Introduction à l'astronomie de position

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Institut National de l’Information G´ eographique et Foresti` ere ´ Ecole Nationale des Sciences G´ eographiques

Introduction ` a l’astronomie de position

Mast` ere de Photogramm´ etrie, Positionnement ´formations et Mesures de De ´ Option Geod´ esie

par Jonathan CHENAL ´ Ing´ enieur des Travaux G´ eographiques et Cartographiques de l’Etat Service de G´eod´esie et Nivellement, Institut National de l’Information G´eographique et Foresti`ere, 73 Avenue de Paris, 94165 Saint-Mand´e, France M´el : [email protected] ; T´el : 01 43 98 80 00 + 73 63 Document r´ealis´e avec LATEX 2ε

´ Image de couverture : Pandore et Epim´ eth´ee, satellites de Saturne, et l’anneau F. Image prise par la sonde Cassini le 23 novembre 2009. Cr´edits : NASA/JPL/Space Science Institute. Image et explications disponibles ` a l’adresse : http://www.ciclops.org/view/6020/Petite_Pair_Beyond_Rings

Sommaire Sommaire

ii

Remerciements

1

Introduction

2

1 L’astronomie : l’Homme dans l’Univers

3

2 Les mouvements de la Terre, approche physique

54

3 Les ´ echelles de temps

135

4 Les rep` eres spatiaux utilis´ es en astronomie

176

5 L’utilit´ e des astres et de l’astronomie de position

224

Conclusion

251

R´ ef´ erences bibliographiques

252

Table des mati` eres

257

ii

Remerciements

Si l’astronomie est une passion personnelle, je dois `a la proposition de mon camarade de pro´ motion Pierre Bosser de pouvoir donner ce cours `a l’Ecole Nationale des Sciences G´eographiques. Qu’il en soit remerci´e, ainsi que Jacques Beilin avec qui nous avons discut´e du contenu de celui-ci. Je remercie ´egalement Alain Harmel, qui m’a pr´ec´ed´e dans cet exercice, et qui m’a aimablement donn´e les notes de son cours, cit´e dans les r´ef´erences [Harmel, 2010], et dont je me suis inspir´e pour structurer le mien. J’adresse ma gratitude ` a Estelle D´eau qui a eu la gentillesse de relire les deux premiers chapitres de ce document.

1

Introduction L’astronomie de position a eu une importance historique fondamentale pour le d´eveloppement des m´ethodes de positionnement. Son int´erˆet n’est toutefois pas seulement historique, mais aussi pratique, car elle met en œuvre de nombreuses notions de m´ecanique c´eleste, de g´eod´esie, de m´etrologie du temps, qu’il est important de connaˆıtre `a notre ´epoque. C’est une discipline qui, aujourd’hui encore, connaˆıt de nombreux et importants d´eveloppements. La place du premier chapitre nous a pos´e probl`eme, et nous avons beaucoup h´esit´e `a l’y placer, l’astronomie de position ´etant si distincte de ce qui s’y trouve. Cependant, l’id´ee d’une introduction g´en´erale ` a l’astronomie et aux sciences de l’Univers a ´et´e confort´ee par la consultation de cours ´ donn´es ` a l’Ecole Nationale des Sciences G´eographiques par Michel Duhamel [Duhamel, 1963a] puis par Raymond Testard [Testard, 1968] qui, tous deux, consacrent dans leur cours plusieurs chapitres `a ces questions. Avant de pr´esenter les outils de l’astronomie de position, nous dirons donc quelques mots des objets concrets dont ils vocation `a d´ecrire les positions et les mouvements. Nous avons ainsi consid´er´e comme n´ecessaire une pr´esentation globale `a l’astronomie ou, plus pr´ecis´ement, `a l’objet d’´etudes de l’astronomie, en ne dissimulant pas les multiples connexions n´ecessaires avec d’autres disciplines (et en en oubliant beaucoup tr`es certainement !), le tout ´etant organis´e pour situer l’Homme dans l’Univers, et prendre conscience de la place quelconque qu’il y occupe. Notre propos continue par une ´etude des mouvements que l’observateur humain subit lorsqu’il observe le ciel, du simple fait d’ˆetre assis sur la Terre : les mouvements de r´evolution autour du Soleil, de rotation diurne, de pr´ecession et de nutation, ainsi que le mouvement du pˆ ole ; nous examinons aussi la complexit´e du probl`eme de la Lune, particuli`erement important pour l’´etude des mouvements de la Terre. Nous expliquons les cons´equences visibles de ces mouvements, en les illustrant d’exemples tr`es concrets. Nous abordons alors la question des ´echelles de temps, en traitant d’abord des calendriers, et du rˆole social et politique qui est le leur, puis des ´echelles de temps de fondement et d’usage scientifiques, en adoptant un point de vue quasi-historique, en les consid´erant selon l’´epoque o` u elles ont ´et´e d´efinies et utilis´ees. Nous verrons en quoi l’astronomie, qui fut la discipline premi`ere `a partir de laquelle la m´etrologie du temps s’amor¸ca, a dˆ u c´eder la place `a la physique atomique, tout en y conservant cependant une place essentielle, li´ee aux usages humains. Nous poursuivons ce document en entrant enfin dans la description proprement g´eom´etrique des outils n´ecessaires au rep´erage des objets de l’Univers dans l’espace, par l’examen des rep`eres spatiaux utilis´es en astronomie et nous traitons des diff´erents types de rep`eres utilis´es dans ce domaine, des transformations n´ecessaires pour passer de l’un `a l’autre et des mod`eles th´eoriques utiliser pour cela. Apr`es quelques rappels de trigonom´etrie sph´erique, nous terminons enfin ce bref survol en traitant de l’utilit´e de l’observation des astres, que ce soit pour d´eterminer la date ou une ´echelle de temps, ainsi que pour faire de la g´eod´esie.

2

Chapitre 1

L’astronomie : l’Homme dans l’Univers L’objet de ce document consiste dans l’astronomie de position, c’est-`a-dire dans la construction d’outils permettant le rep´erage univoque dans l’espace et dans le temps des astres, et des cons´equences pratiques de ces constructions. Comme ces aspects ne sont pas purement abstraits et s’attachent ` a la description d’objets bien concrets, nous commen¸cons notre cours par une pr´esentation rapide de ceux-ci, en partant de l’Univers dans son entier, jusqu’` a la plan`ete Terre.

1.1

L’Univers

Voici, tr`es succinctement, quelques ´el´ements relatifs `a l’histoire de l’Univers telle que nous la concevons en ce d´ebut de xxie si`ecle.

1.1.1

Quelques faits d’observation

1.1.1.1

Le ciel est noir la nuit

Ce constat « cosmologique » peut ˆetre fait par n’importe qui, sans instrument. Cela signifie que le nombre d’astres lumineux dans l’Univers n’est pas infini, que la taille de l’Univers n’est pas infinie, et que l’ˆ age de l’Univers n’est pas infini. Qui plus est, l’Univers est en expansion (voir par ailleurs), et la vitesse de la lumi`ere est finie, ce qui contribue `a diluer encore plus la densit´e de lumi`ere pr´esente dans l’espace. 1.1.1.2

L’Univers en expansion

Deux faits sont venus alimenter le constat de l’expansion de l’Univers entre 1915 et 1930. D’abord, Albert Einstein (1879 – 1955) a bˆ ati une nouvelle th´eorie de la gravitation qui, appliqu´ee ` a l’Univers tout entier, impose `a celui-ci d’ˆetre soit en contraction, soit en expansion, soit fixe, mais au prix d’une ´energie en opposition avec la gravit´e due `a la mati`ere pr´esente dans l’Univers. Ensuite, Edwin Hublle (1889 – 1953), observant les galaxies et comprenant qu’elles ne se trouvent pas dans la Voie Lact´ee, d´etermine qu’elles s’en ´eloignent `a une vitesse proportionnelle ` a leur distance, le facteur de proportionnalit´e ´etant appel´e constante de Hubble H0 :

v = H0 d

(1.1)

3

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

a) Les principes Pour donner `a cette observation une signification relativement aux ´equations d’Einstein, il faut postuler le principe cosmologique. Celui-ci pose que l’Homme n’occupe aucune position privil´egi´ee dans l’Univers ; de fa¸con pratique, cela signifie que l’Univers, `a grande ´echelle, est homog`ene et isotrope. Un autre principe `a admettre est le postulat d’universalit´ e, qui suppose que les lois de la physique sont les mˆemes partout dans l’Univers. Ces deux postulats sont bien v´erifi´es par l’observation : les lev´es de galaxies `a grande ´echelle montrent que l’Univers est bien homog`ene et isotrope, avec cependant une structure en ´eponge : il existe des murs et filaments de concentration de mati`ere, ainsi que des bulles de vide. La d´ecouverte du fond diffus cosmologique, particuli`erement homog`ene, corrobore cette observation, avec une signification particuli`ere que nous d´evelopperons plus loin. Le principe d’universalit´e est quant `a lui v´erifi´e par l’´echec de toutes les tentatives de description de l’Univers par une physique exotique ; de plus, les galaxies les plus lointaines voient leur comportement accessible `a notre physique.

Figure 1.1 – Relev´e de galaxies jusqu’`a 2 milliards d’ann´ees-lumi`ere 2 , par le Sloan Digital Sky Survey. Chaque point est une galaxie, et sa couleur en indique l’ˆ age des ´etoiles, les plus rouges ´etant les plus anciennes, et aussi les plus concentr´ees. Source : site internet de la revue New scientist, `a l’adresse http://www.newscientist.com/ article/dn14546-biggest-3dgalaxy-map-to-probe-darkenergys-history.html

b) Quelques relations importantes de la cosmologie Les relations introduites ici ne sont pas d´emontr´ees : il s’agit soit de d´efinitions, soit de r´esultats admis, dont la d´emonstration pourra ˆetre trouv´ee dans [Pineau-des-Forˆets & Bibring, 2004] ou [Mellier, 2004]. Le constat de l’expansion de l’Univers am`ene `a introduire un facteur d’´ echelle a, rapport d’une distance d ` a un instant t et de la mˆeme distance d0 `a un instant t0 de r´ef´erence :

a

=

d d0

Cette grandeur n’ayant pas de raison a priori d’ˆetre constante, on peut former le param` etre de Hubble comme le rapport de la variation temporelle de a, not´ee a˙ avec a lui-mˆeme : 2. 1 al = 9, 460 1015 m.

4

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

H2

=

 2 a˙ a

La grandeur H 2 peut ˆetre exprim´ee comme la somme de trois termes, formant l’´ equations de Friedmann :

H2

8πGρ Λc2 k c2 + − 2 3 3 a

=

Le premier terme du membre de droite est la traduction de la gravitation ; le second est celle de la constante cosmologique Λ, qui s’apparente `a une ´energie sombre du vide ; le troisi`eme terme du membre de droite traduit quant `a lui l’influence de la courbure k de l’Univers. Certains param`etres sont variables avec le temps : ρ, a et H ; d’autres sont des constantes universelles de la physique : G, c et Λ ; k, enfin, prend une valeur constante d’un type d’Univers `a l’autre. On d´efinit par ailleurs le param`etre de d´ec´el´eration q, qui intervient dans l’expression de la d´eriv´ee temporelle de H. Par d´efinition : q

=

−

1 a ¨ H2 a

et l’on d´emontre : dH dt

=

−H 2 (1 + q)

Une derni`ere relation utile est celle donnant le d´ecalage vers le rouge d’un objet observ´e. Car en effet, en raison de l’effet Doppler 3 , la lumi`ere de tout astre entraˆın´e par l’expansion de l’Univers est d´ecal´ee vers le rouge. On appelle d´ecalage vers le rouge (redshift ) la grandeur :

z

λ0 − λe λe

=

o` u λ0 est la longueur d’onde observ´ee au temps t0 , et λe la longueur d’onde ´emise. La relation suivante lie le d´ecalage vers le rouge et la distance des galaxies : 1+z

=

a0 a

c) Cas d’un Univers de mati` ere Les Univers de Friedmann 4 sont ceux o` u Λ = 0 : l’Univers est domin´e par la gravitation. Si l’on consid`ere a = a0 le param`etre d’´echelle aujourd’hui (t = t0 ), alors on note H0 le param`etre de Hubble 5 . L’´equation de Friedmann prend donc la forme : H02

=

8πGρ k c2 − 2 3 a0

Ce cas particulier am`ene ` a d´efinir une densit´e critique ρ0c telle que : ρ0c

=

3 H02 8πG

3. Christian Andreas Doppler (1803 – 1853). 4. Alexander Friedmann (1888 – 1925). 5. La constante de Hubble est donc le param` etre de Hubble aujourd’hui.

5

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

La densit´e actuelle (t = t0 ) est not´ee ρ0 . On d´efinit ainsi le param` etre de densit´ e: Ω0

= =

ρ0 ρ0c 8πGρ0 3 H02

Si on pose que a0 = 1, l’´equation de Friedmann prend donc la forme suivante : k c2

= −H02 (1 − Ω0 )

Dans cette relation, le facteur g´ en´ eral de courbure k est directement li´ e` a la densit´ e de mati` ere de l’Univers, traduite par Ω0 . Plusieurs cas sont ainsi possibles : — Ω0 > 1 : la densit´e de mati`ere est sup´erieure `a la densit´e critique ; l’expansion finit par ˆetre rattrap´ee par la gravitation et l’Univers, ferm´e, se contracte ; la courbure de l’Univers est positive (k = 1), et on le qualifie d’elliptique voire de sph´erique ; — Ω0 = 1 : la densit´e de mati`ere est ´egale `a la densit´e critique ; l’expansion ne cesse qu’au bout d’un temps infini ; la courbure de l’Univers est nulle : il est qualifi´e de plat, ou d’euclidien (k = 0) ; — Ω0 < 1 : la densit´e de mati`ere est inf´erieure `a la densit´e critique ; l’expansion ne cesse jamais et se maintient ` a un rythme constant ; l’Univers est dit ouvert ; sa courbure est n´egative (k = −1) et sa g´eom´etrie est dite hyperbolique : c’est l’Univers d’Einstein - de Sitter 6 . On peut ´ecrire un param` etre de courbure adimensionn´e comme : Ωk

= −

k c2 H 2 a2

Si on se place ` a t = t0 , reprenant ce que nous avons ´ecrit pr´ec´edemment, nous avons : Ωk

=

−

k c2 H02

Les deux param`etres Ω0 et Ωk sont li´es selon : Ωk

= 1 − Ω0

La constante de Hubble s’obtient en mesurant la pente de la droite v = f (d) d’un ´echantillon repr´esentatif de galaxies, d ´etant d´etermin´e par mesure du d´ecalage spectral vers le rouge z. La mission Planck (voir la figure 1.5 page 9) a permis d’estimer le taux d’expansion `a 66 km/s/M pc contre 72 km/s/M pc avec WMAP. L’utilisation de cette grandeur avec les hypoth`eses les plus probables concernant le param`etre de densit´e permet de calculer l’ˆ age de l’Univers, en esp´erant qu’il soit coh´erent avec les contraintes impos´ees par les d´eterminations d’ˆages d’autres objets 7 . Ainsi : — Ω0 > 1 : l’ˆ age de l’Univers est encadr´e par 0 < t0 < (2/3) H0−1 ; — Ω0 = 1 : l’ˆ age de l’Univers est donn´e par t0 = (2/3) H0−1 ; — Ω0 < 1 : l’ˆ age de l’Univers est encadr´e par (2/3) H0−1 < t0 < H0−1 . Les estimations actuelles am`enent `a un ˆage de l’Univers de 13,7 milliards d’ann´ees. 6. Willem de Sitter (1872 – 1934). 7. La radioactivit´ e nous a ainsi permis d’estimer l’ˆ age de la Terre, la physique celui des naines blanches, des amas globulaires, etc.

6

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Figure 1.2 – L’expansion relative de l’Univers en fonction du temps, selon divers param`etres cosmologiques. Source : site internet de la mission WMAP, ` a l’adresse http://map. gsfc.nasa.gov/universe/uni_fate.html

Figure 1.3 – La loi de Hubble illustr´ee : mesure de la vitesse des galaxies en fonction de la distance, et la d´etermination de la constante de Hubble. Source : cours d’astronomie de Joshua E. Barnes, Institute for astronomy, University of Hawa¨ı, `a l’adresse http://ifa.hawaii.edu/ ~barnes/ast110_06/abhotu.html

d) Mais la mati` ere ordinaire ne domine pas l’Univers... Deux ph´enom`enes ont ´et´e observ´es qui laissent penser que la mati`ere que nous connaissons n’est qu’une petite partie de l’´energie totale contenue dans l’Univers. D’abord, la mati`ere rayonnante observ´ee est insuffisante pour expliquer les effets gravitationnels observ´es : courbes de vitesse de rotation des galaxies, cin´ematique des amas de galaxies, courbure due aux mirages gravitationnels, etc. Ceci impose d’admettre la pr´esence de mati` ere sombre, dont la nature nous est inconnue (baryonique ou non), en grande quantit´e dans l’Univers. La mission Planck a permis d’estimer la composition en mati`ere de l’Univers `a 4, 8% de mati`ere ordinaire (dont seulement 10% seraient rayonnante, avec les ´etoiles, le gaz chaud, etc., le reste ´etant compos´e de gaz froid intergalactique), et 25, 8% de mati`ere sombre, dont la nature est inconnue. Par ailleurs, en 1998, l’observation de supernovæ I-a, dont la luminosit´e d’explosion est une constante connue, a montr´e que la constante de Hubble avait une d´eriv´ee non-nulle, et positive, autrement dit que l’expansion de l’Univers acc´el`ere. En termes relativistes, ceci signifie que la constante cosmologique Λ est non-nulle 8 . Ce fait observationnel fondamental am`ene `a poser le param` etre d’´ energie sombre : ΩΛ

=

Λc2 3 H2

Le param`etre de courbure s’´ecrit alors : Ωk

=

1 − Ωm − ΩΛ

On assimile Λ ` a une ´energie du vide dont la densit´e volumique est constante au cours de l’expansion, contrairement ` a la densit´e de mati`ere qui, elle, est d´ecroissante avec l’expansion. Elle agit 8. L’ironie de l’histoire est qu’Albert Einstein, qui ne croyait gu` ere initialement ` a l’expansion de l’Univers, l’avait introduite pour obtenir de ses ´ equations un Univers statique, admettant plus tard qu’il s’agissait de la plus grande erreur de sa vie...

7

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

comme r´epulsion face ` a la gravitation et tend donc, naturellement, `a acc´el´erer l’expansion 9 . La mission Planck a permis d’estimer ΩΛ `a 0, 694. ` l’issue de la mission Planck (voir la figure 1.5 page suivante), on aboutit donc `a un Univers A o` u la courbure est nulle Ωk = 0, et o` u l’´energie noire domine (ΩΛ = 0, 694) largement devant la mati`ere baryonique connue (Ωb = 0, 049) et une mati`ere sombre dont on ne connaˆıt pas la nature (Ωd = 0, 258). La conclusion s’impose d’elle-mˆeme : 95% de l’Univers nous est inconnu ! 1.1.1.3

Le rayonnement fossile

L’observation de la fuite des galaxies ainsi que la relativit´e g´en´erale convergent donc vers l’affirmation que l’Univers est en expansion. En remontant dans le pass´e, plusieurs astrophysiciens, notamment Alexander Friedmann et l’abb´e Georges Lemaˆıtre (1894 – 1966) ont ´emis l’hypoth`ese d’une singularit´e initiale, commencement de l’Univers. Par d´erision, l’anglais Fred Hoyle (1915 – 2001), qui ne croyait pas `a cette th´eorie et d´efendait celle de l’´etat stationnaire, a appel´e cet ´ev`enement Big bang... Il avait en effet ´etabli que les ´el´ements chimiques lourds ´etaient cr´e´es au cœur des ´etoiles. L’am´ericain George Gamow (1904 – 1968) ´etablit quant `a lui que des temp´eratures beaucoup plus chaudes devaient pr´esider `a la formation des ´el´ements l´egers et proposa que l’origine de l’Univers ait pu r´eunir de telles conditions ; il en d´eduisit que si l’Univers a effectivement connu une naissance en quelque sorte explosive, alors il devrait en rester la trace sous la forme d’un rayonnement de fond diffus dans l’ensemble de l’espace. C’est en 1965 que Penzias 10 et Wilson 11 , par hasard, l’on d´ecouvert 12 , `a une longueur d’onde de 7 cm, correspondant ` a une temp´erature de 2, 725 K ; il est d’ailleurs remarquable que la courbe d’intensit´e en fonction de la longueur d’onde de ce rayonnement est une magnifique courbe de corps noir. Ce rayonnement fut cartographi´e par COBE `a la fin des ann´ees 1990, puis par le satellite WMAP au d´ebut des ann´ees 2000, et enfin par Planck `a partir de 2009.

Figure 1.4 – Le fond diffus cosmologique `a 2, 725 K, observ´e par le satellite WMAP, combinaison d’observations `a cinq fr´equences. L’amplitude des anisotropies s’´el`eve `a 200 mK. Source : site internet de la mission WMAP, `a l’adresse http://map.gsfc.nasa. gov/media/101080/index.html Ce rayonnement est le vestige de l’´epoque de l’Univers o` u celui-ci est devenu suffisamment grand pour que la mati`ere n’absorbe pas tout le rayonnement pr´esent dans l’espace, o` u, en somme, celui-ci pouvait se propager librement ; il date de seulement 380 000 ans apr`es le Big bang, correspondant ` a un redshift z = 1089. Ce rayonnement montre une remarquable isotropie, autour de la valeur moyenne ; cependant, des anisotropies sont pr´esentes, qui sont la trace des anisotropies de r´epartition de la mati`ere au moment du d´ecouplage lumi`ere-mati`ere. 9. Cette d´ ecouverte a valu ` a trois astrophysiciens le prix Nobel de physique 2011. Il s’agit de Saul Perlmutter, Brian Schmidt et Adam Riess. 10. Arno Allan Penzias, n´ e en 1933. 11. Robert Woodrow Wilson, n´ e en 1936. 12. La d´ ecouverte du fond diffus cosmologique leur a permis d’ˆ etre d´ ecor´ es du prix Nobel de physique 1978.

8

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Figure 1.5 – Le fond diffus cosmologique, observ´e par le satellite Planck. Les couleurs indiquent l’´ecart `a 2, 725 K. Source : site internet de l’observatoire Midi-Pyr´en´ees `a l’adresse http://www.obsmip.fr/index.php/actualites/ actualites-scientifiques/ planck_bigbang

Puisque le spectre de ce rayonnement est celui du corps noir, on peut lui appliquer la loi de Wien 13 : λmax T

=

σw

=

2, 898 m K

σw est appel´ee constante de Wien. Compte tenu de la relation liant longueur d’onde et redshift : a0 ae

λ0 λe 1+z

= =

on aboutit ` a l’id´ee que : a0 ae

Te T0

=

Si, comme de nombreux indices nous le laisse penser, a a ´et´e plus petit par le pass´e, alors Te , temp´erature d’´emission de ce rayonnement, ´etait plus ´elev´ee, et l’on peut mˆeme affirmer que : T

∝

ou : T

∝

1 a 1 R

Or la loi de Stefan 14 - Boltzmann 15 nous indique que la densit´e ´energie contenue dans un rayonnement est proportionnelle ` a T 4 ; on en d´eduit donc que la densit´e d’´energie du rayonnement varie −4 comme R : Er

∝

R−4

Or, pour la mati`ere, la densit´e varie comme R−3 : Em

∝

R−3

Si bien que : Er Em

∝

1 R

13. Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien (1864 – 1928). 14. Joseph Stefan (1835 – 1893). 15. Ludwig Eduard Boltzmann (1844 – 1906).

9

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Cela signifie que dans les premiers instants de l’Univers, pour un rayon inf´erieur `a un rayon critique, celui atteint au moment du d´ecouplage, l’´energie du rayonnement a ´et´e plus puissante que l’´energie de la mati`ere ; ensuite l’´energie de la mati`ere a domin´e l’´energie du rayonnement ; et maintenant, et `a l’avenir, c’est l’´energie du vide qui domine l’´energie de la mati`ere et celle du rayonnement, et qui d´etermine, donc, l’´evolution de l’Univers.

1.1.2

L’histoire thermique de l’Univers

Nous venons de le voir, l’histoire de l’Univers peut ˆetre rapport´ee `a un param`etre de distance relative autant qu’`a un param`etre de temp´erature ; ce crit`ere est particuli`erement int´eressant, puisqu’il nous donne acc`es aux conditions physiques dans lesquelles se trouve la mati`ere. Le temps au del` a duquel on ne peut remonter s’appelle le temps de Planck 16 , qui vaut 10−43 s : mˆeme la physique quantique n’y est plus valide.

Figure 1.6 – L’histoire sch´ematique de l’Univers telle qu’on l’envisage au d´ebut du xxie si`ecle. Source : site internet de la mission Planck, `a l’adresse http://www.esa.int/Our_Activities/ Space_Science/Planck/History_of_cosmic_structure_formation

1.1.2.1

L’` ere de la grande unification : 10−43 s ≤ t ≤ 10−33 s

Apr`es le temps de Planck, la gravitation devient une interaction ind´ependante des autres, qui sont unifi´ees dans une seule interaction. La temp´erature est entre 1028 et 1032 K. Le rayonnement prend la forme de rayons γ tr`es ´energ´etiques, et est en ´equilibre avec les quarks et les leptons (´electrons, neutrinos) : leur formation - annihilation produit ou consomme des rayons γ. Les quarks et les leptons interagissent par le biais de bosons X et Y tr`es massifs (m = 1015 GeV 17 ). La mati`ere ` la fin de cette p´eriode a lieu la grande et l’antimati`ere sont en quantit´e strictement ´egales. A inflation. Celle-ci est un subterfuge introduit au d´ebut des ann´ees 1980 pour fournir un m´ecanisme expliquant l’homog´en´eit´e et l’isotropie de l’Univers, sans lequel aucune th´eorie ne parvenait `a justifier ces propri´et´es ; la platitude de l’Univers y trouverait aussi son origine. L’inflation permet `a l’Univers de grossir d’un facteur immense. L’interaction nucl´eaire forte se diff´erencie de l’interaction ´electrofaible, et la domine. 16. Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 – 1947). 17. 1 eV = 1, 602 176 53 10−19 J = 1, 783 10−36 kg.

10

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

1.1.2.2

L’` ere hadronique : 10−33 s ≤ t ≤ 10−4 s

La temp´erature redescend ici entre 1012 et 1020 K, provoquant l’annihilation des bosons X et Y. La diff´erenciation des interactions provoque une asym´etrie : il y a 109 + 1 quarks contre 109 antiquarks ! La mati`ere prend la forme d’un plasma de quarks et de leptons. Les premiers interagissent entre eux via les gluons, vecteurs de l’interaction forte ; les seconds via les photons et bosons W et Z, de masse nulle, vecteurs de l’interaction ´electrofaible. Les bosons n’acqui`erent une masse (90 GeV ) qu’`a partir du moment o` u l’interaction ´electromagn´etique se s´epare de l’interaction nucl´eaire faible, quand la temp´erature d´ecroˆıt sous T = 1015 K, autour de t = 10−10 s. Quand la temp´erature baisse sous 1013 K, le rayonnement ne brise plus les assemblages de quarks, qui forment les hadrons : nucl´eons (protons, neutrons) et pions. Les nucl´eons s’annihilent en grande partie, donnant des photons et des leptons. Les pions s’annihilent quand la temp´erature descend sous 1012 K, ` a t = 10−4 s : c’est la fin de l’`ere hadronique. 1.1.2.3

L’` ere leptonique : 10−4 s ≤ t ≤ 10 s

La temp´erature est encore de 5 109 K `a 1012 K. L’Univers est essentiellement compos´e de leptons : neutrinos, tauons, muons, ´electrons, ainsi que leurs antiparticules, toutes en ´equilibre avec le rayonnement. Il reste un peu de neutrons et de protons, qui sont en nombre ´egal. Les neutrinos sont en ´equilibre avec les nucl´eons, ce que traduisent les r´eactions : ν + p → n + e+ ν + n → p + e− n

→ p + e− + ν

Ce cycle montre que cette `ere, comme son nom l’indique, est caract´eris´ee par une hausse du nombre de leptons, en l’occurrence ´electrons, positons et neutrinos. Quand la temp´erature descend sous 1010 K, ` a t = 1s, les neutrinos n’ont plus assez d’´energie pour interagir avec les nucl´eons. Les neutrons disparaissent progressivement, selon la derni`ere r´eaction ci-dessus. Enfin, lorsque la temp´erature d´ecroˆıt sous 5 109 K, les ´electrons s’annihilent et l’`ere leptonique prend fin. 1.1.2.4

L’` ere radiative : 10 s ≤ t ≤ 106 ans

La temp´erature passe alors de 5 109 K `a 3 103 K. L’Univers reste compos´e de photons pour ` t = 3 min, la temp´erature est de 108 K, ce qui permet de stopper la d´ecroissance l’essentiel. A des neutrons, quand les premiers noyaux atomiques se forment : 3 He, 4 He, 7 Li, Be. Les ´el´ements plus lourds n’ont pas l’´energie suffisante pour r´esister aux chocs et au rayonnement. Il s’agit de la nucl´eosynth`ese primordiale, qui cesse quand t = 30 min, et T = 107 K. 25% des nucl´eons sont sous la forme de noyaux d’h´elium, le reste ´etant de l’hydrog`ene, et un petit peu de lithium et de b´eryllium. Le seuil de 4000 K correspond `a la formation des premiers atomes, au bout de 300 000 ans. Les ´electrons sont d´esormais li´es aux noyaux et laissent filtrer le rayonnement. La mati` ere se d´ ecouple ainsi du rayonnement et l’Univers devient transparent ! Ce processus est achev´e ` a 3000 K (1 millions d’ann´ees). C’est de cet ´ev´enement que date le rayonnement diffus cosmologique fossile : d`es lors, le nombre de photons dans l’Univers ne cesse de croˆıtre : d`es lors, le nombre de photons dans l’Univers ne cesse de croˆıtre. On comprend d`es lors qu’il s’agisse de l’image la plus vieille possible de l’Univers dans le domaine du rayonnement. C’est de cet instant ´egalement que date la prise de pouvoir de la mati`ere sur le destin de l’Univers ! 1.1.2.5

L’` ere stellaire : t ≥ 106 ans

C’est l’´epoque dans laquelle nous vivons encore, caract´eris´ee par la naissance, la vie et la mort des ´etoiles. Il est d´esormais vraisemblable que les ´etoiles se sont form´ees avant les galaxies, au bout de 400 millions d’ann´ees, ceci en raison de la structure en filaments de l’Univers, que la fragmentation du gaz initial en grosses unit´es comme les galaxies ne permet pas. Les ´etoiles sont

11

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

a` partir de cet instant les usines ` a ´el´ements lourds de l’Univers, qu’elles expulsent dans l’espace interstellaire au moment de leur mort.

1.1.3

Les questions r´ egl´ ees

Le mod`ele standard d’histoire de l’Univers tel qu’expliqu´e ci-dessus permet d’expliquer plusieurs choses. En particulier, il rend bien compte du rayonnement de fond cosmologique, ainsi que que de la nucl´eosynth`ese initiale. En effet, ce dernier point est un des piliers 18 de la th´eorie du Big bang. Comme nous l’avons dit, les ´etoiles sont les centres de production des ´el´ements lourds de l’Univers, et il n’en existe pas d’autre ; autrement dit, l’oxyg`ene que vous respirez, le carbone que vous mangez, etc., tous ces ´el´ements sont n´es il y a des milliards d’ann´ees dans une ´etoile. Mais la quantit´e d’h´elium pr´esente dans l’Univers ne peut pas du tout ˆetre expliqu´ee par l’ensemble des g´en´erations d’´etoiles que l’Univers a` compt´e : seule la nucl´eosynth`ese primordiale peut expliquer cette quantit´e. C’est aussi la nucl´eosynth`ese primordiale qui permet aussi d’expliquer l’abondance du deut´erium et du lithium.

1.1.4

Les questions en suspens

Il ne faut cependant pas crier victoire trop vite, car beaucoup de choses restent suspectes. Si le fond diffus cosmologique est en apparence homog`ene, il ne l’est pas compl`etement : pourquoi ? Ces h´et´erog´en´eit´es sont-elles ` a l’origine de la formation des galaxies, des amas de galaxies ? L’isotropie de l’Univers trouve son explication dans l’inflation. Elle permet en effet d’expliquer que des r´egions sans lien causal, c’est-`a-dire n’ayant pas pu communiquer entre elles du fait de la vitesse finie de la lumi`ere, voient les mˆemes ph´enom`enes se passer, `a peu pr`es aux mˆemes instants, et selon les mˆemes lois. Mais l’inflation n’a pour l’instant aucune justification physique, c’est un v´eritable lapin sorti d’un chapeau ! Par ailleurs, la g´eom´etrie de l’Univers semble exceptionnellement proche de la platitude, ce qui signifie que la densit´e de l’Univers est et a toujours ´et´e, compte-tenu de sa taille `a chaque instant, tr`es proche de la densit´e critique : pourquoi ? La encore, l’inflation est une porte de sortie tr`es commode... Une autre ´enigme r´eside dans la l´eg`ere sup´eriorit´e de la mati`ere sur l’antimati`ere. Le rayonnement γ peut former des particules de mati`ere et d’antimati`ere, mais toujours en quantit´es ´egales. Or, aujourd’hui, nous le constatons chaque jour, l’antimati`ere est dramatiquement absente de l’Univers ; et si elle ne l’´etait pas, nous observerions des gerbes de rayonnement γ provenant de son annihilation avec la mati`ere. Comment et pourquoi l’Univers a-t-il bascul´e ? La d´ecouverte du boson de Higgs en 2012 pourrait aider `a comprendre ce ph´enom`ene. Allons plus loin : l’instant t = 0 existe-t-il ? A-t-il seulement un sens ? Y a-t-il d’autres Univers, provenant d’autres Big bangs, avec d’autres lois de la physique ? Sont-ils finis ou infinis, temporaires ou ´eternels ? Leur mati`ere pourrait-elle interagir avec la nˆ otre 19 ? L’Univers peut-il s’auto-g´en´erer lui-mˆeme ? Voil`a des si`ecles d’une quˆete passionnante en perspective ! 18. Les autres piliers de la th´ eorie du Big bang sont le rayonnement de fond cosmologique, l’expansion de l’Univers et la relativit´ e g´ en´ erale. 19. Et n’oublions pas que 95% de la mati` ere-´ energie de notre propre Univers est de nature inconnue...

12

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

1.2

La Voie Lact´ ee, une galaxie parmi d’autres

Par un beau soir d’´et´e, couch´e dans l’herbe, vous contemplez le ciel ´etoil´e. Vous ˆetes loin des villes, et le ciel est bien noir. Vous distinguez bien plus d’´etoiles qu’`a Paris. Une pˆ ale traˆın´ee lumineuse traverse pourtant le ciel du sud au nord ; elle est moins noire que le ciel, et pourtant, `a l’œil nu, il ne semble pas s’agir d’un ensemble d’´etoiles. Certains endroits semble plus brillants encore, quoique n´ebuleux ; d’autres au contraires, sont tr`es sombres, et sans ´etoile. Cette chose ´etrange, c’est la Voie Lact´ee, notre galaxie. Sa nature n’a ´et´e r´ev´el´ee aux astronomes et aux humains que tr`es tardivement, au cours de la premi`ere moiti´e du xxe si`ecle, par comparaison avec les autres « n´ebuleuses » de forme spirale, dont il s’est av´er´e que la distance est tr`es sup´erieure `a celle des ´etoiles de la Voie Lact´ee. La Voie Lact´ee apparut alors pour ce qu’elle est : une galaxie parmi d’autres, dont le Soleil n’est qu’une ´etoile parmi d’autres, plutˆ ot p´eriph´erique d’ailleurs (voir la figure 4.18 page 189). Le processus de remise en cause de la place centrale de l’Homme dans l’Univers entam´e par Copernic connaissait une ´etape suppl´ementaire...

Figure 1.7 – La Voie Lact´ee telle qu’on la voit dans le ciel d’´et´e. Source : Astronomy picture of the day (3 mai 2008) ; image originale : Babak A. Tafreshi.

La Voie Lact´ee est une galaxie de type spirale. Il y a en son centre un bulbe ´epais (5 kpc de diam`etre 20 ), entour´e de bras qui sont en rotation autour de lui et qui forment un plan. Le plan galactique fait 50 kpc de diam`etre, et son ´epaisseur de l’ordre de 1, 7 kpc ; un disque de poussi`ere et de gaz atomique et mol´eculaire, d’une ´epaisseur de 200 pc, forme le cœur du plan galactique. Dans les bras, la densit´e de mati`ere est la mˆeme qu’ailleurs dans la galaxie, mais ce sont des r´egions de formation d’´etoiles `a partir de nuage de gaz. Les bras sont le r´esultat de l’onde de choc ayant provoqu´e l’effondrement de la galaxie ; cette ´energie s’´evacue sous la forme de moment cin´etique, c’est-` a-dire de rotation, par le biais d’ondes de densit´e que sont les bras spiraux, et dont la vitesse est plus ´elev´ee que la vitesse orbitale des ´etoiles qui s’y forment. La Voie Lact´ee est aussi entour´ee d’un halo sombre, o` u l’on trouve des amas globulaires. L’´etude des vitesses de rotation des galaxie montre une courbe observ´ee en deux morceaux : — 0 ≤ r ≤ 10 kpc : v ∝ r (rotation solide, pr´evue par la th´eorie) ; — r ≥ 10 kpc : v = cte, alors que la th´eorie pr´evoit v ∝ r−1/2 (rotation k´eplerienne). Cette observation est le point de d´epart d’un cheminement intellectuel ayant abouti `a l’id´ee que la mati`ere rayonnante est tr`es insuffisante pour fournir le potentiel gravitationnel n´ecessaire `a l’observation de telles vitesses : il s’agit du probl`eme de la « mati`ere sombre », qui est un des probl`emes fondamentaux de la cosmologie moderne, puisqu’on estime que 80 `a 90% de la masse de l’Univers serait constitu´e de cette sorte de mati`ere... 20. Pour la d´ efinition du parsec, voir la partie 2.9.1.2 page 127.

13

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

La Voie Lact´ee appartient ` a un Groupe Local de galaxies, qui en comprend une quarantaine (pour 3 M pc de diam`etre, soit 9,78 millions d’ann´ees-lumi`ere), notamment les Petit et Grand Nuages de Magellan, visibles de l’h´emisph`ere sud, la galaxie d’Androm`ede (M31), son satellite M32, la galaxie du Triangle (M33), etc. Le Groupe Local appartient lui-mˆeme `a l’Amas de la Vierge (2000 galaxies, 15 millions d’ann´ees-lumi`ere de diam`etre, 1, 2 1014 masses solaires), qui lui-mˆeme fait partie du Superamas de la Vierge (10 000 galaxies, 200 millions d’ann´ees-lumi`ere de diam`etre). Mais toutes les galaxies ne sont pas des spirales. Les galaxies elliptiques et lenticulaires forment un tiers des galaxies ; elles n’ont pas de point ou de plan fondamental. La vitesse de rotation est faible devant la dispersion de la distribution des vitesses. Il y a enfin les galaxies irr´eguli`eres, qui sont informes car souvent sujettes aux effets de mar´ees d’une galaxie plus grosse. Les rencontres et fusion entre galaxies sont fr´equentes, donnent lieu `a des flamb´ees de naissances d’´etoiles, et font naˆıtre des galaxies plus grosses, dont les vitesses stellaires sont plus dispers´ees, qui se transforment rapidement en galaxies elliptiques. En d´ecouvrant la nature extra-galactique des galaxies, dans les ann´ees 1920, Edwin Hubble a ´etabli une classification, vue comme une s´equence d’´evolution des galaxies, des elliptiques vers les spirales ; sans ˆetre compl`etement fausse, cette s´equence est aujourd’hui plus complexe.

Figure 1.8 – La s´equence de Hubble. Source : site internet de l’Observatoire de Paris, `a l’adresse http://www.obspm. fr/actual/nouvelle/ aug02/accretion.fr. shtml

14

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) La galaxie spirale NGC (b) La galaxie spirale NGC (c) La galaxie elliptique NGC 7424 vue de face. Source : Eu- 4565 vue par la tranche. 1132. Source : Hubble space teropean Southern Observatory. Source : ESO. lescope.

(d) La galaxie irr´ eguli` ere (e) L’amas Abell NGC 1427A. Source : HST. Source : HST.

1689.

(f) NGC 4676 : deux galaxies en interaction. Source : HST.

Figure 1.9 – Quelques portraits de galaxies. Les adresses internet `a partir desquelles les retrouver sont les suivantes : http://www.eso.org/public/images/ et http://hubblesite.org/gallery/

15

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

1.3 1.3.1

Le Soleil, notre ´ etoile D’une n´ ebuleuse de gaz ` a une ´ etoile

Le Soleil, comme toutes les ´etoiles, est n´e de l’effondrement d’une n´ebuleuse de gaz, il y a 5 milliards d’ann´ees. Pour un syst`eme `a l’´equilibre, le th´eor`eme du viriel (voir page 59) s’exprime : 2 Ec + Ep

=

0

(1.2)

avec Ec l’´energie cin´etique et Ep l’´energie potentielle. L’´energie cin´etique est, dans un gaz `a l’´equilibre, l’´energie d’agitation et de mouvement de ses particules ; l’´energie potentielle n’est que de nature gravitationnelle. 1.3.1.1

L’´ energie potentielle gravitationnelle

L’´energie potentielle totale de l’ensemble de gaz appel´e `a devenir une ´etoile se calcule selon :

Ep

Z

= −

G m(r) dm r2

Si on fait l’hypoth`ese que cette n´ebuleuse est de sym´etrie sph´erique, la masse de la coquille de rayon r et d’´epaisseur dr vaut : m(r)

4πr2 ρ dr

=

La masse totale du gaz s’exprime quant `a elle :

M

4 3 πR ρ 3

=

Ainsi, si on fait l’hypoth`ese que le gaz a une masse volumique homog`ene, on reformule :

Ep = −

Z

Ep = −

3 GM 2 5 R

G M r3 3r2 M dr R3 r 2 R3 Z GM 2 R 4 = −3 r dr R6 0

⇐⇒ 1.3.1.2

(1.3)

L’´ energie cin´ etique

L’´energie cin´etique de la n´ebuleuse de gaz pr´e-solaire s’exprime :

Ec

=

3 M kT 2 µmH

o` u le facteur 3/2 vient des trois degr´es de libert´e de translation de chaque particule ; M est la masse du nuage de gaz ; mH est la masse de l’atome d’hydrog`ene ; µ = ρ/n est la masse particulaire moyenne (ρ est la masse volumique, n la densit´e particulaire), facteur li´e `a la nature de la 16

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

particule gazeuse : atome ou mol´ecule ; k est la constante de Boltzmann ; T est la temp´erature. L’´equilibre entre le r´egime d’effondrement et le r´egime de dissipation dans l’espace est donn´e et permet de formuler la masse d’´equilibre de l’´etoile et son rayon, selon les conditions dans lesquelles elle se trouve.

1.3.1.3

Le crit` ere de Jeans

La n´ebuleuse pr´e-solaire n’est toutefois pas `a l’´equilibre, et le th´eor`eme du viriel prend deux formes possible, selon les ph´enom`enes pr´edominants : 2 Ec + Ep ou : 2 Ec + Ep

≤

≥

0 0

La premi`ere relation implique : 2 Ec ≥

−Ep

La seconde relation implique : Ep

≥ −2 Ec

Dans le premier cas, l’´energie cin´etique est plus puissante que l’´energie gravitationnelle, et le gaz se disperse. Dans le second cas, l’´energie gravitationnelle est plus forte que l’´energie cin´etique, et le gaz s’effondre sur lui-mˆeme. Cette relation est d’autant mieux v´erifi´ee que la masse pr´esente est importante d’une part (qui augmente l’´energie gravitationnelle), et que la temp´erature est basse d’autre part (qui diminue l’´energie cin´etique).

(a) Une zone de formation (b) Une zone de formation etoiles de la n´ ebuleuse d’´ etoiles de la n´ ebuleuse de d’´ l’Aigle vue par Hubble (1995). d’Orion vue par le satellite Chandra (2007).

(c) Une proto-´ etoile en formation entour´ ee de son disque proto-plan´ etaire, dans la n´ ebuleuse d’Orion, vue par Hubble (1995).

Figure 1.10 – Illustrations de formation d’´etoiles. Source : NASA 21 .

1.3.2

Sources d’´ energie

21. Les adresses internet ` a partir desquelles retrouver ces images ont d´ ej` a´ et´ e mentionn´ ees.

17

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Le Soleil, comme toutes les ´etoiles, dispose de deux sources d’´energie : l’´energie des r´eactions nucl´eaires de fusion qui ont lieu en son cœur, et l’´energie gravitationnelle associ´ee `a sa masse. 1.3.2.1

L’´ energie nucl´ eaire

En se contractant, le proto-Soleil s’est ´echauff´e au point que des r´eactions nucl´eaires de fusion ont d´emarr´e. Plusieurs cycles de r´eaction ont lieu au cœur du Soleil, toutes du type pp (protonproton) : Cycle ppI (85% de l’´energie) : 1

H + 1H → 1 H + 1 H + e− →

2

D + νe + e+ + 1, 442 M eV − 0, 263 M eV 2 D + νe + 2, 486 M eV − 1, 44 M eV

2

3

D + 1H → 3 He + 3 He →

4

He + γ + 5, 493 M eV He + 1 H + 1 H + 12, 859 M eV

Cycle ppII (15% de l’´energie) : 3

He + 4 He 7 Be + e− 7

→ →

Li + 1 H →

7 7 4

Be + γ + 1, 586 M eV Li + νe + 0, 861 M eV − 0, 80 M eV He + 4 He + 17, 347 M eV

Ici, e+ est le positon, e− l’´electron, νe le neutrino ´electronique, γ le photon. H est l’´el´ement hydrog`ene, D le deut´erium (hydrog`ene avec un noyau compos´e d’un proton et d’un neutron), He l’h´elium, Be le b´eryllium, Li le lithium. Les ´energies positives produites sont le r´esultat de l’annihilation du positron, les ´energies n´egatives sont l’´energie emport´ee par le neutrino. Il existe un cycle ppIII, qui ne compte que marginalement dans le cycle ´energ´etique du Soleil.

1.3.2.2

L’´ energie gravitationnelle

Si, pendant un temps ∆t, l’´etoile perd une ´energie ∆E (= −∆Ec) par rayonnement (c’est-` a-dire que l’´etoile perd la quantit´e d’´energie cin´etique ∆Ec), on a la relation : −2 ∆E + ∆Ep ∆Ep ⇐⇒ 2

= 0 = ∆E

L’identit´e nulle vient du maintien `a l’´equilibre de l’´etoile. L’´energie potentielle, n´egative, diminue ; la masse restant constante, la relation 1.3 nous indique que le rayon diminue lui aussi. Or, en se contractant, l’´energie d´egag´ee dans ce mouvement sert en moiti´e `a augmenter l’´energie cin´etique Ec de l’´etoile, donc sa temp´erature ; l’autre moiti´e est traduite par du rayonnement. L’´etoile se trouve donc stabilis´ee par ce ph´enom`ene de r´egulation.

1.3.3

Types d’´ etoiles

Naturellement, selon leurs conditions de formation, l’´energie disponible, la masse de gaz pr´esente, les ´etoiles ont des propri´et´es et des ´evolutions diff´erentes.

18

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

1.3.3.1

Le diagramme de Hertzsprung-Russell

Ce diagramme a ´et´e ´etabli au d´ebut du xxe si`ecle par Ejnar Hertzsprung (1873 – 1967) et Henry Norris Russell (1877 – 1957). Il met en lien la temp´erature de surface des ´etoiles (ou le type spectral), avec leur luminosit´e. Il permet de distinguer plusieurs familles d’´etoiles. La diagonale qui le traverse d’en haut ` a gauche en bas `a droite est appel´ee s´equence principale ; le Soleil, de classe spectrale G, en fait partie. On y voit les naines (de faible luminosit´e), et les g´eantes (de forte luminosit´e), ` a l’´ecart de la s´equence principale. La couleur des ´etoiles y est li´ee `a leur temp´erature : les chaudes sont bleues, les froides sont rouges.

Figure 1.11 – Le diagramme de Hertzsprung-Russell. Source : site internet de l’ESA, `a l’adresse http://sci.esa.int/sciencee/www/object/index.cfm? fobjectid=35774&fbodylongid=1703.

1.3.3.2

Les ´ etoiles naines

Les ´etoiles naines se distinguent par leur faible luminosit´e, c’est-`a-dire, ´egalement, leur faible masse. Ainsi, les naines brunes sont des astres dont la masse est si petite que leur cœur n’a pas pu s’´echauffer pour amorcer les r´eactions nucl´eaires. Les naines brunes sont donc plus massives que les plan`etes g´eantes, mais de masse inf´erieure `a 0,08 masses solaires ; `a leur diff´erence, toutefois, elles ´emettent un rayonnement. Celui-ci ne provient que l’´echauffement dˆ u `a leur contraction gravitationnelle. Les naines rouges forment la classe d’´etoiles de masse imm´ediatement sup´erieure `a celle des naines brunes. Peu massives, leur ´energie provient n´eanmoins de la fusion nucl´eaire. En revanche, la temp´erature de leur cœur ne s’´el`eve pas assez pour brˆ uler rapidement le combustible pr´esent, si bien que leur dur´ee de vie est tr`es longue. Leur temp´erature de surface est de 3000 K. Les naines rouges forment la population la plus importante des ´etoiles. Les naines blanches (voir aussi page 23) ont une toute autre nature que les deux pr´ec´edentes. Aucune ´etoile ne se forme en ´etant une naine blanche ; une naine blanche n’est que le cœur d’une ´etoile de masse moyenne (entre 0,8 et environ 5 masses solaires) arriv´ee en fin de vie et qui a expuls´e ses couches ext´erieures. Ce sont des ´etoiles de densit´e ´elev´ee, de temp´e19

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

rature initialement ´elev´ee, mais qui ne sont plus le si`ege d’aucune r´eaction nucl´eaire. Elle se refroidissent inexorablement, jusqu’` a devenir des naines noires au bout de plusieurs milliards d’ann´ees, astres errant ne rayonnant plus du tout, et compl`etement froids. 1.3.3.3

Les ´ etoiles de type solaire

Les ´etoiles de type solaire ressemblent au Soleil, par d´efinition. Leur masse est, `a environ 20% pr`es, celle de notre ´etoile, et leur couleur jaune. Leur temp´erature de surface est situ´ee entre 5000 et 6000 K, et leur dur´ee de vie d’environ dix milliards d’ann´ees. 1.3.3.4

Les ´ etoiles g´ eantes

Les ´etoiles g´eantes peuvent soit ˆetre le r´esultat de l’´evolution des ´etoiles solaires, soit naˆıtre de la sorte. Les g´ eantes rouges sont des ´etoiles « normales » en fin de vie (voir aussi page 22) ; elles atteignent ce stade lorsque leurs couches ext´erieures sont dilat´ees en raison du d´eplacement de la zone si`ege des r´eactions nucl´eaires du cœur de l’´etoile vers la zone convective. Leur temp´erature de surface est d’environ 3000 K. ` l’inverse, les g´ A eantes bleues sont des ´etoiles qui naissent g´eantes, en raison d’une masse importante d’hydrog`ene disponible. Ces ´etoiles sont tr`es chaudes et ont une couleur bleue. Leur dur´ee de vie, en revanche, est relativement courte, et n’est que de quelques dizaines ou centaines de millions d’ann´ees. Leur temp´erature de surface est de l’ordre de 20 000 K. Elles terminent leur vie dispendieuse sous la forme de supernovæ.

1.3.4

L’´ equilibre hydrostatique du Soleil

Les r´eactions nucl´eaires sont la source d’´emission des photons du Soleil. Cette radiation s’oppose `a l’effondrement du Soleil sous le poids de sa propre masse. En effet, un volume ´el´ementaire de Soleil ` a l’´equilibre est soumis ` a deux forces : la force de gravitation et la pression de radiation, dont la somme est nulle :

− → − → dFp + dFg =

− → 0

Or nous avons : − → → + P (r) d2 S − → dFp = −P (r + dr) d2 S − u u r r − → M (r) 3 − → dFg = −G 2 d m u r r D’o` u la relation de l’´equilibre hydrostatique du Soleil :

dP dr

=

−G

M (r)ρ(r) r2

(1.4)

Cette relation permet de calculer facilement la pression et la temp´erature au centre de notre ´etoile. Si on int`egre entre r = 0 et R⊙ le membre de gauche, on a : dP dr

=

P (r = 0) R⊙

Or, si on examine le membre de droite, `a r = R⊙ , la masse du Soleil est M⊙ ; la masse volumique est le simple rapport de la masse sur le volume :

20

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

ρ⊙

M⊙ 4 3 3 πR⊙

=

1, 4 g · cm−3

=

On obtient donc :

P (r = 0) =

G M ⊙ ρ⊙ R⊙

(1.5)

= 2, 7 · 1014 P a La valeur obtenue avec des mod`eles plus fins donne 2, 233 1016 P a. On peut aussi calculer la temp´erature au centre du Soleil ` a partir de la mˆeme ´equation. Si l’on fait l’hypoth`ese que la mati`ere est compl`etement ionis´ee, qu’il s’agit donc d’un plasma, on peut utiliser la relation des gaz parfaits :

P

= = =

nRT V nkNA T V kN T V

o` u n est le nombre de moles, NA le nombre d’Avogadro 22 , N le nombre de particules, R la constante des gaz parfaits, k la constante de Boltzmann, T la temp´erature et V le volume. Or, si on consid`ere que le Soleil n’est fait que d’hydrog`ene ionis´e (pour chaque atome, le nombre de particules est donc de deux) :

N

= 2

M⊙ mH

Si bien que :

T (r = 0) =

P (r = 0)mH 2 kρ⊙

(1.6)

= 107 K La valeur obtenue avec des mod`eles plus fins est de 1, 55 107 K, coh´erente avec notre calcul, et confirmant l’hypoth`ese d’un ´etat de la mati`ere sous forme de plasma. 22. Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro, comte de Quaregna et de Cerreto, connu sous le nom d’Amedeo Avogadro (1776 – 1856).

21

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

1.3.5

La structure du Soleil

Le Soleil a une structure concentrique. Au centre, il y a le noyau qui, comme nous l’avons d´ej` a dit, est le si`ege des r´eactions nucl´eaires ; le noyau se trouve entre 0 et 0, 25 R⊙ . Les photons ´emis traversent ensuite la zone radiative, qui s’´etend jusqu’` a 0, 7 R⊙ ; ils s’y d´eplacent tr`es lentement, du fait de la forte densit´e de mati`ere, en ´etant absorb´es puis r´e´emis ; la temp´erature y est de l’ordre de 2 106 K. Au del` a de 0, 7 R⊙ , il y a la zone convective : la mati`ere y forme des cellules de convection dont la taille ` a la surface atteint jusqu’` a 1000 km. La photosph` ere est la mince couche du Soleil qui ´emet les photons qui s’en ´echappent d´efinitivement ; son ´epaisseur est de seulement 500 km, et elle est transparente. La temp´erature y atteint 5800 K. C’est la photosph`ere que l’on observe dans le domaine visible, et o` u l’on voit les taches solaires, qui sont des r´egions de plus faible temp´erature (3500 K), de forte intensit´e magn´etique, et dont la taille est au minimum celle de la Terre. Au dessus de la photosph`ere, sur 3000 km, se trouve la chromosph` ere. C’est dans cette r´egion que l’on observe les manifestations ext´erieures du champ magn´etique solaire et les protub´erances, qui sont des ´ejections massives de mati`ere. La temp´erature dans cette r´egion est d’environ 15 000 K. D’une densit´e tr`es faible (de l’ordre de 10−9 g/m3 ) et d’une temp´erature de 2 `a 3 millions de kelvins, la couronne solaire est un plasma qui donne naissance au vent solaire, flux de particules, protons et ´electrons essentiellement, qui s’´echappe dans l’espace. On estime que la couronne s’´etend jusqu’` a 20 R⊙ . Au del` a, et jusqu’aux confins du syst`eme solaire, c’est l’h´ eliosph` ere, qui s’´etend jusqu’` a plusieurs dizaines d’unit´es astronomique 23 , r´egion appel´ee h´eliopause. Le tableau 1.1 r´esume les donn´ees importantes concernant le Soleil. Rayon Masse Luminosit´ e Temp´ erature au centre Pression au centre

6, 9598 108 m 1, 989 1030 kg 3, 854 1026 J.s−1 1, 557 107 K 2, 334 1016 P a = 2, 334 1011 bars

Table 1.1 – Informations quantitatives sur le Soleil. Source : [Daniel et al., 2006].

1.3.6

La fin du Soleil

Pour une ´etoile de la masse du Soleil, au bout de 10 milliards d’ann´ees, les r´eactions nucl´eaires ne peuvent plus continuer car tous les protons ont ´et´e consomm´es. Le cœur de l’´etoile, maintenant compos´e d’h´elium, se contracte et s’´echauffe, tout comme la couche qui l’entoure, compos´ee d’hydrog`ene ; dans cette couche, d´esormais, ont lieu des r´eactions nucl´eaires de fusion de l’hydrog`ene, qui produit ` a son tour de l’h´elium. Le cœur continue de le contracter, tandis que la pression dans la couche d’hydrog`ene augmente ; la gravit´e au cœur augmente, mais dans un rayon de plus en plus petit. Les couches externes, qui ne sont pas si chaudes, sont comme gonfl´ees par la pression des photons qui partent du noyau. La luminosit´e de l’´etoile reste cependant constante, et suit la loi de Stephan :

L

= 4πR2 σT 4

La temp´erature se met donc ` a d´ecroˆıtre, jusqu’` a atteindre un minimum, tandis que le cœur se contracte et fournit de plus en plus d’´energie `a la couche qui l’entoure o` u les r´eactions de fusion de l’hydrog`ene se poursuivent. La mati`ere du noyau devient d´eg´en´er´ee, et atteint un rayon de 0, 4R⊙ , tandis que les couches externes ont gonfl´e jusqu’` a 50 R⊙ : c’est le stade de la g´ eante rouge. La 23. 1 U A = 149 597 870, 7 km.

22

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) Le Soleil dans le visible, avec beau- (b) Le Soleil vu dans l’extrˆ eme coup de taches solaires, vu par le satellite ultra-violet pendant une ´ erupSoho (2001). tion de mati` ere coronale, vu par Soho (2001).

(c) Le transit de V´ enus de 2004 vu par le satellite Trace dans diff´ erentes longueurs d’onde de l’ultraviolet.

(d) Plusieurs instants d’une ´ ejection de mati` ere coronale vus (e) Une boucle de mati` ere coronale solaire par le coronographe de Soho (1999). suivant une boucle du champ magn´ etique vue par le satellite Trace (2008).

Figure 1.12 – Quelques portraits du Soleil. Sources : NASA. Les adresses internet `a partir desquelles retrouver ces images sont les suivantes : http://sohowww.nascom.nasa.gov/gallery/ et http://trace.lmsal.com/POD/

temp´erature du cœur atteint cent millions de degr´es, et les r´eactions de fusion des noyaux de 3 He s’amorcent pour former des noyaux de carbone et d’oxyg`ene ; la mati`ere ´etant d´eg´en´er´ee, il n’y a pas de mod´eration de l’augmentation de la temp´erature par augmentation de la pression ; au contraire, la r´eaction diverge : c’est le flash de l’h´elium. Le noyau enfle jusqu’` a ce que la d´eg´en´erescence de la mati`ere cesse. L’´etoile a donc deux cycles de r´eactions : la fusion de l’h´elium au cœur et celle de l’hydrog`ene dans la couche qui l’entoure. Mais la luminosit´e totale diminue, et l’´etoile se contracte, au point que le cœur, compos´e de noyaux de carbone et d’oxyg`ene, entre en ´etat de d´eg´en´erescence, surmont´e d’une couche d’h´elium en fusion, et d’une autre couche d’hydrog`ene en fusion. Le rayon de l’´etoile a gonfl´e jusqu’` a 300 R⊙ : c’est une super g´ eante rouge. L’´etoile peut connaˆıtre encore quelques p´eriodes d’instabilit´es. La gravit´e `a la surface n’est plus assez ´elev´ee pour que la mati`ere s’y maintienne : les couches externes s’´echappent dans l’espace interstellaire, formant une n´ ebuleuse plan´ etaire 24 . Le cœur est devenu une naine blanche, dont la masse ne peut exc´eder la masse de Chandrasekhar 25 : 1, 4 M⊙ . Sa temp´erature est de plusieurs milliers de degr´es, et son rayon de quelques milliers de kilom`etres. Pour les ´etoiles plus massives, jusqu’` a 3 M⊙ , le flash de l’h´elium n’a pas lieu, car cet ´el´ement fusionne avant l’´etat de d´eg´en´erescence ; mais, par la suite, les noyaux de carbone et d’oxyg`ene 24. Le terme est ´ evidemment impropre, et a des origines historiques : lorsque ces objets furent d´ ecouverts, on s’imaginait qu’il s’agissait de syst` emes solaires en formation. 25. Subrahmanyan Chandrasekhar (1910 – 1995). ` l’adresse : http://hubblesite.org/gallery/ 27. A

23

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Figure 1.13 – La structure du Soleil. Sources : site internet du CNES, reprenant un document ESA/NASA, ` a l’adresse http://www.cnes. fr/web/CNES-en/1499-discovering-thesuns-environment.php

Figure 1.14 – En haut : l’´evolution du nombre de taches solaires depuis 1750. En bas, l’´evolution dans le temps de la latitude des taches solaires recens´ees. Sources : site internet de l’Observatoire de Paris, reprenant la NASA, `a l’adresse http://media4.obspm.fr/public/ AMC/pages_activite-solaire/so-cyclesolaire_impression.html

fusionnent ` a leur tour, jusqu’` a atteindre l’´el´ement fer Fe, au del` a duquel la fusion ne peut plus fournir d’´energie. La gravit´e du cœur augmente d’une telle fa¸con que l’effondrement des couches externes y est extr`emement violent. Le fer se d´esint`egre en noyaux d’h´elium, puis en protons et en ´electrons qui, du fait de la masse pr´esente qui les ´ecrase, fusionnent en neutrons : on a affaire `a une ´ etoile ` a neutrons. Les couches externes explosent et se dispersent dans l’espace interstellaire, formant une supernova. Si un champ magn´etique est pr´esent et que l’´etoile `a neutron tourne sur elle-mˆeme, on a affaire ` a un pulsar, dont le champ magn´etique `a la surface est intense (sans parler de la pesanteur !). Les pulsars ´emettent des ondes radio `a une p´eriode tr`es courte, de l’ordre de la fraction de seconde, p´eriode de leur rotation. Leur rayon est de l’ordre de la dizaine de kilom`etre (la densit´e est telle qu’une cuiller ` a caf´e de mati`ere a la masse de l’Himalaya). Si la masse est encore plus importante, l’´etoile `a neutrons devient mˆeme un trou noir. Il est caract´eris´e par le rayon de Schwarzschild 28 :

R = 2

GM c2

(1.7)

en dessous duquel aucune mati`ere ni aucun rayonnement ne peut s’en ´echapper. Si le trou noir a la masse minimale de 3 M⊙ , le rayon de Schwarzschild fait 3 km. Les trous noirs, comme les ´etoiles `a neutrons du reste, sont rarement isol´es dans l’espace. Ils sont souvent accompagn´es d’un voisin de nature stellaire dont ils accr`etent la mati`ere, formant un disque en rotation, qui augmente leur masse, leur taille, etc. On trouve souvent des trous noirs au centre des galaxies. Dans les galaxies 28. Karl Schwarzschild (1873 – 1916).

24

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) La n´ ebuleuse de l’an- (b) La n´ ebuleuse d’H´ elix neau (1998). (2004).

Figure 1.15 – Quelques n´ebuleuses plan´etaires vues par le t´elescope Hubble. Sources : NASA 27 .

(a) La supernova 1987a (b) La n´ ebuleuse du crabe (composition avec une (2005). image du satellite Chandra).

Figure 1.16 – Quelques supernovæ vues par le t´elescope Hubble. Sources : NASA.

du jeune univers, c’est-` a-dire ` a plusieurs milliards d’ann´ees-lumi`ere de nous, on les trouve entour´es d’une quantit´e de mati`ere ´equivalente `a plusieurs milliards de masses solaires, formant des quasars, dont le disque est une source de rayonnement tr`es intense ; leur origine reste cependant discut´ee.

1.4

Le syst` eme solaire

On appelle syst`eme solaire le syst`eme physique compos´e du Soleil et des astres en orbite autour de lui. Ceux-ci sont de plusieurs natures : plan`etes, plan`etes naines, satellites, petits corps.

1.4.1

La formation du syst` eme solaire

Si les questions de la formation des syst`emes plan´etaires furent abord´ees de fa¸con primitive par Pierre-Simon de Laplace (1749 – 1827) et Emmanuel Kant (1724 – 1804), la th´eorie contemporaine de la formation du syst`eme solaire est due `a Viktor Sergueievitch Safronov (1917 – 1992). Les th´eories sur la formation du syst`eme solaire s’appuient sur les observations actuelles de notre syst`eme solaire, de nuages de gaz interstellaires de notre galaxie, sur les syst`emes de plan`etes extrasolaires, et sur les simulations num´eriques. Vraisemblablement, le syst`eme solaire est issu d’une n´ebuleuse gazeuse, compos´ee d’hydrog`ene et de poussi`eres essentiellement, de plusieurs milliers d’Unit´es Astronomiques d’´etendue. L’explosion d’une supernova `a proximit´e de ce nuage y fait apparaˆıtre une onde de choc, provoquant l’effondrement de ce nuage sous l’effet de la gravit´e due aux r´egions de sur-densit´e ainsi apparues. La conservation du moment cin´ etique impose alors un mouvement de rotation d’ensemble du nuage en cours d’effondrement et son aplatissement. Au cœur, la temp´erature et la pression augmentent de telle fa¸con que la r´egion centrale se met `a rayonner tr`es fortement, et que, apr`es 100 millions d’ann´ees, les r´eactions thermonucl´eaires de fusion de noyaux d’hydrog`enes puisse s’y amorcer, faisant alors grossir la structure ainsi form´ee, qui finit par atteindre l’´equilibre hydrostatique entre, d’un cˆ ot´e, la gravitation qui tend `a faire s’´ecraser sur elle mˆeme cette ´enorme masse de mati`ere, et de l’autre la pression de radiation venue du cœur qui tend au contraire ` a la faire exploser : c’est la naissance du Soleil en tant qu’´etoile. Il est `a noter que le rayonnement dˆ u `a l’effondrement de la n´ebuleuse est bien sup´erieur `a celui du Soleil rayonnant, ce qui contribue `a chasser les gaz de la proximit´e imm´ediate de celui-ci (et, partant, expliquer la formation des plan`etes g´eantes gazeuses beaucoup plus loin que les plan`etes telluriques). Pendant ce temps, entre l’apparition du rayonnement par effondrement et l’allumage des r´eactions thermonucl´eaires, la gravit´e, les collisions et les frictions entre particules, ainsi que l’action

25

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

du champs magn´etique, aplatissent le disque, d´esormais qualifi´e de proto-plan´etaire. Les particules, confin´ees dans ce plan (et d’une certaine ´epaisseur cependant), vont d´esormais y rester pendant le reste de l’´evolution du syst`eme ; c’est pour cette raison que les orbites des plan`etes sont et restent approximativement coplanaires. Dans ce plan, des petits corps commencent `a apparaˆıtre par accr´etion de particules de poussi`ere et de gaz, qui sont appel´es plan´et´esimaux. L’´energie cin´etique transmise ` a l’occasion des chocs in´elastiques pendant l’accr´etion chauffe les plan´et´esimaux en construction au point d’atteindre l’´etat de fusion. La masse acquise est alors suffisamment grande pour donner aux plan´et´esimaux, futures plan`etes et futurs satellites, la forme « ronde » (` a la diff´erence des ast´ero¨ıdes, par exemples, trop maigres pour avoir eu cette chance, et qui se pr´esentent aujourd’hui sous une forme caboss´ee). Aujourd’hui, l’´energie participant `a l’activit´e interne de la Terre ne provient provient plus de l’´energie cin´etique de collision mais de la d´esint´egration radioactive d’´el´ements chimiques dans le manteau (voir page 43). Cependant, les recherches r´ecentes sugg`erent que les plan`etes g´eantes auraient migr´e dans le syst`eme solaire primordial et lui auraient, ainsi, donn´e sa structure actuelle. Elles se seraient d’abord approch´e du Soleil, avant de prendre leur place actuelle. Ce faisant, elles auraient d´estabilis´e les petits corps, entraˆınant soit leur ´ejection `a la p´eriph´erie du syst`eme solaire, soit leur projection vers les plan`etes telluriques, expliquant le bombardement massif subies par celles-ci il y a 3,8 milliards d’ann´ees. De surcroˆıt, les r´esonances rencontr´ees entre les p´eriodes des diff´erents ´el´ements orbitaux des plan`etes g´eantes auraient contribu´e `a les orienter `a prendre les valeurs observ´ees aujourd’hui ; leur migration aurait aussi particip´e ` a faire prendre aux ´el´ements orbitaux des plan`etes telluriques les valeurs observ´ees aujourd’hui (notamment l’excentricit´e). Bien que largement adopt´e, le mod`ele le plus avanc´e pour l’explication des m´ecanismes dynamiques `a l’œuvre dans le syst`eme solaire primordial est le mod`ele de Nice (voir par exemple [Morbidelli et al., 2009, Brasser et al., 2009]), qui pr´evoit notamment que la plan`ete Neptune ait ´et´e, jadis, plus proche du Soleil qu’Uranus, avant que la situation ne s’inverse. Des mod`eles proches ou d´eriv´es expliquent par exemple l’´evolution des tailles ou de la composition des corps du Syst`eme solaire [Walsh et al., 2011, De Meo & Carry, 2014]. Voir aussi la figure 1.17 page suivante.

1.4.2

Structure du syst` eme solaire

La structure du syst`eme solaire peut ˆetre examin´ee au regard des corps que l’on y trouve en fonction de la distance au Soleil (voir la figure 1.18 page 28). On rencontre ainsi, d’abord, les plan`etes telluriques, i. e. petites et solides, puis la ceinture d’ast´ero¨ıdes, ensuite les plan`etes g´eantes et gazeuses, avant d’entrer dans le monde des corps transneptuniens et de la ceinture de Kuiper o` u se trouvent de nombreuses com`etes ; enfin, bien au-del` a, se trouve le nuage d’Oort (voir figure 1.18 page 28).

1.4.3

Les plan` etes, ici et ailleurs

1.4.3.1

Les plan` etes du syst` eme solaire

Pendant des dizaines de si`ecles, les seules plan`etes connues ont ´et´e, d’abord, celles visibles `a l’œil nu, puis Uranus, Neptune et Pluton, avant que celle-ci ne soit raval´ee au rang de plan`ete naine (voir la partie 1.4.5 page 40). Toutes ont en commun de tourner autour du Soleil. Selon la XXVIe Assembl´ee g´en´erale de l’Union astronomique internationale (Prague, 2006), une plan` ete du syst`eme solaire doit r´epondre `a trois crit`eres. Ainsi une plan`ete [UAI, 2006] : (a) est en orbite autour du Soleil, (b) a une masse suffisante pour que sa gravit´e l’emporte sur les forces de coh´esion du corps solide et le maintienne en ´equilibre hydrostatique, sous une forme presque sph´erique, (c) a ´elimin´e tout corps susceptible de se d´eplacer sur une orbite proche.

26

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Figure 1.17 – Sch´ema r´esumant l’histoire dynamique primordiale du Syst`eme solaire. Source : [De Meo & Carry, 2014].

27

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) Le syst` eme solaire interne.

(c) Le syst` eme solaire externe.

(e) Le syst` eme solaire lointain.

(b) Le syst` eme solaire interne vu par la tranche.

(d) Le syst` eme solaire externe vu par la tranche.

(f) Le syst` eme solaire lointain vu par la tranche.

Figure 1.18 – La structure du syst`eme solaire vu de face et par la tranche. Sont repr´esent´es ici les orbites des plan`etes, les ast´ero¨ıdes (points jaunes), les com`etes (triangles blancs) et les trajectoires de deux d’entre elles (Halley et Hale-Bopp) ainsi que les plan`etes naines. Source : http://ssd. jpl.nasa.gov/?orbits.

28

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

D’apr`es cette d´efinition, huit corps du syst`eme solaire sont des plan`etes : Mercure, V´enus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. Pluton, quant `a elle, a ´et´e class´ee dans la cat´egorie des plan`etes naines (voir la partie 1.4.5 page 40). Les plan`etes sont g´en´eralement divis´ees en deux groupes : les plan`etes telluriques (Mercure, V´enus, Terre, Mars), petites et rocheuses ; les plan`etes gazeuses, de tailles beaucoup plus grandes. Nous n’entrerons pas ici dans le d´etail de la description plan´etologique de ces corps, et nous bornerons ` a en donner les caract´eristiques physiques et orbitales principales (voir les tableaux 1.2 et 1.3 page 32).

Mercure V´ enus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune

Demi-grand axe a (U A)

Excentricit´ e e

0,3871 0,7233 1,0000 1,5237 5,2026 9,5547 19,2181 30,1096

0,206 0,007 0,017 0,093 0,048 0,056 0,046 0,009 ∗:

R´ evolution sid´ erale (jours) 7,00 87,969 3,39 224,701 − 365,256 1,85 686,980 1,31 4 332,59 2,48 10 759,2 0,77 30 688,5 1,77 60 182,3 en jours ; † : rotation r´etrograde.

Table 1.2 – Caract´eristiques orbitales [Bureau des longitudes, 2004].

Inclinaison i (˚)

des

plan`etes

du

Syst`eme

Rotation sid´ erale (heures) 58,6462∗ 243,0185∗† 23,9345 24,6230 9,84 `a 9,93 10,656 17,240† 16,11

Obliquit´ e ǫ (˚) 0,0 177,37 23,44 25,19 3,13 26,73 97,77 27,85

solaire. Source

:

Les plan`etes du syst`eme solaire s’´ecartent peu du plan de l’´ecliptique (entre 0, et 7˚pour Mercure), et leurs orbites sont souvent circulaires (Mercure a l’orbite la plus excentrique : 0,2). Les demi-grands axes croissent selon une loi non d´emontr´ee, appel´ee loi de Titus-Bode, qui rel`eve plus du hasard que d’un ph´enom`ene physique identifi´e ; en revanche, le troisi`eme crit`ere retenu pour d´efinir une plan`ete impose une certaine distance entre elles. Les rotations des plan`etes sont ´egalement int´eressantes `a ´etudier. On constate que la dur´ee de rotation de Mercure est dans un rapport 3 : 2 avec la dur´ee de r´evolution : il s’agit d’une r´esonance spin-orbite. Le jour sur V´enus est quant `a lui plus long que l’ann´ee, et son obliquit´e indique que son axe de rotation, initialement dirig´e comme celui des autres plan`etes, s’est invers´e du fait des forces de mar´ees dues ` a sa propre atmosph`ere [Laskar, 2004]. La Terre et Mars ont en revanche des p´eriodes de rotation et des obliquit´es relativement proches. Les plan`etes g´eantes ont, elles, des p´eriodes de rotation courtes (de 9,9 h pour Jupiter `a 17,2 h pour Uranus) ; du fait de la force centrifuge qu’elles subissent ainsi, et de leur nature gazeuse (donc fluide), leur aplatissement est beaucoup plus ´elev´e que pour les plan`etes telluriques, le cas extrˆeme ´etant Saturne (0,11). On constate par ailleurs que, de par leur compositions, les plan` etes telluriques ont des densit´es ´elev´ees. Leurs structures sont souvent comparables : un noyau compos´e de fer et de nickel de rayon environ 30% du rayon de la plan`ete (sauf Mercure, avec plus de 60%), un manteau compos´e de p´eridotites, silicates, etc., et une croˆ ute. Seules les plan`etes telluriques dot´ees d’une masse importante (V´enus, Terre) ont pu conserver une atmosph`ere ; en revanche, V´enus a vu son effet de serre s’emballer, et la temp´erature et la pression atteindre des valeurs tr`es ´elev´ees, ce qui n’est pas le cas sur Terre, bien que l’effet de serre y r´echauffe la temp´erature d’une trentaine de degr´es `a ce qu’elle serait sans lui. Cependant, sans vie, l’atmosph`ere de la Terre serait compos´ee `a 99,8% de 29

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

CO2 , le reste se partageant ´egalement entre le N2 et le O2 . Les plan` etes g´ eantes, elles, ont une noyau compos´e de roches, de fer, de silice, dont la masse est de 10 ` a 15 masses terrestres. Mais dans le cas de Jupiter et Saturne, le noyau ne repr´esente que 3 `a 15% de la masse de la plan`ete, tandis que pour Uranus et Neptune, il compte pour plus de la moiti´e. Les atmosph`eres des plan`etes g´eantes sont compos´ees de dihydrog`ene et d’h´elium. Les temp´eratures de surface des plan`etes g´eantes sont basses, mais moins basses que si le seul ´eclairement du Soleil agissait : il apparaˆıt qu’elles disposent d’une source interne d’´energie, possible r´esidu de l’´energie acquise au moment de l’accr´etion initiale. Tous ces faits observationnels sont les traces des conditions de formation du syst`eme solaire : la quasi-coplan´eit´e des orbites montre que les plan`etes n’ont pas ´et´e captur´ees par le Soleil, mais se sont form´ees toutes en mˆeme temps, et dans le mˆeme nuage de gaz et de poussi`eres. La r´epartition des compositions r´ev`ele aussi que les ´el´ements volatiles l´egers (H, He), que l’on trouve relativement loin du Soleil, est la preuve que le rayonnement du jeune Soleil a ´et´e suffisamment fort pour les chasser des environs du Soleil, mais pas assez pour ´evacuer les poussi`eres qui ont form´e ensuite les plan`etes telluriques. La crat´erisation des surfaces plan´etaires est, quant `a elle, la trace de l’´episode de bombardement m´et´eoritique qui s’est termin´e il y a 3,8 milliards d’ann´ees ; l’absence de crat`eres sur certaines surfaces montre en revanche que cette surface a fait l’objet d’une activit´e g´eologique et d’un renouvellement depuis cette ´epoque. Nous renvoyons aux ouvrages cit´es en r´ef´erence pour d´evelopper plus longuement ces aspects.

Figure 1.19 – Tailles relatives des plan`etes du syst`eme solaire. Les distances au Soleil ne sont pas respect´ees. Source : site de l’Union astronomique internationale, `a l’adresse http://www.iau.org/ public_press/images/detail/iau0603a/

30

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) Mercure vue par la (b) V´ enus vue par la sonde Messenger (2008). sonde Pioneer Venus (1979).

(c) La Terre vue par (d) Mars vue par la Apollo 17 (1972). sonde Viking 1 (mosa¨ıque, 1980).

Figure 1.20 – Portraits des plan`etes telluriques. Source : site internet Planetary photojournal de la NASA, ` a l’adresse http://photojournal.jpl.nasa.gov/index.html.

(a) Jupiter vue par la sonde Cas- (b) Saturne vue par la sonde Cassini (2004). sini (2000).

(c) Uranus vue en in- (d) Neptune vue par frarouge par le t´ elescope la sonde Voyager 2 en 1989. spatial Hubble (1988).

Figure 1.21 – Portraits des plan`etes g´eantes. Source : site internet Planetary photojournal de la NASA, ` a l’adresse http://photojournal.jpl.nasa.gov/index.html.

31

(Terre : 1)

Mercure V´ enus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune

0,38 0,95 1,00 0,53 11,21 9,45 4,01 3,88

Inverse de la masse m−1

(Soleil : 1)

6 023 408 332 3 098 1 3 22 19

600,0 523,71 946,05 708,0 047,3486 497,90 902,94 412,24

Pression P

Temp´ erature T

|

(Terre : 1)

` a la surface (K)

(Terre : 1)

0,0 90,0 1,00 0,007 −∗ −∗ −∗ −∗

90 `a 700 730 298 218 124 95 58 58

0,370 0,894 1,000 0,379 2,540 1,070 0,800 1,200

{z

Pesanteur g

}

Aplatissement f

Densit´ e ρ

Satellites

Anneaux

0 0 1 2 63 53 27 13

Non Non Non Non Oui Oui Oui Oui

(Eau : 1)

0,0 0,0 3,4 10−3 5,2 10−3 6,4 10−2 0,11 3,0 10−2 2,6 10−2

5,43 5,24 5,52 3,94 1,33 0,69 1,30 1,76

∗ : La « surface » d’une plan`ete gazeuse est difficilement identifiable ; c’est n´eanmoins la r´egion o` u la pression passe de quelques millibars ` a une dizaine de bars.

Table 1.3 – Caract´eristiques physiques des plan`etes du syst`eme solaire. Sources : [Daniel et al., 2006], [Encrenaz et al., 2003], [Bureau des longitudes, 2004], [D´eau, 2007], et les sites : http://www.planete-astronomie.com/ et http://www.nasa.gov/worldbook/index. html.

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Rayon R

32

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

1.4.3.2

Les plan` etes extrasolaires

C’est ` a la fin du xxe si`ecle, en 1995 pr´ecis´ement, que les premi`eres plan`etes extrasolaires ont ´et´e d´ecouvertes ; ces plan`etes, comme leur nom l’indique, se trouvent en dehors du syst`eme solaire. Pour l’essentiel de celles qui ont ´et´e d´ecouvertes, elles tournent autour d’autres ´etoiles ; marginalement, cependant, existent des plan`etes libres, errant dans la galaxie, ne tournant autour d’aucune ´etoile, et dont l’unique source d’´energie est interne. En raison des limitations des moyens de d´etection des exoplan`etes, celles qui ont ´et´e d´ecouvertes sont assez grosses (` a partir de quelques dixi`emes de masses joviennes) et tournant rapidement autour de leur ´etoile (` a partir d’une p´eriode de r´evolution de quelques jours). Cela ne signifie pas que toutes les exoplan`etes sont de cette nature et plus les m´ethodes de d´etection s’am´eliorent, plus les plan`etes d´ecouvertes sont de faible masse et plus ´eloign´ees de leur ´etoile. En outre, la distribution des excentricit´es est notoirement plus large que celle du syst`eme solaire.

(a) Histogramme des p´ eriodes.

(b) Histogramme des excentricit´ es.

(c) Histogramme des masses.

(d) Diagramme des masses en fonction du demi-grand axe.

Figure 1.22 – Quelques graphiques relatifs aux exoplan`etes, `a la date du 5 janvier 2009. Source : site internet Journey through the Galaxy, `a l’adresse http://jtgnew.sjrdesign.net/ exoplanets_data.html Les m´ethodes de d´etection des exoplan`etes sont `a mentionner bri`evement. La premi`ere qui a ´et´e utilis´ee, et qui a donn´e le plus de r´esultats, est celle des vitesses radiales. Elle s’appuie sur le fait que le syst`eme plan`ete-´etoile tourne autour du barycentre des deux astres ; d`es lors, si la plan`ete en orbite a une masse suffisante, elle induit un mouvement de l’´etoile qui peut ˆetre d´etect´e. Lorsque l’´etoile se d´eplace radialement vers l’observateur, son spectre est l´eg`erement d´ecal´e vers le bleu, et 33

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

vers le rouge quand elle s’´eloigne de l’observateur. L’effet est maximal quand l’´etoile, la plan`ete et l’observateur sont dans le mˆeme plan. La seconde m´ethode est celle dite des transits. Elle consiste `a observer le passage d’une plan`ete devant l’´etoile, et ` a d´etecter une baisse de luminosit´e de celle-ci. L’effet n’est d´etectable que quand la plan`ete passe exactement dans l’axe liant l’´etoile `a l’observateur. Des m´ethodes plus marginales (en r´esultats) sont `a mentionner. Il y a d’abord la m´ethode directe, celle consistant ` a r´ealiser une image d’une exoplan`ete. Il y a aussi la m´ethode des microlentilles, qui repose sur le fait que l’espace-temps est courb´e par les masses importantes, et d´evie les rayons lumineux. Cela se traduit par une augmentation de la luminosit´e de l’´etoile lorsqu’un corps ou un syst`eme massif passe devant l’´etoile ; ainsi, lorsqu’une ´etoile autour de laquelle tourne une plan`ete passe devant une autre ´etoile, la signature de l’augmentation de lumi`ere peut indiquer la pr´esence d’une plan`ete devant l’´etoile occultatrice. Il y a enfin la m´ethode des chronom´etrages, qui ne peut s’appliquer qu’aux pulsars (voir la partie 1.3.6 page 22) ; en effet, ceux-ci, contrairement aux ´etoiles classiques, ´emettent un rayonnement radio p´eriodique tr`es r´egulier. La mesure des irr´egularit´es dans la p´eriode de ces signaux conduit `a la d´etection d’une ´eventuelle masse en orbite autour d’elle. Les outils utilis´es pour ces travaux sont des t´elescopes au sol, qui ne sont pas forc´ement tr`es gros, mais sont disponibles suffisamment de temps pour acqu´erir assez d’observations ; par exemple, la premi`ere exoplan`ete, appel´ee 51 Pegasi, a ´et´e d´ecouverte avec le t´elescope de 193 cm de l’Observatoire de Haute-Provence. Mais il existe aussi des missions spatiales qui ont vocation `a d´ecouvrir des exoplan`etes, comme Corot (lanc´e par le CNES) ou Kepler (lanc´e par le Jet Propulsion Laboratory de la NASA). Les exoplan`etes d´ecouvertes offrent le spectacle d’un bestiaire extrˆemement vari´e, dont il est ` terme, l’objectif demeure ´evidemment de parvenir `a difficile de faire un inventaire exhaustif. A d´etecter des plan`etes ressemblant ` a la Terre et peut-ˆetre d’y d´ecouvrir de la vie, sous une forme proche de celle que nous connaissons ou, `a l’inverse, totalement exotique. Mais avant de parvenir `a ce resultat ultime, l’´etude de ces syst`emes permet de comparer les m´ecanismes de formation des syst`emes plan´etaires, leur stabilit´e, leur ´evolution et, ainsi, mieux comprendre le nˆ otre.

1.4.4

Les satellites

Les plan`etes ne sont pas seules dans leur p´eriple autour du Soleil. Hormis Mercure et V´enus, toutes ont des satellites, c’est-` a-dire des corps qui orbitent autour d’elles. Les configurations orbitales de ceux-ci r´ev`elent que, pour la plupart, leur naissance a eu lieu en mˆeme temps que celle des plan`etes, et que ces derni`eres ne les ont pas captur´ees ; en revanche, si les deux plan`etes les plus proches du Soleil, Mercure et V´enus, n’en ont pas, c’est parce que, si ¸ca avait ´et´e le cas, la force gravitationnelle du Soleil et les effets de mar´ees subis auraient ´et´e tels que, de toute fa¸con, les hypoth´etiques satellites autour de ces astres auraient ´et´e ´eject´es de leur orbite. Les plan`etes g´eantes sont les plus fournies en satellites (voir le tableau 1.3 page 32). Les caract´eristiques principales des plus importants sont list´ees dans le tableau 1.4 page suivante. Les satellites des plan`etes offrent des visages fort diff´erents les uns des autres. Notre Lune a une face tr`es crat´eris´ee (la face cach´ee), une autre beaucoup moins et ayant subi des ´epanchements de lave. Io, premier satellite galil´een de Jupiter, subit d’intenses effets de mar´ees de la part de sa plan`ete, ce qui lui fournit l’´energie n´ecessaire `a son intense activit´e volcanique. Europe est un satellite couvert d’une banquise active, qui laisse supposer l’existence d’un oc´ean liquide en dessous. Ganym`ede, le troisi`eme satellite, montre des failles, des montagnes, vall´ees, plissement, r´ev´elateurs d’une activit´e g´eologique, probablement termin´ee. Quant `a Callisto, sa surface est compl`etement crat´eris´ee, sans montrer de trace d’activit´e g´eologique. Encelade et Miranda r´ev`elent des geysers et 34

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Demi-grand axe a (km) TERRE Lune 384 000 JUPITER Amalth´ ee 181 400 Io 421 800 Europe 671 100 Ganym` ede 1 070 400 Callisto 1 882 700 Himalia 11 461 000 SATURNE ´ Epim´ eth´ ee 151 400 Janus 151 500 Mimas 185 600 Encelade 238 100 T´ ethys 294 700 Dion´ e 377 400 Rh´ ea 527 100 Titan 1 221 900 Hyp´ erion 1 464 100 Japet 3 560 800 Pho´ eb´ e 12 944 300 URANUS Ariel 190 000 Umbriel 266 000 Titania 436 300 Ob´ eron 583 500 Miranda 129 900 NEPTUNE Despina 52 500 Galat´ ee 62 000 Larissa 73 500 Proteus 117 600 Triton 354 800 N´ er´ eide 5 513 400 † : r´evolution r´etrograde. 1 2 3 4

Sur Sur Sur Sur

Excentricit´ e e

Inclinaison i (˚)

P´ eriode de r´ evolution T (jours)

Rayon R (km)

Densit´ e ρ (Eau : 1)

1 737,15

3,344

83,5 821,6 560,8 631,2 410,3 85,0

3,1 3,528 3,014 1,942 1,834 2,6

0,0554

5,163

27,322

0,0031 0,0041 0,0094 0,0011 0,0074 0,1623

0,3804 0,0364 0,4684 0,1704 0,1874 27,4964∗

0,498 1,769 3,551 7,155 16,69 250,56

1 1 2 2

0,0205 0,0073 0,0206 0,0001 0,0001 0,0002 0,0009 0,0288 0,0175 0,0284 0,1644

0,3511 0,1631 1,5664 0,0094 1,0914 0,0284 0,3334 0,3124 0,6154 8,3134 175,2434

0,694 0,695 0,942 1,370 1,888 2,737 4,518 15,95 21,28 79,33 548,21†

59,5 88,8 198,2 252,1 533,0 561,7 764,0 2 575,5 135,0 735,6 106,6

0,61 0,66 1,14 1,00 1,00 1,50 1,24 1,88 1,1 1,02 2,3

0,0012 0,0039 0,0011 0,0014 0,0013

0,0412 0,1282 0,0792 0,0682 4,3382

2,520 4,144 8,706 13,46 1,413

578,9 584,7 788,9 761,4 235,8

1,66 1,40 1,71 1,63 1,20

0,0001 0,0001 0,0014 0,0004 0,0000 0,7512

0,0684 0,0344 0,2054 0,0754 156,8654 7,2324

74,0 88,0 96,0 208,0 1 352,6 170,0

1,3 1,3 1,3 1,3 2,06 1,5

0,335 0,429 0,555 1,122 5,877† 360,14

l’´equateur de la plan`ete ` a J2004.0. l’´equateur c´eleste ` a J1980.0. l’´ecliptique ` a J2000.0. le plan de Laplace (voir page 186) du satellite `a J2000.0 sauf ∗ : `a J1997.0.

Table 1.4 – Caract´eristiques des satellites remarquables du syst`eme solaire. Sources : [Encrenaz et al., 2003], [Bureau des longitudes, 2004], et le site http://ssd.jpl.nasa.gov/?sat_ elem. une activit´e g´eologique intense. Titan et Triton sont couverts d’une atmosph`ere d’azote ; Titan, qui a re¸cu la visite de la sonde europ´eenne Huygens 29 , pr´esente des ´etendues d’hydrocarbures liquides. 29. Nom donn´ e en hommage ` a Christian Huygens (1629 – 1695).

35

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Hyp´erion a quant ` a lui une forme irr´eguli`ere, et il est enferm´e dans une r´esonance de type orbiteorbite avec Titan qui rend sa rotation chaotique en vitesse et en orientation ! Japet pr´esente un aspect disym´etrique, avec un cˆ ot´e tr`es sombre, l’autre tr`es clair ; une cr`ete ´equatoriale de 13 km de haut pour 20 de large le parcourt sur la moiti´e de sa circonf´erence. Mimas, comme T´ethys, offrent `a leur surface un ´enorme crat`ere, trace d’un impact qui aurait normalement dˆ u les pulv´eriser. Quant `a Pho´eb´e et Triton, leurs orbites sont tr`es inclin´ees et accomplies en sens r´etrograde.

(a) La face cach´ ee de la Lune vue (b) La surface de la Lune (c) La Terre, la Lune et le par la sonde Galileo en route vers vue par la mission Apollo 15 module lunaire de la mission Jupiter (1996). (1971). Apollo 11 (1969).

Figure 1.23 – Portraits de la Lune. Source : site internet Planetary photojournal de la NASA, `a l’adresse http://photojournal.jpl.nasa.gov/index.html, et site internet des archives des missions Apollo, ` a l’adresse http://www.apolloarchive.com/apollo_archive.html.

36

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) Io (1997).

(b) Europe (1997).

(c) Ganym` ede (1998).

(d) Callisto (1997).

Figure 1.24 – Portraits des satellites galil´eens de Jupiter. Source : site internet de la sonde Galileo, a` l’adresse http://solarsystem.nasa.gov/galileo/.

37

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) Mimas (2010).

(c) Les geysers d’Encelade (2009).

(f) Titan ` a travers un filtre de m´ ethane, de fa¸con ` a voir sa surface (2009).

(b) Encelade (2010).

(d) T´ ethys (2005).

(g) Titan (2005).

et

les

anneaux (e) Japet, en fausses couleurs (2007).

(h) La surface de Titan vue par la sonde Huygens (2006). La coloration orang´ ee a ´ et´ e obtenue ` a partir du spectre visible enregistr´ e par l’instrument spectrographique de la sonde et donne une id´ ee de ce que percevrait l’œil humain. Explication de la coloration trouv´ ee sur ´ le site internet du Laboratoire d’Etudes Spatiales et d’Instrumentation Associ´ ee (LESIA) de l’Observatoire de Paris : http://www.lesia.obspm.fr/Premiersresultats-janvier-2005.html.

Figure 1.25 – Portraits de quelques satellites de Saturne. Source : site internet du Cassini Imaging Central Laboratory for Operations, NASA (sauf mention contraire), `a l’adresse www.ciclops.org.

38

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) Ariel.

(b) Miranda.

(c) Uranus, ses anneaux et ses satellites vus par le VLT (2002).

Figure 1.26 – Portraits de quelques satellites d’Uranus. Source : site internet de la mission Voyager 2 (survol de 1986), sauf mention contraire, NASA, `a l’adresse http://voyager.jpl.nasa.gov/ news/index.html.

(a) Neptune et Triton.

(b) Triton.

Figure 1.27 – Portraits de Triton, satellite de Neptune. Source : site internet de la mission Voyager 2 (survol de 1989), NASA, ` a l’adresse http://voyager.jpl.nasa.gov/news/index.html.

39

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

1.4.5

Les plan` etes naines

Les plan` etes naines du syst`eme solaire r´epondent `a la d´efinition suivante, adopt´ee par la XXVIe assembl´ee g´en´erale de l’Union astronomique internationale `a Prague (2006). Une plan`ete naine [UAI, 2006] : (a) est en orbite autour du Soleil, (b) a une masse suffisante pour que sa gravit´e l’emporte sur les forces de coh´esion du corps solide et le maintienne en ´equilibre hydrostatique, sous une forme presque sph´erique, (c) n’a pas ´elimin´e tout corps susceptible de se d´eplacer sur une orbite proche, (d) n’est pas un satellite. On compte aujourd’hui seulement cinq plan`etes naines : C´er`es, situ´e dans la ceinture d’ast´e´ ro¨ıdes, Pluton, Eris, le plus grands objet transneptunien connu (2600 km de diam`etre, devant Pluton, 2300 km), Makemake, Haumea. D’autres sont susceptibles de le devenir, selon les donn´ees que les ´etudes futures nous donneront de ces objets : Charon (« satellite » de Pluton, avec lequel il forme plutˆ ot un syst`eme double), Sedna, Quaoar, etc.

1.4.6

Les petits corps : ast´ ero¨ıdes, com` etes, transneptuniens

Les petits corps du syst`eme solaire sont, avec les plan`etes et les plan`etes naines, la troisi`eme et derni`ere cat´egorie d’objets orbitant autour du Soleil. Ils r´epondent `a la d´efinition suivante : « tous les autres objets 30 en orbite autour du Soleil sont appel´es ”petits corps du Syst`eme Solaire”. » La premi`ere classe de petits corps regroupe les ast´ ero¨ıdes. Ce sont des corps dont la taille atteint quelques kilom`etres ou dizaines de kilom`etres, en orbite autour du Soleil sur une orbite faiblement elliptique. Bien que formant un ensemble h´et´erog`ene, la plupart circulent entre Mars et Jupiter, dans la ceinture d’ast´ ero¨ıdes. L’examen de la distribution des ast´ero¨ıdes en fonction de leur demi-grand axe montre clairement des zones de concentration, et des zones de lacunes, dites de Kirkwood 31 , correspondant ` a des r´esonances orbite-orbite avec Jupiter. Certains croisent les orbites des plan`etes telluriques (pour la Terre, on les appelle g´eocroiseurs), tandis que d’autres, appel´es Troyens, se trouvent aux points de Lagrange L4 et L5 de Jupiter. Il y en a aussi qui se trouvent entre Jupiter et Neptune, appel´es Centaures. Les ast´ero¨ıdes sont des t´emoignages des conditions de formation du Syst`eme solaire. Lorsque la n´ebuleuse protosolaire commen¸ca ` a se structurer en plan´et´esimaux accr´etant la mati`ere environnante, ceux situ´es ` a l’actuel emplacement de la ceinture d’ast´ero¨ıdes subirent de telles perturbations gravitationnelles de la part de Jupiter qu’ils ne purent former une plan`ete ; au contraire, nombre d’entre eux furent mˆeme ´eject´es, contribuant au bombardement m´et´eorique primordial qu’a connu le Syst`eme solaire. Toujours du fait des perturbations gravitationnelles des plan`etes g´eantes pendant la formation du syst`eme solaire, d’autres plan´et´esimaux ont ´et´e expuls´es, dans toutes les directions, qui forment aujourd’hui le nuage d’Oort. Il s’agit d’une sorte de « coquille », situ´eee entre 50 000 et 100 000 U A du Soleil, o` u se trouvent les com` etes `a longue p´eriode, dont le nombre est estim´e `a 1011 . Leurs inclinaisons prenent toutes les valeurs, leurs demi-grands axes sont tr`es grands, et leur 30. La r´ esolution de l’UAI ajoute en note de bas de page : « Ceci inclut la plupart des ast´ ero¨ıdes du Syst` eme Solaire, la plupart des objets transneptuniens (O.T.N.), les com` etes et tous les autres corps. » 31. Daniel Kirkwood (1814 – 1895).

40

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Figure 1.28 – Portraits des ast´ero¨ıdes Mathilde (1997), Gaspra (1991) et Ida (1993) ; les tailles respectives des ast´ero¨ıdes sont respect´ees. Source : site internet Planetary photojournal, NASA, `a l’addresse http://solarsystem.nasa. gov/. Images r´ealis´ees par la sonde Galileo. excentricit´e donnent ` a leur orbite une forme elliptique tr`es allong´ee. Une autre source de com`etes est la ceinture de Kuiper. Il s’agit d’une zone situ´ee entre 30 et 100 U A du Soleil, o` u se trouvent des com`etes qui se sont form´ees ` a peu pr`es dans cette r´egion, et n’ont pas subi dans une mˆeme ampleur que celles du nuage d’Oort les perturbations gravitationnelles des plan`etes g´eantes. En cons´equence, l’inclinaison des com`etes de la ceinture de Kuiper sont faibles ; leurs p´eriodes sont de quelques d´ecennies. Les com`etes sont des « boules de neige sales ». Elles contiennent certes de la roche, mais aussi beaucoup de glace d’eau ainsi que des mol´ecules organiques, au point que certains avancent qu’elles seraient la source de l’eau et de la vie sur Terre. Lorsqu’elles s’approchent du Soleil, sous l’effet du vent solaire, elles perdent une partie de leurs mat´eriaux, formant une chevelure diffuse. Cette mati`ere relˆach´ee dans l’espace, lorsqu’elle se trouve sur l’orbite de la Terre, est la source des essaims d’´etoiles filantes. Du fait de leur orbite, les com`etes font partie d’une classe d’objets plus vaste appel´ee transneptuniens. Des corps de natures tr`es diverses, autres que les com`etes, sont cat´egoris´es sous ce terme. Beaucoup connaissent des r´esonances orbitales avec Neptune, dont Pluton (r´esonance 3 : 2) et d’autres corps appel´es Plutinos.

41

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) La com` ete Neat photographi´ ee depuis l’observatoire de Kitt Peak (USA,2004), disponible ` a l’adresse http://www.noao.edu/ outreach/press/pr04/pr0404.html.

(c) La fragmentation de la com` ete SchwassmannWachmann 3, vue par Hubble (2008), disponible ` a l’adresse http://hubblesite.org/ gallery/album/pr2006018e/.

(b) La com` ete Mc Naught photographi´ ee au Chili (2007), disponible sur le site internet de l’ESO, ` a l’adresse http://www.eso.org/ public/images/mc_naught35/.

(d) La collision de la com` ete Shoemaker-Levy 9 avec Jupiter, vue par Hubble (1994), disponible ` a l’adresse http:// photojournal.jpl.nasa.gov/ catalog/PIA01263.

(e) Les vingt-et-un fragments de la com` ete Shoemaker-Levy 9, vus par Hubble (1994), disponible sur le site NASA images, ` a l’adresse http://www.nasaimages.org.

Figure 1.29 – Portraits de com`etes.

42

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

1.5

La Terre

La Terre est la troisi`eme plan`ete du syst`eme solaire par son ´eloignement du Soleil. Son volcanisme est actif ; V´enus et Mars pr´esentent aussi des volcans, actifs pour la premi`ere, ´eteints pour la seconde. On touche l`a ` a un aspect essentiel de l’´etude des plan`etes : l’activit´e g´eologique. Celle de la Terre est soutenue (volcans, s´eismes notamment), tandis que pour d’autres (Mars, la Lune), elle est soit morte soit marginale. La Terre est entour´ee d’enveloppes fluides (mers et oc´eans, atmosph`ere) dont les conditions de temp´eratures et de pression permettent aujourd’hui la pr´esence de vie, ce qui, ` a ce jour, est un cas unique dans l’Univers.

1.5.1

La structure de la Terre

La structure interne de la Terre nous est connue notamment par l’´etude des ondes sismiques et la gravit´e. Au centre de la Terre se trouve la graine, noyau solide de fer `a 80%, nickel, silicium et oxyg`ene, de rayon 1250 km ; la temp´erature y serait de 5000 K. Ensuite, jusqu’` a 3500 km, le noyau, de mˆeme composition, est sous forme liquide. Le manteau est la couche qui enrobe le noyau, et a une ´epaisseur de 2900 km ; la temp´erature `a l’interface entre le noyau et le manteau serait de 3000 K. Celui-ci est principalement compos´e d’olivine et de pyrox`ene (famille des silicates), et est compos´e de deux couches : le manteau interne et le manteau externe (ou inf´erieur et sup´erieur). Les deux se distinguent en particulier par leur viscosit´e : le manteau externe est plus visqueux que le manteau interne. Le manteau est recouvert de la croˆ ute, dont l’´epaisseur et la nature sont variables, essentiellement entre deux milieux : la croˆ ute continentale, ´epaisse (30 km) et granitique, et la croˆ ute oc´eanique, fine (5 km) et basaltique. On consid`ere aussi deux autres zones : l’asth´ enosph` ere, qui regroupe la partie basse du manteau sup´erieur, et dont la nature est essentiellement fluide ; la lithosph` ere, qui surmonte l’asth´enosph`ere, qui regroupe la partie haute du manteau sup´erieur et la croˆ ute, et dont la nature est essentiellement solide et rigide. De plus, deux tiers de la surface terrestre sont couverts de mers et d’oc´eans. Enfin, une atmosph`ere de quelques dizaines de kilom`etres enveloppe la Terre. Le manteau terrestre n’est pas rigide, mais en convection. On admet en g´en´eral deux niveaux de convection au regard de la profondeur. Le manteau interne, tr`es visqueux connaˆıt une convection relativement lente, tandis que le manteau externe est le si`ege d’une convection plus rapide. Ceci se traduit par un d´eplacement lent de morceaux lithosph´eriques appel´es plaques tectoniques (ou plaques lithosph´eriques). Les zones de convections n’am`enent pas les plaques `a un mouvement uniforme ni dans le mˆeme sens. Deux zones d’interface sont ainsi `a distinguer : les dorsales oc´eaniques, o` u naissent les plaques et o` u elles s’´ecartent ; les zones de subduction o` u, au contraire, les plaques se percutent et o` u la moins ´epaisse s’enfonce dans le manteau. Ces deux r´egions de fronti`ere entre plaques sont marqu´ees par une forte activit´e volcanique et sismique.

1.5.2

Le champ magn´ etique

Le champ magn´ etique terrestre prend sa source dans la rotation que connaˆıt le noyau externe, liquide, lequel donne naissance `a des courants ´electriques puissants le long de lignes ferm´ees qui g´en`erent un champ magn´etique dipolaire : `a une grande distance par rapport aux dimensions des boucles de courant, la forme des lignes de champ devient ind´ependante de celle des lignes de courant et prend la forme de celle g´en´er´ee par un dipˆole magn´etique situ´e au centre de la Terre. L’´etude du champ magn´etique montre que l’axe de sym´etrie de celui-ci est d´ecal´e d’environ 11˚de l’axe de rotation de la Terre, et que le centre g´eomagn´etique est distinct du centre des masses.

43

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) Mod` ele g´ en´ eral de la Terre.

(b) Mod` ele plus d´ etaill´ e pour la surface de la Terre.

Figure 1.30 – Le mod`ele concentrique de structure interne de la Terre. Source : site internet de l’universit´e de Laval (Qu´ebec), ` a l’adresse http://www2.ggl.ulaval.ca/personnel/bourque/ img.communes.pt/str.interne.terre.html.

` la surface de la Terre, le champ est mesur´e par son intensit´e et sa direction, laquelle est A identifi´ee par deux angles : la d´eclinaison, angle du champ avec le nord g´eographique, et l’inclinaison, angle du champ avec l’horizontale locale. Les lignes de champ magn´etique coupent en effet la surface terrestre avec d’autant plus d’inclinaison que le point d’intersection de la surface terrestre et de la ligne de champ se trouve proche du pˆ ole magn´etique. Une carte mondiale du champ (voir la figure 1.31 page suivante) montre des ´ecarts significatifs au champ g´en´er´e par un dipˆole (positive en Sib´erie ou au sud de l’Australie, n´egative au Br´esil), li´es possiblement `a l’influence du manteau ou de la croˆ ute. En observant l’orientation du champ magn´etique de min´eraux issus de la croˆ ute oc´eanique, on a constat´e que celle-ci ´etait altern´ee. En faisant l’hypoth`ese que cette orientation est acquise au moment de la solidification de la roche et qu’elle prend la direction du champ magn´etique `a cet instant, on en a d´eduit d’une part que le champ magn´etique connaissait des inversions, d’autre part une premi`ere datation de ces couches et, partant, une estimation de la vitesse de d´eplacement des plaques lithosph´eriques ` a la surface de la Terre (voir la figure 1.32 page suivante). Dans l’espace, les lignes de champ magn´etique ne sont pas celles d’un dipˆole magn´etique dans le vide. En effet, la Terre subit l’assaut du vent solaire, dont l’interaction avec le champ magn´etique terrestre aboutit ` a la formation d’une onde de choc, stationnaire, en avant d’une autre surface, appel´ee magn´ etopause, qui est la surface d’´equilibre entre le champ magn´etique terrestre et le champ magn´etique interplan´etaire, dont l’origine est principalement solaire. La magn´etopause se trouve ` a quelques rayons terrestres de la Terre dans la direction du Soleil, et `a environ 80 rayons terrestres dans la direction antisolaire.

1.5.3

Les sources d’´ energie

Les sources d’´energie de la Terre sont d’abord l’´energie des d´esint´egrations radioactives de noyaux atomiques qui ont lieu dans le manteau, et sont `a l’origine de l’activit´e g´eologique, sismique et volcanique de la plan`ete, ensuite l’´energie lumineuse que lui prodigue le Soleil, et qui n’affecte que la surface de la Terre et l’atmosph`ere. La Terre dispose aussi d’´energie gravitationnelle, dont les effets sont d´ecrits dans le chapitre suivant.

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CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

(a) Carte de l’amplitude du champs magn´ e- (b) Carte de d´ eclinaison du champs magn´ etique tique terrestre. terrestre.

Figure 1.31 – Cartes du champ magn´etique terrestre. Source : site http://gravmag.ou.edu/.

Figure 1.32 – Fluctuation de la polarit´e du champ g´eomagn´etique depuis 5,25 millions d’ann´ees (positif en noir, n´egatif en blanc). La derni`ere inversion dite de Matuyama-Brunhes s’est produite il y a environ 780 000 ans. Source : projet Luxorion, `a l’adresse http://www.astrosurf.com/ luxorion/terre-champ-magnetique3.htm, reprenant un document de l’AGU.

1.5.3.1

L’´ energie solaire

Si la chaleur d´egag´ee par le processus d’accr´etion est d´esormais ´epuis´ee, la Terre tire son ´energie de plusieurs sources. D’abord, l’´ energie solaire qui participe de l’´eclairage et du chauffage du sol et de l’atmosph`ere. N´eanmoins, le chauffage du seul Soleil ne permet pas d’atteindre la temp´erature aujourd’hui constat´ee `a la surface de la Terre, et c’est grˆace `a l’effet de serre de l’atmosph`ere que la temp´erature est cl´emente sur la plan`ete. Le calcul de l’´energie re¸cue est relativement ais´e :

P⊙→⊕

=

P⊙ 2 × πR⊕ 4π d2⊙;⊕

2 o` u l’on consid`ere que la Terre pr´esente au Soleil un disque de rayon R⊕ (donc de surface πR⊕ ), d⊙;⊕ ´etant la distance du Soleil ` a la Terre (1 U A), P⊙ la puissance totale rayonn´ee par le Soleil. Cette grandeur ramen´ee par unit´e de surface, connue sous le nom de constante solaire, se calcule tout aussi facilement :

45

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Figure 1.33 – Illustration de la forme de la magn´etosph`ere terrestre et de son interaction avec le vent solaire. Source : site internet du laboratoire Rutherford Appleton, ` a l’adresse http:// sspg1.bnsc.rl.ac.uk/SEG/.

p⊙→⊕

= =

Figure 1.34 – Une aurore polaire vue depuis la station spatiale internationale. Les aurores polaires sont des ph´enom`enes li´es `a la p´en´etration de particules solaires jusqu’au pˆ ole magn´etique terrestre, qui percutent et excitent des mol´ecules de l’atmosph`ere terrestre, qui ´emettent des lueurs vertes ou rouge en se d´esexcitant. Source : Astronomy picture of the day, NASA, 1er juillet 2010.

P⊙→⊕ 2 πR⊕

1367 W .m−2

2 2 La Terre n’´etant pas un disque de surface πR⊕ mais une sph`ere de surface 4πR⊕ , la surface −2 terrestre re¸coit en r´ealit´e le quart de cette grandeur, soit 341 W · m , en moyenne, et sur un jour solaire (24 h). Si on consid`ere l’alb´edo global de la Terre, comprenant celui de la surface de la Terre, des nuages et de l’air, environ a = 0, 3, on obtient la temp´erature qu’il ferait sur Terre si elle absorbait totalement ce rayonnement `a partir de la relation liant puissance du rayonnement de corps noir ` a la temp´erature :

(1 − a) p ⇐⇒ T⊕

= σ T4  1 (1 − a) p 4 = σ = 254 K

Or, ` a moins de vivre dans un cong´elateur, notre lecteur sait que, sur Terre, il fait un peu plus chaud que ¸ca, environ T⊕∗ = 288 K. On se sert de ce constat pour ´evaluer le for¸cage thermique li´e `a l’effet de serre de l’atmosph`ere de la Terre : patm = σ(T⊕∗ 4 − T⊕ 4 ) = 155 W · m−2 . Ce for¸cage est li´e `a la pr´esence dans l’atmosph`ere de mol´ecules absorbant le rayonnement infrarouge ´emis par la Terre du fait de son chauffage par le rayonnement solaire, telles que l’eau, le m´ethane, l’ammoniac, le dioxyde de carbone, l’oxyde nitreux, etc., dont l’origine est le volcanisme. Sans cet effet de serre, nous l’avons vu, la temp´erature sur Terre serait frisquette ; cela signifie que si la cause de l’effet de serre, ` a savoir la pr´esence de certaines mol´ecules dans l’atmosph`ere, venait `a s’arrˆeter, c’en serait la fin des conditions agr´eables qui permettent la vie sur Terre et, accessoirement, les vacances au soleil. Autrement dit, quand l’activit´e g´eologique et surtout le volcanisme s’arrˆeteront, la vie disparaˆıtra de la surface de la Terre. 46

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

1.5.3.2

L’´ energie nucl´ eaire

L’activit´e g´eologique de la Terre trouve son origine dans la radioactivit´ e de certains ´el´ements lourds, qui ont lieu dans le manteau terrestre. En effet, le manteau terrestre contient des ´el´ements chimiques radioactifs ; ceux-ci peuvent ˆetre de courte p´eriode ou de longue p´eriode. La radioactivit´e peut prendre trois formes : la radioactivit´e α, la radioactivit´e β − et la radioactivit´e β + . Leurs r´eactions pour un ´el´ements de d´epart X et un ´el´ement d’arriv´ee Y sont respectivement :

A ZX A ZX A ZX

→

→

→

A−4 Z−2 Y A Z+1 Y A Z−1 Y

+ 42 He + Q + e − + νe + Q + e + + νe + Q

o` u A est le nombre de masse, Z le num´ero atomique, 42 He le noyau d’h´elium (encore appel´e particule α), e+ le positon, νe le neutrino ´electronique, νe l’anti-neutrino ´electronique. L’exemple classique d’´el´ement radioactif `a courte p´eriode `a l’int´erieur de la Terre est l’aluminium 26 Al, dont la r´eaction de d´ecomposition radioactive aboutit au magn´esium 26 Mg ; Q vaut 1, 8 M eV . Mais la demi-vie de 26 Al est de l’ordre du million d’ann´ee, si bien que l’on consid`ere que cette source de chauffage n’a ´et´e active qu’aux premiers instants de la Terre. Les sources d’´energie ` a plus longue p´eriode viennent des ´el´ements lourds, principalement l’uranium 238 not´e 238 U, le thorium 232 Th et le potassium 40 K. Pour les deux premiers, on assiste `a des r´eactions de d´esint´egrations en chaˆıne, qu’ils dominent du fait de leur demi-vie tr`es sup´erieure `a celles des ´el´ements produits, respectivement 14 milliards d’ann´ees (trois fois l’ˆ age de la Terre) et 4,5 milliards d’ann´ees. La chaˆıne de l’238 U aboutit au plomb 206 Pb, qui est stable, avec une ´energie totale lib´er´ee de 52 M eV , tandis que la chaˆıne du 232 Th aboutit `a un autre isotope du plomb, 208 Pb, stable lui aussi, l’´energie totale lib´er´ee ´etant de 49 M eV . Le potassium 40 K donne quant ` a lui le calcium 40 Ca avec une demi-vie de 1,25 milliards d’ann´ees, et une ´energie lib´er´ee de 1, 3 M eV . Ces ´el´ements sont pr´esents dans le manteau et dans la croˆ ute avec des concentrations de quelques parties par million, ce qui est tr`es faible ; mais les quantit´es tr`es importantes d’´energie lib´er´ee par ces r´eaction en font naturellement les moteurs de l’activit´e g´eologique de la Terre.

1.5.4

Le volcanisme et la tectonique des plaques

L’´energie thermique lib´er´ee par les r´eactions nucl´eaires expos´ees ci-avant est transmise a` la Terre interne de trois fa¸con : par conduction, par radiation, par convection. Le plus important est ´evidemment la convection, c’est-`a-dire la mise en mouvement de la mati`ere sous l’effet d’un d´egagement de chaleur. La convection op`ere `a deux niveaux : une convection au sein du manteau inf´erieur, une autre au sein du manteau sup´erieur, la transition entre les deux ´etant situ´ee ` a la profondeur de 670 km. La mati`ere mantellique ainsi mise en mouvement connaˆıt des traductions ` a la surface de la Terre : le volcanisme et la d´erive des continents. En premier lieu, des remont´ees magmatiques peuvent prendre plusieurs formes, formant l’activit´ e volcanique de la plan`ete. Les points chauds sont consid´er´es comme ´etant le r´esultat de panaches de mati`ere chaude prenant leur source `a l’interface entre le noyau externe liquide et le manteau inf´erieur, ` a une profondeur de 2900 km. Ils sont consid´er´es comme « fixes » par rapport `a la croˆ ute terrestre, ceci expliquant les formations de chapelets d’ˆıles volcaniques, comme `a Hawa¨ı. Les dorsales oc´eaniques, elles, sont le produit de la convection dans le manteau sup´erieur, et la source de

47

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Figure 1.35 – La convection mantellique. Source : site internet ´ de l’Ecole Normale Sup´erieure de Lyon : http://planet-terre. ens-lyon.fr/planetterre/ XML/db/planetterre/metadata/ LOM-convection-mantelliquetectonique-plaques.xml.

(a) Le volcan P’u O’o, ` a Hawa¨ı, en ´ eruption en 2003. Source : site internet de l’USGS, ` a l’adresse http://hvo.wr.usgs.gov/archive/ 2003_10_7.html.

(b) Le Stromboli en ´ eruption en 1969. (c) Le volcan Sarychev, aux Source : site internet de l’USGS, ˆıles Kouriles, en ´ eruption http://volcanoes. vu depuis l’ISS en 2009. a ` l’adresse usgs.gov/images/pglossary/ Sources : portail des photostrombolian.php. graphies de la Terre prises depuis l’ISS, ` a l’adresse http://eol.jsc.nasa.gov/ scripts/sseop/photo.pl? mission=ISS020&roll=E&frame=9048.

Figure 1.36 – Quelques portraits de volcans terrestres.

formation du mat´eriau de la croˆ ute oc´eanique. En second lieu, mais de fa¸con tr`es li´ee au volcanisme, la convection dans le manteau est le moteur de la formation et de la d´erive des plaques tectoniques, qu’on appelle la tectonique des plaques. Le mat´eriau mantellique remontant au niveau des dorsales oc´eaniques « s’horizontalise » ` l’inverse, les zones de et se s´epare en deux morceaux partant dans des directions oppos´ees. A subduction sont le lieu o` u une plaque oc´eanique (ou une partie de croˆ ute oc´eanique d’une plaque) percute une plaque continentale (ou la partie continentale d’une plaque), la premi`ere plongeant sous la seconde et s’enfon¸cant profond´ement dans le manteau. Les zones de subduction entraˆınent souvent une activit´e volcanique au niveau du massif montagneux de la plaque continentale g´en´er´e par le choc entre les deux plaques. Le mouvement entre les plaques se manifeste de fa¸con brutale lorsque la contrainte accumul´ee entre deux plaques, sous l’effet de cellules de convection poussant dans des directions oppos´ees, c`ede en un laps de temps de quelques secondes, provoquant un s´eisme. Les plaques tectoniques d´erivent ` a la surface de la Terre `a une vitesse de quelques centim`etres par an, et ont d´ej` a fait l’objet, par le pass´e, de quasi-fusions, formant des supercontinents, tels que la Pang´ee il y a 200 millions d’ann´ees, avant de nouvelles fragmentations, dont le visage actuel du monde donne une illustration. On consid`ere en g´en´eral qu’il y a sur Terre douze plaques : Pacifique, Eurasie, Afrique, Inde-Australie, Am´erique du Nord, Am´erique du Sud, Nazca, Philippines, Arabie, Coco, Cara¨ıbes, Antarctique. Selon les mod`eles, il peut cependant en y avoir beaucoup plus.

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CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Figure 1.37 – Les plaques tectoniques. Source : site internet du CNES, `a l’adresse http://www. cnes.fr/web/CNES-fr/871-delorbitographie-a-la-geodesie. php

1.5.5

Les enveloppes fluides

Les enveloppes fluides de la Terre sont dans deux phases : liquide avec les mers et oc´ eans, sans compter l’eau douce continentale, et gazeuse avec l’atmosph`ere. Les mers et oc´eans occupent 71% de la surface terrestre et sont compos´es d’eau, dans laquelle on trouve divers sels dissous, notamment du chlore et du sodium. Les oc´eans sont le si`ege d’une circulation d’eau sur toute la surface qu’ils occupent, avec des eaux chaudes, peu denses et peu charg´ees en sels en surface, et des eaux froides, denses et plus charg´ees en sels dans les profondeurs. La profondeur moyenne des oc´eans est de 3 800 m, avec un maximum de 11 000 m pour la fosse des Mariannes. Dans les zones polaires se trouvent des calottes de glace dont l’extension est saisonni`ere, tandis qu’`a l’´equateur, la temp´erature est de l’ordre de 27˚C. On consid`ere en g´en´eral qu’il y a trois oc´eans principaux : Atlantique, Pacifique, Indien, auxquels s’ajouent les deux oc´eans glaciaux Arctique et Antarctique. On notera que la r´epartition des terres immerg´ees est tr`es in´egale entre l’h´emisph`ere nord et le sud, ce dernier ´etant principalement couvert d’oc´eans, l’autre de terres ´emerg´ees. Les oc´eans perdent de l’eau par ´evaporation ; l’eau ´evapor´ee se condense en altitude sous la forme de gouttelettes en suspension qu’on appelle nuages ; par le jeu des vents, ils circulent et finissent par voir les gouttelettes qui les composent devenir plus grosses et tomber sous forme de pluies. Les pluies sur les terres ´emerg´ees alimentent les lacs, ´etangs, nappes phr´eatiques, ruisseaux et rivi`eres, lesquelles forment des fleuves qui finissent par se jeter dans les mers et oc´eans. L’atmosph` ere de la Terre est compos´ee de diazote (78% en masse) et de dioxyg`ene (21%), le reste ´etant de la vapeur d’eau, du dioxyde de carbone, de l’argon, etc. Si elle fait l’objet d’un m´elange homog`ene du fait de l’intense circulation qu’elle connaˆıt, du moins `a faible altitude, elle n’en est pas moins structur´ee en couches concentriques : — — — — —

la troposph`ere de 0 ` a 12 km ; la stratosph`ere de 12 ` a 45 km ; la m´esosph`ere de 45 ` a 90 km ; la thermosph`ere de 90 ` a 800 km ; l’exosph`ere au del` a.

La photodissociation des mol´ecules a lieu `a partir de la thermosph`ere, tandis que les atomes, aux altitudes plus ´elev´ees, se structurent de fa¸con diffuse par masse atomique. La temp´erature est autour de 200 K ` a partir d’une dizaine de kilom`etres d’altitude et conserve approximativement cette valeur dans la stratosph`ere ; elle diminue l´eg`erement dans la m´esosph`ere, mais remonte `a environ 1500 K dans la thermosph`ere et l’exosph`ere. Les climats sont vari´es sur la Terre, et li´es `a quantit´e de param`etres, notamment l’ensoleillement 32 , les vents, la pr´esence de mers et d’oc´eans, et de courants en leur sein, ou d’eau continentale, 32. L’ensoleillement d´ epend de nombreux ph´ enom` enes, d’abord astronomiques, comme l’activit´ e solaire, l’´ evolution

49

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

de v´eg´etation, le relief, etc. ; mais certains de ces ´el´ements, en particulier la v´eg´etation, ou les glaciers, d´ependent de fa¸con importante du climat, ce qui fait de celui-ci un syst`eme tr`es complexes dont les r´etroactions peuvent ˆetre positives, n´egatives, et de toute fa¸con difficiles `a quantifier. Un ´el´ement d’homog´en´eisation de composition et de temp´erature dans l’atmosph`ere est le syst`eme des vents, qui connaˆıt une structure d´ependant de la latitude. Les r´egions ´equatoriales, fortement ensoleill´ees, connaissent une forte ´evaporation, qui g´en`ere des courants d’air chaud et humide ascendants, g´en´erant ´egalement de fortes pluies. Ces courants forment une cellule de convection, dite de Hadley 33 , qui boucle au niveau des tropiques, o` u des courants d’air froid et sec descendants entraˆınent la pr´esence de d´eserts. Cet air vient des hautes altitudes, de la zone ´equatoriale et de la zone temp´er´ee, o` u se trouve une seconde cellule de convection, dite de Ferrel 34 . L’air froid et sec des d´eserts glisse vers les hautes latitudes `a basse altitude, se charge d’humidit´e et se r´echauffe, au point de devenir ascendant autour de 50˚de latitude, d’y causer d’importantes pluies, et d’en faire des zones temp´er´ees thermiquement. Une cellule similaire `a celle de Hadley se met alors en place jusqu’au pˆ ole, o` u un air froid et sec descend des hautes altitudes vers le sol. Les r´egions d’air descendant sont plutˆ ot des zones `a anticyclones, c’est-`a-dire `a hautes pressions, tandis que les r´egions ` a courants ascendants sont des zones d´epressionnaires, c’est-`a-dire de basse pression. La rotation de la Terre adjoint ` a ce sch´ema un autre ph´enom`ene, li´e au terme de Coriolis 35 dˆ u `a la nature non-galil´eenne du r´ef´erentiel qu’est la Terre en rotation, `a savoir les boucles de circulation des vents en longitude, qui tournent dans le sens direct dans l’h´emisph`ere nord, et dans le sens indirect dans l’h´emisph`ere sud 36 .

Figure 1.38 – Les cellules de convection de l’atmosph`ere terrestre. La cellule de Ferrel monte un peu trop au nord. Source : site internet du GSFC, `a l’adresse http://rst.gsfc.nasa.gov/ Sect14/Sect14_1c.html

1.5.6

La vie, l’humanit´ e

La Terre a ceci de remarquable qu’elle porte des ˆetres vivants, et mˆeme mieux, pour quelquesuns : « intelligents » ! Nous n’entrerons pas ici dans le d´ebat sur le rˆole de la contingence ou, au contraire, de la transcendance dans ce constat, et le laissons `a la r´eflexion du lecteur, en esp´erant qu’elle sera avant tout rationnelle ! La vie n’est pas n´ee ex nihilo, par un matin de printemps. Elle est le fruit d’une lente complexification mol´eculaire, ` a partir de quelques briques ´el´ementaires faites de quatre atomes fondamentaux : le carbone 37 , l’hydrog`ene, l’oxyg`ene et l’azote. Certaines conditions fondamentales ont s´ eculaire des param` etres orbitaux, mais aussi de ph´ enom` enes terrestres, comme l’alb´ edo du sol, de l’atmosph` ere, la formation de nuages, etc. 33. George Hadley (1685 – 1768). 34. William Ferrel (1817 – 1891). 35. Gaspard-Gustave Coriolis (1792 – 1843). 36. Il est n´ ecessaire de mettre un terme ` a une l´ egende : la force de Coriolis n’a aucune influence sur le sens d’´ ecoulement de l’eau de votre bain ! 37. Dont la chimie sans limite forme le terrain d’´ etude de la chimie dite organique.

50

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

dˆ u ˆetre r´eunies pour pouvoir h´eberger la vie, dont nous avons dit deux mots dans ce chapitre : la pr´esence d’eau, une activit´e g´eologique suffisamment intense pour fournir assez de gaz `a effet de serre pour r´echauffer l’atmosph`ere, une temp´erature et une pression proches du point triple lui permettant d’ˆetre pr´esente dans les trois phases, un champ magn´etique prot´egeant la surface terrestre des rayons cosmiques de haute ´energie et du vent solaire, une atmosph`ere assez dense pour absorber les rayonnements nocifs du Soleil, etc. Sur cette base, Stanley Miller (1930 – 2007) a imagin´e une exp´erience d´esormais c´el`ebre, en reproduisant les conditions suppos´ees de la Terre des origines : de l’eau, quelques mol´ecules simples comme du m´ethane, de l’ammoniac, du dioxyde de carbone, etc., qu’il soumit `a des ´eclairs ´electriques, cens´es simuler les orages de la Terre primitives, lorsque, encore chaude de son accr´etion et de sa radioactivit´e ` a courte dur´ee, elle avait expuls´e toute l’eau de son int´erieur, laquelle avait form´e une immense couche nuageuse qui allait, se refroidissant, retomber sous la forme de pluies absolument diluviennes sur Terre et former les oc´eans. Apr`es une semaine d’exp´erience, plusieurs mol´ecules organiques relativement complexes s’´etaient form´ees, comme l’acide cyanhydrique, le formald´ehyde, et plusieurs acides amin´es. Les mod`eles de chimie pr´ebiotique se sont depuis complexifi´es, et ont permis d’en mieux comprendre le fonctionnement ; de nombreux probl`emes demeurent, comme la formation des acides gras, d’autres acides amin´es fondamentaux et celle d’enzymes. C’est la raison pour laquelle certains ont avanc´e l’id´ee que les mol´ecules de la vie auraient pu avoir ´et´e form´e ailleurs dans le syst`eme solaire, et apport´ees sur Terre par les com`etes. On estime cependant que les premi`eres formes de « vie » ´etait structur´ee autour de l’acide ribonucl´eique, qui pr´esente le double avantage de pouvoir s’auto-r´epliquer et d’avoir une activit´e enzymatique.

Figure 1.39 – La charte stratigraphique internationale. Source : site internet de la Commission internationale de stratigraphie, ` a l’adresse http://www.stratigraphy.org/column.php?id=Chart/ Time%20Scale

51

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

Toujours est-il que les formes de vie fossilis´ees les plus anciennes connues datent de 3,85 milliards d’ann´ees 38 . On a retrouv´e des traces d’activit´e biologique datant de 3,4 `a 1,4 Ga issues de cellules procaryotes 39 , la paroi cellulaire formant une redoutable protection pour les r´eactions chimiques. La compartimentation de la cellule a d´ebut´e probablement vers 1,4 Ga, avec les premi`eres cellules eucaryotes 40 , dont le noyau h´eberge l’ADN, les mitochondries la fonction respiratoire, les plastes celle de photosynth`ese. Les cellules isol´ees forment ce qu’on appelle les protozoaires. Vers deux milliards d’ann´ees, les premiers ˆetre vivants pluricellulaires, les m´etazoaires, virent le jour. Mais la reproduction ´etait encore asexu´ee, c’est-`a-dire que les cellules se reproduisaient identiquement `a elles-mˆemes, les accidents seuls apportant la vari´et´e. L’apparition de la sexualit´e permit la mise en place d’un mode de multiplication des cellules par le m´elange des g´enomes.

Figure 1.40 – Des stromatolites vivantes, dans la baie des requins, `a l’ouest de l’Australie. Des fossiles de ces animaux ont ´et´e trouv´es qui dataient de plusieurs milliards d’ann´ees. Source : site http://seapics. com. C’est au Cambrien (` a partir de 540 millions d’ann´ees) qu’a lieu la premi`ere explosion biologique, avec l’apparition de spongiaires, de mollusques, d’arthropodes, de crustac´es, etc., et des algues en ce qui concerne le r`egne v´eg´etal. La vie est alors exclusivement marine. C’est vers l’Ordovicien, mais plus sˆ urement au Silurien que les premi`eres plantes terrestres apparaissent. Les animaux sortent de l’eau au Silurien et au D´evonien, sous la forme de myriapodes et d’arachnides primitifs, suivis de quelques mollusques pulmon´es. Le passage `a la terre ferme s´electionne les esp`eces qui mutent en direction de l’acquisition d’une structure squelettique d’une part, d’autre part `a la formation d’une peau imperm´eable et de son corollaire, celle d’une tuyauterie permettant les ´echanges avec l’ext´erieur, les fonctions vitales ´etant internalis´ees. Cette ´evolution a d’abord lieu en mer, avec l’apparition progressive des poissons, qui fournissent les premiers contingents de t´etrapodes `a conqu´erir la terre, sous la forme de reptiles. Le Carbonif`ere voit le d´ebut de la conquˆete des airs par les insectes. Les premiers oiseaux datent du Trias ou plus certainement du Jurassique, en pleine heure de gloire des dinosaures. Les mammif`eres apparaissent discr`etement pendant toute l’`ere secondaire, et prennent leur essor pendant l’`ere tertiaire. Le cours de la vie sur Terre n’a toutefois pas ´et´e qu’une marche en avant. Plusieurs phases d’extinctions massives en ont ´emaill´e l’histoire. Parmi toutes les phases d’extinction, on peut citer les suivantes : — — — —

au Cambrien (−480 M a), o` u 85% des esp`eces disparaissent ; entre l’Ordovicien et le Silurien (−445 M a) ; au D´evonien (−365 M a), qui se d´eroule sur plusieurs millions d’ann´ees ; entre le Permien et le Trias (−252 M a), qui est la plus importante de l’histoire : 95% des esp`eces marines et 70% des esp`eces terrestres s’´eteignent ; — entre le Cr´etac´e et le Pal´eog`ene (−65 M a), qui voit disparaˆıtre les dinosaures, parmi les 38. Il s’agit d’inclusions carbonn´ ees contenues dans des cristaux pr´ esents dans des formations s´ edimentaires de l’ˆıle d’Akilia au sud du Groenland. 39. Sans noyau. 40. Avec noyau.

52

CHAPITRE 1. L’ASTRONOMIE : L’HOMME DANS L’UNIVERS

50% d’esp`eces qui disparaissent.

Figure 1.41 – Le fossile de Lucy, d´e´ couverte en Ethiopie en 1974 par Yves Coppens (1934 – ). Source : site internet du CNRS, `a l’adresse http://www.cnrs.fr/ cnrs-images/sciencesdelavieaulycee/ evolution/popup_humain3.htm. Au Pal´eog`ene, se d´eveloppent les premiers primates, du groupe des Haplorhiniens, qui se d´eplacent dans le monde entier. La mobilit´e des primates et les nombreux ´ev`enements qu’ils connaissent font que de nombreuses esp`eces se succ`edent, coexistent, et disparaissent au cours du Tertiaire. Vers 17 millions d’ann´ees, la plaque africaine entre en collision avec la plaque eurasienne, ´ provoquant la surection de l’est de l’Afrique (actuelle Ethiopie), o` u vivent les dryopith`eques. Vers ´ 8 millions d’ann´ees, le ph´enom`ene s’est poursuivi au point qu’un rift s’´etendant de l’actuelle Erythr´ee au Malawi s’est form´e, qui modifie consid´erablement le climat : `a l’ouest, la forˆet ´equatoriale humide se maintient, tandis qu’`a l’est, sur le plateau, elle disparaˆıt au profit de la savane. Deux branches se s´eparent alors : les Pongid´es dans la forˆet, qui sont les ancˆetres des gorilles, chimpanz´es et autres grands singes ; les Hominid´es dans la savane, qui regroupent l’ensemble de la lign´ee des Australopith`eques aux Humains. Les plus anciens Australopith`eques datent du Plioc`ene, et ont pris la forme de plusieurs esp`eces : Paranthropus aethiopicus, Australopithecus afarensis, africanus, anamensis, etc. Lucy, d´ecouverte en 1974, est rattach´ee au groupe afarensis ; sa taille n’exc´edait pas 1, 10 m, avec des jambes courtes par rapport au reste du corps, et une boˆıte crˆanienne de 360 cm3 . Vers 2 millions d’ann´ees, le constat s’impose que les Australopith`eques coexistent en Afrique de l’est avec un autre type d’Hominid´es : le genre Homo. Ce qui les distingue est la taille de leur cerveau, les Homos d´epassant les 600 cm3 . Le plus ancien d’entre eux est l’Homo habilis, qui commence ` a tailler la pierre, entre 2,5 et 1,75 millions d’ann´ees. Lui succ`ede l’Homo erectus, dont la taille atteint environ 1, 60 m et le cerveau 1000 cm3 ; il se disperse sur la Terre enti`ere, et on retrouve de ses fossiles dat´es de seulement 400 000 ans, son arriv´ee en Europe ´etant dat´ee de 780 000 ans. De l’Homo erectus seraient issus l’homme de N´eanderthal, aujourd’hui disparu, ainsi que l’Homo sapiens, encore en Afrique, il y a environ 200 000 ans. Son cerveau fait environ ` son tour il conquiert le monde, apprend `a parler, con¸coit 1400 cm3 , et sa taille d´epasse 1, 70 m. A des outils, invente l’agriculture et l’industrie, d´ecouvre la spiritualit´e, et met en place l’ordre social. L’histoire humaine est alors en marche, qui d´epasse, de tr`es loin, notre sujet, auquel nous allons revenir d`es le prochain chapitre.

53

Chapitre 2

Les mouvements de la Terre, approche physique L’observation des astres, quelle qu’en soit la finalit´e, ´etant encore principalement effectu´ee depuis le sol, il convient d’´etudier pr´ecis´ement les mouvements de celui-ci, c’est-`a-dire les mouvements de la Terre.

2.1

Un seul moteur, la gravitation

2.1.1

Hypoth` eses fondamentales

2.1.1.1

Hypoth` eses sur l’espace, le temps et la vitesse de la lumi` ere

´ a) Enonc´ es La m´ecanique classique repose, du moins implicitement, sur deux postulats que nous exposons ci-dessous : Postulat (Forme de l’espace-temps) — En gravitation classique, l’espace-temps est plat, c’est-` a-dire que la g´eom´etrie qui d´ecrit l’espace est euclidienne et que le temps s’y ´ecoule uniform´ement. Postulat (Vitesse de la lumi`ere) — La seconde hypoth`ese est que la vitesse de la lumi`ere, de l’information, en particulier de masse, transportant le champ gravitationnel, est consid´er´ee comme infinie. b) Explications La premi`ere hypoth`ese (la platitude de l’espace-temps) est commune aux espaces-temps de Newton 1 et de Minkowski 2 . La diff´erence entre ces deux espaces-temps est que, dans celui de Minkowski, la vitesse de la lumi`ere est finie et constante, conform´ement aux ´equaecoule tions de Maxwell 3 . La diff´erence est notoire car dans l’espace de Newton, le temps s’´ uniform´ ement, c’est-` a-dire de fa¸con ind´ependante du lieu et de son contenu en mati`ere et donc en masse. En cons´equence, l’espace-temps de Newton postule de la possibilit´e de d´efinir un r´ef´erentiel absolu de l’Univers pour la description des ph´enom`enes ; ce r´ef´erentiel absolu fut longtemps appel´e « ´ether ». La relativit´e restreinte, rien qu’avec l’hypoth`ese de la finitude de la vitesse de la lumi`ere dans tous les rep`eres inertiels 4 , pr´etend quant `a elle qu’au contraire, n’importe quel rep`ere inertiel peut ˆetre utilis´e pour faire des exp´eriences de physique avec le sourire ; cela implique toutefois d’accepter que le temps ne s’´ ecoule pas de la mˆ eme fa¸ con dans tous les r´ ef´ erentiels. 1. 2. 3. 4.

Isaac Newton (1643 – 1642). Hermann Minkowski (1864 – 1909). James Clerk Maxwell (1831 – 1879). D’ailleurs, la relativit´ e restreinte est dite restreinte, car elle ne concerne que les r´ ef´ erentiels inertiels.

54

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

2.1.1.2

Hypoth` ese sur la force de gravitation

Pour expliquer le mouvement de la com`ete de Halley 5 et pour d´emontrer les lois de Kepler 6 , Isaac Newton a fait l’hypoth`ese que la force de gravitation entre deux corps s’exprime proportionnellement au produit des masses des corps concern´ es, et de fa¸ con inversement proportionnelle au carr´ e de la distance qui les s´ epare. Elle est dirig´ee dans la direction liant ces deux corps, et a pour sens celui qui va du premier corps `a l’autre. La constante de proportionnalit´e est appel´ee constante de la gravitation universelle ; elle vaut G = 6, 67384 10−11 m3 kg −1 s−2 . La force s’exprime selon [Mamon, 2004] : −−−−→ FA→B =

−G

mA mB − → u rAB 2 rAB

→ Le vecteur − u a B, dans ce sens ; le signe n´egatif indique le r AB est le vecteur unitaire liant A ` → . Une autre fa¸con d’exprimer la force de gravitation sens du vecteur force, oppos´e au sens de − u rAB est de faire intervenir les vecteurs positions de A et B : −−−−→ mA mB − → − → FA→B = −G − − → 3 (rA − rB ) |r→ A − rB | Si A n’est pas ponctuel, alors la force subie par B est la somme des contributions des petites → 3− masses dmA = ρ(− r→ A ) d rA composant A : −−−−→ FA→B = −G mB

2.1.2

Z

A

− − → r→ A − rB → 3− ρ(− r→ A ) d rA |− r→ − − r→|3 A

(2.1)

B

´ Equations fondamentales du champ de gravitation

Nous allons montrer que l’hypoth`ese sur la force de gravitation (en 1/r2 ) est ´equivalente `a une description du champ en termes d’op´erateurs vectoriels ; nous allons prouver l’existence d’un potentiel de gravitation dont d´erive le champ, et ´etablir l’´equation de Poisson 7 , qui contient, en fait, toute l’information sur la structure du champ de gravitation. Il existe de multiples d´emonstrations de cette ´equation. Nous avons ´etabli celle qui va suivre, qui est int´eressante parce qu’elle montre les similarit´es du champ de gravitation avec celles du champ ´electrostatique. Nous repartons de l’hypoth`ese de d´epart sur la force de gravitation : −−−−→ FA→B = = − − → → avec : G ( r ) =

mA mB − → u r AB 2 rAB − → → rB ) mB GA (− m− → −G 2 ur r −G

G est donc le champ de gravitation proprement dit, que l’on suppose radial. Nous allons d´esormais calculer sa divergence, dans un syst`eme de coordonn´ees sph´eriques ; du fait de sa sym´etrie et de l’expression de la divergence dans un tel syst`eme de coordonn´ees, on ´ecrit : 5. Edmund Halley (1656 – 1742). 6. Johannes Kepler, (1571 – 1630). Les lois qu’il a d´ ecouvertes l’ont ´ et´ e empiriquement. 7. Sim´ eon Denis Poisson, 1781 – 1840.

55

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

→→ − div G (− r) = = =



m → −G 2 − ur r 1 ∂  2 m −r G 2 r2 ∂r r 1 ∂ − 2 G (m) r ∂r

div

  1 ∂ 4 3 = − 2G πr ρ r ∂r 3 4 1 = − 2 G × π3r2 ρ r 3 → − ⇐⇒ div G = −4πGρ → − Nous allons maintenant calculer le rotationnel de G : →→ −→ − rot G (− r) = =

= → −→ − ⇐⇒ rot G =

m → −→  rot −G 2 − ur r  1 ∂r sin θGϕ ∂Gθ − → u − r r2 sin θ ∂θ ∂ϕ   ∂Gr ∂r sin θGϕ − 1 → u − + θ r sin θ ∂ϕ ∂r   1 ∂rGθ ∂Gr − + u→ − ϕ r ∂r ∂θ → − 0 → − 0

Or nous savons que le rotationnel d’un gradient est identiquement le vecteur nul, si bien que l’on peut affirmer qu’il existe une fonction scalaire Φ, appel´ee potentiel, telle que : − → G

−−→ = −grad Φ

Le signe ’−’ est ´evidemment conventionnel ; il est de coutume en g´eod´esie de faire le choix inverse de celui fait en physique, qui est le choix adopt´e ici. On revient alors au r´esultat obtenu sur la divergence pour mettre au jour la magnifique ´equation de Poisson : −−→ div grad Φ = 4πGρ ⇐⇒

∆Φ = 4πGρ

(2.2)

Avant d’aller plus loin, nous devons rappeler les th´eor`emes de Stokes 8 et de Green 9 -Ostrogradsky 10 , respectivement : I x −→ − − − → →− → f .d→ r rot f .dS = Γ

Σ

y

→ − div f dτ

V

ZZ − − → → = f .dS Σ′

8. George Gabriel Stokes, 1819 – 1903. 9. George Green, 1793 – 1841. 10. Mikha¨ıl Vassilievitch Ostrogradsky, 1801 – 1862.

56

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

o` u Σ est une surface ouverte appuy´ee sur le contour orient´e Γ, tandis que Σ est une surface ferm´ee → − entourant le volume V . Le premier th´eor`eme dit simplement que la circulation d’un vecteur f sur une courbe ferm´ee Γ est ´egale au flux du rotationnel de ce vecteur `a travers toute surface Σ′ → − s’appuyant sur ce contour. Le second th´eor`eme affirme de son cˆ ot´e que le flux d’un vecteur f `a travers une surface ferm´ee Σ est ´egal `a la somme sur tout le volume compris dans cette surface de la divergence de ce vecteur. Appliquant ces th´eor`emes au champ de gravitation, nous obtenons les versions int´egrales des deux ´equations locales que nous avons ´etablies pr´ec´edemment : → − div G = −4πGρ Z Z y → → − − − → ⇒ div G dτ ≡ G · dS = 4πGMint Σ

⇒

x −→ − → − → rot G · dS ≡ Σ

I

C

→ −→ − rot G = → − − G · d→ r =

− → 0 0

La premi`ere relation nous dit que le flux du champ de gravitation `a travers une surface ferm´ee → − est positif, ce qui confirme que G est radial et centrip`ete ; en outre, il est ´egal, `a un facteur pr`es, `a la masse situ´ee ` a l’int´erieur, et ` a l’int´erieur exclusivement, de la surface ferm´ee entourant le volume consid´er´e. → − Quant ` a la seconde relation, elle signifie que la circulation de G le long d’une courbe ferm´ee quelconque est nulle ; la contrapos´ee est plus int´eressante : il n’existe pas de courbe ferm´ee sur → − → − laquelle la circulation de G est non-nulle. Ceci signifie que G ne semble « tourner » autour de rien. C’est le cas des champs de vecteurs conservatifs, comme le champ ´electrostatique. Enfin, puisque nous avons ouvert cette partie en d´esirant comparer les structures des champs gravitationnel et ´electrostatique, nous souhaitons conclure sur ce sujet. Les relations avec les op´erateurs vectoriels ont en effet la mˆeme forme : → − ρ div E = ǫ0 → − → −→ − rot E = 0 −−→ → − E = −grad V ρ ⇒ ∆V = − ǫ0

→ − div G = −4πGρ → − → −→ − rot G = 0 −−→ → − G = −grad Φ

∆Φ = 4πGρ

Les similarit´es entre ces champs sont les suivantes : — la divergence du champ (´electrique, gravitationnel) est proportionnelle `a la densit´e (de charge, de mati`ere) ; — le rotationnel du champ est nul ; — le vecteur champ lui-mˆeme est proportionnel au gradient d’un potentiel scalaire ; — le laplacien du potentiel est proportionnel `a la densit´e. Les diff´erences suivantes sont cependant `a noter : — il n’existe que des charges positives en gravitation, et pas de masse n´egative, tandis qu’il existe des charges positives et n´egatives en ´electrostatique ; 57

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

— le champ ´electrique non statique est coupl´e au champ magn´etique, mais il n’existe pas de champ de couplage pour le champ de gravitation ; en particulier, il n’existe pas en gravita→ → − −→ − tion de relation ´equivalente a` : rot E = −∂ B /∂t. Quelques commentaires sont n´ecessaires concernant l’´equation de Poisson : → — si la distribution de densit´e ρ(− r ) est donn´ee (par une hypoth`ese formelle ou par l’exp´erience), alors la r´esolution de l’´equation de Poisson donne la force g´en´er´ee par la distribution de densit´e en tout point de l’espace ´etudi´e. La trajectoire d’une particule dans ce bazar devient alors tout-` a-fait calculable ; — le fait que la densit´e soit proportionnelle `a une d´eriv´ee seconde du potentiel signifie que les surfaces ´equipotentielles de gravitation sont plus sph´eriques et r´eguli`eres que les profils de densit´e qui leur sont associ´ees.

2.1.3

La relation fondamentale de la dynamique

Connaˆıtre l’expression de la force de gravitation ne nous dit rien sur le mouvement dont elle est le moteur. Deux expressions vont nous ˆetre utiles, la premi`ere d´ecrivant le mouvement de translation du centre de gravit´e d’un corps en mouvement, l’autre son mouvement dans le r´ef´erentiel barycentrique. → Si on note − r le vecteur position d’un corps de masse m dont on ´etudie le mouvement et − → f la somme des forces auxquelles il est soumis, alors, dans un r´ef´erentiel galil´een, la relation fondamentale de la dynamique s’´ecrit :

m

→ → − d2 − r = f 2 dt

Cette relation permet de d´eterminer la trajectoire de translation du corps que l’on ´etudie, envisag´e comme une masse ponctuelle. → − → − Par ailleurs, si on note L le moment cin´etique du corps en question, et Γ le moment des forces auxquelles il est soumis, alors la relation fondamentale de la dynamique s’´ecrit : → − → − d2 L = Γ dt2 Cette relation permet de d´eterminer l’orientation du corps que l’on ´etudie, envisag´e comme un solide caract´eris´e par une distribution de masse.

2.1.4

Probl` eme des N corps, th´ eor` eme du viriel

2.1.4.1

Pr´ esentation

Le probl`eme dit des N corps est l’´etude d’un syst`eme physique compos´e de plus de deux corps libres int´eragissant gravitationnellement, et dont il s’agit de d´eterminer le mouvement. L’´equation du mouvement ´etant d´etermin´ee par les lois de position et de vitesse, c’est un probl`eme `a 6 × N inconnues. Henri Poincar´e (1854 – 1912) a montr´e qu’il n’existe pas de solution analytique au-del` a de N = 2. Une ´etude statistique de ce syst`eme, et une r´esolution num´erique du probl`eme restent 58

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

cependant possibles. Il existe des sous-probl`emes `a N corps, comme le probl`eme `a trois corps restreint, qui consiste en l’ajout d’une tierce particule (ou plusieurs), de masse nulle, `a un syst`eme `a deux corps, et d’en ´etudier le mouvement ; ce probl`eme est fr´equemment pos´e en astrophysique, par exemple pour l’´etude des disques de particules orbitant autour d’un astre central, et perturb´ees par un corps relativement massif orbitant lui aussi autour du corps central. Il y a aussi le probl`eme des trois corps proprement dit, consistant en l’´etude d’un syst`eme de trois masses non n´egligeables en interaction gravitationnelle ; il peut ˆetre invoqu´e pour l’´etude de la stabilit´e de l’orbite d’une plan`ete au sein d’un syst`eme d’´etoile double. Remarquons toutefois que le secteur spatial peut profiter de ces exemples pour ses besoins propres ; le mouvement d’un satellite ou d’une sonde, dont on peut n´egliger la masse en l’occurrence, rel`eve d’une sorte de probl`eme ` a N corps restreint, N d´ependant du nombre d’astres du syst`eme solaire retenus pour la mod´elisation du mouvement de l’engin. 2.1.4.2

Formulation g´ en´ erale

La force subie par un corps K est la somme des forces venant de chacun des N corps i composant le syst`eme Ω :

N

X mi mK −−−−→ − → G 2 FΩ→K = − u− riK r iK i=1 = − 2.1.4.3

N X

mi mK − − → → G→ − − →|3 ( ri − rK ) | r − r i K i=1

Th´ eor` eme du viriel

Dans un tel syst`eme, le th´eor`eme dit du viriel est toujours d’une aide pr´ecieuse. Si nous notons l’´energie cin´etique et l’´energie potentielle du syst`eme respectivement par : N  2 1X → r˙i mi − 2 i=1

Ec

=

Ep

= −G

N N X X

i=1 j=1;j6=i

mi mj → → |− ri − − rj |

alors le th´eor`eme du viriel scalaire pour un syst`eme `a l’´equilibre (ce qui n’interdit pas le mouvement bien sˆ ur !) est le suivant : Th´ eor` eme (Viriel) — La somme de l’´energie potentielle et du double de l’´energie cin´etique est nulle : Ep + 2 Ec =

0

(2.3)

Ceci dit, il existe une version tensorielle du th´eor`eme du viriel, permettant d’´etudier les syst`emes qui ne sont pas ` a l’´equilibre. 2.1.4.4

Int´ egrales premi` eres

On peut montrer qu’il existe un ensemble de grandeurs qui demeurent constantes dans le cadre du probl`eme ` a N corps, si on le suppose isol´e. Ici nous nous pla¸cons dans un r´ef´erentiel galil´een. 59

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

a) La conservation de la quantit´ e de mouvement vement s’´ecrit :

N X

mi

i=1

−−→ dOMi dt

La conservation de la quantit´e de mou-

− → P

=

→ − o` u P est un vecteur constant. Comme le barycentre B des N corps est d´efini par :

−−→ OB =

N 1 X −−→ mi OMi N X i=1 mi i=1

alors :

−−→ dOB dt

=

→ 1 − P N X mi i=1

Cette relation signifie que le barycentre du syst`eme des N corps est en mouvement rectiligne uniforme dont la vitesse est le terme de droite de l’´equation pr´ec´edente ; cette vitesse est ´evidemment constante. Autrement dit, on peut ´ecrire l’´equation du mouvement de B comme :

−−→ OB(t)

=

−−→ −−→ dOB OB(t = 0) + t dt

− − → −−→ efinition Les trois composantes des vecteurs OB(t = 0) et dOB dt sont constantes. Compte-tenu de la d´ qui est celle du barycentre et de sa vitesse, la conservation de la quantit´e de mouvement fournit donc six ´equations, associ´ees ` a chacune des composantes de ces deux grandeurs.

b)

La conservation du moment cin´ etique

La conservation du moment cin´etique s’´ecrit :

−−→ −−→ dOMi mi OMi ∧ dt i=1

N X

=

− → L

→ − o` u L est un vecteur constant. Compte-tenu de la d´efinition du barycentre, qui est le centre d’un r´ef´erentiel galil´een compte-tenu de son mouvement rectiligne uniforme, on peut r´e´ecrire cette relation :

−−→ −−→ dOMi OB ∧ dt

=

1 N X

− → L

mi

i=1

60

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

→ − Cette relation signifie que le plan orthogonal au vecteur L et passant pas B est constant : c’est le plan invariable de Laplace. Compte-tenu de sa d´efinition, la conservation du moment cin´etique fournit trois ´equations, associ´ees ` a chaque composante de celui-ci. Si initialement les positions et vitesses des N corps se trouvent dans le plan invariable, alors ils y restent. c) La conservation de l’´ energie La conservation de l’´energie totale, somme de l’´energie potentielle et de l’´energie cin´etique, s’´ecrit :

N

1X mi 2 i=1

−−→ !2 NX −1 X N Gmi mj dOMi − −−−−→ dt i=1 j=i+1 |Mi Mj |

=

E

o` u E est l’´energie, constante, du syst`eme. La nature scalaire de cette ´equation fait qu’elle ne peut ˆetre formul´ee qu’une seule fois. 2.1.4.5

R´ eduction du probl` eme ` a N corps

Nous avons exprim´e les int´egrales premi`eres en fonction de l’origine O d’un r´ef´erentiel galil´een ou du barycentre B du syst`eme, qui est aussi l’origine d’un r´ef´erentiel galil´een. N´eanmoins, en g´en´eral, ces points n’´etant pas mat´erialis´es, on pr´ef`ere exprimer le probl`eme des N corps par rapport `a un d’entre eux, qui sert de r´ef´erence. Par ailleurs, ` a l’aide de ces dix int´egrales premi`eres, nous sommes pass´es d’un syst`eme d’´equations d’ordre 6N ` a un syst`eme d’ordre 6N −10. C’est en d´emontrant qu’il n’y a pas d’autre int´egrale premi`ere que les dix que nous venons d’´etablir que Poincar´e a d´emontr´e qu’aucune probl`eme de N corps avec N > 2 ne pouvait ˆetre r´esolu analytiquement. En effet, le nombre d’´equations que nous pouvons invoquer pour r´esoudre le probl`eme est de dix ; le nombre d’inconnues est 6N . Le syst`eme ´etant r´esolvable si le nombre d’´equations est sup´erieur au nombre d’inconnues, il faut donc v´erifier la condition :

10 ≥ =⇒ 1 ≥

6N N

avec : N ∈ N

Si, comme annonc´e, nous utilisons un corps de r´ef´erence pour positionner tous les autres par rapport ` a lui, alors nous n’avons plus que N − 1 inconnues, d’o` u:

10 ≥

=⇒ 2 ≥

6(N − 1) N

avec : N ∈ N

La r´eduction du probl`eme consiste ainsi `a imposer des contraintes suppl´ementaires au probl`eme pos´e, de fa¸con ` a r´eduire le nombre d’inconnues, et `a lui laisser le moins possible de degr´es de libert´e. C’est ce que nous ferons dans les exemples des pages suivantes, pour le probl`eme `a deux corps ou `a trois corps restreint. Lorsque N augmente, on doit n´ecessairement se r´esoudre `a un traitement num´erique du probl`eme, et naturellement l’envisager aussi sous l’angle statistique et probabiliste. 61

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

2.2

La r´ evolution de la Terre autour du Soleil

Ce probl`eme s’apparente dans un premier temps au probl`eme des deux corps, auquel, dans un second temps, nous ajouterons des perturbations.

2.2.1

Le probl` eme des deux corps

On appelle probl`eme ` a deux corps l’´etude du mouvement de deux corps A et B de masses respectives mA et mB en int´eraction gravitationnelle. Il a ´et´e pos´e et r´esolu par Isaac Newton en 1687, et a confirm´e spectaculairement les relations empiriques connues sous le nom de Lois de Kepler. C’est un des rares cas o` u un probl`eme gravitationnel est compl´etement int´egrable. C’est sur un ton tranquille, bon enfant, tr`es gazette de village, que nous vous proposons de l’´etudier.

2.2.1.1

´ Equations du mouvement

On ´etudie le mouvement de A et B dans un r´ef´erentiel galil´een d’origine fixe O. La relation fondamentale de la dynamique donne [P´erez, 2003] : −→ d2 OA dt2 −−→ d2 OB mB dt2 mA

−−→ BA = − G mA mB −−→ |BA|3 −−→ AB = − G mB mA −−→ |AB|3

La somme des deux ´equations nous donne : −−→ −→ d2 OB d2 OA + mB mA dt2 dt2

=

− → 0

(2.4)

Or le centre de gravit´e C du syst`eme {A, B} est d´efini par : −−→ OC

=

−−→ −→ mA OA + mB OB mA + mB

En d´erivant deux fois par rapport au temps, nous avons : −−→ d2 OC dt2

− → 2−

= =

− → 2−

mA d dtOA + mB d dtOB 2 2 mA + mB → − 0

La nullit´e de la deuxi`eme ligne est obtenue par identification au r´esultat de l’´equation 2.4. C est donc anim´e d’un mouvement rectiligne uniforme : −−→ OC =

→ − − → α t+ β

ce qui conf`ere le statut envi´e de r´ef´erentiel galil´een au r´ef´erentiel centr´e sur C. Les ´equations du mouvement dans ce r´ef´erentiel sont donc : −−→ −→ BA d2 CA = − G m m mA A B − −→ 2 dt |BA|3 −−→ −−→ d2 CB AB mB = − G m m B A − −→ dt2 |AB|3 62

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

L’´etude du mouvement dans ce r´ef´erentiel est possible, mais la position de C est fictive. Nous pr´ef´erons nous placer dans le cas o` u l’on ´etudie le mouvement relatif d’un des points mat´eriels par rapport ` a l’autre. On divise l’avant derni`ere ´equation par mA , et la derni`ere par mB , puis on soustrait membre `a membre : −−→ −−→ d2 AB AB = − G (m + m ) (2.5) A B − −→ dt2 |AB|3 On se place dor´enavant dans un r´ef´erentiel li´e `a A, non-galil´een, dans lequel est ´etudi´e le mouvement de B. La d´efinition du barycentre donne : −−→ −→ − → mA CA + mB CB = 0 si bien que l’on rep`ere B par : −−→ AB = =

mA + mB −→ CA mB mA + mB −−→ CB mA

−

−−→ En posant µ = G(mA + mB ) et r = |AB| l’´equation 2.5 s’´ecrit : −−→ −−→ AB d2 AB = − µ dt2 r3 2.2.1.2

Solution des ´ equations du mouvement − → On appelle σA (B) le moment cin´etique de B dans le r´ef´erentiel centr´e sur A. On a [P´erez, 2003] : −−→ ! −−→ dAB d− σ→ d A (B) mB AB ∧ = dt dt dt −−→ −−→ −−→ dAB dAB −−→ AB = mB ∧ − mB µ AB ∧ 3 dt dt r d− σ→ → − A (B) ⇐⇒ (2.6) = 0 dt C’est ` a dire que le moment cin´ etique de B est conserv´ e au cours du temps en module et en direction. Le mouvement de B dans le r´ef´erentiel centr´e sur A a donc lieu dans le plan Axy d´efini comme ´etant orthogonal `a − σ→ A. La vitesse de B s’´ecrit, en coordonn´ees polaires : −− → dAB − v→ = B dt dr − → + r dθ − → u u = r θ dt dt → et − → les vecteurs unitaires du r´ef´erentiel en coordonn´ees polaires. Le moment cin´etique − avec − u u σ→ r

θ

A

s’´ecrit donc :

− σ→ A

−−→ −−→ dAB = mB AB ∧ dt  dr − −−→ dθ − → → = mB AB ∧ ur + r uθ dt dt 63

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

soit : − σ→ = A

mB r 2

dθ − u→ ϕ dt

− → − → avec : − u→ ϕ = ur ∧ uθ . Le moment cin´etique ´etant constant, la grandeur C = r2 dθ dt est constante (on la qualifie encore −−→ d’int´egrale premi`ere du mouvement), et appel´ee commun´ement constante des aires. Le vecteur AB tourne donc autour de A ` a une vitesse angulaire non constante : dθ dt

=

C r2

On va chercher d´esormais ` a trouver une relation entre r et θ. En multipliant l’´equation 2.6 par on a :

− − → dAB dt ,

−−→ −−→ d2 AB dAB dt2 dt

= −µ

−−→ −−→ AB dAB r3 dt

qui s’int`egre en : 1 2

−−→ !2 dAB µ − dt r

=

cte

=

ξ

(2.7)

ξ repr´esente l’´energie totale du syst`eme. On va d´esormais s’atteler `a ´ecrire la vitesse en coordonn´ees polaires et ` a l’ins´erer dans ξ. Comme dt = r2 dθ/C, on a : 2  −−→ ! dr − dAB → + r dθ − → = u u r θ dt dt dt 2  2  dθ dr + r = dt dt !  2 dr C2 2 = +r dθ r4 L’´equation 2.7 s’´ecrit donc : 

dr dθ

2

+r

2

!

 C2  µ − +ξ 4 2r r

=

0

On pose alors : u

=

µ 1 − 2 r C

On obtient donc : !  2  2  µ du µ −2 C 2 (u + C 2 )4   dr + u+ 2 − µ u+ du dθ C 2 !  2  µ 2 C 2   du + u+ 2 − µ u+ ⇐⇒ dθ C 2

(2.8)

 µ  + ξ C2

=

0

 µ  + ξ C2

=

0

64

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

En multipliant l’ensemble par

2 C2 ,

avec :

et en d´eveloppant le carr´e, on finit par obtenir :  2 du = α2 − u2 dθ r

µ2 2ξ + 2 C4 C

du √ 2 α − u2

= ±θ

α

=

(2.9)

L’´equation 2.9 s’´ecrit ´egalement :

En choisissant conventionnellement le signe −, on voit apparaˆıtre la d´eriv´ee de la fonction arccosinus. On l’int`egre donc en : u arccos = θ−ω α o` u ω est la constante d’int´egration, appel´ee argument du p´eriastre (voir la figure 2.2 page 69). En posant : e = p = f

=

s

1+

2C 2 ξ µ2

C2 µ θ−ω

on retrouve la grandeur r : 1 1 + e cos(f ) = r p

(2.10)

Cette ´equation est celle d’un cˆ onique de foyer A, de param`etre p, et d’excentricit´e e. Le param`etre p s’interpr`ete d´esormais comme ´etant la valeur de r pour f = ±π/2. On appelle anomalie vraie le param`etre f . Ce qui nous am`ene ` a la Premi`ere loi de Kepler :

Th´ eor` eme (Premi`ere loi de Kepler) — L’orbite d’un astre dans le probl`eme ` a deux corps est une ellipse dont le centre des masses des deux corps occupe un des foyers.

L’´energie du syst`eme est fournie par : ξ

=

µ2 (e2 − 1) 2C 2

(2.11)

On dit que le syst`eme est li´e s’il est d’´energie strictement n´egative, c’est `a dire si 0 ≤ e ≤ 1. Si e = 0, la trajectoire est circulaire ; si 0 < e < 1, la trajectoire est elliptique. On dit que le syst`eme est libre s’il est d’´energie positive, c’est `a dire si e ≥ 1. Si e = 1, la trajectoire est parabolique ; si e > 1, la trajectoire est hyperbolique.

65

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

2.2.1.3

La trajectoire elliptique

La trajectoire elliptique est de loin la plus fr´equente, non seulement pour les satellites artificiels de la Terre, mais aussi des corps du syst`eme solaire (encore que ce n’est peut-ˆetre pas vrai pour les com`etes et corps situ´es aux confins du syst`eme solaire, dont les orbites sont assez souvent hyperboliques). Nous nous contenterons de l’´etude de celle-ci, remettant l’´etude des trajectoires non elliptiques ` a une autre fois...

rB

rApoastre

A r Foyer 2

r Foyer 1

P´eriastre r

2 b : Petit axe

2 a : Grand axe

Figure 2.1 – Caract´eristiques de la trajectoire elliptique.

L’ellipse est caract´eris´ee, nous l’avons dit, par une excentricit´ e comprise strictement entre 0 et 1. Les points caract´eristiques de cette trajectoire sont [P´erez, 2003] : — Le p´eriastre (on parle de p´erig´ee si l’astre A est la Terre, de p´erih´elie si c’est le Soleil), tel que B est au plus proche de A, c’est `a dire f = 0. On a alors : r

= =

rmin p 1+e

— L’apoastre (resp. apog´ee, ou aph´elie) lorsque B est au plus loin de A, c’est `a dire f = π. On a alors : r

= =

rmax p 1−e

Le demi-grand axe a est ´egal `a la demi-somme des distances de A `a l’apoastre et au p´eriastre : a

a)

Caract´ eristiques de l’orbite

=

p 1 − e2

(2.12)

Le demi-petit axe vaut : p b = a 1 − e2

66

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

L’´energie ξ se calcule donc : ξ

µ2 (e2 − 1) 2C 2 µ2 p − 2 2C a µ − 2a

= = =

Le module de la vitesse v s’exprime quant `a lui : 1 2 µ v − = ξ 2 r s   2 1 ⇐⇒ v = µ − r a

(2.13)

(2.14)

avec µ = G(mA + mB ). La vitesse est maximale au p´eriastre, et minimale `a l’apoastre. Pour une trajectoire circulaire, r = a, et la vitesse est la mˆeme tout au long de l’orbite et vaut : r µ v = a Soient deux points B1 et B2 infiniment proches sur la trajectoire. L’aire balay´ee par le rayon vecteur entre B1 et B2 vaut :

Or f = θ − ω et

dθ dt

dS

=

1 2 r df 2

dS

=

1 C dt 2

= C/r2 , d’o` u:

La surface d’une ellipse ´etant S = πab, la p´eriode de r´evolution de B autour de A ´etant T , on a: C = 2

S T

⇐⇒

C =

2π ab T

avec : b

=

C2 p

= =

p a 1 − e2

pµ a(1 − e2 )

Nous venons donc de montrer la Deuxi`eme loi de Kepler :

Th´ eor` eme (Deuxi`eme loi de Kepler) — Le rayon vecteur joignant l’astre central au corps satellite balaie des surfaces ´egales en des temps ´egaux.

67

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Le corollaire de cette loi est que l’astre en orbite ne balaie pas des angles ´egaux en des temps ´egaux :

df dt

=

p G(m⊙ + mP ) a(1 − e2 ) r2

Ainsi la vitesse du corps en orbite est d’autant plus ´elev´ee que la distance au corps central est petite. Par ailleurs : 4π 2 a2 T2 a3 ⇐⇒ 2 T

= =

µp b2 µ 4π 2

Il s’agit l`a de la Troisi`eme loi de Kepler :

Th´ eor` eme (Troisi`eme loi de Kepler) — Le rapport du cube du demi-grand axe avec le carr´e de la p´eriode est constant : G (mA + mB ) a3 = T2 4π 2

(2.15)

La figure 2.2 page suivante montre l’espace rapport´e `a un tri`edre direct Axyz. Notons que sur cette figure, l’orbite ne se trouve plus dans le plan Axy. En effet, l’inclinaison i du plan de l’orbite est d´efinie par rapport au plan Axy. C’est dans ce plan que se situe la ligne des nœuds, d´efinie par l’intersection du plan de r´ef´erence avec le plan orbital. L’inclinaison est mesur´ee de 0 ` a 180◦. Si 0 < i ≤ 90◦ , le mouvement est dit direct ; si 90 < i ≤ 180◦ , le mouvement est dit r´etrograde. → − Si on note k (N ) le vecteur unitaire pointant vers le nœud ascendant, alors celui-ci est tel que : → − − → v . k (N ) = vz (N ) >

0

c’est-`a-dire que B passe du dessous au dessus du plan de r´ef´erence. Le nœud descendant est tel que → − − → v . k (N ′ ) = vz (N ′ )

< 0

c’est-`a-dire que B passe du dessus au dessous du plan de r´ef´erence. On appelle longitude du nœud ascendant l’angle Ω entre les directions (Ax), appel´ee point vernal, et (AN ), appel´ee nœud ascendant, donc mesur´e dans le plan Axy. L’angle ω entre les direction (AN ), le nœud ascendant, et (AP ), le p´eriastre, est appel´e argument du p´ eriastre. Il est mesur´e dans le plan de l’orbite.

68

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Po siti on du cor ps

en orb it

e

~z

~h i

Ligne

des n œu d

~v

r

~r f ω

s Nœud descendant r

r A

nd tio c ire

re ast ´eri p u

rD P´eriastre

~y

rNœud ascendant

Ω

~x

Po in t

ve rn a

l

Apoastre r

Figure 2.2 – Caract´eristiques du plan orbital k´eplerien.

L’anomalie vraie f rep`ere le corps B sur son orbite `a partir du p´eriastre : f = (AP , AB). Nous avons donc cinq ´el´ements g´eom´etriques (a, e, i, Ω et ω) d´efinissant la trajectoire, et un d´efinissant la position du mobile sur celle-ci (f ). Les trois premiers sont appel´es les ´el´ements m´etriques, bien que l’inclinaison soit un angle et l’excentricit´e sans dimension ; tandis que les trois derniers sont appel´es ´el´ements angulaires. Les coordonn´ees cart´esiennes sont obtenues directement par les relations suivantes :   x = r (cos Ω cos(ω + f ) − sin Ω sin(ω + f ) cos i) y = r (sin Ω cos(ω + f ) + cos Ω sin(ω + f ) cos i)  z = r sin(ω + f ) sin i

(2.16)

Il est un peu plus long d’obtenir les ´el´ements orbitaux par le calcul, mais si on ne le fait pas l`a, on ne le fera jamais. C’est ` a ce moment que Yoda dit `a Luke (ou que l’auteur de ces lignes dit `a son lecteur) : « N’essaie pas, fais-le. Ou ne le fais pas. Mais il n’y a pas d’essai. » 11 Signalons quand mˆeme qu’il y a plusieurs fa¸cons d’exprimer les ´el´ements orbitaux `a partir des ´el´ements cart´esiens. ´ Ecrivons d’abord le moment cin´etique r´eduit (qui est toujours constant) : − → h =

− → → r ∧− v

Ce vecteur donne par son module la constante des aires C. Normal au plan de l’orbite, il d´efinit donc celui-ci, et donne le sens du mouvement. 11. Allusion ` a peine voil´ ee ` a L’Empire Contre-Attaque, d’Irvin Kershner, avec George Lucas, sorti en 1980.

69

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Nous d´efinissons ensuite le vecteur excentricit´ e: → − − → − → v ∧ h r → − e = − µ r

(2.17)

La norme de ce vecteur donne l’excentricit´e de l’orbite ; sa direction et son sens le font pointer vers le p´eriastre. Le demi grand-axe vient facilement de : a

=

µ → |− v |2 − 2 µr

(2.18)

→ le vecteur unitaire orientant l’axe z, on peut d´efinir le vecteur nodal : En notant − u z → − → →∧− n = − u h z

− → non colin´eaire avec → Celui-ci n’existe que pour les orbites non ´equatoriales (c’est-` a-dire − u h ). Il z pointe vers le nœud ascendant de l’orbite. u→x le vecteur orientant l’axe Ox, c’est La longitude du nœud ascendant est calcul´ee par (avec − a` dire la direction du point vernal) : −  → u→x .− n Ω = arccos [2π] (2.19) → |− n| Il faut prendre garde de bien avoir a` l’esprit le « modulo 2π ». L’inclinaison i est donn´ee par : i =

arccos

→ − →.− u z h → − |h|

!

(2.20)

L’argument du p´eriastre vient ` a partir de : ω

=

arccos

  → −e .− → n [2π] → → |− e ||− n|

(2.21)

b) Anomalie excentrique Une difficult´e majeure r´eside dans le positionnement en fonction du temps du corps en orbite, c’est-` a-dire dans l’´etablissement de la loi donnant l’anomalie vraie en fonction du temps. La loi des aires (Deuxi`eme loi de Kepler) fournit [P´erez, 2003] : df dt

= =

dθ dt C r2

Connaissant la relation entre f et r, on obtient l’´equation diff´erentielle : df C − 2 (1 + e cos f )2 dt p

=

0

(2.22)

dont l’apparence nous effraie quelque peu, puisqu’elle fait intervenir un carr´e de cosinus de la ` la Renaissance, lorsque le visage peu d´elicat de cette ´equation fut mis au quantit´e d´eriv´ee... A jour, on ne disposait pas de moyens num´eriques permettant sa r´esolution, et les m´ecaniciens du

70

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

~y ✻ Br ′ a Cercle apsidal rB

Trajectoire

✻ b

r

f ✛

a

✲❄ O✛

H

E

~x ✲

A r ✲ ae

Figure 2.3 – Anomalies vraie et excentrique.

ciel, dans leur infinie bont´e, ont eu l’id´ee d’introduire une nouvelle grandeur `a la place de f , l’anomalie excentrique E, comme d´efinie sur la figure 2.3. On voit sur celle-ci que : r cos f = AH

=⇒

a cos E = OH

r sin f = HB

=⇒

a sin E = HB ′

L’´equation du cercle des apsides ´etant :  x 2 a

+

 y 2 a

= 1

Pour les ordonn´ees positives, nous avons donc : yaps

=

Or l’´equation de l’ellipse est :  x 2

+

yell

=

a

p a2 − x2

 y 2 b

=

1

Pour les ordonn´ees positives, nous avons donc :

bp 2 a − x2 a

Pour une abscisse x donn´ee nous avons donc : yell yaps

b a p = 1 − e2

=

71

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

En particulier au point H : HB HB ′

p 1 − e2

=

Si bien que : r cos f

=

r sin f

=

a cos E − ae p a 1 − e2 sin E

La somme des carr´es de ces expressions donne donc : r

=

a(1 − e cos E)

puis : cos f sin f

cos E − e 1 − e cos E p sin E 1 − e2 = 1 − e cos E

=

Un dernier effort de calcul fournit :   f tan2 = 2

=



  1+e 1 − cos E 1−e 1 + cos E     E 1+e tan2 1−e 2

d’o` u l’on tire la relation entre anomalies vraie et excentrique : r     1+e f E tan = tan 2 1−e 2

(2.23)

L’anomalie excentrique fait donc office d’interm´ediaire de calcul. c)

Anomalie moyenne

Ici nous allons noter :

— A l’aire des triangles ; — E l’aire des secteurs elliptiques ; — C l’aire des secteurs circulaires. Un raisonnement semblable ` a celui conduisant aux r´esultants pr´ec´edents permet de trouver le rapport des aires des secteurs : AP B et AP B ′ [P´erez, 2003] : E(AP B) C(AP B ′ )

= =

b a p 1 − e2

En notant τ l’instant de passage au p´erisatre, on a : Z t E(AP B) = dS τ Z t 1 Cdt = 2 τ C = (t − τ ) 2 72

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE √ En utilisant la Troisi`eme loi de Kepler ainsi que le fait que b = a 1 − e2 on a : E(AP B)

1 2p 2π a 1 − e2 × (t − τ ) 2 T

=

On d´efinit alors l’anomalie moyenne : M

2π (t − τ ) T ∝ t

=

(2.24)

L’anomalie moyenne a ainsi, par d´efinition, cette qualit´e d’´evoluer lin´eairement avec le temps, et d’ˆetre, par cons´equent, simple ` a calculer. L’utilisation de ces deux derni`eres ´equations permet d’exprimer C(AP B ′ ) : C(AP B ′ ) =

1 2 a M 2

(2.25)

Nous constatons alors que : C(AP B ′ )

= C(OP B ′ ) − A(OAB ′ )

Or : C(OP B ′ ) = A(OAB ′ ) = =

E 2 πa 2π 1 −→ −−→′ OA ∧ OB 2 1 ae a sin E 2

Si bien que : C(AP B ′ ) =

1 2 a (E − e sin E) 2

(2.26)

En couplant les ´equations 2.25 et 2.26, nous franchissons le Rubicon et obtenons l’´equation de K´epler : E − e sin E = M

(2.27)

2π (t − τ ) T = n(t − τ )

=

en utilisant le moyen mouvement n = 2π/T . Cette ´equation relie l’anomalie moyenne M `a l’anomalie excentrique E, donc E au temps t. Comme f est reli´ee `a E par la relation 2.23, on a f (t). Cette ´equation ne trouve de solution que num´eriquement, et l’outil informatique nous est bien utile pour l’obtenir. ´ ements orbitaux des cas quelconques d) El´ La r´esolution du probl`eme n´ecessite donc de . . . connaˆıtre les conditions du mouvement `a l’instant t = 0 : x0 , y0 , z0 , x0 , y 0 , z 0 , que l’on peut exprimer facilement en fonction des ´el´ements orbitaux (a, e, i, Ω, ω, M ou f ). Par ailleurs on trouve encore souvent la longitude vraie : L =

Ω+ω+f

(2.28) 73

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

ou la longitude moyenne : λ =

Ω+ω+M

(2.29)

ainsi que la longitude du p´ eriastre : ω ˜

= Ω+ω

(2.30)

qui est aussi parfois not´ee ̟. Les ´el´ements orbitaux peuvent ˆetre exprim´es en fonction du temps sous la forme d’un polynˆome. De fa¸con g´en´erale, on appelle longitude un angle mesur´e dans le plan de r´ef´erence et anomalie ou argument un angle mesur´e dans le plan de l’orbite. e)

´ ements orbitaux des cas singuliers El´

i) Faible excentricit´ e Dans le cas d’une orbite circulaire ou presque circulaire, le p´eriastre soit n’est pas d´efini, soit l’est avec beaucoup d’impr´ecision. Le param`etre ω perd donc de son sens, et une l´eg`ere perturbation orbitale, si elle modifie peut la forme g´en´erale de l’orbite, modifie en revanche profond´ement la valeur de ω. Or si l’orbite subit de faibles modifications, on souhaiterait que les param`etres orbitaux en fassent de mˆeme, ce qui n’est pas assur´e avec les ´el´ements traditionnels. On utilise alors le jeu de param`etres [Zarrouati, 1987] : (a, ex , ey , i, Ω, α) tels que : ex ey

= e cos ω = e sin ω

α

= ω+M

En consid´erant comme axe origine du plan de l’orbite l’axe (Corps attractif – nœud ascendant), → le vecteur − e appartient au plan de l’orbite et a pour composantes ex et ey ; il est orient´e vers → le p´eriastre. Le module du vecteur − e est tr`es petit, et peut varier de fa¸con peu importante en absolu, mais avoir une variation relative ´elev´ee et se traduire par une variation de l’orientation tr`es importante, ce qui est symptomatique de la mauvaise d´efinition du p´eriastre. En faisant intervenir α, on ne fait plus r´ef´erence au p´eriastre pour positionner le corps en orbite. Cette grandeur est proche de l’´ecart angulaire entre le nœud ascendant et la position du corps en orbite, ce qui est plus pratique pour une orbite circulaire. ii) Faible inclinaison Dans le cas d’une inclinaison (angle entre le plan de l’orbite et le plan de r´ef´erence), l’axe des nœuds (intersection entre le plan de l’orbite et le plan de r´ef´erence) n’est pas bien d´efini. C’est ainsi le cas pour le param`etre Ω (longitude du nœud ascendant). On modifie donc le jeu de coordonn´ees utilis´e par [Zarrouati, 1987] : (a, e, ω ˜ , hx , hy , M ou f ) tels que : ω ˜ hx hy

= ω+Ω i = 2 sin cos Ω 2 i = 2 sin sin Ω 2 74

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Les param`etres hx et hy sont les coordonn´ees, dans le plan de r´ef´erence Oxy du vecteur rotation → − du plan de l’orbite par rapport au plan de r´ef´erence. L` a encore, le module de h est petit, et connaˆıt de faibles variations absolues, mais relativement ´elev´ees, entraˆınant d’importantes modifications d’orientations, significatives de la perte de sens de la notion de ligne des nœuds. ω ˜ intervient donc ici, comme α dans le cas d’une orbite faiblement excentrique pour la position du corps orbitant, pour positionner la direction du p´eriastre. iii) Faibles excentricit´ e et inclinaison Ce cas se pr´esente pour les satellites en orbite g´eostationnaire, situ´ee sur l’´equateur (faible inclinaison), et circulaire (faible excentricit´e), ou les plan`etes du syst`eme solaire (hormis Pluton mais, comme chacun le sait, Pluton n’est plus consid´er´e comme → − → une plan`ete !). La forme et l’orientation de l’orbite sont donn´ees par les vecteurs − e et h . − → e est le vecteur excentricit´e, appartenant au plan de l’orbite, dirig´e vers le p´eriastre, et dont le module est l’excentricit´e de l’orbite. − → h est le vecteur d’orientation de l’orbite par rapport au plan de r´ef´erence Oxy, appartenant au plan de l’orbite et au plan de r´ef´erence, dirig´e suivant l’axe de rotation de rotation du premier par rapport au second, et dont le module est l’angle de rotation. Ceci nous am`ene ` a choisir le jeu de param`etres [Zarrouati, 1987] : (a, e˜x , e˜y , hx , hy , λ) tels que : e˜x

= e cos ω ˜

e˜y

= e cos(ω + Ω) = e sin ω ˜

hx hy λ

= e sin(ω + Ω) i = 2 sin cos Ω 2 i = 2 sin sin Ω 2 = ω ˜ +M = ω+Ω+M

L’angle λ (longitude moyenne) rep`ere la position du corps orbitant sur l’orbite `a partir de l’axe → O− x du rep`ere galil´een.

2.2.2

Le probl` eme ` a deux corps perturb´ e

Le probl`eme ` a deux corps vu pr´ec´edemment est un cas simple et acad´emique, mais il ne peut suffire ` a une description pr´ecise de la r´ealit´e, car en pratique, un des deux corps (ou les deux) n’est pas parfaitement sph´erique, ou il existe un champ perturbateur, etc. Le champ gravitationnel ne ´ peut alors ˆetre consid´er´e comme k´epl´erien, si ce n’est en premi`ere approximation. Evitez de vous moquer de ce probl`eme, car le genre humain a v´ecu pendant des dizaines de si`ecles sans lui, certes sans s’en plus mal porter, mais au prix, par exemple, d’une peur des com`etes consid´er´ees comme annonciatrices de grands malheurs... Ainsi, quittant les chemins incertains de l’irrationnel au profit des itin´eraires plus exigeants mais plus sˆ urs de l’examen rationnel et mat´eriel des ph´enom`enes naturels, une fa¸con d’aborder le probl`eme est de consid´erer que le mouvement k´epl´erien comme le mouvement de base sur lequel se greffe une perturbation. Dans le cas de l’ellipse, les ´el´ements orbitaux ne sont plus constants, et 75

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

` chaque instant, on peut d´efinir l’orbite osculatrice de la trajectoire r´eelle, varient avec le temps. A qui est l’orbite dont les param`etres sont ceux de l’instant donn´e. Les ´el´ements orbitaux subissent deux types de variations : p´eriodiques (autour de la valeur d’´equilibre), et s´eculaires (ils s’´ecartent lentement mais sˆ urement de la valeur non perturb´ee).

2.2.2.1

Notion de force perturbatrice

Comme la partie pr´ec´edente nous l’a montr´e, les ´equations du mouvement d’un corps M sou− → − → mis `a une force centrale newtonienne s’´ecrivent, dans le rep`ere (O, − u→ x , uy , uz ) du centre de force [P´erez, 2003] : ..

x

≡

d2 x dt2

x r3 2 d y dt2 y −µ 3 r d2 z dt2 z −µ 3 r

= −µ ..

y

≡ =

..

z

≡ =

avec

p x2 + y 2 + z 2

r=

Ces ´equations forment un syst`eme diff´erentiel non lin´eaire du second ordre. Ce syst`eme est cependant d´eterministe, et les coordonn´ees de M sont univoquement d´etermin´ees en fonction du temps par des relations du type : .

.

.

.

.

.

x y

= =

x(x0 , y0 , z0 , x0 , y 0 , z 0 ; t) . . . y(x0 , y0 , z0 , x0 , y 0 , z 0 ; t)

z

=

z(x0 , y0 , z0 , x0 , y 0 , z 0 ; t)

o` u les x0 et x˙ 0 (etc.) sont les conditions initiales. De fa¸con plus g´en´erale on a toujours : x = y z

= =

x({Ci } ; t)

y({Ci } ; t) z({Ci } ; t)

avec

1≤i≤6 .

.

.

o` u les {Ci } repr´esentent un ensemble de six constantes issues de {x0 , y0 , z0 , x0 , y 0 , z 0 }. On peut prendre par exemple {Ci } = {a, e, i, ω, Ω, τ }. Nous nous situons d´esormais non plus dans un cas k´eplerien, mais dans un cas voisin : un troisi`eme corps lointain ou peu massif est pris en compte, le corps source de champs n’est pas sph´erique, etc. Nous supposerons alors que les ´equations du mouvement, et donc les trajectoires,

76

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

vont ˆetre perturb´ees. On peut supposer que les ´equations prennent la forme : ..

x

≡ =

..

y

≡ =

..

z

≡ =

d2 x dt2

x . . . + X(x, y, z, x, y, z ; t) r3 d2 y dt2 y . . . −µ 3 + Y (x, y, z, x, y, z ; t) r d2 z dt2 z . . . −µ 3 + Z(x, y, z, x, y, z ; t) r −µ

Les termes X, Y et Z s’interpr`etent comme les composantes de la force perturbatrice sur les ´equations du mouvement, traduisant la perturbation physique du syst`eme ´etudi´e, fonction de la position, de la vitesse et du temps. On peut raisonnablement supposer que si celle-ci est faible, la trajectoire issue de ces ´equations sera peu ´eloign´ee de celle du probl`eme k´epl´erien. C’est dans cette optique que Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) fonda la m´ecanique analytique, ce qui, outre une d´epression, lui valut de passer la R´evolution sous les honneurs, d’ˆetre couvert de gloire sous l’Empire et de reposer depuis au Panth´eon. 2.2.2.2

´ Equations plan´ etaires de Lagrange

a) Variation des constantes Cherchant `a r´esoudre un probl`eme perturb´e, nous devons chercher six fonctions Ci (t) telles que [P´erez, 2003] : x = x({Ci } ; t)

;

y = y({Ci } ; t)

;

z = z({Ci } ; t)

En d´erivant par rapport au temps, nous avons donc : .

x

≡

dx dt 6

= .

y

≡

∂x X ∂x dCi + ∂t ∂Ci dt i=1

dy dt

6

= .

z

≡

∂y X ∂y dCi + ∂t i=1 ∂Ci dt

dz dt

6

=

∂z X ∂z dCi + ∂t i=1 ∂Ci dt

Ayant trois inconnues x, y et z, que nous avons remplac´ees par six nouvelles (les Ci ), nous sommes autoris´es ` a introduire trois contraintes ind´ependantes sur ces six fonctions sans nuire `a la g´en´eralit´e de l’´etude. Nous imposons donc : 6 X ∂x dCi =0 ∂Ci dt i=1

;

6 X ∂y dCi =0 ∂Ci dt i=1

;

6 X ∂z dCi =0 ∂Ci dt i=1

77

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Il ne nous reste plus que : .

x=

∂x ∂t

.

;

y=

∂y ∂t

∂z ∂t

.

;

z=

Or les ´equations de la relation fondamentale de la dynamique font intervenir les d´eriv´ees temporelles secondes, donc :   d ∂x d . .. x ≡ (x) = dt dt ∂t ! 6 X . ∂ ∂ ∂x = Ci + ∂t i=1 ∂Ci ∂t .

6

∂2x X . ∂x Ci + ∂t2 ∂Ci i=1

=

´equation ` a laquelle nous ne manquerons pas d’associer les deux autres appliqu´ees `a y et z. Les ´equations perturb´ees 2.31 s’´ecrivent donc : .

6

∂2x X . ∂x Ci + dt2 ∂Ci i=1

=

−µ

x +X r3

=

−µ

y +Y r3

=

−µ

z +Z r3

.

6

∂2y X . ∂y Ci + dt2 ∂Ci i=1 .

6

∂2z X . ∂z Ci + dt2 ∂Ci i=1

Or en l’absence de perturbations nous avons : d2 x ∂2x = 2 2 dt dt ∂2y d2 y = 2 dt2 dt ∂ 2z d2 z = 2 dt2 dt

x r3 y = −µ 3 r z = −µ 3 r = −µ

Nous nous permettons donc d’identifier membre `a membre et nous obtenons : 6 X i=1

b)

.

Ci

.

∂x =X ∂Ci

Crochets de Poisson 6 X

;

6 X i=1

i=1 6 X i=1

.

∂y =Y ∂Ci

;

6 X i=1

.

Ci

.

∂z =Z ∂Ci

Le syst`eme `a r´esoudre se r´esume donc `a [P´erez, 2003] :

∂x = 0 Ci ∂C i i=1 6 X

.

Ci

.

.

Ci .

Ci

∂y = 0 ∂Ci ∂z = 0 ∂Ci

6 X

.

∂x Ci = X ∂C i i=1 6 X

i=1 6 X i=1

.

.

.

∂y = Y ∂Ci

.

∂z = Z ∂Ci

Ci Ci

.

78

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Quel que soit j fix´e (de mˆeme nature que i, c’est `a dire d´enotant une des fonctions `a d´eterminer), ces ´equations se r´e´ecrivent : − − −

6 X

i=1 6 X

.

Ci .

Ci

i=1

6 X i=1

.

Ci

.

6 X

∂x ∂ x = 0 ∂Ci ∂Cj

i=1 6 X

.

∂y ∂ y = 0 ∂Ci ∂Cj

∂ x ∂x ∂x = X ∂Ci ∂Cj ∂Cj

.

∂ y ∂y ∂y = Y ∂Ci ∂Cj ∂Cj

.

∂ z ∂z ∂z = Z ∂Ci ∂Cj ∂Cj

Ci

i=1

.

6 X

∂z ∂ z = 0 ∂Ci ∂Cj

i=1

.

.

Ci

Ci

.

.

En sommant membre ` a membre ces six ´equations nous obtenons : 6 X

.

Ci [Cj , Ci ] =

X

i=1

∂y ∂z ∂x +Y +Z ∂Cj ∂Cj ∂Cj

o` u l’on d´efinit les crochets de Poisson 12 par :       . . . . . . ∂x ∂ x ∂ x ∂x ∂ y ∂y ∂ z ∂z ∂y ∂ y ∂z ∂ z − − − [Cj , Ci ] = + + ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci (2.31) Nous faisons ensuite l’hypoth`ese que la perturbation est une force d´erivant d’un potentiel R, c’est-`a-dire qu’elle est conservative, donc, par exemple, d’origine gravitationnelle : (X, Y , Z)T

−−→ = grad R

(2.32)

Or la fonction perturbatrice est telle que : ∂R ∂Cj

=

∂R ∂x ∂R ∂y ∂R ∂z + + ∂x ∂Cj ∂y ∂Cj ∂z ∂Cj

L’´equation 2.31 se transforme donc en : 6 X i=1

.

Ci [Cj , Ci ] =

∂R ∂Cj

(2.33)

Si on connaˆıt toutes les fonctions Jij = [Cj , Ci ] ∀i, j = 1, ..., 6, le probl`eme a la gentillesse de se simplifier. En effet il est facile de montrer que ces fonctions ne sont en fait que des constantes du mouvement :     . . . . ∂ x ∂x ∂ y ∂y ∂y ∂ y ∂x ∂ x + − − Jij ≡ ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci   . . ∂ z ∂z ∂z ∂ z − + ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂C. j ∂C. i ∂C. j ∂C. i ∂C. j ∂C. i = + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci . . . ∂(y, y) ∂(z, z) ∂(x, x) + + = ∂(Cj , Ci ) ∂(Cj , Ci ) ∂(Cj , Ci ) = J x + Jy + J z 12. Sim´ eon Denis Poisson (1781 – 1840).

79

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

D’o` u: ∂Jij ∂t

∂Jx ∂Jy ∂Jz + + ∂t ∂t ∂t

=

Le premier terme s’´ecrit :   . . ∂Jx ∂x ∂ x ∂ x ∂x ∂ − = ∂t ∂t ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci      .  . . . ∂ ∂x ∂ ∂x ∂ ∂ ∂x ∂x ∂x ∂ x ∂x ∂x + = − − ∂Cj ∂t ∂Ci ∂Cj ∂Ci ∂t ∂Ci ∂t ∂Cj ∂Cj ∂t ∂Ci | {z } | {z } | {z } | {z } . 2 id. id. = dx = ∂∂t2x =x′′ dt =x (voir 2.31) Nous avons donc : ∂Jx ∂t

∂x′′ ∂x ∂x′′ ∂x − ∂Ci ∂Cj ∂Cj ∂Ci

=

apr`es avoir os´e poser : x′′

=

∂2x ∂t2

Or nous nous rappelons avoir d´ej` a vu que : x′′

= −µ =

x r3

∂V ∂x

avec V = µ/r l’´energie potentielle. Si bien que : ∂Jx ∂t

=

∂ 2 V ∂x ∂ 2 V ∂x − ∂Ci ∂x ∂Cj ∂Cj ∂x ∂Ci

(2.34)

En introduisant la notation, pour k = 1, 2, 3 : VC′ k

≡

∂V ∂Ck

nous obtenons : ∂Jx ∂t

=

′ ∂x ∂VC′ i ∂x ∂VCj − ∂Cj ∂x ∂Ci ∂x

Des raisonnements semblables permettent l’obtention des d´eriv´ees temporelles de Jy et Jz . Ce qui finit par nous donner : !  ′ ′ ′ ′ ′ ′  ∂x ∂CCj ∂y ∂CC ∂z ∂CC ∂y ∂CCj ∂z ∂CCj ∂x ∂CC ∂Jij i i i − = + + + + ∂t ∂Cj ∂x ∂Cj ∂y ∂Cj ∂z ∂Ci ∂x ∂Ci ∂y ∂Ci ∂z Or le potentiel V n’a pour d´ependance que les variables x, y et z : V = V (x, y, z). Finalement nous avons donc : ∂VC′ j ∂VC′ i ∂Jij − = ∂t ∂Cj ∂Ci 2 ∂ V ∂2V = − ∂Cj ∂Ci ∂Ci ∂Cj = 0 Ce qui nous conduit bien naturellement `a ´enoncer le th´eor`eme de Lagrange-Poisson :

80

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Th´ eor` eme (Lagrange-Poisson) — La valeur du crochet de Poisson Jij se conserve au cours du temps.

´ c) Equations plan´ etaires L’´equation 2.33 nous dit que nous allons avoir 36 crochets de Poisson ` a calculer (car i et j vont de 1 `a 6), pour nous donner ce qui s’appelle les ´equations plan´etaires de Lagrange. Nous choisissons les ´el´ements osculateurs suivants [P´erez, 2003] : {Ci }i=1,...,6

= {a, e, τ , Ω, ω, i}

Nous allons calculer ` a titre d’exemple les crochets faisant intervenir les trois premiers ´el´ements de cette famille, en utilisant le d´esormais bien connu th´eor`eme de Lagrange-Poisson. Nous commen¸cons notre aventure par un changement de variable : ξ

= r cos f

η

= r sin f

Pour tout i 6= j = 1, 2, 3 cela nous permet d’avoir : .

[Ci , Cj ] =

≡

.

∂ξ ∂ ξ ∂ ξ ∂ξ − ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci  . .
∂ ξ, ξ ∂ η, η + ∂(Ci , Cj ) ∂(Ci , Cj )

!

+



.

.

∂ η ∂η ∂η ∂ η − ∂Cj ∂Ci ∂Cj ∂Ci

 (2.35)

Lorsque t est proche de τ , instant de passage au p´eriastre, l’anomalie excentrique E est tr`es petite, et un bon vieux d´eveloppement limit´e tr`es simple nous dit : sin E ≈ E − 61 E 3 , si bien que l’´equation de K´epler au premier ordre devient : sin E

avec n

=

≈ E n(t − τ ) ≈ 1−e 2π = T

r

µ a3

le moyen mouvement. Comme sin E ≪ 1, une nouvelle lin´earisation nous donne : cos E

≈

1−

1 n2 (t − τ )2 2 (1 − e)2

Toutefois, n’ayant pas pu oublier les relations 2.23, nous voil`a contraints d’obtenir : ξ

= =

η

= =

On obtient alors : ξ

=

η

=

r cos f a cos E − ae r sin f

a sin E

p 1 − e2

  n2 (t − τ )2 q 1−e− 2(1 − e)2 r 1+e na (t − τ ) 1−e 81

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

expressions qui, d´eriv´ees par rapport au temps, nous font le plaisir de prendre la forme suivante : .

ξ

an2 (t − τ ) (1 − e)2 r 1+e na 1−e

=

.

η

−

=

Or les expressions de sin E et cos E sont exactes pour le passage au p´eriastre (t = τ ). Donc :  .!    ∂ξ ∂ξ  = 0  =1−e ;   . ∂a t=τ ∂a   ∂(ξ, ξ) t=τ =0 .!  ∂(a, e)     ∂ξ ∂ξ  = 0  = −a ;   ∂e ∂e t=τ

t=τ

ainsi que :

 

∂η ∂a



∂η ∂e



= 0

;



;



t=τ

t=τ

= 0

.

∂η ∂a



=n

t=τ

r

1+e 1−e

√ . ∂η na 1 + e = ∂e t=τ (1 − e)3/2

     .  ∂(η, η)  ∂(a, e)    

=0

En utilisant la relation 2.35 nous voil`a bien forc´es de constater que : [a, e] = 0

(2.36)

Le th´eor`eme de Lagrange-Poisson ´etant ce qu’il est, ce r´esultat est ´etendu `a n’importe quel instant t. De la mˆeme fa¸con nous pourrions en quelques coups de crayon montrer que seuls 12 parmi les 36 crochets de Poisson ne sont pas nuls (et constants, rappelons-le). Les heureux ´elus sont les suivants, ainsi que leurs oppos´es : L13 ≡ [a, τ ]

=

L14 ≡ [a, Ω] = L15 ≡ [a, ω] = L24 ≡ [e, Ω] = L25 ≡ [e, ω] = L46 ≡ [Ω, i] = Si bien que le syst`eme 2.33 est r´eduit `a :

n2 a 2 √ na cos i 1 − e2 − √ 2 na 1 − e2 − 2 na2 e cos i √ 1 − e2 na2 e √ 1 − e2 p na2 sin i 1 − e2

− → . L.Ct =

−→ RC

o` u nous avons : L = antisym(Lij )1≤i≤6 ; 1≤j≤6 matrice antisym´etrique regroupant les Lij  . . . . . . T − → . Ct = a, e, τ , Ω, ω, i T  ∂R ∂R ∂R ∂R ∂R ∂R −→ , , , , , RC = ∂a ∂e ∂τ ∂Ω ∂ω ∂i 82

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

−→ R ´etant toujours le potentiel perturbateur, et RC le vecteur des variations de R avec chacun des param`etres adopt´es. Matriciellement, le syst`eme ci-dessus s’´ecrit :        

0 0 −L13 −L14 −L15 0

0 0 0 −L24 −L25 0

L13 0 0 0 0 0

L14 L24 0 0 0 −L46

L15 L25 0 0 0 0

0 0 0 L46 0 0

       

a˙ e˙ τ˙ ˙ Ω ω˙ i˙

       

 =

      

∂R ∂a ∂R ∂e ∂R ∂τ ∂R ∂Ω ∂R ∂ω ∂R ∂i

       

− → . Ce sont donc les ´el´ements de Ct qui nous int´eressent. En inversant la matrice L on obtient les ´ equations plan´ etaires de Lagrange, qui d´ecrivent le comportement des ´el´ements orbitaux en fonction du potentiel perturbateur, ce qui n’est pas sans int´erˆet :

da dt

= −

de dt

=

di dt dΩ dt

= =

dω dt

=

dτ dt

=





∂R ∂τ ! √   2 ∂R 1−e 1 − e2 ∂R − − n2 a2 e ∂τ n2 ae ∂ω     ∂R ∂R cot i 1 √ √ − 2 2 2 2 ∂ω na 1 − e sin i na 1 − e sin i ∂Ω   ∂R 1 √ 2 2 na 1 − e sin i ∂i ! √   ∂R 1 − e2 ∂R cot i √ − na2 e ∂e na2 1 − e2 ∂i     ∂R 2 1 − e2 ∂R + n2 a ∂a n2 a2 e ∂e 2 n2 a

(2.37) (2.38) (2.39) (2.40) (2.41) (2.42)

Il faut noter qu’on peut trouver dans la litt´erature ces ´equations avec un autre param`etre que l’instant de passage au p´eriastre τ , ` a savoir l’anomalie moyenne : M = n(t − τ ), o` u n est le moyen mouvement : n = 2π/T , modifiant 3 des ´equations : da dt de dt dM dt

= = =

2 ∂R na√∂M 1 − e2 ∂R 1 − e2 ∂R − + na2 e ∂ω na2 e ∂M 2 ∂R 1 − e2 ∂R − − +n na ∂a na2 e ∂e

(2.43) (2.44) (2.45)

Ces ´equations sont non lin´eaires. Si le potentiel perturbateur est nul ou uniforme et ne varie avec aucun param`etre, on retrouve des param`etres orbitaux constants avec le temps, c’est-` a-dire la solution k´eplerienne.

d) D´ eriv´ ee partielle du potentiel par rapport aux ´ el´ ements Comme nous venons de la voir, les ´equations de Lagrange donnent la d´eriv´ee temporelle des ´el´ements orbitaux en fonction des d´eriv´ees partielles du potentiel par rapport aux ´el´ements. Nous devons donc consid´erer la fonction perturbatrice R = R(t, a, e, i, Ω, ω, τ ). Notant ei l’´el´ement orbital i, nous pouvons ´ecrire :

83

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

∂R ∂ei

= =

3 X ∂R ∂rj ∂r j ∂ei i=1 3 X

Fj

i=1

(2.46)

∂rj ∂ei

(2.47)

o` u l’indice j d´enote la j e composante d’un vecteur. On voit que si on peut ´ecrire les d´eriv´ees partielles du vecteur position par rapport aux ´el´ements orbitaux, alors on a acc`es `a la d´eriv´ee partielle du potentiel par rapport au mˆeme ´el´ement orbital. Ainsi on peut montrer que :

∂R ∂a ∂R ∂e ∂R ∂i ∂R ∂ω ∂R ∂Ω ∂R ∂M

=

r Q a

(2.48) 



=

 a −Q cos f + S 1 +

=

rW sin(f + ω)

(2.50)

=

rS

(2.51)

=

rS cos i − rW sin i cos(f + ω)   a(1 − e2 ) a √ eQ sin f + S r 1 − e2

(2.52)

=

r a(1 − e2 )

sin f

(2.49)

(2.53)

o` u QSW est le rep`ere local tel que l’origine de ce rep`ere est le centre de masse du corps en orbite ; son orientation est d´efinie comme suit : → — l’axe unitaire − q est dirig´e du foyer de l’orbite vers le corps en orbite ; → — l’axe unitaire − w est dirig´e selon le moment cin´etique de l’orbite osculatrice ; → → → → — l’axe − s est dirig´e pour que le tri`edre (− q ,− s ,− w ) soit orthonorm´e direct. ´ ements de Delaunay e) El´ Le point de vue analytique du mouvement va amener la m´ecanique ` a une r´evolution. Les ´el´ements osculateurs « traditionnels » conduisent `a des variables simples conceptuellement, mais ` a des ´equations complexes. C’est en cherchant `a obtenir l’inverse que Lagrange travaille ` a la m´ecanique analytique. En faisant l’hypoth`ese que l’ensemble {Ci } est d´ecomposable en deux s´eries distinctes d’´el´ements [P´erez, 2003] : {Ci } = = =

{C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 }

{α1 , α2 , α3 , β1 , β2 , β3 } {{αl }, {βl }} avec

1≤l≤3

tels que : [αl , αm ] = [βl , βm ] = 0

[αl , βm ] =

δlm

( 0 = 1

si l = 6 m si l = m 84

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Les ´el´ements α et β sont appel´es ´el´ements conjugu´es. L’´equation 2.33 prend alors une forme dite forme canonique :  dαl ∂R   = −   dt ∂β l    = [αl , R]  avec 1 ≤ l ≤ 3 (2.54)   dβ ∂R l   = +   ∂αl   dt = [βl , R] Les ´el´ements v´erifiant les conditions ci-dessus sont les suivants, et ils ont ´et´e d´ecouverts par CharlesEug`ene Delaunay (1816 – 1872) : α1 α2 α3

µ 2a = −ξ p µa(1 − e2 ) = =

= C p = µa(1 − e2 ) cos i

β1

= C cos i = τ

β2 β3

= ω = Ω

Les ´equations plan´etaires que l’on obtient avec ces nouveaux param`etres ne diff`erent de celles contenant les ´el´ements « habituels » que par un changement de variable. La simplicit´e et la sym´etrie pr´esentes dans le syst`eme 2.54 ouvrent la voie `a des travaux plus g´en´eraux, et au droit de parler de choses tr`es s´erieuses telles que le principe de moindre action, les formalismes lagrangien et hamiltonien, le th´eor`eme de Noether 13 , etc., mais aussi `a de nombreuses applications, comme la th´eorie de la Lune, le probl`eme ` a trois corps, l’´etude des ph´enom`enes chaotiques en m´ecanique c´eleste, etc..

2.2.3

L’orbite terrestre

Le plan de l’orbite terrestre est appel´e ´ ecliptique, et forme le plan de r´ef´erence de l’´etude du mouvement des corps du syst`eme solaire, y compris la Terre. Les ´el´ements orbitaux moyens des plan`etes, c’est-` a-dire s´eculaires et ne tenant pas compte des variations p´eriodiques, peuvent ˆetre d´ecrits sous la forme de polynˆ omes, et ˆetre r´ef´er´es `a l’´ecliptique et `a l’´equinoxe moyens de l’´epoque de r´ef´erence ou de la date. Dans ce dernier cas par exemple, [Simon et al., 1994] donne les expressions suivantes pour la Terre, issues de la th´eorie VSOP87 : a λ e ω ˜

= 1, 0000010178 U A = cte = 100, 46645683◦ + 1296027711, 03429′′ t + 109, 15809′′ t2 + 0, 07207′′ t3 − 0, 23530′′ t4

−0, 00180′′ t5 + 0, 00020′′ t6 = 0, 0167086342 − 0, 0004203654 t − 0, 0000126734 t2 + 1444 10−10 t3 − 2 10−10 t4 + 3 10−10 t5 = 102, 93734808◦ + 61900, 55290′′ t + 164, 47797′′ t2 − 0, 06365′′ t3 − 0, 12090′′ t4 +0, 00298 t5 + 0, 00020 t6

13. Amalie Emmy Noether (1882 – 1935).

85

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

k

=

e cos ω ˜

=

−0, 0037408165 − 0, 0047928949 t + 0, 0002812540 t2 + 0, 0000740171 t3 − 26974 10−10 t4 −3810 10−10 t5 + 86 10−10 t6

h = = Ω

=

i =

e sin ω ˜ 0, 0162844766 − 0, 0015323228 t − 0, 0007203925 t2 + 0, 0000324712 t3 + 58589 10−10 t4

−1719 10−10 t5 − 213 10−10 t6 0 par d´efinition 0

par d´efinition

o` u t est en mill´enaires juliens exprim´es depuis l’´epoque J2000.0 (jour julien 2451545,0) dans l’´echelle du temps dynamique barycentrique (voir page 169).

2.3

Le probl` eme de la Lune

La Lune joue un rˆole fondamental sur les mouvements de la Terre. Son mouvement n’est toutefois qu’approximativement k´epl´erien (de demi-grand axe a = 384 400 km, d’excentricit´e e = 0, 055 5, d’inclinaison i = 5, 16◦ ), et subit, de fait de sa faible masse, des perturbations, en − → − → premier lieu du Soleil, mais aussi de l’aplatissement de la Terre. Nous notons (O, − u→ x , uy , uz ) un rep`ere tridimensionnel direct de l’espace, centr´e sur le centre de masses de la Terre.

2.3.1

Influence du Soleil

Lorsqu’on ne consid`ere que l’influence du Soleil, on consid`ere qu’il s’agit du probl`eme principal du mouvement de la Lune. La relation fondamentale de la dynamique, dans le cadre d’un probl` eme ` a trois corps, pour la Lune est [P´erez, 2003] : −→ −→ −→ ! −→ −→ OS OS − OL OL d2 OL = −G(m⊕ + m$ ) −→ + Gm⊙ −→ −→ − −→ (2.55) 2 dt |OL|3 |OS − OL|3 |OS|3 o` u O est le centre de la Terre, S celui du Soleil, L celui de la Lune. En consid´erant que l’influence du Soleil est une perturbation du mouvement k´epl´erien dˆ u `a la Terre, nous pouvons r´e´ecrire : −→ −→ −−→ OL d2 OL → (R) = −G(m + m ) + grad − ⊕ $ − → 2 OL dt |OL|3 avec R le potentiel perturbateur : R =

Gm⊙

−→ −→ ! OS.OL −→ −→ − −→ 3 |OS − OL| |OS| 1

Par soucis d’all`egement des notations, nous allons noter : −→ OL = r −→ OS = s −→ −→ −→ OS − OL = LS = ρ −→ −→ (OS; OL) = ψ Nous pouvons donc ´ecrire la fonction perturbatrice comme :   s.r Gm⊙ s − R = s ρ |s|2

(2.56)

−→ |OL| = r −→ |OS| = s −→ |LS| = ρ

(2.57) 86

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Nous avons besoin de d´evelopper la grandeur : |r − s| = =

=

ρ p r2 + s2 − 2 rs cos ψ r r r2 s 1 − 2 cos ψ + 2 s s

Or la distance Terre – Soleil, not´ee s, est de l’ordre de 391 fois la distance Terre – Lune, not´ee r. On a donc r ≪ s. En utilisant le d´eveloppement limit´e de (1 + x)n pour x petit et, ici, n = −1/2, on obtient : (1 + x)−1/2

=

1−

1 3 5 3 35 4 x + x2 − x + x + o(x4 ) 2 8 16 128

Nous posons ici que : x

=

r r2 − 2 cos ψ s2 s

Si bien qu’apr`es quelques d´eveloppements, nous obtenons : s ρ

= 1+

r


1  r 3
1  r 2 3 cos2 ψ − 1 + 5 cos3 ψ − 3 cos ψ 2 s 2 s  r 4
3 + 35 cos4 ψ − 30 cos2 ψ + o s

cos ψ +

s 1  r 4 + 8 s

La fonction perturbatrice prend d´esormais la forme :   s.r Gm⊙ s − 2 R = s ρ |s|   Gm⊙  r 1 q = − cos ψ  2 s s 1 − 2 rs cos ψ + rs2  
Gm⊙ 1  r 2 2 ≈ 1+ 3 cos ψ − 1 s 2 s

Le petit jeu consiste maintenant ` a exprimer les grandeur r, s et ψ en fonction des ´el´ements osculateurs de la Lune autour de la Terre (a$ , e$ , i$ , Ω$ , ω$ , τ$ ) et du Soleil autour de la Terre (puisque celle-ci est le centre de notre rep`ere) (a⊙ , e⊙ , i⊙ , Ω⊙ , ω⊙ , τ⊙ ), de fa¸con `a aboutir `a la formulation de Delaunay. On aboutit alors `a une d´ecomposition de la fonction perturbatrice en deux ˜ et un terme s´eculaire not´e R. Le premier est de moyenne termes : un terme p´eriodique not´e R nulle dans le temps car il fait intervenir les ´el´ements osculateurs via des fonction trigonom´etriques, et ne modifie pas l’orbite sur le long terme ; le second en revanche repr´esente, par d´efinition, une ´evolution de la fonction perturbatrice `a travers un d´eveloppement polynˆomial en fonction des ´el´ements osculateurs, dont la moyenne dans le temps n’est pas nulle. La partie s´eculaire de la fonction perturbatrice s’´ecrit 14 : R =

G (m⊙ + m⊕ ) a2$ 4 a3⊙

 
3 2 2 1+ e − i$ 2 $

(2.58)

La partie s´eculaire R de la fonction perturbatrice ne d´epend pas de Ω$ , ω$ ni de τ$ . Les ´equations plan´etaires de Lagrange nous disent donc que les variations s´eculaires du demi-grand axe, de 14. La diff´ erence e2$ − i2$ peut surprendre car ces grandeurs ne sont pas de la mˆ eme dimension ; elle provient d’un d´ eveloppement limit´ e sur i.

87

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

l’excentricit´e et de l’inclinaison de la Lune sont donc nulles : da$ dt de$ dt di$ dt

= 0 = 0

(2.59)

= 0

Ceci n’interdit pas, bien sˆ ur, des variations p´eriodiques de ces ´el´ements. En revanche, la longitude du nœud ascendant et l’argument du p´erig´ee ont une variation s´eculaire non-nulle :   dΩ$ 1  ∂R q =  dt n$ a2$ 1 − e2$ sin i$ ∂i$ = −

dω $ dt

=

=

avec :

n$

=

i$ 1 3 G (m⊙ + m⊕ ) q 2 4 a3⊙ n$ sin i$ 1 − e$

  q  1 − e2$ cot i$  ∂R  ∂R −   q 2 2 n$ a2$ e$ ∂e$ n$ a$ 1 − e$ ∂i$
1 3 G (m⊙ + m⊕ ) q 1 − e2$ + i$ cot i$ 3 4 a⊙ n$ 1 − e2$ s
G m⊕ + m$ a3$

(2.60)

(2.61)

(2.62)

On voit donc que ces deux ´el´ements orbitaux ont des ´evolutions s´eculaires lin´eaires pouvant s’´ecrire : Ω$ (t) =

ω$ (t) =

αt + β γt + δ

Les valeurs num´eriques des taux de variations exprim´es ci-dessus sont les suivantes : α = γ =

2.3.2

−198, 5′′/j 395, 4′′/j

Influence de l’aplatissement terrestre

2.3.2.1

Le d´ eveloppement du potentiel de gravit´ e terrestre −→ −−→ Soit OL le vecteur position du point L de masse m$ . Soit OM le vecteur position d’un ´el´ement de masse dm′ au sein de la Terre. Celle-ci, de volume V , a pour masse [P´erez, 2003] : Z dm′ m⊕ = −−→ OM ∈V

−→ −−→ On note δ = |OL − OM | la distance entre M et dm′ . Le potentiel cr´e´e par dm′ sur M s’´ecrit : dU

dm′ δ m dm′ = − G −→$ −−→ |OL − OM |

= −G

88

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Le potentiel total est le r´esultat de l’int´egration : Z dm′ U = − G −−→ δ OM ∈V Z dm′ = − G −−→ −→ −−→ OM ∈V |OL − OM | Nous notons ici : −→ OL = r −−→ OM = r′ −→ −−→ −−→ OL − OM = M L = δ −→ −−→ (OL; OM ) = θ

−→ |OL| = r −→ |OS| = r′ −−→ |M L| = δ

On ´ecrit la relation d’Al-Kashi 15 , d´ecouverte dans la mythique ville de Samarkand en Ouzb´ekistan : δ2

r2 + r′2 − 2 rr′ cos θ

=

L’inverse de la distance s’´ecrit : 1 δ

= =

1 −→ −−→ |OL − OM | 1 1 q


′ r 1+ r r′ r r − 2 cos θ

Si l’on suppose que r ≫ r′ , on peut calculer un d´eveloppement limit´e : !   ′  2  3  ′  3 1 r′ 1 r 1 × 3 × 5 r′ r 1 1 × 3 r′ 1− − = − 2 cos θ + − 2 cos θ + ... δ r 2 r r 2×4 r 2×4×6 r r o` u l’on peut constater, si l’on a l’œil exerc´e, que les coefficients des puissances de polynˆomes de Legendre 16 de premi`ere esp`ece appliqu´es `a cos θ : Pn (x)

=

1 2n n!

r′ r

sont des

dn 2 (x − 1)n dxn

Il est `a noter que les polynˆ omes de Legendre sont solutions de l’´equation de Laplace 17 ∆U = 0 (cas particulier de l’´equation de Poisson 18 ∆U = 4πGρ, mais en dehors des sources de champ), `a laquelle justement est soumis le champ de gravit´e. Comme le lecteur le voit, nous retombons sur nos pattes. Cela nous permet par ailleurs le d´eveloppement de l’inverse de la distance selon : 1 δ

= =

1 −→ −−→ |OL − OM | ∞  n 1 X r′ r

n=0

r

Pn (cos θ)

15. Ghiyath ad-Din Jamshid Mas’ud Al Kashi, environ 1390 – environ 1439. Son nom a une signification particuli` ere : ghiyˆ ath ad-dˆın : « secours de la religion », mas’ˆ ud : « heureux » en arabe ; ˆamˇ sid : « Yama le brillant » en persan, Al-Kashi : « natif de Kashan ». Kashan est aujourd’hui une ville d’Iran. Merci ` a mon coll` egue Samuel Branchu pour son aide concernant la traduction de l’arabe et du persan. 16. Adrien-Marie Legendre, 1752 – 1833. 17. Pierre Simon de Laplace, 1749 – 1827. 18. Sim´ eon Denis Poisson, 1781 – 1840.

89

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

provoquant la r´e´ecriture du potentiel de la forme suivante : −→ U (OL) =

∞ X

−→ Un (OL)

n=0

avec : −→ Un (OL) =

−G

1 rn+1

Z

−−→ OM ∈V

r′n Pn (cos θ)dm′

Une autre formulation du d´eveloppement est la suivante [Duquenne, 2004] : U (λ, φ)

=

n ∞ GM X  re n+1 X Pn,m (sin φ)(Cn,m cos(mλ) + Sn,m sin(mλ)) re n=0 r m=0

o` u l’on a : Pn,m (x)

dm Pn dxm 2 ( (1 − x ) m/2) dn+m (x2 − 1)n = (−1)m 2n n! dxn+m

= (−1)m (1 − x2 )( m/2)

Les termes Cn,0 = −Jn sont les coefficients de Stokes 19 des harmoniques zonales ; les termes Cn,m et Sn,m sont les coefficients de Stokes des harmoniques tess´erales ; les termes Cn,n et Sn,n sont les coefficients de Stokes des harmoniques sectorielles. Les premiers termes du d´eveloppement ayant une signification physique tr`es int´eressante, nous nous proposons, devant l’hilarit´e g´en´erale, de les ´etudier. Si n = 0, on a imm´ediatement [Exertier, 2003] : −→ U0 (OL) = − G

Z

r∈V

dm′ r

G m⊕ = − r qui est le potentiel k´eplerien non perturb´e, lorsque la Terre est assimil´ee `a un point ou `a une succession de couches sph´eriques concentriques et homog`enes (ce qui est un peu r´ealiste finalement, puisque l’int´erieur de la Terre est une succession de couches : noyau, manteau, croˆ ute ; ainsi qu’`a l’ext´erieur : oc´ean, atmosph`ere). Pour n = 1, nous utilisons la relation : cos θ

= =

−→ −−→ OL.OM r r′ x x′ + y y ′ + z z ′ r r′

soit un terme de degr´e 1 qui prend la forme :   Z Z Z −→ 1 z ′ dm′ y ′ dm′ + z x′ dm′ + y U1 (OL) = − G 3 x r V V V G m⊕ = − (x xG + y yG + z zG ) r3 19. George Gabriel Stokes, 1819 – 1903.

90

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

o` u (xG , yG , zG ) sont les coordonn´ees du centre de masses de la Terre. Or par hypoth`ese c’est ce point qui occupe l’origine du rep`ere. Par cons´equent nous avons : −→ U1 (OL) = 0 Ce r´esultat revˆet une importance particuli`ere dans le domaine des syst`emes de r´ef´erence terrestres, pour lesquels l’origine est le centre des masses de la Terre ; si, donc, cette hypoth`ese n’est pas v´erifi´ee, il apparaˆıt un terme du potentiel gravitationnel avec U1 . Quant au cas n = 2, le voici. Le terme correspondant est :  Z   −→ 1 3 (x x′ + y y ′ + z z ′ )2 1 ′ U2 (OL) = − G 3 dm r′2 − + r 2 2 (r r′ )2 V Puisqu’on y est, on d´eveloppe le carr´e, et on pose xµ=1,2,3 = x, y, z et x′µ=1,2,3 = x′ , y ′ , z ′ . Le r´esultat est rigolo : ! Z X Z 3 3 3 −→ 1 1 3 XX ′2 ′ ′ ′ ′ U2 (OL) = − G 3 − x dm + 2 xµ xν xµ xν dm r 2 V µ=1 µ 2 r µ=1 ν=1 V Or, souhaitant que tous nos acquis pass´es nous soient utiles, nous introduisons une notion d´ej` a vue en m´ecanique du solide, les moments Iµµ et produits Iµν (µ 6= ν) d’inertie de la Terre par rapport aux axes du rep`ere Oxyz : Z ′ Iµµ = (r′2 − x′2 µ )dm ZV Iµν = x′µ x′ν dm′ V

Si bien que le terme U2 devient, sous cette nouvelle parure :    ! 3 3 3 3 X −→ 1  1X 3 X 2 1 X U2 (OL) = − G 3 − xµ xν Iµν  xµ Iµµ + 2 Iνν − Iµµ + r 4 µ=1 2r µ=1 2 ν=1 ν6=µ

C’est l`a qu’intervient une nouvelle hypoth`ese `a propos de notre rep`ere : nous imposons `a ses axes Ox, Oy et Oz d’ˆetre confondus avec les axes principaux d’inertie de la Terre, que nous supposons fixes d’ailleurs. C’est la raison pour laquelle nous confondons le plan Oxy avec le plan ´equatorial, et l’axe Oz avec l’axe polaire. L` a encore, ces hypoth`eses trouvent une place particuli`ere pour les syst`emes de r´ef´erence. Par cons´equent, les produits d’inertie Iµν s’annulent. Nous posons par ailleurs, en ce qui concerne les moments d’inertie : Z ′ (r′2 − x′2 A = I11 = 1 )dm V Z (y ′2 + z ′2 )dm′ = ZV ′ (r′2 − x′2 B = I22 = 2 )dm V Z (x′2 + z ′2 )dm′ = V Z ′ (r′2 − x′2 C = I33 = 3 )dm ZV = (x′2 + y ′2 )dm′ V

91

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Apr`es un petit calcul il vient : −→ U2 (OL) =

−G



1 r3

A+B+C 3 A x2 + B y 2 + C z 2 − 2 2 r2



` partir de cet instant il devient possible de faire intervenir les coordonn´ees ´equatoriales bien A connues (r, λ, φ), o` u λ est la longitude et φ la latitude. Les coordonn´ees cart´esiennes s’´ecrivent alors : x

= r cos φ cos λ

y z

= r cos φ sin λ = r sin φ

En trois lignes de calcul il vous tombe finalement de la pointe du crayon :     −→ 1 3 1 3 sin2 φ 2C − A − B U2 (OL) = − G 3 − (A − B) cos2 φ cos(2λ) − r 2 2 2 4 L’ultime hypoth`ese est de consid´erer la Terre comme pr´esentant une sym´etrie de r´evolution autour de son axe de rotation Oz (ce qui est somme toute raisonnable comme hypoth`ese, et ce pour toutes les plan`etes du syst`eme solaire), et alors A = B 20 , si bien que : −→ U2 (OL)

= U2 (r, φ) 1 = − G 3 (C − A) r





1 3 sin2 φ − 2 2

Ce qui nous pousse ` a introduire la constante si fameuse, appel´ee aplatissement dynamique : J2

=

C −A m⊕ re2

o` u m⊕ = 5, 976.1024 kg et re = 6378 km sont respectivement la masse et le rayon ´equatorial de la Terre. On aboutit ` a: G m⊕  r⊕ 2 U2 (r, φ) = J2 P2 (sin φ) r r

Le polynˆ ome de Legendre ´etant simplement le dernier facteur dans l’expression ci-dessus de U2 . Ce r´esultat n’est pas anodin et n’est que le cas particulier, pour n = 2, d’un r´esultat g´en´eral `a l’ordre n : G m⊕  r⊕ n Un (r, φ) = Jn Pn (sin φ) r r Si bien que le potentiel de la Terre est la somme : U (r, φ)

=

G m⊕ − r

1−

∞ X

!

Jn Pn (sin φ)

n=2

Les coefficients Jn peuvent ˆetre obtenus th´eoriquement, `a partir d’hypoth`eses sur la distribution de masse dans la Terre ou pratiquement par l’observation de satellites artificiels, mais cela suppose de savoir o` u les observer, c’est-`a-dire la connaissance de ces mˆemes coefficients... On a ainsi [P´erez, 2003] : J2

=

0, 0010826

J3 J4

= =

−2, 5 · 10−6 −1, 6 · 10−6

20. En r´ ealit´ e, on a : A = 8, 101.1037 kg.m2 et B = 8, 103.1037 kg.m2 .

92

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

La force gravitationnelle exerc´ee par la Terre sur L est donc : − → F = =

−−→ → U (r, φ) −m grad − OL −→ G m m⊕ OL −−→ → − + grad − −→ OL |OL|3

! ∞ G m m⊕ X  re n Jn Pn (sin φ) − r r n=2

La relation fondamentale de la dynamique nous donne alors : −→ d2 OL dt2

−→ G m⊕ OL −−→ →R = − −→ + grad − OL |OL|3

o` u l’on a enfin d´emasqu´e la fonction perturbatrice du probl`eme : −→ R(OL)

= R(r, φ) = −

2.3.2.2

∞ G m⊕ X  re n Jn Pn (sin φ) r n=2 r

Applications au mouvement de la Lune

Nous venons de le voir, lorsque le potentiel perturbateur R est faible devant le potentiel k´eplerien (´equation 2.63) nous pouvons utiliser la th´eorie plan´etaire de Lagrange pour ´etudier le mouvement d’un corps dans l’environnement terrestre. Mais pour cela, nous allons devoir exprimer exprimer la perturbation en fonction des ´el´ements elliptiques vus pr´ec´edemment...

Plan ´equatorial n Pl a

it orb

al

r

r

Ligne des nœuds

ω+

f

φ r

r i

Figure 2.4 – Param´etrage d’une orbite.

Les relations de trigonom´etrie sph´erique, sur la figure 2.4, nous donnent [P´erez, 2003] : sin(ω$ + f$ ) sin φ$ = sin i$ sin π/2

⇐⇒

sin φ$ = sin i$ sin(ω$ + f$ )

En ne consid´erant que le premier terme de la fonction perturbatrice (n = 2), nous voici avec : R =

2
G J2 m⊕ r⊕ 1 − 3 sin2 i$ sin2 (ω$ + f$ ) 3 2r

93

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

˜ et une partie s´eculaire Nous allons d´esormais d´ecomposer ce machin en une partie p´eriodique R, R: ˜ = R−R R

n R = $ 2π

avec

Z

2π

R dt

0

Nous utilisons alors la forme diff´erentielle de la loi des aires : dt

r2 df C $ r2 √ df$ pµ

= =

r2 q df$ a$ G (m⊕ + m$ ) (1 − e2$ )

= qui nous permet d’avoir : R

=

2 n$ G J2 m⊕ r⊕ 1 q 2 2π 2 a$ G (m⊕ + m$ ) (1 − e$ )

Z

2π

0


1 1 − 3 sin2 i$ sin2 (ω$ + f$ ) df$ r

Mais vu que l’on consid`ere la trajectoire comme instantan´ement elliptique, nous ne pouvons refuser d’utiliser : 1 r

1 + e$ cos f$ p 1 + e$ cos f$ a$ (1 − e2$ )

= =

Avant l’int´egration il vient : R

=

2 n$ G J2 m⊕ r⊕ 1 p 4π G (m⊕ + m$ ) [a$ (1 − e2$ )]3/2

Z

2π

0

et apr`es :

R = =


(1 + e$ cos f$ ) 1 − 3 sin2 i$ sin2 (ω$ + f$ ) df$

2 n G J2 m⊕ r⊕ 3 cos2 i$ − 1 p$ 4 G (m⊕ + m$ ) [a$ (1 − e2$ )]3/2

γ

o` u nous avons pos´e :

3 cos2 i$ − 1 [a$ (1 − e2$ )]3/2

2

γ

=

n G J2 m⊕ r⊕ p$ 4 G (m⊕ + m$ )

On voit que R ne d´epend pas de Ω$ , ω$ et τ$ . Dans notre approximation, les ´equations plan´etaires de Lagrange affirment alors que ni le demi-grand axe, ni l’excentricit´e, ni l’inclinaison ne subissent de variations s´eculaires : da$ dt de$ dt di$ dt

= 0 = 0 = 0 94

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Ces relations ne signifient pas que les param`etres a$ , e$ et i$ ne subissent aucune variations, mais aucune variation s´eculaire, c’est-`a-dire de long terme ; en revanche, elles autorisent tout-`a-fait des variations de court terme. Le mouvement s´eculaire du p´erig´ee (nous pouvons nous permettre de dire p´erig´ee puisque nous nous pla¸cons dor´enavant explicitement autour de la Terre) suit quant `a lui :   q  1 − e2$ dω$ cot i$ ∂R  ∂R  q =  − 2 dt n$ a$ e$ ∂e$ n$ a2$ 1 − e2$ ∂i$ s
3 5 cos2 i$ − 1 G (m⊕ + m$ ) 2π = γ = car n$ = 7/2 2 2 T a3$ n$ a$ (1 − e$ ) !2
3 n$ r⊕ m⊕ = J2 5 cos2 i$ − 1 2 4 a$ (1 − e$ ) m$ + m⊕ Le mouvement s´eculaire du nœud ascendant est d´ecrit par : dΩ$ dt

=

∂R 1 q 2 ∂i n$ $ 1 − e$ sin i $

= −γ

a2

6 cos i$

7/2

n$ a$ (1 − e2$ )2

6 cos i$ γ = −p G (m⊕ + m$ ) a2$ (1 − e2$ )2 !2 3 n$ r⊕ m⊕ cos i$ J2 = − 2 a$ (1 − e2$ ) m$ + m⊕

Nous voyons donc que, sous l’influence de l’aplatissement de la Terre (dont le coefficient J2 est l’expression), la longitude du nœud ascendant et l’argument du p´erig´ee ont des variations lin´eaires 21 : ω$ (t) =

Ω$ (t) =

αt+ β λt + η

Les valeurs num´eriques obtenues pour les coefficients de variation sont les suivantes :

α =

0, 034′′/j

λ =

−0, 019′′/j

2.3.3

Conclusion sur le mouvement de la Lune

2.3.3.1

´ Evaluation de notre mod` ele simplifi´ e

Dans notre mod`ele, nous n’avons pris en compte que deux effets perturbateurs : le Soleil et l’aplatissement de la Terre, dont les effets ne sont pas du tout du mˆeme ordre de grandeur. Le probl`eme principal, c’est-` a-dire le probl`eme du mouvement de la Lune examin´e de fa¸con 21. L’inclinaison de l’orbite de la Lune est d’environ 5◦ sur l’´ ecliptique ; cela signifie qu’en moyenne, elle vaut par rapport ` a l’´ equateur l’angle d’obliquit´ e de l’´ ecliptique sur l’´ equateur lui-mˆ eme, ` a savoir un peu plus de 23◦ .

95

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

k´epl´erienne avec un unique potentiel perturbateur (le Soleil) a une influence tr`es pr´epond´erante ; l’aplatissement de la Terre, bien que tr`es faible, est cependant le second poste influen¸cant le mouvement de la Lune. Il est beaucoup plus important pour les corps orbitant `a proximit´e de la Terre, comme les satellites artificiels. Pr´ecisons imm´ediatement que les ´equations r´egissant le potentiel perturbateur de tout corps en orbite autour de la Terre sont exactement les mˆemes que celles d´ecrites ici pour la Lune et qu’elles s’appliquent, par exemple, aux satellites artificiels. Les effets manquant sont les effets plan´etaires (directs : sur la Lune elle-mˆeme, et indirects : sur la Terre), les effets relativistes, l’effet des mar´ees, de la forme de la Lune, etc. Les taux de variation des ´el´ements Ω et ω de notre mod`ele et d’un mod`ele issu de la litt´erature scientifique (voir le tableau 2.1) montrent qu’ils sont proches, donc que notre mod`ele, bien que simple, est n´eanmoins une bonne premi`ere approximation. Le nœud ascendant a un mouvement r´etrograde de p´eriode environ 17 ans et 290 jours ; le p´erig´ee a lui un mouvement direct de p´eriode environ 8 ans et 310 jours (voir la figure 2.5). Les moyens mouvements d´ecrits `a la page 96 confirment ces r´esultats.

Probl` eme principal

Aplatissement de la Terre

dΩ dt dω dt dΩ dt dω dt

Mod` ele de ce document

[Chapront-Touz´ e & Chapront, 1983]

−198, 5′′/j

−190, 75′′/j

395, 4′′/j

400, 89′′/j

−0, 019′′/j ′′ /j

−0, 162′′/j

0, 034′′/j

0, 017′′ /j

Table 2.1 – Comparaison entre mod`eles de mouvement de la Lune.

Figure 2.5 – La r´etrogradation du nœud ascendant et la pr´ecession du p´erig´ee. Source : site internet de J´erˆ ome P´erez, ` a l’adresse http://www.ensta-paristech.fr/~perez/cours/corrigelune/ corrigelune.html.

2.3.3.2

´ ements moyens de la Lune El´

Les ´el´ements osculateurs de l’orbite de la Lune peuvent ˆetre d´ecrits en s´eries de termes s´eculaires et p´eriodique. Ainsi [Simon et al., 1994] les d´ecrit sous la forme : 96

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

s

= s0 + s1 t + s2 t2 + s3 t3 + s4 t4 + S0 + S0′ + S1′ t + S2′ t2

o` u les sm (avec s minuscule) sont des constantes, S0 est une s´erie de Fourier avec quatre arguments, polynˆomes fonction du temps, en l’occurrence les arguments de Delaunay D, F , ℓ et ℓ′ (voir en particulier la partie sur la nutation, page 213). Les Sn (avec S majuscule) sont des s´eries de Fourier ` a treize arguments, fonctions lin´eaires du temps, qui sont les parties lin´eaires des ´el´ements ¯ ℓ¯′ , la longitude moyenne de la Lune r´ef´er´ee `a l’´equinoxe moyen de la date, ¯ F¯ , ℓ, de Delaunay D, et la longitude moyenne des plan`etes. La partie s´eculaire de s, ´egalement appel´ee ´el´ement moyen correspondant ` a s, s’´ecrit : s 0 + s 1 t + s 2 t2 + s 3 t3 + s 4 t4

hsi =

Les expressions des ´el´ements moyens de la Lune, r´ef´er´es `a l’´ecliptique et l’´equinoxe moyen de la date, sont : hai = hei =

383397, 7725 km + 0, 0040 t 0, 055545526 − 0, 000000016 t

hΩi = hλi =

125, 04455501◦ − 6962890, 5431′′ t + 7, 4722′′ t2 + 0, 007702′′ t3 − 0, 00005939′′ t4 218, 31664563◦ + 1732564372, 30470′′ t − 5, 2790′′ t2 + 0, 006665 t3 − 0, 00005522′′ t4

hii = h˜ ωi =

5, 15668983◦ − 0, 00008′′ t 83, 35324312◦ + 14648449, 0869′′ t − 37, 1582′′ t2 − 0, 044970′′ t3 + 0, 00018948′′ t4

o` u t est en si`ecles juliens exprim´es depuis l’´epoque J2000.0 (jour julien 2451545,0) dans l’´echelle du temps dynamique barycentrique (voir page 169). Nous pouvons par ailleurs mentionner les diff´erents types de p´eriodes associ´ees ` a la Lune (voir le tableau 2.2). Un fait important est `a remarquer ici : contrairement ` a l’orbite de la Terre, le demi grand-axe de la Lune varie dans le temps. P´ eriode P´ eriode P´ eriode P´ eriode P´ eriode

sid´ erale tropique synodique draconitique anomalistique

27, 321 27, 321 29, 530 27, 212 27, 554

661 582 588 220 549

547 j 241 j 853 j 817 j 878 j

Table 2.2 – Diff´erentes p´eriodes orbitales de la Lune `a J2000.0. Leurs d´efinitions sont donn´ees `a la page 136. Source : [Simon et al., 1998].

2.4 2.4.1

Le probl` eme ` a trois corps restreint Pr´ esentation g´ en´ erale

On appelle probl`eme ` a trois corps restreint le probl`eme consistant dans l’´etude du mouvement d’un corps de masse n´egligeable soumis au potentiel g´en´er´e par deux autres corps, de masses non n´egligeables, en interaction gravitationnelle et en mouvement kepl´erien l’un autour de l’autre. On consid`ere donc que la position des deux corps principaux est une contrainte externe au probl`eme, qui se r´eduit donc ` a trois degr´es de libert´e, ceux du corps de masse n´egligeable. En outre, le barycentre du syst`eme est celui associ´e aux deux corps principaux, et il est sur la droite qui passe par eux. Leur mouvement l’un par rapport `a l’autre est plan. Ce probl`eme permet d’examiner la stabilit´e des orbites des corps peu massifs du syst`eme solaire. Il a ´et´e pos´e pour la premi`ere fois par Lagrange. 97

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

2.4.2

Formulation du probl` eme

Dans l’´etude que nous faisons ici, nous consid´erons arbitrairement que les corps principaux sont en mouvement circulaire l’un par rapport `a l’autre. Nous nous pla¸cons dans le rep`ere R1 centr´e sur le barycentre du syst`eme, et orient´e par l’axe passant par les deux corps principaux. Ce rep`ere est donc en rotation par rapport ` a un r´ef´erentiel inertiel R0 `a la vitesse angulaire :

ΩR1 /R0

=

n

o` u n est le moyen mouvement, tel que (voir page 72) :

n

=

r

G(M1 + M2 ) a3

avec G la constante de la gravitation universelle, Mi;i=1,2 la masse du corps i, et a le demi-grand axe de l’orbite des deux corps principaux l’un par rapport `a l’autre, c’est-`a-dire, puisque l’orbite est suppos´ee circulaire, leur distance. Nous supposons que les corps principaux orbitent dans le plan (O, X, Y ) du r´ef´erentiel inertiel, et que les axes z et Z des r´ef´erentiels R1 et R0 respectivement sont confondus. Dans le r´ef´erentiel R1 = (O, x, y, z), les corps principaux ont des coordonn´ees fixes :

−−→ OMi =

 ±a

Mi , 0, 0 M1 + M2



→ En notant (x, y, z) les coordonn´ees dans R1 du corps A de masse n´egligeable, nous notons − ri le vecteur entre le corps principal i et A :

− → r1 = − → r2 =

2.4.3

  M1 − x, y, z a M1 + M2   M2 , y, z x+a M1 + M2

La relation fondamentale de la dynamique

Dans le r´ef´erentiel tournant R1 , les forces ext´erieures auxquelles est soumis A sont : — la force d’inertie d’entraˆınement : −−−→ fie⇒A = =

−−−−→ −−−−→ −→ −ΩR1 /R0 ∧ ΩR1 /R0 ∧ OA → −n2 x − u→ − n2 y − u x

y

— la force d’inertie de Coriolis : −−−−→ → − y˙ − fiC⇒A = −2n (x˙ − u u→x ) y — la force de gravitation de M1 : −−−−→ fM1 ⇒A =

−G

M1 − → r1 r13 98

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

— la force de gravitation de M2 : −−−−→ fM2 ⇒A =

−G

M2 − → r2 r23

La relation fondamentale de la dynamique s’exprime sur chaque axe selon :

2.4.4

   x ¨ − 2ny˙      y¨ + 2nx˙       z¨            ⇐⇒         

    2  M1 a M2 M22 M1 n2 x − G x − + + 3 3 r M1 + M2 r13 r23 2  r1 M2 M1 = n2 y − Gy 3 + r3 r 1   2 M2 M1 = −Gz + r13 r23   aM22 aM12 xM + xM − 2 1 M +M M +M 1 2 1 2  + x¨ − 2ny˙ = n2 x − G  r13 r23   M1 M2 y¨ + 2nx˙ = n2 y − Gy + r13 r23  M2 M1 z¨ = −Gz + 3 3 r1 r2 =

La constante de Jacobi

Au regard de ces relations, on peut postuler l’existence d’une fonction scalaire W telle que :

W (x, y, z) =

1 − n2 (x2 + y 2 ) − G 2



M1 M2 + r1 r2

qui permet de r´e´ecrire le syst`eme d’´equation ci-dessus sous la forme :



 ∂W  x ¨ − 2ny˙ = −    ∂x  ∂W y¨ + 2nx˙ = −  ∂y    ∂W  z¨ = − ∂z En multipliant les ´equations ci-dessus par x, ˙ y˙ et z˙ respectivement, nous aboutissons `a :   x¨ ˙ x − 2nx˙ y˙ =     y˙ y¨ + 2nx˙ y˙ =      z˙ z¨ =

=⇒ R

∂x ∂W ∂t ∂x ∂y ∂W − ∂t ∂y ∂z ∂W − ∂t ∂z

−

x¨ ˙ x + y˙ y¨ + z˙ z¨ =

−

dW dt


1 2 x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 = −W (x, y, z) + C 2 relation appel´ee « int´egrale de Jacobi 22 », avec C la constante d’int´egration, d´efinie par les condidt

=⇒

22. Charles Gustave Jacob Jacobi, 1804 – 1851.

99

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

tions initiales du syst`eme, et appel´ee constante de Jacobi. Celle-ci peut donc s’´ecrire :

C

2.4.5

= −


1 1 2 x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 + n2 (x2 + y 2 ) + G 2 2



M2 M1 + r1 r2



Les points de Lagrange

Les points de Lagrange sont les points d’´equilibre du probl`eme, c’est-`a-dire ne subissant aucune force r´esultante dans le rep`ere tournant, et dans lequel une particule test demeure donc au repos.

2.4.5.1

Condition

Nous notons d´esormais :

µ1

=

µ2

=

⇒ µ1 + µ2

=

M1 M1 + M2 M2 M1 + M2 1

(2.63) (2.64) (2.65)

Dans le probl`eme plan, le syst`eme d’´equation issu de la relation fondamentale de la dynamique projet´e sur l’axe z impose que z = 0. On cherche donc les points de coordonn´ees (x, y) tels que :

−−→ grad W =   M M2 − 1− → → → r +G ⇐⇒ −n2 − = r1 + r2 r1 r2

− → 0 → − 0

avec, puisque z = 0 :

− → r = → − r1 = → − r2 =

(x, y, 0) (aµ1 − x, y, 0) (aµ2 + x, y, 0)

Par ailleurs, le point O origine des deux rep`eres utilis´es, est le barycentre du syst`eme, si bien que :

−−−→ −−−→ → − µ OM1 + µ2 OM2 = 0  −→ −−−→ 1 −→ −−−→ − → = 0 ⇐⇒ µ1 OA + AM1 + µ2 OA + AM2 → − → → → → ⇐⇒ µ1 (− r −− r1 ) + µ2 (− r −− r2 ) = 0 − → → r2 r1 + µ2 → ⇐⇒ − r = µ1 − Mˆeme si nous savons que :

100

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

n2

=

G (M1 + M2 ) a3

nous ne le d´eveloppons pas, car il s’agit d’une constante du probl`eme. Si bien que :

→ − r2 ) + G r1 + µ2 − −n (µ1 → 2



 M2 → M1 − → − = r1 + 3 r2 r13 r2

− → 0

       1 M1 1 M2 1 1   a x+a = − 3 − x + M2  M1 3 − a3 r13 a M1 + M2 2  M1 + M  r2  ⇐⇒ 1 1 1 1   M1 − 3 y + M2 − 3 y =  r13 a r23 a

2.4.5.2

0 0

Points de Lagrange L4 et L5

On voit imm´ediatement sur la deuxi`eme ´equation qu’il y a une singularit´e sur y. Celle-ci se r´e´ecrit :

M1



a3 − r13 r13



= M2



r23 − a3 r23



Cette ´egalit´e n’est vraie que si :

r1 = r2 = a Ceci signifie que A forme un triangle ´equilat´eral avec M1 et M2 , ce qui autorise deux points dans cette situation, qui, historiquement, ont ´et´e not´es L4 et L5 . On peut calculer facilement leurs coordonn´ees :

−−−→ OL4,5

2.4.5.3

−−−→ −−−−→ = OM1 + M1 L4,5 ! √   M1 a 3 = a , 0, 0 + − , ±a ,0 M1 + M2 2 2 ! √ 3 M1 − M2 , ±a ,0 = a M1 + M2 2

Points de Lagrange L1 , L2 et L3

a) Mise en ´ equation Le calcul des coordonn´ees des points solutions de la premi`ere ´equation ´etablie ci-dessus est nettement plus difficile. On peut cependant ´etablir, au regard de ce que nous avons vu ` a l’instant concernant l’axe y pour lequel il y a d´eg´en´erescence (lev´ee uniquement pour les points L4 et L5 ), que les points restants `a d´eterminer se trouve tous sur l’axe x, not´es L1 , L2 et L3 . Nous allons donc repartir de la premi`ere ´equation de notre syst`eme, et l’´ecrire selon les conditions impos´ees en fonction de l’intervalle de x sur lequel on se trouve. Ainsi, pour chaque intervalle, 101

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Table 2.3 – Les points de Lagrange du probl`eme `a trois corps restreint et les courbes isopotentielles. La valeur de la constante de Jacobi (valeur de C) permet de discriminer quelles zones de l’espace sont autoris´ees ou interdites pour un corps en mouvement (valeur de W ). Source : site internet ´ « Hyperphysics » de l’Universit´e de l’Etat de G´eorgie, `a l’adresse http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/mechanics/lagpt.html.

i.e. pour chacun des points de Lagrange L1 , L2 et L3 , nous allons exprimer x, son abscisse, de deux fa¸cons : la premi`ere en fonction de la distance `a M1 , not´ee r1 , la seconde en fonction de la distance `a M2 , not´ee r2 . Nous en d´eduirons ensuite, encore une fois pour chacun, une relation entre r1 , r2 et a, qui est la distance s´eparant M1 de M2 . Par substitution, nous reformulerons donc notre ´equation en fonction soit de r1 , soit de r2 , qui fera aussi intervenir a. La r´esolution de cette ´equation, puis les relations trouv´ees entre x et ri , nous donneront donc l’abscisse du point de Lagrange. Avant de commencer, un petit rappel, `a partir de l’´equation de d´efinition du barycentre vue pr´ec´edemment :

−−−→ µ2 −−−→ OM1 = − OM2 µ1 µ2 −−−→ −−−−→ = − OM1 + M1 M2 µ1   −−−→ µ2 −−−−→ µ2 = − M1 M2 ⇐⇒ OM1 1 + µ1 µ1 −−−−→ −−−→ ⇒ OM1 = −µ2 M1 M2 De mˆeme :

−−−−→ −−−→ OM2 = µ1 M1 M2 Ainsi pour le point de Lagrange L1 , situ´e entre M1 et M2 (voir la figure 2.4 page suivante), 102

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

a L3

M1

L1 M2 L2

O x(L1 ) r1 (L1 ) x(L2 ) r1 (L2 )

r2 (L1 )

r2 (L2 )

x(L3 ) r1 (L3 ) r2 (L3 )

Table 2.4 – Param`etres associ´es aux points de Lagrange L1 , L2 et L3 .

nous avons :

−−→ −−−→ −−−→ OL1 = OM1 + M1 L1 −−−−→ −−−→ = −µ2 M1 M2 + M1 L1 ⇒ xL1 = −µ2 a + r1 (L1 ) −−→ −−−→ −−−→ Mais aussi : OL1 = OM2 + M2 L1 −−−−→ −−−→ = µ1 M 1 M 2 + M 2 L 1 ⇒ xL1 Et donc : a

= µ1 a − r2 (L1 ) = r1 (L1 ) + r2 (L1 )

La mˆeme manipulation conduit, pour L2 , situ´e au-del` a de M2 , `a :

xL2 xL2

= −µ2 a + r1 (L2 ) = µ1 a + r2 (L2 )

⇒a

= r1 (L2 ) − r2 (L2 )

Enfin, pour L3 , situ´e au-del` a de M1 :

xL3 xL3 ⇒a

= −µ2 a − r1 (L3 )

= µ1 a − r2 (L3 ) = r2 (L3 ) − r1 (L3 )

Nous pouvons donc d´esormais r´e´ecrire l’´equation projet´ee selon l’axe x de la condition de nullit´e de la d´eriv´ee de la fonction potentiel, en ne conservant que r1 ou que r2 selon le cas. Pour L1 , nous conservons r2 23 ; notre ´equation se r´e´ecrit : 23. Ce choix n’est ´ evidemment pas innocent car, connaissant par ailleurs la fin de l’histoire, on sait que L1 et L2 sont plus pr` es du corps ayant la plus petite masse que L3 qui, lui, est plus pr` es du corps le plus massif.

103

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

µ1 (a − r2 )



 3   a3 a − 1 + µ r − 1 = 2 2 (a − r2 )3 r23 a3 − (a − r2 )3 ⇐⇒ µ1 = (a − r2 )3

0 µ2

r23 − a3 r22

Or nous savons que la diff´erence de deux cubes est une identit´e remarquable :

a3 − b 3

=

(a − b)(a2 + ab + b2 )

Si bien que :

µ2 µ1 µ2 ⇐⇒ µ1

= =

(a − (a − r2 )(a2 + a(a − r2 ) + (a − r2 )2 ) (a − r2 )2 (r2 − a)(r22 + ar2 + a2 ) 3a2 − 3ar2 + r22 r23 o` u r2 = r2 (L1 ) (r2 − a)3 (a2 + ar2 + r22 ) r22

Avec le mˆeme genre de manipulations concernant L2 , on peut exprimer, en fonction de r2 (L2 ) :

µ2 µ1

= r23

3a2 + 3ar2 + r22 (a + r2 )2 (a3 − r23 )

o` u r2 = r2 (L2 )

Enfin, pour L3 , nous utilisons plutˆ ot r1 (L3 ) :

µ2 µ1

=

(a3 − r13 )(a + r1 )2 r13 (3a2 + 3ar1 + r12 )

o` u r1 = r1 (L3 )

b) Solution Les ´equations du cinqui`eme degr´e d´efinissant les positions des points de Lagrange L1 , L2 et L3 ne connaissent pas de solution analytique. En revanche, dans le cas d’un syst`eme plan´etaire du type de notre syst`eme solaire, on est dans une situation o` u M2 ≪ M1 ⇐⇒ µ2 ≪ µ1 . On peut alors trouver une solution approch´ee sous la forme d’un d´eveloppement limit´e de r en fonction du rapport µ2 /µ1 . 2.4.5.4

Stabilit´ e des points de Lagrange

Les points d’´equilibre de Lagrange ne sont pas tous stables. Le calcul de la d´eriv´ee seconde de la fonction W permet de montrer que les points L4 et L5 sont stables, et que les points L1 , L2 et L3 ne le sont pas.

2.4.6

Condition du mouvement et surface de Hill

On peut montrer que les valeurs de W sont ordonn´ees dans cet ordre :

W (L5 ) = W (L4 ) > W (L3 ) > W (L2 ) > W (L1 )

(2.66)

104

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

ce qui explique la nomenclature attribu´ee `a ces points. Si nous reprenons d´esormais la constante de Jacobi, alors comme l’´energie cin´etique v 2 ne peut pas ˆetre n´egative, il y a mouvement si et seulement si :

W (x, y, z) ≤ C Cette condition met en lien W , qui d´epend de la position dans l’espace, et C qui d´epend des conditions initiales du mouvement. Tout d´epend donc de celles-ci et, pour une valeur de C, on peut d´efinir la surface de vitesse nulle, dite de Hill 24 , qui est la fronti`ere entre la zone interdite au mouvement et la zone o` u il est permis. Dans le probl`eme plan, on parle ´evidemment de courbes de vitesse nulle (voir figures 2.6).

(a) Surface de vitesse nulle pour C < W (L1 ) : la zone interdite est celle d´ elimit´ ee ` a l’int´ erieur de la courbe externe et ` a l’ext´ erieur des deux courbes entourant les masses.

(b) Surface de vitesse nulle pour (c) Surface de vitesse nulle pour C = C = W (L1 ) : la zone interdite W (L2 ) : la zone interdite est l’anneau est celle d´ elimit´ ee ` a l’int´ erieur de entourant M1 se rejoignant en L2 . la courbe externe et ` a l’ext´ erieur de la courbe entourant les deux masses se joignant en L1 .

(d) Surface de vitesse nulle pour C = W (L3 ) : les zones interdites sont les deux demi-anneaux se joignant en L3 .

(e) Surface de vitesse nulle pour W (L3 ) < C < W (L4 ) = W (L5 ) : les zones interdites sont les zones entourant L4 et L5 .

Figure 2.6 – Surfaces de vitesses nulles et zones interdites pour des valeurs croissantes de la constante de Jacobi C. Source : cours de dynamique newtonienne de Richard Fitzpatrick `a l’universit´e du Texas ` a Austin, a` l’adresse http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/ Newtonhtml/node125.html.

24. George William Hill, 1838 – 1914.

105

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

2.5 2.5.1

La rotation diurne de la Terre La cause de la rotation : la formation de la Terre

Cette petite partie s’inspire du cours de Marcello Fulchignoni, cit´e en r´ef´erence [Fulchignoni, 2004], mais nous renvoyons ` a la partie 1.4.1 page 25 pour plus d’explications sur la formation du syst`eme solaire. ` l’occasion de l’accr´etion, les poussi`eres agglom´er´ees ne transmettent pas que de l’´energie A au plan´et´esimal, mais aussi du moment cin´etique. Dans le r´ef´erentiel li´e au centre de gravit´e du syst`eme {plan´et´esimal-particule}, le moment cin´etique est conserv´e. En notant δm la masse de la particule, r la distance entre le centre du plan´et´esimal et la particule au moment de l’impact, → − v la vitesse de la particule (forc´ement par rapport au plan´et´esimal), θ l’angle entre la direction → particule-plan´et´esimal et − v , alors la particule transmet au plan´et´esimal le moment cin´etique δL

= δm v r sin θ

Ceci n’est bien sˆ ur que le m´ecanisme de base ; pour d´ecrire plus finement le ph´enom`ene, il faudrait prendre en compte la quantit´e de mat´eriaux accr´et´e, sa distribution en fonction de la distance au Soleil, l’asym´etrie des impacts, etc. Quelques difficult´es sont cependant `a surmonter dans ce mod`ele. En effet, ´etant donn´ee, ` a proximit´e du plan´et´esimal, la sym´etrie du probl`eme de l’accr´etion, il est difficile d’affirmer qu’il y aurait une accr´etion favorisant l’acquisition de moment cin´etique dans un sens ou dans l’autre. Au cours du processus d’accr´etion, d’ailleurs, il n’y a pas qu’un seul plan´et´esimal qui se forme par accr´etion au milieu d’un nuage de gaz et de poussi`eres ; il peut y en avoir un nombre ind´efini, qui eux-mˆemes se percutent et fusionnent en des corps plus gros. On arrive alors ` a une situation d’un corps plus massif et pr´epond´erant sur son environnement ` l’int´erieur de ce qu’on appelle la sph`ere de Hill-Roche (non, pas Benny 25 , mais celui vu proche. A ´ pr´ec´edemment, et Edouard, 1820 – 1883), dont le rayon est h =

a



M 3 M⊙

1/3

(avec a le demi-grand axe de l’orbite du plan´et´esimal, M sa masse, M⊙ la masse du Soleil), la gravit´e du plan´et´esimal est pr´epond´erante sur les effets de mar´ee du Soleil, rendant directement d´ependant de celle-l`a la dynamique des corps et de la poussi`ere approchant le plan´et´esimal. Le fait que le disque protoplan´etaire soit dans un plan, et soit soumis `a une dynamique k´eplerienne, rend l’accr´etion (et une de ses cons´equences, la rotation) tributaire des ´el´ements orbitaux des corps accr´etants. Les mod`eles d’une accr´etion dans un disque k´eplerien montrent que l’on obtient toutefois une rotation prograde pour l’ensemble des plan` etes. C’est ce qui est pr´ecis´ement observ´e, sauf pour V´enus – dont l’obliquit´e est rendue chaotique en raison des effets de mar´ee de sa propre atmosph`ere – et Uranus – dont l’obliquit´e est de 98◦ . Cependant, les vitesses de rotation de chaque plan`ete d´ependent aussi de leur histoire propre, que l’´episode de leur formation ne suffit donc pas `a expliquer. La nature en partie al´eatoire du ph´enom`ene d’accr´etion, notamment des corps les plus massifs, fait que la rotation des plan`etes peut ˆetre due aux quelques plan´et´esimaux les plus importants et les plus r´ecents ayant particip´e ` a sa formation, rendant l’orientation des axes ainsi que la vitesse de rotation tr`es d´ependante du caract`ere plus ou moins variable de ces collisions et de leur violence. La prise en compte des impacts des corps restants non accr´et´es autorise non seulement `a expliquer les 25. Allusion au comique Britannique Benny Hill (1924 – 1992), de son vrai nom Alfred Hawthorn Hill, auteur du Benny Hill Show, qui ´ etait diffus´ e` a 20H00 le dimanche sur FR3...

106

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

vitesses aujourd’hui observ´ees, mais aussi la r´epartition des obliquit´es, le plus g´en´eralement entre 0◦ et 30◦ . Le sc´enario de naissance de la Lune par impact d’un corps massif sur la Terre rend cette hypoth`ese probable. Reste pourtant `a souligner que, depuis cette ´epoque, la rotation des plan`etes a ´et´e modifi´ee, en raison des conditions ext´erieures auxquelles elles sont soumises ; pour Mercure par exemple, les mar´ees solaires ont annul´e l’obliquit´e et impos´e une r´esonnance 3 : 2 avec la r´evolution. La rotation de la Terre, en vitesse et en orientation, est donc directement issue, du moins dans ses conditions initiales, des conditions de formation de la plan`ete Terre.

2.5.2

L’´ evolution de la rotation

La vitesse de rotation de la Terre subit des variations, dues aux mouvements des masses de la Terre. En vertu du principe de conservation du moment cin´etique, ces mouvements modifient sa vitesse de rotation. Les dissipations d’´energie, qui peuvent ˆetre de plusieurs origines (mar´ees, courants marins et atmosph´eriques, frictions en tout genre), tendent `a ralentir la rotation de la Terre. En effet, son ´energie totale est la somme de son ´energie cin´etique – due `a la rotation et aux d´eplacements de toute nature –, de son ´energie potentielle, et de toute forme d’´energie « chimique » ; la dissipation, sous forme thermique, de cette ´energie, diminue globalement l’´energie de la Terre et est prise sur l’´energie cin´etique, faisant baisser celle-ci, et donc la vitesse de rotation de la Terre avec elle. La cause de l’allongement s´eculaire de la dur´ee du jour est les mar´ees, et vaut environ 1, 8 ms par si`ecle [Bouin, 2002]. Ainsi, au cours des temps g´eologiques, par exemple au Silurien (entre 416 et 443 millions d’ann´ees avant aujourd’hui, quand vivaient des scorpions de mer de plusieurs m`etres de long...), le jour valait 21,53 heures (heures de notre ´echelle de temps, bien sˆ ur), et l’ann´ee comptait, par cons´equent, 407,10 de ces jours.

´ Figure 2.7 – Evolution de la dur´ee du jour de -250 Ma `a +250 Ma d’apr`es [Laskar et al., 2004]. La l´egende en anglais est la l´egende originale de l’article.

Mais, ` a une ´echelle plus courte, il existe aussi des fluctuations autour de la valeur conventionnelle de la dur´ee du jour. On identifie plusieurs causes de fluctuations [Bouin, 2002] : — le couplage ´electromagn´etique et topographique entre le noyau terrestre et le manteau : effet d´ecennal d’amplitude 5 ms ; — les mar´ees zonales, variations de l’ellipticit´e de la Terre : de p´eriode 13,7 jours, d’amplitude 0, 4 ms ; — les d´eplacements de masses atmosph´eriques, dues aux variations saisonni`eres d’´eclairement solaire et de la r´epartition des terres ´emerg´ees, des masses oc´eanique et atmosph´erique sur la 107

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

r´egion de la Terre ´eclair´ee, et dont les variations sont transmises `a la Terre par frottements : un terme annuel d’amplitude 0, 3 ms et un terme semi-annuel d’amplitude 0, 2 ms. Il existe une p´eriode de 50 jours, li´ees aussi `a des oscillations de moment cin´etique atmosph´erique ; — le ph´enom`ene El Ni˜ no, de p´eriode 2 `a 6 ans et d’amplitude irr´eguli`ere. Le moment cin´etique du syst`eme Terre-Lune, consid´er´e comme isol´e avec une bonne approximation, ´etant constant, cela participe de l’´eloignement de la Lune de quelques centim`etres par an. Cet ´eloignement est confirm´e par les observations de tirs de laser sur les miroirs laiss´es sur notre ` ce rythme, on voit qu’il ne satellite par les missions Apollo, et vaut 3, 7 cm par an [Bouin, 2002]. A faut que 27 000 ans pour que la Lune s’´eloigne d’un kilom`etre, et 27 millions d’ann´ees (une paille `a l’´echelle g´eologique !) pour 1 000 km. Ceci n’est ´evidemment pas sans importance, notamment pour l’ampleur des mar´ees dans le pass´e et, par exemple, pour leur impact sur les ´ecosyst`emes primitifs de la Terre, le d´eveloppement de la vie, etc. ; mais nous nous ´eloignons l`a de notre sujet.

2.5.3

Une cons´ equence de la rotation : l’aplatissement de la Terre

La question de la forme de la Terre, si elle constitue l’interrogation fondamentale de la g´eod´esie, a trouv´e une de ses r´eponses les plus ´eloquentes au xviiie si`ecle, alors que les disciples de Descartes 26 , partisans de la th´eorie des tourbillons, s’opposaient `a ceux de Newton, et sa loi de la dynamique, les premiers affirmant que la Terre ´ etait allong´ ee aux pˆ oles, les seconds qu’au contraire, elle y ´ etait aplatie. La question fut tranch´ee `a l’occasion des exp´editions en Laponie entre 1735 et 1737 et au P´erou entre 1735 et 1743, respectivement par MM. de Maupertuis 27 , Clairaut 28 , Camus 29 , Le Monnier 30 en Laponie, et MM. Godin 31 , La Condamine 32 , Bouguer 33 et Jussieu 34 au P´erou, o` u furent mesur´ees des bases de m´eridiens terrestres, correspondant ` a une distance diff´erente, relative au rayon de courbure local de la Terre. Nous invitons les lecteurs `a lire le pr´ecieux livre d’Arkaan Simaan, La science au p´eril de la vie – les aventuriers de la mesure du monde, qui relate ces incroyables aventures. L’Histoire ayant d´ecid´e, d´ej` a, de l’issue de cette dispute scientifique, nous allons utiliser la th´eorie newtonienne pour r´esoudre ce probl`eme. Nous allons consid´erer la Terre comme un milieu fluide continu, et utiliser l’´equation fondamentale de la dynamique utile en m´ecanique des fluides, appel´ee a-dire en consid´erant la Terre comme un fluide autogravitant), appliqu´ee ´equation d’Euler 35 (c’est-` `a une particule m´esoscopique M , de masse volumique ρ, variable dans le temps. Sa masse δm est suppos´ee constante, si bien que son volume δτ peut aussi varier dans le temps, selon la relation δm = ρ(t) δτ (t). →, − → Le r´ef´erentiel d’´etude a pour origine O le centre de la Terre, et pour syst`eme d’axes (− u→x , − u y uz ), − → − → − → tels que les vecteurs ux et uy sont perpendiculaires et d´efinissent le plan de l’´equateur ; uz compl`ete la base pour qu’elle soit directe, et d´efinit l’axe du pˆ ole. Ce syst`eme d’axe tourne avec la Terre, de → − →, et ne peut donc ˆetre consid´er´e comme galil´een, ce qui justifie l’interu vecteur rotation Ω = Ω − z vention des diaboliques forces d’inertie ! 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

Ren´ e Descartes (1596 – 1650). Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698 – 1759). Alexis Claude Clairaut (1713 – 1765). ´ Charles Etienne Louis Camus (1699 – 1768). Pierre Charles Le Monnier (1715 – 1799). Louis Godin (1704 – 1760). Charles Marie de La Condamine (1701 – 1774). Pierre Bouguer (1698 – 1758). Joseph de Jussieu (1704 – 1779). Leonhard Paul Euler (1707 – 1783).

108

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

La particule est donc soumise aux forces suivantes : — — — —

−−→ le gradient de pression au sein de la Terre −δτ grad P ; −−→ le gradient de potentiel gravitationnel de la Terre −ρ δτ grad V ; − → − la force d’inertie de Coriolis −2ρ δτ Ω ∧ → v ; → − − → −−→ la force d’inertie d’entraˆınement −ρ δτ Ω ∧ Ω ∧ OM .

L’´equation d’Euler s’´ecrit : →  −−→ −−→ → → − − → − → −−→ ∂− v 1 −−→ → → + − v − Ω ∧ Ω ∧ OM v .grad .− v = − grad P − grad V − 2 Ω ∧ − (2.67) ∂t ρ → Ici, nous notons − v la vitesse de M , P la pression, V le potentiel gravitationnel. Mises `a part les

forces d’inertie, qui n’apparaissent qu’en raison de l’utilisation d’un r´ef´erentiel non-galil´een, cette ´equation est aussi utile en astrophysique, sous une forme l´eg`erement diff´erente, appel´ee ´equation de Jeans 36 . Elle s’applique alors aux corps astrophysiques contenant beaucoup d’´etoiles (amas globulaires, disques, galaxies, etc.). → − → Or, dans le r´ef´erentiel tournant avec la Terre, on a − v = 0 , si bien que l’´equation 2.67 se r´e´ecrit : −−→ → − − → −−→ 1 −−→ → − − grad P − grad V − Ω ∧ Ω ∧ OM = 0 ρ

En premi`ere approximation, on va consid´erer que le potentiel V est k´epl´erien. Et comme nous ´etudions la surface de la Terre, nous sommes situ´es `a un rayon moyen r⊕ . Ainsi : V −−→ grad V

G m⊕ r⊕ G m⊕ − → u r 2 r⊕

= − =

Par ailleurs, le double produit vectoriel donne, dans le cas g´en´eral : Ωx Ωy z − Ωz y → −−→ → − − = Ωy ∧ Ωz x − Ωx z Ω ∧ Ω ∧ OM Ωz Ωx y − Ωy x Or nous faisons l’hypoth`ese que Ωx = Ωy = 0, si bien que : −Ω2z x → − − → −−→ Ω ∧ Ω ∧ OM = −Ω2z y 0 D’o` u la relation :

1 −−→ G m⊕ → → − grad P − 2 − r = u r + Ω2 − ρ r⊕

− → 0

(2.68)

Ce qui nous int´eresse concerne la forme de r´evolution de la Terre, si bien que nous pouvons tout-`a-fait nous placer dans le plan vertical, ce qui peut ˆetre r´ealis´e en posant y = 0 ou x = 0. Une telle audace faire prendre la forme suivante `a notre ´equation, de vectorielle devenue scalaire, mais aussi syst`eme de deux ´equations :  1 ∂P G m⊕   − 3 x + Ω2 x = 0  − ρ ∂x r⊕ G m⊕ 1 ∂P   z = 0 + −  3 ρ ∂z r⊕ 36. Sir James Hopwood Jeans (1877 – 1946).

109

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

L` a, nous allons simplifier un peu le probl`eme, en consid´erant que la masse volumique ρ est uniforme dans la Terre, ce qui n’est pas vrai bien sˆ ur, puisque au centre de la Terre, dans la graine, nous avons : ρ = 12 103 kg m−3 , dans le noyau externe ρ = 10 103 kg m−3 , dans le manteau ρ = 5 103 kg m−3 , tandis que la croˆ ute a, elle, une masse volumique ρ = 3 103 kg m−3 . Si cette mod´elisation ´etait adopt´ee, les conditions aux limites `a appliquer aux discontinuit´es de constitution (de Lehmann, de Gutemberg et de Mohorovicic successivement), donc de masse volumique, serait la continuit´e de la pression. Fastoche, non ? Ainsi donc, en int´egrant la premi`ere expression du pr´ec´edent syst`eme selon x, on obtient :  3 2 r⊕ Ω 1 G m⊕ P (x, z) = − ρ 1 − x2 + f (z) 3 2 r⊕ G m⊕ La fonction f (z) est une fonction de la variable z uniquement. On la d´etermine en d´erivant l’expression de P (x, z) obtenue par rapport `a z, et nous obtenons : ∂P (x, z) ∂z

=

d f (z) dz

Et l`a nous utilisons la deuxi`eme ´equation du syst`eme, que nous identifions `a celle-ci, obtenant donc : d f (z) dz

= −

G m⊕ z 3 r⊕

Cette ´equation s’int`egre du plus simplement du monde en : f (z) = −

1 G m⊕ 2 z +C 3 2 r⊕

o` u C est une constante. La fonction de pression devient donc :  3 2 r⊕ Ω 1 G m⊕ 1 G m⊕ 2 P (x, z) = − ρ 1− x2 − z +C 3 3 2 r⊕ G m⊕ 2 r⊕ Nous d´eterminons C par les conditions aux limites, en l’occurrence au centre de la Terre : P0 = P (0, 0) = C :  3 2 r⊕ Ω 1 Gm⊕ 2 1 Gm⊕ 1− x2 − z + P0 P (x, z) = − ρ 3 3 2 r⊕ Gm⊕ 2 r⊕ En un lieu donn´e, mettons ` a la surface, o` u la pression est P (x, z) = PA , l’´equation de l’isobare est donc :  3 2 r⊕ Ω 1 G m⊕ 1 G m⊕ 2 P0 − PA = ρ 1 − x2 + z 3 3 2 r⊕ G m⊕ 2 r⊕  3 2 r⊕ Ω 1 1 G m⊕ 1 Gm⊕ 2 1 1 − x2 + ρ z (2.69) ⇐⇒ 1 = ρ 3 3 P0 − PA 2 r⊕ Gm⊕ P0 − PA 2 r⊕ ce qui est pr´ecis´ement l’´equation d’une ellipse ! En effet, nous pouvons ´ecrire : 1 = a2

=

c2

=

z2 x2 + a2 c2 P0 − PA  3 2 r⊕ Ω G m⊕ ρ 1− 3 2 r⊕ G m⊕ P0 − PA G m⊕ ρ 3 2 r⊕ 110

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

o` u a et c sont respectivement les rayons ´equatorial et polaire de la Terre (demi-grand et demi-petit axes de l’ellipso¨ıde de r´evolution). La difficult´e, ici, est d’avoir une id´ee de la pression P0 au centre de la Terre, car on ne peut pas ni y aller, ni y envoyer des instruments de mesure. La parade consiste `a dire que la masse de la Terre est ind´ependante de sa forme. En ´ecrivant membre `a membre le volume de la Terre sph´erique et ellipso¨ıdale, nous obtenons : 4 3 πr 3 ⊕ 6 ⇐⇒ r⊕

4 2 πa c 3 a4 c2

= =

6 ⇐⇒ r⊕

=

⇐⇒ P0 − PA

=

(P0 − PA )3 3    r 3 Ω2 2 1 − G⊕m⊕ ρ G2rm3⊕ ⊕  2/3 r 3 Ω2 1 G m⊕ 1− ⊕ ρ 2 r⊕ G m⊕

dont nous tirons : a

 3 2 −1/3 r⊕ Ω = 1− G m⊕ −1/6  r 3 Ω2 = r⊕ 1 − ⊕ G m⊕  3 2 Ω 1 r⊕ ≈ r⊕ 1 + 6 G m⊕

2

2 r⊕

=⇒ a =⇒ a

c

 3 2 2/3 r⊕ Ω = 1− G m⊕  3 2 1/3 r⊕ Ω = r⊕ 1 − G m⊕  3 2 Ω 1 r⊕ ≈ r⊕ 1 − 3 G m⊕

2

2 r⊕

=⇒ c =⇒ c

3 2 Dans les deux cas, la lin´earisation en r⊕ Ω /G m⊕ est rendue possible car cette grandeur, rapport de la force centrifuge avec la force gravitationnelle, est petite (et heureusement, sinon rien ne resterait sur Terre et tout serait projet´e dans l’espace en raison de la rotation de la Terre, ce qui ne serait pas vraiment drˆole).

Ceci a une application directe, puisque l’on peut calculer la diff´erence entre les rayons ´equatorial et polaire correspondant ` a la mˆeme isobare :

a−c

3 2 Ω 1 r⊕ r⊕ 2 G m⊕ = 11, 1 km

=

et, partant, l’aplatissement dynamique : a−c c

= ≈

3 2 Ω 1 r⊕ 2 G m⊕ 1/580

111

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

` l’occasion de ces applications num´eriques, nous utilisons les valeurs approximatives de r⊕ = A 6 400 km et G m⊕ = 398 600, 4418 km3 · s−2 , et Ω = 2π/86 160 rad · s−1 (vitesse de rotation dans le rep`ere inertiel, c’est-` a-dire sid´erale). Les valeurs mesur´ees de ces param`etres sont : a − c = 21, 385 km et (a − c)/c = 1/298, 257 (ellipso¨ıde GRS80). On voit donc que notre mod`ele, dont nous avons montr´e les limites, permet une premi`ere approximation de ces grandeurs.

2.6

La pr´ ecession

D´ efinition (Pr´ecession) — On appelle pr´ecession du pˆ ole le mouvement s´eculaire de l’axe de figure de la Terre, dans le rep`ere inertiel, li´e ` a l’attraction directe des corps ext´erieurs ` a la Terre sur son bourrelet ´equatorial.

En d´epit de son approche diff´erente de la nˆ otre, nous nous r´ef´erons ici au livre tr`es riche en contenu de Gianni Pascoli cit´e en r´ef´erence [Pascoli, 1993]. L’essentiel de ce chapitre tient dans l’application du th´eor`eme du moment cin´etique, qui diff`ere de celle ´etudi´ee pour le mouvement du pˆ ole, dont la cause est exclusivement li´ee `a la diff´erence entre axe d’inertie et axe de rotation (voir la partie 2.8 page 122) ; ici nous allons consid´erer le couple provoqu´e par l’attraction des N corps que l’on s´electionne sur le bourrelet ´equatorial de la → − Terre, que l’on note Γ ON →⊕ .

Figure 2.8 – Force diff´erentielle exerc´ee par un astre sur le bourrelet ´equatorial de la Terre, cause du ph´enom`ene de pr´ecession-nutation.

112

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

2.6.1

Le probl` eme pos´ e

2.6.1.1

R´ ef´ erentiels utilis´ es

− → − → Nous utilisons d’abord un r´ef´erentiel g´eocentrique inertiel R = (O, − u→ X , uY , uZ ), dont les axes − → − → uX et uY d´efinissent, par exemple, le plan de l’´ecliptique en tant que plan de r´ef´erence, l’axe − u→ X ´etant orient´e vers le point vernal de l’´epoque de r´ef´erence, et faisant donc office d’origine des directions. → − → − e comme la Terre, u→ On consid`ere d´esormais le r´ef´erentiel g´eocentrique R′ = (O, − x , uy , uz ) orient´ → − → − u→ dont les axes principaux sont les axes d’inertie de la Terre. Dans le rep`ere inertiel R = (O, − X , uY , uZ ), le r´ef´erentiel g´eocentrique tournant est orient´e selon les angles d’Euler suivants (voir la figure 2.9 − → − → − → page suivante) : (− u→ es longitude et obliquit´e ; celleX , ux ) = ψ, et (uZ , uz ) = ǫ. Ces angles sont appel´ ci est l’angle entre l’axe de rotation de la Terre et l’axe normal au plan de r´ef´erence. Les plans dans lesquels se trouvent ces angles ne sont pour l’instant pas d´efinis. Par ailleurs, nous ´etudions ce qui se passe ` a un instant donn´e en termes dynamiques, et choisissons arbitrairement de prendre ϕ = 0, c’est-`a-dire d’annuler la rotation propre, non pas de la Terre, mais du r´ef´erentiel R′ . Cela signifie − → − → − → − → que le vecteur − u→x est dans le plan (O, − u→ X , uY ), et que le vecteur uz est dans le plan (O, uy , uZ ), et pour vous tenir en haleine, cela aura son importance par la suite.

2.6.1.2

L’´ ecriture du th´ eor` eme du moment cin´ etique

Sans pour l’instant entrer dans le d´etail du calcul du couple subi par le bourrelet ´equatorial de la Terre, nous adoptons les notations suivantes : → − − → → — Ω ⊕/R = ψ˙ − u→ ˙ − u est le vecteur rotation r´eel de la Terre dans le r´ef´erentiel Z + ǫ˙ ux + ϕ z inertiel R ; → − → — Ω ⊕/R′ = ϕ˙ − u est le vecteur rotation r´eel de la Terre dans le r´ef´erentiel R′ ; z — par cons´equent, le vecteur rotation de R′ par rapport `a R est : − → Ω R′ /R

= = =

− → → − Ω ⊕/R − Ω ⊕/R′ − → ψ˙ − u→ Z + ǫ˙ ux − → →) + ǫ˙ − ψ˙ (sin ǫ uy + cos ǫ − u u→x z

→ − → − — L ⊕/R = I Ω ⊕/R est le vecteur moment cin´etique de la Terre dans le r´ef´erentiel inertiel, I ´etant le tenseur d’inertie de la Terre ; → − est le vecteur moment de force en O s’exer¸cant sur le bourrelet ´equatorial de — Γ ON →⊕ la Terre, ind´ependant du r´ef´erentiel dans lequel on l’exprime. Or, si nous nous pla¸cons dans le r´ef´erentiel inertiel d´ecrit pr´ec´edemment, le th´eor`eme du moment cin´etique nous dit que la variation du moment cin´etique de la Terre est ´egal au moment des forces qu’elle subit, c’est-` a-dire :

! → − d L ⊕/R dt

→ − = Γ ON →⊕

(2.70)

R

Il ne nous reste plus qu’`a expliciter le couple subi par la Terre, et `a appliquer le th´eor`eme du moment cin´etique que nous venons de reformuler.

113

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Figure 2.9 – Angles d’Euler d´efinissant l’orientation de la Terre dans un r´ef´erentiel inertiel.

2.6.2

´ Etude dynamique : le calcul du moment des forces

− → − → Dans le r´ef´erentiel g´eocentrique inertiel R = (O, − u→ el´ement de masse dm de la X , uY , uZ ), un ´ → − Terre, situ´e en M , positionn´e en r (d´enotant donc le vecteur joignant le centre de la Terre O et M ) est soumis ` a la force diff´erentielle : − → δ F N →dm

=

dm

N X i

! − → − → G mi − G mi → − → → 3 (Di − r ) − − → Di |D i − − r| |D i |3

(2.71)

− → o` u i d´enote l’indice du corps attirant l’´el´ement de masse dm, situ´e `a une distance Di du centre de la Terre, et de masse mi . Nous consid´erons ici une force dite diff´erentielle entre la force de l’astre consid´er´e sur la Terre enti`ere et la force du mˆeme astre sur chaque ´el´ement de masse de la Terre. Nous consid´erons ainsi en effet que la Terre est un solide dont nous cherchons `a d´eterminer les variations d’orientation : c’est pour cela que nous utilisons le th´eor`eme du moment cin´etique. Nous devons alors consid´erer les forces externes `a ce syst`eme (la Terre vue comme un solide) qui g´en`erent un couple ; par cons´equent, nous ne consid´erons pas la force de la Terre enti`ere sur 114

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

chaque ´el´ement de masse, et nous retirons `a la force totale subie par chaque ´el´ement de masse la force int´egrale subie par la Terre. De la sorte, nous pourrons imm´ediatement calculer au centre de la Terre le moment de la force de l’astre et son implication sur l’orientation de la Terre. Les astres principaux de cet effet sont la Lune, le Soleil, V´enus (pour sa proximit´e), et Jupiter (pour sa masse). Si on veut plus de raffinement, on prendra aussi les autres plan`etes du Syst`eme solaire, mais une excellente approximation est obtenue en ne consid´erant que la Lune et le Soleil. − → De fa¸con ´evidente, tout ´etant en mouvement dans l’Univers, les vecteurs Di sont fonction du temps. Il faut remarquer que cette expression, simplifi´ee, consid`ere les corps attracteurs comme ponctuels, alors qu’´evidemment ce n’est pas le cas, et qu’il existe, en raison de l’attraction de la Terre, par exemple pour la Lune, des d´eformation de ces corps pouvant, en retour, affecter la force et le couple qu’ils appliquent `a la Terre, ainsi que la force diff´erentielle ici d´ecrite ; mais que le lecteur se rassure, ce ne sera pas ici que nous entrerons dans ces consid´erations. Le moment ´el´ementaire associ´e `a cette force, calcul´e en O, est : → − δ Γ ON →dm

→ − − = → r ∧ δ F N →dm

et le moment total est le r´esultat de l’int´egrale sur l’ensemble de la Terre de cette grandeur : Z − → → − → − Γ ON →⊕ = r ∧ δ F N →dm ⊕

En ins´erant l’expression de la P force ´el´ementaire dans cette relation, et en nous limitant `a un N seul corps i (donc en supprimant i , et en ´ecrivant γ plutˆ ot que Γ), nous avons : ! Z G mi − → − G mi − → → − → − → r ∧ − γ Oi→⊕ = → → 3 (Di − ri ) − − → Di dm ⊕ |D i − − r| |D i |3 →! − Z → − → − → − r ∧D r ∧D dm = Gm → →3 − − D3 ⊕ |D − − r|  → − → → 3 − − →  − → Z r ∧ D − |D − − r| · → D3 − r ∧D   dm = Gm → →3 3 − ⊕ |D − − r| D → =⇒ − γ Oi→⊕

→ =⇒ − γ Oi→⊕

≈

Gm

⊕

≈

Gm D4

Z

=

Gm D4

Z

=

 3 − − → → − → − 1  → −→ → r − → → 2− D 2 − → − − r ∧ D D · r ∧ D  · − D D u  dm D D6  | D {z } 

Z

⊕

⊕

→ − = 0

     → − → − → − r → − → − −3 · r ∧ D dm − D. − u→ D D          − 3 − →  → − → → − − → → − −  − →  D · r ∧ D + D D · r · r ∧ D  dm {z } | → −

= 0 Z    − − → → − Gm → → D· r · − r ∧ D dm 3 5 D ⊕

→ →3 − − → Dans ce d´eveloppement, nous avons consid´er´e que | D − − r | ≈ D3 au d´enominateur et | D − → − → − → − le vecteur → − − 3 r au num´ erateur, car D ≫ r, ce qui est l´egitime. Nous avons not´e − u→ r |3 ≈ − u→ D D D 115

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

→ − unitaire port´e par le vecteur D . Il faut noter que ce couple est, d’apr`es notre simplification, le couple produit par un seul corps, mais que la Terre, elle, est soumise `a l’attraction de nombreux astres, comme nous l’avons d´ej` a dit. La g´en´eralisation `a plusieurs corps s’´ecrit donc : − → Γ ON →⊕

Z  N X − → → − − → mi = 3G Di · − r · → r ∧ Di dm 5 Di ⊕ i

(2.72)

o` u nous avons retrouv´e notre vieux copain ΓON →⊕ initial. Gardons pr´ecieusement cette relation, et passons ` a autre chose. → − − − → − → Nous notons la d´ecomposition de D et → r selon les axes − u→ x , uy et uz : − → D = → − r =

− → − → u→ xD − x + yD u y + zD u z →+z − → x− u→x + y − u u y z

Si bien que l’expression 2.72 s’´ecrit : − → Γ ON →⊕

  Z N y zDi − z yDi X mi = 3G (xDi x + yDi y + zDi z)  z xDi − x zDi  dm 5 D i ⊕ i x yDi − y xDi

Mais heureusement de nombreux termes de ce fastidieux d´eveloppement sont nuls lors de l’int´egration. Sur les six termes de chaque ligne, ceux pour lesquels R on n’a pas les deux coordonn´ees de R → − r identiques sont nuls ; ainsi ⊕ xDi z yzDi dm = 0, mais ⊕ zDi z zxDi dm = I3 xDi zDi 6= 0. Si bien que le couple total s’´ecrit donc :   N − yDi zDi I3 I y z X mi  2 Di Di → − −I1 xDi zDi + I3 xDi zDi  Γ ON →⊕ = 3 G 5 D i i I1 xDi yDi − I2 xDi yDi =

3 G (I3 − I1 )

N X mi − → − → 5 (yDi zDi ux − xDi zDi uy ) D i i

car nous n’avons pas oubli´e que I1 = I2 . Nous introduisons alors un angle appel´e longitude ´ ecliptique λi du corps i, angle mesur´e − → − → −→ − → dans le plan (O, − u→ X , uY ) entre l’axe ux (qui est bien dans (O, uX , uY ) car nous l’y avons contraint → − − → − → pour les besoins de la cause) et D , lui aussi dans (O, uX , uY ) (voir la description des coordonn´ees ´ecliptiques dans la partie 4.1.5 page 185). De fa¸con implicite, nous imposons ainsi `a tous les corps de se trouver dans le plan de l’´ecliptique ; par d´efinition de ce plan, cela est vrai pour le Soleil, et de fa¸con approximative pour les plan`etes du Syst`eme solaire, mais un peu moins pour a Lune, dont le plan en est inclin´e de 5◦ . Ainsi si nous nous amusons `a exprimer xDi , yDi , et zDi en fonction de l’obliquit´e ǫ, et de λi , le couple se r´e´ecrit :   N cos ǫ (cos 2λi − 1) X → − mi  3  sin 2λi Γ ON →⊕ = G (I3 − I1 ) sin ǫ 3 2 D i i 0

2.6.3

La d´ eriv´ ee temporelle du moment cin´ etique

Le calcul de la d´eriv´ee du moment cin´etique de la Terre par rapport au temps dans le r´ef´erentiel → − inertiel L ⊕/R se fait en ne sortant pas le tenseur du moment d’inertie I du produit avec le vecteur → − rotation de la Terre Ω ⊕/R : 116

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

− → L⊕ !

→ − d L ⊕/R dt

=

→ − I Ω⊕

! → − d I Ω ⊕/R dt

=

R

avec : I

=



I1  0 0

0 I2 0

o` u nous avons suppos´e diagonal le tenseur d’inertie.

 0 0  I3

Nous d´eveloppons donc ce calcul :

! → − d L ⊕/R dt

R

! → − d I Ω ⊕/R = dt R      d → → + ψ˙ cos ǫ + ϕ˙ − = u I ǫ˙ − u→x + ψ˙ sin ǫ − u z y dt  R    − → d u x u→x + ǫ˙ = I1 ǫ¨ − dt R   − →  → + ψ˙ ǫ˙ cos ǫ − → + ψ˙ sin ǫ duy u u + I2 ψ¨ sin ǫ − y y dt R   −  − → →  → − ψ˙ ǫ˙ sin ǫ − → + ψ˙ cos ǫ duz − → + ϕ˙ duz u u + I3 ψ¨ cos ǫ − + ϕ ¨ u z z z dt R dt R

→ et − →: Il nous faut d´esormais calculer les d´eriv´ees des vecteurs unitaires − u→x , − u u y z

  − du→x dt R

− → Ω R′ /R ∧ − u→x   → + cos ǫ − →) + ǫ˙ − = ψ˙ (sin ǫ − u u u→x ∧ − u→x y z =

→) + ψ˙ cos ǫ − → = ψ˙ sin ǫ (−− u u z y

De mˆeme :

 − → du y dt R

= =

 − → du z dt R

= =

− → → Ω R′ /R ∧ − u y → ψ˙ cos ǫ (−− u→x) + ǫ˙ − u z → − → Ω R′ /R ∧ − u z → ψ˙ cos ǫ − u→x − ǫ˙ − u y

Int´egrant ces expression dans celle de la d´eriv´ee du moment cin´etique, nous aboutissons `a :

117

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

! → − d L ⊕/R dt

= R

  I1 ǫ¨ + ψ˙ 2 cos ǫ (I3 sin ǫ − I2 ) + I3 ψ˙ ϕ˙ sin ǫ − u→x

  → (I1 + I2 − I3 ) ǫ˙ψ˙ cos ǫ + I2 ψ¨ sin ǫ − I3 ǫ˙ϕ˙ − u y    → + (I2 − I1 − I3 ) ǫ˙ψ˙ sin ǫ + I3 ψ¨ cos ǫ + ϕ¨ − u z +

2.6.4

Application du th´ eor` eme du moment cin´ etique et conclusion

Dans de telles conditions le th´eor`eme du moment cin´etique s’´ecrit :     I1 ¨ ǫ + ψ˙ 2 cos ǫ (I3 sin ǫ − I2 ) + I3 ψ˙ ϕ˙ sin ǫ =         

 (I1 + I2 − I3 ) ǫ˙ψ˙ cos ǫ + I2 ψ¨ sin ǫ − I3 ǫ˙ϕ˙ =              (I2 − I1 − I3 ) ǫ˙ψ˙ sin ǫ + I3 ψ¨ cos ǫ + ϕ¨ =

N

X mi 3 (cos 2λi − 1) G (I3 − I1 ) cos ǫ sin ǫ 2 Di3 i N

X mi 3 sin 2λi G (I3 − I1 ) sin ǫ 2 Di3 i 0

Si on fait l’hypoth`ese que l’angle de pr´ecession ψ et l’angle d’obliquit´e ǫ varient faiblement, on peut n´egliger les termes du second ordre ψ¨ , ǫ¨, ainsi que ψ˙ 2 et ψ˙ ǫ˙ (et alors on remarque que dans la premi`ere ´equation on peut simplifier par sin ǫ) ; on fait en outre une autre hypoth`ese, celle que I1 = I2 , c’est-` a-dire que les moment d’inertie ´equatoriaux de la Terre sont ´egaux. Si bien que notre brave syst`eme d’´equations devient :  N X  mi  ˙ ϕ˙ = 3 G (I3 − I1 ) cos ǫ  ψ I  3 3 (cos 2λi − 1)   2 D i  i     N (2.73) X mi 3   sin 2λi G (I − I ) sin ǫ − I ǫ ˙ ϕ ˙ = 3 1 3  3  2 Di  i       ϕ¨ = 0

→ montre que la rotation de la Terre sur elle-mˆ La projection sur − u eme se fait ` a z vitesse constante : ϕ˙ = cte = Ω. Autrement dit, l’introduction d’un couple gravitationnel agissant sur le bourrelet ´equatorial de la Terre ne rend pas sa rotation variable.

Nous allons d´esormais restreindre notre ´etude aux deux seuls corps consid´er´es comme agissant sur la Terre, le Soleil (⊙), et la Lune ($). Nous consid´erons toujours que la Lune se trouve dans le plan de l’´ecliptique, ce qui n’est pas vraiment exact comme nous l’avons vu plus haut. Le plus simple est de commencer par ne consid´erer que le seul Soleil. Ainsi si on int`egre son mouvement apparent sur une ann´ee tropique (un tour complet de la Terre autour du Soleil, en tenant compte du d´eplacement du point vernal), alors λ⊙ varie de 0 `a 2π. La premi`ere ´equation nous donne alors :   Z 2π m⊙ 1 3 G (I3 − I1 ) cos ǫ 3 (cos 2λ − 1)dλ I3 ψ˙⊙ Ω = 2 a⊕ 2π 0 | {z } =1

3 G m⊙ (I3 − I1 ) cos ǫ = − 2 a3⊕

118

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

On remarquera que l’on peut faire intervenir le moyen mouvement n dans cette expression :

n

= =

≈ =⇒ ψ˙⊙

=

2π T G (m⊙ + m⊕ ) a3⊕ G m⊙ a3⊕ 3 G m⊙ I3 − I1 cos ǫ 2 Ωa3⊕ I3

(2.74)

Nous avons l`a ´evalu´e la composante solaire de la pr´ecession. Nous avons fait l’approximation que la Lune ´etait dans le mˆeme plan que le Soleil ; nous pouvons ´evaluer, `a la louche, la part de la valeur de la pr´ecession due ` a la Lune en calculant le rapport des forces relatives de mar´ees :   m$ D ⊙ δF$ ≈ δF⊙ m⊙ D $ ≈ 2, 17 D’o` u nous tirons la valeur de la pr´ecession luni-solaire : ψ˙ ⊙+$

= =

3 n2 I3 − I1 cos ǫ × (1 + 2, 17) 2 Ω I3 −50, 4′′/an

1 = 3, 268 · 10−3 , Ω = 7, 292 · 10−5 rad/s, n = 3548, 3′′/j (avec en ayant utilis´e : I3I−I 3 T = 365, 2422 j la dur´ee de l’ann´ee tropique), et ǫ = 23◦ 26′ . La valeur observ´ee ´etant de −50, 29′′/an (se r´epartissant en 46, 12′′/an en ascension droite et 20, 04′′/an en d´eclinaison), on se rend compte que notre approximation n’est pas si mauvaise.

→) du syst`eme 2.73, elle est nulle lorsqu’on Quant ` a la seconde ´equation (projection sur − u y l’int`egre sur une ann´ee, traduisant le fait qu’en moyenne, la variation d’obliquit´ e est nulle, et que l’angle ǫ garde une valeur constante. Ceci n’est pas compl`etement vrai dans la r´ealit´e, et il faut une approche plus fine que la nˆ otre pour le montrer. Nous retiendrons donc que la pr´ecession est due `a l’existence d’un bourrelet ´equatorial (cons´equence directe de la rotation de la Terre sur elle-mˆeme), `a l’action gravitationnelle du Soleil (pour environ un tiers) et de la Lune (environ deux tiers) sur celui-ci, et au fait que l’axe de rotation de la Terre (donc son ´equateur) est inclin´e par rapport aux normales, ici suppos´ees confondues, aux plans orbitaux de la Lune autour de la Terre et de la Terre autour du Soleil (cette derni`ere inclinaison est aussi la cause de l’existence des saisons). Il s’agit donc d’un ph´enom`ene, certes p´eriodique, mais s´eculaire au regard des ´echelles de temps qui nous concernent, et parce qu’il ne subit pas d’oscillations. Du point de vue physique, le couple exerc´e par la Lune et le Soleil sur le bourrelet de la Terre tend ` a aligner celui-ci sur les plans orbitaux de ceux-l`a ; du point de vue observationnel, il se traduit par le fait que l’axe de figure de la Terre dessine un cˆ one, sur une p´ eriode de 25 700 ans, par rapport au rep` ere inertiel c´ eleste (cet axe est dirig´e, aujourd’hui, vers ´ l’´etoile que nous appelons « Etoile polaire » ; ´evidemment, cette appellation est malheureuse et ne fait que traduire l’existence relativement r´ecente du genre humain devant les ph´enom`enes naturels et cosmiques.). On appelle aussi ce ph´enom`ene pr´ ecession des ´ equinoxes car le 119

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Figure 2.10 – Le ph´enom`ene de pr´ecession de l’axe de rotation de la Terre. Source : Lyndon State College Atmospheric Sciences, http://apollo.lsc.vsc. `a l’adresse : edu/classes/met130/notes/chapter16/ precession.html.

Figure 2.11 – Carte c´eleste de l’orientation de l’axe de rotation de la Terre sur un cycle de pr´ecession. Source : http://fr. wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A9cession_des_ %C3%A9quinoxes.

point vernal (intersection de l’´equateur – prolongement de l’´equateur terrestre sur la sph`ere c´eleste, donc normal ` a l’axe de rotation de la Terre – avec l’´ecliptique – plan de l’orbite de la Terre autour du Soleil –) se d´eplace en raison du d´eplacement de l’axe de rotation de la Terre, et ` a la mˆeme vitesse angulaire. Cela a pour cons´equence le d´eplacement de l’origine des coordonn´ees c´elestes ; c’est la raison pour laquelle on utilise en pratique les valeurs `a une date de r´ef´erence (J2000.0 par exemple), ou des valeurs dites moyennes (c’est-` a-dire prenant en compte le d´ecalage dˆ u` a la pr´ecession), qui sont diff´erentes des valeurs vraies (qui sont celles prenant en compte la pr´ecession et la nutation). Le param´etrage de la pr´ecession est expos´e dans la partie 4.4.2.2 page 209.

2.7

La nutation

D´ efinition (Nutation) — Le ph´enom`ene de nutation est, lui, d´ecrit en prenant en compte les ph´enom`enes p´eriodiques faisant osciller l’axe de rotation de la Terre autour de sa position moyenne li´ee ` a la pr´ecession.

La nutation est faite de deux composantes : la composante principale et la composante lunisolaire [Capitaine, 2000]. Le param´etrage de la nutation est donn´e dans la partie 4.4.2.2 page 209.

120

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

2.7.1

La composante principale

La composante principale, dite de Bradley 37 , est due aux perturbations gravitationnelles du Soleil sur l’orbite lunaire, ainsi qu’`a l’applatissement de la Terre, qui se traduisent par une pr´ ecession de la ligne de nœuds de l’orbite lunaire, avec une p´eriode de 18,6 ans (p´eriode dite draconitique). Si bien que l’inclinaison de l’orbite de la Lune, mesur´ee entre l’´equateur terrestre et le plan orbital lunaire, subit des variations de mˆeme p´eriode, conduisant `a un couple variable sur le bourrelet ´equatorial ´egalement p´eriodique, aboutissant `a une oscillation du pˆ ole vrai autour du pˆ ole moyen. Cette oscillation prend la forme d’une ellipse centr´ee sur le pˆ ole moyen, de grand axe d’amplitude 9, 2′′ dirig´e vers le pˆ ole de l’´ecliptique Qm , et de petit axe d’amplitude 7, 2′′ , et parcourue en 18,6 ans. Ce mouvement a une traduction en termes d’oscillations du point vernal vrai autour du point vernal moyen, d’amplitude 17, 2′′ le long de l’´ecliptique, ce qu’on appelle la nutation en longitude, ainsi qu’en termes d’oscillations de l’obliquit´e vraie autour de l’obliquit´e moyenne, d’amplitude 9, 21′′ , ce qu’on appelle la nutation en obliquit´e (voir la figure ??).

2.7.2

La composante luni-solaire

La composante luni-solaire est, elle, due aux variations de d´eclinaison (voir la figure 4.9 page 181) de la Lune et du Soleil, et sont de p´eriode la moiti´e de la p´eriode de r´evolution, `a savoir 13,7 jours (soit tous les 0,52” d’arc au cours du d´eplacement du pˆ ole dˆ u `a la pr´ecession, et d’amplitude 0,09”) et 6 mois (soit tous les 3,15” d’arc, et d’amplitude 0,55”), comme le montre la figure ?? page ??.

Figure 2.12 – La r´esultante des mouvements de pr´ecession et de nutation. Source : http://www. louisg.net/astronomie.htm.

37. James Bradley (1693 – 1762).

121

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

2.8

Le mouvement du pˆ ole

Si, comme nous l’avons vu pendant l’´episode de sa formation, l’axe de rotation de la Terre n’a aucune raison d’ˆetre confondu avec son axe d’inertie, quel lien existe-t-il entre eux ? D´ efinition (Mouvement du pˆole) — La notion de mouvement du pˆ ole exprime le mouvement de l’axe vrai de rotation de la Terre par rapport ` a son axe d’inertie. Cette sous-partie s’inspire du cours donn´e par Marie-Noelle Bouin, cit´e en r´ef´erence [Bouin, 2002], qui reprend de fa¸con simplifi´ee les ´equations dites de Liouville 38 .

2.8.1

R´ ef´ erentiels de l’´ etude

Nous allons d’abord utiliser un r´ef´erentiel g´eocentrique li´e `a la croˆ ute terrestre, c’est-`a-dire − →, − → tournant, et orient´e par ses axes principaux d’inertie, not´e R = (O, − u→ , u X Y uZ ). Nous utilisons un seconde r´ef´erentiel, orient´e quant `a lui par l’axe imm´ediat de rotation diurne − → − → ′ de la Terre, que nous notons R′ = (O, − u→ a R au moyen x , uy , uz ). On peut orienter R par rapport ` d’angles d’Euler mais, comme nous allons le voir, cela n’est pas n´ecessaire. Le vecteur rotation de la Terre par rapport au r´ef´erentiel R est aussi le vecteur rotation de R′ par rapport ` aR: − → Ω ⊕/R

2.8.2

= = =

− → Ω R′ /R → ϕ˙ − u z

− → − → Ω1 − u→ X + Ω2 u Y + Ω3 u Z

Hypoth` eses dynamiques sur la Terre

Faisons l’hypoth`ese, simpliste (et nous verrons un peu plus loin les limites de cette simplification), d’une Terre rigide (ce qui signifie que son tenseur d’inertie est constant dans le temps), dont la forme a une sym´etrie de r´evolution autour de l’axe d’inertie (ce qui signifie que le fameux tenseur est diagonal, de composantes I1 , I2 et I3 ) et homog`ene (I1 = I2 , valable uniquement si la condition de sym´etrie de rotation est v´erifi´ee). Pour l’instant, nous maintenons la distinction entre I1 et I2 , et ferons intervenir leur ´egalit´e en temps voulu.

2.8.3

Le moment cin´ etique de la Terre

→ − Le moment cin´etique L s’´ecrit : − → L ⊕/R

→ − = I Ω ⊕/R

(2.75) − → o` u Ω ⊕/R est le vecteur de rotation, port´e par l’axe de rotation. Dans le syst`eme d’angles d’Euler, en d´erivant cette ´equation par rapport au temps, on obtient : ! → −  d L ⊕/R d  − → = I Ω ⊕/R dt dt R R

= I1

dΩ2 − dΩ3 − dΩ1 −→ uX + I2 u→ u→ Y + I3 Z dt dt dt

38. Joseph Liouville (1809 – 1882).

122

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Or, en l’absence de couple ext´erieur, cette ´etude ayant ´et´e faite dans la partie 2.6 page 112, la d´erivation temporelle d’un vecteur se calcule selon : ! → − d L ⊕/R → − → − = Ω ⊕/R ∧ L ⊕/R dt R  −  → − → = Ω ⊕/R ∧ I Ω ⊕/R     I1 Ω1 Ω1 =  Ω2  ∧  I2 Ω2  I3 Ω3 Ω3   (I3 − I2 ) Ω2 Ω3 =  (I1 − I3 ) Ω1 Ω3  (I2 − I1 ) Ω2 Ω1  −  → → − − → − → On remarquera que I Ω ∧ Ω 6= 0 car I n’est pas un scalaire mais une matrice, si bien que I Ω → − n’est pas colin´eaire avec Ω . Ces expressions donnent le syst`eme :  dΩ1 I3 − I2   Ω2 Ω3 =   dt I1       dΩ I1 − I3 2 Ω3 Ω1 =  dt I2       I2 − I1 dΩ3    Ω1 Ω2 = 0 = dt I3

ce qui donne le premier r´esultat, ` a savoir que la rotation de la Terre tourne sur elle-mˆeme `a une vitesse constante : Ω3 = cte = ϕ˙ (en utilisant la notation prise pour le param´etrage des angles d’Euler). La valeur admise de cette rotation est Ω3 = 7, 292 115 146 706 4·10−5 rad/s (valeur exacte admise par convention dans [McCarthy & Petit, 2004], et correspondant `a l’´epoque 1820, en pleine Restauration...), ` a laquelle est associ´ee une dur´ee du jour de 86 400 s.

2.8.4

Le mouvement du pˆ ole de rotation par rapport au pˆ ole d’inertie

Les deux autres ´equations peuvent se r´e´ecrire :  dΩ1   = −ω Ω2   dt   dΩ2   dt

=

ω Ω1

avec : ω

= =

I1 − I3 Ω3 I2 I2 − I3 Ω3 I1

ω est la pulsation du comportement oscillatoire connu par Ω1 et Ω2 , et est li´ee `a l’aplatissement de la Terre par la diff´erence I1 ou 2 − I3 . L’´egalit´e des deux lignes pr´ec´edentes n’est qu’approximative, car :

I1

=

I2

=

8, 0101 · 1037 kg m2

8, 0103 · 1037 kg m2

123

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

En d´erivant le syst`eme une fois, et en reprenant les expressions d’avant-d´erivation, ce syst`eme se r´e´ecrit et se r´esout facilement : d2 Ω1 dt2

= −ω

d2 Ω2 dt2

dΩ2 dt

= −ω 2 Ω1

= ω

dΩ1 dt

= −ω 2 Ω2

Or, la Terre ´etant mod´elis´ee comme de sym´etrie de r´evolution, aucun axe, de X ou de Y , n’est privil´egi´e ; si bien que l’amplitude du mouvement de l’axe de rotation selon ces axe est la mˆeme, not´ee Ω. De plus, ces angles ´etant perpendiculaires, il existe un d´ephasage de π/2 entre eux. La solution des ´equations est donc : Ω1 Ω2

= =

Ω cos(ω t + φ) Ω sin(ω t + φ)

(2.76)

Ce sont ici les expressions d´ecrivant les vitesses de rotation du rep`ere R′ par rapport `a R ; si l’on cherche ` a calculer les angles positionnant le pˆ ole de rotation par rapport au pˆ ole d’inertie, alors il faut int´egrer ces relations une fois, et ´etablir quelles sont les conditions `a l’origine, c’est-`a-dire quelle est la position du pˆ ole de rotation `a une ´epoque de r´ef´erence. N´eanmoins, la pulsation des angles ainsi calcul´e sera la mˆeme que celle des grandeur Ω1 et Ω2 . → − Par ailleurs, ces relations montrent que l’axe de rotation Ω ⊕/R tourne autour de l’axe d’inertie − u→ ee ` a l’aplatissement de la Z avec une pulsation ω, directement li´ Terre (voir la figure 4.34 page 213). En conservant les hypoth`eses faite au d´ebut de cette partie (Terre rigide, etc.), on obtient une p´eriode de 305 jours (valeur d´ej` a calcul´ee par Euler). En effet :

ω ⇒T

I3 − I2 Ω3 I1 2π = ω = 26 342 858, 97 s =

soit : 304, 89 j

avec I3 = 8, 0365 kg · m2 , les valeurs des autres param`etres ayant d´ej` a ´et´e vues.

2.8.5

Limites de l’´ etude

2.8.5.1

Un cas encore moins r´ eel que celui ´ etudi´ e

On fera observer que si le tenseur d’inertie de la Terre ´etait diagonal, c’est-`a-dire si la Terre ´etait de sym´etrie sph´erique ` a tout point de vue (forme sph´erique, homog´en´eit´e de la distribution de masse), alors le moment cin´etique aurait une d´eriv´ee nulle, ce qui signifie que le pˆ ole de rotation n’aurait pas de mouvement par rapport au pˆ ole d’inertie. Mais si le tenseur d’inertie ´etait diagonal, cela signifierait aussi qu’il n’y a pas d’axes principaux d’inertie, et que tout tri`edre g´eocentrique pourrait faire office de vecteur propre associ´e `a ce tenseur, en particulier celui prenant l’axe de rotation comme axe de ce tri`edre. Ceci signifie que le mouvement du pˆ ole est dˆ u `a deux situations qui ne vont pas l’une sans l’autre :

124

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

— la Terre n’est pas sph´erique, et pr´esente un bourrelet ´equatorial ou, ce qui revient au mˆeme, est aplatie aux pˆ oles ; — l’axe de rotation de la Terre est distinct de l’axe principal d’inertie.

2.8.5.2

Cas d’une Terre plus r´ eelle que celle ´ etudi´ ee

Les hypoth`eses faites au d´ebut de cette partie sont des hypoth`eses simplifi´ees ; voici leurs limites : — la Terre n’est pas rigide : que ce soit le noyau, le manteau, la croˆ ute, les oc´eans, l’atmosph`ere, tout se d´eforme. La Terre est un corps c´eleste faits d’enveloppes fluides, qui se d´eplacent dans le temps. Le tenseur d’inertie ne peut donc ˆetre consid´er´e comme constant. Ces fluides ´etant visqueux, il y a dissipation d’´energie `a l’occasion de leurs frottements mutuels ; — la Terre n’est pas homog`ene : les masses sont r´eparties de fa¸con, certes pas al´eatoires, mais en tout cas pas homog`ene, et les moments d’inertie I1 et I2 ne sont ´egaux que de fa¸con approximative (et en effet, nous avons vu que I1 = 8, 010 1 1037 kg m2 et I2 = 8, 010 3 1037 kg m2 ) ; — la Terre n’est donc, cons´equence de ces faits, pas n´ecessairement de sym´etrie, et le tenseur d’inertie n’est pas n´ecessairement diagonal. Le tenseur r´eel d’inertie peut ˆetre consid´er´e comme ´etant la somme de trois composantes : — un tenseur correspondant ` a une Terre sph´erique (tenseur diagonal), homog`ene (composantes ´egales) et rigide (composantes constantes) ; — un tenseur correspondant ` a l’aplatissement (donc les termes diagonaux correspondant aux deux axes ´equatoriaux sont non-nuls et positifs) ; — un tenseur, non constant, et non diagonal, correspondant aux redistributions de masses au sein de la Terre. L’analyse du mouvement du pˆ ole `a la surface de la Terre met en ´evidence deux fr´equences, d’amplitudes diff´erentes (voir la figure 4.33) : — l’oscillation dite de Chandler 39 , d’une p´eriode d’environ 435 jours, et d’amplitude variable, mais pouvant atteindre 150 mas, qui est l’oscillation pr´evue par Euler, mais allong´ee en raison de la non-rigidit´e de la Terre ; cette oscillation est tour `a tour amortie puis r´e-excit´ee, mais on peine ` a expliquer ces fluctuations ; — une p´eriode annuelle, dont l’amplitude vaut environ 100 mas, due aux redistributions de masses oc´eaniques et atmosph´eriques annuelles ; — enfin on observe une d´erive tendancielle dans la direction 80◦ ouest, `a un rythme de 3, 7 mas par an, probablement due aux d´eformations lentes de la croˆ ute terrestre. Pour conclure sur le mouvement du pˆ ole, rappelons simplement qu’il est li´e, uniquement, au fait que l’axe de rotation de la Terre (qui lui est impos´e par les conditions initiales de formation de celle-ci) ne correspond pas ` a l’axe d’inertie, en raison des conditions initiales de mise en mouvement de la Terre, et qu’en plus l’axe d’inertie se d´eplace du fait des mouvements de masses de la Terre.

2.8.6

´ ements de terminologie El´

Le pˆ ole d’inertie de la Terre est aussi, parfois, appel´e « pˆ ole de figure » : il est l’axe d´ecrivant au mieux l’aplatissement de la Terre, et c’est lui dont on examine le mouvement lorsqu’on d´ecrit l’orientation de la Terre par rapport `a un r´ef´erentiel inertiel, avec la pr´ecession et la nutation. 39. Seth Carlo Chandler (1846 – 1913).

125

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Par ailleurs, si, en toute rigueur, le pˆ ole instantan´e de rotation est le pˆ ole terrestre par rapport auquel le syst`eme de coordonn´ees devrait ˆetre r´ef´erenc´e, en pratique, on utilise un pˆ ole conventionnel, qui est le pˆ ole moyen de rotation observ´e entre 1900 et 1905. C’est cet axe qui est le pˆ ole de l’ITRS et qui, donc, d´efinit l’´equateur par rapport auquel est construit le syst`eme des coordonn´ees g´eographiques.

2.9

Cons´ equences visibles des mouvements de la Terre

2.9.1

L’observation des astres

2.9.1.1

Le mouvement diurne

a) Les astres au cours du jour Le mouvement de rotation de la Terre sur elle mˆeme impose ` a l’observateur post´e sur elle de voir les astres se d´eplacer dans un sens apparent inverse. La Terre tourne d’ouest en est ; par cons´equent les astres, eux, se l`event `a l’est, culminent au m´eridien, et se couchent ` a l’ouest.

Figure 2.13 – Lever et coucher du Soleil selon les saisons. Source : site internet de l’Observatoire de Paris, ` a l’adresse http://media4.obspm.fr/public/AMC/pages_saisons/definitionsaisons_impression.html

Le jour r´epond ` a deux d´efinitions. D´ efinition (Jour sid´eral) — On appelle jour sid´eral la dur´ee entre deux passages cons´ecutifs d’une direction fixe de l’espace (classiquement, le point vernal d’une ´epoque de r´ef´erence) au m´eridien d’un lieu. On distingue le jour sid´eral vrai, qui est le jour sid´eral effectivement mesur´e, du jour sid´eral moyen, qui est le jour sid´eral vrai corrig´e des effets de la nutation. Le jour sid´eral moyen dure 23h 56m 4, 09s, soit 86 164, 09 s. D´ efinition (Jour solaire) — On appelle jour solaire (ou synodique) la dur´ee entre deux passages cons´ecutifs du Soleil au m´eridien d’un lieu. On distingue le jour solaire vrai, qui est le temps 126

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

entre deux passages cons´ecutifs du Soleil au m´eridien du lieu, du jour solaire moyen, qui est le jour solaire vrai corrig´e de l’excentricit´e et de l’inclinaison de l’orbite terrestre (et qui est donc le jour solaire d’une Terre dont l’orbite serait circulaire et l’axe non inclin´e). Le jour solaire moyen dure 24 h, soit 86 400 s, aux irr´egularit´es de la rotation de la Terre pr`es.

Figure 2.14 – Jour sid´eral (dur´ee s´eparant les positions (1) et (2)), et jour solaire (entre (1) et (3)). Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/ Jour_sid%C3%A9ral. ` chacune de ces d´efinitions est associ´ee une ´echelle de temps : b) Jour sid´ eral, jour solaire A le temps sid´eral, le temps solaire, qui sont le pendant continu de ces conceptions qui, elles, restent discr`etes. Le jour sid´eral moyen est plus court de 3m 55, 91 s (235, 91 s) que le jour solaire moyen. Pendant la dur´ee d’un jour solaire moyen (24 heures), la Terre se d´eplace sur son orbite et, en tout lieu, cette dur´ee s´epare deux passages cons´ecutifs du Soleil moyen au m´eridien ; mais la direction allant de la Terre ` a l’instant initial au Soleil est en quelque sorte « d´epass´ee » pendant cette dur´ee, puisqu’il faut 23h 56m 4s pour, en moyenne, viser une mˆeme direction deux fois cons´ecutivement. Sur une ann´ee enti`ere, en cumulant cet ´ecart, on visera une direction fixe de l’espace une fois de plus qu’on ne visera le Soleil. Ceci explique que l’ann´ee solaire compte 365,2422 jours (solaires) et l’ann´ee sid´erale 366, 2422 jours (sid´eraux). En effet, lorsque l’on calcule : (jsolaire − jsid´eral ) × ansid´eral = (86 400 − 86 164, 09) × 366, 2422 on constate que l’on trouve approximativement la valeur du jour solaire : 86 400, 197 402 j. 2.9.1.2

Les parallaxes annuelle et quotidienne

Du fait du mouvement de la Terre sur son orbite autour du Soleil, on peut consid´erer que sa position relative vis-`a-vis des autres astres change. La direction de la Terre `a un astre particulier, suppos´e fixe, examin´ee par rapport `a un rep`ere suppos´e fixe, oscille donc autour de la direction « r´eelle ». On appelle ce ph´enom`ene parallaxe ; il est d’autant plus important que l’astre consid´er´e est proche de la Terre. En outre, si les dimensions de l’orbite terrestre sont connues, on peut facilement appliquer le th´eor`eme de Thal`es pour en d´eduire la distance s´eparant la Terre de cet astre. Le parsec est d´eriv´e de la notion de parallaxe. Il s’agit de la distance `a laquelle une unit´e astronomique, c’est-` a-dire la distance moyenne de la Terre au Soleil, semble faire un angle d’une seconde de degr´e. Ainsi un parsec vaut 3,26 ann´ees-lumi`ere. D’une amplitude bien moins importante, le mˆeme ph´enom`ene se produit du fait de la rotation de la Terre sur elle-mˆeme, mais a pu ˆetre exploit´e, par le pass´e, pour ´etudier les satellites en orbite 127

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

autour de la Terre. La correction ` a apporter aux observations pour les corriger de la parallaxe est explicit´ee dans la partie 4.4.3.2 page 219.

Figure 2.15 – La parallaxe annuelle. Source : Astro Club de Marsan, `a l’adresse http://www. astroclubmarsan.net/ lumiereetoiles.htm

2.9.1.3

L’aberration

L’aberration est une cons´equence de la vitesse relative entre un observateur (la Terre en l’occurrence), une source de lumi`ere (une ´etoile), et le fait que la vitesse de la lumi`ere c n’est → pas infinie, et vaut 299 792 458 m s−1 . Si on note − c le vecteur vitesse de la lumi`ere ´emise par → − l’´etoile E ` a l’instant t − ∆t, et v le vecteur vitesse de l’observateur O `a l’instant t de r´eception de la lumi`ere ´emise ` a l’instant t − ∆t, avec ∆t le temps mis par la lumi`ere pour faire ce trajet, alors, la vitesse relative entre la lumi`ere et l’observateur est [Simon et al., 1998] : − → cr =

−c − − → → v

(2.77)

−−→ → → Comme − c est colin´eaire avec EO, et que − v n’a aucune raison de l’ˆetre, il apparaˆıt que l’´etoile a −−′→ → ′ une position apparente E telle que E O est colin´eaire avec − cr . Naturellement, chaque source de mouvement g´en`ere une aberration. La correction de l’aberration est donn´ee dans la partie 4.4.3.3 page 220. 2.9.1.4

Configurations plan´ etaires et lunaires

Les conditions d’observation des plan`etes et de la Lune d´ependent de la position relative de l’astre en question par rapport au vecteur Terre-Soleil. On distingue alors les situations des plan`etes inf´erieures et sup´erieures ; les premi`eres ont une orbite situ´ee entre le Soleil et la Terre, les secondes au del` a de celle de la Terre.

128

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Figure 2.16 – Illustration de l’aberration stellaire. Source : http://www.bensfunfacts. com/?p=339. La configuration la plus favorable, pour laquelle le corps ´etudi´e est visible toute la nuit, est l’opposition, quand le Soleil, la Terre et l’astre sont align´es dans cet ordre ; elle n’est possible que pour les plan`etes sup´erieures. La situation inverse, quand la plan`ete, le Soleil et la Terre sont align´es dans cet ordre, est appel´ee conjonction. Enfin, quand les astres ne sont visibles que la moiti´e de la nuit, ils sont ` a la quadrature ; la quadrature est correspond `a une visibilit´e ` en d´ebut de nuit, tandis que la quadrature ouest correspond `a une visibilit´e en fin de nuit. A ◦ la quadrature, l’angle Soleil-Terre-plan`ete vaut 90 . Les plan`etes inf´erieures ne sont jamais visibles toute la nuit. Les conditions les plus favorables sont atteintes ` a l’´ elongation maximale, c’est-`a-dire quand l’angle Soleil-Terre-plan`ete est maximal. La plan`ete est visible en d´ebut de nuit `a l’´elongation maximale est, et en fin de ` l’´elongation maximale, l’angle Soleil-plan`ete-Terre vaut nuit ` a l’´elongation maximale ouest. A ◦ 90 . La plan`ete n’est pas visible dans deux situations appel´ees conjonction : `a la conjonction inf´erieure, elle est situ´ee entre le Soleil et la Terre, et `a la conjonction sup´erieure, elle est situ´ee derri`ere le Soleil. Les configurations d’observation de la Lune, qui tourne autour de la Terre et non autour du Soleil, s’inspirent de celles des plan`etes. La lunaison commence ainsi `a la Nouvelle Lune, quand elle est situ´ee entre le Soleil et la Terre ; cette situation est celle d’une conjonction inf´erieure. La lunaison se poursuit avec le Premier quartier, qui correspond `a la quadrature est, et se poursuit avec la Pleine Lune, qui place la Lune en situation d’opposition. La derni`ere phase est celle de Dernier quartier, correspondant `a la quadrature ouest. Il est important de rappeler que, les orbites des plan`etes, de la Terre et de la Lune n’´etant pas toutes dans le mˆeme plan, un conjonction inf´erieure n’est pas pour autant synonyme d’´eclipse du Soleil (quand on parle de la Lune) ou de transit (quand on parle d’une plan`ete inf´erieure) : ces ´ev`enements sont rares et, la plupart du temps, les astres en questions passent au dessus ou en dessous du Soleil. Et inversement, il n’y a pas une ´eclipse de Lune `a chaque Pleine Lune.

129

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Conjonction

CS

CS :

Soleil

Conjonction supérieure

Orbite d’une planète supérieure Orbite d’une planète inférieure

EME

EMO CI QO

Terre

QE

EME : EMO :

Élongation maximale est Élongation maximale ouest

CI :

Conjonction inférieure

QE : QO :

Quadrature est Quadrature ouest

Opposition

Soleil NL

NL :

Nouvelle Lune

Orbite de la Lune PQ

DQ Terre

PL

PQ : DQ :

Premier quartier Dernier quartier

PL :

Pleine Lune

Figure 2.17 – Configurations d’observations des plan`etes et de la Lune.

2.9.2

Les saisons

2.9.2.1

La direction de l’axe de rotation de la Terre

Les saisons sont la cons´equence de l’obliquit´e de l’axe de rotation de la Terre sur l’´ecliptique. Celui-ci pointe dans une direction caract´eris´ee par deux angles : — l’obliquit´e proprement dite, angle entre l’axe de rotation et la normale `a l’´ecliptique passant par le g´eocentre ; cet angle prend la valeur ǫ = 84 381, 405 9′′ = 23, 439◦ = 23◦ 26′ 20, 4′′ `a J2000.0 ; — la direction du plan contenant l’axe de rotation et la normale `a l’´ecliptique passant par le g´eocentre ; ce plan coupe l’´ecliptique selon la ligne des solstices. La projection du vecteur rotation sur l’´ecliptique est dirig´e vers le solstice d’hiver.

2.9.2.2

Le point vernal

Lorsqu’on ´etudie les ph´enom`enes dans un r´ef´erentiel g´eocentrique, la direction du point vernal est donn´ee par la direction du Soleil au moment o` u sa trajectoire apparente (qui forme l’´ecliptique) coupe l’´equateur, autrement dit ` a l’´equinoxe de printemps. Mais lorsqu’on ´etudie les ph´enom`enes dans un r´ef´erentiel h´eliocentrique, par exemple pour le mouvement des plan`etes autour du Soleil, la mˆeme direction est donn´ee lorsque le Soleil, en apparence depuis la Terre, se trouve dans la direction oppos´ee ` a l’´equinoxe de printemps, c’est-`a-dire `a l’´equinoxe d’automne.

130

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

Mˆeme si cela n’a pas, a priori, grand chose `a voir, il faut pr´eciser que la direction du point vernal n’est pas confondu avec le p´erih´elie de l’orbite terrestre ; l’angle entre ces deux points, mesur´e au centre du Soleil, vaut 102, 937 348 08◦ `a J2000.0 (source : IMCCE).

2.9.2.3

La variation de la dur´ ee d’´ eclairement quotidienne

Les saisons sont des p´eriodes s´eparant de fa¸con altern´ee un solstice et un ´equinoxe. Elles correspondent ` a des variations de l’´eclairement de la Terre du fait de l’obliquit´e de son axe de rotation sur l’´ecliptique ; l’angle form´e, ` a une latitude donn´ee, entre l’horizon local d’un lieu et le Soleil (` a des moments comparables, par exemple au moment du passage de celui-ci au m´eridien du lieu) varie au cours de l’ann´ee en raison de cette obliquit´e. Comme expliqu´e par [Laskar, 1993], si la distance au Soleil a une influence sur l’´eclairement, le ph´enom`ene pr´epond´erant pour expliquer les variations d’´eclairement est l’inclinaison du Soleil par rapport au sol du lieu, et cette grandeur d´epend, `a un instant donn´e, de l’obliquit´e et de la latitude du lieu. La distance au Soleil ne fait qu’att´enuer ou augmenter le contraste thermique d’une saison `a l’autre. De nos jours, le p´erih´elie est relativement proche du solstice d’hiver (de l’h´emisph`ere nord terrestre) et l’aph´elie est relativement proche du solstice d’´et´e, ce qui a tendance ` a att´enuer le contraste climatique de cet h´emisph`ere ; en revanche, pour l’h´emisph`ere sud, ce contraste est accentu´e par ce ph´enom`ene. Mais la pr´ecession des ´equinoxes fait que les ´equinoxes et les solstices se d´eplacent le long de l’orbite, selon une p´eriode de 25 700 ans, si bien qu’en 12 850 ans, on passe d’une situation o` u le solstice d’´et´e est confondu avec le p´erih´elie et le solstice d’hiver avec l’aph´elie `a une situation inverse, o` u le solstice d’´et´e et confondu avec l’aph´elie et le solstice d’hiver avec le p´erih´elie. La succession des ´ev´enements est donc la suivante : — — — —

´equinoxe de printemps : d´ebut du printemps ; solstice d’´et´e : d´ebut de l’´et´e ; ´equinoxe d’automne : d´ebut de l’automne ; solstice d’hiver : d´ebut de l’hiver.

D’un point de vue terrestre, le Soleil a des positions particuli`eres dans le ciel `a chacun de ces ´ev`enements : — ´ equinoxe de printemps : le Soleil passe de l’h´emisph`ere sud c´eleste `a l’h´emisph`ere nord, et coupe donc l’´equateur c´eleste ; il est au z´enith des points situ´es sur l’´equateur terrestre, et est visible de tous les points sur la Terre ; les nuits ont la mˆeme dur´ee que les jours en tout point de la Terre ; — solstice d’´ et´ e : le Soleil atteint sa d´eclinaison maximale, dont la valeur est ´egale `a l’obliquit´e ǫ = 23, 4◦ ; il est au z´enith des points de la Terre dont la latitude est ´egale `a ǫ, qui forment le tropique du Cancer, du nom de la constellation de l’´ecliptique dans laquelle se trouve apparemment le Soleil ; il est visible toute la journ´ee pour les points de la Terre dont la latitude est sup´erieure ` a 90−ǫ = 66, 6◦, et `a cette latitude se trouve le cercle polaire nord ; il est en revanche invisible pour les points de la Terre dont la la latitude est inf´erieure `a −66, 6◦, et ` a cette latitude se trouve le cercle polaire sud ; les jours ont une dur´ee maximale dans l’h´emisph`ere nord, une dur´ee minimale dans l’h´emisph`ere sud ; — ´ equinoxe d’automne : le Soleil passe de l’h´emisph`ere nord c´eleste `a l’h´emisph`ere sud, et coupe l’´equateur c´eleste ; il est au z´enith des points situ´es sur l’´equateur terrestre, et est visible de tous les points sur la Terre ; les nuits ont la mˆeme dur´ee que les jours en tout point de la Terre ;

131

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

— solstice d’hiver : le Soleil atteint sa d´eclinaison minimale, dont la valeur est −ǫ = −23, 4◦ ; il est au z´enith des points sur la Terre dont la latitude vaut −ǫ, qui forment le tropique du Capricorne, du nom de la constellation de l’´ecliptique dans laquelle se trouve apparemment le Soleil ; il est visible toute la journ´ee pour les points de la Terre dont la latitude est inf´erieure ` a −66, 6◦, et est invisible pour tous les points de la Terre dont la latitude est sup´erieure a 66, 6◦ ; les jours ont une dur´ee maximale dans l’h´emisph`ere sud, une dur´ee minimale dans ` l’h´emisph`ere nord.

Figure 2.18 – Effet de l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre sur l’´eclairement, et position des ´equinoxes et solstices sur l’orbite, d’apr`es [Laskar, 1993].

2.9.3

Quelques mots sur la th´ eorie astronomique des pal´ eoclimats

La th´eorie astronomique des pal´eoclimats est une illustration tr`es int´eressante des mouvements de la Terre sur le long terme et de leur influence sur le climat. Les variations des ´el´ements orbitaux du fait des perturbations gravitationnelles des autres corps du syst`eme solaire ne sont pas n´egligeables ` a l’´echelle g´eologique, et constituent notamment la principale cause de variabilit´e climatique. La premi`ere th´eorie astronomique sur les cycles climatiques est due `a Milutin Milankovitch (1879 – 1958). Jacques Laskar, de l’IMCCE, a approfondi les travaux dans ce domaine, et a introduit les notions de chaos dans le domaine de la m´ecanique c´eleste. En particulier, un article [Laskar et al., 2004] r´esume les travaux dans ce domaine. Apr`es avoir reconstitu´e l’historique des recherches sur l’´evolution s´eculaire des ´el´ements orbitaux de la Terre, les auteurs d´etaillent le mod`ele utilis´e pour le calcul d’une nouvelle solution, dont l’´etendue s’´etale sur 500 millions d’ann´ees, de −250 M a `a +250 M a, mais dont la pertinence pour l’´etude des pal´eoclimats doit ˆetre born´ee ` a 50 M a. L’´evolution de nombreux param`etres de l’orbite terrestre est ´etudi´ee, en particulier l’excentricit´e, l’inclinaison et l’obliquit´e (voir la figure 2.19 page suivante). De nombreux effets sont analys´es dans cet article, qu’ils soient physiques (syst`eme Terre – Lune, comparaison avec d’autres mod`eles, fr´equences de for¸cage, etc.) ou num´eriques (erreurs d’arrondis, conservation des int´egrales premi`eres du mouvement, etc.). L’´etude et le croisement de ces donn´ees avec d’autres traceurs de la situation climatique (les glaces de l’Antarctique, les coraux, les cercles des arbres, etc.) montrent qu’`a l’´echelle de centaines de milliers d’ann´ees, ce sont les variations orbitales de la Terre qui contrˆ olent les ´evolutions climatiques (voir la figure 2.21 page 134). Les trois ´el´ements importants sont le taux de la pr´ecession, qui va influencer la position des saisons sur l’orbite de la Terre, l’obliquit´e, qui va influer sur l’amplitude annuelle de la quantit´e d’´energie re¸cue par les pˆ oles (plus l’obliquit´e est ´elev´ee, plus l’amplitude est grande), enfin l’excentricit´e qui, influant sur la forme de l’orbite, va moduler la quantit´e d’´energie re¸cue au cours de l’ann´ee et, donc, soit accentuer le caract`ere des saisons soit, `a l’inverse, l’´egaliser. La figure 2.21 montre toutefois imm´ediatement une corr´elation ´evidente entre les maximas du taux de pr´ecession, 132

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

´ Figure 2.19 – Evolution de l’excentricit´e (en haut) et de l’inclinaison (en bas) de la Terre entre −11 M a et +1 M a, d’apr`es [Laskar et al., 2004]. La l´egende en anglais est celle de l’article. de l’excentricit´e, et de la temp´erature moyenne sur Terre. D’autres travaux dus ` a [Laskar, 1993], plus anciens, montrent l’influence de la Lune sur la stabilit´e de l’obliquit´e de l’axe de rotation de la Terre. En simulant la disparition brutale de notre satellite, il a ´et´e ainsi d´emontr´e que le comportement de cette grandeur devenait chaotique (voir la figure 2.22 page suivante), mais que le domaine de chaoticit´e d´epend cependant de la vitesse de rotation de la Terre et que, celle-ci ayant vari´e dans le temps, le caract`ere chaotique de l’obliquit´e (sans la Lune) a aussi ´evolu´e ; le caract`ere chaotique de l’obliquit´e d´epend aussi de la constante de pr´ecession de la Terre.

133

CHAPITRE 2. LES MOUVEMENTS DE LA TERRE, APPROCHE PHYSIQUE

´ de l’obliquit´e de la Figure 2.20 – Evolution Terre entre −250 M a et +250 M a, d’apr`es [Laskar et al., 2004]. La l´egende en anglais est celle de l’article.

Figure 2.21 – Impact des ph´enom`enes astronomiques sur l’insolation et p´eriodes glaciaires sur Terre, selon la th´eorie de Milankovitch. Source : The science education resource center at Carleton, `a l’adresse : http://serc. carleton.edu/research_education/corals/ mechanisms.html

Figure 2.22 – En haut : ´evolution de l’obliquit´e de la Terre entre −1 M a et +1 M a avec et sans la Lune ; en bas : ´evolution de l’´eclairement solaire re¸cu par la Terre entre −1 M a et +1 M a avec et sans la Lune, d’apr`es [Laskar, 1993].

134

Chapitre 3

Les ´ echelles de temps 3.1 3.1.1

D´ efinitions Le temps en tant que dur´ ee

La mesure de dur´ee, tout comme celle d’angle ou de distance, impose de d´efinir une unit´e. Celleci est choisie conventionnellement au regard de la fr´equence d’un ph´enom`ene physique p´eriodique particulier, comme une fraction ou un multiple de ce ph´enom`ene. La p´eriodicit´e ou la reproductibilit´e de ce ph´enom`ene physique rend d’autant plus pr´ecise la d´efinition de cette unit´e. Dans le syst`eme international d’unit´e MKS (M`etre, Kilogramme, Seconde), l’unit´e de temps est la seconde. Celle-ci a fait l’objet de diff´erentes d´efinitions au cours de l’histoire, selon le ph´enom`ene physique servant de r´ef´erence. La derni`ere d´efinition de la seconde a ´et´e adopt´ee `a la XIIIe Conf´erence g´en´erale des poids et mesures, r´eunie en 1967, qui l’a d´efinie comme suit [CGPM, 1967] : « La seconde est la dur´ee de 9 192 631 770 p´eriodes de la radiation correspondant ` a la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’´etat fondamental de l’atome de c´esium 133 » Le Comit´e consultatif des temps et des fr´equences a pr´ecis´e en 1997 que cette d´efinition s’entendait pour un atome de c´esium 133 `a la temp´erature de 0 K, c’est-`a-dire au repos, de fa¸con que son comportement soit libre de celui de corps noir [CIPM, 1997].

3.1.2

Le temps en tant que datation

La notion d’´echelle de temps est utilis´ee pour la datation d’´ev`enements, c’est-`a-dire le classement univoque de ceux-ci. Une ´echelle de temps doit v´erifier plusieurs propri´et´es 1 : — — — —

l’universalit´ e : elle doit ˆetre accessible `a tous les utilisateurs potentiels ; la p´ erennit´ e : elle doit pouvoir continuer `a dater les ´ev`enements futurs sans interruption ; la stabilit´ e : l’unit´e de temps choisie doit ˆetre constante sur cette ´echelle de temps ; l’exactitude : la dur´ee de l’unit´e de temps telle que fournie par l’´echelle de temps doit ˆetre ´egale ` a la d´efinition de l’unit´e de temps.

Par exemple, une ´echelle de temps dont l’unit´e de temps est de 0, 9 s alors que l’unit´e fondamentale est la seconde est stable mais inexacte ; `a l’inverse, une ´echelle de temps dont l’unit´e de temps varie de 0, 9 s ` a 1 s est instable mais exacte. Ces exigences am`enent naturellement `a utiliser des horloges atomiques pour r´ealiser les ´echelles de temps de r´ef´erence. 1. Voir le site de l’ENS Lyon : http://www.ens-lyon.fr/RELIE/Cadrans/activpedago/TextesCours/Temps.htm.

135

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

3.1.3

P´ eriodes astronomiques

Beaucoup des mouvements ´etudi´es en astronomie sont p´eriodiques, et font donc intervenir des p´eriodes. Selon la direction de r´ef´erence utilis´ee, cependant, celles-ci ne prennent pas la mˆeme valeur et, donc, ne portent pas le mˆeme nom. P´ eriode sid´ erale : la p´eriode sid´erale est le temps mis, `a l’occasion d’un mouvement p´eriodique, entre deux passages dans une direction fixe de l’espace. P´ eriode tropique : la p´eriode tropique est le temps mis, `a l’occasion d’un mouvement p´eriodique, entre deux passages dans la direction de l’origine des ascensions droites, c’est-`a-dire du point vernal. P´ eriode synodique : la p´eriode synodique est le temps mis, `a l’occasion d’un mouvement p´eriodique, entre deux passages dans la direction de l’axe Soleil-Terre. P´ eriode anomalistique : la p´eriode anomalistique est le temps mis, `a l’occasion d’un mouvement p´eriodique, entre deux passages dans la direction de l’origine des anomalies de l’orbite, `a savoir le p´eriastre de l’orbite. P´ eriode draconitique : la p´eriode anomalistique est le temps mis, `a l’occasion d’un mouvement p´eriodique, entre deux passages dans la direction du nœud ascendant de cette orbite. Sur cette base, plusieurs p´eriodes peuvent ˆetre examin´ees : le jour, la p´eriode orbitale (appel´ee ann´ee s’il s’agit de la Terre), etc. La rotation synodique de la Terre est commun´ement appel´ee jour solaire ; la p´eriode de r´evolution synodique de la Lune est la lunaison.

136

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

t0 T

t0 + (n+q)T/2 t0 + nT/2

Date affichee

Evenement

Figure 3.1 – Principe de la construction d’une ´echelle de temps `a partir d’un signal oscillatoire. Id´ealement, ` a l’origine pr`es, tout ´ev`enement pourrait ˆetre dat´e et situ´e `a l’instant compos´e de la somme d’un multiple entier de la demie-p´eriode du signal (n T /2 avec n ∈ N) et d’une fraction de la demie-p´eriode (q T /2 avec q ∈ R tel que q ∈ [0 ; 1[) ; mais sur une ´echelle de temps r´eelle, toujours ` a l’origine pr`es, la date affich´ee sur une horloge tronque la partie fractionnelle q T /2 et est simplement le multiple entier de la demie-p´eriode n T /2.

137

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

Evenement

t0 T

Date affichee : t0 + n T/2

t0 + (n + q)T/2

t0’ T’

Date affichee : t0’ + n’ T’/2

t0’ + (n’ + q’)T’/2

Figure 3.2 – Principe de la datation d’un mˆeme ´ev`enement avec deux ´echelles de temps diff´erentes, dont les origines et les ´ecoulements sont diff´erents, mettant en ´evidence la d´esynchronisation et la d´erive de l’une par rapport ` a l’autre.

138

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

3.2

Les calendriers

3.2.1

D´ efinition et rˆ ole

Les calendriers sont des ´echelles de temps ayant d’abord une fonction sociale, politique, religieuse ou pratique. La neuvi`eme ´edition du dictionnaire de l’Acad´emie fran¸caise en donne la d´efinition suivante 2 : « CALENDRIER, n. m. xiiie si`ecle, kalendier. Du latin calendarium, ”registre des dettes” (d´eriv´e de calendae, ”calendes”), parce qu’on payait les int´erˆets le premier du mois. 1. Syst`eme de division du temps en p´eriodes r´eguli`eres : ann´ees, mois, jours. Calendrier lunaire, solaire. Calendrier ´egyptien, chinois. Calendrier grec, romain. Calendrier isra´elite, musulman. Vieux calendrier ou calendrier julien, celui dont on s’est servi depuis Jules C´esar jusqu’au pape Gr´egoire XIII, qui instaura, en 1582, le nouveau calendrier ou calendrier gr´egorien. Calendrier r´epublicain, qui, institu´e par la Convention nationale en 1793, eut cours jusqu’au 1er janvier 1806. Le 1er vend´emiaire an I du calendrier r´epublicain correspond au 22 septembre 1792 du calendrier gr´egorien, date de la proclamation de la R´epublique. 2. Livret, tableau, bloc de feuillets pr´esentant pour une ann´ee d´etermin´ee la suite des mois et des jours, accompagn´ee de renseignements pratiques (fˆetes, saints du jour, heures du lever, du coucher du soleil, des mar´ees, etc.). Consulter le calendrier. Le calendrier des Postes. Un calendrier illustr´e. Calendrier perp´etuel, dispositif qui permet de retrouver ou de pr´evoir le calendrier d’une ann´ee quelconque. ´ 3. Etat, date par date, d’un ensemble d’activit´es pour une p´eriode donn´ee. Le calendrier de la session parlementaire. Le calendrier des expositions, des conf´erences. Avoir un calendrier tr`es charg´e. Sp´ecialt. Calendrier liturgique, catalogue des fˆetes religieuses c´el´ebr´ees au cours de l’ann´ee. Calendrier de Flore, tableau indiquant mois par mois la floraison des v´eg´etaux. »

3.2.2

Calendriers solaires et lunaires

Beaucoup de calendriers sont dits solaires, lunaires ou luni-solaires. Les calendriers solaires ont vocation ` a avoir une unit´e de leur d´ecoupage, en l’occurrence l’ann´ee, correspondant le mieux possible ` a l’ann´ee tropique ; cette fonction trouve son origine dans le besoin de retrouver approximativement aux mˆemes dates les d´ebuts des saisons. Le calendrier julien, puis le calendrier gr´egorien qui l’a am´elior´e, ainsi que le calendrier r´epublicain, sont des exemples de calendriers solaires. Les calendriers lunaires se fondent, eux, sur le mouvement de r´evolution de la Lune autour de la Terre. Leur p´eriode fondamentale est la lunaison, et la division du calendrier qui a vocation ` a s’en approcher le mieux est le mois. Le calendrier musulman est ainsi un calendrier lunaire. Les calendriers luni-solaires ont vocation `a r´epondre aux deux exigences : le mois correspond ` a une lunaison, et l’ann´ee moyenne `a une ann´ee tropique. Comme il n’y a pas un nombre entier de lunaisons dans une ann´ee, le calendrier luni-solaire peut avoir recours ` a l’ajout d’un mois de fa¸con p´eriodique, comme c’est le cas du calendrier isra´elite.

3.2.3

Les subdivisions d’un calendrier

3.2.3.1

L’ann´ ee et ses d´ efinitions

La d´efinition de l’ann´ee d´epend du ph´enom`ene dont on ´etudie la r´ep´etitivit´e ; le mouvement de base reste cependant la r´evolution de la Terre autour du Soleil. L’ann´ee peut ainsi faire l’objet de d´efinitions reprenant la typologie d´ecrite `a la page 136. 2. Voir le site du dictionnaire de l’Acad´ emie fran¸caise : http://atilf.atilf.fr/dendien/scripts/generic/ cherche.exe?15;s=2556897750;;.

139

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

Ann´ ee sid´ erale : si l’on consid`ere une direction fixe de l’espace passant par le Soleil et coplanaire avec l’orbite de la Terre, c’est le temps ´ecoul´e entre deux passages la Terre dans cette direction. Elle vaut 365,25636567 jours, soit 365 jours, 6 heures, 9 minutes, 10 secondes. Ann´ ee tropique : si l’on consid`ere la direction du point vernal (´equinoxe de printemps), c’est le temps ´ecoul´e entre deux passages cons´ecutifs dans cette direction qui, du fait de la pr´ecession du pˆ ole, se d´eplace ` a raison d’environ 50′′ /an. Elle vaut 365,242190517 jours, soit 365 jours, 5 heures, 48 minutes, 45 secondes. Ann´ ee anomalistique : si l’on consid`ere la direction du p´erih´elie, c’est le temps ´ecoul´e entre deux passages cons´ecutifs dans cette direction qui pr´ecesse, `a raison d’environ 61, 9′′ /an. Elle vaut 365,25964120 jours, soit 365 jours, 6 heures, 13 minutes, 53 secondes. Ann´ ee draconitique : si l’on consid`ere la direction du nœud ascendant de la Lune, c’est le temps ´ecoul´e entre deux passages cons´ecutifs dans cette direction qui r´etrograde, `a raison d’environ −190, 77′′/an. Elle vaut 346,6 jours 346 jours, 14 heures, 24 minutes. Ann´ ee julienne : c’est historiquement la dur´ee de l’ann´ee adopt´ee pour d´efinir le calendrier julien, en usage de 45 av. J.-C. jusqu’au xvie si`ecle. Elle est entach´ee de l’approximation due `a l’´epoque de sa d´etermination, et vaut 365,25 jours. Ann´ ee gr´ egorienne : c’est historiquement la dur´ee de l’ann´ee adopt´ee pour d´efinir le calendrier gr´egorien qui a pris la suite du calendrier julien et a palli´e `a ses insuffisances. Elle est ´egalement approximative quant aux objectifs assign´es au calendrier gr´egorien, `a savoir que les saisons reviennent ` a des dates approximativement fixes, mais sa d´erive demeure faible, de l’ordre de 3 jours tous les 10 000 ans par rapport `a l’ann´ee tropique qui est sa r´ef´erence. Elle vaut 365,2425 jours, soit 365 jours, 5 heures, 49 minutes, 12 secondes. Ann´ ee commune : c’est la valeur enti`ere de toute d´efinition de l’ann´ee bas´ee sur la r´evolution de la Terre autour du Soleil (c’est-` a-dire la base des calendriers solaires), `a savoir 365 jours. Ann´ ee bissextile : c’est la valeur enti`ere ajout´ee d’une unit´e de toute d´efinition de l’ann´ee bas´ee sur la r´evolution de la Terre autour du Soleil, `a savoir 366 jours. D’un usage tr`es ancien mais parfois approximatif, c’est avec le calendrier julien, puis avec le calendrier gr´egorien que son introduction s’est affin´ee. D’autres d´efinitions de l’ann´ee existent, mais sont d’un faible int´erˆet : ann´ees gaussienne, besselienne, h´eliaque, sothiaque, etc. 3.2.3.2

Le mois

Le mois est une p´eriode du calendrier correspondant tantˆ ot `a environ un douzi`eme de l’ann´ee tropique, si l’on se fonde sur les calendriers solaires, tantˆ ot `a une lunaison, si l’on se fonde sur les calendriers lunaires. Quant au calendrier r´epublicain, il comptait douze mois de trente jours, compl´et´es par cinq ou six jours compl´ementaires. 3.2.3.3

La semaine

C’est dans le r´ecit de la cr´eation du monde telle que racont´ee dans la Bible (Gen`ese, 1, puis 2,2 et 2,3) que se trouve l’origine de la semaine de sept jours dans les calendriers julien et gr´egorien. Cependant, on peut remarquer que la p´eriode de sept jours est approximativement le quart de la p´eriode lunaire, et que les M´esopotamiens utilisaient d´ej` a cette division du temps. Toutefois, 140

Ecart de la duree de l’annee a 365 j

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

0.265 0.264 0.263 0.262 0.261 0.26 0.259 0.258 0.257 0.256 0.255 0.254 0.253 0.252 0.251 0.25 0.249 0.248 0.247 0.246 0.245 0.244 0.243 0.242 0.241 0.24

siderale(x) tropique(x) anomalistique(x) gregorienne(x) julienne(x)

-6

-5

-4

-3

-2 -1 0 1 2 t (millenaires juliens) a partir de J2000.0

3

4

5

6

Figure 3.3 – Variations de la dur´ee des diff´erentes d´efinitions de l’ann´ee ; la date 0 est l’´epoque J2000.0. Les valeurs utilis´ees sont issues de [Simon et al., 1994].

´ les Egyptiens, les Chinois, les Grecs utilisaient la d´ecade de dix jours, reprise dans le calendrier r´epublicain. 3.2.3.4

Le jour

Le jour, comme nous l’avons vu, peut ˆetre vu sous deux d´efinitions : jour solaire et jour sid´eral (voir page 126). On peut aussi parler de la dur´ee du jour, qui est la dur´ee ´ecoul´ee entre le lever et le coucher du Soleil, auquel cas sa valeur varie au cours de l’ann´ee selon la latitude o` u l’on se trouve. En g´eod´esie spatiale et en astronomie, on appelle « dur´ee du jour » la dur´ee r´eelle du jour solaire, tenant compte des irr´egularit´es de la rotation terrestre. 3.2.3.5

L’heure

L’heure est la premi`ere subdivision du jour. Elle a donc eu une grande importance pour tous les peuples de l’Histoire. La facilit´e de division du nombre 12 (par 2, 3, 4, 6) l’a naturellement amen´e ` a ˆetre le nombre de base pour le comptage des heures de la journ´ee. Ainsi les Babyloniens ´ et Egyptiens comptaient-ils douze heures par jour et par nuit, ce qui en rendait la dur´ee variable. C’est des premiers que nous avons h´erit´e la division des heures en 60 minutes, puis des minutes ` en 60 secondes, le nombre 60 ´etant, comme 12, particuli`erement facile `a manipuler et `a diviser. A cela s’ajoute qu’en divisant le cercle en 360 degr´es de 60 minutes d’arc, chaque minute comptant 60 secondes d’arc, le Soleil parcourt environ 15 degr´es par vingt-quatri`eme de jour, c’est-`a-dire une heure.

3.2.4

Quelques calendriers

Mˆeme de fa¸con approximative, les calendriers du monde trouvent leur d´efinition dans le choix de ph´enom`enes astronomiques particuliers. Ils constituent une illustration tr`es int´eressante de r´ea-

141

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

lisations d’´echelles de temps ` a usage civil ou religieux, qui m´eritent d’ˆetre connues. Il y a ´evidemment de nombreux autres calendriers, mais le manque de temps d’une part, la nature de ce document d’autre part, nous ont oblig´e `a n’en choisir que quelques-uns ayant vocation `a illustrer notre propos. Les informations de ces parties sont issues de plusieurs sources, notamment [Bureau des longitudes, 2004], et divers sites internet : — http://fr.wikipedia.org : l’encyclop´edie contributive, pas toujours fiable, mais qui a au moins le m´erite de donner des ´el´ements pour une premi`ere recherche ; — http://www.louisg.net/liste_cal.htm : le site internet d’un passionn´e de calendriers, qui en d´ecrit de tr`es nombreux ; — http://www.calj.net : beaucoup de choses sur le calendrier isra´elite, de loin le plus complexe des calendriers pr´esent´es ici ; — http://www.imcce.fr : le site incontournable de l’Institut de M´ecanique C´eleste et de Cal´ em´erides. cul des Eph´

3.2.4.1

Le calendrier julien

Le calendrier julien est le calendrier solaire utilis´e `a Rome apr`es la r´eforme voulue par Jules C´esar (100 – 44 av. J.-C.) en −45. Il n’y a naturellement pas eu qu’un calendrier utilis´e `a Rome depuis sa fondation le 21 avril 753 av. J.-C. Cette date a cependant constamment servi d’origine des dates, formant le syst`eme AUC (Ab Urbe Condita : « `a partir de la fondation de la ville »). On a conserv´e les traces d’un premier calendrier de dix mois de 30 `a 31 jours, formant une ann´ee de 304 jours, ` a laquelle il convenait d’ajouter 61 jours en dehors de tout mois. C’est Numa Pompilius (715 – 673 av. J.-C.) qui introduisit les douze mois par an, chacun comptant de 28 `a 31 jours, formant une ann´ee de 354 jours ; un treizi`eme mois intercalaire de 29 jours ´etait ajout´e `a l’ann´ee tous les quatre ans, qui en comptait alors 384. On fit ensuite passer l’ann´ee ordinaire `a 355 jours, et l’ann´ee ` a 13 mois ` a 385. N´eanmoins, la dur´ee moyenne de l’ann´ee restait encore trop courte, avec 362,5 jours. Une construction plus complexe fut introduite sous la r´epublique, faisant intervenir un mois intercalaire de 27 jours tous les deux ans, imposant alors `a un des mois de passer de 28 jours les ann´ees sans mois intercalaire ` a 23 ou 24 alternativement les ann´ees avec ; l’ann´ee faisait alors en moyenne 366,25 jours. N´eanmoins, par oubli ou par choix politique, l’ajout de mois intercalaires fut parfois omis, rendant indispensable une r´eforme simple et efficace du calendrier. C’est en 46 av. J.-C. que cette r´eforme fut d´ecid´ee. Le retard de 90 jours accumul´e par les ann´ees du calendrier imposa de commencer par r´ealigner le d´ebut de l’ann´ee romaine avec le d´ebut de l’ann´ee tropique ; l’ann´ee −46 dura ainsi 445 jours, l’ann´ee normale du calendrier durant, rappelons-le, 355 jours. Le calendrier, d´esormais qualifi´e de julien, fut donc construit de fa¸con que : — douze mois forment une ann´ee ; — l’ann´ee commence le 1er janvier ; — l’ann´ee commune compte 365 jours, r´epartis ainsi : 31 jours en janvier, 28 en f´evrier, 31 en mars, 30 en avril, 31 en mai, 30 en juin, 31 en juillet, 31 en aoˆ ut, 30 en septembre, 31 en octobre, 30 en novembre, 31 en d´ecembre ; `a noter d’ailleurs que les mois portaient d´ej` a peu ou prou les noms que nous leur connaissons ; — le mois de f´evrier compte 29 jours une ann´ee sur quatre, formant une ann´ee de 366 jours, dite bissextile 3 .

3. Le site internet de l’IMCCE, a ` l’adresse http://www.imcce.fr/fr/grandpublic/temps/calendriers/ bissextile.php, explique que le jour suppl´ ementaire intercal´ e tous les quatre ans l’´ etait avant le 24 f´ evrier. Or « le 24 f´ evrier ´ etait nomm´ e ”sexto ante calendas martis” (le sixi` eme avant les calendes de mars). Ce jour suppl´ e-

142

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

L’ann´ee moyenne avait ainsi une dur´ee moyenne de 365,25 jours, approchant de fa¸con relativement moyenne, mais de fa¸con in´egal´ee `a l’´epoque, l’ann´ee tropique, et permettant de conserver fixes en moyenne les dates des saisons. Il est ` a noter que les ann´ees sont compt´ees avant J´esus-Christ diff´eremment selon qu’on est historien ou astronome : l’ann´ee imm´ediatement avant sa naissance est not´ee « 1 av. J.-C. » par les historiens, et 0 par les astronomes, qui n’ont donc aucun scrupule `a parler d’ann´ee n´egative. Les deux communaut´es s’accordent pour la consid´erer comme bissextile ; les historiens ne peuvent donc pas appliquer la r`egle de la divisibilit´e par quatre pour d´eterminer les ann´ees bissextiles avant J.-C. comme le font les astronomes, et comme c’est le cas, sans ambigu¨ıt´e, pour les ann´ees positives. Nous avons dans cette partie utilis´e les deux notations, qui sont dans la relation suivante : ann´ee « N av. J.-C. » des historiens

=

ann´ee « −(N − 1) » des astronomes

Les Anglo-saxons utilisent les notations AD et BC pour noter respectivement les dates positives et n´egatives, chacune signifiant Anno Domini, abbr´eviation de Anno Domini Nostri Iesu Christi (Ann´ee de notre Seigneur J´esus-Christ) et Before Christ (Avant le Christ). L’origine du calendrier julien ne fut propos´ee qu’en 527 par Denys le Petit (470 – 540). Les ann´ees ´etaient alors compt´ees soit dans le syst`eme AUC, depuis la fondation de Rome, soit dans le syst`eme de l’`ere de Diocl´etien (245 – 313), dont le d´ebut du r`egne, en 284, servait d’origine des dates. Dans le syst`eme AUC, la naissance de J´esus-Christ ´etait dat´ee au 25 d´ecembre de l’ann´ee 753. Denys le Petit proposa que l’origine du calendrier soit d´esormais le 1er janvier suivant cet ´ev`enement, c’est-` a-dire le 1er janvier 754 AUC, qui correspondait, en outre, au jour de la circoncision de J´esus, les enfants ´etant circoncis leur septi`eme jour dans la tradition juive ; cette nouvelle origine fonda ainsi l’`ere chr´etienne, encore appel´ee `ere commune ou conventionnelle. Cependant, la r´eforme de Denys le Petit ne fut pas imm´ediatement appliqu´ee ; il fallut le prestige de B`ede le V´en´erable (672 – 735) pour l’imposer au viiie si`ecle en Occident. On appelle calendrier julien proleptique le syst`eme de datation r´ealis´e en extrapolant avant sa date d’introduction le calendrier julien. Signalons enfin que le calendrier de beaucoup d’´eglises ´ orthodoxes est le calendrier julien, tandis que le calendrier de la communaut´e copte d’Egypte est une variante du calendrier julien, dont l’origine est celle de l’`ere de Diocl´etien. On utilise en astronomie de fa¸con tr`es fr´equente la notion de jour julien (Julian day – JD). Il s’agit du nombre d´ecimal de jours ´ecoul´es depuis le 1er janvier de l’ann´ee 4713 av. J.-C. (soit −4712 astronomique) du calendrier julien proleptique, `a 12 heures UTC. Ce syst`eme de datation permet donc d’unifier tous les calendriers et de fournir une datation univoque des ´ev`enements. Le choix de midi comme heure origine trouve sa justification dans le fait que les jours juliens devaient servir d’abord aux astronomes, et qu’il leur ´etait pr´ef´erable de ne pas avoir `a changer de date en cours d’une nuit d’observation. C’est pour cela qu’on l’appelle aussi jour julien astronomique ` titre d’exemple, le 1er janvier 2011 `a 0 heure UTC correspond au jour julien 2 455 562,5. (AJD). A De fa¸con ` a manipuler des valeurs moins grandes, le jour julien modifi´ e (MJD) a ´et´e introduit dans les ann´ees 1950, et compte les jours juliens ´ecoul´es le jour julien 2 400 000,5 (17 novembre 1858 `a 0 heure UTC) ; on remarquera que, si l’origine du jour julien astronomique est `a midi, celle du jour julien modifi´e est ` a minuit. Nous faisons cependant observer que si, implicitement, le jour julien repr´esente l’´echelle du temps universel, c’est-` a-dire associ´e `a la succession des jours et des nuits, on peut repr´esenter par des jours juliens toute autre ´echelle de temps. mentaire intercal´ e tous les quatre ans s’appelle tout logiquement ”bis sexto ante calendas martis”. L’emprunt au bas latin ”bisextilis” (de ”bisextus”) ` a la fin du ive si` ecle a produit en fran¸cais moderne l’adjectif que nous connaissons aujourd’hui : bissextile. »

143

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

3.2.4.2

Le calendrier gr´ egorien

Nous avons mentionn´e le fait que l’ann´ee julienne avait une dur´ee moyenne proche, mais diff´erente de l’ann´ee tropique. Au fil du temps, le calendrier julien a donc d´eriv´e par rapport aux saisons qu’il devait pourtant suivre. Une r´eforme s’imposait donc, d’abord pour ´eviter la d´erive de la date de Pˆ aques, telle que d´efinie par le concile de Nic´ee en 325. Le site internet de l’IMCCE explique ainsi : « ”Pˆ aques est le dimanche qui suit le quatorzi`eme jour de la Lune qui atteint cet ˆ age au 21 mars ou imm´ediatement apr`es”. Le quatorzi`eme jour de la Lune ´etant le jour de la pleine Lune et le 21 mars correspondant ` a la date de l´´equinoxe de printemps, cette d´efinition est souvent traduite de la mani`ere suivante : Pˆ aques est le premier dimanche qui suit la premi`ere pleine Lune de Printemps. Cette seconde d´efinition est trompeuse car elle laisse entendre que la date de Pˆ aques est le r´esultat d´un calcul astronomique bas´e sur la d´etermination de l´´equinoxe de printemps et de la premi`ere pleine Lune suivant cet ´equinoxe. En r´ealit´e il n´en est rien, le calcul de la date de Pˆ aques se fait ` a l´aide d´un calendrier perp´etuel lunaire utilisant une Lune moyenne fictive (Lune eccl´esiastique). Cette m´ethode de calcul porte le nom de comput eccl´esiastique. » Le pape Gr´egoire XIII (1502 – 1585) imposa donc une r´eforme consistant `a consid´erer que : — douze mois forment une ann´ee ; — l’ann´ee commence le 1er janvier ; — l’ann´ee commune compte 365 jours, r´epartis ainsi : 31 jours en janvier, 28 en f´evrier, 31 en mars, 30 en avril, 31 en mai, 30 en juin, 31 en juillet, 31 en aoˆ ut, 30 en septembre, 31 en octobre, 30 en novembre, 31 en d´ecembre ; — les ann´ees multiples de 4 sont bissextiles, sauf les ann´ees multiples de 100 mais non multiples de 400, qui sont communes. De la sorte, les ann´ees 1992, 1996, 2000, 2004 et 2008 ont ´et´e bissextiles, mais l’ann´ee 2100, bien que multiple de 4 et de 100, mais non de 400, ne le sera pas. Le calendrier form´e ainsi est appel´e calendrier gr´ egorien. La dur´ee moyenne de l’ann´ee gr´egorienne est donc de 365,2425 jours. Comme pour la r´eforme julienne, il fallut d’abord compenser le retard accumul´e, qui s’´elevait ` a 10 jours, et r´ealigner le nouveau calendrier sur les ph´enom`enes qu’il aurait du suivre. Ainsi le jeudi 4 octobre 1582 fut suivi du vendredi 15 octobre 1582. On remarquera que, dans le calendrier julien, le 15 octobre 1582 n’aurait jamais ´et´e un vendredi, mais un lundi, mais que c’est la continuit´e des semaines fut choisie `a l’occasion de cette transition, la semaine de sept jours trouvant son origine dans la Bible mˆeme. L’application de cette r´eforme ne fut pas synchrone dans le monde, loin s’en faut. Elle fut imm´ediate en Italie, en Espagne, au Portugal et en Pologne. En France, le 9 d´ecembre 1582 fut suivi du 20 d´ecembre 1582. En Angleterre, ce ne fut le cas qu’en 1752, tandis que la Russie dut attendre l’av`enement des bolcheviks pour passer au calendrier gr´egorien, un an apr`es la r´evolution d’octobre (du calendrier julien, mais de novembre dans le calendrier gr´egorien), en 1918. Pour des raisons ´evidentes, c’est le calendrier julien qu’utilisent les historiens pour les ´ev`enements ant´erieurs `a 1582 ; mais, cela va de soi, l’amplitude des dates de l’application de la r´eforme gr´egorienne n’a pu qu’engendrer des ambigu¨ıt´es sur la datation des ´ev`enements, notamment internationaux. D´esormais, le calendrier gr´egorien est admis comme une norme internationale selon l’Organisation Internationale de Standardisation (ISO). On appelle enfin jour lilien (lilian day – LD) le nombre d´ecimal de jour ´ecoul´es depuis le 14 octobre 1582 gr´egorien ` a 0 heure (jour julien 2 299 159,5).

144

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

3.2.4.3

Le calendrier musulman

Le calendrier musulman est un calendrier lunaire issu pour partie de la tradition pr´eislamique de la p´eninsule arabique, pour partie des prescriptions du Coran. Les calendriers arabiques ant´erieurs au calendrier musulman ´etaient des calendriers lunaires synchronis´es en moyenne avec le cycle solaire, c’est-` a-dire qu’ils comportaient douze ou treize mois, sur inspiration du calendrier isra´elite. C’est le Coran qui a fix´e le nombre de mois du calendrier, `a savoir douze (sourate 9, verset 36), et interdit d’y ajouter un treizi`eme (9, 37) ; ces mois sont : Muharram, Safar, Rabi’ al-awwal, Rabi’ al-thani, Jumada al-awwal, Jumada al-thani, Rajab, Sha’ban, Ramadan, Chawwal, Dhu al-Qi’dah, Dhu al-Hijjah. Si la tradition musulmane date `a l’ann´ee 610 la r´ev´elation de l’ange Gabriel ` a Muhammad (570 – 632), c’est la date de l’´emigration des mecquois vers M´edine, l’h´egire, dat´ee le 16 juillet 622 julien, qui est la date origine du calendrier musulman, et le commencement de l’`ere de l’h´egire, souvent not´ee AH (Anno Hegirae). Cependant, le calendrier de l’h´egire a ´et´e adopt´e dix ans apr`es cet ´ev`enement, par le calife Omar (581 – 644), qui a d´ecid´e du premier mois de l’ann´ee (Muharram). La semaine musulmane compte sept jours, appel´es Youm el Ahad, Youm el Thani, Youm el Thaleth, Youm el Arbaa, Youm el Thamis, Youm el Djouma, Youm el Effabt (Youm as-sabt ). Le calendrier musulman ´etant de caract`ere lunaire, la dur´ee du mois devrait ˆetre th´eoriquement celle de la lunaison (appel´ee « p´eriode synodique » dans le tableau 2.2 page 97), `a savoir 29 jours, 12 heures, 44 minutes, 2,9 secondes. Naturellement, pour des raisons pratiques ´evidentes, et comme pour tous les calendriers, le nombre de jours du mois musulman est entier. Mais si le calcul astronomique peut permettre la pr´evision `a l’avance du calendrier, chaque nouvelle lune signifiant, a priori, le passage d’un mois ` a l’autre, les mois du calendrier musulman ne commencent en r´ealit´e, selon les hadiths, que lorsque le croissant de Lune suivant une nouvelle Lune devient visible `a l’œil nu. C’est ce caract`ere observationnel qui rend variable le d´ebut du mois selon le lieu d’observation, et donc sa dur´ee ; en revanche, en moyenne, il n’y a pas de d´erive d’un lieu `a l’autre, la r´evolution de la Lune autour de la Terre n’´etant pas d´ependante du lieu de son observation. Il faut remarquer que, si les conditions astronomiques ou m´et´erologiques d’un lieu empˆechent d’apercevoir le premier croissant, le mois courant est prolong´e d’un jour, et d’un jour seulement, mˆeme si, le lendemain, elles empˆechent toujours cette observation. Par ailleurs, si, un jour donn´e, le croissant ne peut pas ˆetre observ´e ` a un endroit, mais qu’il l’est ailleurs, alors le mois commence avec un jour d’´ecart dans ces deux endroits. Pour les usages administratifs, de fa¸con conventionnelle, le calendrier musulman alterne successivement les mois de 29 et de 30 jours, ce qui donne une dur´ee moyenne au mois de 29,5 jours. Il y a donc un ´ecart de 44 minutes et 2,9 secondes avec la dur´ee r´eelle de la lunaison, qui se cumule jusqu’` a atteindre un jour au bout de 2,73 ans. L’ann´ee musulmane commune compte ainsi six mois de 29 jours, et six de 30, soit 354 jours. Pour compenser l’´ecart entre la dur´ee conventionnelle du mois et la dur´ee r´eelle de la lunaison, un jour suppl´ementaire est introduit tous les trois ans environ, formant une ann´ee dite abondante ; le « environ » relatif ` a la p´eriode d’ajout d’un jour au calendrier musulman tient `a l’existence d’un cycle calendaire de trente ans, au sein duquel 19 ann´ees sont communes, et 11 abondantes ; ce cycle est appel´e Cycle de M´eton 4 , et est aussi utilis´e pour le calendrier isra´elite. Ainsi le 1er janvier 2011 gr´egorien correspond au 25 Muharram 1432 musulman, tandis que le d´ebut de l’ann´ee 1433, c’est-` a-dire le 1er Muharram musulman, correspond au 27 novembre 2011 gr´egorien. Il existe cependant des variantes locales, li´ees principalement `a l’interpr´etation du Coran quant 4. M´ eton d’Ath` enes, Ve si` ecle av. J.-C.

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a` la d´etermination du d´ebut de mois et des fˆetes religieuses. En particulier, l’Arabie Saoudite utilise deux m´ethodes de d´etermination du d´ebut du mois. La premi`ere, `a vocation administrative, utilise une m´ethode de calcul dite de l’Umm al Qura, qui d´etermine si le coucher de la Lune au 29e jour du mois a lieu avant ou apr`es le Soleil ; dans le premier cas, la nouvelle Lune n’a pas encore eu lieu, et le mois courant est prolong´e d’un jour, tandis que, dans le second, le jour suivant est le premier jour du mois suivant. La seconde m´ethode concerne la d´etermination du d´ebut des mois associ´es ` a des c´el´ebrations religieuses (Muharram, Ramadan, Chawwal, Dhu al-Hijjah...), qui est obtenue par observation du premier croissant de Lune. Certains pays utilisent aussi des juges ou des commissions sp´ecialis´ees, tandis que certains prennent en compte le temps ´ecoul´e entre le coucher du Soleil et de la Lune suivant la conjonction inf´erieure, et que d’autres ont ´etabli des crit`eres angulaires entre les deux astres. En 2013, pour la premi`ere fois, le Conseil Fran¸cais du Culte Musulman (CFCM) s’est d’ailleurs appuy´e sur le calculs astronomique plutˆ ot que sur l’observation pour d´ecider de la date de d´ebut du Ramadan. 3.2.4.4

Le calendrier isra´ elite

Le calendrier isra´ elite est un calendrier luni-solaire, c’est-`a-dire que les mois sont calqu´es sur une lunaison mais que les ann´ees le sont sur une ann´ee tropique. C’est un calendrier qui est apparu au Proche-Orient sur inspiration du calendrier babylonien. La Torah semble indiquer que Mo¨ıse a institu´e un calendrier religieux ; l’ann´ee commen¸cait avec la Pˆ aques (Pessah), comm´emorant ´ l’exode des Juifs hors d’Egypte (Exode, 12, 2 et 12, 11 ; Deut´eronome, 16, 1) ; de nombreuses fˆetes c´el´ebraient des moments de l’activit´e agricole au cours de l’ann´ee. Apr`es la conquˆete de J´erusalem par Nabuchodonosor (632 – 562 av. J.-C.), en 597 av. J.-C., les Juifs furent d´eport´es `a Babylone, o` u, entre autres, ils adopt`erent le calendrier babylonien, issu de la brillante tradition astronomique de cette civilisation. Ils adopt`erent aussi le d´ecouplage entre datation religieuse et civile, au sein du mˆeme calendrier, les deux ´etant d´ecal´ees de six mois sur douze au total. Les mois se calquaient sur les lunaisons ; cependant, pour faire correspondre les ann´ees ainsi construites sur les ann´ees solaires, un mois suppl´ementaire ´etait ajout´e `a la fin de l’ann´ee religieuse. Cette d´ecision ´etait prise, non sur la base de r`egles ´etablies, mais par d´elib´eration du Sanh´edrin, institution l´egislative et judiciaire suprˆeme du peuple juif, si´egeant `a J´erusalem. Cette d´ecision devait s’appuyer sur les t´emoignages concordant de voyageurs qui d´eclareraient avoir vu le premier croissant aux alentours du 29e jour d’un mois ; si c’´etait le cas, le Sanh´edrin faisait commencer le nouveau mois au coucher du Soleil du jour o` u l’on avait vu le croissant de Lune, tandis que, dans le cas contraire, le mois en cours durait 30 jours. L’annonce du nouveau mois ´etait transmise de proche en proche `a partir d’un feu allum´e au sommet du mont des Oliviers. Cependant, les Juifs connurent sous l’´epoque romaine la dispersion de leur communaut´e du fait de la pers´ecution que leur infligea l’empereur Titus (39 – 81), si bien qu’ils se retrouv`erent ´eparpill´es de par le monde, empˆechant la communication rapide de la d´eclaration du nouveau mois. C’est Hillel II qui, en 359 de notre `ere, en tant que pr´esident du Sanh´edrin, d´ecida de r`egles ne reposant plus sur l’observation. Le jour civil commence `a 0 heure, mais le jour religieux commence conventionnellement ` a 18 heures ; les deux comptent vingt-quatre heures. Chaque heure est divis´ee en 1080 parties (ou scrupules) appel´ees halakim, chacune divis´ee en 76 moments (ou instants) appel´es regakim. La semaine compte sept jours, comme chez les Babyloniens, qui sont synchrones avec les jours de la semaine gr´egorienne : Yom rishom (dimanche), Yom sheni, Yom shlishi, Yom Revi’i, Yom chamishi, Yom shishi, shabbat. En tant que calendrier lunaire, il s’av´erait n´ecessaire d’ajouter un jour environ tous les trois ans, de fa¸con `a compenser l’´ecart entre la dur´ee r´eelle de la lunaison et la dur´ee moyenne des mois du calendrier, cens´ee la suivre. L’ajout d’un jour se fait en suivant le cycle dit de M´eton d’Ath`enes qui, au ve si`ecle, remarqua que dix-neuf ann´ees tropiques (6940 jours) correspondent ` a 235 lunaisons, `a deux heures pr`es, c’est-`a-dire que les mˆemes dates correspondent aux mˆemes phases de la Lune ; or 19 ann´ees de 12 mois lunaires ne font que 228 mois,

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c’est-`a-dire qu’il manque sept mois au calendrier pour ˆetre ajust´e sur le d´eroulement du saisons. Ces sept mois suppl´ementaires sont ajout´es sur le cycle de 19 ans aux ann´ees 3, 6, 8, 11, 14, 17 et 19, formant les ann´ees embolismiques, c’est-`a-dire `a treize mois (le treizi`eme mois ´etant le mois de Veadar, le mois pr´ec´edent, Adar, augmentant alors de 29 `a 30 jours), les ann´ees `a douze mois ´etant qualifi´ees de communes. Mais en ce qui concerne le nombre de jours de chaque mois et de l’ann´ee, la r`egle h´ebra¨ıque est tr`es complexe, car les fˆetes religieuses ont un statut comparable au sabbat (fˆet´e le jour de shabbat, samedi) ; or il se trouve que la r`egle impose que deux jours cons´ecutifs ne peuvent pas ˆetre des sabbats, c’est-` a-dire qu’aucune fˆete religieues juive ne peut tomber un vendredi ou un dimanche. Pour parvenir ` a cet objectif, certains mois ont vocation `a augmenter leur nombre de jours : ce sont les mois de heshvan et kislev ; cependant, l’augmentation de leur nombre de jours d´epend de la nature de l’ann´ee consid´er´ee, commune ou embolismique. Cela conduit `a avoir des ann´ees, dans chaque cas, pouvant avoir trois nombres de jours distincts, formant des ann´ees d´efectives, r´eguli`eres ou abondantes. Le tableau 3.1 r´ecapitule les diff´erents cas de figures de dur´ees possibles des mois et des ann´ees du calendrier h´ebra¨ıque. ´ ANNEES MOIS

COMMUNES EMBOLISMIQUES D´efectives R´eguli`eres Abondantes D´efectives R´eguli`eres Abondantes Tishri 30 30 30 30 30 30 Heshvan ∗ 29 29 30 29 29 30 Kislev ∗ 29 30 30 29 30 30 Tevet 29 29 29 29 29 29 Shvert 30 30 30 30 30 30 Adar ∗∗ 29 29 29 30 30 30 Veadar ∗∗∗ – – – 29 29 29 Nissan 30 30 30 30 30 30 Iyar 29 29 29 29 29 29 Sivan 30 30 30 30 30 30 Tamouz 29 29 29 29 29 29 Av 30 30 30 30 30 30 Eloul 29 29 29 29 29 29 TOTAL 353 354 355 383 384 385 ∗ : Mois de dur´ee variable entre ann´ees d´efectives, r´eguli`eres et abondantes. ∗∗ : Mois de dur´ee variable entre ann´ees communes et embolismiques. ∗∗∗ : Mois ajout´e les ann´ees embolismiques. Table 3.1 – Jours, mois et ann´ees du calendrier h´ebra¨ıque. Cependant, la d´etermination du type d’ann´ee auquel on a affaire n´ecessite la connaissance de la d´efinition de l’ensemble des fˆetes religieuses juives, dont la Torah est la source, ainsi que d’une ´eph´em´eride pr´ecise de la Lune th´eorique introduite par Hillel II, dont la p´eriode est de 29 jours 12 heures 793 halakim (29,530 594 136 jours), l’ann´ee ayant une dur´ee moyenne, toujours selon lui, de 365,246 822 205 977 907 jours. En effet, certaines fˆetes se situent par rapport aux ph´enom`enes astronomiques, et nous avons vu que ce sont eux qui imposent les contraintes faisant varier le nombre de jours des mois et des ann´ees. Un des ph´enom`enes les plus structurants du calendrier juif est ainsi le molad, ` a savoir la nouvelle Lune la plus proche de l’´equinoxe d’automne ; c’est son calcul qui impose la date de d´ebut et la nature de l’ann´ee. L’origine du calendrier h´ebra¨ıque est situ´ee au dimanche 6 octobre 3761 av. J.-C. (−3760) du calendrier julien proleptique, date de la cr´eation du monde selon les Juifs, le Soleil et la Lune 147

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n’´etant cr´e´es que le quatri`eme jour (Gen`ese, 1, 14-19). Le 1er janvier 2011 gr´egorien correspond au 25 tevet 5771 h´ebra¨ıque, tandis que le 1er tishri 5772 h´ebra¨ıque correspond au 29 septembre 2011 gr´egorien. 3.2.4.5

Le calendrier r´ epublicain

La r´evolution fran¸caise s’est voulue l’av`enement de la libert´e, de l’´egalit´e entre les hommes, et de la raison. Une des cons´equences de cette volont´e politique r´esida dans l’adoption d’un autre calendrier que le calendrier gr´egorien, dans lequel, bien que construit sur des arguments pratiques, tout est li´e ` a la religion catholique : nombre de jours de la semaine, saints, fˆetes religieuses, etc. Le mot mˆeme de calendrier, trop associ´e au gr´egorien, avait vocation `a ˆetre remplac´e par celui d’annuaire. On se reportera, pour l’ensemble de cette partie, `a l’ouvrage ´edit´e par le Bureau des longitudes ` a l’occasion du bicentenaire de la R´evolution [Bureau des longitudes, 1989].

a) Pr´ esentation historique La prise de la Bastille, le 14 juillet 1789 marqua le d´ebut d’une habitude que les r´evolutionnaires prirent au cours des ´ev`enements, celle de consid´erer l’ann´ee 1789 comme an I de la libert´e. C’est pourtant l’´emission des assignats, en 1792, qui posa plus pr´ecis´ement et de fa¸con officielle, la question de la date `a aposer sur les billets et les pi`eces, et de l’origine ` a consid´erer : le 1er janvier 1789 ou le 14 juillet 1789 ? On d´ecida finalement que l’an IV de la libert´e commen¸cait le 1er janvier 1792. Mais le 10 aoˆ ut, la monarchie chuta, sans qu’un autre r´egime fˆ ut institu´e. Ceci fut fait le 22 septembre de la mˆeme ann´ee, au lendemain de la victoire de Valmy contre les arm´ees royalistes europ´eennes coalis´ees, avec la proclamation de la R´epublique qui entraˆına une modification de l’origine des dates, l’an II de la R´epublique commen¸cant le 1er janvier 1793. Le Comit´e d’Instruction publique installa une commission charg´ee de travailler `a la d´efinition d’une nouvelle `ere pour la France, compos´ee de Romme 5 , Dupuis 6 , Guyton 7 , Ferry 8 , et avec le concours de Monge 9 et Lagrange 10 . La commission proposa un projet, adopt´e par le Comit´e le 14 septembre 1793 et pr´esent´e ` a la Convention le 20 septembre. Romme y d´eclare : « (...) l’`ere vulgaire fut l’`ere de la cruaut´e, du mensonge, de la perfidie et de l’esclavage ; elle a fini avec la royaut´e, source de tous nos maux. » Il rappelle les r`egles inh´erentes aux calendriers lunaires, n´ecessitant l’ajout de jours ou de mois, ´ mais souligna la qualit´e des travaux des Egyptiens et des Babyloniens, dont il allait s’inspirer. Son objectif rousseausiste de fonder son œuvre sur la nature est expos´e : « En suivant le cours naturel des choses, et cherchant un point fixe dans les mouvements c´elestes bien connus aujourd’hui, il sera toujours facile de faire co¨ıncider l’ann´ee civile avec l’ann´ee solaire, par des corrections qui se feront successivement, aussitˆ ot que les petites diff´erences cumul´ees auront produit un jour. » Le caract`ere solaire du calendrier est ainsi explicitement mentionn´e. Il poursuit en interpr´etant la date de la proclamation de la R´epublique, qui tomba le mˆeme jour que l’´equinoxe d’automne, comme un signe annonciateur : 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Charles-Gilbert Romme (1750 – 1795). Charles-Fran¸cois Dupuis (1742 – 1809). Louis-Bernard Guyton de Morveau, devenu Louis-Bernard Guyton-Morveau (1737 – 1816). Claude Joseph Ferry (1757 – 1845). Gaspard Monge (1746 – 1818). Voir page 77.

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« Ainsi l’´egalit´e des jours ´egaux aux nuits ´etait marqu´ee dans le ciel, au moment mˆeme o` u l’´egalit´e civile et morale ´etait proclam´ee par les repr´esentants du peuple fran¸cais comme le fondement sacr´e du nouveau gouvernement. Ainsi le Soleil a ´eclair´e ` a la fois les deux pˆ oles et successivement le globe entier, le mˆeme jour o` u pour la premi`ere fois, a brill´e dans toute sa puret´e, sur la nation fran¸caise, le flambeau de la libert´e qui doit un jour ´eclairer tout le genre humain. Ainsi le Soleil a pass´e d’un h´emisph`ere ` a l’autre le mˆeme jour o` u le peuple triomphant de l’oppression des rois a pass´e du gouvernement monarchique au gouvernement r´epublicain. » Il sugg`ere donc que le premier jour de l’an I de la nouvelle `ere soit le 22 septembre 1792, et que chaque nouvelle ann´ee commence le jour de l’´equinoxe vrai d’automne. Il continue en d´ecrivant le projet de la commission concernant la division de l’ann´ee : — — — —

l’ann´ee comptera douze mois, multiple de quatre, le nombre de saisons ; les mois auront tous la mˆeme dur´ee de 30 jours ; des jours suppl´ementaires, dits ´epagom`enes, seront ajout´es pour compl´eter l’ann´ee ; les semaines de sept jours sont abolies, et remplac´ees par des d´ecades de 10 jours ; chaque mois compte donc exactement trois d´ecades ; en outre : « Le jour de la d´ecade indiquera constamment les mˆemes jours du mois et de l’ann´ee. On ne peut obtenir cet avantage de la semaine. » ; — le jour est divis´e en ´echelles d´ecimales. Il aborde ensuite la question de l’addition d’un jour suppl´ementaire tous les quatre ans, p´eriode appel´ee Olympiade en hommage aux Grecs. Il d´eveloppe enfin un projet de refonte de la nomenclature du calendrier fran¸cais, soulignant que : « Les noms des mois rappellent ou des tyrans oppresseurs de leur pays, comme janvier, juillet, ´ comme f´evrier, mars, mai 12 ; ou des noms aoˆ ut 11 ; ou des dieux des Romains et des Etrusques ordinaux comme septembre, octobre, novembre, d´ecembre 13 , qui furent destin´es ` a indiquer l’ordre des mois de Romulus (...) Cette nomenclature est ´evidemment un monument de servitude et d’ignorance, auquel les peuples ont successivement ajout´e une empreinte de leur avilissement. Les noms astrologiques de la semaine 14 et leur ordre cabalistique qui se sont conserv´es d’apr`es les premiers ´ Egyptiens, par les imposteurs qui en ont fait leur profit, et par l’aveuglement des hommes qui ont pr´ef´er´e en tout temps de souffrir plutˆ ot que de rien changer aux habitudes imb´eciles de leurs p`eres, d´eshonoreraient notre r´evolution s’ils ´echappaient ` a votre vigilance qui a su si bien attaquer tous les pr´ejug´es. » Il expose, pour conclure, les diff´erents projets de nomenclature, visant tous `a exalter les valeurs de la R´epublique. La Convention adopte le nouveau calendrier par un vote du 5 octobre 1793. Le d´ecret dat´e de ce jour pr´ecise cependant que « le commencement de chaque ann´ee est fix´e ` a minuit, commen¸cant le jour o` u tombe l’´equinoxe vrai d’automne pour l’Observatoire de Paris (...) La p´eriode bissextile de quatre ans est appel´ee Franciade. Le jour intercalaire qui doit terminer cette p´eriode est appel´e jour de la R´evolution. » 11. Respectivement Janus, qui n’´ etait pas un tyran, mais un dieu, puis Jules C´ esar et l’empereur Octave Auguste (63 av. J.-C. – 14 ap. J.-C.). 12. Respectivement Februa, dieu ´ etrusque de la mort et de la purification, Mars, dieu de la guerre, et Ma¨ıa, d´ eesse grecque, fille d’Atlas et Pl´ eion´ e, m` ere d’Herm` es. 13. Respectivement sept, huit, neuf, dix, num´ eros d’ordre de ces mois dans l’ancien calendrier romain, avant la r´ eforme de Jules C´ esar. 14. Lundi est le jour de la Lune, Mardi celui de Mars, Mercredi celui de Mercure, Jeudi celui de Jupiter, Vendredi celui de V´ enus, Samedi celui de Saturne, Dimanche celui du Seigneur.

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La question de la nomenclature est cependant renvoy´ee `a une commission compos´ee de Ch´e17 ´ nier 15 , David 16 , Fabre d’Eglantine et Romme, nomm´ee le 18 octobre 1793 18 . Le 27 octobre 1793 e ´ (3 jour du second mois de l’an II), Fabre d’Eglantine est en mesure d’annoncer `a la Convention : « L’id´ee premi`ere qui nous a servi de base est de consacrer, par le calendrier, le syst`eme agricole et d’y ramener la nation en marquant les ´epoques et les fractions de l’ann´ee par des signes intelligibles ou visibles pris dans l’agriculture et l’´economie rurale. » AUTOMNE Vend´emiaire Brumaire Frimaire

HIVER Nivˆose Pluviˆose Ventˆ ose

PRINTEMPS Germinal Flor´eal Prairial

´ E ´ ET Messidor Thermidor Fructidor

Table 3.2 – Les mois du calendrier r´epublicain.

Il pr´esente ensuite les noms des mois du calendrier (voir le tableau 3.2). Il est ´evident que les noms des mois, et les sonorit´es associ´ees `a chaque saison n’ont pas ´et´e pris au hasard. Fabre ´ d’Eglantine, lui-mˆeme po`ete, pr´ecise en effet : « les noms des mois qui composent l’automne ont un son grave et une mesure moyenne, ceux de l’hiver un son lourd et une mesure longue, ceux de printemps un son gai et une mesure br`eve et ceux de l’´et´e un son sonore et une mesure large. Ainsi les trois premiers mois de l’ann´ee, qui composent l’automne, prennent leur ´etymologie, le premier, des vendanges qui ont lieu en septembre et octobre : ce mois se nomme Vend´emiaire. Le second, des brouillards et des brumes basses qui sont (...) la transaction de la nature d’octobre en novembre : ce mois se nomme Brumaire. Le troisi`eme mois, du froid, tantˆ ot sec, tantˆ ot humide qui se fait sentir en d´ecembre : ce mois se nomme Frimaire. Les trois mois d’hiver prennent leur ´etymologie le premier, de la neige qui blanchit la terre de d´ecembre en janvier : ce mois se nomme Nivˆ ose. Le second, des pluies qui tombent g´en´eralement avec plus d’abondance de janvier ` a f´evrier : ce mois se nomme Pluviˆ ose. Le troisi`eme, des giboul´ees qui ont lieu et du vent qui vient s´echer la terre de f´evrier a ` mars : ce mois se nomme Ventˆ ose. Les trois mois du printemps prennent leur ´etymologie le premier de la fermentation et du d´eveloppement de la s`eve de mars en avril : ce mois se nomme Germinal. Le second, de l’´epanouissement des fleurs d’avril en mai : ce mois se nomme Flor´eal. Le troisi`eme, de la f´econdit´e riante et de la r´ecolte des prairies de mai en juin : ce mois se nomme Prairial. Les trois mois de l’´et´e enfin, prennent leur ´etymologie, le premier de l’aspect des ´epis ondoyant et des moissons dor´ees qui couvrent les champs de juin en juillet : ce mois se nomme Messidor. Le second, de la chaleur tout ` a la fois solaire et terrestre, qui embrase l’air de juillet en aoˆ ut : ce mois se nomme Thermidor 19 . Le troisi`eme, des fruits que le Soleil dore et mˆ urit d’aoˆ ut en septembre : ce mois se nomme Fructidor. » Les jours, quant ` a eux, sont nomm´es ainsi : primdi (mais primidi, quoique non officiel, finira par s’imposer), duodi, tridi, quartidi, quintidi, sextidi, septidi, octidi, nonidi, d´ecadi. Le calendrier gr´egorien assignant `a chaque jour un saint, il ´etait n´ecessaire que 15. Andr´ e Marie de Ch´ enier, dit Andr´ e Ch´ enier (1762 – 1794). 16. Jacques-Louis David (1748 – 1825). ´ 17. Philippe-Fran¸cois-Nazaire Fabre, dit Fabre d’Eglantine (1750 – 1794). 18. Ou plutˆ ot le « 27e jour du 1er mois de l’an II », car si l’ancien calendrier avait ´ et´ e aboli et le nouveau adopt´ e, celui-ci n’avait toujours pas de nomenclature. 19. Fabre avait d’abord propos´ e le nom de Fervidor.

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Figure 3.4 – Les muses du calendrier r´epublicain. Source : site internet du logiciel « Salut et fraternit´e », ` a l’adresse http://prairial.free.fr/calendrier/calendrier.php?lien=niais 151

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« la Nation, apr`es avoir chass´e cette foule de canonis´es de son calendrier, devait y retrouver en face tous les objets qui composent la v´eritable richesse nationale, les signes objets, sinon de son culte, au moins de sa culture, les utiles production de la Terre, les instruments dont nous nous servons pour cultiver, et les animaux domestiques, nos fid`eles serviteurs dans ces travaux, animaux bien plus pr´ecieux, sans doute, aux yeux de la raison, que les squelettes b´eatifi´es tir´es des catacombes de Rome. En cons´equence, nous avons rang´e par ordre dans la colonne de chaque mois, les noms des vrais tr´esors de l’´economie rurale. Les grains, les pˆ aturages, les arbres, les racines, les fleurs, les fruits, les plantes, sont dispos´es, dans le calendrier de mani`ere que la place et le quanti`eme que chaque production occupe, est pr´ecis´ement le temps et le jour o` u la nature en fait pr´esent. ` chaque quintidi, c’est-` A a-dire ` a chaque demi-d´ecade, les 5, 15, 25 de chaque mois, est inscrit un animal domestique, avec rapport pr´ecis entre la date de cette inscription et l’utilit´e r´eelle de l’animal inscrit. Chaque d´ecadi est marqu´e par le nom d’un instrument aratoire, le mˆeme dont l’agriculteur se sert au temps pr´ecis o` u il est plac´e ; de sorte que par opposition, le laboureur dans le jour de repos retrouvera consacr´e, dans le calendrier, l’instrument qu’il doit reprendre le lendemain : id´ee ce me semble touchante qui ne peut qu’attendrir nos nourriciers, et leur montrer enfin qu’avec la R´epublique est venu le temps o` u un laboureur est plus estim´e que tous les rois de la terre ensemble, et l’agriculture compt´ee comme le grenier des arts de la soci´et´e civile. » Enfin, les jours ´epagom`enes sont abord´es : « Nous appellerons donc ces cinq jours collectivement pris, les sansculottides. Les cinq jours des sansculottides, composant une demi-d´ecade, seront d´enomm´es primdi, duodi, tridi, quartidi, quintidi et dans l’ann´ee bissextile 20 , le sixi`eme jour sextidi : le lendemain l’ann´ee recommencera par primdi, premier de vend´emiaire... » Les sansculottides sont enfin associ´es chacun `a une fˆete : la fˆete du g´enie, le travail, les actions, les r´ecompenses, l’opinion et, tous les quatre ans, la Sansculottide. Le d´ecret du 5 octobre 1793 est modifi´e en cons´equence le jour mˆeme, et les sansculottides sont finalement les suivantes : la fˆete de la vertu, la fˆete du g´enie, la fˆete du travail, la fˆete de l’opinion, la fˆete des r´ecompenses, et la Sansculottide. Le 4 Frimaire An II (24 novembre 1793), la Convention refond tous les d´ecrets li´es au calendrier en un seul, en modifiant quarante-sept d´enominations de jours. En outre, le calendrier ´etait parsem´e de fˆetes nationales, compos´ees des fˆetes r´evolutionnaires, des sansculottides, et des fˆetes d´ecadaires, c´el´ebr´ees chaque d´ecadi (` a la nature, au patriotisme, `a la bienveillance universelle, ` a la libert´e, `a l’´electricit´e, etc.). b) Difficult´ e scientifique du calendrier L’ann´ee, on l’a vu, commen¸cait `a minuit le jour o` u tombe l’´equinoxe vrai d’automne pour l’Observatoire de Paris. Sans qu’il y ait a priori besoin d’une r`egle pour l’ajout d’un jour ` a la fin de chaque ann´ee, cette d´efinition de l’origine de l’ann´ee permet, par le simple calcul astronomique, de d´eterminer si une ann´ee compte 365 jours ou 366. Le premier jour de l’an I de la R´epublique avait ainsi ´et´e fix´e au 22 septembre 1792, lendemain de la victoire de Valmy et jour de l’´equinoxe d’automne, celui-ci ´etant survenu `a 9 heures 18 minutes 30 secondes (calcul d’´epoque). Par le calcul, on ´etablit que l’an I et l’an II auraient 365 jours, mais que l’an III en aurait 366, l’´equinoxe d’automne de 1795 de l’`ere vulgaire tombant le 23 septembre `a 2 heures 44 minutes 49 secondes. Malgr´e l’absence de r`egle concernant l’addition d’un jour, Romme croyait qu’elle se succ`ederait tous les quatre ans, et que ce ne serait qu’au terme d’une p´eriode 20. Note de [Bureau des longitudes, 1989] : Fabre emploie encore pour d´ esigner l’ann´ ee de 366 jours le mot bissextile, expression qui n’avait plus de sens. Ce fut seulement le d´ ecret du 10 brumaire qui substitua au mot de bissextile celui de sextile.

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de 132 ans qu’il faudrait sauter un jour intercalaire. Le d´ecret du 4 Frimaire comportait ainsi une table ´enon¸cant les ann´ees sextiles 21 `a venir, qui devaient ˆetre l’an III, l’an VII et l’an XI. Mais Delambre 22 , qui n’avait pas ´et´e consult´e par Romme en 1793, montra qu’il devrait arriver trois fois par si`ecle, sans r´egularit´e, o` u l’intervalle entre deux ann´ees sextiles ne serait pas de quatre ans mais de cinq. Ainsi par exemple, si le calendrier r´epublicain avait ´et´e encore en vigueur `a cette ´epoque, l’an XV aurait ´et´e sextile, mais pas l’an XIX, au profit de l’an XX. En outre, Delambre avait conscience de l’impr´ecision des pr´edictions d’´equinoxe, comme des autres ph´enom`enes astronomiques, celles-ci ´etant de l’ordre de quelques minutes. Cette impr´ecision rendait impossible, `a terme, de connaˆıtre trop ` a l’avance les ann´ees sextiles ou simples, si l’´equinoxe tombait quelques secondes avant ou apr`es minuit. Selon les calculs effectu´es `a l’´epoque, l’´equinoxe de 1935 devait arriver le lendemain du cinqui`eme jour compl´ementaire, vingt secondes avant minuit 23 . L’impr´ecision du calcul rendait donc impossible la qualification de sextile entre l’an CXLIII et l’an CXLIV. Apr`es consultation de Laplace 24 et de Lalande 25 , Delambre communiqua `a Romme ses conclusions, et admit la n´ecessit´e de modifier les articles concern´es du d´ecret du 4 frimaire. Delambre proposa ainsi, dans un premier temps, de revenir `a la r`egle gr´egorienne de placement des jours suppl´ementaires. Par commodit´e, il proposa aussi qu’ind´ependamment de la date de l’´equinoxe vrai, la premi`ere ann´ee sextile de l’`ere de la R´epublique fˆ ut l’an IV et non l’an III. Ainsi la d´efinition du d´ebut de l’ann´ee ne serait plus celle consistant dans la date de l’´equinoxe vrai d’automne, mais, ` a nouveau, le jour suivant le 365e de l’ann´ee ou le 366e si elle ´etait sextile. Cependant, Delambre ´etudia de fa¸con plus pr´ecise la dur´ee l’ann´ee, qu’il parvint `a borner. Il montra que sur une p´eriode de 36 si`ecles (ou 40, selon la borne utilis´ee), le calendrier gr´egorien comptait un jour intercalaire de trop, et qu’il serait n´ecessaire, pour obtenir un calendrier encore plus pr´ecis, de supprimer un jour intercalaire tous les 36 ou 40 si`ecles. Cette r´eforme aurait ainsi amen´e la dur´ee moyenne de l’ann´ee civile `a 365,24225 jours, au lieu de 365,2425 pour l’ann´ee gr´egorienne, les deux ayant vocation `a s’approcher au mieux des 365,24220 de l’ann´ee tropique vraie. L’erreur de trois jours tous les dix mille ans du calendrier gr´egorien aurait ainsi ´et´e ramen´ee `a une erreur de cinq jours tous les cent mille ans. Romme fut donc mandat´e par ses coll`egues pour porter cette question devant le Comit´e d’Instruction Publique le 20 Germinal an III (9 avril 1795). Une commission fut mise sur place, compos´ee, en plus de Romme, uniquement d’astronomes : Delambre, Lagrange, Pingr´e 26 , Laplace, Lalande, Messier 27 et Nouet 28 . C’est Delambre qui pr´esenta au Comit´e le projet, qui fut adopt´e le 29 Germinal. Le 19 Flor´eal, Romme pr´esenta au Comit´e un rapport et un projet de perfectionnement des articles 3 et 10 du d´ecret du 4 Frimaire an II. Il r´esume ainsi sa r´eforme : « Une r`egle d’intercalation l`evera tous les inconv´enients. Celle que nous proposent les astronomes conduit ` a trois corrections indispensables : l’une tous les quatre ans, la seconde tous les quatre cents ans, la troisi`eme tous les trente-six si`ecles, ou pour plus de convenance, tous les quatre mille ans. En appelant Franciade ces trois p´eriodes successives tout le syst`eme de la computation fran¸caise renferme ces six r´esultats : 21. Les ann´ ees sextiles ´ etaient les ann´ ees comptant six Sansculottides. 22. Jean-Baptiste Joseph Delambre (1749 – 1822). 23. Le probl` eme est aujourd’hui le mˆ eme. Si on peut tr` es bien dater ` a l’avance les ´ ev` enements astronomiques dans l’´ echelle du temps terrestre, les irr´ egularit´ es du temps universel ne permettent pas de les attacher pr´ ecis´ ement ` a une date du calendrier. 24. Pierre-Simon de Laplace (1749 – 1827). 25. Joseph J´ erˆ ome Lefran¸cois de Lalande (1732 – 1807). 26. Alexandre Guy Pingr´ e (1711 – 1796). 27. Charles Messier (1730 – 1817). 28. Nicolas-Antoine Nouet (1740 – 1811).

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Dix jours font une d´ecade ; trois d´ecades font un mois ; douze mois et cinq jours font une ann´ee ; quatre ann´ees et un jour font une Franciade. Cent franciades simples, moins trois jours, font une franciade s´eculaire. Dix franciades s´eculaires, moins un jour, font une franciade millaire. » La r´eforme ne put cependant aboutir. En effet, le 9 Thermidor an II (26 juillet 1794), Robespierre 29 fut renvers´e et une vaste op´eration de r´epression des Montagnards fut lanc´ee par les Thermidoriens. Romme faisait partie de ceux qui contestaient cette politique de r´eaction bourgeoise, lib´erale et f´ed´eraliste, et souhaitaient la poursuite des r´eformes entreprises par la Montagne. Le peuple de Paris, men´e par les sections jacobines de la capitale, en vint ainsi `a envahir la Convention, le 1er Prairial an III (20 mai 1795) ; pour la premi`ere fois de l’histoire de la R´evolution, l’arm´ee r´eprima une insurrection populaire. Romme fut arrˆet´e le soir mˆeme, et condamn´e `a mort le 29 Prairial (18 juin 1795). Il se suicida imm´ediatement en criant « Je meurs pour la R´epublique ! ». Le Bureau des Longitudes fut cr´e´e peu apr`es, le 7 Messidor an III (25 juin 1795). Apr`es avoir propos´e de faire adopter le d´ecret de r´eforme, il changea d’avis le 14 Thermidor, en avan¸cant qu’il n’´etait pas n´ecessaire de modifier la r`egle consistant `a d´efinir le d´ebut de l’ann´ee par l’´equinoxe vrai. Lakanal 30 , qui reprit le dossier en lieu et place de Romme au nom du Comit´e d’Instruction Publique le 24 Thermidor an III (11 aoˆ ut 1795) proposa le 5e compl´ementaire an III (21 septembre 1795) de renoncer ` a toute r´eforme, les nouveaux annuaires ayant d´ej` a ´et´e diffus´es aupr`es des citoyens. Plus aucune r´eforme des ann´ees sextiles ne fut d`es lors entreprise : les ann´ees sextiles furent donc l’an III, l’an IX et l’an XI ; il ´etait pr´evu que l’an XV le soit aussi. c) L’abandon du calendrier r´ epublicain et sa br` eve r´ eapparition Quelques critiques furent ´emises contre ce calendrier, notamment par Lanjuinais 31 le 30 Thermidor an III, qui voyait dans le calendrier r´epublicain l’œuvre des « assassins de la France » 32 . ´ Le Consulat, initi´e par le coup d’Etat du 18 Brumaire an VIII du g´en´eral Bonaparte 33 , sonna la fin de la R´evolution fran¸caise. Sous ce r´egime, puis sous l’Empire, Bonaparte, qui devint Napol´eon Ier le 28 Flor´eal an XII (18 mai 1804) avec la b´en´ediction du pape Pie VII, ayant bris´e ´ la R´epublique et ses acquis, s’employa `a r´ehabiliter l’Eglise catholique, au point d’en faire une ´ ´eglise d’Etat avec le Concordat de 1801 ; les cultes isra´elite, r´eform´e et luth´erien, y furent en outre int´egr´es entre 1802 et 1808. D`es lors, le caract`ere f´eri´e du dimanche fut r´etabli, en contradiction avec le d´ecadi r´epublicain. Et puisque le calendrier r´epublicain ´etait associ´e `a l’`ere r´epublicaine, il ne pouvait en ˆetre autrement qu’il soit aboli. L’abandon du calendrier r´epublicain fut cependant progressif, des actes l´egislatifs ´evoquant le dimanche et la semaine de sept jours ´etant petit `a petit adopt´es. On s’appuya sur l’incompatibilit´e du red´ecoupage en semaines du calendrier r´epublicain fond´e sur les d´ecades pour justifier son inadaptation pratique, et r´eclamer son abandon. R´egnaud 34 , le 13 Fructidor an XIII, tout en soulignant ses m´erites et sa sup´eriorit´e sur le calendrier gr´egorien, proposa ainsi hypocritement un s´enatus-consulte r´etablissant l’ancien calendrier `a compter du 11 Nivˆose an XIV (1er janvier 1806). Ses arguments sont de plusieurs ordres : d’abord, la difficult´e d’´etablir les ann´ees sextiles du calendrier, pourtant r´esolue par la proposition de Romme `a qui il rend toutefois hommage ; ensuite, le choix de l’´epoque du d´ebut de l’ann´ee n’apparaˆıt pas, `a ses yeux, pertinent, et sugg`ere qu’il eˆ ut ´et´e plus heureux de choisir le solstice d’hiver ou l’´equinoxe de printemps ; enfin, il d´eplore que, dans les faits, une partie des Fran¸cais ne l’ait pas adopt´e, tout comme les autres nations d’Europe. Il conclut en d´eclarant que, sans tous ces d´efauts, le calendrier r´epublicain serait parfait... Rien n’´etait plus facile, cependant, que de proposer des r´eformes visant 29. Maximilien Marie Isidore de Robespierre (1758 – 1794). 30. Joseph Lakanal (1762 – 1845). 31. Jean Denis Lanjuinais (1753 – 1827). 32. La carri` ere de ce triste personnage montre cependant son caract` ere r´ eactionnaire et surtout opportuniste, puisqu’il trouva toujours comment faire carri` ere sous le Directoire, sous le Consulat, sous l’Empire et la Restauration... 33. Napol´ eon Bonaparte (1769 – 1821). ´ 34. Michel-Louis-Etienne Regnaud de Saint-Jean d’Ang´ ely (1760 – 1819).

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a` asseoir la perfection de ce calendrier ; en r´ealit´e, l’objectif politique vis´e par l’empereur imposait de supprimer par n’importe quel moyen toute r´ef´erence `a la R´evolution et `a la libert´e, dont le calendrier r´epublicain faisait partie. Mais R´egnaud poursuit en estimant que ce r´etablissement n’est que temporaire, et que les nations d’Europe, quand elles ´eprouveront le besoin de moderniser leurs institutions, reviendront naturellement au calendrier r´epublicain ou, en tout cas, mettront en place un nouveau calendrier qui ne pourra que s’en inspirer. Le S´enat imp´erial nomma ainsi une commission charg´ee d’examiner les modalit´es du r´etablissement du calendrier gr´egorien. Laplace, le 22 Fructidor an XIII, pr´esenta son rapport au S´enat. S’il commence en louant Romme et la r´eforme que ce dernier avait, avec son concours, propos´ee, il vante ensuite le retour aux semaines ` a la place des d´ecades, vues comme plus conforme aux usages historiques. Il approuve le r´etablissement du calendrier gr´egorien, tout en appelant au maintien du syst`eme m´etrique pour les poids et mesures, auquel le calendrier r´epublicain ´etait li´e par les d´ecades et le d´ecoupage d´ecimal des jours. Pourtant, un d´ecret du 12 f´evrier 1812 cr´e´e un syst`eme m´etrique bˆ atard, qui fut aboli par la Monarchie de Juillet, par une loi du 4 juillet 1837 imposant le retour au syst`eme m´etrique pour les poids et mesures. Le calendrier r´epublicain fut donc aboli `a compter du 1er janvier 1806. Il a cependant ´et´e r´etabli pendant pendant moins d’un mois, `a l’occasion de la Commune de Paris, entre le 6 et le 23 mai 1871 (respectivement le 16 Flor´eal et le 3 Prairial an 79), avant que les troupes versaillaises d’Adolphe Thiers (1797 – 1877) n’´ecrasent l’espoir pendant la semaine sanglante. De nos jours, le calendrier r´epublicain n’est plus utilis´e. La publication [Bureau des longitudes, 1989] permet toutefois de calculer la correspondance avec le calendrier gr´egorien. Il existe cependant un logiciel, appel´e « Salut et fraternit´e », qui r´ealise automatiquement cette conversion, et qui est disponible ` a l’adresse suivante : http://prairial.free.fr/telechargement

3.3

La notion d’heure

La notion d’heure intervient pour d´efinir une ´echelle de temps de subdivision du jour, c’est-`adire que la notion d’heure est plus ou moins li´ee `a la rotation diurne de la Terre. Autrement dit, c’est l’orientation de la Terre par rapport au Soleil qui va ˆetre la source de la notion d’heure.

3.3.1

Perspective historique

Pendant l’Antiquit´e, Babyloniens, puis H´ebreux et Grecs utilisaient des gnomons, c’est-`a-dire des cadrans solaires pour diviser le jour en parties ´egales ; or, n´ecessitant de la lumi`ere, cette construction ne fonctionnait que la journ´ee et pas la nuit, d’une part, et, compte-tenu de la dur´ee variable de la dur´ee d’´eclairement au cours de l’ann´ee, voyait les heures avoir des dur´ees diff´erentes ˆ d’un jour ` a l’autre. Ce syst`eme s’est propag´e `a Rome et jusqu’au Moyen-Age. Il a donc fallu ´evoluer vers une division homog`ene du jour, en s’appuyant sur la dur´ee ´egale du jour et de la nuit aux ´equinoxes ; ce syst`eme ´etait d´ej` a utilis´e par Hipparque, mais seulement pour ses calculs astronomiques. Pour diviser de fa¸con ´egale le jour tout au long de l’ann´ee, c’est-`a-dire pour mesurer le temps ` a l’´echelle infra-diurne, il a fallu se doter de machines `a fonctionnement p´eriodique et de p´eriode uniforme : les horloges. Celles-ci ont pris la forme de clepsydres, c’est-`a-dire d’horloges `a eau, avant de devenir m´ecaniques ; ainsi l’horloge de Huygens 35 bat la seconde, d´efinie comme la 86 400e partie du jour. Beaucoup de cath´edrales se sont dot´ees d’horloges astronomiques m´ecanis´ees, comme celles de Prague (R´epublique Tch`eque) ou de Strasbourg. Ce faisant, elles ont mis 35. Christian Huygens, 1629 – 1695

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´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

en ´evidence la variation du d´elai entre deux passages cons´ecutifs du Soleil au m´eridien, appel´e temps solaire vrai ; cette grandeur, appel´ee ´ equation du temps, est li´ee `a la forme excentrique de l’orbite de la Terre autour du Soleil et `a l’angle entre son axe de rotation et son axe de r´evolution. Il a alors fallu d´efinir un intervalle de temps moyen entre deux passages cons´ecutifs du Soleil au m´eridien, ce qu’on a appel´e le temps solaire moyen, sur la base duquel la d´efinition d’heures trouvait enfin une base stable, que l’on retrouve dans la d´efinition du temps universel. Ainsi, ` a chaque longitude, il y avait une heure ; inversement, c’est par l’observation de l’heure « astronomique », compar´ee ` a l’heure d’un m´eridien d’origine, conserv´ee `a l’aide d’une horloge, ` la Renaissance puis `a l’´epoque que les navigateurs et explorateurs calculaient leur longitude. A moderne, la course aux grandes d´ecouvertes puis `a l’´etablissement des colonies et comptoirs de commerce imposait une m´ethode pr´ecisee et fiable de d´etermination de la longitude. La d´ecision de la Chambres des Communes britannique d’adopter le Longitude act, en 1714, r´ecompensant celui qui d´eterminerait une m´ethode de calcul de la longitude au demi-degr´e pr`es am`ene John Harrisson (1693 – 1776) ` a construire une horloge marine ne retardant que de cinq secondes apr`es 81 jours de mer, en 1762. Mais toutes ces d´efinitions des heures demeurent locales. En 1826, l’heure de Paris est unifi´ee sur celle du m´eridien de l’Observatoire de Paris. L’invention du t´el´egraphe en 1832, par Samuel Morse (1791 – 1872) permet de transmettre `a la vitesse de la lumi`ere des signaux horaires. En 1903, des signaux horaires sont ´emis depuis le sommet de la Tour Eiffel ; `a partir de 1908, leur port´ee est de 3000 km, et en 1910 de 5000 km, permettant aux navires de calculer facilement leur longitude. C’est avec le d´eploiement des lignes de chemin de fer que la question de l’unification des ´echelles de temps s’est pos´ee. En effet, il ´etait indispensable que l’ajout de la dur´ee d’un voyage `a l’heure du d´epart d’un train donne son heure d’arriv´ee ; un autre exemple concerne l’heure de croisement des trains, qu’il fallait d´eterminer pr´ecis´ement pour garer l’un des deux, les lignes ne comportant souvent, ` a l’´epoque, qu’une seule voie. Sept conf´erences internationales se tiennent entre 1871 et ` la conf´erence de Rome (1883), 1883 sur le sujet de l’unification des temps, et donc des longitudes. A le globe terrestre est divis´e en vingt-quatre fuseaux de quinze degr´es chacun, au sein desquels l’heure est unique et ´egale ` a celle du m´eridien central du fuseau. C’est `a la conf´erence de Washington, en 1884, qu’est op´er´e le choix du m´eridien international sur lequel les temps du monde sont align´es : c’est `a cette occasion que le m´eridien de Greenwich devient le m´eridien international, apr`es un affrontement diplomatique avec les fran¸cais qui pr´econisaient celui de Paris.

3.3.2

Les diff´ erentes expressions de l’heure

Dans cette sous-partie, on parle de « temps » de fa¸con ´equivalente `a celle d’« heure ». De fa¸con g´en´erale, on appelle « heure » toute grandeur, de temps ou d’angle, que l’on exprime dans des unit´es naturelles de temps (heures, minutes, secondes), et entre 0 et vingt-quatre heures. 3.3.2.1

Le temps solaire vrai

Le temps solaire vrai Tv est le temps indiqu´e, par exemple, par un cadran solaire. C’est une grandeur locale, donn´ee par l’angle horaire 36 du Soleil. On peut ´ecrire cet angle en fonction d’un temps suppos´e uniforme t comme [Simon et al., 1998] : Tv

=

A+B t−E +τ

(3.1)

o` u A et B sont des constantes mod´elisant un comportement lin´eaire du temps solaire (c’est-` adire de l’angle horaire du Soleil) par rapport `a un temps id´eal s’´ecoulant uniform´ement, E est l’´equation du temps, et τ la somme des in´egalit´es de rotation de la Terre. Le 0h de cette ´echelle de temps a lieu quand le Soleil vrai passe au m´eridien local.

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´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

Dans cette ´echelle de temps, deux passages cons´ecutifs du Soleil au m´eridien peuvent ˆetre s´epar´es, au cours d’une ann´ee, de 24h 16min (maximum de l’´equation du temps, le 3 novembre), `a 23h 47min (minimum de l’´equation du temps, le 11 f´evrier). 3.3.2.2

Le temps solaire moyen

Le temps solaire moyen Tm est quant a` lui l’´echelle de temps qui serait associ´ee `a une orbite terrestre qui serait circulaire, et dont le plan serait ´equatorial. On peut l’´ecrire `a son tour : Tm

= A+B t+τ

(3.2)

Le temps solaire moyen est l’angle horaire d’un Soleil comme le verrait un observateur terrestre si la Terre avait une orbite parfaitement circulaire, et un axe de rotation d’obliquit´e nulle sur l’´ecliptique. Dans cette ´echelle de temps, tout au long de l’ann´ee, deux passages cons´ecutifs du Soleil au m´eridien sont s´epar´es de 24h. 3.3.2.3

L’´ equation du temps

´ D´ efinition (Equation du temps) — On appelle ´equation du temps la diff´erence entre le temps solaire moyen et le temps solaire vrai :

E

=

Tm − Tv

Nous mentionnons ici les deux causes de l’in´egalit´e entre ces deux ´echelles de temps : — l’excentricit´e e de l’orbite terrestre : la deuxi`eme loi de Kepler explique que la longitude du Soleil ℓ⊙ ne varie pas uniform´ement ; on appelle ´ equation du centre l’´equation donnant la longitude du Soleil en fonction du temps, qui est une fonction p´eriodique de p´eriode annuelle ; — l’obliquit´e ǫ de la Terre n’est pas nulle : l’ascension droite α du Soleil ne varie pas uniform´ement avec la longitude ; on appelle r´ eduction ` a l’´ equateur la fonction donnant l’ascension droite en fonction de la longitude, dont la p´eriode est semestrielle. Ces deux effets se traduisent par des fonctions respectivement ´egales `a [Simon et al., 1998] : ℓ⊙

α⊙

= =

(̟⊙ + M ) + 2 e sin M + ...
ℓ⊙ − tan2 ǫ/2 sin 2 ℓ⊙ + ...

o` u ̟⊙ est la longitude du p´erig´ee et M l’anomalie moyenne du Soleil. La longitude du Soleil ℓ⊙ est li´ee ` a l’anomalie vraie f par la relation ℓ⊙ = f + ̟⊙ d´ej` a vue. 36. Cette notion sera introduite plus loin ; voir notamment les figures 4.11 page 184 et ?? page ??.

157

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

En notant µ la somme des termes d’ordre 2 dus `a la pr´ecession et les termes p´eriodiques de nutation, dont l’amplitude n’exc`ede pas 1, 5 s, l’´equation du temps s’´ecrit : E

avec :

C

et

R

Si bien que : E

= =

= Tm − Tv = C +R−µ

≈ C +R = 2 e sin M


= − tan2 ǫ/2 sin 2 ℓ⊙


2 e sin M − tan2 ǫ/2 sin 2 ℓ⊙
2 e sin M − tan2 ǫ/2 sin 2 ((̟⊙ + M ) + 2 e sin M )

(3.3)

Apr`es de longs d´eveloppements, dont le d´etail, fort complexe, est donn´e par [M¨ uller, 1995], on trouve, avec une pr´ecision de 0, 025 minute (soit 1, 5 s) entre 1900 et 2100, en minutes [Simon et al., 1998] : E

= 7, 362 sin M − 0, 144 cos M

+8, 955 sin 2M + 4, 302 cos 2M +0, 288 sin 3M + 0, 133 cos 3M

avec : M

(3.4)

+0, 131 sin 4M + 0, 167 cos 4M −0, 002 58 t sin 2M + 0, 005 33 t cos 2M

= 6, 240 060 + 6, 283 0195 52 t

o` u t est compt´e en ann´ees juliennes `a partir de J2000.0, et o` u l’anomalie moyenne du Soleil est M . Cette expression de E permet donc de connaˆıtre le temps solaire moyen `a partir de la lecture du temps solaire vrai. Cette grandeur connaˆıt quatre z´eros sur une ann´ee, deux maximas dont un absolu, et deux minimas dont un absolu.

Figure 3.5 – L’´equation du temps. Source : IMCCE, `a l’adresse http://www.imcce.fr/fr/ grandpublic/systeme/promenade/pages3/325.html

L’´equation du temps trouve une spectaculaire confirmation dans le fait qu’au cours de l’ann´ee, ` a midi solaire moyen, le Soleil (vrai !) est en retard ou en avance sur sa position moyenne, dessinant un « huit » qu’on appelle analemme. La variation « de haut en bas » est due `a l’obliquit´e de la Terre, dont la manifestation la plus visible est la succession des saisons (voir la partie 2.9.2 page 130) tandis que la variation « d’est en ouest » est due `a l’excentricit´e de l’orbite de la Terre, qui fait qu’elle ne se d´eplace pas toujours `a la mˆeme vitesse, ou en tout cas avec 158

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

des variations ` a cˆ ot´e desquelles la rotation de la Terre apparaˆıt tr`es uniforme, et qui donnent l’impression de voir le Soleil en avance ou en retard. Naturellement, la forme de l’analemme d´epend des param`etres e et ǫ de chaque plan`ete (voir la figure 3.6).

` gauche, analemme sur Terre, vu d’Ukraine ; `a droite, analemme sur Mars, observ´e Figure 3.6 – A par la sonde Mars Pathfinder. Sources : Astronomy picture of the day, NASA. Terre : 9 juillet 2002 ; image de V. Rumyantsev, Crimean Astronomical Observatory. Mars : 30 d´ecembre 2006.

3.3.2.4

Le temps civil local

L’introduction d’un temps solaire moyen, stable, durant vingt-quatre heures, refl`ete un mouvement orbital fictif de la Terre autour du Soleil, sans excentricit´e ni obliquit´e ; il diff`ere du temps solaire vrai par l’´equation du temps, et il est local. Le temps civil local est d´efini comme le temps solaire moyen ajout´e de 12 h, soit :

Tcℓ

=

A + B t + τ + 12h

On remarque que, lorsque le Soleil moyen est au m´eridien, il est d´esormais midi (12 h), et non plus 0 h comme dans les constructions pr´ec´edentes. 3.3.2.5

Le temps universel

On appelle temps universel le temps civil local de Greenwich : TU

= Tc (Greenwich)

Le temps universel est donc d’abord le temps solaire moyen de Greenwich. Cette d´efinition est assez g´en´erale ; les liens entre le temps sid´eral et le temps universel sont d´ecrits dans la partie b) page 182. Il existe par ailleurs plusieurs d´eclinaisons du temps universel : — U T 0 : Universal Time 0, angle instantan´e de rotation de la Terre autour de l’axe instantan´e ; — U T 1 : Universal Time 1, angle instantan´e de rotation de la Terre autour de l’axe moyen ; 159

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

— U T 2 : Universal Time 2, approximation de la rotation moyenne de la Terre autour de l’axe moyen ; — U T 1R, U T 2R : ´echelles UT1 et UT2 auxquelles on a retir´e un mod`ele conventionnel des forces de mar´ees perturbant la rotation terrestre. Compte-tenu de la division du jour en heures, minutes, secondes, l’unit´e fondamentale de temps, la seconde, ´etait d´efinie jusqu’en 1960 relativement `a l’´echelle du temps universel comme la 86 400e partie du jour solaire moyen. Nous aborderons plus loin (voir la partie 3.4.2.2 page 166) la question du temps universel coordonn´e, d´esormais base de tous les temps l´egaux. Il faut signaler en outre que l’expression de « GMT » (Greenwich Mean Time) est d´esu`ete depuis l’introduction de l’UTC en 1972 ; en outre, le GMT est, comme son nom l’indique, un temps solaire, tandis que l’UTC est un temps atomique. 3.3.2.6

Le temps l´ egal en France

Le choix du m´eridien de Greenwich comme m´eridien origine n’a pas seulement signifi´e qu’il servait d’origine aux longitudes, mais aussi aux ´echelles de temps universel (voir page 159). Ainsi, la loi du 9 mars 1911 se contentait-elle de corriger de 9 minutes 21 secondes le temps solaire moyen de Paris pour signifier que le temps l´egal en France ´etait cal´e, dans les faits, sur celui de Greenwich, c’est-`a-dire sur le temps universel [Bureau des longitudes, 2004]. D`es l’ann´ee 1916, la notion d’heure d’´et´e s’est cependant appliqu´ee, ajoutant une heure au d´ecalage ´evoqu´e pr´ec´edemment. Pendant l’occupation allemande, un d´ecalage de deux heures avec le TU ´etait appliqu´e pendant l’´et´e, appliquant dans la pratique l’heure solaire d’Europe centrale `a la France, avant d’ˆetre supprim´e `a la Lib´eration. C’est en 1976 que l’heure d’´et´e telle que nous la connaissons encore maintenant fut d´ecid´ee ; elle s’appliquait du dernier dimanche de mars au dernier de septembre jusqu’en 1995, avant de s’´etendre au dernier d’octobre `a partir de 1996. Le d´ecret du 9 aoˆ ut 1978 a g´en´eralis´e cette pratique et introduit la notion de temps universel coordonn´e (voir page 166), en stipulant que [Bureau des longitudes, 2004] : « le temps l´egal est obtenu en ajoutant ou en retranchant un nombre entier d’heures au temps universel coordonn´e »

3.4 3.4.1

Les ´ echelles de temps scientifiques Le temps des ´ eph´ em´ erides

Le temps des ´ eph´ em´ erides est une ´echelle de temps d´eriv´ees d’observations de positions d’un corps du syst`eme solaire dont l’´eph´em´eride est connue en fonction du temps dans le cadre de la m´ecanique classique ; les valeurs observ´ees permettent d’inverser le syst`eme et de fournir le temps r´ealisant cette observation, ce qui est la r´ealisation de l’´echelle de temps des ´eph´em´erides. Ce concept est particuli`erement d´etaill´e dans [Capitaine, 2000], dont nous inspirons ici. 3.4.1.1

´ Echelle de temps uniforme gravitationnel

En m´ecanique classique, le temps s’´ecoule uniform´ement et de fa¸con ind´ependante du lieu, c’esta`-dire en particulier du contenu en masse de l’espace ; cette approche a, depuis, ´et´e contredite par la th´eorie de la relativit´e sur laquelle nous reviendrons plus tard. On peut d`es lors choisir pour horloge un ph´enom`ene physique H d´ecrit dans le cadre de la m´ecanique classique par une ´equation du type : H

=

f (t) 160

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

o` u t est un temps implicitement uniforme par d´efinition. L’observation d’´ev`enements du ph´enom`ene physique H donne acc`es ` a t par inversion de la relation pr´ec´edente : t

=

f −1 (H)

Ceci signifie que si l’observation donne H, il faut r´esoudre l’´equation H = f (t) pour trouver la valeur de t pour laquelle la relation est vraie. Il est ´evidemment fondamental de disposer d’une th´eorie f valable. Si la relation fondamentale de la dynamique est vraie, alors n’importe quel ph´enom`ene physique servant d’horloge Hi permet aussi d’obtenir t et donc de r´ealiser l’´echelle de temps uniforme associ´ee ` a ces horloges, qui est une ´echelle de temps dynamique. C’est la gravitation qui va nous fournir le ph´enom`ene physique nous servant d’horloge, en l’occurrence le mouvement orbital des plan`etes du syst`eme solaire. La th´eorie f est obtenue par int´egration des ´equations du mouvement des plan`etes, en y int´egrant les perturbations qu’elles subissent. On peut d`es lors parler d’´ echelle de temps uniforme gravitationnel. 3.4.1.2

D´ efinition g´ en´ erale de l’´ echelle de temps des ´ eph´ em´ erides

Le mouvement orbital des plan`etes va se trouver r´eduit `a la description de son mouvement en longitude ´ecliptique sous la forme d’un polynˆome. Ainsi la longitude ´ecliptique h´eliocentrique vraie de la plan`ete i s’´ecrit : Li

=

a i + b i t + c i t2 +

X

Pij

j

o` u ai est la valeur de Li ` a l’´epoque origine de l’´echelle de temps (qui pose t = 0), bi le moyen P mouvement, j Pij la somme des termes p´eriodiques en longitude subis par i dus `a chaque autre corps j (nutation, excentricit´e, inclinaison, perturbation gravitationnelle plan´etaire), tandis que ci , tr`es petit en g´en´eral, vient des termes d’ordre 2 de la th´eorie de la pr´ecession et des perturbations ; dans le cas de la Lune, il y a aussi, dans ci , un terme d’origine g´eophysique. Cette relation permet en outre de calculer l’´ecart t − τ , o` u τ est la date d’observation vue sur une horloge quelconque distincte de l’horloge i. On voit que chaque description du mouvement de chaque plan`ete donne une r´ealisation de t, que l’on appelle temps des ´ eph´ em´ erides. Le mouvement orbital de la Terre est le mieux connu au regard d’une part de la th´eorie, qui est la plus exacte des plan`etes du syst`eme solaire, d’autre part des observations qui sont en nombre beaucoup plus important que pour tout autre astre ; c’est le mouvement de la Terre autour du Soleil qui constitue donc l’horloge de la r´ealisation primaire du temps des ´eph´em´erides. ` l’´epoque o` Un exemple historique connu est celui des satellites de Jupiter. A u les horloges m´ecaniques n’´etaient pas encore fiables, ils servaient d’´echelle de temps naturelle. Leurs ´eph´em´erides pr´edites, compar´ees ` a celles observ´ees, servaient `a se rep´erer dans le temps. 3.4.1.3

Le temps des ´ eph´ em´ erides pour mettre en ´ evidence les irr´ egularit´ es du temps universel

Historiquement, le temps universel ´etait utilis´e avant celui des ´eph´em´erides ; n´eanmoins, c’est en ´etablissant des ´eph´em´erides de plan`etes en fonction du temps universel que l’on a mis en ´evidence les irr´egularit´es de celui-ci par confrontation aux observations des plan`etes. Si on note LE ee par l’´eph´em´eride (c’est-` a-dire la longii la longitude apparente moyenne calcul´ tude apparente vraie dont les termes p´eriodiques ont ´et´e enlev´es) de la plan`ete i mesur´ee en temps universel TU, on a : LE i

=

a′i + b′i T U + c′i T U 2 161

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

Mais l’observation LO a une date t = T U + ∆t : i a lieu ` LO i

=

ai + bi (T U + ∆t) + ci (T U + ∆t)2

La diff´erence entre l’´eph´em´eride pr´evue et l’´eph´em´eride observ´ee : E LO i − Li

= =

a′i − ai + b′i T U − bi (T U + ∆t) + c′i T U 2 − ci (T U + ∆t)2 ∆ai + ∆bi T U + ∆ci T U 2 + (bi + 2 ci T U ) ∆t + ci ∆t2

Comme ∆t est de quelques secondes, ∆t2 est n´egligeable ; de plus, les termes ∆ai , ∆bi et ∆ci sont petits, si bien qu’on peut ´ecrire : E LO i − Li

≃ (bi + 2 ci T U ) ∆t

Si TU n’est pas uniforme, alors ∆t n’est pas constant, si bien que les longitudes des plan`etes i pr´esentent une avance ou un retard sur leur ´eph´em´eride proportionnel `a leur moyen mouvement bi . C’est dans les ann´ees 1920 et 1930 qu’ainsi, le ralentissement s´eculaire de la rotation de la Terre a ´et´e mis en ´evidence par des observations plan´etaires et lunaires. 3.4.1.4

Relation de d´ efinition de l’´ echelle de temps des ´ eph´ em´ erides

La relation donnant la longitude moyenne apparente moyenne du Soleil a ´et´e ´etablie par Simon Newcomb (1835 – 1909) ` a partir d’observation ´etal´ees sur deux si`ecles. C’est elle qui d´efinit le temps des ´eph´em´erides TE : Lm ⊙

=

279˚41′ 27, 54′′ + 129 602 768, 13′′t + 1, 089′′t2

o` u t est en si`ecle julien de 36 525 jours ; le facteur d’ordre 0 d´efinit l’origine du TE, `a savoir la longitude moyenne apparente du Soleil au 1er janvier 1900 `a 12h TE (jour julien 2 415 020,0) ; le facteur d’ordre 1 permet de connaˆıtre la dur´ee au bout de laquelle la longitude augmente de 360˚: c’est l’ann´ ee tropique. Le facteur d’ordre 2 rend variable la valeur de l’ann´ee tropique, si bien que la d´efinition de l’ann´ee tropique est fix´ee `a celle de la date origine ; ainsi, ce facteur rapporte la d´efinition de l’ann´ee tropique ` a l’´ecliptique et l’´equateur moyens de la date. On remarque enfin que cette expression a perdu la somme des termes p´eriodiques car, leur moyenne ´etant nulle, on parle de « longitude moyenne ». Il est important de noter qu’`a cette ´echelle de temps est associ´ee une d´efinition de la seconde, qui en a ´et´e la d´efinition officielle ` a partir de la XIe Conf´erence g´en´erale des poids et mesures de 37 1960 [CGPM, 1960] : « La seconde est la fraction 1/31 556 925,9747 de l’ann´ee tropique pour 1900 janvier 0 ` a 12 heures de temps des ´eph´em´erides. » Cette unit´e est naturellement tr`es difficile `a r´ealiser, et d’autant plus qu’on s’´eloignait de cette date de r´ef´erence. C’est pourquoi en 1967 elle a ´et´e remplac´ee par une d´efinition atomique de la seconde. 37. Voir aussi le site de l’IMCCE : http://www.imcce.fr/en/grandpublic/systeme/promenade/pages4/447.html.

162

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

3.4.1.5

R´ ealisations primaire et secondaire du temps des ´ eph´ em´ erides

Observer la d´eclinaison du Soleil δ⊙ = z⊙ − ϕ o` u z⊙ est la distance z´enithale et ϕ la latitude, permet de calculer sa longitude vraie `a partir de la relation : sin δ⊙

=

sin ǫ sin ℓ⊙

De l`a, on peut calculer la longitude moyenne Lm ecise, de l’ordre de ⊙ . Cette mesure, bien qu’impr´ 0, 5′′ , correspondant ` a une incertitude de 10 s sur le TE, est cependant la r´ealisation primaire du TE. Le mouvement de la Lune constitue une cible plus int´eressante pour la r´ealisation du TE, mais en tant que r´ealisation secondaire. Son mouvement apparent est treize fois plus rapide que celui du Soleil, permettant une plus grande r´ep´etitivit´e des observations ; de plus, comme celles-ci peuvent ˆetre faites de nuit, elles sont moins sujettes `a l’agitation de l’atmosph`ere, ainsi qu’aux d´eformations thermiques instrumentales. L’utilisation des ´etoiles comme r´ef´erence renforce la pr´ecision de ce genre de mesures. Si bien qu’en pratique, les observations de la longitude P de la Lune sont plus pr´ecises pour r´ealiser le TE. Le revers de la m´edaille vient de la somme j P($j) , dont les termes prennent des valeurs importantes, et qui d´ependent de la th´eorie utilis´ee ; par ailleurs, le terme c$ n’est pas petit, ceci en raison des l’importante variation du moyen mouvement lunaire li´e `a la dissipation d’´energie par les mar´ees ; de la sorte, si les observations de la Lune sont plus pr´ecises que celles du Soleil, le calcul th´eorique de sa longitude ne l’est pas ! 3.4.1.6

Propri´ et´ es du temps des ´ eph´ em´ erides et conclusion

En raison de la d´ependance de la r´ealisation de cette ´echelle de temps avec la th´eorie qui lui est li´ee, son universalit´e est moyenne. Cependant, le mouvement de la Terre autour du Soleil n’´etant pas (encore ?) arrˆet´e, sa p´erennit´e est excellente. Les difficult´es des observations et leur impr´ecision rendent son accessibilit´e mauvaise. Par ailleurs, les erreurs de la th´eorie lui conf`erent une uniformit´e moyenne. N´eanmoins, cette ´echelle de temps reste essentielle `a l’interpr´etation d’observations anciennes (ainsi qu’`a leur « pr´evision »), et ` a l’estimation du ralentissement de la rotation de la Terre.

3.4.2

Les ´ echelles de temps atomiques

3.4.2.1

Le temps atomique international

a) La physique atomique et la d´ efinition de la seconde Entre l’irr´egularit´e de la rotation de la Terre donnant le Temps Universel et la difficult´e d’acc`es `a l’´echelle du Temps des ´ em´erides, l’astronomie, point de d´epart de la m´etrologie du temps, a dˆ Eph´ u ˆetre abandonn´ee au profit d’un autre domaine de la physique : la physique atomique. En effet, cette discipline a connu au cours du xxe si`ecle d’importantes avanc´ees th´eoriques et pratiques, en permettant, au cours de la IIe Guerre Mondiale, le d´eveloppement de cavit´es `a micro-ondes donnant acc`es `a des ´etalons de fr´equence tr`es pr´ecis. On en vint ainsi `a mesurer la fr´equence d’une transition hyperfine de l’atome de c´esium 133, au regard de la d´efinition de la seconde du TE, et l’on trouva 9 192 631 770±20 Hz. C’est ce r´esultat qui conduisit `a la red´efinition de la seconde en 1967, et qui est rest´ee inchang´ee depuis. b) La d´ efinition et la r´ ealisation du Temps Atomique International Des laboratoires du monde entier ont alors ´et´e amen´es ` a construire des ´etalons de fr´equence pour r´ealiser de la fa¸con la plus pr´ecise la seconde. Le principe de l’accumulation de secondes tout au long du fonctionnement de l’´etalon permet ainsi de r´ealiser une ´echelle de temps aussi continue que peut l’ˆetre le fonctionnement de l’´etalon. Apr`es la d´efinition atomique de la seconde, c’est ainsi qu’a ´emerg´e la d´efinition 163

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

du Temps Atomique International. Deux solutions ´etaient envisageables : — la r´ealisation de l’´echelle de temps de r´ef´erence par une seule horloge dont la lecture donnerait l’´echelle de temps ; — la r´ealisation de l’´echelle de temps de r´ef´erence par plusieurs horloges, situ´ees en divers endroits, dont une moyenne des lectures fournirait l’´echelle de temps de r´ef´erence. Pour des raisons de sˆ uret´e, de continuit´e, et de redondance, c’est bien sˆ ur la seconde option qui ` partir de 1955, le Bureau International de l’Heure a r´ealis´e le Temps Atomique a ´et´e choisie. A International. En 1970, le Comit´e consultatif pour la d´efinition de la seconde formula une proposition de d´efinition, qu’approuva le Comit´e international des poids et mesures. L’ann´ee suivante, la XIVe Conf´erence g´en´erale des poids et mesures adopta la d´efinition suivante pour l’´echelle de temps de r´ef´erence [CGPM, 1971] 38 : « Le Temps atomique international est la coordonn´ee de rep´erage temporel ´etablie par le Bureau international de l’heure sur la base des indications d’horloges atomiques fonctionnant dans divers ´etablissements conform´ement ` a la d´efinition de la seconde, unit´e de temps du Syst`eme international d’unit´es. » Elle a ´et´e compl´et´ee comme suit en 1980 39 : « Le TAI est une ´echelle de temps-coordonn´ee d´efinie dans un rep`ere de r´ef´erence g´eocentrique avec comme unit´e d’´echelle la seconde du SI telle qu’elle est r´ealis´ee sur le g´eo¨ıde en rotation. » Depuis 1988, le TAI est r´ealis´e par le Bureau International des Poids et Mesures. De nos jours, environ deux cents horloges de cinquante-cinq laboratoires contribuent `a la r´ealisation du TAI (voir la figure 3.7 page suivante). Leurs donn´ees sont transmises au Bureau International des Poids et Mesures, ` a S`evres en France, et leurs comparaisons sont r´ealis´ees de plusieurs fa¸cons : par datation pr´ecise de la r´eception de signaux venant de satellites GPS ou du syst`eme GLONASS, ou par la technique dont l’acronyme est TWSTFT (Two Ways Satellite Time and Frequency Transfert ) consistant en l’´echange de signaux entre deux horloges par utilisation d’un satellite g´eostationnaire. La Circulaire T du BIPM a vocation `a diss´eminer la r´ealisation du TAI et de l’UTC (voir le tableau 3.3 page suivante). c) L’uniformit´ e du Temps Atomique International Qualifier une ´echelle de temps d’uniforme n´ecessite de consid´erer une r´ef´erence elle-mˆeme uniforme ; cette r´ef´erence ne peut ˆetre qu’id´eale, c’est-` a-dire appartenir au domaine des id´ees. En revanche on dit que deux ´echelles de temps T 1 et T 2 ont la mˆeme uniformit´e si elles ne diff`erent que par une d´erive lin´eaire, c’est-`a-dire si on peut ´ecrire :

T1 = aT2 + b avec :

(a, b) ∈ R2

Deux ´echelles li´ees par une telle relation, c’est-`a-dire de mˆeme uniformit´e, sont dites ´equivalentes. Sur les trente premi`eres ann´ees pendant lesquelles le TAI a ´et´e l’´echelle de temps de r´ef´erence, sa ´ em´erides a montr´e que ces deux ´echelles sont ´equivalentes, la comparaison avec le Temps des Eph´ relation qui les lie ´etant la suivante : 38. Voir aussi le site du BIPM : http://www.bipm.org/en/committees/cc/cctf/ccds-1970_fr.html. 39. Voir adresse internet pr´ ec´ edente.

164

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

CIRCULAR T 274 2010 NOVEMBER 10, 11h UTC

ISSN 1143-1393

BUREAU INTERNATIONAL DES POIDS ET MESURES ORGANISATION INTERGOUVERNEMENTALE DE LA CONVENTION DU METRE PAVILLON DE BRETEUIL F-92312 SEVRES CEDEX TEL. +33 1 45 07 70 70 FAX. +33 1 45 34 20 21

[email protected]

1 - Coordinated Universal Time UTC and its local realizations UTC(k). Computed values of [UTC-UTC(k)] and uncertainties valid for the period of this Circular. From 2009 January 1, 0h UTC, TAI-UTC = 34 s. Date 2010 0h UTC SEP 30 OCT 5 OCT 10 OCT 15 OCT 20 OCT 25 OCT 30 Uncertainty/ns Notes MJD 55469 55474 55479 55484 55489 55494 55499 uA uB u Laboratory k [UTC-UTC(k)]/ns (...) ONRJ (Rio de Janeiro) 6.7 7.7 2.2 -7.2 2.2 8.6 8.1 3.9 19.7 20.1 OP (Paris) 34.0 47.1 38.1 30.4 22.5 15.9 0.1 0.7 1.6 1.7 ORB (Bruxelles) 27.1 28.3 31.9 35.0 37.8 43.3 0.4 5.2 5.2 (...) 2 - International Atomic Time TAI and Local atomic time scales TA(k). Computed values of [TAI-TA(k)]. Date 2010 0h UTC MJD Laboratory k (...) CH (Bern) F (Paris) IT (Torino) (...)

SEP 30 55469

OCT 5 55474

OCT 10 55479

44872.7 167877.2 96441.5

44813.7 167876.0 96580.3

44758.2 167871.8 96718.9

OCT 15 55484 [TAI-TA(k)]/ns 44702.8 167869.1 96856.7

OCT 20 55489

OCT 25 55494

OCT 30 55499

44648.4 167864.2 96995.3

44593.8 167864.3 97133.5

44537.7 167864.1 97270.6

Table 3.3 – Extraits de la Circulaire T n◦ 274. Source : BIPM.

Figure 3.7 – Carte des laboratoires contribuant au TAI. Source : site internet du BIPM, `a l’adresse http://www.bipm.org/en/scientific/tai/tai.html

TE

=

T AI + 32, 184 s

Rien ne dit qu’il en sera de mˆeme ` a l’avenir, mais le TE peut, en fait, ˆetre consid´er´e comme une ´echelle de temps uniforme et id´eale, en raison de son statut d’´echelle de temps li´ee par d´efinition 165

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

a` la m´ecanique newtonienne. On trouvera dans [Simon et al., 1998] des explications plus pouss´ees sur ce sujet ; en revanche, l’´equivalence du TE et du TAI permet d’utiliser ce dernier comme une ´echelle de temps pour la dynamique. Les irr´egularit´es du TAI sont de l’ordre de 10−14 `a 10−15 . d) La seconde du TAI Le TAI est une r´ealisation du temps terrestre (voir page 167). La Circulaire T contient les ´el´ements d’appr´eciation quant `a la qualit´e de la r´ealisation de la seconde du TAI au regard de la d´efinition du TT. En effet : 4 - Duration of the TAI scale interval. TAI is a realization of coordinate time TT. The following tables give the fractional deviation d of the scale interval of TAI from that of TT (the SI second on the geoid), i.e. the fractional frequency deviation of TAI with the opposite sign: d = -yTAI. In this section, a frequency over a time interval is defined as the ratio of the end-point phase difference to the duration of the interval. Whenever needed, the instability of EAL should be expressed as the quadratic sum of three components with t in days: (1) a white frequency noise of 2.0x10**-15 / sqrt(t), (2) a flicker frequency noise of 0.4x10**-15 and (3) a random walk frequency noise of 1.0x10**-16 x sqrt(t). The relation between EAL and TAI is given in Circular T and the BIPM Annual Report on Time Activities. In the first table, d is obtained, on the given periods of estimation by comparison of the TAI frequency with that of the given individual Primary Frequency Standards (PFS). In this table: uA is the uncertainty originating in the instability of the PFS, uB is the combined uncertainty from systematic effects, ul/lab is the uncertainty in the link between the PFS and the clock participating to TAI, including the uncertainty due to the dead-time, ul/TAI is the uncertainty in the link to TAI, u is the quadratic sum of all four uncertainty values. Ref(uB) is a reference giving information on the values of uB or is the Circular T where the reference was first given. uB(Ref) is the uB value stated in this references. Note that all uncertainties may vary over time and that the current uB values are generally not the same as the peer reviewed values given in Ref(uB). See "http://www.bipm.org/jsp/en/TimeFtp.jsp" for previous issues of Circular T and individual Reports of Evaluation of Primary Frequency Standards that explain changes in uncertainties. All values are expressed in 10**-15 and are valid only for the stated period of estimation.

Standard

PTB-CS1 SYRTE-FO1 SYRTE-FO2 PTB-CSF1

Period of Estimation 55469 55469 55479 55484

55499 55494 55494 55499

d

-1.93 5.79 6.88 7.36

uA

uB

6.00 0.30 0.30 0.24

8.00 0.48 0.41 0.76

ul/Lab ul/Tai

0.00 0.14 0.12 0.02

0.13 0.54 0.85 0.24

u

10.00 0.79 1.00 0.83

Ref(uB) uB(Ref)

T148 T227 T227 T162

8. 0.72 0.65 1.40

Note

(1) (2) (2) (3)

Notes: (1) Continuously operating as a clock participating to TAI (2) Report 02 NOV. 2010 by LNE-SYRTE (3) Report 03 NOV. 2010 by PTB

3.4.2.2

Le temps universel coordonn´ e

Le temps universel coordonn´ e (UTC) sert de base pour la d´efinition des temps l´egaux. Il n’est autre que le Temps Atomique International, d´ecal´e d’un nombre entier de seconde, de fa¸con `a ne s’´ecarter de l’´echelle UT1, qui suit la rotation diurne de la Terre, que de 0,9 seconde au maximum [UITR, 2002]. Ainsi l’UTC a l’uniformit´e du TAI, mais est adapt´e aux usages sociaux bas´es, eux, sur la rotation diurne. Ainsi, sur la figure 3.9 page suivante, l’´echelle UTC pr´esentet-elle des paliers, chacun parall`ele au TAI, mais jamais ´ecart´es de la courbe d’UT1 de plus de 0,9 seconde. Les laboratoires qui contribuent `a la r´ealisation du TAI r´ealisent aussi indiff´eremment le TAI que l’UTC, not´es alors TA(k) et UTC(k) respectivement, k ´etant la notation du laboratoire concern´e (« OP » pour l’Observatoire de Paris). Ainsi entre le 1er janvier 2009 et le 30 juin 2012, on avait : T AI − U T C

=

34 s

Les « sauts de seconde » de l’UTC sont d´ecid´es par le Service international de la rotation de la Terre et des syst`emes de r´ef´erence (IERS), qui si`ege `a l’Observatoire de Paris, et annonc´es par le Bulletin C de cette organisation. Les bulletins A, B et D de l’IERS, quant `a eux, diffusent, bien plus r´eguli`erement, la grandeur DU T 1 telle que : DU T 1 = U T 1 − U T C 166

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

La pr´ecision de cette grandeur refl`ete celle de la mesure de UT1, et est du dixi`eme de seconde de temps.

Figure 3.8 – L’´ecart U T 1 − U T C de 1962 `a 2010. Source : site internet de l’IERS, `a l’adresse http://data.iers.org/plots/thumbs/EOPC04_08_62-NOW_IAU2000A-UT1-UTC.png

Figure 3.9 – Les ´ecarts avec le TAI des ´echelles de temps UT1 et UTC en fonction du temps TAI. Source : [Bureau des longitudes, 2004].

3.4.2.3

Le temps terrestre

a) L’´ echelle du temps terrestre Le temps terrestre, not´e TT, est l’´echelle de temps utilis´ee pour dater les observations g´eocentriques apparentes. Introduit d’abord sous le nom de temps dynamique terrestre (TDT), il a ´et´e rebaptis´e TT en 1991 pendant l’Assembl´ee g´en´erale de l’Union astronomique internationale `a Buenos Aires [UAI, 1991], car la d´enomination TDT laissait penser qu’il s’agissait du temps propre au centre de la Terre, ce qui n’est pas le cas. Le TT est 167

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

un temps-coordonn´ ee d’un syst` eme de r´ ef´ erence terrestre li´ e au g´ eo¨ıde. Il est ´egal, par d´efinition, au temps des ´eph´em´erides TE, et joue le rˆole de prolongation de celui-ci `a partir du 1er janvier 1977 ` a 0 heure TAI, date ` a laquelle il en a pris le relai. Le TT est un temps de r´egularit´e atomique prenant en compte les effets de la relativit´e g´en´erale, calqu´e sur le TAI de telle fa¸con que : TT

= =

TE T AI + 32, 184 s

La r´ealisation du TAI est ainsi une r´ealisation de l’´echelle de temps id´eale qu’est le TT, `a laquelle il est li´e. Le TT est r´ealis´e sur commande par le BIPM, `a partir d’un lissage de tr`es long terme du TAI, et ne peut donc ˆetre accessible qu’en temps tr`es diff´er´e.

b) L’´ epoque J2000.0 Les grandeurs astronomiques sont en g´en´eral donn´ees `a une ´epoque de r´ef´erence, ou calculables ` a partir du temps ´ecoul´e depuis une ´epoque de r´ef´erence. Depuis 1984, l’´epoque couramment utilis´ee est appel´ee J2000.0 ; cette d´ecision a ´et´e prise `a la XVIe Assembl´ee g´en´erale de l’Union astronomique internationale (Grenoble, 1976) [UAI, 1976]. Il s’agit de la date julienne (d’o` u le « J ») 2451545,0 TT, c’est-`a-dire le 1er janvier 2000 `a 12h TT, autrement dit `a 11h 59m 27,816s TAI ou ` a 11h 58m 55,816s UTC.

3.4.3

Les temps relativistes

3.4.3.1

Pr´ esentation th´ eorique

Les ´echelles de temps modernes, relativistes, utilisent la physique atomique pour leur r´ealisation, mais la relativit´e g´en´erale pour leur d´efinition. On consid`ere le syst`eme de coordonn´ees barycentriques du syst`eme solaire ; dans ce syst`eme, l’´el´ement m´etrique s’´ecrit, avec la convention d’Einstein sur les sommations [Simon et al., 1998] : ds2

=

gαβ dxα dxβ

et l’on a :

g00

=

g0i

=

gkl

=

  2U 1 − 2 + O(c−4 ) c

O(c−3 )   2U −δkl 1 + 2 + O(c−4 ) c

o` u g00 est le coefficient purement temporel, g0i le coefficient spatio-temporel de la coordonn´ee d’espace i, gkl le coefficient crois´e des coordonn´ees d’espace k et l, δkl ´etant le symbole de Kronecker. U n’est autre que le potentiel gravitationnel newtonien produit au point M (x0 , xi , xk , xl ) par les corps du syst`eme solaire, tandis que c est la vitesse de la lumi`ere. Les xα sont les coordonn´ees contravariantes 40 du point M . Nous nous int´eressons sp´ecialement dans cette partie aux aspects temporels de la m´etrique, et donc `a la signification des coordonn´ees temporelles et de leurs coefficients. Ainsi, le temps id´eal d’une horloge au repos dans un r´ef´erentiel inertiel et soumise `a aucun potentiel gravitationnel est appel´e temps-coordonn´ ee ; il est obtenu par : 40. C’est-` a-dire les coordonn´ ees habituelles, le terme « contravariant » ´ etant sp´ ecifiquement utilis´ e en relativit´ e g´ en´ erale, de fa¸con ` a les distinguer des coordonn´ ees covariantes, d´ esign´ ees par des indices et non des exposants.

168

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

t

x0 c

=

` l’inverse, le temps lu par une horloge r´eelle, en mouvement et plong´ee dans un potentiel, est A appel´e temps propre. Il est tel que :

dτ

ds c

=

Si nous ´ecrivons la m´etrique explicitement, nous avons :

ds

2

= =

   2U 1− 2 − 1+ c    2U 1− 2 − 1+ c


i

2U h 3 2 2 2 1 2 + dx + dx dx c2  2U v 2 dt2 c2

o` u: v

2

2 3  X dxi

=

dt

i=1

v ´etant la vitesse dite coordonn´ee de l’horloge mesurant l’intervalle de temps propre dτ s´eparant deux ´ev`enements de l’espace-temps s´epar´es par dt et dxi . En n´egligeant les termes d’ordre sup´erieur `a c−2 on a :

dt

=

1−

dτ −

U c2

v2 2c2

L’´ecart entre temps-coordonn´ee et temps propre est donc obtenu par l’int´egrale :

t−τ

=

1 c2

 Z t v2 dt U+ 2 0

(3.5)

Cette int´egrale se calcule en d´eterminant la trajectoire de l’orbite au moyen des coordonn´ees t et xi , sur les points de laquelle on calcule le potentiel U . 3.4.3.2

Le Temps Dynamique Barycentrique

` partir de 1976, on a ainsi construit le temps dynamique barycentrique TDB 41 `a parA tir du temps dynamique terrestre (ancien nom du TT), comme temps-coordonn´ee x0 /c, selon la d´efinition : T DB

=

T DT + P

o` u P est l’int´egrale de la relation 3.5 sans les termes s´eculaires ; le TDB n’est donc diff´erent du TDT que par des termes p´eriodiques. La moyenne du TDB est donc le TDT. 41. L’utilisation de l’adjectif « barycentrique » fait r´ ef´ erence au barycentre du syst` eme solaire.

169

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

3.4.3.3

Le Temps-Coordonn´ ee Barycentrique

En 1991, le changement de nom du TDT en TT s’accompagna du remplacement du TDB par le temps-coordonn´ ee barycentrique TCB, d´efini par : T CB

=

T T + P + k1 × (AJD − AJD0 )

o` u AJD est la date julienne, avec AJD0 = 2 443 144, 5 (1er janvier 1977 `a 00h 00m 00s UTC), et : k1

= 1, 550 519 748 · 10−8 × 86 400 s

Le facteur 86 400 s ne sert, ici, qu’`a convertir la date julienne, donn´ee en jours d´ecimaux, en secondes. Il apparaˆıt clair que le terme k1 × (AJD − AJD0 ) introduit un terme s´eculaire dans la diff´erence T CB − T T , en plus du terme p´eriodique P . On voit aussi que l’on peut former la diff´erence : T CB − T DB

= k1 × (AJD − AJD0 )

qui est une fonction lin´eaire du temps. Il est ` a noter que la XXVIe Assembl´ee g´en´erale de l’Union astronomique internationale (Prague, 2006) a red´efini le TDB ` a partir du TCB [UAI, 2006] : T DB

=

T CB − k1 (JDT CB − T0 ) + T DB0

o` u T0 = 2443144, 5003725 (date julienne correspondant `a l’´ev`enement du 1er janvier 1977 `a 00h 00m 00s TAI au g´eocentre) et T DB0 = −6, 55 · 10−5 . Le terme T DB0 signifie que le TDB n’est pas synchronis´e avec TT, TCG et TCB le 1er janvier 1977 `a 00h 00m 00s TAI au g´eocentre. 3.4.3.4

Le Temps-Coordonn´ ee G´ eocentrique

On d´efinit une derni`ere ´echelle de temps, appel´ee temps-coordonn´ ee g´ eocentrique TCG, qui ne diff`ere du TT que par un terme s´eculaire : T CG =

T T + k2 × (AJD − AJD0 )

avec k2 une constante de d´efinition valant : = 6, 969 2904 · 10−10 × 86 400 s

k2

Il est important de noter que le TCG est l’´echelle de temps du Syst`eme international de r´ef´erence terrestre (ITRS). On passe enfin du TCB au TCG par une conversion faisant intervenir la vitesse − − → → − v→ ⊕ et la position x⊕ de la Terre, ainsi que la position barycentrique x de l’observateur : T CB − T CG =

k3 × (AJD − AJD0 ) +

− → − − → v→ ⊕ . ( x − x⊕ ) +P c2

o` u k3 est une constante qui vaut : k3

= 1, 480 826 844 · 10−8 × 86 400 s

170

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

3.4.3.5

L’int´ egrale P

L’int´egrale P joue un rˆole fondamental dans ces ´echelles de temps, et prend la forme d’une s´erie d´ependant du TDB [Simon et al., 1998] :

P

=

∞ X

T DB α

α=0

"∞ X

#

α α Aα i sin(νi T DB + ψi )

i=1

o` u T DB est ici exprim´e en si`ecles juliens (donc de 36 525 jours) ´ecoul´es depuis l’´epoque J2000.0. Les coefficients Aα es en secondes. Les valeurs de l’int´egrale P se trouvent dans des i sont exprim´ tables, dont le tableau 3.4 donne un extrait ; cette table est donn´ee avec sa r´ef´erence, qui en donne 562 termes, assurant une pr´ecision d’une nanoseconde dans la transformation T DB − T DT . La repr´esentation graphique de ces ´echelles de temps, sur la figure 3.10 page suivante, montre clairement leurs diff´erences de comportement. i

α

1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0

Aα i (µs) 1656,674 564 22,417 471 13,839 792 4,770 086 4,676 740 2,256 707

νiα (rad/si`ecle) 628,307 5850 575,338 4885 1 256,615 1700 52,969 0965 606,977 6755 21,329 9095

ψiα (rad) 6,240 0542 4,296 9774 6,196 9044 0,444 4016 4,021 1951 5,543 1133

P´eriode (ann´ees) 1,00 1,09 0,50 11,86 1,04 29,46

Table 3.4 – Quelques termes de l’int´egrale P . Source : [Simon et al., 1998].

3.4.4

Les ´ echelles de temps des GNSS

3.4.4.1

Pr´ esentation th´ eorique

Les syst`emes de positionnement par satellite fonctionnent essentiellement par synchronisation d’horloges, de fa¸con ` a mesurer des temps de parcours d’ondes ´electromagn´etiques, et donc la distance d’un point ` a l’autre. [Chenal, 2011] d´emontre que le coefficient g00 de la m´etrique de la Terre est :

g00

2 r 2 ω⊕ sin2 θ 2V − c2 c2 2Φ = 1+ 2 c

= 1+

o` u l’on s’est plac´e dans un syst`eme de coordonn´ees cylindriques (r, θ, ϕ), V est le potentiel gravitationnel local, c la vitesse de la lumi`ere, ω la vitesse angulaire de rotation de la Terre et vitesse de rotation du r´ef´erentiel ´etudi´e, et Φ le potentiel total ressenti. Dans les GNSS, une horloge au sol sert d’horloge de r´ef´erence pour l’´echelle de temps du syst`eme. Cette horloge est suppos´ee fixe dans le rep`ere tournant, si bien que son ´el´ement m´etrique est : ds2

≡ c2 dτ 2

= g00 c2 dt2 171

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

Figure 3.10 – Les ´ecarts avec le TAI des ´echelles de temps TDB, TCB, TCG et TT en fonction du ` l’´epoque 1977.0, ils sont tous ´egaux `a 32, 184 s. Les termes p´eriodiques sont amplifi´es temps TAI. A cent fois. Source : [Bureau des longitudes, 2004].

Si cette horloge est sur le g´eo¨ıde (et `a l’´equateur pour simplifier les termes trigonom´etriques), qui nous sert ici de potentiel de r´ef´erence, elle voit le potentiel : Φ0

=

−

G m⊕ 1 G m⊕ 1 2 2 + J2 − ω⊕ r⊕ r⊕ 2 r⊕ 2

L’´el´ement temporel de l’horloge est donc :

dτ

≈

  Φ0 1 + 2 dt c

Mais ` a partir de cette r´ef´erence, on peut calculer l’´el´ement m´etrique dans n’importe quel endroit et dans un r´ef´erentiel tournant (Earth-centered Earth-fixed frame – ECEF) ou inertiel (Earthcentered inertial frame – ECI), grˆ ace aux relations : ds2ECEF

ds2ECI

  Φ − Φ0 1+2 c2 dt2 + 2 ω⊕ r2 sin2 θdϕdt c2  
2V dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 − 1− 2 c    
Φ − Φ0 2V 2 2 = 1+2 c dt − 1 − dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 2 2 c c =

o` u (t, r, θ, ϕ) sont les coordonn´ees, dans les r´ef´erentiels consid´er´es, des points ´etudi´es. Une remarque, issue de [Chenal, 2011] :

172

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

« les ´el´ements infinit´esimaux dr, dθ et dϕ concernent le lieu de parcours du signal depuis l` a o` u s’´ecoule le temps propre dτ (c’est-` a-dire le satellite), jusque l` a o` u il est observ´e (le r´ecepteur au sol), entre lesquels il faut ´etudier comment se comporte le temps-coordonn´ee dt ; en outre, c’est l’int´egrale sur le chemin parcouru par le signal qu’il faut calculer pour d´eterminer les temps propre et coordonn´ee ` a l’issue du trajet. » Les relations ´etablies ci-dessus permettent de mettre en ´evidence l’effet Doppler g´en´eralis´e, li´e `a la diff´erence de vitesse et au potentiel gravitationnel dans lequel se trouvent les satellites ´emetteurs de signaux. Elles permettent de montrer par ailleurs que les ´echelles de temps des GNSS r´epondent aux mˆeme constructions formelles que les temps relativistes.

3.4.4.2

Les ´ echelles de temps des GNSS

En particulier, le temps du GPS, appel´e temps GPS, est li´e au temps atomique de l’Observatoire naval am´ericain (United States Naval Observatory – USNO), not´e TA(USNO), tel que : TGP S

=

T A(U SN O)

=

T AI − 19 s

Quant au temps du syst`eme russe GLONASS, il est ´egal `a la r´ealisation du temps UTC du laboratoire de Moscou, not´e UTC(SU), SU signifiant Soviet Union : TGLON ASS

=

U T C(SU )

Cette ´echelle de temps est donc discontinue (voir la figure 3.11 page suivante). L’existence de ces diff´erentes ´echelles impose que le syst`eme de datation d’observations de GNSS doit absolument ˆetre pr´ecis´e, sous peine de les traiter de fa¸con aberrante. La Circulaire T d´ej` a cit´ee rappelle en effet : 5 - Relations of UTC and TAI with GPS time and GLONASS time. [UTC-GPS time] = -15 s + C0, [UTC-GLONASS time] = 0 s + C1,

[TAI-GPS time] = [TAI-GLONASS time] =

19 s + C0, global uncertainty is of order 10 ns. 34 s + C1, global uncertainty is of order hundreds ns.

The C0 values provide a realization of GPS time, as obtained using the values [UTC-UTC(OP)] and the GPS data taken at the Paris Observatory, corrected for IGS precise orbits, clocks and ionosphere maps. The C1 values provide a realization of GLONASS time, as obtained using the values [UTC-UTC(AOS)] and the GLONASS data taken at the Astrogeodynamical Observatory Borowiec (AOS). N0 and N1 are the numbers of measurements, when N0 or N1 is 0, the corresponding values of C0 or C1 are interpolated. The standard deviations S0 and S1 characterize the dispersion of individual measurements. The actual uncertainty of user’s access to GPS and GLONASS times may differ from these values. For this circular, S0 = 3.1 ns, S1 = 7.2 ns Date 2010

0h UTC

SEP 30 OCT 1 OCT 2 OCT 3 OCT 4 OCT 5 OCT 6 OCT 7 OCT 8 OCT 9 OCT 10

MJD

C0/ns

N0

C1/ns

N1

55469 55470 55471 55472 55473 55474 55475 55476 55477 55478 55479

1.3 2.0 2.0 5.3 0.4 -3.1 -9.3 -12.7 -16.4 -15.1 -12.2

43 43 43 43 43 40 41 41 42 42 43

-127.2 -125.3 -129.2 -136.7 -142.6 -142.2 -140.8 -141.3 -140.4 -140.7 -140.9

85 80 81 90 73 79 80 82 81 83 86

173

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

Figure 3.11 – Les ´echelles de temps des GNSS. Source : Bureau International des Poids et Mesures.

OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT OCT

3.4.4.3

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

55480 55481 55482 55483 55484 55485 55486 55487 55488 55489 55490 55491 55492 55493 55494 55495 55496 55497 55498 55499

-11.4 -10.6 -9.6 -6.2 -4.7 -1.6 -0.5 -4.3 -2.6 -3.1 -5.3 -7.1 -8.8 -11.4 -10.9 -10.0 -7.9 -7.2 -4.9 -4.0

39 39 39 43 40 43 43 41 42 41 41 41 41 41 37 42 28 14 43 43

-140.0 -143.3 -148.3 -150.1 -149.9 -150.7 -151.7 -152.7 -155.2 -156.1 -154.6 -153.0 -152.4 -151.9 -152.7 -153.9 -159.0 -167.2 -167.7 -163.0

86 89 86 86 88 80 89 80 87 84 85 84 84 85 89 79 89 88 87 81

Les temps des GNSS pour comparer les horloges du monde

La datation de mˆemes signaux, dat´es dans les ´echelles des GNSS, par des horloges atomiques du monde, contribue ` a leur comparaison. La Circulaire T donne les r´esultats de telles comparaisons, par exemple : 6 - Time links used for the computation of TAI and their uncertainties. The time links used in the elaboration of this Circular T are listed in this section. The technique for the link is indicated as follows: GPS SC for GPS all-in-view single-channel C/A data; GPS MC for GPS all-in-view multi-channel C/A data; GPS P3 for GPS all-in-view multi-channel dual-frequency P code data; GPS PPP for GPS Precise Point Positioning technique; GPS GT for ’GPS time’ observations; GLN MC for GLONASS common-view multi-channel C/A data; INT LK for internal cable link and TWSTFT for two-way satellite time and frequency transfer data. For each link, the following uncertainties are provided: uA is the statistical uncertainty evaluated by taking into account the level of phase noise in the raw data, the interpolation interval between data points and the effects with typical duration between 5 and 30 days. uB is the estimated uncertainty on the calibration.

174

´ CHAPITRE 3. LES ECHELLES DE TEMPS

The calibration type of the link is indicated as: GPS EC for GPS equipment calibration; TW EC for two-way equipment calibration; LC (technique) for a link calibrated using ’technique’; BC (technique) for a link calibrated using ’technique’ to transfer a past equipment calibration through a discontinuity of link operation. DIC is used for direct internal calibration. The calibration dates indicate: the most recent calibration results for the two laboratories in the case of EC and the most recent calibration of the link in the case of LC and BC, NA stands for not available, in this case estimated values are provided

Link (...) APL /PTB AUS /PTB (...) JV /PTB (...) NIS /PTB (...)

Type

uA/ns

uB/ns

Calibration Type

Calibration Dates

GPS MC GPSPPP

1.5 0.3

5.0 5.0

GPS EC/GPS EC LC(GPS MC)

2003 Dec/2006 Sep 2009 Nov

GPS GT

5.0

20.0

NA /GPS EC

NA /2003 Aug

GPS P3

0.8

7.0

LC(GPS MC)

2010 Jun

175

Chapitre 4

Les rep` eres spatiaux utilis´ es en astronomie 4.1

Les syst` emes de coordonn´ ees sph´ eriques

On appelle syst`eme de coordonn´ees sph´eriques une m´ethode d’expression des coordonn´ees d’une direction utilisant deux angles, ` a l’instar des angles utilis´es pour positionner un point `a la surface d’une sph`ere.

4.1.1

Les syst` emes de coordonn´ ees g´ eographiques

4.1.1.1

Les coordonn´ ees g´ eod´ esiques

Si la Terre n’est pas exactement sph´erique, mais aplatie aux pˆ oles, alors la forme math´ematique qui s’en approche le mieux est l’ellipso¨ıde de r´evolution. Consid´erant la Terre comme un fluide en ´equilibre hydrostatique en rotation, c’est aussi la forme d’une ´equipotentielle du champ de pesanteur. On appelle potentiel normal le potentiel gravitationnel cr´e´e par la Terre, la masse de celle-ci, incluant ses enveloppes fluides, ´etant concentr´ee dans l’ellipso¨ıde. Si l’on se rappelle que le champ de pesanteur est le gradient du potentiel, alors ce sont les variations spatiales de celui-ci qui d´eterminent l’intensit´e du champ, sa direction ´etant perpendiculaire `a toute ´equipotentielle en tout point, son sens ´etant centrip`ete. Les coordonn´ ees g´ eod´ esiques sont mesur´ees sur cette surface abstraite qu’est un ellipso¨ıde. La latitude ϕg est l’angle, mesur´e dans le plan m´eridien, entre le plan de l’´equateur et la normale ` a l’ellipso¨ıde. La longitude λg est l’angle, mesur´e sur l’´equateur, entre le m´eridien origine et le m´eridien du lieu.

Figure 4.1 – Les coordonn´ees g´eod´esiques, qui prennent un ellipso¨ıde de r´evolution comme surface de r´ef´erence, celui-ci ´etant une surface math´ematique approximant au mieux le g´eo¨ıde.

176

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

4.1.1.2

Les coordonn´ ees astronomiques

Contrairement aux coordonn´ees g´eod´esiques qui s’appuient sur une surface math´ematiquement d´efinie, les coordonn´ ees astronomiques se r´ef´erent `a une surface physique, le g´eo¨ıde, qui est l’´equipotentielle du champ de pesanteur qui approxime le mieux le niveau moyen des mers vu comme surface de l’´equilibre hydrostatique de la Terre en rotation ; c’est le lieu des points o` u le potentiel est uniforme. Cependant, la distribution des masses dans la Terre n’´etant pas homog`ene, cette surface est la traduction de cette irr´egularit´e, selon la l’´equation de Poisson ∆Φ = 4πGρ d´ej` a vue. Le champ de pesanteur ´etant le gradient du potentiel, le g´eo¨ıde n’est pas une surface o` u le champ de pesanteur est uniforme, ni son amplitude. La verticale est la direction locale normale au g´eo¨ıde. Le g´eo¨ıde n’´etant pas confondu avec l’ellipso¨ıde, la verticale n’est pas parall`ele ` a la normale. Contrairement au cas g´eod´esique, le m´eridien astronomique ne contient pas l’axe de l’ellipso¨ıde.

Figure 4.2 – La hauteur du g´eo¨ıde terrestre au dessus de l’ellipso¨ıde, en m`etres. Source : http:// smsc.cnes.fr/Fr/terre_solide3.htm.

Z

H q

Z0

b

ϕA

a

Figure 4.3 – Le g´eo¨ıde, surface de base des coordonn´ees g´eographiques astronomiques. La verticale est donn´ee perpendiculairement `a cette surface ; la figure la montre dans le plan m´eridien du lieu, ce qui n’est pas n´ecessairement le cas. La latitude ϕa est mesur´ee entre le plan de l’´equateur et la verticale. La longitude λa du lieu est mesur´ee `a partir d’un plan m´eridien origine. L’altitude (orthom´etrique) est la distance M0 M mesur´ee le long de la ligne de champ. Ici, coupe m´eridienne faisant apparaˆıtre la latitude ; contrairement au cas g´eod´esique, le m´eridien astronomique ne contient pas forc´ement l’axe de l’ellipso¨ıde.

En g´eod´esie terrestre, la d´efinition de l’ellipso¨ıde de r´ef´erence n´ecessitait de choisir un point consid´er´e comme fondamental, o` u l’on imposait que l’ellipso¨ıde et le g´eo¨ıde fussent tangents. La d´etermination astronomique des coordonn´ees de ce point imposait que les coordonn´ees g´eod´esiques et astronomiques du point fondamental soient ´egales. En revanche, la propagation du r´eseau par mesures terrestres fournissait des coordonn´ees g´eod´esiques, selon les param`etres de l’ellipso¨ıde adopt´e. Des points astronomiques, dits de Laplace, permettaient de recaler le r´eseau g´eod´esique sur une grille de coordonn´ees astronomiques.

177

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

La d´etermination de la d´ eviation de la verticale, permet de connaˆıtre localement la pente du g´eo¨ıde relativement ` a l’ellipso¨ıde. Elle est d´etermin´ee par deux angles (η et ξ), projections de la verticale sur l’ellipso¨ıde (voir la figure 4.4).

~z −~g

: verti ale

~y θ

ξ

M0

~x

η

Figure 4.4 – La d´eviation de la verticale et les angles qui la d´eterminent.

Si l’on note M0 xy le plan horizontal, M0 x la direction de l’est et M0 y la direction du nord, alors les deux composantes de la verticale s’expriment [Duquenne, 2004] : η ξ

= =

(λa − λg ) cos ϕ ϕa − ϕg

Dans l’expression de η, la latitude ϕ peut ˆetre astronomique (indice a ) ou g´eod´esique (indice g ). Dans une direction d’azimut α, la verticale fait un angle θα avec la normale tel que : θα

=

ξ cos α + η sin α

θα est un angle petit, de l’ordre de quelques dizaines de secondes d’arc.

4.1.2

Le syst` eme de coordonn´ ees horizontales

Les coordonn´ ees horizontales (ou locales) sont utilis´ees pour des observateurs souhaitant positionner les objets par rapport ` a eux. Le plan de r´ef´erence en est l’horizon, celui-ci ´etant d´efini comme le plan orthogonal ` a la direction verticale, celle-ci ´etant donn´ee par le champ de pesanteur, dont on a vu le caract`ere variable ` a la surface de la Terre. Physiquement, ce syst`eme de coordonn´ees est atteint par le bullage d’un instrument, dont les axes sont, l’un, vertical (c’est-` a-dire orient´e par le bullage), l’autre situ´e dans le plan qui lui est perpendiculaire ; classiquement, ces instruments sont les instruments de la g´eod´esie terrestre (th´eodolites par exemple). Le champ de pesanteur d´efinit ainsi le nadir, vers le bas, et le z´enith, vers le haut. Depuis le lieu, la direction du pˆ ole est la direction parall`ele ` a l’axe de rotation de la Terre passant par le lieu consid´er´e ; il en est de mˆeme avec le plan de l’´equateur (voir la figure 4.5 page suivante).

178

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Ple

Ple

P

P

Horizon (H )

Zénith (Z )

M

Équateur (Eq )

Équateur (Eq )

O

Figure 4.5 – L’horizon, le z´enith, le pˆ ole et l’´equateur vus depuis un lieu quelconque sur la Terre.

Les coordonn´ees locales sont au nombre de deux : l’azimut et la hauteur. L’azimut est l’angle horizontal mesur´e depuis le plan m´eridien jusqu’au plan z´enithal passant par la direction observ´ee (celle-ci peut ˆetre la direction d’un astre ou d’un objet terrestre). Mais deux directions origines sont possibles : — en g´eod´esie, c’est la direction du pˆ ole de rotation de la Terre, c’est-`a-dire le nord g´eographique dans l’h´emisph`ere nord, qui sert d’origine aux azimuts ; — en astronomie, c’est la direction de culmination des astres du fait du mouvement diurne, c’est-` a-dire le sud g´eographique dans l’h´emisph`ere nord, qui sert d’origine des azimuts. La hauteur est l’angle mesur´e entre l’horizontale et la direction observ´ee, donc le long du cercle z´enithal passant par cette direction. En g´eod´esie on utilise souvent la distance z´ enithale, qui est le compl´ementaire de la hauteur, c’est-`a-dire l’angle entre le z´enith et la direction observ´ee (voir figure 4.6 page suivante). Avec un tel param´etrage, on peut montrer facilement que la hauteur du pˆ ole est la latitude du lieu o` u l’on se trouve.

4.1.3

Le syst` eme de coordonn´ ees ´ equatoriales

Le syst`eme de coordonn´ ees ´ equatoriales fait appel `a la notion de sph` ere c´ eleste. Il s’agit d’une sph`ere imaginaire, de rayon arbitraire (valant l’unit´e quand on fait des calculs), concentrique avec la Terre, de mˆeme pˆ ole et donc de mˆeme ´equateur. Tous les corps c´eleste ou en orbite peuvent voir leur position projet´ee sur cette sph`ere, dont la vocation est d’indiquer leur direction. Le syst`eme de coordonn´ees ´equatoriales a vocation `a exprimer les coordonn´ees d’objets c´elestes relativement au plan de l’´equateur et au point vernal γ, en sachant que celui-ci se d´eplace en raison du mouvement de pr´ecession-nutation. Les coordonn´ees dans un tel syst`eme sont appel´ees respectivement d´ eclinaison, not´ee δ, et ascension droite, not´ee α (voir figure 4.9 page 181). L’´equateur c´eleste n’est autre que la projection de l’´equateur terrestre sur la sph`ere c´eleste ; il en va de mˆeme pour le pˆ ole c´eleste, qui est la projection du pˆ ole terrestre sur la sph`ere c´eleste. L’origine naturelle de ce syst`eme est le centre de la Terre ; n´eanmoins, comme le syst`eme de coordonn´ees ´equatoriales est utilis´e de fa¸con g´en´erale pour la description de tous les astres, celle179

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.6 – Les coordonn´ees locales, ou horizontales : azimut (Az) et hauteur (h) ou distance z´enithale (z = π/2 − h). Z est ici le z´enith, et N le nadir.

Figure 4.7 – Le t´elescope Antu du Very Large Telescope au Chili, et sa monture altazimutale. Source : site internet de l’ESO, `a l’adresse http://www.eso.org/public/images/esoparanal-16/

Figure 4.8 – Le t´elescope de 193 cm de l’Observatoire de Haute-Provence, `a Saint-Michel l’Observatoire, et sa monture ´equatoriale. Source : site internet du Minist`ere de la Culture, `a l’adresse http://www. culture.gouv.fr/Wave/image/memoire/ 0765/ivr93_02040259xe_v.jpg

180

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

ci peut ˆetre le barycentre du syst`eme solaire, auquel cas une correction assimilable `a celle d’une parallaxe est n´ecessaire. N´eanmoins, dans la plupart des catalogues, les positions sont exprim´ees ind´ependamment de l’origine du rep`ere, c’est-`a-dire que les astres sont comme projet´es `a l’infini ; dans ce cas, seul leur mouvement apparent, tangentiel `a la sph`ere, est donn´e, le mouvement radial n’influen¸cant pas les positions de l’astre en question. Les instruments astronomiques modernes sont souvent adapt´es ` a l’observation d’astres et dot´es d’une monture dite ´equatoriale, dont l’axe de rotation est parall`ele ` a l’axe des pˆ oles. La rotation diurne, qui s’effectue autour de cet axe, n’affecte alors que la coordonn´ee locale parall`ele `a l’ascension droite, qu’il est facile de compenser avec un moteur tournant ` a la vitesse angulaire de la Terre (voir la figure 4.8 page pr´ec´edente). P A

δ

O

Figure 4.9 – Les coordonn´ees ´equatoriales : ascension droite (α) et d´eclinaison (δ).

α

γ

Équateur (Eq )

P′

4.1.4

Le syst` eme de coordonn´ ees horaires

4.1.4.1

Le temps sid´ eral

On appelle temps sid´ eral ce qui est en r´ealit´e un angle mesurant l’orientation de la Terre par rapport ` a une direction de r´ef´erence fixe de l’espace. Il s’exprime en heures, minutes, secondes, et est compris entre 0 et 24 h. Mais une seconde de temps sid´eral n’est pas ´egale `a une seconde de temps universel, et les 24 h de temps sid´eral sont parcourues en : 365, 2422 × 24 = 366, 2422

23h 56m 04s

de temps (tout court, ou universel). L’origine du facteur de conversion entre temps universel et temps sid´eral est d´ecrite page 126 ; il sera largement utilis´e par la suite.

181

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

a) Le temps sid´ eral local Nous avons d´efini `a la page 126 le jour sid´eral. Il s’agit en fait de la dur´ee du jour compt´ee dans une ´echelle de temps particuli`ere qu’on appelle le temps sid´ eral local. On peut compter sur cette ´echelle une heure sid´erale locale, qui est une grandeur d´ecimale, qui mesure l’angle entre le m´eridien du lieu et le point vernal (voir la figure 4.12 page 184), compt´e entre 0 et 24 h. C’est donc un angle mesur´e dans le sens inverse de la rotation de la Terre, mais qui croˆıt cependant avec elle. Greenwich ´etant un lieu privil´egi´e puisque le m´eridien origine y passe, l’heure sid´erale de Greenwich a aussi une place privil´egi´ee.

b) Le temps sid´ eral moyen On va d´efinir cependant un temps sid´eral moyen, mesur´e en un m´eridien particulier, celui de Greenwich, not´e HSM G (Heure Sid´erale Moyenne de Greenwich), ou GM ST (Greenwich Mean Sidereal Time). Il est obtenu `a partir de l’heure sid´erale locale de Greenwich HSG et de l’´ equation des ´ equinoxes αe telle que : αe

= HSG − HSM G

Le terme HSM G (en secondes) est calcul´e selon [Aoki et al., 1982] : HSM G = avec

HSM GOh UT 1

=

HSM GOh UT 1 + r ((U T 1 − U T C) + U T C)

24 110, 548 41 + 8 640 184, 812 866 T + 0, 093 104 T − 6, 2 10

(4.1) −6

T3

(4.2)

o` u U T 1 − U T C est une grandeur, born´ee par d´efinition `a 0, 9 s en valeur absolue, fournie par les Bulletins A, B et D de l’IERS (voir la figure 3.8 page 167), U T C le temps universel coordonn´ee (voir la partie 3.4.2.2 page 166) et r tel que : r

= 1, 002 737 909 350 795 + 5, 9006 × 10−11 T − 5, 9 × 10−15 T 2 366, 2422 ≈ 365, 2422

avec T le nombre d´ecimal de si`ecles juliens ´ecoul´es depuis le 1er janvier 2000 `a 12h U T 1 (date julienne 2 451 545) jusqu’` a 0h U T 1 du jour de l’observation. Dans la relation 4.2, T est calcul´e `a partir du nombre de jours juliens ´ecoul´es depuis l’´epoque de r´ef´erence, en prenant les valeurs ±0, 5, ±1, 5, ±2, 5... Ces deux relations constituent la relation de d´efinition du temps sid´eral en fonction du temps universel. Enfin, l’expression litt´erale de rr d´ecrit, simplement, l’´evolution s´eculaire du rapport entre le temps sid´eral et le temps solaire moyen. Quant ` a l’´equation des ´equinoxes, elle prend la forme suivante [Lambert, 2003] : αe

dψA sin ǫA = ∆ψ cos ǫA − dt

Z

t

t0

∆ǫ dt − sin ǫA

Z

t

t0

d∆ψ ∆ǫ dt dt

∆ψ est la nutation en longitude ´ecliptique ; ∆ǫ est la nutation en obliquit´e ; ǫA est l’obliquit´e moyenne de la date ; ψA est l’angle de pr´ecession en longitude ´ecliptique. Il est `a noter que le terme ∆ψ cos ǫA est une premi`ere approximation de γm γv , c’est-`a-dire la nutation en ascension droite. Une version approch´ee de cette relation est 1 : 1. Voir le site internet de l’USNO : http://aa.usno.navy.mil/faq/docs/GAST.php.

182

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

avec :

αe

=

∆ψ cos ǫ

∆ψ[h]

=

Ω[ ◦ ] L [◦ ]

= =

−0, 000319 sin Ω − 0, 000024 sin 2L

ǫ [◦ ]

=

125, 04 − 0, 052954 t 280, 47 + 0, 98565 t

23, 4393 − 0, 0000004 t

o` u t est le nombre de jours juliens ´ecoul´es depuis le 1er janvier 2000 `a 12h U T 1 (date julienne 2 451 545). Greenwi h Terre

(J + 1; 0h TU)

(J + 1; 0h TU) HSG (J + 1; 0h TU)

γ Terre

: point vernal

(J; 0h TU) Greenwi h

(J; 0h TU)

HSG (J; 0h TU) γ

: point vernal

Soleil

Figure 4.10 – Les temps sid´eral `a 0 h de deux dates diff´erentes.

4.1.4.2

Les coordonn´ ees horaires

Les coordonn´ ees horaires (voir figure 4.12 page suivante) font le lien entre positionnement spatial et mesure du temps appuy´ee sur la rotation terrestre. En effet, la premi`ere coordonn´ee horaire est la d´ eclinaison δ, qui est mesur´ee entre l’´equateur et la direction de l’astre consid´er´e ; elle est ind´ependante de l’orientation de la Terre, et rel`eve d’un positionnement purement spatial de l’astre. En revanche, la seconde coordonn´ee horaire est l’angle horaire AH, qui est mesur´e le long de l’´equateur entre le plan m´eridien local et le cercle m´eridien de l’astre observ´e ; AH est compt´e positivement d’est en ouest. Cet angle croˆıt exactement comme croˆıt l’angle de rotation de la Terre.

Une relation fondamentale ` a connaˆıtre est que le temps sid´eral local est ´egal `a la somme de l’angle horaire d’un astre et de son ascension droite [Harmel, 2010] :

∀t

HSL = AH + α

Mais on peut aussi calculer l’heure sid´erale locale en connaissant sa propre longitude et l’heure sid´erale de Greenwich : 183

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

P Z A

Méridien (m) δ

O AH

Équateur (Eq )

Figure 4.11 – Les coordonn´ees horaires : angle horaire (AH) et d´eclinaison (δ).Z est ici le z´enith, et N le nadir.

N P′

Figure 4.12 – Les coordonn´ees horaires, ´equatoriales, g´eographiques et l’heure sid´erale. L’angle horaire et le temps sid´eral sont compt´es positivement d’est en ouest, tandis que la longitude et l’ascension droite le sont d’ouest en est.

184

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

∀t 4.1.4.3

HSL = HSG + λ

Relations entre coordonn´ ees horaires et temps universel

Il est indispensable de relier l’heure sid´erale locale au temps universel. Sur le m´eridien origine d’abord [Bouteloup, 2003] (voir figure 4.13) :

HSG(tT U ) = HSG(t = 0h T U ) +

366, 2422 tT U 365, 2422

En un lieu de longitude quelconque, ensuite :

HSL(tT U ) = HSG(t = 0h T U ) +

366, 2422 tT U + λ 365, 2422

Sachant que HSL = AH + α, on a imm´ediatement (voir figure 4.14 page suivante) :

AH = HSG(t = 0h T U ) +

⊙

: Soleil moyen à

366, 2422 tT U + λ − α 365, 2422

0h TU

M

λ HSL(M) P

: vue du ple

HSG (0h TU)

HSG (t)

G (t) 366,2422 365,2422

tTU

G (0hTU)

γ

4.1.5

Figure 4.13 – Illustration de la relation liant heure sid´erale et temps universel.

: point vernal

Le syst` eme de coordonn´ ees ´ ecliptiques

Un syst`eme de coordonn´ ees ´ ecliptiques (voir la figure 4.15 page 187) rep`ere les astres relativement ` a l’´ecliptique d´efini comme plan fondamental origine des latitudes ´ ecliptiques, not´ees b, et au point vernal γ d´efini comme origine des longitudes ´ ecliptiques, not´ees ℓ. Ce genre de rep`ere 185

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

A A

A

−AHM (A) α(A) P

: vue du ple

Figure 4.14 – L’observation d’un mˆeme ph´enom`ene c´eleste `a l’infini depuis deux lieux de longitudes diff´erentes.

M

HSL(M) λ HSG −AHG (A) G

γ

: point vernal

a vocation ` a rep´erer les objets du syst`eme solaire. Le plan fondamental et l’origine des longitudes sont essentiellement des objets dynamiques ; c’est donc aussi le cas d’un syst`eme de coordonn´ees de ce type. Le plan de l’´ecliptique est inclin´e d’un angle ǫ par rapport `a l’´equateur, appel´e obliquit´e. Q et Q′ sont les pˆ oles ´ecliptiques de ce syst`eme de coordonn´ees, tandis que O, son origine, est naturellement plac´ee au barycentre du Syst`eme solaire.

4.1.6

Le plan de Laplace

Les ´el´ements orbitaux d’un corps ne sont constants que si le potentiel dans lequel il se trouve est k´epl´erien. Lorsque le potentiel k´epl´erien subit un potentiel perturbateur, les ´el´ements orbitaux connaissent des variations temporelles, en vertu des ´equations de Lagrange. La perturbation peut venir de la non-sph´ericit´e du corps central, du Soleil, d’une plan`ete massive sur une orbite proche, ou d’un autre satellite massif en orbite autour du mˆeme corps central. L’aplatissement du corps central provoque une pr´ecession du plan de l’orbite autour du pˆ ole du corps central ; la perturbation d’un troisi` eme corps provoque la pr´ecession du plan de l’orbite autour du pˆ ole de l’orbite de ce troisi`eme corps par rapport au corps central (si le troisi`eme corps consid´er´e est le Soleil, ce pˆ ole est le pˆ ole de l’orbite de r´evolution de la plan`ete autour du Soleil ; c’est de loin, apr`es l’aplatissement, la perturbation la plus importante). S’exprime donc ainsi le besoin d’un plan de r´ef´erence dont le pˆ ole serait le pˆ ole de la pr´ecession de ces deux effets cumul´es : ce plan est le plan de Laplace. Le pˆ ole du plan de Laplace est donc coplanaire avec le pˆ ole de rotation et le pˆ ole orbital du corps central ; les variations temporelles de certains ´el´ements orbitaux ´etant li´ees `a d’autres ´el´ements orbitaux, un plan de Laplace unique est associ´e `a tout satellite. Le pˆ ole du plan de Laplace est ainsi une sorte de plan moyen, situ´e entre les deux pˆ oles ´evoqu´es ci-dessus. Le plan de Laplace du satellite est donc situ´e entre le plan de l’orbite et le plan ´equatorial de la plan`ete ; il est d’autant plus proche de l’´equateur que l’aplatissement de la plan`ete domine la perturbation, et d’autant plus proche du plan de l’orbite que le Soleil domine la perturbation. La relation suivante 186

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Q

A

É liptique (Ec ) Équateur (Eq )

b

O

ǫ

ℓ

γ Q′

Figure 4.15 – Les coordonn´ees ´ecliptiques.

lie ces deux angles, d´enot´es i1 et i2 sur la figure 4.16 [Seidelmann, 2006] : 2 n2 J2 r02 sin 2 i2

= a2 n′2 (1 − e′2 )−1/2 sin 2 i1

o` u n est le moyen mouvement orbital du satellite, J2 le coefficient d’aplatissement dynamique de la plan`ete, r0 le rayon ´equatorial de la plan`ete, a le demi-grand axe de l’orbite du satellite, n′ le moyen mouvement orbital de la plan`ete, e′ l’excentricit´e orbitale de la plan`ete. Le plan de l’orbite du satellite pr´ecessant par d´efinition autour d’un pˆ ole unique, le pˆ ole du plan de Laplace, l’inclinaison i de l’orbite sur ce plan est constante. Ce plan est fr´equemment utilis´e pour les orbites des satellites des plan`etes g´eantes, qui subissent de fortes perturbations. Plan ´equatorial de la plan`ete

Plan de Laplace

i

γ γN = Ω

N

i2 i1 ′

NM

N′

′

γN = Ω

=

θ

M N′M = φ

i′ Plan orbital de la plan`ete

Plan orbital du satellite

Figure 4.16 – Le plan de Laplace, et les angles qui interviennent dans un param´etrage le faisant intervenir. Inspir´e de [Seidelmann, 2006].

187

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

4.1.7

Le syst` eme de coordonn´ ees galactiques

Le syst`eme de coordonn´ ees galactiques est un syst`eme de coordonn´ees angulaires ayant vocation ` a assigner aux objets de la Voie Lact´ee des coordonn´ees ; ce sont la longitude galactique, not´ee ℓ, et mesur´ee dans le plan de la Galaxie, et la latitude galactique, not´ee b, et mesur´ee relativement ` a ce plan (voir les figures 4.18 page suivante et 4.19 page suivante). Les ´el´ements caract´eristiques de ce syst`eme ont ´et´e recommand´es en 1958, et adopt´es en 1961, a` l’occasion des XVIIIe et XIXe Assembl´ees G´en´erales de l’Union Astronomique Internationale (respectivement ` a Moscou, URSS [UAI, 1958], et `a Berkeley, USA [UAI, 1961]) : — l’origine de ce syst`eme de coordonn´ees est le Soleil ; — le pˆ ole de ce syst`eme de coordonn´ees a pour coordonn´ees αp = 12h 49m et δp = +27, 4˚ (´epoque B1950.0) ; ` a l’´epoque J2000.0, ces quantit´es sont les suivantes : αp = 12h 51m 26, 282s et δp = +27˚07′ 42, 01′′ ; — l’origine des longitudes galactiques est prise en direction du centre de la galaxie, et forme un angle de 123˚` a partir du pˆ ole nord c´eleste selon un grand cercle ; elle a pour coordonn´ees : αℓ=0 = 17h 42, 4m et δℓ=0 = −28˚55′ (´epoque B1950.0) ; `a l’´epoque J2000.0, ces coordonn´ees sont les suivantes : αℓ=0 = 17h 45m 37, 224s et δℓ=0 = −28˚56′ 10, 23′′ ; en r´ealit´e, on sait que le centre physique de la galaxie n’est pas exactement dans la direction adopt´ee en 19581961, et que le centre est en r´ealit´e le trou noir Sagitarius A* (voir la figure 4.17), dont les coordonn´ees sont αSgr A∗ = 17h 45m 40, 045s et δSgr A∗ = −29˚00′ 27, 9′′ , et qui est situ´e `a environ 25 900 ann´ees-lumi`eres du Soleil ; — les longitudes sont compt´ees positivement dans le mˆeme sens que les ascensions droites, et vont de 0◦ ` a 360◦ ; les latitudes sont compt´ees de −90˚`a +90˚. On constate en outre que le plan de l’´equateur et le plan de la Galaxie sont tr`es loin d’ˆetre confondus, et que l’angle entre eux est de 90˚− δp = 62, 6˚.

` gauche, le cœur de la Voie Lact´ee, photographi´e par le satellite Chandra en rayons Figure 4.17 – A X ; `a droite : zoom sur Sagittarius A*. Cr´edit : NASA/UMass/D. Wang et al., `a l’adresse http:// chandra.harvard.edu/chronicle/0204/milkyway/index.html

4.1.8

Changement de syst` eme de coordonn´ ees

Le passage d’un syst`eme de coordonn´ees `a l’autre se fait par le biais de rotations tridimensionnelles ; il suppose l’expression du vecteur position sous forme cart´esienne dans les deux syst`emes de coordonn´ees. → − On rappelle tout d’abord que la rotation d’angle θ d’un vecteur quelconque A est ´equivalente `a la rotation d’angle −θ de la base qui sert `a exprimer ses coordonn´ees ; c’est ici ce ph´enom`ene que nous allons exprimer : les vecteurs directifs que nous consid´erons ne tournent pas ; ce sont les bases d’expression de celui-ci qui sont diff´erentes, et exprim´ees par le biais de rotations.

188

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

A

GP

b

O

γ ℓ

62, 6

Équateur éleste (Eq ) Plan gala tique

GC

Figure 4.18 – Vue polaire du plan galactique. Source : http://en.wikipedia.org/ wiki/File:Galactic_longitude.JPG

GC : entre gala tique GP : ple gala tique

Figure 4.19 – Les coordonn´ees galactiques.

Les matrices de rotation sont orthogonales, donc :

−→ X1 −→ X2

−→ = R(θ)X2 −→ = RT (θ)X1 −→ = R(−θ)X1

On exprime d’abord le vecteur unitaire de la direction consid´er´ee, exprim´e dans deux syst`emes −→ −→ de coordonn´ees, sous la forme des vecteurs X1 et X2 :

X1 Y1

= cos ζ1 cos β1 = cos ζ1 sin β1

Z1

= sin ζ1

X2

= cos ζ2 cos β2

Y2 Z2

= cos ζ2 sin β2 = sin ζ2

On exprime les matrices de rotation :

189

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Rx (θ)

Ry (θ)

Rz (θ)

=

=

=



1 0 0  0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ  cos θ 0 sin θ  0 1 0 − sin θ 0 cos θ  cos θ − sin θ 0  sin θ cos θ 0 0 0 1

 

 

 

On remarque au passage qu’`a partir de la premi`ere matrice de rotation, on construit la suivante par permutation circulaire en colonnes (de haut en bas) et en lignes (de gauche `a droite). −→ −→ Deux jeux d’´equations peuvent ainsi ˆetre obtenus, selon qu’on exprime les vecteurs X1 ou X2 `a partir de la rotation de l’autre ; ces relations sont identiques `a celles que la trigonom´etrie sph´erique permet d’obtenir (voir page 224). Les rotations les plus utilis´ees sont celles (voir figure 4.20) : — autour de l’axe z, qui traduit un changement d’origine ; cette transformation est sans grand int´erˆet car une simple soustraction d’angles permet d’obtenir le mˆeme r´esultat ; — autour de l’axe x, qui traduit un changement de plan de r´ef´erence ; cette transformation est tr`es utilis´ee.

Figure 4.20 – Exemples de changements de syst`eme de coordonn´ees : `a gauche, un changement d’origine (rotation selon z) ; ` a droite, un changement de plan de r´ef´erence (rotation selon x).

4.2

Les rep` eres de r´ ef´ erence c´ elestes

Un syst` eme de r´ ef´ erence est un concept math´ematique d´efinissant le cadre dans lequel des coordonn´ees sont exprim´ees. C´eleste, il s’attache `a la description du cadre d’expression des coordonn´ees des astres ; terrestre, de celui des coordonn´ees de points `a la surface de la Terre. On le distingue du rep` ere de r´ ef´ erence, qui est la r´ealisation concr`ete de ce syst`eme, et qui peut ´evoluer dans le temps. Il s’agit, dans les cas c´eleste et terrestre, des coordonn´ees d’un 190

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

ensemble d’objets dits de r´ef´erence, `a partir desquels des mesures g´eom´etriques donnent acc`es `a des coordonn´ees exprim´ees dans le syst`eme de r´ef´erence en question. Avant d’en venir ` a la description des rep`eres c´elestes de construction scientifique, nous abordons le moyen avec lequel les humains se sont rep´er´es primitivement dans le ciel.

4.2.1

Le ciel tel qu’il se pr´ esente

4.2.1.1

La luminosit´ e des astres

Quel que soit le capteur utilis´e, tous les astres pr´esents dans son champ de vision ne lui sont pas visibles. Leur visibilit´e d´epend du flux lumineux int´egr´e sur le temps d’observation re¸cu par le capteur. C’est cette id´ee qui est `a l’origine de la notion de magnitude, qui est l’´echelle sur laquelle on rep`ere les astres en fonction de leur brillance. Cette ´echelle est logarithmique de base √ 5 100 ≈ 2, 5 et varie en fonction de flux lumineux re¸cu par un astre donn´e dans une bande de longueur d’onde donn´ee (not´ee X par exemple). L’expression de cette magnitude est :

mB

= =



 ΦB Φ0  B  ΦB −2, 5 log10 Φ0B 5 − log √ 100

o` u ΦB est le flux re¸cu dans la bande spectrale B, et FB0 le flux de r´ef´erence. Indiff´eremment, on peut aussi remplacer ces flux par des ´eclairements ; de la sorte, l’´eclairement de r´ef´erence est, dans le visible :

0 Evis

= 2, 87 · 10−8 W · m−2

Historiquement, par convention, on avait impos´e que la magnitude de l’´etoile V´ega, de la constellation de la Lyre, soit nulle, c’est-` a-dire que son flux faisait r´ef´erence. Depuis, l’´echelle de magnitude s’est affin´ee et V´ega a d´esormais une magnitude de 0,03. Par ailleurs, le signe − indique que les magnitudes d´ecroissent quand le flux lumineux augmente : plus un astre est brillant, plus sa magnitude est basse. Par exemple, celle du Soleil est √ ` de −26. Le facteur de baisse du flux quand la magnitude augmente d’une unit´e est 5 100. A l’œil nu, on peut percevoir des astres jusqu’` a une magnitude entre 5,5 et 6. 4.2.1.2

Les ´ etoiles

Le ciel nous offre un spectacle exceptionnel, et d’abord par le semis d’´etoiles qu’on y voit. Les ´etoiles portent des noms tr`es souvent issus de l’arabe ou du latin. Un exemple en est donn´e dans le tableau 4.1 page suivante, qui regroupe de surcroˆıt des d´esignations d´ecrites plus bas. 4.2.1.3

Les constellations

Le premier moyen de se rep´erer dans le ciel consiste `a faire appel `a une carte du ciel. Sur celle-ci, les ´etoiles sont regroup´ees en des figures aux noms ´evoquant la mythologie ou les animaux : ce sont les constellations. Pour des raisons religieuses, les humains ont, depuis le fond des ˆages, plac´e leurs dieux dans les cieux. La demeure divine ne pouvant qu’ˆetre parfaite et ordonn´ee, il convenait que 191

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Nom traditionnel Sirius Proxima Centauri

D´ esignation de Bayer ou de Flamsteed α CMa α Cen C

Magnitude

Commentaire

-1,47 11,05

51 Peg

5,49

β Ori

0,12

´ Etoile la plus brillante du ciel ´ Etoile la plus proche du syst`eme solaire ; (syst`eme triple) Premi`ere ´etoile autour de laquelle une plan`ete extrasolaire a ´et´e d´ecouverte Not´ee β bien que plus brillante que l’´etoile α (B´etelgeuse)

— Rigel

Table 4.1 – Quelques ´etoiles.

l’apparence du ciel traduise l’ordre c´eleste et divin qui y pr´esidait. Les ´etoiles visibles sont donc peu ` a peu apparues comme des images de personnages mythiques, non pas individuellement, mais dans leurs positions relatives. Par des rapprochements `a l’aide desquels on pouvait imaginer voir tel h´eros, tel dieu, ou tel animal fabuleux, les constellations ont ´et´e cr´e´ees. Il est donc naturel qu’initialement, ce terme ait d’abord ´et´e rattach´e `a une d´emarche superstitieuse ´ comme l’astrologie plutˆ ot qu’`a l’astronomie comme science. Evidemment, ces appariements d’´etoiles ne sont qu’apparents et, hormis dans les cas d’amas comme les Pl´eiades ou les Hyades (constellation du Taureau), les ´etoiles d’une mˆeme constellation n’ont souvent rien `a voir et sont ´eloign´ees de centaines ou de milliers d’ann´ees-lumi`ere. L’Union astronomique internationale a toutefois fig´e en 1930 une liste de 88 constellations, ainsi que leur d´ecoupage sur la sph`ere c´eleste, dont rend compte le tableau 4.2 page suivante [Delporte, 1930]. On constate que certaines constellations ont des noms d’objets ou de machines ; ceci est principalement li´e `a leur d´ecouverte tardive par les explorateurs europ´eens, du fait de leur position dans l’h´emisph`ere sud. Le baptˆeme mythologique ´etant pass´e de mode, c’est le progr`es technique qui fut la source principale d’inspiration pour le choix des noms de ces constellations. Outre le nom que chaque constellation porte dans chaque langue, le latin sert officiellement `a les d´enommer de fa¸con univoque. Au sein de chaque constellation, les ´etoiles sont not´ees d’abord par une lettre grecque, dans l’ordre des magnitudes croissantes (c’est-` a-dire dans l’ordre des luminosit´es d´ecroissantes), suivie du g´enitif du nom latin de la constellation `a laquelle elle appartient : il s’agit de la d´esignation de Bayer 2 . Il arrive, certes rarement, que des constellations comptent plus d’´etoiles d´esign´ees qu’il n’y a de lettres dans l’alphabet grec ; les lettres latines minuscules, puis majuscules, sont alors utilis´ees. Une autre d´esignation existe en plus de celle de Bayer ; il s’agit de celle de Flamsteed 3 . Elle se base sur un classement des ´etoiles semblable `a celui de Bayer, relatif `a leur brillance, mais utilise des nombres au lieu des lettres. L’usage veut que l’on utilise la d´esignation de Bayer lorsqu’une ´etoile se trouve d´esign´ee dans les deux syst`emes ; en revanche, celui de Flamsteed est en vigueur pour les ´etoiles qui ne sont pas r´epertori´ees dans le syst`eme de Bayer. Les catalogues contemporains ne font cependant plus r´ef´erence `a la constellation d’appartenance des ´etoiles pour les d´esigner.

2. Johann Bayer (1572 – 1625). 3. John Flamsteed (1646 – 1719).

192

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

NOMS

LATIN NOMINATIF

Androm` ede Cancer* Capricorne* Horloge Indien Machine pneumatique

Andromeda Cancer Capricornus Horologium Indus Antlia

LATIN ´ GENITIF Andromedae Cancri Capricorni Horologii Indi Antliae

´ ABBREVIATION And Cnc Cap Hor Ind Ant

Table 4.2 – Exemples de constellations.

4.2.1.4

Le zodiaque

Le zodiaque est une notion proche de celle de l’´ecliptique, mais connot´ee plus mystiquement. Il s’agit de la zone du ciel dans laquelle se meut le Soleil. Les astrologues y voient douze signes, associ´es aux constellations travers´ees par le Soleil en une ann´ee alors qu’en toute rigueur, celles-ci sont au nombre de treize (affubl´ees d’un ast´erisque dans le tableau 4.2).

4.2.2

Le Catalogue Fondamental

La premi`ere version du Catalogue Fondamental (Fundamental Katalog – FK1) a ´et´e publi´ee en Allemagne en 1879. Il avait vocation a fournir les coordonn´ees de 539 ´etoiles, permettant, par rattachement, la d´etermination de celles d’objets situ´es `a proximit´e pour le catalogue AGK (Astronomische Gesellschaft Katalog). Il fut suivi par le FK2 en 1907, avec les coordonn´ees de 925 ´etoiles, puis par le FK3 en 1937 avec 873 ´etoiles, auxquelles s’y ajoutent 662 publi´ees l’ann´ee suivante ; ensuite vint le FK4 en 1963 avec les 1535 ´etoiles du FK3 et de son suppl´ement, qui a ´et´e compl´et´e deux ans plus tard par 1111 ´etoiles, et enfin le FK5 en 1988 avec les 1535 ´etoiles du FK4 et du FK3, auxquelles ont ´et´e ajout´ees 3115 ´etoiles en 1991. Bien que remplac´e par le catalogue Hipparcos, catalogue stellaire align´e sur l’ICRF, une sixi`eme version du Catalogue Fondamental (FK6) a ´et´e publi´ee en 2000, avec les coordonn´ees d’atoiles mˆelant observation par le satellite Hipparcos et observations au sol. Il compte 878 ´etoiles, et son suppl´ement 3272. Le dernier de ces catalogues que l’Union astronomique internationale a officiellement adopt´e est le FK5, construit apr`es la r´esolution de son Assembl´ee G´en´erale de 1976, `a Grenoble [UAI, 1976]. R´ef´er´e ` a l’´equateur et ` a l’´equinoxe moyens de l’´epoque J2000, il comporte les coordonn´ees sph´eriques ´equatoriales des ´etoiles qu’il liste, ainsi que leur mouvement propre, les ´ecarts-types pour ces grandeurs, la magnitude de l’´etoile, son type spectral, sa parallaxe, sa vitesse radiale, ainsi que les identifiants de l’´etoile dans d’autres catalogues.

4.2.3

Le rep` ere international de r´ ef´ erence c´ eleste

4.2.3.1

Pr´ esentation et besoins

La XXIIIe Assembl´ee G´en´erale de l’Union Astronomique Internationale (Kyoto, Japon, 1997) a d´ecid´e qu’`a compter du 1er janvier 1998, le syst`eme de r´ef´erence c´eleste officiel de l’UAI serait l’ICRS (International Celestial Reference System), en remplacement du FK5 (Fundamental Katalog 5 ) [UAI, 1997]. L’ICRS remplit en effet les conditions ´enonc´ees dans les recommandations de la XXIe Assembl´ee g´en´erale (Buenos Aires) de 1994, `a savoir, entre autres : — l’origine de l’ICRS est le barycentre du syst`eme solaire ; — le pˆ ole de l’ICRS est d´efini ` a partir des conventions de l’UAI pour la pr´ecession et la nutation ;

193

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

— l’origine des ascensions droites est d´efinie implicitement en fixant l’ascension droite du quasar 3C273B ` a sa valeur dans le rep`ere FK5 propag´ee `a l’´epoque J2000.0 d’une part, et d’autre part en faisant la moyenne des ascensions droites de 23 radio-sources extragalactiques figurant dans les catalogue VLBI ; — le cadre th´eorique g´en´eral d´efinissant l’ICRS est la relativit´e g´en´erale, et l’´echelle de temps qui lui est associ´ee est le temps-coordonn´ee barycentrique (TCB), en remplacement du temps dynamique barycentrique.

Figure 4.21 – Le pˆ ole, l’´equateur et le point vernal de l’ICRF, compar´es aux pˆ oles, ´equateurs et points vernaux moyens ` a J2000.0 et du catalogue FK5. Source : site internet de l’ICRF-PC, `a l’adresse http://hpiers.obspm.fr/icrs-pc/icrs/def_syst.html

Ces choix r´epondent ` a l’exigence de disposer d’un rep`ere c´eleste sans rotation globale (ou alors li´ee `a celle de l’Univers tout entier ; or le principe de Mach stipule que l’Univers est isotrope, c’est`a-dire sans rotation d’ensemble) : cette formulation est celle d’une vision cin´ematique du rep`ere c´eleste. D’un point de vue dynamique, on souhaite se dispenser d’avoir des termes d’acc´el´eration d’entraˆınement dans les ´equations de mouvement des objets c´eleste dans ce rep`ere ; en clair, on souhaite que ce rep` ere c´ eleste s’approche de la meilleure fa¸ con possible d’un rep` ere inertiel. Cette conditions est une ´etape fondamentale ayant amen´e `a faire de l’ICRS le premier rep`ere astronomique libre de tout lien avec la rotation de la Terre. Pour atteindre cet objectif, on est donc conduit `a s’appuyer sur des observations d’objets sans mouvement propre visible, c’est-` a-dire sur les objets les plus ´eloign´es possibles, `a savoir les quasars, qui sont des noyaux actifs de galaxies tr`es ´eloign´ees dont les signaux nous parviennent dans le domaine radio (bandes S, de 2 ` a 4 GHz et X, de 8 `a 12 GHz notamment) ; en effet, leur redshift, caract´eristique de leur ´eloignement du fait de l’expansion de l’Univers, est souvent ´elev´e (entre 0,6 et 5,8 pour le plus lointain), correspondant `a des distances de l’ordre du milliard d’ann´ees-lumi`ere (13,8 milliards d’ann´ees-lumi`eres pour le plus ´eloign´e). L’examen de cette mesure de distance, 194

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

d’une part par spectroscopie, de leur luminosit´e d’autre part, am`ene `a la conclusion que ces objets rayonnent autant qu’une centaine de galaxies ! Ils sont constitu´es d’un trou noir central d’une masse de l’ordre du milliard de masses solaires, d’un disque d’accr´etion de mati`ere, au sein duquel la friction joue un rˆole essentiel dans l’´emission de rayonnements, et de jets de mati`ere le long des lignes du champ magn´etique ` a des vitesses proches de celle de la lumi`ere. Leur nom provient de l’anglais quasi-star radio source, car au moment de leur d´ecouverte, dans les ann´ees 1950-1960, on les voyait comme des ´etoiles ´emettant dans le domaine radio.

Figure 4.22 – Trois radiosources extragalactiques de l’ICRF (0003-066, 0014+813, 0039+230) observ´ees `a 8 GHz. Source : [Charlot et al., 2007].

4.2.3.2

L’ICRS et ses r´ ealisations

L’Union Astronomique Internationale a charg´e l’IERS du suivi de l’ICRS, de la maintenance de l’ICRF (promotion et coordination des observations, ´etude de la structure des sources, mise `a jour des catalogues), et de la maintenance du lien des rep`eres de r´ef´erence optiques avec l’ICRS.

a) L’ICRF et ses extensions La premi`ere r´ealisation de l’ICRS, appel´ee ICRF (ou ICRF1), a ´et´e ´elabor´ee par le groupe de travail sur les rep`eres de r´ef´erence de l’UAI `a partir de 1995, sur la base d’observations ´etal´ees entre 1982 et 1994, et il a ´et´e adopt´e `a l’Assembl´ee G´en´erale de l’UAI de 1997, pour entrer en vigueur le 1er janvier 1998. L’ICRF contient les coordonn´ees `a J2000.0 de 608 radio-sources extragalactiques observ´ees par VLBI (Very Long Baseline Interferometry). Ces 608 objets sont ordonn´es en trois classes, selon la qualit´e de leurs donn´ees et la pr´ecision de leur position estim´ee : — sources de d´efinition : au nombre de 212, elles forment un ensemble de haute qualit´e astrom´etrique (pr´ecision de 4 10−4 ′′ sur les positions, de 4 10−3 ′′ /an sur les mouvements), et d´efinissent les axes de l’ICRF ; — sources candidates : au nombre de 294, leurs observations sont insuffisantes, ou leur position estim´ee montre des ´ecarts importants avec celle d’autres catalogues ; — sources autres : au nombre de 102, elles ont un mouvement important, mais ont servi au rattachement avec le rep`ere optique. Une autre classification des sources s’attache `a caract´eriser leur structure, `a savoir leur variabilit´e spatiale et fr´equentielle dans le temps, ph´enom`ene qui constitue la limite de la construction de l’ICRF appuy´ee sur ces sources. L’indice de structure est ainsi de 1 pour les sources quasiponctuelles, dont la qualit´e astrom´etrique est tr`es bonne ; il est en revanche de 4 pour les sources tr`es ´etendues et de qualit´e inacceptable. La maintenance de l’ICRF a conduit `a la production de sa premi`ere extension, appel´ee ICRFext1, publi´ee en 1999, appuy´ee sur des observations suppl´ementaires de 1994 `a 1999. Aux 608 sources catalogu´ees dans l’ICRF se sont ajout´ees 59 nouvelles sources, formant la classe des sources nouvelles, formant un catalogue de 667 objets. Les coordonn´ees des sources de d´efinitions sont rest´ees inchang´ees ; en revanche, celles des sources candidates et autres ont ´et´e mises `a jour.

195

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.23 – Carte des 608 sources de l’ICRF1. Source : site internet de l’ICRFPC, `a l’adresse http://hpiers.obspm. fr/icrs-pc/icrf/plots/icrf.col.png

La seconde extension de l’ICRF, appel´ee ICRF-ext2, a ´et´e publi´ee en 2004 sur la base d’observations suppl´ementaires de 1999 ` a 2002. Cette deuxi`eme extension comporte 50 nouvelles sources par rapport ` a l’ICRF-ext1. Les coordonn´ees des sources de d´efinitions n’ont pas ´et´e modifi´ees, comme pour l’ICRF-ext1, mais celles des sources candidates et autres l’ont encore ´et´e 4 . Une particularit´e de l’ICRF est de former un catalogue de sources dans le domaine radio ; or quantit´e d’observations astronomiques ont lieu dans des domaines de longueur d’onde tr`es diff´erents, en particulier le domaine optique. C’est la raison pour laquelle une r´ealisation optique de l’IRCS/ICRF a ´et´e indispensable ` a son utilisation. Le catalogue Hipparcos assume ce rˆole ; il est appuy´e sur des observations ´etal´ees entre 1989 et 1993 r´ealis´ees par le satellite ´eponyme 5 , comprenant les coordonn´ees pr´ecises et les mouvement de 118 000 ´etoiles (pr´ecision des positions : 1 10−3 ′′ , des mouvements : 1 10−3 ′′ /an). Il a donc fallu aligner les axes de ce catalogue `a ceux de l’ICRF, ` a la date moyenne des observations d’Hipparcos, `a savoir 1991.25. Cette op´eration a ´et´e r´ealis´ee par plusieurs types d’observations, notamment : — observations VLBI sur des radio-sources stellaires ; — observations VLBI de radio-sources extragalactiques coupl´ees `a des observations optiques au sol ; — observations de radio-sources extragalactiques avec le t´elescope spatial Hubble. La pr´ecision de l’alignement des deux catalogues est de 6 10−4 ′′ en position et de 2, 5 10−4 ′′ /an en vitesse de rotation ; le catalogue Hipparcos align´e sur l’ICRF forme le HCRF (Hipparcos Celestial Reference Frame). L’Agence spatiale europ´eenne a proc´ed´e en d´ecembre 2013 au lancement du satellite GAIA, qui devrait amener une pr´ecision de 10−5 ′′ sur un milliard d’´etoiles observ´ees. Un ´el´ement fondamental de propagation de l’ICRF, rep`ere cin´ematique, est le rattachement des rep`eres dynamiques ` a celui-ci. Ceci est possible par l’observation des sondes spatiales par VLBI (et des mesures de rattachements angulaires `a des sources extra-galactiques proches), le couplage d’observations de VLBI avec des tirs lasers sur la Lune, des observations de t´el´em´etrie radar sur les plan`etes, etc. [Capitaine, 2000]. b) L’ICRF2 L’ICRF2 est la deuxi`eme r´ealisation de l’ICRS comportant les coordonn´ees de 3414 radio-sources extragalactiques. Les observations ont ´et´e class´ees en observations dites VCS (Very Large Baseline Array Calibrator Survey) et non-VCS (p. 13 de [Fey et al., 2009]). Cette distinction fait intervenir le r´eseau d’antennes am´ericaines appel´e VLBA ; il s’agit d’un r´eseau de dix antennes VLBI de 25 m chacune install´ees entre Hawa¨ı et Porto-Rico, qui forme le meilleur 4. Voir le site du centre de produit de l’ICRF, bas´ e ` a l’Observatoire de Paris au sujet de l’ICRF et de ses extensions, ` a l’adresse : http://hpiers.obspm.fr/icrs-pc/ 5. Il s’agit en r´ ealit´ e de l’acronyme de HIgh Precision PARallax COllecting Satellite.

196

(1) ICRF Designations, constructed from J2000.0 coordinates with the format ICRF JHHMMSS.s+DDMMSS or ICRF JHHMMSS.s-DDMMSS They follow the recommendations of the IAU Task Group on Designations. (2) IERS Designations, previously constructed from B1950 coordinates. The complete format, including acronym and epoch in addition to the coordinates, is IERS BHHMM+DDd or IERS BHHMM-DDd (3) c: Category of the source: [D]efining, [C]andidate, [O]ther X: Structure index at X band S: Structure index at S band H: Asterisk indicates that the source serves to link the Hipparcos stellar reference frame to the ICRS. (4) Number of pairs of delay and delay rate observations. Coordinates of the 212 defining sources in ICRF --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ICRF Designation IERS Des. Inf. Right Ascension Declination Uncertainty Corr. Mean First Last Nb Nb (1) (2) (3) J2000.0 J2000.0 R.A. Dec. RA-Dc MJD MJD MJD sess. del. X S H h m s o ’ " s " of observation span (4) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ICRF J000557.1+382015 0003+380 0 5 57.175409 38 20 15.14857 0.000041 0.00051 -.041 49087.0 48720.9 49554.8 2 41 ICRF J001031.0+105829 0007+106 0 10 31.005888 10 58 29.50412 0.000032 0.00068 .540 47938.9 47288.7 49690.0 10 74 ICRF J001033.9+172418 0007+171 0 10 33.990619 17 24 18.76135 0.000021 0.00035 -.402 48730.8 47931.6 49662.8 19 57 ICRF J001331.1+405137 0010+405 2 1 0 13 31.130213 40 51 37.14407 0.000026 0.00034 -.038 49549.6 48434.7 49820.5 7 219 ICRF J001708.4+813508 0014+813 0 17 8.474953 81 35 8.13633 0.000121 0.00026 .012 49505.2 47023.7 49924.8 78 1453 ICRF J004204.5+232001 0039+230 0 42 4.545183 23 20 1.06129 0.000036 0.00060 .090 48898.1 48328.5 49533.8 3 44 ICRF J004959.4-573827 0047-579 0 49 59.473091 -57 38 27.33992 0.000047 0.00053 .298 48697.0 47626.5 49407.6 13 46 ICRF J011205.8+224438 0109+224 * 1 12 5.824718 22 44 38.78619 0.000027 0.00049 .082 48733.1 48434.7 49736.9 7 97 (...)

197

Table 4.3 – Extrait du catalogue des sources de d´efinition de l’ICRF(1). Source : ICRF-PC.

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Notes:

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.24 – Le satellite Hipparcos ; montage avec un fil´e polaire d’´etoiles. Source : ESA. r´eseaux d’antennes de ce genre au monde ; il s’est av´er´e dans les ann´ees 2000 que l’utilisation du VLBA et de ses capacit´es dans les sessions d’observation VLBI am´eliorait consid´erablement les r´esultats obtenus. C’est la raison pour laquelle les sources dont les coordonn´ees forment l’ICRF2 ont ´et´e class´ees en deux : celles ayant b´en´efici´e d’observations non-VCS (1217 sources), et celles en ayant profit´e (2197 sources). Leur nombre est beaucoup plus ´el´ev´e que celles de la classe nonVCS, du fait de la nature des sessions d’observations VCS, qui consistent dans des observations de courtes dur´ees d’un grand nombre d’objets ; les sessions VCS ont ainsi permis d’incorporer un grand nombre d’objets avec des pr´ecisions comparables `a celles des objets observ´es en mode non-VCS. Les 295 sources de d´efinition ont ´et´e choisies parmi les sources non-VCS.

4.2.4

Le syst` eme c´ eleste barycentrique de r´ ef´ erence

Nous avons mentionn´e l’ICRF comme ´etant un rep` ere cin´ ematique. Cela signifie qu’il est ind´ependant de tout mouvement de rotation qui n´ecessiterait, d’un point de vue dynamique, l’introduction de termes d’entraˆınement dans la relation fondamentale de la dynamique, rendus indispensables car un tel rep`ere, en rotation, ne serait pas galil´een. Or dans le Syst`eme solaire, nous souhaitons faire de la dynamique, pr´ecis´ement parce que nous ´etudions le mouvement des plan`etes, des ast´ero¨ıdes, des sondes spatiales ; pour ces applications relativement simples, la m´ecanique newtonienne convient certes tr`es bien, mais atteint ses limites lorsqu’on examine certains probl`emes, comme celui de l’avanc´ee du p´erih´elie de Mercure, de la d´eviation des ondes radio ´emises par les sondes spatiales, ou de l’´ecoulement du temps `a tel ou tel endroit. Ce constat am`ene naturellement `a consid´erer la relativit´e g´en´erale comme th´eorie physique adapt´ee `a la description dynamique du Syst`eme solaire. Dans une telle optique, la XXIe Assembl´ee g´en´erale de l’Union Astronomique Internationale (Buenos Aires, 1991), a recommand´e la construction d’un syst`eme barycentrique relativiste de r´ef´erence sans rotation globale par rapport au syst`eme de r´ef´erence c´eleste extra-galactique [UAI, 1991]. C’est la XXIVe Assembl´ee g´en´erale de l’Union Astronomique Internationale (Manchester, 2000) qui a d´ecid´e d’adopter le BCRS (Barycentric Celestial Reference System) comme syst`eme de r´ef´erence du syst`eme solaire [UAI, 2000]. Lui sont associ´ees des coordonn´ees d’espace-temps dont le tenseur m´etrique est d´efini dans la r´esolution elle-mˆeme ; il fait intervenir un potentiel gravitationnel scalaire et un potentiel gravitationnel vecteur, chacun issu de la distribution de mati`ere au sein du syst`eme solaire, laquelle modifie la structure de l’espace et l’´ecoulement du temps. Ainsi l’´el´ement temps-temps g00 du tenseur m´etrique en d´epend-il, tout comme les ´el´ements temps-espace g0i , ainsi, ´evidemment, que les ´el´ements espace-espace gij . Le Temps-coordonn´ee barycentrique (TCB) est l’´echelle de temps associ´ee au BCRS. Bien que la r´esolution ne pr´ecise pas l’orientation des axes du BRCS, en pratique, ceux-ci sont toujours align´es sur ceux de l’ICRS.

198

Notes: (1)

ICRF Designations, constructed from J2000.0 coordinates with the format ICRF JHHMMSS.s+DDMMSS or ICRF JHHMMSS.s-DDMMSS They follow the recommendations of the IAU Task Group on Designations.

(2)

IERS Designations, previously constructed from B1950 coordinates. The complete format, including acronym and epoch in addition to the coordinates, is IERS BHHMM+DDd or IERS BHHMM-DDd

Coordinates of 295 ICRF2 defining sources -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ICRF Designation IERS Des. Right Ascension Declination Uncertainty Corr. Mean First Last Nb Nb (1) (2) J2000.0 J2000.0 R.A. Dec. RA-Dc MJD MJD MJD sess. del. h m s o ’ " s " of observation span -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ICRF J000435.6-473619 0002-478 00 04 35.65550384 -47 36 19.6037899 0.00001359 0.0002139 0.383 52501.0 49330.5 54670.7 28 129 ICRF J001031.0+105829 0007+106 00 10 31.00590186 10 58 29.5043827 0.00000491 0.0000930 -0.187 53063.9 47288.7 54803.7 29 559 ICRF J001101.2-261233 0008-264 00 11 01.24673846 -26 12 33.3770171 0.00000660 0.0000936 -0.183 52407.5 47686.1 54768.6 45 592 ICRF J001331.1+405137 0010+405 00 13 31.13020334 40 51 37.1441040 0.00000482 0.0000683 -0.139 51619.2 48434.7 54713.7 22 1083 ICRF J001611.0-001512 0013-005 00 16 11.08855479 -00 15 12.4453413 0.00000435 0.0001005 -0.235 50403.0 47394.1 51492.8 67 716 (...)

Table 4.4 – Extrait du catalogue des sources de d´efinition de l’ICRF2. Source : ICRF-PC.

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Reference: IERS Technical Note 35

199

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.25 – Carte des stations du VLBA. Source : site internet de la NASA, `a l’adresse http://www.nasa.gov/centers/goddard/ news/topstory/2007/nrao_agreement.html

4.2.5

Figure 4.26 – Carte des sources observ´ees en mode VCS pour l’ICRF2. Source : site internet de l’ICRF-PC, `a l’adresse http:// hpiers.obspm.fr/icrs-pc/icrf2/plots/ icrf2-vcs.png

Le syst` eme c´ eleste de r´ ef´ erence g´ eocentrique

Les XXIe et XXIVe Assembl´ees g´en´erales de l’Union Astronomique Internationale [UAI, 1991, UAI, 2000] ont respectivement recommand´e la construction d’un syst`eme relativiste g´eocentrique sans rotation globale par rapport au syst`eme c´eleste de r´ef´erence extra-galactique, et adopt´e le GCRS (Geocentric Celestial Reference System) comme syst`eme c´eleste de r´ef´erence g´eocentrique. Les coordonn´ees d’espace-temps sont calcul´ees de la mˆeme fa¸con que pour le GCRS, mais la distribution de mati`ere consid´er´ee est diff´erente. En effet, le potentiel est scind´e en une somme de deux potentiels : celui dˆ u` a la Terre (avec une distribution de mati`ere qui lui est propre) et celui dˆ u aux autres corps du syst`eme solaire, aux effets de mar´ees, aux effets inertiels, etc. La r´esolution fournit la forme du potentiel terrestre `a utiliser, ainsi que le mod`ele de transformation entre le BCRS et le GCRS. Le temps associ´e au GCRS est le Temps-coordonn´ee g´eocentrique (TCG). Le GCRS n’ayant pas de rotation globale par rapport `a l’ICRS, il n’en a pas non plus par rapport au BCRS.

4.3 4.3.1

Le rep` ere international de r´ ef´ erence terrestre Le syst` eme international de r´ ef´ erence terrestre

Les techniques de la g´eod´esie spatiale ont rendu possible et n´ecessaire la d´efinition de syst`emes de r´ef´erence ` a l’´echelle de la Terre enti`ere, et plus seulement `a l’´echelle d’un pays ou d’un continent, comme l’imposaient les conditions de r´ealisation des rep`eres issus de la g´eod´esie terrestre ; un rep`ere international existait cependant, appuy´e sur des observations astronomiques, qui s’appelait le syst`eme CIO/BIH (Conventional International Origin / Bureau International de l’Heure) ; le pˆ ole (CIO) ´etait d´etermin´e implicitement en fixant les latitudes de cinq observatoires (Mizusawa, ´ Japon ; Kitab, Ouzbekistan ; Carloforte, Italie ; Gaithersburg, et Ukiah, Etats-Unis) aux valeurs adopt´ees par la XIIIe Assembl´ee g´en´erale de l’Union Astronomique Internationale (Prague, 1967) [UAI, 1967] et aux r´esolutions de l’Union G´eod´esique et G´eophysique Internationale adopt´ees lors 200

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

de sa XIVe Assembl´ee g´en´erale (Zurich, 1967) [UGGI, 1967]. Le Bureau International de l’Heure, sis `a l’Observatoire de Paris, avait ainsi la charge de l’observation du Temps Universel et de l’orientation de la Terre. C’est sous son ´egide que les premiers rep`eres de r´ef´erence terrestre `a base d’observations de g´eod´esie spatiale ont ´et´e r´ealis´es, avec les solutions BTS84 (BIH Terrestrial System), BTS85, BTS86 et BTS87, dans le cadre du projet MERIT (Monitoring of Earth Rotation by Intercomparison of Techniques) ; les observations utilis´ees provenaient du VLBI, des tirs laser sur la Lune (LLR – Lunar Laser Ranging) et sur satellites (SLR – Satellite Laser Ranging), ainsi que de mesures de d´ecalages Doppler avec le syst`eme am´ericain Transit. En 1987, le BIH a ´et´e scind´e en deux entit´es : le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), qui s’occupe entre autres de d´efinition des r´ef´erences de temps et du syst`eme international d’unit´es, et le Service International de Rotation de la Terre et des Syst`emes de R´ef´erence (IERS) qui, en outre, remplace aussi le Service International du Mouvement du Pˆ ole. En 1991, le principe d’un rep`ere de r´ef´erence terrestre conventionnel a ´et´e d´efini et adopt´e par la XXe Assembl´ee g´en´erale de l’UGGI ` a Vienne [UGGI, 1991]. Le Syst`eme International de R´ef´erence Terrestre (International Terrestrial Reference System – ITRS) r´epond aux crit`eres suivants [McCarthy & Petit, 2004] : — l’ITRS est un rep`ere affine orthonorm´e de dimension 3 ; — l’origine de l’ITRS est le centre des masses de la Terre, incluant les oc´eans et l’atmosph`ere ; — l’´echelle de l’ITRS est donn´ee par le choix de son unit´e de longueur : le m`etre ; — l’orientation de l’ITRS est donn´ee par son orientation initiale, qui doit ˆetre la mˆeme que celle donn´ee par le BIH ` a l’´epoque 1984.0 ; l’ITRS est comobile avec la croˆ ute terrestre au cours du mouvement diurne ; — l’´evolution temporelle de l’orientation de l’ITRS est assur´ee en lui imposant une condition de non-rotation globale au regard du mouvement des plaques tectoniques terrestres.

4.3.2

Les propri´ et´ es des techniques de la g´ eod´ esie spatiale

Les trois techniques dynamiques de la g´eod´esie spatiale sont : — les tirs laser sur satellite (SLR) ; — le positionnement global par satellites (GPS, Glonass, Galileo, etc.) ; — la D´etermination d’Orbites par Radio-Int´egration Satellitaire (DORIS). Ces techniques sont dites dynamiques car les satellites sur lesquels elles s’appuient sont en mouvement ; celui-ci ´etant k´epl´erien en premi`ere approche, il permet d’avoir acc`es `a une caract´eristique fondamentale des rep`eres de r´ef´erence terrestre : le centre de masse de la Terre. La propagation des signaux mettant en jeu la vitesse de la lumi`ere, et le m`etre, unit´e de distance du Syst`eme International d’unit´es, ´etant d´efini a` partir de celle-ci, l’´echelle de tels rep`eres peut aussi ˆetre d´efini avec elles ; en pratique, seule la technique SLR est utilis´ee `a cette fin. La technique VLBI est une technique interf´erom´etrique op´erant sur les signaux provenant des quasars ; ce n’est donc pas une technique dynamique. Elle ne peut donc pas ˆetre utilis´ee pour avoir acc`es au centre des masses de la Terre. En revanche, elle est parfaitement adapt´ee `a la mesure de l’orientation de la Terre, ainsi que de la distance s´eparant les antennes de cette technique, c’est-`a-dire, implicitement, l’´echelle de tout rep`ere de r´ef´erence terrestre.

201

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

4.3.3

L’ITRF et ses versions successives

La premi`ere r´ealisation de l’ITRF n’a pas attendu l’adoption de l’ITRS pour voir le jour, puisqu’elle fut publi´ee sous le nom d’ITRF88. Les param`etres fondamentaux de ce rep`ere sont [McCarthy & Petit, 2004] : — l’origine et l’´echelle de l’ITRF sont d´efinies par une moyenne sur les solutions SLR s´electionn´ees ; — l’orientation de l’ITRF est donn´ee par alignement successif sur l’orientation du BTS87, luimˆeme l’´etant sur les s´eries temporelles de param`etres de rotation de la Terre du BIH. Pour l’ITRF88 et l’ITRF89, aucun champ de vitesse global n’a ´et´e estim´e. Les ITRF91, 92 et 93 ont r´ealis´e cette estimation ; la d´erive de l’orientation a ´et´e align´ee sur le mod`ele de plaque NNR-NUVEL-1 pour l’ITRF91 ; pour l’ITRF92, c’est le mod`ele NNR-NUVEL-1A qui a ´et´e utilis´e ; enfin, pour l’ITRF93, ce sont les s´eries temporelles des EOP publi´ees par l’IERS qui ont servi `a ¸ca. Les matrices de variance-covariance ont commenc´e `a ˆetre utilis´ees pour l’ITRF94, qui a vu ses param`etres fondamentaux d´efinis comme suit : — l’origine est d´efinie par une moyenne pond´er´ee des solutions GPS et SLR s´electionn´ees ; — l’´echelle de l’ITRF est d´efinie par une moyenne pond´er´ee sur les solutions VLBI, SLR et GPS s´electionn´ees ; — l’orientation de l’ITRF est fournie par alignement sur celle de l’ITRF92 ; — l’´evolution temporelle de l’orientation est align´ee sur le mod`ele global NNR-NUVEL-1A pour les sept param`etres de transformation. L’ITRF96 a ´et´e globalement align´e sur l’ITRF94, et l’ITRF97 sur l’ITRF96, en imposant la nullit´e des param`etres de transformation entre eux. L’ITRF2000 utilise comme des solutions issues des centres d’analyse en entr´ee. Les propri´et´es fondamentales de l’ITRF2000 sont les suivantes : — l’origine est d´efinie par une moyenne pond´er´ee des solutions SLR s´electionn´ees ; — l’´echelle de l’ITRF est d´efinie par une moyenne pond´er´ee sur les solutions VLBI et des solutions SLR les plus coh´erentes s´electionn´ees ; — l’orientation de l’ITRF est fournie par alignement sur celle de l’ITRF97 `a l’´epoque 1997.0 ; — l’´evolution temporelle de l’orientation est align´ee sur le mod`ele global NNR-NUVEL-1A pour les sept param`etres de transformation. L’orientation et sa variation temporelle sont ´etablies en utilisant un jeu de stations de haute qualit´e g´eod´esique r´epondant ` a un certain nombre de crit`eres. L’ITRF2005 a utilis´e, pour la premi`ere fois, des s´eries temporelles de solutions de chaque technique issues de chacun des quatre services de l’Association Internationale de G´eod´esie : hebdomadaires pour les solutions GPS, SLR et DORIS (D´etermination d’orbite et de radiopositionnement int´egr´es par satellite), et journali`eres pour les solutions VLBI. L’ensemble des s´eries temporelles est alors combin´e en utilisant des rattachements locaux. Les param`etres fondamentaux de l’ITRF2005 sont d´efinis ainsi [Altamimi et al., 2007] : — l’origine est d´efinie par l’origine de la s´erie temporelle des solutions SLR ; — l’´echelle de l’ITRF est d´efinie par l’´echelle de la s´erie temporelle des solutions VLBI ; — l’orientation de l’ITRF et sa variation temporelle sont fournies par alignement sur celles de l’ITRF2000.

202

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

L’ITRF2008 a repris en entr´ee des s´eries temporelles des quatre techniques fondamentales, d’une dur´ee plus importante cependant. Ses param`etres fondamentaux sont l´eg`erement diff´erents de ceux de l’ITRF2005 [Altamimi et al., 2011] : — l’origine est d´efinie par l’origine de la s´erie temporelle des solutions SLR ; — l’´echelle de l’ITRF est d´efinie par l’´echelle d’une moyenne de la s´erie temporelle des solutions VLBI et de la s´erie temporelle des solutions SLR ; — l’orientation de l’ITRF et sa variation temporelle sont fournies par alignement sur celles de l’ITRF2005. L’ITRF est la r´ealisation primaire de tous les rep`eres de r´ef´erence (r´egionaux ou nationaux, comme le RGF93 en France par exemple).

Figure 4.27 – Le r´eseau des stations de l’ITRF2008 colocalis´ees avec des stations de GNSS. Source : [Altamimi et al., 2011].

4.4

La r´ eduction des observations astronomiques

La r´eduction des observations astronomiques consiste dans leur transformation pour les exprimer dans un rep`ere de r´ef´erence qui ne soit pas celui imm´ediatement li´e `a l’observation, tant sur le plan spatial que temporel. Quatre grandes ´etapes sont ` a r´ealiser (voir figure 4.28 page 205) : — la correction des effets locaux : parallaxe g´eocentrique, aberration diurne, r´efraction, rattachement au syst`eme international de r´ef´erence terrestre, expression des observations dans l’´echelle de temps du Temps-coordonn´ees g´eocentrique ; — la transformation du rep`ere terrestre vers le rep`ere c´eleste g´eocentrique : mouvement du pˆ ole, rotation sid´erale, nutation, pr´ecession, rattachement `a l’ICRS ; — la correction des effets associ´es au mouvement de translation de la Terre pour exprimer les observations dans le rep`ere c´eleste barycentrique : parallaxe annuelle, aberration annuelle, d´eviation de la lumi`ere, rattachement `a l’´echelle de temps du Temps-coordonn´ees barycentrique ; — la correction des effets associ´es `a la distance et au mouvement des corps : temps de lumi`ere, mouvement propre.

4.4.1

La correction des effets locaux

Cette ´etape vise ` a exprimer les coordonn´ees dans le syst`eme international de r´ef´erence terrestre.

203

TECH. ID.

X/Vx Y/Vy Z/Vz Sigmas SOLN DATA_START DATA_END -----------------------m/m/y-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12351S001 ZELENCHUKSKAYA VLBI 7381 3451207.702 3060375.293 4391914.973 0.002 0.002 0.003 12351S001 -.0200 0.0164 0.0116 .0012 .0011 .0016 12351S001 ZELENCHUKSKAYA VLBI 7381 3451207.709 3060375.296 4391914.973 0.004 0.004 0.005 2 07:210:00000 00:000:00000 12351S001 -.0200 0.0164 0.0116 .0012 .0011 .0016 (...) 10002S001 Grasse (OCA) SLR 7835 4581691.526 556159.691 4389359.584 0.001 0.001 0.001 10002S001 -.0142 0.0188 0.0116 .0001 .0001 .0001 10002S002 Grasse (OCA) SLR 7845 4581692.069 556196.178 4389355.170 0.001 0.001 0.001 1 00:000:00000 01:180:00000 10002S002 -.0142 0.0188 0.0116 .0001 .0001 .0001 10002S002 Grasse (OCA) SLR 7845 4581692.060 556196.176 4389355.154 0.001 0.001 0.001 2 01:180:00000 00:000:00000 10002S002 -.0142 0.0188 0.0116 .0001 .0001 .0001 (...) 91501M001 ILE DES PETRELS GNSS DUM1 -1940883.772 1628483.249 -5833718.057 0.001 0.001 0.001 1 00:000:00000 00:126:00000 91501M001 0.0027 -.0132 -.0044 .0001 .0001 .0001 91501M001 ILE DES PETRELS GNSS DUM1 -1940883.777 1628483.250 -5833718.062 0.001 0.001 0.001 2 00:126:00000 00:000:00000 91501M001 0.0027 -.0132 -.0044 .0001 .0001 .0001 (...) 91201S002 KERGUELEN DORIS KERA 1405826.284 3918281.659 -4816204.123 0.006 0.005 0.005 91201S002 -.0050 -.0001 -.0033 .0005 .0004 .0004 91201S003 KERGUELEN DORIS KERB 1405826.367 3918281.816 -4816204.292 0.003 0.003 0.003 91201S003 -.0050 -.0001 -.0033 .0005 .0004 .0004 91201S004 KERGUELEN DORIS KESB 1406334.516 3918142.336 -4816185.065 0.002 0.002 0.002 1 00:000:00000 04:036:00000 91201S004 -.0050 -.0001 -.0033 .0005 .0004 .0004 91201S004 KERGUELEN DORIS KESB 1406334.513 3918142.350 -4816185.061 0.003 0.002 0.002 2 04:036:00000 00:000:00000 91201S004 -.0050 -.0001 -.0033 .0005 .0004 .0004 91201S005 KERGUELEN DORIS KETB 1406334.586 3918142.540 -4816185.301 0.002 0.002 0.002 91201S005 -.0050 -.0001 -.0033 .0005 .0004 .0004 (...)

Table 4.5 – Extraits des fichiers de positions et vitesses de stations (SSC) des quatre techniques de l’ITRF2008. Source : ITRF-PC.

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

DOMES NB. SITE NAME

204

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.28 – Les ´etapes [McCarthy & Petit, 2004].

de la

r´eduction d’observations astronomiques. Source :

205

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

4.4.1.1

La correction de la r´ efraction

Puisque nous vivons sur une plan`ete entour´ee d’une atmosph` ere, les observations astronomiques sont sujettes aux perturbations des rayons lumineux qu’elle induit. Tous les manuels d’astronomie traitent ce probl`eme ; nous empruntons notre d´emonstration `a [Testard, 1968] et [Duhamel, 1963a]. On appelle A l’observateur, de z´enith Z, E l’´etoile observ´ee, et T la direction effectivement vis´ee, entach´ee de l’erreur due `a la r´efraction. En effet, dans le milieu atmosph´erique, la lumi`ere ne se propage pas ` a la vitesse c qui est la sienne dans le vide ; le principe du moindre temps de Fermat 6 impose donc que la trajectoire de la lumi`ere `a la travers´ee d’un dioptre ne soit pas une droite. L’observateur observe donc la direction T avec une distance z´enithale z0 , et croit, de bonne foi, observer l’´etoile E, dont la direction n’est pas T . On note ρ l’angle T[ AE. La vraie distance z´enithale de l’´etoile E est donc z = z0 + ρ (voir la figure 4.29). L’objectif de cette partie est donc d’exprimer ρ, qui sera la quantit´e ` a ajouter `a toute distance z´enithale mesur´ee pour corriger celle-ci. E

T

z

}|

{

ϕ3 ϕ2 ϕ2 ϕ1 ϕ1 ϕ0

Z z0

ρ

Z0

Figure 4.29 – L’effet de la r´efraction atmosph´erique sur les rayons lumineux. Si l’on d´ecoupe l’atmosph`ere en une infinit´e de petites couches i, d’indices ni , on a la relation de Descartes suivante : ∀i ≥ 0

ni+1 sin ϕi+1

=

ni sin ϕi

Cette relation est vraie depuis le vide (n = 1 et ϕ = z) jusqu’au sol (n = n0 et ϕ = z0 ). On a donc : n0 sin z0

= sin z = sin(z0 + ρ) = sin z0 cos ρ + sin ρ cos z0

6. Pierre de Fermat (premi` ere d´ ecennie du xviie si` ecle – 1665).

206

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Si on fait l’hypoth`ese que ρ est petit, alors : sin ρ ≈ ρ

et ⇒ρ

=

cos ρ ≈ 1

(n0 − 1) tan z0

Au sol, l’indice de r´efraction valant environ 1, 000 3 sous T = 0˚C, on arrive `a : ρ[rad] et ρ[′′ ]

= =

3 · 10−4 tan z0 60, 236 tan z0

Une analyse plus approfondie montre que cette relation n’est vraie que pour les petites distances z´enithales (jusqu’`a 30 ou 35˚) ; au del` a, la relation suivante est `a utiliser : ρ[′′ ]

=

60, 236 tan z0 − 0, 0675 tan3 z0

400

350

300

Refraction ρ (’’)

250

200

150

100 ρ (z = 45°) 50

0 0

10

20

30

40 50 60 Distance zenithale z (degres)

70

80

90

Figure 4.30 – Angle de r´efraction en fonction de la distance z´enithale.

4.4.1.2

Parallaxe diurne

Les coordonn´ees d’un corps c´eleste observ´ees depuis un point qui n’est pas le centre de la Terre sont affect´ees par un effet de perspective appel´e parallaxe diurne ; il faut tenir compte de cet effet pour les exprimer au centre de la Terre. 4.4.1.3

Aberration diurne

Les coordonn´ees d’un corps c´eleste observ´ees depuis un point qui n’est pas le centre de la Terre sont affect´ees par un effet li´e ` a la vitesse de rotation de la Terre appel´e aberration diurne ; il faut tenir compte de cet effet pour les exprimer au centre de la Terre. Elle est li´ee `a la latitude, mais son amplitude reste faible, 0, 320′′ cos ϕ, dirig´ee selon le parall`ele. 207

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

4.4.1.4

Rattachement ` a l’ITRS

Le vecteur directionnel d’observation du corps ´etudi´e doit ensuite ˆetre exprim´e dans le syst`eme international de r´ef´erence terrestre. 4.4.1.5

Rattachement temporel au TCG

Les observations, dat´ees dans le temps l´egal, i.e. l’UTC, doivent ˆetre exprim´ees dans le TCG, via les interm´ediaires du TAI, et du TT.

4.4.2

Expression des observations dans le syst` eme de r´ ef´ erence c´ eleste g´ eocentrique

Une fois les observations r´eduite dans l’ITRS, on doit utiliser la transformation entre rep`ere terrestre et rep`ere c´eleste pour les exprimer dans le syst`eme de r´ef´erence c´eleste g´eocentrique. Dans cette partie, nous pr´esentons la transformation classique pour cette r´eduction. 4.4.2.1 a)

D´ efinitions

´ Ecliptique

L’´ecliptique est le plan de l’orbite de la Terre autour du Soleil.

´ Ecliptique vrai : Plan perpendiculaire au moment cin´etique orbital instantan´e du barycentre du syst`eme Terre-Lune autour du Soleil, not´e Ecv . ´ Ecliptique moyen : Plan perpendiculaire au moment cin´etique orbital moyen du barycentre du syst`eme Terre-Lune, not´e Ecm . Le moment cin´etique moyen est calcul´e `a partir du moment cin´etique vrai (issu d’une th´eorie ` a variations s´eculaires) en lui retirant les termes d´ependant des longitudes moyennes des plan`etes et des arguments de la Lune. Il peut ˆetre calcul´e pour une ´epoque de r´ef´erence t0 ou une ´epoque quelconque t (auquel cas on parle d’« ´ecliptique moyen de la date »). Dans la litt´erature, on le trouve souvent sans l’exposant m , et lorsqu’on lit « ´ecliptique », il faut comprendre « ´ecliptique moyen ».

b) Pˆ ole Le pˆ ole est l’intersection de l’axe de rotation de la Terre sur elle-mˆeme avec la surface de la Terre ou, de fa¸con ´equivalente, avec la sph`ere c´eleste. Pˆ ole c´ eleste interm´ ediaire : Axe de figure de la Terre restreint aux mouvements de pr´ecessionnutation de p´eriode sup´erieure ` a deux jours. En pratique, le CIP (Celestial intermediate pole) est tr`es proche du pˆ ole de rotation instantan´e (` a moins de 20 mas). Il a ´et´e introduit par l’Assembl´ee g´en´erale de l’UAI en 2000, et mis en application au 1er janvier 2003. Pˆ ole moyen de la date : Axe de figure de la Terre d´eduit du pˆ ole c´eleste interm´ediaire par la th´eorie de la nutation, ou alors par l’application de la transformation associ´ee au ph´enom`ene de pr´ecession ` a partir du pˆ ole moyen de l’´epoque de r´ef´erence.

´ c) Equateur L’´equateur est le plan perpendiculaire `a l’axe de rotation de la Terre sur ellemˆeme et passant par le centre de celle-ci. ´ Equateur vrai de la date : Plan perpendiculaire `a l’axe du CIP, not´e Eqv (t). ´ Equateur moyen de la date : Plan perpendiculaire `a l’axe de rotation moyen de la Terre, not´e Eqm (t).

208

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

´ d) Equinoxe L’´equinoxe est la direction intersection de l’´ecliptique et de l’´equateur. Par extension, on appelle ´equinoxe l’instant du passage du Soleil par cette direction. ´ Equinoxe vrai de la date : Nœud descendant de l’´equateur vrai de la date Eqv (t) sur l’´ecliptique moyen de la date Ecm (t), not´e γv . ´ Equinoxe moyen de la date : Nœud descendant de l’´equateur moyen de la date Eqm (t) sur l’´ecliptique moyen de la date Ecm (t), not´e γm . C’est cette direction, en mouvement du fait de la pr´ecession, qui sert ` a mesurer l’ann´ee tropique. L’´ equinoxe moyen ` a l’´ epoque de r´ ef´ erence t0 est not´e γ0 . C’est cette direction, cens´ee demeurer fixe, qui sert `a mesurer l’ann´ee sid´erale.

e) Obliquit´ e L’obliquit´e est l’angle form´e entre les plans de l’´equateur et de l’´ecliptique ; cet angle est aussi ´egal ` a celui entre l’axe de rotation de la Terre sur elle-mˆeme et l’axe de l’´ecliptique. Obliquit´ e vraie de la date : Angle compt´e depuis l’´equateur vrai de la date Eqv (t) et l’´ecliptique moyen de la date Ecm (t) dans le sens direct, not´e ǫv . Obliquit´ e moyenne de la date : Angle compt´e depuis l’´equateur moyen de la date Eqm (t) et l’´ecliptique moyen de la date Ecm (t) dans le sens direct, not´e ǫA . L’angle entre l’´equateur moyen de la date Eqm (t) et l’´ecliptique moyen `a l’´epoque de r´ef´erence Ecm (t0 ) est not´e ωA . L’obliquit´ e moyenne ` a l’´ epoque de r´ ef´ erence t0 est not´ee ǫ0 .

f) Angles de pr´ ecession teur, soit selon l’´ecliptique.

Le ph´enom`ene de pr´ecession peut ˆetre mesur´e soit selon l’´equa-

Angle de pr´ ecession luni-solaire : Angle mesur´e le long de l’´ecliptique moyen de l’´epoque de r´ef´erence Ecm (t0 ), entre l’´equateur moyen de la date Eqm (t) et l’´equateur moyen de l’´epoque de r´ef´erence Eqm (t0 ), et not´e ψA . Il mesure en fait le d´eplacement de l’´equateur par rapport `a l’´ecliptique de r´ef´erence. Angle de pr´ ecession plan´ etaire : Angle mesur´e le long de l’´equateur moyen de la date Eqm (t) entre l’´ecliptique moyen de l’´epoque de r´ef´erence Ecm (t0 ) et l’´ecliptique moyen de la date Ecm (t), et not´e χA . Il mesure le d´eplacement de l’´ecliptique par rapport `a l’´equateur en raison de l’influence des plan`etes.

g) Angles de nutation Le ph´enom`ene de nutation est exprim´e, pour l’un, sur l’´ecliptique moyen, pour l’autre, comme une diff´erence d’obliquit´es. Angle de nutation en longitude : Angle mesur´e, sur l’´ecliptique moyen de la date Ecm (t) entre l’´equateur vrai de la date Eqv (t) et l’´equateur moyen de la date Eqm (t), c’est-`a-dire de γv vers γm , et not´e ∆ψ. Angle de nutation en obliquit´ e : Diff´erence entre l’obliquit´e vraie de la date ǫv et l’obliquit´e moyenne de la date ǫA , c’est-` a-dire l’angle entre l’´equateur vrai de la date Eqv (t) et l’´equateur moyen de la date Eqm (t), not´ee ∆ǫ = ǫv − ǫA . 4.4.2.2

Expression de la transformation classique et th´ eories utilis´ ees

a) Expression g´ en´ erale La transformation dite classique entre le rep`ere terrestre et le rep`ere c´eleste r´epond ` a une logique de nature « m´ecanique ». Cette transformation prend la forme 209

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Eqm (t0 )

Eqm (t)

Eqv (t)

Ecm (t0 ) Ecm (t)

ψA γ0

ǫ0

ωA χA

∆ψ γm

γv

ǫv

ǫA

Figure 4.31 – Les plans fondamentaux des syst`emes de coordonn´ees c´elestes ; les angles sont tr`es exag´er´es. Inspir´e de [Lambert, 2003].

suivante [Lambert, 2003] : [CRF ] =

C P N S W [T RF ]

(4.3)

o` u: — W est la matrice de passage du rep`ere terrestre au rep`ere interm´ediaire du CIP, c’est-`a-dire que W traduit les mouvements du pˆ ole de rotation dans le rep` ere terrestre dont la p´eriode est sup´erieure ` a deux jours, ainsi que les termes de nutation qui ne figurent pas dans le mod`ele de nutation associ´e `a la matrice N , c’est-`a-dire ceux de p´eriode inf´erieure `a deux jours, ainsi que les termes diurnes ou sub-diurnes dus aux mar´ees oc´eaniques ; — S est la matrice de rotation du rep`ere interm´ediaire projetant l’axe origine du rep`ere du CIP sur la direction de l’´equinoxe vrai de la date γv , c’est-`a-dire qu’il s’agit d’une rotation selon l’´ equateur vrai de la date, plan perpendiculaire `a l’axe du CIP, d’un angle ´egal `a l’oppos´e du temps sid´eral de Greenwich ; — N est la matrice de passage de l’´equinoxe vrai `a l’´equinoxe moyen, c’est-`a-dire que N traduit le mouvement de nutation dans le rep` ere c´ eleste (c’est-` a-dire comprenant les termes dont la p´eriode est sup´erieure `a deux jours) ; l’origine des coordonn´ees angulaires est d´esormais l’´equinoxe moyen de la date γm , et le plan fondamental l’´equateur moyen de la date ; — P est la matrice de passage de l’´equinoxe moyen de la date `a l’´equinoxe moyen de l’´epoque de r´ef´erence γ0 , dont le plan de r´ef´erence est l’´equateur moyen de l’´epoque de r´ef´erence, c’est-` a-dire que P traduit le mouvement de pr´ ecession ; — C est la matrice de passage du pˆ ole moyen de l’´ epoque de r´ ef´ erence au pˆ ole de l’ICRS, qui ne sont pas confondus. Les mouvements associ´es ` a ces transformations sont d´ecrits par des th´eories adopt´ees par l’Union astronomique internationale. La th´eorie actuelle est appel´ee IAU2000 pour la nutation et IAU2006 pour la pr´ecession. Elle ne diff`ere de la pr´ec´edente, IAU1980, que par la fa¸con de d´ecrire la nutation, non plus en fonction des angles que nous notons, plus loin dans le document, ∆ǫ et ∆ψ, mais X et Y . Nous ne nous attachons, dans cette version du document, qu’`a l’approche utilisant les premiers. Nous allons d´esormais nous attacher `a parler plus pr´ecis´ement de chacune de ces transformations, 210

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

et des param`etres qu’elles mettent en jeu. Ici, les rotation en jeu sont d´ecrites par des angles d’Euler. b) Le Pˆ ole C´ eleste Interm´ ediaire (CIP) Le pˆ ole de rotation n’est pas confondu avec le pˆ ole conventionnel du rep`ere de r´ef´erence terrestre, et n’est pas non plus fixe. Deux rotations suffisent pour passer d’un rep`ere terrestre conventionnel `a un autre rep`ere de mˆeme centre mais de pˆ ole distinct. Si l’on note u et v les coordonn´ees angulaires du pˆ ole de rotation r´eel dans le rep`ere conventionnel (voir la figure 4.32), la matrice W s’´ecrit [Lambert, 2003] : W

=

R1 (v)R2 (u)

y

x

u

Oz Repère terrestre

onventionnel

Vers l'origine des longitudes

v

Π0

CIP

Figure 4.32 – Le pˆ ole c´eleste interm´ediaire. v est compt´ee positivement dans le sens −y. Les grandeurs u et v sont petites, et donc assimil´ees aux petits angles de la rotation auxquelles elles sont associ´ees.

c) Le temps sid´ eral de Greenwich La matrice S r´ealise la rotation du rep`ere interm´ediaire d’un angle ´egal ` a l’oppos´ e du temps sid´ eral de Greenwich autour de l’axe du CIP ; elle projette donc l’origine du rep`ere du CIP sur la direction de l’´equinoxe vrai de la date γv , le long de l’´equateur vrai de la date. Tr`es simplement, on a [Lambert, 2003] :

S

=

R3 (−GST )

Le calcul du GST est donn´e dans la partie b) page 182. Il faut introduire en plus, ici, la grandeur d´esign´ee habituellement par LOD (Length of day – longueur du jour), qui est l’´ecart entre la dur´ee du jour solaire telle qu’observ´ee par les m´ethodes astro-g´eod´esiques, et les 86 400 s du syst`eme international d’unit´es :

LOD

=

T[1Obs jour

solaire]

− 86 400

86 400

211

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.33 – Les coordonn´ees du pˆ ole de 1962 `a 2010 selon la th´eorie IAU2000, identique `a la th´eorie IAU1980, calcul´es dans le cadre de la combinaison IERS C04. Source : site internet de l’IERS, `a l’adresse http://www.iers.org/nn_11252/IERS/EN/DataProducts/EarthOrientationData/ __Function/Plots__EOP08C04__2000/generischeTabelle__Diagramm.html .

212

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.34 – Le mouvement du pˆ ole de d´ecembre 1996 `a d´ecembre 2010 selon la th´eorie IAU2000, identique ` a la th´eorie IAU1980, calcul´es dans le cadre de la combinaison IERS C04. Source : site internet de de l’IERS h´eberg´e par l’Observatoire de Paris, `a l’adresse http://hpiers.obspm.fr/ eop-pc/index.php?index=C04&lang=en.

On l’appelle encore « exc`es de longueur du jour ». Cette grandeur intervient dans l’expression de la vitesse de rotation de la Terre, en picoradians par seconde, et LOD en microsecondes par jour : ω⊕

=

72 921 151, 467 064 − 0, 843 994 809 LOD

On voit donc de fa¸con ´evidente la d´ecroissance s´eculaire de la vitesse angulaire de rotation de la Terre. d) La nutation La matrice N traduit le mouvement de nutation, et r´ealise le passage de l’´equateur vrai de la date ` a l’´equateur moyen de la date. La matrice de nutation s’exprime [Lambert, 2003] : N

= R1 (−ǫA )R3 (∆ψ)R1 (ǫA + ∆ǫ)

Les grandeurs ∆ǫ et ∆ψ sont d´evelopp´ees en s´eries r´ef´erenc´ees `a l’´ecliptique moyen de la date t, exprim´ee en jours juliens ´ecoul´es depuis l’´epoque de r´ef´erence J2000.0, par des s´eries trigonom´etriques. La moyenne de telles s´eries ´etant nulle, on voit qu’elle traduisent formellement des mouvements purement oscillatoires : ∆ψ

=

N X

(Ai + A′i t) sin ARGUMENT + (A′′i + A′′′ i t) cos ARGUMENT

i=1

∆ǫ

=

N X

(Bi + Bi′ t) sin ARGUMENT + (Bi′′ + Bi′′′ t) cos ARGUMENT

i=1

213

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.35 – L’exc`es de longueur du jour LOD de 1962 `a 2010 selon la th´eorie IAU2000, identique ` a la th´eorie IAU1980, calcul´es dans le cadre de la combinaison IERS C04. Source : site internet de l’IERS, `a l’adresse http://www.iers.org/nn_11252/ IERS/EN/DataProducts/EarthOrientationData/__Function/Plots__EOP08C04__2000/ generischeTabelle__Diagramm.html .

Le terme ARGUMENT qui intervient dans la th´eorie de la nutation est d´etermin´e, d’abord, par un jeu de cinq entiers Nj caract´erisant la nutation luni-solaire, qui sont les coefficients d’une combinaison lin´eaire de cinq param`etres appel´es les arguments fondamentaux de Delaunay Fj , qui sont [Wahr, 1981] : — ℓ : l’anomalie moyenne de la Lune ; — ℓ′ : l’anomalie moyenne du Soleil ; — F = L − Ω : diff´erence entre la longitude moyenne de la Lune L et la longitude du nœud ascendant de l’orbite de la Lune (Ω, ci-dessous) ; — D : ´elongation moyenne de la Lune par rapport au Soleil ; — Ω : longitude moyenne du nœud ascendant de l’orbite de la Lune. La construction en s´eries trigonom´etriques des angles de nutation montre que ce ph´enom`ene est bien p´eriodique, et de moyenne nulle, par opposition aux mouvements s´eculaires, comme la pr´ecession. e) La pr´ ecession Nous devons `a pr´esent ramener le syst`eme `a la date de r´ef´erence, ce qui ne peut se faire qu’en invoquant le ph´enom`ene de pr´ecession. La matrice qui lui est associ´ee est P et s’exprime [Capitaine et al., 2003] : P

= =

R1 (−ǫ0 )R3 (ψA )R1 (ωA )R3 (−χA ) R3 (−90˚− zA )R1 (θA )R3 (90˚− ζA )

Ces param`etres connaissent une ´evolution avec le temps dont les param`etres sont donn´ees dans [Capitaine et al., 2003] donnent les valeurs, avec t en si`ecles juliens ´ecoul´es depuis l’´epoque de

214

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.36 – Les grandeurs ∆ǫ et ∆ψ de 1962 `a 2010 selon la th´eorie IAU1976/1980, calcul´es dans le cadre de la combinaison IERS C04. Source : site internet de l’IERS, `a l’adresse http://www.iers.org/nn_11252/IERS/EN/DataProducts/EarthOrientationData/ __Function/Plots__EOP08C04__1980/generischeTabelle__Diagramm.html .

215

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

r´ef´erence t0 = J2000.0 : ǫ0 ψA

= =

ωA ǫA

= =

χA PA

= =

ζA

=

θA

=

zA

=

84 381, 448′′ 5 038, 478 75′′ t − 1, 072 59′′ t2 − 0, 001 147′′ t3

ǫ0 − 0, 025 24′′ t + 0, 051 27′′ t2 − 0, 007 726′′ t3 ǫ0 − 46, 840 24′′ t − 0, 000 59′′ t2 + 0, 001 813′′ t3

10, 552 6′′ t − 2, 380 64′′ t2 − 0, 001 125′′ t3 5 028, 796 95′′ t − 1, 111 13′′ t2 − 0, 000 006′′ t3

2, 597 617 6′′ + 2 306, 080 950 6′′ t + 0, 301 901 5′′ t2 + 0, 017 966 3′′ t3

−0, 000 032 7′′ t4 − 0, 000 000 2′′ t5 2004, 191 747 6′′ t − 0, 426 935 3′′ t2 − 0, 041 825 1′′ t3 − 0, 000 060 1′′ t4 − 0, 000 000 1′′ t5 −2, 597 617 6′′ + 2 306, 080 322 6′′ t + 1, 094 779 0′′ t2 + 0, 018 227 3′′ t3 +0, 000 047 0′′ t4 − 0, 000 000 3′′ t5

Comme on le voit, ces angles ne sont pas de moyenne nulle dans le temps, puisqu’ils sont exprim´es par des polynˆ omes ; ceci traduit le fait que le mouvement de pr´ ecession est un mouvement s´ eculaire. La pr´ecession est le ph´enom`ene li´es aux plans moyens, ´equateur et ´ecliptique. Nous avons vu qu’ils se d´eplacent dans le temps. On acc`ede `a ces plans moyens soit par l’observation des plans vrais, en en retranchant les effets de la nutation, soit `a partir des plans moyens `a l’´epoque de r´ef´erence et en propageant les effets de la pr´ecession.

Figure 4.37 – Angles fondamentaux de la pr´ecession. Source : [Seidelmann & Kovalevsky, 2002].

216

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

300 psia(x) chia(x) pa(x) zetaa(x) thetaa(x) za(x)

250 200

Angles (variations relatives)

150 100 50 0 -50 -100 -150 -200 -250 -300 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

t (siecles juliens) 3000 ea(x) omegaa(x)

2500 2000 1500 1000

αA - ε0 (α = ω ou ε) (’’)

500 0 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 -3000 -3500 -4000 -4500 -5000 -5500 -6000 0

20

40

60

80

100 120 t (siecles juliens)

140

160

180

200

Figure 4.38 – Variations relatives des angles de pr´ecession ψA , χA , PA , ζA , θA et zA ; ´ecarts `a ǫ0 de ǫA et ωA . Les deux graphiques sont donn´es sur vingt si`ecles `a partir de J2000.0.

217

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

f) L’alignement sur l’ICRS Notre pˆ ole est, `a l’issue de la transformation de pr´ecession, le pˆ ole moyen de l’´epoque de r´ef´erence J2000.0. Comme le montre la figure 4.21 page 194, il n’est pas confondu avec le pˆ ole de l’ICRS, pas plus d’ailleurs que l’´equinoxe moyen de l’´epoque de r´ef´erence ` a J2000.0 n’est confondu avec l’´equinoxe de l’ICRS. L’ultime transformation consiste donc `a aligner le pˆ ole et l’´ equinoxe moyens de l’´ epoque de r´ ef´ erence sur ceux de l’ICRS [Lambert, 2003] : C

= R3 (dα0 )R2 (−ξ0 )R1 (η0 )

Les param`etres η0 et ξ0 permettent le basculement de l’´equateur moyen de l’´epoque de r´ef´erence sur celui de l’ICRS, tandis que dα0 est une rotation recalant l’origine des ascensions droites de l’´equinoxe moyen de l’´epoque J2000.0 sur celle de l’ICRS. En l’occurrence, le syst`eme de r´ef´erence d’arriv´ee est le GCRS (Geocentric Celestial Reference System). Ces param`etres prennent les valeurs suivantes [Capitaine et al., 2003, Chapront et al., 2002] :

4.4.3

ξ0 η0

= =

dα0

=

−0, 016 617′′ −0, 006 819′′ −0, 014 6′′

L’expression des observations dans le syst` eme barycentrique de r´ ef´ erence c´ eleste

` ce stade, les observations sont exprim´ees dans un rep`ere c´eleste g´eocentrique ; il faut encore A les exprimer dans le rep`ere barycentrique. 4.4.3.1

Un pr´ erequis : la position de la Terre autour du Soleil et sa vitesse

Les corrections de parallaxe et d’aberration annuelles font intervenir les coordonn´ ees barycentriques moyennes de la Terre. Les ´eph´em´erides telles que la Connaissance des Temps, publi´ee par l’IMCCE, fournissent les longitudes λi , latitudes βi et rayons vecteurs ri h´eliocentriques ´ecliptiques des plan`etes ` a l’instant t, sous la forme de polynˆomes de Tchebychev 7 (voir page 230), ainsi que les coordonn´ees X⊙ , Y⊙ et Z⊙ g´eocentriques ´equatoriales du Soleil. Les coordonn´ees de la Terre ` a t dans le rep`ere du catalogue (c’est-` a-dire `a dans le rep`ere de l’´epoque de r´ef´erence), not´ees X⊕ , Y⊕ et Z⊕ , sont calcul´ees par la relation [Simon et al., 1998] :  X⊕  Y⊕  = Z⊕ 

     1 0 X⊙ X mi mT L  Y⊙  − ri  0 cos ǫ0 − 1− mB mB Z⊙ 0 sin ǫ0 i;i6=3

  0 cos λi cos βi − sin ǫ0   sin λi cos βi  sin βi cos ǫ0

o` u mT L est la masse du syst`eme Terre-Lune, mB la somme des masses des plan`etes et du Soleil, mi la masse de la plan`ete i (de Mercure `a Neptune), et ǫ0 l’obliquit´e de l’´ecliptique `a l’´epoque de r´ef´erence.

′ ′ Les composantes X⊕ , Y⊕′ et Z⊕ du vecteur vitesse de la Terre dans le rep`ere barycentrique s’obtiennent en d´erivant par rapport au temps la relation pr´ec´edente :



 ′ X⊕  Y⊕′  = ′ Z⊕

     d    X 1 0 0 − sin λi cos βi mT L  dtd ⊙  X mi dλ i  cos λi cos βi  − 1− ri  0 cos ǫ0 − sin ǫ0  ri − dt Y⊙ mB mB dt d 0 sin ǫ0 cos ǫ0 0 i;i6=3 dt Z⊙     − cos λi sin βi cos λi cos βi dri  dβi  − sin λi sin βi  + sin λi cos βi  +ri dt dt cos βi sin βi

7. Pafnouti Tchebychev (1821 – 1894).

218

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

4.4.3.2

La correction de la parallaxe annuelle

La description du ph´enom`ene visuel de la parallaxe a ´et´e vue dans la partie 2.9.1.2 page 127. On note T la Terre, E une ´etoile, B le barycentre du syst`eme solaire ; l’instant de r´eception par la Terre de la lumi`ere ´emise par l’´etoile est not´e t, tandis que la dur´ee du trajet de la lumi`ere est not´e ∆t. Si l’on suppose le barycentre fixe, on a [Simon et al., 1998] : −→ T E(t) =

−−→ −→ BE(t − ∆t) − BT (t)

−→ Dans cette relation, T E(t) est la direction de l’´etoile observ´ee depuis la Terre, et affect´ee de la parallaxe. Le probl`eme pos´e dans cette partie consiste `a exprimer la parallaxe d’une ´etoile, et `a l’appliquer aux coordonn´ees publi´ees de celles-ci. −−→ −−→ → Si on note − p1 le vecteur unitaire de la direction BE(t − ∆t), ρ la norme de BE(t − ∆t) et − → − x→ ⊕ (t) = BT (t), alors : −→ T E(t) =

− ρ→ p1 − − x→ ⊕ (t) −→ − La direction de l’´etoile affect´ee de la parallaxe est T E(t), et son vecteur unitaire → p est : − → p = =

− → − → p1 − x⊕ρ(t) − → − p1 − x⊕ρ(t) →   − → − x→ p1 · − x→ ⊕ (t) ⊕ (t) − → p1 − + O(sin2 π0 ) 1+ ρ ρ

o` u π0 est l’angle appel´e parallaxe de l’´etoile, tel que : sin π0

= =

−→ |BT | −−→ BE |− x→| ⊕

ρ − → → Ainsi, connaissant x⊕ par les ´eph´em´erides, ρ par les catalogues d’´etoiles et − p1 par la mesure, → − → − on en d´eduit p , que l’on peut appliquer `a p1 pour en d´eduire le vecteur unitaire de direction de l’´etoile libre de la parallaxe, donc barycentrique. Les coordonn´ees portant la parallaxe de l’´etoile, not´ees αG et δG , sont ainsi obtenues `a partir des coordonn´ees publi´ees par : 

 cos αG cos δG  sin αG cos δG  = sin δG =

     − cos α cos δ X⊕ → 1 p 1 .− x→ (t) ⊕  sin α cos δ  −  Y⊕  ρ ρ Z⊕ sin δ     X⊕ cos α cos δ 1 1 (X cos α cos δ + Y sin α cos δ + Z sin δ)  sin α cos δ  −  Y⊕  ρ ρ Z⊕ sin δ

o` u on a simplement ´ecrit que :



et

 cos αG cos δG − → p =  sin αG cos δG  sin δG   cos α cos δ → − p1 =  sin α cos δ  sin δ 219

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.39 – Illustration de d´efinition de la parallaxe. L’angle de parallaxe est mesur´e dans le plan contenant l’´etoile, le Soleil, et deux positions de la Terre `a six mois d’intervalle, et qui soit perpen´ diculaire au plan contenant la direction Soleil-Etoile et le pˆ ole de l’´ecliptique. Source : site internet de l’Observatoire de Paris, ` a l’adresse http://media4.obspm.fr/public/AMC/pages_galaxies/ parall.html.

Visuellement, comme on le voit sur la figure 2.15 page 128, l’´etoile semble parcourir, dans le plan tangent ` a la sph`ere c´eleste, une ellipse identique `a celle de la Terre autour du Soleil, mais en sens oppos´e ; en pratique, la distance de l’´etoile fait qu’on approxime cette ellipse `a un cercle. L’apparence elliptique de la parallaxe d’une ´etoile vient plutˆ ot de la direction que fait la direction liant le Soleil ` a l’´etoile par rapport ` a l’´ecliptique. Le grand axe de l’ellipse est parall`ele `a l’´ecliptique, et vaut angulairement 2a/ρ, o` u a est la distance Soleil-Terre ; le petit axe vaut quant `a lui 2a/ρ sin β o` u β est la latitude ´ecliptique de l’´etoile. La valeur et la direction de la parallaxe d´ependent donc de la date (les coordonn´ees X⊕ , Y⊕ , Z⊕ de la Terre varient au cours de l’ann´ee !), mais reste toujours inf´erieure ` a 1′′ , ce qui fait qu’on n’en tient compte que pour les observations de haute pr´ecision. On notera cependant qu’il existe une parallaxe diurne, compl`etement n´egligeable pour les observations stellaires. 4.4.3.3

La correction de l’aberration → En notant − p le vecteur unitaire de la direction de l’´etoile vue depuis le barycentre du Syst`eme solaire, le vecteur vitesse du rayon lumineux parvenant au barycentre depuis une ´etoile est : −c = →

→ −c− p

→ − Si la Terre a la vitesse − v→ etoile affect´ee de ⊕ (t), alors le vecteur unitaire p2 de la direction de l’´ l’aberration annuelle est (voir figure 4.40 page suivante) : − → p2 = =

− → p + − p + →

− v→ ⊕ c − v→ ⊕ c

     − → − p ·− v→ v→ v⊕ 2 ⊕ ⊕ → − 1− p + +O c c c

Les coordonn´ ees apparentes de l’´etoile, αa et δa , vues au centre de la Terre et rapport´ees `a l’´equateur et l’´equinoxe vrais de la date (c’est-` a-dire affect´es de la pr´ecession et de la nutation), et portant l’aberration, se calculent ainsi : 220

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

Figure 4.40 – Directions des rayons lumineux stellaires dans un r´ef´erentiel attach´e au Soleil et un r´ef´erentiel attach´e `a la Terre.



 cos αa cos δa  sin αa cos δa  sin δa



  ′  cos αG cos δG X⊕ →  sin αG cos δG  + τA N P  Y⊕′  p .− v→ = (1 − τA − ⊕) N P ′ sin δG Z⊕



 cos αG cos δG = (1 − τA (X ′ cos αG cos δG + Y ′ sin αG cos δG + Z ′ sin δG )) N P  sin αG cos δG  sin δG  ′  X⊕  Y⊕′  +τA N P ′ Z⊕

o` u nous avons not´e τA le temps de lumi`ere pour l’unit´e astronomique, ce qui impose d’exprimer toutes les vitesses en unit´e astronomique par unit´e de temps (selon l’unit´e choisie pour exprimer τA ). Les matrices N et P sont les matrices de nutation et de pr´ecession. On voit que le facteur important affectant le vecteur unitaire de la direction de l’´etoile affect´ee de l’aberration est le rapport entre la vitesse de la Terre et celle de la lumi`ere v⊕ /c. On sait que la distance du Soleil ` a la Terre est donn´ee par :

r

=

a(1 − e2 ) 1 + e cos f

Ce qui est particuli`erement int´eressant est la vitesse tangentielle vθ = r df /dt. En d´emontrant la deuxi`eme loi de Kepler, nous avons construit la surface ´el´ementaire balay´ee par le rayon vecteur du Soleil ` a la Terre comme :

dS

=

1 2 r df 2

En int´egrant sur une r´evolution, nous avons : S T

= =

πab T 1 nab 2

o` u n est le moyen mouvement. En moyenne, on a donc : 1 nab = 2 ⇐⇒ n a2

p 1 − e2

=

1 2 df r 2 dt df r2 dt

Cette astuce nous permet de mettre en ´evidence la vitesse tangentielle [Capitaine, 2000] :

221

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

vθ

= = =

df dt a2 p n 1 − e2 r na √ (1 + e cos f ) 1 − e2 r

On appelle constante de l’aberration annuelle le facteur : kA

= =

na √ c 1 − e2 20, 495 52′′

Cette valeur est bien plus importante que celle de la parallaxe et, contrairement `a elle, ind´ependante de la distance de l’´etoile. Par le mˆeme effet de projection que celui vu pour la parallaxe, la trajectoire apparente de l’´etoile due ` a l’aberration est une ellipse de grand axe 2 kA selon un axe parall`ele `a l’´ecliptique, et de petit axe 2 kA sin β, o` u β est la latitude ´ecliptique (voir figure 4.41).

Figure 4.41 – Trajectoire annuelle apparente d’une ´etoile au fil de l’ann´ee, due `a l’aberration, selon sa latitude ´ecliptique.

4.4.3.4

D´ eviation relativiste de la lumi` ere

La courbure de l’espace-temps induit que la lumi`ere en emprunte les g´eod´esiques. En cons´equence, la direction vue par l’observateur n’est pas la direction « vraie ». Il faut donc corriger cet effet, qui atteint, en raison du Soleil, 0, 466′′ `a la distance angulaire d’un degr´e du Soleil, et 0, 004′′ `a 90◦ .

4.4.4

Correction des effets de distance et de mouvement des corps

Pour l’instant, nous n’avons corrig´e que les effets associ´es `a l’observateur : effets locaux, terrestres et du syst`eme solaire. Il reste cependant quelques effets `a corriger li´es au corps observ´e lui-mˆeme. 4.4.4.1

Le temps de lumi` ere

L’observateur re¸coit la lumi`ere d’un corps `a un instant t, mais celle-ci a ´et´e ´emise `a t − ∆t, avec ∆t le temps de lumi`ere ; ainsi nous voyons la position du corps avec ∆t de retard. Si on veut exprimer la position du corps ` a t (que l’on ne voit pas), il faut donc la propager depuis l’instant t − ∆t par la connaissance de son mouvement propre.

222

` ´ EN ASTRONOMIE CHAPITRE 4. LES REPERES SPATIAUX UTILISES

4.4.4.2

Mouvement propre

Les catalogues astronomiques donnent la direction des corps `a un ´epoque de r´ef´erence t0 . Si on veut les observer ` a une autre ´epoque, il faut propager ce mouvement depuis l’´epoque de r´ef´erence jusqu’` a l’´epoque d’observation.

223

Chapitre 5

L’utilit´ e des astres et de l’astronomie de position 5.1 5.1.1

Trigonom´ etrie sph´ erique Triangle sph´ erique

La trigonom´etrie sph´erique vise `a ´etablir des relations entre les angles et les cˆ ot´es de triangles sph´eriques. D´ efinition (Triangle sph´erique) — On appelle triangle sph´erique la surface d’une sph`ere d´elimit´ee par trois grands cercles de la sph`ere. Les trois intersections ainsi form´ees sont les sommets du triangle sph´erique.

C

O

B

b

a

c

A

Figure 5.1 – Triangle sph´erique.

En s’appuyant sur la figure 5.1, les sommets du triangle sph´erique sont les points A, B et C. Comme ils sont situ´es sur la sph`ere de rayon unit´e, on a n´ecessairement : OA = OB = OC = 1

224

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

On d´efinit par ailleurs les angles : a

=

b

=

c

=

−−→ −−→ (OB, OC) −→ −−→ (OA, OC) −−→ −→ (OB, OA)

qui sont les cˆ ot´es du triangle. Enfin, on associe `a chaque sommet du triangle un angle, d´enot´e comme le sommet, mesurant le secteur balay´e dans le sens direct, au sommet, entre les deux grands cercles dont il est l’intersection. Ainsi A d´enote l’angle entre les arcs AC et AB, B d´enote l’angle entre les arcs BA et BC, et C d´enote l’angle entre les arcs CB et CA. L’angle A est aussi l’angle entre les plans (AOB) et (AOC).

5.1.2

Relations de la trigonom´ etrie sph´ erique

5.1.2.1

La relation fondamentale

En appelant B ′ et C ′ les projet´es de B et C respectivement, sur OA, nous avons imm´ediatement : cos a

−−→ −−→ OB. OC −−→ −−→ −−→ −−→ OB ′ + B ′ B . OC ′ + C ′ C −−→′ −−→′ −−′→ −−→′ −−→′ −−′→ −−′→ −−′→ .C C} +B B.C C OB .OC + B {zOC} + OB | {z | B.

= = =

=~0

=~0

Or, ` a partir des triangles rectangles OBB ′ et OCC ′ , les cˆ ot´es OB et OC ´etant de longueur unit´e, on peut calculer : −−→′ −−→′ OB .OC = cos b cos c Quant au triangle ABC, en n’oubliant pas que B ′ et C ′ sont sur OA, il donne : −−→′ −−→′ BB .CC = sin c sin b cos A

Si bien que nous obtenons : cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

(5.1)

Ceci constitue la formule fondamentale de la trigonom´etrie sph´erique, dite aussi formule des quatre ´ el´ ements ; elle reste naturellement vraie par permutation circulaire. Cette relation s’´ecrit aussi : cos A =

cos a − cos b cos c sin b sin c

225

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

5.1.2.2

La relation des sinus

Or nous savons que sin2 A = 1 − cos2 A, et donc : 2

sin2 A = = = ⇐⇒

sin2 A sin2 a

=

(cos a − cos b cos c) sin2 b sin2 c 2 sin b sin2 c − cos2 a + 2 cos a cos b cos c − cos2 b cos2 c sin
2 b sin2 c
1 − cos2 b 1 − cos2 c − cos2 a + 2 cos a cos b cos c − cos2 b cos2 c sin2 b sin2 c 2 2 2 1 − cos b − cos c − cos a + 2 cos a cos b cos c sin2 a sin2 b sin2 c

1−

Le second membre de cette relation ´etant invariant par permutation circulaire, on trouve la relation dite des sinus : sin2 B sin2 C sin2 A = = sin2 a sin2 b sin2 c ⇐⇒

sin A sin B sin C = = sin a sin b sin c

(5.2)

De fa¸con op´erationnelle, cette relation s’´ecrit : sin a sin B

=

sin b sin A

Et elle reste naturellement vraie pour les couples (A, B), (B, C) et (C, A).

5.1.2.3

La relation des cinq ´ el´ ements

Enfin, en ´ecrivant de deux fa¸cons diff´erentes la formule des quatre ´el´ements 5.1 : cos a

= cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b

= cos c cos a + sin c sin a cos B

on peut utiliser la premi`ere dans la seconde : cos b ⇐⇒ sin c cos b

= cos c (cos b cos c + sin b sin c cos A) + sin c sin a cos B = sin c cos c (cos b cos c + sin b sin c cos A) + sin2 c sin a cos B = sin c cos2 c cos b + sin2 c cos c sin b cos A + sin2 c sin a cos B
= sin c cos b 1 − sin2 c + sin2 c cos c sin b cos A + sin2 c sin a cos B

= sin c cos b + sin2 c (cos c sin b cos A + sin a cos B − sin c cos b)

Les termes sin c cos b s’annulent `a droite et `a gauche, si bien que les ´el´ements entre parenth`eses sont identiquement nuls, nous donnant la relation des cinq ´ el´ ements : sin a cos B = sin c cos b − cos c sin b cos A

(5.3)

En ´ecrivant que :

sin a

=

sin b sin A sin B 226

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

on ´etablit la relation des cotangentes, qui est particuli`erement utile dans certains probl`emes :

sin A cot B = cot b sin b − cos c cos A

5.1.2.4

(5.4)

Les formules de Borda

Nous ne d´emontrons pas ces relations, car elles sont de moindre int´erˆet que les pr´ec´edentes. Si on pose a + b + c = 2 s, alors [Duhamel, 1963a] : A 2 2 A sin 2 A ⇒ tan2 2 cos2

5.1.2.5

= = =

sin s sin(s − a) sin b sin c sin(s − b) sin(s − c) sin b sin c sin(s − b) sin(s − c) sin s sin(s − a)

Les formules de N´ eper

De mˆeme [Duhamel, 1963a] :

5.1.3

tan

A+B 2

=

tan

A−B 2

=

cos a−b 2 cos a+b 2 sin a−b 2 sin a+b 2

cot

C 2

cot

C 2

L’´ equation diff´ erentielle fondamentale

La diff´erentiation de la relation fondamentale nous donne : − sin a da

= =

− sin b db cos c − sin c dc cos b + cos b db sin c cos A + cos c dc sin b cos A − sin A dA sin b sin c

(− sin b cos c + cos b sin c cos A) db + (− sin c cos b + cos c sin b cos A) dc − sin A sin b sin c dA

En utilisant la relation des cinq ´el´ements pour les deux premiers termes du membre de droite et la relation des sinus pour le troisi`eme, on aboutit `a l’´ equation diff´ erentielle fondamentale de la trigonom´etrie sph´erique [Duhamel, 1963b] :

da = cos C db + cos B dc + sin b sin C dA

5.2

(5.5)

Le triangle sph´ erique astronomique fondamental

L’essentiel des calculs de d´etermination astronomique repose sur la construction d’un triangle sph´erique faisant intervenir le pˆ ole c´eleste P , le z´enith du lieu d’observation Z et l’astre observ´e A. Certaines grandeurs seront consid´er´ees comme connues, certaines autres seront mesur´ees, et d’autres enfin seront calcul´ees.

227

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

P

P

−AH

AH π 2

π 2

−δ −Az

−ϕ

π 2

π 2

−ϕ

Z

−δ

Az Z

z

z

A

A

Figure 5.2 – Le triangle sph´erique astronomique, avec un astre A `a l’ouest puis `a l’est, un observateur repr´esent´e par son z´enith Z, et le pˆ ole P . On note δ la d´eclinaison de l’astre, ϕ la latitude de l’observateur, z la distance z´enithale de l’astre vu par l’observateur, Az son azimut et AH son angle horaire. Si l’astre est ` a l’est, l’angle horaire et l’azimut changent de signe.

La formule fondamentale peut prendre trois formes [Duhamel, 1963b] : cos z

= sin δ sin ϕ + cos δ cos ϕ cos AH

(5.6)

sin δ sin ϕ

= cos z sin ϕ − sin z cos ϕ cos Az = cos z sin δ + sin z cos δ cos A

(5.7) (5.8)

La formule des sinus s’´ecrit [Duhamel, 1963b] : cos δ cos ϕ sin z = = − sin Az sin A sin AH Enfin, la relation des cinq ´el´ements peut prendre six formes [Duhamel, 1963b] : sin z cos A sin z cos Az cos ϕ cos Az cos ϕ cos AH cos δ cos A cos δ cos AH

(5.9)

= sin ϕ cos δ − cos ϕ sin δ cos AH

(5.10)

= cos z cos δ − sin z sin δ cos A = sin ϕ sin z − cos ϕ cos z cos Az

(5.13) (5.14)

= sin δ cos ϕ − cos δ sin ϕ cos AH = sin δ sin z − cos δ cos z cos A

= cos z cos ϕ − sin z sin ϕ cos Az

(5.11) (5.12)

(5.15)

On consid`ere enfin qu’un astre est `a la digression maximale lorsqu’on a P[ AZ = π/2. Nous donnons ci-apr`es deux cas classiques de liens entre les divers ´el´ements.

5.2.1

Relation entre la distance z´ enithale et l’angle horaire

Il est particuli`erement utile d’´etablir la relation liant la distance z´enithale `a l’angle horaire. En effet, si l’on connaˆıt les coordonn´ees du lieu d’observation et celles de l’astre observ´e, on peut ainsi 228

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

observer la distance z´enithale de celui-ci et en d´eduire l’angle horaire puis, partant, l’heure sid´erale locale, par application directe de la relation fondamentale 5.6 : cos z

=

sin δ sin ϕ + cos δ cos ϕ cos AH

Puis [Duhamel, 1963a] : HSL =

5.2.2

AH + α

Relation entre l’azimut et la distance z´ enithale

L` a encore, on suppose connaˆıtre le lieu d’observation et l’astre observ´e. On va mesurer la distance z´enithale, et on souhaite connaˆıtre l’azimut correspondant ; la relation fondamentale 5.7 nous le donne imm´ediatement : sin δ

=

cos z sin ϕ − sin z cos ϕ cos Az

Mais on peut aussi utiliser la formule de Borda, avec ϕ + δ + z = 2 s [Duhamel, 1963a] : sin2

5.3 5.3.1

Az 2

=

sin(s − z) sin(s − ϕ) sin z sin ϕ

L’utilisation d’´ eph´ em´ erides Types de coordonn´ ees

Les diverses d´eterminations astronomiques supposent la connaissance des coordonn´ees α (ascension droite) et δ (d´eclinaison) des astres observ´es. Ces coordonn´ees sont de diverses natures : — coordonn´ ees apparentes : coordonn´ees, `a un instant t, de la direction d’un corps `a la date t vue depuis le centre de la Terre, rapport´ees `a l’´equinoxe et l’´equateur vrais de la date, ou ` a l’´equinoxe vrai et l’´ecliptique moyen de la date ; — coordonn´ ees astrom´ etriques : coordonn´ees, `a un instant t, de la direction d’un corps `a la date t − ∆t, vu depuis le centre de la Terre `a l’instant t, ∆t ´etant le temps de lumi`ere, rapport´ees ` a l’´equateur et l’´equinoxe moyens d’une date de r´ef´erence (J2000 par exemple) ; — coordonn´ ees moyennes : coordonn´ees de la direction d’un corps rapport´ees `a l’´equinoxe et l’´equateur (cas de coordonn´ees ´equatoriales) ou `a l’´ecliptique (cas de coordonn´ees ´ecliptiques) moyens de la date, ou d’une date de r´ef´erence. La qualification de « moyens » ou de « vrais » des plans de r´ef´erence et des origines font r´ef´erence, nous le savons, ` a la prise en compte de la pr´ecession et de la pr´ecession ajout´ee de la nutation respectivement. L’Institut de m´ecanique c´eleste et de calcul des ´eph´em´erides publie chaque ann´ee un Guide des donn´ees astronomiques pour l’observation du ciel ([Bureau des longitudes, 2004] pour l’ann´ee 2005), dans lequel les coordonn´ees publi´ees sont des coordonn´ees apparentes pour les corps du syst`eme solaire (sauf pour Pluton, les petits corps et les com`etes : coordonn´ees astrom´etriques `a J2000). En revanche, les coordonn´ees d’´etoiles, que l’on trouve dans des catalogues (par exemple a une date de r´ef´erence (J2000.0 par exemple). L’IMCCE recom[Tirion, 1999]) sont publi´ees ` mande de les propager ` a la date des observations par la pr´ecession, dont il donne les param`etres caract´eristiques ; on peut aussi utiliser les relations de la partie ?? page ??. Il donne cependant les coordonn´ees moyennes de l’ann´ee de quelques ´etoiles, ainsi que les coordonn´ees moyennes `a J2000 de certaines ´etoiles doubles, ainsi que d’objets du ciel profond : amas d’´etoiles, n´ebuleuses et galaxies. Enfin, on trouve les coordonn´ees de l’´etoile polaire (α U M i) pour chaque jour au moyen de son passage sup´erieur au m´eridien international. L’IMCCE publie aussi la Connaissance des 229

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

Temps ([Bureau des longitudes, 1993] pour l’ann´ee 1993), dans laquelle les param`etres orbitaux des plan`etes sont d´ecrits sous la forme de polynˆomes de Tchebychev, et ceux des satellites sous la forme de fonctions mixtes.

5.3.2

´ em´ Eph´ erides sous la forme de polynˆ omes de Tchebychev

Les ´eph´em´erides de corps du syst`eme solaire peuvent ˆetre pr´esent´ees sous la forme de polynˆomes de Tchebychev. Un param`etre 1 , que l’on note arbitrairement y, se trouve ainsi d´ecrit, sur un intervalle de temps [t0 ; t0 + ∆t] par une s´erie de coefficients ap (0 ≥ p ≥ n − 1, n ∈ N). Chacun correspond au polynˆ ome de Tchebychev de premi`ere esp`ece et de degr´e p, not´e Tp (x). Si on cherche la valeur du param`etre en question `a un instant t ∈ [t0 ; t0 + ∆t], on proc`ede au changement de variable suivant [Bureau des longitudes, 1993] : x =

−1 + 2

t − t0 ∆t

∈ [ −1 ; 1 ]

On calcule ensuite la valeur des n polynˆomes de Tchebychev `a la valeur x calcul´ee. Ces polynˆ omes se construisent par r´ecurrence selon la m´ethode ci-dessous : T0 (x) T1 (x)

= =

1 x

Tp (x)

=

2 x Tp−1 (x) − Tp−2 (x)

ou bien par : Tp (x) =

cos(p × arccos x)

Le param`etre y ` a la date t se calcule ensuite par la somme :

y(t) =

n−1 X

ap Tp (x)

p=0

5.3.3

´ em´ Eph´ erides en ligne

Le site internet de l’IMCCE propose aussi des calculs d’´eph´em´erides de corps du syst`eme solaire en ligne, ` a l’adresse : http://www.bdl.fr/fr/ephemerides/ Pour ce qui int´eresse la d´etermination astronomique, ce sont les pages suivantes qui sont susceptibles de nous int´eresser : ´ em´erides g´en´erales de position des corps du syst`eme solaire : — Eph´ http://www.bdl.fr/fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php ´ em´erides pour l’observation physique des corps du syst`eme solaire : — Eph´ http://www.bdl.fr/langues/fr/ephemerides/formulaire/form_ephephys.php Dans les deux cas, apr`es le choix des corps dont on souhaite les ´eph´em´erides, vient le choix de la th´eorie plan´etaire ` a utiliser. Plusieurs sont disponibles, issues de deux sources : l’IMCCE (th´eorie INPOP10a 2 ) et le JPL (Jet Propulsion Laboratory, th´eories DE403/LE403, DE405/LE405 et 1. Cela peut ˆ etre la longitude et la latitude ´ ecliptiques, la norme du rayon-vecteur, l’ascension droite, la d´ eclinaison, la distance ` a la Terre d’une plan` ete, ou, pour la Terre, le temps sid´ eral, l’´ equation des ´ equinoxes, les termes de nutation, etc. 2. Integration Numerique Planetaire de l’Observatoire de Paris. Un site internet est consacr´ e aux ´ eph´ em´ erides publi´ ees par l’IMCCE : http://www.imcce.fr/inpop/

230

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

DE406/LE406) ; il faut savoir que ce sont les seuls ´etablissements mondiaux `a produire des ´eph´em´erides plan´etaires pr´ecises. Apr`es le choix des th´eories, les deux pages diff`erent. En effet, les ´ eph´ em´ erides g´ en´ erales de position proposent d’abord de choisir le centre du rep`ere, qui peut ˆetre le centre du Soleil (h´eliocentre), celui de la Terre (g´eocentre), ou tout autre lieu sur Terre (des pr´ecisions peuvent ˆetre demand´ees lorsqu’on a choisi « Autres lieux »). Puis on peut choisir parmi deux plans de r´ef´erence : l’´equateur ou l’´ecliptique ; dans notre cas, il faudra choisir l’´equateur. Selon le centre retenu, les types de coordonn´ees auxquelles on a acc`es ne sont pas tous possibles. Ainsi les coordonn´ees sph´eriques sont possibles dans tous les cas, et sont, bien sˆ ur, l’ascension droite et la d´eclinaison (mais elles ne prennent pas la mˆeme valeur selon le centre choisi !). Les coordonn´ees rectangulaires sont des coordonn´ees cart´esiennes classiques. Les coordonn´ees d´edi´ees `a l’observation sont les coordonn´ees sph´eriques `a J2000 compl´et´ees des coordonn´ees apparentes de la date, de l’azimut astronomique (mesur´e de 0˚ `a 360˚ `a partir du Nord, et positivement vers l’Est) et de la hauteur. Les coordonn´ees locales ne sont que l’azimut et la hauteur. Enfin, les coordonn´ees horaires sont l’angles horaires et la d´eclinaison. Dans nos d´eveloppements, plusieurs coordonn´ees peuvent ˆetre utilis´ees pour les astres, si bien que plusieurs peuvent se montrer utiles ; il est naturellement tr`es facile de g´en´erer un type puis l’autre, `a condition bien sˆ ur de maintenir les autres param`etres identiques. Pass´e le choix du type de coordonn´ees, il faut choisir le type d’´eph´em´erides, parmi les ´eph´em´erides astrom´etriques de l’´epoque J2000, moyennes de l’´epoque J2000 (nous d´econseillons leur utilisation, qui se rapportent ` a un plan de r´ef´erence et `a une origine remontant d´esormais `a plusieurs ann´ees, c’est-` a-dire ne tenant pas compte principalement de la pr´ecession, et de la nutation secondairement), moyennes de la date (tenant compte de la pr´ecession, c’est-`a-dire r´ef´er´ees `a l’´equateur ou l’´ecliptique et ` a l’´equinoxe moyens de la date), et apparentes (tenant compte de la pr´ecession et de la nutation, donc r´ef´er´ees ` a l’´equateur ou l’´ecliptique et `a l’´equinoxe vrais de la date) ; l’´ecart entre ces deux types d’´eph´em´erides est faible (de l’ordre de quelques dixi`emes de secondes sexag´esimales au maximum), si bien que l’une comme l’autre peut ˆetre choisie. Vient ensuite le choix de l’´echelle de temps, o` u l’UTC et le TT sont possibles : l’´echelle de temps UTC sera ´evidemment plus pratique ` a manipuler, bien que discontinue. Enfin, on choisit la date origine des ´eph´em´erides choisies, le nombre de dates d´esir´ees, et le pas d’´echantillonnage, qui descend jusqu’` a la seconde : si ce pas fait n´ecessairement augmenter le nombre de lignes du fichier de r´esultat ou, inversement, diminuer l’´etendue temporelle des ´eph´em´erides, il permet cependant de disposer d’´eph´em´erides que l’on peut bien plus facilement interpoler que si le pas choisi est `a l’heure ou au jour. On peut aussi choisir le format des dates (calendrier gr´egorien, date julienne, au format ISO), selon ses besoins. Voici un exemple d’´eph´em´erides de positions moyennes `a J2000 pour Uranus, selon la th´eorie INPOP08, avec des coordonn´ees sph´eriques, avec l’´echelle de temps du Temps terrestre (TT), et un ´echantillonnage au jour ` a partir du 3 janvier 2011 : ####################################################################################### EPHEMERIDES DES CORPS DU SYSTEME SOLAIRE ####################################################################################### Planete 7 Uranus Theorie planetaire INPOP08 Coordonnees Moyennes J2000 Centre du repere : heliocentre Coordonnees equatoriales (R.A, Dec.) ####################################################################################### Date TT h m 3 4

1 1

s

2011 15 42 47.00 2011 15 42 47.00

h

m

R.A s

o

Dec. ’ "

23 59 34.63297 -00 51 23.2789 23 59 36.98808 -00 51 7.8113

Distance ua.

V(1,0)

20.089354124 20.089325567

-7.19 -7.19

231

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

5 6 7

1 1 1

2011 15 42 47.00 2011 15 42 47.00 2011 15 42 47.00

23 59 39.34319 -00 50 52.3437 23 59 41.69830 -00 50 36.8759 23 59 44.05341 -00 50 21.4079

20.089296968 20.089268329 20.089239648

-7.19 -7.19 -7.19

Si l’on reprend maintenant le g´en´erateur d’´ eph´ em´ erides pour l’observation physique, celui-ci ne propose pas de centre du rep`ere, car il ne s’agit plus de position, mais de directions, qui sont uniquement g´eocentriques. Les coordonn´ees possibles sont de type ´equatorial, ´ecliptique, ou rectangulaire ´equatoriales. Le type d’´eph´em´erides n’est pas propos´e, car il s’agit toujours de coordonn´ees apparentes, c’est-` a-dire de coordonn´ees r´ef´er´ees au plan choisi vrai et `a l’´equinoxe vrai de la date. On choisit enfin, comme pour le g´en´erateur de positions, l’´echelle de temps et les dates. Ainsi, selon ce dont on a besoin, le g´en´erateur d’´eph´em´erides de l’IMCCE peut nous donner de fa¸con tr`es pr´ecise les coordonn´ees des corps que l’on ´etudie. Faisons aussi remarquer le g´en´erateur donne, pour chaque date, quantit´e d’autres informations sur l’astre observ´e (magnitude, etc.) que nous n’avons pas d´ecrites ici, en nous restreignant aux aspects de positions. Le tableau 5.1 page suivante donne un exemple d’´eph´em´erides pour l’observation de Saturne, avec des coordonn´ees ´ecliptiques (λ, β), selon la th´eorie INPOP08, dans l’´echelle TT, `a partir du 3 janvier 2011, avec un ´echantillonnage au jour.

5.4

La d´ etermination de l’heure

` l’instar de la m´ethode introduite pour le temps des ´eph´em´erides, le mouvement de n’imA porte quel astre du syst`eme solaire, pourvu qu’il soit d´ecrit par une th´eorie d´eterministe, peut ˆetre employ´e pour r´ealiser une ´echelle de temps. Dans l’histoire de l’exploration, avant de disposer d’horloges pr´ecises, c’´etaient les satellites de Jupiter qui jouaient ce rˆole, et plus particuli`erement les ph´enom`enes d’´eclipses et d’occultations dont ils sont les acteurs. Les moments de l’immersion (entr´ee dans l’ombre) et de l’´emersion (sortie) constituaient des instants privil´egi´es pour le calage des gardes-temps emport´es en voyage, avec lesquels les observations astrom´etriques ´etaient dat´ees (voir figure 5.3 page 234). Selon que Jupiter est `a l’opposition, avant l’opposition ou apr`es, seules certaines phases du ph´enom`ene peuvent n’ˆetre visibles. C’est en ´etudiant la datation de ces ´ev`eot une avance, tantˆ ot un retard sur la date pr´evue, et en a nements que R¨ omer 3 a constat´e tantˆ conclu ` a la finitude de la vitesse de la lumi`ere, qui met donc un certain temps `a parcours la distance s´eparant le satellite et la Terre, cette distance d´ependant en particulier de la position relative de la Terre et de Jupiter.

5.5

Le probl` eme de la datation des observations

Les relations ci-dessous font intervenir l’heure sid´ erale de Greenwich et celle du lieu d’observation : HSL = =

AH + α HSG + λ

On peut calculer HSG ` a 0h U T 1 `a partir des polynˆomes astronomiques d´ej` a vus (page 182). Mais il faut le connaˆıtre quand on observe, et ce n’est pas forc´ement `a 0h U T 1. On a donc besoin d’un garde-temps (une horloge) que l’on d´eclenche `a un instant de r´ef´erence connu dans l’´echelle de temps reli´ee `a Greenwich : ceci nous permet de dater nos observations dans l’´echelle du temps sid´ eral de Greenwich. Les instants de r´ef´erence dans l’´echelle de temps de Greenwich sont par exemple des bips radio-diffus´es. 3. Ole Christensen R¨ omer, 1644 – 1710.

232

Corps : Saturne Rayon equatorial : +58232.00 km Rayons des axes (a >= b >= c) : +60268.00 x +60268.00 x +54364.00 km Coordonnees equatoriales du pole (J2000) : RA0 = 40.589 deg. ; De0 = 83.537 deg. Angle de rotation absolue a l’epoque de ref. : W = 38.900 deg. ; sWp = +1.

Date

3 4 5 6 7

1 1 1 1 1

2011 2011 2011 2011 2011 > > > > > > >

16 16 16 16 16

25 25 25 25 25

TT

h 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0

SEP SSP NP d pole Mv Phase R.App Dg Dh PAQ Q Lambda Long Lat. Long Lat. m s o o o o o " o " ua ua o " d ’ " 149.93 10.18 144.58 7.62 357.28 7.68 1.20 5.873 8.654920 0.960115E+01 0.958986E+01 292.62 0.045 196 23 19.643 -04 21 17.37 59.10 10.19 53.74 7.64 357.28 7.70 1.20 5.879 8.669900 0.958456E+01 0.959016E+01 292.57 0.045 196 25 35.888 -04 21 55.64 328.27 10.20 322.90 7.65 357.29 7.71 1.19 5.883 8.684945 0.956796E+01 0.959046E+01 292.53 0.045 196 27 46.445 -04 22 31.48 237.43 10.21 232.06 7.67 357.29 7.72 1.19 5.885 8.700050 0.955135E+01 0.959076E+01 292.48 0.045 196 29 51.273 -04 23 4.88 146.59 10.22 141.21 7.68 357.29 7.74 1.18 5.885 8.715211 0.953473E+01 0.959106E+01 292.43 0.045 196 31 50.342 -04 23 35.84

Repere geocentrique Theorie planetaire INPOP08 Ephemeride apparente (equateur vrai ; equinoxe de la date) Coordonnees ecliptiques (lambda, beta) Format des donnees : (I2,1x,I2,1x,I5,1x,I2,1x,I2,1x,F4.1,1x,F6.2,1x,F6.2,1x,F6.2,1x,F6.2, 1x,F6.2,1x,F6.2,1x,F6.2,1x,F7.3,1x,F9.6,1x,E12.6,1x,E12.6,2x,F6.2, 1x,F7.3,2x,I3,1x,I2,1x,F6.3,1x,A1,I2.2,1x,I2,1x,F5.2)

Table 5.1 – Exemple d’´eph´em´erides de Saturne pour l’observation.

Beta d

’

"

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

> > > > >

233

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

j hhmm.m 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

sat ph.

2 4 536.0 643 12 9.0 17 7 1851 2324

2 042 2 138 2 255 2 2033 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

j hhmm.m

0 1 III EM. 221.9 III E.C. 454 I P.C. 510.4 III E.F. 613 I O.C. 7 8 I P.F. 826 I O.F.

0 4.8 1 8 344 352 623 1113 1419 1638 1753 1911 1924 20 7 2124

I I II II IV IV I

IM. E.F. IM. E.F. IM. EM. P.C.

I I I I

O.C. P.F. O.F. IM.

I II II II II III III III I I III I I

E.F. P.C. O.C. P.F. O.F. P.C. P.F. O.C. P.C. O.C. O.F. P.F. O.F.

4 15 3 4 1833.7 4 20 6

I IM. I E.F. II IM.

5 5 5 5 5

128.5 1223 1340 1437 1553

II I I I I

E.F. P.C. O.C. P.F. O.F.

6 6 6 6 6 6

932 13 2.6 1429 17 2 1713 1942

I I II II II II

IM. E.F. P.C. O.C. P.F. O.F.

7 7 7 7 7 7 7

1 5 413 624.6 653 8 9 9 7 911.9

III III III I I I III

IM. EM. E.C. P.C. O.C. P.F. E.F.

sat ph.

7 1022 8 4 2 8 731.5 8 927 8 1447.2 9 123 9 238 9 337 9 451 9 2231 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

2 0.3 249 350 414 620 634 9 0 1527 1832 1952 2041 21 7 22 6 2320 2325

11 17 1 11 2029.2 11 2250

j hhmm.m

I O.F. I I II II

IM. E.F. IM. E.F.

I I I I I

P.C. O.C. P.F. O.F. IM.

I IV II IV II II II III III I III I I I III

E.F. P.C. P.C. P.F. O.C. P.F. O.F. P.C. P.F. P.C. O.C. O.C. P.F. O.F. O.F.

I IM. I E.F. II IM.

12 12 12 12 12

4 6.5 1422 1536 1636 1749

II I I I I

E.F. P.C. O.C. P.F. O.F.

13 13 13 13 13 13

1131 1458.1 1711 1939 1956 2218

I I II II II II

IM. E.F. P.C. O.C. P.F. O.F.

14 14 14 14 14 14 14 14

521 828 852 10 5 1028.1 11 6 1218 1314.2

III III I I III I I III

IM. EM. P.C. O.C. E.C. P.F. O.F. E.F.

15 6 1 15 927.0 15 1213 15 1725.2

I I II II

IM. E.F. IM. E.F.

16 16 16 16

sat ph.

322 434 536 647

I I I I

j hhmm.m

P.C. O.C. P.F. O.F.

17 17 17 17 17 17 17 17 17 17

030 I IM. 355.8 I E.F. 633 II P.C. 857 II O.C. 918 II P.F. 1137 II O.F. 1944 III P.C. 2152 I P.C. 2249 III P.F. 23 3 I O.C.

18 18 18 18 18 18 18 18

0 6 I P.F. 043 III O.C. 116 I O.F. 327 III O.F. 1238 IV IM. 1412 IV EM. 19 0 I IM. 2224.7 I E.F.

19 19 19 19 19 19

137 644.4 1622 1732 1836 1945

II II I I I I

IM. E.F. P.C. O.C. P.F. O.F.

20 20 20 20 20

1330 1653.6 1956 2216 2240

I I II II II

IM. E.F. P.C. O.C. P.F.

21 21 21 21 21 21 21 21 21

055 940 1052 12 1 1247 13 6 1413 1430.9 1715.7

II III I I III I I III III

O.F. IM. P.C. O.C. EM. P.F. O.F. E.C. E.F.

22 8 0 22 1122.5 22 15 0 22 20 3.0

I I II II

IM. E.F. IM. E.F. P.C. O.C. P.F. O.F.

23 23 23 23

522 630 736 842

I I I I

24

230

I IM.

24 24 24 24 24 24

sat ph.

551.3 918 1134 12 3 1414 2352

25 0 5 25 059 25 2 6 25 3 8 25 311 25 446 25 728 25 21 0 26 26 26 26 26 26 26 26 26

020.2 424 922.1 1822 1928 2036 2140 2252 2354

27 1530 27 1849.0 27 2241

I II II II II I

E.F. P.C. O.C. P.F. O.F. P.C.

III I I III I III III I

P.C. O.C. P.F. P.F. O.F. O.C. O.F. IM.

I II II I I I I IV IV

E.F. IM. E.F. P.C. O.C. P.F. O.F. P.C. P.F.

I IM. I E.F. II P.C.

28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

053 126 332 1252 1357 14 3 15 6 16 9 17 8 1833.9 2117.4

II II II I I III I I III III III

O.C. P.F. O.F. P.C. O.C. IM. P.F. O.F. EM. E.C. E.F.

29 29 29 29

10 0 1317.9 1748 2240.7

I I II II

IM. E.F. IM. E.F.

I I I I

P.C. O.C. P.F. O.F.

I I II II II II

IM. E.F. P.C. O.C. P.F. O.F.

30 722 30 826 30 936 30 1038 31 31 31 31 31 31

431 746.8 12 5 1411 1449 1650

Figure 5.3 – Dates (en temps terrestre TT) et circonstances des ph´enom`enes mutuels des satellites de Jupiter pour le mois de janvier 2011, et graphiques d’´elongation. Acronymes : E.C. : commencement d’´eclipse ; E.F. : fin d’´eclipse ; IM. : d´ebut d’occultation (immersion) ; EM. : fin d’occultation (´emersion) ; P.C. : commencement de passage du satellite devant Jupiter ; P.F. : fin du passage du satellite ; O.C. : commencement du passage de l’ombre du satellite sur le disque de Jupiter ; O.F. : fin du passage de l’ombre. Nomenclature des satellites : I : Io ; II : Europe ; III : Ganym`ede ; IV : Callisto. Source de la table : site internet de l’IMCCE ; source du graphique : site internet de Jean Valli`eres et Christian Sanchez, ` a l’adresse : http://www.astrosurf.com/ephemerides/.

234

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

Pour d´eterminer l’heure sid´ erale locale, il faut observer un astre dont on connaˆıt l’ascension droite α, et mesurer, ce qui est souvent difficile, son angle horaire ; cette grandeur peut cependant ˆetre d´eduite par le calcul ` a partir de mesures plus ais´ees `a r´ealiser, comme nous le verrons plus loin. On a ensuite acc`es directement `a notre longitude. En outre, si l’acc`es ` a l’´echelle de temps de r´ef´erence (Greenwich, UTC, etc.) est difficile, le garde-temps d´erive. Il faut donc caler le garde-temps avant les observations et apr`es, et en calculer la d´erive :

m

t1ref − t0ref t1gt − t0gt

=

La date de chaque observation mesur´ee dans l’´echelle de temps du garde-temps peut ainsi ˆetre replac´ee dans l’´echelle de temps de r´ef´erence : tobs ref

5.6

=

t0ref + m × tobs gt

La d´ etermination de la position

Le probl`eme du point astronomique ou de la d´etermination astronomique consiste `a utiliser le ciel pour se positionner sur Terre, la m´ediation entre ces deux espaces ´etant la rotation de la Terre, c’est-`a-dire le temps universel. Les instruments utilis´es historiquement par l’IGN pour ce genre de travaux sont l’astrolabe ` a prisme, l’astrolabe impersonnel de Danjon 4 , les c´el`ebres th´eodolites Wild T3 et T4, le cercle z´enithal IGN mod`ele 1947, ainsi que les th´eodolites Kern DKM 3 et Kern DKM 3-A [Duhamel, 1963b].

5.6.1

La d´ etermination astronomique par observations m´ eridiennes

Dans cette partie, la d´eclinaison et la latitude sont compt´ees positivement de l’´equateur vers le nord, tandis que la distance z´enithale est compt´ee positivement du z´enith vers le sud. Si l’on observe un astre de coordonn´ees connues, on a la relation [Duhamel, 1963a] : ϕ =

δ + zm

La d´etermination de la latitude semble donc ais´ee. On notera que la manipulation de l’appareil optique introduit la possibilit´e de plusieurs m´ethodes, dont celles de Talcott et de Villarceau. En revanche, la d´etermination de la longitude n´ecessite la manipulation des grandeurs temporelles, et s’av`ere plus d´elicate. Au passage au m´eridien, par d´efinition, l’angle horaire est nul, ce qui permet d’avoir directement l’heure sid´erale locale par l’ascension droite : AHm

= 0

⇒ HSL = α La longitude ne peut ˆetre obtenue qu’en connaissant l’heure sid´erale du m´eridien origine (en l’occurrence Greenwich) au moment de l’observation. Mais les moyens de l’obtenir ne sont pas simples : par le pass´e, la TSF (Transmission Sans Fil) permettait de l’obtenir ; aujourd’hui, en France, on peut avoir l’heure l´egale en ´ecoutant France Inter `a chaque heure enti`ere par la succession de quatre tops, mais on peut aussi t´el´ephoner `a l’horloge parlante de l’Observatoire de Paris 4. Andr´ e Danjon, 1890 – 1964.

235

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Figure 5.4 – Un th´eodolite de pr´ecision Wild T3 de 1975. Source : site internet de Wild Heerbrugg : http:// www.wild-heerbrugg.com/ theodolites.htm.

Figure 5.5 – Un th´eodolite universel Wild T4 de 1980. Source : site internet de Wild Heerbrugg.

Figure 5.6 – Un th´eodolite Kern DKM 3-A. Source : site internet http://www. globalsurveyors.com.au/ 2008/12/kern-dkm3a-help. html

Figure 5.7 – Un astrolabe impersonnel de Danjon, ici modifi´e pour l’observation du Soleil `a Santiago du Chili. Source : [No¨el, 2004].

236

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(36 99), qui la donne toutes les dix secondes. L’heure l´egale fran¸caise ´etant d´ecal´ee d’un nombre entier d’heures par rapport ` a l’´echelle de temps UTC, on peut calculer l’heure sid´erale moyenne de Greenwich HSM G ` a partir d’une relation d´ej` a vue (page 182), `a condition de le connaˆıtre `a 0h U T 1 du jour de l’observation. Si on note ∆tG le biais du garde-temps avec le temps sid´eral de Greenwich, et ∆tL son biais avec le temps sid´eral local, alors on a : λ

= HSL − HSG = ∆tL − ∆tG

Les observations m´eridiennes sont cependant difficiles `a r´ealiser pour plusieurs raisons : — il est d´elicat de placer le fil de l’instrument parfaitement sur le m´eridien ; on peut cependant observer tantˆ ot des ´etoiles rapides (´equatoriales) et lentes (circumpolaires) ; — l’erreur de tourrillonnement est `a compenser, ce que l’on peut faire en observant une ´etoile peu avant son passage au m´eridien avec le cercle `a droite, puis juste apr`es son passage avec le cercle ` a gauche. Cette m´ethode a priori simple impose donc une contrainte pratique difficile, celle d’observer au m´eridien. On lui pr´ef`ere la m´ethode dite des droites de hauteur.

5.6.2

La m´ ethode des droites de hauteur

Cette m´ethode n´ecessite de connaˆıtre une position approch´ee, ce qui est facile `a obtenir, par le biais d’une carte, d’une observation m´eridienne ou d’une autre technique. Les coordonn´ees approch´ees sont not´ees ϕ′ et λ′ . Le z´enith approch´e correspondant `a ce lieu est not´e Z ′ . 5.6.2.1

Grandeurs approch´ ees

On observe un astre dont on connaˆıt les coordonn´ees α et δ. On peut calculer son angle horaire approch´e pour une heure sid´erale locale approch´ee : AH ′

=

HSL′ − α

La distance z´enithale approch´ee est obtenue par la formule fondamentale : cos z ′ 5.6.2.2

= sin δ sin ϕ′ + cos δ cos ϕ′ cos AH ′

Observations

On voit que z ′ est la distance z´enithale qu’on observerait si on ´etait vraiment aux coordonn´ees ϕ et λ′ . Or nous n’y sommes pas ! Nous ´ecrivons les coordonn´ees vraies, et inconnues, du lieu d’observation : ′

ϕ =

ϕ′ + dϕ

λ =

λ′ + dλ

La grandeur mesur´ee est la distance z´enithale z (et dat´ee !), li´ee `a la distance z´enithale approch´ee par : z

=

z ′ + dz

237

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

Or, pr´ecis´ement, dz est li´e ` a dϕ et dλ par l’´equation diff´erentielle fondamentale de l’astronomie de position. Au regard de la figure 5.2 page 228 l’´equation diff´erentielle s’´ecrit (avec la convention des azimuts g´eod´esiques, c’est-` a-dire mesur´es depuis le nord) : dz

 π  π  − ϕ + cos A d − δ + sin − ϕ sin(−Az) d(AH) 2 2 2 = − cos Az dϕ − cos A dδ − cos ϕ sin Az d(AH) = cos(−Az) d

π

Les coordonn´ees ´equatoriales de l’´etoile ´etant fixes au moment de l’observation, on a dδ = 0. Donc [Testard, 1968] : dz

=

− cos Az dϕ − cos ϕ sin Az d(AH)

Pour l’observation de l’´etoile Si (αi , δi ), nous ´ecrivons : dzi

=

ziobs − zicalc

o` u le zicalc n’est autre que la nouvelle notation du z ′ vu pr´ec´edemment. L’´equation diff´erentielle li´ee `a l’´etoile Si est donc :

dzi

= − cos Azi dϕ − cos ϕ′ sin Azi d(AH)

Les inconnues ` a cette ´equations sont dϕ et d(AH). L’azimut qui intervient dans cette ´equation est soit lu sur le limbe horizontal (si celui-ci est orient´e) soit calcul´e selon la relation [Caillemer & Lecocq, 1983] : sin Azi cos δ

=

−

sin AHi sin zi

Qu’il soit exact ou seulement approch´e est sans importance ; on peut donc utiliser AHi′ et zi′ pour le calculer. En effet, [Duhamel, 1963a] indique que « on aura pu s’orienter approximativement par une op´eration pr´ealable, ou bien on peut calculer l’azimut approch´e A′ (bien suffisant pour le graphique) en mˆeme temps qu’on calcule z’ par la formule des sinus dans PZ’S », l’auteur notant A′ l’azimut approch´e, z ′ la distance z´enithale approch´ee et S l’´etoile observ´ee. Dans un autre document, [Duhamel, 1963b] explique que « la valeur de A′ ainsi obtenue sera suffisante pour calculer dϕ et d(AH). On pourrait au besoin calculer (...) l’azimut r´eel de chaque ´etoile observ´ee avec la vraie valeur de AH et en d´eduire l’orientation de l’instrument ». L’´equation d’observation peut prendre une autre forme, notamment si on exprime d(AH) en secondes de temps et dzi et dϕ en secondes sexag´esimales : dzi[′′ ] 5.6.2.3

= − cos Azi dϕ[′′ ] − 15 cos ϕ′ sin Azi d(AH)[s]

R´ esolution du probl` eme

On pose maintenant : x =

cos ϕ′ d(AH)

y

dϕ

=

238

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

L’´equation diff´erentielle devient : −dzi

= y cos Azi + x sin Azi

C’est bel et bien l’´equation d’une droite Di d’´equation y = f (x), appel´ee droite de hauteur. Il est facile de mettre en ´equation la forme matricielle d’un jeu de N observations en vue d’une r´esolution par moindres carr´es. Mais la r´esolution graphique est ´egalement faisable et pr´esente un int´erˆet certain. La droite de hauteur est trac´ee dans un rep`ere dont l’origine figure le point approch´e (ϕ′ , λ′ ) et les axes sont le parall`ele tangent en ce point ` partir de l’origine O, on trace le segment faisant un et le m´eridien tangent en ce point. A angle π + Azi avec l’axe Oy, de longueur dzi , ce qui nous donne un point Hi (l’ajout de π `a l’angle vient du signe − devant dzi ). La droite Di est perpendiculaire au segment trac´e, en Hi . La solution au probl`eme, c’est-`a-dire les coordonn´ees estim´ees du lieu d’observation, est obtenue en tant qu’intersection de l’ensemble des droites ainsi trac´ees. Ce point a des coordonn´ees : ∆X

= cos ϕ′ d(AH)

∆Y

= dϕ

ce qui nous donne directement les inconnues recherch´ees. Les coordonn´ees obtenues sont des coordonn´ees g´eographiques astronomiques : λa et ϕa , `a partir desquelles il est possible de calculer la d´eviation de la verticale (voir la partie 4.1.1.2 page 177). Si on ajoute, sciemment ou par erreur, une mˆeme quantit´e r `a chaque dzi , les droites Di sont toutes d´ecal´ees de r selon leur direction Azi ; elles ne se coupent plus en un mˆeme point, mais enveloppent un cercle de centre M , qui est le point recherch´e, et de rayon r. De cette fa¸con, le point M est plus pr´ecis´ement estim´e qu’avec l’intersection de toutes les droites. C’est pr´ecis´ement le but de la m´ethode des hauteurs ´egales.

5.6.3

La m´ ethodes des hauteurs ´ egales

5.6.3.1

Principe de la m´ ethode

La m´ ethodes des hauteurs ´ egales n’est qu’un cas particulier de la m´ethode des droites de hauteur. S’appuyant sur la remarque selon laquelle, en ajoutant une quantit´e ´egale pour toutes les droites ` a dzi , les droites deviennent tangentes `a un cercle de centre les coordonn´ees recherch´ees et de rayon la quantit´e ajout´ee, on va observer des ´etoiles passant toutes, approximativement, ` a une mˆeme distance z´enithale. La quantit´e ajout´ee est alors la r´efraction que nous avons d´ej` a ´etudi´ee ; celle-ci ne d´epend que de la distance z´enithale, si bien qu’en observant toutes les ´etoiles ` a la mˆeme distance z´enithale, toutes seront affect´ees de la mˆeme r´efraction. On peut mˆeme aller plus loin : si l’on trace les droites de hauteurs en corrigeant la distance z´enithale choisie pour observer de la r´efraction calcul´ee, il reste une quantit´e de r´efraction non mod´elis´ee qui s’ajoute ` a dzi , et qui constitue le rayon d’un cercle dont les droites de hauteur sont les tangentes. Cette partie s’inspire de [Bouteloup, 2003]. On part de la relation : cos z avec

AH

= sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos AH 366, 2422 tUT 1 + λ − α = HSG(t = 0 U T 1) + 365, 2422 239

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

y = dϕ

H1

dz

1

+

r

E1

E2 H2

M

∆Y O

r Az3

∆X

x = cos ϕ d(AH)

H3 E3

H4 E4

Figure 5.8 – Interpr´etation g´eom´etrique de la m´ethode des droites de hauteurs. Par soucis de simplicit´e, nous n’avons repr´esent´e qu’un dzi et un Azi .

Dans cette ´equation, α et δ sont connus, issues d’un catalogue propag´e `a la date de travail ; z et tUT 1 sont mesur´es, tandis que λ et ϕ sont les inconnues. Ici, la distance z´enithale est mod´elis´ee selon : z ≡ z vraie

=

z obs + ρ + ǫz

Dans cette m´ethode, on fixe une distance z´enithale z0 = 30˚, telle que : z obs

=

z0 + dz

o` u zobs est la distance z´enithale observ´ee, ρ la r´efraction, ǫz l’erreur de mesure. Si bien que : z vraie

=

z0 + dz + ρ0 + ǫz

Le terme ρ0 est la r´efraction calcul´ee pour la distance z´enithale z0 , ce qui fait que l’erreur ǫz encaisse l’erreur de mesure et l’erreur sur la r´efraction, ce qui en fait une inconnue suppl´ementaire `a d´eterminer. Notre ´equation d’observation s’´ecrit donc : cos(z0 + dz + ρ0 + ǫz ) =

sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos AH

dont la diff´erenciation donne (les termes en dδ sont annul´es, la d´eclinaison de l’astre observ´e ´etant suppos´ee connue), l’indice i correspondant `a l’observation de la ie ´etoile :

240

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

Figure 5.9 – Exemple de r´esolution graphique de droites de hauteur : le 6 septembre 1946 `a B´elus. Source : [Institut G´eographique National, 1953].

− sin z vraie dz vraie z

⇐⇒ − (d(δzi ) + d(ǫ )) sin z

vraie

= cos ϕ dϕ sin δ − sin ϕ dϕ cos δ cos AH − cos ϕ cos δ sin AHd(AH)

= (sin δi cos ϕ − cos δi sin ϕ cos AHi ) dϕ − cos δi cos ϕ sin AHi d(AH)

Or les grandeurs δzi et ǫz sont petites, et nous nous permettons d’´ecrire : d(δzi ) ≈

d(ǫz ) ≈

δziz ǫz

De plus, si nous d´eveloppons le sinus d’une somme, nous obtenons : sin z vraie ≡ sin(z0 + δz + ρ0 + ǫz ) = ≈

sin(z0 + ρ0 ) cos(δz + ǫz ) + cos(z0 + ρ0 ) sin(δz + ǫz ) sin(z0 + ρ0 ) + (δz + ǫz ) cos(z0 + ρ0 )

Et donc, nous pouvons ´ecrire : 241

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

(d(δzi ) + d(ǫz )) sin z vraie

= (δzi + ǫz ) sin z vraie ≈ (δzi + ǫz ) [sin(z0 + ρ0 ) + (δzi + ǫz ) cos(z0 + ρ0 )] ≈ (δzi + ǫz ) sin(z0 + ρ0 ) + O((δzi + ǫz )2 ) ≈ (δzi + ǫz ) sin z vraie

Le membre de gauche de l’´equation d’observation a maintenant la forme la plus simplifi´ee. Le membre de droite est, lui, ` a r´e´ecrire. On utilise d’abord la relation des cinq ´el´ements : sin δ cos ϕ − cos δ sin ϕ cos AH

=

sin z cos Az

o` u z est bien sˆ ur z vraie . La relation des sinus nous donne par ailleurs :

et donc

sin (π/2 − δ) sin(−Az) cos δ cos ϕ sin AH

= =

sin z sin AH cos ϕ sin z sin(−Az)

Compte-tenu de ces d´eveloppements, la relation d’observation s’´ecrit finalement : −(δzi + ǫz ) sin z vraie ⇐⇒ δzi + ǫz

= =

sin z vraie cos Azi dϕ − cos ϕ sin z vraie sin(−Az) d(AH)

− cos Azi dϕ − cos ϕ sin(Az) d(AH)

Cette relation nous montre que l’interpr´etation g´eom´etrique des observations de la m´ethode des hauteurs ´egales est exactement la mˆeme que celle de la m´ethode des droites de hauteurs. La position vraie est plac´ee en : ∆X

=

cos ϕ d(AH)

∆Y

=

dϕ

et est le centre d’un cercle de rayon ǫz , qui est un des param`etres `a d´eterminer. 5.6.3.2

D´ eroulement des op´ erations

Une fois la date des op´erations arrˆet´ee, il faut g´en´erer un catalogue d’´etoiles `a cette date, c’esta`-dire propager leurs coordonn´ees d’une ´epoque de r´ef´erence `a l’´epoque des observations. Il faut ensuite se doter d’un garde-temps qui soit synchronis´e avec une ´echelle de temps de r´ef´erence. L’instrument est ensuite install´e, avec les nivelles de contrˆole « Talcott », et point´e vers z = 29˚59′ 30′′ , c’est-` a-dire 30◦ 00′ 00′′ corrig´es d’une valeur approch´ee de la r´efraction (l’appoint sera une des inconnues). On d´etermine ensuite, mˆeme de fa¸con approch´ee, un azimut de r´ef´erence. On peut ensuite commencer ` a observer les ´etoiles, en choisissant soigneusement, si cela n’a pas ´et´e fait lors de la g´en´eration du catalogue, celles qui sont les plus brillantes, et celles dont la distribution en azimut assure la meilleure r´epartition au regard des exigences de la m´ethode. Pour chaque ´etoile, on commence par effectuer le pointage en azimut, puis par observer les nivelles de contrˆole, avant de proc´eder ` a la datation sur les onze fils (ce qui, par diff´erence des fils sym´etriquement dispos´es de part et d’autre du fil central, donne plusieurs estimations de l’heure de passage, dont la moyenne est la valeur retenue, nonobstant le rejet d’observations manifestement erron´ees). Cette op´eration est r´ep´et´ee autant qu’il y a d’´etoiles `a observer. Enfin, le calcul de la position peut ˆetre effectu´e, sans oublier les corrections ` a apporter. 242

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

a) La correction du niveau par les « Talcott » Afin de s’assurer du maintien du niveau de l’appareil, on utilise des nivelles de contrˆole. Avant les observations, on a : ℓ0

=

ℓ1 + ℓ2

la position initiale de la bulle. ` chaque observation i : A ℓi

= ℓi;1 + ℓi;2

On note : ∆ni

ℓi − ℓ0 2

=

La distance z´enithale observ´ee ` a l’´etoile i est :

zi

=

30◦ + ρ0 + ∆z + ∆ni + ∆ρi

avec ρ0 ≈ 30′′ , ∆ρi la valeur de l’appoint de la r´efraction pour l’observation de l’´etoile i, ∆ni la variation de niveau lors de l’observation de l’´etoile i, et ∆z l’inconnue. b) Observations au r´ eticule L’angle entre la trajectoire apparente de l’´etoile et le fil horizontal est le calage qui vaut l’angle ` a l’astre du triangle de position (seulement si l’appareil est bien orient´e en azimut). Il est donc calculable et doit ˆetre annonc´e `a l’observateur.

Figure 5.10 – Le reticule et les onze fils utilis´es pour la m´ethode des hauteurs ´egales. L’angle `a l’astre S est aussi l’angle entre le fil horizontal et la trajectoire de l’´etoile.

c) Choix des ´ etoiles Il faut chercher `a minimiser l’influence de l’erreur de ∆z sur λ et ϕ. Ainsi sur chaque coordonn´ee : — en latitude : ´etoiles aux azimuts 0 et 200 gon ; probl`eme : elles rasent le fil horizontal... 243

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

— en longitude : ´etoiles aux azimuts 100 et 300 gon. En principe : deux ´etoiles par 8e de cercle azimutal (soit seize ´etoiles), ou plutˆ ot : — trois ´etoiles aux azimuts 50, 150, 250, 350 gon ; — deux ´etoiles aux azimuts 100 et 300 gon. d) Apr` es les calculs... Si les observations sont dat´ees en U T C, il faut faire une correction de longitude sur celle calcul´ee par [Duquenne, 1992] : ∆λ =

UT C − UT 1

Les coordonn´ees calcul´ees sont rapport´ees au pˆ ole instantan´e de rotation. Il faut les ramener au pˆ ole conventionnel (ITRS) et utiliser XP et YP [Duquenne, 1992] :

∆λ ∆ϕ

= −(XP sin λ + YP cos λ) tan ϕ = −XP cos λ + YP sin λ

Enfin, une correction d’altitude est `a appliquer [Duquenne, 1992] : ∆ϕ = −0, 00047′′H sin 2ϕ

5.7 5.7.1

La d´ etermination d’un azimut par observation d’un astre D´ etermination de la direction d’un lieu de coordonn´ ees connues depuis un lieu inconnu

Cette m´ethode repose sur la connaissance des coordonn´ees d’un astre et de celles du lieu dont on cherche la direction horizontale, c’est-`a-dire de l’azimut. On peut voir sur la figure 5.11 page suivante que si l’astre observ´e (not´e A) passe au z´enith d’un des deux lieux consid´er´e (not´e M2 ), alors son azimut vu depuis l’autre lieu (not´e M1 ) est le mˆeme que celui du lieu au z´enith duquel passe l’astre. Le passage au z´enith va imposer des conditions `a notre probl`eme. Ainsi : — la d´eclinaison de l’astre est ´egale `a la latitude du lieu M2 : δA = ϕP ; — l’ascension droite de l’astre est ´egale `a l’heure sid´erale locale de M2 : αA = HSLM2 . La premi`ere condition est permanente, sauf si on exploite un astre mobile. La rotation diurne, une nouvelle fois, exige d’ˆetre prise en compte pour r´ealiser la deuxi`eme condition. Ainsi on peut ´ecrire :

HSL(tT U ) = ⇒α =

366, 2422 tT U + λ 365, 2422 366, 2422 HSG(t = 0h T U ) + tT U + λ 365, 2422 HSG(t = 0h T U ) +

244

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

Figure 5.11 – Deux lieux terrestres observant le mˆeme astre.

Puisqu’on sait quel astre on observe, on connaˆıt α ; on connaˆıt aussi λ car on connaˆıt le lieu au z´enith duquel l’astre passe. Enfin, on connaˆıt aussi HSG(t = 0h T U ) par le biais du polynˆome d´ej` a vu. La seule inconnue ` a calculer est donc tT U , heure en temps universel `a laquelle, depuis M1 , on doit observer l’astre A pour avoir la direction de M2 . En pratique, cette m´ethode n’est pas tr`es pr´ecise car il est rare de disposer d’un astre observable dont la d´eclinaison soit exactement la latitude du lieu : cette condition n’est donc r´ealis´ee que de fa¸con approximative. Par exemple, si on utilise le Soleil, les lieux au z´enith desquels celui-ci passe au z´enith sont uniquement ceux situ´es entre les deux tropiques. On choisit donc un des deux moments de l’ann´ee 5 o` u la d´eclinaison du Soleil atteint approximativement la latitude du lieu. On calcule ensuite l’instant o` u il passe au m´eridien : la conjugaison des deux conditions fait qu’il passe au z´enith. A priori, cette m´ethode ne requiert pas de calcul d’azimut. Elle permet simplement de connaˆıtre assez facilement la direction d’un lieu ´eloign´e. Ceci est notamment utilis´e pour d´eterminer la direction des lieux saints, exigence requise pour la construction des ´edifices cultuels ou pour la pri`ere. Le calcul de l’azimut, si on souhaite le faire, requiert d’utiliser les relations de la trigonom´etrie sph´erique, en tenant compte aussi de la r´efraction atmosph´erique.

5.7.2

D´ etermination de la direction d’un lieu de coordonn´ ees inconnues depuis un lieu connu

On peut aussi ˆetre conduit ` a d´eterminer un azimut en connaissant la latitude et la longitude du lieu d’observation, ainsi qu’un troisi`eme ´el´ement du triangle de position : 5. Sauf sur le tropique o` u il n’y en a qu’un.

245

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

— l’heure locale, et ´evidemment l’heure sid´erale, d’observation d’un astre, ce qui permet, avec son ascension droite, de connaˆıtre son angle horaire ; — et/ou la distance z´enithale de l’astre. L’azimut ainsi d´etermin´e est d’abord celui d’un astre, qui peut donner acc`es `a celui d’un rep`ere terrestre. La premi`ere m´ethode s’appelle la m´ ethode de l’heure (ou m´ethode de l’angle horaire), et la deuxi`eme la m´ ethode de la distance z´ enithale. Dans ces m´ethodes, l’usage veut que ´ l’on observe le Soleil (avec toutes les pr´ecautions qui s’imposent, ´evidemment) ou l’Etoile polaire, classiquement avec un th´eodolite Wild T2.

Figure 5.12 – Un th´eodolite Wild T2 de 1950. Source : site internet de Wild Heerbrugg, `a l’adresse http://www.wildheerbrugg.com/wild%20t2.htm.

5.7.2.1

La m´ ethode de l’heure (ou de l’angle horaire)

a) Description g´ en´ erale Le principe repose sur l’observation d’un astre, qui peut ˆetre ´ l’Etoile polaire ou le Soleil ou tout corps dont on connaˆıt les ´eph´em´erides, qui va servir de r´ef´erence azimutale ; les diff´erences de lectures sur le cercle horizontal des vis´ees sur l’astre et sur la direction mat´erialis´ee dont on veut d´eterminer l’azimut donne ainsi acc`es `a son azimut. Apr`es plusieurs vis´ees au th´eodolite sur la direction mat´erialis´ee, on doit faire des lectures pr´ecis´ement dat´ees de cercle horizontal sur l’astre utilis´e. Si on utilise le Soleil, la difficult´e d’observer son centre impose d’observer son bord ; deux possibilit´es s’offrent `a nous : le bord qui mord et le bord qui d´emord. La technique du bord qui mord consiste `a dater l’instant o` u, sous l’effet de la rotation de la Terre, le fil de l’appareil attaque le disque solaire ; la technique du bord qui d´emord consiste `a dater l’instant o` u, sous le mˆeme effet, le fil de l’appareil quitte le disque solaire. D`es que le fil d´emord, on lit le temps indiqu´e par le chronom`etre puis, en prot´egeant son œil par le biais d’un ´ filtre, on lit le cercle horizontal. Si on observe l’Etoile polaire, son aspect ponctuel ainsi que sa luminosit´e soutenable pour les yeux permet d’´eviter d’une part d’avoir `a pointer un bord, d’autre part d’utiliser un filtre. Apr`es plusieurs mesures de ce type, on ferme en r´e-observant la direction mat´erialis´ee 6 . L’ensemble des op´erations est r´ealis´ee sur un cercle, puis sur un autre. 6. Si, entre les mesures sur l’astre et la direction, on repasse par le 0 de l’appareil, il faut retirer 200 grades ` a l’une des deux mesures.

246

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

Origine du limbe

Nord géographique

Astre Z

ℓastre

Azastre

ℓ Az

Dire tion matérialisée

Figure 5.13 – Principe de la d´etermination d’azimut par la m´ethode de l’heure.

Figure 5.14 – Principe d’observation du bord qui d´emord. Source : illustration de J.-B. Tranchant, ´el`eve `a l’ENSG.

Il est alors n´ecessaire de r´ecup´erer les ´eph´em´erides de position de l’astre pour chaque ´epoque d’observation : il est indispensable de prendre les coordonn´ees apparentes ou moyennes de la date, de type sph´erique ; le cas ´ech´eant, le rayon apparent du Soleil est aussi `a r´ecup´erer. Les dates des observations dans l’´echelle de temps de r´ef´erence et les coordonn´ees de l’astre `a chacune de ces dates ´etant disponibles, on peut calculer son angle horaire par :

AH(tUT C ) =

HSG(t = 0h U T C) +

366, 2422 tUT C + λ − α(tUT C ) 365, 2422

On calcule l’azimut de l’astre ` a chaque mesure avec la formule des cotangentes (et le fait que tan(π/2 − x) = cot x) : tan Az

=

sin AH sin ϕ cos AH − cos ϕ tan δ

On ne manquera pas d’inverser la fonction arctangente en utilisant cette relation : tan α ⇐⇒ α

=

x y

  x = arctan y = 2 arctan

y p x + x2 + y 2

!

Pour chaque observation ainsi dat´ee 7 , on doit calculer sa distance z´enithale : cos z

=

sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos AH

7. Pour des raisons de lisibilit´ e, nous omettons d´ esormais de pr´ eciser tU T C .

247

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

La distance z´enithale doit ˆetre corrig´ee de la r´efraction, selon : z vraie

=

z + (n0 − 1) tan z⊙

Cependant, si on a mesur´e le bord du Soleil, il faut corriger les observations pour en d´eterminer l’azimut, car l’azimut obtenu pr´ec´edemment est celui du centre, car issu des ´eph´em´erides : Az⊙obs

=

C Az⊙ ±

r⊙ sin z vraie

o` u r⊙ est l’angle du rayon apparent du Soleil. Le signe + est utilis´e en bord qui mord, le − en bord qui d´emord. L’azimut de la direction mat´erialis´ee est ensuite calcul´e `a partir de chaque lecture sur l’astre selon : Azd

=

Az⊙obs + ℓ − ℓ⊙

o` u ℓ est une moyenne des lectures horizontales sur la direction observ´ee. L’azimut de la cible est ensuite une moyenne de ces azimuts calcul´es. On peut d’ailleurs v´erifier que l’azimut du limbe de l’appareil est bien constant au cours des op´erations, en s’assurant que : Azd − ℓd

= Azastre − ℓastre = cte

b) Influence des divers param` etres et conditions optimales La relation des cotangentes utilis´ee fait intervenir la latitude du lieu d’observation, la d´eclinaison de l’astre, suppos´ees connues toutes les deux, et une mesure de l’heure, traduite en angle horaire. Comme on va le voir, les diff´erentes conditions favorables sont contradictoires. On peut cependant constater que cette m´ethode est d’autant plus favorable que l’on se situe pr`es de l’´equateur, que l’astre est proche de sa digression maximale et bas sur l’horizon. La mesure de l’heure, de toute fa¸con, doit ˆetre de bonne qualit´e. Les d´etails de cette partie se trouvent dans [Duhamel, 1963b].

i) Influence de la latitude on a :

Si on calcule la d´eriv´ee de l’azimut par rapport `a la latitude,

dAz dϕ

=

sin Az cot z

Ce que l’on souhaite, c’est qu’une erreur sur la latitude n’ait pas d’influence sur l’azimut, c’esta`-dire que cette relation soit identiquement nulle. Cela est r´ealis´e pour Az = 0 ou Az = 200 gon, pour obtenir sin Az = 0, ou pour z = 100 gon, pour avoir cot z = 0. Un cas favorable pourrait donc ˆetre d’avoir Az = 0 et z = 100 gon ; si on utilise le Soleil cette double condition ne peut ˆetre r´ealis´ee qu’entre le cercle polaire et le pˆ ole ; mais dans ce cas, l’azimut varie rapidement avec l’angle ´ horaire (voir plus loin) ; si on utilise l’Etoile polaire, il faut ˆetre sur l’´equateur. Le cas d´efavorable est obtenu avec z = 0, donc quand l’astre est au z´enith : au pˆ ole on pr´ef`erera alors utiliser le Soleil, ´ et `a l’´equateur, l’Etoile polaire. Une situation m´ediane est donc obtenue pour Az = 150 gon et z = 80 gon. 248

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

ii)

Influence de la d´ eclinaison

De mˆeme, en d´erivant par rapport `a la d´eclinaison : dAz dδ

=

−

sin A sin z

On va ici chercher ` a avoir A = 0, c’est-`a-dire le passage de l’astre au m´eridien, mais dans ce cas l’azimut varie rapidement avec l’angle horaire. Le cas d´efavorable est celui de la digression maximale de l’astre observ´e, ce qui n’est possible qu’entre les tropiques. Le cas m´edian est celui o` u A = 50 gon et z = 80 gon. iii)

Influence de l’angle horaire

Enfin, en d´erivant par rapport `a l’angle horaire :

dAz d(AH)

=

−

cos δ cos A sin z

Le cas favorable est donc obtenu ici pour A = 100 gon (digression maximale), ce qui n’est possible que sous les tropiques. On remarquera que si z = 100 gon, la formule fondamentale am`ene `a : sin ϕ = dAz = ⇒ d(AH)

cos δ cos A sin ϕ

et donc l’erreur ne d´epend que de la latitude ; le cas favorable est, dans ce cas, de se situer `a l’´equateur (et d’observer ` a l’horizontale pour satisfaire z = 100 gon). Le cas d´efavorable est celui o` u A = 0 et z = 0, c’est-`a-dire que l’astre passe au m´eridien `a proximit´e du z´enith. La situation m´ediane se situe avec A = 50 gon et z = 80 gon. 5.7.2.2

La m´ ethode des distances z´ enithales

Dans cette m´ethode, la relation utilis´ee est la relation 5.7. La d´emarche impose, comme pr´ec´edemment, de calculer l’azimut du Soleil, mais cette fois `a partir de lectures verticales (pour avoir la distance z´enithale z), mais aussi horizontales, pour que la diff´erence avec l’azimut du Soleil nous donne l’azimut de la cible terrestre. [Duhamel, 1963b] explique que cette m´ethode est moins pr´ecise que la m´ethode de l’angle horaire car le Soleil est `a viser en distance z´enithale et en azimut ce qui est tr`es difficile en raison de son mouvement apparent (le probl`eme serait le mˆeme avec une ´etoile), quand l’autre m´ethode ne l’impose qu’en azimut. D’autre part, ici, le param`etre essentiel est la distance z´enithale, sujette ` a la r´efraction ; mˆeme corrig´ee, elle restera forc´ement impr´ecise. C’est pourquoi cette m´ethode reste peu employ´ee, et peu d´ecrite dans les ouvrages de r´ef´erence.

249

´ DES ASTRES ET DE L’ASTRONOMIE DE POSITION CHAPITRE 5. L’UTILITE

180 170 160 150 140 130 120 Az (degres)

110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -90

δ -80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10 0 10 φ (degres)

20

30

40

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

20

30

40

50

60

70

80

90

50

60

70

80

90

180 170 160 150 140 130 120 Az (degres)

110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -90

φ 0

10

δ (degres) 360 340 320 300 280 260 240 Az (degres)

220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -180

-120

-60

0 AH (degres)

60

120

180

Figure 5.15 – Azimut en fonction des divers param`etres : latitude, d´eclinaison, angle horaire. ` chaque fois, le troisi`eme param`etre est fix´e : pour les coordonn´ees du Soleil, il s’agit de leurs A valeurs pour le 29 juin 2011 (δ = 23◦ 14′ 0, 35′′ ; AH = 22h02m07, 984s) ; pour le lieu, il s’agit de Forcalquier (Alpes-de-Haute-Provence) (ϕ = 43◦ 55′ 60′′ ).

250

Conclusion Ce document, s’il ne se veut pas exhaustif, a cependant vocation `a aborder dans leur ensemble les questions li´ees ` a l’astronomie de position. Nous avons ainsi introduit l’astronomie en g´en´eral, et les mouvements de la Terre en particulier, avant de nous int´eresser aux ´echelles de temps n´ecessaires pour d´ecrire ces ph´enom`enes, sans oublier de mentionner les calendriers, qui sont une illustration tr`es int´eressante de l’utilit´e de l’observation des astres pour l’organisation de la vie sociale. Nous avons ensuite trait´e des rep`eres spatiaux utilis´es en astronomie de position, que ce soit les syst`emes de coordonn´ees, les syst`emes et rep`eres de r´ef´erence, mais aussi les transformation de coordonn´ees `a l’occasion du passage d’un rep`ere terrestre `a un rep`ere c´eleste, entre autres. Enfin, le dernier chapitre a mis l’accent sur l’utilit´e pratique de l’observation du ciel, notamment en g´eod´esie, en montrant comment les ph´enom`enes d´ecrits dans les chapitres pr´ec´edents trouvaient enfin un terrain d’application. Au cours de ces chapitres, nous avons cru bon de citer de nombreuses r´ef´erences, qui sont list´ees dans la bibliographie pour l’essentiel, et que le lecteur pourra trouver sans probl`eme dans toute bonne biblioth`eque. Nous avons aussi jug´e utile de donner des exemples concrets de publications p´eriodiques de certains organisme, comme la circulaire T du BIPM, ou des extraits des rep`eres de r´ef´erence terrestre (ITRF) et c´eleste (ICRF), ainsi que des graphiques tir´es directement des sites internet des organismes internationaux en charge de certaines questions (IERS, NASA). Nous accueillerons avec int´erˆet toutes les remarques, corrections et critiques de ce document, et estimons qu’il aura atteint son objectif si ses lecteurs y trouvent de l’int´erˆet.

251

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256

Table des mati` eres Sommaire

ii

Remerciements

1

Introduction

2

1 L’astronomie : l’Homme dans l’Univers 1.1 L’Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Quelques faits d’observation . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 L’histoire thermique de l’Univers . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Les questions r´egl´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Les questions en suspens . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La Voie Lact´ee, une galaxie parmi d’autres . . . . . . . . . . 1.3 Le Soleil, notre ´etoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 D’une n´ebuleuse de gaz `a une ´etoile . . . . . . . . . . 1.3.2 Sources d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Types d’´etoiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 L’´equilibre hydrostatique du Soleil . . . . . . . . . . . 1.3.5 La structure du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 La fin du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Le syst`eme solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 La formation du syst`eme solaire . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Structure du syst`eme solaire . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Les plan`etes, ici et ailleurs . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Les satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Les plan`etes naines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Les petits corps : ast´ero¨ıdes, com`etes, transneptuniens 1.5 La Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La structure de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Le champ magn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Les sources d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Le volcanisme et la tectonique des plaques . . . . . . . 1.5.5 Les enveloppes fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.6 La vie, l’humanit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 3 10 12 12 13 16 16 17 18 20 22 22 25 25 26 26 34 40 40 43 43 43 44 47 49 50

2 Les mouvements de la Terre, approche physique 2.1 Un seul moteur, la gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Hypoth`eses fondamentales . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.1.2 Equations fondamentales du champ de gravitation 2.1.3 La relation fondamentale de la dynamique . . . . . 2.1.4 Probl`eme des N corps, th´eor`eme du viriel . . . . . 2.2 La r´evolution de la Terre autour du Soleil . . . . . . . . .

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` TABLE DES MATIERES

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2.2.1 Le probl`eme des deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Le probl`eme ` a deux corps perturb´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 L’orbite terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le probl`eme de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Influence du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Influence de l’aplatissement terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Conclusion sur le mouvement de la Lune . . . . . . . . . . . . . . Le probl`eme ` a trois corps restreint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Pr´esentation g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Formulation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 La relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 La constante de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Les points de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Condition du mouvement et surface de Hill . . . . . . . . . . . . La rotation diurne de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 La cause de la rotation : la formation de la Terre . . . . . . . . . 2.5.2 L’´evolution de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Une cons´equence de la rotation : l’aplatissement de la Terre . . . La pr´ecession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Le probl`eme pos´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.6.2 Etude dynamique : le calcul du moment des forces . . . . . . . . 2.6.3 La d´eriv´ee temporelle du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Application du th´eor`eme du moment cin´etique et conclusion . . . La nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 La composante principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 La composante luni-solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le mouvement du pˆ ole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 R´ef´erentiels de l’´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Hypoth`eses dynamiques sur la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Le moment cin´etique de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4 Le mouvement du pˆ ole de rotation par rapport au pˆ ole d’inertie 2.8.5 Limites de l’´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ements de terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.6 El´ Cons´equences visibles des mouvements de la Terre . . . . . . . . . . . . 2.9.1 L’observation des astres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Les saisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 Quelques mots sur la th´eorie astronomique des pal´eoclimats . . .

3 Les ´ echelles de temps 3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Le temps en tant que dur´ee . . . . . 3.1.2 Le temps en tant que datation . . . 3.1.3 P´eriodes astronomiques . . . . . . . 3.2 Les calendriers . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 D´efinition et rˆole . . . . . . . . . . . 3.2.2 Calendriers solaires et lunaires . . . 3.2.3 Les subdivisions d’un calendrier . . . 3.2.4 Quelques calendriers . . . . . . . . . 3.3 La notion d’heure . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Perspective historique . . . . . . . . 3.3.2 Les diff´erentes expressions de l’heure 3.4 Les ´echelles de temps scientifiques . . . . . 3.4.1 Le temps des ´eph´em´erides . . . . . .

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258

` TABLE DES MATIERES

3.4.2 3.4.3 3.4.4

Les ´echelles de temps atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les temps relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les ´echelles de temps des GNSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Les rep` eres spatiaux utilis´ es en astronomie 176 4.1 Les syst`emes de coordonn´ees sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.1.1 Les syst`emes de coordonn´ees g´eographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.1.2 Le syst`eme de coordonn´ees horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.1.3 Le syst`eme de coordonn´ees ´equatoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.1.4 Le syst`eme de coordonn´ees horaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.1.5 Le syst`eme de coordonn´ees ´ecliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.1.6 Le plan de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4.1.7 Le syst`eme de coordonn´ees galactiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.1.8 Changement de syst`eme de coordonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.2 Les rep`eres de r´ef´erence c´elestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4.2.1 Le ciel tel qu’il se pr´esente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4.2.2 Le Catalogue Fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.2.3 Le rep`ere international de r´ef´erence c´eleste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.2.4 Le syst`eme c´eleste barycentrique de r´ef´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.2.5 Le syst`eme c´eleste de r´ef´erence g´eocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.3 Le rep`ere international de r´ef´erence terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.3.1 Le syst`eme international de r´ef´erence terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.3.2 Les propri´et´es des techniques de la g´eod´esie spatiale . . . . . . . . . . . . . 201 4.3.3 L’ITRF et ses versions successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 4.4 La r´eduction des observations astronomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.4.1 La correction des effets locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.4.2 Expression des observations dans le syst`eme de r´ef´erence c´eleste g´eocentrique 208 4.4.3 L’expression des observations dans le syst`eme barycentrique de r´ef´erence c´eleste218 4.4.4 Correction des effets de distance et de mouvement des corps . . . . . . . . . 222 5 L’utilit´ e des astres et de l’astronomie de position 5.1 Trigonom´etrie sph´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Triangle sph´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Relations de la trigonom´etrie sph´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 L’´equation diff´erentielle fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Le triangle sph´erique astronomique fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Relation entre la distance z´enithale et l’angle horaire . . . . . . . . . . . 5.2.2 Relation entre l’azimut et la distance z´enithale . . . . . . . . . . . . . . 5.3 L’utilisation d’´eph´em´erides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Types de coordonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ em´erides sous la forme de polynˆomes de Tchebychev . . . . . . . . . 5.3.2 Eph´ ´ em´erides en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Eph´ 5.4 La d´etermination de l’heure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Le probl`eme de la datation des observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 La d´etermination de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 La d´etermination astronomique par observations m´eridiennes . . . . . . 5.6.2 La m´ethode des droites de hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 La m´ethodes des hauteurs ´egales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 La d´etermination d’un azimut par observation d’un astre . . . . . . . . . . . . 5.7.1 D´etermination de la direction d’un lieu de coordonn´ees connues depuis lieu inconnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 D´etermination de la direction d’un lieu de coordonn´ees inconnues depuis lieu connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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` TABLE DES MATIERES

Conclusion

251

R´ ef´ erences bibliographiques

252

Table des mati` eres

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260