Introduzione alla logica. Linguaggio, significato, argomentazione 8800860982, 9788800860987

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ISBN 978—88-00-86098-7

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Realizzazione editoriale Coordinamento redazionale Alessandro Mongatti Progetto di copertina Walter Sardonini/SocialDesign Srl, Firenze

Prima edizione Giugno Ristampa S

4

2009 2012

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2013

La realizzazione di un libro comporta per ['Autore e la redazione un attento lavoro di revisione e controllo sulle informazioni contenute nel testo, sull’iconografia e sul rapporto che intercorre tra testo e immagine. Nonostante il costante perfezionamento delle procedure di controllo, sappiamo che è quasi impossibile pubblicare un libro del tutto privo di errori o refusi. Per questa ragione ringraziamo fin d’ora i lettori che li vor-

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Città di Castello (Perugia)

Indice Prefazione

IX

Introduzione

................... .................. ..................... ................

Forma logica e livelli logici Dalla forma logica alla semantica Sui limiti della logica classica Completezza e complessità logica

Dal linguaggio naturale alla

\IGDNJH

.

..

struttura

.

.

13

logica

Analisi logica: gli enunciati atomici 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

10

.................... .............. ........... .................... ................ ............................. .......... ............... ...... .............................. ................ ......... .................. .................. ......... ..................... ............................

Enunciati atomici: esempi Forma logica degli enunciati atomici Semantica intuitiva degli enunciati atomici Nomi semplici e composti Precisazioni sull’ontologia logica Glossario

15 15

18 20 23 26 27

Analisi logica: le operazioni di connessione 2.1 2.2 2.3 2.4

2.5 2.6

2.7

Introduzione: esempi e loro formalizzazione 2.1.1 Iterabilità dei connettivi. Convenzioni sulle Il significato classico dei connettivi

parentesi

.

Tautologie e inferenze corrette a livello enunciativo Esercizi 2.4.1 Esercizi di formalizzazione 2.4.2 Esercizi sulle tautologie e le inferenze 2.4.3 Verifica informale delle tautologie e delle inferenze A cosa serve il bicondizionale

Altri connettivi: le modalità 2.6.1 Sulla semantica delle modalità aletiche 2.6.2 Ancora modalità Glossario

.

55 56 59

3

Analisi logica: quantificatori 3.1

3.2 3.3 3.4

3.5

3.6

II \h

............. ......... ......... ............................ ........................ .......... ................... ....... ............... ................. ........... .............................

Quantificatori universali ed esistenziali 3.1.1 Il significato classico dei quantificatori 3.1.2 Quantificatori numerici e altre varianti Sull’identità

Descrizioni definite Silloge delle nozioni sintattiche e semantiche 3.4.1 Cos’è un linguaggio? 3.4.2 Cosa significa interpretare un linguaggio? Complementi ed esercizi riassuntivi 3.5.1 Quantificatori e Anafora 3.5.2 Modalità de dieta e modalità de re Glossario

Verità e conseguenza logica: il metodo di Beth

............................ ................... ................. .................... ............................... ........... ............. .................... ................ .......

Introduzione

Un primo assaggio informale Una semplificazione notazionale Altri due esempi informali Alberi Ancora due esempi, un po’ meno informali 4.7 Come si costruiscono gli alberi di Beth 4.8 Controllo della tautologicità via alberi di Beth: esempi ed esercizi 4.9 Modelli, consistenza, correttezza 4.9.1 Alberi con più di una formula alla radice 4.9.2 Verifica della consistenza di un insieme di enunciati 4.9.3 Verifica della correttezza di un’inferenza 4.10 Glossario

.

........

5.1 5.2 5.3 5.4

5.5 5.6

5.7

.

............................. ............................ ........................ .............. ........................ ....................... ........................... ................... ........................... .............................

Alberi di Beth per la logica dei predicati Introduzione

Un primo esempio Regole di analisi per i quantificatori Esempi ed esercizi Un limite intrinseco Complementi 5.6.1 Formule con funtori 5.6.2 Identità Glossario

61 64 65 67 70 71

72 74 78 78 79 89

91

Alberi di Beth per la logica enunciativa

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

61

93 93 95 97 99 104 107 112 116 126 127 128 130 132

133 133 135 142 145 152 157 157 159 161

III 6

Complementi e strumenti La sillogistica 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

6.7 6.8 6.9

7

163

..................... ................... ..................... .................. ........................... ............................ ................ .................. ............................. introduttive ..................... ..... ...................... ........... '. ....... .......... ........... ................ .................. .................. ................. ..................... ....................... .............. ...................... ................ ............... .............................

Proposizioni categoriche Diagrammi di EulerofVenn L’Assioma di Aristotele Il quadrato logico aristotelico Le conversioni Il sillogismo La riconduzione alla prima figura Il “Teorema K” di De Morgan Glossario

Teoria ingenua degli insiemi: nozioni 7.1 7.2 7.3

7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15

8

166 168 169 169 171 173 179 184 187

189

Osservazioni preliminari 189 I principi fondamentali: astrazione ed estensionalità 191 195 Operazioni su insiemi 7.3.1 Unioni e intersezioni generalizzate 198 7.3.2 L’operazione di potenza insiemistica 199 La coppia ordinata e il prodotto cartesiano 199 7.4.1 Come eliminare la coppia ordinata 202 Relazioni. Operazioni su relazioni 203 Funzioni e loro classificazione 207 7.6.1 Sul principio di scelta 212 213 Prodotti e somme generalizzate 215 Equivalenze e quozienti Definizioni induttive 217 220 Equipotenza e confronto fra cardinali Insiemi finiti e infiniti 223 Il teorema di Cantor sulla potenza. La gerarchia dei cardinali 228 Sui paradossi della teoria ingenua 232 234 Appendice: astrazione e operazioni Glossario 237 .

7.4

165

.

Algoritmi e macchine di Turing: un’introduzione

239

8.1 8.2 8.3 8.4

239 244 253 256 260 264 269

8.5 8.6

............................. ....................... ...........

Algoritmi Il modello di Turing Che cosa può fare una macchina di Turing Che cosa non può fare una macchina di Turing 8.4.1 Indecidibilità della logica elementare Grammatiche formali Glossario

Indice analitico

........ .......... .......................

............................. '

271

Prefazione La disciplina di cui si tratta in questo volume si caratterizza per una singolare ambivalenza. A partire dalla sistemazione aristotelièa, la logica è indissolubilmente legata allo studio delle ??.ÈQÎEÈEÈÈÈÌQELEQÉÌO ali e delle loro mÈ condizioni di correttezza, ed è stat—audfii’ndi considerat «stf'u ntp essenziale della filosofia e della conoscenza in generale. îìavestit%eîflfiîeîtica, la logica è stata poi — fino dal primo Medioevo * integrata nelle artes sermocz'nales del Trivio insieme con la grammatica e la retorica, e dovrebbequindi far parte a buon diritto dell’educazione umanistica tradizionale. Tuttavia, con il processo di matematizzazione in atto a partire dall’Ottocento, e alla luce dei rivoluzionari risultati della prima metà del secolo scorso, la logica ha subito profonde trasformazioni: il suo baricentro si è allontana— to dall’ambito essenzialmente filosofico e metodologico, intrecciandosi prima con la problematica dei fondamenti della matematica, e successivamente con gli sviluppi dell’informatica, della linguistica teorica, dell’intelligenza artificiale (tanto per fare degli esempi). Queste vicende storiche hanno in— finito sensibilmente sullo stile della logica, la quale ha assunto un carattere sempre più formale, e si è concentrata sullo studio di calcoli simbolici e strutture astratte, considerate specifiche da sempre della tradizione matematica. Inoltre, questa ricchezza d’interazioni ne ha ampliato enormemente le linee d’indagine e di conseguenza anche l’articolazione interna in una molteplicità di settori, che si sono via via resi autonomi. La logica è diventata una disciplina scientifica fra le altre, perdendo il suo tradizionale ma statico ruolo di organon del pensiero. La disciplina non ha però rinnegato le proprie origini, e mantiene ancora oggi un interesse culturale generale, che va al di là della formazione puramente specialistica, e nasce in primo luogo da una generica ma urgente e “civile” esigenza di tenere desta un’attenzione critica alle basi razionali delle argomentazioni che pervadono ogni ambito dell’attività umana, scientifica o pratica che sia. Una consapevolezza di queste basi permette di padroneggiare in maniera più completa e raffinata lo strumento comunicativo per eccellenza, il linguaggio naturale, in particolare per quel che attiene ai suoi meccanismi semantici e inferenziali. E ciò ha una non trascurabile rilevanza pedagogica nella odierna società dell’informazione, in cui siamo sommersi

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1

p1aL1ullc

dotati spesso di una forte valenza persuasiva, e in cui la carica retorica oscura non di rado le “ragioni” e i “perchè” in funzione del mero consenso. Quanto alle motivazioni che stanno dietro al presente lavoro, esso nasce (la modeste, ma concrete esigenze didattiche: gli autori si trovano da tempo a impartire delle Istituzioni di Logica (divise talora in due moduli) a studenti del triennio di filosofia e di altri corsi di studio, anche magistrali, di facoltà unmnistiche e non nelle università di Firenze e di Pavia (Collegio Ghislieri). Da tali esigenze sono nati degli appunti stringati e schematici * redatti ora da. uno, ora dall’altro autore — destinati agli studenti frequentanti. Una prima porzione di questi materiali, notevolmente arricchiti e articolati in forma sistematica, viene ora offerta al lettore nel presente volume di introduzione alla logica. La restante costituisce invece il nucleo di un manuale a carattere più avanzato1 — che farà seguito a breve —— dedicato ai temi fondamentali della metalogica elementare. Il testo, che a differenza degli appunti è stato pensato anche per uno studio individuale, conserva talvolta il carattere colloquiale della lezione e corte insistenze e ripetizioni, che si è deciso di lasciare secondo un antico adagio didatticamente fondato. «la 1110ssaggi

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Contenuti Se si usa la lente dello storico, questo volume tocca alcuni concetti e risultati che sono emersi in un arco di tempo assai vasto, da Aristotele (19316), con una punta fino agli anni Cinquanta del (IV sggola,a.C. ) aTur1ng_ Novecento con E. W. Beth (1955). Ma l’ordine seguito è comunque sistematico, e non storico: il testo comprende appunto i contenuti più specificamente propedeutici di dette istituzioni, e si rivolge in primo luogo a studenti che non possiedono prerequisiti specifici, né di carattere logico, né di carattere 111atematico. Per questo, nel testo viene di continuo sottolineato il momento operativo (saper fare analisi logica del diseorsìxdichiarativo, saper còstruz’fè em semantici, ecc.). Inoltre,*le varie sezioni sono completate da…—eserciîw di» 21 varia natura e difficoltà. Col procedere della trattazione, si chiede al lettore di partecipare attivamente alla stesura delle dimostrazioni. Non è inutile ripetere qui la raccomandazione per una corretta comprensione del testo e per appropriarsi dei metodi dell’analisi ,

ch…anmessenziali

logico—formale.

Entrando nello specifico, il presente volume si articola in tre parti, prece— dute da una introduzione, il cui senso è principalmente filosofico e metateo— rico: si tratta di problematizzare il ruolo della logica e di mettere in guardia verso alcuni luoghi comuni che la riguardano (che cosa è la logica, ma anche cosa non è). Per apprezzarne appieno il senso, sarà utile che il lettore torni |

. C… per . sempll( |… .

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secomlo’ (‘vol. II').

.

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riferiremo, nel corso del presente testo, con l’espressione ‘volume .

.

"

a considerare il capitolo introduttivo alla luce delle conoscenze logiche via via acquisite. ha il compito di far emergere divisa in tre capitoli La prima parte il concetto di forma (o struttura) logica, prendendo le mosse dall’analisi del linguaggio, e in particolare del discorso dichiarativo. La scelta è naturale, ed è quella consueta, se ci si rivolge in particolare a studenti di facoltà umanistiche. Il metodo seguito è quello di partire da esempi concreti dai quali vengono via via estratte le nozioni morfologiche fondamentali. L’ approccio è comunque di tipo contenutistico. alle nOZÌoni morfologiche e sintattiche vie— ne generalmente e contestualmente assegnata una gsemant1ca denotazioriaki' intuitiva, che specifica il significato delle varie comrîonent1 lessicali, e serve a" definire con precisione le condizioni di verità degli enunciati in gioco. Tutto questo viene fatto per gradi: si parte dagli enunciati semplici, per passare a enunciati composti in virtù di operazioni di connessione, e giungere infine al livello della teoria della quantificazione, necessaria per rendere conto della forma logica degli enunciati universali e particolari. È bene sottolineare che lo sfondo concettuale e quello della logicayclassica, nella quale valgono i principi di bivalenza e non- contraddizione, lei operazioni di connessione vengono interpretate come funzioni di verità, e la/nozione di verità è quella classica verità come corrzspondenza” Al termine del capitolo 3, il lettore si troverà a disporre, sia pure infor— malmente, assieme alla strumentazione sintattica dei linguaggi elementari, delle nozioni semantiche di verità elementare e di conseguenza logica. Tuttavia questi concetti sono stati definiti in maniera induttiva ma non—effettiva nel caso del linguaggio con i quantificatori. Questa limitazione giustifica l’introduzione nella seconda parte (capitoli 475) del classico metodo del controesempio o degli alberi di Beth, quale procedura meccanica alternativa, al fine di affrontare i classici problemi della correttezza delle inferenze e della consistenza di insiemi (finiti) di condizioni. Anche qui si è cercato di motivare le scelte tecniche con una serie di osservazioni euristiche ed esempi. Ciò valein particolare dell’ estensione degli alberi di Beth mediante le regole per i quantificatori, introdotta nel capitolo Qi1i il lettore prende contatto per metodo la prima volta con un chee comunque corretto e completo rispet— to alla nozione di verità logica, ovvero in grado di generare effettivamente tutte e sole le verità logiche. D’altra parte il metodo di Beth è si efiettivo una refutazioneflpuò ma la nmcedura di ricerca di un controesemp1o o della logica il di teorema indecidibilità Ciò rende plausibile non convergere. che 8. nel elementare, viene qui enunciato, e riprese capitolo La parte finale del libro contiene tre capitoli di complementi e strumenti. Il primo di essi (capitolo 6) è dedicato alla ricostruzione formale della sillo— gistica, e ci sembra un doveroso tributo alla tradizione logica, soprattutto in un testo pensato per studenti di discipline umanistiche. Il capitolo 7 ri— prende in forma più completa alcuni cenni alle nozioni insiemistiche emerse nella presentazione della semantica intuitiva dei capitoli I e 3, e connessi alla

7

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di

…

.

5

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,

.

precisazione dei concetti di insieme, relazione, operazione. Si tratta sempre ha in primo luogo la funzione di fissare un lessico concettuale adeguato a precisare il concetto di struttura, le rela— zioni fra strutture, e le basi della semantica di Tarski e di Kripke2. D’altro lato, il capitolo permette di avvicinarsi a qualche tema un po’ più avanza— to, come l’approccio estensionale alle definizioni induttive, la problematica dell’infinito e la teoria della cardinalità. Nello stesso tempo si definisce un contesto naturale per una prima introduzione alla discussione dei paradossi (Cantor e Russell in particolare). L’ultimo capitolo (capitolo 8) è invece una introduzione intuitiva al con— cetto di algoritmo nei suoi profondi legami con la logica del Novecento. Si è scelto di esporre il modello di Turing per la sua semplicità, ma anche per la sua valenza epistemologica, che lo rende essenziale, sia per la comprensione del significato dei risultati di completezza, sia per i risultati di incompletezza di Gòdel. Naturalmente, si tratta di una semplicità ingannevole che richie— derebbe una serie di cospicui sviluppi tecnici, ben al di là dei naturali confini di un manuale propedeutico per studenti di discipline umanistiche. Il libro si conclude con un breve cenno alla connessione fra macchine di Turing e grammatiche formali di Chomski, che mette in luce — sulla base di scoperte degli anni Cinquanta del secolo scorso — ulteriori legami fra la logica e le discipline umanistiche tradizionali. Dopo aver detto che cosa c’è in questo volume, due parole anche su cosa non c’è. In accordo col carattere propedeutico, l’accento viene posto su no— zioni di logica: l’analisi formale, la descrizione di tecniche elementari per la verifica della correttezza delle inferenze e della validità logica da un punto di vista classico. Non è dunque un libro intorno alla logica, finalizzato a introdurre i risultati di base della metalogica elementare. Di quest’ultima viene dato conto in dettaglio nel volume in preparazione sopra ricordato, con l’introduzione della deduzione naturale alla Gentzen, la trattazione sistematica della semantica di Tarski, una introduzione ai calcoli della logica modale e alla semantica di Kripke, i teoremi di adeguatezza semantica (o completezza generale) e compattezza, i calcoli logici delle sequenze alla Gentzen e la loro completezza. Come il lettore avrà notato, la messa in parentesi delle indagini metatcoriche ha un paio di eccezioni: i già menzionati teoremi di indecidibilità della logica elementare e del problema dell’arresto. Questo per mettere in contatto chi ferma la propria educazione logica agli elementi propedeutici con almeno un paio di risultati fondamentali della logica del Novecento. di un approccio non assiomatico, che

Nota per il docente Quanto all’utilizzazione del testo,

i capitoli 1-5 costituiscono il nucleo di base di un primo modulo di Logica (di circa 30 ore di lezione) incentrato 2Che saranno

trattate

nel progettato vol. II.

sui rudimenti della disciplina; esso può essere completato anche dal capitolo sui sillogismi, e da brevi incursioni nella teoria degli insiemi (esposizione del paradosso di Russell) e nel capitolo finale (definizione delle macchine di Turing, discussione del problema dell’arresto). Per studenti più avanzati e maturi, il materiale può venire svolto assai più velocemente (questo è il caso dell’esperienza fatta dal primo autore con studenti della laurea magistrale in Scienze della Natura e dell’Uomo presso l’Università di Firenze). In tal caso l’enfasi del corso può essere spostata sui complementi svolgendo in dettaglio gli argomenti dei capitoli 7 e 8,

eventualmente integrati.

Avvertenze e convenzioni criterio adottato nella citazione dei numeri di pagina nell’indice analitico è il seguente: grassetto per i concetti ai quali sono dedicati capitoli, paragrafi, sottoparagrafi; corsivo per le occorrenze “notevoli”, che contengono l’informazione principale sulla voce relativa;

1. Il

sezioni contrassegnate da asterisco possono essere omesse senza alcun pregiudizio per la comprensione del testo successivo;

2. le

esercizi contrassegnati da asterisco sono da considerarsi di maggiore impegno e non legati a una comprensione immediata del testo;

3. gli

definitoria fra due complessi simbolici (espressioni), nel senso che l’espressione a sinistra di := sta per o abbreuia quella a destra di :=;

4. ‘:=’ indica uguaglianza 0 equivalenza

5. ‘sse’ è un’abbreviazione

per ‘se e solo se’;

— ove occorra nel testo dopo la dichiarazione d’inizio della dimostrazione di una proposizione, di un teorema, di un lemma, ecc. — sta ad indicare la fine della dimostrazione;

6. il simbolo

7.

E]

segnaliamo infine che, quanto all’uso delle virgolette, riserviamo quelle singole per la menzione di entità linguistiche, mentre impieghiamo quelle doppie per le altre funzioni (citazioni da testi, ecc.).

Suggerimenti bibliografici I riferimenti bibliografici specifici vengono dati nel corso della trattazione. A livello generale, fra i tanti manuali di carattere introduttivo disponibili in lingua italiana, ci limitiamo qui a indicare:

. .

ML. Dalla Chiara, R. Giuntini, F. Paoli, Sperimentare la logica, guori, Napoli 2004; W. Hodges, Logica, Garzanti, Milano 19942;

Li—

.l

.

M.

Mondadori, M. D’Agostino,

1997;

o A.

Logica,

Bruno Mondadori,

L

ULaL:1U.UC

Milano

Varzi, J. Nolt, D. Rohatyn, Logica, McGraw-Hill, Milano 20072.

Per una trattazione più avanzata e comprensiva, ricordiamo:

.

E. Casari, Introduzione alla logica, UTET, Torino 1997;

0 G.

Lolli, Introduzione alla logica formale, Il Mulino, Bologna 1991.

Una bibliografia sistematica e non limitata ai soli testi disponibili in lingua italiana verra data nel volume a carattere più avanzato che farà seguito al presente manuale.

Ringraziamenti autori desiderano ringraziare Riccardo Bruni, Laura Crosilla e Francesca Poggiolesi per aver letto accuratamente una prima versione complessiva del volume, segnalando imprecisioni, oscurità e errori di vario tipo. Anche gli studenti che hanno seguito i corsi di logica impartiti dai due autori e che hanno utilizzato parti del manuale, hanno dato un utile contributo critico: ci piace qui ricordare qui in particolare Filippo Cimò, Marco Fusi, Alice Gioia Iacopo Petrocelli, Samuele Tofani — ma la lista non è certo esaustiva. Si ribadisce comunque che gli errori e le imperfezioni che rimangono nel libro sono da attribuirsi alla esclusiva responsabilità dei due autori. Gli

’

Firenze,

18

aprile 2009

Introduzione Mein teurer Freund, ich mt Buch drum Zuerst Collegium Logicum. (Goethe, Faust)1 Ci sono delle aspettative del senso comune intorno alla logica che non sono affatto giustificate dalla ricerca contemporanea; metterne subito in discussione un paio (che cosa non è la logica, dunque) ci sembra il modo più opportuno per iniziare il nostro discorso. In primo luogo, si tende a credere ancora oggi che la logica sia una di— sciplina statica, con un ambito di studio ben determinato, strumento per eccellenza della razionalità. In realtà, il termine ‘logica’ è ambiguo: occorre in contesti disparati e possiede, anzi, un carattere pervasivo (basta prendere in considerazione le locuzioni ‘è logico fare cosi e cosi’, ‘la logica dello sviluppo’, ‘la logica dei calcolatori’, ‘la logica del racconto’; che parentela c’è fra questi termini?) Per questo la natura della logica è profondamente elusiva. Secondo la tradizione, la logica fa parte (come dialettica) delle arti del trivio assieme alla retorica e alla grammatica; rientra quindi a pieno diritto fra le discipline del linguaggio e quindi umanistiche. D’altra parte, a la logica viene matematizzata (si partire dalla pensi all’opera di Georg@lèà e agli inizi del secolo successiiibinteragigsce profondamente con le ricerche sui fondamenti della matematica,(Frgge,jlqìyg— sellz Hilbert, ecc.). Oggi è difficile interessarsi di logica a livello di ricerca senza avere preso contatto anche con problematiche che sono state suggerite da questioni d’informatica teorica. Ad ulteriore conferma del carattere non monolitico della disciplina, si ricorderà che le verità della logica hanno la fama di essere non informative, prive di contenuto empirico (sono tautologie e il termine ha una connotazione negativa nel linguaggio comune); eppure, come avremo modo di richiamare oltre, non esistono principi logici fra quelli considerati più ovvi (principio di non—contraddizione, terzo escluso, ecc.), che non siano stati messi in discussione nel corso del XX secolo. In secondo luogo, si e portati a pensare che la logica sia una sorta di scienza delle scienze, eppure, come è comprovato dalla storia della logica del secolo scorso, la logica non è indipendente dagli enti e dalle _strutture

seco…figggnto,

’

“Mio caro amico, vi consiglio pertanto,

@

in primo luogo,

il

corso di logica”.

degli enti ai quali la si applica. Di fatto, la logica non fornisce una teoria unitaria dell’inferenza razionale, semmai fornisce un sistema di concetti e strumenti che permettono di costruire modelli rigorosi di vari tipi d’inferenza dei concetti di interpretazione, dimostrazione, regola. In logica, come in altre discipline astratte, ha un ruolo non indifferente il momento della libera costruzione di modelli, degli esperimenti ideali, del congetturare. Se si accentua troppo la soluzione di continuità fra l’immagine tradizionale della logica e gli sviluppi recenti, si corre però il rischio di avvicinarsi alla logica in una ottica puramente “modernista”, e di trasferire al lettore ,, per avviarlo agli sviluppi tecnicamente avanzati — le solite informazioni drammatiche e drammatizzanti (ma ormai un po’ trite, non di rado scorrette) sui teoremi d} (jjjdel, i limiti della ragione, ecc., dimenticandosi del fatto che la logica fino “da Îfistotele ha avuto tra i suoi fini precipui quello di es— sere una teglia dell’inferenza corretta. Sarebbe dunque auspicabile che una di cosa significa che un ragionamento è persona colta correttòî(o cogente o logicamente valido) In quel che segue a;sciiiéfèrfiò'"ìiùnque brevemente il problema dell’infe— renza. Il tema ha portata generale: coinvolge fino da Aristotele problematiche essenziali sia per la conoscenza scientifica sia per la riflessione filosofica, teoretica ed epistemologica. Per quel che riguarda il primo aspetto, è da sottolineare che il concetto di dimostrazione ha un ruolo decisivo nella conoscenza matematica: dove di norma si accetta come vero un enunciato (che non sia assunto come principio o assioma), solo se si dispone di una prova 0 dimostrazione. Se ci domandiamo che cosa è una dimostrazione, osserviamo che, accanto alle costruzioni e alle inferenze specificamente matematiche (che dipendono dal contenuto matematico che si vuol accertare), figurano impliciti nella prova alcuni passaggi elementari non ulteriormente analizzabili che non sono di natura specificamente matematica, nel senso che si ritrovano anche in molti altri ambiti, e che dipendono in certa misura dalla struttura linguistica di ciò che si vuoi provare (se si tratta ad esempio di un enunciato condizionale, o universale, ecc.; si veda la sezione successiva). (%

a…

//

Forma logica e livelli logici Sulla base delle precedenti considerazioni, possiamo partire da un primo rozzo tentativo di definizione della disciplina: la logica elabora informazioni cspressegniqm3jnguistica, dove ‘elaborare’ significa costruire argomen£i logicamente corretti. Un argomento è costituito da vari enunciati legati fra' loro da ness1 c e sono detti inferenze e che devono risultare, se l’argomento è cogente, corrette. Dobbiamo dunque rispondere alla domanda: che cosa intendiamo per inferenza corretta? Questo è il compito principale del-

la logica come teoria della deduzione: si

comfiééìéntéE'secofiàài

tratta di classificare,

vari—ambiti, le

inferenze…“

se possibile

Per spiegare.chegosa è un’inferenza logica, bisogna afferrare il concetto di forma 0 Struttura logzìà} La difficoltà maggiore è che la forma logica è diversa da quella grammaticale e che il processo di distinzione della dimensione logica specifica dalle consorelle del trivio grammatica e retorica — avviene lungo l’arco di un processo storico molto complesso e articolato nel tempo. La via più semplice per spiegare che cosa intendiamo quando si parla di for ja_l_ggiga,wegilivolgersi a degli esempi, come faceva anche il medico e filosof Sesto EmpiriÈéî“(îîi"èéèòio d.C.Xe prima di lui i filosofi e logici della scuola megarico-stoica.‘ ‘Si consideri ilsèguente argomento in miniatura:

*

1. è

2 >_3..

giorno oppure notte;

non è giorno;

dunque è notte.

Si concederà di sicuro che è banalmente corretto il passaggio dagli enunciati 1 e 2 (le premesse) all’enunciato 3 (la conclusione). Pragmaticamente, se si assumono 1—2, siamo costretti ad accettare 3, non potremo non farlo. Chiediamoci ora perché. Una prima risposta si basa sull’effettuare una sorta di variazione nella {figura inferenziale, alterandone il contenuto: osserviamo che sesi Sòstitùîéèòfià"îgiî‘éàfiîciati A := ‘e giorno’ e B := ‘e notte’ enunciati qualsivoglia, ma si lasciano fisse le particelle ‘o’, ‘non’, il passaggio rimane intuitivamente valido. Viene dunque il sospetto che le ragioni per

è corretta vadano cercate nel ermanere delle due articelle, connettivi ‘o’ (disgiunzione) e ‘non’ (negazione). l:o schema sotteso alla è regola, detta

cui l’inferenza i

defW,

(li) A o B, non A e

=>

B2,

rappresenta la forma logica dell’inferenza, la cui correttezza viene a di-

…e

"

.

pendere solo dal significato della disgianzione ‘o’ e della negazione ‘non’. una inferenza logica vuol dire impegnarsi a discutere il significato dei connettivi logici. Ovviamente, ‘o’, ‘non’ nori sono gli unici connettivi. Il connettivo più importante è senz’altro il condizionale (o implicazione) ‘se ..., allora ...’ (simbolizzato da una freccia —>): con esso si formano enunciati che non han— no tanto il fine di descrivere situazioni più complesse a partire da costituenti fatti, nell’ipotesi che si verifichi una dati, ma di esprimer$$duîèdicerti condiziona ,è dunque un modo privilegiato con cui il data condizione. linsU….gaa i……O...isgornorannasorta.di.dimsnsianfidègèlsnaiètratta; una volta inglobato il momento ipotetico, non è più un mero strumento di descrizione 2In generale la figura A1, la conclusione B”.

.

.

.

,

An

=>

B andrà letta: “dalle premesse Al,. ., .

A,1

segue

della realtà di fatto, ma diviene strumento per fissare scenari possibili o fantastici. Vediamo subito una celebre quanto semplice regola che coinvolge il con- .C …Ì dizionale. Si consideri “‘

1

o se è

giorno, allora c’è luce,

non c’è luce;

o

.C

e dunque non è giorno. Lo schema sotteso dall’inferenza,

detto del modus tollens, è allora:

(b)A—>BnonB=>nonA. ..... .-…..._.-.. x...-..….4.-. .... ..

"

'

-..…

.

»

sua validità adottando la consueta strategia della sostituzione. Per converso, se considerassimo 1nvece lo.schema

Di nuovo, possiamo convincerci della

… B.… avremmo ancora

(h) A

—>

«

non A…@ non B. ,......

o --

……

una regola corretta?

seguente istanza dello schema: o se

£>1,

”"—‘

No, perché '

.;

‘

.,

\;

….

"’/”' . .

Petrarca non è fiorentino;

e

dunque Petrarca non e toscano.

=:«j;7

potremmo scegliere la . )( ,,

Petrarca e fiorent1no, Petrarca è toscano;

.

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“\

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. .

\

,.

' l),? «

‘

-. L';

"’—,;LÈ“

' i;deve falsa; ma uri’mferenza logica

.tì5“v

Ora le premesse sono vere, la conclusione per sua natura essere sempre valida, qualunque sostituzione si metta in atto. Dunque lo schema (b) non corrisponde ad un’inferenza corretta, ma costituisce una fallacia. Un altro esempio senza commento: (i) se

aumenta il prezzo della benzina, allora cresce l’inflazione;

(ii) se cresce l’inflazione, diminuisce il

potere d’acquisto degli stipendi;

aumenta il prezzo della benzina, diminuisce il potere d’acquisto degli stipendi.

(iii) dunque se

Ovviamente la forma logica corrispondente sarà quella del cosiddetto gismo ipotetico: (&)

sillo—

A——>B,B—>C=>A—>C.

Passiamo ora ad un altro esempio che racchiude delle differenze sostanziali con i precedenti perché ci porta ad estendere considerevolmente l’analisi logica, introducendo nuove operazioni che non si limitano, come i connettivi, ad operare su enunciati per produrre nuovi enunciati. L’esempio corrisponde a un sillogismo3 di seconda figura (CESARE): ”Al sillogismo

(\

dedicato

il

capitolo

6.

(a) nessun parlamentare è disonesto; (,B)

tutti i filosofi sono disonesti;

(7) dunque nessun filosofo e parlamentare. Qui la forma logica è più ardua da scoprire; essa coinvolge i cosiddet— ti (quanùflcatorz corrispondenti a termini come ‘tutti’, ogni’, ‘nessuno’,

““"“”

qualcîîî ’

ll s1 logismo

si lascia

trasformare come segue:

(of) (per ogni x)(x è parlamentare

non è vero che x non

——1

(B*) (per ogni a:)(sc è filosofo

—>

:D

(7*) (per ogni a:)(x e filosofo

—>

non

onesto);

è

non e onesto); (ar

è

parlamentare)).

Facendo astrazione dagli specifici predicati usati, lo schema del sillogismo ? ' "f …f» corrispondente diventa: =-.

(a+) (per ogni x)(Pa7

—>

non(non

(fl+) (per ogni :r)(Sat

—->

non

(7+) (per ogni x)(Sx

—>

non Px).

]Mar);

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)… /

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