2. Pour toute forme linéaire non nulle φ sur E, l’application x 7→ |φ (x)| définit une seminorme sur E et c’est une norme si, et seulement si, ker (φ) = {0} , ce qui équivaut à dire, en dimension finie, que E est de dimension 1 (exercice 10.1). 3. Pour toute forme bilinéaire symétrique positive φ sur un R-espace vectoriel E, l’app plication p définie par p (x) = φ (x, x) pour tout x ∈ E définit une semi-norme sur E et c’est une norme si, et seulement si, φ est définie positive (i. e. est un produit scalaire). Cela résulte de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, |φ (x, y)| ≤ p (x) p (y) pour tous x, y dans E (exercice 10.2). 4. Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et B = (ei )1≤i≤n une base de E. Les applications définies par : v u n n X uX kxk∞ = max |xi | , kxk1 = |xi | , kxk2 = t x2i 1≤i≤n

pour tout x =

i=1

i=1

n X xi ei ∈ E, définissent des normes sur E (pour k·k2 , cela résulte du i=1

fait que l’application (x, y) 7→

n X

xi yi est une forme bilinéaire symétrique sur E.

i=1

5. Sur l’espace vectoriel E = C 0 ([a, b] , K) des applications continues de [a, b] (pour a < b) dans K = R ou C, les applications définies par : s Z b Z b kf k∞ = sup |f (x)| , kf k1 = |f (t)| dt, kf k2 = f 2 (t) dt x∈[a,b]

a

a

pour tout f ∈ E, définissent des normes sur E (exercice 10.3). Pour toute partie non vide A d’un espace normé (E, k·k) et tout élément x de E, on note respectivement δ (A) = sup kx − yk et d (x, A) = inf kx − ak le diamètre de A a∈A

(x,y)∈A2

et la distance de x à A. d (x, A) est un élément de R (borne inférieure d’une partie non vide et minorée) et δ (A) est un élément R+ ∪ {+∞} . On vérifie facilement que pour tous x, y dans E, on a |d (x, A) − d (y, A)| ≤ kx − yk . +

10.2

Topologie associée à une norme

Pour tout x0 ∈ E et tout r ∈ R+,∗ , on note B (x0 , r) = {x ∈ E | kx − x0 k < r} la boule ouverte de centre x0 et de rayon r et B (x0 , r) = {x ∈ E | kx − x0 k ≤ r} la boule fermée de centre x0 et de rayon r.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 221 — #231

Topologie associée à une norme

221

Définition 10.3. On dit qu’une partie O de (E, k·k) est un ouvert, si cette partie est vide ou si elle est non vide et pour tout a dans O il existe un réel r > 0 tel que B (a, r) ⊂ O. Un ouvert est donc une réunion de boules ouvertes. ◦

Définition 10.4. L’intérieur d’une partie A de (E, k·k) , noté A, est le plus grand ouvert de E contenu dans A. Définition 10.5. On dit qu’une partie F de (E, k·k) est un fermé, si son complémentaire E \ F est un ouvert de E.

Définition 10.6. L’adhérence d’une partie A de (E, k·k) , notée A, est le plus petit fermé de E contenant A.

Définition 10.7. Soit I une partie non vide de (E, k·k) . On dit qu’une partie J de I est ouverte [resp. fermée] dans I si elle s’écrit J = I ∩ O où O est un ouvert [resp. fermé] de E. Les ouverts [resp. fermés] de I sont dits ouverts [resp. fermés] pour la topologie induite. Théorème 10.1. L’adhérence d’une partie A de (E, k·k) est l’ensemble des éléments x de E tels que d (x, A) = 0, ce qui revient à dire que x ∈ A si, et seulement si, pour tout réel ε > 0, il existe y ∈ A tel que kx − yk < ε (soit A ∩ B (x, ε) = 6 ∅). Preuve. Il revient au même de montrer que d (x, A) > 0 si, et seulement si, x ∈ E \ A. Si δ = d (x, A) > 0, on a alors kx − yk ≥ δ pour tout y ∈ A et E \ B (x, δ) est un fermé qui contient A, donc A ⊂ E \ B (x, δ) et en conséquence, B (x, δ) ⊂ E \ A, donc x ∈ E \ A. Réciproquement, si x ∈ E \ A, comme cet ensemble est ouvert, il existe un réel ε > 0 tel que B (x, ε) ⊂ E \ A, donc A ⊂ A ⊂ E \ B (x, ε) et on a kx − yk ≥ ε pour tout y ∈ A, ce qui implique que d (x, A) ≥ ε > 0.  Du théorème précédent, on déduit que A ⊂ E est fermé si, et seulement si, d (x, A) = 0 pour tout x ∈ A. On peut également définir, comme dans le cas réel ou complexe, les notions de convergence pour les suites ainsi que la notion de continuité pour les fonctions définies sur E et à valeurs dans un autre espace vectoriel normé. Définition 10.8. On dit qu’une suite (xn )n∈N d’éléments de (E, k·k) est convergente s’il existe un élément x de E tel que lim kxn − xk = 0. Une suite non n→+∞

convergente est dite divergente.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 222 — #232

222

Espaces vectoriels normés

Si une suite (xn )n∈N d’éléments de (E, k·k) est convergente, sa limite est alors unique et on peut noter x = lim xn . La convergence de (xn )n∈N vers x se traduit par : n→+∞

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , kxn − xk < ε Cette notion de convergence dépend a priori de la norme choisie sur E. Considérons par exemple la suite de fonctions (fn )n∈N∗ définie sur [0, 1] par :   
  n 1 − n2 x si x ∈ 0, 1   n2 fn (x) =    1   ,1  0 si x ∈ n2

lim kfn k1 = 0,

n→+∞

lim kfn k∞

n→+∞

Z


1 1 − n2 t dt = et kfn k∞ = n, donc 2n 0 = +∞, cette suite converge vers la fonction nulle pour

Pour tout n ∈ N∗ , on a kfn k1 = n

1 n2

la norme k·k1 et diverge pour la norme k·k∞ . Définition 10.9. On dit qu’une suite (xn )n∈N d’éléments de (E, k·k) est une suite de Cauchy, si pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier nε tel que pour tous entiers p, q on a : (p ≥ nε , q ≥ nε ) ⇒ (kxp − xq k < ε) En utilisant l’inégalité triangulaire on déduit immédiatement que toute suite convergente dans un espace vectoriel normé est de Cauchy. Mais en général la réciproque est fausse. Définition 10.10. On dit qu’un espace vectoriel normé (E, k·k) est complet, ou que c’est un espace de Banach, si toute suite de Cauchy dans E est convergente. On rappelle que (R, |·|) est complet (théorème 2.25). De ce résultat on déduira que tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet. Définition 10.11. On dit qu’une partie non vide B de (E, k·k) est bornée, s’il existe une constante λ > 0 telle que kxk ≤ λ pour tout x dans B. Dire qu’une partie A de E est bornée revient à dire qu’elle est contenue dans une boule fermée centrée en 0. Cela équivaut aussi à dire que son diamètre δ (A) est fini. On vérifie facilement qu’une suite convergente est bornée. Les notions d’intérieur et d’adhérence peuvent se définir de façon séquentielle. Théorème 10.2. Soit A une partie non vide de (E, k·k) . L’intérieur de A est l’ensemble des points x de E tels que pour toute suite (xn )n∈N d’éléments de E qui converge vers x, il existe un entier n0 tel que xn ∈ A pour tout n ≥ n0 . L’adhérence de A est l’ensemble des points x de E qui sont limites d’une suite de points de A.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 223 — #233

Topologie associée à une norme

223

◦

Preuve. Si x ∈ A, il existe alors ε > 0 tel que B (x, ε) ⊂ A et pour toute suite (xn )n∈N d’éléments de E qui converge vers x, il existe n0 ∈ N tel que kxn − xk < ε pour tout ◦

n ≥ n0 , ce qui implique que xn ∈ A. Si x ∈ / A,alors pour tout entier n ≥ 1, la boule 1 1 B x, n’est pas contenue dans A (comme B x, est ouverte, si elle est contenue n n   ◦ ◦ 1 \ A, ce dans A, elle est aussi contenue dans A et x ∈ A), donc il existe xn ∈ B x, n qui nous donne une suite qui converge vers x avec tous ses termes en dehors de A. D’où la définition séquentielle de l’intérieur. L’adhérence de A est A = {x ∈ E | d (x, A) = 0} (théorème 10.1), donc pour tout 1 x ∈ A et tout entier n ≥ 1, il existe xn ∈ A tel que kxn − xk < , ce qui nous donne n une suite de points de A qui converge vers x. Réciproquement si x est la limite d’une suite (xn )n∈N d’éléments de A, des encadrements 0 ≤ d (x, A) ≤ kxn − xk , on déduit que d (x, A) = 0, soit que x ∈ A.  De ce théorème, on peut déduire des définitions séquentielles des notions d’ouverts et de fermés. Un ensemble O est ouvert dans (E, d) si, et seulement si, pour toute suite (xn )n∈N d’éléments de E qui converge vers x ∈ O, il existe un entier n0 tel que xn ∈ O ◦

pour tout n ≥ n0 (cela résulte de O = O). Un ensemble F est fermé dans (E, d) si, et seulement si, toute suite convergente d’éléments de F a sa la limite dans F (cela résulte de F = F). Définition 10.12. On dit qu’une partie non vide K de (E, k·k) est compacte, si de toute suite de points de K on peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément de K. Lemme 10.2 Soit K un compact de (E, k·k) . Pour tout réel r > 0, il existe une suite n [ finie (ak )1≤k≤n d’éléments de K telle que K ⊂ B (ak , r) (K peut être recouvert par k=1

un nombre fini de boules ouvertes de rayon r). Preuve. Supposons qu’il existe r > 0 tel que K ne puisse être recouvert par un nombre fini de boules ouvertes de rayon r et centrée en a ∈ K. Partant de x0 ∈ K, il existe x1 ∈ K \ B (x0 , r) (puisque K n’est pas contenu dans B (x0 , r)), donc d (x0 , x1 ) ≥ r. Supposant obtenus x0 , · · · , xn dans K tels que d (xi , xj ) ≥ r pour tous i = 6 j compris n [ entre 1 et n, comme K n’est pas contenu dans B (xk , r) , il existe xn+1 ∈ K tel que k=1

kxn+1 − xk k ≥ r pour tout k compris entre 1 et r. On construit donc ainsi une suite (xn )n∈N d’éléments de K telle que kxi − xj k ≥ r pour tous i 6= j dans N et d’une telle suite il est impossible d’extraire une suite convergente, ce qui n’est pas possible pour K compact.  Théorème 10.3. Un compact de (E, k·k) est fermé et borné. Preuve. Soit K un compact de (E, k·k) . Pour toute suite (xn )n∈N d’éléments de K qui converge vers ℓ ∈ E, on peut extraire une suite qui converge vers un élément de K, donc

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 224 — #234

224

Espaces vectoriels normés

ℓ ∈ K. L’ensemble K est donc fermé. Le lemme précédent nous dit qu’il existe une suite n [ finie (ak )1≤k≤n d’éléments de K telle que K ⊂ B (ak , 1) , donc pour tous x, y dans k=1

K il existe deux entiers j, k compris entre 1 et n tels que (x, y) ∈ B (aj , 1) ∩ B (ak , 1) et en conséquence, on a kx − yk ≤ kx − aj k + kaj − ak k + kak − yk < 2 + kaj − ak k . On a donc δ (K) = sup kx − yk ≤ 2 + max d (aj , ak ) , ce qui signifie que K est borné.  (x,y)∈K 2

1≤j,k≤n

La réciproque du théorème précédent est fausse en général, mais elle est vraie dans le cas des espaces vectoriels normés de dimension finie (théorème 10.13). Définition 10.13. On dit qu’une partie A de (E, k·k) est dense dans E, si A = E. Du théorème 10.2, on déduit qu’une partie A de E est dense si, et seulement si, tout x ∈ E est la limite d’une suite de points de A. Si I est une partie non vide d’un espace vectoriel normé (E, k·k) et f une fonction ′
définie sur I à valeurs dans un espace vectoriel normé F, k·k , on peut définir comme pour les fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles, les notions de continuité et d’uniforme continuité. Définition 10.14. On dit que f est continue en x0 ∈ I, si : ′

∀ε > 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ I, (kx − x0 k ≤ η) ⇒ kf (x) − f (x0 )k ≤ ε




On dit que f est continue sur I, si elle est continue en tout point de I. Théorème 10.4. La fonction f : I → F est continue sur I si, et seulement si, l’image réciproque par f de tout ouvert [resp. fermé] de F est un ouvert [resp. fermé] de I. Preuve. Soient f : I → F une fonction continue et O′ un ouvert de F. Pour tout α dans f −1 (O′ ) , on a f (α) ∈ O′ , donc il existe un réel ε > 0 tel que la boule ouverte B ′ (f (α) , ε) soit contenue dans O′ et avec la continuité de f, on peut trouver un réel η > 0 tel que pour tout x ∈ B (α, η) ∩ I on[ait f (x) ∈ B ′ (f (α) , ε) ⊂ O′ . On a donc B (α, η) ∩ I⊂f −1 (O′ ) et en posant O = B (α, η) , on définit un ouvert de E tel −1

′

α∈f −1 (O ′ ) −1 ′

que f (O ) = I ∩ O, ce qui prouve que f (O ) est ouvert dans I. Réciproquement, supposons que l’image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de I. Pour α ∈ I et ε > 0, f −1 (B ′ (f (α) , ε)) est un ouvert de I, il existe donc un réel η > 0 tel ′ que B (α, η) ∩ I ⊂ f −1 (B ′ (f (α) , ε)) , ce qui signifie que kf (x) − f (α)k < ε pour tout x ∈ B (α, η) ∩ I. La fonction f est donc continue en tout point de I. Pour ce qui est de l’image réciproque des fermés, on utilise le fait qu’un fermé est le complémentaire d’un ouvert et l’image réciproque du complémentaire est le complémentaire de l’image réciproque.  Définition 10.15. On dit que f est uniformément continue sur I si :
∀ε > 0, ∃η > 0 | (x, y) ∈ I 2 , kx − yk ≤ η ⇒ (kf (x) − f (y)k ≤ ε)

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 225 — #235

Topologie associée à une norme

225

Une fonction continue n’est pas nécessairement uniformément continue, mais pour les fonctions définies sur un compact, on a le résultat suivant. Théorème 10.5. Heine Si K est un compact de (E, k·k) , alors toute fonction continue f : K → F est uniformément continue sur K. Si f : K → F n’est pas uniformément continue, il existe alors ε > 0 et 1 ′ (xn )n∈N∗ , (yn )n∈N∗ dans K tels que kxn − yn k < et kf (xn ) , f (yn )k ≥ ε pour tout n

n ∈ N∗ . K étant compact, on peut extraire deux suites xφ(n) n∈N∗ et yφ(n) n∈N∗ qui

1 1 convergent respectivement vers x et y dans K. Avec xφ(n) − yφ(n) < ≤ , φ (n) n

on déduit que kx, yk = lim xφ(n) − yφ(n) = 0, soit x = y, puis avec la conti n→+∞

′ nuité de f, on a lim f xφ(n) − f yφ(n) = 0, ce qui n’est pas possible puisque n→+∞





f xφ(n) − f yφ(n) ′ ≥ ε pour tout n ≥ 1.  Preuve.

Théorème 10.6. L’image d’un compact par une application continue est un compact, ce qui signifie que si K est un compact de (E, k·k) et f : K → F une fonction continue, f (K) est alors un compact de (F, d′ ) . Preuve. Soit (yn )n∈N une suite dans f (K) avec yn = f (xn ) pour tout n
∈ N. De la suite (xn )n∈N dans le compact K on peut extraire une sous-suite xφ(n) n∈N qui converge vers un élément x de
K et tenant compte de la continuité de f, on déduit que  lim yφ(n) = lim f xφ(n) = f (x) ∈ f (K) , donc f (K) est compact.

n→+∞

n→+∞

Théorème 10.7. Soient K un compact de (E, k·k) et f : K → R une fonction continue. Cette fonction est bornée et atteint ses bornes, ce qui signifie qu’il existe α, β dans K tels que f (α) = inf f (x) et f (β) = sup f (x) . x∈K

x∈K

Preuve. Comme f (K) est compact, il est borné dans R et étant non vide, il admet une borne inférieure m = inf f (x) et une borne supérieure M = sup f (x) . Par définition x∈K

x∈K

de la borne inférieure m, pour tout entier n > 0 on peut trouver xn dans K tel que 1 m ≤ f (xn ) < m + et de la suite (xn )n∈N ainsi définie dans le compact K on peut n
extraire une sous-suite xφ(n) n∈N qui converge vers α ∈ K. On a donc pour tout n > 0,
1 m ≤ f xφ(n) < m + avec lim φ (n) = +∞, ce qui nous donne avec la continuité φ (n)
n→+∞ de f, f (α) = lim f xφ(n) = m. On procède de manière analogue pour la borne n→+∞

supérieure.  Si I est une partie non vide d’un espace normé E, on note Cb (I) l’algèbre réelle des fonctions définies sur I, à valeurs réelles, continues et bornées. Dans le cas particulier où I est compact, Cb (I) est l’algèbre des fonctions définies sur I à valeurs réelles et continues. On la note alors simplement C (I) . On munit Cb (I) de la norme (de la convergence

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 226 — #236

226

Espaces vectoriels normés

uniforme) définie par kf k∞ = sup |f (x)| pour toute fonction f ∈ Cb (I) (il est facile de x∈I

vérifier que l’on définit bien ainsi une norme sur Cb (I)). Théorème 10.8. L’espace vectoriel normé (Cb (I) , k·k∞ ) est un espace de Banach. Preuve. Soit (fn )n∈N une suite de Cauchy dans l’espace normé (Cb (I) , k·k∞ ) . Pour tout ε > 0, il existe un entier nε tel que : ∀n ≥ nε , ∀m ≥ nε , ∀x ∈ I, |fn (x) − fm (x)| < ε

(10.1)

Pour x fixé dans I, la suite (fn (x))n∈N est de Cauchy dans R, elle converge donc vers un réel f (x) . En faisant tendre m vers l’infini dans (10.1) , on déduit que : ∀n ≥ nε , ∀x ∈ I, |fn (x) − f (x)| < ε En écrivant que |f (x)| ≤ |f (x) − fnε (x)| + |fnε (x)| < ε + kfnε k∞ pour tout x dans I, on déduit que f est bornée, puis avec : |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − fnε (x)| + |fnε (x) − fnε (y)| + |fnε (y) − f (y)| < 2ε + |fnε (x) − fnε (y)| on déduit que f est continue sur I. En définitive, f est dans Cb (I) . Ce qui achève de prouver que (Cb (I) , k·k∞ ) est complet. 

10.3

Applications linéaires continues

L’étude de la continuité sur un espace vectoriel normé (E, k·k) est plus simple dans le cas particulier des applications linéaires. Théorème 10.9. ′
Soit u une application linéaire de (E, k·k) dans F, k·k . Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. u est continue en 0 ; 2. u est continue sur E ; 3. u est bornée sur la sphère [resp. boule] unité de (E, k·k) ; ′

4. il existe une constante réelle c telle que ku (x)k ≤ c kxk pour tout x ∈ E. 5. u est uniformément continue sur E. Preuve. (1) ⇒ (2) Si u est continue en 0, pour ε > 0 donné on peut trouver η > 0 tel que :
′ (x ∈ E, kxk ≤ η) ⇒ ku (x)k ≤ ε En utilisant la linéarité de u on déduit alors que pour x0 , x dans E tels que kx − x0 k ≤ η ′ on a ku (x) − u (x0 )k ≤ ε, ce qui prouve la continuité (et même l’uniforme continuité) de f sur E.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 227 — #237

Normes équivalentes

227

(2) ⇒ (3) Si u est continue sur E elle est en particulier continue en 0 et il existe un réel η > 0 tel que :
′ (x ∈ E, kxk ≤ η) ⇒ ku (x)k ≤ 1 Pour tout x dans la sphère [resp. boule] unité de (E, k·k) on a kxk = 1 [resp. kxk ≤ 1] de 1 ′ sorte que kηxk = η [resp. kηxk ≤ η] et avec la linéarité de u on déduit que ku (x)k ≤ . η On a donc ainsi prouvé que u est bornée sur la sphère [resp. boule] unité de (E, k·k) . (3) ⇒ (4) Si u est bornée sur la sphère [resp. boule] unité de (E, k·k) il existe alors ′ un réel c > 0 tel que ku (x)k ≤ c pour tout x ∈ E tel que kxk = 1 [resp. kxk ≤ 1]. En 1 x est dans la sphère (et remarquant que pour tout vecteur x non nul dans E le vecteur kxk ′ la boule) unité de (E, k·k) et en utilisant la linéarité de u on déduit que ku (x)k ≤ c kxk , cette inégalité étant aussi vérifiée pour x = 0. (4) ⇒ (5) et (5) ⇒ (1) Ces implications sont évidentes.  Une application linéaire continue u de E dans F est aussi appelée opérateur borné et la norme d’un tel opérateur peut être définie par : ′

||u|| = sup ku (x)k = x∈E ∥x∥=1

′

ku (x)k kxk x∈E\{0} sup

Dans le paragraphe qui suit nous verrons qu’une application linéaire d’un espace normé de dimension finie dans un espace normé est toujours continue (corollaire 10.2). ′ Pour justifier que ||u|| = α, on essaye de montrer que l’on a ku (x)k ≤ α kxk pour tout ′ x ∈ E, puis, soit on trouve x ∈ E tel que kxk = 1 et ku (x)k = α (cela se produit quand cette borne supérieure est atteinte, ce qui est toujours le cas en dimension finie car la sphère unité est compacte, mais pas nécessairement en dimension infinie), soit on essaye de trouver une suite (xk )k∈N dans E telle que : ∀k ∈ N, kxk k ≤ 1,

′

lim ku (xk )k = α

k→+∞

′

et avec ku (xk )k ≤ kuk kxk k ≤ kuk pour tout k ∈ N, on en déduit, par passage à la limite, que α ≤ ||u|| . ′ Si la borne ||u|| n’est pas atteinte, on a alors ku (x)k < ||u|| kxk pour tout x ∈ E \ {0} . En exercices on propose quelques exemples de calcul de la norme d’une application linéaire continue.

10.4

Normes équivalentes

′
Définition 10.16. Soient (E, k·k) et F, k·k deux espaces vectoriels normés. On dit qu’une application f définie sur E et à valeurs dans F est un homéomorphisme si elle est continue bijective d’inverse f −1 continue.

Théorème 10.10. ′
Soient (E, k·k) , F, k·k deux espaces vectoriels normés et u une application linéaire surjective de E dans F. Les assertions suivantes sont équivalentes :

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 228 — #238

228

Espaces vectoriels normés 1. u est un homéomorphisme de E sur F ; 2. il existe des constantes réelles strictement positives α et β telles que : ′

∀x ∈ E, α kxk ≤ ku (x)k ≤ β kxk 3. il existe des constantes réelles strictement positives α et β telles que :
′ (x ∈ E, kxk = 1) ⇒ α ≤ ku (x)k ≤ β Preuve. (1) ⇒ (2) Si u est un homéomorphisme de E sur F, u et u−1 sont alors continues et il existe deux constantes β > 0 et γ > 0 telles que :

′ ′ ∀x ∈ E, ku (x)k ≤ β kxk , ∀y ∈ F, u−1 (y) ≤ γ kyk Comme tout vecteur x de E s’écrit de manière unique x = u−1 (y) avec y dans F, on déduit des inégalités précédentes que : ∀x ∈ E,

1 ′ kxk ≤ ku (x)k ≤ β kxk γ

(2) ⇒ (3) Cette implication est évidente. ′ (3) ⇒ (1) Les inégalités ku (x)k ≤ β pour x dans la sphère unité de E signifient que l’application linéaire u est continue. En remarquant que pour tout vecteur x non nul dans 1 E le vecteur x est dans la sphère unité de (E, k·k) et en utilisant la linéarité de u on kxk déduit des inégalités (3) que : ′

∀x ∈ E \ {0} , α kxk ≤ ku (x)k ≤ β kxk ces inégalités étant encore vérifiées pour x = 0. Si u (x) = 0, on a alors nécessairement x = 0, (α > 0), c’est-à-dire que l’application linéaire u est injective. Cette application étant supposée surjective, on déduit que c’est un isomorphisme de E sur F. Tout vecteur ′ x ∈ E s’écrivant de manière unique x = u−1 (y) avec y ∈ F, les inégalités α kxk ≤ ku (x)k

−1

1 ′ pour tout x dans E sont équivalentes à u (y) ≤ kyk pour tout y dans F, ce qui α équivaut à la continuité de u−1 .  ′

Définition 10.17. On dit que deux normes k·k et k·k sur un espace vectoriel E sont équivalentes si l’application identité : ′
Id : (E, k·k) → E, k·k x 7→ x est un homéomorphisme. On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes de E. Du théorème précédent, on déduit immédiatement le résultat suivant. ′

Corollaire 10.1. Deux normes k·k et k·k sur un espace vectoriel E sont équivalentes si, et seulement si, il existe deux constantes réelles α et β strictement

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 229 — #239

Normes équivalentes positives telles que :

229

′

∀x ∈ E, α kxk ≤ kxk ≤ β kxk De ce résultat on déduit que deux normes équivalentes sur E définissent la même topologie sur E. Dans ce qui suit on va voir qu’une application linéaire de rang fini est continue si, et seulement si, son noyau est fermé. De ce résultat, conséquence de la complétude de R, on va déduire que sur un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Dans un premier temps, on caractérise les formes linéaires continues sur un espace vectoriel normé. Lemme 10.3 Si φ est une forme linéaire non nulle sur un R-espace vectoriel E, il existe alors un vecteur non nul a dans E tel que E = ker (φ) ⊕ Ra. Preuve. La forme linéaire φ étant non nulle, on peut trouver un vecteur a dans E tel que φ (a) = 6 0. Ce vecteur a est nécessairement non nul. Pour tout vecteur x dans E, le φ (x) φ (x) a est dans le noyau de φ et en écrivant que x = h+ a on déduit vecteur h = x− φ (a) φ (a) que E = ker (φ) + Ra. Si x est dans ker (φ) ∩ Ra on a alors x = λa et λφ (a) = φ (x) = 0 avec φ (a) 6= 0 ce qui entraîne λ = 0 et x = 0. On a donc ker (φ) ∩ Ra = {0} et E = ker (φ) ⊕ Ra.  Théorème 10.11. Une forme linéaire φ sur (E, k·k) est continue si, et seulement si, son noyau ker (φ) est fermé dans (E, k·k) . Preuve. Si φ est une forme linéaire continue sur (E, k·k) , son noyau ker (φ) est alors un fermé comme image réciproque du fermé {0} par l’application continue φ. Supposons réciproquement que ker (φ) soit fermé dans (E, k·k) . Dire que φ est non continue équivaut à dire qu’elle n’est pas bornée sur la sphère unité de (E, k·k) . Dans ce cas on peut trouver une suite (xn )n∈N de points de E telle que : ∀n ∈ N, kxn k = 1, |φ (xn )| ≥ n On considère une décomposition E = ker (φ) ⊕ Ra avec φ (a) 6= 0 et on écrit, pour φ (xn ) tout entier n, xn = yn + λn a avec yn ∈ ker (φ) et λn = ∈ R. Pour n ≥ 1 on φ (a) 1 1 a |φ (xn )| ≥ n > 0 et on peut écrire a = xn + zn avec zn = − yn ∈ ker (φ) . λn λn kxn k 1 |φ (a)| |φ (a)| Mais on a alors pour tout entier n ≥ 1, ka − zn k = = = ≤ |λn | |λn | |φ (xn )| n et a n’appartenant pas à ker (φ) est limite d’une suite de points de ker (φ) ce qui est contradiction avec ker (φ) fermé. On a donc ainsi montré que si ker (φ) est fermé dans (E, k·k) , alors φ est continue.  On va généraliser le résultat précédent en caractérisant les applications linéaires de rang fini qui sont continues sur un espace vectoriel normé. On en déduira ensuite que toute application linéaire d’un espace vectoriel normé de dimension fini dans un espace vectoriel normé est continue.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 230 — #240

230

Espaces vectoriels normés

Lemme 10.4 Soient E, F deux R-espaces vectoriels et u une application linéaire de E dans F. L’application u est de rang r si, et seulement si, il existe des formes linéaires sur E, φ1 , · · · , φr linéairement indépendantes et des vecteurs de F, a1 , · · · , ar linéairement r X indépendants tels que u (x) = φi (x) ai pour tout x ∈ E. i=1

Preuve. Si u ∈ L (E, F ) est de rang r, son image Im (u) est alors un sous-espace vectoriel de F de dimension r et, en notant (a1 , · · · , ar ) une base de Im (u) , pour tout x dans E, on peut trouver des scalaires uniquement déterminés φ1 (x) , · · · , φr (x) tels que r X u (x) = φi (x) ai . De la linéarité de u et de l’unicité de l’écriture d’un vecteur dans i=1

une base on déduit que les applications φi sont linéaires. Supposons le système (φ1 , · · · , φr ) dans E ∗ (dual algébrique de E) lié avec, par r X exemple, φ1 = λi φi . On a alors, pour tout x dans E : i=2

u (x) =

r X i=2

! λi φi (x) a1 +

r X i=2

φi (x) ai =

r X

φi (x) (λi a1 + ai )

i=2

et le système de r − 1 vecteurs {λi a1 + ai | 2 ≤ i ≤ r} engendre Im (u) , ce qui est en contradiction avec dim (Im (u)) = r. Le système (φ1 , · · · , φr ) est donc libre. La réciproque est évidente.  Lemme 10.5 Soit F un sous-espace vectoriel fermé de (E, k·k) . Pour tout sous-espace vectoriel G de dimension finie dans E, le sous-espace vectoriel H = F + G est fermé dans (E, k·k) . Preuve. On procède par récurrence sur la dimension p ≥ 1 de G. Pour p = 1 il s’agit de montrer que pour tout vecteur non nul a de E, H = F + Ra est fermé. Si a ∈ F alors H = F est fermé. On suppose donc que a ∈ / F et on a alors H = F ⊕ Ra. Tout vecteur x de H s’écrit de manière unique x = y +φ (x) a avec y ∈ F et φ (x) ∈ R. De l’unicité d’une telle écriture on déduit que φ est une forme linéaire sur H. De plus le noyau de φ est ker (φ) = F fermé dans (E, k·k) , c’est donc aussi un fermé de (H, k·k) et φ est continue de H dans R. De cette continuité et de la complétude de R on va déduire que H est fermé. Soit donc (xn )n∈N une suite de points de H qui converge vers x ∈ E. Tout vecteur xn s’écrit xn = yn + φ (xn ) a où (yn )n∈N est une suite de points de F. La suite (xn )n∈N étant convergente dans E, elle est de Cauchy et avec la continuité de φ on déduit que la suite (φ (xn ))n∈N est de Cauchy dans R. Le corps R étant complet, on déduit que la suite (φ (xn ))n∈N converge vers un scalaire λ. On déduit alors que la suite (yn )n∈N converge vers y = x − λa. L’espace F étant fermé, on a y ∈ F et x = y + λa est dans H. On a donc ainsi montré que H est fermé. Supposons maintenant le résultat acquis pour tous les sous-espaces vectoriels de E de dimension p ≥ 1 et soit G de  dimension p +1. En notant p M (ai )1≤i≤p+1 une base de G on peut écrire que H = F + G = F + Raj  + Rap+1 et j=1

on conclut facilement avec l’hypothèse de récurrence et l’étude du cas p = 1.



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 231 — #241

Espaces vectoriels normés de dimension finie

231

Théorème 10.12. ′
Soient (E, k·k) , F, k·k deux R-espaces vectoriels normés et u une application linéaire de E dans F de rang fini. L’application u est continue si, et seulement si, son noyau ker (u) est fermé dans (E, k·k) .

Preuve. Si u est continue, ker (u) est alors fermé dans (E, k·k) comme image réciproque ′
du fermé {0} de F, k·k par l’application continue u. Réciproquement supposons que ker (u) soit fermé dans (E, k·k) . L’application linéaire u étant de rang fini, il existe des formes linéaires φ1 , · · · , φr , linéairement indépendantes dans E ∗ et un système libre r r X \ {a1 , · · · , ar } dans F tels que u = φi ai . On a alors ker (u) = ker (φj ) ⊂ ker (φj ) i=1

j=1

pour tout j compris entre 1 et r. On peut alors écrire que ker (φj ) = ker (u) ⊕ Hj et la restriction de u à Hj est injective (u (x) = 0 et x ∈ Hj équivaut à x ∈ ker (u) ∩ Hj ) de Hj dans Im (u) qui est de dimension finie. En définitive, pour tout j compris entre 1 et r le sous-espace vectoriel Hj est de dimension finie dans E et ker (φj ) = ker (u) ⊕ Hj est r X fermé, ce qui signifie que la forme linéaire φj est continue. La continuité de u = φi ai i=1

en résulte alors immédiatement.



Corollaire 10.2. Soient (E, k·k) un espace vectoriel normé de dimension finie ′
et F, k·k un espace vectoriel normé. Toute application linéaire de E dans F est continue. Preuve. Pour E de dimension finie, toute application linéaire u de E dans F est de rang fini. De plus avec dim (E) = dim (ker (u)) + dim (Im (u)) on déduit que ker (u) est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, il est donc fermé et u est continue. 

10.5

Espaces vectoriels normés de dimension finie

Lemme 10.6 Soient E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1, (ei )1≤i≤n une base de E et k·k∞ la norme définie sur E par : ∀x =

n X i=1

xi ei ∈ E, kxk∞ = max |xi | 1≤i≤n

La boule unité B∞ et la sphère unité S∞ sont compactes dans (E, k·k∞ ) .  
(k) Preuve. Soit x(k) k∈N dans B∞ [resp. dans S∞ ] avec x(k) = xj pour tout 1≤j≤n

(k) k ∈ N. Pour tout entier j compris entre 1 et n on a xj ≤ x(k) ∞ ≤ 1. De la suite     (k) (φ (k)) on peut alors extraire une sous-suite x1 1 qui converge réelle bornée x1 k∈N k∈N  (φ (k)) vers un scalaire x1 vérifiant |x1 | ≤ 1. Puis de la suite bornée x2 1 on peut k∈N   (φ (k)) extraire une sous-suite x2 2 qui converge vers un scalaire x2 vérifiant |x2 | ≤ 1. k∈N
(φ(k)) Et en continuant ainsi on extrait une suite x(φ(k)) k∈N telle que lim xj = xj k→+∞

(φ(k)) pour tout j compris entre 1 et n avec |xj | ≤ 1. On a alors lim x − x ∞ = 0 où k→+∞

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 232 — #242

232

Espaces vectoriels normés


x = (xj )1≤j≤n est dans B∞ [resp. S∞ ], c’est-à-dire que la suite x(φ(k)) k∈N converge vers x dans B∞ [resp. S∞ ]. On a donc ainsi montré que B∞ [resp. S∞ ] est compacte dans (E, k·k∞ ) .  Lemme 10.7 Soient (E, k·k) un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel fermé de E distinct de E. Pour tout réel ε > 0 il existe un vecteur x dans la sphère unité de (E, k·k) tel que d (x, F ) = inf kx − yk ≥ 1 − ε. y∈F

Preuve. Le résultat étant évident pour ε ≥ 1, on suppose que ε ∈ ]0, 1[ . Si F est fermé 1 dans E, on a alors d (y, F ) > 0 pour tout y ∈ E \ F. Pour tout ε ∈ ]0, 1[ on a >1 1−ε d (y, F ) et pour tout y ∈ E \ F il existe z ∈ F tel que 0 < d (y, F ) ≤ ky − zk < . Le 1−ε 1 vecteur x = (y − z) est alors dans la sphère unité de (E, k·k) et pour tout t ∈ F ky − zk 1 on a kx − tk = ky − (z + ky − zk t)k avec u = z + ky − zk t ∈ F, de sorte que ky − zk d (y, F ) 1 ky − uk ≥ > 1 − ε. On a donc d (x, F ) = inf kx − tk ≥ 1 − ε. kx − tk = t∈F ky − zk ky − zk  Le théorème qui suit nous donne plusieurs caractérisations des R-espaces vectoriels normés de dimension finie. Théorème 10.13. Soit E un espace vectoriel sur R. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1. E est de dimension finie sur R. 2. Toutes les normes sur E sont équivalentes. 3. Quelle que soit la norme choisie sur E toute forme linéaire définie sur (E, k·k) est continue. 4. Quelle que soit la norme choisie sur E, la sphère [resp. boule] unité de (E, k·k) pour cette norme est compacte. 5. Quelle que soit la norme choisie sur E, les compacts de (E, k·k) sont les fermés bornés. Preuve. ′ (1) ⇒ (2) On suppose E de dimension finie et on se donne deux normes k·k et k·k ′
′
sur E. L’application linéaire Id : (E, k·k) → E, k·k [resp. Id : E, k·k → (E, k·k)] est ′
de rang fini à noyau fermé, elle est donc continue. L’application Id : (E, k·k) → E, k·k ′ est donc un homéomorphisme, c’est-à-dire que les normes k·k et k·k sont équivalentes sur E. (2) ⇒ (3) Supposons toutes les normes sur E équivalentes. Si k·k est une norme sur E et φ une forme linéaire sur E, l’application N : x 7→ kxk + |φ (x)| définit alors une norme sur E, elle est donc équivalente à k·k et il existe une constante α > 0 telle que N (x) ≤ α kxk pour tout x ∈ E. On a donc |φ (x)| ≤ (α − 1) kxk pour tout x ∈ E, ce qui équivaut à la continuité de la forme linéaire φ. (3) ⇒ (4) Supposons que quelle que soit la norme choisie sur E toute forme linéaire sur E est continue. Si (E, k·k) est de dimension infinie on peut trouver un système libre infini dénombrable (en )n∈N tel que ken k = 1 pour tout n ∈ N. En désignant par G un supplémentaire dans E de H = Vect {en | n ∈ N} on définit la forme linéaire φ sur E

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Exercices

233

par φ (x) = 0 pour tout x ∈ G et φ (en ) = n pour tout n ∈ N. L’application linéaire ainsi définie n’est pas bornée sur la sphère unité de (E, k·k) et en conséquence n’est pas continue, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse de départ. L’espace vectoriel E est donc de dimension finie. On a donc ainsi montré que les assertions (1) , (2) et (3) sont équivalentes. En particulier si (3) est vérifié alors toutes les normes sur E sont équivalentes et la compacité de la sphère [resp. boule] unité de (E, k·k) résulte de la compacité de la sphère [resp. boule] unité de (E, k·k∞ ) . (4) ⇒ (5) On suppose que quelle que soit la norme choisie sur E, la sphère [resp. boule] unité de E pour cette norme est compacte. On sait déjà que toute partie compacte d’un espace vectoriel normé (E, k·k) est fermée et bornée. Réciproquement soit C une partie non vide fermée et bornée dans (E, k·k) . Il existe une constante λ > 0 telle  quekxk ≤ λ 1 xn est pour tout x dans C et pour toute suite (xn )n∈N de points de C, la suite λ n∈N dans la de (E, k·k) , cette boule étant compacte, on peut extraire une sous boule unité 
1 suite xφ(n) qui converge vers y ∈ E. La suite xφ(n) n∈N converge alors vers λ n∈N x = λy et x ∈ C puisque C est fermé. On a donc ainsi montré que C est compact dans (E, k·k) . (5) ⇒ (1) On suppose que quelle que soit la norme choisie sur E, les compacts de (E, k·k) sont les fermés bornés. Si E est de dimension infinie on peut trouver un système libre infini dénombrable (en )n∈N . Pour tout entier n, on désigne par En le sous-espace vectoriel de E engendré par (ek )1≤k≤n . On a alors Ep $ Eq pour q > p. De plus chaque En est de dimension finie dans E, donc fermé dans E et aussi dans En+1 . On peut construire une suite (xn )n≥1 dans la sphère unité de (E, k·k) telle que xn ∈ En et 1 1 d (xn , En−1 ) ≥ pour tout n ≥ 1. Mais alors, on a kxq − xp k ≥ d (xq , Eq−1 ) ≥ pour 2 2 tout q > p et il est impossible d’extraire de la suite (xn )n≥1 une sous-suite convergente, ce qui est en contradiction avec la compacité de la sphère unité (c’est un fermé borné) de (E, k·k) . L’espace vectoriel E est donc nécessairement de dimension finie.  L’équivalence (1) ⇔ (4) est le théorème de Riesz. On peut donc conclure que sur un espace vectoriel de dimension finie on a une seule topologie compatible avec la structure d’espace vectoriel. Avec l’exercice 10.9, on propose une démonstration plus classique de l’équivalence des normes en dimension finie. Cette démonstration est basée sur la compacité locale de R. Corollaire 10.3. Un espace vectoriel normé de dimension finie est complet. Preuve. En reprenant les notations qui précèdent il suffit de montrer que (E, k·k∞ ) est complet, ce qui se déduit immédiatement du fait que R est complet. 

10.6

Exercices

Exercice 10.1. Soit φ une forme linéaire non nulle sur E. Montrer que l’application x 7→ |φ (x)| définit une semi-norme sur E et que c’est une norme si, et seulement si, E est de dimension 1.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 234 — #244

234

Espaces vectoriels normés

Solution. Si φ est non nulle, on a alors Im (φ) = R, donc φ est surjective et si son noyau est réduit à {0} , elle est alors injective et réalise une bijection de E sur R. Exercice 10.2. Soit φ : (x, y) 7→ hx | yi une forme bilinéaire symétrique positive sur E mais p non nécessairement définie. Pour tout vecteur x dans E, on note p (x) = φ (x, x). Montrer que : 1. pour tout (x, y) ∈ E 2 , on a |φ (x, y)| ≤ p (x) p (y) (inégalité de CauchySchwarz) ; 2. l’application p définit une semi-norme sur E. Solution. 1. Soient x, y fixés dans E et Q la fonction polynomiale définie par : ∀t ∈ R, Q (t) = p2 (x + ty) = p2 (y) t2 + 2tφ (x, y) + p2 (x) Comme φ est positive, on a Q (t) ≥ 0 pour tout réel t. Si p (y) = 0, Q est une fonction affine à valeurs positives et nécessairement φ (x, y) = 0. On a alors dans ce cas |φ (x, y)| = p (x) p (y) . Si p (y) 6= 0, Q est alors une fonction polynomiale de degré 2 à valeurs positives et son discriminant est nécessairement négatif ou nul, soit φ2 (x, y) − p2 (x) p2 (y) ≤ 0, ce qui équivaut à |φ (x, y)| ≤ p (x) p (y) . 2. En écrivant que p2 (x + y) = p2 (y) + 2φ (x, y) + p2 (x) pour tous x, y dans E avec 2 φ (x, y) ≤ |φ (x, y)| ≤ p (x) p (y) , on déduit que p2 (x + y) ≤ (p (x) + p (y)) . On a donc l’inégalité triangulaire pour p. La propriété p (λx) = |λ| p (x) se vérifie facilement. Dans le cas où la forme bilinéaire φ est définie, p est en fait une norme. Exercice 10.3. Montrer que sur l’espace vectoriel E = C 0 ([a, b] , R) des applications continues sur l’intervalle [a, b] (a < b) et à valeurs dans R, les applications définies par : s Z b Z b ∀f ∈ E, kf k∞ = sup |f (x)| , kf k1 = |f (t)| dt, kf k2 = f 2 (t) dt x∈[a,b]

a

a

sont des normes sur E. Solution. Il est clair que pour k = ∞ et k = 1 les applications f 7→ kf kk définissent bien Z b des normes sur E. Pour f 7→ kf k1 on utilise le fait que l’application φ 7→ φ (t) dt est a Z b une forme linéaire positive avec φ (t) dt = 0 équivalent à φ = 0 si φ est une fonction a

continue à valeurs positives ou nulles. Pour k = 2, on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans E : Z Z b b ∀ (f, g) ∈ E 2 , f (t) g (t) dt ≤ |f (t)| |g (t)| dt ≤ kf k2 kgk2 a a Z conséquence du fait que l’application (f, g) 7→

b

f (t) g (t) dt est une forme bilinéaire a

symétrique définie positive sur E, ce qui entraîne l’inégalité triangulaire pour k·k2 . Les autres propriétés d’une norme se vérifient facilement.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 235 — #245

Exercices

235

Exercice 10.4. Soit (E, k·k) un espace vectoriel normé. Pour toute partie non vide F de E, on note d (x, F ) = inf kx − yk . Montrer que si F est fermée dans y∈F

(E, k·k) , on a alors d (x, F ) > 0 pour tout x ∈ E \ F. Solution. Pour x ∈ E \ F, on note δ = d (x, F ) . Par définition de la borne inférieure, 1 pour tout entier n > 0 on peut trouver un élément xn de F tel que δ ≤ kx − xn k < δ + . n On a alors lim kx − xn k = δ. Pour δ = 0, on a x = lim xn ∈ F, puisque F est fermé, n→+∞

n→+∞

ce qui contredit x ∈ E \ F. On a donc δ > 0.

Exercice 10.5. Soient E, F deux espaces vectoriels réels de dimensions respectives n ≥ 1 et m ≥ 1. Étant données une base B = (ei )1≤i≤n de E et une base B ′ = (e′i )1≤i≤m de F, on munit ces espaces de la norme k·k∞ . Soit u ∈ L (E, F ) de matrice A = ((aij )) 1≤im dans les bases B et B ′ . Montrer que ||u|| ∞ = max

n X

1≤i≤m

1≤j≤n

|aij | .

j=1

Pour u = 0, le résultat est évident. 6 0. Pour tout  On supposedonc u = n n X X x ∈ E, on a ku (x)k∞ = max aij xj ≤  max |aij | kxk∞ , ce qui implique 1≤i≤m 1≤i≤m j=1 j=1 n X que ||u|| ∞ ≤ α = max |aij | . Il existe un entier k compris entre 1 et m tel que Solution.

1≤i≤m

α =

n X

|akj | =

j=1

n X

j=1

akj sgn (akj ) en notant sgn (t) =

j=1

t pour tout réel non nul t et |t|

sgn (0) = 0. Comme u 6= 0, on a α > 0, donc le vecteur x =

n X

sgn (akj ) ej est tel que

n X ≤ α avec |yk | = akj xj = α. j=1 j=1

kxk = 1 et en notant y = u (x) , on a kyk∞ = ku (x)k∞ On a donc ku (x)k∞ = α et ||u|| ∞ = α.

Exercice 10.6. L’espace vectoriel E = C 0 ([0, 1] , R) des fonctions continues de [0, 1] dans R est muni de la norme f 7→ kf k∞ = sup |f (x)| . On se donne φ ∈ E x∈[0,1]

et u ∈ L (E, R) est définie par : Z ∀f ∈ E, u (f ) =

1

f (t) φ (t) dt 0

Montrer que l’application u est linéaire continue de (E, k·k∞ ) dans (R, |·|) , avec Z 1 ||u|| ∞ = |φ (t)| dt. Cette borne supérieure est-elle atteinte ? 0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 236 — #246

236

Espaces vectoriels normés

Solution. Pour Zφ = 0, le résultat Onsuppose donc φ = 6 0. Pour tout f ∈ E, est Zévident. 1 1 on a |u (f )| = f (t) φ (t) dt ≤ |φ (t)| dt kf k∞ , donc l’application linéaire u 0 0 Z 1 est continue avec ||u|| ∞ ≤ α = |φ (t)| dt = kφk1 . Soit (fk )k∈N la suite de fonctions 0

φ (t) pour tout k ∈ N, où (εk )k∈N est |φ (t)| + εk une suite de réels strictement positifs telle que lim εk = 0. Pour tout k ∈ N et tout continues définie sur [0, 1] par fk (t) =

k→+∞

|φ (t)| t ∈ [0, 1] , on a |fk (t)| = < 1, soit kfk k∞ ≤ 1 et : |φ (t)| + εk Z 1   Z 1 φ2 (t) |φ (t)| |u (fk ) − α| = − |φ (t)| dt = εk dt ≤ εk |φ (t)| + ε |φ (t)| + εk k 0 0 donc

lim |u (fk )| =

k→+∞

→

k→+∞

0

lim u (fk ) = α et avec |u (fk )| ≤ kuk∞ kfk k∞ ≤ kuk∞ , on

k→+∞

déduit que α ≤ ||u|| ∞ et ||u|| ∞ = α. Si la fonction φ est de signe constant, prenant f = 1 pour φ à valeurs positives, ou f = −1 pour φ à valeurs négatives, on a kf k∞ = 1 et Z 1 |u (f )| = u (f ) = |φ (t)| dt = kuk∞ , donc la borne supérieure ||u|| ∞ est atteinte. Si 0

φ n’est pas de signe constant, cette borne supérieure n’est pas nécessairement atteinte. Considérons par exemple le cas d’une fonction φ telle que φ (t) < 0 pour tout t ∈ [0, α[ , φ (α) = 0 et φ (t) > 0 pour tout t ∈ ]α, 1] , où 0 < α < 1. S’il existe f ∈ E telle kf k∞ = 1 Z 1 et |u (f )| = |φ (t)| dt, quitte à changer f en −f, on peut supposer que u (f ) ≥ 0 et on 0 a: Z Z Z Z 1

u (f ) = Z soit Z α

1

0

Z

1

(1 − f (t)) φ (t) dt = α

1

|φ (t)| dt =

f (t) φ (t) dt = 0

α

φ (t) dt − α

α

Z

1

(1 − f (t)) φ (t) dt ≥ 0 et

(1 + f (t)) φ (t) dt avec 0

φ (t) dt 0

α

(1 + f (t)) φ (t) dt ≤ 0 puisque −1 ≤ f (t) ≤ 1 pour tout t ∈ [0, 1] , donc : 0

Z

Z

1

(1 − f (t)) φ (t) dt = α

α

(1 + f (t)) φ (t) dt = 0 0

ce qui équivaut à (1 − f (t)) φ (t) = 0 pour tout t ∈ ]α, 1] et (1 + f (t)) φ (t) = 0 pour tout t ∈ [0, α[ , soit à f (t) = 1 pour tout t ∈ ]α, 1] et f (t) = −1 pour tout t ∈ [0, α[ , ce qui est impossible pour t continue en α. Exercice 10.7.

Pour f ∈ E1 = C 1 ([0, 1] , R) , on note kf k = |f (0)| + kf ′ k∞ .

1. Montrer que l’application f 7→ kf k définit une norme sur l’espace E1 . 2. Les normes k·k et k·k∞ sont-elles équivalentes sur E1 ? Solution. 1. On a kf k ≥ 0, kλf k = |λ| kf k et kf + gk ≤ kf k + kgk pour tout λ ∈ R et tous f, g dans E1 . L’égalité kf k = 0 équivaut à f ′ = 0 et f (0) = 0, donc à f = f (0) = 0.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 237 — #247

Exercices

237

Z x ′ f (t) dt ≤ |f (0)| + kf ′ k∞ , ce qui donne 2. Pour tout f ∈ E1 , on a |f (x)| = f (0) + 0 kf k∞ ≤ kf k . Pour tout entier n ∈ N∗ , on désigne par pn la fonction définie sur [0, 1] par pn (t) = tn . Comme kpn k∞ = 1 et kpn k = knpn−1 k∞ = n, l’application f 7→ kf k n’est pas bornée sur la sphère unité de (E1 , k·k∞ ) , donc les normes k·k et k·k∞ ne sont pas équivalentes. Exercice 10.8.

Soit E = C 0 ([0, 1] , R) muni de la norme définie par : Z

∀f ∈ E, kf k = kf k∞ + kf k1 = sup |f (t)| + t∈[0,1]

1

|f (t)| dt 0

1. Montrer que les normes k·k et k·k∞ sont équivalentes, puis que (E, k·k) est un espace de Banach. 2. Montrer que l’ensemble F = {f ∈ E | f (0) = 0} est un sous-espace vectoriel fermé de (E, k·k) . 3. On désigne par f1 la fonction constante égale à 1 sur [0, 1] . (a) Montrer que kf1 − f k > 1 pour tout f ∈ E. (b) Montrer que d (f1 , F ) = inf kf1 − f k = 1 et que cette distance n’est pas f ∈F

atteinte. Solution. 1. Avec kf k∞ ≤ kf k ≤ 2 kf k∞ pour tout f ∈ E, on déduit que les normes k·k et k·k∞ sont équivalentes. Sachant que (E, k·k∞ ) est complet, on en déduit que (E, k·k) est un espace de Banach. 2. Pour toute fonction f ∈ E, on a |f (0)| ≤ kf k∞ ≤ kf k , donc la forme linéaire φ : f 7→ f (0) est continue et F = ker (φ) = φ−1 {0} est un sous-espace vectoriel fermé de (E, k·k) . 3. (a) Pour tout f ∈ F, on a |f1 − f | = |1 − f | 6= 0 (puisque f (0) = 0), la fonction Z 1 |1 − f | étant continue, donc kf1 − f k1 = |1 − f (t)| dt > 0 et : 0

Z

1

kf1 − f k = sup |1 − f (t)|+ t∈[0,1]

|1 − f (t)| dt > sup |1 − f (t)| ≥ |1 − f (0)| = 1 0

t∈[0,1]

Il en résulte que d (f1 , F ) = inf kf1 − f k ≥ 1. f ∈F

(b) Pour tout réel ε ∈ ]0, 1[ , on désigne par fε la fonction affine par morceaux et continue telle que fε (0) = 0, fε est affine sur [0, ε] , fε (t) = 1 pour tout t ∈ [ε, 1] . Cette fonction est dans F et on a :  Z ε ε 1 kf1 − fε k = 1 + 1 − t dt = 1 + ≥ d (f1 , F ) ε 2 0 Faisant tendre ε vers 0, on en déduit que d (f1 , F ) ≤ 1 et d (f1 , F ) = 1. Comme kf1 − f k > 1 pour tout f ∈ F, cette distance n’est pas atteinte.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 238 — #248

238

Espaces vectoriels normés Exercice 10.9. On désigne par E un espace vectoriel de dimension finie sur R, par (ei )1≤i≤n une base de E et on note k·k∞ la norme définie sur E par : ∀x =

n X

xi ei ∈ E, kxk∞ = max |xi | 1≤i≤n

i=1

On sait déjà que la boule unité et la sphère unité de (E, k·k∞ ) sont compactes. 1. Montrer que pour toute norme k·k sur E l’application : (E, k·k∞ ) → R x 7→ kxk est continue. 2. Montrer que toutes les normes sur E sont équivalentes. 3. Retrouver le fait
que si (E, k·k) est un espace vectoriel normé de dimension ′ finie et F, k·k un espace vectoriel normé de dimension quelconque, alors toute application linéaire de E dans F est continue. Solution. 1. Pour tout x =

n X

n X

xj ej dans E on a kxk ≤ β kxk∞ où β =

kej k > 0. On a donc

j=1

j=1

|kxk − kyk| ≤ kx − yk ≤ β kx − yk∞ pour x et y dans E et la continuité en résulte. 2. Il suffit de montrer que toute norme k·k sur E estéquivalente  à k·k∞ . On a déjà n n X X vu que pour tout x = xi ei dans E on a kxk ≤  kej k kxk∞ = β kxk∞ . On i=1

j=1

a également vu que la sphère unité S∞ = {x ∈ E | kxk∞ = 1} est compacte dans (E, k·k∞ ) et que l’application x 7→ kxk est continue de (E, k·k∞ ) dans R. On peut donc poser α = inf kxk = lim kxn k , où (xn )n∈N est une suite de points de n→+∞

x∈S∞

S∞ . La
sphère unité S∞ étant compacte, on peut extraire de (xn )n∈N une sous-suite xφ(n) n∈N qui converge vers x dans S∞ . On a alors α = kxk > 0. Enfin, pour tout x

x

dans E − {0} , on a

kxk ≥ α soit α kxk∞ ≤ kxk . D’où l’équivalence des normes. ∞ 3. Si (ei )1≤i≤n est une base de E, on a alors pour toute application linéaire u de E dans n X F et tout x = xi e i ∈ E : i=1 ′

ku (x)k ≤

n X i=1

′

|xi | ku (ei )k ≤



′

max ku (ei )k

1≤i≤n



 kxk1 ≤

′

max ku (ei )k

1≤i≤n

 α kxk

(les normes k·k1 et k·k sont équivalentes, il existe donc α > 0 tel que, pour tout x dans E, on ait kxk1 ≤ α kxk) et la continuité de u en résulte.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 239 — #249

Chapitre 11

Fonctions de plusieurs variables réelles

Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et de dimension finie ou infinie. Si E et F sont deux espaces vectoriels normés, on note Lc (E, F ) l’espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F, muni de la norme usuelle : ∀u ∈ Lc (E, F ) , ||u|| =

ku (x)k = sup ku (x)k x∈E\{0} kxk ∥x∥=1 sup

En toute rigueur, on devrait noter k·kE la norme choisie sur E et k·kF la norme choisie sur F. Mais, dans la mesure où il n’y a pas d’ambiguïté, on utilisera la même notation k·k pour les normes sur E et F. Dans le cas où E et F sont de dimension finie, toute application linéaire de E dans F est continue, on a donc Lc (E, F ) = L (E, F ) .

11.1

Fonctions différentiables

Définition 11.1. On dit qu’une fonction f définie sur un ouvert non vide O de E et à valeurs dans F est différentiable en a ∈ O s’il existe une application linéaire continue u ∈ Lc (E, F ) et un voisinage ouvert V de 0 dans E tels que : ∀h ∈ V, f (a + h) = f (a) + u (h) + o (khk) h→0

(11.1)

Dire que f est différentiable en a, signifie qu’il existe une application linéaire continue u ∈ Lc (E, F ) et une fonction ε définie sur une boule ouverte B (0, η) de centre 0 et de rayon η > 0 telles que lim ε (h) = 0 et f (a + h) = f (a) + u (h) + khk ε (h) pour h→0

kf (a + h) − f (a) − u (h)k = 0. Le rayon h→0 khk η > 0 est choisi assez petit, de sorte que B (a, η) ⊂ O. Si on remplace les normes sur E et F par des normes équivalentes, une fonction f différentiable en a l’est toujours avec la même valeur pour la différentielle. En effet, en notant φ (h) = f (a + h) − f (a) − u (h) , on a des encadrements du type :

tout h ∈ B (0, η) , ce qui équivaut encore à lim

′

γ kφ (h)k kφ (h)k β kφ (h)k ≤ ≤ ′ δ khk α khk khk

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 240 — #250

240

Fonctions de plusieurs variables réelles

où les réels α, β, γ, δ sont strictement positifs. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et on peut alors utiliser n’importe quelle norme. Théorème 11.1. Soient O un ouvert non vide de E et f : O → F. Si f est différentiable en a ∈ O, elle est alors continue en ce point. Preuve. Résulte de f (x) − f (a) = u (x − a) + o kx − ak avec u continue. x→a



Théorème 11.2. Soient O un ouvert non vide de E et f : O → F. Si f est différentiable en a ∈ O, l’application linéaire continue définie par (11.1) est alors uniquement déterminée. Supposons qu’il existe deux telles applications u et v dans Lc (E, F ) . De k(v − u) (h)k la définition, on déduit que lim = 0, donc pour tout x ∈ E \ {0} , on h→0 khk k(v − u) (tx)k k(v − u) (x)k a 0 = lim = , ce qui équivaut à (v − u) (x) = 0, soit à t→0 ktxk kxk u (x) = v (x) . Cette dernière égalité étant réalisée aussi pour x = 0, on en déduit que u = v.  Avec les hypothèses et notations du théorème précédent, on peut noter df (a) l’application linéaire continue de E dans F définie par (11.1) et on dit que c’est la différentielle de f en a. Dans le cas où E = R, la notion de différentiabilité coïncide avec celle de dérivabilité. Dans le cas où O un ouvert non vide de R, on rappelle que f : O → F est dérivable en 1 a ∈ O si la fonction τa : x 7→ (f (x) − f (a)) définie sur O \ {a} admet une limite x−a ′ en a. On note alors f (a) cette limite. Preuve.

Théorème 11.3. Soient O un ouvert non vide de R et f : O → F. La fonction f est dérivable en a ∈ O si, et seulement si, elle est différentiable en ce point. Dans ce cas, on a df (a) (h) = f ′ (a) h pour tout h ∈ R (et en particulier f ′ (a) = df (a) (1)). Preuve. Si f est dérivable en a, on a alors pour tout x ∈ O \ {a} : f (x) = f (a) + (x − a) τa (x) = f (a) + (x − a) f ′ (a) + (x − a) (τa (x) − f ′ (a)) cette égalité étant valable en a si on pose τa (a) = f ′ (a) . Comme lim τa (x) = f ′ (a) , cela x→a

s’écrit f (x) = f (a) + (x − a) f ′ (a) + o kx − ak et signifie que f est différentiable en a x→a

de différentielle df (a) : h ∈ R 7→ f ′ (a) h (cette application est bien linéaire et continue). Réciproquement si f est différentiable en a, il existe alors un voisinage ouvert V de a dans O tel que f (x) = f (a) + df (a) (x − a) + o kx − ak pour tout x ∈ V \ {a} , donc : x→a

1 1 (f (x) − f (a)) = df (a) (x − a) + o (1) = df (a) (1) + o (1) → df (a) (1) x→a x→a x→a x−a x−a ce qui signifie que f est dérivable en a de dérivée df (a) (1) .



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 241 — #251

Fonctions différentiables

241

Définition 11.2. Soient O un ouvert non vide de E et f : O → F. On dit que f est différentiable sur O, si elle est différentiable en tout point de O. Pour f : O → F différentiable, l’application df : x ∈ O 7→ df (x) ∈ Lc (E, F ) est la différentielle de f. Dans le cas où cette application df est continue ((Lc (E, F ) , ||·|| ) est un espace normé), on dit que f est de classe C 1 sur O. Définition 11.3. Soit f : O → R une fonction différentiable. On dit que a ∈ O est régulier si df (a) 6= 0 ou que c’est un point critique si df (a) = 0.

Exemples 11.1 1. Une application constante f : O → F est de classe C 1 avec df (x) = 0 pour tout x ∈ O. 2. Une application linéaire continue f : E → F est de classe C 1 sur E avec df (x) = f pour tout x ∈ E. En effet, pour x, h dans E, on a : f (x + h) = f (x) + f (h) = f (x) + f (h) + khk ε (h) avec ε = 0 et f linéaire continue, donc df (x) = f. Pour E, F de dimension finie, une application linéaire est automatiquement continue, donc de classe C 1 . Pour ce qui concerne les opérations sur les fonctions différentiables [resp. de classe C 1 ] on a les résultats suivants. Théorème 11.4. Soient O un ouvert non vide de E et f, g deux fonctions de O dans F. Si ces fonctions sont différentiables en a ∈ O, il en est alors de même de λf + g pour tout réel λ et on a d (λf + g) (a) = λdf (a) + dg (a) . Preuve. Il existe deux fonctions ε1 , ε2 définies sur une boule ouverte B (0, η) de centre 0 et de rayon η > 0 telle que lim εk (h) = 0 (k = 1, 2) et : h→0

 ∀h ∈ B (0, η) ,

f (a + h) = f (a) + df (a) (h) + khk ε1 (h) g (a + h) = g (a) + dg (a) (h) + khk ε2 (h)

ce qui nous donne, pour h ∈ B (0, η) : (λf + g) (a + h) = (λf + g) (a) + (λdf (a) + dg (a)) (h) + khk ε (h) avec ε (h) = λε1 (h) + ε2 (h) → 0, ce qui nous donne le résultat annoncé. h→0

Théorème 11.5. Soient O un ouvert non vide de E et f, g deux fonctions de O dans R. Si ces fonctions sont différentiables en a ∈ O, il en est alors de même de f · g et on a : ∀h ∈ E, d (f · g) (a) (h) = f (a) · dg (a) (h) + df (a) (h) · g (a)



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242

Fonctions de plusieurs variables réelles

Preuve. Utilisant les notations de la démonstration précédente, on a pour h ∈ B (0, η) : (f · g) (a + h) = f (a + h) · g (a + h) = (f (a) + df (a) (h) + khk ε1 (h)) (g (a) + dg (a) (h) + khk ε2 (h)) = (f · g) (a) + f (a) dg (a) (h) + df (a) (h) g (a) + khk ε (h) avec : 1 df (a) (h) dg (a) (h) + df (a) (h) ε2 (h) khk + ε1 (h) (g (a) + dg (a) (h) + khk ε2 (h))

ε (h) = f (a) ε2 (h) +

Les applications linéaires df (a) et dg (a) étant continues, on a : 2

kdf (a) (h) dg (a) (h)k ≤ ||df (a)|| ||dg (a)|| khk = o (khk) 

ce qui nous donne lim ε (h) = 0 et le résultat annoncé. h→0

On déduit des théorèmes précédents qu’une combinaison linéaire ou un produit (quand il a un sens) de fonctions de classe C 1 est de classe C 1 . Exemples 11.2 1. Si E est de dimension finie égale à n ≥ 1 et B = (ei )1≤i≤n est une base de E, n X alors toute fonction qui associe à x = xi ei ∈ E une expression polynomiale réelle i=1

f (x1 , · · · , xn ) est de classe C 1 sur E puisque les projections dxi : x 7→ xi sont des applications linéaires continues. n Y X 2. L’expression du déterminant det (X) = ε (σ) xi,σ(i) nous montre que l’applicaσ∈Sn

i=1

tion det est de classe C 1 sur Mn (R) puisqu’elle est polynomiale. Théorème 11.6. Soient O un ouvert non vide de E, O′ un ouvert non vide de F, G un espace normé, f : O → O′ et g : O′ → G. Si f est différentiable en a ∈ O et g différentiable en b = f (a) ∈ O′ , la fonction g ◦ f est alors différentiable en a avec d (g ◦ f ) (a) = dg (f (a)) ◦ df (a) . Preuve. L’application dg (f (a)) ◦ df (a) est linéaire continue comme composée d’applications linéaires continues. Pour η > 0 réel assez petit et h, k dans B (0, η) , on a f (a + h) = f (a) + df (a) (h) + khk ε1 (h) et g (b + k) = g (b) + dg (b) (k) + kkk ε2 (k) avec lim ε1 (h) = 0 et lim ε2 (k) = 0. Avec : h→0

k→0

kdf (a) (h) + khk ε1 (h)k ≤ khk (|| df (a)|| + kε1 (h)k) → 0 h→0

on déduit qu’il existe un réel η1 ∈ ]0, η[ tel que kdf (a) (h) + khk ε1 (h)k < η pour tout h ∈ B (0, η1 ) . On a alors, pour tout h ∈ B (0, η1 ) : g ◦ f (a + h) = g (f (a) + df (a) (h) + khk ε1 (h)) = g (b) + dg (b) (df (a) (h)) + khk dg (b) (ε1 (h)) + kdf (a) (h) + khk ε1 (h)k ε2 (df (a) (h) + khk ε1 (h)) = g (b) + dg (b) (df (a) (h)) + khk ε3 (h)

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 243 — #253

Dérivée suivant un vecteur, dérivées partielles

243

en posant ε3 (0) = 0 et pour h ∈ B (0, η1 ) \ {0} : ε3 (h) = dg (b) (ε1 (h)) +

kdf (a) (h) + khk ε1 (h)k ε2 (df (a) (h) + khk ε1 (h)) khk

On a lim dg (b) (ε1 (h)) = 0 puisque dg (b) est continue et lim ε1 (h) = 0 et : h→0

h→0

lim ε2 (df (a) (h) + khk ε1 (h)) = 0

h→0

puisque df (a) est continue et lim ε2 (k) = 0 et : k→0

kdf (a) (h) + khk ε1 (h)k ≤ khk (|| df (a)|| + kε1 (h)k) Il en résulte que lim ε3 (h) = 0, ce qui nous donne le résultat annoncé. On peut écrire h→0

plus rapidement, en exploitant le fait que df (a) et dg (f (a)) sont linéaires continues : g ◦ f (a + h) = g (f (a) + df (a) (h) + o (khk)) = g (f (a)) + dg (f (a)) (df (a) (h) + o (khk)) + o (khk) = g (f (a)) + dg (f (a)) (df (a) (h)) + o (khk)  Corollaire 11.1. Soient I un intervalle réel non réduit à un point, O un ouvert non vide de E, f : I → O et g : O → F. Si f est dérivable en a ∈ I et g différentiable en b = f (a) , la fonction g ◦ f : I → F est alors dérivable en a avec ′ (g ◦ f ) (a) = dg (f (a)) (f ′ (a)) . Preuve. Si f est dérivable en a, elle est alors différentiable en ce point et pour g différentiable en f (a) , g ◦ f est différentiable, donc dérivable en a, avec : ′

(g ◦ f ) (a) = d (g ◦ f ) (a) (1) = dg (f (a)) ◦ df (a) (1) = dg (f (a)) (df (a) (1)) = dg (f (a)) (f ′ (a))  Le théorème de composition des applications différentiables nous permet de montrer le résultat suivant pour F = Rn . Théorème 11.7. Soient O un ouvert non vide de E et f : x ∈ O 7→ f (x) = (fi (x))1≤i≤n ∈ Rn . La fonction f est différentiable en a ∈ O si, et seulement si, chaque fonction fi : O → R est différentiable en a. Dans ce cas, on a df (x) (h) = (dfi (x))1≤i≤n pour tout h ∈ E.

11.2

Dérivée suivant un vecteur, dérivées partielles

Soient E, F deux espaces normés, O un ouvert non vide de E et f : O → F. Étant donnés a ∈ O, v ∈ E \{0} et η > 0 tel que B (a, η) = {x ∈ E |  kx − ak < η} soit contenue η η dans O (O est ouvert), on leur associe la fonction φa,v : t ∈ − , 7→ f (a + tv) kvk kvk   η η (on a k(a + tv) − ak = |t| kvk < η pour t ∈ − , ). kvk kvk

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 244 — #254

244

Fonctions de plusieurs variables réelles

Définition 11.4. On dit que f admet une dérivée partielle en a suivant la direction définie par le vecteur v (ou suivant le vecteur v), si la fonction φa,v est dérivable en 0. On note alors : fv′ (a) = φ′a,v (0) = lim

t→0

1 1 (φa,v (t) − φa,v (0)) = lim (f (a + tv) − f (a)) t→0 t t

Théorème 11.8. Si f est différentiable en a, elle admet alors une dérivée partielle en a suivant tout vecteur v ∈ E \{0} et cette dérivée partielle est donnée par fv′ (a) = df (a) (v) . Preuve. Pour t ∈ R∗ voisin de 0, on a :   |t| f (a + tv) − f (a) = df (a) (tv) + ktvk ε (tv) = t df (a) (v) + kvk ε (tv) t 1 (f (a + tv) − f (a)) = df (a) (v) .  t La réciproque du théorème précédent est fausse. Une fonction peut admettre des dérivées partielles suivant toutes les directions sans être différentiable ni même continue (voir les exercices 11.4 et 11.5), alors que pour les fonctions d’une variable réelle, la dérivabilité entraîne la continuité. Dans le cas particulier où E = Rn , en désignant par (ei )1≤i≤n sa base canonique, les dérivées suivant les vecteurs de base ei , quand elles existent, sont appelées dérivées partielles. Précisément, on donne la définition suivante.

avec lim ε (tv) = 0, ce qui nous donne lim t→0

t→0

Définition 11.5. Soient O un ouvert non vide de Rn , f : O → F, a un point dans O et i un entier compris entre 1 et n. On dit que f admet une dérivées partielle par rapport à la variable xi si elle admet une dérivée partielle en a suivant le vecteur ∂f de base ei . On note alors (a) cette dérivée partielle. ∂xi 1 ∂f (a) = fe′ i (a) = lim (f (a + tei ) − f (a)) en cas d’existence de cette t→0 t ∂xi ∂f dérivée partielle, ce qui revient à dire que (a) est la dérivée en ai de la fonction : ∂xi On a donc

xi 7→ f (a1 , · · · , ai−1 , xi , ai+1 , · · · , an ) qui est définie sur un voisinage ouvert de ai (on fixe les aj pour j 6= i et on dérive par rapport à xi ). ∂f ∂f ∂f (x) est définie en tout point de O, l’application : x ∈ O 7→ (x) est Si ∂xi ∂xi ∂xi alors la i-ième dérivée partielle de f.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 245 — #255

Dérivée suivant un vecteur, dérivées partielles

245

Théorème 11.9. Soient O un ouvert non vide de Rn , f : O → F et a ∈ O. Si f est différentiable en a, elle admet alors des dérivées partielles en a par rapport à chacune des n X ∂f variables xi (1 ≤ i ≤ n) et on a df (a) (h) = hi (a) pour tout h ∈ Rn . ∂x i i=1 X X ∂f ∂f (a) = df (a) (ei ) et df (a) (h) = (a) pour Preuve. On a hi df (a) (ei ) = hi ∂xi ∂xi i=1 i=1 n X tout h = hi ei .  n

n

i=1

Dans le cas où F = R, en notant (dxi )1≤i≤n la base duale de la base canonique n X (ei )1≤i≤n (dxi est la forme linéaire définie sur Rn par dxi (x) = xi pour tout x = xk ek ), le théorème précédent se traduit par df (a) (h) = n X ∂f

n X ∂f i=1

∂xi

k=1

(a) dxi (h) pour tout h ∈ Rn ,

(a) dxi dans le dual de Rn . ∂x i i=1 On a vu que si f est différentiable sur un ouvert O de Rn , elle est alors continue et admet des dérivées partielles suivant toute direction en tout point de O, la réciproque étant fausse (exercice 11.6). On a quand même le résultat important suivant. ou encore par df (a) =

Théorème 11.10. Soient O un ouvert de Rn et f : O → F admettant des dérivées partielles par rapport à toutes les variables en tout point a ∈ O. Si ces dérivées partielles sont continues en a, f est alors différentiable en a. Preuve. On se place dans le cas d’une fonction de deux variables à valeurs réelles et ∂f ∂f on note (x, y) les variables. En supposant que , existent en tout point de O et ∂x ∂y qu’elles sont continues en (a, b) , il s’agit de montrer, en notant h = x − a, k = y − b, ∂f ∂f p= (a, b) , q = (a, b) que f (x, y) = f (a, b) + ph + qk + o (|h| + |k|) . Pour ce faire ∂x ∂y on écrit que f (x, y) − f (a, b) = f (x, y) − f (x, b) + f (x, b) − f (a, b) et en utilisant le théorème des accroissements finis, on a : f (x, y) − f (x, b) = (y − b)

∂f ∂f (x, cx,y ) , f (x, b) − f (a, b) = (x − a) (dx , b) ∂y ∂x

avec cx,y compris entre y et b et dx compris entre a et x, de sorte que :     ∂f ∂f ∂f ∂f f (x, y) − f (a, b) − ph − qk = h (dx , b) − (a, b) + k (x, cx,y ) − (a, b) ∂x ∂x ∂y ∂y Avec la continuité des dérivées partielles en (a, b) , on déduit que pour tout réel ε > 0 il existe un réel η > 0 tel que les conditions |u − a| < η et |v − b| < η entraînent ∂f ∂f ∂f ∂f ∂x (u, v) − ∂x (a, b) < ε, ∂y (u, v) − ∂y (a, b) < ε, donc pour |x − a| < η, |y − b| < η, on a |f (x, y) − f (a, b) − ph − qk| < (|h| + |k|) ε, c’est-à-dire le résultat souhaité. 

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 246 — #256

246

Fonctions de plusieurs variables réelles

Du théorème précédent, on déduit que si f admet des dérivées partielles sur O qui sont continues en a, alors f est continue en a. La seule existence des dérivées partielles n’entraîne par la continuité en a comme le montre l’exemple de la fonction définie sur xy pour (x, y) 6= (0, 0) . R2 par f (0, 0) = 0 et f (x, y) = 2 x + y2 Corollaire 11.2. Soient O un ouvert de Rn et f : O → F admettant des dérivées partielles par rapport à toutes les variables en tout point de O. Cette fonction ∂f est de classe C 1 sur O si, et seulement si, toutes les dérivées partielles sont ∂xi continues sur O. Dans le cas particulier où E est de dimension finie égale à n ≥ 1, B = (ej )1≤j≤n est une base de E, F est de dimension finie égale à m ≥ 1 et B ′ = (e′i )1≤i≤m est une base n m X X de F, une fonction f qui associe à x = xj ej ∈ O un vecteur f (x) = fi (x) e′i est j=1

i=1

différentiable en a ∈ O si, et seulement si, chaque fonction fi : O → R est différentiable n X hj ej , on a : en a et pour tout vecteur h = j=1

  n m m n n X X X X X ∂fi ∂fi ∂f  hj (a) = (a) e′i = (a) hj  e′i hj df (a) (h) = ∂x ∂x ∂x j j j j=1 i=1 i=1 j=1 j=1  La matrice de df (a) dans les bases B et B ′ est donc Jf (a) =

 ∂fi . C’est (a) 1≤i≤m ∂xj 1≤j≤n

la matrice jacobienne de f en a. Dans la cas où E = Rn , F = Rm et G = R, le théorème de composition des applications différentiables (théorème 11.6) nous dit que Jg◦f (a) = Jg (f (a)) Jf (a) (on utilise les bases canoniques), soit :       ∂g ◦ f ∂g ∂fi ∂g ◦ f ∂g (a) , · · · , (a) = (f (a)) , · · · , (f (a)) (a) 1≤i≤m ∂x1 ∂xn ∂y1 ∂ym ∂xj 1≤j≤n

X ∂g ∂g ◦ f ∂fi (a) = (f (a)) (a) pour 1 ≤ j ≤ n. ∂xj ∂yi ∂xj i=1 m

ce qui équivaut à Exemples 11.3

1. Pour le passage en coordonnées polaires dans R2 , on utilise : f : O = ]0, +∞[ × ]0, 2π[ → R2 (r, θ) 7→ (r cos (θ) , r sin (θ)) et pour toute fonction différentiable g : f (O) → R, on définit la fonction h : O → R par h (r, θ) = g (r cos (θ) , r sin (θ)) = g ◦ f (r, θ) et on a :  ∂h ∂g ∂g    ∂r (r, θ) = cos (θ) ∂x (r cos (θ) , r sin (θ)) + sin (θ) ∂y (r cos (θ) , r sin (θ))  ∂h ∂g ∂g   (r, θ) = −r sin (θ) (r cos (θ) , r sin (θ)) + r cos (θ) (r cos (θ) , r sin (θ)) ∂θ ∂x ∂y

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 247 — #257

Différentielles d’ordre supérieur

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ce que l’on écrit plus simplement, en posant (x, y) = (r cos (θ) , r sin (θ)) :  ∂g ∂g ∂h    ∂r (r, θ) = cos (θ) ∂x (x, y) + sin (θ) ∂y (x, y)  ∂g ∂g ∂h   (r, θ) = −r sin (θ) (x, y) + r cos (θ) (x, y) ∂θ ∂x ∂y 2. Sur R3 , on dispose du passage en coordonnées sphériques : (x, y, z) = (r cos (θ) sin (φ) , r sin (θ) sin (φ) , r cos (φ)) et en notant g (x, y, z) = h (r, θ, φ) , on a avec des hypothèses adaptées :  ∂h ∂g ∂g   (r, θ, φ) = cos (θ) sin (φ) (x, y, z) + sin (θ) sin (φ) (x, y, z)   ∂r ∂x ∂y    ∂g   + cos (φ) (x, y, z)    ∂z    ∂h ∂g ∂g (r, θ, φ) = −r sin (θ) sin (φ) (x, y, z) + r cos (θ) sin (φ) (x, y, z)  ∂θ ∂x ∂y      ∂h ∂g ∂g   (r, θ, φ) = r cos (θ) cos (φ) (x, y, z) + r sin (θ) cos (φ) (x, y, z)   ∂φ ∂x ∂y      −r sin (φ) ∂g (x, y, z) ∂z

11.3

Différentielles d’ordre supérieur

Définition 11.6. On dit qu’une fonction f définie sur un ouvert non vide O de E et à valeurs dans F est deux fois différentiable sur O, si elle est différentiable sur O et si df : O → Lc (E, F ) est différentiable sur O. On note alors d2 f = d (df ) . Quand elle existe, d2 f (x) est une application linéaire continue de E dans Lc (E, F ) . Définition 11.7. On dit qu’une fonction f définie sur un ouvert non vide O de E et à valeurs dans F est de classe C 2 sur O si elle est deux fois différentiable sur O et si d2 f est continue sur O. Par récurrence, on définit les notions de fonctions n fois différentiable [resp. de classe C n ] et de classe C ∞ sur O. Comme une fonction différentiable est continue, on en déduit qu’une fonction n + 1 fois différentiable sur O est de classe C n . Exemples 11.4 1. Une fonction constante sur E est de classe C ∞ . 2. Une application linéaire continue f ∈ Lc (E, F ) est de classe C ∞ sur E avec df (x) = f pour tout x ∈ E et dp f (x) = 0 pour tout p ≥ 2 et tout x ∈ E puisque df est constante égale à f. 3. Une fonction f : O → Rm est p fois différentiable [resp. de classe C p ] sur O si, et seulement si, chaque fonction fi : O → R est p fois différentiables [resp. de classe C p ] sur O.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 248 — #258

248

Fonctions de plusieurs variables réelles

Des résultats relatifs aux opérations sur les fonctions différentiables, on déduit le suivant. Théorème 11.11. Une combinaison linéaire, un produit (quand il a un sens), une composée d’applications p fois différentiables [resp. de classe C p ] est p fois différentiable [resp. de classe C p ]. n X ∂f (x) pour tout hi ∂xi i=1 x ∈ O et tout h ∈ Rn et dire que f est deux fois différentiable sur O équivaut à dire ∂f que chaque fonction : O → F est différentiable sur O. Ces fonctions admettent ∂xi donc des dérivées qui sont les dérivées d’ordre 2 de f, à savoir les fonctions  partielles  ∂ ∂f ∂2f = pour 1 ≤ i, j ≤ n. ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi

Pour E = Rn , on a pour f différentiable sur O, df (x) (h) =

Théorème 11.12. Soient O un ouvert de Rn et f : O → F. La fonction f est de classe C 2 sur O si, et seulement si, elle admet des dérivées partielles d’ordre 1 et 2 en tout point de O et ces dérivées partielles sont toutes continues sur O. Théorème 11.13. Soient O un ouvert de Rn et f : O → R deux fois différentiable. Pour tout X ∂2f x ∈ O et tout h, k dans Rn , on a d2 f (x) (h) (k) = (x) hi kj . ∂xj ∂xi 1≤i,j≤n

Preuve. On rappelle que df : O → Lc (E, F ) . Pour tout x ∈ O et tout h ∈ Rn , on a :   n n n X X X ∂f ∂ ∂  (df ) (x) = hi (x) dxj  d (df ) (x) (h) = hi ∂x ∂x ∂x i i j i=1 i=1 j=1   n n 2 X X ∂ f = hi  (x) dxj  ∂x i ∂xj i=1 j=1  n 2 X ∂ f (x) kj  . et d2 f (x) (h) (k) = hi  ∂x ∂x i j i=1 j=1 n X





Avec les notations qui précédent, on peut remarquer que l’application (h, k) 7→ d2 f (x) (h) (k) est bilinéaire, mais a priori pas symétrique, l’existence des dé∂2f ∂2f (x) = (x) (exercice rivées partielles d’ordre 2 n’assurant pas l’égalité ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi 11.8). On notera d2 f (x) (h, k) pour d2 f (x) (h) (k) .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 249 — #259

Différentielles d’ordre supérieur

249

Théorème 11.14. Schwarz Soient O un ouvert de Rn et f une fonction définie sur O à valeurs réelles, ∂2f différentiable sur O et admettant sur O des dérivées partielles , pour tous ∂xi ∂xj i, j compris entre 1 et n, continues en un point a de O. Pour tous i, j compris ∂2f ∂2f entre 1 et n, on a (a) = (a) . ∂x∂y ∂y∂x Preuve. On se contente du cas n = 2. Pour h, k strictement positifs tels que le pavé [a, a + h] × [b, b + k] soit contenu dans O, on note : g (h, k) = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b) En notant φ (x) = f (x, b + k) − f (x, b) , on a g (h, k) = φ (a + h) − φ (a) qui avec le théorème des accroissements finis s’écrit g (h, k) = hφ′ (a + θh) , soit :   ∂f ∂f (a + θh, b + k) − (a + θh, b) g (h, k) = h ∂x ∂x ce qui peut s’écrire en utilisant à nouveau le théorème des accroissements finis : g (h, k) = hk

∂2f (a + θh, b + θ′ k) ∂y∂x

Procédant de même avec la fonction ψ définie par ψ (y) = f (a + h, y) − f (a, y) , on a :   ∂f ∂f g (h, k) = ψ (b + k) − ψ (b) = k (a + h, b + ηk) − (a, b + ηk) ∂y ∂y 2 ∂ f = hk (a + η ′ h, b + ηk) ∂x∂y ∂2f ∂2f (a + θh, b + θ′ k) = (a + η ′ h, b + ηk) où les réels θ, θ′ , η, η ′ sont ∂y∂x ∂x∂y dans ]0, 1[ . En faisant tendre (h, k) vers (0, 0) et en utilisant la continuité des dérivées ∂2f ∂2f partielles d’ordre 2, en on déduit que (a, b) = (a, b) .  ∂x∂y ∂y∂x
2 2 xy x − y 2 L’exemple de la fonction f définie sur R par f (0, 0) = 0 et f (x, y) = x2 + y 2 pour (x, y) 6= (0, 0) nous montre que le résultat précédent est faux si on en enlève l’hypothèse de continuité des dérivées partielles d’ordre 2. On déduit du théorème de Schwarz que si f : O ⊂Rn → R est deux fois différentiable en a ∈ O, la forme bilinéaire d2 f (a) est alors  symétrique. La matrice hessienne de f en ∂2f a est la matrice Hessf (a) = (a) . ∂xi ∂xj 1≤i,j≤n L’application h 7→ d2 f (a) (h) = d2 f (a) (h, h) est alors une forme quadratique sur Rn et son expression dans la base canonique est : Ce qui donne

∀h ∈ Rn , d2 f (a) (h) =

n X ∂2f

∂x2i i=1

(a) h2i + 2

X 1≤i 0 telle que kdf (x)k ≤ λ pour tout x ∈ ]a, b[ , on a alors |f (b) − f (a)| ≤ λ kb − ak . Preuve. On considère la fonction g définie sur [0, 1] par g (t) = f (a + t (b − a)) et on utilise le corollaire précédent.  L’égalité des accroissements finis peut être utilisée pour justifier la définition de la tangente en un point régulier à une courbe d’un plan affine euclidien d’équation implicite f (x, y) = 0. On se donne une fonction f à valeurs réelles de classe C 1 sur un ouvert O du plan affine euclidien R2 et on note Γ = {(x, y) ∈ O | f (x, y) = 0} la courbe d’équation implicite f (x, y) = 0, en supposant que Γ est non vide. Comme O est ouvert, pour tout point M0 ∈ Γ ⊂ O, il existe un réel η > 0 tel que la boule ouvert B (M0 , η) de centre M0 et de rayon η soit contenu dans O. Pour tout point M = (x, y) ∈ O ∩ Γ \ {M0 } , on a : ∂f ∂f (u, v) (x − x0 ) + (u, v) (y − y0 ) ∂x ∂y ∂f ∂f = (u, v) (x − x0 ) + (u, v) (y − y0 ) ∂x ∂y

0 = f (x, y) = f (x0 , y0 ) +

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 251 — #261

Formule de Taylor-Lagrange

251

où (u, v) est un point du segment ]M 0 , M [ ⊂ B (M0 , η) ⊂ O. Cette égalité peut aussi x − x − ∂f (u, v) −−−→ 0 ∂y se traduire par = 0 et nous dit que le vecteur non nul M0 M qui ∂f y − y0 ∂x (u, v)   −→ ∂f ∂f dirige la corde (M0 , M ) est colinéaire à VM = − (u, v) , (u, v) . Si le point M0 ∂y ∂x est régulier, on a alors df (x0 , y0 ) = 6 0 et df (u, v) 6= 0 pour tout (u, v) ∈ B (M0 , η) en choisissant η > 0 assez petit, puisque f est de classe C 1 sur un ouvert O, de sorte que −→ VM est un vecteur directeur de la corde (M0 , M ) . En utilisant encore la continuité des dérivées partielles, on a :     −−→ ∂f ∂f ∂f ∂f (u, v) , (u, v) = − (x0 , y0 ) , (x0 , y0 ) = VM0 lim − ∂y ∂x ∂y ∂x (u,v)→(x0 ,y0 )

−→ −−→

et donc pour tout réel ε > 0, on aura VM − VM0 < ε pour η > 0 assez petit. Ce dernier résultat peut se traduire en disant que la corde (M0 , M ) , qui est la droite passant par −→ −−→ M0 et dirigée par VM , tend vers la droite TM0 qui passe par M0 et est dirigée par VM0 . Une équation de cette droite est : x − x − ∂f (x , y ) ∂f ∂f 0 0 0 ∂y (x0 , y0 ) (x − x0 ) + (x0 , y0 ) (y − y0 ) = 0 = ∂f y − y0 ∂x ∂y (x , y ) 0 0 ∂x

11.5

Formule de Taylor-Lagrange

Si f est une fonction définie sur un ouvert de Rn , à valeurs réelles et suffisamment dérivable, en utilisant les formules de Taylor pour la fonction auxiliaire d’une variable réelle φ : t 7→ f (a + th) , on déduit des formules de Taylor pour f en a. Pour simplifier, on s’intéresse d’abord aux fonctions de deux variables réelles. Théorème 11.16. Taylor-Lagrange Soient p un entier naturel non nul, O un ouvert non vide de R2 , f une fonction de classe C p de O dans R, A = (a, b) un point de O et M = (x, y) un point de O tel que le segment [AM ] d’extrémités A et M soit contenu dans O. Il existe alors un réel θ dans ]0, 1[ tel que : f (x, y) =

X i+j≤p−1

+

i

j

(x − a) (y − b) ∂ i+j f (a, b) i!j! ∂xi ∂y j

X (x − a)i (y − b)j ∂ p f (a + θu, b + θv) i!j! ∂xi ∂y j i+j=p

Preuve. On note u = x−a, v = y −b et on désigne par φ la fonction définie sur [0, 1] par φ (t) = f (a + tu, b + tv) . Cette fonction est de classe C p sur [0, 1] avec φ (0) = f (a, b) , φ (1) = f (x, y) , et on peut utiliser la formule de Taylor-Lagrange relative aux fonctions d’une variable pour écrire que : φ (1) =

p−1 (k) X φ (0) k=0

k!

+

φ(p) (θ) p!

(11.2)

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 252 — #262

252

Fonctions de plusieurs variables réelles

où θ est un réel dans ]0, 1[ . En notant Mt = (a + tu, b + tv) , on vérifie facilement par récurrence que les dérivées successives de la fonction φ sont données par :  ∂f ∂f  (Mt ) u + (Mt ) v φ′ (t) =    ∂x ∂y X k  ∂ k f  (k)  (Mt ) ui v j (2 ≤ k ≤ p) φ (t) =   i ∂xi ∂y j i+j=k

On a donc :

 X k! ∂ k f  (k)  (a, b) ui v j (0 ≤ k ≤ p − 1) φ (0) =   i!j! ∂xi ∂y j  i+j=k X p! ∂ p f   (p)  (Mθ ) ui v j   φ (θ) = i ∂y j i!j! ∂x i+j=p

L’égalité (11.2) s’écrit alors :   p−1 X X 1 ∂kf X 1 ∂pf i j  f (x, y) = (a, b) u v (Mθ ) ui v j + i ∂y j i!j! ∂xi ∂y j i!j! ∂x i+j=p k=0

i+j=k

ou encore : X

f (x, y) =

i+j≤p−1

+

i

j

(x − a) (y − b) ∂ i+j f (a, b) i!j! ∂xi ∂y j

X (x − a)i (y − b)j ∂ p f (a + θu, b + θv) i!j! ∂xi ∂y j i+j=p

 En munissant R2 de la norme (x, y) 7→ k(x, y)k = max (|x| , |y|) (ou de n’importe quelle autre norme), le théorème précédent nous fournit un développement limité de f à l’ordre p au voisinage de (a, b) . Corollaire 11.5. (Taylor-Young) Avec les mêmes hypothèses que dans le théorème précédent, on désigne par B une boule ouverte centré en (a, b) et de rayon r > 0 contenue dans O. Il existe alors une fonction ε : B → R telle que lim ε (x, y) = 0 et pour tout (x, y) dans B on ait : (x,y)→(a,b)

f (x, y) =

X (x − a)i (y − b)j ∂ i+j f p (a, b) + k(x − a, y − b)k ε (x, y) i!j! ∂xi ∂y j

i+j≤p

Preuve. En reprenant les notations utilisées dans la démonstration du théorème précé
dent, on écrit que φ(p) (θ) = φ(p) (0) + φ(p) (θ) − φ(p) (0) avec : X p ∂ p f i j ∂pf (p) (p) φ (θ) − φ (0) ≤ ∂xi ∂y j (Mθ ) − ∂xi ∂y j (A) |u| |v| i i+j=p En remarquant que pour i, j entiers naturels tels que i + j = p, on a : i

j

i

j

p

|u| |v| ≤ k(u, v)k k(u, v)k = k(u, v)k

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 253 — #263

Recherche d’extrema

253

X p ∂ p f (p) ∂pf p (p) (Mθ ) − (A) et en on obtient φ (θ) − φ (0) ≤ k(u, v)k i j i j i ∂x ∂y ∂x ∂y i+j=p φ(p) (θ) − φ(p) (0) pour (x, y) = 6 (a, b) , la continuité des p k(u, v)k dérivées partielles d’ordre p nous donne lim ε (x, y) = 0 et la formule de Taylorposant ε (a, b) = 0, ε (x, y) =

(x,y)→(a,b)

Young.  Cette formule est le plus souvent utilisée pour p = 2. En utilisant les notations de ∂2f ∂f ∂2f ∂2f ∂f (a, b) , s = (a, b) , on Monge, p = (a, b) , q = (a, b) , r = (a, b) , t = ∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 a pour f de classe C 2 au voisinage de (a, b) : f (x, y) = f (a, b) + pu + qv +

 
1 2 ru2 + 2suv + tv 2 + o k(u, v)k 2

toujours avec u = x − a et v = y − b. Dans le cas des fonction de n variables de classe C 2 et à valeurs réelles, on a les résultats suivants. Théorème 11.17. Taylor-Lagrange Soient O un ouvert non vide de Rn , f une fonction de classe C 2 de O dans R, a un point de O et x un point de O tel que le segment [a, x] d’extrémités a et x soit contenu dans O. Il existe alors un réel θ dans ]0, 1[ tel que :   1 2 f (x) = f (a) + df (a) (h) + d2 f (a) (h) + o khk 2 n X ∂f ∂2f 1 X = f (a) + (a) hi + (a + θh) hi hj ∂xi 2 ∂xi ∂xj i=1 1≤i,j≤n

Théorème 11.18. Taylor-Young Soient O un ouvert de Rn , f une fonction de classe C 2 de O dans R et a un point de O. Pour h voisin de 0, on a :   1 2 f (a + h) = f (a) + df (a) (h) + d2 f (a) (h) + o khk 2 n   X ∂f 1 X ∂2f 2 = f (a) + (a) hi + (a) hi hj + o khk ∂xi 2 ∂xi ∂xj i=1 1≤i,j≤n

11.6

Recherche d’extrema

11.6.1

Une condition nécessaire d’extremum

On suppose ici que O est un ouvert non vide d’un espace normé E et que f est une fonction de O dans R.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 254 — #264

254

Fonctions de plusieurs variables réelles

Définition 11.8. On dit que f admet un minimum [resp. maximum] local (ou relatif) en a ∈ O s’il existe un voisinage ouvert V de a dans O tel que : ∀x ∈ V, f (x) ≥ f (a) [resp. ∀x ∈ V, f (x) ≤ f (a) ] On dit que f admet un minimum [resp. maximum] local strict en a ∈ O s’il existe un voisinage ouvert V de a dans O tel que : ∀x ∈ V \ {a} , f (x) > f (a) [resp. ∀x ∈ V \ {a} , f (x) < f (a) ] On dit que f admet un extremum en a ∈ O si elle admet un minimum ou un maximum en a. Dans le cas où V = O, on dit que l’extremum est global (ou absolu). Dire que f admet un maximum local [resp. local strict] en a ∈ O équivaut à dire que −f admet un minimum local [resp. local strict] en a. Théorème 11.19. Soient O un ouvert non vide de E et f : O → R une fonction différentiable en a ∈ O. Si f admet un extremum local en a, on a alors df (a) = 0. Preuve. On suppose que la fonction f admet un maximum local en a. L’ensemble O étant ouvert, pour tout vecteur h ∈ E il existe un réel r strictement positif tel que la fonction φ : t 7→ f (a + th) soit définie sur ]−r, r[ . Cette fonction est dérivable en 0 avec φ′ (0) = df (a) (h) . En écrivant que : φ′ (0) = lim

t→0 t>0

f (a + th) − f (a) f (a + th) − f (a) ≤ 0, φ′ (0) = lim ≥0 t→0 t t t 0 pour tout x ∈ R∗ et f (0, y) = −y 2 < 0 pour tout y ∈ R∗ . L’hypothèse O un ouvert non vide de E est importante. Par exemple la fonction n X 2 définie sur la boule unité fermée B de Rn euclidien par f (x) = x2i = kxk admet un i=1

maximum global en tout point de la sphère unité S = {x ∈ Rn | kxk = 1} et ces points ne sont pas critiques pour f (qui est définie aussi sur Rn ). Une conséquence importante du théorème précédent est le théorème de Rolle, sachant qu’une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 255 — #265

Recherche d’extrema

255

Théorème 11.20. Soient K un compact de E d’intérieur non vide, f une fonction continue de K dans R différentiable sur l’intérieur de K et constante sur la frontière de K, ◦

◦

Fr (K) = K \ K. Il existe alors un élément c ∈ K tel que df (c) = 0. Preuve. Si f est constante, sa différentielle est alors nulle. On suppose donc f non constante. La fonction f étant continue sur le compact K est bornée et atteint ses bornes, c’est-à-dire qu’il existe a, b dans K tels que f (a) = inf f (x) et f (b) = sup f (x) . Si a, b x∈K

x∈K

sont dans Fr (K) , on a alors f (a) = f (b) et f est constante contrairement à l’hypothèse ◦

◦

de départ, on a donc a ∈ K ou b ∈ K, ce qui entraîne df (a) = 0 ou df (b) = 0.

11.6.2



Matrice hessienne et extrema

On a vu que si f admet un extremum relatif en a et est différentiable en ce point, on a alors df (a) = 0. Réciproquement, pour E = Rn et f de classe C 2 , en utilisant le théorème de Taylor-Young, dans le cas où df (a) = 0, c’est l’étude du signe de la forme quadratique d2 f (a) qui nous renseigne sur le signe de f (x) − f (a) pour x voisin de a. Théorème 11.21. Soient O un ouvert non vide de Rn , f : O → R une fonction de classe C 2 de O dans R, a ∈ O un point critique pour f et Hessf (a) la matrice hessienne de f en a. 1. Si la matrice (symétrique) Hessf (a) est définie positive [resp. définie négative], on a alors un minimum [resp. maximum] local strict en a. 2. Si Hessf (a) n’est ni positive ni négative, il n’y alors pas d’extremum local en a. Dans le cas où Hessf (a) est positive et non définie, on se sait pas conclure en général. Avec les hypothèses du théorème précédent, la matrice Hessf (a) est symétrique réelle, elle a donc n valeurs propres réelles λ1 , · · · , λn et se diagonalise dans une base orthonormée (voir le cours d’algèbre). Le théorème précédent peut alors se traduire en disant que : 1. si λi > 0 pour tout i compris entre 1 et n (i. e. si la forme quadratique d2 f (a) est définie positive), on a alors un minimum local strict en a ; 2. si λi < 0 pour tout i compris entre 1 et n (i. e. si la forme quadratique d2 f (a) est définie négative), on a alors un maximum local strict en a ; 3. s’il existe deux indices i = 6 j tels que λi > 0 et λj < 0, il n’y alors pas d’extremum local en a. Dans le cas où l’une des valeurs propres est nulle (i. e. si la forme quadratique d2 f (a) est dégénérée), on ne peut rien dire a priori.   ∂f ∂f r s Pour n = 2, on a (a, b) = (a, b) = 0 et Hessf (a, b) = en utilisant les s t ∂x ∂y 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f notations de Monge, r = (a, b) , s = (a, b) , t = (a, b) et : 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 256 — #266

256

Fonctions de plusieurs variables réelles


d2 f (a) définie positive ⇔ (λ1 > 0, λ2 > 0) ⇔ (det (Hessf (a, b)) = λ1 λ2 > 0, Tr (Hessf (a, b)) = λ1 + λ2 > 0)

⇔ rt − s2 > 0, r + t > 0 ⇔ rt − s2 > 0, r > 0 donc, pour rt − s2 > 0 et r > 0 [resp. r < 0] on a un minimum [resp. maximum] local strict en (a, b) . Dans le cas où rt − s2 < 0, la fonction f n’a pas d’extremum en (a, b) .

11.7

Exercices

Exercice 11.1.

Montrer qu’une norme n’est jamais différentiable en 0.

Solution. Soit f : x 7→ kxk . Si f est différentiable en 0, en notant u = df (0) , on a alors f (h) − f (0) − u (h) khk − u (h) u (h) lim = lim = 0, ce qui revient à dire que lim = 1. h→0 h→0 h→0 khk khk khk On ne peut donc avoir u = 0 et il existe x ∈ E tel que kxk = 1 et u (x) = 6 0. On a donc u (tx) t t 1 lim = lim u (x) = 1, soit lim = , ce qui est impossible. t→0 ktxk t→0 |t| t→0 |t| u (x) Exercice 11.2. Soient O un ouvert non vide de E et f : O → F. Montrer que f est différentiable en a ∈ O si, et seulement si, f est continue en a et il existe u ∈ L (E, F ) telle que f (a + h) = f (a) + u (h) + o (khk) . h→0

Solution. Pour E, F de dimension finie, il n’y a rien à montrer. Pour la condition nécessaire c’est vu. Pour la réciproque, avec u (h) = f (a + h) − f (a) + o (khk) et la continuité de f en a, on déduit que lim u (h) = 0, ce qui signifie que l’application linéaire u h→0

est continue en 0, donc sur E. L’application f est donc différentiable en a avec df (a) = u.

Exercice 11.3.

Soient E1 , · · · , En des espaces vectoriels normés et E =

n Y

Ek

k=1

normé par kxk = max kxk k pour tout x = (xi )1≤i≤n ∈ E. Montrer que toute 1≤k≤n

application n-linéaire continue f : E → F est de classe C 1 sur l’espace E avec n X df (x) (h) = f (x1 , · · · , xk−1 , hk , xk+1 , · · · , xn ) pour tous x, h dans E. k=1

Solution. Pour x, h dans E, tenant compte de la n-linéarité de f, on a : f (x + h) = f (x1 + h1 , · · · , xn + hn ) n X = f (x1 , · · · , xn ) + f (x1 , · · · , xk−1 , hk , xk+1 , · · · , xn ) + R (x, h) k=1

où R (x, h) est somme finie de vecteurs de la forme f (y1 , · · · , yn ) avec au moins deux indices j = 6 k tels que (yj , yk ) = (hj , hk ) . Comme f est n-linéaire continue, il existe une

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 257 — #267

Exercices

257

constante M ≥ 0 telle que kf (y)k ≤ M

n Y

kyk k pour tout y ∈ E. Dans le cas où il existe

k=1

au moins deux indices j = 6 k tels que (yj , yk ) = (hj , hk ) , on a : kf (y)k ≤ M khk k khk k

n Y

2

kyk k ≤ M khk

i=1 i∈{j,k} /

n Y

kyk k

i=1 i∈{j,k} / 2

Il existe donc une constante αx telle que pour khk ≤ 1, on ait kR (x, h)k ≤ αx khk . On n X a donc f (x + h) = f (x1 , · · · , xn ) + f (x1 , · · · , xk−1 , hk , xk+1 , · · · , xn ) + khk o (h) , k=1

ce qui signifie que f est différentiable en x et nous donne la différentielle. L’application n-linéaire f étant continue, il en est de même de chaque application linéaire h 7→ f (x1 , · · · , xk−1 , h, xk+1 , · · · , xn ) , donc df (x) est linéaire continue. On déduit de cet exercice que l’application det : Mn (R) → R qui est n-linéaire (alternée) et continue est de classe C 1 sur Mn (R) avec : d (det) (X) (H) =

n X

det (X1 , · · · , Xk−1 , Hk , Xk+1 , · · · , Xn )

k=1

en désignant pour toute matrice X ∈ Mn (R) par Xk sa colonne k. Exercice 11.4. Montrer que la fonction f définie sur R2 par f (0, 0) = 0 et xy 2 f (x, y) = 2 pour (x, y) 6= (0, 0) est continue en (0, 0) , admet une dérivée x + y2 partielle suivant toute direction en (0, 0) et n’est pas différentiable en ce point. x2 + y 2 |y| et |f (x, y)| ≤ → 0, 2 2 (x,y)→(0,0) donc f est continue en (0, 0) . Pour tout vecteur v = (α, β) dans R2 \ {(0, 0)} et tout réel f (tα, tβ) − f (0, 0) αβ 2 t ∈ R∗ , on a = 2 , donc f admet une dérivée partielle suivant t α + β2 2 αβ . Si f est différentiable en (0, 0) , on a alors v en (0, 0) donnée par fv′ (0, 0) = 2 α + β2 αβ 2 fv′ (0, 0) = df (0, 0) (v) et l’application v 7→ fv′ (0, 0) = 2 est linéaire, ce qui n’est α + β2 pas. Donc f n’est pas différentiable en (0, 0) .

Solution. Pour (x, y) 6= (0, 0) , on a |xy| ≤

Exercice 11.5. Montrer que la fonction f définie sur R2 par f (0, y) = 0 et
y 2 2 f (x, y) = e x x + y pour x 6= 0 admet une dérivée partielle suivant toute direction en (0, 0) et n’est pas continue en ce point. Solution. Pour tout vecteur v = (α, β) dans R2 avec α 6= 0 et tout réel t ∈ R∗ , on a
β f (tα, tβ) − f (0, 0) lim = lim te α α2 + β 2 = 0 et pour tout vecteur v = (0, β) dans R2 t→0 t→0 t f (0, tβ) − f (0, 0) avec β = 6 0 et tout réel t ∈ R∗ , on a lim = 0. La fonction f admet donc t→0 t une dérivée
partielle suivant toute
direction en (0, 0) , cette dérivée étant nulle. Comme 1 lim+ f t2 , t = lim+ e t t2 t2 + 1 = +∞, la fonction f n’est pas continue en (0, 0) . t→0

t→0

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258

Fonctions de plusieurs variables réelles Exercice 11.6. Montrer que la fonction f définie sur R2 par f (0, 0) = 0 et xy 2 pour (x, y) 6= (0, 0) admet une dérivée partielle par rapport à x f (x, y) = 2 x + y2 et y en (0, 0) et n’est pas différentiable en ce point.

f (x, 0) − f (0, 0) f (0, y) − f (0, 0) = = 0 pour x = 6 0 et y 6= 0, on x y ∂f ∂f λ déduit que pour tout réel λ, on (0, 0) = (0, 0) = 0 et avec f (x, λx) = ∂x ∂y 1 + λ2 déduit que f n’est pas continue en (0, 0) et en conséquence, elle n’est pas différentiable en ce point. Solution. Avec

Exercice 11.7.

Soient φ ∈ C 1 (R, R) et : f:

R2

→

(x, y)

7→

R    φ (y) − φ (x) si x 6= y y−x   φ′ (x) si x = y

1. Montrer que f est continue sur R2 . 2. Montrer que si φ est deux fois dérivable en a, la fonction f est alors différentiable en (a, a) . Solution. 1. Si φ ∈ C 1 (R, R) , on peut alors écrire, pour tous x, y dans R : Z

y

φ (y) − φ (x) =

φ′ (u) du = (y − x)

x

Z

1

φ′ (x + t (y − x)) dt

0

Z 1 φ (y) − φ (x) = φ′ (x + t (y − x)) dt. Pour y = x, on et pour x 6= y, on a f (x, y) = y−x 0 Z 1 Z 1 a aussi f (x, x) = φ′ (x) = φ′ (x) dt. On a donc f (x, y) = φ′ (x + t (y − x)) dt 0

0

pour tout (x, y) ∈ R2 . La fonction (x, y, t) 7→ φ′ (x + t (y − x)) étant continue sur R2 × [0, 1] et l’intégration se faisant sur un segment, on en déduit que f est continue sur R2 . 2. Pour tout (h, k) ∈ R2 , on a : Z f (a + h, a + k) − f (a, a) =

1

φ′ (a + h + t (k − h)) − φ′ (a) dt

0

Comme φ′ est dérivable en a, il existe une fonction δ : R → R telle que : ∀z ∈ R, φ′ (z) − φ′ (a) = (z − a) (φ′′ (a) + δ (z)) et lim δ (z) = 0, ce qui nous donne pour tout t ∈ [0, 1] : z→a

φ′ (a + h + t (k − h)) − φ′ (a) = (h + t (k − h)) (φ′′ (a) + δ (a + h + t (k − h)))

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 259 — #269

Exercices et :

259   k−h f (a + h, a + k) − f (a, a) = φ′′ (a) h + 2 Z 1 + (h + t (k − h)) δ (a + h + t (k − h)) dt 0

φ′′ (a) (h + k) + R (h, k) = 2 avec :

Z |R (h, k)| =

0

1

((1 − t) h + tk) δ (a + h + t (k − h)) dt Z

≤ (|h| + |k|)

1

|δ (a + (1 − t) h + tk)| dt 0

Comme lim δ (z) = 0, pour tout réel ε > 0, il existe un réel η > 0 tel que : z→a

(|u| < η) ⇒ (|δ (a + u)| < ε) donc pour k(h, k)k1 = |h| + |k| < η, on a |(1 − t) h + tk| ≤ k(h, k)k1 < η et : Z 1 |δ (a + (1 − t) h + tk)| dt ≤ ε 0

φ′′ (a) (h + k) + o (k(h, k)k1 ) , ce 2 qui signifie que f est différentiable en (a, a) de différentielle : On a donc montré que f (a + h, a + k) − f (a, a) =

φ′′ (a) φ′′ (a) h+ k 2 2 ∂f ∂f φ′′ (a) et en conséquence (a, a) = (a, a) = . Dans le cas où φ ∈ C 2 (R, R) , la ∂x ∂y 2 fonction f est de classe C 1 sur R2 . df (a, h) : (h, k) 7→

Exercice 11.8. Montrer que la fonction f définie sur R2 par f (0, 0) = 0 et
2 2 xy x − y f (x, y) = pour (x, y) 6= (0, 0) est de classe C 1 sur R2 et que les x2 + y 2 ∂2f ∂2f dérivées partielles (0, 0) et (0, 0) existent. La fonction f est-elle de ∂x∂y ∂y∂x 2 2 classe C sur R ? Solution. f est C ∞ sur R2 \ {(0, 0)} comme fonction rationnelle avec : ∂f x4 − y 4 + 4x2 y 2 ∂f x4 − y 4 − 4x2 y 2 (x, y) = y , (x, y) = x 2 2 ∂x ∂y (x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) f (x, 0) − f (0, 0) f (0, y) − f (0, 0) ∂f ∂f = 0 et = 0, donc (0, 0) = (0, 0) = 0. En x y ∂x ∂y utilisant les coordonnées polaires, on a pour (x, y) 6= (0, 0) : ∂f 4 4 2 2 ∂x (x, y) = ρ sin (θ) cos (θ) − sin (θ) + 4 cos (θ) sin (θ) ≤ 6ρ 4 ∂f 4 2 2 ∂y (x, y) = ρ cos (θ) cos (θ) − sin (θ) − 4 cos (θ) sin (θ) ≤ 6ρ On a

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 260 — #270

260

Fonctions de plusieurs variables réelles

et la continuité en (0, 0) de ∂f ∂y

(x, 0) − x

∂f ∂f et . On a : ∂x ∂y ∂f ∂y

(0, 0)

= 1,

∂f ∂x f

(0, y) − y

∂f ∂x f

(0, 0)

= −1

∂2f ∂2f ∂2f ∂2f (0, 0) = 1 et (0, 0) = −1. Comme (0, 0) 6= (0, 0) , ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂y∂x 2 2 f n’est pas de classe C sur R . ce qui nous donne

Exercice 11.9. Pour réel λ, on désigne par fλ la fonction définie sur R2 par fλ (x, y) = x4 + y 4 − x2 − 2λxy − y 2 . 1. Montrer que fλ a un extremum local en (a, b) si, et seulement si, f−λ a un extremum local en (a, −b) . 2. Écrire un système d’équations permettant de déterminer les points critiques de fλ et préciser le nombre maximum de ces points critiques. ∂ 2 fλ ∂ 2 fλ ∂ 2 fλ 3. On note r = ,t = ,s = et ∆ = s2 − rt. Calculer chacune de 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2 ces fonctions en tout point de R2 . 4. Montrer que pour tout réel λ le point M0 = (0, 0) est un point critique de fλ et préciser si on a un minimum ou un maximum en ce point. On s’intéresse maintenant aux points critiques M = 6 (0, 0) de fλ pourλ ≥ 0. 5. Montrer que fλ a deux points critiques M1 et M2 sur la droite d’équation y = x privée du point M0 et préciser si on a un minimum ou un maximum en chacun de ces points. 6. Montrer que pour λ ≥ 1, la fonction fλ n’a que les trois points critiques M0 , M1 et M2 . 7. On suppose maintenant que 0 ≤ λ < 1 et on s’intéresse aux points critiques M différents de M0 , M1 et M2 . (a) Montrer que fλ a deux points critiques M3 et M4 sur la droite d’équation y = −x privée du point M0 . Préciser la nature de ces points critiques pour 1 1 1 < λ < 1, 0 ≤ λ < et λ = . 2 2 2 (b) Montrer que si M = (x, y) est un point critique de fλ n’appartenant à aucune des droites d’équation y = x et y = −x, alors x2 , y 2 sont racines d’une équation du second degré que l’on précisera. 1 (c) Montrer que pour ≤ λ < 1, la fonction fλ n’a que les 5 points critiques 2 (Mi )0≤i≤4 . 1 (d) Montrer que pour 0 ≤ λ < , la fonction fλ a 4 points critiques n’appar2 tenant à aucune des droites d’équation y = x et y = −x et préciser leur nature. Solution. 1. En remarquant que f−λ (x, y) = fλ (x, −y) , il suffit de considérer le cas λ ≥ 0 : fλ a un extremum local en (a, b) si, et seulement si f−λ a un extremum en (a, −b) .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 261 — #271

Exercices

261

2. Les points critiques de fλ sont définis par :  2x3 − x − λy = 0 = 0 (1) 2y 3 − y − λx = 0 = 0 (2) Il y en a au plus 9 (pour λ = 0 c’est clair et pour λ = 6 0 ces points sont à l’intersection de deux courbes de degré 3 distinctes). 3. On a :





r (x, y) = 2 6x2 − 1 , s (x,
y) = −2λ,

t (x, y) = 2 6y 2 − 1 ∆ (x, y) = 4 λ2 − 6x2 − 1 6y 2 − 1 = 4δ (x, y)

4. Pour λ ∈ R, le point M0 = (0, 0) est stationnaire et on a r (0, 0) = −2, δ (0, 0) = λ2 −1, ce qui entraîne que pour |λ| < 1, fλ a un maximum local en M0 et pour |λ| > 1, il 2 n’y a pas d’extremum local en M0 . Pour |λ| = 1, on a fλ (x, y) = x4 + y 4 − (x ± y) et avec :
 fλ (x, 0) = x2 x2 − 1 < 0 ∀x ∈ ]0, 1[ , fλ (x, ∓x) = 2x4 > 0 on déduit qu’il n’y a pas d’extremum local en M0 . 5. En faisant (1) − (2) et (1) + (2) , on obtient le système :

 (x − y) 2 x2 + xy + y 2
+ λ − 1
= 0 (3) (x + y) 2 x2 − xy + y 2 − λ − 1 = 0 (4) Si y = x, alors y = 6 −x (puisque M = 6 (0, 0)) et l’équationr (4) donne 2x2 = λ+1, ce qui λ+1 donne, pour tout λ ≥ 0, les deux points critiques M1 = (1, 1) et M2 = −M1 . 2 En chacun de ces points, on a :  r (x, x) = 2 (3λ + 2) > 0 2 δ (x, x) = λ2 − (3λ + 2) = −4 (λ + 1) (2λ + 1) > 0 ce qui entraîne qu’il y a un minimum local en M1 et M2 pour tout λ ≥ 0.  3 y 2 + y 2 > 0 pour M = 6. En remarquant que x2 + xy + y 2 = x + 6 0, on déduit 2 4 que pour λ ≥ 1, l’équation (3) équivaut à y = x et dans ce cas il n’y a que les trois points critiques M0 , M1 et M2 . Pour λ ≥ 1, en M0 il n’y a pas d’extremum local et en M1 , M2 il y a un minimum local. 7. Pour y = x, on a déjà les minimums en M1 et M2 . (a) Si y = −x (équation (4)), on a alors y = 6 x (puisque M 6= (0, r0)) et (3) donne 1−λ 2x2 = 1 − λ, ce qui donne les deux points critiques M3 = (1, −1) et 2 M4 = −M3 (ils sont différents de M0 , M1 et M2 ). En chacun de ces points, on a :  r (x, −x) = 2 (2 − 3λ) 2 δ (x, −x) = λ2 − (2 − 3λ) = 4 (1 − λ) (2λ − 1) 1 1 < λ < 1, il n’y a pas d’extremum en M3 et M4 . Pour 0 ≤ λ < , il y a 2 2 1 1 1 un minimum en M3 et M4 . Pour λ = , on a M3 = (1, −1) , M4 = (−1, 1) . 2 2 2

Pour

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 262 — #272

262

Fonctions de plusieurs variables réelles Pour l’étude au voisinage de M3 , il s’agit d’étudier le signe au voisinage de (0, 0) de :     1 1 1 1 g (x, y) = fλ x + , y − − fλ ,− 2 2 2 2
1 1 2 = (x − y) + 2 x3 − y 3 + x4 + y 4 = h (x, y) 2 2    
2 2 2 où h (x, y) = (x − y) + 4 (x − y) (x + y) − xy + 2 x2 − y 2 + 2x2 y 2 . Posant u = x − y et v = x + y, on a 4xy = v 2 − u2 et h (x, y) = φ (u, v) avec
2
1 2 v − u2 . Avec φ (u, 0) > 0 φ (u, v) = u2 + 4uv 2 − u v 2 − u2 + 2u2 v 2 + 4

v4 2 pour u 6= 0 voisin de 0 et φ −v , v = −7 + 2v 2 + v 4 < 0 pour v 6= 0 4 voisin de 0, on déduit g n’est pas de signe constant au voisinage (0, 0) et il n’y a pas d’extremum en M3 . De même pour M4  , il s’agit   d’étudier  le signe au 1 1 1 1 1 voisinage de (0, 0) de g (x, y) = fλ x − , y + − fλ − , = h (x, y) , 2 2 2 2   2 
2 2 2 2 2 où h (x, y) = (x − y) − 4 (x − y) (x + y) − xy + 2 x − y + 2x2 y 2 . En posant u = x − y et v = x + y, on a h (x, y) = φ (u, v) avec :
2
1 2 φ (u, v) = u2 − 4uv 2 + u v 2 − u2 + 2u2 v 2 + v − u2 4
Avec φ (u, 0) > 0 pour u 6= 0 voisin de 0 et φ v 2 , v < 0 pour v 6= 0 voisin de 0, on déduit g n’est pas de signe constant au voisinage (0, 0) et il n’y a pas d’extremum en M4 . (b) Si y 6= x et y 6= −x, les équations (3) et (4) donnent :
 2 x2 + xy + y 2
+ λ − 1 = 0 (5) 2 x2 − xy + y 2 − λ − 1 = 0 (6)
En faisant (5) − (6) et (5) + (6) , on obtient 2xy + λ = 0 et 2 x2 + y 2 − 1 = 0, ce λ2 1 1 λ2 qui entraîne x2 y 2 = et x2 + y 2 = et x2 , y 2 sont racines de t2 − t + = 0. 4 2 2 4 1 Le discriminant de cette équation est − λ2 . 4 1 (c) Pour < λ < 1, cette équation n’a pas de racine réelle et on a seulement les 2 1 5 points critiques (Mi )0≤i≤4 déjà étudiés. Pour λ = , on a la racine double 2 1 1 x2 = y 2 = et xy = − donne les points M3 et M4 déjà étudiés. 4 4 √ √

1 1 1 (d) Pour 0 ≤ λ < , on a 2 racines t1 = 1 − 1 − 4λ2 , t2 = 1 + 1 − 4λ2 2 4 4 √ √
λ et xy = − ≤ 0, donne les points critiques M5 = t1 , − t2 , M6 = −M5 , √ 2 √
t2 , − t1 et M8 = −M8 , soit 9 points critiques. En chacun de ces M7 = points on a δ = 2 − 8λ2 > 0 et il n’y a pas d’extremum.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 263 — #273

Chapitre 12

Suites de fonctions

Sauf précision contraire, I est un intervalle réel non réduit à un point et les fonctions considérées sont définies sur I à valeurs réelles ou complexes. Une suite de fonctions sur I est une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans l’espace RI ou CI des fonctions de I dans R ou C. On note (fn )n∈N (ou (fn )n≥n0 ) une telle suite. Pour tout entier n, fn est une fonction de I dans R ou C et pour tout réel x ∈ I, (fn (x))n∈N est une suite numérique. Pour toute fonction f de I dans R ou C, on note kf k∞ = sup |f (x)| , cette quantité x∈I

étant finie pour f bornée.

12.1

Convergence simple et convergence uniforme

On désigne par (fn )n∈N une suite de fonctions de I dans R ou C. Définition 12.1. On dit que la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement vers une fonction f sur I si, pour tout réel x ∈ I, la suite numérique (fn (x))n∈N est convergente vers f (x) . La convergence simple de (fn )n∈N vers f sur I se traduit donc par : ∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃nx,ε ∈ N | ∀n ≥ nx,ε , |fn (x) − f (x)| < ε la notation nx,ε signifiant que l’entier nx,ε dépend de x et de ε. En utilisant les résultats relatifs aux suites numériques, on montre facilement les résultats énoncés avec le théorème qui suit. Théorème 12.1. Soient (fn )n∈N et (gn )n∈N deux suites de fonctions qui convergent simplement sur I vers f et g respectivement. 1. La suite (|fn |)n∈N converge simplement vers |f | . 2. Pour tous scalaires λ, µ, la suite (λfn + µgn )n∈N converge simplement vers λf + µg. 3. La suite (fn gn )n∈N converge simplement vers f g. 4. Si les fonctions fn et gn sont à valeurs réelles avec fn ≤ gn à partir d’un certain rang, on a alors f ≤ g.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 264 — #274

264

Suites de fonctions 5. Si les fonctions fn sont à valeurs réelles et croissantes à partir d’un certain rang, la fonction f est alors croissante.

nx 1 + nx converge simplement vers la fonction f définie par f (0) = 0 et f (x) = 1 pour x > 0. 1−ε 1 < ε pour nx > , Pour ε ∈ ]0, 1[ donné et x > 0, on a |fn (x) − f (x)| = 1 + nx ε   1−ε soit pour n ≥ nx,ε = E + 1. Supposons qu’il existe un entier nε indépendant de εx x ∈ R+ tel que |fn (x) − f (x)| < ε pour tout n ≥ nε . On aura alors pour tout x > 0 et 1 n ≥ nε , < ε et faisant tendre x vers 0 pour n fixé, on aboutit à 1 ≤ ε, ce qui 1 + nx n’est pas. Il est donc impossible de trouver un tel nε valable pour tout x ∈ R+ (ou même pour tout x ∈ R+,∗ ). On dit dans ce cas que la convergence n’est pas uniforme sur R+ (ou R+,∗ ). Exemple 12.1 La suite de fonctions (fn )n∈N définie sur R+ par fn (x) =

L’exemple précédent nous conduit à la définition suivante. Définition 12.2. On dit que la suite de fonctions (fn )n∈N converge uniformément vers la fonction f sur I si la suite numérique (kfn − f k∞ )n∈N converge vers 0. La convergence uniforme de (fn )n∈N vers f sur I se traduit par : ∀ε > 0, ∃nε ∈ N | ∀n ≥ nε , ∀x ∈ I, | |fn (x) − f (x)| < ε La convergence uniforme se traduit aussi graphiquement en disant que pour n ≥ nε le graphe de fn est dans une bande de largeur 2ε symétrique par rapport au graphe de f (faire un dessin). Des inégalités |fn (x) − f (x)| ≤ kfn − f k∞ , on déduit que la convergence uniforme entraîne la convergence simple. Exemple 12.2 Reprenant l’exemple 12.1, on a |fn (x) − f (x)| = φ (nx) , où on a noté 1 φ (y) = pour y > 0 avec sup φ (y) = 1, ce qui donne sup |fn (x) − f (x)| = 1 et la 1+y y>0 x>0 convergence n’est pas uniforme sur R+,∗ (et en conséquence elle n’est pas uniforme sur 1 R+ ). Mais pour a > 0, on a sup |fn (x) − f (x)| = du fait de la décroissante de 1 + na x≥a 1 1 la fonction x 7→ sur R+ . Avec lim = 0, on déduit que la convergence n→+∞ 1 + na 1 + nx est uniforme sur [a, +∞[ . La limite uniforme sur I d’une suite de fonctions bornées est bornée. En effet, si (fn )n∈N converge uniformément sur I, il existe alors un entier n1 tel que kfn1 − f k∞ < 1 et avec |f (x)| ≤ |fn1 (x) − f (x)| + |fn1 (x)| ≤ 1 + kfn1 k∞ pour tout x ∈ I, on déduit que la fonction f est bornée. Par contre, la limite simple sur I d’une suite de fonctions bornées n’est pas nécessairement bornée. Par exemple, la suite de fonctions (fn )n∈N définie sur R+ par fn (x) = min (x, n) converge simplement vers la fonction non bornée f : x 7→ x, chaque fonction fn étant bornée. Pour prouver qu’une suite de fonctions converge uniformément, on peut procéder comme suit :

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 265 — #275

Convergence simple et convergence uniforme

265

— étudier la suite numérique (fn (x))n∈N pour prouver la convergence simple vers une fonction f ; — étudier les variations sur l’intervalle I de chaque fonction fn − f en vue de déterminer sa borne inférieure et sa borne supérieure, ce qui permet d’obtenir kfn − f k∞ , cette étude est facilitée si les fonctions en questions sont dérivables, dans la mesure où les racines de fn′ − f ′ se calculent facilement ; — ou alors essayer de déterminer une suite de réels positifs (εn )n∈N de limite nulle telle que |fn (x) − f (x)| ≤ εn pour n assez grand et tout x ∈ I, ce qui entraînera que sup |fn (x) − f (x)| ≤ εn pour n assez grand. x∈I

En pratique, il vaut mieux opter pour la dernière méthode de travail. Le résultat qui suit nous donne un critère permettant de prouver la non convergence uniforme. Théorème 12.2. Si (fn )n∈N est suite de fonctions qui converge uniformément vers une fonction f sur I, alors pour toute suite (xn )n∈N de points de I, la suite (fn (xn ) − f (xn ))n∈N converge vers 0. Preuve. Résulte des inégalités |fn (xn ) − f (xn )| ≤ kfn − f k∞ .  Pour montrer la non convergence uniforme, il suffit donc de trouver une suite (xn )n∈N de points de I telle que la suite (fn (xn ) − f (xn ))n∈N ne converge pas vers 0 (en supposant bien sûr que la convergence simple vers f a été prouvée). Exemples 12.1 nx 1. Reprenant l’exemple de la suite (fn )n∈N définie sur R+ par fn (x) = , on a 1 + nx     fn 1 − f 1 = 1 6= 0 pour tout n ≥ 1, donc la convergence de (fn ) n∈N vers f n n 2 + n’est pas uniforme sur R .  x n 2. La suite de fonctions (fn )n∈N définie sur R par fn (x) = 1 + converge simplen = ment vers la fonction f : x 7→ ex (pour x = 0, c’est clair et pour x 6 0, on a pour  x x n assez grand de sorte que 1 + > 0, ln (fn (x)) = n ln 1 + v x) et la n n n→+∞ convergence n’est pas uniforme puisque :   n  2 n n n |fn (n) − f (n)| = e − 2 = e 1 − → +∞ n→+∞ n On vérifie facilement que la somme de deux suites de fonctions uniformément convergentes sur I est uniformément convergente. Cela se déduit de : k(fn + gn ) − (f + g)k∞ ≤ kfn − f k∞ + kgn − gk∞ Ce résultat n’est plus valable pour le produit. Par exemple, les suites de fonctions x 1 (fn )n∈N et (gn )n∈N définies sur I = ]0, 1] par fn (x) = et gn (x) = 2 convergent n x 1 1 uniformément sur I vers f = 0 (puisque kfn k∞ = ) et g : x 7→ 2 respectivement, n x alors que la suite (fn gn )n∈N converge simplement vers 0, la convergence n’étant pas 1 uniforme puisque kfn gn k∞ = sup = +∞. Toutefois, on a le résultat suivant. x∈I nx

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 266 — #276

266

Suites de fonctions Théorème 12.3. Soient (fn )n∈N et (gn )n∈N deux suites de fonctions convergeant uniformément sur I vers les fonctions f et g respectivement. Dans le cas où les fonctions f et g sont bornées sur I, la suite de fonctions (fn gn )n∈N converge uniformément sur I vers la fonction f g.

Preuve. Pour tout réel ε ∈ ]0, 1[ , on peut trouver un entier nε tel que : ∀n ≥ nε , αn = kfn − f k∞ < ε et βn = kgn − gk∞ < ε On a alors, pour tout n ≥ nε et tout x ∈ I : |fn (x) gn (x) − f (x) g (x)| = |(fn (x) − f (x)) gn (x) + f (x) (gn (x) − g (x))| ≤ αn |gn (x)| + kf k∞ βn ≤ ε (|gn (x)| + kf k∞ ) ≤ ε (|gn (x) − g (x)| + |g (x)| + kf k∞ ) ≤ ε (βn + kgk∞ + kf k∞ ) ≤ ε (ε + kgk∞ + kf k∞ ) ≤ (1 + kgk∞ + kf k∞ ) ε ce qui signifie que (fn gn )n∈N converge uniformément vers f g. Pour ce qui est de la composition des applications, on a les résultats suivants.



Théorème 12.4. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction f sur I. Pour toute fonction uniformément continue g : R → R, la suite de fonctions (g ◦ fn )n∈N converge uniformément vers la fonction g ◦ f sur I. Preuve. Soit ε > 0. Comme g est uniformément continue sur R, il existe un réel η > 0 tel que |g (y) − g (z)| < ε pour |y − z| < η. Comme la suite (fn )n∈N converge uniformément vers f sur I, il existe un entier n0 tel que |fn (x) − f (x)| < η pour tout n ≥ n0 et tout x ∈ I. Il en résulte que |g (fn (x)) − g (f (x))| < ε pour tout n ≥ n0 et tout x ∈ I, ce qui signifie que (g ◦ fn )n∈N converge uniformément vers g ◦ f sur I.  Le résultat précédent n’est plus assuré pour g non uniformément continue. Par exemple, 1 la suite de fonctions (fn )n∈N∗ définie sur R par fn (x) = x + converge uniformément n vers f : x 7→ x et pour g : x 7→ x2 , on a lim g ◦ fn (x) = x2 pour tout x ∈ R avec n→+∞ 2x 1 kg ◦ fn − g ◦ f k∞ = sup + 2 = +∞, donc la convergence n’est pas uniforme sur n x∈R n R. Théorème 12.5. Si (fn )n∈N est une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction f sur I et (gn )n∈N une suite de fonctions convergeant uniformément sur R vers une fonction uniformément continue g, la suite de fonctions (gn ◦ fn )n∈N converge alors uniformément vers la fonction g ◦ f sur I. Preuve. Pour tout réel x ∈ I, on a : |gn ◦ fn (x) − g ◦ f (x)| ≤ |gn ◦ fn (x) − g ◦ fn (x)| + |g ◦ fn (x) − g ◦ f (x)| ≤ kgn − gk∞ + kg ◦ fn − g ◦ f k∞

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Propriétés des fonctions stables par convergence uniforme

267

ce qui entraîne la convergence uniforme de (gn ◦ fn )n∈N vers g ◦ f sur I (le théorème précédent nous dit que (g ◦ fn )n∈N converge uniformément vers g ◦ f sur I).  Le résultat précédent n’est plus assuré pour g non uniformément continu. Par exemple, 1 la suite de fonctions (fn )n∈N∗ définie sur R par fn (x) = x+ converge uniformément vers n 1 la fonction f : x 7→ x et la suite de fonctions (gn )n∈N∗ définie sur R par gn (x) = x2 + n converge uniformément vers la fonction g : x 7→ x2 . Pour tout x ∈ R, on a :  2 1 1 gn ◦ fn (x) = x + + → g ◦ f (x) = x2 n n n→+∞ 2x 1 1 avec kgn ◦ fn − g ◦ f k∞ = sup + 2 + = +∞, donc la convergence n’est pas n n x∈R n uniforme sur R. Définition 12.3. On dit que la suite de fonctions (fn )n∈N vérifie le critère de Cauchy uniforme sur I si : ∀ε > 0, ∃nε ∈ N | ∀n ≥ nε , ∀m ≥ nε , ∀x ∈ I, |fn (x) − fm (x)| < ε Dire que (fn )n∈N vérifie le critère de Cauchy uniforme sur I revient encore à dire que : ∀ε > 0, ∃nε ∈ N | ∀n ≥ nε , ∀m ≥ nε , kfn − fm k∞ < ε Théorème 12.6. La suite de fonctions (fn )n∈N est uniformément convergente sur I si, et seulement si, elle vérifie le critère de Cauchy uniforme sur I. Preuve. La condition nécessaire est une conséquence de l’inégalité triangulaire : kfn − fm k∞ ≤ kfn − f k∞ + kf − fm k∞ où f est la limite uniforme de (fn )n∈N . Réciproquement, supposons que (fn )n∈N soit uniformément de Cauchy sur I. Pour tout réel ε > 0, il existe un entier nε tel que : ∀n ≥ nε , ∀m ≥ nε , ∀x ∈ I, |fn (x) − fm (x)| < ε

(12.1)

Pour x fixé dans I, la suite (fn (x))n∈N est alors de Cauchy dans R ou C, elle converge donc vers un scalaire f (x) . En faisant tendre m vers l’infini dans (12.1) , on déduit que |fn (x) − f (x)| < ε pour tout n ≥ nε et tout x ∈ I, c’est-à-dire que la suite (fn )n∈N converge uniformément vers f sur I. 

12.2

Propriétés des fonctions stables par convergence uniforme

La notion de convergence uniforme est intéressante relativement, au passage à la limite, à la continuité et à l’intégration de Riemann. Pour ce qui est de la dérivation ou des intégrales généralisées il faut être un peu plus prudent.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 268 — #278

268

Suites de fonctions Théorème 12.7. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalle I d’extrémités −∞ < a < b ≤ +∞ qui converge uniformément vers une fonction f sur I et telle que, pour tout entier n, la fonction fn admet une limite finie ℓn quand x tend vers b. 1. Si la suite (ℓn )n∈N est convergente vers une limite finie ℓ, la fonction f admet alors ℓ pour limite quand x tend vers b. 2. Si la fonction f admet une limite finie ℓ quand x tend vers b, la suite (ℓn )n∈N est alors convergente vers ℓ. Ce qui peut se traduire, dans chaque cas par :     lim lim fn (x) = lim lim fn (x) n→+∞

x→b

x→b

n→+∞

Preuve. 1. Supposons que lim ℓn = ℓ et soit ε un réel strictement positif. Avec la convergence n→+∞

uniforme de (fn )n∈N vers f, on déduit qu’il existe un entier nε tel que |ℓn − ℓ| < ε pour tout n ≥ nε , et |fn (x) − f (x)| < ε pour tout n ≥ nε et tout x ∈ I. Il en résulte que pour n ≥ nε et x ∈ I, on a : |f (x) − ℓ| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − ℓn | + |ℓn − ℓ| < |fn (x) − ℓn | + 2ε Pour n = nε , on peut trouver un intervalle de la forme Iε = ]b − η, b[ ⊂ I, pour b fini, ou Iε = ]η, +∞[ ⊂ I pour b infini tel que |fn (x) − ℓn | < ε pour tout x ∈ Iε , ce qui nous donne |f (x) tout x ∈ Iε . On a donc ainsi prouvé que  − ℓ| < 3ε pour  lim f (x) = ℓ, soit lim

x→b

x→b

lim fn (x)

n→+∞

= lim

n→+∞

lim fn (x) .

x→b

2. Supposons que lim f (x) = ℓ. Avec les notations précédentes, pour tout réel ε > 0, x→b

on peut trouver un voisinage Iε de b contenu dans I tel que |f (x) − ℓ| < ε pour tout x ∈ Iε et un entier nε tel que |fn (x) − f (x)| < ε pour tout n ≥ nε et tout x ∈ I, ce qui nous donne : ∀n ≥ nε , ∀x ∈ Iε , |fn (x) − ℓ| ≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − ℓ| < 2ε Faisant tendre x vers b dans Iε , on obtient |ℓn − ℓ| = lim |fn (x) − ℓ| ≤ 2ε pour tout n ≥ nε . On a donc ainsi prouvé que lim ℓn = ℓ.

x→b

n→+∞

 Avec des arguments analogues, on a le résultat suivant relatif à la continuité. Théorème 12.8. Si (fn )n∈N est suite de fonctions continues qui converge uniformément vers une fonction f sur l’intervalle I, la limite f est alors continue sur cet intervalle. Preuve. Soit ε ∈ R+,∗ . On peut trouver n ∈ N tel que |fn (x) − f (x)| < ε pour tout x ∈ I. Avec la continuité de fn en x0 ∈ I, on peut trouver un réel ηn > 0 tel que : ∀x ∈ ]x0 − ηn , x0 + ηn [ ∩ I, |fn (x) − fn (x0 )| < ε

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 269 — #279

Propriétés des fonctions stables par convergence uniforme

269

et en conséquence, pour x ∈ ]x0 − ηn , x0 + ηn [ ∩ I, on a : |f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )| < 3ε ce qui prouve la continuité de f en x0 , le point x0 étant quelconque dans I, la fonction f est continue sur I.  On a en fait montré que si (fn )n∈N est suite de fonctions continues en x0 ∈ I qui converge uniformément vers une fonction f sur l’intervalle I, f est alors continue en x0 . Ce résultat peut être utilisé pour justifier une non convergence uniforme. Si (fn )n∈N est suite de fonctions continues qui converge uniformément vers une fonction f non continue sur I, alors la convergence ne peut être uniforme. Exemple 12.3 La suite de fonctions (fn )n∈N définie sur I = [0, 1] par fn (x) = xn qui converge simplement vers f définie par f (x) = 0 pour 0 ≤ x < 1 et f (1) = 1 ne peut converger uniformément vers cette fonction sur I. L’uniforme continuité est aussi conservée par convergence uniforme. Théorème 12.9. Si (fn )n∈N est suite de fonctions uniformément continues qui converge uniformément vers une fonction f sur l’intervalle I, la limite f est alors uniformément continue sur cet intervalle. Preuve. Soit ε ∈ R+,∗ . On peut trouver n ∈ N tel que |fn (x) − f (x)| < ε pour tout x ∈ I. Avec l’uniforme continuité de fn sur I, on peut trouver un réel ηn > 0 tel que :
(x, y) ∈ I 2 et |x − y| < ηn ⇒ (|fn (x) − fn (y)| < ε) et en conséquence, pour (x, y) ∈ I 2 tel que |x − y| < ηn , on a : |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (y)| + |fn (y) − f (y)| < 3ε ce qui prouve l’uniforme continuité de f sur I.  Pour ce qui est de l’intégration des fonctions continues, on déduit du théorème 12.8 le résultat suivant. Théorème 12.10. Si (fn )n∈N est suite de fonctions continues qui converge uniformément vers une Z b Z b fonction f sur I, on a alors f (x) dx = lim fn (x) dx pour tout segment [a, b] ⊂ I.

a

n→+∞

a

Preuve. Le théorème 12.8 nous dit que f est continue, elle est donc intégrable sur [a, b] et avec : Z Z Z b b b f (x) dx − fn (x) dx = (f (x) − fn (x)) dx a a a Z b ≤ (f (x) − fn (x)) dx ≤ (b − a) sup |fn (x) − f (x)| a

on a le résultat annoncé.

x∈[a,b]



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 270 — #280

270

Suites de fonctions

En fait le théorème précédent est encore valable dans le cadre de l’intégrale de Riemann. Le point délicat dans la démonstration est la preuve de l’intégrabilité au sens de Riemann de la fonction f. On rappelle qu’une fonction f est Riemann intégrable sur [a, b] si, et seulement si, elle est bornée et pour tout réel ε > 0 on peut trouver deux fonctions en escalier g, h telles Z b que g ≤ f ≤ h et (h (x) − g (x)) dx < ε. a

Théorème 12.11. Si (fn )n∈N est suite de fonctions Riemann-intégrables qui converge uniformément vers f sur [a, b] , la fonction f est alors Riemann intégrable sur [a, b] et on Z b Z b fn (x) dx. a f (x) dx = lim a

n→+∞

a

Preuve. Soit ε ∈ R+,∗ . On peut trouver n ∈ N tel que |f (x) − fn (x)| < ε pour tout x ∈ [a, b] . Comme fn est Riemann intégrable sur [a, b] , elle est bornée et il existe deux Z b fonctions en escalier gn , hn telles que gn ≤ fn ≤ hn et (hn (x) − gn (x)) dx < ε. Avec a

fn (x) − ε < f (x) < ε + fn (x) , on déduit que f est bornée sur [a, b] et en désignant par g, h les fonctions en escalier définies par g = gn − ε, h = hn + ε, on a g ≤ f ≤ h avec : Z b Z b (h (x) − g (x)) dx = (hn (x) − gn (x)) dx + 2ε (b − a) < (1 + 2 (b − a)) ε a

a

ce qui prouve que f est Riemann intégrable sur [a, b] . Puis avec : Z Z Z b b b f (x) dx − (f (x) − fn (x)) dx fn (x) dx = a a a Z b ≤ (f (x) − fn (x)) dx ≤ (b − a) sup |fn (x) − f (x)| x∈[a,b]

a

on a le résultat annoncé.  Le théorème précédent n’est pas vrai dans le cadre des intégrales généralisées. Par 1 exemple la suite (fn )n∈N∗ définie sur R+ par fn (x) = sur [0, n] et fn (x) = 0 pour n Z  +∞

x > n converge uniformément sur R+ vers f = 0 et la suite

fn (x) dx 0

qui n∈N∗

est constante égale à 1 ne converge pas vers 0. Au chapitre suivant nous énoncerons un théorème de convergence dominé pour les suites de fonctions continues par morceaux sur un intervalle. Avec Zce théorème on dispose de conditionssuffisantes permettant de Z +∞

justifier l’égalité lim

n→+∞

+∞

fn (x) dx = 0

lim fn (x) dx.

0

n→+∞

Théorème 12.12. Si (fn )n∈N est suite de fonctions Riemann-intégrables sur I qui converge uniformément vers une fonction f sur I, alors la suite de fonctions (Fn )n∈N définie Z x sur I par Fn (x) = fn (t) dt, où x0 est donné dans I, converge simplement sur x0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 271 — #281

Propriétés des fonctions stables par convergence uniforme Z

271

x

I vers la fonction F définie sur I par F (x) =

f (t) dt et la convergence est x0

uniforme sur tout segment [a, b] ⊂ I.

Preuve. Pour la convergence simple de (Fn )n∈N , on utilise le théorème précédent et la convergence uniforme sur [a, b] se déduit de : ∀x ∈ [a, b] , |Fn (x) − F (x)| ≤ (β − α) sup |fn (t) − f (t)| t∈[α,β]

où [α, β] contient x0 , a, b.  La dérivabilité n’est pas une propriété stable par convergence uniforme. Nous verrons plus loin qu’une fonction continue sur un segment [a, b] est limite uniforme d’une suite de polynômes qui sont des fonctions indéfiniment dérivables et il existe des fonctions continues non dérivables. Il existe même des fonctions continues nulle part dérivables. On dispose quand même du résultat suivant conséquence du critère de Cauchy uniforme et du théorème des accroissements finis. Théorème 12.13. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions dérivables sur I telle que la suite (fn′ )n∈N converge uniformément sur I vers une fonction g. S’il existe un point x0 ∈ I tel que la suite (fn (x0 ))n∈N soit convergente, alors la suite (fn )n∈N converge simplement vers une fonction dérivable f telle f ′ = g et la convergence est uniforme sur tout segment [a, b] ⊂ I. Preuve. En utilisant le théorème des accroissements finis, on peut écrire pour n, m entiers naturels et x ∈ I : |fn (x) − fm (x)| ≤ |(fn − fm ) (x) − (fn − fm ) (x0 )| + |fn (x0 ) − fm (x0 )| ′ ≤ sup |fn′ (t) − fm (t)| |x − x0 | + |fn (x0 ) − fm (x0 )| t∈I

Il en résulte que pour [a, b] ⊂ I et [α, β] contenant [a, b] et x0 on a : ′ sup |fn (x) − fm (x)| ≤ (β − α) sup |fn′ (t) − fm (t)| + |fn (x0 ) − fm (x0 )| t∈I

x∈[α,β]

ce qui permet de conclure que la suite (fn )n∈N vérifie le critère de Cauchy uniforme sur [α, β] et donc qu’elle converge uniformément vers une fonction f sur cet intervalle et sur [a, b] . On définit ainsi une fonction f sur I limite simple de (fn )n∈N . Pour x = 6 y dans [a, b] et n ∈ N on peut écrire que : f (x) − f (y) f (x) − f (y) fn (x) − fn (y) − g (x) ≤ − x−y x−y x−y fn (x) − fn (y) + − fn′ (x) + |fn′ (x) − g (x)| x−y avec : |f (x) − f (y) − (fn (x) − fn (y))| = ≤

lim

lim |(fm − fn ) (x) − (fm − fn ) (y)|

m→+∞

′ sup |fm (t) − fn′ (t)| |x − y| ≤ sup |g (t) − fn′ (t)| |x − y|

m→+∞ t∈[a,b]

t∈[a,b]

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 272 — #282

272

Suites de fonctions

et |fn′ (x) − g (x)| ≤ sup |g (t) − fn′ (t)| , ce qui donne : t∈[a,b]

f (x) − f (y) ≤ 2 sup |g (t) − fn′ (t)| + fn (x) − fn (y) − fn′ (x) − (x) g x−y x−y t∈[a,b] Pour ε > 0 donné, on peut trouver un entier n tel que sup |g (t) − fn′ (t)| < ε et pour t∈[a,b]

cet entier, par définition du nombre dérivé, on peut trouver un réel η > 0 tel que pour fn (x) − fn (y) x= 6 y dans [a, b] vérifiant |x − y| < η on ait − fn′ (x) < ε. On a donc x−y f (x) − f (y) − g (x) ≤ 3ε pour x 6= y dans [a, b] tels que |x − y| < η, ce qui signifie que x−y f est dérivable en x avec f ′ (x) = g (x) .  Dans le cas où les fonction fn sont toutes de classe C 1 sur I, la démonstration précédente peut être simplifiée. La fonction g = lim fn′ est continue sur I comme limite n→+∞

uniforme d’une suite de fonctions continues. On peut écrire pour tout entier n et pour Z x ′ tout réel x ∈ I que fn (x) = fn (x0 ) + fn (t) dt, ce qui nous assure la convergence de x0

la suite (fn (x))n∈N avec : Z

x

fn′ (t) dt lim fn (x) = lim fn (x0 ) + lim n→+∞ n→+∞ n→+∞ x 0 Z x Z x ′ =ℓ+ lim fn (t) dt = ℓ + g (t) dt = f (x) x0 n→+∞

x0

Comme g est continue sur I, la fonction f est de classe C 1 de dérivée f ′ = g. La convergence uniforme sur tout segment [a, b] ⊂ I se vérifie facilement.

12.3

Approximation uniforme des fonctions continues sur un segment

Le fait qu’une fonction continue sur un segment soit uniformément continue nous donne la possibilité de construire des suites de fonctions élémentaires (en escalier, affines par morceaux ou polynomiales) qui convergent uniformément vers cette fonction.

12.3.1

Approximation uniforme par des fonctions en escalier

Théorème 12.14. Toute fonction f continue sur un segment [a, b] est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier. b−a Preuve. Pour tout n ∈ N∗ , on définit une subdivision de [a, b] en notant xk = a+k n pour 0 ≤ k ≤ n et à cette subdivision on associe la fonction en escalier fn définie par fn (a) = f (a) et pour k compris entre 0 et n−1, fn (x) = f (xk ) pour tout ∀x ∈ ]xk , xk+1 ] . La fonction f qui est continue sur le compact [a, b] y est uniformément continue, donc pour ε > 0 donné on peut trouver un réel η > 0 tel que si x, y dans [a, b] sont tels que

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 273 — #283

Approximation uniforme des fonctions continues sur un segment |x − y| ≤ η, alors |f (x) − f (y)| < ε. Pour tout entier n ≥

273

b−a et tout entier k compris η

b−a ≤ η. Comme tout x ∈ [a, b] est dans l’un des n b−a , |f (x) − fn (x)| = |f (x) − f (xk )| ≤ ε, intervalles [xk , xk+1 ] , on obtient pour n ≥ η ce qui prouve la convergence uniforme sur [a, b] de (fn )n≥1 vers f.  Ce théorème peut être utilisé pour montrer qu’une fonction continue sur un segment y est Riemann intégrable. entre 0 et n − 1 on a xk+1 − xk =

Théorème 12.15. Toute fonction f continue sur un segment [a, b] est Riemann intégrable. Preuve. On sait déjà qu’une fonction continue sur [a, b] est bornée. En reprenant la démonstration précédente, on peut trouver pour ε > 0 une fonction en escalier fn telle que g = fn − ε < f < fn + ε = h, les fonctions g, h étant en escalier avec Z b (h (x) − g (x)) dx = 2ε. Il en résulte que f est Riemann intégrable sur [a, b] .  a

Du théorème précédent, on déduit que toute fonction continue par morceaux sur un segment [a, b] est Riemann intégrable. Théorème 12.16. Riemann-Lebesgue Pour toute fonction f continue par morceaux sur un segment [a, b] , on a Z b lim f (x) sin (nx) dx = 0.

n→+∞

a

Preuve. Il suffit de considérer le cas où f est continue sur [a, b] . Si (fn )n∈N est une suite de fonctions en escalier sur [a, b] qui converge uniformément vers f, pour tout réel ε > 0, on peut trouver un entier n tel que sup |fn (x) − f (x)| < ε et pour tout entier x∈[a,b]

m ≥ 1, on a : Z Z Z b b b (f (x) − fn (x)) sin (mx) dx + fn (x) sin (mx) dx f (x) sin (mx) dx ≤ a a a Z b ≤ (b − a) sup |fn (x) − f (x)| + fn (x) sin (mx) dx x∈[a,b] a Z b ≤ (b − a) ε + fn (x) sin (mx) dx a En désignant par x0 = a < x1 < · · · < xp+1 = b une subdivision de [a, b] telle que sur chaque intervalle [xk , xk+1 ] la fonction fn soit constante égale à yk , on a : Z

b

fn (x) sin (mx) dx = a

p X k=0

Z

xk+1

sin (mx) dx =

yk xk

p X k=0

 yk

cos (mxk ) cos (mxk+1 ) − m m



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 275 — #285

Approximation uniforme des fonctions continues sur un segment

275

0 ≤ k ≤ n − 1, la fonction ϕ définie par : 2

ϕ (x) = y0 (x − x0 ) +

(x − x0 ) (y1 − y0 ) + γ0 2 (x1 − x0 )

avec γ0 = 0 sur [x0 , x1 ] et : 2

ϕ (x) = yk+1 (x − xk+1 ) +

(x − xk+1 ) (yk+2 − yk+1 ) + γk+1 2 (xk+2 − xk+1 )

sur [xk+1 , xk+2 ] pour 0 ≤ k ≤ n − 2 où γk+1 est telle que : lim ϕ (x) = (xk+1 − xk )

x→x− k+1

yk+1 + yk + γk = lim ϕ (x) = γk+1 2 x→x+ k+1

pour 0 ≤ k ≤ n − 2, est une primitive de ϕ. En effet, sur ]xk , xk+1 [ , on a : ϕ′ (x) = yk +

x − xk (yk+1 − yk ) = φ (x) xk+1 − xk

et pour x ∈ ]x0 , x1 [ : ϕ (x) − ϕ (x0 ) ϕ (x) x − x0 (y1 − y0 ) → y0 = φ (x0 ) = = y0 + x − x0 x − x0 2 (x1 − x0 ) x→x+ 0 ce qui signifie que ϕ′ (x0 ) = φ (x0 ) . Pour 0 ≤ k ≤ n − 2 et x ∈ ]xk+1 , xk+2 [ , on a : ϕ (x) − ϕ (xk+1 ) x − xk+1 (yk+2 − yk+1 ) → + yk+1 = φ (xk+1 ) = yk+1 + x − xk+1 2 (xk+2 − xk+1 ) x→x0 et pour 0 ≤ k ≤ n − 1, x ∈ ]xk , xk+1 [ , on a : 2

(x − xk ) ϕ (x) − ϕ (xk+1 ) = yk (x − xk ) + (yk+1 − yk ) + γk − γk+1 2 (xk+1 − xk )   x − xk yk+1 + yk = (x − xk ) yk + (yk+1 − yk ) − (xk+1 − xk ) 2 (xk+1 − xk ) 2   x − xk = (x − xk+1 ) yk + (yk+1 − yk ) 2 (xk+1 − xk )   x − xk yk+1 + yk + (xk+1 − xk ) yk + (yk+1 − yk ) − 2 (xk+1 − xk ) 2   x − xk yk+1 − yk = (x − xk+1 ) yk + (yk+1 − yk ) + (x − xk+1 ) 2 (xk+1 − xk ) 2   x − xk yk+1 + yk = (x − xk+1 ) (yk+1 − yk ) + 2 (xk+1 − xk ) 2 ce qui donne

lim−

x→xk+1

ϕ (x) − ϕ (xk+1 ) yk+1 − yk yk+1 + yk = + = yk+1 = φ (xk+1 ) . x − xk+1 2 2



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 276 — #286

276

Suites de fonctions Théorème 12.19. Toute fonction f continue sur un segment [a, b] admet des primitives.

Preuve. En utilisant les notations introduites avec la démonstration du théorème 12.17, on désigne pour tout n ≥ 1 par Fn la primitive de fn nulle en a. La suite (Fn′ )n≥1 converge uniformément sur [a, b] vers f et que la suite (Fn (a))n≥1 converge vers 0. On déduit alors que la suite (Fn )n≥1 converge uniformément sur [a, b] vers une fonction dérivable F et que F ′ = f, c’est-à-dire que F est une primitive de f sur [a, b] .  Ce théorème peut être utilisé pour définir l’intégrale d’une fonction f continue sur Z b [a, b] par f (x) dx = F (b) − F (a) , où F est une primitive de f sur cet intervalle. a

12.3.3

Approximation uniforme de la fonction x 7→ |x| sur [−1, 1] par des fonctions polynomiales

L’approximation uniforme de la fonction x 7→ |x| sur [−1, 1] par des fonctions polynomiales nous sera utile pour approcher uniformément toute fonction continue et affine par morceaux par des polynômes sur un segment [a, b] . On introduit la suite de fonctions (Pn )n∈N définie sur R par P0 (x) = 0 et ∀n ≥ 1, Pn+1 (x) = Pn (x) +

 1 2 2 x − (Pn (x)) 2

(12.2)

On vérifie facilement par récurrence sur n ≥ 0 que chaque fonction Pn est polynomiale 1 de degré 2n et de coefficient dominant αn = − 2n −1 . 2 Lemme 12.1 Pour tout n ∈ N et tout x ∈ [−1, 1] , on a :   |x| + Pn (x) |x| − Pn+1 (x) = (|x| − Pn (x)) 1 − 2 Preuve. On a : |x| + Pn (x) |x| − Pn+1 (x) = |x| − Pn (x) − (|x| − Pn (x))  2 |x| + Pn (x) = (|x| − Pn (x)) 1 − 2  Lemme 12.2 Pour tout (n, x) ∈ N × [−1, 1] , on a 0 ≤ Pn (x) ≤ Pn+1 (x) ≤ |x| ≤ 1 et la suite (Pn )n∈N converge simplement sur [−1, 1] vers |x| . Preuve. Pour le premier point, on procède par récurrence sur n ≥ 0. Pour n = 0, on x2 a pour tout x ∈ [−1, 1] , 0 = P0 (x) ≤ P1 (x) = ≤ |x| ≤ 1. Supposant le résultat 2 acquis au rang n ≥ 0, on a Pn+1 (x) ≥ Pn (x) ≥ 0. Puis de |x| ≥ Pn+1 (x) , on déduit que 2 x2 ≥ (Pn+1 (x)) et Pn+2 (x) ≥ Pn+1 (x) . Enfin avec   |x| + Pn+1 (x) |x| − Pn+2 (x) = (|x| − Pn+1 (x)) 1 − 2

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Le théorème de Weierstrass

277

|x| + Pn+1 (x) milieu du segment [Pn+1 (x) , |x|] ⊂ [0, 1] , on déduit que 2 |x| − Pn+2 (x) ≥ 0. L’encadrement précédent nous dit que pour tout x ∈ [−1, 1] la suite (Pn (x))n∈N est à valeurs positive, croissante et majorée (par |x|) donc convergente vers 2 ℓ (x) ≥ 0. En passant à la limite dans (12.2) , on déduit que ℓ (x) = x2 et ℓ (x) = |x| . 

|x| ≥ Pn+1 (x) et

Lemme 12.3 Pour tout (n, x) ∈ N × [−1, 1] , on a :  n 2 |x| ≤ 0 ≤ |x| − Pn (x) ≤ |x| 1 − 2 n+1 On montre tout d’abord par récurrence sur n ≥ 0 qu’on a l’encadrement n |x| 0 ≤ |x| − Pn (x) ≤ |x| 1 − . Pour n = 0, on a 0 ≤ |x| − P0 (x) = |x| . En supposant 2 le résultat acquis pour n ≥ 0, on a :   |x| + Pn (x) |x| − Pn+1 (x) = (|x| − Pn (x)) 1 − 2 n    n    n+1  |x| + Pn (x) |x| |x| |x| |x| 1− ≤ |x| 1 − 1− = |x| 1 − ≤ |x| 1 − 2 2 2 2 2  n t (Pn (x) ≥ 0). Ensuite on étudie la fonction φ définie sur [0, 1] par φ (t) = t 1 − 2  n |x| pour n ≥ 1 (pour n = 0, on a bien |x| 1 − = |x| ≤ 1 < 2). Cette fonc2   n−1  t 1 n+1 ′ t et tion est dérivable avec φ (0) = 0, φ (1) = n , φ (t) = 1 − 1− 2 2 2    n 2 2 1 2 2 φ = 1− ≤ . Il en résulte que φ (t) ≤ pour tout n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 t ∈ [0, 1] (variations de φ).  En conclusion, on a le résultat suivant. Preuve.

Théorème 12.20. La suite (Pn )n∈N définie par (12.2) converge uniformément sur [−1, 1] vers la fonction x 7→ |x| . Avec l’exercice 14.10 on propose une autre méthode pour obtenir une approximation polynomiale uniforme de la fonction x 7→ |x| sur [−1, 1] .

12.4

Le théorème de Weierstrass

On propose dans ce paragraphe deux démonstrations du théorème de Weierstrass qui nous dit que toute fonction continue sur un segment I = [a, b] est limite uniforme sur cet intervalle d’une suite de fonctions polynomiales. On note C 0 (I, R) l’espace des fonctions continues de I dans R.

12.4.1

Première démonstration

On a déjà vu que toute fonction continue sur un segment I = [a, b] est limite uniforme d’une suite de fonctions continues et affines par morceaux. Il nous suffit donc d’approcher uniformément ces fonctions continues et affines par morceaux par des polynômes.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 278 — #288

278

Suites de fonctions

Pour tout réel α ∈ [0, 1] , on désigne par hα la fonction affine par morceaux définie par x 7→ hα (x) = max (0, x − α) . Lemme 12.4 Pour tout réel α ∈ [0, 1] , la fonction hα est limite uniforme d’une suite de polynômes sur [0, 1] . |x − α| + x − α , on déduit du théo2 rème 12.20 que hα est limite uniforme d’une suite de polynômes sur [0, 1] . Précisément, en reprenant les notations du théorème 12.20, la suite de fonctions polynomiales (Qn )n∈N Pn (x − α) + x − α converge uniformément sur [0, 1] vers définie sur [0, 1] par Qn (x) = 2 |x − α| + x − α = hα (x) .  2 Preuve. En écrivant que hα (x) = max (0, x − α) =

Lemme 12.5 Toute fonction affine par morceaux et continue sur un segment [a, b] est combinaison linéaire de fonctions du type hα : x 7→ max (0, x − α) . Preuve. Soit φ une fonction affine par morceaux et continue définie par une subdivision x − xk (yk+1 − yk ) sur [xk , xk+1 ] pour xk+1 − xk k tel que 0 ≤ k ≤ n − 1 (n ≥ 1). Il existe alors une suite réelle (λk )0≤k≤n telle que n−1 X φ = z0 + λk hxk . En effet une telle égalité est réalisée si, et seulement si, elle est a = x0 < x1 < · · · < xn = b et φ (x) = yk +

k=0

réalisée sur chaque intervalle [xk , xk+1 ] , ce qui s’écrit :  x − x0  z0 + λ0 (x − x0 ) = y0 + (y1 − y0 ) sur [x0 , x1 ]    x 1 − x0   x − x1   (y2 − y1 ) sur [x1 , x2 ]  z0 + λ0 (x − x0 ) + λ1 (x − x1 ) = y1 + x2 − x1 .  ..     n−1  P x − xn−1   λk (x − xk ) = yn−1 + (yn − yn−1 ) sur [xn−1 , xn ]  z0 + b − xn−1 k=0 ce qui équivaut, en faisant x = xk et x = xk+1 dans chacun de ces intervalles au système d’équations :  z0 = y0 et z0 + λ0 (x1 − x0 ) = y1       z0 + λ0 (x2 − x0 ) + λ1 (x2 − x1 ) = y2 .. .   n−1  P   λk (xn−1 − xk ) = yn−1  z0 + k=0

(deux fonctions affines sur un intervalle coïncident si, et seulement si, elles coïncident en deux points distincts), ce qui détermine y0 et les λk de manière unique (les λk sont solutions d’un système triangulaire à coefficients diagonaux non nuls).  Théorème 12.21. Toute fonction continue et affine par morceaux sur [0, 1] est limite uniforme d’une suite de polynômes sur cet intervalle. Preuve. C’est une conséquence immédiate des deux lemmes qui précèdent.



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 279 — #289

Le théorème de Weierstrass

279

Théorème 12.22. Weierstrass Toute fonction continue sur un segment [a, b] est limite uniforme d’une suite de polynômes. Preuve. Si f est une fonction continue sur [a, b] , la fonction g définie sur [0, 1] par g (t) = f ((1 − t) a + tb) est continue, donc limite uniforme sur [0, 1] d’une suite (Pn )n∈N de fonctions polynomiales et f est limite uniforme sur   [a, b] de la suite (Qn )n∈N de x−a fonctions polynomiales définie par Qn (x) = Pn .  b−a Le théorème de Weierstrass est faux pour I non compact (exercice 12.8).

12.4.2

Deuxième démonstration

Cette démonstration utilise les polynômes de Bernstein. On se place d’abord sur l’intervalle I = [0, 1] . Pour tout entier k compris entre  0 et n, on désigne par Bn,k la fonction polynomiale n k n−k définie sur [0, 1] par Bn,k (x) = x (1 − x) et Bn est l’opérateur de Bernstein k   n X k Bn,k . défini sur f ∈ C 0 ([0, 1] , R) par Bn (f ) = f n k=0 On peut remarquer que Bn,k (x) ≥ 0 pour tout x ∈ [0, 1] . Les résultats préliminaires qui suivent nous seront utiles pour montrer le théorème de Weierstrass en utilisant les polynômes de Bernstein Bn (f ) . Lemme 12.6 Si pour y ∈ R, on désigne par fy la fonction définie sur R par fy (x) = exy , on a alors :  y n ∀x ∈ I, Bn (fy ) (x) = xe n + 1 − x = φn (x, y) n   X n


n y y
k n−k = xe n + 1 − x .  xe n (1 − x) k k=0 En notant (ek )k∈N la base canonique de l’espace R [x] des fonctions polynomiales à coefficients réels, où les fonctions polynomiales ek sont définis par ek (x) = xk , on déduit le résultat suivant.

Preuve. Résulte de Bn (fy ) (x) =

Lemme 12.7 Pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier naturel j, on a ∂ j φn Bn (ej ) (x) = (x, 0) . ∂y j n  j X ky ∂ j φn k e n Bn,k (x) et pour Preuve. Pour tout entier naturel j on a (x, y) = ∂y j n k=0 n  j X ∂ j φn k y = 0 on obtient (x, 0) = Bn,k (x) = Bn (ej ) .  ∂y j n k=0 En particulier, pour n ≥ 1, on a : 
n ∂φn
n−1 y y y    φn (x, y) = xe n + 1 − x , ∂y (x, y) = xe n xe n + 1 − x 2 
n−1 n − 1 2 2y
n−2 y y x y  ∂ φn  (x, y) = e n xe n + 1 − x + x e n xe n + 1 − x 2 ∂y n n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 280 — #290

280

Suites de fonctions

Et en faisant y = 0, on obtient :   Bn (e0 ) = e0 : x 7→ 1, Bn (e1 ) = e1 : x 7→ x  Bn (e2 ) = e2 + 1 (e1 − e2 ) : x 7→ x2 + 1 x (1 − x) . n n  2 n X k 1 Lemme 12.8 Pour tout n ≥ 1 et tout x ∈ I, on a − n Bn,k (x) ≤ . n 4n k=0

Preuve. En étudiant les variations de x 7→ x (1 − x) sur I, on a : n  X k k=0

n

2 −x

Bn,k (x) =

n  2 X k k=0

n

Bn,k (x) − 2x

n n X X k Bn,k (x) + x2 Bn,k (x) n

k=0

k=0

= Bn (e2 ) (x) − 2xBn (e1 ) (x) + x2 Bn (e0 ) (x) 1 1 1 = x2 + x (1 − x) − 2x2 + x2 = x (1 − x) ≤ n n 4n  Du fait qu’une fonction continue sur un segment y est uniformément continue, on déduit le résultat suivant. Lemme 12.9 Si f est une fonction continue de [a, b] dans R, alors pour tout réel ε > 0, il existe un réel η > 0 tel que : 2

∀ (x, y) ∈ [a, b] , |f (x) − f (y)| ≤ ε +

2 kf k∞ 2 (x − y) η2

Preuve. La fonction f qui est continue sur le compact [a, b] y est uniformément continue, donc pour ε > 0 donné il existe η ∈ R+,∗ tel que si x, y dans [a, b] sont tels que |x − y| < η, on a alors |f (x) − f (y)| < ε. Pour x, y dans [a, b] , on a soit |x − y| < η et dans ce 2 (x − y) cas |f (x) − f (y)| < ε, soit |x − y| ≥ η, ce qui équivaut à 1 ≤ et dans ce η2 2 (x − y) cas on a |f (x) − f (y)| ≤ 2 kf k∞ ≤ 2 kf k∞ . On a donc dans tous les cas, η2 2 kf k∞ 2 |f (x) − f (y)| ≤ ε + (x − y) .  η2 Théorème 12.23. Bernstein Pour toute fonction f ∈ C 0 ([0, 1] , R) la suite (Bn (f ))n≥1 converge uniformément vers f sur [0, 1] .

Preuve. Avec Bn (e0 ) =

n X

Bn,k = e0 , on déduit que pour n ≥ 1, on a :

k=0

Bn (f ) (x) − f (x) =

 n    X k f − f (x) Bn,k (x) n

k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 281 — #291

Exercices

281

On se donne un réel ε > 0 et en utilisant le lemme précédent, on a pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ≥ 1 : n   X k |Bn (f ) (x) − f (x)| ≤ f n − f (x) Bn,k (x) k=0  2 ! n X 2 kf k∞ k ≤ ε+ Bn,k (x) −x η2 n k=0 2 n  n X 2 kf k∞ 1 2 kf k∞ X k ≤ε − n Bn,k (x) ≤ ε + Bn,k (x) + η2 n η 2 4n k=0

k=0

2 kf k∞ 1 ≤ 2ε pour n assez grand. On a donc η 2 4n x∈[0,1] ainsi montré que la suite (Bn (f ))n≥1 converge uniformément vers f sur [0, 1] .  Comme au paragraphe précédent, le changement de variable x = (1 − t) a + tb ramène un intervalle [a, b] à [0, 1] et le théorème de Weierstrass s’en déduit. donc sup |Bn (f ) (x) − f (x)| ≤ ε +

12.5

Exercices

Exercice 12.1. Montrer que si (fn )n∈N est une suite de fonctions uniformément convergente vers une fonction f sur un intervalle I, la suite de fonctions (sin (fn ))n∈N converge alors uniformément vers sin (f ) sur I. Solution. Résulte de |sin (fn (x)) − sin (f (x))| ≤ |fn (x) − f (x)| ≤ sup |fn (x) − f (x)| . x∈I

Exercice 12.2.  x  Montrer que la suite de fonctions (fn )n∈N∗ définie sur R par fn (x) = n sin converge simplement sur R. La convergence est-t-elle uniforme n sur R ? sur [−1, 1] ? Solution. 1. Pour x = 0, on a fn (0) = 0 pour tout n ∈ N∗ et lasuite réelle (fn (0))n∈N∗ est x v x et la suite réelle constante égale à 0. Pour x = 6 0, on a fn (x) = n sin n +∞ (fn (x))n∈N∗ converge vers x. En définitive, la suite de fonctions (fn )n∈N∗ converge simplement sur R vers la fonction f : x 7→ x. x 2. La fonction gn définie sur R par gn (x) = fn (x) − f (x) = n sin − x pour n x n ∈ N∗ , est impaire et dérivable de dérivée gn′ (x) = cos − 1 ≤ 0, cette dérin vée s’annulant aux points xn,k = 2nkπ où k ∈ Z avec gn (xn,k ) = 2nkπ. On a donc sup |gn (x)| = 2n |k| π pour tout k ∈ Z et sup |gn (x)| = +∞. La convergence x∈R

x∈[−2nkπ,2nkπ]

n’est pas uniforme sur R. 3. Sur [−1, 1] , pour n ∈ N∗ la fonction gn est décroissante et : sup |gn (x)| = |gn (1)| x∈[−1,1]

→

n→+∞

0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 282 — #292

282

Suites de fonctions

La convergence est donc uniforme sur cet intervalle. Exercice 12.3.

Soit k un entier positif ou nul et (fn )n∈N∗ la suite de fonctions xk . définie sur R par fn (x) = 2 x +n 1. Pour quelles valeurs de k cette suite converge-t’elle uniformément sur R ? 2. Pour quelles valeurs de k cette suite converge–t’elle uniformément sur toute partie bornée R ? Solution. 1. Pour tout k ∈ N et tout réel x, on a

lim fn (x) = 0. Pour k = 0 et tout réel x,

n→+∞

1 1 ≤ , donc la suite (fn )n∈N∗ converge uniformément vers x2 + n n 0 sur R et sur toute partie bornée de R. Pour tout entier strictement positif k, on a
xk−1 2 fn′ (x) = 2 (k − 2) x + kn et : 2 (x + n) on a 0 ≤ fn (x) =

sup |fn (x)| = x∈R

 1    2√n si k = 1    1 si k = 2 +∞ si k > 2

On déduit donc que la suite (fn )n∈N∗ converge uniformément vers 0 sur R uniquement pour k = 0 et k = 1. 1 2. Soit a > 0. Pour tout x ∈ [−a, a] , on a |fn (x)| ≤ √ pour k = 1 et |fn (x)| ≤ |fn (a)| 2 n pour k ≥ 2. On en déduit que la suite (fn )n∈N∗ converge uniformément vers 0 sur tout partie borné R pour tout entier k positif ou nul. Exercice 12.4. Soient α > 0 et (fn )n∈N la suite de fonctions définie sur R+ par fn (x) = nα xe−nx . 1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que cette suite de fonctions converge uniformément sur R+ . 2. Étudier la convergence uniforme sur tout intervalle [a, +∞[ avec a > 0. Solution. Chaque fonction fn est dérivable avec fn′ (x) = nα e−nx (1 − nx) . 1. La suite (fn )n∈N converge simplement sur R+ vers la fonction nulle pour tout α > 0.   1 nα−1 Avec sup |fn (x)| = fn = pour n ≥ 1, on déduit que la convergence est n e x∈R uniforme sur R+ si et seulement si α ∈ ]0, 1[ . 1 2. Pour a ∈ R+,∗ , il existe un entier na tel que < a pour tout n ≥ na et on a n sup |fn (x)| = fn (a) . On en déduit que la suite (fn )n∈N converge uniformément x∈[a,+∞[

sur [a, +∞[ .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 283 — #293

Exercices

283

Exercice 12.5. Soit f une fonction continue de [0, 1] dans R telle que f (1) = 0. Montrer que la suite de fonctions (fn )n∈N définie sur [0, 1] par fn (x) = xn f (x) converge uniformément vers 0 sur [0, 1] . Solution. Soit ε > 0. Comme f est continue en 1 avec f (1) = 0, il existe un réel α ∈ ]0, 1[ tel que |f (x)| < ε pour tout x ∈ [α, 1] . Avec |fn (x)| ≤ αn sup |f (x)| pour x∈[0,1]

tout n ∈ N et tout x ∈ [0, α] et

lim αn = 0, on déduit qu’il existe un entier nε tel

n→+∞

que |fn (x)| < ε pour tout n ≥ nε et tout x ∈ [0, α] . Il en résulte que |fn (x)| < ε pour tout n ≥ nε et tout x ∈ [0, 1] . On a donc ainsi prouvé que la suite de fonctions (fn )n∈N converge uniformément vers 0 sur [0, 1] . Exercice 12.6. On désigne par (fn )n∈N la suite de fonctions définies sur R+ par fn (x) = nx sin (x) e−nx . 1. Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur R+ vers la fonction nulle. 2. Montrer que la fonction φ : t 7→ φ (t) = te−t est décroissante sur [1, +∞[ . h hπ , +∞ . 3. Montrer que la convergence de (fn )n∈N vers 0 est uniforme sur 2 4. On se propose maintenant de montrer que la convergenceh de la suite de fonci π tions (fn )n∈N vers 0 est encore uniforme sur l’intervalle 0, . 2 (a) Calculer, pour tout n ≥ 1, la dérivée de la fonction fn . Montrer que 1 fn′ (x) > 0 pour tout x ∈ 0, . n   1 π , , fn′ s’annule en un unique point xn . (b) Montrer que, sur l’intervalle n 2 h πi (c) En déduire les variations de fn sur l’intervalle 0, . 2 h πi (d) Montrer que (fn )n∈N converge uniformément vers 0 sur 0, et sur R+ . 2 Solution. 1. Pour x = 0, on a fn (0) = 0 pour tout n ∈ N et lim fn (0) = f (0) = 0. Pour x > 0, n→+∞ n n on a |fn (x)| ≤ x nx avec lim nx = 0, donc lim fn (x) = 0. n→+∞ e n→+∞ e 2. φ est indéfiniment dérivable sur R et pour tout t ≥ 1, on a φ′ (t) = e−t (1 − t) ≤ 0. Cette fonction est donc décroissante sur [1, +∞[ . π n 3. Pour tout n ≥ 1 et x ≥ , on a |fn (x)| ≤ nxe−nx = φ (nx) ≤ φ (n) = n puisque 2 e n nx ≥ n ≥ 1 et φ est décroissante sur [1, +∞[ . Comme lim n = 0, on en déduit n→+∞ e hπ h que (fn )n∈N converge uniformément vers 0 sur , +∞ . 2 4.   1 (a) On a fn′ (x) = ne−nx ((1 − nx) sin (x) + x cos (x)) . Pour x ∈ 0, , les quantités n (1 − nx) , sin (x) , x, cos (x) et ne−nx sont strictement positives, donc fn′ (x) > 0.

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284

Suites de fonctions 

   1 π x , , on a fn′ (x) = ne−nx cos (x) (1 − nx) tan (x) − avec n 2 nx − 1   1 π ne−nx cos (x) (1 − nx) < 0. Le signe de fn′ (x) sur , dépend donc de celui n 2 1 1 x . De gn′ (x) = + de gn (x) = tan (x) − 2 > 0, on déduit nx − 1 cos2 (x) (nx − 1) que gn est strictement croissante et avec lim gn (x) = −∞, lim gn (x) = +∞, − 1+ x→ π x→ n 2   1 π on déduit que, sur , , gn s’annule en un unique point xn et on a gn (x) < 0   n 2   i 1 π πh 1 . Donc sur , xn , gn (x) > 0 pour x ∈ xn , , , la fonction pour x ∈ n 2 2  n  1 fn′ s’annule uniquement en xn avec fn′ (x) > 0 pour x ∈ , xn et fn′ (x) < 0 n i πi . pour x ∈ xn , 2 (c) De l’étude précédente, on déduit que fn est strictement croissante sur [0, xn ] et h π πi π π strictement décroissante sur xn , avec fn (0) = 0 et fn = n e−n 2 > 0. 2 2 2 On a donc sup |fn (x)| = fn (xn ) . x∈[0, π 2]          1 2 2 2 1 (d) Avec fn′ > 0 et fn′ = −ne−2 cos tan − < 0 (on a n n n n n  i πh 1 2 , et : tan (x) > x pour tout x ∈ 0, ), on déduit que xn ∈ 2 n n   2 0 < fn (xn ) ≤ 2 sin → 0 n n→+∞ h πi D’où la convergence uniforme de (fn )n∈N sur 0, . La convergence uniforme 2  

(b) Pour x ∈

sur R+ se déduit de sup |fn | = max  sup |fn | , sup |fn | . R+ [0, π2 ] [ π2 ,+∞[ Soient f : R → R une fonction dérivable et (gn )n≥1 la suite     1 de fonctions définie sur R par gn (x) = n f x + − f (x) . Montrer que n (gn )n≥1 converge simplement vers f ′ . La convergence est-elle uniforme sur R ? Dans le cas où f ′ est uniformément continue sur R, montrer que la convergence de (gn )n≥1 est uniforme sur R. Exercice 12.7.

Solution. 1. Pour tout x ∈ R, on a lim gn (x) = lim n→+∞

n→+∞

f x+




1 n 1 n

− f (x)

3x 1 + 2 et kgn − f ′ k∞ n n donc la convergence n’est pas uniforme.

pour f (x) = x3 , on a gn (x) = 3x2 +

= f ′ (x) . Par exemple, 3x 1 = sup + 2 = +∞, n x∈R n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 285 — #295

Exercices

285

2. Le théorème desaccroissements finis  dit  que, pour ∈ N∗ et tout x ∈ R, il existe   tout n  1 1 cn,x ∈ x, x + tel que gn (x) = n f x + − f (x) = f ′ (cn,x ) . En supposant n n que la fonction f ′ est uniformément continue sur R, pour tout réel ε > 0, on peut trouver un réel η > 0 tel que : (|x − y| < η) ⇒ (|f ′ (x) − f ′ (y)| < ε) donc pour nε dans N∗ tel que nε >

1 , on a : η

∀n ≥ nε , ∀x ∈ R, |gn (x) − f ′ (x)| = |f ′ (cn,x ) − f ′ (x)| < ε ce qui prouve que la suite de fonctions (gn )n≥1 converge uniformément vers f ′ sur R. Exercice 12.8. Montrer que si une fonction f est limite uniforme sur R d’une suite de fonctions polynomiales, elle est alors polynomiale. Solution. Si la fonction f est limite uniforme sur R d’une suite (Pn )n∈N de fonctions polynomiales, cette suite vérifie alors le critère de Cauchy uniforme, donc pour ε > 0 donné, il existe un entier naturel nε tel que : ∀n > m ≥ nε , ∀x ∈ R, |Pn (x) − Pm (x)| < ε En particulier, on a |Pn (x) − Pnε (x)| < ε pour tout n ≥ nε et tout x ∈ R, c’est-àdire que pour tout entier n ≥ nε la fonction polynomiale Pn − Pnε est bornée sur R et en conséquence, elle est constante. Il existe donc une suite de réels (cn )n≥n0 telle que Pn = Pnε + cn pour tout n ≥ nε . La suite (Pn (0))n∈N étant convergente vers f (0) , on déduit que la suite (cn )n≥nε converge vers f (0) − Pnε (0) et pour tout réel x, on a : f (x) = lim Pn (x) = Pnε (x) + lim cn = Pnε (x) + f (0) − Pnε (0) n→+∞ n≥nε

n→+∞ n≥nε

La fonction f est donc polynomiale. Exercice 12.9. Montrer que la suite de fonctions (fn )n∈N définie sur R par fn (x) = cos (nx) n’admet aucune sous suite uniformément convergente sur R.
Solution. Supposons que l’on puisse extraire une sous suite fφ(n) n∈N qui converge uniformément sur R vers une fonction f. La fonction f est alors continue et pour tous réels a < b, on a : Z

Z

sin (φ (n) b) − sin (φ (n) a) =0 φ (n) a a et nécessairement f = 0, ce qui est incompatible avec sup fφ(n) = 1 (ou encore avec b

f (x) dx = lim

n→+∞

b

fφ(n) (x) dx = lim

n→+∞

x∈R

f (0) = lim fφ(n) (0) = 1). n→+∞

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 286 — #296

286

Suites de fonctions Étudier la convergence simple, puis uniforme sur R des suites r 1 de fonctions définie par fn (x) = x2 + 2 et gn (x) = fn′ (x) . n Exercice 12.10.

Solution.

r

1. Pour tout réel x, on a lim fn (x) = lim n→+∞

n→+∞

x2 +

√ 1 = x2 = |x| . 2 n

2. Pour tout entier n ≥ 1 et tout réel x, on a : r √ 1 1 1 |fn (x) − f (x)| = x2 + 2 − x2 = 2 q √ n n x2 + n12 + x2 r

r √ 1 1 1 1 2 et avec + 2 + x ≥ x2 + 2 ≥ , on déduit que |fn (x) − f (x)| ≤ et n n n n (fn )n∈N converge uniformément vers f sur R. x et : 3. Pour tout entier n ≥ 1 et tout réel x, on a gn (x) = r 1 x2 + 2 n   0 si x = 0 lim gn (x) = g (x) = x n→+∞  = sgn (x) si x 6= 0 |x| x2

Les fonctions gn étant continues sur R, la convergence n’est pas uniforme puisque la limite g n’est pas continue en 0. On peut aussi vérifier ce résultat en évaluant sup |gn (x) − g (x)| . Pour x = 6 0 et n ≥ 1, on a : x∈R

x 1 x 1 |gn (x) − g (x)| = r = |x| r − − √ 2 |x| 1 1 x x2 + 2 x2 + 2 n n r √ x2 − x2 + 1 2 1 n = 1 r ! r = |x| r 2 √ n √ 1 1 1 x2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + x2 + 2 n n n q x2 +

q √ x2 + x2 +



1 , on déduit que |gn (x) − g (x)| ≤ 1. Puis de n2 |gn (0) − g (0)| = 0 et lim |gn (x) − g (x)| = 1, on déduit que sup |gn (x) − g (x)| = 1 De

1 n2

1 n2

≥

x→0

et (gn )n∈N ne converge pas uniformément vers g sur R.

x∈R

Exercice 12.11. On considère la suite de fonctions (fn )n∈N∗ définie sur R par fn (x) = x arctan (nx) . 1. Justifier le fait que toutes les fonctions fn , pour n ∈ N∗ , sont de classe C ∞ et donner la dérivée de fn .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 287 — #297

Exercices

287

2. Montrer que (fn )n∈N∗ converge simplement vers une fonction f à déterminer. 3. La fonction f est-elle dérivable ? 1 π |t| 4. Montrer que pour tout t ∈ R∗ , on a arctan(t) + arctan( ) = . t 2 t 1 5. Montrer que |fn (x) − f (x) | = x arctan( ) pour tout x ∈ R∗ , puis que nx (fn )n∈N∗ converge uniformément vers f sur R. Solution. 1. Chaque fonction fn est C ∞ sur R de dérivée fn′ (x) = arctan (nx) +

nx . 1 + n 2 x2

π = f (x) . 2 3. La fonction f n’est pas dérivable en 0. 2. On a lim (x arctan (nx)) = |x| n→∞

4. Il suffit de dériver. π |x| f (x) 1 = , donc 5. Pour n ∈ N∗ et x ∈ R∗ , on a arctan(nx) + arctan( ) = nx 2 x x 1 1 1 1 fn (x) + x arctan( ) = f (x) et |fn (x) − f (x)| = x arctan( ) ≤ |x| = (en nx nx nx n utilisant l’inégalité des accroissements finis, on a |arctan (t)| 6 |t| pour tout réel t). Cette dernière inégalité étant encore valable pour x = 0. Il en résulte que (fn )n∈N∗ converge uniformément vers f sur R. La fonction f qui est non dérivable en 0, est limite uniforme d’une suite de fonctions dérivables. Exercice 12.12. [a, b] . Calculer

Soit f une fonction continue par morceaux sur un segment Z b lim f (x) sin2 (nx) dx.

n→+∞

a

Solution. En écrivant que sin2 (nx) = de Riemann-Lebesgue, on a : Z

! Z b Z b 1 f (x) sin (nx) dx = f (x) dx − lim f (x) cos (2nx) dx n→+∞ a 2 a Z b f (x) = dx 2 a 2

lim

n→+∞

b

1 − cos (2nx) et en utilisant le théorème 12.16 2

a

Exercice 12.13.

Montrer que si f est une fonction continue sur un segment Z b [a, b] à valeurs réelles et telle que f (x) xn dx = 0 pour tout entier naturel n, elle est alors identiquement nulle.

a

Solution. De la linéarité de l’intégrale, on déduit que pour tout polynôme P on Z b a f (x) P (x) dx = 0. En écrivant que f est limite uniforme sur [a, b] d’une suite a

(Pn )n∈N de fonctions polynomiales (théorème 12.22 de Weierstrass), on peut écrire que

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 288 — #298

288 Z

Suites de fonctions Z

b n→+∞

a

b

f (x) Pn (x) dx = 0 et avec la continuité et la positivité de f 2 , il

f 2 (x) dx = lim

a

en résulte que f est identiquement nulle. Exercice 12.14. Montrer qu’une fonction f ∈ C 0 ([0, 1] , R) est limite uniforme sur [0, 1] d’une suite de polynômes à coefficients entiers relatifs si, et seulement si, f (0) et f (1) sont entiers relatifs. Solution. Pour tout réel x, on note [x] la partie entière de x. S’il existe une suite (Pn )n∈N∗ de polynômes dans Z [X] qui converge vers f (même simplement), on a alors f (0) = lim Pn (0) , où (Pn (0))n∈N∗ est une suite d’entiers relatifs. Comme Z est fermé n→+∞

dans R, on a nécessairement f (0) ∈ Z. De manière analogue, on voit que f (1) ∈ Z. Réciproquement, soit f ∈ C 0 ([0, 1] , R) telle que f (0) et f (1) soient entiers. On lui associe la suite (Pn (f ))n∈N∗ de fonctions polynomiales définie par : ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ [0, 1] , Pn (f ) (x) =

n      X n k n−k xk (1 − x) f n k

k=0

Comme f (0) et f (1) sont entiers, on a pour tout x ∈ [0, 1] : 0 ≤ Bn (f ) (x) − Pn (f ) (x) ≤

n−1 X

n−k

xk (1 − x)

k=1

et avec

  k−1 Y n−j n =n ≥ n pour tout k compris entre 1 et n − 1, on déduit que : k k−j+1 j=1

n   1X n k 1 1 n−k 0 ≤ Bn (f ) (x) − Pn (f ) (x) ≤ x (1 − x) = Bn (e0 ) (x) = n k n n k=0

Puis avec : kf − Pn (f )k∞ ≤ kf − Bn (f )k∞ + kBn (f ) − Pn (f )k∞ ≤ kf − Bn (f )k∞ +

1 n

et la convergence uniforme de la suite (Bn (f ))n∈N∗ vers f (théorème 12.23 de Bernstein), on déduit que la suite de polynômes à coefficients entiers relatifs (Pn (f ))n∈N∗ converge uniformément vers la fonction f sur [0, 1] .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 289 — #299

Chapitre 13

Séries de fonctions

I est un intervalle réel non réduit à un point et les fonctions considérées sont définies sur I à valeurs réelles ou complexes. Soient n0 un entier naturel et (fn )n≥n0 une suite de fonctions de I dans R ou C. Étudier la série fonctions de terme général fn revient à étudier la suite de fonctions n X X fk . On notera plus simplement fn une telle série de (Sn )n≥n0 définie par Sn = k=n0

fonctions et on dit que, pour n ≥ n0 , fn est le terme d’indice n et Sn la somme partielle d’indice n. On supposera, a priori, que n0 = 0 (par changement d’indice, on peut toujours se ramener à ce cas). X Dans ce qui suit, on se donne une telle série de fonctions fn sur I.

13.1

Convergence simple, uniforme et normale

Pour ce paragraphe, (fn )n∈N est une suite de fonctions définies sur l’intervalle I et ! n X (Sn )n∈N = fk est la suite des sommes partielles. k=0

n∈N

Définition 13.1. On dit que la série de fonctions

X

fn converge : X — simplement sur I si, pour tout x ∈ I, la série numérique fn (x) est convergente ; — uniformément sur I, si la suite (Sn )n∈N de ses sommes partielles est uniformément convergente sur I ; X — normalement sur I, si la série numérique kfn k∞ est convergente.

X Dire que la série de fonctions fn converge uniformément vers f sur I équivaut à dire que la suite numérique (kSn − f k∞ )n∈N est convergente de limite nulle ou encore que la ! +∞ X X série de fonctions fn converge simplement et que la suite (Rn )n∈N = fk k=n+1

des restes de cette série converge uniformément vers 0 sur I.

n∈N

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 290 — #300

290

Séries de fonctions

X Si la série de fonctions fn converge simplement [resp. uniformément] sur I, la suite de fonctions (fn )n∈N∗ = (Sn − Sn−1 )n∈N converge alors simplement [resp. uniformément] vers la fonction nulle sur I. On vérifie facilement qu’une série de fonctions uniformément convergente est simplement convergente. Mais la réciproque est fausse. En utilisant le critère de Cauchy uniforme pour les suites de fonctions, on obtient le résultat suivant. Théorème 13.1. La série de fonctions

X

fn converge uniformément sur I si, et seulement si,

m

X

pour tout réel ε > 0, il existe un entier nε tel que fk < ε pour tous

k=n ∞ m > n ≥ nε . Théorème 13.2. X fn est normalement convergente sur I si, et seuleX ment si, il existe une suite (αn )n∈N de réels positifs telle que la série αn est convergente et kfn k∞ ≤ an pour tout n ∈ N. La série de fonctions

Preuve. Pour la condition nécessaire, il suffit d’utiliser (αn )n∈N = (kfn k∞ )n∈N . La condition suffisante est évidente.  En utilisant le critère de Cauchy uniforme, on obtient le résultat suivant. Théorème 13.3. Une série de fonctions normalement convergente sur I est uniformément convergente. X Preuve. Supposons que la série de fonctions fn soit normalement convergente sur I. Pour m > n dans N et x dans I, on a : m +∞ m m X X X X kfk k∞ kfk k∞ ≤ εn = |Sm (x) − Sn (x)| = fk (x) ≤ |fk (x)| ≤ k=n+1

k=n+1

k=n+1

k=n+1

donc kSm − Sn k∞ ≤ εn avec lim εn . Il en résulte que la suite (Sn )n∈N vérifie le critère n→+∞

de Cauchy uniforme X sur I et en conséquence converge uniformément, ce qui signifie que la série de fonctions fn est uniformément convergente sur I.  XEn utilisant X les sommes partielles, on vérifie facilement que si les séries de fonctions fn et gn convergent simplement [resp. uniformément] sur I vers f et g respectiveX ment, la série de fonctions (fn + gn ) converge alors simplement [resp. uniformément] sur I vers f + g.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 291 — #301

Convergence simple, uniforme et normale

291

Théorème 13.4. X fn converge uniformément vers f sur I, alors pour X toute fonction φ bornée sur I, la série de fonctions φfn est uniformément convergente vers φf sur I. Si la série de fonctions



n n

X

X



Preuve. Comme φ est bornée sur I, on a φfk − φf ≤ kφk∞ fk − f et



k=0 k=0 ∞ ∞ X la convergence uniforme de φfn vers φf s’en suit.  Le résultat précédent est faux pour φ non bornée. Prenant chaque fonction f constante n X égale à αn > 0 avec αn convergente vers un réel S > 0, pour φ définie sur I = ]0, 1] par X 1 φ (x) = , la série de fonctions fn est uniformément convergente sur I et la série de x X S fonctions φfn converge simplement sur I vers , la convergence n’étant pas uniforme x αn puisque sup |φ (x) fn (x)| = sup = +∞. x∈I x∈]0,1] x Du théorème des séries alternées pour les séries numériques, on déduit le théorème suivant. Théorème 13.5. n

On suppose que (fn )n∈N = ((−1) αn )n∈N , où la suite de fonctions (αn )n∈N est à valeurs réelles positives décroissante et converge uniformément vers la fonction X nulle sur I. Dans ces conditions, la série de fonctions fn est uniformément convergente sur I. Preuve. Du Xthéorème des séries alternées, on déduit que pour tout réel x ∈ I la série numérique fn (x) est convergente avec la majoration des restes : +∞ X |Rn (x)| = fk (x) ≤ αn+1 (x) ≤ kαn+1 k∞ k=n+1

De la convergence uniforme vers la fonction nulle de la suite de fonctions (αn )n∈N , on X déduit que fn converge uniformément sur I.  Du théorème d’Abel pour les séries numériques, on déduit le « théorème d’Abel uniforme » suivant. Théorème 13.6. Abel uniforme On suppose que (fn )n∈N = (αn gn )n∈N , où (αn )n∈N et (gn )n∈N sont des suites de fonctions telles que : — la suite (αn )n∈N est à valeurs réelles positives décroissante et converge uniformément vers la fonction nulle sur I ; n X — il existe un réel M > 0 tel que gk (x) ≤ M pour tout n ∈ N et tout k=0 X x ∈ I, (la suite des sommes partielles de gn est uniformément bornée).

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 292 — #302

292

Séries de fonctions

Dans ces conditions, la série de fonctions sur I.

X

fn est uniformément convergente

Preuve. Du théorème d’Abel, on déduit que pour tout réel x ∈ I la série numérique X fn (x) est convergente avec la majoration des restes : +∞ X |Rn (x)| = fk (x) ≤ 2M αn+1 (x) ≤ 2M kαn+1 k∞ k=n+1

De la convergence uniforme vers la fonction nulle de la suite de fonctions (αn )n∈N , on X déduit que fn converge uniformément sur I.  Une utilisation classique du théorème d’Abel est l’étude des séries trigonométriques. Théorème 13.7. Soit (αn )n∈N une suite de réels positifs. X X 1. Si la série αn est convergente, la série αn einx est alors normalement convergente sur R. X 2. Si la suite (αn )n∈N tend vers 0 en décroissant, la série αn einx est alors simplement convergente sur R \ 2πZ, la convergence étant uniforme sur tout segment [a, b] ⊂ ]2kπ, 2 (k + 1) π[ , où k ∈ Z. Preuve. 1. Résulte immédiatement de αn einx = αn pour tout réel x. 2. Pour tout x ∈ R \ 2πZ, on a : n
n+1 n+1 1 − ei(n+1)x ei n+1 X n+1 2 x e−i 2 x − ei 2 x sin 2
x 1
ikx e = = ≤ = x x x sin x2 1 − eit ei 2 e−i 2 − ei 2 sin x2 k=0 x (pour x ∈ R \ 2πZ, on a sin 6= 0). On déduit alors du théorème d’Abel que la série 2 X inx αn e est convergente. Pour [a, b] ⊂ ]2kπ, 2 (k + 1) π[ il existe un réel δ ∈ ]0, π[ tel que [a − 2kπ, b − 2kπ] ⊂ [δ, 2π − δ] ⊂ ]0, 2π[ , de sorte que tout x ∈ [a, b] s’écrit sous la forme x = 2kπ + t avec t ∈ [δ, 2π − δ] , ce qui nous donne : n  x   t   δ  X ikx ≥ sin et e ≤ 1
sin = sin sin δ 2 2 2 k=0

2

pour tout x ∈ [a, b] . On déduit alors du théorème d’Abel uniforme que la série X αn einx est uniformément convergente sur [a, b] . 

13.2

Propriétés de la somme d’une série de fonctions convergente

Des résultats analogues sur les séries de fonctions, on déduit les théorèmes suivants, les démonstrations se faisant en utilisant la suite des sommes partielles.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 293 — #303

Propriétés de la somme d’une série de fonctions convergente Théorème 13.8. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalle I d’extrémités X −∞ < a < b ≤ +∞ telle que la série de fonctions fn soit uniformément convergente sur cet intervalle de somme f et telle que, pour tout entier n, la fonction fn admet une limite finie ℓn quand x tend vers b. X 1. Si la série numérique ℓn est convergente de somme ℓ, la fonction f admet alors ℓ pour limite quand x tend vers b. 2. Si Xla fonction f admet une limite finie ℓ quand x tend vers b, la série numérique ℓn est alors convergente de somme ℓ. ! +∞ +∞ X X Ce qui peut se traduire par lim fn (x) = lim fn (x) dans chaque cas x→b x→b n=0 n=0 . Théorème 13.9. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions continues [resp. uniformément continues] X sur I telle que la série de fonctions fn soit uniformément convergente sur cet intervalle de somme f. Dans ces conditions, la fonction f est continue [resp. uniformément continues] sur I et pour tout intervalle [a, b] ⊂ I, on a Z bX +∞ +∞ Z b X fn (x) dx = fn (x) dx. a n=0

n=0 a

Théorème 13.10. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions Riemann-intégrables sur [a, b] telle que la X série de fonctions fn est uniformément convergente sur cet intervalle de somme f. Dans ces conditions, la fonction f est Riemann intégrable sur [a, b] et on a Z b Z b f (x) dx = lim fn (x) dx. a

n→+∞

a

Théorème 13.11. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions dérivables sur I telle que : X — il existe x0 ∈ I tel que la série numérique fn (x0 ) soit convergente ; X — la série de fonctions fn′ est uniformément convergente sur I. X Dans ces condition, la série de fonctions fn converge simplement sur I +∞ X vers une fonction f dérivable et on a f ′ (x) = fn′ (x) pour tout x ∈ I. Si n=0

de plus, l’intervalle I est borné, la convergence est alors uniforme. Dans le cas où les fn sont toutes de classe C 1 sur I, il en est de même de f.

293

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 294 — #304

294

Séries de fonctions

On admet le théorème de permutation des signes

X

Z et

suivant.

Théorème 13.12. Soient I = [a, b[ un intervalle réel avec −∞ < a < b ≤ +∞, (fn )n∈N une suite de fonctions continues par morceaux sur I à valeurs réelles ou complexes telle que : X — fn converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux ; Z b fn (x) dx est absolument convergente ; — pour tout n ∈ N, a

— la série numérique

XZ

b

|fn (x)| dx est convergente.

a

Z b XZ b fn (x) dx est Dans ces conditions, f (x) dx est absolument convergente, a a Z b Z +∞ b X convergente et on a f (x) dx = fn (x) dx. a

n=0 a

De ce théorème, on en déduit le théorème de convergence dominée suivant. Théorème 13.13. Convergence dominée Soient I = [a, b[ un intervalle réel avec −∞ < a < b ≤ +∞ et (fn )n∈N une suite de fonctions continues par morceaux sur I à valeurs réelles ou complexes telle que : — la suite (fn )n∈N converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux ; — il existe une fonction φ continue par morceaux sur I à valeurs réelles posiZ b tives telle l’intégrale φ (x) dx est convergente et 0 ≤ |fn | ≤ φ pour tout n ∈ N.

a

Dans ce cas les fonctions fn et f sont absolument intégrables et on a : Z lim

n→+∞

13.3

Z

b

fn (x) dx = a

b

f (x) dx a

Exercices

X Exercice 13.1. Montrer que la série de fonctions e−nx est simplement convergente sur R+,∗ mais pas uniformément convergente. Pour x > 0 il s’agit d’une série géométrique de raison e−x ∈ ]0, 1[ , elle    +∞ X 1 1 converge donc et on a fn (x) = . Comme le suite fn ne converge −x 1−e n n∈N∗ n=0

Solution.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 295 — #305

Exercices

295

pas vers 0, la suite de fonctions (fn )n∈N∗ ne converge pas uniformément vers la fonction X nulle et en conséquence la convergence de la série de fonctions e−nx n’est pas uniforme +,∗ sur R . Exercice 13.2. Soit (fn )n∈N la suite de fonctions définie sur le segment [0, 1] n n par N et tout x ∈ [0, 1] . Montrer que X fn (x) = (−1) (1 − x) x pour tout n ∈ X fn est uniformément convergente et que |fn | est simplement, mais non uniformément, convergente sur [0, 1] . Solution. Avec fn (0)X = fn (1) = 0 et |fn (x)| ≤ xn pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ ]0, 1[ , on déduit que la série |fn (x)| est convergente pour tout x ∈ [0, 1] avec : +∞ X

 |fn (x)| = g (x) =

n=0

1 pour x ∈ [0, 1[ 0 pour x = 1

La fonction g étant discontinue en 1, la convergence ne peut être uniforme sur I. La série +∞ X X 1−x et : fn est simplement convergente sur [0, 1] avec fn (x) = f (x) = 1 +x n=0 n n X 1 + (−1) xn+1 1 − x − fk (x) − f (x) = (1 − x) 1+x 1 + x k=0

=

1 − x n+1 x x = φn (x) ≤ φn (x) 1+x 1+x

1 ′ n−1 où φn (x) = (1 − x)xn . Pour (n − (n + 1) x) ,  n ≥ 2, φn est de classe C avec φn (x) = x n 1 1
et : donc kφn k∞ = φn = n+1 n + 1 1 + n1 n

1 1
→ 0 n + 1 1 + n1 n n→+∞ X ce qui prouve la convergence uniforme sur [0, 1] de fn . kSn − f k∞ ≤

Exercice 13.3.

Montrer que la série de fonctions

X

n+1

(−1)

mément convergente sur [0, 1] mais pas normalement convergente.

xn est uniforn

X X1 Solution. La série numérique kfn k∞ = étant divergente, la série de foncn X tions fn n’est pas normalement convergente sur [0, 1] . Pour tout t ∈ [0, 1] , on a n n X 1 + (−1) t(n+1) k (−1) tk = et en intégrant sur [0, x] pour x ∈ [0, 1] , on obtient 1+t k=0 Z x (n+1) n k+1 X t k x n (−1) = ln (1 + x) + (−1) dt, ce qui nous donne : k+1 0 1+t k=0

Z Z x n+1 x (n+1) k X t xn+2 1 k+1 x (−1) dt ≤ t(n+1) dt = ≤ ln (1 + x) − = k 1+t n+2 n+2 0 0 k=1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 296 — #306

296

Séries de fonctions

Il en résulte que

X fn converge uniformément sur [0, 1] vers la fonction x 7→ ln (1 + x) .

Exercice 13.4. Soit (fn )n∈N∗ la suite de fonctions définie sur l’intervalle R−,∗ par fn (x) = en ln(n)x pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ R−,∗ . X 1. Montrer que la série de fonctions fn converge simplement sur R−,∗ . 2. Montrer que la convergence est normale sur tout intervalle ]−∞, a] , où a < 0. La convergence est-elle uniforme sur R−,∗ ? Solution. 1. Pour tout n ≥ 3 et tout x < 0, on a 0 < fn (x) = en ln(n)x < enx , la série étant convergente (série géométrique de raison ex ∈ ]0, 1[), donc la série converge.

X X

n

(ex )

fn (x)

2. Pour tout n ≥ 1 et tout a < 0, on a sup |fn (x)| = fn (a) (croissance de l’exponentielle), x≤a X la série fn (a) étant convergente, donc la convergence est normale sur ]−∞, a] .   1 1 = pour n ≥ 2, on déduit que la suite de fonctions (fn )n∈N∗ Avec fn − n ln (n) e ne converge pas uniformément vers 0 sur R−,∗ . Il en résulte que la convergence de la P série de fonctions fn ne peut pas être uniforme sur R−,∗ . Exercice 13.5. Soient α ∈ R+,∗ et (fn )n∈N la suite de fonctions définie sur R+ par fn (x) = xα e−nx pour tout n ∈ N et tout x ∈ R+ . X 1. Montrer que la série de fonctions fn converge simplement sur R+ vers une fonction f à déterminer. 2. Montrer que la convergence est normale sur tout intervalle [a, b] ⊂ R+,∗ . La convergence est-elle uniforme sur R+ ? Solution. 1. Pour x = 0, on a fn (0) = 0 pour tout n ≥ 0 et

+∞ X

fn (0) = 0. Pour x > 0 il s’agit

n=0 +∞ X

xα d’une série géométrique de raison e−x ∈ ]0, 1[ et fn (x) = . En définitive, 1 − e−x n=0 X la série de fonctions fn converge simplement sur R+ vers la fonction f définie par xα f (0) = 0 et f (x) = pour x > 0. 1 − e−x X 2. Pour tout n ≥ 0 et tout x ∈ [a, b] ⊂ R+,∗ , on a |fn (x)| ≤ αn = bα e−na , αn étant convergente. Il en résulte que la convergence est normale sur [a, b] . En remarquant que xα f (x) ∼ + = xα−1 , on déduit que pour 0 < α ≤ 1 la fonction f est discontinue x x→0 en 0 (puisque lim f (x) 6= 0 = f (0)), les fonctions fn étant toutes continues en 0, x→0

il en résulte que la convergence ne peut pas être uniforme sur R+ . ÉtudionsX pour α > 1 la convergence uniforme sur R+ . Les restes de la série géométrique fn

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 297 — #307

Exercices

297

sont définies par Rn (0) = 0 et Rn (x) =

+∞ X

xα e−kx = xα

k=n+1

Rn′

−nx e−(n+1)x α e = x 1 − e−x ex − 1

xα−1 e−nx

x 2 ((α − (n + 1) x) e + α − nx) et (ex − 1) α Rn′ (x) est du signe de φn (x) = (α − (n + 1) x) ex + α − nx. Pour x ≥ , on a n α α α − nx ≤ 0 et α − nx − x < 0, de sorte que φn (x) < 0. Pour x ≤ < , on n + 1  n α α a α − nx > 0 et α − (n + 1) x ≥ 0, de sorte que φn (x) > 0. Sur , , on a n+1 n ′ x x α − (n + 1) x < 0 et φn (x) = − (n + 1) e + (α − (n + 1)  x) e − n< 0, c’est-à-dire que α α < 0, φn est strictement décroissante sur cet intervalle avec φn > 0 et φn n   n+1 α α donc elle s’annule en un unique point xn ∈ , . Il résulte de cette étude que n+1 n ′ ′ ′ Rn (x) > 0 sur ]0, xn [ , Rn (x) < 0 sur ]xn , +∞[ et Rn (xn ) = 0 avec Rn (0) = 0 et e−nxn Rn (x) > 0 pour x > 0. En conséquence, on a sup |Rn (x)| = Rn (xn ) = xα n xn e −1 x∈R+   α α avec xn ∈ , . On a alors lim xn = 0, lim nxn = α et : n→+∞ n→+∞ n+1 n xn lim Rn (xn ) = lim xn e−nxn xα−1 = 1 · e−α · 0 = 0 n n→+∞ n→+∞ e −1

pour x > 0. Pour x > 0, on a

(x) =

donc la convergence est uniforme sur R+ . Exercice 13.6.

On considère la série de fonctions de terme général fn défini 2x sur R par fn (x) = 2 pour n ≥ 1. n + x2 1. Montrer que cette série converge uniformément sur tout intervalle [a, b] . On notera f sa somme. Z x 2. Exprimer f (t) dt sous forme d’une série de fonctions sur [−1, 1] . 0

3. Étudier la convergence sur [−1, 1] de la série de fonctions de terme  uniforme  x2 général gn (x) = ln 1 + 2 . n 4. Étudier la convergence uniforme sur [−1, 1] de la série de fonctions de terme
2 n 2 − x2 général hn (x) = 2 . (n2 + x2 ) 5. En déduire une expression de f ′ sous forme d’une série de fonctions, puis que f est croissante sur [−1, 1] . Solution. 2 max (|a| , |b|) , donc la convergence est normale sur [a, b] . n2 2. Il en résulte que, pour tout x ∈ [−1, 1] , on a :   Z x +∞ +∞ Z x X X 2t x2 f (t) dt = dt = ln 1 + n2 + t2 n2 0 n=1 0 n=1

1. On a |fn (x)| ≤

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 298 — #308

298

Séries de fonctions

x2 1 ≤ 2 , donc la convergence est normale sur [−1, 1] . 2 n n 2n2 2 4. On a |hn (x)| ≤ 2 = n2 , donc la convergence est normale sur [−1, 1] . 2 (n ) 3. On a |gn (x)| ≤

5. Comme hn (x) =

fn′

′

(x) , on en déduit que f (x) =

+∞ X

fn′ n=1

(x) =

2 n 2 − x2 (n2 + x2 )




2

≥ 0 et f

est croissante sur [−1, 1] .

Exercice 13.7.

Montrer que la fonction f : x 7→

+∞ X n=2

et de classe C 1 sur R.

n2

1 est définie + sin (nx)

1 1 pour n ≥ 2 et x ∈ R. Avec |fn (x)| ≤ 2 + sin (nx)X n −1 fn est normalement convergente sur R et pour tout n ≥ 2, on déduit que la série −n cos (nx) n ′ ≤ que la fonction f est continue. Avec |fn (x)| = 2 pour tout 2 2 − 1)2 (n + sin (nx)) (n X n ≥ 2, on déduit que la série fn′ est normalement convergente sur R et la fonction f +∞ X −n cos (nx) est de classe C 1 sur R avec f ′ (x) = . (n2 + sin (nx))2 n=2 Solution. On note fn (x) =

Exercice 13.8.

n2

Montrer que la fonction f : x 7→

sur R et de classe C 1 sur R∗ .

+∞ X

x √ est définie n (1 + nx2 ) n=1

x pour n ≥ 1 et x ∈ R. Pour x = 0, on a n (1 + nx2 ) fn (x) pour tout n ≥ 1, donc f (0) = 0. Pour tout réel a > 0 et tout réel x tel que X 1 1 |x| ≥ |a| , on a |fn (x)| ≤ ≤ pour tout n ≥ 1, donc la série fn est 3 3 |x| n 2 an 2 normalement convergente sur ]−∞, a] ∪ [a, +∞[ et la fonction f est continue sur tous ces ensembles. La fonction f est donc définie sur R et continue sur R∗ . Les fonctions fn sont 1 1 − nx2 toutes de classe C 1 sur R avec fn′ (x) = √ . Pour a > 0 et |x| ≥ |a| , on a n (1 + nx2 )2 X 1 1 + nx2 1 |fn′ (x)| ≤ √ ≤ fn′ est normalement 3 pour tout n ≥ 1, donc la série 2 2 2 n (1 + nx ) a n2 convergente sur ]−∞, a] ∪ [a, +∞[ et la fonction f est de classe C 1 sur tous ces ensembles. +∞ X 1 1 − nx2 √ La fonction f est donc de classe C 1 sur R∗ avec f ′ (x) = . n (1 + nx2 )2 n=1 Solution. Notons fn (x) = √

Z Exercice 13.9.

Calculer

lim

n→+∞ 0

1

nα

 n xα 1− dx pour α > 0. n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 299 — #309

Exercices

299

Solution. On désigne par (fn )n≥1 la suite de fonctions définies sur l’intervalle ]0, +∞[  n i h xα 1 1 pour x ∈ 0, n α et fn (x) = 0 pour x ≥ n α . Chaque fonction par fn (x) = 1 − n α fn est continue et intégrable sur ]0, +∞[ avec lim fn (x) = e−x pour tout x > 0, n→+∞
Z +∞ Z +∞ 1 α −1 Γ α1 −xα −xα −t t dt = . On déduit alors du théo|fn (x)| ≤ e et e dx = e α α 0 0 1 
n Z nα Γ α1 xα 1− rème 13.13 de convergence dominée que lim dx = . n→+∞ 0 n α Z Exercice 13.10.

Calculer

+∞

lim

n→+∞ 1

na sin

x

Solution. Soit (fn )n∈N définie par fn (x) = na sin

n n 2

n2

x2 2

≤ λe−

x2 2

2

x

∀x ≥ 1, |fn (x)| ≤ na e−n avec |fn (x)| ≤ na e− 2 e−

e−n

x2

e−n

→

n→+∞

2

dx pour a > 0.

x2

sur I = [1, +∞[ . On a :

0

  n2 pour tout x ≥ 1 (la suite na e− 2

est majorée n≥1

puisque convergente vers 0). On déduit alors du théorème de convergence dominée que Z +∞ x 2 2 e−n x d = 0. lim na sin n→+∞ 1 n Exercice 13.11.

 n Z +∞ t 1− ln (t) dt = e−t ln (t) dt. n→+∞ 0 n 0 ! n Z n n+1 X1 t n ln (n) − . En déduire la 2. Montrer que 1− ln (t) dt = n n+1 k 0 k=1 Z +∞ valeur de e−t ln (t) dt. 1. Montrer que

Z

n

lim

0

Solution. 1. On désigne par (fn )n≥1 la suite de fonctions définies sur ]0, +∞[ par fn (t) = 0 pour  n t t ≥ n et fn (t) = 1 − ln (t) pour t ∈ ]0, n[ . Chaque fonction fn est continue et n intégrable sur ]0, +∞[ avec : ∀t ∈ ]0, +∞[ ,

lim fn (t) = f (t) = e−t ln (t)

n→+∞

  n   1− t |ln (t)| ≤ φ (t) = e−t |ln (t)| pour t ∈ ]0, n[ n |fn (t)| =   0 ≤ φ (t) pour t ≥ n   t t (pour 0 < x < 1, on a ln (1 − x) ≤ −x, donc ln 1 − ≤ − pour t ∈ ]0, n[ et n n  n t 1− ≤ e−t ) la fonction φ étant continue et intégrable sur ]0, +∞[ . On déduit n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 300 — #310

300

Séries de fonctions

alors du théorème de convergence dominée que : n Z +∞ Z +∞ Z n t fn (t) dt = e−t ln (t) dt 1− ln (t) dt = lim lim n→+∞ 0 n→+∞ 0 n 0 n Z n Z 1 t n ln (n) n 2. On a In = 1− ln (t) dt = n (1 − x) ln (nx) dx = + nJn et une n n+1 0 0 intégration par parties donne : Z 1 Z 1 n+1 n Jn+1 = (1 − x) ln (x) dx = (n + 1) (1 − x) (x ln (x) − x) dx 0

0

Z

= − (n + 1) Jn+1 + (n + 1) Jn − (n + 1)

1

n

x (1 − x) dx 0

1 avec J0 = −1, ce qui donne soit la récurrence (n + 2) Jn+2 = (n + 1) Jn − n! +2 n+1 n+1 X1 X1 n et In = (n + 1) Jn = − ln (n) − . On a alors : k n+1 k k=1 k=1 ! Z +∞ n+1 X1 n −t ln (n) − = −γ e ln (t) dt = lim In = lim n→+∞ n→+∞ n + 1 k 0 k=1

Exercice 13.12. Montrer que pour α ∈ C tel que Re (α) > 0, on a Z +∞ Z +∞ +∞ X 1 xα dx = Γ (α + 1) , où Γ (z) = xz−1 e−x dx pour z ∈ C α+1 ex − 1 n 0 0 n=1 tel que Re (z) > 0. Solution. Pour tout réel x > 0, on a : +∞ +∞ X X xα e−x xα α −(n+1)x = = x e = fn (x) f (x) = x e −1 1 − e−x n=0 n=0

avec f et les fn continues sur ]0, +∞[ et : Z +∞ Z +∞ |fn (x)| dx = xRe(α) e−(n+1)x dx < +∞ 0

0

Le changement de variable t = (n + 1) x donne : Z +∞ Z +∞ λ 1 tRe(α) e−t dt = |fn (x)| dx = Re(α)+1 Re(α)+1 0 0 (n + 1) (n + 1) X 1 < +∞ pour Re (α) > 0. Le théorème 13.12 nous dit alors que : avec Re(α)+1 (n + 1) Z +∞ Z +∞ +∞ Z +∞ +∞ X X xα 1 α −(n+1)x dx = x e dx = tα e−t dt α+1 ex − 1 (n + 1) 0 0 0 n=0 n=0 = Γ (α + 1)

+∞ X

1 α+1 n n=1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 301 — #311

Chapitre 14

Séries entières

X Une série entière est une série numérique de la forme an z n , où (an )n≥n0 est une suite donnée de nombres complexes. On supposera a priori que n0 = 0 (par changement d’indice, on peut toujours s’y ramener). X En désignant par D l’ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série an z n +∞ X est convergente, on note pour tout z dans D, f (z) = an z n la somme de cette série n=0

et on définit ainsi une fonction de D dans C. L’ensemble D est appelé domaine de convergence de la séries entière. Cet ensemble est non vide puisqu’il contient toujours 0. Dans le cas où les coefficients an sont tous nuls à partir d’un rang p + 1, la série est convergente pour tout nombre complexe z et sa somme est la fonction polynomiale p X définie par f (z) = ak z k . k=0

Pour tout réel R strictement positif, on note respectivement D (0, R) = {z ∈ C | |z| < R} et D (0, R) = {z ∈ C | |z| ≤ R} les disques ouvert et fermé de centre 0 et de rayon R.

14.1

Rayon de convergence d’une série entière

Nous allons voir que, de manière générale, que le domaine de convergence d’une série entière est C tout entier ou un disque ouvert éventuellement complété par des points du bord de ce disque. Théorème 14.1. Abel X Soit an z n une série entière. S’il existe un scalaire non nul z0 tel que la suite X an z n converge alors absolument pour (an z0n )n∈N soit bornée, la série entière tout nombre complexe z tel que |z| < |z0 | . Preuve. Il suffit d’écrire que pour tout naturel entier n n et tout nombre complexe z n z n n z tel que |z| < |z0 | , on a |an z | = |an z | ≤ M , où M est un majorant de la z0 z0 X z n z n étant convergente puisque suite (|an z0 |)n∈N et < 1. La série géométrique z0 z0 X z < 1, on en déduit la convergence de |an z n | .  z0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 302 — #312

302

Séries entières

Comme conséquence de ce théorème, on déduit que si une série entière converge en un point z0 , elle converge alors absolument sur tout le disque ouvert de centre 0 et de rayon |z0 | . En fait ce théorème peut aussi s’interpréter comme suit. Théorème 14.2. X Soit an z n une série entière. L’ensemble I des réels positifs ou nuls tels que la suite (an rn )n∈N soit bornée est un intervalle qui est soit réduit à {0} , soit de la forme [0, R] ou [0, R[ avec R > 0, soit égal à R+ tout entier. Preuve. Comme une série entière converge pour z = 0, I est non vide du fait qu’il contient 0. S’il est réduit à {0} c’est terminé. On suppose donc que I 6= {0} . Le théorème précédent nous dit que si r > 0 est dans I, alors I contient le segment [0, r] . En effet dire que r ∈ I signifie que la suite (an rn )n∈N est bornée et le théorème d’Abel nous dit X alors que pour tout réel s ∈ [0, r[ , la série an sn est convergente et la suite (an sn )n∈N converge alors vers 0, ce qui implique qu’elle est bornée et signifie que s ∈ I. L’ensemble I est donc un intervalle de R+ qui contient 0, il est donc nécessairement de la forme [0, R] avec R > 0, ou [0, R[ avec 0 < R ≤ +∞.  On note R = sup r ∈ R+ | (an rn )n∈N est bornée dans R+ = R+ ∪ {+∞} et I est un intervalle de R+ d’extrémité droite R. X Définition 14.1. Le rayon de convergence de la série entière an z n est l’élé ment de R+ défini par R = sup r ∈ R+ | (an rn )n∈N est bornée . Si la suite (an )n∈N est bornée, on aura 1 ∈ I et R ≥ 1, dans le cas contraire 1 ∈ / I et R ≤ 1. Théorème 14.3. X X Soient an z n et bn z n de rayons de convergence respectifs R et R′ . 1. Si |an | ≤ |bn | pour tout n ∈ N, on a alors R ≥ R′ . 2. Si an = 3. Si an

(bn ) , on a alors R ≥ R′ .

O

n→+∞

bn , on a alors R = R′ .

∼

n→+∞

Preuve. 1. Comme |an | ≤ |bn | pour tout n, on a :   I ′ = r ∈ R+ | (bn rn )n∈N bornée ⊂ I = r ∈ R+ | (an rn )n∈N bornée et en conséquence R′ = sup (I ′ ) ≤ R = sup (I) . 2. Dire que an =

O

n→+∞

(bn ) signifie que l’on a an = φn bn où (φn )n∈N est une suite

bornée. Il existe donc un réel M > 0 tel que |an | ≤ M |bn | pour tout n ∈ N et en conséquence R ≥ R′ . 3. Dire que an

∼

n→+∞

bn signifie que l’on a an = φn bn où (φn )n∈N est une suite de limite

égale à 1, ce qui entraîne que an = O (bn ) et bn = O (an ) , donc R = R′ . 

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 303 — #313

Rayon de convergence d’une série entière

303

X Corollaire 14.1. Si an z n est une série entière telle qu’il existe deux réels strictement positifs m et M avec m ≤ |an | ≤ M pour tout n ∈ N, le rayon de convergence de cette série vaut alors 1. X Preuve. La série z n étant de rayon de convergence égal à 1, il en est de même des X X séries mz n et M z n . Le premier point du théorème précédent nous dit alors que le X rayon de convergence R de an z n est tel que R ≤ 1 et R ≥ 1, il vaut donc 1.  Théorème 14.4. En utilisant les notations qui précèdent : X 1. dans le cas où R > 0, la série an z n est absolument convergente pour tout z tel que |z| < R ; X X 2. dans le cas où R est fini, les séries an z n et |an z n | sont divergentes pour tout z tel que |z| > R. Preuve. Pour |z| < XR, tout réel r tel que |z| < r < R est dans I et le théorème d’Abel nous dit que an z n converge absolument. Pour |z| > R, on a |z| ∈ / I et la suite n n (an |z| )n∈N n’est pas bornée, donc les suites (an |z| )n∈N et (an z n )n∈N ne convergent pas vers 0 et les séries correspondantes divergent. X  ′ n + Réciproquement, si R ∈ R est tel que la série an z est absolument convergente ′ ′ pour tout z tel que |z| < R (dans le cas où R > 0) et divergente pour |z| > R′ [resp. X |an z n | est divergente pour |z| > R′ ], R′ est alors le rayon de convergence R de cette X série. En effet, pour 0 ≤ r < R′ , la série an rn est convergente et (an rn )n∈N est bornée car elle converge vers 0, donc r ∈ I. On a donc [0,X R′ [ ⊂ I et R′ ≤ R. Si R′ = +∞, on a nécessairement R = +∞. Sinon, pour 0 ≤ r < R, |an rn | est convergente et r ne peut être strictement supérieur à R′ , donc r ≤ R′ , on a donc [0, R[ ⊂ [0, R′ ] et R ≤ R′ . On a donc bien R = R′ . Dans le cas où R = 0, le domaine de convergence D de la série est réduit à {0} , dans le cas où R = +∞, c’est C tout entier et dans le cas où R est fini, tout ce que l’on peut dire est que D (0, R) ⊂ D ⊂ D (0, R). Les théorèmes de d’Alembert et de Cauchy relatifs aux séries numériques nous fournissent deux critères pratiques pour calculer le rayon de convergence d’une série entière. Théorème 14.5. d’Alembert X Soit an z n une série entière telle que an 6= 0 à partir d’un certain rang. Si an+1 = ℓ ∈ R+ , le rayon de convergence de cette série est alors R = 1 lim n→+∞ an ℓ 1 1 = 0. avec les conventions = +∞ et 0 +∞ an+1 z n+1 = ℓ |z| et le Preuve. Pour tout nombre complexe non nul z, on a lim n→+∞ an z n X 1 an z n est absolument théorème de d’Alembert nous dit que pour |z| < , la série ℓ

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 304 — #314

304

Séries entières

X 1 1 convergente et pour |z| > , la série |an z n | est divergente. Il en résulte que est le ℓ ℓ X rayon de convergence de an z n .  La réciproque du théorème précédent est fausse, c’est-à-dire que si R est  de  le rayon X an+1 n convergence de la série an z , rien ne permet d’affirmer que la suite an n∈N n X 1 + (−1) soit convergente. Par exemple la série an z n où an = pour tout n ≥ 0, 2 +∞ +∞ X X 1 pour |z| < 1) et a un rayon de convergence égal à 1 ( an z n = z 2n = 1 − z2 n=0 n=0   an+1 n’est pas définie puisque an = 1 pour n pair et an = 0 pour n impair. an n∈N

Corollaire 14.2. Si

X an z n est telle que lim an = ℓ 6= 0, son rayon de convern→+∞

gence vaut alors 1. an+1 = 1 et R = 1.  Preuve. Comme ℓ = 6 0, on a lim n→+∞ an X zn L’exemple de la série nous montre que ce résultat est faux pour ℓ = 0. n! X Corollaire 14.3. Si an z n est une série entière telle que an soit une fonction rationnelle non nulle de n, son rayon de convergence vaut alors 1. P (n) où P et Q sont des polynômes de degrés respectifs p et q Q (n) (le polynôme Q n’ayant qu’un nombre fini de racines réelles, Q (n) 6= 0 pour p   on aura q ap np an+1 n n+1 n assez grand). Avec an ∼ , ∼ on déduit que et en +∞ bq nq an +∞ n n+1 an+1 = 1, donc R = 1. conséquence, on a lim  n→+∞ an Preuve. On a an =

Théorème 14.6. Cauchy Soit

X

an z n une série entière. Si

lim

n→+∞

p n |an | = ℓ ∈ R+ , le rayon de conver-

1 gence de cette série est alors R = . ℓ p Preuve. Pour tout nombre complexe non nul z, on a lim n |an z n | = ℓ |z| et le théon→+∞ X 1 rème de Cauchy nous dit que pour |z| < , la série an z n est absolument convergente ℓ X 1 1 et pour |z| > , la série |an z n | est divergente. Il en résulte que est le rayon de ℓX ℓ n convergence de an z . 

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 305 — #315

Opérations sur les séries entières

305

n p 1 + (−1) Là encore la réciproque est fausse. Par exemple, pour an = on a n |an | = 1 p 2 p est divergente et pour n pair et n |an | = 0 pour n impair, donc la suite n |an | n∈N X X pourtant le rayon de convergence de an z n = z 2n vaut 1.

14.2

Opérations sur les séries entières

Comme pour les fonctions polynomiales, on peut définir sur l’ensemble des séries entières les opérations suivantes : X X X — la somme de an z n et bn z n est (an + bn ) z n ; X X X — le produit de an z n et bn z n est cn z n , où les coefficients cn sont définis pour n X tout entier naturel n par cn = ak bn−k (cette définition est donnée par analogie k=0

avec le produit de deuxX polynômes)X et on reconnaît là le produit de Cauchy des deux séries numériques an z n et bn z n ; X X — la série dérivée de an z n est nan z n−1 , plus généralement, la série dérivée X d’ordre p ≥ 1 est la série entière n (n − 1) · · · (n − p + 1) an z n−p ; X X an z n+1 . — la série primitive de an z n est n+1 Théorème 14.7. X X Soient an z n , bn z n deux séries entières de rayons de convergence respectifs X R, R′ et R′′ le rayon de convergence de la série entière somme (an + bn ) z n . ′ ′′ ′ ′ ′′ Pour R = 6 R , on a R = min (R, R ) et pour R = R , on a R ≥ min (R, R′ ) . Dans tous les cas, on a pour |z| < min (R, R′ ) : +∞ X n=0

(an + bn ) z n =

+∞ X

an z n +

n=0

+∞ X

bn z n

n=0

Preuve. Pour tout z ∈ C tel que |z| < min (R, R′ ) , la série

X

(an + bn ) z n est absoluX X ment convergente comme somme des séries absolument convergentes an z n et bn z n +∞ +∞ +∞ X X X et on a (an + bn ) z n = an z n + bn z n . On a donc R′′ ≥ min (R, R′ ) . Supposons n=0 n=0 n=0 X que 0 ≤ R < R′ . On peut alors trouver un réel r tel que R < r < R′ et (an + bn ) rn X est divergente comme somme de la série divergente an rn et de la série convergente X bn rn . On a donc R′′ ≤ R et R′′ = R dans ce cas.  ′ ′′ Dans le cas où R = R , l’égalité R = R n’est pas assurée en général comme le montre l’exemple de bn = −an avec R fini.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 306 — #316

306

Séries entières Théorème 14.8. X X Soient an z n , bn z n deux séries entières de rayons de convergence res′ ′′ pectifs R, R ! et R le rayon de convergence de la série entière produit n X X ak bn−k z n . On a R′′ ≥ min (R, R′ ) et pour |z| < min (R, R′ ) , on a : k=0 +∞ X n X n=0

! ak bn−k

n

z =

+∞ X

! an z

n

n=0

k=0

+∞ X

! bn z

n

(14.1)

n=0

Preuve. On suppose que R et R′ sont strictement positifs et on note, pour tout entier n X naturel n, cn = ak bn−k . Pour 0 ≤ r < min (R, R′ ) , on a pour tout entier naturel n : k=0

n n X X k ak r bn−k rn−k ak rk bn−k rn−k ≤ |cn rn | = k=0 k=0 ! ! +∞ ! ! n +∞ n X X X X k k k n−k bk r < +∞ ak r ≤ bn−k r ak r ≤ k=0

k=0

k=0

k=0

n ce qui signifie que la suite (|cP On a donc R′′ ≥ min (R, R′ ) . Pour n r |)n∈N est P bornée. ′ n n |z| < min (R, R ) , les séries an z et bn z sont absolument convergentes et on a l’égalité (14.1) .  ′′ ′ L’égalité R = min (R, R ) n’est pas assurée en général comme le montre l’exemple X des séries z n et 1 − z de rayons de convergence respectifs 1 et +∞. On a cn = an b0 + an−1 b1 = 0 pour n ≥ 1 et c0 = a0 b0 . La série produit est de rayon de 1 (1 − z) = 1. convergence infini de somme 1−z

Théorème 14.9. X Soit an z n une série entière de rayon de convergence R. La série dérivée X X an nan z n−1 et la série primitive z n+1 ont le même rayon de convergence n+1 égal à R. X X an an z n est la série dérivée de z n+1 , il suffit de montrer n+1 qu’une série et sa série dérivée ont même rayon de convergence. Notons : n o 
I = r ∈ R+ | (an rn )n∈N est bornée , I ′ = r ∈ R+ | nan rn−1 n∈N∗ est bornée Preuve. Comme

′ Ce sont deux intervalles X contenant X 0 de bornes supérieures respectives R et R , les rayons n n−1 n n de convergence de an z et nan z . Des inégalités |an r | ≤ |nan r | = r nan rn−1 pour tout n ≥ 1, on déduit que I ′ ⊂ I et R′ ≤ R. Pour R = 0, on a R′ = 0. Si R > 0, pour tout r ∈ ]0, R[ , on peut trouver s ∈ ]r, R[ et posant s = r + h avec n   X n n−k k n n h > 0, on a s = (r + h) = r h ≥ nrn−1 h pour tout entier n ≥ 1 et k k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 307 — #317

Fonctions développables en série entière

307

nan rn−1 ≤ 1 |an sn | , la suite (an sn ) n∈N étant bornée puisque s ∈ [0, r[ ⊂ I et en h ′ conséquence r ∈ I . On a donc ]0, R[ ⊂ I ′ , ce qui entraîne R ≤ R′ et R = R′ .  X Corollaire 14.4. Une série entière an z n et ses séries dérivées X n (n − 1) · · · (n − p + 1) an z n−p ont toutes le même rayon de convergence. Preuve. Se déduit immédiatement du théorème précédent par récurrence sur p ≥ 1.  X X z n+1 Exemple 14.1 La série géométrique z n , sa série primitive et ses séries n+1 X n−p dérivées n (n − 1) · · · (n − p + 1) z pour p ≥ 1, ont le même rayon de convergence égal à 1.

14.3

Fonctions développables en série entière

X an z n est une série entière de domaine de convergence D, on définit une fonction +∞ X an z n et on rappelle que, dans le cas où le rayon de convergence sur D en posant f (z) = Si

n=0

R de cette série entière est non nul, D contient le disque ouvert D (0, R) de centre 0 et de rayon R. Réciproquement, on s’intéresse ici aux fonctions définies sur un voisinage ouvert de 0 dans le plan complexe qui peuvent s’écrire comme somme d’une série entière. Définition 14.2. On dit qu’une fonction f définie sur un disque ouvert D (0, α) de centre 0 et de rayon α > 0 du plan complexe X est développable en série entière au voisinage de 0 s’il existe une série entière an z n et un réel r ∈ ]0, α] tels que +∞ X an z n pour tout z ∈ D (0, r) . f (z) = n=0

Théorème 14.10. Une fonction f développable en série entière sur un disque ouvert D (0, r) du plan complexe est continue sur ce disque. Preuve. On se donne un point z0 ∈ D (0, r) . Pour tout z ∈ D (0, r) , on a : f (z) − f (z0 ) =

+∞ X

an (z n − z0n )

n=1

avec z n − z0n = (z − z0 )

n−1 X

z n−1−k z0k = (z − z0 ) Pn (z) pour n ≥ 1, ce qui nous donne

k=0

f (z) − f (z0 ) = (z − z0 )

+∞ X

an Pn (z) . Comme |z| < r et |z0 | < r, il existe t ∈ ]0, r[ tel que

n=1

|z| < t et |z0 | < t et pour tout n ∈ N∗ , on a |an Pn (z)| ≤ |an |

n−1 X k=0

|z|

n−1−k

k

|z0 | < n |an | tn .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 308 — #318

308

Séries entières

Une série et sa série dérivée ayant même rayon de convergence, la série X convergente, donc an Pn (z) est absolument convergente et : |f (z) − f (z0 )| ≤ |z − z0 |

+∞ X

|an Pn (z)| ≤

n=1

+∞ X

X

n |an | tn est

! n |an | t

n

|z − z0 |

n=1



ce qui entraîne la continuité de f en z0 . X

an z n est une série entière de rayon de convergence R +∞ X dans ]0, +∞] , la fonction f définie sur D (0, R) par f (z) = an z n est alors Corollaire 14.5. Si

n=0

continue sur ce disque. Preuve. Cette fonction est continue sur tout disque ouvert D (0, r) où r ∈ ]0, R[ , elle est donc continue sur D (0, R) .  La continuité de la somme d’une série entière nous permet de montrer l’unicité d’un développement en série entière. Théorème 14.11. Si une fonction est développable en série entière au voisinage de 0, ce développement est alors uniquement déterminé. Preuve. Supposons qu’il existe deux suites de nombres complexes (an )n∈N , (bn )n∈N +∞ +∞ X X an z n pour tout z ∈ D (0, r) . En an z n = et un réel r > 0 tels que f (z) = n=0

n=0

évaluant f en 0, on déduit que f (0) = a0 = b0 . On termine alors le raisonnement par récurrence sur n ≥ 0. Supposant que ak = bk pour tout entier k compris entre +∞ n +∞ n X X X X bk z k sur D (0, r) , bk z k + ak z k = ak z k + 0 et n, de l’égalité f (z) = k=0

on déduit que z n+1

+∞ X

ak z k−n−1 = z n+1

g (z) =

ak z k−n−1 =

k=n+1

+∞ X

k=n+1

bk z k−n−1 pour tout z ∈ D (0, r) et

k=n+1

k=n+1 +∞ X

k=0

k=n+1

+∞ X

bk z k−n−1 pour tout z ∈ D (0, r) \ {0} . De la continuité

k=n+1

de la somme d’une série entière, on déduit que an+1 = lim g (z) = g (0) = bn+1 . On a donc bien montré que an = bn pour tout n ∈ N.

z→0



Corollaire 14.6. Si une fonction paire [resp. impaire] f est développable en série entière au voisinage de 0, alors ce développement est nécessairement de la forme +∞ +∞ X X f (z) = a2n z 2n [resp. f (z) = a2n+1 z 2n+1 ]. n=0

n=0

Pour la suite de ce paragraphe, on se limite aux séries entières et fonctions de la variable réelle, les coefficients des séries entières considérées pouvant être complexes.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 309 — #319

Fonctions développables en série entière

309

X Dans le cas où une série entière réelle an xn de rayon de convergence fini R converge pour x = R, on peut la prolonger par continuité en R. La démonstration de ce résultat se fait en utilisant une transformation d’Abel. Théorème 14.12. Abel X Soit an xn une série entière réelle de rayon de convergence fini R > 0 telle +∞ X X que la série an Rn soit convergente. En notant f (x) = an xn pour x dans ]−R, R[ , on a lim− f (x) = x→R

R en posant f (R) =

+∞ X

+∞ X

n=0

an Rn et f peut être prolongée par continuité en

n=0

an Rn .

n=0

Preuve. On note S =

+∞ X

an Rn et pour tout x ∈ ]0, R] , tout n ∈ N, Sn (x) =

n=0

n X

ak xk .

k=0

On a alors an Rn = Sn (R) − Sn−1 (R) pour tout n ≥ 1 et pour x ∈ ]0, R[ , on peut écrire : Sn (x) = a0 + = a0 +

n X k=1 n X

ak R

k

 x k R

Sk (R)

 x k

k=1

= S0 (R) +

n X

n−1 X



Sk (R)

k=0

R

Sk (R)

k=1

=

= a0 +

n X

(Sk (R) − Sk−1 (R))

k=1

−

n X

Sk−1 (R)

R

−

n−1 X

Sk (R)

R  x k+1

k=0

x k  x k+1 − R R

R

 x k

k=1

 x k

 x k



+ Sn (R)

R  x n R

n−1  x k   x n xX = 1− Sk (R) + Sn (R) R R R k=0

 x n

= S · 0 = 0 pour |x| < R, on déduit que R +∞  x n   x n X xX converge et f (x) = 1 − . En utilisant l’égalité Sn (R) Sn (R) R R n=0 R +∞  n X x 1 = x , on en déduit que : R 1 − R n=0 et tenant compte de

lim Sn (R)

n→+∞

+∞ +∞  x n   xX x  X  x n f (x) − S = 1 − Sn (R) −S 1− R n=0 R R n=0 R +∞   x n xX = 1− (Sn (R) − S) R n=0 R

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 310 — #320

310

Séries entières

Comme

lim Sn (R) = S, pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 tel que

n→+∞

|Sn (R) − S| < ε pour tout n ≥ n0 et pour n ≥ n0 , on a : n0 +∞  k  x k X x x X |Sk (R) − S| +ε |f (x) − S| ≤ 1 − R R R k=0 k=n0 +1 ! n0 +∞  k  X x X x ≤ 1− |Sk (R) − S| + ε R R k=0 k=0    ε x R·A+ = A (R − x) + ε ≤ 1− x R 1− R



!

Pour x voisin de R, on aura alors |f (x) − S| ≤ 2ε. On a donc bien prouvé le résultat annoncé.  Théorème 14.13. Soit f une fonction développable en série entière sur un intervalle ]−r, r[ où +∞ X an xn pour tout x ∈ ]−r, r[ , où (an )n∈N est une suite de r > 0 avec f (x) = n=0

nombres complexes. La fonction f est alors continûment dérivable sur ]−r, r[ avec +∞ X f ′ (x) = nan xn−1 pour tout x ∈ ]−r, r[ . n=1

Preuve. On se fixe un réel x0 dans ]−r, r[ et nous allons montrer dans un premier temps que f est dérivable en x0 , la dérivée f ′ (x0 ) ayant la forme annoncée. Sachant qu’une série et sa série dérivée ont même rayon de convergence, on peut définir la fonction g sur ]−r, r[ +∞ X f (x) − f (x0 ) par g (x) = nan xn−1 pour tout x ∈ ]−r, r[ et pour x = 6 x0 , on a − x − x0 n=1 g (x0 ) =

+∞ X

n−1 X
xn−1−k xk0 pour n ≥ 1. Pour an Pn (x) − nxn−1 , où on a posé P (x) = n 0

n=1

n = 1, on a Pn (x) − nxn−1 = 1 − 1 = 0, donc : 0

k=0

+∞ X
f (x) − f (x0 ) − g (x0 ) = an Pn (x) − nxn−1 0 x − x0 n=2

Comme |x| < r et |x0 | < r, il existe un réel t ∈ ]0, r[ tel que |x| < t et |x0 | < t et pour tout entier n ≥ 2, on a : n−1 n−2 X X


n−1−k k n−1−k an Pn (x) − nxn−1 = a x x − x = a xk0 xn−1−k − xn−1−k n n 0 0 0 0 k=0

avec, pour p = n − 1 − k :

k=0

X p−1 p−1 X |xp − xp0 | = |x − x0 | xp−1−j xj0 < |x − x0 | tp−1−j tj = |x − x0 | ptp−1 j=0 j=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 311 — #321

Fonctions développables en série entière

311

ce qui donne : n−2 X
an Pn (x) − nxn−1 ≤ |an | xk0 xn−1−k − xn−1−k 0 0 k=0

< |an | |x − x0 |

n−2 X

tk (n − 1 − k) tn−2−k

k=0

< |an | |x − x0 | tn−2

n−1 X

p=

p=1

n (n − 1) |an | tn−2 |x − x0 | 2

X X La série dérivée n (n − 1) an z n−2 ayant même rayon de convergence que an z n , on X X
déduit que n (n − 1) |an | tn−2 est convergente, donc que an Pn (x) − nxn−1 est 0 absolument convergente et : X +∞ +∞ f (x) − f (x0 )
|x − x0 | X n−1 ≤ a ≤ P (x) − nx n (n − 1) |an | tn−2 − g (x ) n n 0 0 x − x0 2 n=2 n=2 f (x) − f (x0 ) = g (x0 ) . La fonction f est donc dérivable de x→x0 x − x0 dérivée égale à g et cette dérivée est continue d’après le théorème 14.10.  Par récurrence, on déduit le résultat suivant. On en déduit alors que lim

Corollaire 14.7. Soit f une fonction développable en série entière sur un inter+∞ X an xn , où (an )n∈N est une suite de nombres valle ]−r, r[ où r > 0 avec f (x) = n=0

complexes. La fonction f est alors indéfiniment dérivable sur ]−r, r[ avec, pour tout entier p ≥ 1 et tout réel x ∈ ]−r, r[ : f

(p)

(x) =

+∞ X

n (n − 1) · · · (n − p + 1) an x

n=p

n−p

=

+∞ X

n! an xn−p (n − p)! n=p

En évaluant f (p) en 0, on retrouve l’unicité du développement en série entière de la f (n) (0) pour tout n ∈ N. fonction f avec an = n! Le théorème précédent nous permet également de donner le développement en série entière de la primitive nulle en 0 d’une fonction développable en série entière. Corollaire 14.8. Soit f une fonction développable en série entière sur un inter+∞ X valle ]−r, r[ où r > 0 avec f (x) = an xn , où (an )n∈N est une suite de nombres n=0

complexes. La primitive de f nulle en 0 est la fonction F définie sur ]−r, r[ par +∞ X an n+1 F (x) = x . n+1 n=0 Si une fonction f de classe C ∞ au voisinage de 0 est développable en série entière, ce +∞ (n) X f (0) n développement est alors donné par f (x) = x . Mais il ne faut pas croire que n! n=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 312 — #322

312

Séries entières

de manière générale toute fonction de classe C ∞ au voisinage de 0 est développable en 1 série entière. Par exemple, la fonction f définie par f (0) = 0 et f (x) = e− x2 pour x = 6 0 est indéfiniment dérivable sur R avec toutes ses dérivées en 0 qui sont nulles (exercice 6.7) +∞ (n) X f (0) n et pourtant elle n’est pas développable en série entière puisque x = 0 6= f (x) n! n=0 pour x = 6 0. Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction C ∞ sur un voisinage de 0 soit développable en série entière est donnée par le théorème qui suit. Théorème 14.14. Soit f une fonction de classe C ∞ sur un voisinage ouvert I de 0 et à valeurs complexes. Cette fonction est développable en série entière au voisinage de 0 si, et seulement si, il existe un réel r > 0 tel que ]−r, r[ ⊂ I et pour tout x ∈ I la n X f (k) (0) k suite (Rn (x))n∈N définie par Rn (x) = f (x) − x converge vers 0 sur k! +∞ (n) X f (0)

k=0

xn pour tout x ∈ ]−r, r[ et le rayon n! n=0 de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à r.

]−r, r[ . Dans ce cas, on a f (x) =

Preuve. Si f est développable en série entière en 0, ce développement est nécessai+∞ (n) X f (0) n rement f (x) = x sur un intervalle ]−r, r[ ⊂ I et pour tout x ∈ ]−r, r[ , n! n=0 la suite des restes (Rn (x))n∈N est de limite nulle. Réciproquement dire que pour tout x ∈ ]−r, r[ , la suite (Rn (x))n∈N est de limite nulle signifie exactement que la série nuX f (n) (0) mérique xn converge et que sa somme est f (x) .  n! Pour montrer que la suite (Rn (x))n∈N converge vers 0, on peut utiliser l’expression de f (n+1) (θn,x x) n+1 x avec 0 < θn,x < 1 ou sa représentation Lagrange du reste Rn (x) = (n + 1)! Z x (n+1) Z f (t) xn+1 1 (n+1) n n intégrale, Rn (x) = (x − t) dt = f (θx) (1 − θ) dθ. n! n! 0 0 Exemple 14.2 Dans le cas de la fonction exponentielle, on a pour tout réel x : |Rn (x)| =

Il en résulte que ex =

eθn,x x e|x| n+1 n+1 |x| ≤ |x| (n + 1)! (n + 1)!

→

n→+∞

0

+∞ X 1 n x et le rayon de convergence de cette série est infini. n! n=0

Ce exemple est un cas particulier du résultat suivant. Théorème 14.15. Soit f une fonction de classe C ∞ sur un voisinage ouvert I de 0 et à valeurs complexes. S’il existe un réel r > 0 tel que ]−r, r[ ⊂ I et pour tout x dans ]−r, r[

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 313 — #323

Fonctions développables en série entière

313

on peut trouver une constante Mx avec f (n) (x) ≤ Mx pour tout n ∈ N, f est +∞ (n) X f (0) n alors développable en série entière dans ]−r, r[ avec f (x) = x . n! n=0 Preuve. La formule de Taylor-Lagrange nous permet d’écrire pour tout x ∈ ]−r, r[ , n X f (k) (0) k f (n+1) (θn,x x) n+1 f (x) = x + x , où θn,x est un réel (dépendant de n et de x) k! (n + 1)! k=0 compris entre 0 et 1 et on a : n n+1 X |x| f (k) (0) k |Rn (x)| = f (x) − x ≤ Mx → 0 k! (n + 1)! n→+∞ k=0

 En utilisant ce résultat, on déduit les développements classiques suivants où le rayon de convergence est indiqué entre parenthèses. +∞ X x2n (R = +∞) ce qui se déduit de : — cos (x) = (−1)n (2n)! n=0 p  π  (−1) si n = 2p f (n) (0) = cos n = 0 si n = 2p + 1 2   π et de f (n) (x) = cos x + n ≤ Mx = 1. 2 +∞ 2n+1 X x (−1)n (R = +∞) ce qui se déduit de : — sin (x) = (2n + 1)! n=0 p  π  (−1) si n = 2p + 1 f (n) (0) = sin n = 0 si n = 2p 2  (n)  π et de f (x) = sin x + n ≤ Mx = 1. 2 +∞ 2n X x — ch (x) = (R = +∞) ce qui se déduit de : (2n)! n=0  ch (0) = 1 si n est pair (n) f (0) = sh (0) = 0 si n est impair et de :

 ch (x) si n est pair (n) ≤ Mx = max (ch (x) , |sh (x)|) f (x) = |sh (x)| si n est impair

— sh (x) =

et de :

+∞ X x2n+1 (R = +∞) ce qui se déduit de : (2n + 1)! n=0  sh (0) = 0 si n est pair (n) f (0) = ch (0) = 1 si n est impair

 |sh (x)| si n est pair (n) ≤ Mx = max (ch (x) , |sh (x)|) f (x) = ch (x) si n est impair

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 314 — #324

314

Séries entières +∞ X α (α − 1) · · · (α − n + 1)

— (1 + x)α = 1 +

n!

n=1

xn (R = 1) où α est un réel non entier

naturel, ce qui se déduit de f (n) (0) = α (α − 1) · · · (α − n + 1) et de : xn+1 Rn (x) = α (α − 1) · · · (α − n) n!

Z

1

α−n−1

(1 + θx)

n

(1 − θ) dθ

0

1−θ ≤ 1 pour 0 ≤ θ ≤ 1 et −1 < x < 1 (on a alors −θ < θx < θ et 1 + θx 0 ≤ 1 − θ < 1 + θx), ce qui donne : avec 0 ≤

Z

n+1

|x| |Rn (x)| ≤ n!

α (α − 1) · · · (α − n)

1

(1 + θx) 0

X α (α − 1) · · · (α − n)

α−1

dθ → 0

n→+∞

n+1

|x| converge pour |x| < 1 (en utilisant n! le théorème de d’Alembert). Le théorème de d’Alembert nous dit aussi que le rayon de convergence de cette série entière vaut 1. Pour α = −1, on retrouve le dévelop1 1 1 . Pour α = , α = − , on a : pement de 1+x 2 2 puisque la série

+∞ X √ n+1 (−1) 1+x= n=0

(2n)!

2x

(2n − 1) 22n (n!)

n

(R = 1)

 +∞ +∞ n X 1 (2n)! n X (−1) 2n n n √ (−1) x = x (R = 1) = 2 22n n 1 + x n=0 22n (n!) n=0 √ En utilisant le développement en séries entières de la fonction x 7→ 1 − x, on peut obtenir une approximation polynomiale uniforme de la fonction x 7→ |x| sur l’intervalle [−1, 1] (voir l’exercice 14.10 et aussi le paragraphe 12.3.3).

14.4

Séries entières et équations différentielles

Étant données des fonctions a0 , · · · , ap−1 , b à valeurs réelles ou complexes développables en série entière sur un intervalle ouvert ]−R, R[ où p ≥ 1 et 0 < R ≤ +∞, on peut montrer que pour y0 , · · · , yp−1 donnés dans R ou C, il existe une unique fonction y développable en série entière sur ]−R, R[ solution du problème de Cauchy :  (p) y = a0 y + a1 y ′ + · · · + ap−1 y (p−1) + b y (k) (0) = yk (0 ≤ k ≤ p − 1) (voir [8]). Les séries entières peuvent donc être utilisées pour déterminer des solutions d’équations différentielle linéaire à coefficients non constants, développables en série entière au voisinage de 0, de la forme ap y (p) = a0 y + a1 y ′ + · · · + ap−1 y (p−1) + b, la fonction ap pouvant s’annuler en 0 (voir les exercices 14.11 à 14.14).

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 315 — #325

Exercices

14.5

315

Exercices

Exercice 14.1. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière X n (−1) z 2n et étudier la série pour |z| = R. Quelle est la somme de cette série ? X n Solution. Le rayon de convergence de la série géométrique (−1) z n valant 1, celui +∞ +∞ X X X
n 1 n n de (−1) z 2n est aussi 1 et pour |z| < 1, on a (−1) z 2n = . −z 2 = 1 + z2 n=0 n=0 Pour |z| = 1, la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0. X Exercice 14.2. Soit an z n une série entière de rayon de convergence R. Montrer que, pour tout entier p ≥√2, le rayon de convergence de la série X Xentière p pn an z est +∞ si R = +∞ ou R si R est fini (on dit que la série an z pn est lacunaire). X an tn converge pour tout nombre complexe t et donc pour √ p p tout Pour R fini et |z| < p X R, on a |z| < R, donc X les nombres complexes de la forme z . √ p an z pn converge absolument. Pour |z| > p R, on a |z| > R et an z pn diverge. Il en X √ résulte que p R est le rayon de convergence de an z pn . Solution. Pour R = +∞,

Exercice 14.3. Montrer que si (an )n∈N est une suite de nombres complexes telle qu’il existe un nombre complexe z0 tel que la suite (an z0n )n∈N soit bornée, la X an série entière z n a alors un rayon de convergence infini. n! Solution. En désignant par M un majorant de la suite (|an z0n |)n∈N , on a pour tout n n a X 1 z n X tn 1 z n n n 1 z < +∞ ( converge z ∈ C, z = |an z0 | ≤ M avec n! n! z0 n! z0 n! z n! X an0 pour tout t), ce qui entraîne la convergence absolue de zn. n! Exercice 14.4.

Soit (an )n∈N une suite complexe bornée.

1. Que peut-on dire des rayons de convergence des séries

X

an z n et

X an n!

zn ?

On note respectivement f (z) et g (z) les sommes de ces séries entières. Z +∞ t 2. Montrer que pour tout réel x ∈ ]0, 1[ , l’intégrale g (t) e− x dt est convergente.

0

Z

3. Montrer que

+∞

g (t) e− x dt = xf (x) pour tout réel x ∈ ]0, 1[ . t

0

Solution. On note M = sup |an | . n∈N

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 316 — #326

316

Séries entières

X 1. Comme la suite (an )n∈N est bornée, la série an z n à un rayon de convergence R ≥ 1. 1 Par exemple pour an = n avec ρ > 1 ce rayon de convergence est R = ρ. Avec ρ a M n , on déduit que le rayon de convergence de la deuxième série est infini. ≤ n! n! 2. Pour x ∈ ]0, 1[ et t > 0, on a : ! +∞ +∞ n X X 1 t an n − t t − xt e− x = M et(1− x ) t e x ≤ M g (t) e = n! n! n=0 n=0 Z

+∞

et avec

et(1− x ) dt < +∞ (on a 1− 1

0

1 < 0), on déduit que l’intégrale x

est absolument convergente.

Z

+∞

g (t) e

3. Le changement de variable t = xu donne en notant Rn (z) =

− xt

Z

0

+∞ X ak k z , on a : k!

+∞

dt = x

Z

+∞

g (t) e− x dt t

0

g (xu) e−u du et

0

k=n+1

Z

Z avec

+∞

g (xu) e−u du =

n X ak

k!

0

k=0

+∞

Z

uk e−u du = k!. Donc

0

+∞

+∞

uk e−u du +

Z n→+∞

Z

Z

0

g (xu) e−u du =

n X

Rn (xu) e−u du Z

+∞

ak xk +

k=0 +∞

+∞

0

0

et il s’agit de montrer que lim

≤M

Z xk

Rn (xu) e−u du

0

Rn (xu) e−u du = 0. Pour ce faire, on écrit que :

0

Z du ≤ M

+∞ X xk uk −u e du k! 0 0 k=n+1 ! Z +∞ n k k X x u ≤M exu − e−u du k! 0 k=0 ! ! Z +∞ n n k Z +∞ X X x 1 (x−1)u k −u k x → 0 e du − u e du ≤ M − n→+∞ k! 0 1−x 0 +∞

−u

Rn (xu) e

k=0

+∞

k=0

X Déterminer le rayon de convergence de la série entière an z n   an+1 n n où an = (2 + (−1) ) pour tout n ≥ 0. Que dire de la suite ? an

Exercice 14.5.

n∈N

1 Solution. On a an = 3n pour n pair et an = 1 pour n impair. Pour r > , on a 3 1 1 a2n r2n = |3r|2n → +∞ et (an rn ) n’est pas bornée, donc R ≤ . Pour 0 ≤ r≤ , n∈N n→+∞ 3 3 on a :  n (3r) si n est pair |an rn | = ≤1 rn si n est impair

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 317 — #327

Exercices

317

n+1 an+1 1 1 = 1 pour n pair et an+1 = 3 , soit R = . On a pour n n 3 an 3 an 1  3  an+1 est divergente. impair, donc la suite an n∈N donc R ≥

Exercice 14.6. Déterminer le rayon de convergence R de α est un réel et étudier la série pour |z| = R.

X

arctan (nα ) z n où

π 6= 0, donc R = 1. 2 Pour |z| = 1, la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0. Pour α = 0, on a π an = arctan (1) = et R = 1. Pour |z| = 1, la série diverge car son terme général ne tend 4  α an+1 n+1 α = lim pas vers 0. Pour α = −β < 0, on a an ∼ n et lim = 1, n→+∞ n→+∞ an n→+∞ n 1 donc R = 1. Pour z = 1, an z n = an ∼ avec an > 0 pour tout n ≥ 1, il en résulte n→+∞ nβ X que an z n converge si, et seulement si, β > 1 (soit α < −1). Pour |z| = 1 et z = 6 1, on a      1 1 eint avec arctan qui tend z = eit avec t ∈ ]0, 2π[ , donc an z n = arctan nβ nβ n≥1   X 1 vers 0 en décroissant et le théorème d’Abel nous dit alors que la série arctan eint nβ est convergente. Solution. On note an = arctan (nα ) . Pour α > 0, on a lim an = n→+∞

Exercice 14.7. 1. Donner le développement en série entière, en précisant son rayon de convern +∞  X −1 1 gence, de la fonction arctan. En déduire la valeur de . 3 2n +1 n=0 2. Calculer la primitive qui s’annule en 0 de la fonction arctan et donner le développement en série entière de cette fonction, en précisant son rayon de conver+∞ n X (−1) gence. En déduire la valeur de . (2n + 1) (2n + 2) n=0 Solution. 1. Du développement

+∞ X 1 n (−1) x2n , on déduit par intégration le développe= 1 + x2 n=0

+∞ X

x2n+1 , chacune de ces séries étant de rayon de conver2n + 1 n=0   X +∞ 1 π 1 1 n √ gence égal à 1. La valeur x = √ donne = arctan √ = (−1) n 6 3 3 3 (2n + 1) 3 n=0 n +∞  X −1 1 π√ et = 3. 3 2n + 1 6 n=0 ment arctan (x) =

n

(−1)

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 318 — #328

318

Séries entières

2. Une intégration par parties donne : Z Z Z ′ arctan (x) dx = arctan (x) (x) dx = x arctan (x) −

x dx 1 + x2

 p
1 1 + x2 + c ln 1 + x2 + c = x arctan (x) − ln 2

= x arctan (x) −

la primitive nulle en 0 étant obtenue pour c = 0. Il en résulte que : x arctan (x) − ln

p

+∞  X n 1 + x2 = (−1) n=0

X

x2n+2 (2n + 1) (2n + 2) n

(−1) x2n+2 étant normalement (2n + 1) (2n + 2) convergente sur [−1, 1] , sa somme f (x) est continue sur cet intervalle. On a donc +∞ n X π (−1) f (1) = = lim f (x) = − ln (2) . (2n + 1) (2n + 2) 4 x→1− n=0

le rayon de convergence valant 1. La série

Exercice 14.8. Déterminer le rayon de convergence et la somme de X 1 xn+1 . n (n + 1) Solution. Le coefficient de cette série entière étant une fonction rationnelle, son rayon +∞ X 1 de convergence vaut 1. Notons f (x) = xn+1 sa somme pour tout x ∈ ]−1, 1[ . n (n + 1) n=1 +∞ X 1

+∞ X

1 x et f (x) = xn−1 = , ce n 1 − x n=1 n=1 qui donne f ′ (x) = − ln (1 − x) et en effectuant une intégration par parties : Z Z ′ f (x) = ln (1 − x) (−1) dx = ln (1 − tx) (1 − x) dx Z −1 = (1 − x) ln (1 − x) − (1 − x) dx = (1 − x) ln (1 − x) + x + c 1−x Cette fonction est C

∞

′

sur ]−1, 1[ avec f (x) =

n

′′

avec c = f (0) = 0. X an z n une série entière de rayon de convergence R dans +∞ X ]0, +∞] et f la fonction définie sur D (0, R) par f (z) = an z n . Montrer que Exercice 14.9.

Soit

n=0

pour tout réel r ∈ ]0, R[ , la fonction gr définie sur R par gr (t) =

+∞ X

an rn eint est

n=0

indéfiniment dérivable. Solution. Pour tout entier naturel n, on désigne par un la fonction définie sur R n int par un (t) fonctions sont de classe C ∞ sur R. Pour tout p ∈ N, on a = an r e . Ces X (p) np |an | rn < +∞ pour r ∈ ]0, R[ , donc toutes les séries un (t) = np |an | rn avec

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 319 — #329

Exercices X

319 (p)

un (t) sont normalement convergente sur R et en conséquence la fonction gr +∞ X (p) p est de classe C ∞ sur R, avec gr (t) = (in) an rn eint .

dérivées

n=0

Exercice 14.10. On désigne par (an )n∈N la suite des coefficients qui inter√ viennent dans le développement en série entière de la fonction x 7→ 1 − x sur +∞ X √ l’intervalle ]−1, 1[ , soit 1 − x = an xn . n=0

1. Montrer que la série

+∞ X

an est convergente.

n=0

√ 2. En déduire que la fonction x 7→ 1 − x est limite uniforme d’une suite de polynômes sur l’intervalle [−1, 1] , puis que la fonction x 7→ |x| est limite uniforme d’une suite de polynômes sur l’intervalle [−1, 1] . Solution. Les coefficients an sont donnés par a0 = 1 et pour n ≥ 1, an = −bn avec (2n)! bn = 2 . En particulier, les bn sont positifs pour tout n ≥ 1. (2n − 1) (2n n!) 1. Pour tout x ∈ [0, 1[ et tout n ≥ 1, on a 0 ≤

n X

bk x ≤

k=1

k

+∞ X

bn xn = 1 −

n=1

tendre x vers 1, on en déduit que pour tout n ≥ 1, on a 0 ≤

bk ≤ 1, ce qui implique

X bn et celle de la série an . Si on tente X le théorème de d’Alembert pour montrer la convergence de bn (tous les bn sont strictement positifs), on a :

la convergence de la série à termes positifs

X

n X

√ 1 − x. Faisant

k=1

2n − 1 (2n + 2) (2n + 1) (2n − 1) bn+1 = = 2 bn 2n + 2 (2n + 1) 4 (n + 1)

→

n→+∞

1

et on ne peut pas conclure. En utilisant le développement limité :       1 1 − 2n bn+1 1 1 1 31 1 = 1− + o = 1− +o =1− 1 n→+∞ bn 2n n n 2n n 1+ n

X le théorème de Raabe-Duhamel nous permet de conclure à la convergence de bn 3 (on a > 1). 2 n X 2. On note (Pn )n∈N la suite de polynômes définie par Pn (x) = ak xk . Pour tout n ≥ 0 k=0

et tout x ∈ [−1, 1] , on a :

+∞ +∞ X √ X k 1 − x − Pn (x) = a k x ≤ Rn = bk k=n+1

k=n+1

→

n→+∞

0

ce qui implique la convergence uniforme sur [−1, 1] de la suite de polynômes (Pn )n∈N p √ vers la fonction x 7→ 1 − x. Pour tout x ∈ [−1, 1] , on écrit que |x| = 1 − u (x)

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 320 — #330

320

Séries entières

avec u (x) = 1 − x2 dans [0, 1] et on a |x| =

lim Pn (u (x)) , la convergence étant

n→+∞

uniforme. Exercice 14.11. Déterminer une solution développable en série entière de l’équation différentielle 2x (1 + x) y ′′ + (5x + 3) y ′ + y = 0. Solution. Supposons qu’il existe une solution f de cette équation qui soit non identiquement nulle et développable en série entière sur un intervalle ]−R, R[ où R ∈ R+ +∞ X est à déterminer. Notons f (x) = an xn pour tout x ∈ ]−R, R[ . Sur ]−R, R[ , on a f ′ (x) =

+∞ X

n=0 +∞ X

(n + 1) an+1 xn , f ′′ (x) =

n=0

a0 + 3a1 +

n (n + 1) an+1 xn−1 et :

n=1 +∞ X

(2n (n + 1) an+1 + 2n (n − 1) an + 5nan + 3 (n + 1) an+1 + an ) xn = 0

n=1

soit a0 + 3a1 +

+∞ X

((n + 1) (2n + 3) an+1 + (n + 1) (2n + 1) an ) xn = 0, encore équivalent

n=1

à dire que la suite (an )n∈N est solution de l’équation de récurrence suivante :  a0 + 3a1 = 0 ∀n ≥ 1, (2n + 3) an+1 + (2n + 1) an = 0 Par récurrence, on en déduit que an =

f (x) = a0

(−1)n a0 , soit : 2n + 1

√ 2n+1 √ +∞ a0 X x arctan ( x) n √ (−1) xn = √ = a0 2n + 1 2n + 1 x n=0 x n=3 +∞ X (−1)n

Exercice 14.12. Soient α un réel non entier naturel et f la fonction définie α sur ]−1, 1[ par f (x) = (1 + x) . 1. Montrer que f est l’unique solution sur ]−1, 1[ de l’équation différentielle (1 + x) y ′ − αy = 0 avec la condition initiale y (0) = 1. 2. Retrouver le développement en série entière de f ainsi que son rayon de convergence. Solution. 1. On a bien f (0) = 1 et pour tout x ∈ ]−1, 1[ : (1 + x) f ′ (x) − αf (x) = (1 + x) α (1 + x)

α−1

α

− α (1 + x) = 0

Le théorème de Cauchy-Lipschitz nous assure de l’unicité de cette solution. 2. Supposons qu’il existe une solution g de cette équation différentielle développable en série entière sur un intervalle ]−R, R[ où R ∈ R+ est à déterminer. Notons, pour tout

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 321 — #331

Exercices

321

x ∈ ]−R, R[ , g (x) =

+∞ X

an xn . On a g ′ (x) =

n=0

+∞ X

(n + 1) an+1 xn et g est solution de

n=0

cette équation différentielle si, et seulement si,

+∞ X

((n + 1) an+1 + nan − αan ) xn = 0,

n=0

ce qui est encore équivalent à an+1 = récurrence : ∀n ≥ 1, an =

α−n an avec a0 = g (0) = 1, ce qui donne par n+1

α (α − 1) · · · (α − n + 1) n!

+∞ X α (α − 1) · · · (α − n + 1)

xn . Le théorème de d’Alembert nous dit n! n=1 que le rayon de convergence de série entière est égal à 1. Enfin f = g du fait de l’unicité de la solution d’un problème de Cauchy. On retrouve ainsi le développement en série α entière de (1 + x) sur ]−1, 1[ . soit g (x) = 1 +

Exercice 14.13. p désigne un entier naturel et on s’intéresse à l’équation de Bessel d’indice p :
x2 y ′′ + xy ′ + x2 − p2 y = 0 ∗ 1. Soit f une solution réelle non identiquement nulle sur √ I = R+ de l’équation de Bessel et g la fonction définie sur I par g (x) = xf (x) . Montrer que g est solution sur I d’une équation différentielle de la forme y ′′ + αy = 0 où la fonction α est à déterminer. X 1 2. Montrer que la série entière xk a un rayon de convergence infini k! (p + k)!  x p   x 2  et que la fonction Jp définie sur R par Jp (x) = Ip − , où on a 2 2 +∞ X 1 xk est solution sur R de l’équation de Bessel. noté Ip (x) = k! (p + k)! k=0

Solution. 1. On a :

 √ ′ 1 ′    g = 2√x f + xf      1 1 1 1   g ′′ = 3 x2 f ′′ + xf ′ − f = − 3 x2 − p2 + f 4 4 x2 x2   p2 − 41 et g est solution de l’équation différentielle z ′′ + 1 − z = 0. x2 2. En utilisant le critère de d’Alembert, on vérifie facilement que la série entière de terme 1 général xk a un rayon de convergence infini. On a alors : k! (p + k)! Jp (x) =

+∞ X k=0

X xp+2k (−1) = αk xp+2k p+2k k! (p + k)! 2 k

+∞

k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 322 — #332

322

Séries entières


et en notant Kp = x2 Jp′′ + xJp′ + x2 − p2 Jp , on a : Kp (x) =

=

=

+∞ X k=0 +∞ X k=1 +∞ X

+∞ X
(p + 2k) (p + 2k − 1) + (p + 2k) − p2 αk xp+2k + αk xp+2(k+1) k=0

4k (p + k) αk xp+2k +

+∞ X

αk xp+2(k+1)

k=0

(4 (k + 1) (p + k + 1) αk+1 + αk ) xp+2(k+1) = 0

k=0

en utilisant αk+1 = −

1 αk pour k ∈ N. 4 (k + 1) (p + k + 1)

Exercice 14.14. Montrer que la fonction f définie sur l’intervalle ]−1, 1[ par arcsin (x) est solution d’une équation différentielle linéaire du premier f (x) = √ 1 − x2 ordre. En déduire le développement en série entière de cette fonction. 1 étant développables en série en2 1− √x tière sur ]−1, 1[ , il en est de même du produit f. De 1 − x2 f (x) = arcsin (x) , on déduit √ x par dérivation (les fonctions considérées sont C ∞ ) que − √ f (x) + 1 − x2 f ′ (x) = 2 1−x 1 √ , ce qui se traduit en disant que f est solution sur ]−1, 1[ de l’équation dif1 − x2
férentielle −xy + 1 − x2 y ′ = 1 avec la condition initiale y (0) = 1. En écrivant que +∞ X f (x) = an xn pour tout x ∈ ]−1, 1[ , f est solution de cette équation différentielle si,

Solution. Les fonctions x 7→ arcsin (x) et x 7→ √

n=0

et seulement si : a1 + (2a2 − a0 ) x +

+∞ X

(−an−1 + (n + 1) an+1 − (n − 1) an−1 ) xn = 1

n=2

ou encore a1 +

+∞ X n=1

((n + 1) an+1 − nan−1 ) xn = 1, ce qui nous donne a1 = 1 et pour

n ≥ 1, (n + 1) an+1 − nan−1 = 0 avec a0 = f (0) = 0. On a donc 2pa2p = (2p − 1) a2(p−1) avec a0 = 0, ce qui nous donne a2p = 0 pour tout p ≥ 0 (récurrence immédiate) et (2p) · (2p − 2) · · · · · 2 (2p + 1) a2p+1 = 2pa2p−1 qui donne par récurrence a2p+1 = a1 (2p + 1) · (2p − 1) · · · · · 3 2 2 ((2p) · (2p − 2) · · · · · 2) 22p (p!) avec a1 = 1, soit a2p+1 = = pour tout p ≥ 0. Le (2p + 1)! (2p + 1)! +∞ 2n 2 X 2 (n!) 2n+1 développement en série entière de f sur ]−1, 1[ est donc f (x) = x . (2n + 1)! n=0 Le fait que les coefficients a2n sont tous nuls était prévisible puisque la fonction f est impaire.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 323 — #333

Chapitre 15

Série de Fourier d’une fonction périodique

15.1

Séries entières et séries de Fourier

Nous allons dans un premier temps introduire la notion de série de Fourier en partant des développements en séries entières. Le théorème relatif aux projections orthogonales d’un espace préhilbertien sur un sous-espace de dimension finie nous donne une autre présentation de cette notion de série de Fourier (voir le cours d’algèbre). X n Si αn z est une série entière de rayon de convergence R > 0 éventuellement infini, on peut alors définir en notant f la somme de cette série entière, pour tout réel r ∈ ]0, R[ +∞
X la fonction φr sur R par φr (x) = f reix = αn rn einx . La fonction f étant continue n=0

sur le disque ouvert D (0, R) = {z ∈ C | |z| < R} , on en déduit que, pour r fixé dans ]0, R[ , la fonction φr est continue sur tout R. X n! Pour p ∈ N∗ , la série dérivée p-ième αn z n−p a même rayon de convergence (n − p)! X X que αn z n , donc la série np |αn | rn est convergente pour tout réel r ∈ ]0, R[ (puisque n! p np |αn | rn ∼ rp |αn | rn−p ) et avec (in) αn rn einx = np |αn | rn pour tout en+∞ (n − p)! X p tier naturel n et tout réel x, on déduit que la série de fonctions (in) αn rn einx est normalement convergente sur R. Comme les fonctions x 7→ einx sont de classe C ∞ sur R pour tout entier naturel n, on en déduit que la fonction φr est aussi de classe C ∞ sur R. De la 2π-périodicité des fonctions x 7→ einx , on déduit que la fonction φr est périodique de période 2π. En utilisant les formules d’Euler einx = cos (nx) + i sin (nx) , on peut écrire que +∞ +∞ X X X φr (x) = αn rn cos (nx) + i αn rn sin (nx) , les séries de fonctions αn rn cos (nx) n=0 n=0 X et αn rn sin (nx) étant normalement convergentes sur R (le terme général est majoré par |αn | rn ). Un tel développement est appelé développement en série de Fourier de la fonction φr . Les coefficients αn peuvent s’exprimer à l’aide de formules intégrales comme suit.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 324 — #334

324

Série de Fourier d’une fonction périodique Théorème 15.1. Cauchy Z n

Avec les notations précédentes, on a αn r =

2π

φr (t) e−int

0

dt pour tout n ∈ N. 2π

X Preuve. Avec la convergence normale sur R de la série de fonctions αk rk eikt , on peut Z 2π Z 2π +∞ X φr (t) e−int dt = ei(k−n)t dt = 2παn rn puisque : écrire pour tout n ∈ N, αk rk 0

0

k=0

Z



2π

e

i(k−n)t

dt =

0

0 pour k 6= n 2π pour k = n

Z 1 2π On a en particulier f (0) = α0 = φr (t) dt. 2π 0 Z 2π Z 2π +∞ X int k Pour n ≥ 1, on a φr (t) e dt = αk r ei(k+n)t dt = 0 et : 0

Z

k=0

Z

2π

2π

φr (t) cos (nt) dt = 0

Z

0

Z



0

eint + e−int dt = φr (t) 2

Z

2π

φr (t) 0

e−int dt = παn rn 2

Z

2π eint − e−int e−int dt = − dt = iπαn rn φr (t) 2i 2i 0 0 0 Z Z 1 2π 1 2π n n φr (t) cos (nt) dt et iαn r = φr (t) sin (nt) dt. soit αn r = π 0 π 0 Les coefficients Z 1 2π an = αn rn = φr (t) cos (nt) dt (n ≥ 0) π 0 Z 1 2π n bn = iαn r = φr (t) sin (nt) dt (n ≥ 1) π 0 2π

φr (t) sin (nt) dt =

2π

φr (t)

sont les coefficients de Fourier trigonométriques de φr et les coefficients : Z 2π 1 cn = αn rn = φr (t) e−int dt (n ∈ Z) 2π 0 sont les coefficients de Fourier exponentiels de φr . Nous utiliserons par la suite les coefficients trigonométriques un peu plus commodes pour les fonctions à valeurs réelles paires ou impaires. L’utilisation du produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes permet de donner la version particulière qui suit du théorème de Parseval que nous retrouverons plus loin.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 325 — #335

L’espace préhilbertien D de Dirichlet

325

Théorème 15.2. Parseval Soit f (z) =

+∞ X

αn z n une fonction développable en série entière sur D (0, R)

n=0

avec 0 < R ≤ +∞. Pour tout r ∈ ]0, R[ , on a : 1 2π +∞ X

Preuve. Les séries

Z

2π

+∞ X
2 f reit 2 dt = |αn | r2n

0

n=0

αn rn eint et

n=0

+∞ X

αn rn e−int étant absolument convergentes pour

n=0

tout réel t ∈ [0, 2π] , leur produit de Cauchy est aussi une série absolument convergente (théorème 8.19) et on a : +∞ X n X

f reit 2 = f reit f (reit ) = αk rk eikt αn−k rn−k e−i(n−k)t n=0 k=0

=

+∞ X

n X

n=0

k=0

αk αn−k e

n X −i(n−2k)t n Avec αk αn−k e r ≤ k=0

+∞ X n X n=0

n X

!

−i(n−2k)t

rn

! |αk | |αn−k | rn pour tout t ∈ [0, 2π] et :

k=0

! |αk | |αn−k | rn =

n +∞ X X

|αk | rk |αn−k | rn−k

n=0 k=0

k=0

=

+∞ X

!

|αn | r

n=0

n

+∞ X

! |αn | r

n

< +∞

n=0

(encore un produit de Cauchy de séries absolument convergentes), on déduit que la série
2 de fonctions de somme f reit est normalement convergente sur [0, 2π] et on peut ! Z 2π Z 2π +∞ X n +∞ X X
2 2 it −i(n−2k)t f re dt = αk αn−k écrire que e dt rn = 2π |αp | r2p 0

n=0

k=0

0

p=0

puisque : Z 0

2π

e−i(n−2k)t dt =



0 pour n = 2p + 1 ou n = 2p et k 6= p 2π pour n = 2p et k = p 

15.2

L’espace préhilbertien D de Dirichlet

Pour ce paragraphe, les fonctions considérées sont définies sur R et à valeurs réelles. Définition 15.1. On dit qu’une fonction 2π-périodique, f : R → R, est continue par morceaux s’il existe une subdivision 0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π de [0, 2π] avec

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 326 — #336

326

Série de Fourier d’une fonction périodique

p ∈ N∗ , telle que f soit continue sur chaque intervalle ]ak , ak+1 [ pour 0 ≤ k ≤ n−1 et admette une limite à droite et à gauche en chaque point de discontinuité (s’il en existe). Pour f : R → R continue par morceaux, on notera en tout point de discontinuité a de f (s’il en existe), f (a− ) = x→a lim f (x) et f (a+ ) = x→a lim f (x) . xa

Pour f : R → R continue par morceaux et 2π-périodique, en utilisant les notations de la définition qui précède, on vérifie facilement que f se prolonge en fonction continue sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] . Et réciproquement, si pour une telle subdivision de [0, 2π] , la fonction f se prolonge en fonction continue sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] , elle est alors continue par morceaux. On rappelle qu’une fonction continue par morceaux sur R est Riemann-intégrable sur tout segment [a, b] (théorème 5.13). Définition 15.2. Soit k ∈ N. On dit qu’une fonction 2π-périodique f : R → R est de classe C k par morceaux s’il existe une subdivision 0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π de [0, 2π] avec p ∈ N∗ , telle que la restriction de f à chaque intervalle ]ai , ai+1 [ se prolonge par continuité en une fonction de classe C k sur [ai , ai+1 ] (0 ≤ i ≤ n − 1) . Si f : R → R, est 2π-périodique et de classe C 1 par morceaux, elle est alors de classe C 1 sur [0, 2π] \ {a0 , · · · , ap } et en chacun des ak , la fonction f admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche non nécessairement égales. On

notera respectivement − + f (x) − f a f (x) − f a k k lim et fd′ (ak ) = x→a lim la dérivée à gauche et à fg′ (ak ) = x→a k k x − a x − a k k xak droite en ak . Le théorème des accroissements finis nous dit que :

fg′ (ak ) = x→a lim f ′ (x) = f ′ a− et fd′ (ak ) = x→a lim f ′ (x) = f ′ a+ k k k

k

xak

De manière plus générale, pour k ≥ 1, si f est de classe C k par morceaux, elle est alors de classe C k sur [0, 2π] éventuellement privé d’un nombre fini de points {a0 , a1 , · · · , ap } et sa dérivée est une fonction de classe C k−1 par morceaux. On désigne par D l’espace des fonctions f : R → R continues par morceaux, 2πf (a− ) + f (a+ ) périodiques et telles qu’en tout point de discontinuité a de f, on a f (a) = . 2 On dit que D est l’espace des fonctions de Dirichlet. Il est facile de vérifier que D est un R-espace vectoriel. On peut remarquer que f ∈ D est bornée avec sup |f (t)| = sup |f (t)| du fait de la t∈R

t∈[−π,π]

2π-périodicité. Si f : R → R, est une fonction 2π-périodique et de classe C 1 par morceaux, la fonction ′ f sera considérée comme un
élément
de D en posant, en chaque point de discontinuité + ′ f ′ a− k + f ak ′ ′ . Par dérivée d’une fonction f : R → R, qui est ak de f , f (ak ) = 2 1 2π-périodique et de classe C par morceaux nous entendrons ce prolongement. On peut aussi travailler avec des fonctions périodiques   de période T > 0. Si f est une T telle fonction, la fonction g définie par g (x) = f x est alors périodique de période 2π 2π. La limitation à la période 2π n’est donc pas vraiment restrictive. Le lemme qui suit, de démonstration élémentaire, nous sera très utile.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 327 — #337

Polynômes trigonométriques et séries de Fourier

327

Z

Z

a+2π

Lemme 15.1 Pour f ∈ D et tout réel a, on a

2π

f (t) dt = a

f (t) dt. 0

Preuve. En utilisant la relation de Chasles pour l’intégrale de Riemann, on a : Z a+2π Z 2π Z 0 Z a+2π f (t) dt f (t) dt + f (t) dt + f (t) dt = 2π

0

a

a

et le changement de variable t = 2π + u dans la troisième intégrale nous donne, compte tenu de la 2π-périodicité de f : Z a+2π Z a Z a Z 0 f (t) dt = f (2π + u) du = f (u) du = − f (u) du 2π

0

0

a

ce qui donne le résultat annoncé.

Z

En particulier on a pour f ∈ D, en prenant a = −π,

Z

π

f (t) dt = −π



2π

f (t) dt. Ce 0

résultat est intéressant dans le cas particulier où la fonction f est paire ou impaire. Il sera aussi commode de noter que : Z

Z

a+π

Z

(a−π)+2π

f (t) dt = a−π

f (t) dt = a−π

Z

2π

π

f (t) dt = 0

f (t) dt. −π

Théorème 15.3. Z L’application (f, g) 7→ hf | gi =

2π

f (t) g (t) dt définit un produit scalaire sur 0

l’espace vectoriel D.

Preuve. Des propriétés de l’intégrale de Riemann sur un segment, on déduit que l’application h· | ·i est bilinéaire, symétrique et positive. Si f ∈ D est telle que hf | f i = 0, en notant 0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π les éventuels points de discontinuité de f, on Z 2π Z ak+1 p−1Z ak+1 X 2 2 a 0 = f (t) dt = f (t) dt, donc f 2 (t) dt = 0 pour tout k compris 0

k=0 ak

ak

entre 0 et p − 1 et f est nulle sur ]ak , ak+1 [ puisque f 2 est continue positive.
Il en+résulte
−

f a k + f ak + − = 0. que f ak = x→a lim f (x) = 0, f ak = x→a lim f (x) = 0 et f (ak ) = k k 2 xak La fonction f est donc nulle sur [0, 2π] et sur R par 2π-périodicité. L’application h· | ·i est donc définie et c’est un produit scalaire sur D.  Z 2π  21 L’application f 7→ kf k = f 2 (t) dt définit alors une norme sur l’espace vecto0

riel D.

15.3

Polynômes trigonométriques et séries de Fourier

Pour tout entier naturel n, on note Pn l’ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions de R dans R de la forme n X P : x 7→ a0 + (ak cos (kx) + bk sin (kx)) , où les coefficients ak et bk sont des réels. On k=1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 328 — #338

328

Série de Fourier d’une fonction périodique

vérifie facilement que Pn est un sous-espace vectoriel de D de dimension 2n + 1 engendré par la famille {ck | 0 ≤ k ≤ n} ∪ {sk | 1 ≤ k ≤ n} , où on a noté ck : x 7→ cos (kx) pour k ≥ 0 et sk : x 7→ sin (kx) pour k ≥ 1. En effet, cette famille est génératrice, formée de fonctions non nulles et orthogonale pour le produit scalaire défini sur D, elle est donc libre (voir le cours[d’algèbre). On note P = Pn l’espace de tous les polynômes trigonométriques. C’est un sousn∈N

espace vectoriel de D de base orthogonale {ck | k ∈ N} ∪ {sk | k ∈ N∗ } . Z 2π 2 Avec kc0 k = dt = 2π et pour n ≥ 1 : 0

Z 2

kcn k =

Z

2π

2

cos (nt) dt = ksn k = 2

0

2π

sin2 (nt) dt = π 0





 1 1 1 √ c0 ∪ √ cn , √ sm | (n, m) ∈ N∗ × N∗ est une base π 2π π  1 1 1 orthonormée de P et Bn = √ c0 ∪ √ cj , √ sk | 1 ≤ j, k ≤ n est une base π π 2π orthonormée de Pn pour n ≥ 0. On rappelle que pour toute fonction f ∈ D, la projection orthogonale de f sur Pn , pour n ≥ 0 fixé, est le polynôme trigonométrique Sn (f ) défini par Sn (f ) ∈ Pn et f − Sn (f ) ∈ Pn⊥ . Son expression dans la base orthonormée Bn est donnée par : 

on déduit que B =

Sn (f ) =

    n  n  X X c0 sk c s c ck √0 + √k + √k f|√ f|√ f|√ π π π π 2π 2π k=1 k=1

n n 1 1X 1X = hf | c0 i c0 + hf | ck i ck + hf | sk i sk 2π π π k=1

soit, pour tout réel x, Sn (f ) (x) =

k=1

X a0 (f ) X + ak (f ) cos (kx) + bk (f ) sin (kx) , où on 2 n

n

k=1

k=1

a noté, pour tout entier naturel k : Z Z 1 2π 1 2π f (t) cos (kt) dt et bk (f ) = f (t) sin (kt) dt ak (f ) = π 0 π 0

(15.1)

Définition 15.3. Avec les notations qui précèdent, on dit les réels ak (f ) pour k ∈ N et bk (f ) pour k ∈ N∗ , sont les coefficients de Fourier trigonométriques de a0 (f ) X la fonction f et la série de fonctions + (an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx)) 2 est la série de Fourier de la fonction f. Les applications an et bn sont des formes linéaires sur D. De manière plus générale, on donne la définition suivante.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 329 — #339

Polynômes trigonométriques et séries de Fourier

329

Définition X 15.4. On appelle série trigonométrique toute série de fonctions de la forme a0 + (an cos (nx) + bn sin (nx)) , où (an )n∈N et (bn )n∈N∗ sont des suites n≥1

réelles ou complexes. Dans le cas où f est un polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal à p, on a Sn (f ) = f pour tout n ≥ p et la série de Fourier de f converge vers f en tout point x ∈ R. De manière plus générale, on peut définir les coefficients de Fourier trigonométriques d’une fonction f : R → C qui est 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout segment par les formules (15.1) . Le résultat qui suit est élémentaire, mais utile pour le calcul des coefficients de Fourier des fonctions paires ou impaires. Lemme 15.2 Si f ∈ D est paire, on a alors bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ et : Z 2 π f (t) cos (nt) dt ∀n ∈ N, an (f ) = π 0 Si f ∈ D est impaire, on a alors an (f ) = 0 pour tout n ∈ N et : Z 2 π ∗ ∀n ∈ N , bn (f ) = f (t) sin (nt) dt π 0 Preuve. Résulte du lemme 15.1 et du fait que la fonction t 7→ f (t) cos (nt) est paire [resp. impaire] et la fonction t 7→ f (t) sin (nt) est impaire [resp. paire] pour f paire [resp. impaire].  Nous verrons que la réciproque du résultat précédent est vraie, c’est-à-dire que si f ∈ D est telle que bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ [resp. an (f ) = 0 pour tout n ∈ N], elle est alors paire [resp. impaire] (exercice 15.5). Il sera parfois commode d’utiliser les coefficients de Fourier exponentiels de f ∈ D (ou plus généralement de f : R → C, 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout segment) Z 1 2π a0 (f ) définis pour n ∈ Z par cn (f ) = f (t) e−int dt. On a alors c0 (f ) = : 2π 0 2   c (f ) = an (f ) − ibn (f ) , c (f ) = an (f ) + ibn (f ) = c (f ) −n n n ∗ 2 2 ∀n ∈ N ,  an (f ) = c−n (f ) + cn (f ) , bn (f ) = i (cn (f ) − c−n (f )) et : Sn (f ) (x) =

X a0 (f ) X + ak (f ) cos (kx) + bk (f ) sin (kx) 2

= c0 (f ) + = c0 (f ) +

n

n

k=1

k=1

n X k=1 n X k=1

(c−k (f ) + ck (f )) cos (kx) + i

n X

(ck (f ) − c−k (f )) sin (kx)

k=1

ck (f ) eikx +

n X k=1

c−k (f ) e−ikx =

n X k=−n

ck (f ) eikx

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 330 — #340

330

Série de Fourier d’une fonction périodique

Pour toute fonction f : R → C qui est 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout segment, les suites (an (f ))n≥0 , (bn (f ))n≥1 et (cn (f ))n≥0 sont bornées. En effet, la fonction |f | est Riemann-intégrable sur [0, 2π] et on a pour tout n ∈ Z : Z Z 2π 1 1 2π −int f (t) e ≤ dt |f (t)| dt |cn (f )| = 2π 2π 0 0 1 π

ce qui donne |an (f )| ≤ |c−n (f )| + |cn (f )| ≤

Z

2π

|f (t)| dt pour tout n ∈ N et pareil 0

pour bn (f ) .

15.4

L’inégalité de Bessel

On rappelle que la projection orthogonale Sn (f ) de f ∈ D sur Pn est aussi la meilleure approximation de f (pour la norme k·k induite par le produit scalaire que nous avons défini sur D) par un polynôme trigonométrique de degré au plus égal à n, c’est à dire que kf − Sn (f )k = inf kf − P k (voir le cours d’algèbre). P ∈Pn

Du théorème de Pythagore, on déduit que : 2

2

2

2

kf k = k(f − Sn (f )) + Sn (f )k = kf − Sn (f )k + kSn (f )k 2

2

ce qui donne l’inégalité de Bessel, kSn (f )k ≤ kf k et en tenant compte de : 2

kSn (f )k =

2 X 2 X 2  n  n  c0 ck sk + + f|√ f|√ f|√ π π 2π k=1 k=1

n n 1X 1 1X 2 2 2 hf | cki + hf | ski hf | c0 i + 2π π π k=1 k=1 ! n 2 X
a0 (f ) a2k (f ) + b2k (f ) =π + 2

=

k=1

n
1 a20 (f ) X 2 cela s’écrit + ak (f ) + b2k (f ) ≤ 2 π k=1 suivant.

Z

2π

f 2 (t) dt. On en déduit alors le résultat 0

Théorème 15.4. Bessel X
Pour toute fonction f ∈ D, la série numérique a2n (f ) + b2n (f ) est converZ +∞
1 2π 2 a2 (f ) X 2 an (f ) + b2n (f ) ≤ gente et on a 0 + f (t) dt. 2 π 0 n=1 Nous verrons un peu plus loin qu’on a en fait l’égalité (théorème 15.11 de Parseval). 2  2 2 |an (f )| + |bn (f )| |an (f )| + |bn (f )| 2 Avec |c±n (f )| ≤ ≤ , on déduit que les 2 2 X 2 séries |c±n (f )| sont convergentes.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 331 — #341

L’inégalité de Bessel

331

Du théorème de Bessel, on déduit que la suite (kf − Sn (f )k)n∈N est convergente avec : 2

2

2

lim kf − Sn (f )k = kf k − lim kSn (f )k

n→+∞

n→+∞

2

= kf k − π

! +∞
a20 (f ) X 2 2 + an (f ) + bn (f ) 2 n=1

Avec le théorème de Parseval, nous verrons que cette limite est nulle, ce qui signifie que la suite (Sn (f ))n∈N est convergente dans l’espace normé (D, k·k) , mais cela ne signifie pas qu’il y a convergence simple de la série de Fourier. On peut aussi remarquer que la suite (kf − Sn (f )k)n∈N est décroissante minorée par 0, donc convergente. En effet, pour n ≥ 1, on a Sn (f ) ∈ Pn+1 et considérant que Sn+1 (f ) est la meilleure approximation de f dans Pn+1 , on a kf − Sn+1 (f )k ≤ kf − Sn (f )k . De l’inégalité de Bessel, on déduit le résultat suivant. Corollaire 15.1. (Riemann-Lebesgue) Pour toute fonction f ∈ D, on a lim an (f ) = lim bn (f ) = 0 et lim cn (f ) = 0.

n→+∞

|n|→+∞

n→+∞

X a2n (f ) et b2n (f ) étant convergentes, leur terme général tend |an (f )| + |bn (f )| , on déduit que lim cn (f ) = 0.  vers 0 et avec |c±n (f )| ≤ 2 |n|→+∞ Preuve. Les séries

X

Théorème 15.5. Si f ∈ Dest declasse C p et de  classe  C p+1 par morceaux avec p ≥ 0, on a alors 1 1 an (f ) = o et bn (f ) = o . np+1 np+1 Preuve. Si la fonction f ∈ D est de classe C 1 par morceaux, il existe alors une subdivision 0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π de [0, 2π] telle que la restriction de f à chaque intervalle ]ak , ak+1 [ se prolonge par continuité en fonction de classe C 1 sur [ak , ak+1 ] et on a, pour tout n ∈ Z∗ : Z 2π p−1 Z 1 1 X ak+1 cn (f ) = f (t) e−int dt = f (t) e−int dt 2π 0 2π ak k=0

et comme f est de classe C sur [ak , ak+1 ] , une intégration par parties donne : a  Z Z ak+1 i ak+1 ′ f (t) e−int k+1 − f (t) e−int dt f (t) e−int dt = i n n ak a a k
−ina
−inak Z + k k+1 f a− e − f a i ak+1 ′ k+1 k e − f (t) e−int dt =i n n ak

+ Si on suppose de plus que f est continue sur R, on a alors f a− k = f ak = f (ak ) pour tout k compris entre 0 et p et : p−1 p−1 Z ak+1
i X i X 2πcn (f ) = f (ak+1 ) e−inak+1 − f (ak ) e−inak − f ′ (t) e−int dt n n ak 1

k=0

k=0

Z 2π p−1 Z i X ak+1 ′ 1 −int =− f (t) e dt = f ′ (t) e−int dt n in 0 ak k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 332 — #342

332

Série de Fourier d’une fonction périodique

cn (f ′ ) . Par récurrence, on en déduit que in
k pour f ∈ D de classe C p et de classe C p+1 par morceaux, on a cn f (k) = (in) cn (f ) pour tout k ∈ {0, · · · , p + 1} et tout n ∈ Z. On en déduit que :    p+1  n an (f ) ≤ np+1 cn (f ) + np+1 c−n (f ) ≤ cn f (p+1) + c−n f (p+1) → 0 puisque f est 2π-périodique, donc cn (f ) =

n→+∞

 et pareil pour bn (f ) . On a donc an (f ) = o

1 np+1



 et bn (f ) = o

1 np+1

 .



p+1 Lemme 15.3 Si f ∈ D est de classe C p et Xde classe C Xpar morceaux avec p ≥ 0, alors pour tout k ∈ {0, · · · , p} les séries nk an (f ) et nk bn (f ) sont absolument convergentes.

Preuve. Pour tout k ∈ {0, · · · , p} et n ≥ 1, on :   1  1   2  1 1 k+1 (k+1) (k+1) n c±n (f ) = c±n f + c±n f n |c±n (f )| = ≤ n n 2 n2 X ce qui entraîne la convergence de la série nk |c±n (f )| (inégalité de Bessel) et celles X X des séries nk |an (f )| et nk |bn (f )| .  k

15.5

Convergence ponctuelle des séries de Fourier

Nous allons tout d’abord montrer qu’une fonction f ∈ D est uniquement déterminée par ses coefficients de Fourier, ce qui compte tenu de la linéarité des coefficients de Fourier revient à montrer le résultat suivant. Théorème 15.6. Une fonction f ∈ D est telle que an (f ) = bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N (ce qui équivaut à cn (f ) = 0 pour tout n ∈ Z) si, et seulement si, elle est identiquement nulle. Preuve. Soit f non identiquement nulle dans D ayant tout ses coefficients de Fourier Z 2π nuls. Dans ce cas, on a f (t) P (t) dt = 0 pour tout polynôme trigonométrique P. 0

Supposons qu’il existe un réel a tel que f (a) = 6 0 et tel que f soit continue en a. Quitte à changer f en −f, on peut supposer que f (a) > 0 (avec la linéarité des coefficients de Fourier, on a cn (−f ) = −cn (f ) = 0 pour tout n ∈ Z). Avec la continuité de f en a, on i πh f (a) tel que |f (t) − f (a)| < pour tout t ∈ [a − δ, a + δ] , ce qui peut trouver δ ∈ 0, 2 2 f (a) entraîne que f (t) > > 0 pour tout t ∈ [a − δ, a + δ] . 2 Soit P le polynôme trigonométrique défini P (t) = 1 + cos (t − a) − cos (δ) . Pour i π par πh t ∈ [a − δ, a + δ] , on a t − a ∈ [−δ, δ] ⊂ − , , donc 0 ≤ cos (δ) ≤ cos (t − a) ≤ 1 en 2 2 h πi tenant compte de la parité de cos et de sa décroissance sur 0, , soit P (t) ≥ 1 pour 2   δ tout t ∈ [a − δ, a + δ] . Toujours avec les propriétés de cos, on a cos (t − a) ≥ cos 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 333 — #343

Convergence ponctuelle des séries de Fourier

333

  δ δ pour tout t ∈ a − , a + et : 2 2     δ δ δ ∀t ∈ a − , a + , P (t) ≥ 1 + cos − cos (δ) = 1 + ε 2 2 2   i πh δ avec ε = cos − cos (δ) > 0 (stricte décroissance de cos sur 0, ). Enfin pour 2 2 δ ≤ |t − a| ≤ π, on a −1 ≤ cos (t − a) ≤ cos (δ) puisque cos est décroissante sur [0, π] et paire, ce qui donne P (t) = 1 + cos (t − a) − cos (δ) ≤ 1. On définit alors la suite (Pn )n∈N 2n de polynômes trigonométriques par Pn (t) = (P (t)) et on écrit que : Z

Z

2π

0 = In =

a+π

f (t) Pn (t) dt = 0

f (t) Pn (t) dt = Jn + Kn + Ln a−π

Z avec Kn =

δ 2 ≤|t−a|≤δ

f (t) Pn (t) dt ≥ 0 et : Z

a+ δ2

Jn = a− δ2

f (t) Pn (t) dt ≥ δ

f (a) 2n (1 + ε) 2

→

n→+∞

+∞

f (a) > 0 pour |t − a| ≤ δ et Pn (t) ≥ 0 pour tout t et : 2 Z Z |Ln | ≤ |f (t)| Pn (t) dt ≤ |f (t)| dt ≤ 2π sup |f (t)| = M

car f (t) >

δ≤|t−a|≤π

t∈R

δ≤|t−a|≤π

ce qui donne : Jn + Kn + Ln ≥ Jn − M

→

n→+∞

+∞

et est en contradiction avec In = 0. On a donc ainsi montré que f est nulle en tout point de continuité. En un point de discontinuité a ∈ [0, 2π] (s’il en existe, il n’y en a alors qu’un nombre fini), on a f (a− ) = x→a lim f (x) = 0, f (a+ ) = x→a lim f (x) = 0 et f (a− ) + f (a+ ) f (a) = = 0. 2

xa



Théorème 15.7. Si f, g dans D sont telles que an (f ) = an (g) pour tout n ∈ N et bn (f ) = bn (g) pour tout n ∈ N∗ (ce qui équivaut à cn (f ) = cn (g) pour tout n ∈ Z) on a alors f = g. Preuve. Avec la linéarité des applications cn , on a cn (f − g) = 0 pour tout n ∈ Z, donc f − g = 0.  Du théorème précédent, nous allons déduire un premier théorème de convergence de la série de Fourier. X Lemme 15.4 Si la série trigonométrique a0 + (an cos (nx) + bn sin (nx)) est unin≥1

formément convergente sur R, sa somme f est alors continue et 2π-périodique et ses coefficients de Fourier sont les ak et bk .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 334 — #344

334

Série de Fourier d’une fonction périodique

Preuve. La fonction f est continue sur R comme limite uniforme d’une suite (Sn )n∈N de fonctions continues (les Sn sont les sommes partielles de la série trigonométrique considérée). Comme les Sn sont 2π-périodiques, il en est de même de f. La fonction continue t 7→ cos (kt) étant bornée et la suite (Sn )n∈N uniformément convergente vers f sur [0, 2π] , la suite (cos (kt) Sn )n∈N converge uniformément vers t 7→ cos (kt) f (t) sur [0, 2π] et pour k ≥ 1, on peut écrire que : Z

2π

πak (f ) = Z = a0

2π

cos (kt) dt + 0

+∞  X

Z

Z

2π

an

n=1

f (t) cos (kt) dt 0

cos (kt) cos (nt) dt + bn 0

2π

 cos (kt) sin (nt) dt

0

= ak 

On procède de manière analogue pour a0 et pour les bk . Théorème 15.8. X X Si f ∈ D est telle que les séries an (f ) et bn (f ) sont absolument convergentes, sa série de Fourier converge alors normalement (donc uniformément) sur R vers f et f est continue sur R. Preuve. Si les séries

X

an (f ) et

X

bn (f ) sont absolument convergentes, avec

|an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx)| ≤ |an (f )| + |bn (f )| pour tout n ≥ 1, on déduit alors que la série de Fourier de f est normalement convergente, donc uniformément convergente, sur R et sa somme g (x) est une fonction continue sur R. Le lemme précédent nous dit que les coefficients de Fourier de g sont ceux de f et en conséquence f = g puisque ces deux fonctions sont dans D avec les mêmes coefficients de Fourier. 

15.6

Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques

Les lemmes techniques qui suivent nous seront utiles. n

Lemme 15.5 Pour tout n ∈ N, la fonction t 7→ (1 + cos (t)) est un polynôme trigono!    n  X 1 2n 2n n métrique. Plus précisément, on a (1 + cos (t)) = n +2 cos (kt) . 2 n n−k k=1

Preuve. On a :  t 2n   i2 −i 2t e + e t n = 2n Pn (t) = (1 + cos (t)) = 2n cos2n 2 22n      2n 2n 2n  1 X 2n ik t −i(2n−k) t 1 X 2n i(2k−2n) t 1 X 2n i(k−n)t 2 = 2 = = n e 2e e e 2 k 2n k 2n k k=0

k=0

k=0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 335 — #345

Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques

335

et : !   2n  2n  1 X 2n i(k−n)t 1 X 2n Pn (t) = Re e = cos ((k − n) t) 2n k 2n k k=0 k=0      n  X 1 2n 2n = n +2 cos (jt) ∈ Pn n 2 n −j j=1 Z

π

n

Du lemme précédent, on déduit que −π

n ∈ N. On a aussi : Z π Z n (1 + cos (t)) dt = 2n −π

(1 + cos (t)) dt =

π

cos2n

−π

Z

=2

π 2

n+2

   2n pour tout 2n−1 n π

    Z π t t dt = 2n+1 cos2n dt 2 2 0

cos2n (x) dx

0

  1 2n π cos (x) dx = 2n (exercice 5.6). et on reconnaît l’intégrale de Wallis, 2 n 2 0 n Z π  4 1 + cos (t) . dt ≥ Lemme 15.6 Pour tout n ∈ N, on a In = 2 n + 1 −π Z

Preuve. On a : Z π  −π

1 + cos (t) 2

n

π 2

2n

Z

π



0

1 + cos (t) 2

0

1 + cos (t) 2

dt = 2 Z π ≥2

n dt n sin (t) dt = 2Jn

et le changement de variable x = cos (t) nous donne : Z Jn =

1

−1



1+x 2

n

"

2 dx = n+1

i

Lemme 15.7 En notant, pour tout réel δ ∈ 0, on a

lim

n→+∞



1+x 2

πh 2

n+1 #1 = −1

2 . n+1 

Z , In (δ) = δ≤|t|≤π

1 + cos (t) 2

n

 dt,

In (δ) = 0. In

Preuve. Par parité, on a : Z In (δ) = δ≤|t|≤π



1 + cos (t) 2

n

Z dt = 2 δ

π



1 + cos (t) 2

n dt

Avec la décroissance de la fonction cos sur le segment[0, π] etla positivité de la n n 1 + cos (δ) 1 + cos (δ) fonction 1 + cos, il vient 0 < In (δ) ≤ 2 (π − δ) ≤ 2π soit 2 2

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 336 — #346

336

Série de Fourier d’une fonction périodique

en notant λ =

1 + cos (δ) ∈ ]0, 1[ : 2 0
0, on peut trouver un réel η ∈ ]0, 1[ tel que :
(t, x) ∈ J 2 , |t − x| ≤ η ⇒ (|f (t) − f (x)| ≤ ε) Pour x ∈ [−π, π] et t ∈ R tels que |t − x| ≤ η on a t ∈ [−π − 1, π + 1] (η ∈ ]0, 1[ et faire un dessin), donc |f (t) − f (x)| ≤ ε. Pour(t, x) ∈R2 tels que |t − x| ≤ η, il existe un entier x+π ) et on a |(t − 2nπ) − (x − 2nπ)| ≤ η, ce n ∈ Z tel que x − 2nπ ∈ [−π, π] (n = E 2π qui entraîne que |f (t) − f (x)| = |f (t − 2nπ) − f (x − 2nπ)| ≤ ε. On a donc ainsi prouvé que f est uniformément continue sur R.  Théorème 15.9. Pour toute fonction continue f ∈ D, la suite de polynômes trigonométriques (Pn (f ))n∈N converge uniformément vers f. Z Preuve. f étant fixée, on note Pn pour Pn (f ) . Comme In = a pour tout réel x : 1 Pn (x) − f (x) = In

Z

π

−π



1 + cos (t) 2

π

−π



1 + cos (t) 2

n (f (x − t) − f (x)) dt

n dt, on

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 337 — #347

Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques

337

Comme i fπ est h uniformément continue sur R, pour tout réel ε > 0, on peut trouver un réel δ ∈ 0, tel que : 2
(u, v) ∈ R2 et |u − v| ≤ δ ⇒ (|f (u) − f (v)| ≤ ε) On a alors |f (x − t) − f (x)| < ε pour tout réel x et tout réel t ∈ [−δ, δ] et : n Z δ  1 + cos (t) 1 |f (x − t) − f (x)| dt |Pn (x) − f (x)| ≤ In −δ 2  n Z 1 In (δ) 1 + cos (t) + |f (x − t) − f (x)| dt ≤ ε + 2M In δ≤|t|≤π 2 In où on a posé M = sup |f (x)| . Puis avec lim

n→+∞

x∈R

existe un entier nε tel que 0
0 fixé, il existe g ∈ D continue telle que kf − gk < ε et avec la convergence uniforme de la suite de polynômes trigonométriques (Pn (g))n∈N vers g, on déduit qu’il existe un polynôme trigonométrique P = Pn0 (g) tel que kP − gk∞ < ε, Z 2π 2 2 2 ce qui entraîne que kP − gk = |P (x) − g (x)| dx ≤ 2π kP − gk∞ < 2πε2 et en 0 √
2π + 1 ε. En notant nε le degré de P, conséquence, kP − f k ≤ kP − gk + kg − f k < √
on a P ∈ Pn pour tout n ≥ nε et kSn (f ) − f k ≤ kP − f k < 2π + 1 ε, ce qui prouve que lim kSn (f ) − f k = 0, soit que lim Sn (f ) = f dans (D, k·k) .  n→+∞

n→+∞

Ce résultat est en fait équivalent au théorème qui suit. Théorème 15.11. Parseval X
Pour toute fonction f ∈ D, la série numérique a2n (f ) + b2n (f ) est converZ +∞
1 2π 2 a20 (f ) X 2 2 gente et on a + f (t) dt. an (f ) + bn (f ) = 2 π 0 n=1 Z 2

2

2

2

Preuve. Résulte de kf − Sn (f )k = kf k − kSn (f )k avec kf k = ! n
a20 (f ) X 2 2 2 + ak (f ) + bk (f ) . kSn (f )k = π 2

2π

f 2 (t) dt et 0



k=1

Corollaire 15.2. Une fonction f ∈ D est telle que an (f ) = bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N si, et seulement si, elle est identiquement nulle. Preuve. Pour f ∈ D, les égalités an (f ) = bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N sont équivalentes Z 2π 2 à kf k = f 2 (t) dt = 0, soit à f = 0.  0

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 339 — #349

Le théorème de Dirichlet

15.7

339

Le théorème de Dirichlet

Dans un premier temps nous allons donner une expression intégrale des sommes partielles d’une série de Fourier. Lemme 15.11 Pour tout p ∈ N∗ , la fonction θp définie sur R \ Zπ par x 7→ prolonge en une fonction continue et périodique de période 2π sur R.

sin (px) se sin (x)

Preuve. L’ensemble R \ Zπ est stable par la translation x 7→ x + 2π et la fonction θp est continue et périodique sur R \ Zπ comme quotient de deux fonctions continues et périodiques, le dénominateur ne s’annulant jamais sur R \ Zπ. Pour k entier relatif (p−1)k (p−1)k sin (pt) v (−1) p. On et x = kπ + t avec t voisin de 0 on a θp (x) = (−1) sin (t) t→0 peut donc prolonger la fonction θp par continuité en tout point kπ avec k ∈ Z en posant (p−1)k θp (kπ) = (−1) p. La fonction obtenue est bien continue et 2π-périodique sur R.  Pour la suite, on note encore θp le prolongement à R de la fonction θp . n 1 X cos (kx) . Pour tout n ∈ N, on note Dn la fonction définie sur R par Dn (x) = + 2 k=1 Ces fonctions Dn sont appelées noyaux de Dirichlet. Lemme 15.12 Pour tout entier naturel n et tout réel x on a Dn (x) =

x 1 θ2n+1 . 2 2

Preuve. Pour tout entier naturel k et pour tout réel x on a :        x 1 1 1 cos (kx) = sin k+ x − sin k− x sin 2 2 2 2 ce qui nous donne : x

   ! n  X 2k + 1 2k − 1 sin + sin x − sin x 2 2 2 k=1   2n + 1 1 = sin x 2 2

1 sin Dn (x) = 2 2

et Dn (x) =

x

x 1 θ2n+1 . 2 2

Théorème 15.12. Pour toute fonction f ∈ D, tout réel x et tout entier n, on a :     Z π Z π 1 x−t 1 t Sn (f ) (x) = f (t) θ2n+1 dt = f (x − t) θ2n+1 dt 2π −π 2 2π −π 2   Z π 1 t = (f (x − t) + f (x + t)) θ2n+1 dt 2π 0 2



“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 340 — #350

340

Série de Fourier d’une fonction périodique

Preuve. On a : Sn (f ) (x) = = =

= =

n n X a0 (f ) X + ak (f ) cos (kx) + bk (f ) sin (kx) 2 k=1 k=1 Z 2π Z n X 1 2π 1 f (t) dt + f (t) (cos (kt) cos (kx) + sin (kt) sin (kx)) dt 2π 0 π 0 k=1 Z 2π Z n X 1 2π 1 f (t) dt + f (t) cos (k (x − t)) dt 2π 0 π 0 k=1 ! Z n 1 2π 1 X f (t) + cos (k (x − t)) dt π 0 2 k=1   Z Z π 1 x−t 1 2π f (t) Dn (x − t) dt = f (t) θ2n+1 dt π 0 2π −π 2

et le changement de variable u = x − t, nous donne : Z x+π u 1 Sn (f ) (x) = du f (x − u) θ2n+1 2π x−π 2

sin (2n + 1) u2
étant 2π-périodique, il en est de même la fonction u 7→ θ2n+1 u2 = sin u2 Z u u 1 π de u 7→ f (x − u) θ2n+1 et on a Sn (f ) (x) = f (x − u) θ2n+1 du. En ex2 2π −π 2 u ploitant la parité de u 7→ θ2n+1 , le changement de variable u = −t nous donne   Z 0 Z π 2 u t f (x − u) θ2n+1 du = f (x + t) θ2n+1 dt et : 2 2 −π 0   Z π 1 t Sn (f ) (x) = (f (x − t) + f (x + t)) θ2n+1 dt. 2π 0 2 1 En remarquant que Sn (1) = 1 pour tout n ≥ 0, on déduit que π En fait cette égalité peut aussi se démontrer directement avec : Z 0

π

  Z π Z π t θ2n+1 dt = 2 Dn (t) dt = 2 2 0 0

Z

π

θ2n+1 0

t 2




 dt = 1.

! n 1 X + cos (kt) dt = π 2 k=1

Pour toute fonction f ∈ D et tout réel x, on rappelle qu’on a noté f (x− ) = lim f (t) t→x tx +

f (x ) = f (x ) = f (x) . Lemme 15.13 Soient f ∈ D de classe C 1 par morceaux et x un réel fixé. La fonction f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ )
φx définie sur ]0, π] par φx (t) = se prolonge par sin 2t continuité en 0 et est de classe C 1 par morceaux sur ]0, π] .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 341 — #351

Le théorème de Dirichlet

341

Preuve. Comme f ∈ D est de classe C 1 par morceaux, on a : lim

t→0+

et comme lim

u→0

f (x − t) − f (x− ) f (x + t) − f (x+ ) = fg′ (x) et lim = fd′ (x) t t t→0+ u = 1, on déduit que : sin (u)

lim φx (t) = lim

t→0+

t→0+


t f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ )
= 2 fg′ (x) + fd′ (x) t t sin 2

donc φx seprolonge par continuité en 0. Comme f est de classe C 1 par morceaux sur R,  t de classe C ∞ sur R, ne s’annulant pas sur ]0, π] , on déduit que φx est de et t 7→ sin 2 classe C 1 par morceaux sur ]0, π] .  La fonction φx n’est pas 2π-périodique car : φx (t + 2π) =

f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ )
= −φx (t) sin 2t + π

Nous aurons besoin de la version suivante du lemme de Riemann-Lebesgue. Lemme 15.14 Si φ : [0, π] → R estZ une fonction continue en 0 et de classe C 1 par π morceaux sur ]0, π] , on a alors lim φ (t) sin (λt) dt = 0. λ→+∞

0

Preuve. Avec : Z π Z π Z π φ (t) sin (λt) dt = (φ (t) − φ (0)) sin (λt) dt + φ (0) sin (λt) dt 0 0 0 Z π 1 − cos (λπ) = (φ (t) − φ (0)) sin (λt) dt + φ (0) λ 0 1 − cos (λπ) = 0, on se ramène au cas où φ (0) = 0. Comme φ est continue en λ 0, pour ε > 0 donné, on peut trouver δ ∈ ]0, π[ tel que |φ (t)| < ε pour tout t ∈ [0, δ] et on a : Z π Z δ Z π Z π φ (t) sin (λt) dt φ (t) sin (λt) dt ≤ |φ (t)| dt + φ (t) sin (λt) dt ≤ πε +

et lim

λ→+∞

0

0

δ

δ

φ étant C 1 par morceaux sur [δ, π] , il existe une subdivision a0 = δ < a1 < · · · < ap = π telle que φ se prolonge par continuité en une fonction de classe C 1 sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] pour k compris entre 0 et p − 1 et on écrit que : Z

δ

π

X Z p−1 φ (t) sin (λt) dt ≤ k=0

ak+1

ak

φ (t) sin (λt) dt

Une intégration par parties sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] nous donne pour λ > 0 :  a Z ak+1 Z ak+1 cos (λt) k+1 cos (λt) φ (t) sin (λt) dt = −φ (t) + φ′ (t) dt λ λ ak ak ak

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 342 — #352

342

Série de Fourier d’une fonction périodique

et :

Z

ak+1

ak

2 π Mk φ (t) sin (λt) dt ≤ sup |φ (t)| + sup |φ′ (t)| ≤ λ [0,π] λ [ak ,ak+1 ] λ

→

λ→+∞

0

R π Il existe donc un réel λε tel que δ φ (t) sin (λt) dt < ε pour λ > λε et on a : Z π ≤ (π + 1) ε φ (t) sin (λt) dt 0

Z pour tout λ > λε . On a donc prouvé que lim

λ→+∞

π

φ (t) sin (λt) dt = 0.



0

Théorème 15.13. Dirichlet Si f ∈ D est de classe C 1 par morceaux sur R, sa série de Fourier converge alors simplement vers f sur R, c’est-à-dire que pour tout réel x, on a : f (x) =

avec f (x) =

+∞ +∞ X a0 (f ) X + an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx) 2 n=1 n=1

f (x− ) + f (x+ ) dans le cas où x est un point de discontinuité de f. 2

Preuve. Les lemmes précédents nous disent que pour tout n ∈ N et tout x ∈ R, on a :     Z π Z π t dt t dt Sn (f ) (x) − f (x) = (f (x − t) + f (x + t)) θ2n+1 − f (x) θ2n+1 2 2π 2 π 0  0 Z π 1 t dt = (f (x − t) + f (x + t) − 2f (x)) θ2n+1 2π 0 2   Z π 1 2n + 1 f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ )
= sin t dt 2π 0 2 sin 2t   Z π 1 2n + 1 = φx (t) sin t dt 2π 0 2 et le lemme 15.14 de Riemann-Lebesgue nous dit que lim (Sn (f ) (x) − f (x)) = 0.  n→+∞ X Dans le cas où f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, les séries an (f ) X et bn (f ) sont absolument convergentes (lemme 15.3), ce qui implique la convergence normale de la série de Fourier de f vers f (théorème 15.8).

15.8

Exercices

Exercice 15.1. 1. Montrer que les seules fonctions développables en série entière et bornées sur C sont les fonctions constantes (théorème de Liouville).

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 343 — #353

Exercices

343

X 2. En déduire qu’une série entière αn z n est uniformément convergente sur C si, et seulement si, sa somme est une fonction polynomiale. X αn z n une fonction développable en série entière sur C. Que 3. Soit f (z) = n≥0

dire de f s’il existe une fonction polynomiale P telle que |f (z)| ≤ |P (z)| pour tout z ∈ C ? Solution. 1. On a f (z) =

+∞ X

αn z n pour tout z ∈ C et il existe un réel M > 0 tel que |f (z)| ≤ M

n=0

pour tout z ∈ C. En utilisant les notations du paragraphe 15.1, on a pour tout réel r > 0 et tout entier n ≥ 1 : Z Z 2π
1 1 2π −int f reit dt ≤ M → 0 φ (t) e ≤ |αn | = dt r n n 2πr 2πr 0 rn r→+∞ 0 donc αn = 0 pour tout n ≥ 1 et f = α0 . p +∞ X X 2. Si f : z 7→ αk z k est une fonction polynomiale, on a alors f (z) = αn z n pour tout n=0

k=0

z ∈ C, les αk étant tous nuls pour k ≥ p+1X et la convergence de cette série est uniforme sur C. Réciproquement si la série entière αn z n est uniformément convergente sur C, la suite (Rn )n∈N des restes de cette série entière converge uniformément vers 0 sur C et il existe un entier n0 ≥ 1 tel que |Rn (z)| ≤ 1 pour tout n ≥ n0 . En particulier, la fonction Rn0 est bornée sur C, c’est donc une fonction constante et nX nX 0 −1 0 −1 αn z n + λ est une fonction polynomiale. αn z n + Rn0 (z) = f (z) = n=0

n=0

3. Soit P (z) =

p X

pj z j un polynôme de degré p tel que |f | ≤ |P | . En utilisant les

j=0

notations du paragraphe 15.1, on a pour tout réel r > 0 et tout entier n ≥ p + 1 : Z Z 2π
1 2π 1 −int f reit dt |αn | = φ (t) e dt ≤ r n n 2πr 2πr 0 0 Z 2π p X
1 P reit dt ≤ 1 |pj | rj → 0 ≤ r→+∞ 2πrn 0 rn j=0 donc αn = 0 pour tout n ≥ p + 1 et f est une fonction polynomiale. Dans le cas où le polynôme majorant est constant, on retrouve le théorème de Liouville.

Exercice 15.2.

Soit f (z) =

+∞ X n=0

αn z n une fonction développable en série entière

sur D (0, R) avec 0 < R ≤ +∞. Montrer que si |f | admet un maximum local en 0, elle est alors constante (principe du maximum).

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 344 — #354

344

Série de Fourier d’une fonction périodique

Solution. Si |f | admet un maximum local en 0, il existe alors un réel r0 ∈ ]0, R[ tel que |f (0)| = sup |f (z)| . On a alors, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |z|≤r0

Z Z 2π

1 1 2π it f r0 eit · 1dt ≤ f r e dt 0 2π 0 2π 0  21  12 Z 2π  12 Z 2π Z 2π
2
2 1 1 it it f r0 e dt f r0 e dt ≤ dt =√ 2π 2π 0 0 0  21 Z 2π 1 2 √ = |f (0)| ≤ |f (0)| dt 2π 0

|f (0)| =

1 donc |α0 | = |f (0)| = √ 2π

Z

2π

 21
2 it f r0 e dt , soit :

0

1 |α0 | = 2π

Z

2

2π

+∞ X
2 f r0 eit 2 dt = |αn | r02n

0

n=0

et αn = 0 pour tout n ≥ 1, ce qui signifie que f est constante. Exercice 15.3. Soient a ∈ R et f : [a, a + 2π] → R une fonction continue telle que f (a) = f (a + 2π) . Montrer qu’il existe une unique fonction fe : R → R continue et 2π-périodique qui coïncide avec f sur [a, a + 2π] . Solution.

En utilisant la partition R =

[

[a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ , on définit la

k∈Z

fonction fe par :

∀k ∈ Z, ∀x ∈ [a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ , fe(x) = f (x − 2kπ) on a fe(x) = f (x) , pour tout x ∈ [a, a + 2π[ , fe(a + 2π) = f (a) = f (a + 2π) et pour tout k ∈ Z, tout x ∈ [a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ , on a : fe(x + 2π) = f (x + 2π − 2 (k + 1) π) = f (x − 2kπ) = fe(x) Donc fe coïncide avec [ f sur [a, a + 2π] et est 2π-périodique. Cette fonction est continue sur ]a, a + 2π[ et sur ]a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ par 2π-périodicité. En effet, pour x0 dans k∈Z

]a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ , on a lim fe(x) = lim f (x − 2kπ) = f (x0 − 2kπ) = fe(x0 ) . x→x0

x→x0

Enfin pour tous k ∈ Z et h ∈ ]0, π[ , on a a − h ∈ ]a − 2π, a[ , a + h ∈ ]a, a + 2π[ et : fe(a + 2kπ − h) = fe(a − h) = f (a − h + 2π) → f (a + 2π) = f (a) h→0

fe(a + 2kπ + h) = fe(a + h) = f (a + h) → f (a) = f (a) h→0

donc

lim

x→a+2kπ

fe(x) = f (a) = fe(a) = fe(a + 2kπ) et fe est continue en a + 2kπ. L’unicité

de fe provient du fait qu’une fonction 2π-périodique est uniquement déterminée par ses valeurs sur un intervalle de longueur 2π.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 345 — #355

Exercices

345

X sin (nx) √ est convern gente sur R, mais qu’elle ne peut être la série de Fourier d’une fonction f ∈ D. Exercice 15.4.

Montrer que la série trigonométrique

Solution. Le théorème 8.23 d’Abel nous assure la convergence de la série trigonométrique pour tout x ∈ R\2πZ et pour x ∈ 2πZ cette série est nulle. Si cette série est la série 1 de Fourier d’une fonction f ∈ D, cela signifie que an (f ) = 0 pour tout n ≥ 0, bn (f ) = √ n X X1 2 pour tout n ≥ 1 et le théorème de Bessel nous dit que la série (bn (f )) = est n   1 convergente, ce qui n’est pas. On peut en fait remplacer la suite √ par n’importe n n≥1 X quelle suite réelle (un )n∈N qui tend vers 0 en décroissant et telle que u2n = +∞. Exercice 15.5. Montrer que si f ∈ D est telle que bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ [resp. an (f ) = 0 pour tout n ∈ N], elle est alors paire [resp. impaire]. f (x) + f (−x) f (x) − f (−x) et h (x) = sont 2 2 respectivement paire et impaire et on a f = g + h avec g et h dans D. Si bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ , on a alors an (f ) = an (g) + an (h) = an (g) (an (h) = 0 puisque h est impaire) pour tout n ≥ 0 et bn (f ) = bn (g) + bn (h) = bn (h) = 0 pour tout n ≥ 1 (bn (g) = 0 puisque g est paire). On a donc an (h) = bn (h) = 0, soit h = 0 (théorème 15.6) et f = g est paire.

Solution. g, h définies sur R par g (x) =

Exercice 15.6.

Soient a > 0 et f définie par f (x) =

1 sur R. En ch (a) + cos (x)

1 pour |z| < 1 dans C, donner 1+z le développement en série de Fourier de la fonction f. Donner le développement 1 en série de Fourier de la fonction g définie sur R par g (x) = . ch (a) + sin (x) utilisant le développement en série entière de

Solution. Comme f est 2π-périodique, continue et C 1 par morceaux, sa série de Fourier converge uniformément sur R vers f. Avec :
eix + e−ix e−ix 2ix = e + 2 ch (a) eix + 1 2 2  −ix 

2 e−ix 2ix e = e + 2 ch (a) eix + ch2 (a) − sh2 (a) = eix + ch (a) − sh2 (a) (x) 2 2
ix
e−ix ix

e−ix ix = e + ch (a) + sh (a) e + ch (a) − sh (a) = e + ea eix + e−a 2 2 ch (a) + cos (x) = ch (a) +

on a la décomposition en éléments simples : 1 1 = 2eix ix ch (a) + cos (x) (e + ea ) (eix + e−a )   2eix 1 1 1 1 e−a eix 1 = a − = − e − e−a eix + e−a eix + ea sh (a) 1 + e−a e−ix sh (a) 1 + e−a eix

f (x) =

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 346 — #356

346

Série de Fourier d’une fonction périodique

Comme e±ix e−a = e−a < 1 pour a > 0, on peut écrire que : f (x) =

∞ ∞ 1 X eix e−a X n n (−1) e−na e−inx − (−1) e−na einx sh (a) n=0 sh (a) n=0

1 = sh (a) 1 = sh (a)

∞ X

n −na −inx

e

(−1) e

+

n=0

1+

∞ X

(−1)

n −na

(−1) e

inx

e

+e

−inx

e

e

n=0 ∞ X

!

n+1 −(n+1)a i(n+1)x




!

n=1

∞ 2 X 1 n + (−1) e−na cos (nx) . Comme les coefficients de Fourier de sh (a) sh (a) n=1 f ∈ D sont uniquement déterminés (théorème 15.6), on en déduit que bn = 0 pour tout 2 n n ≥ 1 (f est paire) et an = (−1) e−na pour tout n ≥ 0, ce qui donne la valeur sh (a) Z π π cos (nx) n dx = (−1) e−na . On a aussi : des intégrales ch (a) + cos (x) sh (a) 0

soit f (x) =

∞  1 π 1 1 2 X n
= (−1) e−na cos nx − n = + π ch (a) + sin (x) sh (a) sh (a) n=1 2 ch (a) + cos x − 2

 p  π (−1) cos (2px) pour n = 2p cos nx − n = p (−1) sin ((2p + 1) x) pour n = 2p + 1 2

avec :

et donc : 2 1 + g (x) = sh (a) sh (a)

∞ X

p −2pa

(−1) e

cos (2px) −

p=1

∞ X

! p −(2p+1)a

(−1) e

sin ((2p + 1) x)

p=1

Ce qui donne la valeur des intégrales :

Z

π

−π

  

2π p (−1) e−2pa pour n = 2p cos (nx) sh (a) dx =  −π ch (a) + sin (x)  0 si n = 2p + 1 ( p+1 −(2p+1)a 2π sin (nx) e pour n = 2p + 1 sh(a) (−1) dx = ch (a) + sin (x) 0 si n = 2p

Z

π

Exercice 15.7. À tout réel a ∈ ]0, π[ on associe la fonction fa , 2π-périodique et impaire telle que :  x (π − a) si 0 ≤ x ≤ a ∀x ∈ [0, π] , fa (x) = a (π − x) si a ≤ x ≤ π 2

Étudier la série de Fourier de fa . En déduire, pour (x, a) ∈ ]0, π[ , les valeurs des +∞ +∞ +∞ X X cos (2nx) sin (nx) sin (na) X sin2 (nx) , et . sommes 2 2 n n n2 n=1 n=1 n=1

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 347 — #357

Exercices

347

Solution. La fonction fa étant 2π-périodique continue et de classe C 1 par morceaux, est développable en série de Fourier, la convergence étant uniforme sur R tout entier. Ses coefficients de Fourier trigonométriques sont donnés par an = 0 puisque la fonction f est impaire et pour n ≥ 1, on obtient en intégrant par parties :   Z a Z π 2 (π − a) t sin (nt) dt + a (π − t) sin (nt) dt bn = π a    0  2a 2 (π − a) cos (na) 1 cos (na) 1 = −a + 2 sin (na) + (π − a) + 2 sin (na) π n n π n n 2 = 2 sin (na) n Ce qui donne, pour tout réel x ∈ ]0, π[ : 2

 +∞ X sin (nx) sin (na) x (π − a) si 0 ≤ x ≤ a = f (x) = a 2 a (π − x) si a ≤ x ≤ π n n=1

(pour x = 0 ou x = π tout est nul) et x = a ∈ ]0, π[ donne

+∞ X sin2 (nx) n=1

n2

=

x (π − x) . En 2

écrivant que cos (2nx) = 1 − 2 sin2 (nx) , on en déduit que :

+∞ +∞ +∞ X X cos (2nx) X 1 sin2 (nx) π2 = − 2 = − x (π − x) 2 2 2 n n n 6 n=1 n=1 n=1 +∞ n X π (−1) π2 π2 π2 Prenant x = , on retrouve = − = − . 2 n2 6 4 12 n=1

Soient a 6= 0 dans ]−1, 1[ , f la fonction définie sur R par Z π 1 f (x) = et (un )n≥0 définie par un = f (x) cos (nx) dx. 1 − 2a cos (x) + a2 0

Exercice 15.8.

1. Calculer u0 et u1 . 2. Établir une relation de récurrence entre un+1 , un et un−1 pour n ≥ 1. 1 + a2 x + 1 et expliciter un . 3. Calculer les racines du polynôme P (x) = x2 − a 4. En déduire le développement de f en série de Fourier. 1 1 5. Exprimer, pour tout réel x, + − 1 en fonction de f (x) . 1 − ae−ix 1 − aeix 6. Retrouver le développement de Fourier de f en utilisant des développements en série entière. 2

Solution. Comme 0 < |a| < 1, on a 1 − 2a cos (x) + a2 = (a − cos (x)) + sin2 (x) > 0 pour tout réel x et la fonction f est bien définie sur R.

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 348 — #358

348

Série de Fourier d’une fonction périodique

1. En effectuant le changement de variable u = tan Z

Z

π

x 2

, pour x ∈ ]0, π[ , on a :

+∞

2 du 1 − 2a + + (1 + 2a + a2 ) u2 0 0 Z +∞ Z +∞ 2 du 2 du = =  2 2 2 2 (1 − a) + (1 + a) u2 (1 − a) 0 1+a 0 1 + 1−a u2

u0 =

f (x) dx =

a2

1+a u donne : 1−a Z 1 − a +∞ dx 2 2 π π u0 = = = 2 1 + x2 1 − a2 2 1 − a2 (1 − a) 1 + a 0

1 + a2 f (x) − 1 2 Avec 1 − 2a cos (x) + a f (x) = 1, on a f (x) cos (x) = et : 2a Z Z π π 1 + a2 π f (x) dx − f (x) cos (x) dx = u1 = 2a 2a 0 0   1 + a2 π 1 + a2 π π π 1 + a2 πa = u0 − = − = −1 = 2a 2a 2a 1 − a2 2a 2a 1 − a2 1 − a2

puis le changement de variable x =

2. Avec cos ((n + 1) x) + cos ((n − 1) x) = 2 cos (x) cos (nx) , on déduit que :
Z π Z π 1 + a2 f (x) − 1 cos (nx) dx un+1 + un−1 = 2 f (x) cos (x) cos (nx) dx = 2 2a 0 0 Z Z 1 + a2 π 1 π 1 + a2 = un f (x) cos (nx) dx − cos (nx) dx = a a 0 a 0
3. On a aP (x) = ax2 − 1 + a2 x+a = (ax − 1) (x − a) et le polynôme P a deux racines µ 1 réelles, à savoir a et . On en déduit que un = λan + n , les réels λ, µ étant déterminés a a par :  π   λ + µ = u0 = 1 − a2 µ   λa + = u1 = πa = a (λ + µ) a 1 − a2 π π ce qui donne µ = 0 (a2 = 6 1) et λ = . On a donc un = an pour tout 2 1−a 1 − a2 n ∈ N. 2 2 4. f étant impaire, on a bn = 0 pour tout n ≥ 1 et an = un = an pour tout π 1 − a2 n ≥ 0. Comme f est C ∞ , sa série de Fourier converge normalement ! vers f et pour +∞ X 1 1 tout réel x, on a = 1+2 an cos (nx) . 1 − 2a cos (x) + a2 1 − a2 n=1 5. On a : 1 1 2 (1 − a cos (x)) 2 − 2a cos (x) + = = −ix ix −ix ix 1 − ae 1 − ae (1 − ae ) (1 − ae ) 1 − 2a cos (x) + a2 et :


1 1 1 − a2 + − 1 = = 1 − a2 f (x) −ix ix 2 1 − ae 1 − ae 1 − 2a cos (x) + a

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Exercices

349

6. On en déduit que : +∞ +∞ +∞ X X X

1 − a2 f (x) = an e−inx + an einx − 1 = 1 + an einx + e−inx n=0

=1+2

n=0 +∞ X

n=1

an cos (nx)

n=1

Exercice 15.9.

Soit f (z) =

X

αn z n de rayon de convergence R ∈ ]0, +∞]

n≥0

telle que f (z) = 6 0 pour tout z ∈ D (0, R) . Pour tout r ∈ ]0, R[ , on désigne par 1 φr la fonction définie sur R par φr (t) = . f (reit ) 1. Montrer que φr est développable en série de Fourier. On note cn (r) ses coefficients de Fourier exponentiels. cn (r) 2. Montrer que la fonction hn définie sur ]0, R[ par hn (r) = est dérivable rn et calculer sa dérivée. 3. Montrer que cn (r) = 0 pour tout r dans ]0, R[ et tout n < 0. 1 est développable en série entière de rayon de convergence R. 4. En déduire que f Solution. 1. La fonction φr est 2π-périodique et indéfiniment dérivable, donc sa série de Fourier est normalement convergente vers φr sur R tout entier. 2. Pour tout r ∈ ]0, R[ et tout n ∈ Z, on a :
Z 2π −int Z 2π it ′ e f reit −int 1 e 1 ′ cn (r) = dt, cn (r) = − e dt 2π 0 f (reit ) 2π 0 f 2 (reit ) e−int est indéfiniment dérivable sur [0, 2π] × ]0, R[ et on f (reit ) intègre sur un intervalle fermé borné). On a alors :

Z 2π it ′ re f reit + nf reit −int 1 ′ ∀r ∈ ]0, R[ , ∀n ∈ Z, hn (r) = − e dt 2πrn+1 0 f 2 (reit )

 −int  reit f ′ reit + nf reit −int ∂ e En remarquant que e =i , le résultat préf 2 (reit ) ∂t f (reit ) cédent donne, en tenant compte de la périodicité :  −int  Z 2π i e ∂ ′ ∀r ∈ ]0, R[ , ∀n ∈ Z, hn (r) = − dt = 0. 2πrn+1 0 ∂t f (reit ) (la fonction (t, r) 7−→

On déduit donc que, pour tout n ∈ Z, la fonction hn est constante sur ]0, R[ . En notant encore hn cette constante on a cn (r) = hn rn pour tout r ∈ ]0, R[ et tout n ∈ Z. De la continuité de chaque fonction r 7−→ cn (r) sur [0, R[ , on déduit que hn = 0 pour tout n < 0. Et toujours par continuité, on a cn (r) = hn rn pour n ∈ N et r ∈ [0, R[ .

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 350 — #360

350

Série de Fourier d’une fonction périodique

3. De ce qui précède, on déduit que

+∞ X 1 = hn rn eint pour tout r ∈ [0, R[ et tout f (reit ) n=0

+∞ X 1 1 = hn z n pour tout z ∈ C tel que |z| < R, donc la fonction f (z) n=0 f est développable en série entière avec un rayon de convergence R′ ≥ R. En appliquant  −1 1 1 le raisonnement précédent à la fonction , on déduit que f = a un rayon de f f 1 convergence R ≥ R′ . En définitive f et ont même rayon de convergence. f

t ∈ R, c’est-à-dire

Exercice 15.10.

Étudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique valant +∞ +∞ +∞ n+1 X X 1 1 X (−1) , et . x2 sur [−π, π] . En déduire les valeurs des sommes 2 2 n n=1 n n4 n=1 n=1 Solution. Par parité, on a bn = 0 pour tout n ≥ 1, a0 = ∀n ≥ 1, an =

2 π

Z

2 π

Z

π

t2 dt = 2 0

π2 et : 3

n

π

t2 cos (nt) dt = 4 0

(−1) n2

X 4 Avec |an | ≤ 2 pour tout n ≥ 1, on déduit que la série an est absolument convergente n et la série de Fourier de f converge normalement vers f. On a donc, pour tout réel +∞ +∞ n X X π2 (−1) a0 + an cos (nx) = +4 cos (nx) , ce qui est équivalent à x, f (x) = 2 3 n2 n=1 n=1 x2 =

+∞ n X (−1) π2 +4 cos (nx) pour tout x ∈ [0, π] . Les évaluations en x = 0 et x = π 3 n2 n=1

respectivement nous donnent donne 2

+∞ X 1 π4 2 + 16 = 4 9 n π n=1

Z

+∞ n+1 X (−1)

n=1 π 4

n2

t dt = 2

0

=

+∞ X π2 1 π2 et = . La formule de Parseval 12 n2 6 n=1

+∞ X 1 π4 π4 et . = 5 n4 90 n=1

Exercice 15.11.

Étudier la série de Fourier de f paire et 2π-périodique, telle +∞ X 1 que f (x) = sh (x) sur [0, π] . En déduire les valeurs des sommes S = 2 n +1 n=1 et T =

+∞ n X (−1)

n=1

n2 + 1

. Que déduire du théorème de Parseval ?

Solution. On a bn = 0 pour tout n ≥ 1 puisque f est paire et pour tout n ≥ 0 : Z π  Z π  Z
int 2 π 2 1 int t −t an = sh (t) cos (nt) dt = Re sh (t) e dt = Re e −e e dt π 0 π π 0 0

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Exercices

351 Z

n

n

(−1) eεπ − 1 ((−1) eεπ − 1) (ε − in) = pour ε = ±1, ce ε + in n2 + 1 0 n n (−1) (eπ + e−π ) − 2 (−1) ch (π) − 1 λ qui donne an = =2 . Avec |an | ≤ 2 pour tout π (n2 +X 1) π (n2 + 1) n n ≥ 1, on déduit que la série an est absolument convergente et la série de Fourier de f converge normalement vers f. On a donc, pour tout réel x : π

e(ε+in)t dt =

avec In (ε) =

f (x) =

+∞ +∞ n a0 X 2 X (−1) ch (π) − 1 ch (π) − 1 + + cos (nx) an cos (nx) = 2 π π n=1 n2 + 1 n=1

+∞ n 2 X (−1) ch (π) − 1 ch (π) − 1 + cos (nx) pour tout x ∈ [0, π] . Les évaπ π n=1 n2 + 1 luations en x = 0 et x = π, nous donnent

soit sh (x) =

+∞ n X (−1) ch (π) − 1 n=1

=

n2 + 1

+∞ n 1 − ch (π) X (−1) ch (π) − 1 π sh (π) − ch (π) + 1 n , (−1) = 2 2 n +1 2 n=1

soit le système linéaire :  1 − ch (π)    −S + ch (π) T = 2  π sh (π) − ch (π) + 1   ch (π) S − T = 2 +∞ n X π 1 (−1) π 1 1 = − et T = = − . Le théorème 2+1 2+1 n 2 th (π) 2 n 2 sh (π) 2 n=1 n=1 de Parseval nous donne : Z +∞ 2 2 n 2 π 2 (ch (π) − 1) 4 X ((−1) ch (π) − 1) sh (2π) = 2 −1 + sh (t) dt = 2 2 π2 π 2 n=1 π 2π (n + 1) 0

de solution S =

soit

+∞ X

+∞ 2 n X ((−1) ch (π) − 1) n=1

(n2 + 1)

2

2

=

π π2 (ch (π) − 1) sh (2π) − − . 8 4 2

Soit f ∈ D continue et de classe C 1 par morceaux. r sZ 2π +∞ X p π 2 |f ′ (t)| dt. 1. Montrer que a2n (f ) + b2n (f ) ≤ 6 0 n=1 √ 2. Montrer que pour tous réels a, b, t, on a |a cos (t) + b sin (t)| ≤ a2 + b2 . s Z 2π Z 2π 1 π 2 3. Montrer que sup f (x) − f (t) dt ≤ |f ′ (t)| dt. 2π 0 6 0 x∈R Exercice 15.12.

Solution. 1. Dans le cas où f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, on a : ∀n ∈ N∗ , an (f ) = −

bn (f ′ ) 1 et bn (f ) = an (f ′ ) n n

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 352 — #362

352

Série de Fourier d’une fonction périodique

et l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans l’espace des suites réelles de carré sommable nous dit que : v v u +∞ u +∞ +∞ p +∞ u X X X X p 1u 1 t t 2 2 2 ′ 2 ′ an (f ) + bn (f ) = an (f ) + bn (f ) ≤ a2n (f ′ ) + b2n (f ′ ) 2 n n n=1 n=1 n=1 n=1 ce qui donne, compte tenu de fonction f ′ ∈ D : +∞ p X n=1

+∞ X 1 π2 = et de l’égalité de Parseval appliquée à la 2 n 6 n=1

s π a2n (f ) + b2n (f ) ≤ √ 6

1 π

Z 0

2π

r sZ 2π π 2 2 |f ′ (t)| dt |f ′ (t)| dt = 6 0

(on rappelle que a0 (f ′ ) = 0). eit + e−it eit − e−it a − ib it a + ib −it 2. On a a cos (t) + b sin (t) = a +b = e + e , donc 2i 2 2 2 a − ib a + ib √ + ≤ |a + ib| = a2 + b2 . |a cos (t) + b sin (t)| ≤ 2 2 3. Comme f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, sa série de Fourier converge normalement vers f sur R et on a pour tout réel x : X +∞ a (f ) 0 f (x) − = (a (f ) cos (nx) + b (f ) sin (nx)) n n 2 n=1

≤

+∞ X

|an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx)|

n=1

≤

s

+∞ p X

a2n (f ) + b2n (f ) ≤

n=1

π 6

Z

2π

2

|f ′ (t)| dt 0

s Z 2π Z 2π 1 π 2 c’est-à-dire que sup f (x) − f (t) dt ≤ |f ′ (t)| dt. 2π 0 6 0 x∈R

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 353 — #363

Bibliographie [1] J. M. Arnaudies, J. Lelong-Ferrand. Cours de Mathématiques. Tomes 1 à 4. Dunod (1974). [2] J. Chaillou, J. Henry. Problèmes de topologie. Masson (1975). [3] C. Deschamps, A. Warusfel. Mathématiques tout en un. Série E. Ramis. Volumes 1 et 2. Dunod. (1999). [4] B. Gostiaux. Cours de Mathématiques Spéciales. Volumes 1 à 4. P. U. F. (1995). [5] X. Gourdon. Les Maths en tête. Analyse. Ellipses (1994). [6] F. Liret, D. Martinais. Cours de mathématiques. Analyse 1-ère et 2-ème année. Algèbre 1-ère et 2-ème année. Dunod. [7] Ramis, Deschamps, Odoux. Analyse 2, exercices avec solutions. Masson. (1972). [8] J. E. Rombaldi. Éléments d’analyse réelle, deuxième édition. EDP Sciences (2019). [9] J. E. Rombaldi. Interpolation et approximation. Vuibert (2005). [10] W. Rudin. Principes d’analyse mathématique. Edisciences (1995).

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 354 — #364

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 355 — #365

Index équation différentielle à variables séparées, 147 équation différentielle de Bernoulli, 148 équation différentielle de Clairaut, 148 équation différentielle de Lagrange, 148 équation différentielle de Ricatti, 148 équivalentes (fonctions), 73 équivalentes (normes), 228 équivalentes (suites), 20 Abel, 179, 181, 208, 291, 301, 309 Abel (transformation), 178 absolument convergente (intégrale), 203 absolument convergente (série), 164 accroissements finis, 130, 250 accroissements finis généralisés, 130 adhérence, 221 adhérent (point), 41 adjacentes (suites), 23 archimédien, 6 Banach, 222 Bernstein, 280 Bernstein (polynômes de), 279 Bertrand (série alternée de), 191 Bertrand (série de), 169 Bessel, 321, 330 Bioche, 112, 113 Bolzano-Weierstrass, 22, 24 bornée (ensemble), 222 bornée (suite), 13 borne inférieure, 2 borne supérieure, 2 boule fermée, 220 boule ouverte, 220 Cauchy, 174, 267, 290, 304, 324 Cauchy (équation fonctionnelle), 68 Cauchy (suite de), 4, 26, 222 Cauchy-Lipschitz, 146 Cauchy-Schwarz, 220, 234 Cesàro, 27, 28

changement de variable, 109, 200 Chasles, 90, 94, 96 classe C1, 62, 241 classe Ck par morceaux (fonction de), 326 classe Cn, 63, 247 coefficients de Fourier, 324, 328 compact, 223 complet, 222 constante d’Euler, 24 continue, 50 continue (fonction), 224 continue à droite (fonction), 50 continue à gauche (fonction), 50 continue par morceaux (fonction), 101, 195, 325 convergence dominée, 294 convergence normale, 289 convergence simple, 263, 289 convergence uniforme, 264, 289 convergente (intégrale), 196 convergente (série), 161 convergente (suite), 14, 221 coordonnées polaires, 246 coordonnées sphériques, 247 corps totalement ordonné, 2 courbe intégrale, 143 croissante (suite), 21 d’Alembert, 174, 303 décomposition en éléments simples, 110 décroissante (suite), 21 dérivé (nombre), 61 dérivée partielle, 244 dérivée suivant un vecteur, 243 dérivable (fonction), 61 dérivable à droite, 62 dérivable à gauche, 62 développable en série entière, 307 développement limité, 76 développements asymptotiques, 82 Darboux, 57, 65, 130, 134

355

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 356 — #366

356 dense, 224 diamètre, 220 différentiable (fonction), 239 différentielle, 240 Dirichlet, 339, 342 Dirichlet (espace de), 326 Dirichlet (noyaux de), 339 discontinuité de première espèce, 51 divergente (série), 161 divergente (suite), 16, 221 division suivant les puissances croissantes, 80 dominée (fonction), 72 dominée (suite), 20 exponentielle, 107 extremum, 254

Index logarithme népérien, 105 méthode des rectangles, 137 majorée (suite), 14 majorant, 2 matrice hessienne, 249 maximum (principe du), 343 maximum local, 254 meilleure approximation, 330 Mertens, 178 minimum local, 254 minorée (suite), 14 minorant, 2 monotone (suite), 21 monotone par morceaux (fonction), 99 négligeable (fonction), 71 négligeable (suite), 20 norme, 220 norme (d’une application linéaire continue), 227 noyau (d’une semi-norme), 219

fermé, 221 fonction dzéta de Riemann, 165 fonction en escaliers, 88 formule de la moyenne (deuxième), 56 formule de la moyenne (première), 56, 102, ouvert, 221 103 gamma (fonction), 207 Heine, 60, 225 Hermite (polynômes de), 128 homéomorphisme, 58, 227 inégalité triangulaire, 219 intégrale de Riemann, 89, 92 intégrale généralisée (impropre), 196 intégrales de Riemann, 198 intégration par parties, 108, 117 intégration per parties, 199 intérieur, 221 interpolation de Lagrange, 129 L’Hospital, 132 Lagrange, 145 Laguerre (polynômes de), 128 Legendre (polynômes de), 127 Leibniz, 63 limite (d’une fonction), 42 limite à droite, 44 limite à gauche, 44 Liouville, 342 lipschitzienne (fonction), 60 localement intégrable (fonction), 98

périodique (suite), 13 Parseval, 325, 338 partie entière, 7 polynôme caractéristique, 149 polynôme trigonométrique, 327 prépondérant, 71 primitive, 103 produit de Cauchy (de deux séries), 176 projection orthogonale, 330 prolongement par continuité, 53 Raabe-Duhamel, 175, 319 rayon de convergence, 302 relation d’ordre, 1 Riemann (série de), 166 Riemann-intégrable (fonction), 91 Riemann-Lebesgue, 273, 331 Riesz, 233 Rolle, 125–127, 255 série série série série série série

alternée, 163, 291 de Fourier, 323, 328 de Riemann alternée, 188 entière, 301 géométrique, 182 lacunaire, 315

“AnalyseL1L2Vers4” — 2020/6/5 — 9 :44 — page 357 — #367

Index série trigonométrique, 292, 329 segments emboîtés, 24 semi-convergente (intégrale), 204 semi-convergente (série), 164 semi-norme, 219 Simpson (méthode de), 133 somme de Riemann, 114 stationnaire (suite), 13 subdivision, 87 suite extraite, 13 suite numérique, 13 système fondamental de solutions, 152

357 Taylor (reste intégral), 136 Taylor-Lagrange, 134, 251, 253 Taylor-Young, 77, 135, 252, 253 uniformément continue, 59, 224 valeur d’adhérence, 19 valeurs intermédiaires, 25 Wallis, 335 Wallis (intégrales de), 120 Weierstrass, 277, 279 wronskien, 153

MARIE-CÉCILE DARRACQ JEAN-ÉTIENNE ROMBALDI

Analyse pour la Licence

LES PLUS

Conception graphique : Primo&Primo®

ppCours rédigé avec démonstration systématique des résultats énoncés ppChaque théorème est suivi d’une série d’applications ppTous les exercices sont intégralement corrigés

9. Intégrales impropres 10. Espaces vectoriels normés 11. Fonctions de plusieurs variables réelles 12. Suites de fonctions 13. Séries de fonctions 14. Séries entières 15. Série de Fourier d’une fonction périodique Bibliographie – Index

Docteur en mathématiques, professeur agrégé à l’université Grenoble-Alpes, Marie-Cécile Darracq enseigne les mathématiques en Licence. Membre du jury du Capes externe de 2006 à 2009, puis de l’agrégation interne depuis 2010, elle est directrice des études du Département Sciences DrômeArdèche de l’université Grenoble-Alpes. Agrégé de mathématiques, Jean-Étienne Rombaldi a enseigné à l’université Grenoble-Alpes, institut Fourier. Membre du jury du CAPES externe et de l’agrégation interne de mathématiques pendant plusieurs années, il a été responsable de la préparation à l’agrégation interne de l’université de Grenoble et préparateur à l’agrégation interne et externe de cette même université ainsi que pour le CNED.

Cours • Exercices corrigés

1. Le corps R des nombres réels 2. Suites numériques 3. Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle 4. Comparaison des fonctions et développements limités 5. Intégrales et primitives 6. Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor 7. Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2 8. Séries numériques

Analyse pour la Licence

P

arfaitement adapté à la diversité des parcours scientifiques universitaires, ce manuel couvre l’ensemble du programme d’analyse pour la première et la deuxième année de licence. Il ne s’agit pas d’un manuel de « méthodes » où l’on sacrifie la notion de rigueur qui est l’essence même des mathématiques. Les notions étudiées ici le sont de façon rigoureuse en démontrant tous les résultats énoncés. Chaque chapitre se termine par une série d’exercices tous corrigés en détail. Les chapitres 1 à 7 correspondent aux notions usuellement enseignées en première année et les chapitres 8 à 15 à celles enseignées en deuxième année. Bibliographie sélective et index viennent compléter l’ensemble.

MARIE-CÉCILE DARRACQ • JEAN-ÉTIENNE ROMBALDI

Analyse pour la Licence LICENCE 1 & 2 S MATHÉMATIQUE

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28/05/2020 08:42