Las inversiones en ambiente de riesgo

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Las inversiones en ambiente de riesgo Màxim Borrell Vidal Jordi Martí Pidelaserra P01/71012/00193

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Índice

Introducción............................................................................................... 5 Objetivos ...................................................................................................... 5 1. El riesgo y la incertidumbre.............................................................. 7 1.1. Definiciones ....................................................................................... 7 1.2. Riesgos asociados a la actividad económica y/o financiera desde un punto de vista general........................................................ 9 2. Modelos que no utilizan ningún estadístico que mida específicamente el riesgo................................................. 11 2.1. Análisis de sensibilidad...................................................................... 11 2.2. Ajuste de la tasa de descuento ........................................................... 15 2.3. Modelo del VAN más probable.......................................................... 19 2.4. Modelo del equivalente cierto........................................................... 20 2.4.1. Concepto de equivalente cierto ............................................. 20 2.4.2. El equivalente cierto y el análisis de las inversiones ............. 22 2.4.3. Relación entre los modelos del equivalente cierto y de la tasa ajustada por riesgo............................................... 24 2.5. Modelo del valor actual neto esperado (VANE) ................................ 25 3. Modelos que utilizan un estadístico medidor del riesgo ........... 29 3.1. Introducción ...................................................................................... 29 3.2. Aálisis de una inversión arriesgada cuando se admite el modelo del valor actual neto ......................................................... 31 4. Esquema de análisis de un proyecto cuando los cash-flows siguen distribuciones discretas conocidas..................................... 33 5. Análisis de un proyecto cuando la distribución ~

de la v.a. VAN es conocida y continua ............................................ 37 6. Análisis de un proyecto en caso de distribución normal desconocida ............................................................................ 39 7. Método de Hillier ................................................................................. 41 8. Método de Hertz ................................................................................... 45 8.1. Concepto de simulación de Montecarlo ........................................... 45 8.2. Aplicación de la simulación de Montecarlo al análisis de las inversiones: método de Hertz.................................................. 46

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9. Una breve incursión en el caso de proyectos de inversión combinables entre sí (cartera de inversiones). El modelo esperanza-varianza............................ 50 Resumen....................................................................................................... 52 Actividades.................................................................................................. 53 Ejercicios de autoevaluación .................................................................. 82 Solucionario................................................................................................ 85 Glosario ........................................................................................................ 89 Bibliografía................................................................................................. 89

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Introducción Las inversiones ciertas ya están estudiadas. Ahora hay que ver si son válidos los mismos criterios cuando se introduce en la inversión el riesgo. Utilizando lo que sabemos de estadística, veremos cómo avanzamos en un tratamiento riguroso del riesgo. Todo lo que estudiaremos en este módulo didáctico nos acercará a las teorías más potentes de análisis financiero. En particular, nos referiremos a la teoría de la cartera, que ya se trató en el módulo “Finanzas a corto plazo”, y mostraremos finalmente las posibilidades de la simulación para asegurar el contraste de nuestras valoraciones.

Objetivos En este módulo se verá un complemento indispensable a lo que se ha dicho sobre valoración y selección de inversiones. Se trata de obtener métodos que nos permitan utilizar los criterios que hemos expuesto, pero ahora en ambientes de riesgo.

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1. El riesgo y la incertidumbre

1.1. Definiciones Según el Diccionario de la Lengua Española de la RAE, si certidumbre es el ‘conoci-

Certidumbre

miento seguro y claro de algo’, entonces incertidumbre es la ‘falta de certidumbre; duda; perplejidad’, mientras que riesgo es la ‘contingencia o proximidad de un mal’. Por lo tanto, queda claro que no se deben confundir las voces riesgo e incertidumbre: • la incertidumbre es inherente al sujeto (el decisor), probablemente por falta de información suficiente; • el riesgo es ajeno al decisor y está asociado al objeto de decisión. Cuando el decisor es un agente económico y/o financiero y el objeto de decisión tiene naturaleza también económica y/o financiera, entonces es necesario evaluar de algún modo las consecuencias económicas y/o financieras de la incertidumbre y/o del riesgo. De esto se desprende que, en principio, habrá métodos de evaluación apropiados para tratar situaciones de incertidumbre, y otros, diferentes, aptos para tratar situaciones arriesgadas. En este curso de Dirección financiera I es preciso estudiar sólo las decisiones de inversión en ambiente de riesgo, por lo cual se dejarán de lado los problemas que supone este tipo de decisiones bajo incertidumbre (que también es objeto de una voluminosa literatura técnica).

En consecuencia, en las páginas siguientes nos referiremos sólo al riesgo económico y/o financiero de proyectos de inversión, entendiendo que este riesgo es la posibilidad de que se produzca algún acontecimiento del que se deriven pérdidas.

Por lo tanto, dejamos planteado el problema de cómo evaluar esta posibilidad. Por lógica, esta evaluación se debería llevar a cabo teniendo en cuenta el conjunto de posibilidades que ofrecen los acontecimientos que influyen sobre la inversión; a continuación, se tendría que intentar medir la importancia relativa que tienen las posibilidades susceptibles de generar pérdidas. A pesar de la nitidez de separación entre los conceptos de riesgo e incertidumbre según el Diccionario de la Lengua Española de la RAE, no debemos olvidar que la realidad es más compleja, ya que el decisor influye sobre el ambiente en el que

No certidumbre

– Incertidumbre Riesgo

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actúa y es influido, a su vez, por este ambiente. Por ello, el análisis se complica enormemente y es objeto de investigación científica fundamental. Esta falta de nitidez real dentro de la economía en la separación entre riesgo e incertidumbre produce diferencias sustantivas entre las posiciones de diferentes investigadores y escuelas; estas posturas van desde no aceptar esta separación e identificar los dos conceptos (por ejemplo, Borch y Solow) hasta aceptar que el decisor, antes de tomar la decisión, se encuentra en situación de incertidumbre, y que después, una vez elegida una alternativa, se enfrenta con un riesgo (por ejemplo, Jaensch). De este modo, como ejemplifica Lesourne, un pasajero se enfrenta con la incertidumbre antes de tomar un avión; cuando ya tiene la certidumbre del destino, el propio vuelo es lo que ofrece una situación de riesgo. Para muchos autores, existe riesgo cuando se establece un conjunto de probabilidades objetivas o cuasiobjetivas ante las posibilidades que se presentan (Knight y Schlaifer, entre muchos otros, son autores significativos que comparten esta opinión); en algunos casos se introducen probabilidades subjetivas, pero se tratan como si fuesen objetivas. Con el fin de tener una idea aproximada de lo que se quiere decir cuando se habla de “probabilidades objetivas o cuasiobjetivas”, pondremos los ejemplos siguientes: 1) Un caso de probabilidad objetiva • Acontecimiento: lanzamiento de un dado ordinario de seis caras. • Posibilidades: 1, 2, 3, 4, 5, 6. • Medición de cada una de estas posibilidades: probabilidad = 1 / 6. 2) Un caso de probabilidad cuasiobjetiva • Acontecimiento: defunción de una determinada persona de 35 años entre hoy y el año próximo. • Posibilidades: – que se muera; – que no se muera. • Medición de cada una de estas posibilidades: se debe llevar a cabo mediante una tabla de mortalidad basada en defunciones y efectuada según determinadas técnicas. 3) Un caso de probabilidad calificada de subjetiva • Acontecimiento: que la cifra de ventas del nuevo producto que se comercializará en un nuevo mercado llegue a los 100 millones de pesetas en un año. • Posibilidades: – que llegue; – que no llegue. • Medición de cada una de estas posibilidades: es preciso recurrir a varios expertos, que no siempre coinciden en sus apreciaciones.

Esta última postura (la de Knight, Sclaifer y otros) es la que adoptaremos por considerarla la más apropiada para el ámbito de las inversiones arriesgadas. Además, asumir esta postura permite tratar determinadas situaciones de probabilidad subjetiva en las cuales la experiencia, la concordancia de expertos,

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etc. ofrecen la confianza suficiente como para considerar que aquella probabilidad podría ser utilizada como si fuese cuasiobjetiva. De este modo, cuando lo necesitemos (cuando deseemos medir o evaluar el grado de posibilidad de ciertos acontecimientos), utilizaremos los recursos de la estadística, disciplina que se debería haber estudiado.

1.2. Riesgos asociados a la actividad económica y/o financiera desde un punto de vista general En principio, podemos distinguir entre riesgos económicos y/o financieros, que surgen de la misma actividad, y riesgos extraeconómicos y/o extrafinancieros. Este último tipo de riesgos es ajeno a la actividad, pero puede influir en ella (por ejemplo, riesgo de robo o de incendio en una empresa, riesgo de que un acontecimiento político afecte a la actividad de una empresa, riesgo de accidente mortal de un directivo clave, etc.). Entre los principales riesgos económicos y/o financieros podemos indicar los siguientes: • riesgo empresarial; • riesgo de aparición de nuevas tecnologías; • riesgo de fluctuación de los precios del producto fabricado; • riesgo de establecimiento de los nuevos competidores; • riesgo de inflación; • riesgo de depreciación monetaria; • riesgo de obtención de financiación; • riesgo de colocación de los excedentes de tesorería; • riesgo de tipo de cambio; • riesgo del país; • riesgo asociado a los canales de distribución; • riesgo de liquidez; • riesgo de insolvencia. Dos riesgos o más pueden ser independientes el uno del otro, o bien interdependientes, cuestión que, obviamente, habrá que tener en cuenta cuando se analicen. El análisis financiero de las inversiones es una rama de las finanzas muy extendida y compleja, ya que es notable la multiplicidad de modalidades que existe, productos financieros y económicos, mercados y tipos de inversión. Esto provoca la necesidad de disponer de un gran número de herramientas de análisis, que con frecuencia exigen una fuerte sofisticación matemática, estadística y econométrica. A pesar de ello, cuando las inversiones son ciertas (es decir, cuando se conocen ex ante, con toda precisión numérica, sus características cuantitativas), el uso

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de la TIR o del VAN suele ser suficiente para elegir la mejor de entre las distintas alternativas inversoras. Cuando la certidumbre deja paso a la incertidumbre, la incorporación de técnicas de evaluación del riesgo hace que estos instrumentos sean insuficientes. Desde un punto de vista operativo, se han ido elaborando muchas modalidades de tratamiento; dicho de otro modo, se han desarrollado muchas técnicas de evaluación del riesgo. Todas estas técnicas tienen virtudes –por ello se justifica su utilización– y defectos, pero nuestra responsabilidad es analizarlas a partir de esta clasificación:

1) Modalidades que no se basan en ningún estadístico que específicamente mida el riesgo. 2) Modalidades que sí utilizan un estadístico específico medidor del riesgo.

Estadístico... ... es un valor que se ha calculado sobre una muestra y que sirve para estimar datos de la población.

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2. Modelos que no utilizan ningún estadístico que mida específicamente el riesgo

Entre estos modelos se debe establecer una subdivisión: los que utilizan probabilidades y los que no lo hacen. Modelos que no utilizan estadístico medidor del riesgo No utilizan probabilidades

Análisis de la sensibilidad Ajuste de la tasa de descuento

Utilizan probabilidades

VAN más probable Equivalente cierto Valor actual neto esperado (VANE)

En los subapartados que siguen desarrollaremos los cinco métodos fundamentales que acaban de indicarse.

2.1. Análisis de sensibilidad En la empresa tradicional, ha sido muy frecuente evitar las complejidades analíticas derivadas de la utilización de probabilidades (sobre todo en tiempos, no demasiado lejanos, en los cuales la formación estadística era prácticamente nula) mediante modelos muy fáciles de entender, aunque no se sostengan desde un punto de vista científico y estén poco cercanos a la práctica.

Una forma muy interesante de trabajar consiste en seguir el proceso siguiente: 1) Calcular el VAN de la inversión como si ésta fuese cierta. Es decir, utilizar los cash-flows periódicos que razonablemente se pueden esperar si la inversión se desarrolla con normalidad y con estos valores, y encontrar el VAN correspondiente, que supondremos positivo (en caso contrario, la inversión se rechazaría). 2) Con el objetivo de matizar el optimismo inherente al hecho de considerar los cash-flows que “razonablemente se pueden esperar”, se averigua el margen de error (o intervalo de tolerancia) que hay en el VAN obtenido; este cálculo se hará según la influencia que tengan sobre el VAN los diferentes componentes individuales de los proyectos (por ejemplo, el desembolso inicial, la vida de la inversión, la tasa de descuento y los mismos cash-flows), o bien grupos de los mismos.

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Para observar la incidencia de cada uno de estos componentes sobre el VAN, lo que se hace es actuar ceteris paribus y, para cada componente individual (o grupo de éstos), ver qué valor adoptaría si el VAN fuese igual a cero. De este modo: 1) Se obtendrá una especie de perfil del riesgo asumido en la inversión. 2) Se podrán clasificar los componentes en principales y secundarios.

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En lugar de aplicar... ... el análisis de sensibilidad sobre el VAN, también se podría hacer sobre la TIR, pero, puesto que los cálculos de esta rentabilidad son mucho más laboriosos, los más prácticos se han decantado por el VAN. Sin embargo, hoy es posible obtener la TIR con facilidad a partir del software adecuado; por este motivo, merece la pena prolongar el análisis de sensibilidad en la TIR.

3) El decisor conseguirá más información sobre las variables importantes (es decir, las que pueden afectar más notablemente a la estabilidad de la positividad del VAN) con el objetivo de calibrar mejor el riesgo que asume y, si procede, reconsiderar la aceptación del proyecto. Ejemplo de cómo actuar Las estimaciones que se han hecho del valor de los parámetros de una inversión conducen a las cifras siguientes:

Examinemos el intervalo de variación necesario para reducir el VAN a cero, considerando separadamente los cinco factores que determinan la inversión (desembolso inicial, vida del proyecto, cifra de ingresos, cifra de gastos y tasa de descuento). La inversión es:

Por lo tanto, VAN = – 10.000 + 5.000 ⋅ a 4 0,12 = 5.187 > 0

Esta forma de proceder... ... sirve cuando las variables o los componentes individuales a los que hemos aludido son independientes entre sí; en caso contrario, debemos establecer diferentes escenarios y, entonces, operar de la forma indicada.

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De este modo, en principio, habría que aceptar la inversión. Esto es lo que deberíamos hacer si el proyecto fuese cierto (consultad el módulo correspondiente); sin embargo, como es arriesgado, se le deberá añadir alguna otra información para captar el grado de confianza que puede merecer el VAN calculado. El análisis de sensibilidad que se nos pide tiene esta misión: • Variable: desembolso inicial – x + 5.000 ⋅ a 4 0,12 = 0 ⇒ x + 5.000 ⋅ a 4 0,12 = 15.187 En consecuencia, el desembolso inicial puede llegar a un máximo de 15.187 sin que el VAN sea negativo, es decir: Desembolso inicial ∈ [10.000 ; 15.187] Tenemos motivos para esperar una razonable confianza en la cifra de desembolso inicial, ya que se puede suponer que la gran mayoría de los elementos que forman parte de ella es básicamente conocida; por ello, es posible concluir que esta variable no afecta prácticamente nada a la estabilidad de la decisión. Por lo tanto, en esta inversión el VAN es poco sensible al valor del desembolso inicial, ya que hay un margen de error o de tolerancia aproximado del 50% (50% de 10.000 = 5.000; 10.000 + 5.000 = 15.000). • Variable: vida del proyecto – 10.000 + 5.000 ⋅ a x 0,12 = 0 ⇒ –x

1 – ( 1,12 ) = 2 a x 0,12 = 2 → -----------------------------0,12 –x ln 0,76 ( 1,12 ) = 0,76 → x = – --------------------ln 1,12 x = 2,42 años ⇒ 2 años y 5 meses Esto significa que si el proyecto se tuviese que acabar a los 2,42 años, el VAN sería nulo; es decir, todos los cash-flows netos posteriores a este plazo repercutirán favorablemente en el mismo. O sea, Vida del proyecto ∈ [4 ; 2,42] Por lo tanto, queda un margen de tolerancia lo bastante amplio como para que podamos aceptar que la vida de esta inversión no es una variable clave en la decisión. • Variable: cifra de negocios – 10.000 + ( x – 20.000 ) ⋅ a 4 0,12 = 0 ⇒ x = 23.292

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Es decir, que los ingresos esperados podrían ir desde 25.000 hasta 23.292 u.m.: Cifra de negocios ∈ [25.000; 23.292] Ahora debemos tener en cuenta que hay poco margen de reducción de los ingresos medios si se mantiene la positividad del VAN. El decisor debería tener mucho cuidado en la obtención del valor de los ingresos medios, ya que constituyen una variable clave. • Variable: cifra de gastos – 10.000 + ( 25.000 – x ) ⋅ a 4 0,12 = 0 ⇒ x = 21.708 Es decir, que los gastos esperados podrían ir desde 20.000 hasta 21.708 u.m., de modo que Cifra de gastos ∈ [20.000 ; 21.708] Por lo tanto, estamos ante otra variable clave, que habría que volver a analizar adecuadamente. • Variable: tasa de descuento – 10.000 + 5.000 ⋅ a 4 x = 0 ⇒ x = 35% Utilizad el software. De este modo, la tasa de descuento tiene un amplio margen: puede ascender hasta el 35% (lo cual significaría un proyecto mucho más arriesgado, como se mostrará en el subapartado 2.2.). En consecuencia, para tasas de descuento inferiores al 35%, el VAN será positivo: Tasa de descuento ∈ [12 % ; 35 %] Este factor no será, por lo tanto, un componente clave en la decisión de aceptación de la inversión. • Tabla de sensibilidades Con los resultados obtenidos podemos confeccionar la denominada tabla de sensibilidades, formada por las columnas siguientes: Variable

Estimación inicial

Valor límite

Margen de variación

Amplitud de la variación posible (%)

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Resultando: Estimación inicial

Valor límite

Margen de variación

Amplitud de la variación posible (%)

Desembolso inicial

10.000

15.187

5.187

+ 51,87%

Vida del proyecto

4

2,42

1,58

–39,50%

Cifra de ingresos

25.000

23.292

1.708

–6,83%

Cifra de gastos

20.000

21.708

1.708

+8,54%

12

35

23

+192%

Variable

Tasa de descuento (%)

La última columna se ha obtenido aplicando la expresión: (Margen de variación / Estimación original) · 100 y exhibe claramente cuáles son las variables clave de la decisión.

2.2. Ajuste de la tasa de descuento Resulta obvio que, ceteris paribus, es decir, en igualdad de las demás condiciones, un inversor preferirá una inversión menos arriesgada a otra que lo sea más; en consecuencia, para inducirle a que elija la más arriesgada se le deberá prometer –con las debidas garantías– una plus-rentabilidad suficiente. De esta idea intuitiva se desprende que el fundamento de las decisiones de inversión en ambiente arriesgado es el tradeoff entre riesgo y rentabilidad. Existe una correlación (no necesariamente de naturaleza estadística) entre estos dos elementos: a un mayor (menor) riesgo le deberá corresponder una mayor (menor) rentabilidad. En consecuencia, la tarea del decisor se facilitaría si dispusiéramos de una magnitud que conectase los dos elementos. Éste es el fundamento del modelo de ajuste de la tasa de descuento; en efecto, esta tasa, denominada tasa de descuento ajustada por el riesgo (TDA), o también tasa de rentabilidad neta deseada (TRD) –porque se acepta como la que debería proporcionar la inversión–, puede considerarse el resultado de sumar dos magnitudes: la tasa de rentabilidad libre de riesgo (TLR) y la prima de riesgo (PR) o premio recibido por aceptar el riesgo; por este motivo, también recibe el nombre de premio por riesgo, o simplemente premio cuando resulta innecesaria la alusión al riesgo. O sea: TDA ( o TRD ) = TLR + PR La tasa de rentabilidad neta deseada por un inversor al adquirir un activo arriesgado, o, dicho de otra forma más genérica, al intervenir en una inversión arriesgada, se define como la tasa de rentabilidad mínima esperada por el inversor; así pues, por debajo de este umbral mínimo, no intervendría en la mencionada inversión.

Tradeoff es un anglicismo... ... que se utiliza para indicar la correspondencia inversa que existe entre dos elementos en un entorno invariable. La variación positiva en uno de los elementos comporta una variación negativa en la misma proporción del otro si no se puede modificar el entorno. Los dos elementos podrían equipararse a dos vasos comunicantes que forman un único circuito. Cuando el flujo llena más uno de los vasos, disminuye el volumen que ocupa en el otro, siempre que no se introduzca flujo añadido.

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Sin embargo, ¿qué nivel adquirirá este umbral? Partimos de la base de que los inversores pueden conseguir asegurarse una tasa de rentabilidad (por lo tanto, con riesgo nulo) colocando sus fondos en activos no arriesgados (por ejemplo, letras del Tesoro, para plazos cortos, o bonos u obligaciones del Estado, para plazos más dilatados). Esta tasa de rentabilidad garantizada es la tasa de rentabilidad libre de riesgo; un mayor riesgo exigirá una mayor rentabilidad. 1) La tasa de rentabilidad libre de riesgo (TLR) A su vez, la tasa libre de riesgo está compuesta por dos tasas más: • la denominada tasa de interés real en la economía, • la prima por inflación. a) La tasa de interés real es la tasa de interés básica en la economía de un país, y se define como el tipo de interés necesario para inducir a un agente económico a ahorrar (en lugar de consumir). Esta magnitud depende de la tasa de crecimiento real de la economía del país, la cual, a su vez, está en función de: • el cambio de población activa; • el número total de horas trabajadas; • la productividad de la población activa. b) La prima por inflación reúne la cuantificación porcentual analizada de la inflación esperada o anticipada. Si se estuviese en un contexto no inflacionario, la tasa de interés real sería suficiente para reflejar la tasa libre de riesgo; sin embargo, es lógico que, en caso de anticipación de una determinada tasa de inflación o de depreciación monetaria, el inversor requiera una compensación adicional que, por lo menos, lo reponga de la mencionada caída del poder adquisitivo de la moneda. Ejemplo numérico Si la tasa de interés real vale el 3,5% y se anticipa un 3% anual de inflación, entonces la tasa de interés libre de riesgo vale: ( 1 + TLR ) = ( 1 + 0,035 ) ( 1 + 0,03 )

La población activa... ... no es la población ocupada. Esta última es un subconjunto de la primera. Tampoco tenemos que pensar que el complementario de esta población ocupada sea la población parada, ya que hay un segmento de la población capacitada legalmente para trabajar que no tiene intención de ocuparse, y otro segmento que mantiene incapacidades aunque sea de forma temporal para seguir en su lugar de trabajo. La encuesta sobre la población activa intenta estudiar cómo varían estos subconjuntos. El Instituto Nacional de Empleo, por su parte, estudia las variaciones en el número de parados que tiene registrados.

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En formalización general será: ( 1 + TLR ) = ( 1 + R 0 ) ( 1 + M A ) donde R0 es la tasa de interés real, y MA es la tasa de inflación anticipada o esperada para un año (expresada como un tipo de interés vencido). 1 + TLR = 1 + R 0 + M A + R 0 ⋅ M a ⇒ TLR = R 0 + M A + R 0 ⋅ M A Cuando R0 y MA son pequeñas, entonces: TLR equivale a R0 + MA expresión que muchos adoptan indebidamente cuando la aproximación no resulta conveniente.

2) La prima de riesgo

La cuantificación de la aversión...

La prima de riesgo admite implícitamente que los inversores tengan lo que se denomina aversión al riesgo (no adversión al riesgo); es decir, son aversos al riesgo (aversión, según el Diccionario de la Real Academia Española, indica ‘oposición y repugnancia que se tiene a alguna persona o cosa’; en cambio, adverso indica ‘contrario, enemigo, desfavorable’). Muchas veces, y más en el mundo de la empresa, por desconocimiento de las diferentes ciencias sociales la cuan-

... se lleva a cabo de una forma más completa y satisfactoria en la denominada teoría de la utilidad, que no es objeto de estudio de esta asignatura, pero que resulta de gran importancia en la teoría de la cartera (portfolio) de valores, como también en muchas otras formulaciones.

tificación de esta aversión se lleva a cabo de una forma intuitiva.

La prima de riesgo ha intentado reflejar la importancia combinada de la totalidad de fuentes de riesgo (empresarial, de insolvencia, etc.), en el sentido de que los cash-flows netos esperados no consigan el nivel deseado por el hecho de que las mencionadas fuentes actúan negativamente sobre éstos.

Resumimos en un esquema las diferentes magnitudes introducidas en este subapartado:

Tasa de descuento ajustada por riesgo (TDA) o tasa de rentabilidad neta deseada (TRD) Tasa de rentabilidad libre de riesgo (TLR) (tasa nominal)

Tasa de interés real de la economía (tasa real) (R0) Prima por inflación πA

Prima de riesgo (PR)

TDA = TLR + PR TLR = R 0 + π A + R 0 ⋅ π A TLR = R 0 + π A

La aplicación práctica del modelo no ofrece dificultad una vez establecida la prima de riesgo:

• determinar el valor de la tasa de descuento ajustada por el riesgo;

Por medio del ajuste de la tasa de descuento... ... el riesgo se podría intentar cuantificar, también, mediante la sistemática reducción de los ingresos esperados. El procedimiento es factible, pero menos manejable, y por ello no se utiliza demasiado.

El modelo de ajuste de la tasa de descuento... ... ha adquirido una gran importancia teórica y práctica, a pesar de que su carácter de cuantificación mediante la prima de riesgo intuitiva limita la misma rigurosidad. Una forma de aprovechar la ventaja del factor intuitivo con la ventaja del rigor consiste en un modelo conocido por sus siglas inglesas CAPM (Capital Asset Pricing Model), que no es objeto de esta asignatura, pero que se tratará en Dirección financiera II.

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• aplicar el VAN como si la inversión fuese cierta, pero utilizando la anterior tasa de descuento ajustada. Los cash-flows netos utilizados acostumbran a ser los considerados según algún procedimiento, más o menos intuitivo. En muchos casos, el procedimiento se mistifica haciendo que intervengan en él probabilidades, y entonces los cash-flows utilizados son las esperanzas matemáticas (consultad los subapartados 2.4.2 y 2.4.3). Por lo tanto, en su ejecución numérica no habría diferencias respecto a la forma de actuar entre una inversión cierta y otra arriesgada; por este motivo, no propondremos ejercicios (no es cuestión de hacer perder el tiempo al estudiante cuando la materia es tan densa). A pesar de ello, hay un problema que sí merece nuestra atención. ¿Debe ser la prima de riesgo la misma para los diferentes cash-flows periódicos? La exposición que hemos hecho hasta aquí tal vez sugería lo contrario; pero la respuesta a la pregunta es negativa. En realidad, debemos establecer una prima de riesgo para cada cash-flow, y asociar las primas a los diferentes niveles de riesgo recibidos (riesgo “bajo”, “medio”, “alto” o, todavía con más detalle, añadiendo “riesgo muy bajo” y “riesgo muy alto”). Ahora, para finalizar el subapartado, nos gustaría dar una razón argumentada numéricamente por la cual tenemos que establecer primas de riesgo específicas para cada periodo de vida de la inversión. El proyecto siguiente nos servirá de ejemplo: Ejemplo numérico Sea el proyecto inversor:

y supongamos que: TLR = 10% PR = 4% (considerada única, o sea, aplicable a cada uno de los periodos) Calculad el valor actual de cada uno de los cash-flows para el 10% y para el 14% (= TLR + PR) y, después, comparad los resultados obtenidos.

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Tabularemos los cálculos:

10%

14%

Disminución (en %) del valor actual al pasar del 10% al 14%

35

31,82

30,70

3,52%

2

35

28,93

26,93

6,91%

3

35

26,30

23,62

10,19%

4

35

23,91

20,72

13,34%

5

35

21,73

18,18

16,34%

–

VAN

132,69

120,15

9,45%

Año

Cash-flow neto

1

Valor actual

Por lo tanto, establecer una prima de riesgo única para utilizarla repetidamente en cada periodo equivale a utilizar primas de riesgo diferentes; sin embargo, la diferencia reductora es causada por los efectos financieros en lugar de serlo, intrínsecamente, por los mismos efectos de riesgo. Por esta razón conviene sofisticar el método, y por ello se hace una distinción del diferente riesgo percibido, de acuerdo con unos valores estimados. De esta forma, el esquema de primas de riesgo aplicado al ejemplo podría ser el siguiente:

Año

Riesgo percibido

Prima de riesgo (PRj)

Tasa de interés libre de riesgo

Tasa de descuento por riesgo (Rj)

1

Muy bajo

2%

10%

12%

2

Bajo

3,5%

10%

13,5%

3

Medio

4,5%

10%

14,5%

4

Alto

7%

10%

17%

5

Muy alto

11%

10%

21%

2.3. Modelo del VAN más probable A pesar de que se utilicen probabilidades, se trata de un procedimiento de análisis muy superficial, como puede observarse en su descripción: • Se establece una distribución de probabilidades para cada uno de los cash-flows; ˜ la variable aleatoria (v.a.) cash-flow neto, tendremos: si designamos por Q

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˜ tendrán la estructura típica de una variable discreta (consultad la asigLas Q natura Estadística I). Q˜ j Valores posibles

Probabilidad asociada

Qj1

Pj1

Qj2

Pj2

...

...

QjN

PjN

• Para cada v.a. Q˜ j se toma como representativo del cash-flow neto el valor posible que tenga una mayor probabilidad de ocurrencia. Lo designaremos como QjM. • De este modo, la inversión queda representada de la forma siguiente:

• A continuación, se calcula el VAN (con la tasa de descuento que se considere apropiada), como si se tuviese una inversión cierta. Este VAN se denomina valor actual neto más probable, que simbolizaremos como VANM: VAN M = – Q 0M +

n

∑ QjM ⋅ ( 1 + R )

–j

j=1

• El criterio que hay que emplear es el normal para todo VAN que sea positivo (o que exceda un determinado nivel de umbral). Como puede comprenderse, establecer el conjunto de variables aleatorias Q˜ es un trabajo largo y j

caro, demasiado para desaprovechar después la mayor parte de la información y quedarnos sólo con los valores de mayor probabilidad. Por ello, no merece más atención.

2.4. Modelo del equivalente cierto 2.4.1. Concepto de equivalente cierto En primer lugar, es preciso ilustrar el concepto de equivalente cierto, y para ello utilizaremos un ejemplo sencillo: Ejemplo numérico Supongamos que se nos plantee un juego de azar que consista en un solo lanzamiento de un dado: si sale un número par, ganaremos 100.000 u.m., y si sale uno impar, tendremos que pagar 26.000 u.m.

Recordad que el riesgo... ... económico y/o financiero comporta la posibilidad de que se produzca un acontecimiento del cual se deriven pérdidas.

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Las inversiones en ambiente de riesgo

Un juego como éste es tentador, e incluso favorable, pero incorpora el riesgo de perder 26.000 u.m. Si antes de decidir la intervención en el juego se os plantea no hacerlo y, a cambio, se os regala: 1) 1 u.m. 2) 100 u.m. 3) 1.000 u.m. 4) 10.000 u.m. 5) 20.000 u.m. 6) 30.000 u.m. 7) 40.000 u.m. 8) 60.000 u.m. 9) 63.000 u.m. 10) 75.000 u.m. ¿Qué respondería cada uno de nosotros? ¿Actuaríamos todos de la misma forma si nos planteasen el mismo ofrecimiento? Supongamos que uno de nosotros ni se inmuta y prefiere el juego de azar para las situaciones 1, 2, 3, 4 y 5; pero si le ofrecen 30.000 u.m., renuncia al juego. Otros compañeros ponen la frontera en otros valores: Compañero

Valor frontera o umbral

1

10.000

2

20.000

3

35.000

4

37.000

5

75.000

¿Qué podemos decir sobre el comportamiento de nuestros compañeros? Tal vez creeremos que el compañero 1 estaba en condiciones económicas penosas y prefería 10.000 u.m. seguras a la posibilidad de ganar 100.000 o perder 26.000 con un 50% de probabilidad. Es decir, ˜: ante el juego representado por la variable aleatoria X ˜ X Resultado del juego

Probabilidad

Ganancia / pérdida

Sale par

1/2

+100.000

Sale impar

1/2

– 26.000

El compañero 1 renuncia al proyecto arriesgado y, mostrándose muy averso al riesgo, prefiere recibir 10.000 u.m. con certidumbre. La aceptación de esta cantidad de 10.000 u.m., por lo tanto, contiene información relativa tanto al juego como a la actitud del compañero ante el riesgo que se le propone. Se dice que las 10.000 u.m. constituyen el equivalente cierto asociado al compañero 1. Observamos que los compañeros 2 y 3 siguen mostrándose aversos al riesgo, pero menos que el anterior. En particular, el amigo 3 es muy poco averso al riesgo porque la media (o esperanza matemática) del juego es: [ 100.000 ⋅ ( 1 ⁄ 2 ) ] – [ 26.000 ⋅ ( 1 ⁄ 2 ) ] = 37.000 y él, por 35.000 u.m., renuncia a participar. El amigo 4 exige 37.000 u.m., precisamente una cantidad igual al valor que da la media; diremos que este compañero es indiferente al riesgo: no le importa obtener 37.000 u.m. seguras u obtener 37.000 u.m. de media entrando en una situación de riesgo. Por último, el compañero 5 exige 75.000 u.m., superando la media. Esto quiere decir que jugar (o sea, arriesgarse) tiene para él un valor positivo,que le produce satisfacción, que siente el placer del riesgo y que sólo lo cambiará por dinero si le dan 38.000 u.m. más de lo que po-

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dría obtener (75.000 – 37.000 = 38.000). Es un compañero propenso al riesgo. En todos los casos indicados, el equivalente cierto es la cantidad umbral que hace equivalentes la propuesta cierta y la propuesta arriesgada.

Naturalmente, hemos hablado de un juego; pero si se tratase de nuestros propios fondos vinculados a inversiones no seríamos ni indiferentes ni propensos al riesgo, sino únicamente aversos a él. Por ello, el equivalente cierto correspondiente a un cash-flow arriesgado será, para los inversores, una cantidad inferior a la media de la v.a. Para algunos decisores, será bastante inferior a la media; para otros, tal vez un poco menos de la media. También sucederá, obviamente, que los cash-flows más próximos por los cuales el riesgo percibido sea menor tendrán un equivalente cierto más cercano a la media que otros cash-flows más lejanos.

2.4.2. El equivalente cierto y el análisis de las inversiones La explicación que se acaba de dar se ha basado en la comparación entre el equivalente cierto y la esperanza matemática asociados a la inversión arriesgada (inversión, en nuestro caso). Las formas típicas de comparación entre las magnitudes son la diferencia (válida sólo cuando se miden con las mismas unidades) y el cociente; es decir, podremos hacer:

1) Esperanza matemática – Equivalente cierto (o al revés) 2) Equivalente cierto / Esperanza matemática (o al revés)

La diferencia 1 es la prima de riesgo expresada en u.m. (no de forma anualizada y porcentual, como cuando ajustamos la tasa de descuento, pero es obvio que las dos formas de expresión de esta prima deben ser relacionables), y tenemos que: • si es positiva, la interpretación que se da es que hay aversión al riesgo; • si es nula, significa que hay indiferencia ante el riesgo (es decir, que no se es sensible al riesgo); • si es negativa, entonces el sujeto es propenso al riesgo. El cociente 2, denominado cociente de equivalencia cierta, también muy utilizado en finanzas, se suele representar mediante la letra griega α (α > 0). Se pueden dar las posibilidades siguientes: • cuando el sujeto es indiferente al riesgo, α = 1; • cuando es propenso al riesgo, α > 1; • cuando es averso al riesgo, 0 < α < 1.

Las inversiones en ambiente de riesgo

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Las inversiones en ambiente de riesgo

Por lo tanto, en el campo de las inversiones se tendrán coeficientes α mayores que cero y menores que uno. De este modo, para un cash-flow neto Q˜ , sucederá: j

EC j α j = -------------E [ Q˜ j ] donde: ECj = equivalente cierto Q˜ j

E [ Q˜ j ] = esperanza matemática de Q˜ j De este modo: ˜ j] EC j = α j ⋅ E [ Q

Este resultado se utiliza para obtener el VAN de una inversión arriesgada, de acuerdo con la formulación siguiente, en la cual supondremos que el desembolso inicial se conoce en su valor preciso (es decir, que no es una v.a.):

n

VANEC = – Q 0 +

∑ EC j ⋅ ( 1 + R0 )

–j

j=1

donde: VANEC = valor del VAN estimado mediante el equivalente cierto de los cash-flows netos; R0 = tasa de interés libre de riesgo La expresión de VANEC se puede escribir también de otro modo, en función de los αj (j = 1, 2, ..., n): VAN EC = – Q 0 +

n

˜

∑ αj ⋅ E [ Qj ] ⋅ ( 1 + R0 )

– j

j=1

y, en caso de que el desembolso inicial fuese también una v.a., entonces:

˜ 0] + VAN EC = – α 0 ⋅ E [ Q

n

˜

∑ αj ⋅ E [ Qj ] ⋅ ( 1 + R 0 )

j=1

–j

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Las inversiones en ambiente de riesgo

Tal vez sorprenderá la utilización de la tasa de interés libre de riesgo en lugar de la ajustada al riesgo; se trata de una simple cuestión de coherencia: ¿qué sentido tendría descontar equivalentes ciertos (es decir, exentos de riesgo) a una tasa que contuviese un ajuste por riesgo? Tal como hemos expuesto hasta ahora, la aplicación numérica del método es muy sencilla. Lo vemos a continuación: Ejemplo numérico Una firma estudia la posibilidad de intervenir en una inversión que tiene en cartera. Las características del proyecto son:s Año

E [ Q˜ j ]

Coeficiente de equivalencia cierta αj

0

−1.000

0,90

1

200

0,70

2

300

0,60

3

400

0,50

4

500

0,40

Sabiendo que la tasa libre de riesgo es de un 8% anual, calculad el VAN de la inversión. Tenemos: VAN EC = – 0,90 ⋅ 1.000 + 0,70 ⋅ 200 ⋅ ( 1,08 ) + 0,60 ⋅ 300 ⋅ ( 1,08 )

– 1

+

– 2

+ 0,50 ⋅ 400 ⋅ ( 1,08 )

– 4

⇒

+ 0,40 ⋅ 500 ⋅ ( 1,08 )

– 3

+

VAN EC = – 310,28 u.m. < 0 La inversión sería rechazable (observad que no hemos utilizado la tasa de rentabilidad deseada; sólo la libre de riesgo).

2.4.3. Relación entre los modelos del equivalente cierto y de la tasa ajustada por riesgo Si consideramos que debe coincidir el VAN obtenido mediante los dos modelos y que los cash-flows utilizados al emplear la tasa ajustada son las esperanzas matemáticas, entonces tendremos que:

– Q0 +

n

˜

∑ αj ⋅ E [ Qj ] ⋅ ( 1 + R0 )

–j

=

j=1

= – Q0 +

n

˜

∑ E [Qj ] ⋅ ( 1 + R

(j) – j

)

j=1

donde Rj es igual a R0 más la prima anualizada correspondiente al cash-flow j-ésimo (consultad las dos últimas fórmulas de 2.2).

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Las inversiones en ambiente de riesgo

Por lo tanto, para j = 1, 2, ..., n se cumplirá que: – j ˜ j ] ⋅ ( 1 + R(j ) )– j α j ⋅ E [ Q˜ j ] ⋅ ( 1 + R 0 ) = E [ Q

de modo que, siendo E [ Q˜ j ] ≠ 0, resulta:

1 + R0  j α j =  ----------------con j = 1, 2, …, n  1 + R ( j )

Ejemplo numérico Para el ejemplo del subapartado anterior, encontrad las primas de riesgo anualizadas de forma que el VAN sea el mismo tanto si se obtiene por el método de la tasa ajustada como por el del equivalente cierto. Tendremos: 1,08  j α j =  ----------------con j = 0, 1, 2, 3, 4. (j) 1+R  Aislando R(j), resulta: R

(j)

= 1,08 ⋅ ( α j )

1 – --j

–1

de donde: (j)

PR j = R – R 0 ⇒

PR j = 1,08 ⋅ ( α j )

1 – --j

PR j = 1,08 ⋅ ( α j )

– 1 – 0,08 ⇒

– -1-j

–1

De este modo, dando valores a j = (1, 2, 3, 4), obtendremos lo que se pedía; para j = 0, la R0 no existe, ya que en 0 no hay actualización: j=

αj

R(j)

PRj

1

0,70

54,29%

46,29%

2

0,60

39,43%

31,43%

3

0,50

36,07%

28,07%

4

0,40

35,80%

27,80%

Este ejercicio nos permite comprender que hablar de la tasa de rentabilidad deseada, como hemos hecho en 2.2, supone, en realidad, manejar una tasa media respecto a las tasas de rentabilidad deseadas para cada periodo.

2.5. Modelo del valor actual neto esperado (VANE)

En primer lugar, digamos que aquí esperado significa que hay una distribución de probabilidades para la v.a. valor actual neto; es decir,

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Las inversiones en ambiente de riesgo

~

VAN

Valores posibles del VAN

Probabilidades asociadas

VAN1

P1

VAN2

P2

...

...

VANv

Pv

de modo que

~

VANE = E [ VAN ]

En múltiples ocasiones, los v valores VAN1, VAN2, ..., VANv surgen de la consideración de varios escenarios imaginados como posibles. Por ejemplo, los cash-flows netos proporcionados por la inversión dependerán de si las condiciones económicas son más o menos favorables. Cuando esto sucede, la estructura de información relativa a la inversión (matriz de información) tiene la forma siguiente:

Escenario

Probabilidad asignada al escenario

Año 1

Año 2

...

Año n

VAN

Probabilidad del VAN

1

P1

Q11

Q12

...

Q1n

VAN1

P1

2

P2

Q21

Q22

...

Q2n

VAN2

P2

...

...

...

...

...

...

...

...

v

Pv

Qv1

Qv2

...

Qvn

VAN1v

Pv

Por lo tanto, la inversión se debe ver en filas y en columnas; así lo muestra el diagrama siguiente, en el cual, para simplificar, admitimos que el desembolso inicial se conoce con certeza.

Por consiguiente, desde el punto de vista operativo no hay problemas nuevos; la única dificultad es la laboriosidad de los cálculos. Veámoslo con un ejemplo.

Variable aleatoria ~ VAN

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Las inversiones en ambiente de riesgo

Ejemplo numérico La empresa JAQUE Y MATE considera la posibilidad de comprar la licencia de fabricación de una máquina informatizada y programable que haga las tareas del hogar de la forma más mecánica posible. El coste de la licencia para un periodo de 10 años es de 60 millones de u.m., que se harían efectivos mediante un pago único al formalizar el compromiso. Para el estudio del proyecto, la empresa considera tres escenarios posibles para el mercado: • buena aceptación de la máquina: probabilidad = 0,15; • aceptación regular de la máquina: probabilidad = 0,60; • poca aceptación de la máquina: probabilidad = 0,25; Se piensa que los cash-flows netos anuales serán: Cash-flows netos anuales (M u.m.) Escenario

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Año 6

Año 7

Año 8

Año 9

Año 10

Buena aceptación

30

30

35

35

35

40

40

40

50

50

Aceptación regular

20

20

20

20

20

25

25

25

25

25

Poca aceptación

10

10

10

15

15

15

15

15

15

15

Si la tasa de descuento que se considera adecuada para este proyecto llega al 15% anual, ¿conviene invertir en la licencia de fabricación? VAN1 = 124 M u.m. VAN2 = 49 M u.m. VAN3 = 4 M u.m. Por lo tanto: ~

VAN

VANi

Pi

124

0,15

49

0,60

4

0,25

~

E [ VAN ] = VANE = 124 ⋅ 0,15 + 49 ⋅ 0,60 + 4 ⋅ 0,25 ⇒ VANE = 49 M > ⇒ La inversión es aceptable

Las críticas que se pueden hacer al uso del modelo VANE son, fundamentalmente, dos: 1) No se estudia la representatividad de la media; por ejemplo, ¿qué se puede decir de dos inversiones que tienen el mismo VANE? (consultad la actividad 6). Superar esto significa encontrar una medida específica del riesgo. Los conceptos clave de la contabilidad nacional que tienen carácter estadístico tampoco utilizan más que medias (por ejemplo, per cápita). 2) No se relaciona directamente con el desembolso inicial (sería posible que dos inversiones tuviesen el mismo VANE; no obstante, sus desembolsos inicia-

La media de una distribución... ... puede ser representativa o no serlo. Una ocurrencia para poner de relieve el uso de medias sin precisar su bondad es aquella que define a un profesional de la estadística como una persona con los pies en un frigorífico y la cabeza en un horno encendido, que sin embargo se encuentra espléndidamente bien de media.

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 FUOC • P01/71012/00193

les pueden ser muy diferentes). Una superación de esto podría consistir en encontrar el cociente: VANE / Desembolso inicial que, en nuestro caso, sería 81,67%, lo cual significa que cada 100 u.m. invertidas se obtiene un beneficio de 81,67 repartido entre los 10 años. La estructura de escenarios que se ha descrito puede ser más complicada; en efecto, no se deben considerar distintos escenarios para cada fila de cash-flows, sino para cada cash-flow neto. La actividad 7 mostrará cómo proceder en este caso, que tampoco ofrece mayor dificultad conceptual para quien tiene el nivel mínimo de estadística. Para finalizar, indicaremos que el modelo VANE, además de ayudar a tomar la decisión de aceptar o rechazar una inversión, también sirve para: • valorar la información adicional proporcionada por un informe sobre la inversión hecha por un experto, y acotar el precio que puede pagarse por él (consultad la actividad 8); • decidir sobre la conveniencia de abandonar una inversión que está en marcha (consultad la actividad 9).

Las inversiones en ambiente de riesgo

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3. Modelos que utilizan un estadístico medidor del riesgo

3.1. Introducción

Teniendo en cuenta que tenemos inversores aversos al riesgo, cuando las técnicas o los modelos que acabamos de ver no son suficientes para el grado de análisis requerido habrá que introducir un estadístico que lo mida.

Por ello, es fundamental: • establecer la distribución de probabilidad del VAN o de la tasa interna de rentabilidad, según cuál sea el criterio que se utilice (aunque habitualmente se emplee la primera); • si la distribución establecida lo justifica, desarrollar información sobre la esperanza y la dispersión del VAN (o de la TIR), lo cual se conoce como modelo E-V (esperanza-varianza). Si se admite que se utiliza el modelo del VAN, lo que resulta interesante para el analista y para el decisor es cuantificar la probabilidad de que el VAN del proyecto sea negativo, y esto incluso cuando la esperanza (es ~

decir, la E[VAN]) pueda ser mayor de cero.

Habitualmente, respecto a la distribución de probabilidad, se supone que los posibles cash-flows anuales que generará el proyecto inversor tienen una distribución discreta; o bien, cuando esto no es admisible, se distribuyen normalmente, de modo que en este último caso:

1) Sería necesario determinar los parámetros que definen cada una de las distribuciones: ~

CF S ∼ N ( E S , σ S )

donde ~

CF S es la v.a. cash-flow correspondiente al año s (s = 1, 2, ..., n); ~

ES = E[CFS ] es la esperanza matemática de la v.a. anterior;

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 FUOC • P01/71012/00193 ~

σs es la desviación típica correspondiente a la v.a. CF S. ¿Qué parámetro medidor del riesgo es necesario utilizar, la varianza o la semivarianza? Como nos enseña la estadística, la utilización de la varianza (o de la desviación típica) resulta adecuada cuando las distribuciones de probabilidad que se utilizan son simétricas (o aproximadamente simétricas) respecto a la esperanza. Cuando no se pueda aceptar la simetría, se debe introducir un tercer parámetro que cuantifique la asimetría, como por ejemplo la curtosis. En un caso así también puede utilizarse la semivarianza, que se fundamenta en el hecho de que son deseables las desviaciones positivas respecto a la media, y, en consecuencia, resultan no deseables sólo aquellas desviaciones que sean negativas; es decir, el riesgo no es desviarse en más o en menos, sino sólo desviarse en menos. ~

Si definimos la semivarianza de la v.a. CF S como:

~

SV –s = SV – [ CF s ] =

N

~

∑ ( C F sj – E [ CF sj ] )

2

⋅ P sj

j=i

~

CF sj < E [ CF s ]

entonces el cash-flow será tanto menos arriesgado cuanto menor sea la SVS. Utilizando el estadístico SV –, la asimetría se cuantifica mediante la expresión: A = + 2 SV – – σ y si: A = 0 → simetría A > 0 → sesgo hacia la izquierda A < 0 → sesgo hacia la derecha Sin embargo, quien siga este curso no se debe preocupar, porque, dado su carácter básico, sólo utilizaremos el estadístico desviación estándar como único parámetro medidor del riesgo. Es decir, aceptamos que la distribución es simétrica.

2) Será necesario utilizar las propiedades de la distribución normal para obtener, según el modelo VAN, la probabilidad:

P [VAN < 0]

y esto exigirá:

a) precisar si los cash-flows son estadísticamente independientes entre sí, o bien si hay correlación entre ellos (de modo que deberían obtenerse los coeficientes de correlación necesarios);

b) determinar la tasa de descuento que habrá que emplear.

Las inversiones en ambiente de riesgo

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3) El criterio de decisión consistirá en aceptar el proyecto si la mencionada probabilidad es lo suficientemente pequeña; es decir, si no sobrepasa un determinado valor preestablecido.

De lo que hemos dicho hasta aquí se desprende que el especialista en finanzas tendrá que recurrir a la estadística para poder pronunciarse sobre la posible conveniencia de un proyecto de inversión.

3.2. Análisis de una inversión arriesgada cuando se admite el modelo del valor actual neto

Si aceptamos que pueda hablarse de la distribución probabilística de la ~

v.a. VAN, el problema que se plantea consiste en estimar (si la distribución lo permite): ~

• esperanza del VAN;

Cuando hablamos ~ de la v.a. VAN... ... nos referimos a situaciones de incertidumbre tratables probabilísticamente, es decir, aceptando que hay que establecer probabilidades cuasiobjetivas.

~

• varianza del VAN.

El problema es muy complejo y ha suscitado la atención de los teóricos y de los prácticos, que han buscado procedimientos de estimación de las distribuciones de probabilidad de todos los factores que influyen sobre el VAN.

Se comprende que, por la propia naturaleza del dinero, colocarlo en un proyecto dé resultados inciertos; sin embargo, todavía hay que considerar la inseguridad del ambiente económico, tan crecida actualmente (obsolescencia tecnológica, aparición de nuevos competidores, eliminación de fronteras por el desplazamiento de capitales, cambios en los tipos de interés, etc.). Esto provoca que la incertidumbre sea enorme, es decir, hace que la negatividad del VAN que finalmente proporcione la inversión sea una posibilidad digna de consideración y temida.

Ante esta situación, sólo deberíamos hablar de las inversiones en ambiente de incertidumbre; a pesar de ello, hay técnicas o procedimientos de obtención de distribuciones de probabilidad cuasiobjetivas diseñadas para facilitar la decisión de aceptación o rechazo de las inversiones inciertas.

Con la pretensión de dar una visión de conjunto sobre estas técnicas, expondremos un cuadro sinóptico que reunirá los casos más frecuentes:

Cronológicamente... ... el intento de análisis de las inversiones inciertas ha empezado con el recurso de utilizar probabilidades cuasiobjetivas. Después se han elaborado instrumentos que tratan de forma directa las inversiones inciertas, como por ejemplo la teoría de subconjuntos borrosos. Sin embargo, la cuestión no ha aportado todavía procedimientos lo suficientemente satisfactorios.

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4. Esquema de análisis de un proyecto cuando los cash-flows siguen distribuciones discretas conocidas

Sea el proyecto:

~

~

en el cual las distribuciones de CF0 y de los CFS (s = 1, 2, ..., n) se admite que son discretas y conocidas. El esquema de trabajo para la obtención de la v.a. ~

VAN será el que se describe mediante el cuadro siguiente:

La técnica estadística que debe emplearse varía en función del tipo de dependencia estadística que hay entre los cash-flows, y puede ser: 1) Independencia estadística • Número reducido de cash-flows.

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Las inversiones en ambiente de riesgo

Un ejemplo numérico mostrará cómo hay que proceder cuando el número de cash-flows es pequeño y se admite independencia estadística entre los dos cash-flows. Ejemplo numérico Dada la inversión: ~

CF1 Valores

Probabilidades

100

0,30

110

0,40

120

0,30

~

Encontrad la esperanza y la desviación típica de la v.a. VAN, sabiendo que se utiliza una tasa de descuento del 9% anual. ~

Año 0

VAN

Año 1

100 –90

110 120

VAN

P (VAN)

– 90 + 100 ⋅ ( 1,09 )

– 1

= 1,74

0,30

– 90 + 110 ⋅ ( 1,09 )

– 1

= 10,91

0,40

– 90 + 120 ⋅ ( 1,09 )

– 1

= 20,09

0,30

2) Dependencia estadística La cuestión se complica cuando no se puede admitir la independencia estadística de los cash-flows. Un procedimiento que puede seguirse es el que se muestra a continuación:

~

~

VAN = – C F 0 +

n

~

∑ CFs ⋅ ( 1 + R )

–s

⇒

s=1

VAN = – CF 0 +

n

∑ CFs ⋅ ( 1 + R )

s=1

–s

Para perfeccionar la técnica indicada, que se denomina convolución estadística, se recomienda estudiar detenidamente las actividades 10 y 11.

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Las inversiones en ambiente de riesgo

a) Si los coeficientes de correlación son todos iguales a + 0:

( ρ 12 , …, ρ 1n ; ρ 23 , …, ρ 2n ; …; ρ n – 1n ) = 0

entonces: ~

2

n

2

σ [ VAN ] = σ 0 +

∑ σs

2

⋅ (1 + R)

– 2⋅s

=

Consultad la actividad 12, apartado c.

s=1 n

=

∑ σs

2

⋅ (1 + R)

– 2⋅s

s=0

b) En el caso más general, con un valor cualquiera para los coeficientes de correlación, tendremos:

2

n

~

σ [ VAN ] =

n

∑ ∑ σst ⋅ ( 1 + R )

... de la propiedad 2 2 2 σ [ X˜ , Y˜ ] = σ [ X˜ ] + σ [ Y˜ ] + ˜ ˜ + 2 cov [ X + Y ] siendo X˜ , Y˜ dependientes estadísticamente.

– (s + t)

s = 0t = 0

• Número elevado de cash-flows.

En este caso, la aplicación de la técnica que hemos expuesto resulta poco convincente, ya que la gran cantidad de información necesaria para obtener las distribuciones de los cash-flows individuales dificulta y encarece la búsqueda ~

Los resultados b surgen...

~

de las E[CFS] = CFS y de sus desviaciones, necesarias para aplicar posteriormen~

te las mencionadas fórmulas y conseguir los valores de las E[VAN] y de sus desviaciones.

En resumen, para un n elevado, los procedimientos explicados (la convolución o la utilización de fórmulas) no resultan de cómoda aplicación. ¿Cómo hay que proceder en este caso?

Una forma aproximada de salir del paso es preguntar a la Dirección cuáles cree que serían los cash-flow esperados y su dispersión, y a continuación utilizar el

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denominado teorema central del límite, que en los manuales de estadística se enuncia de la manera siguiente:

Teorema central del límite ˜ 1, X ˜ 2, ..., X ˜ n independientes entre sí, y todas con igual Dadas las v.a. X ˜ ]= X ˜ j y σ2( X ˜ ) = σ2 , endistribución (por ejemplo, normal), con E[ X j j j tonces, cuando n → ∞, la v.a. Y =

n

˜

∑ X j tiende a:

j=1

2 N ( Y˜ ; σ Y ), con:

   j=1  j = 1, 2, …, n n 2 2 σ Y˜ = ∑ σj   j=1 Y˜ =

n

∑ Xj

Esto nos lleva a utilizar variables con distribuciones continuas, cuestión que veremos a continuación. Antes, sin embargo, sería interesante leer las actividades 13 y 14.

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5. Análisis de un proyecto cuando la distribución ~ de la v.a. VAN es conocida y continua

~

Cuando la distribución de la v.a. VAN es normal, las propiedades de la mencionada distribución (que ya se han estudiado en la asignatura de Estadística) permiten la obtención de la probabilidad correspondiente si sabemos el valor del VAN que pertenece a un intervalo determinado:

La forma correcta de proceder se puede ver en la actividad 11.

¿Qué hay que hacer cuando la distribución continua no es normal? También en este caso es necesario establecer una buena información estadística mediante la utilización de un resultado estadístico denominado desigualdad de Txebitxev. Esta desigualdad, aplicada a nuestro caso, puede expresarse como: 1P [ VAN – VAN ≥ k ⋅ σ ] ≤ ---2 k es decir, 1P [ VAN – k ⋅ σ ≤ VAN ≤ VAN + k ⋅ σ ] ≤ ---2 k

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y esto significa que:

Damos esta nota a modo complementario, pero no es relevante para el curso.

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6. Análisis de un proyecto en caso de distribución normal desconocida

~

Cuando se cree que la distribución de la v.a. VAN será normal, pero se desconocen sus parámetros, nos encontramos ante un caso típico en la gran empresa, ya que resulta mucho más cómodo intentar especificar directamente la esperanza y la varianza de esta v.a. en lugar de calcular estos estadísticos después de haber especificado cada uno de los cash-flows. El procedimiento es válido cuando los cash-flows son independientes estadísticamente entre sí.

Una forma habitual de proceder de los analistas financieros en esta situación es:

1) Preguntar a la Dirección cuáles son sus estimaciones más pesimistas y más optimistas para el VAN.

2) Si los elementos de juicio permiten aceptar la normalidad estadística de la v.a. VAN, entonces señalar un intervalo de confianza razonable para el intervalo indicado en 1.

3) Con la información 1 y 2, calcular la esperanza y la varianza del VAN de acuerdo con la pauta siguiente:

VAN pesimista + VAN optimista VAN = -----------------------------------------------------------------------------------------2 ~

~

VAN ∼ N ( VAN; σ [ VAN ] )

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P [ VAN pesimista ≤ VAN ≤ VAN optimista ] = 0,95 Tipificado P [ z pesimista ≤ z ≤ z optimista ] = 0,95

t z = 1,96

~

Obtención de σ[VAN]

La actividad 13 enseñará la aplicación práctica de este esquema. En la actividad 14 se sigue la vía de especificación de los cash-flows, pero se aplica el teorema central del límite. Es evidente que cuando esta especificación no sea posible (es decir, excesivamente cara), será necesario recurrir a la técnica mostrada en la actividad 13.

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7. Método de Hillier

Cuando la distribución de los cash-flows es desconocida y se supone dependencia estadística entre ellos (que es lo más habitual en la práctica), entonces los diferentes coeficientes de correlación serán, como es obvio, desconocidos.

¿Cómo debemos proceder para conseguir estudiar la posible conveniencia del proyecto inversor?

Basándose en el teorema central del límite, F.S. Hillier se las ingenió para superar la principal dificultad que presupone este teorema (ya que obliga a que haya independencia estadística de las v.a.). La solución es relativamente reciente, porque se publicó en unos trabajos de 1963 y 1969.

La aplicación de este método mejora lo que establecimos en el apartado precedente, basado en la horquilla definida entre el VAN más pesimista y el más optimista, ya que en muchos casos puede resultar acertado, pero en otros introduce una subjetividad excesiva.

Hillier tiene el mérito de haber tratado rigurosamente por primera vez la cuestión de las inversiones arriesgadas. A partir de él, la teoría de las inversiones arriesgadas ha adquirido una nueva textura.

La idea clave de su método es la siguiente:

Los sucesivos cash-flows están parcialmente correlacionados entre sí, en el sentido de que una parte de cada uno se puede considerar independiente estadísticamente de los demás, pero habrá otra parte que sí estará perfectamente correlacionada con los restantes.

Es decir, dada la inversión

F.S. Hillier desarrolló... ... su importante método en dos trabajos: • “The derivation of probabilistic information for the evaluation of risky investments”. Management Science (abril de 1963, pág. 443-457). • 1969. The evaluation of risky interrelated investments. Nueva York: Elsevier.

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podremos hacer la descomposición siguiente:

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

CF 0 = CFI 0 + CFD 0 (1 ) + CFD 0 ( 2 ) + … + CFD 0 ( m)

CF 1 = CFI 1 + CFD 1 (1 ) + CFD 1 ( 2 ) + … + CFD 1 ( m)

… ~

~

CF n = CFI n + CFD n ( 1 ) + CFD n ( 2 ) + … + CFD n ( m) donde:

I significa ‘independiente estadísticamente’ D significa ‘dependiente estadísticamente’ m significa ‘número de elementos de dependencia estadística’

Por lo tanto, tendremos:

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Si consideramos ahora esta inversión por filas, se obtendrá:

Esta descomposición en filas se ha hecho de modo que cada una de ellas sea independiente estadísticamente de las demás. Es decir, ~

~

cov ( CFI j , CFI k ) = 0 con j k = 0, 1, 2, …, n j≠k ~

~

~

~

cov ( CFD j ( r ) , CFD k ( s ) ) = σ [ CFD j ( r ) ] ⋅ σ [ CFD j ( s ) ] r≠s P rs = 1 ~

~

cov ( CFD j ( r ) , CFD k ( s ) ) = 0 r≠s En estas condiciones, podemos escribir que siendo

~

VAN =

n

∑ CFs ⋅ ( 1 + R )

–s

s=0

~

entonces, siguiendo la “lógica de las filas”: CFD s ( 1 )

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n

~

VAN =

n

~

∑ CFIs ⋅ ( 1 + R )

– s

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~

∑ CFDs ( 1 ) ⋅ ( 1 + R )

+

–s

+

s=0

suma de v.a. independientes entre sí

          

            

s=0

            

suma de v.a. perfectamente correlacionadas entre sí + …+

n

~

∑ CFD s ( m) ⋅ ( 1 + R )

–s

s=0

~

De aquí, podemos encontrar la esperanza del VAN; además, las propiedades del operador estadístico varianza nos permiten concluir que, trabajando siempre por filas: 2

~

σ [ VAN ] =

n

∑σ

2

~

[ CFI s ] ⋅ ( 1 + R )

– 2⋅s

+

s=0 n

2

~ – s +  ∑ σ [ CFD s ( 1 ) ⋅ ( 1 + R )  + s=0 

+…+ n

~ –s +  ∑ σ [ CFD s ( m ) ⋅ ( 1 + R )  s=0 

2

Tenemos, entonces, ~

~

VAN ∼ N ( VAN; σ [ VAN ] )

y con esto lo que ya se puede operar de la forma indicada en la actividad 13. Si queréis ver cómo proceder en la práctica, seguid atentamente la actividad 15; la idea motriz es fácil de llevar a cabo en la práctica: VAN = VAN [ fila 0 ] + VAN [ fila 1 ] + … + VAN [ fila m ] 2

~

2

2

2

σ [ VAN ] = σ [ fila 0 ] + σ [ fila 1 ] + … + σ [ fila m ] Además, aplicad las propiedades ya conocidas de los operadores esperanza y ~

varianza a la v.a. VAN.

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8. Método de Hertz

8.1. Concepto de simulación de Montecarlo En las palabras de uno de los grandes científicos del siglo, Shanon, la simulación “es un proceso para diseñar un modelo, a partir de un sistema real, y experimentar con el mismo para aprender el comportamiento del sistema y/o evaluar estrategias para explotar su funcionamiento”.

Una idea clave es la de experimentar con el sistema. Una vez estudiada la realidad y construido un modelo de comportamiento, se debe experimentar y aprender con este modelo; es necesario colocarlo ante situaciones concretas para ver cómo responde, para contrastarlo con la realidad, para mejorarlo y, finalmente (en realidad, no finalmente, ya que hay un bucle o feed-back), para influir sobre la misma realidad. La simulación tiene un gran uso en muchos campos distintos de la técnica (por ejemplo, en el simulador de vuelo) y de la economía y las finanzas. Lo característico es una realidad sumamente compleja y cambiante, que hace difícil, si no imposible, su captación mediante un modelo matemático o estadístico tradicional. Sin embargo, incluso cuando el modelo matemático o estadístico pudiera construirse, la obtención de una solución analítica para él no sería posible. Ésta es la razón por la cual se debe experimentar. En resumen, simular significa, en último término, experimentar. La idea básica subyacente a la simulación es muy simple: en lugar de ensimismarse en la formulación de un modelo analítico, se elabora un fenómeno aleatorio y artificial mediante un determinado procedimiento organizado. Naturalmente, se pretende que el fenómeno aleatorio artificial pueda reproducir de forma tan fiel como sea posible la aleatoriedad de un sistema real que interesa estudiar y controlar. Sólo de este modo el fenómeno aleatorio artificial nos servirá para simular el comportamiento del sistema real. El procedimiento más importante de generación aleatoria artificial es el de Montecarlo, cuyo origen se remonta a 1949, año en el que apareció un famoso artículo, “The Monte Carlo method”, escrito por dos grandes matemáticos, Von Neumann y Ulam. El método descrito tomó el nombre de la célebre población del Principado de Mónaco, cuyo casino tiene una ruleta que no es más que un aparato que permite generar variables aleatorias. Posteriormente, se han ido encontrando varios métodos e instrumentos capaces y distintas variables aleatorias, de modo que en la actualidad el método de Montecarlo tiene muy poco que ver, si no es por su origen, con la ruleta.

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Por este motivo, hoy se entiende por método de Montecarlo toda la amplia gama de procedimientos que permiten simular un proceso cualquiera, cuya evolución depende de elementos de carácter aleatorio.

8.2. Aplicación de la simulación de Montecarlo al análisis de las inversiones: método de Hertz En su aplicación al estudio de las inversiones, el método de simulación de Montecarlo prueba (ensaya, testa, experimenta) los resultados de una decisión de inversión antes de tomarla. La prueba, test, ensayo o experiencia se fundamentan sobre un modelo que funciona con información de naturaleza aleatoria. Pongamos un ejemplo que permita adquirir una idea de cómo opera el método. Sea la inversión

~

Admitamos que el desembolso inicial, CF0, es una v.a. que depende de tres su~

cesos (S1, S2, S3), y que el cash-flow CF1 depende de los sucesos (S’1, S’2, S’3, S’4). Se toma un generador de variables aleatorias que, suponemos, proporcione aleatoriamente, cada vez que se haga funcionar, una cifra de entre las del conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ~

• Para CF0 – si salen 0, 1 o 2, se dice que sucede S1, que tendrá una probabilidad de 3/10; esto supondría una inversión inicial de 100 u.m.; – si salen 3, 4, 5, 6 o 7, se dice que sucede S2, que tendrá una probabilidad de 5/10; esto supondría una inversión inicial de 75 u.m.; – si salen 8 o 9, se dice que sucede S3, que tendrá una probabilidad de 2/10; esto supondría una inversión inicial de 50 u.m. ~

• Para CF1 – si salen 0 o 1, se dice que sucede S’1, que tendrá una probabilidad de 2/10; esto supondría un cash-flow de –50 u.m.; – si salen 2, 3 o 4, se dice que sucede S’2, que tendrá una probabilidad de 3/10; esto supondría un cash-flow de 50 u.m.;

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– si salen 5, 6, 7 u 8, se dice que sucede S’3, que tendrá una probabilidad de 4/10; esto supondría un cash-flow de 120 u.m.; – si sale el 9, se dice que sucede S’4, que tendrá una probabilidad de 1/10; esto supondría un cash-flow de 200 u.m. (Se supone que todos los valores de CF0 y CF1 surgen del estudio de la inversión real.) Se hace ahora un experimento con el generador, y suponemos que salen los sucesos S2 y S’3. Año

Suceso

Probabilidad

Cash-flow

0

S2

0,5

–75

–1

S’3

0,4

120

A continuación se van realizando experimentos que irán proporcionando sucesivos valores de VAN, como también las probabilidades correspondientes; el conjunto de experimentos irá configurando, entonces, una distribución de probabilidad para el VAN. El número de experimentos que se realice debe ser lo suficientemente elevado como para tener la razonable convicción de que la distribución obtenida capta lo esencial del fenómeno aleatorio real de la inversión. El primero que desarrolló este procedimiento de análisis de inversiones fue D.B. Hertz. En este trabajo, Hertz considera las variables siguientes, que están sujetas a aleatoriedad: 1) Factores relacionados con el mercado que influyen sobre la cifra de ventas anual: a) Tamaño del mercado. b) Precio de venta del producto. c) Tasa de crecimiento del mercado. d) Cuota de mercado capturada por la firma. 2) Factores relacionados con la inversión: a) Desembolsos exigidos por la inversión.

Hertz publicó... ... “Rysk analysis in capital investment”, Harvard Business Review (1964, pág. 95-106); más tarde, en la misma revista, publicó “Investment Policies that Pay Off” (febrero de 1968, pág. 96-108).

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b) Vida útil de la inversión. c) Valor residual de la inversión. 3) Factores relacionados con los costes de la inversión: a) Variables que afectan al coste operativo unitario. b) Costes fijos. Para cada una de estas variables, la Dirección de inversiones establece el conjunto de valores posibles, que dependerán de determinados sucesos (de una forma similar a como se han descrito los sucesos S y S’ anteriormente). A continuación, se utiliza un generador aleatorio y se van realizando experimentos para cada variable hasta configurar la distribución de probabilidad que se le pueda asociar. De forma resumida, el método de Hertz se puede representar de la forma siguiente:

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Sin necesidad de entrar en grandes detalles, diremos que para implantar el método es necesario disponer de: • un computador; • un generador de números aleatorios (software); • un modelo matemático de lo que deseemos simular (en nuestro caso, el modelo es la fórmula del VAN). Indicaremos, también, que hay lenguajes desarrollados para facilitar el trabajo de simulación (GPSS, Simscript, Dynamo, etc.). En lo que respecta a la tasa de descuento que hay que aplicar, se suele recomendar la utilización de la tasa libre de riesgo, teniendo en cuenta que la misma distribución simulada revela ya el riesgo del proyecto (se evita, de este modo, el doble recuento del riesgo); sin embargo, a causa de problemas en la interpretación y la relación de proyectos entre sí, se utiliza con frecuencia el coste de capital (concepto que se verá en la asignatura Dirección financiera II).

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9. Una breve incursión en el caso de proyectos de inversión combinables entre sí (cartera de inversiones). El modelo esperanza-varianza

Hasta aquí hemos estudiado inversiones mutuamente excluyentes; es decir, ante un conjunto de proyectos alternativos, el decisor debe inclinarse por uno solo, ya que por su naturaleza no es posible hacer una combinación entre todos o entre una parte. De este modo, se constituye un nuevo proyecto que, al mismo tiempo, debería estudiarse.

A pesar de ello, en la realidad sí que es posible hacer esta combinación, lo cual da lugar a una cartera de inversiones (portfolio). Naturalmente, la cartera, para poder ser estudiada, requerirá una información amplia respecto a las características individuales de cada inversión aislada, pero también de las correlaciones estadísticas que puedan darse entre ellas.

El campo de lo que se denomina teoría de la cartera es hoy día muy extenso y nace gracias a la inicial aportación del norteamericano Markowitz (Premio Nobel de Economía), rápidamente secundada y ampliada por otros autores, como Sharpe (también Premio Nobel de Economía), Lintner, etc.

Aunque no es el único modelo posible, el que utiliza Markowitz es el más importante, y se denomina modelo E-V o modelo esperanza-varianza (del que ya

Harry Markowitz

hemos dado una breve reseña en un apartado anterior). Este modelo parte de las distribuciones de probabilidad de la rentabilidad de cada proyecto (en lugar de la distribución del VAN), que supone normales y, por lo tanto, representables mediante dos momentos: el de primer orden o esperanza matemática, y el de segundo orden o varianza.

Pueden presentarse distintos casos que, para describirlos, se deben anotar de la forma siguiente:

E = Esperanza de rentabilidad σ = Desviación típica

En el gráfico de la página siguiente, el caso 1 no ofrece dificultad y, obviamente, no se elegirá la inversión 2. Sólo se seleccionará la inversión 1, ya que, puesto que las dos proporcionan la misma rentabilidad esperada, la primera es

William Sharpe

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menos arriesgada que la segunda.

Tampoco ofrece ninguna dificultad el caso 2, ya que, puesto que las dos presentan el mismo nivel de riesgo, sería lógico destinar todos los fondos disponibles a la segunda inversión, mucho más rentable que la primera. El caso 3 es, asimismo, de solución simple: se rechaza la intervención en la primera inversión porque proporciona menos rentabilidad y ofrece más riesgo que la segunda. El único caso que queda por considerar –y que es objeto de estudio de la teoría de la cartera– es el número 4: de entrada no se puede afirmar, basándose en razones objetivas inherentes a las mismas inversiones, que una sea preferible a la otra. Es aquí donde se hace posible la combinación de las dos (la formación de una cartera con las dos inversiones; y si las alternativas fuesen n, habría una cartera de n inversiones, como por ejemplo un fondo de inversión). En esta combinación tiene un papel determinante el coeficiente de correlación que hay entre las dos v.a. (“rentabilidad de la primera inversión” y “rentabilidad de la segunda inversión”). Por último, acabamos este módulo, y esta asignatura, indicando al estudiante que si sus inclinaciones lo conducen al campo de las finanzas, tendrá que profundizar bastante en algunas de las cuestiones de la teoría de la cartera. Creemos que no conviene sobrecargar el presente curso y, por ello, nos conformamos con la pequeña introducción que se acaba de efectuar.

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Resumen

Este módulo es una continuación del módulo “Elección de inversiones en ambiente de certidumbre” en lo que respecta al tratamiento y la presentación de los instrumentos básicos para el análisis de las operaciones financieras. Sin embargo, es completamente diferente con respecto al tipo de inversiones que trata. Aquí se ha presentado el estudio de las inversiones en uno de sus contextos más habituales, el de la incertidumbre. Ha sido necesario, por lo tanto, introducir el concepto de riesgo y ver cómo este concepto puede tratarse en relación con la falta de certidumbre en el origen de los fondos, los flujos que se deben considerar durante la inversión y los diferentes resultados (ganancias o pérdidas) que puede generar la inversión. Además de los fundamentos teóricos de una serie de criterios y métodos para el tratamiento de la incertidumbre, se han desarrollado casos prácticos surgidos de la realidad más cercana a las empresas de nuestro entorno, con el fin de asegurar la correcta aplicación de todo lo que se ha estudiado.

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Actividades 1. La sociedad CREHENSA considera la posibilidad de intervenir en un proyecto inversor, razón por la cual ha establecido las estimaciones siguientes:

• Se pide: Efectuar el análisis de sensibilidad. • Resolución: VAN = – 7 .360 + ( 6.400 – 2.880 ) ⋅ ( 1,10 ) + ( 7.680 – 3.520 ) ⋅ ( 1,10 )

– 2

+

+ ( 5.120 – 2.560 ) ⋅ ( 1,10 )

– 3

⇒

– 1

+

VAN = 1.200 > 0 ⇒ inversión aceptable en principio a) Variable desembolso inicial: – x + 3.520 ⋅ ( 1,10 )

– 1

+ 4.160 ⋅ ( 1,10 )

– 2

+ 2.560 ⋅ ( 1,10 )

– 3

=0

x = 8.560 Desembolso inicial ∈ [7.360; 8.560] b) Variable vida del proyecto: Aquí, el procedimiento de cálculo debe variar respecto a lo que se ha indicado en el ejemplo del subapartado 2.1, ya que no se debe aplicar la fórmula del valor actual de una renta. Una fórmula aproximada de actuación consiste en proceder con interpolación lineal: 3 años → VAN (3 años) = 1.200 2 años → VAN (2 años) = –723 (el cálculo se ha hecho con los cash-flows de los dos primeros años) reducción de 1 año- = reducción de 1.923 en el VAN⇒ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------reducción de z años reducción de 1.200 en el VAN 1.200 z = --------------- = 0,62 = reducción de años que haría que el VAN fuese = 0 1.923 ⇒ x = 3 – z ⇒ x = 2,38 años c) Variable ingresos: Si nos inspiramos en el ejemplo enunciado antes, veremos que allí lo que se hizo fue admitir una caída lineal de los ingresos (la misma cantidad para cada uno de ellos). Ahora actuaremos de una forma análoga: – Caída de ingresos del 5%, de forma que los nuevos ingresos serían, expresados como capitales financieros: (6.080; 1) (7.296; 2) (4.864; 3) El VAN, en este caso, sería = 400 > 0

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Las inversiones en ambiente de riesgo

– Caída de ingresos del 10%, de modo que los nuevos ingresos serían, expresados como capitales financieros: (5.760; 1) (6.912; 2) (4.608; 3) El VAN, en este caso, sería = – 400 < 0 Por lo tanto: – Si los ingresos caen un 5%, el VAN cae 800 ( = 1.200 – 400) – Si los ingresos caen un 10%, el VAN cae 1.600 ( = 1.200 + 400) Por consiguiente (con una simple proporción), cuando los ingresos caen un 7,5%, el VAN cae 1.200, es decir, queda a cero. Ingresos ∈ [intervalo de amplitud 7,5% respecto a cada uno de éstos] Observamos que deberíamos detallar más el análisis de la sensibilidad refiriéndolo a cada uno de los ingresos de forma separada; deberíamos estudiar el primero mientras dejamos constantes los otros dos, después, proceder del mismo modo con el segundo y, a continuación, con el tercero. d) Variable gastos: Si procedemos del mismo modo, resulta que: – Si los costes aumentan un 5%, VAN = 828,8 – Si los costes aumentan un 10%, VAN = 454,4 La interpolación correspondiente ofrece un 115% de margen hasta que el VAN se anule. e) Variable tasa de descuento: – 7.360 + 3.520 ⋅ ( 1 + x )

– 1

+ 4.160 ⋅ ( 1 + x )

– 2

+ 2.560 ⋅ ( 1 + x )

– 3

=0

x = 19,5% f) Tabla de sensibilidades: Tabla de sensibilidades Estimación inicial

Valor límite

Margen de variación

Amplitud de la variación posible (%)

Desembolso inicial

7.360

8.560

1.200

+16,30%

Vida del proyecto

3

2,38

–0,62

–20,67%

Variable

Cifra de ingresos

–7,5%

Cifra de gastos

+16%

Tasa de descuento (%)

10%

19,5%

9,5%

+95%

Variable clave: las cifras de ingresos anuales. 2. La firma ASIMISMO ha preparado las previsiones de cash-flows para un nuevo producto que suponga un desembolso inicial de 2.000.000 u.m. y tenga una vida útil de cuatro años. En la tasa de descuento del 10%, el VAN es igual a 409.200 u.m., según se muestra en el estado financiero en el que se plasman estas previsiones: • Precio unitario de venta

+

200

• Materia prima por unidad de producto

–

60

• Mano de obra por unidad de producto

–

50

• Costes variables unitarios

–

10

• Margen unitario antes de la deducción de costes de estructura

+

80 continúa

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Las inversiones en ambiente de riesgo

• Ventas anuales (número de unidades)

12.000

• Ventas anuales, netas de costes excepto los de estructura

+

• Costes fijos anuales

–

960.000 200.000

• Cash-flow anual

+

760.000

• Valor actual de una renta al 10% de 4 plazos de 760.000 cada uno

+

• Desembolso inicial

–

2.409.200 2.000.000

• VAN del proyecto

+

• Tasa de descuento • Vida del proyecto

409.200 10% 4 años

• Se pide: Determinar los factores críticos en la decisión de aceptación del proyecto de entre los señalados con un asterisco. • Resolución: a) Precio unitario de venta*: [ ( x – 120 ) ⋅ 12.000 – 200.000 ] ⋅ a 4 0,10 = 2.000.000 2.000.000 ---------------------------- + 200.000 3,17 x = -------------------------------------------------------- + 120 = 189,24 = [ 189,24; 200 ] 12.000 b) Costes variables unitarios*: [ ( 200 – 60 – 50 – x ) ⋅ 12.000 – 200.000 ] ⋅ a 4 0,10 = 2.000.000 x = 20,7 ⇒ [ 10; 20,7 ] o sea: 20,7 ------------ ⋅ 100 = 17,25% (costes unitarios de no-estructura) 120 20,7 ------------ ⋅ 100 = 10,35% (respecto al precio unitario de venta) 200 c) Ventas anuales* (número de unidades): Número de unidades vendidas

Ver = ( 80x – 200.000 ) ⋅ a 4 0,10 = 2.000.000

Margen 2.000.000 1 x = ---------------------------- + 200.000 ⋅ ------ = 10.386 unidades ⇒ 830.880 u.m. 3,17 80 ⇒ [ 10.386; 12.000 unidades de producción ] o [ 830.880; 96.000 u.m. ] d) Cash-flow anual neto*: – 2.000 .000 + x ⋅ a 4 0,10 = 0 2.000.000 x = ---------------------------- = 630.915 u.m. ⇒ [ 630.915; 760.000 ] 3,17 Costes fijos: – 2.000.000 ( 960.000 – x ) a 4 0,10 = 2.000.000; x = --------------------------------- + 960.000 = 329.085 3,17 [ 200.000; 329.085 ] ⇒ 64,58%

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e) Desembolso inicial*:

– x + 760.000 ⋅ a 4 0,10 = 0 ( a 4 0,10 = 3,17 ) x = 2.409.200 ⇒ [ 2.000.000; 2.409.200 ] f) Tasa de descuento*: – 2.000.000 + 760.000 a 4 x = 0 a 4 x = 2,63 → x = 19% [ 10%; 19% ] g) Vida del proyecto*:

3 años: – 2.000.000 + 760.000 ⋅ a 3 0,10 = – 109.992  ⇒ 4 años: – 2.000.000 + 760.000 ⋅ a 4 0,10 = 409.200  519.192 1 año 109.992 ⇒ ---------------------- = --------------- ; x = ---------------------- = 0,21 años ⇒ 3,2 años ⇒ ( 3,2; 4 ) 109.992 x 519.192

Las inversiones en ambiente de riesgo

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Las inversiones en ambiente de riesgo

Tabla de sensibilidades Variable clave

Estimación original

Valor límite

Cambio máximo

% cambio

Desembolso

2.000.000

2.409.200

409.200

+ 20,46%

Cash-flow

760.000

630.915

–129.085

– 17%

Costes fijos

200.000

329.085

129.085

+ 64,54%

Ventas anuales

960.000

830.880

– 129.120

– 13,45%

10

20,7

10,7

Costes variables respecto al precio unitario de venta

+ 5,4% respecto al precio unitario de venta

Tasa de descuento

10%

19%

9%

+ 90%

Vida del proyecto

4

3,2

0,8

– 20%

200

189,24

11

– 5,5%

Precio unitario de venta

Los factores más críticos (o sea, aquellos con menor porcentaje de cambio prescindiendo del signo) son: el precio unitario de venta* (5,4%); los costes variables* (5,4%). 3. La empresa Química Mallorquina S.A. está considerando la producción de una nueva clase de material de poco peso y elevada resistencia, muy utilizado por la industria aeronáutica. Se cree que el comportamiento del producto será similar al de los materiales introducidos hace poco tiempo por dos compañías de Estados Unidos, y que son importados por España. El precio es de 35 $/kg, y admitimos que se mantendrá constante hasta que se desarrollen productos de tecnología superior. Los costes de transporte añaden 5 $ al precio de fabricación; de este modo, el precio total dentro de España una vez importado sería de 40 $/kg. La demanda actual en España es de 250.000 kg/año. Química Mallorquina ha llevado a cabo un estudio de desarrollo del producto, que ofrece las conclusiones siguientes: 1) gastaría 3.000 millones de euros, valorados al final del primer año, para construir una planta con capacidad para producir 1.000.000 kg/año; 2) cuando acabe el proyecto, no habrá valor residual; 3) los costes de producción se estiman en 1.500 pts./kg. La empresa confía en conquistar completamente el mercado español si consigue rebajar el precio a 38 $/kg. Asimismo, considera que el exceso de producción se exportará a Estados Unidos, con el mismo precio vigente ahora en aquel país (35 $) menos 5$ en fletes. Química Mallorquina requiere una rentabilidad del 20% para el proyecto, y gracias al apoyo oficial para promocionar y fundamentar la producción de materiales estratégicos espera quedar exenta del impuesto de sociedades. El estudio del proyecto admite la existencia de cuatro variables clave: a) El tipo de cambio euro/$ que en el momento de la operación es de 100 euros, considerando que ésta será también la tasa media esperada a lo largo de la vida del proyecto; a pesar de ello, se cree que el tipo de cambio estará comprendido entre 90 y 150 euro/$. b) El crecimiento de la demanda doméstica, que se espera que aumente en 50.000 kg anuales, a lo largo de la vida del proyecto, si bien se opina que esta cifra podrá estar comprendida entre 40.000 y 80.000 kg/año. c) Eficiencia operativa de la planta: toda la producción se debe someter a normas internacionales de calidad, y la que no supere los tests se venderá a los constructores de barcos de ocio a 1.000 euro/kg; se espera que el 75% de la producción pase el control de calidad, cifra que se encuentra dentro del intervalo 60-80% que la experiencia da como habitual. d) Obsolescencia técnica: el proyecto acabará inmediatamente cuando se desarrolle un material mejor, y los técnicos consultados por la empresa confían en que esto no sucederá hasta dentro de 5 años. De todos modos, se admite un rango de valores de entre 3 y 7 años. • Se pide: 1) Obtener los cash-flows netos para cada uno de los 5 años de vida del proyecto y su VAN.

58

 FUOC • P01/71012/00193

2) Efectuar el análisis de sensibilidad para cada una de las variables clave (trabajando con las cifras esperadas, no con los intervalos). 3) Se decide que los intervalos de valores indicados en el estudio del proyecto y los intervalos a los que dé lugar el análisis de sensibilidad definirán el verdadero campo de valores en el que realmente estarán comprendidas las variables clave. En cada uno de estos campos: a) elegid cinco valores cualesquiera; b) en diagramas cartesianos, con la abscisa como variable clave y el VANE como ordenada, representad gráficamente los puntos elegidos. • Resolución: 1) Cash-flows anuales: Producción Eficiencia operativa Unidades aceptadas Unidades defectuosas Demanda doméstica (kg/año)

1.000.000 kg 0,75 750.000 kg 250.000 kg 250.000 + (n – 1) · 50.000 = = 200.000 + 50.000 · n = = 50.000 · (4 + n) ; n = 1, 2, 3, 4, 5

Valor de las ventas domésticas (euros/año): 6

50.000 ( 4 + n ) ⋅ 38 ⋅ 100 = 190 ⋅ 10 ⋅ ( 4 + n ) n = 1, 2, 3, 4, 5 Valor de las ventas en Estados Unidos, neto de fletes (euros/año): [ 750.000 – 50.000 ( 4 + n ) ] ⋅ 30 ⋅ 100 = = ( 550.000 – 50.000 ⋅ n ) ⋅ 3.000 = 6

= 150 ⋅ 10 ⋅ ( 11 – n ); n = 1, 2, 3, 4, 5 Valor de las rentas a los constructores de embarcaciones de ocio (euros/año): 250.000 ⋅ 1.000 = 250 ⋅ 10

6

Ingresos totales: 6

190 ⋅ 10 ( 4 + n )   6 6 150 ⋅ 10 ( 11 – n )  = 20 ⋅ 10 ( 133 + 2n )  6 250 ⋅ 10  Costes (euros/año): 1.000.000 · 1.500 = 1.500 · 106 Cash-flows netos (euros/año): 40 · 106 (29 + n); n = 1, 2, 3, 4, 5 VAN del proyecto:

1.200 + ------------------1.240 + ------------------1.280 + ------------------1.320 + ------------------1.360 = VAN = – 3.000 + --------------1,20 ( 1,20 ) 2 ( 1,20 ) 3 ( 1,20 ) 4 ( 1,20 ) 5 = – 3.000 + 1.000 + 861,11 + 740,74 + 630,57 + 546,55 ⇒ VAN = 785 M euros

Las inversiones en ambiente de riesgo

59

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

2) Análisis de sensibilidad: Variable cambio euro-dólar VANE ≈ 0 (unidades en miles) Ingresos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Grado de defecto

25%

25%

25%

25%

25%

Unidades defectuosas

250

250

250

250

250

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

Ingresos “D”

250

250

250

250

250

Demanda nacional

250

300

350

400

450

Incremento/año

50

–

–

–

–

Precio en $

38

–

–

–

–

Precio del $

76,5595

–

–

–

–

Ingresos “N”

727

873

1.018

1.164

1.305

Exportaciones

500

450

400

350

300

Precio neto en $

38

–

–

–

–

Precio del $

76,5595

–

–

–

–

Ingresos “E”

1.340

1.206

1.072

928

804

Total de ingresos

2.317

2.329

2.340

2.352

2.368

Gastos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Coste por unidad

1.300

–

–

–

–

Coste total

1.500

1.500

1.500

1.500

1.500

817

828

840

852

863

Precio de venta

Cash-flow neto Inversión Tasa de rentabilidad Actualización Flujos

3.000

–

–

–

–

20,00%

–

–

–

–

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

681

575

486

411

347

–

–

–

–

–

–

Inversiones

2.500

VAN

–0010

(millones)

Variable cambio euro-dólar VANE ≈ 0 (unidades en miles) Ingresos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Grado de defecto

25%

25%

25%

25%

25%

Unidades defectuosas

250

250

250

250

250

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

Ingresos “D”

250

250

250

250

250

Demanda nacional

250

300

350

400

450

Incremento/año

50

–

–

–

–

Precio en $

38

–

–

–

–

Precio del $

100,00

–

–

–

–

Ingresos “N”

950

1.140

1.330

1.520

1.710

Exportaciones

500

450

400

350

300

Precio neto en $

35

–

–

–

–

Precio del $

100,00

–

–

–

–

Ingresos “E”

1.750

1.725

1.400

1.225

1.050

Total de ingresos

2.950

2.965

2.980

2.995

3.010

Gastos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Precio de venta

Coste por unidad Coste total Cash-flow neto Inversión Tasa de rentabilidad

2.138,66

–

–

–

–

2.139

2.139

2.139

2.139

2.139

811

826

841

856

871

3.000

–

–

–

–

20,00%

–

–

–

– continúa

60

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

Variable cambio euro-dólar VANE ≈ 0 (unidades en miles) Actualización Flujos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

676

574

487

413

350

–

–

–

–

–

–

Inversiones

2.500

VAN

–005

(millones)

Variable incremento demanda doméstica VANE ≈ 0 (unidades en miles) Ingresos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Grado de defecto

25%

25%

25%

25%

25%

Unidades defectuosas

250

250

250

250

250

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

250

250

250

250

250

Demanda nacional

0

0

0

0

0

Incremento/año

0

–

–

–

–

Precio en $

38

–

–

–

–

Precio del $

100,0

–

–

–

–

Ingresos “N”

0

0

0

0

0

Exportaciones

750

750

750

750

750

Precio neto en $

35

–

–

–

–

Precio del $

100,00

–

–

–

–

Ingresos “E”

2.625

2.625

2.625

2.625

2.625

Total de ingresos

2.875

2.875

2.875

2.875

2.875

Gastos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Coste por unidad

1.500

–

–

–

–

Coste total

1.500

1.500

1.500

1.500

1.500

Cash-flow neto

1.375

1.375

1.375

1.375

1.375

Precio de venta Ingresos “D”

Inversión

3.000

–

–

–

–

20,00%

–

–

–

–

Actualización

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Flujos

1.146

955

796

663

553

Inversiones

2.500

–

–

–

–

–

–

Tasa de rentabilidad

VAN

1.612.092

(millones)

Variable incremento demanda doméstica (la hacemos constante) (unidades en miles) Ingresos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Grado de defecto

25%

25%

25%

25%

25%

Unidades defectuosas

250

250

250

250

250

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

Ingresos “D”

250

250

250

250

250

Demanda nacional

Precio de venta

250

250

250

250

250

Incremento/año

0

–

–

–

–

Precio en $

38

–

–

–

–

Precio del $

100,0

–

–

–

–

Ingresos “N”

950

950

950

950

950

Exportaciones

500

500

500

500

500

Precio neto en $

35

–

–

–

–

Precio del $

100,00

–

–

–

–

Ingresos “E”

1.750

1.750

1.750

1.750

1.750

Total de ingresos

2.950

2.950

2.950

2.950

2.950 continúa

61

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

Variable incremento demanda doméstica (la hacemos constante) (unidades en miles) Gastos

Año 1

Coste por unidad

1.500

–

–

–

–

Coste total

1.500

1.500

1.500

1.500

1.500

Cash-flow neto

1.450

1.450

1.450

1.450

1.450

Inversión

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

3.000

–

–

–

–

20,00%

–

–

–

–

Actualización

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Flujos

1.208

1.007

839

699

583

Inversiones

2.500

–

–

–

–

–

–

Tasa de rentabilidad

VAN

1.836.388

(millones)

Variable eficiencia operativa VANE ≈ 0 (unidades en miles) Ingresos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

50,5464%

50,5464%

50,5464%

50,5464%

50,5464%

505

505

505

505

505

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

Ingresos “D”

505

505

505

505

505

Demanda nacional

250

300

350

400

450

Incremento/año

50

–

–

–

–

Precio en $

38

–

–

–

–

Precio del $

100,00

–

–

–

–

Ingresos “N”

950

1.140

1.330

1.520

1.710

Exportaciones

245

195

145

95

43

Precio neto en $

35

–

–

–

–

Precio del $

100,00

–

–

–

–

Ingresos “E”

856

631

506

331

156

Total de ingresos

2.311

2.326

2.341

2.356

2.371

Gastos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Coste por unidad

1.500

–

–

–

–

Coste total

1.500

1.500

1.500

1.500

1.500

811

826

841

856

871

Grado de defecto Unidades defectuosas Precio de venta

Cash-flow neto Inversión Tasa de rentabilidad Actualización Flujos

3.000

–

–

–

–

20,00%

–

–

–

–

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

676

574

487

413

350

–

–

–

–

–

–

Inversiones

2.500

VAN

–0005

(millones)

 FUOC • P01/71012/00193

3) Intervalos de valores

62

Las inversiones en ambiente de riesgo

63

 FUOC • P01/71012/00193

4. Una compañía de alimentación industrial está considerando el proyecto de fabricación de una amasadera que cuesta 225.000 u.m. y que espera que produzca unos cash-flows de 110.000 u.m., 115.000 u.m., 120.000 u.m. y 100.000 u.m. al final, respectivamente, de cada uno de los cuatro años de vida de la inversión. La Dirección de la empresa opina que los cash-flows serán más arriesgados cuanto más lejanamente en el tiempo se reciban. • Se pide: Si admitimos que los coeficientes de equivalencia correspondientes a los mencionados cash-flows son 90%, 80%, 70% y 60%, respectivamente, y que se descuenta a una tasa libre de riesgo igual al 8%, encontrad el VAN del proyecto. • Resolución: VAN EC = – 225.000 + 110.000 ⋅ 0,90 ⋅ ( 1,08 ) – 2

+

+ 120.000 ⋅ 0,70 ⋅ ( 1,08 )

–3

+

+ 100.000 ⋅ 0,60 ⋅ ( 1,08 )

– 4

⇒

+ 115.000 ⋅ 0,80 ⋅ ( 1,08 )

VAN EC = 56.326 > 0

– 1

+

Las inversiones en ambiente de riesgo

64

 FUOC • P01/71012/00193

5. La empresa TRAGINERIUS utiliza, para sus inversiones corrientes, la tasa de descuento del 12% anual. Ahora está considerando llevar a cabo un proyecto inversor respecto al cual no tiene ninguna experiencia, y por ello desea aplicar una tasa de descuento del 20% que refleje, según la Dirección, el riesgo adicional. Las características de la inversión son las siguientes: Desembolso inicial Vida Valor esperado de cada uno de los cash-flows netos

750.000 u.m. 10 años 150.000 u.m.

Sabemos que la tasa de rentabilidad libre de riesgo es del 7%. • Se pide: Calcular los coeficientes de equivalencia cierta de modo que la aplicación del modelo del equivalente cierto y el de la tasa de descuento ajustada por riesgo den resultados coincidentes. También debéis escribir la relación funcional que enlaza los coeficientes de equivalencia cierta, la tasa libre de riesgo y la tasa de descuento que refleja el riesgo adicional del proyecto. • Resolución:

Es evidente que podríamos aplicar la fórmula teórica dada en el texto; a pesar de ello, actuaremos de otro modo para repasar así el razonamiento teórico.

Por lo tanto, el valor de las primeras 150.000 u.m. descontadas a una tasa que no refleja el riesgo es de 140.187 u.m.; si hacemos intervenir el riesgo, el valor será lógicamente menor: 125.000 u.m. La relación: 125.000 ---------------------- = 0,8917 140.187 es el coeficiente de equivalencia cierta ⇒ α1 = 0,89 La formalización del cálculo es: EC 1 ⋅ ( 1 + R 0 )

–1

= α 1 ⋅ 150.000 ⋅ ( 1 + R 0 )

–1

(j ) – 1

= 150.000 ⋅ ( 1 + R )

con Rj = R = 20% (j = 1, 2, ..., 9, 10); es decir, Rj es constante ⇒ 1+R α 1 = ---------------0 1+R

Las inversiones en ambiente de riesgo

65

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

Por lo tanto, 104.167 α 2 = ---------------------- = 0,7951 131.016 La formalización del cálculo es: α 2 ⋅ 150.000 ( 1 + R 0 ) 1+R ⇒ α 2 =  ---------------0  1 + R

–2

= 150.000 ⋅ ( 1 + R )

–2

⇒

2

Para los años sucesivos, se tendrá, en general, que: 1+R j 1+R α j =  ---------------0 = α j – 1 ⋅  ---------------0 = α j – 1 ⋅ 1,07 ------------ ⇒  1 + R  1+R 1,20 ⇒ α j = 0,8917 ⋅ α j – 1 con j = 2, 3, ..., 10 Con esto, podremos obtener fácilmente los coeficientes restantes. 6. La empresa RENIU desea entrar en la industria química y considera dos posibles proyectos, que requieren la misma inversión inicial de 100 u.m. e igual vida. A pesar de ello, a causa de que se trata de una nueva área de negocio y, por tanto, con un riesgo muy elevado, la firma desea intervenir sólo en uno de los proyectos (proyectos mutuamente excluyentes) A y B, que se describen a continuación:

Escenario Economía en crecimiento rápido Economía en crecimiento lento Economía en recesión

• Se pide: Analizar el proyecto. • Resolución: Tendremos:

VAN

Probabilidad asociada al escenario

Proyecto A

Proyecto B

0,2

300

180

0,5

100

76

0,3

– 100

20

66

 FUOC • P01/71012/00193

VAN (A) ≈

Las inversiones en ambiente de riesgo

VAN (B) ≈

Valores

Probabilidades

Valores

Probabilidades

300

0,20

180

0,20

100

0,50

76

0,50

– 100

0,30

20

0,30

VANE ( A ) = 300 ⋅ 0,20 + 100 ⋅ 0,50 + ( – 100 ) ⋅ 0,30 = 80 VANE ( B ) = 180 ⋅ 0,20 + 76 ⋅ 0,50 + 20 ⋅ 0,30 = 80 Los dos proyectos tienen igual VANE; por lo tanto, no es necesario pronunciarse en favor de ninguno de los proyectos A y B mientras no se aporten elementos diferenciadores. La inversión inicial es la misma para los dos proyectos; también lo es su vida. Una medida estadística del riesgo asociado a A y B tal vez rompería el equilibrio a favor de uno de los dos. De forma intuitiva, y sin hacer que intervengan fórmulas estadísticas, se observa por simple inspección de las dos distribuciones de probabilidad que el riesgo asociado a A (valores muy dispersos) es mayor que el asociado a B (valores menos dispersos). 7. La firma Feels fabrica varios elementos para el segmento del sector de regalo juvenil comprendido entre los 16 y los 18 años. El éxito o fracaso anual de sus productos depende de si están de moda o no. La Dirección considera la posible realización de una inversión de 1.000 u.m. en una línea de productos que, según cree, estarán de moda durante dos años. Sin embargo, como el resultado del proyecto está condicionado por la evolución que experimente la moda, se admiten en su análisis los tres escenarios siguientes: 1) gran aceptación; 2) poca aceptación; 3) pésima aceptación. Los analistas han estimado las cifras siguientes: Año 1 Escenario

Cash-flow neto

Probabilidades

1. Gran aceptación

2.000

0,4

2. Poca aceptación

800

0,35

3. Pésima aceptación

200

0,25

a) Si durante el año 1 hubiese una gran aceptación, entonces se opina que las cifras serían:

Año 2 Escenario

Cash-flow neto

Probabilidades

1. Gran aceptación

2.500

0,5

2. Poca aceptación

1.000

0,3

300

0,2

3. Pésima aceptación

b) Si durante el año 1 hubiese poca aceptación, entonces se opina que las cifras serían:

Año 2 Escenario

Cash-flow neto

Probabilidades

1. Gran aceptación

1.800

0,3

2. Poca aceptación

900

0,4

3. Pésima aceptación

200

0,3

67

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

c) Si durante el año 1 hubiese una pésima aceptación, entonces se opina que las cifras serían: Año 2 Escenario

Cash-flow neto

Probabilidades

1. Gran aceptación

1.500

0,1

2. Poca aceptación

900

0,3

3. Pésima aceptación

300

0,6

• Se pide: Analizar el proyecto de inversión, sabiendo que la empresa utiliza una tasa de descuento del 25% para reflejar el elevado riesgo que existe en el sector de la moda. • Resolución: Dispondremos los datos de la forma siguiente: Año 1

Año 2

Escenario

Probabilidad

Cash-flow neto

1

0,40

2.000

2

3

0,35

0,25

Escenario

Probabilidad

Cash-flow neto

1

0,50

2.500

2

0,30

1.000

3

0,20

300

1

0,30

1.800

2

0,40

900

3

0,30

200

1

0,10

1.500

2

0,30

900

3

0,60

300

800

200

Es decir, la inversión tiene la estructura siguiente:

Escenario 1 (probabilidad = 0,40)

2.000

2.500 → Escenario 1 (probabilidad = 0,50) 1.000 → Escenario 2 (probabilidad = 0,30) 300 → Escenario 3 (probabilidad = 0,20)

Escenario 2 (probabilidad = 0,35)

800

1.800 → Escenario 1 (probabilidad = 0,30) 900 → Escenario 2 (probabilidad = 0,40) 200 → Escenario 3 (probabilidad = 0,30)

Escenario 3 (probabilidad = 0,25)

200

1.500 → Escenario 1 (probabilidad = 0,10) 900 → Escenario 2 (probabilidad = 0,30) 300 → Escenario 3 (probabilidad = 0,60)

68

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

Los cálculos se tabularán de acuerdo con el esquema siguiente: Escenario

Cash-flow neto (año 1)

Probabilidad (año 1)

Cash-flow neto (año 2)

Probabilidad (año 1) = = probabilidad del VAN correspondiente

1

2.000

0,40

2.500

0,50 · 0,40 = = 0,200

– 1.000 + 2.000 ⋅ ( 1,25 )

0,30 · 0,40 = = 0,120

– 1.000 + 2.000 ⋅ ( 1,25 )

0,20 · 0,40 = = 0,080

– 1.000 + 2.000 ⋅ ( 1,25 )

0,30 · 0,35 = = 0,105

– 1.000 + 800 ⋅ ( 1,25 )

0,40 · 0,35 = = 0,140

– 1.000 + 800 ⋅ ( 1,25 )

0,30 · 0,35 = = 0,105

– 1.000 + 800 ⋅ ( 1,25 )

0,10 · 0,25 = = 0,025

– 1.000 + 200 ⋅ ( 1,25 )

0,30 · 0,25 = = 0,075

– 1.000 + 200 ⋅ ( 1,25 )

0,60 · 0,25 = = 0,150

– 1.000 + 200 ⋅ ( 1,25 )

1.000

300

2

800

0,35

1.800

900

200

3

200

0,25

1.500

900

300

VAN

0,200

1.240

0,120

792

0,080 + 0,105 = 0,185

216

0,140

120

0,025

–232

0,105

–264

0,075

–648

0,150

=

–1

+ 1.000 ⋅ ( 1,25 )

–2

=

–1

+ 300 ⋅ ( 1,25 )

–2

=

–1

+ 1.800 ⋅ ( 1,25 )

–2

=

–1

+ 900 ⋅ ( 1,25 )

–2

=

–1

+ 200 ⋅ ( 1,25 )

–2

=

–1

+ 1.500 ⋅ ( 1,25 )

–2

–1

+ 900 ⋅ ( 1,25 )

–2

=

–1

+ 300 ⋅ ( 1,25 )

–2

=

= 792

= 792

= 216

= – 232

= 120

= – 264

= – 648

VAN

2.200

– 2

= 1.240

~

Probabilidades

+ 2.500 ⋅ ( 1,25 )

= 2.200

En consecuencia, tenemos la variable aleatoria siguiente:

Valores

–1

(Comprobad que la suma de las probabilidades es la unidad.) Por lo tanto, ~

VANE = E [ VAN ] = 627,2 > 0 y el proyecto resulta aceptable. 8. La empresa QUIUSQUIDEM acaba de finalizar con éxito un proyecto I + D y ahora se enfrenta con la necesidad de decidir si utiliza comercialmente los avances conseguidos ofreciendo al mercado un producto totalmente innovador y, por lo tanto, de aceptación incierta. El desembolso inicial supondría 1.000 u.m., y se cree que conseguiría 5 años de vida.

=

69

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

En una primera fase, se ha llegado a la estimación siguiente: Escenario

Probabilidades

VAN

1. Gran éxito

0,1

1.000

2. Éxito moderado

0,5

500

3. Éxito escaso

0,3

100

4. Fracaso

0,1

–100 VANE = +370 > 0

El valor positivo del VANE es alentador, pero la Dirección desea tener más garantías y está negociando el encargo de una investigación de mercado a la firma CASTILLOMERCADO, con el fin de que emita un informe que haga referencia al escenario que cree que se daría. Este informe servirá para iniciar o rechazar, definitivamente, la explotación del producto. • Se pide: ¿Cuál es el precio máximo que QUIUSQUIDEM podría pagar a CASTILLOMERCADO por el informe? • Resolución: Es obvio que la investigación de mercado de CASTILLOMERCADO debería concluir diciendo que, en su opinión, se tendrá uno de los escenarios anteriormente diseñados. Por lo tanto, si la investigación indica que se dará uno de los escenarios 1, 2 o 3, entonces QUIUSQUIDEM decidirá la explotación del producto; sin embargo, si el escenario posible es el cuarto, “fracaso”, entonces no se iniciará esta explotación. De este modo, QUIUSQUIDEM, en caso de llevar a cabo la explotación del producto, iría muy sobre seguro. Además, después de eliminar el escenario 4, su VANE sería otro: VANE (para los escenarios 1, 2, 3) = = 0,10 · 1.000 + 0,50 · 500 + 0,30 · 100 = +380 En consecuencia: VANE del proyecto con informe VANE del proyecto sin informe Valor máximo que debe pagarse por informe

+380 +370 10 u.m.

9. La firma ENQUARE es propietaria de una cadena de tiendas que constituyen puntos de venta del servicio de alquiler de motocicletas de un determinado modelo. Normalmente, sigue la política empresarial de conservar los vehículos durante dos años y venderlos inmediatamente después en el mercado secundario, a un precio que fundamentalmente (pero no exclusivamente) depende de la fecha de matriculación. El coste unitario de la motocicleta es de 200.000 u.m., y su valor residual a los dos años es de 75.000 u.m. La razón por la cual acabó trabajando en este único modelo fue la confianza en las prestaciones: a pesar de la diversidad de usuarios, prácticamente nunca deja de estar de servicio. Un distribuidor de un modelo y una marca diferentes le propone la adquisición de este modelo al mismo precio unitario de 200.000 u.m., pero con un 10% de descuento, respetando las mismas condiciones de pago que ENQUARE ha tenido hasta hoy. Sobre la base de su experiencia y de las opiniones verbales que ha reunido, ENQUARE establece la siguiente matriz de información referente al modelo que se le propone: Escenario

Probabilidad

Cash-flows netos Año 1

Año 2

Valor residual

El modelo da las mismas prestaciones que el otro

0,75

1.000.000

700.000

75.000

El modelo falla y no llega al nivel óptimo

0,25

600.000

350.000

60.000

70

 FUOC • P01/71012/00193

Sabemos que la tasa de descuento o actualización que ENQUARE utiliza es el 18%. • Se pide: 1) ¿Le conviene a ENQUARE cambiar de modelo? 2) Para captar al cliente, el distribuidor le hace una nueva oferta, que explicamos a continuación: Le recompra las motocicletas después de un año de funcionamiento, y le paga un valor residual del 60% del precio pagado efectivamente por ENQUARE cuando las adquirió, y que representa 10.000 u.m. más que el valor residual del modelo que está utilizando si se desprendiese de ellas al cabo de un año de la adquisición. ¿Cuál será la decisión de ENQUARE? • Resolución: 1) Modelo que utilizaba

Modelo nuevo:

Por lo tanto, ~

VAN

Valores

Probabilidades

1.224.051

0,75

622.930

0,25

VANE = 1.073.771 u.m.

Teniendo en cuenta que VANE nuevo modelo < VAN modelo habitual, la firma ENQUARE no debe aceptar la proposición del distribuidor en su estado actual. 2) En principio, la nueva oferta es imaginativa e interesante, ya que le permitiría alquilar vehículos más nuevos.

Las inversiones en ambiente de riesgo

71

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

Replanteamos la situación:

~

VAN

Valores

Probabilidades

758.983

0,75

420.000

0,25

VANE = 674.237 u.m.

Para el modelo usual:

Por lo tanto, tampoco lo debería aceptar. A ENQUARE no le conviene la opción de abandonar su inversión (desinvertir) para intervenir en otra. 10. Sea la inversión siguiente, con unos cash-flows netos estimados que se suponen independientes entre sí:

~

~

CF1

CF2

Valores

Probabilidades

Valores

Probabilidades

400

0,25

300

0,30

600

0,50

700

0,40

800

0,25

900

0,30

• Se pide: Si la tasa de descuento que debe aplicarse es del 10%, encontrar la esperanza y la desviación ~ típica de la v.a. VAN.

72

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

• Resolución: ~

~

Como los flujos CF1, CF2 son estadísticamente independientes: ~

~

Calculad la variancia de CF1 y CF2: ~

E(CF1) = 400 · 0,25 + 600 · 0,50 + 800 · 0,25 = 100 + 300 + 200 = 600 ~

E(CF2) = 300 · 0,30 + 700 · 0,40 + 900 · 0,30 = 90 + 280 + 270 = 640 ~

VAR(CF1) = 0,25 · (400 – 600)2 + 0,50 · (600 – 600)2 + 0,25 · (800 – 600)2 = = 10.000 + 0 + 10.000 = 20.000 ~

VAR(CF2) = 0,30 · (300 – 640)2 + 0,40 · (700 – 640)2 + 0,30 · (900 – 640)2 = = 34.680 + 1.440 + 20.280 = 56.400 Teniendo en cuenta que VAR(CF0) = 0, tenemos: 2 20.000 + 56.400 -----------------= 55.050 σ ( VAN ) = 0 + -----------------2 2 ( 1, 1) ( 1, 1) σ = 234, 6

11. Se considera que un proyecto inversor que actualmente está analizando MELINA S.A. es arriesgado y que exigirá un desembolso inicial de 1.000 u.m. Sabemos que la tasa libre de riesgo es del 4%, y se admite que el riesgo específico de la inversión requiere un aumento de esta tasa de un 8%. Los cash-flows estimados son los siguientes: Condición del mercado

Probabilidad

Año 1

Año 2

Año 3

Bueno

0,10

1.000

900

800

Bastante bueno

0,20

800

700

600

Regular

0,40

600

500

400

Bastante malo

0,20

400

300

200

Malo

0,10

200

100

50

• Se pide: ~

Encontrar la E[VAN] y la probabilidad de que el VAN sea negativo, efectuando los cálculos: 1) con la distribución discreta; 2) con la distribución normal; 3) ¿a qué se debe la disparidad de resultados?; ¿cuál de los dos os parece más preciso? • Resolución:

~

~

CF1

~

CF2

CF3

Valores

Probabilidades

Valores

Probabilidades

Valores

Probabilidades

1.000

0,10

900

0,10

800

0,10

800

0,20

700

0,20

600

0,20

600

0,40

500

0,40

400

0,40

73

 FUOC • P01/71012/00193

~

~

CF1

Las inversiones en ambiente de riesgo

~

CF2

CF3

Valores

Probabilidades

Valores

Probabilidades

Valores

Probabilidades

400

0,20

300

0,20

200

0,20

200

0,10

100

0,10

50

0,10

Estos cash-flows no son independientes entre sí, ya que del enunciado se desprende que pueden darse las posibilidades siguientes (los dos VAN se calculan descontando al 12%); por lo tanto, no hay necesidad de efectuar la convolución:

Por lo tanto, ~

E [ VAN ] = 1.180 ⋅ 0,10 + 699 ⋅ 0,20 + 219 ⋅ 0,40 + + ( – 261 ) ⋅ 0,20 + ( – 706 ) ⋅ 0,10 = 223 1) P [ VAN < 0 ] = 0,20 + 0,10 = 0,30 2) Si admitiésemos que la distribución es normal, entonces

74

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

~

VAN ∼ N ( 223; σ )

con σ2 = 270.062 → σ = 520 Por lo tanto, tipificando: – 223 z0 = 0 ------------------- = – 0,4288 520 De acuerdo con esto, tenemos que: P [ z < z 0 ] = P [ z < – 0,4288 ] = k

Tablas de la distribución normal N (0 ; 1) Por tanto, la probabilidad correspondiente a esta k es 33,76%.

12. Se sabe de una inversión que su colocación inicial es de 1.000 u.m., que la tasa de descuento que se aplica en su análisis es del 10% y que las esperanzas y desviaciones típicas de los cash-flows de los tres años que lleva son las siguientes: Año 1

Año 2

Año 3

Esperanza

800

1.000

1.300

Desviación típica

100

200

300

Además, sabemos que los coeficientes de correlación son los siguientes: ρ12 = 0,9; ρ13 = 0,8; ρ23 = 0,7 • Se pide: ~

1) Encontrar la E[VAN] del proyecto. 2) Encontrar la desviación típica del proyecto.

75

 FUOC • P01/71012/00193

3) Calcular la desviación típica del proyecto en el caso de que la tuviese: a) todos los coeficientes de correlación iguales a 1; b) todos los coeficientes de correlación nulos; c) todos los coeficientes de correlación iguales a –1. 4) Comparar entre sí y comentar los resultados obtenidos. ~

5) Si se admite la normalidad de la v.a. VAN, encontrar la probabilidad de que el VAN consiga un valor: a) negativo; b) comprendido entre 0 y 100; c) comprendido entre 100 y 300; d) superior a 300. • Resolución: Aplicar las fórmulas B del apartado teórico. 13. Supongamos que la Dirección de inversiones de la firma VAIVÉN cree que el mínimo nivel del VAN que razonablemente puede esperarse para un proyecto inversor determinado es de 13.500 u.m., y que no es lógico esperar un VAN superior a 31.500 u.m. Al interrogar a esta Dirección sobre el porcentaje de posibilidades de ocurrencia que cree que se pueden asociar a los mencionados valores del VAN, se obtiene la información siguiente: La probabilidad de que el VAN resulte inferior a 13.500 u.m. es muy baja y se estima en un 5%. La probabilidad de que el VAN resulte superior a 31.500 u.m. es igualmente del 5%. • Se pide: ~

1) Encontrar las características de la v.a. VAN. 2) Sabiendo que la Dirección de inversiones acepta proyectos de esta clase, encontrar la probabilidad de que el proyecto sea rechazado si el VAN es mayor o igual a 18.000 u.m. • Resolución: 1)

Las inversiones en ambiente de riesgo

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 FUOC • P01/71012/00193

Mediante las tablas de la normal (90% = 100% – 5% – 5%), resulta: tz = 1,65 Por lo tanto, ~ 9.000 [ VAN ] = --------------- = 5.455 1, 65

En efecto: ~

~

VAN ∼ N ( 22.500; σ [ VAN ] )

Variable tipificada: ~

VAN – 22.500 z˜ = -------------------------------------- ∼ N ( 0; 1 ) ~ σ [ VAN ] Sabemos que: P [ 13.500 ≤ VAN ≤ 31.500 ] = 0,90 Tipificando, – 22.500 = 0,90 13.500 – 22.500 ≤ z ≤ 31.500 -------------------------------------------P -------------------------------------------~ ~ σ [ VAN ] σ [ VAN ] – 9.000 9.000 P ---------------------= 0,90 ~ ~ ≤ z ≤ ---------------------σ [ VAN ] σ [ VAN ] De la normal: ~ 9.000 ---------------------~ = 1,65 → σ [ VAN ] = 5.455 u.m. σ [ VAN ]

En consecuencia: ~

VAN ∼ N ( 22.500; 5.455 )

2) Tipificando: – 22.500 = P [ VAN < 18.000 ] = P z < 18.000 -------------------------------------------5.455 = P [ z < – 0,8249 ] = (Obtenéis el resultado consultando las tablas de la normal.) 14. Sea el proyecto de las características siguientes: ~

Si obtenemos el valor E[CFs] y σs de las preguntas hechas a la Dirección: s

CF s = ( – 100 + 125 ⋅ s ) ⋅ ( 1,10 )   y R = 10% 2 2s σ s = ( 100 + 100 ⋅ s ) ⋅ ( 1,10 )  Sabemos, además, que la vida útil del proyecto es de 25 años. • Se pide: Suponiendo aplicable el teorema central del límite: ~

1) Encontrar la distribución aproximada de la v.a. VAN. 2) Probabilidad de que el VAN sea negativo. • Resolución: 1) ~

~

VAN ∼ N [ VANE; σ ( VAN ) ]

25

VANE =

∑ (–

s=0

1 + 25 ) ⋅ 25 = 100 + 125 ⋅ s ) = – 100 ⋅ 26 + 125 ⋅ (-------------------------------2 = – 2.600 + 125 ⋅ 25 ⋅ 13 = 38.025

Las inversiones en ambiente de riesgo

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 FUOC • P01/71012/00193

2

~

σ ( VAN ) =

25

∑ 100 ( s + 1 )

26

= 100 ⋅

s=0

( 1 + 26 ) ⋅ 26

∑ s' = 100 ⋅ -------------------------------2

Las inversiones en ambiente de riesgo

= 35.100

s' = 1

s′ = s + 1 2) ~

VAN ∼ N ( 38.025; 187,35 ) P [ VAN < 0 ]

15. Sea la inversión arriesgada:

para la cual, la Dirección de inversiones cree que cada uno de los cash-flows se puede descomponer de la forma siguiente, de acuerdo con el esquema de Hillier: ~

~

~

~

– CF 0 = – CFI 0 + ( – CFD 0 ( 1 ) ) + ( – CFD 0 ( 2 ) ) ~

~

~

~

CF 1 = CFI 1 + CFD 1 ( 1 ) + CFD 1 ( 2 ) Si sabemos que la tasa de descuento es del 10% anual, y que: ~

CF ∼ N ( CF; σ [ CF ] ) se estima que: ~

~

~

~

~

~

CFI 0 ∼ N ( – 225; 22,5 ) CFD 0 ( 1 ) ∼ N ( – 675; 225 ) CFD 0 ( 2 ) ∼ N ( – 450; 225 )

CFI 1 ∼ N ( 450; 112,5 ) CFD 1 ( 1 ) ∼ N ( 900; 450 ) CFD 1 ( 2 ) ∼ N ( 675; 225 )

• Se pide: ~

Establecer las características de la distribución de la v.a. VAN.

• Resolución: Aplicando el método y la formulación de Hillier, tendremos:

78

 FUOC • P01/71012/00193

VAN = VAN (fila 0) + VAN (fila 1) + VAN (fila 2) = = [ – 225 + 450 ⋅ ( 1,10 )

–1

]+

–1

+ [ – 675 + 900 ⋅ ( 1,10 ) ] + –1

+ [ – 450 + 675 ⋅ ( 1,10 ) ] = 491 u.m. 2

~

2

2

2

σ [ VAN ] = σ ( fila 0 ) + σ ( fila 1 ) + σ ( fila 2 ) = 2

2

[ ( 22,5 ) + ( 112,5 ) ⋅ ( 1,10 )

– 2

]+

–1 2

[ 225 + 450 ⋅ ( 1,10 ) ] + –1 2

[ 225 + 225 ⋅ ( 1,10 ) ] = 597.547 ~

⇒ σ [ VAN ] = 773 u.m. Por lo tanto, ~

VAN ∼ N ( 491; 773 )

Actividades complementarias 1. Consideremos un proyecto que exige una inversión inicial nula (por ejemplo, leasing de una máquina), con los ingresos y gastos brutos anuales que se dan en la tabla siguiente (cifras en u.m.): Ingresos brutos Gastos Mano de obra Energía Material Otros Ingresos netos (antes de impuestos) Impuestos (35%) Ingreso anual neto

100 70 20 35 10 5 30 10,5 19,5

Sabemos que la duración económica estimada del proyecto es de 6 años, y que se toma el 15% por tasa de descuento. • Se pide: 1) Calcular el VAN del proyecto. 2) Efectuar el análisis de sensibilidad referente a las variables siguientes: a) Ingresos brutos b) Gastos (considerados globalmente) c) Gastos de mano de obra, energía y materiales. 3) Comentar los resultados obtenidos y elaborar un gráfico de los mismos. 2. MADINA MAYURCA, S.L. está considerando una inversión de capital de 15.000 u.m. para construir una factoría con el objetivo de fabricar productos de bricolaje. Se espera que la factoría proyectada genere unas ventas anuales de entre 8.000 y 11.000 u.m. MADINA MAYURCA estima que el cash-flow después de impuestos se podrá determinar mediante la expresión siguiente: 0,35 · cifra de ventas – 400 La vida esperada es de 8 años, y se admite que el valor residual de la inversión de capital dependerá de los precios del suelo en la fecha en cuestión. La factoría se construirá en una localidad X, que dista de la capital unos 20 km. Sabemos que se está planeando una autovía que vaya desde la capital hasta la zona donde se encuentra la localidad X, pero que todavía no se ha decidido si pasará precisamente por X. De todos modos, si finalmente no pasa, habrá un desvío hasta la localidad. Se opina que, en el primer caso, el valor residual será de 2.000 u.m., y en el segundo, de 1.000 u.m.

Las inversiones en ambiente de riesgo

79

 FUOC • P01/71012/00193

Las inversiones en ambiente de riesgo

Para analizar los riesgos implicados en el proyecto, la Dirección de la empresa decide obtener el VAN para hacer varias combinaciones de cifras de ventas y de valor residual según el esquema: Ventas Valor residual

8.000

8.500

9.000

9.500

10.000

10.500

11.000

1.000 2.000 • Se pide: 1) Construir la tabla anterior. 2) Efectuar el análisis de sensibilidad para las variables implicadas (cifra de ventas, valor residual, vida esperada, inversión inicial). 3) Como ya sabemos, el punto muerto (PM) es el nivel de ventas necesario para producir un beneficio nulo o un VAN = 0; y sus fórmulas de obtención son las siguientes: Coste fijo PM q = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------Precio unitario – Coste variable unitario

Punto muerto en unidades de producto vendidas Coste fijo PM u.m. = -----------------------------------------------1 – Coste variable

Punto muerto en unidades monetarias (Expresado como porcentaje de las ventas en u.m.) Los costes variables de MADINA MAYURCA, S.L. son el 40% de las ventas; los costes fijos se elevan a 1.500 u.m.; si el precio de construcción de la factoría es igual a 40 u.m./m3 (por lo tanto, el coste variable será de 20 u.m./m3), se desea saber: a) PMq y PMu.m. b) Cifra de ventas correspondiente al punto muerto cuando: Valor residual igual a 1.000 u.m. Valor residual igual a 3.000 u.m. 3. La compañía PUIGDORFILA está analizando un proyecto manufacturero que supondría la producción de un bien durante seis años. Las estimaciones iniciales de los valores de los parámetros clave son las siguientes: Volumen de ventas en unidades de producto N

Estimaciones Inversión inicial

75.000

Año 1

3.000

Precio unitario de venta

30

Año 2

3.000

Coste unitario

20

Año 3

4.000

Tasa de descuento

13

Año 4

3.500

6

Año 5

2.500

Año 6

1.500

Vida (años)

• Se pide: 1) Encontrar el VAN del proyecto. 2) Efectuar el análisis de sensibilidad. 3) ¿Cuáles son los parámetros críticos para la decisión?

80

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4) Calcular la sensibilidad de los volúmenes de ventas para un año individual; por ejemplo, el tercero. 5) Con el objetivo de superar las limitaciones propias del análisis clásico de la sensibilidad, estudiar la sensibilidad conjunta del precio de venta y del coste unitario. 6) Un enfoque alternativo para superar las limitaciones del análisis de la sensibilidad consiste en especificar conjuntos particulares de cambios y, entonces, deducir las consecuencias que esto implica para el VAN. En este caso, los cambios pueden corresponder a diferentes escenarios, como por ejemplo la elección por parte del Gobierno de la política fiscal o de la monetaria para regular la economía, o también plantear escenarios inflacionarios posibles; es decir, en general, plantear diferentes futuros posibles. Para nuestro caso, admitimos los tres escenarios siguientes; supondremos que son fruto de la conjugación de condiciones competitivas y del tipo de cambio de la moneda. Disponemos de la siguiente información al respecto: Escenario 1 Efecto de la inflación anticipada sobre el precio de venta = 8% anual. Efecto de la inflación anticipada sobre el coste unitario = 12% anual. Escenario 2 Efecto de la inflación anticipada sobre el precio de venta = 20% anual. Efecto de la inflación anticipada sobre el coste unitario = 20% anual. Escenario 3 Efecto de la inflación anticipada sobre el precio de venta = 4% anual. Efecto de la inflación anticipada sobre el coste unitario = 8% anual. Movimiento de los tipos de interés que provoca que se eleve la tasa de descuento hasta un 15%. A partir de esta información, estudiad la influencia de estos tres escenarios en el proyecto que PUIGDORFILA está considerando, y tomad una decisión en el supuesto de que las probabilidades de ocurrencia de los escenarios son iguales entre sí. 4. Se cree que un proyecto con un desembolso inicial de 33.000 u.m. generará unos cash-flows con unos valores esperados de 22.000 u.m. al final de cada uno de los años de vida de la inversión. La tasa de interés libre de riesgo es del 9%, y la Dirección estima una prima de riesgo igual al 3% para los dos cash-flows. • Se pide: 1) Encontrar el VAN (9%) y el VAN (12%). 2) Obtener el coeficiente de equivalencia cierta para la firma respecto al proyecto, admitiendo que asigna lo mismo a los dos cash-flows. 3) Aplicar el método del equivalente cierto para encontrar el VAN (9%). 5. La Dirección de MALGS está considerando la compra de una mina abandonada de cobre que se encuentra en venta por una cifra de 200.000 u.m. Un ingeniero de minas lleva a cabo un estudio que muestra que el total de cobre que todavía se puede extraer depende del tipo de formación geológica del área (información que, si interesase, daría lugar a otro estudio) y que sólo hay dos posibles formaciones: Tipo de formación geológica

Probabilidad

Total que se puede extraer (t)

1

0,6

500

2

0,4

250

Si MALGS adquiere la mina, soportará durante el primer año un gasto de 300.000 u.m. (que deberá pagar al final de ese mismo año) para hacer operativas tanto la mina como las plantas de tratamiento del metal.

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La producción empezará a principios del segundo año, con una extracción de 10 toneladas por mes, para cualquier tipo de formación rocosa; se considera que este ritmo de extracción continuará hasta el agotamiento de la mina. Durante el primer año de explotación, la Dirección espera que el valor de venta del cobre sea de 20.000 u.m./tonelada y que los gastos totales suban a 300.000 u.m. Estas cifras hacen referencia al término del año; se espera que crezcan un 6% por cada uno de los años siguientes. El equipamiento especial para llevar a cabo la producción minera se puede adquirir al principio del primer año de explotación a un coste de 150.000 u.m.; se considera que al acabar la producción se podrá vender inmediatamente a un precio igual al de compra menos 200 u.m./tonelada producida durante la vida del proyecto. Se espera que los ingresos derivados de la venta de la mina al final de la producción sean exactamente iguales a los costes generados por el cierre de las actividades. MALGS considera la posibilidad de encargar un informe geológico sobre el área, con un coste de 20.000 u.m., que revelaría el tipo de formación geológica. La tasa de descuento de la firma para este proyecto es del 25%. • Se pide: 1) La decisión que, de acuerdo con el VANE del proyecto sin el informe geológico, tomará MALGS. 2) Analizar la posible conveniencia de elaborar el informe. 6. Una inversión tiene un coste inicial de 100 u.m. y los cash-flows anuales, que suponemos independientes, son los siguientes: Año 1

Año 2

Año 3

Cash-flow

Probabilidad

Cash-flow

Probabilidad

Cash-flow

Probabilidad

30

0,10

20

0,10

30

0,10

40

0,25

30

0,25

40

0,25

50

0,30

40

0,30

50

0,30

60

0,25

50

0,25

60

0,25

70

0,10

60

0,10

70

0,10

• Se pide: ~

Encontrar la esperanza y la desviación típica de la variable aleatoria VAN, suponiendo que la tasa de descuento que hay que aplicar sea: 1) 10% 2) 20% 7. Sea el proyecto de inversión inicial de 100 u.m., en el cual se admite: 1) Que hay una probabilidad del 50% de que el cash-flow del primer año sea de 60 u.m., y una del 50% de que sea de 80 u.m. 2) Que el cash-flow del segundo año depende de lo que suceda el año precedente, según la tabla que se da a continuación: Año 1

Año 2

Cash-flow

Probabilidad

60

0,5

80

0,5

Cash-flow

Probabilidad

10

0,40

60

0,60

40

0,25

80

0,50

100

0,25

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Las inversiones en ambiente de riesgo

• Se pide: Encontrar la esperanza y la desviación típica del proyecto mediante dos procedimientos, suponiendo una tasa de descuento del 10%. 8. Sea la siguiente información referente a un proyecto inversor: Años

Esperanza

Varianza

0

–80

10.000

1

45

5.000

2

25

3.000

3

30

4.000

4

25

3.500

5

20

3.500

• Se pide: Utilizando una tasa de descuento del 10% y admitiendo que los cash-flows son estadísticamente independientes entre sí, obtener: ~

1) La esperanza y la varianza de la variable aleatoria VAN. 2) La probabilidad de que: a) VAN > 0 b) 25 < VAN < 35 3) Calcular x si P (VAN > x) = 0,9.

Ejercicios de autoevaluación 1. Dadas las características del proyecto de inversión que se indica en la actividad 1, haced un análisis de sensibilidad para cada una de las cifras de ingresos anuales. Esto es necesario porque, tal y como vimos, esta variable es clave en la decisión de aceptación de la inversión. 2. La vida de un proyecto arriesgado es un año, y su cash-flow esperado es de 25.000 u.m., y se recibe al finalizar el año. La tasa de rentabilidad deseada por la firma que analiza el proyecto es del 15% y la tasa de interés libre de riesgo es del 8%. • Se pide: 1) Calcular el coeficiente de equivalencia cierta para la firma que analiza este proyecto. 2) Interpretar el resultado. 3. La firma ALFORTAM considera la posible compra de una máquina para fabricar grifos. El coste de la máquina es de 1.000 u.m., y se espera que su vida productiva sea de 4 años; los ingresos derivados de la ocupación de la mencionada máquina no tienen carácter de certidumbre, y dependen del estado del sector de la construcción inmobiliaria. Se han establecido las estimaciones siguientes: Estado del sector

Probabilidad

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Excelente

0,3

600

800

900

1.000

Normal

0,6

400

500

600

600

Malo

0,1

200

250

300

300

Habitualmente, la empresa utiliza la tasa de descuento del 15% para hacer la valoración de sus proyectos de inversión, ya que opina que de este modo refleja correctamente el riesgo que asumió. • Se pide: Analizar el proyecto de inversión.

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Las inversiones en ambiente de riesgo

4. La sociedad PUSQUEN desearía iniciar un proyecto de inversión, con unas características y unos escenarios como los siguientes: Escenario

Probabilidad

VAN

1. Éxito

0,75

+ 300

2. Fracaso

0,25

– 200 VANE = + 175 > 0

La percepción del riesgo hace que PUSQUEN solicite una investigación de mercado a ENTENAUMARKET. Esta empresa indica que: 1) Su informe llegará a un nivel de confianza del 80%. 2) Su precio es de 10 u.m. • Se pide: 1) Considerando las posibilidades de que el informe acierte el análisis (con un nivel del 80% de confianza) o sea erróneo, indicar si PUSQUEN debe aceptar el precio que le propone ENTENAUMARKET por sus servicios. 2) ¿Qué sucedería si el nivel de confianza ofertado se elevase al 95%? 5. Sea la siguiente propuesta de inversión de 3 años de vida y desembolso igual a 100 u.m.: Año 1

Año 2

Año 3

Cash-flow

Probabilidad

Cash-flow

Probabilidad

Cash-flow

Probabilidad

40

0,2

40

0,25

10

0,10

50

0,4

60

0,40

80

0,60

60

0,4

80

0,35

80

0,30

Supongamos que los cash-flows son independientes entre sí, y que la tasa de descuento es del 10%. • Se pide: 1) Los cash-flows esperados cada año. 2) La esperanza del proyecto. 3) Las varianzas anuales de los cash-flows. 4) La varianza y la desviación típica del proyecto. 6. Supongamos que la Dirección de una empresa admite que el mínimo valor razonable del VAN que puede tener una inversión es de 3.000 u.m., y que el máximo es de 8.000 u.m. Además, cree que sólo existe un 5% de probabilidades de que se dé un valor inferior a 3.000, y otro 5% de que se dé uno superior a 8.000 u.m., todo bajo la hipótesis de normalidad. • Se pide: Encontrar las características de la distribución de la variable aleatoria VAN. 7. De acuerdo con la actividad 13, se solicita una resolución suponiendo que el intervalo de confianza definido por la Dirección de inversiones de VAIVÉN es el siguiente: Probabilidad del 10% de que el VAN sea menor de 13.500 u.m. Probabilidad del 10% de que el VAN sea mayor de 31.500 u.m. 8. La tabla siguiente contiene las esperanzas y las desviaciones típicas correspondientes a las distribuciones normales de los cash-flows de un proyecto de inversión que cubre las actividades en tres países:

84

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A = mercado doméstico B = mercado de Estados Unidos C = mercado francés

Años

Cash-flow total

0

País A

País B

País C

Cash-flow

Desviación típica

Cash-flow

Desviación típica

Cash-flow

Desviación típica

–100

–100

–

–

–

–

–

1

80

30

10

30

10

20

8

2

120

50

10

40

20

30

15

3

150

80

15

40

20

30

15

Variables aleatorias independientes entre sí

Variables aleatorias perfectamente correlacionadas entre sí

La tasa de descuento considerada es del 10%. • Se pide: Admitiendo las hipótesis de Hillier, calcular la esperanza y la desviación típica de la variable ~ aleatoria VAN.

Variables aleatorias perfectamente correlacionadas entre sí

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Las inversiones en ambiente de riesgo

Solucionario Ejercicios de autoevaluación 1. • Para el primero de los ingresos, tendremos: – 7.360 = ( x – 2.880 ) ⋅ ( 1,10 )

–1

+ 4.160 ⋅ ( 1,10 )

–2

+ 2.560 ⋅ ( 1,10 )

–3

⇒ Primer ingreso ∈ [2.198 ; 6.400] • Para el segundo ingreso, el intervalo es: [2.706 ; 7.680] • Para el tercer ingreso: [3.521 ; 5.120] De este modo, la tabla de sensibilidades sería: Estimación inicial

Valor límite

Margen de variación

Amplitud de la variación (%)

Ingreso en 1

6.400

2.198

4.202

–657%

Ingreso en 2

7.680

2.760

4.920

–640%

Ingreso en 3

5.120

3.521

1.599

–310%

Variable

Por lo tanto, la menor de las amplitudes corresponde al último ingreso, que tal vez es el de mayor imprecisión, pero el que ofrece más sensibilidad de los tres. 2. 1) VAN = 25.000 ⋅ ( 1,15 )

–1

= 21.739 > 0

En este caso, EC = VAN ⇒ α ⋅ 25.000 ⋅ ( 108 )

–1

= 21.739 ⇒ α = 0,94

2) α · 25.000 significa la cifra que la empresa desearía recibir como suma cierta. Es decir, la empresa opina que le es indiferente recibir una cuantía arriesgada de 25.000 u.m. en 1, o recibir la suma cierta de: 0,94 · 25.000 = 23.500 también al finalizar el año. La empresa, en consecuencia, se muestra poco aversa al riesgo. 3. • Si el sector tiene un buen comportamiento, el VAN será: 1 - + 800 ⋅ -------------1 + 900 ⋅ -------------1 + 1.000 ⋅ -------------1 – 1.000 + 600 ⋅ ----------= 1.290,17 2 3 4 1,15 1,15 1,15 1,15 Por lo tanto, con el VAN > 0 se aceptaría el proyecto, pero la probabilidad es del 30%. • Si el sector tiene un comportamiento normal, el VAN será: 1 1 1 1 – 1.000 + 400 ⋅ ------------ + 500 ⋅ --------------2 + 600 ⋅ --------------3 + 600 ⋅ --------------4 = 463,46 1,15 1,15 1,15 1,15 Por lo tanto, con el VAN > 0 se aceptaría el proyecto, pero la probabilidad es del 60%.

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• Si el sector tiene un mal comportamiento, el VAN será: 1 1 1 1 – 1.000 + 200 ⋅ ------------ + 250 ⋅ --------------2 + 300 ⋅ --------------3 + 300 ⋅ --------------4 = – 268,27 1,15 1,15 1,15 1,15

Por lo tanto, con el VAN < 0 no se aceptaría el proyecto, pero la probabilidad es únicamente del 10%. De acuerdo con esto, el VAN esperado sería: VANE = 1.290,17 ⋅ 0,3 + 463, 46 ⋅ 0,6 + ( – 268,27 ) ⋅ 0,10 = 638,3 4. 1) Situación

Probabilidad

I. El informe indica éxito y es correcto

(Probabilidad de éxito) · (Probabilidad de correcto) = 0,75 · 0,80 = 0,60

II. El informe indica éxito y es erróneo

(Probabilidad de éxito) · (Probabilidad de correcto) = 0,75 · 0,20 = 0,15

III. El informe indica fracaso y es correcto

(Probabilidad de éxito) · (Probabilidad de correcto) = 0,25 · 0,80 = 0,20

IV. El informe indica fracaso y es erróneo

(Probabilidad de éxito) · (Probabilidad de correcto) = 0,25 · 0,20 = 0,05

Por lo tanto, podríamos construir la tabla siguiente: Situación Probabilidad Decisión que hay que tomar siguiendo el informe

VAN

I

0,60

Aceptar el proyecto (genera beneficios)

+300

II

0,15

Aceptar el proyecto (genera pérdidas)

–200

III

0,20

Rechazar el proyecto

–

IV

0,05

Rechazar el proyecto (hay un coste de oportunidad, ya que se deja de ganar)

–300

Nuevo VANE = 300 · 0,60 – 200 · 0,15 – 300 · 0,05 = 135 Por lo tanto, ya no se trata sólo de precio: la información no permitiría conocer mejor la inversión (y reduciría su VANE). No se debe encargar el informe. 2) En caso de que el nivel de confianza se hubiese elevado al 95%, tendríamos: Situación Probabilidad Decisión que hay que tomar siguiendo el informe

VAN

I

0,7125

Aceptar el proyecto (genera beneficios)

+300

II

0,0375

Aceptar el proyecto (genera pérdidas)

–200

III

0,2375

Rechazar el proyecto

–

IV

0,0125

Rechazar el proyecto (hay un coste de oportunidad, ya que se deja de ganar)

–300

Nuevo VANE = 202,50 u.m. > 0 En consecuencia: Nuevo VANE: + 202,5 u.m. VANE inicial: + 175 Precio máximo que hay que pagar por el informe: +27,5 u.m. Por lo tanto, convendría contratar el informe.

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5. 1) CFE 1 = 40 ⋅ 0,2 + 50 ⋅ 0,4 + 60 ⋅ 0,4 = 52 CFE 2 = 40 ⋅ 0,25 + 60 ⋅ 0,4 + 80 ⋅ 0,35 = 62 CFE 3 = 10 ⋅ 0,1 + 80 ⋅ 0,6 + 80 ⋅ 0,3 = 73 2) 1 - + CFE ⋅ -------------1 + CFE ⋅ -------------1 = 53 E[proyecto] = – 100 + CFE 1 ⋅ ----------2 3 2 3 1,10 1,10 1,10 Con una esperanza positiva, podría recomendarse la elección del proyecto. 3) y 4) Estos dos apartados se pueden resolver fácilmente utilizando el Excel. 6.

3.000 + 8.000 VAN = -------------------------------------- = 5.500 2 ~

t z ⋅ σ [ VAN ] = 8.000 – 5.500 = 2.500 En las tablas de la normal 90 % = 100 % – 5 % – 5 % ⇒ ⇒ t z = 1,65 ~ 2.500 σ [ VAN ] = --------------- = 1.515,15 1,65 ~

~

VAN ∼ N ( 5.500; σ [ VAN ] ) 7.

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+ 13.500 VAN = 31.500 --------------------------------------------- = 22.500 2 ~

t z ⋅ σ [ VAN ] = 31.500 – 22.500 = 9.000 En las tablas de la normal 80 % = 100 % – 10 % – 10 % ⇒ ⇒ t z ⇒ P [ – 1,28 < z < 1,28 ] = 0,8 t z = 1,28 ~ 9.000 σ [ VAN ] = --------------- = 7.031,25 1,28

P [ VAN < 18.000 ] = tipificando = 18.000 – 22.500 = P z < -------------------------------------------= P [ z < – 0 ,634 ] = 0,7357 ~ σ [ VAN ] 8. Tenemos el proyecto inversor

Las tres filas (es decir, los cash-flows asociados a los países A, B y C) pueden razonablemente considerarse independientes entre sí, de acuerdo con Hillier. Según la “lógica de las filas”, tendríamos: VAN = VAN ( fila 0 ) + VAN ( fila 1 ) + … + VAN ( fila m ) = [ – 100 + 30 ⋅ ( 1,10 )

–1

+ 50 ⋅ ( 1,10 )

–2

–3

+ 80 ⋅ ( 1,10 ) ] +

= [ 30 ⋅ ( 1,10 )

–1

+ 40 ⋅ ( 1,10 )

–2

+ 40 ⋅ ( 1,10 )

–3

]+

= [ 20 ⋅ ( 1,10 )

–1

+ 30 ⋅ ( 1,10 )

–2

+ 30 ⋅ ( 1,10 )

–3

] =

2 ~

2

2

2

2

2

σ [ VAN ] = σ [ fila 0 ] + σ [ fila 1 ] + … + σ [ fila m ] 2

σ [ fila 0 ] = 0 + 10 ⋅ ( 1,10 ) 2

σ [ fila 1 ] = [ 0 + 10 ⋅ ( 1,10 ) 2

σ [ fila 2 ] = [ 0 + 8 ⋅ ( 1,10 ) 2

~

–2

–1

–1

2

+ 10 ⋅ ( 1,10 )

+ 20 ⋅ ( 1,10 )

+ 15 ⋅ ( 1,10 )

~

⇒ σ [ VAN ] = … ⇒ σ [ VAN ] = … o sea, ~

~

VAN ∼ N ( VAN; σ [ VAN ] )

–4

–2

–2

2

+ 15 ⋅ ( 1,10 )

–6

= …

–3 2

+ 20 ⋅ ( 1,10 ) ] = …

+ 15 ⋅ ( 1,10 )

–3 2

] = …

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Glosario estadístico Valor que se ha calculado sobre una muestra y que sirve para estimar datos de la población. E(VAN) Esperanza matemática del VAN; en este caso, el VAN se considera una variable aleatoria. incertidumbre Situación inherente a un agente económico y/o financiero que requiere más información de la disponible para tomar una decisión. PR Prima de riesgo. Premio recibido por aceptar el riesgo. riesgo económico o financiero Posibilidad de sufrir un perjuicio económico y/o financiero como consecuencia de una decisión tomada por un agente económico y/o financiero. TIR Tasa interna de rentabilidad; también se denomina tasa de rentabilidad interna. TLR Tasa libre de riesgo. TRD Tasa de rentabilidad (neta) deseada, denominada también TDA (tasa de descuento ajustada). VAN Valor actual neto. VANE VAN esperado. Modelo de selección de inversiones en ambiente de incertidumbre, consistente en calcular el valor actual neto de la esperanza matemática de los diferentes cash-flows probables que se consideran.

Bibliografía Bierman, H.; Smidt, S. (1993). The Capital Budgeting Decision. Economic Analysis of Investment Projects (8.a ed., cap. 3, 4, 5 y 7). Nueva York: Macmillan. Ceña, F.; Romero, C. (1989). Evaluación económica y financiera de inversiones Agrarias (pág. 127-142). Madrid: Mundi-Prensa Libros y Banco de Crédito Agrícola. Pardo, L.; Valdés, T. (1987). Simulación. Aplicaciones prácticas en la empresa (cap. 1). Madrid: Díaz de Santos. Pike, R.; Dobbins, T. (1986). Investment Decisions and Financial Strategy (cap. 7, 14 y 15). Nueva York: Phillip Allan. Samuels, J.M.; Wilkes, F.M.; Brayshaw, R.E. (1986). Management of Company Finance (cap. 4, 6 y 8). Londres: Chapman and Hall. Seitz, N.E. (1990). Capital Budgeting and Long-Term Financing Decisions (cap. 3, 4, 8 y 9). Chicago: Dryden. Van Horne, J.C. (1986). Financial Management and Policy. Englewood Cliffs: Prentice-Hall.

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