Lehrgang der Höheren Mathematik - Teil III/1 [III/1, 9 ed.]

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Mocasa 1967 Übersetzung nach der fünften Auflage von einer Arbeitsgemeinschaft unter Anleitung von Prof. Dr, L. Kaloujnine Überarbeitung der zweiten Auflage der Übersetzunge Prof. Dr, H. KarJ Überarbeitung nach der im Jahre 1967 erschienenen neunten, berichtigten russischen Auflage: Dr, G. Pfister Verantwortliche Verlagslektoren: DipJ.-Math. E. Amdt, Dipl.-Math. B. Mai

\~ der deutschsprachigen Ausgabe: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1954 und 1973 Printed in the German Democratic Republic

Lizenz-Nr. 206 . 435/112/79

Schutzumschlag: Hartwig Hodtmann Satz: VEB Druckhaus ..Maxim Gorki", Altenburg Offsetdruck und buchbinderische Verarbeitung: Volksdruckerei Zwickau LSV 1024 Bestellnummer: 569 781 7 DDR 15,- M

INHALT

I. Determinanten und die Auflösung von Gleichungssystemen .

11

§ 1. Die Determinante und ihre Eigenschaften . 1. Definition der Determinante. . . . . . . . . 2. Permutationen . . . . . , . . . . . . . . 3. Grundlegende Eigenschaften der Determinante 4. Berechnung von Determinanten . . . . . 5. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 6. Der Multiplikationssatz für Determinanten 7. Rechteckige Schemata . . . . . . . . .

11 11 15 19 24 25 31 34

§ 2. Die Auflösung linearer Gleichungssysteme . 8. Die Cramersche Regel 9. Der allgemeine Fall 10. Homogene Systeme . 11. Linearformen . . . . 12. Der n-dimensionale Vektorraum . 13. Das innere Produkt . . . . . . 14. Geometrische Deutung homogener Systeme . 15. Inhomogene Systeme. . . . . . . . . . . 16. Die Gramsche Determinante. Die Hadamardsche Ungleichung. 17. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 18. Funktionaldeterminanten . . . . . . . . . . . 19; Implizite Funktionen. . . . . . . . . . . . .

37 3; 39 43 45 47 52 54 57 60 63 6; 71

11. Lineare Transformationen und quadratische Formen. § 3. Lineare Transformationen . • ... • . . . . . 20. Koordinatentransformation im dreidimensionalen Raum 21. Allgemeine lineare Transformationen des reellen dreidimensionalen Raumes . 22. Kovariante und kontravariante affine Vektoren 23. Der Begriff des Tensors. . . . . . . 24. Beispiele affin-orthogonaler Tensoren 25. Der n-dimensionale komplexe Raum . 26. Elemente der Matrizenrechnung . . . 27. Eigenwerte und die Transformation einer Matrix auf die kanonische Form 28. Unitäre und orthogonale Transformationen. . . . 29. Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung . . . . . . 30. Eigenschaften des inneren Produkts und der Norm 31. Das Orthogonalisierungsverfahren für Vektoren . .

75 75 75 79 85 88 91 93 98 102 108 112 113 115

8

Inhalt § 4. Quadratische Formen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

32. 33. 34. 35. 36. 37.

38. 39. 40. 41. 42. 43.

44. 45. 46. 47.

48. 49. 50. 51.

Die Transformation einer quadratischen Form auf eine Summe von Quadraten. Mehrfache Wurzeln der charakteristischen Gleichung . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klassifikation der quadratischen Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Formel von JACOBI . • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • Gleichzeitige Reduktion zweier quadratischer Formen auf eine Summe von Quadraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kleine Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . ExtremaIeigenschaften von Eigenwerten quadratischer Formen Hermitesche Matrizen und hermitesche Formen . . . Vertauschbare hennitesche Matrizen. . . . . . Umformung unitärer Matrizen auf Diagonalform .. Projektionsmatrizen . . . . . . . Matrizenfunktionen . . . . . . Der unendlichdimensionale Raum . . . Konvergens von Vektoren . . . Orthonormierte Systeme . . . . Lineare Abbildungen in unendlich vielen Veränderlichen . Der Funktionenraum L 2 • • • • • • • • • • • • • • Der Zusammenhang zwischen den Räumen" und L 2 • . Lineare Operatoren in La . . . . . . . . . . . . .

III. Elemente der Gruppentheorie und lineare Darstellungen von Gruppen § 5. Allgemeine Grundbegriffe der Gruppentheorie .

52. Gruppen linearer Transformationen 53. Die Gruppen der regulären Polyeder 54. Die Lorentz-Transformation. 55. Permutationen . . 56. Abstrakte Gruppen. . . . 57. Untergruppen. . . . . . 58. Klassen und Normalteiler . 59. Beispiele . . . . . . . . 60. Isomorphe und homomorphe Gruppen 61. Beispiele . . . . . . . . . . . . . 62. Stereographische Projektion 63. Die Gruppe der unitären Transformationen und die Bewegungsgruppe 64. Die allgemeine lineare Gruppe und die Lorentz-Gruppe .

117 121 125 128 132 133 135 137

139 144 147

150 155 158 163 167 170 174

175 176

. . 181 . 181 181

184 186

193

197 200 203 206 . -207

.209 211 212 218

§ 6. Lineare GruppendarsteIlungen . . . . . . . • . . . . .

222

65. Darstellung von Gruppen durch lineare Transformationen. 66. Grundlegende Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. Abelsehe Gruppen und Darstellungen ersten Grades . . . . . 68. Lineare Darstellungen der unitären Gruppe von zwei Veränderlichen . . 69. Lineare Darstellungen der Drehungsgruppe . . . . . . . . . . . . • 70. Der Satz von der Einfachheit der Drehungsgruppe . . . . . . . . . . . . . 71. Die Laplaeesehe Gleichung und die linearen Darstellungen der Drehunpgruppe 72. Das direkte Produkt von Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . 73. Das Kronecker-Produkt zweier linearer Darstellungen einer Gruppe • • . . . 74. Das direkte Produkt von Gruppen und seine linearen Darstellungen . • • . .

222 226 229 232 238 241 242 247

250 252

Inhalt

9

75. Die Ausreduzierung des Kronecker-Produkts D j

X D j , von linearen Darstellungen der Drehungsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. Die Orthogonalitätseigenschaft nicht äquivalenter unitärer irreduzibler Darstellungen. . . • . . . . . . . . . . . . . 77. Charaktere . . • . . . . . . . . . . . . . 78. Die reguläre Darstellung einer Gruppe . . . . . . . . 79. Beispiele von Darstellungen endlicher Gruppen . . . . . 80. Darstellungen der linearen Gruppe zweier Veränderlicher 81. Der Satz von der Einfachheit der Lorentz-Gruppe .

§ 7. Kontinuierliche Gruppen . . . . . . . . . .

82. Kontinuierliche Gruppen. Strukturkonstanten . .

256

261 265

269 271 273 276 278 278 281

83. Infinitesimale Transformationen. . . . . . . . . • . 84. Drehungsgruppe. . . . . . . . . . . . . . 285 85. Infinitesimale Transformationen und Darstellungen der Drehungsgruppe 286 86. Die Darstellungen der Lorentz-Gruppe . 290 87. Einige Hilfsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .' . . . 293 .296 88. Konstruktion einer Gruppe aus ihren Strukturkonstanten . 89. Integration auf einer Gruppe . 297 90. Orthogonalität. Beispiele . 303 Literaturhinweise der Herausgeber.

309

Xamen- und Sachverzeichnis . . .

315

34. Beispiele

125

Transformation des Unterraumes R",. Alle Ausführungen beziehen sich auch auf jede andere mehrfache Wurzel der Gleichung (144). Zur Erläuterung des Gesagten wenden wir uns der Aufgabe zu, mit der wir den vorigen Abschnitt begannen: Die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung ist auf Hauptachsen zu transformieren. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, daß diese Fläche ein Ellipsoid sei. Sind alle Wurzeln der Gleichung (144) verschieden, so entspricht dies der Tatsache, daß alle Halbachsen des Ellipsoids verschieden sind. In diesem Fall besteht die einzige Willkür bei der Auswahl der endgültigen Koordinatenachsen in der möglichen Abänderung der Orientierung dieser Achsen. Hat die Gleichung (144), in dem betrachteten Fall ist das eine Gleichung dritten Grades, zwei gleiche Wurzelil., dann ist' das Ellipsoid ein Botationskörper; hierbei können zwei Symmetrieachsen ganz beliebig in der Ebene durch den Mittelpunkt und senkrecht zur Rotationsachse liegen, wenn sie nur zueinander orthogonal sind. Jetzt besteht die Willkür bei der Auswahl der endgültigen Achsen noch darin, daß man eine willkürliche orthogonale Transformation in der oben genannten Ebene durchführen kann. Sind schließlich alle drei Wurzeln von (144) einander gleich, dann ist unser Ellipsoid eine Kugel, und unsere Glei· ohung enthält keine gemischten Glieder. In diesem Fall können wir überhaupt völlig willkürlich geradlinige rechtwinklige Koordinatenachsen im Raum wählen. 84. Beispiele. Wir betrachten jetzt zwei Zahlenbeispiele. 1. Es sei die Gleichung der Fläche

auf Hauptachsen zu transformieren. Die entsprechende quadratische Form hat die Gestalt

Die charakteristische Gleichung ihrer Matrix lautet 1-).

1

3 5.-).

3

1

= O.

1-),

Daraus ergibt sich, wenn man nach der ersten Zeile entwickelt: (1 - ),)[(5 - ),)(1 - ).) - 1] - (1 - ). - 3) +.3[1 - 3(5 - ).)] = 0

oder ).a _

7).2

+ 36 =

O.

Diese Gleichung hat, wie man leicht nachprüft, die Wurzeln ~=

-2,

Aa =

3,

(J.a =

6,

und die Gleichung der auf Hauptachsen transformierten Fläche lautet

80. Darstellungen der linearen Gruppe zweier Veränderlicher

275

Das Produkt zweier Diagonalmatrizen ist wieder eine Diagonalmatrix. Die Matrizen E p. q und E Pt. qt haben also für b = c = 0 die folgenden Eigenwerte: Ep,q: ap+1dTJ-l(a)q+m(d)q-m

(l:

-p,

-P++ 1, ,P-1,P),

m - - q, -q

1,

+ 1, ... , PI -- ql' -ql + 1, ... , ql -

( II _= -- PI' - PI E phql: aP1+ltdpl-11 (a)ql+ml (d)ql-ml

ml -

Beachtet man ad $P.q:

=

, q - 1, q

1, PI) . 1, ql

1, so sieht man, daß die Eigenwerte auch die Gestalt

a 2'a 2m ,

E p.. ql: a 21la 211:l1

annehmen können. Für a können wir eine beliebige, 'von Null verschiedene komplexe Zahl wählen. Man kann sie offensichtlich so annehmen, daß die Gesamtheit der Eigenwerte der Matrix E p.q von der Gesamtheit der Eigenwerte von E P..ql verschieden ist. Damit ist die Inäquivalenz der Darstellungen (187) für verschiedene Paare j, l' bewiesen. Für l' = 0 ist die Darstellung (187) mit der Darstellung (185) identisch. Für i = 0 dagegen fällt sie mit der Darstellung zusammen, die sich aus (185) für j = j' ergibt, wenn man a, b, c und d durch die konjugiert komplexen Werte ersetzt. \ Wir woiIen noch eine weitere Eigenschaft der Darstellungen (187) hervorheben. Diese Darstellungen sind keiner unitären Darstellung äquivalent. Wären sie es nämlich, so müßten alle Eigenwerte jeder Matrix der Darstellung den Betrag 1 haben. Wir hatten aber weiter oben gesehen, daß in der Darstellung E p •q für b = c = 0 die Eigenwerte gleich a 2l a2m sind. Diese Ausdrücke können offenbar von 1 verschieden sein. Eine Ausnahme bildet die DarstellungEo.o, in der jedem Element der Gruppe (183) die 1 entspricht., Ist eine Darstellung, die nicht notwendig einer unitären äquivalent zu sein braucht, zerlegbar. d. h. einer Darstellung aus quasidiagonalen Matrizen vom selben Typus äquivalent, so gibt es, wie wir in [66] sahen, eine Matrix, die mit allen Matrizen der Darstellung vertauschbar ist und die nicht ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist. Um also die Irreduzibilität irgendeiner Darstellung (187) zu beweisen, genügt es zu zeigen, daß eine mit allen Matrizen der Darstellung (187) vertauschbare Matrix ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist. Dies läßt sich genauso zeigen wie in [68]. Somit sind die Darstellungen (187) paarweise nicht äquivalent, und jede vOIJ. ihnen ist unzerlegbar. . Abweichend von der in [65] gegebenen Definition bezeichnet man gelegentlich auch die Zerlegbarkeit als Reduzibilität. IJ3ut der Definition aus [65] heißt nämlich eine Darstellung reduzibel, wenn alle ihre linearen Transformationen (ihr Grad sei n) einen gewissen Unterraum L k mit 0 < k < n invariant lassen. Wie wir in [68] sahen, folgt aus der Reduzibilität im alten Sinne einer aus unitären Matrizen bestehenden Darstellung die Reduzibllität im neuen Sinne, also die Zerlegbarkeit, d. h., eine solche Darstellung ist einer quasidiagonalen Darstellung äquivalent. Ist dagegen die Darstellung nicht unitär, so folgt aus der Invarianz eines gewissen echten Unterraumes nicht notwendig die Reduzibilität im neuen Sinne. Es läßt sich noch zeigen, daß jede der Darstellungen (187) nicht nur unzerlegbar, sondern sogar irreduzibel ist, d. h., daß sie auch keinen echten Unter18*

278

III. Elemente der Gruppentheorie und lineare Darstellungen von Gruppen

Damit ist bewiesen, daß ~l mit @S zusammenfällt. Mit anderen Worten, @ hat keinen echten Normalteiler außer dem, der aus E und -E besteht. Gleichzeitig ist gezeigt, daß die Gruppe der positiven Lorentz-Transformationen einfach ist. Wie in [70] folgt hieraus, daß diese Gruppe keine echt homomorphen, d. h. nicht isomorphen Darstellungen haben kann.

§ 7.

Kontinuierliche Gruppen

82. Kontinuierliche Gruppen. Strukturkonstanten. Die Gruppe der Drehungen des dreidimensionalen Raumes und die Gruppe der positiven Lorentz-Transformationen sind Beispiele unendlicher Gruppen, deren Elemente von kontinuierlichen Parametern abhängen. Für die Drehungsgruppe können z. -B. die Eulerschen Winkel die Rolle der Parameter spielen. In den von uns betrachteten Fällen bestehen die Gruppen aus linearen Transformationen. Die Abhängigkeit der Gruppenelemente von Parametern kommt dann darin zum Ausdruck, daß die Elemente der Matrizen, die den linearen Transformationen entsprechen, Funktionen dieser Parameter sind. Auch weiterhin betrachten wir Gruppen linearer Transformationen. Die Elemente aik der Matrizen linearer Transformationen, die eine Gruppe @ bilden, sollen von r reellen Parametern IXl' IX2' ••• , IXr abhängen. Dabei sollen folgende Bedingungen erfüllt sein: Die aik sollen eindeutige Funktionen der Parameter IX. sein für alle Werte dieser Parameter, die genügend nahe dem Nullpunkt