La méthode de décomposition des charges appliquées aux poutres, cadres, portiques, charpentes, etc.: Dite: Méthode B.U. Contribution a l’étude des systemes hyperstatic 9783486750492, 9783486750485

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LA MÉTHODE DE

DÉCOMPOSITION DES CHARGES DITE : MÉTHODE

B. U.

LA MÉTHODE DE

DÉCOMPOSITION DES CHARGES APPLIQUÉES POUTRES,

AUX

CADRES,

PORTIQUES,

CHARPENTES,

DITE

: MÉTHODE

B. U .

CONTRIBUTION

A L'ÉTUDE

DES SYSTÈMES

HYPERSTATIQUES

PAR

W.

L U D W I G

TRADUIT DE

A N D R É E

L'ALLEMAND

PIB'

JEAN

KESSLER DIOAnuuk

Avec

348

figures

dans le

texte

P A R I S ET L I È G E LIBRAIRIE

POLYTECHNIQUE

CH. BËRANGER

PABIS, 15, BUE DES SAINTS-PÈRES, 15 U ± Q E , 8, BUE DES DOMINICAINS, 8 1025 Tous droits réservés.

ETC.

AVANT-PROPOS

La méthode de décomposition des charges, sommairement appelée méthode B. U. (1), étudiée dans ce livre, fut déjà par ailleurs, mais seulement dans des cas particuliers, appliquée avec succès. Les renvois (2), (3), (4) attireront l'attention sur les publications parues. Moi-même, depuis longtemps, je me suis intéressé à la chose et j'ai utilisé pratiquement la méthode dans mes ouvrages (5), (6) et même beaucoup dans l'un de ceux-ci (7). Il ne s'agit pas précisément d'une théorie nouvelle ou particulière, mais plutôt d'un artifice (qui n'en a d'ailleurs que plus de valeur) à adapter et appliquer. La méthode est un expédient simplifiant considérablement le calcul des systèmes statiquement indéterminables ; et elle est d'autant plus féconde que leur degré d'hyperstatisme est plus élevé. 11 est facile de citer des exemples dont la résolution par les méthodes usuelles serait particulièrement pénible et qui, au contraire, par la méthode B. U., seraient traités avec la plus grande facilité. En outre, cette méthode offre l'avantage d'éclairer l'état statique — et souvent d'une manière surprenante — et de découvrir des effets qui, par d'autres méthodes, resteraient complètement cachés. Un autre avantage consiste en ce que la simplicité et la clarté des calculs exclut les fautes, tandis qu'autrement, et en particulier, là où le degré d'indétermination est élevé, il y a toujours risque d'erreur. La méthode est aussi bien applicable analytiquement que graphiquement à l'étude des lignes d'influence. Son application est seulement limitée aux systèmes symétriques ; mais comme les autres ne se présentent que rarement dans la pratique, on aura l'occasion de l'employer presque journellement. Toute(t) N.duT. — B. U., initiales des mots formant le substantif composé allemand Belastungtumordnung. (2) Léopold HEBZKA : Die dreifèldrige Rahmen. Der Eisenbau, 1915, n" 2. (3) Léopold HERZKA : Der zweittielige Dreifeldtrager. Zeitschrift für Betonban 1915, n° 12. (4) Léopold HERZKA : Die Berechnung von Stockwerksrahmen. Zeitschrift für Betonbau 1916, n° 7-10. (5) Die Statik de» Krar.bauet, 2* édition 1913. Éditeur R. Oldenbourg, Munich. Édition française 1924, parue à la Librairie Polytechnique Béranger, Paris. (6) Die Statik der Schwerlaatkrane, 1919, R. Oldenbourg, Munich. (7) Die Statik des Eittnbauei, 1914-1917, R. Oldenbourg, Munich.

AVANT-PROPOS

II

fois, la méthode peut être utilisée d'une manière approchée là où les constructions sont asymétriques; il suffira seulement d'un peu d'habileté pour compenser convenablement les asymétries et cela d'une manière quelconque. Il semblait donc désirable de faire connaître cette méthode à un cercle de collègues aussi étendu que possible. C'est ce qui m'a décidé à traiter ce sujet dans un ouvrage spécial. En présentant ce livre, je souhaite qu'il atteigne son but : faciliter considérablement la tâche des ingénieurs calculateurs. Cologne, janvier 1919. W.-L. ANDRÉE.

LA METHODE DE

DECOMPOSITION DES CHARGES CHAPITRE PREMIER APPLICATION DE LA M É T H O D E DANS LE CAS DE P R O B L È M E S T R A I T É S A N A L Y T I Q U E M E N T

Exemple 1. — Un (fig- 1).

cadre rectangulaire

supporté

en huit

points

Ce problème, plusieurs fois statiquement indéterminé, est choisi pour montrer les avantages particulièrement importants de la méthode B. U. Si l'on admet que tous les appuis sont mobiles horizontalement, on a dès lors à résoudre un problème renfermant sept indéterminées statiques. Par contre, si l'on suppose que tous les appuis sont fixes, on est en présence d'une huitième indéterminée. Remarquons tout d'abord que les indéterminées sont, en général, dans le cas de cadres à sections en âme pleine, faiblement influencées par les déformations dues aux efforts tranchants et aux forces normales. Par contre, les déformations causées par les moments fléchissants sont presque toujours déterminantes. En conséquence, les grandeurs en question seront toujours déduites de celles-ci. Le cadre en présence se compose de barres en âme pleine. La symétrie admise dans la construction nécessite que les sections des éléments symétriquement opposés soient égales entre elles. Le cadre est, d'après la figure 1, sollicité par une charge isolée. Un essai de résolution du problème à l'aide des méthodes usuelles — établissement de sept, respectivement huit, équâtions élastiques avec autant d'inconnues — montre, dès le commencement, que ce procédé trop laborieux peut, en pratique, à peine être suivi. Comme ANDRÉE. — Décomposition

des charges.

î

o

DÉCOMPOSITION

DES

CHARGES

grandeurs statiquement indéterminées on a : un moment, un effort, tranchant et une force normale dans l'une quelconque des sections du cadre, et, en outre, quatre, respectivement cinq, réactions d'appui. Décomposons maintenant le chargement P en quatre autres partiels I, I I , I I I et IV (fig. 2, 3, 4 et 5). Ceux-ci rassemblés donnent de nouveau le chargement initial P. Il s'ensuit que l'on peut traiter

î FIG.

i

,

4

$

*

1 jb

i Ht

Je

1.

peut être conduit à l'aide des équations de condition mentionnées plus haut. L'effet d'un changement de température également réparti dans l'arc correspond à l'état de chargement I. Il s'ensuit dans le sommet de l'arc un moment M et une force normale N. Exemple 2 2 . — Un arc en treillis

encastré

sur ses deux

retombées

(fig. 99). Le chargement est provoqué de nouveau par une force P inclinée suivant une direction quelconque. Comme dans l'exemple précédent, le problème est à trois indéterminées. Les deux chargements qui

remplissent encore ici leur but sont représentés figures 99 et 100. Le chargement I possède deux inconnues et le chargement II une seule.

A P P L I C A T I O N

A U X

P R O B L È M E S

TRAITÉS

A N A L Y T I Q U E M E N T

3 3

Chargement partiel I. — Conformément au but, introduisons comme inconnues la poussée horizontale X j et la tension de barre Xt.

En

raison de la symétrie du système et du chargement, les déterminations ne s'étendent qu'à une moitié de l'arc. Le calcul des inconnues peut être établi d'après les équations de travail : P x 8„„, -

^

X x x 8 aa - X ,

x 8n„ =

- x

«ta - x,

P 2 x x Ka 2 x Ou après introduction des déplacements : v 8 « ^ 5 Zu T F V

S

«

S

~ ~

X

» *

¿ T Ê "

V- V

v V ^ 5 l ^ ¥ E

X

Y

V

S

1

S

* *

V

=

0.

Si S** W ~

~

i T F

l

8bb

0

V

A u

Ci

~

~

Formules dans lesquelles on désigne comme quantités connues : P S 0 les tensions dues au chargement — dans le cas de X ! = 0 et X, =

0.

S! les tensions dans le cas du chargement X , =

— 1.

S2 les tensions dans le cas du chargement X , =

— 1.

s et F les longueurs et sections de chaque barre. L ' e f f e t d'un changement de température également réparti dans le treillis correspond de nouveau au chargement I en présence. C'està-dire, il engendre les grandeurs X j et Xg. Dans ce cas, il faut dans les deux dernières équations de travail remplacer le terme positif gauche par

l'expression

:

ot t x S S j s respectivement a t x ZS 2 s. Chargement

partiel

II.

—

L'effort tranchant X 3 est l'inconnue

statique agissant dans le nœud du sommet. Sa détermination est établie de nouveau à l'aide de l'équation de travail. Nous écrivons : P 2

^

° F »

°CC

Ou Y S ° S s S AJ FE ANDFÉE. —

Décomposition

des

~ *

charges.

v V ^ ' - n Z j T Ë ~ -

a

34

DÉCOMPOSITION

DES

CHARGES

Par conséquent Xa =

ZJFE On désigne de nouveau par : S 0 les tensions dues au chargement

P

dans le cas de X 3 = 0

Sx les tensions dues au chargement X 3 = — 1. Les calculs ne s'étendent de nouveau qu'à une moitié de l'arc. Exemple 23. — Un arc à montants multiples, encastré sur ses deux retombées et sollicité d'un côté et sur une certaine longueur par une charge uniformément répartie (fig. 101). Comme le précédent, le problème est à trois inconnues. Il est introduit ici pour montrer que la méthode s'applique encore à ce cas. Les FIG. 101.

FIG. 102.

FIG. 103.

chargements conduisant de nouveau ici au but sont représentés figures 102'et 103. Chargement partiel I: inconnues le moment M et la force normale N dans le sommet de l'arc. Chargement partiel II : inconnue : l'effort tranchant V au même point. Exemple 24. — Un anneau de section constante chargé par trois forces P„ P 2 et P 3 (fig. 104). L'équilibre demande que les trois forces concourent en un même point. Leurs grandeurs sont établies à l'aide d'un polygone de forces (fig. 105). Le problème est trois fois indéterminé. Dans chaque section on a

APPLICATION AUX P R O B L È M E S T R A I T É S AN AI.YTIQUEMENT

35

pour inconnues : un moment M, un effort tranchant V et une force normale N. D'après la méthode de calcul usuelle on devrait donc poser trois équations élastiques où entreraient M, V et N, et à l'aide de ces relations déterminer les trois inconnues. Mais pratiquement il ne peut être question de suivre cette méthode ; on serait conduit à des expressions toujours plus complexes devant être abandonnées dès les premières recherches. Mais à l'aide de notre méthode, la résolution est d'une surprenante simplicité. Nous arrivons à ramener la résolution du problème trois fois indéterminé à celle de trois autres indépendants entre eux et

Fia.

Fig.

105.

104.

# FIG. 106.

FIG. 107.

chacun des calculs ne renferme qu'une inconnue statique. Tout d'abord, décomposons le chargement en deux autres partiels I et II (fig. 106 et 107). La simplification est déjà sensible. Dans le cas du chargement I, on a uniquement pour inconnues dans la section m : un moment M et un effort tranchant V. Par contre, le chargement II n'engendre qu'une inconnue statique : l'effort tranchant V dans la section n. En outre, en raison de la symétrie du chargement, les déterminations s'étendent seulement dans chaque cas à une moitié de l'anneau ; c'est un nouvel avantage.

36

DÉCOMPOSITION

DES

CHARGES

Cependant, décomposons encore les derniers chargements. Nous obtenons I a , I&, I I a et II 6 (fig. 108, 109, 110 et 111). Le développement méthodique de cette décomposition est facilement reconnu. Il ne s'agit uniquement que d'une répétition du procédé indiqué exemple 12 dans le cas d'une charge isolée P. Ce qui alors fut entrepris

110.

Pie. 108.

FIG.

FIG. 109.

Fig. 111.

avec P doit l'être maintenant avec chacune des trois charges. Les chargements partiels I a , I b , I I a et II b , étant rassemblés, on obtient de nouveau le chargement original de la figure 104. Notre but est ainsi atteint. Nous sommes maintenant en présence de calculs isolés, ne renfermant chacun qu'une seule inconnue statique. Chargement partiel la. — Le moment Mm est inconnu. Chargement partiel ï b . — L'effort tranchant V m est inconnu. Chargement

partiel

Chargement

partiel

II a . — L'effort tranchant V n est inconnu. II6. — Isostatique.

Les figures 112, 113, 114 et 115 représentent encore une fois les états de chargements isolés, rapportés chaque fois à l'un des quarts

APPLICATION

AUX P R O B L È M E S T R A I T É S AN ALYTIQUEMENT

37

de l'anneau. Du fait que les déterminations dans chaque cas ne s'étendent qu'à un seul quart de l'anneau, il résulte une importante simplification des calculs. Après avoir recherché les grandeurs incon-

Fio. 112.

- 1

K

FIG. 114.

H, Pio. 113.

FIG.

115.

nues M,„, V m et V n , on détermine les moments dans le cas de chaque chargement partiel et l'on réunit ensuite les résultats. Dans chaque chargement partiel, et en concordance avec l'état de charges, les moments sont toujours symétriques et symétriquement opposés. Exemple 25. — Un anneau de section invariable (fig. 116) sollicité d'un seul côté par deux forces P.

FIG.

117.

-X

P

Hs-

—Ï- — -&-

Le problème est également dans chaque section trois fois statiquement indéterminé. Les inconnues sont : un moment M, un effort tranchant V et une force normale N.

38

DÉCOMPOSITION

D E S CHARGES

Décomposons tout d'abord le chargement initial en deux autres partiels I et II (fig. 117 et 118), puis faisons de même pour ces derniers. On a ainsi les états de charge I a , I& et II 0 , II b (fig. 119, 120,121

FIG. 121.

Fig. 122.

et 122). Nous avons ainsi atteint notre but, puisque nous avons ramené le problème trois fois statiquement indéterminé à trois autres ne renfermant chacun qu'une seule inconnue statique. Chargement partiel I a . — Le moment M,„ est inconnu. Chargement partiel I 6 . — L'effort tranchant V,(1 est inconnu. Chargement partiel II a . — L'effort tranchant V,; est inconnu. Chargement partiel II 6 . — Isostatique. Détermination des grandeurs inconnues : Chargement partiel I a (fig. 123). M,„ se calcule d'après fM» E J IIE Mf = £ x

y/2

X

bMl

ds = 0. v/2.

X r (1 — cos q>) — ^ x - j - x r sin

^

i ; zr

V

ei

t-î

o m

S fa

F i g . 168.

D'après les équations de condition précédentes, on obtient : Chargement partiel I :

Xx =

P

4

I* b2 (3 a + 2 b) + d* (3 c + 2 d) y

X 6 » ( 3 a + 2 6)

OH

M*

+ d2 (3 c + 2 d)

APPLICATION AUX PROBLÈMES TRAITÉS AN ALYTIQUEMENT

57

Chargement partiel II : I* + 2 d)^

b*(a + 2b) + d*(3c

P

X. = T

-

X

,

'

*°A

l f

Po

y

' ~

A

¡ x — i /

'la

1

APq** y

PIG.

172o.

- r - r f — ( f — y « *

' fy-Po/x.2 x^fi ooao PQ3&*

Poot*

fiçoû0

'PQOt*

Fia. 172 b.

Tous les moments sont positifs.

Chargement partiel III : -

X

s

?

,

X

A

. „ „ W - - T - - - / T

/I

6 M 3 a + 2 * ) (

r

cd*, ^

Z.®\

; + ^ ) + < * '

, „ V T - , (c +

. . I»

2 d)

/I (

I \

f

; + J ) .

Chargement partiel IV :

X

4

-

4

h* L cd2 I ___? ( a + 2 6) + -j— (c + 2 d) j

y

«

i

-

I

«

Soit un exemple numérique ayant les données suivantes : a = 3 m,

b = 2 m.,

c =± 1,5 m.,

d = 1 m.,

I x = I , = I, = 1«.

Il résulte des formules précédentes : Ao =

|(l+^)(l+3-|)=Px0,510

58

DÉCOMPOSITION DES

CHARGES

= r ( ' - i) ( ' + s i )

=

p

x

°'204

c-=r (• -1) (• - il) -p - °-082 En outre les équations relatives aux grandeurs hvperstatiques donnent : P 4

At — j

X

4 (3 x 3 + 2 x 2) + 1 (3 x 1,5 + 2 x 1) 4 (3 X 3 + 2 x 2) 2 + 1 (3 x 1,5 + 2 x 1) 2 = P

P ~ 4

x

X

0,125

4 (3 + 2 x 2) + 1 (3 x 1,5 + 2 x 1) / 49 v 4 ( 3 + 2 x 2 ) 2 + 1(3 x 1 , 5 + 2 x l ) i l + g-) = P x 0,088 4x35 15x1 - j y - ( 3 x 3 + 2 x 2 ) + ^ r (1,5 + 2 x l )

p X» =

4

x

3 7 12,25\ " 4(3x3 + 2 x2)(l + + 1(1,5 + 2 x 1 ) 2

= P x 0,089 4 x 3,5 ^ „ „ 1,5 x 1 -1^-(3 + 2x2)+-^r(l,5 + 2xl)

p X4=^x

"T2,25\~" ' / 49 \ 4 ( 3 + 2 x 2) [ i + 1 (1,5 + 2 x l ) ( l + j J = P x 0,082.

Les réactions réelles X a , X b , Xc et X d résultent de l'addition suivant les signes des grandeurs partielles. On a X„ Xb Xc Xd

= = = =

P (0,125 P (0,125 P (0,125 P (0,125

+ +

0,088 0,088 0,088 0,088

+ + -

0,089 0,089 0,089 0,089

+ + -

0,082) 0,082) 0,082) 0,082)

= = = =

P P P P

x x x x

0,384, 0,044, 0,030, 0,042.

Les valeurs sont reportées figure 172 a. Les moments et efforts tranchants sollicitant le support sont

APPLICATION

AUX P R O B L È M E S T R A I T É S A N A L Y T I Q U E M E N T

59

ensuite facilement obtenus. Il suffit de déterminer ces valeurs pour chaque chargement et d'additionner les résultats en tenant compte des signes. Les moments résultants sont représentés figure 172 b. Exemple 80. — Un anneau reposant horizontalement appuis et supportant d'un côté la charge P (fig. 173 a).

sur

quatre

Cet exemple est tout un problème. Il ne s'agit plus ici de flexion simple ; la sollicitation de ce support est désignée au mieux par l'expression « voilement ». Ce cas est pratiquement d'une grande importance et sa résolution par une méthode compréhensible et facilement applicable paraît être nécessaire. Mais comme un calcul rigoureusement exact peut à peine être établi, on devra se contenter d'une résolution approchée.

La section de l'anneau est représentée figure 173 a. Elle se compose donc d'une âme verticale et de deux ailes horizontales. Si l'on admet que des forces radiales t sollicitent chaque point de l'arc dans les deux ailes horizontales, il en résulte que la paroi verticale est statiquement semblable à une poutre habituelle, et on peut la supposer s'étendant dans le plan. Considérons un élément de l'arc encastré en m (fig. 173 b) et sollicité en a perpendiculairement au plan de la figure par une force P-

60

DÉCOMPOSITION

DES

CHARGES

Le moment en un point quelconque (si s désigne la longueur d'arc séparant ce point de a) est M ? = P s = P r cp. Si a est la hauteur de la poutre (fig. 173 a), les tensions dans les membrures au point considéré s'élèvent à „ M» P r S = — - • = — x . D'où pour un élément de force infiniment petit 1

l2 — 2 m

FIG. 243.

h Vf

FIG. 244.

FIG. 245.

•Î

FIG. 246.

Cette expression peut, comme toujours, être facilement représentée graphiquement. Les ordonnées de la construction sont reportées figure 243 sur une horizontale. On a Mm — ^ x k ''îi > Détermination de la ligne d'influence du moment M„ en un point n de la travée extrême de la poutre.

APPLICATION

AUX

LIGNES

D'INFLUENCE

Si l'on suppose les charges

(CHARGES

MOBILES)

93

placées entre les points n, on a le

moment Mn = | X l ° ^

n

X n -

X 0 " X £ X n.

En raison de la prochaine réunion des résultats des deux chargements partiels, on doit donner à cette expression le même facteur de parenthèse que celui obtenu dans le chargement partiel I, c'est-àP dire J X n. Il s'ensuit P

H, - 2 n

,„

It 1

Cette expression est représentée par la ligne dessinée figure 244. On doit avoir P M„ = 2 X n V. Composition des résultats des deux chargements

partiels.

Moment Mm au point m : Les ordonnées des figures 238 et 243 sont à additionner suivant leurs signes. On obtient dès lors la ligne d'influence, représentée figure 245, pour une charge P ( = 1) mobile sur la poutre. Le moment cherché est 1 Mm = P x 2 x h 7). Dans le cas de plusieurs charges Mm =

[ P i 1 i + P . * + «.]•

Pour obtenir les moments maximum positifs ou négatifs, il faudra amener les charges dans les domaines d'influence correspondants. Moment Mn au point n : Additionner les ordonnées des figures 239 et 244. Il en résulte (fig. 246) la ligne d'influence pour une charge P ( = 1) mobile sur la poutre. Le moment cherché est 1 Mn = P X k X n T).

94

DÉCOMPOSITION

DES

CHARGES

1 M„ = 2 X n [Pi Y)i + P j 7]2 + ... ].

Ou

Finalement recherchons encore les lignes d'influence des réactions d'appuis X „ et A (fig. 229) dans le cas d'une charge mobile P ( = 1).

Xo' Llnle = Lipne Xa'. — Ai Linie = Ligne Ai. — Xi Unie - LisneXi. Ligne d'influence

de Xa' :

Additionner les ordonnées des figures 236 et 242. Reporter les valeurs ligure 247, et obtenir ainsi l'ordonnée 1 sous l'appui. On a X0< = P Y], ou X„' = P 1 ïl 1 + P,Kh + . » .

APPLICATION

AUX

Ligne d'influence

LIGNES

D'INFLUENCE

(CHARGES

MOBILES)

95

de A, :

Le chargement partiel I donne A,= ^ - X

a

' = ? x

[1 - V ] -

Cette expression est à représenter graphiquement. Le chargement partiel II donne Ai =

lxT0-

x

"

x

T0 = 1 [T0 -

x

Additionner les ordonnées des deux figures. La ligne étant dessinée à nouveau, on trouve la solution cherchée par l'ordonnée 1 sous l'appui (fig. 248). On a Ai = P V]! respectivement A, = PxTh + P2>]2 + ... La figure 249 donne à nouveau la ligne d'influence de la poussée horizontale Xb au pied du poteau (voir fig. 237). Cette poussée s'élève à 1 X„ = P X ^ X f], ou xfc = 5 [ P i m +

+ •••]•

Si l'un des deux appuis extrêmes de la poutre (ou les deux) est fixé horizontalement, le problème devient quatre fois indéterminé. Il en résulte une nouvelle poussée horizontale aux pieds des poteaux apparaissant dans le chargement II. Ce chargement est donc encore deux fois indéterminé et les inconnues sont X „ " (vertical) et X 6 ' (horizontal). La résolution s'opère de même façon que dans le chargement partiel I. L'effet d'un changement de t e m p é r a t u r e sur le système que nous étudions peut être établi sans plus à l'aide des déplacements des pieds de poteaux, trouvés figures 233 et 235. Il suffit d'insérer dans les deux relations (équations élastiques indiquées plus haut) a p p a r t e n a n t au chargement partiel I et à la place des déplaceP ments provoqués par les charges tj, les déplacements des pieds de

96

DÉCOMPOSITION

DKS

CHARGES

poteaux engendrés par le changement de température. On obtient ~ X / 8 a a — X„ 8ub = 0 —

&ab ~ ^b &bb = 0-

Y /

^ tm al — ^bm c

D'OÙ

~ Y x

" -

^hm a2 c

•

Les déplacements provoqués par le changement de température s'élèvent à : verticalement Km = « i A,

horizontalement

Obin — 1 x 35,53;

116

DÉCOMPOSITION

DES

CHARGES

Si 7} désigne maintenant les ordonnées de la ligne élastique mesurées sous la paire de charges mobiles, on a x » - ? — x — 4 ^ 8 / ' 4

x

35,53

Pour obtenir la ligne d'influence cherchée de l'effort tranchant X x dans le cas d'une charge mobile P (fig. 278), on utilisera les résultats des deux chargements partiels ; par conséquent, on composera la ligne d'influence de I et celle de I I : P t{ Xx = X / + X x " = X +

P

FIG.

7)" X £-7,

296.

Fio. 297.

Lors de la composition des lignes élastiques, on devra donc multiV plier les ordonnées de la ligne II par le facteur -çy,. Dans notre cas, 35,51 3 5 ^ 3 = 1/5 On obtient finalement (fig. 297) le résultat cherché. Si tj désigne l'ordonnée de la ligne, mesurée sous P, on a Xi = P X T"F7 W r r = P X 142,04 4 V = p * x ~ 47 —x r 35,51 Dans le cas de plusieurs charges 1 X i — 4 4 2 0 4 [P* 7 !* + P«7!« + •••]• Chargement partiel I (fig. 279). Détermination de la ligne d'influence

de P effort tranchant

X 2 ' au

APPLICATION

AUX

LIGNES D'INFLUENCE

(CHARGES MOBILES)

117

milieu du deuxième montant, dans le cas d'une paire de charges P mobiles Attendu que les développements qui vont suivre ne sont que la répétition des précédents, nous nous contenterons de les résumer. Figure 298 : moitié supérieure de la poutre avec la force X,' = — 1 et les grandeurs inconnues X / et X 3 '. Figure 299 : chargement du système par Xt' = — 1, _ 300 : X/, 301 : - X s '. I

Fig. 298.

r

r

y

*

*

*

/frt^rm

j-rpi

x,

DÉPLACEMENT EN 4. i^tà?

.fj ^

"i

Mil

Çl&À*

-jç.JLÎÎ

DÉPLACEMENT EN 4

. ¿ J ^ . Ç . F G

PIG. 2 9 9 .

Fia.

FIG. 3 0 0 .

301.

Les déplacements élastiques sont écrits en-dessous de chacune de ces figures. On doit avoir : Au point 1 :

1

X

2 ah2 - j j -

x

-

h»

- Xx

X

3 ah* - ¿ j -

a

A

* _

- A, x ¿-j- - U.

Au point 3 : 1

x

rrt

yi X

~

' xx —* 41 2 ~

XX s

' x x - ^ - - AXa ' xx — - 0 24 i x 41 2 - u -

Ou X / ^3 a + g X / a + Xs'

x ( a

+ X 3 ' a =• 1 x 2 a, +

|

X

=

1 X a.

Les nombres donnent : X/ X/

x 13,20 + X 3 ' x 4,00 = 1 x 8,00, x 4,00 + X s ' x 5,20 = 1 x 4,00.

f

t

118

DÉCOMPOSITION DES CHARGES

D'OÙ

X / = 1 x 0,48632, X 2 ' = 1 x 0,39514. Détermination des moments dans la membrure : Au nœud 1' : h

M = - 1 x 0,48632 x ^ = Au nœud 2

/

1 X 1,16717.

.

M = 1 x ^ (1 - 0,48632) = 1 x 1,23283. A

Au nœud 3' :

M = 1 X 2 (1 - 0,48632 - 0,39514) = 1 x 0,28449. Les valeurs sont reportées figure 303.

i

T

n

91200-

24X-3

Déplacement total : V = 1 X 14,56628 + 1 x 6,91200 = 1 x 21,47828 = ^ 1 x

21,48.

On a 4 Chargement

4

21,48'

I I (fig. 280).

partiel

Détermination

V

de la

ligne

d'influence

de Veffort

tranchant

X2"

au milieu du deuxième montant dans le cas de la paire de charges mobiles

P

Figure 305 : Moitié supérieure de la poutre avec la force X 2 " = — 1 et les grandeurs inconnues X / ' et X3". Figure 306 : chargement du système par X 2 " = — 1, -

307 :

-

-

-

X/',

-

308 :

-

-

-

X3".

Les déplacements élastiques sont inscrits en dessous de ces figures. On doit avoir :

120

DÉCOMPOSITION

Au point 1 :

24Tx +

Xi

x

t i t

s

~

ft* 1

TIT

3 ah2

„

~

1 X

CHARGES

2g

h*

2 X 1 X

DES

x

2 A» '2n; ~

X

3 h*

24ï; " A,

a 3

x

n ;

_

~

Au point 3 : 2 X 1 X

~

h3

24

XXl " Xx —

g-

X;

X^ -

I 3

Aj £ )(*

FIG.

_ XXs " Xx —

4 I, ~- U 0

Xj

2 1 taJ)2 î j ,

•

0

h*

306.

*

24 Ii

/w>,3°7 r" 51111111 M n 11111111

I< Ji- i> aL

D é p l a c e m e n t en 3 ? ^ h_3 -r '2-J,

2h

X

j-

(•

-•1 en 1 21 M3.1

y "

Xl

24

"» ? : 111 : •. 11 ' 111

Déplacement

ah*

4 I2 ~

_ As X " xX —

4 I,

1

'

+ 1 X

i L ?! i X j

J

Jk

. ZX^ ¿J? X"2^¿J'2 ' Ï T j , ' i ;2

4

FIG.

A

Xf r" -h

X'iAP

'

y" £_àJ x' aJl* A '*•> * 4%

X" là.3 ' AJ

307.

FIG.

TTTTT

2

2Sj ILâî

X" QL À Z 3 0 J-

A

308.

Ou

X," X 3 ( .

+

( « + 1 *

|

X

{j) + X," (a + i x

X

g ) - 1(2 . + 1 x

>" ( « : + ' M - : ) =

1

(« + I *

Les nombres donnent :

X/' x 15,60 + X3" x 6,40 = 10,40, V x 6,40 + X 3 " x 7,60 =* 6,40.

D'où

Xx" = 1 x 0,49072, X3" = 1 x 0,42887. Détermination des moments dans la membrure : Au nœud 1' :

M = - 1 x 0,49072 x \ = - 1 x 1,17773.

ï }

APPLICATION

AUX LIGNES D ' I N F L U E N C E

(CHANGES MOBILES)

Au nœud 2' :

M = 1 x 2 (1 - 0,49072) = 1 x 1,22227. Au nœud 3' :

M = 1 x ^ (1 - 0,49072 - 0,42887) = 1 x 0,19298. Les valeurs sont représentées figure 310. FIG. 309.

J . „L _L \

FIG. 310.

'

,

1X1 ITi 1\

fr.QiSoe

£

ft

:

Fig. 311.

FIG. 312.

Les surfaces des moments sont

Fx == 1 x 1,17773 x 4 = 1 x 4,71092, Fj = 1 x 1,22227 x 4 = 1 x 4,88908, F s = 1 x 0,19298 x 4 = 1 x 0,77192. Les déplacements des nœuds s'élèvent à : Nœud 1' :

- 1 x 4,71092 x 2 = - 1 x 9,42184 1 x 4,88908 x 6 = 1 x 29,33448 1 x 0,77192 x 10 = 1 x 7,71920 yj! = 1 x 27,63184 Nœud 2'

1 x 4,88908 x 2 = 1 x 0,77192 x 6 = = =

9,77816 4,63152 1 x 14,40968

1 x 0,77192 x 2 = Yja =

1 x 1,54384 1 x 1,54384.

Nœud 3'

121

122

DÉCOMPOSITION

DES

CHARGES

Figure 311 : Représentation des ordonnées. Figure 312 : Représentation de la ligne élastique, la base étant horizontale. Déplacement horizontal du point d'application de X 2 " = — 1 : 1 x 4,88908 x 2,4 + 1 x 0,77192 x 2,4 = 1 x 13,58640.

1 x

h3

h8

24 x

^ + 1 x 0,16082 x -

24 x j j

1 x 6,91200 + 1 X 1,11159 = 1 x 8,02359. Déplacement total : 8," = 1 X 13,5864 + 1 x 8,02359 = 1 x 21,60999 = *

1 x 21,61.

On a

V - r ' x Î - ï x

21,61

FIG.

313.

FIG.

314.

La ligne d'influence cherchée de X, s'obtient en composant les résultats partiels : X2 - X / -(- X 2 " -

P 4

X

V P V + 4 1

v X

Représentation de la ligne (fig. 314). Pour une charge mobile P sur la poutre, cm a X

*~

P

X

4 V

_ P X

85,92*

Ou X2 =

g ^ Q2 t ^ I 7 ) ! +

+

•••]•

APPLICATION

AUX L I G N E S D ' i N F L U E N C E

(CHARGES MOBILES)

123

Chargement partiel I (fig. 279). Détermination de la ligne d'influence de l'effort tranchant X 8 ' au milieu du troisième montant dans le cas de la paire de charges mobiles P

2' Figure 315 : moitié supérieure de la poutre avec la force X 3 ' = — 1 et les grandeurs inconnues X / et X / . Figure 316 : chargement du système par X s ' = — 1, 317 : - X/, 318: - X/. /

FlG 315

-

-

•r r JC X X T 1 7 X J ' ^ rt Q.-1 r, r. irrmTk ^ r m i i p i i i i i M . : - .

i

r

i

r r K

.

Déplacement

en 1

4M''

Déplacement

en 2

t. gg

h-J,

r -C

i

ffilllill'lilllt

i 4

Ji

* ,,

-


^ 1 x 23,04.

rr

Er Xw 1 4 23,04

/ T

La ligne d'influence cherchée de X 3 s'obtient en composant les résultats partiels : "V /

3— _ p ~ 4

—

V

V V

X

= P x

^

"

P 4

+

'

X

2L 83"

+ vf

x|C

La ligne est représentée figure 331. Pour une charge mobile P sur la poutre, on a X a

Et Xa

~

P

X

4 V

_

P

X

78,72'

78,72 [ P i l i + P2v)2 + ...]•

APPLICATION

AUX

LIGNES

D'INFLUENCE

(CHARGES

MOBILES)

1 2 9

Ligne d'influence de Veffort tranchant X 4 au milieu du quatrième montant. Par les résultats précédents, la grandeur X 4 est déjà connue. Il faut observer que dans les chargements partiels I aucun effort tranchant n'apparaît au milieu du montant médian ; il existe seulement pour les chargements partiels II des figures 288, 305 et 322. La grandeur X 4 est simplement formée par la somme des grandeurs statiquement indéterminables X / ' , X 2 " et X 3 " obtenues dans ces chargements partiels. Par conséquent : X4 =

[Xj" + X2" // O // H?!- + 2 y -

-

x

-

P

=

4 L v

X

2 ^ 7 ,

X3"] 2 //

+ | V)I"

S2" +

H

^

-I

1

8 3 "8J '

V

X

v

= P

= p x ^

1

x

%

s*" J

35,53 // ~ 21,61 - f)3

21/'[ 2 x 35^3 [V

X

// -

[V + V

X

35,'53 23,04

X 1,645 - V ' X 1,545].

La ligne d'influence est représentée figure 344. On a X l =

P

X

7p6'

Dans le cas de plusieurs charges X

1

[ p i*)l +

4 =

P

2

+ ...]•

Ligne d'influence du moment M 3 ' dans la membrure immédiatement à gauche du nœud 3'. D'après la figure 335, et en plaçant la charge P au nœud 3', nous avons

», / 3

P

2 P 2 2

X

XX

*

1 J l X

x

« -

X x~

x

vi x

P 2

X

h

2 ~ 7h 2 8/

(Cf. les fig. 297 et 314.) M3

'

=

%

k + 2 [ " T ~ 4 V V ^ S2'

ANDRÉE. — Décomposition des charges.

v2

X

X

h

x

h 2

2 P 2

X

YJ, 2 V

130

DÉCOMPOSITION

M ' - P x — T —

DES

CHARGES

x

^

„

On avait V = 35,51 et V = 21,48. Le premier terme de la parenthèse est représenté par le triangle 1' — 3 " — 1' (fig. 336). Le deuxième représente les ordonnées de la K FIG

-

332

-i K

L J G %S

Pio. 333.

i

%

l


]i + Pt-rk + •••]•

Exemple 88. — Arc à montanti multiples encastré sur ses deux retombées, avec une articulation en son milieu (fig. 338). Recherchons la ligne d'influence du moment en une section m de l'arc pour une charge P mobile sur la voie de roulement horizontale. Ce problème est doublement statiquement indéterminé. Introduisons

APPLICATION

AUX LIGNES D'INFLUENCE

(CHARGES M O B I L E S )

131

comme inconnues la poussée horizontale H et l'effort tranchant vertical V dans l'articulation. Nous négligerons comme toujours la

faible

influence sur les grandeurs statiquement indéterminées des déformations dues aux efforts normaux et tranchants.

Décomposons de nouveau le chargement P en deux autres partiels I et I I (fig. 339 et 340). Dans le cas de I, seule apparaît une poussée horizontale H dans l'articulation du sommet ; tandis que pour le chargement partiel I I seul l'effort tranchant vertical V est en présence. Chargement

partiel

I.

Chargeons l'articulation de l'arc par la force H = — 1, dessinons la ligne élastique verticale et recherchons le déplacement horizontal 9.

132

DÉCOMPOSITION

DES

CHARGES

correspondant 8 a o ' du point a (fig. 341). Désignons par S m a ' les ordonnées de la ligne élastique, mesurées sous les charges

P

on a ainsi

P * ' H = - x — . 2 Sa,,' Le moment dans la section m, si les charges sont amenées au milieu de l'arc, se détermine par p Mm

'

=

2

X n

X

" - 2

H

~

ou P Mm/ = 2 =

2

P

X

X

S ^

' X y

¿ 7 [ j x 8aa' -

w ] -

Cette expression, comme le montre la figure 342, peut être sans plus représentée graphiquement. La surface hachurée donne la ligne d'inP fluence du moment en m pour la paire de charges mobiles ^ • Chargement partiel II : Supposons maintenant l'arc chargé en son articulation par la force V = — 1. La ligne élastique verticale en résultant est la ligne d'influence de la grandeur V dans le cas de la paire de charges mobiles P «- . On doit avoir (fig. 343) vV - - Xv ~ 2 SJ'-

^

Si les charges sont de nouveau ramenées jusqu'au sommet de l'arc, on obtient pour la section en m un moment Mjn" = ^ x « — V n. P = 2

x

71

~

P 2

X

&TOO" S-7"' X

n

'

Ou bien, attendu que le facteur de la parenthèse doit être le même que celui de l'équation du chargement partiel I „ P M " = s- x - A T - Xx S a a *aa' L y

m a "x x ^

au,"

x-1 y j

APPLICATION

AUX

LIGNES

D'iNFLUENCE

(CHARGES

MOBILES)

133

Cette expression peut comme toujours être facilement représentée par le dessin (fig. 344). E n composant les lignes des figures 342 et 344 on obtient la ligne d'influence cherchée du moment au point de l'arc m pour une charge mobile P (fig. 345). Si r, désigne l'ordonnée de la ligne, mesurée sous la charge, on a :

Mm = P x 1ttI—, X t\. "aa

Plusieurs charges donnent Mm =

[PxVH + P 2 v] 2 + ...]•

Bien entendu, on peut appliquer, et avec a u t a n t d'avantages, la méthode B. U. à l'étude des lignes d'influence de poutres en treillis. Exemple 39. — Un portique double encastré à ses pieds (fig. 346). Nous avons donné, exemple 37 (Poutre Vierendeel) et en liaison avec la méthode de décomposition des chargements, une autre méthode a y a n t pour but de simplifier le problème. Elle consistait en ce que : la charge 1 étant introduite à la place d'une grandeur indéterminée, on calculait pour ce chargement les autres grandeurs statiquement indéterminées ; et l'on obtenait ainsi pour l'état de chargement 1 la ligne élastique du système représentant alors la ligne d'influence de l'inconnue cherchée. E n outre de la simplification résultant de la méthode B. U., ce procédé soustrait une inconnue statique a u x équations élastiques ; aussi doit-on, dans tous les cas, rechercher son application, en particulier pour la résolution des problèmes à l'aide des lignes d'influence. Donnons rapidement la marche de calcul du présent exemple. Le problème est six fois statiquement indéterminé. Il s'agit de déterminer les lignes d'influence des inconnues statiques dans le cas d ' u n e charge mobile P sur la poutre. La résolution du problème à l'aide de la m é t h o d e habituelle (établissement de six équations élastiques) demanderait beaucoup de t e m p s et de peine et p r a t i q u e m e n t serait à peine possible» Formons t o u t d'abord de nouveau les deux chargements partiels I et II (fig. 347 et 348), Le chargement partiel I est 3 fois statiquement indéterminé, et il en est de même de II. Dans chaque cas et aux p o t e a u x extrêmes on a les grandeurs statiquement indéterminées H lf et

134

DÉCOMPOSITION

DES

CHARGES

Mx, respectivement H2, V2 et M2. La solution serait déjà possible maintenant, sans difficultés particulières. Toutefois, on a encore 3 équations élastiques, d'où complications pour l'établissement de lignes d'influence. Recherchons la ligne d'influence de la poussée H et chargeons le système à la place de H par la force H = — 1. On n'a plus dès lors qu'un problème deux fois statiquement indéterminé, puisque seules les FIG.

346.

M*

H

p

f

P -I.

sP Ai

i

v, FIG.

347.

14 •

a

£ FIG.

348.

inconnues V et M sont opérantes. Le calcul de ces grandeurs à l'aide de deux relations élastiques est facilement réalisable. Ceci étant, il ne reste plus qu'à dessiner la ligne élastique de la poutre, et en même temps à déterminer le déplacement de la base du poteau dans la direction de H. Désignons-le par 8 a a ; et si 8 mo représente l'ordonnée de la P ligne élastique mesurée sous la charge r , on a, comme toujours

On opère de même pour rechercher la ligne d'influence de l'inconnue statique V. Chargement du système par V = — 1. Calcul des inconnues H et M apparaissant dans ce cas. Ensuite établissement de

APPLICATION

AUX

LIGNES

D'INFLUENCE

(CHARGES

MOBILES)

135

la ligne élastique de la poutre pour l'état V = 1. On a de nouveau V -

- x

Enfin, il reste M et l'on a M = - x —• 2 S,* où S^ désigne la rotation du point de base pour l'état de chargement M = - 1. En raison de la symétrie du chargement, les développements dans chaque chargement partiel s'étendent seulement à une moitié du cadre. Les lignes d'influence de chaque chargement partiel étant trouvées, on additionnera les ordonnées suivant leurs signes et on aura finalement les lignes cherchées des six inconnues statiques He, H r , Ve, V r , respectivement Me et Mr dans le cas d'une charge P mobile sur la poutre.

TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE P R E M I E R Application de la méthode dans le cas de problèmes traités analytiquement. Pages

Exemple

1. — Un cadre rectangulaire, supporté en huit p o i n t s . . . .

1

Exemple

2. — Poutre continue sur trois appuis

4

Exemple

3. — Poutre continue sur trois appuis, sollicitée par deux charges isolées

6

Exemple

4. — Poutre continue sur trois appuis, dont une travée reçoit une charge uniformément répartie

7

Exemple

5. — Poutre continue sur trois appuis et soumise à l'action d'une charge répartie suivant la surface d'un triangle.

9

Exemple

6. — Poutre encastrée à ses deux extrémités et sollicitée par une charge concentrée P ~

II

Exemple

7. — Poutre continue sur quatre appuis et sollicitée par une charge concentrée P .

13

Exemple

8. — La même poutre, mais sollicitée par trois charges concentrées

14

Exemple

9. —• Poutre en treillis reposant sur quatre appuis

15

Exemple 10. — Un groupe de charges.

16

Exemple 11. — Charge uniformément répartie sur une certaine longueur

17

Exemple 12. —Cadre rigide sollicité unilatéralement par P Exemple 13. — Le même cadre, mais ses quatre coins sont reliés à des articulations fixes

17 22

Exemple 14. — Un cadre analogue aux précédents, mais sollicité latéralement par une charge concentrée P

24

Exemple 15. — Un cadre double sollicité unilatéralement par P . . . .

25

Exemple 16. — Un cadre

27

Exemple 17. —• Le même cadre que le précédent, mais les coins sont raides

27

Exemple 18. — Un portique fermé construit comme un cadre rigide. . .

29

138

TABLE

DES

MATIÈRES Pages

Exemple 19. — Un cadre rigide chargé unilatéralement par plusieurs forces Exemple 20. — Un portique fermé chargé d'un seul côté par P Exemple 21. — U n arc encastré à ses deux extrémités Exemple 22. — Un arc en treillis encastré sur ses deux r e t o m b é e s . . . Exemple 23. — Un arc à montants multiples, encastré sur ses deux retombées et sollicité d'un côté et sur une certaine longueur par une charge uniformément r é p a r t i e . . . . Exemple 24. — Un anneau de section constante, chargé par trois forces. Exemple 25. — Un anneau de section invariable, sollicité d'un seul côté par deux forces Exemple 26. — Un anneau de section constante, sollicité par trois forces. Exemple t7. — Un support composé de deux poutres en croix continues. Exemple 28.—Poutraison d'un plancher Exemple 29. — Un support composé de poutres continues en c r o i x . . . Exemple 30. — Un anneau reposant horizontalement sur quatre appuis et supportant d'un côté la charge P (Voilement.). . . Exemple 31. — Un plateau rigide, rectangulaire, supporté en ses quatre coins et chargé de côté par P Exemple 32. — Ponton de grue flottante Exemple 33. — Charpente octogonale en treillis et en forme de tour. .

29 30 31 32

34 34 37 45 49 51 54 59 67 70 80

CHAPITRE II Application de la méthode aux lignes d'influence. (Charges mobiles.) Exemple 34. — Une poutre de section invariable encastrée à ses deux extrémités Exemple 35. — Une poutre à trois travées et deux béquilles Exemple 36. — Une poutre à trois travées et deux béquilles Exemple 37. —• Une poutre droite à plusieurs panneaux (poutre Vierendeel) Exemple 38.—-Un arc à montants multiples, encastré sur ses deux retombées, avec une articulation en son milieu . . . . Exemple 39. —- Un portique double encastré à ses pieds

4268-11-25. — IMP. P. CTJBREUIL ET A. LAROCHE, 18, ROE CLAC2EL, PAB1S.

82 85 96 107 130 133