Lehrbuch der Arithmetik und ebnen Geometrie für die mittlern Klassen der Gymnasien [2., verb. Aufl., Reprint 2021] 9783112399262, 9783112399255

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Arithmetik und ebnen Geometrie für die mittlern Klassen der Gymnasien

bearbeitet

von

C. G. Scheibert, Director der Friedr.-Wilh.-Schule in Stettin.

Zweite verbesserte Auflage.

Berlin,

Druck und Verlag von G. Reimer.

Schulbücher der Mathematik sind in der neuern Zeit

so viele erschienen, daß die Herausgabe des gegenwär­ tigen wohl einer Rechtfertigung bedarf.

Diese wird

allerdings zuletzt darauf hinauskommen, daß keines der vorhandenen

ganz

befriedigt habe;

jedoch .lag

diese

Nichtbefriedigung keinesweges in den erkannten Män­ geln der vorhandenen Werke,

sondern darin,

daß in

keinem derselben die Mathematik gerade von dem Ge­ sichtspuncte aus behandelt wurde, wie es hier gesche­

hen ist.

Soll aber der Lehrer in seinem Amte wahr­

haft wirksam sein, soll er lehren und bilden zugleich, dann muß er sich auch bei seinem Unterrichte frei und

ungehemmt seinen Schillern erschließen, seine innersten Ueberzeugungen ihnen darlegen, er muß seine Wissen­

schaft lehren dürfen, wie sich dieselbe nun ihm gerade aufschloß, um so

in eigner Wärme und Begeisterung

den Schüler zu beleben.

Er kann

daher gern und

willig einräumen, daß andre Behandlungen der Wis­ senschaft schon viel durchgearbeiteter und in der Form

der Darstellung schon vollendeter und in sich abgerun­

deter sind, als die von ihm gewählte; wenn aber diese

Vorrede.

IV

Wahl mehr gewesen ist, als ein leidiges Haschen nach

Neuem, wenn sie hervorging aus seiner eigenthümlichen

Richtung, und zwar nicht weniger seiner Empfindungsals seiner Gedankenwelt, dann wird es auch begreif­

lich sein, wie er selbst diejenigen Darstellungen seiner Wissenschaft für ihn unbefriedigend nennen muß, von

denen er viel gelernt zu haben gern und offen einge­

steht.

Wenn daher im gegenwärtigen Schulbuche eine

andre Auffassungsweise, als die bisher gewöhnliche, und eine andre Form der Darstellung gewählt ist, so soll

dieselbe keinesweges in Opposition mit dem Bestehen­ den

treten,

sondern

nur

Geistesverwandte

suchen,

welche die hier dargebotne Ansicht sich aneignen und

durch eigne Kraft dann

fördern helfen.

Der Verf.

ist darauf gefaßt, viele Gegner zu finden unter den

Mathematikern, aber er hofft auch eben so viele Freunde für seine Ansicht zu gewinnen, welche, ihm geistig ver­

wandt, in dieser Auffassungsweise der Mathematik mit ihm volle Befriedigung finven,

und

darf er

dieser

Hoffnung sich um so freudiger hingeben, je vielfacher ihm

nachgewiesen

werden

kann,

daß ähnliche Ideen

schon hier und dort angeregt sind, und je öfter er zu dem Geständnisse gezwungen wird, daß er nur auch verwandte Richtungen sich zu eigen gemacht und zuerst

gehörig verarbeitet habe für Schulzwecke. Buch

den Beifall

Sollte das

andrer Schulmänner in der Art

finden, daß es auch in mehren Schulen Eingang fände,

so wird darin für den Verf. der Beweis liegen, daß er die Ansichten gleich denkender Mathematiker richtig

aufgefaßt und zweckmäßig dargestellt habe.

Bedauert

v

Vorrede.

wird

nur,

daß

die

nothwendigen

Schranken

eines

Schulbuches ihm cs versagten, die leitenden Ideen nach

allen Richtungen hin zu verfolgen und so das Wesen dieser Lchrwcise ganz darzulegen und gegen alle Miß­ verständnisse

zu

Vielleicht

sichern.

wird jedoch

Raum dafür gewonnen in dem nächstens

den Werke

vom

ein

erscheinen­

welches den

Professor Graßmann,

übrigen Theil des für Gymnasien gesetzlich bestimmten

Pensums der Mathematik umfassen, dabei das gegen­ wärtige Buch als Basis betrachten und mit ihm zu­

sammen ein aus einer Idee hervorgegangenes Ganze

auömachen wird.

In wie

weit

zweckmäßig sei,

nun diese Lehrweise

in Schulen

das könnte nur aus des Verfassers

eignen Erfahrungen beantwortet werden, worüber ihm

füglich kein Urtheil

zusteht; daß

aber

der Vergleich

mit den üblichen Methoden den Berf. in den Stand

gesetzt habe, die Mängel der eignen zu erkennen, daS

wird man ihm wohl zugestehen.

Es sei ihm daher

nur noch erlaubt, einige wirklich beabsichtigte Mängel

der Darstellung zu nennen.

Dahin gehört die fehlende

Erklärung des Begriffes gleich, welche für einen Kna­ ben zu schwer ist; dann das Fehlen mehrer Grund­

sätze, die den Knaben im Eingänge nur ermüden; fer­ ner die Forderung

I. §. 43.

in dem Beweise

der

Geometrie, welche leicht zu vermeiden gewesen wäre, wenn nicht der dadurch dargebotne Anknüpfungspunkt

einer

Erklärung

von

symmetrischer

Gleichheit

und

außerdem das Urtheil einiger denkenden Freunde der Mathematik

den

Berf.

dazu

bestimmt

hätten;

eben

Vorrede.

VI

dahin möchte man auch rechnen die unter die Lehr­

sätze eingestreuten Erklärungen; dahin gehört auch wohl, daß der Euklideische Beweis des pythagoreischen Lehr­

satzes hier mit einem andern vertauscht ist, doch will

der Vers, dabei ausdrücklich

bemerken,

daß

er nur

ungern sich dazu verstanden habe, daß er selbst den

Euklid. Beweis neben dem im Buche vorgetragenen seinm Schülern immer auch noch giebt, und daß nur

die Stellung des Satzes in seinem Systeme und die

Idee,

auS

welcher dieser Beweis

hervorging (man

vergleiche dabei auch mit den Schülern Anhang §.20, 7. und Anm. dazu), ihn

habm.

zu

dieser Wahl vermocht

Tadelnswerth könnte im Großen noch erschei­

nen, daß in der Geometrie eine ungleichartige Behand­

lung der Congruenz und Aehnlichkeit sich kund giebt; indessen muß der Schüler erst allmälig dahin gebracht werden, daß ihm der Begriff einer Formbestimmung

klar wird, und ist deshalb die eigentliche Behandlungs­ weise dieser Lehre in In der Arithmetik

dm Anhang verlegt worden.

könnte

man noch

daran Anstoß

nehmm, daß die Satze übers Zahlensystem und die praktisch en Rechnungen so spät erst und nur in An­ hängen vorgetragen werden.

Wenn man aber bedenkt,

daß die Arithmetik nicht die Kunst zu rechnen,

und

die Geometrie'nicht die Kunst zu zeichnen lehren soll, so wird man einräumen, daß das Zahlensystem und

btt Rechnungen in demselben nur ein rein praktisches Moment sind, wozu noch kommt, daß diese Rechmipgen als dm Schülem

bekannt

vorausgesetzt

werden

müssen, wie man in der Geometrie das Ziehen von

Vorrede.

vif

geraden Linien und Kreisen voraussetzt.

auch

wenn

im Vortrage

jede Rechnung erst

Darum wird gelehrt,

und

weitläuftiger ausfallen,

diese Rechnungen

als

das abgekürzte practische Verfahren, so verhält es sich

damit eben so, wie mit der Aufgabe im Euklid, einen gegebnen Punct so

daß, also

in

an

eine gegebne Linie anzulegen,

dem wissenschaftlichen Vortrage der

Arithmetik auch nichts gefordert wird, was nicht vorher gelehrt ist.

Daß

in der Arithmetik die Lehre von

den Gleichungen fehlt, hat seinen Grund in der zu

großen Menge des Stoffs, indem der hier gebotne nicht getrennt und geschmälert werden konnte. Methodisch wurde

beabsichtigt ein Buch für die

mittlern Klaffen der Gymnasien,

so daß die beiden

ersten Bücher der Geometrie, wie der Arithmetik, in

Quarta (bei einem jährlichen Cursuö und 4 wöchent­ lichen Stunden), die beiden letzten in Tertia vorgptragen werden.

sen,

Die Anhänge in der Arithmetik müs­

die in der Geometrie können

nach Maaßgabe

der Zeit mit durchgenommen werden. den Büchern selbst

ist so

Der Stoff in

eingeschränkt worden,

daß

der Schüler die Lehrsätze und Erklärungen im Zeit­ raume von einem Jahre sich vollständig zu eigen ma­

chen

kann, denn einen Satz

beweisen

und den be­

wiesenen Satz nicht dem Gedächtnisse einprägen, das hemmt alles Fortschreiten und zwingt zu einem steten Beginnen.

Der Stoff für

Tertia ist daher

etwas

kürzer, als für Quarta, zugemessen, weil die Repeti­

tion nothwendig wird und die Menge der Materialien, die im Gedächtniß behalten werden müssen, sich mehrt.

viii

Vorrede.

Das Buch soll mehr zur Repetition

und

zum

Nachholen des Versäumten, als zur Präparation, die­

nen, denn wenn Anfänger die Mathematik aus und nach Büchern lernen sollen, so wird einem gedächtnißmäßigen Auffassen der Beweise bei einer nur etwas

gefüllten Klasse

gar

gesteuert werden

nicht

wodurch doch alle Frucht

können,

des mathematischen. Unter­

richtes gänzlich untergraben

Es

wird.

ist

ohnehin

schwer, diesem größten aller Uebelstände vorzubeugen,

wenn ein Schulbuch zum Grunde gelegt

wird,

sich denn auch vieles Andre noch

das Lernen

aus Büchern

einwenden läßt.

gegen

wie

Daneben' sollten die

Anhänge in der Geometrie gebraucht werden, um die auch darin

Schüler

Satz aus Büchern

zu

üben,

zu verstehen.

einen

mathematischen

Zugleich sollte in

dem Buche ein anregender Stoff niedergclegt werden,

damit der Lehrer mit seinen Schülern allerhand übende Ercurse machen könne, sowohl im Auffinden von Be­ weisen für gegebne Sätze, als auch im Auffinden von

Damit die so nothwendige

Lehrsätzen und Aufgaben.

und so fruchtreiche Uebung der schriftlichen Ausarbei­ tung von Beweisen nicht durch

abgeschnitten

würde,

sind

und Fragen hingcstellt,

kleinen

Arbeiten

hergeben.

lungen

in

Nebensätze

die zu

einem

das Schulbuch

und

ganz

Aufgaben

solchen wöchentlichen

Uebungshefte

den

Stoff

Die vielen Abtheilungen und Unterabthei­

sollen dem Schüler den Ueberblick

über daS

System erhalten, denn die Mathematik soll nicht blos

üben, daß der Schüler aus gegebnen Prämissen leicht richtig schließe,

sondern

daß er folgerecht denke und

ix

Borrede.

folgerecht von Gedanken zu Gedanken weiter

schreite;

darum ist auch in der Anordnung der Sätze vornehm­

lich dahin gestrebt worden, das Gleichartige zusammen­ zuhalten, so daß der Schüler den innern Zusammen­ hang

und auch

den Parallelismuö

der

Sätze selbst

Nicht minder sollten auch hier schon

auffinden könne.

die Schüler darauf hingewiesen werden, wie alles ihr zerstückeltes Wissen bei

aller

Verschiedenartigkeit des

Stoffes einen höher« ELnigungspunct

finde;

deßhalb

ist so viel als möglich der Wortausdruck in der Arith­

metik und Geometrie übereinstimmend gewählt, wo sich

die beiden Wissenschaften Puncte begegnen,

auf einem

und

demselben

wohin vornehmlich die Lehre vom

Was

geometrischen Producte gerechnet werden mag.

die Anhänge in der Geometrie betrifft, so sollen sie den Stoff

bieten

für

welche der Schüler

alle

rein

geometrischen

der beiden

Arbeiten,

ersten Klassen

Gymnasiums unablässig vorzunehmen hat.

Es

eines sind

daher die meisten Aufgaben von der Art, daß sie nur

erst gelöst werden

können,

wenn

die Bücher,

auf

welche sie sich beziehen, vom Schüler ganz begriffen

sind.

Es werden daher die Aufgaben

zum

zweiten

Buche, namentlich die in §. 5. gegebnen, nur erst in

Tertia, wie die zum 3tcn und 4ten Buche meistentheils

nur von Secundauern und Primanern zu lösen sein. Daneben ist mehr darauf gesehen, Elemente zu Auf­

gaben herbeizuschaffen,

als durch Combination

Elemente

der Aufgaben

die

zu vermehren.

Menge

dieser

ins Unendliche

Der Lehrer wird aus den gelösten fun­

damentalen Aufgaben leicht andre seinem Zwecke ge*

Vorrede.

X

mäße entwickeln können, was um so nothwendiger ist, weil sonst die gelösten Aufgaben, wie die gemachten Exercitien, ein Erbstück der Schüler-Generationen wer­

den, wodurch die im Buche stehenden dann überflüssig

werden. nen

Die zur Lösung oder zur Construction gegeb­

kurzen Andeutungen

sind für diejenigen,

ohne Hülfe eines Lehrers

wählen

wollen.

das

Buch

Verschwiegen darf aber

werden, daß das Meiste für

vortrefflichen Programme

diese

welche

zum Studium

hier nicht

Aufgaben

einem

des Professors Buchner in

Elbing v. I. 1829 verdankt wird, in welchem Merk­ chen ein unerschöpflicher Stoff zu diesem Zwecke nie­

dergelegt ist.

Auch die dort gewählte, sehr zweckmä­

ßige Bezeichnung ist hier beibehalten, weil man ver­

möge ihrer so leicht Aufgaben ohne allen Zeitverlust

dm Schülern angeben kann. Die äußere Ausstattung des Buches von Seiten

des Verlegers verpflichtet mich zu einem Danke gegen ihn, und wenn äußere Rücksichten Grund zu Empfeh­

lung sein könnten, dürfte der mäßige Preis für ein Buch,

welches

einen Schulcursus

von zwei Klassen

umfaßt, wohl in Anschlag gebracht werden.

C. G. Scheibcrt.

Vorrede zur zweiten Auflage. Die Verbesserungen sind, so hoffe ich. mit der Vor­

sicht eingefiihrt,

daß

neben

der

neuen Auflage die

Eine wesent­

erste ganz gut gebraucht werden samt.

liche Verbesserung möchte ich die Einführung der GleiIhre Behandlung

chunzcn in der Arithmetik nennen.

bleibt im Begriffe und darum ist sic so übend, und gieb«

Gelegenheit

bcgrffe.

zur

Anwendung

Man übersehe nicht die

der

Rechnungs-

int Anhänge zum

ersten Buche der Arithmetik in §. 2. sub No. 6 ge­

stellte Aufgabe. Zahl und Schülern

des

Die schärfere Fassung der negativen Bruchs

die

auch

bietet die

Möglichkeit,

von

in §. 60. des 2ten Buches sub

No. 3 geforderte Untersuchung führen zu lassen.

Nur

die Rücksicht

rieth ab,

diese

Sätze nicht jetzt schon in den Tert aufzunehmen.

Der

auf die

erste Auflage

in der Geometrie I. §. 13. 2 a. cingcführte Satz giebt

einm Fingerzeig

zur

anderweitigen Behandlung

der

Winkel zwischen 2 Linien, wie der im Buche 111. der Geometrie hinzngefiigtc Beweis eine andere Bchand-

lunz der Proportionen einleitet.

Der Beweis in III.

§. 15. wurde geändert, weil der indircetc den Anfän-

xii

Vorrede.

gern fast unüberwindliche Schwierigkeiten bietet.

Der

Lehrer möge nicht die Anm. zu I. 27 und II. 22 über­

sehen, es werden dadurch indirecte Beweise vermieden. Die Aufgaben in der Geometrie hätte ich, so weit sie

die Fundamental-Aufgaben betreffen, wohl mit in den systematischen Gang verflechten mögen, doch hättte dann

das Buch eine so veränderte Gestalt gewonnen,

daß

der Gebrauch zweier Auflagen neben einander sehr er­ schwert worden wäre.

Der Lchrer wird ja wohl und

muß auch die Aufgaben ans den Anhängen dann ein­

flechten, wenn die Mittel zu ihrer Lösung gewonnen

Vorbemerkungen.

xNrößen erkennt man daran, daß sie sich vergrößern und ver­ kleinern lassen.

Man theilt sie ein in stetige, solche, deren

Theile so geordnet sind, daß das Ende des einen der An­ fang des andern ist, und in discrete, deren Theile alle von

einander abgesondert sind.

In der reinen Mathematik wer­

den nur die Raumgrößen als die stetigen und die Zahlgrö­ ßen als die discrcten betrachtet, und danach zerfällt dieselbe in Geometrie und in Arithmetik, und es wird diesen

Größen nur in sofern ein Inhalt zugestanden, als derselbe durch die Art, wie die Größe in der Mathematik erzeugt wird, zugleich entsteht; z. B. 3 Schuh und 3 Häuser; eben

so ein gedachter oder ein, ihm an Länge gleicher, gezeichneter Strich sind einerlei Größen für die Betrachtung in der Ma­ thematik.

Die Art, wie die Größe entsteht, muß daher an­

gegeben werden, um anssagen zu können, was ihr Inhalt sei. Die Thätigkeit, wodurch die Größe entsteht, heißt Synthe­ sis; und dasjenige Etwas, aus dem sie entsteht, heißt Ele­ ment.

Lehre als Wissenschaft ist eine zusammenhängende

Reihe von Sätzen, welche alle mit solchen Gründen, die man

vorher als wahr anerkannt bat, belegt werden, welches man, Schkibert Anchm.

1

2 beweisen nennt.

Vorbemerkungen. Sollte nun aber Alles bewiesen werden,

so würde man die Gründe auch wieder beweisen müssen und

daher mit den Beweisen der ersten Behauptung nicht zu

Stande kommen, wenn man nicht endlich einen Grund an­ geben könnte, der keines Beweises weiter bedarf und doch von Jedermann als wahr anerkannt wird.

Solche Gründe

nennt man Grundsätze, ohne welche es also keine Wissen­

schaft giebt.

Arithmetik. I. Buch.

Reine Zahlgrößenlehre.

Erste Zählstufe. $. 1. Einheit. Element. Das Element für die Zahlgrößen, oder dasjenige, aus

dem alle Zahlen gewonnen werden, ist die Einheit. Wenn man mehre Dinge (Vorstellungen von Dingen) durchaus als gleich betrachtet, und Eines aus ihnen abge­ sondert sich denkt, so ist dies Eine in Beziehung auf die übrigen die Einheit, z. B. ein Tisch in Beziehung auf mehre ihm gleichgedachte Tische. Was man als Einheit setzen wolle, ist für die Arithmetik gleichgültig, und man kann daher die­ sem Dinge, d. h. der Einheit, einen Namen geben, oder nicht, im ersten Falle heißt die Einheit benannt, im letzter» un­ benannt. Die Einheiten, welche gleichbenannt sind, heißen gleichartige. $. 2. Das Zählen. Synthesis. Die Synthesis oder die Thätigkeit, durch welche Zahl­ größen erzeugt werden, ist das Zählen, und das Gewonnene heißt Zahl.

4

Arithmetik.

I. Buch.

I. Zählstufe.

Zählen heißt, mehrere (gleichartige) Einheiten in einen

solchen Begriff vereinigen, welcher die Menge und die Art der gedachten Einheiten darstellt, z. B. Ein Tisch, Ein Tisch,

Ein Tisch:

Drei Tische.

Dieser Begriff 3 Tische zwingt

uns, die vorhin einzeln nach einander gedachten Tische nun alle zugleich zu denken, aber doch so zu denken, daß sie in

Gedanken von einander abgesondert, d. h. immer noch Ein­ heiten bleiben.

Dieser Begriff 3 Tische ist also eine Zahl.

Wenn man eine Einheit zählt, so giebt das eine Eins (1), z.B. Ein Tisch: gezählt, 1 Tisch.

Anm. Hat man auch gezählt, wenn man aus 1 Pfennig, 1 Pfennig, 1 Pfennig bildet: ein Dreier? Was drückt eine Zahl aäs? §. 3.

Bestimmungsstücke.

Bestimmungsstücke einer Größe nennt man dasjenige,

welches zur Bildung dieser Größe angewandt immer dieselbe (Wodurch die Größen das sind, was sie sind.)

Größe giebt.

§. 4.

Grundsätze.

1. Wenn Größen gleiche Bestimmungsstücke haben, so

sind sie gleich. 2. Wenn man mit gleichen Größen gleiche Veränderun­

gen vornimmt, so sind die so veränderten Größen auch gleich. 3. Man kann nur gleichartige Einheiten zählen. §. 5.

Eigenschaften der Zahl.

1. Der Inhalt einer Zahl, ihr arithmetischer Werth, liegt

in der Menge der Einheiten. Denn die Art ihrer Entstehung ist da» Zählen von Einheiten, deren Bereinigung in einen Begriff eben die Zahl giebt (s. Vordem ); der Rame war für die Zahlbildung gleichgültig (§. 2.). 2. Es giebt zwei Arten von Zahlen, benannte und un­

benannte, und zwar sind sie mit ihren Einheiten gleich benannt. Denn man soll fich mit der Zahl (§. 2.) die gedachten Einheiten wieder »orstrllen; da man nun zweierlei Arten von Einheiten fich

Arithmetik.

I. Buch.

I. Zählstufe,

jum zählen denken kann, benannte und unbenannte, so wird man auch die aus den gedachten Einheiten gewonnenen Zahlen wie die Einheiten benennen müssen, weil man sich sonst mit der Zahl nicht die gedachten Einheiten (sondern beliebig andere) verstellt. 3. Jede Zahl hat den Namen Einheit oder Eins.

Denn hat man gezählt, und fragt man dann, was man gezählt habe, so ist die Antwort: Einheiten oder Einsen. Er kl.

Wenn diese Einheit oder Eins keinen Namen

hat, so heißt die Zahl unbenannt. 4. Die Zahl ist durch die Menge und durch die Art

ihrer Einheiten bestimmt.

Vena soll die Art der Einheit Fuß sein, und die Menge der­ selbe» 1, 1, 1, so giebt dies immer nur die Zahl 3 Fuß (§.3.) 5.

Eins und Null sind anch Zahlen.

Nach der Entstehung der Zahlen (§. 2.) sind 1 und 0 keine Zah­

len ; da aber die Zahl ausdrückt, wieviel Einheiten man gedacht habe, und da dies 1 und 0 auch ausdrücken, so sind sie auch Zahlen.

A. Synthetische Rechnung der ersten Stufe.

Addition. §. 6.

Addiren; Stücke; Summe.

Addiren heißt: Zahlen in Rücksicht auf ihren In­ halt verbinden.

Die zu verbindenden Zahlen heißen Stücke, und daö durch die Verbindung Gewonnene heißt Summe.

Daß eine

solche Verbindung mit den Stücken vorgenommen werden soll, drückt das Zeichen (-(-) zwischen ihnen aus, und die Reihe

3-s-4-s-5-s-6, von Links nach Rechts gelesen, giebt die Ord­

nung an, in welcher die Verbindung geschehen soll. Er kl. Sollen mehre Stücke als ein Ganzes und Un­

zertrennliches angesehen werden, so schließt man diese in Klam­ mem, z. B. (3-|-4)+(5^ 6) ist eine Summe aus den bei-

6

Arithmetik.

I. Buch.

den Stücken (34-4) und (54-6);

I. Zählstufe, d. h. man muß erst 3

und 4 addiren, und dann 5 und 6, und dann diese Sum­ men addiren.

§. 7. 1.

Zusätze.

Der Inhalt der Summe ist bestimmt durch den In­

halt der Stücke.

Denn der Inhalt der Summe wird ja nur gewonnen durch die

Verbindung de- Inhalte- der Stücke ($. 6.).

2. Wenn sich also der Inhalt eines oder mehrer Stücke um Einheiten vergrößert oder verkleinert, so vergrößert oder

verkleinert sich die Summe um ebenso viele Einheiten. 3. Wenn es also bloß auf den Inhalt ankommt, so kann

man statt der Summe auch ihre Stücke und umgekehrt setzen. Erkl.

Man nennt daher auch 34-4, noch ehe die

Summe gebildet ist, eine Summe, und da auch die Zahl 7, wenn sie aus 34-4 entstanden, eine Summe heißt, so nennt

man die erste Summe 34-4 eine Stücksumme, die letztere 7 eine Einheitssumme. Anm.

Wie unterscheidet sich 3-1-4 dem Sinne nach von 7?

§. 8.

Ausführung der Addition.

Man zerlege die Stücke in Einheiten und zähle diese.

Bew. Addiren hieß: die Stücke in Rücksicht auf ihren Inhalt verbinden ($. 6.), und da dieser Inhalt die Einheiten find ($. 5,1.), so soll man also die Einheiten der Zahlen verbinden, folglich muß man sich dieselben erst in Einheiten zerlegen, und dann diese Einheiten ver­ binden, d. h. sie zählen ($. 2.).

§. 9.

Lehrsatz.

Man kann nur gleichartige Stücke addiren.

Bew. Wenn Stücke zur Addition gegeben sind, so können diese entweder ungleichartig, z. B. 3 Fuß-s-2 Bänke; oder sie können gleichartig sein, z. B. 3 Fuß-s-2 Fuß. Zunächst läßt sich nun zei­ gen, man könne nicht ungleichartige Stücke addiren; denn will man nach §. 8. die Addition ausführen von 3 Fuß -i- 2 Bänke, so muß

Arithmetik.

I. Buch.

I. Zählstufe.

7

man sich diese Zahlen in Einheiten auflösen, und man erhält (§. 5, 2.) 1 F 1 F 1 F 1B 1B und diese soll man nun noch (§. 8.) zählen, welches nicht möglich ist (§. 4, 3.), folglich kann man diese ungleichartigen Zahlen nicht addiren. Wenn es also ein Addiren giebt, so kann man nur gleichartige addiren. An merk. Ein Beweis dieser Art heißt Lndirect, und das Wesen desselben besteht darin, daß man jeden denkbaren Fall aufsucht, und die Unzulässigkeit aller bis auf den im Lehrsätze angebenen da­ durch darthut, daß man einen Widerspruch mit den schon vorher als wahr erkannten Sätzen nachweist. §. 10.

Lehrsatz.

Die Summe erhält den Namen der Stücke.

Bew. Gegeben sei 3 Fuß 2 Fuß; zu zeigen ist, daß auch die Summe den Namen Fuß erhalten muß. Advirt man, so erhält man (§. 8. und §. 5, 2.) 1 8 1F 1 F 1F 1 F die- gezählt giebt: 5 Fuß (§. 5, 2.). Anmerk. Bor jedem Beweise muß angegeben werden das, was angenommen (gegeben) ist, und was bewiesen werden soll. §. 11.

Lehrsatz.

Wenn mehre Stücke zu addiren gegeben sind, so kann man diese a. entweder nach und nach in beliebiger Ordnung addiren,

b. oder man kann erst beliebige derselben zu kleinen Sum­ men verbinden, und diese Summen addiren.

Bew. a. Gegeben sei 34-44-54-6; zu zeigen ist (s. §. 6.) es sei gleich 5 4-44-6-43 = 4 4 6 + 3 4-5 u. s. w. Die Summen die­ ser Aufgaben sind bestimmt durch den Inhalt dieser Stücke (§. 7, 14; der Inhalt dieser Stücke hat sich aber dadurch, daß sie ihren Ort ver­ ändert haben, nicht verändert, d. h. die Bestimmungsstücke aller der Summen sind gleich, also auch die Summen gleich (§. 4. 1.), folglich ist eS gleich, in welcher Ordnung man addirt. b. Zu zeigen ist, daß 3 + 4 + 5 +6 = (3 + 4) + (5 + 6) = (3 + 5) + (4 4 6) = (3 4- 5 + 6) 4- 4 U. s. w. (s. §. 6.) Nach dem Beweise in (a.) kann man in beliebiger Ordnung die Stücke addiren, also zunächst 3 + 5 zur Summe 8; man hat also

8

Arithmetik.

I. Buch.

I. Zählsiufe.

nun noch zu addiren (3 + 5) + 4 + 6; von diesen 3 Stücken kann man also wieder erst 2 beliebige addiren, also auch 4-1-6 erst zur Summe 10, und man hat nun noch zu addiren 8+10 oder (3 + 5) +(4+t), was eben nach (a.) die richtige Summe giebt, folglich bewiesen. A'n merk. WaS bedeuten also folgende Ausdrücke: a +1> = b + a; a + b + c + (l — (a + b) + (c + cl) — (a + c) + (b + giebt? (Rest).

WaS ist es für eine

Zahl, die von a subtrahirt h giebt? (Subtrahend).

WaS ist eS

für eine Zahl, die, wenn von ihr a subtrahirt wird, b giebt? (Minuend).

Wenn a 4- b = c ist; wem ist a, wem b gleich? Wenn a —b = c ist, wem ist a gleich, wem ist b gleich? Antworte

Anrn. 2.

so: a — b ist eine Subtractionsaufgabe, a ist als Minuend die Summe, b ist als Subtrahend das eine Stück, c als Rest das andere Stück. Summen findet man durch Addition der Stücke, also ist a = b -p c; oder wenn man b sucht, so sage wie vorhin:

a ist Summe, b das eine Stück, c das andere Stück.

Stücke

findet man durch Subtraction des einen Stücks von der Summe,

also wird das gesuchte Stück b = a — c sein. Anm. 3.

Da man hier leicht zu sehr übenden Aufgaben fortschrei­

ten kann und die Uebung in den Gleichungen mit einem Fest­ halten des Begriffes und Fernhalten des Mechanischen gewinnt,

so merke man hiebei Folgendes.

Wenn in der Gleichung a+ b

= c — )? + 2 (a + b) c + c" + 2(a + b + c) d + d2, und entwickelt man nun auch noch ia + b)2, so erhält man den Lehr­ satz, welcher wörtlich heißt: Das Quadrat einer mehrstückigen Größe erhält man,

wenn man das Quadrat des ersten Stücks nimmt, dazu das doppelte Product des Iten und 2ten, dazu das Quadrat des

2ten, dazu das doppelte Product aus der Summe des Iten und 2ten multiplicirt mit dem 3ten, dazu das Quadrat des

3ten Stücks u. s. w.

3. (a + b)3= a1 + 3a?b + 3ab, + b*. Ist in Worten auszubrücken. 4. (a + b + c + d)3= a3 + 3a?b + 3ab’+b3 + 3(a + b)2c + 3(a + b)c’ + c3 + 3(a + b + c),d + 3(a+b+c)d2+d\ Bew. So aus No. 3., wie Ro.2. aus No. 1. geführt; btt Wort­ ausbruck ist anzugeben.

B. Das Zahlensystem. Begründung der praktischen Rechnungen. §. 4.

Erklärung.

Unter einem Zahlensystem versteht man die Art deS Zäh­ lens, wobei man eine beliebige Zahl (n) zur Grundlage der Fortschreitung zu höher» Anordnungen macht, so daß man die Menge von n Einheiten wieder Eins (1) nennt,

und

wenn man solcher Einsen wieder n hat, sie immer wieder 1

nennt u. s. f.

Diese zur Grundlage gemachte Zahl n heißt

Factor des Systems.

Lnrn. Welche Zahlzeichen «Ziffern) braucht man für ein 5- 6theiliges System?

44

Anhang zum ersten Buche. §. 5.

Anordnung der Ziffern.

Wenn n als der Factor des Systems gegeben ist, so ist die höchste Zahl,

welche durch ein einfaches Zeichen ausge­

drückt werden kann, die Zahl n — 1.

Kommt zu diesen Ein­

heiten noch eine hinzu, so erhält man n Einheiten, und da­ für nimmt man dann als Zeichen die 1, und füllt die Stelle Rechts mit einer Null aus, um auszudrücken, daß die Eins

in der 2ten Stelle stehe, und nicht 1, sondern l.n bedeute; Diese Null macht blos kenntlich, daß die 1 auf der

also 10.

2ten Stelle stehe.

Wenn also nun wieder

hinzugezählt werden, so

kann man

Einheiten noch

diese an die Stelle der

Null setzen, weil dadurch die 1 immer noch als solche kennt­ lich bleibt, die auf der 2ten Stelle steht, also l.n bedeutet;

z. B. 17.

Wenn man nun wieder so weit gezählt hat, daß

man n Einheiten auf der letzten Stelle ausdrücken soll, so

schreibt man wieder diese n Einheiten als 1

auf die nächst

höhere und füllt die Stelle Rechts mit einer Null aus, er­ hält also eine 2 auf der 2ten Stelle; z. B. 20.

So ist er­

sichtlich , wird man endlich auf der 2ten Stelle auch n — 1 Einheiten und auch auf der letzten haben.

Wenn dann eine Einheit noch hinzukommen soll, so gäbe

das auf der letzten Stelle n Einheiten, und diese setzte man als 1, aus die Stelle Links, dann hätte man dort auch n Ein­

heiten, und zwar n.n.

setz als 1

Diese setzt man nach demselben Ge­

auf eine höhere Stelle nach Links und erhält so

100; und so ist ersichtlich, kann man nach dem Gesetze,

daß man n Einheiten einer Stelle als

1

auf die nächst

höhere Stelle setzt, jede mögliche Menge von Einheiten, also jede Zahl ausdrücken. A n m. Der Schüler übe sich dies für verschiedene Zahlensysteme ein.

§. 6. 1.

Jede Einheit einer

Zusätze.

Links stehenden

l.n Einheiten der nächst Rechts stehenden.

Stelle

beträgt

45

Anhang zum ersten Buche. Unmittelbar aus §. 5.

2; Mit jeder Stelle nach Links nimmt die Einheit um

den Factor n zu. Denn war sie auf irgend einer Stelle etwa n,

so ist die 1 der

nächst höhern l.n.n.

3. Die Einheit (1) einer beliebigen Stelle ist also Intal n in einer so hohen Potenz, als diese 1 Stellen Rechts neben sich hat. Denn sie hat um so viel Factoren n zugenommen, als sie Stellen nach Links gegangen ist, d. h. als sie Stellen Rechts neben sich hat,

und diese Anzahl von Factoren drückt eben der Exponent aus. So ist

die 1 in 1000 gleich 1. n \ Anm.

4.

Gilt dies auch von der letzten Stelle, vgl. §. 52, 5.

Jede einzelne Zahl in einem Zahlenausdrucke ist ein

Product aus 2 Factoren, von denen der eine die Zahl selbst,

der andere n ist in einer so hohen Potenz, als die Zahl Stellen Rechts neben sich hat. In 234006 ist die 3 gleich 3. n *; denn jede Einheit ist ja (No. 3.)

l.n\

5.

Diese Produkte haben alle verschiedene Potenzen von

n bei sich, und sind alle als Stücke mit einander verbunden. Gleiche Potenzen von n könnten nur bei sich haben die Zahlen, die auf einer und derselben Stelle ständen, und durch Addition sind

sie verbunden, weil der ganze Ausdruck durch Hinzuzählen von Ein­ heiten entstanden ist.

6.

Man kann daher einen Zahlenausdruck auch in so

viele Stücke zerlegen, als er einzelne Zahlen hat, man muß dann aber jeder einzelnen Zahl die Potenz von n als Factor

zugeben, welche ihr vermöge der Stelle, die sie im System einnimmt, zukommt. Denn eben durch das Darstellen im System hat man das Hin­

schreiben der Potenzen von n ersparen können, sollen also die Zahlen auS dem Systeme herausgenommen werden, so muß man ihnen diese Potenzen beigeben.

Also 345 = 3. n ’ -j 4. n1 + 5. n°.

Anhang zum ersten Buche.

46 7.

Man wird also auch umgekehrt solche Produkte, in

denen ein Factor eine beliebige Potenz von n ist, addiren, d. h. das Schreiben der Potenzen entbehrlich machen können,

dadurch, daß man sie ins Zahlensystem schreibt, und zwar

immer mit dem Bemerken, daß n Einheiten einer Stelle eine Einheit der nächst Hähern geben. Der Exponent von n wird angeben,

wieviel Stellen die Ziffer Rechts neben sich hat.

3.ns4-2.n44-4.n2+6.n° = 320406. Anm.

Der Schüler hat hier fleißige Uebungen vorzunehmen.

Z. B. Was bedeutet 1000, wenn es ein Ausdruck in dem 2-, 3»,

4- :r. bis 10t heilig en Zahlensystem ist?

ES ist im 2theiligen

gleich 8, im Stheiligen 27, im 4thciligcn 64 u. f. w.

Wie muß

die Zahl Hundert im 2theiligen, 3theiligen, 4theiligen Zahlen­ systeme geschrieben werden? Im 2theiligen wird sie 1100100;

im 3theiligen 10201; im 4theiligen 1210 u. f. w. Besonders fleißig ist zu üben das Zerlegen in Stücke, und da« Einreihen der Stücke in- Zahlensystem nach Ro. 6. und No. 7. Der Ausdruck 320406 kann auch zerstückt werden in 32.n,-f-406.n

= 320.n,+ 40.n' + 6.n" --- 3204. n’ + 6.n" = 3.iT + 20.n1 + 4.n? + 6.n° u. f. ro. Gründe sind leicht zu finden; man halte sich nur besonders an No. 2. Rechnungen im lOtheiligcn Zahlensystem.

§. 7.

Nnmeriren.

Im lOtheiligcn Zahlensysteme hat man die arabischen Ziffern 012345678 9.

Wenn nun die Einheit so

steht, daß sie einen Factor 10 hat, so heißt sie zehn; aber in der Zusammensetzung mit einer andern Zahl, z. B. 30 — 3.10= 3 Zehnen, wird die Zehn zur Endsilbe ßig, nehm­

lich dreißig.

Die Einheit mit 2 Faktoren 10 heißt Hundert, die mit

3 heißt Tausend.

Nun werden diese 3 Namen zusammen­

gesetzt.

104 zehntausend; 105 hunderttausend; 10® tausendtausend — Million; 10’ zehn Million; 10» hundert Million; 10» tau-

Anhang zum ersten Buche.

47

send Million; 10>» zehntausend Million; 10" hunderttausend Million; 10" tausendtausend Million — Million Million —

Billion u. s. w. bis auf Million Billion giebt Trillion; Mil­

lion Trillion heißt Ouatrillion u. s. f. Beim Lesen eines Ausdrucks wird, wenn mehre Namen

mit demselben Begriffe schließen, dieser Begriff nur am Ende

aller einmal gesprochen, und die Einer werden durchweg vor

den Zehnern gelesen.

Die Namen Eilf und Zwölf statt Eins­

zehn und Zweizehn sind noch zu merken.

§. 8.

Aufgabe.

Zahlenausdrücke zu addircn. Addire die einzelnen Zahlen, die auf gleich hohen Stellen

Aufl.

stehen, und stelle die Summen auf dieselben Stellen immer mit dem Bemerken, daß 10 Einheiten einer Stelle eine Einheit der nächst

höher» geben. Z. B. 3854 + 123106 --- 126960.

New. Nur die einzelnen Zahlen auf gleichen Stellen sind solche Produkte, die einen gleichen Factor haben (Anh. §. 6, 5.). Sie wer­ den daher nach der Auflösung so gddirt, wie eS geschehen muß ($. 37.), und die Multiplikation mit dem gleichen Factor wird eben dadurch

auSgedrückt, daß man die Summe in dieselbe Stelle stellt.

Folg­

lich bewiesen. Vergleiche jeder das practischc Verfahren hiemit.

Anm.

§. 9.

Aufgabe.

Zahlenausdrücke zu addiren. Aufl. u. Bew. selbst zu suchen. Anm. 1.

Wenn die entsprechenden Stellen im Minuend kleinere

Ziffern enthalten, als im Subtrahend, so macht man die Subtrac-

tion dadurch möglich, daß man aus der nächst höhern Stelle eine Einheit nimmt, die dann für die nächst niedern 10 Einheiten giebt, wodurch denn die Subtraction immer noch möglich gemacht wird (Borgen).

53 -25 = 5.3-25 = 43 — 25 — 28 400000 - 1234 --- 39999 (10)- 1234 — 38766.

48

Anhang zum ersten Buche. Welche Regel ergiebt sich aus dem letzten Beispiele, und woher

kommen alle diese Neunen- an die Stelle der Null?

Anm. 2.

Dieselben Rechnungsregeln gelten für jedes beliebige

Zahlensystem, dasselbe gilt von allen spättrn Aufgaben auch.

Es ist gut, wenn der Schüler einige Rechnungen in andern Systemen vornimmt.

§. 10.

Aufgabe.

Zahlenausdrucke zu multipliciren. Aufl.

Multiplicire jede einzelne Zahl des einen Factors mit

jeder einzelnen des andern, stelle die Produkte je zweier so viel Stel­ len nach Links, als beide zusammen Stellen Rechts neben sich haben,

und addire diese Produkte (§. 58.). Bew.

Gegeben sei 345.176, so ist dies gleich

(3.10? + 4.10* + 5.10°).(1.10? + 7.101 + 6.10“) (Anh. §. 6, 6.); folglich muß diese Multiplikation nach §. 36. ausgeführt werden. Wenn man nun 3.10’ mit 7.10* multiplicirt, so kann man nach §. 33, b. verfahren, und man erhält 21.10 .10' = 21.10' (§. 61, 1.) = 21000

(Anh. §. 6, 7.), also ist man gerade nach der Auflösung verfahren, und ist diese so weit richtig. Nun soll man noch nach §. 36. diese

Produkte addiren, welches nun nach Anh. §. 8. geschehen muß. Anm. Löst man nun die Aufgabe nach der gegebenen Auflösung/ so würde man erhalten:

+ 6.5 ----+ 6.4 = + 6.3 = + 7.5 = + 7.4 =

30

240 1800 .350 2800

+ 7.3 = 21000 + 1.5 — .500 + 1.4 = .4000 + 1.3 = 30000 = 60720 Wie unterscheidet sich hievon noch die practische Rechnung, und

welche Vortheile nimmt man noch dabei wahr? Was heißt das: im Sinne behalten?

Anhang zum ersten Buche. §♦ 11.

49

Aufgabe.

Zahlenausdrücke zu dwidiren. Man nimmt ein Stück vom Dividend, welches den Di­

Ausl.

visor einmal, und nicht mehr als 9mal enthält, und dividirt hinein;

zum Reste nimmt man die folgende Ziffer des Dividend, und verfährt ebenso, bis keine Ziffern im Dividend mehr find, und schreibt die nach

und nach gewonnenen Quotienten in der Ordnung, wie fie gewonnen find, von Links nach Rechts ins Zahlensystem.

Bew.

Ware gegeben ——

16568.10’ + 24. 10" 2314

dles auch glerch

z

16568.10" 24.10° 2314 + 2314

(Anh. §. 6, 6.)

370 10

24 10"

(§.47.) -- 7-10? + ^3T4- + -25i4- (§• 44, c. und --- 7.10’ +

37024

3702.10‘ + 4.10° 2314

(Anh. §. 6, 7.

und

- 7 W +110 +

§.48.)

§. 50.)

=7.10’ +

1388.10' 4.10° 2314 + “2314“

= 7.10’ +1.10*+^^- = 7.10" + 1.10* + 6.10° = 716« Betrachtet man nun dies hier angewandte Verfahren, welches richtig sein muß, da es sich auf lauter bewiesene Sätze stützt, so liegt darin wörtlich die Auflösung ausgedrückt. Denn zuerst ist in 16568 dividirt; zu dem gebliebenen Reste 370 ist die Ziffer 2 genommen aus dem Dividend, und nun ist in 3702 dividirt, und zu dem Reste 1388

ist die Ziffer 4 genommen, und in 13884 dividirt, und die einzelnen Quotienten 7, 1, 6 find von Links nach Rechts ins Zahlensystem ge­ schrieben; folglich die gegebene Auflösung richtig.

A n m. Wie unterscheidet sich hievon noch die practische Ausführung der Division, und welche Vortheile benutzt man noch dabei in

Beziehung auf die Factoren 10?

§. 12.

Aufgabe.

Einen Zahlenausdruck ins Quadrat zu erheben. Aufl.

Zerlege ihn in so viele Stücke, als er Stellen hat, und

verfahre nach §. 3, 2. Dew. Man kann ihn in Stücke zerlegen (Anh. §.6,6.) und dann ist das Verfahren nach §. 3, 2. als richtig bewiesen. Z. B. (2345)’ --- (2.10' + 3.10’ + 4.10' + 5.10°)’, Schel-ert Arithm.

4

Anhang zum ersten Buche,

50

und nun nenne man das erste Stück, 2.103, a, das 2te t>, das 3te c, und das 4te d, so wird man folgende Auflösung erhalten: a2 --- (2.103)2 --- 4.10° (§. 58. und $. 64, 1.) 4.10° 4-2ab = 2.2.103.3.10’ = 12.10' ($.33. und $.61,1.) 12.io’

4-b’= (3.102)2 = + 2(a + b)c = 2.23.102.4.10* (Anh. $.6,6, 7.) =

..9.ii>* .184.103

4-c’ = (4.10‘)’ =

...16.1'?

+ 2(a + b + c)d = 2.234.10*.5.10° = + d’ = (5.10")2 —

Anm.

..2340.10*

25.10" --- 5499025

Diese Art, eine Zahl ins Quadrat zu erheben, muß der

Schüler sich bis zur größten Geläufigkeit einüben.

8. 13.

Aufgabe.

Eine« Zahlenausdruck in die dritte Potenz zu erheben. Aufl. und Bew. wie in $.11.

Ein Beispiel zur Erläuterung.

(234)' — (2.10’4-3.10*4-4.IO")3 setze a = 2.10»; b = 3.10*; c = 4.10" und verfahre nach $. 3, 4.

a3 —(2.10’)3 = 4-3a2b = 3.(2.10’)’.3.10*= 4-3 ab’ = 3-2.10’. (3.10*)’ =

8.io‘ 36.10° .54.10*

4-b3 = (3.10*)3=

..27a,?

4-3(a4-b)’c =a 3(23.10*)’.4.10" = 4-3 (a-t- b) c’ = 3 (23.10*). (4.10")’ =

.6348.io’ . .1104.10*

4-c3 = (4.10")3 =

64.10"

= 12812904

§. 14.

Zusätze zu 8. 12.

1. Das Quadrat einer Zahl, welche mehre Stellen ein­ nimmt, läßt sich ansehen als eine Summe verschiedener Pro­ dukte, deren Factor 10 immer um 1 im Exponenten abnimmt, d. h. die Ziffern aus diesen Produkten reichen immer um eine Stelle weiter nach Rechts in dem Ausdrucke, der das

Quadrat im Zahlensystem darstellt. Z. B. das Product 2(a4-b)c in dem $ 12. gegebenen Beispiele hat seine Einheiten in den Stellen 5499 des Summenausdrucks

5499025; eben so das Product 2 a b in den Stellen 54.

Anhang zum ersten Buche.

51

2. Der Exponent von 10 in dem ersten Produkte der

Potenz ist 2mal so groß, als der Exponent von 10 in der

ersten Zahl der Wurzel, und hat dies Product den höchsten geraden Exponenten von 10. Denn die erste Zahl der Wurzel (a) war 2.10', folglich a’ = 4.10'’; wobei der Exponent mit 2 multiplicirt wird. 3. Da die Erponenten von 10 die Stellen zählen, die

eine einzelne Zahl Rechts neben sich hat (Anh. §. 6,4.), so muß das erste dieser Produkte (a1) im Quadrate 2mal so

viel Stellen Rechts neben sich haben, als die erste Ziffer in der Wurzel. 4. Ein Quadrat hat also entweder 2mal so viel Ziffer­

stellen, als die Wurzel, oder 2mal so viel weniger 1.

Denn das erste Product (a-*) hat 2mal so viel Stellen Rechts neben sich (No. 3.), als die erste Ziffer in der Wurzel, wenn also dirs erste Product (a’) auch noch eine zweistellige Ziffer giebt, so hat die Potenz 2mal so viel Stellen, sonst 2mal so viel weniger 1. Anm. Diese Zusätze sind ebenso auch für die dritten Potenzen eines Zahlenausdrucks aus der Auflösung in §. 13. zu entwickeln, auSzufprechen und nachzuweisen. §. 15. Aufgabe. Aus einem Zahlenausdrucke die Quadratwurzel aus­

zuziehen.

Aufl. 1. Man theile die Stellen der Potenz von Rechts »ach Links nach le 2 und 2 Stellen durch Theilstriche ab. 2. Sucht eine Zahl, die, in« Quadrat erhoben, der Zahl, die vor dem ersten Theilstriche steht, am nächste» kommt, und subtrahire da« Quadrat, so ist diese Zahl da« erste Stück der Wurzel. 3. Zum Reste nehme man die folgende Zahl der Potenz; multt» plicire dann alles, was man bis jetzt für die Wurzel gewonnen hat, mit 2, und das Product dividire man in die gedachte Summ« (aus de« Rest und der folgenden Ziffer der Potenz); so ist der Quotient da* Ste Stück der Wurzel. 4. Zum Reste addire man die folgende Zahl der Potenz und er­ hebe das zuletzt gewonnene Stück der Wurzel in« Quadrat und fubtrahirc dies.

52

Anhang zum ersten Buche.

5. Nun wende man No. 3. und No. 4. der Auflösung abwechselnd so lange an, bis keine Stellen in der Potenz mehr sind, und schreibe die -nach und nach gewonnenen Stücke der Wurzel in der Ord­ nung, wie sie gewonnen sind, ins Zahlensystem. Z. B. y5|49|9Ö|25|2.l03+3.l03+4.l0,+5.10o b c 4.......... a a* — 2345 "74........ 12........ 2 ab =2.2.10’b = 29.... 9. . . . b’ = (3.10’)’ = 209.. . 184.. . 2(a + b)c = 2.23.10’c 250.. 16.. c’ = (4.10*)’ --2342. 2(a + b + c)d = 2.234.101 ä---- 2340. 25 d2 = (5.10°)2 = 25 0 Bew. Vermöge des ersten Theils der Auflösung ermittelt man zunächst blos die Menge der Stellen, welche die Wurzel hat (Anh. §. 14,4.), und es hat in dem gegebenen Beispiele die Wurzel 4 Stellen; wenn man daher die Stücke auf den Stellen von Links nach Rechts gerechnet a + b + c + 5. —6 ----- —3.4.5.«. Wenn das BeziehungSzetchen des Products —3.4.5.« negativ bleiben soll, und man wollte den Factor 5 negativ machen, was 5*

68

Arithmetik.

II. Buch.

müßte man dann noch thun, um nicht das Product geändert zu haben? Aehnliche Fragen muß jeder an sich mehre thun. §. 27.

Lehrsatz.

Wenn Dividend und Divisor gleich bezeichnet find, so wird der Quotient positiv;

sind sie ««gleich bezeichnet, so

wird er negativ.

Be w.

Zu zeigen ist, daß >12 +3; +4

—12 so ist —12 ein +4 ' negative« Product, welches aus 2 ungleich bezeichneten Faktoren ent­ standen sein muß (§. 25.); der eine Factor ist positiv +4; also mü­ der andere negativ —3 sein; eben so in den übrigen Fällen.

Betrachten wir nur den letzten Fall, z. B.

— ~12 = > Aehnliche Fragen, wie in der -f-4 —4 4 Anm. zu $. 26., hat der Schüler selbst zu thun.

Anm.

b. Der Bruch. §. 28.

Sinn des Bruchs (vgl. §.19.)

a. Die Aufgabe g-y-j führt (I. §. 49.) zu dem Re­

sultate |.

Diese Zahl | soll nun als eine selbstständige an­

gesehen werden, so daß der Begriff der Division als zu dem

Wesen der Zahl 4 gehörig angesehen wird. dann wird

Geschieht dies,

eine active Zahl und sie wird bedeuten: die

Zahl ■} ist eine solche, welche den Factor 4 wegnimmt (auf­

hebt) und so den Quotienten findet.

So heißt sie nun ein

aufhebender Factor; die 4 in | heißt der Divisor des aufhebenden Factors.

Man nennt auch | den umgekehrten

Werth von 4, und so ist auch 4 der umgekehrte Werth von |.

Arithmetik.

II. Buch.

69

b. Fragt man aber nach einem anderweitigen Sinne dieser Zahl |, d. h. nach einem Sinne derselben, der nicht mehr

blos ein Rechnungsverhältniß, wie im Obigen, zu einer andern

Zahl hat,

so gewinnt dieselbe eine angebbare Bedeutung

überall (z. B. bei räumlichen Größen), wenn die Einheit theilbar gemacht wird.

12 Denn so wie -g- als Quotient einen dritten Theil von 12 giebt (I. §.43.), so muß dann auch

einen dritten Theil

der Einheit und | einen dritten Theil von 2 oder, da dies

gleich 2xi ist, zweimal den dritten Theil der Einheit geben, welches einen vollständigen und bestimmten Sinn hat, sobald die Einheit theilbar gedacht wird. Ein Bruch drückt also aus,

daß man den sovielten Theil der Einheit des Di­ vidend nehmen solle, als der Divisor Einheiten

hat: so viel mal genommen, als der Dividend an-

zeigt.

Zweimal einen dritten Theil von Eins spricht man

kurz 2 Drittel, nennt die 2 einen Zähler, den Factor 3 oder

1 Drittel den Nenner, das Ganze einen Bruch, der dann eine benannte Zahl der ersten Stufe ist.

Anm. Die Rechnung-gesetze, welche nun von den Brüchen bewie­ sen werden, beziehen sich daher auch auf alle theilbaren Größen, d. h. alle räumlichen und stetigen, sobald ste nur eine Theilbarkeit in gleiche Stücke zulaffea, oder dieselbe doch zulaffend gedacht werden. §. 29.

Lehrsätze.

1. Die Division mit einer Zahl ist gleich der Multiplication mit derselben als einem aufhebenden Factor (vgl. §. 20, 1.). 2.

Wenn man eine ganze Zahl multipliciren soll mit

einem aufhebenden Factor, so ist das so viel, als wenn man

mit seinem Divisor als Factor dividiren soll, und umgekehrt.

Arithmetik.

70

II. Buch.

12 1 12 Bew. 1. Zu zeigen ist, daß — = 12.y sei. y bedeutet:

man soll auS 12 den Factor 3 nehmen und so den Quotienten finden (1. §. 40.); 12. y bedeutet: (§. 19, a.) zu der Zahl 12 kommt eine

Zahl y hinzu, welche in der 12 den Factor 3 aufhebt und so den Quotienten findet. Bew. 2. 2x£ = 7, was schon §. 28. a. bewiese» ist. Erkl. Jede DivisionSaufgabe ist also auch anzusehen als eine MultiplicationSaufgabe von einer ganzen Zahl und einem aufhebenden Factor (siehe die Anm. zu I. §. 59.). Anm. Ob man auch in diesem Falle die beiden Factoren ver­ tauschen kann, so daß 2x| = yX2 ist? Hält man sich an den arithmetischen Sinn beider Aufgaben, so heißt ersteres: zu einem Factor soll ein aufhebender Factor hinzukommen; letzteres: zu einem aufhebenden Factor soll ein anderer Factor hinzukommen, waS ersichtlich einerlei ist. Man kann dies aber auch auS dem Begriffe des Bruches Nachweisen; denn 2x| bedeutet: das Drittel von 1 soll 2mal genommen werden; | x 2 bedeutet: die 2 soll ein Drittel­ mal genommen werden, also muß jede Einheit derselben ein Drittelmal genommen werden, man erhält also von einer 1 ein Drittel, und von der andern auch ein Drittel, also hat man das Drittel 2mal. 8. 30.

Lehrsatz.

Wenn ein Bruch mit einer ganzen Zahl multiplicirt werden soll, so multiplicirt man den Zähler mit der ganzen

Zahl , und dividirt mit dem Nenner als Factor.

Bew. Gegeben sei 2.|, so ist dies gleich 2.3.| (§. 28, a.), d.h. zum Produkte 2.3 soll ein aufhebender Factor 4 hinzukommen, 2 3 dasselbe als» was —bedeutet (vergl. §. 29.). §. 31.

Lehrsatz.

Wenn Brüche mit Brüchen multiplicirt werden sollen,

so dividirt man das Product der Zähler durch das Product

der Nenner.

Arithmetik.

II. Buch.

71

Sero, ©egcbcii fei y. y, so ist dies (§.28, a.) gleich 2.^.4.^,

und daS heißt: zu den beiden Faktoren 2.4 sollen noch 2 aushebende 2 4 Factoren hinzukommen, und zwar 3 und 5, welches eben durch dargestellt wird (vergl. §. 29.). An m. Wie ist durch diesen Satz zugleich §. 30. mit bewiesen? §. 32.

Lehrsatz.

Wenn man mit einem ausübenden Factor dividiren soll, so ist das so viel, als wenn man mit seinem Divisor als

Factor multipliciren soll.

Bew. Wenn gegeben ist 3:-J, so muß 3 als Dividend aus 2 Faktoren bestehend gedacht werden, und einer davon muß der auf­ hebende Factor j gewesen sein. Das Product, worin ein aufhebender Factor war, ist nothwendig nm diesen aufhebenden Factor kleiner als der andere Factor des Products; also ist der andere gesuchte Factor um den aufhebenden Factor größer als das Product, also gleich 4.3. Anm. Nur der Quotient 4.3 giebt mit dem Divisors muliipliciri den Dividenden 3 (I. §. 39, 3. und §♦ 29.). §. 33.

Lehrsatz.

Wenn man einen Bruch durch eine ganze Zahl dividi­ ren soll,

so multiplicirt man nur den

Nenner

mit der

ganzen Zahl.

Sero. Gegeben fei |:5, so soll also vom Produete 3.^ noch ein Faetvr 5 aufgehoben werden, d. h. es werden nun 2 Faeioren auf­ gehoben, nämlich 4 und 5, man hat also yy. §. 34.

Lehrsatz.

Wenn man einen Bruch durch einen andern dividiren

soll, so kehrt man den Divisor um (macht den Zähler zum Nenner, und den Nenner zum Zähler) und multiplicirt.

Sero-

Gegeben sei |.|, so ist dies gleich 64« ’ c>

±1

Es ist die Frage, ob man die Exponenten nach I. §. 63, 1. auch noch subtrahiern dürfe, und zwar nach dem in §. 37. bewiesenen Ge­ setze. Nimmt man von diesen 3 Fällen den ersten, so soll man nach 64° der Aufgabe in —- von den 2 Factoren ein Drittel der Faktoren 64* von 64 wcgnrhmen (§.57.), es bleiben also 1 + j oder f der Fac-

toren, d. h. 64* übrig, wa« eben auch die Subtraktion de« Bruche« giebt, nämlich 2—Die übrigen Fälle beweist man auf dieselbe Weise.

Anm. Der Schüler hat auf gleiche Weise die übrigen Lehrsätze für alle dabei zur Sprache kommenden Fälle zu beweisen. $. 60.

Lehrsatz.

1. Der Bruch - Radicator bedeutet: man sucht den so-

vielten Theil der gleichen Factoren des Radicand, wie der Zähler ausdrückt, und setzt diesen so oft alö Factor, wie der Nenner ausdrückt. Bew.

Gegeben sei ^64.

In der Einheitspotenz 64 ist nach

§. 59, 1. nicht die ganze Wurzel al« Factor, sondern nur der dritte Theil der Factoren so ost al« Factor, al« der Zähler 2 anzeigt; also besteht die Potenz auch au« 2 gleichen Factoren. Wenn man nun 64 in 2 gleiche Factoren zerlegt, so ist einer ein Drittel Factor der Wurzel; um also die Wurzel selbst zu erhalten, muß man diesen zwei-

Arithmetik.

II. Buch.

83

ten Theil der Faktoren von 64 dreimal als Factor setzen, also (/64)3, also bedeutet rc. 2.

Nun untersuche, wie sich 1. $. 71, 2. und §. 72, 2.

in Worten aussprechen läßt. 3.

Untersuche, ob die im Anhänge zum ersten Buche

in 8. 2. No. 6. hingestellten Sätze für jede Art von Expo­

nenten und Radicatoreil gelten, und wie sie aus den hier aufgefundenen Begriffen zu beweisen sind.

§. 61.

Zusätze.

1. Die Sätze in I. §. 59.; §. 61,1.; §. 63,1.; §. 65,1.

gelten nun also auch unmittelbar für Radicationsaufgaben; nur muß man immer bedenken, daß die umgekehrten Werthe der Radicatoren Potenzerponenten sind.

Diese Sätze sind in Zeichen: a,

i/8?27 = f/'S . /27

b,

j/64 . /64 = /64'

c,

>/64 : j/64 = V'64-1 — V"gj

B ew.

und b>“ gemeinschaftliche Factoren haben, d. h.

ist ein Bruch.

§. 67. Lehrsatz. Wenn die Wurzel einer ganzen Zahl nicht eine ganze

Zahl ist, so ist sie auch kein Bruch und somit nicht vollstän-

dig durch Zahlen der niedern Stufe darzustellen. Angenommen ist, daß /a nicht eine ganze Zahl sei, so

Bew.

kaun sie auch kein Bruch sein, denn wäre etwa y dieser Bruch, so

müßte dann (y)'" gleich einer ganzen Zahl a sein, -welches nach §. 66. unmöglich ist. Erkl. Diese Größe z. B. /4 nennt man eine Irra­ tionalzahl.

Anm.

Man muß die Irrationalzahl nicht mit der imaginären Größe

verwechseln; denn obwohl /3 eben so wenig darstellbar ist, wie 4, so kann man sich dieser /3 doch beliebig nähern. Um die Möglichkeit dieser Annäherung zu begreifen, halte man fest, daß man durch /3 eine Zahl sucht, welche 2mal als Factor gesetzt die Zahl 3 giebt. Nun ist zunächst klar, daß die Wurzel 1 zu klein, die Wurzel 2 zu groß ist, sie muß also zwischen 1 und 2 liegen. Man nehme an, sie sei 1 + 1, so wird (l+|)’=2+i, also 1+} noch zu klein, folglich muß sie zwischen 1 +| und 2 liegen; man nehme an, sie sei 1 +|, so ist (1 +|)2 = 3 + A, also 1 +| zu groß, sie muß als» zwischen 1+j und 1+| liegen u. s. w. ®» sieht man, daß man dieser Wurzel ganz beliebig sich nähern könne, ohne daß man jemals dieselbe ganz erreichte.

Anhang zum zweiten Buche. A. Erweiterung der Rechnungen mit allgemeinen Zahlzeichen. §. 1.

Zahl- und Rechnungszeichen.

1. Die Buchstaben, die bis dahin (Anhang zum ersten Buche) nur als ganz absolute Zahlen behandelt wurden, können

nun einzeln für sich entweder eine positive, oder eine negative Zahl, oder auch einen Bruch, eine Potenz, eine Wurzel, eine Irrationalzahl bezeichnen, indem die Rechnungsgesetze für alle

diese Zahlgrößen im 2ten Buche ausgemittelt sind.

Was in­

dessen auch ein Buchstabe a bezeichnen möge (ob 4-3 oder —4 oder 4"t oder —z oder /5 oder /—2), er gilt als eine positive ganze Zahl und wird in dieser Rechnung mit

allgemeinen Größenzeichen so behandelt und benannt; so heißt auch

y ein Quotient u. s. w.

2.

Wenn den Buchstaben noch ein Beziehungszeichen

gegeben ist, und wenn sie dann sollen addirt werden, z. B.

4-»4—b, so läßt man das Additionszeichen weg.

Man

darf aber a —b auch verstehen als eine Subtractionsaufgabe

(§. 20. Erkl-).

Sollen solche mit Beziehungszeichen ver­

sehene Größen multiplicirt werden, -baX—•>, so muß das Multiplicationszeichen gesetzt werden (weil man es sonst als

Addition lesen müßte).

Man sucht indeß, wenn man nicht

einen besondern Zweck hat, die Beziehungözeichen des Products

aus denen der Factoren zu bestimmen und dann die Zahlen alle als positive zu behandeln ($. 26. Anm §. 27. Anm.).

88

Anhang zum zweiten Buche.

s. Anh. §. 2. No. 9. 4.

Man stelle die parallelen Sätze auf den verschiedenen

Rechnungsstufen sich tabellarisch gegenüber. 5.

Man stelle alle einzelnen im 2ten Buche gewonnenen

erweiterten Begriffe über die Zahlen zusammen und reihe

daran die Sätze,

welche sich daraus unmittelbar beweisen

lassen.

6.

Wenn man die allgemeine Erklärung hinstellte: ein

Erponent ist Factorenzähler, wie würde man daraus die ein­

zelnen Begriffe für die besondern Arten des Exponenten ge­

winnen? §. 2.

1

Aufgaben.

Ja’b + 3a’b’ — 4ab' Ja’b + Jab’ —Jb1 + Ja’b —2a’b’ + 3ab’ -(Ja’b-Jab’+Jb3) |a’b+ ab’ —Jb1 - Jaab-Ja’b’ + Jab3 * * 6 7 8 Ja’b+Ja’b’ — Jab3 a_ _c_ ad + bc b ' d bd Jab’.i/ab.^/ab-3;

J/a3b’:-l/a3 )/-£..

3. Jab’— Ja’b = Jab(b— Ja); 5a’b + 10a’ c — lf a’d — 5a’(b + 2c — Jd); Ja’c - “>abc — ■$ b’c —Ja’dJ-Jabd + |b’d --- (Ja’—Jab—ib’)(5c —3d). 4.

(a x + b x’ + c x3)

+ 2L + 2L3).

(/a + ^b)(/a + /b);

-

a2b b2c i^c 1

a3c b2

6. sa’ + 2ab + b’; 7. 8.

(/a + /b)’;

(Ja-|b)(2/a+3/b);

(a—b)’.

/a/c

b/c /9a’b + 24ab + 166.

[ ( [(a + b) (a - b) - (a- b)] ’ + a b ’) c] ’. [([(a-b)’ + c-d]ef>’—(»+h-f)](c+d).

89

Anhang zum zweiten Buche. §. 3.

Aufgabe.

Wenn der Dividend und Divisor aus Stücken bestehen, diese Divisionöaufgabe zu lösen.

Man ordne den Dividend und Divisor nach den Potenzen

Aufl.

einer und derselben Größe, dividire dann mit dem ersten Stücke deS

Divisors in daS erste des Dividend, so hat man das erste Stück des Quotienten.

Mit diesem Stücke multiplicire man den ganzen Divisor

und fubtrahire das Product vom Dividend.

Mit dem noch bleibenden

Reste verfahre man wie mit dem ganzen Dividend; z. B. a3-2abW||a«-2a3b + 2ab3--b4||a2-b2

— a4±2a3b + a2b2 Rest

—a2b24-2ab3 —b4 “a2b2± 2ab1 + b4

0 Bew.

Man findet hier offenbar eine Größe, die mit dem Divisor

multiplicirt den Dividend giebt, also den Quotienten. Erks. Wenn die DLvifion nicht zum Rest 0 führt, d. h. nicht aufgeht, so -richt man fie dann ab, wenn das Stück des Quotienten

einen Bruch geben würde, und das wird dann der Fall sein, wenn im Dividend kein Stück mehr ist, welches die Größe, nach welcher

Dividend und Divisor geordnet sind, in einer höhern, oder doch gleich hohen Potenz enthält, wie sie im ersten Stücke des Divisors vorkommt;

man bildet dann einen gemischten Quotienten, wie in I. §. 50.; z. D. ya5b2

a4b3 4a4bc2?a3bJc2 _ 2a2b—-Jab2 — Ta b

2a c

ja3b2c3 2a2b—-ab3

Anm. Man kann auch die Division fortsetzen, nur erhält man lauter Quotienten, welche Brüche find, z. D.

7-7— — a— a2 4* a3 — a4 -j- a5 — .... 1 4-a -3— = a + a2 + a3 + a4 + a5 + • • • • 1—a

Der Schüler wird am leichtesten und am zweckmäßigsten die

hieher gehörigen UebungSaufgaben sich selber bereiten.

Er bilde

AHaug zum zweiten Buche.

60

sich erst Produkte aus jerstückten Factoren, die er nach der mannig­ faltigste» Art abwechseln kaun an BeziehungSzcichen, an Menge,

an Art der Stücke, ferner an Coeffizientcn;

er bilde Produkte

aus 2, 3, 4 oder mehren solcher Factoren, und dividire dann die Ptodurte durch einen oder mehre solcher Factoren, z. B.

f(a-s-b)2-s-al>)(a4-b)la-b)2 .

a’ + Sab + b2

'

oder er dividire tS durch a2—b?; oder durch a —2ab+b2

«. s. w.

Er suche dann die Klammern wieder herzustellen, u. s. w. Beispiele:

ja4 —. 1^ + |b2 ' 6/a' —gt/a^b—8a2/b + 12a/b1 + ja/ab? —2b2/b2 3/a—4/b

§. 4. 1.

Lehrsätze.

(a + b) + (a—b) =. 2a;

(a + b) - (a — b) = 2b.

Der Unterschied zweier Größen zu ihrer Summe addtrt, giebt den doppelten Minuend, von ihr subtrahirt, den dop­ pelten Subtrahend. Den» die Summe zweier Zahlen 8 und der Unterschied derselbe»

10 ist, wie groß ist jede? 2.

(a —b)2 = a2 —2ab + b2.

WortauSdrnck anzugeben (»gl. Anh. i. B.). V(4ä—2/ab+^b)

3.

(a + b) (a —b) = a2—b2

Wortausdruck anzugeben. a4—b4; ab2—c’d6; a— b; sind in 2 Faktoren zu zer­

Anm.

legen.

a— b c—d

b—a d—c '

Gründe und der Wertausdruck sind anzugeden. 5.

(+/*“»)’

Wenn dieser Rest r nun so

groß alS z ist, so ist klar, daß jeder folgende Quotient wieder q,

und der Rest immer wieder z ist; denn zur fortgesetzten Division wird

dieser Rest r, der gleich z sein soll, mit 10 multiplicirt, man hat , r.10 z. 10 also wieder oder , also wieder die erste Aufgabe, und die Periode wird einstellig.

Wenn nun aber r nicht gleich z ist, so kann nun die fortgesetzte i?. 10 Division in —— nicht aufgehen, da r ). c. Bestimmung der Größe (Inhaltsbestimmung ----).

§. 3.

Bestimmungsstücke.

Bestimmungsstücke einer Größe nennt man dasjenige,

welches zur Erzeugung oder Bildung einer Größe angewandt immer ein und dieselbe giebt.

(Wodurch die Größen das

sind, was sie sind). §. 4.

1.

Grundsätze.

Wenn Größen gleiche Bestimmnngsstücke haben, so

sind sie in allen gleichgelegenen (gleichnamigen) Theilen gleich

und nur noch an der Stelle verschieden; kommen sie auf dieselbe Stelle, so werden sie identisch (congrucnt). 2. Wenn man mit gleichen Größen gleiche Verände­

rungen vornimmt, so sind die veränderten Größen auch noch

gleich; und wenn man mit ungleichen Größen gleiche Ver­ änderungen vornimmt, so bleiben sie ungleich (=, >,