Integrierte Zielplanung Und Gesamtergebnisrechnung in Finanz Und Kreditinstituten (German Edition) 3896732587, 9783896732583

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B

Holger Lemcke

Integrierte Zielplanung und Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten

Verlag Wissenschaft & Praxis

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D83 ISBN 3-89673-258-7

© Verlag Wissenschaft & Praxis

Dr. Brauner GmbH 2005 D-75447 Sternenfels, Nußbaumweg 6 Tel. 07045/930093 Fax 07045/930094

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Vorwort Während memes Studiums der Betriebswirtschaftslehre an der Technischen Universität Berlin war ich Zeuge der immensen Entwicklungsarbeit an einem System zur operativen Unternehmensgesamtplanung und -kontrolle. Es beruht auf einer von Prof. Eckart Zwicker entwickelten Planungs- und Kontrollogik, die eine "Planung durch Zielverpflichtung" darstellt. Diese Logik einer Zielverpflichtungsplanung wurde von Prof. Eckart Zwicker mit der bekannten Logik einer optimierenden Planung verbunden und die daraus resultierende Logik wurde von ihm als integrierte Zielplanung - Akronym: INZPLA - bezeichnet. Da die in einer - bisher von Prof. Eckart Zwicker unveröffentlichten - Monographie dargestellte Logik der integrierten Zielplanung ausschließlich die operative Planung und Kontrolle von industriellen Unternehmen beschreibt, reifte in mir bereits während meines Studiums der Gedanke, diese Theorie auf Dienstleistungsunternehmen - speziell auf Finanz- und Kreditinstitute - anzuwenden und ggf. zu erweitern. Mit großem Engagement hat Prof. Eckart Zwicker diesen Gedanken unterstützt. Im Ergebnis sind zum einen meine Diplomarbeit mit der Thematik "Integrierte Zielplanung und Plankostenrechnung im Bankbetrieb" , zum anderen die vorliegende Arbeit entstanden. Diese Arbeit wäre ohne die Unterstützung vieler Personen nicht möglich gewesen. An erster Stelle danke ich meinem hochverehrten akademischen Lehrer, Prof. Eckart Zwicker. Die jahrelange Zusammenarbeit an der Technischen Universität Berlin war durch eine konstruktive und wohlwollende Atmosphäre gekennzeichnet, die im besonderen Maße die Erzielung konkreter Forschungsergebnisse unter Einbezug wissenschaftlicher Freiräume förderte. Für die Übernahme Prof. Detlev Hummel.

der

Zweitberichter-Tätigkeit

bedanke

ich

mich

bei

Während der Schreibphase dieser Arbeit haben mir zahlreiche Kollegen der Bankgesellschaft Berlin wertvolle Hilfestellungen geleistet. Besonderer Dank gilt meinen Kollegen Herrn Willi Böhmer, Herrn Dr. Hartrnut Meinunger und Herrn Bernd Plumhoff, die ich in dieser zeitlichen Reihenfolge in der Bankgesellschaft Berlin kennen lernen durfte. Meinen Kollegen Frau Heike Hartmann und Herrn Bernd Plumhoff bin ich für das mühevolle Korrekturlesen dankbar. Meiner Tochter Julia und meinem Sohn Jan danke ich für Ihren unermüdlichen Einsatz beim Herausnehmen von - eigentlich benötigten - Blankoseiten aus meinem Laserdrucker. Zu besonderem Dank bin ich meiner Frau Melanie verpflichtet. Mit großer Rücksichtnahme und Ausdauer hat sie mir die notwendigen Freiräume für die Bearbeitung der Dissertation geschaffen.

11

Meinen Schwiegereltern Margot und Günter und meinen Eltern Hannelore und Manfred danke ich für ihre jahrelange Bereitschaft, ihre Wohnung an den Wochenenden in einen Spielort für ihre Enkelkinder zu verwandeln. Nicht zuletzt schulde ich meinen Eltern Hannelore und Manfred großen Dank, da erst durch ihre jahrelange ideelle und materielle Hilfe die notwendigen Rahmenbedingungen für eine gute Ausbildung geschaffen wurden. Berlin, im Februar 2004

Holger Lemcke

EDV-technische Anmerkung: Die vorliegende Dissertationsschrift wurde mit dem wohl leistungsfähigsten Formatierungsprogramm zur Erzeugung wissenschaftlich-technischer Texte in Buchdruckqualität erstellt. Das Programm hat den Namen TeX (gesprochen Tech). Die verwendete TeX-Version lautet: 3.141592-2.1 (MiKTex 2.4).1 Die in der Dissertationsschrift dargestellten Abbildungen wurden mit Hilfe des Tabellenkalkulationsprogrammes Excel (Version 2002) sowie mit Hilfe des Grafikbearbeitungsprogrammes Paint Shop Pro (Version 6) erstellt. 1 V gl.

Internetseite: www.miktex.org

Inhaltsverzeichnis

Vorwort 1

Einleitung

1.1 Ziel- und Aufgabenstellung der Arbeit 1.2 Abgrenzung der Arbeit 1.3 Gang der Arbeit. . 2

3

Integrierte Zielplanung

2.1 2.2 2.3

Kurzeinführung in das System der integrierten Zielplanung Aufbau von Gleichungsmodellen nach Zwicker . . . . . . . Modifizierter Aufbau von Gleichungsmodellen nach Lemcke .

1 1 2 3

5

5 8 10

Finanzmathematische Grundlagen

13

3.1 3.2

13 14 14 14 15 15 16 17 17 19 19 19

Einführung in die Finanzmathematik . . . . . . . . Finanzmathematische Grundmodelle im Zinsbereich 3.2.1 Varianten der Renditeberechnung . . . . . . 3.2.1.1 Die diskrete Rendite . . . . . . . . 3.2.1.1.1 Die arithmetische Rendite 3.2.1.1.2 Die geometrische Rendite 3.2.1.1.2.1 Annualisierung von geometrischen Renditen 3.2.1.1.2.2 Periodisierung von geometrischen Renditen 3.2.1.2 Die stetige Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2.1.3 Umrechnung von Renditen. . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2.1.3.1 Umrechnung diskrete Rendite in stetige Rendite. 3.2.1.3.2 Umrechnung stetige Rendite in diskrete Rendite. 3.2.2 Renditevergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2.2.1 Renditevergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern auf Basis der diskreten Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2.2.2 Renditevergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern auf Basis der stetigen Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Zinsusancen der Renditeberechnung . . . . . . . 3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich . 3.3.1 Varianten der Risikoberechnung . . . . . . . . . 3.3.1.1 Risikomaße zur Berechnung des Gesamtrisikos 3.3.1.1.1 Die Volatilität. . . . . . . . . . . . . 3.3.1.1.2 Die Ausfallwahrscheinlichkeit . . . . 3.3.1.2 Risikomaße zur Berechnung des systematischen Risikos 3.3.1.2.1 Der Korrelationskoeffizient. . . . . . . . . . .

20 21 22 23 24 24 26 26 27 28 28

IV

Inhaltsverzeichnis 3.3.1.2.2 Die Sensitivität 3.3.1.2.3 Die Duration . 3.3.1.2.4 Die Konvexität 3.3.1.2.5 Der Betafaktor 3.3.1.3 Risikomaß zur Berechnung des unsystematischen Risikos: Die Residualvolatilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3.2 Volatilitätsvergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3.2.1 Volatilitätsvergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern auf Basis der diskreten Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3.2.2 Volatilitätsvergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern auf Basis der stetigen Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich 3.4.1 Varianten der Performanceberechnung . . . . 3.4.1.1 Die bestandsorientierte reale Rendite 3.4.1.1.1 Die absolute reale Rendite . 3.4.1.1.2 Die relative reale Rendite . 3.4.1.1.3 Die relative risikoadjustierte reale Rendite 3.4.1.1.3.1 Das Sharpe-Maß 3.4.1.1.3.2 Das Treynor-Maß . . 3.4.1.1.3.3 Das Jensen-Maß. . . 3.4.1.2 Die zahlungsorientierte reale Rendite 3.4.1.2.1 Die wertgewichtete reale Rendite 3.4.1.2.2 Die zeitgewichtete reale Rendite. 3.4.2 Portfoliotheorie . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2.1 Das Portfolio-Selection-Modell . 3.4.2.2 Das Index-Modell . . . . . . 3.4.3 Potentieller Risikobetrag . . . . . . . . . 3.4.3.1 Der Quantilwert des Risikos . . 3.4.3.2 Der Konfidenzintervallwert des Risikos 3.4.4 Kapitalmarkttheorie . . . . . . . . . . . . 3.4.4.1 Das Capital Asset Pricing Modell . . . 3.4.4.2 Das Marktmodell . . . . . . . . . . . . 3.5 Finanzmathematisches Grundmodell im Liquiditätsbereich 3.6 Finanzmathematischer Exkurs: Tilgungspläne und Zahlungsströme . 3.6.1 Tilgungsplan auf Basis der Sparbuchmethode .. 3.6.2 Tilgungsplan auf Basis der Kontokorrentmethode 3.6.3 Tilgungsplan auf Basis der Stichtagsmethode . 3.6.4 Tilgungsplan auf Basis der Hypothekmethode 3.6.5 Vom Tilgungsplan zum Zahlungsstrom

4 Gesamtergebnisrechnung 4.1 Einführung in die Gesamtergebnisrechnung . 4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung . . . . . . . 4.2.1 Zinsergebnisrechnung . . . . . . . . . 4.2.1.1 Kalkulation deterministischer Zahlungsströme auf Basis der Barwertmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.1.1 Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten . . ..

32 34 36 38 39 41 45 46 48 48 49 49 49 50 51 51 52 53 54 55 57 58 61 64 64 66 70 70 72 73 74 77 79 81 83 85

89 89 91 93 96 96

Inhaltsverzeichnis 4.2.1.1.2 Kalkulation von Zinsmargen . . . . . . . . . . . . 4.2.1.1.3 Kalkulation von Perioden-Kapitalwerten . . . . . 4.2.1.2 Kalkulation deterministischer Zahlungsströme auf Basis der Marktwertmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.2.1 Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten . . . . 4.2.1.2.1.1 Sukzessive strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen 4.2.1.2.1.2 Simultane strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen 4.2.1.2.1.3 Sukzessive strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen und unterjährigen Tranchen . . . . . . . . . . . . 4.2.1.2.1.4 Simultane strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen und unterjährigen Tranchen . . . . . . . . . . . . 4.2.1.2.1.5 Praxisprobleme der strukturkongruenten Refinanzierung . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.2.1.6 Strukturkongruente Refinanzierung mit Hilfe von Nullkupon-Abzinsfaktoren oder Terminzinsen . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.2.1.7 Komplexitätsproblematik der strukturkongruenten Refinanzierung und deren Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.2.1.7.1 Bewertung emes OriginalZahlungsstroms und einer Zinsänderungsrisiko-Messung. . 4.2.1.2.1.7.2 Das Mapping auf Basis von Ableitungen . . . . . . . 4.2.1.2.1.7.2.1 Das Duration-Mapping. . . 4.2.1.2.1.7.2.2 Das Convex3- und das Convex4-Mapping. . 4.2.1.2.1.7.2.3 Das ApproxP3- und das ApproxP4-Mapping . 4.2.1.2.1.7.2.4 Das ApproxE3- und das ApproxE4-Mapping . Das Mapping mit Terminzinsen . . 4.2.1.2.1. 7.3 Das Mapping nach JPMorgan. . . 4.2.1.2.1. 7.4 Zusammenfassung und kritische 4.2.1.2.1. 7.5 Würdigung der verschiedenen Mapping-Verfahren . . . . . . . 4.2.1.2.1.8 Kalkulation von Leistungsstörungen . . . . 4.2.1.2.1.8.1 Grundprinzipien der Kalkulation von Leistungsstörungen . . . . . . 4.2.1.2.1.8.2 Sonderkonstellationen der Kalkulation von Leistungsstörungen . . . . 4.2.1.2.1.8.2.1 Rückzahlung auf Termin . . 4.2.1.2.1.8.2.2 Rückzahlung mit Recht auf Sondertilgung . 4.2.1.2.1.8.2.3 Teilrückzahlung . . . . . .

V 102 110 111 111 112 117 118 123 124 132

145 147 148 149 152 155 159 163 165 169 171 172 179 180 183 186

VI

Inhaltsverzeichnis 4.2.1.2.1.8.2.4 Stundung von Raten. . . . 4.2.1.2.1.9 Kalkulation von derivativen Finanzkonstruktionen 4.2.1.2.1.9.1 Floater......... 4.2.1.2.1.9.2 Zinsswap........ 4.2.1.2.1.9.3 Forward Rate Agreement. 4.2.1.2.1.9.4 Forward/Future..... 4.2.1.2.2 Kalkulation von Zinsmargen . . . . . . . 4.2.1.2.2.1 Methoden der Effektivzinsrechnung 4.2.1.2.2.1.1 Die dynamischen internen Effektivzinsmethoden . . . . . . . . . . 4.2.1.2.2.1.1.1 Der Effektivzins nach ISMA. nach Der Effektivzins 4.2.1.2.2.1.1.2 PAngV 1985 . . . 4.2.1.2.2.1.1.3 Der Effektivzins nach Braess. . . . . . 4.2.1.2.2.1.1.4 Der Effektivzins nach PAngV 2000 . . . 4.2.1.2.2.1.1.5 Der Effektivzins nach US/Leasing. . . . nach 4.2.1.2.2.1.1.6 Der Effektivzins Moosmüller . . . . 4.2.1.2.2.1.2 Der treasury-konforme Effektivzins . 4.2.1.2.2.1.3 Die dynamischen realen Effektivzinsmethoden . . . . . . . . . . 4.2.1.2.2.1.3.1 Der Effektivzins nach Mair . 4.2.1.2.2.1.3.2 Der Effektivzins nach McKinsey . . . . . . . . 4.2.1.2.2.1.4 Der statische Effektivzins . . . . . 4.2.1.2.2.1.5 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Effektivzinsmethoden . . . . . . . . . . 4.2.1.2.2.2 Berechnung von Zinsmargen . . . . . .. 4.2.1.2.2.3 Berücksichtigung der Mindestreserve .. 4.2.1.2.2.3.1 Korrektur des Effektivzinses. . . 4.2.1.2.2.3.1.1 Exakte Korrektur des Effektivzinses . . . . . . . . . 4.2.1.2.2.3.1.2 Pauschale Korrektur des Effektivzinses. . . . . . . . 4.2.1.2.2.3.2 Korrektur des Opportunitätszinses . 4.2.1.2.2.3.2.1 Exakte Korrektur des Opportunitätszinses . . Pauschale Korrektur des 4.2.1.2.2.3.2.2 Opportunitätszinses . 4.2.1.2.2.3.3 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Berücksichtigung der Mindestreserve. . . . . . . . 4.2.1.2.2.4 Disagioverteilung . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.2.2.4.1 Die effektivzinsproportionale Disagioverteilung . . . . . . . . . .

188 190 191 194 197 200 204 205 206 207 208 213 216 218 220 223 227 227 230 237 239 242 245 248 248 249 251 251 254 255 255 259

Inhaltsverzeichnis

VII 4.2.1.2.2.4.2

Die nominalzinsproportionale Disagioverteilung . . . . . . . 259 Die haltedauerproportionale Dis4.2.1.2.2.4.3 agioverteilung . . . . . . . . . . 260 Disagioverteilung und Gebühr. . . 261 4.2.1.2.2.4.4 4.2.1.2.2.4.5 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Verfahren der Disagioverteilung . . . . . . . . 264 4.2.1.2.3 Kalkulation von Perioden-Kapitalwerten . . . . . 264 4.2.1.2.3.1 Die zinsunabhängigen Verrentungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 4.2.1.2.3.1.1 Die zeitorientierte Verrentungsmethode. . . . . . . . . . . . 268 Die kostenorientierte Verrentungs4.2.1.2.3.1.2 methode. . . . . . . . . . . . 270 4.2.1.2.3.1.3 Die zahlungsorientierte Verren272 tungsmethode. . . . . 4.2.1.2.3.2 Die zinsabhängigen Verrentungsmethoden 273 4.2.1.2.3.2.1 Die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode . . . . . . . . . . 274 4.2.1.2.3.2.1.1 Die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz . 274 4.2.1.2.3.2.1.2 Die effektivzinsabhängige Verrent ungsmethode nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz . . 281 4.2.1.2.3.2.2 Die nominalzinsabhängigen Verrentungsmethoden. . . . . . . . 288 4.2.1.2.3.2.2.1 Die nominalzinsabhängige Verrentungsmethode nach McKinsey . . . . . . . . 288 4.2.1.2.3.2.2.2 Die GuV-synchrone Verrentungsmethode. . . . . . . 291 4.2.1.2.3.3 Die treasury-konforme Verrentungsmethode 293 4.2.1.2.3.4 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Verrentungsmethoden . . . . . . 299 4.2.1.3 Kalkulation deterministischer Zahlungsströme auf Basis der Nominalwertmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 4.2.1.4 Kalkulation stochastischer variabler Zahlungsströme auf Basis der Marktwertmethode . . . . . . . . . . . . . . . . 311 4.2.1.4.1 Die Methode der gleitenden Durchschnitte . . . . 314 4.2.1.4.1.1 Konstruktion eines Opportunitätszinses bei konstanten Produktbeständen . . . . . 314 4.2.1.4.1.2 Konstruktion eines Opportunitätszinses bei Produkt-Bestandsänderungen 323 4.2.1.4.1.3 Kalkulation von Einzelgeschäften 328 4.2.1.4.2 Das Elastizitätskonzept . . . . . . . . . 329

VIII

Inhaltsverzeichnis 4.2.1.4.3

4.2.2

Der duale Ansatz in der Beitragsrechnung variabler Gelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.4.4 Der Optimal Values-Ansatz . . . . . . . . . . . . 4.2.1.4.5 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Kalkulation stochastischer variabler Zahlungsströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.5 Kalkulation stochastischer zustandsabhängiger Zahlungsströme auf Basis der Optionspreistheorie . . . . 4.2.1.5.1 Einführung in die Optionspreistheorie 4.2.1.5.1.1 Das allgemeine Binomialmodell 4.2.1.5.1.1.1 Der Einperiodenfall . . 4.2.1.5.1.1.1.1 Der Einperiodenfall auf Basis von Wahrscheinlichkeiten. . . . . . . . . 4.2.1.5.1.1.1.2 Der Einperiodenfall auf Basis eines Duplikationsportfolios . . . . . . . . . 4.2.1.5.1.1.1.3 Vergleich der Bewertungsansätze . . . . 4.2.1.5.1.1.2 Der Mehrperiodenfall . . 4.2.1.5.1.1.3 Anwendungsbeispiele . . . 4.2.1.5.1.1.3.1 Die Verkaufsoption. 4.2.1.5.1.1.3.2 Die "Geld oder Nichts"Option. . . . . . 4.2.1.5.1.1.3.3 Die "Vermögen oder Nichts"-Option . . 4.2.1.5.1.2 Das Cox/Ross/Rubinstein-Modell . . . . 4.2.1.5.1.3 Das Black/Scholes-Modell . . .. . ... 4.2.1.5.2 Modifizierte Anwendung der Optionspreistheorie . 4.2.1.5.2.1 Devisenoptionen . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.5.2.2 Aktienoptionen mit stetigen Dividenden . 4.2.1.5.2.3 Anleihenoptionen . . . . . . . . . . . 4.2.1.5.2.4 Caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.5.2.5 Zinsprodukte mit Kündigungsrecht . . . . 4.2.1.5.2.6 Strukturiertes Produkt: Leveraged Floater 4.2.1.5.3 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Kalkulation stochastischer zustandsabhängiger Zahlungsströme . . . . . . . . . . . . . Risikoergebnisrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.1 Kalkulation von Risikokosten als Marktwerte . 4.2.2.1.1 Kalkulation von Ist-Risikokosten . . . 4.2.2.1.2 Kalkulation von Plan-Risikokosten . . 4.2.2.1.2.1 Risikokostenkalkulation nach dem Versicherungsprinzip . . . . . . . . ... 4.2.2.1.2.1.1 Die markt-deduzierte Risikokostenmethode . . . . . . . . . 4.2.2.1.2.1.2 Risikokostenkalkulation auf Basis neuronaler Netze . . . . . . . . 4.2.2.1.2.2 Risikokostenkalkulation nach dem Prinzip der Einzelbewertung . . . . . . . . . . . .

339 342 346 348 348 354 354 357 357 361 363 366 367 371 373 375 383 390 391 393 396 399 407 412 424 426 427 427 430 432 432 437 442

Inhaltsverzeichnis

IX 4.2.2.1.2.2.1

Optionspreistheoretische Risikokostenmethode . 4.2.2.1.2.2.2 Wahrscheinlichkei ts basierte Risikokostenmethode . 4.2.2.1.2.2.3 Rating-gestützte MarktzinsZuschlagsrechnung . 4.2.2.2 Kalkulation von Risikokosten als Periodenwerte . . . . . . 4.2.2.3 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Kalkulation von Risikokosten . . . . . . . . . . . 4.2.3 Betriebsergebnisrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3.1 Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten 4.2.3.2 Kalkulation von Perioden-Kapitalwerten 4.3 Zentralergebnisrechnung . . . . . . . . . 4.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Das Vermögen am Startzeitpunkt . . . . . . . . . 4.3.2.1 Das im Zinsgeschäft gebundene Vermögen 4.3.2.2 Das sonstige Vermögen. . . . . . . . . . . 4.3.2.3 Das gesamte Vermögen und Konsequenzen aus der Vermögensstruktur . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Das Vermögen am Endzeitpunkt . . . . . . . . . . . 4.3.3.1 Das im Zinsgeschäft gebundene Vermögen 4.3.3.2 Das sonstige Vermögen. . . . . . . . . . . 4.3.3.3 Das gesamte Vermögen und Konsequenzen aus der Vermögensstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 4.3.4 Vermögensvergleich und Performencerechnung . . . . . . . . . . . . 4.4 Zusammenführung der Zentralergebnisrechnung und der Einzelgeschäftsergebnisrechnung zur Gesamtergebnisrechnung . . . . . . . . . . . . . ..

442 447 451 454 455 459 459 460 462 462 462 463 465 465 466 466 469 470 470 475

5 Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung 481 5.1 Kurzeinführung in die Planungsverfahren der integrierten Zielplanung 481 5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 5.2.1 Entscheidungsbaum eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute zur benutzerabhängigen Auswahl genereller Modelltableaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 5.2.2 Basis-jEingangs-j Ausgangs-jNebenbedingungsgrößen sowie Zielwerte der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 5.2.2.1 Arten von Modelltableaus der Zinsergebnisrechnung . . . . 492 5.2.2.1.1 Modelltableaus zur Kalkulation deterministischer Zahlungsströme auf Basis der Barwertmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 5.2.2.1.1.1 Modelltableau zur Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten . . . . . 492 5.2.2.1.1.2 Modelltableaus zur Kalkulation von Zinsmargen. . . . . . . . . . . . . . . . 493 5.2.2.1.1.3 Modelltableau zur Kalkulation von Perioden-Kapitalwerten. . . . . . . 494

Inhaltsverzeichnis

X

5.2.2.1.2

Modelltableaus zur Kalkulation deterministischer Zahlungsströme auf Basis der Marktwertmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1.2.1 Modelltableaus zur Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten . . . . . . . . . 5.2.2.1.2.1.1 Sukzessiver Ansatz: jährliche Tranchen. . . . . . . . . . . . 5.2.2.1.2.1.2 Sukzessiver Ansatz: jährliche und unterjährige Tranchen . . . . . . 5.2.2.1.2.1.3 Simultaner Ansatz. . . . . . . . 5.2.2.1.2.2 Modelltableaus zur Kalkulation von Zinsmargen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1.2.2.1 Modelltableaus der dynamischen internen Zinsfußmethoden . . . . 5.2.2.1.2.2.1.1 Der Effektivzins nach ISMA. 5.2.2.1.2.2.1.2 Der Effektivzins nach PAngV85. 5.2.2.1.2.2.1.3 Der Effektivzins nach Braess . 5.2.2.1.2.2.1.4 Der Effektivzins nach PAngVOO. 5.2.2.1.2.2.1.5 Der Effektivzins nach US jLeasing . 5.2.2.1.2.2.1.6 Der Effektivzins nach Moosmüller . 5.2.2.1.2.2.2 Modelltableaus der treasurykonformen Zinsmethode 5.2.2.1.2.2.3 Modelltableaus der dynamischen realen Effektivzinsmethoden . . . . 5.2.2.1.2.2.3.1 Der Effektivzins nach Mair . 5.2.2.1.2.2.3.2 Der Effektivzins nach McKinsey . . 5.2.2.1.2.2.4 Modelltableaus der statischen Effektivzinsmethode . 5.2.2.1.2.3 Modelltableaus zur Kalkulation von Perioden-Kapitalwerten. . . . . . . 5.2.2.1.2.3.1 Modelltableaus der zinsunabhängigen Verrentungsmethoden . 5.2.2.1.2.3.1.1 Die zeitorientierte Verrentungsmethode . . 5.2.2.1.2.3.1.2 Die kostenorientierte Verrentungsmethode . . 5.2.2.1.2.3.1.3 Die zahlungsorientierte Verrentungsmethode . . . . . 5.2.2.1.2.3.2 Modelltableaus der zinsabhängigen Verrentungsmethoden . . . . . . 5.2.2.1.2.3.2.1 Die effektivzinsorientierte Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz .

495 495 495 498 501 502 502 502 504 507 509 510 512 515 517 517 520 523 525 525 526 527 527 528

528

Inhaltsverzeichnis

XI 5.2.2.1.2.3.2.2

Die effektivzinsorientierte Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz . . 5.2.2.1.2.3.2.3 Die nominalzinsabhängige Verrentungsmethode nach McKinsey . . . . . . . . Die GuV-synchrone nomi5.2.2.1.2.3.2.4 nalzinsabhängige Verrentungsmethode. . . . . . . 5.2.2.1.2.3.3 Modelltableaus der treasury-konformen Verrentungsmethode. . . . 5.2.2.1.3 Modelltableaus zur Kalkulation deterministischer Zahlungsströme auf Basis der Nominalwertmethode . . . . . . . . . . . . . . Jährliche Gewinnentnahme . . . . . . . . . 5.2.2.1.3.1 Halbjährliche Gewinnentnahme . . . . . . 5.2.2.1.3.2 5.2.2.1.4 Modelltableaus zur Kalkulation stochastischer variabler Zahlungsströme auf Basis der Marktwertmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1.4.1 Modelltableaus der Methode der gleitenden Durchschnitte. . . . . . . . . . 5.2.2.1.4.1.1 Konstante Produktbestände . . . 5.2.2.1.4.1.2 Variable Produktbestände . . . 5.2.2.1.4.2 Modelltableaus des Elastizitätskonzeptes 5.2.2.1.4.3 Modelltableaus des dualen Ansatzes in der Beitragsrechnung variabler Gelder . . . . . 5.2.2.1.4.4 Modelltableaus des Optimal ValuesAnsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1.5 Modelltableaus zur Kalkulation stochastischer zustandsabhängiger Zahlungsströme auf Basis der Optionspreistheorie . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1.5.1 Modelltableaus des Binomialmodells nach Cox/Ross/Rubinstein . . 5.2.2.1.5.1.1 Kaufoption . . . . . . . . . . . 5.2.2.1.5.1.2 Verkaufsoption . . . . . . . . . 5.2.2.1.5.2 Modelltableaus des Black/Scholes-Modells 5.2.2.1.5.2.1 Kaufoption . . . . . . . . . 5.2.2.1.5.2.2 Verkaufsoption . . . . . . . . . 5.2.2.2 Arten von Modelltableaus der Risikoergebnisrechnung .. 5.2.2.2.1 Modelltableaus zur Kalkulation von IstRisikokosten . . 5.2.2.2.2 Modelltableaus zur Kalkulation von PlanRisikokosten . . Modelltableaus zur Risikokostenkalkulati5.2.2.2.2.1 on nach dem Versicherungsprinzip . . . . . 5.2.2.2.2.1.1 Die markt-deduzierte Risikokostenmethode . . . . . . . . .

534 541 544 546 548 548 551 555 555 555 557 560 563 565 567 567 567 569 571 571 573 575 575 578 578 578

XII

Inhaltsverzeichnis

5.2.2.2.2.1.2

Die Risikokostenmethode auf Basis neuronaler Netze . . . . . . . . 5.2.2.2.2.2 Modelltableaus zur Risikokostenkalkulation nach dem Prinzip der Einzelbewertung 5.2.2.2.2.2.1 Die optionspreistheoretische Risikokostenmethode . . . . . . . 5.2.2.2.2.2.2 Die wahrscheinlichkeitsbasierte Risikokostenmethode . . . . . . . 5.2.2.2.2.2.3 Die Rating-gestützte MarktzinsZuschlagsrechnung . . . . . . . 5.2.2.3 Arten von Modelltableaus der Betriebsergebnisrechnung 5.2.2.4 Arten von Modelltableaus der Zentralergebnisrechnung 5.2.2.4.1 Das im Zinsgeschäft gebundene Vermögen ... . 5.2.2.4.2 Das sonstige Vermögen. . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.5 Arten von Modelltableaus der Gesamtergebnisrechnung . 5.3 Demonstration eines Konfigurationsprozesses am Beispiel eines numerisch spezifizierten Gleichungsmodells für Finanz-jKreditinstitute . . . . . . .

582 584 584 587 590 593 594 594 597 598 599

6 Zusammenfassung und Ausblick

613

Abkürzungs- und Symbolverzeichnis

637

Abbildungsverzeichnis

639

Tabellenverzeichnis

655

Literaturverzeichnis

661

1 Einleitung 1.1 Ziel- und AufgabensteIlung der Arbeit Am

Lehrstuhl

für

Unternehmensrechnung

und

Controlling

- geleitet

von

Prof. Dr. E. Zwicker - wird seit Jahren im Bereich der computerunterstützten operativen Unternehmensplanung und -kontrolle schwerpunktmäßig geforscht. 1 Kern dieser Forschungstätigkeit ist die Konzipierung und Entwicklung eines Planungs- und Kontrollsystems, welches auf der von Prof. Dr. E. Zwicker entwickelten Theorie der integrierten Zielplanung basiert. Der Grundgedanke der Theorie der integrierten Zielplanung besteht in der Annahme, daß die gesamte Unternehmensplanung und Kontrolle durch ein planungslogisch interpretierbares Gleichungsmodell beschrieben werden kann. Die Beschreibung des Gleichungsmodells erfolgt mit Hilfe eines Modelltableausystems, welches den strukturellen Aufbau der Gleichungen systematisch und transparent darstellt. Ein Teil der Unternehmensplanung wird durch die Betriebsergebnisrechnung repräsentiert, deren Aufgabe es ist, daß (kalkulatorische) Betriebsergebnis eines Unternehmens zu berechnen. Die Theorie der integrierten Zielplanung umfaßt z. Z. die industrielle Betriebsergebnisrechnung, deren Erweiterung um die Komponenten Zinsergebnisrechnung, Risikoergebnisrechnung und finanz- jkreditwirtschaftliche Betriebsergebnisrechnung die Aufgabenstellung der vorliegenden Arbeit umfaßt. Folglich steht in dieser Arbeit die Gesamtergebnisrechnung in Finanz-jKreditinstituten mit den Kalkulationskomponenten Zins-, Risiko- und Betriebsergebnisrechnung im Mittelpunkt. Ziel der Arbeit ist die Darstellung eines Modelltableausystems, welches die in Literatur und Praxis beschriebenen Rechenverfahren der Gesamtergebnisrechnung in Finanzund Kreditinstituten als Gleichungsmodell erschöpfend abbildet. Dabei ist zu beachten, daß die in Literatur und Praxis beschriebenen Rechenverfahren nur in den seltensten Fällen sofort in ein Gleichungsmodell transformiert werden können. Gründe hierfür sind zum einen in der oftmals verbalen Beschreibung, zum anderen in der teilweise nur rudimentären mathematischen Darstellung der Rechenverfahren in Literatur und Praxis zu suchen. Folglich ist zur Abbildung eines Modelltableausystems der Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten eine vorangehende Rekonstruktion und Analyse der in Literatur und Praxis beschriebenen Rechenverfahren erforderlich. 1 V gl.

Internetseite: www.controlling.tu-berlin.dejvolljforschung.htm

Einleitung

2

1.2 Abgrenzung der Arbeit Das in dieser Arbeit beschriebene Modelltableausystem der Gesamtergebnisrechnung ermöglicht die Berechnung des kalkulatorischen Gesamtergebnisses von Finanz- und Kreditinstituten. Die Theorie der integrierten Zielplanung ist jedoch darauf ausgerichtet, eine Unternehmensgesamtrechnung, bestehend aus den Kalkulationskomponenten kalkulatorische Gesamtergebnisrechnung und pagatorische Unternehmensergebnisund Finanzrechnung, zu realisieren. Sie kann aber auch auf bestimmte Teilmodelle eines Finanz-/Kreditinstitutes angewendet werden. Im Rahmen der Strategie zur tableauorientierten Darstellung eines Unternehmensgesamtmodelles für Finanz- und Kreditinstitute bietet es sich daher an, zunächst - wie in der vorliegenden Arbeit realisiert - die kalkulatorische Gesamtergebnisrechnung als Teilmodell der Unternehmensgesamtrechnung zu beschreiben. Daran anknüpfend kann als weiteres Teilmodell der Unternehmensgesamtrechnung die pagatorische Unternehmensergebnis- und Finanzrechnung dargestellt werden. Die Darstellung der pagatorischen Unternehmensergebnis- und Finanzrechnung von Finanz- und Kreditinstituten ist einer weiteren Arbeit vorbehalten. Die Theorie der integrierten Zielplanung verlangt die parallele Darstellung von Plan-Modellen und Ist-Modellen. Ein Ist-Modell muß nicht dieselben strukturellen Gleichungen besitzen wie das korrespondierende Plan-Modell. Gemäß Zwicker kann jedes Plan-Modell durch die Realisierung der folgenden drei Forderungen in ein Ist-Modell umgestaltet werden: 2

• Streiche in dem Plan-Modell sämtliche Hypothesengleichungen. Hypothesengleichungen behaupten, daß der von ihnen in einem Plan-Modell berechnete Wert eintreten wird. Hypothesengleichungen liefern daher immer Prognosevariablen. In einem Ist-Modell werden aber die Istwerte dieser Prognosevariablen nicht berechnet sondern direkt eingegeben.

• Belege alle Planvariablen, die unmittelbar durch Messen oder Zählen bestimmt werden können, mit ihren Istwerten. • Erweitere das Plan-Modell durch ein System von Definitionsgleichungen und belege die neu hinzukommenden Variablen mit ihren Istwerten. Enthält ein Planmodell beispielsweise die Variable Personalkosten, so kann es sein, daß diese Variable nicht in den operativen Datenhanken der Personalabteilung zur Verfügung steht. Sind aber die Istwerte der Gehälter und Personalnebenkosten in den Datenbanken vorhanden, so ist in das Planmodell die Definitionsgleichung Personalkosten aufzunehmen. 2Vgl. [124, S. 199 ff.]

= Gehälter + Personalnebenkosten

1.3 Gang der Arbeit

3

In der vorliegenden Arbeit werden - ohne es explizit zu erwähnen - grundsätzlich Gleichungsmodelle der Gesamtergebnisrechnung auf der Basis von Ist-Modellen beschrieben. 3 Die Begründung dieser Vorgehensweise liegt in der stärkeren Disaggregation von Istmodellen im Gegensatz zu Planmodellen, denn oft stehen die Istwerte in den operativen Datenbanken nur auf geringeren Aggregationsniveau zur Verfügung. Eine mögliche alternative Darstellung der Gleichungsmodelle der Gesamtergebnisrechnung auf der Basis von Plan-Modellen hätte somit keine erschöpfende Darstellung aller Gleichungssysteme zur Folge gehabt.

1.3 Gang der Arbeit Im Kapitel 2 auf Seite 5 wird das Konzept der integrierten Zielplanung erläutert. Die Erläuterung beginnt mit einer Kurzeinführung in das System der integrierten Zielplanung (Kapitel 2.1 auf Seite 5). Darauf aufbauend wird im Kapitel 2.2 auf Seite 8 der Aufbau von Gleichungssystemen anhand eines von Zwicker entwickelten Modelltableausystems beschrieben. Die aus didaktischen Gründen von Lemcke vorgenommene Erweiterung des Modelltableausystems wird anschließend im Kapitel 2.3 auf Seite 10 erörtert. Im Kapitel 3 auf Seite 13 werden als Voraussetzung zum Verständnis der Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten fundamentale finanzmathematische Kenntnisse und Zusammenhänge vermittelt. Nach einführender Erläuterung der maßgeblichen Bereiche der Finanzmathematik (Kapitel 3.1 auf Seite 13) werden die grundlegenden Begriffe und Gleichungsmodelle der modernen Finanzmathematik in den Kapiteln 3.2 auf Seite 14 bis 3.5 auf Seite 73 beschrieben. Die Einführung in die moderne Finanzmathematik endet mit einem Exkurs über nominelle Tilgungspläne und Zahlungsströme von Geldanlagen und Krediten (Kapitel 3.6 auf Seite 74). Das zentrale Kapitel 4 auf Seite 89 stellt die in Literatur und Praxis beschriebenen Gleichungsmodelle der Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten als Modelltableausystem der integrierten Zielplanung erschöpfend dar. Nach einführender Erläuterung der Gesamtergebnisrechnung (Kapitel 4.1 auf Seite 89) wird im Kapitel 4.2 auf Seite 91 zunächst die Einzelgeschäftsergebnisrechnung als erste Kalkulationskomponente der Gesamtergebnisrechnung analysiert und tableauorientiert dargestellt. Die Analyse und Darstellung beginnt in Kapitel 4.2.1 auf Seite 93 mit der ersten Kalkulationskomponente der Einzelgeschäftsergebnisrechnung, der Zinsergebnisrechnung.

31m Kapitel 4.2.2 auf Seite 426 wird ein Teilmodell der Gesamtergebnisrechnung, die Risikoergebnisrechnung, sowohl als Plan-Modell als auch als Ist-Modell auf Grund völlig unterschiedlichem Strukturaufbau beschrieben.

4

Einleitung

Die Zinsergebnisrechnung wird sowohl für deterministische Zahlungsströme (Kapitel 4.2.1.1 auf Seite 96, Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111, Kapitel 4.2.1.3 auf Seite 302) als auch für stochastische Zahlungsströme (Kapitel 4.2.1.4 auf Seite 311, Kapitel 4.2.1.5 auf Seite 348) unter Beachtung verschiedenster Methoden der modernen Finanzmathematik - beispielsweise der Marktzinsmethode oder der Optionspreistheorie - diskutiert. Die zweite Kalkulationskomponente der Einzelgeschäftsergebnisrechnung, die Risikoergebnisrechnung, ist Gegenstand des Kapitels 4.2.2 auf Seite 426. Im Rahmen der Darstellung der Risikoergebnisrechnung werden sowohl Ist-Risikomodelle (Kapitel 4.2.2.1.1 auf Seite 427) als auch Plan-Risikomodelle (Kapitel 4.2.2.1.2 auf Seite 430) auf Grund völlig unterschiedlichen Strukturaufbaus beschrieben. Die Beschreibung der Betriebsergebnisrechnung als dritte Kalkulationskomponente der Einzelgeschäftsergebnisrechnung (Kapitel 4.2.3 auf Seite 459) beendet das Kapitel 4.2 auf Seite 91 der Einzelgeschäftsergebnisrechnung. Die Zentralergebnisrechnung als zweite Kalkulationskomponente der Gesamtergebnisrechnung ist Gegenstand des Kapitels 4.3 auf Seite 462. Das Kapitel 4.4 auf Seite 475 zeigt die Zusammenführung der Zentralergebnisrechnung und der Einzelgeschäftsergebnisrechnung zur Gesamtergebnisrechnung. Das im Kapitel 4 auf Seite 89 dargestellte Modelltableausystem der Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten wird im Kapitel 5 auf Seite 481 im Lichte der integrierten Zielplanung betrachtet. Die Arbeit schließt im Kapitel 6 auf Seite 613 mit einer Zusammenfassung und einem Ausblick der gewonnenen Forschungsergebnisse.

2 Integrierte Zielplanung 2.1 Kurzeinführung in das System der integrierten Zielplanung Die gesamte formalisierte Planung und Kontrolle eines Unternehmens läßt sich durch Abb. 2.1 beschreiben. 1 I nteg rierte Zielpl anu ng

1 ~

J ahrespla nun 9

~ End gültige r J ahrespla n

~ Mo natliche od er v ierteljä hrlich e Plan aufspa Itu ng, Plan ko ntro Ile un d Vorscha u

~ Plankontrolle auf J ahresba sis

Strate gisch e Plan ung un d Kontrolle

i'

"'

6

2 I

3

,

"-

Rollieren de Fei npla nun 9 un d -kontrolle aufgru nd der Vorschau (U nte rmon atsplan un g)

5

Op erative Planung und Kontrolle

4

~~ Jahres-Mo natseb en e

Unterm onatse ben e

Abb. 2.1: Die integrierte Zielplanung im Rahmen der formalisierten Planung und Kontrolle eines Unternehmens Gemäß Zwicker deckt die integrierte Zielplanung einen Teilbereich dieser Planungsund Kontrollaktivitäten ab. 2 Zwicker beschreibt die integrierte Zielplanung als ein Verfahren zur Planung und Kontrolle von Unternehmen durch Zielverpfiichtung. 3 Die Planung und Kontrolle wird anhand von Gleichungsmodellen vorgenommen. GleichungslAbb. 2.1 entnommen aus: [124, S. 1] 2Ygl. [124, S. 1] 3ygl. [124, S. 2]

Integrierte Zielplanung

6

modelle bestehen aus einer Vielzahl von Definitions- und Hypothesengleichungen4, die ausschließlich quantitative Größen berechnen. Als Beispiel führt Zwicker das einfache Kosten- jLeistungsmodell5

Gewinn -

Umsatz - Kosten

(2.1)

Umsatz

Preis * Absatzmenge

(2.2)

Kosten -

Fixe Kosten

+ (Variable Kosten * Absatzmenge)

(2.3)

an.

In praxisorientierten Fällen einer integrierten Zielplanung gibt es Modelle mit mehreren hunderttausend Gleichungen. Ein solches Gleichungsmodell besitzt bestimmte Eingabeoder Eingangsgrößen, die Zwicker als Basisgräßen bezeichnet. 6 Beispielsweise ist in der Gleichung 2.3 die Absatzmenge eine Basisgröße, da sie nicht durch Gleichungen erklärt wird. In praxisorientierten Fällen können Modelle mit einigen zehntausend Basisgrößen auftreten. Basisgrößen werden von Zwicker in zwei Klassen unterteilt, die wiederum in zwei Unterklassen zerfallen: 7 • Veränderliche Basisgrößen - Basisziele - Entscheidungsvariablen • Unveränderliche Basisgrößen - unkontrollierbare Basisgrößen - Entscheidungsparameter Die Unterscheidung in veränderliche und unveränderliche Basisgrößen stellt darauf ab, ob sie während oder vor des operativen Planungsprozesses verändert werden dürfen. Basisgrößen werden im Rahmen der integrierten Zielplanung folgendermaßen planungslogisch interpretiert: 8 9

4Z um Unterschied zwischen beiden Typen von Gleichungen: Vgl. [124, S. 199 ff.] 5Vgl. [124, S. 2] 6Vgl. [124, S. 7] 7Vgl. [124, S. 7] 8Vgl. auch Abb. 2.2 auf der nächsten Seite. 9 Abb. 2.2 auf der nächsten Seite entnommen aus: [124, S. 7]

2.1 Kurzeinführung in das System der integrierten Zielplanung

7

Betrie bsergebnis opziel)

er

Verantwortu ngs- [ bereiche Erfü lIu ngsv erantwortun 9

Festlegun gs- un d Rea lisatio nsv erantwortun 9

v erände rliche Ba sisg rößen

Festlegun gs- un d Rea lisatio nsv erantwortun 9

Schätzv erantwortun 9

unv erän derliche Basisgröße n

Abb. 2.2: Einteilung der Basisgrößen "Basisziele sind die Größen, für deren Erfüllung ein bestimmter Bereich

verantwortlich gemacht wird. Es handelt sich beispielsweise um bestimmte Verbrauchsmengen, Kostensätze oder auch Absatzmengen. Für die Einhaltung eines Basisziels besitzt ein Bereich eine Erfüllungsverantwortung. Basisziele sind durch die Bereiche zwar beeinflußbar, aber nicht voll kontrollierbar. Indem die Bereiche aber die Verpflichtung eingehen, bestimmte Basiszielwerte zu realisieren, hofft das Topmanagement, daß diese Verpflichtung auch eingehalten wird. Entscheidungsvariablen sind voll kontrollierbare Größen, die während

des Planungsverfahrens geändert werden. Ihre Realisierung bereitet keinerlei Schwierigkeiten. Als Beispiel sei der Druck oder die Temperatur eines Fertigungsprozesses angeführt. Für die Festlegung und die Realisation der Werte ist stets ein bestimmter Bereich zu benennen. Es können dabei auch unterschiedliche Bereiche für die Festlegungs- und Realisationsverantwortung zuständig sein. Entscheidungsparameter beschreiben ebenfalls Größen, die von dem Unter-

nehmen voll kontrollierbar sind. Sie werden allerdings bereits vor Beginn des noch zu beschreibenden Planungsverfahrens endgültig festgelegt. Ein Beispiel bilden die Absatzpreise der zu vertreibenden Artikel. Auch die im Rahmen von Entscheidungsvorschriften zur Bestimmung der Produktionsmengen spezifizierten Soll-Lagerbestände sind Entscheidungsparameter. Für die Festlegung der Entscheidungsparameter und ihre Realisierung soll immer ein Bereich verantwortlich sein.

Integrierte Zielplanung

8

Unkontrollierbare Basisgräßen zeichnen sich dadurch aus, daß sie weder von

den Bereichen noch von der zentralen Planung beeinflußt werden können. Als Beispiel seien die Produktionskoeffizienten einer Fertigung genannt, die aus technischen Gründen nicht veränderbar sind (z. B. zwei Felgen zur Fertigung eines Fahrrades). Auch der Wechselkurs ist eine unkontrollierbare Basisgröße. Für die Schätzung oder Bestimmung dieser Größen soll immer ein Bereich verantwortlich sein. Er trägt die Schätz- (oder Bestimmungs-) verantwortung." 10 Neben der beschriebenen planungslogischen Interpretation der Basisgrößen verlangt die integrierte Zielplanung, daß die berechneten Größen eines Modells, die in keine weiteren Gleichungen eingehen, als Topziele deklariert werden. ll Ein Topziel beschreibt die Nutzenvorstellung des Topmanagements. 12 Beinhaltet das Gleichungsmodell der integrierten Zielplanung Entscheidungsvariablen, so sind diese mit Hilfe von Verfahren der klassischen deterministischen Entscheidungstheorie - Zielwertanalysen und linearen Optimierungen - zu bestimmen. 13 Die Zielwerte solch einer Optimierungsplanung werden in dieser Arbeit entsprechend mit dem Buchstaben "Z" gekennzeichnet.

2.2 Aufbau von Gleichungsmodellen nach Zwicker Der Aufbau von Gleichungsmodellen wird von Zwicker anhand eines Tableausystems beschrieben. 14 Tableausysteme enthalten zwei Arten von Modelltableaus: 15 • strukturelle Modelltableaus • numerisch spezifizierte Modelltableaus Die strukturellen Modelltableaus enthalten Informationen über den strukturellen Aufbau von Gleichungen eines Modells. Wenn durch ein Modelltableau mehrere identische strukturelle Gleichungen dargestellt werden, dann bietet es sich an, diese als Verknüpfung von Kopfzeilen darzustellen. Abb. 2.3 auf der nächsten Seite zeigt als Beispiel das strukturelle Modelltableau der Gleichung 2.2 auf Seite 6 für zwei Produkte A und B. 16

lOVgl. [124, 7

f.J

11 Beispielsweise

ist in der Gleichung 2.1 auf Seite 6 der Gewinn ein Topziel, da er nicht in weitere Gleichungen eingeht. 12Vgl. [124, S. 8 ff.J 13Vgl. [124, S. 8 ff.J 14Vgl. [124, S. 65 ff.J 15Vgl. [124, S. 65 f.J 16 Abb. 2.3 auf der nächsten Seite entnommen aus: [124, S. 66J

2.2 Aufbau von Gleichungsmodellen nach Zwicker 1 = 2 "3

2

Produkt

Umsatz

Preis

A

UA U,

PA P,

B

3

9

Legende

Absatzmenge AMA AM,

UA. U,

~

Umsatz Preis Absatzmenge

Abb. 2.3: Beispiel eines strukturellen Modelltableaus zur Umsatzermittlung

Werden die Basisgrößen der strukturellen Modelltableaus numerisch spezifiziert, so ist es möglich, die Topziele zu berechnen. Die sich ergebenden Tableaus sind die numerisch spezifizierten Modelltableaus. Abb. 2.4 zeigt den Fall, daß die Basisgrößen Preis und Absatzmenge und das Topziel Umsatz durch die numerischen Werte einer Rechenalternative ersetzt sind. 17

=

1 2 "3

2

Produkt

Umsatz

Preis

A B

2.000 1.000

20

5

3

Absatzmen!:je 100 200

Abb. 2.4: Beispiel eines numerisch spezifizierten Modelltableaus

Die Modelltableaus eines Gleichungsmodells enthalten bestimmte Eingangsgrößen und Ausgangsgrößen. "Eingangsgrößen sind (endogene) Variablen ( ... ), die in anderen Modelltableaus spezifiziert werden und in dem betrachteten Tableau als erklärende Variablen benötigt werden. "18 19 "Ausgangsgrößen sind endogene Variablen, die in dem betrachteten Tableau spezifiziert werden und in anderen Modelltableaus als erklärende Variablen der dort spezifizierten Gleichungen benötigt werden. "20 21 Im Rahmen der integierten Zielplanung werden jedem Verantwortungsbereich entsprechende Modelltableaus zugeordnet, die bestimmte Ein- und Ausgangsgrößen besitzen. Jedes einzelne Modelltableau enthält neben den Eingangs- und Ausgangsgrößen auch die einzelnen Basisgrößen. Abb. 2.5 auf der nächsten Seite zeigt die beschriebene Eingangs-Ausgangsgrößeninterpretation eines Modelltableaus. 22 17 Abb. 2.4 entnommen aus: [124, S. 66] 181n der Gleichung 2.1 auf Seite 6 wird beispielsweise die Eingangsgröße Kosten, die in Gleichung 2.3 auf Seite 6 spezifiziert wird, als eine erklärende Variable des Topziels Gewinn benötigt. 19Vgl. [124, S. 71] 20ln der Gleichung 2.2 auf Seite 6 wird beispielsweise die Ausgangsgröße Umsatz spezifiziert. Sie wird als eine erklärende Variable des Topziels Gewinn in Gleichung 2.1 auf Seite 6 benötigt. 21 V gl. [124, S. 71] 22 Abb. 2.5 auf der nächsten Seite entnommen aus: [124, S. 71]

Integrierte Zielplanung

10

Ausgangsgrößen

Modelltableau

Eingangs~-größen

Basisziele

Abb. 2.5: Eingangs-Ausgangsgrößeninterpretation eines Modelltableaus

2.3 Modifizierter Aufbau von Gleichungsmodellen nach Lemcke Aus didaktischen Gründen erweitert Lemcke zur Darstellung der Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten die numerisch spezifizierten Modelltableaus von Zwicker um folgende Informationen: • Einheiten • Status [S] der Basisgrößen B Basisziele

V Entscheidungsvariablen U Unkontrollierbare Basisgrößen

P Entscheidungsparameter • Status der endogenen Variablen A Ausgangsgrößen

E Eingangsgrößen I Interne Größen

N Nebenbedingungsgrößen Z Zielwerte • Mathematische Funktionen in den Kopfzeilen der Modelltableaus ABRUNDEN(Zahl;Nachkommastellen)

rundet die Zahl auf die Anzahl der Nachkommastellen ab Beispiel: ABRUNDEN(100,5;0) = 100 ABS(Zahl)

liefert den Absolutwert einer Zahl Beispiel: ABS(-20) = 20

2.3 Modifizierter Aufbau von Gleichungsmodellen nach Lemcke

11

AUFRUNDEN(Zahl;Nachkommastellen)

rundet die Zahl auf die Anzahl der Nachkommastellen auf Beispiel: AUFRUNDEN(100,5;0) = 101 EXP(Exponent)

liefert den Potenzwert bei gegebenen Exponenten und der transzendenten Basis e = 2,718281828 ... (Eulersche Zahl) Beispiel: EXP( 4,60517) ~ 100 FAKULTÄT(Zahl)

liefert die Fakultät einer Zahl

Beispiel: FAKULTÄT(4) = 1 * 2 * 3

* 4 = 24

LN (Potenzwert )

liefert den Exponenten bei gegebenem Potenzwert und der transzendenten Basis e = 2,718281828 ... (Eulersche Zahl) Beispiel: LN(100) = 4,60517 ... WURZEL(Zahl)

liefert die Quadratwurzel einer Zahl Beispiel: WURZEL(16) = 4

• Statistische Funktionen in den Kopfzeilen der Modelltableaus MAX(Zahll;ZahI2)

liefert den größten Wert zweier Zahlen Beispiel: MAX(50;100) = 100 MIN(Zahll;ZahI2)

liefert den kleinsten Wert zweier Zahlen Beispiel: MIN(50;100) = 50

• Angabe der Modelltableaus, in denen die Eingangsgrößen des betrachteten Tableaus spezifiziert werden • Angabe der Modelltableaus, in denen die Ausgangsgrößen des betrachteten Tableaus verwendet werden • Hellgrauer Hintergrund zur Kennzeichnung der Basisgrößen • Dunkelgrauer Hintergrund zur Kennzeichnung der Kopfzeilen und nicht belegten Zellen • Rechtsbündige Ausrichtung der Zahlen mit bis zu sieben Nachkommastellen

Integrierte Zielplanung

12

Abb. 2.6 zeigt als Beispiel den Aufbau von modifizierten numerisch spezifizierten Modelltableaus auf Basis der Gleichungen 2.1 auf Seite 6, 2.2 auf Seite 6 und 2.3 auf Seite 6. Umsatztableau

Gewinntableau

1 Umsatz [Euro)

S

200.000,00 E Umsatztableau

2 Kosten [Euro)

S

150.000,00 E

3 = 1 ·2 Gewinn [Euro)

1

200,00 P

50 .000,00 I

4=1+(2"'3)

3

2

Fixe Kosten S Variable Kosten S Absatzmenge S [Euro) 100.000,00 U

[EurolStück) 50,00 B

3 = 1 "'2 Umsatz [Euro)

[stück) 1.000 B

Kosten

S

[Euro) 150.000,00 A GewInntableau

Abb. 2.6: Modifizierte numerisch spezifizierte Modelltableaus

S

1.000 B 200.000 ,00 A GewInntableau

Kostentableau

Kostentableau

1

2

S Absatzmenge S Preis [stück) [EurolStück)

S

3 Finanzmathematische Grundlagen 3.1 Einführung in die Finanzmathematik "Die Finanzmathematik ist ein Teilgebiet der angewandten Mathematik. Sie behandelt ihrem Wortlaut nach mathematische Verfahren zur rechnerischen Lösung "finanzieller" Probleme."! Bei diesen finanziellen Problemen handelt es sich im wesentlichen um Aufgaben aus dem Werlbereich von Finanz- und Kreditinstituten. Der Wertbereich unterteilt sich in folgende drei Bereiche der Finanzmathematik: • Zinsbereich • Risikobereich • Liquiditätsbereich Der Zins bereich umfaßt finanzmathematische Verfahren zur rechnerischen Bewertung von Geld-/Kapitalaufnahmen und Geld-/Kapitalanlagen. Die Bewertung von Geld und Kapital ist zwingend notwendig, um die Vorteilhaftigkeit von Finanzierungen und Investitionen erkennen zu können. Eine entscheidende Kennzahl im Rahmen dieser Bewertung ist der Zins 2 als Preis für geliehenes oder angelegtes Geld oder Kapital. Der Risikobereich umfaßt finanzmathematische Verfahren zur rechnerischen Bewertung von Finanzierungs- und Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit. Unsicherheit - verstanden als die Möglichkeit der Abweichung von geplanten Größen - ist bei Geld-/Kapitalaufnahmen und bei Geld-/Kapitalanlagen auf Grund des zeitraumbezogenen Zukunftscharakters von Finanzierungs- und Investitionsentscheidungen regelmäßig anzutreffen. Der Liquiditätsbereich beschreibt als Nebenbedingung des Zins- und Risikobereichs die Möglichkeit, bestehende Geld-/Kapitalaufnahmen bzw. Geld-/Kapitalanlagen jederzeit zu einem "fairen" Preis verkaufen zu können.

IVgl. [62, S. 11] 21m Sprachgebrauch wird der Zins bei Geld-jKapitalanlagen Geld- jKapitalaufnahmen als Effektivzins bezeichnet.

als

Rendite

und

bei

14

Finanzmathematische Grundlagen

In den folgenden Kapiteln werden die mathematischen und statistischen Grundmodelle der Finanzmathematik erläutert. Die Kenntnis dieser Grundmodelle ist zum Verständnis der im Kapitel 4 auf Seite 89 dargestellten Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten unerläßlich. Das Kapitel 3 der Finanzmathematik endet mit einem Exkurs über nominelle Tilgungspläne und Zahlungsströme von Geldanlagen und Krediten.

3.2 Finanzmathematische Grundmodelle im Zinsbereich 3.2.1 Varianten der Renditeberechnung Der Zins als Bewertungsmaßstab für geliehenes oder angelegtes Geld oder Kapital ist nicht eindeutig definiert. Folglich sind bei der Zinsberechnung - im folgenden als Renditeberechnung bezeichnet - alternative Berechnungsverfahren möglich. 3 4 5 Voneinander abzugrenzen sind gemäß Abb. 3.1 die diskrete und die stetige Renditeberechnung. Renditeberechnung

IDiskrete Renditeberechnung I

IStetige Renditeberechnung I

Abb. 3.1: Varianten der Renditeberechnung

3.2.1.1 Die diskrete Rendite Die diskrete Rendite einer Anlage ergibt sich gemäß Abb. 3.2 im allgemeinen als Gewinn, bezogen auf das Anfangskapital. 1

7.

3 = 1 . 7.

4

Anfangs. End· S Gewinn S Hundert S S kapital kapital (Euro) (Euro) (Euro) 100 P 120.000,00 U 100.000,00 P 20.000,00 I

5 = 3 12" 4 Diskrete Rendite

S

(%)

20,00 I

Abb. 3.2: Diskrete Rendite Bei einem unterstellten Anfangskapital von 100.000,00 Euro und einem erwarteten Endkapital von 120.000,00 Euro beträgt die diskrete Rendite 20,00%.6 Wird die diskrete Renditeberechnung auf eine jährliche Haltedauer7 bezogen, so sind gemäß Abb. 3.3 auf der nächsten Seite arithmetische und geometrische Renditen zu unterscheiden. 3Vgl. [62, S. 33 ff.] 4Vgl. [69, S. 44 ff.] 5Vgl. [110, S. 40 ff.] 6Vgl. Abb. 3.2 Spalte 5. 7Synonymbegriffe: Laufzeit, Fristigkeit.

15

3.2 Finanzmathematische Grundmodelle im Zinsbereich Diskrete Renditeberechnung

IArithmetische Renditeberechnung I

IGeometrische Renditeberechnung I

Abb. 3.3: Varianten der diskreten Renditeberechnung 3.2.1.1.1 Die arithmetische Rendite Bei der arithmetischen Rendite erfolgt die Kapitalisierung des Gewinns erst am Ende der Haltedauer . Folglich ergibt sich die arithmetische Rendite als lineare Verzinsung des Anfangskapitals. Abb. 3.4 zeigt, daß die diskrete Rendite einfach durch die Haltedauer dividiert wird. Aus diesem Grund wird die arithmetische Rendite auch als einfache Verzinsung ohne Wiederanlageprämisse, d. h. ohne Zinseszinseffekt, bezeichnet. 1

2

Endkapital

Anfangskapital

S

4

5 = 3 / 2 *4

6

S Hundert S

Diskrete Rendite

Halte S S dauer

3 = 1 -2 S Gewinn

(Euro) (Euro) (Euro) 120.000,00 U 100.000,00 P 20.000,00 I

100 P

(%)

20,00 I

1=5/6 Arith e mtisch e S Rendite p.a. (%)

(Jahre) 4,00 P

5,00 I

Abb. 3.4: Arithmetische Rendite Die Division der diskreten Rendite von 20,00% durch die Haltedauer von 4 Jahren ergibt eine arithmetische Rendite von 5,00% p.a. 8 3.2.1.1.2 Die geometrische Rendite Bei der geometrischen Rendite erfolgt die Kapitalisierung des Gewinns am Ende eines jeden unterstellten Kapitalisierungszeitpunktes. Somit ergibt sich die geometrische Rendite als exponentielle Verzinsung des Anfangskapitals gemäß Abb. 3.5. Aus diesem Grund wird die geometrische Rendite auch als exponentielle Verzinsung mit Wiederanlageprämisse, d. h. mit Zinseszinseffekt, bezeichnet. 1 Endkapital

3 - 1/ 2

2 AnfangsS kapital

S

(Euro) (Euro) 120.000,00 U 100.000,00 P

~

5

6= 4"5

""1

8= 7/6

--g

Kapitali ZinsS Hun- S S HalteS sierungs- SEins S Exponent S Basis dert perioden dauer zeitpunkte (stckl (stck/Jahr) (Jalve) 0,25 I 100 P 1 P 4,00 I 1,00 U 1,20 I 4,00 P

10 = ß A 8 - 7) " 9 Geometrische Rendite p.a.

S

(%)

4,66 I

Abb. 3.5: Geometrische Rendite Die Berechnung der geometrischen Rendite beruht auf dem mathematischen Verfahren der Potenzrechnung. Die Division des erwarteten Endkapitals von 120.000,00 Euro durch das angelegte Anfangskapital von 100.000,00 Euro ergibt die Basis von 1,20 der 8Vgl. Abb. 3.4 Spalte 7.

Finanzmathematische Grundlagen

16

Potenz. 9 Der zugehörige Exponent von 0,25 ist der reziproke Wert der Anzahl der Kapitalisierungszeitpunkte von vier Zeitpunkten. lO Durch Potenzieren errechnet sich anschließend der Potenzwert von 1,0466. Dieser Wert entspricht einer geometrischen Rendite von 4,66% p.a. ll Der Unterschied zwischen der arithmetischen Rendite und der geometrischen Rendite zeigt das Berechnungsergebnis. In Abb. 3.4 auf der vorherigen Seite wird eine arithmetische Rendite von 5,00% p.a. errechnetP Dem gegenüber beträgt die geometrische Rendite in Abb. 3.5 auf der vorherigen Seite lediglich 4,66% p.a. 13 Die Erklärung dieses Zinsunterschiedes in Höhe von 0,34% p.a. ist in dem Zinseszinseffekt der geometrischen Rendite begründet. Beide Berechnungsvarianten basieren auf einem identischen Anfangskapital von 100.000,00 Euro, einem identischen Endkapital von 120.000,00 Euro und einer identischen Haltedauer von vier J ahren. 14 Folglich zeigt der Zinsunterschied in Höhe von 0,34% p.a. die sich aus dem Zinseszinseffekt (vier Kapitalisierungszeitpunkte 15 ) ergebende Opportunitätskosten-Differenz zwischen der arithmetischen Renditeberechnung und der geometrischen Renditeberechnung. 3.2.1.1.2.1 Annualisierung von geometrischen Renditen

Die Annualisierung von

unterjährigen geometrischen Renditen zeigt Abb. 3.6. 1

3"""

2

Geometrische S Hundert SEins S Rendite unterjährig (%)

2,00 U

100 P

1 P

4=1/2+3 Basis

6=(4A5-3)*2

5

Geometrische KapitaliRendite S sierungs- S p.a. zeitpunkte (%) (stck/Jahr]

1,02 I

2,00 U

S

4,04 I

Abb. 3.6: Annualisierung geometrische Rendite Die Annualisierung der geometrischen Rendite berücksichtigt die exponentielle Veränderung der unterjährigen geometrischen Rendite. Bei einer unterjährigen geometrischen Rendite von 2,00% und zwei Kapitalisierungszeitpunkten innerhalb eines Jahres beträgt die geometrische Rendite 4,04% p.a. 16

9Vgl. Abb. 3.5 auf der vorherigen Seite Spalte 3. 10Vgl. Abb. 3.5 auf der vorherigen Seite Spalte 8. 11 V gl. Abb. 3.5 auf der vorherigen Seite Spalte 10. 12Vgl. Abb. 3.4 auf der vorherigen Seite Spalte 7. 13Vgl. Abb. 3.5 auf der vorherigen Seite Spalte 10. 14Vgl. Abb. 3.4 auf der vorherigen Seite Spalten 1, 2 und 6 im Vergleich zu Abb. 3.5 auf der vorherigen Seite Spalten 1, 2, 4. 15Vgl. Abb. 3.5 auf der vorherigen Seite Spalte 6. 16Vgl. Abb. 3.6 Spalte 6.

17

3.2 Finanzmathematische Grundmodelle im Zinsbereich

3.2.1.1.2.2 Periodisierung von geometrischen Renditen Die unterjährige Periodisierung von geometrischen Renditen p.a. zeigt Abb. 3.7. 7 = (4 A 6 - 3) "' 2 6=3/5 5 T 4 = 1 / 2+3 1 2 Geometrische KapitaliGeometrische S Rendite Basis S sierungs- S Exponent S S Hundert SEins S Rendite unterjährig zeitpunkte p.a. [%] (StcklJahr] ['!i] 100 P

4.04 U

1 P

1.04 I

2,00 U

0,50 I

2,00 I

Abb. 3.7: Periodisierung geometrische Rendite Die unterjährige Periodisierung der geometrischen Rendite berücksichtigt die exponentielle Veränderung der geometrischen Rendite p.a. Bei einer geometrischen Rendite von 4,04% p.a. und zwei Kapitalisierungszeitpunkten innerhalb eines Jahres beträgt die unterjährliche geometrische Rendite 2,00%.17

3.2.1.2 Die stetige Rendite Die stetige Rendite einer Anlage ergibt sich gemäß Abb. 3.8 im allgemeinen als natürlicher Logarithmus vom Quotientenwert des Endkapitals, bezogen auf das Anfangskapital. 1

3= 1/ 2

2

4

EndAnfangs- S PotenzS Hundert S S kapital wert kapital (Euro) (Euro) 100 P 1,20 I 120.000,00 U 100.000,00 P

5 = LN (3) '" 4 Stetige S Rendite (%) 18,23 I

Abb. 3.8: Stetige Rendite Bei einem unterstellten Anfangskapital von 100.000,00 Euro und einem erwarteten Endkapital von 120.000,00 Euro beträgt die stetige Rendite 18,23%.18 Bezüglich des Begriffspaares der diskreten Rendite 19 und der stetigen Rendite unterstellt die diskrete Rendite die zeitpunkt bezogene Veränderung des Anfangskapitals, d. h. am Ende der Haltedauer erfolgt einmalig die Kapitalisierung. Somit sind gemäß Abb. 3.9 lediglich der Anlagezeitpunkt des Anfangskapitals in "t = 0" und der Rückgabezeitpunkt des Endkapitals in "t = 0

""""2

1 Anfangskapital (Eurol

+ Haltedauer"

6= 1 * (2 +3 * 4 / 5) 4 5 Diskrete Endkapital S S Hundert S Rendite p.lI. (Euro] [Jahre] (%] 100 P 120.000,00 I 4 ,00 P 5,00 U 3

SEins S Haltedauer

100.000,00 P

1 P

von Bedeutung.

S

Abb. 3.9: Endkapitalberechnung auf Basis der diskreten Rendite ohne Zinseszinseffekt 17Ygl. Abb. 3.7 Spalte 7. 18ygl. Abb. 3.8 Spalte 5. 19Y9l. Kapitel 3.2.1.1 auf Seite 14.

18

Finanzmathematische Grundlagen

Eine vierjährige Kapitalanlage von 100.000,00 Euro ergibt bei einer unterstellten diskreten Rendite von 5,00% p.a. ein Endkapital von 120.000,00 Euro (ohne Zinseszinseffekt).2o Wird

die

zeitpunkt bezogene

Veränderung

des

Anfangskapitals

durch

eine

zeitraumbezogene Veränderung während der Haltedauer ersetzt, so erfolgt gemäß Abb. 3.10 die Zinskapitalisierung an jedem Kapitalisierungszeitpunkt. T

1 Anfangs. kapital

3 Diskrete SEins S Rendite S p.a.

IEurol

100.000,00 p

1 P

5

4 Zins· perioden

1%1

6=2+3/4/5

~

Basis

S Halte· S dauer

S Hundert S

(Jahre)

IstcklJahrl

5,00 U 10 000 000 ,00 P

1,00 I

100 P

8=4*7 Kapitali. sierungs. zeitpunkte Istckl

9=1*6"8

S

Endkapital

S

IEurol

4,00 P 40.000.000,00 I

122. 140,2754 I

Abb. 3.10: Endkapitalberechnung auf Basis der diskreten Rendite mit Zinseszinseffekt Eine vierjährige Kapitalanlage von 100.000,00 Euro ergibt bei einer unterstellten diskreten Rendite von 5,00% p.a. sowie 40 Mio. Kapitalisierungszeitpunkten ein Endkapital von 122.140,2754 Euro (mit Zinseszinseffekt).21 Die stetige Rendite leitet sich aus der diskreten Rendite mit Zinseszinseffekt ab. Der Mathematiker Euler hat nachgewiesen, daß sich das Endkapital bei unendlich häufig eintretenden Kapitalisierungszeitpunkten einem Grenzwert nähert. Abb. 3.11 zeigt die Grenzwert-Endkapitalberechnung. 1

2

3

4

5=2"'3/4

Anfangs. HalteDiskrete S Hundert S Exponent S S S Rendite p.a. dauer kapital [%) [Euro) [Jahre) 100 P 0,20 I 5,00 U 100.000,00 p 4,00 P

6 = 1"' EXP (5) Endkapital

S

[Euro) 122.140,2758 I

Abb. 3.11: Grenzwert-Endkapitalberechnung auf Basis der diskreten Rendite mit Zinseszinseffekt Eine vierjährige Kapitalanlage von 100.000,00 Euro nähert sich bei einer unterstellten diskreten Rendite von 5,00% p.a. sowie unendlich häufigen Kapitalisierungszeitpunkten einem Grenzwert-Endkapital von 122.140,2758 Euro (mit Zinseszinseffekt).22 Letztlich ermöglicht die Anwendung der Exponentialfunktion diese Grenzwertbetrachtung. Die Differenz von 0,0004 Euro zwischen dem in Abb. 3.10 berechneten Endkapital von 122.140,2754 Euro (40 Mio. Kapitalisierungszeitpunkte) und dem in Abb. 3.11 berechneten Grenzwert-Endkapital von 122.140,275.8. Euro (unendlich häufige Kapitalisierungszeitpunkte ) zeigt, daß die Annahme von 40 Mio. Kapitalisierungszeitpunkten zu einer hinreichenden Approximation des Grenzwert-Endkapitals führt. 23 20vgl. 21 Vgl. 22Vgl. 23Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

3.9 auf der vorherigen Seite Spalte 6. 3.10 Spalte 9. 3.11 Spalte 6. 3.10 Spalte 9 im Vergleich zu Abb. 3.11 Spalte 6.

19

3.2 Finanzmathematische Grundmodelle im Zinsbereich

Es bleibt anzumerken, daß die moderne Finanzmathematik fast ausschließlich das Rechnen mit stetigen Renditen bevorzugt, da folgende mathematische Vorzüge bestehen: • Anwendbarkeit der Logarithmus-Regeln24 • Möglichkeit des Renditevergleichs von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern 25 • Anwendbarkeit des Wurzelgesetzes26 3.2.1.3 Umrechnung von Renditen Die in Abb. 3.11 auf der vorherigen Seite nachgewiesene Ableitung der stetigen Rendite aus der diskreten Rendite mit Zinseszinseffekt ermöglicht die gegenseitige Umrechnung beider Renditevarianten. 3.2.1.3.1 Umrechnung diskrete Rendite in stetige Rendite Abb. 3.12 zeigt die Umrechnung der diskreten Rendite in die stetige Rendite. 1

3""

2

Diskrete Rendite

p.a.

S Hundert SEins S

4 - LN (1 / 2 + 3) ~ 2 Stetige Rendite

p.a.

S

1%)

1%)

20,00 U

100 P

18,23 I

1 P

Abb. 3.12: Umrechnung der diskreten Rendite in eine stetige Rendite

3.2.1.3.2 Umrechnung stetige Rendite in diskrete Rendite Abb. 3.13 zeigt die Umrechnung der stetigen Rendite in die diskrete Rendite. 1 Stetige Rendite

p.a. (%1

18,23

3

2

S Hundert SEins S

u

4 = (EXP (1 12) . 3) ~ 2 Diskrete Rendite

p.a.

S

(%1

100 P

1 P

20,00 I

Abb. 3.13: Umrechnung der stetigen Rendite in eine diskrete Rendite 24 Logarithmus-Regeln:

LN(A * B) LN(AjB) LN(AB ) 25V gl.

26V gl.

=

LN(A) + LN(B) LN(A) - LN(B)

B * LN(A)

Kapitel 3.2.2 auf der nächsten Seite. Kapitel 3.3.2 auf Seite 41.

Finanzmathematische Grundlagen

20

3.2.2 Renditevergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern Ein wesentliches Unterscheidungsmerkmal von Geld-/Kapitalmarktgeschäften ist deren Haltedauer. Für Geschäfte mit unterschiedlichen Haltedauern ergeben sich voneinander abweichende Renditen. Um eine Vergleichbarkeit von Renditen dieser Geschäfte zu gewährleisten, ist eine Transformation der Renditen auf lahresbasis gemäß Abb. 3.14 erforderlich. 27 2

1 Rendite Anlage (unterjährig) [%) A 5,00 6,00 B 7,00 C

3

S Jahresbasis S Haltedauer S

P P P

[Tage) 360,00 P 360,00 P 360,00 P

[Tage) 120,00 P 150,00 P 160,00 P

4=1"2 / 3 Rendite p.a. [%) 15,00 14,40 15,75

S

I I I

Abb. 3.14: Transformation von Renditen auf Jahresbasis In Abb. 3.14 werden von drei verschiedenen Kreditinstituten jeweils eine unterjährige Geld-/Kapitalanlage A, Bund C angeboten. Die angebotenen Anlagen lassen sich nach dem Kriterium der Renditehöhe wie folgt absteigend anordnen: 28 C (7,00% unterjährig), B (6,00% unterjährig) und A (5,00% unterjährig) Eine mögliche Entscheidung über die renditemäßige Vorteilhaftigkeit einer Anlage ist aber trotz der renditemäßigen Rangfolge nicht möglich, da eine vergleichbare Haltedauer als Nebenbedingung fehlt. Unter Beachtung der von den Kreditinstituten angebotenen Haltedauer durch Annualisierung der Renditen ergibt sich gemäß Abb. 3.14 folgende renditemäßige Rangfolge der Anlagen auf J ahresbasis: 29 C (15,75% p.a.), A (15,00% p.a.) und B (14,40% p.a.) Auffällig ist, daß die renditemäßige Rangfolge p.a. unter Beachtung der Haltedauer von der unterjährigen renditemäßigen Rangfolge der Anlagen abweicht. Es bleibt also festzuhalten, daß allein mit Hilfe von Renditevergleichen keine Entscheidung über die renditemäßige Vorteilhaftigkeit von Geld-/Kapitalmarktanlagen mit unterschiedlichen Haltedauern getroffen werden kann. Bezüglich der Varianten de.r Renditeberechnung30 stellt sich die Frage, ob sich sowohl auf Basis der diskreten Rendite als auch auf Grundlage der stetigen Rendite eine 27Ygl. 28Ygl. 29Ygl. 30Ygl.

[69, S. 47 ff.] Abb. 3.14 Spalte l. Abb. 3.14 Spalte 4. Kapitel 3.2.1 auf Seite 14.

3.2 Finanzmathematische Grundmodelle im Zinsbereich

21

renditemäßige Vergleichbarkeit verschiedener Geld-jKapitalanlagen mit unterschiedlichen Haltedauern auf Jahresbasis herstellen läßt. Diese Frage wird in den Kapiteln 3.2.2.1 und 3.2.2.2 auf der nächsten Seite ausführlich beantwortet. 3.2.2.1 Renditevergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern auf Basis der diskreten Rendite Das in Abb. 3.14 auf der vorherigen Seite dargestellte Rechenbeispiel wird in Abb. 3.15 um das jeweilige Anfangs- und Endkapital sowie um den jeweiligen Gewinn der drei Anlagen A, Bund C ergänzt, und zwar so, daß das Endkapital der Anlage A dem Anfangskapital der Anlage B und das Endkapital der Anlage B dem Anfangskapital der Anlage C entspricht. Zusätzlich werden die diskreten Renditen p.a. 31 für jede Anlage berechnet und daraus ableitend der arithmetische Mittelwert der drei diskreten Einzelrenditen bestimmt. 1

2

[Euro) 1.050,00 P 1.113,00 P 1.190,91 P

A B C

"'T

9=5*611 10 = 1 * 9 5=3/2*4 6 1 Diskrete Diskrete HalteProduktS JahresRendite S S Rendite S S basis dauer wert unterjähring p.a. [Tage) [Euro) (%) [Tage) [%) [Tage' %) 5,00 I 360,00 P 120,00 P 15,00 I 1.800,00 I 50,00 I 100 P 6,00 I 360,00 P 150,00 P 14,40 I 2.160,00 I 63,00 I 100 P 77,91 I 100 P 7,00 I 360,00 P 160,00 P 15,75 I 2.520,00 I Summe Haltedauer [Tage] (8): 430,00 I Summe Produktwert [Tage'" %] (11): 6.480,00 I Summe Haltedauer [Tage] (12 = 8): 430,00 I Arithmetischer Mittelwert diskrete Rendite p.a. [%] (13 = 11 112): 15,07 I

3 = 1 ·2

HunS AnfangsS Gewinn S dert S kapital

EndAnlage kapital

[Euro) 1.000,00 P 1.050,00 P 1.113,00 P

Abb. 3.15: Transformation von diskreten Renditen auf Jahresbasis Der arithmetische Mittelwert der drei diskreten Einzelrenditen beträgt 15,07% p.a. 32 Die drei Anlagen A, Bund C der Abb. 3.15 lassen sich auch gemäß Abb. 3.16 am Geld-jKapitalmarkt als Gesamtanlage D abbilden, wobei das Anfangskapital der Anlage A dem Anfangskapital der Anlage D und das Endkapital der Anlage C dem Endkapital der Anlage D entspricht. Die Haltedauer der Anlage D entspricht der kumulativen Haltedauer der Anlagen A, Bund C. Für die Gesamtanlage D wird gemäß Abb. 3.16 die diskrete Rendite p.a. berechnet. 1 EndAnlage kapital

D

2

3 = 1 -2

4

5=3/2*4 8=5*6 /7 6 7 Diskrete Diskrete HalteS JahresS Rendite S Rendite S dauer basis unterjähring p.a. (%] (Tage] (Tage] (%] 15,98 I 100 P 19,09 I 360,00 P 430,00 P

HunS AnfangsS Gewinn S dert S kapital

[Euro] 1.190,91 P

[Euro] 1.000,00 P

(Euro] 190,91 I

Abb. 3.16: Transformation von diskreten Renditen auf Jahresbasis: Kontrollrechnung 31 Ygl. Kapitel 3.2.1.1 auf Seite 14. 32Ygl. Abb. 3.15 Spalte 13.

Finanzmathematische Grundlagen

22

Die diskrete Rendite der Gesamtanlage D beträgt 15,98% p.a. 33 Wird der in Abb. 3.15 auf der vorherigen Seite berechnete arithmetische Mittelwert der diskreten Renditen der Anlagen A, Bund C von 15,07% p.a. mit der in Abb. 3.16 auf der vorherigen Seite berechneten diskreten Einzelrendite der Gesamtanlage D von 15,98% p.a. verglichen, so ergibt sich eine Differenz von 0,91% p.a. 34 Die Ursache hierfür besteht in der in Abb. 3.15 auf der vorherigen Seite von Anlage zu Anlage sich verändernden Kapitalbasis (Anfangskapital A

= 1.000,00 Euro;

Anfangskapital B

= 1.050,00 Euro;

Anfangskapital C = 1.113,00 EurO) .35 In der Berechnung der diskreten Einzelrendite der Gesamtanlage D gemäß Abb. 3.16 auf der vorherigen Seite fehlt aber die Berücksichtigung der Veränderung der Kapitalbasis (über die gesamte Haltedauer wird eine konstante Kapitalbasis von 1.000,00 Euro unterstellt). 36 Es bleibt somit festzuhalten, daß die diskrete Rendite eine renditemäßige Vergleichbarkeit von unterschiedlichen Geld-jKapitalmarktanlagen mit verschiedensten Haltedauern auf Jahresbasis nicht ermöglicht.

3.2.2.2 Renditevergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern auf Basis der stetigen Rendite Das in Abb. 3.14 auf Seite 20 dargestellte Rechenbeispiel wird in Abb. 3.17 um das jeweilige Anfangs- und Endkapital sowie um den jeweiligen Gewinn der drei Anlagen A, Bund C ergänzt, und zwar so, daß das Endkapital der Anlage A dem Anfangskapital der Anlage B und das Endkapital der Anlage B dem Anfangskapital der Anlage Centspricht. Zusätzlich werden die stetigen Renditen p.a.37 für jede Anlage berechnet und daraus ableitend der arithmetische Mittelwert der drei stetigen Einzelrenditen bestimmt. 1 Anlage

End· kapital (Euro]

A B C

--;r-

10 = 7" 9 7 9=5"6/7 6 5=LN(3)"4 Stetige Stetige ProduktS Jahres- S HalteS Anfangs- S Potenz· S Hun- S S S Rendite S Renclte wert dauer basis dert wert kapital p.a. unterJährIng

1.050,00 P 1.113,00 P 1.190,91 P

2

3 = 11 2

[Euro]

1.000,00 P 1.050,00 P 1.113,00 P

1,05 I 1,06 I 1,07 I

rt.l

[Tage]

[Tage]

360,00 P 120,00 P 360,00 P 150,00 P 360,00 P 160,00 P Summe Haltedauer [Tage] (8): 430,00 I

100 P 100 P 100 P

rt.I

[Tage' "t.I

14,64 I 13,98 I 15,22 I

1.756,45 I 2.097,68 I 2.435,71 I

Summe Produktwert [Tage • o/~ (11): Summe Haltedauer [Tage] (12 = 8): Arithmetis:her Mittelwert stetige Rendite p.a. ["I~ (13 = 11/12):

6.289,84 I 430,00 I 14,63 I

4,88 I 5,8 I 6,77 I

Abb. 3.17: Transformation von stetigen Renditen auf Jahresbasis 33Ygl. Abb. 3.16 auf der vorherigen Seite Spalte 8. 34Ygl. Abb. 3.15 auf der vorherigen Seite Spalte 13 im Vergleich zu Abb. 3.16 auf der vorherigen Seite Spalte 8. 35Ygl. Abb. 3.15 auf der vorherigen Seite Spalte 2. 36Ygl. Abb. 3.16 auf der vorherigen Seite Spalte 2. 37Ygl. Kapitel 3.2.1.2 auf Seite 17.

3.2 Finanzmathematische Grundmodelle im Zinsbereich

23

Der arithmetische Mittelwert der drei stetigen Einzelrenditen beträgt 14,63% p.a. 38 Die drei Anlagen A, Bund C der Abb. 3.17 auf der vorherigen Seite lassen sich auch gemäß Abb. 3.18 am Geld- jKapitalmarkt als Gesamtanlage D abbilden, wobei das Anfangskapital der Anlage A dem Anfangskapital der Anlage D und das Endkapital der Anlage C dem Endkapital der Anlage D entspricht. Die Haltedauer der Anlage D entspricht der kumulativen Haltedauer der Anlagen A, Bund C. Für die Gesamtanlage D wird gemäß Abb. 3.18 die stetige Rendite p.a. berechnet. 1 EndAnlage kapitel

2

[Eaxo]

D

3 = 1/2

--..--

SAnfangs- S Potenz- S HunS dert kapital wert

1.190,91 P

[Tage]

[%]

[Euro]

1.000,00 P

8=5*6/7 7 6 5 = LN (3)' 4 Stetige Stetige HalteS JahresS Rendite S S Rendite basis dauer p.a. unterjähring

1,19 I

100 P

17,47 I

[Tage]

360,00 P 430,00 P

[%]

14,63 I

Abb. 3.18: Transformation von stetigen Renditen auf Jahresbasis: Kontrollrechnung Die stetige Rendite der Gesamtanlage D beträgt 14,63% p.a. 39 Wird der in Abb. 3.17 auf der vorherigen Seite berechnete arithmetische Mittelwert der stetigen Renditen der Anlagen A, Bund C von 14,63% p.a. mit der in Abb. 3.18 berechneten stetigen Einzelrendite der Gesamtanlage D von 14,63% p.a. verglichen, so ergibt sich keine Differenz. Die Ursache für diese Übereinstimmung ist die in der stetigen Renditeberechnung implizit enthaltene permanente Veränderung des Anfangskapitals. Aus finanzmathematischer Sicht ermöglicht erst der Einsatz des natürlichen Logarithmus (LN) eine derartige Transformation. Es bleibt somit festzuhalten, daß die stetige Rendite eine renditemäßige Vergleichbarkeit von unterschiedlichen Geld- jKapitalmarktanlagen mit verschiedensten Haltedauern auf Jahresbasis ermöglicht.

3.2.3 Zinsusancen der Renditeberechnung Die Ergebnisse der Varianten der Renditeberechnung40ais auch der Renditevergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern41 sind finanzmathematisch nicht nur abhängig von den Basisgrößen sondern auch von der gewählten Zinstageberechnungsmethode. Eine Zinstageberechnungsmethode (Zinsusance) definiert die Haltedauer in Jahren als Quotient zwischen der Anzahl der Tage einer aktuellen Haltedauerperiode (Zinsdividend) und der Anzahl der Tage eines ganzen Jahres (Zinsdivisor, Jahresbasis). Leider ist aus länderspezifischen historischen Gründen weder eine eindeutige Definition 38Vgl. 39 Vgl. 40Vgl. 41 Vgl.

Abb. 3.17 auf der vorherigen Seite Spalte 13. Abb. 3.18 Spalte 8. Kapitel 3.2.1 auf Seite 14. Kapitel 3.2,2 auf Seite 20.

Finanzmathematische Grundlagen

24

des Zinsdividenden noch des Zinsdivisors möglich. Im folgenden werden deshalb die fünf wichtigsten Zinsusancen mit einer normierten Haltedauerperiode vorgestellt, die am Geld-/Kapitalmarkt auftreten: 42 43

30E/360 (Deutsche Zinsusance erweitert)

Jede Haltedauerperiode zählt genau 30 Zinstage und das ganze Jahr umfaßt 360 Zinstage. Ausnahme: Endet die Haltedauerperiode am 28. Februar, so wird der Februar mit 28 Zinstagen gerechnet. Beispiele: 27.01.01 - 01.03.01 = 34 Zinstage; 27.01.01 - 28.02.01 = 31 Zinstage

30/360 (Deutsche Zinsusance )

Wie 30E/360, aber letzter Monat wird kalendergenau abgerechnet, wenn das Geschäft nicht am 30./31. eines Monats begonnen hat und an einem 31. eines Monats endet. Beispiele: 27.01.01 - 31.03.01 = 64 Zinstage; 31.01.01 - 31.03.01 = 60 Zinstage aktuell/360 (Französische Zinsusance; Eurozinsmethode )

Jede Haltedauerperiode wird kalendergenau gezählt und das ganze Jahr umfaßt 360 Zinstage. Beispiele: 27.01.01 - 01.03.01 = 33 Zinstage; 27.01.01 - 28.02.01 = 32 Zinstage

aktuell/365 (Englische Zinsusance; Fixed Methode)

Jede Haltedauerperiode wird kalendergenau gezählt und das ganze Jahr umfaßt 365 Zinstage. Beispiele: 27.01.01 - 01.03.01 = 33 Zinstage; 27.01.01 - 28.02.01 = 32 Zinstage

aktuell/aktuell (Amerikanische Zinsusance; aktuell/365-Methode (amerikanisch))

Wie aktuell/365, aber das ganze Jahr umfaßt bei Schaltjahren 366 Tage. Falls eine Haltedauerperiode sowohl Tage im Schaltjahr als auch Tage außerhalb des Schaltjahres besitzt, dann wird der Zinsdivisor zeitraumabhängig nach Schaltjahranteil und Nicht-Schaltjahranteil berechnet.

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich 3.3.1 Varianten der Risikoberechnung Das Risiko als Bewertungsmaßstab für geliehenes oder angelegtes Geld oder Kapital unter Unsicherheit ist nicht eindeutig definiert. Folgende Risikobegriffe sind gemäß Abb. 3.19 auf der nächsten Seite zu unterscheiden: 44 42Vgl. [110, S. 51 ff.] 43Vgl. [122, S. 42 ff.] 44Vgl. [77, S. 98]

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich

IRisiko I

25

IUngewißheit I

Abb. 3.19: Risikobegriffe Der Begriff der Unsicherheit beschreibt die Möglichkeit der Abweichung von geplanten Größen. 45 Aus diesem Grund wird die Unsicherheit auch als Risiko im weiteren Sinne bezeichnet. Der Begriff des Risikos umfaßt die Möglichkeit einer quantifizierbaren Abweichung von geplanten Größen. Eine solche Möglichkeit ist dann gegeben, wenn für verschiedenste Umweltzustände objektive oder subjektive Wahrscheinlichkeiten des Eintretens dieser Zustände angegeben werden können. 46 Der Begriff der Ungewißheit beschreibt die Möglichkeit einer nicht quantifizierbaren Abweichung von geplanten Größen. Folglich ist die Angabe von Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten verschiedenster Umweltzustände nicht möglich. 47 Das Risiko läßt sich gemäß Abb. 3.20 in folgende Risikoarten unterteilen:

ISystematisches Risiko I

IUnsystematisches Risiko I

Abb. 3.20: Risikoarten Das systematische Risiko beruht ausschließlich auf makroökonomischen Risiken, die die Gesamtheit der Geld-jKapitalmarktanlagen betreffen, z. B. Inflationsrisiko. Eine Verringerung des systematischen Risikos durch Diversifikation48 ist nicht möglich. 49 50 Das unsystematische Risiko beinhaltet ausschließlich mikroökonomische Risiken, die lediglich einzelwirtschaftliche oder anlagetitelspezifische Aspekte betreffen. Folglich wirkt sich ein unsystematisches Risiko nur jeweils auf eine bestimmte Geld- jKapitalanlage 45Im Sprachgebrauch wird oftmals nur die Möglichkeit der negativen Abweichung von geplanten Größen als Unsicherheit empfunden. 46Ygl. [77, S. 99] 47Ygl. [77, S. 99 ff.] 48Zum Begriff der Diversifikation vgl. Kapitel 3.4.2 auf Seite 57 ff. 49Ygl. [77, S. 265] 50Ygl. [116, S. 54 ff.]

Finanzmathematische Grundlagen

26

aus, z. B. Bonitätsrisiko. Eine Verringerung des unsystematischen Risikos durch Diversifikation 51 ist möglich. 52

53

Es gilt bzgl. der Risikoarten der folgende Zusammenhang:

Gesamtrisiko = systematisches Risiko + unsystematisches Risiko Die Quantifizierung der Risikoarten ist auf Basis verschiedenster Risikovarianten bzw. Bewertungsmaßstäbe - in den folgenden Kapiteln Risikomaße genannt - möglich. 3.3.1.1 Risikomaße zur Berechnung des Gesamtrisikos

Abb. 3.21 zeigt die wichtigsten Varianten der Berechnung von Gesamtrisikomaßen. Risikomaßberechnung: Gesamtrisiko

IVolatilität I

IAusfallwahrscheinlichkeit I

Abb. 3.21: Varianten der Risikomaßberechnung auf Basis des Gesamtrisikos

3.3.1.1.1 Die Volatilität

Die Volatilität (englisch: volatility) gibt gemäß Abb. 3.22 die

Schwankung (Streuung) der Rendite einer Geld-/Kapitalanlage um ihren Mittelwert an. Sie mißt die wahrscheinliche Abweichung einer zukünftigen Rendite von ihrem Erwartungswert (= durchschnittlich erwartete Rendite). 54 55 1

2

Rendite p.a.

S Wahrschein- S lichkeit

1%)

-5,00 U 0,05 U 0,00 U 0,10 U 5,00 U 0,15 U 0,30 U 10,00 U 0,25 U 15,00 U 20,00 U 0,10 U 25,00 U 0,05 U L Wahrscheinli chkeit (3): 1,00 N Summe gewichtete Rendite p.a_ [%) (5): ElWartete Rendite p.a . [%) (6 = 5):

4 = 1*2 Gewichtete Rendite p.a. 1%) -0,25 0,00 0,75 3,00 3,75 2,00 1,25

7=6 S

ElWartete Rendite p.a.

S

[%)

10,50 I 10,50 I 10,50 I 10,50 I 10,50 I 10,50 I 10,50 I Summe Abweichungen p.a. [%2) (9): Varianz p,a. [%2) (10 = 9): 10,50 I 10,50 I Volatilität p.a, [%) (11 = WURZEL (10)): I I I I I I I

Abb. 3.22: Volatilität

51Zum Begriff der Diversifikation vgl. Kapitel 3.4.2 auf Seite 57 ff. 52Vgl. [77, S. 265 ff.] 53Vgl. [116, S. 54 ff.] 54Vgl. [77, S. 280] 55Vgl. [116, S. 57 ff.]

8= (1-7) * (1 - 7)*2 Gewichtete quadratische Abweichung p.a. I%~ 12,01 11,03 4,54 0,08 5,06 9,03 10,51

S

I I I I I I I 52,25 I 52,25 I 7,23 I

27

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich

Statistisch ausgedrückt ist die Volatilität die positive Quadratwurzel aus der Varianz. 56 Als Varianz ist die Summe der mit Wahrscheinlichkeiten gewichteten quadratischen Abweichungen zwischen den Renditeausprägungen und deren Erwartungswert als arithmetisches Mittel definiert. 57 Im Rechenbeispiel der Abb. 3.22 auf der vorherigen Seite werden Renditeausprägungen für eine Geld-/Kapitalanlage zwischen -5,00% p.a. und 25,00% p.a prognostiziert. 58 Für jedes Renditeszenario wird eine objektive oder subjektive Wahrscheinlichkeit zwischen 0,05 und 0,30 angegeben. 59 Die auf Basis dieser Daten berechnete Volatilität beträgt 7,23% p.a. unter Beachtung der Nebenbedingung: Summe der Wahrscheinlichkeiten entspricht Eins. 6o

Die risikoorientierte Interpretation des Volatilitätsmaßes lautet: Je größer die Volatilität, desto größer das Gesamtrisiko.

3.3.1.1.2 Die Ausfallwahrscheinlichkeit Die Ausfallwahrscheinlichkeit (englisch: shortfallrisk) beschreibt das Risiko im eher umgangssprachlichen Sinne. Dementsprechend mißt die Ausfallwahrscheinlichkeit gemäß Abb. 3.23 das Risiko, für eine Geld-/Kapitalanlage eine Rendite zu erzielen, die unter einer individuellen subjektiven Mindestrendite liegt.61 5 4=(1-21 / 3 3 2 1 Ausfallwahrscheinlichkeit Mindestrendite S ElWartete Rendite S Volatilität S Standardnormalverteilte S S gemäß TabeUe Zufallsvariable p.a. p.a. p.a. der standardnormaluerteilung [%)

6,00 P

[%)

[%)

[%]

12,00 U

18,00 U

-0,33 I

37,07 I

Abb. 3.23: Ausfallwahrscheinlichkeit Statistisch ausgedrückt ist die gewünschte Mindestrendite als eine normal verteilte Zufallsvariable zu interpretieren, die durch eine lineare Transformation in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable überführt wird. 62 63 Die mit der standardnormalverteilten Zufallsvariable korrespondierende Ausfallwahrscheinlichkeit 64 kann dann der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entnommen werden, die in jedem Lehrbuch der Statistik in tabellierter Form vorliegt. 65 56Ygl. 57ygl. 58ygl. 59ygl. 60Ygl. 61Ygl. 62ygl. 63Ygl. 64Ygl. 65ygl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

3.22 auf der vorherigen 3.22 auf der vorherigen 3.22 auf der vorherigen 3.22 auf der vorherigen 3.22 auf der vorherigen [116, S. 62 ff.] Abb. 3.23 Spalte 4. [20, S. 60 ff.] Abb. 3.23 Spalte 5. [34, S. 197]

Seite Seite Seite Seite Seite

Spalte 1l. Spalte 10. Spalte l. Spalte 2. Spalten 3, 1l.

Finanzmathematische Grundlagen

28

Bei einer subjektiven Mindestrendite von 6,00% p.a., einer erwarteten Rendite von 12,00% p.a. sowie einer geschätzten Volatilität von 18,00% p.a. beträgt die Wahrscheinlichkeit, die subjektive Mindestrendite zu verfehlen, 37,07% p.a. 66 Die risikoorientierte Interpretation der Ausfallwahrscheinlichkeit lautet: Je größer die Ausfallwahrscheinlichkeit, desto größer das Gesamtrisiko. 3.3.1.2 Risikomaße zur Berechnung des systematischen Risikos

Abb. 3.24 zeigt die wichtigsten Varianten der Berechnung von systematischen Risikomaßen. Risikomaßberechnung: systematisches Risiko

IKorrelationskoeffizient I ISensitivität I

IBetafaktor I

Abb. 3.24: Varianten der Risikomaßberechnung auf Basis des systematischen Risikos

3.3.1.2.1 Der Korrelationskoeffizient

Der Korrelationskoeffizient (englisch: coefficient

of correlation) ist eine Maßgröße, die die Stärke des Zusammenhangs zwischen einer einzelnen Geld-jKapitalanlage und dem Gesamtmarkt mißt. 67 68 Zwischen einer Geld-jKapitalmarktanlage und dem Gesamtmarkt als zweidimensionale Zufallsvariablen69 läßt sich empirisch beobachten, daß die bei den Zufallsvariablen mehr oder weniger korreliert sind, d. h. bei hohen Renditewerten des Gesamtmarktes sind tendenziell auch hohe Renditewerte der Geld-jKapitalmarktanlage (positive Korrelation) oder niedrige Renditewerte der Geld-jKapitalmarktanlage (negative Korrelation) zu erwarten.

66ygl. 67 Ygl. 68Ygl. 69Ygl.

Abb. 3.23 auf der vorherigen Seite Spalte 5. [77, S. 280 f.] [116, S. 68 ff.] [20, S. 45 ff.]

29

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich

Ausgangsdatenbasis zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten bildet gemäß Abb. 3.25 eine gemeinsame zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion, die z. B. die Frage beantwortet, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine einzelne Geld- jKapitalanlage, z. B. ein Wertpapier, höchstens eine Rendite von 2,40% erwirtschaftet und zugleich der Gesamtmarkt höchstens eine Rendite70 von 2,00% erbringt. Die tabellarisch ablesbare Antwort lautet: 30% (0,30).71 Rendite p.a. Rendite p.a. S S Rentenindex (REX) Rentenindex (REX) [%)

[%)

2,00

U

S

U

2

3=1+2 Wahrscheinlichkeit S Wahrscheinlichkeit S Wahrscheinlichkeit S der Randverteilung 1

Rendite p.a. Wertpapier

3,00

[%)

2,40 3.26

U 11 U 12

L Wahrscheinlichkeit:1

0,30 0,25

U U

0,55

0,20 0,25 0,45

U U

0,50 0,50

I I

1,00

Abb. 3.25: Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion Auf Grundlage der Wahrscheinlichkeitsfunktion in Abb. 3.25 ist es möglich, den Korrelationskoeffizienten gemäß Abb. 3.26 auf der nächsten Seite zu berechnen. Der Korrelationskoeffizient kann dabei Werte zwischen

+1 und -1 annehmen.

Die Rendite eines Gesamtmarktes wird durch eine Indexkennzahl beschrieben. Indizes zeigen - bezogen auf einen Ausgangszeitpunkt - die Veränderungen einer Preis-, Mengen- oder Umsatzzeitreihe. Die bekanntesten deutschen Geld- jKapitalmarktindizes sind der Deutsche Aktienindex (DAX) sowie der Deutsche Rentenindex (REX). 71Vgl. Abb. 3.25 Zeile 1, Spalte 1: Wert 0,30. 70

30

Finanzmathematische Grundlagen Renditetableau des Wertpapiers

1

Rendite p.a.

S

1%1

2

Wahrscheinlichkeit

S

4 = 1·2

Gewichtete Rendite p.a. ["10)

0.50 U 0,50 U 1,00 N

2,40 U 3,26 U

S

1,20 1 1,63 1

L Wahrscheinlichkeit ß): L Gewichtete Rendite p.a. [%) (5):

2,831 11 2,831A I

Erwartete Rendite p.a. [%) (6 = 5):

Kouorionztobleou, Volotitlitötstobleou

Renditetableau des REX-Indizes 1 Rendite p.a.

1"*1

S

2

Wahrscheinlichkeit

2,00 U 3,00 U

S

4= ,.2

Gewichtete Rendite p.a.

['1101

0,55 U 0 ,45 U 1,00 N

S

1,10 1 1,35 1

L Wahrscheinlichkeit ß): L Gewichtete Rendite p.a. [%) (5):

Erwartete Rendite p.a. [%) (6 = 5):

-

_ ..

2 ,45 1 2,451A

Kouorionztobleou, Volotitlitötstobleou

Renditetableau des Wertpapiers und des REX-Indizes

1

Rendite p.a. Wertpapier S

1"101

2,40 2,40 3,26 3,26

U U U U

2

S

Rendite p.a. REX.lndex

1"*1

2,00 3,00 2,00 3,00

3

Wahrscheinlichkeit

U U U U

0,30 0,20 0,25 0,25 1,00

5=1·2·3

S Gewichtete Rendite p.a. S

1"10"1

U U U U N

1,44 1,44 1,63 2,45

L Wahrscheinlichkeit [%) (4): L Gewichtete Rendite p.a. [%2) (6):

1 1 1 1

6,96 1

Erwartete Rendite p.a . [%2) [I = 6):

6,96 A Kovarienztableau

Kovarianztableau

1

2

Erwartete Rendite p.a. S Wertpapier

1%1

3

Erwartete Rendite p.a. REX·lndex

1"101

2,83 E

S

1%"1 2,45 E

Renditetobleou

Renditetobleou

4=3·"2

Erwartete Rendite p.a. S Wertpapier und REX·lndex 6,96 E Renditetobleou

Kovarianz p.a.

1"*"1

S

0,02 A

KorrelatIOnskoeffizIententableau

Volatilitätstableau des Wertpapiers

1 Rendite p.a.

1"*1

2 S

Erwartete Rendite p.a.

S

3

5= (1.2)·(1.2)·3

Wahrscheinlichkeit

S Gewichtete quadratische S Abweichung p.a.

[%1 2,40 U 3,26 U

1'110"1 2,83 E 2,83 E

L Wahrscheinlichkeit (4): Renditetobleou

0,09 1 0,09 1

0,50 U 0,50 U 1,00 N

L Abweichungen p.a. [%2)6:

0,18 1

Varianz p.a. [%2) [I = 6): Volatilität p.a. [%) (8 = WURZEL [I)):

0,18 1 0,43 A

KorrelationskoeffizIententableau

Volatilitätstableau des REX-Indizes

1 Rendite p.a.

1%1

2 S

2,00 U 3,00 U

Erwartete Rendite p.a.

1%1

S

3

5- (1·2) · (1.2) " 3

Wahrscheinlichkeit

S Gewichtete quadratische S Abweichung p.a.

("10"1 2,45 E 2,45 E

0,55 U 0,45 U 1,00 N

L Wahrscheinlichkeit (4): Renditetobleou

0,11 1 0,14 1

L Abweichungen p.a. [%2) 6: Varianz p.a. [%2) [I = 6): Volatilität p.a. [%) (8 = WURZEL [I)):

0,25 1 0,25 1 0,50 A

KorrelationskoeffizIententableau

Korrelationskoeffiziententableau

1

Kovarianz p.a.

1"10"1

2

["101

0,02 E Kouarlanztableau

4=1/(2"3)

3

S Volatilität p.a. Wertpapier S Volatilität p.a. REX-Index S Korrelationskoeffizient

[%)

0,43 E Volotilitötstobleou

Abb. 3.26: Korrelationskoeffizient

0,50 E Volotilitötstobleou

SI

0 ,10 11

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich

31

Die Ermittlung des Korrelationskoeffizienten erfordert vier Rechenschritte. Im ersten Rechenschritt werden die erwartete Rendite des Wertpapiers, die erwartete Rendite des Gesamtmarktes (REX-Indizes) sowie die erwartete Rendite der Anlagekombination von Wertpapier und Gesamtmarkt berechnet. 72 Im Rechenbeispiel der Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite werden beispielsweise für die Wertpapieranlage Renditeausprägungen von 2,40% p.a. und 3,26% p.a. mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 50,00% prognostiziert. 73 Der auf Basis dieser Daten berechnete RenditeErwartungswert beträgt 2,83% p.a. unter Beachtung der Nebenbedingung: Summe der Wahrscheinlichkeiten beträgt Eins. 74 Im zweiten Rechenschritt wird die Kovarianz auf Basis der erwarteten Rendite des Wertpapiers, auf Basis der erwarteten Rendite des Gesamtmarktes sowie auf Basis der erwarteten Rendite der Anlagekombination von Wertpapier und Gesamtmarkt berechnet. 75 Die Kovarianz ist eine Maßgröße zur Messung der Stärke des Zusammenhanges zwischen einer Geld-jKapitalanlage und dem Gesamtmarkt mit dem Nachteil, daß dessen Wert von der verwendeten Einheit abhängig ist. Im Rechenbeispiel der Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite beträgt die Kovarianz zwischen dem unterstellten Wertpapier und dem Gesamtmarkt 0,02[%2].76 Im dritten Rechenschritt werden die Volatilität des Wertpapiers sowie die Volatilität des Gesamtmarktes berechnet. 77 78 Im Rechenbeispiel der Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite werden beispielsweise für die Wertpapieranlage Renditeausprägungen von 2,40% p.a. und 3,26% p.a. mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 50,00% prognostiziert. 79 Die auf Basis dieser Daten berechnete Volatilität beträgt 0,43% p.a. unter Beachtung der Nebenbedingung: Summe der Wahrscheinlichkeiten beträgt Eins. 8o Als vierter und letzter Rechenschritt wird der Korrelationskoeffizient ermittelt. Der K o'TTelationskoejjizient ist - analog zur Kovarianz - eine Maßgröße zur Messung der Stärke des Zusammenhanges zwischen einer Geld-jKapitalanlage und dem Gesamtmarkt mit dem Vorteil, daß dessen Wert von der verwendeten Einheit unabhängig ist und nur Werte zwischen -1 und +1 annehmen kann. Statistisch ausgedrückt ergibt sich der Korrelationskoeffizient als Quotientenwert zwischen dem Dividend Kovarianz und 72ygl. Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite Renditetableau des Wertpapiers, Renditetableau des REXIndizes, Renditetableau des Wertpapiers und des REX-Indizes. 73Ygl. Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite Renditetableau des Wertpapiers Spalten 1, 2. 74Ygl. Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite Renditetableau des Wertpapiers Spalten 3, 6. 75Ygl. Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite Kovarianztableau Spalten 1, 2, 3. 76ygl. Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite Kovarianztableau Spalte 4. 77ygl. Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite Yolatilitätstableau des Wertpapiers, Yolatilitätstableau des REX-Indizes. 78Ygl. Kapitel 3.4.1.2.1 auf Seite 54. 79Ygl. Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite Yolatilitätstableau des Wertpapiers Spalten 1, 3. 80ygl. Abb. 3.26 auf der vorherigen Seite Yolatilitätstableau des Wertpapiers Spalten 4, 8.

32

Finanzmathematische Grundlagen

dem Divisor "Volatilität einer Geld- jKapitalanlage multipliziert mit der Volatilität des Gesamtmarktes" . Im Rechenbeispiel der Abb. 3.26 auf Seite 30 beträgt der Korrelationskoffizient zwischen dem Wertpapier und dem Gesamtmarkt (REX-Index) 0,10. 81 Die risikoorientierte Interpretation des Korrelationskoeffizienten lautet: • Ein Korrelationswert von -1 bedeutet eine vollständig gegenläufige Renditeentwicklung zwischen einer Geld-jKapitalmarktanlage und dem Gesamtmarkt. • Ein Korrelationswert von 0 bedeutet eine vollständig unabhängige Renditeentwicklung zwischen einer Geld- jKapitalmarktanlage und dem Gesamtmarkt. • Ein Korrelationswert von +1 bedeutet eine vollständig gleichlaufende Renditeentwicklung zwischen einer Geld-jKapitalmarktanlage und dem Gesamtmarkt.

3.3.1.2.2 Die Sensitivität Die Sensitivität (englisch: price value of a basis point) ist gemäß Abb. 3.27 eine Maßzahl für die Wertveränderung des Anfangskapitals einer Geldoder Kapitalanlage. 82 83 Sie gibt an, wie stark sich das benötigte Anfangskapital bei einer Renditeänderung verändert.

r---o

9=6 A -7"8 11=9 - 10 1 3 - 1 -2 '"""4 ~ 6-1/4+5 --:;10 - 9 2- 1 Rendite· Hun· Renditel S Rendite 1 . 1 S Halte- S End- S Anfangs- S Anfangs- S SensiS SEins S Zinsfaktor S änderung S kapital tivität dauer kapital I . 1 kapital 1 dert p.a. p.a. p.a. (Euro) [Jahre) [Ewo) [Ewo) [%) [%) [%) IEwo) _

Ii 00 U

6,00 "U 7,00 U 8,00 U 9,00 U 10,00 U

-

5,00 6,00 7,00 8,00 9,00

I I I I I

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

I I I I I

100 100 100 100 100 100

P P P P P P

1 1 1 1 1 1

P P P P P P

1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10

I I I I I I

10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00

P P P P P P

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

U U U U U U

_

61,39 I

55,84 50,83 46,32 42,24 38,55

"T i-- 61 ,39 I I I I I

55,84 50,83 46,32 42,24

I I I I

-5,55 -5,00 -4,52 -4,08 -3,69

I I I I I

Abb. 3.27: Sensitivität Im Rechenbeispiel der Abb. 3.27 wird beispielsweise bei einem geschätzten Endkapital von 100,00 Euro und einer beabsichtigten Haltedauer von 10 Jahren bei einer unterstellten Rendite von 5,00% p.a. ein Anfangskapital von 61,39 Euro benötigt. 84 Wird die Rendite von 5,00 % p.a. um einen Prozent auf 6,00 % p.a erhöht, so verändert sich das benötigte Anfangskapital ceteris paribus um -5,55 Euro auf 55,84 Euro. 85 Die in Abb. 3.27 erklärte Sensitivitätsmaßzahl eignet sich gemäß Abb. 3.28 auf der nächsten Seite zur Approximation von Veränderungen des Anfangskapitals bei erwarteten Renditeänderungen.

81 Vgl. 82Vgl. 83Vgl. 84Vgl. 85Vgl.

Abb. 3.26 auf Seite 30 Korrelationskoeffiziententableau Spalte 4. [35, S. 53 f.] [54, S. 54 ff.] Abb. 3.27 Spalten 1, 7, 8, 9. Abb. 3.27 Spalten 3, 9, 11.

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich

33

Sen 5 iti v itätstab Ie au

[%1 5,00 U

_

6,00 IU 7,00 U 8,00 U 9,00 U 10,00 U

...

4 3- 1 .2 Rendite. änderung S Hundert p.a.

2

1

Rendite t . l Renditet S p.a. p.a.

S

(%1 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

I I I I I

55,84 T 50,83 I 46,32 I 42,24 I 38,55 A,I

U U U U U

6=1 / 4+5

7

S Zinsfaktor S

Halte· dauer

-....

Abschälzungsfehtertobleou

61,39 55,84 50,83 46,32 42,24

I I I I I

S

[Jahre) 1 1 1 1 1 1

100 P 100 P 100 P 100 P 100 P 100 P

I I I I I

S

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

5 Eins

[%1

--....

11 = 9 . 10 10 = 9 9=6" .7"8 Anfangs. Sensi. Anfangs. S S tivität kapital t kapital t . l [Euro) [Euro) [Euro) ---.QJ 39 A,I 100,00 U

8 End· kapital (Eurol

S

P P P P P P

1.05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10

I I I I I I

10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00

P P P P P P

S

·5,55 A,I ·5,00 I ·4 ,52 I ·4,08 I ·3,69 I

Abschälzungsfehlertobleou

Abschätzunasfehlertableau

1 Sensi· tivität S von 5,00% auf6,oo% [Euro)

2 Geschätzte Rendite· änderung von 5,00% auf 10,00%

·5,55 E

3=1"2

[%)

5,00 U

S

[Euro)

(Eurol ·27,76 I

Sensitluitälstobleou

5

4

Anfangs. Geschätzte S kapitalt S Sensivität bei 5,00%

61,39 E ... "

6 =5 ·4

7 =3 ·6

Anfangs. Abschät· Wirkliche S zungs· S kapital t S Sensivität fehler bei 10,00% [Euro) 38,55 E

[Eurol ·22,84 I

[Eurol ·4,92 I

SensitIvitatstableau

Abb. 3.28: Abschätzungsfehler der Sensitivität Im Rechenbeispiel der Abb. 3.28 wird bei einer Sensitivität von -5,55 Euro eine Veränderung des Anfangskapitals von -27,76 Euro geschätzt, falls die Rendite von 5,00% p.a. auf 10,00% p.a. steigt. 86 Da der Zusammenhang zwischen Renditeveränderung und daraus resultierender Anfangskapitalveränderung nicht linear ist,87 aber die Sensitivität einen linearen Zusammenhang unterstellt,88 ist ein Abschätzungsfehler, der im Rechenbeispiel der Abb. 3.28 exakt -4,92 Euro beträgt,89 nicht zu vermeiden. Dieser Fehler der Abschätzung steigt mit der Höhe der Renditeveränderung. Die risikoorientierte Interpretation des Sensitivitätsmaßes lautet: Je größer die Sensitivität, desto größer das systematische Risiko.

86Vgl. 87Vgl. 88Vgl. 89Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

3.28 3.28 3.28 3.28

Abschätzungsfehlertableau Sensitivitätstableau Spalte Abschätzungsfehlertableau Abschätzungsfehlertableau

Spalte 3. 9. Spalte 3. Spalte 7.

34

Finanzmathematische Grundlagen

3.3.1.2.3 Die Duration Die Duration 90 (englisch: duration) ist gemäß Abb. 3.29 ein Zeitmaß, welches die durchschnittliche Haltedauer des eingesetzten Kapitals angibt. 91 1 Zahlung (Euro)

""T

92

--r-

9 s 1/8 11-9-(6 / 7) 5=2 / 3+4 7 6 7 8=5"(6 / 7) ZinsesS Abgezinste S Jahresgewichtete S S Ren - S Hun- SEins S Zinsfaktor S Kumulierte S Jahres- S dite dert Zinstage basis zinsfaktor Zahlung abgezlnste Zahlung (Tage) IEwo • Jillhrel 1%) IEuro) (T/III81

-100,00 B 12,00 U

7,00 U 7,00 U

100 P 100 P

1 P 1 P

12,00 U 7,00 U 12,00 U 7,00 U 112,00 U 7,00 U

100 P 100 P 100 P

1 P 1 P 1 P

1,07 I 1,07 I 1,07 I 1,07 I 1,07 I

0,00 P P

360,00 P 360,00 P

1,00 I 1,07 I

P P P

360,00 P 360,00 P 360,00 P

1,14 I 1,23 I 1,31 I

360,00 720,00 1.080,00 1.440,00

11,21 10,48 9,80 85,44 116,94

I I

11,21 I 20,96 I 29,39 I 341,78 I

I I

Summe abgezinste Zahlung [Euro[ (10): I Summe jahresgewichtete abgezinste Zahlung [Euro - Jahre] (12): Summe abgezinste Zahlung [Euro] (13 = 10): Duration [Jahre] (14 = 13 / 12):

403,34 I 116,94 I 3,45 I

Abb. 3.29: Duration Die Duration betrachtet jede Geld-jKapitalanlage als einen Zahlungsstrom (englisch: cash flow), der mit einer Auszahlung beginnt und anschließend die Zins- und Tilgungszahlungen als Einzahlungen abbildet. 93 Mathematisch ausgedrückt ist die Duration der Quotientenwert zwischen dem Dividend "Summe jahresgewichtete abgezinste Zahlung" und dem Divisor "Summe abgezinste Zahlung". Im Rechenbeispiel der Abb. 3.29 beträgt die Duration 3,45 Jahre. 94 Die risiko orientierte Interpretation der Duration lautet: Je länger die Duration, desto größer das systematische Risiko.

Soll die Risikomaßzahl Duration analog der Maßzahl Sensitivität95 zur Approximation von Veränderungen des Anfangskapitals bei erwarteten Renditeänderungen verwendet werden, so ist die Duration gemäß Abb. 3.30 durch einen Zinsfaktor zu dividieren. 96 Der Quotientenwert wird als modifizierte Duration (englisch: modified duration) bezeichnet. 1 2 Rendlte t S Rendite t - 1 p.a_ p.a_ (';I) 1'lII) _ -5. 00 U 6,00 IU 5,00 7,00 U 6,00 8,00 U 7,00 9,00 U 8,00 10,00 U 9,00

r--

S

3m 1 -2 4" """'5 6 - 1 / 4+5 RendlteS Hun - SEins S Z1nsfaktor S ilnderun!l p.a. dert [%)

I I I I I

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

I I I I I

100 100 100 100 100 100

P P P P P P

1 1 1 1 1 1

P P P P P P

1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10

I I I I I I

11

7 DuratIon

I- Hahedauer)

[Jahre) 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00

S P P P P P P

Endkapital IEuro) 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

10 - 7 / 6

9 - 6" -7"8 S U U U U U U

Anfangs.. kapltalt [Euro) 61,39 55,84 50,83 46,32 42,24 38,55

Abb. 3.30: Modifizierte Duration 90Synonymbegriffe: Mittlere Kapitalbindungsdauer, mittlere Selbstliquidierungsdauer. 91Ygl. [35, S. 47 ff.] 92Ygl. [54, S. 56 ff.] 93ygl. Abb. 3.29 Spalte 1. 94Ygl. Abb. 3.29 Spalte 14. 95ygl. Abb. 3.27 auf Seite 32. 96ygl. Abb. 3.30 Spalte 10.

S Modifizierte S DuratIon I I I I I I

9,43 9,35 9,26 9,17 9,09

I I I I I

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich

35

Im Rechenbeispiel Abb. 3.30 auf der vorherigen Seite wird beispielsweise bei einer unterstellten Duration von 10 Jahren und einem Zinsfaktor von 1,06 eine modifizierte Duration von 9,43 berechnet. 97 Auf Basis der modifizierten Duration ist es dann gemäß Abb. 3.31 möglich, die Veränderungen des Anfangskapitals bei erwarteten Renditeänderungen zu schätzen. 98 Durationstableau 3 = 1 -2 2 1 Rendite Rendite I S Rendite I - 1 S änderung p.a. p.a. p.a. (%) (%) (%) _~OO U 1,00 5,00 I 6,00 6,00 I 1,00 7,00 U 1,00 7,00 I 8,00 U 1,00 8,00 I 9,00 U 9,00 I 1,00 10,00 U

rur---

~

100 100 100 100 100 100

I I I I I

6-1/4+5

5

HunS S dert

S Zinsfaktor

Eins

1 1 1 1 1 1

P P P P P P

P P P P P P

1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10

S

I I I I I I

7 Duri11tion Haltedauer) (Jahre) 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00

t=

9=6

8 S

P P P P P P

Endkapital (Euro) 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

S

A

- 7"8

Anfangskapital I

S

10 = 7 16 Modifizierte Ouration

S

(Euro)

U U U U U U

-_.6. 1

39 A,I 55,84 I'" 50,83 I 46,32 I 42,24 I 38,55 A,I

r--

9,43 A,I 9,35 I 9,26 I 9,17 I 9,09 I

Abschätzungsfehlertableau

-

Abschät2unasfehlertableau

6=1"21

8 = 7 -5 9 = 6 -8 7 5 3 4 2 3*4*5 Geschätzte AnfangsWirkliche AbAnfangsRenditeModizierte S Minus S Geschatzte S kapital I S Sensl- S schätzungs- S S killpitall Ouration S änderung S Hundert SensItivitat Eins fehler tivität bel 10,00% bei 5,00% von 5,00% bei 5,00% auf 10,00% (Euro) (Euro) (Euro) (Euro) (Eurol (%) -6,12 I 38,55 E -22,84 I 61,39 E -28,96 I 100 P -1 P 5,00 U 9,43 E 1

DuratIonstableau

Duratlonstableau

DuratlOnstableau

Abb. 3.31: Abschätzungsfehler der modifizierten Duration Im Rechenbeispiel der Abb. 3.31 wird bei einer modifizierten Duration von 9,43 eine Veränderung des Anfangskapitals von -28,96 Euro geschätzt, falls die Rendite von 5,00 % auf 10,00% steigt. 99 Da der Zusammenhang zwischen Renditeänderung und

daraus resultierender Anfangskapitalveränderung nicht linear ist,100 aber die modifi97Vgl. Abb. 3.30 auf der vorherigen Seite Spalten 6, 7, 10. 98Die jeweils auf Basis der modifizierten Duration geschätzte Veränderung des Anfangskapitals bei erwarteten Renditeänderungen läßt sich mathematisch durch die erste Ableitung der in Abb. 3.30 auf der vorherigen Seite Spalte 9 angegebenen Formel Anfangskapital

=

Zinsfaktor-Haltedauer

* Endkapital

nach dem Zinsfaktor erklären: 8Anfangskapital 8Zinsfakor 8Anfangskapital 8Zinsfakor 8Anfangskapital 8Zinsfakor 8Anfangskapital 8Zinsfakor 8Anfangskapital

-Haltedauer * Zinsfaktor-Haltedauer-l - Haltedauer

*

Zinsfaktor-Haltedauer

Zinsfaktor Anfangskapital - H a lteda uer * -=-""':"'--,-'--Zinsfaktor

* Endkapital

-Modifizierte Duration

* Anfangskapital

-Modifizierte Duration

* Anfangskapital * 8Zinsfaktor

99Vgl. Abb. 3.31 Abschätzungsfehlertableau Spalte 6. Abb. 3.31 Durationstableau Spalte 9.

100 Vgl.

* Endkapital

Finanzmathematische Grundlagen

36

zierte Duration einen linearen Zusammenhang unterstellt,101 ist ein Abschätzungsfehler - analog der Maßzahl Sensitivität

nicht zu vermeiden. Der Abschätzungsfehler beträgt im Rechenbeispiel der Abb. 3.31 auf der vorherigen Seite exakt -6,12 EurO. 103 Dieser Fehler der Abschätzung steigt mit der Höhe der Renditeveränderung. _102

Sowohl die Risikomaßzahl Sensitivität als auch die Risikomaßzahl modifizierte Duration bestimmen die Veränderungen des Anfangskapitals bei erwarteten Renditeänderungen. Der mathematische Unterschied zwischen beiden Maßzahlen ist mathematisch wie folgt zu erklären: "Die Sensitivität entspricht einer numerisch bestimmten Tangente durch Berechnung bei einer kleinen Zinsänderung, während die modifizierte Duration die Tangente analytisch bestimmt, also für infinitesimal kleine Zinsänderungen. In der Praxis kann der Unterschied meist vernachlässigt werden." 104 Die risikoorientierte Interpretation der modifizierten Duration lautet: Je größer die modifizierte Duration, desto größer das systematische Risiko.

3.3.1.2.4 Die Konvexität Die Konvexität (englisch: Convexity) ist gemäß Abb. 3.32 - neben den Risikomaßzahlen Sensitivität und modifizierte Duration _105 eine weitere Maßzahl zur Approximation von Veränderungen des Anfangskapitals bei erwarteten Renditeänderungen. 106

-5

~

1

3 = 1 -2

2

4

'ji":"i/

.---

7

4+5

9=6 A - 7 " 0

0

Rendite HunDuration Renditet S Rendite t . 1 S End- S S änderung S dert SEins S Zins- S (= Haltedauer) kaphai faktor p.a. p.a. p.a. )Euro) [Jahre) 1%1 1%1 1""'1 _ ..5...00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00

U

ur---U U U U

5,00 6,00 7,00 8,00 9,00

I I I I I

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

I I I I I

100 100 100 100 100 100

P P P P P P

1 1 1 1 1 1

P P P P P P

1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10

I I I I I I

10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00

P P P P P P

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

U U U U U U

Anfangskapital t IEuro) 61,39 55,84 50,83 46,32 42,24 38,55

11 - (5+7) " 10 / 6 Modi S fizlerte S Konvexität S DuratIon 10 = 7 / 6

I I I I I I

9,43 9,35 9,26 9,17 9,09

I I I I I

97,90 96,08 94,31 92,58 90,91

I I I I I

Abb. 3.32: Konvexität Im Rechenbeispiel der Abb. 3.32 wird beispielsweise bei einer unterstellten Duration von 10 Jahren, einem Zinsfaktor von 1,06 sowie einer modifizierten Duration von 9,43 eine Konvexität von 97,90 errechnet. 107

101 Vgl. 102Vgl. 103Vgl. 104Vgl. 105Vgl. 106Vgl. 107Vgl.

Abb. 3.31 auf der vorherigen Seite Abschätzungsfehlertableau Spalte 6. Abb. 3.28 auf Seite 33 Abschätzungsfehlertableau Spalte 7. Abb. 3.31 auf der vorherigen Seite Abschätzungsfehlertableau Spalte 9. [54, S. 61] Abb. 3.27 auf Seite 32 sowie Abb. 3.30 auf Seite 34. [54, S. 61 ff.] Abb. 3.32 Spalte 11.

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich

37

Die Risikomaßzahl Konvexität wird gemäß Abb. 3.33 eingesetzt, um im Vergleich zur Risikomaßzahl modifizierte Duration zu genaueren Schätzwerten für die Veränderungen des Anfangskapitals bei Renditeänderungen zu gelangen. 108 109 Konvexitätstableau 1

Rendite. p.a. [ ....\

-

3 =1 -2

2

;----

4

~

5

Duralion S (- Halte - S dauer) [Jahrel

RenditeS Rendlte' _1 S anderung S Hun- S Eins S linsdert faktor p.a. p.a.

[....1

[....\

5.00 U 6,OC ~ 7,00 U 8,00 U 9,00 U 10,00 U

.....

5,00 6,00 7,00 8,00 9,00

I I I I I

1,00 1.00 1.00 1.00 1,00

100 100 100 100 100 100

I I I I I

P P P P P P

1 1 1 1 1 1

P P P P P P

1.05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,1 0

I I I I I I

9 - 6' -7 *8

8

7

4+5

10,00 10 ,00 10,00 10,00 10,00 10,00

Endkapital

S

S

(Eurol

[Eurol

P P P P P P

Anfangskapital .

100.00 100.00 100,00 100,00 100,00 100,00

U U U U U U

11 = (5+7) " 10 / 6

10 -71 6

-...lil

39 A, I 55,84 I 46,32 I 42,24 I 38,55 A,I

50,83

Modifizierte Duration

r-.

S

Konvexili.t

9,43 A,I 9,35 I 9,26 I 9,17 I 9,09 I

S

97,90 A,I 96,08 I 94,31 I 92,58 I 90,91 I

Abschätzungsfehlertableau Abschätzungsfehlertableau

Abschätzunasfehlertableau r--

3

2

1

4

-

-

5

6

8 - 1 · 3 / 4 *5 *7 + 2 *6 · 3 / 4 · 3 / 4

7

Geschalzte Anfangs. NullRendite. Modifizierte Hun. S Minus S Konvexltilt S komma. S kapital . S S ilnderung S dert Dur.tion Eins bei 5,00110 tunf bei 5,00110 von 5,00110 bei 5,00110 auf 10,00\\ (Eurol [%1 9 ,43 E

-_.

97,90 E

100 P

5.00 U

Konuexitätstableau

·1 P

0,5 P

Geschälzle Sensivitat

9

AnfangsWirkliche S kapital . S Senslvität S bei 10,00110

[Euro]

(Euro]

(Eurol 38,55 E

·28 ,84 I

61,39 E

--. Konuexitätstableau

11 - 8 . 10

10 - 9 . 7

·22,84

Abschiltzungs.

fehler

S

[Euro) I

-6.00

I

Konuexitätstableau

Abb. 3.33: Abschätzungsfehler der Konvexität Im Rechenbeispiel der Abb. 3.33 wird bei einer modifizierten Duration von 9,43 und einer Konvexität von 97,90 eine Veränderung des Anfangskapitals von -28,84 Euro geschätzt, falls die Rendite von 5,00% auf 10,00% steigt. l1O Der auf dieser Datenbasis resultierende Abschätzungsfehler der Konvexität beträgt -6,00 EurO. Il1 Im Rechenbeispiel der Abb. 3.33 wird auf Basis der Konvexität eine Sensitivität 108Vgl. Abb. 3.31 auf Seite 35 Abschätzungsfehlertableau. 109Die Konvexität erklärt die Veränderung der modifizierten Duration bei einer Zinsänderung. Sie läßt sich mathematisch durch die zweite Ableitung der in Abb. 3.32 auf der vorherigen Seite Spalte 9 angegebenen Formel Anfangskapital

Zinsfaktor-Haltedauer

* Endkapital

nach dem Zinsfaktor erklären: 8 BAn[ang.kapital BZin.[aktor 8Zinsfaktor 8 BAn[ang.kapital BZins[aktor 8Zinsfaktor 8 BAn[an gskapital BZins[aktor 8Zinsfaktor 8 BAn[an gskapital BZins[aktor 8Zinsfaktor 8 BAn[ angskapital BZins[aktor 8Zinsfaktor 8 8Anfangskapital 8Zinsfaktor

-Haltedauer * (-Haltedauer - 1) * Zinsfaktor-Haltedauer-2 Haltedauer * (Haltedauer

+ 1) *

Haltedauer * (Haltedauer

+ 1) *

Zins f aktor- Haltedauer Zins faktor

2

Anfangskapital 2 Zinsfaktor

Modified Duration Anfangskapital * (Haltedauer + 1) * -----:::::c-.-:-:---Zmsfaktor Anfangskapital * Konvexität Anfangskapital * Konvexität * 8Zinsfaktor

l10Vgl. Abb. 3.33 Abschätzungsfehlertableau Spalte 8. 111 Vgl. Abb. 3.33 Abschätzungsfehlertableau Spalte 11.

* Endkapital

* Endkapital

Finanzmathematische Grundlagen

38

von -28,84 Euro prognostiziert bei einem Abschätzungsfehler von -6,00 Euro.11 2 Dagegen wird im Rechenbeispiel der Abb. 3.31 auf Seite 35 auf Basis der modifizierten Duration eine Sensitivität von -28,96 Euro prognostiziert bei einem größeren Abschätzungsfehler von -6,12 Euro.11 3 In beiden Rechenbeispielen sind die Werte der Basisgrößen identisch. Die bessere Prognosequalität der Konvexität erklärt sich durch die in der Konvexität implizit enthaltene Messung des nichtlinearen Zusammenhangs zwischen den Veränderungen des Anfangskapitals bei erwarteten Renditeänderungen. 114 Die risikoorientierte Interpretation der Konvexität lautet: Je kleiner die Konvexität, desto größer das systematische Risiko.

3.3.1.2.5 Der Betafaktor Der Betafaktor ist eine Risikomaßzahl für das Ausmaß der Sensitivität der Rendite einer Geld- jKapitalanlage in bezug auf die Renditeänderung eines als repräsentativ anzusehenden Gesamtmarktindizes 115 .11 6 117 Der Betafaktor entspricht mathematisch einem RegressionskoejJizienten im Rahmen einer Regressionsrechnung. 118 Die Berechnung des Betafaktors ist sowohl auf Basis des Korrelationskoeffizienten gemäß Abb. 3.34 als auch auf Basis der Kovarianz gemäß Abb. 3.35 auf der nächsten Seite möglich. 119 120 121 Die Berechnung des Betafaktors auf Basis der Kovarianz hat den Vorteil, daß auf die aufwendige Ermittlung des Korrelationskoeffizienten verzichtet werden kann. Abb. 3.34 zeigt die Berechnung des Betafaktors auf Basis des Korrelationskoeffizienten. 1

Korrelationskoeffizient

3 2 S Volatilität p.a. S Volatilität p.a. S Wertpapier REX·lndex (%)

0.10 U

4=1 * 2 / 3 Betafaktor (Regressionskoeflizient)

S

(%)

0,43 U

0.50 U

0.09 I

Abb. 3.34: Betafaktor auf Basis des Korrelationskoeffizienten Im Rechenbeispiel der Abb. 3.34 beträgt der Betafaktor für das unterstellte Wertpapier 0,09. 122 123 Abb. 3.35 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung des Betafaktors auf Basis der Kovarianz. 112Vgl. Abb. 3.33 auf der vorherigen Seite Abschätzungsfehlertableau Spalten 8, 11. 113Vgl. Abb. 3.31 auf Seite 35 Abschätzungsfehlertableau Spalten 6, 9. 114Vgl. Abb. 3.33 auf der vorherigen Seite Abschätzungsfehlertableau Spalte 8. 115 V gl. fußnote 70 auf Seite 29. 116Vgl. [96, S. 181 ff. ] 117Vgl. [116, S. 64 ff.] 118Vgl. [7, S. 42 ff.] 119Zur mathematischen Erläuterung des Betafaktors auf Basis des Korrelationskoeffizienten: Vgl. [7, S. 44] 120Zur mathematischen Erläuterung des Betafaktos auf Basis der Kovarianz: Vgl. [32, S. 43] 121 Vgl. zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten und der Kovarianz Abb. 3.26 auf Seite 30. 122 V gl. Abb. 3.34 Spalte 4. 123Die in Abb. 3.34 unterstellten Basisgrößen - Korrelationskoeffizient, Volatilität p.a. Wertpapier, Volatilität p.a. REX-Index - sind der Abb. 3.26 auf Seite 30 entnommen.

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich 1

2

39

3= 1/2

Betafaktor S Varianz p.a. S (Regressionskoellizient) S REX-Index (%1 (%1 0,09 I 0,25 U 0,02 u

Kovarianz

Abb. 3.35: Betafaktor auf Basis der Kovarianz Im Rechenbeispiel der Abb. 3.35 beträgt der Betafaktor für das unterstellte Wertpapier ebenfalls 0,09. 124 125 Bei Annahme einer Gültigkeit des ermittelten Betafaktors für die Zukunft kann ein Anleger bei einer Erhöhung des REX-Indizes um einen Prozentpunkt p.a. mit einem Anstieg der Wertpapier-Rendite um 0,09% p.a. rechnen. Die risikoorientierte Interpretation des Betafaktors lautet: • Ein Betafaktor < 1 bedeutet ein geringeres Renditerisiko der Geld-jKapitalanlage als der Gesamtmarkt. • Ein Betafaktor = 1 bedeutet ein identisches Renditerisiko zwischen der Geld- jKapitalanlage und dem Gesamtmarkt. • Ein Betafaktor > 1 bedeutet ein größeres Renditerisiko der Geld-jKapitalanlage als der Gesamtmarkt. 3.3.1.3 Risikomaß zur Berechnung des unsystematischen Risikos: Die Residualvolatilität

Abb. 3.36 zeigt die wichtigste Variante der Berechnung von unsystematischen Risikomaßen. Risikomaßberechnung: unsystematisches Risiko

IResidualvolatilität I Abb. 3.36: Variante der Risikomaßberechnung auf Basis des unsystematischen Risikos Die Residualvolatilität ist eine Risikokennzahl, die den Anteil des Ausmaßes der Renditeschwankung einer Geld-jKapitalanlage mißt, der nicht durch Renditeschwankungen eines als repräsentativ anzusehenden Gesamtmarktindizes 126 erklärt werden kann. 127 128 Die 124Vgl. Abb. 3.35 Spalte 3. 125Die in Abb. 3.35 unterstellten Basisgrößen - Kovarianz, Varianz p.a. REX-Index - sind der Abb. 3.26 auf Seite 30 entnommen. 126Vgl. Fußnote 70 auf Seite 29. 127Vgl. [116, S. 66 ff.] 128Vgl. [20, S. 143 ff.]

Finanzmathematische Grundlagen

40

Berechnung der Residualvolatilität ist sowohl auf Basis des Korrelationskoeffizienten gemäß Abb. 3.37 als auch auf Basis des Betafaktors gemäß Abb. 3.38 möglich. 129 Abb. 3.37 zeigt die Berechnung der Residualvolatilität auf Basis des Korrelationskoeffizienten. ~ 4 = WURZEL ((3 - 1 '" 1) '" 2) 1 2 Residualvolatilität p.a. Korrelations- S Varianz p.a. S SEins S koeffizient Wertpapier Wertpapier

1%)

1%1

0,10 U

0,18 U

0,42 I

1 P

Abb. 3.37: Residualvolatilität auf Basis des Korrelationskoeffizienten Im Rechenbeispiel der Abb. 3.37 beträgt die Residualvolatilität für das unterstellte Wertpapier 0,42% p.a. 130 131 Abb. 3.38 zeigt die Berechnung der Residualvolatilität auf Basis des Betafaktors.

5 = WURZEL (4) 4=1-2"'3"'3 2 3 1 S Residualvarianz p.a. S Residualvolatilität p.a. Varianz p.a. S Varianz p.a. S S Betafaktor Wertpapier Wertpapier Wertpapier REX-Index

1%1

1%1

0,18 U

1%)

1%1

0,25 U

0,09 U

0,1 8 I

0 ,42 I

Abb. 3.38: Residualvolatilität auf Basis des Betafaktors Im Rechenbeispiel der Abb. 3.38 beträgt die Residualvolatilität für das unterstellte Wertpapier ebenfalls 0,42% p.a. 132 133 Die risikoorientierte Interpretation der Residualvolatilität lautet: Je größer die Residualvolatilität, desto größer das unsystematische Risiko.

129Vgl. [20, S. 143 ff.] 130Vgl. Abb. 3.37 Spalte 4. 131 Die in Abb. 3.37 unterstellten Basisgrößen - Korrelationskoeffizient, Varianz p.a. Wertpapier - sind der Abb. 3.26 auf Seite 30 entnommen. 132 V gl. Abb. 3.38 Spalte 5. 133Die in Abb. 3.38 unterstellten Basisgrößen - Varianz p.a. Wertpapier, Varianz p.a. REX-Index - sind der Abb. 3.26 auf Seite 30 entnommen. Die unterstellte Basisgröße "Betafaktor" ist der Abb. 3.34 auf Seite 38 entnommen.

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich

41

3.3.2 Volatilitätsvergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern Ein wesentliches Unterscheidungsmerkmal von Geld-/Kapitalmarktgeschäften ist deren Haltedauer. Für Geschäfte mit unterschiedlichen Haltedauern ergeben sich voneinander abweichende Volatilitäten. Um eine Vergleichbarkeit von Volatilitäten dieser Geschäfte zu gewährleisten, ist eine Transformation der Volatilitäten auf Jahresbasis gemäß Abb. 3.39 erforderlich. 134

Anlage

4 = 1 .. WURZEl(2 / 3) 3 2 1 Volatilität p.a. Volatilität S Jahresbasis S Haltedauer S gemäß WUrzelgesetz S (unterjährig) (%)

A B C

(Tage)

5,00 U 6,00 U 7,00 U

360,00 P 360,00 P 360,00 P

(Tage)

60,00 P 90,00 P 120,00 P

(%)

12,25 I 12,00 I 12,12 I

Abb. 3.39: Transformation von Volatilitäten auf Jahresbasis In Abb. 3.39 werden von drei verschiedenen Kreditinstituten jeweils eine unterjährige Geld-/Kapitalanlage A, Bund C angeboten. Die angebotenen Anlagen lassen sich nach dem Kriterium der Risikoorientierung wie folgt aufsteigend anordnen: 135 A (5,00% unterjährig), B (6,00% unterjährig) und C (7,00% unterjährig) Eine mögliche Entscheidung über die risikomäßige Vorteilhaftigkeit einer Anlage ist aber trotz der risikoorientierten Rangfolge nicht möglich, da eine vergleichbare Haltedauer als Nebenbedingung fehlt. Unter Beachtung der Haltedauer ergibt sich gemäß Abb. 3.39 folgende risikoorientierte Rangfolge der Anlagen auf Jahresbasis: 136 B (12,00% p.a.), C (12,12% p.a.), A (12,25% p.a.) Auffällig ist, daß die risikomäßige Rangfolge p.a. unter Beachtung der Haltedauer von der unterjährigen risikomäßigen Rangfolge der Anlagen abweicht. Es bleibt also festzuhalten, daß allein mit Hilfe von Volatilitätsvergleichen keine Entscheidung über die risikoorientierte Vorteilhaftigkeit von Geld-/Kapitalanlagen mit unterschiedlichen Haltedauern getroffen werden kann. Die in Abb. 3.39 dokumentierte Transformationsgleichung137 4 = 1 * WURZEL(~) 134Vgl. 135Vgl. 136Vgl. 137Vgl.

[69, S. 68 ff.] Abb. 3.39 Spalte 1. Abb. 3.39 Spalte 4. Abb. 3.39 Spalte 4.

Finanzmathematische Grundlagen

42

basiert auf dem sogenannten Wurzelgesetz. Grundlage des Wurzelgesetzes ist die

Zufallspfad-Hypothese (englisch: random walk-hypothesis). Laut der ZufallspfadHypothese schwanken die Aktienkurse rein zufällig um ihren fundamental gerechtfertigten Wert, so daß aufgrund der Zufälligkeit der Schwankung die Daten der Vergangenheit nicht zur Vorhersage zukünftiger Aktienkursentwicklungen geeignet sind. "Somit sind es allein künftige Informationen, die Einfluß auf die Aktienkurse besitzen. Zukünftige Informationen sind definitionsgemäß unbekannt und deshalb nicht vorhersehbar. Wäre eine zukünftige Information bereits heute bekannt, so würde sie den Namen Information unberechtigterweise tragen, denn charakteristisch für die so definierten Informationen ist ihr Neuigkeitswert. Wenn nun aber allein zukünftige Informationen Einfluß auf die Aktienkurse besitzen, dann kann keine Kursprognose getroffen werden, da unklar ist, ob die zukünftigen Informationen positiv oder negativ auf die Kurse wirken werden. Aufgrund dieser Argumentation läßt sich nunmehr behaupten, daß die Aktien einem Zufallspfad (random walk) folgen." 138 Statistisch betrachtet basiert die Zufallspfad-Hypothese auf einer Brownschen Bewegung (Wiener Prozeß), die hinsichtlich der zukünftigen Aktienkursentwicklung drei Prämissen unterstellt: 139 • Die Kursveränderungen sind normalverteilt. 14o • Aufeinanderfolgende Kursveränderungen sind stochastisch unabhängig. 141 • Der Erwartungswert 142 der Kursänderungen ist Null; die Volatilitäten 143 der einzelnen Kursänderungen sind identisch. Zur Verdeutlichung der Zufallspfad-Hypothese wird in Abb. 3.40 auf der nächsten Seite ein absoluter Aktienkurs-Zufallspfad über zwei Perioden je 180 Tage dargestellt. Aus Vereinfachungsgründen wird dabei stets eine binominale Verteilung144 mit Wahrscheinlichkeiten von

+/- 50% für die Kursentwicklung unterstellt.

138Vgl. [116, S. 200] 139Vgl. [32, S. 210 ff.] 140Zum Begiff der Normalverteilung: Vgl. [20, S. 60 ff.] 141 Aufeinanderfolgende Kursveränderungen sind dann stochastisch unabhängig, wenn ihre Kovarianz einen Wert von Null aufweist. Zur Berechnung der Kovarianz: Vgl. Abb. 3.26 auf Seite 30 Kovarianztableau. 142Zur Berechnung des Erwartungswertes: Vgl. Abb. 3.26 auf Seite 30 Renditetableau. 143Zur Berechnung der Volatilität: V gl. Abb. 3.22 auf Seite 26. 144Zum Begiff der Binominalverteilung: Vgl. [20, S. 52 ff.]

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich 1 Aktienkurs t=OTage

2 Kursveränderung t= 180 Tage

3=1+2 Aktienkurs t= 180 Tage

4 Kursveränderung t = 360 Tage

43 5-3+4 Aktienkurs t= 360 Tage

Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit

1.200,00 € 25,00%

100,00 € 50,00%

1.100,00 € 50,00%

100,00 €

50,00%

50,00%

-100,00 €

50,00%

100,00 €

1.000,00 €

1.000,00 € 50,00%

100,00%

-100,00 €

50,00% 50,00%

900,00 € 50,00%

-100,00 € 25,00%

800,00 € ElWartungswert 0,00 € Volatilität 0,00 €

ElWartunqswert 0,00 € Volatilität 100,00 €

ElWartungswert 1.000,00 € Vo Iatilität 100,00 €

ElWartungswert 0,00 € Volatilität 100,00 €

ElWartungswert 1.000,00 € Volatilität 141,42 €

Abb. 3.40: Absoluter Zufallspfad Ausgehend von einem aktuellen Aktienkurs von 1.000,00 Euro (Spalte 1) verändert sich der Aktienkurs bei dem in Abb. 3.40 dargestellten absoluten Zufallspfad um

+/- 100,00 Euro

(Spalte 2). Die beiden Zufallspfade führen in der ersten Periode

entweder zu einem Aktienkurs von 1.100,00 Euro oder zu einem Aktienkurs von 900,00 Euro bei einem Erwartungswert von 1.000,00 Euro und einer Volatilität von 100,00 Euro (Spalte 3). Ausgehend von den möglichen Aktienkursen der ersten Periode sind insgesamt vier Konstellationen in der zweiten Periode denkbar. Auf Basis einer positiven Kursentwicklung in der ersten Periode kann der Aktienkurs um 100,00 Euro steigen oder um 100,00 Euro fallen; auf Basis einer negativen Kursentwicklung kann der Aktienkurs ebenso um 100,00 Euro steigen oder um 100,00 Euro fallen (Spalte 4). Folglich bestimmen insgesamt vier Zufallspfade für einen Zeitraum von zwei Perioden die Aktienkursentwicklung. Ein Zufallspfad führt zu einem Aktienkurs von 1.200,00 Euro, zwei Zufallspfade führen zu einem Aktienkurs von 1.000,00 Euro und ein Zufallspfad führt zu einem Aktienkurs von 800,00 Euro (Spalte 5). Gegenüber der ZufallspfadSituation in der ersten Periode hat sich die Anzahl der Zufallspfade in der zweiten Periode verdoppelt. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Zufallspfade von 50% (Spalte 3) auf 25% (Spalte 5) gesunken, wobei sich bei einem möglichen Aktienkurs von 1.000,00 Euro zwei Zufallspfade zu einem Zufallspfad mit einer Gesamtwahrscheinlichkeit von 50% (Spalte 5) vereinen. Für die erste und zweite Periode gilt ein

44

Finanzmathematische Grundlagen

Erwartungswert für die Kursveränderungen von 0,00 Euro (Spalten 2 und 4). Die Volatilitäten der Kursveränderungen sind über beide Perioden mit jeweils 100,00 Euro identisch (Spalten 2 und 4). Somit sind die Prämissen der Zufallspfad-Hypothese im Rechenbeispiel der Abb. 3.40 auf der vorherigen Seite erfüllt. Die Verifizierung des Wurzelgesetzes auf Basis des absoluten Zufallspfad-Rechenbeispiels zeigt Abb. 3.41. 6 =4 -5 4 = 1 ,. WURZEl(2 /3) 5 3 2 1 WurzelgesetzVolatilität p.a. Volatilität p.a. HalteJahresVolatilität S S S S S S gemäß Zufallspfad fehler gemäß WUrzelgesetz (unterjährig) dauer basis (Euro) (Euro) (Euro) (Tage) (Tage) (Euro) 0,00 I 141 ,42 U 141 ,42 I 100,00 U 360,00 P 180 ,00 P

Abb. 3.41: Absoluter Zufallspfad: Kontrollrechnung Die im Rechenbeispiel der Abb. 3.41 unterstellte unterjährige Volatilität von 100,00 Euro ist identisch mit der errechneten Aktienkursvolatilität der ersten Periode im ZufallspfadRechenbeispiel der Abb. 3.40 auf der vorherigen Seite. 145 Die im Rechenbeispiel der Abb. 3.41 auf Basis des Wurzelgesetzes durchgeführte Transformationsrechnung führt zu einer Aktienkursvolatilität von 141,42 Euro p.a., welche durch das ZufallspfadRechenbeispiel der Abb. 3.40 auf der vorherigen Seite bestätigt wird. 146 Es bleibt festzuhalten, daß das Wurzelgesetz bei einem absoluten Zufallspfad eine geeignete Transformationsregel darstellt. 147

145Vgl. Abb. 3.40 auf der vorherigen Seite Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 3.41 Spalte l. 146Vgl. Abb. 3.40 auf der vorherigen Seite Spalte 5 im Vergleich zu Abb. 3.41 Spalte 4. 147Die theoretische Verifizierung des Wurzelgesetzes auf Basis eines absoluten Zufallspfades zeigt die folgende mathematische Herleitung: Aktienkurst=o + Kursveränderungt=l Aktienkurst=l + Kursveränderungt=2 Aktienkurst=o + Kursveränderungt=l + Kursveränderungt=2 Varianz(Aktienkurst=o + Kursveränderungt=l + Kursveränderungt=2) Varianz(Aktienkurst=o) + Varianz(Kursveränderungt=Ü + V arianz( Kur sveränderungt=2)

Aktienkurst=l AktienkurSt=2 AktienkurSt=2 Varianz (Aktienkur St=2) V arianz( AktienkurSt=2)

Da die Varianzen der einzelnen Kursänderungen aufgrund der Zufallspfad-Prämissen identisch sind, folgt hieraus: V arianz( AktienkurSt=2) Varianz(Aktienkurst=2)

= =

0 + V arianz( Kursver änderungt=n) 2 * Varianz(Kursveränderungt=n)

+ V arianz( Kur sveränderungt=n)

Dabei ergibt sich der Multiplikator 2 aus der Periodenanzahl. Definiert man diese Periodenanzahl als Quotientenwert, der sich durch Division der Jahresbasis in Tagen durch die Haltedauer in Tagen ergibt, so gilt: Varianz(Aktienkurst=2)

Jahresbasis Haltedauer

-=--,---,---

* Varianz(Kursveränderungt=n)

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich

45

Bezüglich der Varianten der Renditeberechnung148 stellt sich die Frage, ob sich sowohl auf Basis der diskreten Rendite als auch auf Basis der stetigen Rendite eine risikoorientierte Vergleichbarkeit verschiedener Geld-/Kapitalanlagen mit unterschiedlichen Haltedauern auf Jahresbasis herstellen läßt. Diese Frage wird in den Kapiteln 3.3.2.1 und 3.3.2.2 auf der nächsten Seite ausführlich beantwortet. 3.3.2.1 Volatilitätsvergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern auf Basis der diskreten Rendite In Abb. 3.42 wird ein Zufallspfad-Rechenbeispiel auf Basis von diskreten geometrischen Renditen dargestellt. 1 Aktienkurs t = OTage

3 - '+1'2 Aktienkurs t - 1l1li Tage

2 Kursveränderung t - 111(1Tage

Wahrsch einlichkeit Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit

5 4 - (3 .1) / 1 Kursveränderung Diskrete Rendite t 360 Tage t - 0 bis t - 1l1li Tage Wahrscheinlichkeit

6 - 3+3 " 5 Aktienkurs t - 360 Tage

Wahrscheinllchkert Wahrsc heinlichkeit

7 - t6 . 1) / 1 Diskrete Rendite t - 0 bis t = 360 Tage Wahrsche inlichkeit

1.210,00 €

21 ,00%

25,00%

25,00%

10,00% 50,00%

1.100,00 €

10,00%

50,00%

50,00%

10,00%

50,00%

.10,00%

50,00%

1.000,00 €

990,00 €

.1,00%

50,00%

50,00%

10,00%

50,00%

.10,00%

50,00% 50,00%

50,00%

.10,00%

900,00 €

50,00%

.10,00% 25,00%

ElWartunqswert ElWartunqswert VolatiUtät 0,00 €

ElWartungswert

ElWartunqswert

ElWartunqswert

1.000,00 €

0,00%

0,00%

0,00%

0,00 €

Volatilität 10,00%

25,00%

810,00 €

.19,00%

ElWartungswert

ElWartunqswert

1.000,00 €

Volatilität

VolatlUtät

Volatilltät

Volatilität

100,00 €

10,00%

10,00%

141,77€

0,00%

Volatllität 14,18%

Abb. 3.42: Zufallspfad auf Basis von diskreten geometrischen Renditen Ausgehend von einem aktuellen Aktienkurs von 1.000,00 Euro (Spalte 1) verändert sich der Aktienkurs bei dem in Abb. 3.42 dargestellten Zufallspfad auf Basis von diskreten geometrischen Renditen um +/- 10% (Spalte 2). Die beiden Zufallspfade führen in der ersten Periode entweder zu einem Aktienkurs von 1.100,00 Euro oder zu einem Aktienkurs von 900,00 Euro bei einem Erwartungswert von 1.000,00 Euro und einer Volatilität von 100,00 Euro (Spalte 3). Die in der ersten Periode dargestellten diskreten Renditen von

+

10% bei positiver Kursentwicklung oder - 10% bei negativer Kursentwicklung

Für die Volatilität bedeutet dies (Vgl. auch Abb. 3.39 auf Seite 41 Spalte 4): Volatilität(Aktienkurst=2)

=

148Vgl. Kapitel 3.2.1 auf Seite 14.

Jahresbasis Haltedauer

-::=-:----c:---

* Volatilität(Kursveränderungt=n)

Finanzmathematische Grundlagen

46

ergeben sich aus dem Verhältnis Aktienkurs t = 180 Tage minus Aktienkurs t = 0 Tage gegenüber dem Ausgangskurs t = 0 Tage (Spalte 4). Ausgehend von den möglichen Aktienkursen der ersten Periode sind analog zum absoluten Rechenbeispiel der Abb. 3.40 auf Seite 43 vier Konstellationen in der zweiten Periode denkbar .149 Für die zweite Periode ergeben sich demnach für die diskreten Renditen Werte von 21,00%, -1,00% und -19,00% (Spalte 7). Die Falsifizierung des Wurzelgesetzes auf Basis des Zufallspfad-Rechenbeispiels mit diskreten geometrischen Renditen zeigt Abb. 3.43. 6 = 4-5 3 4 = 1 '" WURZEl(2 /3) 5 1 2 Volatilität p.a. S WurzelgesetzVolatilität p.a. Volatilität JahresHalteS S S S S gemäß WUrzelgesetz gemäß Zufallspfad fehler (unterjährig) dauer basis (%) (%) (%) (Tage) (Tage) [%) -0,04 I 14,18 U 14,14 I 10,00 U 360,00 P 180,00 P

Abb. 3.43: Zufallspfad auf Basis von diskreten geometrischen Renditen: Kontrollrechnung Die im Rechenbeispiel der Abb. 3.43 unterstellte unterjährige Volatilität von 10,00% ist identisch mit der errechneten diskreten Aktienrendite-Volatilität der ersten Periode im Zufallspfad-Rechenbeispiel der Abb. 3.42 auf der vorherigen Seite. 150 Die im Rechenbeispiel der Abb. 3.43 auf Basis des Wurzelgesetzes durchgeführte Transformationsrechnung führt zu einer diskreten Aktienrendite-Volatilität von 14,14% p.a., welche durch das Zufallspfad-Rechenbeispiel der Abb. 3.42 auf der vorherigen Seite - diskrete Aktienrendite-Volatilität von 14,18% p.a. - nicht bestätigt wird. 151 Es bleibt festzuhalten, daß das Wurzelgesetz bei einem Zufallspfad auf Basis von diskreten geometrischen Renditen eine ungeeignete Transformationsregel darstellt. Allenfalls kann man das Wurzelgesetz bzgl. der Transformation von Volatilitäten als Approximation eines Zufallspfades auf Basis von diskreten geometrischen Renditen betrachten; der Approximations- oder Wurzelgesetzfehler gemäß Abb. 3.43 muß dann aber mangels Alternative in Kauf genommen werden. 152

3.3.2.2 Volatilitätsvergleich auf Jahresbasis von Geschäften mit unterschiedlichen Haltedauern

auf Basis der stetigen Rendite

In Abb. 3.44 auf der nächsten Seite wird ein Zufallspfad-Rechenbeispiel auf Basis von stetigen Renditen dargestellt.

149Vgl. 150 Vgl. 151 Vgl. 152Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

3.40 3.42 3.42 3.43

auf Seite 43 Spalten 4, 5. auf der vorherigen Seite Spalte 4 im Vergleich zu Abb. 3.43 Spalte 1. auf der vorherigen Seite Spalte 7 im Vergleich zu Abb. 3.43 Spalte 4. Spalte 6.

47

3.3 Finanzmathematische Grundmodelle im Risikobereich 1 Aktien kurs t=OTage

2 Kursveränderung t = 180 Tage

4 = LN ß / 1) 5 3 - 1 * EXP (2) Kursveränderung Stetige Rendite Aktienkurs t - 360 Tage t= 180 Tage t - 0 bis t - 180 Tage

Wahrsc heinlichkeit Wahrsc heinlichkeit Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit

7 = LN (6 / 1) 6 = 3 * EXP (5) Stetige Rendite Aktienkurs t 0 bist - 360 Tage t - 360 Tage

Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichke it

1.221 ,40 €

20,00 %

25.00%

25,00%

10,00 % 50,00%

1.105,17 €

10,00 %

50,00%

50,00%

10,00 %

50,00%

.10,00 %

50,00%

1.000 ,00 €

1.000,00 €

0,00 %

50,00%

50,00%

10,00 %

50,00%

.10 ,00 %

50,00% 50,00%

904 ,84 €

50,00%

.10,00% 50,00%

.10,00 % 25,00%

ElWartungswert 0,00 € Vo latilität 0,00 €

ElWartungswert 0,00%

Vo latilität 10,00%

ElWartungswert 1005,00 € Volatilität 100,17 €

ElWartunqswert

ElWartungswert

0,00%

0,00%

Volatilität

Volatilität

10,00%

10,00%

25,00%

818,73 €

-20,00 %

ElWartungswert 1.010,03 € Volatilität 142,72 €

ElWartunqswert 0,00%

Volatilität 14,14%

Abb. 3.44: Zufallspfad auf Basis von stetigen Renditen Ausgehend von emem aktuellen Aktienkurs von 1.000,00 Euro (Spalte 1) verändert sich der Aktienkurs bei dem in Abb. 3.44 dargestellten Zufallspfad auf Basis von stetigen Renditen um +/- 10% (Spalte 2). Die beiden Zufallspfade führen in der ersten Periode entweder zu einem Aktienkurs von 1.105,17 Euro oder zu einem Aktienkurs von 904,84 Euro bei einem Erwartungswert von 1.005,00 Euro und einer Volatilität von 100,17 Euro (Spalte 3). Die in der ersten Periode dargestellten stetigen Renditen von

+ 10% bei positiver Kursentwicklung oder - 10% bei negativer Kursentwicklung ergeben

sich aus dem Logarithmus des Verhältnisses Aktienkurs t = 180 Tage gegenüber dem

Ausgangskurs t = 0 Tage (Spalte 4). Ausgehend von den möglichen Aktienkursen der ersten Periode sind analog zum absoluten Rechenbeispiel der Abb. 3.40 auf Seite 43 vier Konstellationen in der zweiten Periode denkbar .153 Für die zweite Periode ergeben sich demnach für die stetigen Renditen Werte von 20,00%, 0,00% und -20,00% (Spalte 7).

Die Verifizierung des Wurzelgesetzes auf Basis des Zufallspfad-Rechenbeispiels mit stetigen Renditen zeigt Abb. 3.45 auf der nächsten Seite.

153Vgl.

Abb. 3.40 auf Seite 43 Spalten 4, 5.

Finanzmathematische Grundlagen

48

6 = 4 -5 5 4 = 1 '" WURZEl(2 /3) 3 2 1 Volatilität p.a. S WurzelgesetzVolatilität p.a. HalteJahresVo Iatilität S S S S S gemäß Zufallspfad gemäß Wurzelgesetz fehler (unterjährig) dauer basis [%] [%] [%] [Tage] [Tage] [%] 0,00 I 14,14 U 14 ,14 I 10,00 U 360,00 P 180,00 P

Abb. 3.45: Zufallspfad auf Basis von stetigen Renditen: Kontrollrechnung Die im Rechenbeispiel der Abb. 3.45 unterstellte unterjährige Volatilität von 10,00% ist identisch mit der errechneten stetigen Aktienrendite-Volatilität der ersten Periode im Zufallspfad-Rechenbeispiel der Abb. 3.44 auf der vorherigen Seite. 154 Die im Rechenbeispiel der Abb. 3.45 auf Basis des Wurzelgesetzes durchgeführte Transformationsrechnung führt zu einer stetigen Aktienrendite-Volatilität von 14,14% p.a., welche durch das Zufallspfad-Rechenbeispiel der Abb, 3.44 auf der vorherigen Seite bestätigt wird. 155 Es bleibt festzuhalten, daß das Wurzelgesetz bei einem Zufallspfad auf Basis von stetigen Renditen eine geeignete Transformationsregel darstellt.

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich 3.4.1 Varianten der Performanceberechnung Die allgemeine Zielsetzung bei Geld-jKapitalanlagen ist das quantitative Wachstum des eingesetzten Anfangskapitals. Diese Kapitalvermehrung wird im angelsächsischen Sprachgebrauch als Performance (deutsch: Leistung) bezeichnet, Die Performance ist eine finanzmathematische Kennzahl, die zur Beurteilung (Stichwort: leistungsorientierte Vergütung von Wertpapiermanagern) und als Vergleich eines Anlageerfolges von Geld-jKapitalanlagen verwendet wird. Da im Schrifttum der Performance-Begriff nicht eindeutig definiert ist, sind bei der Performanceberechnung alternative Berechnungsvarianten gemäß Abb. 3.46 zu beachten. 156 157 158 Performanceberechnung

IBestandsorientierte reale Rendite I

IZahlungsorientierte reale Rendite I

Abb. 3.46: Varianten der Performanceberechnung 154 Vgl. 155Vgl. 156Vgl. 157Vgl. 158Vgl.

Abb. 3.44 auf der vorherigen Seite Spalte 4 im Vergleich zu Abb. 3.45 Spalte l. Abb. 3.44 auf der vorherigen Seite Spalte 7 im Vergleich zu Abb. 3.45 Spalte 4. [54, S. 128 ff.] [109, S. 43 ff.] [116, S. 527 ff.]

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

49

3.4.1.1 Die bestandsorientierte reale Rendite Die bestandsorientierte reale Rendite betrachtet lediglich das Anfangskapital zum Zeit-

punkt t = 0 und das Endkapital zum Zeitpunkt t = n einer Geld-jKapitalanlage. Von-

einander abzugrenzen sind gemäß Abb. 3.47 die absolute reale Rendite, die relative reale Rendite und die relative risikoadjustierte reale Rendite. Bestandsorientierte reale Rendite

IAbsolute reale Rendite I

IRelative

reale Rendite I

Relative risikoadjustierte reale Rendite

Abb. 3.47: Varianten der bestandsorientierten realen Rendite

3.4.1.1.1 Die absolute reale Rendite Die Berechnungsvariante der absoluten realen Rendite (englisch: return) als einfachste Definition der Performance ergibt sich gemäß Abb. 3.48 im allgemeinen als Gewinn, bezogen auf das Anfangskapital. 159 1

2

3 = 1 -2

4

5 = 3 / 2 *4

Absolute EndAnfangsS S S Gewinn S Hundert S reale Rendite kapital kapital (%] (Euro] (Euro] (Euro] 100 P 20,00 I 120.000,00 U 100.000,00 P 20 .000,00 I

Abb. 3.48: Absolute reale Rendite Bei einem unterstellten Anfangskapital von 100.000,00 Euro und einem erwarteten Endkapital von 120.000,00 Euro beträgt die absolute reale Rendite 20,00%.160 3.4.1.1.2 Die relative reale Rendite Die in Abb. 3.48 dargestellte absolute reale Rendite gewinnt erst an Aussagekraft, wenn sie mit absoluten realen Renditen verglichen wird, die mit anderen Geld-jKapitalanlagen erzielbar gewesen wären (Gedanke der Opportunitätskosten). Z. B. ist eine Kapitalvermehrung mit einer bestimmten ausgewählten Geld-jKapitalanlage, die eine absolute reale Rendite von 5,00% aufweist, dann als schlecht zu beurteilen, wenn der Gesamtmarkt der Geld-jKapitalanlagen um 15% gestiegen ist. Zur Beurteilung des Erfolgs einer bestimmten Geld- jKapitalanlage muß also stets eine Rendite als Vergleich (englisch: benchmark) herangezogen werden. Abb. 3.49 auf der nächsten Seite zeigt in diesem Zusammenhang die Berechnung der relativen realen Rendite als relativen Erfolgsrnaßstab.

159Der Begriff der absoluten realen Rendite ist identisch mit dem Begriff der diskreten Rendite: Vgl. Abb. 3.2 auf Seite 14. 160Vgl. Abb. 3.48 Spalte 5.

50

Finanzmathematische Grundlagen 1

3 = 1 -2

2

Absolute Relative S Vergleichs- S reale Rendite rendite reale Rendite (%) (%) (%)

20,00 U

15,00 U

S

5,00 I

Abb. 3.49: Relative reale Rendite Erwirtschaftet eine bestimmte Geld-jKapitalanlage eine absolute reale Rendite von

20,00% und wird am Gesamtmarkt eine Vergleichsrendite von 15,00% bezahlt, so beträgt die relative reale Rendite 5,00%.161 Die sorgfältige Festlegung einer Vergleichsgröße ist für den Aussagewert der relativen realen Rendite als Beurteilungskriterium einer bestimmten Geld- jKapitalanlage sehr wichtig. Folgende Anforderungen sollte eine Vergleichsgröße erfüllen: 162 • Real erwerbbare Geld- jKapitalanlagealternative • Zeitliche Konstanz bis zum Planungshorizont • Festlegung bevor eine bestimmte Anlageentscheidung getroffen wird 3.4.1.1.3 Die relative risikoadjustierte reale Rendite Wird die in Abb, 3.49 beschriebene relative reale Rendite um eine risikoorientierte Betrachtungsweise ergänzt, so erhält

man gemäß Abb. 3.50 die relative risikoadjustierte reale Rendite. Mathematisch ausgedrückt wird die relative reale Rendite mittels Division oder mittels Multiplikation mit einem geeigneten Risikomaß standardisiert. Abb, 3.50 zeigt als allgemeines Rechenbeispiel die Standardisierung der relativen realen Rendite mittels Division durch ein geeignetes Risikomaß. 2

1

3 = 1 -2

4

Relative Absolute S VergleichsS RisikoS S reale Rendite maß reale Rendite rendite (%)

(%)

5,00 U

15,00 U

(%)

-10,00 I

("10)

25,00 U

5 =3/4 RelatIve risikoadjustierte reale Rendite

S

-0,40 I

Abb, 3.50: Relative risikoadjustierte reale Rendite Erwirtschaftet eine bestimmte Geld- jKapitalanlage eine absolute reale Rendite von 5,00% und wird am Gesamtmarkt eine Vergleichsrendite von 15,00% bezahlt, so beträgt die relative reale Rendite _10,00%.163 Diese wird auf Basis eines Risikomaßes von 25,00% standardisiert, so daß sich eine relative risikoadjustierte Rendite von -0,40 errechnet. 164 161 V gl. 162Vgl. 163Vgl. 164Vgl.

Abb. 3.49 Spalte 3. [109, S. 380 ff.] Abb. 3.50 Spalte 3. Abb. 3.50 Spalte 5.

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

51

Zu unterscheiden sind gemäß Abb. 3.51 folgende Standardisierungsmaße der relativen risikoadjustierten realen Rendite. Standardisierungsmaße

IJensen-Maß I

ITreynor-Maß I

ISharpe-Maß I

Abb. 3.51: Standardisierungsmaße der relativen risikoadjustierten realen Rendite

3.4.1.1.3.1 Das Sharpe-Maß Wird die Volatilität 165 als Standardisierungsmaß verwendet, so bezeichnet man die relative risikoadjustierte reale Rendite als SharpeMaß (englisch: reward-to-variability-ratio).166 Abb. 3.52 zeigt die Berechnung des SharpeMaßes. Bei Betrachtung dieser Berechnung wird verdeutlicht, daß die Performance um so besser ist, je höher das Sharpe-Maß ausfällt. 3 = 1 -2

2

1

4

5= 3/4

Absolute Relative S Vergleichs- S S Volatilität S Sharpe-Maß S reale Rendite rendite reale Rendite [%)

12,00 U

[%)

3,00 U

[%)

[%)

9,00 I

30,00 U

0,30 I

Abb. 3.52: Sharpe-Maß Erwirtschaftet eine bestimmte Geld- jKapitalanlage eine absolute reale Rendite von 12,00% und wird am Gesamtmarkt eine Vergleichsrendite von 3,00% bezahlt, so beträgt die relative reale Rendite 9,00%.167 Diese wird auf Basis einer Volatilität von 30,00% standardisiert, so daß sich eine relative risikoadjustierte reale Rendite von 0,30 errechnet. 168

3.4.1.1.3.2 Das Treynor-Maß Die relative risikoadjustierte reale Rendite wird als Treynor-Maß (englisch: reward-to-volatility-ratio) bezeichnet, wenn als Standardisierungsmaß der Betafaktor169 verwendet wird.11° Abb. 3.53 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung des Treynor-Maßes. Die berechnete Performance ist analog zum SharpeMaß je höher zu bewerten, desto größer der Treynor-Wert ist.

165Zum Begriff der Volatilität: Abb. 3.22 auf Seite 26. 166Vgl. [116, S. 535 ff.] 167Vgl. Abb. 3.52 Spalte 3. 168Vgl. Abb. 3.52 Spalte 5. 169Zum Begriff des Betafaktors: V gl. Abb. 3.34 auf Seite 38 und Abb. 3.35 auf Seite 39. l7OVgl. [116, S. 538 ff.]

Finanzmathematische Grundlagen

52

1 2 4 3 -1 ·2 5 - 3/4 Vergleichs. S Absolute Relative S S Betafaktor S Treynor-MaA S reale Rendite rendite reale Rendite 1%) 12,00 U

1%)

3,00 U

1%)

9,00 I

1,10 U

8,18 I

Abb. 3.53: Treynor-Maß Erwirtschaftet eine bestimmte Geld- jKapitalanlage eine absolute reale Rendite von

12,00% und wird am Gesamtmarkt eine Vergleichsrendite von 3,00% bezahlt, so beträgt die relative reale Rendite 9,00%.171 Diese wird auf Basis eines Betafaktors von 1,10 standardisiert, so daß sich eine relative risikoadjustierte reale Rendite von 8,18 errechnet. 172

3.4.1.1.3.3 Das Jensen-Maß Ein alternativer Weg der Performanceberechnung wird durch das Jensen-Maß beschritten. Das Jensen-Maßl73 ist gemäß Abb. 3.54 ein absolutes Beurteilungskriterium zur Performancemessung. 174 Ebenso wie das TreynorMaß verwendet das Jensen-Maß den Betafaktor zur Risikoadjustierung. Mathematisch betrachtet entspricht das Jensen-Maß dem Alpha-Regressionskoeffizienten (Alphafaktor)175 im Rahmen einer Regressionsrechung. 176 Abb. 3.54 zeigt die Berechnung des Jensen-Maßes in seiner ex-post Form. 3 z 1.2 1 2 4 I i 1-3·5*6 5 - 4 ·2 Risikolose RIsIkobehaftete Absolute S Erzielte relative S ElWartete relative S Beta· S Vergleichs. Vergleichs. S S Jensen.MaA S reale Rendite reale Rendite reale Rendite faktor rendite rendite 1%)

1%)

12,00 U

1%)

6,00 U

1%1

6,00 I

1%)

10,00 U

1%)

4,00 I

1,00 U

2,00 I

Abb. 3.54: Jensen-Maß Das Jensen-Maß mißt gemäß Abb. 3.54 den absoluten risikoadjustierten Mehrertrag (Spalte 7) der ex-post erzielten relativen realen Rendite (Spalte 3) gegenüber der ex-ante erwarteten relativen realen Rendite (Spalte 5). Folglich signalisiert ein positives (negatives) Jensen-Maß, daß die Vergleichsrendite risikoadjustiert übertroffen (unterschritten) wurde. 171 Y gl. Abb. 3.53 Spalte 3. 172ygl. Abb. 3.53 Spalte 5. 173Synonymbegriffe: Alpha, Jensen-Alpha, Differential Return. 174Ygl. [116, S. 541 ff.] 175Der Alpha-Regressionskoeffizient kann auf Basis der Regressionsgeraden

Erzielte relative Rendite = Alphafaktor + Betafaktor * erwartete relative Rendite wie folgt hergeleitet werden:

Alphafaktor 176Ygl. [7, S. 42 ff.]

=

Erzielte relative Rendite - Betafaktor * erwartete relative Rendite

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

53

Im Rechenbeispiel der Abb. 3.54 auf der vorherigen Seite erwirtschaftet eine bestimmte Geld-jKapitalanlage eine absolute reale Rendite von 12,00%. Der Mehrertrag gegenüber einer risikolosen Vergleichsrendite von 6,00% beträgt somit ex-post 6,00% (= erzielte relative Rendite).177 Ex-ante wurde ein Mehrertrag von lediglich 4,00% (= erwartete relative Rendite) als Differenz zwischen der risikobehafteten Vergleichsrendite von 10,00% und der risikolosen Vergleichsrendite von 6,00% erwartet. 178 Auf der Basis dieser Daten beträgt das Jensen-Maß als Alphafaktor einer linearen Regressionsrechnung 2,00%.179180 3.4.1.2 Die zahlungsorientierte reale Rendite

Die verursachungsgerechte Messung des Anlageerfolges eines Wertpapier- oder Fondsmanagers erfordert im Rahmen einer Performanceberechnung die Berücksichtigung von externen Kapitalzufiüssenj-abfiüssen während der Haltedauer, die nicht durch die Anlagepolitik des Wertpapiermanagers verursacht wurden. Folglich sind diese externen Zahlungen aus der Performancerechnung zu eleminieren, um den wahren Erfolg des Wertpapiermanagers beurteilen zu können. Die Grundidee einer Korrekturrechnung um externe Kapitalzufiüssej-abfiüsse im Rahmen einer Performancerechnung läßt sich an einem einfachen Beispiel verdeutlichen: 181 182 Zwei Anleger - Anleger A und Anleger B - investieren am 01.01.00 in ein und denselben Wertpapierfonds jeweils 100,00 Euro. Nach einem Jahr (31.12.00) beträgt das jeweilige Fondsvermögen 101,00 Euro. Der Fonds hat also eine Performance von 1,00% p.a. erzielt. Anleger B ist vom Anlageerfolg enttäuscht und zieht am 01.01.01 51,00 Euro ab, es verbleibt demnach ein Vermögen von 50,00 Euro im Fonds. Anleger A läßt sich von der niedrigen Performance nicht beeindrucken, d. h. er desinvestiert nicht. Nach einem weiteren Jahr (31.12.01) beträgt das Fondsvermögen für den Anleger A 202,00 Euro, das Fondsvermögen für den Anleger B 100,00 Euro. Demnach hat der Fonds im zweiten Jahr eine Performance von 100,00% p.a. erzielt. Aus Verständnisgründen zeigt Tab. 3.1 auf der nächsten Seite zusammenfassend die genannten Daten.

177Ygl. 178Ygl. 179Ygl. 180ygl. l8lYgl. 182Ygl.

Abb. 3.54 auf der vorherigen Seite Spalte 3. Abb. 3.54 auf der vorherigen Seite Spalte 5. Abb. 3.54 auf der vorherigen Seite Spalte 7. Fußnote 175 auf der vorherigen Seite. [109, S. 422 ff.] [116, S. 529 ff.]

Finanzmathematische Grundlagen

54 Anleger A Zahlung 100,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro -202,00 Euro

Datum 01.01.00 31.12.00 01.01.01 31.12.01

Anleger A Vermögen 100,00 Euro 101,00 Euro 101,00 Euro 202,00 Euro

Anleger B Zahlung 100,00 Euro 0,00 Euro -51,00 Euro -100,00 Euro

Anleger B Vermögen 100,00 Euro 101,00 Euro 50,00 Euro 100,00 Euro

FondsPerformance p.a. 1,00% 100,00%

Tabelle 3.1: Performance-Anlagebeispiel Die im Rahmen einer Performancerechnung erforderliche Korrekturrechnung um externe Kapitalzufl.üssej-abfl.üsse kann gemäß Abb. 3.55 zum einen auf Basis der wertgewichteten realen Rendite, zum anderen auf Grundlage der zeitgewichteten realen Rendite erfolgen. Zahlungsorientierte reale Rendite

IWertgewichtete reale Rendite I

IZeitgewichtete reale Rendite I

Abb. 3.55: Varianten der zahlungsorientierten realen Rendite

3.4.1.2.1 Die wertgewichtete reale Rendite Die wertgewichtete reale Rendite basiert auf der internen Zinsfußmethode. Dabei stellt der interne reale Zinsfuß für jede Periode einer Zahlungsreihe eine identische, zeitliche Durchschnittsverzinsung des jeweils gebundenen Kapitals dar. 183 184 Abb. 3.56 zeigt die Berechnung der wertgewichteten realen Rendite in Fortführung des in Tab. 3.1 dargestellten Performance-Anlagebeispiels.

Performancetableau' Anleaer A

5 "'ii 1 - 5/6 '11 9-1+8 10 - 1 • 9 A ,, - 2/3 3 2 Reale Zahlung ZinsHunS Kumulierte S Jahres- S ZlnstageS S Rendite S dert S Zins- SEIns S Datum Zahlung 01.01.00 quotIent faktor quotIent Zlnstage basis p.a. (Tage) (Tage) (IJi) IE"-o) (Euro) 1

01 .01.00 01 .01 .01 31.12.01

100,00 P 0,00 P -202,00 U

0,00 P 360,00 P 720,00 P

360,00 P 360,00 P 360,00 P

0,00 I 1,00 I 2,00 I

Reale Rendite p.a. [%):

42,13 42,13 42,13 42,13

I I I V

100 P 100 P 100 P

0,42 I 0,42 I 0,42 I

1,42 I 1,42 I 1,42 I

1 P 1 P 1 P

Summe Zahlung 01.01 .00 [Euro) (11):

Performancetableau' Anleaer B

r--u

01 .01.00 01 .01 .01 31 .12.01

100,00 P -51,00 P -100,00 U

0,00 P 360,00 P 720,00 P

360,00 P 360,00 P 360,00 P

0,00 I 1,00 I 2,00 I

Reale Rendite p.a. [%):

28,70 28,70 28,70 28,70

I I I V

100 P 100 P 100 P

0,29 I 0,29 I 0,29 I

1 P 1 P 1 P

K

1,29 I 1,29 I 1,29 I

Summe Zahlung 01.01.00 [Euro) (11):

Abb. 3.56: Wertgewichtete reale Rendite 183Die interne Zinsfußmethode ist im Kapitel 4.2.1.1.1 auf Seite 96 ausführlich beschrieben. 184Vgl. [77, S. 65 ff.]

S

100,00 0,00 -100,00 0,00

10 - 1 *9 A 9 1+8 ,, - 2 / 3 I i 1 - 5/6 5 3 2 Reale Zahlung ZinsS HunS Kumulierte S Jahres- S ZlnstageSEIns S S S Rendhe Datum Zahlung 01,01.00 faktor dert S q!:nt basls quotient Zlnstage p.a. (E..-ol (Tage( (Tagel (E,,-ol (lJiJ 1

-t

I I I Z

-t

100,00 ·39,63 ·60,37 0,00

S

I I I

Z

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

55

Im Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 3.56 auf der vorherigen Seite hat der Anleger A eine wertgewichtete reale Rendite von 42,13% p.a., der Anleger Beine wert gewichtete reale Rendite von 28,70% p.a. erzielt. 185 Anleger A wurde für sein Durchhaltevermögen mit einer höheren Rendite belohnt, während Anleger B zum falschen Zeitpunkt teilweise desinvestierte und sich somit mit einer niedrigeren Rendite begnügen muß. Die niedrige Rendite des Anlegers B resultiert aus dem externen Kapitalabfluss nach einem Jahr und nicht aus einer schlechten Anlagepolitik des Wertpapiermanagers. Folglich mißt die wertgewichtete reale Rendite den individuellen Anlageerfolg der Anleger und nicht des Wertpapier- bzw. Fondsmanagers. Die Leistung des Fondsmanagers beträgt im ersten Jahr 1,00% p.a. und im zweiten Jahr 100,00% p.a. 186 Demnach bleibt festzuhalten, das die wertgewichtete reale Rendite nicht geeignet ist, die Leistung eines Wertpapiermanagers zu messen.

3.4.1.2.2 Die zeitgewichtete reale Rendite Die zeitgewichtete reale Rendite beruht auf folgender finanzmathematischen Überlegung: "An allen Zeitpunkten, an denen Zuflüsse oder Entnahmen vorliegen, wird das Vermögen durch Bewertung festgestellt. Da die Zufuhr bzw. Entnahme bekannt ist, ist an diesen Zeitpunkten jeweils das Vermögen" vor externer Zahlung" und "nach externer Zahlung" ermittelt. Zwischen allen nacheinander folgenden Zeitpunkten wird nun der Zuwachsfaktor berechnet: Zuwachsfaktor

= Wert am Ende der Pe~iode "vor externer Zahlung"

Wert am Ende der Penode "nach externer Zahlung"

( ... ) Die Zuwachsfaktoren sind von den Zuflüssen bzw. Entnahmen unabhängig, da jeder Zeitpunkt mit Zahlungsfluß mit zwei Vermögenswerten in die Berechnung eingeht: Einmal "vor externer Zahlung" und einmal "nach externer Zahlung"." 187 Abb. 3.57 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung der zeitgewichteten realen Rendite in Fortführung des in Tab. 3.1 auf der vorherigen Seite dargestellten PerformanceAnlagebeispiels.

185ygl. Abb. 3.56 auf der vorherigen Seite Performancetableau Spalte 5. 186Ygl. Tab. 3.1 auf der vorherigen Seite Spalte Fonds-Peformance p.a. 187ygl. [109, S. 423]

56

Finanzmathematische Grundlagen

Zuwachsfaktortableau Jahr l' AnleAer A

""4

1 2 3= 1 -2 5=3/2+4 ZuwachsEndStartvermögen S vermögen S Performance SEins S faktor S 31.12.00 01.01.00 Jiilhr1 (Euro) (Euro) (Euro) 100,00 P 1,00 I 1 P 1,01 A 101.00 U Performancetableau

Zuwachsfaktortableau Jahr 2' Anleger A

r-r-

5=3 / 2+4 3= 1-2 1 2 ZuwachsStartEndvermögen S vermögen S Performiilnce SEins S faktor S 31.12,01 01,01,01 Jahr2 (Euro) (Euro) (Euro) 101,00 U 101,00 I 1 P 2,00 A 202,00 U Performancetableau

Performancetableau' AnleAer A

""""8

""4

9= ßA (7/(5/6)) -7)*8 3- 1*2 """1 1 2 5 6 Produktwert ZuwiilchsZuwachsJahresHunfaktor SEins S dert S Reale Rendite p.a. S faktor S S ZuwachsSEins S Haltedauer S basis Jahr1 Jahr2 faktor ('!b) (Tage) (Tage) 1,01 E 2,02 I 1 P 720,00 P 360,00 P 1 P 100 P 42 ,13 I 2,00 E Zuwachsfaktortableau Jahr 1 Zuwachsfaktortableau Jahr 2

Zuwachsfaktortableau Jahr l ' AnleAer B

r-r-

5=3/2+4 1 2 3 = 1 -2 EndStartZuwiilchsvermögen S vermögen S Performance SEins S faktor S 31.12.00 01.01.00 Jahr1 (Euro) (Euro) (Euro) 101,00 U 100,00 P 1,00 I 1 P 1,01 A Performancetableau

Zuwachsfaktortableau Jahr 2' AnleAer B

r-r-

3 = 1 -2 1 2 5=3/2+4 EndStiilrtZuwachsvermögen S vermögen S Performance SEins S faktor S Jahr2 31.12.01 01.01.01 (Euro) (Euro) (Euro) 100,00 U 50,00 U 50,00 I 1 P 2,00 A Performancetableau

Performancetableau' Anleger B

r-r-

3 = 1* 2 1 2 5 6 T ""'11 9 = ß A (7 / (5 /6)) - 7) * 8 ZuwachsZuwachsProduktwert HunS Jahresfaktor S fiilktor SEins S Haltedauer Reale Rendite p.a. S ZuwachsS SEins S dert S basis Jahr 1 Jahr2 fiilktor (Tage) (Tage) ("laI 1 P 100 P 42,13 I 1,01 E 2,00 E 2,02 I 1 P 720,00 P 360,00 P Zuwachsfaktortableau Jahr 1 Zuwachsfaktortableau Jahr 2

Abb. 3.57: Zeitgewichtete reale Rendite Das in Abb. 3.57 dargestellte Rechenbeispiel zeigt, daß die Zuwachsfaktoren des Anlegers B identisch sind mit den Zuwachsfaktoren des Anlegers A, der keine zwischenzeitliche Entnahme vorgenommen hat. Die Zuwachsfaktoren werden dann aufmultipliziert. Im Rechenbeispiel der Abb. 3.57 betragen die Zuwachsfaktoren der Anlagen A und B

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

57

für das erste Jahr 1,01 und für das zweite Jahr 2,00. 188 Durch Aufmultiplikation ergibt sich schließlich eine überjährige Gesamtperformance von 102,00%, die in eine durchschnittliche Performance von 42,13% p.a. durch Bildung des geometrischen Mittels der Einzelperformancen umgerechnet wird. 189 Wie an den Renditeergebnissen zu sehen ist, werden sowohl dem Anleger A als auch dem Anleger B die gleichen Renditen von 42,13% p.a. zugeschrieben. Der Kapitalabfluß des Anlegers B von 51,00 Euro am 01.01.01 hat somit das Renditeergebnis nicht verzerrt. Da der Wertpapiermanager bei bei den Anlegern exakt die gleiche Anlagestrategie verfolgt hat,190 muß die Anlageleistung des Managers auch identisch - wie in Abb. 3.57 auf der vorherigen Seite auf Basis der zeitgewichteten realen Rendite erfolgt - bewertet werden. Es bleibt also festzuhalten, daß die zeitgewichtete reale Rendite eine verursachungsgerechte Messung des Anlageerfolges eines Wertpapiermanagers ermöglicht.

3.4.2 Portfoliotheorie Ausgangspunkt der Portfoliotheorie (englisch: portfolio selection theory) ist die empirische Beobachtung, daß Geld- oder Kapitalanleger ihr Vermögen auf mehrere Geld-jKapitalanlagen in einem Port folio verteilen. Diese Verteilung - Diversifikation genannt - ist nur dann sinnvoll, wenn nicht die Rendite als einzige Zielvariable betrachtet wird. Wäre die Rendite die einzige Zielvariable, dann müßte der Geld- jKapitalanleger sein Vermögen in eine einzige Geld- jKapitalanlage mit der höchsten Rendite investieren. Eine Diversifikation wäre dann nicht sinnvoll. Da aber empirisch eine Diversifikation beobachtbar ist, untersucht die Portfoliotheorie die Wirkung der Diversifikation anhand von zwei Zielvariablen: die Rendite und das Risiko. Im Rahmen der Portfoliotheorie sind die in Abb. 3.58 dargestellten Modelle der Portfoliotheorie zu unterscheiden. 191 192

IPortfolio-Selection-Modelll

IIndexmodelli

Abb. 3.58: Modelle der Portfoliotheorie

188ygl. 189y gl. 190Ygl. 19lYgl. 192Ygl.

Abb. 3.57 auf der vorherigen Seite Zuwachsfaktortableau Spalte 5. Abb. 3.57 auf der vorherigen Seite Performancetableau Spalten 3, 5, 9. Tab. 3.1 auf Seite 54. [77, S. 249 ff.] [116, S. 6 ff.]

Finanzmathematische Grundlagen

58

3.4.2.1 Das Portfolio-Selection-Modell Das Portfolio-Selection-ModeZZ 193 beschreibt das empirisch beobachtbare Anlegerverhalten der Diversifikation, d. h. der Aufteilung des Vermögens auf verschiedene Geld-jKapitalanlagen, anhand der erwarteten Rendite 194 und den Risikomaßen Volatilität 195 und Korrelationskoeffizient 196 . Ausgangsbasis des Portfolio-Selection-Modells ist im einfachsten Zwei-Anlage-Fall (Aktienanlage A, Aktienanlage B) eine zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion 197 gemäß Abb. 3.59. Rendite p.a. Aktie B

S U

S

-14,00 26,00

U U

(%)

40,00

U

2

1 Rendite p.a. Aktie A

S

(%)

(%)

-20,00

Rendite p.a. Aktie B

Wahrscheinlichkeit S Wahrscheinlichkeit S 0,30 0,20

U U

0,20 0,30

U U

3=1+2 Wahrscheinlichkeit S der Randverteilung 0,50 0,50

I I

I Wahrscheinlichkeit:L..1_ _...:O~,5;.:;.0_ _....IIL...:I~I_ _~ 0 ,~ 50::"--_---I.1..;..1.&..1___1~,0;.;;0_ _--L1N..;.JI

Abb. 3.59: Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion Auf Grundlage der in Abb. 3.59 dargestellten Wahrscheinlichkeitsfunktion ist es möglich, die erwartete Rendite und die Volatilität für jede Geld-jKapitalanlage (Aktienanlage A, Aktienanlage B) sowie deren Korrelationskoeffizienten gemäß Abb. 3.60 auf der nächsten Seite zu berechnen.

193Vgl. [70] 194 Zum Begriff der erwarteten Rendite: Vgl. Abb. 3.26 auf Seite 30 Renditetableau. 195Zum Begriff der Volatilität: Vgl. Abb. 3.22 auf Seite 26. 196Zum Begriff des Korrelationskoeffizienten: Vgl. Abb. 3.26 auf Seite 30 Korrelationskoeffiziententableau. 197Zur betriebswirtschaft lichen Interpretation einer zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion: Vgl. Kapitel 3.3.1.2.1 auf Seite 28.

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

59

Renditetableau der Aktie A 1

2

Rendhe p.a.

S

1%.

2

Wahrscheinlichkeit

S

-14,00 U 26,00 U Wahrscheinlichkeit ß):

0,50 U 0,50 U 1,00 N 2 Gewichtete Rendite p. a. [%) (5): Erwartete Rendite p.a. [%) (6 = 5):

4- 1"2 Gewichtete Rendite p.lI.

I""

S

-7,00 1 13,00 1 6,00[ 1[ 6 ,00\ AJ

Kouarianztableau, Volatilitätstableau

Renditetableau der Aktie B 1

2

Rendhe p.lI.

S

Wahrscheinlichkeit

S

4 - 1"2 Gewichtete Rendhe p.a.

S

[%.

[%.

-20,00 U 40,00 U

0,50 U 0,50 U

-10,00 1 20,00 1

Erwartete Rendite p. a. [%) (6 = 5):

10,00[ 1[ 10,001A I

2 Wahrscheinlichkeit ß): 1,00 N 2 Gewichtete Rendite p.a. [%) (5):

Kovarianztableau J Volatilitätstableau

Renditetableau der Aktie A und der Aktie B 1 Rendite p.a. Aktie A

I""

-14,00 -14,00 26,00 26,00

S U U U U

2

2 Rendite p.a. AktIe B

1""

S

3 Wahrscheinllchkeh

S

5 &1"2"3 Gewichtete Rendite p.a.

[%"!

-20,00 U 40 ,00 U -20,00 U 40,00 U Wahrscheinlichkeit [%) (4):

84,00 -112,00 -104,00 312,00

0,30 U 0,20 U 0,20 U 0,30 U 1,00 N 2 Gewichtete Rendite p.a. [%2) (6): Erwartete Rendite p.a. [%2) (7 = 6):

S 1 1 1 1

180,00 1 180,00 A Kovarianztableau

Kovarianztableau 1 2 3 ElWartete Rendite p.a. ElWartete Rendite p.a. ElWartete Rendhe p.a. S S S AktIe B Aktie A und Aktie B AktIe A

["'.

"".

6,00 E

Renditetableau

10,00 E

Renditetableau

"",,!

180,00 E

4=3-1"2

S

Kovarianz

I%"!

120,00 A

KorrelationskoeffizIententableau

Renditetableau

Volatilitätstableau der Aktie A 1

2

3

Rendhe p.a.

S ElWartete Rendhe p.a. S

Wahrschelnllchkeh

1"'.

-1 4,00 U 26,00 U

"".

S

0,50 U 0,50 U

6,00 E 6,00 E

5-(1 - 2) " (1-2)"3 Gewichtete quadratische Abweichung p.a.

"",,!

2 Wahrscheinlichkeit (4): 1,00 N Renditetableau 2 Abweichungen p.a. [%2) (6):

S

200,00 1 200,00 1 400,00 1 400,00 1 20,00 A

Varianz p.a. [%2) (7 = 6): Volatilität p.a. [%) (8 = WURZEL(7)):

Korrelat,onskoeffiz,ententableau

Volatilitätstableau der Aktie B 1

2

3

Rendhe p.a.

S Erwartete Rendhe p.a. S

Wahrschelnllchkeh

[""

-20,00 U 40 ,00 U

1"'.

S

5-(1 - 2)"(1 - 2)"3 Gewichtete quadratische Abweichunq p.a.

S

[%"!

0,50 U 0,50 U

450,00 1 450,00 1

Varianz p.a. [%2J (7 = 6): Volatilität p.a. [%) (8 = WURZEL(7)):

900,00 1 900,00 1 30,00 A

10,00 E 10,00 E

2 Wahrscheinlichkeit: 1,00 N Renditetableau 2 Abweichungen p.a. [%2) (6):

KorrelationskoeffizIententableau

Korrelationskoeffiziententableau

2 3 S Volatilltät p.a. AktIe A S Volatilltät p.a. AktIe B S

1 Kovarianz

["''

120,00 E

Kouananztableau

..

"".

20,00 E

Volat,litätstableau

["'I

.. ..

30,00 E

4 - 1 / (2"3) Korrelationskoeffizient

SI

0,20 11

Volat,litätstableau

Abb. 3.60: Zwei-Anlage-Fall: Erwartete Rendite, Volatilität, Korrelationskoeffizient

Finanzmathematische Grundlagen

60

Auf Basis der in Abb. 3.60 auf der vorherigen Seite ermittelten Variablen (erwartete Rendite, Volatilität, Korrelationskoeffizient)198 ist eine Analyse der Diversifikationswirkung im beispielhaften Zwei-Anlage-Fall möglich. Die Diversifikationswirkung wird gemäß Abb. 3.61 mit Hilfe der Portfoliorendite und der Portfoliovolatilität 199 200 nachgewiesen. Renditetableau des Portfolios 4=1"'2 2 1 S Gewichtete Rendite ElWartete Rendite S Portfolioanteil S p.a. p.a.

I

I

Aktie A Aktie B

1%)

1%)

0,40 V 6,00 U 0,60 V 10 ,00 U 2: Portfolioanteil (3): 1,00 N 2: Gewichtete Rendite p.a. [%) (5): ElWartete Portfoliorendite p.a. [%) (6 = 5):

2,40 I 6,00 I 8,40 I 8,40 N

Volatilitätstableau des Portfolios 1 Portfolioanteil

I I

Aktie A Aktie B 2: Portfolioanteil (2):

S

3 Volatilität p.a.

1%)

S

4 = 3 ~3 Varianz p.a.

5=1~1~4

S Gewichtete Varianz p.a.

1%;

400 ,00 I 20 ,00 U 900,00 I 30,00 U 2: Gewichtete Varianz p.a. [%2) (6) : Volatilität p.a. Aktie A [%) (7): Portfolioanteil Aktie A (8): Volatilität p.a. Aktie B [%) (9): Portfolioanteil Aktie B (10): Korrelationskoeffizient (11): Zwei-Anlagen-Fall (12): Portfoliovarianz p.a. [%2) (13 = 6 .. 7 * 8 ~ 9 * 10 ~ 11 * 12): Portfoliovolatilität p.a. [%)14 = WURZEl(13): 0 ,40 V 0 ,60 V 1,00 N

S

1%;

64 ,00 I 324,00 I 388 ,00 20,00 0,40 30 ,00 0 ,60 0,20 2,00

I

U V U V U P

445,60 I 21,11 Z Min!

Abb. 3.61: Portfolio-Selection-Modell

198Zur Ermittlung der genannten Variablen: Vgl. Kapitel 3.3.1.2.1 auf Seite 28. 199Die Herleitung der Portfoliovolatilität im Zwei-Anlagen-Fall basiert auf folgender Kovarianz-Matrix: Aktie A

Aktie B

AnteilAktieA * AnteilAktieB * KovarianZAktieA B AnteilAktieB * VarianZAktieB

AnteilAktieA * VarianZAktieA AnteilAktieA * AnteilAktieB * KovarianZAktieA B

K01Jarianz-Matrim im Zwei-Anlagen-Fall

Für den Zwei-Anlagen-Fall ergibt sich die Portfoliovarianz als Summe in der obigen Matrix dargestellten Kovarianzen gemäß der Gleichung PortfoliovarianZAktieA,B

+ AnteilAktieB 2 * VarianZAktieB + * AnteilAktieB * KovarianZAktieA,B

AnteilAktieA 2 * VarianZAktieA

2 * AnteilAktieA

Unter Verwendung des Korrelationskoeffizienten ergibt sich die Portfoliovarianz wie folgt: KovarianZAktieA,B PortfoliovarianZAktieA,B

VolatilitätAktieA

V olatilität AktieB

200Vgl. [20, Seite 45 ff.]

* VolatilitätAktieB * Korrelationskoef fizientAktieA,B

* VarianZAktieA + AnteilAktieB 2 * VarianZAktieB + 2 * AnteilAktieA * AnteilAktieB * VolatilitätAktieA * AnteilAktieA 2

* K orrelationskoef fizientAktieA,B

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

61

Im Rechenbeispiel der Abb. 3.60 auf Seite 59 wird für eine einzelne Aktienanlage A eine Rendite von 6,00% p.a. bei einer Volatilität von 20,00% p.a. erwartet. 201 202 Wird diese einzelne Aktienanlage A um eine weitere Aktienanlage B mit einer erwarteten Rendite von 10,00% p.a. und einer Volatilität von 30,00% p.a. - im Sinne einer Diversifikation ergänzt,203 204 so ist gemäß Abb. 3.61 auf der vorherigen Seite eine durchschnittliche Portfoliorendite beider Aktienanlagen von 8,40% p.a. bei einer durchschnittlichen Portfoliovolatilität beider Aktienanlagen von 21,11% p.a. zu erwarten. 205 206 Durch Diversifikation ist es also gelungen, die Rendite der Aktienanlage A um 2,40% p.a. zu steigern, und trotzdem erhöht sich im Vergleich zu der einzelnen Aktienanlage A die Volatilität nur wenig um 1,11% p.a. 207 208 Diese Diversifikationswirkung entspricht der realitätsnahen Annahme, daß die risikoscheuen Geld-jKapitalanleger nur dann ein höheres Risiko akzeptieren, wenn eine überproportionale Rendite zu erwarten ist. Um in diesem Zusammenhang zu entscheiden, welche Portfolioaufteilung im Zwei-Anlage-Fall optimal ist, sind die jeweiligen Portfolioanteile der Aktienanlagen A und B (Status: Entscheidungsvariable) zu bestimmen, die bei einer erwarteten Portfoliorendite (Status: Nebenbedingung) die geringste Portfoliovolatilität (Status: Zielwert) aufweisen. 209 210 Portfolios, die diese Entscheidungsregel beachten, werden als effizient bezeichnet. 3.4.2.2 Das Index-Modell Das Index-Modell 211 212 beschreibt ebenso wie das Portfolio-Selection-Modell das empirisch beobachtbare Anlegerverhalten der Diversifikation. Im Gegensatz zum PortfolioSelection-Modell geht das Index-Modell aber davon aus, daß makroökonomische Ursachen, z. B. Änderung der Leitzinsen durch die Notenbank, Eintritt von unerwarteten politischen oder wirtschaftlichen Ereignissen, die Rendite von Geld- jKapitalanlagen maßgeblich beeinflussen. Wird unterstellt, daß diese maßgeblichen Einflüsse mit Hilfe eines Indizes 213 erfaßt werden können, und dieser die Renditeerwartung vollständig erklärt, so kann die erwartete Portfoliorendite und die erwartete Portfoliovolatilität gemäß Abb. 3.62 auf Seite 63 modelliert werden.

201 Ygl. Abb. 3.60 auf Seite 59 Renditetableau der Aktie ASpalte 6. 202ygl. Abb. 3.60 auf Seite 59 Yolatilitätstableau der Aktie ASpalte 8. 203ygl. Abb. 3.60 auf Seite 59 Renditetableau der Aktie B Spalte 6. 204Ygl. Abb. 3.60 auf Seite 59 Yolatilitätstableau der Aktie B Spalte 8. 205ygl. Abb. 3.61 auf der vorherigen Seite Renditetableau des Portfolios Spalte 6. 206ygl. Abb. 3.61 auf der vorherigen Seite Yolatilitätstableau des Portfolios Spalte 14. 207ygl. Abb. 3.60 auf Seite 59 Renditetableau der Aktie ASpalte 6 im Vergleich zu Abb. 3.61 auf der vorherigen Seite Renditetableau des Portfolios Spalte 6. 208ygl. Abb. 3.60 auf Seite 59 Yolatilitätstableau der Aktie ASpalte 8 im Vergleich zu Abb. 3.61 auf der vorherigen Seite Yolatilitätstableau des Port folios Spalte 14. 209ygl. Abb. 3.61 auf der vorherigen Seite Renditetableau des Portfolios Spalten 2, 6. 210ygl. Abb. 3.61 auf der vorherigen Seite Yolatilitätstableau des Portfolios Spalte 14. 211Ygl. [107] 212Synonymbegriffe: Single-Index-Modell, Diagonalmodell. 213ygl. fußnote 70 auf Seite 29.

Finanzmathematische Grundlagen

62

Mathematisch ausgedrückt basiert die erwartete Portfoliorendite und die erwartete Portfoliovolatilität auf einer Regressionsrechnung, bei der die Regressionskoeffizienten durch das Jensen-Maß214 und den Betafaktor215 und der Regressor durch die erwartete IndexRendite beschrieben wird. 216 217

214Zum Begriff des Jensen-Maßes: Vgl. Abb. 3.4.1.1.3.3 auf Seite 52. 215Zum Begriff des Betafaktors: Vgl. Abb. 3.34 auf Seite 38 oder Abb. 3.35 auf Seite 39. 216Die mathematische Herleitung der Portfoliorendite und der Portfoliovolatilität auf Basis einer Regressionsrechnung zeigt folgendes Gleichungssystem: Erwartete RenditeAktie

Jensen-Map + Betafaktor * Erwartete RenditeIndex

(Anmerkung: In der Literatur wird diese Regressionsgleichung noch um eine titelspezifische Störkomponente (Residualrendite) ergänzt (vgl. [47, S. 70 ff.]), auf die aus Vereinfachungsgründen verzichtet wird.) VarianZAktie VarianZAktie

Erwartungswert(RenditeAktie - Erwartete RenditeAktie)2 Erwartungswert«Jensen-Map + Betafaktor * Renditelndea,) (Jensen-Map + Betafaktor * Erwartete Renditelndex»2

Nach Auflösung der binomischen Formel ergibt sich: VarianZAktie VarianZAktie

Erwartungswert(Betafaktor 2 * (RenditeIndex - Erwartete RenditeIndex 2) +

2 * Betafaktor * (RenditeIndex - Erwartete RenditeIndex»

Betafaktor 2 * Erwartungswert(Renditelndex - Erwartete Renditelndex)2 +

2 * Betafaktor * Erwartungswert(Renditelndex - Erwartete RenditeIndex)

Unter Beachtung der Prämisse des Index-Modells

o =

2 * Betafaktor * Erwartungswert(Renditelndex - Erwartete RenditeIndex)

ergibt sich für die Varianz der Aktie: VarianZAktie

Betafaktor 2 * VarianZIndex

Für die Portfoliorendite und die Portfoliovolatilität im Zwei-Anlage-Fall (Aktie A und Aktie B) gelten dann folgende Gleichungen: Erwartete Renditeport/olio

AnteilAktieA * Jensen-MaPAktieA + AnteilAktieA * BetafaktorAktieA * Erwartete RenditeIndex +

* Jensen-MaPAktieB + * Betafaktor AktieB * Erwartete RenditeIndex (AnteilAktieA * BetafaktOTAktieA)2 * VarianzIndex + (AnteilAktieB * BetafaktorAktieB)2 * VarianzIndex

AnteilAktieB AnteilAktieB VarianZPort/olio

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

63

Renditetableau des Indizes

4 - 1"2

2

1

S WahlSCheinlichkeit S Gewichtete Rendite p.a. S

Rendite p.a.

('!lI

('!I(

0,20 U -3,00 U 15,00 U 0,80 U L Wahrscheinlichkeit P): 1,00 N L Gewichtete Rendite p.a. [%) (5): Erwartete Rendite p.a. [%) (6 = 5):

-.

-0,60 I 12,00 I 11,401 I 1 11,401AI

..

VolatllH:ätstableau des Indizes Renditetableau des Portfolios

Volatilitätstableau des Indizes

10/01

S

Erwartete Rendite p.a.

10/01

-3,00 U 15,00 U

5-(1-2) " (1 - 2) " ]

3

2

1 Rendite p.a.

S

Wahrscheinlichkeit

S

Gewichtete quadratische Abweichung p.a. (%~

O,2D U 0,80 U

11,40 E 11,40 E

L Wahrscheinlichkeit (4): 1,00 N L Abweichungen p.a. [%2) (6): Renditetableau Varianz p.a. [%2) (I = 6): des Indizes Volatilität p.a. [%) (8 = WURZEL (I)):

S

41,47 I 10,37 I 51,84 I 51,84 I 7,20 A

Volatllitätstableau des Portfohos

Renditetableau des Portfolios

1

IAktie A IAktie B

S

Portfolioanteil

10/01

-0,54 U -0,37 U L Portfolioanteil P):

S

6 - 1 " 2+2"4*5

5

4

2

Jensen-MaA

Betafaktor

Erwartete Index-Rendlte p.a.

S

S

I'!II

11,40 E 11,40 E L Gewichtete Rendite p.a. [%) (I): Erwartete Rendite p.a. [%) (8 = 7):

1,22 U 0,99 U

0 ,85 V 0,15 V 1,00 N

Gewichtete Rendite p.a. ('!lI

11,36 1,64 13,00 13,00

S I I I

N

Renditetableau des Indizes

Volatilitätstableau des Portfolios

1

IAktie A 1Aktie B

4

3

Portfolioanteil

S

0,85 V 0,15 V 1,00 N :(2)

Betafaktor

L

S

1,22 U 0,99 U Portfolioanteil

['!lI

Volotilitiitstableau des Indizes

6-1*3"1 " ]"5

5 - 4"4

Index-Voladlität p.a.

Index·Varianz p.a.

S

(%~

7,20 E 7,20 E

S

51,84 I 51,84 I L Gewichtete Varianz p.a. [%2) (I): Varianz p.a. [%2) (8 = 7) : Volatilität p.a. [%) (9 = WURZEl(8)):

Gewichtete Varianz p.a. [%2) 55,75 1,14 56,89 56,89 7,54

S I I I I

Z Min!

Abb. 3.62: Index-Modell Im Rechenbeispiel der Abb. 3.62 wird für eine einzelne Indexanlage eine Rendite von 11,40% p.a. bei einer Volatilität von 7,20% p.a. erwartet. 218 219 Werden statt der einzelnen Indexanlage zwei Aktienanlagen A und B getätigt, so ist eine durchschnittliche Portfoliorendite bei der Aktienanlagen von 13,00% p.a. bei einer durchschnittlichen Volatilität beider Aktienanlagen von 7,54% p.a. zu erwarten. 220

221

Durch Diversifikation ist es also

gelungen, die Rendite um 1,60% p.a. zu steigern, und trotzdem erhöht sich im Vergleich zu einer einzelnen Indexanlage die Volatilität nur wenig um 0,34% p.a. 222 223 Folglich konnte auch im Rahmen des Index-Modells die Diversifikationswirkung nachgewiesen werden. 218ygl.

Abb. 3.62 Renditetableau des Indizes Spalte 6. Abb. 3.62 Yolatilitätstableau des Indizes Spalte 8. 220ygl. Abb. 3.62 Renditetableau des Portfolios Spalte 8. 221 Y gl. Abb. 3.62 Yolatilitätstableau des Portfolios Spalte 9. 222y gl. Abb. 3.62 Renditetableau des Indizes Spalte 6 im Vergleich zu Abb. 3.62 Renditetableau des Portfolios Spalte 8. 223y gl. Abb. 3.62 Yolatilitätstableau des Indizes Spalte 8 im Vergleich zu Abb. 3.62 Yolatilitätstableau des Port folios Spalte 9. 219y gl.

Finanzmathematische Grundlagen

64

In diesem Zusammenhang erfolgt die Bestimmung der optimalen Portfolioaufteilung im Zwei-Anlage-Fall analog der Portfolio-Selection-Theorie. 224

3.4.3 Potentieller Risikobetrag In den letzten Jahren ist auf Grund des starken Wachstums von derivativen Finanzkonstruktionen 225 und der damit verbundenen höheren Volatilität von Aktien- und Wertpapierkursen die Risikoanalyse und -bewertung zunehmend in den Mittelpunkt bankenaufsichtsrechtlicher Verfahren und Vorschriften getreten. Primäres Ziel sämtlicher Verfahren der Bankenaufsicht 226 ist es, daß von jedem Finanz-/Kreditinstitut eingegangene Aktien-, Zins- und Währungsrisiko monetär zu bewerten, um im nächsten Schritt durch eine Eigenkapitalunterlegung der risikobehafteten Geld-/Kapitalmarktgeschäfte einen Insolvenzfall durch Schadenseintritt zu verhindern. Im Rahmen der praxisorientierten Verfahren der Bankenaufsicht weist das von der Investmentbank J.P.Morgan227 initiierte Verfahren "potentieller Risikobetrag" (englisch: value at risk) einen besonderen Stellenwert auf. Das "potentielle Risikobetrag"-Konzept unterstellt grundsätzlich eine Standardnormalverteilung von Aktien- und Wertpapierkursen. 228 Dabei werden im allgemeinen Renditen der Vergangenheit beobachtet. Abb. 3.63 zeigt die bei den aus der Standardnormalverteilung ableitbaren Bewertungsalternativen des Risikos im "potentiellen Risikobetrag"-Konzept. 229 Bewertungsalternativen im "potentiellen Risikobetrag"-Konzept

IQuantilwert des Risikos I

IKonfidenzintervallwert des Risikos I

Abb. 3.63: Bewertungsalternativen im "potentiellen Risikobetrag"-Konzept 3.4.3.1 Der Quantilwert des Risikos Der Bewertungsalternative Quantilwert des Risikos liegt die Frage zugrunde, welche Minimalrendite innerhalb einer bestimmten Haltedauer mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nicht erreicht wird. Statistisch ausgedrückt beschreibt die Minimalrendite das Risiko, welches mit einer Unterschreitung der erwarteten Rendite, sogenanntes Downside Risk, verbunden ist. Dabei ist die gewünschte Minimalrendite als eine normalverteilte Zufallsvariable zu interpretieren, die durch eine lineare Transformation 224Ygl. 225Ygl. 226Ygl. 227Ygl. 228ygl. 229Ygl.

Kapitel 3.4.2.1 auf Seite 58. Kapitel 4.2.1.2.1.9 auf Seite 190. Internetseite: www.bafin.de Internetseite: www.jpmorgan.com [32, S. 146 ff.) [54, S. 131 ff.)

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

65

in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable überführt wird. 23o Gewichtet man die Mindestrendite mit dem heutigen Vermögens-jDepotwert einer Geld- jKapitalanlage, so kann der Quantilwert des Risikos errechnet werden. Der Quantilwert des Risikos bestimmt demnach den mit der Mindestrendite korrespondierenden monetären Betrag, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit noch unterschritten wird. Im folgenden wird die Bewertungsalternative Quantilwert des Risikos im Rahmen des "potentiellen Risikobetrag"-Konzeptes auf Datenbasis des in Abb. 3.60 auf Seite 59 dargestellten Zwei-Anlage-Falls (Aktienanlage A, Aktienanlage B) erläutert. Auf Grundlage der erwarteten Renditen und Volatilitäten der einzelnen Aktienanlagen ist es gemäß Abb. 3.64 zunächst möglich, für jede Aktienanlage einen Quantilwert des Risikos zu berechnen. Quantilwerttableau der Aktie A

3

2

1

4=(1 - 2) / 3

StandardErwartete MinimalVolatiltät S normalverteilte S rendite S Rendite S p.a. Zufallsvariable p.a. p.a. l~)

-33.20 V

1%)

6.00 U

1'110)

20,00 U

-1,96 Z

5

--y-

6

QuantilWahrscheinlichkeit gernii& Tabelle der

S

Standard-

Depotwert Aktie A

S Hun- S Quantilwert S des Risikos dert

norlllilMlrteiUIg

(%)

8=1 " 6 17

(Euro) 2,50 P 10000000,00 U

(Euro) 100 P -3.320.000,00 I

Quantilwerttableau der Aktie B

2

1

3

4 - (1-21 / 3

StillndillrdErwillrtete MlnimalS Volatiltät S normalverteilte S rendite S Rendite p.a. Zufillilsvariable p.a. p.a.

5 gernii& Tabelle der

Standard-

S

Depotwert Aktie B

l1OI1'I1iIMIIteilung

('110)

('110)

-48,80 V

10,00 U

('110)

30,00 U

-1,96 Z

(%1

~

6

QUillntllWillhrscheinlichkeit

8 = 1 " 617

S Hun- S Quantilwert S des Risikos dert

(Euro) 2,50 P 10.000.000,00 U

(Euro) 100 P -4 .880.000,00 I

Abb. 3.64: Quantilwert der Einzelrisiken im Zwei-Anlage-Fall Am Ausgangspunkt der Quantilwertberechnung des Risikos ist zu entscheiden, welche Quantil-Wahrscheinlichkeit für das Unterschreiten einer Minimalrendite zu gelten hat. Im Rechenbeispiel der Abb. 3.64 wird sowohl für die Aktienanlage A als auch für die Aktienanlage Beine Quantil-Wahrscheinlichkeit von jeweils 2,50% unterstellt. 231 Die mit der Quantil-Wahrscheinlichkeit korrespondierende standardnormalverteilte Zufallsvariable von -1,96 für jede einzelne Aktienanlage kann dann der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entnommen werden, die in jedem Lehrbuch der Statistik in tabellierter Form vorliegt. 232 233 Nach Kenntnis der standardnormalverteilten Zufallsvariable ist die Minimalrendite zu bestimmen. Dabei fungiert die Minimalrendite als Entscheidungsvariable einer 1:1-Zielwertanalyse, die solange iteriert wird, bis die 230Ygl. 231 Y gl. 232ygl. 233ygl.

[20, S. 60 ff.] Abb. 3.64 Spalte 5. Abb. 3.64 Spalte 4. [34, S. 197]

Finanzmathematische Grundlagen

66

gewünschte standardnormalverteilte Zufallsvariable als Zielwert einer linearen Transformation erreicht wird. Im Rechenbeispiel der Abb. 3.64 auf der vorherigen Seite ergibt sich demnach bei einem standardnormalverteilten Zufallsvariablen-Zielwert von -1,96 für die Aktienanlage A eine Mindestrendite von -33,20% p.a. sowie für die Aktienanlage Beine Mindestrendite von -48,80% p.a. 234 Zur abschließenden Berechnung des Quantilwertes der risikobehafteten Aktienanlagen A sowie des Quantilwertes der risikobehafteten Aktienanlage B ist der jeweilige unterstellte Aktiendepotwert mit der entsprechenden Mindestrendite zu bewerten. Im Rechenbeispiel der Abb. 3.64 auf der vorherigen Seite wird dementsprechend ein Quantilwert des Risikos für die Aktienanlage A von -3.320.000,00 Euro sowie ein höherer Quantilwert des Risikos für die Aktienanlage B von -4.880.000,00 Euro ermittelt. 235

Nach der Quantilwert-Berechnung der Aktienanlage A sowie der Quantilwert-Berechnung der Aktienanlage B werden beide Aktienanlagen in einem Portfolio zusammengefaßt und der Quantilwert des Portfolio-Risikos gemäß Abb. 3.65 ermittelt. 2

1

3

4=(1-2) / 3

5

QuantilStandardMinimalErwartete Wahrscheinlichkeit Volatiltät S normalverteilte S gemäß Tabelle der S rendite S Rendite S p.a. standardZufallsvariable p.a. p.a. normaIwrteilung [%)

[%)

8,40 U

-32,98 V

[%)

21,11 U

-1,96 Z

[%)

~

6 Depotwert Portfolio

8=1*6 / 7

S Hun- S Quantilwert S des Risikos dert

[Euro) 2,50 P 20.000.000,00 U

[Euro) 100 P -6.595.120,00 I

Abb. 3.65: Quantilwert des Portfolio-Risikos im Zwei-Anlage-Fall Das Rechenbeispiel der Abb. 3.65 ist die logische Fortführung des Portfolio-SelectionModells, dargestellt im Rechenbeispiel der Abb. 3.61 auf Seite 60. Demnach kann auch beim Quantilwert des Risikos im Rahmen des "potentiellen Risikobetrag"-Konzeptes eine Risikoreduktion des Portfolios durch Diversifikation nachgewiesen werden. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 2,50% beträgt der Maximalverlust des Portfolios

-6.595.120,00 Euro. 236 Dies ist deutlich geringer als das Additionsergebnis der monetären

Quantilwerte der Einzelrisiken von -8.200.000,00 Euro (Quantilwert der Aktienanlage A -3.320.000,00 Euro; Quantilwert der Aktienanlage B -4.880.000,00 Euro).237

3.4.3.2 Der Konfidenzintervallwert des Risikos Die zweite Bewertungsalternative des "potentiellen Risikobetrag"-Konzeptes, der K onjidenzintervallwert des Risikos, basiert auf der Bestimmung eines symmetrischen

Konfidenzintervalls (Korridors). Das symmetrische Konfidenzintervall umfaßt die Wahrscheinlichkeit, daß die erwartete Rendite einer Geld- jKapitalanlage innerhalb einer 234Ygl. 235ygl. 236ygl. 237ygl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

3.64 3.64 3.65 3.65

auf der vorherigen Seite Spalten 1 bis 4. auf der vorherigen Seite Spalten 6 bis 8. Spalte 8. Spalte 8 im Vergleich zu Abb. 3.64 auf der vorherigen Seite Spalte 8.

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

67

bestimmten Haltedauer eine Mindestrendite nicht unterschreitet und eine Maximalrendite nicht überschreitet. 238 Demnach liegt dem Konfidenzintervallwert des Risikos die Frage zugrunde, welche Mindestrendite (= minimaler Konfidenzintervallwert ) und welche Maximalrendite (= maximaler Konfidenzintervallwert ) bei gegebener Konfidenzintervallwahrscheinlichkeit zu erwarten ist. Durch Multiplikation der Mindestrendite (Maximalrendite ) mit dem derzeitigen Vermögens-jDepotwert einer Geld-jKapitalanlage kann der mit der Mindestrendite (Maximalrendite ) korrespondierende monetäre Betrag als minimaler (maximaler) Konfidenzintervallwert des Risikos bestimmt werden, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nicht unterschritten (überschritten) wird. Im folgenden wird die Bewertungsalternative Konfidenzintervallwert des Risikos im Rahmen des "potentiellen Risikobetrag"-Konzeptes auf Basis des in Abb. 3.60 auf Seite 59 bekannten Zwei-Anlage-Falls (Aktienanlage A, Aktienanlage B) erläutert. Auf Grundlage der erwarteten Renditen und Volatilitäten der einzelnen Aktienanlagen ist es gemäß Abb. 3.66 auf der nächsten Seite zunächst möglich, für jede Aktienanlage einen minimalen und maximalen Konfidenzintervallwert zu berechnen.

238Vgl. [7, S. 162 ff.]

68

Finanzmathematische Grundlagen

Konfidenzintervallwerttableau (Maximalrendite) der Aktie A

1

3

2

[%[

[%[

Symmetrische Intervallwahrscheinlichkeit S gemä~ Tabelle der Standardnormalverteilung [%[

[%[

6,00 U

26.00 V

20,00 U

1,00 Z

r--v-

6

5

4=(1-21/3

Erwartete StandardMaximalVolatiltät rendite S Rendite S S normalverteilte S p.a. p.a. p.a. Zufallsvariable

Depotwert Aktie A

Maximaler S Hun- S Konfldenzintervall- S dert wert des Risikos

[Eurol 68,27 P 10 000 000 ,00 U

Konfidenzintervallwerttableau (Minimalrendite) der Aktie A 1

3

2

Symmetrische IntervallMinimalErwartete StandardVolatiltät wahrscheinlichkeit S normalverteilte S S rendite S Rendite S gemä~ Tabelle der p.a. Zufallsvariable p.a. p.a. Standardnormalwrteilung [%1

[%1

-14,00 V

[%1

6,00 U

-20,00 U

[%1

1,00 Z

Depotwert Aktie A

2

3

[Eurol 68,27 P 10. 000.000 ,00 U

StandardMaximalErwartete Volatiltät rendite S Rendite S S normalverteilte S p.a. Zufallsvariable p.a. p.a. [%1

40,00 V

[%1

10,00 U

5

4-(1-21/3

[%1

[%1

30,00 U

1,00 Z

Depotwert Aktie B

100 P

-y-

6

Symmetrische Intervallwahrscheinlichkeit S gernä~ TabeRe der StandardnormalwrteUung

[Eurol 2.600.000,00 I

8=1*617

Minimaler S Hun- S Konfldenzintervall- S dert wert des Risikos

Konfidenzintervallwerttableau (Maximalrendite) der Aktie B 1

100 P

-y-

6

5

4=(1-2) / 3

8=1*617

[Eurol -1 .400.000 ,00 I

8=1*617

Maximaler S Hun- S Konfldenzintervall- S dert wert des Risikos

[Eurlll 68,27 P 10.000.000,00 U

100 P

[Eurol 4.000.000,00 I

Konfidenzintervallwerttableau (Minimal rendite) der Aktie B

1

2

3

r-y6 8=1*6/7 5 Symmetrische IntervallMInimaler Depotwert S Hunwahrsche inlichkeit S Konfldenzintervall- S S gemäß Tabelle der Aktie B dert wert des Risikos Standardnormalwrteilung [Eurol [Eurol [%1 -2.000.000,00 I 1,00 Z 68,27 P 10 000 000 ,00 U 100 P

4~(1-21/3

MinimalErwartete StandardVolatiltät rendite S Rendite S S normalverteilte S p.a. Zufallsvariable p.a. p.a. [%1

-20,00 V

[%1

10,00 U

[%1

-30,00 U

Abb. 3.66: Konfidenzintervallwert der Einzelrisiken im Zwei-Anlage-Fall Am Ausgangspunkt der Konfidenzintervallwertberechnung des Risikos ist zu entscheiden, welche symmetrische Konfidenzintervallwahrscheinlichkeit für den gesuchten Renditekorridor, der durch eine Minimalrendite und eine Maximalrendite begrenzt wird, zu gelten hat. Im Rechenbeispiel der Abb. 3.66 wird sowohl für die Aktienanlage A als auch für die Aktienanlage B eine symmetrische Intervallwahrscheinlichkeit von jeweils 68,27% unterstellt. 239 Die mit der symmetrischen Intervallwahrscheinlichkeit korrespondierende standardnormalverteilte Zufallsvariable von 1,00 für jede Aktienanlage kann dann der symmetrischen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entnommen werden, die in jedem Lehrbuch der Statistik in tabellierter Form vorliegt. 240

241

Nach Kenntnis

der standardnormalverteilten Zufallsvariable ist einerseits die Mindestrendite und die Maximalrendite der Aktienanlage A, andererseits die Mindestrendite und die Maximalrendite der Aktienanlage B zu bestimmen. Dabei fungieren die entsprechenden Renditen als Entscheidungsvariablen, die solange iteriert werden, bis die gewünschte standardnorAbb. 3.66 Spalte 5. Abb. 3.66 Spalte 4. 241 V gl. [34, S. 199J

239Vgl.

240 V gl.

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

69

malverteilte Zufallsvariable als Zielwert einer linearen Transformation erreicht wird. Im Rechenbeispiel der Abb. 3.66 auf der vorherigen Seite ergeben sich demnach bei einem standardnormalverteilten Zufallsvariablen-Zielwert von 1,00 für die Aktienanlage A eine Maximalrendite von 26,00% p.a. sowie eine Minimalrendite von -14,00% p.a., für die Aktienanlage Beine Maximalrendite von 40,00% p.a. sowie eine Minimalrendite von -20,00% p.a. 242 243 Zur abschließenden Berechnung des maximalen und minimalen Konfidenzintervallwertes des Risikos ist der jeweilige unterstellte Aktiendepotwert sowohl mit der Maximalrendite als auch mit der Mindestrendite zu bewerten. Im Rechenbeispiel der Abb. 3.66 auf der vorherigen Seite wird dementsprechend für die Aktienanlage A ein minimaler Konfidenzintervallwert des Risikos von -1.400.000,00 Euro sowie ein maximaler Konfidenzintervallwert des Risikos von 2.600.000,00 Euro, für die Aktienanlage Bein minimaler Konfidenzintervallwert des Risikos von -2.000.000,00 Euro sowie ein maximaler Konfidenzintervallwert des Risikos von 4.000.000,00 Euro ermittelt. 244

245

Die

betriebswirtschaftliche Interpretation lautet demnach: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,27% liegt die zu erwartende Wertänderung des Depotvermögens der Aktie A in einem Jahr zwischen -1.400.000,00 Euro und 2.600.000,00 Euro; mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,27% liegt die zu erwartende Wert änderung des Depotvermögens der Aktie B in einem Jahr zwischen -2.000.000,00 Euro und 4.000.000,00 Euro. Nach

der

Konfidenzintervallwert-Berechnung

der

Aktienanlage

A

sowie

der

Konfidenzintervallwert-Berechnung der Aktienanlage B werden beide Aktienanlagen in einem Portfolio zusammengefaßt und der minimale und maximale Konfidenzintervallwert des Portfolio-Risikos gemäß Abb. 3.67 ermittelt. Konfidenzintervallwerttableau (Maximalrenditel des Portfolios 4 = {1 - 2}/3 5 3 1 2 Symmetrische IntervallStandardErwartete MaximalVolatiltät wahrscheinlichkeit S S normalverteihe S rendite S Rendite S gemäII Tabele der p.a. Zufallsvariable p.a. p.a. standardnormaMlrtellung [%) ['10) ['M) ['!tl 29,51 V

8,40 U

21,11 U

'"7

6 Depotwert Portfolio

Maximaler S Hun- S Konfidenzintervall- S dert wert des Risikos [Euro)

[Euro)

68,27 P 20.000.000,00 U

1,00 Z

8 = 1 *617

100 P

5.902.000 ,00 I

Konfidenzintervallwerttableau (Minimalrenditel des Portfolios 4=(1 - 2} / 3 5 3 1 2 Symmetrische IntervallStandardMinimalErwartete Volatiltät wahrscheinlichkeit S normalverteilte S S rendite S Rendite S gemäll TabeIe der p.a. p.lI. Zufallsvarillble p.lI. standardnormalwerteilung [%) -12,71 V

['10)

['M)

[%)

8,40 U

-21,11 U

1,00 Z

7

6 Depotwert Portfolio

8=1 * 617

Minimaler S Hun- S Konfidenzintervall - S dert wert des Risikos [Euro)

[Euro)

68,27 P 20.000.000,00 U

100 P

-2.542.000,00 I

Abb. 3.67: Konfidenzintervallwert des Portfolio-Risikos im Zwei-Anlage-Fall Auch das Rechenbeispiel der Abb. 3.67 ist die logische Fortführung des PortfolioSelection-Modells, dargestellt im Rechenbeispiel der Abb. 3.61 auf Seite 60. Demnach 242Vgl. 243Vgl. 244Vgl. 245Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

3.66 3.66 3.66 3.66

auf der auf der auf der auf der

vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen

Seite Seite Seite Seite

Konfidenzintervallwerttableau Konfidenzintervallwerttableau Konfidenzintervallwerttableau Konfidenzintervallwerttableau

(Maximalrendite) Spalte 4. (Minimalrendite) Spalte 4. (Maximalrendite) Spalte 8. (Minimalrendite) Spalte 8.

Finanzmathematische Grundlagen

70

kann auch beim Konfidenzintervallwert des Risikos im Rahmen des "potentiellen Risikobetrag"-Konzeptes eine Risikoreduktion des Portfolios durch Diversifikation nachgewiesen werden. Mit einer Intervallwahrscheinlichkeit von 68,27% liegt die Wertveränderung des Portfoliovermögens nach einem Jahr zwischen -2.542.000,00 Euro und 5.902.000,00 Euro. 246 Dieser Korridor ist deutlich geringer als das Konvidenzintervall der Einzelrisiken von -3.400.000,00 Euro (minimaler Konfidenzintervallwert der Aktienanlage A -1.400.000,00 Euro; minimaler Konfidenzintervallwert der Aktienanlage B -2.000.000,00 Euro) bis 6.600.000,00 Euro (maximaler Konfidenzintervallwert der Aktienanlage A 2.600.000,00 Euro; maximaler Konfidenzintervallwert der Aktienanlage B 4.000.000,00 Euro), welches sich durch Addition der Konfidenzintervallwerte der Aktienanlagen A und B ergibt. 247

3.4.4 Kapitalmarkttheorie Die Kapitalmarkttheorie basiert auf Bewertungsmodellen zur Preisfindung von effizienten Portfolios im Kapitalmarktgleichgewicht 248 . 249 Diese Bewertungsmodelle beantworten die Frage, welche Rendite bei welchem Risiko zu erwarten ist. Abb. 3.68 zeigt die beiden wichtigsten Modelle der Kapitalmarkttheorie. Modelle der Kapitalmarkttheorie

ICapital Asset Pricing Modell (CAPM) I

IMarktmodelli

Abb. 3.68: Modelle der Kapitalmarkttheorie

3.4.4.1 Das Capital Asset Pricing Modell Das Capital Asset Pricing Modell (CAPMj250

251 252

greift den Gedanken der Port folio-

theorie auf, wonach Geld- jKapitalanleger bestrebt sind, effiziente individuelle Port folios zu halten. 253 Neben diesem Kerngedanken der Portfoliotheorie führt die Kapitalmarkttheorie folgende Prämissen ein:

246Vgl. Abb. 3.67 auf der vorherigen Seite Konfidenzintervallwerttableau des Portfolios Spalte 8. 247Vgl. Abb. 3.67 auf der vorherigen Seite Konfidenzintervallwerttableau des Portfolios Spalte 8 im Vergleich zu Abb. 3.66 auf Seite 68 Konfidenzintervallwerttableau der Aktie Asowie Konfidenzintervallwerttableau der Aktie B Spalte 8. 248Im Kapitalmarktgleichgewicht werden Angebot und Nachfrage für jede Wertpapierart gerade ausgeglichen, weshalb die zugehörigen Gleichgewichtskurse auch als markt räumend bezeichnet werden. 249Vgl. [77, S. 257 ff.] 250 Vgl. [68] 251 Vgl. [75] 252Vgl. [108] 253Vgl. Kapitel 3.4.2 auf Seite 57.

3.4 Finanzmathematische Grundmodelle im Zins- und Risikobereich

71

• Es existiert eine risikolose Rendite, zu der jederzeit beliebig viel GeldjKapital aufgenommen werden kann. • Es wird ein fiktives effizientes Marktportfolio unterstellt, welches sämtliche am Geld-jKapitalmarkt gehandelten Geld- jKapitalanlagen, gewichtet mit ihren Marktwerten, umfaßt. • Es existiert ein vollkommener Geld- jKapitalmarkt. Die weitreichende Implikation dieser Prämissen besteht darin, daß sämtliche Geld-jKapitalanleger eine individuelle Portfolio-Linearkombination -

sogenannte

Kapitalmarktlinie (englisch: capital market line) - aus risikoloser Geld-jKapitalanlage und dem risikobehafteten Marktportfolio halten. Die individuellen Risikopräferenzen der Geld- jKapitalanlager kommen demnach lediglich durch eine individuelle Kombination - sogenannte Tobin-Separation - zwischen risikoloser Geld- jKapitalanlage und dem risikobehafteten Marktportfolio zum Ausdruck. Somit beantwortet das CAPM die Fragestellung, welche Rendite von einem individuellen Portfolio im Kapitalmarktgleichgewicht zu erwarten ist, wenn neben dem risikobehafteten Marktportfolio auch eine risikolose Geld-jKapitalanlage getätigt wird. Abb. 3.69 zeigt in diesem Zusammenhang die Kapitalmarktlinie des CAPM. 7=1+5 ~ 6 6 5 =3 / 4 4 3 = 2·1 2 ElWartete ElWartete Individuelle Markt· individuelle Marktpreis RislkoMarktRisiko lose PortfolioportfolioRendite S portfolio- S prämie S Volatität S des Risikos S Volatilität S Portfolio- S Rendite (CAPM-Faktor) p.a. Rendite p.a. p.a. p.a. p.a. p.a.

1

)%)

(%)

5,00 U

8,40 U

(%)

3,40 I

21,11 U

('!'a )

('110)

('110)

0,16 I

7,00 U

6,13 I

Abb. 3.69: Kapitalmarktlinie Mathematisch betrachtet basiert die im Rechenbeispiel der Abb. 3.69 dargestellte Kapitalmarktlinie auf einer monoton steigenden linearen Funktion mit den unabhängigen Variablen "risikolose Rendite p.a." und "individuelle Port folio-Volatiliät p.a." .254 Die Steigung der Kapitalmarktlinie stellt den Marktpreis für die Risikoänderung um eine Risikoeinheit - sogenannter CAPM-Faktor - dar und setzt die Risikoprämie p.a. des Marktes

(= erwartete Marktportfolio-Rendite p.a. minus risikoloser Rendite p.a.) ins Verhältnis zur Marktportfolio-Volatilität p.a. 255 Die Interpretation der Kapitalmarktlinie lautet: Ändert sich die individuelle Port folio-Volatilität p.a. um eine Einheit, so führt dies zu eine~ veränderten Renditeerwartung des individuellen Port folios um den CAPM-Faktor. 256

Bei einer unterstellten risikolosen Rendite von 5,00% p.a., einer erwarteten MarktportfolioRendite von 8,40% p.a., einer unterstellten individuellen Portfolio-Volatilität von 254Ygl. Abb. 3.69 Spalten 1, 6. 255ygl. Abb. 3.69 Spalte 5. 256Ygl. Abb. 3.69 Spalte 7.

Finanzmathematische Grundlagen

72

7,00% p.a. beträgt die erwartete individuelle Portfolio-Rendite 6,13% p.a. 257 Nachdem mit Hilfe der in Abb. 3.69 auf der vorherigen Seite dargestellten Kapitalmarktlinie die Frage nach der Renditeerwartung individueller Portfolios beantwortet ist, kann ergänzend die Frage gestellt werden, welche Renditeerwartung für eine einzelne Geld-/Kapitalanlage als Bestandteil eines individuellen Port folios im Kapitalmarktgleichgewicht angemessen ist. Diese Frage beantwortet die in Abb. 3.70 dargestellte Wertpapierlinie258 (englisch: security market line). 7=4*5/6 2 3= 2 -1 4 5 6 8=1+3*7 Erwartete Erwartete Rendite Volatilität MarktRisikolose Markteiner einzelnen portfolioBetaS einer einzelnen Risiko - S Korrelations- S Rendite S portfolio- S S S Geld./Kapitalanlage prämie koeffizient Geld./Kapitalanlage S Volatität faktor p.a. Rendite p.a. p.a. p.lI. p.a. 1

[%)

[%)

5.00 U

8,40 U

[%)

[%)

3,40 I

0,80 U

(%)

15,00 U

21,11 U

(%1

0,57 I

6,93 I

Abb. 3.70: Wertpapierlinie Aus dem Rechenbeispiel der Abb. 3.70 wird ersichtlich, daß die Renditeerwartung einer einzelnen Geld-/Kapitalanlage p.a. im Kapitalmarktgleichgewicht der risikolosen Rendite p.a. zuzüglich dem Produkt aus Risikoprämie p.a. und Betafaktor259 entspricht. 26o Je größer der Betafaktor als Kenngröße für das Risiko einer Geld-/Kapitalanlage ist, desto höher fallen die Renditeanforderungen eines Anlegers entsprechend dem linearen Rendite-Risiko-Zusammenhang des CAPM aus. Bei einer unterstellten risikolosen Rendite von 5,00% p.a., einer erwarteten MarktportfolioRendite von 8,40% p.a. und einem Betafaktor von 0,57 beträgt die erwartete Rendite für eine einzelnen Geld-/Kapitalanlage 6,93% p.a. 261 3.4.4.2 Das Marktmodell Das Marktmodell ist eine stark vereinfachte Variante des CAPM 262 , bei der die Schätzung der erwarteten Rendite einer einzelnen Geld-/Kapitalanlage ausschließlich auf Basis des Marktportfolios erfolgt. 263 Eine risikolose Rendite wird im Gegensatz zum CAPM nicht berücksichtigt. Aus dem empirisch beobachtbaren Zusammenhang zwischen der Rendite einer einzelnen Geld-/Kapitalanlage und der Rendite des Marktportfolios wird mittels einer linearen Einfachregression eine Schätzfunktion für künftige Renditen der Einzelanlage ermittelt. 264 Abb. 3.71 auf der nächsten Seite zeigt das Marktmodell. 25 7 V gl. Abb. 3.69 auf der vorherigen Seite Spalte 7. 258Zur finanz mathematischen Herleitung der Wertpapierlinie: Vgl. [77, S. 263 f.] 259Vgl. Kapitel 3.3.1.2.5 auf Seite 38. 260Vgl. Abb. 3.70 Spalte 8. 261 V gl. Abb. 3.70 Spalte 8. 262Vgl. Kapitel 3.4.4.1 auf Seite 70. 263Vgl. [77, S. 265] 264Vgl. [20, S. 139 ff.]

3.5 Finanzmathematisches Grundmodell im Liquiditätsbereich

73

,--

4 - 1+2*3 3 ~ ElWartete Rendite ElWartete Alpha. S Beta. S Marktportfolio.Rendite S einer einzelnen S faktor Geld./Kapitalanlage faktor p.8. p.a. p.a. ('1101 1,00 U

0,46 U

("'I

7,40 U

("'I

4,40 I

Abb. 3.71: Marktmodell Die in Abb. 3.71 dargestellte beispielhafte Schätzfunktion verdeutlicht den linearen Zusammenhang zwischen der Renditeerwartung einer einzelnen Geld- jKapitalanlage p.a. und der Renditeerwartung eines Marktportfolios p.a. Unter Annahme eines Alphafaktors von 1,00% p.a. und eines Betafaktors von 0,46 als Regressionskoeffizienten der linearen Schätzfunktion beträgt bei einer unterstellten Marktportfolio-Rendite von 7,40% p.a. der Rendite-Erwartungswert einer einzelnen Geld-jKapitalanlage 4,40% p.a. 265

3.5 Finanzmathematisches Grundmodell im Liq uiditätsbereich Liquiditätsaspekte werden in den finanzmathematischen Grundmodellen des Zinsbereichs und des Risikobereichs nicht berücksichtigt. 266 Gleichwohl ist die Grundgleichung der Liquiditätsplanung "Einzahlungen - Auszahlungen = Über- oder Unterdeckung"

von jedem Anleger zu beachten. 267 Eine Über- oder Unterdeckung an Liquidität, die anhand von Zahlungsvorgängen ermittelt wird, erfordert Ausgleichs- und Anpassungsmaßnahmen, wie Geld-jKapitalaufnahme im Fall der Unterdeckung oder Geld-jKapitalanlage im Fall der Überdeckung. Die Liquidität dieser Anpassungsmaßnahmen ist wiederum gewährleistet, wenn die Möglichkeit besteht, bestehende Geld-jKapitalaufnahmen bzw. Geld-jKapitalanlagen jederzeit verkaufen zu können. Standardisierte Anlageformen, z. B. marktbreite Aktien und Anleihen, besitzen wegen ihres börsenmäßigen Handels ein Höchstmaß an erforderlicher Liquidität. Festzuhalten bleibt, daß - trotz der Notwendigkeit der Betrachtung des Liquiditätsaspektes - die Liquidität lediglich als Nebenbedingung der von Rendite- und Risikozielen dominierenden Zielvorstellungen eines Anlegers fungiert. 265Vgl. Abb. 3.71 Spalte 4. 266Vgl. Kapitel 3.2 auf Seite 14, Kapitel 3.3 auf Seite 24 sowie Kapitel 3.4 auf Seite 48. 267Vgl. [77, S. 633]

74

Finanzmathematische Grundlagen

3.6 Finanzmathematischer Exkurs: Tilgungspläne und Zahlungsströme Frau und Herr Müller aus Berlin möchten zwecks Dachsanierung ihres Hauses am 01.04.2000 einen Kredit über ca. 98.000,00 Euro bei einem Kredit- und Finanzinstitut aufnehmen. Aus diesem Grund bittet Frau Müller ihren Mann, sich bei jeweils vier verschiedenen Kredit- und Finanzinstituten ein Kreditangebot unterbreiten zu lassen. Am folgenden Tag informiert Herr Müller seine Frau über die recherchierten Kreditangebote A, B, C und D: Kreditangebot A: Kreditbetrag: 98.000,00 Euro

Auszahlung: 01.04.00 zu 100,00%

Ende der Zinsfestschreibung: 30.12.00

Nominalzins bis 01.05.00: 10,18%

Nominalzins 01.05.00 - 01.09.00: 10,09% Tilgungsbeginn: 01.06.00

Nominalzins ab 01.09.00: 10,08% Tilgungsanrechnung: mit jeder Rückzahlung

Rückzahlungsbeginn: 01.06.00

Rückzahlung: 1.000,00 Euro monatlich

Zinsverrechnung: jährlich am 30.12.00

Erste Zinszahlung: 01.05.00 Kontoführungsmethode: Sparbuch

Zinsusance: 30/360

Kreditangebot B: Kreditbetrag: 98.180,38 Euro

Auszahlung: 01.04.00 zu 99,81628%

Disagio: 0,18372% fällig am 01.04.00 Tilgungsbeginn: 01.06.00 Nominalzins bis 01.05.00: 10,16% Rückzahlungsbeginn: 01.06.00 Zinsverrechnung: 01.09./01.12./30.12.00

Ende der Zinsfestschreibung: 30.12.00 Tilgungsanrechnung: mit jeder Rückzahlung

Zinsusance: 30/360

Nominalzins ab 01.05.00: 9,58% Rückzahlung: 1.000,00 Euro monatlich Erste Zinszahlung: 01.05.00 Kontoführungsmethode: Kontokorrent

Kreditangebot C: Kreditbetrag: 98.188,86 Euro

Auszahlung: 01.04.00 zu 99,80766%

Disagio: 0,19234% fällig am 01.04.00

Ende der Zinsfestschreibung: 30.12.00

Tilgungsbeginn: 01.06.00 Nominalzins bis 01.05.00: 10,16% Rückzahlungsbeginn: 01.06.00

Tilgungsanrechnung: 01.09.00/01.12.00

Zinsverrechnung: 01.09. /01.12. /30.12.00

Nominalzins ab 01.05.00: 9,48% Rückzahlung: 1.000,00 Euro monatlich Erste Zinszahlung: 01.05.00

Zinsusance: 30/360

Kontoführungsmethode: Stichtag

3.6 Finanzmathematischer Exkurs: Tilgungspläne und Zahlungsströme

75

Kreditangebot D: Kreditbetrag: 98.000,00 Euro Gebühr: 16,51 Euro fällig am 01.06.00 Gebühr: 32,15 Euro fällig am 01.08.00 Gebühr: 29,15 Euro fällig am 01.10.00 Gebühr: 26,15 Euro fällig am 01.12.00 Ende der Zinsfestschreibung: 30.12.00 Tilgung: 201 ,33 Euro monatlich Nominalzins bis 01.05.00: 10,18% Rückzahlungsbeginn: 01.06.00 Zinsverrechnung: 01.09./01.12./30.12.00 Zinsusance: 30/360

Auszahlung: 01.04.00 zu 100,00% Gebühr: 24,36 Euro fällig am 01.07.00 Gebühr: 21,33 Euro fällig am 01.09.00 Gebühr: 36,89 Euro fällig am 01.11.00 Gebühr: 0,00 Euro fällig am 30.12.00 Tilgungsbeginn: 01.06.00 Tilgungsanrechnung: mit jeder Rückzahlung Nominalzins ab 01.05.00: 9,58% Rückzahlung: monatlich fallend Erste Zinszahlung: 01.05.00 Kontoführungsmethode: Hypothek

Nach ausführlichem Studium der Kreditangebote Abis D versuchen Frau und Herr Müller das Kreditangebot zu identifizieren, welches die geringste Zinsbelastung aufweist. Herr Müller sortiert deshalb die Kreditangebote nach aufsteigender nomineller Zinsbelastung • Kreditangebot C: Nominalzins 10,16% bis 01.05.00, 9,48% ab 01.05.00 • Kreditangebot B: Nominalzins 10,16% bis 01.05.00, 9,58% ab 01.05.00 • Kreditangebot D: Nominalzins 10,18% bis 01.05.00, 9,58% ab 01.05.00 • Kreditangebot A: Nominalzins 10,18% bis 01.05.00, 10,09% von 01.05.00 bis 01.09.00, 10,08% ab 01.09.00 und entscheidet sich spontan für das Kreditangebot C, da es die geringsten Nominalzinsen verspricht. Frau Müller bleibt skeptisch und bittet ihren Mann, den Finanzberater Herrn Pfeifer zu konsultieren. Herr Pfeifer erklärt sich umgehend bereit, die dem Ehepaar Müller vorliegenden Kreditangebote Abis D eingehend zu analysieren und zu bewerten. Am nächsten Tag berichtet er dem Ehepaar Müller seinen Erkenntnisstand:

76

Finanzmathematische Grundlagen

Kreditangebote von Finanz- und Kreditinstituten werden grundsätzlich durch folgende Nominalkonditionen268 näher beschrieben: • Kreditbetrag • Auszahlung • Nominalzins 269 • Etwaiges Disagio270 • Etwaige einmalige oder laufende Bearbeitungsgebühren • Zinszahlungs- und Zinsverrechnungstermine • Tilgungs- und Tilgungsanrechnungstermine • Tilgungs- und Rückzahlungsmodalitäten • Zinsusance271 • Kontoführungsmethode Auf der Grundlage dieser Nominalkonditionen müssen finanzmathematische Regeln aufgestellt werden, nach denen die Zinsbelastung für jedes Kreditangebot zweifelsfrei berechnet werden kann. Für die Berechnung ist die Anwendung der arithmetischen Zinsrechnung ausreichend. 272 Die Anwendung der geometrischen Zinsrechnung273 oder die Ableitung von weiteren finanzmathematischen Formeln274 ist nur für die Berechnung von Näherungslösungen sinnvoll. Der Grund hierfür ist, daß die Verzinsungsperioden einer Geld- jKapitalanlage im Regelfall keine identischen Zeiträume aufweisen. Folglich muß von Zinsperiode zu Zinsperiode gerechnet werden. Die Darstellungsform dieser Schritt-zu-Schritt-Berechnung der Zinsbelastung unter Beachtung sämtlicher Nominalkonditionen eines Kreditangebotes wird als Tilgungsplan bezeichnet. In den folgenden Kapiteln werden auf Basis der vier unterstellten Kreditangebote A, B, C und D entsprechende Tilgungspläne vom Finanzberater Herrn Pfeifer abgeleitet. 268Synonymbegriffe: Ausstattungsmerkmale, Konditionenbestandteile. 269Der Begriff des Nominalzinses entspricht dem Begriff der arithmetischen Rendite: Ygl. Abb. 3.4 auf Seite 15. 270Synonymbegriffe: Damnum, einmalige Gebühr, Zins vorab. 271 Y gl. Kapitel 3.2.3 auf Seite 23. 272ygl. Abb. 3.4 auf Seite 15. 273ygl. Abb. 3.5 auf Seite 15. 274Ygl. [62]

3.6 Finanzmathematischer Exkurs: Tilgungspläne und Zahlungsströme

77

3.6.1 Tilgungsplan auf Basis der Sparbuchmethode Das Kreditangebot A basiert auf der Kontoführungsmethode "Sparbuch" und führt zu dem in Abb. 3.72 auf der nächsten Seite dargestellten Tilgungsplan. 275 276 Die wichtigsten Spalten des Tilgungsplanes werden zusätzlich wie folgt erläutert: Kapital Spalten 1 und 15

Der Kapitalbestand zeigt, wieviel Verbindlichkeit zum angegebenen Zeitpunkt noch besteht, falls der Kredit gekündigt und die Zinsverrechnung damit erzwungen würde. Ka pita Izufu h r j -a bfl u ß Spalte 3

Zahlung des Kunden an das Finanz-jKreditinstitut oder umgekehrt. Tilgung Spalte 17

Die Tilgung ergibt sich entweder als Differenz zweier aufeinanderfolgender Kapitalsaiden oder als Differenz zwischen Kapitalzufuhrj-abfluß und Zins. Hierbei ist das Vorzeichen zu beachten. Vorzeichen positiv oder negativ

bei Bestandsgrößen positives Vorzeichen: Guthaben des Kunden; bei Bestandsgrößen negatives Vorzeichen: Verbindlichkeiten des Kunden; bei Stromgrößen positives Vorzeichen: Zahlung des Kunden an das Kreditinstitut; bei Stromgrößen negatives Vorzeichen: Zahlung des Kreditinstitutes an den Kunden Zins Spalte 9

Diese Spalte zeigt die Berechnung des arithmetischen Zinses277 . Sie gibt an, wieviel Zins von Zinstermin zu Zinstermin anfällt, so daß präziser vom Nominalzins zu sprechen ist. Zins abgegrenzt Spalten 11 und 12

Der abgegrenzte Zins gibt an, wieviel Zins ab einem aktuellen Zinstermin noch nicht vereinnahmt wurde. Zins vereinnahmt Spalten 13 und 14

Der vereinnahmte Zins gibt an, wieviel Zins bis zu einem aktuellen Zinstermin bereits vereinnahmt wurde. Zinssaldo Spalten 2 und 16

Maßgeblicher Betrag für die Zinsberechnung. Bis zum Tilgungsbeginn 01.06.00 bleibt der Zinssaldo unverändert beim Kreditbetrag von 98.000,00 Euro, da vom 01.04.00 bis zum 01.06.00 nur die Zinsen gezahlt werden. Ab Tilgungsbeginn 01.06.00 verändert sich der Zinssaldo im Rahmen der Kontoführungsmethode Sparbuch um den Rückzahlungsbetrag von 1.000,00 Euro. 275Ygl. [110, S. 124 ff.] 276Ygl. [117, S. 239 ff.] 277ygl. Abb. 3.4 auf Seite 15.

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Dlltum

0,00 ·98.000,00 ·98.000,00 ·97.824,12 ·97.639,84 ·97.447,14 ·97.246,03 ·97.035,99 ·96.817,53 ·96.590,68

(Euro)

P I I I I I I I I I

0,00 ·98.000,00 ·98.000,00 ·97.000,00 ·96.000,00 ·95.000,00 ·94.000,00 ·93.000,00 ·92.000,00 ·91 .000,00

(EurO)

Anfllngs. zinSSillldo

Anfllngs. kiIIpitlll

S

2=1 2 = 16

1 = 15

P I I I I I I I I I

S

·98.000,00 831,16 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 739,25

(Ewo)

Kllpltill. zufuhrl .lIbflull

3

B U U U U U U U U U

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4

0,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 29,00

(T1III8)

Zins. tilge

6 = 4 15

P P P P P P P P P P

360,00 360,00 360,00 360,00 360,00 360,00 360,00 360,00 360,00 360,00

(T1III8)

P P P P P P P P P P

0,00 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08

I I I I I I I I I I

Zins· S Jllhres. StIlge. S bllSis quotient

5

L

8

P P P P P P P P P P

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

P P P P P P P P P P

S Hun· S dert

-

lEuro)

Zins

9=2*

6 * 1 18

0,00 ·831,16 ·824,12 ·815,71 ·807,30 ·798,89 ·789,95 ·781 ,55 ·773,15 ·739,25 Zins [Euro] [10] : ·7.161,09

10,18 10,18 10,09 10,09 10,09 10,09 10,08 10,08 10,08 10,08

('110)

Zins

1

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·7.161,09 ·7.161,09 ·6.329,93 ·5.505,81 ·4.690,09 ·3.882,79 ·3.083,90 ·2.293,94 ·1.512,40 ·739,25

I I I I I I I I I I

·7.161,09 ·6.329,93 ·5.505,81 ·4.690,09 ·3.882,79 ·3.083,90 ·2.293,94 ·1.512 ,40 ·739,25 0,00

End. zins . iIIbge. grenzt . lEuro)

I I I I I I I I I I I

12 = 11 . 9

11 = 10 11 = 12 Anfllngs. zins S S . iIIbge. grenzt . (Euro)

13 - 14

I I I I I I I I I I 0,00 0,00 ·831,16 ·1 .655,28 ·2.471,00 ·3.278,30 ·4.077,19 ·4.867,15 ·5.648,69 ·6.421,84

P I I I I I I I I I

Anfllngs. zins S S · _ein· nillhml · (Euro)

0,00 ·831,16 ·1.655,28 ·2.471,00 ·3.278,30 ·4 .077,19 ·4.867,15 ·5.648,69 ·6.421,84 ·7.161,09

End. zins · __ ein· lIiIIhmI • (euro)

14 = 9 + 13

I I I I I I I I I I

S

15 = 3+9 +

·98.000,00 ·98.000,00 ·97.824,12 ·97.639,84 ·97.447,14 ·97.246,03 ·97.035,99 ·96.817,53 ·96.590,68 ·96.590,68

(EurO)

End · kiIIpitlll

1

+

3

I I I I I I I I I I

·98.000,00 ·97.168,84 ·97.000,00 ·96.000,00 ·95.000,00 ·94.000,00 ·93.000,00 ·92.000,00 ·91 .000,00

[Euro)

End · S zinssilldo

16 - 2

I I I I I I I I I

S

+

9

·98.000,00 0,00 175,88 184,29 192,70 201,11 210,05 218,45 226,85 0,00

(EurO)

Tilgung

11 = 3

I I I I I I I I I I

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3.6 Finanzmathematischer Exkurs: Tilgungspläne und Zahlungsströme

79

3.6.2 Tilgungsplan auf Basis der Kontokorrentmethode Das Kreditangebot B basiert auf der Kontoführungsmethode "Kontokorrent" und führt zu dem in Abb. 3.73 auf der nächsten Seite dargestellten Tilgungsplan. 278 279 Gegenüber dem in Abb. 3.72 auf der vorherigen Seite dargestellten Tilgungsplan des Kreditangebotes A (Sparbuchmethode ) weist der Tilgungsplan des Kreditangebotes B die folgenden zwei Veränderungen auf: Disagio Spalte 3a Das Finanz-jKreditinstitut, welches das Kreditangebot B unterbreitet hat, gewährt zwar einen Kredit von 98.180,38 Euro, behält aber sofort bei Auszahlung von dieser Summe 0,18372%, also 180,38 Euro als sogenanntes Disagio (Spalte 3a) ein. Der Kreditbetrag von 98.180,38 Euro wird deshalb auch als Nominalbetrag bezeichnet, der wirkliche Auszahlungsbetrag an den Kunden beträgt 98.000,00 Euro. Der Kunde muß aber den Nominalbetrag von 98.180,38 Euro tilgen. Das Disagio wirkt sich auf die Kontoführung nicht aus. Es ist eine Sonderzahlung, die zusätzlich zur Verzinsung und Tilgung zu zahlen ist. Zinssaldo Spalten 2 und 16 Maßgeblicher Betrag für die Zinsberechnung. Bis zum Tilgungsbeginn 01.06.00 bleibt der Zinssaldo unverändert beim Kreditbetrag von 98.180,38 Euro, da vom 01.04.00 bis zum 01.06.00 nur die Zinsen gezahlt werden. Ab Tilgungsbeginn 01.06.00 verändert sich der Zinssaldo im Rahmen der Kontoführungsmethode Kontokorrent um den Rückzahlungsbetrag von 1.000,00 Euro. Aber: An den Zinsverrechnungsterminen 01.09.00 und 01.12.00 wird der Zinssaldo (Spalte 2) an den Kapitalsaldo (Spalte 1) angepaßt.

278Ygl. [110, S. 130 ff.] 279Ygl. [117, S. 271 ff.]

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-98.180,381 1 I -98.180,38 1 1 I -97 .963,98 1 1 I -97 .180,3811 I -97.739,60 1 1 I -96.180,381 1 1

0,00 P -98 .180,38 1

(Euro)

S Anfangszlnssaldo

0,00 P -98.180,38 1

(Euro)

Anfangs. kapital

2-1 2 = 16

011200 1 -96.817,96 11 -96 .817,96 1 1 301 2 00 1 -96 .590,68 11 -95.817,96 1 1

01 .0900 1 -97 .507,23 1 1 I -97 .507,23 1 1 1 011000 1 -97 .285,45 111 -96.507,23 1 11 0111.00 1 -97 .055,70 1 1 I -95.507,231 1

01 .06.00 01.07 .00 01 .08 .00

01 .04 .00 01 .05 .00

Datum

1 - 15

S

1000,001U I 739,25 1U I

1.000 ,00 1U 1 1.000,001U I 1.000,001U I

Disagio

3a

I I

I I I

I I I

-

4

5 6- 4/5

7

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I 30,001P I I 29,001 P I

1 30,001P I 30,00 1P I 30,00 1P

I 30,00 1P 1 30,00 1P 1 30,001P

360,00 1P I 360,001 PI

360,001P I 360,001 pi 360,001P I

360,00 P 360,00 P 360,00 P I

360,00 P 360,00 P

(Tage)

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S

0,00 P 0,00 1

(Euro)

nahmt -

S

IEurol

Endkapital

15 1+3+9 S

IEuro)

End zinssaldo

16 - 2 + 3 S

0,00 P -772.721 1I -96.590,681 11 -95.817,96 1 1I -772,72 1 -1.511 ,971 1I -96.590,68 1 1I I I

1 -2.310,73 1 1I -1.532,50 1 1I 0,00 1P -778,22 1 1I -97.285,45 1 1I -96.507,231 1I 1 -1.532,501 1I -762,26 1 11 -778,22 1 1 -1.548,47111 -97 .055,70 1 11 -95507,23111 -762,261 11 0,00 111 -1 .548,47 1 -2.310,731 11 -96.817,96 1 1I -94 .507,23 1 1I 1 1 -739,25 1 11 0,00 1 11

(Eurol

Tilgung

17 - 3+9 S

227,28 1 1 0,00 1 1

221,78 1 1 229,76 1 1 237,74 11

216,40 1 1 224,38 1 1 232,37 1 1

0,00 1 -98.180 ,38 1 -98.180,38 1 -98 .180,38 1 -831,16 1 -98.180,38 1 -97 .349,22 1 0,00 1

(Eurol

14 = 13 = 14 9 + 13 AnfangsEndzins zins S -_einS -_einnahmt -

-831,16 1 0,00 1

(Euro)

- abgegrenzt -

12 11 ·9 Endzins

1 -2.326,85 1 1I -1.543,25 1 O,OO[ P I -783,60 [ 11 -97 .963,98 1 11 -97 .180,38 11 1 -1 .543,25 111 -767,63 1 -783,601 11 -1.559,21 1 11 -97 .739,60 1 11 -96.180,381 11 1 -767,63 111 0,001 11 -1 .559,21 11 -2.326 ,85 111 -97.507,23 1 11 -95.180,38111 1

-831,16 1 -831,16

(Euro)

-abgegrenzt -

11 = 10 11 = 12 Anfangszins

100 P I -772,72 1 1 -1.511,97111 -739,25 1 11 100 P I -739,25 1 1 , ,.n1:1 -1.511,971 1

-778,22 -770,24 -762,26 Zins [Euro) [10): -2.310,73

0,08 1 11 9,581P I 0,08 1 11 9,581P I

2

2

0,08 11 9,581P I 100 P 0,08 11 9,58 1pi 100 P 0,08 11 9,58 1P I 100 P

S

0,00 1 -831,16 1 -831,16 1

(Euro)

Zins

9- 2"

6"7 / 8

-783,60 -775,62 -767,63 Zins [Euro) [10) : -2 .326,85

0,08 11 9,58 1 pi 1001P 0,08 11 9,58 1P I 1001P 0,08 11 9,581 PI 1001P

2 Zins [Euro[ [10):

100 P 100 P

S Hun- S dert

0 ,00 1 10,16 P 0 ,08 1 10,16 P

(%)

ZinsS JahresStage- S Zins basis quotient

0,00 P 30,00 P

I(Tage)

S Zinstage

180,38 B

(Euro)

-

1.000,001U I 1000,00[ U [ 1.000,00 1U 1

-98.180,38 B 831,16 U

(Euro)

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3.6 Finanzmathematischer Exkurs: Tilgungspläne und Zahlungsströme

81

3.6.3 Tilgungsplan auf Basis der Stichtagsmethode Grundlage des Kreditangebotes eist Kontoführungsmethode "Stichtag", die im Tilgungsplan der Abb. 3.74 auf der nächsten Seite dargestellt wird. 28o

281

Gegenüber dem in

Abb. 3.73 auf der vorherigen Seite dargestellten Tilgungsplan des Kreditangebotes B (Kontokorrentmethode ) weist der Tilgungsplan des Kreditangebotes C die folgenden zwei Veränderungen auf: Zins Spalte 9

Die Zinsen sind jeweils in den Zinsverrechnungsabschnitten 01.06.00 bis 01.09.00 und 01.09.00 bis 01.12.00 konstant. Zinssaldo Spalten 2 und 16

Maßgeblicher Betrag für die Zinsberechnung. Bis zum Tilgungsbeginn 01.06.00 bleibt der Zinssaldo unverändert beim Kreditbetrag von 98.188,86 Euro, da vom 01.04.00 bis zum 01.06.00 nur die Zinsen gezahlt werden. Ab Tilgungsbeginn 01.06.00 wird der jeweilige Zinssaldo in den Zinsverrechnungsabschnitten 01.06.00 bis 01.09.00 und 01.09.00 bis 01.12.00 im Rahmen der Kontoführungsmethode Stichtag nicht verändert. Aber: An den Zinsverrechnungsterminen 01.09.00 und 01.12.00 wird der Zinssaldo (Spalte 2) an den Kapitalsaldo (Spalte 1) angepaßt.

280Vgl. [110, S. 138 28 1Vgl. [117, S. 271

ff.] ff.]

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0,00 P -98 .188,86 1

[Eurol

Anfangskapital

0,00 P -98 .188,86 1

IEurol

Anfangs- S zil\SSi!lldo

2- 1 2 = 16

01 .12.00 1 -96 .825,94 1 I -96.825,94 1 1 30.12.00 1 -96.590,68 1 I -96.825,94 1 1

0109.001 -97 .515,381 11 -97.515,38 1 1 011000 1 -97.285,57 1 1 I -97.515,38 1 1 01 .11 .00 1 -97055,75 1 11 -97 .515,38 1 1

010600 1 -98 .188,861 11 -98.188,861 1 01 .07 .00 1 -97 .964,37 1 11 -98.188,861 1 0108001 -97.739,87 1 1 I -98.188,861 1

01 .04 .00 01 .05 .00

Datum

1 - 15

S

1.oo0,00 I U I 739,251U

1.000,001U I 1000,001U I 1000,001U I

Disagio

3a

S

4

-

I I

I I I

5 6- 4!5

7

r--

8

r--

I 30,001P I 29,00 1P

I 30,001P I I 30,001P I 30,001P

360,00 1P I 360,00 1P I

360,001PI 360,00 1pi 360,00 1P I

360,00 1P I 360,00 1P I 360,001P I

360,00 P 360,00 P

IT_I 100 P 100 P

.-

S

0,00 P 0,00 1

(Eurol

S

(Eurol

End kapital

15 = 1+3+9 S

(Eurol

End zil\SSi!lldo

16 - 2 16 - 2 + 3 S

0,00 1P I -764,74 11 -96.590,68 1 11 -96 .825,94 1 11 -764,74 1 11 -1.503,99 11 -96.590,68 1 11 I I

-770,19 1 -97 .285,571 11 -97515,381 1 I 1 -2 .310,561 11 -1 .540,371 11 0,001P I 1 -1.540,37 1 11 -770,19 1 11 -770,19 1 11 -1.540,37 1 -97 .055,75 1 11 -97.515,381 11 1 -770,19 1 11 0,00 1 11 -1.540,37 1 11 -2 .310,56 11 -96825,94 1 11 -97 .515,381 11 1 -739,25 1 11 0,00 1 11

(Eurol

Tilgung

17 - 3+9 S

235,261 1 0,00 1 1

229,81 1 1 229,81 1 1 229,81 1 1

224,491 1 224,49 1 1 224,491 1

0,00 1 -98.188,86 1 -98.188,86 1 -98.188,86 1 0,00 1 -831,16 1 -98 .188,86 1 -97 .357,70 1

(Eurol

nahmt -

14

nahmI -

=

14 = 9 + 13 End zins - wreln-

13 Anfangszins S S -wreln-

-831,16 1 0,00 1

(Eurol

grenzt -

-abge-

12 11 - 9 Endzins

0,001pi -775,51 1 -97 .964,37 1 11 -98 .188,861 11 1 -2.326,52 1 1 1 -1.551,01 1 11 1 -1.551,01 1 11 -775,51 1 11 -775,51 1 11 -1 .551,01 1 -97739,87 1 11 -98188,861 1 I 0,00111 -1.551,01 1 11 -2.326,52 11 -97.515,38111 -98188,861 11 1 -775,51 1 11 1

-831,16 1 -831,16

[Eurol

grenzt -

-abge-

11 - 10 11 - 12 Anfangszins

1001P I -764,74 1 11 -1503,99 1 11 1001P I -739,25 1 11 -739,251 11 • ·---:1 -1 .503,991 1

100l P 1001P 1001P

-770,19 -770,19 -770,19 Zins [Euro] [10] : -2 .310,56

0,08 1 11 9,48 P I 0,08 1 11 9,48 P I

L

L

0,081 11 9,481P 0,08 1 11 9,48 P 0,08 1 11 9,48 P I

1001P 1001P 100l P

S

0,00 1 -831,16 1 -831,16 1

[Eurol

Zins

9- 26 -71 8

-775,51 -775,51 -775,51 Zins [Euro] [10] : -2 .326,52

0,08 1 11 9,48 P I 0,08 1 11 9,48 P I 0,081 11 9,481P

L Zins [Euro] [10]:

0,00 1 10,16 P 0,08 1 10,16 P

NI

ZinsS Jahres- S tage- S Zins S Hun- S dert bi!lSls quotient

0,00 P 30,00 P

IIT_I

Zinstage

-

I I 30,001P I I I 30,001P 1 1 30,001P I

188,86 B

IEurol

-

1.oo0,00 I U I 1000,001U I 1000,001U I

-98 .188,86 B 831,16 U

(Eurol

Kapitalzufuhr! -abflull

3

Cl)

Q..

= = i =

G1 '"S

Cl)

t:r'

(")

....rn~

S

Cl)

t:r'

~

S

~

§

~

S·

~

00

3.6 Finanzmathematischer Exkurs: Tilgungspläne und Zahlungsströme

83

3.6.4 Tilgungsplan auf Basis der Hypothekmethode Grundlage des Kreditangebotes D ist die Kontoführungsmethode "Hypothek", die im Tilgungsplan der Abb. 3.75 auf der nächsten Seite dargestellt wird. 282 283 Gegenüber dem in Abb. 3.73 auf Seite 80 dargestellten Tilgungsplan des Kreditangebotes B (Kontokorrentmethode) weist der Tilgungsplan des Kreditangebotes D die folgenden zwei Veränderungen auf: Disagio Kein Disagio vorhanden.

Gebühr Spalte 18

Die Gebühr ist eine Sonderzahlung, die zusätzlich zur Verzinsung und Tilgung zu zahlen ist. Sie wirkt sich auf die Kontoführung nicht aus.

282Vgl. [110, S. 142 283Vgl. [117, S. 271

ff.] ff.]

'--'"

('I)

5 0.-

~

M-

g?;"' s

o

'0

'Ea '- 0"'

3 4 5

2

3 4

2

30 .09.01 30 .09.01

Datum

1

3

(Tage)

Zins· tage

5

+

+

7

+

6

(Tage)

S Jahres· S basis

3

(%)

S Hundert S

11 Zinsquotient

12 = 10/11

~

13

SEins

-

S

Zinsfaktor

14 = 12 + 13 S Minus Eins

15

r---

(Euro)

.

Zahlungsstrom (Endwert 30.03.01)

16 16 = 1 * 14 .. 9 * 15 16 = 1 * (14 .. 9 - 13) * 15 S

Zins· tage . quo. tient

617

8=

r---

9

(%)

S Zins

-

S Hundert S

10 Zins. quo· tient

11 = 9 / 10

-

SEins

12

.---

S

Zins· faktor

13 = 11 + 12

r---

S Minus Eins

14

r---

.

~. -

16

(Euro)

Zahlungsstrom (Endwert 30.09.01)

15 15 = 1 * 13 .. 8 * 14 15 = 1 * (13 .. 8 - 12) * 14

-

S

~

~

Zins. tage· quo· tient

5/6

8

(%)

S Zins

---y;;- Zins· quo. tient

8 /9

~

SEins

11 S

Zins. faktor

10 + 11

~

13 S Minus Eins

-

15 100 P 0,0700 1 1 P 1,0700 1 ·1 P 16 Endwert.Summe 30 .03.02 [Euro) (17 = 15 + 16):

S Hundert S

9

.---

14

= 1 * 12 ..

7 * 13

-

(Euro)

S.

·3.078,39 U' 3.078,39 1 Q,OO 1

Zahlungsstrom (Endwert 30.03,02)

14

~ ~

r_

.

-

·3.078,391 1I

2.975,99 1

·6.054,38 U

S

~ .

2.647,29 1 .... ... . .

S

-6 .054 ,38 1

86.491,12 1

92 .545,50 U

(Euro)

Zahlungsstrom (Endwert 30.03.02)

7.770,29 1 2.877,00 1 29

Zahlungsstrom (Endwert 30.03.02) (Euro)

S

27 27 = 1 * 14 .. 9 * 15

8.000,00 U 28

20 20 = 1 * 13 .. 8 * 14

~ ~

(Euro)

Zahlungsstrom (Endwert 30.09.01)

22 22 = 1 * 14 .. 9 * 15 22 = 1 * (14 .. 9 - 13) * 15

2.647,29 U 21 360,00 P 0,5000 1 6,00 P 100 P 0,0600 1 1 P 1 ,0600 1 229,71 1 ·1 P 17 360,00 P 0,5000 1 7 ,00 P 100 P 0,0700 1 1 P 1,0700 1 ·1 P 18 98,99 1 22 2.975,99 1 Endwert-Differenz 30.09.01 [Euro) (19 = 16 + 17 + 18): 4) Barwert-Summe 30.03.01 [Euro) Endwert-Summe 30.03.02 [Euro) (23 = 21 + 22):

(Tage)

S Jahres· S basis

4

0,5000 1 0,5000 1 0,5000 1

S Zins

10

;---

17 8.000,00 U 23 5,00 P 100 P 0,0500 1 1 P 1,0500 1 ·1 P 18 8.000,00 1 6,00 P 100 P 0,0600 1 1 P 1,0600 1 223,12 1 24 ·1 P 19 100 P 0,0700 1 1 P 1,0700 1 7,00 P ·1 P 20 2.877 ,00 1 25 Endwert.Differenz 30.03.01 [Euro) (21 = (18 + 19 + 20) . 17): 3.100,12 1 5) . 2) Barwert·Differenz 30.09.00 [Euro) Endwert·Differenz 30 .09 .01 [Euro) (26 = (24 + 25) - 23):

360,00 P 360,00 P 360,00 P

(Tage)

Zinstagequo. tient

7/8

9=

;---

2.975,99 U ·2 .975,99 U 180,00 P 360,00 P 0,5000 1 7,00 P 0,00 1 :(4 = 2 + 3) Barwert-Summe 30.09.01 [Euro)

(Euro)

S

-

+

180,00 P 180,00 P

(Tage)

Zins· tage

6

~

ß

8

S JahresS basis

180,00 P 180,00 P 180,00 P

(Tage)

Zinstage

0,001 1 :(5 = 2

Zahlungs. strom (Barwert)

2

S

3.100,12 U ·223,12 U ·2.877,00 U

(Euro)

Zahlungs. strom (Barwert)

1

2. Wiederanlagetableau

30 .03 .01 30 .03 .01 30.03.01

Datum

B U U U

S

7

r---

-3 .968,49 1 1 :(6 =

·95.000 ,00 ·7.807,20 ·7.547,17 ·83.614 ,12

(Euro)

Zahlungsstrom (Barwert)

1

1. Wiederanlagetableau

30 .09.00 30 .09 .00 30 .09 .00 30 .09 .00

Datum

Endwerttableau

CD

"1

=

aq

=

=§

(')

CD

"1

Ul

C'"

CD

_.

aq

CD

ä

Ul ~

G1

t-I.

o o

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

101

Die in Tab. 4.5 auf Seite 99 dargestellten Endwert-Differenzen - einem Zahlungsüberschuß von 3.100,12 Euro nach dem ersten Halbjahr und ein Zahlungsüberschuß von 2.647,29 Euro nach einem Jahr steht ein Zahlungsdefizit von -6.054,38 Euro nach 1~­ Jahren gegenüber - zeigen die finanzmathematische Unvollkommenheit der Barwertmethode. 34 Um diese Unvollkommenheit zu heilen, unterstellt die Barwertmethode neben den bereits erwähnten Prämissen eine implizite Wiederanlageprämisse. Die implizite Wiederanlageprämisse bringt die Zahlungsüberschüsse nach dem ersten Halbjahr und nach einem Jahr mit dem Zahlungsdefizit nach 1~-Jahren in Einklang, so daß eine exakte Neutralisierung der Endwerte des originären Zahlungsstroms durch die Endwerte des Gegen-Zahlungsstroms erreicht wird. Dazu bedarf es der Vorgabe von Zinssätzen, zu denen nach dem ersten Halbjahr bzw. nach einem Jahr die Zahlungsüberschüsse durch den Abschluß zusätzlicher Geld-jKapitalanlagen aufgezinst werden müssen, damit sämtliche Endwert-Differenzen in allen zukünftigen Zahlungszeitpunkten exakt auf Null gestellt werden. Die Barwertmethode unterstellt dabei implizit, daß auch in Zukunft stets eine Geld-jKapitalanlage zum aktuell unterstellten Zinssatz möglich ist. Demnach kann in einem ersten Wiederanlageschritt der Zahlungsüberschuß von 3.100,12 Euro nach dem ersten Halbjahr (30.03.01) gemäß Abb. 4.9 auf der vorherigen Seite (1. Wiederanlagetableau) wie folgt angelegt werden. 35 • ~-Jahresgeldanlage von 223,12 Euro zu 6,00% • 1-Jahresgeldanlage von 2.877,00 Euro zu 7,00% Die Tab. 4.6 zeigt die aus der ersten Wiederanlage resultierenden Zahlungsströme. 36 Zahlung Barwert 30.03.01 3.100,12 Euro -223,12 Euro -2.877,00 Euro

Zahlung Endwert 30.09.01 I 2.647,29 Euro 229,71 Euro 98,99 Euro 2.975,99 Euro 0,00 Euro I

Zahlung Endwert 30.03.02 I -6.054,38 Euro

I

2.975,99 Euro -3.078,39 Euro

I

I

Tabelle 4.6: Zahlungsströme nach der ersten Wiederanlage

Im Ergebnis des ersten Wiederanlageschrittes wurde der ursprüngliche Zahlungsüberschuß von 3.100,12 Euro am 30.03.01 exakt neutralisiert. 37 Um auch den durch den ersten Wiederanlageschritt entstandenen Zahlungsüberschuß von 2.975,99 Euro am 30.09.01 zu neutralisieren, ist in einem zweiten Wiederanlageschritt gemäß Abb. 4.9 auf der vorherigen Seite die folgende Anlage erforderlich: 38 34Die barwertige Zahlungsdifferenz von -3.968,49 Euro am 30.09.00 beschreibt nicht die Unvollkommenheit der Barwertmethode, sondern den Kapitalwert des Zahlungsstroms. Vgl. Abb. 4.9 auf der vorherigen Seite Endwerttableau Spalte 6. 35Vgl. Abb. 4.9 auf der vorherigen Seite 1. Wiederanlagetableau Spalten 3 bis 4, 9. 36Vgl. Abb. 4.9 auf der vorherigen Seite 1. Wiederanlagetableau Spalten 2 bis 5, 16 bis 19, 21 bis 23. 37Vgl. Abb. 4.9 auf der vorherigen Seite 1. Wiederanlagetableau Spalte 5. 38Vgl. Abb. 4.9 auf der vorherigen Seite 2. Wiederanlagetableau Spalten 3, 8.

Gesamtergebnisrechnung

102 ~-Jahresgeldanlage von 2.975,99 Euro zu 7,00%

Die Tab. 4.7 zeigt die aus der zweiten Wiederanlage resultierenden Zahlungsströme: 39

I 30.09.01 I I 30.09.01 I I Summe: I

Zahlung Barwert 30.09.01 2.975,99 Euro -2.975,99 Euro 0,00 Euro

I I I

Zahlung Endwert 30.03.02 -3.078,39 Euro 3.078,39 Euro 0,00 Euro

I I

I

Tabelle 4.7: Zahlungsströme nach der zweiten Wiederanlage Im Ergebnis des zweiten Wiederanlageschrittes wurde der Zahlungsüberschuß von 2.975,99 Euro am 30.09.01 exakt neutralisiert. 4o Eine weitere Wieder anlage ist nicht nötig, da im Zuge des zweiten Wiederanlageschrittes auch das Zahlungsdefizit von 3.078,39 Euro am 30.03.02 exakt neutralisiert wurde. 41 Festzuhalten bleibt, daß das Verfahren der Barwertmethode zur exakten Bewertung von Zahlungsströmen auf Grund der unterstellten unrealistischen Wiederanlageprämisse nicht geeignet ist.

4.2.1.1.2 Kalkulation von Zinsmargen Die Kalkulation von Zinsmargen basiert zum einen auf der Berechnung eines Ertragszinses, zum anderen auf der Berechnung eines Kostenzinses einer Zahlungsreihe. Dabei stellt formal die Berechnung eines Ertragsoder Kostenzinses die Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten mit einer veränderten Fragestellung dar. Während die Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten unter der Annahme gegebener Geld-/Kapitalmarktzinsätze erfolgt,42 geht die Kalkulation von Ertrags- oder Kostenzinsen vom Kapitalwert Null aus und fragt, unter Verwendung welches Ertrags-/Kostenzinses eine Geld-/Kapitalanlage diesen Kapitalwert aufweist. 43 Der gefundene Ertrags- oder Kostenzins stellt für jede Zahlungsperiode einer Zahlungsreihe eine identische durchschnittliche Geld-/Kapitalmarktverzinsung44 des jeweils gebundenen Kapitals dar. Abb. 4.10 auf der nächsten Seite zeigt zunächst die Berechnung des Ertragszinses auf Basis der bereits im Kapitel 4.2.1.1.1 auf Seite 96 verwendeten Standard-Zahlungsreihe45 .

39ygl. Abb. 4.9 auf Seite 100 2. Wiederanlagetableau Spalten 2 bis 4, 15 bis 17. 40ygl. Abb. 4.9 auf Seite 100 2. Wiederanlagetableau Spalte 4. 41Ygl. Abb. 4.9 auf Seite 100 2. Wiederanlagetableau Spalte 17. 42Ygl. Kapitel 4.2.1.1.1 auf Seite 96. 43Ygl. [77, S. 65 ff.] 44Synonymbegriffe: Effektivverzinsung, interne Zinsfußverzinsung. 45Ygl. Tab. 4.1 auf Seite 97.

103

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

1 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

2

4 =2 / 3

3

,....--

r-

5

6

-

7 =5 / 6

rg:-

8

U U U

0,00 180,00 360,00 540,00

P P P P

10,10 10,10 10,10 10,10 Ertragszins p.a . [%): 10,10

360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0,0000 0,5000 1,0000 1,5000

I I I I

I I I I V

100 100 100 100

P P P P

0,1010 0,1010 0,1010 0,1010

I I I I

P P P P

1,1010 1,1010 1,1010 1,1010

7+8

Zahlungs. S Kumulierte S Jahres· S ZInstage. S Hun. strom S Zins SEins Zinstage basis quotient dert S q:.!:nt (Endwert) [Euro) (Tage) [Tage1 1'1111 ·95.000,00 8000,00 8.000,00 92.545,50

s

10 = 1 * 9 A .4 Zahlungs. Zins. S S strom faktor (8alWert) [Euro)

8

1 1 1 1

I I I I

·95.000,00 7.624,29 7.266,23 80.109,48 L BalWert 30.09.00 [Euro) (11): 0,00 Kapitalwert 30.09 .00 [Euro) (12 = 11): 0,00

I I I I I

Z

Abb. 4.10: Kalkulation eines Ertragszinses (Zinstableau) Das in Abb. 4.10 dargestellte Modell zur Berechnung des Ertragszinses eines StandardZahlungsstroms ist mit dem in Abb. 4.8 auf Seite 97 beschriebenen Modell zur Berechnung eines Gegenwart-Kapitalwertes formal identisch. Lediglich die betriebswirtschaftliche Interpretation der Basisgröße Ertragszins unterscheidet sich grundlegend. Die Berechnung des Ertrageszinses basiert jetzt auf einer l:l-Zielwertanalyse, wobei der Kapitalwert als Zielwert und der Ertragszins als Entscheidungsvariable fungieren. 46 Unter Angabe eines Zielwertes für den Gegenwart-Kapitalwert von Null, errechnet sich ein einziger durchschnittlicher Ertragszins für jede Zahlungsperiode von 10,10% p.a. 47 Somit ist die Bedingung der Verzinsungsidentität sämtlicher Zahlungsperioden erfüllt. Die Berechnung des Kostenzinses erfordert die Kenntnis des aus dem StandardZahlungsstrom ableitbaren Gegen-Zahlungsstroms. Dieser Ableitung liegt der Gedanke des Opportunitätsprinzips einer Investition zugrunde: Ist der Kapitalwert eines Investitions-Zahlungsstroms positiv (negativ), so ist die Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals (Ertragszins ) höher (niedriger) als der unterstellte Geld- jKapitalmarktzins (Kostenzins ). Statt einer Investition, z. B. Vergabe eines Darlehens an einen Kunden, hätte ein Finanz-jKreditinstitut das Darlehen auch als alternative Investition am Geld- jKapitalmarkt plazieren können. Da der Kapitalwert den Opportunitätsgewinn zwischen der Investition und der alternativen Anlage am Geld-jKapitalmarkt aufzeigt, kann der Investitions-Zahlungsstrom der Alternativanlage, der sogenannte Gegen-Zahlungsstrom, aus dem Standard-Zahlungsstrom berechnet werden. Zur Berechnung des Gegen-Zahlungsstroms ist der unterstellte StandardZahlungsstrom bzw. Investitions-Zahlungsstrom um seinen Gegenwart-Kapitalwert in Höhe von 3.968,49 Eur048 gemäß Tab. 4.8 auf der nächsten Seite zu korrigieren.

46Vgl. Abb. 4.10 Spalten 5, 12. 47Vgl. Abb. 4.10 Spalten 5, 12. 48Vgl. Abb. 4.8 auf Seite 97 Spalte 12.

104

Gesamtergebnisrechnung

Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1

2

InvestitionsZahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

GegenwartsKapitalwert 3.968,49 Euro

3=1 3 = 1- 2

GegenZahlungsstrom -98.968,49 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.8: Berechnung eines Gegen-Zahlungsstroms Nach Kenntnis des Gegen-Zahlungsstroms kann gemäß Abb. 4.11 der Kostenzins berechnet werden.

Datum

30.09 .00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

.---- -

-

r---g:-

10 = 1 * 9A .4 ZahlungsZahlungs. HunS Kumulierte S Jahres- S ZinstageS ZinsS Zinsstrom S SEins S S Zins S dert strom quotient faktor Zinstage basis quotient (Barwert) (Endwert) [Euro) [Tage) [%) [Euro) [Tage) 1

-98.968,49 8.000,00 8.000,00 92.545,50

2

B

U U U

0,00 180,00 360,00 540,00

4 =2 / 3

3

P P P P

360,00 360,00 360,00 360 ,00

P P P P

0,0000 0,5000 1,0000 1,5000

5

I I I I

Kostenzins p.a. [%):

6,89 6,89 6,89 6,89 6,89

I I I I V

7 =5 / 6

6

0,0689 0,0689 0,0689 0,0689

I I I I

7+8

-98.968,49 7.737,96 7.484,50 83.746,04 I Barwert 30.09.00 [Euro) (11): 0,00 Kapitalwert 30.09.00 [Euro) (12 = 11): 0,00

100 100 100 100

P P P P

8

1 1 1 1

P P P P

1,0689 1,0689 1,0689 1,0689

I I I I

I I I I I

Z

Abb. 4.11: Kalkulation eines Kostenzinses (Zinstableau) Im Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 4.11 beträgt der Kostenzins des GegenZahlungsstroms 6,89% p.a. 49 Nach Kenntnis des Ertragszinses von 10,10% p.a. 50 und des Kostenzinses von 6,89% p.a. 51 kann die Zinsmarge als Differenz beider Zinssätze ermittelt werden. Die Zinsmarge beträgt somit 3,21% p.a. Nachdem das Gleichungsmodell der Barwertmethode zur Kalkulation von Zinsmargen vorgestellt wurde, wird im folgenden eine kritische Analyse des im Rechenbeispiel der Abb. 4.10 auf der vorherigen Seite ermittelten Ertragszinses vorgenommen. 52

53

Um in den folgenden Ausführungen den unterjährigen Zinseszinseffekt aus didaktischen Verständnisgründen zu vermeiden, wird die bisher unterstellte halbjährliche Zahlungsreihe durch eine jährliche Zahlungsreihe gemäß Tab. 4.9 auf der nächsten Seite ersetzt.

49Vgl. Abb. 4.11 Spalte 5. 50Vgl. Abb. 4.10 auf der vorherigen Seite Spalte 5. 51 V gl. Abb. 4.11 Spalte 5. 52 Für den in Abb. 4.11 ermittelten Kostensatz gelten die analogen Ausführungen. 53Vgl. [84, S. 89 ff.]

105

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Datum 30.09.00 30.09.01 30.09.02 30.09.03

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.9: Zahlungsstrom Abb. 4.12 zeigt auf Basis des in Tab. 4.9 unterstellten Zahlungsstroms die Berechnung des zugehörigen Ertragszinses. Ergänzend wird ein Tilgungsplan aufgestellt. 54 Zinstableau

Datum

30.09.00 30.09.01 30.09.02 30.09.03

Zahlungsstrom (Endwert) [Euro) ·95.000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

S Kumulierte S Jahres- S Zinstage bllSis [Tage)

B U U U

0,00 360,00 720,00 1.080,00

1 1 - 10 Datum

30.09.00 30.09.01 30.09.02 30.09.03

P I I I

ZahlungsS strom [Euro) -95000,00 8000,00 8.000,00 92.545,50

360,00 P 0,0000 I 1,0000 I 360,00 P 360,00 P 2,0000 I 360,00 P 3,0000 I Ertragszins p.a. [%]:

Zins. tage

4

0,00 360,00 360,00 360,00

1- 5/6

6

Zins

Hun· S Zins- S S dert quotient

10 = 1 " 9 A .4

9 - 1+8

8

4,93 4,93 4,93 4,93 4,93

5= 3/4

100 100 100 100

I I I I

V

-

P P P P

S

Eins

Zinsfllktor

S

1,0493 I 1,0493 I 1,0493 I 1,0493 I L Barwert 30.09.00 [Euro] (11): Kapitalwert 30.09.00 [Euro] (12 = 11):

0,0493 0,0493 0,0493 0,0493

1

6

P P P P

1'110) [Tage) 0,00 I 4,93 360,00 P 1,00 I 4,93 360,00 P 1,00 I 4,93 360,00 P 1,00 I 4,93 360,00 P Ertragszins p.a. [%]: 4,93

L

I I I I V Zms

100,00 100,00 100,00 100,00

1 1 1 1

I I I I

S Jahres· S Zinstiige. S Zins S Hundert S quotient bllSis

[Tage)

B U U U

;---

5

[%)

-3

2 S

Zins. tage- S quotient

[Tage)

P P P P

TilAunAstableau

Anfangskapital/ -zinssaldo IEuro) 0,00 -95 .000,00 -91 .681 ,39 -88.199,24

4 -213

3

2

1

P P P P

P P P P

Zahlungs. strom (8arwert) [Euro) ·95.000 ,00 7.624,29 7.266,23 80.109,48 0,00 0,00

8=1"5 " 6/1

10 = 1 +2 +8

11 = 2 + 8

Zins

S Endkapital/ S .zinssaldo

Tilgung

[Euro[ 0,00 -4 .681,39 -4.517,85 -4.346,26

I I I I

[Euro) ·95.000,00 ·91 .681 ,39 -88.199,24 0,00

[Euro) I -95000,00 3.318,61 I 3.482,15 I Z 88.199,24

S I I I I I Z

S

I I I I

[Euro] (9).1 -13.545,501 11

Abb. 4.12: Kalkulation eines Ertragszinses sowie Darstellung eines Tilgungsplans Die jährliche Zahlungsweise bewirkt gemäß Abb. 4.12 gegenüber der halbjährlichen Zahlungsweise gemäß Abb. 4.10 auf Seite 103 eine Verminderung des Ertragszinses von 10,10% p.a. um 5,17% p.a. auf 4,93% p.a. 55 Zusätzlich verdeutlicht Abb. 4.12, daß die periodische Verzinsungsidentität des Ertragszinses stets zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt: Sie stellt sicher, daß sowohl der Kapitalwert als auch das eingesetzte Kapital nach vollständiger Tilgung den Wert Null annehmen. 56 Die bisherige Fragestellung zur Kalkulation eines Ertragszinses lautete: Unter Verwendung welches Ertragszinses wird ein Kapitalwert von Null erreicht? Zu einem Kapitalwert von Null könnte man allerdings auch mit einer Kombination unterschiedlicher periodenbezogener Ertragszinsen gemäß Abb. 4.13 auf der nächsten Seite gelangen. 54Vgl. Kapitel 3.6 auf Seite 74. 55Vgl. Abb. 4.10 auf Seite 103 Spalte 5 im Vergleich zu Abb. 4.12 Zinstableau Spalte 5. 56Vgl. Abb. 4.12 Zinstableau Spalte 12 sowie Tilgungstableau Spalte 10.

106

Gesamtergebnisrechnung

-

Zinstableau 1 Datum

30 .09.00 30 .09.01 30.09.02 30.09.03

Zahlungsstrom (Endwert) (Euro) -95.000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

2 S

B U U U

4= 2/3

3

Kumulierte S JahresS basis Zinstage (Tage) 0,00 360,00 720,00 1.080,00

P P P P

(lage) 360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

Zinstage- S quotient 0,0000 1,0000 2,0000 3,0000

r--6

5

I I I I

Zins

Datum

30.09.00 30.09.01 30.09.02 30.09.03

2 S

P I I I

3

ZahlungsS strom [Euro) -95 .000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

Zinstage

(Taue) 0,00 B U 360,00 U 360,00 U 360,00

S

0,00 3,14 4,27 5,03

V V V V

P P P P

100 100 100 100

P P P P

-6

Jahres- S Zinstage - S Zins quotient basis (Tage) 360,00 360,00 360,00 360,00

0,0000 0,0314 0,0427 0,0503

S

Zinsfaktor

S

I I I I

1 P 1,0000 I 1 P 1,0314 I 1 P 1,0427 I 1,0503 I 1 P L Barwert 30.09.00 [Euro] (11): Kapita lwert 30.09.00 [Euro] (12 = 11):

0,00 1,00 1,00 1,00

I I I I

0,00 3,14 4,27 5,03

L

10 = 1 • 9" - 4 Zahlungsstrom (Barwert) (Euro) -95.000 ,00 7.756,45 7.358,19 79.885,36 0,00 0,00

7

8- 1"5" 6/7

10 1+2+8

11 = 2+8

S Hundert S

Zins

S Endkapltal/ S -zinssaldo

TIlgung

[%)

P P P P

Eins

9 = 7+8

['110)

5=3/4

4

8

Hun Zins- S S dert S quotient

TilRunRstableau 1 1 = 10 Anfangskapital/ -zinssaldo (Euro) 0,00 -95.000 ,00 -89 .983,00 -85.825,27

7=5/6

V V V V Zins

100,00 P 100,00 P 100,00 P 100,00 P [Euro] (9):

[Euro) 0,00 -2.983,00 -3.842,27 -4 .313,42 -11.138,69

I I I I I

(Euro) -95.000 ,00 -89 .983,00 -85.825,27 2.406,81 = Null!

(Euro) I -95.000,00 5.017,00 I 4.157,73 I Z 88 .232,08

S

I I I I I Z

S

I I I I

Abb_ 4_13: Kalkulation mehrerer Ertragszinsen sowie Darstellung eines Tilgungsplans Abb. 4.13 zeigt aus der Vielzahl möglicher Zinssatzkombinationen als Rechenbeispiel eine Zinssatzkombination, die zu einem Kapitalwert von Null führt: 3,14% für I-Jahres-Geld, 4,27% für 2-Jahres-Geld, 5,03% für 3-Jahres-Geld. 57 Bei Verzicht auf die Prämisse der periodischen Verzinsungsidentität wird allerdings ein Nullwert des eingesetzten Kapitals nach vollständiger Tilgung nicht erreicht. Dementsprechend wird in Abb. 4.13 ein Endkapital am Ende der Haltedauer von ungleich Null in Höhe von 2.406,81 Euro ermittelt. 58 Für die Berechnung von Zinsmargen ist es notwendig, daß das Gleichungsmodell zur Kalkulation von Ertrags- und Kostenzinsen59 eine eindeutige und ökonomisch sinnvoll interpretierbare reelle Zahl des internen Zinssatzes liefert. 60 Das Gleichungsmodell zur Kalkulation von Ertrags- oder Kostenzinsen basiert für den Fall einer Zahlungsreihe mit n Zahlungsperioden auf einem Polynom n-ten Grades. 61 Ein solches Polynom kann keine, nur eine oder mehrere Zinssätze als Lösungen n-ten Grades aufweisen. Wenn mehrere Zinssätze als Lösungen existieren (komplexe Lösung), so ist eine eindeutige ökonomische Interpretation schwierig. Das folgende Rechenbeispiel der Abb. 4.14 auf Seite 108 zeigt unter Annahme der folgenden einfachen Zahlungsreihe

57Vgl. Abb. 4.13 Zinstableau Spalte 5. 58Vgl. Abb. 4.13 Tilgungstableau Spalte 10. 59Vgl. Abb. 4.10 auf Seite 103 oder Abb. 4.11 auf Seite 104. 60Vgl. [60J 61 Def. Polynom n-ten Grades: Ein Term der Form anx n + an_1Xn-1 Koeffizienten ai und an 0 heißt Polynom vom Grad n.

+ ... + a2x2 + a1X + ao mit reellen

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Datum

30.09.00 30.09.01 30.09.02

I Saldo:

107 Zahlung

- 1.000,00 Euro + 2.090,00 Euro - 1.092,00 Euro -2,00 Euro

I

Tabelle 4.10: Zahlungsstrom die Berechnung von zwei positiven internen Zinssätzen von 5,00% p.a. und 4,00% p.a. 62 Zunächst scheint es völlig unverständlich, weshalb positive Zinssätze bei einem negativen Zahlungssaldo von -2,00 Euro auftreten. 63 Der Grund hierfür besteht in dem Sachverhalt, daß der in Tab. 4.10 unterstellte Beispiel-Zahlungsstrom zu Kapitalsaiden mit wechselndem Vorzeichen führt. Anhand der Zahlungs- und Tilgungsstruktur ist dieser Sachverhalt am Beispiel der 5,00%-igen Zins-Lösung (erste Lösung) nachvollziehbar. 64 Am 30.09.00 wird eine Geld-jKapitalanlage von -1.000,00 Euro getätigt. Am 30.09.01 erfolgt dann mit 2.090,00 Euro eine höhere Einzahlung als eigentlich für den Zinsertrag (50,00 Euro) und die Tilgung (1.000,00 Euro) der vorangehenden Geld-jKapitalanlage notwendig wäre. Folglich ergibt sich am 30.09.01 ein Restkapital von 1.040,00 Euro. 65 Das eine Jahresperiode verbleibende Restkapital von 1.040,00 Euro wird dann mit dem Zinsaufwand in Höhe von 52,00 Euro durch eine erneute Auszahlung in Höhe von - 1.092,00 Euro am 30.09.02 ausgeglichen. 66 Die Lösung des scheinbaren Widerspruchs zwischen positivem Zinssatz und negativem Zahlungssaldo liegt in der Summenbetrachtung der periodenbezogenen Kapitalsaiden bzw. der periodenbezogenen Zinsen über die Totalperiode 30.09.00 bis 30.09.02. Denn neben der negativen Verzinsung des Kapitaleinsatzes (-1.000,00 Euro) am 30.09.01 von -50,00 Euro (Zinsertrag!) gibt der interne Zins auch die positive Verzinsung der Kapitalaufnahme (1.040,00 Euro) am 30.09.02 von 52,00 Euro (Zinsaufwand!) an. 67 Da der Zinsaufwand am 30.09.02 von 52,00 Euro volumensmäßig höher ist als der Zinsertrag am 30.09.01 von -50,00 Euro,68 fällt per Saldo ein Zinsaufwand von 2,00 Euro an. 69 Dieser Zinssaldo von 2,00 Euro korrespondiert mit dem Kapitalsaldo über die Totalperiode 30.09.00 bis 30.09.02 von 40,00 Euro (dies sind prozentual 5,00% p.a.).70 Für 62 Vgl. Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Zinstableau: Erste Lösung Spalte 5 sowie Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Zinstableau: Zweite Lösung Spalte 5. 63Vgl. Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Zinstableau: Erste Lösung Spalte la sowie Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Zinstableau: Zweite Lösung Spalte la. 64Vgl. Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Zinstableau: Erste Lösung sowie Tilgungstableau: Erste Lösung. 65Vgl. Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Tilgungstableau: Erste Lösung Spalte 10. 66Vgl. Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Tilgungstableau: Erste Lösung Spalte 10. 67Vgl. Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Tilgungstableau: Erste Lösung Spalten 1, 8. 68Vgl. Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Tilgungstableau: Erste Lösung Spalte 8. 69Vgl. Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Tilgungstableau: Erste Lösung Spalte 9. 70Vgl. Abb. 4.14 auf der nächsten Seite Tilgungstableau: Erste Lösung Spalten la, 6, 9.

108

Gesamtergebnisrechnung

die in Abb. 4.14 dargestellte 4,OO%-Ertragszinslösung (zweite Lösung) gilt die analoge Erklärung, lediglich die Zins- und Tilgungsanteile und somit auch die Kapitalstände sind verändert. 71 Zinstableau' Erste LösunA 1 Datum

30.09.00 30.09.01 30.09.02 30.09.03

2

4 =213

3

ZahlungsZinsJahresS Kumulierte strom S S tage- S Zinstage basis (Endwert) quotient [Tage) [Euro) [Tage)

-1.000,00 2.090,00 -1 .092,00 0,00

B U U U

0,00 360,00 720,00 1.080,00

-2,001 1 : (1 a)

L

P P P P

360,00 360,00 360,00 360,00

-

5 Zins

S

30.09.00 30.09.01 30.09.02 30.09.03

0,0000 I 1,0000 I 2,0000 I 3,0000 I Interner Zins p,a. [%[:

5,00 5,00 5,00 5,00 5,00

P I I I

100 100 100 100

I

I I I V

-1.000,00 2.090,00 -1 .092,00 0,00

B U U U

0,00 360,00 360,00 360,00

6

Jahres- S ZinstageS S Zins basis quotient

P P P P

360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0,00 I 1,00 I 1,00 I 1,00 I Interner Zins p,a, [%):

Zinstableau ' Zweite LösunA

Datum

30.09.00 30.09.01 30.09.02 30.09.03

2

4- 2/3

3

5,00 5,00 5,00 5,00 5,00

B U U U

0,00 360,00 720,00 1.080,00

-2,001 1 : (1 a)

L

P P P P

360,00 360,00 360,00 360,00

Zins

S

0,0000 I 1,0000 I 2,0000 I 3,0000 I Interner Zins p.a. [%):

4,00 4,00 4,00 4,00 4,00

30.09.00 30.09.01 30.09.02 30.09.03

0,00 -1.000,00 1.050,00 0,00

P I I I

-1 .000,00 2.090,00 -1 .092,00 0,00

B U U U

Zinstage

100 100 100 100

0,00 360,00 360,00 360,00

360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

8 - 1" 5 "

1,0500 I 1,0500 I 1,0500 I

P P P P

7- 5/6

0,0400 0,0400 0,0400 0,0400

11 = 2 + 8

Zins

S Endkapitall S -zinssaldo

Tilgung

[Euro)

[Euro)

[Euro)

0,00 -50,00 52,00 0,00

I I I I

-1 .000,00 1.040,00 0,00 0,00

I I I

Z

-

6

9=7+8

Eins

I I I I

S

1 1 1 1

P P P P

Zinsfaktor

1,0400 1,0400 1,0400 1,0400

I I I I

S Hundert S

P P P P

0,00 I 1,00 I 1,00 I 1,00 I Interner Zins p,a. [%):

50,001 1 : (1 a) L Anfangskapital/-zinssaldo [Euro)

4,00 4,00 4,00 4,00 4,00

L

I I I I

100,00 100,00 100,00 100,00

P P P P

V Zins [Euro) (9):

-1 .000,00 2.009,62 -1 .009,62 0,00 0,00 0,00

10 = 1+2+8

11 = 2 + 8

Zins

SEndkapital! S -zinssaldo

Tilgung

[Euro)

[Euro)

[Euro)

617

["111)

Z

S

I I I I

10 = 1 " 9 A -4 ZahlungsS strom S (8arwert) [Euro)

Barwert 30 ,09.00 [Euro) (11):

8~ 1"5·

7

-1 .000,00 2.040,00 -1 .040,00 0,00

I I I I

2,001 1

8

L

1.990,48 -990,48 0,00 0,00 0,00

10 1+2+8

6/7

Zins [Euro) (9):

P P P P

S

Kapitalwert 30 .09.00 [Euro) (12 = 11):

[Tagel

P P P P

100,00 100,00 100,00 100,00

V

Jahres- S Zlnst~ge S S Zins basis quotient

[Tage)

1 1 1 1

Zahlungsstrom S (8arwert) [Euro) 1,0500 I -1.000,00 I

Zlnsfaktor

L Barwert 30.09.00 [Euro) (11): Kapitalwert 30 ,09,00 [Euro) (12 = 11):

Hun ZinsS S durt quotient

I I I I

5 = 3/4

4

3

S

["111)

P P P P

TilAunAstableau' Zweite LösunA

Datum

L

Za hlungsstrom (Endwert) [Euro)

1 2 1 = 10 AnfangsZahlungs. kapital! S S strom -zinssaldo [Euro) [Euro)

Eins

I I I

S Hundert S

I I I I V

10 = 1 " 9A .4

9=7+8

I

7

r-6

5

ZinsZahlungsS Kumulierte S Jahresstrom S tage - S basis ZInstage quotient (Endwert) [Euro) [Tage) [Tage)

-1 .000,00 2.090,00 -1 .092,00 0,00

0,0500 0,0500 0,0500 0,0500

["111)

[Tage)

40,001 1 : (1 a) L Anfangskapitall -z inssaldo [Euro)

1

P P P P

r--

5= 3/4

4

8

HunZinsS S durt quotient

Zahl ungsstrom (Endwert) [Euro)

1 3 2 1 = 10 AnfangsZahlungsZinskapitall S S strom tage -zinssaldo [Euro) [Euro) [Tage)

0,00 -1.000,00 1.040,00 0,00

7= 5/6

["111)

P P P P

TilAunAstableau' Erste LösunA

Datum

6

0,00 -40,00 42,00 0,00

I

I I I

-1 .000,00 1.050,00 0,00 0,00

I I I Z

-1 .000,00 2.050,00 -1 .050,00 0,00

I I I I I Z

S

I I I I

2,ODlI

Abb. 4.14: Kalkulation mehrerer Zinssätze als komplexe Lösung sowie Darstellung der Tilgungspläne

71Vgl. Abb. 4.14 Tilgungstableau: Zweite Lösung.

109

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Insofern entsprechen die in Abb. 4.14 auf der vorherigen Seite dargestellten Rechenbeispiele einem Girokonto, bei dem die Zahlungsströme bekannt sind und eine Identität zwischem unbekannten Soll- und Habenzins besteht. Eine eindeutige Bestimmung der Kapital- bzw. Kontostände ist dann nicht möglich. Abschließend wird in Abb. 4.15 unter Annahme der

In

Tab. 4.11 dargestellten ein-

fachen Zahlungsreihe Datum 30.09.00 30.09.01 30.09.02 30.09.03

Zahlung - 1.000,00 Euro + 2.090,00 Euro - 1.092,00 Euro - 2.000,00 Euro

Tabelle 4.11: Zahlungsstrom gezeigt, daß das Gleichungsmodell zur Berechnung eines Ertrags- oder Kostenzinses nicht immer zu einer Lösung führt.

Datum

30.09.00 30.09.01 30.09.02 30.09.03

Zahlungsstrom (Endwert) (Euro( ·1 .000,00 2.090,00 ·1 .092,00 ·2.000,00

3

2

1

S

Kumullene JahresS S Zlnstage basis [Tage(

B U U U

0,00 360,00 720,00 1.080,00

4- 2/3 ZInstage . S quotient

[Tage(

P P P P

360,00 P 0,0000 I 360,00 P 1,0000 I 360,00 P 2,0000 I 360,00 P 3,0000 I Enragszins p.a. [%):

-

5 Zins

S

6

Zins· Hun· S S quotient den

('!Iol

I I I I V

100 100 100 100

P P P P

9 = 7+8

8

7- 5/6

Eins

S

Zins· faktor

S

1 P f.',;'f.',;'I.',;·....A',';'I,' I 1 P lr,!,;'.r.!,;'#,;'#,;'#,~' I 1 P ,;'N,;',\'I/,;'/;',;'/;',;' I 1 P ,;'/;,,;'f;';;'NA'Nf,',;' I L BalWen 30.09.00 [Euro) (11): Kapitalwen 30,09.00 [Euro) (12 - 11):

######## ######## ######## ########

I I I I

10 = l ' 9 A -4 Zahlungs. strom (Barwert) (Eurol ·1 .000,00 0,00 0,00 0,00 ·1 .000,00 -1 .000.00 - Null!

S I I I I I Z

Abb. 4.15: Kalkulation eines Ertragszinses ohne Lösung (Zinstableau) Als Fazit bleibt festzuhalten, daß die Kalkulation von Zinsmargen von der erfolgreichen Berechnung eines Ertragszinses sowie eines Kostenzinses abhängt. Deren Berechnung unterliegt aber dem Problem der Lösung eines Polynoms n-ten Grades, für welches nicht immer eine reelle Lösung gefunden werden kann. Ein nicht existierender Ertragsoder Kostenzins oder mehrere existierende Ertrags- oder Kostenzinsen stellen den ökonomischen Sinn in Frage. Folglich muß in einigen Fällen auf die Berechnung einer Zinsmarge verzichtet werden.

Gesamtergebnisrechnung

110 4.2.1.1.3 Kalkulation von Perioden-Kapitalwerten

Die Kalkulation von Gegenwart-

Kapitalwerten berechnet im Rahmen der barwertigen Betrachtung den Kapitalwert als Barwert eines Zahlungsstroms zum Zeitpunkt t

0. 72 Die periodenwertige

Betrachtung dagegen fragt nach der Verrentung des Gegenwart-Kapitalwertes, d. h. es wird nach einem Entnahmemodell gesucht, welches gemäß Abb. 4.16 eine periodische Verteilung des Gegenwart-Kapitalwertes über die gesamte Haltedauer eines Geld- jKapitalmarktgeschäftes vornimmt. Kapitalwert t= 0

~~.

t=O

Haltedauer

t=1 t=2 t=3 t=4 periodisierter periodisierter periodisierter periodisierter Kapitalwert 1 Kapita lwert 2 Kapitalwert 3 Kapitalwert 4

Abb. 4.16: Verrentung eines Gegenwart-Kapitalwertes Im folgenden wird die Anforderung gestellt, den im Rechenbeispiel der Abb. 4.8 auf Seite 97 berechneten Gegenwart-Kapitalwert in Höhe von 3.968,49 Euro über die gesamte Haltedauer zu verrenten. Das erforderliche Verrentungsmodell zeigt Abb.4.17. 2

1 Datum

30.09. 00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Kapitalwert (Endwert) (Euro) 0,00 1.384,41 1.404,91 1.430,08

4 = 2/3

3

r-5

-

r---

7 = 5/6

6

8

ZinsHunS Kumulierte S Jahres- S Zinstage- S Zins SEins S S dert S quotient basis quotient Zinstage P V V V

(Tage) 0,00 180,00 360,00 540,00

(Tage) P 360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00

('I'o)

P P P P

0,0000 0,5000 1,0000 1,5000

I 0,00 U I 5,00 U I 6,00 U I 7,00 U

9-=7+8

f~:-r

10 = 1'9"·4 KaphaIS S wert (Darwert) (Euro)

1 P 1,0000 I 0,0000 I 0,0500 I 1 P 1,0500 I 1 P 1,0600 I 0,0600 I 1 P 1,0700 I 0,0700 I L Barwert 30.09.00 [Euro] (11): Kapitalwert 30_09.00 [Euro] (12 = 11):

100 100 100 100

P P P P

0,00 1.351,04 1.325,39 1.292,07 3.968,49 3.968,49

I N > Null! N > Null! N > Null! I Z

Abb. 4.17: Kalkulation von Perioden-Kapitalwerten (Verrentungstableau) Das in Abb. 4.17 dargestellte Entnahmemodell zur Verrentung von GegenwartsKapialwerten ist mit dem in Abb. 4.8 auf Seite 97 beschriebenen Modell Berechnung von Gegenwart-Kapitalwerten formal identisch. Nunmehr basiert Berechnung der Perioden-Kapitalwerte aber auf einer 1:n-Zielwertanalyse, wobei Gegenwart-Kapitalwert als Zielwert und die gesuchten Perioden-Kapitalwerte

zur die der als

Entscheidungsvariablen fungieren. 73 Dabei ist als Nebenbedingung zu beachten, daß die periodisierten Kapitalwerte auf Grund des positiven Gegenwart-Kapitalwertes nur Werte größer Null annehmen dürfen. Unter Angabe eines Zielwertes von 3.968,49 Euro für den Gegenwart-Kapitalwert errechnet sich folgender Entnahmeplan: 1.384,41 Euro 72Ygl. Kapitel 4.2.1.1.1 auf Seite 96. 73Ygl. Abb. 4.17 Spalten 1 und 12.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

111

am 30.03.01, 1.404,91 Euro am 30.09.01 sowie 1.430,08 Euro am 30.03.02. 74 Somit ist nachgewiesen, daß das in Abb. 4.17 auf der vorherigen Seite dargestellte barwertige Verrentungsmodell ein arbitragefreies Hin- und Herschalten zwischen dem Kapitalwert t

= 0 und den Perioden-Kapitalwerten t = 1 bis t = n eines Zahlungsstroms ermöglicht.

4.2.1.2 Kalkulation deterministischer Zahlungsströme auf Basis der Marktwertmethode 4.2.1.2.1 Kalkulation

von

Gegenwart-Kapitalwerten

Den Ausgangspunkt der

Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten im Rahmen der Marktwertmethode bildet der Kapitalwert. Der Kapitalwert zeigt den Erfolg einer Geld-jKapitalanlage, wobei der Erfolg - im Gegensatz zur Barwertmethode75

-

als tatsächlicher Marktwert ausgewiesen wird.

Zur Berechnung des tatsächlichen Marktwertes wird aber nicht der Weg der Abzinsung beschritten,16 sondern es wird das Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung angewandt. 77 78 Die strukturkongruente Refinanzierung neutralisiert bzw. dupliziert die Ursprungszahlungen eines Zahlungsstroms konsequent durch den Abschluß eines entsprechenden strukturkongruenten Gegen-Zahlungsstroms, d. h. einer Zahlungsreihe, deren Zahlungen reziproke Vorzeichen bei identischer Struktur und Höhe zu den Ursprungszahlungen aufweisen. Entsprechend Abb. 4.18 kann die finanzmathematische Konstruktion eines strukturkongruenten Gegen-Zahlungsstroms auf Basis von jährlichen Tranchen 79 oder auf Basis von jährlichen und unterjährigen Tranchen erfolgen. In beiden Fällen sind sowohl eine sukzessive als auch eine simultane Berechnung des Marktwertes auf Grundlage der strukturkongruenten Refinanzierung möglich. Strukturkongruente Refinanzierung

Basis: Jährliche und unterjährige Tranchen

Abb. 4.18: Varianten der strukturkongruenten Refinanzierung Zum grundlegenden Verständnis der finanzmathematischen Darstellung der Varianten der 74Ygl. Abb. 4.17 auf der vorherigen Seite Spalten 1 und 12. 75Ygl. Kapitel 4.2.1.1 auf Seite 96. 76Ygl. Abb. 4.8 auf Seite 97. 77Ygl. [97, S. 178 ff.] 78Yg. [109, S. 77 ff.] 79Synonymbegriff: Tilgungen.

Gesamtergebnisrechnung

112

strukturkongruenten Refinanzierung wird in den folgenden Kapiteln der in Tab. 4.12 dargestellte einfache Zahlungsstrom unterstellt: Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.12: Zahlungsstrom Desweiteren möge am Geld-/Kapitalmarkt eine normale Nominal-Zinsstruktur vorliegen, d.h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als I-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%, für I-Jahres-Geld 6,00% und für 1~-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-/Kapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-/Kapitalanlage. 4.2.1.2.1.1 Sukzessive strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen

Die Kalkulation des Kapitalwertes des unterstellten Zahlungsstroms auf

Basis jährlicher Tranchen mit Hilfe einer sukzessiven strukturkongruenten Refinanzierung zeigt Abb. 4.22 auf Seite 116. Hierzu werden stufenweise die drei zukünftigen Zahlungen des unterstellten Original-Zahlungsstroms neutralisiert, wobei mit der am weitesten in der Zukunft liegenden Zahlung begonnen wird. 8o 81 Die erste Frage lautet demnach, welcher Betrag am 30.09.00 zu 7,00% für q-Jahre aufgenommen werden muß, damit die Kapitalrückzahlung inkl. der zu zahlenden Zinsen exakt die Ursprungszahlung von 92.545,50 Euro am 30.03.02 neutralisiert. Hierfür ist heute eine Geld-/Kapitalaufnahme von 86.491,12 Euro nötig. 82 Folgender in Tab. 4.13 dargestellter Summen-Zahlungsstrom resultiert aus dieser ersten Neutralisierung. 83 Zahlung 30.09.00 Zahlung: -95.000,00 Euro Gegen-Zahlung: 86.491,12 Euro I Summe: I -8.508,88 Euro

Zahlung 30.03.01 8.000,00 Euro -3.027,19 Euro I 4.972,81 Euro

Zahlung 30.09.01 8.000,00 Euro 0,00 Euro I 8.000,00 Euro

Zahlung 30.03.02 92.545,50 Euro -92.545,50 Euro 0,00 Euro I

I

Tabelle 4.13: Summen-Zahlungsstrom nach erster Neutralisierung Bei einem Nominalzins von 7,00% führt die zusätzliche Geld-/Kapitalaufnahme von 86.491,12 Euro zu einer halbjährlichen Zinsbelastung (30.09.00 bis 30.03.01) von -3.027,19 Euro am 30.03.01. Die Geld-/Kapitalrückzahlung inkl. der jährlichen Zinszahlung (30.03.01 bis 30.03.02) in Höhe von -92.545,50 Euro erfolgt am 30.03.02 aus 80Ygl. 81Ygl. 82Ygl. 83ygl.

[12] [109,77 ff.] Abb. 4.22 auf Seite 116 Marktwerttableau Spalten 1, 2, 4, 10. Abb. 4.22 auf Seite 116 1. Neutralisierungstableau Spalten 2, 3, 6, 8, 9.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

113

der Einzahlung des Ursprungs-Zahlungsstroms. 84 Die Zinszahlungen ergeben sich gemäß Abb. 4.19 aus der in Abb. 4.22 auf Seite 116 unterstellten Prämisse einer jährlichen Tranchenzahlung. 85 Zinszahlung

30.09.01

Abb. 4.19: Erste Neutralisierung. Zinszahlung bei jährlichen Tranchen

Als nächstes ist die Frage zu beantworten, wieviel1-Jahres-Geld am Geld-/Kapitalmarkt aufzunehmen ist, um die noch bestehende Differenz in Höhe von 8.000,00 Euro am 30.09.01 zu decken. Diese läßt sich neutralisieren, indem heute ein Geld-/Kapitalbetrag von 7.547,17 Euro aufgenommen wird. 86 Bei einem Nominalzins von 6,00% ergibt diese zusätzliche Geld-/Kapitalaufnahme den folgenden in Tab. 4.14 dargestellten SummenZahlungsstrom nach Neutralisierung. 87

Zahlung: Gegen-Zahlung: I Summe:

Zahlung 30.09.00 -8.508,88 Euro 7.547,17 Euro -961,71 Euro

Zahlung 30.03.01 4.972,81 Euro 0,00 Euro I 4.972,81 Euro

I

Zahlung 30.09.01 8.000,00 Euro -8.000,00 Euro 0,00 Euro

Zahlung 30.03.02 0,00 Euro 0,00 Euro

I 0,00 Euro I

Tabelle 4.14: Summen-Zahlungsstrom nach zweiter Neutralisierung Die zusätzliche Geld-/Kapitalaufnahme von 7.547,17 Euro führt zu einer Rückzahlung inklusive 6,00%iger Zinszahlung am 30.09.01 von -8.000,00 Euro, d. h. exakt dem reziproken Wert der Ursprungszahlung von 8.000,00 Euro. 88 Auch die in der Rückzahlung enthaltende Zinszahlung ergibt sich gemäß Abb. 4.20 auf der nächsten Seite aus der in der Abb. 4.22 auf Seite 116 unterstellten Prämisse einer jährlichen Tranchenzahlung. 89

84Ygl. 85Ygl. 86Ygl. 87Ygl. 88Ygl. 89Ygl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.22 4.22 4.22 4.22 4.22 4.22

auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite

116 116 116 116 116 116

1. Neutralisierungstableau Spalten 2 bis 4, 6 bis 9. 1. Neutralisierungstableau Spalte 5.

Marktwerttableau Spalten 1, 2, 4, 10. 2. Neutralisierungstableau Spalten 2, 3, 6, 8, 9. 2. Neutralisierungstableau Spalten 2, bis 4, 6 bis 9. 2. Neutralisierungstableau Spalte 5.

114

Gesamtergebnisrechnung Zinszahlung

30.09.001

30.03.011

1

30.09.011

Abb. 4.20: Zweite Neutralisierung. Zinszahlung bei jährlichen Tranchen Für das erste Halbjahr verbleibt jetzt noch eine zu neutralisierende Differenz von 4.972,81 Euro. Diese läßt sich wiederum abdecken, indem heute ein Geld-/Kapitalbetrag von 4.851,52 Euro zu 2,50%90 aufgenommen wird. 91 Folgender in Tab. 4.15 dargestellter Summen-Zahlungsstrom resultiert aus der dritten und letzten Neutralisierung. 92

I

Zahlung: Gegen-Zahlung: Summe:

Zahlung 30.09.00 -961,71 Euro 4.851,52 Euro

I 3.889,81 Euro I

Zahlung 30.03.01 4.972,81 Euro -4.972,81 Euro 0,00 Euro

Zahlung 30.09.01 0,00 Euro 0,00 Euro

Zahlung 30.03.02 0,00 Euro 0,00 Euro

I 0,00 Euro I 0,00 Euro I

Tabelle 4.15: Summen-Zahlungsstrom nach dritter Neutralisierung Die letzte zusätzliche Geld-/Kapitalaufnahme von 4.851,52 Euro führt am 30.03.01 zu einer Rückzahlung von -4.972,81 Euro. Dieser Kapitalrückfluß inklusive 2,50%iger Zinszahlung deckt genau die Differenz am 30.03.01 ab. 93 Auch die im Kapitalrückfluß enthaltende Zinszahlung ergibt sich gemäß Abb. 4.21 aus der in der Abb. 4.22 auf Seite 116 unterstellten Prämisse einer jährlichen Tranchenzahlung. 94 Zinszahlung

30.09.001

1

30.03.011

Abb. 4.21: Dritte Neutralisierung. Zinszahlung bei jährlichen Tranchen

Die am 30.09.00 nach drei Neutralisierungsstufen verbleibende Zahlungsstromdifferenz von 3.889,81 Euro entspricht dem Kapitalwert als tatsächlich realisierbaren Marktwert zum Zeitpunkt t = 0 (30.09.00) des beispielhaften Zahlungsstroms. 95 Demnach kann das Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung im Rahmen der marktwertigen Betrachtung auch wie folgt definiert werden: Zwei Zahlungsströme (Zahlungsstrom und Gegen-Zahlungsstrom; Kundengeschäft und Gegengeschäft) sind strukturkongruent 90Nicht 5,00%, da der Zinszahlungszeitraum vom 30.09.00 bis 30.03.01 einer unterjährigen Tranche entspricht! Vgl. Abb. 4.22 auf Seite 116 Marktwerttableau Spalte 7. 91Vgl. Abb. 4.22 auf Seite 116 Marktwerttableau Spalten 1, 2, 4, 10. 92Vgl. Abb. 4.22 auf Seite 116 3. Neutralisierungstableau Spalten 2, 3, 6, 8, 9. 93Vgl. Abb. 4.22 auf Seite 116 3. Neutralisierungstableau Spalten 2 bis 4, 6 bis 9. 94Vgl. Abb. 4.22 auf Seite 116 3. Neutralisierungstableau Spalte 5. 95Vgl. Abb. 4.22 auf Seite 116 Marktwerttableau Spalte 12.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

115

refinanziert, wenn ihr Summmen-Zahlungsstrom zu jedem zukünftigen Zeitpunkt gleich Null ist (Kassen- bzw. Liquiditätsneutralität). Lediglich heute, d. h. am Kalkulationszeitpunkt 30.09.00, liegt ein Unterschied vor. Die an diesem Zeitpunkt anfallende Differenz von 3.889,81 Euro ist der als Kapitalwert tatsächlich entnehmbare Marktwert (Kassenüberschuß!) des Zahlungsstroms gegenüber dem Gegen-Zahlungsstrom. Diese marktwertige Betrachtung der strukturkongruenten Refinanzierung wird auch als Soforientnahmemodell 96 bezeichnet. Die zum Verständnis der stufenweisen Neutralisierung des Zahlungsstroms im Rahmen der strukturkongruenten Refinanzierung wichtigsten Spalten der in Abb. 4.22 auf der nächsten Seite dargestellten Tableaus werden zusätzlich wie folgt erläutert: Marktwerttableau: Tranchenrhythmus Spalte 5

Der Tranchenrhythmus zeigt die im Rechenbeispiel der Abb. 4.22 auf der nächsten Seite unterstellte Prämisse einer strukturkongruenten Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen. Neutralisierungstableaus: Zinszahlungsschalter Spalte 5

Der Zinszahlungsschalter berücksichtigt die Zinszahlungstermine der im Rahmen der strukturkongruenten Refinanzierung sukzessive realisierten Neutralisierung des Zahlungsstroms gemäß den Abb. 4.19 auf Seite 113, 4.20 auf der vorherigen Seite und 4.21 auf der vorherigen Seite.

96

"Das Sofortentnahmemodell ist ein "Südseemodell" : Wird mit zwei Nachbarn ein Aktivgeschäft und ein Passivgeschäft abgeschlossen, die gemäß Sofortentnahme stukturkongruent sind, läßt sich der Margenbarwert (Anmerkung des Verfassers: Kassenüberschuß oder Kapitalwert) sofort entnehmen und beispielsweise für eine Reise in die Südsee verwenden. Man braucht sich um nichts mehr kümmern, da sich die Zahlungen der beiden Nachbarn in alle Zukunft hinein ausgleichen." Vgl. [109, S. 78].

>

('l)

.......

'"1

1=1'"

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I

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Cl ('l)

Ul

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'--" 0

~ ~ i=! ~ (J .: 1=1"'('l) ~ i=! .......

~~

t-.:) t-.:)

~

0" 0"

(Tage) 540,00 360 ,00 180,00 0,00

2

U U U

S

1 1 1 1

P P P P

S

4

7,00 6,00 5,00 0,00

('I!o)

Zins

" 5

U U U U

5

(Tage) 360 ,00 360,00 360 ,00 360,00 P P P P

S Tranchen- S rhythmus

3

4

Marktwerttableau

5

ZinsZinsMarktwert S S zahlungs- S quotient schalter (Euro) 86.491,12 E 0,0700 E 86.491,12 E 0,0700 E 0,00 P 86.491,12 E 0,0700 E 0,50 P

3

Eins

3

clQ03 .Q1

Datum

2

3

4

Marktwerttableau

5

Neutralisierungstableau

Kumulierte S Zinstage

Marktwerttableau

Zahlungsstrom ZinsS Zinsvor S Marktwert S zahlungs- S quotient Neutralisierung schalter (Tage) (Euro) (Euro) 180,00 P 4.972,81 E 4.851,52 E 0,0250 E

1

3. Neutralisierungstableau

Neutralisierungstableau

Zahlungsstrom ZinsKumulierte S ZinsDatum S vor S Marktwert S zahlungs- S Zinstage quotient Heutrallslerung schalter (Tage) (Euro) (Euro) 30.09.01 360,00 P 8.000,00 E 7.547,17 E 0,0600 E 30.03.01 180,00 P 4.972,81 E 7.547,17 E 0,0600 E 0,00 P

1

2. Neutralisierungstableau

30.03.02 30.09.01 30.03. 01

Datum

2

Zahlungsstrom vor Heutrallslerung (Tage) (Euro) 540 ,00 P 92.545,50 360,00 P 8. 000 ,00 180,00 P 8. 000 ,00

Kumulierte S Zinstage

1

U E E B

S

Neutralisierungstableau

P P P P

2

Zahlungsstrom nach Neutrallslerung (Euro) 92.545 ,50 8.000,00 4.972,81 -95 .000 ,00

1. Neutralisierungstableau

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00

Datum

Kumulierte S Zinstage

1

Marktwerttableau

S

P P P P

S

S

(Euro)

Zinszahlung

6 - 3 " 4*5 S

0,00 I

(Euro)

Zinszahlung

6 - 3*4*5

0 ,00 I 3.027,19 I

(Euro)

Zinszahlung

6 - 3 * 4*5

100 100 100 100

Hundert

6

S

9 =2 -6 9 = 2-8

8 = 3 *7

Marktwerttableau

9 - 2 -6 9-2 -8

Heutralisierungstableau

I A A

S

Neutralisierungstableau

Zahlungsstrom Neutralisierung S nach Neutrallslerung (Euro) (Euro) 92.545,50 I 0 ,00 8.000,00 4.972,81

8 - 3 *7

8=3"7

(Euro) 4.972 ,81

Marktwerttableau

Zahlungsstrom nach S Neutralisierung (Euro) I 0,00 I

9-2 -8

Heutralisierungstableau

S Neutrallslerung S

1,0250 E M arktwerttableau

Zinsfaktor

7

Marktwertt ableau

10 - 2*9 S Marktwert S

Zahlungsstrom Zinsfaktor S Neutralisierung S nach S Neutralisierung (Euro) (Euro) 1,0600 E 8.000 ,00 I 0,00 I 4.972,81 A 1,0600 E

7

S

9 - 3/8 Kehrwert Zinsfaktor

(Euro) 0 ,9346 I 1,ül00 A 86.491,12 A 1,0600 A 0 ,9434 I 7.547,17 A 1,0250 A 0 ,9756 I 4.851,52 A 1,0000 I 1,0000 I -95000,00 I L Marktwert 30_09.00 [Euro) (11): 3.889,81 I Kapitalwert 30.09.00 [Euro) (12 = 11): 3.889,81 I

Zinsfaktor

8 - 3+7

Neutralisierungstableau

A A A I

S

1,0700 E 1,0700 E 1,0700 E Marktwer1tableau

Zinsfaktor

7

Neutralisierungs1ableau

0,0700 0,0600 0,0250 0,0000

ZinsquotIent

7 = (4 * MIN (1 15; 3)) 16

.... ....

rJl

()q

1:1

(")

=§

(!)

"'1

0-

....1:1

(!)

(!)

"'1 ()q

ä

o ~

(!) rJl

~

117

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

4.2.1.2.1.2 Simultane strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen Die Kalkulation des Kapitalwertes des unterstellten Zahlungsstroms auf Basis jährlicher Tranchen mit Hilfe einer simultanen strukturkongruenten Refinanzierung zeigt Abb. 4.23. 97 1 Datum

4

5 = 130.03.02

6

1 = 1 *4 1=1*4+5*6

ZinsS ZinsS Zahlungsstrom S S Marktwert S quotient faktor (Euro) (Ewo) 92.545,50 N 86.491.12 V 1.0700 U 8.000,00 N 7.547,17 V 1,0600 U 8.000,00 N 0,0350 U 4.851,52 V 1,0250 U 86.491,12 I

Marktwert (Euro)

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 -95 .000,00 B 1,0000 U 3.889,81 I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) Max! 3.889,81 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

-95.000,00 N

Abb. 4.23: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) (Marktwerttableau ) Der in Abb. 4.23 dargestellte Simultanansatz einer strukturkongruenten Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen besteht aus einem System von linearen Gleichungen. Es enthält immer genau so viele Gleichungen, wie Zahlungen beim unterstellten Zahlungsstrom anfallen. Dabei fungieren der gesuchte Kapitalwert als Zielwert, den es zu maximieren gilt, und die zeitpunktbezogenen Marktwerte als Entscheidungsvariablen. 98 Die zeitpunktbezogenen Marktwerte sind unter der Nebenbedingung zu bestimmen, daß deren haltedauerspezifische Anlage wieder den unterstellten Zahlungsstrom ergeben. 99 In den Zeilen dieses Gleichungssystems werden folgende Gleichgewichtszustände beschrieben: Am 30.03.02 (= erste Zeile) entspricht der Kapitalrückzahlung von 92.545,50 Euro inklusive der zu zahlenden 7,00%igen Zinsen einem heutigen (30.09.00) Marktwert von 86.491,12 Euro. Am 30.09.01 (= zweite Zeile) entspricht der Kapitalrückzahlung von 8.000,00 Euro inklusive der zu zahlenden 6,00%igen Zinsen einem heutigen (30.09.00) Marktwert von 7.547,17 Euro. Am 30.03.01 (= dritte Zeile) müssen aus der Kapitalrückzahlung in Höhe von 8.000,00 Euro nicht nur die Zinsen für die 1 ~-Jahresgeld- Tranche in Höhe von 3,50%100 und für die ~-Jahresgeld- Tranche von 2,50%101 erbracht werden, sondern auch die Schlußtilgung der ~-Jahresgeld-Tranche. Am 30.09.00 (= vierte Zeile) besteht eine Identität zwischen der Kapitalauszahlung und dem Marktwert in Höhe von 95.000,00 EurO. 102 97Ygl. [71, S. 189 ff.] 98Ygl. Abb. 4.23 Spalten 1, 3. 99Ygl. Abb. 4.23 Spalten 1, 7. 100Nicht 7,00%, da der Zinszahlungszeitraum vom 30.09.00 bis 30.03.01 einer unterjährigen Tranche entspricht! Ygl. Abb. 4.22 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalte 7. 101 Nicht 5,00%, da der Zinszahlungszeitraum vom 30.09.00. bis 30.03.01 einer unterjährigen Tranche entspricht! Ygl. Abb. 4.22 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalte 7. 102Ygl. Abb. 4.23 Spalten 1, 4 bis 7.

Gesamtergebnisrechnung

118

Abschließend bleibt der Hinweis, daß bei der Berücksichtigung von jährlichen Tranchen der sukzessive Ansatz als auch der simultane Ansatz einer strukturkongruenten Refinanzierung zu exakt identischen Kapitalwerten von jeweils 3.889,81 Euro führen. 103

4.2.1.2.1.3 Sukzessive strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen und unterjährigen Tranchen Die Kalkulation des Kapitalwertes des unterstellten Zahlungsstroms auf Basis von jährlichen und unterjährigen Tranchen mit Hilfe einer sukzessiven strukturkongruenten Refinanzierung zeigt Abb. 4.27 auf Seite 122. Hierzu werden stufenweise die drei zukünftigen Zahlungen des unterstellten OriginalZahlungsstroms neutralisiert, wobei mit der am weitesten in der Zukunft liegenden Zahlung begonnen wird. 104 Zunächst ist demnach die Frage zu beantworten, welcher Betrag heute (30.09.00) zu 7,00% für l~-Jahre aufgenommen werden muß, damit die Kapitalrückzahlung inklusive der zu zahlenden Zinsen exakt die Ursprungszahlung von 92.545,50 Euro am 30.03.02 neutralisiert. Hierfür ist heute eine Geld-/Kapitalaufnahme von 89.415,94 Euro nötig. 105 Folgender in Tab. 4.16 dargestellter Summen-Zahlungsstrom resultiert aus dieser ersten Neutralisierung. 106 Datum

Barwert 30.09.00 Zahlung: -95.000,00 Euro Gegen-Zahlung: 89.415,94 Euro I Summe: I -5.584,06 Euro

Zahlung 30.03.01 8.000,00 Euro 0,00 Euro I 8.000,00 Euro

Zahlung 30.09.01 8.000,00 Euro -6.259,12 Euro I 1.740,88 Euro

I

Zahlung 30.03.02 92.545,50 Euro -92.545,50 Euro 0,00 Euro

I

Tabelle 4.16: Summen-Zahlungsstrom nach erster Neutralisierung Bei einem Nominalzins von 7,00% führt die zusätzliche Geld-/Kapitalaufnahme von 86.415,94 Euro zu einer jährlichen Zinsbelastung (30.09.00 bis 30.09.01) von -6.259,12 Euro am 30.09.01. Die Geld-/Kapitalrückzahlung inklusive der halbjährlichen Zinszahlung (30.09.01 bis 30.03.02) in Höhe von -92.545,50 Euro erfolgt am 30.03.02 aus der Einzahlung des Ursprungs-Zahlungsstroms. 107 Die Zinszahlungen ergeben sich gemäß Abb. 4.24 auf der nächsten Seite aus der in der Abb. 4.27 auf Seite 122 unterstellten Prämisse einer jährlichen und unterjährigen Tranchenzahlung. 108

103 Vgl. Abb. 4.23 auf der vorherigen Seite Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.22 auf Seite 116 Marktwerttableau Spalte 12. 104Vgl. [97, S. 179 fI.] l05Vgl. 4.27 auf Seite 122 Marktwerttableau Spalten 1, 2, 4, 13. 106Vgl. 4.27 auf Seite 122 1. Neutralisierungstableau Spalten 2, 3, 6, 8, 9. 107Vgl. 4.27 auf Seite 122 1. Neutralisierungstableau Spalten 2 bis 4, 6 bis 9. 108Vgl. 4.27 auf Seite 122 1. Neutralisierungstableau Spalte 5.

119

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

30.03.01

Abb. 4.24: Erste Neutralisierung: Zinszahlung bei jährlichen und unterjährigen Tranchen Als nächstes ist die Frage zu beantworten, wieviel1-Jahres-Geld am Geld-/Kapitalmarkt aufzunehmen ist, um die noch bestehende Differenz in Höhe von 1.740,88 Euro am 30.09.01 zu decken. Diese läßt sich neutralisieren, indem heute ein Geld-/Kapitalbetrag von 1.642,34 Euro aufgenommen wird. 109 Bei einem Nominalzins von 6,00% ergibt diese zusätzliche Geld-/Kapitalaufnahme den folgenden in Tab. 4.17 dargestellten SummenZahlungsstrom nach Neutralisierung. l1o

Zahlung: Gegen-Zahlung: I Summe:

Zahlung Barwert 30.09.00 -5.584,06 Euro 1.642,34 Euro -3.941,72 Euro

Zahlung 30.03.01 8.000,00 Euro 0,00 Euro I 8.000,00 Euro

Zahlung 30.09.01 1.740,88 Euro -1.740,88 Euro I 0,00 Euro

Zahlung 30.03.02 0,00 Euro 0,00 Euro I 0,00 Euro

I

Tabelle 4.17: Summen-Zahlungsstrom nach zweiter Neutralisierung Die zusätzliche Geld-/Kapitalaufnahme von 1.642,34 Euro führt am 30.09.01 zu einer Rückzahlung inklusive 6,00%iger Zinszahlung von -1.740,88 Euro, d.h. exakt dem reziproken Wert der Zahlung nach der ersten Neutralisierung von 1.740,88 EurO. ll1 Auch die in der Rückzahlung enthaltende Zinszahlung ergibt sich gemäß Abb. 4.25 aus der in der Abb. 4.27 auf Seite 122 unterstellten Prämisse einer jährlichen und unterjährigen Tranchenzahlung. 112 Zinszahlung

30.09.001

30.03.011

1

30.09.011

Abb. 4.25: Zweite Neutralisierung: Zinszahlung bei jährlichen und unterjährigen Tranchen Für das erste Halbjahr verbleibt jetzt noch eine zu neutralisierende Differenz von 8.000,00 Euro. Diese läßt sich wiederum abdecken, indem heute ein Geld-/Kapitalbetrag von 7.804,88 Euro zu 5,00% aufgenommen wirdY3

l09Ygl. l1OYgl. 111 Y gl. 112Ygl. 113Ygl.

4.27 4.27 4.27 4.27 4.27

auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite

122 122 122 122 122

Marktwerttableau Spalten 1, 2, 4, 13. 2. Neutralisierungstableau Spalten 2, 3, 6, 8, 9. 2. Neutralisierungstableau Spalten 2 bis 4, 6 bis 9. 2. Neutralisierungstableau Spalte 5. Marktwerttableau Spalten 1, 2, 4, 13.

Gesamtergebnisrechnung

120

Folgender in Tab. 4.18 dargestellter Summen-Zahlungsstrom resultiert aus der dritten und letzten Neutralisierung. 114 Zahlung 30.09.00 Zahlung: -3.941,72 Euro Gegen-Zahlung: 7.804,88 Euro I Summe: I 3.863,16 Euro

Zahlung 30.03.01 8.000,00 Euro -8.000,00 Euro I 0,00 Euro

Zahlung 30.09.01 0,00 Euro 0,00 Euro I 0,00 Euro

Zahlung 30.03.02 0,00 Euro 0,00 Euro I 0,00 Euro

I

Tabelle 4.18: Summen-Zahlungsstrom nach dritter Neutralisierung Die letzte zusätzliche Geld-jKapitalaufnahme von 7.804,88 Euro führt am 30.03.01 zu einer Rückzahlung von -8.000,00 Euro. Diese Kapitalrückzahlung deckt genau die Differenz am 30.03.01 ab. 115 Auch die im Kapitalrückfluß enthaltende Zinszahlung ergibt sich gemäß Abb. 4.26 aus der in der Abb. 4.27 auf Seite 122 unterstellten Prämisse einer jährlichen und unterjährigen Tranchenzahlung. 116 Zinszahlung

30.09.001

1

30.03.011

Abb. 4.26: Dritte Neutralisierung: Zinszahlung bei jährlichen und unterjährigen Tranchen Die am 30.09.00 nach drei Neutralisierungsstufen verbleibende Zahlungsstromdifferenz von 3.863,16 Euro entspricht dem Kapitalwert als tatsächlich realisierbaren Marktwert des beispielhaften Zahlungsstroms. Demnach kann das Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung im Rahmen der marktwertigen Betrachtung auch wie folgt definiert werden: Zwei Zahlungsströme (Zahlungsstrom und Gegen-Zahlungsstrom; Kundengeschäft und Gegengeschäft ) sind strukturkongruent refinanziert, wenn ihr Summen-Zahlungsstrom zu jedem zukünftigen Zeitpunkt gleich Null ist (Kassen- bzw. Liquiditätsneutralität). Lediglich heute, d. h. am Kalkulationszeitpunkt 30.09.00, liegt ein Unterschied vor. Die an diesem Zeitpunkt anfallende Differenz von 3.863,16 Euro ist der als Kapitalwert tatsächlich entnehmbare Marktwert (Kassenüberschuß!) des Zahlungsstroms gegenüber dem GegenZahlungsstrom. Diese marktwertige Betrachtung der strukturkongruenten Refinanzierung wird auch als Sofonentnahmemodell 117 bezeichnet.

114Vgl. 115Vgl. 116Vgl. 117Vgl.

4.27 auf Seite 1223. Neutralisierungstableau Spalten 2, 3, 6, 8, 9. 4.27 auf Seite 1223. Neutralisierungstableau Spalten 2 bis 4, 6 bis 9. 4.27 auf Seite 1223. Neutralisierungstableau Spalte 5. Fußnote 96 auf Seite 115.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

121

Die zum Verständnis der stufenweisen Neutralisierung des Zahlungsstroms im Rahmen der strukturkongruenten Refinanzierung wichtigsten Spalten der in Abb. 4.27 auf der nächsten Seite dargestellten Tableaus werden zusätzlich wie folgt erläutert: Marktwerttableau: Tranchenrhythmus Spalte 7 Der Tranchenrhythmus zeigt die im Rechenbeispiel der Abb. 4.27 auf der nächsten Seite unterstellte Prämisse einer strukturkongruenten Refinanzierung auf Basis von jährlichen und unterjährigen Tranchen. Neutralisierungstableaus: Zinszahlungsschalter Spalte 5 Der Zinszahlungsschalter berücksichtigt sowohl für jährliche als auch für unterjährige Tranchen die Zinszahlungstermine der im Rahmen der strukturkongruenten Refinanzierung sukzessive realisierten Neutralisierung des Zahlungsstroms gemäß den Abb. 4.24 auf Seite 119, 4.25 auf Seite 119 und 4.26 auf der vorherigen Seite.

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0"'

?"

[Tage) 540,00 360,00 180,00 0,00

[Tage[ 540,00 P 360,00 P 180,00 P

Kumulierte S Zinstage

30 .03 .01

Datum

2

U U U

S

P P P P

4

['11.)

Zins

7,00 6,00 5,00 0,00

U U U U

S

5

3

4

M arktwerttableau

5

3

4

M arktwerttableau

5

Neutralisierungstableau

Marktwerttableau

7

P P P P

S

8 = 3 *7

[Tage) 360,00 360,00 360,00 360,00

Jahresbasis

8

P P P P

S

9 =7 / 8

9 = 2 -6 9 - 2 -8

0,500 1,000 0,500 1,000

Tranchen rhythmusquotient

(Euro)

Zlnszahlung

63 *4 " 5

7 8 - 3 *7

M arktwe rttableau

9 - 2 -6 9 = 2 -8

I A A

S

9 - 2 -8 Zahlungsstrom nach S Neutralisierung (Euro) (Euroj 8.000,00 I 0,00 I

8 - 3 *7

Neutralisierungsta bl eau

M arktwerttableau

3

+

10

.....,.,-:KehrS wert Zinsfaktor

~ 3 / 11

tableau

Neutralisierungs-

t~ eut r 8 li sie run gst8 bl e8 u

A A A I I I

S Marktwert S

13 - 2 a 12

[Euro) 0,0350 I 1,0350 A 0,9662 I 89.415,94 1.642,34 0,0600 I 1,0600 A 0,9434 I 0,0250 I 1,0250 A 0,9756 I 7.804,88 0,0000 I 1,0000 I 1,0000 I -95 .000,00 L Marktwert 30.09.00 [Eu ro] (14) : 3.863,16 3.863,16 Kap ita lwert 30.09 .00 [Euro] (15 = 14):

I I I I

Zahlungsstrom nach S Neutralisierung [Euro) [Euro) 1.740,88 I 0,00 I 8.000,00 A

S Neutralisie S rung 1,0250 E

S Zlnsfaktor

7

M arktwerttable au

1,0600 E 1,0600 E

M arktwerttableau

10 6a 9 Zinsquotient S ZinsS nach faktor Korrektur

tle utralis ie rungstableau

S Neutralisie S S Zlnsfaktor rung

0,00 I

[Euro)

Zlnszahlung

63 ' 4 *5

M arktwerttable au

Zahlungsstrom ZinsNeutra S Zlnsfaktor S S nach zahlung lisierung Neutralisierung (Euro( [Euro( [Euro) 1,0350 E 92.545,50 I 0,00 6.259,12 I 1,0350 E 1.740,88 0 ,00 I 1,0350 E 8.000,00

63"4 * 5 7

Zinsquotient S Tranchen S vor rhythmus Korrektur [Tage) P 0,0700 A 180,00 P 0,0600 A 360,00 P 0,0500 A 180,00 P 0,0000 I 360,00

6= 4/5

Ne utralisierungstableau

100 100 100 100

Hundert

5

Zlnsquotient ZinsMarktwert S vor S zahlungs- S Korrektur schalter [Euro) 89.415,94 E 0,0700 E 89.415,94 E 0,0700 E 1,00 P 89.415,94 E 0,0700 E 0,00 P

3

1 1 1 1

S

4

Zahlungsstrom Zlnsquotient Zlnsvor S Marktwert S vor S zahlungs- S Neutralisierung Korrektur schalter [Tage) [Euro) [Euro) 180,00 P 8.000,00 E 7.804 ,88 E 0,0500 E

Kumulierte S Zlnstage

1

2

Neutralisierungstableau

3. Neutralisierungstableau

30.09.0 1 30.03.01

Datum

U E E B

Eins

3

Zahlungsstrom Zinsquotient Zinsvor S Marktwert S vor S zahlungs- S Neutralisierung Korrektur schalter [Tage) [Euro) [Euro) 360,00 P 1.740,88 E 1.642,34 E 0,0600 E 180,00 P 8.000,00 E 1.642,34 E 0,0600 E 0,00 P

Kumulierte S Zinstage

1

2

Zahlungsstrom vor Neutralisierung [Euro) 92.545,50 8.000,00 8.000,00

2. Neutralisierungstableau

30.03. 02 30.09.01 30.03.01

Datum

1

[Euro) 92.545,50 1.740,88 8.000,00 -95.000,00

Neutralisierungstableau

P P P P

1. Neutralisierungstableau

30.03 .02 30.09.01 30.03.01 30.09.00

Datum

2

Zahlungsstrom Kumulierte S nach S Zinstage Neutralisierung

1

Marktwerttableau

rn

cr'

(Jq

ä ::;l

CD

g.

""S

::;l

....rn

~

""S

CD

[

CD

Cl

.... I t-' t-'

123

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

4.2.1.2.1.4 Simultane strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen und unterjährigen Tranchen Die Kalkulation des Kapitalwertes des unterstellten Zahlungsstroms auf Basis von jährlichen und unterjährigen Tranchen mit Hilfe einer simultanen strukturkongruenten Refinanzierung zeigt Abb. 4.28. 118 4

1 Datum

Marktwert

S Zins· S Marktwert S faktor

(Euro)

(Euro)

30.03 .02 89.415,94 1.642,34 30.09 .01 7.804,88 30 .03.01 30.09.00 ·95 .000,00 3.863,16 3.863,16 Max!

5 = 130.09.01

V 1,0350 U V 1,0600 U V 1,0250 U

89.415,94 I

6

Zins· S Zahlungsstrom S quotient (Euro)

0,0700 U

8 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) Z :

7 = 1 "' 4 7=1"'4+5 "' 6

92.545,50 8.000,00 8.000 ,00 ·95.000,00

N N N N

ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb. 4.28: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche und unterj ährige Tranchen ) (Marktwerttableau) Der in Abb. 4.28 dargestellte Simultanansatz einer strukturkongruenten Refinanzierung auf Basis von jährlichen und unterjährigen Tranchen besteht aus einem System von linearen Gleichungen. Es enthält immer genau so viele Gleichungen, wie Zahlungen beim unterstellten Zahlungsstrom anfallen. Dabei fungieren der gesuchte Kapitalwert als Zielwert, den es zu maximieren gilt, und die zeitpunktbezogenen Marktwerte als Entscheidungsvariablen. 119 Die zeitpunkt bezogenen Marktwerte sind unter der Nebenbedingung zu bestimmen, daß deren haltedauerspezifische Anlage wieder den unterstellten Zahlungsstrom ergeben. 120 In den Zeilen dieses Gleichungssystems werden folgende Gleichgewichtszustände beschrieben:

Am 30.03.02 (= erste Zeile) entspricht der Kapitalrückzahlung von 92.545,50 Euro inklusive der zu zahlenden 3,50%igen Zinsen 121 einem heutigen (30.09.00) Marktwert von 89.415,94 Euro. Am 30.09.01 (= zweite Zeile) müssen aus der Kapitalrückzahlung in Höhe von 8.000,00 Euro nicht nur die Zinsen für die l~-Tranche in Höhe von 7,00%122 und für die 1-Jahresgeld-Tranche in Höhe von 6,00%123 erbracht werden, sondern auch die Schlußtilgung der 1-Jahresgeld-Tranche. Am 30.03.01 (= dritte Zeile) entspricht der Kapitalrückzahlung von 8.000,00 Euro inklusive der zu zahlenden 2,50%igen Zinsen124 einem heutigen (30.09.00) Marktwert von 7.804,88 Euro. Am 30.09.00 (= vierte Zeile) 118Vgl. [71, S. 189 ff.] 119Vgl. Abb. 4.28 Spalten 1, 3. 120Vgl. Abb. 4.28 Spalten 1, 7. 121Nicht 7,00%, da Zinszahlungszeitraum vom 30.09.01 bis 30.03.02 einer unterjährigen Tranche entspricht! Vgl. auch Abb. 4.27 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalte 10. 122Vgl. Abb. 4.27 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalte 6. 123Vgl. Abb. 4.27 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalte 6. 124Nicht 5,00%, da Zinszahlungszeitraum vom 30.09.00 bis 30.03.01 einer unterjährigen Tranche entspricht! Vgl. auch Abb. 4.27 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalte 10.

Gesamtergebnisrechnung

124

besteht eine Identität zwischen der Kapitalauszahlung und dem Marktwert in Höhe von 95.000,00 EurO. 125 Abschließend bleibt der Hinweis, daß bei der Berücksichtigung von jährlichen und unterjährigen Tranchen sowohl der sukzessive Ansatz als auch der simultane Ansatz einer strukturkongruenten Refinanzierung zu exakt identischen Kapitalwerten von jeweils 3.863,16 Euro führen. 126 4.2.1.2.1.5 Praxisprobleme der strukturkongruenten Refinanzierung

Die in den

Kapiteln 4.2.1.2.1.1 auf Seite 112, 4.2.1.2.1.2 auf Seite 117, 4.2.1.2.1.3 auf Seite 118 und 4.2.1.2.1.4 auf der vorherigen Seite dargestellte finanzmathematische Rekonstruktion des Verfahrens der strukturkongruenten Refinanzierung wird im folgenden um drei Probleme aus der Praxis von Finanz- und Kreditinstituten ergänzt: 127 Gespaltene Geld-jKapitalmarktsätze Geld-jBriefproblematik Die Darstellung der strukturkongruenten Refinanzierung ging bisher davon aus, daß für Geld-jKapitalgeschäfte äquivalenter Haltedauer ein einheitlicher Geld-jKapitalmarktzins besteht, der für Anbieter und Nachfrager gleichermaßen gilt. Diese Prämisse ist jedoch in der Praxis meist nicht erfüllt. Zum einen existieren am Geld- jKapitalmarkt für jede Haltedauer nicht nur ein, sondern mehrere Zinssätze mit zum Teil beträchtlichen Unterschieden, z. B. Renditeunterschiede zwischen Bundes- und Industrieanleihen, die sich als Resultat vielfacher Einflüsse am Geld-jKapitalmarkt bilden und in denen sich Bonitätsunterschiede ebenso wie das Marktvolumen und die Nachfragestruktur widerspiegeln. Zum anderen kann aus Sicht eines Finanz- bzw. Kreditinstituts der Fall eintreten, daß der Geld-jKapitalmarktanlagesatz (Geldsatz) größer (englisch: Market-Maker) oder kleiner (englisch: Market-Taker) ist als ein entsprechender strukturkongruenter Geld-jKapitalmarktaufnahmesatz (Briefsatz). Ursache für diese Zinsdifferenzen sind meist Bonitätsunterschiede zwischen den Finanz-jKreditinstituten undj oder die Möglichkeit bzw. Nicht-Möglichkeit eines Geld-jKapitalmarktzuganges. Auszahlung zu späteren Zeitpunkten Bereitstellungsproblematik In vielen Praxisfällen erfolgt die Auszahlung eines Kundenkredits nicht am Kalkulationsdatum, sondern zu einem späteren Zeitpunkt (Auszahlungszeitpunkt), wobei häufig auch mehrere Teilauszahlungen vorkommen. Ist erschwerend der Auszahlungszeitpunkt bzw. die Auszahlungszeitpunkte nicht bekannt, so sind sog. Bereitstellungszinsen zu berechnen.

125Vgl. Abb. 4.28 auf der vorherigen Seite Spalten 1, 4 bis 7. 126Vgl. Abb. 4.28 auf der vorherigen Seite Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.27 auf Seite 122 Marktwerttableau Spalte 15. 127Vgl. [109, S. 100 ff., S. 130 ff.]

125

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Refinanzierung mit Stückzinsverrechnung Stückzins-Verrechnungsproblematik

Die Refinanzierung basiert auf konkreten Geld-/Kapitalmarktpapieren. Es besteht in der Praxis meist eine Wahlmöglichkeit zwischen Wertpapieren mit positiver Stückzinsverrechnung und Wertpapieren ohne Stückzinsverrechnung. Bei Wertpapieren mit positiver Stückzinsverrechnung werden Zinsen nur am Zins- bzw. Kupontermin gezahlt und fallen somit in voller Höhe dem zu diesem Zeitpunkt im Besitz des Wertpapiers befindlichen Anleger zu. Hat der Anleger das Wertpapier aber erst kurz vor dem Zinstermin erworben, dann bekäme er aber für die kurze Haltedauer bereits den gesamten Zins und der Verkäufer ginge leer aus. Aus diesem Grund erfolgt beim Kauf bzw. Verkauf ein Zinsausgleich zwischen dem Verkäufer und Käufer: Der Verkäufer erhält vom Käufer den Teil des Zinses (Stückzinsen), der auf den zurückliegenden Zeitraum zwischen letztem Zinstermin und Kauftermin entfällt. 128 Zum tieferen finanzmathematischen Verständnis der dargestellten Praxisprobleme - Geld-/Brief-Problematik, Bereitstellungsproblematik, Stückzins-Verrechnungsproblematik - wird von einer in Tab. 4.19 dargestellten einfachen Zahlungsreihe, die die Bereitstellungsproblematik explizit berücksichtigt, ausgegangen: Datum 30.03.00 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 0,00 Euro -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Status Kalkulation Auszahlung Einzahlung Einzahlung Einzahlung

Tabelle 4.19: Zahlungsstrom Zusätzlich wird die folgende in Tab. 4.20 auf der nächsten Seite dargestellte Zinsstrukturkurve unterstellt, die die angesprochenen Geld-/Brief- und Stückzins-Verrechnungsproblematiken explizit berücksichtigt:

128Beispiel: Ein Anleger hat 10.000,00 Euro zur freien Verfügung. Er ist bereit, dieses Geld in Bundeswertpapiere anzulegen. Dem Informationsdienst für Bundeswertpapiere entnimmt er mit Stand 05.06.2000 folgendes Angebot: Nominalzins 6,50%, Zinstermin 14.10. p.a., Kurs 100,00%, Fällig 14.10.2005. Zwischen dem letzten Zinstermin (14.10.1999) und dem Angebotsdatum (05.06.2000) liegen bei Zählung der Tage nach der 30/360-Methode 231 Tage (16 + 7 * 30 + 5). Für diese Tage muß der

Anleger Stückzinsen zahlen. In Prozenten ausgedrückt, betragen die Stückzinsen 6,50% * ~~~ ~:~: = 4,1708%. Die Stückzinsen sind zusätzlich zum Kurswert (100,00%) zu entrichten. Kurs + Stückzins sind demnach 104,1708% oder 10.417,08 Euro.

Gesamtergebnisrechnung

126 Datum 30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00

Haltedauer [Tage] 720 540 360 180

Briefsatz

Geldsatz

8,00 7,00 6,00 5,00

7,90 6,90 5,90 4,90

[%]

[%]

Kurs

+ Brief-Stückzins [%]

100,00 103,50 100,00 100,00

Tabelle 4.20: Zinsstrukturkurve Die Berechnung des Gegenwart-Kapitalwertes auf Grundlage der unterstellten Zahlungsreihe und der angenommenen Zinsstrukturkurve zeigt Abb. 4.29 auf der nächsten Seite. Basis dieses Rechenbeispiels ist eine sukzessive strukturkongruente Refinanzierung mit jährlichen Tranchen. 129

129Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.1 auf Seite 112.

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720,00 540,00 360,00 100,00

(T_)

ZI...oge

P P P P

Kumulierte S

..

S

. ..

3

EI ..

1 1 1 1

P P P P

S

4

(%)

Zins Brte"""

4

8,00 7,00 6,00 5,00

·95 000,00 B

U U U B

85 85 85 85

)Euro)

690,28 690,28 690,28 690,28

540,00 P 360,00 P 100,00 P

360,00 P 100,00 P

330900

I Datum

100,00 P

Neutralis ierungatable.u

·95 523 36 E

Kumuliene S Zahlungarrom S ZI...oge vor Neutran.erung lT_i (Eurol

1

2

Neutrllisierungst.bleau

1 144,78 E ·95 523,36 E

Kumulierte S Zahlungoottom S ZI. .ege vor N.=~erung (T_j

2

Neutrllisierungstlb~lu

4. Neutralisierungstableau

33 03 01 33.09.00

Datum

1

8000,00 E 1144,78 E ·95000,00 E

Kumulierte S Zohlungoottom S ZI"'ago vor Ne=~erung (T_J

3. Neutralisierungstableau

33 09 01 33 03 01 330900

Datum

Marktwerttable.u

Marktwerttlblelu

S

Markt w ertt.ble.u

·93 239 01 E

IEuro)

Mllrktwert

3

S

1 079,98 E 1.079,98 E

(Euro(

II • .-.on

3

S

E E E E

S

7476,64 E 7476,64 E 7476,64 E

)Euro)

lIa.-.on

3

2

92 545,50 8000,00 8.000,00 ·95.000,00

M.rktw erttlble.u - - -------- - --- -

P P P P

3

lIe.-.on

1

720,00 540,00 360,00 100,00

Zohlungoottom S vor N.utra..... rung IEuro)

2. Neutralisierungstableau

33.03 02 33.09 01 33.03 01 3309.00

ZI=~e

Kumull.rte S

Marktwertt.bleau

6

4· S

~

S

0,00 P 1,00 P 0,00 P

4"S

S

0,00 P 1,00 P

S

0,00 P

1 1 1 1

1

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Zlnstoktor

8

8,00 7,00 600 4,00

(%)

Marktwerttabl eau

0,00 8000,00 1144,78 ·95 000,00

1 A A A

Marktwert., Neutralisierungstablelu

92.545,50 1

8- 3·1

8000 ,00 1

8- 3·1

S "autraU. .arung (Euro)·

8- 3·1 S

1144,78 1

1,0245 E ·95 523,36 1

Zinsfaktor

1

1

S

M arkt w erttabl'

Neutralisierungstableau

0,00 1 1144,78 A ·95 523,36 A

si 0,00 1

Zahlungsstrom nach Neutralisierung )Eurol

9 - 2 .8

M arktwertt.ble.'

Ne utralisierungstableau

0,00 1 ·95 523 ,36 A

9 - 2 ·6 9 - 2 .8 ZahlungSBIrom S NeutraU . S S nach Neutralislerung .erung (Euro( (Eurof

1,0600 E 1,0600 E

Markt w erttableau

0,00 1

linsfaktor

1

o

10

11 - ,, · IIIN 1(1 / 9: 3)) / 10

S

~

P P P P

(lIo) 4,0000 1

Zins

~ 1.8·9

100 100 100 100

11

100 P

S

A A A A

11

•_ _ 1

360,00 P

(T_(

Kurs •

100,00 103 50 100,00 100,00

Stuckli..

11

S 1,0242 1

Zlnst.klor

tleUer

Exponen .

(1 / 13)

ru:-ifA

U U U U

1 1 1 1

1269,57 A 1.269,57 1

85.690 28 7738,32 1 079,98 ·93.239 ,01

)Euro)

S

Ber Be eitsieUungstableau

·96.3JO,33 1

3O.D9J11 (Euro(

Gegengeschaft

Ellektlv-llo.-.on

15 - 2 · 3 . 4 · 14

18 - 14"11 / 10 EII.ktIv· S lIorldwen S G.gengoachilll 3O.o3J11

Effektiv.Morktwen 30.03.00 IEurol (19): y.K.pi •• lwen 30.03.00 IEurol (20 - 19):

A A A A 1 1

lIo.-.on Gegen . S goacholl 3O.o3J11 )EurO)

Neutralisiet'"ungstableau Irahs'et'"ungstableau

,-13

I ~

S

Nominal.

14 - 2 · 13

,--

1 85 690,28 1 7476,64 1 1079,98 1 ·93239,01 , .. .:}: 1.007,88 1007,88 I:

0,9259 0,9346 0,9434 0,9761

faktor

wen Zins-

Kehr.

~ 3 / 12

S Jahres- S b_

1,0400 1

Zins-

faktor

~ 10 / 11

A A A A

S

n ... nn

10000 1.0700 1,0600 1,0245

Zins-

+

faktor

3

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Hundert

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00000 00700 0,0600 0,0245

S Hundert S ZJnsquotient S

36000P 360,00 P 360,00 P 360,00 P

Zlnsachalter Brtelso'"

9- 5 .1

(T_)

Tranchen. rhythmus

9 - 2 ·6 8- ] ·1 9- 2 .8 NeutroU. S Zehlungootrom S nach Neutralislerung ".rung )Euro )Euro

5,00 U

(%1

S

1 1 1 1

S

9

9 - 2 .6 9 - 2 .8 Zahlungatrom S NeutralI. S S nach Neutrallslarung slerung (EurO)· (Euro(

1,0700 E 1,0700 E 1,0700 E

MiM"ktwerttlbleau

0,00 1 523,36 1

Zlnsfaktor

1

E E E E

S

11

Marktwertt.bleau . - --

0,00 1 6.855,22 1 O!ll 1

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Zins

~ 6·1

S ZI_oh.r S Zins Briefsatz G.I .... "

U U U U

4 ,00 U

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-

7,00 6,00 5,00 4,00

(%)

1- 3 .S

S ZI=!.r S

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0.0245 E

Zinsquotlent

4

Markt w erttableau

1 P

S

1 1 1 1

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6

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0,0600 E 0,0600 E

Zlnsquotient

4

Marktwerttableau

S

Eins

S

1,00 1,00 1,00 0,00

S

-

S Zlnszahlungs.. S ZinsS schaher zahlung )EurO)·

E E E E

0,0700 E 0,0700 E 0,0700 E

ZlnsquoUent

4

M arktwerttablelu . -

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Zlnsquoti.nt

Ul

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S - IIAX(2 /

S Zlnozehlungo. S ZI... S schalter zahlung )Euro)·

1.269,57 E

3O.o3.DU Euro

4

1 1

3O.D9J11 )Euro

1

Datum

U U U U

S

Etrektlv-llarktwert EII.ktIv-llorldwen S Kundengeschafl S Gegengoachall S

U E E E

S

3

1. Neutralislerungstableau

2

Berettstellungs. schalter

2 - IIIN (AUF . RUNDEN (1· 111: '11

. ..

92 .545,50 8000,00 1144,78 ·95.523,36

(Euro)

Zahlung.trom

noch Neutren.l.rung

2

M arkt w ertt.ble.u

100,00 U

T_I

".lIung

Bereit.

1

BereitstellunAstableau

33 03 02 33 09 01 33 03 01 3309.00

Datum

1

Marktwerttableau

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128

Gesamtergebnisrechnung

Die in Abb. 4.29 auf der vorherigen Seite dargestellte finanzmathematische Berücksichtigung und Lösung der Praxisprobleme (Geld-jBriefproblematik, Bereitstellungsproblematik sowie Stückzins-Verrechnungsproblematik) wird im Rahmen der strukturkongruenten Refinanzierung durch die Erweiterung des in Abb. 4.22 auf Seite 116 dargestellten Markttableaus und die Einführung eines Bereitstellungstableaus erreicht. Die neuen Spalten des Markttableaus werden wie folgt erläutert:

Zins Briefsatz Spalte 4 Explizite Berücksichtigung des Briefsatzes für jede Haltedauer gemäß Zinsstrukturkurve.

Zinsschalter Briefsatz Spalte 5 Der Zinsschalter Briefsatz kennzeichnet die Entscheidungsregel, daß eine Geld-jKapitalaufnahme mit dem höheren Briefsatz erfolgen muß. Am 30.03.00 wird beispielsweise eine Geld-jKapitalaufnahme in Höhe von 1.079,98 Euro zu 6,00% (Briefsatz ) getätigt. 130 Zins Geldsatz Spalte 6 Explizite Berücksichtigung des Geldsatzes für jede Haltedauer gemäß Zinsstrukturkurve.

Zinsschalter Geldsatz Spalte 7 Der Zinsschalter Geldsatz kennzeichnet die Entscheidungsregel, daß eine Geld- jKapitalanlage mit dem niedrigeren Geldsatz erfolgen muß. Am 30.03.00 wird beispielsweise eine Geld-jKapitalanlage in Höhe von -93.239,01 Euro zu 2,45% (Geldsatz ) getätigt .131 Kurs

+ Stückzins

Spalte 17 Explizite Berücksichtigung des Kurses inklusive Stückzinsen. Der Markt- bzw.

Kapitalwert wird sowohl als Nominalwert, d. h. ohne Berücksichtigung von "Kurs + Stückzins" , als auch als Effektivwert, d. h. mit Berücksichtigung von "Kurs + Stückzins" , ausgewiesen. 132 Das zusätzliche Bereitstellungstableau zinst den am Kalkulationsdatum 30.03.00 vorliegenden Effektiv-Marktwert auf den Auszahlungstermin 30.09.00 auf.1 33 134 Bezüglich der Bereitstellungsproblematik besteht in vielen Praxisfällen das Problem, daß das Datum der Auszahlung nicht bekannt ist oder nur geschätzt werden kann, 130Ygl. Abb. 4.29 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalten 8, 11, 18. l3lYgl. Abb. 4.29 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalten 8,11, 18. 132ygl. Abb. 4.29 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalten 15, 16, 19, 20. 133ygl. Abb. 4.29 auf der vorherigen Seite Bereitstellungstableau Spalten 3, 4, 15. 134Die Aufzinsung auf den Auszahlungstermin ist eine zwingende Voraussetzung für eine Effektivzinsberechnung, da der Effektivzins nicht ab Kalkulationsdatum, sondern ab Auszahlungszeitpunkt berechnet wird. Ygl. Kapitel 4.2.1.2.2.1 auf Seite 205.

129

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

z. B. nach Baufortschritt. Eine Kalkulation gemäß Abb. 4.29 auf Seite 127 ist dann nicht möglich. In solchen Fällen bietet es sich an, Bereitstellungszinsen gemäß Abb. 4.30 zu berechnen. 135 Zinstableau' Kundenkonto 2

1 Datum

30.03.00

Ein. zahlung

S

3

--r-

""'"5

6 - 1* 2 / 3* 4 /5

Geld. Hun· S satz S dert S p.a. (%) 100 P 360,00 P 4,90 U

Jahres· Sperr. S basis haltedauer

(Eurol 95.000,00 B

(Tagel 180,00 U

Koslenzins

S

(Eurol 2.327,50 A

Bereitstellungsz,nstobleou

Zinstableau' Bankkonto

1 Aus·

2

3

r-4

r--5

Jahres· S Zins Sperr. S Hun· S S dert basis p.a. haltedauer (Tage) (Tage) (%) (Ewo) 100 P 360,00 P 6,00 P 180,00 U 30.03.00 ·95.000 ,00 B Datum

S

zahlung

6

7 = 1* 2 / 3 * 4/5*6

Minus Eins

S Ertragszins S ·1 P

(Euro) 2.850,00 A

Bereitstellungsz,nstobleou

BereitstellunAszinstableau

2

1 Datum

30.03.00

Kosten· zins

S

(Ewo) 2.327,50 E

3- 2 ·1

r-4

-5

Bereit· Brief· S stellungs. S Eins S satz S p.a. zins (%1 (Euro) (Ewo) 1 P 5,00 U 2.850 ,00 E 522,50 I

Ertrags. zins

7

6 Hundert

S

100 P

8

9=3/ 114+5 / 6*7 / 8)

Sperr. S Jahres· S Barwert Bereit. S stellungszins haltedauer basis (Tagel 180,00 U

360,00 P

(Euro) 509,76 I

Zonstobleou: Kundenkonto Zinstobleou: Bonkkonto

Abb. 4.30: Kalkulation von Bereitstellungszinsen Das Darlehen von -95.000,00 Euro wird sofort am Kalkulationsdatum 30.03.00 auf ein für den Kunden gesperrtes Kundenkonto eingezahlt. Die Sperrhaltedauer von 180 Tagen wird geschätzt. Der Kunde muß einerseits das Darlehen sofort mit 6,00% p.a. verzinsen, andererseits wird das Darlehen auf dem geperrten Kundenkonto mit dem Interbanken-Geldsatz von 4,90% p.a. angelegt. 136 Aus Kundensicht saldiert sich der von ihm zu zahlende Betrag (Zins auf das Darlehen) von 2.850,00 Euro und der an ihn fließende Betrag (Anlage des Auszahlungsbetrags auf dem Sperrkonto) von 2.327,50 Euro zum zu zahlenden Bereitstellungszins von 522,50 Euro nominalwertig bzw. 509,76 Euro barwertig. 137 Es stellt sich abschließend die Frage, ob die Berechnung des Bereitstellungszinses das Finanz-/Kreditinstitut markt- bzw. kapitalwertig so stellt, als wäre das Darlehen von Beginn an (30.03.00) ausgezahlt worden. Um diese Frage finanzmathematisch zu beantworten, wird aus Abb. 4.30 der in Tab. 4.21 auf der nächsten Seite dargestellte Zahlungsstrom abgeleitet:

135 Vgl. [109, S. 135 ff.] 136Vgl. Abb. 4.30 Zinstableau: Kundenkonto Spalte 6 sowie Zinstableau: Bankkonto Spalte 7. 137Vgl. Abb. 4.30 Bereitstellungszinstableau Spalten 3, 9.

Gesamtergebnisrechnung

130 Datum 30.03.00 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 2.850,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Status Kalkulation Ertragszins Einzahlung Einzahlung Einzahlung

Tabelle 4.21: Zahlungsstrom Anschließend wird die Berechnung des Gegenwart-Kapitalwertes auf Grundlage der in Tab. 4.21 angenommenen Zahlungsreihe und der in Tab. 4.20 auf Seite 126 unterstellten Zinsstrukturkurve gemäß Abb. 4.31 auf der nächsten Seite dargestellt. Basis dieses Rechenbeispiels ist die Fortführung des in Abb. 4.29 auf Seite 127 dargestellten Rechenbeispiels einer sukzessiven strukturkongruenten Refinanzierung mit jährlichen Tranchen unter Berücksichtigung der Geld-/Brief-, Bereitstellungs- und Stückzins-Verrechnungsproblematik.

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720,00 540,00 360,00 180,00 0,00

IT_I

P P P P P

Kumulierte S Zlnstage

720.00 P 540.00 P 360,OOP 180.00 P

30.09.00

Datum

2

92.545 ,50 8.000,00 8.000,00 2.850,00

540,00 P 360,00 P 180,00 P

2

360,00 P 180,00 P

2

180,00 P

E E E E

0,0000 0,0800 0,0000 0,0000

E E E E

0,0700 E 0,0700 E 0,0700 E

4

4

5

0.00 P 1,00 P 0.00 P

0,0250 E

4

5

0,00 P 1,00 P

5

0.00 P

1- 3.5

1'1101 7,90 6,90 5,90 4,90 0,00

U U U U U

4"5

~ S

S

Marktwerttablcau

1,0250 E

Zlnstaklor

1

M arktwerttableau

0.00 I

S

E E E E

S

1,00JJ E 1,00JJ E

Zlnsfaklor

1

I I I I I

1,0700 E 1,0700 E 1,0700 E

Marktwerttablcau

0,00 I 523,36 I

Zlnstaklor

7

Marktwerttabl,

0,00 I 6.855,22 I 0,00 I

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Zlnstaklor

1

0.00 0.00 0,00 0,00 1.00

Zins S ZllIIIChalter S Geldsatz Geldsatz

~ 4"5 S Zinszahlungs. S Zins· S Zinsquotient S schalter zahlung (Euro]

2.269,89 E

IEuro)

Marktwert

3

I I I I I

S

6

S ZInszahlungs. S Zlna· S schalter zahlung [Ewol "

0,0600 E 0,0600 E

S Zlnsquotlent

1.079,98 E . L07.9l 913 E

[Ewol

Marlctwert

3

5

1.00 1,00 1.00 1.00 0,00

Zins. schalter Briefsatz

-

~ 4'5 S Zlnszahlungs. S Zins· S S Zlnsquotlent schalter zahlung [EwoJ'

7.476,64 E 7.476,64 E 7.476,64 E

[Ewo]

Marktwert

3

U U U U U

S

Marktwerttableau M arktw erttableau

2.326,64 E

Neutralisierungstableau

8,00 7,00 6.00 5.00 0.00

M arktw erttableau M arktwerttableau

Kumulierte S Zahlungsstrom S vor Hautralisiarung Zlnstage IEwo] IT_J

1

-

Neutralisierungstableau

1.144,78 E 2326,64 E

Kumulierte S Zahlungsstrom S Zlnstage vor Hautraltsiarung n_j IEurol

1

4

1'1101

Zins BrIefsatz

11'

5 - MAX(2 1 ABS 121;

~ 4"5 S Zlnszahlungs. S Zins· S S Zlnsquotlent schalter zahlung [Ewo)

P P P P P

S

4

Marktwerttableau M arktwerttableau

8.000,00 E 1.144,78 E 2.850.00 E

Neutralisierungstableau

1 1 1 1 1

85.690,28 85.690,28 85.690,28 85.690,28

[Ewo)

Marktwert

3

Eins

3

Marktwerttableau Marktwerttilbl

U U U B

Kumulierte S Zahlungsstrom S Zlnstage vor Neutrallslerung IT_J IEwoJ

1

4, Neutralisierungstableau

30.03.01 30.09.00

Datum

2

U E E E B

S

Kumulierte S Zahlungsstrom S Zlnstage vor Neutrallslerung IT_) IEuro)

3, NeutralisierunAstableau

30.09.01 30.03.01 30.09.00

Datum

92.545,50 8.000,00 1.144,78 2326,64 ·95.000 ,00

IEurol

Heutralisierungs1:ableau

2. Neutralisierungstableau

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00

Datum

1

2

Zahlungsstrom nach Neutrallslerung

1. Neutralisierungstableau

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 30.03.00

Datum

1

Marktwerttableau

IT_]

--

S

S 2.326,64 I

IEurof

sierung

Neutrall·

8- 3"1

1.144,78 I

IEwoJ'

sierung

NeutralI·

8 - 3 "1

I A A A

S 0.00 I 2.326,64 A

0,00 I

Zahlungsstrom S nach Neutrallslerung (Eurol

9- 2.8

M arktwerttableau

Neutralisierungstableau

IEwo)

nach Heutrallsierung

9 - 2·6 9 - 2 ·8 Zahlungsstrom

M arktw erttabl

NeutraliSiel"ungstableau

0,00 I 1.144,78 A 2.326,64 A

9 - 2 ·6 9- 2 .8 Zahlungsstrom S S nach Neutrallslerung IEuro]

8.000,00 I

Neutrall. oIerung [Ewo]

8 - 3 "1

Marktwert-. Heutralisierunastabl --- - -----

0.00 8.000,00 1.144,78 2.850,00

10 {1 / 9;3Jl / l0

11 - (8 " MIN

P P P P P

0,0000 0,0700 O,OOJJ 0,0250 0,0000

A A A A I

S

1,0000 1,0700 1,00JJ 1,0250 1,0000

Zins. faklor

3.11

~

A A A A I

S

0,9259 0,9346 0,9434 0,9756 1,0000

Kehr· wert Zins· faklor

3 1 12

~

Neutralisierungstableau

~",r;

•• _

17

I) :

I I I I I

1.778,461 1 1.778,461 1

U 85.690,28 U 7.738 ,32 1.079,98 U U 2.269,89 U ·95.000.00

• " 1):

100,00 103,50 100,00 100,00 100,00

.. ......................

A A A A I I I

tleutralisierungstableau

....

I I I I I

-

18 - 14 " 17 1 10 Effektiv. Nominal· KUß + Marktwert Marlctwert S Gegen. S Stuck· S Gegen. S geschäft zins geschäft 30.83.00 30.03.00 (Euro] IEwo) 14 - 2 ' 13

85.690,28 7.476,64 1.079,98 2269,89 ·95.000,00 L Nominal.Marktwert 30.03.00 [Euro) (15): 1.516,78 Nominal.Kapitalwe rt 30.03.00 [Euro) (16 - 15): 1.516,78

100 100 100 100 100

S Hundert S Zlnsquotlent

360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,OOP 360,OOP

Tranchen· rhythmus

9

9- 2 .6 9- 2 .8 Zahlungsstrom S S nach Neutrallslerung )Euro)

I I I I I

S

92.545,50 I

Neutrall. oIerung [Ewof

8- 3"1

1'110] 8.00 7.00 6,00 5,00 0,00

Zins

8 - 4 -5 + 6"1

N

.... C/.:I ....

()q

=

§

t="

('t) (")

00 ""S

..... =

0"

~

""S

('t)

00

~

~:

00

g.

('t)

aq

('t)

=

trj .....

~

~

Gesamtergebnisrechnung

132

Laut Abb. 4.29 auf Seite 127 wird unter der Prämisse Kalkulationsdatum < Auszahlungsdatum ein effektiver Gegenwart-Kapitalwert in Höhe von 1.269,57 Euro am 30.03.00

errechnet. 138 Zuzüglich dem Barwert des in Abb. 4.30 auf Seite 129 berechneten Bereitstellungszinses von 509,76 Euro139 ergibt sich ein Gesamtkapitalwert von 1.779,33 Euro. Dieser Wert entspricht bis auf eine geringfügige Abweichung von 0,87 Euro dem errechneten Kapitalwert von 1.778,46 Euro gemäß Abb. 4.31 auf der vorherigen Seite unter der Prämisse Kalkulationsdatum = A uszahlungsdatum. 140 Die geringfügige Abweichung ergibt sich durch Brief-/Gelddifferenzen, die bei der strukturkongruenten Refinanzierung verlorengehen. Das Finanz-/Kreditinstitut ist damit finanzmathematisch so gestellt, als wäre die sofortige Auszahlung erfolgt. Abschließend ist zu bemerken, daß Finanz-/Kreditinstitute mit großer Marktrnacht auch Bereitstellungszinsen vom Kunden verlangen können, ohne das die Prämisse Kalkulationsdatum < Auszahlungsdatum gilt. Diese Bereitstellungszinsen sind dann ein Kalkulationsbestandteil der Betriebsergebnisrechnung, 141 wie z. B. Provisionen und Gebühren, und somit kein Kalkulationsbestandteil der Zinsergebnisrechnung. 4.2.1.2.1.6 Strukturkongruente Refinanzierung mit Hilfe von Nullkupon-Abzinsfaktoren oder Terminzinsen In den Kapiteln 4.2.1.2.1.1 auf Seite 112 und 4.2.1.2.1.3 auf Seite 118 wurde das sukzessive Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung sowie in den Kapiteln 4.2.1.2.1.2 auf Seite 117 und 4.2.1.2.1.4 auf Seite 123 wurde das simultane Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung zur marktorientierten Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten eines Zahlungsstroms ausführlich beschrieben. Die marktorientierte Bewertung eines Zahlungsstroms kann aber konzeptionell einfacher mit Hilfe von Nullkupon-AbzinsJaktoren vorgenommen werden. 142 143 Nullkupon-Abzinsfaktoren haben die Aufgabe, Zahlungen in der Zukunft auf einen Gegenwartwert arbitragefrei abzuzinsen. Dazu werden auf Basis der haltedauerabhängigen Nominalzinssätze die Zinsstruktur der Nullkupon-Abzinsfaktoren berechnet. Anschließend kann jede einzelne Zahlung eines Zahlungsstroms mit dem haltedauerentsprechenden Nullkupon-Abzinsfaktor bis zum Gegenwart-Zeitpunkt abgezinst werden. Als Ergebnis erhält man für jede einzelne Zahlung den Marktwert. Die Addition sämtlicher Marktwerte aller Zahlungen ergibt dann letztlich den Marktwert des gesamten Zahlungsstroms. Letztlich beinhaltet jeder Nullkupon-Abzinsfaktor sämtliche Informationen der Nominalzins-Strukturkurve. Der Vorteil dieses Verfahrens wird im Gegensatz zur Methode der strukturkongruenten Refinanzierung in der vereinfachten und somit schnellen Kalkulation von Zahlungsströmen gesehen, wenn die Nullkupon-Abzinsfaktoren erst einmal vorab berechnet wurden. Um 138Vgl. 139Vgl. 140Vgl. 141 Vgl. 142Vgl. 143Vgl.

Abb. 4.29 auf Seite 127 Marktwerttableau Spalte 20. Abb. 4.30 auf Seite 129 Bereitstellungszinstableau Spalte 9. Abb. 4.31 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalte 20. Kapitel 4.2.3 auf Seite 459. [71, S. 25 ff.] [103, S. 13 ff.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

133

die Bewertung von beliebigen Zahlungen mit Hilfe von Nullkupon-Abzinsfaktoren konzeptionell einfach durchzuführen, ist jeder in der Zukunft liegende Nullkupon-Abzinsfaktor zunächst auf den Endwert 1,00 Euro zu normieren. Diese Vorgehensweise wird im folgenden gemäß Abb. 4.32 (Teil 1) sowie gemäß Abb. 4.33 auf der nächsten Seite (Teil 2) auf Basis der bekannten Nominal-Zinsstrukturkurve (~-Jahres-Geld 5,00%, I-Jahres-Geld 6,00%, 1~-Jahres-Geld 7,00%) dargestellt. 1 Nullkupon Barwerttableau' Zahlunasstrom 1

2

3

~ 2/3

ZahlungsHalteKumu strom Jahresdauer. S Datum lierte S S S Nullkuponbasis quotiZInstage Anleihe ent IEwol ITagel 0,00 P 30.09.00 -0,9034920 A,V 360,00 P 0,00 I 30.03.01 0,0000000 P 180,00 P 360,00 P 0,50 I 30.09.01 o,OJI))))) P 1,00 I 360,00 P 360,00 P 30.03.02 l,OOXOlJ P 540,00 P 360,00 P 1,50 I tiullkupon-Barwerttableau: Geld./ Kapitalmarkt-Zins p,' , (%):

5 Zins

S

1'1101

7,00 7,00 7.00 7,00 7,00

I I I I U

Gegen-Zahlungsstrom

1 Nullkupon Marktwerttableau 1

Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 Min!

S

IEwol 0,9345794 O,OOJODJ -0,0319125 -0,9034920 -0,0008251 -0,0008251

V V V V I A,Z

Hundert

.....-g:-

8

5/6

7.8

0,0700 I 1 P 1,0700 I 0,0700 I 1 P 1,0700 I 0,0700 I 1 P 1,0700 I 0,0700 I 1 P 1,0700 I L B. lWe rt 30,09,00 (Euro) (11): K. pita lwe rt 30,09,00 (Euro) (12 - 11): 100 100 100 100

10 - 1 " 9 A -4

ZahlungsZlnsZinsS quoll- SEins S S strom S raktor ent (Barwert) P P P P

IEwlll -0,90 0,00 0,00 0,90 0,00 0,00

I I I I I Z

.----

7 - 1· 4 7- 1· 4 . 5"6 ZahlungsZinsZinsMarktstrom S S S S quoNullkuponraktor wert tlent anleihe IEwol IEwol 1,0700 U l,lXXlDl N 1,0600 U O,oooo:xJ N 1,0250 U 0,9345794 I 0,0350 U O,IXXlDl N -0,903492 N 1,0000 U : (2) L Ma rktwe rt 30,09,00 (Eu ro) : (3 - 2) Kap ita lwert 30,09,00 (Euro) 4

Marktwert

r--

~

6

5-

6

130.03.02

Nullkupon.8arwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom

1 Nullkupon Barwerttableau' Geaen -Zahlunasstrom 1 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

2

Zahlungsstrom NullkuponAnleihe IEwol -0,9034920 O,OOXOlJ O,OOXOlJ l,oooo:ro

S

E P P P

3- 1 3 - 1 -2

r-4

ZahlungsKumu Kapltalstrom lIerte wert S S S GegenZins30,09,00 geschaft tage IEwol IEurol [Ta"'l -0 ,0008251 E -0,9026670 I 0,00 P 0,0000000 I 180,00 P O,OOo:xm I 360,00 P 1,OJI))))) I 540,00 P

Uullkupon-Barwerttableau: Zahlungsstrom

5 Jahresbasls

naael

.----

S

Haltedauerquotient

r--

7

6- 4/5 S

Zins

.....-g:-

8

7/8

ZinsS Hun - S quotl- S dert ent

~ 9.10

10 Eins

S

ZinsS raktor

1'1101

360,00 P 0,00 I 7,07 360,00 P 0,50 I 7,07 360,00 P 1,00 I 7,07 360,00 P 1,50 I 7,07 Nullkullo n-Zins p,a , (%): --.!.J!!.

I I I I V

100 100 100 100

P P P P

Nullkupon.Marktwerttableau

Abb. 4.32: Berechnung von Nullkupon-Abzinsfaktoren (Teil 1)

0,0707 0,0707 0,0707 0,0707

I 1 P 1,0707 I I 1 P 1,0707 I I 1 P 1,0707 I I 1 P 1,0707 I L BalWert 30,09,00 (Euro) (13) : Ka pita lwert 30,09,00 (Euro) (14 - 13):

12 - 3" 11 A - 6 Zahlungsstrom

S

IEwol -0,90 0,00 0,00 0,90 0.00 0,00

I I I I I Z

(Barwert)

Gesamtergebnisrechnung

134 2 NulikuDon Barwerttableau ' ZahlunAsstrom 1

2

Zahlungs. strom Datum "ullkupon. Anleihe IEurol

S

r-r:-

3

Kumu-

lIerte Zinslage

JahrllSbosls

S

S

dauer. S

P P P P

0,00 0,50 1,00 1,50

quotient

ITogel

30.09.00 .(J.9433962 A.V 30.03.01 0,CXl))JJ) P 30.09.01 1,CXl))JJ) P 30.03.02 0,CXl))JJ) P

0.00 180,00 360.00 540.00

P P P P

360,00 360,00 360,00 360,00

5

2 13 Halte-

I I I I

Geld J Kapitalmarkt.:zins p.a. (\I):

Nullkupon-Barwerttilbleau:

Zlns 1'1\1 6.00 6,00 6,00 6,00 6,00

S

Datum

r--

•

1

Marktwert

S

Zlnsfaktor

Marktwert

S

[Euro[

r--g-:-

8

10 - 1 " 9' . •

7+8

Zahlungs. ZlnsZlnsS quod. SEins S S strom S faktor ent (Darwelt) IEurol

I I I I U

100 100 100 100

P P P P

0,0000 0,0000 0,0000 0,06!lJ

I I I I

1 1 1 1

P P P P

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

I I I I

L Barwert 30.09 .00 (Euro) (11): Kapitalwert 30.09.00 (Euro) (12 - 11):

·0,94 I 0,00 I 0,94 I 0.00 I 0.00 I 0.00 Z

7 - 1".

6

5 - 130.0302

5 16

Hundert

Gegen-Zahlung.strom

2 NUlikuDon Marktwerttableau

-

~

6

7 = 1". + 5"6 Zahlungs. Zlns. strom S quo- S "ullkupon. dent anleihe [Euro[

S

[Euro[

30.03.02 0.CXl))JJ) V 1 ,0700 U 1,0000 U 30.09.01 0,9433962 V 1 ,0250 U 0,CXl))JJ) I 0,0350 U 30.03.01 0,CXl))JJ) V 30.09.00 .(J,9433962 V 1.1XID U 0,CXl))JJ) I : (2) L Marktwert 30.09.00 (Euro) Min! 0,CXl))JJ) A,Z : ß - 2) Kapitalwert 30.09.00 (Euro)

0,00JJlJ 1,00JJlJ 0,00JJlJ ·0,943396

N N N N

Hullkupon-Barwerttableau: Gegen.Zahlung.strom

-

2 NulikuDon Barwerttableau' GeAen ZahlunAsstrom 1 ZahlungsDatum

strom

"ullkuponAnleihe lEurol

30.09.00 .(J,9433962 30.03.01 0,CXl))JJ) 30.09.01 1,CXl))JJ) 30.03.02 0,CXl))JJ)

S

Kapitalwert

30.119.00

strom

S

Gegengeschält [Euroj

IEurol

E U U U

r--

•

3- 1 3 - 1 -2 Zahlungs-

2

°

,CXl))JJ) E -0,9433962 0,CXl))JJ) 1,CXl))JJ) 0,CXl))JJ)

5

Kumu-

S

I I I I

I

lIerte S Zlnstage [Togel 0,00 180,00 360,00 540,00

P P P P

JahrllSbosls

S

Hahedauer-

quodent

7

S Zlns

[Togel 360,00 P 360,00 P 36000P 360,00 P

0,00 0,50 1,00 1,50

Nullkupon.:zins

Hullkupon.8arwerttableau: Zahlung.strom

-

r--

6 - . 15

['1\1 6,00 6,00 6,00 6,00

I I I I

p . a . ( \1 ) :~

r--g-:-

8

ZlnsS Hun- S quod. S dert ent

1

2

3

Zahlungs. Kumu strom Datum lIerte S S "ullkuponZlnstage Anleihe [Euro[ [Toge[ 30.09.00 -0,9759001 A,V 0,00 P 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1,CXl))JJ) 0,CXl))JJ) 0,CXl))JJ)

P P P

Jahre.bosls 360,00 360,00 360,00 360,00

180,00 P 36000P 540,00 P

r-r:-

2 13 Holte· dauerS S quod. ent P P P P

0.00 0,50 1,00 1,50

I I I I

Geld J Kapitalmarkt.:zins p.a . (\I):

Nullkupon-Oarwerttableau:

5

100 100 100 100

P P P P

V

Zlns ['1\1 5,00 5,00 5,00 5,00 5,00

S

Datum

Marktwert

S

Zlnsfaktor

S

ZlnsS faktor

P P P P

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Zahlungsstrom S (Darwelt)

0,0600 0,0000 0,0000 0,0000

I I I I

I I I I

L Barwert 30.09.00 (Euro) (13): Kapitalwert 30.09.00 (Euro) (14 - 13):

r--g-:-

8

1 1 1 1

·0.94 0,00 0,94 0,00 0,00 0,00

I I I I I Z

10 - 1 " 9' - .

7+8

Zlns. Zahlungs. ZlnsS quotl- SEins S S strom S faktor ent (Dorwelt)

100 100 100 100

P P P P

0,0500 0,0500 0,0500 0,0500

I I I I

1 1 1 1

P P P P

1,0500 1,0500 1,0500 1,0500

I I I I

L B.rwert 30.09.00 (Euro) (11): K.pit.lwert 30.09.00 (Euro) (12 - 11):

-0,98 0 ,98 0,00 0,00 0,00 0,00

I I I I I Z

.-----

4

1

5 16

Hundert

Eins

[Eurol I I I I U

Gegen-Zahlungsstrom

3 NulikuDon-Marktwerttableau

-

"'1'-=-

6

12 - 3" 11' - 6

9 + 10

[Euro[ I I I I

Nullkupon.Marktwerttableau

3 NulikuDon Barwerttableau ' ZahlunA55trom

~

10

7 18

7- 1"4 7 - 1 - 4+ 5"6 ZahlungsZlnsS strom S quo"ullkupondent anleihe (Euro( 6

5 - 1300302 Marktwert

S

[Euro]

S

(Euro]

30.03.02 0,CXl))JJ) V 1 ,0700 U 30.09.01 0,CXl))JJ) V 1 ,0000 U 30.03.01 0.9756098 V 1.0250 U 0,CXl))JJ) I 0,0350 U 30.09.00 .(J,9759001 V 1.1XID U -0,0002903 I : (2) L M.rktwert 30.09.00 (Euro) Min! .(J.0002903 A,Z : ß - 2) Kapit.lwert 30.09.00 (Euro)

0,00JJlJ 0,00JJlJ 1,00JJlJ ·0,975900

N N N N

Nullkupon-Barwerttablcau: Gegen-Zahlung.strom

-

3 NUlikuDon Barwerttableau' GeAen ZahlunA55trom 1

2

Zahlungsstrom Datum "ullkupon. Anleihe [Eurol 30.09.00 .(J,9759001 30.03.01 1,CXl))JJ) 30.09.01 0,CXl))JJ) 30.03.02 0,CXl))JJ)

S

Kapltalwert

30.119.00 [Eurol

E U U U

3- 1 3 - 1 -2 Zahlungsstrom S Gegengeschalt -[Eurol

-0,0002903 E -0,9756098 1,CXl))JJ) 0,CXl))JJ) 0,CXl))JJ)

NUlikupon.8arwerttableau: Zahlungss1rom lIullkupon-Marktwerttablcau

r--

•

5

Kumu.

S

I I

I I

lIerte S Zlnstage I [T';"I 0.00 180,00 360,00 540,00

P P P P

-

6 - . 15

Jahresbosls

S

Halte-

dauer.

quollent

S Zlns

---g:-

8

""""ji':"'"

10

718

ZlnsS Hun- S quod. S dert ent

12 - 3 " 11' · 6

g + 10

Eins

S

Zl ..... S faktor

P P P P

1,0506 1,0506 1.0506 1.0506

['111

[Togel 360,00 360,00 360,00 360,00

-

7

P P P P

0,00 0,50 1,00 1,50

I I I I

5,06 5,06 5,06 5,06

Zahlungsstrom S (8arwelt) [Eurol

I I I I

Nullkupon ,zins p .• . (\1): .........§1!! V

100 100 100 100

P P P P

0,0506 0,0506 0,0506 0,0506

I I I I

1 1 1 1

I I I I

L Barwert 30.09.00 (Euro) (13): Kapit.lwert 30.09.00 (Euro) (14 - 13):

Abb. 4.33: Berechnung von Nullkupon-Abzinsfaktoren (Teil 2)

.(J,98 I 0,98 I 0,00 I 0,00 I 0,00 I 0,00 Z

135

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Im ersten Schritt werden zunächst aus der nominellen Zinsstrukturkurve sogenannte Nullkupon-Anleihen (englisch: zerobonds) abgeleitet. Nullkupon-Anleihen beinhalten Zahlungsströme, die lediglich eine Auszahlung zum Gegenwartzeitpunkt - Barwert - und eine Einzahlung zum haltedauerentsprechenden Endzeitpunkt - Endwert - aufweisen. Da sowohl die normierte Einzahlung von 1,00 Euro als auch die haltedauerentsprechenden Nominalzinsen bekannt sind, kann die Auszahlung jeder haltedauerentsprechenden Nullkupon-Anleihe im Rahmen einer l:l-Zielwertanalyse bestimmt werden. Abb. 4.32 auf Seite 133 sowie Abb. 4.33 auf der vorherigen Seite zeigen dementsprechend, daß die Auszahlungen der haltedauerentsprechenden Nullkupon-Anleihen als Entscheidungsvariablen zu interpretieren sind, die solange iteriert werden, bis die Kapitalwerte der haltedauerentsprechenden Nullkupon-Anleihen den Wert Null annehmen. 144 145 Folgende Zahlungsströme der Nullkupon-Anleihen, übersichtlich dargestellt in Tab. 4.22, resultieren aus der unterstellten Nominal-Zinsstrukturkurve: Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

l~-jährige

N ullkupon-Anleihe -0,9034920 Euro 0,0000000 Euro 0,0000000 Euro 1,0000000 Euro

I-jährige Nullkupon-Anleihe -0,9433962 Euro 0,0000000 Euro 1,0000000 Euro 0,0000000 Euro

~-jährige

Nullkupon-Anleihe -0,9759001 Euro 1,0000000 Euro 0,0000000 Euro 0,0000000 Euro

Tabelle 4.22: Zahlungsströme der Nullkupon-Anleihen Im zweiten Schritt werden die einzelnen Nullkupon-Anleihen strukturkongruent refinanziert 146 und die haltedauerentsprechenden Gegenwart-Kapitalwerte errechnet. Für die q-jährige Nullkupon-Anleihe 30.09.00 bis 30.03.02 ergibt sich beispielsweise ein Gegenwart-Kapitalwert von -0,0008251 EurO. 147 Verändert man den Zahlungsstrom einer Nullkupon-Anleihe im dritten Schritt um seinen Gegenwart-Kapitalwert, so erhält man den Nullkupon-Zahlungsstrom des Gegengeschäftes. 148 Tab. 4.23 auf der nächsten Seite zeigt die haltedauerentsprechenden Gegen-Zahlungsströme.

144Vgl. Abb. 4.32 auf Seite 133 Nullkupon-Barwerttableau: Zahlungsstrom Spalten 1, 12 oder Abb. 4.33 auf der vorherigen Seite Nullkupon-Barwerttableau: Zahlungsstrom Spalten 1, 12. 145Vgl. Kapitel 4.2.1.1.2 auf Seite 102. 146Die strukturkongruente Refinanzierung erfolgt mit Hilfe jährlicher Tranchen im Rahmen eines Simultanansatzes. Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.2 auf Seite 117. 147Vgl. Abb. 4.32 auf Seite 133 Nullkupon-Marktwerttableau Spalte 3. 148Vgl. Abb. 4.32 auf Seite 133 Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom Spalten 1 bis 3 oder Abb. 4.33 auf der vorherigen Seite Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom Spalten 1 bis 3.

136

Gesamtergebnisrechnung Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1~-jährige

Gegen-Zahlung -0,9026670 Euro 0,0000000 Euro 0,0000000 Euro 1,0000000 Euro

I-jährige Gegen-Zahlung -0,9433962 Euro 0,0000000 Euro 1,0000000 Euro 0,0000000 Euro

~-jährige

Gegen-Zahlung -0,9756098 Euro 1,0000000 Euro 0,0000000 Euro 0,0000000 Euro

Tabelle 4.23: Gegen-Zahlungströme der Nullkupon-Anleihen Der Auszahlungsbetrag der jeweiligen Gegengeschäfte entspricht den auf 1,00 Euro normierten Nullkupon-Abzinsfaktoren, dargestellt in Tab. 4.24: Datum 30.09.00 30.09.00 30.09.00 30.09.00

NullkuponAbzinsfaktoren 0,0000000 Euro -0,9756098 Euro -0,9433962 Euro -0,9026670 Euro

Haltedauer ~-Jahr

I-Jahr q-Jahre

Tabelle 4.24: Nullkupon-Abzinsfaktoren Um beispielsweise 1,00 Euro in l~-Jahren zu neutralisieren, bedarf es heute einer Geld-/Kapitalaufnahme von 0,9026670 Euro. Die Kenntnis der haltedauerentsprechenden Nullkupon-Abzinsfaktoren ermöglicht die marktbezogene Bewertung jedes beliebigen Zahlungsstroms. Als Beispiel wird die Bewertung der bekannten einfachen Zahlungsreihe, 149 dargestellt nochmals in Tab. 4.25, erläutert: Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.25: Zahlungsstrom Jede Zahlung dieser Zahlungsreihe braucht lediglich mit den haltedauerentsprechenden Nullkupon-Abzinsfaktoren multipliziert werden, um ihren Marktwert zum Gegenwartzeitpunkt zu errechnen. Durch Addition sämtlicher Marktwerte aller Zahlungen ergibt sich dann der gesuchte Marktwert als Gegenwart-Kapitalwert des Zahlungsstroms. Abb. 4.34 auf der nächsten Seite zeigt dementsprechend die Bewertung des beispielhaften Zahlungsstroms.

149Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111 sowie Tab. 4.12 auf Seite 112.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 1

137 2

3 = 1 ~2

NullkuponZahlungsS Marktwert S S Abzinsfaktor strom (Euro) (Euro) 1,0000000 P -95.000,00 I 30.09.00 -95 .000,00 8 0,9756098 U 7.804,88 I 8.000,00 U 30.03.01 0,9433962 U 7.547,17 I 30.09.01 8.000,00 U 0,9026670 U 83.537,77 I 30.03.02 92.545,50 U L Marktwert 30.09.00 [Euro] (4): 3.889,81 I 3.889,81 I Kapitalwert 30.09.00 [Euro] (5 = 4): Datum

Abb. 4.34: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes mit Hilfe von NullkuponAbzinsfaktoren Im Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 4.34 beträgt der Gegenwart-Kapitalwert 3.889,81 EurO. 150 Da der Berechnung der Nullkupon-Abzinsfaktoren die strukturkongruente Refinanzierung mit Hilfe jährlicher Tranchen im Rahmen eines Simultanansatzes zugrunde lag,151 ist der in Abb. 4.34 berechnete Gegenwart-Kapitalwert zum Zeitpunkt t= 0 von 3.889,81 Euro identisch mit dem simultanen Berechnungsergebnis des GegenwartKapitalwertes auf Basis jährlicher Tranchen gemäß Abb. 4.23 auf Seite 117. 152 Auf Grundlage von Nullkupon-Abzinsfaktoren lassen sich immer sogenannte Terminzinsen (englisch: forward rates) ableiten. 153 154 Terminzinsen sind in der Zukunft beginnende einperiodige Zinssätze, die von der heutigen Zinsstruktur determiniert werden. Sie beruhen auf der Idee, daß beispielsweise der Zinsertrag zwischen einer zweijährigen Geld-/Kapitalanlage identisch ist mit einer zum gleichen Zeitpunkt durchgeführten Geld-/Kapitalanlage von einem Jahr und gleichzeitigem Abschluß einer Terminzins-Geld-/Kapitalanlage in einem Jahr für ein Jahr. Die Terminzinsen stellen also keine Prognose über zukünftige Zinssätze dar, sondern sind reines Arbitrageergebnis aus der heutigen Nominal-Zinsstrukturkurve. Damit können die Terminzinsen neben den Nullkupon-Abzinsfaktoren auch zur Gegenwart-Bewertung von Zahlungsströmen verwendet werden. Abb. 4.35 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung von Terminzinsen.

150Vgl. Abb. 4.34 Spalte 5. l51Vgl. Abb. 4.32 auf Seite 133 Nullkupon-Marktwerttableau oder Abb. 4.33 auf Seite 134 NullkuponMarktwerttableau. 152 V gl. Abb. 4.34 Spalte 5 im Vergleich zu Abb. 4.23 auf Seite 117 Spalte 3. 153Vgl. [54, S. 41 ff.] 154Vgl. [97, S. 181 ff.]

138

Gesamtergebnisrechnung

.--- .--1

2

-5

4 = 2/3

3

,--6

7= ((1/5 +6)"

8=7 / 5+6

4 -6)"5

9=8

10 = (8 / 9 -6)*5

NullkuponNullkuponNullKumuNullkupon-Zins ZinsJahresS Zinsfaktor I S Zinsfaktor I . 1 S Terminzins S kupon- S lierte Datum S S tage- S Hun- SEins S Kumulierte dert halbjährig Zins Zinsbasis Kumulierte Kumulierte quotient Zinstage tage p.a. Zinstage Zinstage [Tagel [%1 [%1 [%1

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

0,00 P 0,00 P 5,06 U 180,00 P 6,00 U 360,00 P 7,07 U 540,00 P

360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0,00 0,50 1,00 1,50

I I I I

100 P 100 P 100 P 100 P

1P 1P 1P 1P

0,0000000 2,5000000 6,0000000 10,7828283

I I I I

1,0000000 J. 1,0250000 I ,-:a. 1,0000000 I 2,5000000 I 1,0600000 I 1,0250000 I 3,4146341 I 1,1078283 I 1,0600000 I 4,5121022 I

Abb. 4.35: Berechnung von Terminzinsen Die Berechnung von Terminzinsen gemäß Abb. 4.35 unterstellt die Kenntnis von Nullkupon-Zinsen. 155 Nullkupon-Zinsen werden aus den Gegen-Zahlungsströmen der Nullkupon-Anleihen l56 abgeleitet. Dabei wird - analog der zinswertigen Betrachtung der Barwertmethode157 - der Nullkupon-Zins als Kostenzins der klassischen Investitionsrech-

nung unter der Prämisse "Kapitalwert = 0" bestimmt. 158 Tab. 4.26 zeigt die in Abb. 4.32 auf Seite 133 und in Abb. 4.33 auf Seite 134 ermittelten Nullkupon-Zinsen p.a. und Nullkupon-Abzinsfaktoren l59 sowie die in Abb. 4.35 berechneten Nullkupon-Zinsen für die kumulierten Zinstage l60 . Datum

NullkuponZinsen p.a.

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

0,00% 5,06% 6,00% 7,07%

NullkuponAbzinsfaktoren 30.09.00 0,0000000 Euro -0,9756098 Euro -0,9433962 Euro -0,9026670 Euro

Nullkupon-Zinsen Kumulierte Zinstage 0,00% 2,50% 6,00% 10,78%

Tabelle 4.26: Nullkupon-Zinsen und Nullkupon-Abzinsfaktoren Da Terminzinsen exakt den Zinsunterschied zwischen den Nullkupon-Zinszahlungen längerfristiger Geld-jKapitalanlagegeschäfte und den Nullkupon-Zinszahlungen kürzerfristiger Geld- jKapitalanlagegeschäfte ausmachen, sind finanzmathematisch letztlich die Nullkupon-Zinsen der längerfristigen Geld-jKapitalanlagegeschäfte durch die NullkuponZinsen der kürzerfristigen Geld-jKapitalanlagegeschäfte zu dividieren. Beispielsweise ergibt sich am 30.09.01 ein halbjährlicher Terminzins von 4,51% durch Division des Nullkupon-Zinses von 10,78% für die Haltedauerperiode 30.09.00 bis 30.03.02 durch den Nullkupon-Zins von 6,00% für die (kürzere) Haltedauerperiode 30.09.00 bis 30.09.01. 161

155ygl. Abb. 4.35 Spalte l. 156ygl. Tab. 4.23 auf Seite 136. 157Ygl. Kapitel 4.2.1.1.2 auf Seite 102, Tab. 4.8 auf Seite 104 sowie Abb. 4.11 auf Seite 104. 158Ygl. Abb. 4.32 auf Seite 133 Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom Spalten 3,7, 12, 14 oder Abb. 4.33 auf Seite 134 Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom Spalten 3, 7, 12, 14. 159Ygl. Abb. 4.32 auf Seite 133 Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom Spalten 3, 7 oder Abb. 4.33 auf Seite 134 Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom Spalten 3, 7. 160Ygl. Abb. 4.35 Spalte 7. 161 Ygl. Abb. 4.35 Spalten 8 bis 10.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

139

Um die betriebswirtschaftliche Interpretation von Terminzinsen zu erleichtern, werden die in Abb. 4.35 auf der vorherigen Seite errechneten Terminzinsen in übersichtlicher Form gemäß Abb. 4.36 dargestellt. 30.09.001 30.03.01 30.09.011 30.03.021 2,50% 0,00%1 6,00%1 10,78%1 Nullkupon-Zinsen (kumulierte Zinstage) 2,50% Terminzinsen (halbjährlich) .. fur 180 Tage In 0,....:T..::.a9>L.:e:..:..;n~____- - - - - - . I 3,41 % Terminzinsen (halbjährlich) für 180 Ta ge i,:.:.n. . ;. 1.: . ;80:. . T.;. ;a:;. ,o9c:. en:. :. ",.-,. . ,. . ,. -_ _---, I 4,51 % ITerminzinsen (halbjährlich) für 180 Tage in 360 Tagen

Abb. 4.36: Interpretation von Terminzinsen Laut Abb. 4.36 ist für 180 Tage in • 0 Tagen ein Terminzins von 2,50% • 180 Tagen ein Terminzins von 3,41% • 360 Tagen ein Terminzins von 4,51% zu zahlen. 162 Demnach besteht eine Identität zwischen einer • ~-jährigen Nullkupon-Anlage von 2,50% oder einer O-jährigen Nullkupon-Anlage von 0,00% bei gleichzeitigem Abschluß einer ~-jährigen Terminzins-Anlage von 2,50%.163 • I-jährigen Nullkupon-Anlage von 6,00% oder einer ~-jährigen Nullkupon-Anlage von 2,50% bei gleichzeitigem Abschluß einer ~-jährigen Terminzins-Anlage von 3,41%.164 • 1~-jährigen Nullkupon-Anlage von 10,78% oder einer I-jährigen Nullkupon-Anlage von 6,00% bei gleichzeitigem Abschluß einer ~-jährigen Terminzins-Anlage von 4,51%.165 Nach erfolgter Berechnung der Terminzinsen auf Basis der Nullkupon-Abzinsfaktoren bzw. auf Basis der Nullkupon-Zinsen können diese für eine marktgerechte Bewertung eines beliebigen Zahlungsstroms verwendet werden. Abb. 4.37 auf der nächsten Seite zeigt die an der Terminzinslogik der Abb. 4.36 orientierte Bewertung des unterstellten BeispielZahlungsstroms.

162Vgl. Abb. 4.35 auf der vorherigen Seite Spalte 10. 163Beispielhafte Plausibilitätsprüfung: 1,025 * 100,00 Euro = 102,50 Euro entspricht (1,00 * 100,00 Euro) * 1,025 = 102,50 Euro 164 Beispielhafte Plausibilitätsprüfung: 1,06 * 100,00 Euro = 106,00 Euro entspricht (1,025 * 100,00 Euro) * 1,0341 = 106,00 Euro 165Beispielhafte Plausibilitätsprüfung: 1,1078 * 100,00 Euro = 110,78 Euro entspricht (1,06 * 100,00 Euro) * 1,0451 = 110,78 Euro

140

Gesamtergebnisrechnung r---

1

Datum

2

3

r-4

Zahlungs- S Terminzins S HunSEins S strom halbjährig dert

[Euro) 30.09.00 -95.000,00 B 30.03.01 8.000,00 U 30.09.01 8.000,00 U 30.03.02 92.545,50 U

5=2 / 3+4 Terminzinsfaktor halbjährig

[%)

2,5000000 U 3,4146341 U 4,5121022 U

100 P 100 P 100 P

1 P 1 P 1 P

1,0250000 1,0341463 1,0451210

8= 1 8=1/15"7) NullkuponNullkupon-lins Zinsfaktor S Marktwert Kumulierte S Kumulierte Zinstage Zinstage [%) [Euro) -95.000,00 1,0000000 I 7.804,88 I 0,0000000 U I 2,5000000 U 1,0250000 I 7.547,17 1,0600000 I 83.537,77 I 6,0000000 U 2: Marktwert 30.09.00 [Euro) (9): 3.889,81 Kapitalwe rt 30.09.00 [Euro) (10 = 9): 3.889,81 6

7=6 / 3+4

S

I I I I I I

Abb. 4.37: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes mit Hilfe von Terminzinsen Im Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 4.37 beträgt der Gegenwart-Kapitalwert 3.889,81 EurO. 166 Selbstverständlich ist der in Abb. 4.37 auf Grundlage von Terminzinsen ermittelte Gegenwart-Kapitalwert des unterstellten Zahlungsstroms in Höhe von 3.889,81 Euro identisch mit dem in Abb. 4.34 auf Seite 137 auf Grundlage von Nullkupon-Abzinsfaktoren ermittelten Gegenwart-Kapitalwert ebenfalls in Höhe von 3.889,81 EurO. 167 Die bisherige Erläuterung von Nullkupon-Abzinsfaktoren und Terminzinsen ging von der stillschweigenden Annahme aus, daß für Geld- jKapitalgeschäfte äquivalenter Haltedauer keine gespaltenen Geld-jKapitalmarktzinsen existieren. Im folgenden wird diese Prämisse aufgehoben und folgende in Tab. 4.27 dargestellte Zinsstruktur mit Geld- jBriefspannen unterstellt: Datum 30.03.02 30.09.01 30.03.01

Haltedauer [Tage] 540 360 180

Briefsatz

Geldsatz

7,00 6,00 5,00

6,90 5,90 4,90

[%]

[%]

Tabelle 4.27: Zinsstrukturkurve mit gespaltenen Zinssätzen Auf Basis der unterstellten gespaltenen Zinsstrukturkurve und dem bekannten BeispielZahlungsstrom werden gemäß den Abb. 4.38 auf der nächsten Seite und 4.39 auf Seite 142 analog der in den Abb. 4.32 auf Seite 133 und 4.33 auf Seite 134 dargestellten Gleichungssysteme haltedauerentsprechende Nullkupon-Abzinsfaktoren berechnet.

166Vgl. Abb. 4.37 Spalte 10. 167Vgl. Abb. 4.34 auf Seite 137 Spalte 5 in Vergleich zu Abb. 4.37 Spalte 10.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

141

1 Nullkupon Barwerttableau' Zahlunasstrom 1

Dalum

2

Zahlungs. strom Nullkupon. Anleihe JE..o)

S

3J.09.oo -0,9034920 A,V 3).03.01 O,oco:xm P 3).09 01 O,oco:xm P 3).03.02 l,oco:xm P

~

3

Kumu· lIene Zlnstage

Jahres·

S

basls

(Toga] 0,00 P 100,00 P 360,ooP 540,00 P

360,00 360,00 360,00 360,00

5

2/3

Halle. S dauer· S quoll. enl P P P P

0,00 0,50 1,00 1,50

Zins

I

1

I I

Dalum

r---

4

Marktwert

S

Zins· faktor

Markt· wart

S

I I I I U

100 100 100 100

P P P P

L

1 P 1,0700 I 1 P 1,0700 I 1 P 1,0700 I 1 P 1,0700 I HaIWen 30.09.00 [Euro) (11):

0,0700 0,0700 0,0700 0,0700

I I I I

Kapitalwert 30.09.00 [Euro) (1 2 - 11):

-0,90 0,00 0,00 0,90 0.00 0,00

I I I I I Z

Zahlungs. Zins. strom S quo· S Nullkupon. Ilenl anleihe (Ewo]

S

IEwo]

lE"o]

10 - 1 " 9' · 4

7+8

Zins. Zahlungs. Zins· S quoll. SEins S S strom S faktor enl (Barwart)

7- 1" 4 7 - 1 " 4+ 5"6

6

5 - 1300302

Hunden

g:-

8

]Ewo] 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00

I

Gegen-Zahlung.strom

1 Nullkupon Marktwerttableau

5/6

]11]

Geld ./ Kapilalmarkt-lins p.• . [%):

Nullkupon·8arwerttableau:

S

-

~

6

3)03.02 0,9345794 V 1,0700 U 3).09.01 O,oco:xm V l,oom U 3) 03.01 ·0,0319200 V 1,0245 U 0,9345794 I 0,0350 U 3).09.00 ·0,9034920 V 1,0000 U ·0,CXlJ84(E I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) Min! ·0,CXlJ84(E A,Z : ß - 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

l,onm o,onm o,onm -0,903492

N N N N

Hullkupon-08rwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom

1 Nullkupon Barwerttableau' Geaen Zahlunasstrom 1

2

Zahlungs. strom Datum Nullkupon. Anleihe lEUrol 3).09.00 -0,9034920 3).03.01 O,oco:xm 3).09.01 O,oco:xm 3).03.02 10c0:xm

S

Kapital. wart 30.89.00 IEwol

E P P P

-

3- 1 3 - 1.2

Zahlungs. strom S Gegen. gasc:hift IEwo]

-O,CXlJ84(E E -0,9026514

O,oco:xm O,oco:xm l,oco:xm

Hullkupon-Barwerttableau: Zahlungsstrom Hullkupon-Marktwerttableau

5

4

Kumu-

S

I I I I

lIerte S ZI .... tage

. (Toga] 0,00 100,00 360,00 540,00

P P P P

-

6- 4/ 3

Jahres. basls

S

Halte. dauer-

quollent

S Zins

[Tagel 360,00 360,00 360,00 360,00

-

7

---g:-

8

10

7/8

Zins. S Hun. S quoll. S dert enl

Eins

--,-;-:9 + 10

(Ewo]

Ili] P P P P

0.00 I 0,50 I 1,00 I 1,50 I Nullkupon -lins p.•. [\I):

7,13 7,13 7,13 7,13 ~

12 = 3" 11' . 6

Zahlungs. Zins· S S strom S faktor (Barwart)

I I

I I

V

100 100 100 100

P P P P

0,0713 0,0713 0,0713 0,0713

I I I I

1 P 1,0713 I 1 P 1,0713 I 1 P 1,0713 I 1 P 1,0713 I L S.IWen 30.09.00 [Euro) (13): Kapitalwert 30.09.00 [Euro) (14 - 13):

-0,90 0,00 0,00 0,90 0,00 0,00

I I I I I Z

Abb. 4.38: Berechnung von Nullkupon-Abzinsfaktoren mit Geld-/Briefdifferenzen (Teill)

Gesamtergebnisrechnung

142 2 Nullkupon Barwerttableau' ZahlunA55trom 1 D.tum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

2

3

Z.hlungsKumu . strom S lierte "ullkuponZinst.ge Anleihe (Tage] IEuro] -0.9433962 A.V 0.00 180,00 0,0000000 P 1,0000000 P 360,00 0,0000000 P 540,00

P P P P

Geld~

Nullkupon-BarwerttabJeau:

J.hresbasis

S

~

2/3 H.ltedauerS S quotient

360.00 P 0.00 I 360,00 P 0,50 I 360,00 P 1,00 I 360,00 P 1,50 I K.pit.lm. rkt,zins p.' . (%):

5 Zins

S

6.00 6,00 6,00 6,00 6,00

100 100 100 100

1

Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 Min!

;--

5-

4

Marktwert

S

(Euro] 0,0000000 0,9433962 O,OOOOOlJO -0,9433962 0,0000000 0,0000000

V V V V I A,Z

P P P P

(EW'o] -0 .94 0,00 0,94 0,00 0,00 0,00

I I I I I Z

5"6

ZahlungsZinsstrom S S quo - S "unkupontient anleihe (Euro) !Euro1 0,000000 1,0700 U 1,000000 1.0600 U 1,0250 U 0.0000000 I 0 ,0350 U 0,000000 1,0000 U -0,943396 : (2) I M. rktwert 30.09 .00 (Euro) : ß - 2) Kap ita lwert 30.09.00 (Euro) Marktwert

Zinsfaktor

10 - I " 9' - 4

1 - 1' 4 1 - 1 " 4_

6

1,0.03 .02

r--s:1_8

8

ZinsZ.hlungs. ZinsS strom S S quoll- SEins S faktor (Barwertj ent

0.0600 I 1 P 1.0600 I 0.0600 I 1 P 1,0600 I 0.0600 I 1 P 1.0600 I 0,0600 I 1 P 1.0600 I I BalWert 30.09.00 (Euro) (11): Kapita lwert 30.09.00 (Euro) (12 - 11):

I I I I U

Gege n-Zahlungsstrom

2 Nullkupon Marktwerttableau

5/6

Hundert

IlIo]

-

r-:;-:;.-

6

S

N N N N

Uullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom

-

2 Nullkupon Barwerttableau' GeAen ZahlunA55trom 1 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

3- 1 3- 1 -2 Zahl ungs-

2

Zahlungs-

strom

Kaplt.lwert

S

HunkuponAnleihe (Euro] -0.9433962 0,0000000 1,0000000 0.0000000

strom

S

Gegengeschäft (Euro] (Euro] 0.0000000 E -0,9433962 0,0000000 1,0000000 0,0000000

30.89.00

E U U U

...--

5

4

KumulIerte S S Zinstage 1 (Tage]

I I I I

0.00 180,00 360 .00 540,00

P P P P

Nulikupon.Barwerttableau: Zahlungsstrom

6- 4/3

Jahresbasis

S

Haltedauerquotient

S Zins

(Tage] (lIo] 360 ,00 P 0 ,00 I 6,00 360 ,00 P 0,50 I 6,00 1,00 I 6,00 360 .00 P 1,50 I 6,00 360.00 P " ull kupon,zins p.' . (%): ~

---g:-

;--

1

8

1/8

ZinsS Hun- S quotl- S dert ent

100 100 100 100

I I I I V

P P P P

t~ull k upo n - Markt w ertta bleau

3 Nullkupon Barwerttableau ' ZahlunA55trom 1

2

ZahlungsDatum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

3

Kumulierte Zinstage

strom

S HunkuponAnleihe (Euro] -0,9759001 A,V 1,0000000 P 0,0000000 P 0,0000000 P

(Tage] 0,00 180 ,00 360 ,00 540.00

P P P P

Ge ld ~

lIullkupon-Barw erttableau:

Jahresbasis

S

~

2/ 3 Haltedauer- S S quotient

360,00 P 0,00 I 360,00 P 0,50 I 360,00 P 1,00 I 1,50 I 360,00 P Ka pita lm arkt,zins p.a. (%):

Zins 1%]

5,00 5,00 5,00 5,00 5,00

S

I I I I U

Gegen-Zahlungsstrom

3 Nullkupon Marktwerttable au 1

Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.ü9.00 Min!

S

IEuro] 0.0000000 0,0000000 0,9756098 -0,9759001 -0,0002903 -0,0002903

V V V V I A,Z

8

Hundert

Zins. S faktor

I 1 P 1.0600 I I 1 P 1.0600 I I 1 P 1.0600 I I 1 P 1,0600 I I B.lWert 30 .09.00 (Euro) (13): Kap italwert 30.09.00 (Euro) (14 - 13):

1_8

12 - 3 " 11' - 6 Z.hlungs-

strom

S

(EW'o] -0,94 0,00 0,94 0,00 0,00 0,00

I I I I I Z

(Barwertj

10 - I " 9' - 4

ZinsZ.hlungsZinsS strom S S quoll- S Eins S faktor ent (Barwertj

0,0500 I 1 P 1,0500 I 0,0500 I 1 P 1,0500 I 0,0500 I 1 P 1,0500 I 0,0500 I 1 P 1,0500 I I Ba lWert 30.09.00 (E uro) (lI ): Kapitalwert 30.09.00 (Euro) (12 - 11): 100 100 100 100

S

0,0600 0,0600 0.0600 0,0600

---g:-

;--

5/6

Eins

9 _ 10

P P P P

(Euro] -0.98 0,98 0,00 0,00 0,00 0,00

I I I I I Z

-

1- 1' 4 1 - 1 " 4. 5"6 ZahlungsZinsZinsMarktS strom S quo. S faktor wert Hullkupontlent anleihe (Euro] (Euro] 0,000000 1.0700 U 0,000000 1,0600 U 1,0250 U 0,0000000 I 0.0350 U 1,000000 -0,975900 1,0000 U : (2) I Marktwert 30.09 .00 (Euro) : ß ~ 2) Kapitalwert 30.09.00 (Euro) 4

Marktwert

r-:;-:;.-

6

5

~

10

6

5 - 130.03.02

S

N N N N

Nullkupon.Barw erttableau: Gegen-Zahlungsstrom

3 Nullkupon Barwerttableau ' GeAen ZahlunA5strom '--3- 1 1 2 4 3 =1 - 2 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09. 01 30.03.02

Zahlung.strom S HunkuponAnleihe IE...o] -0,9759001 E 1,0000000 U 0,0000000 U 0,0000000 U

t~ull kupon - Ba rwertta bl ea u :

Kapital wert 30.09.00

Zahlung.-

S

strom

Gegengeschäft (Euro] (Euro] -0.0002903 E -0,9756098 1,0000000 0,0000000 0,0000000

Zahlungsstrom

Hullkupon-Marktwerttableau

KumulIerte S S Zinstage ITage]

I I I I

0.00 180 ,00 360,00 540.00

-

;--

5

P P P P

Jahresbasis

6- 4/3

1

HalteS

dauer·

quotient

S Zins

IT_] IlIo] 5,06 360,00 P 0,00 I 360,00 P 0 ,50 I 5,06 1,00 I 5,06 360 .00 P 360,00 P 5,06 1.50 I "ullkupon,zins p.a. (%) : ~

r--s:-

8

1/8

ZinsS Hun- S quoll- S dert ent

I I I I V

100 100 100 100

P P P P

0,0506 0,0506 0,0506 0.0506

10 Eins

....,..,-:9 - 10

12 = 3' 11' - 6

ZahlungsZinSS strom S S faktor (Barwertj

I 1 P 1.0506 I I 1 P 1.0506 I I 1 P 1,0506 I I 1 P 1,0506 I I BalWert 30 .09.00 (Euro) (1 3): Kapita lwert 30.09.00 (Euro) (14 ~ 13):

(Euro] -0,98 0,98 0,00 0,00 0,00 0,00

I I I I I Z

Abb. 4.39: Berechnung von Nullkupon-Abzinsfaktoren mit Geld-/Briefdifferenzen (Teil 2)

143

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Die in den Abb. 4.38 auf Seite 141 und 4.39 auf der vorherigen Seite berechneten Nullkupon-Abzinsfaktoren auf Basis von gespaltenen Geld-/Briefsätzen sind nicht identisch mit den Nullkupon-Abzinsfaktoren, die ohne Berücksichtigung von Geld-/Briefsatzdifferenzen in den Abb. 4.32 auf Seite 133 und 4.33 auf Seite 134 berechnet wurden. 168 Tab. 4.28 vergleicht überblickartig die berechneten Nullkupon-Abzinsfaktoren.

Datum 30.09.00 30.09.00 30.09.00 30.09.00

1 NullkuponAbzinsfaktoren ohne Geld- jBriefspannen 0,0000000 Euro -0,9756098 Euro -0,9433962 Euro -0,9026670 Euro

2 NullkuponAbzinsfaktoren mit Geld- jBriefspannen 0,0000000 Euro -0,9756098 Euro -0,9433962 Euro -0,9026514 Euro

3 = 1- 2 Differenz 0,0000000 0,0000000 0,0000000 -0,0000156

Euro Euro Euro Euro

Haltedauer

~-Jahr

1-Jahr 1 ~-Jahre

Tabelle 4.28: Vergleich von Nullkupon-Abzinsfaktoren Es stellt sich abschließend die Frage, ob die direkte Bewertung eines Zahlungsstroms mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung und die indirekte Bewertung mit Hilfe von Nullkupon-Abzinsfaktoren oder Terminzinssätzen zu identischen GegenwartKapitalwerten führen. Für die Bewertung eines Zahlungsstroms ohne zugrundeliegende Geld-/Briefdifferenzen kann diese Identität uneingeschränkt bejaht werden. Im unterstellten Rechenbeispiel wird sowohl bei Durchführung einer direkten Refinanzierung gemäß Abb. 4.23 auf Seite 117 als auch bei Durchführung einer indirekten Refinanzierung gemäß Abb. 4.34 auf Seite 137 ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro errechnet. 169 Demgegenüber wird zunächst die indirekte Bewertung des unterstellten BeispielZahlungsstroms mit Hilfe von Nullkupon-Abzinsfaktoren, die die angenommenen Geld-/Briefspannen implizit berücksichtigen,170 gemäß Abb. 4.40 auf der nächsten Seite durchgeführt.

168Vgl. Abb. 4.38 auf Seite 141 Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungstableau Spalte 3 oder Abb. 4.39 auf der vorherigen Seite Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungstableau Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.32 auf Seite 133 Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungstableau Spalte 3 oder Abb. 4.33 auf Seite 134 Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungstableau Spalte 3. 169Vgl. Abb. 4.23 auf Seite 117 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.34 auf Seite 137 Spalte 5. 170Vgl. Tab. 4.28.

144

Gesamtergebnisrechnung

Datum

3 = 1 "' 2 1 2 Zahlungs- S Nullkupon S Marktwert S strom Abzinsfaktor (Euro) (Euro)

1,0000000 P -95 .000,00 30.09.00 -95 .000,00 B 8.000,00 U 0,9756098 U 7.804,88 30 .03.01 30 .09.01 8.000,00 U 0,9433962 U 7.547,17 30 .03.02 92.545,50 U 0,9026514 U 83.536,32 L Marktwert 30.09.00 [Euro) (4): 3.888,37 Kapitalwert 30.09 .00 [Euro) (5 = 4): 3.888,37

I I I I I I

Abb. 4.40: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes mit Hilfe von NullkuponAbzinsfaktoren, die Geld-/Briefspannen implizit berücksichtigen Als indirektes Bewertungsergebnis der Abb. 4.40 beträgt der Kapitalwert des unterstellten Zahlungsstroms zum Gegenwart-Zeitpunkt 3.888,37 EurO. I71 Als Vergleich wird der in Abb. 4.40 indirekt bewertete Beispiel-Zahlungsstrom nunmehr direkt mit Hilfe der simultanen strukturkongruenten Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen gemäß Abb. 4.41 bewertet. 172 1 Datum

Marktwert (Euro)

30.03.02 86.491,12 7.547,17 30.09.01 4.851,52 30.03.01 30.09.00 -95 .000,00 3889.81 3.889,81 Max!

4

5=

h O.03.02

6

7 = 1"'4 7=1 "' 4+5 "' 6

S ZinsS Marktwert S Zins- S Zahlungsstrom S quotient faktor (Euro) (Euro) 92 .545,50 N V 1,0700 U V 1,0600 U 8.000,00 N 0,0350 U 8.000,00 N V 1,0250 U 86 .491,12 I -95 .000,00 N B 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) Z : (3 = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb. 4.41: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) mit Geld-/Briefdifferenzen Als direktes Bewertungsergebnis der Abb. 4.41 beträgt der Gegenwart-Kapitalwert des unterstellten Zahlungsstroms zum Gegenwart-Zeitpunkt 3.889,81 Euro. 173 Folglich bleibt festzuhalten: Im Rechenbeispiel der Abb. 4.41 wird bei Durchführung der direkten Refinanzierung ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro, bei Durchführung der indirekten Refinanzierung gemäß Abb. 4.40 aber ein Gegenwart-Kapitalwert von lediglich 3.888,37 Euro ermittelt. 174 Die Kapitalwertabweichung von 1,44 Euro ist darauf zurückzuführen, daß das zweifache "Mischen" von Refinanzierungs- bzw. Gegengeschäften (zuerst Konstruktion von Nullkupon-Abzinsfaktoren, anschließend Neutralisierung des Kundengeschäftes) auf Grund der Geld-/Briefdifferenzen mehr kostet 171 Vgl. 172Vgl. 173 Vgl. 174Vgl.

Abb. 4.40 Spalte 5. Kapitel 4.2.1.2.1.2 auf Seite 117 sowie Abb. 4.23 auf Seite 117. Abb. 4.41 Spalte 3. Abb. 4.41 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.40 Spalte 5.

145

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

als die direkte einmalige Mischung von Refinanzierungs- bzw. Gegengeschäften. 175 Die Bewertung von Zahlungsströmen mit Hilfe von Nullkupon-Abzinsfaktoren bzw. Terminzinssätzen führt also bei Existenz von Geld-/Briefdifferenzen zu finanzmathematisch unlösbaren Problemen. Nur die direkte Refinanzierung führt in jedem Fall zu korrekten Kapitalwerten. 176 4.2.1.2.1.7 Komplexitätsproblematik und deren Lösung

der

strukturkongruenten

Refinanzierung

Die exakte Bewertung von Zahlungsströmen basiert auf dem

in Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111 ausführlich beschriebenen Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung. Die Komplexität der finanzmathematischen Gleichungssysteme der strukturkongruenten Refinanzierung ist dabei abhängig von der Anzahl der Zahlungszeitpunkte eines Zahlungsstroms. Bei einer hohen Anzahl von Zahlungszeitpunkten erfordert das Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung eine extrem hohe Anzahl von Variablen. 177 Eine zu hohe Komplexität von Gleichungssystemen der strukturkongruenten Refinanzierung erschwert einerseits eine edv-technische Gleichungserzeugung von Refinanzierungsmodellen und ist andererseits nicht praktikabel, da in der Praxis die strukturkongruente Refinanzierung weder pro Kundengeschäft noch in der Summe des täglichen Neugeschäfts eines Finanz-/Kreditinstitutes exakt am Geld-/Kapitalmarkt nachgebildet werden kann. Zur Lösung des Komplexitätsproblems der strukturkongruenten Refinanzierung ist durch Komplexitätsreduzierungs- Verfahren (englisch: mapping) ein Original-Zahlungsstrom auf

einen anderen (gemappten) Zahlungsstrom abzubilden, der weniger Zahlungszeitpunkte aufweist als der Original-Zahlungsstrom. Abb. 4.42 auf der nächsten Seite zeigt die in Literatur und Praxis verwendeten Mapping-Verfahren.

175Vgl. Abb. 4.38 auf Seite 141 Nullkupon-Marktwerttableau Spalte 4 oder Abb. 4.39 auf Seite 142 Nullkupon-Marktwerttableau Spalte 4 im Vergleich zu Abb. 4.41 auf der vorherigen Seite Spalte 4. 176Besonders bei der Bewertung von Finanzinnovationen arbeiten Softwareprogramme der Betriebsergebnisrechnung für Finanz-jKreditinstitute vorzugsweise mit Nullkupon-Abzinsfaktoren, z. B. SAP Rj3 SEM. Angesichts der unlösbaren Geld-jBriefproblematik von Nullkupon-Abzinsfaktoren ist eine korrekte Bewertung von Zahlungsströmen nicht zu erwarten. 177Wird beispielsweise eine sukzessive strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen gemäß Abb. 4.22 auf Seite 116 unterstellt, so errechnet sich die Anzahl der für die Neutralisierungstableaus benötigten Variablen nach der folgenden Formel einer arithmetischen Reihe: Anzahl Zahlu~gszeitPunkte

* (1 + Anzahl Zahlungszeitpunkte) * Anzahl Spalten Neutralisierungstableaus

Bei einem Darlehen mit monatlicher Zahlungsweise bei lO-jähriger Haltedauer ergibt sich demnach eine erforderliche Variablenanzahl von 1;0 * (1 + 120) * 9 = 65.340 für die Gleichungssysteme der Neutralisierungstableaus!

146

Gesamtergebnisrechnung

Mapping auf Basis von Ableitungen

mit Terminzinsen

Mapping nach JPMorgan

Abb. 4.42: Mapping-Verfahren Das Mapping auf Basis von Ableitungen wurde von der Firma Gillardon178 entwickelt. Es

basiert grundsätzlich auf der ersten und zweiten Ableitung der "Barwertformel" 179: Barwert

= Zmsfaktor .

_

Zinstage Jahresbasis

* Zahlung

Dabei wird eine Zahlung eines originalen Zahlungsstroms auf zwei oder drei Zahlungszeitpunkte unter der Prämisse aufgeteilt, daß die erste und gegebenenfalls die zweite Ableitung der Zahlung nach dem Zins für die originale Zahlung und den gemappten Zahlungen übereinstimmen. Beim M apping mit Terminzinsen werden einzelne Zahlungen mit den taggenau ermittelten Terminzinsen 180 auf andere Zahlungszeitpunkte auf- oder abgezinst. Das Mapping nach JPMorgan wurde von der amerikanischen Investmentbank

JPMorgan 181 entwickelt. Der Grundgedanke des JPMorgan-Mapping-Ansatzes besteht in der Prämisse, daß der Konfidenzintervallwert des Risikos 182 des gemappten Zahlungsstroms mit dem des originalen Zahlungsstroms übereinstimmt.

In den folgenden Kapiteln wird als erstes das Mapping auf Basis von Ableitungen (Kapitel 4.2.1.2.1.7.2 auf Seite 148), als zweites das Mapping mit Terminzinsen (Kapitel 4.2.1.2.1.7.3 auf Seite 163) und als letztes das Mapping nach JPMorgan (Kapitel 4.2.1.2.1.7.4 auf Seite 165) erläutert. Ein Vergleich der verschiedenen MappingVerfahren beendet als letztes Kapitel die Beschreibung der Komplexitätsproblematik der strukturkongruenten Refinanzierung (Kapitel 4.2.1.2.1.7.5 auf Seite 169). All diesen Kapiteln vorangestellt wird aber zunächst zum einen die strukturkongruente Bewertung eines beispielhaften Original-Zahlungsstroms im Rahmen der Marktwertmethode 183 , zum anderen die Durchführung einer Zinsänderungsrisiko-Messung als Kapitalwertschwankung (Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf der nächsten Seite). Sowohl die strukturkongruente Bewertung eines beispielhaften Original-Zahlungsstroms als auch die Zinsänderungsrisiko-Messung 178Vgl. 179Vgl. 180Vgl. 181 V gl. 182Vgl. 183Vgl.

Internetseite: www.gillardon.de Abb. 4.8 auf Seite 97 Spalte 10. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Internetseite: www.jpmorgan.com Kapitel 3.4.3.2 auf Seite 66. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

147

werden als Vergleichsmaßstäbe (englisch: benchmarks) benötigt, um die Güte der einzelnen Mapping-Verfahren beurteilen zu können. Die Beurteilung der Güte der Mapping-Verfahren basiert auf folgenden zwei Anforderungen: • Der Gegenwart-Kapitalwert des gemappten Zahlungsstroms sollte mit dem Gegenwart-Kapitalwert des Original-Zahlungsstroms übereinstimmen. • Das Zinsänderungsrisiko, gemessen als Kapitalwertschwankung, des gemappten Zahlungsstroms sollte mit dem des originalen Zahlungsstroms übereinstimmen. 4.2.1.2.1. 7.1 Bewertung eines Original-Zahlungsstroms und einer Zinsänderungsrisiko-Messung Als Vergleichsmaßstab zur Beurteilung der Güte der einzelnen Mapping-Verfahren184 wird der folgende in Tab. 4.29 dargestellte Zahlungsstrom Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.29: Zahlungsstrom mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung 185 gemäß Abb. 4.43 marktorientiert zum Gegenwart-Zeitpunkt (30.09.00) bewertet. Dabei sei am Geld-/Kapitalmarkt für ~-Jahres-Geld 5,00% (Nullkupon-Zins 5,06% p.a.), für I-Jahres-Geld 6,00% (Nullkupon-

Zins 6,00% p.a.) und für q-Jahres-Geld 7,00% (Nullkupon-Zins 7,07% p.a.) zu zahlen. 186 Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-/Kapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-/Kapitalanlage. 1 Datum

Marktwert

(Euro( 30.03.02 86.491 .12 30.09.01 7.547,17 4.851,52 30.03.01 30.09.00 -95.000,00 3.889,81 3.889,81 Max!

4

5 = 130.03.02

6

7 = 1 ~4 7=1~4+5*6

S Zins. S Marktwert S Zins· S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) (Euro] 92.545,50 N V 1,0700 U 8.000,00 N V 1,0600 U 8.000,00 N V 1,0250 U 86.491 ,1 2 I 0,0350 U -95.000,00 N B 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) Z : ß = 2) Kapitalwert 30 .09.00 [Euro)

Abb. 4.43: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen)

184Ygl. Abb. 4.42 auf der vorherigen Seite. 185Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 186Zur Berechnung von Nullkupon-Zinsen aus der nominellen Zinsstrukturkurve: Ygl. Abb. 4.32 auf Seite 133 Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom Spalten 3, 7, 12, 14 und Abb. 4.33 auf Seite 134 Nullkupon-Barwerttableau: Gegen-Zahlungsstrom Spalten 3, 7, 12, 14.

148

Gesamtergebnisrechnung

Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.43 auf der vorherigen Seite dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 EurO. 187 Zusätzlich wird im Rahmen einer Zinsänderungsrisiko-Messung zum Zeitpunkt 30.09.00 eine andere Nominal-Zinsstrukturkurve unterstellt. Nunmehr sei für ~-Jahres-Geld 6,00%, für 1-Jahres-Geld 7,00% und für 1~-Jahres-Geld 8,00% zu zahlen. Auch im Rahmen dieser Zinsänderungsrisiko-Messung wird gemäß Abb. 4.44 eine Marktbewertung des unterstellten Zahlungsstroms mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung188 vorgenommen. 1 Datum

30 ,03 ,02 30 .09 ,01 30,03,01 30,09,00 Max!

4

5 = 130.03,02

6

7 = 1" 4 7=1"4+5"6

ZinsMarktwert S Zins· S Marktwert S S Zahlungsstrom S faktor quotient [Euro) [Euro) [Euro) 85 .690 ,28 V 1,0800 U 92 ,545,50 N 7.476,64 V 1,0700 U 8,000,00 N 4,439,21 V 1,0300 U 85,690,28 I 0,0400 U 8,000,00 N -95 ,000,00 B 1,0000 U -95 ,000,00 N 2,606,13 I : (2) L Marktwert 30_09_00 [Euro) 2,606,13 Z : (3 = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb. 4.44: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) im Rahmen einer Zinsänderungsrisiko-Messung Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.44 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein Gegenwart-Kapitalwert von 2.606,13 EurO. 189 Als Ergebnis bleibt festzuhalten, daß durch den unterstellten Zinsanstieg der GegenwartKapitalwert von 3.889,81 Euro um 1.283,68 Euro auf 2.606,13 Euro sinkt. 190 Das Ergebnis dieser Zinsänderungsrisiko-Messung ist ein Maßstab (englisch: benchmark) für die Qualität der noch darzustellenden Mapping-Verfahren, da "kleine" Änderungen der Geld- jKapitalmarktzinsen sich im Original-Zahlungsstrom und im gemappten Zahlungsstrom möglichst gleich auswirken sollten. 4.2.1.2.1. 7.2 Das Mapping auf Basis von Ableitungen Das Mapping auf Basis

von Ableitungen wurde von der Firma Gillardon191 gemäß Abb. 4.45 auf der nächsten Seite in vier Varianten entwickelt. 192

187 Vgl. Abb. 4.43 auf der vorherigen Seite Spalte 3. 188Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 189Vgl. Abb. 4.44 Spalte 3. 190Vgl. Abb. 4.43 auf der vorherigen Seite Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.44 Spalte 3. 191Internetseite: www.gillardon.de 192Vgl. [58J

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

149

Mapping auf Basis von Ableitungen

DurationMapping

ApproxE3/E4Mapping

Abb. 4.45: Mapping auf Basis von Ableitungen

In den

folgenden

Kapiteln

werden

zunächst

das

Duration-Mapping

(Kapi-

tel 4.2.1.2.1.7.2.1), dann das Convex3j4-Mapping (Kapitel 4.2.1.2.1.7.2.2 auf Seite 152), anschließend das ApproxP3jP4-Mapping (Kapitel 4.2.1.2.1.7.2.3 auf Seite 155) und letztlich das ApproxE3jE4-Mapping (Kapitel 4.2.1.2.1.7.2.4 auf Seite 159) erläutert. 4.2.1.2.1. 7.2.1 Das Duration-Mapping Das Duration-Mapping 193 teilt eine origi-

nale Zahlung in zwei Zahlungen zu beliebigen Zeitpunkten auf, wobei gilt: • Gleicher Barwert:

Barwert der Originalzahlung = Barwert der ersten gemappten Zahlung

+ Barwert

der zweiten gemappten Zahlung • Gleiche Duration:

* modifizierte Duration194 der Originalzahlung = Barwert * modifizierte Duration der ersten gemappten Zahlung + Barwert * modifizierte Duration der Barwert

zweiten gemappten Zahlung Am Ausgangspunkt des Duration-Mappings steht die Entscheidung, welche Zahlung eines Original-Zahlungsstroms auf welche Zeitpunkte gemappt werden soll. Wird auf Basis des in Tab. 4.29 auf Seite 147 dargestellten Original-Zahlungsstroms beispielhaft entschieden, daß die Zahlung von 92.545,50 Euro am 30.03.02 auf die Zahlungszeitpunkte 30.03.01 und 30.09.01 gemappt werden soll, so ergibt sich folgende teilweise noch unbekannte gemappte Zahlungsstruktur, dargestellt in Tab. 4.30. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Gemappter Zahlungsstrom -95.000,00 Euro ? Euro ? Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.30: Gemappter noch unbekannter Zahlungsstrom Die gesuchten Rechengrößen - die gemappten Zahlungen am 30.03.01 und 30.09.01 - sind mit Hilfe des Duration-Mappings gemäß Abb. 4.46 auf der nächsten Seite ermittelbar. 193Vgl. [58, Kapitel 5 S. 1 ff.] 194Vgl. Kapitel 3.3.1.2.3 auf Seite 34.

150

Gesamtergebnisrechnung 1 Kumulierte S Zinstilge (Tage) 540,00 P zu mappen: 30.03 .02 Datum

7=3+6 / 4 Datum

......

Eins

Hundert

S 1 P

100 P

8.000,00 U 8.000,00 U

1 P 11 PI

100l PI 100 P

8=1 / 5 / 7

9 9-2

10 = 9 / 7 A (1 / 5)

ZahlungsNullkupon- S Modifizierte S mapping S Duration Zinsfaktor

6 S NullkuponS Zins p.a. (Tage) (%1 7,07 U 360,00 P

S Jahresbasis

(Euro) 92.545,50 U

180,00 P 360,00 P

auf:1 30.03.01 auf: 30 .09.01

S

5

4

3

2 Zahlung

BalWert

360,00 P 360,00 P

5,06 U 6,00 U

14 = 8 * 10 S

(Euro) (Euro) 83.537 ,77 I 92 .545,50 I 1,4010 I 1,0707 I zu mappen: 30.03.02 L Barwert 30.03.02 [Euro): 11 83.537,77 I -81.774,11 I 0,4759 I -83.818 ,461V 1,0506 I auf: 30.03.01 165.311,87 I 0,9434 1 I I 175.230,58 V 1,0600 I auf: 30 .09 .01 L Barwert 30 .03.01 bis 30 .09.01 [Euro): 12 83 .537,77 I 0,00 Z Differenz (13 = 12 - 11) bzw. (17 = 16 - 15) [Euro): 13

DurationBalWertProdukt (Euro) 117.037,71 15 117.037,71 -38.916,89 155.954,60 16 117.037,71 0,00 17

S

I I I I I N

Abb. 4.46: Duration-Mapping Das Gleichungsmodell des Duration-Mappings gemäß Abb. 4.46 umfaßt als Zielformulierung zum einen die Prämisse "Gleicher Barwert" , zum anderen als Nebenbedingung die Prämisse "Gleiche Duration", wobei die gesuchten gemappten Zahlungen als Entscheidungsvariablen fungieren. 195 Die im Gleichungsmodell des Duration-Mappings explizit enthaltene modifizierte Duration196 basiert auf Nullkupon-Zinsen I97 , die aus der unterstellten Nominal-Zinsstrukturkurve abgeleitet werden können. 198 Im Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 4.46 ist am 30.03.01 eine gemappte Zahlung von -83.818,46 Euro sowie am 30.09.01 eine gemappte Zahlung von 175.230,58 Euro ermittelt worden,199 so daß sich aus dem Original-Zahlungsstrom der folgende gemappte Zahlungsstrom, dargestellt in Tab. 4.31, ableiten läßt: Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.31: Gemappter Zahlungsstrom

195Vgl. 196Vgl. 197Vgl. 198Vgl. 199Vgl.

Abb. 4.46 Spalten 9, 13, 17. Abb. 4.46 Spalte 8. Abb. 4.46 Spalte 6. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.46 Spalte 9.

2 DurationMapping 0,00 Euro -83.818,46 Euro 175.230,58 Euro -92.545,50 Euro

3=1+2 Gemappter Zahlungsstrom -95.000,00 Euro -75.818,46 Euro 183.230,58 Euro 0,00 Euro

151

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Wird anschließend der Gegenwart-Kapitalwert auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 verwendeten Zinsstruktur für den gemappten Zahlungsstrom mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung200 gemäß Abb. 4.47 berechnet, so ist festzustellen, daß durch das Duration-Mapping der Kapitalwert des originalen Zahlungsstroms nicht verändert wurde. 4

1 Datum

Marktwert S (Euro)

30.03.02 30.09.01 30.03 .01 30.09.00 Max!

0,00 172.859,04 ·73.969,23 ·95 .000,00 3.889,81 3.889,81

5 = 130.03.02

6

1 = 1 "'4 1=1"'4+5 "' 6

Zins· S Marktwert S Zins· S Zahlungsstrom S quotient faktor (Euro) (Euro)

V 1,0700 U V 1,0600 U V 1,0250 U

0,00 I

0,00 183.230,58 ·75.818,46 ·95.000,00

0,0350 U

B 1,0000 U

I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro] Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro]

N N N N

Abb. 4.47: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) Folglich wird sowohl für den Original-Zahlungsstrom als auch für den gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro berechnet. 201 Um die Grundlage für einen Qualitätsvergleich zwischen den einzelnen MappingVerfahren zu schaffen, wird abschließend noch eine Messung des Zinsänderungsrisikos als Kapitalwertschwankung durchgeführt. Abb. 4.48 zeigt die Berechnung des GegenwartKapitalwertes der gemappten Zahlungsreihe202 auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 unterstellten Zinsstrukturkurve, die einen Zinsanstieg simuliert. 4

1 Datum

Marktwert S (Euro)

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 Max!

0,00 171 .243,53 -73.610,16 -95.000,00 2.633,38 2.633,38

5 = 130.03.02

6

1=1"'4 1=1"'4+5"'6

ZinsS Marktwert S Zins- S Zahlungsstrom S quotient faktor (Euro) (Euro)

V 1,0800 U V 1,0700 U V 1,0300 U

0,00 I 0,0400 U B 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro] Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro]

0,00 183.230,58 -75 .818,46 -95.000,00

N N N N

Abb. 4.48: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) im Rahmen einer Zinsänderungsrisiko-Messung Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.48 dargestellten Rechenbeispiels einer Zinsänderungsrisiko-Messung ergibt sich für den mit Hilfe der Duration gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 2.633,38 Euro. 203 200Vgl. 201 V gl. 202Vgl. 203Vgl.

Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Abb. 4.43 auf Seite 147 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.47 Spalte 3. Tab. 4.31 auf der vorherigen Seite. Abb. 4.48 Spalte 3.

152

Gesamtergebnisrechnung

4.2.1.2.1. 7.2.2 Das Convex3- und das Convex4-Mapping Das Convex3-

bzw. das Convex4-Mapping

206 207

204 205

teilen eine originale Zahlung in drei Zahlungen

(Convex3-Mapping) bzw. vier Zahlungen (Convex4-Mapping) zu beliebigen Zeitpunkten auf, wobei gilt: 208 • Gleicher Barwert: Barwert der Originalzahlung = Barwert der ersten gemappten Zahlung der zweiten gemappten Zahlung

+ Barwert

+ Barwert der dritten gemappten Zahlung

• Gleiche Duration: Barwert * modifizierte Duration209 der Originalzahlung = Barwert * modifizierte Duration der ersten gemappten Zahlung + Barwert * modifizierte Duration der zweiten gemappten Zahlung + Barwert * modifizierte Duration der dritten gemappten Zahlung • Gleiche Konvexität: Barwert * Konvexität 210 der Originalzahlung = Barwert

* Konvexität

der ersten

gemappten Zahlung + Barwert * Konvexität der zweiten gemappten Zahlung Barwert * Konvexität der dritten gemappten Zahlung

+

Auch am Ausgangspunkt des Convex3-Mappings steht die Entscheidung, welche Zahlung eines Original-Zahlungsstroms auf welche Zeitpunkte gemappt werden soll. Wird auf Basis des in Tab. 4.29 auf Seite 147 dargestellten Original-Zahlungsstroms beispielhaft entschieden, daß die Zahlung von 92.545,50 Euro am 30.03.02 auf die Zahlungszeitpunkte 30.09.00, 30.03.01 und 30.09.01 gemappt werden soll, so ergibt sich folgende teilweise noch unbekannte gemappte Zahlungsstruktur, dargestellt in Tab. 4.32. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Gemappter Zahlungsstrom ? Euro ? Euro ? Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.32: Gemappter noch unbekannter Zahlungsstrom Die gesuchten Rechengrößen - die gemappten Zahlungen am 30.09.00, 30.03.01 und 30.09.01 - sind mit Hilfe des Convex3-Mappings gemäß Abb. 4.49 auf der nächsten Seite ermittelbar. 204Das Convex3-Mapping ist eingetragenes Warenzeichen der Firma Gillardon, Bretten. 205Ygl. [58, Kapitel 5 S. 3 ff.] 206Das Convex4-Mapping ist eingetragenes Warenzeichen der Firma Gillardon, Bretten. 207Ygl. [58, Kapitel 5 S. 11 ff.] 208Im folgenden wird nur das Convex3-Mapping betrachtet, da für das Convex4-Mapping bis auf eine zusätzliche Zahlung die analogen Ausführungen gelten. 209Ygl. Kapitel 3.3.1.2.3 auf Seite 34. 210Ygl. Kapitel 3.3.1.2.4 auf Seite 36.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 1

zu mappen: 30.03.02 auf: 3009001 auf: 30.03.01 1 auf: 30.09.01 1

.

3

Zahlung

S

Eins

4 S

Jllhresbasis

S

[Tage)

[Euro)

1 P

100 P

360,00 P

0,00 Pi 180,00 P I 360,00 P I

·95.000 ,00 B I 8.000,00 u l 8.000,00 u I

lipl 11 p i llPI

1001p i 1001pi 1001P I

360,001 P I 360,001p i 360,001P I

9=8 (3+1 / 5)17

11 = 1017 A (1/5)

10 10 = 2

Modifizierte Zahlungs· S Konvexität S Duration mapping

S

1 ,4010 1

3,2714 1

L

92.545,50 1

Darwert IEuro)

0,0000 1 0,4759 I ~ 0,9434 1 I

S

83.537,77 1

6

7=3+6 / 4

Nullkupon. Zins p.a. [%)

S Nullkupon. S Zinsfaktor

7,07 U

1,0707 1

O,OQjU

1,0000 1 1,0506 1 1,06001 1

5,061 u 6,00 u

15 = 8 - 11

19 = 9 " 11

Duration· Darwert· Produkt [Euro)

Konvexität· Darwert· Produkt [Euro)

117.037,71 117.037,71 0,00 1 1 ·114.274,78 1 231.312,49 1 17 117.037,71 0,00 Z 18

Darwert 30.03.02 [Euro] : 12 83.537,77 1 16

78.466,41 0,0000 1 I 78.466,411 V ·240.119,88 0,67951 1 ·246.122,88Iv 245.191,24 1,7800 1 I 259.902,71 1V L Darwert 30.09.00 bis 30.09.01 [Euro] : 13 83.537,77 Differen z (14 = 13 . 12) bzw. (18 = 17 . 16) bzw. (22 = 21 . 20) [Euro] : 14 0,00 auf: 30.09.00 auf: 30.03.01 auf: 30.09.01

S

92.545,50 U

[Euro) zu mappen: 30.03.02

5

Hundert

540,00 P

8 = 1 / 517 Datum

2

Kumulierte S Zinstage [Jaul!!.

Datum

153

S

S

273.286,09 1 1 1 20 273.286 ,09 1 1 0,00 1 1 ·163.152,57 1 1 436.438,66 1 1 21 273.286,09 1 0,00 N N 22

Abb. 4.49: Convex3-Mapping Das Gleichungsmodell des Convex3-Mappings gemäß Abb. 4.49 umfaßt als Zielformulierung zum einen die Prämisse "Gleicher Barwert" , zum anderen als Nebenbedingungen die Prämissen "Gleiche Duration" und "Gleiche Konvexität", wobei die gesuchten gemappten Zahlungen als Entscheidungsvariablen fungieren.211 Die im Gleichungsmodell des Convex3-Mappings explizit enthaltene modifizierte Duration212 sowie die explizit

enthaltene Konvexität 213 basieren auf Nullkupon-Zinsen 214 , die aus der unterstellten Nominal-Zinsstrukturkurve abgeleitet werden können. 215 Im Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 4.49 ist am 30.09.00 eine gemappte Zahlung von 78.466,41 Euro, am 30.03.01 eine gemappte Zahlung von -246.122,88 Euro sowie am 30.09.01 eine gemappte Zahlung von 259.902,71 Euro berechnet worden,216 so daß sich aus dem Original-Zahlungsstrom der folgende gemappte Zahlungsstrom, dargestellt in Tab. 4.33 auf der nächsten Seite, ableiten läßt:

211 V gL 212VgL 213VgL 214VgL 215VgL 216VgL

Abb. 4.49 Spalten 10, 14, 18, 22. Abb. 4.49 Spalte 8Abb. 4.49 Spalte 9. Abb. 4.49 Spalte 6. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.49 Spalte 10.

154

Gesamtergebnisrechnung

Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

2 Convex3Mapping 78.466,41 Euro -246.122,88 Euro 259.902,71 Euro -92.545,50 Euro

3=1+2 Gemappter Zahlungsstrom -16.533,59 Euro -238.122,88 Euro 267.902,71 Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.33: Gemappter Zahlungsstrom Wird anschließend der Gegenwart-Kapitalwert auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 verwendeten Zinsstruktur für den gemappten Zahlungsstrom mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung217 gemäß Abb. 4.50 berechnet, so ist festzustellen, daß durch das Convex3-Mapping der Kapitalwert des originalen Zahlungsstroms nicht verändert wurde. 4

1 Datum

Marktwert

S Zins- S Marktwert S faktor

(Euro)

30.03.02 0,00 30.09.01 252 .738,41 30.03.01 -232 .315,00 30.09.00 ·16.533,59 3.889,81 3.889,81 Max!

5 = 130.03.02

(Euro)

V V V V I Z

6

7= 1" 4 7=1 " 4+5 " 6

ZinsS Zahlungsstrom S quotient (Euro)

1,0700 U 1,0600 U 1,0250 U 0,00 I 0,0350 U 1,0000 U : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) : (3 = 2) Kapitalwert 30 .09 .00 [Euro)

0,00 267 .902,71 ·238.122,88 ·16.533,59

N N N N

Abb. 4.50: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) Folglich wird sowohl für den Original-Zahlungsstrom als auch für den gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro berechnet. 218 Um die Grundlage für einen Qualitätsvergleich zwischen den einzelnen MappingVerfahren zu schaffen, wird abschließend noch eine Messung des Zinsänderungsrisikos als Kapitalwertschwankung durchgeführt. Abb. 4.51 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung des Gegenwart-Kapitalwertes der gemappten Zahlungsreihe219 auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 unterstellten Zinsstrukturkurve, die einen Zinsanstieg simuliert.

217Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 218Ygl. Abb. 4.43 auf Seite 147 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.50 Spalte 3. 219ygl. Tab. 4.33.

155

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

4

1

Datum

Marktwert S (Euro)

30.03.02 0,00 30.09.01 250.376,36 30.03 .01 -231 .187,26 30.09 .00 -16.533,59 2.655,51 Max! 2.655,51

V V V V I Z

5 = 130.03 .02

6

7 =1 ~ 4 7=1"4+5~6

ZinsS Zins- S Zahlungsstrom S S Marktwert quotient faktor (Euro) (Euro)

1,0800 U 1,0700 U 0,00 I 0,0400 U 1,D3oo U 1,0000 U : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) : (3 = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

0,00 267.902,71 -238 .122,88 -16.533,59

N N N N

Abb. 4.51: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) im Rahmen einer Zinsänderungsrisiko-Messung Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.51 dargestellten Rechenbeispiels einer Zinsänderungsrisiko-Messung ergibt sich für den mit Hilfe der Duration und der Konvexität gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 2.655,51 EurO. 220 4.2.1.2.1. 7.2.3 Das ApproxP3- und das ApproxP4-Mapping Das ApproxP3- 221 bzw. das ApproxP4-Mapping 223 224 teilen eine originale Zahlung in drei Zahlungen

222

(ApproxP3-Mapping) bzw. vier Zahlungen (ApproxP4-Mapping) zu beliebigen Zeitpunkten auf, wobei gilt: 225 • Gleicher Barwert: Barwert der Originalzahlung = Barwert der ersten gemappten Zahlung + Barwert der zweiten gemappten Zahlung + Barwert der dritten gemappten Zahlung • Gleiche Duration: Barwert * modifizierte Duration226 der Originalzahlung = Barwert * modifizierte Duration der ersten gemappten Zahlung + Barwert * modifizierte Duration der zweiten gemappten Zahlung

+

Barwert

* modifizierte

Duration der dritten

gemappten Zahlung • Gleiches quadratisches Polynom: Barwert * quadratisches Polynom227 der Originalzahlung = Barwert * quadratisches Polynom der ersten gemappten Zahlung + Barwert * quadratisches Polynom 220ygL Abb, 4,51 Spalte 3, 221 Das ApproxP3-Mapping ist eingetragenes Warenzeichen der Firma Gillardon, Bretten. 222YgL [58, Kapitel 5 S. 5 ff.] 223Das ApproxP4-Mapping ist eingetragenes Warenzeichen der Firma Gillardon, Bretten. 224YgL [58, Kapitel 5 S. 11 ff.] 225Im folgenden wird nur das ApproxP3-Mapping betrachtet, da für das ApproxP4-Mapping bis auf eine zusätzliche Zahlung die analogen Ausführungen gelten. 226YgL Kapitel 3.3.1.2.3 auf Seite 34. 227Die Prämisse "gleiches quadratisches Polynom" unterstellt einen speziellen Kursverlauf der Zinsstrukturkurve. Beim ApproxP3-Mapping wird in Abhängigkeit von dem Zinstagequotienten J:~~::~!:is folgende Zinsstrukturkurve unterstellt: Zinsfaktor

=

Tagesgeldzins + Zinsaufschlag * (

Zinstage Zinstage 2 . ) + Krummungsfaktor* ( Jahresbaszs . ) Jahresbaszs

(Anmerkung: Falls Krümmungsfaktor = 0, dann ist die Zinsstrukturkurve eine Gerade.)

Gesamtergebnisrechnung

156

der zweiten gemappten Zahlung gemappten Zahlung

+ Barwert * quadratisches

Polynom der dritten

Am Ausgangspunkt des ApproxP3-Mappings steht die Entscheidung, welche Zahlung eines Original-Zahlungsstroms auf welche Zeitpunkte gemappt werden soll. Wird analog zum Convex3-Mapping228 auf Basis des in Tab. 4.29 auf Seite 147 dargestellten Zahlungsstroms entschieden, daß die Zahlung von 92.545,50 Euro am 30.03.02 auf die Zahlungszeitpunkte 30.09.00, 30.03.01 und 30.09.01 gemappt werden soll, so ergibt sich folgende teilweise noch unbekannte gemappte Zahlungsstruktur, dargestellt in Tab. 4.34. Datum

Gemappter Zahlungsstrom ? Euro ? Euro ? Euro 0,00 Euro

Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Tabelle 4.34: Gemappter noch unbekannter Zahlungsstrom Die gesuchten Rechengrößen - die gemappten Zahlungen am 30.09.00, 30.03.01 und 30.09.01 - sind mit Hilfe des ApproxP3-Mappings gemäß Abb. 4.52 auf der nächsten Seite ermittelbar.

Wird dieser Zinsfaktor in die bekannte "Barwertformel" Barwert

=

.

Ztnsfaktor

_(

Zinstage ) Jahresbasis

* Zahlung

eingesetzt Barwert

(Tagesgeldzins + Zinsaufschlag * ( (

Zinstage 2 _( Zins'age ) . )) Jahresbasis Jahresbasts

Zinstage . ) + KTÜmmungsfaktor* Jahresbasts

* Zahlung

und partiell nach dem Zinsaufschlag abgeleitet, 8Barwert 8Zinsauf schlag 8Barwert 8Zinsauf schlag

Zinstage . ) + KTÜmmungsfaktor* Jahresbasts Zinstage )2)-( Zins'age. )-1 (Zinstage ) ( Zinstage ) Z hl ( Jahresbas2,8 ** * a ung J ahresbasis Jahresbasis Jahresbasis . _( Zins'age )-1 Zinstage 2 Zmsfaktor Jahresba.i. * -( JahresbastS. ) * Zahlung (Tagesgeldzins + Zinsaufschlag * (

.

Ztnsfaktor

_(

Zins'age ) Jahres basis

---=---=--:--::---* -( Jahresbasis ) * Zahlung Zinsfaktor Barwert * _( Zinstage )2

8Barwert 8Zinsauf schlag

(

Zinsfaktor

2

Jahresbasis

Zinstage )2 Jahresbasis

Zinsfaktor

(

* -Barwert Zins'a~e

)2

umfaßt die Ableitung einen Faktor 'i'i~r:t:;:k'i~r 228Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.7.2.2 auf Seite 152. SO

.

Ztnstage

8Barwert 8Zinsauf schlag 8Barwert 8Zinsauf schlag

, der als quadratisches Polynom bezeichnet wird.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 1 Kumulierte S Zinstage [Tage) 540.00 P zu mappen: 30.03.02 Datum

auf:1 30.09.00 auf:1 30.03.01 auf:1 30.09.01

Eins

[Euro) 92 .545,50 U

0,001P I -95000,001B 180,001P I 8000,001u l 360,001P I 8.000,00 U I

8-1/5 / 7

.,...

S

9=(1 / 5) " (1/5) / 7

10 10 - 2

5

4

3

2 Zahlung

157

S

Hundert

S

1 P

100 P

11P 11 PI 11p I

1001p i 1001P I 100l P I

11 = 10 / 7" (1 / 5)

7=3.6 / 4

6

Jahrasbasis

S

[Tage) 360,00 P 360,001P I 360,001P I 360,001P I

0,00 U I 5,06 u l 6,00 U I

1,00001 11 1,05061 11 1,06001 11

19 = 9 " 11

15 - 8"11

DurationQuadraZahlungsModifizierte S BarwertBarwert S S tisches S Datum mapping Duration Produkt Polynom [Euro) [Euro[ [Euro) 117.037,71 83.537,77 1 92.545,50 1 2,1015 1 1,4010 1 zu mappen: 30.03 .02 L Barwert 30.03.02 [Euro[ : 12 83.537,77 1 16 117.037,71 0,00 81 .343 ,31 1 0,0000 11 0,00001 11 81 .343,31 V auf:1 30.09.001 -117.037,71 -245 .925,49 1 0,23801 1 I -252.073,63 V 0,4759 11 auf:l 30.03.01 1 234.075,42 248.119,95 1 0,94341 11 263.007,1 4I v 0,94341 1 I auf:1 30 .09.01 1 L Barwert 30.09.00 bis 30.09.01 [Euro[: 13 83.537,77 1 17 117.037,71 0,00 0,00 Z 18 Differenz (14 = 13 . 12) bzw. (18 = 17 . 16) bzw . (22 = 21 . 20) [Euro): 14

Nullkupon - S Nullkupon- S Zinsfaktor Zins p.a. [%) 1,0707 1 7,07 U

S

1 1 1 1 1 1

N

PolynomBarwertProdukt [Euro[ 175.556,57 20 175.556,57 0,00 -58 .518,86 234.075,42 21 175.556,57 0,00 22

S

1 1 1 1 1 1

N

Abb. 4.52: ApproxP3-Mapping Das Gleichungsmodell des ApproxP3-Mappings gemäß Abb. 4.52 umfaßt als Zielformulierung zum einen die Prämisse "Gleicher Barwert" , zum anderen als Nebenbedingungen die Prämissen "Gleiche Duration" und" Gleiches quadratisches Polynom", wobei die gesuchten gemappten Zahlungen als Entscheidungsvariablen fungieren. 229 Die im Gleichungsmodell des ApproxP3-Mappings explizit enthaltene modifizierte Duration 230 sowie das explizit enthaltene quadratische Polynom231 basieren auf Nullkupon-Zinsen232 , die aus der unterstellten Nominal-Zinsstrukturkurve abgeleitet werden können. 233 Im Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 4.52 ist am 30.09.00 eine gemappte Zahlung von 81.343,31 Euro, am 30.03.01 eine gemappte Zahlung von -252.073,63 Euro sowie am 30.09.01 eine gemappte Zahlung von 263.007,14 Euro berechnet worden,234 so daß sich aus dem Original-Zahlungsstrom der folgende gemappte Zahlungsstrom, dargestellt in Tab. 4.35 auf der nächsten Seite, ableiten läßt.

229Vgl. 230Vgl. 231 Vgl. 23 2Vgl. 233Vgl. 23 4Vgl.

Abb. 4.52 Spalten 10, 14, 18, 22. Abb. 4.52 Spalte 8. Abb. 4.52 Spalte 9. Abb. 4.52 Spalte 6. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.52 Spalte 10.

158

Gesamtergebnisrechnung

Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

2 ApproxP3Mapping 81.343,31 Euro -252.073,63 Euro 263.007,14 Euro -92.545,50 Euro

3=1+2 Gemappter Zahlungsstrom -13.656,69 Euro -244.073,63 Euro 271.007,14 Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.35: Gemappter Zahlungsstrom Wird anschließend der Gegenwart-Kapitalwert auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 verwendeten Zinsstruktur für den gemappten Zahlungsstrom mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung235 gemäß Abb. 4.53 berechnet, so ist festzustellen, daß durch das ApproxP3-Mapping der Kapitalwert des originalen Zahlungsstroms nicht verändert wurde. 1

Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 Max !

4

5=

130.03 .02

6

7 = 1*4 7=1*4+5*6

ZinsMarktwert S Zins- S Marktwert S S Zahlungsstrom S faktor quotient [Euro) [Euro) [Euro) 0,00 V 1,D700 U 0,00 N 271 .007, 14 N 255.667,11 V 1,0600 U -238.120,61 V 1,0250 U 0,00 I 0 ,0350 U -244.073,63 N -13.656,69 N -13.656 ,69 V 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) 3.889,8 1 3.889,8 1 Z : ß = 2) Kapitalwert 30 .09.00 [Euro)

Abb. 4.53: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) Folglich wird sowohl für den Original-Zahlungsstrom als auch für den gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro berechnet. 236 Um die Grundlage für einen Qualitätsvergleich zwischen den einzelnen MappingVerfahren zu schaffen, wird abschließend noch eine Messung des Zinsänderungsrisikos als Kapitalwertschwankung durchgeführt. Abb. 4.54 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung des Gegenwart-Kapitalwertes der gemappten Zahlungsreihe237 auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 unterstellten Zinsstrukturkurve, die einen Zinsanstieg simuliert.

235Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 236Ygl. Abb. 4.43 auf Seite 147 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.53 Spalte 3. 237ygl. Tab. 4.35.

159

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

4

1 Datum

Marktwert

(Euro) 0,00 30.03 .02 30 .09.01 253.277 ,70 30.03.01 -236 .964 ,69 -13 .656 ,69 30.09.00 2.656,32 2.656,32 Max!

S

V V V V I

5 - 13{).O3 .02

6

7 = 1 *4 7=1*4+5*6

ZinsS Zins- S Zahlungsstrom S Marktwert quotient faktor (Euro) (Euro) 0,00 1 ,0800 U 271 .007,14 1,0700 U -244 .073,63 0,00 I 0,0400 U 1,0300 U -13 .656,69 1,0000 U : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro)

Z :

S

N N N N

ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb. 4.54: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) im Rahmen einer Zinsänderungsrisiko-Messung Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.54 dargestellten Rechenbeispiels einer Zinsänderungsrisiko-Messung ergibt sich für den mit Hilfe der Duration und des quadratischen Polynoms gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 2.656,32 Euro. 238 4.2.1.2.1.1.2.4 Das ApproxE3- und das ApproxE4-Mapping Das ApproxE3- 239 240 bzw. das ApproxE4-Mapping 241 242 teilt eine originale Zahlung in drei Zahlungen

(ApproxE3-Mapping) bzw. vier Zahlungen (ApproxE4-Mapping) zu beliebigen Zeitpunkten auf, wobei gilt: 243 • Gleicher Barwert: Barwert der Originalzahlung = Barwert der ersten gemappten Zahlung + Barwert der zweiten gemappten Zahlung + Barwert der dritten gemappten Zahlung • Gleiche Duration: Barwert * modifizierte Duration244 der Originalzahlung = Barwert

* modifizierte

Duration der ersten gemappten Zahlung + Barwert * modifizierte Duration der zweiten gemappten Zahlung + Barwert * modifizierte Duration der dritten gemappten Zahlung

• Gleiche Exponentialfunktion: Barwert * Exponentialfunktion245 der Originalzahlung = Barwert * Exponentialfunktion der ersten gemappten Zahlung + Barwert * Exponentialfunktion 238Vgl. Abb. 4.54 Spalte 3. 239Das ApproxE3-Mapping ist eingetragenes Warenzeichen der Firma Gillardon, Bretten. 240Vgl. [58, Kapitel 5 S. 5 ff.] 241Das ApproxE4-Mapping ist eingetragenes Warenzeichen der Firma Gillardon, Bretten. 242Vgl. [58, Kapitel 5 S. 11 ff.] 243Im folgenden wird nur das ApproxE3-Mapping betrachtet, da für das ApproxE4-Mapping bis auf eine zusätzliche Zahlung die analogen Ausführungen gelten. 244Vgl. Kapitel 3.3.1.2.3 auf Seite 34. 245Die Prämisse "gleiche Exponentialfunktion" unterstellt einen speziellen Kursverlauf der Zinsstrukturkurve. Beim ApproxE3-Mapping wird in Abhängigkeit von dem Zinstagequotienten J:~~::~!:iS folgende Zinsstrukturkurve unterstellt: Zinsjaktor

=

f kt Tagesgeldzins + ZinsauJschlag * ( Zinstage . )K" rummungs a or JahresbaslS

160

Gesamtergebnisrechnung

der zweiten gemappten Zahlung gemappten Zahlung

+

Barwert

* Exponentialfunktion

der dritten

Bei Anwendung des ApproxE3-Mappings ist zu entscheiden, welche Zahlung eines Original-Zahlungsstroms auf welche Zeitpunkte gemappt werden soll. Wird analog zum Convex3-Mapping246 auf Basis des in Tab. 4.29 auf Seite 147 dargestellten Zahlungsstroms festgelegt, daß die Zahlung von 92.545,50 Euro am 30.03.02 auf die Zahlungszeitpunkte 30.09.00,30.03.01 und 30.09.01 gemappt werden soll, so ergibt sich folgende teilweise noch unbekannte gemappte Zahlungsstruktur, dargestellt in Tab. 4.36. Datum

Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Gemappter Zahlungsstrom ? Euro ? Euro ? Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.36: Gemappter noch unbekannter Zahlungsstrom Die gesuchten Rechengrößen - die gemappten Zahlungen am 30.09.00, 30.03.01 und 30.09.01 - sind mit Hilfe des ApproxE3-Mappings gemäß Abb. 4.55 auf der nächsten Seite ermittelbar.

(Falls Krümmungsfaktor = 1, dann ist die Zinsstrukturkurve eine Gerade.) Wird dieser Zinsfaktor in die bekannte "Barwertformel" Barwert

"

_(

Zinstage

)

* Zahlung

=

Ztnsfaktor

=

(Tagesgeldzins + Zinsaufschlag * (

Jahresbasi.

eingesetzt Barwert

Zinstage K " " , k " ) rummung'Ja tor)- (Zins.age) Jahresba.i. Jahresbasts

* Zahlung

und partiell nach dem Zinsaufschlag abgeleitet, 8Barwert 8Zinsauf schlag

(Tagesgeldzins + Zinsaufschlag * (

Zinstage K"" " ) rummungsf akt or)- (Zins.age) Jahresbasis Jahresbasts

1

*

_( Zinstage ) * ( Zinstage )Krümmungs!aktor * Zahlung Jahresbasis Jahresbasis 8Barwert 8Zinsauf schlag 8Barwert 8Zinsauf schlag 8Barwert 8Zinsauf schlag

Zinsfaktor-( J;~~::6!:i8 ) Zinsfaktor

8Barwert 8Zinsauf schlag

_ Barwert * _J,,-,a=h,,-,re=s=ba=s,="s_,.......,...____ Zins faktor

* _(

Barwert Zins faktor Barwert Zinsfaktor

* _( (

(

*-

Zinstage Jahresbasis

*

(Zinstage ) Krümmungs!aktor Z hl * a ung Jahresbasis

Zinstage ) * ( Zinstage )Krümmungs/aktor Jahresbasis Jahresbasis Zinstage ) Krümmungs/aktor+l Jahresbasis

Zinstage

Zins tage

) KriLmmungs!aktor+l

) KriLmmungsfaktor+ 1

so umfaßt die Ableitung einen Faktor Tqhr"ba'l~nsfaktor wird. 246Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.7.2.2 auf Seite 152.

'

der als Exponentialfunktion bezeichnet

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 2

1 Datum

Kumulierte Zlnstage

S

I

(Tilge

zu mappen: 30.03 .02 auf:1 30.09001 auf:1 30.03.01 1 auf:1 30.09.01 1

540,00 P

Zahlung

0,001P ·95.000,00 B 8.000,00 U 180,001P 360,001P 8.000,00 U

Modififizierte S Datum Duration

...

zu mappen: 30 .03.02 auf:1 30.09.001 auf:1 30.03.01 1 auf:1 30.09.01 1

3 S

(Euro) 92 .545,50 U

8-1 / 5/1

1,4010 1 0,0000 11 0,4759 11 0,9434 11

Differenz (15

= 14 . 13)

9 Krüm· mungs· faktor

161

Eins

S

4

5

Hundert

S JahresbasIs S

IT_I 1 P

100 P

360,00 P

1 PI 1 PI 1 PI

1001P I 1001P I 100I PI

360,001PI 360,001PI 360,001PI

10 = (1 / 5) A (3 +9) / 1

12 - 11/1 A (1 / 5)

11 11 - 2

S Exponential. S Zahlungs. funktion mapping

S

1 - 3+6 / 4

6

Darwert

S

[Eurol lEurol 92 .545,50 1 83.537,77 1 ·0,00021 U 1,4009 1 L Darwert 30.03.02 [Euro): 13 83.537,77 1 30756,33 1 ·0,00021) U I 0,00001 11 30756,331V ·143.840,60 1 0,47601 11 ·147.436,61 1V ·0,00021) U I 196.622,03 1 0,94341 11 208.419,361 V ·0,00021 1U I L Darwert 30.09.00 bis 30.09.01 [Euro) : 14 83.537,77 1 bzw. (19 = 18 . 11) bzw. (23 = 22 . 21) [Euro) : 15 0,00 Z

Nullkupon. S Zins p.iI. [%1 7,07 U 0,001U 5,061U 6,001 U

Nullkupon. Zinsfaktor

1,0707 1 1,0000 11 1,0506 11 1,0600 U

16 - 8 ' 12

20 = 10 ' 12

Duration· Darwert· Produkt IEurol 117.037,71 11 117.037,71 0,00 ·68.454,77 185.492,49 18 117.037,71 0,00 19

Exponential. Darwert· Produkt (Eurol 117.027,75 21 117.027,75 0,00 ·68.464,74 185.492,49 22 117.027,75 0,00 23

S

1 1 1 1 1 1

N

S

S 1 1 1 1 1 1

N

Abb. 4.55: ApproxE3-Mapping Das Gleichungsmodell des ApproxE3-Mappings gemäß Abb. 4.55 umfaßt als Zielformulierung zum einen die Prämisse "Gleicher Barwert" , zum anderen als Nebenbedingungen die Prämissen "Gleiche Duration" und "Gleiche Exponentialfunktion", wobei die gesuchten gemappten Zahlungen als Entscheidungsvariablen fungieren. 247 Die im Gleichungsmodell des ApproxE3-Mappings explizit enthaltene modifizierte Duration 248 sowie die explizit enthaltene Exponentialfunktion249 basiert auf Nullkupon-Zinsen25o , die aus der unterstellten Nominal-Zinsstrukturkurve abgeleitet werden können. 251 Zusätzlich ist für die Bestimmung der Exponentialfunktion ein Krümmungsfaktor empirisch zu schätzen. 252 Im Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 4.55 ist am 30.09.00 eine gemappte Zahlung von 30.756,33 Euro, am 30.03.01 eine gemappte Zahlung von -147.436,61 Euro sowie am 30.09.01 eine gemappte Zahlung von 208.419,36 Euro berechnet worden,253 so daß sich aus dem Original-Zahlungsstrom der folgende gemappte Zahlungsstrom, dargestellt in Tab. 4.37 auf der nächsten Seite, ableiten läßt.

247Vgl. 248Vgl. 249Vgl. 250Vgl. 251Vgl. 252Vgl. 253Vgl.

Abb. 4.55 Spalten 11, 15, 19, 23. Abb. 4.55 Spalte 8. Abb. 4.55 Spalte 10. Abb. 4.55 Spalte 6. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.55 Spalte 9. Abb. 4.55 Spalte 11.

162

Gesamtergebnisrechnung

Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

2 ApproxE3Mapping 30.756,33 Euro -147.436,61 Euro 208.419,36 Euro -92.545,50 Euro

3=1+2 Gemappter Zahlungsstrom -64.243,67 Euro -139.436,01 Euro 216.419,36 Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.37: Gemappter Zahlungsstrom Wird anschließend der Gegenwart-Kapitalwert auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 verwendeten Zinsstruktur für den gemappten Zahlungsstrom mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung254 gemäß Abb. 4.56 berechnet, so ist festzustellen, daß durch das ApproxE3-Mapping der Kapitalwert des originalen Zahlungsstroms nicht verändert wurde. 1 Datum

Marktwert

4

5 = 130.03.02

S Zins· S Marktwert S

(Euro)

30.03.02 0,00 V 30.09.01 204.169,20 V 30.03.01 -136.035,72 V 30.09.00 -64.243,67 V 3.889,81 I Max ! 3.889,81 Z

faktor

(Euro)

6

1 ~ 1 *4 1=1 * 4.5*6

Zins· S Zahlungsstrom S quotient (Euro)

1,0700 U 1,0600 U 1,0250 U 0,00 I 0,0350 U 1,0000 U : (2) 2: Marktwert 30.09.00 [Euro) : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

0,00 216.419,36 -139 .436,61 -64 .243,67

N N N N

Abb. 4.56: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) Folglich wird sowohl für den Original-Zahlungsstrom als auch für den gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro berechnet. 255 Um die Grundlage für einen Qualitätsvergleich zwischen den einzelnen MappingVerfahren zu schaffen, wird abschließend noch eine Messung des Zinsänderungsrisikos als Kapitalwertschwankung durchgeführt. Abb. 4.57 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung des Gegenwart-Kapitalwertes der gemappten Zahlungsreihe256 auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 unterstellten Zinsstrukturkurve, die einen Zinsanstieg simuliert.

254Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 255Vgl. Abb. 4.43 auf Seite 147 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.56 Spalte 3. 256Vgl. Tab. 4.37.

163

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

1 Datum

Marktwert (Euro(

0,00 30.03.02 30.09.01 202 .261,08 30.03.01 -135.375,35 30.09.00 -64.243,67 2.642,06 Max! 2.642,06

4

5 - 130.03.02

6

1 = 1 "' 4 1=1"'4+5"'6

S Zins- S Marktwert S Zins- S Zahlungsstrom S quotient faktor (Euro) (Euro( 0,00 N V 1,0800 U 216.419,36 N V 1,0700 U 0,00 I 0,0400 U -139.436,61 N V 1,0300 U -64.243,67 N V 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro] Z : ß = 2) Kapitalwert 30,09.00 [Euro]

Abb. 4.57: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) im Rahmen einer Zinsänderungsrisiko-Messung Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.57 dargestellten Rechenbeispiels einer Zinsänderungsrisiko-Messung ergibt sich für den mit Hilfe der Duration und der Exponentialfunktion gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 2,642,06 Euro. 257 4.2.1.2.1.7.3 Das Mapping mit Terminzinsen Das Mapping mit Terminzinsen zinst eine Zahlung mit Hilfe von Terminzinsen258 arbitragefrei auf einen anderen Zahlungszeitpunkt auf oder ab. 259 Demnach ist zu entscheiden, welche Zahlung auf welchem Zahlungszeitpunkt auf- oder abgezinst wird. Wird beispielsweise auf Basis des in Tab. 4.29 auf Seite 147 dargestellten Zahlungsstroms festgelegt, daß die Zahlung von 92.545,50 Euro am 30.03.02 auf den Zahlungszeitpunkt 30.09.01 abgezinst (gemappt) werden soll, so ergibt sich folgende teilweise noch unbekannte gemappte Zahlungsstruktur , dargestellt in Tab. 4.38. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92,545,50 Euro

Gemappter Zahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro ? Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.38: Gemappter noch unbekannter Zahlungsstrom Die gesuchte Rechengröße - die gemappte Zahlung am 30,09.01 - ist mit Hilfe des Terminzins-Mappings gemäß Abb. 4.58 auf der nächsten Seite ermittelbar.

257ygl. Abb, 4,57 Spalte 3, 258ygl. Abb. 4.35 auf Seite 138. 259Ygl. [58, Kapitel 9 S. 8 ff.]

164

Gesamtergebnisrechnung 1 Datum

r-r-

2

""T

6=1/ 5 Zahlungsmapping S vom 30.03.02 auf den 30.09.01 (Euro) 1,0451 I 88 .550,03 I

5=2 / 3+4

Hun. Terminzinsfaktor Terminzins S SEins S Zahlung S 30.09.01 ·30.03.02 30.09.01 ·30.03.02 S dert

(Euro) 30 .03.02 92.545,50 U

(%)

4,51 U

100 P

1 P

Abb. 4.58: Mapping mit Terminzinsen Im Rechenbeispiel der Abb. 4.58 wird der Weg der Abzinsung beschritten, um die Zahlung

in Höhe von 92.545,50 Euro am 30.03.02 auf den 30.09.01 zu mappen. 260 Die Abzinsung erfolgt mit Hilfe eines Terminzinses von 4,51%, der heute (30.09.00) für den Zeitraum 30.09.01 bis 30.03.02 gilt. 261 262 Als Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 4.58 ergibt sich am 30.09.01 eine gemappte Zahlung von 88.550,03 Euro,263 so daß sich aus dem Original-Zahlungsstrom der folgende gemappte Zahlungsstrom, dargestellt in Tab. 4.39, ableiten läßt: Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

2 Mapping mit Terminzinsen 0,00 Euro 0,00 Euro 88.550,03 Euro -92.545,50 Euro

3=1+2 Gemappter Zahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 96.550,03 Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.39: Gemappter Zahlungsstrom Wird anschließend der Gegenwart-Kapitalwert auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 verwendeten Zinsstruktur für den gemappten Zahlungsstrom mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung264 gemäß Abb. 4.59 auf der nächsten Seite berechnet, so ist festzustellen, daß durch das Terminzins-Mapping der Kapitalwert des originalen Zahlungsstroms nicht verändert wurde.

260Vgl. 261 Vgl. 262Vgl. 263Vgl. 264Vgl.

Abb. 4.58 Spalten 1, 6. Abb. 4.58 Spalten 2, 5. Abb. 4.35 auf Seite 138 sowie Abb. 4.36 auf Seite 139. Abb. 4.58 Spalte 6. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

165

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

1 Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 Max!

4

Marktwert S (Euro) 0,00 91 .084,93 7.804,88 -95.000,00 3.889,81 3.889,81

V V V B I Z

5 - 13(1.0302

6

7= 1* 4 7-1*4+5*6

ZlnsZlnsS Marktwert S S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) (Euro) 1,0700 U 0,00 N 96.550,03 N 1,0600 U 1,0250 U 0,00 I 0,0350 U 8.000,00 N -95.000,00 N 1,0000 U : (2) 2 Marktwert 30.09.00 [Euro) : (3 = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb. 4.59: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche 'franchen) Folglich wird sowohl für den Original-Zahlungsstrom als auch für den gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro berechnet. 265 Um die Grundlage für einen Qualitätsvergleich zwischen den einzelnen MappingVerfahren zu schaffen, wird abschließend noch eine Messung des Zinsänderungsrisikos als Kapitalwertschwankung durchgeführt. Abb. 4.60 zeigt die Berechnung des GegenwartKapitalwertes der gemappten Zahlungsreihe266 auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 unterstellten Zinsstrukturkurve, die einen Zinsanstieg simuliert. 1 Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 Max!

Marktwert (Euro) 0,00 90.233,67 7.766,99 -95.000,00 3.000,66 3.000,66

4

5 - 130.0302

6

7 =1* 4 7-1*4+5*6

S Zins- S Marktwert S Zlns- S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) [Eurol 0,00 N V 1,0800 U 96.550,03 N V 1,0700 U 0,00 I 0,0400 U 8.000,00 N V 1,0300 U -95.000,00 N B 1,0000 U I : (2) 2 Marktwert 30.09 .00 [Euro) Z : (3 = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb. 4.60: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche 'franchen) im Rahmen einer Zinsänderungsrisiko-Messung Als Bewertungsergebnis des in Abb, 4.60 dargestellten Rechenbeispiels einer Zinsänderungsrisiko-Messung ergibt sich für den mit Hilfe eines Terminzinses gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.000,66 Euro. 267 4.2.1.2.1.7.4 Das Mapping nach JPMorgan Das Mapping nach JPMorgan 268

269

teilt analog zum Duration-Mapping270 eine originale Zahlung in zwei Zahlungen zu beliebigen Zeitpunkten auf, wobei gilt: 265Vgl. 266Vgl. 267Vgl. 268Vgl. 269Vgl. 270Vgl.

Abb. 4.43 auf Seite 147 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.59 Spalte 3. Tab. 4.39 auf der vorherigen Seite. Abb. 4.60 Spalte 3. [58, Kapitel 6 S. 1 ff.] Internetseite: www.jpmorgan.com Kapitel 4.2.1.2.1.7.2.1 auf Seite 149.

Gesamtergebnisrechnung

166

• Gleicher Barwert: Barwert der Originalzahlung = Barwert der ersten gemappten Zahlung der zweiten gemappten Zahlung

+ Barwert

• Gleicher Konfidenzintervallwert des Risikos: Konfidenzintervallwert des Risikos 271 der Originalzahlung = Konfidenzintervallwert

des Risikos der ersten gemappten Zahlung + Konfidenzintervallwert des Risikos der zweiten gemappten Zahlung

• Gleiche Vorzeichen: Vorzeichen der Originalzahlung = Vorzeichen der ersten gemappten Zahlung = Vorzeichen der zweiten gemappten Zahlung Zuerst ist beim Mapping nach JPMorgan zu entscheiden, welche Zahlung eines OriginalZahlungsstroms auf welche Zeitpunkte gemappt werden soll. Wird auf Basis des in Tab. 4.29 auf Seite 147 dargestellten Zahlungsstroms beispielhaft entschieden, daß die Zahlung von 92.545,50 Euro am 30.03.02 auf die Zahlungszeitpunkte 30.03.01 und 30.09.01 gemappt werden soll, so ergibt sich folgende teilweise noch unbekannte gemappte Zahlungsstruktur, dargestellt in Tab. 4.40. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Gemappter Zahlungsstrom -95.000,00 Euro ? Euro ? Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.40: Gemappter noch unbekannter Zahlungsstrom Die gesuchten Rechengrößen - die gemappten Zahlungen am 30.03.01 und 30.09.01 sind mit Hilfe des Mappings nach JPMorgan gemäß Abb. 4.61 auf der nächsten Seite ermittelbar.

271 Vgl.

Kapitel 3.4.3.2 auf Seite 66.

§

oq

>-j

o

'i:1 ~

~

~

g.

oq

S'

'0

~

~

~

O"l

~

0"

> 0"

..

auf: 30.03.01 auf: 30.09.01

zu mappen: 30.03.02

Datum

auf:1 30.03.01 I auf: 30.09.01

zu mappen: 30.03.02

Datum

2

= 9/7 (1/5)

A

(Euro) 83.537,77 83.537 ,77 9.428,65 74.109,12 83.537,77 0,00

BalWert

10

14

8.000 ,001U I 8.000,00 U

(Euro) 92.545,50 U

S

15

Eins

3

11P I 1 P

1 P

S

4*8

= 6 * 15/

S

18

(%)

Nullkupon-Zins

6

5,061U I 6,001U I

7,07 U

S

S

19 = 10 * 14 / 4

1,05061 11 1,06001 11

1,0707 1

Nullkupon. Zinsfaktor

7=3+6 / 4

9 9=2 Zahlungsmapping

20 = 19 * 19

0,47591 11 0,94341 11

30.814 .137,88 2,00 0,95 495,18 5.528,92 6.001,33 6.001,33 0,00

N

1 P U 1 1 1 1

245.202,531 1 30.568.935,35 1

9.664,36Iv 78.555,67 IV

S (Nebenbedingung: S! gleiche Vorzeichen) (Euro) 1,4010 1 92.545,50 1

Modifizierte Duration

8=1 / 5 / 7

Maximaler Symmetrische Intervall· Maximaler S Konfidenzintervall· wahrscheinlichkeit S Konfidenzintervall. S gemäll Tabelle der wert des Risikos wert des Risikos Standardnormalverteilung zum Quadrat (Euro)2 (Euro) ('Mo) 68,27 P 19a 6.001,33 1 1,00 Z

17 = (14 . 6) / 16

360,001P 360,00 P

(Tage) 360,00 P

Jahres· basis

5

Standard· S normalverteilte S Zufallsvariable

100l PI 100 P

Kurs. volatilität 180 Tage

16

S

100 P

Hundert

4

(%) (%) ('Mo) 1 7,18 V 1,20 U 0,1187813 1 1 : (11) L Barwert 30.03.02 [Euro) 0, 1893514 1 68,27 P 19b 495,18 1 1 1 7,86 U 5 ,25 V 1,00 Z! 1,00 Z 68,27 P 19c 5.528,92 1 1,4599594 1 25,791U 1 7 ,461V I 1 : (12) L Barwert 30.03 .01 bis 30.09.01 [Euro) L Maximaler Konfidenzintervailwert des Risikos zum Quadrat [Eurof (21): Z : (13 = 12 . 11 ) Differenz [Euro) Zwei.Anlag e.Fali (22): Korrelationskoffizient (23): Maximaler Konfidenzintervallwert des Risikos 30.03.01 [Euro) (24 = 19b): Maximaler Konfidenzintervallwert des Risikos 30.09.01 [Euro) (25 = 19c): Maximaler Konfidenzintervallwert des Risikos 30.03.01 und 30.09.01 [Euro) (26 = WURZEL(21 + 22 * 23 * 24 * 25)): Ma x im aler Konfidenzintervallwert des Risikos 30.03.02 [Euro) (27 = 19a): Differen z [Euro) (28 = 27 . 26):

Zins· S Maximal· S volatilität S rendite 180 Tage

180,001P I 360,00 P

540,00 P

lTage)

Kumulierte S Zahlung Zinstage

1

~

~ ~

~

C1Cl

=

a

~

g.

""'l

0'"

.... = rn

~

""'l

~

rn

~

~:

g.

rn

~

aq

~

N

=

trj

....

I:.:)

Gesamtergebnisrechnung

168

Das in Abb. 4.61 auf der vorherigen Seite dargestellte Gleichungsmodell des Mappings nach JPMorgan beinhaltet als Zielformulierung zum einen die Prämisse "Gleicher Barwert" , zum anderen als Nebenbedingungen die Prämissen "Gleicher Konfidenzintervallwert des Risikos" und "Gleiche Vorzeichen", wobei die gesuchten gemappten Zahlungen als Entscheidungsvariablen fungieren. 272 Die gesuchten gemappten Zahlungen sind in einem zweistufigen Rechenverfahren zu bestimmen. Zunächst wird eine symmetrische Intervallwahrscheinlichkeit (68,27%) festgelegt,273 deren zugehörige standardnormalverteilte Zufallsvariable (1,00) jedem Lehrbuch der Statistik entnommen werden kann,274 275 und die Maximalrendite im Rahmen einer 1:1Zielwertanalyse bestimmt, die bei unterstellter Intervallwahrscheinlichkeit zu erwarten ist. 276 Grundlagen der standardnormalverteilten Zufallsvariable sind zum einen die zu bestimmende Maximalrendite und der zu erwartendende Nullkupon-Zins, zum anderen eine Kursvolatilität, die sich wiederum aus einer empirisch geschätzten Zinsvolatilität errechnen läßt. 277 Anschließend werden die gemappten Zahlungen iterativ unter Beachtung der bekannten Prämissen bestimmt. Als Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 4.61 auf der vorherigen Seite ist am 30.03.01 eine gemappte Zahlung von 9.664,36 Euro sowie am 30.09.01 eine gemappte Zahlung von 78.555,67 Euro berechnet worden,278 so daß sich aus dem Original-Zahlungsstrom der folgende gemappte Zahlungsstrom, dargestellt in Tab. 4.41, ableiten läßt. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Originalzahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

2 Mapping nach JPMorgan 0,00 Euro 9.664,36 Euro 78.555,67 Euro -92.545,50 Euro

3=1+2 Gemappter Zahlungsstrom -95.000,00 Euro 17.664,36 Euro 86.555,67 Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.41: Gemappter Zahlungsstrom Wird anschließend der Gegenwart-Kapitalwert auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 verwendeten Zinsstruktur für den gemappten Zahlungsstrom mit Hilfe

der strukturkongruenten Refinanzierung279 gemäß Abb. 4.62 auf der nächsten Seite berechnet, so ist festzustellen, daß durch das Mapping nach JPMorgan der Kapitalwert des originalen Zahlungsstroms nicl!t. verändert wurde. 272Vgl. 273Vgl. 274Vgl. 275Vgl. 276Vgl. 277Vgl. 278Vgl. 279Vgl.

Abb. 4.61 auf der vorherigen Seite Abb. 4.61 auf der vorherigen Seite Abb. 4.61 auf der vorherigen Seite [34, S. 197J Abb. 4.61 auf der vorherigen Seite Abb. 4.61 auf der vorherigen Seite Abb. 4.61 auf der vorherigen Seite Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

Spalten 9, 13, 28. Spalte 18. Spalte 17. Spalte 14. Spalten 6, 14 bis 16. Spalte 9.

169

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

1 Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 Max!

-

4

5 = 1300302

6

1-1 *4 1=1*4+5*6

S ZinsS Marktwert S Z1ns- S Zahlungsstrom S quotient faktor [Euro) (Euro) [Euro) 0,00 N 0,00 V 1,0700 U 86.555,67 N 81 .656,29 V 1,0600 U 17.664,36 N 0,0350 U 0,00 I 17.233,52 V 1,0250 U

Marktwert

-95.000,00 N

-95.000,00 B 1,0000 U 3.889,81 I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro] 3.889,81 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro]

Abb. 4.62: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) Folglich wird sowohl für den Original-Zahlungsstrom als auch für den gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro berechnet. 28o Um die Grundlage für einen Qualitätsvergleich zwischen den einzelnen MappingVerfahren zu schaffen, wird abschließend noch eine Messung des Zinsänderungsrisikos als Kapitalwertschwankung durchgeführt. Abb. 4.63 zeigt die Berechnung des GegenwartKapitalwertes der gemappten Zahlungsreihe281 auf Basis der in Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147 unterstellten Zinsstrukturkurve, die einen Zinsanstieg simuliert. 1 Datum

4

5 = 130.0302

6

1-1 "4 1-1*4+5*6

S ZinsS Marktwert S Z1ns- S Zahlungsstrom S quotient faktor (Euro) (Euro) 0,00 N 0,00 V 1,0800 U 86.555,67 N 80.893,15 V 1,0700 U 17.664,36 N 0,0400 U 0,00 I 17.149,86 V 1,0300 U

Marktwert (Euro)

30.03.02 30.09 .01 30.03.01 30.09.00 Max!

-95.000,00 B 1,0000 U 3.043,01 I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro] 3.043,01 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro]

-95.000,00 N

Abb. 4.63: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) im Rahmen einer Zinsänderungsrisiko-Messung Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.63 dargestellten Rechenbeispiels einer Zinsänderungsrisiko-Messung ergibt sich für den mit Hilfe des Konfidenzintervallwertes des Risikos gemappten Zahlungsstrom ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.043,01 Euro. 282 4.2.1.2.1.7.5 Zusammenfassung und kritische Würdigung der verschiedenen Mapping-Verfahren Zusammenfassend werden die in den Kapiteln 4.2.1.2.1.7.2 auf Seite 148, 4.2.1.2.1.7.3 auf Seite 163 und 4.2.1.2.1.7.4 auf Seite 165 ermittelten Ergebnisse der verschiedenen Mapping-Verfahren noch einmal übersichtlich in Tab. 4.42 auf der nächsten Seite dargestellt: 280Vgl. Abb. 4.43 auf Seite 147 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.62 Spalte 3. 281 V gl. Tab. 4.41 auf der vorherigen Seite. 282Vgl. Abb. 4.63 Spalte 3.

Gesamtergebnisrechnung

170

Mapping-Verfahren kein Mapping Duration-Mapping Convex3-Mapping ApproxP3-Mapping ApproxE3-Mapping Mapping mit Terminzinsen Mapping nach JPMorgan

1 GegenwartsKapitalwert 3.889,81 3.889,81 3.889,81 3.889,81 3.889,81 3.889,81 3.889,81

Euro Euro Euro Euro Euro Euro Euro

2 GegenwartsKapitalwert Zinsanstieg 2.606,13 Euro 2.633,38 Euro 2.655,51 Euro 2.656,32 Euro 2.642,06 Euro 3.000,66 Euro 3.043,01 Euro

3 Mappingrisiko 0,00 Euro 27,25 Euro 49,38 Euro 50,19 Euro 35,93 Euro 394,53 Euro 436,88 Euro

Tabelle 4.42: Ergebnisvergleich der verschiedenen Mapping-Verfahren Es bleibt festzuhalten, daß sämtliche Mapping-Verfahren zu gemappten Zahlungsströmen führen, die bei Anwendung der strukturkongruenten Refinanzierung den GegenwartKapitalwert von 3.889,81 Euro des originalen Zahlungsstroms nicht verändern. Somit wird die marktwertige Vorteilhaftigkeit eines originalen Zahlungsstroms durch die Anwendung der Mapping-Verfahren nicht verzerrt. 283 Dagegen weisen sämtliche Mapping-Verfahren ein Zinsänderungsrisiko auf, da unterstellte "kleine" Änderungen der Geld-/Kapitalmarktzinsen zum Gegenwartzeitpunkt (Simulationsrechnung) im originalen Zahlungsstrom und im gemappten Zahlungsstrom zu unterschiedlichen Gegenwart-Kapitalwerten führen. Die Höhe dieser zinsänderungsbedingten Kapitalwertabweichung ist ein Maßstab für die Qualität der einzelnen Mapping-Verfahren und wird vom Verfasser als Mapping-Risiko bezeichnet. Demnach wäre das Duration-Mapping mit lediglich einem Mapping-Risiko von 27,25 Euro allen anderen Mapping-Verfahren qualitativ überlegen. 284 Doch diese Aussage ist nicht haltbar, wenn man bedenkt, daß die Mapping-Risiken der dargestellten Mapping-Verfahren lediglich auf einem Zinsänderungsszenario - genauer einem Zinsanstieg - aufbauen. 285 Dr. Christian Sievi, freier Wirtschaftsmathematiker und Vorstand der GILLARDON AG financial software286 , hat das Mapping-Risiko für verschiedenste Mapping-Verfahren auf Basis umfangreicher Zins-Grenzszenarien von 1985/1 bis 1996/12287 sowie normaler Zinsänderungen288 detailliert untersucht. Als Ergebnis seiner Untersuchungen hat Sievi u.a. festgestellt, daß das

283Vgl. 284Vgl. 285Vgl. 286Vgl. 28 7 Vgl. 288Vgl.

Tab. 4.42 Spalte 1. Tab. 4.42 Spalte 3. Kapitel 4.2.1.2.1.7.1 auf Seite 147. Internetseite: www.gillardon.de [58, Kapitel 7 S. 3] [112]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

171

• Convex3-Mapping bei empirisch ermittelten Zins-Grenzszenarien um den Faktor 10 bis 100 besser ist als das Mapping nach JPMorgan oder das Duration-Mapping. • Duration-Mapping und das Mapping mit Terminzinsen fast identische MappingRisiken aufweisen. • Mapping nach JPMorgan ein etwas geringes Mapping-Risiko aufweist als das Duration-Mapping. • ApproxP3- und das ApproxE3-Mapping nur bei speziellen Kursverläufen der Zinsstrukturkurve eine merkliche Qualitätsverbesserung gegenüber dem Convex3Mapping aufweisen. Abschließend bleibt festzuhalten, daß das Mapping-Verfahren nach JPMorgan gegenüber den anderen Mapping-Verfahren zwei wesentliche Schwächen aufweist: Einerseits führt die Anwendung des JPMorgan-Mapping-Verfahrens zu "stochastisch verseuchten" Modellen, andererseits ist keinesfalls gewährleistet, daß bei Anwendung des JPMorgan-Verfahrens eine eindeutige Lösung existiert, die den geforderten Prämissen ("Gleicher Barwert" , "Gleicher Konfidenzintervallwert des Risikos", "Gleiche Vorzeichen") entspricht. 4.2.1.2.1.8 Kalkulation von

Leistungsstörungen Bei dem in Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111 dargestellten Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung eines Zahlungsstroms wurde stillschweigend unterstellt, daß sich der Zahlungsstrom bis zum Ende der Zinsbindung oder Haltedauer nicht verändert. Für festzinsvereinbarte Kunden-Zahlungsströme ist es aber in der Praxis nicht untypisch, daß nachträglich gegen die ursprünglich vertraglich festgelegten Nominalkonditionen289 einer Kunden-

Zahlungsreihe auf Kundenwunsch verstoßen wird. "Solche nachträglichen Änderungen einer ursprünglich fest vereinbarten Zahlungsreihe werden im folgenden als Leistungsstörungen bezeichnet." 290 Hierzu zählen beispielsweise folgende Sachverhalte:

• Vorzeitige Voll- oder Teilrückzahlung eines laufenden Darlehens • Nichtabnahme eines Darlehens • Erhöhung oder Minderung der Zins-/ Tilgungszahlung • Voll- oder Teilablösung eines laufenden Darlehens durch ein neues Darlehen • Kündigung eines Sparbriefes • Vorzeitige Prolongation eines Termingeldes Sämtliche denkbaren Leistungsstörungen basieren auf einem (einzigen) grundlegenden Merkmal: 289Vgl. Kapitel 3.6 auf Seite 74. 290 V gl. [92, S. 203]

Gesamtergebnisrechnung

172

"Ein bestehender, sprich vertraglich vereinbarter (Anmerkung des Verfassers: "alter") Zahlungsstrom wird durch einen anderen (Anmerkung des Verfassers: "neuen ") Zahlungsstrom ersetzt. 11291

Die Bewertung von Leistungsstörungen basiert demnach auf zwei Teilschritten: Zunächst wird der Kapitalwert "alt" des alten Kunden-Zahlungsstroms, anschließend der Kapitalwert "neu" des neuen Zahlungsstroms mit Hilfe des Verfahrens der strukturkongruenten Refinanzierung292 ermittelt. Die Differenz zwischen dem Kapitalwert "neu" und dem Kapitalwert "alt" des Kunden-Zahlungsstroms entspricht dem Kapitalwert der Leistungsstörung. Alternativ kann aber auch der Differenz-Zahlungsstrom (Zahlungsstrom "neu" minus Zahlungsstrom "alt") bewertet werden. Abb. 4.64 zeigt beide Möglichkeiten einer Leistungsbewertung. Leistungsstörungen "Grundprinzipien"

Bewertung des "alten" und "neuen" Zahlungsstroms

Bewertung des Differenz-Zahlungsstroms

Abb. 4.64: Grundprinzipen der Kalkulation von Leistungsstörungen Im folgenden Kapitel 4.2.1.2.1.8.1 werden zunächst anhand eines beispielhaften Kunden-Zahlungsstroms die Grundprinzipien der Kalkulation von Leistungsstörungen erläutert, bevor im anschließenden Kapitel 4.2.1.2.1.8.2 auf Seite 179 vier ausgewählte Sonderkonstellationen von Leistungsstörungen finanzmathematisch diskutiert werden. 4.2.1.2.1.8.1 Grundprinzipien der Kalkulation von Leistungsstörungen Zum

grundlegenden Verständnis der Grundprinzipien zur Kalkulation von Leistungsstörungen wird zunächst ein Kunden-Darlehen unterstellt, dessen Nominalkonditionen293 in den in Tab. 4.43 dargestellten Zahlungsstrom überführt werden können. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Tabelle 4.43: Kunden-Zahlungsstrom

291 Ygl. [109, S. 160] 292Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 293Ygl. Kapitel 3.6 auf Seite 74.

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

173

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Der in Tab. 4.43 auf der vorherigen Seite vorliegende Kunden-Zahlungsstrom wird anschließend gemäß Abb. 4.65 mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung bewertet. Eine Leistungsstörung ist am 30.09.00 noch nicht vorhersehbar. Am Geld-jKapitalmarkt möge am 30.09.00 eine normale Nominal-Zinsstruktur vorliegen, d. h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als 1-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%, für 1-Jahres-Geld 6,00% und für 1~-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld- jKapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld- jKapitalanlage. 1 Datum

300302 30.09.01 30 .03 .01 30 .09 .00 Max!

4

5 = 130.03.02

6

1= 1*4 1=1*4+5*6

S Zins· S Zahlungsstrom S Marktwert S Zins· S Marktwert quotient faktor (Euro) (Euro) (Euro) 92.545,50 N 86 .491 ,12 V 1,0700 U 8.000,00 N 7.547,17 V 1,0600 U 8.000,00 N 0,0350 U 4.851,52 V 1,0250 U 86.491,12 I -95 .000,00 N -95.000,00 B 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) 3.889,81 3.889,81 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb. 4.65: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes vor Leistungsstörung Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.65 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro. 294 Am 30.03.01 wünscht der Kunde überraschend eine Vollrückzahlung des Darlehens und bittet das Finanz-jKreditinstitut um Nennung des Rückzahlungsbetrages. Als Zahlungsstrom läßt sich dieser Kundenwunsch gemäß Tab. 4.44 wie folgt quantifizieren: Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung ? Euro -8.000,00 Euro -92.545,50 Euro

Tabelle 4.44: Noch unbekannter Kunden-Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung Die gesuchte Rechengröße - der Rückzahlungsbetrag am 30.03.01 - läßt sich wiederum mit Hilfe der strukturkongruenten Refianzierung gemäß Abb. 4.66 auf der nächsten Seite ermitteln. Am Geld-jKapitalmarkt ist für den Zeitraum 30.09.00 bis 30.03.01 ein leichter Zinsanstieg zu beobachten, wobei für ~-Jahres-Geld jetzt 6,00% und für 1-Jahres-Geld jetzt 6,50% gezahlt werden.

294Vgl. Abb. 4.65 Spalte 3.

174

Gesamtergebnisrechnung 1 Datum

4

Marktwert S (Euro)

30.03.02 -86.897 ,18 30.09.01 -7 .766,99 30.03.01 94 .664,17 0,00 0,00

5 = 1"'4

ZinsS Zahlungsstrom S faktor (Euro)

1,0650 U -92.545,50 N 1,0300 U -8.000,00 N 1,0000 U 94 .664,1 7 Z Max! : (2) L Marktwert 30.03.01 [Eur 0) N : ß = 2) Kapitalwert 30.03.01 [E uro)

V V V I

Abb. 4.66: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes bei Vollrückzahlung Gemäß Abb. 4.66 fungiert als Zielgröße der strukturkongruenten Refinanzierung der Rück-

zahlungsbetrag des Darlehens295 unter Beachtung der folgenden Nebenbedingungen:

• Kapitalwert als Summe Marktwert der strukturkongruenten Gegengeschäfte entspricht Null. 296 • Zeitpunktspezifische Marktwerte multipliziert mit den zeitpunktspezifischen Zinsfaktoren entsprechen dem Kunden-Zahlungsstrom. 297 Als Entscheidungsvariablen, die so iteriert werden, daß der Rückzahlungsbetrag maximiert wird, fungieren die zeitpunktspezifischen Marktwerte. 298 Im Ergebnis ist dem Kunden ein Rückzahlungsbetrag von 94.664,17 Euro zu nennen,299 damit sich für das Finanz-/Kreditinstitut in Risiko und Ertrag nichts ändert. 30o Nach Kenntnis des Rückzahlungsbetrages von 94.664,17 Euro am 30.03.01 kann der bis dato unbekannte Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung301 gemäß Tab. 4.45 auf der nächsten Seite angegeben werden.

295Vgl.

Abb. 4.66 Spalte 5 am 30.03.0l. Abb. 4.66 Spalte 3. 297V gl. Abb. 4.66 Spalte 5 am 30.03.02 sowie am 30.09.0l. 298V gl. Abb. 4.66 Spalte l. 299Vgl. Abb. 4.66 Spalte 5 am 30.03.0l. 300Der Rückzahlungsbetrag von 94.664,17 Euro ist als "fairer" Rückzahlungsbetrag zu bezeichnen, da sich für das Kredit-/Finanzinstitut der ursprünglich am 30.09.00 vereinnahmte Kapitalwert von 3.889,81 Euro nicht verändert hat (vgl. Abb. 4.65 auf der vorherigen Seite Spalte 3.). Natürlich kann ein Finanz-/Kreditinstitut mit ausreichender Marktmacht Rückzahlungsbeträge verlangen, die den "fairen" Rückzahlungsbetrag übersteigen. 301 Vgl. Tab. 4.44 auf der vorherigen Seite. 296Vgl.

175

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 94.664,17 Euro -8.000,00 Euro -92.545,50 Euro

Tabelle 4.45: Kunden-Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung Der Rückzahlungsbetrag in Höhe von 94.664,17 Euro am 30.03.01 setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: Zum einen aus der Restschuld von 87.000,00 Euro (95.000,00 Euro Auszahlungsbetrag am 30.09.00 minus 8.000,00 Euro erste Rate am 30.03.01), zum anderen aus dem Vorfälligkeitsentgelt/-schaden von 7.664,17 Euro.

Zusätzlich wünscht der Kunde am 30.03.01 folgendes neues Darlehen, welches sofort an die Stelle des Altdarlehens treten soll (Vollablösung). Der aus der Vollablösung resultierende unterstellte neue Zahlungsstrom sowie der aus der Vollrückzahlung resultierende alte Zahiungsstrom302 werden in Tab. 4.46 dargestellt. Datum

Zahlung "alt" 94.664,17 Euro -8.000,00 Euro -92.545,50 Euro

30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung "neu" -94.000,00 Euro 10.000,00 Euro 90.000,00 Euro

Tabelle 4.46: Kunden-Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung und bei Vollablösung Auch der neue aus der Vollablösung resultierende Zahlungsstrom ist strukturkongruent gemäß Abb. 4.67 zu bewerten. 1 Datum

4

5 = 1" 4

Marktwert S Zlns- S Zahlungsstrom S faktor (Ewo] (Euro]

30.03.02 84.507,04 9.708,74 30.09.01 30.03.01 -94 .000,00 215,78 215,78 Max!

90.000,00 N V 1,0650 U 10.000,00 N V 1,0300 U -94.000,00 N B 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.03.01 [Eur 0) Z : (3 = 2) Kapitalwert 30.03.01 [Euro)

Abb. 4.67: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes bei Vollablösung Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.67 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich

am 30.03.01 ein Gegenwart-Kapitalwert von 215,78 Euro. 303 Da der am 30.03.01

bewertete Zahlungsstrom "alt" (Vollrückzahlung) einen Gegenwart-Kapitalwert von Null aufweist,304 entspricht der Gegenwart-Kapitalwert des Zahlungsstroms "neu" (Vollablösung) von 215,78 Euro dem Gegenwart-Kapitalwert der Leistungsstörung 302Vgl.

Tab. 4.45. Abb. 4.67 Spalte 3. 304Vgl. Abb. 4.66 auf der vorherigen Seite Spalte 3. 303Vgl.

176

Gesamtergebnisrechnung

"Ablösung eines noch laufenden Kunden-Zahlungsstroms durch einen neuen KundenZahlungsstrom" . Eine Differenzbildung zwischen dem Kapitalwert des Zahlungsstroms "neu" und dem Kapitalwert "alt" ist also in diesem Fall überflüssig. Im vorliegenden Fall vereinnahmt das Finanz-/Kreditinstitut - trotz Vollablösung sowohl den Gegenwart-Kapitalwert des Kunden-Zahlungsstroms "alt" von 3.889,81 Euro am 30.09.00 als auch den Gegenwart-Kapitalwert des Kunden-Zahlungsstroms "neu" von 215,78 Euro am 30.03.01. 305 Somit ist aus Gründen der Fairness sicherlich angebracht, dem Kunden Kapitalwert aus dem Alt- und/oder Neudarlehen zu erstatten. Folgende Erstattungsmöglichkeiten sind denkbar: • Erstattung des Kapitalwertes des Kunden-Zahlungsstroms "alt". • Erstattung des Kapitalwertes des Kunden-Zahlungsstroms "neu". • Frei gewählte Erstattungshöhe. In dem aufgezeigten Beispielfall liegt der am 30.03.01 vereinnahmte Kapitalwert des Kunden-Zahlungsstroms "neu" von 215,78 Euro306 unter dem am 30.09.00 vereinnahmten Kapitalwert des Kunden-Zahlungsstroms "alt" von 3.889,81 Euro307 • Demnach sollte das Finanz-/Kreditinstitut den Kapitalwert des Kunden-Zahlungsstroms "neu" dem Kunden erstatten. Anstelle der Einzelbewertungen der Kunden-Zahlungsströme "alt" und "neu" kann alternativ auch eine Bewertung des in Tab. 4.47 dagestellten Differenz-Zahlungsstroms vorgenommen werden. Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Zahlung "alt" 94.664,17 Euro -8.000,00 Euro -92.545,50 Euro

2 Zahlung "neu" -94.000,00 Euro 10.000,00 Euro 90.000,00 Euro

3= 2- 1 Zahlung Differenz -188.664,17 Euro 18.000,00 Euro 182.545,50 Euro

Tabelle 4.47: Kunden-Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung und bei Vollablösung sowie Differenz-Zahlungsstrom Die strukturkongruente Bewertung des Differenz-Zahlungsstroms am 30.03.01 zeigt Abb. 4.68 auf der nächsten Seite.

305Vgl. Abb. 4.65 auf Seite 173 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.67 auf der vorherigen Seite Spalte 3. 306Vgl. Abb. 4.67 auf der vorherigen Seite Spalte 3. 307Vgl. Abb. 4.65 auf Seite 173 Spalte 3.

177

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 1 Datum

Marktwert [Euro)

4 5 = 1 *4 S Zins- S Zahlungsstrom S faktor [Euro)

-182 .545 ,50 N 30.03.02 -171.404,23 V 1,0650 U -18 .000,00 N 30.09.01 -17.475,73 V 1.0300 U 188.664,17 N 30.03.01 188.664,17 V 1,0000 U -215,78 I : (2) L Marktwert 30.03.01 [Eur 0) Max! -215,78 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.03.01 [Euro)

Abb. 4.68: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes bei Vollablösung (DifferenzZahlungsstrom) Der in Abb. 4.68 berechnete Gegenwart-Kapitalwert des Differenz-Zahlungsstroms bzw. der Leistungsstörung von 215,78 Euro308 ist identisch mit der Kapitalwert-Differenz der getrennten Bewertung der Kunden-Zahlungsströme "alt" und "neu" .309 Ein genereller Vorteil in der Verwendung eines Differenz-Zahlungsstroms liegt bei denkbarer Nicht-Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-/Kapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-/Kapitalanlage in der Vermeidung von unnötigen Geld-/Briefdifferenzen, die bei getrennter Bewertung der Zahlungsströme "alt" und "neu" auftreten können. Dem steht aber der Nachteil gegenüber, daß ein DifferenzZahlungsstrom fallweise Zahlungen mit wechselndem Vorzeichen beinhalten kann, die eine Berechnung und/oder sinnvolle Interpretation des Ertrags- oder Kostenzinses erschweren oder gar verhindern. 310 Abschließend werden die unterschiedlichen Ergebnisse des unterstellten Beispielfalls einer Leistungsstörung (Vollablösung) noch einmal systematisch in Tab. 4.48 dargestellt. Zahlungskennzeichnung "alt" "alt" "neu" Differenz

Datum 30.09.00 30.03.01 30.03.01 30.03.01

GegenwartsKapitalwert 3.889,81 Euro 0,00 Euro 215,78 Euro 215,78 Euro

Tabelle 4.48: Ergebnisdarstellung Vollablösung Bisher wurde die finanzmathematische Methodik zur Ermittlung des GegenwartKapitalwertes einer Leistungsstörung aufgezeigt. Im folgenden wird nun die Frage beantwortet, wie ein etwaiges Disagio in die Kapitalwertberechnung einer Leistungsstörung einzubeziehen ist. Als Beispielfall wird der aus Tab. 4.43 auf Seite 172 bekannte Kunden-Zahlungsstrom unterstellt und um eine halbjährliche Disagioverteilung311 ergänzt. 308Vgl. 309Vgl. 31OVgl. 311 Vgl.

Abb. 4.68 Spalte 3. Abb. 4.67 auf Seite 175 Spalte 3 minus Abb. 4.66 auf Seite 174 Spalte 3. Kapitel 4.2.1.1.2 auf Seite 102. Kapitel 4.2.1.2.2.4 auf Seite 255.

178

Gesamtergebnisrechnung

Tab. 4.49 zeigt den Kunden-Zahlungsstrom und die Disagioverteilung. Datum

Zahlung

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

-95.000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

Disagioverteilung 0,00 Euro 1.681,39 Euro 1.667,85 Euro 1.650,76 Euro

Euro Euro Euro Euro

Tabelle 4.49: Zahlungsstrom und Disagioverteilung Auch in diesem Fall wünscht sich der Kunde überraschend am 30.03.01 eine Vollrückzahlung des Darlehens und bittet das Finanz-/Kreditinstitut um Nennung des Rückzahlungsbetrages. Als Zahlungsstrom läßt sich dieser Kundenwunsch gemäß Tab. 4.50 wie folgt quantifizieren: Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung ? Euro -8.000,00 Euro -92.545,50 Euro

Tabelle 4.50: Noch unbekannter Kunden-Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung Die gesuchte Rechengröße - der Rückzahlungsbetrag am 30.03.01 - läßt sich auch in diesem Fall mit Hilfe der strukturkongruenten Refianzierung gemäß Abb. 4.69 ermitteln. Am Geld-/Kapitalmarkt ist für den Zeitraum 30.09.00 bis 30.03.01 ein extrem starker Zinsanstieg zu beobachten, wobei für ~-Jahres-Geld jetzt 12,00% und für I-Jahres-Geld jetzt 20,00% gezahlt werden. 1

Diiltum

4

5= 1*4

Miilrktwert S Zins- S Zahlungsstrom S faktor (Euro) (Euro)

30.03.02 -77 .121,25 30 .09.01 -7.547,17 30.03.01 84.668,42 0,00 0,00

V 1,2000 U -92.545,50 N V 1,0600 U -8.000,00 N V 1,0000 U 84.668,42 Z Miilx! I : (2) L Miilrktwert 30.03.01 [Eur 0] N :

ß=

2) Kiilpitiillwert 30.03 .01 [ Euro]

Abb. 4.69: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes bei Vollrückzahlung Im Ergebnis ist dem Kunden ein Rückzahlungsbetrag von 84.668,42 Euro zu nennen,312 damit sich für das Finanz-/Kreditinstitut in Risiko und Ertrag nichts ändert. Nach Kenntnis des Rückzahlungsbetrages von 84.668,42 Euro am 30.03.01 kann der bis dato unbekannte Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung313 gemäß Tab. 4.51 auf der nächsten Seite angegeben werden. 312Vgl. 313Vgl.

4.69 Spalte 5 am 30.03.01. Tab. 4.50.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

179 Zahlung 84.668,42 Euro -8.000,00 Euro -92.545,50 Euro

Tabelle 4.51: Kunden-Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung Der Rückzahlungsbetrag am 30.03.01 von 84.668,42 Euro ist kleiner als die nominelle Restschuld von 87.000,00 Euro (Auszahlungsbetrag am 30.09.00 von 95.000,00 Euro minus Rate am 30.03.01 von 8.000,00 Euro). Ohne die Pflicht zur Disagioerstattung könnte das Finanz-/Kreditinstitut die nominelle Restschuld vom Kunden verlangen. Die Differenz zum betriebswirtschaftlich fairen Rückzahlungsbetrag könnte dann als Vorfälligkeitsnutzen vom Finanz-/Kreditinstitut vereinnahmt werden. Die gesetzliche Pflicht zur Disagioerstattung sorgt aber dafür, daß dieser Nutzen (teilweise) dem Kunden zufiießt. 314 Im Beispielfall ist demnach das abgegrenzte Disagio von insgesamt 3.318,61 Euro (1.667,85 Euro am 30.09.01 plus 1.650,76 Euro am 30.03.02) zu erstatten,315 so daß der Kunden letztendlich aufgefordert wird, einen Betrag von 83.681,39 Euro (Differenz zwischen nomineller Restschuld von 87.000,00 Euro und Disagioerstattung von 3.318,61 Euro) am 30.03.01 zurückzuzahlen. 4.2.1.2.1.8.2 Sonderkonstellationen der Kalkulation von Leistungsstörungen Die bisherigen Ausführungen zur Thematik Kalkulation von Leistungsstörungen waren

durch relativ einfache außerplanmäßige Ereignisse gekennzeichnet. In den folgenden Kapiteln 4.2.1.2.1.8.2.1 auf der nächsten Seite bis 4.2.1.2.1.8.2.4 auf Seite 188 werden gemäß Abb. 4.70 einige ausgewählte Sonderkonstellationen bei Leistungsstörungen betrachtet. Leistungsstörungen "Sonderkonstellationen"

Rückzahlung auf Termin

Rückzahlung mit Recht auf Sondertilgung

rückzahlung

Stundung von Raten

Abb. 4.70: Sonderkonstellationen bei der Kalkulation von Leistungsstörungen

314Wäre der Rückzahlungsbetrag größer als die nominelle Restschuld, z. B. Rückzahlungsbetrag 94.664,17 Euro und die Restschuld 87.000,00 Euro gemäß Abb. 4.66 auf Seite 174, so hat die Disagioerstattung keinen Einfluß auf den vom Kunden zu zahlenden Betrag, da der effektive Zahlungsstrom die Auswirkung und die Verteilung des Disagios implizit beinhaltet. Vgl. Kapitel 4.2.1.2.2.4 auf Seite 255. 315Vgl. Tab. 4.49 auf der vorherigen Seite.

180

Gesamtergebnisrechnung

Als Beispielfall wird der aus Tab. 4.43 auf Seite 172 bekannte Kunden-Zahlungsstrom unterstellt und zum einen um eine halbjährliche Disagioverteilung316 , zum anderen um den Gegenwart-Kapitalwert 317 ergänzt. Tab. 4.52 zeigt den Kunden-Zahlungsstrom, die Disagioverteilung und den Gegenwart-Kapitalwert. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro Kapitalwert 3.889,81 Euro

30.09.00

Disagioverteilung 0,00 Euro 1.681,39 Euro 1.667,85 Euro 1.650,76 Euro

Tabelle 4.52: Kunden-Zahlungsstrom, Disagioverteilung und Gegenwart-Kapitalwert

4.2.1.2.1.8.2.1 Rückzahlung auf Termin Bei der Sonderkonstellation Rückzahlung

auf Termin 318 wird das Finanz-/Kreditinstitut heute von einem Kunden aufgefordert, einen Rückzahlungsbetrag für einen zukünftigen Rückzahlungstermin, der vor Ende der Zinsbindungsfrist liegt, zu nennen. Bei dieser Rückzahlung auf Termin sind grundsätzlich zwei Auskunftsvarianten des Finanz-/Kreditinstitutes denkbar:

• Unverbindliche Auskunft • Verbindliche Auskunft Bei der Rückzahlung auf Termin mit unverbindlicher Auskunft wird die aktuelle Zinsstruktur einfach auf den zukünftigen Rückzahlungstermin projiziert, d. h. es wird bereits heute der Rückzahlungstermin unterstellt. Beispielsweise fordert am 30.03.01 ein Kunde das Finanz-/Kreditinstitut unverbindlich auf, den vorzeitigen Rückzahlungsbetrag per 30.09.01 zu nennen. Als Zahlungsstrom läßt sich dieser Kundenwunsch wie folgt gemäß Tab. 4.53 quantifizieren. Datum 30.09.01 30.03.02

Zahlung ? Euro -92.545,50 Euro

Tabelle 4.53: Noch unbekannter Kunden-Zahlungsstrom bei unverbindlicher Rückzahlung auf Termin Die gesuchte Rechengröße - der Rückzahlungsbetrag am 30.09.01 -läßt sich mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung gemäß Abb. 4.71 auf der nächsten Seite ermitteln. Dabei wird der heutige Geld-/Kapitalmarktsatz für ~-Jahres-Geld von 6,00% vom 30.03.01 auf den 30.09.01 projiziert, d. h. es wird einfach von einer absolut flachen Zinsstrukturkurve bis zum 30.09.01 ausgegangen. 316Ygl. Kapitel 4.2.1.2.2.4 auf Seite 255. 317ygl. Abb. 4.65 auf Seite 173 Spalte 3. 318Ygl. [66, S. 126 ff.]

181

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

1

--;-

5 = 1 ~4

Datum Marktwert S Zins- S Zahlungsstrom S faktor (Euro) (Euro) -92 .545,50 N 30 .03 .02 -89.850,00 V 1,0300 U 89 .850,00 Z Max! 30 .09 .01 89.850,00 V 1,0000 U 0,00 I : (2) 2: Marktwert 30.09.01 [Eur 0) 0,00 N : (3 = 2) Kapitalwert 30.09.01 [Euro)

Abb. 4.71: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes bei unverbindlicher Rückzahlung auf Termin Im Ergebnis ist dem Kunden ein Rückzahlungsbetrag von 89.850,00 Euro zu nennen,319 damit sich für das Finanz-/Kreditinstitut in Risiko und Ertrag nichts ändert. Nach Kenntnis des Rückzahlungsbetrages von 89.850,00 Euro am 30.09.01 kann der bis dato unbekannte Zahlungsstrom bei unverbindlicher Rückzahlung auf Termin320 gemäß Tab. 4.54 angegeben werden. Datum 30.09.01 30.03.02

Zahlung 89.850,00 Euro -92.545,50 Euro

Tabelle 4.54: Kunden-Zahlungsstrom bei unverbindlicher Rückzahlung auf Termin Bei der Rückzahlung auf Termin mit verbindlicher Auskunft wird bereits heute der Zahlungsstrom mit der aktuellen Zinsstruktur unter der Annahme, daß die zeitliche Differenz bis zum zukünftigen Rückzahlungstermin durch eine zusätzliche Geld-/Kapitalmarktaufnahme geschlossen wird, bewertet. Natürlich sollte der Kunde in diesem Fall das verbindliche Angebot umgehend annehmen, damit die strukturkongruente Refinanzierung auf der aktuellen Zinsstruktur zinsänderungsrisikofrei erfolgen kann. Wünscht der Kunde beispielsweise am 30.03.01 eine verbindliche Aussage des Finanz-/Kreditinstitutes über den vorzeitigen Rückzahlungsbetrag per 30.09.01, so läßt sich folgender Zahlungsstrom, dargestellt in Tab. 4.55, ableiten Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 0,00 Euro ? Euro -92.545,50 Euro

Tabelle 4.55: Noch unbekannter Kunden-Zahlungsstrom bei verbindlicher Rückzahlung auf Termin und mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung gemäß Abb. 4.72 auf der nächsten Seite bewerten. Es wird dabei unterstellt, daß am 30.03.01 am Geld-/Kapitalmarkt für ~-Jahres-Geld 6,00% sowie für 1-Jahres-Geld 6,5% zu zahlen ist. 319Vgl.

320Vgl.

Abb. 4.71 Spalte 5 am 30.09.0l. Tab. 4.53 auf der vorherigen Seite.

182

Gesamtergebnisrechnung 1 Datum

Marktwert

4

5= 1*4

S Zins- S Zahlungsstrom S

(Euro)

faktor

(Euro)

30.03.02 -86.897,18 V 1,0650 U -92.545,50 N 30 .09 .01 86.897,18 V 1,0300 U 89.504,10 Z Max! 30 .03.01 0,00 V 1,0000 U 0,00 N 0,00 I : (2) L Marktwert 30.03.01 [Eur 0) 0,00 N : ß = 2) Kapitalwert 30 .03 .01 [Euro)

Abb. 4.72: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes bei verbindlicher Rückzahlung auf Termin Im Ergebnis ist dem Kunden ein Rückzahlungsbetrag von 89.504,10 Euro zu nennen,321 damit sich für das Finanz-/Kreditinstitut in Risiko und Ertrag nichts ändert. Nach Kenntnis des Rückzahlungsbetrages von 89.504,10 Euro am 30.09.01 kann der bis dato unbekannte Zahlungsstrom bei verbindlicher Rückzahlung auf Termin322 gemäß Tab. 4.56 angegeben werden. Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 0,00 Euro 89.504,10 Euro -92.545,50 Euro

Tabelle 4.56: Kunden-Zahlungsstrom bei verbindlicher Rückzahlung auf Termin Es bleibt anzumerken, daß der Rückzahlungsbetrag bei verbindlicher Rückzahlung auf Termin von 89.504,10 Euro geringer ist als der Rückzahlungsbetrag bei unverbindlicher Rückzahlung auf Termin von 89.850,00 Euro. 323 Die Begründung der Abweichung kann durch die Analyse der strukturkongruenten Refinanzierung laut Abb. 4.72 geklärt werden. 324 Am 30.03.01 erfolgt zunächst eine Geldaufnahme von 86.897,18 Euro für ein halbes Jahr, die durch den Rückzahlungsbetrag des Kunden am 30.09.01 abgelöst wird. Diese Geldaufnahme am 30.03.01 für ein halbes Jahr erfolgt aber mit niedrigeren Zinsen (6,00%) als die Geldanlage (6,50%), so daß für das Finanz-/Kreditinstitut ein Zinsgewinn entsteht, der sich im geringeren verbindlichen Rückzahlungsbetrag niederschlägt.

321 Ygl. 322ygl. 323ygl. 324Ygl.

Abb. 4.72 Spalte 5 am 30.09.0l. Tab. 4.55 auf der vorherigen Seite. Abb. 4.71 auf der vorherigen Seite Spalte 5 im Vergleich zu Abb. 4.72 Spalte 5. Abb. 4.72 Spalten 1, 5.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

183

4.2.1.2.1.8.2.2 Rückzahlung mit Recht auf Sondertilgung Die Sonderkonstel-

lation Rückzahlung mit Recht auf Sondertilgung 325 umfaßt das in den Nominalkonditionen eines Darlehens vereinbarte Recht eines Kunden, bis zu beispielsweise 10,00% jährlich des Nominalbetrages als Sondertilgung einzubringen. Wird dieses Sondertilgungsrecht vom Kunden wahrgenommen, so hat das Finanz-/Kreditinstitut keinen Anspruch auf einen Vorfälligkeitsschaden. Will der Kunde dagegen das Darlehen zu einem bestimmten Zeitpunkt, der vor Ablauf der Zinsbindungsfrist liegt, voll zurückzahlen, so kann das Finanz-/Kreditinstitut Vorfälligkeitsschaden berechnen für den Teil der Rückzahlung, der über den Sondertilgungsbeträgen liegt. Zur korrekten Berechnung des Vorfälligkeitsschadens bzw. des Rückzahlungsbetrages muß demnach ein (fiktiver) Zahlungsstrom aufgestellt werden, der sich bei voller Ausnutzung der Sondertilgungsrechte ergibt. 326 Wird beispielsweise das aus Kapitel 4.2.1.2.1.8.1 auf Seite 172 bekannte Kreditangebot um ein Sondertilgungsrecht am 30.09.01 in Höhe von 20.000,00 Euro ergänzt, so ist ein Kunden-Zahlungsstrom mit Sondertilgungsrecht ableitbar. Dessen Kapitalwert muß dem Kapitalwert des Kunden-Zahlungsstroms ohne Sondertilgungsrecht entsprechen, damit sich für das Finanz-/Kreditinstitut in Ertrag und Risiko zum Bewertungszeitpunkt 30.09.00 nichts ändert. Daraus folgt, daß der Rückzahlungsbetrag des Kunden-Zahlungsstrom mit Sondertilgungsrecht am Ende der Haltedauer (30.03.02) zu bestimmen ist. Tab. 4.57 zeigt diesen Aussagen folgend zum einen den unterstellten Kunden-Zahlungsstrom ohne Berücksichtigung des Sondertilgungsrechtes, zum anderen den teilweise noch unbekannten Kunden-Zahlungsstrom mit Berücksichtigung des Sondertilgungsrechtes. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02 Gegenwart-Kapitalwert

Zahlung ohne Sondertilgungsrecht -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro 3.889,81 Euro

Zahlung mit Sondertilgungsrecht -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 20.000,00 Euro ? Euro 3.889,81 Euro

Tabelle 4.57: Kunden-Zahlungsstrom ohne Sondertilgungsrecht; Kunden-Zahlungsstrom mit Sondertilgungsrecht

noch unbekannter

Die strukturkongruente Bewertung des Kunden-Zahlungsstroms mit Sondertilgungsrecht zeigt Abb. 4.73 auf der nächsten Seite. Dabei möge am Geld-/Kapitalmarkt am 30.09.00 eine normale Nominal-Zinsstruktur vorliegen, d. h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als I-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%, für I-Jahres-Geld 6,00% und für 1~-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden.

325Vgl. [66, S. 134 ff.] 326Bei Sondertilgungsrechten handelt es sich zusätzlich um Optionsrechte, die getrennt vom Kunden-Zahlungsstrom bewertet werden müssen. Vgl. Kapitel 4.2.1.5 auf Seite 348.

184

Gesamtergebnisrechnung

Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld- jKapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld- jKapitalanlage. 1

Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09 .00

-4

5 = 130.03.02

6

7= 1 *4 7=1*4+5*6

ZinsMarktwert S Zins· S Marktwert S S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) (Euro) (Euro) 74.770,13 V 1,0700 U 80.004,04 Z Max! 18.867,92 V 1,0600 U 20.000,00 N 5.251,75 V 1,0250 U 74.770,13 I 0,0350 U 8.000,00 N -95.000,00 B 1,0000 U -95.000,00 N 3.889,81 I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro] 3.889,81 N : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro]

Abb. 4.73: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes unter Berücksichtigung eines Sondertilgungsrechtes Gemäß Abb. 4.73 fungiert als Zielgröße der strukturkongruenten Refinanzierung der Rückzahlungsbetrag des Darlehens327 unter Beachtung der folgenden Nebenbedingungen: • Kapitalwert als Summe Marktwert der strukturkongruenten Gegengeschäfte entspricht Null. 328 • Zeitpunktspezifische Marktwerte multipliziert mit den zeitpunktspezifischen Zinsfaktoren entsprechen dem Kunden-Zahlungsstrom. 329 Als Entscheidungsvariablen, die so iteriert werden, daß der Rückzahlungsbetrag maximiert wird, fungieren die zeitpunktspezifischen Marktwerte. 330 Im Ergebnis ist unter Berücksichtigung des Sondertilgungsrechtes ein Rückzahlungsbetrag von 80.004,04 Euro ermittelt,331 so daß sich für das Finanz-jKreditinstitut in Risiko und Ertrag gegenüber dem Zahlungsstrom ohne Sondertilgungsrecht nichts ändert. Tab. 4.58 auf der nächsten Seite zeigt diesem Ergebnis folgend zum einen den unterstellten Kunden-Zahlungsstrom ohne Berücksichtigung des Sondertilgungsrechtes, zum anderen den nunmehr bekannten Kunden-Zahlungsstrom mit Berücksichtigung des Sondertilgungsrechtes.

327Vgl. 328Vgl. 329Vgl. 330 V gl. 331 V gl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.73 4.73 4.73 4.73 4.73

Spalte 7 am 30.03.02. Spalte 3. Spalte 7 am 30.09.01, am 30.03.01 sowie am 30.09.00. Spalte 1. Spalte 7 am 30.03.02.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02 Gegenwart-Kapitalwert

185

Zahlung ohne Sondertilgungsrecht -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro 3.889,81 Euro

Zahlung mit Sondertilgungsrecht -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 20.000,00 Euro 80.004,04 Euro 3.889,81 Euro

Tabelle 4.58: Kunden-Zahlungsstrom ohne Sondertilgungsrecht; Kunden-Zahlungsstrom mit Sondertilgungsrecht Nach erfolgter Einarbeitung des Sondertilgungsrechts in den Kunden-Zahlungsstrom und anschließender Bewertung kann jetzt für jeden Rückzahlungstermin, der vor dem Haltedauerende liegt, ein vorzeitiger Rückzahlungsbetrag berechnet werden. D. h. der vorzeitige Rückzahlungsbetrag wird so berechnet, als hätte der Kunde von Beginn an das Sondertilgungsrecht des Darlehens in Anspruch genommen. Bittet beispielsweise ein Kunde das Finanz-jKreditinstitut um Nennung des Rückzahlungsbetrages am 30.03.01, so ist folgender Kunden-Zahlungsstrom, dargestellt in Tab. 4.59, vorerst ableitbar. Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung ? Euro -20.000,00 Euro -80.004,04 Euro

Tabelle 4.59: Noch unbekannter Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung Die gesuchte Rechengröße - der Rückzahlungsbetrag am 30.03.01 - läßt sich wiederum mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung gemäß Abb. 4.74 ermitteln. Am GeldjKapitalmarkt ist für den Zeitraum 30.09.00 bis 30.03.01 ein schwacher Zins anstieg zu beobachten, wobei für ~-Jahres-Geld jetzt 6,00% und für 1-Jahres-Geld jetzt 6,50% gezahlt werden. 1

Datum

Marktwert S (Euro)

30 .03.02 -75 .121,16 V 30 .09.01 -19 .417,48 V 30.03.01 94.538 ,64 V 0,00 I 0,00 N

5 = 1"'4 4 ZinsS Zahlungsstrom S faktor (Euro) -80.004,04 N 1,0650 U -20.000,00 N 1,0300 U 94 .538,64 Z Max! 1,0000 U : (2) L Marktwert 30.03.01 [Eur 0) : (3 = 2) Kapitalwert 30.03.01 [Euro)

Abb. 4.74: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes bei Vollrückzahlung Im Ergebnis ist dem Kunden ein Rückzahlungsbetrag von 94.538,64 Euro (87.000,00 Euro Restschuld und 7.538,64 Euro Vorfälligkeitsentschädigung) zu nennen,332 damit sich für das Finanz-jKreditinstitut unter Berücksichtigung des unterstellten Sondertilgungsrechts in Risiko und Ertrag nichts ändert. 332Vgl. Abb. 4.74 Spalte 5 am 30.03.01.

186

Gesamtergebnisrechnung

Nach Kenntnis des Rückzahlungsbetrages von 94.538,64 Euro am 30.03.01 kann der bis dato unbekannte Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung333 gemäß Tab. 4.60 angegeben werden. Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 94.538,64 Euro -20.000,00 Euro -80.004,04 Euro

Tabelle 4.60: Kunden-Zahlungsstrom bei Vollrückzahlung Anzumerken bleibt, daß eine exakte Berechnung einer etwaigen Disagioerstattung nicht erforderlich ist, da der zu zahlende Betrag des Kunden in der Regel nicht von der Disagioerstattung abhängig ist. 334 4.2.1.2.1.8.2.3 Teilrückzahlung In den vorhergehenden Kapiteln wurden ausschließ-

lich Sonderkonstellationen bei Leistungsstörungen eines Darlehens betrachtet, die Vollrückzahlungen beinhalten. In diesem Abschnitt wird dagegen die Frage der Sonderkonstellation TeilTÜckzahlung 335 behandelt. Wünscht in diesem Fall der Kunde beispielsweise am 30.03.01 eine Rückzahlung zur Hälfte des unterstellten Darlehens336 , so existieren zur Berechnung des gesuchten Rückzahlungsbetrages grundsätzlich zwei verschiedene Rechenwege: • Zunächst wird der Rückzahlungsbetrag bei Vollrückzahlung berechnet. Anschließend wird der Rückzahlungsbetrag um den prozentualen Teilrückzahlungsbetrag entsprechend reduziert. Beispielsweise ergibt sich für die angenommene Leistungsstörung einer Vollrückzahlung am 30.03.01 ein Rückzahlungsbetrag gemäß Abb. 4.66 auf Seite 174 von 94.664,17 Euro. Eine Teilrückzahlung von 50,00% vermindert dementsprechend den durch den Kunden zu zahlenden Betrag um 47.332,09 Euro auf 47.332,09 Euro . • Es wird ein Kunden-Zahlungsstrom abgeleitet, der ausschließlich die Teilrückzahlungen, dargestellt in Tab. 4.61 auf der nächsten Seite, beinhaltet. 337

333ygl. 334Ygl. 335Ygl. 336ygl. 337ygl.

Tab. 4.59 auf der vorherigen Seite. Kapitel 4.2.1.2.1.8.1 auf Seite 172 sowie Kapitel 4.2.1.2.2.4 auf Seite 255. [66, S. 137 ff.] Tab. 4.43 auf Seite 172. Tab. 4.44 auf Seite 173.

187

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung ? Euro -4.000,00 Euro -46.272,75 Euro

Tabelle 4.61: Noch unbekannter Kunden-Zahlungsstrom bei Teilrückzahlung Für diesen Teil-Zahlungsstrom wird eine Vollrückzahlung durchgeführt. Die gesuchte Rechengröße - der Rückzahlungsbetrag am 30.03.01 - läßt sich wiederum mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung gemäß Abb. 4.75 ermitteln. Am Geld- jKapitalmarkt ist für den Zeitraum 30.09.00 bis 30.03.01 ein schwacher Zinsanstieg zu beobachten, wobei für ~-Jahres-Geld jetzt 6,00% und für I-Jahres-Geld jetzt 6,50% gezahlt werden. 1 Datum

Marktwert

5 =1*4 4 S Zins- S Zahlungsstrom S faktor

(Euro)

(Ewo)

-46.272,75 N 30.03.02 -43.448,59 V 1,0650 U -4.000,00 N -3.883,50 V 1,0300 U 30.09.01 47 .332,09 Z Max! 30.03 .01 47.332,09 V 1,0000 U 0,00 I : (2) L Marktwert 30.03.01 [Eur 0) 0,00 N : (3 = 2) Kapitalwert 30 .03.01 [Euro)

Abb. 4.75: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes bei Teilrückzahlung Gemäß Abb. 4.75 fungiert als Zielgröße der strukturkongruenten Refinanzierung

der Rückzahlungsbetrag des Darlehens 338 unter Beachtung der folgenden Nebenbedingungen:

- Kapitalwert als Summe Marktwert der strukturkongruenten Gegengeschäfte entspricht Null. 339 - Zeitpunktspezifische Marktwerte multipliziert mit den zeitpunktspezifischen Zinsfaktoren entsprechen dem Kunden-Zahlungsstrom. 34o Als Entscheidungsvariablen, die so iteriert werden, daß der Rückzahlungsbetrag maximiert wird, fungieren die zeitpunktspezifischen Marktwerte. 341 Im Ergebnis ist dem Kunden ein Teil-Rückzahlungsbetrag von 47.332,09 Euro zu nennen,342 damit sich für das Finanz-jKreditinstitut in Risiko und Ertrag nichts ändert. Nach Kenntnis des Teil-Rückzahlungsbetrages von 47.332,09 Euro 338Vgl. 339Vgl. 340Vgl. 341 V gl. 342Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.75 4.75 4.75 4.75 4.75

Spalte Spalte Spalte Spalte Spalte

5 am 30.03.01. 3. 5 am 30.09.01 sowie am 30.03.02. 1. 5 am 30.03.01.

Gesamtergebnisrechnung

188

am 30.03.01 kann der bis dato unbekannte Zahlungsstrom bei Teilrückzahlung343 gemäß Tab. 4.62 angegeben werden. Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 47.332,09 Euro -4.000,00 Euro -46.274,75 Euro

Tabelle 4.62: Kunden-Zahlungsstrom bei Teilrückzahlung Bei der Sonderkonstellation Teilrückzahlung bleibt anzumerken, daß die beiden alternativen Rechenwege - Vollrückzahlung und dann anteilige Reduzierung des Rückzahlungsbetrages oder Konstruktion eines Teil-Zahlungsstroms - zu identischen Rückzahlungsbeträgen von 47.332,09 Euro führen. 344 von Raten Die Sonderkonstellation Stundung von Raten 345 beschreibt den denkbaren Wunsch eines Kunden, eine oder mehrere Raten

4.2.1.2.1.8.2.4 Stundung

eines Darlehens nicht zu zahlen. Ausgleich soll durch Erhöhung der nicht betroffenen Raten geschaffen werden. Beispielsweise möchte der Kunde im Rahmen des unterstellten Darlehens346 seine Rate von 8.000,00 Euro am 30.03.01 nicht zahlen. Er fordert das Finanz-jKreditinstitut dementsprechend auf, die Höhe der Ausgleichsrate zum 30.09.01 zu nennen. Das Kredit-jFinanzinstitut ist unter Vereinnahmung eines zusätzlichen Gegenwart-Kapitalwertes von 200,00 Euro gerne breit, diesem Wunsch stattzugeben. Demnach ist gemäß Tab. 4.63 folgender Stundungs-Zahlungsstrom von dem Finanz-jKreditinstitut aufzustellen. Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -8.000,00 Euro ? Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.63: Noch unbekannter Kunden-Zahlungsstrom bei Stundung einer Rate Die gesuchte Rechengröße - die Ausgleichsrate am 30.09.01-läßt sich wiederum mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung gemäß Abb. 4.76 auf der nächsten Seite ermitteln. Am Geld- jKapitalmarkt ist für den Zeitraum 30.09.00 bis 30.03.01 ein schwacher Zins anstieg zu beobachten, wobei für ~-Jahres-Geld jetzt 6,00% und für I-Jahres-Geld jetzt 6,50% gezahlt werden.

343ygl. 344Ygl. 345Ygl. 346ygl.

Tab. 4.61 auf der vorherigen Seite. Abb. 4.66 auf Seite 174 Spalte 5 im Vergleich zu Abb. 4.75 auf der vorherigen Seite Spalte 5. [66, S. 148 ff.] Tab. 4.43 auf Seite 172.

189

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 1 Datum

Marktwert (Euro(

30.03.02 30.09.01 30.03.01

0,00 8.200,00 -8.000,00 200,00 200,00

5 = 1 *4 4 S Zins- S Zahlungsstrom S faktor (Euro)

V V V I

0,00 N 1,0650 U 8.446,00 Z Max! 1,0300 U -8.000,00 N 1,0000 U : (2) L Marktwert 30.03.01 [Eur 0) N : (3 = 2) Kapitalwert 30 .03 .01 [ Euro)

Abb. 4.76: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes bei Stundung einer Rate Gemäß Abb. 4.76 fungiert als Zielgröße der strukturkongruenten Refinanzierung die Ausgleichsrate347 unter Beachtung der folgenden Nebenbedingungen: • Kapitalwert als Summe Marktwert der strukturkongruenten Gegengeschäfte entspricht dem vereinbarten Gegenwart-Kapitalwert von 200,00 Euro. 348 • Zeitpunktspezifische Marktwerte multipliziert mit den zeitpunktspezifischen Zinsfaktoren entsprechen dem K unden-Zahlungsstrom. 349 Als Entscheidungsvariablen, die so iteriert werden, daß der Rückzahlungsbetrag maximiert wird, fungieren die zeitpunktspezifischen Marktwerte. 35o Im Ergebnis ist dem Kunden eine Ausgleichsrate von 8.446,00 Euro zu nennen,351 damit das Finanz-/Kreditinstitut zusätzlich einen zinsänderungsfreien GegenwartKapitalwert von 200,00 Euro vereinnahmen kann. Nach Kenntnis der Ausgleichsrate von 8.446,00 Euro am 30.09.01 kann der bis dato unbekannte Zahlungsstrom bei Stundung352 gemäß Tab. 4.64 angegeben werden. Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -8.000,00 Euro 8.446,00 Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.64: Kunden-Zahlungsstrom bei Stundung einer Rate

347 Vgl. 348Vgl. 349Vgl. 350 V gl. 351 V gl. 35 2 V gl.

Abb. 4.76 Spalte 5 am 30.09.01. Abb. 4.76 Spalte 3. Abb. 4.76 Spalte 5 am 30.03.01 sowie am 30.03.02. Abb. 4.76 Spalte I. Abb. 4.76 Spalte 5 am 30.09.01. Tab. 4.63 auf der vorherigen Seite.

Gesamtergebnisrechnung

190

4.2.1.2.1.9 Kalkulation von derivativen Finanzkonstruktionen In diesem Kapitel wird die Kalkulation von Finanzkonstruktionen bzw. -instrumenten erläutert, die über das klassische Darlehens-, Wertpapier-, Spargeschäft eines Finanz-/Kreditinstitutes hinausgehen. 353 "Den hier behandelten Produkten ist gemeinsam, daß sie auf herkömmliche Produkte mit Festzins zurückgeführt, bzw. aus diesen konstruiert werden können. Deshalb die Bezeichnung (... ) "derivative Geschäfte"." 354 355 Abb. 4.77 zeigt die grundlegenden derivativen Finanzkonstruktionen.

Floater

Zinsswap

Forward/Future

Abb. 4.77: Derivative Finanzkonstruktionen Ein Zinsswap stellt eine Vereinbarung über den Austausch von Zinszahlungsströmen dar. Ein Floater ist eine Anleihe mit variabler Verzinsung, bei der der zu zahlende Zins von einem Referenzzins abhängig ist. Unbedingte Termingeschäfte sind zum einen durch die Tatsache gekennzeichnet, daß Vertragsabschluß und Vertragserfüllung eines Geld-/Kapitalmarktgeschäftes zeitlich

auseinanderfallen, und zum anderen, daß beide Vertragspartner eine Verpflichtung zur Vertragserfüllung besitzen. 356

353Vgl. [35, S. 3 ff.] 354Vgl. [109, S. 175] 355In der Literatur und Praxis wird oftmals statt des Begriffes der "derivativen Finanzkonstruktion" der Begriff der "Finanzinnovation" verwendet. Die Bezeichung "Finanzinnovation" ist lediglich historisch bedingt, da eine Flut von neuartigen Finanzkonstruktionen nach der Restliberalisierung des deutschen Geld-/Kapitalmarktes in den achtziger Jahren den Geld-/Kapitalmarkt überschwemmte. Heute gehören Finanzinnovationen zum Alltagsgeschäft. 356Im Gegensatz zu unbedingten Termingeschäften sind bedingte Termingeschäfte, sog. Optionen, durch die Tatsache gekennzeichnet, daß einer der Vertragspartner ein Wahlrecht zur Vertragserfüllung besitzt, während der andere Vertragspartner zur Vertragserfüllung verpflichtet ist, falls das Wahlrecht ausgeübt wird. Vgl. Kapitel 4.2.1.5 auf Seite 348.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

191

In den folgenden Kapiteln werden die finanzmathematischen Kalkulationen zunächst eines Floaters (Kapitel 4.2.1.2.1.9.1), dann eines Zinsswaps (Kapitel 4.2.1.2.1.9.2 auf Seite 194) und abschließend der unbedingten Termingeschäfte Forward Rate Agreement (KapiteI4.2.1.2.1.9.3 auf Seite 197) sowie Forward/Future (Kapitel 4.2.1.2.1.9.4 auf Seite 200) erläutert. 4.2.1.2.1.9.1 Floater Ein Floater 357 358 (deutsch: Gleitzinsanleihe) ist als ein revolvierender Abschluß eines fixen Termingeldes auf die Dauer der Zinsanpassungsperiode zu interpretieren. Bei Abschluß eines Floaters überläßt heute ein Kontraktpartner A dem Kontraktpartner B Geld für eine festgelegte Haltedauer . Kontraktpartner B zahlt dem Kontraktpartner A für die Geldüberlassung einen bestimmten Zins, der nach einer bestimmten Haltedauer- bzw. Zinsperiode angepaßt wird. Die Zinsanpassung richtet sich nach einem festgelegten Interbanken-Referenzzins namens EURIBOR359 . Kontraktpartner B zahlt für die aktuelle Haltedauer-/Zinsperiode den Referenzzins, der zu Beginn der aktuellen Haltedauer-/Zinsperiode gilt, plus/minus eines Zinsaufschlages / Zinsabschlages.

Als Beispiel eines Floaters werden folgende Nominalkonditionen unterstellt: Floater: Volumen: 1.000.000,00 Euro Zinsperiode I: 06.07.01 - 05.01.02 Zinsperiode 11: 06.01.02 - 05.07.02 Rückzahlungskurs: 100%

Auszahlung: 06.07.01 zu 99,50% Zins Zinsperiode I: 6-Monats-EURIBOR plus 0,10% p.a. Zins Zinsperiode 11: 6-Monats-EURIBOR plus 0,10% p.a Rückzahlungstermin: 05.07.02

Auf Grundlage der beispielhaften Nominalkonditionen des unterstellten Floaters ist für jede einzelne Zinsperiode (Zinsperiode I, Zinsperiode 11) ein Zahlungsstrom aufzustellen und mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung360 im Rahmen der Marktwertmethode zu bewerten. Wird unterstellt, daß am 06.07.01 der Zinssatz für den 6-MonatsEURIBOR 4,90% p.a. beträgt, so kann folgender Zahlungsstrom des Floaters am 06.07.01 für die erste Zinsperiode laut Tab. 4.65 auf der nächsten Seite abgeleitet werden.

357Vgl. [49, S. 62 f.] 358Vgl. [109, S. 175 ff.] 359EURIBOR ist eine Abkürzung für Euro Interbank Offered Rate. Er ersetzt die bisherigen Referenzzinssätze für die einzelnen Länder bzw. Währungen des Euro-Währungsgebietes, wie zum Beispiel in Deutschland den FIBOR (Frankfurt Interbank Offered Rate). Der EURIBOR wird auf der Basis von Briefsätzen (Sätze, zu denen eine Bank Kredite anbietet) für Interbankenkredite repräsentativer Banken mit Sitz oder Niederlassung im Gebiet der Europäischen Währungsunion (EWU) ermittelt. Täglich außer an Wochenenden, am ersten Weihnachtsfeiertag und an Neujahr wird aus den Meldungen dieser Referenzbanken die EURIBOR-Sätze für Wochen-, Ein- bis Zwölfmonatsgeld errechnet und um 11.00 Uhr MEZ weltweit über Nachrichtenagenturen veröffentlicht. 360Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

192

Gesamtergebnisrechnung Datum 06.07.01 05.01.02

Zahlung -995.000,00 Euro 1.025.000,00 Euro

Anmerkung: Die Zahlung von 1.025.000,00 Euro am 05.01.02 errechnet sich wie folgt: Floater-Volumen * (6-Monats-EURIBOR + 0,10% p.a.) * f!r!bTage + Floater-Volumen

Tabelle 4.65: Zahlungsstrom eines Floaters für die Zinsperiode 06.07.01 - 05.01.02 (Zinsperiode I) Die strukurkongruente Bewertung des in Tab. 4.65 dargestellten Zahlungs stroms bei einem angenommenen 6-Monats-EURIBOR von 4,90% p.a. zeigt Abb. 4.78. 1 Datum

Marktwert

4

S Zins.

(Euro)

05.01 .02 1000488.04 V 06.07 .01 -995.000,00 V 5.488,04 I Max! 5488,04 Z

faktor

5=1*4

S Zahlungsstrom S (Euro)

1,0245 U 1.025 .000,00 N 1,0000 U -995 .000,00 N : (2) L Marktwert 06.07.01 [Eur 0] : ß = 2) Kapitalwert 06.07.01 [E uro]

Abb. 4.78: Kalkulation eines Floaters: Zinsperiode 06.07.01 - 05.01.02 (Zinsperiode I) Als Bewertungsergebnis für die erste Zinsperiode des Floaters ergibt sich am 06.07.01 gemäß Abb. 4.78 ein Gegenwart-Kapitalwert von 5.488,04 EurO. 361 Am Zinsanpassungstermin 06.01.02 wird für die zweite Zinsperiode ein erneuter Abschluß eines fixen Zinsgeschäftes durchgeführt. Wird unterstellt, daß am 06.01.02 der Zinssatz für den 6-Monats-EURIBOR 7,90% p.a. beträgt, so kann folgender Zahlungsstrom des Floaters am 06.01.02 für die zweite Zinsperiode laut Tab. 4.66 auf der nächsten Seite abgeleitet werden. 362

361 Vgl. Abb. 4.78 Spalte 3. 362Die fällige Zinszahlung von 25.000,00 Euro am 05.01.02 geht in andere Zahlungsstromkonten ein und ist für die weitere Kalkulation des Floaters finanzmathematisch irrelevant.

193

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Datum 06.01.02 05.07.02

Zahlung -1.000.000,00 Euro 1.040.000,00 Euro

Anmerkungen: Die Auszahlung am 06.01.02 erfolgt jetzt zu 100,00% und nicht - wie in den Nominalkonditionen vereinbart - zu 99,50%, da der Kursgewinn von 0,50% bereits am 06.07.01 im Gegenwart-Kapitalwert vereinnahmt wurde. Die Zahlung von 1.040.000,00 Euro am 05.07.02 errechnet sich wie folgt: Floater-Volumen * (6-Monats-EURIBOR + 0,10% p.a.) * 1fI!bTage + Floater-Volumen

Tabelle 4.66: Zahlungsstrom eines Floaters für die Zinsperiode 06.01.02 - 05.07.02 (Zinsperiode 11) Die strukurkongruente Bewertung des in Tab. 4.66 dargestellten Zahlungsstroms zeigt unter Annahme eines 6-Monats-EURIBORS von 7,90% p.a. Abb. 4.79. ~

1 Datum

Marktwert (Euro)

05.07.02 1.000.481,00 06.01 .02 -1000.000,00 481.00 Max! 481,00

5=1*4

S Zins- S Zahlungsstrom S faktor (Euro)

V V I Z

1.040 .000,00 N 1,0395 U -1 .000 .000 ,00 N 1,0000 U : (2) L Marktwert 06.01.02 [Eur 0) : ß = 2) Kapitalwert 06.01.02 [ Euro)

Abb. 4.79: Kalkulation eines Floaters: Zinsperiode 06.01.02 - 05.07.02 (Zinsperiode 11) Als Bewertungsergebnis für die zweite Zinsperiode des Floaters ergibt sich am 06.01.02 gemäß Abb. 4.79 ein Gegenwart-Kapitalwert von 481,00 EurO. 363 Zusammenfassend werden der revolvierende Zahlungsstrom des Floaters und die zugehörigen Gegenwart-Kapitalwerte noch einmal in Tab. 4.67 dargestellt. Datum 06.07.01 05.01.02 06.01.02 05.07.02

Zahlung -995.000,00 Euro 1.025.000,00 Euro -1.000.000,00 Euro 1.040.000,00 Euro

Kapitalwert 5.488,04 Euro 0,00 Euro 481,00 Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.67: Zahlungsstrom eines Floaters sowie zugehörige Gegenwart-Kapitalwerte

363Vgl.

Abb. 4.79 Spalte 3.

194

Gesamtergebnisrechnung

4.2.1.2.1.9.2 Zinsswap Ein Zinsswap364 365 (englisch: plain vanilla swap) ist eine Kombination aus einem Floater366 und einem Festzinskredit. Dabei werden die Zinszahlungsströme des Floaters und des Festzinskredites zwischen den Marktteilnehmern für verschiedene Fristen getauscht. Der jedem Zinswap zugrundeliegende Swap-Vereinbarung bezieht sich grundsätzlich auf einen nominellen Kapitalbetrag, der allerdings nicht getauscht wird. Als Beispiel eines Zinsswaps werden folgende Nominalkonditionen unterstellt: Zinsswap: Verkauf eines Floaters (Floater-Komponente) Volumen: 1.000.000,00 Euro Zinsperiode I: 06.07.01 - 05.01.02 Zinsperiode 11: 06.01.02 - 05.07.02 Rückzahlungskurs: 100%

Auszahlung: 06.07.01 zu 99,50% Zins Zinsperiode I: 6-Monats-EURIBOR + 0,10% p.a. Zins Zinsperiode 11: 6-Monats-EURIBOR + 0,10% p.a. Rückzahlungstermin: 05.07.02

Zinsswap: Kauf eines Festzinskredits (Festzinskredit-Komponente) Volumen: 1.000.000,00 Euro Nominalzins: 6,00% p.a. Rückzahlungskurs: 100%

Einzahlung: 06.07.01 zu 99,50% Zinszahlungsrhythmus: halbjährlich Rückzahlungstermin: 05.07.02

Auf Grundlage der beispielhaften Nominalkonditionen eines Zinswaps ist ein SummenZahlungsstrom abzuleiten, der sich zum einen aus einem Floater-Zahlungsstrom für die erste Zinsperiode und zum anderen aus einem Festzinskredit-Zahlungsstrom für die gesamte Haltedauer zusammensetzt. Der Summen-Zahlungsstrom ist die Grundlage für die strukturkongruente Bewertung367 des Zinsswaps.368 Wird unterstellt, daß am 06.07.01 der Zinssatz für den 6-Monats-EURIBOR 4,90% p.a. beträgt, so kann am 06.07.01 folgender Summen-Zahlungsstrom des Zinsswaps, wobei der Summen-Zahlungsstrom lediglich den Floater-Zahlungsstrom für die erste Zinsperiode beinhaltet, gemäß Tab. 4.68 auf der nächsten Seite abgeleitet werden.

364Ygl. [54, S. 84 ff.] 365Ygl. [109, S. 183 ff.] 366Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1.9.1 auf Seite 191. 367Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 368Natürlich können die Komponenten eines Swaps - der Zahlungsstrom eines Floaters sowie der Zahlungsstrom eines Festzinskredites - auch einzeln strukturkongruent bewertet und anschließend die jeweiligen Kapitalwerte addiert werden. Das Ergebnis entspricht - bis auf eine etwaige Geld-/Brief-Differenz - dem Kapitalwert des Summen-Zahlungsstroms.

195

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Datum 06.07.01 05.01.02 05.07.02

1 Zahlung Floater -995.000,00 Euro 1.025.000,00 Euro 0,00 Euro

2 Zahlung Festzinskredit 995.000,00 Euro -30.000,00 Euro -1.030.000,00 Euro

3=1+2 Summenzahlung Zinsswap 0,00 Euro 995.000,00 Euro -1.030.000,00 Euro

Anmerkung: Die Floater-Zahlung von 1.025.000,00 Euro am 05.01.02 errechnet sich wie folgt: Floater-Volumen * (6-Monats-EURIBOR + 0,10% p.a.) * #l!6Tage + Floater-Volumen Die Festzinskredit-Zahlung von -30.000,00 Euro am 05.01.02 errechnet sich wie folgt: Festzinskredit-Volumen * Nominalzins * #1!6 Tage Die Festzinskredit-Zahlung von -1.030.000,00 Euro am 05.07.02 errechnet sich wie folgt: Festzinskredit-Volumen * Nominalzins * #1!6 Tage + Festzinskredit-Volumen

Tabelle 4.68: Zahlungsstrom eines Zinsswaps: Festzinskredit sowie Floater-Zinsperiode 06.07.01 - 05.01.02 (Zinsperiode I) Die strukturkongruente Bewertung des in Tab. 4.68 dargestellten SummenZahlungsstroms (Zinsswap-Zahlungsstroms) bei einem unterstellten 6-Monats-EURIBOR von 4,90% p.a. sowie einem unterstellten 12-Monats-EURIBOR von 6,20% p.a. zeigt Abb.4.80. 1 Datum

Marktwert (Euro)

05.07 .02 05.01 .02 06.07.01 Max!

-969.868,17 971 .205,47 0,00 1.337,29 1.337,29

4

5= 1*4

S Zins- S Zahlungsstrom S faktor (Euro)

V 1,0620 U -1.030.000 ,00 N 995.000,00 N V 1,0245 U 0,00 N V 1,0000 U I : (2) L Marktwert 06.07.01 [Eur 0) Z : (3 = 2) Kapitalwert 06.07.01 [ Euro)

Abb. 4.80: Kalkulation eines Zinsswaps: Festzinskredit sowie Floater-Zinsperiode 06.07.01 - 05.01.02 (Zinsperiode I) Als Bewertungsergebnis für den Summen-Zahlungsstrom des Zinsswaps ergibt sich am 06.07.01 gemäß Abb. 4.80 ein Gegenwart-Kapitalwert von 1.337,29 EurO. 369 Da der am 06.07.01 kalkulierte Summen-Zahlungsstrom neben dem Festzinskredit lediglich die erste Zinsperiode des Floaters beinhaltet,370 ist am 06.01.02 zusätzlich für die zweite Zinsperiode des Floaters (als zahlungsorientierter Bestandteil des Zinsswaps) ein fixes Festzinsgeschäft zu kalkulieren. Wird unterstellt, daß am 06.01.02 der Zinssatz für den 6-Monats-EURIBOR 7,90% beträgt, so kann folgender Zahlungsstrom gemäß Tab. 4.69 auf der nächsten Seite abgeleitet werden:

369Vgl. Abb. 4.80 Spalte 3. 370Vgl. Abb. 4.80 Spalte 5 in Verbindung mit Tab. 4.68 Spalte 3.

196

Gesamtergebnisrechnung Zahlung -1.000.000,00 Euro 1.040.000,00 Euro

Datum 06.01.02 05.07.02

Anmerkungen: Die Auszahlung am 06.01.02 erfolgt jetzt zu 100,00% und nicht - wie in den Nominalkonditionen vereinbart - zu 99,50%, da der Kursgewinn von 0,50% bereits am 06.07.01 im Gegenwart-Kapitalwert vereinnahmt wurde. Die Zahlung von 1.040.000,00 Euro am 05.07.02 errechnet sich wie folgt: Floater-Volumen * (6-Monats-EURIBOR + 0,10% p.a.) * f!r!6Tage + Floater-Volumen

Tabelle 4.69: Zahlungsstrom eines Zinsswaps: Floater-Zinsperiode 06.01.02 - 05.07.02 (Zinsperiode II) Die strukurkongruente Bewertung des in Tab. 4.69 dargestellten Zahlungsstroms zeigt unter Annahme eines 6-Monats-EURIBORS von 7,90% p.a. Abb. 4.81.

--r-

1 Datum

Marktwert

faktor

(Euro!

05.07 .02 1.000.481 ,00 06.01 .02 -1 .000000,00 481,00 Max! 481,00

5 = 1 *4

S Zins- S Zahlungsstrom S (Euro!

V V I Z

1,0395 U 1.040 .000 ,00 N 1,0000 U -1 .000.000 ,00 N : (2) 2: Marktwert 06 .01.02 [Eur 0) : (3 = 2) Kapitalwert 06.01.02 [Euro)

Abb. 4.81: Kalkulation eines Zinsswaps: Floater-Zinsperiode 06.01.02 - 05.07.02 (Zinsperiode II) Als Bewertungsergebnis für die zweite Zinsperiode des Floaters (als zahlungsorientierter Bestandteil des Zinsswaps) ergibt sich am 06.01.02 gemäß Abb. 4.81 ein GegenwartKapitalwert von 481,00 Euro. 371 Zusammenfassend werden die Zahlungsströme des Zinsswaps und die zugehörigen Gegenwart-Kapitalwerte noch einmal in Tab. 4.70 dargestellt. Datum 06.07.01 05.01.02 06.01.02 05.07.02

Zahlung Floater -995.000,00 Euro 1.025.000,00 Euro -1.000.000,00 Euro 1.040.000,00 Euro

Zahlung Festzinskredit 995.000,00 Euro -30.000,00 Euro 0,00 Euro -1.030.000,00 Euro

Kapitalwert 1.337,29 0,00 481,00 0,00

Euro Euro Euro Euro

Tabelle 4.70: Zahlungsströme eines Zinsswaps sowie zugehörige Gegenwart-Kapitalwerte

371 Vgl.

Abb. 4.81 Spalte 3.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

197

4.2.1.2.1.9.3 Forward Rate Agreement Ein Forward Rate Agreement (FRA)372 373

ist eine Zinsvereinbarung für die Zukunft. Die Marktteilnehmer sind in der vertraglichen Gestaltung eines FRA's keinen gesetzlichen Regelungen unterworfen. 374 Grundsätzlich sind die FRA's aber so konstruiert, daß sich der Käufer eines FRA's heute (Handelstag) verpflichtet • für eine Haltedauer , die an einem zukünftigen Erfüllungstag beginnt, • auf Basis eines fiktiven Nominalbetrages, • einen fixen Zins, sogenannten Kontraktzins, an den Verkäufer des FRA's zu zahlen. Im Gegenzug verpflichtet sich der Verkäufer eines FRA's auf Basis desselben Nominalbetrages und derselben Haltedauer zu einer Anlage auf Basis eines InterbankenReferenzzinses namens EURIBOR375 . Der Interbanken-Referenzzins wird am zukünftigen Erfüllungstag festgestellt. Ein FRA ist also eine Vereinbarung über einen zukünftigen Festzinssatz. Die am zukünftigen Erfüllungstag festzustellende Differenz zwischem dem Kontraktzins und dem aktuellen Interbanken-Referenzzins, wird durch eine Ausgleichszahlung geschlossen. Drei Differenzkonstellationen sind am Erfüllungstag denkbar: • Kontraktzins > aktueller Referenzzins: Ausgleichszahlung vom Käufer an den Verkäufer • Kontraktzins = aktueller Referenzzins: Keine Ausgleichszahlung • Kontraktzins < aktueller Referenzzins: Ausgleichszahlung vom Verkäufer an den Käufer Die Ausgleichszahlung am Erfüllungstag gewährleistet, daß der Kontraktzins heute für eine zukünftige Haltedauer fixiert ist. Demnach handelt es sich bei einem FRA um eine Absicherungsmöglichkeit gegen Zinsänderungsrisiken.

372Vgl. [103, S. 279 ff.] 373Vgl. [109, S. 198 ff.] 3741n der Regel richtet sich die vertragliche Gestaltung eines FRA's nach den Vorgaben der British Bankers' Association, sogenannte FRABBA-Terms. 375Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.9.1 auf Seite 191.

198

Gesamtergebnisrechnung

Als Beispiel einer FRA-Vereinbarung werden folgende Nominalkonditionen unterstellt: Forward Rate Agreement: Kauf Nominalbetrag: 1.000.000,00 Euro

Handelstag: 12.10.01

Erfüllungstag: 12.01.02 Kontraktzins: 6,00% p.a.

Vertragsende: 12.07.02 Referenzzins: 6-Monats-EURIBOR

+ 0,10% p.a.

Auf Basis der unterstellten Nominalkonditionen ist ein Summen-Zahlungsstrom abzuleiten, der sich zum einen aus dem Kontraktzins-Zahlungsstrom und zum anderen aus dem Referenzzins-Zahlungsstrom zusammensetzt. Bei der in Tab. 4.71 dargestellten Ableitung des Summen-Zahlungsstroms besteht das (scheinbare) Problem, daß am 12.10.01 (Handelstag) der zukünftige Referenzzins noch nicht feststeht. Datum 12.10.01 12.01.02 12.07.02

1 Zahlung Kontraktzins FRA-Käufer 0,00 Euro 1.000.000,00 Euro -1.030.000,00 Euro

2 Zahlung Referenzzins FRA-Verkäufer 0,00 Euro -1.000.000,00 Euro ? Euro

3=1+2 Summenzahlung FRA 0,00 Euro 0,00 Euro ? Euro

Anmerkung: Die Kontraktzins-Zahlung von -1.030.000,00 Euro am 12.07.02 errechnet sich wie folgt: Nominalbetrag * Kontraktzins * f!I!6 Tage + Nominalbetrag

Tabelle 4.71: Teilweise noch unbekannte Zahlungsströme eines FRA's sowie unbekannter Summen-Zahlungsstrom Die finanzmathematische Vorgehensweise zur Lösung des Zahlungsstrom-Problems am 12.10.01 besteht nunmehr in der Berechnung einer Ausgleichszahlung zwischen dem Käufer und dem Verkäufer des FRA's. Die Ausgleichszahlung bewirkt, daß die Ausgleichszahlung minus des Zahlungsstroms des Referenzzinses dem bekannten Zahlungsstrom des Kontraktzinses entspricht. Wird beispielsweise am 12.10.01 der 6-Monats-EURIBOR am zukünftigen Erfüllungstag (12.01.02) mit 4,90% p.a. prognostiziert, so ist folgender Ausgleichs-Zahlungsstrom des FRA's, dargestellt in Tab. 4.72 auf der nächsten Seite, ableitbar.

199

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Datum 12.10.01 12.01.02 12.07.02

1 Zahlung Kontraktzins FRA-Käufer 0,00 Euro 1.000.000,00 Euro -1.030.000,00 Euro

2 Zahlung Referenzzins FRA-Verkäufer 0,00 Euro -1.000.000,00 Euro + 1.025.000,00 Euro

3=1+2 Ausgleichszahlung FRA-Käufer 0,00 Euro 0,00 Euro -5.000,00 Euro

Anmerkungen: Die Kontraktzins-Zahlung von -1.030.000,00 Euro am 12.07.02 errechnet sich wie folgt: Nominalbetrag * Kontraktzins * !!/6 Tage + Nominalbetrag Die Referenzzins-Zahlung von -1.025.000,00 Euro am 12.07.02 errechnet sich wie folgt: Nominalbetrag * (6-Monats-EURIBOR + 0,10% p.a.) * !!/6Tage + Nominalbetrag

Tabelle 4.72: Zahlungsströme eines FRA's sowie Ausgleichs-Zahlungsstrom Im Beispielfall muß am 12.07.02 der Käufer des FRA's 5.000,00 Euro an den Verkäufer des FRA's zahlen,376 da dieser sich am 12.10.01 (Handelstag) verpflichtet hat, ab dem 12.01.02 (Erfüllungstag) Zinsen in Höhe von 6,00% p.a. an den FRA-Verkäufer zu entrichten. 377 Durch die Berechnung der Ausgleichszahlung ist der Zahlungsstrom des FRA-Käufers immer fix und kann mit dem Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung378 bewertet werden. Tab. 4.73 zeigt dementsprechend noch einmal den deterministischen Zahlungsstrom des FRA's (Kauf). Datum 12.10.01 12.01.02 12.07.02

Zahlung Kontrakzins FRA-Käufer 0,00 Euro 1.000.000,00 Euro -1.030.000,00 Euro

Anmerkung: Die Kontraktzins-Zahlung von -1.030.000,00 Euro am 12.07.02 errechnet sich wie folgt: Nominalbetrag * Kontraktzins * !!/6 Tage + Nominalbetrag

Tabelle 4.73: Zahlungsstrom eines FRA's (Kauf) Die strukturkongruente Bewertung dieses Zahlungsstromes bei einem angenommenen 3-Monats-Geld-/Kapitalmarktzins von 6,20% p.a. sowie einem angenommenen 9-Monats-Geld-/Kapitalmarktzins von 6,50% p.a. zeigt Abb. 4.82 auf der nächsten Seite.

376Vgl. Tab. 4.72 Spalte 3. 3771n der Praxis erfolgt der Ausgleich der Zinszahlungen bei einem FRA nicht am Ende der Haltedauer, sondern am Erfüllungstag. Dementsprechend ist die Ausgleichszahlung mit Hilfe des Referenzzinses auf den Erfüllungstag abzuzinsen. 378Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

Gesamtergebnisrechnung

200

---:r-

1 Datum

Marktwert

faktor

(Euro)

12.07.02 12.01 .02 12.10.01 Max!

-982.121 ,57 984.736,58 0,00 2.615 ,01 2.615,01

5= 1~4

S Zins- S Zahlungsstrom S (Euro) V V V I Z

1,0488 U -1 .030.000,00 N 1,0155 U 1. 000.000 ,00 N 1,0000 U 0,00 N : (2) 2: Marktwert 12.10.01 [Eur o( : (3 = 2) Kapitalwert 12.10.01 [Euro(

Abb. 4.82: Kalkulation eines FRA's (Kauf) Als Bewertungsergebnis für den unterstellten Kauf eines FRA's ergibt sich am 12.10.01 gemäß Abb, 4.82 ein Gegenwart-Kapitalwert von 2,615,01 Euro. 379 4.2.1.2.1.9.4 Forward/Future Ebenso wie die Forward Rate Agreements380 (FRA's)

gehören die Forwards und Futures zu den unbedingten Termingeschäften. Ein Forward 381 oder Future 382 383 beinhaltet die vertragliche Verpflichtung, • einen nicht standardisierten Basiswert (Forward) oder standardisierten Basiswert (Future), z. B. Aktien oder Anleihen, • an einem bestimmten, in der Zukunft liegenden Termin (Erfüllungstag), • zu einem heute (Handelstag) festgesetzten Preis zu kaufen oder zu verkaufen (Barabrechnung oder physische Lieferung). Zwischen den FRA's384 und den Forwards/Futures bestehen folgende drei wesentliche Unterschiede: • Der Käufer eines FRA's erwirbt einen fixen Zinssatz, während der Käufer eines Forwards/Futures einen zins- bzw. kursreagiblen Basiswert, z, B. Anleihe oder Aktie, erwirbt. • Beim FRA wird eine eventuell fällige Ausgleichszahlung am Erfüllungstag beglichen. Demgegenüber wird der Gewinn oder Verlust eines Futures täglich in Rechnung gestellt (englisch: daily settlement), • Futures werden an Börsen gehandelt, während Vertragspartner von FRA's direkt miteinander einen Vertrag abschließen müssen. Der Vorteil eines Börsenhandels besteht zum einen in der Übernahme des Kontrahenten-Ausfallrisikos durch die Börse (Clearingstelle) und zum anderen in der hohen Liquidität des Marktes, 379 y gl. 380Ygl. 381Ygl. 382Ygl. 383Ygl. 384Ygl.

Abb. 4.82 Spalte 3. Kapitel 4.2.1.2.1.9.3 auf Seite 197. [61, S. 552] [54, S. 203 ff.] [103, S. 297 ff.] Kapitel 4.2.1.2.1.9.3 auf Seite 197.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

201

Als Beispiel eines Futures sei ein Zins-Future mit folgenden beispielhaften Nominalkonditionen unterstellt: Zins-Future: Kauf Aktueller Kurs der Anleihe: 110,05 Euro

Nominalzins der Anleihe: 8,00% p.a.

Restlaufzeit der Anleihe: 9 Jahre

Nominalbetrag der Anleihe: 100,00 Euro

Letzter Zinszahlungstermin: 20.07.01

Stückzins: 5,11 Euro

Handelstag: 07.03.02

Erfüllungstag: 07.09.02

Auf Basis der unterstellten Nominalkonditionen wird der Zahlungsstrom des Zins-Futures abgeleitet. Bei der in Tab. 4.74 dargestellten Ableitung des Future-Zahlungsstroms besteht das (scheinbare) Problem, daß am 07.03.02 (Handelstag) der zukünftige Preis (Kurs) der Anleihe noch nicht feststeht. Datum 07.03.02 07.09.02

Zahlung -110,05 Euro ? Euro

Tabelle 4.74: Noch unbekannter Zahlungsstrom eines Futures Die finanzmathematische Vorgehensweise zur Lösung des Zahlungsstrom-Problems besteht in der synthetischen Konstruktion des zukünftigen Kaufpreises der Anleihe am Erfüllungstag, indem die Anleihe bereits am Handelstag zum aktuellen Kurs zuzüglich eventueller Stückzinsen385 gekauft wird. Der Kauf wird dabei durch eine entsprechende Kreditaufnahme für den Zeitraum zwischen Handelstag und Erfüllungstag refinanziert (Finanzierungskosten). Folglich ist der Kredit am Erfüllungstag des Futures zurückzuzahlen. Zusätzlich ist zu berücksichtigen, daß für den Zeitraum zwischen Handelstag und Erfüllungstag Zinserträge in Form von Stückzinsen anfallen (Finanzierungserträge ). Demnach setzt sich der zukünftige Kurs der Anleihe aus drei Komponenten zusammmen: • Kurs der Anleihe am Handelstag • Finanzierungskosten • Finanzierungserträge Zur Berechnung des Future-Kurses gilt also folgende Gleichung: Future-Kurs = Kurs der Anleihe am Handelstag 385Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.5 auf Seite 124.

+ Finanzierungskosten - Finanzierungserträge

Gesamtergebnisrechnung

202

Die Berechnung des Future-Kurses zeigt unter Annahme eines Refinanzierungszinses für 184 Tage von 7,35% p.a. Abb. 4.83. Finanzierungskostentableau 2 3 - 2-1 1 Letzter S Stüekzins- S Zinszahlungs- S Handelstag dauer termin ITagel IDatuml IDatuml 20 .07 .01 U

.

9 Kurs der Anleihe am Handelstag IEurol

10 - 8 + 9

IDatuml

IEurol 115,16 I

S

Refinanzierungszins p.a.

S

5,11 I

I

15 - 10 "14 16

RefinanS Finanzierungs- S S zierungszins kosten unterjahrig

1%1

1%1

7,35 U

184,00 I

Stuekzins am Handelstag IEurol

100,00 U

14 = 12 14 " 13

13

ITagel

07 .09.02 U

8-3 / 4 " 5 / 6"7

Nominalbetrag

S 100 P

8,00 U

360,00 P

Refinan S Kaufpreis S Erfüllungs- S zierungs- S tag der Anleihe dauer

110,05 U

Hundert

S

[Eurol

12 = 11 - 2

11

Nominalzins p.a.

ITagel

230,00 I

07 .03 .02 U

S

7

6

5

4 Jahresbasis

IEurol 4,33 A

3,76 I

future·Kurs-Tableau

Finanzierungserträgetableau 3 - 2-1 2 Erfüllungs- S Stüekzins- S dauer tag [Tagel [Datumi IDatuml 184,00 I 07 .09.02 U 07.03.02 U 1

Handelstag

S

4 Jahresbasis [Tagel

S

360,00 P

5 Nominalzins p.a.

1%1

6 S

8,00 U

Hundert

S 100 P

7 Nominalbetrag IEurol

S

100,00 U

8 - 3 / 4 " 5 / 6"7 FinanzierungsS erträge IEurol 4,09 A Future Kurs Tableau

Future-Kurs-Tableau 1 Kurs der Anleihe am Handelstag IEurol

3

2 S

110,05 U

FinanFinan zierungs- S zierungs- S erträge kosten IEurol

IEurol 4,33 E

4 - 2 -3 Haltekosten (eost of earry) IEurol

4,09 E

6 5=1+4 Theoretischer "fairer" S Tatsächlieher S S Future-Kurs Future-Kurs der Anleihe IEurol IEurol

0,24 I

110,29 I

110,00 U

7 - 6 -5 Wertbasis (value basis)

S

IEurol -0,29 I

Fln8nzlerungskostentable au

finanzierungserträgetableau

Abb. 4.83: Kursberechnung eines Zins-Futures Abb. 4.83 zeigt die Berechnung der Finanzierungskosten, der Finanzierungserträge sowie des Future-Kurses. Für die Berechnung der Finanzierungskosten sind drei Zeitpunkte von Bedeutung: Letzter Zinszahlungstermin, Handelstag sowie Erfüllungstag des Futures. 386 Zunächst ist der Kaufpreis der Anleihe am Handelstag zu ermitteln. Dieser setzt sich aus dem Kurs der Anleihe am Handelstag und den Stückzinsen zusammen. Der Kurs der Anleihe am Handelstag von 110,05 Euro ist an der Börse bekannt, die Stückzinsen sind dagegen zu errechnen. Zwischen dem letzten Zinszahlungstermin und dem Handelstag liegt eine Haltedauer von 230 Tagen, so daß bei einem Nominalbetrag von 100,00 Euro und einem Nominalzins von 8,00% p.a. Stückzinsen in Höhe von 5,11 Euro anfallen. 387 Damit ergibt sich ein Kaufpreis der Anleihe am Handelstag von 115,16 Euro. 388 Dieser ist für den Zeitraum zwischen dem Handelstag und dem Erfüllungstag, insgesamt 184 Tage, mit einem unterstellten Kreditzins von 7,35% p.a. zu refinanzieren. Der sich am Erfüllungstag 386ygl.

Abb. 4.83 Finanzierungskostentableau Spalten 1, 2, 11. Abb. 4.83 Finanzierungskostentableau Spalte 8. 388ygl. Abb. 4.83 Finanzierungskostentableau Spalte 10. 387ygl.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

203

ergebende Refinanzierungsbetrag beträgt 4,33 Euro und entspricht den Finanzierungskosten des unterstellten Zins-Futures. 389 Für die Berechnung der Finanzierungserträge sind lediglich zwei Zeitpunkte von Bedeutung: Handelstag und Erfüllungstag. Für die Haltedauer der Anleihe zwischen dem Handelstag und dem Erfüllungstag von 184 Tagen ist ein Zinsertrag zu berechnen. Bei einem Nominalbetrag von 100,00 Euro und einem Nominalzins von 8,00% p.a. ergibt sich bei einer Haltedauer von 184 Tagen ein Zinsertrag von 4,09 Euro, der dem Finanzierungsertrag des unterstellten Zins-Future entspricht. 390 Die Differenz von 0,24 Euro zwischen den Finanzierungskosten von 4,33 Euro und dem Finanzierungsertrag von 4,09 Euro wird als Haltekosten (englisch: cost of carry) bezeichnet. 391 Demnach ergibt sich am Erfüllungstag ein theoretisch berechneter FutureKurs von 110,29 Euro als Summe aus dem Kurs der Anleihe von 110,05 Euro und den Haltekosten von 0,24 Euro. 392 Weicht der theoretisch berechnete Future-Kurs vom tatsächlich an der Börse gehandelten Future-Kurs ab, so liegen Über- oder Unterbewertungen auf Grund von unterschiedlichen Erwartungen der Börsenteilnehmer vor. Die Differenz zwischen dem theoretisch berechneten Future-Kurs und dem tatsächlichen Future-Kurs wird mit Hilfe der Wertbasis (englisch: value basis) gemessen. Im Rechenbeispiel der Abb. 4.83 auf der vorherigen Seite beträgt die Wertbasis -0,29 Euro, der tatsächliche Future-Kurs ist also unterbewertet. 393 Nach Kenntnis des theoretischen Future-Kurses kann der Zahlungsstrom des ZinsFutures gemäß Tab. 4.75 komplettiert Datum 07.03.02 07.09.02

Zahlung -110,05 Euro 110,29 Euro

Tabelle 4.75: Zahlungsstrom eines Futures und gemäß Abb. 4.84 auf der nächsten Seite strukturkongruent 394 unter Annahme eines Refinanzierungszinses für 184 Tage von 7,35% p.a. bewertet werden.

389ygl. 390ygl. 391 Ygl. 392ygl. 393ygl. 394Ygl.

Abb. 4.83 auf der vorherigen Seite Abb. 4.83 auf der vorherigen Seite Abb. 4.83 auf der vorherigen Seite Abb. 4.83 auf der vorherigen Seite Abb. 4.83 auf der vorherigen Seite Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

Finanzierungskostentableau Spalte 15. Finanzierungserträgetableau Spalte 8. Future-Kurs-Tableau Spalte 4. Future-Kurs-Tableau Spalte 5. Future-Kurs-Tableau Spalte 7.

Gesamtergebnisrechnung

204 1 Datum

Marktwert (Euro)

07 .09.02 07.03 .02 Max!

106,30 -110,05 -3,75 -3,75

4

5=1"4

S ZinsS Zahlungsstrom S faktor (Euro)

V V I Z

110,29 N 1,0376 U -110,05 N 1,0000 U : (2) 2: Marktwert 07.03.02 [Eur 0) : (3 = 2) Kapitalwert 07.03.02 [ Euro)

Abb. 4.84: Kalkulation eines Zins-Futures Als Bewertungsergebnis für den unterstellten Zins-Future ergibt sich am 07.03.02 gemäß Abb. 4.84 ein Gegenwart-Kapitalwert von -3,75 Euro. 395 Der negative Kapitalwert erklärt sich aus der Tatsache, daß die Finanzierungskosten die Finanzierungserträge im unterstellten Rechenbeispiel der Abb. 4.83 auf Seite 202 übersteigen. 396 Es bleibt anzumerken, daß die synthetische Preisberechnung für einen Zinsfuture gemäß Abb. 4.83 auf Seite 202 auch für die synthetische Preisberechnung anderer FutureTypen gilt. Während bei Zinsfutures Stückzinsen in die Preisberechnung mit einfließen, sind beispielsweise bei Aktienfutures Dividendenzahlungen und Bezugsrechtserlöse finanzmathematisch zu berücksichtigen. 397

4.2.1.2.2 Kalkulation von Zinsmargen Die Kalkulation von Zinsmargen im Rahmen der Marktwertmethode berechnet - analog zur Kalkulation von Zinsmargen im Rahmen der Barwertmethode398 - eine Kennzahl als prozentuale Zinsmarge, die sich als Differenz zwischen dem Ertragszins eines Kunden-Zahlungsstroms und dem Kostenzins eines Gegen-Zahlungsstroms ergibt. Der Ertrags- bzw. Kostenzins stellt für jede Zahlungsperiode einer Zahlungsreihe eine identische, zeitliche Durchschnittsverzinsung dar. Dabei wird im Rahmen der Marktwertmethode der Ertragszins als EjJektivzins, der Kostenzins als Opportunitätszins bezeichnet. Im folgenden Kapitel 4.2.1.2.2.1 auf der nächsten Seite werden zunächst verschiedenste Methoden zur Berechnung des Effektiv- bzw. Opportunitätszinses erläutert. 399 Anschließend wird beispielhaft eine Zinsmage auf Basis einer Effektivzinsmethode kalkuliert (Kapitel 4.2.1.2.2.2 auf Seite 242). Die beiden letzten Kapitel beschreiben zwei Sonderfälle im Rahmen der zinswertigen Betrachtung: Berücksichtigung der Mindestreserve (Kapitel 4.2.1.2.2.3 auf Seite 245) sowie Disagioverteilung (Kapitel 4.2.1.2.2.4 auf Seite 255). 39 5 Vgl. Abb. 4.84 Spalte 3. 396Vgl. Abb. 4.83 auf Seite 202 Finanzierungskostentableau Spalte 15 im Vergleich zu Finanzierungserträgetableau Spalte 8. 397Vgl. [116, S. 417 ff.] 398Vgl. Kapitel 4.2.1.1.2 auf Seite 102. 399Im folgenden wird auf die Bezeichnung "Effektiv-jOpportunitätszins" verzichtet und nur noch vom "Effektivzins" gesprochen, da beide Zinsvarianten auf einem identischen Gleichungssystem beruhen.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

205

4.2.1.2.2.1 Methoden der Effektivzinsrechnung In der Theorie werden verschiedenste Rechenmethoden zur Bestimmung des Effektivzinses einer Zahlungsreihe beschrieben. 4oo 401 402 Dabei ergibt sich gemäß Abb. 4.85 zunächst eine Zweiteilung in die statische EjJektivzinsmethode und in die dynamischen EjJektivzinsmethoden. Methoden der Effektivzinsrechnung

Statische Effektivzinsmethode

Dynamische Effektivzinsmethoden

Abb. 4.85: Methoden der Effektivzinsrechnung Die statische EjJektivzinsmethode ergibt sich aus einer einfachen Durchschnittsrechnung. Im Prinzip wird der Zins erlös dem eingesetzten Kapital gegenübergestellt. 403 Folglich beruht die statische Methode im Gegensatz zu den dynamischen Effektivzinsmethoden nicht auf Zahlungsströmen. Abb. 4.86 zeigt als Überblick sämtliche Methoden der dynamischen EjJektivzinsberechnung: die internen Zinsfußmethoden, die treasury-konforme Zinsfußmethode (TEZ), die realen Zinsfußmethoden. Methoden der dynamischen Effektivzinsrechnung

Abb. 4.86: Methoden der dynamischen Effektivzinsrechnung Die internen Zinsfußmethoden basieren allesamt auf der in Kapitel 4.2.1.1.2 auf Seite 102 beschriebenen zinswertigen Betrachtung der Barwertmethode, sie unterscheiden sich jedoch im Detail durch eine Reihe von ergänzenden Prämissen bzgl. unterjähriger Zinsverrechnung, Zinskapitalisierung und "gebrochener" Haltedauer.

400Vgl. 401 Vgl. 402Vgl. 403Vgl.

[63]

[44] [92, S. 142 ff.] Kapitel 3.2.1 auf Seite 14.

Gesamtergebnisrechnung

206

Die treasury-konforme Effektivzinsmethode (TEZ) überträgt den Grundgedanken der strukturkongruenten Refinanzierung404 auf die Effektivzinsermittlung und basiert auf einem linearen Gleichungssystem. Die realen Zinsfußmethoden unterscheiden sich von den internen Zinsfußmethoden durch die Tatsache, daß ein oder mehrere Wiederanlagezinsen für die Geld- jKapitalrückflüsse im Rahmen einer Zinsprognose vorgegeben werden. Allen realen Zinsfußmethoden liegt daher folgende Definition zugrunde: Der reale Effektivzins ergibt sich, wenn eine effektive Auszahlung, angelegt zum Effektivzins, am Haltedauerende dem Endwert der Rückflüsse bei Wiederanlage mit frei wählbaren Zinssätzen entspricht. Die im folgenden dargestellten Methoden der Effektivzinsberechnung werden am Beispiel der in Tab. 4.76 dargestellten Kunden-Zahlungsreihe erläutert. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.76: Zahlungsstrom Aus didaktischen Gründen werden zunächst· die dynamischen internen Effekt ivzinsmethoden (Kapitel 4.2.1.2.2.1.1), dann der treasury-konforme Effektivzins (Kapitel 4.2.1.2.2.1.2 auf Seite 223), anschließend die dynamischen realen Effektivzinsmethoden (Kapitel 4.2.1.2.2.1.3 auf Seite 227) und als letztes die statische Effektivzinsmethode (Kapitel 4.2.1.2.2.1.4 auf Seite 237) erläutert. Analog zur zinswertigen Betrachtung der Barwertmethode405 wird zur gleichungsorientierten Darstellung der einzelnen Effektivzinsberechnungsmethoden zum einen ein Zinstableau, zum anderen ein Tilgungsplan (Tilgungstableau)406 verwendet. 4.2.1.2.2.1.1 Die dynamischen internen Effektivzinsmethoden In den folgenden Kapiteln werden die verschiedenen dynamischen internen Effektivzinsmethoden erläutert: Effektivzins nach ISMA (Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf der nächsten Seite), Effektivzins nach PAngV 1985 (Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.2 auf Seite 208), Effektivzins nach Braess (Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.3 auf Seite 213), Effektivzins nach PAngV 2000 (Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.4 auf Seite 216), Effektivzins nach USjLeasing (Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.5 auf Seite 218), Effektivzins nach Moosmüller (Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.6 auf Seite 220).

404Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 405Ygl. Kapitel 4.2.1.1.2 auf Seite 102. 406Ygl. Kapitel 3.6 auf Seite 74.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

207

4.2.1.2.2.1.1.1 Der Effektivzins nach ISMA Der "internationale" Effektivzins der International Securities Markets Association (ISMAj407 408 409 410 unterstellt neben der Verwendung der internen Zinsfußmethode411 • exponentielle unterjährige Verzinsung, • tägliche Zinskapitalisierung, • tägliche Zinsverrechnung (unabhängig von den Zahlungszeitpunkten). Das in Abb. 4.87 dargestellte Gleichungsmodell verdeutlicht diese zusätzlichen Merkmale der "internationalen" Effektivzinsmethode. Zinstableau 1 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlungsstrom (Endwert) [Euro) -95 .000,00 8000,00 8.000,00 92.545,50

-

2

S

B U U U

r---

4 = 2/3

3

5

1- 5 / 6

6

ZlnsKumulierte S Jahres- S Zins tage- S Zinstage basis quotient [%) [Tage) [Tage) 0,00 P 360,00 P 0,00 I 10,10 180,00 P 360,00 P 0,50 I 10,10 10,10 360,00 P 360,00 P 1,00 I 540,00 P 360,00 P 10,10 1,50 I Effektivzins na ch ISMA p.a. [%]: 10 ,0983806

Hundert

S

I I I I V

100 100 100 100

S

Zi~s- S quotient

P P P P

0,1010 0,1010 0,1010 0,1010

Eins

I I I I

10 = l ' 9 A-4

9=1+8

8 S

1 1 1 1

Zinsfaktor

S

P P P P

1,1010 A 1,1010 A 1,1010 A 1,1 010 A L BalWert 30.09 .00 [Euro] (11): Kapitalwert 30.09.00 [Euro] (12 = 11):

Zahlungsstrom (BaIWert) [Euro] -95 .000 ,00 7.624,29 7266,23 80.109,48 0,00 0,00

S

I I I I I Z

Trlgungstobleou

-

Tilaunastableau 1 1 - 10 Datum

30 .09.00 30 .03.01 30 .09.01 30.03.02

Anfangskapltall -zinssaldo [Euro] 0,00 -95.000,00 -91 .681,39 -88.199 ,24

2 ZahlungsS S strom P I I I

[Euro) -95.000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

B U U U

4

5- 3/4

Zinstage

S Jahr?s- S baSIs

Zinstage quotient

[Tage] 0,00 180,00 180,00 180,00

[Tage) 360,00 360,00 360,00 360,00

3

P P P P

P P P P

0,00 0,50 0 ,50 0,50

-

1

6

S ZinsS faktor I I I I

1,1010 1,1010 1,1010 1,1010

L

Eins

S

E 1 P E 1 P 1 P E E 1 P Zins [Euro] (9):

8 = 1' (6A5-1)

10 = 1+2+8

11 = 2 + 8

Zins

S Endkapitall S -zinssaldo

Tilgung

[Euro[ 0,00 -4.681,39 -4.517,85 -4.346,26 -13.545,50

I I I I I

[Euro) -95 .000,00 -91 .681,39 -88.199,24 0,00

[Euro[ I -95.000 ,00 I 3.318,61 I 3.482,15 Z 88 .199,24

S

I I I I

ZInstableau

Abb. 4.87: Effektivzins nach ISMA Die Zinsbewertung der unterstellten Zahlungsreihe nach ISMA basiert auf dem Verfahren der exponentiellen Abzinsung, d. h. jede Einzahlung wird direkt exponentiell auf den Auszahlungszeitpunkt abgezinst. 412 Faktisch bedeutet die exponentielle Verzinsung eine stufenweise Abzinsung jeder Einzahlung vom aktuellen Tag auf den Tag zuvor und von diesem wiederum über die einzelnen Tage zurück bis zum Auszahlungstag. Der in Abb. 4.87 berechnete interne Effektivzins von 10,10% p.a. 413 unterstellt somit eine tägliche Zinskapitalisierung. 407Vgl. Internetseite: www.isma.rdg.ac.uk 408Vormals Association of international bond dealers (AIBD). 409Vgl. [44, S. 60 ff.] 41OVgl. [63, S. 65 ff.] 411Vgl. Kapitel 4.2.1.1.2 auf Seite 102. 412Vgl. Abb. 4.87 Zinstableau Spalte 10. 413Vgl. Abb. 4.87 Zinstableau Spalte 5.

208

Gesamtergebnisrechnung

Ausgehend von einer Auszahlung in Höhe von 95.000,00 Euro wird mit exponentieller Zinsrechnung eine Zinsschuld von 4.681,39 Euro am 30.03.01 berechnet. 414 Die Saldierung dieser Zinsschuld mit der Einzahlung von 8.000,00 Euro ist keinesfalls als Zinsverrechnung zu interpretieren, sondern lediglich als Zahlungsverrechnung mit dem aufgelaufenen Kapital-jZinssaldo. 415 Die Zinsverrechnung findet quasi täglich statt. Das bedeutet, daß die für einen Tag angefallenen Zinsen, unabhängig von einer eventuell anfallenden Zahlung, täglich kapitalisiert werden und am nächsten Tag mitverzinst werden. Wird beispielsweise der Kapital- und Zinssaldo einen Tag nach der Auszahlung, also am 01.10.00,

betrachtet, so errechnet sich ein Kapital-jZinssaldo von 95.025,39 Euro (95.000,00 Euro * 1,10101/ 36°). Am nächsten Tag, dem 02.10.00, ergibt sich aber schon wieder ein höherer

Kapital-jZinssaldo von 95.050,80 Euro (95.000,00 Euro * 1,10102/ 36°). Die angefallenen Zinsen in Höhe von 25,39 Euro für die Haltedauerperiode 30.09.00 bis 01.10.00 sind also dem Kapital-jZinssaldo am 01.10.00 bereits zugeschlagen worden (Zinseszinseffekt). Um nicht nur die Zahlungs-, sondern auch die Zinsverrechnungen vollständig darzustellen,

bedarf es bei der "internationalen" Effektivzinsmethode theoretisch einer Unterteilung der gesamten Haltedauer in einzelne Tage. Diese tägliche Sichtweise hätte aber die Darstellungsmöglichkeit der Abb. 4.87 auf der vorherigen Seite gesprengt. 4.2.1.2.2.1.1.2 Der Effektivzins nach PAngV 1985 Der EjJektivzins nach Preisangabenverordnung vom 14. März 1985 (PAng V85) 416 417 418 419 basiert auf einer

gesetzlichen Grundlage, die Finanz- und Kreditinstitute verpflichtet, für jeden privaten Verbraucher einen eindeutigen Effektivzins für jedes Geld-jKapitalaufnahmeangebot (Kredit) anzugeben. Somit ist die Preisangabenverordnung in erster Linie dem Verbraucherschutz verpflichtet. Sie stellt sicher, daß der private Verbraucher auf ein einheitliches Vorgehen der Effektivzinsberechnung und -angabe bei den Finanz- und Kreditangeboten vertrauen kann. Das Gleichungsmodell des Effektivzinses nach PAngV85 wird in §4 PAngV Abs. 1 und 2 verbal beschrieben: ,,(1) Bei Krediten sind als Preis die Gesamtkosten als jährlicher Vomhundertsatz des Kredits anzugeben und als "effektiver Jahreszins" oder, wenn eine Änderung des Zinssatzes ( ... ) vorbehalten ist (§1 Abs. 4), als "anfänglicher effektiver Jahreszins" zu bezeichnen. ( ... ) (2) Der anzugebende Vomhundertsatz gemäß Absatz 1 beziffert den Zinsssatz, mit dem sich der Kredit bei regelmäßigem Kreditverlauf ( ... ) auf der Grundlage taggenauer Verrechnung aller Leistungen und nachschüssiger

414Ygl. 415ygl. 416Ygl. 417Die Ygl. 418Ygl. 419Ygl.

Abb. 4.87 auf der vorherigen Seite Tilgungstableau Spalte 8 am 30.03.01. Abb. 4.87 auf der vorherigen Seite Tilgungstableau Spalte 10 am 30.03.01. § 1 bis § 9 PAngY vom 14. März 1985. PAngY 1985 wurde am 01. September 2000 abgelöst von der Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.4 auf Seite 216. [63, S. 24 ff.] [122, S. 10 ff.]

PAngY

2000:

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

209

Zinsbelastung gemäß §608 BGB 420 staffelmäßig abrechnen läßt. ( ... ) Der anzugebende Vomhundertsatz ist mit der im Kreditgewerbe üblichen Genauigkeit zu berechnen." Die

Ausführungshinweise

zu

§4

PAngV

des

Bund-Länder-Ausschusses

vom

18. Dezember 1992 konkretisieren im 1. Grundsatz das Gleichungsmodell des Effektivzinssatzes nach PAngV85: "Zunächst ist anhand der Kreditkonditionen zu ermitteln, wie sich das Kreditkonto entwickelt und in Form einer Staffel summen- und terminmäßig darzustellen. Die Zahlungsströme des Kredits sind auf einen Vergleichskredit 421 zu übertragen, der jährlich (360 Tage Zinstage nach Auszahlung) bzw. - bei Restlaufzeiten von weniger als einem Jahr - am Kreditende nachschüssig nach der jeweiligen Kredithöhe zu verzinsen ist und für den keine weiteren Kreditkosten anfallen. Effektiver Jahreszins bzw. anfänglicher effektiver Jahreszins ist der Zinssatz, mit dem der Vergleichskredit bei Zugrundelegung der Zahlungsströme des (wirklichen) Kreditkontos zu verzinsen wäre. ( ... )" Beim Effektivzins nach PAngV85 wird - ohne daß dies explizit den Ausführungshinweisen zur PAngV85 zu entnehmen ist - die Zinsusance 30E/360 verwendet. 422 Die Begründung zur Verordnung zur Regelung der Preisangaben (Bundesanzeiger Nr. 70/1985 vom 13.04.1985, Seite 1370 f.; Auszug zu §4 PAngV) bemerkt im Absatz 2 zu §4 PAngV desweiteren: ,,( ... ) Die Einrechnung der sich aus den Tilgungsmodalitäten und unterjährigen Zinszahlungen ergebenden Belastungen (Zinseszinseffekt ) in den effektiven Jahreszins bedingt zwangsläufig, daß bei einer Abstaffelung des Kredits mit dem effektiven Jahreszins die Zahlungen des Kreditnehmers voll als Tilgung verrechnet werden und die auf die jeweiligen Restkapitalbestände entfallenden (effektiven) Zinsen am Ende eines Laufzeitjahres belastet, d. h. dem Restkapital zugeschlagen werden. Mit dem Hinweis auf die in § 608 BGB enthaltene Regelung wird außerdem klargestellt, daß bei Restlaufzeiten von weniger als einem Jahr von einer Zinsbelastung am Kreditende auszugehen ist. (... )" Da sich die verbal juristische Beschreibung der Effektivzinsberechnung nach PAngV85 recht umständlich ausnimmt, werden die Merkmale dieser Effektivzinsberechnung, neben der Verwendung der internen Zinsfußmethode,423 zusammenfassend aufgeführt: • lineare unterjährige Verzinsung, • Zinskapitalisierung erstmals nach einem ganzen Jahr, d. h. die "gebrochene" Haltedauer wird an das Ende der Haltedauer gelegt, • Zinsverrechnung unabhängig von den Zahlungszeitpunkten. 420§608[Fälligkeit von Zinsen] BGB: "Sind für ein Darlehen Zinsen bedungen, so sind sie, sofern nicht ein anderes bestimmt ist, nach dem Ablaufe je eines Jahres und, wenn das Darlehen vor dem Ablauf eines Jahres zurückzuerstatten ist, bei der Rückerstattung zu entrichten." 421 Der Vergleichskredit entspricht dem Tilgungstableau in Abb. 4.88 auf Seite 211. 422Vgl. Kapitel 3.2.3 auf Seite 23. 423Vgl. Kapitel 4.2.1.1.2 auf Seite 102.

210

Gesamtergebnisrechnung

Das Gleichungsmodell der Effektivzinsberechnung nach PAngV85 zeigt Abb. 4.88 auf der nächsten Seite. Zum besseren Verständnis dieses Gleichungsmodells wird der unterstellte Zahlungsstrom um die Zinskapitalisierungs-Zeitpunkte gemäß PAngV85-Prämissen ergänzt und in Tab. 4.77 dargestellt. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.09.01 30.03.02 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro Zinskapitalisierung 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro "gebrochene" Haltedauer Zinskapitalisierung "gebrochene" Haltedauer

Tabelle 4.77: Zahlungsstrom mit Zinskapitalisierungs-Zeitpunkten

>

C,)1

~ ~ ~ 00

~

8-

~.

N

~t

~

~

trl

00 00

~

0"' 0"'

2

0,00 P 180,00 P 360 ,00 P

[Tage)

3

360,00 P 360,00 P 360,00 P

[Tage)

30.0302 1

1 1

1 1

1 1

0,50 I 0,00 I 4.419,10 1 I 1

I

Effektivzins nach PangV85 p,a, [%):

1 1

360,00 P 360,00 P

Zlnstage. quotient

-96.126,40 I -88.126,40 I

180,00 P 0,00 P

360,00 P 360,00 P

[Tage)

S

5 5 - 10

180,00 P

[Tage)

Anfangs. kapital! S ·zinssaldo [Euro) 0,50 I 0,00 P 0,50 I -95.000,00 I

4 - 213

1,00 I

S

-87.000,00

8.000,00 U 92 .545,50 U

180,00 P 180,00 P

[Tage)

S Jahres· S basls

3

360,00 P

[Tage)

Zlnstage

5

30.09 .01 30.03 .02

[E..-o) -95.000,00 B 8.000,00 U

Zlnstage

Zahlungs. strom

S

2

1

540,00 P

[Tage)

2

0,00 P 180,00 P 180,00 P

S

S

0,00 I 0,50 I 0,50 I

Zlnstage. quotient

6- 5/ 3

I I I

S

10,0290091 A,V

10,03 10,03 10,03

[ %)

Zins

7

S

10,0290091 1vi

"")

100 100

100 100

Hundert

1

Zinstableau

10,0290091

Zins

7

1

P P

P P

S

E

S

L Zins [Euro) (9) :

1 1

10,03 I 10,03 I

I 10,03 I

"")10,03

Zins

6

S

0,50 I

Zlnstage. quotient

6- 5/3

8

S

-13.545,50 I

-4.419,10 I

-9.126,40 I

[Euro)

Zinskapi. S talisierung

8 - 13 8 - 14

100 P

Hundert

8

S

100 P 100 P 100 P

Hundert

Zinstableau '"gebrochene Hattedaue r"

Effektivzins nach PangV85 p,a . [%):

0,00 I 1,00 I 1,00 I

[Tage)

Zlnstage

5

30.09 .01

30.09 .00 30.03.01

Datum

4 - AUF RUNDEN (2 / 3; 111

4 - AB· RUNDEN 12 /3' 1Il Zlnstage. S Kumulierte S Jahres· S quotient S Zlnstage basis (kumulierte Zlnstagel

[Euro) 92.545,50 U

Zahlungs. strom (Endwert)

Tilgungstableau

30.03.02

Datum

1

3

Zinstage. S Kumulierte S Jahres- S quotient S ZInstage basis (kumulierte Zinstagel

[E..-o) -95.000 ,00 B 8.000,00 U 8.000,00 U

Zahlungs. strom (Endwert)

1

Zinstableau "gebrochene Haltedauer"

30 .09.00 30 .03.01 30 .09.01

Datum

Zinstableau +

10

1 P 1 P 1 P

1,1003 I 1,1003 I 1,1003 I

S ZInsfaktor S

11 = 9

S

S

11 - 9 + 10

O,OOjZl

4.419,10 I

-8.000,00 I -92 .545,50 I

TIlgung

L Kalkulatorischer Zins [Euro) (14):

-88 .126,40 I 4.419,10 I

Endkapital! ·zinssaldo

-4.419,10 I 0,00 I -4.419,10 I

I I I

S

1,1003 I

12 - 4 *6 / 1"10

[Euro) -95.000 ,00 7.635,40 7.270,81 80.093,78 0,00 0,00

Zahlungsstrom (Barwert)

+ 101 • 11 A -4 nicht bei Zinskapitalisierung

12 = 1 • 11A -4 bei Zinskapitalisierung

12 - 1 • (6 • 9

Zinstableau

[Euro)

A

-4

S

I I I E I Z

S

80.093,78 A

Zahlungsstrom (BaIWert)

12 - 1 / (6 · 9 + 10) • 11

Zinstableau ·'gebrochene Haltedauer"

S Zlnsfaktor S

1 P

11 - 5 -10

Eins

10

Kalkula· S torischer Zins (E..-o) (Euro) (Euro) 95 .000,00 I -95.000 ,00 I -4.763,78 -87 .000,00 I -8.000,00 I -4.362,62 Kalkulatorischer Zins [Euro) (13) : -9.126,40 -96 .126,40 I 9.126,40 I

10 - 1 + 5 bei Tilgung 10 - 5 + 8 bei Zlnskapitalisierunq

L

Eins

10

L Barwert 30.09 ,00 [Euro) (131 : Kapitalwert 30 ,09,00 [Euro) (14 = 131:

0,1003 I

Zlnsquotient

9 - 718

S

0,1003 I 0,1003 I 0,1003 I

Zlnsquotient

9 =7 / 8

212

Gesamtergebnisrechnung

Einzahlungen, die terminiich direkt mit den Zinskapitalisierungs-Zeitpunkten zusammenfallen und in keiner "gebrochenen" Haltedauer liegen, z. B. 8.000,00 Euro am 30.09.01,424 werden unmittelbar auf den Auszahlungszeitpunkt 30.09.00 exponentiell abgezinst. 425 Einzahlungen dagegen, die terminiich nicht direkt mit den ZinskapitalisierungsZeitpunkten zusammenfallen und in keiner "gebrochenen" Haltedauer liegen, z. B. 8.000,00 Euro am 30.03.01,426 werden bis zum nächsten Zinskapitalisierungs-Termin (30.09.01) linear aufgezinst und anschließend auf den Auszahlungszeitpunkt 30.09.00 exponentiell abgezinst. 427 Ein finanzmathematischer Sonderfall ist die letzte Einzahlung von 92.545,50 Euro am 30.03.02 in der "gebrochenen" Haltedauer. Diese wird zunächst auf den letzten Zinskapitalisierungs-Zeitpunkt (30.09.01) linear abgezinst und anschließend auf den Auszahlungszeitpunkt 30.09.00 exponentiell abgezinst. 428 Besonders deutlich wird die Zinskapitalisierungs-Prämisse der Effektivzinsmethode nach PAngV85 im Tilgungsableau der Abb. 4.88 auf der vorherigen Seite. Im ersten Halbjahr (30.09.00 bis 30.03.01) fallen lineare Zinsen in Höhe von 4.763,78 Euro an. 429 Diese werden jedoch nicht mit der Einzahlung von 8.000,00 Euro am 30.03.01 verrechnet, sondern bis zum Zinskapitalisierungs-Termin am 30.09.01 "stehengelassen " . Die Einzahlung von 8.000,00 Euro am 30.03.01 vermindert somit voll den Zinssaldo bzw. das Kapita1. 43o Bezogen auf den neuen Zinssaldo von 87.000,00 Euro fallen bis zum 30.09.01 lineare Zinsen in Höhe von 4.362,62 Euro an. 431 Bis zum ZinskapitalisierungsZeitpunkt am 30.09.01 haben die angefallenen Zinsen von 9.126,40 Euro (= 4.763,78 Euro

am 30.03.01 + 4.362,62 Euro am 30.09.01) noch keinen Einfluß auf den Zinssaldo. 432 Erst zum Zinskapitalisierungs-Zeitpunkt am 30.09.01 werden die angefallenen Zinsen dem Zinssaldo zugerechnet. Der neue Zinssaldo beträgt demnach 96.126,40 Euro

(= 87.000,00 Euro alter Zinssaldo

+

9.126,40 Euro angefallene Zinsen) und bleibt wiederum bis zum nächsten Zinskapitalisierungs-Termin 30.03.02 stehen. 433

424Ygl. 425ygl. 426ygl. 427ygl. 428ygl. 429ygl. 430ygl. 431 Ygl. 432ygl. 433ygl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.88 4.88 4.88 4.88 4.88 4.88 4.88 4.88 4.88 4.88

auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der

vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen

Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite

Zinstableau Spalte 1 am 30.09.01. Zinstableau Spalte 12 am 30.09.01. Zinstableau Spalte 1 am 30.03.01. Zinstableau Spalte 12 am 30.03.01. Zinstableau "gebrochene Haltedauer" Spalte 12. Tilgungstableau Spalte 12. Tilgungstableau Spalte 10 am 30.03.01. Tilgungstableau Spalte 12. Tilgungstableau Spalte 10. Tilgungstableau Spalte 10 am 30.09.01.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

213

4.2.1.2.2.1.1.3 Der Effektivzins nach Braess Der EjJektivzins nach Braess 434

435

ist bis auf die Zeitpunkte der Zinskapitalisierung identisch mit dem Effektivzins nach PAngV85. 436 Gemäß Effektivzins nach Braess erfolgt die erste Zinskapitalisierung bei "gebrochener" Haltedauer bereits nach Ablauf des "gebrochenen" Haltedauerabschnitts und wird damit auf den Anfang der Gesamthaltedauer gelegt. Danach folgen nur noch ganze Haltedauerjahre. Die im Gegensatz zur PAngV85-Methode "frühe" Zinskapitalisierung führt zu einer durchschnittlich höheren Kapitalbildung und damit bei "gebrochener" Haltedauer zu einem geringeren Effektivzins, als ihn die PAngV85-Methode ausweist. Zusammenfassend gelten auf Basis der internen Zinsfußmethode die folgenden Merkmale: • lineare unterjährige Verzinsung, • Zinskapitalisierung erstmals nach Ablauf der "gebrochenen" Haltedauer, d. h. die "gebrochene" Haltedauer wird an den Anfang der Haltedauer gelegt, • Zinsverrechnung unabhängig von den Zahlungszeitpunkten. Das Gleichungsmodell der Effektivzinsberechnung nach Braess zeigt Abb. 4.89 auf der nächsten Seite. Zum besseren Verständnis dieses Gleichungsmodells wird der unterstellte Zahlungsstrom um die Zinskapitalisierungs-Zeitpunkte gemäß Braess-Prämissen ergänzt und in Tab. 4.78 dargestellt. Datum 30.09.00 30.03.01 30.03.01 30.09.01 30.03.02 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro Zinskapitalisierung "gebrochene" Haltedauer 8.000,00 Euro "gebrochene" Haltedauer 8.000,00 Euro Zinskapitalisierung 92.545,50 Euro

Tabelle 4.78: Zahlungsstrom mit Zinskapitalisierungs-Zeitpunkten

434Ygl. [44, S. 91 ff.] 435Ygl. [63, S. 39 ff.] 436Ygl. Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.2 auf Seite 208.

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2

8.000,00 U 8.000,00 U 92.545,50 U

180,00 P 360,00 P 540,00 P

3

-

RUNDEN (2/3; 111

4 - AB·

2

4 - AB-

1 1

O,OO( P (

1 1

3O.0302( 92.545,50 ( U (

30.0302 1

1 1

1 1 -83.756,961 1

0,50 1 0,50 I

1

360,OO ( P I 0,00 I -92.545,501 1 Effektivzins nach Braess p.a. (%]:

1 1

360,00 P 360,00 P

ZlMtage . quotient

-99756,96 -91 .756,96

180,00 P 180,00 P

ITage) 360,00 P

S

5 5 - 10

Anfangskapital! S -zl_ldo IEuro) 0,50 I 0,00 P

4 - 2/3

30.03 01 3009 01

8000,00 U 8000,00 U

3

S Jahres. S basls

(Tage) 180,00 P

ZlMtage

-

(Tage) 180,00 P

10,01 1 10,01 1

10,01 I

S

10,01 1 10,0146423 V

I~)

Zins

6

0,50 I

~

1 P

P P

P

S

E

S

S

-8.788,55 1

-4 .756,96 1

IEuro)

Zlnskapl- S tallslerung

8 - 13 8 - 14

100 P

Hundert

8

S

100 P 100 P 100 P

Hundert

8

Zins (Euro] (9) : -13545,50 1

100

100 100

100

Hundert

1

Zinstableau

10,0146423

~)

Zins

ZlMtage. quotient

ZlMtage

S

1

S

S

10,01 I 10,01 I 10,01 I 10,0146423 A , V

)~)

Zins

Zinstableau '"gebrochene Hattedauer"

0,50 I 0,50 I 0,50 I p.a. (%]:

S

1

6- 5/3

·95.000,00

(Euro) -95.000 ,00 B

Zahlungs. S strom

2

S

ZlMtage. quotient

6 - 5/3

5

30.03.01

30.0900

Datum

1

Tilgungstableau

(Tage)

ZlMtage

5

0,00 I 180,00 P 1,00 I 180,00 P 1,00 I 180,00 P Effektivzins nach 8raess

RUNDEN (2/3' 111 ZlMtage Zahlungs. S Kumulierte S Jahres. S quotient S Datum strom (kumulierte ZlMtage basls (Barwert) ZlMtage) (Tage) (Tage) lEUro) 300900 -95000,00 B 360,00 P

1

3

360,00 P 360,00 P 360,00 P

Zinstableau "gebrochene Haltedauer"

30.03.01 30 .09.01 30.03 02

Datum

1

-

ZlMtage. Zahlungs. S Kumulierte S Jahres. S quotient S strom (kumulierte ZlMtage basls (Endwart) ZlMtage) (Tage) (Tage) lEUro)

Zinstableau

10 - 1 + 5

+

8

~

~

Eins

11 - 9 +

10

S

I

S

Tilgung

11 - 9

+

10

S

0,00 1Z I -92545,50 1 1

-91 .756 ,96 1 -8000,00 1 -83.756 ,96 1 -8000,00 1 Kalkulatorischer Zins (Euro] (14): -92.545,501 11 8788,551 1

0,00 1

-4 .594,57 1 -4193,98 1 -8788,55 1

Kalkula torlscher S Zins IEuro) -4756,96 I -4 .756,96 1

12 - .( " 61 1"10

10) "11" ...

(Euro) -99.756,96 8000,00 7635,88 84.121,08 0,00 0,00

Zahlungsstrom (Barwert; Endwart)

nicht bel Zlnskaphallslerung

+

bel Zlnskaphallslerung

12 - 1 " ~ "9

+

10)

Zinstable au

lEUro)

S

lO

E I I I I Z

S

-99.756,96 A

Zahlungsstrom (Endwart)

12 - 1 " ~ "9

Zinstableau '"gebrochene Hattedauer

S Zlnstaktor S

1 P

11 - 5 · 10

Eins

10

1 P 1 P 1 P

S Zlnstaktor S

IEuro) lEUro) ·95.000,00 I 95000,00 I Kalkulatorischer Zins (Euro] (13): -99.756,96 1 4756,96 1

EndkaphaI! -zlnaaldo

bel Zlnskapltallslerung

10 - 5

bel Tilgung

0,1001

Zlnsquotlent

9 -1 18

I I I

S

10

1,1001 I 1,1001 I 1,1001 I ~ Barwert 30.03.01 (Euro] (13): Kapitalwert 30.03.01 (Euro] (14 - 13):

0,1001 0,1001 0,1001

Zlnsquotlent

9-1/8

12 - 1 "11 " ...

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ctl

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~

~

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

215

Einzahlungen, die terminlich direkt mit den Zinskapitalisierungs-Zeitpunkten zusammenfallen und in keiner "gebrochenen" Haltedauer liegen, z. B. 92.545,50 Euro am 30.03.02,437 werden unmittelbar auf den Zeitpunkt 30.03.01, der nach Ablauf des "gebrochenen" Haltedauerabschnitts (30.09.00 bis 30.03.01) terminiert ist, exponentiell abgezinst. 438 Einzahlungen dagegen, die terminlich nicht direkt mit den Zinskapitalisierungs-Zeitpunkten zusammenfallen und in keiner "gebrochenen" Haltedauer liegen, z. B. 8.000,00 Euro am 30.09.01,439 werden bis zum nächsten Zinskapitalisierungs-Termin (30.03.02) linear aufgezinst und anschließend auf den Zeitpunkt 30.03.01, der nach Ablauf des "gebrochenen" Haltedauerabschnitts (30.09.00 bis 30.03.01) terminiert ist, exponentiell abgezinst. 44o Ein finanzmathematischer Sonderfall ist die erste Auszahlung von 95.000,00 Euro am 30.09.00 in der "gebrochenen" Haltedauer. Diese wird lediglich auf den ersten Zinskapitalisierungs-Zeitpunkt (30.03.01) linear aufgezinst. 441 Besonders deutlich wird die Zinskapitalisierungs-Prämisse der Effektivzinsmethode nach Braess im Tilgungstableau der Abb. 4.89 auf der vorherigen Seite. Im ersten Halbjahr (30.09.00 bis 30.03.01) fallen lineare Zinsen in Höhe von 4.756,96 Euro an. 442 Diese werden sofort am 30.03.01 dem Kapital bzw. Zinssaldo zugerechnet. Der neue Zinssaldo beträgt demnach 99.756,96 Euro (= 95.000,00 Euro alter Zinssaldo + 4.756,96 Euro angefallene Zinsen).443 Im zweiten Halbjahr (30.03.01 bis 30.09.01) fallen Zinsen in Höhe von 4.594,57 Euro an. 444 Diese werden jedoch nicht mit der Einzahlung von 8.000,00 Euro am

30.09.01 verrechnet, sondern bis zum Zinskapitalisierungs-Termin am 30.03.02 "stehengelassen" . Die Einzahlung von 8.000,00 Euro am 30.03.01 vermindert voll den Zinssaldo bzw. das Kapita1. 445 Bezogen auf den neuen Zinssaldo von 91.756,96 Euro fallen bis zum 30.03.02 Zinsen in Höhe von 4.193,98 Euro an. 446 Bis zum Zinskapitalisierungs-Zeitpunkt am 30.03.02 haben die angefallenen Zinsen von 8.788,55 Euro (= 4.594,57 Euro am 30.09.01 + 4.193,98 Euro am 30.03.02) noch keinen Einfluß auf den Zinssaldo. 447 Erst zum Zinskapitalisierungs-Zeitpunkt am 30.03.02 werden die angefallenen Zinsen dem Zinssaldo zugerechnet. Der neue Zinssaldo beträgt demnach 92.545,50 Euro (= 83.756,96 Euro

alter Zinssaldo + 8.788,55 Euro angefallene Zinsen) und wird durch die letzte Einzahlung in Höhe von 92.545,50 Euro endgültig getilgt. 448

43 7y gl. 438ygl. 439ygl. 440ygl. 441 Ygl. 442ygl. 443ygl. 444Ygl. 445ygl. 446ygl. 447ygl. 448ygl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.89 4.89 4.89 4.89 4.89 4.89 4.89 4.89 4.89 4.89 4.89 4.89

auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der

vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen

Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite

Zinstableau Spalte 1 am 30.03.02. Zinstableau Spalte 12 am 30.03.02. Zinstableau Spalte 1 am 30.09.0l. Zinstableau Spalte 12 am 30.09.0l. Zinstableau "gebrochene Haltedauer" Spalte 12. Tilgungstableau Spalte 12. Tilgungstableau Spalte 10. Tilgungstableau Spalte 12. Tilgungstableau Spalte 10 am 30.03.0l. Tilgungstableau Spalte 12. Tilgungstableau Spalte 12. Tilgungstableau Spalte 10 am 30.03.02.

216

Gesamtergebnisrechnung

4.2.1.2.2.1.1.4 Der Effektivzins nach PAngV 2000 Der EjJektivzins nach Preisangabenverordnung vom 01. September 2000 (PAngV00j449 450 regelt die Verpflichtung zur Angabe eines effektiven Jahreszinses bei Verbaucherkrediten. Ziel der PAngVOO ist es, die Position der Verbraucher durch Gewährleistung eines optimalen Preisvergleichs zu stärken. Sie leistet somit einen Beitrag zur Förderung des Wettbewerbs. Das Gleichungsmodell des Effektivzinses nach PAngVOO wird in §6 PAngV Abs. 1 und 2 verbal beschrieben: ,,(1) Bei Krediten sind als Preis die Gesamtkosten als jährlicher Vomhundertsatz des Kredits anzugeben und als "effektiver Jahreszins" oder, wenn eine Änderung des Zinssatzes ( ... ) vorbehalten ist (§1 Abs. 4), als "anfänglicher effektiver Jahreszins" zu bezeichnen. (... ) (2) Der anzugebende Vomhundertsatz gemäß Absatz 1 ist mit der im Anhang angegebenen mathematischen Formel451 ( ... ) zu berechnen. Er beziffert den Zinssatz, mit dem sich der Kredit bei regelmäßigem Kreditverlauf, ausgehend von den tatsächlichen Zahlungen des Kreditgebers und des Kreditnehmers, auf der Grundlage taggenauer Verrechnung aller Leistungen abrechnen lässt. Es gilt die exponentielle Verzinsung auch im unterjährigen Bereich. (... ) Der anzugebende Vomhundertsatz ist mit der im Kredit übliche Genauigkeit zu berechnen." Die Begründung zur Verordnung zur Regelung der Preisangaben452 bemerkt im Absatz A. Allgemeiner Teil: ,,( ... ) Die Richtlinie 98/7/EG zur Angleichung der Rechtsund Verwaltungsvorschriften der Mitgliedsstaaten über den Verbraucherkredit ändert den Berechnungsmodus des effektiven Jahreszinses. Dieser drückt in einem Prozentsatz die Gesamtbelastung des Kreditnehmers aus und dient bei der Inanspruchnahme 449Ygl. § 1 bis § 11 PAngY vom 01. September 2000; abrufbar (eventuell neuere Fassungen) unter der Internetseite: www.bmwi.de/bmwa/N avigation/Wirtschaft /Wirtschaftspolitik/Wett bewerbspolitik/wettbewerbsrecht,did=6168.html

450ygl. [121] 451Die mathematische Formel zur Berechnung des Vomhundertsatzes gemäß §6 PAngY Absatz 1 lautet:

K K' AK A~('

L

m m'

tK

t'l('

Die laufende Nummer der Auszahlung eines Darlehens Die laufende Nummer einer Tilgungszahlung Der Auszahlungsbetrag des Darlehens mit der Nummer K Der Betrag der Tilgungszahlung mit der Nummer K' Das Summationszeichen Die laufende Nummer der letzten Auszahlung des Darlehens Die laufende Nummer der letzten Tilgungszahlung Der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitabstand zwischen dem Zeitpunkt der Darlehensauszahlung mit der Nummer 1 und den Zeitpunkten darauf folgender Darlehensauszahlungen mit den Nummern 2 bis m; tl = 0 Der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitabstand zwischen dem Zeitpunkt der Darlehensauszahlung mit der Nummer 1 und den Zeitpunkten der Tilgungszahlung mit den Nummern 1 bis m' Der effektive Zinssatz

452Die Begründung zur Verordnung zur Regelung der Preisangaben ist abrufbar unter der Internetseite: www.bmwi.de/bmwa/N avigation/Wirtschaft /Wirtschaftspolitik/Wettbewerbspolitik/wett bewerbsrecht,did=6168.html

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

217

insbesondere von Krediten für den Verbraucher als maßgebliche Referenzgröße, um die Angebote verschiedener Finanzinstitute vergleichen zu können. Bislang war dies aufgrund unterschiedlicher Berechnungsmethoden zwischen den Mitgliedsstaaten nur eingeschränkt möglich. Durch die Einführung einer gemeinschaftlich einheitlich geltenden

AIBD-Methode (AIDB = Association of International Bond Dealers) zur Berechnung des effektiven Jahreszinses wird die Vergleichbarkeit von Finanzierungsangeboten nunmehr auch über Landesgrenzen hinweg verbessert. (... ) Die Berechnung des effektiven

Jahreszinses richtet sich ( ... ) bezüglich der Berechnungsmethode (... ) nach §4 PAngV. ( ... ) Berechnungsgrundlage sind dabei 365 Tage, 52 Wochen oder 12 gleich lange Monate, wobei für letztere eine Länge von 31625 = 30,416 Tagen angenommen wird. ( ... )" Im Ergebnis bleibt festzuhalten, daß das Gleichungsmodell der gesetzlich vorgeschriebenen Effektivzinsberechnung nach PAngVOO dem Gleichungsmodell der Effektivzinsberechnung nach ISMA453 entspricht. Als Zinsusance wird vom Gesetzgeber die standardisierte 30,416j365-Tagemethode vorgegeben. Diese Methode wird im folgenden anhand von drei Beispielen erläutert: • Auszahlung 100.000,00 Euro tilgungsfreier Kredit am 15.05.01; monatliche Zinszahlung 1.000,00 Euro, erstmals am 31.05.01; Ende der Zinsbindung 30.06.01 ::::} 31655

+ 112

Haltedauer

• Auszahlung 100.000,00 Euro tilgungsfreier Kredit am 30.03.01; Zinszahlung 1.000,00 Euro am 15.05.01; Ende der Zinsbindung 15.05.01; Prolongation bis 30.06.01; Zinszahlung 1.000,00 Euro am 30.06.01 ::::}

31655

+ 112 + :::5 + 112

Haltedauer

• Auszahlung 100.000,00 Euro tilgungsfreier Kredit am 30.03.01; Zinszahlung am 15.05.01 und 30.06.01 jeweils 1.000,00 Euro; Ende der Zinsbindung 30.06.01 ::::} 132

Haltedauer

Wird das zweite und dritte Beispiel bezüglich ihrer Haltedauern verglichen, so ergibt sich folgendes Ergebnis: 15 365

15 + 121 + 365 + 121

Ha lt ed auer --l r

3 12

Ha lt ed auer

Diese Ergebnis ist sehr merkwürdig, da das zweite und dritte Beispiel zu identischen Zahlungsströmen gemäß Tab. 4.79 auf der nächsten Seite führen.

453Vgl. Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207.

218

Datum 30.03.01 15.05.01 15.05.01 15.05.01 30.06.01 30.06.01

Gesamtergebnisrechnung

Zahlung Auszahlung Zinszahlung Tilgung Auszahlung Zinszahlung Tilgung

1 Zweites Beispiel 100.000,00 Euro 1.000,00 Euro 100.000,00 Euro

Tabelle 4.79: Beispielhafte Problematik

2 Zweites Beispiel Prolongation

100.000,00 Euro 1.000,00 Euro 100.000,00 Euro

Zahlungsströme

zur

3=1+2 Zweites Beispiel Summe 100.000,00 Euro 1.000,00 Euro

100.000,00 Euro 1.000,00 Euro

1.000,00 Euro 100.000,00 Euro

1.000,00 Euro 100.000,00 Euro

Demonstration

4=3 Drittes Beispiel

der

Zinsusance-

Dieses merkwürdige Ergebnis läßt sich nur durch die Verwendung der standardisierten 30,416/365-Tagemethode als Zinsusance der Effektivzinsberechnung nach PAngVOO erklären. 4.2.1.2.2.1.1.5 Der Effektivzins nach USjLeasing Der EjJektivzins nach USjLeasing 454 455 ist gekennzeichnet durch folgende die interne Zinsfußmethode456

ergänzende Merkmale: • lineare unterjährige Verzinsung zwischen den einzelnen Zinsverrechnungsterminen, • Zinskapitalisierung abhängig von den Zahlungszeitpunkten, • Zinsverrechnung abhängig von den Zahlungszeitpunkten. Das Gleichungsmodell der Effektivzinsberechnung nach US/Leasing zeigt Abb. 4.90 auf der nächsten Seite.

454Vgl. [44, S. 80 ff.] 455Vgl. [63, S. 52 ff.] 456Vgl. Kapitel 4.2.1.1.2 auf Seite 102.

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0,00 180,00 360,00 180 ,00

(Tage)

Zinstage

1

P P P P

S

360,00 360,00 360 ,00 360 ,00

Jahresbasis (Tage)

2

P P P P

0,00 0,50 1,00 0,50

1 1 1 1

S Zinst~ge- S quotient

3 = 1 /2

3

-750,94 1 I 88 .132,43 v i

88 .132,43 11

-95 .000,00 1

-87 .381,48 1

-88 .132,43 1

30.03 .01 30 .09 .01 30.09.01

30 .09 .01 30.03 .02

30.03 .02

180,00

pi

360 ,00 P I 360,00 P I

180,00 P

5 = 3 /4

100 100 100 100

P P P P

S

360,00 P

360,00 P 360,00 P

360,00 P

0,50 1

1,001 1 1,001 1

0,50 1 1

0,00 1

S Zinst~ge- S quotient

360,00 P

Jahresbasis (Tage)

4

5 S Hundert

(%) 10,01 1 10,01 1 10,01 1 10,01 1 10,0146421 V

Zins

4

Treasury-konformer Effektivzins (TEZ) p.a. [%]:

7.618,52 1 -750,94 V 88 .132,43 V

-95 .000,00 1 I 7.618,52 V I

S

0 ,00 P

(Tage)

S Zinstage

0,00 P

(Euro)

Tilgung

30 .09.00 30 .03.01

S

-95 .000,00 V

Anfangskapital (Euro)

2

30 .09 .00

Datum

1 1 = 12

Tilgungstableau

Treasury-konformer Effektivzins (TEZ) p.a. [%]:

30 .09 .00 30 .03 .01 30 .09 .01 30 .03.02

Datum

Zinstableau

10,0146421 V

1

S

S

4.413,07 1 4.413,07 1

-75,20 1 8.826,15 1 8.750,94 1

381,48 1 381,48 1

0,00 1 0,00 1

(Euro)

Teilzins

8=2*5* 617

S

8.826,15 1

(Euro)

Teilzins

9=3"4 / 5*8

I

4.413,07 1 13.545,50 1

I

8750,94 1 1

381,48 1

I

12 = 1

+

2

0,00 381,48 8.750,94 4.413,07 13.545,50

(Euro)

Zins

10 = 7 10 = 7 + 9

10

0,00 Z

-88 .132,43 1

S

N N N N

S

92. 545,50 N

I

8.000,00 N

8.000,00 N

I

-95 .000 ,00 1N

S Zahlungsstrom (Euro)

13 = 2

+

-95 .000,00 8.000,00 8.000,00 92 .545,50

Z Max!

1 1 1 1

-87 .381,48 1

I

12 = 6 + 10 S Zahlungsstrom (Euro)

-95 .000,00 1 1

(Euro)

SEndkapital

0,00 1 1

(Euro)

Zins

10 = 9a 10 = 9b 10 = 9c 10 = 9d

L Zins [Euro] (11):

88 .132,43 1

(Euro)

Tilgung

8 = 630 .03.02

L Zins [Euro] (1 1):

100 P

100 P 100 P

L Teil zins [Euro] (9d):

10,01

1 1

100 P

L Teilzins [Euro] (9c):

10,01 10,01

1

L Teilzins [Euro] (9b):

10,01

L Teilzins [Euro] (9a):

100 P

1

1 1 1 1

(%) 10,01

7

0 ,00 381,48 -75,20 4.413,07

S

S Hundert S

V V V V

(Euro)

STeilzins

7=3"4 / 5*6

Zins

6

-95 .000,00 7.618,52 -750,94 88 .132,43

(Euro)

Tilgung

6

~:

~ ~

01

aq

ä =

g.

('0

"1

0'"

....rn =

('0

aq

"1

('0

rn

~

=(")

rn

('0

aq

('0

~

-

Er

t.%j

~

~

Gesamtergebnisrechnung

226

Zur Berechnung des treasury-konformen Effektivzinses ist die Aufstellung und Lösung eines linearen Gleichungssystems erforderlich. Dabei werden die einzelnen Zahlungen des unterstellten Zahlungsstroms gemäß Tab. 4.81 danach differenziert, ob es sich um unterjährige Tranchen oder um jährliche Tranchen handelt. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tranchen unterjährig jährlich unterjährig

Tabelle 4.81: Unterteilung eines Zahlungsstroms in unterjährige und jährliche Tranchen Für unterjährige Tranchen gilt, daß für sie ein linearer Zinsanteil für die unterjährige Haltedauer berechnet wird. Für (über )jährige Tranchen gilt, daß für sie jährlich Zinsen zu verrechnen sind, unabhängig von der gesamten Haltedauer . Diesem Gedanken wird Rechnung getragen, indem der am 30.09.01 fälligen Einzahlung von 8.000,00 Euro sowohl die Zinsen der Jahrestranche in Höhe von 8.826,15 Euro als auch die Zinsen für die nachfolgende unterjährige Tranche in Höhe von -75,20 Euro angelastet werden. Somit erfolgt für jede Zahlung eine Aufsplittung in einen Zins- und Tranchenantei1. 476

Die unterstellten Merkmale der treasury-konformen Effektivzinsberechnung werden bei Betrachtung des Tilgungstableaus besonders transparent. Der Auszahlungsbetrag von 95.000,00 Euro wird zunächst in die einzelnen Tranchen zerlegt. Für den Halbjahreszeitraum 30.09.00 bis 30.03.01 wird für die unterjährige Tranche von 7.618,52 Euro ein linearer Zinsanteil von 381,48 Euro ermittelt. 477 Die Addition der unterjährigen Tranche mit seinem Zinsanteil ergibt die Einzahlung in Höhe von 8.000,00 Euro. 478 Gleichzeitig mindert die unterjährige Tranche das Kapital von 95.0000,00 Euro auf 87.381,48 Euro. 479 Am 30.09.01 werden die linearen Zinsen für die restlichen Jahrestranchen ermittelt: Für die jährliche Tranche in Höhe von -750,94 Euro ergeben sich für den Zeitraum 30.09.00 bis 30.09.01 Zinsen von -75,20 Euro, für die jährliche Tranche in Höhe von 88.132,43 Euro ergeben sich für den gleichen Zeitraum Zinsen in Höhe von 8.826,15 Euro, also insgesamt 8.750,94 Euro Zinsen. 48o Auch in diesem Fall ergibt die Addition des gesamten Zinsanteils von 8.750,94 Euro mit der jährlichen Tranche von -750,94 Euro die Zahlung von 8.000,00 EurO. 481 Gleichzeitig erhöht die Tranche das Kapital von 87.381,48 Euro auf 88.132,43 Euro. 482 Schließlich werden mit der letzten Zahlung in Höhe 476Ygl. 477ygl. 478Ygl. 479Ygl. 480ygl. 481 Ygl. 482Ygl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.92 4.92 4.92 4.92 4.92 4.92 4.92

auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der

vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen

Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite

Zinstableau Spalten 3,6 bis 10 am 30.09.01. Tilgungstableau Spalten 2, 8 am 30.03.01. Tilgungstableau Spalte 13 am 30.03.01. Tilgungstableau Spalten 1, 2, 12 am 30.03.01. Tilgungstableau Spalten 2, 8 am 30.09.01. Tilgungstableau Spalte 13 am 30.09.01. Tilgungstableau Spalten 1, 2, 12 am 30.09.01.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

227

von 92.545,50 die linearen Zinsen der haltedauerlängsten Tranche und das verbleibende Kapital abgedeckt. 483 4.2.1.2.2.1.3 Die dynamischen realen Effektivzinsmethoden In den folgenden

Kapiteln werden die verschiedenen dynamischen realen Effektivzinsmethoden erläutert: Effektivzins nach Mair (Kapitel 4.2.1.2.2.1.3.1), Effektivzins nach McKinsey (Kapitel 4.2.1.2.2.1.3.2 auf Seite 230). 4.2.1.2.2.1.3.1 Der Effektivzins nach Mair Der EjJektivzins nach Mair 484 unter-

scheidet sich von dem Effektivzins nach ISMA485 lediglich durch die Wahlmöglichkeit der Wiederanlageverzinsung der Einzahlungen. Der Effektivzins nach Mair ist dann richtig ermittelt, wenn die mit dem Effektivzins bewertete Auszahlung und die mit den gewählten Wiederanlagezinsen bewerteten Einzahlungen am Ende der Haltedauer übereinstimmen. Somit unterstellt diese reale Zinsfußmethode folgende Prämissen: • exponentielle, unterjährige Verzinsung, • tägliche Zinskapitalisierung, • tägliche Zinsverrechnung (unabhängig von den Zahlungszeitpunkten), • Wiederanlage der Einzahlungen mit frei wählbaren Zinssätzen. Das Gleichungsmodell der Abb. 4.93 auf der nächsten Seite verdeutlicht diese Prämissen der Effektivzinsmethode nach Mair. Dabei wird nicht für jede Haltedauerperiode ein anderer Wiederanlagezins sondern, wie in der Praxis üblich, ein Durchschnittszins unterstellt.

483Ygl. Abb. 4.92 auf Seite 225 Tilgungstableau Spalten 1, 2, 10 bis 13 am 30.03.02. 484Ygl. [63, S. 75 ff.] 485Ygl. Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207.

1-1

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3009.00 30 03.01 30.09.01 30.03.02

Datum

30 09.00 30.03.01 30.09.01 30 .03.02

Datum

S

S

3 3 - 18

I I I I

S

L Zins [Euro) (14) :

0.00 ·4.659,97 ·4.888,56 ·5.128,35

A

P I I I

0,00 ·4.659,97 ·4.517,18 ·4.368,35 ·13.545,50

lEUrol

Zins

13 - 4 + 12

95.000,00 000 8.000,00 16.371,38

lEUrol

10,0510832[ V : Effektivzins nach Mair p,a, [%)

10,0510832 10,0510832 10,0510832 10,0510832

I I I I

R.al.r Zins

11

R.al.r Zins

lEUrol

12 - 2· ((11/9 + 10) 8.101

·95.000,00 ·95.000,00 ·99,659,97 ·104.548,53

lEUrol

P I I I

1'101

360,00 P

1,50 I

I I I I I

S

P I I I

·95 000,00 3.340,03 3.482,82 88.177,15

lEUrol

TIlgung

15 - 5 + 13

0,00 0,00 371 ,38 760,00

IEUroI

4 4 - 20 WI.d.r· anlage. zins 5

~I

S

9,50 U 9,50 U 9,50 U

S

10,0510832 I 10,0510832 V

R.al.r Zins

5

['1101

5 WI.d.r· anlag.zlns p.a.

I I I I

S

P I I I

·95.000,00 ·91 .659,97 ·88.177 ,15 0,00

lEUrol

End· kapital

16 - 1 + 15

·95.000,00 8000,00 8.000,00 92.545,50

lEUrol

S

17 - 2 + 12

I I I I

P P P P

S

100 P

S

100 P 100 P 100 P

0.00 180 00 180,00 180,00

[Taael

ZI'-age

6

Hunden

6

Hund.n

6

S

8

·95.000,00 ·99.659,97 ·104.548,53 ·109.676,88

1 P

S

9 - 7+8

S

18 - 3 + 4 + 5

360,00 360,00 360,00 360,00

I I I I

P P P P

19

0,00 0,50 0,50 0,50

0,00 8000,00 16.371,38 109.676,88

Endwerttableau

1,0000 1,0950 1,0950 1,0950

P E E E

S

I I I I

0,00 371,38 760,00 5.091,47

WI.d.r· anlag •. zins IEurol

20 - 18· (19 A 8 . 10)

100 100 100 100

Hund.n

[Taael

9 8 - 6/7 ZInstag •. quotl.nt

7

A

4

10 - 1 ·9 A

"

8.760,00 8.371,38 92.545,50 109.676,88

lEUrol I I I I

I I I I

S

P P P P

S

Eins

10

1 1 1 1

P P P P

S

·109.676,88 I ·109.676,88 Z

IEurol

S Zahlungsarom S (Endwert) 1,1005 I

R.aler Zlnstaktor

L Endwert 30,03 .02 [Euro) (11):

Eins

1,0950 A 1,0950 A 1,0950 A

Tilgungstable.u

10 - 1 · 9 S Zahlungsatrom S (Endwert)

L Endwert 30.03.02 [Euro[ (11) :

1 P 1 P 1 P

S

9 - 7+8 WI.d.r. anlag •. zlnstaktor

Jahras.. basls

S

0,1005 I

Zins. quotl.nt

7- 5/6

0,0950 I 0,0950 I 0,0950 I

Eins

Zins. quotl.nt S

8

7- 5/6

WI.d.r· SEndsaldo SEndsaldo Saniag•. d.r Auszahlung d.r Elnzahlung.n zlnstaktor lEUrol lEUrol 1'101 I I I Z

B U U U

S Zahlungsatrom S

Effektivzins nach Mair p,a, [%):

[Tagel

4 - 213

1,00 I 0,50 I 0,00 I

S ZI.-age. S quotl.nt

AnfanpAldo S AnfanpAldo S d.r Auszahlung der Elnzahlung.n

2 2 -17

540,00 P

[Tagel

3 Jahr_"

2

4 - 213 S ZI.-ag • . S quotient

36000P 360,00 P 360,00 P

Kumull.n. ZI'-ag.

S

360,00 P 180,00 P 0,00 P

[Taael

Jahr_"

S

Kumull.n. ZI .... g.

[Taael

3

2

0,00 ·95.000 ,00 ·91 .659 ,97 ·88.177,15

lEUrol

Anfangskapital

1 1 - 16

S

·95.000,00 B

1 Zahlungsstrom (8arwer1) lEUrol

Tilgungstableau

30.09.00

Datum

S

8.000,00 U 8.000,00 U 92.545,50 U

Zinstableau

30.09.00 30 03 01 30.09.01 30.03.02

Datum

1 Zahlungsstrom (8arwer1) lEUrol

Endwerttableau

()q

S t::1

t:r'

n

CD

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cr'

....t::1rn

~

CD

'"S

~

rn

CD

Cl

~ ~

00

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

229

Die Wiederanlage der Einzahlungen mit einem unterstellten durchschnittlichen Wiederanlagezins zeigt das Endwerttableau der Abb. 4.93 auf der vorherigen Seite. Beispielsweise wird die am 30.03.01 erfolgte Einzahlung von 8.000,00 Euro zu einem Durchschnittszins in Höhe von 9,50% p.a. bis zum Ende der Haltedauer (30.03.02) exponentiell wiederangelegt, so daß sich am Ende der Haltedauer ein Endwertbetrag von 8.760,00 Euro errechnet;486 dies entspricht einem Zinsgewinn von 760,00 Euro. Die Addition der Endwerte sämtlicher Einzahlungen ergibt einen gesamten Einzahlungsendwert von 109.676,88 Euro. 487 Der effektive Jahreszins nach Mair von 10,05% p.a. ergibt sich aus dem Verhältnis des gesamten Einzahlungsendwertes (109.676,88 Euro) zur Auszahlung (95.000,00 Euro) unter exponentieller Berücksichtigung der Haltedauer (1,5 Jahre).488 Demnach ist der Effektivzins nach Mair als jährlicher realer Zuwachs- bzw. Zinsfaktor des eingesetzten Kapitals (1,1005) zu interpretieren. 489 Die unterstellte Wiederanlageprämisse des Effektivzinses nach Mair zeigt besonders deutlich das Tilgungstableau der Abb. 4.93 auf der vorherigen Seite. Da der Effektivzins nach Mair mit zwei verschiedenen Zinsfüßen (Wiederanlagezins und realer Effektivzins ) arbeitet, wird im folgenden die Bewertung von Auszahlung und Einzahlungen getrennt aufgezeigt. Die Auszahlung von 95.000,00 Euro wird mit dem realen Effektivzins von 10,05% p.a. exponentiell verzinst. Beispielsweise errechnet sich für die Haltedauerperiode 30.09.00 bis 30.03.01 ein realer Zins von 4.659,97 Euro, der am 30.03.01 dem Auszahlungsbetrag zu-

geschlagen wird. Folglich ergibt sich ein neuer Saldo der Auszahlung von 99.659,97 Euro, der in der nächsten Haltedauerperiode wieder exponentiell verzinst wird. 490 Die erste Einzahlung in Höhe von 8.000,00 Euro am 30.03.01 wird sofort zum Wiederanlagezins von 9,50% p.a. angelegt. Beispielsweise errechnet sich für die Haltdauerperiode 30.03.01 bis 30.09.01 ein exponentieller Zins von 371,38 Euro. Am 30.09.01 erfolgt die

zweite Einzahlung von 8.000,00 Euro, die zusammen mit der ersten Einzahlung von 8.000,00 Euro und dem berechneten Wiederanlagezins von 371,38 Euro einen neuen

Saldo der Einzahlung von 16.371,38 Euro ergibt. Der neue Saldo der Einzahlung wird für die nächste Haltedauerperiode wieder exponentiell angelegt. 491 Zins-(ertrag) aus der Wieder anlage der Einzahlungen und Zins-(aufwand) aus der realen Verzinsung der Auszahlung ergeben den Gesamtzins. Beispielsweise errechnet sich 486Vgl. 487Vgl. 488Vgl. 489Vgl. 490 Vgl. 491 Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.93 4.93 4.93 4.93 4.93 4.93

auf der auf der auf der auf der auf der auf der

vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen

Seite Seite Seite Seite Seite Seite

Endwerttableau Spalten 1, 10 am 30.03.01. Endwerttableau Spalte 11. Zinstableau Spalten 1, 4, 5, 10. Zinstableau Spalte 9. Tilgungstableau Spalten 2, 11, 12, 17 am 30.03.01. Tilgungstableau Spalten 3, 4, 18 bis 20 am 30.09.01.

230

Gesamtergebnisrechnung

am 30.09.01 ein Gesamtzins von -4.517,18 Euro, der sich aus dem Wiederanlagezins von 371,38 Euro und dem realen Zins von -4.888,56 Euro zusammensetzt. 492 Durch die Verrechnung dieser Zinsschuld mit der zu kapitalisierenden Einzahlung von 8.000,00 Euro ergibt sich ein Tilgungsbetrag von 3.482,82 Euro, der wiederum das Kapital von 91.659,97 Euro auf 88.177,15 Euro reduziert. 493 Am Haltedauerende führt die letzte Einzahlung von 92.545,50 Euro wieder zu einer Tilgung des Restkapitals sowie zum Ausgleich der Zinsschuld. 494 4.2.1.2.2.1.3.2 Der

Effektivzins

nach

McKinsey Der

McKinsey 495 unterscheidet sich von dem Effektivzins nach

EjJektivzins

Mair496

nach

durch die An-

nahme einer Refinanzierung497 des Auszahlungsbetrages. Der Effektivzins nach McKinsey ist dann richtig ermittelt, wenn die mit dem Effektivzins bewertete Auszahlung und die mit den gewählten Wiederanlagezinsen bewerteten Einzahlungen am Ende der Haltedauer übereinstimmen. Somit unterstellt diese reale Zinsfußmethode folgende Prämissen: • exponentielle, unterjährige Verzinsung, • tägliche Zinskapitalisierung, • tägliche Zinsverrechnung (unabhängig von den Zahlungszeitpunkten), • Refinanzierung der Auszahlung mit frei wählbaren Zinssätzen, • Wiederanlage der Einzahlungen mit frei wählbaren Zinssätzen. Bevor jedoch auf das Gleichungsmodell des Effektivzinses nach McKinsey näher eingegangen werden kann, ist der Effektivzins selbst zu analysieren. Ausgangspunkt der Effektivzinsanalyse ist die in Abb. 4.82 auf der nächsten Seite dargestellte bekannte StandardZahlungsreihe.

492Vgl. Abb. 4.93 auf Seite 228 Tilgungstableau Spalten 4, 12, 13 am 30.09.01. 493Vgl. Abb. 4.93 auf Seite 228 Tilgungstableau Spalten 1, 5, 13, 15, 16 am 30.09.01. 494Vgl. Abb. 4.93 auf Seite 228 Tilgungstableau Spalten 1, 5, 13, 15, 16 am 30.03.02. 495Vgl. [63, S. 90 ff.] 496Vgl. Kapitel 4.2.1.2.2.1.3.1 auf Seite 227. 497Die Refinanzierung nach McKinsey ist nicht identisch mit der in Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111 beschriebenen strukturkongruenten Refinanzierung. Gleichwohl ergeben sich für beide Refinanzierungsvarianten für jeden Zeitpunkt, bis auf den Kalkulationszeitpunkt t = 0, ein Zahlungssaldo von Null.

231

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.82: Zahlungsstrom Am Geld-jKapitalmarkt möge eine normale Nominal-Zinsstruktur vorliegen, d. h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als I-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%,

für I-Jahres-Geld 6,00% und für I~-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld- jKapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld- jKapitalanlage. Zur Analyse des Effektivzinses wird als erstes der Effektivzins nach ISMA auf Basis der in Tab. 4.82 dargestellten Standard-Zahlungsreihe gemäß Abb. 4.94 ermittelt. 498 499 Zinstableau ~

1 Datum

30.09.00 30.03.01 30 .09 .01 30.03.02

Zahlungs. strom (Endwert) [Eurol -95.000.00 8.000.00 8.000.00 92.545.50

2

4 =2 / 3

3

ZinsS Kumulierte S JahresS tage- S Zinstage basis quotient

IT_)

B U U U

IT_I

0.00 P 360.00 180.00 P 360.00 360.00 P 360.00 540 .00 P 360.00 Effektivzins nach

-

5

P P P P

0.00 I 0.50 I 1.00 I 1.50 I ISMA p.a. [%]:

Zins

I I I I V

8

7 - 5/6

Hundert

S

[") 10.10 10.10 10.10 10.10 10 .0983806

6

100 100 100 100

S

P P P P

q!:nt S

10 = l ' 9 A .4

9=7+8

Eins

S

Zinsfaktor

S

P 1.1010 A P 1.101 0 A P 1.1010 A P 1 .1010 A L Barwert 30.09.00 [Euro] (11): Kapitalwert 30.09.00 [Euro] (12 = 11):

0.1010 0.1010 0.1010 0.1010

1 1 1 1

I I I I

Zahlungsstrom (BaIWert) [Euro) -95 .000 .00 7624.29 7.266.23 80 .109.48 0.00 0.00

S

I I I I I

Z

TIlgungstable au

TilRunRstableau ;---

1 1- 10 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Anfangskapital! -zinssaldo [Euro) 0.00 -95 .000.00 -91 .681.39 -88 .199.24

2 S

P I I I

ZahlungsS strom [Euro) -95 .000.00 8.000.00 8000.00 92545.50

B U U U

3

4

5 - 3/4

Zinstage

JahresS S basis

Zinstagequotient

['_I

IT_I

0.00 180.00 180.00 180.00

P P P P

360.00 360.00 360.00 360.00

P P P P

0.00 0.50 0.50 0.50

-

6

7

S f:;:-r S

Eins

I I I I

1 .1010 1 .1010 1 .1010 1.1010

L

S

1 P 1 P 1 P 1 P Zins [Euro] (9):

E E E E

8=1 ' (6A5-71

10 = 1 +2 +8

11 = 2 + 8

Zins

SEndkapital! S -zinssaldo

Tilgung

[Euro) 0.00 -4 .681.39 -4517.85 -4 .346.26 -13.545.50

I I I I I

[Euro) -95.000.00 -91 .681 .39 -88.199.24 0.00

[Euro) I -95000.00 I 3.318.61 I 3.482.15 Z 88199.24

S

I I I I

Zinstableau

Abb. 4.94: Effektivzins nach ISMA Als Rechenergebnis der Abb. 4.94 beträgt der Effektivzins nach ISMA des unterstellten Zahlungsstroms 10,098% p.a. 500

498Zur Analyse des Effektivzinses kann auch jede andere Effektivzinsmethode (vgl. Kapitel 4.2.1.2.2.1 auf Seite 205) verwendet werden, da das Analyseergebnis von der gewählten Effektivzinsmethode unabhängig ist. 499Ygl. Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207. 500y gl. Abb. 4.94 Zinstableau Spalte 5.

232

Gesamtergebnisrechnung

Als zweites wird der unterstellte Zahlungsstrom gemäß Abb. 4.95 simultan auf Basis von jährlichen Tranchen strukturkongruent refinanziert. 50l 1 Datum

30 .03.02 30 .09.01 30.03.01 30 .09.00 Max!

4

5=

h o.03 .02

6

7 = 1 *4 7=1*4+5*6

ZinsMarktwert S Zins- S Marktwert S S Zahlungsstrom S faktor quotient [Euro) [Euro) [Euro) 86.491,12 V 1,0700 U 92 .545,50 N 7.547,17 V 1,0600 U 8.000,00 N 4.851,52 V 1,0250 U 86.491 ,12 I 0,0350 U 8.000,00 N -95.000,00 8 1,0000 U -95.000 ,00 N 3.889,81 I : (2) 2: Marktwert 30.09.00 [Euro] 3.889,81 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro]

Abb. 4.95: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) Als Refinanzierungsergebnis des in Abb. 4.95 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 EurO. 502 Wird der unterstellte Zahlungsstrom am 30.09.00 um seinen Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro korrigiert, so ist der in Tab. 4.83 dargestellte Gegen-Zahlungsstrom ableitbar. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

2 Kapitalwert -3.889,81 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro

3=1+2 Gegenzahlung -98.889,81 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.83: Zahlungsstrom, Gegenwart-Kapitalwert, Gegen-Zahlungsstrom Als letztes wird der Effektivzins der Gegen-Zahlungsreihe, der Opportunitätszins, nach der ISMA-Effektivzinsmethode503 gemäß Abb. 4.96 auf der nächsten Seite ermittelt.

501Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1.2 auf Seite 117. 502ygl. Abb. 4.95 Spalte 3. 503Ygl. Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Zinstableau

r-1

Datum

30.09 .00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlungsstrom (Endwert) IEwo) -98.889,81 8.000,00 8.000,00 92.545,50

2

4 =2 / 3

3

S Kumulierte S Jahres- S Zinstage basis U U U U

[Taue) [Taue) 0,00 P 360,00 180,00 P 360,00 360,00 P 360,00 540,00 P 360,00 Opportunitätszi ns nach

233

-

5

Zlnstage - S quotient

Zins

S

6

8

7- 5/6

Hundert

S

Zins- S quotient

P P P P

0,0695 0,0695 0,0695 0,0695

Eins

9=7+8 S

Zinsfaktor

S

[%)

P P P P ISMA

0,00 I 0,50 I 1,00 I 1,50 I p_a. [%[:

6,95 6,95 6,95 6,95 6,9490513

I I I I V

100 100 100 100

1,0695 A 1 P 1 P 1,0695 A 1 P 1,0695 A 1 P 1,0695 A L BalWert 30.09 .00 [Euro[ (11 ): Kapita lwert 30,09_00 [Euro) (12 = 11): I I I I

10 = 1 " 9 A -4 Zahlungsstrom (Barwert) IEwo) -98.889,81 7.735,73 7.480,20 83.673,88 0,00 0,00

S

I I I I I Z

Tilgungstabl eau

Tilaunastableau

Datum

30.09 .00 30.03 .01 30 .09 .01 30.03 .02

1 1 - 10 AnfangskapitaV -zinssaldo [Ewo) 0,00 -98.889,81 -94.268,06 -89.488,42

.--

2 S

P I I I

ZahlungsS strom [Euro) -98.889,81 8.000,00 8.000,00 92.545,50

..----

3

4

5- 3/ 4

6

7

Zinstage

S JahresS basis

Zlnstagequotient

S ZinsS faktor

Eins

[Tage) B 0,00 U 180,00 U 180,00 U 180,00

P P P P

[Tage) 360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0,00 0,50 0,50 0,50

I I I I

1,0695 1,0695 1,0695 1,0695

L

8= 1" A 5 - 7)

10 1+2+8

Zins

S Endkapital/ S -zinssaldo

~

S

1 P E E 1 P E 1 P E 1 P Zins [Euro) (9) :

[Ewol 0,00 -3.378,25 -3.220,36 -3.057,08 -9.655,69

I I I I I

[Euro) -98.889,81 -94.268,06 -89.488,42 0,00

11

=2 + 8

Tilgung

[Euro) I -98.889,81 I 4.621,75 I 4.779,64 Z 89.488,42

S

I I I I

Zinstableau

Abb. 4.96: Opportunitätszins nach ISMA Als Rechenergebnis der Abb. 4.96 beträgt der Opportunitätszins nach ISMA des abgeleiteten Gegen-Zahlungsstroms 6,949% p.a. 504 Die Differenz zwischen dem Effektivzins des Zahlungsstroms von 10,098% p.a. 505 und dem Opportunitätszins des Gegen-Zahlungsstroms von 6,949% p.a. 506 wird als Zinsmarge im Sinne einer Gewinnspanne bezeichnet und beträgt 3,149% p.a. Anders ausgedruckt: Die Marge ist die prozentuale Kennzahl des Kapitalwertes. Somit setzt sich jeder Effektivzins, unabhängig von der verwendeten Effektivzinsmethode, aus zwei Komponenten - dem Opportunitätszins und der Marge - zusammen.

Abb. 4.97 auf der nächsten Seite zeigt das Gleichungsmodell des Effektivzinses nach McKinsey. Dabei wird nicht für jede Haltedauerperiode ein anderer Refinanzierungszins (Opportunitätszins) unterstellt, sondern, wie in der Praxis üblich, ein Durchschnittszins angenommen. Gleichzeitig wird eine Identität zwischen Wiederanlagezins und Opportunitätszins vorausgesetzt.

504Vgl. Abb. 4.96 Zinstableau Spalte 5. 505Vgl. Abb. 4.94 auf Seite 231 Zinstableau Spalte 5. 506Vgl. Abb. 4.96 Zinstableau Spalte 5.

>

~

S' r:Jl

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CD

,j::>..

0'" 0'"

16 2.4.5

0,00 95.000,00 91 .683,61 88.201,35

(E. . o)

Datum

Endsaldo der Auszahlung IE..o) 30.09.00 -95.000 ,00 30.03.01 -99.683,61 30.09.01 -104 .572,73 ,Mlm . -1 09.676 ,88

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Datum

Anfangs. kapital

1 - 15

1

S

S

2 2 - 16

Endwertt ableau

lE..ol -91.722,72 E

Endwert

2

11 - 3 • 6 • 7

Endsaldo der Ein· zahlungen IEwo) 0,00 I I 8.000.00 I 16.371,38 l .._. 109.676,88

S

P I I I

IEwol -95.000 ,00 -95.000 ,00 -99.683,61 -104.572,73

3

I I I I

S

P I I I

100 100 100 100

Hundert

18

Anfangs. saldo der Ein· zahlungen IE..... 95.000,00 0,00 8.000,00 16.371,38

3 3 - 17

P P P P

S

P I I I

S

lE..ol 822,78 I

Zinsmorge

S

ITaue) 360,00 P

3 - 1.2

4 - 2/3

Oppor. tunitatszins 1'!Io) 9,50 9,50 9,50 9,50

19

IE..o) 0,00 -4.410,14 -4.614,86 -4.829,10

Oppor. lunllatszins

4 - 21

4

U U U U

S

P I I I

S

Zahlung S 30.09.00 IE..ol -95.000,00 B

4

1,50 I

quotient

p.o. 1'!Io)

S

Auszahlung. Opportunitatszins IE.. o) -95.000 ,00 -99. 410,14 -104.025,00 -108 854,10 _.

20 20 - 22

0,00 -273,47 -274,26 -275,05

(Ewo)

Zinsmarge

5 5 - 25

P I I I

S

P I I I

S

IT_I 540,00 P

Zinstoge

5

S

9,50 U

5 WIederanlage . zins

1,00 I 1,00 I

Hahedauer.

5- 2/4

S perlodenquotienl S 30.09.00 30.09.01

360,00 P 360,00 P

n_1

Jahres· basis

4

S Zinstoge. S

180.00 P 0,00 P

Verbleibende Zinstage S bis zum 30.09.01 n_1

3

S Jahresbasis

ITaue) 540,00 P

2 Zinstage

30.09.00 . 3O.D3.D2

360,00 P 360,00 P

periode 30,09,00 . 30.09.01 n_1

Haltedauer .

2

Anfangssaldo S der Aus· S zahlung

Zahlung S 30,03,02 IEwol 92.545,50 U

1

8al"werttabl eau

-80.048,97 E

(E. .o)

Tilgungstableau -

30.03.02

Datum

1

30.09.00

L B.rwert S

Zinstableau

30.09.00

Datum

S

IE.. ol -95.000 ,00 B 8.000,00 U 8.000 ,00 U

Zahlungs. strom

Endwerttableau

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Datum

1

Barwerttableau

S

S

100 P

(Ewo) -4. 410,14 -4.614,86 -4.829,10 -5053,28

Opportunitals. zins

21 - 20 ' ((11. 19 / 18)' 10 . 11)

0,00 0,00 371,38 760,00

IE..o)

Wieder· anlag8zlns

7

22 - 20 • 21

23

r--

11Taue) B 180,00 U 180,00 U 180,00 U 180,00

9 - 7.8

E E E E

-95.000 ,00 -95.273,47 -95. 547,73 -95.822,78

(Ewo)

Zlnsmarge

24 24 - 26

ITaue) 360,00 360,00 360,00 360,00

Jahres· basis

9

S

S

1 P 1 P

P P P P

S

P I I I

0,50 0,50 0,50 0,50

IE..o) -273,47 -274,26 -275,05 -275,84

Zinsmarge

25 - 24 ' ((11. 23 / 18)' 10 • 11)

quotient

Zinstage.

10 - 8 / 9

Tilgungstable au

10 - ((3 / • 4 • 8) • 111 / 71 - 81 ' 9

Zinstableau

11 - 9 • 10

1,0950 I 1,0950 I

SAufzinsfaktor S

IE..o) -91 .722,72 A

Endwert 30.03,02

10 - 1 • 9' 4

Eins

10

S

L

S

26 - 24.25

1 P 1 P 1 P 1 P Zi ns (Euro! (13):

Eins

27

IE.. o) 0,00 -4.683,61 -4.517,74 -4.344,15 -13.545,50

Zins

12 -

4.5.6

I I I I I

S

I I I I

IE..o) -95.273,47 -95.547,73 -95.822,78 -96.098,62

I I I I

('110) 9,50 9,50 9 ,50 9,50

U U U U

S Auszahlung. S Wieder· S Zinsmarge anlagezins

I I I I

S

11

S

0,9132 I 0,9132 I

IE..ol

Abzinsfaktor

13 - 11' . 5

0,00 371,38 760,00 5.091,47

IE..o)

Wieder· anlagezins

28 - 17 ' ((11. 27 / 18)' 10 • 11)

IE.. o) -95.000 ,00 3.316,39 3.482,26 88.201,35

Tilgung

14 - 7.12

I I I I

S

I I I I

S

15 - 1 - 14

Endwertt ableau

IE.. o) 95.000,00 91 .683,61 88.201,35 0.00

I I I I

S

-80.048,97 A

-95.000,00 I 7.645,10 I 7.305,94 I

IE..ol

(Borwert)

strom

Zahlungs.

14 - 1 14 - 12 ' 13

SEndkapital

L B. rwert 30.09.00 (Euro( (1 5):

8.371,38 I 8.000,00 I

IE..ol

Zahlungs. strom (Endwert)

12 1 ' 11' 6

12 11 10.11 Realer Zinsmorge S Opportunllills. S S p.a, zins p.a. Zins ('1101 ('1101 1'!Io1 100 P 0,58 A 9,50 U 10,08 I Effektivzins n. ch McKinsey p.', (%( (13 - 12): 10,0765604 I

Hundert

9

1,0950 I

Aus. S zahlung. S

P P P P

S

Zinstableau

Auszahlung. S Opportunitats- S :a':;·e zins IEwo) 1'!Io) I -99.410,14 I 0 ,58 I -104 .025.00 I 0,58 I -108.854,10 I 0,58 I -113.907,38 I 0,58

P I I I

IE..o) -95.000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

Zins. lage

S 1 P

r-8

8

Eins

S

0,0950 I 0,0950 I

quolle nt

Zins.

9- 7/8

S Zinsfaktor S 1 P

.-----

Eins

r----a-

1- 5/6

1,50 I

S

100 P 100 P

dert

HUß .

8

.-----

Zinstoge. quollenl S

0,0950 I

S Zahlungsstrom S

n_1 360,00 P

6 6 - 28

9,50 U 9,50 U

7- 5/6

1'!Io1

OpportunilaIs. zins S p,a .

7

S Wiederanl.ge. S zlnsquollenl

0,50 I 0,00 I

Jahresbasis

6

Hundert

6

quotient

Zinstage.

6- 3/4

"1

= = aq =

=-

n

Cl)

tIl

0'"

.... =

Cl)

aq

"1

Cl)

[

Cl) tIl

o

~

~

c..:I

235

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Die tableauorientierte Darstellung des Effektivzinses nach McKinsey gemäß Abb. 4.97 auf der vorherigen Seite zeigt, daß der Effektivzins in mehreren Schritten berechnet wird. Zunächst werden gemäß Abb. 4.98 sämtliche Einzahlungen des unterstellten Zahlungsstroms bis zur vorletzten erforderlichen Einzahlung exponentiell aufgezinst. 507

30.03.02 92.545,50 €

30.09.00 -95.000,00 €

Abb. 4.98: Aufzinsung der Einzahlungen Als nächster Schritt werden gemäß Abb. 4.99 die bis zur vorletzten erforderlichen Einzahl ung aufgezinsten Einzahlungen strukturkongruent refinanziert. 508 RefiInanZlerun!l

~

30.09.001 1 1 -95.000,00 €I 1 1

7.305,94 €I 7.645,10 €I

30.03.01 0,00 €

i

30.09.01 8.000,00 € 8.371,38 € -8.000,00 € -8.371,38 €

3003.021 92.545,50 €I

Abb. 4.99: Strukturkongruente Refinanzierung der Einzahlungen Die strukturkongruente Refinanzierung beantwortet die Frage, welche Beträge heute (30.09.00) zu 9,50% p.a. Opportunitätszins für I-Jahr aufgenommen werden müssen, damit die aufgezinsten Einzahlungen inkl. der zu zahlenden Zinsen in Höhe von 8.000,00 Euro und 8.371,38 Euro exakt neutralisiert werden. Hierfür sind heute eine Geld-/Kapitalaufnahme von 7.305,94 Euro sowie eine Geld-/Kapitalaufnahme von 7.645,10 Euro notwendig. 509 Als weiterer Schritt werden gemäß Abb. 4.100 auf der nächsten Seite die Auszahlung und die strukturkongruent refinanzierten Einzahlungen auf den Zeitpunkt der letzten Einzahlung exponentiell aufgezinst und somit der Endwert ermittelt. 510

507ygl. 508ygl. 509Ygl. 51OYgl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

4.97 4.97 4.97 4.97

auf der auf der auf der auf der

vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen

Seite Seite Seite Seite

Barwerttableau Spalte 12. Barwerttableau Spalte 14. Barwerttableau Spalten 12 und 14. Endwerttableau Spalte 10.

Gesamtergebnisrechnung

236

AC u zlnsung

i

30.09.00 -95.000,00 € 7.305,94 € 7.645,10 €

30.03.011 0,00 €I

30.09.01 0,00 €

!

30.03.02 92.545,50 € -91.722,72 €

Abb. 4.100: Aufzinsung der Auszahlung und der strukturkongruent refinanzierten Einzahlungen Als nächster Schritt wird gemäß Abb. 4.97 auf Seite 234 die Zinsmarge von 822,78 Euro als Differenz zwischen der letzten Einzahlung von 92.545,50 Euro und dem Endwert von 91. 722, 72 Euro ermittelt und unter Berücksichtigung der Zinstage in eine prozentuale Marge von 0,58% p.a. umgerechnet. 511 Als letzter Schritt ergibt sich gemäß Abb. 4.97 auf Seite 234 der gesuchte Effektivzins nach McKinsey von 10,08% p.a. als Summe der Effektivzinskomponeten Opportunitätszins von 9,50% p.a. und Zinsmarge von 0,58% p.a. 512 Die

unterstellten

Prämissen

- Wiederanlage- und Refinanzierungsprämisse -

des

Effektivzinses nach McKinsey zeigt besonders deutlich das Tilgungstableau der Abb. 4.97 auf Seite 234. Da der Effektivzins nach McKinsey mit drei verschiedenen Zinsfüßen (Wiederanlagezins, Opportunitätszins, Zinsmarge ) arbeitet, wird im folgenden die Bewertung von Auszahlung und Einzahlungen getrennt aufgezeigt. Die Auszahlung von 95.000,00 Euro wird einerseits mit dem Opportunitätszins von 9,50% p.a. und andererseits mit der Zinsmarge von 0,58% p.a. getrennt exponentiell bewertet. Beispielsweise errechnet sich für die Haltedauerperiode 30.09.00 bis 30.03.01 ein Opportunitätszins von 4.410,14 Euro sowie eine Zinsmarge von 273,47 EurO. 513 Die Bewertung mit dem Opportunitätszins erhöht den Auszahlungsbetrag von 95.000,00 Euro auf 99.410,41 Euro als Grundbetrag für eine erneute exponentielle Opportunitätsverzinsung in der nächsten Haltedauerperiode. 514 Die Bewertung mit der Zinsmarge erhöht den Auszahlungsbetrag von 95.000,00 Euro auf 95.273,47 Euro als Grundbetrag für eine erneute exponentielle Margenverzinsung in der nächsten Haltedauerperiode. 515 Zusätzlich erhöht die Summe aus Opportunitätszins von 4.410,14 Euro und Zinsmarge von 273,47 Euro den Saldo der Auszahlung um 4.683,61 Euro (= 4.410,14 Euro 273,47 Euro) auf 99.683,61 EurO. 516 511Ygl. 512Ygl. 513Ygl. 514Ygl. 515Ygl. 516ygl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.97 4.97 4.97 4.97 4.97 4.97

auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite

234 234 234 234 234 234

Zinstableau Spalten 3, 10. Zinstableau Spalten 10, 11, 12. Tilgungstableau Spalten 21, 25. Tilgungstableau Spalten 20, 21, 22. Tilgungstableau Spalten 24, 25, 26. Tilgungstableau Spalten 2, 4, 5, 16 am 30.03.01.

+

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

237

Die erste Einzahlung in Höhe von 8.000,00 Euro am 30.03.01 wird sofort zum Wiederanlagezins von 9,50% p.a. angelegt. Beispielsweise errechnet sich für die Haltdauerperiode 30.03.01 bis 30.09.01 ein exponentieller Zins von 371,38 EurO. 5I7 Am 30.09.01 erfolgt die zweite Einzahlung von 8.000,00 Euro, die zusammen mit der ersten Einzahlung von 8.000,00 Euro und dem berechneten Wiederanlagezins von 371,38 Euro einen neuen Saldo der Einzahlung von 16.371,38 Euro ergibt. 518 Der neue Saldo der Einzahlung wird für die nächste Haltedauerperiode wieder exponentiell angelegt. 519 Zins-(ertrag) aus der Wiederanlage der Einzahlungen und Zins-(aufwand) aus der Verzinsung der Auszahlung ergeben den Gesamtzins. Beispielsweise errechnet sich am 30.09.01 ein Gesamtzins von 4.517,74 Euro, der sich aus dem Wiederanlagezins von -371,38 Euro, dem Opportunitätszins von 4.614,86 Euro und der Zinsmarge von 274,26 Euro zusammensetzt. 520 Durch die Verrechnung dieser Zinsschuld mit der zu kapitalisierenden Einzahlung von 8.000,00 Euro ergibt sich ein Tilgungsbetrag von 3.482,26 Euro, der wiederum das Kapital von 91.683,61 Euro auf 88.201,35 Euro reduziert. 521 Am Haltedauerende führt die letzte Einzahlung von 92.545,50 Euro wieder zu einer Tilgung des Restkapitals sowie zum Ausgleich der Zinsschuld. 522

4.2.1.2.2.1.4 Der statische Effektivzins Der statische EjJektivzins 523 verdankt seinen Namen der Tatsache, daß er den zeitlichen Anfall der Rückzahlungen einer Geld-jKapitalanlage bei der Berechnung des Kapitals, das der Zinsberechnung als Basis dient, nicht berücksichtigt. Folglich ist nicht der Zahlungsstrom einer Geld-jKapitalanlage für die Berechnung des statischen Effektivzinses von Bedeutung, sondern lediglich seine in den nominellen Ausstattungsmerkmalen vereinbarte Tilgungsform. Das Gleichungsmodell des statischen Effektivzinses zeigt Abb. 4.101 auf der nächsten Seite. Aus didaktischen Gründen wird zum Verständnis des statischen Effektivzinses dieser aus der dynamischen Effektivzinsberechnung nach ISMA 524 abgeleitet. Dabei wird die vom dynamischen Effektivins nach ISMA berechnete Tilgungsform der statischen Effektivzinsberechnung zugrunde gelegt. 525

517Vgl. Abb. 4.97 auf Seite 234 Tilgungstableau Spalten 3,6,7,17,27,28. 518Vgl. Abb. 4.97 auf Seite 234 Tilgungstableau Spalte 17. 519Vgl. Abb. 4.97 auf Seite 234 Tilgungstableau Spalten 3,6,7,17,27,28. 520Vgl. Abb. 4.97 auf Seite 234 Tilgungstableau Spalte 12. 521 Vgl. Abb. 4.97 auf Seite 234 Tilgungstableau Spalten 7, 14, 15 am 30.09.0l. 522Vgl. Abb. 4.97 auf Seite 234 Tilgungstableau Spalten 1, 7, 14, 15. 523Vgl. [97, S. 151 f.] 524 Vgl. Kapite14.2.l.2.2.l.l.1 auf Seite 207. 525Natürlich kann die statische Effektivzinsberechnung auch auf Basis jeder anderen Tilgungsform erfolgen.

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B U U U

S

0,00 -95 .000,00 -91 .681 ,39 -88 .199,24

(Euro)

P I I I

2

(Euro) -95.000,00 8.000,00 8.000,00 92 .545,50

Zahlungsstrom

B U U U

S

3

(Tage) 0,00 180,00 180,00 180,00

Zinstage P P P P

S

30 .09.00 30.03 .01 30 .09 .01 30 .03.02

Datum

P I I I

(Euro) -95 .000,00 3.318,61 3.482,15 88 .199,24

Tilgung

2

E E E E

S

(Tage) 0,00 180,00 180,00 180,00

Zinstage

3

Tilgungstableau ''Dynamischer Effektivzins"

0,00 -95 .000 ,00 -91 .681 ,39 -88 .199,24

(Euro)

Anfangskapital/ S -zinssaldo

1 1 = 10

P P P P

S

Jahresbasis

4

(Tage) 360,00 360 ,00 360,00 360,00

Jahresbasis

S

P P P P

S

I I I I

S

I I I I V

S

'6 S

P P P P

Eins

7

0,1010 0,1010 0,1010 0 ,1010

S

0,00 I 0,50 I 0,50 I 0,50 I p.a. [%):

Zinstage quotient

5=3/4

S Hundert S

7

I 100 P I 100 P I 100 P I 100 P V L Zins [Euro) (9):1

9,86 9,86 9,86 9,86 9,8555509

(%)

Zins

6

S

I I I I

7=5/6 ZinsS S quotient

1 P E 1 P E 1 P E 1 P E L Zins [Euro) (9):

1,1010 1 ,1010 1 ,1010 1 ,1010

Zinsfaktor

100 100 100 100

Hundert

6

Zinstableau ''Dynamischer Effektivzins"

0,00 0,50 0,50 0,50

Zinstagequotient

5=3/4

10,10 10,10 10,10 10,10 10,0983806

(%)

Zins

5

(Tage) 360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00 P Statischer Effektivzins

Tilgungs- und Zinstableau "Statischer Effektivzins"

30.09 .00 30 .03 .01 30 .09 .01 30 .03.02

Anfangskapital/ Datum S -zinssaldo

1 1 = 10 4

4 = 2/3 2 3 Zinstage Kumulierte S JahresS S Zinstage basis quotient (Tage) (Tage) 0,00 P 360,00 P 0,00 I 180,00 P 360,00 P 0,50 I 360,00 P 360,00 P 1,00 I 540,00 P 360,00 P 1,50 I Effektivzins nach ISMA p.a. [%):

Tilgungstableau "Dvnamischer Effektivzins"

30 .09 .00 30 .03.01 30 .09 .01 30 .03 .02

Datum

1 Zahlungsstrom (Endwert) (Euro) -95 .000,00 8.000,00 8.000,00 92 .545,50

Zinstableau " Dvnamischer Effektivzins" S

9 = 7+8 Zinsfaktor S

.-

8=1"'5"'6/1

(Euro) -95 .000 ,00 -91 .681 ,39 -88 .199,24 0,00

I I I I

S

[Euro) -95 .000 ,00 -91 .681 ,39 -88 .199,24 0,00

Endkapital/ -zinssaldo

10 = 1 + 2

-13545 ,50 1ZIMax!

0,00 -4.681,39 -4 .517,85 -4 .346,26

(Euro)

Zins

I I I I I

S

Endkapital/ -zinssaldo

10 = 1 + 2 + 8

I I I Z

S

(Euro) -95 .000,00 3.318,61 3.482,15 88.199,24

Tilgung

11 = 2 + 8

A Ai Ai A

S

I I I I I Z

S

I I I I

S

[Euro) -95 .000,00 8.000,00 8.000 ,00 92 .545 ,50

Zahlungsstrom

11 = 2 - 8

N N N N

S

Tilgungs- und Zinstableau ''Statischer Effektivzins"

0,00 -4 .681,39 -4 .517,85 -4 .346,26 -13 .545,50

(Euro)

Zins

8=1 "' (6"5-7)

o,og

10 = 1 '" 9 " - 4 Zahlungsstrom (Ba rwe rt) )EurolStck) -95 .000,00 7.624,29 7.266,23 80 .109,48 0,00

Tilgungstableau ''Dynam ischer Effektivzins"

1 P 1 ,1010 A 1 P 1 ,1010 A 1 P 1 ,1010 A 1 P 1 ,1010 A L Barwert 30.09.00 [Euro) (11): Kapita lwert 30.09.00 [Euro) (1 2 = 11):

Eins

8

CD

I)q

ä=:I

g.

CD

""l

rn

C" =:I

CD

-,

CD

""l I)q

~

ä

00

G1

~ ~

00

239

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Das in Abb. 4.101 auf der vorherigen Seite dargestellte Tilgungs- und Zinstableau des statischen Effektivzinses zeigt transparent, daß die Zinsen ausschließlich von dem Tilgungsverlauf abhängen. Ausgehend von einem am 30.09.00 zu zahlenden Tilgungsbetrag von 95.000,00 Euro, der mit dem Kapitalsaldo identisch ist, wird mit linearer Zinsrechnung eine Zinsschuld von 4.681,39 Euro für die Haltedauerperiode 30.09.00 bis 30.03.01 errechnet. 526 Das entscheidende Merkmal der statischen Effektivzinsberechnung besteht in der Tatsache, daß diese Zinsschuld nicht mit dem Kapitalsaldo verrechnet wird. Stattdessen mindert lediglich der am 30.03.01 zu zahlende Tilgungsbetrag von 3.318,61 Euro den ursprünglichen Kapitalsaldo von 95.000,00 Euro auf 91.681,39 Euro. 527 Dieser neue Kapitalsaldo von 91.681,39 Euro ist wiederum der Bewertungsmaßstab für die lineare Zinsrechnung. 528 4.2.1.2.2.1.5 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Effektivzinsmethoden Die Ergebnisse der in den Kapiteln 4.2.1.2.2.1.1 auf Seite 206 bis 4.2.1.2.2.1.4 auf Seite 237 dargestellten Rechenbeispiele der verschiedenen Effektivzinsmethoden werden in Tab. 4.84 noch einmal zusammengefaßt. Zinsmethode ISMA PAngV85 Braess PangVOO USjLeasing Moosmüller TEZ Mair McKinsey Statisch

Effektivzins 10,0983806% 10,0290091 % 10,0146423% 10,0983806% 9,8555512% 10,7652342% 10,0146421 % 10,0510832% 10,0765604% 9,8555509%

Anmerkung

analog ISMA, falls identische Zinsusance Auszahlung am 30.10.00 statt am 30.09.00 bei Wiederanlagezins von 9,50 p.a. % bei Wiederanlage- und Opportunitätszins von 9,50 p.a. % bei unterstellter Tilgungsform gemäß ISMA

Tabelle 4.84: Ergebnisse der Effektivzinsmethoden Tab. 4.84 verdeutlicht den Einfluß der verschiedenen Effektivzinsmethoden auf die Höhe des jeweiligen Effektivzinses. "Wie bereits beschrieben, wird bei der ISMA-Methode529 jede Zahlung direkt exponentiell zum Bewertungsstichtag abgezinst. Durch diese einheitlich exponentielle Abzinsung wird der Zinseszinseffekt im gesamten Restlaufzeitbereich berücksichtigt. Daher ist diese Methode finanzmathematisch am genauesten. (... ) Ein weiterer Vorteil der ISMA-Methode besteht darin, daß sie die am weitesten verbreitete Renditeme526Vgl. Abb. 4.101 auf der vorherigen Seite Tilgungs- und Zinstableau "Statischer Effektivzins" Spalte 8 am 30.03.0l. 527Vgl. Abb. 4.101 auf der vorherigen Seite Tilgungs- und Zinstableau "Statischer Effektivzins" Spalte 10 am 30.03.0l. 528Vgl. Abb. 4.101 auf der vorherigen Seite Tilgungs- und Zinstableau "Statischer Effektivzins" Spalte 1 am 30.09.0l. 529Vgl. KapiteI4.2.l.2.2.l.l.1 auf Seite 207.

Gesamtergebnisrechnung

240

thode ist. ,,530 Das europäische Parlament und der europäische Rat haben sich mit der Richtlinie 98/7/EG im Rahmen der EU-weiten Harmonisierung der finanzmathematischen Effektivzins-Berechnungsmethode für Verbraucherkredite auch für die Effektivzinsmethode nach ISMA (= PAngVOO) entschieden. 531 "Die ISMA-Methode weist zweifellos formal die einfachste Struktur aller Renditemethoden auf. (... ) Die ISMA-Methode wird allerdings aus einem Grund kritisiert: Da auch über den Zeitraum zwischen dem Bewertungsstichtag und dem ersten Kupontermin exponentiell abgezinst wird, unterstellt diese Methode eine exponentielle Stückzinsverrechnung. In der Praxis werden jedoch ( ... ) die Stückzinsen linear berechnet. 532 (... ) Als Nachteil der ISMAMethode wird des öfteren auch genannt, daß sie für Laien schwierig nachzuvollziehen und zu interpretieren ist, weil in der Praxis Konten mit täglichem Zinszuschlag selten sind. ,,533 "Als Hauptvorteil der Braess-Methode534 wird oft genannt, daß sie auch für Laien einfach zu interpretieren ist. (... ) Eine große Schwäche der Braess-Methode besteht zweifelslos in den zahlreichen linearen Auf- und Abzinsungen, weil dadurch der Zinseszinseffekt unberücksichtigt bleibt. Zur Rechtfertigung dieser linearen Verzinsungen wird immer wieder vorgebracht, daß in der Praxis die Stückzinsen linear berechnet werden ( ... ). "535 Außerdem ist zu kritisieren, daß die Zinskapitalisierungs-Termine willkürlich festgelegt wurden. Diese finanzmathematischen Unschärfen stellen für das Gleichungsmodell der Braess-Methode noch nicht einmal eine Vereinfachung dar. Im Gegenteil: Die Braess-Methode führt zu einem komplizierten Gleichungsmodell, weshalb der Effektivzins sehr schwierig zu berechnen und zu kontrollieren ist. Sämtliche Schwächen der Effektivzinsmethode nach Braess gelten auch für die PAngV85Methode536 . Der Unterschied zwischen der Braess-Methode und der PAngV85-Methode besteht lediglich in der unterschiedlichen willkürlichen Behandlung von "gebrochenen" Haltedauern. Bei der US/Leasing-Methode,537 die vor allem bei amerikanischen Leasinggesellschaften ihre Anwendung findet, werden die Zinskapitalisierungs-Termine nicht willkürlich gewählt, sondern mit den Zahlungsterminen zusammengelegt. Ein interessantes Phänomen ergibt sich, wenn man die US/Leasing-Methode auf Nullkuponanleihen anwendet. Nullkuponanleihen sind nur durch zwei Zahlungszeitpunkte (bei Auszahlung und bei der Rückzahlung inklusive Zinsen) gekennzeichnet. 538 Demnach müßte man die 530Ygl. 531 Ygl. 532Ygl. 533ygl. 534Ygl. 535Ygl. 536Ygl. 537Ygl. 538Ygl.

[44, S. 69 f.] Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.4 auf Seite 216. Kapitel 4.2.1.2.1.5 auf Seite 124. [44, S. 70] Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.3 auf Seite 213. [44, S. 104 f.] Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.2 auf Seite 208. Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.5 auf Seite 218. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

241

Rückzahlung über die gesamte Haltedauer linear zum Auszahlungszeitpunkt abzinsen. Diese Vorgehensweise ist absolut unrealistisch. "Ein weiterer Vorteil dieser Methode besteht darin, daß die Amerikanische Rendite eine realtiv einfache Struktur aufweist und daher leicht zu berechnen und zu kontrollieren ist. ,,539 Nachteilig wirkt sich aber die Nichtberücksichtigung des unterjährigen Zinseszinseffektes sowie die finanzmathematisch nicht exakte Unterstellung einer linearen Stückzinsberechnung aus. "Wie die ISMA-Methode weist auch die Moosmüller-Methode eine einfache formale Struktur auf, wodurch sie relativ einfach zu berechnen und zu kontrollieren ist. "540 Die Zinskapitalisierungs-Termine werden dabei nicht willkürlich festgelegt, sondern entsprechen den Zahlungszeitpunkten. Für den unterjährigen Bereich wird eine stufenweise lineare Verzinsung unterstellt, die letztlich einer exponentiellen Verzinsung analog der ISMA-Methode 541 entspricht. Ein Nachteil der Moosmüller-Methode liegt in der linearen Abzinsung vom ersten Einzahlungstermin bis zum Auszahlungstermin einer Geld-jKapitalanlage. "Ein weiterer Nachteil der Moosmüller-Methode wird gelegentlich genannt, daß sie für Laien schwer zu interpretieren ist. "542 "Die rechnerische Darstellung der Effektivzinsrechnung gemäß TEZ-Verfahren zeigt, daß hier die Zinsverrechnung in Abhängigkeit von der Laufzeit der gebildeten Refinanzierungstranchen erfolgt. Auf diese Weise wird eine Ausrichtung am Opportunitätszins erzeugt. Der zentrale Vorteil liegt darin, daß so - im Gegensatz zu den bislang aufgezeigten Verfahren - den Usancen am Geld- und Kapitalmarkt explizit Rechnung getragen wird. ,,543 Als nachteilig wird in der Praxis meist die komplizierte Berechnung und Kontrollierbarkeit des treasury-konformen Effektivzinses empfunden. Die realen Effektivzinsmethoden nach Mair544 und nach McKinsey545 erfordern zwingend eine individuelle Einschätzung des Wiederanlagezinses bzw. des Opportunitätszinses. Dadurch ergeben sich im Gegensatz zu den internen Zinsfußmethoden546 für die Gleichungsmodelle der realen Zinsfüße eine entscheidende Vereinfachung. Da die realen Zinsfußmethoden nicht mit einem einzigen unbekannten Effektivzins zur Bewertung von Einzahlungen und Auszahlung arbeiten, sondern den Wiederanlagezins der Einzahlungen vorgeben, entsteht eine auflösbare Gleichung. Auf den Einsatz von Iterationsverfahren kann also verzichtet werden. Kritisch ist beim realen Effektivzins nach McKinsey die Aufspaltung des Effektivzinses in die Komponenten Opportunitätszins und Marge zu betrachten. "Grundsätzlich kann der Bewertungszins (Effektivzins ) eines Geschäftes zwar 539ygl. 540ygl. 541Ygl. 542ygl. 543Ygl. 544Ygl. 545Ygl. 546Ygl.

[44, S. 89] [44, S. 79]

Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207.

[44, S. 80]

[97, S. 169] Kapitel 4.2.1.2.2.1.3.1 auf Seite 227. Kapitel 4.2.1.2.2.1.3.2 auf Seite 230. Kapitel 4.2.1.2.2.1.1 auf Seite 206.

Gesamtergebnisrechnung

242

in seine Komponenten zerlegt werden, es ist jedoch finanzmathematisch falsch, aus jedem Effektivzinselement einen eigenen Kapitalfaktor zu bilden und damit jede Komponente einzeln auf das zu verzinsende Kapital anzuwenden. Durch dieses Vorgehen werden zwei unabhängig voneinander laufende Geschäfte simuliert, die so nicht existieren. Die Forderung, den Effektivzins als Bewertungsmaßstab eines Zahlungsstroms immer auf das um den bereits verrechneten Effektivzinsbetrag erhöhte Kapital zu beziehen, wird bei den realen Renditen nur vom Effektivzins nach Mair erfüllt. ,,547 Die wesentliche Kritik an der statischen Effektivzinsmethode548 besteht darin, daß die zeitliche Struktur eines Zahlungsstroms nicht oder nur unvollkommen berücksichtigt wird, da ausschließlich die vereinbarten Tilgungszeitpunkte von Bedeutung sind. "Mögliche Vorteile können in der Einfachheit und Unkompliziertheit der Vorgehensweise ebenso wie in der offentsichtlichen Nähe des Verfahrens zum statischen Charakter der Bankbuchhaltung ( ... ) gesehen werden. "549 4.2.1.2.2.2 Berechnung von Zinsmargen

Die Berechnung von Zinsmargen basiert

im Rahmen der Marktwertmethode zum einen auf der Berechnung eines Effektivzinses, zum anderen auf der Berechnung eines Opportunitätszinses einer Zahlungsreihe. Wie im Kapitel 4.2.1.2.2.1 auf Seite 205 ausführlich erläutert wurde, ist das Ergebnis der Effektivoder Opportunitätszinsrechnung abhängig von der gewählten Effektivzinsmethode. Folglich ist vor der Berechnung von Effektiv- und Opportunitätszinsen eine entsprechende Effektivzinsmethode festzulegen. Im folgenden Beispielfall werden der Effektivzins und der Opportunitätszins auf Basis der Effektivzinsmethode nach ISMA berechnet. 550 Ausgangspunkt der Effektiv- und Opportunitätszinsberechnung ist die in Abb. 4.85 dargestellte Standard-Zahlungsreihe. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.85: Zahlungsstrom Am Geld-/Kapitalmarkt möge eine normale Nominal-Zinsstruktur vorliegen, d.h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als 1-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%,

für 1-Jahres-Geld 6,00% und für q-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-/Kapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-/Kapitalanlage. 547Vgl. 548Vgl. 549Vgl. 550Vgl.

[63, S. I11J Kapitel 4.2.1.2.2.1.4 auf Seite 237. [97, S. 162J Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

243

Abb. 4.102 zeigt die Berechnung des Effektivzinses nach ISMA auf Basis der in Tab. 4.85 auf der vorherigen Seite unterstellten Zahlungsreihe. Zinstableau

1 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

ZahlungsstrDm (Enelwert) [EurDI -95.000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

,....-3

2

S Kumullene S Jahres- S Zinstage basis B U U U

[Tagel [Tauel 0,00 P 360,00 180,00 P 360,00 360,00 P 360,00 540,00 P 360,00 Effektivzins nach

-

5

4- 2/3 Zinstage- S qUDtient

Zins

6 Hunden

S

1'1101 0,00 I P 10,10 P 0,50 I 10,10 P 1,00 I 10,10 P 1,50 I 10,10 ISMA p,a. [%[: 10,0983806

100 100 100 100

I I I I V

8

7- 5/6 S

Zins- S qUDtient

P P P P

0,1010 0,1010 0,1010 0,1010

Eins

I I I I

10 - 1 " 9 A -4

9 - 7+8 S

1 1 1 1

ZinsfaktDr

S

P P P P

1,1010 A 1,1010 A 1,1010 A 1,1010 A L Barwen 30.09 _00 [Euro[ (11): Kapitalwen 30.09.00 [EurD) (12 = 11):

ZahlungsstrDm (BaIWen) IEurDI -95.000,00 7.624,29 7.266,23 80.109,48 0,00 0,00

S

I I I I I Z

TIlgungstable au

Tilaunastableau

2

,....-3

4

5- 3/4

ZahlungsS S strDm

Zinstage

JahresS S basis

ZinstageqUDtient

1 1 - 10 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Anfangskapital! -zinssaldD IEurDI 0,00 -95 .000,00 -91 .681 ,39 -88 .199,24

P I I I

IEurDI -95.000 ,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

B U U U

ITagel 0,00 180,00 180,00 180,00

P P P P

[Tagel 360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0,00 0,50 0,50 0,50

-

6

S ZinsS faktDr I I I I

8=1"

7

1,1010 1,1010 1,1010 1,1010

L

Eins

10 1+2+8

11 - 2 + 8

S Endkapita~ S -zinssaldD

Tilgung

(6A5 - 7} S

E 1 P E 1 P E 1 P E 1 P Zins [Euro) (9):

Zins [EurDI 0,00 -4 .681,39 -4 .517,85 -4 .346,26 -13.545,50

I I I I I

[EurD[ -95 .000,00 -91 .681 ,39 -88.199,24 0,00

[EurDI I -95.000,00 I 3.318,61 I 3.482,15 Z 88 .199,24

S

I I I I

Zmstableau

Abb. 4.102: Effektivzins nach ISMA Als Rechenergebnis der Abb. 4.102 beträgt der Effektivzins nach ISMA des unterstellten Zahlungsstroms 10,098% p.a. 551 Zur Berechnung des Opportunitätszinses ist der unterstellte Zahlungsstrom gemäß Abb. 4.103 auf der nächsten Seite simultan auf Basis von jährlichen Tranchen strukturkongruent zu refinanzieren. 552

551 V gl.

552Vgl.

Abb. 4.102 Zinstableau Spalte 5. Kapitel 4.2.1.2.1.2 auf Seite 117.

Gesamtergebnisrechnung

244

1 Datum

30 .03.02 30.09.01 30 .03.01 30.09.00 Max!

4

5 = 130.03.02

6

7 = 1 *4 7=1 *4+5 *6

ZinsMarktwert S Zins- S Marktwert S S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) (Euro) (Euro) 86.491,12 V 1,0700 U 92 .545,50 N 7.547,17 V 1,0600 U 8.000,00 N 4.851,52 V 1,0250 U 86 .491,12 I 0,0350 U 8.000,00 N -95.000,00 B 1,0000 U -95.000,00 N 3.889,81 I : (2) L Marktwert 30 .09 .00 [Euro) 3.889,81 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb_ 4_103: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes (simultaner Ansatz; jährliche Tranchen) Als Refinanzierungsergebnis des in Abb_ 4_103 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 EurO. 553 Die Berechnung des Opportunitätszinses erfordert die Kenntnis des aus dem unterstellten Zahlungsstrom ableitbaren Gegen-Zahlungsstroms. Dieser Ableitung liegt der Gedanke des Opportunitätsprinzips zugrunde: Ist der Gegenwart-Kapitalwert eines Zahlungsstroms positiv (negativ), so ist die Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals (Effektivzins) höher (niedriger) als der unterstellte Geld-jKapitalmarktzins (Opportunitätszins). Statt einer Investition, z. B, Vergabe eines Darlehens an einen Kunden, hätte ein Finanz- jKreditinstitut das Darlehen auch als alternative Investition am Geld- jKapitalmarkt plazieren können. Da der Kapitalwert den Opportunitätsgewinn zwischen der Investition und der alternativen Anlage am Geld-jKapitalmarkt aufzeigt, kann der Zahlungsstrom der Alternativanlage, der sogenannte Gegen-Zahlungsstrom, aus dem (Investitions-)Zahlungsstrom berechnet werden. Zur Berechnung des GegenZahlungsstroms ist der unterstellte Zahlungsstrom um seinen Gegenwart-Kapitalwert gemäß Tab. 4.86 zu korrigieren. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

2 Kapitalwert 3.889,81 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro

3 = 1- 2 Gegenzahlung -98.889,81 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.86: Zahlungsstrom, Gegenwart-Kapitalwert, Gegen-Zahlungsstrom Nach Kenntnis des Gegen-Zahlungsstroms kann dessen Opportunitätszins nach ISMA gemäß Abb. 4.104 auf der nächsten Seite ermittelt werden.

553Vgl. Abb. 4.103 Spalte 3.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Zinstableau

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

-

;---

1 Datum

245

Zahlungsstrom (Endwert) (Euro( -98.889,81 8.000,00 8.000,00 92 .545,50

2

4 - 213

3

S Kumulierte S Jahres- S Zinstage basis U U U U

(Tage( (Tagel 0,00 P 360,00 180,00 P 360,00 360,00 P 360,00 540,00 P 360,00 Opportunitätszins nach

5

Zinstage- S quotient

Zins

S

1 =5/6

6

8

Hun ZinsS quotient S dert

Eins

10 - 1 " 9 A-4

9 = 1+8 S

Zinsfaktor

S

['!lI P 0,00 I 0,50 I P P 1,00 I P 1,50 I ISMA P,II, [%[:

6,95 6,95 6,95 6,95 6,9490513

100 100 100 100

I I I I V

P P P P

1 P 1,0695 A I I 1 P 1,0695 A I 1 P 1,0695 A 1 P 1,0695 A I 2 Barwert 30,09.00 [Euro) (11): Kapitalwert 30.09.00 [Euro) (12 = 11):

0,0695 0,0695 0,0695 0,0695

Zahlungsstrom (Barwert) (Eurol -98.889,81 7.735,73 7.480,20 83.673,88 0 ,00 0,00

S

I I I I I Z

TIlgungstableau

Tihlunastableau

;---

1 1 = 10 Datum

30.09.00 30.03.01 30 .09.01 30.03.02

Anfangskapital/ -zinssaldo (Eurol 0,00 -98.889,81 -94 .268,06 -89.488,42

2

3

ZahlungsS S strom

Zinstage

P I I I

(Eurol -98.889,81 8.000,00 8.000,00 92 .545,50

B U U U

(Tagei 0,00 180,00 180,00 180,00

JahresZinstageS S basis quotient P P P P

(Tagei 360,00 360,00 360,00 360,00

-

5 =3 / 4

4

P P P P

0,00 0,50 0,50 0,50

6

S ZinsS faktor I I I I

1 Eins

S

1,0695 E 1 P 1,0695 E 1 P 1,0695 E 1 P 1,0695 E 1 P 2 Zins [Euro) (9) :

8-1 " (6A5 - 1)

10 1 +2 +8

11 = 2 + 8

Zins

S Endkapltal/ S -zinssaldo

Tilgung

/Eurol 0,00 -3.378,25 -3.220,36 -3 .057,08 -9.655,69

I I I I I

(Eurol -98 .889,81 -94 .268,06 -89.488,42 0,00

(Eurol I -98.889,81 4.621,75 I I 4.779,64 Z 89.488,42

S

I I I I

ZInstableau

Abb. 4.104: Opportunitätszins nach ISMA Als Rechenergebnis der Abb. 4.104 beträgt der Opportunitätszins nach ISMA des abgeleiteten Gegen-Zahlungsstroms 6,949% p.a. 554 Die Differenz zwischen dem Effektivzins des Zahlungsstroms von 10,098% p.a. 555 und dem Opportunitätszins des Gegen-Zahlungsstroms von 6,949% p.a. 556 wird als Zinsmarge im Sinne einer Gewinnspanne bezeichnet und beträgt 3,149% p.a. Anders ausgedrückt: Die Marge ist die prozentuale Kennzahl des Kapitalwertes. Somit setzt sich jeder Effektivzins, unabhängig von der verwendeten Effektivzinsmethode, aus zwei Komponenten - dem Opportunitätszins und der Zinsmarge - zusammen. Anzumerken bleibt, daß letztlich auch die verwendete Effektivzinsmethode die Zinsmarge beeinflußt.

4.2.1.2.2.3 Berücksichtigung der Mindestreserve Ab dem 01. Januar 1999 ist jedes Finanz-/Kreditinstitut der Europäischen Union verpflichtet, für Kundeneinlagen, Schuldverschreibungen und Geldmarktpapiere mit einer Haltedauer von weniger als zwei Jahren eine bestimmte Mindestreserve als Prozentsatz der reservepflichtigen Verbindlichkeiten bei der Europäischen Zentralbank (EZB) zu halten. 557 Dabei wird durch einen pauschalen Freibetrag in Höhe von 100.000,00 EUR gewährleistet, daß Finanz-/Kreditinstitute mit geringem Verbindlichkeitsvolumen von der Mindestreserve-Regelung ausgenommen werden. Es stellt sich also grundsätzlich die Frage, wie sich die Mindestreserve-Belastung auf den Gegenwart-Kapitalwert sowie den Effektivzins eines Kunden-Zahlungsstroms bzw. den Opportunitätszins eines Gegen-Zahlungsstroms finanzmathematisch niederschlägt. Um 554Ygl. 555Ygl. 556Ygl. 557ygl.

Abb. 4.104 Zinstableau Spalte 5. Abb. 4.102 auf Seite 243 Zinstableau Spalte 5. Abb. 4.104 Zinstableau Spalte 5. Internetseite: www.bundesbank.de/gm/gm..IDindestreserven. php

Gesamtergebnisrechnung

246

diese Fragestellung eindeutig beantworten zu können werden zunächst gemäß Abb. 4.105 unter Annahme des in Tab. 4.87 dargestellten Kunden-Zahlungsstroms (Passivgeschäft!) Zahlung 12.000,00 Euro -1.000,00 Euro -1.000,00 Euro -11.000,00 Euro

Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Tabelle 4.87: Zahlungsstrom sowie auf Basis einer unterstellten Nominal-Zinsstrukturkurve (~-Jahres-Geld 5,00%, I-Jahres-Geld 6,00%, l~-Jahres-Geld 7,00%) der entsprechende Gegenwart-Kapitalwert 558 sowie der Effektiv- und Opportunitätszins559 ohne Berücksichtigung von MindestreserveVorschriften berechnet. Effektininstableau

1 Datum

2

30.09.00 12.CXXJ,OO 30.03.01 -l .CXXJ,OO 30.09.01 -l .CXXJ,OO 30.03.02 -ll .CXXJ,OO

8 U U U

-

3

ZahlungsS Kumulierte S strom Zlnstage (Endwert) IEurol nagel 0,00 180,00 360,00 540,00

P P P P

Jahres-

basis

5

4- 2/3

ZInsS tage. S quotient

nagel 360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0,00 0,50 1,00 1,50

I

I I I

Effektivzin. nach ISMA p.a. [%):

Marktwerttableau

5 - 130 0302

Datum

Marktwert S

Zlnsfaktor

IEurol

2

Marktwerttableau

r---

3

Zahlungs. S Kumulierte S strom Zlnstage (Endwert) ITage) IEurol E E E E

Jahres-

basis

4 - 2/3

ZIns. S tage- S quotient

ITagel

I I I I Opportunitätszin. nach ISMA p.a. [%): 0,00 180,00 360 ,00 540,00

I I I I

100 100 100 100

S

P P P P

Zinsquotient 0,0596 0,0596 0,0596 0,0596

Y

7 - 1 *4 7 - 1*4+5 * 6

S

Eins

I I I

S

1 1 1 1

P P P P

ZahlungsS strom S (Barwert) IEurol

Zlnsfaktor

12.CXXJ,OO -971 ,46 -943,73 I ·10084,81 L Barwert 30.09.00 [Euro) (11): 0,00 1,0596 1,0596 1,0596 1,0596

I I

I I

= 11):

I

I I I I

0,00 Z

9-7 9 -7·8

8- 3

IEuro)

Opportunitäts2instableau

30.09.00 11 .848,34 30.03.01 ·1 .000,00 30.09.01 ·1 .000,00 30.03.02 ·11 .000 ,00

5,96 5,96 5,96 5,96 5,9619913

Hundert

10 1 * 9' · 4

9 - 1+8

8

Zins. Kapitalwert GegenS Marktwert S quotient S Zahlungsstrom S 3O.ll9.oo S Zahlungs- S

IEuro)

Datum

"'I

S

1 - 5/6

Kapitalwert 30.09.00 [Euro) (12

6

30.03.02 -10.280,37 Y 1,0700 U 30.09.01 -943,40 Y 1 ,0600 U 30.03.01 0 ,0350 U ·624,57 Y 1,0250 U -10.280,37 I 30.09.00 12.CXXJ,OO 8 l,OCXXJ U 151,66 I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) Max! 151,66 Z : ß - 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

1

Zins

6

P P P P

360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0 ,00 0,50 1,00 1,50

·11 .000,00 ·1 .000 00 ·1 .000,00 12.000,00

strom

IEurol N N N N

IEurol

151,66 I

·ll .CXXJ,OO -1.000,00 ·1 .000,00 11 .848 ,34

A A A A

Opportunitätszinstableau

5 Zins "'I

6,94 6,94 6,94 6,94 6,9435775

6 S

I I I I Y

7- 5/6

Hundert

100 100 100 100

S

P P P P

8

9-7+8

10 1*9' ·4

ZahlungsZinsZlnsS Eins S S strom S quotient faktor (Barwert) IEuro) 0,0694 I 1 P 1,0694 I 11 .848,34 I 0 ,0694 I 1 P 1,0694 I -966 ,99 I 0,0694 I 1 P 1,0694 I -93507 I 0,0694 I 1 P 1,0694 I -9.946,28 I L Barwert 30.09.00 [Euro) (11): 0,00 I Kapitalwert 30.09 .00 [Euro) (12 - 11): 0,00 Z

Abb. 4.105: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes sowie Effektiv-j Opportunitätszinsbestimmung ohne Berücksichtigung der Mindestreserve

558Die Berechnung des Gegenwart-Kapitalwertes wird in diesem Kapitel auf Grundlage der simultanen strukturkongruenten Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen (vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.2 auf Seite 117) durchgeführt. 559Die Effektiv- und Opportunitätszinsberechnung wird in diesem Kapitel auf Basis der Effektivzinsmethode nach ISMA (vgl. Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207) durchgeführt.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

247

Ohne Berücksichtigung der Mindestreserve ergeben sich laut Abb. 4.105 auf der vorherigen Seite ein Gegenwart-Kapitalwert von 151,66 Euro, ein Effektivzins von 5,96% p.a. sowie ein Opportunitätszins von 6,94% p.a. 560 Es besteht in der Literatur Einigkeit, "daß bei gleichem Nominalzins der Konditionsbeitrag (Anmerkung des Verfassers: Kapitalwert) einer mindestreservepflichtigen Einlage kleiner sein muß als der einer reservefreien Einlage. "561 Dabei gibt es gemäß Abb. 4.106 grundsätzlich zwei Möglichkeiten, die Wirkung der Mindestreserve auf den Kapitalwert zu berücksichtigen. Entweder erfolgt eine Korrektur des Effektivzinses bzw. Kunden-Zahlungsstroms oder eine Korrektur des Opportunitätszinses bzw. GegenZahlungsstroms. Berücksichtigung der Mindestreserve

Korrektur

Exakte Korrektur

Korrektur

Abb. 4.106: Berücksichtigung der Mindestreserve Die Berücksichtigung der Mindestreserve durch exakte Korrektur des EjJektivzinses oder durch exakte Korrektur des Opportunitätszinses basiert auf dem Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung. 562 Die Berücksichtigung der Mindestreserve durch pauschale Korrektur des EjJektivzinses oder durch pauschale Korrektur des Opportunitätszinses basiert dagegen auf noch

zu beschreibende Näherungslösungen. In den folgenden Kapiteln werden zunächst die Korrektur des Effektivzinses (Kapitel 4.2.1.2.2.3.1 auf der nächsten Seite) und anschließend die Korrektur des Opportunitätszinses (Kapitel 4.2.1.2.2.3.2 auf Seite 251) beschrieben. Abschließend werden 560Ygl. Abb. 4.105 auf der vorherigen Seite Effektivzinstableau Spalte 5, Marktwerttableau Spalte 3, Opportunitätszinstableau Spalte 5. 561 Y gl. [92, S. 98] 562 Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

Gesamtergebnisrechnung

248

1m Kapitel 4.2.1.2.2.3.3 auf Seite 255 die verschiedenen Korrekturmöglichkeiten zur Berücksichtigung der Mindestreserve kritisch gewürdigt. 4.2.1.2.2.3.1 Korrektur des Effektivzinses In den folgenden Kapiteln werden zum

einen die exakte Korrektur des Effektivzinses (Kapitel 4.2.1.2.2.3.1.1), zum anderen die pauschale Korrektur des Effektivzinses (Kapitel 4.2.1.2.2.3.1.2 auf der nächsten Seite) erläutert. 4.2.1.2.2.3.1.1 Exakte Korrektur des Effektivzinses Die Berücksichtigung der

Mindestreserve durch exakte Korrektur des Effektivzinses basiert auf dem Prinzip der strukturkongruenten Refinanzierung. 563 Demnach muß zur exakten Berücksichtigung der Mindestreserve der Kunden-Zahlungsstrom 564 um den Zahlungstrom der Mindestreserve, der sich durch die verzinsliche Anlage der Mindestreserve bei der Europäischen Zentralbank ergibt, korrigiert werden. Wird beispielsweise ein von der Europäischen Zentralbank festgelegter MindestreserveSatz von 2,00% sowie eine Entschädigungsverzinsung von 2,50% pro Halbjahr unterstellt, die die Europäische Zentralbank für das Mindestreserve-Guthaben gewährt, so ist folgende Korrektur des Kunden-Zahlungsstroms 565 , dargestellt in Tab. 4.88, erforderlich. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Zahlung ohne Mindestreserve 12.000,00 Euro -1.000,00 Euro -1.000,00 Euro -11.000,00 Euro

2 Mindestreserve -240,00 6,00 6,00 246,00

Euro Euro Euro Euro

3=1+2 Zahlung mit Mindestreserve 11.760,00 Euro -994,00 Euro -994,00 Euro -10.754,00 Euro

Anmerkung: Das Mindestreserve-Guthaben von 240,00 Euro am 30.09.00 errechnet sich wie folgt: Zahlung von 12.000,00 Euro * Mindestreserve-Satz von 2,00% Die Entschädigungsverzinsung von 6,00 Euro beispielsweise am 30.03.01 errechnet sich wie folgt: Mindestreserve-Guthaben von 240,00 Euro * Entschädigungsverzinsung von 2,50%

Tabelle 4.88: Zahlungsstrom, Mindestreserve, Mindestreserve korrigierter Zahlungsstrom Auf Grundlage des (Mindestreserve-)korrigierten Kunden-Zahlungsstroms ist der entsprechende Gegenwart-Kapitalwert, Effektiv- und Opportunitätszins nach Mindestreserve gemäß Abb. 4.107 auf der nächsten Seite zu berechnen.

563Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 564Ygl. Tab. 4.87 auf Seite 246. 565ygl. Tab. 4.87 auf Seite 246.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Effektivzinstableau

,-2

1 Zahlungs-

strom

Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

(Endwert) IEurol 11.760,00 -994,00 -994,00 -10.754,00

S Kumulierte S Zinstage B U U U

3

4 - 2/3

5

Jahresbasis

ZinsS tage - S quotient

Zins

I1agel I1agel 360,00 P 0,00 P 360,00 P 180,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00 P 540,00 P Effektivzins na ch ISMA

Marktwerttableau 4

1 Marktwert S

Datum

[Euro! 30.03.02 -10.050,47 30.09.01 -937,74 -626,57 30.03.01 30.09.00 11 .760,00 145,23 Max! 145,23

Zinsfaktor

5 = 1,0.03.02 S Marktwert

Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

0,00 I 0,50 I 1,00 I 1,50 I p.a. (%(:

r--6

2

3

S Kumulierte S Zinstage

Jahresbasis

E E E E

Marktwerttableau

[Tage! [Tage! 0,00 P 360,00 360,00 180.00 P 360,00 P 360.00 360,00 540.00 P Opportunitätszins nach

S

5,98 5,98 5,98 5,98 5,9814488

S

-

4- 2/3

ZinsS tage - S quotient

7- 1" 4 7 - 1 " 4+5"6

[Euro! -10.754,00 -994,00 -994,00 11 .760,00

100 100 100 100

P P P P

S

Eins

S

Zinsfaktor

S

0,00 I 0,50 I 1,00 I 1.50 I p.a. (%):

0,0598 0,0598 0,0598 0,0598

1 P 1,0598 I 1 P 1,0598 I 1 P 1,0598 I 1 P 1,0598 I L Barwert 30 .09.00 (Euro) (11) : Kapitalwert 30 .09.00 (Euro) (12 = 11):

9=7 9 = 7-8 GegenKapitalwert 30119_00 S Zahlungsstrom [Euro! [Euro! -10.754,00 -994,00 -994,00 145,23 I 11 .614,77

I I I I

strom

(Barwert) [Euro! 11 .760,00 -965,54 -937,90 -9.856,56 0,00 0,00

S

I I I I I Z

8=3

N N N N

S

A A A A

Opportunitätszinstable ou

Zins

7=5/6

6

5 S

Hundert

ZinsS quotient

['IIo! P P P P ISMA

Zinsquotient

10 = 1 " 9' _4 Zahlungs-

9=7+8

8

7- 5/6

Hundert

I I I I V

ZinsS S Zahlungsstrom S quotient

V 1,0700 U 1,(E()() U V 0,0350 U V 1,0250 U -10.050,47 I B 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30 .09.00 (Euro) Z : (3 - 2) Kapitalwert 30.09.00 (Euro)

1

6

['IIo!

[Euro!

Opportunitätszinstableau

Zahlungsstrom (Endwert) [Euro! 11 .614,77 -994.00 -994,00 -10754.00

249

6,94 6,94 6,94 6,94 6.9417240

I I I I V

100 100 100 100

P P P P

S

8

9=7+8

Eins

Zinsfaktor

S

10 1 " 9' - 4 ZahlungsS

strom

(Barwert) [Euro! 1 P 1,0694 I 11 .614,77 0.0694 I 1,0694 I -961,20 0,0694 I 1 P -929,48 0,0694 I 1 P 1,0694 I 1 P 1,0694 I -9.724,10 0,0694 I L Barwert 30 .09 .00 (Euro) (11) : 0,00 Kapitalwert 30 .09.00 (Euro) (12 = 11): 0,00

S

I I I I I Z

Abb. 4.107: Exakte Korrektur des Effektivzinses Die Berücksichtigung der Mindestreserve durch exakte Korrektur des Effektivzinses ergibt laut Abb. 4.107 einen Gegenwart-Kapitalwert von 145,23 Euro, einen Effektivzins von 5,98% p.a. sowie einen Opportunitätszins von 6,94% p.a. 566 4.2.1.2.2.3.1.2 Pauschale Korrektur des Effektivzinses Wird aus Vereinfachungs-

gründen auf eine exakte Mindestreserve-Korrektur des Effektivzinses verzichtet, so kann der EjJektivzins pauschal auf Basis einer Näherungslösung berechnet werden. Bei der pauschalen Berücksichtigung der Mindestreserve wird immer davon ausgegangen, daß die Mindestreserve während der Haltedauer eines Geld- jKapitalmarktgeschäftes konstant zu halten ist_ Außerdem wird auf eine Berücksichtigung der Entschädigungsverzinsung durch die Europäische Zentralbank verzichtet. Bei der pauschalen Berechnung des Kapitalwertes nach Mindestreserve muß beachtet werden, daß bei einem Mindestreserve-Satz von 2,00% nur noch 98% (= 11.760,00 Euro) der ursprünglichen Einzahlung von 12_000,00 Euro zur strukturkongruenten Refianzierung verwendet werden können. Deshalb muß der ursprüngliche Kapitalwert vor Mindestreserve nicht nur um die verringerte Marge, sondern auch noch um das verringerte Volumen korrigiert werden. 567 566ygl. Abb. 4.107 Effektivzinstableau Spalte 5, Marktwerttableau Spalte 3, Opportunitätszinstableau

Spalte 5.

567Ygl. [109, S. 319 ff.]

Gesamtergebnisrechnung

250

Abb. 4.108 zeigt die pauschale Mindestreserven-Berücksichtigung des Effektivzinses mit Margen- und Volumenkorrektur des Kapitalwertes.

7 = 5-4

.

3

2

1 Effektivzins p.a. S vor Mindestreserve [%) 5,9619913 U

Marge p.a. S nach Mindestreserve

[%1

0,8599128 I

Hundert

S

100 P

8 - 6-7

4 = 1"2/12-31

Effektivzins p.a. Mindestreserve S S nach Mindestreserve Satz 1%1 [%1 6,0836646 I 2,00 U

g

10 = 7 /6 • 12 - 3) / 2 • 9

5

6 = 5 -1

Marge p.a. Opportunitii1SS S vor Mindestreserve zins p.a. [%1 [%1 0,9815861 I 6,9435775 U

I

11 = 9 -10

MindestMindestreserve Kapitalwert Kapitalwert S S S reserve- S Anteil nach Mindestreserve vor Mindestreserve Anteil [Eurol [Eurol [Eurol [%1 21,46 I 130,20 I 151,66 U 0,1216733 I

Abb. 4.108: Pauschale Korrektur des Effektivzinses mit Margen- und Volumenkorrektur des Kapitalwertes Der in Abb. 4.105 auf Seite 246 ermittelte Effektivzins vor Mindestreserve von 5,96% p.a. 568 wird auf Basis der in Abb. 4.108 dargestellten Pauschalformel um den

Mindestreserve-Effekt korrigiert. Als Ergebnis steigt der Effektivzins um 0,12% p.a. auf 6,08% p.a. 569 Bei einem konstanten Opportunitätszins von 6,94% p.a. 570 mindert sich dementsprechend die Zinsmarge um 0,12% p.a. von 0,98% p.a. auf 0,86% p.a. ,571 so daß mit Hilfe des Dreisatzes der ursprüngliche Kapitalwert vor Mindestreserve von 151,66 Eur0572 um die verringerte Zinsmarge und das verringerte Volumen korrigiert

werden kann. Als Ergebnis reduziert sich der Kapitalwert nach Mindestreserve um 21,46 Euro auf 130,20 Euro. 573 In der Praxis von Finanz-/Kreditinstituten aber auch in der Literatur wird oftmals die Korrektur des Kapitalwertes vor Mindestreserve um das verringerte Refinanzierungsvolumen "vergessen" .574 Abb. 4.109 auf der nächsten Seite zeigt dementsprechend die pauschale Mindestreserve-Berücksichtigung des Effektivzinses nur mit Margenkorrektur des Kapitalwertes.

568Vgl. 569Vgl. 570Vgl. 571 Vgl. 572Vgl. 573Vgl. 574Vgl.

Abb. 4.105 auf Seite 246 Effektivzinstableau Spalte 5. Abb. 4.108 Spalten 1, 4. Abb. 4.105 auf Seite 246 Opportunitätszinstableau Spalte 5. Abb. 4.108 Spalten 6 bis 8. Abb. 4.105 auf Seite 246 Marktwerttableau Spalte 3. Abb. 4.108 Spalten 10, 1l. [92, S. 98 ff.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 1

7 - 5 ·4

. ~

3

2

Effektlvzins p.lI. S vor Mindestreserve ['110) 5,9619913 U

Mllrge p.lI. S nlleh Mindestreserve ['110)

0,8599128 I

Hunden

S

100 P

8 - 6 ·7

251 4 - 1 * 2 / (2 · 3)

Effektivzins p.lI. Mindestreserve· S S nlleh Mindestreserve SlItz ['110) [%1 6,0836646 I 2,00 U

9

10 - 7 / 6 * 9

5

6 - 5 ·1

Mllrge p.lI. Opponunitäls. S S vor Mindestreserve zins p.lI. [%1 ['110) 0,9815861 I 6,9435775 U

I

11 - 9 · 10

Mindest· Mindestreserve· Kapitlllwen Kapltlllwen S S S reserve · S Anteil nlleh Mindestreserve vor Mindestreserve Anteil (Euro) [Euro) (Euro[ ['110) 18,80 I 132,86 I 151 ,66 U 0,1216733 I

Abb. 4.109: Pauschale Korrektur des Effektivzinses mit Margenkorrektur des Kapitalwertes Eine Nichtberücksichtigung des Volumeneffektes der Mindestreserve führt zu einem höheren Kapitalwert nach Mindestreserve als bei Berücksichtigung von Volumen- und Margeneffekten. Im Rechenbeispiel der Abb. 4.109 wird ein Kapitalwert nach Mindestreserve von 132,86 Euro ermittelt,575 der um 2,66 Euro höher ist als der in Abb. 4.108 auf der vorherigen Seite errechnete Kapitalwert nach Mindestreserve von 130,20 Euro. 576 Folglich führt eine Nichtberücksichtigung des Volumeneffektes der Mindestreserve zu einem zu hohen Ausweis des Kapitalwertes. 4.2.1.2.2.3.2 Korrektur des Opportunitätszinses In den folgenden Kapiteln

werden zum einen die exakte Korrektur des Opportunitätszinses (Kapitel 4.2.1.2.2.3.2.1), zum anderen die pauschale Korrektur des Opportunitätszinses (Kapitel 4.2.1.2.2.3.2.2 auf Seite 254) erläutert. 4.2.1.2.2.3.2.1 Exakte Korrektur des Opportunitätszinses In der Literatur und

Praxis wird oftmals die Auffassung vertreten, daß die Berücksichtigung der Mindestreserve nicht durch Korrektur des Effektivzinses bzw. des Kunden-Zahlungsstroms erfolgen sollte, sondern ausschließlich durch Korrektur des Opportunitätszinses bzw. des Gegen-Zahlungsstroms. 577 Nach dieser Vorgehensweise bleibt das Volumen des Geld-jKapitalmarktgeschäftes gemäß Tab. 4.89 auf der nächsten Seite brutto.

575Ygl. Abb. 4.109 Spalte 10. 576Ygl. Abb. 4.108 auf der vorherigen Seite Spalte 10. 577Ygl. [97, S. 89]

252

Gesamtergebnisrechnung

Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Zahlung ohne Mindestreserve 12.000,00 Euro -1.000,00 Euro -1.000,00 Euro -11.000,00 Euro

2 Mindestreserve 0,00 0,00 0,00 0,00

Euro Euro Euro Euro

3=1+2 Zahlung mit Mindestreserve 12.000,00 Euro -1.000,00 Euro -1.000,00 Euro -11.000,00 Euro

Tabelle 4.89: Zahlungsstrom, Mindestreserve, Mindestreserve korrigierter Zahlungsstrom Auch die Berücksichtigung der Mindestreserve durch exakte Korrektur des Opportunitätszinses basiert auf dem Prinzip der strukturkongruenten Refinanzierung. 578 Aber

im Gegensatz zur Mindestreserve-Korrektur des Effektivzinses gemäß Abb. 4.107 auf Seite 249 fungiert im Rahmen der Mindestreserve-Korrektur des Opportunitätszinses der Gegenwart-Kapitalwert des Kunden-Zahlungsstroms als Zielgröße, die durch Iteration der Entscheidungsvariablen "zeitpunktspezifische Marktwerte" und "Zinsfaktoren" bestimmt wird. Als Nebenbedingung muß das Produkt der zeitpunktspezifischen Marktwerte mit den zeitpunktspezifischen Geld-jKapitalmarkt-Zinsfaktoren den Kunden-Zahlungsstrom ohne Mindestreserve (Brutto-Zahlungsstrom) ergeben. 579 Diese Vorgehensweise wird am Rechenbeispiel der Abb. 4.110 auf der nächsten Seite gezeigt.

578Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 579Vgl. Abb. 4.110 auf der nächsten Seite Marktwerttableau Spalten 1 bis 7.

253

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung EffektiV2instableau

1 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlungsstrom (Endwert) (E"ol 12.000,00 -1 .000,00 -1000,00 -11 .000,00

3

2 S Kumulierte S Zinstage B U U U

Jahresbasis

nagel nagel 360,00 0,00 P 360,00 180,00 P 360,00 360,00 P 360,00 540,00 P Effektivzins nach

Marktwerttableau

Marktwert S

IEo.o( 30.03.02 -10.280,37 V -934,22 V 30.09.01 30.03.01 -640,18 V 30.09.00 12.000,00 B 145,23 I 145,23 Z

5-

1 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

ZinsS tage- S quotient

S

Hundert

S

Zinsquotient

S

Eins

S

Zinsfaktor

ZahlungsS

P 0,00 I P 0,50 I P 1,00 I P 1,50 I ISMA p,a, [\I):

6

5,96 5,96 5,96 5,96 5,9619913

100 100 100 100

I I I I V

7- 1"4 7 - 1 " 4+5 " 6

P P P P

1,0596 I 1,0596 I 1,0596 I 1,0596 I 2 BalWert 30.09.00 [Euro) (11): Kapitalwert 30,09,00 [Euro) (12 = 11):

0,0596 0,0596 0,0596 0,0596

1 1 1 1

I I I I

P P P P

strom

(BaIWert) IE..ol 12.000,00 -971 ,46 -943,73 -10.084,81 0,00 0,00

S

I I I I I Z

9- 7 9 - 7 -8

8- 3

GegenKapitalwert ZinsS Marktwert S quotient S Zahlungsstrom S 30,09_00 S Zahlungs- S strom (Eo.ol (E..o( (E"ol JE"ol -11 .000,00 A -11 .000,00 N 1,0700 V -1.000,00 A -1.000,00 N 1,0704 V -1 .000,00 A -1.000,00 N 0,0350 V 1,0000 V -10.280,37 I 145,23 I 11 .854,77 A 12.000,00 N 1,(ll)(] V Opportunitätszinstable 0 .. : (2) 2 Marktwert 30,09,00 [Euro) : (3 = 2) Kapitalwert 30,09,00 [Euro)

S Kumulierte S Zinstage

Marktwerttableau

Zins

10 1 " 9 A _4

9 - 7.8

8

7- 5/6

Zinsfaktor

2

E E E E

6

5

(~ I

1,0 .03.02

Opportunitäts2instableau

Zahlungsstrom (Endwert) lEo.ol 11 .854,77 -1 .000,00 -1 .000,00 -11 .000,00

4 =2 / 3

;---

4

1 Datum

-

3 Jahresbasis

(Tagel (Tagel 360,00 0,00 P 360,00 180,00 P 360,00 P 360,00 360,00 540,00 P Opportunitätszins nach

-

4- 2/ 3

ZinsS tage- S quotient

6

5 Zins

S

Hundert

S

Zinsquotient

S

10 = 1 " 9 A _4

9 - 7+8

8

7- 5/6

Eins

S

Zinsfaktor

ZahlungsS

I~I

P 0,00 I P 0,50 I 1,00 I P P 1,50 I ISMA p,a, [\I):

6,90 6,90 6,90 6,90 6,90152E3

I I I I V

100 100 100 100

P P P P

1,0690 I 1,0690 I 1,0690 I 1,0690 I 2 BalWert 30.09,00 [Euro) (11): Kapitalwert 30,09,00 [Euro) (12 = 11):

0,0690 0,0690 0,0690 0,0690

I I I I

1 1 1 1

P P P P

strom

(BaIWert) JE"·I 11 .854,77 -967,18 -935,44 -9.952,15 0,00 0,00

S

I I I I I Z

Abb. 4.110: Exakte Korrektur des Opportunitätszinses Ausgangspunkt der Mindestreserve-Korrektur des Opportunitätszinses bildet die Prämisse, daß sowohl die Berücksichtigung der Mindestreserve durch Korrektur des Effektivzinses als auch die Berücksichtigung der Mindestreserve durch Korrektur des Opportunitätszinses zu identischen Kapitalwerten führen müssen. Demnach kann im Rahmen der Mindestreserve-Korrektur des Opportunitätszinses als Zielgröße der bereits in Abb. 4.107 auf Seite 249 ermittelte Kapitalwert nach Mindestreserve von 145,23 Euro verwendet werden,580 Verändert man den Kunden-Zahlungsstrom ohne Mindestreserve um seinen Kapitalwert nach Mindestreserve, so erhält man eine Opportunitäts-Zahlungsreihe, deren interner Zins dem Opportunitätszins nach Mindestreserve entspricht. 581 Nachrichtlich können außerdem die zeitpunktspezifischen Marktwerte und zeitpunktspezifischen Zinsfaktoren iterativ bestimmt werden, so daß einerseits die Summe der Marktwerte dem Kapitalwert nach Mindestreserve entspricht, andererseits das Produkt zwischen den zeitpunktspezifischen Marktwerten und den zeitpunktspezifischen Geld-jKapitalmarktZinsfaktoren den Kunden-Zahlungsstrom ohne Mindestreserve (Brutto-Zahlungsstrom) ergibt. 582 580Vgl. Abb. 4.110 Marktbewertungstableau Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.107 auf Seite 249 Marktbewertungstableau Spalte 3. 581 Vgl. Abb, 4,110 Marktwerttableau Spalten 7 bis 9 sowie Opportunitätszin,stableau Spalte 5. 582Vgl. Abb. 4.110 Marktwerttableau Spalten 1 bis 7,

Gesamtergebnisrechnung

254

Die Berücksichtigung der Mindestreserve durch exakte Korrektur des Opportunitätszinses ergibt laut Abb. 4.110 auf der vorherigen Seite einen Kapitalwert von 145,23 Euro, einen Effektivzins von 5,96% p.a. sowie einen Opportunitätszins von 6,90% p.a. 583 4.2.1.2.2.3.2.2 Pauschale Korrektur des Opportunitätszinses Wird aus Verein-

fachungsgründen auf eine exakte Mindestreserve-Korrektur des Opportunitätszinses verzichtet, so kann auch der Opportunitätszins pauschal auf Basis einer Näherungslösung berechnet werden. 584 Da bei der pauschalen Berechnung des Kapitalwertes im Rahmen der Mindestreserve-Korrektur des Opportunitätszinses der Kunden-Zahlungsstrom unverändert bleibt,585 muß der ursprüngliche Kapitalwert vor Mindestreserve nur um die verringerte Marge korrigiert werden. Abb. 4.111 zeigt die pauschale Mindestreserve-Berücksichtigung des Opportunitätszinses mit Margenkorrektur des Kapitalwertes. 1 OpportunitälSzins p.a. S vor Mindestreserve

2

3

Hundert

Mindestreserve Satz

S

6,9435775 U

7 = 4-5

.

1%(

1%(

1%(

Marge p.a. S nach Mindestreserve (%(

0,8427146 I

2,00 U

100 P

8 =6 -7 Mindestreserve Anteil

(%( 0,1388715 I

6,8047059 I

Kapitalwert Kapitalwert S nach Mindestreserve vor Mindestreserve

S

(Euro(

(Euro( 151,66 U

l'!t( 5,9619913 U

(%( 0,9815861 I

I

11=9-10

10 - 7 16 * 9

9 S

6 = 1 -5

5

4=1-1*3/2

Marge p.lI. OpportunitillSzins p.a_ S S Effektivzins p.a. S S vor Mindestreserve nach Mindestreserve

MindestreserveS Anteil IEuro(

130,20 I

21,46 I

Abb. 4.111: Mindestreserve: Pauschale Korrektur des Opportunitätszinses mit Margenkorrektur des Kapitalwertes Der in Kapitel Abb. 4.105 auf Seite 246 ermittelte Opportunitätszins vor Mindestreserve von 6,94% p.a. 586 wird auf Basis der in Abb. 4.111 dargestellten Pauschalformel um den Mindestreserveeffekt korrigiert. Als Ergebnis sinkt der Opportunitätszins um 0,14% p.a. auf 6,80% p.a. 587 Bei einem konstanten Effektivzins von 5,96% p.a. 588 mindert sich dementsprechend die Zinsmarge von 0,98% p.a. auf 0,84% p.a. ,589 so daß mit Hilfe des Dreisatzes der ursprüngliche Kapitalwert vor Mindestreserve von 151,66 Eur0590 um die verringerte Zinsmarge korrigiert werden kann. Als Ergebnis reduziert sich der Kapitalwert nach Mindestreserve um 21,46 Euro auf 130,20 Euro. 591

583Ygl. Abb. 4.110 auf der vorherigen Seite Effektivzinstableau Spalte 5, Marktwerttableau Spalte 3, Opportunitätszinstableau Spalte 5. 584Ygl. [97, S. 86 ff.] 585y gl. Tab. 4.89 auf Seite 252. 586Ygl. Abb. 4.105 auf Seite 246 Opportunitätszinstableau Spalte 5. 587Ygl. Abb. 4.111 Spalten 1, 4. 588Ygl. Abb. 4.105 auf Seite 246 Effektivzinstableau Spalte 5. 589Ygl. Abb. 4.111 Spalten 6 bis 8. 590Ygl. Abb. 4.105 auf Seite 246 Marktwerttableau Spalte 3. 59 1 Ygl. Abb. 4.111 Spalten 10,,11.

255

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

4.2.1.2.2.3.3 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Berücksichtigung der Mindestreserve Die Rechenergebnisse der in den Kapiteln 4.2.1.2.2.3.1 auf Seite 248 bis 4.2.1.2.2.3.2 auf Seite 251 dargestellten Rechenbeispiele, die diverse

Möglichkeiten zur Berücksichtigung der Mindestreserve bei passivischen KundenZahlungsströmen aufzeigen, werden in Tab. 4.90 noch einmal überblickartig dargestellt. Original Effektivzinsj Opportunitätszins

Effektivzins Opportunitätszins Marge Kapitalwert

Korrektur Effektivzins

Korrektur Effektivzins

Korrektur Effektivzins

exakt

pauschal

pauschal

Korrektur Marge & Volumen

Korrektur Marge

6,08%

6,08%

5,96%

5,96%

6,94% 0,86% 130,20 Euro

6,94% 0,86% 132,86 Euro

6,90% 0,94% 145,23 Euro

6,80% 0,84% 130,20 Euro

5,96%

5,98%

6,94% 0,98% 151,66 Euro

6,94% 0,96% 145,23 Euro

Korrektur Opportunitätszins exakt

Korrektur Opportunitätszins pauschal

Tabelle 4.90: Ergebnisse der verschiedenen Möglichkeiten zur Berücksichtigung der Mindestreserve Als Ergebnis bleibt festzuhalten, daß die pauschalen Verfahren einer MindestreserveKorrektur bei passivischen Kunden-Zahlungsströmen zu nicht korrekten Kapitalwerten führen. Der Argumentation der Einfachheit pauschaler Verfahren kann im Zeitalter hoher EDV-Rechenleistung nicht gefolgt werden. ·Die exakte Berechnung der Wirkung der Mindestreserve durch Korrektur des Opportunitätszinses umfaßt implizit die Korrektur des Effektivzinses. 592 "Sinnvoller ist es deshalb, den Bewertungszins (Anmerkung des Verfassers: Opportunitätszins) des Geschäfts unverändert zu belassen und den Nominalzins bzw. Effektivzins des Geschäfts um die Wirkung der Mindestreserve zu erhöhen. ,,593 Aus Sicht der marktwertigen Betrachtung der Marktwertmethode ist sowohl die Mindestreserve-Korrektur des Effektivzinses als auch die Mindestreserve-Korrektur des Opportunitätszinses überflüssig; wichtig ist allein die korrekte Mindestreserve-Korrektur des Kapitalwertes eines passivischen Kunden-Zahlungsstroms. 594

4.2.1.2.2.4 Disagioverteilung Das Disagio als Differenz zwischen dem Nominalbetrag und dem wirklichen Auszahlungsbetrag eines aktivischen Kunden-Zahlungsstroms (Darlehen) kann als eine Störgröße zwischen dem pagatorischen Nominalzinsaufwand und dem kalkulatorischen Effektivzinsaufwand interpretiert werden, die zumeist aus vertriebsfördenden Gründen die Nominalkonditionen besonders eines Festzins-Darlehens ergänzen können. 595 Für bestimmte Zwecke, z. B. Disagioerstattung im Rahmen einer 592Vgl. 593Vgl. 594Vgl. 595Vgl.

Kapitel [109, S. [109, S. Kapitel

4.2.1.2.2.3.2.1 auf Seite 251. 323] 324] 3.6 auf Seite 74.

Gesamtergebnisrechnung

256

Leistungsstörung596 oder bei Aufstellung einer Steuerbilanz, ist es aber finanzmathematisch notwendig, die Ergebnisse der internen und externen Zinsergebnisrechnung zu synchronisieren. Die Effektivzinsrechnung597 erhält in diesem Zusammenhang die Aufgabe, den Nominalzins und das vereinbarte Disagio in einen (zumeist höheren) Effektivzins umzurechnen. In der Zinsergebnisrechnung entsteht aber das Problem, daß dem Kunden heute der Nominalbetrag abzüglich des Disagios ausgezahlt wird, der Kunde jedoch den gesamten Nominalbetrag während der Haltedauer zurückzuzahlen hat. Diese zeitliche Brücke versuchen nach den Grundsätzen ordnungsgemäßer Buchführung und Bilanzierung verschiedene Verfahren der Disagioverteilung gemäß Abb. 4.112 zu schließen. 598 Verfahren der Disagioverteilung

Effektivzinsproportional

11

Nominalzinsproportional

11

Haltedauerproportional

Abb. 4.112: Verfahren der Disagioverteilung Die effektivzinsproportionale Disagioverteilung basiert je Zahlungszeitpunkt einfach auf der Differenz zwischen dem nominellen Zins und dem effektiven Zins. Die nominalzinsproportionale Disagioverteilung verteilt das Disagio im Verhältnis der Nominalzinsen auf die einzelnen Zahlungszeitpunkte. Die haltedauerproportionale Disagioverteilung grenzt das Disagio 1m Verhältnis der Haltedauerperioden auf die gesamte Haltedauer ab. Zum Verständnis der einzelnen Verfahren der Disagioverteilung wird folgendes Kreditangebot (Nominalkonditionen) unterstellt: Kreditangebot: Kreditbetrag: 100.000,00 Euro

Auszahlung: 30.09.00 zu 95,00%

Disagio: 5,00% fällig am 30.09.00

Ende der Zinsfestschreibung: 30.03.02

Tilgungsbeginn: 30.03.01

Tilgungsanrechnung: mit jeder Rückzahlung

Nominalzins: 6,00% p.a.

Gebühr: 0,00 Euro

Rückzahlungsbeginn: 30.03.01

Rückzahlung: 8.000,00 Euro halbjährlich

Zinsverrechnung: 30.03.01/30.09.01/30.03.02 Erste Zinszahlung: 30.03.01

596Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.8.1 auf Seite 172. 59 7 Vgl. Kapitel 4.2.1.2.2.1 auf Seite 205. 598Vgl. [97, S. 170 ff.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

257

Auf Grundlage der unterstellten Nominalkonditionen kann ein Kunden-Zahlungsstrom gemäß Abb. 4.113 abgeleitet werden. 599 1 1 - 11 Anfangskapital! Datum -zinssaldo (Euro( 0,00 3009.00 30.03.01 -100.000,00 -95.000 ,00 30.09.01 30.03.02 -89.850,00

2 S

P I I I

Kapital zmuhrl -abßul (Euro) -100.000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

-

3

S Disagio S (Euro) B 5.000,00 B U U V

-

r---

5

4

Zins-

-

6- 4/5

;--

7

-

8

ZInsS Zins S Hun- S S divisor S tage der! quotient

Zins-

tage

1T_1 0,00 180,00 180,00 180,00

1T_1

P P P P

(110]

360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00 P Nomin. lzins

0,00 I 6,00 0,50 I 6,00 0,50 I 6,00 0,50 I 6,00 p.•. )%) :~ L Zins

9 - 1"

11 1+2+9

6"7 / 8 Zins (Euro) 0,00 -3.000,00 -2.850,00 -2.695,50

(Euro) -100.000,00 -95.000 ,00 -89.850,00 0,00

I 100 P I 100 P I 100 P I 1m P P )Euro))10): -8.545,50

I I I I

13- 2 13 = 2 +3

12 = 2 + 9

SEndkapltal! S -zinssaldo

Tilgung

(Euro) I -100.000,00 5.000,00 I 5.150,00 I 89.850,00 Z

S

I I I I

Zahlungsstrom

(Euro) . -95.000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

S I I I I

I

Abb. 4.113: Ableitung eines Zahlungsstroms aus den Nominalkonditionen; Nominalzins Abb. 4.113 zeigt, daß sich die einzelnen Zahlungen des aus den Nominalkonditionen abgeleiteten Zahlungsstroms aus verschiedenen Komponenten und Berechnungsmethoden zusammensetzt. Zum einen wird der am 30.09.00 vereinbarte Kreditbetrag von nominal 100.000,00 Euro nicht ausgezahlt, sondern lediglich ein um das Disagio von 5.000,00 Euro verminderter Betrag in Höhe von 95.000,00 Euro. 6oO Zum anderen werden die nominellen Rückzahlungsbeträge am 30.03.01 sowie am 30.09.01 von jeweils 8.000,00 Euro unverändert in den Zahlungsstrom übernommen. 601 Desweiteren wird die letzte Rückzahlung am 30.03.02 von 92.545,50 Euro im Rahmen einer l:l-Zielwertanalyse bestimmt, wobei als

Zielwert das Endkapital von Null anzugeben ist und der gesuchte Rückzahlungbetrag als Entscheidungsvariable fungiert. 602 Zum weiteren Verständnis der Disagioverteilung bleibt festzuhalten, daß der über die gesamte Haltedauer zu zahlende Nominalzins 8.545,50 Euro beträgt. 603 In Tab. 4.91 wird der in Abb. 4.113 aus den Nominalkonditionen abgeleitete Zahlungsstrom noch einmal überblickartig dargestellt. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Tabelle 4.91: Zahlungsstrom

599Vgl. 600Vgl. 601 Vgl. 602Vgl. 603Vgl.

Kapitel 3.6 auf Seite 74. Abb. 4.113 Spalten 2, 3, 13. Abb. 4.113 Spalten 2, 13. Abb. 4.113 Spalten 2, 11. Abb. 4.113 Spalte 10.

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Gesamtergebnisrechnung

258

Nach Kenntnis des Zahlungsstroms wird mit Hilfe der Effektivzinsmethode nach ISMA604 der Effektivzins gemäß Abb. 4.114 berechnet. Zinstableau 1 Datum

30.09 .00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlungsstrom (Enclwert) [Euro) -95.000 ,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

-

2

3

S Kumulierte S JahresS Zinstage basis B U U U

[Tage) [Tage) 0,00 P 360,00 180,00 P 360,00 360,00 P 360,00 540,00 P 360,00 Effektivzins nach

-

5

4- 2/3 Zinstage - S quotient

Zins

S

7 = 5/6

6 Hundsrt

S

Zlnsquotient S

P P P P

0,1010 0,1010 0,1010 0,1010

10 - 1" 9 A -4

9=7+8

8 Eins

Zlnsfaktor

S

S

[%)

P P P P ISMA

10,10 0,00 I 0,50 I 10,10 10,10 1,00 I 10,10 1,50 I p.a. [%]: 10,0983806

I I I I V

100 100 100 100

1,1010 A 1,1010 A 1,1010 A 1,1010 A L Barwert 30.09.00 [Euro] (11): Kapitalwert 30.09.00 [Euro] (12 = 11): 1 1 1 1

I I I I

P P P P

Zahlungsstrom (BalWsrt) [Euro) -95.000,00 7.624,29 7.266,23 80.109,48 0,00 0,00

S

I I I I I Z

TIlgungstableau

TiIRunRstableau 1 1 = 10 Datum

30 .09.00 30.03.01 30.09 .01 30.03 .02

Anfangskapital! -zinssaldo [Eurol 0,00 -95.000,00 -91 .681,39 -88.199,24

2 S

P I I I

r--3

4

5 = 3/4

Zinstage

S Jahres- S basis

Zinstagequotient

[Tage) 0,00 180,00 180,00 180,00

P P P P

ZahlungsS strom [Euro) -95 .000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

B U U U

[Tage) 360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0,00 0,50 0,50 0,50

r--6

7

S ZinsS faktor

Eins

I I I I

1,1010 1,1010 1,1010 1,1010

L

8=1 "

10 1+2+8

11- 2 + 8

S Endkapltall S -zinssaldo

TIlgung

(6A5-n. S

Zins

[Euro) 0,00 1 P E 1 P -4 .681,39 E E 1 P -4.517,85 1 P -4.346,26 E Zins [Euro] (9): -13.545,50

I I I I I

[Euro) -95.000 ,00 -91.681 ,39 -88. 199,24 0,00

[Euro) I -95 .000,00 I 3.318,61 3.482,15 I Z 88.199,24

S

I I I I

Zinstableau

Abb. 4.114: Effektivzins nach ISMA Laut Abb. 4.114 beträgt der über die gesamte Haltedauer zu zahlende Effektivzins 13.545,50 EurO. 605 Die über die gesamte Haltedauer ermittelbare (Disagio-)Differenz von 5.000,00 Euro zwischen der effektiven Zinsschuld von 13.545,50 Euro606 und der nominellen Zinsschuld von 8.545,50 Euro607 ist auf die einzelnen Zahlungszeitpunkte, dargestellt in Tab. 4.92, aufteil bar . Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02 Summe:

1 Nominalzins 0,00 Euro 3.000,00 Euro 2.850,00 Euro 2.695,50 Euro 8.545,50 Euro

2 Effektivzins 0,00 Euro 4.681,39 Euro 4.517,85 Euro 4.346,26 Euro 13.545,50 Euro

3= 2- 1 Disagio-Differenz 0,00 Euro 1.681,39 Euro 1.667,85 Euro 1.650,76 Euro 5.000,00 Euro

I

Tabelle 4.92: Differenz zwischen nomineller und effektiver Zinsschuld In den folgenden Kapiteln 4.2.1.2.2.4.1 auf der nächsten Seite bis 4.2.1.2.2.4.3 auf Seite 260 werden die in der Abb. 4.112 auf Seite 256 aufgezählten Verfahren der Disagioverteilung dahingehend untersucht, ob sie die in Tab. 4.92 dargestellten Disagio-Differenzen zwischen 604Vgl. 605Vgl. 606Vgl. 607Vgl.

Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207. Abb. 4.114 Tilgungstableau Spalte 9. Abb. 4.114 Tilgungstableau Spalte 9. Abb. 4.113 auf der vorherigen Seite Spalte 10.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

259

dem nominellen Zinsertrag und dem effektiven Zinsertrag für jeden Zahlungszeitpunkt schließen können. Zusätzlich wird im Kapitel 4.2.1.2.2.4.4 auf Seite 261 die Problematik "Disagioverteilung und Gebühr" behandelt. 4.2.1.2.2.4.1 Die effektivzinsproportionale Disagioverteilung Die effektivzinsproportionale Disagioverteilung 608 basiert je Zahlungszeitpunkt einfach auf der Differenz (= anteiliges Disagio) zwischen dem nominellen Zins und dem effektiven Zins. Abb. 4.115 zeigt dementsprechend die effektivzinsproportionale Disagioverteilung.

Datum

7=4 7=8

6=3+5

8 = 7 -3

Disagio! Disagio !.1 Disagio! Effektiv- S Nominal- S Anteiliges S Disagio !·1 S S S S abgrenzung zins Disagio abgrenzung zins vereinnahmung vereinnahmung [Euro)

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

5 5=6

3 = 1 -2

2

1

0,00 4.681,39 4.517,85 4.346,26

0,00 3.000,00 2.850,00 2.695,50

[Euro)

[Euro)

[Euro) U U U U

U U U U

L Anteiliges Disagio [Euro] (4):

0,00 1.681,39 1.667,85 1.650,76 5.000,00

I I I I I

0,00 0,00 1.681,39 3.349,24

[Euro)

[Euro) P I I I

0,00 1.681,39 3.349,24 5.000,00

I I I I

5.000,00 5.000,00 3.318,61 1.650,76

[Euro) I I I I

5.000,00 3.318,61 1.650,76 0,00

I I I I

Abb. 4.115: Effektivzinsproportionale Disagioverteilung Laut Abb. 4.115 berechnet sich beispielsweise am 30.03.01 das anteilige Disagio von 1.681,39 Euro als Differenz zwischen dem Effektivzins von 4.681,39 Euro und dem Nominalzins von 3.000,00 Euro. 60g In Bezug auf die gesamte Haltedauer des unterstellten Zahlungsstroms kann also vom Disagio in Höhe von 5.000,0 Euro bereits 1.681,39 Euro am 30.03.01 vereinnahmt werden. 610 Das am 30.03.01 noch nicht vereinnahmte Disagio von 3.318,61 Euro ist als Differenz zwischen dem gesamten Disagio von 5.000,00 Euro und dem vereinnahmten Disagio von 1.681,39 Euro entsprechend abzugrenzen. 611 4.2.1.2.2.4.2 Die nominalzinsproportionale Disagioverteilung Die nominalzinsproportionale Disagioverteilung 612 verteilt das Disagio im Verhältnis der Nominalzinsen

auf die einzelnen Zahlungszeitpunkte. Abb. 4.116 auf der nächsten Seite zeigt dementsprechend die nominalzinsproportionale Disagioverteilung.

608Vgl. 609Vgl. 610Vgl. 611Vgl. 612Vgl.

[66, S. 77 ff.] Abb. 4.115 Spalte 3 am 30.03.01. Abb. 4.115 Spalte 6 am 30.03.01. Abb. 4.115 Spalte 8 am 30.03.01. [66, S. 75 ff.]

Gesamtergebnisrechnung

260

1

;---

2

4

7 7- 8

5- 2/3"4

9-6 9 - 10

8=5+7

11 - 1 - 2 - 5

10 - 9 - 5

Differenz zur effektivzins· Effektiv- S No".'lnalDisagio ,., Anteiliges Disagio, S Disagio ,., - S Disagio, . S Disagio S S S proportionalen S S ZIns zins Disagio verelnnahmung verelnnahmung abgrenzung abgrenzung Disagio. verteilung (Euro( (Eurol (Eurol (Eurol (Eurol (Eurol (Eurol (Eurol (Eurol

Datum

30.09.00 30.03.01 30.09 .01 30.03 .02

0,00 4.681,39 4.517,85 4.346,26

U U U U

0,00 3.000,00 2.850,00 2.695,50 8.545,50

U U U U 1

5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00

I I I I

0,00 1.755,31 1.667,54 1.577 ,15

Nominal zins [Euro[ (3): Disagio 30.09.00 [Euro[: 5.000,00 P I Anteiliges Disagio [Euro] (6):

I I I I

0,00 0,00 1.755 ,31 3.422,85

P I I I

0.00 1.755,31 3.422,85 5.000,00

I I I I

5.000,00 5.000,00 3.244,69 1.577 ,15

I I I I

5.000,00 3.244,69 1.577,15 0,00

I I I I

0,00 -73,92 0,31 73,61

I I I I

5.000,001 1

Abb. 4.116: Nominalzinsproportionale Disagioverteilung Laut Abb. 4.116 berechnet sich beispielsweise am 30.03.01 das anteilige Disagio von 1.755,31 Euro als Multiplikation zwischen dem Multiplikand "Nominalzins am 30.03.01 von 3.000,00 Euro dividiert durch den gesamten Nominalzins von 8.545,50 Euro" und dem Multiplikator "Disagio von 5.000,00 Euro" .613 In Bezug auf die gesamte Haltedauer des unterstellten Zahlungsstroms kann also vom Disagio in Höhe von 5.000,0 Euro bereits 1.755,31 Euro am 30.03.01 vereinnahmt werden. 614 Das am 30.03.01 noch nicht vereinnahmte Disagio von 3.244,69 Euro ist als Differenz zwischen dem gesamten Disagio von 5.000,00 Euro und dem vereinnahmten Disagio von 1.755,31 Euro entsprechend abzugrenzen. 615 4.2.1.2.2.4.3 Die haltedauerproportionale Disagioverteilung Die haltedauerproportionale Disagioverteilung 616 grenzt das Disagio im Verhältnis der Haltedauer-

perioden auf die gesamte Haltedauer ab. Abb. 4.117 zeigt dementsprechend die haltedauerproportionale Disagioverteilung. -

r---

1

Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

3

4

-

8 8- 9

6 - 1/ 2"5

5

10 - 7 10 - 11

9 - 6+8

11 - 10 - 6

12 - 3 - 4 - 6

Differenz zur Disagio, . effektivzinsDisagio '.1 . Halte· S Eff~ktiv. S Nominal. S Anteiliges S Disagio '·1 . S Disagio,. Disagio S S verein· S verein· S proportionalen S dauer Zins zins Disagio abgrenzung abgrenzung Disagio. nahmung nahmung verteilung 11_1 (Euro) (Euro) (Euro) (Euro) (Euro( [Eur~l (Eurol (Eurol (Eurol 0,00 180,00 180,00 180,00 540,00

P P P P 1

0,00 U 0,00 U 4.681,39 U 3.000,00 U 4.517,85 U 2.850,00 U 4.346,26 U 2.695,50 U :(2) I Haltedauer [Tage]

5.000,00 5.000,00 5.()()Q ,00 5.000,00

I I I I

Disagio 30.09.00 [Euro): 5000,00 1P I Anteiliges Disagio [Euro) (7):

0,00 1.666,67 1.666,67 1.666,67

1 I 1 1

0,00 0,00 1.666,67 3.333,33

P 1 1 1

0,00 1.666 ,67 3.333 ,33 5.000,00

1 1 1 1

5.000,00 5.000,00 3.333,33 1.666,67

1 1 1 1

5.000,00 3.333,33 1.666,67 0,00

1 1 1 1

0,00 14,72 1,19 -15,91

I I I I

5000,00) 1

Abb. 4.117: Haltedauerproportionale Disagioverteilung Laut Abb. 4.117 berechnet sich beispielsweise am 30.03.01 das anteilige Disagio von 1.666,67 Euro als Multiplikation zwischen dem Multiplikand "Haltedauerperiode vom 30.09.00 bis 30.03.01 von 180 Tagen dividiert durch die gesamte Haltedauer von 613Ygl. 614Ygl. 615Ygl. 616Ygl.

Abb. 4.116 Spalte 5 am 30.03.01. Abb. 4.116 Spalte 8 am 30.03.01. Abb. 4.116 Spalte 10 am 30.03.01. [66, S. 74 f.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

261

540 Tagen" und dem Multiplikator "Disagio von 5.000,00 Euro" .617 In Bezug auf die gesamte Haltedauer des unterstellten Zahlungsstroms kann also vom Disagio in Höhe von 5.000,00 Euro bereits 1.666,67 Euro am 30.03.01 vereinnahmt werden. 618 Das am 30.03.01 noch nicht vereinnahmte Disagio von 3.333,33 Euro ist als Differenz zwischen dem gesamten Disagio von 5.000,00 Euro und dem vereinnahmten Disagio von 1.666,67 Euro entsprechend abzugrenzen. 619 4.2.1.2.2.4.4 Disagioverteilung

und

Gebühr In

der

Kreditvergabepraxis

von Finanz- und Kreditinstituten wird ein Disagio meist mit einer Gebühr, z. B. Bearbeitungsgebühr, nachweisbarer Bearbeitungsaufwand oder Auslagen für Gutachter, gekoppelt. Ein betriebswirtschaftlicher Unterschied zwischen beiden Gebührenformen - Disagio und Gebühr - besteht nicht bzw. unterliegt keinen eindeutigen Regelungen. Aus juristischer Betrachtungsweise besteht aber im Fall einer Leistungsstörung eines Kunden-Zahlungsstroms62o , z. B. Vollrückzahlung, ein grundlegender Unterschied zwischen den beiden Gebührenformen. Für ein laufend erhobenes Disagio besteht gegenüber dem Kunden eine Erstattungspflicht, während für eine einmalig erhobene Gebühr lediglich ein Erstattungswahlrecht besteht. 621 Damit wird aber schon die zusätzliche Problematik bei Berechnung der Disagioverteilung deutlich . • Bei dem nominalzins- und dem haltedauerproportionalen Verfahren der Disagioverteilung hat eine zusätzliche Gebühr keinen Einfluss auf die Disagioverteilung, da bei beiden Verfahren die effektiven Zinsaufwände keinen Einfluß auf die Disagioverteilung besitzen . • Bei dem effektivzinsproportionalen Verfahren der Disagioverteilung ist eine korrekte Disagioverteilung scheinbar nicht möglich, da der Kunden-Zahlungsstrom eine explizite Trennung zwischen Disagio und Gebühr nicht berücksichtigt. Die Lösung dieses Problems erfordert die getrennte Berechnung von zwei effektiven Zinsaufwendungen. Einerseits ist aus Kundensicht die Berechnung des effektiven Zinsaufwandes einschließlich Disagio und Gebühr notwendig, andererseits ist zur korrekten Verteilung des Disagios eine Berechnung des effektiven Zinsaufwandes einschließlich Disagio aber ohne Gebühr unerläßlich. 622 Zum weiteren Verständnis der Problematik "Disagioverteilung und Gebühr" wird folgendes Kreditangebot (Nominalkonditionen) unterstellt:

617ygl. 618ygl. 619ygl. 620Ygl. 621Ygl. 622Ygl.

Abb. 4.117 auf der vorherigen Seite Spalte 6 am 30.03.0l. Abb. 4.117 auf der vorherigen Seite Spalte 9 am 30.03.0l. Abb. 4.117 auf der vorherigen Seite Spalte 11 am 30.03.0l. KapiteI4.2.l.2.l.8.1 auf Seite 172. [66, S. 71] [66, S. 94 ff.]

262

Gesamtergebnisrechnung

Kreditangebot: Auszahlung: 30.09.00 zu 95,00%

Kreditbetrag: 100.000,00 Euro Disagio: 5,00% fällig am 30.09.00

Ende der Zinsfestschreibung: 30.03.02

Tilgungsbeginn: 30.03.01

Tilgungsanrechnung: mit jeder Rückzahlung

Nominalzins: 6,00% p.a.

Gebühr: 2.000,00 Euro fällig am 30.09.00

Rückzahlungsbeginn: 30.03.01

Rückzahlung: 8.000,00 Euro halbjährlich

Zinsverrechnung: 30.03.01/30.09.01/30.03.02 Erste Zinszahlung: 30.03.01

Auf Grundlage der unterstellten Nominalkonditionen kann ein Kunden-Zahlungsstrom gemäß Abb. 4.118 abgeleitet werden. 623 1 1 = 11

Datum

3

2

Anfangskapital! S -zinssaldo (Eurol

Kapitalzufuhr/ -abflull (Eurol

S

....

Datum

Hundert

9 - 1"6"

Zins

S

0,00 -3.000,00 -2.850,00 -2.695,50 -8545,50

I I I I I

-100.000,00 -95.000 ,00 -89.850,00 0.00

6- 4/5

Zinstage

Zinstage quotient

S

0,00 180,00 180,00 180,00

TIlgung

S

7 S

360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0.00 I 0,50 I 0,50 I 0,50 I Nominal zins p.a. (%):

13

S

[Euro) I -100.000,00 I I 5.000,00 I I 5.150,00 I 89.850,00 I Z

Gebühr [Euro)

14 - 2 14 - 2 + 3

ZahlungsS S strom ohne Gebühr (Euro)

2.000,00 B

-95.000 ,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

I I I I

S

Zins

1%)

IT_) P P P P

12 = 2 + 9

EndkaphaI! S -zinssaldo [Euro)

IEurol 100 P 100 P 100 P 100 P L Zins (Euro) (10):

30.09.00 30.03.01 30 .09.01 30.03.02

5

Zinsdivisor

IT_I

5.000,00 B

11 -1 +2+9

718

S

S

IEurol

0,00 P -100000,00 B 30.09.00 8.000,00 U 30.03.01 -100.000,00 I 30 .09.01 -95.000 ,00 I 8000,00 U 92.545,50 V 30.03 .02 -89.850,00 I

8

Disagio

4

6,00 6,00 6,00 6,00 6.00

I I I I P

15 - 2 15 - 2 + 3 + 13

Zahlungsstrom mhGebühr [Eurol

-93.000,00 8.000,00 8000,00 92.545,50

S I I I I

Abb. 4.118: Ableitung eines Zahlungsstroms aus den Nominalkonditionen; Nominalzins Abb. 4.118 zeigt, daß sich die einzelnen Zahlungen des aus den Nominalkonditionen abgeleiteten Zahlungsstroms aus verschiedenen Komponenten und Berechnungsmethoden zusammensetzt. Zum einen wird der am 30.09.00 vereinbarte Kreditbetrag von nominal 100.000,00 Euro nicht ausgezahlt, sondern lediglich ein um das Disagio von 5.000,00 Euro sowie um die Gebühr von 2.000,00 Euro verminderter Betrag in Höhe von 93.000,00 Euro. 624 Zum anderen werden die nominellen Rückzahlungsbeträge am 30.03.01 sowie am 30.09.01 von jeweils 8.000,00 Euro unverändert in den Zahlungsstrom übernommen. 625 Desweiteren wird die letzte Rückzahlung am 30.03.02 von 92.545,50 Euro im Rahmen einer l:l-Zielwertanalyse bestimmt, wobei als Zielwert das Endkapital von Null anzugeben ist und der gesuchte Rückzahlungbetrag als Entscheidungsvariable fungiert. 626 Zusätzlich 623Vgl. 624Vgl. 625Vgl. 626Vgl.

Kapitel 3.6 auf Seite 74. Abb. 4.118 Spalten 2,3, 13, 15. Abb. 4.118 Spalten 2, 15. Abb. 4.118 Spalten 2, 11 am 30.03.02.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

263

wird in Abb. 4.118 auf der vorherigen Seite der Zahlungsstrom ohne Berücksichtigung einer Gebühr ausgewiesen. 627 In Tab. 4.93 werden die in Abb. 4.118 auf der vorherigen Seite aus den Nominalkonditionen abgeleiteten Zahlungsströme noch einmal überblickartig dargestellt. Zahlung mit Disagio & Gebühr -93.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung nur Disagio -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.93: Zahlungsstrom mit Disagio & Gebühr; Zahlungsstrom nur mit Disagio Nach Kenntnis des Zahlungsstroms inklusive Disagio und Gebühr wird mit Hilfe der Effektivzinsmethode nach ISMA628 der Effektivzins gemäß Abb. 4.119 berechnet. Zinstableau

Datum

,......--3

2

1

ZlnsZahlungsS Kumullene S Jahres- S tage - S strom Zlnstage basls quotient (Endwer1) (Tagel ITagel lEurol

300900 -93.000,00 U 8000,00 U 30.03.01 30.09.01 8.000,00 U 30.03.02 92.545,50 U

Zins

P P P P

360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0,00 0,50 1,00 1,50

I I I I

Hun - S Zins- S quotient den

S

' 'I

100 100 100 100

I I I I V

P P P P

9 - 7+8

8

7- 5 /6

6

11,81 11,81 11,81 11,81 Effektivzins nach ISMA p,a. [%): 11 ,I30I30260

0,00 1130,00 360,00 540,00

-

;---

5

4- 2/3

Eins

S

Zlnsfaktor

10 - 1 " 9 A -4 Zahlungsstrom S S (Barwert) 'Eurol

-93.000 ,00 7.565,78 7.155,12 78 .279,10 2 Barwen 30.09.00 [Euro) (11): 0,00 0,00 Kapitalwen 30.09.00 [Euro) (12 - 11):

0,1181 0,1181 0,1181 0,1181

1 1 1 1

I I I I

P P P P

1,1181 1,1181 1,1181 1,1181

A A A A

I I I I I Z

Tligungstobleou

Tilaunastableau

Datum

-

,......---

1 6 4 3 2 5- 3/4 1 - 10 AnfangsZinsZahlungsZins- S Jahres- S ZlnstageS S kaphall S quotient S faktor tage basls strom -zinaaldo ITagel ITagel IEurol lEurol

0,00 30.09.00 30.0301 -93.000 ,00 30.09.01 -90.33756 30.03.02 -87.522,32

P I I I

-93.000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

B U U U

0,00 1130 00 1130 ,00 1130,00

P P P P

360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0,00 0,50 0,50 0,50

7

8 - 1" A 5 _n

10 1+2+8

11 - 2 + 8

Zins

S Endkapltall S -zinaaldo

Tilgung

IEurol

IEurol

IEuro)

jlj

Eins

S

0,00 -5.337,56 -5 .184,76 -5.023,18 2 Zins [Euro) (9): -15.545,50

I 1,1181 E I 1,1181 E I 1,1181 E I 1,1181 E

1 1 1 1

P P P P

I I I I I

-93 .000,00 -90.337,56 -87 .522,32 000

S

I -93.000,00 I 2.662,44 I I 2.815,24 I I Z 87.522,32 I

Zinstableau

Abb. 4.119: Effektivzins nach ISMA Laut Abb. 4.119 beträgt der über die gesamte Haltedauer zu zahlende Effektivzins 15.545,50 EurO. 629 Da zur korrekten Verteilung und ggf. Erstattung des Disagios der effektive Zinsaufwand ohne Gebühr benötigt wird, ist eine kalkulatorische Nebenrechnung erforderlich. Diese Nebenrechnung berechnet den Effektivzins nach ISMA 630 auf Basis des Zahlungs627Ygl. 628Ygl. 629Ygl. 630Ygl.

Abb. 4.118 auf der vorherigen Seite Spalte 14. Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207. Abb. 4.119 Tilgungstableau Spalte 9. Kapitel 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207.

264

Gesamtergebnisrechnung

stroms ohne Berücksichtigung der in den Nominalkonditionen festgelegten Gebühr. 631 Nach Kenntnis des effektiven kalkulatorischen Zinsaufwandes (ohne Gebühr) kann dann das Disagio isoliert ohne Gebührenverzerrung mit dem effektivzinsproportionalen Verfahren abgegrenzt werden. 632 4.2.1.2.2.4.5 Zusammenfassung Verfahren

der

und

kritische

Disagioverteilung Die

Würdigung

Rechenergebnisse

der

der

m

den

Kapiteln 4.2.1.2.2.4.1 auf Seite 259 bis 4.2.1.2.2.4.3 auf Seite 260 dargestellten Rechenbeispiele, die drei Varianten der Disagioverteilung aufzeigen, werden in Tab. 4.94 noch einmal überblickartig dargestellt. Zusätzlich wird die Differenz zwischen dem effektiven und nominellen Zinsaufwand dargestellt. 633 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

I Summe

Disagioverteilung effektivzinsproportional 0,00 Euro 1.681,39 Euro 1.667,35 Euro 1.650,76 Euro I 5.000,00 Euro

Disagioverteilung nominalzinsproportional 0,00 Euro 1.755,31 Euro 1.667,54 Euro 1.577,15 Euro I 5.000,00 Euro

Disagioverteilung haltedauerproportional 0,00 Euro 1.666,67 Euro 1.666,67 Euro 1.666,67 Euro I 5.000,00 Euro

Differenz zwischen Nominalzins & Effektivzins 0,00 Euro 1.681,39 Euro 1.667,35 Euro 1.650,76 Euro I 5.000,00 Euro

I

Tabelle 4.94: Ergebnisse der verschiedenen Varianten der Disagioverteilung; Differenz zwischen Nominalzins und Effektivzins Sämtliche Verfahren der Disagioverteilung verteilen das gesamte Disagio gemäß Tab. 4.94 auf die einzelnen Zahlungszeitpunkte. Aber lediglich der effektivzinskonstanten Disagioverteilung gelingt es, die Lücke zwischen dem nominellen Zinsaufwand und dem effektiven Zinsaufwand exakt zu schließen. 634 635 Die nominalzinsproportionale und die haltedauerproportionale Disagioverteilung führen demnach zu keiner exakten Synchronisation der kalkulatorischen und pagatorischen Zinsergebnisrechnung. 636

4.2.1.2.3 Kalkulation von Perioden-Kapitalwerten Das Verfahren der struktur-

kongruenten Refinanzierung berechnet im Rahmen der marktwertigen Betrachtung den Kapitalwert als tatsächlich realisierbaren Marktwert eines Zahlungsstroms zum Zeitpunkt t = 0. 637 Die periodenwertige Betrachtung dagegen fragt nach der Verrentung des Gegenwart-Kapitalwertes, d. h. es wird nach Entnahmevorschriften gesucht, die gemäß 631 Ygl. Tab. 4.93 auf der vorherigen Seite. 632Sowohl die kalkulatorische Nebenrechnung als auch das Verfahren der effektivzinsproportionalen Abgrenzung werden an dieser Stelle nicht dargestellt, da der Nebenrechnung und der Disagioverteilung zugrunde liegende Gleichungsmodelle dem Kapitel 4.2.1.2.2.4 auf Seite 255 zu entnehmen sind. 633Ygl. Tab. 4.92 auf Seite 258. 634Ygl. Tab. 4.92 auf Seite 258 sowie Abb. 4.115 auf Seite 259 Spalte 3. 635ygl. [66, S. 90] 636Ygl. Abb. 4.116 auf Seite 260 Spalte 11 sowie Abb. 4.117 auf Seite 260 Spalte 12. 637Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

265

Abb. 4.120 eine periodische Verteilung des Kapitalwertes über die gesamte Haltedauer eines Geld-jKapitalmarktgeschäftes vornehmen.

Kapitalwert t=0 Haltedauer t=O

t=1 t=2 t=3 t=4 periodisierter periodisierter periodisierter periodisierter Kapitalwert 1 Kapitalwert 2 Kapitalwert 3 Kapitalwert 4

Abb. 4.120: Verrentung eines Gegenwart-Kapitalwertes Für die Verrentung eines Gegenwart-Kapitalwertes existieren in der Literatur und Praxis eine Fülle von Entnahme- bzw. Verrentungsmethoden, die alle für sich beanspruchen, die "richtige" Entnahmevorschrift zu definieren. Abb. 4.121 zeigt die gängigen Verrentungsmethoden des Gegenwart-Kapitalwertes. Methoden der Verrentung des Gegenwart-Kapitalwertes

nach dem treasury-konformen Prinzip

Zinsunabhängige Verrentungsmethoden

Zinsabhängige Verrentungsmethoden

Abb. 4.121: Methoden der Verrentung des Gegenwart-Kapitalwertes Die Verrentungsmethoden nach dem Proportionalitätsprinzip verteilen den GegenwartKapitalwert proportional zu einer bestimmten Bezugsbasis. Zu den Verrentungsmethoden nach dem Proportionalitätsprinzip zählen die zinsunabhängigen und die zinsabhängigen Verrentungsmethoden. Das Grundmodell der zinsunabhängigen Verrentungsmethoden basiert im Sinne der Marktwertmethode auf der arbitragefreien Periodisierung bzw. Verrentung des Gegenwart-Kapitalwertes unabhängig von der Berechnung eines Zinses und somit von dem Ausweis einer Zinsmarge638 . Eine zinswertige Betrachtung des Kapitalwertes ist zur Bestimmung der periodisierten Kapitalwerte also nicht erforderlich. Abb. 4.122 auf der nächsten Seite zeigt das Grundmodell der zinsunabhängigen Verrentungsmethoden. 638Vgl. Kapitel 4.2.1.2.2 auf Seite 204.

266

Gesamtergebnisrechnung Marktwertige Betrachtung (Kapitalwert Marktwert in der Einheit Euro zum Zeitpunkt t 0)

=

=

...

..

Periodenwertige Betrachtung (Kapitalwert periodisierter Marktwert in der Einheit Euro zum Zeitpunkt t 1 bis t n)

=

=

=

Abb. 4.122: Zinsunabhängige Verrentungsmethoden: Grundmodell Das Grundmodell der zinsunabhängigen Verrentungsmethoden gemäß Abb. 4.122 gewährleistet zusätzlich, daß die auf Basis des Gegenwart-Kapitalwertes ermittelten Perioden-Kapitalwerte arbitragefrei zum Gegenwart-Kapitalwert wieder zurückgeführt werden können. Dieses arbitragefreie Hin- und Herschalten zwischen dem Kapitalwert t = 0 und den Perioden-Kapitalwerten t = 1 bis t = n eines Zahlungsstroms wird im Rahmen der zinsunabhängigen Verrentungsmethoden ausschließlich auf der Basis von Nullkupon-Abzinsfaktoren639 durchgeführt. Das Grundmodell der zinsabhängigen Verrentungsmethoden basiert auf der arbitragefreien Periodisierung bzw. Verrentung des Gegenwart-Kapitalwertes abhängig von der Berechnung eines Zinses bzw. dem Ausweis einer Zinsmarge 64o . Eine zinswertige Betrachtung ist somit zur Bestimmung der periodisierten Kapitalwerte zwingend erforderlich. Abb. 4.123 zeigt das Grundmodell der zinsabhängigen Verrentungsmethoden.

Zinswertige Betrachtung (Kapitalwert = Zinsmarge in der Einheit % zum Zeitpunkt t = 0)

Periodenwertige Betrachtung (Kapitalwert = periodisierter Marktwert 1---------1~ in der Einheit Euro zum Zeitpunkt t = 1 bis t = n)

Abb. 4.123: Zinsabhängige Verrentungsmethoden: Grundmodell Die in Abb. 4.123 dargestellte logische Struktur zur Herleitung der periodischen Kapitalwerte beginnt mit der Ermittlung des Gegenwart-Kapitalwertes im Rahmen einer marktwertigen Betrachtung. 641 Der Gegenwart-Kapitalwert wird anschließend auf den Barwert des dem Zahlungsstrom zugrunde liegenden Durchschnittskapitals bezogen, um die durchschnittliche Zinsmarge zu erhalten. Die Höhe des Durchschnittskapitals wird durch das verwendete Nominalzinsverfahren oder durch das verwendete Effektivzinsverfahren642 bestimmt. Durch die Multiplikation der Zinsmarge mit dem Durchschnittskapital lassen sich letztlich die Perioden-Kapitalwerte bestimmen, die 639Ygl. 640Ygl. 641Ygl. 642Ygl.

Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel

4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. 4.2.1.2.2 auf Seite 204. 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 4.2.1.2.2.1 auf Seite 205.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

261

durch Anwendung der strukturkongruenten Refinanzierung arbitragefrei zum GegenwartKapitalwert wieder zurückgeführt werden können. Somit ist auch bei den zinsabhängigen Verrentungsmethoden ein arbitragefreies Hin- und Herschalten zwischen dem Kapitalwert t = 0 und den Perioden-Kapitalwerten t = 1 bis t = n eines Zahlungsstroms möglich. Bei der Verrentungsmethode nach dem treasury-konformen Prinzip erfolgt die Verrentung des Gegenwart-Kapitalwertes nach dem Tilgungsverlauf des Gegen-Zahlungsstroms. Die Prämissen des treasury-konformen Effektivzinsverfahrens643 gelten entsprechend. Für die Umsetzung dieser Verrentungsmethode ist die Formulierung eines linearen Gleichungssystems erforderlich, welches die Perioden-Kapitalwerte entweder sukzessiv oder simultan bestimmt. Auch bei dieser Verrentungsmethode ist ein arbitragefreies Hinund Herschalten zwischen dem Gegenwart-Kapitalwert und den Perioden-Kapitalwerten möglich.

In den folgenden Kapiteln werden zunächst die zinsunabhängigen Verrentungsmethoden (Kapitel 4.2.1.2.3.1.) und dann die zins abhängigen Verrentungsmethoden (Kapitel 4.2.1.2.3.2 auf Seite 273.) beschrieben. Anschließend erfolgt im Kapitel 4.2.1.2.3.3 auf Seite 293 die Darstellung der treasury-konformen Verrentungsmethode. Die Darstellung der verschiedenen Verrentungsmethoden basiert auf der in Abb. 4.95 dargestellten bekannten Standard-Zahlungsreihe. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.95: Zahlungsstrom Am Geld-jKapitalmarkt möge eine normale Nominal-Zinsstruktur vorliegen, d. h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als 1-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%,

für 1-Jahres-Geld 6,00% und für q-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-jKapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld- jKapitalanlage. 4.2.1.2.3.1 Die zinsunabhängigen Verrentungsmethoden Zu den zinsunabhängigen Verrentungsmethoden zählen gemäß Abb. 4.124 auf der nächsten Seite die zeitorientierte Verrentungsmethode, die kostenorientierte Verrentungsmethode sowie die zahlungsorien-

tierte Verrentungsmethode.

643Vgl. Kapitel 4.2.1.2.2.1.2 auf Seite 223.

Gesamtergebnisrechnung

268

Zinsunabhängige Verrentungsmethoden

Zeit orientierte Verrentungsmethode

Konstante Perioden-Kapitalwerte

Kostenorientierte Verrentungsmethode

Zahlungsorientierte Verzinsungsmethode

Inflationsbereinigte Perioden-Kapitalwerte

Abb. 4.124: Zinsunabhängige Verrentungsmethoden Ziel der zeitorientierten Verrentungsmethode ist die Berechnung von konstanten Perioden-Kapitalwerten im Zeit ablauf unter der Prämisse eines inflationsfreien Geld-jKapitalmarktes. Wird die Prämisse eines inflationsfreien Geld- jKapitalmarktes aufgegeben, so können inflationsbereinigte Perioden-Kapitalwerte berechnet werden. Die kostenorientierte Verrentungsmethode verrentet den Gegenwart-Kapitalwert nach den anfallenden Betriebskosten eines Geld-jKapitalmarktgeschäftes. Die zahlungs orientierte Verrentungsmethode periodisiert den Gegenwart-Kapitalwert nach der Höhe der anfallenden Zahlungen eines Zahlungsstroms. In den folgenden Kapiteln werden zunächst die zeitorientierte Verrentungsmethode (Kapitel 4.2.1.2.3.1.1), dann die kostenorientierte Verrentungsmethode (Kapitel 4.2.1.2.3.1.2 auf Seite 270) und abschließend die zahlungsorientierte Verrentungsmethode (Kapitel 4.2.1.2.3.1.3 auf Seite 272) dargestellt. 4.2.1.2.3.1.1 Die zeitorientierte Verrentungsmethode Bei der zeitorientierten Verrentungsmethode wird die Erzielung konstanter Perioden-Kapitalwerte, sogenannte Zeitannuitäten, im Zeitablauf angestrebt. 644

645

Abb. 4.125 auf der nächsten Seite zeigt

das Gleichungsmodell der zeitorientierten Verrentungsmethode.

644Vgl. [71, S. 57] 645Vgl. [97, S. 205 ff.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

269

Verrentunllstableau 4

1

Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 Max!

5=

h O.03.02

6

7 = 1* 4 7=1*4+5 * 6

ZinsS Zins- S Zahlungsstrom S S Marktwert Marktwert S quotient faktor IEwo) IEwo) IEuro) 92.545,50 N 86.491,12 V 1,0700 U 8.000,00 N 7.547,17 V 1,0600 U 8.000 ,00 N 0,0350 U 86.491,12 I 4.851 ,52 V 1,0250 U -95.000,00 N -95.000,00 V 1,0000 U 2 Abzinsfaktor (9): 3.889,81 I : (2) 2 Marktwert 30.09 .00 [Euro] 3.889,81 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro] Perioden -Marktwert [Euro] (10 = 2 / 9): Period en-Kapitalwert [Euro] (11 = 10):

8 = 1/7

12 = 11

Abzinsfaktor

PeriodenKapitalwert IEuro) 1.565,69 1.565,69 1.565,69

S

0,9346 A,I 0,9434 A,I 0,6064 A,I 2,48

I

1.565,69 1.565,69

I I

S

I I I

Marktwerttabl eau

Marktwerttableau 1

Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 Max!

Marktwert IEuro) 1.463,26 1.477,06 949,49 3.889,81 3.889,81

5 = 1/ 4 4 S Abzins- S Perioden - S Kapitalwert faktor IEuro) 1.565,69 N V 0,9346 E 1.565,69 N V 0,9434 E 1.565,69 N V 0,6064 E I : (2) 2 Marktwert 30.09.00 [Euro] Z : (3 = 2) Kapitalwert 30.09.0o [Euro]

Verrentungstableau

Abb. 4.125: Zeitorientierte Verrentungsmethode: Konstante Perioden-Kapitalwerte Die konstanten Perioden-Kapitalwerte sind gemäß Abb. 4.125 durch ein einfaches Gleichungsmodell bestimmbar. Die konstanten Perioden-Kapitalwerte in Höhe von 1.565,69 Euro je zukünftigen Zahlungszeitpunkt werden arbitragefrei errechnet, indem der Gegenwart-Kapitalwert des unterstellten Zahlungsstroms von 3.889,81 Eur0646 durch die Summe von 2,48 der einzelnen Nullkupon-Abzinsfaktoren647 dividiert wird. 648 Werden die periodisierten Kapitalwerte mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung auf Basis der Nullkupon-Abzinsfaktoren649 wieder auf einen Kapitalwert t = 0 zurückgeführt, so ergibt sich selbstverständlich wieder der Gegenwart-Kapitalwert des Zahlungsstroms. 65o Die bisherige Berechnung von konstanten Perioden-Kapitalwerten im Zeit ablauf unterstellt einen inflationsfreien Geld- jKapitalmarkt. Wird diese Prämisse aufgegeben, so basiert gemäß Abb. 4.126 auf der nächsten Seite die zeitorientierte Verrentungsmethode auf inflationsbereinigte Nullkupon-Abzinsfaktoren. 651

646Vgl. 647Vgl. 648Vgl. 649Vgl. 650Vgl. 65 1 Vgl.

Abb. 4.125 Verrentungstableau Spalte 3 sowie Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Abb. 4.125 Verrentungstableau Spalte 9 sowie Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.125 Verrentungstableau Spalten 10, 11. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.125 Marktwerttableau Spalten 3, 5. [71, S. 57]

Gesamtergebnisrechnung

270 VerrentunAstableau 1

-

4

5 - 130.03.02

r--6

1 - 1*4 1 - 1 * 4+5 * 6

r--8 - 1/1

AbzlnsMarktwert S Zins- S Marktwert S Zins- S Zahlungsstrom S faktor faktor quotient

Datum

(Eurol 30.03.02 86.491,12 7.547,17 30.09.01 30.03.01 4.851,52 30.09.00 -95.000 ,00 3.889,81 Max! 3.889,81

Y Y Y Y I Z

IEurol 1,0700 U 1,0600 U 1,0250 U 86.491,12 I 0,0350 U 1,0000 U : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) : (3 - 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

9

S

10 - 8 * 9

14 - 13

15 - 9 • 14

InflatIonsInflationsPerloden- S bereinigter InflatlonsS gewichteter S PerIodenKapitalwert faktor Abzl"'aktor KapItalwert IEuro) [Eurol 1.591,75 0,9907 I 1.501,65 I 1,06 U 1.561,72 1.501,65 I 1,04 U 0,9811 I 1.531,69 0,6186 I 1.501,65 I 1,02 U

lEIn) 92.545,50 N 0,9346 A,I 0,9434 A,I 8.000,00 N 0,6064 A,I 8.000,00 N -95.000,00 N L Inflationsgewichteter Abzinsfaktor (11): Perioden-Marktwert [Euro) (12 = 2 / 11): Perioden-Kapitalwert [Euro) (13 = 12):

S

I I I

2,59 I 1.501,65 I 1.501,65 I

Marktwerttableau

Marktwerttableau 1 Datum

Marktwert

30.03.02 30.09.01 30.03.01 Max!

IEwo) 1.487,62 1.473,32 928,88 3.889,81 3.889,81

5 =1 / 4 ~ InflatIonsS Abzlns- S bereinigter S faktor PeriodenKapitalwert IEurol 1.591,75 N Y 0,9346 E 1.561,72 N Y 0,9434 E 1.531,69 N Y 0,6064 E I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) Z : (3 = 2) Kapitalwert 30.09.0 [Euro)

o

Verrentungstableau

Abb. 4.126: Zeitorientierte Kapitalwerte Laut

Abb.

4.126

Verrentungsmethode:

werden die

Inflationsbereinigte

inflationsbereinigten

Perioden-

Perioden-Kapitalwerte von

1.591,75 Euro am 30.03.02, von 1.561,72 Euro am 30.09.01 und von 1.531,69 Euro

am 30.03.01 arbitragefrei errechnet, indem der Gegenwart-Kapitalwert des unterstellten Zahlungsstroms von 3.889,81 Eur0652 durch die Summe von 2,59 der einzelnen inflationsgewichteten Nullkupon-Abzinsfaktoren653 dividiert und anschließend mit den unterstellten Inflationsfaktoren (Faktor 1,06 am 30.03.02, Faktor 1,04 am 30.09.01 und Faktor 1,02 am 30.03.01) multipliziert wird. 654 Werden die periodisierten inflationsbereinigten Kapitalwerte mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung auf Basis der Nullkupon-Abzinsfaktoren655 wieder auf

einen Kapitalwert t = 0 zurückgeführt, so ergibt sich auch in diesem Fall wieder der Gegenwart-Kapitalwert des Zahlungsstroms. 656

4.2.1.2.3.1.2 Die kostenorientierte Verrentungsmethode Die kostenorientierte Verrentungsmethode strebt ein stabiles Verhältnis zwischen dem Kapitalwert eines Geld-jKapitalmarktgeschäftes und den anfallenden Betriebskosten an. 657 Dabei werden die Betriebskosten so berücksichtigt, wie sie aller Wahrscheinlichkeit nach zeitlich anfallen. Der zeitliche Anfall der Kosten sieht im Regelfall der Praxis so aus, daß - bedingt durch Akquirierungs- und Abwicklungskosten - zu Beginn des Geld- jKapitalmarktgeschäftes 65 2 Vgl. 653Vgl. 654Vgl. 655Vgl. 656Vgl. 657Vgl.

Abb. 4.126 Verrentungstableau Spalte 3 sowie Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Abb. 4.126 Verrentungstableau Spalte 11 sowie Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.126 Verrentungstableau Spalten 8 bis 15. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.126 Marktwerttableau Spalten 3, 5. [97, S. 208 fI.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

271

hohe Kosten, im weiteren Zeitverlauf aber lediglich geringe Verwaltungskosten anfallen. Zum Vertragsende eines Geld-jKapitalmarktgeschäftes steigen die Kosten durch diverse Abwicklungstätigkeiten wieder an. Dieser unterstellte Kostenverlauf führt zu der in Abb. 4.127 dargestellten Verteilungsmethode. VerrentunAstableau 1

Datum

Marktwert S

-

r--4

Zins. faktor

5 - 1300302

V V V V

Zins· S Zahlungsatrom S Abzlnsfaktor quotient

(E..ol

(Ewol

30.03.02 30.09.01 30.03.01

Max!

U U U U

86.491,12 I

0,0350 U

I : (2) L Marktwert 30,09.00 [Euro) Z : ß - 2) Kapitalwert 30.09 .00 [Euro)

Marktwerttableau Datum

1,0700 1,0600 1,0250 1,0000

r--8 - 1 17

7 - 1" 4 7 - 1"4+5 " 6

S Marktwert S

(E"oJ 30.03.02 86.491,12 7.547,17 30.09.01 4.851,52 30.03.01 30.09.00 ·95.000 ,00 3.889,81 Max! 3.889.81

6

92.545,50 8.000,00 8.000,00 ·95.000,00

9- 3

-

10

13 - 12 18

Kosten. Kapitalwert S Kosten· S gewichteter S Perioden · S S Kaphalwert Kapitalwert faktor 30.119.00

30.09.00 [&a-ol

(EwoJ N N N N

12 - 9 · 10

3.889,81 I 3.889,81 I 3.889,81 I

0,40 U 0,20 U 0,40 U

L Kostenfaktor (11):

1.00 N

0,9346 A,I 0,9434 A,I 0,6064 A,I

1.555,93 I 777,96 I 1.555,93 I

(Ewol 1.664,84 I 824,64 I 2.565,67 I

Marktwerttableau

r-r-

1 5 - 1 14 S Perioden. S Marktwert S Abzins· Kapitalwert faktor (E"ol (E"ol 1.555,93 777.96 1.555,93 3.889,81 3.889,81

V V V

0.9346 E 0 .9434 E 0 ,6064 E

1.664.84 N 824.64 N 2.565.67 N

I : (2) L Marktwert 30.09.00 [E uro) Z : ß ~ 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Verrentungstableau

Abb. 4.127: Kostenorientierte Verrentungsmethode Die Berücksichtigung des Kostenverlaufs wird im Rahmen der in Abb. 4.127 dargestellten Verrentungsmethode durch die Division des kostengewichteten Gegenwart-Kapitalwertes durch die Nullkupon-Abzinsfaktoren658 je Zahlungszeitpunkt gewährleistet. Zum Beispiel wird am 30.03.02 ein Perioden-Kapitalwert von 1.664,84 Euro arbitragefrei errechnet, indem der kostengewichtete Gegenwart-Kapitalwert von 1.555,93 Euro durch den zeitlich entsprechenden Nullkupon-Abzinsfaktor von 0,93 dividiert wird. 659 Die Möglichkeit der Zurückrechnung der periodisierten Kapitalwerte auf einen Kapitalwert t = 0 ist auch in diesem Fall unter Anwendung des Verfahrens der strukturkongruenten Refinanzierung auf Basis von Nullkupon-Abzinsfaktoren66o jederzeit gegeben. 661

658Vgl. 659Vgl. 660Vgl. 661Vgl.

Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.127 Verrentungstableau Spalten 8, 12, 13 am 30.03.02. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.127 Marktwerttableau Spalten 3,5.

Gesamtergebnisrechnung

272

4.2.1.2.3.1.3 Die zahlungsorientierte Verrentungsmethode Die zahlungsorientierte Verrentungsmethode orientiert sich bei der Berechnung der Perioden-Kapitalwerte an der Höhe der Zahlungen eines Zahlungsstroms. 662 Demnach wird der Tatsache Rechnung getragen, daß jede einzelne Zahlung in noch zu ermittelnder Weise zum Kapitalwert einer Zahlungsreihe beiträgt. Die Funktionsweise dieser Verrentungsmethode zeigt Abb.4.128. Verrentunllstableau

1

4

Datum Marktwert S

30.03.02 30.09.01 30.03.01

30.09.00

Max!

IEurol 86.491 ,12 7.547,17 4.851,52 -95.00J ,00 3.889,81 3.889,81

-

r--

Zlnsfaktor

5-

1,0.03 02

S Marktwert S

6

7 a 1" 4 7 - 1 " 4.

5"6

-

-

Zins- S Zahlungs- S Abzinsstrom faktor quotient

,.--9- 3

8 - 117

S

KapItalwert S

30.09.00

12 - 11

10 - 7 / 4 Zahlungs-

strom

BafWert

30.09,00

(Euro] (Euro] (Euro] 92.545,50 N 0,9346 A,I 3.889,81 I 86.491,12 1,0700 U 7.547,17 8.00J,oo N 0,9434 A,I 3.889,81 I 1,0600 U 7.804,88 1,0250 U 86.491,12 I 0,0350 U 8.000,00 N 0,6064 A,I 3.889,81 I -95.000 ,00 N 1,cmo U L Zahlungsstrom Barwert [Euro] (11): 101 .843,17 : (2) L Marktwert 30,09,00 [Euro] Marktwerttableilu : ß - 2) Kapitalwert 30,09.00 [Euro]

Summe S ZahlungsS strom BalW8rt

IEurol

V V V V I

Z

I I I

[Euro] 101 .843,17 I 101.843,17 I 101 .843,17 I

13 - 9 ' 10 / 12 Zahlungsgewlchteter Kapltalwert [Euro] 3.303,46 288,26 298,10

14 13 / 8

S

Perioden- S Kapltalwert

[Euro} I 3.534,70 I I 305,55 I I 491,56 I

I

M arktwe rttab Ie au

~

1 Datum

Marktwert

30.03.02 30.09.01 30.03.01 Max!

(Euro( 3.303,46 288,25 298,10 3.889,81 3.889,81

5- 1/4

S Abzins- S Perloden- S Kapitalwert faktor (Euro( V 0,9346 E 3.534,70 N V 0,9434 E 305,55 N 491,56 N V O,6lE4 E I : (2) L Marktwert 30.09.00 [E uro] Z : ß - 2) Kapitalwert 30.09 .00 [Euro]

Verrentungstableau

Abb. 4.128: Zahlungsorientierte Verrentungsmethode Im Gleichungsmodell der Abb. 4.128 werden zunächst die Barwerte der (Ein-) Zahlungen und deren Summe ermittelt. 663 Jeder einzelne Barwertzahlung wird je Zahlungszeitpunkt anschließend zur Barwert-Summe ins Verhältnis gesetzt. Das Ergebnis dieser Verhältnisrechnung dient der Gewichtung des Gegenwart-Kapitalwertes je Zahlungszeitpunkt. 664 Die sich anschließende Verrentungsvorschrift beschreibt die Kalkulation der PeriodenKapitalwerte als Division der barwertzahlungsgewichteten Gegenwart-Kapitalwerte durch ihre entsprechenden Nullkupon-Abzinsfaktoren665 • Zum Beispiel wird am 30.03.02 ein Perioden-Kapitalwert von 3.534,70 Euro arbitragefrei errechnet, indem der barwertzahlungsgewichtete Gegenwart-Kapitalwert von 3.303,46 Euro durch den zeitlich entsprechenden Nullkupon-Abzinsfaktor von 0,93 dividiert wird. 666

662Vgl. 663Vgl. 664Vgl. 665Vgl. 666Vgl.

[97, S. 211 f.] Abb. 4.128 Verrentungstableau Spalten 10, 11, 12. Abb. 4.128 Verrentungstableau Spalte 13. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.128 Verrentungstableau Spalte 14 am 30.03.02.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

273

Die Möglichkeit der Zurückrechnung der periodisierten Kapitalwerte auf einen Kapitalwert t = 0 ist auch in diesem Fall unter Anwendung des Verfahrens der strukturkongruenten Refinanzierung auf Basis von Nullkupon-Abzinsfaktoren667 jederzeit gegeben. 668

4.2.1.2.3.2 Die zinsabhängigen Verrentungsmethoden Zu den zinsabhängigen Verrentungsmethoden zählen gemäß Abb. 4.129 die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode und die nominalzinsabhängigen Verrentungsmethoden. Zinsabhängige Verrentungsmethoden

Effektivzinsabhängige Verrentungsmethode

nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz

Basis: Opportunitätszins

nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz

Nominalzinsabhängige Verrentungsmethoden

McKinseyVerrentungsmethode

GuV-synchroneVerrentungsmethode

zinsen

Abb. 4.129: Zinsabhängige Verrentungsmethoden Den Ausgangspunkt der ejJektivzinsabhängigen Verrentungsmethode bildet die Ermittlung des Gegenwart-Kapitalwertes eines Zahlungsstroms. 669 Die Ursache für das Erzielen eines Kapitalwertes t

= 0 wird bei der effektivzinsabhängigen Verrentungsmethode in

der Überlassung von effektivem Kapital gesehen. Dieser Sichtweise folgend wird eine strikt an dem Kapitalverlauf orientierte Periodenverteilung des Kapitalwertes angestrebt. Da der Kapitalverlauf abhängig ist vom verwendeten Effektivzinsverfahren67o , muß der Kapitalwertberechnung eine Effektivzinsbestimmung nach einem bestimmten Verfahren folgen. Ist ein Effektivzins eindeutig bestimmbar,671 so können Perioden-Kapitalwerte berechnet werden, die strukturkongruent refinanziert in ihrer Summe zum Ausgangspunkt

- nämlich dem Kapitalwert t = 0 - zurückführen. 667Vgl. 668Vgl. 669Vgl. 670Vgl. 671Vgl.

Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.128 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalten 3, 5. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Kapitel 4.2.1.2.2.1 auf Seite 205. Kapitel 4.2.1.1.2 auf Seite 102.

274

Gesamtergebnisrechnung

Die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode kann zum einen nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz - entweder auf Basis von Opportunitätszinsen oder auf Basis von Terminzinsen -, zum anderen nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz - entweder als sukzessver oder als simultaner Ansatz - durchgeführt werden. Die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz ist durch einen unterschiedlichen Kapitalverlauf zwischen Kunden-Zahlungsstrom und Gegen-Zahlungsstrom gekennzeichnet. Dagegen ist die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz durch einen identischen

Kapitalverlauf zwischen Kunden-Zahlungsstrom und Gegen-Zahlungsstrom gekennzeichnet. Die nominalzinsabhängigen Verrentungsmethoden - McKinsey-Verrentungsmethode, GuV-synchrone Verrentungsmethode - dagegen verrenten den Gegenwart-Kapitalwert nach einem Nominalkapital-Kriterium. Der an einem Nominalzins orientierte Kapitalverlauf hat das Ziel, eine Verrentung des Gegenwart-Kapitalwertes zu gewährleisten, die im Einklang mit der pagatorischen Zinsergebnisrechnung steht. Im den folgenden Kapiteln werden zunächst die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode (Kapitel 4.2.1.2.3.2.1) und anschließend die nominalzinsabhängigen Verrentungsmethoden (Kapitel 4.2.1.2.3.2.2 auf Seite 288) beschrieben. 4.2.1.2.3.2.1 Die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode Zunächst wird die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz im Kapitel 4.2.1.2.3.2.1.1 beschrieben. Anschließend erfolgt die Erläuterung der effektivzinsabhängigen Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz im Kapitel 4.2.1.2.3.2.1.2 auf Seite 281. 4.2.1.2.3.2.1.1 Die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz Kennzeichen der effektivzinsabhängigen Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz ist der unterschied-

liche Kapitalverlauf des Kunden- und Gegen-Zahlungsstroms. Die finanzmathematische Konstruktion eines unterschiedlichen Kapitalverlaufs zwischen einem Kunden- und einem Gegen-Zahlungsstrom beruht auf der in Kapitel 4.2.1.2.2.2 auf Seite 242 dargestellten Berechnung von Zinsmargen. Wiederholend sei noch einmal erwähnt, daß die Berechnung von Zinsmargen in fünf Schritten erfolgt. Als erster Schritt ist auf Basis eines Kunden-Zahlungsstroms der zugehörige Effektivzins nach einer beliebigen Effektivzinsmethode672 zu berechnen. 673 Im zweiten Schritt 672Ygl. Kapitel 4.2.1.2.2.1 auf Seite 205. 673Ygl. Abb. 4.102 auf Seite 243.

275

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

ist der Gegenwart-Kapitalwert des Kunden-Zahlungsstroms mit Hilfe eines beliebigen Verfahrens der strukturkongruenten Refinanzierung674 zu ermitteln. 675 Der dritte Schritt besteht in der Ableitung eines Gegen-Zahlungsstroms auf Basis des KundenZahlungsstroms und des zugehörigen Gegenwart-Kapitalwertes. 676 Als vierter Schritt ist auf Basis des Gegen-Zahlungsstroms der zugehörige Opportunitätszins nach derselben Effektivzinsmethode, die bei der Berechnung des Effektivzinses des Kunden-Zahlungsstroms verwandt wurde, zu berechnen. 677 Die Differenz zwischen dem Effektivzins des KundenZahlungsstroms und dem Opportunitätszins des Gegen-Zahlungsstroms ergibt dann als letzten Berechnungsschritt die gesuchte Zinsmarge. Die wiederholend dargestellten Schritte der Berechnung einer Zinsmarge werden auch unter dem Begriff der Zahlungsstrukturkongruenz zusammengefaßt. Diese beruht auf einem unterschiedlichen Kapitalverlauf der Effektivzinsrechnung im Gegensatz zum Kapitalverlauf der Opportunitätszinsrechnung. In Tab. 4.96 werden die unterschiedlichen Kapitalverläufe auf Basis des in Kapital 4.2.1.2.2.2 auf Seite 242 unterstellten Rechenbeispiels noch einmal überblickartig dargestellt. 678 Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Kapitalverlauf Endkapital Effektivzins -95.000,00 Euro -91.681,39 Euro -88.199,24 Euro 0,00 Euro

Kapitalverlauf Endkapital Opportunitätszins -98.889,81 Euro -94.268,06 Euro -89.488,42 Euro 0,00 Euro

Tabelle 4.96: Zahlungsstrukturkongruenz Die effektivzinsabhängige Verrentung des Gegenwart-Kapitalwertes kann nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz entweder auf Basis eines Opportunitätszinses oder auf Basis von Terminzinsen679 erfolgen. Wird dem effektivzinsabhängigen zahlungstrukturkongruenten Verrentungskonzept als erste Variante ein Opportunitätszins zugrunde gelegt, so bestimmen sich die Perioden-Kapitalwerte gemäß dem in Abb. 4.130 auf der nächsten Seite dargestellten Gleichungsmodell. 68o

674 Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 675Ygl. Abb. 4.103 auf Seite 244. 676ygl. Tab. 4.86 auf Seite 244. 677Ygl. Abb. 4.104 auf Seite 245. 678Ygl. Abb. 4.102 auf Seite 243 Tilgungstableau Spalte 10 sowie Abb. 4.104 auf Seite 245 Tilgungstableau Spalte 10. 679Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. 680Ygl. [109, S. 119 ff.]

Gesamtergebnisrechnung

276 Verrentunastableau 1 Datum

Endkapital S Effektivzins S -zinsuldo IE.. ol

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

-95.000 ,00 -91 .681 ,39 -BB.199,24 0,00

Hundert

I'!II U U U U

10,10 10,10 10,10 10,10 10,09838ffi

r--4- 2/ 3

5

EffektlvS zins· S quotient

Eins

3

2

12 13 - 9 - 12 15_11,A8 OpportuOpportuZlnsnitatsnitalsS faktor- S S zinszinsfaktor differenz quotient

Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

0,0697 0,0697 0,0697 0,0697

I I I

I

0,0150 0,0150 0,0150 0,0150

Datum

Marktwert S

Max!

1.238,98 1.300,04 1.350,79 0,00 3.889,81 3.889,81

V V V V

15 1 * 13 * 14

I. Minus Eins

P P P P

1.427,93 1.378,04 1.325,70 0,00

1,0700 1,0600 1,0250 1,0000

I I

10 S

OpportuS nitatszins I'!II

6,97 6,97 6,97 6,97 Opportunitätszin. nach ISMA p.a . (%): 6,9666769

360,00 P 360,00 P 360,00 P 36O,ooP

0,50 0,50 0,50 0,50

I I I I

1,0493 1,0493 1,0493 1,0493

17

18 - 17 18 - 17 - 15

KundenS Zahlungs- S stom

GegenZahlungsstom

16 - 9 A * 141* 15

1.393,99 1.345,30 1.294,20 0,00

Effektlvzlnsfaktor

lTaael P P P P

IE.. ol I I

7 - 1 *. 7 - 1 * ._ 5"6 PerIodenS Marktwert S q:'::nt S Kapitalwert S "am Ende" IE..ol lE.. ol

Zlnsfaktor

S Jahres- S ZlnstageS quotient basis

PerlodenPerlodenS Kapitalwert S Kapitalwert S Datum "am Ende" "am Anfang"

•

I I

180,00 180,00 180,00 180,00

~

lE..ol -1 -1 -1 -1

I I

Zlnstage

P P P P

I I I I

(E"ol 30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00

1 1 1 1

1,0342 1,0342 1,0342 1,0342

Marktwerttableau 1

-

S

9(4-5"8

8 - 6/1

7

ITaael

100 P 0,1010 I I 100 P 0,1010 I I 100 P 0,1010 I I 100 P 0,1010 I I P : Effektivz in. nach ISMA p.•. (%)

11 - 10 / 3

r---

6

IE"ol 30.09.00 U -95.0IJJ,00 B 8.0IJJ,oo U I 30.03.01 U 8.0IJJ,oo U I 30.09.01 U I 30.03.02 U 92.545 ,50 U I

IE"ol -95.0IJJ,oo 6.572,07 6.621,96 91 .219,80

I I I I

I I I I V

S

I I I I

r---

5 - 130.03.02

U U U U

1.238,98 I

6

0,0350 U

1.325,70 1.378 ,04 1.427,93 0,00

N N N N

I : (2'2 M.rktwert 30.09.00 )Euro) Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09 .00 (Euro)

Abb. 4.130: Zahlungsstrukturkongruente Verrentungsmethode auf Basis eines Opportunitätszinses Laut Abb. 4.130 berechnen sich die Perioden-Kapitalwerte "am Ende" als jeweilige Differenz zwischen dem zeitpunktbezogenen Effektivzinsfaktor und dem zeitpunktbezogenen Opportunitätszinsfaktor multipliziert mit der zeitpunktbezogenen Kapitalbasis. 681 Perioden-Kapitalwerte "am Ende" bedeuten, daß die Kapitalwerte zum Ende einer jeweiligen Zahlungsperiode entnommen werden können. Wird eine Entnahme jeweils zum Anfang einer Zahlungsperiode gewünscht, so sind die Perioden-Kapitalwerte "am Ende" durch exponentielle Abzinsung mit dem Effektivzins in Perioden-Kapitalwerte "am Anfang" umzurechnen. 682 Zum Beispiel kann für die Zahlungsperiode 30.09.01 bis 30.03.02 entweder am 30.03.02 ein Perioden-Kapitalwert von 1.325,70 Euro oder bereits am 30.09.01 ein Perioden-Kapitalwert von 1.294,20 Euro entnommen werden. 683 Im Fortgang wird nur noch die Entnahme "am Ende" betrachtet. Das Verrentungsmodell der Abb. 4.130 beruht sowohl auf der Kenntnis eines Effektivzinses als auch auf der Kenntnis eines Opportunitätszinses. Während der Effektivzins als Entscheidungsparameter interpretiert werden kann, fungiert der Opportunitätszins als 681Ygl. Abb. 4.130 Yerrentungstableau Spalten 13, 15. 68 2 Ygl. Abb. 4.130 Yerrentungstableau Spalte 16. 683Ygl. Abb. 4.130 Yerrentungstableau Spalten 15, 16 am 30.09.01.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

277

Entscheidungsvariable, die solange iteriert wird, bis die ermittelten Perioden-Kapitalwerte

unter Anwendung eines beliebigen Verfahrens der strukturkongruenten Refinanzierung684 wieder auf den Gegenwart-Kapitalwert zurückgeführt werden können. 685 Das Itera-

tionsergebnis ergibt für das Rechenbeispiel der Abb. 4.130 auf der vorherigen Seite einen Opportunitätszins von 6,9666769% p.a. 686 Die Kenntnis der Perioden-Kapitalwerte ermöglicht die Berechnung des GegenZahlungsstroms. Dazu ist die Differenz zwischen jeder Einzahlung des unterstellten Kunden-Zahlungsstroms und den jeweiligen Perioden-Kapitalwerten zu bilden. 687 Tab. 4.97 zeigt dementsprechend die mathematische Ableitung des Gegen-Zahlungsstroms auf Basis des unterstellten Kunden-Zahlungsstroms sowie auf Basis der PeriodenKapitalwerte. Datum 30,09,00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Zahlung -95.000,00 Euro 8,000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

2 Kapitalwert 0,00 Euro 1.427,93 Euro 1.378,04 Euro 1.325,70 Euro

3 = 1- 2 Gegenzahlung -95,000,00 Euro 6.572,07 Euro 6.621 ,96 Euro 91.219,80 Euro

Tabelle 4.97: Zahlungsstrom, Perioden-Kapitalwerte, Gegen-Zahlungsstrom Nach Kenntnis des Gegen-Zahlungsstroms kann dessen Opportunitätszins nach ISMA688 gemäß Abb. 4.131 ermittelt werden. 1 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlungsstrom (Endwert) (Euro) -95.000,00 6.572,07 6.621,96 91.219,80

2

3

4= 2/3

S Kumulierte S Jahres- S ZinstageS Zinstage basis quotient

U U U U

(Tage) (Tage) 0,00 P 360,00 P 180,00 P 360 ,00 P 360,00 P 360,00 P 540,00 P 360 ,00 P Opportunitätszins nach ISMA

.---

5 Zins

,...-7 = 5/6

6

8

9=7+8

Hun- S ZinsSEins S Zinsfaktor S S dert quotient

(%)

6,97 0,00 I 0,50 I 6,97 6,97 1,00 I 1,50 I 6,97 p,a, [%): 6,9666769

I I I I V

100 100 100 100

P P P P

0,0697 I 1 P 1,0697 I 0,0697 I 1 P 1,0697 I 0,0697 I 1 P 1,0697 I 0,0697 I 1 P 1,0697 I 2 Barwert 30,09.00 [Euro) (11): Kapitalwert 30.09.00 [Euro) (12 = 11):

10 = 1 * 9 A -4 Zahlungsstrom (Barwert) (Euro) -95000,00 6.354,45 6.190,67 82.454,87 0,00 0,00

S

I I I I I Z

Abb. 4.131: Opportunitätszins nach ISMA Als Rechenergebnis der Abb. 4.131 beträgt der Opportunitätszins nach ISMA des abgeleiteten Gegen-Zahlungsstroms 6,9666769% p.a.689

684Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 685Vgl. Abb. 4.130 auf der vorherigen Seite Verrentungstableau Spalten 10, 15 sowie Marktwerttablau Spalten 3, 7. 686Vgl. Abb. 4.130 auf der vorherigen Seite Verrentungstableau Spalte 10. 68 7 Vgl. Abb. 4.130 auf der vorherigen Seite Verrentungstableau Spalte 18. 688Vgl. 4.2.1.2.2.1.1.1 auf Seite 207. 689 Vgl. Abb. 4.131 Spalte 5.

278

Gesamtergebnisrechnung

Es bleibt festzuhalten, daß sowohl die im Rahmen der periodenwertigen Betrachtung explizit enthaltende Berechnung eines Opportunitätszinses als auch die Berechnung des Opportunitätszinses im Rahmen der zinswertigen Betrachtung zu identischen Zinsergebnissen von jeweils 6,9666769% p.a. führen. 690 Die Berechnung eines Opportunitätszinses kann zum einen auf der Basis eines Gegen-Zahlungsstroms, dessen Ableitung auf einem Gegenwart-Kapitalwert beruht, zum anderen auf der Basis eines Gegen-Zahlungsstroms, dessen Ableitung auf PeriodenKapitalwerten beruht, durchgeführt werden. 691 Tab. 4.98 zeigt nochmals überblickartig anhand der bisherigen Rechenbeispiele die unterschiedlichen Ergebnisse der bei den Berechnungsvarianten des Opportunitätszinses. 692 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02 Opportunitätszins

1 Zahlung

-95.000,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

Euro Euro Euro Euro

2 PeriodenKapitalwert 0,00 1.427,93 1.378,04 1.325,70

Euro Euro Euro Euro

3 = 1- 2 Gegenzahlung Basis: PeriodenKapitalwerte -95.000,00 Euro 6.572,07 Euro 6.621,96 Euro 91.219,80 Euro 6,9666769% p.a.

4 GegenwartsKapitalwert 3.889,81 0,00 0,00 0,00

Euro Euro Euro Euro

5 = 1- 4 Gegenzahlung Basis: GegenwartsKapitalwert -98.889,81 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro 6,9490513% p.a.

Tabelle 4.98: Zahlungsstrom, Perioden-Kapitalwerte, Gegenwart-Kapitalwert, GegenZahlungsströme, Opportunitätszins Tab. 4.98 zeigt, daß der Opportunitätszins, dessen Berechnung auf einem mit Hilfe von Perioden-Kapitalwerten abgeleiteten Gegen-Zahlungsstrom basiert, geringfügig höher ist als der Opportunitätszins, dessen Berechnung auf einem mit Hilfe eines Gegenwart-Kapitalwertes abgeleiteten Gegen-Zahlungsstrom basiert. 693 Diese geringfügige Abweichung ist unmittelbar einleuchtend, wenn man jeweils die Duration694 der beiden Gegen-Zahlungsströme betrachtet. Abb. 4.132 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung der Duration auf Basis des mit Hilfe von Perioden-Kapitalwerten abgeleiteten Gegen-Zahlungsstroms.

690ygl. Abb. 4.130 auf Seite 276 Yerrentungstableau Spalte 10 im Vergleich zu Abb. 4.131 auf der vorherigen Seite Spalte 5. 691Ygl. Tab. 4.86 auf Seite 244 im Vergleich zu Tab. 4.97 auf der vorherigen Seite. 692ygl. Tab. 4.86 auf Seite 244 sowie Abb. 4.104 auf Seite 245 Zinstableau Spalte 5 im Vergleich zu Tab. 4.97 auf der vorherigen Seite sowie Abb. 4.131 auf der vorherigen Seite Spalte 5. 693Ygl. Tab. 4.98 Spalten 3, 5. 694Ygl. Kapitel 3.3.1.2.3 auf Seite 34.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 1

Datum

2

r--']

7"

5-2/3 +4

279 6

opponu. Gegen. Hun· SEins S ZlMfaklor S Kumulierte S Zahlunge- S nlt... S Zlnstage dert _om zins [Eurol

30.09.00 ·95JXXl,OO 8 30.03.01 6.572,07 U 30.09.01 6.621,96 U 30.03.02 91.219,80 U

1"1

6,97 6,97 6,97 6,97 6,9666769

(T_I

7 Jahresb...

8-5' S

9 - 1/8

~ / 7}

ZI __ zlMfaklor

S Abgezlnste S Zahlung [Eurol

(T_I

1,00 I 000 P 360,00 P 1,07 I 100 P 1 P I 103 I 360,00 P 1,07 I 180,00 P 100 P 1 P I 360,00 P 1,07 I 360,00 P 100 P 1 P 1,07 I I 1,11 I 360,ooP 540,00 P 1 P 1,07 I 100 P I P : Opportunitä1szins nach ISMA p.a. [%] Summe abgezinste Zahlung [Euro] (10):

6.354,45 I 6190,68 I 82.454,88 I 95.000,00 I Summe jahresgewichtete abgezinste Zahlung [Euro * Jahre] (12): Summe abgezinste Zahlung [Euro] (13 - 10): Duration (Jahrel (14 - 12 / 13):

11 - 9 * ~ / 7}

Jahres· gewichtete S abgezlnste Zahlung IE..o''-el 3.17722 I 6.190,68 I 123.682 ,32 I 133 050,221 1 95 ooo,oo[ I 1,401 1

Abb. 4.132: Duration Gegen-Zahlungsstrom auf Basis von Perioden-Kapitalwerten Gemäß Abb. 4.132 beträgt die Duration des auf Basis von Perioden-Kapitalwerten abgeleiteten Gegen-Zahlungsstroms 1,40 Jahre. 695 Abb. 4.133 zeigt die Berechnung der Duration auf Basis des mit Hilfe eines GegenwartKapitalwertes abgeleiteten Gegen-Zahlungsstroms. 1

Datum

2

r--']

'"T

5-2/3+4

6

opponu. Gagen. Hun· SEins S ZlMfaldor S Kumulierte S Zahlunge- S nlt... S Zlnstage dert zins .uom

IEurOI 30.09.00 ·98.889 ,81 8 8.000,00 U 30.03.01 8.000 00 U 30.09.01 30.03.02 92.545,50 U

1"1 695 6,95 6,95 6,95 6,9490513

(T....I

8 - 5'

7

Jahresb...

S

9 - 1 /8

~/7}

ZI_· zlMfaldor

S Abgezlnste S Zahlung [Eurol

(T.....

1,00 I 360,00 P 1 P 1.07 I 0,00 P I 100 P 103 I 180,00 P 360,00 P 1 P 1,07 I 100 P I 360,00 P 1,07 I 1,07 I 360,00 P 100 P 1 P I 1,11 I 360,ooP 54000 P 1 P 1,07 I I 100 P Summe abgezinste Zahlung [Euro] (10): P : Opportunitä1szins nach ISMA p.a. [%1

7.735,73 I 7.480,20 I 83.673,88 I 98.889,81 I Summe jahresgewichtete abgezinste Zahlung [Euro * Jahre] (12): Summe abgezinste Zahlung [Euro] (13 - 10):

Duration [Jahrel (14 - 12 / 13):

11-9*1>J11 Jahresgewichtete S abgezlnste Zahlung IEwo''-el 3.867,87 I 7.480 ,20 I 125.510 ,82 I 136.858 ,881 I 98.889 81 1 1 1,381 1

Abb. 4.133: Duration Gegen-Zahlungsstrom auf Basis eines Gegenwart-Kapitalwertes Gemäß Abb. 4.133 beträgt die Duration des auf Basis eines Gegenwart-Kapitalwertes abgeleiteten Gegen-Zahlungsstroms 1,38 Jahre. 696 Folglich ist bei der Berechnung von Perioden-Kapitalwerten die strukturkongruente Refinanzierung697 zeitlich um 0,20 Jahre "länger", der Opportunitätszins also höher, als bei der Berechnung von Gegenwart-Kapitalwerten. Wird dem effektivzinsabhängigen zahlungstrukturkongruenten Verrentungskonzept als zweite Variante Terminzinssätze698 zugrunde gelegt, so bestimmen sich die PeriodenKapitalwerte nach dem in Abb. 4.134 auf der nächsten Seite dargestellten Gleichungsmodell. 699

695 Abb. 696 Abb. 697YgL 698YgL 699YgL

4.132 Spalte 14. 4.133 Spalte 14. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. [71, S. 58 ff.]

280

Gesamtergebnisrechnung

Zinstableau

1 Datum

Zahlungsstrom (Endwert) (Euro( ·95.(00,00 8.(00,00 8.000,00 92.545,50

2 S

-

4 -213

5

Zins· S tage. S quotient

Zins

3

Kumulierte S Zlnstage

Jahresbasls (Tage(

(Tage(

.--13

14-5 / 13

S Hundert S

Zins· quotient

Eins

S

Zins· faktor

1 * 16' ·4 ZahlungsS

('!I(

360,00 P 0,00 I 10,10 I 0,00 P 10,10 I 180 ,00 P 360,00 P 0,50 I 360,00 P 360,00 P 10,10 I 1.00 I 540,00 P 360 ,00 P 1,50 I 10,10 I Effektivzins nach ISMA p.a. [%[ (6): 10,098300) V 180,00 P Zinst.ge [T.ge) (7): 360,00 P J.hresb.sis [T.ge) (8): Zinstagequotient (9= 7 18): 0,50 I 100 P Hundert (10) : Eins (11) : 1P Effektivzins n.ch ISMA H. lbj. hr [%) (12 - ((6 / 10 • 11)' 9 . 11) " 10): 4,9277754 A

3109.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

S

17-

16 14 + 15

15

100 100 100 100

B U U U

P P P P

1,1010 A 1P 1P 1,1010 A 1P 1,1010 A 1P 1,1010 A L Barwert 30.09.00 [Euro) (18): Kapitalwert 30 .09 .00 [Euro) (19 - 18):

0,1010 0,1010 0,1010 0,1010

I I I I

strom

(Barwert) (Euro( ·95.000 ,00 7.624,29 7.266,23 80.109,48 0,00 0,00

S

I I I I I Z

Tilgungstableau

Verrentungstableau

Tilaunastableau

Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 1 - 10 Anfangs. kapitall ·zinssaldo (Euro) 0,00 ·95.(00,00 ·91.681,39 ·88.199,24

2 S

P A,I A,I A,I

Zahlungs. S strom (Euro) ·95.000 ,00 8.000,00 8.(00,00 92.545,50

r--4

3 Zins· tage

S

(Tage)

B U U U

0,00 180,00 180,00 180,00

-

5- 3/4

Jahres. Zlnstage. S quotient basls

S

P P P P

360,00 360,00 360,00 360,00

0,00 0,50 0,50 0,50

P P P P

2

S

('!I)

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

4,9277754 4,9277754 4,9277754 4,9277754

E E E E

-

4

3- 1·2

Terminzins S Halbjahr ('!I)

E E E E

S

Zinstableau

r---

Effektivzins Halbjahr

1,1010 1,1010 1,1010 1,1010

I I I I

Verrentunastableau

Datum

Zlnsfaktor

Zins· marge

5

Eins

S

("I

100 100 100 100

P P P P

Anfangs. kapItaU ·zinssaldo IEuro) 0,00 ·95.000 ,00 ·91.681,39 ·88.199,24

S

Minus Eins

P E E E

TIlgungstableau

ZlOstableau

1 1 L Zins [Euro)

8

5"6

S Hundert S

2,5000(00 U 2,4277754 I 3,4146341 U 1,5131413 I 4,5121022 U 0,4156733 I

1

1

Zins

(Euro) P 0,00 P ·4.681,39 P ·4.517,85 P ·4.346,26 (9): ·13.545,50

7 7-3 / 4 "

6

·1 ·1 ·1 ·1

S Perioden· Kapitalwert P P P P

10 1.2+8

~·5 . 7)

(Tage)

Ve rrentungstableau

1

8 - 1*

7

6

[Euro) 0,00 A, P 2.306,39 A,I 1.387,27 A,I 366,62 A,I

Kunden· Zahlungs. strom lEurol ·95.000 ,00 8.000,00 8.000,00 92.545,50

11

S EndkapitaU S ·zinssaldo I I I I I

(Euro) ·95.000 ,00 ·91 .681 ,39 ·88.199,24 0,00

=2 + 8

Tilgung

(Euro) I ·95.000,00 3.318,61 I 3.482,15 I Z 88.199,24

S

I I I I

9- 8 ·7 Gegen. S Zahlungs. strom IEurol B ·95.000 ,00 U 5.693,61 U 6.612,73 U 92.178,88

I I I I

Marktwerttableau

Marktwerttableau

1 Datum

30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Perioden· Kapitalwert (Eurol 0,00 2.306,39 1.387,27 366,62

S

E E E E

Verrentungstableau

2 Nullkupon. Abzins· S faktor 1,0000000 0,9756098 0,9433962 0,9026670

P U U U

3 - 1* 2 Markt. wert IEurol 0,00 2.250,13 1.300,74 330,94 3.889,81 3.889,81

S

I I I I I : (4) L M.rktwert 30 .09 .00 [Euro) I : (5 = 4) Kapitalwert 30 .09 .00 [Euro)

Abb. 4.134: Zahlungsstrukturkongruente Verrentungsmethode auf Basis von Terminzinsen Das in Abb. 4.134 dargestellte Verrentungsmodell zeigt, daß die jeweilige Subtraktion von zeitpunktbezogenen Terminzinsen vom halbjährlichen Effektivzins des Beispielfalls von 4,93% zu stark schwankenden Halbjahres-Zinsmargen führt, deren Multiplikation mit den Anfangskapital-Salden der Effektivzinsrechnung zeitpunktspezifische PeriodenKapitalwerte ergeben. 700

700Vgl. Abb. 4.134 Verrentungstableau Spalten 3, 7.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

281

Die Multiplikation der Perioden-Kapitalwerte mit den haltedauerentsprechenden Nullkupon-Abzinsfaktoren 701 ergibt nach anschließender Addition der Multiplikationsergebnisse letztlich wieder den Gegenwart-Kapitalwert. 702 Die Kenntnis der Perioden-Kapitalwerte ermöglicht die Berechnung des GegenZahlungsstroms. Dazu ist die Differenz zwischen jeder Einzahlung des unterstellten Kunden-Zahlungsstroms und den jeweiligen Perioden-Kapitalwerten zu bilden. 703 Tab. 4.99 zeigt dementsprechend die mathematische Ableitung des Gegen-Zahlungsstroms auf Basis des unterstellten Kunden-Zahlungsstroms sowie auf Basis der PeriodenKapitalwerte. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

2 Kapitalwert 0,00 Euro 2.306,39 Euro 1.387,27 Euro 366,62 Euro

3= 1-2 Gegenzahlung -95.000,00 Euro 5.693,61 Euro 6.612,73 Euro 92.178,88 Euro

Tabelle 4.99: Zahlungsstrom, Perioden-Kapitalwerte, Gegen-Zahlungsstrom Auf die Berechnung des Opportunitätszinses nach ISMA auf Basis des in Tab. 4.99 dargestellten Gegen-Zahlungsstroms wird an dieser Stelle verzichtet. Ebenso wird verzichtet auf die Darstellung der geringfügigen Abweichung zwischen dem Opportunitätszins, dessen Ableitung auf einem Gegenwart-Kapitalwert beruht, und dem Opportunitätszins, dessen Ableitung auf Perioden-Kapitalwerten beruht. Begründung: Es gelten die analogen Aussagen, die bereits beim effektivzinsabhängigen zahlungsstrukturkongruenten Verrentungsmodell auf Basis eines Opportunitätszinses getroffen wurden. 704 4.2.1.2.3.2.1.2 Die effektivzinsabhängige Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz Kennzeichen der effektivzinsabhängigen Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz ist der identische

Kapitalverlauf des Kunden- und Gegen-Zahlungsstroms. Dabei wird mit Hilfe von Geld-jKapitalmarktgeschäften ein Gegen-Zahlungsstrom erzeugt, der für einen Ausgleich der in den Zahlungen des Kundengeschäftes enthaltenen effektiven Tilgungsanteilen sorgt. Die effektivzinsabhängige Verrentung des Kapitalwertes kann nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz entweder sukzessiv oder simultan erfolgen.

701Ygl. 702Ygl. 703Ygl. 704Ygl.

Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. Abb. 4.134 auf der vorherigen Seite Markttableau Spalten 3, 5. Abb. 4.134 auf der vorherigen Seite Yerrentungstableau Spalte 9. Abb. 4.130 auf Seite 276 und fortfolgende Erläuterungen.

282

Gesamtergebnisrechnung

Abb. 4.135 auf der nächsten Seite zeigt die sukzessive Variante der effektivzinsabhängigen kapitalstrukturkongruenten Verrentungsmethode. 705 706

705Vgl. [71, S. 37 ff.] 706Vgl. [92, S. 187 ff.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

283

EtfektiV2lnstableau Datum 3J.09.oo 3J 03 01 3J 09.01 3J0302

~ 2 4 - 2 13 Zlnstage. Kumullene Jahres. S S Zlnstage b .... quotient 11....j [T....I 0,00 P 360,00 P 0,00 B lE1J,oo P 360,ooP 0,50 U 36000P 36000P 1,00 U 540,00 P 360,00 P 1,50 U Effektivzin. n.ch ISMA p .• .

1 Zahlungs. ....om IEwol ·95.000,00 8000,00 8.000 00 92 545 50

S

5

S

6

ZI..

1'11 10,10 1010 10,10 10,10 (\I): 10,09B3!IE I I I I

S

S

Hunden

100 100 100 100

I I I I V

7 - 5 16 Zlna. quodent 0,1010 0 1010 0,1010 0,1010

3J.09 00 3J.03 01 3J.09.01 3J.03.02

Anfangs. kaphai ;&.01 0.00 ·95.000,00 ·91681;3S ·88 199,24

faktor

S

1,1010 A 1 P 1 P 1,1010 A 1,1010 A 1 P 1,1010 A 1 P L 8'lWertlO.09.00 (Euro) (11): K.pitolwert3O.09.00 (Eu ro) (12 - 11):

P P P P

I I I I

10 - 1 · 9 A . 4 Zahlungs. ....om (Ewol ·95 000,00 7624,29 7266,23 EIJ 109 48 000

S I I I I I

0,00 I

ektlvzlna· Iigungstableau

2

, - 10 Datum

Zins-

S

EI ..

EffektlYZlnS Tllaunastableau 1

9 - 7.8

8

S

3

Zahlungs..... m Euro P ·95 000,00 AI 8.000,00 AI 8000,00 AI 92.54550 S

ZI....

S

tage

1_1 0,00 lE1J,oo lE1J,oo lE1Joo

B U U U

5 - 3 14

4 S P P P P

Jahresb....

1_1 360,00 360,00 360,00 360 00

S

Zlnstage. quotient

000 0,50 0,50 0,50

P P P P

1

6

S

Verrentungatable.u

S

Zlnstaktar

I I I I

8 - 1"

11010 1,1010 1,1010 1,1010

E E E E

Effektillzinctableau

EI ..

~A5.1)

10 1 .. 2 .. 8

Zins

SEndkaphal S

S

(Ewol 0,00 ·4.681,39 ·4.517,85 ·4.3462E ·1354550

1 P 1 P 1 P 1 P L Zins (Eu ro( (9):

)Eur.ol ·95.000,00 ·91 .681,39 -88.19924 000

I I I I I

11 - 2.8

I I I

I

TIlgung

S

lEurol ·95 000,00 3318,61 3482,15 88 199,24

I I I I

Marktwerttableau ' Zahlunasstrom

Datum

3J.03.02 3J.09.01 3J03 01 3J09.oo Max!

,

4

lIa_rt

Zlna.

Euro 86.491,12 7.547,17 4 851 ,52 ·95.000,00 3.889,81 3889,81

5 - 130 ,0302

7- ' ·4 7 - 1 * 4 .. 5·6

6

Zins.

Zahlungs..

S lIa_rt S S quotient lITom IEtnI Euro 1,0700 U 92 545,50 1,1IiOO U 8.000.00 1,0250 U 86 491 ,12 I 0,0350 U 8000,00 1,0000 U ·95.00000 I : (2) L Morktwert 30.09.00 (Euro) A,I : (3 .. 2) Kapitl!llwert Zah lungsstrom 30.09.00 [Euro) S

faktor

V V V V

S N N N N

Z.namargentableau

Marktwerttableau· Ka.ital

Datum 3J.03.02 3J.09.01 3J 03 01 3J.09.oo Max!

Zinsmaraentableau

1

4

lIa_rt

Zins.

!Euro 82 429,20 86 491 ,88 89 868,27 0,00 258.789,34 258.789,34

S

S - hU1OZ S lIa_rt S

faktor

7- ' ·4

6

1 - 1 · ••

ZI ...

Anfangs. kaphal

1

5·6

quotient

S

~ol

1,0700 U 1,1IiOO U 1,0250 U 82 429,20 I 0,0350 U 1,0000 U I : (2) L M. rktwert 30.09.00 (Euro) AI : ß - 2) K.pit.lwert K.pit.130 .09.00 (Euro( V V V V

~ol

88.199 ,24 91 .681,39 95 000,00 0,00

2

Kaphalwert Zahlungllttom S Kaphai S

S

30.89.00

(Ewol 3889,81 E

N N N N

4 - 1 12·3

3

Kaphalwert

Hunden

30.89.00

(Ewol 258 789,34 E

S

100 P

Marktwerttableau. Zahlung.strom

Zlnanarga

S

1'11 1,503JE12 A

Verrentungstableau

Marktwerttableau: Kapita'

Oatum

Etrektivzins-Tilgungstableeu Zinsmaraentableau

Opportunit~ninst.ble.u

Opportunitiitazins-Tilgungstableau

Marktwertt.bleau· Perloden-Ka.ltalwert 1

Datum 3J0302 3J 09.01 3J 03 01 3J09.oo

M._rt

4

S

IEwoI

Zins-

S lIa_rt S

faktor

(Ewol

1.23898 V

7 - 1· 4 7 - 1 · 4. 5·6 Zins. Perioden. S quotient Kaphalwert (Ewol 1.325,71 1.378,05 0,0350 U 1.427,93 0,00 6

5 - ho 03 02

1,0700 U 1,1IiOO U V 1.350,79 V 1,0250 U 1.238,98 I 0,00 V 1,0000 U 3.88981 I : (2) L Marktwert 30.09.00 (Euro) 3.889 81 Z : ß - 2) K.pitalwert Perloden.K.pitalwert30.09.00 (Euro)

1.m 04

Max!

,

S N N N N

O•• ortunitätszinstabl.au Datum 3J09oo 3J 03 01 3J 09.01 3J 03.02

Zihlungs. lIrom IEtnI ·95 000 00 6572 07 6.621,95 91 .219,79

S E E E E

2 Kumulierte

ZI=.~e 0,00 lE1Joo 360 00 540,00

S

..

3J09oo 3J0301 3J.09.01 3J.03.02

S

4 - 2 13 Zlnstage· quotient

P P P P

0,00 0,50 1,00 1,50

5

I I I I

-

2 Zihlungs. 1IT0m !Eurol ·95 000,00 6572,07 662195 91 219,79

S E E E E

Verrentungstableau

6

Zins

S

Opportunit .........

('!)

0-

o

I:r"

('!) M-

s

oa

~ >= :;:l

('!)

>-!

~ >-!

~

Ö' >-!

6" :;:l

~

>= >-!

('!)

g;

~

........

,j:::..

........

,j:::..

0"'

> 0"'

....

-95.000 ,00 1

0,00 P ) I

S

2 P

2 P

30.03.02

(stck)

Anzahl der Zahlungen S p.a.

14

-88.132,43 1

30.09.01 30.03.02

30.03.01 30.09.01 30.09.01

30.09.00 30.03.01

30.09.00

Datum

30.03 .02

30.09 .01 -87 .381,48 1 300302 1 I I

30 .03.01 30.09.01 30.09.01

30 .09 .00 30.03 .01 1

30 .09 .00

Datum

1 1 = 12 Anfangskapital (Euro)

S

-

3

4

5=3/4

6

7

8= 2*5* 6/7

+

12) / 14

-44 .066,21

1

-91 .190,74 1

Durchsch nittskapital p.a. S 30.09.00 bis 30.09.01 30.09.01 bis 30.03.02 (Euro)

15 = (1

17 = 9b 17 = 9d 18 = 9c

100 P 3.084,63 1

190,46 1

(Euro)

6.124,21

(Euro)

STeilzins STeilzins

100 P

Hun dert

16

1

S

S

3.084,63 1

6.314,68 1

(Euro)

Opportunitätszins p.a.

19 = 17 19 = 17 + 18 21

-7,0000000 1

10,0146421 P

+

21

3,0146421

3,0899521

(%)

Marge p.a.

22 = 20

23 = 15 / 16 * 22

0,00 Z

I

-88.132,43 1

-87 .381,48 1

I

-95.000,00 1

(Euro)

1

1

-1 .328,44 1 -4 .146,19 1

-2 .817,75 1

(Euro)

13 = 2 +

10

I

91 .217,06 1

I

5.373,27 1

7.808,98 1

-95 .000,00 1 I I

S ZahlungsS strom (Euro)

Perioden S Kapitalwert S p.a.

3.084,63 1 9.399,31 1

I

1 I

0,00 1 I I

6.124,21

12 = 1 + 2 SEndkapital

190,46 1

(Euro)

Zins

10 = 9a; 10 = 9b; 10 = 9c; 10 = 9d

L Perioden -Kapita lwert [Eu ro) (24):

10,0146421 P

(%)

S Effektivzins S p.a.

-6,9246900 1

(%)

Opportu nitätszins p.a.

20 = 19 / 15 * 16

Zins- S Jahres- S Zinstage - S Geld -l S Hundert S Teilzins S tage basis quotient Kapitalmarktzins (Euro) (Euro) (Tage) (Tage) (%1 -95.000.00 V 0,00 P 360,00 P 0,00 1 0,00 U 100 P 0,00 1 L Teil zins [Euro) (9a): 0,00 1 -95.000,00 1 1 7.618,52 V 180,001P I 360,00 1P I 190,46 1 0,50 1 5,001UI 1001P L Teil zins [Euro) (9b): 190,46 1 7.618,52 1 100 P -45,06 1 -750,94 V 360,00 P 360,00 P 1,00 1 6,00 U 360,00 P 1,00 1 7,00 U 100 P 6.169,27 1 88.132,43 V 360,00 P L Teil zi ns [Euro) (9c) : 6.124,21 1 -750,94 11 100 P 3.084,63 1 88132,431V I 180,001P I 360,001P I 0,501 11 7,001UI L Teilzins [Euro) (9d): 3.084,63 1 88.132,43 11 L Opportunitätsz ins [Euro) (11):

Tilgung

2

~

~

t,O

()Q

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......... .........

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S

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~

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~

0" 0"

Kapitalzufuhr/ -abflull Kundengeschaft [Eurol P -100 .000,00 I 30.274,30 I 28.955,73 I 27.637,15 I 26.318,58

S

2

B V V V V

S

S

[Eurol 4.000,00 B

Disagio

3

Kunde ngeschäft

01 .04.00 01 .04.01 01 .04.02 01 .04.03 01 .04.04

Datum

P I I I I

S

Kapltalzufuhr/ -abflull Gegengeschaft [Eurol -100.000,00 29.874,30 28.655,73 27.437,15 26.218,58

2

B V V V V

S

S

[Eurol 4.000,00 B

Disagio

3

S

Jahresbasis

5

Gegengeschäft

S

Zinstage - S quotient

6 = 4/ 5 Zins

7

S

Jahresbasis

5 ZlnsS tage - S quotient

6- 4/5 Zins

7

I Z Max!

I I I I I

S

[Tagel [Tagel [%1 0,00 I 4 ,87 0,00 P 360,00 P 360,00 P 1,00 I 4 ,87 360,00 P 1,00 I 4 ,87 360,00 P 360,00 P 1,00 I 4 ,87 360,00 P 360,00 P 1,00 I 4,87 360,00 P 360,00 P Nomin alzins Ge gengeschäft p.a_ [%): 4 ,87 L Zi ns Gegeng eschäft

Zinstage

4

[Tagel [Tagel [%1 0,00 P 360,00 P 0,00 I 5,27 360,00 P 360,00 P 1,00 I 5,27 360,00 P 360,00 P 1,00 I 5,27 360,00 P 360,00 P 1,00 I 5,27 360,00 P 360,00 P 1,00 I 5,27 Nomin alzins Kund engeschäft p.a. [%): 5,27 L Zi ns Kunde ng eschäft

Zinstage

4

1 2 5 6- 3*5 3- 2 -1 ZInsertrag Zinsaufwand Nullkupon NominalS . ZinsS Kunden - S GegenAbzinsS uben;chull wert geschäft geschaft faktoren [Euro[ [Eurol [Eurol [Eurol 0,00 I 0,0000 U 0,00 0 ,00 E 0 ,00 E -4.874 ,30 E 400,00 I 0,9501 U 380,04 -5.274 ,30 E 300,00 I 0 ,8836 U 265,08 -3.955,73 E -3.655,73 E 200,00 I 0 ,8186 U 163,72 -2.637 ,15 E -2.437,15 E 100,00 I 0 ,7566 U 75,66 -1 .318 ,58 E -1 .218 ,58 E L Zinsü be rschuß [Euro) (4) : 1.000,00 I L Nomin alwert 01 ,04 .00 [Euro) (7) : 884,50 Tilgung s plon-I Zahlungsstromtableau: Kapitalwert 01 ,04 _00 [Euro) (8 = 7) : 884,50

Nominalwerttableau

1 1 - 11 Anfangskapital! Datum -zinssaldo [Eurol 01 .04.00 0,00 01 .04.01 -100.000,00 01 .04.02 -75.000,00 01 .04.03 -50.000,00 01 .04 .04 -25.000,00

Tilgungsplan-lZahlungsstromtableau : Gegengeschäft

1 1 = 11 Anfangskapital! Datum -zillSSllldo [Euro[ 01 .04.00 0,00 01 .04.01 -100.000,00 01 .04 .02 -75 .000 ,00 01 .04 .03 -50 .000,00 01 .04 .04 -25 .000,00

Tilgungsplan-lZahlungsstromtableau : Kundengeschäft 8

8

A A A A A

S

-12.185,75 I

Zlnsaufwand Gegengeschaft [Eurol 0 ,00 -4 .874,30 -3.655,73 -2.437,15 -1.218 ,58

9- 1" 6*7/8

Uominalwerttableau

I 100 P I 100 P I 100 P I 100 P 100 P I V [Euro) (10) :

S Hun- S dert

-

A A A A A

S

-13 .185,75 I

Zinsertrag Kunden geschaft [Eurol 0 ,00 -5 .274 ,30 -3 .955 ,73 -2. 637,15 -1.318 ,58

9 = 1" 6 " 7 / 8

Uominalwerttabl ea u

I 100 P I 100 P I 100 P I 100 P I 100 P V [Euro) (10) :

S Hun- S dert

-

Endkapital! -zinssaldo [Eurol -100.000,00 -75.000,00 -50.000,00 -25.000,00 0,00

11 - 1+2+9

End kapital! -zinssaldo [Eurol -100 .000,00 -75 .000,00 -50 .000,00 -25 .000,00 0,00

11 = 1+2+9

I I I I I

S

I I I I I

S

[Eurol -100.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00

Tilgung

12 - 2 + 9

[Eurol -100.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00

Tilgung

12 = 2 + 9

13 - 2 13 = 2 + 3

[Eurol -96.000,00 30 .274,30 28.955,73 27 .637,15 26 .318,58

S

I I I I I

Zahlungsstrom S Kundengeschaft

Zahlungsstrom Gegengeschaft

14

15 - 13 * 14

Nullkupon S Nominalwert S Abzinsfaktoren [Eurol [Eurol [Eurol -96 .000,00 I -96.000,00 I 1,0000 U I 0,9501 U 28 .383,57 I 29.874,30 I N 25 .320,20 I 26.655,73 I 0,8836 U N 27.437,15 I 0,8186 U 22 .460,05 I N 26.218,58 I 0,7566 U 19.836,18 I N L Nominalwert 01 .04.00 [Euro) (1 6): 0,00 I 0,00 N Kapita lwert 01 .04.00 [Euro) (17 = 16): S

I N N N N

S

13 = 2 13 = 2 + 3

(Jq

I:!

=

BI:!

(t)

00 "1

I:!

....

(t)

r:r

"1 (Jq

(t)

~

00

(t)

o

~

~

o

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

305

Auf Basis der genannten nominellen Ausstattungsmerkmale des beispielhaften Kreditangebotes ist die finanzmathematische Vorgehensweise der Nominalwertmethode gemäß Abb. 4.142 auf der vorherigen Seite wie folgt: Anhand der unterstellten Nominalkonditionen des beispielhaften Kreditangebotes wird mit Hilfe der angenommenen Nullkupon-Abzinsfaktoren eine nominalzinsabhängige zahlungsstrukturkongruente Refinanzierung im Rahmen eines simultanen Ansatzes durchgeführt. 788 Als Zielgröße dieses simultanen Ansatzes fungiert der Kapitalwert (Nominalwert) des Kreditangebotes 789 unter Berücksichtigung folgender Nebenbedingungen: • Tilgungen des Kundengeschäftes entsprechen denen des strukturkongruenten Gegengeschäftes (vgl. Abb. 4.142 auf der vorherigen 12 Tilgungsplan-/Zahlungsstromtableau: Kundengeschäft Spalte Tilgungsplan-/Zahlungsstromtableau: Gegengeschäft Spalte 12.) .

Seite sowie

• Kapitalwert des strukturkongruenten Gegengeschäftes entspricht Null (vgl. Abb. 4.142 auf der vorherigen Seite Tilgungsplan-/Zahlungsstromtableau: Gegengeschäft Spalte 17.). Als Entscheidungsvariablen, die so iteriert werden, daß der geplante Kapitalzielwert unter Berücksichtigung der genannten Nebenbedingungen erreicht wird, fungieren der Nominalzins sowie die Höhe der Rückzahlungen. 79o Bei dem genannten beispielhaften Kreditangebot errechnet sich ein Nominalzins des Kundengeschäftes bzw. des Kreditangebotes von 5,27% p.a. 79I, ein Nominalzins des Gegengeschäftes von 4,87% p.a. 792 und ein Nominal- bzw. Kapitalwert von 884,50 Eur0793 . Somit kann das Kreditangebot gegenüber einem Kunden präzisiert werden:

788Vgl. Abb. 4.142 auf der vorherigen Seite Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau: Gegengeschäft Spalte 15. 789Vgl. Abb. 4.142 auf der vorherigen Seite Nominalwerttableau Spalte 8. 790Vgl. Abb. 4.142 auf der vorherigen Seite Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau: Kundengeschäft und Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau: Gegengeschäft Spalten 2, 7. 791Vgl. Abb. 4.142 auf der vorherigen Seite Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau: Kundengeschäft Spalte 7. 792Vgl. Abb. 4.142 auf der vorherigen Seite Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau: Gegengeschäft Spalte 7. 793Vgl. Abb. 4.142 auf der vorherigen Seite Nominalwerttableau Spalte 8.

306

Gesamtergebnisrechnung

Kreditangebot: Kreditbetrag: 100.000,00 Euro

Auszahlung: 01.04.00 zu 96,00%

Nominalzins: 5,27%

Ende der Zinsfestschreibung: 01.04.04

Tilgungsbeginn: 01.04.01

Tilgungshöhe: 25.000,00 Euro p.a.

Rückzahlungsbeginn: 01.04.01

Rückzahlung: 30.274,30 Euro am 01.04.01

Rückzahlung: 28.955,73 Euro am 01.04.02

Rückzahlung: 27.637,15 Euro am 01.04.03

Rückzahlung: 26.318,58 Euro am 01.04.04 Zinsverrechnung: jährlich ab 01.04.01

Zinszahlung: jährlich ab 01.04.01

Gezeigt wurde die Ermittlung eines Nominalwertes einer Geld-/Kapitalanlage, bei der der Zinsüberschuß bzw. Gewinn jährlich entnommen wird. 794 Mit geringem finanzmathematischen Aufwand ist der simultane Ansatz der nominalzinsabhängigen zahlungsstrukturkongruenten Refinanzierung auch auf eine unterjährige Zinsüberschuß- bzw. Gewinnentnahme anwendbar. Notwendige Voraussetzung hierzu ist eine exakte Definition der unterjährigen Gewinnentnahme. Das Rechenbeispiel der Abb. 4.142 auf Seite 304 wird hierzu dahingehend modifiziert, daß die Gewinnentnahme halbjährlich gemäß Tab. 4.104 entnommen wird: Datum 01.10.00 01.04.01 01.10.01 01.04.02 01.10.02 01.04.03 01.10.03 01.04.04 I Summe

Jährliche Gewinnentnahme 0,00 Euro 400,00 Euro 0,00 Euro 300,00 Euro 0,00 Euro 200,00 Euro 0,00 Euro 100,00 Euro I 1.000,00 Euro

Halbjährliche Gewinnentnahme 200,00 Euro 200,00 Euro 150,00 Euro 150,00 Euro 100,00 Euro 100,00 Euro 50,00 Euro 50,00 Euro I 1.000,00 Euro

I

Tabelle 4.104: Gewinnentnahme Da die Gewinnentnahme halbjährlich erfolgt, das Kundengeschäft aber nur jährliche Zinszahlungen beinhaltet, muß die halbjährliche Gewinnentnahme vorfinanziert werden. Der Vorfinanzierungsaufwand kann auf Basis impliziter Terminzinssätze795 bestimmt werden. Unterstellt werden die folgenden Terminzinssätze: 5,37% für eine Refinanzierung von ~-Jahre bis I-Jahr; 7,95% für eine Refinanzierung von q-Jahre bis 2-Jahre; 8,04% für eine Refinanzierung von 2~-Jahre bis 3-Jahre; 8,16% für eine Refinanzierung von 3~­ Jahre bis 4-Jahre. Aus diesen Terminzinssätzen lassen sich finanzmathematisch die folgenden Nullkupon-Abzinsfaktoren796 ableiten: 0,9756 für ein ~-Jahres-Geld; 0,9187 für 1~-Jahres-Geld; 0,8515 für 2~-Jahres-Geld; 0,7876 für 3~-Jahres-Geld. 794Vgl. Abb. 4.142 auf Seite 304. 795Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132. 796Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

307

Der Zinsaufwand, der durch die Vorfinanzierung der halbjährlichen Gewinnentnahme entsteht, ist - neben den Zahlungsströmen der jährlichen und der halbjährlichen Gewinnentnahme - in Tab. 4.105 dargestellt: Datum 01.10.00 01.04.01 01.10.01 01.04.02 01.10.02 01.04.03 01.10.03 01.04.04 I Summe

Jährliche Gewinnentnahme 0,00 Euro 400,00 Euro 0,00 Euro 300,00 Euro 0,00 Euro 200,00 Euro 0,00 Euro 100,00 Euro 1.000,00 Euro

Halbjährliche Gewinnentnahme 200,00 Euro 200,00 Euro 150,00 Euro 150,00 Euro 100,00 Euro 100,00 Euro 50,00 Euro 50,00 Euro I 1.000,00 Euro

Vorfinanzierungsaufwand 0,00 Euro 5,37 Euro 0,00 Euro 5,96 Euro 0,00 Euro 4,02 Euro 0,00 Euro 2,04 Euro I 17,39 Euro

I

Anmerkung: Die Vorfinanzierungsaufwendungen errechnen sich wie folgt: Halb'.l·ährliche Gewinnentnahme * Terminzins * 180 Tage

100

;JOlJ

Tabelle 4.105: Gewinnentnahme und Vorfinanzierungsaufwand Durch die Nichtidentität der Zahlungsströme von jährlicher Gewinnentnahme einerseits und halbjährlicher Gewinnentnahme sowie Vorfinanzierungsaufwand andererseits entstehen Zahlungsstrominkongruenzen. Tab. 4.106 zeigt die Zahlungsstrominkongruenzen des unterstellten Rechenbeispiels. Datum 01.10.00 01.04.01 01.10.01 01.04.02 01.10.02 01.04.03 01.10.03 01.04.04

I Summe

1 Jährliche Gewinnentnahme 0,00 Euro 400,00 Euro 0,00 Euro 300,00 Euro 0,00 Euro 200,00 Euro 0,00 Euro 100,00 Euro I 1.000,00 Euro

2 Halbjährliche Gewinnentnahme 200,00 Euro 200,00 Euro 150,00 Euro 150,00 Euro 100,00 Euro 100,00 Euro 50,00 Euro 50,00 Euro I 1.000,00 Euro

3 Vorfinanzierungsaufwand 0,00 Euro 5,37 Euro 0,00 Euro 5,96 Euro 0,00 Euro 4,02 Euro 0,00 Euro 2,04 Euro I 17,39 Euro

4=1-2+3 Zahlungsstrominkongruenz -200,00 Euro 205,37 Euro -150,00 Euro 155,96 Euro -100,00 Euro 104,02 Euro -50,00 Euro 52,04 Euro 17,39 Euro I

I

Tabelle 4.106: Zahlungsstrominkongruenz Der Ausgleich der Zahlungsstrominkongruenzen wird durch die Einführung eines zusätzlichen kapitalwertneutralen Zahlungsstroms, sogenannter TransJormer-Zahlungsstrom, sichergestellt. Der Transformer-Zahlungsstrom ergänzt die nominalzinsabhängige Refinanzierung um weitere Geld-jKapitalmarktgeschäfte, dargestellt in Tab. 4.107 auf der nächsten Seite.

308

Datum 01.10.00 01.04.01 01.10.01 01.04.02 01.10.02 01.04.03 01.10.03 01.04.04 I Summe

Gesamtergebnisrechnung 1 Jährliche Gewinnentnahme 0,00 Euro 400,00 Euro 0,00 Euro 300,00 Euro 0,00 Euro 200,00 Euro 0,00 Euro 100,00 Euro I 1.000,00 Euro

2 Halbjährliche Gewinnentnahme 200,00 Euro 200,00 Euro 150,00 Euro 150,00 Euro 100,00 Euro 100,00 Euro 50,00 Euro 50,00 Euro I 1.000,00 Euro

3 Vorfinanzierungsaufwand 0,00 Euro 5,37 Euro 0,00 Euro 5,96 Euro 0,00 Euro 4,02 Euro 0,00 Euro 2,04 Euro I 17,39 Euro

4=1-2+3 Zahlungsstrominkongruenz -200,00 Euro 205,37 Euro -150,00 Euro 155,96 Euro -100,00 Euro 104,02 Euro -50,00 Euro 52,04 Euro I 17,39 Euro

5 Transformer 200,00 Euro -205,37 Euro 150,00 Euro -155,96 Euro 100,00 Euro -104,02 Euro 50,00 Euro -52,04 Euro I -17,39 Euro

6=4+5 Zahlungsstromkongruenz 0,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro I 0,00 Euro

I

Tabelle 4.107: Zahlungsstromkongruenz durch Transformer-Zahlungsstrom Letztlich

wird

Zahlungsstroms

durch die

nominalzinsabhängigen

die

kapitalwert neutrale

Inkongruenz

zwischen

Kundengeschäftes

Einführung

der

und der

jährlichen

eines

Transformer-

Zahlungsweise

halbjährlichen

des

Zahlungsweise

der beabsichtigten Gewinnentnahme überbrückt bzw. die Kassenneutralität gewahrt. 797 Die finanzmathematischen Modifikationen des simultanen Ansatzes der nominalzinsabhängigen zahlungsstrukturkongruenten Refinanzierung, d. h. • die Einführung einer halbjährlichen Gewinnentnahme, • die Berücksichtigung von Vorfinanzierungsaufwendungen, • die Einführung eines kapitalwertneutralen Transformer-Zahlungsstroms, zeigt das in Abb. 4.143 auf der nächsten Seite dargestellte modifizierte Nominalwertmodell.

797Vgl. Tab. 4.107 Spalte 6.

0... ('D

o

-

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i

S 5'

o

z

('D r:J)

:;+.

('D

N

.....

Ei)

0...

o

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~

0"'

> 0"'

Kapltalzufuhrl -abOuR Kundengeschäft (Euro( P -100.000 ,00 I 30.281,20 I 28 .960 ,!JJ I 27.640,60 I 26 .320,30

S

2

V V V V

8

S

Kapltallufuhrl .abOuR Kundengeschaft (Euro) P -100.000,00 I 29 .881,20 I 28 .660,!JJ I 27.440,60 I 26 .220,30

S

2

V V V V

8

S

Zinsaufwand

3- 2 ·1

s ( überschul Zins-

Nominalwerttableau:

01 .10.00 01 .04 .01 01 .10.01 01.04 .02 01 .10.02 01 .04.03 01 .10.03 010404

1 ZinsuberschuR halbjährlich IEurol 200,00 200,00 150,00 150,00 100,00 100,00 50,00 50,00 1.000,00

3

l1oge]

Zinst.ge

S

4

lTaae)

Jahresbosis

0,00 P 360,00 180,00 P 360,00 180,00 P 360,00 180,00 P 360,00 180,00 P 360,00 180,00 P 360,00 180,00 P 360,00 180,00 P 360,00 N :(2) L Zins üb e rschuß (Euro]

P P P P P P P P

S

P P P P P P P P

S

0,00 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

5- 3/4 Zinstage. quotient

Halbjährliche Gewinnentnahme

Gegengeschiift

Nominalwerttableau: Halbjährliche Gewinnentnahme

Datum

5

360 ,00 360,00 360,00 360,00 360,00

IT_(

P P P P P

P P P P P

S 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00

quotient

Zlns-

tage.

6 - 4/5

r--

I I I I I

S 5,28 5,28 5,28 5,28 5,28

(110(

Zins

7

,-S

75,66

6- 4/5

~

0,00 5,37 0,00 7,95 0,00 8,04 0,00 8,16

(1101

zins

I I I I I

L

U U U U U U U U

P V V V V

S

100 100 100 100 100

P P P P P

S

8

S aufwand

Terminzins-

9

S

(Euro] -100000,00 -75.000,00 -50.000 ,00 -25.000,00 0,00

-zinssaldo

Endkapital!

11 - 1 . 2 . 9

7 / 8.9

0 ,00 -4.881,20 -3. 660,90 ·2.440 ,60 -1.220 ,30 -12 .203,00

(EIn)

Gegen . geschaft

Zinsaufwand

10-1 " 6 "

0,00 -5,37 0,00 ·5 ,96 0,00 -4,02 0,00 ·2 ,04 -17,39

Tilgungsplan.1

(Euro)

Terminzinsaufwand

9-1 " 5"6 / 7"8

Ge gengeschäft

I

I

A

I

A

I

A

I

A

S

11

S

Transformer

12 = 1.9 " 11

S

I N N N N

I

S

13 Nullkupon Abzins. S foktor

Transformer (Nominalwert)

14 - 12 ' n

(Euro) -100 .000 ,00 25 .000 ,00 25 .000 ,00 25 .000 ,00 25000,00

Tilgung

13 - 2.10

(Euro) -96 .000,00 30.281,20 28.960,90 27 .640,60 26 .320,30

Kundengeschäft

S Zahlungsstrom

13 - 2 13 - 2.3

S

I N N N N

K.pit.lwert 01.04 ,00 (Euro] (19 = 18):

faktoren

Nullkupon. Abzins.

S

I

I I I I

I I I

S

0,00 400,00 0,00 300,00 0,00 200,00 0,00 100 ,00

20 Zins. überschuR jihrlich . (Euro)

P E P E P E P E

S

IEurol

Kassen. neutralität

I

899,71 1 zIM.x!

899,71

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

21 - 20 - 1-9.12

(Euro) -96.000,00 28.385,01 25.319,49 22.459,57 19.835,93 0,00 0,00

Nominalwert

16 - (9 • 14) " 15

lIominalwertt ableau: Jährlich e Gewinn entnahme

IEuro) 195,12 190,02 137,81 132,54 85,15 81,86 39,38 37,83

Nominalwert

17 = I " n

K.pit.lwen 01.04.00 (Euro( (16 = 17):

L

S

15

(Euro) (Euro) -96.000 ,00 I 1,0000 U 29.881,20 I 0 ,9501 U 28 .660,!JJ I 0,8836 U 27.440,60 I 0 ,8186 U 26 .220,30 I 0,7566 U Nomin.lwe n 01 .04.00 (Euro] (17):

Gegengeschilft

14 - 2 14 - 2 .3

S Zohlungsstrom

I I I I I

S

IEurol IEuro) 1,00 P 200,00 I 0,9756 U 195,12 I -1,00 P 0 ,9501 U -195,12 I -205,37 I 1,00 P 150,00 I 0,9187 U 137,81 I -155,96 I 0 ,8836 U -137,81 I ·1 ,00 P 1,00 P 100,00 I 0,8515 U 85,15 I -1,00 P -104 ,02 I 0,8186 U ·85,15 I 1,00 P 50,00 I 0,7876 U 39,38 I -52,04 I 0,7566 U -39,37 I ·1,00 P L Nominalwert Transform er 01.04 .00 (Euro) (1 5 ) : 0,00 I K.pit.lwen Tr. nsform e r 01 ,04 ,00 (Euro] (1 6 - 15): 0,00 N L Nomin.lwe nOl ,04 ,OO (Euro] (18):

schalter

Transformer ~

L

(Euro)

-zinssaldo

12 1.2.10 End kapitall

(Euro( -100000,00 25 .000,00 25 .000,00 25.000,00 25000,00

Tilgung

A -100.000,00 I A -75.000 ,00 I A -50 .000 ,00 I A ·25 .000,00 I A 0,00 I

S

I I I I I

S

12 - 2 .9

Nominalwerttableau: Jährliche Ge winn entnahme

Nominalwerttableau: Halbjährliche Gewinnentnahme

(Euro) 0 ,00 P 100 P -5 ,37 E 100 P -5 ,96 E 100 P -4,02 E 100 P 100 P ·2,04 E Zins Gegeng es chäft (Euro( (11) :

Hundert

L

A A A A A

S

-13 .203,00 I

0 ,00 -5 .281 ,20 -3.960,!JJ -2 .640 ,60 -1.320 ,30

ZInsertrag Kundengeschäft . (Euro(

9 - 1"6"7 / 8

omlnalwerttable Iwerttabl au: Jährliche Jahrhche Gewinn GewInn entnah entnahme

Zahlungs stromtableau:

-1 P 100 P -1 P 100 P -1 P 100 P -1 P 100 P 100 P ·1 P -1 P 100 P -1 P 100 P 100 P ·1 P Te rmin zins (Euro( (10) :

Ein.

r--a

1%) 0,0000 4,8758 4,8733 4,8732 4,8730

Zins

7

,--

S Hunden S Minus S

~

0,00 1,00 1,00 1,00 1,00

tage . S quotient

Zins-

Hunden

8

L Zins Kundeng e s ch äft (Euro] (10]:

r--

884,501 11 884,50 I

S Termin-

I I I I I I I I

P P P P P

S

Nominal . ( wert S

-6 -- 3'5

360,00 360,00 360,00 360,00 360,00

(Tage)

bosis

S Jahres.

5

,--

Isi

0,00 360,00 360,00 360,00 360,00

(Tage)

ZInstage

4

Nullkupon S Abzlnsfaktoren

II

P P P P P

basis

S Jahres-

5

,--

I I I I I Nomin alzins Kundengeschäft p.a . [%J:~ V

0,00 360,00 360,00 360,00 360,00

(Toge(

Zinstage

4

0,00001 U ·5.281 ,2O ( E 0,95011 U -3.960,!JJ ( E 0,88361 U -2. 640 ,601 E 0,81861 U -1320 ,301 E I -1.220 ,301 E 0,75661 U 2: Zinsüberschuß (Euro] (4):1 1.000,001 I Tilgungsplan-' L Nominalwert 01.04 .00 (Euro) (1):1 Zahlungsstromtableau: Kapitalwert 01.04.00 (Euro) (8 = 7):

Kundengeschiift

01.04.00 01.04 .01 01 .04.02 01.04.03 01 .04 .04

Datum

Zinsenrag Kunden- ( S geschäft Euro

S

(Euro) 4 .000 ,00 8

Disagio

3

Nominalwerttableau: Jährliche Gewinnentnahme

01.04.00 01.04 .01 01 .04.02 01.04 .03 01.04 .04

Datum

1 1 - 12 Anfangskapltoll -zinssaldo (Euro) 0,00 -100000,00 -75 .000,00 -50 .000,00 -25 .000,00

S

(Euro( 4.000,00 8

Disagio

3

Tilgungsplan..JZahlungsstromtableau: Tilaunasplan..JZahlunAsstromtableau: Gegengeschäft GeAenAeschäft

01.04.00 01.04 .01 01.04.02 01.04.03 01.04 .04

Datum

1 1 - 11 Anfangskapitol! -zi .... ldo (Euro( 0,00 -100.000,00 -75.000,00 -50.000,00 -25.000 ,00

Tilgungsplan.JZahlungsstromtableau: Kundengeschäft

N N

N N

N N N N

S

N

I I I I I I

S

~

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0"

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"'i ()q

(t)

r:J)

~:

r'l

=-

rJl

(t)

aq

(t)

Er tsI

trj

~

~

Gesamtergebnisrechnung

310

Laut dem in Abb. 4.143 auf der vorherigen Seite dargestellten modifiziertem Nominalwertmodell ist als Zielgröße der Kapitalwert (Nominalwert) des Kreditangebotes bei halbjährlicher Gewinnentnahme zu interpretieren. 798 Dabei sind folgende Nebenbedingungen zu berücksichtigen: • Tilgungen des Kundengeschäftes entsprechen denen des strukturkongruenten Gegengeschäftes (vgl. Abb. 4.143 auf der vorherigen Seite Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau: Kundengeschäft Spalte 12 sowie Tilgungsplan- jZahlungsstromtableau: Gegengeschäft Spalte 13.). • Kapitalwert des strukturkongruenten Gegengeschäftes entspricht Null (vgl. Abb. 4.143 auf der vorherigen Seite Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau: Gegengeschäft Spalte 18.). • Summe Zinsüberschuß bei halbjährlicher Gewinnentnahme entspricht Summe Zinsüberschuß bei jährlicher Gewinnentnahme (vgl. Abb. 4.143 auf der vorherigen Seite Nominalwerttableau: Jährliche Gewinnentnahme Spalte 4 sowie Nominalwerttableau: Halbjährliche Gewinnentnahme Spalte 2.). • Kapitalwert des Transformer-Zahlungsstroms entspricht Null (vgl. Abb. 4.143 auf der vorherigen Seite Nominalwerttableau: Halbjährliche Gewinnentnahme Spalte 16.). • Zinsüberschuß bei jährlicher Gewinnentnahme abzüglich Zinsüberschuß bei halbjährlicher Gewinnentnahme zuzüglich des Vorfinanzierungsaufwandes (Terminzins) zuzüglich des Transformer-Zahlungsstroms entspricht Null (vgl. Abb. 4.143 auf der vorherigen Seite Nominalwerttableau: Halbjährliche Gewinnentnahme Spalte 21 sowie Tab. 4.107 auf Seite 308 Spalte 6.). Als Entscheidungsvariablen, die so iteriert werden, daß der geplante Nominalzielwert unter Beachtung der genannten Nebenbedingungen erreicht wird, fungieren die Nominalzinsen sowie die Höhe der Rückzahlungen. 799 Da die Gewinnentnahme jetzt halbjährlich erfolgt, das Kundengeschäft aber nur eine jährliche Zahlungsweise beinhaltet, muß ein höherer Nominalzins die zusätzlichen Vorfinanzierungsaufwendungen kompensieren. Der Nominalzins des Kundengeschäfts bei halbjährlicher Gewinnentnahme erhöht sich im Gegensatz zum Nominalzins des Kundengeschäfts bei jährlicher Gewinnentnahme dementsprechend um 0,10% auf 5,28%.800 Die Nominalzinsen der Refinanzierung bei halbjährlicher Gewinnentnahme dagegen stellen im Gegensatz zum simultanen Nominalwertansatz bei jährlicher Gewinnentnahme eine 798Vgl. Abb. 4.143 auf der vorherigen Seite Nominalwerttableau: Halbjährliche Gewinnentnahme Spalte 19. 799Vgl. Abb. 4.143 auf der vorherigen Seite Tilgungsplan-/Zahlungsstromtableau: Kundengeschäft und Tilgungsplan-/Zahlungsstromtableau: Gegengeschäft Spalten 2, 7. 800Vgl. Abb. 4.143 auf der vorherigen Seite Tilgungsplan-/Zahlungsstromtableau: Kundengeschäft Spalte 7 im Vergleich zu Abb. 4.142 auf Seite 304 Tilgungsplan-/Zahlungsstromtableau: Kundengeschäft Spalte 7.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

311

Art Gleitzinsanleihe mit folgenden Konditionen dar: 4,8758% für I-Jahres-Geld, 4,8733% für 2-Jahres-Geld, 4,8732% für 3-Jahres-Geld und 4,8730% für 4-Jahres-Geld. 801 Der Nominal- bzw. Kapitalwert des Kundengeschäftes bei halbjährlicher Gewinnentnahme erhöht sich im Gegensatz zum Nominal- bzw. Kapitalwert des Kundengeschäftes bei jährlicher Gewinnentnahme von 884,50 Euro auf 899,71 Euro. 802 Somit kann das Kreditangebot unter Berücksichtigung halbjährlicher Gewinnentnahmen gegenüber einem Kunden wie folgt angegeben werden: Kreditangebot: Kreditbetrag: 100.000,00 Euro Nominalzins: 5,28% Tilgungsbeginn: 01.04.01 Rückzahlungsbeginn: 01.04.01 Rückzahlung: 28.960,90 Euro am 01.04.02 Rückzahlung: 26.320,30 Euro am 01.04.04 Zinsverrechnung: jährlich ab 01.04.01

Auszahlung: 01.04.00 zu 96,00% Ende der Zinsfestschreibung: 01.04.04 Tilgungshöhe: 25.000,00 Euro p.a. Rückzahlung: 30.281,20 Euro am 01.04.01 Rückzahlung: 27.640,60 Euro am 01.04.03 Zinszahlung: jährlich ab 01.04.01

4.2.1.4 Kalkulation stochastischer variabler Zahlungsströme auf Basis der Marktwertmethode

Das im Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111 vorgestellte Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung im Rahmen der Marktwertmethode wurde bislang ausschließlich anhand von deterministischen Zahlungsströmen dargestellt. In der Praxis existieren jedoch Produkte von Finanz-jKreditinstituten, deren Zahlungsströme im Bewertungszeitpunkt als unsicher gelten und somit im Zeit ablauf variablen Charakter aufweisen. Die Charakteristik variabler Zahlungsströme kann durch folgende Merkmale weiter präzisiert werden: • Die Kapitalbindung ist nicht eindeutig vertraglich fixiert, vielmehr hat der Kunde weitgehende Rechte auf Kapitalerhöhungj-abhebung sowie Sondertilgung. 803 Hierbei werden - innerhalb der gesetzlichen Rahmenbedingungen oder vereinbarten Fristen - keine Vorfälligkeitsentschädigungen fällig . • Die zukünftige Verzinsung des Kapitals ist bei Vertragsabschluß nicht festgelegt, vielmehr kann das Finanz-jKreditinstitut jederzeit die Zinsen an eine geänderte Zinssituation des Geld-jKapitalmarktes anpassen. Die Anpassung der Zinsen erfolgt meist zeitverzögert und oft nicht in voller Höhe. 80lVgl. Abb. 4.143 auf Seite 309 Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau: Gegengeschäft Spalte 7. 802Vgl. Abb. 4.143 auf Seite 309 Nominalwerttableau: Halbjährliche Gewinnentnahme Spalte 19 im Vergleich zu Abb. 4.143 auf Seite 309 Nominalwerttableau: Jährliche Gewinnentnahme Spalte 8. 803Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.8 auf Seite 171.

Gesamtergebnisrechnung

312

Zu den variablen Produkten zählen beispielsweise die Spar- und Sichteinlagen, die Kontokorrentkredite sowie die variablen Darlehen. 804 Bei der Erweiterung der Marktwertmethode um die Kalkulation variabler Zahlungsströme besteht das grundlegende Problem, daß weder Kapital- noch Zinsbindung zum Bewertungszeitpunkt bekannt sind. Daher lassen sich am Geld-jKapitalmarkt auch keine strukturkongruenten Gegengeschäfte805 finden, deren Zahlungsströme den variablen Zahlungsstrom - bis auf den Gegenwartzeitpunkt - exakt neutralisieren. Folglich kann der zu berechnende Gegenwart-Kapitalwert nicht entnommen werden, da dieser einem Zinsänderungsrisiko unterliegt. Unter einem Zinsänderungsrisiko wird dabei die Gefahr einer von Geld-jKapitalmarktzinsen herbeigeführten Variabilität des Gegenwart-Kapitalwertes verstanden. Die einzige Möglichkeit zur Anwendung der strukturkongruenten Refinanzierung im Rahmen der Marktwertmethode besteht darin, ein Refinanzierungs- bzw. Wiederanlageportfolio zu finden, welches das Prinzip der Zinsänderungsrisikofreiheit der Refinanzierung bzw. Wiederanlage umsetzt. Dabei wird grundsätzlich bei Anwendung der Marktwertmethode auf variable Produkte wie folgt vorgegangen: • Es wird je Produkt oder je Produktgruppe ein Refinanzierungs- oder Wiederanlageportfolio gesucht, welches im Zeitablaufrelativ konstante (zinsänderungsfreie) Zinsmargen erzeugt . • Die Verzinsung des Refinanzierungs- oder Wiederanlageportfolios wird als Opportunitätszins verwendet, worauf sich die Zinsmarge806 als Differenz zwischen Effektivzins und Opportunitätszins berechnet. Eine konstante Zinsmarge ermöglicht bei der Kalkulation von variablen Produkten aber nicht nur die Anwendung der strukturkongruenten Refinanzierung im Rahmen der Marktwertmethode, sondern ist auch die entscheidende Voraussetzung zur exakten und verursachungsgerechten Erfolgsabgrenzung zwischen der Einzeigeschäftsergebnisrechnung807 und der Zentralergebnisrechnung. 808 Den genannten Überlegungen folgend wurden in der Literatur und Praxis die in Abb. 4.144 auf der nächsten Seite dargestellten Methoden zur Kalkulation variabler Zahlungsströme entwickelt.

804Im Sprachgebrauch der Praxis werden oftmals Produkte mit kurzer Zinsbindung bzw. kurzen Zinsbindungsabschnitten, beispielsweise Termingelder, Darlehen mit Kopplung an einen Referenzzins und vereinbarter Marge oder Floater, irreführend als variabel bezeichnet. Die Dauer der Zinsbindung und die Anzahl der Zinsbindungsabschnitte sind aber nicht die entscheidenden Kriterien zur Beurteilung des Zahlungsstromcharakters. Solange bei der Bewertung jeder Zinsabschnitt isoliert betrachtet werden kann, ist jeder Zahlungsstromabschnitt immer als deterministisch zu betrachten. 805Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 806Vgl. Abb. 4.2.1.2.2.2 auf Seite 242. 807Vgl. Kapitel 4.2 auf Seite 91. 808Vgl. Kapitel 4.3 auf Seite 462.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

313

Kalkulation

Methode der gleitenden Durchschnitte

konzept

Dualer Ansatz in der Beitragsrechnung variabler Gelder

Optimal Values-Ansatz

Abb. 4.144: Kalkulation variabler Zahlungsströme Die Methode der gleitenden Durchschnitte beruht auf der Idee, einen variablen Zahlungsstrom als synthetischen Fioater809 abzubilden. Dabei wird der Opportunitätszins auf Basis der statistischen Methode der gleitenden Durchschnitte810 berechnet. Das Elastizitätskonzept versucht eine empirisch beobachtbare Zinselastizität zwischen den Änderungen der Geld-/Kapitalmarktzinsen und den Änderungen der produktbezogenen Effektivzinsen811 zu konstruieren. Auf Basis der Zinselastizität wird dann ein elastizitätskonformer Opportunitätszins finanzmathematisch abgeleitet, der die Zinsmarge bei konstanter Elastizität gegen Änderungen der Geld-/Kapitalmarktzinsen immunisiert. Der duale Ansatz in der Beitragsrechnung variabler Gelder ergänzt die Methode der gleitenden Durchschnitte um eine verursachungsgerechte Zuordnung der im Rahmen der Marktwertmethode812 ermittelbaren Kapitalwerte auf einzelne Verantwortungsbereiche eines Finanz-/Kreditinstitutes. Der Optimal Values-Ansatz beschreibt die Konstruktion eines optimalen Port foliomodells zur Gewährleistung zins änderungs freier Zinsmargen im Zeitablauf. Elemente dieses Portfoliomodells sind ausschließlich standardisierte Festzinsgeschäfte unterschiedlicher Haltedauer . In den folgenden Kapiteln werden zunächst die Methode der gleitenden Durchschnitte (Kapitel 4.2.1.4.1 auf der nächsten Seite), dann das Elastizitätskonzept (Kapitel 4.2.1.4.2 auf Seite 329) und anschließend der duale Ansatz in der Beitragsrechnung variabler Gelder (Kapitel 4.2.1.4.3 auf Seite 339) beschrieben. Das Abschlußkapitel 4.2.1.4.4 auf Seite 342 beinhaltet die Erläuterung des Optimal Values-Ansatzes.

809Vgl. 81OVgl. 811 Vgl. 812Vgl.

Kapitel 4.2.1.2.1.9.1 auf Seite 191. [7, S. 66 ff.] Kapitel 4.2.1.2.2.1 auf Seite 205. Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111.

Gesamtergebnisrechnung

314

4.2.1.4.1 Die Methode der gleitenden Durchschnitte In dem folgenden KapiteI4.2.1.4.1.1 wird zunächst die Methode der gleitenden Durchschnitte unter Annahme eines konstanten Produktvolumens im Zeitablauf erläutert. 813 814 815 Im darauffolgenden Kapitel 4.2.1.4.1.2 auf Seite 323 wird diese Annahme gestrichen und die Vorgehensweise der Methode der gleitenden Durchschnitteder bei Bestandsänderungen beschrieben.816 817 818 4.2.1.4.1.1 Konstruktion eines Opportunitätszinses bei konstanten Produktbeständen Zentrale Voraussetzung zur Kalkulation eines variablen Zahlungsstroms ist die Konstruktion eines synthetischen Floaters819 . Beispielsweise wird im folgenden angenommen, daß das Produkt Sparbuch ein im Zeit ablauf konstantes Sparvolumen in Höhe von 1.000.000,00 Euro (Gesamt-Kundenbestand) aufweist und der Effektivzins 2,00% p.a. beträgt. Desweiteren wird das Mischungsverhältnis des Sparvolumens bezogen auf die kundenindividuelle Kapitalverweildauer geschätzt. Es sei angenommen, daß 5,00% der Kunden ihr Sparvolumen nach einem Jahr Kapitalverweildauer, 10,00% der Kunden ihr Sparvolumen nach zwei Jahren Kapitalverweildauer und 85,00% der Kunden ihr Sparvolumen nach drei Jahren Kapitalverweildauer abheben. Den Konstruktionsmerkmalen eines Floaters folgend wird zusätzlich eine Zinsanpassungshäufigkeit festgelegt. Zinsanpassungshäufigkeit bedeutet, wie oft der Nominalzins an ein verändertes Zinsniveau angepaßt werden kann. Im beispielhaften Fall wird von einer Zinsanpassungshäufigkeit von Eins pro Jahr ausgegangen. Am Geld-jKapitalmarkt möge am Bewertungszeitpunkt 30.03.86, der gleichzeitig den beispielhaften Startzeitpunkt für die Anwendung der Methode der gleitenden Durchschnitte markiert, folgende Zinsstruktur feststehen: 2,55% für 1-Jahres-Geld, 3,25% für 2-Jahres-Geld, 3,41% für 3-Jahres-Geld. Mit der unterstellten Datenbasis - Kapitalverweildauer, Mischungsverhältnis, Sparvolumen, Zinsanpassungshäufigkeit, Zinsstruktur - kann in einem ersten Schritt gemäß Abb. 4.145 auf der nächsten Seite zum einen der gleitende Zinsdurchschnitt je Kapitalverweildauer berechnet und zum anderen das Sparvolumen in einzelne Tilgungen aufgeteilt werden.

813Vgl. 814 Vgl. 815Vgl. 816Vgl. 817 Vgl. 818Vgl. 819Vgl.

[12] [39] [109, S. 226 ff.] [12] [39] [109, S. 266 ff.] Kapitel 4.2.1.2.1.9.1 auf Seite 191.

315

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 1

ZIMbel 1.j.lltlpr 5 Kepltal. _Hd.ua

ZlIIIfItIt

.,.1

1·Jahres·Zins IJ.03.1986

2,55 U

ZI........

1·Jahres·Zins IJ.03.1986 2.Jahres·Zins 30.03 1986

L Zins [\I,) (15): L Zins [\1,) (2): 2,55 I Zwei Zinssälze (16): 1 P Ein Zinss.lz ß): Zinsdurchschnitt )\1,) (17 - 15 / 16): 2,55 I Zinsdurchschnitt )\1,) (4 - 2 / 3): Mischungsverhältnis [\1,) (18): 5,00 U Mischungsverh ältnis )\1,) r.;): Sp'lVolumen (Euro) (19) : Sp'lVolumen (Euro) (6) : 1.DDD.DDD,00 U Hundert (20): Hundert (7) : 100 P 5O.DDD 00 I Teilvolumen (Euro) (21 - 18 * 19 / 20): Teilvolumen (Euro) (8 - 5 * 6 / 7): K.pil.lverweild.uer (J.hr) (22): 1,00 U K.pil.lverweild.uer (J.hr) (9): Zins.np.ssung (Slek/J.hr) (23): 1,00 P Zinsanp.ssung (Slek/J.hr) (10): 1,00 I Tiigungs.nz.hl(Slek) (24 - 22 * 23): Tilgungs.nzahl(Slek) (11 - 9 * 10): Minus Eins (25): ·1 P Minus Eins (12): ·50.DDD,oo I Tilgung (Euro/SIek) (26 - 21 / 24 * 25): Til gung (Euro/SIek) (13 - 8 / 11 * 12):

14 ZI_lIal 2.j.hrlter 5 K.p..... WlIW8~~.u.r 2,55 U 3,25 U

5,00 2 2,90 10,00 1DDD.DDD 00 100 1oo.DDD,00 2,00 1,00 2,00 ·1 ·50.DDD 00

27

ZI ........

1·Jahres·Zins 30.03 1986 2·Jahres·Zins 30 03 1986 3-Jahres·Zins 30 03.1986

L Zins [\1,) (28) : Drei Zinssälz. (29): Zinsdurchschnitt )\1,) ßO - 27 / 28): I Misehungsverhilltnis )\1,) ßl): U Sp'lVolumen (Euro) ß2): U Hundert ß3): P I Teilvolumen (Euro) ß4 - 31 * 32 / 33): K.pil.lverweild.uer (J.hr) ß5): U Zins.np.ssung (Slek/J.hr) ß6): P I Tilgungs.nz.hl (SIek) ß7 - 35 * 36): Minus Eins ß8): P I Tilgung (Euro/SIek) ß9 - 34 / 37 * 38): I

P

ZI_bel 3.j'hrlger 5 Kapital. WllW8l1dauer 1'!Io1 255 U 3,25 U 3,41 U 921 3 307 85,00 1 DDD DDD ,00 100 850 DDD,oo 3,00 1,00 3,00 ·1 ·283 333 33

I P

I U U P

I U P

I P

I

Abb. 4.145: Tilgungs- und Zinsdurchschnittsberechnung am 30.03.86 Das in Abb. 4.145 dargestellte Gleichungsmodell zeigt, daß am Startzeitpunkt der Methode der gleitenden Durchschnitte eine Nichtkenntnis historischer Zinssätze angenommen wird. 82o Folglich ergibt sich der Zinsdurchschnitt je Kapitalverweildauer aus dem Mittelwert aktueller Zinssätze unterschiedlicher Zinsfristen. Im Ergebnis wird für die 1-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 2,55%, für die 2-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 2,90% und für die

3-jährige Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 3,07% ermittelt. 821

Bei dem unterstellten Sparvolumen von 1.000.000,00 Euro und dem unterstellten Mischungsverhältnis von 5,00% für 1-jährige-Kapitalverweildauer, 10,00% für 2-jährigeKapitalverweildauer und 85,00% für 3-jährige-Kapitalverweildauer entfallen • 50.000,00 Euro Teilvolumen auf die 1-jährige-Kapitalverweildauer,822 • 100.000,00 Euro Teilvolumen auf die 2-jährige-Kapitalverweildauer,823 • 850.000,00 Euro Teilvolumen auf die 3-jährige-Kapitalverweildauer.824

820Vgl. 821 Vgl. 822 Vgl. 823Vgl. 824 Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.145 4.145 4.145 4.145 4.145

Spalten 1, 14, 27. Spalten 4, 17,30. Spalte 8. Spalte 2l. Spalte 34.

Gesamtergebnisrechnung

316

Die entsprechenden Teilvolumen werden anschließend in Tilgungsschichten unterteilt: • 50.000,00 Euro Teilvolumen in 1 Tilgung a -50.000,00 Euro für die 1-jährigeKapitalverweildauer ,825 • 100.000,00 Euro Teilvolumen in 2 Tilgungen a -50.000,00 Euro für die 2-jährigeKapitalverweildauer ,826 • 850.000,00 Euro Teilvolumen in 3 Tilgungen a -283.333,33 Euro für die 3-jährigeKapitalverweildauer .827 Nach Berechnung der Tilgungsschichten kann gemäß Tab. 4.108 folgender fiktiver Tilgungszahlungsstrom (Tilgungsfiktion) abgeleitet werden. I-jährige Kapitalverweildauer Tilgung 30.03.87 -50.000,00 Euro 30.03.88 0,00 Euro 30.03.89 0,00 Euro I Summe I - 50.000,00 Euro Zinsdurchschnitt 2,55% Datum

I

I

2-jährige Kapitalverweildauer Tilgung -50.000,00 Euro -50.000,00 Euro 0,00 Euro I - 100.000,00 Euro 2,90%

I

3-jährige Kapitalverweildauer Tilgung -283.333,33 Euro -283.333,33 Euro -283.333,33 Euro I - 850.000,00 Euro 3,07%

I

Summe Tilgung -383.333,33 Euro -333.333,33 Euro -283.333,33 Euro I -1.000.000,00 Euro

I

I

I

Tabelle 4.108: Tilgungsfiktion am 30.03.86 Grundlegendes Merkmal eines echten Floaters ist die Existenz eines Referenz- bzw. Opportunitätszinses zur abschnittsweisen deterministischen Bewertung eines Zahlungsstroms. 828 Bei der Methode der gleitenden Durchschnitte wird im Rahmen der Konstruktion eines synthetischen Floaters als zweiter Schritt zum einen der Opportunitätszins als gleitender Zins auf Basis des fiktiven Tilgungszahlungsstroms sowie zum anderen der fiktive KundenZahlungsstrom berechnet. Abb. 4.146 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung des gleitenden Opportunitätszinses als tilgungsgewichteten Mittelwert der Zinsdurchschnitte je Kapitalverweildauer829 sowie die Ermittlung des Kunden-Zahlungsstroms.

825Ygl. 826Ygl. 827Ygl. 828Ygl. 829ygl.

Abb. 4.145 auf der vorherigen Seite Abb. 4.145 auf der vorherigen Seite Abb. 4.145 auf der vorherigen Seite Kapitel 4.2.1.2.1.9.1 auf Seite 191. Abb. 4.145 auf der vorherigen Seite

Spalten 8, 11, 13. Spalten 21, 24, 26. Spalten 34, 37, 39. Spalten 4, 17, 30.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 1 Datum

TIlgung lEurol

30.03.86 30.03.87 30.03.88 30.03.89

~

17 17 - 26 AnfangskapltaV -zinssaldo lEuro) 0,00 1.(IlJ.000 ,00 616.666,67 283.333,33

r--r-

3- 1"2 ZlnsTlI9ungsS S durch- S produkt schnitt IEuro)'''') "'I

317 ~

5 TIlgung lEuro)

ZlnsS durch- S schnitt "'I

9

7 - 5 "6 TligullJlSprodukt

S

TIlgung

S

[Euro)

[Eurol''''1

10 Zlnsdurchschnitt "'I

11 - 9 " 10 S

Tilgungsprodukt

S

lEuro) ' ''')

3,07 U -869.833,33 I -283.333,33 U 3,07 U -869.833,33 I -283.333,33 U -283.333,33 U 3,07 U -869.833,33 I 2 Produkt [Euro] " [%] (12) : -2.609.500 ,00 I 2 Produkt [Euro] " [%] (4) : -127.500,00 I 2 Produkt [Euro] " [%] (8): -290.000 ,00 I 22 Produkte [Euro] " [%] (13 - 4 + 8 + 12): -3.027.000 ,00 I Sparvolumen [Euro] (14) : 1.000.000 ,00 U -1 P Minus Eins (15) : 3,03 I Gleite nder Opportunitätszins p,a, [%] (16 - 13 / 14 " 15): 2,55 U -127500.00 I -50.000,00 U -50.000 ,00 U

-50.(IlJ ,00 U

-

19

20 - 18 / 19

S Jahres- S basls

Zinstagequotient

18 S Zlnstage P I I I

IT_) 0,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

IT_I 360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00 P Effektivzins

.------

21 S

0,00 I 1,00 I 1,00 I 1,00 I p,_, [%]:

2,00 2,00 2,00 2,00 2,00

-145.(IlJ,00 I -145.(IlJ,00 I

23 - 17 " 20 " 21 / 22

22

Zins "'I

2,90 U 2,90 U

S Hunden S I I I I P

100 100 100 100

P P P P

Zins

S

lEuro) 0,00 2O.(IlJ,00 12.333,33 5.666,67

I I I I

24 - 1+5+9

25 - 24 - 23

Tilgung

Zahlungsstrom

lEuro) 1.000.000 ,00 -383.333,33 -333.333,33 -283.333,33

S

26 - 17 + 24 S

IEuro) U 1.(IlJ.(IlJ ,00 I -403.333,33 -345.666,67 I -289.000,00 I

I I I I

EndkapltaV S -zinssaldo IEurol 1.000.000 ,00 616.666 ,67 283.333 ,33 0,00

I I I I

Abb, 4.146: Opportunitätszins- und Zahlungsstromberechnung am 30.03.86 Im Ergebnis beträgt der gleitende (durchschnittliche) Opportunitätszins 3,03% p_a_ 830 Unter Annahme eines geschäftspolitisch festgelegten Effektivzinses von 2,00% p.a., beträgt die Zinsmarge demnach 1,03% p.a. 831 Das Rechenbeispiel der Abb. 4.146 zeigt desweiteren die Berechnung des KundenZahlungsstroms unter Annahme des in Tab. 4.108 auf der vorherigen Seite dargestellten Tilgungszahlungsstroms sowie unter Annahme des unterstellten Effektivzinses von 2,00% p.a.. 832 Der berechnete Kunden-Zahlungsstrom wird noch einmal isoliert in Tab. 4.109 dargestellt. Datum 30_03_86 30_03_87 30_03_88 30_03_89

Zahlung LOOO,OOO,OO Euro -403_333,33 Euro -345_666,67 Euro -289.000,00 Euro

Tabelle 4.109: Kunden-Zahlungsstrom am 30.03.86 Nach erfolgter Konstruktion eines synthetischen Floaters - mit den Konstruktionselementen Kunden-Zahlungsstrom, Effektiv- und Opportunitätszins - kann dieser auf Basis des Verfahrens der strukurkongruenten Refinanzierung833 bewertet werden. Bisher wurde die Berechnung des Opportunitätszinses und des fiktiven KundenZahlungsstroms am beispielhaften Startzeitpunkt 30.03.86 der Methode der gleitenden 830VgL 831 VgL 832VgL 833VgL

Abb_ 4_146 Spalte 16_ Kapitel 4_2_ L2_2_2 auf Seite 242_ Abb. 4.146 Spalten 21, 24, 25_ KapiteI4.2.L2 auf Seite 111.

Gesamtergebnisrechnung

318

Durchschnitte erläutert. Im folgenden wird die gesamte Startphase, die im Rechenbeispiel wegen der unterstellten maximalen dreijährigen Kapitalverweildauer des gesamten Sparbuchbestandes drei Jahre umfaßt, der Methode der gleitenden Durchschnitte durchlaufen. Folglich wird die Berechnung des Opportunitätszinses an den Bewertungszeitpunkten 30.03.87 und 30.03.88 erläutert. Am Bewertungszeitpunkt 30.03.87 werden die am 30.03.87 fälligen Tilgungen834 - -50.000,00 Euro für die einjährige Kapitalverweildauer, -50.000,00 Euro für die zweijährige Kapitalverweildauer, -283.333,33 Euro für die dreijährige Kapitalverweildauer - mit der jeweiligen Kapitalverweildauer wieder angelegt. Dadurch bleibt die gesamte fiktive Tilgungsstruktur, dargestellt in Tab. 4.108 auf Seite 316, erhalten. Es muß lediglich der Opportunitätszins und davon geschäftspolitisch ableitend der Effektivzins gleitend an die Zinsentwicklung des Geld-jKapitalmarktes angepaßt werden. Dabei müssen die bereits bekannten Schritte zur Konstruktion eines synthetischen Floaters erneut durchlaufen werden. 835 Am Geld- jKapitalmarkt möge am Bewertungszeitpunkt 30.03.87 folgende Zinsstruktur feststehen: 2,74% für 1-Jahres-Geld, 3,30% für 2-Jahres-Geld, 3,52% für 3-Jahres-Geld. Abb. 4.147 zeigt wiederum als ersten Schritt im Rahmen der Konstruktion eines synthetischen Floaters die Berechnung der gleitenden Zinsdurchschnitte je Kapitalverweildauer sowie die durch Wiederanlage der fälligen Tilgungen unveränderte Aufteilung des konstanten Sparvolumens in einzelne Tilgungen. 1 Zins bel 1jahrlgar Kapital.

Zlnsfrlst

IS

14 ZInsllei 2~.hrlg.r

ZlnsfrIst

Kapital.

_., -j;j--'

~I

1

,3J 13.1987

}: Zins (%( ~:: Ein Zinsdurehsehnilt (%) (4 - 2 ( 3): Misehungsverhällnis (%)I!i): Sporvolumen (Euro) (6): Hundert (7): Teilvolumen (Euro) (8 - S " 6 ( 7): Kopitolverweildouer (9): Zinsanpassung [Slek/Johr) (10): T ilgungsanzahl [Siek) (11 - 9 ' 10): Minus Eins (12): Tllg ung (Euro/SIek) (13 - 8 / 11 " 12):

3J.03.1986 ,3J.03.1987

?~

2,74 I 11P 2,74 5,1 1.rm

50

·50

IU IP

1. I P 1,00 I IP

zwei}: Zins (%(::;:: Zinsdurehsehnilt (%( (17 - 15 . 16): Misehungsverhällnis (%) (18) : Sporvolumen (Euro) (19): Hundert (20): [Euro[ (21 - 18 " 19 ( 20): Kapilolverweildouer [Johr) (22): Zinsonpossung (Slek/Johr) (23): Tllgungsonzohl )Slek) (24 - 22 • 23): Minus Eins (25): [Euro/SIek) (26 - 21 / 24 " 25):

IS

21 Zins bai 3jlhrlger Kapital.

Is

~I

1,25 3,3: I U

2·Jahres·Zins 3J.03 1986 3-Jahres·Zins 3: .03 1986 "I.h,., .7;n" 3J 03 1987

6,51: I IP 1,21:

L Zins (%( (28): (29): Drei Zinsdurehsehnilt (%) PO - 27 ( 28): Misehungsverhältnis (%) PI): Sporvolumen (Euro) (32):

1 [XlJ.(lll ,OC I U 10C I P 100 2, IP

·50

ZlnsfrIst

Hundert .~~) : (Euro) P4 - 31 " 32 / 33): Kopilolverwelldouer (Johr) PS): Zinsonpossung [SIek/Jahr) P6): Tilgungsanzohl [SIek) P7 - 35 " 36): Minus Eins P8) : ·1 1P ITligung [Euro/SIek) P9 - 34 / 37 " 38):

3,25 1L 3,41 3,52 IU 10, IP 3,39 I 85, 1. 00.00 , 10C I P B50 DDO,OC I 3, 1,OC I P ·1 1P ·283 333 ,33 I

Abb. 4.147: Tilgungs- und Zinsdurchschnittsberechnung am 30.03.87 Das in Abb. 4.147 dargestellte Gleichungsmodell zeigt, daß sich ein Jahr nach dem Startzeitpunkt der Methode der gleitenden Durchschnitte der Zinsdurchschnitt für die 834 Vgl. Tab. 4.108 auf Seite 316. 835Erster Schritt dargestellt in Abb. 4.145 auf Seite 315 und folgende Erläuterungen; zweiter Schritt dargestellt in Abb. 4.146 auf der vorherigen Seite und folgende Erläuterungen.

319

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

einjährige Kapitalverweildauer und der Zinsdurchschnitt für die zweijährige Kapitaldauer aus dem Mittelwert aktueller und historischer Zinssätze identischer Zinsfristen ergibt. Lediglich die Berechnung des Zinsdurchschnittes für die dreijährige Kapitalverweildauer basiert auf dem Mittelwert aktueller und historischer Zinssätze unterschiedlicher Zinsfristen.836 837 Im Ergebnis wird für die 1-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 2,74%, für die 2-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 3,28% und für die 3-jährige Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 3,39% ermittelt. 838 Abb. 4.148 zeigt wiederum als zweiten Schritt im Rahmen der Konstruktion eines synthetischen Floaters das bekannte Gleichungssystem zur Berechnung des gleitenden Opportunitätszinses. 1 Datum

Tilgung IEurol

30.03.87 3!103.BB 30.03.89 30.03.90

...

17 17 - 26 Anfangskapitall -zi ....ldo (Eurol 0,00 1.000.000,00 616.666,67 283.333 ,33

~

3 - 1 *2 ZlnsTilgungs. S durch- S S produkt schnitt 1'1101 IEurol'I'IIo1

L Produkt [Euro] * [%] (4) : -137 .000 .00 I L

S Zlnstage P I I I

TIlgung

S

(Eurol

Zlnsdurch- S schnitt 1'1101

-

19

20 - 18 / 19

S Jahres- S

Zlnstagequotient

basls

IT_I ITagel 0,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,ooP 360,00 P 360,00 P 360,00 P Effektivzins

0,00 I 1,00 I 1,00 I 1,00 I p.a. [%]:

Zins

I'!IoI 2.00 2,00 2,00 2,00 2,00

3,28 U 3,28 U

-

21 S

9

7 - 5 *6 TIlgungsprodulcl

S

lEurol'l'!Iol

TIlgung

S

IEurol

10 Zlnsdurchschnitt I'!IoI

11 - 9 * 10 S

TIlgungsprodukt

S

(Eurol '1'1101

3 ,39 U -961. 444,44 I -283.333,33 U 3,39 U -961.444 ,44 I -283.333,33 U -961 .444,44 I 3,39 U -283.333,33 U L Produkt [Euro] * [%] (12): -2.884.333,33 I Produkt [Euro] * [%] (8): -327 .500,00 I L L Produkte [Euro] * [%] (13 - 4 .8 • 12): -3.348.833,33 I Sparvolumen [Euro] (14): 1.000.000 ,00 U Minus Eins (15): -1 P 3,35 I Gleitender Opportunitätszins p.a. [%] (16 - 13 / 14 * 15):

2,74 U -137.000,00 I -50.000 ,00 U -50.000 ,00 U

-50.000 ,00 U

18

r-'ji

5

23 - 17 * 20 * 21/22

22

S Hundert S

I I I I P

-163.750,00 I -163.750,00 I

100 100 100 100

P P P P

Zins lEurol 0.00 20.000,00 12.333,33 5.666,67

S

I I I I

24 - 1.5.9

25 - 24 - 23

Tilgung

Zahlungs. strom

lEurol 1.000.000 ,00 -383.333,33 -333.333,33 -283.333,33

S

26 - 17.24 S

(Eurol U 1.000.000 ,00 I -403.333,33 -345.666 ,67 I -289.000,00 I

I I I I

EndkapItall -zi .... ldo IEurol 1.000.000 ,00 616.666 ,67 283.333 ,33 0,00

S

I I I I

Abb. 4.148: Opportunitätszins- und Zahlungsstromberechnung am 30.03.87 Im Ergebnis beträgt der gleitende (durchschnittliche) Opportunitätszins 3,35% p.a. 839 Unter Annahme eines geschäftspolitisch festgelegten Effektivzinses von 2,00% p.a., beträgt die Zinsmarge demnach 1,35% p.a. 840

836 Am Bewertungszeitpunkt 30.03.87 ist für die 3-jährige Kapitalverweildauer der historische 3-Jahres-Zins am 30.03.85 nicht bekannt, da der Bewertungszeitpunkt 30.03.86 als Starttermin gilt. Stattdessen wird der 2-Jahres-Zins, der am 30.03.86 gilt, verwendet. 837Ygl. Abb. 4.147 auf der vorherigen Seite Spalten 1, 14, 27. 838Ygl. Abb. 4.147 auf der vorherigen Seite Spalten 4,17,30. 839Ygl. Abb. 4.148 Spalte 16. 840Ygl. Kapitel 4.2.1.2.2.2 auf Seite 242.

320

Gesamtergebnisrechnung

Da der am Bewertungszeitpunkt 30.06.87 unterstellte Zinsanstieg gegenüber dem Bewertungszeitpunkt 30.06.86 keinen Einfluß auf die Tilgungsfiktion und den geschäftspolitisch festgelegten Effektivzins besitzt, ist weiterhin der in Tab. 4.109 auf Seite 317 dargestellte Kunden-Zahlungsstrom gültig. 841 Ein weiteres Jahr später, d. h. am Bewertungszeitpunkt 30.03.88, werden die bereits bekannten Schritte zur synthetischen Konstruktion eines Floaters bei unveränderter Tilgungsstruktur wiederum durchlaufen. 842 Am Geld- jKapitalmarkt möge am Bewertungszeitpunkt 30.03.88 folgende Zinsstruktur feststehen: 2,84% für I-Jahres-Geld, 3,35% für 2-Jahres-Geld, 3,55% für 3-Jahres-Geld. Abb. 4.149 zeigt erneut als ersten Schritt im Rahmen der Konstruktion eines synthetischen Floaters die Berechnung der gleitenden Zinsdurchschnitte je Kapitalverweildauer sowie die durch Wiederanlage der fälligen Tilgungen unveränderte Aufteilung des konstanten Sparvolumens in einzelne Tilgungen.

Zlnsfrisl

1-Jahres-Zins 3J 03 1988

1 Zins bai 1.jahrlgar S KapltalvslW8l1daua

"'I

2.84 U

L Zins (%) (2): 2,84 Ein Zinssatz ß): 1 2,84 Zinsdurehsehnitt (%) (4 - 2 / 3): 5,00 Misehungsverhältnis (%) (5): Sparvolumen (Euro) (6): 1 000.000,00 100 Hundert (7): Teilvolumen (Euro) (8 - 5 · 6 / 7): SO 000 ,00 Kapitalverweildauer (Jahr) (9): 1,00 Zinsanpassung (Stek/Jahr) (10): 100 1,00 T ilgungsanzahl(Stek) (11 - 9 · 10): -1 Minus Eins (12): -SO 000 ,00 Tilg ung (Euro/Stek) (13 - 8 / 11 · 12):

ZlnsfrisI

2-Jahres-Zins 3J.03 1987 2-Jahres-Zins 3J.03 .1988

L Zins (%) (15): I Zwei Zinssätze (16): P Zinsdurehsehnitt (%) (17 - 15 / 16): I Misehungsverhältnis (%) (18): U Sparvolumen (Euro) (19): U Hundert (20): P I Teilvolumen (Euro) (21 - 18 · 19 / 20): Kapitalverweildauer (Jahr) (22): U Zinsanpassung (Stek/Jahr) (23): P I Tilgungsanzahl (Stek) (24 - 22 · 23) : Minus Eins (25) : P I Tilgung (Euro/Stek) (26 - 21 / 24 · 25) :

14 Zins bai 2.jahrlgar S KapltalvslW8l1dauar

"'I

3,3J U 3,35 U

ZlnsfrisI

3-Jahres-Zins 3J.03 1988 3-Jahres-Zins 3J.03 1987 3-Jahres-Zins 3J.03.1988

L Zins (%) (28) : Drei Zinssätze (29): P I Zinsdurehsehnitt (%) ßO - 27 / 28): U Misehungsverhältnis (%) ß1): Sparvolumen (Euro) ß2): U Hundert ß3): P I Teilvolumen (Euro) ß4 - 31 · 32 / 33): Kapitalverweildauer (Jahr) ß5) : U P Zinsanpassung (Stek/Jahr) ß6): I Tiigungsanzahl(Stek) ß7 - 35 · 36): Minus Eins ß8): P I Tilgung (Euro/Stek) ß9 - 34 / 37 • 38):

6,65 I 2 3,33 10,00 1.000 000 00 100 100 000,00 2,00 1,00 2,00 -1 -SO 000,00

27 Zins bai 3.jahrlgar S KapltalvslW8l1dauar

"'I

341 U 3,52 U 3,55 U

10,48 3 3,49 85,00 1 000.000,00 100 850.000,00 3,00 1,00 3,00 -1 -283333,33

I P I U U P I U P I P I

Abb. 4.149: Tilgungs- und Zinsdurchschnittsberechnung am 30.03.88

Das in Abb. 4.149 dargestellte Gleichungsmodell verdeutlicht, daß sich zwei Jahre nach dem Startzeitpunkt der Methode der gleitenden Durchschnitte der Zinsdurchschnitt je Kapitalverweildauer ausschließlich aus dem Mittelwert aktueller und historischer Zinssätze identischer Zinsfristen ergibt. Die Startphase der Methode der gleitenden Durschschnitte ist somit am 30.03.88 abgeschlossen. 843 Im Ergebnis wird für die I-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 2,84%, für die 841Vgl. Abb. 4.148 auf der vorherigen Seite Spalten 21, 24, 25. 842Erster Schritt dargestellt in Abb. 4.145 auf Seite 315 und folgende Erläuterungen; zweiter Schritt dargestellt in Abb. 4.146 auf Seite 317 und folgende Erläuterungen. 843Nach Durchlaufen der Startphase der Methode der gleitenden Durchschnitte werden die durchschnittlichen Zinsätze unter Beachtung der jeweiligen Kapitalverweildauer revolvierend aus dem Mittelwert aktueller und historischer Zinssätze identischer Zinsfristen berechnet.

321

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

2-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zins durchschnitt von 3,33% und für die 3-jährige Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 3,49% ermittelt. 844 Abb. 4.150 zeigt erneut als zweiten Schritt im Rahmen der Konstruktion eines synthetischen Floaters das bekannte Gleichungssystem zur Berechnung des gleitenden Opportunitätszinses. 1 Datum

Tilgung [Euro]

:n03.B8 3J.03.89 30.03.00 30.03.91

Tilgung

r19

S Zlnstage

P I I I

20 - 18 / 19

S Jahres- S Zinstagequotient basis

IT_I [Tage] 0,00 P 360,00 P 360,00 P 36O.mP 36O.mP 36O.mP 36O.mP 36O.mP Effektiv zins

S

IEurol

S

Tilgungs. produkt

S

Tilgung

S

]Euro]

]Euro] 'I'!Io]

3,33 U 3,33 U

10 Zinsdurchschnitt ]'!Io]

11 - 9 " 10 S

Tilgungsprodukt

S

[Euro] ' ['!Io]

21

r22

Zins

S Hundert S

-166.250,00 I -166.250,00 I

23 - 17 " 20 " 21 / 22 Zins

2.m 2.m 2.m 2.m 2.m

I I I I P

1m 100 100 1m

P P P P

0,00 20.000,00 12.333,33 5.666,67

25 =24 - 23

24 - 1 + 5 + 9 S

[Euro]

1'!Io] 0.00 I 1.00 I 1.00 I 1,00 I p.a. [\I):

9

7- 5"6

Zinsdurch- S schnitt 1'!Io1

-989.777,78 I 3,49 U -283.333,33 U -989.777,78 I -283.333,33 U 3,49 U -989.777,78 I -283.333,33 U 3,49 U L Produkt [Euro) " [\I) (12): -2.969.333,33 I Produkt [Euro) " [\I) (8): -332.500,00 I L L Produkte [Euro) " [\I) (13 - 4 + 8 + 12): -3.443.833,33 I Sparvolumen [Euro) (14): 1.000.000,00 U -1 P Minus Eins (15) : 3,44 I Gleitender Opportunitätszins p.a . [\I) (16 = 13 / 14 " 15):

-50.000,00 U -5Oooo.m U

L Produkt [Euro) " [\I) (4) : -142.000,00 I L

18

---.;-

5 S

2,84 U -142.000,00 I

-50.000,00 U

17 17 - 26 Anfangs. kapital! -zinssaldo [Euro] O.m 1.ooo.oo0.m 616.666,67 283.333,33

3- 1" 2 ~ ZlnsTilgungsS durch - S produkt schnitt ]'!Io] ]Eurol 'l'!Iol

I I I I

Tilgung [Euro] 1.000.000.00 -383.333,33 -333.333,33 -283.333,33

S

Zahlungsstrom

26 S

[Euro] U 1.000.000,00 -403.333,33 I I -345.666 ,67 -289.000,00 I

I I I I

17 + 24

Endkapital! -zinssaldo (Eurol 1.000.000,00 616.666,67 283.333,33 0,00

S

I I I I

Abb. 4.150: Opportunitätszins- und Zahlungsstromberechnung am 30.03.88 Im Ergebnis beträgt der gleitende (durchschnittliche) Opportunitätszins 3,44% p.a. 845 Unter Annahme eines geschäftspolitisch festgelegten Effektivzinses von 2,00% p.a., beträgt die Zinsmarge demnach 1,44% p.a. 846 Da der am Bewertungszeitpunkt 30.06.88 unterstellte Zinsanstieg gegenüber dem Bewertungszeitpunkt 30.06.86 keinen Einfluß auf die Tilgungsfiktion und den geschäftspolitisch festgelegten Effektivzins besitzt, ist weiterhin der in Tab. 4.109 auf Seite 317 dargestellte Kunden-Zahlungsstrom gültig. 847 Nachdem die Konstruktion von Opportunitätszinsen bei konstantem Produktvolumina am Beispiel der Start phase der Methode der gleitendenden Durchschnitte erläutert wurde, wird die zugrundeliegende Idee der Methode der gleitenden Durchschnitt noch einmal rekapituliert.

844Vgl. 845 Vgl. 846Vgl. 847 Vgl.

Abb. 4.149 auf der vorherigen Seite Spalten 4,17,30. Abb. 4.150 Spalte 16. Kapitel 4.2.1.2.2.2 auf Seite 242. Abb. 4.150 Spalten 21, 24, 25.

322

Gesamtergebnisrechnung

Wie bereits in Kapitel 4.2.1.4 auf Seite 311 erläutert wurde, wird die Kalkulation stochastischer variabler Zahlungsströme zum einen durch eine unbekannte Kapitalbindung, zum anderen durch ein permanentes Zinsanpassungsrecht seitens des Finanz-/Kreditinstitutes erschwert. Das Problem der unbekannten Kapitalbindung löst die Methode der gleitenden Durchschnitte durch die Annahme einer empirisch beobachtbaren revolvierenden Tilgungsfiktion. 848 Die revolvierende Tilgungsfiktion wiederum beruht auf dem Gedanken der Bodensatztheorie 849 , die davon ausgeht, daß sich der durchschnittliche Gesamtbestand variabler Gelder in der Regel kurz- bis mittelfristig nicht verändert. Diese These wird zu einen damit begründet, daß variable Gelder zum Teil länger als rechtlich vereinbart bei der Bank verbleiben (Prolongation), zum anderen, daß Auszahlungen von einem Teil der Kunden durch Einzahlungen anderer Kunden ausgeglichen werden (Nullsummenspiel). Das permanente Zinsanpassungsrecht des Finanz- und Kreditinstitutes hat den Nachteil, daß der Kapitalwert zum Gegenwartzeitpunkt nicht entnommen werden kann, da er einem zukünftigen Zinsänderungsrisiko unterliegt. Somit besteht u. a. das Ziel der Methode der gleitenden Durchschnitte, der Einzelergebnisrechnung eine möglichst konstante und somit zinsänderungsfreie Zinsmarge zuzuweisen. Da sich jede Zinsmarge aus einem Effektivzins und einem Opportunitätszins zusammensetzt,850 ist zum einen die Berechnung eines Opportunitätszinses und zum anderen die geschäftspolitische Festlegung eines Effektivzinses unter der Prämisse möglichst konstanter Marge im Zeitablauf erforderlich. Die Methode der gleitenden Durchschnitte umfaßt dementsprechend den Vorschlag, variable Zahlungsströme mit Mischungen von Geld-/KapitalmarktGleitzinsen zu bewerten. Mischungen von Geld-/Kapitalmarkt-Gleitzinsen werden auf Grund der angenommenen Tilgungsfiktion für unterschiedlichste Fristen benötigt.851 Die Zinsmischungen sind desweiteren gleitend, um nach Ablauf einer vereinbarten Zinsbindungsfrist den Effektivzins gleitend und nicht schockartig an eine Veränderung des durchschnittlichen Opportunitätszinses zur Wahrung einer konstanten Marge anzupassen. Der in der Methode der gleitenden Durchschnitte explizit enthaltene Vorschlag, variable Zahlungsströme über eine Tilgungsfiktion mit durchschnittlichen Gleitzinsen abzubilden, ist mit den Konstruktionsmerkmalen eines Floaters852 identisch. Festzuhalten bleibt, daß die Verwendung der Methode der gleitenden Durchschnitte eine akzeptable Konstanz der Gegenwart-Kapitalwerte gewährleistet, die das Zinsänderungsrisiko minimiert und eine verursachungsgerechte Einzelgeschäftskalkulation ermöglicht. Durch die in der Methode der gleitenden Durchschnitte implizit enthaltene Abbildung 848Vgl. 849Vgl. 850Vgl. 85 1Vgl. 852Vgl.

Tab. 4.108 auf Seite 316. [55, S. 136 ff.] Kapitel 4.2.1.2.2.2 auf Seite 242. Abb. 4.145 auf Seite 315. Kapitel 4.2.1.2.1.9.1 auf Seite 191.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

323

eines variablen Produktes als einen synthetischen Floater kann der eigentlich variable Zahlungsstrom in einen abschnittsweisen deterministischen Zahlungsstrom transformiert und anschließend strukturkongruent bewertet werden. Somit ist die Anwendung der Marktwertmethode möglich. 853 4.2.1.4.1.2 Konstruktion eines Opportunitätszinses bei Produkt-Bestandsänderungen

Die im Kapitel 4.2.1.4.1.1 auf Seite 314 dargestellten Erläuterungen zur

Konstruktion eines Opportunitätszinses gehen davon aus, das sich das gesamte Produktvolumen im Zeitablauf nicht verändert. In der Praxis sind jedoch Volumensveränderungen - geplant oder nicht geplant - nicht zu vermeiden. Finanzmathematisch gibt es zwei Möglichkeiten, Volumensveränderungen zu berücksichtigen. Zum einen kann der gleitende Opportunitätszins um den Effekt der Volumensveränderung korrigiert werden, zum anderen kann eine Ausgleichszahlung - je nach Zinssituation positiv oder negativ den Effekt der Volumensveränderung kompensieren. Da die zweite Möglichkeit im Prinzip mit der Berechnung eines Vorfälligkeitsschadensj-nutzens im Rahmen der Kalkulation von Leistungsstörungen identisch ist,854 wird auf die Betrachtung dieser Möglichkeit im weiteren verzichtet. Die Darstellung der Korrektur des Opportunitätszinses um den Effekt der Volumensänderung wird im folgenden in Fortführung des in Kapitel 4.2.1.4.1.1 auf Seite 314 dargestellten Rechenbeispiels vorgenommen. Am Bewertungszeitpunkt 30.03.89 wird als Folge verstärkter Akquirierungsmaßnahmen ein Sparvolumenzuwachs von 200.000,00 Euro unterstellt, so daß das Sparvolumen statt 1.000.000,00 Euro nunmehr 1.200.000,00 Euro beträgt. Die weitere Datenbasis - Kapitalverweildauer, Mischungsverhältnis, Zinsanpassungshäufigkeit, historische Zinsstruktur - bleibt unverändert. Am Geld-jKapitalmarkt möge am Bewertungszeitpunkt 30.03.89 folgende aktuelle Zinsstruktur feststehen: 2,80% für 1-Jahres-Geld, 3,32% für 2-Jahres-Geld, 3,50% für 3-Jahres-Geld. Zur Korrektur des Opportunitätszinses um den Effekt der Volumensänderung ist es in einem ersten Schritt im Rahmen der Konstruktion eines synthetischen Floaters notwendig, erstens die Tilgungsstruktur und die gleitenden Zinsdurchschnitte des ursprünglichen Sparvolumens von 1.000.000,00 Euro (Altbestand), zweitens die Tilgungsstruktur und die gleitenden Zinsdurchschnitte des Volumenszuwachses von 200.000,00 Euro (Neubestand) sowie drittens die Tilgungsstruktur und die gleitenden Zinsdurchschnitte des Gesamtbestandes von 1.200.000,00 Euro zu ermitteln. Abb. 4.151 auf der nächsten Seite zeigt diesen ersten Berechnungsschritt. 853Vgl. Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111. 854Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.8 auf Seite 171.

Gesamtergebnisrechnung

324 Tilaunastableau ' Neubestand 1 llns bel li"hrlger S Kapltal verwelldaue

llnsfrlsl

[110[

1-Jahres-Zins 30.03.1989

L Zins [%[ (2): Ein Zinssalz (3): Zinsdurchschn itt [%] (4 - 2 / 3): Mischungsverhältnis [%] (5): Sparvolumen [Euro] (6): Hundert (1): Teilvolumen [Euro] (8 - 5 " 6 / 1): Kap ilalveJWeildauer [Jahr] (9): Zinsanpassung [SIek/Jahr] (10): T ilgungsanzahl [SIek] (11 - 9 " 10): Minus Eins (12): Til gung [Euro/Stck] (13 = 8 / 11 " 12):

2.80 U

2,80 1 2,80 5,00 200.000,00 100 10.000,00 1,00 1,00 1,00 -1 -10.000,00

14 Zins bel 2i"hrlger S Kapltal verweIldauer ['IIo[ 1-Jahres-Zins 30.03.1989 2,80 U 2-Jahres-Zins 30.03.1989 3,32 U Zlnsfrlsl

L lins [%] (15): I P Zwei Zinssälze (16): A Zinsdurchschnitt [%] (11 - 15 / 16): Mischungsverhältnis [%] (18): U Sparvolumen [Euro] (19): U P Hundert (20): I Teilvolumen [Euro] (21 - 18 " 19 / 20): U KapitalveJWeildauer [Jahr] (22): P Zinsanpassung [SIek/Jahr] (23): I Tilgungsanzahl [SIek] (24 - 22 " 23): P Minus Eins (25): A Tilgung [Euro/SIek] (26 - 21 / 24 " 25):

6,12 2 3,06 10,00 200.000,00 100 20.000,00 2,00 1,00 2,00 -1 -10.000 ,00

21 Zins bei 3-jahrlger KapltalV81W8J1dauer ['IIo[ 1-Jahres-Zins 30.03.1989 2,80 2-Jahres-Zins 30.03.1989 3,32 3-Jahres-Zins 30.03.1989 3,50 Zlnsfrlsl

L lins [%] (28): I P Drei Zinssätze (29): A Zinsdurchschnitt [%] (30 - 21 / 28): U Mischungsverhällnis [%] (31): U Sparvolumen [Euro] (32): P Hundert (33): I Teilvolumen [Euro] (34 - 31 " 32 / 33): U KapitalveJWeildauer [Jahr] (35): P Zinsanpassung [SIek/Jahr] (36): I Tilgungsanzahl [SIek] (31 - 35 " 36): P Minus Eins (38): A Tilgung ]Euro/Slck] (39 - 34 / 31 " 38):

Tilgungstablcau: Gesamtbestand

Tilgungstlblcau: Ge ••mtbestand

9,62 3 3,21 85,00 200.000 ,00 100 170.000,00 3,00 1,00 3,00 -1 -56.666 ,67

S

U U U I P A U U P I U P I P A

Tilgungstableau: Ge ••mtbestand

Tilaunastableau' Altbestand 1 Zins bel l -jilhrlger S Kapltal verweIldauer

Zlnsfrlsl

14 Zins bel 2-jährlger Kapltal-

ZI_

21 Zins bel 3-jahrlger KapItal-

Zlnsfrlsl

verwalldauer

[110. l-Jahres-Zins 30.03.1989

S

.110. 2,80 U

2-Jahres-Zins 30.03.1988 2-Jahres-Zins 30.03.1989

L Zins [%] (2): L Zins [%] (15): 2,80 I Ein linssalz (3): 1 P Zwei linssätze (16): 2,80 A linsdurchschnitt [%] (11 - 15 / 16): linsdurchschnitt [%] (4 - 2 / 3): Mischungsverhällnis [%] (5): 5,00 U Mischungsverhältnis [%] (18): Sparvolumen [Euro] (19): Sparvolumen [Euro] (6): 1.000.000,00 U Hundert (1): 100 P Hundert (20): Teilvolumen [Euro] (8 - 5 " 6 / 1): 50.000,00 I Teilvolumen [Euro] (21 - 18 " 19 / 20): KapitalveJWeildauer [Jahr] (9): 100 U KapitalveJWeildauer [Jahr] (22): 1,00 P linsanpassung [Stck/Jahr] (23): linsanpassung [SIek/Jahr] (10): Tilgungsan za hl [SIek] (11 - 9 " 10): 1,00 I Tilgungsanzahl [SIek] (24 - 22 " 23): -1 P Minus Eins (25): Minus Eins (12): -50000,00 A Tilgung [EurolSlck) (26 - 21 / 24 "25): Tilg ung [Euro/SIek] (13 - 8 / 11 " 12): TIlgungstableau: Gesamtbestand

S

V8lW8lldauer

.110. 3,35 U 3,32 U

6,67 2 3 ,34 10,00 1.000.000,00 100 100.000,00 2,00 1,00 2,00 -1 -50 000,00

3-Jahres-Zins 30.03.1987 3-Jahres-Zins 30.03.1988 3-Jahres-Zins 30.03.1989

L Zins [%] (28): I P Drei linssätze (29): A linsdurchschnitt [%] (30 - 21 / 28): U Mischungsverhältnis [%] (31): U Sparvolumen [Euro] (32): P Hundert (33): I Teilvolumen [Euro] (34 - 31 " 32 / 33): U KapitalveJWeildauer [Jahr] (35): P Zinsanpassung [SIek/Jahr] (36): I Tilgungsanzahl [SIek] (31 - 35 " 36): P Minus Eins (38): A Tilgung (EurolSlck) (39 - 34 / 31 " 38):

T,lgungstableau: Gesamtbestand

3,52 U 3,55 U 3,50 U 10,57 3 3,52 85,00 1.000.000,00 100 850.000,00 3,00 1,00 3,00 -1 -283.333,33

I P A U U P I U P I P A

TIlgungstableau: Gesamtbestand

Tilaunastableau' Gesamtbestand 1 Zins bei l -jahrlger Kapllal-

Zlnsfrlsl

8 S

Zins bel 2iährlger S Kapltalverwellda.er

Zlnsfrlsl

Y8fWelldaue

linsdurchschnitt "Neu " (%] (2): Tilgung "Neu"(Euro] (3): linsdurchschnitt "AIt"(%] (4): Tilgung "AIt" (Euro] (5): Tilgung (Euro) (6 - 3 + 5): linsdurchschnitt (%] (1 - (2 " 3+4 " 5) / 6):

Il101 2,80 -10.000,00 2,80 -50.000,00 -60.000,00

E E E E I

2,80 I

Zinsdurchschnitt "Neu"(%) (9): Tilgung "Neu"(Euro] (10): linsdurchschnitt "AII"(%) (11): Tilgung "AII"(Euro] (12): Tilgung (Euro) (13 - 10 + 12): linsdurchschnitt (%] (14 - (9 " 10 + 11 " 12) / 13) :

Il10. 3.06 -10000,00 3,34 -50.000 ,00 -60.000,00

E E E E I

3,29 I

15 Zins bel 3-jahrlgor S Kapltalverwellda.er

Zlnsfrlsl

linsdurchschnitt "Neu"(%] (16): Tilgung "Ne."(Euro) (11): linsdurchschnitt "Alt"(%) (18): Tilgung "AII"(Euro] (19): Tilgung (Euro) (20 - 11 + 19): linsdurchschnitt [%] (21 - (16 " 11 + 18 • 19) / 20) :

'1101

3,21 -56.666,67 3,52 -283.333 ,33 -340.000 ,00

E E E E I

3,47 I

TIlgungstableau: Heubestand

TIlgungstableau: Heubestand

TIlgungstableau: Heubestand

Tilgungs1ablcau: Ahbestand

Tilgungstableau: Anbestand

Tilgungstableau: AKbestand

Abb. 4.151: Tilgungs- und Zinsdurchschnittsberechnung am 30.03.89

Das in Abb. 4.151 dargestellte Gleichungsmodell zeigt, daß für den Bewertungszeitpunkt 30.03.89 des Neubestandes wieder der Startzeitpunkt für die Methode der gleitenden Durchschnitte gilt. Demnach wird eine Nichtkenntnis historischer Zinssätze unterstellt, so daß sich der Zinsdurchschnitt je Kapitalverweildauer aus dem Mittelwert aktueller Zinssätze unterschiedlicher Zinsfristen ergibt. 855 Im Ergebnis wird für die 1-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 2,80%, für die 855Vgl. Abb. 4.151 Tilgungstableau: Neubestand Spalten 1, 14, 27.

325

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

2-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 3,06% und für die

3-jährige Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 3,21% ermittelt. 856

Bei dem unterstellten Neubestand von 200.000,00 Euro und dem unterstellten Mischungsverhältnis

von

5,00%

für

1-jährige-Kapitalverweildauer,

10,00%

für

2-jährige-Kapitalverweildauer und 85,00% für 3-jährige-Kapitalverweildauer entfallen • 10.000,00 Euro Teilvolumen auf die 1-jährige-Kapitalverweildauer,857 • 20.000,00 Euro Teilvolumen auf die 2-jährige-Kapitalverweildauer,858 • 170.000,00 Euro Teilvolumen auf die 3-jährige-Kapitalverweildauer. 859 Die entsprechenden Teilvolumina werden anschließend in Tilgungsschichten unterteilt: • 10.000,00 Euro Teilvolumen in 1 Tilgung a -10.000,00 Euro für die I-jährigeKapitalverweildauer ,860 • 20.000,00 Euro Teilvolumen in 2 Tilgungen a -10.000,00 Euro für die 2-jährigeKapitalverweildauer ,861 • 170.000,00 Euro Teilvolumen in 3 Tilgungen a -56.666,67 Euro für die 3-jährigeKapitalverweildauer .862 Das in Abb. 4.151 auf der vorherigen Seite dargestellte Gleichungsmodell zeigt desweiteren, daß sich drei Jahre nach dem Startzeitpunkt (30.06.86) der Methode der gleitenden Durchschnitte für den Altbestand der Zinsdurchschnitt je Kapitalverweildauer ausschließlich aus dem Mittelwert aktueller und historischer Zinssätze identischer Zinsfristen ergibt. 863 Im Ergebnis wird für die 1-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zins durchschnitt von 2,80%, für die 2-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 3,34% und für die 3-jährige Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 3,52% ermittelt. 864 Bei dem unterstellten Altbestand von 1.000.000,00 Euro und dem unterstellten Mischungsverhältnis von 5,00% für 1-jährige-Kapitalverweildauer, 10,00% für 2-jährigeKapitalverweildauer und 85,00% für 3-jährige-Kapitalverweildauer entfallen

856Vgl. 857Vgl. 858Vgl. 859Vgl. 860Vgl. 861Vgl. 862Vgl. 863Vgl. 864Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.151 4.151 4.151 4.151 4.151 4.151 4.151 4.151 4.151

auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der auf der

vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen

Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite

Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau:

Neubestand Spalten 4,17,30. Neubestand Spalte 8. Neubestand Spalte 21. Neubestand Spalte 34. Neubestand Spalten 8, 11, 13. Neubestand Spalten 21,24,26. Neubestand Spalten 34, 37, 39. Altbestand Spalten 1, 14, 27. Altbestand Spalten 4, 17, 30.

Gesamtergebnisrechnung

326

• 50.000,00 Euro Teilvolumen auf die I-jährige-Kapitalverweildauer,865 • 100.000,00 Euro Teilvolumen auf die 2-jährige-Kapitalverweildauer,866 • 850.000,00 Euro Teilvolumen auf die 3-jährige-Kapitalverweildauer.867 Die entsprechenden Teilvolumina werden anschließend in Tilgungsschichten unterteilt: • 50.000,00 Euro Teilvolumen in 1 Tilgung a -50.000,00 Euro für die I-jährigeKapitalverweildauer ,868 • 100.000,00 Euro Teilvolumen in 2 Tilgungen a -50.000,00 Euro für die 2-jährigeKapitalverweildauer ,869 • 850.000,00 Euro Teilvolumen in 3 Tilgungen a -283.333,33 Euro für die 3-jährigeKapitalverweildauer .870 Nach getrennter Berechnung der Tilgungsschichten je Kapitalverweildauer für den Altbestand und für den Neubestand werden diese nunmehr addiert, um die Tilgungsschichten je Kapitalverweildauer des Gesamtbestandes zu erhalten: 871 • 1 Tilgung a -60.000,00 Euro für die I-jährige-Kapitalverweildauer,872 • 2 Tilgungen a -60.000,00 Euro für die 2-jährige-Kapitalverweildauer,873 • 3 Tilgungen a -340.000,00 Euro für die 3-jährige-Kapitalverweildauer.874 Außerdem wird der gleitende Zinsdurchschnitt je Kapitalverweildauer für den Gesamtbestand als tilgungsgewichteter Mittelwert der gleitenden Zinsdurchschnitte je Kapitalverweildauer des Alt- und Neubestandes ermittelt. Im Ergebnis wird für die I-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 2,80%, für die 2-jährige-Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 3,29% und für die 3-jährige Kapitalverweildauer ein gleitender Zinsdurchschnitt von 3,47% für den Gesamt-

bestand berechnet. 875

Nach Berechnung der Tilgungsschichten kann gemäß Tab. 4.110 auf der nächsten Seite folgender fiktiver Tilgungszahlungsstrom (Tilgungsfiktion) des Gesamtbestandes abgeleitet werden. 865Vgl. 866Vgl. 867Vgl. 868Vgl. 869Vgl. 870Vgl. 871 Vgl. 872Vgl. 873Vgl. 874Vgl. 875Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.151 4.151 4.151 4.151 4.151 4.151 4.151 4.151 4.151 4.151 4.151

auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite auf Seite

324 324 324 324 324 324 324 324 324 324 324

Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau: Tilgungstableau:

Altbestand Spalte 8. Altbestand Spalte 21. Altbestand Spalte 34. Altbestand Spalten 8, 11, 13. Altbestand Spalten 21, 24, 26. Altbestand Spalten 34,37, 39. Gesamtbestand Spalten 6, 13,20. Gesamtbestand Spalte 6. Gesamtbestand Spalte 13. Gesamtbestand Spalte 20. Gesamtbestand Spalten 7, 14, 21.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung I-jährige Kapitalverweildauer Tilgung 30.03.90 -60.000,00 Euro 30.03.91 0,00 Euro 30.03.92 0,00 Euro I - 60.000,00 Euro Summe Zinsdurchschnitt 2,80% Datum

I

327

2-jährige Kapitalverweildauer Tilgung -60.000,00 Euro -60.000,00 Euro 0,00 Euro I - 120.000,00 Euro 3,29%

I

3-jährige Kapitalverweildauer Tilgung -340.000,00 Euro -340.000,00 Euro -340.000,00 Euro I - 1.020.000,00 Euro 3,47%

I

Summe Tilgung -460.000,00 Euro -400.000,00 Euro -340.000,00 Euro I -1.200.000,00 Euro

I

I

I

Tabelle 4.110: Tilgungsfiktion am 30.03.89 Abb. 4.152 zeigt im Rahmen der Konstruktion eines synthetischen Floaters als zweiten Schritt die Berechnung des gleitenden Opportunitätszinses auf Basis des in Tab. 4.110 dargestellten fiktiven Tilgungszahlungsstroms sowie - daraus ableitend - die Berechnung des fiktiven Kunden-Zahlungsstroms. ~

1 Datum

Tilgung (Euro]

31103.89 3J.03.00 3J.03.91 3J.03.92

L

17 17 - 26 Anfangskapital! -linssaldo IEuro] 0,00 1.200.000,00 740.000,00 340.oo0.m

2,80 U -1 68ooo.m I

-6O.ooo.m U

Produkt (Euro] " [1\] (4): -168.000,00 I

-

18 S Zinstage

0 ,00 360,00 360 ,00 360 ,00

S

IT_] P P P P

360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00 P Effektivlins

Tilgung [Euro]

-

10

9 S

[Euro] ' ['110]

Tilgung

S

IEurol

Zinsdurchschnitt ['110]

l' = 9 " '0 S

Zins

S Hundert S

2,00 2,00 2,00 2,00 2.m

I I I I P

100 100 100 100

P P P P

Zins IEuro] 0,00 24.000,00 14.800,00 6.800,00

S

I I I I

24 - 1 + 5 + 9

25 - 24 - 23

Tilgung

Zahlungsstrom

[Euro] 1.200.000,00 -460.000 ,00 -400.000 ,00 -340.000,00

S

[Euro] U 1.200.000,00 I -484.000.00 -414.800,00 I I -346.800.00

Tilgungsprodukt

S

[Euro] ' [%]

-197.350,00 I -197.350,00 I

23-17"20" 21 / 22

22

['110] 0,00 I 1,00 I 1,00 I 1,00 I p .•. [1\]:

Tilgungsprodukt

3,47 U -340000 ,00 U 3,47 U -340.000 ,00 U 3,47 U -340.000 ,00 U L Produkt [Euro] " (1\[ (12) : Produkt (Euro] " [1\] (8): -394.7oo.m I L L Produkte (Euro] " [1\] (13 = 4 + 8 + 12): Sp.lVolumen [Euro] (14): Minus Eins (15): Gleitender Opportunitä1slins p.•. [1\] (16 - 13 / 14 " 15): 3,29 U 3,29 U

-6O.ooo.m U -60.000 ,00 U

L

7 - 5"6

ZinsS durch- S schnitt ['!Io]

21

20 - 18 / 19

S Jahres- S Zinstagequotient basis

IT_] P I I I

19

r---s-

5

3 - 1"2

ZinsTilgungsS S durch- S produkt schnitt IEurol ' I'IIo] 1'1101

-1 .179.988,89 -1 .179.988,89 -1 .179.988,89 -3.539.966,67 -4102.666,67 1.200.000,00 -1 3,42

26 = 17 S

I I I I

+

I I I I I U P I

24

Endkapitall -llnssaldo [Euro] 1.200.000 ,00 740.000,00 340.000 ,00 0,00

S

I I I I

Abb. 4.152: Opportunitätszins- und Zahlungsstromberechnung am 30.03.89 Im Ergebnis beträgt der gleitende (durchschnittliche) Opportunitätszins nunmehr 3,42% p.a. 876 Unter Annahme eines geschäftspolitisch festgelegten Effektivzinses von 2,00% p.a., beträgt die Zinsmarge demnach 1,42% p.a. 877 Das Rechenbeispiel der Abb. 4.152 zeigt desweiteren die Berechnung des KundenZahlungsstroms unter Annahme des in Tab. 4.110 dargestellten Tilgungszahlungsstroms sowie unter Annahme des unterstellten Effektivzinses von 2,00% p.a. 878 Der berechnete Kunden-Zahlungsstrom wird noch einmal isoliert in Tab. 4.111 auf der nächsten Seite dargestellt. 876Ygl. Abb. 4.152 Spalte 16. 877Ygl. Kapitel 4.2.1.2.2.2 auf Seite 242. 878 Ygl. Abb. 4.152 Spalten 21, 24, 25.

328

Gesamtergebnisrechnung Datum

30.03.89 30.03.90 30.03.91 30.03.92

Zahlung

1.200.000,00 -484.000,00 -414.800,00 -346.800,00

Euro Euro Euro Euro

Tabelle 4.111: Kunden-Zahlungsstrom am 30.03.89 Nach erfolgter Konstruktion eines synthetischen Floaters - mit den Konstruktionselementen Kunden-Zahlungsstrom, Effektiv- und Opportunitätszins - kann dieser auf Basis des Verfahrens der strukurkongruenten Refinanzierung879 bewertet werden. Die bisherigen Ausführungen haben gezeigt, wie bei einem Volumenszuwachs der Opportunitätszins um den Effekt des Volumenszuwachses zu korrigieren ist. Im angenommenen Rechenbeispiel dauert es - wegen der unterstellten dreijährigen Kapitalverweildauer des Kapitalzuwachses - drei Jahre bis der gleitende Zinsdurchschnitt je Kapitalverweildauer wieder auf der Basis aktueller und historischer Zinssätze identischer Zinsfristen berechnet wird. 88o Für einen Volumensabbau bzw. generell für kontinuierliche Veränderungen des Produktvolumens gilt die analoge finanzmathematische Vorgehensweise. 881 4.2.1.4.1.3 Kalkulation von Einzelgeschäften Die bisherigen Ausführungen der

Kapitel 4.2.1.4.1.1 auf Seite 314 und 4.2.1.4.1.2 auf Seite 323 waren ausschließlich auf das Gesamtvolumen eines Produktes ausgerichtet. Für die Einzelgeschäftskalkulation kann kundenindividuell ein fiktiver Tilgungs- und Zahlungsstrom geschätzt werden und der Opportunitätszins nach den vorab beschriebenen Grundsätzen festgelegt werden. Der Opportunitätszins wird hierbei über die gesamte Haltedauer des Einzelgeschäftes konstant gehalten. Anschließend ist eine strukturkongruente Bewertung des Einzelgeschäftes ohne Probleme möglich. Im folgenden wird an einem einfachen Rechenbeispiel der Nachweis dieser Vorgehensweise erbracht. Ein Kunde wünscht am 30.09.00 ein variables Darlehen in Höhe von 95.000,00 Euro für eine Haltedauer von 540 Tagen. Das Finanz-/Kreditinstitut schätzt den in Tab. 4.112 auf der nächsten Seite dargestellten Zahlungsstrom.

879Ygl. Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111. 880Ygl. Abb. 4.149 auf Seite 320 und folgende Erläuterungen. 881 Die beschriebene Korrektur des Opportunitätszinses um den Effekt eines Yolumensabbaus versagt natürlich, wenn das Produktvolumen vollständig abgebaut wird, da dann keine Tilgungsschichten zur Bewertung mehr vorliegen. In diesem Fall muß mit Yorfälligkeitsentschädigungen (vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.8 auf Seite 171) gearbeitet werden.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

329 Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.112: Zahlungsstrom Zur Berechnung des Gegenwart-Kapitalwertes auf Basis der strukturkongruenten Refinanzierung882 wird ein gleitender Opportunitätszins nach den in den Kapiteln 4.2.1.4.1.1 auf Seite 314 und 4.2.1.4.1.2 auf Seite 323 beschriebenen Grundsätzen berechnet. Dieser Opportunitätszins sei am Bewertungszeitpunkt 6,00%. Abb. 4.153 zeigt die Berechnung des Gegenwart-Kapitalwertes. 4

1 Datum

Marktwert S

(Euro) 30.03.02 87 .307,08 7.547,17 30 .09 .01 5.224,07 30.03.01 30.09.00 -95.000,00 5.078,31 5.078,31 Max!

V V V V I

Z

5 = 130.03.02

6

7 = 1 *4 7=1*4+5*6

Zins. S Zins· S Zahlungsstrom S S Marktwert quotient faktor (Euro) (Euro) 92.545,50 N 1,0600 U 8.000,00 N 1,0600 U 8.000,00 N 0,0300 U 1,0300 U 87.307,08 I -95.000,00 N 1,0000 U : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb. 4.153: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes Als Refinanzierungsergebnis des in Abb. 4.153 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein Kapitalwert von 5.078,31 EurO. 883

4.2.1.4.2 Das Elastizitätskonzept Das Elastizitätskonzept,884 welches ursprünglich zur Steuerung des Zinsänderungsrisikos entwickelt wurde,885 basiert auf der Anwendung eines Simulationsmodells. Im Mittelpunkt des Simulationsmodells steht die Frage, wie der produktbezogene Effektivzins von Kundengeschäften auf produktbezogene Geld-jKapitalmarktzins-Änderungen der strukturkongruenten Gegengeschäfte reagiert. Diese Reagibilität von produktbezogenen Effektivzinsen auf Änderungen des Geld-jKapitalmarktzins-Niveaus ist durch die Kennzahl Zins anpassungs elastizität oder kurz Zins elastizität quantifizierbar. Sie stellt einen Differenzenquotienten dar, der eine absolute Effektivzins-Änderung eines Produktes bezogen auf eine absolute Geld-jKapitalmarktzins-Änderung identischer Haltedauer ins Verhältnis setzt: 886 Zinselastizität 882 Vgl. 883Vgl. 884Vgl. 885Vgl. 886Vgl.

Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Abb. 4.153 Spalte 3.

[87J [83J

[106, S. 26

ff.J

=

ßEffe~tivzins. ß Geld- jKapItalmarktzms

330

Gesamtergebnisrechnung

Eine Zinselastizität von 0,8 bedeutet beispielsweise, daß der Effektivzins bei einem (einer) Geld-jKapitalmarktzins-Anstieg (-senkung) von 1,00% um 0,80% ansteigt (sinkt). Folglich ermöglicht die Kennzahl Zinselastizität eine klare Trennung zwischen einem deterministischen Festzins-Zahlungsstrom und einem stochastischen variablen Zahlungsstrom: • Der Festzins-Zahlungsstrom hat eine Zinselastizität von Null . • Dagegen weist der variable Zahlungsstrom eine Zinselastizität zwischen Null und Eins auf. Aus diesen Überlegungen läßt sich ein elastizitätsorientierter Opportunitätszins konstruieren, der als Mischzins sowohl Bestandteile eines Festzinses als auch eines variablen Zinses enthält. Das Zins-Mischungsverhältnis bestimmt die jeweils zugrunde liegende Produkt-Elastizität. Ein Kreditgeschäft mit einer Zinselastizität von 0,6 wäre beispielsweise zu 60,00% mit variablen Zinsen und zu 40,00% mit festen Zinsen strukturkongruent zu refinanzieren. Änderungen des allgemeinen Geld-jKapitalmarktzinsniveaus wirken sich dementsprechend nur im variablen Anteil des Opportunitätszinses aus. Folglich kann die Zinsmarge konstant gehalten werden, wenn der produktbezogene Effektivzins des Kundengeschäftes elastizitätskonform an Opportunitätszinsänderungen angepaßt wird.

Im Ergebnis ist ein Opportunitätszins konstruiert, der die Zinsmarge bei konstanter Elastizität gegen Änderungen der Geld- jKapitalmarktzinsen vollständig immunisiert. Die Konstruktion eines elastizitätskonformen Opportunitätszinses bedingt folgende Konstruktionsschritte: Zunächst wird auf Basis einer Tilgungsfiktion sowie auf Basis eines festgesetzten Effektivzinses ein Kunden-Zahlungsstrom abgeleitet. Anschließend wird auf Grundlage der unterstellten Tilgungsfiktion, der empirisch beobachtbaren Zinselastizität sowie auf Grundlage aktueller Geld- jKapitalmarktzinsen zum einem ein Gegen-Zahlungsstrom mit fest verzinslichem Tilgungsanteil und zum anderen ein Gegen-Zahlungsstrom mit variabel verzinslichem Tilgungsanteil berechnet. Letztlich werden der Kunden-Zahlungsstrom, der Gegen-Zahlungsstrom mit fest verzinslichem Tilgungsanteil sowie der Gegen-Zahlungsstrom mit variabel verzinslichem Tilgungsanteil addiert. Als Ergebnis werden Perioden-Kapitalwerte ausgewiesen, die strukturkongruent refinanziert in einen Gegenwart-Kapitalwert überführt werden können. 887 Im folgenden wird diese Vorgehensweise an einem Rechenbeispiel ausführlich erläutert. Als erster Schritt ist der Kunden-Zahlungsstrom - beispielhaft für den Bewertungszeitpunkt 30.03.86 - zu bestimmen. Dazu wird ein Sparbuch über 1.000.000,00 Euro mit einem Effektivzins von 2,00% p.a. betrachtet. Desweiteren wird hinsichtlich der Kapitalverweildauer angenommen, daß nach erfolgter Einzahlung 30% des Sparvolumens nach einem Jahr, weitere 30% nach zwei Jahren und schließlich 40% nach drei Jahren zurückgezahlt werden (sogenannte Tilgungsfiktion). Am Geld-jKapitalmarkt möge am 887Vgl. Kapitel 4.2.1.2.3 auf Seite 264.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

331

Bewertungszeitpunkt 30.03.86 folgende Zinsstruktur feststehen: 2,55% für 1-Jahres-Geld, 3,25% für 2-Jahres-Geld, 3,41% für 3-Jahres-Geld. Mit der unterstellten Datenbasis - Effektivzins, Kapitalverweildauer , Sparvolumen, Zinsstruktur - kann der folgende Kunden-Zahlungsstrom gemäß Abb. 4.154 errechnet werden.

Datum 30.03.86 30.03.87 30.03.88 30.03.89

1 1 - 10 Anfangskaphall -zl_Ido [Euro) 0,00 1.000.000 ,00 700.000,00 400.000,00

r--

2

r---3

4- 2/3

-

r-6

5

1 - 1 * 4 *5 / 6

Zins- S Jahres- S ZllIIIIageS Zins S Hun- S S den quodent tage basls [TIIIIII)

P 0,00 P I 360,00 P I 360,00 P I 36O,ooP

IT_) 360,00 P 36O,ooP 360,00 P 360,00 P Effektivzins

S

IEuro)

~)

0,00 I 2,00 1,00 I 2,00 1,00 I 2,00 1,00 I 2,00 p_lI. [%): c1m

Zins

I I I I

J:

100 100 100 100

P P P P

0,00 20.000,00 14.000,00 8.000,00

I I I I

8

9 - 8-1

Tilgung

Zahlungsstrom

[Eur_ol 1.000.000,00 -300.000 ,00 -300.000,00 -400.000 ,00

S

10 - 1 + 1 + 9 S

(Euro) B 1.000.000 ,00 I U -320.000 ,00 I U -314.000,00 I U -408.000,00 I

Endkapltall S -zlnaaldo (Eurol 1.000.000 00 700.000,00 400.000 ,00 0,00

I I I I

Abb. 4.154: Kunden-Zahlungsstromberechnung am 30.03.86 Die in Abb. 4.154 unterstellte Tilgungsfiktion888 sowie der in Abb. 4.154 errechnete fiktive Kunden-Zahlungsstrom889 werden noch einmal isoliert in Tab. 4.113 dargestellt. Datum

30.03.86 30.03.87 30.03.88 30.03.89

Tilgung

1.000.000,00 -300.000,00 -300.000,00 -400.000,00

Euro Euro Euro Euro

Zahlung

1.000.000,00 -320.000,00 -314.000,00 -408.000,00

Euro Euro Euro Euro

Tabelle 4.113: Tilgungsfiktion und Kunden-Zahlungsstrom am 30.03.86 Nach Kenntnis des Kunden-Zahlungsstroms ist als zweiter Schritt sowohl der GegenZahlungsstrom mit fest verzinslichem Tilgungsanteil als auch der Gegen-Zahlungsstrom mit variabel verzinslichem Tilgungsanteil zu bestimmen. Dazu wird zunächst der in Tab. 4.113 dargestellte fiktive Tilgungsstrom in einen fest verzinslichen Anteil und in einen variabel verzinslichen Anteil gemäß Tab. 4.114 auf der nächsten Seite aufgespalten. Als Aufspaltungskriterium wird eine empirisch beobachtbare Zinselastizität von 0,60 unterstellt.

888Vgl. Abb. 4.154 Spalte 8. 889Vgl. Abb. 4.154 Spalte 9.

332

Gesamtergebnisrechnung Elastizität 0,6 Datum 30.03.87 30.03.88 30.03.89 I Summe

Festzinsanteil 0,4 Tilgung -120.000,00 Euro -120.000,00 Euro -160.000,00 Euro I -400.000,00 Euro

Variabler Zinsanteil 0,6 Tilgung -180.000,00 Euro -180.000,00 Euro -240.000,00 Euro I -600.000,00 Euro

Gesamt 1,0 Tilgung -300.000,00 Euro -300.000,00 Euro -400.000,00 Euro I -1.000.000,00 Euro

I

Tabelle 4.114: Elastizitätskonforme Tilgungsfiktion am 30.03.86 Nach Aufspaltung des fiktiven Tilgungsstroms in einen fest verzinslichen Anteil und in einen variabel verzinslichen Anteil werden auf Grundlage entsprechender Geld-jKapitalmarktzinsen die jeweiligen Gegen-Zahlungsströme berechnet. Bei der Berechnung des Gegen-Zahlungsstroms mit fest verzinslichem Tilgungsanteil ist zu berücksichtigen, daß die in Tab. 4.114 unterstellte Tilgungsfiktion eine 1-jährige Kapitalverweildauer, eine 2-jährige Kapitalverweildauer sowie eine 3-jährige Kapitalverweildauer beinhaltet. Demnach wird der 40%-ige fest verzinsliche Tilgungsanteil mit den drei folgenden Tranchen refinanziert: • 120.000,00 Euro Tilgung zu 2,55% Geld-jKapitalmarktzins für die 1-jährige Kapitalverweildauer , • 120.000,00 Euro Tilgung zu 3,25% Geld-jKapitalmarktzins für die 2-jährige Kapitalverweildauer , • 160.000,00 Euro Tilgung zu 3,41% Geld-jKapitalmarktzins für die 3-jährige Kapitalverweildauer . Der verbleibende variabel verzinsliche Tilgungsanteil wird entsprechend der Elastizitätsvorgabe variabel refinanziert, wobei aus Vereinfachungs- und abbildungstechnischen Darstellungsgründen die Refinanzierung mit revolvierendem 1-Jahres-Geld durchgeführt wird. 8g0 Abb. 4.155 auf der nächsten Seite zeigt den bisherigen Erläuterungen folgend die Berechnung des Gegen-Zahlungsstroms mit fest verzinslichem Tilgungsanteils, die Berechnung des Gegen-Zahlungsstroms mit variabel verzinslichem Tilgungsanteils sowie die Addition der beiden anteiligen Gegen-Zahlungsströme zu einem Gegen-Zahlungsstrom mit gesamt verzinslichem Tilgungsanteil.

8901n der Konditionierungspraxis von Finanz-/Kreditinstituten wird meist eine revolvierende monatliche Zinsanpassung durchgeführt.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

333

GeAen ·ZahlunAsstromtableau' Fest ver2inslicher TilAunAsanteil

,

Datum

TIlgung

S

IEuro) 30 .03.86 30.03.86 30.03.86 30.03.86

400.000 ,00 -120.000,00 -120.000,00 -160.000,00

3

•

2-jlihrige Kapital, verweIldauer Zinsfaktorl -quotient

3.jährlge Kapital, S verweildauer S Zinsfaktorl -quotient

2 ' ,jährige Kapital, verweildauer Zinsfaktorl -quotient

U U U U

S

1,02550 U 0,03250 U 0,03410 U

1,03250 U 0,03410 U

1,03410 U

5- ' 5- ' "2 5 = ' " 2+' "3 5 - ' * 2+' * 3+' * . Gegen , Zahlungsstrom

Datum

S

IEwo) 30.03.86 30.03.87 30.03.88 30.03.89

400.000,00 -123.060,00 -127.800,00 -176.368,00

A A A A

Gegen-Za hlungsstromtableau: Gesamt verZinslicher TIlgungsanteil

Ge Aen ·ZahlunAsstromtableau' Variabel ver2inslicher TilAunAsanteil Datum 30.03 .86 30.03.87 30.03.88 30.03 .89

, - '0 Anfangskapital! S -zinssaldo IEwo) 0,00 600.000,00 420.000,00 240.000,00

Zins

0,00 15.300,00 10.710,00 6.120,00

0,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

Tilgung

S

IEwo) I I I I

Jahresbasis

600.000 ,00 -180 .000,00 -180.000,00 -240.000,00

S

IT_)

8

S

(Euro) 3O.D3.86 30.03.87 30 .03.88 30.03.89

3

S

IT_I

P I I I

7- ' *. *5/6

Datum

2 Zinstage

360,00 360,00 360,00 360,00

4- 2/3 Zinstagequotient

P P P P

0,00 1,00 1,00 1,00

5

S

U U U U

600.000,00 -195.300,00 -190.710,00 -246.120,00

S

S

Hundert

1%1 I I I I

' -jähriger Geld ./Kapitalmarktzins [%[:

9 - 8 -7 GegenZahlungsstrom (Euro)

6

Zins 2,55 2,55 2,55 2,55 2,55

I I I I U

100 100 100 100

P P P P

'0 - , + 7 + 9

S

Endkapital! -zinssaldo

S

IEwo) A A A A

600.000,00 420.000.00 240.000,00 0,00

I I I I

Gegen-Za hlungsstromtableau: Gesamt verZinslicher TIlgungsanteIl

,

GeAen ·ZahlunAsstromtableau' Gesamt ver2inslicher TilAunAsanteil

Datum

30.03.86 30 .03.87 30.03.88 30.03.89

2 3 - '+2 Gegen , GegenGegen Zahlungsstrom: Zahlungsstrom: Zahlungsstrom: S S S Fester Variabler Gesamter TIlgungsanteil Tilgungsanteil Tilgungsanteil (Euro) (Eurol IEwol 400.000 ,00 -123.060,00 -127.800,00 -176.368,00

E E E E

600.000 ,00 -195.300,00 -190.710,00 -246.120,00

E E E E

1.000.000,00 -318.360,00 -318.510,00 -422.488,00

I I I I

Gegen-Zahlung sstromtableau: Fest verZinslicher Tdgungsantell Gegen-Zahlungsstromtableau: Variabel verzinslicher Tilgungsanteil

Abb. 4.155: Gegen-Zahlungsstromberechnung am 30.03.86 Der in Abb. 4.155 berechnete Gegen-Zahlungsstrom mit gesamt verzinslichem Tilgungsanteil891 - im folgenden nur Gegen-Zahlungsstrom genannt - wird noch einmal isoliert in Tab. 4.115 auf der nächsten Seite dargestellt.

891 Vgl.

Abb, 4,155 Gegen-Zahlungsstromtableau: Gesamt verzinslicher Tilgungsanteil Spalte 3,

334

Gesamtergebnisrechnung Datum

30.03.86 30.03.87 30.03.88 30.03.89

Zahlung

1.000.000,00 -318.360,00 -318.510,00 -422.488,00

Euro Euro Euro Euro

Tabelle 4.115: Gegen-Zahlungsstrom am 30.03.86 Nach Kenntnis des Kunden-Zahlungsstroms und des Gegen-Zahlungsstroms sind als dritter Schritt die Perioden-Kapitalwerte zu bestimmen und auf den Bewertungszeitpunkt 30.03.86 strukturkongruent abzuzinsen. 892 Abb. 4.156 zeigt die Berechnungsmethodik. VerrentunQstableau

1 Datum 30.03.86 30.0387 30.03.88 30.03.89

Kunden · Zahlungsstrom (EUro) 1.000.000 ,00 -320.000,00 -314 .000,00 -408. 000 ,00

2 S B U U U

Gegen. Zahlungsstrom (Euro) 1.000.000,00 -318 .360,00 -318.510,00 -422.488,00

3 - 1 ·2 S

B U U U

Perioden· Kapitalwert (EUro) 0,00 ·1.640,00 4.510,00 14.488 ,00

S

I I I I

Marktwerttableau 1 Datum 30.03.89 30.03.88 30.03.87 30.03.86

Max!

Marktwert (Euro) 14.010,25 3.905,33 ·2.188,86 0,00 15.726,72 15.726,72

4 S

Zins. faktor

6

5 a 130.03.89 S

Marktwert

S

(Euro)

V 1,0341 U V 1,0325 U 14.010,25 I 1,0255 U 14.010,25 I V V 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.03.86 [Euro) Z : (3 = 2) Kapitalwert 30.03.86 [Euro)

7 - 130.03.88

8

Zins· S Marktwert S Zinsquotient quotient (Euro) 0,0341 U 0,0341 U

3.905,33

0,0325 U

9 = 1*4 9 - 1*4+5*6 9 - 1*4+5*6+7*8 Perloden-Kapitalwert S (EUro) 14.488,00 4.510,00 -1.640,00 0,00

N N N N

Abb. 4.156: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes am 30.03.86 Als Bewertungsergebnis beträgt der Gegenwart-Kapitalwert 15.726,72 Euro am 30.03.86. 893 Ein Jahr später, d. h. am 30.03.87, wird ein Anstieg des kurzfristigen 1-JahresZinssatzes von 2,55% um 0,25% auf 2,80% unterstellt. Die Zinssätze für 2-Jahres-Geld und 3-Jahres-Geld bleiben konstant. Die Steigerung des 1-Jahres-Zinssatzes bedingt zwingend ein Zinsanpassungsverhalten des Kredit-/Finanzinstitutes, um den am Bewertungszeitpunkt 30.03.86 bereits vereinnahmten Gegenwart-Kapitalwert nachträglich nicht zu verändern. Das Zinsanpassungsverhalten wird durch Anwendung der konstanten Zinselastizität von 0,60 auf den Effektivzins bestimmt:

892Vgl. Kapitel 4.2.1.2.3 auf Seite 264. 893Vgl. Abb. 4.156 Marktwerttableau Spalte 3.

335

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

ß Effektivzins (0,15%) = ß 1-Jahres-Zins (0,25%) * Zinselastizität(O, 6) Demnach ist der Effektivzins von 2,00% p.a. um 0,15% p.a. auf 2,15% p.a. am Zahlungszeitpunkt 30.03.87 zu erhöhen. Abschließend wird im folgenden der finanzmathematische Nachweis erbracht, daß das Elastizitätskonzept unter Annahme einer konstanten Zinselastizität das Zinsänderungsrisiko eleminiert und somit den ursprünglich vereinnahmten Gegenwart-Kapitalwert nicht verändert. Dazu wird das bisherige Rechenbeispiel weitergeführt. Die Erhöhung des Effektivzinses von 2,00% p.a. um 0,15% p.a. auf 2,15% p.a. am Zahlungszeitpunkt 30.03.87 führt zu einer Veränderung des variablen KundenZahlungsstroms. Die Berechnung des veränderten Kunden-Zahlungsstroms zeigt Abb.4.157.

Datum 30.03.86 30.03.87 30.03.88 30.03 .89

1 1 - 10 Anfangskapital/ -zinssaldo [Euro! 0,00 1.000000,00 700.000,00 400.000.00

-

2

r--3

.---

7- 1· 4" 5/6

6

5

4- 2/3

ZIns- S Jahres- S Zlnstage- S Effektlv- S Hun- S S dert zins p.a. quotient basls tage [Tage! P 0,00 P I 360,00 P I 360,00 P I 360,00 P

[%!

[Tage! 360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

0,00 1,00 1,00 1,00

I I I I

2,00 2,00 2,15 2,15

Zins

S

100 100 100 100

0,00 P P 20 .000,00 P 15.050,00 P 8.600,00

9 - 8 -7

TIlgung

Zahlungsstrom

S

I I I I

1.000.000 ,00 -300000,00 -300.000,00 -400.000,00

10 - 1+7+9 S

Endkapitall S -zinssaldo

[Euro!

(Euro!

B 1.000.000,00 I U -320000,00 I U -315.050,00 I U -408.600.00 I

1.000.000,00 700.000 ,00 400.000 ,00 0,00

[Euro!

[Euro! P P P P

8

I I I I

Abb. 4.157: Kunden-Zahlungsstromberechnung am 30.03.87 Abb. 4.157 zeigt, daß ab dem Zahlungszeitpunkt 30.03.87 der Effektivzins von 2,00% p.a. auf 2,15% p.a. erhöht und somit der ursprüngliche Zahlungsstrom (Stand: 30.06.86) verändert wurde. 894 Der in Abb. 4.157 unterstellte fiktive Tilgungsstrom,895 der in Abb. 4.157 errechnete veränderte Kunden-Zahlungsstrom (Stand: 30.03.1987)896 sowie der in Abb. 4.154 auf Seite 331 errechnete ursprüngliche Kunden-Zahlungsstrom (Stand: 30.03.1986)897 werden noch einmal isoliert in Tab. 4.116 auf der nächsten Seite dargestellt.

894 Vgl. 895Vgl. 896Vgl. 897Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

4.157 4.157 4.157 4.154

Spalten 5, 9 im Vergleich zu Abb. 4.154 auf Seite 331 Spalte 5, 9. Spalte 8. Spalte 9. auf Seite 331 Spalte 9.

336

Gesamtergebnisrechnung

Datum 30.03.86 30.03.87 30.03.88 30.03.89

Tilgung 1.000.000,00 -300.000,00 -300.000,00 -400.000,00

Euro Euro Euro Euro

Veränderte Zahlung Stand: 30.03.87 1.000.000,00 Euro -320.000,00 Euro -315.015,00 Euro -408.600,00 Euro

Ursprüngliche Zahlung Stand: 30.03.86 1.000.000,00 Euro -320.000,00 Euro -314.000,00 Euro -408.000,00 Euro

Tabelle 4.116: Tilgungsfiktion; veränderter Kunden-Zahlungsstrom (Stand: 30.03.87); ursprünglicher Kunden-Zahlungsstrom (Stand: 30.03.86) Die Erhöhung des kurzfristigen 1-Jahres-Zinssatzes von 2,55% um 0,25% auf 2,80% am Zahlungszeitpunkt 30.03.87 führt natürlich auch zu einer Änderung des GegenZahlungsstroms. Dabei ist zu beachten, daß der Gegen-Zahlungsstrom mit fest verzinslichem Tilgungsanteil von der Zinserhöhung nicht beeinflußt wird. Dagegen schlägt im Gegen-Zahlungsstrom mit variabel verzinslichem Tilgungsanteil die Zinserhöhung voll durch und erhöht die Refinanzierungs-Zinszahlungen ab dem Zahlungszeitpunkt 30.03.88. Abb. 4.158 auf der nächsten Seite zeigt dementsprechend die Berechnung des Gegen-Zahlungsstroms mit fest verzinslichem Tilgungsanteil, die Berechnung des Gegen-Zahlungsstroms mit variabel verzinslichem Tilgungsanteil sowie die Berechnung des gesamten Gegen-Zahlungsstroms.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

337

-

GeAen ZahlunAsstromtableau ' Fest verzinslicher TilAunAsanteii 1

Datum

TIlgung

S

[Eurol 30 .03.86 30.03.86 30.03.86 30.03.86

400.000 ,00 ·120.000,00 ·120.000,00 ·160.000,00

3

4

2-jahrlge Kapltalverweildauer Zinsfaktorl -quotient

3.jährlge KapitalS verweildauer S Zlnsfaktorl .quotient

2 1.jährige Kapital . verweildauer Zinsfaktorl -quotient

U U U U

S

1,02550 U 0,03250 U 0,03410 U

1,03250 U 0,03410 U

1,03410 U

5=1 5 - 1 *2 5 = 1 * 2.1 " 3 5 - 1 * 2.1 " 3.1 "4 Gegen. Zahlungsstrom

Datum

S

[Eurol 400.000,00 ·123.060,00 ·127.800,00 ·176.368,00

30.03.86 30.03.87 30.03.88 30.03.89

A A A A

Gegen·Zahlungsstromtableau: Gesamt verZinslicher Tdgungsantell

-

GeAen ZahlunAsstromtableau ' Variabel verzinslicher TilAunAsanteil Datum 30.03 .86 30 .03 .87 30.03 .88 30.03 .89

1 = 10 Anfangskapital! S ·zinssaldo [Eurol 0,00 600.000,00 420.000 ,00 240.000,00

.

Zins 0,00 15.300,00 11.760,00 6.720,00

0,00 360,00 360,00 360,00

Tilgung 600 .000,00 ·180.000,00 ·180.000,00 ·240.000,00

360,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

S

[Eurol I I I I

Jahresbasis

S

[Tagel

8 S

[Eurol 30.03 .86 30.03 .87 30.03 .88 30.03.89

3 S

[Tagel

P I I I

7=1 " 4 " 5 / 6

Datum

2 Zinstage

9 - 8·7 GegenZahlungs. strom [Eurol

U U U U

600.000 ,00 -195.300,00 -191.760,00 ·246.720,00

P P P P

0,00 1,00 1,00 1,00

10 - 1 .7 S

5 S 1.jähriger S Zins

4 - 213 Zlnstagequotient

+

I I I I

1'1101 2,55 2,55 2,80 2,80

P P P P

6 Hundert

S 100 100 100 100

P P P P

9

Endkapital! ·zinssaldo

S

IEurol A A A A

600.000,00 420.000,00 240.000,00 0,00

I I I I

Gegen-Zahlungsstromtableau: Gesamt verZinslicher TIlgungsanteil

GeAen-ZahlunAsstromtableau' Gesamt verzinslicher TilAunAsanteii

Datum

30 .03 .86 30 .03 .87 30 .03.88 30.03.89

3 - 1.2 2 1 Gegen. GegenGegenZahlungsstrom: Zahlungsstrom: Zahlungsstrom: S S S Gesamter Fester Variabler Tilgungsanteil Tilgungsanteil Tilgungsanteil [Eurol [Eurol [Eurol 400.000,00 ·123.060,00 ·127.800,00 ·176.368,00

E E E E

600.000 ,00 ·195.300,00 ·191 .760,00 ·246.720,00

E E E E

1.000000 ,00 -318 .360,00 ·319.560 ,00 ·423.088,00

I I I I

Gegen-Zahlungsstromtableau: Fest verZinslicher Ttlgungsantell Gegen-Zahlungsstromtableau: Variabel verzinslicher Tilgungsanteil

Abb. 4.158: Gegen-Zahlungsstromberechnung am 30.03.87 Das in Abb. 4.158 dargestellte Rechenbeispiel zeigt, daß ab dem Zeitpunkt 30.03.87 der I-jährige Geld-jKapitalmarktzins von 2,55% auf 2,80% lediglich für den GegenZahlungsstrom mit variabel verzinslichem Tilgungsanteil erhöht wurde. 898 Dagegen wird die Zinsänderung nicht auf den Gegen-Zahlungsstrom mit fest verzinslichem Tilgungsanteil übertragen. 899 Der in Abb. 4.158 errechnete veränderte Gegen-Zahlungsstrom (Stand: 30.03.87)900 898Vgl. Abb. 4.158 Gegen-Zahlungsstromtableau: Variabel verzinslicher Tilgungsanteil Spalte 5. 899Vgl. Abb. 4.158 Gegen-Zahlungsstromtableau: Fest verzinslicher Tilgungsanteil Spalten 2, 3, 4. 900Vgl. Abb. 4.158 Gegen-Zahlungsstromtabeau: Gesamt verzinslicher Tilgungsanteil Spalte 3.

338

Gesamtergebnisrechnung

sowie der in Abb. 4.155 auf Seite 333 errechnete ursprüngliche Gegen-Zahlungsstrom (Stand: 30.03.86)901 werden noch einmal isoliert in Tab. 4.117 dargestellt. Datum 30.03.86 30.03.87 30.03.88 30.03.89

Ursprüngliche Gegen-Zahlung Stand: 30.03.86 1.000.000,00 Euro -318.360,00 Euro -318.510,00 Euro -422.488,00 Euro

Veränderte Gegen-Zahlung Stand: 30.03.87 1.000.000,00 Euro -318.360,00 Euro -319.560,00 Euro -423.088,00 Euro

Tabelle 4.117: Veränderter Gegen-Zahlungsstrom (Stand: 30.03.87); ursprünglicher Gegen-Zahlungsstrom (Stand: 30.03.86) Nach Kenntnis des veränderten Gegen-Zahlungsstroms sind die Perioden-Kapitalwerte zu bestimmen und am 30.03.87 auf den ursprünglichen Gegenwart-Zeitpunkt 30.03.86 strukturkongruent abzuzinsen. 902 Abb. 4.159 zeigt die Berechnungsmethodik. Verrentungstableau

1

Datum 30.03.86 30.03.87 30.03.88 30.03.89

2

KundenGegenS Zahlungsstrom Zahlungsstrom (Eurol IEurol 1.000.000,00 -320 .000,00 -315 .050,00 -408. 600 ,00

B U U U

1.000.000,00 -318.360,00 -319.560,00 -423.088,00

3 - 1 -2

S

Perloden- S Kaphalwert (Eurol

B U U U

0,00 -1 .640,00 4.510,00 14.488,00

I I I I

Marktwerttableau

"

1 Datum

Marktwert IEurol

30.03.89 30.03.88 30.03.87 30.03.86

Ma x!

14.010,25 3.905,33 -2 .188,86 0,00 15.726,72 15.726,72

S

Zlnsfaktor

6

5 - 130 03.89 S

Marktwert

S

(Eurol

V 1,0341 U 14.010,25 I V 1,0325 U V 14.010,25 I 1,0255 U V 1,0000 U I : (2) 2 Ma rktwert 30.03.86 [Euro]

7 - 130.03.88

8

ZinsS Marktwert S Zinsquotient quotient IEurol 0,0341 U 0,0341 U

3.905,33

0,0325 U

9 - 1". 9 - 1 " .+5 " 6 9 - 1 " .+5 " 6+7"8 Perioden-Kapitalwert S (Eurol 14.488,00 4.510,00 -1 .640,00 0,00

N N N N

Z : ß = 2) Kapitalwert 30.03.86 [Euro]

Abb. 4.159: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes am 30.03.87 Als Bewertungsergebnis beträgt der Gegenwart-Kapitalwert 15.726,72 Euro am 30.03.86. 903

901Ygl. Abb. 4.155 auf Seite 333 Gegen-Zahlungsstromtableau: Gesamt verzinslicher Tilgungsanteil Spalte 3. 902Ygl. Kapitel 4.2.1.2.3 auf Seite 264. 903Ygl. Abb. 4.159 Marktwerttableau Spalte 3.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

339

Somit bleibt festzuhalten, daß das Elastizitätskonzept den am Bewertungszeitpunkt 30.03.86 einmal vereinnahmten Gegenwart-Kapitalwert von 15.726,72 Euro trotz kurzfristigen Zinsanstiegs des 1-Jahres-Geldes am 30.03.87 durch Annahme eines elast izitätsorientierten Zinsanpassungsverhaltens ex-post nicht verändert. 904 Zwingende Voraussetzung für die beispielhaft gezeigte Eliminierung des Zinsänderungsrisikos und somit einer im Zeitablauf konstanten Zinsmarge ist natürlich die Annahme einer konstanten Zinselastizität. Somit kann durch die im Elastizitätskonzept implizit enthaltene Zinselastizität ein eigentlich variabler Zahlungsstrom als fixer Zahlungsstrom abgebildet und abschließend strukturkonguent bewertet werden. Somit ist die Anwendung der Marktwertmethode auch bei variablen Zahlungsströmen möglich. 905 4.2.1.4.3 Der duale Ansatz in der Beitragsrechnung variabler Gelder

Der duale

Ansatz in der Beitragsrechnung variabler Gelder 906 beschreibt kein eigenständiges

Gleichungssystem zur Kalkulation variabler Zahlungsströme, sondern ergänzt die Methode der gleitenden Durchschnitte907 um eine verursachungsgerechte Zuordnung der im Rahmen der strukturkongruenten Refinanzierung ermittelbaren Perioden-Kapitaiwerte908 auf einzelne Verantwortungsbereiche eines Finanz-/Kreditinstitutes. Als Verantwortungsbereiche eines Finanz-/Kreditinstitutes werden zum einen der Bereich "Gesamtbankleitung" , zum anderen der Bereich "Profit-Center Zweigstellen" identifiziert. Die Identifikation dieser beiden Verantwortungsbereiche erfolgt auf Grundlage von zwei Arten von Risiken:

Kü nd igu ngsrisi ken Verantwortungsbereich" Gesamt bankleitung" Der Verantwortungsbereich "Gesamtbankleitung" ist zuständig für die Festlegung der Effektivzinsen oder Zinsmargen eines variablen Produktes. Folglich steuert dieser Bereich die Kündigungs- oder Rückzugsrisiken. Margen risi ken Verantwortungs bereich " Profit-Center Zweigstellen" Da der Verantwortungs bereich "Gesamtbankleitung" die Effektivzinsen oder Zinsmargen eines variablen Produktes bestimmt, verbleibt dem Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" nur ein begrenzter Entscheidungsspielraum, die Effektivzinsen oder Zinsmargen für "gute Kunden" durch Bonifikation zu verändern. Zusätzlich verantwortet der Bereich "Profit-Center Zweigstellen" die Zufriedenheit des Kunden für die Durchführung bestimmter Service-Dienstleistungen und bewirkt somit implizit, daß der Kunde die eingezahlten Gelder nicht frühzeitig abzieht. 904Vgl. Abb. 4.156 auf Seite 334 Marktwerttableau Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.159 auf der vorherigen Seite Marktwerttableau Spalte 3. 905Vgl. Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111. 906Vgl. [28] 907Vgl. Kapitel 4.2.1.4.1 auf Seite 314. 908Vgl. Kapitel 4.2.1.2.3 auf Seite 264.

Gesamtergebnisrechnung

340

Im folgenden wird die verursachungsorientierte Zuordnung eines Perioden-Kapitalwertes auf die genannten Verantwortungsbereiche beispielhaft erläutert. Dabei wird angenommenen, daß das Produkt Sparbuch für eine unterstellte I-Jahres-Periode einen Perioden-Kapitalwert von 4.000,00 Euro bei einem konstanten Sparvolumen von 1.000.000,00 Euro aufweist und der Effektivzins 2,00% p.a. beträgt. Zusätzlich wird unterstellt, daß der Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" zum einen das variable Produkt mit 0,10% p.a. bonifiziert, zum anderen ein Entgelt für erbrachte Dienstleistungen von 0,25% p.a. vom Verantwortungsbereich "Gesamtbankleitung" erhält. Außerdem wird eine vereinbarte oder juristische Produkt-Kündigungsfrist von 360 Tagen angenommen. Auf Grundlage dieser Datenbasis kann der Perioden-Kapitalwert, den der Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" erwirtschaftet, und der Perioden-Kapitalwert, den der Bereich "Gesamtbankleitung" zu verantworten hat, gemäß Abb. 4.160 quantifiziert werden. ServiceleistunAstableau 1 Sp"rvolumen

S

[Ewol

2 Entgelt für S Serviceleistungen p.a.

3 Hundert

S

("101

5

6 - 1"2/3 / 4"5

S Kündlgungs- S frist

Entgelt für Serviceleistungen

(Tagel

(Tagel

IE..-ol

360,00 P

100 P

0,25 P

1.000.000 ,00 U

4 Jahresbasis

S

2.500,00 A

360 ,00 P

Perloden-Kapitalwerttableau

Effektivzinstableau mit Bonifikation 2

1 Sparvolumen

S Effektivzins p.a.

(Ewol

3 S Bonifikation S p.".

5

6

S Jahresbasis S

Kündigungsfrist

(Tagel

(Tagel

1"101

("101

100 P

0,10 P

2,00 P

1.000.000.00 U

4 Hundert

S

360,00 P

360,00 P

7 = 1"(2+3)/ 415"6 Bonifizierter S Effektivzins p.a.

...

IEwol 21 .000,00 A Perloden-Kapitalwerttableau

Effektivzinstableau ohne Bonifikation 1 2 Sparvolumen S EffektIvzins p.a. S ["101 IE..-ol 1.000.000,00 U

3 Hundert

S

100 P

2,00 P

4 Jahresbasis (Tagel

5 S Haltedauer S (Tagel 360,00 P

6 - 1"213 14"5 EffektIvzins p.a. lE..-oJ 20 .000,00

360,00 U

SI

AI

Perloden-Kapitalwerttableau

Perioden-Kapitalwerttableau 1 Entgelt fur Serviceleistungen (EwoJ

S

2.500,00 E

2 Bonifizierter EffektIvzins p.a. (EwoJ

3 S

21.000.00 E

Effektlvzins p.a. IE..-ol

6-5 -4 4-1+3-2 5 Perioden-Kapitalwert PerlodenPerloden-Kaphalwert S Verantwortungsbereich S Kaphalwert S Verantwortungsbereich S Gesamtbanldeltung gesamt Profit-Center Zweigstellen (Ewol (EwoJ (E..-oJ

20.000,00 E

1.500,00 I

4.000,00 U

Serviceleistungstableau Effektiuzinstableau mit Bonifikation Effektivzinstableau ohne Bonifikation

Abb. 4.160: Dualer Ansatz in der Beitragsrechnung variabler Gelder

2.500,00 I

I

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

341

Aus dem in Abb. 4.160 auf der vorherigen Seite dargestellten Gleichungsmodell wird ersichtlich, daß sich der dem Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" zugeordnete Perioden-Kapitalwert in Höhe von 1.500,00 Euro aus dem Entgelt für Seviceleistungen von 2.500,00 Euro zuzüglich der Differenz zwischen dem festgelegten Effektivzins von 20.000,00 Euro und dem durch Bonifikation veränderten Effektivzins von 21.000,00 Euro zusammensetzt. 909 Das von dem Verantwortungsbereich "Gesamtbankleitung" dem Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" zugeordnete Entgelt für erbrachte Serviceleistungen berechnet sich aus einer volumenabhängigen fest vereinbarten Marge in Höhe von 0,25% p.a. Die Marge wird aber lediglich auf die Kündigungsfrist (Schwellenwert ) bezogen, da innerhalb dieser Frist kein Abrufrisiko besteht. 91o Die vom Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" zugestandene Bonifikation des vom Verantwortungsbereich "Gesamtbankleitung" festgelegten Effektivzinses führt zu einem negativen Ergebnisbeitrag, da die Bonifikation den ursprünglich vom Verantwortungsbereich "Gesamtbankleitung" festgelegten Effektivzins vermindert. Somit ist dem Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" dieser negative Bonifikationseffekt zuzuordnen. Im Rechenbeispiel der Abb. 4.160 auf der vorherigen Seite wird ein vom Verantwortungsbereich "Gesamtbankleitung" festgelegter Effektivzins von 20.000,00 Euro für die einjährige Haltedauer dem Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" gutgeschrieben. 911 Gleichzeitig wird der Verantwortungsbereich "ProfitCenter Zweigstellen" mit dem bonifizierten Effektivzins von 21.000,00 Euro belastet. Die Belastung bezieht sich aber nicht auf die Haltedauer sondern auf die Kündigungsfrist des Produktes, da der Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" nur bis Ablauf der Kündigungsfrist an die gewährte Bonifikation gebunden ist, falls er selbst gegenüber dem Kunden kündigt. 912 Nach Kenntnis des dem Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" zugeordneten Perioden-Kapitalwertes von 1.500,00 Euro913 ist der Ergebnisbeitrag des Verantwortungsbereiches "Gesamtbankleitung" zu bestimmen. Dieser ergibt sich als Residualgröße aus dem unterstellten gesamten Perioden-Kapitalwert von 4.000,00 Euro und dem Perioden-Kapitalwert von 1.500,00 Euro, der bereits dem Verantwortungsbereich "Profit-Center Zweigstellen" zugeordnet wurde. Die Residualgröße als dem Verantwortungsbereich "Gesamtbankleitung" zurechenbaren Perioden-Kapitalwert beträgt somit 2.500,00 Euro. 914 909Vgl. 91OVgl. 911 Vgl. 912Vgl. 913Vgl. 914Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.160 4.160 4.160 4.160 4.160 4.160

auf der auf der auf der auf der auf der auf der

vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen vorherigen

Seite Seite Seite Seite Seite Seite

Perioden-Kapitalwerttableau Spalte 4. Serviceleistungstableau Spalte 6. Effektivzinstableau ohne Bonifikation Spalte 6. Effektivzinstableau mit Bonifikation Spalte 7. Perioden-Kapitalwerttableau Spalte 4. Perioden-Kapitalwerttableau Spalte 6.

Gesamtergebnisrechnung

342

Festzuhalten bleibt, daß der duale Ansatz in der Beitragsrechnung variabler Produkte die Methode der gleitenden Durchschnitte um eine verantwortungsorientierte Aufteilung der Perioden-Kapitalwerte ergänzt. Die Kündigungs- und Margenrisiken werden erkennbar und damit die Verantwortungsbereiche klar abgegrenzt. 4.2.1.4.4 Der Optimal Values-Ansatz Der Optimal Values-Ansatz 915 beschreibt die

Konstruktion eines Portfoliomodells zur Gewährleistung zinsänderungsfreier Zinsmargen im Zeitablauf. Elemente dieses Portfoliomodells sind ausschließlich standardisierte Festzinsgeschäfte unterschiedlicher Haltedauer. Charakteristisches Merkmal des Portfoliomodells ist eine zeitlich konstante Portfoliozusammensetzung der Festzinsgeschäfte, da Umschichtungen innerhalb des Portfolios (beispielweise von 5- in lO-jährige Anleihen) nur unter Realisierung von Kursgewinnen oder -verlusten durchgeführt werden können, was wiederum zu nicht zinsänderungsfreien Zinsmargen führen würde. Um eine zeitlich konstante Portfoliozusammensetzung zu erzielen, wird im Portfoliomodell ein vom Kundenverhalten in der Vergangenheit abgeleitetes Trendvolumen unterstellt, und der jeweilige Überhang - als Differenz zwischen dem Trendvolumen und dem tatsächlichen Volumen einer aktuellen Periode - wird kurzfristig angelegt oder aufgenommen. Im folgenden wird die Konstruktion eines Portfoliomodells nach dem Optimal ValuesAnsatz in zwei Schritten beschrieben und anschließend ein variabler Zahlungsstrom auf Basis des Portfoliomodells kalkuliert. Die Konstruktion eines Portfoliomodells nach dem Optimal Values-Ansatz beginnt als erster Schritt mit der Berechnung von arithmetischen Mittelwerten vergangener Geld- jKapitalmarktzinsen. Dabei werden folgende vergangene Geld-jKapitalmarktzinsen unterstellt. Datum 30.03.97 30.03.98 30.03.99

1-Jahres-Zins 2,00% 2,10% 2,30%

2-J ahres-Zins 2,50% 2,60% 2,70%

3-Jahres-Zins 2,80% 3,00% 3,30%

Tabelle 4.118: Zinsstruktur Zusätzlich wird angenommen, daß das vom Kundenverhalten in der Vergangenheit abgeleitete aktuelle Trendvolumen durch einen mit Hilfe einer Regressionsanalyse916 bestimmten Trendparameter von 0,10 approximiert werden kann. Abb. 4.161 auf der nächsten Seite zeigt auf Basis der unterstellten Datenbasis die Berechnung von arithmetischen Mittelwerten vergangener Geld- jKapitalmarktzinsen. 915Vgl. [119] 916Vgl. [20, S. 139

ff.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

343

11 - 4 * 10 14 15 - 4 " 14 4 - EXP (1 "2) 6 10 2 7 - 4 "6 Trend. Gewichteter Gewichteter Gewichteter S parameter S S 1.Jahres. S 1.Jahres. S 2.Jahres. S 2.Jahres. S 3.Jahres. S 3.Jahres· S Datum V81W811· lambda Zins Zins Zins (negative Zins Zins Zins dauer Eingabe) IJahre) [%1 [%1 NI NI NI NI 1,85 1 2,07 1 0,74 1 2,00 U 1,48 1 2,50 U 2,80 U 30.03.97 3,00 U ·0,10 1 2,10 U 1,72 1 2,13 1 3,00 U 2,46 1 2,00 U ·0,10 1 0,82 1 2,60 U 30.03.98 0,90 1 2,30 U 2,08 1 2,70 U 2,44 1 3,30 U 2,99 1 30.03.99 1,00 U ·0,10 1 Trendparameter ß): ·0,10 U Summe Lambda (5): 2,461 1 Summe gewichteter 1.Jahres-Zins [%) (8): 5,28.1 1 Arithmetischer 1.Jahres.Mittelzins [%) (9 = 8 / 5): 2,141 1 Summe gewichteter 2.Jahres-Zins [%) (12): 6,421 1 Arithmetischer 2.Jahres·Mittelzins [%) (13 = 12 / 5): 2,61 1 1 Summe gewichteter 3.Jahres-Zins [%) (16): 7,521 1 Arithmetischer 3.Jahres·Mittelzins [%) (17 = 16 / 5): 3,051 1

1

Kapital .

Abb. 4.161: Konstruktion eines Portfoliomodells (I): Berechnung von arithmetischen Mittelwerten vergangener Geld-jKapitalmarktzinsen Für den unterstellten Fall eines positiven Trendparameters von 0,10 werden kürzer zurückliegende Zeitpunkte höher gewichtet als länger zurückliegende Zeitpunkte, da das Portfoliovolumen insgesamt ansteigt.917 Als Berechnungsergebnisse ergeben sich als (gewichtete) arithmetische Mittelzinsen 2,14% für 1-Jahres-Geld, 2,61% für 2-Jahres-Geld und 3,05% für 3-Jahres-Geld. 918 Nunmehr wird als zweiter Schritt die Konstruktion eines Portfoliomodells mit der Berechnung eines Opportunitätszinses zum Kalkulationszeitpunkt 30.03.2000 abgeschlossen. Dabei wird zusätzlich das Nachfrageverhalten der Kunden bzgl. eines variablen Produktes (Gesamtbestand), beispielhaft eines Passivproduktes, in zweifacher Weise approximiert. Zum einen wird auf Basis eines vergangenen Trendvolumens von 1.000.000,00 Euro für einen vorgegebenen Zeitraum von einem Jahr ein aktuell höheres Trendvolumen (positver Trendparameter von 0,10) erwartet. Zum anderen wird ein vom Trendvolumen kurzfristig abweichendes tatsächliches Produktvolumen von 1.200.000,00 Euro unterstellt. Zusätzlich wird zum Kalkulationszeitpunkt ein 1-Jahres-Zins von 2,40% unterstellt. Abb. 4.162 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung des Opportunitätszinses.

917Ygl. Abb. 4.161 Spalte 4 Lambda. 918ygl. Abb. 4.161 Spalten 9, 13, 17.

Gesamtergebnisrechnung

344

1 5=1*2 / 4 2 4 Zinsbindungs- Arithmetischer S PortfolioGewichteter S Hundert S S frist Mittelzins anteil Mittelzins (%) I(Bezeichnung) (%1 [%) 1-Jahres-Zins 2,1 4 U 2,67 V 100 P 0,06 I 2-Jahres-Zins 2,61 U 18,70 V 100 P 0,49 I 3-Jahres-Zins 3,05 U 78,63 V 100 P 2,40 I Summe Portfolioanteil [%) ß): 100,00 N Summe gewichteter Mittelzins p.a. [%) (6): 2,94 Trendvolumen t1999 [Euro) (7): 1.000.000,00 Trendparameter t1999 (8): 0,10 Trendzeitraum [Jahre) (9): 1,00 Trendvolumen ~ooo [Euro) (10 = 7 .. EXP (8 '" 9)): 1.105.170,92 Tatsächliches Produktvolumen ~ooo [Euro) (11): 1.200.000,00 Quotient Tren dvolumen vom tatsächlichen Produktvolumen (12 = 10 / 11): 0,92 Differen zenquo tient zwischen Trend - & Produktvolumen (13 = (11 - 10) / 11): 0,08 Ein-Jahres.lins ~ooo [%) (14): 2,40 Opportunitätszins p.a. [%) (15 = 6 '" 12 + 13 .. 14): 2,90

Effektivzins p.a . [%) (16): Marge p.a. [%) (17): Schwankungsdifferenz p.a. [%) (18 = ABS (16 + 17 - 15h

I U U

P

I U I I U I

2,80 P 0,10 V 0,00 Z Min!

Abb. 4.162: Konstruktion eines Portfoliomodells (11): Berechnung des Opportunitätszinses Grundlage der Berechnung des Opportunitätszinses ist gemäß dem in Abb. 4.162 dargestellten Gleichungsmodell ein Portfolio, welches sich aus Festzinsgeschäften dreier Zinsbindungsfristen - I-Jahr, 2-Jahr, 3-Jahr - rekonstruiert. Die Portfolioverzinsung ergibt sich als Mittelwert der in Abb. 4.161 auf der vorherigen Seite errechneten arithmetischen Mittelwerte vergangener Geld- jKapitalmarktzinsen, gewichtet mit den Portfolioanteilen. 919 Die Portfolioanteile müssen sich zu Eins addieren und alle größer oder gleich Null sein. 92o Ziel ist es nun, die Portfoliogewichte so zu bestimmen, daß bei einer laufenden Portfolioverzinsung (Opportunitätszins ) der Effektivzins zuzüglich einer Marge finanziert werden kann. Dabei ist zu beachten, daß das tatsächliche Produktvolumen vom erwarteten Trendvolumen kurzfristig abweichen kann. Dieser Abweichung wird Rechnung getragen, in dem für die unterstellte Periode von einem Jahr zusätzliche I-jährige-Geldaufnahmen oder -anlagen durchgeführt werden. Übersteigt das tatsächliche Volumen das Trendvolumen, so ist eine zusätzliche I-jährige-Geldaufnahme erforderlich, im umgekehrten Fall eine zusätzliche I-jährige-Geldanlage. Im unterstellten Rechenbeispiel der Abb. 4.162 bezieht sich die Portfolioverzinsung von 2,94% p.a. auf das erwartete Trendvolumen von 1.105.170,92 EurO. 921 Da aber das tatsächliche Volumen von 1.200.000,00 Euro das erwartete Trendvolumen von 1.105.170,92 Euro übersteigt, wird die positive Differenz von 94.829,08 Euro (Überhang) für ein Jahr zu 2,40% p.a. wieder angelegt. Der Ertrag diese Anlage führt letztlich zu einer Reduzierung der 919Vgl. Abb. 4.162 Spalten 5, 6. 920Vgl. Abb. 4.162 Spalten 2, 3. 921 Vgl. Abb. 4.162 Spalten 6, 10.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

345

Portfolioverzinsung von 2,94% p.a. auf 2,90% p.a. 922 Das Optimierungsproblem kann nunmehr formuliert werden. Die zu minimierende Zielfunktion ist dabei die quadratische Schwankung der Differenz zwischen der Effektivverzinsung des variablen Produktes zuzüglich der Marge und abzüglich der Verzinsung des Portfolios. 923 Die gesuchten Entscheidungsvariablen sind die Portfoliogewichte und die Marge. 924 Im unterstellten Rechenbeispiel der Abb. 4.162 auf der vorherigen Seite wird unter Annahme eines in Rechnung gestellten Effektivzinses von 2,80% p.a. eine Marge von 0,10% p.a. erwirtschaftet, wobei die ermittelten Portfoliogewichte folgendes Mischungsverhältnis bezogen auf die Zinsbindungsfrist ergeben: 2,67%-Portfolioanteil von I-jährigen Festzinsgeschäften, 18,70%-Portfolioanteil von 2-jährigen Festzinsgeschäften sowie 78,63%-Portfolioanteil von 3-jährigen Festzinsgeschäften. 925 Im folgenden wird gezeigt, daß auf Basis des Optimal Values-Ansatzes variable Zahlungsströme kalkuliert werden können. Die Kenntnis der in Abb. 4.162 auf der vorherigen Seite berechneten Portfoliogewichte ermöglicht zunächst die Festlegung einer Tilgungsfiktion. Bei dem unterstellten tatsächlichen Produktvolumen von 1.200.000,00 Euro und den errechneten Portfoliogewichten von 2,67% für I-jährige Zinsbindungsfrist, 18,70% für 2-jährige Zinsbindungsfrist und 78,63% für 3-jährige Zinsbindungsfrist 926 entfallen gemäß Abb.4.163 • 32.073,16 Euro Tilgung auf die I-jährige Zinsbindungsfrist, • 224.351,10 Euro Tilgung auf die 2-jährige Zinsbindungsfrist, • 943.575,75 Euro Tilgung auf die 3-jährige Zinsbindungsfrist. 927 Nach Berechnung der Tilgungsfiktion kann der Kunden-Zahlungsstrom gemäß Abb. 4.163 abgeleitet werden. 1 1 - 12 AnfangsDatum kapital! .zinssaldo IEwol 0,00 30.03.00 30.03.01 1.200.000,00 30.03.02 1.167.926,84 943.575,74 30.03.03

-

,-3

2

Zins- S JahresS S tage basls P I I I

IT_I 0,00 360,00 360,00 360,00

P P P P

-

-

r--

4 - 2 13

5

6

Zinstage- S Zins S Hun- S dert quollent

IT_I 360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00 P Effektivlin.

1'1101

0,00 I 2,80 1,00 I 2,80 1,00 I 2,80 1,00 I 2,80 p.•. (\\ ( :~

I I I I P

7- 1°4° 516 Zins

r-S

PortS folio - S anteil

IEwol fIII 0,00 I 0,00 P 100 P 100 P 33.600,00 I -2,67 P 100 P 32.701,95 I -18,70 P 100 P 26.420,12 I -78,63 P Produktvolumen 30.03.00 (Euro(:

9 Produkt-

volumen /EUrol 1.200.000,00 1.200.000,00 1.200.000,00 1.200.000,00 1.200.000 00

S I I I I U

10 = 9 10 - s o g 16

11 - 10 - 7

12 1 + 7 + 11

Tilgung

Zahlungsstrom

Endkapital! S S -li""""ldo

IEwol 1.200.000,00 -65.673,16 -257.053,05 -969.995,87

I I I I

IEwol 1.200.000 ,00 -32.073,16 -224.351,10 -943.575,75

S I I I I

IEwol 1.200.000 ,00 1.167.926,84 943.575,74 0,00

I I I I

Abb. 4.163: Berechnung des Kunden-Zahlungsstroms Der in Abb. 4.163 berechnete Kunden-Zahlungsstrom wird noch einmal isoliert in Tab. 4.119 auf der nächsten Seite dargestellt. 922Vgl. 923Vgl. 924Vgl. 925Vgl. 926Vgl. 927Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.162 4.162 4.162 4.162 4.162 4.163

auf der vorherigen auf der vorherigen auf der vorherigen auf der vorherigen auf der vorherigen Spalten 10.

Seite Seite Seite Seite Seite

Spalte 15. Spalte 18. Spalten 2,17. Spalte 2. Spalte 2.

Gesamtergebnisrechnung

346 Datum 30.03.00 30.03.01 30.03.02 30.03.03

Zahlung 1.200.000,00 Euro -65.673,16 Euro -257.053,05 Euro -969.995,87 Euro

Tabelle 4.119: Kunden-Zahlungsstrom Nach erfolgter Berechnung eines Kunden-Zahlungsstroms kann dieser gemäß Abb. 4.164 strukturkongruent bewertet werden . .---1 Datum

Marktwert

4

h O.03.03

S Zins. S Marktwert S faktor

[Euro)

30.03.03 -942658.77 30.03.02 -223.241,93 30.03.01 -30.964,08 30.03.00 1.200.000,00 3.135,22 3.135,22 Max!

5-

[Euro)

6

1-

hO.03.02

0

Zins- S Marktwert S Zins. quotient quotient [Euro)

V V V V

1,0290 U 1,0290 U -942.658.77 I 0,0290 U 0,0290 U -223.241 ,93 1,0290 U -942.658,77 I 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.03.00 [Euro] Z : (3 = 2) Kapitalwert 30.03.00 [Euro]

0,0290 U

9a 1* 4 9 - 1 * 4+5 * 6 9 - 1 * 4 +5 * 6 + 1 * 0 Zahlung

S

[Euro)

-969.995,87 -257.053,05 -65.673,16 1.200.000,00

N N N N

Abb. 4.164: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes Als Bewertungsergebnis für den unterstellten Zahlungsstrom ergibt sich am 30.03.00 gemäß Abb. 4.164 ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.135,22 EurO. 928

4.2.1.4.5 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Kalkulation stochastischer variabler Zahlungsströme Das grundlegende Problem der Marktwertmethode bei der Kalkulation stochastischer variabler Zahlungsströme besteht in der Unsicherheit der zukünftigen Kapital- und Zinsbindung am Bewertungszeitpunkt. Um trotzdem strukturkongruente Gegengeschäfte929 zu finden, deren Zahlungsströme den variablen Zahlungsstrom - bis auf den Gegenwartzeitpunkt - exakt neutralisieren, wird sowohl von der Methode der gleitenden Durchschnitte und vom Optimal Values-Ansatz als auch vom Elastizitätskonzept eine Tilgungsfiktion angenommen, die eine empirisch beobachtbare durchschnittliche Kapital- und Zinsbindungsdauer unterstellt. Die Methode der gleitenden Durchschnitte und der Optimal Values-Ansatz berechnen jeweils einen durchschnittlichen Opportunitätszins als arithmetisches Mittel vergangener Perioden, der im Rahmen der strukturkongruenten Refinanzierung zur Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes verwendet wird. 930 Der Unterschied zwischen beiden Methoden besteht lediglich zum einen darin, daß die Methode der gleitenden Durchschnitte den Opportunitätszins im Gegensatz zum Optimal Values-Ansatz gleitend bestimmt, zum anderen, daß der Optimal Values-Ansatz die Portfoliogewichte im 928Ygl. Abb. 4.164 Spalte 3. 929Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 930Ygl. Kapitel 4.2.1.4.1 auf Seite 314 sowie Kapitel 4.2.1.4.4 auf Seite 342.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

347

Rahmen eines Optimierungsansatzes berechnet, während die Methode der gleitenden Durchschnitte die optimalen Portfoliogewichte durch systematisches Probieren unter der Zielsetzung einer möglichst konstanten Zinsmarge ermittelt. 931 Das Elastizitätskonzept dagegen kalkuliert auf Basis aktueller Opportunitätszinsen periodenbezogene Kapitalwerte. 932 Um bei einer möglichen Zins änderung im Zeit ablauf eine Konstanz der Perioden-Kapitalwerte über die Haltedauer zu gewährleisten, ist zwingend ein elastizitätskonformes Zinsanpassungsverhalten des Finanz-jKreditinstitutes notwendig. Dabei ist zu beachten, daß die empirisch ermittelbare Zinselastizität in engen Zeitgrenzen stabil sein muß, um eine vollständige Immunisierung der PeriodenKapitalwerte zu gewährleisten. Vorliegende empirische Untersuchungen zeigen jedoch das Gegenteil. 933 GoebeljSievijSchuhmacher haben im Rahmen einer umfangreichen empirischen Untersuchung die Qualität der Produktzinsprognose für variable Geschäfte zwischen der Methode der gleitenden Durchschnitte und dem Elastizitätskonzept verglichen. 934 Als Ergebnis haben GoebeljSievijSchuhmacher festgestellt, daß das Elastizitätskonzept gegenüber der Methode der gleitenden Durchschnitte eine weitaus geringere Prognosequalität besitzt. Als Begründung verweisen GoebeljSievijSchuhmacher auf die Tatsache, daß das "Elastizitätskonzept grundlegende Eigenschaften variabler Geschäfte schlechter abbildet als das Konzept der gleitenden Durchschnitte"935. Dabei können grundlegende Eigenschaften variabler Geschäfte durch zwei realitätsnahe Merkmale beschrieben werden: Zeitverzögerte Zinsanpassung

Bei variablen Produkten werden Zinsänderungen in der Regel zeitverzögert über einen längeren Zeitraum weitergegeben, um eine konstante Marge zu gewährleisten. Stufenweise Zi nsa npassu ng

Um die Kunden nicht durch eine schockartige Zinsanpasung zu verärgern, werden Zinsanpassungen in der Regel stufenweise durchgeführt. Es bleibt festzuhalten, daß die Methode der gleitenden Durchschnitte, der Optimal Values-Ansatz und das Elastizitätskonzept einen ursprünglich variablen Zahlungsstrom in einen fixen Zahlungsstrom transformieren, um ihn dann strukturkongruent im Rahmen der Marktwertmethode936 zu bewerten. Bei allen Methoden ist aber eine vollständige Immunisierung des am Bewertungszeitpunkt entnommenen Gegenwart-Kapitalwertes gegen Zinsänderungsrisiken nur dann gewährleistet, wenn die in der Vergangenheit 931Vgl. 932Vgl. 933Vgl. 934Vgl. 935Vgl. 936Vgl.

[109, S. 243 ff.]

Kapitel 4.2.1.4.2 auf Seite 329. [27] [49, S. 190 ff.] [49, S. 197] Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111.

Gesamtergebnisrechnung

348

beobachtbaren jeweiligen Modellannahmen, z. B. Tilgungsfiktion, und Basisgrößen, z. B. Zinselastizität, auch zum Bewertungszeitpunkt gelten. Der duale Ansatz in der Beitragsrechnung variabler Gelder ist kein eigenständiger Ansatz zur Kalkulation variabler Zahlungsströme sondern ergänzt die Methode der gleitenden Durchschnitte937 um eine verursachungsgerechte Zuordnung der im Rahmen der strukturkongruenten Refinanzierung ermittelbaren Perioden-Kapitalwerte938 auf einzelne Verantwortungs bereiche eines Finanz-/Kreditinstitutes. Dabei werden Kündigungsund Margenrisiken klar erkennbar und den Verantwortungsbereichen "Profit-Center Zweigstellen" und "Gesamtbankleitung" verursachungsgerecht zugeordnet.

4.2.1.5 Kalkulation stochastischer zustandsabhängiger Zahlungsströme auf Basis der Optionspreistheorie 4.2.1.5.1 Einführung in die Optionspreistheorie Gegenstand der Optionspreistheorie ist die Bewertung von bedingten Termingeschäften, sogenannte Optionen. 939 940 941 Bedingte Temingeschäfte sind einerseits charakterisiert durch das zeitliche Auseinanderfallen zwischen Vertragsabschluß und Vertragserfüllung und anderseits besteht bei bedingten Termingeschäften für einen Vertragspartner zwar das Recht, aber nicht die Verpflichtung zur Durchführung des Termingeschäftes. Darüber hinaus ist der im Zeitpunkt der Vertragserfüllung in Zukunft anfallende Zahlungsstrom abhängig von der Entwicklung des dem Termingeschäftes zugrundeliegenden Wertobjektes (Aktien, Renten, Edelmetalle oder Finanzinnovationen auf Festzinsbasis ), so daß stochastische zustandsabhängige Zahlungsströme die Bewertungsgrundlage der Optionspreistheorie bilden. Jedem bedingten Termingeschäft bzw. jeder Option liegt ein Vertrag zugrunde, der dem Käufer eines Optionskontraktes (Inhaber der Option) • während eines festgelegten Zeitraums (Kontraktlaufzeit ), • das Recht (Optionsrecht), nicht aber die Verpflichtung einräumt (bedingtes Optionsrecht), • eine bestimmte Menge eines bestimmten Wertobjektes (Basiswert; englisch: underlying), • zu einem im voraus festgesetzten Preis (Basispreis; englisch: strike-price), 937Ygl. 938Ygl. 939Ygl. 940Ygl. 941Ygl.

Kapitel 4.2.1.4.1 auf Seite 314. Kapitel 4.2.1.2.3 auf Seite 264. [54, S. 141 ff.] [103, S. 326 ff.] [116, S. 267 ff.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

349

• gegen Zahlung einer Optionsprämie (Optionspreis ) zu kaufen, sogenannte Kaufoption (englisch: long call), oder zu verkaufen, sogenannte Verkaufsoption (englisch: long put). Auf Basis der beiden Optionsgrundformen "Kaufoption" und "Verkaufsoption" werden insgesamt vier Grundpositionen, dargestellt in Tab. 4.120, unterschieden.

Käufer (englisch: long)

Verkäufer (englisch: short)

Kaufoption (englisch: call) Kauf einer Kaufoption (englisch: long call) besitzt Kaufrecht kann Recht zerfallen lassen zahlt Optionsprämie Verkauf einer Kaufoption (englisch: short call) Stillhalter in Wertpapieren Pflicht zur Lieferung bei Ausübung erhält Optionsprämie

Verkaufsoption (englisch: put) Kauf einer Verkaufsoption (englisch: long put) besitzt Verkaufsrecht kann Recht zerfallen lassen zahlt Optionsprämie Verkauf einer Verkaufsoption (englisch: short put) Stillhalter in Geld Pflicht zur Abnahme bei Ausübung erhält Optionsprämie

Tabelle 4.120: Grundpositionen von Optionen Der Verkäufer einer Kaufoption (englisch: short call) wird, wie in der obigen Tabelle erwähnt, als Stillhalter in Wertpapieren gekennzeichet. In diesem Fall ist der Optionsverkäufer verpflichtet, bei Ausübung des Optionsrechtes durch den Optionskäufer die Wertpapiere an den Optionskäufer zu liefern. Demgegenüber muß der Verkäufer einer Verkaufsoption (englisch: short put) damit rechnen, bei Ausübung des Optionsrechtes durch den Optionskäufer Wertpapiere angedient zu bekommen. "Weil dafür Geld bereitgehalten werden muß, spricht man bei einem Verkäufer eines Put vom Stillhalter in Geld." 942 Das Optionsrecht kann bezüglich der Kontraktlaufzeit je nach Optionstyp zeitlich unterschiedlich ausgeübt werden. Am internationalen Geld-jKapitalmarkt werden folgende Optionstypen gehandelt: • Europäische Option: Ausübung des bedingten Optionsrechtes nur am Laufzeitende. • Amerikanische Option: Ausübung des bedingten Optionsrechtes während der gesamten Kontraktlaufzeit. • Asiatische Option: Ausübung innerhalb einer bestimmten Frist oder am Kontraktlaufzeitende. Beim Handel mit Optionen entsteht - im Gegensatz zu den unbedingten Termingeschäften943

-

stets ein asymmetrisches Gewinn- jVerlustprofil:

942Vgl. [116, S. 268 ff.] 943Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.9 auf Seite 190.

Gesamtergebnisrechnung

350

• Beim Käufer einer Kaufoption ist der Verlust maximal auf den gezahlten Optionspreis beschränkt, falls gilt: Basispreis >= aktueller Kurs des Basiswertes (Option wird nicht ausgeübt). Demgegenüber stehen unbegrenzte Gewinnmöglichkeiten, falls gilt: Basispreis < aktueller Kurs des Basiswertes (Option wird ausgeübt). Für den Verkäufer einer Kaufoption ergibt sich das umgekehrte Ergebnisprofil. • Beim Käufer einer Verkaufsoption ist der Verlust maximal auf den gezahlte Optionspreis beschränkt, falls gilt: Basispreis aktueller Kurs des Basiswertes (Option wird ausgeübt). Für den Verkäufer einer Verkaufsoption ergibt sich das umgekehrte Ergebnisprofil. Bevor auf die Bewertung von Optionen mit Hilfe der Optionspreistheorie eingegangen wird, soll zunächst geklärt werden, innerhalb welcher zulässigen Wertgrenzen sich der Preis einer Option während der Kontraktlaufzeit grundsätzlich bewegen kann. Bei der Bestimmung der Wertgrenzen spielt es dabei grundsätzlich keine Rolle, welches Wertobjekt bzw. welcher Basiswert der Option zugrunde liegt. Die Wertgrenzen werden hier am Beispiel einer Option mit den folgenden Ausstattungsmerkmalen verdeutlicht: • Grundposition: Kauf einer Kaufoption • Optionstyp: Europäische Option • Basiswert: Aktie • Basispreis: 400,00 Euro • Optionspreis: 230,00 Euro Außerdem sei desweiteren unterstellt, daß der aktuelle Kurs des Basiswertes (im Beispielfall eine Aktie) 600,00 Euro beträgt und am Geld-/Kapitalmarkt ein risikoloser über sämtliche Haltedauern konstanter Zinssatz in Höhe von 6,84% gezahlt wird. Der Preis einer Option setzt sich aus dem inneren Wert und dem Zeitwert zusammen. Der innere Wert einer Kaufoption beschreibt den Differenzgewinn zwischen dem aktuellen Kassakurs der unterstellten Aktie und dem Basispreis der Option. Da der Käufer einer Kaufoption das Optionsrecht verfallen lassen kann und diese daher im

Verlustfall (Basispreis >= Aktienkurs) nicht ausüben wird, kann der innere Wert einer Option niemals einen negativen Wert annehmen. Folglich sind beim Differenzgewinn folgende Geld-Positionen zu unterscheiden:

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

351

• Im Geld (englisch: in the money): Basispreis < aktueller Aktienkurs (Innerer Wert einer Kaufoption > 0) • Am Geld (englisch: at the money): Basispreis = aktueller Aktienkurs (Innerer Wert einer Kaufoption = 0) • Aus dem Geld (englisch: out of the money): Basispreis > aktueller Aktienkurs (Innerer Wert einer Kaufoption = 0) Der Preis einer Option muß demnach mindestens dem inneren Wert entsprechen. Deshalb wird der innere Wert einer Option auch als erste Wertuntergrenze bezeichnet. Während der Kontraktlaufzeit einer Kaufoption muß zusätzlich berücksichtigt werden, daß der Käufer einer Kaufoption bei eventueller Ausübung des Kaufrechtes am Ausübungstag Geld für den Erwerb des Basiswertes (Aktien) zum Basispreis bereithalten muß. Liegt der Ausübungstag aber in der Zukunft, so ist das für den Basispreis bereitgehaltene Geld zum risikolosen Zinssatz anzulegen. Dementsprechend kann die zweite Wertuntergrenze einer Kaufoption als Differenzgewinn zwischen dem aktuellen Kassakurs der unterstellten Aktie und dem Barwert des Basispreises der Option berechnet werden. Bei nicht dividendengeschützten Kaufoptionen vermindert eine Dividendenzahlung vor dem Ausübungstag den Wert der Option, da der Käufer einer Kaufoption diese Dividenzahlung nicht erhält. Folglich muß sich der Preis einer Kaufoption um den Barwert der Dividendenzahlung reduzieren. Der um den Barwert der Dividendenzahlung reduzierte Preis einer Kaufoption wird als dritte Wertuntergrenze einer Kaufoption bezeichnet. Neben den drei Wertuntergrenzen kann auch eine Wertobergrenze einer Kaufoption definiert werden. Die Wertobergrenze einer Kaufoption ergibt sich aus der Überlegung, daß der Optionspreis nie höher als der aktueller Kurs des Basiswertes (im Beispielfall eine Aktie) sein kann. Würde der Optionspreis tatsächlich über dem Kurs des Basiswertes liegen, so würde jede rational handelnde Person den Basiswert direkt statt indirekt über eine Kaufoption erwerben. Abb. 4.165 auf der nächsten Seite zeigt die Berechnung der drei Wertuntergrenzen und der Wertobergrenze am Beispiel der unterstellten Kaufoption.

352

Gesamtergebnisrechnung

2 1 Aktienkurs S Basispreis S (Kurs Basiswert) (Euro) (Euro) 400,00 U 600,00 U

Geld Position

S

Erste Wertuntergrenze Onnerer Optionswert)

9

10 = 7 / (7 +9 / 8)

Hundert

ElWarteter S risikoloser S Zins

Abzinsfaktor

200,00 I

6,84 U

0,9359790 I

(Euro) 230,00 U

Zeitwert

S

S Dividende S

225,61 I

S

1 P

30,00 I

Dritte Wertuntergrenze

(Euro) 1,20 U

Eins

(Euro)

13 = Max (1 - (2 • 10) (10 • 12); '11'1

(Euro)

(%)

100 P

S

12

11 = Max (1 - (2 ·10); "0" S Zweite Wertuntergrenze

Optionspreis

7

6 = 5 -4

5 S

(Euro)

(Euro) 200,00 I

8

.

4 = Max (1 - 2; '11'1

3 - 1 -2

I

14 = 1

S

(Euro) 224,49 I

obe~~:~ze

S

(Euro) 600,00 I

Abb, 4,165: Wertgrenzen einer Kaufoption Da der Aktienkurs von 600,00 Euro größer ist als der Basispreis von 400,00 Euro, besitzt die Option gemäß Abb, 4,165 einen inneren Wert von 200,00 Euro als erste Wertuntergrenze. 944 Durch die Abzinsung des Basispreises erhöht sich der innere Wert der Option gemäß Abb. 4.165 von 200,00 Euro auf 225,61 Euro als zweite Wertuntergrenze. 945 Unter Berücksichtigung etwaiger Dividenzahlungen ergibt sich schließlich als dritte Wertuntergrenze gemäß Abb. 4.165 wieder ein etwas niedrigerer innerer Wert von 224,49 Euro. 946 Die Wertobergrenze ist mit dem Aktienkurs von 600,00 Euro gemäß Abb. 4.165 identisch. 947 Aus den bisherigen Überlegungen läßt sich auf Basis der Abb. 4.165 ableiten, daß der innere Wert einer Option ceteris paribus je höher wird, • desto niedriger der Basispreis ist, • desto höher der Aktienkurs ist, • desto höher das Zinsniveau ist, • desto länger die Haltedauer ist, falls eine normale Zinsstrukturkurve (Haltedauer kurz, Zinsen niedrig - Haltedauer lang, Zinsen hoch) vorliegt, • desto niedriger eine eventuell anfallende Dividendenzahlung ist. Der Zeitwert einer Option, in Abb. 4.165 beispielhaft mit 30,00 Euro angegeben,948 ist die Differenz zwischen dem tatsächlichen Preis einer Option und ihrem inneren Wert_ Dieser Zeitwert ist die monetäre Bewertung der Chance eines Käufers einer Option, daß ein heutiger innerer Wert von Null durch zukünftige Aktienkursbewegungen noch einen Wert größer als Null annehmen kann. 944Vgl. 945 Vgl. 946Vgl. 947Vgl. 948Vgl.

Abb. Abb_ Abb_ Abb. Abb_

4.165 4_165 4_165 4.165 4_165

Spalte Spalte Spalte Spalte Spalte

4. 11. 13. 14. 6.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

353

Die bisherigen Ausführungen haben an einem Optionsbeispiel verdeutlicht, daß der tatsächliche Preis einer Option unabhängig vom zugrundeliegenden Basiswert innerhalb bestimmter Wert grenzen liegt. Während die Bestimmung der Wert grenzen von Optionen auf Basis eines einfachen Modells gemäß Abb. 4.165 auf der vorherigen Seite möglich ist, ist die exakte Preisbestimmung einer Option innerhalb ihrer Kontraktlaufzeit den mathematischen Optionspreismodellen vorbehalten. Aus der Vielzahl der in der Literatur entwickelten Optionspreismodelle949 nehmen zwei Modelle besondere Plätze ein. Zum einen das von Cox/Ross/Rubinstein entwickelte Binomialmodell95o , zum anderen das Black/Scholes-Modell951 . Beide Modelle gehören zur Gruppe der sogenannten vollständigen Gleichgewichtsmodelle. 952 Die folgenden

Ausführungen beschränken sich auf das

Binomialmodell nach

Cox/Ross/Rubinstein und das Black/Scholes-Modell. Zum grundlegenden Verständnis des Binomialmodells nach Cox/Ross/Rubinstein und des Black/Scholes-Modells wird zunächst das allgemeine Binomialmodell beschrieben, welches die theoretische Grundlage sowohl für das Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein als auch für das Black/Scholes-Modell darstellt. Abb. 4.166 zeigt dementsprechend einen Überblick über die angesprochenen Modelle, die in den folgenden Kapiteln ausführlich beschrieben werden.

Cox/Ross/ RubinsteinBinomialmodell

Basis: Eintrittswahrscheinlichkeiten

Basis: Duplikationsportfolio

Abb. 4.166: Optionspreismodelle

949Ygl. 950Ygl. 951 Y gl. 952Ygl.

[35, S. 265 ff.] [31]

[18]

[77, S. 321 ff.]

Basis: Eintrittswahrscheinlichkeiten

Basis: Duplikationsportfolio

Black/ ScholesModell

354

Gesamtergebnisrechnung

Das allgemeine Binomialmodell bestimmt den Preis einer Option mit Hilfe eines Er-

gebnisbaumes953 mit diskreten Kursveränderungen des der Option zugrundeliegenden Basiswertes. Das Cox/Ross/Rubinstein-Modell ergänzt das allgemeine Binomialmodell um die Einführung eines multiplikativen Binomialprozesses auf Basis einer Binomialverteilung954 . Das Black/Scholes-Modell erweitert das allgemeine Binominalmodell um die An-

nahme von unendlich häufigen Kursveränderungen des der Option zugrundeliegenden Basiswertes. Diese Annahme eines stetigen Modells ermöglicht die Preisbestimmung einer Option auf Basis der Normalverteilung955 .

In den folgenden Kapital werden zunächst das allgemeine Binomialmodell (Kapitel 4.2.1.5.1.1), dann das Cox/Ross/Rubinstein-Modell (Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375) und schließlich das Black/Scholes-Modell (Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383) beschrieben. Das letzte Kapitel 4.2.1.5.2 auf Seite 390 demonstriert die modifizierte Anwendung der Optionspreistheorie am Beispiel diverser Produkte mit Optionscharakteristik.

4.2.1.5.1.1 Das allgemeine Binomialmodell Zum grundlegenden Verständnis des allgemeinen Binomialmodells wird zunächst die Bewertung einer Option im Einperiodenfall erläutert (Kapitel 4.2.1.5.1.1.1). Anschließend erfolgt die Darstellung des allgemeinen Binomialmodells im Mehrperiodenfall (Kapitel 4.2.1.5.1.1.2 auf Seite 363).

4.2.1.5.1.1.1 Der Einperiodenfall Das allgemeine Binomialmodell bestimmt den Preis einer Option mit Hilfe eines Ergebnis- bzw. Zustandsbaumes (englisch: lattice). Ein Ergebnisbaum beschreibt einen stochastischen Prozess, bei dem eine Zufallsvariable für jeden Zeitpunkt eines Zeitraumes einen zufälligen Wert annimmt. 956 Abb. 4.167 auf der nächsten Seite zeigt einen Ergebnisbaum des allgemeinen Binomialmodells im Einperiodenfall für eine fiktive Aktienkurs- und Optionspreisentwicklung.

953Synonymbegriffe: Zustandsbaum, Binomialbaum. 954Ygl. zur Definition und Erläuterung der Binomialverteilung: [20, S. 52 ff.] 955Ygl. zur Definition und Erläuterung der Normalverteilung: [7, S. 108 ff.] 956Ygl. [32, S. 210]

355

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung t

=heute

t

=Verfallsdatum

t = heute

t = Verfallsdatum Pfad 1 1.200,00 € 400,00 € 800,00 €

Pfad 1 Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

2,00 600,00 € 100,00% 37,89%

Aufwärtsfaktor absoluter Anstieg relativer Anstieg Wahrscheinlichkeit Vola Aktienkurs Optionsdelta Vola Optionswert

Aktienkurs Basispreis Optionspreis

600,00 € 400,00 € ?

900,00 € 0,8888889 800,00 € 0,50 -300,00 € -50,00% 62,11 %

Abwä rt sfa kt or absoluter Abstieg relativer Abstie[ Wahrscheinlichkeit Aktienkurs Basispreis Innerer Wert Pfad 2

300,00 € 400,00 € 0,00 € Pfad 2

Abb. 4.167: Allgemeines Binomialmodell im Einperiodenfall: Ereignisbaumorientierte Aktienkurs- und Optionspreisentwicklung Der Ergebnisbaum des Binomialmodells im Einperiodenfall umfaßt gemäß Abb. 4.167 zwei Zeitpunkte. Der heutige Zeitpunkt stellt den Zeitpunkt dar, an dem die Option bewertet wird. Der Verfallszeitpunkt zeigt genau zwei verschiedene Ausprägungen des Aktienkurses. Der aktuelle Aktienkurs beträgt 600,00 Euro. Es wird der in Abb. 4.167 dargestellte Aktienkursverlauf erwartet. Es sei angenommen, daß sich der Aktienkurs im Rahmen eines stochastischen binären Prozesses entweder um den Faktor 2,00 aufwärts entwickelt (entspricht einem absoluten Kursanstieg von 600,00 Euro oder einem relativen Kursanstieg von 100,00%) oder um den Faktor 0,50 abwärts entwickelt (entspricht einem absoluten Kursabstieg von 300,00 Euro oder einem relativen Kursabstieg von 50,00%). Nach einem Kursanstieg ergibt sich ein Aktienkurs von 1.200,00 Euro, so daß in diesem Aufstiegsfall der innere Optionswert 800,00 Euro beträgt. Dagegen führt ein Kursabstieg zu einem Aktienkurs von lediglich 300,00 Euro, so daß der innere Optionswert in diesem Abstiegsfall auf Null sinkt. 957 Eine für das Verständnis der Optionspreismodelle wichtige Kennzahl ist das Optionsdelta. Das Optionsdelta ist eine Sensitivitätskennzahl, die besagt, wieviele Aktien gehalten werden müssen, damit bei einer Kurssteigerung der Aktie um eine Einheit die Wertveränderung der gehaltenen Aktien der Wert änderung der Option entspricht. Oder anders ausgedrückt: Das Optionsdelta erklärt, um welchen Wert sich der Optionspreis bei einer Änderung des Aktienkurses um eine Einheit ändert. Der Ke~rwert des Optionsdeltas wird als Absicherungsrelation (englisch: hedge ratio) bezeichnet. 9 57 Vgl.

Kapitel 4.2.1.5.1 auf Seite 348.

Gesamtergebnisrechnung

356

Abb. 4.168 zeigt die Berechnung der binären Aktienkurse, der binären internen Optionswerte sowie der Kennzahlen Optionsdelta und Absicherungsrelation.

Aktienkurs Basiswert S t = heute

Aufwärtsfaktor

(Eurol 600.00 U

2.00

S

Eins

S

u

1 P

AktIenkurs Aktienkurs Basiswert Basiswert S Volatlllät AbwärtsS nach S nach S Aktienkurs faktor Abwärtsbewegung Aufwärtsbewegung t = Verfalltag t = Verfalltag (Eurol (Eurol (Eurol 900,00 I 300,00 I 1.200,00 I 0,50 I

11 - 9 - 10 10 - Max 16 -8' '11'1 9 = Max 15 -8; '11'1 Innerer Optionswert Innerer Optionswert S Volatillät S S nach nach Baslsprels S Optionswert Abwärtsbewegung Aufwärtsbewegung (Eurol (Eurol (Eurol IEurol 800,00 I 0,00 I 800,00 I 400,00 U 8

.

7 =5 -6

6=l ' 4

5- 1' 2

4- 3/2

3

2

1

13 = 3 / 12

12= 11 / 7 Optionsdelta

I

S

Absicherungsrelation

1,1250000 I

0,8888889 I

Abb. 4.168: Allgemeines Binomialmodell im Einperiodenfall: Aktienkurs- und Optionspreisentwicklung

S

Gleichungsorientierte

Grundlegende Prämisse des allgemeinen Binomialmodells958 besteht in der Identität zwischen dem unterstellten risikolosen Geld- jKapitalmarktzins und der erwarteten Rendite der Aktie, da die Bewertung einer Option risikoneutral ohne die Möglichkeit von Arbitrage erfolgen soll.959 Mit dieser Prämisse können gemäß Abb. 4.169 die Wahrscheinlichkeiten der binären Aktienkursentwicklung ermittelt werden.

Aktienkurs Baslswert t - heute

S

Aufwärtsfaktor

(Eurol 600,00 U

8 - 6 / 1*7

~

3

2

1

S

Eins

S

1 P

2,00 U

9

4- 3/2

10 = 1 ' 4

5 - 1 *2

6 - 5-1

AktIenkurs Absoluter Baslswert AktlenkursAbwärtsS S nach Aufwärts- S anstieg faktor bewegung t = Verfallstag t - Verfallstag (Eurol (Eurol 600,00 I 1.200,00 I 0,50 I

11 = 10 -1

12 - 11 11 * 7

13 = 7 - 9

Aktienkurs WahrschelnAbso(uter Relativer Relativer WahrscheinBasiswert IIchkelt AktienkursAktienkurslichkeit AktlenkursS S S S nach Abwärts- S S AktIenkursabstieg abstieg Aktienkursanstieg bewegung abstieg t Verfallstag t Verfallstag anstieg t = Verfallstag t - Verfallstag (%1 (%1 (Euro) ('!Io) (Eurol ('!Io) 62,11 I -50,00 I -300,00 I 300,00 I 100,00 I 37,89 V

7 S

Hundert

100 P

J 14 = 18 * 9 + 12 ' 13) / 7 Erwarteter risIkoloser ZIns

S

('IIo)

6,84 Z

Abb. 4.169: Allgemeines Binomialmodell im Einperiodenfall: Aktienkursentwicklung mit Berechnung der Wahrscheinlichkeiten Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten erfolgt gemäß Abb. 4.169 mit Hilfe einer l:l-Zielwertanalyse. Als Entscheidungsvariable fungiert die Wahrscheinlichkeit für einen Aktienkursanstieg, die solange iteriert wird, bis der erwartete Zins dem unterstellten Zielwert von 6,84% (risikoloser Zins) entspricht. 96o Die Wahrscheinlichkeit für einen 958Vgl. Abb. 4.167 auf der vorherigen Seite. 959Vgl. [54, S. 151] 960Vgl. Abb. 4.169 Spalten 9 und 14.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

357

Kursanstieg beträgt gemäß Abb. 4.169 37,89%, dementsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Kursabstieg 62,11 %.961 Die Bewertung einer Option im Rahmen des allgemeinen Binomialmodells kann entweder auf Basis von Wahrscheinlichkeiten (Kapitel 4.2.1.5.1.1.1.1) oder auf Basis eines Duplikationsportfolios (Kapitel 4.2.1.5.1.1.1.2) erfolgen. 4.2.1.5.1.1.1.1 Der Einperiodenfall auf Basis von Wahrscheinlichkeiten Die

Bewertung einer Option im Rahmen des Binomialmodells im Einperiodenfall auf Basis von Wahrscheinlichkeiten entspricht der Berechnung des Barwertes der erwarteten Aktienkursrendite. Abb. 4.167 auf Seite 355 zeigt, daß im unterstellten Beispielfall die Wahrscheinlichkeit eines Aktienkursanstiegs nur 37,89% beträgt, während die Wahrscheinlichkeit eines Aktienkursabstiegs entsprechend bei 62,11% liegt.962 Steigt der Aktienkurs, ist die Kaufoption 800,00 Euro wert, sinkt dagegen der Aktienkurs, so ist die Kaufoption wertlos. 963 Zur Preisberechnung der Kaufoption ist es demnach ausreichend, die binären inneren Optionswerte am Verfallstag mit ihren Wahrscheinlichkeiten zu gewichten, anschließend zu addieren und auf das heutige Datum mit dem risikofreien Zins abzuzinsen. Abb. 4.170 zeigt dementsprechend die Preisberechnung der unterstellten Kaufoption zum heutigen Zeitpunkt. 2

1

3

4 =3 - 1

5

6

'T"

Innerer Innerer Wahrschein Wahrschein Optionswert Erwarteter Optionswert lichkeit lichkeit S nach S risikoloser SEins S nach S Hundert S S AktienkursAktienkursZins AbwärtsAufwärtsabstieg anstieg bewegung bewegung [Euro) [%) [%) [%) [Euro) 1P 0,00 U 6,84 U 100 P 62,11 I 37,89 U 800,00 U

8 = (1 • 2 + 4 • 5) / 3 / (6 / 3 + 7) Optionspreis t heute E

S

[Euro)

283,75 I

Abb. 4.170: Allgemeines Binomialmodell im Einperiodenfall: Bewertung einer Kaufoption auf Basis von Wahrscheinlichkeiten Gemäß Abb. 4.170 beträgt der aktuelle Preis der Kaufoption 283,75 Euro. 964 4.2.1.5.1.1.1.2 Der Einperiodenfall auf Basis eines Duplikationsportfolios

Bei der Bewertung einer Option im Rahmen des Binomialmodells im Einperiodenfall auf Basis eines Duplikationsportfolios bilden die aus der Kaufoption resultierenden alternativen Zahlungsströme den Ausgangspunkt der Preisbestimmung. Wie bereits im Kapitel 4.2.1.5.1.1.1 auf Seite 354 verdeutlicht wurde,965 sind die aus der unterstellten Kaufoption resultierenden Zahlungsströme am Verfallstag abhängig von der Entwicklung des Aktienkurses. Es gilt nunmehr ein Duplikationsportfolio, bestehend aus einem Aktienkauf und einer Refinanzierung (Kreditaufnahme ), zu konstruieren, welches 961 V gl. 962Vgl. 963 Vgl. 964Vgl. 965Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.169 4.169 4.168 4.170 4.167

auf der vorherigen Seite Spalten 9, 13. auf der vorherigen Seite Spalten 9, 13. auf der vorherigen Seite Spalten 9, 10. Spalte 8. auf Seite 355.

358

Gesamtergebnisrechnung

dieselbe zustandsabhängige Zahlungsstromcharakteristik wie die Kaufoption aufweist. Ist dies der Fall, so entspricht der aktuelle Wert des Duplikationsportfolios dem Preis der Kaufoption, da ansonsten risikofreie Arbitragegewinne realisierbar wären. Abb. 4.171 zeigt den Aufbau eines Duplikationsportfolio am Beispiel der unterstellten Kaufoption. Duplikationsportfolio .Tableau

-

3

2

1

4

AktIenkurs Aktienkurs Baslswert Baslswert AktIenkurs S Optlons- S Baslswert S nach Aufwärts- S nach Abwärtsdelta bewegung bewegung I = heute I - Verfallstag I - Verfallstag IAktie

IKredil

IE..-o)

IEwol

IEwo) 600,00 U

300,00 U

1.200,00 U

-

0,89 U

-

r-

12 9 9-2*. 12 - 3 *. Normierter Normierter Aktienkurs Aktienkurs Normierter Baslswert Aktienkurs S Baslswert S S SEins S Hun- S Zins nach Abwärtsnach Aufwilrtsdert Baslswert bewegung bewegung I - heute I - Verfallstag I - Verfallstag (Ell"o) IEwol 1'10) IEwol 266,67 I 1.066,67 I 533,33 A 5 - 1* 4

-249,59 A

(Ewo) Kreditbarwert

S

6

1 P

1

8

100 P 6,84 U

:1: Aktie , Kredil [Euro[ : 10

-266,67 P 800,00 I 13

Oplionswert [Euro): 11 - 10 800,00 I 14 - 13

-266,67 P 0,00 I 0,00 I

15 - 9 / ~+8 1 11

Optionspreistableau 1 Normierter Aktienkurs S Basiswert I - heule IEwo) 533,33 E

Optionspreistableau

3 - 1+2

2

Reflnanzlerungsbarwert

S

Optlonsprels S I - heule

IE..-o) -249,59 E

lEll"ol 283,75 I

Duplikationsportfolio. Tableau Duplikationsportfolio. Tableau

Abb. 4.171: Allgemeines Binomialmodell im Einperiodenfall: Bewertung einer Kaufoption auf Basis eines Duplikationsportfolios Um das zur Preisbestimmung einer Option erforderliche Duplikationsportfolio bestimmen zu können, ist der zustandsabhängige Zahlungsstrom der unterstellten Kaufoption exakt nachzubilden. Dazu ist zunächst ein aktueller Aktienkauf zu einem Kurs von 600,00 Euro nötig. 966 Es sei ferner angenommen, daß der Aktienkurs am Verfallstag der Option entweder auf einen Kurswert von 1.200,00 Euro gestiegen ist oder auf einen Kurswert von 300,00 Euro gesunken ist. 967 Gleichzeitig ist sowohl der aktuelle Aktienkurs als auch die angenommene zukünftige binäre Aktienkursentwicklung mit dem Optionsdelta zu gewichten, um eine identische Kursentwicklung von Aktie und Kaufoption zu gewährleisten. 968 Um den zustandsabhängigen Zahlungsstrom der Kaufoption exakt nachzubilden, ist ferner eine Refinanzierung, d. h. eine aktuelle Kreditaufnahme zum Aktienkauf, zu tätigen. Das Duplikationsportfolio muß bei einem Aktienrückgang auf 300,00 Euro entsprechend dem inneren Wert der Option einen Wert von Null ausweisen. 969 Dazu muß der Rückzahlungsbetrag der Refinanzierung dem Verkaufswert der Aktie am Verfallstag entsprechen. Dabei ist zu beachten, daß der Aktienkurs von 300,00 Euro mit dem Optionsdelta zu gewichten ist, um eine exakte Kompensation zwischen Aktienverkaufswert und Kreditrückzahlungsbetrag zu gewährleisten. 966y gl.

Abb. Abb. 968ygl. Abb. 969ygl. Abb. 967ygl.

4.171 4.171 4.171 4.171

Duplikationsportfolio-Tableau Duplikationsportfolio-Tableau Duplikationsportfolio-Tableau Duplikationsportfolio-Tableau

Spalte 1. Spalten 2, 3. Spalten 4, 5, 9, 12. Spalte 14.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

359

Abb. 4.171 auf der vorherigen Seite Duplikationsportfolio-Tableau zeigt im Falle eines Aktienkursrückganges die exakte Kompensation zwischen dem Optionsdelta-gewichteten Verkaufswert der Aktien von 266,67 Euro und dem Rückzahlungsbetrag des Kredits von -266,67 Euro am Verfallstag der Kaufoption. 97o Wird dagegen der Fall der Aktienkurssteigerung auf 1.200,00 Euro (Optionsdeltagewichtet 1.066,67 Euro) betrachtet, so kann gemäß Abb. 4.171 auf der vorherigen Seite bei dem Refinanzierungsaufwand von -266,67 Euro ein Gewinn von 800,00 Euro ausgewiesen werden, der exakt dem inneren Wert der Option am Verfallstag entspricht. 971 Der aus der Konstruktion des Duplikationsportfolios resultierende Refinanzierungsaufwand von -266,67 Euro am Verfallstag ist gemäß Abb. 4.171 auf der vorherigen Seite nun noch mit Hilfe des risikolosen Zinses auf den aktuellen Bewertungszeitpunkt abzuzinsen. Das Ergebnis von -249,59 Euro wird als Barwert der Refinanzierung (englisch: leverage) bezeichnet. 972 Die Summation zwischen dem Barwert der Refinanzierung von -249,59 Euro und dem aktuellen um das Optionsdelta gewichteten Aktienkurs von 533,33 Euro entspricht dem heutigen Preis der Kaufoption von 283,75 Euro. 973 Im Kontext der marktwertigen Betrachtung von Zahlungsströmen ähnelt das Duplikationsportfolio dem Verfahren der zahlungsstrukturkongruenten Refinanzierung. 974 Der Unterschied zwischen bei den Konzeptionen besteht lediglich in der Tatsache, daß das Duplikationsportfolio stochastische Zahlungsströme bewertet, während das Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung zur Kalkulation deterministischer Zahlungsströme eingesetzt wird. Die in Abb. 4.171 auf der vorherigen Seite dargestellte Bewertung einer Kaufoption auf Basis eines Duplikationsportfolios kann finanzmathematisch so vereinfacht werden, daß die Kenntnis der inneren Optionswerte am Verfallsdatum, der Auf- und Abwärtsfaktoren sowie des risikolosen Zinssatzes zur Optionspreisbestimmung ausreicht. 975 976 Abb. 4.172 auf Seite 361 zeigt die vereinfachte Berechnung des Optionspreises auf Basis eines 970Vgl. Abb. 4.171 auf der vorherigen Seite Duplikationsportfolio-Tableau Spalten 12, 13, 14. 971 Vgl. Abb. 4.171 auf der vorherigen Seite Duplikationsportfolio-Tableau Spalten 9, 10, 11. 972 V gl. Abb. 4.171 auf der vorherigen Seite Duplikationsportfolio-Tableau Spalte 15. 973Vgl. Abb. 4.171 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 3. 974Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 975Vgl. [31] 976Das Duplikationsportfolio gemäß Abb. 4.171 auf der vorherigen Seite beinhaltet implizit folgendes lineare Gleichungssystem: Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung

=

=

Aufwärtsfaktor* Optionsdelta * Aktienkurs + Refinanzierung Abwärtsfaktor * Optionsdelta * Aktienkurs + Refinanzierung

Aus dem linearen Gleichungssystem läßt sich folgende Determinante ableiten: det

= I ~t::;::f:!t:; ~ 1= Aufwärtsfaktor*

1-1 * Abwärtsfaktor= Aufwärtsfaktor- Abwärtsfaktor

Gesamtergebnisrechnung

360

Duplikationsportfolios. Sowohl die Optionspreisbestimmung durch Konstruktion eines Duplikationsportfolios als auch die vom Duplikationsportfolio abgeleitete vereinfachte Gleichung zur Optionspreisbestimmung führt zu einem identischen Optionspreis von 283,75 Euro. 977

Für den Refinanzierungsbetrag ergibt sich unter Anwendung der CRAMER'schen Regel: Refinanzierung

(A ufwärtsfaktor * Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung-

Refinanzierung

Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung * Abwärtsfaktor) * det (A ufwärtsfaktor * Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung-

1

Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung * Abwärtsfaktor) * 1

Barwert der Refinanzierung

(Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor) (Aufwärtsfaktor* Innerer Optionswert nach AbwärtsbewegungInnerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung * Abwärtsfaktor) * 1 . -:-:-----:------:---:------.,--:------:-..,.--...,* Abzmsfaktor (Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor)

Gemäß Abb. 4.171 auf Seite 358 errechnet sich der Preis einer Kaufoption wie folgt: Optianspreis

Optiansdelta * Aktienkurst=heute + Barwert der Refinanzierung

Das Optionsdelta ist gemäß Abb. 4.168 auf Seite 356 Spalte 12 wie folgt definiert: Optiansdelta

(Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung - Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung) (Aktienkurs nach Aufwärtsbewegung - Aktienkurs nach Abwärtsbewegung)

Die Multiplikation des Optionsdeltas mit dem Aktienkurst=heute ergibt: Optiansdelta * Aktienkurst=heute

(Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung) * 1 -:-:-~----:-------:-----:-----:---:-----:-----:-:-c.,---.,-----.,---:-:-c--:-----:-------:(Aktienkurs nach Aufwärtsbewegung - Aktienkurs nach Abwärtsbewegung)

. * Akhenkurst-heute -

Optiansdelta * Aktienkurst=heute

(Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung - Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung) * 1

(Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor)

Folglich gilt für den Preis einer Kaufoption (vgl. Abb. 4.172 auf der nächsten Seite Spalte 8): Optianspreis

(Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung - Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung) (Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor) (Aufwärtsfaktor* Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung -

~--~-----~~~-~~~~-~----:-~-------~~+

Abwärtsfaktor* Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung) * 1 . -:-:----:----::------,-----:--....,.. * Abz~ns faktor (Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor)

977Vgl. Abb. 4.171 auf Seite 358 Optionspreistableau Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.172 auf der nächsten Seite Spalte 8.

361

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

1

2

3

r-4

5- 4/3

6

7

Innerer Innerer ElWlIrteter Optionswert S Aufwar1sOptionswert S Abwar1s- S Hundert S risIkoloser S SEins S faktor faktor nach Abwartsnach Aufwar1sZins bewegung bewegung ('fo) [Euro) (Euro) 6,84 U 100 P 0,50 I 1 P 2,00 U 0,00 U 800,00 U

8 - (1 - 2) / (3 - 5) + (2*3 - 1 * 5) * (4 / (3 - 5)) / (1 / 6 + 4) Optionspreis t - heu1e

S

[Euro) 283,75 I

Abb. 4,172: Allgemeines Binomialmodell im Einperiodenfall: Vereinfachte Bewertung einer Kaufoption auf Basis eines Duplikationsportfolios

4.2.1.5.1.1.1.3 Vergleich der Bewertungsansätze In den bisherigen Kapiteln 4.2.1.5.1.1.1.1 auf Seite 357 und 4.2.1.5.1.1.1.2 auf Seite 357 wurde nachgewiesen, daß das allgemeine Binomialmodell und somit auch die noch zu beschreibenden Optionspreismodelle - das Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein sowie das Black/Scholes-Modell - den Preis eines zukünftigen Zahlungsstroms, der dieselbe zustandsabhängige Zahlungsstromstruktur wie eine Option aufweist, entweder als erwarteten inneren Optionswert auf Basis von Wahrscheinlichkeiten oder über die Konstruktion eines Duplikationsportfolios ermitteln.

362

Gesamtergebnisrechnung

Beide Bewertungsvarianten führen zu einem identischen Ergebnis978 und können auch finanzmathematisch ineinander überführt werden. 979

978Vgl. Abb. 4.170 auf Seite 357 Spalte 8 im Vergleich zu Abb. 4.171 auf Seite 358 Optionspreistableau Spalte 3 oder Abb. 4.172 auf der vorherigen Seite Spalte 8. 979Die Bewertung auf Basis eines Duplikationsportfolios basiert gemäß Abb. 4.172 auf der vorherigen Seite Spalte 8 auf folgender Gleichung: Optionspreis

(Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung - Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung) (Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor) (A ufwärtsfaktor * Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung Abwärtsfaktor* Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung) *

~----~~----------~~----~~--------~------------------~~~+

1 . -:-:-----::-------::-:------,-:-----::-:-----:* Abzzns faktor

(Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor)

Die Gleichung zur Optionspreisbestimmung kann wie folgt weiter umgeformt werden: Optionspreis

(Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung - Abwärtsfaktor* Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung * Abzinsfaktor + Aufwärtsfaktor* Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung * AbzinsfaktorInnerer Optionswert nach Abwärtsbewegung) *

Optionspreis

(Aufwärtsfaktor 1-

)

Abwärtsfaktor (Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung * (1 - Abwärtsfaktor* Abzinsfaktor) + Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung * (Aufwärtsfaktor * Abzins jaktor - 1)) * 1

(Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor) Optionspreis

1

(Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung * ( . Abzmsjaktor

-

Abwärtsfaktor) * Abzinsjaktor + 1

Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung * Abzinsjaktor * (Aufwärtsfaktor - . )) * Abzmsjaktor 1

(Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor) Optionspreis

Optionspreis

1

(Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung * ( . Abzmsjaktor

-

Abwärtsfaktor) +

1 Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung * (Aufwärtsfaktor - . )) * Abzinsjaktor * Abzmsjaktor 1 (Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor) (Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung * (Zinsjaktor - Abwärtsfaktor) + Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung * (Aufwärtsfaktor - Zinsjaktor)) * Abzinsjaktor * 1

Optionspreis

(A ufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor) . (Zinsjaktor - Abwärtsfaktor) + (Innerer Optzonswert nach Aufwärtsbewegung * ( Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor) . (A ufwärtsfaktor - Zinsjaktor) Innerer Optwnswert nach Abwärtsbewegung * ) * Abzinsjaktor (Aufwärtsjaktor - Abwärtsfaktor)

Im Binomialmodell gelten für Terme die folgenden Prämissen einer risikoneutralen Welt: Wahrscheinlichkeit Aktienkursanstieg Wahrscheinlichkeit Aktienkursabstieg

(Zinsjaktor - Abwärtsfaktor) (Aufwärtsfaktor - Abwärtsfaktor) 1 - Wahrscheinlichkeit Aktienkursanstieg

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

363

4.2.1.5.1.1.2 Der Mehrperiodenfall Der in Kapitel 4.2.1.5.1.1.1 auf Seite 354 unter-

suchte Einperiodenfall eines binomialen Ereignisbaums wird im folgenden auf den Mehrperiodenfall ausgedehnt. Dazu wird der in Abb. 4.167 auf Seite 355 dargestellte einperiodige Binomialbaum um eine weitere Periode ergänzt. Abb. 4.173 auf der nächsten Seite zeigt dementsprechend den Ereignisbaum des Binomialmodells im Zweiperiodenfall.

Somit gewinnt die Optionspreisformel die in Abb. 4.170 auf Seite 357 dargestellte bekannte Form: Optionspreis

=

(Innerer Optionswert nach Aufwärtsbewegung * Wahrscheinlichkeit Aktienkursanstieg + Innerer Optionswert nach Abwärtsbewegung * Wahrscheinlichkeit Aktienkursabstieg) * Abzinsjaktor

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Aktienkurs Basispreis Optionspreis

t = heute

Abwärt sfakt or absoluter Abstieg relativer Abstief;! Wahrscheinlichkeit

Aufwärtsfakt or absoluter Anstieg relativer Anstieg Wahrscheinlichkeit

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

t=1

Abwärt sfakto r absoluter Abstieg relativer Abstieg Wahrscheinlichkeit

Aufwärtsfaktor absoluter Anstieg relativer Anstief;! Wahrscheinlichkeit

Abwärtsfaktor absoluter Abstieg relativer Abstieg Wahrscheinlichkeit

Aufwä rt sfa kt 0 r absoluter Anstief;! relativer Anstieg Wahrscheinlichkeit

Aktienkurs Basispreis ,---JDnerer Wert_ Pfad 4

Pfad 2 Aktienkurs Basispreis Innerer Wert Pfad 3

Pfad 1 Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

t = Verfallsdatum

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600,00 € 400,00 €

t = heute

0,50 -300,00 € -50,00% 62,11 %

2,00 600,00 € 100,00% 37,89%

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1.200,00 € 400,00 €

t=1

0,50 -150,00 € -50,00% 62,11 %

2,00 300,00 € 100,00% 37,89%

0,50 -600,00 € -50,00% 62,11 %

2,00 1.200,00 € 100,00% 37,89%

150,00 € 400,00 € 0,00 € Pfad 4

Pfad 2 600,00 € 400,00 € 200,00 € Pfad 3

Pfad 1 2.400,00 € 400,00 € 2.000,00 €

t = Verfallsdatum

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4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

365

Abb. 4.173 auf der vorherigen Seite zeigt, daß als Ergänzung zum binomialen Einperiodenfall gemäß Abb. 4.167 auf Seite 355 zum Zeitpunkt t

= 1 zwei Aktienkurse die

Ausgangsbasis für die weitere Akt ienkursentwicklung , die entweder auf- oder abwärtsgerichtet sein kann, darstellen. Es ergibt sich also im binomialen Zweiperiodenfall bei einer zweifachen Aufwärtsbewegung ein Aktienkurs von 2.400,00 Euro, bei einer Aufwärtsund einer Abwärtsbewegung oder umgekehrt ein Aktienkurs von 600,00 Euro sowie bei einer zweifachen Abwärtsbewegung ein Aktienkurs von 150,00 Euro. In Abhängigkeit von der jeweiligen Aktienkursentwicklung betragen dementsprechend die zugehörigen inneren Werte der Kaufoption 2.000,00 Euro, 200,00 Euro oder 0,00 Euro bei einem Basispreis von 400,00 Euro. Zur Berechnung des bis dato unbekannten Optionspreises zum Zeitpunkt t

= heute

ist eine zweistufige Vorgehensweise erforderlich. Zunächst sind die Optionspreise nach

Ende der ersten Periode, also zum Zeitpunkt t = 1, auf Basis der Wahrscheinlichkeiten

zu bestimmen. Im nächsten Schritt ist der Preis der Kaufoption zum Zeitpunkt t = heute auf Basis der Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln. Abb. 4.174 zeigt diese zweistufige Vorgehensweise.

,

Optionspreistableau 2um Zeitpunkt t - l' Pfade 1 2

8 = (1 * 2 + 4 * 5) / 3 / (6 / 3 + 7 7 6 4- 3 .1 5 3 2 Innerer Innerer Optionswert Wahrschein· Optionswert Wahrschein· Optionspreis Erwarteter nach lichkeit nach lichkeit S S risikoloser SEins S t- 1 S S Hundert S S Abwärts. Aktienkurs· Aufwärts. Aktienkurs· Pfade 1, 2 Zins bewegung abstieg bewegung aufstieg Pfad 2 Pfad 1 (Euro) (%) (Euro) (%) (%) IEuro) 825,57 A 1 P 6,84 U 200,00 U 62,11 I 100 P 2.000,00 U 37,89 U 1

Opl,onspre,stableau zum Zeitpunkt t = heute. Pfade 1, 2, 3, 4

Optionspreistableau 2um Zeitpunkt t

=l' Pfade 3, 4

""""1

8= (1 * 2 +4 * 5) / 3 / (6 / 3 + 7) 6 5 4 - 3 ·1 Innerer Innerer Optionswert Wahrschein· Optionswert Wahrschein· Optionspreis Erwarteter nach lichkeit nach lichkeit S t =1 S risIkoloser SEins S S S Hundert S S Aktienkurs. Abwärts· Aktienkurs. Aufwärts· Pfade 3, 4 Zins bewegung abstieg bewegung aufstieg Pfad .. Pfad 3 (Euro) (Euro) 1%) ('1'0) (Euro) (%) 70,95 A 1P 6,84 U 0,00 U I 62,11 100 P 200,00 U 37,89 U

2

1

3

Opl,onspre,stableau zum Zeitpunkt t

,

Optionspreistableau 2um Zeitpunkt t -- heute' Pfade 1, 2 , 3 4 1 Wahrschein· lichkeit S Aktienkurs· aufstieg (%)

37,89 U

""""1

=heute, Pfade 1, 2, 3, 4

n

8 = (1 • 2 + 4 • 5) / 3 / (6 /3 + 6 4- 3 .1 5 Options. Wahrschein. Optionspreis Erwarteter preis lichkeit S t = heute S risikoloser SEins S S S Hundert S Aktienkurs· t- 1 Pfade 1, 2, 3, 4 Zins Pfade 3, 4 abstieg (Euro) (%) (%) IEuro) 334,05 I 1 P 6,84 U 70,95 E 62,11 I 100 P 825,57 E

2 Options. preis t=1 Pfade 1,2 (Euro)

3

Opl,onspre,stableau zum Zeitpunkt t = 1: Pfade 1, 2 Oplionspreistableau zum Zeitpunkt t = 1: Pfade 3, 4

Abb. 4.174: Allgemeines Binomialmodell im Zweiperiodenfall: Bewertung einer Kaufoption auf Basis von Wahrscheinlichkeiten

366

Gesamtergebnisrechnung

Ausgangspunkt der beispielhaften Optionspreisberechnung sind die inneren Optionswerte zum Verfallszeitpunkt. Im ersten Berechnungsschritt werden zum einen die inneren Optionswerte der Pfade 1 und 2 mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gewichtet, anschließend addiert und auf den Zeitpunkt t = 1 abgezinst, zum anderen die inneren Optionswerte der Pfade 3 und 4 mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gewichtet, = 1 abgezinst. 98o Gemäß Abb. 4.174 auf

anschließend addiert und auf den Zeitpunkt t

der vorherigen Seite werden für die Pfade 1, 2 zum Zeitpunkt t

= 1 ein Optionspreis

von 825,57 Euro ermittelt,981 für die Pfade 3, 4 dagegen lediglich ein Optionspreis von 70,95 Euro. 982

Im zweiten Berechnungsschritt werden die jetzt bekannten Optionspreise der Pfade 1, 2 sowie 3, 4 mit ihren Wahrscheinlichkeiten gewichtet, anschließend addiert und auf

= heute abgezinst. Als Ergebnis beträgt der Preis der Option zum = heute 334,05 Euro. 983

den Zeitpunkt t Zeitpunkt t

4.2.1.5.1.1.3 Anwendungsbeispiele Bevor auf das von Cox/Ross/Rubinstein entwickelte Binomial-Modell984 sowie auf das Black/Scholes-Modell985 eingegangen wird,

werden noch drei Optionstypen als Anwendungsbeispiele des allgemeinen Binomialmodells gemäß Abb. 4.175 eingehend analysiert. 986 Anwendungsbeispiele des allgemeinen Binomialmodells

Verkaufsoption (englisch: put)

"Geld oder Nichts"-Option (englisch: "cash or nothing"-Option)

"Vermögen oder Nichts"-Option (englisch: "asset or nothing"-Option)

Abb. 4.175: Anwendungsbeispiele des allgemeinen Binimialmodells

980Vgl. Abb. 4.174 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = 1: Pfade 1, 2 sowie Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = 1: Pfade 3, 4. 981Vgl. Abb. 4.174 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = 1: Pfade 1, 2 Spalte 8. 982Vgl. Abb. 4.174 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = 1: Pfade 3,4 Spalte 8. 983Vgl. Abb. 4.174 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = heute: Pfade 1, 2, 3, 4 Spalte 8. 984Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375. 985Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383. 986Vgl. [54, S. 157 fI.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

367

Zum Verständnis der drei Optionstypen - Verkaufsoption, "Geld oder Nichts"-Option, "Vermögen oder Nichts-Option" - kann auf den Binomialbaum einer Kaufoption im Zweiperiodenfall, dargestellt in Abb. 4.173 auf Seite 364, zurückgegriffen werden. Der Binomialbaum muß lediglich an die Ausübungslogik des entsprechenden Optionstyps angepaßt werden, um eine korrekte Bewertung des jeweiligen Optionstyps zu ermöglichen. 4.2.1.5.1.1.3.1 Die Verkaufsoption Um eine Verkaujsoption zu bewerten, ist am Ver-

fallsdatum der Aktienpreis mit dem Basispreis zu vergleichen. Die Verkaufsoption wird ausgeübt, wenn am Verfallsdatum der Preis der Aktie unterhalb des Basispreises liegt. Dementsprechend zeigt Abb. 4.176 auf der nächsten Seite den Binomialbaum einer Verkaufsoption im Zweiperiodenfall.

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Aktienkurs Basispreis Optionspreis

t = heute

Abwärt sfa ktor absoluter Abstielt relativer Abstieg Wahrscheinlichkeit

Aufwä rt sfa kt 0 r absoluter Anstie!:l relativer Anstieg Wahrscheinlichkeit

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

t=1

Abwärtsfaktor absoluter Abstie!:l relativer Abstieg Wahrscheinlichkeit

Aufwärtsfaktor absoluter Anstie!:l relativer Anstieg Wahrscheinlichkeit

Abwärtsfaktor absoluter Abstie!:l relativer Abstieg Wahrscheinlichkeit

Aufwärtsfaktor absoluter Anstie!:l relativer Anstieg Wahrscheinlichkeit

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert Pfad 4

Pfad 2 Aktienkurs Basispreis Innerer Wert Pfad 3

Pfad 1 Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

t = Verfallsdatum

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t = heute

0,50 -300,00 € -50,00% 62,11 %

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t=1

0,50 -150,00 € -50,00% 62,11 %

2,00 300,00 € 100,00% 37,89%

0,50 -600,00 € -50,00% 62,11%

2,00 1.200,00 € 100,00% 37,89%

150,00 € 400,00 € 250,00 € Pfad 4

Pfad 2 600,00 € 400,00 € 0,00 € Pfad 3

Pfad 1 2.400,00 € 400,00 € 0,00 €

t = Verfallsdatum

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4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

369

Abb. 4.176 auf der vorherigen Seite zeigt, daß lediglich bei einem Aktienkurs von 150,00 Euro eine Ausübung am Verfallsdatum sinnvoll erscheint, da der innere Optionswert von 250,00 Euro größer als Null ist. Die Bewertung der unterstellten Verkaufsoption erfolgt - analog zur Bewertung einer Kaufoption - auf Grundlage der inneren Optionswerte sowie der Wahrscheinlichkeiten gemäß Abb. 4.177. 987

,

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = l ' Pfade 1 2 8 = (1 • 2. + 4 • 5) 13 I (6 I 3 + 7) 6 T 5 Innerer Innerer Optionswert Wahrschein Wahrschein, Optionswert Optionspreis Erwarteter lichkeit nach nach lichkeit S t=1 S risikoloser SEins S S S Hundert S S AbwärtsAktienkursAktienkursAufwärtsPfade 1, 2. Zins bewegung abstieg bewegung aufstieg Pfad 2. Pfad 1 [Euro) [%) [Euro) [%) [Euro) [%) 0,00 A 6,84 U 1 P 0,00 U 62,11 I 100 P 0,00 U 37,89 U 2.

1

3

4 = 3,1

Opt,onspre,stableau zum Zeitpunkt t -- heute, Pfade 1, 2, 3, 4

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = l ' Pfade 3 4

,

8 = (1 • 2. + 4 • 51 / 3 I (6 13 + 7 6 7 5 Innerer Innerer Wahrschein Optionswert Optionswert WahrscheinOptionspreis Erwarteter lichkeit nach nach lichkeit t= 1 S S risikoloser SEins S S S Hundert S S AktienkursAbwärtsAufwärtsAktienkursPfade 3, 4 Zins bewegung abstieg bewegung aufstieg Pfad 4 Pfad 3 [Euro) [%) [Euro) [%) [Euro) [%) 145,33 A 1 P 6,84 U 62,11 I 250,00 U 100 P 0,00 U 37,89 U 1

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Opt,onspre,stableau zum Zeitpunkt t - heute, Pfade 1, 2, 3, 4

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Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = heute' Pfade 1 2 3, 4 Wahrscheinlichkeit S Akti en ku rsaufstieg [%)

37,89 U

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8 = (1 • 2 + 4 • 5) I 3 I (6 I 3 + 7) 6 5 OptionsWahrscheinOptionsOptionspreis Erwarteter preis lichkeit preis t = heute S S risiko loser SEins S S S Hundert S t=1 Aktienkurst=1 Pfade 1, 2, 3, 4 Zins Pfade 3, 4 abstieg Pfade 1,2. [Euro) [%) [Euro) [%) [Euro) 84,49 I 1 P 145,33 E 6,84 U 62,11 I 100 P 0,00 E 2

1

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4 = 3 -1

Opt,onspre,stableau zum Zeitpunkt t = 1: Pfade 1, 2 Optionspreistableau zum Zeitpunkt t

=1: Pfade 3, 4

Abb. 4.177: Allgemeines Binomialmodell im Zweiperiodenfall: Bewertung einer Verkaufsoption auf Basis von Wahrscheinlichkeiten Die Bewertung der beispielhaften Verkaufs option gemäß Abb. 4.177 ergibt einen Optionspreis von 84,49 Euro. 988 Eine wesentliche Vereinfachung zur Bestimmung des Preises einer Verkaufsoption ist durch Anwendung der Put-Galt-Parität (deutsch: Verkaufsrecht-Kaufrecht-Parität) möglich. 989 Eine Put-Call-Parität beschreibt das Verhältnis zwischen dem Preis einer Kaufoption und dem Preis einer Verkaufsoption, denen der gleiche Basiswert, ein identischer Basispreis und eine gleiche Resthaltedauer zugrunde liegt. 990 987Ygl. Abb_ 4.174 auf Seite 365. 988Ygl. Abb. 4,177 Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = heute: Pfade 1, 2, 3, 4 Spalte 8. 989Ygl. [116, S. 296 f,] 990Um die Put-Call-Parität herzuleiten, ist der Aufbau eines Arbitrageportfolios erforderlich, welches zum einen eine Kaufoption sowie eine Yerkaufsoption enthält und zum anderen absolut risikolos ist:

Gesamtergebnisrechnung

370

Abb. 4.178 zeigt dementsprechend die Berechnung des Preises einer Verkaufsoption auf Basis des in Abb. 4.174 auf Seite 365 ermittelten Preises einer Kaufoption. 1

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3

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Preis Erwarteter einer S Basis- S risikoloser S Hun - SEins S dert Kaufoption preis Zins t - heute (Eurol ('1101 (Eurol 1 U 6,84 U 100 U 334,05 U 400,00 U

6 - 3 / 4 +5 Zinsfaktor

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AktIenkulS S Halte S Jahres- S Baslswert S dauer basis t - heute

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(Eurol 600,00 U

Preis einer Verkaufsoption t - heute

S

(Euro) 84,49 I

Abb. 4.178: Allgemeines Binomialmodell im Zweiperiodenfall: Bewertung einer Verkaufsoption auf Basis der Put-Call-Parität Sowohl die direkte Bewertung einer Verkaufsoption auf Basis eines Binomialbaums als auch die indirekte Bewertung einer Verkaufsoption auf Basis der Put-Call-Parität führen zu einem identischen Bewertungsergebnis von 84,49 EurO. 991 Analog zur Kaufoption ist auch bei einer Verkaufsoption die Bestimmung von drei Wertuntergrenzen und einer Wertobergrenze gemäß Abb. 4.179 auf der nächsten Seite möglich. 992

Zahlung

Transaktion

+ Verkauf einer Kaufoption - Kauf einer Aktie - Kauf einer Verkaufsoption + Refinanzierung - Portfoliowert

t = heute + Kaufoptions-Preis - Aktienkurs - Verkaufsoptions-Preis + Abgezinster Basispreis Kaufoptions-Preis Aktienkurs Verkaufsoptions-Preis + abgezinster Basispreis

+

Zahlung nach Aktienabstieg t = Verfallsdatum 0 + Aktienkurs (Basispreis - Aktienkurs ) - Basispreis 0

Zahlung nach Aktienanstieg t = Verfallsdatum - (Aktienkurs - Basispreis ) + Aktienkurs 0 - Basispreis 0

Da zukünftige Rückflüsse am Verfallsdatum unabhängig vom Aktienverlauf (Portfoliowert am Verfallsdatum = O!) anfallen, kann die Preisbeziehung

o =

Kau/options-Preis - Aktienkurs - Verkau/soptions-Preis + abgezinster Basispreis

genutzt werden, um den Verkaufsoptions-Preis auf Basis des Kaufoptions-Preises zu berechnen (vgl. auch Abb. 4.178 Spalte 10): Verkau/soptions-Preis

=

Kau/options-Preis + abgezinster Basispreis - Aktienkurs

Die Put-Call-Parität ist nur für europäische Optionen anwendbar. 991 Vgl. Abb. 4.177 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau zum Zeitpunkt t Spalte 8 im Vergleich zu Abb. 4.178 Spalte 10. 992Vgl. Abb. 4.165 auf Seite 352.

= heute: Pfade 1, 2, 3, 4

371

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung 2 1 Aktienkurs S Basisprels S (Kurs Baslswert) [Euro[ [Euro[ 600,00 U 400,00 U

9

8

...

Erwarteter Hundert S rIsikoloser S Zins [%1 6,84 U 100 P

3~ 2 -1

4 a Max {2 - 1; " ,

GeldPosition

Erste Wertuntergrenze pnnerer Optionswe(1)

S

[Eurol

[Eurol 200,00 I

200,00 I

10 = 7 1 (1 +9 / 8)

11 = Max ((2 " 10) -1; " ,

Abzinsfaktor

S Zweite Wertuntergrenze

S

[Euro) 230,00 U

S

Zeitwert

S Dividende S

Dritte Wertuntergrenze

[Euro) 1,20 U

S

1 P

30,00 I

13 a Max ((2 " 10) + (10 " 12) - 1; " ,

161,59 I

Eins

[Eurol

12

[Eurol 0,9359790 I

7

6 = 5 -4

5 OptionsS preis

14 S

[Eurol 162,71 I

~

I

2

WertS obergrenze [Euro) 600,00 I

Abb_ 4.179: Wertgrenzen einer Verkaufsoption Da der Aktienkurs von 400,00 Euro kleiner ist als der Basispreis von 600,00 Euro besitzt die Option gemäß Abb. 4.179 einen inneren Wert von 200,00 Euro als erste Wertuntergrenze. 993 Durch die Abzinsung des Basispreises vermindert sich der innere Wert der Verkaufsoption gemäß Abb. 4.179 von 200,00 Euro auf 161,59 Euro als zweite Wertuntergrenze. 994 Eine eventuelle Dividendenzahlung bedeutet schließlich für den Käufer einer Verkaufsoption einen Vorteil, da er die Dividendenzahlungen ausgezahlt bekommt. Dementsprechend ergibt sich unter Berücksichtigung etwaiger Dividendenzahlungen als dritte Wertuntergrenze gemäß Abb. 4.179 wieder ein etwas höherer innerer Wert von 162,71 Euro. 995 Die Wertobergrenze ist natürlich mit dem Basispreis von 600,00 Euro gemäß Abb. 4.179 identisch,996 da keine rational handelnde Person eine Verkaufsoption erwerben wird, deren Preis die maximal mögliche Einzahlung im Verkaufsfall überschreitet. 4.2.1.5.1.1.3.2 Die "Geld oder Nichts"-Option Die "Geld oder Nichts"-Option entspricht der Logik einer klassischen Wette. Am Verfallsdatum wird eine fixe Summe

(= innerer Optionswert!) ausgezahlt, wenn der Aktienkurs mindestens dem Basispreis entspricht. Der Ausübungslogik einer Wette entsprechend zeigt Abb. 4.180 auf der nächsten Seite den Binomialbaum einer "Geld oder Nichts"-Option im Zweiperiodenfall bei einem fixen Wetteinsatz von 1.000,00 Euro.

993Vgl. 994Vgl. 995Vgl. 996V gl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

4.179 4.179 4.179 4.179

Spalte Spalte Spalte Spalte

4. 11. 13. 14.

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Aktienkurs Basispreis Optionspreis

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Abwärtsfaktor absoluter Abstie!:l relativer Abstieg Wahrscheinlichkeit

Aufwä rt sfakt or absoluter Anstie!:l relativer Anstieg Wahrscheinlichkeit

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

t=1

Abwärtsfaktor absoluter Abstie!:l relativer Abstieg Wahrscheinlichkeit

Aufwärtsfa ktor absoluter Anstie!:l relativer Anstieg Wahrscheinlichkeit

Abwärtsfaktor absoluter Abstie!:l relativer Abstieg Wahrscheinlichkeit

Aufwärtsfaktor absoluter Anstie!:l relativer Anstieg Wahrscheinlichkeit

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert Pfad 4

Pfad 2 Aktienkurs Basispreis Innerer Wert Pfad 3

Pfad 1 Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

t = Verfallsdatum

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600,00 € 400,00 €

t = heute

0,50 -300,00 € -50,00% 62,11 %

2,00 600,00 € 100,00% 37,89%

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t=1

0,50 -150,00 € -50,00% 62,11 %

2,00 300,00 € 100,00% 37,89%

0,50 -600,00 € -50,00% 62,11 %

2,00 1.200,00 € 100,00% 37,89%

150,00 € 400,00 € 0,00 € Pfad 4

Pfad 2 600,00 € 400,00 € 1.000,00 € Pfad 3

Pfad 1 2.400,00 € 400,00 € 1.000,00 €

t = Verfallsdatum

~

()'Q

=

S

g.

~

rJl "'1

......

=

0"

~

()'Q

"'1

ä

~ rJl ~

G1

~ ~ ~

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

373

Abb. 4.180 auf der vorherigen Seite zeigt, daß der Wetteinsatz von 1.000,00 Euro am Verfallsdatum bei Eintritt der Pfade 1, 2 und 3 gewonnen wird. Die Bewertung der unterstellten "Geld oder Nichts"-Option erfolgt auch in diesem Anwendungsbeispiel - analog zur Bewertung einer Kaufoption - auf Grundlage der inneren Optionswerte sowie der Wahrscheinlichkeiten gemäß Abb. 4.181. 997

,

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = l' Pfade 1 2

8 = (1 * 2 + 4 * 5) / 3 / (6 / 3 + 7) 7 5 6 4 = 3-1 2 3 Innerer Innerer Optionswert Optionswert WahrscheinWahrscheinErwarteter Optionspreis nach lichkeit lichkeit nach t=1 S S S risikoloser SEins S S Hundert S S AktienkursAbwärtsAktienkursAufwärtsPfade 1,2 Zins abstieg bewegung aufstieg bewegung Pfad 2 Pfad 1 [Euro! [%! [%! (Euro! [%! [Euro! 6,84 U 1 P 935,98 A 62 ,11 I 1.000,00 U 100 P 1.000 ,00 U 37,89 U 1

Opt,onspre,stableau zum Zeitpunkt t

=heute: Pfade 1, 2, 3, 4

,

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = 1· Pfade 3 4

'T" 8 = (1 * 2 + 4 * 5) / 3 / (6 / 3 + 7) 5 6 2 3 4 = 3-1 Innerer Innerer WahrscheinOptionswert WahrscheinOptionswert Optionspreis Erwarteter lichkeit nach lichkeit nach S S risikoloser SEins S t =1 S Hundert S S S AktienkursAbwärtsAufwartsAktienkursPfade 3, 4 Zins abstieg bewegung aufstieg bewegung Pfad 4 Pfad 3 (Eurol [Euro! [%! [Euro! 1%1 [%! 354,64 A 0,00 U 6,84 U 1 P 1.000,00 U 100 P 62,1 1 I 37,89 U 1

Opt,onspre,stableau zum Zeitpunkt t

=heute: Pfade 1, 2, 3, 4

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = heute' Pfade 1I 2 I 3 I 4

'T" 8= (1 *2 +4*5)/3 / (6 / 3 + 7) 6 4 = 3 -1 5 OptionsWahrscheinOptionspreis Erwarteter lichkeit preis t = heute S S S risikoloser SEins S S Hundert S Aktienkurst =1 Pfade 1,2,3,4 Zins abstieg Pfade 3, 4 [%) [Euro) (Euro) 1%) 538,10 I 6,84 U 1 P 100 P 62,1 1 I 354,64 E 935,98 E

2 1 WahrscheinOptionslichkeit preis S Aktienkurst- 1 Pfade 1, 2 aufstieg [Euro) [%! 37,89 U

3

Opt,onspre,stableau zum Zeitpunktt =1: Pfade 1, 2

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t

=1: Pfade 3, 4

Abb. 4.181: Allgemeines Binomialmodell im Zweiperiodenfall: Bewertung einer "Geld oder Nichts"-Option auf Basis von Wahrscheinlichkeiten Die Bewertung der beispielhaften "Geld oder Nichts"-Option gemäß Abb. 4.181 ergibt einen Optionspreis von 538,10 Euro. 998

4.2.1.5.1.1.3.3 Die "Vermögen oder Nichts"-Option Die "Vermögen oder Nichts li-Option ist ähnlich der "Geld oder Nichts"-Option gestaltet. Während der Käufer einer "Geld oder Nichts"-Option eine fixe Summe bei Ausübung der Option erhält, bekommt der Käufer einer "Vermögen oder Nichts"-Option bei Ausübung der Option die Aktie ohne Zahlung des Basispreises. Abb. 4.182 auf der nächsten Seite zeigt den Binomialbaum einer "Vermögen oder Nichts"-Option im Zweiperiodenfall.

99 7 Vgl.

Abb. 4.174 auf Seite 365.

998Vgl. Abb. 4.181 Optionspreistableau zum Zeitpunkt t

= heute: Pfade 1, 2, 3, 4 Spalte 8.

S

~

N

s·

.....

C1l

'0

0..

:::l

00

~

ö·

~

o

0..

:::l

~

rr

g-

g;

S· ~ :::l c:

.::: sr' ~F.

~C1l

(j

..... 0

Z ::1.

'-I

C1l

o :a 0..C1l

:::l

c2: C1l

: :'-I S ~& '-I C1l S ~

C1l

C1l 0 ..... S :::l .....

()'q

2""td :::l ..... :::l

(j

C1l :;.;-'00

~

:a..... C1l..... :::l

g;

"5lC1l >..... oq 00 C1l

00 tv

I-'

~

0"

>0"

Aktienkurs Basispreis Optionspreis

t = heute

Abwärtsfaktor absoluter Abstieg relativer Abstie~ Wahrscheinlichkeit

AufWärtsfaktor absoluter Anstieg relativer Anstieq Wahrscheinlichkeit

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

t=1

Abwärtsfaktor absoluter Abstieg relativer Abstieq Wahrscheinlichkeit

AufWä rt sfa kt 0 r absoluter Anstieg relativer Anstieq Wahrscheinlichkeit

Abwärtsfaktor absoluter Abstieg relativer Abstieq Wahrscheinlichkeit

AufWärtsfaktor absoluter Anstieg relativer Anstieq Wahrscheinlichkeit

t

Aktienkurs Basispreis Innerer Wert Pfad 4

Pfad 2 Aktienkurs Basispreis Innerer Wert Pfad 3

Pfad 1 Aktienkurs Basispreis Innerer Wert

= Verfallsdatum

?

= heute

600,00 € 400,00 €

t

0,50 -300,00 € -50,00% 62,11 %

2,00 600,00 € 100,00% 37,89%

?

300,00 € 400,00 €

?

1.200,00 DM 400,00 DM

t=1

0,50 -150,00 € -50,00% 62,11 %

2.00 300,00 € 100,00% 37,89%

0,50 -600,00 € -50,00% 62,11 %

2,00 1.200,00 € 100,00% 37,89%

150,00 € 400,00 € 0,00 € Pfad 4

Pfad 2 600,00 € 400.00 € 600,00 € Pfad 3

Pfad 1 2.400,00 € 400,00 € 2.400,00 €

t = Verfallsdatum

CD

CJCl

a =

B-

CD

r:J"

= .,rn....

~

.,

[

G') CD rn

~

~

375

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Abb. 4.182 auf der vorherigen Seite verdeutlicht, daß der Käufer der beispielhaften "Vermögen oder Nichts"-Option die Aktie kostenlos erhält, wenn am Verfallsdatum der Aktienkurs über dem Basispreis liegt (Pfade 1, 2 und 3). Dementsprechend sind die inneren Optionswerte bei Ausübung der Option am Verfallsdatum mit den Aktienkursen identisch. Abb. 4.183 zeigt die Bewertung der "Vermögen oder Nichts"-Option auf Basis von Wahrscheinlichkeiten.

-

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t - l ' Pfade 1I 2

6 ""1 8 - (1 • 2 + 4 • 5) 13 I (6 13 + 7 5 .. = 3 · 1 3 2 Innerer Innerer Optionswert Wahrschein. Optionswert Wahrschein. Optionspreis ElWarteter lichkeit nach nach lichkeit S S risikoloser SEins S S t- 1 S Hundert S S AbwärtsAktienkurs· Aufwärts· Aktienkurs· Pfade 1,2 Zins bewegung abstieg bewegung aufstieg Pfad 2 Pfad 1 [Euro) [Euro) [%) [Euro) 1%) [%) 1.199,94 A 1 P 6,84 U 600,00 U 62,11 I 100 P 2.400,00 U 37,89 U 1

Opt,onspre,stobleou zum Zeitpunkt t -- heute. pfode 1, 2, 3, 4

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = l' Pfade 3 I 4

'T" 8 = (1 • 2 + .. . 5) / 3 I (6 13 + 7) 6 .. = 3 . 1 5 3 2 Innerer Innerer Optionswert Wahrschein· Optionswert Wahrschein· Optionspreis ElWarteter nach lichkeit nach lichkeit S S risIkoloser SEins S S t- 1 S Hundert S S Aufwärts. Aktienkurs· Abwärts· Aktienkurs. Pfade 3," Zins bewegung abstieg bewegung aufstieg Pfad .. Pfad 3 [Euro) [Euro) [%) [%) [Euro) [%) 212,79 A 1 P 6,84 U 0,00 U 62,11 I 100 P 600,00 U 37,89 U 1

Opt,onspre,stobleou zum Zeitpunkt t -- heute. pfode 1, 2, 3, 4

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = heute' Pfade 1I 2 I 3 I 4 1 Wahrschein. lichkelt S Aktienkurs. aufstieg [%1 37,89 U

2 Options. preis t- 1 Pfade 1, 2 [Euro)

5 .. - 3.1 Options. Wahrschein· preis lichkelt S S Hundert S Aktienkurs. t- 1 abstieg Pfade 3," [Euro) )%)

1.199,94 E

100 P

62,11 I

""1

6

3

ElWarteter S risikoloser SEins S Zins

212,79 E

Optionspre,stobleou zum Zeitpunkt t = 1: pfade 1, 2 Optionspreistobleou zum Zeitpunkt t

8 = (1 • 2

+

4 ·5) 13 1 (6 13 + 7)

Optionspreis t - heute Pfade 1,2, 3,"

S

)Euro)

[%) 6,84 U

1 P

549,25 I

=1: pfade 3, 4

Abb. 4.183: Allgemeines Binomialmodell im Zweiperiodenfall: Bewertung "Vermögen oder Nichts"-Option auf Basis von Wahrscheinlichkeiten

einer

Die Bewertung der beispielhaften "Vermögen oder Nichts"-Option gemäß Abb. 4.183 ergibt einen Optionspreis von 549,25 EurO. 999 4.2.1.5.1.2 Das Cox/Ross/Rubinstein-Modell Die rekursive Berechnung eines Optionspreises mit Hilfe des allgemeinen Binomialmodells, dargestellt in Abb. 4.174 auf Seite 365, ist bei zunehmender Perioden- bzw. Pfadanzahl sehr zeit- und rechenaufwendig. Cox/Ross/Rubinstein haben auf der theoretischen Grundlage des allgemeinen Binomialmodells ein vereinfachtes Modell zur Berechnung von europäischen Kaufoptionen entwickelt. lOoo 999Ygl. Abb. 4.183 Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = heute: Pfade 1, 2, 3, 4 Spalte 8. lOOOygl. [31]

376

Gesamtergebnisrechnung

Das Cox/Ross/Rubinstein-Modell unterstellt dabei folgende Annahmen: • beliebig teilbare Aktien können jederzeit gekauft und verkauft werden. • keine Dividendenzahlungen oder Bezugsrechterlöse. • Leerverkäufe von Aktien sind möglich. • risikofreie Geld-/Kapitalanlagen sind mit einem konstanten, risikolosen Zinssatz möglich. • Steuern und Datenbeschaffungs- und Transaktionskosten fallen nicht an. • jeder kann am Markt teilnehmen. • diskrete Kursverläufe des Basiswertes, der dem Optionskontrakt zugrunde liegt.

Das Cox/Ross/Rubinstein-Modell beinhaltet eine allgemeingültige Gleichung zur Berechnung von inneren Werten einer Kaufoption nach n Perioden. Abb. 4.184 zeigt diese allgemeingültige Gleichung am dargestellten Beispiel des allgemeines Binomialmodells im Zweiperiodenfall.lO01 Optionswerttableau I

'ii 7 = 6 / 5 8 = MAX~ A 2 • 7 A -.11 - ~ • 3 - 4; 111 3 4 5 1 2 HaltedauerAktienkurs Haltedauer - S S Aufwär1SS Abwär1SInnerer Optionswert I S SEins S Perioden - S Basiswert S Basispreis faktor faktor perioden grenze t = heute [Euro) [Euro) [Eta"~ [SIek) [SIek) 0,00 I 1P 0,50 I 600,00 U 400,00 U 2,00 U 2,00 P 0,00 P

Optionswerttableau 11

5 ""6 7 = 6 / 5 8 - MAX~ A 2' JA -.11 - ~. 3 - 4; 111 1 2 3 4 HaltedauerAktienkurs Haltedauer- S S Aufwär1SS Abwär1S- S S Innerer Optionswert 11 SEins Perioden - S Basiswert S Basispreis faktor faktor perioden t = heute grenze [Euro) [Euro) [Euro) [SIek) [SIek) 200,00 I 1P 0,50 I 2,00 U 400,00 U 2,00 P 1,00 P 600,00 U

Optionsw erttableau 111

5 ""6 7 = 6 / 5 8 = MAX (!i A 2 • 7 A (1 - 2) • 3 - 4; 111 1 2 3 4 HaltedauerAktienkurs Haltedauer- S S Aufwär1SS Abwär1S- S Innerer Optionswert 111 S SEins Perioden - S Basiswert S Basispreis faktor faktor perioden grenze t = heute [Eta"o) [Euro) [Euro) [SIek) [SIek) 2.000,00 I 1 P 0,50 I 600,00 U 400,00 U 2,00 U 2,00 P 2,00 P

Abb. 4.184: Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein: Berechnung von inneren Optionswerten

100lVgl. Abb. 4.173 auf Seite 364.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

377

Für das in Abb. 4.184 auf der vorherigen Seite dargestellte allgemeine Binomialmodell im Zweiperiodenfall ergeben sich exakt drei innere Optionswerte, nämlich 0,00 Euro, 200,00 Euro, 2.000,00 EurO. 1002 Zur Berechnung der drei inneren Optionswerte läuft die Haltedauer-Periodengrenze von Null bis Zwei. 1003 Das Gleichungssystem der Abb. 4.184 auf der vorherigen Seite kann vereinfacht werden, wenn jene Binomialpfade identifiziert werden, bei denen der innere Wert der Kaufoption am Verfallsdatum größer als Null ist. Dazu ist die Bestimmung einer optimalen Haltedauer-Periodenuntergrenze gemäß Abb. 4.185 notwendig. 1

2

3

4

-

5

6 = 5/3

7 = ABRUNDEN (LN (3 I (2 ~ 6 .. 1)) I LN (4 / 6) + 5; '1)'1

Aktienkurs Optimale S Abwiil1sHaltedauerS Aufwiil1sS S SEins S Basiswert S B asisp reis Haltedauer-Periodenuntergrenze faktor faktor perioden t = heute (Euro) (Euro) (Stek) 1,00 I 0,50 I 1 P 2,00 U 400,00 U 600,00 U 2,00 p

Abb. 4.185: Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein: Berechnung der optimalen Halterdauer-Periodenuntergrenze Im unterstellten Rechenbeispiel des allgemeines Binomialmodells im Zweiperiodenfall 1Oo4 beträgt die optimale Haltedauer-Periodenuntergrenze Eins. 1005 Somit braucht die Haltedauer-Periodengrenze der Abb. 4.184 auf der vorherigen Seite nicht von Null bis Zwei,1006 sondern lediglich von Eins bis Zwei zu laufen. Das Cox/Ross/Rubinstein-Modell beinhaltet desweiteren eine allgemeingültige Gleichung zur Berechnung der Pfadanzahl bei n Perioden. Abb. 4.186 auf der nächsten Seite zeigt diese allgemeingültige Gleichung am dargestellten Beispiel des allgemeinen Binomialmodells im Zweiperiodenfal1. 1007 1008

lO02Vgl. Abb. 4.184 auf der vorherigen Seite Optionswerttableau Spalte 8 im Vergleich zu Abb. 4.173 auf Seite 364. lO03Vgl. Abb. 4.184 auf der vorherigen Seite Optionswerttableau Spalte 2. l004Vgl. Abb. 4.173 auf Seite 364. lO05Vgl. Abb. 4.185 Spalte 7. l006Vgl. Abb. 4.184 auf der vorherigen Seite Optionswerttableau Spalte 2. l007Vgl. Abb. 4.173 auf Seite 364. lO08Vgl. zur Definition und Erläuterung des in Abb. 4.186 auf der nächsten Seite verwendeten Binomialkoeffizienten: [20, S. 51 f.]

378

Gesamtergebnisrechnung 3 - FAKULTAT (1) I (FAKULTAT (1 . 2) * FAKUL TAT (2))

4

S Perioden. S

Binomialkoeffizient I

Haltedauer. S Perioden· S grenze

(SIek)

(SIek)

1

2

Haltedauer·

Haltedauerperioden (stek)

grenze

2,00 p

0,00 P

7 c FAKUL TAT (1) I (FAKUL TAT (1 .6) * FAKUL TAT ~))

5 = FAKUL TAT (1) I (FAKUL TAT (1 . 4) * FAKUL TAT (4))

6

Binomialkoeffizient 11

S Perioden. S

Binomialkoeffizient 111

(SIek)

(SIek)

Haltedauer·

.. .

(SIek)

1,00 I

8= 3+5+7

S

grenze

(stek)

2,00 I

2,00 P

1,00 P

BInomlai. S pfade (SIek)

1,00 I

4,00 I

Abb. 4.186: Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein: Berechnung der Anzahl der Pfade Im unterstellten Rechenbeispiel des allgemeines Binomialmodells im Zweiperiodenfall lO09 beträgt die Anzahl der (Binomial-)Pfade Vier. 1010 Dabei läuft die HaltedauerPeriodengrenze zur Berechnung der Pfadanzahl von Null bis Zwei. 1011 Cox/Ross/Rubinstein haben nun die Gleichungen der Abb. 4.184 auf Seite 376, der Abb. 4.186 sowie der Abb. 4.170 auf Seite 357 zu einem Binomialmodell im n-Periodenfall mathematisch verdichtet. 1012 Abb. 4,187 auf der nächsten Seite zeigt das Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein am dargestellten Beispiel des allgemeinen Binomialmodells im ZweiperiodenfalL 1013

1009ygl. 101OYgl. 1011 Ygl. 1012ygl. 1013ygl.

Abb. Abb. Abb. [31] Abb.

4.173 auf Seite 364. 4.186 Spalte 8. 4.186 Spalten 2, 4, 6. 4.173 auf Seite 364.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

379

Optionspreistableau I zum Zeitpunkt t = Verfallsdatum 3 - FAIIUl TAT 111 I (fAIIUl TAT 11 - 21 " FAIIUlTAT (2))

2

I

4

HaltedauerAktienkurs S Binomialkoeffizient Haltedauerperioden S PerIodenS Baslswert S I grenze t - heute ISlekl ISlekl ISlekl lEurol 2,00 P

9 - 1IIAX~'2 "

1.00 I

10

8 • " - 21 " 4 - 5; -0,

.

0,00 P

IEurol

0,00 I

"'I

Hundert

6,84 U

S

100 U

6

Baslsprels

S

8 - 716

7

Aufwar1llfaktor

S

Eins

S

Abwlir1llfaktor

IEurol

600,00 U

12 10 / 11.7

11

Erwarteter Innerer Optlo.-ert S risiko loser S I Zins

5

400 ,00 U

13 - 112 - 81 I

2.00 U

14 - 7 - 13

~ - 8)

0,50 I

1 P

15 - 13 ' 2 " ' " 11 -21

S

I

16 - 3 " 9 " 15

WahrschelnWahrscheInZlnsIIchkelt IIchkelt Wahrscheln- S Optlonsprels I S S S S faktor AktienkursAktlenkurslIehkeltsfaktor t - Verfallsdatum anstieg abstieg IEurol 1,ffiB4 I 0,3789 I 0,6211 I 0,3857 I 0 ,00 A Optionsprcistableau zum Zeitpunkt t - heute

-

Optionspreistableau 11 zum Zeitpunkt t - Verfallsdatum 3 = FAIIUlTAT 111 I (fAIIUlTAT 11 - 2) " FAIIUl TAT 1211

2

I

4

HaltedauerAktienkurs S Binomialkoeffizient HaltedauerperIoden S PerIodenS Baslswert s I grenze t - heute ISlekl ISlekl ISlekl IEurol 2,00 P 1,00 P 2,00 I 6OO.ooU

9 - 1IIAX~'2 "

10

8 • " - 2) "4 - 5- -0,

.

(Eurol

~

200,00 I

"'I

Baslsprels

S

8 - 716

7

6 Aufwär1llfaktor

S

Eins

S

Abwar1llfaktor

IEurol 2,00 U

400.00 U

S 0,50 I

1 P

I

15 - 13' 2 ' 13 - 112 -81 I 16 - 3 " 9 " 15 14 - 7 - 13 ,; - 81 14' f1 - 21 WahrschelnWahrscheInZins.. IIchkelt IIchkelt Wahrscheln- S Optlonsprels 11 S S S S faktor AktienkursIIchkeitsfaktor AktIenkurst - Verfallsdatum anstieg abstieg [Eurol 1,0684 I 0,3789 I 0,6211 I 0,2353 I 94 ,14 A

12 10 / 11.7

11

Erwarteter Innerer Optlo.-ert S rIsIkoloser S 11 Zins

5

Hundert

6,84 U

S

100 U

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t

=heute

-

Optionspreistableau 111 zum Zeitpunkt t - Verfallsdatum 3 = FAIIUl TAT 111 I (fAIIUl TAT 11 - 2) " FAIIUl TÄT (2))

2

I

4

HaltedauerAktIenkurs S Binomialkoeffizient Haltedauerperioden S PerIodenS Baslswert S I grenze t - heute [Slekl [Slekl (Eurol ISlekl 2,00 P 600,00 U 2,00 P 1,00 I

9 - 1IIAX~'2 "

10

8' 11 - 2) " 4 - 5'-01

IEurol

2.000,00 I

"'I

Hundert

6,84 U

6

Baslsprels

S

8 -71 6

7

Aufwar1llfaktor

S

Eins

S

Abwar1llfaktor

(Eurol 400,00 U

2,00 U

S 0,50 I

1 P

15 - lJA 2" 13 - 112 - 81 I 16 - 3 " 9 " 15 14 - 7 - 13 14'(1 - 2) ,; - 81 WahrschelnWahrscheInWahrscheln- S Optlonsprels 111 ZlnsIIchkelt IIchkelt S S S S faktor AktIenkursAktienkursIIchkeltsfaktor t - Verfallsdatum anstieg abstieg IEurol 1,ffiB4 I 0,3789 I 0,6211 I 0,143E I 287 ,17 A

12 10 / 11.7

11

Erwarteter Innerer Optlo.-ert S rIsIkoloser S 111 Zins

5

S

100 U

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t ,. heute

Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = heute I

Optlonsprels I t - Verfallsdatum IEurol

2 OptIonspreis 11 S S t - Verfallsdatum IEurol

(Eurol

94,14 E • Verfallsdatum

0.00 E

4

3 Optionsprels 111 t - Verfallsdatum

Erwarteter rIsIkoloser S S Zins p.a.

287,17 E

5 Hundert

1'1101 6,84 U

S

7 - 4 / 5.6

Eins

Zins.. faktor

S

8 S

Haltedauer

S

IT_I 100 P

Optionspreistableau I zum Zeitpunkt t

Optionspreis1ableau nzum Zeitpunkt t • Verfallsdatum

Optionspreistableau 111 zum Zeitpunkt t • Verfallsdatum

9

6

_I

10 - 11 .2. 3) / 7"

91

Preis Jahres.. S Kaufoption S basls t - heute IT_I IEurol 3EO,00 P 334,05 I

Abb. 4.187: Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein

1 P

1,ffiB4 I

720,00 P

I

380

Gesamtergebnisrechnung

Das in Abb. 4.187 auf der vorherigen Seite dargestellte Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein im beispielhaften Zweiperiodenfall rechnet alle denkbaren Pfade des jeweiligen Ereignisbaums durch. 1014 Dabei läuft die Haltedauer-Periodengrenze von Null bis Zwei. 1015 1016 Als Zwischenergebnisse errechnet das Binomialmodell für jeden Binomialpfad die entsprechenden Optionspreise am Verfallsdatum: 0,00 Euro, 94,14 Euro und 287,17 EurO. 1017 Der heutige Preis der Kaufoption von 334,05 Euro ergibt sich schließlich durch Abzinsung der Summe der drei Optionspreise am Verfallsdatum. 1018 Auf

Grundlage

des

unterstellten

binomialen

Aktienkursverlaufs

haben

Cox/Ross/Rubinstein das Binomialmodell, dargestellt in Abb. 4.187 auf der vorherigen Seite, vor dem Hintergrund der Binomiaiverteilung1019 umgeformt. 102o Aus der Umformung resultiert letztlich das in Abb. 4.188 auf der nächsten Seite dargestellte Binomialmodell auf Basis einer Binomialverteilung.

1014Ygl. Abb. 4.187 auf der vorherigen Seite Optionspreistableaus I, II und III zum Zeitpunkt t = Yerfallsdatum. l015Ygl. Abb. 4.187 auf der vorherigen Seite Optionspreistableaus I, II und III zum Zeitpunkt t = Yerfallsdatum Spalte 2. l016Eine Vereinfachung des in Abb. 4.187 auf der vorherigen Seite dargestellten Binomialmodells kann insoweit erfolgen, daß nur jene Pfade betrachtet werden, die zu einem positiven inneren Optionswert führen. Dazu ist die Berechnung einer optimalen Haltedauer-Periodenuntergrenze gemäß Abb. 4.185 auf Seite 377 notwendig. 1017Ygl. Abb. 4.187 auf der vorherigen Seite Optionspreistableaus I, II und III zum Zeitpunkt t = Yerfallsdatum Spalte 16. l018Ygl. Abb. 4.187 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = heute Spalte 9. l019Ygl. zur Definition und Erläuterung der Binomialverteilung: [20, S. 52 ff.] 1020Ygl. [31]

4" 2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Wahrscheinlichkeitstermtableau I 2 Erwarteter

S

risikoloser

Zins

1'101

Hundert

6,84 U

S

3

4 - 1 / 2.3

Eins

Zlnsraktor

100 P

S

381

Aufw.... foktor

1,0084 I

1 P

~

5 S

S

2,00 U

7- 6/5

9 - 5/ 4"8

8 -~.~~.

S

Abwäna. S faktor

1 P

0,50 I

EI ...

W.hrscheln. IIchkehsf.ktor AktIenkun· abstieg

S

0,3789333 A

Wohrscheln. IIchkehllerm

S

. 07093473 A

AusubungswahrschclnhchkeHstableau "Geld oder Nichts -Option

Ausübungswlhrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nk hts"-Oplion

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau ''Vermöaen oder Nichts" ODtion 4 I 2 3 AusUbungs. wahrscheinlichkeit Optimale

Haltedauer.

Perloden-

S

S Wahrschein. S IIchkeltsterm

Hahedauer. Periodangrenze

untergrenz8

ISlekl

(Slek( 0,7093473 E 1 U 1 P Werte der Blnomlafverteilung

"'Vermage"

oder Nichts". Option gemaI! T _ der

5

--s-

Optimale

Halte.

9 - 4.8 7 8 AusUbungs. ~ AustIbungswahrschelnllchkeh wahrscheinlichkeit Wahr. "Vermögen -Vermbgan Hahedauer. dauer. ocheln. S S S S S oder Nleh.-. S oder Nichts"· perIoden. PeriodenIIchkeltsOption Option grenz. term untergrenz. gemaI! T _ der gemaI! T _ der

~ehIg

0,7000000 U

(Slekl 2 P 0,7093473 E 1 U Werte der Blnomlafvertellung

ISlekl

~ehIg

~ehIg

O,DXXXXl U

1,0000000 A Optlonspreistablelu

Wahrschelnhchkeitstableau

WahrschclnltchkeHstablelu

Aus übunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" ODtion 9 - 4.8 7 8 3 4 5 I 2 Wahr. ~ Ausübungs. Ausubungs. Ausubungs. ocheln. wahrscheinlichkeit wahrscheinlichkeit wahrsche(nllchkeh Holte. Optimale WahrscheinOptimale IIchkelts"Geld "Geld "Geld Hattedauer. dauer. Haltedauer. lIehkelt Haltedaueroder Nichts-. S S S S faktor S oder Nichts". S S S Alrtienkurs. S oder Nichts". perioden. PerIodengrenze Perioden· Perioden· Aktien· Option Option Option der untergrenz8 abstieg untergrenz. grenze gemaI! gemaI! der gemaI! T _ der kur.-

--s-

T_

Slekl

(Slekl

1 U

abstieg

~ehIg

1 P

Werte der Binomhilivertellunq

0,3789333 E

0,3294703 U

ISlekl

T_

~ehIg

ISlekl 1 U 2 P 0,3789333 E Werte der Blnomlofvertellung

~ehIg

04294703 U

0,75894()j A OptJonspreistableau

Wahrschetnllchkeitstableau

WahrschelOllchkeitstableau

Optionspreistableau

I Aktienkurs

Baslswert t - heute

2 ~ Ausübungs. w.hrschelnllchkelt S

IEurol 600,00 U

'Vermagen

oder Nichts"· Option gemaI! T _ der

4

3 - I °2

5

Preis

Kaufoption

S ""Vermagen S oder Nichts"

Basiopreio

S

t - heute

Eins

1,0000000 E

IEurol

IEurol 600,00 I

12 - 4 ° 15 / 6 • 10) A 117 / 8 " "1 ° 9 Preis Kaufoption

11

S

IIlnus EI ...

p.a.

Hohe·

dauer

S

Jahresb....

9 ~ AusUbungs. wahrscheinlichkeit "Geld S S oder Nichts". Option -*,T_der

400,00 U

S '"Geld oder Nichts" ·1 P

1'101

6,84 U

100 P

~

720,00 P

~

H100p

07589406 E

Au.übungswahr.chelnlichkeH:stableau ''Geld oder Hichts"-aption

13 - 3 . 12

S

t - heute

1 P

RIsIkol ... r Zins S Hundert S

8

7

~eIIung

~ehIg

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "V ermögen oder Hicht ....Option

10

~

IEurol

265,95 I

Prelo

KaufoptIon t - heute

IEurol

S

334,05 I

Abb. 4.188: Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein auf Basis einer Binomialverteilung Abb. 4.188 zeigt, daß sich der Preis einer Kaufoption aus zwei Komponenten zusammensetzt. 1021 Einerseits erhält der Käufer einer Option bei Ausübung die Aktie. Dies entspricht einer "Vermögen oder Nichts''-Option. 1022 Um den heutigen Gegenwert der "Vermögen oder Nichts"-Option zu berechnen, ist der aktuelle Aktienkurs mit der Ausübungswahrscheinlichkeit der "Vermögen oder Nichts"-Option zu gewichten.1023 Die Ausübungswahrscheinlichkeit der "Vermögen oder Nichts"-Option1024 basiert auf folgenden Werten l021Vgl. Abb. 4.188 Optionspreistableau Spalte 13. 1022Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.1.3.3 auf Seite 373. 1023Vgl. Abb. 4.188 Optionspreistableau Spalte 3. l024Die Ausübungswahrscheinlichkeit der "Vermögen oder Nichts"-Option kann den statistischen Tabellen

I

382

Gesamtergebnisrechnung

der Binomialverteilung: Optimale Haltedauer-Periodenuntergrenze 1025 , HaltedauerPeriodengrenze, Wahrscheinlichkeitsterm1026.1027 Andererseits muß der Käufer einer Kaufoption bei Ausübung den vereinbarten Basispreis zahlen. Dies entspricht einer "Geld oder Nichts"-Option. 1028 Um den heutigen Gegenwert der "Geld oder Nichts"-Option zu berechnen, ist der vereinbarte Basispreis mit der Ausübungswahrscheinlichkeit der "Geld oder Nichts"-Option zu gewichten und auf heute abzuzinsen. 1029 Die Ausübungswahrscheinlichkeit der "Geld oder Nichts"-Option1030 basiert auf folgenden Werten der Binomialverteilung: Optimale Haltedauer-Periodenuntergrenze 1031 , Haltedauer-Periodengrenze, Wahrscheinlichkeit Aktienkursabstieg1032.1033 Der Preis einer Kaufoption entspricht also einer Kombination aus Kauf einer" Vermögen oder Nichts"-Option, da der Käufer einer Kaufoption bei Ausübung die Aktie erhält, und aus Verkauf einer "Geld oder Nichts"-Option, da der Käufer einer Kaufoption bei Ausübung den Basispreis zahlen muß. Somit gilt folgende Gleichung: Preis einer Kaufoption = Preis einer "Vermögen oder Nichts"-Option minus Preis einer "Geld oder Nichts"-Option Der Preis der in Abb. 4.188 auf der vorherigen Seite unterstellten beispielhaften Kaufoption beträgt im Zweiperiodenfall 334,05 Euro, wobei auf den Preis der" Vermögen oder Nichts"-Option 600,00 Euro und auf den Preis der "Geld oder Nichts"-Option 265,95 Euro entfallen. 1034

der Binomialverteilung, z. B. [34, S. 188 f.], entnommen werden. 1025Zur Berechnung einer optimalen Haltedauer-Periodenuntergrenze: Vgl. Abb. 4.185 auf Seite 377. 1026Vgl. Abb. 4.188 auf der vorherigen Seite Wahrscheinlichkeitstermtableau Spalte 9. 1027Vgl. Abb. 4.188 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option Spalte 9. l028Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.1.3.2 auf Seite 371. 1029Vgl. Abb. 4.188 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 12. 1030Die Ausübungswahrscheinlichkeit der "Geld oder Nichts"-Option kann den statistischen Tabellen der Binomialverteilung, z. B. [34, S. 188 f.], entnommen werden. 1031Zur Berechnung einer optimalen Haltedauer-Periodenuntergrenze: Vgl. Abb. 4.185 auf Seite 377. 1032Vgl. Abb. 4.188 auf der vorherigen Seite Wahrscheinlichkeitstermtableau Spalte 8. l033Vgl. Abb. 4.188 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"Option Spalte 9. l034Vgl. Abb. 4.188 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalten 3, 12, 13.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

383

Anzumerken bleibt zum einen, daß die beispielhafte Bewertung einer Kaufoption im Zweiperiodenfall im allgemeinen Binomialmodell, im Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein sowie im Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein auf Basis einer Binomialverteilung zu identischen Ergebnissen von jeweils 334,05 Euro führen. 1035 Zum anderen ist darauf hinzuweisen, daß Cox/Ross/Rubinstein kein eigenes Gleichungssystem zur Bewertung einer Verkaufsoption hergeleitet haben. Folglich ist die im Kapitel 4.2.1.5.1.1.3.1 auf Seite 367 dargestellte Put-Call-Parität 1036 zur Bewertung einer Verkaufsoption zu verwenden.

4.2.1.5.1.3 Das Black/Scholes-Modell Das BlackjScholes-Modell 1037 basiert grundsätzlich auf den gleichen Annahmen wie das Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein1038 . Zusätzlich werden bezüglich der Aktienkursentwicklung folgende Annahmen getroffen: • die Aktienkursentwicklung folgt einem stetigen Zufallspfad,lo39 • die binären Auf- und Abwärtsfaktoren bleiben im Zeitablauf konstant, • der Abwärtsfaktor ist der reziproke Wert des Aufwärtsfaktors. Die in der Zufallspfad-Hypothese enthaltene Annahme einer Normalverteilung der Aktienkursveränderungen 1040 läßt sich mit Hilfe der Kennzahl Volatilität 1041 beschreiben. Wie gezeigt werden kann, lassen sich die im Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein1042 verwendeten Auf- und Abwärtsfaktoren in die Normalverteilungsannahme des Black/ScholesModells überführen. 1043 Dazu sind die Aufwärts- und Abwärtsfaktoren wie in Abb. 4.189 dargestellt zu endogenisieren. 1

2

3

.. - 1 • WURZEL (2 / 3)

-5

,.....-6

7 a EXP (4 / 5) · 6

Hlllitedauerspezifische Volllltilitat Hun. S JahresS Volllltilltät S AktIenkurs S Haltedauer S dert SEins S Aufwärtsfaktor basis Aktienkurs p.a. (Tage) 1'1101 ITagel 1'1101 2,00 I 1 P 109.86 I 100 P 720.00 P 360.00 P 77,68 U

8 - (EXP (. .. / 5) . 6) • - 6 Abwartsfaktor

S

0,67 I

Abb. 4.189: Verteilungsannahme des Black/Scholes-Modells

1035Vgl. Abb. 4.174 auf Seite 365 Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = heute: Pfade 1, 2, 3,4 Spalte 8 im Vergleich zu Abb. 4.187 auf Seite 379 Optionspreistableau zum Zeitpunkt t = heute Spalte 10 im Vergleich zu Abb. 4.188 auf Seite 381 Optionspreistableau Spalte 13. 1036Vgl. Abb. 4.178 auf Seite 370. 1037Vgl. [18] 1038Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375 1039 Vgl. Kapitel 3.3.2.2 auf Seite 46. l040Vgl. Kapitel 3.3.2 auf Seite 41. 1041Vgl. Kapitel 3.3.1.1.1 auf Seite 26. 1042 Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375. 1043Vgl. [31]

Gesamtergebnisrechnung

384

Die in Abb. 4.189 auf der vorherigen Seite dargestellte Endogenisierung der Aufwärts- und Abwärtsfaktoren zeigt,1044 daß das Black/Scholes-Modell im Gegensatz zum Binomialmodell von einer stetigen Verzinsung 1045 ausgeht. 1046 Die in Abb. 4.189 auf der vorherigen Seite dargestellte Endogenisierung der Aufwärts- und Abwärtsfaktoren zeigt desweiteren, daß das Black/Scholes-Modell stets auf einer annualisierten Volatilität basiert, die mit Hilfe des Wurzelgesetzes in eine haltedauerspezifische Volatilität transformiert wird. 1047 Auf Grundlage der unterstellten Annahmen haben Black/Scholes em Gleichungsmodell zur Bewertung von Kaufoptionen sowie ein Gleichungsmodell zur Bewertung von Verkaufsoptionen entwickelt. 1048 Das Black/Scholes-Modell zur Bewertung von Kaufoptionen zeigt Abb. 4.190 auf der nächsten Seite. Dabei werden die gleichen Basisgrößen wie im Cox/Ross/Rubinstein-Binomialmodell, dargestellt als Rechenbeispiel in Abb. 4.188 auf Seite 381, unterstellt. 1049

1044 Vgl. Abb. 4.189 auf der vorherigen Seite Spalten 7, 8. 1045Vgl. Kapitel 3.2.1.2 auf Seite 17. 1046 Ausgangslage des Binomialmodells nach CoxjRossjRubinstein ist ein absoluter Zufallspfad der Aktienkursveränderungen (vgl. Kapitel 3.3.2 auf Seite 41.): Aktienkurst=l Aktienkurst=l

=

=

Aufwärtsjaktor* Aktienkurst=o Abwärtsjaktor* Aktienkurst=o

Dagegen basiert das BlackjScholes-Modell auf einem stetigen Zufallspfad der Aktienkursveränderungen (vgl. Kapitel 3.3.2.2 auf Seite 46.): eRendite * Aktienkurst=o e-Rendite * Aktienkurst=o

Aktienkurst=l Aktienkurst=l

Demnach nimmt der Term eRendite bei binären Aktienkursveränderungen entweder den Wert des Aufwärtsfaktors oder den Wert des Abwärtsfaktors an. Durch Logarithmisierung ergibt sich: LN(Aujwärtsjaktor) -LN(Abwärtsjaktor)

= =

LN(eRendite) = Aktienkursrendite _LN(e-Rendite) = Aktienkursrendite

Wird eine hohe Anzahl von binären einjährigen Aktienkursveränderungen vorausgesetzt, so entspricht der Volatilität der binären einjährigen Aktienkursveränderungen dem Logarithmus des Aufwärtsfaktors bzw. dem negativen Logarithmus des Abwärtsfaktors (vgl. [103, S. 367]): Volatilität Volatilität

LN(Aufwärtsjaktor) = LN(eRendite) = Aktienkursrendite -LN(Abwärtsjaktor) = _LN(e-Rendite) = Aktienkursrendite

1047Vgl. Kapitel 3.3.2 auf Seite 41. 1048 Auf eine Herleitung der BlackjScholes-Gleichungsmodelle zur Bewertung von Optionen wird verzichtet, da fundierte Kenntnisse der stochastischen Differenzialrechnung erforderlich sind, die im Rahmen der vorliegenden Arbeit nicht vermittelt werden können. Diesbezüglich sei auf die Originalveröffentlichung von Black & Scholes (vgl. [18]) verwiesen. 1049Dem im beispielhaften Binomialmodell verwendeten Aufwärtsfaktor von 2,0 entspricht einer in Abb. 4.189 auf der vorherigen Seite unterstellten Volatilität von 77,68% p.a. im Rahmen des BlackjScholes-Modells.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

385

-

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau ''Vermöaen oder Nichts" Option 1

2

Aktienkurs

Boeiswert

S

I - heute

Baslsprels

S

Hundert

S

IIlndestrendlte S (Zufollsvorloble)

(Eurol

IEurol

sm,oo

4 - LN (1 12) • 3

3

U

11101 400,00 U

100 P

5 RIsikoloser Zins p.'. 11101

40,55 I

S

6,84 U

6 Volotilltlit Aktlenkul5 S p.'. 11101 77,68 U

1 Zwei

S 2

P

I 8

10 - (LN (.i 13 +313) + 6 13 · 6 13 11) " 8 19 · 3

9

Hahedauer

S

Jahresblllls

S

Erwartete Rendite

11 - 6 " WURZEL (11 19)

S

Hohed.uer. spezifische Volatilltilt Aktienkurs

13

12 - (4 + 10) 1 11

Ausubungs. wahrscheinlichkeit

Standard· "'Vermogen oder S normalvertelhe S Nlchts".Option Zufallsvarlable fIIIINIIIT_der 51 _ _ mal·

S

~etIung

IT_I

IT_I

720,00 P

11101

NI

360,00 P

73.58 I

109,86 I

1.0388238 A

Ausubungswahrscheinhchkeitstableau 'Geld oder Nichts' -Option (veremfacht)

085CWXJ A,U Optionspreistableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" Option 1

2

Aktienkurs

Boeiswert t - heute IEurol

sm,oo

S

4 - LN 1 121 " 3

3

Baslsprels

S

Hundert

S

IEurol U

8

IIlndestrendlte S (Zufallsvarlable)

11101 400,00 U

100 P

10 - (LN (.i 13 +3 13) . 6 13 " 6 131 1) " 8 19 " 3

9

40,55 I

11 - 6 " WURZEL (11 19) Hahedauer-

Haltedauef

S

JahresbasIs

S

Erwartete Rendite

S

spezifische Volatilltlit AktIenkurs

5 RIsikoloser Zins p.a. 1" 1

S

6,84 U

12 - (4+10) 1 11

6 Volatllitilt Aktlenkul5 p.a. 1" 1 77.68

1 S

Zwei

S

U

2

P

I

13

Ausubungs. wahrscheinlichkeit Standard. "Geld oder S normalverteIlte S Nlchts".Optlon Zufallsvorlable fIIIINIIIT_der 51 _ _ mal.

S

~etIung

IT_I

IT_I

720.00 P

11101

11101

360.00 P

·47,12 I

109.86 1

·0.0597982 1

0,4761000 A,U Optionsprcistableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau " Geld oder Nichts" Option (vereinfacht) 1

2

Standard. normalvertelhe Zufallsvarlable S "Vermogen oder Nichts"· Option

3

Voladlltlit Akdenkurs p.a.

S

Hundert

S

6 - 1 · 2 13" WURZEL (4 151

5

4

Haltedauer

S

Jahresblllls

1

Standard· normalverteIlte S Zufallsvarlable S "Geld oder Nichts"· Opdon

Ausubungs. wahrscheinlichkeit "Geld oder Nlchts".Option fIIIINIIIT_der

S

51_~'" ~etIung

NI 1.0388238 E

IT_]

IT_I 77 .68 U

100 P

720.00 P

360,00 P

.0,0597982

1

Ausubungsw ahrschclnhchkeitstableau Vermogen oder Nichts "-Option

0,4761000 A,U Optionsprcistableau

Optionspreistableau 1 Akdenkurs Boeiswert t - heute

2 Ausubungs.. wahrscheinlichkeit "Vermögen oder S S Nlchts".Option 51 _ _ _ fIIIINIIIT_der

4

S

~eIung

]Euro]

sm,oo

3 - 1" 2 Preis Kaufoption 'Vermogen oder Nichts" t - heute

510,48 1

0,8508OlJ E

Baslsprels

S

]Euro]

IEuro] U

5

400,00 U

6

RIsikoloser Zins p.a.

S

Hundert

9

Jahres· blllls

Ausubungs.. wahrscheinlichkeit "Geld oder S S Nlchts".Option 51 _ _ _ fIIIINIIIT_der

10 - 4 " EXP (.LN (.i 16 + 6 16) " 1 181 " 9 Preis Kaufoption "Geld oder Nichts" t - heute

6,84 U

11 - 3 . 10

S

Preis Kaufoption t - heute

S

~eIung

I .. ~

IToge] 360,00 P

IEuro] 0,4761000 E

IEuro] 166,84 1

S

Haltedauer

S

IT_I

I" ]

Ausübungswahrschcinlichkeitstablcau ''Vermögen oder Nichts"·Option

8

1

343,64 1

Ausubungswahrsche lnltchkeitBtableau "Geld oder Hlchts".Opt,on

Abb. 4,190: Black/Scholes-Modell zur Bewertung von Kaufoptionen

100

P

720,00

P

I

386

Gesamtergebnisrechnung

Das in Abb. 4.190 auf der vorherigen Seite dargestellte Black/Scholes-Modell zur Bewertung von Kaufoptionen zeigt, daß sich der Preis einer Kaufoption - analog zum Binomialmodell nach Cox/Ross/Rubinstein1050 - aus zwei Komponenten zusammensetzt. 1051 Zum einen erhält der Käufer einer Option bei Ausübung die Aktie. Dies entspricht

einer "Vermögen oder Nichts"-Option. 1052 Um den heutigen Gegenwert der "Vermögen oder Nichts"-Option zu berechnen, ist der aktuelle Aktienkurs mit der Ausübungswahrscheinlichkeit der "Vermögen oder Nichts"-Option zu gewichten. 1053 Die Ausübungswahrscheinlichkeit der "Vermögen oder Nichts"-Option1054 basiert wiederum auf einer standardisierten Normaiverteilung1055 1056, bei der • die Zufallsvariable durch die Mindestrendite, die zum Erreichen des Basispreises durch die Aktie am Ende der Haltedauer nötigt ist, repräsentiert wird, 1057 • der Erwartungswert durch die erwartete geometrische Rendite 1058 dargestellt wird ,1059 • die annualisierte Volatilität durch eine mit Hilfe des Wurzeigesetzes 1060 transformierte haltedauerspezifische Volatilität ersetzt wird. 1061 Zum anderen muß der Käufer einer Kaufoption bei Ausübung den vereinbarten Basis-

preis zahlen. Dies entspricht einer "Geld oder Nichts"-Option. 1062 Um den heutigen Gegenwert der "Geld oder Nichts"-Option zu berechnen, ist der vereinbarte Basispreis mit der Ausübungswahrscheinlichkeit der "Geld oder Nichts"-Option zu gewichten und auf heute stetig abzuzinsen. 1063 Die Ausübungswahrscheinlichkeit der "Geld oder Nichts"-Option1064 basiert - analog zur Ausübungswahrscheinlichkeit der "Vermögen 1050Vgl. Abb. 4.188 auf Seite 381. 1051 Vgl. Abb. 4.190 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 11. l052Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.1.3.3 auf Seite 373. l053Vgl. Abb. 4.190 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 3. l054Die Ausübungswahrscheinlichkeit der "Vermögen oder Nichts"-Option kann den statistischen Tabellen der Binomialverteilung, z. B. [34, S. 188 f.], entnommen werden. 1055Vgl. Abb. 4.190 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option Spalten 12, 13. 1056Zur Definition einer Standardnormalverteilung: Vgl. [34, S. 81 ff.] 1057Vgl. Abb. 4.190 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option Spalte 4. 1058 Vgl. Kapitel 3.2.1.1.2 auf Seite 15. 1059Vgl. Abb. 4.190 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option Spalte 10. l060Vgl. Kapitel 3.3.2 auf Seite 41. 1061Vgl. Abb. 4.190 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option Spalte 11. 1062Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.1.3.2 auf Seite 371. 1063Vgl. Abb. 4.190 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 10. 1064Die Ausübungswahrscheinlichkeit der "Geld oder Nichts"-Option kann den statistischen Tabellen der Binomialverteilung, z. B. [34, S. 188 f.], entnommen werden.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

oder Nichts"-Option - auf einer standardisierten Normalverteilung. 1065

387 1066

Der einzige

Unterschied zwischen der Ermittlung der Ausübungswahrscheinlichkeit der "Geld oder Nichts"-Option und der Ermittlung der Ausübungswahrscheinlichkeit der "Vermögen oder Nichts"-Option besteht in der unterschiedlichen Berechnungsweise der erwarteten geometrischen Rendite. 1067 Bezüglich der Ausübungswahrscheinlichkeit der "Geld oder Nichts"-Option bleibt anzumerken, daß sich die Berechnung dieser Ausübungswahrscheinlichkeit auch vereinfachen läßt, indem die standardnormalverteilte Zufallsvariable der "Vermögen oder Nichts"-Option in die standardnormalverteilte Zufallsvariable der "Geld oder Nichts"Option transformiert wird. 1068 Der Preis einer Kaufoption entspricht also einer Kombination aus Kauf einer" Vermögen oder Nichts"-Option, da der Käufer einer Kaufoption bei Ausübung die Aktie erhält, und aus Verkauf einer "Geld oder Nichts"-Option, da der Käufer einer Kaufoption bei Ausübung den Basispreis zahlen muß. Somit gilt folgende Gleichung: Preis einer Kaufoption = Preis einer "Vermögen oder Nichts"-Option minus Preis einer "Geld oder Nichts"-Option Der Preis der in Abb. 4.190 auf Seite 385 unterstellten beispielhaften Kaufoption beträgt im Zweiperiodenfall343,64 Euro, wobei auf den Preis der "Vermögen oder Nichts"-Option 510,48 Euro und auf den Preis der "Geld oder Nichts"-Option 166,84 Euro entfallen. 1069 Das BlackjScholes-Modell zur Bewertung von Verkaufsoptionen zeigt Abb. 4.191 auf der nächsten Seite. Dabei werden die gleichen Basisgrößen wie im BlackjScholesModell zur Bewertung von Kaufoptionen gemäß Abb. 4.190 auf Seite 385 unterstellt.

1065Ygl. Abb. 4.190 auf Seite 385 Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option Spalten 12, 13. 1066Zur Definition einer Standardnormalverteilung vgl. [34, S. 81 ff.] 1067Ygl. Abb. 4.190 auf Seite 385 Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Yermögen oder Nichts"-Option Spalte 10 im Gegensatz zu Abb. 4.190 auf Seite 385 Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option Spalte 10. 1068 Ygl. Abb. 4.190 auf Seite 385 Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option (vereinfacht) Spalte 6. 1069Der auf Basis des Black/Scholes-Modells gemäß Abb. 4.190 auf Seite 385 berechnete Preis der unterstellten Kaufoption von 343,64 Euro ist nicht identisch mit dem auf Basis des Binomialmodells nach Cox/Ross/Rubinstein, dargestellt in Abb. 4.188 auf Seite 381, berechneten Preis derselben Kaufoption von 334,05 Euro, obwohl identische Basisgrößen vorliegen. Diese Preisabweichung ist durch die unterschiedlichen Yerteilungsannahmen (Binominalverteilung versus Standardnormalverteilung) bedingt.

388

Gesamtergebnisrechnung

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau 'Vermöaen oder Nichts"·Option 1 Aktienkurs Baslswert t - heute IEurol

2 S

3

Baslsprels

S

4 - LN 1 / 2 * 3

Hundert

S

(Eurol

600.00 U

8

IIlndestrendlte S (Zufallsvarlable) 11101

400,00 U

100 P

10 - (LN (5 / 3 +3 / 3) • 6 / 3 * 6 / 3 / 71 " 8 / 9 " 3

9

40,55 I

11 - 6 " WURZEL 111 / 9) Hahedauer.

Haltedauef

S

n_1

Jahresbasis

S

n_1 720.00 P

Erwartete Rendhe

1111 360.oo P

S

73,58 I

spezifische Vol.tllhat Aktienkurs 1111

5 RIsIkoloser Zins

p.a. 1111

S

6,84 U

7

6 Volatilltlit Aktlenkulll p.a. 1111

S

S

77,68 U

13

12 - 14 - 10) / 11

Zwei

2 P

J

14 - 3 / 3 . 13

Ausübungs. Ausubungs. wahrschelnllchkeh wahrschelnllchkeh Standard. 'Vermbgen oder "Vermagen oder S nonnaNenelhe S Nichts"-Kaufoptlon S Nlchts".Vertcaufsoptlon S _ _ T_dar _ _ T_dar 51 _ _ ...... Zufallsvarlable 51_-.....· -'eIIung

109,86 I

1,0388238 A

-'eIIung

0,85OOJlJ U

Ausubungswahrschclnllchkertstableau 'Geld oder Nichts " .Optlon (vereinfacht)

0,1492000 A OptionspreIstableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" Option 1 Aktienkurs Baslswert t - heute [Eurol

2 S

3

Baslsprels

S

4 - LN 1 / 2 *3

Hundert

S

[Eurol

600,00 U

8

400,00 U

100 P

10 - (LN (5 / 3.3 / 3) . 6 / 3 * 6 / 3171 " 8 / 9 " 3

9

IIlndestrendlte S (Zufallsvariable) 1111

S

Jahresbasis

S

Erwartete Rendhe

11 - 6 * WURZEL 111 / 91

S

spezifische Volatllhilt AktIenkurs

IT_I 720,00 P

nagel 360,00 P

1111

·4712 I

1111

Zins

p,a. (1101

40,55 I

Haltadauer.

Hahedauer

5 RIsIkolaser

S

6,84 U

12 - 14_10) / 11

6 Volalilhat AktIenkurs p.a. 1111

7 S

Zwei

S

77,68 U

2 P

J

14 - 3 /3. 13

13

Ausubungs. Ausubungs. wahrscheinlIchkeh wahrschelnllchkeh Standard· "Geld oder "Geld oder S normalvanailte S Nichts"-Kaufoptlon S Nlchts"-Vertcaufsoptlon S _ 51_ __ T_der __ _ _ T_der Zufallsvarlable 51 _ _...... -'eIIung

109 86 I

.Q 0597982 I

-'eIIung

0,4761000 U

0,5239lJJ A OpttOn spreistableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" Option (vereinfacht] 1

2

Standard· normalverteIlte

Zufallsvarlable

S

"Vermogen oder

Nichts".optlon

1,0388238 E

3

VolatUltät AktIenkurs

p .•.

11101

S

4

S

Hundert

Hattedauer

S

IT_I

77,68 U

100 P

5

6 - 1 · 213" WURZE"-I!ffi

Jahresbasis

Standard. normalwrtelhe S Zufallsvarlable S "Geld oder Nichts". Option

IT_I

720,00 P

360,00 P

7 Ausubungs. wahrschelnllchkeh "Geld oder Nlchts".Kaufoptlon _ _ T_der 51 _ _ ......

S

-'eIIung

.Q 0597982 I

0,4761000 U

Ausübungswahrsch einlichkeits-Tabl eau 'Venndgen oder Nichts". Option

I

8 - 3 /3· 7 Ausubungs. wahrscheinlichkeit "Geld oder Nichts". S VerkaufsoptIon _ _ T_der St. . . dllOtmal-'eIIung

0,5239lJJ A Optionspreistableau

Qptionspreistableau

1 Aktienkurs Baslswert t - heut.

3 - 1" 2

2 Ausubungs. wahrschelnllchkeh S

Vermogen oder

Nichts".Optlon _ _ T_der 51 _ _ maI-

Preis Vertcaufsopdon S

-'obig

[Eurol 600 00 U

5

4

Vermbgen oder

Nichts" t - heute

S

IEurol

0,1492000 E

Baslsprels

S

(Ewol 89,52 I

400,00 U

6

RIsIkoloser Zins

p,a. 1111

S

7

Hundert

S

9

J.hres. basls

Ausubungs. wahrscheinlichkeit "Geld oder S S 51Nlchts".Option _ __ _ __ T_der -'eIIung

11_1 360,00 P

100 P

720,00 P

I

10 - 4 " EXP (.LN (5 / 6 .6 / 6) " 7181 * 9

11 - 10 . 3

Preis Vertcaufsoptlon "Geld oder Nichts" t - heute

Preis S Verkaufsoption S t - heute

[Eurol

IEurol

0,5239lJJ E

S

ITagel 6,84 U

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts".Option

8

Hahedauer

183,59 I

94,07 I

Ausubungswahrschemhchkeitstableau '\fermogen oder Nichts " ·Optlon

Abb. 4.191: BlackjScholes-Modell zur Bewertung von Verkaufsoptionen

389

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Das in Abb. 4.191 auf der vorherigen Seite dargestellte BlackjScholes-Modell zur Bewertung von Verkaufsoptionen zeigt, daß das BlackjScholes-Modell zur Bewertung von Verkaufs optionen grundsätzlich identisch ist mit dem BlackjScholes-Modell zur Bewertung von Kaufoptionen gemäß Abb. 4.190 auf Seite 385. Die einzigen beiden Unterschiede sind in der Berechnung der Ausübungswahrscheinlichkeiten und in der Berechnung des Preises der Verkaufsoption zu finden: • Ausübungswahrscheinlichkeit einer Verkaufsoption 1 - Ausübungswahrscheinlichkeit einer

=

Kaufoption 1070

• Preis einer Verkaufsoption = Preis einer "Geld oder Nichts"-Option minus Preis einer "Vermögen oder Nichts"Option lO71 Der Preis der in Abb. 4.191 auf der vorherigen Seite unterstellten beispielhaften Verkaufsoption beträgt im Zweiperiodenfall 94,07 Euro, wobei auf den Preis der" Vermögen oder Nichts"-Option 89,52 Euro und auf den Preis der "Geld oder Nichts"-Option 183,59 Euro entfallen. 1072 Durch die Verwendung der Put-Call-Parität 1073 läßt sich gemäß Abb. 4.192 ebenfalls der Preis einer Verkaufsoption ermitteln. 1 Preis

--z-

"'4

3

"""'5

Erwarteler S Basis- S rIsikoloser S Hun - SEins S Kaufoplion preis dert Zins I - heule (Euro! (Euro! 1"1 einer

343,64 U 400,00 U

6,84 U

100 U

1 U

6 - 3 / 4 +5 Zinsfaktor

r--r- r--a-

9

AktlenkulS S Hahe S Jahres- S Basiswert S dauer basls I - heute IT_I

1,(li84 I 720,00 P

IT_I 360,00 P

10 - 1 + 2 " EXP (-LN ß / 4 + 5) " 7 / 8) - 9 Preis einer Verkaufsoplion I - heute

IE..ol 600,00 U

S

(Euro! 94,07 I

Abb. 4.192: BlackjScholes-Modell zur Bewertung von Verkaufsoptionen: Put-Call-Parität Das in Abb. 4.192 dargestellte Rechenbeispiel zeigt, daß im Gegensatz zur Put-CallParität des Binomialmodells 1074 die Barwertbildung des Basispreises im Rahmen des BlackjScholes-Modells auf Basis einer stetigen Abzinsung erfolgt. 1075 Natürlich führen sowohl die direkte Bewertung einer Verkaufsoption auf Basis des BlackjScholes-Modells als auch die indirekte Bewertung der Verkaufsoption auf Basis der Put-Call-Parität jeweils zu einem identischen Bewertungsergebnis von 94,07 Euro. 1076 1070Vgl. Abb. 4.191 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option Spalte 14 oder Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder. Nichts"-Option Spalte 14. lO71Vgl. Abb. 4.191 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 11. lO72Vgl. Abb. 4.191 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalten 3, 10, 11. lO73V gl. Abb. 4.178 auf Seite 370. 1074 V gl. Abb. 4.178 auf Seite 370. l075Vgl. Abb. 4.192 Spalte 10. 10 76 Vgl. Abb. 4.191 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 11 im Vergleich zu Abb. 4.192 Spalte 10.

390

Gesamtergebnisrechnung

4.2.1.5.2 Modifizierte Anwendung der Optionspreistheorie Nach der Veröffent-

lichung des BlackjScholes-Modells1077

1078

als ein leicht rechenbares Gleichungssystem zur

Bewertung von europäischen Optionen auf Aktien haben sich in der Literatur und Praxis viele modifizierte Ansätze und Erweiterungen des BlackjScholes-Modells ergeben, die eine Übertragung des BlackjScholes-Modells auf andere Optionsarten, z. B. Optionen auf Anleihen und Optionen auf Devisen, sowie die Bewertung von innovativen Produkten mit deterministischen und zustandsabhängigen Zahlungsströmen, sogenannte strukturierte Produkte, ermöglichen. Abb. 4.193 zeigt dementsprechend einige ausgewählte Produkte

mit Optionscharakteristik und deren Bewertungsmodelle. Ausgewählte Produkte mit Optionscharakteristik (Bewertungsmodelle)

Devisenoptionen (Garmann/ KohlhagenModell)

Aktienoptionen mit stetigen Dividenden (MertonModell)

Anleihenoptionen (BlackModell)

Caps (BlackModell)

Zinsprodukte mit Kündigungsrecht (Black-Modell, Marktzinsmethode)

Strukturiertes Produkt: Leveraged Floater (Black-Modell, Marktzinsmethode)

Abb. 4.193: Ausgewählte Produkte mit Optionscharakteristik und deren Bewertungsmodelle Im folgenden werden zunächst die Bewertungsmodelle für Devisenoptionen (Kapitel 4.2.1.5.2.1 auf der nächsten Seite), Aktienoptionen mit stetigen Dividenen (Kapitel 4.2.1.5.2.2 auf Seite 393) sowie Anleihenoptionen (Kapitel 4.2.1.5.2.3 auf Seite 396) besprochen und anschließend die Bewertungsmodelle für ausgewählte innovative Produkte mit deterministischen und zustandsabhängigen Zahlungsströmen - Caps (Kapitel 4.2.1.5.2.4 auf Seite 399), Zinsprodukte mit Kündigungsrecht (Kapitel 4.2.1.5.2.5 auf Seite 407), Leverage Floater (Kapitel 4.2.1.5.2.6 auf Seite 412) - erläutert.

l077V gl. [18] 1078Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

391

4.2.1.5.2.1 Devisenoptionen Garmann/Kohlhagen haben das Black/Scholes-Modell zur Bewertung von Aktienoptionen auf die Besonderheiten der Devisenoptionen übertragen. 1079 Zum einen sind für Devisen eine Verzinsung zu zahlen, zum anderen ist die Zinsdifferenz der beteiligten Währungen mit einzubeziehen. Abb. 4.194 auf der nächsten Seite zeigt das Garmann/Kohlhagen-Modell zur Bewertung von Devisenoptionen anhand eines Beispiels. Ein deutscher Bankkunde möchte eine halbjährliche Kaufoption auf den VS-Dollar erwerben und beauftragt sein Kreditinstitut mit der Berechnung des theoretischen Preises. Folgende Datenkonstellation ist gegeben: • Devisenkurs (t = heute): 1,65 Euro/$ • Basispreis der Währung: 1,60 Euro/$ • Inländischer Zinssatz: 8,00% p.a. • Ausländischer Zinssatz: 5,00% p.a. • Volatilität: 20,00% p.a. • Haltedauer: 180 Tage

1079Vgl. [46]

Gesamtergebnisrechnung

392 Devisenkurstableau 1

3

2

Devisenkurs Basiswert 5 t - heute

Haltedauer

(Euro/SI

5

ITagel

1.65 U

Jahresbasis

5

Auslandischer Zins p.a.

ITagel 180.00 P

1"1

360.00 P

6 - LN (4 / 5 5 / 5)"5

5

4

5

Hundert

5.00 U

5

100 P

+

5tetlger auslandischer Zins p.a. 1"1

1 - 1" EXP (2 / 3 " . 6 / 5) Zins· berelnlgler Devisenkurs 5 Basiswert t - heute (EuroJ$l

4.88 I

1,61

5

A

Optlonspretstableau

Ausübunaswahrscheinlichke itstableau "Vermöaen oder Nichts" Option 1 Devisenkurs Basiswert 5

2

t - heute

IEuro/SI

5

Hundert

5

IIlndestrendlte (Zufallsvarlable)

IEuro/SI

1,65 U

100 P

9

Haltedauer 5

5

Auslandischer Zins p .•.

ITagel

1"1

360,00 P

180.00 P

3,08 I

11 - ((lN (5 / 3 +3 / 3) . LN (10 / 3 +3 / 3)) + 6 / 3 " 6 / 3m"8 / 9 " 3

10

Jahresbasis

nagel

5

1'1\1 1,60 U

8

5

4 - LN 1 / 2 " 3

3

Basispreis

5

Erwartete Rendite

1" 1

5.00 U

Inländischer Zins p.a.

1"1

5

8,00 U

12 - 6 " WURZEL (11 / 9)

5

2.41 I

Haltedauer . spezifische Volatilitat Devisenkurs 1" 1

6 Volatilltät Devisenkurs p.a.

1"1

1 5

Zwei

5

20,00 U

13 - (4 + 11) / 12

2

P

I

14

AusIIbungs. wahrscheinlichkeit 5tandard. "Vermogen oder 5 normalverteUte 5 NlchlS".Option Zufallsvarlable IIIIfIIIIIT_der

5

51.......-.....· wrt-.g

14,1 4 I

0,3878983 I

0,6517000 A,U Optlonsprets1ablcau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" Option 1 Devisenkurs

Basiswert t - heute IEuro/SI

2

5

5

Hundert

5

IEuro/SI

1,65 U

1,60 U

8

100 P

9

Haltedauer 5

nagel

5

Auslandischer Zins p.a.

nagel

180.00 P

5

(" I 360.00 P

IIlndestrendlte (Zufallsvarlable) "'I

5 3.08 I

11 - ((lN (5/3 + 3 / 3) . LN (10 / 3 + 3 / 3)) . 6 / 3 * 6 /3/ 1) * 8 / 9 * 3

10

Jahrosbasis

5

4 - LN 1 / 2 * 3

3

Basispreis

Erwartete Rendite

(" I 5,00 U

Inlilndlscher Zins p.a. 1" 1

5

8,00 U

12 = 6 " WURZEL (11 / 9)

5

0.41 I

Haltedauer. spezifische Volatilltät Devisenkurs

1" (

6 VolatillUII Devisenkurs p.a. 1" 1

1 5

Zwei

5

20,00 U

2

P

I

14

13 - (4 + 11) / 12

AusIIbungs. wahrscheinlichkeit 5tandard· "Geld oder 5 normalverteilte 5 NlchlS".Option Zufallsvarlable IIIIfIIIIIT_der

5

St.......dnormal· wrt-.g

14,14 I

0,2464769 I

0,5987000 A,U Options pre istableau

Optionspreistableau 1 2 Ausubungs. Zins. wahrscheinlichkeit bereinigter "Vermogen oder Devisenkurs 5 5 NlchlS".Optlon Basiswert IIIIfIIIIIT_der St.......dnormal· t - heUle

5

4

3 - 1" 2

Preis Kaufoption "Vermagen oder NlchlS" t - heute

5

Basisprels

5

6

Inlandischer Zins p.a.

5

Hundert

1

5

Hahedauer

5

wrteilung

IEuro1$1

IEuro/SI

1,61 E

0,6517000 E

IEuro1$1 1.05 I

1,60 U

1" 1

nagel 8,00 U

100 P

Oevisenkurstableau Ausübungsw ahrscheinlichkeitstablcau ''Vermögen oder Nichts".Option

8

Jahres· basis

9

Ausubungswahrscheinlichkeit "Geld oder 5 5 NlchlS" -Option gemaII T _ der

nagel 360,00 P

St .......dnormalwrt-.g

10 - 4 * EXP (.LN (5 / 6 + 6 / 6) " 1 / 8) * 9

Preis Kaufoption "Geld oder NlchlS" t - heute

11 - 3 . 10

5

IEuro1$1 0.5987000 E

.

Preis Kaufoption t - heute

5

IEurDiSI 0,92 I

0.13 I

Ausubungswahrschelnhchketts1ableau 'Geld oder Nichts .Optlon

Abb. 4.194: Garman/Kohlhagen-Modell zur Bewertung von Devisenoptionen

180 ,00

P

I

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

393

Das in Abb. 4.194 auf der vorherigen Seite dargestellte Garmann/Kohlhagen-Modell unterscheidet sich vom Black/Scholes-Modell108o grundsätzlich durch folgende Modifikationen. Einerseits ist bei der Bewertung von Devisenoptionen zu beachten, daß der Käufer einer Devisenoption - im Gegensatz zu den Devisenbesitzern - keine Verzinsung erhalten. Demnach ist der entstehende Verzinsungsnachteil des Devisen-Optionskäufers im Optionspreis zu berücksichtigen. 1081 Andererseits beinhaltet eine Devisenoption das Recht, Termindevisen zu kaufen oder zu verkaufen. Da die Zinsdifferenz zwischen den beteiligten Währungen die erwartete Rendite beeinfiußt, ist diese in die Bewertung der Devisenoption mit einzubeziehen. lo82 Der Preis der in Abb. 4.194 auf der vorherigen Seite unterstellten beispielhaften Kauf-Devisenoption beträgt 0,13 Euro/$, wobei auf den Preis der "Vermögen oder Nichts"-Option 1,05 Euro/$ und auf den Preis der "Geld oder Nichts"-Option 0,92 Euro/$ entfallen. 1083

4.2.1.5.2.2 Aktienoptionen

mit

stetigen

Dividenden Eine

Schwäche

des

Black/Scholes-Modells ist die Nichtberücksichtigung von Dividendenzahlungen. 1084 Eine Lösung der Dividendenproblematik hat Merton vorgeschlagen. 1085 Das MertonModell geht nicht von einer Dividendenzahlung zu bestimmten Zeitpunkten aus, sondern unterstellt eine stetige, also quasi laufende Dividendenzahlung. Desweiteren berücksichtigt das Merton-Modell die stetige Differenz zwischen der Dividendenrendite und dem unterstellten risikolosen Zins.

1080Ygl. Abb. 4.190 auf Seite 385. 1081 Y gl. Abb. 4.194 auf der vorherigen Seite Devisenkurstableau Spalte 7 sowie Optionspreistableau Spalte 1. 1082Ygl. Abb. 4.194 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Yermögen oder Nichts"Option Spalte 11 oder Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option Spalte 11. 1083Ygl. Abb. 4.194 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalten 3, 10, 11. l084Ygl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383. 1085ygl. [73]

394

Gesamtergebnisrechnung

Abb. 4.195 auf der nächsten Seite zeigt das Merton-Modell zur Bewertung von Aktienoptionen mit Berücksichtigung von stetigen Dividendenzahlungen anhand eines Beispiels. Folgende Datenkonstellation ist gegeben: • Aktienkurs (t = heute): 600,00 Euro • Basispreis der Aktie: 400,00 Euro • Risikoloser Zinssatz: 6,84% p.a. • Dividenrendite: 3,00% p.a. • Volatilität: 77,68% p.a. • Haltedauer: 720 Tage

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

395

Dividendentableau 1

3

2

Aktienkurs Baslswen S I - heule

Hahedluer

IEwol

!lauel

600,00 U

S

JahresbasIs

Dividenden· rendite p.'.

S

1"1

ITauel 720,00 P

360,00 P

6 - LN (4 15 +

5

4

S

5 / 5i * 5

Hunden

S

Slelige Dividenden· rendite p.l.

1"1

100 P

3,00 U

1- 1* EXP (2 13 * . 6 15) Dividenden. bereinigler S Aktienkurs Basiswen

5

t - heute

IEwol 2,96 I

565,56

A

OptionspreIstableau

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau ''Vermöaen oder Nichts" Option 1 Aktienkurs Bosiswen S I - heute IEwol

5

Hunden

5

Mindastrendite (Zufallsvariable)

1"1

IEwol

600.00 U

100 P

400.00 U

8

Jlhresbasls

IT_I

5

IT_I

720.00 P

360,00 P

5

40,55 I

11 - ((LN (5 / 3 + 3 13) . LN (10 13 + 3 13)) + 6 / 3 " 6 / 3/1) " 8 / 9 " 3

10

9

Hahedauer S

4 - LN 1 / 2 * 3

3

2 Basispreis

Dividendenrendite p.l.

1" 1

S

Erwanele Rendite

5 Risikoloser Zins p.l.

1" 1

12 - 6 * WUR2EL (8 19)

S

1" 1

67,66 I

6 Voillililäl Aktienkurs p.l .

1" 1

6.84 U

Haitedauer. spezifische Volltillläl Aktienkurs

3.00 U

S

13 - (4

+

1 5

5

Zwei

77,68 U

2

P

I

14

11) 1 12

5landlrd· S normalverteilte S Zufallsvarilble

Ausubungs. wahrscheinlich keil "Vermogen oder

5

Nlchts".Option

gemaII T _ der

St_dnormol· wrtetlung

1"1

109.86 I

0,9851X68 I

0,8389OOJ A.U Optionspreistableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstabieau "Geld oder Nichts" Option 1 Aktienkul1l Baslswen S I - heute (Eurol

2 S

Hunden

S

(Eurol 400,00 U

600.00 U

9

8

Hlitedauer S

4 - LN 1 / 2 • 3

3

Blsispreis

S

11_1

720 00 P

360,00 P

1" 1

S

40,55 I

11 - ((lN (5 13 +3 13) . LN (10 13 +3 / 3)) . 6 / 3 * 6 / 3 / 7) * 8 / 9 * 3

10

JahresbasIs

11_1

100 P

Mindastrendile (Zufallsvariable)

Dividendenrendite p.a.

1" 1

S

3,00 U

Erwanete Rendite

1" 1

5 Risikoloser Zins p.a.

1"1

5

·53,02 I

1"1

6.84 U

12 - 6 * WUR2EL (8 19)

S

6 Voillililal Aktienkurs p.a.

Halledluer. spezifische Volatililal Aktienkurs

13 - (4

+

1 S

5

Zwei

77,68 U

11) 1 12

2

P

I

14

Ausilbun9l' wahrscheinlichkeil 5landard· "Geld oder S normalveneille S Nichts".Option Zufallsvarilble gemäII _moI· der St _T _

5

wrtellung

1" 1

109.86 I

-0,1135543 I

0,4562000 A.U Optlonspreurtableau

Optionspreistableau 1 2 Ausubun9l' Dividenden· wahlBChelnlichkeit bereinigter -Vermogen oder Aktienkul1l S Nichts".Option S 51_T __ _ gemäII der Bosiswen I - heute wrtellung

IEwol 565,56 E

3 - 1 *2

4

5

Preis Kaufoption

'"Vermogen odar

Nichts" I - heute

S

IEwol

Basispreis

IEwol 474,45 I

0,8389OOJ E

5

400.00 U

6

Risikoloser Zins p.a.

1" 1

5

Hunden

1

5

Halledluer

5

(T_I 6,84 U

100 P

720.00

P

muidendentableau Ausübungswahrscheinlichkeitstableau ''Vermögen oder Hichts"·Optlon

9

8

Jahres· b.....

Ausubungs. wahlBCheinlichkeit "Geld oder S S Nichlll"-Option gemäII _rnal. der St _T _

11_1 360.00 P

wrtellung

10 - 4 * EXP (-LN (5 16 + 6 16) *

11 - 3 · 10

1 18l " 9

Preis Klufoption "Geld oder Nichlll" t - heute

S

IEwol

0.4562000 E

Preis Klufoption 1- heule

S

IEwol 159.86 I

314,58 I

AusubungswahrschelnhchkeHstableau "Geld oder tllchts".Optlon

Abb. 4.195: Merton-Modell zur Bewertung von Aktienoptionen mit stetigen Dividenden

I

396

Gesamtergebnisrechnung

Das in Abb. 4.195 auf der vorherigen Seite dargestellte Merton-Modell unterscheidet sich vom BlackjScholes-Modell grundsätzlich durch folgende Modifikationen. 1086 Da Käufer einer Aktienoption während der Optionshaltedauer keine Dividende erhalten, besitzen Sie gegenüber den Aktionären einen Nachteil. Um diesen Nachteil zu bereinigen, wird zum einen der dem Merton-Modell zugrunde liegende Aktienkurs um die Dividende durch stetige Abzinsung bereinigt 1087 und zum anderen, die erwartete Rendite um die Dividendenzahlung reduziert. 1088 Der Preis der in Abb. 4.195 auf der vorherigen Seite unterstellten beispielhaften Kauf-Aktienoption mit stetiger Devidenzahlung beträgt 314,58 Euro, wobei auf den Preis der "Vermögen oder Nichts"-Option 474,45 Euro und auf den Preis der "Geld oder Nichts"-Option 159,86 Euro entfallen. 1089 1090 4.2.1.5.2.3 Anleihenoptionen

Die Bewertung von Anleihen- und Zinsoptionen ist auf

BlackjScholes-Modells1091

Basis des nicht möglich, da sich die dem BlackjScholes-Modell zugrundeliegenden Modellprämissen nicht problemlos auf Anleihen- und Zinsoptionen übertragen lassen. Folgende wesentliche Gründe sprechen fundamental gegen die Modellannahmen des BlackjScholes-Modells:

• Die Anleihenkurse folgen keinem Zufallspfad 1092, sondern einem mean-revertingprocess. Das bedeutet, das Zinssätze, die relativ weit vom Durchschnittszins entfernt sind, sich mit höherer Wahrscheinlichkeit zum Durchschnittszins hinbewegen als sich weiter zu entfernen. • Bei Anleihenkursen ist die Volatilität nicht konstant, sondern im Zeit ablauf fallend, da die Zahlung am Fälligkeitszeitpunkt der Anleihe bekannt ist. Am Fälligkeitszeitpunkt der Anleihe beträgt die Volatilität der Anleihe Null. • Zinssätze sind untereinander abhängig. Im Zeit ablauf kann sich sowohl der einzelne Zinssatz aber auch die gesamte Zinsstruktur ändern. Die Preise von Anleihen- und Zinsoptionen sind demnach von mehr als einer stochastischen Zinsvariable abhängig. 1086 Abb. 4.190 auf Seite 385. 1087Vgl. Abb. 4.195 auf der vorherigen Seite Dividendentableau Spalte 7 sowie Optionspreistableau Spalte 1. 1088Vgl. Abb. 4.195 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeittableau "Vermögen oder Nichts"Option Spalte 11 oder Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option Spalte 11. 1089Vgl. Abb. 4.195 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalten 3, 10, 11. 1090 Die optionspreismindernde Wirkung der Dividenberücksichtigung wird besonders deutlich, wenn man den Preis einer Aktienoption ohne Dividende mit dem Preis einer Aktienoption mit Dividende vergleicht. Bei identischen Basisgrößen beträgt gemäß Abb. 4.190 auf Seite 385 der Preis der Aktienoption ohne Dividende 343,64 Euro, gemäß Abb. 4.195 auf der vorherigen Seite der Preis der Aktienoption mit einer stetigen Dividendenrendite von 3,00% p.a. dagegen lediglich 314,58 Euro. 1091 Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383. 1092Vgl. Kapitel 3.3.2 auf Seite 41.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

397

Aus den aufgezählten Eigenschaften von Anleihenkursen und Zinssätzen wird deutlich, daß die Anwendung des BlackjScholes-Modells betriebswirtschaftlich nicht sinnvoll ist. Aus diesem Grund haben sich in der Literatur und Praxis diverse Optionsmodelle speziell zur Bewertung von Anleihen- und Zinsoptionen entwickelt,1093 1094 von denen aber keines eine theoretisch einwandfreie Bewertung von Anleihen- und Zinsoptionen ermöglicht. Ein in der Wissenschaft allgemein anerkanntes Modell liegt demnach nicht vor. Aus der Vielzahl der in der Literatur und Praxis entwickelten Modelle zur Bewertung von Anleihen- und Zinsoptionen wird im folgenden das Black-Mode1l1095 1096 kurz vorgestellt. Abb. 4.196 auf der nächsten Seite zeigt das Black-Modell bei Verwendung der folgenden Datenbasis: • Termin-Anleihekurs (t = 300 Tage): 103.800,00 Euro • Basispreis der Anleihe: 104.000,00 Euro • Risikoloser Zinssatz: 6,00% p.a. • Volatilität: 8,00% p.a. • Haltedauer: 300 Tage

l093Vgl. [99, S. 65J 1094Vgl. [116, S. 339 ff.J 1095Vgl. [16J l096Black hat das Optionsmodell ursprünglich zur Bepreisung von Optionen auf Gütermärkten entwickelt. Durch die Verwendung von Termin-Anleihenkursen kann das Modell aber auch auf die Bewertung von Optionen auf Anleihen angewandt werden.

Gesamtergebnisrechnung

398 Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau ' 'Vermöaen oder Nichts" Option 1 TerminkullI Anleihe S Baslswert (Ewol 103 OCO,OO U

S

S

S

[Tagel :m,oo P

100 P

"Indeslrendhe S (Zufallwariable) I'!II

11 - 6 ' WURZEL" / 9)

Jahrasbasls

S Erwartete Rendhe S

Hahedauer· opezilleche Volatllhat TerminkullI

[Tagel

['!lI

['!I[

::aJ,oo P

0,27 I

S

.(),19 I

10 - 6 / 3' 6 / 3/7'8 / 9 ' 3

9

5

4 - LN 1 / 2) ' 3

Hundert

IEurol 104 OOJ,oo U

8

Hahedauar

3

2 Baslsprels

6 Volatllhat TerminkullI p.a. I'!II

7 S 8,00

Zwei

S

U

2

P

I

13

12 - (4+ 10) / 11

Ausubungs. wahrschelnllchkeh Standard· Vermogen oder S normalvertelhe S Nichts"-Option SI _ _ _ _ gemalT_der Zufallwariable

S

wrteIUIg

7,'JJ I

0,0101567 A

0,5040000 AU

Ausubungs w lhr.c:helnhchkertstlblelu "Geld oder Hlcht."-Optlon (verelnfu ht) Optionspretstablelu

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"·Option 1 TerminkullI Anleihe S Baslswert IEurol 100.0c0,oo U

2 Baslsprels

4 - LN 1 / 2) ' 3 "Indeslrendhe S (Zufallwarlable) S

S

[Tagel :m,oo P

I'!II 100 P

11 - 6 ' WURZEL 18 / 91

Jahrasbasls

S Erwartete Rendhe S

Hahedauer. opezilleche Volatllhat TerminkullI

[Tagel

['!lI

.,.1

.(],27 I

::aJ,oo P

S

.(),19 I

10 - 6 / 3 ' 6 /3/7' 8 / 9 ' 3

9

5

3 Hundert

IEurol 104 OOJ ,00 U

8

Hahedauer

S

6 Volatllhat TerminkullI p.a. 1'111

7 S 8,00

12 - (4+10) / 11

Zwei

S 2

U

P

I

13

Ausubungs. wahrscheinlichkeit Standard. "Geld oder S normalvertelhe S Nichts"-Option SI_ _ _ _ gemalT_der Zufallwariable

S

wrteIUIg

7,'JJ I

·O,OO287'JJ I

O,476100J A,U Optlon.preistableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Ge ld oder Nichts".Option Cvereinfacht) 1

2

Standard. norm.lvertelhe Zufallwarlable S 'Vermogen oder Nichts". Option

3

Volatllitat Terminkurs p.a.

1'111

0,0101567 E

S

Hundert

8,00 U

S

100 P

Haltedauer

6- 1.2/3' WURZEL (4 / 5)

5

4

S

ITagel :m,oo P

Jahreebasls

S

7

Standard· normalvertelhe Zufallwariable S "Geld oder Nichts". Option

Ausubungs. wahrschelnllchkeh "Geld oder Nichts"-Option gemalT_der

----

S

wrteIUIg

[Tagel ::aJ,00 P

.(),00287'JJ

I

Au.ubungswahr.cheinhchkeitstableau 'Vermogen oder Hlcht ...·Option

O,476100J A,U

Op(lon.prelstableau

Optionspreistableau 1 TerminkullI Anleihe Baslswert

3- 1' 2 2 Ausubungs. wahrscheinlichkeit Preis K.ufoptlon Vermogen oder S 'Vermagen oder S S Nlchts".Optlon gamaII T _ der Nichts"

5

4

Baslspreis

S

SI_dnormal.

IEurol 1000c0,oo U

wrtallung

0,5040000 E

IEurol 52315,20 I

IEurol 104 OOJ ,00 U

6

Rlslkol ... r Zins p.a.

1'111

S

Hundert

Jahres· basls

9

10 - 4 ' 9

11 - (.1 . 10) ' EXP (-lN (5/6 + 6 / 6) ' 7 / 8)

Ausubungs. wahrscheinlichkeit "Geld oder S Preis K.ufoptlon S Preis KaufoptIon S S Nlchts".Optlon "Geld oder Nichts" t - heute gamaII T _ der SI_dnormal·

[Tagel ::aJ,oo P

wrtallung

0,476100J E

IEurol 49514,40 I

S

Hahedauer

S

[T_I 6,00 U

Au.ubung.wlhr. cheintichkekstablellu ''Vermogen oder Nicht."-Option

8

7

IEurol 2661l,05 I

Au.ubung.w ahr.chetnhchkeitstableau '''Geld oder Itlcht."·Optlon

Abb. 4.196: Black-Modell zur Bewertung von Anleihenoptionen

100

P

:m,oo

P

I

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

399

Wird das Black-Modell der Abb. 4.196 auf der vorherigen Seite mit dem Black/ScholesModell 1097 verglichen, so wird deutlich, daß das Black-Modell ähnliche Prämissen wie bei der Aktien-Optionspreisbewertung unterstellt und sich vom Black/Scholes-Modell in zwei wesentlichen Punkten unterscheidet. Zum einen betrachtet das Black-Modell den Terminkurs einer Anleihe als stochastische Variable. 1098 Bei Verwendung des Terminkurses ist die Prämisse einer konstanten Volatilität wegen der konstanten Länge der Terminperiode wesentlich unproblematischer als die Prämisse einer konstanten Volatilität bei abnehmender Resthaltedauer der Anleihe. Da die Option erst zum Terminzeitpunkt erworben wird, kann der risikolose Refinanzierungszins entfallen. 1099 Zum anderen basiert das Gleichungssystem zur Berechnung des Optionspreises auf einem anderen Algorithmus. 11oo Der Preis der in Abb. 4.196 auf der vorherigen Seite unterstellten beispielhaften Kauf-Anleihenoption beträgt 2.668,05 Euro, wobei auf den Preis der "Vermögen oder Nichts"-Option 52.315,20 Euro und auf den Preis der "Geld oder Nichts"-Option 49.514,40 Euro entfallen. 110! Bezüglich des Black-Modells bleibt kritisch anzumerken, daß das Black-Modell inkonsistente Prämissen unterstellt. Einerseits wird für Diskontierungszwecke ein konstanter risikoloser Zinssatz unterstellt 1102 , andererseits wird bei dem unterstellten stochastischen Verlauf der Termin-Anleihenkurse eine Veränderung der Zinsstruktur angenommen.

4.2.1.5.2.4 Caps Moderne Bankprodukte kombinieren einen variablen Zahlungsstrom mit einer Vereinbarung über eine Zinsobergrenze (englisch: cap) .1103 Eine ZinsobergrenzenVereinbarung bedeutet, daß der variable Kundenzins nicht über ein vereinbartes Maximalniveau steigen kann. Damit ergeben sich aus Sicht eines Finanz-/Kreditinstitutes folgende Vorteilhaftigkeitsüberlegungen im Vergleich zu einem variablen Zahlungsstrom ohne Cap . • Im Rahmen eines aktivischen Zahlungsstroms (zuerst Auszahlung, anschließend Einzahlungen) ist ein Cap negativ zu beurteilen, da der zukünftige Zinsertrag begrenzt werden kann. 1097 Vgl. Abb. 4.190 auf Seite 385. 1098Vgl. Abb. 4.196 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option Spalte 1 oder Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option Spalte 1. 1099Vgl. Abb. 4.196 auf der vorherigen Seite Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option Spalte 5 oder Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option Spalte 5. l1OOVgl. Abb. 4.196 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 11. 110lVgl. Abb. 4.196 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalten 3,10, 11. 1102Vgl. Abb. 4.196 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 5. 1103Vgl. [99, S. 91 ff.]

400

Gesamtergebnisrechnung

• Dagegen ist im Rahmen eines passivischen Zahlungsstroms (zuerst Einzahlung, anschließend Auszahlungen) ein Cap postiv zu beurteilen, da der zukünftige Zinsaufwand nicht über ein Maximalniveau steigen kann. Zum grundlegenden Verständnis eines variablen Zahlungsstroms mit ZinsobergrenzenVereinbarung wird das folgende nominelle Sparprodukt unterstellt: Sparprodukt: Anlagebetrag (Cap-Volumen): 100.000,00 Euro

Einzahlung: 30.09.00 zu 100,00%

Zins: 6-Monats-EURIBOR minus 1,20% p.a.

Zinsobergrenze: 7,00% p.a.

Erste Cap-Periode: 30.03.01 - 30.09.01

Zweite Cap-Periode: 30.09.01 - 30.03.02

Rückzahlung: 30.03.02 zu 100,00%

Zinszahlung: halbjährlich ab 30.03.01

Die während der Anlagedauer fälligen Zinszahlungen erfolgen halbjährlich und richten sich nach dem 6-Monats-EURIBOR110\ wobei der Zinsaufwand des Finanz/Kreditinstitutes jeweils um 1,20% p.a. unter diesem Referenzzins liegt. Zusätzlich wird unterstellt, daß die Höhe der Zinszahlung nicht von der Höhe des 6-Monats-EURIBORS am aktuellen Zahlungstermin abhängt, sondern von Höhe des 6-Monats-EURIBORS am davorliegenden Zinszahlungstermin. Da der Zinsaufwand des Finanz/Kreditinstitutes über die gesamte Anlagedauer immer um 1,20% p.a. unter dem 6-Monats-EURIBOR liegt, kann zur Bewertung des variablen Zahlungsstroms von einer fixen Zinsmarge in Höhe von 1,20% p.a. (= 600,00 Euro je Halbjahr) ausgegangen werden. Eine fixe Zinsmarge ermöglicht gemäß Abb. 4.197 auf der nächsten Seite die Berechnung periodenbezogener Kapitalwerte sowie die daraus folgende Ableitung eines Gegenwart-Kapitalwertes zum Zeitpunkt 30.09.00. 1105 Desweiteren möge am Geld-/Kapitalmarkt eine normale Nominal-Zinsstruktur vorliegen, d.h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als 1-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%, für 1-Jahres-Geld 6,00% und für q-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-/Kapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-/Kapitalanlage.

l104Ygl. fußnote 359 auf Seite 191. l105Ygl. Kapitel 4.2.1.2.3 auf Seite 264.

401

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Verrentungstableau

1 Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

CapVolumen (Euro) 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00

2 S Haltedauer S (Tage)

3

4 2/3

5

6

Jahresbasis (Tage)

S HaltedauerS quotient

Marge

S Hundert S

P 360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00 B : Cap -Volumen [Euro) I I I I

0,00 180,00 180,00 180,00

K

7=1*4*5 / 6

1'110) P P P P

0,00 0,50 0,50 0,50

I I I I

1,20 1,20 1,20 1,20 1,20

PeriodenKapitalwert (Euro)

P P P P P : Marge [%) I I I I

100 100 100 100

0,00 600,00 600,00 600,00

S I I I I

Marktwerttableau 1 Datum

5 = ho .03.02

4

Marktwert S Zinsfaktor S Marktwert S (Euro)

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00

Max!

560,75 566,04 566,22 0,00 1.693,00 1.693,00

(Euro)

V V V V

1,0700 1,0600 1,0250 1,0000

U U U U

560,75 I

7=1*4 7=1 * 4+5 * 6 PeriodenZinsS S quotient Kapitalwert (Euro) 600,00 N 600,00 N 600,00 N 0,0350 U 0,00 N 6

I : (2) L Marktwert 30_09.00 [Euro) Z : (3 = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb. 4_197: Bewertung der variabel verzinslichen Einlage Als Bewertungsergebnis des variablen Zahlungsstroms ergibt sich am 30.09.00 gemäß Abb. 4.197 ein Gegenwart-Kapitalwert von 1.693,00 EuroY06 Dabei ist zu beachten, daß dieses Bewertungsergebnis vorläufigen Charakter besitzt, da die Cap-Vereinbarung finanzmathematisch bisher nicht berücksichtigt wurde. Die Bewertung der Cap-Vereinbarung wird an den Zinszahlungsterminen 30.09.01 sowie 30.03.02 verdeutlicht. Als Zinsobergrenze wird gemäß den Nominalkonditionen eine CapRate von 7,00% p.a. unterstellt. Das bedeutet, daß aus Sicht des Kunden die Zinsdifferenz zwischen dem 6-Monats-EURIBOR und der Cap-Rate dem Finanz-jKreditinstitut zu erstatten ist (Ausgleichszahlung), falls der 6-Monats-EURIBOR die Cap-Rate übersteigt. Da der 6-Monats-EURIBOR abzüglich 1,20% p.a. Zinsmarge zu zahlen ist, kann der 6-Monats-EURIBOR bis maximal 8,20% p.a. (= 7,00% p.a. Zinsobergrenze

+ 1,20% p.a.

Zinsmarge) ansteigen, ohne daß eine Ausgleichszahlung fällig ist. Abb. 4.198 auf der nächsten Seite zeigt dementsprechend die Berechnung der Ausgleichszahlungen am 30.09.01 und 30.03.02.

l106Vgl. Abb. 4.197 Marktwerttableau Spalte 3.

Gesamtergebnisrechnung

402 AusAleichszahlunAstableau 30 09 01 1

3 = 1 -2

2

6-Mona1sCap-Rate + GeldEURIBOR Zinsmarge S Position S p.a. S p.a. p.a. (ZIns Basiswert) (Basispreis) 30.03_01

1'!Ia1

1'!Ia1 9,00 U

1'!Ia1

0,80 I

8,20 P

4 - Max (1 - 2; ''0''

2

3 - 1 -2

6-Mona1sCap-Rate + GeldEURIBOR Zinsmarge S Position S p.a. S p.a. p.a. (ZIns Basiswert) (Basispreis) 30.09.01

1'!Ia1

1'!Ia1

1%1

10,00 U

8,20 P

1,80 I

5

6

7

8

9=4 * 5 / 6 *

7/8

Ausgleichszahlung Innerer AnlageS Halte- S JahresS Hundert S (Ersparter S S Optionswert basis betrag dauer Zins) p.a. 30.09.01 (Tagel IEurol IEurol ITagel ITagel 1'!Ia1 400,00 I 100 P 0,80 I 180,00 P 360,00 P 100.000,00 B

AusAleichszahlunAstableau 30 03 02 1

-

4 = Max (1 - 2; ''0''

.--5

6

7

8

9=4 * 5 / 6 *

7/8

Ausgleichszahlung Innerer Hahe- S Jahres- S AnlageS Hundert S (Ersparter S Optionswert S betrag dauer basis Zins) p.a. 30.03.02 [Tage) IEurol IEuro1 ITagel ITagel 1%1 900,00 I 100 P 1,80 I 180,00 P 360,00 P 100.000,00 B

Abb. 4.198: Ausgleichszahlung Cap Das in Abb. 4.198 dargestellte Gleichungssystem zur Berechnung der Ausgleichszahlungen des unterstellten Caps zeigt deutlich, daß jeder variable Zahlungstrom mit einer CapVereinbarung eine oder mehrere Kaufoptionen einer Cap-Rate beinhaltety07 Wird beispielsweise am Termin 30.03.01 ein 6-Monats-EURIBOR von 9,00% p.a. angenommen, so beträgt der innere Optionswert bei einer vereinbarten Cap-Rate plus Zinsmarge von 8,20% p.a. exakt 0,80% p.a. l108 Dem inneren Optionswert von 0,80% p.a, entspricht bei einem unterstellten Anlagebetrag von 100.000,00 Euro eine Ausgleichszahlung von 400,00 Euro am 30.09.01 für die Haltedauer 30.03.01 - 30.09.01. 1109

l107Ygl. Abb. 4.198 Ausgleichszahlungstableau Spalte 4. l108Ygl. Abb. 4.198 Ausgleichszahlungstableau 30.09.01 Spalte 4. l109Ygl. Abb. 4.198 Ausgleichszahlungstableau 30.09.01 Spalte 9.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

403

Die Bewertung der in der Cap-Vereinbarung enthaltenen Kaufoptionen auf die Cap-Rate erfolgt nunmehr mit dem modifizierten Optionsmodell von Black11l0 für Caps.1111 Zunächst ist die Cap-Vereinbarung für die Periode 30.03.01 bis 30.09.01 mit Hilfe des modifizierten Black-Modells zu bewerten. Abb. 4.200 auf der nächsten Seite zeigt das Black-Modell bei Verwendung der folgenden Datenbasis: • Terminzins 1112 30.03.01 - 30.09.01: 5,43% p.a. • Cap-Rate plus Zinsmarge: 8,20% p.a. • Risikoloser Zinssatz 30.09.00 - 30.09.01: 4,90% p.a. • Volatilität: 26,00% p.a. • Option-Haltedauer 30.09.00 - 30.03.01: 180 Tage In das Black-Modell gehen verschiedenste Haltedauer-Basisgrößen ein: Haltedauer Option, Haltedauer Cap, Haltedauer Abzinsung. Zum Verständnis dieser Basisgrößen werden die eingehenden Haltedauer-Basisgrößen in Abb. 4.199 als Zeitstrahl visualisiert. Haltedauer Option

Haltedauer Cap

30.03.02

Haltedauer Abzinsung

Abb. 4.199: Cap-Vereinbarung für die Periode 30.03.01 bis 30.09.01: BasisgrößenHaltedauer

111OYgl. Abb. 4.196 auf Seite 398. 1111 Y gl. [99, S. 96 f.] 1112Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132.

404

Gesamtergebnisrechnung

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Vermöaen oder Nichts" Option 1 Zins p.a. zum Termin

30.D3.81 Basiswert

S

2 Cap.Rate + Zinsmarge p.a. (Zlnsobergrenz8, Baslsprelsj

0.054Dll U

S

J.hresbasls

[Togal

[Togal

180.00 P

~

Hundert

IIIlndastJendlte S S (Zufallsvarlable)

100 P

I'!II

11 - 6 ' WURZEL 111 / 91

S Eowartete Rendite S

Hlltedluer· spezifische Volalllltlt Terminzins

360.00 P

['!i[

1.69 I

1

6 S

Volllllltit Terminzins p.a.

I'!II

·41.22 I

10 - 6 / 3 " 6/ 3/1"8/9"3

9

Haltedauar Opllon 30.119.00 bis 3O.D3.01

4 - LN (1 / 2) " 3

0.DB2UXXJ U

8

.

S

5

3

12 - (4+10) / 11

S

26.00

Zwal

S

2 P

U

I

13

Ausübungs. wahrscheinlichkeit Standard. "Vermbgen oder __ S normalverteilte S IIIIITIOIIT Nlchts".Opllon Zufallsvarllble

S

standardnormal-

wrtatluna

['!il

18.38 I

·2.1501215 A

.

0.0158OCll A.U

Ausubungsw ahrschelnhchkeitstable8U 'Geld oder Nichts -OptIOn (vereinfacht) Oplionspreisiableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option 1 Zins p.l.

zum Termin 30.83.81 Basiswert

S

2 Clp.Rlte + Zinsmarge p.a. (Zlnsobergrenze, Baslsprelsj

0.054Dll U

S

4 - LN 1 / 2\ " 3

Hundert

IIIlndastJendlle S S (Zufallsvarllble)

0.0820000 U

8

100 P

Jlhrasbasls

S

S Eowartete Rendite S

Hlhedluer· spezifische Volatilltlt Terminzins

[Togal

[Togal

180.00 P

360.00 P

['!lI

·1.69 I

1

6 S

Volltilltät Terminzins p.a.

['!lI

·41.22 I

11 - 6 " WURZEL (8 / g)

Hahedauer

Option 30.119.00 bis 30.D3.81

I'!II

10 - ·6/3" 6 / 311 " 8 / 9"3

9

5

3

12 - (4 + 10) / 11

S

26.00

Zwei

S

2 P

U

I

13

Ausübungs. wahrscheinlichkeit Standard· "Geld oder S normalvertelhe S IIIIITIOIIT Nlchts".Option __ Zufllt...artable

S

standardnormal-

-'atIuna

I'!II

·2.3339692 I

18.38 I

0.00900lJ A.U OptionsprelBtableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" Option (vereinfacht) 3

2

1

4

Standard. normalvartalhe

Voladlltilt Terminzins p.a.

Zufallsvarllble S "Vermbgen oder Nichts"· Option

['!il

·2.1501215 E

S

26.00 U

Hundert

.

S

100 P

6 - 1 ·2 / 3 " WURZEL (4 / 5)

5

Hahedluer Option 30.119.00 bis 30.D3.81

S

[Togal

180.00 P

Jahrasbasls

1

Standlrd. normalverteilte S Zufallsvartable S "Geld oder NlcbIS"· Opdon

[Togal

360.00 P

·2.3339692

I

Ausubungs. wahrscheinlichkeit "Geld oder IIIIITIOIIT __ Nlchlll".Optlon

S

standardnormal-

-'atIuna

0.00900lJ A.U Optionspreistableau

Ausubungs wahrscheinllchkertsiableau ''Vermogen oder Nichts -OptIon

Optionspreistableau 1 Zins p.l. zum Termin 30.D3.81 Basiswert

4 2 3- 1"2 Ausübungswahrscheinlichkeit Cap.Rate + Preis Kaufopllon "Vermbgen oder S Zinsmlrge p.l. S S IIIIITIOIIT _ _ S "Vermögen oder NlcbIS".Optlon (Zlnsobergrenze, Nichts" Baslsprelsj

5

1

6

RIsIkolOl8r Zins p.l.

S

Hundert

S

standardnormal-

-'atIuna

0.054Dll U

0.0158OCll E

0.0008579 I

0.DB2UXXJ U

['!il

100 P

4.90 U

Hlhadauer Abzl .... ng 30.119.00 bis 30.119.81 [Togal

S

360.00

P

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau 'Verm ögen oder Hichts" -Option

8

9

Jlhres. basls

. ~

10 - 4 " 9

Ausübungswahrscheinlichkeit "Geld oder _ _ S Preis Klufopdon S S IIIIITIOIIT Nlchlll".Option "Geld oder Nichlll"

11 - (,1 . 10)" EXP (.LN (5 / 6 +

Preis Kaufopdon

S

Clp.Volumen

S

standardnormal-

[Toga[

360.00 P

-'atIuna

0.00900lJ E

0.0008036 I

0.0000518 I

IElnl

14 - 11 " 12 '13 / 8

13

12

6 / 61 " 118)

100.000.00 8

Hahedauer Cap 30.D3.81 bis 30.119.81 Hauel

I

S

180.00 P

Ausglelchlzahlung (Ersparter Zinsj 30.119.00 (Eurol

2.59

S

I

Ausubungswahr.chemllchkeitstableau "Geld oder Hlcht .... OptlOn

Abb. 4_200: Black-Modell zur Bewertung von Caps: Cap-Vereinbarung 30.03.01 bis 30.09.01

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

405

Ein Vergleich zwischen dem in Abb. 4.200 auf der vorherigen Seite dargestellten modifizierten Black-Modell für Caps mit dem originalen Black-ModeIl1113 zeigt, das das Black-Modell für Caps zusätzlich die Berechnung einer (zustandsabhängigen) Ausgleichs-

zahlung beinhaltet. 1114

Der Wert der (zustandsabhängigen) Ausgleichszahlung am 30.09.00 beträgt 2,59 EuroP15 Als nächstes ist die Cap-Vereinbarung für die Periode 30.09.01 bis 30.03.02 mit Hilfe des modifizierten Black-Modells zu bewerten. Abb. 4.202 auf der nächsten Seite zeigt das Black-Modell bei Verwendung der folgenden Datenbasis: • Terminzins l116 30.09.01 - 30.03.02: 6,40% p.a. • Cap-Rate plus Zinsmarge: 8,20% p.a. • Risikoloser Zinssatz 30.09.00 - 30.03.02: 5,50% p.a. • Volatilität: 26,00% p.a. • Option-Haltedauer 30.09.00 - 30.09.01: 360 Tage In das Black-Modell gehen verschiedenste Haltedauer-Basisgrößen ein: Haltedauer Option, Haltedauer Cap, Haltedauer Abzinsung. Zum Verständnis dieser Basisgrößen werden die eingehenden Haltedauer-Basisgrößen in Abb. 4.201 als Zeitstrahl visualisiert. Haltedauer Option

Haltedauer Cap

30.03.01 Ausgleichszahlung

Haltedauer Abzinsung

Abb. 4.201: Cap-Vereinbarung für die Periode 30.09.01 bis 30.03.02: BasisgrößenHaltedauer

1113Vgl. Abb. 4.196 auf Seite 398. 1114Vgl. Abb. 4.200 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 14 sowie Abb. 4.198 auf Seite 402 Ausgleichszahlungstableau 30.09.01 Spalte 9. 11l5Vgl. Abb. 4.200 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 14. 1116Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132.

Gesamtergebnisrechnung

406 Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Vermöaen oder Nichts" Option 1 Zins p.a. zum Termin 30.89.01 B-'rt

S

2 Cap.Rate + Zlnsmarge p.a. (lInsobergrenze, Basiopreisl

0.CE40c00 U

S

S

(Tauel

360.00 P

6

IIIlnd_endhe S (Zufallsvarlable)

S

('110(

100 P

·24.78 I

11 - 6 ' WURZEL ~ / 9)

JahresbasIs

S Erwartete Rendhe S

Hahedauer· spezlflsc:he Volatllhat Terminzins

[Tauel

1'1101

1'1101

360.00 P

7

Volatmtat Terminzins p.a.

S

Zwei

S

('IIo(

10 - 6 / 3' 6 / 317'8 / 9'3

9

Hahedauer Option 30.89.00 bis 30.89.01

5

4 - LN 1 / 21' 3

Hundert

0.0820XKJ U

8

...

3 S

26.00

12 - (4

+

U

2 P

I

13

10) 111

Ausubungs. wahrschelnllchkeh Standard· "Vermögen oder S normelvertelhe S Nlchts".Option Zufallsvarlable tI8IIIiA _...... der 51_T _

S

wrteilung

'{).823216O A

2600 I

3.38 I

0.2052OlJ A.U

Ausubungswahrschclnhchkeitstableau "Geld oder HIC;hts"·Option (vereinfacht) Optionspreistableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts".Option 1 Zins p.a. zum Termin 30.89.01 Baslswert

S

2 Cap.Rate + Zlnsmarge p.a.

(lInsobergrenza,

Hundert

IIIlnd_endhe S S (Zufallsvarlable) 100 P

0.0820XKJ U

8

S

lTauel

360.00 P

I'l101

S

7

·24.78 I

11 - 6 ' WURZEL 11 / 91

JahresbasIs

S Erwartete Rendite S

Hahedauer. spezlflll:he Volatlllt.t Terminzins

(T ....I

1'1101

I'l101

360.00 P

6 VolatUhat Terminzins p.a.

S

Zwei

S

1'1101

10 - .6/3" 6 / 317 ' 8 / 9 ' 3

9

Hahedauer Option 30.89.00 bis 30.89.01

4- LN 1 / 21 ' 3

Baslsprelsl

0.CE40c00 U

...

S

5

3

26.00

2 P

U

I

13

12 - {4+10) / ll

Ausübungs. wahrscheinlichkeit Standard. "Geld oder S normalverteilte S Nlchts".Option 51_ _ _ Zufallsvarlable "'-T_der

S

wrteilung

·1.0832160 I

26.00 I

·3.38 I

0.1394000 A.U Optionsprcistableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" Option tvereinfacht) 1

2

3

normatverteihe

Volatmtat Terminzins p.a.

Zufallsvarlable S "Vermogen oder Nichts"· Optlon

S

Hundert

S

.

100 P

('1101

'{).823216O E

26.00 U

6- 1.2/3' WURZEL (4 / 5)

5

4

Standard.

Hahedauer Option 30.89.00 bis 30.89.01

7

Ausübungs. wahrscheinlichkeit normalverteilte "Geld oder S S Zufallsvarlable Nichts"-Option "Geld oder Nichts"· "'-T_der 51_-.....· Option Standard·

S

(Tauel 360.00 P

JahresbasIs

S

wrteilung

[Tauel

360.00 P

·1.0832160

I

AusübungswahrschclOhchkeitstableau 'Vermogen oder Nichts -Option

0.1394000 A.U Optionsprcistablcau

Optionspreistableau 1 Zins p.a. zum Termin 30.09.01 B-'rt

2 Ausübungs. wahrschelnllchkeh S

"'Vermbgen oder

Nichts"-Optlon 51_ _ _ "'-T_der

3- 1' 2

Cap.Rate + Preis lIaufoptlon Zlnsmarge p.a. S S "Vermagen oder S (lInsobergrenze, Nichts" Basioprelll

wrteilung

0.CE40c00 U

0.2052OlJ E

6

5

4

RIIIkolOl8r Zins p.a.

S

7

Hundert

S

('1101

0.0131328 I

0.082OCOO U

5.50 U

100

P

Haltedauer Abzlnsung 30.89.00 bis 30.D3.D2 [lauel

540.00

S

P

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau ''Vermögen oder Hichts ".Option

8

9

Jahres· basls

11 - (3 .10)' EXP (.lN (5 / 6 +

10 - 4 ' 9

Ausübungs. wahrscheinlichkeit "Geld oder S Preis lIaufopllon S S Nlchts".Option "Geld oder Nichts" 51_ _ _ "'-T_der

(Tauel 360.00 P

12

6 / 6) " 7 / 8)

Preis lIaufoption

S Cap.Volumen

wrteilung

0.1394000 E

. 0.0114308

(EUrol I

00015707 I

14 - 11 " 12 " 13 / 8

13

S

100.000.00 B

Hahedauer eap 30.89.01 bis 30.D3.D2 [lauel

I

100.00

S

P

Aueglelchazahlung (Ersparter Zins) 30.89.00 [Ewol 78.53

S

I

Ausubungsw8hr.chclnhc:hkeitst8ble8U 'Geld oder Nichts -Option

Abb. 4.202: Black-Modell zur Bewertung von Caps: Cap-Vereinbarung 30.09.01 bis 30.03.02

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Der Wert der 78,53 EurO. I117

(zustandsabhängigen)

407

Ausgleichszahlung

am

30.09.00

beträgt

Um zu einem endgültigen Bewertungsergebnis des beispielhaften variabel verzinslichen Sparproduktes zu gelangen, ist der mit Hilfe der Marktwertmethode l118 berechnete Gegenwart-Kapitalwert des variablen Zahlungsstroms von 1.693,00 Euro 1119 sowie die mit Hilfe des Optionsmodells von Black berechneten Cap-Ausgleichszahlungen in Höhe von 2,59 Euro112o und 78,53 Euro1121 zu addieren. Demnach beträgt der endgültige Gegenwart-Kapitalwert des unterstellten variabel verzinslichen Sparproduktes mit Cap-Vereinbarung 1.774,12 Euro am 30.09.00.

4.2.1.5.2.5 Zinsprodukte mit Kündigungsrecht Wie bereits in der Darstellung der Optionspreistheorie ausführlich erläutert, eignen sich Optionspreismodelle zur Bewertung von Rechten und Pfiichten. 1122 Folglich können auch vorzeitige Verfügungsrechte für Zinsprodukte, die entweder dem Emittent (Finanz-/Kreditinstitut) oder dem Inhaber (Kunde) eines Zinsproduktes zustehen, mit geeigneten Optionspreismodellen bewertet werden. 1123 Steht ein Kündigungsrecht dem Emittenten zu, so ist dieses als Kauf einer Kaufoption1124 auf das Zinsprodukt zu interpretieren. Dementsprechend wirkt die Existenz eines Emittenten-Kündigungsrechtes für ein Zinsprodukt im Vergleich zu einem Zinsprodukt ohne Kündigungsrecht kapitalwerterhöhend. Wird dagegen dem Inhaber eines Zinsproduktes ein vorzeitiges Verfügungsrecht vom Finanz-/Kreditinstitut eingeräumt, so entspricht dem Kündigungsrecht dem Verkauf einer Verkaufsoption auf das Zinsprodukt. 1125 Folglich vermindert sich bei Gewährung eines Inhaber-Kündigungsrechtes für ein Zinsprodukt der Kapitalwert im Vergleich zu einem Zinsprodukt ohne Inhaber-Kündigungsrecht. Damit ist der finanzmathematische Weg zur Bewertung von Zinsprodukten mit Kündigungsrechten aufgezeigt. Das Zinsprodukt wird gedanklich in zwei Produktteile zerlegt. Der eine Produktteil beinhaltet das Zinsprodukt ohne Kündigungsrecht, der andere Produktteil beinhaltet das Kündigungsrecht. Jedes Produktteil wird einzeln bewertet und die Bewertungsergebnisse anschließend addiert. Zur Bewertung des 1117Ygl. 1118Ygl. 1119Ygl. 1120Ygl. 1121 Ygl. 1122Ygl. 1123Ygl. 1124Ygl. 1125Ygl.

Abb. 4.202 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 14. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Abb. 4.197 auf Seite 401 Marktwerttableau Spalte 3. Abb. 4.200 auf Seite 404 Optionspreistableau Spalte 14. Abb. 4.202 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 14. Kapitel 4.2.1.5.1 auf Seite 348. [97, S. 233 ff.] Tab. 4.120 auf Seite 349. Tab. 4.120 auf Seite 349.

Gesamtergebnisrechnung

408

Zinsproduktes ohne Kündigungsrecht wird die Marktwertmethode 1126 angewandt, die

Bewertung des Kündigungsrechtes erfolgt dagegen mit Hilfe der Optionspreistheorie1127 .

Zum grundlegenden Verständnis der Bewertung von Zinsprodukten mit Kündigungsrechten wird zunächst der in Tab. 4.121 dargestellte passivische Kunden-Zahlungsstrom unterstellt, der zusätzlich ein Inhaber-Kündigungsrecht beinhaltet. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 100.000,00 Euro -2.000,00 Euro -3.000,00 Euro -104.000,00 Euro

Recht Inhaber-Kündigungsrecht

Tabelle 4.121: Zahlungsstrom Am Geld-/Kapitalmarkt möge am 30.09.00 eine normale Nominal-Zinsstruktur vorliegen, d. h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als 1-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%, für 1-Jahres-Geld 6,00% und für l~-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-/Kapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-/Kapitalanlage. Als erster Schritt wird der deterministische Zahlungsstrom ohne Berücksichtigung des Kündigungsrechtes mit Hilfe des Verfahrens der strukturkongruenten Refinanzie-

rung 1128 bewertet. Abb. 4.203 zeigt das Kalkulationsmodell. 1 Datum

30.03 .02 30 .09.01 30 .03.01 30.09.00 Max!

4

5 = 130.03.02

6

7 = 1 "4 7=1"4+5 * 6

ZinsMarktwert S Zins- S Marktwert S S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) (Euro) (Euro) -97 .196,26 V 1,0700 U -104 .000,00 N -2.830,19 V 1,0600 U -3 .000,00 N 1.367,68 V 1,0250 U -97.196 ,26 I 0,0350 U -2.000,00 N 100.000,00 B 1,0000 U 100.000,00 N 1.341,23 I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) 1.341,23 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb. 4.203: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes ohne Berücksichtigung des Kündigungsrechtes Als Bewertungsergebnis des deterministischen Zahlungsstroms ergibt sich am 30.09.00 ein Gegenwart-Kapitalwert von 1.341,23 EuroY29 Dieser Ergebnisbetrag würde für das Finanz-/Kreditinstitut resultieren, wenn es sich um einen unkündbaren Zahlungsstrom gehandelt hätte. 1126Ygl. 1127Ygl. 1128Ygl. 1129ygl.

Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Kapitel 4.2.1.5.1 auf Seite 348. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Abb. 4.203 Spalte 3.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

409

Als zweiter Schritt wird das Inhaber-Kündigungsrecht, interpretierbar als Verkaufsoption auf den deterministischen Zahlungsstrom, mit Hilfe des Black-Optionspreismodells113o bewertet. Dazu ist die Bestimmung des Terminkurses des unterstellten FestzinsZahlungsstroms zum 30.09.01 (Termin des Kündigungsrechtes!) notwendig. Dieser ist ermittelbar, in dem der am 30.09.00 gültige Marktwert des Kundengeschäftes ohne die bis zum Zeitpunkt des Kündigungsrechtes anfallenden Zahlungen berechnet und anschließend auf den Kündigungstermin 30.09.01 aufgezinst wird. Der dem Kundengeschäft unterstellte Zahlungsstrom hat ohne die bis zum Zeitpunkt des Kündigungsrechtes anfallenden Zahlungen die in Tab. 4.122 dargestellte Struktur: Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 0,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro -104.000,00 Euro

Recht Inhaber-Kündigungsrecht

Tabelle 4.122: Zahlungsstrom Abb. 4.204 zeigt die Berechnung des am 30.09.00 gültigen Marktwertes des KundenZahlungsstroms ohne die bis zum Zeitpunkt des Kündigungsrechtes anfallenden Zahlungen sowie die Aufzinsung des Marktwertes zum 30.09.01. 1 Datum

Marktwert (Euro)

30.03.02 30.09 .01 30.03.01 30 .09.00 Min!

·97.196 ,26 0,00 3.318,90 0,00 ·93.877,36 ·93.877,36 360,00 360,00 1,06 ·99.510,01 ·99.510,01

4

5 - 130.03.02

6

7 = 1* 4 7=1*4+5*6

S Zins· S Marktwert S Zins· S Zahlungsstrom quotient faktor (Euro) (Euro) ·104.000,00 1,0700 U V 0,00 V 1,0600 U 0,00 0,0350 U V 1,0250 U ·97.196,26 I 0,00 V 0,0000 U I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro) P : (8) Haltedauer [Tage) P : (9) Jahresbasis [Tage) U : (10) Zinsfaktor I : (11 = 2 * 10 A (8 / 9)) Marktwert 30.09.01 [Euro) I : (12 = 11) Terminkurs 30.09.01 [Euro)

S

N N N N

Abb. 4.204: Kalkulation eines Marktwertes zum 30.09.01 Als Bewertungsergebnis des deterministischen Zahlungsstroms ergibt sich am 30.09.00 ein Gegenwart-Marktwert von 93.877,36 Euro 1131 sowie ein zum zukünftigen Termin 30.09.01 aufgezinster Marktwert von 99.510,01 EuroY32 Der zum 30.09.01 gültige Marktwert des Kunden-Zahlungsstroms von 99.510,01 Euro entspricht dem am 30.09.00 gehandelten Terminkurs zum 30.09.01. 1133 ll3OVgl. 1131 Vgl. 1132Vgl. 1133Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

4.196 4.204 4.204 4.204

auf Seite 398. Spalte 2. Spalten 11. Spalten 12.

410

Gesamtergebnisrechnung

Neben dem berechneten Terminkurs gehen in das Black-Modell zur Bewertung des Inhaber-Kündigungsrechtes die folgenden Daten ein: • Terminkurs (t = 30.09.01): 99.510,01 Euro • Basispreis Zahlungsstrom: 100.000,00 Euro • Risikoloser Zinssatz: 5,00% p.a. • Volatilität: 4,00% p.a. • Haltedauer: 360 Tage Abb. 4.205 auf der nächsten Seite zeigt die Bewertung des Inhaber-Kündigungsrechtes mit Hilfe des Black-Modells.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

411

AusübunAswahrscheinlichkeitstableau "VermöAen oder Nichts" Option 1 Terminkurs Zahlungsstrom S 30.119.01 Basiswert IEwol

2 S

Hundert

S

loo.OXl,OO U

8

9

S

IT_I

100 P

Jahresbasis

S Erwartete Rendite S

Haltedauer· spezifische Volatilltilt Terminkurs

IT_I

1'1101

[%1 0,08 I

S

Zwei

S

['1101

11 - 6 " WURZEL 111 / 91

360,00 P

7

6 Volatllltat Terminkurs p,a,

S

·0,49 I

10 - 6 / 3 " 6/3/7"8/9"3

360,00 P

5

Mlndeslrendlte S lZufallsvarlable) [%1

IElnl

99.510,01 U

Haltedauer

4 - LN(I / 2) " 3

3

Basisprels

4,00 U

12 -

14 • 10) 111

13

2 P

J

14 - 3 13 . 13

Ausubungs. Auslibungs. wahrscheinlichkeit wahrscheinlichkeit 'Vermogen oder Standard· 'Vermogen oder gemallT _ _ S Nlch"'"·Verkauf. S S normalverteilte S Nlch"'" -Kauf.Optlon gemaIIT __ Option Zufallsvarlable St_dnormal· wrtellung

4,00 I

·0,1027986 I

St_dnormal· wrtellung

0,4602OXl U

O,539aDJ A Optionspreistableau

AusübunAswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts " Option 1 Terminkurs Zahlungsstrom S 30,09.01 Basiswert IEwol

2 S

100.000,00 U

8

9

Haltedauer

Hundert

S

IEwol

99.510,01 U

Jahresbasis

S

IT_I 360,00 P

100 P

.-M

S

.-M

S Erwartete Rendite S

Haltedauer· spezifische Volatliitlit Terminkurs

12 -

7

Volatllltat Terminkurs p,a,

·0 ,49 I

11 - 6 * WURZEL 111 19)

14 + 10) 1 11

S

S

13

2 P

J

14 - 3 /3· 13

Ausubungs. Ausubungs. wahrscheinlichkeit wahrscheinlichkeit "Geld oder Standard· "Geld oder Nlch",".Verkauf. gemaIIT _ _ S S normalverteilte S Nlch"'".Kauf.Optlon S gemaIIT __ Option Zufallsvarlable St_dnormaIwrtellung

4 ,00 I

·0,08 I

Zwei

4,00 U

St_dnormal· wrtellung

['1101

1'1101 360,00 P

6

Mlndeslrendlte S lZufallsvariable)

10 - · 6 / 3 " 6 / 317 * 8 / 9 * 3

IT_I

5

4 - LN 1 / 2 " 3

3

Basisprels

·0,1427986 I

0,4443000 U

O,55570Xl A Optionspreistableau

Optionspreistableau 1 3- 1"2 2 Auslibungswahrscheinlichkeit Terminkurs Preis 'Vermögen oder Verkaufsoption Zahlungsstrom _ S S gemallT S NlchtI"_ -Option 30,09.01 'Vermögen oder Basiswert Nichts" St.....drIOl'II. wrtallung

lEwol 99.510,01 U

O,539aDJ E

IEwol

5

4

Basisprels

S

lEwol

53.715,50 I

loo.OXl,oo U

6

RIsIkol ..... r Zins

p,a,

S

9

5,00 U

Jahresbasis

......

Ausubungs. wahrscheinlichkeit "Geld oder S gamIII T_ _ S Nichts" -Option

IT_I 360,00 P

St_dnormalwrtellung O,55570Xl E

11 - (10 .3) * EXP (-lN 15 / 6 + 6 / 6) " 7 / 81

10 - 4 *9

Preis Verkaufsoption "Geld oder Nlch"'"

S

(EWol 55.570,00 I

S

1'1101

Austibungs wahrscheinlichkeitstableau "'Vermögen oder Hichts"·Option

8

Hundert

7

Preis S Verkaufsoption

..lEwIll

1.766,19 I

Ausubungs wahrschelnllchkettstableau "Geld oder Hichts". Optlon

Abb. 4.205: Black-Modell zur Bewertung des Kündigungsrechts

100 P

Haltedauer

~

S

360,00 P

J

Gesamtergebnisrechnung

412

Der Preis der in Abb. 4.205 auf der vorherigen Seite unterstellten beispielhaften Verkaufsoption zur Bewertung eines Inhaber-Kündigungsrechtes beträgt 1.766,19 Euro, wobei auf den Preis der "Vermögen oder Nichts"-Option 53.715,50 Euro und auf den Preis der "Geld oder Nichts"-Option 55.570,00 Euro entfallenY34 Als letzter Schritt ist abschließend der Preis der Verkaufsoption bzw. der Preis des Kündigungsrechtes vom Gegenwart-Kapitalwert des deterministischen Zahlungsstroms am Bewertungszeitpunkt 30.09.00 zu subtrahieren. Bei einem Gegenwart-Kapitalwert von 1.341,23 Euro des deterministischen Zahlungsstroms1135 und einem Preis des Kündigungsrechtes von 1.766,19 Euro 1136 ergibt sich somit ein endgültiger Gegenwart-Kapitalwert von -424,96 Euro. 4.2.1.5.2.6 Strukturiertes Produkt: Leveraged Floater Das innovative Produkt

Leveraged Floater basiert analog zum Produkt Floater 1137 auf einem Zahlungsstrom,

dessen Zahlungen von den Veränderungen eines Referenzzinses während der Haltedauer abhängen. 1138 Charakteristisch für einen Leveraged Floater ist die Hebelwirkung des zugrunde liegenden Referenzzinses auf die einzelnen Zahlungen. Das bedeutet, daß sich Veränderungen des Referenzzinses überproportional auf die sich verändernden Zahlungen niederschlagen. Das im Vergleich zu einem Floater überproportionale Anpassungsverhalten der Zahlungen ist durch die im Leveraged Floater implizit enthaltene Optionscharakteristik zurückzuführen. Die Optionscharakteristik ergibt sich durch die Kombination eines variablen Zahlungsstroms mit der Vereinbarung einer Zinsuntergrenze (englisch: floor). Eine Zinsuntergrenzen-Vereinbarung bedeutet, daß der variable Kundenzins nicht unter ein vereinbartes Minimalniveau absinken kann. Damit ergeben sich aus Sicht eines Finanz-jKreditinstitutes folgende Vorteilhaftigkeitsüberlegungen im Vergleich zu einem variablen Zahlungsstrom ohne Floor . • Im Rahmen eines aktivischen Zahlungsstroms (zuerst Auszahlung, anschließend Einzahlungen) ist ein Floor positiv zu beurteilen, da der zukünftige Zinsertrag nicht auf Null sinken kann . • Dagegen ist im Rahmen eines passivischen Zahlungsstroms (zuerst Einzahlung, anschließend Auszahlungen) ein Floor negativ zu beurteilen, da der zukünftige Zinsaufwand nicht auf Null sinken kann. Vorerst bleibt festzuhalten, daß zur Kalkulation des Leveraged Floaters sowohl die Anwendung der Marktwertmethode 1139 als auch die Anwendung der Optionspreistheorie 114o 1134Vgl. 1135Vgl. 1136Vgl. 1137Vgl. 1138Vgl. 1139Vgl. 1140Vgl.

Abb. 4.205 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalten 3, 10, 11. Abb. 4.203 auf Seite 408 Spalte 3. 4.205 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 11. Kapitel 4.2.1.2.1.9.1 auf Seite 191. [99, S. 98 ff.] Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Kapitel 4.2.1.5.1 auf Seite 348.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

413

notwendig ist. Zum weiteren Erläuterung eines Leveraged Floaters wird folgendes Konstruktionsbeispiel unterstellt: Leveraged Floater: Anlagebetrag: 100.000,00 Euro

Einzahlung: 30.09.00 zu 100,00%

Erste Zinsperiode: 30.09.00 - 30.03.01 Zweite Zinsperiode: 30.03.01 - 30.09.01

Zins erste Zinsperiode: 3,00% p.a. Zins zweite Zinsperiode: 6-Monats-EURIBOR

Dritte Zinsperiode: 30.09.01 - 30.03.02

Zins dritte Zinsperiode: 6-Monats-EURIIBOR

Zinsuntergrenze (Floor): 9,00% p.a. ab 30.03.01 Hebel: doppelt für zweite & dritte Zinsperiode Rückzahlungskurs: 30.03.02 zu 100%

Zinszahlung: halbjährlich ab 30.03.01

Wird zusätzlich unterstellt, daß zum einen die Höhe der Zinszahlung nicht von der Höhe des 6-Monats-EURIBORS am aktuellen Zahlungstermin abhängt, sondern von der Höhe des 6-Monats-EURIBORS am davorliegenden Zinszahlungstermin, und zum anderen der 6-Monats-EURIBOR 4,00% p.a. am 30.03.01 sowie der 6-Monats-EURIBOR 5,50% p.a. am 30.09.01 betragen, so kann der in Tab. 4.123 dargestellter Zahlungsstrom abgeleitet werden. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 100.000,00 Euro -1.500,00 Euro 0,00 Euro -101.000,00 Euro

Tabelle 4.123: Zahlungsstrom Die Berechnung der in Tab. 4.123 unterstellten Zahlungen am 30.03.1/30.09.1/30.03.02 zeigt Abb. 4.206 auf der nächsten Seite.

Gesamtergebnisrechnung

414 Zahlunastableau 30 03 01

----z

1 Zins p.a.

S Halte - S dauer ITagel 1111 3.00 P 180.00 P

3 JahresS basis ITagel 360 ,00 P

~

4

Nomlnalbetrag IEurol

S Hundert S

HllOOJ ,oo B

Zahlunastableau 30 09 01

..----2

1

3 =1 " 2

5 - 3 -4

6-Monals. Floor-Rate Geld · Variabler Zins EURIBOR S Position S p.a. p.a. S S Hebel S p.a. (Basisprels) p.a. (ZIns Basiswert) 30.03.01

1%1

2,00 P

4 ,00 U

1%1

8,00 I

1%1

9,00 P

Zahlunastableau 30 03 02

-

1

2

3 =1" 2

5,50 U

2 ,00 P

(111

11 ,00 I

(%1

9,00 P

6 - .ax (3 - 4;

"01

8

r--

10

11 - 6 " 718 " 9 / 10

S Hun· S dert

Zahlung 3O.D9.o1

9

J%I

IEurol (Tagel i (Tagel 0,00 I 180 ,00 P 360,00 P 100.000,00 B

"01

Innerer Optionswert p.a.

2 ,00 I

;---

7

S Halte· S Jahres· S Nominal. betrag basis dauer

6 - .ax (3 . 4;

1111

-

Innerer

Optionswert p.a.

·1.00 I

6·MonalsFloor·Rate Geld· Variabler Zins EURIBOR S Position S p.a. S Hebel S p.a. S p.a. (BasispreIs) p.a. (ZIns Basiswert) 30.09.01

1%1

S 30.03.01 IEurol 1.500,00 I

1%1

-5 - 3 ·4

4

(ZIns-) Zahlung

100 P

;---

4

6 a 1 " 213 " 4 / 5

['1101

..----7

-

8

9

100 P

-

10

S Halte· S Jahres· S Nominal· S Hun· S betrag dert dauer basis

(Tagel (Tagel (Eurol 2 ,00 I 180,00 P 360,00 P 100.000 ,00 B

100 P

(ZIns. )

(Eurol

S

0,00 I

11 - 6 "71 8 " 9 / 10 + 9 (ZIns-!

Tllgungs-) S Zahlung 30.03.02 [Eurol 101 .000 ,00 I

Abb. 4.206: Leveraged Floater: Berechnung der Zahlungen

Aus dem in Abb. 4.206 dargestellten Gleichungsmodell wird ersichtlich, daß die Berechnung der einzelnen Zahlungen am 30.03.01/30.09.01/30.03.02, dargestellt in Tab. 4.206, unterschiedlich erfolgt. Zum Termin 30.03.01 ist gemäß dem Konstruktionsbeispiel des Leveraged Floaters ein fixer Zins von 3,00% p.a., bezogen auf den Anlagebetrag, für die Haltedauer 30.09.00 bis 30.03.01 zu zahlen. Dies entspricht einer Zinszahlung in Höhe von 1.500,00 EuroY41 Zum Termin 30.09.01 hängt die Zinszahlung von der Entwicklung des 6-MonatsEURIBORS ab. Dabei ist zu berücksichtigen, daß die variable Zinszahlung nicht auf dem einfachen, sondern auf dem doppelten 6-Monats-EURIBOR basiert.u 42 Steigt beispielsweise der 6-Monats-EURIBOR um 1,00% p.a., so erhöht sich der variable Zins um 2,00% p.a. Der Leverage Floater beinhaltet demnach einen Hebel (englisch: leverage), der zu überproportionalen Zinsveränderungen im Vergleich zu den Veränderungen des 6-Monats-EURIBORS führt. Ferner ist zu beachten, daß die variable Zinszahlung nur erfolgt, wenn eine bestimmte Zinsuntergrenze (englisch: floor) überschritten wird. In diesem Fall wird die Zinsdifferenz zwischen dem doppelten 6-Monats-EURIBOR und der Floor-Rate vom Finanz-/Kreditinstitut an den Inhaber des Leverage Floaters gezahlt. Demnach beinhaltet der Leveraged Floater zum Termin 30.09.01 einen unsicheren Zahlungsstrom, der eine Kaufoption einer Floor-Rate beinhaltet. Unter der Annahme, daß am Termin 30.03.01 der einfache 6-Monats-EURIBOR 4,00% p.a. bzw. der doppelte 1141 Ygl.

1142ygl.

Abb. 4.206 Zahlungstableau 30.03.01 Spalte 6. Abb. 4.206 Zahlungstableau 30.09.01 Spalte 3.

415

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

6-Monats-EURIBOR 8,00% p.a. gelten, besitzt die Kaufoption einen Wert von Nul1. 1143 Folglich ist für die Haltedauer 30.03.01 bis 30.09.01 keine Zinszahlung zu leisten. 1144 Zum Zins zahlungstermin 30.03.02 gilt ebenfalls eine Vereinbarung über eine Kaufoption einer Floor-Rate. Unter der Annahme, daß am Termin 30.09.01 der einfache 6-Monats-EURIBOR 5,50% p.a. bzw. der doppelte 6-Monats-EURIBOR 11,00% p.a. gelten, besitzt die Kaufoption einen Wert von 2,00% p.a. 1145 Diesem inneren Optionswert von 2,00% p.a. entspricht bei einem unterstellten Anlagebetrag von 100.000,00 Euro eine Zinszahlung von 1.000,00 Euro für die Haltedauer 30.09.01 bis 30.03.02. Die Addition dieser Zinszahlung mit der Rückzahlung des gesamten Anlagebetrages erklärt vollständig die am 30.03.02 zu erfolgende Zahlung in Höhe von 101.000,00 Euro,u46 Die Kalkulation des unterstellten Konstruktionsbeispiels eines Leveraged Floaters beginnt mit der Berechnung des Gegenwart-Marktwertes der am Kalkulationszeitpunkt (30.09.00) bekannten Zahlung von 1.500,00 Euro, die am 30.03.01 sicher anfällt,u47 Die Berechnung des Gegenwart-Marktwertes dieser Zahlung zeigt unter der Annahme eines einjährigen Geld-jKapitalmarktzinses von 5,00% Abb. 4.207. 1 Datum

3

4= 1* 3

Marktwert S Zinsfaktor S Zahlungsstrom S

30.03.01 Max!

IEuro) IEuro) 1.500,00 N 1,0250 U 1.463,41 V 1.463 ,41 Z : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro]

Abb. 4.207: Kalkulation des Gegenwart-Marktwertes der Zahlung am 30.03.01 Als Bewertungsergebnis beträgt der Gegenwart-Marktwert, der am 30.03.01 in Höhe von 1.500,00 Euro anfallenden Zahlung, exakt 1.463,41 Euro,u48 Neben der am 30.03.01 anfallenden deterministischen Zahlung von 1.500,00 Euro besteht der Zahlungsstrom des Leveraged Floaters noch aus zwei weiteren Zahlungen, die sich auf Grund Ihrer Abhängigkeit vom variablen 6-Monats-EURIBOR einer Bewertung mit Hilfe der Marktwertmethode 1149 entziehen. Um auch diese zustandsabhängigen Zahlungen, die am 30.09.01 sowie am 30.03.02 anfallen, zu bewerten, sind die einzelnen Zahlungen jeweils synthetisch am Geld-jKapitalmarkt nachzubilden. Die Nachbildung am Geld-jKapitalmarkt erfolgt, in dem die Zahlungen in einzelne Bestandteile zerlegt werden, die wiederum eigene Finanzinstrumente, z. B. Anleihen, Kredite, darstellen (sogenanntes 1143Vgl. 1144Vgl. 1145Vgl. 1146Vgl. 1147Vgl. 1148Vgl. 1149Vgl.

Abb. 4.206 auf der vorherigen Abb. 4.206 auf der vorherigen Abb. 4.206 auf der vorherigen Abb. 4.206 auf der vorherigen Tab. 4.123 auf Seite 413. Abb. 4.207 Spalte 2. Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111.

Seite Seite Seite Seite

Zahlungstableau Zahlungstableau Zahlungstableau Zahlungstableau

30.09.01 30.09.01 30.03.02 30.03.02

Spalte Spalte Spalte Spalte

6. 11. 6. 11.

Gesamtergebnisrechnung

416

"Stripping"). Das Zerlegen des Leveraged Floaters in seine Finanzinstrumente ermöglicht die isolierte Bewertung jedes einzelnen Instrumentes, entweder mit Hilfe der Marktwertmethode 1150 oder mit Hilfe der Optionspreistheorie 1151 , so daß lediglich eine Aggregration der einzelnen Bewertungsergebnisse nötig ist, um das Gesamtbewertungsergebnis des Leveraged Floaters nachzubilden. Zerlegt man den unterstellten Leveraged Floater in seine einzelnen Bestandteile, so verbergen sich dahinter folgende Bestandteile bzw. Finanzinstrumente: • Festzinsanleihe • 6-Monats-EURIBOR-Anleihe • Vereinbarung über eine Zinsuntergrenze (englisch: Floor) Die einzelnen Bestandteile des Leveraged Floaters bilden ein synthetisches Portfolio, welches in jedem denkbaren 6-Monats-EURIBOR-Szenario das gleiche zustandsabhängige Zahlungsstrom-Profil abbildet wie der Leveraged Floater. Anhand der folgenden Tabelle 4.124 wird dieser Sachverhalt nunmehr für den Zinszahlungstermin 30.09.01 am Beispiel zweier 6-Monats-EURIBOR-Szenarien 4,00% p.a. und 5,50% p.a. demonstriert.

Bestandteil 9,00% p.a. Festzinsanleihe 100.000,00 Euro 6-Monats-EURIBOR-Anleihe 200.000,00 Euro 4,50% p.a. Floor 200.000,00 Euro I Summe I Leveraged Floater 100.000,00 Euro

Position Kauf Verkauf Verkauf Verkauf

I

6-MonatsEURIBOR von 4,00% p.a. am 30.03.01 Zinszahlung 30.09.01 4.500,00 Euro -4.000,00 Euro -500,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro

6-MonatsEURIBOR von 5,50% p.a. am 30.03.01 Zinszahlung 30.09.01 4.500,00 Euro -5.500,00 Euro 0,00 Euro I -1.000,00 Euro I -1.000,00 Euro

I I

Tabelle 4.124: Port folio zur Konstruktion eines synthetischen Leveraged Floaters Die Bestandteile des in Tabelle 4.124 dargestellten Port folios zur Konstruktion eines synthetischen Leveraged Floaters werden im folgenden kurz erläutert. Der erste Bestandteil des Leveraged Floaters stellt eine Festzinsanleihe mit halbjährlicher Zinszahlung und einem Nominalzins von 9,00% p.a. dar, die das Finanz-/Kreditinstitut zum Nominalwert von 100.000,00 Euro erwirbt. Die Zinszahlungstermine der Festzinsanleihe 30.09.01 und 30.03.02 sind mit den variablen Zinszahlungsterminen des Leveraged Floaters identisch.

1150Vgl. Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111. 1151 Vgl. Kapitel 4.2.1.5 auf Seite 348.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

417

Der zweite Bestandteil des Leveraged Floaters besteht in einer revolvierenden Refinanzierung der Festzinsanleihe. Dabei wird eine Anleihe zum 6-Monats-EURIBOR in Höhe des doppelten Nominalwertes der Festzinsanleihe (= 200.000,00 Euro) verkauft. Schließlich wird als letzter Bestandteil des Leveraged Floaters eine Verkauf-Position in einen Floor mit einer Floor-Rate von 4,50% p.a. und dem doppelten Nominalwert der Festzinsanleihe (= 200.000,00 Euro) aufgebaut. Die Berechnung der in Tab. 4.124 auf der vorherigen Seite dargestellten Zinszahlungen für das beispielhafte 6-Monats-EURIBOR-Szenario 4,00% p.a. zeigt Abb. 4.208. ZahlunAstableau· Fest2insanleihe 1 Festzins p.a. 30.03.01

2 3 Halte· S Jahres- S dauer basis [Tage) [Tage) 180,00 P 360 ,00 P

S

[%)

9,00 U

-

-

4

5

Nominalbetrag

S Hundert S

[Euro) 100.000,00 B

6=1 ' 2 / 3 ' 4 / 5

100 P

(Zins-) Zahlung S 30.09.01 [Euro) 4.500,00 I

ZahlunAstableau· 6 Monats EURIBOR-Anleihe 1 6-MonalsEURIBOR p.a. S 30.03.01 (%) 4,00 U

2 Haltedlluer

3

4

5

6 - 1 ' 213'4 / 5

S Jahres- S basis

Nominalbetrllg

S Hundert S

(Zins-) Zahlung 30.09.01

(Tage) (Tage) 180,00 P 360,00 P

(Euro) -200.000,00 B

100 P

S

(Euro) -4 .000 ,00 I

ZahlunAstableau - Floor-Position 1

2

3 = 2 -1

6-MonalsFloor-Rate GeldEURIBOR p.lI. S p.a. S Position S (Zins Basiswert) (B asisp reis) p.lI. 30.03.01 [%)

[%)

4,00 U

[%)

4,50 P 0,50 I Floor-Position

5

4 = Mllx (2 - 1; '11') Innerer Optionswert p.lI.

S

Hilltedauer

S

['Mo)

0,50 I

180,00 P

Jahresbasis

-

7

6

S

Nominalbetrllg

8

9=4 '

5/6' 7/8

(Zins-) S Hun- S Zahlung dert 30.09.01

[Tage) [Euro) 360,00 P -200 .000,00 B

100 P

S

[Euro) -500,00 I

Abb. 4.208: Port folio eines synthetischen Leveraged Floaters: Zins berechnung Die in Abb. 4.208 dargestellte Berechnung der Zinszahlungen des synthetischen Portfolios zeigt deutlich, daß die Berechnung der (Zins-)Zahlungen je nach isoliertem Finanzinstrument des Leveraged Floaters unterschiedlich erfolgt. Der Kauf einer Festzinsanleihe über 100.000,00 Euro führt bei einem Nominalzins von 9,00% p.a. für die Haltedauer 30.03.01 bis 30.09.01 zu einem Zinsertrag von 4.500,00 EurO. 1152 Der Verkauf einer 6-Monats-EURIBOR-Anleihe über 200.000,00 Euro führt bei einem angenommenen 6-Monats-EURIBOR von 4,00% p.a. für die Haltedauer 30.03.01 bis 30.09.01 zu einem Zinsaufwand von 4.000,00 EuroY53 1152ygl. Abb. 4.208 Zahlungstableau: Festzinsanleihe Spalte 6. 1153Ygl. Abb. 4.208 Zahlungstableau: 6-Monats-EURIBOR-Anleihe Spalte 6.

418

Gesamtergebnisrechnung

Der Aufbau einer Floor-Position für die Haltedauer 30.03.01 bis 30.09.01 beinhaltet eine Verkaufsoption einer Floor-Rate. Wird am 30.03.01 ein 6-Monats-EURIBOR von 4,00% p.a. angenommen, so beträgt der innere Optionswert bei einer vereinbarten

Floor-Rate von 4,50% p.a. exakt 0,50% p.aY54 Dem inneren Optionwert von 0,50% p.a. entspricht bei einem unterstellten Nominalbetrag von 200.000,00 Euro ein Zinsaufwand

von 500,00 Euro für die Haltedauer 30.03.01 bis 30.09.01. 1155

Die Addition der Zinszahlungen des synthetschen Leveraged Floaters mit semen Bestandteilen Festzinsanleihe, 6-Monats-EURIBOR-Anleihe sowie Floor-Position ergibt eine Summe von Nullp56 Da auch der originale Leveraged Floater unter dem am 30.03.01 unterstellten 6-Monats-EURIBOR-Zinsszenario von 4,00% p.a. eine Zinszahlung von Null aufweist, 1157 ist bewiesen, daß das konstruierte Portfolio zur synthetischen

Bildung eines Leveraged Floaters den Zahlungsstrom des originalen Leveraged Floaters exakt nachbildet. Damit besteht die Möglichkeit, zunächst die einzelnen Bestandteile des Port folios zu kalkulieren, um dann den Gesamtmarktwert des Portfolios und somit des Leveraged Floaters zu berechnen. Im folgenden wird zunächst die Kalkulation der Festzinsanleihe, dann die Kalkulation der 6-Monats-EURIBOR-Anleihe und abschließend die Bewertung der Floor-Position erläutert. Die Festzinsanleihe als Bestandteil des synthetischen Leveraged-Floaters 1158 beinhaltet den in Tab. 4.125 dargestellten Zahlungsstrom. Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 0,00 Euro 4.500,00 Euro 104.500,00 Euro

Tabelle 4.125: Zahlungsstrom Festzinsanleihe Die Berechnung des Marktwertes der Festzinsanleihe mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung1159 zum Bewertungszeitpunkt 30.09.00 zeigt Abb. 4.209 auf der nächsten Seite. Dabei werden die zwei Zinszahlungen von 4.500,00 Euro sowie die endfällige Kapitaltilgung von 100.000,00 Euro strukturkongruent abgezinst.

1154Vgl. 1155Vgl. 1156Vgl. 1157Vgl. 1158Vgl. 1159Vgl.

Abb. 4.208 auf der vorherigen Seite Zahlungstableau: Floor-Position Spalte 4. Abb. 4.208 auf der vorherigen Seite Zahlungstableau: Floor-Position Spalte 9. Tab. 4.124 auf Seite 416. Abb. 4.206 auf Seite 414 Zahlungstableau 30.09.01 Spalte 1l. Tabelle 4.124 auf Seite 416. KapiteI4.2.l.2.1 auf Seite 111.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

3

1

Datum 30 .03.02 30.09.01 30.03.01 Max!

419

4-

130.03.02

6 - P3 6 - 1 *3.4 *5

5

Marktwert S Zins- S Marktwert S Zins- S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) (Euro) (Euro) 104.500,00 N 97 .663,55 V 1,0700 U 4.245,28 V 1,0600 U 4.500,00 N -3.334,85 V 1,0250 U 97 .663,55 I 0,0350 U 0,00 N 98.573,98 I : (2) 2 Marktwert 30.09 .00 [Euro)

Abb. 4.209: Port folio eines synthetischen Leveraged Floaters: Bewertung der Festzinsanleihe Unter der Annahme, daß für ~-Jahres-Geld 5,00%, für 1-Jahres-Geld 6,0% und für q-Jahres-Geld 7,00% am Geld-jKapitalmarkt gezahlt werden, beträgt der Marktwert der Festzinsanleihe 98.573,98 Euro am Bewertungszeitpunkt 30.09.00.1160 Die Bewertung der 6-Monats-EURIBOR-Anleihe als Bestandteil des synthetischen Leveraged-Floaters 1161 berechnet sich vergleichsweise einfach. Der ableitbare Zahlungsstrom der 6-Monats-EURIBOR-Anleihe, dargestellt in Tab. 4.126, Datum 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung 200.000,00 Euro ? Euro ? Euro

Anmerkung -200.000 Euro * 180 Tage / 360 Tage * 6-Monats-EURIBOR -200.000 Euro * (1 + 180 Tage / 360 Tage * 6-Monats-EURIBOR)

Tabelle 4.126: Zahlungsstrom 6-Monats-EURIBOR-Anleihe zeigt deutlich, daß zu Haltedauer-Beginn der Anleihe, d. h. am Termin 30.03.01, ein Marktwert von 200.000,00 Euro existiert. Dieser Marktwert ist gemäß Abb. 4.210 nur noch auf den Bewertungstermin 30.09.00 strukturkongruent abzuzinsen. 1162 1

3

4 - 1*3

Marktwert S Zlnsfaktor S Zahlungsstrom S (EU-o) (Euro) 1,0250 U 200.000,00 N 30 .03.01 195.121,95 V Max! 195.121,95 Z : (2) 2 Marktwert 30.09.00 [Euro) Datum

Abb. 4.210: Port folio eines synthetischen Leveraged Floaters: Bewertung der 6-MonatsEURIBOR-Anleihe

Im Rechenbeispiel der Abb. 4.210 beträgt der Marktwert der 6-MonatsEURIBOR-Anleihe 195.121,95 Euro am Bewertungstermin 30.09.00, wobei als Geld-jKapitalmarktzins für ~-Jahres-Geld 5,00% unterstellt wird.

1160Vgl. Abb. 4.209 Spalte 2. 1161 Vgl. Tab. 4.124 auf Seite 416. 1162Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

420

Gesamtergebnisre~hnung

Die Bewertung der aus Sicht des Finanz-jKreditinstitutes eingegangenen Verkaufsposition des bereits beschriebenen Floors erfolgt mit Hilfe der Optionspreistheorie. 1163 Zur Bewertung der in der Floor-Vereinbarung enthaltenen Verkaufsoptionen auf die Floor-Rate wird nunmehr das modifizierte Optionsmodell von Black1164 für Floors verwendet. 1165 Zunächst ist die Floor-Vereinbarung für die Periode 30.03.01 bis 30.09.01 mit Hilfe des modifizierten Black-Modells zu bewerten. Abb. 4.212 auf der nächsten Seite zeigt das Black-Modell bei Verwendung der folgenden Datenbasis: • Terminzins 1166 30.03.01 - 30.09.01: 5,43% p.a. • Floor-Rate: 4,50% p.a. • Risikoloser Zinssatz 30.09.00 - 30.09.01: 4,90% p.a. • Volatilität: 26,00% p.a. • Option-Haltedauer 30.09.00 - 30.03.01: 180 Tage In das Black-Modell gehen verschiendenste Haltedauer-Basisgrößen ein: Haltedauer Option, Haltedauer Floor, Haltedauer Abzinsung. Zum Verständnis dieser Basisgrößen werden die eingehenden Haltedauer-Basisgrößen in Abb. 4.211 als Zeitstrahl visualisiert. Haltedauer Option

Haltedauer Floor

30.03.02

Haltedauer Abzinsung

Abb. 4.211: Floor-Vereinbarung für die Periode 30.03.01 bis 30.09.01: BasisgrößenHaltedauer

1163Vgl. 1164Vgl. 1165Vgl. 1166Vgl.

Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel

4.2.1.5.1 auf Seite 348. 4.2.1.5.2.3 auf Seite 396. 4.2.1.5.2.4 auf Seite 399. 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

421

AusübungswahrscheinlIchkeitstableau 'Vermögen oder Nichts " Option 1 Zins p.a. zum Termin lO.83.81 Baslswert

2 Floor.Ral. p.a.

S (Zinsuntergrenza, S BaoIspr.1sI

3

4 - LNII / 2 · 3

Hund.rt

.Indestr.ndh. S S lZuf.llovarl.bl., ('110(

0,0543lXl U

0,04sam U

8

100 P

10 - 6 / 3 · 6 /317" 8 19 " 3

9

Option lO.89.00 bis lO.83.81

S

S

J.hresb_

S Erwart.l. R.ndh. S

H.hed.u.r. sp.zlfisch. Volatllll81 Terminzins

IT_I

1'1101

Iliol

7

Volatllhel T.rmlnzl ... p.••

S

26,00

12 - 44·10) / 11

U

180,00 P

360,00 P

1.69 I

1,1137570 I

P

Nlch..·.V.rk....... pllon gamIII T _ der 51_-""·

S

0 ,1335000

A

13

14 - 3 / 3 . 13 _bungs. w.hrsch.lnllchk.11

SI.nd.rd· "Vermögen oder S norm.lvert.lh. S NIch1s·.K.ufoptlon gamIII T _ dar Zuf.llsvariabl. 51_-""·

18.38 I

2

_bungs. wahrsch.lnllchk.h S

wrt.......

(Tagel

S

Zwei

Ilio(

18,79 I

11 - 6 · WURZEL" / 9)

Haltedauer

6

5

0,8665OOJ

"Vermögen oder

I

wrt.......

U

OptlonsprclstablelU

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" Option 1 Zins p.a. zum Termin lO.83.81 B_.n

2 Floor.Ral. p.a.

S (ZinsuntergrenzB, S BaoIspr.1sI

4 - LN 1 / 21 " 3

Hund.rt

.Indestr.ndh. S S lZufallovarlabl.'

S

0,04sam U

8

100 P

10 - .6/3" 6 13 17 " 8 19 " 3

9

S

S

26,00

18,79 I

11 - 6 " WURZEL " 19)

J.hresb_

S Erwart.l. R.ndh. S

H.h.d.u.r. sp.zlfisch. Vol.tllllat T.rminzins

[Tagel

1'1101

1'1101

Haltedauer

7

Vol.tllhel T.rmlnzlns p••.

12 - 44·10) 1 11

U

180,00 P

360,00 P

·1.69 I

18.38 I

0,9299J93 I

2

P

Nich..·.V.rk....... ptlon gamIII T _ dar 51_-.naI-

S

I

14 - 3 / 3 · 13

13

_bungs. wahrsch.lnllchkeh Stand.rd. -V.rmog.n od.r S norm.lvert.lhe S Nich1s·.K.ufoptlon gamIII T _ dar Zuf.llsv.rI.bl. 51_-""·

_bungs. wahrsch.lnllchk.h S

0,8238000

"Vermögen oder

wrt.......

~

lTagel

S

Zwei

Iliol

1'1101

0,0543lXl U

Opllon lO.89.00 bis lO.03.81

6

5

3

0,1762OOJ

U

A

Optionsprcistableau

Optionspreistableau 1 Zins p.a. lumTermln lO.83.81 Baslswen

2 _bungswahrsch.inllchk.h S

"Vermagen oder

51Nlch"·.Option ____

gamIII T _ dar

S

3- t "2

4

5

Pr.is V.rkaufsoplion

Floor.Rat. p.•.

Rloikoloear Zins p.a.

"Vermogen oder

Nichts·

S (Zinsuntergrenze, S BaoIspr.1sI

wrt .......

0.0543lXl U

0.1335COl E

6

7 Hahedauer

S

Hund.n

S

0.04sam U

S

ITagel

Iliol 0,0072491 I

Abzinsung lO.89.oo bis lO.89.01

4,90 U

100

P

360.00

P

Ausübungswlhrscheinlic:hkeitstableau '"Vermögen oder Hichts"-Option

8

9

Jahres. b_

10 - 4 " 9

_bungsw.hrsch.inllchk.h Pr.is "G.ld od.r S Nich..• -Option S V.rkaufsopdon S gamIII T _ dar "G.ld oder Nich..• 51_-.naI-

ITagel 360.00 P

11 - (10 . 3) " EXP (.lN (5 16. 6 161 " 7 1B1

12

13

Preis V.rk....... ption

S Floor·Volum.n S

H.h.d.u.r Floor lO.83.81 bis lO.89.81

[Eurol

[Tagel

wrt.......

0 .1762(ll) E

. 0.007929J

I

o ,()));482 I

200.000 ,00 B

I

14 - 11"12 "13/8

S

Ausgl.ichoz.hiung (Ersp.rt.r ZI..., lO.89.oo

S

(E"ol 180,00

P

64,82

I

Ausubungswlhrschclnhchkeitstableau 'Geld oder Nichts -Option

Abb. 4.212: Black-Modell zur Bewertung von Floors: Floor-Vereinbarung 30.03.01 bis 30.09.01

Gesamtergebnisrechnung

422

Ein Vergleich zwischen dem in Abb. 4.212 auf der vorherigen Seite dargestellten modifizierten Black-Modell für Floors mit dem originalen Black-Modell1167 zeigt, daß das Black-Modell für Floors zusätzlich die Berechnung einer Ausgleichszahlung beinhaitetY68 Der

Wert

der

64,82 EurO. 1169

(zustandsabhängigen)

Ausgleichszahlung

am

30.09.00

beträgt

Als nächstes ist die Floor-Vereinbarung für die Periode 30.09.01 bis 30.03.02 mit Hilfe des modifizierten Black-Modells zu bewerten. Abb. 4.214 auf der nächsten Seite zeigt das Black-Modell bei Verwendung der folgenden Datenbasis: • Terminzins 1170 30.09.01 - 30.03.02: 6,40% p.a. • Floor-Rate: 4,50% p.a. • Risikoloser Zinssatz 30.09.00 - 30.03.02: 5,50% p.a. • Volatilität: 26,00% p.a. • Option-Haltedauer 30.09.00 - 30.09.01: 360 Tage In das Black-Modell gehen verschiedenste Haltedauer-Basisgrößen ein: Haltedauer Option, Haltedauer Floor, Haltedauer Abzinsung. Zum Verständnis dieser Basisgrößen werden die eingehenden Haltedauer-Basisgrößen in Abb. 4.213 als Zeitstrahl visualisiert. Haltedauer Option

Haltedauer Floor

30.03.01 Ausgleichszahlung

Haltedauer Abzinsung

Abb. 4.213: Floor-Vereinbarung für die Periode 30.09.01 bis 30.03.02: BasisgrößenHaltedauer

1167Ygl. Abb. 4.196 auf Seite 398. 1168Ygl. Abb. 4.212 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalten 11 bis 14 sowie Abb. 4.198 auf Seite 402 Ausgleichszahlungstableau. 1169ygl. Abb. 4.212 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 14. 1170Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

423

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau ''Vermöaen oder Nichts".Ol>tion 1 Zins p.a. zum Termin 3O.fI9.81 Baslswert

2 Floor.Rate p.a. S IZInsuntergrenze, S Baolopreisj

0.(ll40c00 U

4 - LN 1 12 " 3

Hundert

.Ind_endlle (Zufillsvariable)

S

100 P

0.045COJJ U

8

10 - 6 13 " 6 1317 " 8 19 " 3

9

Haltadauar Option 3O.fI9.oo bis 3O.fI9.81

3

Jahresbasis

S

1'111

S

S

Hahedauer· spezifische Volatillt.t Terminzins

7

Volatlllt~t

Terminzins p.a.

1'1\1

35.22 I

11 - 6 " WURZEL " 191

S Erwartete Rendite S

6

5

12 - (.t

+

S

26.00

IT_I

360.00 P

360.00 P

1'111

3.38 I

1'1\1

26,00 I

1.4846946 I

2 P

I

14 - 3 13.13

Ausübungs. wahrscheinlichkeit Standard· 'Vermogen oder S normalverteilte S Nichts"-Klufoptlon gemIIT_der Zufallsvariable St_dnorJnaI.

Ausübungs. wahrscheinlichkeit 'Vermogen oder Nichts". S VerkaufsoptIon

S

gemIIT_der

St_dnorJnaI.

-'obig

IT_I

S

U

13

10) 1 11

Zwei

"""obig

0.93OOXll

U

0.0694000 A Optlonsprclstableau

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" . Ol>tion 1 Zins p.l . zum Termin 30.09.81 8_ert

2

3

Floor.RIte p.l. S (ZJnsuntergrenze, S Basispreisj

Hundert

0.045COJJ U

0.0640c00 U

8

Hlltedluer Option 3O.fI9.00 bis 3O.fI9.81

S

100 P

10 -·6 13 " 6 13 17 " 8 19 " 3

9

Jahresbasis

5

4 - LN 11 121 " 3 S

.ind~ndlte

(Zufallsvarllble)

1'1\1

S Erwartete Rendite S

S

Halledluer· spezifische Volatllhät Terminzins

Volltllltit Terminzins p.l.

1'1\1

35.22 I

11 - 6 " WURZEL IB 19)

7

6

S

12 - (.t

+

S

26.00

IT_I

360.00 P

360.00 P

1'1\1

·3.38 I

['II[

26.00 I

1.2246946 I

2 P

I

14 - 3 13 . 13

Ausübungs. wlhrschelnlichkelt Stlndard· 'Vermogen oder S normalvertelhe S Nichts"-Klufoptlon gemIIT_der Zufallsvarlable St _ _maI-

Ausübungs. wahrscheinlichkeit "'Vermögen oder

S

Nichts". Verklufsoptlon

S

51 _ _ _· gemIIT_der

"""obig

IT_I

S

U

13

10) 1 11

Zwei

"""eIIUng

0.8888lJJ U

0.1112000 A Opt,onsprctstableau

Ol>tionsl>reistableau 1 Zins p.l. zum Termin 3O.fI9.81 Baslswert

4 2 3- 1"2 Ausübungs. wahrscheinlichkeit Preis Floor.Rate p.l. 'Vermögen oder Verklufsoptlon S Nichts".option S 'Vermögen oder S IZInsuntergrenze, S Basispreisj gemIIT_der Nichts" _dnorJnaI. -'eIIUng

0.0640C00 U

0.0694000 E

0.0044416 I

0.0450000 U

5 Rbdkoloeer Zins p.l.

1'1\[

S

6

7

Hundert

Halledluer Abzinsung 3O.fI9.oo bis 30.D3.D2

S

100 P

5.50 U

[T_[

S

540.00 P

Ausübungs wahrscheinlichkeitstableau ''Vermögen oder Hichts"-Op1ion

9

8

Jlhr ... basis

Ausübungs. wahrscheinlichkeit "Geld oder S Nlchts".Optlon S gemIIT_der

St_dnorJnaI.

n_1 360.00 P

10 - 4 " 9

Preis Verklufsoptlon S "Geld oder Nichts"

11 - (10 . 3) " EXP (-lN (5 / 6 + 6161 " 7 181

12

13

Preis VerkaufsoptIon

S Floor ·Volumen S

Halledluer Floor 3O.fI9.81 bis 30.D3.D2

[EUro[

IT_[

-'obig

0.1112000 E

. 0.0050040

I

0.0005190 I

200.000 ,00 B

I

14 - 11 " 12 " 13 18

S

180,00 P

Ausglelchszahlung (Ersparter Zins) 3O.fI9.oo [Ewo[

51.90

S

I

Ausubungswahrschetnhchkeitstableau "Geld oder Nichts -Option

Abb. 4.214: Black-Modell zur Bewertung von Floors: Floor-Vereinbarung 30.09.01 bis 30.03.02

Gesamtergebnisrechnung

424

Der Wert der 51,90 EuroY71

(zustandsabhängigen)

Ausgleichszahlung

am

30.09.00

beträgt

Nach Kenntnis der Gegenwart-Marktwerte der einzelnen Bestandteile des Port folios zur synthetischen Nachbildung eines Leveraged Floaters 1172 sind diese Marktwerte sowie der Gegenwarts-Marktwert der ersten Zahlung l173 zu einem Gesamtmarktwert des Leveraged Floaters zusammenzufassen. Dabei sind die Vorzeichen der Marktwerte zu beachten: Werte von Kaufpositionen sind mit negativen Vorzeichen, Werte von Verkaufspositionen sind mit positiven Vorzeichen zu versehen. Tab. 4.127 zeigt noch einmal die berechneten Marktwerte der im unterstellten Leveraged Floater implizit enthaltenen Finanzinstrumente. Leveraged Floater Finanzinstrumente Erste Zahlung am 30.03.01 Festzinsgeschäft 6-Monats-EURIBOR-Anleihe Floor-Vereinbarung 30.03.01 bis 30.09.01 Floor-Vereinbarung 30.09.01 bis 30.03.02 I Summe

Marktwert 30.09.00 1.463,41 Euro -98.573,98 Euro 195.121,95 Euro 64,82 Euro 51,90 Euro 98.128,10 Euro

I

Tabelle 4.127: Leveraged Floater: Marktwert Der Gegenwart-Marktwert sämtlicher im Leveraged Floater implizit enthaltenen Finanzinstrumente beträgt 98.128,10 EuroY74 Dieser Marktwert stellt den Preis dar, denn das Finanz-/Kreditinstitut für den Zahlungsstrom des ausgegebenen Leveraged Floaters am Geld-/Kapitalmarkt erlöst hätte. Da aber das Finanz-/Kreditinstitut den Leveraged Floater zum Anlagebetrag von 100.000,00 Euro verkauft, erzielt das Institut einen Gegenwart-Kapitalwert von 1.871,90 Euro als Differenz zwischen dem Anlagebetrag und dem Preis (Marktwert) des Leveraged Floaters.

4.2.1.5.3 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Kalkulation stochastischer zustandsabhängiger Zahlungsströme Die Optionspreistheorie ermöglicht - wie in den Kapiteln 4.2.1.5.1 auf Seite 348 und 4.2.1.5.2 auf Seite 390 gezeigt -

die Bewertung von bedingten Rechten bzw. Ansprüchen (englisch: contingent claims). Die hohe Bedeutung dieser Bewertungsmöglichkeit wird deutlich, wenn man sich vergegenwärtigt, daß unzählige Geschäfte im globalen Wirtschaftsprozess optionsähnlichen Charakter aufweisen. "Zu denken ist beispielsweise an Sachversicherungen, bei denen der Versicherungsnehmer (Optionsinhaber) gegen Zahlung einer Versicherungsprämie (Optionspreis) das Recht hat, bei Eintritt eines bestimmten Falles (z. B. Autodiebstahl), 1171 Ygl. 1172Ygl. 1173Ygl. 1174Ygl.

Abb. 4.214 auf der vorherigen Seite Optionspreistableau Spalte 14. Tab. 4.124 auf Seite 416. Abb. 4.207 auf Seite 415. Tab. 4.127.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

425

von der Versicherung (Stillhalter) die Zahlung der Versicherungssumme (Basispreis) zu verlangen. " 1175 Mit der Veröffentlichung des BlackjScholes-Modells1176 1177 zur Bewertung von Aktienoptionen gelang es erstmals, die in der Optionspreistheorie behandelten bedingten Rechte mit Hilfe eines relativ einfachen und somit schnell rechenbaren Gleichungssystems zu bewerten. Noch heute wird das BlackjScholes-Modell sowie ähnliche Modelle, die den BlackjScholes-Ansatz auf andere Geschäfte übertragen, z. B. Optionen auf Gütermärkten,1178 von Börsenhändlern und Investoren weltweit benutzt. Dabei wurde das BlackjScholes-Modell einer Vielzahl von empirischen Tests unterzogenY79 Als gemeinsames Ergebnis aller empirischen Tests kann dabei festgehalten werden, daß die Anwendung des BlackjScholes-Modells zu einer hinreichenden Approximation der tatsächlich beobachtbaren Marktpreise führt. "Das BlackjScholes-Modell befindet sich bezüglich der ihm zugrundeliegenden Aktienkursverlaufshypothese gegenüber dem Binomialmodell im Nachteil. Denn im Binomialmodell kann durch die Prognose zukünftiger Aktienkurserhöhungs- bzw. Aktienkursverringerungsfaktoren (... ) ein realistischeres Vorgehen erreicht werden. ( ... ) Allerdings zeigt sich, daß bei zunehmender Periodenzahl die Optionswerte, die mittels des Binomialmodells errechnet werden, sich den Werten des BlackjScholes-Modells immer mehr annähern. Dies ist damit zu begründen, daß die Binomialverteilung bei steigender Periodenanzahl gegen die Normalverteilung konvergiert. ( ... ) Deshalb kann das BlackjScholes-Modell als Spezialfall des Binomialmodells angesehen werden." 1180 Ein wesentlicher Kritikpunkt des BlackjScholes-Modells ist die Annahme konstanter Volatilitäten über die Haltedauer. Deshalb werden zur realistischen Beschreibung von Veränderungen der Volatilität über eine bestimmte Haltedauer immer öfter sogenannte GAReH-Modelle eingesetztY81 Diese Modelle versuchen charakteristische zeitlich begrenzte Muster von Wertpapierrenditeschwankungen nachzubilden.

1175Vgl. 1176Vgl. 1177Vgl. 1178Vgl. 1179Vgl. 1180Vgl. 1181 V gl.

[116, S. 326]

[18].

Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383.

[16]

[50, S. 79 - 100] [116, S. 326] [24]

Gesamtergebnisrechnung

426

Die aktuelle wissenschaftliche Forschung zur Optionspreistheorie löst sich zusehends vom BlackjScholes-Modell und seinen Varianten. Zur Optionspreisfindung wird vermehrt der Einsatz von neuronalen Netzen1182 1183 forciert, die eine Verbesserung der Optionspreisbewertung gegenüber dem BlackjScholes-Modells versprechenY84 Es bleibt aber abzuwarten, ob dieser Ansatz vermehrt Beachtung in Wissenschaft und Praxis findet.

4.2.2 Risikoergebnisrechnung Im Kapitel 4.2.1 auf Seite 93 wurde gezeigt, wie mit Hilfe des Verfahrens der strukturkongruenten Refinanzierung1185 jeder Zahlungsstrom gegen das Zinsänderungsrisiko immunisiert werden kann. Das Zinsänderungsrisiko ist jedoch nur ein mögliches Erfolgsrisiko. Neben dem Zinsänderungsrisiko ist für die Einzelgeschäftskalkulation das Ausfallrisiko von großer Bedeutung. "Das Ausfallrisiko bezeichnet (... ) die Gefahr eines partiellen oder totalen Verlustes von Forderungen (Kredite oder Wertpapiere) oder Aktien durch Bonitätsverschlechterungen der Kreditnehmer oder der Emittenten." 1186 Der partielle oder teilweise Verlust von Forderungen ist durch die Berechnung von Risikokosten quantifizierbar. 1187 Bei der ex-ante-Kalkulation von Risikokosten treten grundsätzlich zwei Problemkreise aufY88 • Würde ein Kredit- jFinanzinstitut mit Hilfe von Kreditwürdigkeitsprüfungen den Forderungsausfall bereits ex-ante erkennen, so würde ein Kreditgeschäft in der Regel nicht zustande kommen. Folglich entstünden keine Risikokosten . • Würde solch ein Kreditgeschäft dennoch abgeschlossen, so müßten die Risikokosten der Kreditauszahlung entsprechen. Ein Nullsummenspiel wäre die Folge. Demnach ist im Kredit-Entscheidungszeitpunkt einer Kreditwürdigkeitsprüfung davon auszugehen, daß das Kredit- jFinanzinstitut nur Kredite bewilligt, bei denen exante kein Ausfallrisiko zu erwarten ist. Die Praxis lehrt aber, daß trotz dieser Sicherheit im Entscheidungszeitpunkt vereinzelt Kredite ausfallen. Somit ist zur Existenzsicherung eines Finanz-jKreditinstitutes zwingend notwendig, daß die ex-post berechneten (Ist-)Risikokosten durch die bei Kreditbewilligung ex-ante vereinnahmten (Plan-)Risikokosten oder -prämien gedeckt werden. Die Berechnung von Plan-jIst-Risikokosten basiert ausschließlich auf der Marktwertmethode, da nur die Marktwertmethode -

im Gegensatz zur Bar- oder

1182Vgl. [81] 1183Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.2 auf Seite 437. 1184 Vgl. [52] 1185Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 1186Vgl. [103, S. 418] 1187Da Bestandteil der Risikoergebnisrechnung ausschließlich Risikokosten sind, kann kein Kapitalwert sondern lediglich ein Marktwert eines ausfallgefährdeten Zahlungsstroms berechnet werden. Somit ist der Terminus "Risikoergebnisrechnung" gleichbedeutend mit dem Terminus "Risikokostenrechnung" . 1188Vgl. [97, S. 293]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Nominalwertmethode -

427

eine exakte Marktbewertung eines Zahlungsstroms zum

Gegenwartzeitpunkt t = 0 ermöglicht. 1189 Im folgenden Kapitel 4.2.2.1 wird zunächst die Kalkulation von marktwertigen Risikokosten erläutert. Anschließend wird in einem weiteren Kapitel 4.2.2.2 auf Seite 454 die Periodisierung der Marktwert-Risikokosten beschrieben.

4.2.2.1 Kalkulation von Risikokosten als Marktwerte Im Kapitel 4.2.2.1.1 wird die Kalkulation von Ist-Risikokosten dargestellt. Danach folgt in einem weiteren Kapitel 4.2.2.1.2 auf Seite 430 die Beschreibung der Kalkulation von Plan-Risikokosten.

4.2.2.1.1 Kalkulation von Ist-Risikokosten Die Kalkulation von Ist-Risikokosten basiert auf der Marktwertbestimmung eines aktivischen Zahlungsstroms. Zunächst erfolgt die Marktwertbestimmung zum Kreditvergabezeitpunkt. Als Rechenbeispiel wird der in Tab. 4.128 dargestellte aktivische Zahlungsstrom unterstellt. Der Kreditvergabezeitpunkt ist der 01.01.01. Datum 01.01.01 01.01.02 01.01.03 01.04.01

Zahlung Marktwert? Euro 18.000,00 Euro 7.500,00 Euro 82.045,50 Euro

Tabelle 4.128: Zahlungsstrom Die gesuchte Rechengröße - der Marktwert des Aktiv-Zahlungsstroms am 01.01.01 -läßt sich mit Hilfe des Verfahrens der strukturkonguenten Refinanzierung 1190 berechnen. Am Geld-/Kapitalmarkt möge am Bewertungszeitpunkt 01.01.01 folgende aktuelle Zinsstruktur feststehen: 2,80% für I-Jahres-Geld, 3,20% für 2-Jahres-Geld, 3,50% für 3-Jahres-Geld. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-/Kapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-/Kapitalanlage. Abb. 4.215 auf der nächsten Seite zeigt die Marktbewertung des aktivischen Zahlungsstroms.

1189Vgl. Kapitel 4.2.1.1 auf Seite 96, Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111, Kapitel 4.2.1.3 auf Seite 302. 1190Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

Gesamtergebnisrechnung

428

.--1 Datum

01 .01 .04 01 .01 .03 01 .01 .02 Max!

Marktwert (Euro) 79.271,01 4.578,99 14.668,28 98.518,28

3

4 = 101.01.04

5

6 = 101.01.03

8- 1*3 8 a 1 * 3+4 * 5 8 - 1 * 3+4 * 5+6 * 7

7

S Zins. Zins· S Marktwert S S Marktwert S Zins· S faktor quotient quotient (Euro) (Euro) V 1,0350 U V 1,0320 U 79.271,01 I 0,0350 U V 1,0280 U 79.271,01 I 4.578,99 I 0,0320 U 0,0350 U Z : (2) 2: Marktwert 01 .01.01 [Euro)

Zahlungsstrom

S

(Euro) 82.045,50 N 7.500,00 N 18.000,00 N

Abb. 4.215: Kalkulation eines Marktwertes Als Bewertungsergebnis beträgt der Marktwert des Aktiv-Zahlungsstroms 98.518,28 Euro am 01.01.01. 1191 Nach einem Jahr, also am 01.01.02, wird der in Tab. 4.128 auf der vorherigen Seite dargestellte aktivische Zahlungsstrom vom Finanz-jKreditinstitut erneut bewertet. Dabei ist zu beachten, daß lediglich der Restzahlungsstrom, d. h. die ab dem Bewertungszeitpunkt 01.01.02 noch ausstehenden zukünftigen Zahlungen, in die Marktwertrechnung mit einbezogen wird. Am Geld-jKapitalmarkt möge am Bewertungszeitpunkt 01.01.02 folgende - gegenüber dem Bewertungszeitpunkt 01.01.01 unveränderte - aktuelle Zinsstruktur feststehen: 2,80% für 1-Jahres-Geld, 3,20% für 2-Jahres-Geld, 3,50% für 3-Jahres-Geld. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-jKapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-jKapitalanlage. Abb. 4.216 zeigt die Marktbewertung des aktivischen Zahlungsstroms. 1 Datum

01.01 .04 01.01.03 01.01 .02 Max!

3

4 - 101.01.04

5

6= 1*3 6 = 1 * 3+4 * 5

Zins· Marktwert S Zins· S Marktwert S S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) [Euro) (Euro) 79 .501,45 V 1,0320 U 82.045,50 N 4.820,97 V 1,0280 U 79.501,45 I 0,0320 U 7.500,00 N 18.000,00 V 1,0000 U 18.000,00 N 102.322,42 Z : (2) 2: Marktwert 01.01.02 [Euro)

Abb. 4.216: Kalkulation eines Marktwertes Als

Bewertungsergebnis

102.322,42 Euro am

beträgt

der

Marktwert

des

Aktiv-Zahlungsstroms

01.01.02.11 92

Wird der am Bewertungszeitpunkt 01.01.02 berechnete Marktwert des AktivZahlungsstroms von 102.322,42 Euro mit dem am Bewertungszeitpunkt 01.01.01 berechneten Marktwert desselben Aktiv-Zahlungsstroms von 98.518,28 Euro verglichen, so ist eine Marktwertänderung von 3.804,14 Euro erfolgt.11 93 Diese Marktwertänderung ist auf den "Rutsch auf der Zinsstrukturkurve" zurückzuführen. 1194 Am Bewertungs1191 V gl. 1192Vgl. 1193Vgl. 1194Vgl.

Abb. 4.215 Spalte 2. Abb. 4.216 Spalte 2. Abb. 4.215 Spalte 2 im Vergleich zu Abb. 4.216 Spalte 2. [103, S. 116

ff.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

429

zeitpunkt 01.01.01 wird die in drei Jahren erfolgte Zahlung von 82.045,50 Euro mit 3-jährigen Interbankengeschäften neutralisiertY95 Dagegen wird ein Jahr später, also am Bewertungszeitpunkt 01.01.02, dieselbe Zahlung lediglich mit einem 2-jährigen Interbankengeschäft neutralisiert. 1196 Die Marktwertänderung resultiert bisher ausschließlich auf einer Verkürzung der Resthaltedauer eines Zahlungsstroms und nicht auf einer Bonitätsverschlechterung des Kunden. Eine ausfallrisikobedingte Marktwertänderung liegt bisher am Bewertungszeitpunkt 01.01.02 nicht vor. In Fortführung des Rechenbeispiels sei nunmehr unterstellt, daß die am Bewertungszeitpunk 01.01.02 fällige Zahlung von 18.000,00 Euro wegen Liquiditätsproblemen des Kreditnehmers ausfällt. Tab. 4.129 zeigt den ausfallbedingten Rest-Zahlungsstrom. Datum 01.01.02 01.01.03 01.04.01

Zahlung 0,00 Euro 7.500,00 Euro 82.045,50 Euro

Tabelle 4.129: Zahlungsstrom Eine Marktwertbestimmung des in Tab. 4.129 dargestellten Rest-Zahlungsstroms zeigt Abb.4.217.

-

1 Datum

Marktwert

Max!

79.501 ,45 4.820,97 0,00 84 .322,42

4 = 101.01.04

S Zins- S Marktwert S faktor

(Euro)

(Euro)

01.01 .04 01 .01 .03 01 .01 .02

3

V V V Z

5

6= 1*3 6=1 * 3+4*5

Zins- S Zahlungsstrom S quotient (Euro(

1,0320 U 1,0280 U 79.501,45 I 0,0320 U 1,0000 U : (2) L Marktwert 01 .01.02 (Euro)

82.045,50 N 7.500,00 N 0,00 N

Abb. 4.217: Kalkulation eines Marktwertes Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.217 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 01.01.02 ein Marktwert von 84.322,42 EuroY97 Verglichen mit dem Marktwert des Aktiv-Zahlungsstrom ohne Zahlungsausfall von 102.322,42 Euro ergibt sich somit eine ausfallbedingte Marktwertabschreibung von 18.000,00 Euro, die als Ist-Risikokosten zu interpretieren ist. 1198 Es bleibt darauf hinzuweisen, daß jeder Zahlungsausfall nicht nur Ist-Risikokosten 1195Ygl. 1196Ygl. 1197ygl. 1198ygl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

4.215 4.216 4.217 4.216

auf der vorherigen Seite Spalten 1, 8. auf der vorherigen Seite Spalten 1, 6. Spalte 2. auf der vorherigen Seite Spalte 2 im Vergleich zu Abb. 4.217 Spalte 2.

430

Gesamtergebnisrechnung

verursacht, sondern auch Zinskosten, die durch Vorfinanzierung der entfallenen Zahlungsausfälle entstehen. 4.2.2.1.2 Kalkulation von Plan-Risikokosten Die im Kapitel 4.2.2.1.1 auf Seite 427

beschriebene Kalkulation von Ist-Risikosten sollte durch die bei Kreditabschluß vereinnahmten Plan-Risikokosten bzw. Risikoprämien gedeckt werden. Zu ihrer Kalkulation stehen verschiedene Methoden zur Verfügung. Ein Überblick gibt Abb. 4.218. Methoden der Risikokostenkalkulation

nach dem Prinzip der Einzelbewertung

nach dem Versicherungsprinzip

Markt-deduzierte Risikokostenmethode

Risikokostenkalkulation auf Basis neuronaler Netze

Optionspreistheoretische Risikokostenmethode

Wahrscheinlichkeitsbasierte Risikokostenmethode

Rating-gestützte MarktzinsZuschlagsrechnung

Abb. 4.218: Methoden der Risikokostenkalkulation Die Methoden zur Kalkulation von Plan-Risikokosten lassen sich grundsätzlich danach unterscheiden, ob sie entweder auf dem Versicherungsprinzip oder auf dem Prinzip der Einzelbewertung basieren. Das Versicherungsprinzip beruht auf der Idee eines Risikoausgleichs zwischen den bei Kreditabschluß vereinnahmten Risikoprämien und den Ist-Risikokosten durch Kreditausfälle. Risikoausgleich durch Versicherung erfolgt durch Bildung von verschiedenen, hinsichtlich ihres Risikogehaltes möglichst homogenen und untereinander möglichst heterogenen Kreditnehmersegmenten. Die in den einzelnen Kreditnehmersegmenten bei Kreditabschluß vereinnahmten Risikoprämien fließen gedanklich in eine Art Risikofonds ein und dienen somit zur Abdeckung von Ist-Risikokosten in den jeweiligen Kreditnehmersegmenten. Zu den Methoden der Risikokalkulation nach dem Versicherungsprinzip zählen die markt-deduzierte Risikokostenmethode sowie die Risikokalkulation auf Basis neuronaler Netze. Die markt-deduzierte Risikokostenmethode folgt einem Ansatz, "der zum einen den verursachungsgerechten Zusammenhang zwischen dem Kreditnehmer als Risikoquelle und dem ausfallenden Kreditbetrag als Risikowirkung herstellt und der zum anderen

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

431

nicht auf institutsspezifische Daten, sondern auf am Markt erhobene Daten aufbaut. Mit Hilfe dieser Marktdaten kann dann zum einen eine institutsspezifische Risikokostenplanung und -kontrolle stattfinden, zum anderen können die Ergebnisse und Erkenntnisse dieser Planungs- und Kontrollaktivitäten in die Markt- und Risikopolitik der Bank einfließen. ,,1199 Die Risikokalkulation auf Basis neuronaler Netze basiert auf einem zweistufigen Kalkulationsmodell. Zunächst wird mit Hilfe eines modernen Verfahrens der Bilanzanalyse - dem neuronalen Netz - die Bonität (solvent oder insolvenzgefährdet) der kreditnehmenden Unternehmen beurteilt, und anschließend darauf aufbauend Risikokosten berechnet. Eine Risikokalkulation nach dem Prinzip der Einzelbewertung versucht im Sinne einer größeren Verursachungsgerechtigkeit das kreditnehmerindividuelle Ausfallrisiko zu quantifizieren. Ein Rückgriff auf das Versicherungsprinzip ist nicht mehr nötig. Zu den Methoden der Risikokalkulation nach dem Prinzip der Einzelbewertung zählen die optionspreistheoretische Risikokostenmethode, die wahrscheinlichkeitsbasierte Risikokostenmethode und die Rating-gestützte Marktzins-Zuschlagsrechnung. Die optionspreistheoretische Risikokostenmethode überträgt den Grundgedanken der Optionspreistheorie 1200 auf kredit nehmende Unternehmen. Damit steht jedem Kreditnehmer - gegen Zahlung einer Risikoprämie - das Recht zu, im Insolvenzfall sein Unternehmen dem kreditgebenden Finanz-/Kreditintitut zu übertragen, so daß das Forderungsrecht des Finanz-/Kreditinsitutes erlischt. Die wahrscheinlichkeits basierte Risikokostenmethode berechnet Risikoprämien auf Basis geschätzter Ausfallwahrscheinlichkeiten eines Kredites. Dabei wird für jede einzelne Kreditzahlung eine Ausfallwahrscheinlichkeit geschätzt. Der erwartete Verlust jeder Zahlung berechnet sich, indem die zahlungsspezifische Ausfallwahrscheinlichkeit multipliziert wird mit der Höhe der entsprechenden Zahlung. Die Risikokosten entsprechen der Summe der erwarteten Verluste der einzelnen Zahlungen. Die

Rating-gestützte

Marktzins-Zuschlagsrechnung

integriert

externe

am

Geld-/Kapitalmarkt vorgegebene Risikozuschläge in die Risikokostenkalkulation. Dabei werden die am Geld-/Kapitalmarkt vorgegebenen Risikozuschläge für einzelne Bonitätsklassen mit der Bonitätseinstufung einzelner Kreditnehmer verknüpft, um (ausfall-) risikospezifische Risikoprämien zu ermitteln. 1199ygl. [25, S. 166] 1200Ygl. Kapitel 4.2.1.5.1 auf Seite 348.

432

Gesamtergebnisrechnung

Im den folgenden Kapiteln werden zunächst die Methoden der Risikokostenkalkulation

nach dem Versicherungsprinzip (Kapitel 4.2.2.1.2.1) und anschließend die Methoden der Risikokostenkalkulation nach dem Prinzip der Einzelbewertung (Kapitel 4.2.2.1.2.2 auf Seite 442) erläutert. 4.2.2.1.2.1 Risikokostenkalkulation nach dem Versicherungsprinzip Im folgenden

Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 wird zunächst die markt-deduzierte Risikokostenmethode erläutert, bevor im anschließenden Kapitel 4.2.2.1.2.1.2 auf Seite 437 die Risikokalkulation auf Basis neuronaler Netze beschrieben wird. 4.2.2.1.2.1.1 Die markt-deduzierte Risikokostenmethode Die markt-deduzierte Risikokostenmethode1 201 basiert bei der Quantifizierung von Risikokosten auf markt-

bezogenen und somit objektiven Ausfalldaten. Völlig losgelöst von der institutsbezogenen Ausfall-Risikosituation eines Finanz-jKreditinstitutes wird zunächst ein marktbezogenes Risikomodell entwickelt, welches allgemeine, marktgegebene Risikokosten ermittelt. Anschließend ist es für jedes Finanz-jKreditinstitut möglich, aus den allgemeingültigen objektiven Risikokosten institutsspezifische Risikokosten abzuleiten und in ein geschlossenes Risiko-Planungs- und Kontrollsystem zu integrieren. Dabei unterstellt das markt-deduzierte Risikomodell folgende Prämissen: • Zins- und Tilgungsausfälle, die ein Finanz-jKreditinstitut in seinem Kreditportfolio zu verkraften hat, sind als eine Teilmenge der Gesamtbonitätsproblematik des Marktes anzusehen . • Der Insolvenz eines Unternehmens folgt der Kreditstop eines Finanz-jKreditinstitutes und nicht umgekehrt. Somit ist der Kreditstop lediglich als ein Symptom einer Insolvenz zu interpretieren. Ausgangslage des markt-deduzierten Risikomodells ist die Definition eines kalkulationsrelevanten Marktgebietes. In der Regel umfaßt das Marktgebiet die Region, in der das Finanz-jKreditinstitut primär tätig ist. Nach der Definition des Marktgebietes sind auf Basis statistischer Daten die Anzahl der potentiellen Kreditnehmer einschließlich des gesamten Kreditvolumens im ausgewählten Marktgebiet zu bestimmen. Ist die Anzahl der potentiellen Kreditnehmer bekannt, so sind kundenspezifische Risikosegmente zu definieren, in denen sämtliche potentiellen Kreditnehmer einzuordnen sind. K undenspezifische Risikosegmente sind homogene, klar voneinander abgegrenzte Teilgruppen, deren Kreditnehmer über denselben Risikogehalt verfügen. 1202 Um z. B. Risikokosten für Unternehmen unterschiedlichster Betriebsgröße berechnen zu können, wäre eine Einordnung der Unternehmen in die bankpraktischen Segmente Selbständige, Kleinun-

ternehmer, mittelständische Unternehmen und Großunternehmen sinnvoll. Als letzter 1201 Vgl. [25] 1202Die Bildung von kundenbezogenen Risikosegmenten kann durch multivariate statistische Verfahren, z. B. Regressionsanalyse, Diskriminanzanalyse oder Clusteranalyse, unterstützt werden. Vgl. [1]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

433

Schritt ist die Anzahl der am Markt beobachtbaren Kreditnehmer mit Bonitätsproblemen je kundenspezifischem Segment zu erfassen und volumensmäßig zu bewerten. Ein Kreditnehmer mit Bonitätsproblemen liegt immer dann vor, wenn Zins- und Tilgungszahlungen teilweise oder vollständig ausfallen. Als vorläufiges Fazit bleibt festzuhalten, daß je kundenspezifischem Risikosegment ein markt-deduziertes Risikomodell mit den Eingangsdaten Anzahl und Volumen Kreditnehmer sowie Anzahl und Volumen Kreditnehmer mit Bonitätsproblemen benötigt wird. Abb. 4.219 auf der nächsten Seite zeigt das markt-deduzierte Risikomodell für ein beliebiges kundenspezifisches Risikosegment anhand eines Rechenbeispiels.

Gesamtergebnisrechnung

434 Krisenquotentableau

1

2

Kredit. nehmer S mit Bonitäts· problemen [Stek) 10,00 U

4-1/2*3

3

Kredit· nehmer Insgesamt

S

Hundert

S

Krisen· quote

S

['110)

[Stek) 1.000,00 U

100 P

1,00 A

Ausfallratentableau

o

Kreditvolumentableau

1

3 = 1/ 2

2

Kredit· volumen

S

[Euro) 1.000.000 ,00 8

Kredit· nehmer S '" Kredit· S volumen Insgesamt [Stek) [Euro.lStek) 1.000,00 U 1.000,00 A Ausfallvolumen-Muttlphkator-Tableau

o

Brutto-Ausfallvolumentableau

1

3 = 1/ 2

2

Kredit· Kredit· '" Brutto· volumen nehmer S S ausfall· S mit Bonitäts· mit Bonitäts· volumen problemen problemen [Euro) [Stck[ [Euro.lStek) 15.000,00 U 10,00 U 1.500,00 A Ausfallvolumen-Multlphkator -Tableau

Ausfallvolumen-Multiplikator-Tableau

1

2

3 = 2/1

'" Kredit· volumen

'" Brutto· ausfall· volumen

Ausfall· volumen· S S Multi· plikator

S

[EurolStck) 1.000,00 E

[EurolStek) 1.500,00 E

1,SO A

Ausfonratentobleou

~ Kreditvolumentableau

~ Drutto-Ausfallvolumentableau

Au sfall rate ntab I e au

1

3

4=1 / 2 * 3

5

Hundert

Ausfall· rate

Krisen· quote

2

Kredit· volumen S mit Bonltats· problemen [Euro) 15.000,00 U

Kredit· volumen

S

(Euro) 1.000.000,00 8

S

1'110)

100 P

S

1,50 A

7-5'6

6

S

Ausfall. volumen· Multi· pllkator

S

['!Io)

['110)

1,00 E

Ausfallratentableau: ungeslcherte Ausfallrate

Ausfall· S rate

1,50 E

1,50 A

Ausfallratentableau: ungeslcherte Ausfallrate

Krisenquotentableau

BesicherUnASqUotentableau

1

Ausfallvolumen-Multiplikator -Tableau

3=2/1

2

Besiehertes Kredit· Kredit· volumen S volumen S mit Bonltats· mit Bonitäts· problemen problemen [Euro) IEuro) 15.000,00 U 5.000,00 U

Besieh. erungs· quote

S

0,33 A

Ausfallratentableau: ungeslcherte Ausfallrate

Ausfallratentableau' unAesicherte Ausfallrate

1

2 S

Besieherungs. S quote

1 ,SO E

0,33 E

Ausfall· rate

4 - 1*(3.2)

3 Eins

['!I) Ausfonratentobleou

5

Kredit· volumen Ungesicherte S S S Ausfallrate mit Bonitäts· problemen ['110) [Euro) 1 P 1,00 A 15.000,00 U . . RisIkokostentableau

Besicherungsquotentableau

Risikokostentableau

1

2

Ungesieherte S Ausfallrate ['!I)

1,00 E

3

Marktwert S Hundert S des Kapitals [Euro[ 258.789 ,34 U 100 P

4 - 1 / 3 *2 Risiko· S kosten [Euro) 2.587 ,89 I

Ausfallratentableau: ungeslcherte Ausfallrate

Abb. 4.219: Markt-deduzierte Risikokostenmethode

8 - 5*(3.2)/ 6 *7

6

7

Kredit· volumen

S Hundert S

[Euro) 1.000.000,00 8

Ungesicherte S Ausfallrate ['110)

100 P

. .

1,00 A

Rislkokostentobleou

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

435

Das in Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite dargestellte Risikokostenmodell zeigt folgende Vorgehensweise. Zunächst wird eine segmentspezifische, marktorientierte Krisenquote ermittelt. Die Krisenquote bringt prozentual zum Ausdruck, welche Kreditnehmer bereits durch Bonitätsprobleme gekennzeichnet sind. Im Rechenbeispiel der Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite wird eine Krisenquote von 1,00% ermittelt, da auf 1.000 Kreditnehmer 10 Kreditnehmer mit Bonitätsproblemen entfallen. 1203 Anschließend wird ein sogenannter Ausfallvolumen-Multiplikator ermittelt. Der Ausfallvolumen-Multiplikator gibt das Verhältnis des durchschnittlichen BruttoAusfallvolumens 1204 zum durchschnittlichen Kreditvolumen 1205 wieder. Im Rechenbeispiel der Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite wird ein Ausfallvolumen-Multiplikator von 1,5 errechnet, der besagt, daß durchschnittlich das 1,5-fache des Kreditvolumens pro Kreditnehmer ausfällt. 1206 Als nächstes werden auf Basis der bisher errechneten Größen eine riskosegmentspezifische Ausfallrate gemäß Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite errechnet. Entweder kann die Ausfallrate als prozentuales Verhältnis zwischen dem Kreditvolumen mit Bonitätsproblemen und dem insgesamt existierenden Kreditvolumen oder als Produkt zwischen der Krisenquote und dem Ausfallvolumen-Multiplikator ermittelt werden. 1207 1208 Im Rechenbeispiel der Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite wird eine prozentuale Ausfallrate von 1,50% ermittelt. 1209

1203Vgl. Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite Krisenquotentableau Spalte 4. 1204Vgl. Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite 0 Brutto-Ausfallvolumentableau Spalte 3. 1205Vgl. Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite 0 Kreditvolumentableau Spalte 3. 1206Vgl. Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite Ausfallvolumen-Multiplikator-Tableau Spalte 3. 1207Vgl. Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite Ausfallratentableau Spalte 4 im Vergleich zu Spalte 7. 1208Die beiden unterschiedlichen Berechnungswege zur Ermittlung der Ausfallrate sind naürlich mathematisch ineinander überführbar, da gilt: Aus/allrate Aus/allrate Aus/allrate Aus/allrate Aus/allrate Aus/allrate Aus/allrate

Kreditvolumen mit Bonitätsproblemen Kreditvolumen insgesamt Kreditnehmer mit Bonitätsproblemen * 0 Brutto-Aus/allvolumen Kreditvolumen insgesamt Kreditnehmer insgesamt * Krisenquote * 0 Brutto-Aus/allvolumen Kreditvolumen insgesamt

Kred3~lu;:n insgesamt * Krisenquote * 0 Brutto-Aus/allvolumen re

t

vo umen

Krisenquote -:::-::-:--,,----:'--:-*0

o Kreditvolumen

Kreditvolumen insgesamt Brutto-Aus/allvolumen

Krisenquote * 0 Kreditvolumen * Aus/allvolumen-Multiplikator o Kreditvolumen Krisenquote * Aus/allvolumen-Multiplikator

1209Vgl. Abb. 4.219 auf der vorherigen Seite Ausfallratentableau Spalte 4 oder Spalte 7.

Gesamtergebnisrechnung

436

Als nächster Schritt sind aus der marktorientierten und segmentspezifischen Ausfallrate die prozentualen Risikokosten abzuleiten. Dabei ist zu beachten, daß etwaige Kreditsicherheiten, z. B. Bürgschaften oder Verpfändungen von Gegenständen, existieren, die im Falle eines Bonitätsproblems verwertbar sind und somit die offenen Zins- und Tilgungszahlungen reduzieren. Die Art und Höhe der Kreditsicherheiten sind dabei abhängig von den Geschäftsusancen jedes einzelnen Finanz-/Kreditinstitutes. Dies hat zur Konsequenz, daß die Berücksichtigung der Besicherungswirkung nicht mit Hilfe von markt bezogenen objektiven Daten erfolgt, sondern ab dieser Kalkulationsstufe erstmals mit institutsspezifischen Besicherungsdaten gearbeitet wird. Um die Auswirkungen der institutsspezifischen Besicherungspolitik zu quantifizieren, ist gemäß Abb. 4.219 auf Seite 434 eine Besicherungsquote aus dem Verhältnis zwischen dem besicherten Kreditvolumen mit Bonitätsproblemen und dem gesamten Kreditvolumen mit Bonitätsvolumen je Finanz-/Kreditinstitut zu bestimmen. Eine Besicherungsquote von unter ,,1" zeigt, daß nicht sämtliche ausstehenden Zins- und Tilgungszahlungen durch die Verwertung von Sicherheiten gedeckt werden können und somit Risikokosten entstehen. In Abb. 4.219 auf Seite 434 wird demnach beispielhaft eine Besicherungsquote von 0,33 ausgewiesen. 1210 Nach Kenntnis der marktbezogenen Besicherungsquote ist die prozentuale ungesicherte Ausfallrate gemäß Abb. 4.219 auf Seite 434 zu bestimmen. Dabei kann die ungesicherte Ausfallrate entweder auf Basis der Ausfallrate und der Besicherungsquote oder auf Basis der Besicherungsquote, des Kreditvolumens mit Bonitätsproblemen und des gesamten Kreditvolumens berechnet werden. 1211 1212 Im Rechenbeispiel der Abb. 4.219 auf Seite 434 wird eine prozentuale ungesicherte Ausfallrate in Höhe von 1,00% ermittelt. 1213 Als abschließender Schritt werden die Risikokosten zum Gegenwartzeitpunkt bestimmt. Im allgemeinen werden die Risikokosten aus der Multiplikation der ungesicherten Ausfallrate mit dem Marktwert des eingesetzten kundenindividuellen Kapitals berechnet. 1214 1215 Im Rechenbeispiel der Abb. 4.219 auf Seite 434 wird ein Markt1210ygl. Abb. 4.219 auf Seite 434 Besicherungsquotentableau Spalte 3. 1211 Ygl. Abb. 4.219 auf Seite 434 Ausfallratentableau: ungesicherte Ausfallrate Spalte 4 im Vergleich zu Spalte 8. 1212Die beiden unterschiedlichen Berechnungswege zur Ermittlung der ungesicherten Ausfallrate sind mathematisch ineinander überführbar, da gilt: Ungesicherte Ausfallrate Ungesicherte Ausfallrate Ungesicherte Ausfallrate

Kreditvolumen mit Bonitätsproblemen * (1 - Besicherungsquote) Kreditvolumen insgesamt Krisenquote * Ausfallvolumen - Multiplikator * (1 - Besicherungsquote) Ausfallrate * (1 - Besicherungsquote)

1213Ygl. Abb. 4.219 auf Seite 434 Ausfallratentableau: ungesicherte Ausfallrate Spalte 4 oder Spalte 8. 1214Ygl. [103, S. 434 ff.] 1215Der Marktwert des eingesetzten Kapitals ist zum einen abhängig vom eingesetzten Effektivzinsverfahren, zum anderen von der Frage, ob die Bestimmung des eingesetzten Kapitals nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz oder nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz erfolgt. Ygl. Kapi-

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

437

wert des eingesetzten Kapitals von 258.789,34 Euro unterstellt,1216 so daß sich durch Multiplikation mit der ungesicherten Ausfallrate von 1,00% Risikokosten zum Gegenwartzeitpunkt in Höhe von 2.587,89 Euro ergeben. 1217 Als Ergebnis des markt-deduzierten Risikokostenmodells gemäß Abb. 4.219 auf Seite 434 sind für jedes kundenspezifische Risikosegment prozentuale marktorientierte Risikokosten bekannt, deren Marktorientierung durch institutsspezifische Besicherungsquoten verseucht ist. Dabei ist zu beachten, daß die bisherige Berechnung der Risikokosten rein statisch und für ein vergangenes Jahr erfolgte. Zu empfehlen ist deshalb die Annahme eines längeren Vergleichszeitraums, der auch die Erkennung eines positiven oder negativen Risikokosten-Trends ermöglicht. Zusätzlich ist zu prüfen, ob die Fortschreibung dieser Trends auch für die Zukunft gilt oder durch makroökonomische oder mikroökonomische Sonderfaktoren beeinflußt wird. Die bisherigen Erläuterungen der markt-deduzierten Risikokostenmethode haben die Problematik der marktbezogenen Datenbereitstellung bisher nicht berücksichtigt. Eine Grundvoraussetzung zur Anwendung des markt-deduzierten Risikomodells ist das Vorliegen eines ausreichenden Datengerüstes. Insbesondere sind die potentiellen Kreditnehmer, die potentiellen Kreditnehmer mit Bonitätsproblemen sowie das potentielle Kreditvolumen mit Bonitätsproblemen für jedes kundenspezifische Risikosegment als objektive Marktdaten zu erfassen. Marktbezogene Risikoinformationen können beispielsweise aus Publikationen des statistischen Bundesamtes oder der Industrieund Handelskammern bezogen werden. Zusätzlich müssen die vergangenheitsbezogenen Risikodaten des Marktes in zukunftsbezogene Risikovariablen mit Hilfe statistischer Verfahren, z. B. Verfahren der Regressionsanalyse,1218 transformiert werden. Diese dargestellten Datenerfordernisse sind ein nicht zu unterschätzendes Erhebungsproblem für die Berechnung von Risikokosten mit Hilfe des markt-deduzierten Risikokostenmodells.

4.2.2.1.2.1.2 Risikokostenkalkulation auf Basis neuronaler Netze Das im folgenden vorgestellte Kalkulationsverfahren zur Berechnung von Risikokosten beruht auf der mathematischen Theorie zur Beschreibung komplexer nichtlinearer Systeme. 1219 Diese Theorie, die im weitesten Sinne dem Forschungsgebiet der Künstlichen Intelligenz zuzuordnen ist, wurde ursprünglich konzipiert, um das Geheimnis der Funktionsweise des menschlichen Gehirns zu ergründen. Da das menschliche Gehirn aus einem Nervenzellengewebe mit ca. 100 Milliarden jeweils hochgradig untereinander vernetzten Nervenzellen - sogenannte Neuronen - besteht, hat sich in der Wissenschaft der Begriff des "künstlichen neuronalen Netzes" zur Kennzeichnung komplexer nicht linearer Systeme tel 4.2.1.2.2 auf Seite 204 sowie Kapitel 4.2.1.2.3 auf Seite 264. 1216Ygl. Abb. 4.135 auf Seite 283 Marktwerttableau: Kapital Spalte 3. 1217Ygl. Abb. 4.219 auf Seite 434 Risikokostentableau Spalte 4. 1218Ygl. [1, S. 1 ff.] 1219Ygl. [81, S. 3 ff.]

438

Gesamtergebnisrechnung

eingebürgert. Neuronale Netze bestehen im allgemeinen aus mehreren Schichten von Neuronen, die durch sogenannte Synapsen miteinander verbunden sind. Informationen werden in der Eingabeschicht aufgenommen, in der versteckten Schicht nicht-linear verarbeitet und in der Ausgabeschicht zu einem Ausgangssignal im Sinne eines Gesamturteils verdichtet .1220 1221 In den letzten Jahren werden neuronale Netze auch verstärkt in der Finanzwirtschaft angewendet. Eine der bedeutensten Anwendungsgebiete von neuronalen Netzen in der Finanzwirtschaft ist die Bonitätsanalyse von Unternehmen. 1222 Anhand von (Bilanz-)Kennzahlen sollen solvente von insolventen Unternehmen getrennt werden, wobei zusätzlich eine differenzierte Klassifizierung der solventen Unternehmen in verschiedene Bonitätsklassen erfolgen kann. Dazu werden einem neuronalen Netz zunächst eine Vielzahl von Jahresabschluß-Kennzahlen, z. B. Umsatzrentabilität, solventer und ex-post insolventer Unternehmen präsentiert, anhand derer das neuronale Netz "lernt" , welche Kennzahlen in welcher Gewichtung zu einem ex-post korrekten Bonitätsurteil (solvent oder insolvent) führen. Das neuronale Netz ist nunmehr in der Lage, auch fremde Unternehmen anhand ihrer Jahresabschluß-Kennzahlen ex-ante korrekt zu klassifizieren. Baetge hat ein Modell zur Kalkulation von Risikokosten beschrieben, welches in einem ersten Schritt ein künstliches neuronales Netz einsetzt, um Unternehmen anhand von Bilanz-Kennzahlen in solvente und insolvenzgefährdete zu klassifizieren, wobei eine differenzierte Einteilung in Bonitätsklassen erfolgt.1223 Dabei wählt Baetge mit Hilfe des künstlichen neuronalen Netzes aus einem Kennzahlen-Katalog 14 Jahresabschluß-Kennzahlen zur Vermögens-, Finanz- und Ertragslage aus, die besser als andere Kennzahlen dazu geeignet sind, als Informationsgrundlage für korrekte Klassifikationsurteile (solvent/insolvent) von neuronalen Netzen zu dienen. 1224 1225 In einem zweiten Schritt beschreibt Baetge die Berechnung von Risikokosten auf Basis des Klassifikationsurteils des von ihm verwendeten neuronalen Netzes. 1226 Im folgenden wird ausschließlich die von Baetge dargestellte Berechnung von Risikokosten beschrieben.

1220Ygl. [45, S. 22 ff.] 1221 Ygl. [56] 1222Ygl. [45, S. 245 ff.] 1223Baetge verwendet zur Klassifikation von Unternehmen ein sogenanntes Backpropagation-Netz. Ein Backpropagation-Netz basiert auf einer Fehlerrückführungsmethode, die ein überwachtes Lernen in komplizierten hierarchischen Netzwerken ermöglicht: Ygl. [45, S. 57 ff.] 1224ygl. [2, S. 9 ff.] 1225Das von Baetge verwendete neuronale Netz zur Bonitätsanalyse ist ausführlich beschrieben in: [45, S. 250 ff.] 1226Ygl. [2, S. 21 ff.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

439

In dem von Baetge beschriebenen Risikokostenmodell setzt sich die zur Bestimmung der Risikokosten erforderliche Risikomarge einer jeden Bonitätsklasse aus einer bonitätsunabhängigen (konstanten) Risikomarge und aus einer von der klassenspezifischen Insolvenz-Wahrscheinlichkeit abhängigen (variablen) Risikomarge zusammen. Zunächst wird die Ermittlung der konstanten Risikomarge, anschließend die Berechnung der variablen Risikomarge erläutert. Das Gleichungsmodell von Baetge zur Ermittlung der konstanten Risikomarge zeigt Abb.4.220. RisikomarAentableau' Konstante RisikomarAe

1

3 =2 " 1

2

Kredit· anträge

S

Solvenz. KlassI· flkator

S

(SIek)

(Slek( 0,64 U

10.000 U

9 =6 · 8

.......

4 - 1 ·3

10

Solvente Unternehmen, S "Ausfall· S volumen die Risikokosten tragen (SIek) lEuro.Stekl 9.554 I

500.000 ,00 U

11 - 8 " 10 Ausfall· volumen

Beta·Fehler· faktor

S

ISlekl 3.556 I

6.444 I

S

(Eurol 9.000.000,00 I

" Kredh· volumen

S

(Euro.Stekl

Kredh· volumen

-

Gleich· verteilungs. faktor

I

16 -

15

11 / 13 " 14 " 15

S Hundert S

Konstante Risikomarge

S

(1101

(Eurol

250.000 ,00 U 2.3138.500.000,00 I

18 I

0,0018 U

9.572 I

14 S

8=6 "7

Alpha. Insolvente Solvente S Unternehmen Unternehmen S Fehler· S faktor nach Alphafehler nach Bet.fehler [Slekl (Slekl

0,8796 U

13 - 9 " 12

12

r-:;-

6 - 3.4 " 5

5

Solvente S Insolvente S Unternehmen Unternehmen

0,50 P

100 P

0 ,1884 I

Abb. 4.220: Risikokostenkalkulation auf Basis neuronaler Netze: konstante Risikomarge In dem in Abb. 4.220 dargestellten Gleichungsmodell zur Berechnung einer konstanten Risikomarge wird auf der ersten Stufe eine automatisierte Kreditwürdigkeitsprüfung durch das von Baetge entwickelte neuronale Netz unterstellt. Als Ergebnis dieser Prüfung werden von 10.000 Kreditanträgen durch das Klassifikationsurteil des neuronalen Netzes - den Solvenz-Klassifikator - 6.444 Unternehmen als "solvent" und 3.556 Unternehmen als "insolvent" eingestuft. 1227 Anschließend wird auf der zweiten Stufe durch das subjektive Urteil eines Kreditsachbearbeiters der Beta-Fehler des neuronalen Netzes korrigiert. Der Beta-Fehler beschreibt den Fehler, daß tatsächlich solvente Unternehmen fälschlich als insolvent klassifiziert werden. Von den 3.556 vom neuronalen Netz als "insolvent" eingestuften Unternehmen werden auf dieser zweiten Stufe 87,96% in die Bonitätsklasse "solvent" umgruppiert. Insgesamt werden somit 9.572 Unternehmen als "solvent" eingestuft, denen Kredite vom Finanz-/Kreditinstitut gewährt werden. 1228 Leider werden von den 9.572 Unternehmen 0,18% (= 18 Unternehmen ) insolvent. Diese 18 Unternehmen quantifizieren den Alpha-Fehler der durchgeführten zweistufigen Kreditwürdigkeitsprüfung, der besagt, wieviel tatsächlich insolvente Unternehmen fälschlich als solvent klassifiziert werden. Zur Deckung aller Risikokosten stehen demnach nur 9.554 Unternehmen zur Verfügung. 1229 1227ygl.

Abb. 4.220 Spalten 1 bis 4. Abb. 4.220 Spalten 3 bis 6. 1229ygl. Abb. 4.220 Spalten 6 bis 9.

1228ygl.

Gesamtergebnisrechnung

440

Das in Abb. 4.220 auf der vorherigen Seite dargestellte Rechenbeispiel unterstellt ein durch die 18 insolventen Unternehmen verursachtes Ausfallvolumen von 9.000.000,00 EurO. 1230 Die 9.554 Unternehmen, die Risikokosten tragen müssen, beanspruchen ein Kreditvolumen von insgesamt 2.388.500.000,00 EurO. 1231 Das Verhältnis zwischen dem Ausfallvolumen und dem Kreditvolumen entspricht der Risikomarge. Dabei wird im Konzept von Baetge angenommen, daß 50,00% (Gleichverteilungsfaktor) der Risikokosten gleichmäßig von allen Kreditnehmern zu tragen sind. Als Ergebnis des Rechenbeispiels der Abb. 4.220 auf der vorherigen Seite wird eine konstante Risikomarge von 0,1884% ermittelt. 1232

Das Gleichungsmodell von Baetge zur Ermittlung der variablen Risikomarge zeigt Abb.4.221. 1

3

Solvente Insolvenz. Bonitäts· Unternehmen, S Wahrschein. S klasse die Risikokosten lichkeitsfaktor tragen IStckl AA 508 U 0,0002 U A 821 U 0,0012 U BB 917 U 0,0012 U B 1.316 U 0,0035 U 1.368 U 0,0066 U C 1.505 U 0 ,0086 U I 2.115 U 0,0209 U 11 603 U 0,0309 U 111 222 U 0,0744 U IV 179 U 0,1523 U Summ e [Stck) (2): 9.554 I Summe [Stck) (5): o Kreditvolumen [Euro/ Stck) (6): Kreditv olumen von insolventen Unternehmen [Euro) (7 = 5 * 6): Gleichverteilungsfaktor (B): Ausfallvolumen [Euro) (9): Konstanter Faktor (10 = 8 * 9 / 7):

ce

11 = 10

4- 1*3 Solvente Unternehmen, die Insolvent werden IStckl 0,10 0,99 1,10 4,61 9,03 12,94 44,20 18,63 16,52 27,26 135,38 250.000,00 33.844.925 ,00 0,50 9.000.000,00 0,13

13 = 3 * 11 * 12

~

S Konstanter S Hun· Variable S Faktor dert Risikomarge

I I I I I I I I I I I U I P U I

0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0 ,13 0,13 0,13

I I I I I I I I I I

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

P P P P P P P P P P

1%1

0,0027 0,0160 0,0160 0,0465 0,0878 0,1143 0,2779 0,4108 0,9892 2,0250

S

I I I I I I I I I I

Abb. 4.221: Risikokostenkalkulation auf Basis neuronaler Netze: variable Risikomarge Das in Abb. 4.221 dargestellte Gleichungsmodell zeigt, daß das vom neuronalen Netz ermittelte Klassifikationsurteil nicht nur dazu verwendet werden kann, "solvente" von "insolvente" Unternehmen abzugrenzen, sondern auch innerhalb der solventen Unternehmen eine weitere Differenzierung in verschiedene Bonitätsklassen ermöglicht. In dem von Baetge entwickelten System zur Bonitätsbeurteilung werden 10 Bonitätsklassen (von "AA" bis "IV") unterschieden, wobei jeder Bonitätsklasse eine bestimmte empirisch beobachtbare Insolvenz-Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. 1233 Im Risikokonzept von Baetge soll die variable Risikomarge zum einen abhängen von der bonitätsspezifischen Insolvenz-Wahrscheinlichkeit, zum anderen von einem konstanten 1230Vgl. 1231 Vgl. 1232Vgl. 1233Vgl.

Abb. Abb. Abb. Abb.

4.220 4.220 4.220 4.221

auf der vorherigen Seite Spalte 11. auf der vorherigen Seite Spalte 13. auf der vorherigen Seite Spalte 16. Spalte 2.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

441

Faktor, durch den das von den 18 insolventen Unternehmen verursachte Ausfallvolumen von 9.000.000,00 Euro proportional auf die Insolvenz-Wahrscheinlichkeiten verteilt wird. 1234 Der konstante Faktor ist der Quotientenwert zwischen dem Dividend "Ausfallvolumen" und dem Divisor "Kreditvolumen von insolventen Unternehmen". Dabei ist zu beachten, daß per Definition lediglich 50,00% der Risikokosten wahrscheinlichkeits- und faktorgewichtet auf die entsprechenden Bonitätsklassen verteilt werden. Im Rechenbeispiel der Abb. 4.221 auf der vorherigen Seite wird ein Wert von 0,13 für den konstanten Faktor berechnet. 1235 Für jede Bonitätsklasse wird nunmehr die variable Risikomarge durch Multiplikation der Faktoren "Insolvenz-Wahrscheinlichkeitsfaktor" und "konstanter Faktor" ermittelt. Beispielsweise ergibt sich für die Bonitätsklasse "AA" eine variable Risikomarge von 0,0027%, wobei auf den Insolvenz-Wahrscheinlichkeitsfaktor der Wert 0,0002 und auf den konstanten Faktor der Wert 0,13 entfallen. 1236 Nach Kenntnis der konstanten Risikomarge und der variablen Risikomarge je Bonitätsklasse sind die Risikokosten gemäß Abb. 4.222 für jede Bonitätsklasse zu bestimmen. Konstante Risikomarge

S

('!Io)

AA A BB B

ce C I 11

111

IV

3=1+2

2

1 Bonitäls· klasse

Variable Risikomarge

S

U U U U U U U U U U

S

('Mo)

1'!Io)

0,1884 0,1884 0,1884 0,1884 0,1884 0,1884 0,1884 0,1884 0,1884 0,1884

Gesamte RIsikomarge

0,0027 0,0160 0,0160 0,0465 0,0878 0,1143 0,2779 0,4108 0,9892 2,0250

U U U U U U U U U U

0,1911 0,2044 0,2044 0,2349 0,2762 0,3027 0,4663 0,5992 1,1776 2,2134

I I I I I I I I I I

4 Marktwert des Kapitals IE..ol 258.789,34 258. 789 ,34 258.789,34 258.789,34 258.789,34 258.789,34 258.789,34 258.789,34 258.789,34 258.789,34

5

6=3 / 5"4

S Hundert S

Risiko. kosten

U U U U U U U U U U

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

P P P P P P P P P P

IE..o) 494,45 528,86 528,86 608,00 714,66 783,48 1.206,70 1.550,79 3.047,56 5.727 ,98

S

I I I I I I I I I I

Abb. 4.222: Risikokostenkalkulation auf Basis neuronaler Netze Im Gleichungssmodell der Abb. 4.222 wird für jede Bonitätsklasse eine gesamte Risikomarge aus der Summe zwischen der konstanten Risikomarge und der variablen Risikomarge ermittelt. Beispielsweise wird für die Bonitätsklasse "AA" eine gesamte Risikomarge von 0,1911% berechnet, wobei auf die konstante Risikomarge 0,1884% und auf die variable Risikomarge 0,0027% entfallen. 1237 Anschließend werden die Risikokosten zum Gegenwartzeitpunkt bestimmt. Im allgemeinen werden die Risikokosten aus der Multiplikation der gesamten Risikomarge mit dem Marktwert des eingesetzten kundenindividuellen Kapitals berechnet. 1238 1239 Im Rechenbeispiel der Abb. 4.222 wird ein 1234Vgl. Abb. 4.221 auf der vorherigen Seite Spalte 13. 1235Vgl. Abb. 4.221 auf der vorherigen Seite Spalte 10. 1236Vgl. Abb. 4.221 auf der vorherigen Seite Spalten 3, 11, 13. 1237Vgl. Abb. 4.222 Spalte 3. 1238Vgl. [103, S. 434 ff.] 1239Der Marktwert des eingesetzten Kapitals ist zum einen abhängig vom eingesetzten Effektivzinsverfah-

442

Gesamtergebnisrechnung

konstanter Marktwert des eingesetzten Kapitals von 258.789,34 Euro unterstellt,1240 so daß sich z. B. für die Bonitätsklasse "A" durch Multiplikation mit der zugehörigen Risikomarge von 0,1911% Risikokosten zum Gegenwartzeitpunkt in Höhe von 494,45 Euro

ergeben. 1241

4.2.2.1.2.2 Risikokostenkalkulation nach dem Prinzip der Einzelbewertung In den

folgenden Kapiteln werden zunächst die optionspreistheoretische Risikokostenmethode (Kapitel 4.2.2.1.2.2.1), dann die wahrscheinlichkeitsbasierte Risikokostenmethode (Kapitel 4.2.2.1.2.2.2 auf Seite 447) und anschließend die Rating-gestützte MarktzinsZuschlagsrechnung (Kapitel 4.2.2.1.2.2.3 auf Seite 451) erläutert. 4.2.2.1.2.2.1 Optionspreistheoretische Risikokostenmethode Der Grundgedanke der optionspreistheoretischen Risikokostenmethode 1242 1243 zur Kalkulation von

kreditnehmerspezifischen Risikokosten besteht in der Überlegung, daß eine Insolvenz für ein von einem Finanz-/Kreditinstitut finanziertes Unternehmen immer dann eintritt, wenn gilt: Marktwert der Aktiva< Marktwert des Fremdkapitals Diese Gefahr einer Insolvenz ist von jedem Finanz-/Kreditinstitut zukunftsbezogen vor Kreditvergabe abzuschätzen. Dabei hängt die Höhe des Insolvenzrisikos von vier Einflußgrößen ab: • Erwartete Entwicklung der Ertragslage und somit des Marktwertes der Aktiva • Erwartete Volatilität der Ertragslage (Ertragsstabilität ) • Finanzierungsstruktur • Planungshorizont der Fremdfinanzierung Aus allen vier Einflussfaktoren des Insolvenzrisikos ist letztlich ein Gleichgewichtspreis zu berechnen, der die Höhe der kundenindividuellen Risikokosten bestimmt. Im folgenden wird zunächst das Grundmodell der optionspreistheoretischen Bewertung von Kreditengagements von Finanz-/Kreditinstituten erläutert und anschließend an einem konkreten Kreditengagement die Höhe der kundenindividuellen Risikokosten quantifiziert. Es wird eine vereinfachte Finanzierungsstruktur eines Unternehmens unterstellt, wobei ren, zum anderen von der Frage, ob die Bestimmung des eingesetzten Kapitals nach dem Prinzip der Zahlungsstrukturkongruenz oder nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz erfolgt. Vgl. Kapitel 4.2.1.2.2 auf Seite 204 sowie Kapitel 4.2.1.2.3 auf Seite 264. 1240Vgl. Abb. 4.135 auf Seite 283 Marktwerttableau: Kapital Spalte 3. 1241 Vgl. Abb. 4.222 auf der vorherigen Seite Spalte 6. 1242Vgl. [48] 1243Vgl. [97, S. 324 ff.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

443

das Eigenkapital durch Aktien und das Fremdkapital durch Nullkupon-Anleihen1244 gleicher Haltedauer, für die ein deterministischer Rückzahlungsbetrag vereinbart wurde, repräsentiert werden. Weiterhin wird angenommen, daß keinerlei Transaktionskosten anfallen und für die Aktien keine Dividenden ausgeschüttet werden. Zusätzlich wird unterstellt, daß am Fälligkeitszeitpunkt der Nullkupon-Anleihen das gesamte Unternehmen, d. h. der Marktwert der Aktiva, desinvestiert wird, wobei zuerst das Fremdkapital bedient wird und ein (eventuell) verbleibender Restbetrag den Eigenkapitalgebern zufließt.

Das im Fall der Desinvestition des Unternehmens unterstellte Zahlungsprofil des Eigenkapitals lässt sich formal gemäß Abb. 4.223 ableiten. 4 = Max (1 - 2; 'U" 3 - 1 -2 2 Marktwert Eigenkapital GeldRückzahlungsbetrag S S S (Innerer Optionswert) Position Fremdkapital (Euro) (Euro) (Euro) 0,00 I 1.300 .000,00 U -100.000 ,00 I 1.200.000,00 U Kaufoption auf den Marktwert der Aktiva 1 Marktwert Aktiva (Euro)

S

Abb. 4.223: Zahlungsprofil des Eigenkapitals

Das in Abb. 4.223 dargestellte formale Zahlungsprofil des Eigenkapitals zeigt das Unternehmen in einer Insolvenzsituation. Da der angenommene Marktwert der Aktiva von 1.200.000,00 Euro niedriger ist als der von den Gläubigern geforderte Rückzahlungsbetrag von 1.300.000,00 Euro, gehen die Aktionäre leer aus und verlieren ihre gesamte Kapitaleinlage. Der Marktwert des Eigenkapitals ist dementsprechend Null. 1245 Das Zahlungsprofil des Eigenkapitals ist identisch mit dem Zahlungsprofil einer gekauften Kaufoption. 1246 Das bedeutet, daß der Wert des Eigenkapitals dem Wert einer Kaufoption auf den Marktwert der Aktiva bei einem Basispreis in Höhe des Fremdkapital-Rückzahlungsbetrages entspricht. Folglich ist der Marktwert des Eigenkapitals eine Funktion des (stochastischen) Marktwertes der Aktiva und des Fremdkapital-Rückzahlungsbetrages.

Das im Fall der Desinvestition des Unternehmens unterstellte Zahlungsprofil des Fremdkapitals lässt sich formal gemäß Abb. 4.224 ableiten. 5=2 - 4 4 = Max (2 -1; '1)" 3= 2 -1 2 1 Marktwert Eigenkapital S Marktwert GeldRückzahlungsbetrag Marktwert S S S S Fremdkapital Onnerer Optionswert) Position Fremdkapital Aktiva (Euro] (Euro] (Euro] (Euro] (Euro] 100.000,00 I 1.200.000,00 I 100.000 ,00 I 1.300.000,00 U 1.200 .000,00 U Verkaufsoption auf den Marktwert der Aktiva

Abb. 4.224: Zahlungsprofil des Fremdkapitals 1244Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1.6 auf Seite 132 1245Vgl. Abb. 4.223 Spalte 4. 1246Vgl. Tab. 4.120 auf Seite 349.

444

Gesamtergebnisrechnung

Analog zum Zahlungsprofil des Eigenkapitals unterstellt auch das in Abb. 4.223 auf der vorherigen Seite dargestellte Zahlungsprofil des Fremdkapitals eine Unternehmensinsolvenz. Da der angenommene Marktwert der Aktiva von 1.200.000,00 Euro niedriger ist als der von den Gläubigern geforderte Rückzahlungsbetrag von 1.300.000,00 Euro, erhalten die Fremdkapitalgeber lediglich den Marktwert der Aktiva als Rückzahlungsbetrag. Der Marktwert des Fremdkapitals beträgt dementsprechend 1.200.000,00 EurO. 1247

Das Zahlungsprofil des Fremdkapitals läßt sich gedanklich als ein Portfolio - bestehend aus zwei Teilkomponenten - betrachten, wobei die erste Teilkomponente aus einem fixen Rückzahlungsbetrag und die zweite Teilkomponente aus einem von dem Marktwert der Aktiva stochastisch abhängigen Marktwert des Eigenkapitals besteht. Das Zahlungsprofil der zweiten Teilkomponente ist identisch mit dem Zahlungsprofil einer Verkaufs option , wobei der Basiswert dem Marktwert der Aktiva und der Basispreis dem Fremdkapital-Rückzahlungsbetrag entsprechen. 1248 Da das Zahlungsprofil der Verkaufsoption vom Rückzahlungsbetrag des Fremdkapitals abgezogen wird, handelt es sich um eine Stillhalterposition in Geld. 1249 Das bedeutet, daß ein Finanz-/Kreditinstitut bei Kreditvergabe dem kreditnehmenden Unternehmen gleichsam das Recht eingeräumt, bei Unternehmensinsolvenz anstelle der Kreditrückzahlung das Unternehmen (Marktwert der Aktiva) dem Finanz-/Kreditinstitut zu übergeben. Somit schlägt sich das Ausfallrisiko, welches ein Finanz-/Kreditinstitut bei Kreditvergabe in Kauf nimmt, ausschließlich in der Optionsposition des Portfolios nieder, da nur der Wert der Verkaufsoption vom unsicheren Marktwert der Aktiva abhängig ist. Dementsprechend erhalten die Fremdkapitalgeber für die Übernahme des Ausfallrisikos aus ihrer Stillhalterposition eine Optionsprämie, die als Risikoprämie zu interpretieren ist. Da das Zahlungsprofil des Fremdkapitals aus einem Portfolio mit einem deterministischen Rückzahlungsbetrag und einer stochastischen Verkaufsoption besteht, liegt es nahe, die Verkaufsoption und somit das unternehmensindividuelle Ausfallrisiko mit Hilfe der Optionspreistheorie zu bewerten. 1250 Gerdsmeier /Krob schlagen aus der Vielzahl der Optionspreismodelle das Black/Scholes-ModeIl1251 zur Quantifizierung der unternehmensindividuellen Risikoprämien vor, wobei sie einen risikolosen Zins von Null annehmen. 1252 Im folgenden wird zunächst mit Hilfe des Black/Scholes-Modells eine unternehmensindividuelle Risikoprämie berechnet und anschließend ein konkretes Kreditengagement bewertet.

1247ygl. 1248ygl. 1249Ygl. 1250Ygl. 1251Ygl. 1252ygl.

Abb. 4.224 auf der vorherigen Seite Spalte 5. Abb. 4.224 auf der vorherigen Seite Spalte 4. Tab. 4.120 auf Seite 349. Kapitel 4.2.1.5.1 auf Seite 348. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383. [48, S. 407J

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

445

Abb. 4.225 auf der nächsten Seite zeigt das BlackjScholes-Modells zur Berechnung einer unternehmensindividuellen Risikoprämie bei Verwendung der folgenden Datenbasis eines Unternehmens: • Marktwert der Aktiva: 182.760.000,00 Euro • Volatilität der Ertragslage: 10,80% p.a. • Nominalwert des aktuellen Fremdkapitals: 1253 150.700.000,00 Euro • Haltedauer des Kredits: 360 Tage • Risikoloser Zinssatz: 0,00% p.a.

1253"AIs Basispreis der Option wird das nominale Fremdkapital unter Einschluß der Rückstellungsposition eingesetzt. Diese Vorgehensweise folgt der Fiktion, daß die Verzinsung der Fremdmittel den aktuellen Marktsätzen entspricht und damit eine Abzinsung des Passiv-Cash-Flows zum Nominalwert der ausgewiesenen Fremdmittel zurückführt." (vgl. [48, S. 471]) Die Annahme dieser von GerdsmeierjKrob aufgestellten Identitätsfiktion zwischen der Verzinsung der Fremdmittel und den Marktsätzen führt im BlackjScholes-Modell dazu, daß der risikolose Zins für die Höhe der Risikoprämie keine Rolle mehr spielt. Demnach kann von einem risikolosen Zins von Null ausgegangen werden.

446

Gesamtergebnisrechnung

Ausübunaswahrscheinlichkeitstableau 'Vermöaen oder Nichts" ODtion Nominalbetrag Fremdk.pltal

9

Haltedauer

4 - LN 1 / 2) " 3 S MIndestrendIte S /Zu1allsvorl.blel

1'1\1

IEIKol 150.700.CXll.00 U

8

J.hresb ....

S

(Tage)

S

)rage) 360.00 P

~

S

5

3 Hundert

2

1 Marktwert Aktiva Baslswert S t - heute IEwol lB2.760.CXll.00 U

100 P

19.29 I

10 - (LN 15 / 3 +3 / 11' 6 / 3 " 6 / 3 / 71 " 8 / 9"3

11 - 6 " WURZEL" / 91

Erw.rtete Rendhe

Hohedauer· "p ezlflsche vol.mltat ••' - r t Aktiva

S

('1\)

RIsIkoloser Zins p.•.

1'111

S

0.00 U

0.58 I

1'111

7 S

ZWei

S 2 P

10.60 U

1]

12 - 44 • lf1l / 11

I

14 - 3 / 3 · 1]

_bungs. _bungo. wahllChelnllchkelt wahllChelnllchkelt St.ndard. -Vermogen oder "Vermogan odar ........JI.ufoption r _ _ S Nlchts".Vo",.ufsoption ....... r _ _ S normolvertelhe S NIchts" S 51_ _ _ _ Zufollsvorlable 51 _ _ _ •

--.u

('1\)

360.00 P

6 Vol.tilltät M.'-rtAktiva p .••

10.60 I

1.8399510 A

-'eIIaItI

o9671CXll

U

Ausubungswahrschelnllchkettstableau "Geld oder Hlchts".Option (llereinfacht)

O.0329OOJ A Optionspreistableau

AU5übunaswahrscheinlichkeitstabieau " Gold oder Nichts" ODtion 1 Marktwert Aktiv. Baslswert S t - heute IEwo) 162760.CXll.00 U

2 Fremdkapital

S

Hundert

S

IEwol 150700CXll.00 U

8

9

Haltedauer

4 - LN 1 / 2 " 3

3

Nominalbetrag

S

J.hresb ....

n_1

S

n_1 360.00 P

100 P

MIndestrendIte S /Zuf.llsvorl.blel 19.29 I

11 - 6 " WURZEL " / 91

Erwartete RendIte

H.hed.uer· "p ezlflsche Vol.tilltät Ma'-rt Aktive

1'1\1 360.00 P

S

1'1\1

1'111

10 - (LN 15 /3 • 3 / ll . 6 / 3 " 6 / 3 / 71 " 8 / 9 " 3

S

5 RIsIkoloser Zins p .•.

1'1\1

1'111

7 S

ZWei

S

10.60 U

1]

12 - 44 .lf1l / 11

2 P

I

14 - 3 / 3 · 13

_bungo. _bungo. w.hllChelnllchkelt wahllChelnllchkelt "Geld odor "Gold odor gemII& r _ _ ....... r _ _ S normalvertailte S Nlchts".K.ufoption S Nlchts".Ve",.ufsoption S 51 _ _ _ _ Zufallsv.rl.ble Stand.rd.

~---'eIIaItI

-'eIIaItI

10.60 I

-0.58 I

0.00 U

6 Volatllh.t M,'-rtAktiva p .•.

1,7319510 I

0.041BDJ A

0.95B2CXll U

OptIonspreistableau

Ausübunaswah rs cheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" ODtion (vereinfacht) 1

2

Standard. normalverteIlte

Zufallsv.rl.ble

3

Volatllltät Marktwert Aktiv.

S

S

4

Hundert

S

Hahedauef

p .•.

"Vermogen oder

Nichts".option

1'111

1.8399510 E

S

n_1 10.60 U

100 P

360.00 P

5

6- 1.2/3" WURZEL 44 / 51

J.hresb ....

St.nd.rd. norm.lvertelhe S Zuf.llsvorioble S "Geld oder Nichts". Option

[r_[ 360.00 P

1 _bungo. wohllCholnllchkelt "Gold odor ........JIaufopdon r__ Nichts" 51_ _ _ _

S

--.u

1.7319510 I

O.95B2CXll U

AusiJbungswahrs cheinlichkeits . Tableau ''Verm agen oder Nichts"-Option

I

8- 3/3 .1 AusUbungs-

wahrscheinlichkeit ""Geld oder

Nichts".

gernaA r__ Verkaufsoption

S

51 _ _ ...... verteilung

0.041BDJ A Optlonsprelstlbleau

RisikoDrämientableau 1 Marktwert Aktiva Baslswert

S

1 - heu1a

2 Ausubungs-

3- 1"2

wahrscheinlichkeit "'Vermögen oder

Preis VerkaufsoptIon

gernaA r__ Nlchts".Option

S

51 _ _ ......

IEwol 162.760 CXll.OO U

"""eIIung

0.0329CXll E

4

S

NomInalbetrag S F.emdkapltol

IEwol 6.012604.00 I

lEwol 150.700.CXll .00 U

'"Vermagen oder

Nichts" t - heute

5

6

RIsIkolose. ZI.. p.a.

1'1\1

S

1

Hundert

S

9

8

Jahres. b ....

_bungo. wahllChelnllchkelt "Geld oder r_ _ S S ....... Nichts" .option 51 _ _ _. """eIIung

n_1 360.00 P

0.041BDJ E

Preis Ve"'aufsoption "Geld oder Nichts" t - heute

11 - 10.3

12 - 11 / 4 " 6

Preis S Ve"aufsoption S

RIsIkopramle

lEwol 6.299.260.00 I

.

100 P

S

t - haute

lEwo[ 266.456.00 I

1'111

S

n_1 0.00 U

Ausubungswlhrscheinlichkeitstlblelu ''Geld oder Nichts".Option

10 - 4" EXP (.LN 15 / 6 • 6 / 6) " 1 / 8) " 9

Hahadauar

0.19 I

Ausubungs w l hrschelnhchkertstlblelu Vermogen oder Nichts ·Optlon

Abb. 4.225: BlackjScholes-Modell zur Berechnung von Risikoprämien

360.00 P

I

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

447

Der Preis der in Abb. 4.225 auf der vorherigen Seite unterstellten Verkaufsoption beträgt unter der Annahme, daß der unternehmensindividuelle Kredit nach 360 Tagen zurückgezahlt wird, 286.456,00 EurO. 1254 Dieser Optionspreis entspricht einer haltedauerspezifischen Risikoprämie von 0,19%.1255 Nachdem eine haltedauerspezifische Risikoprämie für das unterstellte Unternehmen berechnet wurde, soll anhand des in Tab. 4.130 dargestellten Zahlungsstroms ein konkretes Kreditengagement zum Gegenwart-Zeitpunkt bewertet werden. Datum 30.09.00 30.09.01

Zahlung -95.000,00 Euro 100.000,00 Euro

Tabelle 4.130: Zahlungsstrom Die Quantifizierung der Risikokosten des in Tab. 4.130 dargestellten Zahlungsstroms erfolgt, indem die in Zukunft anfallende und potentiell ausfallbedrohte Zahlung in Höhe von 100.000,00 Euro mit der in Abb. 4.225 auf der vorherigen Seite ermittelten Risikoprämie von 0,19% multipliziert wird. Im Ergebnis sind Risikokosten zum Gegenwart-Zeitpunkt vom Finanz-/Kreditinstitut von 190,00 Euro zu tragen. Es bleibt anzumerken, daß Kredite, deren Zahlungsstruktur mehrere zukünftige Zahlungszeitpunkte umfaßt, die Berechnung von Risikoprämien an jedem Zahlungszeitpunkt erfordern. Im Ergebnis entsteht eine unternehmensindividuelle Risikostrukturkurve, die eine Bewertung jedes Kreditwunsches des betreffenden Unternehmens zuläßt. 4.2.2.1.2.2.2 Wahrscheinlichkeitsbasierte

Risikokostenmethode Die

wahr-

scheinlichkeitsbasierte Riskikostenmethode 1256 berechnet Risikokosten auf statistischer Basis. Diese Vorgehensweise zur Berücksichtigung von Kreditausfällen auf statistischer Basis wird an einem konkreten Kreditengagement eines Finanz-/Kreditinstitutes beispielhaft erläutert. Ausgangspunkt des Rechenbeispiels ist die Vereinbarung einer aktivischen StandardZahlungsreihe zwischen einem Kreditnehmer und einem Finanz-/Kreditinstitut. Der vereinbarte Zahlungsstrom wird in Tab. 4.131 auf der nächsten Seite dargestellt.

1254Vgl. Abb. 4.225 auf der vorherigen Seite Risikoprämientableau Spalte 11. 1255Vgl. Abb. 4.225 auf der vorherigen Seite Risikoprämientableau Spalte 12. 1256Vgl. [49, S. 91 ff.]

448

Gesamtergebnisrechnung Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.131: Vereinbarter Zahlungsstrom Zunächst wird davon ausgegangen, daß der in Tab. 4.131 dargestellte vereinbarte Zahlungsstrom keinem Ausfallrisiko unterliegt. Demnach kann dieser sichere Zahlungsstrom strukturkongruent refinanziert werden. Am Geld-/Kapitalmarkt möge eine normale Nominal-Zinsstruktur vorliegen, d. h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als 1-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%, für 1-Jahres-Geld 6,00% und für l~-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-/Kapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-/Kapitalanlage.

Die strukturkongruente Refinanzierung1257 des in Tab. 4.131 dargestellten vertraglich vereinbarten Zahlungsstroms zeigt unter Verwendung der unterstellten Zinsstruktur Abb.4.226. 1 Datum

30.03.02 30.09.01 30.03 .01 30 .09 .00 Max!

4

5=h

O.03.02

6

7= 1"4 7 = 1 " 4+5 " 6

ZinsMarktwert S Zins- S Marktwert S S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) (Euro) (Euro) 86 .491,12 V 1,0700 U 92.545,50 N 7.547,17 V 1,0600 U 8.000,00 N 4.851,52 V 1,0250 U 86.491,12 I 0,0350 U 8.000,00 N -95.000,00 B 1,0000 U -95.000,00 N 3.889,81 I : (2) L Marktwert 30 .09.00 [Euro) 3.889,81 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09 .00 [Euro)

Abb. 4.226: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes auf Basis eines vereinbarten Zahlungsstroms Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.226 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 EurO. 1258 Aus der Vergangenheit soll auf Basis statistischer Untersuchungen die in Tab. 4.132 auf der nächsten Seite dargestellten Informationen über Ausfallwahrscheinlichkeiten bekannt sein.

1257Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 1258Vgl. Abb. 4.226 Spalte 3.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Ereignis Ausfall nach 180 Tagen Ausfall nach 360 Tagen Ausfall nach 540 Tagen Kein Ausfall I Summe

449 Wahrscheinlichkeit 1,00% 1,50% 2,50% 95,00% 100,00%

I

Tabelle 4.132: Ausfallwahrscheinlichkeiten Die Interpretation der in Tab. 4.132 dargestellten Ausfallwahrscheinlichkeiten wird am Beispiel des Ereignisses "Ausfall nach 360 Tagen" erläutert. Mit einer Ausfallwahrscheinlichkeit von 1,50% ist mit einem Zahlungsausfall nach 360 Tagen zu rechnen. Zusätzlich werden in Tab. 4.133 die folgenden Ausfallszenarien für den in Tab. 4.131 auf der vorherigen Seite unterstellten vereinbarten Zahlungsstrom geschätzt. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Vereinbarter Zahlungsstrom -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Ausfallszenario 30.03.01 -95.000,00 Euro 7.000,00 Euro 0,00 Euro 0,00 Euro

Ausfallszenario 30.09.01 -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 6.000,00 Euro 0,00 Euro

Ausfallszenario 30.03.02 -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 89.545,50 Euro

Tabelle 4.133: Ausfallszenarien Die Interpretation der in Tab. 4.133 dargestellten Ausfallszenarien wird am Beispiel des Ausfallszenarios ,,30.03.01" erläutert. Am 30.03.01 wird statt der vereinbarten Zahlung von 8.000,00 Euro lediglich eine Zahlung 7.000,00 Euro erwartet. Zukünftige Zahlungen fallen gänzlich aus. Auf Basis der in Tab. 4.132 dargestellten Ausfallwahrscheinlichkeiten sowie der in Tab. 4.133 dargestellten Ausfallszenarien wird nunmehr der erwartete Zahlungsstrom gemäß Abb. 4.227 auf der nächsten Seite berechnet.

Gesamtergebnisrechnung

450 Ausfalldatum 30.03.01 1

Ausfalldatum 30.09.01

4

3

2

Ausfalldatum 30.03.02

5

6

7

8

9 - 1 " 2+ 3 * 4 +5 * 6 +

7"8

Vereinbarter WahrschelnAusfallWahrschelnAusfallWahrschelnAusfallWahrscheInErwarteter Zahlungs- 5 IIchkeitsZahlungs- 5 IIchkeitsZahlungs- 5 IIchkeltsZahlungs- 5 IIchkeltsZahlungsstrom faktor strom faktor strom faktor strom faktor strom IEurol IEurol IEuro) IEurol IEuro) 30.09.00 -95.000 ,00 B 0,95 I -95.000 ,00 B 0,010 I -95.000 ,00 B 0,015 I -95.000,00 B 0,025 I -95.000 ,00 30.03.01 8.000,00 U 0,95 I 7.000,00 U 0,010 I 0,015 I 8.000 ,00 U 0,025 I 7.990,00 8.000,00 U 30.09.01 8.000,00 U 0,95 I 0,00 U 0,010 I 6.000,00 U 0,015 I 8.000 ,00 U 0,025 I 7.890,00 30.03.02 92.545,50 U 0,95 I 0,00 U 0,010 I 0,00 U 0,015 I 89.545,50 U 0,025 I 90.156 ,86 Wa hrsche inlichkeitsfa ktor: 0,95 U Wa hrsche inli chkeitsfa ktor: 0,0101U Wa hrscheinlichkeitsfaktor: 0,0151U Wa hrscheinli chkeitsfaktor: 0,025 U Datum

I I I I

Abb. 4.227: Berechnung des erwarteten Zahlungsstroms Das in Abb. 4.227 dargestellte Gleichungsmodell verdeutlicht, daß jedem Ausfallszenario die haltedauerentsprechende Ausfallwahrscheinlichkeit zugeordnet wird. 1259 Durch Multiplikation der jeweiligen Ausfallszenarien mit den zugehörigen Ausfallwahrscheinlichkeiten und anschließende Summation ergibt sich als Ergebnis schließlich der erwartete Zahlungsstrom. 1260 Der erwartete Zahlungsstrom wird noch einmal isoliert in Tab. 4.134 dargestellt. Zahlung -95,000,00 Euro 7.990,00 Euro 7.890,00 Euro 90.156,86 Euro

Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Tabelle 4.134: Erwarteter Zahlungsstrom Nunmehr wird mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung1261 der GegenwartKapitalwert des in Tab. 4.134 dargestellten erwarteten Zahlungsstroms gemäß Abb. 4.228 berechnet. 4

1 Datum

Marktwert S (Euro)

30.03.02 84.258,75 30.09.01 7.443,40 30.03.01 4.917,99 30.09.00 -95.000,00 1.620,14 1.620,14 Max!

5=

hO .03.02

6

1 = 1 ~4 l - P4+5~6

ZinsZinsS Marktwert S S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) (Euro)

V 1,0700 U V 1,0600 U V 1,0250 U

84.258,75 I 0,0350 U B 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro[ Z : (3 = 2) Kapitalwert 30,09.00 [Euro)

90.156,86 7.890,00 7.990,00 -95000,00

N N N N

Abb. 4.228: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes auf Basis eines erwarteten Zahlungsstroms

1259ygl. Abb. 4.227 z. B. Spalten 3, 4. 1260ygl. Abb. 4.227 Spalte 9. 1261Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

451

Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.228 auf der vorherigen Seite dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein Gegenwart-Kapitalwert von 1.620,14 EurO. 1262 Die Differenz zwischen dem Gegenwart-Kapital des vereinbarten Zahlungsstroms von 3.889,81 Euro und dem Gegenwart-Kapitalwert des erwarteten Zahlungsstroms von 1.620,14 Euro ergibt die Risikokosten zum Gegenwartzeitpunkt in Höhe von 2.269,67 EurO. 1263 4.2.2.1.2.2.3 Rating-gestützte

Marktzins-Zuschlagsrechnung Die Ratinggestützte M arktzins-Zuschlagsrechnung 1264 beschreibt ein Kalkulationsmodell, welches

extern vorgegebene Risikoprämien (englisch: spreads) in die Kalkulation von GegenwartKapitalwerten auf Basis der strukturkongruenten Refinanzierung 1265 integriert. "Dabei erfolgt zur Quantifizierung (ausfall-) risikospezifischer Risikoprämien einzelner Kreditengagements eine Verknüpfung der am Geld- und Kapitalmarkt zu beobachtenden Risikoprämien für bonitätsmäßig unterschiedlich eingestufte Kreditnehmer mit den von anerkannten Rating-Agenturen festgestellten Ratings dieser Kreditnehmer."1266 Ratings sind im allgemeinen definiert als Meinungen über die zukünftige Fähigkeit eines Schuldners, seine Zahlungsverpflichtungen termingerecht und vollständig zu erfüllen. 1267 Nach der bekannten Rating-Agentur Moody's liegen Zahlungsstörungen nicht nur dann vor, wenn Zahlungen vollständig ausfallen, sondern bereits wenn Zahlungsverzögerungen

eintreten. 1268 Das Ergebnis des Ratings, das Bonitätsurteil, wird in Form von Symbolen dargestellt. Die Symbole kennzeichnen die einzelnen Risikoklassen, in denen die gerateten Kreditnehmer eingruppiert werden. Die Rating-Agentur Moody's veröffentlicht beispielsweise Ratensymbole, die von "Aaa" bis "C" reichen. 1269 Kreditnehmer, die mit dem Bonitätsurteil "Aaa" geratet werden, besitzen die geringste Eintrittswahrscheinlichkeit von Zahlungsstörungen, selbst unter widrigsten volkswirtschaftlichen Bedingungen. Dagegen beschreibt das Bonitätsurteil "C" die höchste Eintrittswahrscheinlichkeit von Zahlungsstörungen, teilweise liegen Zahlungsstörungen in der Vergangenheit bereits vor. Folglich nimmt das Ausfallrisiko mit abnehmenden Rating zu. Aus Sicht eines Finanz-/Kreditinstitutes bedeutet der Zusammenhang zwischen Rating bzw. Bonitätsurteil und dem Ausfallrisiko, daß das Finanz-/Kreditinstitut mit Gewährung eines Kredits an einen mit" C" gerateten Kreditnehmer ein wesentlich höheres Ausfallrisiko in Kauf nimmt, als bei Kreditgewährung an einen Kreditnehmer mit dem Bonitätsurteil "Aaa". Folglich wird ein Finanz-/Kreditinstitut nur dann einen Kredit an 1262ygl. Abb. 4.228 auf der vorherigen Seite Spalte 3. 1263ygl. Abb. 4.226 auf Seite 448 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.228 auf der vorherigen Seite Spalte 3. 1264Ygl. [97, S. 338 ff.] 1265Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 1266Ygl. [97, S. 338] 1267ygl. [29, S. 31 ff.] 1268ygl. Internetseite: www.moodys.com 1269Sämtliche Rating-Symbole der Rating-Agentur Moody's sind abgebildet in: [29, S. 32]

Gesamtergebnisrechnung

452

den Kreditnehmer mit Bonitätsurteil "C" gewähren, wenn dieser im Vergleich zu einem "Aaa"-Kredit eine weitaus höhere Verzinsung bietet. Dieser am Geld-jKapitalmarkt empirisch beobachtbare Renditeunterschied von unterschiedlich gerateten Krediten kann als Risikoprämie interpretiert werden, die den Preis für die Risikoübernahme darstellt. Um die für die verschiedenen Ratingklassen am Geld-jKapitalmarkt beobachtbaren Risikoprämien zu quantifizieren, wird in der Regel eine Vergleichsrendite festgelegt, anhand derer die rating-spezifischen Risikoprämien berechnet werden. Als Vergleichsrendite bietet sich die Verwendung eines praktisch ausfallrisikolosen Staatstitels an. Die Risikoprämie wird dann durch Vergleich des risikolosen mit dem risikobehafteten Gegenwart-Kapitalwert ermittelt. Diese Vorgehensweise wird im folgenden anhand eines Rechenbeispiels dargestellt. Ausgangspunkt des Rechenbeispiels ist ein Kreditwunsch eines Kreditnehmers, der die in Abb. 4.135 dargestellte Standard-Zahlungsreihe in Anspruch nehmen möchte. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

Zahlung -95.000,00 Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

Tabelle 4.135: Zahlungsstrom Da die Risikoprämie durch einen Vergleich zwischen risikolosen und risikobehafteten Gegenwart-Kapitalwert ermittelt wird, ist zunächst der risikolose Gegenwart-Kapitalwert mit Hilfe einer risikolosen Zinsstruktur und anschließend der risikobehaftete GegenwartKapitalwert mit Hilfe einer rating-spezifischen risikobehafteten Zinsstruktur zu berechnen. Am Geld-jKapitalmarkt möge für Staatstitel eine normale risikolose NominalZinsstruktur vorliegen, d. h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als I-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%, für I-Jahres-Geld 6,00% und für 1 ~-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld- jKapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld- jKapitalanlage. Die strukturkongruente Refinanzierung1270 des in Tab. 4.135 dargestellten Zahlungsstroms zeigt unter Verwendung der risikolosen Zinsstruktur Abb. 4.229 auf der nächsten Seite.

1270Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

4

1 Datum 30.03.02 30.09.01 30 .03.01 30 .09 .00 Max!

5 = 130.03.02

453

6

7 = 1 *4 7-1*4+5*6

S Zins- S Zahlungsstrom S Marktwert S Zins- S Marktwert quotient faktor (Euro) (Euro) (Euro) 92 .545,50 N 86.491,12 V 1,0700 U 8.DDO,OO N 7.547,17 V 1,0600 U 8.000,00 N 0,0350 U 4.851,52 V 1,0250 U 86.491,12 I -95.000,00 N -95.000,00 B 1,0000 U 3.889,81 I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) 3.889,81 Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09,00 [Euro)

Abb. 4.229: Kalkulation eines risikolosen Gegenwart-Kapitalwertes Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.229 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein risikoloser Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro. Im folgenden wird unterstellt, daß der Kreditnehmer durch eine allgemein akzeptierte Rating-Agentur geratet wurde. Als Rating-Ergebnis wird der Kreditnehmer in die Bonitätsklasse "Al" eingruppiert. Für Kredite an Kreditnehmer, die in die Bonitätsklasse "Al" fallen, wird am Geld-jKapitalmarkt ein beispielhafter Zinsaufschlag gegenüber einer risikolosen Zinsstruktur von 0,50% erhoben. Für die Bonitätsklasse "Al" gilt somit folgende risikobehaftete Zinsstruktur: ~-Jahres-Geld 5,50%, 1-Jahres-Geld 6,50%, l~-Jahres-Geld 7,50%.

Die strukturkongruente Refinanzierung 1271 des in Tab. 4.135 auf der vorherigen Seite dargestellten Zahlungsstroms zeigt unter Verwendung der risikobehafteten Zinsstruktur Abb. 4.230. 1 Datum

Marktwert

(Euro) 30.03.02 86.088,84 7.511,74 30.09.01 4.643,96 30 .03 .01 30 .09 .00 -95.000,00 3.244,53 Max! 3.244,53

4

5 = 130.03.02

6

7 = 1 "'4 7=1*4+5*6

S Zins- S Marktwert S Zins- S Zahlungsstrom S quotient faktor [Euro) (Euro) 92.545,50 N V 1,0750 U 8.000,00 N V 1,0650 U 8.000,00 N 0,0375 U V 1,0275 U 86.088,84 I -95.000,00 N B 1,0000 U I : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) Z : ß = 2) Kapitalwert 30.09.00 [Euro)

Abb, 4.230: Kalkulation eines risikobehafteten Gegenwart-Kapitalwertes Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.230 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein risikobehafteter Gegenwart-Kapitalwert von 3,244,53 Euro. Die Differenz zwischen dem risikolosen Gegenwart-Kapitalwert von 3.889,81 Euro und dem risikobehafteten Gegenwart-Kapitalwert von 3.244,53 Euro entspricht der Risikoprämie am Gegenwart-Zeitpunkt in Höhe von 645,28 Euro. 1271Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

Gesamtergebnisrechnung

454

Anzumerken bleibt, daß sich die im Zeit ablauf verändernde Bonität von Kreditnehmern möglichst zeitnah in der Risikoergebnisrechnung widerspiegeln sollte. Dazu ist das RatingUrteil, welches zu Beginn eines Kreditengagements ermittelt wurde, im Zeitablauf regelmäßig zu überprüfen und etwaige Bonitätsabweichungen im Rahmen von EffektivzinsAnpassungen an den Kunden weiterzugeben.

4.2.2.2 Kalkulation von Risikokosten als Periodenwerte Die im Kapitel 4.2.2.1 auf Seite 427 beschriebene Kalkulation von Ist-j Plan-Risikokosten beinhaltet ausschließlich die Kalkulation von marktwertigen Risikokosten zum Zeitpunkt

t = O. Dies ist kein Defizit in der Darstellung, da eine Verrentung bzw. Periodisierung der marktwertigen Risikokosten jederzeit mit den bekannten Verrentungsmethoden der Marktwertmethode1272 möglich ist.

Im folgenden Rechenbeispiel wird die Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz 1273 als eine von vielen Verrentungsmethoden im Rahmen der Marktwertmethode1274 unterstellt. Desweiteren wird angenommen, daß die marktwertigen Risikokosten auf Basis der markt-deduzierten Risikokostenmethode berechnet werden. 1275 Als Datenbasis zur Verrentung der marktwertigen Risikokosten sind der effektive Kapitalverlauf des Kunden-Zahlungsstroms sowie die ungesicherte Ausfallrate erforderlich. Der effektive Kapitalverlauf wird dem Rechenbeispiel der Verrentungsmethode nach dem Prinzip der Kapitalstrukturkongruenz 1276 entnommen, die ungesicherte Ausfallrate dem Rechenbeispiel der markt-deduzierten Risikokostenmethode 1277 . Die numerisch spezifizierte Datenbasis zeigt Tab. 4.136. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02 U ngesicherte Ausfallrate

Kapitalverlauf 0,00 Euro -95.000,00 Euro -91.681,39 Euro -88.199,24 Euro 1,00%

Tabelle 4.136: Datenbasis zur Verrentung von Risikokosten

1272Vgl. 1273Vgl. 1274Vgl. 1275Vgl. 1276Vgl. 1277Vgl.

Kapitel 4.2.1.2.3 auf Seite 264. Kapitel 4.2.1.2.3.2.1.2 auf Seite 281. Kapitel 4.2.1.2.3 auf Seite 264. Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 auf Seite 432. Abb. 4.135 auf Seite 283 Effektivzins-Tilgungstableau Spalte 1. Abb. 4.219 auf Seite 434 Ausfallratentableau: ungesicherte Ausfallrate Spalte 4 oder Spalte 8.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

455

Das Gleichungsmodell zur Periodisierung von Risikokosten zeigt Abb. 4.231. 1 Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

3

2

Anfangs. kaphaV .zl_ldo lEuro) 0,00 ·95.000,00 ·91 .681,39 ·88.199,24

Ungeslcherte S Hundert S S Ausfallrate

4 - 2/3 Ausfall. raten· quotient

5 - 1"4 S Perlodenwertlge RIsIkokosten

(Il10)

P U U U

~o)

1,00 1,00 1,00 1,00

U U U U

100 100 100 100

0,0100 0,0100 0,0100 0,0100

P P P P

I I I I

0,00 ·950,00 ·916 ,81 ·881 ,99

I I I I

Abb. 4.231: Periodisierung von Risikokosten Aus dem Gleichungsmodell der Abb. 4.231 wird ersichtlich, daß sich die periodisierten Risikokosten aus der Multiplikation der ungesicherten Ausfallrate mit den haltedauerentsprechenden Kapitalbeständen ergeben. 1278 Werden die periodisierten Risikokosten mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung1279 wieder auf den Marktwert zum Zeitpunkt t = 0 gemäß Abb. 4.232 zurückgeführt, so ergeben sich selbstverständlich wieder die marktwertigen Risikokosten. Am Geld-jKapitalmarkt gilt folgenden Zinsstruktur: ~-Jahres-Geld 5,00%, 1-Jahres-Geld 6,00%, l~-Jahres-Geld 7,00%. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-jKapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-jKapitalanlage. 1 Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30.09.00 Max!

4

5 - 130.03.02

6

1- 1 *4 1-1*4+5*6

Marktwert S Zins- S Marktwert S Zins- S Zahlungsstrom S quotient faktor (Euro) (Euro) (Euro) 881,99 N 824,29 V 1,0700 U 916,81 N 864,92 V 1,0600 U 0,0350 U 950,00 N 824,29 I 898 ,68 V 1,0250 U 0,00 N 0,00 V 1,0000 U 2.587,89 I : (2) L Marktwert 30.09.00 (Euro) 2.587 ,89 I : ß = 2) Risikokosten 30 .09.00 (Euro)

Abb. 4.232: Kalkulation von marktwertigen Risikokosten Gemäß Abb. 4.232 beträgt der Marktwert der Risikokosten 2.587,89 EurO. 1280

4.2.2.3 Zusammenfassung und kritische Würdigung der Kalkulation von Risikokosten

Die in dem Kapitel 4.2.2.1.1 auf Seite 427 dargestellte Kalkulation von Ist-Risikokosten sowie die in dem Kapital 4.2.2.1.2 auf Seite 430 dargestellte Kalkulation von PlanRisikokosten zeigen, daß die mit der Risikokalkulation korrespondierenden Modelle nicht dieselbe Gleichungsstruktur besitzen. Während die Kalkulation von Ist-Risikokosten auf 1278ygl. Abb. 4.231 Spalte 5. 1279Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. 1280Ygl. Abb. 4.232 Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.219 auf Seite 434 Risikokostentableau Spalte 4.

Gesamtergebnisrechnung

456

einem Gleichungssystem der Marktwertbestimmung beruht, stehen zur Kalkulation von Plan-Risikokosten diverse Gleichungsmodelle zur Verfügung. Die erforderliche Marktwertbestimmung zur Berechnung von Ist-Risikkosten basiert auf dem bekannten Verfahren der strukurkongruenten Refinanzierung. 1281 Dabei ist der ex-post Ausfall von Zahlungen als eine weitere Variante einer Leistungsstörung eines Zahlungsstroms zu interpretieren. 1282 Die markt-deduzierte Risikokostenmethode ist gekennzeichnet durch ein zweistufiges Verfahren. 1283" Dabei wird völlig losgelöst von der individuellen bankbetrieblichen Situation ein Risikokostenschema entwickelt, das dann in einem zweiten Schritt auf die individuellen Verhältnisse der einzelnen Bank übertragen werden kann."1284 Eine Grundvoraussetzung zur Anwendung des markt-deduzierten Risikomodells ist das Vorliegen eines ausreichenden Datengerüstes. Insbesondere sind die potentiellen Kreditnehmer, die potentiellen Kreditnehmer mit Bonitätsproblemen sowie das potentielle Kreditvolumen mit Bonitätsproblemen für jedes kundenspezifische Risikosegment als objektive Marktdaten zu erfassen. Marktbezogene Risikoinformationen können beispielsweise aus Publikationen des statistischen Bundesamtes oder der Industrie- und Handelskammern bezogen werden. Zusätzlich müssen die vergangenheitsbezogenen Risikodaten des Marktes in zukunftsbezogene Risikovariablen mit Hilfe statistischer Verfahren, z. B. Verfahren der Regressionsanalyse, 1285 transformiert werden. Diese dargestellten Datenerfordernisse sind ein nicht zu unterschätzendes Erhebungsproblem für die Berechnung von Risikokosten mit Hilfe des markt-deduzierten Risikokostenmodells. Außerdem ist zu beachten, daß die hohen Datenerfordernisse der markt-deduzierten Risikokostenmethode nur im standardisierten Mengengeschäft des Privat- und Firmenkundengeschäftes vorliegen. Großkredite entziehen sich demnach auf Grund ihrer sehr individuellen Datenbasis der mar kt-ded uzierten Risikokostenmethode. Die Risikokostenkalkulation auf Basis neuronaler Netze basiert auf mathematischstatistischen Verfahren, die mit Hilfe quantitativer Daten des Jahresabschlusses eine wesentlich bessere Bonitätsbeurteilung von Kreditnehmern ermöglichen als eine Bonitätsbeurteilung, die primär auf Basis von qualitativen Daten erfolgt. Das von Baetge vorgeschlagene Risikokostenmodell nutzt das Bonitätsurteil eines neuronalen Netzes als zuverlässige und objektive Datenbasis zur Berechnung von Risikokosten. 1286 Folglich kann die Risikokostenkalkulation fast vollständig automatisiert werden. Die Automatisierung der Risikokostenkalkulation setzt allerdings voraus, daß für jeden Kreditnehmer die 1281Ygl. 1282ygl. 1283Ygl. 1284Ygl. 1285Ygl. 1286Ygl.

Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Kapitel 4.2.1.2.1.8 auf Seite 171. Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 auf Seite 432. [25, S. 166] [1, S. 1 ff.] Kapitel 4.2.2.1.2.1.2 auf Seite 437.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

457

quantitativen Daten des Jahresabschlusses bekannt sind. Da im Privatkundengeschäft solche Daten natürlich nicht vorliegen, ist die Anwendbarkeit der Risikokostenkalkulation auf Basis neuronaler Netze auf das Firmenkundengeschäft beschränkt. In dem von Baetge entwickelten Modell zur Berechnung von Risikokosten ist zudem der Gleichverteilungsfaktor kritisch zu beurteilen. "Die Festlegung der Aufteilungsquote (Anmerkung des Verfassers: Aufteilungsquote = Gleichverteilungsfaktor) erfolgt scheinbar willkürlich und verletzt vor allem bei einem hohen Anteil gleichmäßig verteilter Ist-Risikokosten den Grundsatz einer verursachungsgerechten Risikokostenkalkulation. ( ... ) Darüber hinaus erscheint in dem von Baetge vorgeschlagenen Konzept die Verwendung des durchschnittlichen Kreditvolumens über alle Kreditnehmer unabhängig von deren Klassenzugehörigkeit problematisch." 1287 Es bleibt darauf hinzuweisen, daß im Baetge-Konzept die Risikokostenkalkulation auf Basis neuronaler Netze ausschließlich auf Firmenkunden angewendet wird, "eine Ausweitung auf Privatkunden wäre bei einem ausreichenden Bestand an quantitativen Daten aber auch möglich." 1288 Die optionspreistheoretische Risikokostenmethode ermöglicht die kreditnehmerindividuelle Kalkulation von Plan-Risikokosten auf Basis der Optionspreistheorie. 1289 Dabei ist auf Grund der erforderlichen Datenbasis - Marktwert der Aktiva, Volatilität der Ertragslage, Nominalwert des Fremdkapitals - eine erfolgreiche Anwendung dieses Risikokostenverfahrens auf den Bereich des Firmenkundengeschäfts beschränkt. "Ein bedeutender Kritikpunkt am Konzept der optionspreistheoretischen Bewertung des Ausfallrisikos bezieht sich auf die im Grundmodell implizit gemachte Annahme, daß eine Krisensituation, in der der Marktwert der Aktiva unter den ökonomischen Wert des Fremdkapitals sinkt, lediglich im Zeitpunkt der Fälligkeit des Fremdkapitals bzw. der einzelnen Kundenzahlungen auftreten kann. Durch diese Vereinfachung konnte die Position der Gläubiger bzw. der kreditgebenden Bank formal als ein Portfeuille aus einer risikolosen Anlage und einer Stillhalterposition in einem europäischen Put auf das Unternehmensvermögen dargestellt werden, wobei das unternehmensspezfische Ausfallrisiko durch den (die) Risikoprämie(n) zu interpretierenden Optionspreis(e) quantifiziert wurde. In der Praxis kann eine solche Krisensituation aber nicht nur zu den Fälligkeitszeitpunkten der einzelnen Kundenzahlungen bzw. der als Fremdkapital unterstellten Zerobonds eintreten, sondern prinzipiell während der gesamten Laufzeit des Kreditgeschäftes bzw. des Fremdkapitals. " 1290 Aus theoretischer Sicht wäre somit die Verwendung eines Gleichungsmodells zur Bewertung einer amerikanischen Verkaufsoption 1291 sinnvoll, da die amerikanische Verkaufsoption die permanente Insolvenzgefahr während der Kreditlaufzeit besser abbildet als die europäische Verkaufsoption. Ein weiteres Manko der optionspreistheoretischen Risikokostenmethode besteht in der Tatsache, daß die 1287Vgl. 1288Vgl. 1289Vgl. 1290Vgl. 1291Vgl.

[97, S. 324] [97, S. 319] Kapitel 4.2.2.1.2.2.1 auf Seite 442. [97, S. 337] Kapitel 4.2.1.5.1 auf Seite 348.

458

Gesamtergebnisrechnung

während der Kreditlaufzeit anfallenden Kreditrückzahlungen keinen Einfluß auf die Finanzierungsstruktur und somit auf die Höhe der Risikokosten besitzen. "Abschließend bleibt festzuhalten, daß der optionspreistheoretische Ansatz zwar ein kapitalmarkttheoretisch fundiertes Verfahren zur Kalkulation kundenindividueller Risikokosten liefert, das Konzept aber vermutlich aufgrund der hohen Komplexität, den konzeptionellen Unzulänglichkeiten und nicht zuletzt dem aufwendigen Dateninput bislang nur in recht geringem Ausmaß in der Praxis umgesetzt wurde." 1292 Die wahrscheinlichkeitsbasierte Risikokostenmethode berechnet die Risikokosten auf statistischer Basis. 1293 Diese Methode erfordert nicht nur eine ausreichende Schätzung der kreditnehmerindividuellen Ausfallwahrscheinlichkeit, sondern auch noch über die Höhe der dann noch zu erwartenden Zahlung. In der Praxis liegen derartige Informationen meist nicht vor. Ein Vorteil der wahrscheinlichkeitsbasierten Methode ist ihre uneingeschränkte Anwendbarkeit sowohl für das Privatkundengeschäft als auch für das Firmenkundengeschäft. Ein weiterer Vorteil besteht aus Praxissicht in dem relativ einfachen Kalkulationsverfahren. Die Rating-gestützte Marktzins-Zuschlagsrechnung beruht auf der Idee, die am Geld-jKapitalmarkt gezahlten rating-spezifischen Risikoprämien auf unternehmensindividuelle Kreditengagements zu übertragen. 1294 Voraussetzung für die Übertragung der am Geld-jKapitalmarkt gezahlten Risikoprämien auf einzelne Kreditnehmer eines Finanz-jKreditinstitutes ist allerdings, daß die Kreditnehmer von einer allgemein anerkannten Rating-Agentur geratet werden. Folglich ist diese Methode in der Regel nur auf Großkredite im Firmenkundengeschäft anwendbar, da lediglich große kapitalstarke Unternehmen von den Rating-Agenturen geratet werden. Um das Anwendungsgebiet der Rating-gestützten Marktzins-Zuschlagsrechnung auch auf kleine Firmenkredite und auf das Privatkundengeschäft auszudehnen, sind in jüngster Zeit eine Reihe von Finanz-jKreditinstitute dazu übergegangen, die Kreditnehmer vor Kreditentscheidung intern zu raten. 1295 Problematisch ist dann allerdings die Einordnung der internen Rating-Urteile in die Ratingklassen der Rating-Agenturen. Liegen aber entsprechende interne oder externe Ratings vor, so besteht der eindeutige Vorteil dieser Risikokostenmethode in der einfachen Berechnung von Risikoprämien auf Basis der Marktwertmethode. Zusammenfassend werden die unterschiedlichen Anwendungsbereiche der einzelnen Risikokostenmethoden noch einmal überblickartig in Tab. 4.137 auf der nächsten Seite dargestellt.

1292Ygl. 1293Ygl. 1294Ygl. 1295Ygl.

[97, S. 338] Kapitel 4.2.2.1.2.2.2 auf Seite 447. Kapitel 4.2.2.1.2.2.3 auf Seite 451. [97, S. 344 f.]

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

Risikokostenmethode

Privatkundengeschäft

Markt-deduziert Auf Basis neuronaler Netze Auf Basis der Optionspreistheorie Wahrscheinlichkeits basiert Rating-gestützt

ja nein nein ja nein

459 Firmenkundengeschäft Klein- und Mittelkredite ja ja ja ja nein

Firmenkundengeschäft Großkredite nein ja ja ja ja

Tabelle 4.137: Anwendungsbereiche der Risikokostenmethoden

4.2.3 Betriebsergebnisrechnung In diesem Kapitel wird die Betriebsergebnisrechnung als dritte Erfolgskomponente der Einzelgeschäftsergebnisrechnung erläutert. 1296 Aufgabe der Betriebsergebnisrechnung ist die Kalkulation von Betriebsleistungen im technisch-organisatorischen Bereich eines Finanz-/Kreditinstitutes. Zentrale Erfolgselemente der Betriebsergebnisrechnung sind Betriebserlöse (Provisionen, Gebühren) und Betriebskosten. Durch die Berücksichtigung dieser Erfolgskomponenten ist es möglich, bei der Einzelgeschäftskalkulation nicht nur den Zinsbereich 1297 und den Risikobereich 1298 zu berücksichtigen, sondern durch Einbezug von Betriebserlösen und Betriebskosten zu einer durchgängigen Kalkulation von Einzelgeschäften zu gelangen. 1299 Die in diesem Kapitel dargestellte Betriebsergebnisrechnung basiert ausschließlich auf der Marktwertmethode, da nur die Marktwertmethode - im Gegensatz zur Bar- oder Nominalwertmethode - eine exakte Kapitalwertberechnung eines Zahlungsstroms zum Gegenwartzeitpunkt t = 0 ermöglicht. 130o Im folgenden Kapitel 4.2.3.1 wird zunächst die Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten im Rahmen der Betriebsergebnisrechnung erläutert. Anschließend wird in einem weiteren Kapitel 4.2.3.2 auf der nächsten Seite die Periodisierung der betriebsergebnisbezogenen Gegenwart-Kapitalwerte beschrieben.

4.2.3.1 Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten Den Ausgangspunkt der Kalkulation von Gegenwart-Kapitalwerten im Rahmen der

Betriebsergebnisrechnung bildet der Kapitalwert zum Zeitpunkt t = 0. 1301 Der Kapitalwert zeigt das Betriebsergebnis einer einzelgeschäftsbezogenen Betriebsleistung. Die Berechnung eines betriebsergebnisbezogenen Gegenwart-Kapitalwertes wird im folgenden 1296Ygl. 1297Ygl. 1298ygl. 1299Ygl. 1300Ygl. 1301Ygl.

4.1 auf Seite 89. Kapitel 4.2.1 auf Seite 93. Kapitel 4.2.2 auf Seite 426. Kapitel 4.4 auf Seite 475. Kapitel 4.2.1.1 auf Seite 96, Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111, Kapitel 4.2.1.3 auf Seite 302. [49, S. 463 ff.]

Gesamtergebnisrechnung

460

am Beispiel der

In

Tab. 4.138 dargestellten Datenbasis des unterstellten l~-jährigen

Kredites gezeigt. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Kosten 170,00 Euro 100,00 Euro 100,00 Euro 150,00 Euro

Kostenart Abschlußkosten Bestandskosten Bestandskosten Schließungskosten

2 Gebühren 150,00 Euro 120,00 Euro 120,00 Euro 200,00 Euro

Gebührenart Kontoeröffnungsgebühr Kontoführungsgebühr Kontoführungsgebühr Kontoschließungsgebühr

3= 2- 1 Zahlung -20,00 Euro 20,00 Euro 20,00 Euro 50,00 Euro

Tabelle 4.138: Kostenarten und Gebühren; Zahlungsstrom Für die korrekte Ermittlung der in Tab. 4.138 dargestellten Kosten kann die Prozesskostenrechnung 130 2 eingesetzt werden. Am Geld-/Kapitalmarkt möge am 30.09.00 eine normale Nominal-Zinsstruktur vorliegen, d. h. ~-Jahres-Geld wird niedriger verzinst als 1-Jahres-Geld, wobei für ~-Jahres-Geld 5,00%, für 1-Jahres-Geld 6,00% und für 1~-Jahres-Geld 7,00% gezahlt werden. Als zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-/Kapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-/Kapitalanlage. Die strukturkongruente Refinanzierung1303 des in Tab. 4.138 dargestellten Zahlungsstroms zeigt unter Verwendung der unterstellten Zinsstruktur Abb. 4.233.

Datum

30.03.02 30.09.01 30.03.01 30 .09.00 Max!

Marktwert S (Euro) 46,73 18,87 17,92 -20,00 63,51 63,51

7 = 1 *4 6 7=1*4+5*6 Zins· Zins· S Marktwert S S Zahlungsstrom faktor quotient (Euro) (Euro) 1,0700 U 50,00 1,0600 U 20,00 1,0250 U 46,73 I 0,0350 U 20,00 1,0000 U -20,00 : (2) L Marktwert 30.09.00 [Euro) : ß = 2) Kapitalwert 30.09 .00 [Euro) 4

1

V V V V I Z

5 = 130.03.02

S N N N N

Abb. 4.233: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.233 dargestellten Rechenbeispiels ergibt sich am 30.09.00 ein betriebsergebnisbezogener Gegenwart-Kapitalwert von 63,51 Euro. 1304 4.2.3.2 Kalkulation von Perioden-Kapitalwerten

Den Ausgangspunkt der Kalkulation von Perioden-Kapitalwerten im Rahmen der Betriebsergebnisrechnung bildet der Kapitalwert an den Zeitpunkten t = 1 bis t = n. 1305 1302Vgl. 1303Vgl. 1304Vgl. 1305Vgl.

[125J Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111. Abb. 4.233 Spalte 3. 4.2.1.2.3 auf Seite 264.

4.2 Einzelgeschäftsergebnisrechnung

461

Der Kapitalwert zeigt das Betriebsergebnis einer einzelgeschäftsbezogenen Betriebsleistung. Die Berechnung von betriebsergebnisbezogenen Perioden-Kapitalwerten wird im folgenden am Beispiel der in Tab. 4.139 dargestellten Datenbasis des unterstellten l~-jährigen Kredites gezeigt. Datum 30.09.00 30.03.01 30.09.01 30.03.02

1 Kosten 170,00 Euro 100,00 Euro 100,00 Euro 150,00 Euro

Kostenart Abschlußkosten Bestandskosten Bestandskosten Schließungskosten

2 Gebühren 150,00 Euro 120,00 Euro 120,00 Euro 200,00 Euro

Gebührenart Kontoeröffnungsgebühr Kontoführungsgebühr Kontoführungsgebühr Kontoschließungsgebühr

3= 2- 1 Zahlung -20,00 Euro 20,00 Euro 20,00 Euro 50,00 Euro

Tabelle 4.139: Kostenarten und Gebühren; Zahlungsstrom Für die korrekte Ermittlung der in Tab. 4.139 dargestellten Kosten kann die Prozesskostenrechnung 1306 eingesetzt werden. Die in der Tab. 4.139 unterstellte Datenbasis zeigt, daß sich das periodenwertige Betriebsergebnis • am 30.09.00 von -20,00 Euro als Differenz zwischen den am 30.09.00 festgelegten Gebühren von 150,00 Euro und den am 30.09.00 anfallenden Kosten von 170,00 Euro errechnet, • am 30.03.01 von 20,00 Euro als Differenz zwischen den am 30.03.01 festgelegten Gebühren von 120,00 Euro und den am 30.03.01 anfallenden Kosten von 100,00 Euro errechnet, • am 30.09.01 von 20,00 Euro als Differenz zwischen den am 30.09.01 festgelegten Gebühren von 120,00 Euro und den am 30.09.01 anfallenden Kosten von 100,00 Euro errechnet, • am 30.03.02 von 50,00 Euro als Differenz zwischen den am 30.03.02 festgelegten Gebühren von 200,00 Euro und den am 30.03.02 anfallenden Kosten von 150,00 Euro errechnet .1307

1306Vgl. [125] 1307Vgl. Abb. 4.139 Spalte 3.

462

Gesamtergebnisrechnung

4.3 Zentralergebnisrechnung 4.3.1 Einführung Im System der freien Marktwirtschaft streben privatwirtschaftlich organisierte Finanzund Kreditinstitute langfristig nach größtmöglichem Gewinn (Ziel der Gewinnmaximierung). Um dieses Ziel zu erreichen, ist der Vorstand als zentrale Stelle eines Finanz-/Kreditinstitutes bestrebt, das von Inhabern, Gesellschaftern oder Anteilseignern zur Verfügung gestellte Vermögen stetig zu vermehren. Somit ist die Aufgabe eines Vorstandes eines Finanz-/Kreditinstitutes identisch mit der Aufgabe eines Wertpapiermanagers, nämlich die erfolgreiche Anlage des zur Verfügung gestellten Vermögens. Dabei basiert die Messung des Anlageerfolgs eines Vorstandes auf der Performancemethode. 1308 Die Grundidee der Performancemethode basiert auf einem Vermögensvergleich. Das Vermögen eines Finanz- oder Kreditinstitutes kann zu einem Startzeitpunkt und zu einem Endzeitpunkt (Planungshorizont ) bewertet werden. Aus dem Vermögen zum Startzeitpunkt und dem Vermögen zum Endzeitpunkt kann eine Differenz (Vermögenszuwachs oder Vermögensabnahme ) prozentual berechnet werden. Das Ergebnis wird als Kennzahl Performance bezeichnet und ist identisch mit der Kennzahl zeitgewichtete reale Rendite. 1309 Das Vermögen eines Kreditinstitutes ist in folgenden Titeln anlegbar: • Vermögen im Zinsgeschäft, • sonstige Vermögenspositionen, z. B. Beteiligungen, Immobilien, Inventar, Optionsrechte l310 . Im Fortgang wird zunächst die Ermittlung des Vermögens eines Finanz-/Kreditinstitutes an einem fiktiven Startzeitpunkt erläutert (Kapitel 4.3.2). Anschließend wird das Vermögen nach Ablauf eines Geschäftsjahres erneut bewertet (Kapitel 4.3.3 auf Seite 466) und der Anlageerfolg mit Hilfe der Performancemethode gemessen (Kapitel 4.3.4 auf Seite 470).

4.3.2 Das Vermögen am Startzeitpunkt Im folgenden sei unterstellt, daß ein Kredit-/Finanzinstitut am 01.01.01 neu gegründet wurde und bereits an diesem Startzeitpunkt das gesamte Vermögen des Finanz-/Kreditinstitutes berechnet wird. 1308Vgl. Kapitel 3.4.1.2 auf Seite 53. 1309Vgl. Kapitel 3.4.1.2.2 auf Seite 55. l310Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1 auf Seite 348.

4.3 Zentralergebnisrechnung

463

4.3.2.1 Das im Zinsgeschäft gebundene Vermögen

Die Ermittlung des im Zinsgeschäft gebundenen Vermögens eines Finanz-jKreditinstitues basiert auf der Berechnung eines Marktwertes für den Gesamt-Zahlungsstrom eines Finanz-jKreditinstitutes. 1311 Inhalt der Marktwertberechnung ist es, bei gegebenen Geld- jKapitalmarktzinsen die zeitlich erste Zahlung des Gesamt-Zahlungsstroms (der Anlagebetrag bei passivischen Geschäften, der Auszahlungsbetrag bei aktivischen Geschäften) zu bestimmen. 1312 Der Gesamt-Zahlungsstrom ist das Additionsergebnis der Zahlungsströme einzelner Zinsgeschäfte. Als Rechenbeispiel wird im folgenden unterstellt, daß bereits eine Sekunde nach Gründung des Finanz-jKreditinstitutes zwei Geschäfte - ein Aktivgeschäft sowie ein Passivgeschäft - abgeschlossen wurden. Tabelle 4.140 zeigt die aus den angenommenen Geschäften resultierenden einzelnen fiktiven Zahlungsströme sowie den dazugehörigen Gesamt-Zahlungsstrom. Datum 01.01.01 01.01.02 01.01.03 01.01.04

1 AktivZahlungsstrom Marktwert? Euro 8.000,00 Euro 8.000,00 Euro 92.545,50 Euro

2 PassivZahlungsstrom Marktwert? Euro 10.000,00 Euro -500,00 Euro -10.500,00 Euro

3=1+2 GesamtZahlungsstrom Marktwert ? Euro 18.000,00 Euro 7.500,00 Euro 82.045,50 Euro

Tabelle 4.140: Aktiv-Zahlungsstrom, Passiv-Zahlungsstrom, Gesamt-Zahlungsstrom Die gesuchte Rechengrößen - der Marktwert des Aktiv-Zahlungsstroms, der Marktwert des Passiv-Zahlungsstroms sowie der Marktwert des Gesamt-Zahlungsstroms am 01.01.01 lassen sich mit Hilfe des Verfahrens der strukturkonguenten Refinanzierung 1313 berechnen. Am Geld-jKapitalmarkt möge am Bewertungszeitpunkt 01.01.01 folgende aktuelle Zinsstruktur feststehen: 2,80% für 1-Jahres-Geld, 3,20% für 2-Jahres-Geld, 3,50% für 3-Jahres-Geld. Auf zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld- jKapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-jKapitalanlage. Abb. 4.234 auf der nächsten Seite zeigt die Marktbewertung des aktivischen Zahlungsstroms, des passivischen Zahlungs stroms sowie des Gesamt-Zahlungsstroms.

1311Vgl. [109, S. 371 ff.] 1312Vgl. [49, S. 39 f.] 13 13 Vgl. Kapitel 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

Gesamtergebnisrechnung

464 Marktwerttableau' Aktiv-Zahlungsstrom

-

1 Datum

3

Marktwert S (Euro)

01 .01 .04 01 .01 .03 01 .01 .02

Max!

89.415,94 4.719,42 4.590,88 98.726,24

4 = 101.01.04

5

6 = 101.01.03

7

ZinsS Marktwert S Zlns- S Marktwert S Zins- S faktor quotient quotient (Euro) (Euro)

V 1,0350 U V 1,0320 U 89.415,94 I 0,0350 U V 1,0280 U 89.415,94 I 0,0350 U Z : (2) I Marktwert 01.01.01 [Euro)

4.719,42 I

0,0320 U

8 = 1 "3 8 - 1"3+4 " 5 8= 1"3 +4"5 +6"7 Zahlungsstrom

S

(Euro) 92.545,50 N 8.000,00 N 8.000,00 N

Marktwerttableau' Passiv-ZahlunAsstrom r---

1 Datum

3

Marktwert S (Euro)

01 .01 .04 01 .01.03 01 .01 .02

Max!

-10.144,93 -140 ,43 10.077 ,40 -207,96

4 = 101.01.04

5

6 = 101.01.03

7

ZinsZinsS Marktwert S S Marktwert S Zins- S faktor quotient quotient (Euro) (Euro)

V 1,0350 U V 1,0320 U -10.144,93 I 0,0350 U V 1,0280 U -10.144,93 I 0,0350 U Z : (2) I Marktwert 01.01.01 [Euro)

-140,43 I

0,0320 U

8- 1"3 8-1"3+4"5 8=1 * 3+4 " 5+6"7 Zahlungsstrom

S

(Euro) -10.500,00 N -500,00 N 10.000 ,00 N

Marktwerttableau' Gesamt-ZahlunQsstrom r---

1 Datum

Marktwert S (Euro)

01 .01 .04 01 .01 .03 01 .01 .02

Max!

3

79.271,01 4.578,99 14.668,28 98.518,28

4 = 101.01.04

5

6 = 101.01.03

7

ZinsS Marktwert S Zins- S Marktwert S Zins- S faktor quotient quotient (Euro) (Euro)

V 1,0350 U V 1,0320 U 79.271,01 I 0,0350 U V 1,0280 U 79.271 ,01 I 0,0350 U Z : (2) I Marktwert 01.01.01 [Euro)

4.578,99 I

0,0320 U

8 = 1 "3 8 - 1"3+4"5 8=1"3+4*5+6"7 Zahlungsstrom

S

(Euro) 82.045,50 N 7.500,00 N 18.000,00 N

Abb. 4.234: Kalkulation von Marktwerten Als Bewertungsergebnisse werden gemäß den in Abb. 4.234 dargestellten Gleichungsmodellen für den Aktiv-Zahlungsstrom ein Marktwert von 98.726,24 Euro, für den PassivZahlungsstrom ein Marktwert von -207,96 Euro und für den Gesamt-Zahlungsstrom ein Marktwert von 98.515,28 Euro am 01.01.01 errechnet. 1314 Die Addition des aktivischen Marktwertes von 98.726,24 Euro mit dem passivischen Marktwert von -207,96 Euro ergibt als Gegenprobe den Marktwert des GesamtZahlungsstroms von 98.515,28 Euro. Aus diesem Ergebnis resultieren nachstehende chronologische Schlußfolgerungen: • Es besteht eine Identität zwischen der Summe der Marktwerte der Zahlungsströme einzelner Geschäfte und dem Marktwert des Gesamt-Zahlungsstroms. 1315 1314Vgl. Abb. 4.234 Marktwerttableau: Aktiv-Zahlungsstrom Spalte 2, Marktwerttableau: PassivZahlungsstrom Spalte 2 sowie Marktwerttableau: Gesamt-Zahlungsstrom Spalte 2. 1315Werden Geld-jBrief-Differenzen unterstellt, so gehen diese bei der indirekten Bewertung eines GesamtZahlungsstroms durch Addition der Marktwerte der Zahlungsströme einzelner Geschäfte verloren. Empfohlen wird deshalb immer die direkte Bewertung des Gesamt-Zahlungsstroms.

4.3 Zentralergebnisrechnung

465

• Der Marktwert des Gesamt-Zahlungsstroms entspricht letztlich dem im Zinsgeschäft gebundenen Vermögen (Zinsvermögen). • Das Zinsvermögen ist in dem aktivischen und dem passivischen Zahlungsstrom angelegt. Somit bleibt festzuhalten, daß die marktorientierte Bewertung jedes einzelnen Geschäftes nicht sinnvoll ist, da letztlich die Bewertung des Gesamt-Zahlungsstroms das im gesamten Zinsgeschäft gebundene Vermögen ergibt. 4.3.2.2 Das sonstige Vermögen

Das sonstige Vermögen des Finanz- und Kreditinstitutes unterteilt sich am 01.01.01 wie folgt: Aktien

Der Kurswert der eigenen Aktien (Depot A) beträgt 5.000,00 Euro. Die Bewertung des Aktienbestandes ist relativ einfach, da für Aktien - sofern sie börslich notiert werden - direkte Marktpreise vorhanden sind. Immobilien

Ein Wertgutachten schätzt den Wert des Immobilienbestandes mit 100.000,00 Euro. Inventar

Der Wert der Geschäfts- und Betriebsausstattung wird mit 2.000,00 Euro angesetzt. 4.3.2.3 Das gesamte Vermögen und Konsequenzen aus der Vermögensstruktur

Das in dem Kapitel 4.3.2.1 auf Seite 463 ermittelte Vermögen im Zinsgeschäft sowie das im Kapitel 4.3.2.2 angenommene sonstige Vermögen werden nunmehr zum Gesamtvermögen des Finanz-/Kreditinstitutes am Gründungsdatum 01.01.01 (Anfangszeitpunkt des Vermögensvergleichs) tabellarisch gemäß Tab. 4.141 zusammengefaßt. Gleichzeitig wird die Vermögensstruktur prozentual dargestellt. Vermögensposition Zinsabhängiges Geschäft Aktien Immobilien Inventar I Summe

Vermögen 98.518,28 5.000,00 100.000,00 2.000,00 I 205.518,28

Euro Euro Euro Euro Euro

Vermögensstruktur 47,94 % 2,43 % 48,66% 0,97 % I 100,00%

I

Tabelle 4.141: Vermögen und Vermögensstruktur am Startzeitpunkt 01.01.01 Aus dem in Tab. 4.141 dargestellten Gesamtvermögen des Finanz- und Kreditinstitues von 205.518,28 Euro am Startzeitpunkt 01.01.01 sind zwei wesentliche Schlußfolgerungen ableitbar.

Gesamtergebnisrechnung

466 Fairer Verkaufspreis

Die Inhaber, Gesellschafter oder Anteilseigner haben in dem neu gegründeten Finanz-jKreditinstitut

ein

Vermögen

von

205.518,28

Euro

gebunden.

Würde gedanklich eine Sekunde nach Gründung ein sofortiger Verkauf des Kredit-jFinanzinstitutes anstehen, so könnte am Markt ein entsprechender Preis erzielt werden. 1316 Mindest-Gewinnanspruch der Eigentümer

Soll sich die am 01.01.01 getätigte Investion von 205.518,28 Euro in die Gründung eines Finanz-jKreditinstitutes für die Inhaber, Gesellschafter oder Anteilseigner lohnen, dann muß das Kredit-jFinanzinstitut nach Ablauf eines Geschäftsjahres einen Vermögenszuwachs aufweisen, der das Ergebnis einer konventionellen Wertpapieranlage übertrifft. Wird bei Direktanlage eines Vermögens in Wertpapieren von durchschnittlich 6,00% p.a. ausgegangen, so müßte das Finanz-jKreditinstitut am * 0,06) erwirtschaftet haben.

01.01.02 mindestens 12.331,10 Euro (205.518,28

Wird ein Vermögensberater gefragt, wie ein Vermögen von 205.518,28 Euro unter dem Gesichtspunkt der Portfoliotheorie1317 anzulegen ist, so lautet die Antwort im Normalfall: Ein Drittel in Aktien, ein Drittel in Immobilien sowie ein Drittel in Anlagen des zinsabhängigen Geschäftes. Wird die Vermögensstruktur des neu geründeten Finanz-jKreditinstitutes betrachtet,1318 so ist eine der Portfoliotheorie widersprechende Vermögensanlage-Konzentration in Immobilien (48,66 % des investierten Vermögens) sowie im Zinsgeschäft (47,94 % des investierten Vermögens) festzustellen. Dem neu gegründeten Kredit- jFinanzinstitut ist also im Laufe des nächsten Geschäftsjahres eine Veränderung seiner Vermögensstruktur in Richtung vermehrter Aktienanlage zu empfehlen.

4.3.3 Das Vermögen am Endzeitpunkt Im folgenden sei unterstellt, daß das erste Geschäftsjahr des am 01.01.01 neu gegründeten Kredit-jFinanzinstituts am 01.01.02 beendet wurde und an diesem Endzeitpunkt wiederum das gesamte Vermögen des Finanz-jKreditinstitutes berechnet wird. 4.3.3.1 Das im Zinsgeschäft gebundene Vermögen

Bereits im Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111 wurde der Begriff der strukturkongruenten Refinanzierung zur Kalkulation von Einzelgeschäften im Rahmen der marktwertigen Betrachtung ausführlich erläutert. Demnach sind zwei Zahlungsströme (UrsprungsZahlungsstrom und Gegen-Zahlungsstrom) strukturkongruent refinanziert, wenn ihr Differenz-Zahlungsstrom zu jedem künftigen Zeitraum gleich Null ist (Kassen- bzw. 1316Der Verkaufspreis ist natürlich noch um einige Korrekturpositionen zu korrigieren, z. B. Ansatz von immateriellen Werten wie das Know how der Mitarbeiter. 1317Vgl. Kapitel 3.4.2 auf Seite 57. 1318Vgl. Tab. 4.141 auf der vorherigen Seite.

4.3 Zentralergebnisrechnung

467

Liquiditätsneutralität ). Lediglich heute, d. h. am Kalkulationsdatum, bleibt eine positive oder negative Differenz als sofort vereinnahmter Kapitalwert in der Kasse. Folglich ist nach Durchführung des Verfahrens der strukturkongruenten Refinanzierung sowohl eine Zinsänderungschance als auch ein Zinsänderungsrisiko ausgeschlossen. Wird der Ursprungs-Zahlungsstrom dagegen aber nicht refinanziert (Verwendung von Eigenkapital) oder nicht strukturkongruent refinanziert, so ergeben sich für ein Finanz-/Kreditinstitut Zinsänderungschancen bzw. Zinsänderungsrisiken. Am Geld-/Kapitalmarkt gelten i.d.R. für unterschiedliche Haltedauern bzw. Zinsbindungsfristen auch unterschiedliche Zinssätze. Im Rahmen einer normalen Zinsstrukturkurve sind längerfristige Geld-/Kapitalanlagen mit höheren Zinssätzen ausgestattet. Dagegen ist eine inverse Zinsstrukturkurve durch Geld-/Kapitalanlagen mit niedrigeren Zinssätzen im längerfristigen Haltedauerbereich gekennzeichnet. Diese beiden Zinsstrukturkurven-Varianten sind durch eine unterschiedliche Bewertung des Kassenbestandes (der Liquidität) im Rahmen einer bestimmten Zinsphase erklärbar. Bei normaler Zinsstruktur, die für eine Niedrigzinsphase typisch ist, gehen die Marktteilnehmer an der Börse scheinbar davon aus, daß die Wahrscheinlichkeit eines Zinsanstiegs höher ist als die Wahrscheinlichkeit eines Zinsabstiegs. Demnach gehen die sich langfristig bindenden Kapitalanleger das Risiko ein, am späteren Zinsanstieg nicht partizipieren zu können. Die langfristen Geldanleger erhalten in solch einer Situation eine positive Risikoprämie als Differenz zwischen dem kurzfristigen und langfristigen Zinssätzen, da sie auf den Liquiditätsvorteil verzichten. Bei einer inversen Zinsstrukturkurve halten die Marktteilnehmer offensichtlich nur einen Zinsrückgang für wahrscheinlich. Somit wären dann nur die kurzfristigen Geldanleger betroffen, da sie ihre Mittel nicht zu einem hohen sondern lediglich zu einem niedrigen Zinssatz angelegt haben. Folglich erhalten die Kurzfristanleger, die das Risiko wahrscheinlich fallender Zinsen tragen, eine positive Risikoprämie. Grundsätzlich gilt nun, daß Finanz- und Kreditinstitute Zinsänderungschancen bzw. Zinsänderungsrisiken wahrnehmen, wenn sie die aus unterschiedlichen Haltedauern bzw. Zinsbindungsfristen resultierenden Zinsunterschiede rentabilitätsmäßig nutzen. Beispielsweise wird bei einer normalen Zinsstrukturkurve ein positiver Zusatz-Zinserfolg generiert, wenn das Geld kurzfristig aufgenommen und langfristig angelegt werden kann, sogenannte Fristentransjormation. Der positive oder negative Zusatz-Zinserfolg wird als Fristentransjormationsbeitrag bezeichnet. 1319 Der Fristentransformationsbeitrag darf keinesfalls dem Einzelgeschäft oder dem Marktbereich als Verantwortungsbereich der Einzelgeschäfte zugerechnet werden, da diese Erfolgskomponente zentral durch eine

beachten ist, daß im Transformationserfolg auch ein eventueller Erfolg aus Anlage des Vermögens eines Finanz-/Kreditinstitutes enthalten ist.

1319ZU

Gesamtergebnisrechnung

468

Stelle1320 , die das gesamte Zinsänderungsrisiko bzw. die Zinsänderungschance steuert, verantwortet wird. Es wird ausdrücklich darauf hingewiesen, daß Einzelgeschäfte in der Praxis von Finanz-/Kreditinstituten grundsätzlich nicht strukturkongruent refinanziert werden. Die Begründung liegt zum einen in der geringen Volumengröße von Einzelgeschäften, zum anderen in der Wahrnehmung von Zinsänderungschancen und -risiken im Rahmen einer Fristentransformation. Trotzdem ist eine kalkulatorische Bewertung der Einzelgeschäfte mit Hilfe der strukturkongruenten Refinanzierung aus Verursachungsgründen unerläßlich, um sowohl den Marktbereichen als auch die zentrale Stelle der Zinssteuerung ihren Anteil am Gesamterfolg eines Finanz-/Kreditinstitutes transparent auszuweisen. Im folgenden wird unterstellt, daß die zentrale Stelle eines Finanz-/Kreditinstitutes am 01.01.01 entschieden hat, den zu diesem Zeitpunkt vorliegenden Gesamt-Zahlungsstrom nicht strukturkongruent zu refinanzieren. Zum weiteren Verständnis dieser weitreichenden Strukturentscheidung einer offenen Position wird der im Kapitel 4.3.2.1 auf Seite 463 beschriebene Gesamt-Zahlungsstrom noch einmal in Tab. 4.142 dargestellt. Datum 01.01.01 01.01.02 01.01.03 01.01.04

GesamtZahlungsstrom -98.518,28 Euro 18.000,00 Euro 7.500,00 Euro 82.045,50 Euro

Tabelle 4.142: Gesamt-Zahlungsstrom Am Bewertungszeitpunkt 01.01.02 wird der in Tab. 4.142 dargestellte GesamtZahlungsstrom erneut marktorientiert bewertet. Dabei ist zu beachten, daß lediglich der Restzahlungsstrom, d. h. die ab dem Bewertungszeitpunkt 01.01.02 noch ausstehenden zukünftigen Zahlungen, in die Marktwertrechnung mit einbezogen werden. Am Geld-/Kapitalmarkt möge am Bewertungszeitpunkt 01.01.02 folgende - gegenüber dem Bewertungszeitpunkt 01.01.01 unveränderte _1321 aktuelle Zinsstruktur feststehen: 2,80% für 1-Jahres-Geld, 3,20% für 2-Jahres-Geld, 3,50% für 3-Jahres-Geld. Auf zusätzliche Prämisse besteht eine Identität zwischen den Zinssätzen für Geld-/Kapitalaufnahme und den Zinssätzen für Geld-/Kapitalanlage. Abb. 4.235 auf der nächsten Seite zeigt die Marktbewertung des Gesamt-Zahlungsstroms.

1320 Je

nach organisatorischem Aufbau eines Finanz-/Kreditinstitutes sind hierfür das "Treasury", die "Zentraldisposition" , das "Aktiv-/Passivmanagement" oder der "Vorstand" verantwortlich. 1321 Vgl. Kapitel 4.3.2.1 auf Seite 463.

4.3 Zentralergebnisrechnung

1 Datum

01 .01 .04 01 .01.03 01 .01 .02 Max!

469

3

4 - 101.01.04

5

6= 1* 3 6-1*3+4*5

Marktwert S Zins- S Marktwert S Z1ns- S Zahlungsstrom S faktor quotient (Euro) (Euro) (Euro) 79.501 ,45 V 1,0320 U 82 .045,50 N 4.820,97 V 1,0280 U 79.501 ,45 I 0,0320 U 7.500,00 N 18.000,00 N 18.000,00 V 1,0000 U 102.322,42 Z : (2) L Marktwert 01.01.02 [Euro)

Abb. 4.235: Kalkulation eines Marktwertes Als Bewertungsergebnis des in Abb. 4.235 dargestellten Gleichungsmodells der strukturkongruenten Refinanzierung wird ein Marktwert des Gesamt-Zahlungsstroms von 102.322,42 Euro am Bewertungszeitpunkt 01.01.02 ermittelt. Dieser Marktwert entspricht dem am Bewertungszeitpunkt 01.01.02 gebundenen Zinsvermögen. Wird der am Bewertungszeitpunkt 01.01.02 (Endzeitpunkt des Vermögensvergleichs ) berechnete Marktwert des Gesamt-Zahlungsstroms von 102.322,42 Euro mit dem am Bewertungszeitpunkt 01.01.01 (Startzeitpunkt des Vermögensvergleichs ) berechneten Marktwert des Gesamt-Zahlungsstroms von 98.518,28 Euro verglichen, so ist eine Marktwertänderung von 3.804,14 Euro erfolgt. Diese Marktwertänderung ist auf den "Rutsch auf der Zinsstrukturkurve" zurückzuführen. 1322 Die Marktwertänderung resultiert auf einer Verkürzung der Resthaltedauer eines Zahlungsstroms. Am Bewertungszeitpunkt 01.01.01 wird die in drei Jahren erfolgte Zahlung von 82.045,50 Euro mit 3-jährigen Interbankengeschäften neutralisiert. 1323 Dagegen wird ein Jahr später, also am Bewertungszeitpunkt 01.01.02, dieselbe Zahlung lediglich mit einem 2-jährigen Interbankengeschäft neutralisiert. 1324

4.3.3.2 Das sonstige Vermögen Das sonstige Vermögen des Finanz- und Kreditinstitutes unterteilt sich am 01.01.02 wie folgt: Aktien

Der Kurswert der eigenen Aktien (Depot A) beträgt 4.500,00 Euro. Am 01.01.02 hat das Finanz-/Kreditinstitut Dividendenzahlungen von 100,00 Euro erhalten. Immobilien

Ein Wertgutachten schätzt den Wert des Immobilienbestandes mit 105.000,00 Euro. Am 01.01.02 hat das Finanz-/Kreditinstitut Mietzahlungen von 5.000,00 Euro erhalten.

1322Vgl. [103, S. 116 ff.] 1323Vgl. Abb. 4.234 auf Seite 464 Marktwerttableau: Gesamt-Zahlungsstrom Spalten 1, 8, 1324 Vgl. Abb. 4.235 Spalten 1, 6.

Gesamtergebnisrechnung

470 Inventar

Der Wert der Geschäfts- und Betriebsausstattung hat sich durch Abnutzung von 2.000,00 Euro auf 1.900,00 Euro vermindert.

4.3.3.3 Das gesamte Vermögen und Konsequenzen aus der Vermögensstruktur Das in dem Kapitel 4.3.3.1 auf Seite 466 berechnete Vermögen im Zinsgeschäft sowie das im Kapitel 4.3.3.2 auf der vorherigen Seite angenommene sonstige Vermögen werden nunmehr zum Gesamtvermögen des Finanz-/Kreditinstitutes am Bewertungsdatum 01.01.02 (Endzeitpunkt des Vermögensvergleichs) tabellarisch gemäß Tab. 4.143 zusammengefaßt. Gleichzeitig wird die Vermögensstruktur prozentual dargestellt. Vermögensposition Zinsabhängiges Geschäft Aktien (Kurswert + Dividende) Immobilien (Gutachterwert + Miete) Inventar I Summe

Vermögen Euro Euro Euro Euro I 218.822,42 Euro 102.322,42 4.600,00 110.000,00 1.900,00

Vermögensstruktur 46,76 % 2,10 % 50,27% 0,87 % I 100,00%

I

Tabelle 4.143: Vermögen und Vermögensstruktur am Endzeitpunkt 01.01.02 Aus dem in Tab. 4.143 dargestellten Gesamtvermögen des Finanz- und Kreditinstitutes von 218.822,42 Euro am Endzeitpunkt 01.1.02 sind die bereits im Kapitel 4.3.2.3 auf Seite 465 dargestellten wesentlichen Schlußfolgerungen ableitbar. Die im Kapitel 4.3.2.3 auf Seite 465 dargestellte kritische Bewertung der Vermögensstruktur am Startzeitpunkt 01.01.01 trifft auch für das Gesamtvermögen am Endzeitpunkt 01.01.02 zu. Demnach besteht weiterhin eine einseitige Vermögensanlage-Konzentration in Immobilien und im zinsabhängigen Geschäft.

4.3.4 Vermägensvergleich und Performencerechnung Im folgenden wird für jede unterstellte Vermögensposition - Zinsabhängiges Geschäft, Aktien, Immobilien, Inventar - sowie für das Gesamtvermögen der Anlageerfolg mit Hilfe der Performancemethode1325 gemessen. 1326 Dabei werden die entsprechenden Vermögenswerte zum Startzeitpunkt 01.01.01 und die Vermögenswerte zum Endzeitpunkt 01.01.02 verglichen. 1327 Den Anlageerfolg im zinsabhängigen Geschäft zeigt Abb. 4.236 auf der nächsten Seite.

1325Vgl. Kapitel 3.4.1 auf Seite 48. 1326Vgl. [13] 1327Vgl. Tab. 4.141 auf Seite 465 sowie Tab. 4.143.

471

4.3 Zentralergebnisrechnung 1

2

3 = 1 -2

4

5=3/2 * 4

ZinsVermögensS Hundert S Performance S änderung p.a. p.a. 01.01.01 [%] [Euro] [Euro] 3,86 I 100 P 3.804,14 I 98.518,28 U

Vermögen Vermögen Zinsgeschäft S ZInsgeschäft S

01.01.02

[Euro] 102.322 ,42 U

Abb. 4.236: Zins-Performance Im zinsabhängigen Geschäft wurde gemäß Abb. 4.236 ein Zuwachs von 3.804,14 Euro bzw. 3,86% p.a. durch Anlage des Vermögens in Zahlungsströmen erwirtschaftet. 1328 Es stellt sich die Frage, wem - zentrale Stelle oder Marktbereich - dieser Vermögenszuwachs zuzurechnen ist. Zu Beantwortung dieser Frage ist der mehrstufige Leistungsprozeß im Zinsbereich eines Finanz-/Kreditinstitutes näher zu beleuchten. Im einfachsten Fall werden von den Marktbereichen, z. B. Filialen, durch die Passivseite einer Bilanz Gelder von den Kunden eingenommen und durch die Aktivseite einer Bilanz Gelder an die Kunden weitergegeben. Die Bewertung dieses Transformationsprozesses erfolgt - getrennt nach jeder Bilanzseite - mit dem im Kapitel 4.2.1.2 auf Seite 111 ausführlich erläuterten Verfahren der strukturkongruenten Refinanzierung für jedes Einzelgeschäft. Als Ergebnis dieses Verfahrens wird ein einzelgeschäftsbezogener Kapitalwert ausgewiesen, der zu einem bestimmten Bewertungszeitpunkt als Totalgewinn oder Totalverlust (ohne Kosten) in der Kasse liegt. Somit ist der Kapitalwert von getätigten Einzelgeschäften eindeutig dem Marktbereich verantwortlich zuzurechnen. Die im Kapitel 4.3.2.1 auf Seite 463 unterstellten zwei Geschäfte - ein Aktivgeschäft sowie ein Passivgeschäft - werden im folgenden strukturkongruent bewertet. Da beide Geschäfte am gleichen Bewertungszeitpunkt 01.01.01 strukturkongruent refinanziert werden, ist die Bewertung des aus bei den Einzelgeschäften resultierenden Gesamt-Zahlungsstroms ausreichend. Tab. 4.144 auf der nächsten Seite zeigt noch einmal den in Kapitel 4.3.2.1 auf Seite 463 angenommen Gesamt-Zahlungsstrom. Dabei wird am Bewertungszeitpunkt 01.01.01 zusätzlich ein Auszahlungsbetrag von 95.000,00 Euro unterstellt. Die verwendete Zinstruktur ist mit der im Kapitel 4.3.2.1 auf Seite 463 verwendeten Zinsstruktur identisch.

1328Vgl.

Abb. 4.236 Spalten 3, 5.

472

Gesamtergebnisrechnung

Datum 01.01.01 01.01.02 01.01.03 01.01.04

GesamtZahlungsstrom -95.000,00 Euro 18.000,00 Euro 7.500,00 Euro 82.045,50 Euro

Tabelle 4.144: Gesamt-Zahlungsstrom Abb. 4.237 zeigt die strukturkongruente Berechnung des Gegenwart-Kapitalwertes des in Tab. 4.144 unterstellten Gesamt-Zahlungsstroms am Bewertungszeitpunkt 01.01.01 sowie die Aufzinsung des errechneten Gegenwart-Kapitalwertes zum Endzeitpunkt des Vermögensvergleichs am 01.01.02. ]

Datum

apitalwert 01.01.01 [Eu t-----:=::~":t::i: (2 a) Zi nsta g e [Tag e) t----=~~: (2b) Jahresbasis [Tage) f---:-::-~~: (2e) Ein-Jahres-linsfaktor L...-"';;';';;";"';;"':;";'"'-'-!: (2d = 2 ° 2e A (2a / 2b)) Kapitalwert 01.01.02 [Euro)

Abb. 4.237: Kalkulation eines Gegenwart-Kapitalwertes Der im Gleichungsmodell der Abb. 4.237 errechnete Gegenwart-Kapitalwert beträgt 3.518,28 Euro am 01.01.01. 1329 Wird dieser Betrag für ein Jahr zu 2,80% angelegt, so ergibt sich am 01.01.02 durch exponentielle Aufzinsung ein Gegenwart-Kapitalwert von 3.616,79 EurO. 1330 Nochmals wird darauf hingeweisen, daß der Gegenwart-Kapitalwert verantwortlich dem Marktbereich zuzuordnen ist. Der vom Marktbereich erwirtschaftete Gegenwart-Kapitalwert von 3.616,79 Euro ist nicht identisch mit der Vermögensänderung im Zinsgeschäft von 3.804,14 Euro am Bewertungszeitpunkt 01.01.02. 1331 Das wäre nur der Fall, wenn die zentrale Stelle eines Finanz-/Kreditinstitutes keine Fristentransformation betreiben würde. Tatsächlich aber wird im unterstellten Rechenbeispiel eine Fristentransformations-Entscheidung der zentralen Stelle mit der Maßnahme "keine strukturkongruente Refinanzierung (Eingehen einer offenen Position)" unterstellt. 1332 Der durch Fristentransformation erwirtschaftete zusätzliche Zusatz-Zinserfolg (Fristentransformationsbeitrag) kann als Residualgröße zwischen der gesamten Vermögensänderung im Zinsgeschäft und dem von dem Markt1329ygl. 1330ygl. 1331 Ygl. 1332Ygl.

Abb. 4.237 Spalte 2. Abb. 4.237 Spalte 2d. Abb. 4.236 auf der vorherigen Seite Spalte 3 im Vergleich zu Abb. 4.237 Spalte 2d. Kapitel 4.3.3.1 auf Seite 466.

4.3 Zentralergebnisrechnung

473

bereich erwirtschafteten Gegenwart-Kapitalwert ermittelt werden. Abb. 4.238 zeigt die Berechnung des Fristentransformationsbeitrages. 1

"

5 = 3-4

01.01.02

Ot.o1.02

3 = 1 -2

2

--.;

7-5/2'6

8-4 / 2"6

9=7 .. 8

Erwirtschaftet Erwirtschaftet FristentransVermögen Vermögen MarktberelchsZinsvon Vermögensvom ZinsZinsS Hund- S formatlons- S Performance S Performance S S S änderung S Marktbereich S zentraler Stelle Performance ert vermögen vermögen p.a. p.lI. Kapitalwert Kapitalwert p.a. p.lI. 01.01.01 01.01.02 [Eurol 102.322,42 U

[Euro)

[Euro)

[Euro)

98 .518,28 U

1'1'0)

IEuro)

3.616,79 U

3.804 ,14 I

187,35 I

100 P

1%)

1'1'01 0,19 I

3,67 I

3,86 I

Fnstentnmsformatlonsbeitrag

Abb. 4.238: Kalkulation eines Fristentransformationsbeitrages Der im Gleichungsmodell der Abb. 4.238 berechnete Fristentransformationsbeitrag

beträgt 187,35 EurO. 1333 Dieser Beitrag entspricht einer Transformations-Performance von 0,19% p.a. 1334 Neben der Transformations-Performance von 0,19% p.a. kann natürlich auch die Marktbereichs-Performance in Höhe von 3,67% p.a. ermittelt werden. Diese setzt den vom Marktbereich ermittelten Gegenwart-Kapitalwert ins Verhältnis zur gesamten Vermögensänderung 1m Zinsgeschäft. 1335 Fristentransformations-Performance und Marktbereichs-Performance ergeben natürlich wieder die gesamte Zins-Performance von 3,86% p.a. im zins abhängigen Geschäft. 1336 Festzuhalten bleibt, daß der Anlageerfolg im Zinsgeschäft durch die (kalkulatorische) strukturkongruente Refinanzierung des Gesamt-Zahlungsstroms in die beiden Erfolgskomponenten Performance Fristentransformation und Performance Marktbereich aufgespalten werden kann. Den Anlageerfolg im Aktiengeschäft zeigt Abb. 4.239. 1

2

Vermögen Aktien

Vermögen Aktien

01.01.02

S

(Euro) 4.600,00 U

3 = 1 -2

4

5=312"'4

AktienVermögensS Hundert S Performance S änderung S p.a. 01.01.01 p.a. (%) (Euro) (Euro) -8,00 I -400,00 I 100 P 5.000,00 U

Abb. 4.239: Aktien-Performance Der für die Aktienanlage zuständige zentrale Bereich hat gemäß Abb. 4.239 das Aktienvermögen um 400,00 Euro bzw. 8,00% p.a. vermindert. 1337 1333ygl. 1334Ygl. 1335ygl. 1336Ygl. 1337ygl.

Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

4.238 4.238 4.238 4.238 4.239

Spalte 5. Spalte 7. Spalte 8. Spalte 9 im Vergleich zu Abb. 4.236 auf Seite 471 Spalte 5. Spalten 3, 5.

474

Gesamtergebnisrechnung

Den Anlageerfolg im Immobiliengeschäft zeigt Abb. 4.240. 1 Vermögen Immobilien

01.01.02

2

3 = 1 -2

4

5=3 / 2 "' 4

Vermögen S Immobilien

(EuroJ 110.000,00 U

VermögensImmobilienS änderung S Hundert S Performance S 01.01.01 p.a. p.a. (EuroJ (EuroJ (%J 100.000,00 U 10.000 ,00 I 100 P 10,00 I

Abb. 4.240: Immobilien-Performance Die Immobilien haben sich gemäß Abb. 4.240 mit 10,00% p.a. verzinst. 1338 Dies entspricht einem Vermögenszuwachs von 10.000,00 EurO. 1339 Den Abnutzungseffekt des Inventars zeigt Abb. 4.241. 1

2

Vermögen Inventar

Vermögen Inventar

01.01.02

S

(EuroJ 1.900,00 U

01.01.01

3 = 1 -2 S

(EuroJ 2.000,00 U

4

5=3 / 2 "' 4

VermögensInventaränderung S Hundert S Performance S p.a. p.a. (EuroJ (%J -100,00 I 100 P -5 ,00 I

Abb. 4.241: Inventar-Performance Der Wert des Inventars ist abnutzungsbedingt um 100,00 Euro bzw. 5,00% p.a. gesunken. 1340 Den Anlageerfolg des gesamten Vermögens zeigt Abb. 4.242. 1

2

Gesamtvermögen

Gesamtvermögen

01.01.02

S

(EuroJ 218.822,42 U

3 = 1 -2

4

5=3 / 2"'4

VermögensGesamtS änderung S Hundert S Performance S 01.01.01 p.a. p.a. (EuroJ (EuroJ (%J 205.518,28 U 13.304,14 I 100 P 6,47 I

Abb. 4.242: Gesamt-Performance Für das unterstellte Finanz-jKreditinstitut liegt für das laufende Jahr gemäß Abb. 4.242 eine Performance von 6,47% p.a. vor. Dies entspricht einem gesamten Vermögenszuwachs von 13.304,14 EurO. 1341 Aus Sicht der Inhaber, Gesellschafter oder Eigentümer des Finanz-jKreditinstitutes hat sich bei Annahme einer durchschnittlichen Vergleichsrendite (Opportunitätsnutzen) von 6,00% p.a. die Beteiligung an dem Finanz-jKreditinstitut gelohnt. 1338Vgl.

Abb. Abb. 1340Vgl. Abb. 1341 V gl. Abb. 1339Vgl.

4.240 4.240 4.241 4.242

Spalte 5. Spalte 3. Spalten 3, 5. Spalten 3, 5.

4.4 Zusammenführung der Zentralergebnisrechnung und der Einzelgeschäftsergebnisrechnung zur Gesamtergebnisrechnung

475

Es bleibt anzumerken, daß die Berechnung der Performance einzelner Vermögenspositionen wichtige Informationen über den Anlageerfolg des Vermögensportfolios eines Finanz-/Kreditinsitutes liefert.

4.4 Zusammenführung der Zentralergebnisrechnung und der Einzelgeschäftsergebnisrechnung zur Gesamtergebnisrechnung Die Gesamtergebnisrechnung eines Finanz-/Kreditinstitutes läßt sich gemäß Abb. 4.243 in zwei Teilkomponenten - Zentralergebnisrechnung und Einzelgeschäftsergebnisrechnung untergliedern. 1342 Gesamtergebnisrechnung

IZentralergebnisrechnung I

IEinzelgeschäftsergebnisrechnung I

Abb. 4.243: Gesamtergebnisrechnung Die Zentralergebnisrechnung kalkuliert diejenigen Ergebnisbeiträge, die ausschließlich durch Transaktionen am Geld-/Kapitalmarkt erzielt werden. Folglich ist das Zentralergebnis - im Gegensatz zum Einzelgeschäftsergebnis - eine Ergebniskomponente, die sich von Finanz-und Kreditinstituten auch ohne jeglichen Kundenkontakt erwirtschaften läßt. 1343 Die

zweite

Komponente

der

Gesamtergebnisrechnung,

die

Einzelgeschäfts-

ergebnisrechnung, berechnet einzelgeschäfts- und kundengeschäftsbezogene Ergebnisgrößen als kleinste Kalkulationseinheiten. Abb. 4.244 auf der nächsten Seite zeigt die Ergebnissystematik der Einzelgeschäftsergebnisrechnung.

1342Vgl. [97, S. 411] 1343Vgl. Kapitel 4.3 auf Seite 462.

Gesamtergebnisrechnung

476 Einzelgeschäftserge bnisrechnung

1 Zinsergebnisrechnung 11

Risikoergebnisrechnung 11 Betriebsergebnisrechnung 1

Abb. 4.244: Einzelgeschäftsergebnisrechnung Unabhängig von den einzelnen Komponenten der Einzelgeschäftsergebnisrechnung - Zinsergebnisrechnung, 1344 Risikoergebnisrechnung, 1345 Betriebsergebnisrechnung1346 stellt sich die fundamentale Frage, welche Betrachtungsdimension bei der Berechnung von einzelgeschäftsbezogenen Kapitalwerten aus Steuerungssicht des Controllings zu bevorzugen ist. Zur Auswahl stehen zum einen die Dimension "Gegenwart-Betrachtung", zum anderen die Dimension "Perioden-Betrachtung". Diese Frage wird im folgenden anhand eines in Tab. 4.145 dargestellten Ergebnisbeispiels der Zinsergebnisrechnung als ein Element der Einzelgeschäftsergebnisrechnung beantwortet. 1347 Zinsergebnisrechnung Gegenwart-Betrachtung Perioden-Betrachtung

Zinsergebnis 30.09.00 3.889,81 Euro 0,00 Euro

Zinsergebnis 30.03.01 0,00 Euro 1.427,93 Euro

Zinsergebnis 30.09.01 0,00 Euro 1.378,04 Euro

Zinsergebnis 30.03.02 0,00 Euro 1.325,70 Euro

Tabelle 4.145: Ergebnisse der Zinsergebnisrechnung Die in Tab. 4.145 dargestellten einzelgeschäftsbezogenen Zinsergebnisse zeigen deutlich, daß die periodenwertige Zinsergebnisrechnung eindeutig gegen das Verursachungsprinzip verstößt. 1348 Als "Ursache" der periodenbezogenen Ergebniszuordnung durch Verrentung des Gegenwart-Zinsergebnis wird - mit Ausnahme der zinsunabhängigen Verrentungsmethoden 1349 - die Kapitalnutzung, d. h. die Existenz eines Kapitalsaldos, angesehen. 135o Die Kapitalnutzung ist aber nicht das Kriterium, nach dem die Vorteilhaftigkeit einer Geld-jKapitalanlage oder Geld-jKapitalaufnahme zu entscheiden ist. Vielmehr ist der Erfolg einer Geld-jKapitalanlage bzw. Geld-jKapitalaufnahme das Entscheidungskriterium in einzelnen Profitcentern. Zum Beispiel wird im Rahmen der Marktwertmethode mit Hilfe des Verfahrens der strukturkongruenten Refinanzierung das Zinsergebnis mit Abschluß der Geld-jKapitalanlage bzw. mit Abschluß der Geld-jKapitalaufnahme fixiert. 1351 Folglich sollte das Zinsergebnis als entscheidungsorientierte Kennzahl in der gleichen Periode, nicht in zukünftigen Perioden ausgewiesen werden. Zu bedenken ist auch, daß das Kriterium Kapitalnutzung letztlich eine willkürliche Größe ist. Dies verdeutlicht insbesondere 1344Vgl. Kapitel 4.2.1 auf Seite 93. 1345 Vgl. Kapitel 4.2.2 auf Seite 426. 1346Vgl. Kapitel 4.2.3 auf Seite 459. 1347Vgl. Abb. 4.130 auf Seite 276 Marktwerttableau Spalte 3 sowie Verrentungstableau Spalte 15. 1348 [109, S. 329 ff] 1349Vgl. Kapitel 4.2.1.2.3.1 auf Seite 267. 135 0 Vgl. Kapitel 4.2.1.2.3.2 auf Seite 273 sowie Kapitel 4.2.1.2.3.3 auf Seite 293. 1351Vgl. Kapital 4.2.1.2.1 auf Seite 111.

4.4 Zusammenführung der Zentralergebnisrechnung und der Einzelgeschäftsergebnisrechnung zur Gesamtergebnisrechnung

477

die Konstruktion von derivativen Finanzinnovationen, bei denen formal kein Kapitalsaldo existiert. 1352 Wird dennoch die periodenwertige Zinsergebnisrechnung bevorzugt, so sind folgende Probleme zu beachten. 1353 Vorgänger-/Nachfolgerproblem Jeder Profit-Center-Leiter, der einem anderem ProfitCenter-Leiter nachfolgt, profitiert von den Erfolgen oder leidet unter den Mißerfolgen seines Vorgängers. Die periodenwertige Zinsergebnisrechnung ist folglich für den Aufbau eines Entlohnungssystems völlig ungeeignet. Vergleichbarkeitsproblem Die periodenwertige Zinsergebnisrechnung kann nur den Periodenerfolg von Geschäften nachweisen, die eine Kapitalnutzung beinhalten. Inbesondere bei derivativen Finanzkonstruktionen und Optionen, die keine Kapitalnutzung aufweisen, versagt die periodenwertige Zinsergebnisrechnung. 1354 Bei diesen speziellen Geschäften wird der Erfolg immer sofort am Kalkulationsdatum den Profit-Centern zugerechnet. Diese "Gegenwart-Kapitalwerte" sind nicht mit den periodisierten Ergebnissen traditioneller Geschäfte vergleichbar. Geisterkontenproblem Bei der Kalkulation von Leistungsstörungen1355 müßte die Vorfälligkeitsentschädigung bzw. der Vorfälligkeitsnutzen bei Vollablösung auf die ursprüngliche Zinsbindungsdauer verteilt werden. Entsprechend müßten Geisterkonten für nicht mehr existierende Kunden und Konten geführt werden. In der Praxis wird auf das Führen von Geisterkonten verzichtet. Die Vorfälligkeitsentschädigung bzw. der Vorfälligkeitsnutzen wird als Kapitalwert zum Kalkulationszeitpunkt vereinnahmt. Es liegt somit - bei sonstiger periodenwertiger Zinsergebnisrechnung - ein krasser Systembruch vor. Demgegenüber liegt der Vorteil der gegenwartbezogenen Zinsergebnisrechnung in der verursachungsgerechten Erfolgsdarstellung einzelner Geschäfte, da zum einen nur die in der aktuellen Periode abgeschlossenen Geschäfte einen Gegenwart-Kapitalwert aufweisen, zum anderen sämtliche Geschäfte eines Finanz-/Kreditinstitutes (traditionelle Geschäfte, derivative Finanzinnovationen, Optionen) vergleichbar sind. In der Literatur und Praxis wird oftmals als Nachteil der gegenwartbezogenen Zinsergebnisrechnung angeführt, sie würde zu falschen Steuerungsimpulsen und einer einseitigen Verschiebung der Geschäftsstruktur führen. 1356 Diese Behauptungen werden damit begründet, daß es sich beim Gegenwart-Kapitalwert eines Geschäftes um eine extrem aggregierte Größe handelt, die keine Aussage über die Haltedauer des zugrundeliegenden Geschäftes beinhaltet. Folglich ist die gleiche Höhe eines Gegenwart-Kapitalwertes sowohl mit Geschäften kurzer Haltedauer als auch mit Geschäften langer Haltedauer 1352Ygl. 1353ygl. 1354Ygl. 1355Ygl. 1356Ygl.

Kapitel 4.2.1.2.1.9 auf Seite 190. [109, S. 327 ff. ] Kapitel 4.2.1.2.1.9 auf Seite 190 sowie Kapitel 4.2.1.5.1 auf Seite 348. Kapitel 4.2.1.2.1.8 auf Seite 171. [97, S. 202 ff.]

418

Gesamtergebnisrechnung

erzielbar. Da die Kosten bei Geschäftsabschluß besonders hoch sind, werden die ProfitCenter-Leiter geneigt sein, möglichst haltedauerlange Geschäfte abzuschließen. "Das "investive Denken", zunächst mit kurzen Zinsbindungen bei günstigen Konditionen den Kunden zu gewinnen, um anschließend z. B. im variablen Zins höhere Margen zu verdienen, werde nicht gefördert. "1357 Diesem Vorwurf kann entgegnet werden, daß auch die periodenwertige Zinsergebnisrechnung das "investive Denken" - wie bereits erläutert - durch die Vermischung von vergangenen und heutigen Entscheidungen nicht besser als die gegenwartbezogene Zinsergebnisrechnung fördert. Als Fazit bleibt demnach festzuhalten, daß die gegenwartorientierte Zinsergebnisrechnung aus Verursachungs- und Entscheidungsgesichtspunkten eindeutig der periodenwertigen Zinsergebnisrechnung vorzuziehen ist. Für die Risikoergebnisrechnung und die Betriebsergebnisrechnung als weitere Elemente der Einzelgeschäftsergebnisrechnung gelten die analogen Aussagen. Dem Fazit folgend wird nunmehr die Gesamtergebnisrechnung ausschließlich in der Dimension" Gegenwart-Betrachtung" dargestellt. Abb. 4.245 auf der nächsten Seite zeigt die Ergebnissystematik der Gesamtergebnisrechnung1358 mit einem Rechenbeispiel.

1357Vgl. [109, S. 332] 1358Vgl. [97, S. 405]

4.4 Zusammenführung der Zentralergebnisrechnung und der Einzelgeschäftsergebnisrechnung zur Gesamtergebnisrechnung

479

Einzelgeschäftsergebnisrechnung 3=1+2 2 1 Aktivgeschäft S Passivgeschäft S Gesamtgeschäft S Ergebniskomponenten Ergebnisbeitrag Ergebnisbeitrag Ergebnisbeitrag IBezeichnung) IEuro) IEuro) IEuro) 3.500,00 I Zinsergebnis 1.500,00 U 2.000,00 U -1 .500,00 I Risikoerqebnis 0,00 U -1.500,00 U 20,00 I Betriebsergebnis -40,00 U 60,00 U 2.020,00 A Einzelqeschäftserqebnis 2: Ergebnisbeitrag (4): GesamtergebnIsrechnung

Zentralergebnisrechnung 1

2:

Ergebnisbeitrag S Ergebniskomponenten IBezeichnung) IEuro) 500,00 U Fristentransformation 1.000,00 U Aktien 2.000,00 U Immobilien -500,00 U Inventar Ergebnisbeitrag (2): 3.000,00 A Zentralerqebnis GesamtergebnIsrechnung

Gesamtergebnisrechnung 1

2:

Ergebnisbeitrag S IEuro) 2.020,00 E 3.000,00 E -1 .000,00 U Ergebnisbeitrag (2): 4.020,00 I

Ergebniskomponenten IBezeichnung) Einzelgeschäftserqebnis Zentralergebnis Overheadkosten Gesamtergebnis

Einzelgeschäftsergebnisrechnung Zentralergebnisrechnung

Abb. 4.245: Gesamtergebnisrechnung Abb. 4.245 zeigt, daß die Ergebnissystematik der Gesamtergebnisrechnung als Topziel das Gesamtergebnis aufweist. 1359 Das Gesamtergebnis läßt sich in den Ergebnisbeitrag der Einzelgeschäftsergebnisrechnung, in den Ergebnisbeitrag der Zentralergebnisrechnung und in den Ergebnisbeitrag der Overheadkosten disaggregieren. 1360 Der Ergebnisbeitrag der Einzelgeschäftsergebnisrechnung kann aufgespalten werden in den Ergebnisbeitrag der Zinsergebnisrechnung, 1361 den Ergebnisbeitrag der Risikoergebnisrechnung1362 und in den Ergebnisbeitrag der Betriebsergebnisrechnung1363.1364 Die einzelgeschäftsbezogenen Ergebnisbeiträge zerfallen wiederum in die Ergebnisbeiträge der kundenbezogenen Einzelgeschäfte - im Rechenbeispiel der Abb. 4.245 ein Aktiv- und ein Passivgeschäft - als kleinste Kalkulationsgrößen. 1365

1359ygl. 1360ygl. 1361 Ygl. 1362ygl. 1363ygl. 1364Ygl. 1365Ygl.

Abb. 4.245 Gesamtergebnisrechnung Spalte 2. Abb. 4.245 Gesamtergebnisrechnung Spalte l. Kapitel 4.2.1 auf Seite 93. Kapitel 4.2.2 auf Seite 426. Kapitel 4.2.3 auf Seite 459. Abb. 4.245 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Spalte 4. Abb. 4.245 Einzelgeschäftsergebnisrechnung Spalten 1, 2, 3.

480

Gesamtergebnisrechnung

Der Ergebnisbeitrag der Zentralergebnisrechnung repräsentiert neben dem Ergebnisbeitrag der Einzelgeschäftsergebnisrechnung die zweite Ergebniskomponente der Gesamtergebnisrechnung. Beim Ergebnisbeitrag der Zentralergebnisrechnung handelt es sich um eine Ergebniskomponente, die sich ohne jeden Kundenkontakt erwirtschaften läßt. 1366 Ergebnisbestandteile der Zentralergebnisrechnung sind der Ergebnisbeitrag aus Fristentransformation, der Ergebnisbeitrag aus den Handelsaktivitäten eines Finanz-jKreditinstitutes - im Rechenbeispiel der Abb. 4.245 auf der vorherigen Seite Ergebnisbeitrag aus Aktienhandel-, der Ergebnisbeitrag aus der Anlage von Immobilien sowie der inventarbezogene Ergebnisbeitrag. 1367 Während in der Einzelgeschäftsergebnisrechnung und in der Zentralergebnisrechnung Ergebnisbeiträge kalkuliert werden, die auf jeder Aggregationsebene der Ergebnissystematik direkt und ohne Kostenschlüsselung zurechenbar sind, existiert in Finanz-jKreditinsituten meist ein Kostenblock, der keinem der bisher genannten Ergebniskomponenten direkt zugerechnet werden kann. Dieser Kostenblock wird in der Praxis zumeist als "Overheadkosten" oder als "Gemeinkosten" bezeichnet. Diese Kosten bilden neben dem Ergebnisbeitrag der Einzelgeschäftsergebnisrechnung und dem Ergebnisbeitrag der Zentralergebnisrechnung die dritte Ergebniskomponente der Zentralergebnisrechnung. 1368

1366ygl.

Kapitel 4.3 auf Seite 462. Abb. 4.245 auf der vorherigen Seite Zentralergebnisrechnung Spalte 1. 1368ygl. Abb. 4.245 auf der vorherigen Seite Zentralergebnisrechnung Spalte 1. 1367ygl.

5 Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung 5.1 Kurzeinführung in die Planungsverfahren der integrierten Zielplanung Das im Kapitel 4 auf Seite 89 dargestellte Modelltableausystem der Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten wird nunmehr im Lichte der integrierten Zielplanung betrachtet. Die integrierte Zielplanung verlangt - neben der planungslogischen Interpretation der Basisgrößen - die Definition eines Topziels, welches die Nutzenvorstellung des Topmanagements beschreibt. 1 Dies ist bei einer kalkulatorischen Gesamtergebnisrechnung immer das kalkulatorische Gesamtergebnis. 2 Das System der integrierten Zielplanung3 ist durch die alternative Anwendung von drei Planungsverfahren gekennzeichnet: 4 Reine Optimierungsplanung Die reine Optimierungsplanung ist das optimierende Pla-

nungsverfahren der klassischen deterministischen Entscheidungstheorie. Sie ist kennzeichnet durch deterministische Modelle, die als veränderliche Basisgrößen ausschließlich Entscheidungsvariablen und somit keine Basisziele besitzen. Die Entscheidungsvariablen sind so zu wählen, daß das kalkulatorische Gesamtergebnis maximiert wird. Reine Zielverpflichtungsplanung Die reine Zielverpflichtungsplanung basiert auf dem von

Zwicker durchgeführten Studium der in der Praxis verwendeten Planungsverfahren. Nach seiner Beobachtung zeigen die in der Praxis betriebenen Planungen immer folgendes Vorgehen: "Verantwortungsbereiche werden verpflichtet, bestimmte quantitative Ziele einzuhalten, deren Einhaltung am Ende der Planungsperiode überprüft wird. Die reine Zielverpflichtungsplanung erhebt den Anspruch, eine normative Explikation und Präzisierung dieser in der Praxis realisierten Verfahren einer Zielverpflichtungsplanung zu sein." 5 Die reine Zielverpflichtungsplanung ist kennzeichnet durch deterministische Modelle, die als veränderliche Basisgrößen ausschließlich Basisziele und somit keine Entscheidungsvariablen besitzen. 1 Y gl. 2Ygl. 3ygl. 4Ygl. 5Ygl.

[124, S. Kapitel Kapitel [124, S. [124, S.

8] 4.4 auf Seite 475. 2 auf Seite 5. 8 ff.] 9 f.]

482

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

Gemischte Optimierungs-Zielverpflichtungsplanung Treten in einem deterministischen MüdelI sowohl Basisziele als auch Entscheidungsvariablen als veränderliche Basisgrößen auf, dann kann eine gemischte Optimierungs-Zielverpflichtungsplanung betrieben werden. Die Entscheidungsvariablen sind so zu wählen, daß das kalkulatorische Gesamtergebnis maximiert wird. Der Verfasser stellt fest, daß das im Kapitel 4 auf Seite 89 dargestellte Modelltableausystem der Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten ausschließlich eine reine Zielverpflichtungsplanung ermöglicht. Um dies zu zeigen beschreibt er im Kapitel 5.2 ein Konfigurationssystem, welches die im Kapitel 4 auf Seite 89 dargestellten generellen Modelltableaus umfaßt und eine automatische Verknüpfung von bestimmten vom Benutzer ausgewählten Modelltableaus ermöglicht. Der Verfasser demonstriert anschließend im Kapitel 5.3 auf Seite 599 den Verknüpfungs- bzw. Konfigurationsprozess sowie das Ergebnis des Verknüpfungsprozesses an Hand eines beispielhaften numerisch spezifizierten Gleichungsmodells, mit dem das kalkulatorische Gesamtergebnis eines Finanz-/ Kreditinstitutes im Rahmen einer reinen Zielverpflichtungsplanung ermittelt wird.

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und K red iti nstitute Die Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanzund Kreditinstitute beginnt im Kapitel 5.2.1 mit der grafischen Beschreibung eines in einem Konfigurationssystem für Finanz- und Kreditinstitute implizit enthaltenen Entscheidungsbaums zur Auswahl genereller Modelltableaus. Im weiteren Kapitel 5.2.2 auf Seite 491 werden überblickartig jedem generellen Modelltableau die benötigten Basisgrößen und - falls generelle Modelltableaus Verfahren der klassischen deterministischen Entscheidungstherorie beinhalten - Zielwerte und Nebenbedingungsgrößen zugeordnet. Zusätzlich wird im Kapitel 5.2.2 auf Seite 491 eine Eingangs-/ Ausgangsgrößeninterpretation je Modelltableau vorgenommen.

5.2.1 Entscheidungsbaum eines Konfigurationssystems für Finanzund Kreditinstitute zur benutzerabhängigen Auswahl genereller Modelltableaus Ein Konfigurationssystem zur Durchführung einer kalkulatorischen Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten beinhaltet den in Abb. 5.1 auf der nächsten Seite bis Abb. 5.8 auf Seite 490 dargestellten Entscheidungsbaum zur benutzerabhängigen Auswahl genereller Modelltableaus.

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Tllgungspl_n.! Zahlungsstromtableau MZ11 Zinst_bl._u Zinst_bleau 1IIZ12 ··q.brochene Halledauer" MZ13 Tilgu~gst_bl.au MZ14 Zinsmargentableau

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MPI Tilgungsplan./ Zahlungsstromtableau MP4 Verrentungstableau

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Gegen-Zahlungen: Variabler Tilgungsanteil

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(I = 0 bis I = n)

Gegen.zahlungsstromtableau: Variabel verzinslicher Tilgungsanteil

Abb. 5.124: Gegen-Zahlungsstromtableau: Gesamt verzinslicher Tilgungsanteil

Abb. 5.125 zeigt das Verrentungstableau. 126 fMS11l

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Verrentungstableau Gegen-Zahlungen: Gesamter Tilgungsante il (I=Obisl=n)

Abb. 5.125: Verrentungstableau

125Ygl. Kapitel 4.2.1.4.2 auf Seite 329. 126Ygl. Kapitel 4.2.1.4.2 auf Seite 329.

r

Tilgungsplan-' Zahlungsstromtableau

fMs14l

Gegen.zahlungsstromtableau: Gesamt verzinslicher TIlgungsanteil

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 563 5.2.2.1.4.3 Modelltableaus des dualen Ansatzes in der Beitragsrechnung variabler Gelder Abb. 5.126 zeigt das Serviceleistungstableau. 127 UDk!2DtH~lIitub~[I~ Bi:t~i~g [g6e(D) ;

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Abb. 5.126: Serviceleistungstableau

Abb. 5.127 zeigt das Effektivzinstableau mit Bonifikation. 128 Unkontrollierbare

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Bomfizlerter EffektIVzins IEurol ~

Abb. 5.127: Effektivzinstableau mit Bonifikation

127Vgl. Kapitel 4.2.1.4.3 auf Seite 339. 128Vgl. Kapitel 4.2.1.4.3 auf Seite 339.

Jm

E1rektlvzlnstableau mit Bonlftkatlon

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

564

Abb. 5.128 zeigt das Effektivzinstableau ohne Bonifikation. 129 Entscheidungsparameter"

Unkontrollierbare Basisgröße(n) :

- Effektivzins - Jahresbasis

- Sparvolumen - Haltedauer

~

fMS19l PeriodenKapitalwerttableau

8Yi./Eiug!\!ogsgröße(n}:

Effektivzins IEuroj

Elfektlvzlnstableau ohne Bonmkatlon

Abb. 5.128: Effektivzinstableau ohne Bonifikation

Abb. 5.129 zeigt das Perioden-Kapitalwerttableau. 13o

rMS16l !;D~,b~idYD9~-

Servicelelstungstableau

IJnkg n !u!lli~[bil[t: B.,sisqrÖ~ eln) -

l!l.!l.!!l.ili.

Perioden-

Kapitalwert (gesamt)

lE1l Elnzelgeschäftsergebnistableau

~

AYliEiD9S1!lgsgröK~(D) '

Perioden-Kapitalwert (Verantwortungsbereich Profit·Cenler Zweigstellen) Perioden-Kapitalwert (Verantwortungsbereich Gesamtbankleitung)

Per1oden-KapltalWerttableau

AYi:ll:inYSlDYSY[ö6I:fnl" Entgelt für Serviceleistungen (Euro)

Bonifizierter Effekt~zins

IEurol

JMs17] Effektivzinstableau mit Bonifikation

Effektivzins (Euro)

[MS18] Effektivzinstableau ohne Bonifikation

Abb. 5.129: Perioden-Kapitalwerttableau

129Ygl. Kapitel 4.2.1.4.3 auf Seite 339. 130Ygl. Kapitel 4.2.1.4.3 auf Seite 339.

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 565

5.2.2.1.4.4 Modelltableaus des Optimal Values-Ansatzes Abb. 5.130 zeigt das Zinsdurchschnittstableau. 131 Entscheidung.-

Unkontrollierbare Basisgröße(n):

parameter:

. Kapitalverweildauer • Trendparameter - Geld-/ Kapitalmarktzinsen

je Zinsbindungsfrist

rMS21l Opportunitätszinstableau

~

Aus.jEingangsgröSe(n):

o Geld-/Kapit almarktzinsen

Zlnsdurchschnlttstableau

~

je Zinsbindungsfrist

Abb. 5.130: Zinsdurchschnittstableau

Abb. 5.131 zeigt das Opportunitätszinstableau. 132

rMS23l Marktwerttableau (simultaner Ansatz)

...

Entscheidungs-

pa ra meter:

Unkontrollierb a re Basisg rößefnl:

- Trendzeitraum

- Trendvolumen

- Effektivzins

- Trendparameter - Produkt . . olumen

- Geld-/

Kapitalmarktzins

~

Aus./t;;i!]ganqsgrö&e(!)):

Opportunitätszins

rMS20l

OpportunltltSzlnstableau Portfolioanteit je Zinsbindungsfrist

rMS22l Tilgungsplan-I Zahlungsstromtableau

Zie lwertana lvse

i"I

~

Schwankungsdifferenz (Effektivzins + Marge Opportunitätszins)2 Min!

=

Neben bedingungfen)o Summe Portfolioanteile

=1 !

Abb. 5.131: Opportunitätszinstableau

131 Ygl. Kapitel 4.2.1.4.4 auf Seite 342. 132Ygl. Kapitel 4.2.1.4.4 auf Seite 342.

Entsch eidungs-

~ - portforioanteil je linsbindungsfrist - Marge

Aus../finq angsq röße (n): Geld-/Kapitalmarktzinsen

o

je Zinsbindungsfrist

Zinsdurchschnittstableau

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

566

Abb. 5.132 zeigt das Tilgungsplan- jZahlungsstromtableau. 133 UokOO1[!llliedulril

~D§~!i!idyo gl:;

iMs23l Marktwerttableau

~

Basjsgröße(n)'

- Zinsl'ge (I = 0 bis n) • Jahresbasis - Effektivzins

Produktvolumen

~

Hebeobediogyog(UO)'

Zahlungen (I = 0 bis 1 = n)

THgungsplan-l Zahlungsstromtableau

(si multa ner Ansatz)

AYJ:lI:ln9 ilO gi 9[ö5e (o)' Portfolioanteil

Je Zinsbindungsfrist

fMS21l Opportunitäts zinstableau

Abb. 5.132: Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau

Abb. 5.133 zeigt das Marktwerttableau. 134 [Ms22] Tilgungsplan-/ Zahlungsstromtableau

fE1l Einzelgeschänsergebnistableau

[MS23l

HebeobediogY09(DO)'

Zahlunaen t =0 bis t = n

Au~i!l g il!l gJg [Ö ß g(Dl'

Markl-lKapila"'rt (I = 0)

Mar1ltwerUabIeau (simultaner Ansatz) AYI:lfln 9ilD 9I a[ö&e (o)' Opportunitatszins

Zielwen analyse ZWm!l; Markt-/Kapitalwert (I = 0) = Ma. I

~

bed jn gu ng(en)'

Zahlungen 1= 0 bis 1 = n)

Abb. 5.133: Marktwerttableau

133Ygl. Kapitel 4.2.1.4.4 auf Seite 342. 134Ygl. Kapitel 4.2.1.4.4 auf Seite 342.

Entschei dyngs. ~

Marktwerte Zahlungen (I=Oblsl=n)

fMS21l Opportunltätszlnstableau

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 567

5.2.2.1.5 Modelltableaus zur Kalkulation stochastischer zustandsabhängiger Zahlungsströme auf Basis der Optionspreistheorie 5.2.2.1.5.1 Modelltableaus des Binomialmodells nach Cox/Ross/Rubinstein 5.2.2.1.5.1.1 Kaufoption Abb. 5.134 zeigt das Wahrscheinlichkeitstermtableau. 135 Unkontrollierbo[e BasisgröRe(n)'

Ellt~~h~idungs.

~

rMS251

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "'Vermögen oder Nichts"'Option

. Erwarteter risikoloser Zinssatz . Aufwärtsfaktor

...

rMs241

Ay~:lfingl1ngsgröRg(nl:

Wahrscheinlichkeitsterm

WahrscheinlichkeItstermtableau Au~./Eing~ngsgröRefnl:

Wahrscheinlichkeitsfaktor für den Aktienkursabstieg

rMs26l Ausübungswahr scheinlichkeitstableau "'Geld oder Nichts"'Option

~

Abb. 5.134: Wahrscheinlichkeitstermtableau

Abb. 5.135 zeigt das Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option. 136 Eo§,bUidYDali-

U[!lsgDtrglli~rbar~

~

BasisgröR e(n)'

HaltedauerPenodengrenze

. Optimale HaHedauer-

Je Penade

- Ausübungs-

Penodenuntergrenze

wahrscheinlichkeit

je Periode

rMS27l Optionspreistableau

AYJ./EinyaO aJa[gß g(O)'

I Ausübungs-

wahrscheinlichkeit "Vermögen oder Nichts",

Option

~

Ausübungs· wahrschelnllchkeltstableau "Vennögen oder Nlchts-.optlon

AUliflngangsg[ö6e(o)'

Wahrschelnhchkeitsterm

[MS24] Wahrscheinlichkeits· termtableau

Abb. 5.135: Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"-Option

135Ygl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375. 136Ygl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375.

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

568

Abb. 5.136 zeigt das Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option. 137 Entsche idungs-

parameter:

Un kontrollierbare Basisgröße fn)-

HaltedauerPeriodengrenze

- Optimale Halteda uerPeriodenuntergrenze

je Periode

lriiiS27l Optionspreistableau

- Ausübungswahrscheinlichkeit e Periode

~

Aus-lEinganqsgröße(n): l: Ausübungs-

MGeid oder NichtsM. Option

lriiiS24l

Aus-lEin ga n gsgrö Re(n)"

Ausübungswahrschelnllchkeltstableau - Celd oder Nlchts--optlon

wahrscheinlichkeit

Wahrsehe inlie hkeil sfa kt or für den Aktienkursabsl ieg

Wahrscheinlichkeits· termtableau

Abb. 5.136: Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option

Abb. 5.137 zeigt das Optionspreistableau. 138 Unkontro llie[bare

Entscheidyn gspara mete r"

Basisgröße(n):

- Haltedauer

- Basiswert (I

- Jahresbasis

- Basispreis

/MS2sI

=0)

Ausübungswahr· scheinlichkeits· tableau "Vermögen oder Nichts"·Option

- erwarteter risikoloser Zinssatz

rE1l Einzelgeschäfts· ergebnistableau

Aus-l!;ingangsgröRe(n): Preis Kaufoption

~

Aus./Ein gan gsg[ö ße(n):

1.: Ausübungswahrscheinlichkeit "Vermögen oder Nichts"-

o tion

Optlonsprelstableau 8 us -lEin gan gsg[Q ße(n}:

1.: Ausübungs-

wahrscheinlichkeit "Geld oder Nichts"Option

Abb. 5.137: Optionspreistableau

137Ygl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375. 138Ygl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375.

fMS26l

Ausübungswahr· scheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"·Option

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 569 5.2.2.1.5.1.2 Verkaufsoption Abb. tableau. 139

5.138

zeigt

das

Unkontrollierbare

Entscheidungsparameter:

rMS29l

Wahrscheinlichkeitsterm-

Basisgröße(n):

- Erwarteter risikoloser Zinssatz - AufWärtsfaktor

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"- ~ Option

rMs2s1

Aus./Ei nga ngsa rüß e (n)'

Wahrscheinlichkeitsterm

Wahrschelnllchkeltstenntableau Aus./Eingangsq[öfhdnl; Wahrscheinlichkeitsfaktor

rMS30l

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"Option

für den Aktienkursabstieg

f4

Abb. 5.138: Wahrscheinlichkeitstermtableau

Abb. 5.139 zeigt das Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option. 140 Unkgntrgllililrbau!!

I;:[!t:!:!;; h ~ idung ~-

Basisgröh (0)'

~

Haltedauer-

Periodengrenze e Periode

- Optimale HaltedauerPeriodenuntergrenze - AusObungswahrscheinlichkeit

Je Penode

fMS3il Optionspreistableau

Au~./l;!ngangsg[!;i~~(n) ·

I Ausübungswahrscheinlichkeit "Vermögen oder Nichts ",

Option

~

AusübungswahrscheinlichkeItstableau -Vermögen oder Nlchts-oOpHon

Aus:::lfingangsg[Q!\e;(n) ' Wahrscheinfichkeltsterm

rMs28l Wahrschelnlichkeitstermtableau

Abb. 5.139: Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"-Option

139Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375. 140Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375.

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

570

Abb. 5.140 zeigt das Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option. 141 Unkontrollie rb are

Entscheidungs-

parameter:

BasisgrÖße (n)-

HaltedauerPeriodengrenze

- Optimale HaltedauerPeriodenuntergrenze

je Periode

- Ausübungswahrscheinlichkeit

je Periode

lMS31l Optionspreistableau

~

8 u ~./E iDqaD g sgrÖ6~bÜ·

I Ausübungs-

"Geld oder Nichts"·

Option

rMS2sl

Aus:-I~ ing an g ~q[ö: ße(n ) '

Ausübungswahrschelnllchkeltstableau -Geld oder Nlchts-.optlon

wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitsfaktor

für den Aktienkursabslieg

Wahrscheinlichkeits· termtableau

Abb. 5.140: Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option

Abb. 5.141 zeigt das Optionspreistableau. 142 Unkontrollierbare

Entscheidungs-

rMS32l Put·Ca"Paritätstableau

~

Basisgröße(nl:

- Haltedauer

. Basiswert (I =0)

- Jahresbasis

- Basispreis

,.b

Au ~::if ing2lngsgrQß~(n)·

Preis Kaufoption

lMS29l

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"-ODtion

- erwarteter risikoloser Zinssatz

8us:lfing angsgr!;ißefn) '

i: Ausübungswahrscheinlichkeit "Vermögen oder Nichts"Ootion

Opllonsprelstableau Aus-lEingangsgröße(n): I Ausübungswahrscheinlichkeit "Geld oder Nichts "· Option

rMS36l

Ausübungswahr· scheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option

Abb. 5.141: Optionspreistableau

Abb. 5.142 zeigt das Put-Call-Paritätstableau. 143 f;Dts~h~idygg§-

UDk2n1ullli ~ [b il[~

n=.m.mr;

BasisgrÖße(n)·

- Basiswert (I

- Haltedauer - Jahresbasis

~

[E1l Au~::lE ingS1ngsg[ößg(nl ·

Einzeigeschäftsergebnistableau

Preis Verkaufsoption

Put-Call.parttätstableau

Abb. 5.142: Put-Call-Paritätstableau l41Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375. 142Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375. 143Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.2 auf Seite 375.

=0)

- 8asispreis - erwartet er risikoloser Zinssatz

Au~ ::lEin g ~og~g r Ö ß g(nl·

Preis Kaufoption

lMS31l Optionspreistableau

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 571

5.2.2.1.5.2 Modelltableaus des Black/Scholes-Modells 5.2.2.1.5.2.1 Kaufoption Abb. 5.143 zeigt das Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"-Option. 144 Unkontrollierbare

EDtsch~idungs-

parameter:

BasisgröSe(n):

- Haltedauer

- Basiswert (t = 0) - Basispreis - erwarteter risikoloser Zinssatz - Volatilität Basiswert - Ausübungswahrscheinlichkeit "Vermögen/Nichts"Option

- Jahresbasis - Zwei

fMs35] Optionspreistableau

~

Aus./Eingangsgröße(n):

Ausübungswahrsch einlichkeit "Vermögen oder Nichts"-

Option

AusübungswahrschelnUchkeltstableau "Vermögen oder Nlchts--optlon

Abb. 5.143: Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"-Option

Abb. 5.144 zeigt das Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option. 145

Entscheidungs-

Unkontrollierbare

- Haltedauer - Jahresbasis - Zwei

- Basiswert (t = 0) - Basispreis - erwarteter risiko loser Zinssatz

parameter:

Basisgröße(n):

- Volatilität Basiswert

- Ausübungswahrsehe inlie hkeit "Geld/Nichts"Option

fMs35] Optionspreistableau

Aus-lEing~ngsgröße(n):

Ausübungswahrscheinlichkeit

"Geld oder Nichts"Option

~

Ausübungswahrschelnllchkeltstableau -Geld oder Nlchts--optlon

Abb. 5.144: Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option

144Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383. 145Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383.

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

572

Abb. 5.145 zeigt das Optionspreistableau. 146

==

Entschei dyngs-

Unkontrollierbare BasjsgrÖSe(n) j

. Haltedauer

· Baslswert (I

. Jahresbasis

· Basispreis

[MS33]

=0)

Ausübungswahr· schelnllchkeits· tableau "Vermögen oder Nichts"·Option

· erwarteter nSlkoloser ZInssatz

[E1l Einzelgeschäfts· ergebnistableau

AUi./Eill ga[)g~g rü R ~'n)i Preis Kaufopllon

,.k

AUi::lE i D 9 !lDg~ g rüSe(n) '

AusObungswahrscheinlichkeit

"Vermögen oder Nichls ~ODllon

Opdonsprelstableau Aus./Ei ngangsqrÖRe(n)Ausübungs-

wahrschemlichkelt

-G eld oder NichtsM. Option

Abb. 5.145: Optionspreistableau

146Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383.

fMS34l

Ausübungswahr· scheinlichkeits· tableau "Geld oder Nichts"·Option

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 573 5.2.2.1.5.2.2 Verkaufsoption Abb. 5.146 zeigt das Ausübungswahrscheinlichkeits-

tableau "Vermögen oder Nichts"-Option. 147 Un k Dntrol!ie[b~ r~

E ntsctu~i gY D 9~·

fMS38]

~

BasisgrÖße(n);

- Haltedauer - Jahresbasis . Zwei

- Basiswert (t = 0) · Basispreis · erwarteter risikoloser Zinssatz - Volatilität Basiswert - Ausübungswahrscheinlichkeit "VermögenlNichts"Option

~

AY~./E i ng a ng sgrö 6 g(D) ·

Ausübungswahrscheinlichkeit

Optionspreistableau

"Vermögen oder Nichts·-

Option

AusübungswahrscheinlichkeItstableau "Vermögen oder Nlchts--optlon

Abb. 5.146: Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"-Option

Abb. 5.147 zeigt das Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option. 148

Euts&heidungsparameter:

Unkgntrollie rbare Basisgröße(n) j

- Haltedauer - Jahresbasis -Zwei

- Basiswert (t = 0) · Basispreis · erwarteter

risikoloser Zinssatz - Volatilitat Basiswert - Ausübungs-

wahrscheinlichkeit ·GeldlNichts·Option

fMS38] Optionspreistableau

Aus::lEingan gsgrgße{n}: Ausübungswahrscheinlichkeit ~

·Geld oder Nichts·Option

~

AusübungswahrscheinlIchkeItstableau -Celd oder Nlchts--optlon

Abb. 5.147: Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option

147Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383. 148Vgl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383.

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

574

Abb. 5.148 zeigt das Optionspreistableau. 149 Unkontrollierbare

Entscheidy!]gl;!-

parameter'

BasisgrößQ(n);

- Haltedauer

- Basiswert (I

- Jahresbasis

[MS36]

Ausübungswahr· sCheinlichkeits· tableau "Vermögen oder Nichts"·Option

= 0)

- Basispreis - erwarteter

~ Put-CallParitätstableau

J..

Aus../Eingangsgröße(n):

Preis Kaufoption

risikoloser Zinssatz Aus./Eingangsgrö6e(n):

Ausübungswahrscheinlichkeit "Vermögen oder Nichts"·

o lion

OptIonspreistableau Aus./Einganqsgröße(nl: Ausübungs-

wahrscheinlichkeit "Geld oder Nichts"· Option

fMs37]

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" -Option

Abb. 5.148: Optionspreistableau

Abb. 5.149 zeigt das Put-Call-Paritätstableau. 150

lE1l EinzeIgeschäftsergebnistableau

Entscheidungs-

U!lko[ltrQI!i!il:d~a[ e

~

Basisgröß e(n):

- Haltedauer - Jahresbasis

- Basiswert (I = 0) - Basispreis - erwarteter risikoloser Zinssatz

~

Au sJE i n g :a nq~ grö ß e: (nl :

Preis Verkaufsoption

PutoCaII-Parttltstableau

Abb. 5.149: Put-Call-Paritätstableau

149Ygl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383. 150Ygl. Kapitel 4.2.1.5.1.3 auf Seite 383.

Aus:ifin g:a ngsg[öß eln): Preis Kaufoption

fMS3sl Optionspreistableau

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 575 5.2.2.2 Arten von Modelltableaus der Risikoergebnisrechnung

Im Rahmen der Darstellung der Modelltableaus der Risikoergebnisrechnung wird eine simultane strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen 151 unterstellt. 5.2.2.2.1 Modelltableaus zur Kalkulation von Ist-Risikokosten

Abb. 5.150 zeigt das

Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau. 152 Unkontrollierbare BasisgröRe(n};

Entscheidungsparameter:

=

fRiB

Marktwerttableau: ausfallrisikofrei (simultaner Ansatz)

- Zinstage (t 0 bis n) - Jahresbasis - Nominalzins

.-

=0) =0]

N e benbed i ngung(~ D) ;

(t

Marktwerttableau: ausfallrisikobedingt (simultaner Ansatz)

.

=0 bis t =n)

l5l V gl.

Kapitel 4.2.1.2.1.2 auf Seite 117. Kapitel 3.6 auf Seite 74.

=n - 1)

~

TIlgungsplan", Zahlungsstrorntableau

Nebenbe dingung(en}: Ausfallrisikobedingte Zahlungen (t 0 bis t n)

=

=

Zielwertan.lyse Zielwert: Restkapital nach vollständiger Tilgung

=O!

Abb. 5.150: Tilgungsplan- jZahlungsstromtableau

152Vgl.

=

BasiszieUe}: - Zahlung (t - Disagio (t

Zahlungen

lRi3l

Zahlungen (t 1 bis t

Entscheidungsvari able(n}: Zahlung (t

=n)

576

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

Abb. 5.151 zeigt das Marktwerttableau: ausfallrisikofrei. 153 Unkontrollierbare

EntscheidYUQs-

paramete['

Basisgröße(n): - Zinsfakt oren

(I =0 bis 1 = n) - Zinsquotienten (I =0 bis 1 = n)

fRi4l Risikokostentableau

~

Aus.fEingaogsgröße(n):

Markl-IKapilalwert (I

Nebeobedingung{en):

Zahlungen (I =0 bis 1 = n)

Marktwerttableau: ausfallrlslkofrel (simultaner Ansatz)

Ausfallrisikofreier

=0)

CRIil

Tilgungsplan·' Zahlungsstrom· tableau

Zielwertanalyse ~ntscheidungs-

Zielwert-

variable'n):

Markl-lKapilalwert (I =0) = Max I

Marktwerte Zahlungen (I

=0 bis 1= n)

Nebenbedinqunq(en):

Zahlungen

1 =0 bis 1 = n)

Abb. 5.151: Marktwerttableau: ausfallrisikofrei

Abb. 5.152 zeigt das Marktwerttableau: ausfallrisikobedingt.l54 Unkontrollierbare

Entscheidungs-

Basisgröße(nl:

~

- Zinsfaktoren (I =0 bis 1 = n) - Zinsquotienten (t 0 bis 1 n)

=

~

[ßi4l Au~:LEinqanqsgröße(n):

Risikokostentableau

Nebenb!i!!dinqung(en):

Marktwerttableau: ausfallrIsIkobedIngt (simultaner Ansatz)

Ausfallrisikobe dingter Markl-IKapilalwert (I =0)

Zielwertanalyse

i

Entscheidungs-

~

variablern):

Markt-/Kapitalwert (I =0) = Max!

Marktwerte ausfallrisikobedingter Zahlungen (I =0 bis 1 = n)

Nebenbedingunglen» Ausfallrisikobedingle Zahlungen 1 =0 bis 1 = n)

Abb. 5.152: Marktwerttableau: ausfallrisikobedingt

153Ygl. Kapitel 4.2.2.1.1 auf Seite 427. 154Ygl. Kapitel 4.2.2.1.1 auf Seite 427.

=

Ausfallrisikobedingte

Zahlungen (I

=0 bis 1=n)

lRI1l Tilgungsplan·' Zahlungsstrom· tableau

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 577

Abb. 5.153 zeigt das Risikokostentableau. 155

rRT2l fE1l EinzelgeschäHsergebnistableau

Au~ :LE ingj:lng~grÖl\tl(D)·

Risikokoslen (I = 0)

rRi4l

Au§iEing. ngsg[öß~(nl: Ausfallrisikofreier

Markl-lKaoilalwert (t = m

RIsikokostentableau 8,us:l..Eing angsgröße(n): Au sfallris ikaba din9t er Markl-lKapilalwert (I = 0)

Abb. 5.153: Risikokostentableau

155Vgl. Kapitel 4.2.2.1.1 auf Seite 427.

r

Marktwerttableau: ausfallrisikofrei (simultaner Ansatz)

[RI3l Marktwerttableau: ausfallrisikobedingt (simultaner Ansatz)

578

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

5.2.2.2.2 Modelltableaus zur Kalkulation von Plan-Risikokosten 5.2.2.2.2.1 Modelltableaus zur Risikokostenkalkulation nach dem Versicherungsprinzip

5.2.2.2.2.1.1 Die markt-deduzierte Risikokostenmethode Abb. 5.154 zeigt das

Krisenquotentableau. 156 Entscheidungsparameter:

Unkontrollierbar~

Basisgröße(n): - Kreditnehmer mit Bonitatsproblemen - Kreditnehmer insgesamt

rRi9l Ausfallratentableau

fRl5l

8u~./Ei n 9 a n gsg rö ße(n):

Krisenquote

KrIsenquotentableau

Abb. 5.154: Krisenquotentableau

Abb. 5.155 zeigt das 0 Kreditvolumentableau. 157 Unkontrollierbare

BasiszieUe):

!lasisgriiß~(n) ;

Kreditvolumen

lRi8l AusfallvolumenMultiplikator-Tableau

Aus./Ei ng~ngsg rö ß e (n)· (21 Kreditvolumen

Abb. 5.155: 0 Kreditvolumentableau

156Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 auf Seite 432. 157Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 auf Seite 432.

Kreditnehmer insqesamt

fRl6l f/J Kredltvolumentableau

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 519

Abb. 5.156 zeigt das 0 Brutto-Ausfallvolumentableau. 158 Entscheidungs. parameter:

!JnkontrQ IIi ~rb a r~

Basisgröße!n): • Kreditvolumen mit Bonitätsproblemen • Kreditnehmer mit Bonitätsproblemen

rRi8l Ausfallvolumen· Multiplikator-Tableau

J"R17l

Ay~./Ei Dga n g~g r ji 5 e (n);

o Bruttoaus!allvolumen

• Brutto-Ausfallvolumentableau

Abb. 5.156: 0 Brutto-Ausfallvolumentableau

Abb. 5.157 zeigt das Ausfallvolumen-Multiplikator-Tableau. 159

fRi6l

o Kreditvolumen· tableau

rRi9l Ausfallratentableau

rRi8l

8y~./I;ID 9 iJ DglgrÜ~~(n) ·

AusfallvolumenMuhiplikal or

Ausfallvolumen-MultlpllkatorTableau

Aus ./~l ng ;a ng sgrÜße(n ) ·

!ZI Kreditvolumen

AUI:lEing i:! ngsgröSe(n): IZI Bruttoausfallvolumen

rRi7l o Brutto-

Ausfallvolumen· tableau

Abb. 5.157: Ausfallvolumen-Multiplikator-Tableau

158Ygl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 auf Seite 432. 159Ygl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 auf Seite 432.

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

580

Abb. 5.158 zeigt das Ausfallratentableau. 160

BasisqröSefn):

Kreditvolumen

lBIDJ Ausfallratentableau: ungesicherte Ausfallrate

Krisenquotentableau

Kreditvolumen mit Bonitätsproblemen

,l

Aus-lEingangsgröß e{n}:

Ausfallra1e

lRi5l

Unkontrollierb a re

Basiszielfel;

Ays:lEingangsgröS e(n): Kris8nQuote

AusfaJlratentableau Aus../EingangsgröRe(n) :

Ausfallvolumen-

lRiäl

Multiplikator

AusfallvolumenMultiplikator-Tableau

Abb. 5.158: Ausfallratentableau

Abb. 5.159 zeigt das Besicherungsquotentableau. 161 Entscheidungs-

Unkontrollierbare BasisgröRe(n):

parameter:

- Kreditvolumen mit Bonitätsproblemen - Besichertes Kreditvo lumen mit Bonitätsproblemen

rRi11l Ausfallratentableau : ungesicherte Au sfall rate

Aus./Ei n 9 a n gsgrö Re (n): Besicherungsquote

Abb. 5.159: Besicherungsquotentableau

160Ygl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 auf Seite 432. l6lYgl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 auf Seite 432.

IRI10l Beslcherungsquotentableau

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 581

Abb. 5.160 zeigt das Ausfallratentableau: ungesicherte Ausfallrate. 162

[Ri12] Risikokostentableau

Bn isgrÖ ßefn)'

Kreditvolumen

Kreditvolumen mit Bonitätsproblemen

~

AU li:lE IDg gn g~ g r öSe(n) ;

Ungesicherte Ausfallrate

lRi9l

!J n k!u)![!;:!IIi~dUlr~

~

Ausfallratentableau

Aus:ß;iD g~!l y§größe{n): Ausfallrate

AUsfallratentableau: ungeslcherte Ausfallrate

~

Ay~iI ingang:i gr ö R ~{n):

Besicherungsquote

[Ri1öl Besicherungsquotentableau

Abb. 5.160: Ausfallratentableau: ungesicherte Ausfallrate

Abb. 5.161 zeigt das Risikokostentableau. 163 f [)g !;b~ i dungs.

parameter

!Jnko n tro ll ierba[~

Basisgrö Re(n);

Marktwert des Kapitals

[E1l 8u:i:lE i[)g il ng~grg R e(n) :

Einzelgeschäftsergebnistableau

Risikokosten

Abb. 5.161: Risikokostentableau

162Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 auf Seite 432. 163Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.1 auf Seite 432.

,l

R1slkoko5tentableau

Au~ i n gan g:ig[ti& t: 'D) '

Ungesicherte Ausfallrate

[Ri1T] Ausfallratentableau : ungesicherte Ausfallrate

582

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

5.2.2.2.2.1.2 Die Risikokostenmethode auf Basis neuronaler Netze Abb. 5.162 zeigt das Risikomargentableau: konstante Marge. 164

rRi14l

EntscheiduD9~-

Uokontrolli~[b~[e

parameter:

Basisgröße(n):

Gleichverteilungsfaklor

- Kreditanträge - SolvenzKlassifikator - Bela-Fehlerfakl or - Alpha-Fehlerfaklor - !11 Ausfallvolumen

Risikomargentableau: • Variable Marge

- !11 Kreditvolumen Aus-lEi n 9an gsgr~ 6 ~(n) :

- !11 Kredilvolumen

- Gleichverteilungsfaktor - Ausfallvolumen

[R113l RIsikomargentableau: konstante Marge

/l,ys,!Ei n 9an gsgrii 6 ~ (0):

lBi15l

Konstante Risikomarge

Risikokostentableau ~

Abb. 5.162: Risikomargentableau: konstante Marge

164Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.2 auf Seite 437.

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 583 Abb. 5.163 zeigt das Risikomargentableau: variable Marge. 165 Unkontrollierbare e asjsqrÖ&e(n);

EDtsct:u~hhlD g~·

~

• Solvente Unternehmen je Bonitatsklasse • InsolvenzWahrscheinlichkeitsfaktor ·e Bonitätsklasse

rRi15l Risikokostentableau

,l

Aus:::lElo9i1 nqs9[ößcf[d" Variable Risikomarge je Bonitatsklasse

RIsikomargentableau: variable Marge

Aus::iEiD9i109 s 9[i;!Sg(n)- 0 Kreditvolumen - Gleichverteilungsfaktor - Ausfallvolumen

[Ri13] Risikomargentableau : konstante Marge

Abb. 5.163: Risikomargentableau: variable Marge

Abb. 5.164 zeigt das Risikokostentableau. 166

fRi13l

uot!;uo![Qllicdlil[1!:

ED~J;bcidYD9S-

Basjsgröße(n)-

~

Risikomargentableau: konstante Marge

Marktwert

des Kapoals

lE1l Einzelgeschänsergebnistableau

AusJEjnganqsgrÖße(n)-

Risikokast en je Bonitätsklasse

~

AusJElnganqsqrÖ&eln)Konstante Risikoma~e

RIsikokostentableau AYi::lflngilDgi9[g~g(!l} '

Variable Risikomarge je Bonitätsklasse

lRI14l RIsikomargentableau: variable Marge

Abb. 5.164: Risikokostentableau

165Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.2 auf Seite 437. 166Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.1.2 auf Seite 437.

584

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

5.2.2.2.2.2 Modelltableaus zur Risikokostenkalkulation nach dem Prinzip der Einzelbewertung

5.2.2.2.2.2.1 Die optionspreistheoretische Risikokostenmethode Im Rahmen

der Darstellung der Modelltableaus der optionspreistheoretischen Risikokostenmethode wird ein Zahlungsstrom mit zwei Zahlungszeitpunkten unterstellt: t = 0 und t = 1.

Abb. 5.165 zeigt das Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau. 167 Entscheidungsparameter:

Unkontrollierbare Basisgröße(n):

- Zinslage (I = 0 bis 1) - Jahresbasis - Nominalzins BasiszieHe) : - Zahlung (I = 0) - Disagio (t = 0)

fRi2öl Risikokostentableau

Aus./Einga n gsg rö ße (n): Zahlung (I - 1)

rob

Tligungsplan-l Zahlungsstromtableau

Zielwertanalyse Zielwert: Resl kapital nach vollstan diger Tilgung

= O!

Abb. 5.165: Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau

167Vgl. Kapitel 3.6 auf Seite 74.

Entscheidung~-

variable(n): Zahlung (t = 1)

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 585

Abb. 5.166 zeigt das Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option. 168 EntscheidungsRarameter:

Unkontrollierbare BasisgröSe!nl:

- Haltedauer - Jahresbasis

- Marktwert Aktiva (Basiswert t = 0) - Fremdkapital (Basispreis) - Volatilität Marktwert Aktiva - Ausübungswahrscheinlichkeit "Vermögen/Nichts"Kaufoption

- Zwei

[Ri19] Risikoprämientableau

Jm

Aus-lEingan 9s9 rö Ke (n): Ausübungswahrscheinlichkeit "Vermögen ode r Nichts"Verkaufsopti on

AusObungswahrscheinlIchkeitstableau ·Vermögen oder Nlchts"-option

Abb. 5.166: Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts" -Option

Abb. 5.167 zeigt das Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option. 169

EntscheidungsI!arameter:

Unkontrollierbare BasisgröSe!nl:

- Halte dauer - Jahresbasis

- Marktwert Aktiva (Basiswert t = 0) - Fremdkapital (Basispreis) - Volatilität Marktwert Aktiva - Ausübungswahrscheinlichkeit "Vermögen/Nichts"Kaufoption

- Zwei

["Ri19] Risikoprämientableau

Aus-lEing a n gsgrö SeIn): Ausübungswahrscheinlichkeit "Geld oder Nichts"Verkaufsoption

~

AusObungswahrscheinlichkeItstableau "Geld oder Nlchts"-optlon

Abb. 5.167: Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts"-Option

168Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.2.1 auf Seite 442. 169Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.2.1 auf Seite 442.

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Ziel planung

586

Abb. 5.168 zeigt das Risikoprämientableau. 170 Entscb eidungsparameter:

Unkontrolli erbare Basisgröße(n):

- Haltedauer

- Marktwert Aktiva

rRi17l

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Vermögen oder Nichts"Option

(Basiswert 1= 0)

- Jahresbasis

• Fremdkapilal (Basispreis)

[Ri2O] Risikokostentableau

Aus../Eingangsgröße(n): Risikoprämie

~

Aus ::lE ing ~ ngsgr ö ß e( n):

Ausübungswahrscheinlichkeit "Vermögen oder Nichts"· Verkaufsoption

RlSikoprämlentabieau Aus./Eing angsgröße(n):

Ausübungswahrscheinlichkeit

'Geld oder Nichls'· Verk aufsoption

\Ri18l

Ausübungswahrscheinlichkeitstableau "Geld oder Nichts" Option

Abb. 5.168: Risikoprämientableau

Abb. 5.169 zeigt das Risikokostentableau. l71

rRi16l Tilgungsplan-I Zahlungsstromtableau

fETl Einzelgeschäfisergebnistableau

[Ri2O] 8u ~../E ing a ngs gr ö ß e( nl :

Risikokosten

Aus./!;ioga0 9sg[j;iRg(n):

Zahlun, (I = 1)

RISIkokostentableau Au s./~ i[]9 D[] 9s g [g R e(D) :

Risikoprämie

[Ri19] Risikopr äm ientableau

Abb. 5.169: Risikokostentableau

170Ygl. Kapitel 4.2.2.1.2.2.1 auf Seite 442. 171 Ygl. Kapitel 4.2.2,1.2.2.1 auf Seite 442.

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 587 5.2.2.2.2.2.2 Die wahrscheinlichkeitsbasierte Risikokostenmethode Abb.5.170 zeigt das Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau: vereinbart. 172 Unkontrollierbare Basisgröße(n) :

Entscheidungsparameter:

=

Zahlungen (1 1 bis 1 n - 1)

- Zinstage (1 0 bis n) - Jahresbasis

=

- Nominalzins

rRi22l Marktwerttableau: ausfallrisikofrei (simultaner Ansatl)

.

BasislieUe): - Zahlung (I - Disagio (1

=0) =0)

~

Nebenbe dingung(en) : Vereinbarte Zahlungen (I

=0 bis 1 =n1

Tllgungsplan-l ZahlUngsstromtableau: vereinbart

Aus-lEi n 9 angsg röß e (n) : Vereinbarte Zahlungen

fRi23l Zahlungs stromtableau: erwartet

(I

=0 bis 1 =n)

Zielwertanalvse

~

Zi elwert: Reslschuld nach vollsländiger Tilgung

=O!

Abb. 5.170: Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau: vereinbart

172Vgl. Kapitel 3.6 auf Seite 74.

=

Entsch eidun gsv ari able(n): Zahlung (I

=n)

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

588

Abb. 5.171 zeigt das Marktwerttableau: ausfallrisikofrei. 173 Un kontro lli e;[bare

Entschei dungs.

Basisgröße(n):

~

- Zinsfaktoren

(I = 0 bis I = n)

. Zinsquotienten

(I = 0 bis I = nl

fRi2sl Risikokostentableau

~

Aus../ ~ingao g sgröße(nl :

Marktwerttableau: ausfaJlrlslkofrel (simultaner Ansatz)

Ausfallrisikofreier

Markl-lKapilalwert (I = 0)

Nebenbedingung(en):

Vereinbarte Zahlungen

(I = 0 bis I = n)

rRi21l Tilgungsplan-I Zahlungsstromtableau: vereinbart

Zielwerta na lyse Zielwert:

Entscheidungsva ri ablern):

Markl-lKapilaiwert (I = 0) = Max !

Marktwerte vereinba rt er Zahlungen

(I = 0 bis I = n)

Neben bedingung(en):

Vereinbarte Zahlungen

1=0 bis I = n)

Abb. 5.171: Marktwerttableau: ausfallrisikofrei

Abb. 5.172 zeigt das Zahlungsstromtableau: erwartet. 174 Un ko ntrolli erbare

Entscheidungs-

parameter:

Basisgröße(n):

A!:.I:ifiilll:ize:oarig I = 1:

Erwartete Zahlungen (I = 1 bis I = n)

Ays:fallS:ZJilnarig t - ;2:

Erwa rt ete Zahlungen (I = 2 bis I = n)

.. .

Aysfalls:,e:nariQ 1 ;; tl Erwartete Zahlung (I = n) Wahrscheinlichkeitsfaktor

je Ausfallszenario Wahrscheinlichkei1sfak1or für vereinbarte

Zahlungen

fRi24l Marktwerttableau: ausfallrisikobedingt (simu lta ner Ansatz)

Nebenbedingung(en): Erwartete Zahlungen

(I = 0 bis I = n)

~ Zahlungs5tromtableau: erwartet

Abb. 5.172: Zahlungsstromtableau: erwartet

173Vgl. Kapitel 3.6 auf Seite 74. 174Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.2.2 auf Seite 447.

8,us.JEingangsgrö&e(n): Vereinbarte Zahlungen

(I = 0 bis I = n)

rRi21l Tilgungsplan-I Zahlungsstromtableau: vereinbart

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 589

Abb. 5.173 zeigt das Marktwerttableau: ausfallrisikobedingt. 175 UokllotUl lligrbarg

~D~~b~ idu D 91'

ßasjsg[g61:(n) j

~

. Zinsfaktoren (I 0 bis I n) - Zinsquotienten (I 0 bis I n)

lRi2sl Risikokostentableau

~

8 ul ::lfingangsg[ö61:(D)i

=

=

=

=

[Ri23}

MarktWerttableau: ausfallrIsIkobedingt (simultaner Ansatz)

Ausfallrisikobedingt er

Markl-lKapnalwert (I =0)

N e b e n bediogYDg(~ nl i

Erwartete Zahlungen

(I

=0 bis I =n)

Zahlungsstrom· tableau : erwartet

Zie lwertanalyse l; n tsc h e i duD9~-

ZWlrill!;

variable'n)-

Markl-lKapnalwert =0) =Ma x I

Marktwerte erwarteter

Zahlungen (I =0 bis I =n)

(I

~ be dingung(en)'

Erwartete Zahlungen 1-0 bis I n)

=

Abb. 5.173: Marktwerttableau: ausfallrisikobedingt

Abb. 5.174 zeigt das Risikokostentableau. 176

lRI22l Marktwerttableau: ausfallrisikofrei (simultaner Ansatz)

fE1l Einzelgeschäftsergebnistableau

8ul::lf iD 9 ~D 9~9 [Ößg(D) '

Risikokosten

lRi2sl

AYI::lfi ng ~ D g~9[Ößg(D) i

Ausfallrisikofreier

Markl-lKapilalwert

(t

=0)

RIsikokostentableau AYi::lIio9DD9sgröße(n) "

Ausfallrisikobedingter

Markl-lKapnalwert (I =0)

[Ri24] Marktwerttableau: ausfallrisikobedingt (simulta ner Ansatz)

Abb. 5.174: Risikokostentableau

175Ygl. Kapitel 4.2.2.1.2.2.2 auf Seite 447. 176Ygl. Kapitel 4.2.2.1.2.2.2 auf Seite 447.

590

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

5.2.2.2.2.2.3 Die Rating-gestützte Marktzins-Zuschlagsrechnung Abb. 5.175 zeigt das Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau. 177

fRi27l Marktwerttableau: risikolos (simultaner Ansatz)

Entscheidungsparameter:

Unkontrollierbare Basisgröße(n):

- Zinstage (t = 0 bis n) - Jahresbasis - Nominalzins

Zahlungen (t= 1 bisl= n-l)

Basisziel(e) :

.-

- Zahlung (t = 0) - Disagio (t = 0)

~

Nebenbedingung(en): Zahlungen (t = 0 bis t = n)

Tllgungsplan-l Zahlungsstromtableau /!ebeDbedingung(en): Zahlungen

fRi2Bl Marktwerttableau: risikobehanet (simultaner Ansatz)

(t = 0 bis t = n) Zielwertanalyse

~

Zielwert:

Entscheidungsvariable(n):

Restschuld nach vollständiger Tilgung = O!

Zahlung (t = n)

Abb. 5.175: Tilgungsplan-jZahlungsstromtableau

177Vgl. Kapitel 3.6 auf Seite 74.

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 591

Abb. 5.176 zeigt das Marktwerttableau: risikolos. 178 Entscheidungs-

Unkontrollierbare

~

BasisgröRe(n): - Zinsfaktoren ~ Zinsaufschlag (I = 0 bis I = n)

. linsquotienten

ohne Zinsaufschlag

(I = 0 bis I = n)

lRi29l Risikokostentableau

~

Aus-lEiDg~ngsg röß e(n)·

[Ri26l

Marktwerttableau: r1slkolos

Risikoloser

(simultaner Ansatz)

Markl·/Kapilalwert (I = 0)

Zie lwertanalyse

Zielwert: Markt-/Kapitalwert (I = 0) = Ma, ! Neben. bedingung(en): Zahlungen 1=0 bis I = n)

Abb. 5.176: Marktwerttableau: risikolos

178Vgl. Kapitel 4.2.2.1.2.2.3 auf Seite 451.

~ ntsch e idung s-

variable'n): Marktwerte

Zahlungen

(I = 0 bis I = n)

Nebenbediogung(en): Zahlungen (I = 0 bis I = n)

Tilgungsplan-I Zahlungsstromtableau

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

592

Abb. 5.177 zeigt das Marktwerttableau: risikobehaftet. 179 Entscheidungs-

Unko Dtro ll ierbar~

pa ra meter:

Basis~J[2 ß eh])'

- Zinsfaktoren mi1 Zinsaufschlag

(I = 0 bis I = n)

- Zinsquotienten

.ml1 Zinsaufschlag

. ß = 0 bis I = n)

~

[Ri29l Aus.fEin g a ng sgrö ß ~ (n) :

Risikokostentableau

[Ri26l

Marktwerttableau: nslkobehaftet (simultaner Ansatz)

Risikobehafteter

Markl-IKapila"-ert (I = 0)

Neb ~[) b ~ dingu D g(e D) :

Zahlungen

(I = 0 bis I = n)

Tilgungsplan-I Zahlungsstromtableau

Zie lwerta nalyse Zie lwe rt:

Entscheidungsvari abl e(n):

Markt-/Kapitalwert

Marktwerte Zahlungen

(I = 0) = Max!

(I = 0 bis I = n)

Nebenbe dingung(en) :

Zahlungen 1=0 bis I = n)

Abb. 5.177: Marktwerttableau: risikobehaftet

Abb. 5.178 zeigt das Risikokostentableau. 180

fRi27l Marktwerttableau: risikolos (simultaner Ansatz)

[E1l Einzelgeschäfisergebnistableau

Aus./Eingan gsgröße(n): Risikokosten

fRI29l

8ys-lEingangsgröß e(n):

Risikoloser

Markl-IKapilalwert (I = 0)

RIsikokostentableau Aus../Eing angsgröße(n):

Risikobehafteter

Markl-lKapilalwert (I = 0)

[Ri28J Marktwerttableau: risikobehafiet (simultaner Ansatz)

Abb. 5.178: Risikokostentableau

179Ygl. Kapitel 4.2.2.1.2.2.3 auf Seite 451. 180Ygl. Kapitel 4.2.2.1.2.2.3 auf Seite 451.

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 593 5.2.2.3 Arten von Modelltableaus der Betriebsergebnisrechnung

Im Rahmen der Darstellung der Modelltableaus der Betriebsergebnisrechnung wird eine simultane strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen181 unterstellt. Abb. 5.179 zeigt das Zahlungsstromtableau. 182 ED§~bli!idYD 9:i·

UDkgD![glli~[b~[~

IHIB1me1!iu;

Bas;sg rößefn) ;

• Gebühr (t = 0) • Gebühr (zwischen

• Kosten (t = 0) • Kosten (zwischen

t = 0 und t = n)

t = 0 und t = n)

• Gebühr (t = nl

[B2l Marktwerttableau

• Kosten (t = nl

~

Hebeobedinguoggn Zahlungen (t = 0 bis t = n)

zahlungsstromtableau

(simultan er A nsatz)

Abb. 5.179: Zahlungsstromtableau

Abb. 5.180 zeigt das Marktwerttableau. 183 ~D~~blldYD 9~' R.mJIIJ.Ii[;

UD~aD1[gllie:d~l[e aHilg [ö~tdo) '

- Zinsfaktoren (t = 0 bis 1= n) . Zinsquotienten 0=0 bis 1= n)

[E1l Einzelgeschäftsergebnistableau

~

,AYJ:lflo910gs g[Ö6e:(ul" Markt·lKaprtatwert (I - 0)

He:blnbe:din9YOgfe:o)"

Marktwerttableau (simultaner Ansatz)

Zielwertanalyse ~

Markl·lKaprtatwert (I = 0) = Max I

~ bedj ogyngfen)'

Zahlungen 1= 0 bis 1 = nl

Abb. 5.180: Marktwerttableau

l8lYgl. Kapitel 4.2.1.2.1.2 auf Seite 117. gl. Kapitel 4.2.3 auf Seite 459. 183ygl. Kapitel 4.2.3 auf Seite 459. 182 y

ED~cbe:idYD9J~

Marktwerte Zahlungen (I=Oblsl=n)

Zahlungen O=Oblsl=n)

[B1l Zahlungsstromtableau

594

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

5.2.2.4 Arten von Modelltableaus der Zentralergebnisrechnung

Im Rahmen der Darstellung der Modelltableaus der Zentralergebnisrechnung wird eine simultane strukturkongruente Refinanzierung auf Basis von jährlichen Tranchen184 unterstellt. 5.2.2.4.1 Das im Zinsgeschäft gebundene Vermögen

Abb. 5.181 zeigt das Zahlungs-

stromtableau. 185

lz2l

Entscheidungsparameter:

=

Marktwerttableau (t 0) : Zentraldisposition (simultaner Ansatz)

=

• L Zahlungen (t

=

Marktwerttableau (t 1): Zentraldisposition

= 1 bis I = n)

L Zahlungen (t

= 1 bis t = n)

(simultaner Ansatz) tlebeDbedingungen

lz4l Marktwerttableau (t Marktbereich (simultaner Ansatz)

L Zahlungen (t

=0) :

=0 bis t = n)

•

Abb. 5.181: Zahlungsstromtableau

184Ygl. Kapitel 4.2.1.2.1.2 auf Seite 117. 185ygl. Kapitel 4.3 auf Seite 462.

=

Zahlungen (t 0 bis I n) sämtlicher zinsabhängigen Geschäfte Nebenbedingungen

lz3l

Unkontrollierbare Basisgröße(n):

~ Zahlungsstromtableau

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 595

Abb. 5.182 zeigt das Marktwerttableau (t

0): Zentraldisposition. 186

EDts~b!:i duD9~' JLW.JD.m.[;

UnkgDt rgJli ~[ba[~

e~~iJg[g6~'Dl'

. Zinsfaktoren - Zinsquotienten

lz5l

Fristentransformationstableau

~

8ys::lE iD9!)D9~g[g6e'Dl '

=

Marktwerttableau (t 0): ZentraldisposItIon (simultaner Ansatz)

Marklwert (I - 0)

H !:b!:o luH~iDgYDgbm)'

! Zahlungen

(I : 1 bis 1: n)

lz1l Zahlungsstromtableau

Zielwert.n.lyse Eots!;;:hgidungsvariableln):

~

Marktwert (I: 0): Max I

Marktwerte

I Zahlungen

(I : 1 bis 1 : n)

Nebenbedjnqunq(en) '

! Zahlungen

I: 1 bis I: n)

Abb. 5.182: Marktwerttableau (t = 0): Zentraldisposition

Abb. 5.183 zeigt das Marktwerttableau (t

1): Zentraldisposition. 187 Unkontrollierbare

Entscheidungs.

==

6asiI9[ö6!il(n)'

- Zinsfaktoren - Zinsquotienten

lz5l

Fristentransformationstableau

~

Au~:iIinga ng lg[Ü~e( n) '

=

Marktwerttableau (t 1): ZentraldisposItIon (simultaner Ansatz)

Marklwert (I : 1)

Zielwertana lyse

ZWmrt Marktwert (I: 1): Max!

Eo§!;behhmgJ-

rui.ll!1.t1DJ; Marktwerte

! Zahlungen (I : 1 bis 1: n)

twrnc

bedingung(en):

I Zahlungen

I: 1 bis I: n)

Abb. 5.183: Marktwerttableau (t - 1): Zentraldisposition

186ygl. 187ygl.

Kapitel 4.3 auf Seite 462. Kapitel 4.3 auf Seite 462.

HebeobediogY09(DO)'

! Zahlungen

(I : 1 bis 1: n)

lz1l Zahlungs stromtableau

596

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

Abb. 5.184 zeigt das Marktwerttableau (t

0): Marktbereich. 188

fn~cbehhHlgs·

U[)kgDtU~IIiIUbi1U~ [fa~i~g [g5e (D)'

~

. Zinstage . Jahresbasis

lz5l Fristentransformationstableau

. Zinsfaktoren

- Zinsquotienten

~

Aus::lfing2l ngMrgße (n)Markl-lKapilalwert (I = 1)

=

Marktwerttableau (t 0): Martdberelch (simultaner Ansatz)

Hetumbedjngung(eo):

I Zahlungen (I=Obisl=n)

lz1l Zahlungs stromtableau

Zie lwerta na lyse fD§cheidYD9~varla bl e(n):

ZWm.n;

Mark1-lKapilalwert (I = 0) = Ma, !

Marktwert e

Zahlungen (I=Obisl=n)

Neben. bedjnqynglen)'

Zahlungen 1=0 bis I = n)

Abb. 5.184: Marktwerttableau (t

0): Marktbereich

Abb. 5.185 zeigt das Fristentransformationstableau. 189

lz2l

Marktwerttableau (t = 0): Zentraldisposition (simultane r Ansatz)

/E2l Zentralergebnistableau

lz5l

8Y~:lEiD9S1D9~g [ö6e(n)' F ristentransformations-

berrrag (I = 1)

Frtstentransfonnatlonstableau

Au~ :lElngan g sg [g ß e( n) '

Marklwert (I = 0) Marklwert (I = 1)

lz3l Marktwerttableau (t = 1): Zentraldisposition (si multaner Ansatz)

Markl-lKapilalwert (1 = 1)

lz4l Marktwerttableau (t = 0): Marktbereich (simulta ner Ansatz)

Abb. 5.185: Fristentransformationstableau

188ygl.

189ygl.

Kapitel 4.3 auf Seite 462. Kapitel 4.3 auf Seite 462.

5.2 Darstellung der generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für Finanz- und Kreditinstitute 597

5.2.2.4.2 Das sonstige Vermögen Abb. 5.186 zeigt das Performancetableau je sonstige Vermögensposition. 190 Unkontrollie[bare BasisgröSe!n):

~ntscheidungs-

earameter:

- Marktwert (t = 0) je sonstige V ermögensposition - Marktwert (t = 1) je sonstige Verm ögensposition

[E2l Zentralergebnistableau

Aus:lEingangsgröRe(n); Vermögenslinderung (t= 1)

~ Perfonnancetableau Je sonstige Vennögensposmon

Abb. 5.186: Performancetableau je sonstige Vermögensposition

190Vgl.

Kapitel 4.3 auf Seite 462.

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

598

5.2.2.5 Arten von Modelltableaus der Gesamtergebnisrechnung

Abb. 5.187 zeigt das Einzelgeschäftsergebnistableau. 191

fE3l Gesamtergebnistableau

lE1l

Aus./EingaogsgrÖ&eln)·

ElnzelgeschäftsergebnIs

ZmserQebnls

Elnzelgeschlftsergebnlstableau

Rislkoergebnrs BetnebserQebnrs

I

Abb. 5.187: Einzelgeschäftsergebnistableau

Abb. 5.188 zeigt das Zentralergebnistableau. 192

fE3l Gesamtergebnistableau

AYI./EID 9 ~ Dglg nl&~ (D) ·

Zenlralergebnls

lE2l

Fnstentransformatlonsbertraa

Zentralergebnlstableau

IVermögensänderung

Ile sonsllqe VermOqensposrtlon

Abb. 5.188: Zentralergebnistableau

Abb. 5.189 zeigt das Gesamtergebnistableau. 193

fE1l Einzelgeschäftsergebnistableau

[E3l

8u~:ll; iog D og~g[!i6~(ol ;

Einzelgeschäftseraebnis

Gesamtergebnlstableau 8u~:ll; io g~ 0 g5g [2 ß ~ (01Zenlralergebnis

fE2l Zentralergebnistableau

Abb. 5.189: Gesamtergebnistableau

191 Vgl. Kapitel 4.4 auf Seite 475. 192Vgl. Kapitel 4.4 auf Seite 475. 193Vgl. Kapitel 4.4 auf Seite 475.

I

5.3 Demonstration eines Konfigurationsprozesses am Beispiel eines numerisch spezifizierten Gleichungsmodells für Finanz-jKreditinstitute

599

5.3 Demonstration eines Konfigurationsprozesses am Beispiel eines numerisch spezifizierten Gleichungsmodells für Finanz-/Kreditinstitute Nachdem im Kapitel 5.2 auf Seite 482 die generellen Modelltableaus eines Konfigurationssystems für die Gesamtergebnisrechnung in Finanz- und Kreditinstituten überblickartig dargestellt wurden, wird ein beispielhafter Konfigurationsprozess zum automatischen Aufbau eines strukturellen Gleichungsmodells dargestellt, deren Modelltableaus auf ein bestimmtes Finanz- oder Kreditinstitut zutreffen. Der Konfigurationsprozess endet mit einer Wertebelegung der Basisgrößen und der Ermittlung des kalkulatorischen Gesamtergebnisses. Im folgenden sei unterstellt, dass eine Investorengruppe im ersten Halbjahr 2001 plant, ein Kreditinstitut am 30.06.2001 zu gründen. Nach dem Businessplan der Investorengruppe wird das Kreditinstitut mit einem Anfangsvermögen in Höhe von 24,40 Mio. Euro ausgestattet, welches sich in folgende Vermögenspositionen unterteilt: Vermögensposition Aktien: Immobilien: Optionen: Inventar:

Vermögen 30.06.2001 1,50 Mio. Euro 21,00 Mio. Euro 0,90 Mio. Euro 1,00 Mio. Euro

Tabelle 5.1: Anfangsvermögen 30.06.2001 Der vorgesehene Vorstand des noch zu gründenden Kreditinstitutes schätzt laut Businessplan das Endvermögen der genannten Vermögenspositionen am 30.12.2001 wie folgt: Vermögensposition Aktien: Immobilien: Optionen: Inventar:

Vermögen 30.12.2001 2,00 Mio. Euro 21,10 Mio. Euro 0,80 Mio. Euro 0,90 Mio. Euro

Tabelle 5.2: Endvermögen 30.12.2001 Zusätzlich plant der Marktbereich des Kreditinstitutes gemäß Businessplan die Akquirierung von zwei großen Firmenkunden. Vorgesehen sind zum einen der Verkauf eines Kredites (Aktivgeschäft), zum anderen der Verkauf eines Sparbriefes (Passivgeschäft).

600

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

Die Nominalkonditionen des Kredites lauten wie folgt: Auszahlung: 30.06.2001 zu 0,9895833%

Kreditbetrag: 24,00 Mio. Euro Disagio: 0,01041667%

Ende der Zinsfestschreibung: 30.12.2002

Tilgungsbeginn: 30.12.2001

Tilgungsanrechnung: mit jeder Rückzahlung

Rückzahlungsbeginn: 30.12.2001

Rückzahlung: 8,00 Mio. Euro halbjährlich

Erste Zinsverrechnung: 30.12.2001

Zweite Zinsverrechnung: 30.06.2002

Dritte Zinsverrechnung: 30.12.2002

Nominalzins: 7,00%

Zusätzlich sind die folgenden Gebühren und Kosten während der Kreditlaufzeit geplant: Gebühr: 1.500,00 Euro fällig am 30.06.01

Kosten: 500,00 Euro fällig am 30.06.01

Gebühr: 1.200,00 Euro fällig am 30.12.01

Kosten: 200,00 Euro fällig am 30.12.01

Gebühr: 1.200,00 Euro fällig am 30.06.02

Kosten: 200,00 Euro fällig am 30.06.02

Gebühr: 2.000,00 Euro fällig am 30.12.02

Kosten: 600,00 Euro fällig am 30.12.02

Die Nominalkonditionen des Sparbriefes lauten wie folgt: Anlagebetrag: 10,00 Mio. Euro

Einzahlung: 30.06.2001 zu 100,00%

Nominalzins: 6,00%

Rückzahlung am: 30.12.2002

Erste Zinsverrechnung: 30.12.2001

Zweite Zinsverrechnung: 30.06.2002

Dritte Zinsverrechnung: 30.12.2002

Zusätzlich sind die folgenden Gebühren und Kosten während der Anlagedauer geplant: Gebühr: 1.000,00 Euro fällig am 30.06.01

Kosten: 200,00 Euro fällig am 30.06.01

Gebühr: 800,00 Euro fällig am 30.12.01

Kosten: 100,00 Euro fällig am 30.12.01

Gebühr: 800,00 Euro fällig am 30.06.02

Kosten: 100,00 Euro fällig am 30.06.02

Gebühr: 900,00 Euro fällig am 30.12.02

Kosten: 300,00 Euro fällig am 30.12.02

Im Businessplan ist bzgl. des geplanten Aktivgeschäftes zusätzlich vermerkt, daß eine Ausfallrate von 0,50% zu erwarten ist. Bzgl. des geplanten Passivgeschäftes ist im Businessplan vermerkt, daß der von der Europäischen Zentralbank festgelegte MindestreserveSatz 2,00% sowie die Entschädigungsverzinsung 2,50% pro Halbjahr beträgt. Desweiteren sind im Businessplan Prognosen über zukünftige Zinsstrukturkurven angegeben: Haltedauer ~-J ahre-Geld: 1-J ahres-Geld: q-Jahre-Geld:

Tabelle 5.3: Zinsstrukturkurven

Stand: 30.06.01 5,00% 6,00% 7,00%

Stand: 30.12.01 4,00% 6,00% 6,50%

5.3 Demonstration eines Konfigurationsprozesses am Beispiel eines numerisch spezifizierten Gleichungsmodells für Finanz-/Kreditinstitute

601

Auf Grund der erwarteten Zinssenkung im kurzfristigen Zinsbereich beschließt der Vorstand des zu gründenden Kreditinstitutes, Zahlungsströme im zinsabhängigen Geschäftes nicht strukturkongruent zu refinanzieren. Die Investorengruppe berechnet im folgenden das Plan-Gesamtergebnis zum 30.12.2001 auf Basis der im Businessplan genannten Informationen mit Hilfe eines Konfigurationssystems. Der beispielhafte Konfigurationsprozess beginnt im ersten Schritt mit der Auswahl bestimmter Modelltableaus, auf deren Grundlage das Gesamtergebnis berechnet werden soll. Beispielhaft werden die folgenden Modelltableaus ausgewählt: • Modelltableaus der Einzelgeschäftsergebnisrechnung: MM7 und MM8', 194 MZ1 bis MZ4·" 195 RI12' 196 BEl und BE2 197 • Modelltableaus der Zentralergebnisrechnung: Zl bis Z6·,198 E1 bis E2 199 • Modelltableau der Gesamtergebnisrechnung: E3 200

Abb. 5.1 Abb. 5.1 Abb. 5.7 Abb. 5.8 Abb. 5.8 Abb. 5.3 auf Seite 598. 200Ygl. Abb. 5.5

194Ygl. 195Ygl. 196Ygl. 197ygl. 198ygl. 199Ygl.

auf Seite 483 und Kapitel 5.2.2.1.2.1.3 auf Seite 501. auf Seite 483 und Kapitel 5.2.2.1.2.2.1.1 auf Seite 502. auf Seite 489 und Abb. 5.161 auf Seite 581. auf Seite 490 und Kapitel 5.2.2.3 auf Seite 593. auf Seite 490 sowie Kapitel 5.2.2.4 auf Seite 594. auf Seite 485 und Abb. 5.8 auf Seite 490 sowie Abb. 5.187 auf Seite 598 und Abb. 5.188 auf Seite 487 sowie Abb. 5.189 auf Seite 598.

602

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

Im zweiten Konfigurationsschritt werden die Verantwortungsbereiche, die zu kalkulierenden Geschäfte und bestimmte Entscheidungen im Konfigurationssystem spezifiziert. Im Beispielfall werden folgende Informationen angegeben: • Verantwortungsbereiche - Zentraldisposition für die Zentralergebnisrechnung - Marktbereich (z.B. Filialen) für die Einzelgeschäftsergebnisrechnung • Geschäfte - Zinsabhängiges Geschäft

* Aktivgeschäft * Passivgeschäft - Sonstige Geschäfte

* Aktien * Immobilien * Optionen * Inventar • Entscheidung: Keine strukturkongruente Refinanzierung Als letzten und dritten Konfigurationsschritt erstellt das Konfigurationssystem auf Basis der Informationen der vorangegangenen Konfigurationsschritte automatisch ein strukturelles Gleichungsmodell, welches die Berechnung des Gesamtergebnisses ermöglicht. Abbildung 5.190 auf der nächsten Seite bis Abbildung 5.194 auf Seite 607 zeigen das strukturelle Gleichungsmodell unter den Annahmen, daß die Basisgrößen auf Grundlage des Businessplans bereits numerisch spezifiziert wurden und eine Durchrechnung des Modells bereits erfolgte.

5.3 Demonstration eines Konfigurationsprozesses am Beispiel eines numerisch spezifizierten Gleichungsmodells für Finanz- jKreditinstitute Tiigunaslllan-l Zahlunasstromtableau

Datum 3).00.01 3).12.ü1 3).00.02 3).12.02

1 1 - 11 AnfangsS kapital lEurol 000 P -24.000.000 ,00 I -16.840.000 ,00 I -9.429.400,00 I

2

1 Datum 3).00.01 3).12.01 3).00.02 3).12.02

3

Kapltallufuhrl -abflul lEurol -24 .000.000,00 8.000.000,00 8.000000,00 9.759 429 ,00

S 8 U U V

1'1

lEurol 250.000 00 8

9-1"6"1/8

8

S

ZI ...

S

Hundert

S

100 P 7,00 I 7,00 I 100 P 7,00 I 100 P 7,00 I 100 P 7,00 P : Nomina llins [%)

ZI... lEurol

0,00 -840.000,00 -589.400 ,00 -33).029,00 -1 .759.429,00

6- 4/5

5

4

Disagio

Zlnstage IT_I

000 100,00 100,00 100,00

S P P P P

11 - 1 .2.9

S

EndkapItal

I I I I I

IEwol -24.000.000,00 -16.840.000,00 -9.429.400,00 0,00 : (10) Zins )Euro)

Jahrnbasis

S

IT_I 360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00 P 12 - 2.9

S I I I Z

S

Tilgung lEurol -24.000.000 ,00 7.160.000,00 7.410.600,00 9.429.400 ,00

I I I I

Zlnstagequotient 0,00 0,50 0,50 0,50 1] - 2 1] - 2.3 Zahlungsstrom IEwol -23.750.000 ,00 8000000 ,00 8.000.000,00 9.759429 00

S I I I I

S A A A A

Effektivzinstablcau Marktwerttableau O r tun Hat8Zlns· . I Z'lnsmargent • bl e IU ppo

Eft'ektivzinstableau

Datum

1 Zahlungs...... m

2 Kumulierte Zlnstage

S

(Endwe~

3).00.01 3).12.01 3).00.02 3).12.02

lEurol -23.750.000 ,00 8.000 000 ,00 8.000.000,00 9.759.429 ,00

(T_I

0,00 100 00 360,00 540,00

E E E E

4- 2/3

3

S P P P P

Tilgungsplan-I Zahlungs8tromtablcau

Jahrnb .....

S

Zlnstagequotient

(T_I 360,00 P 360,00 P 360,00 P 360,00 P Effektivlins nach ISMA

6

5

S

0,00 I 050 I 1,00 I 1,50 I p,a, )%):

S

ZI ...

1'111

S

Hundert

8,23 I 8,23 I 8,23 I 8,23 I 8,23 A,V

100 100 100 100

P P P P

Opportunitiitszins·l linsmargentable8U

1- 5/6

. ~

Datum

ZI .....uotient

9-1.8

8

S

EI ...

S

Zlnofaklor

10-1"9' -4 ZahlungsS strom S (BalW8~

3).00.01 3).12.01 3).00.02 3).12.02

0,0823 0,0823 0,0823 0,0823

)Elnl 1 P 1,0823 I -23.750.000,00 I 1 P 1,0823 I 7.689.951,90 I 1 P 1,0823 I 7.391 .920,04 I 1 P 1,0823 I 8.668.128,00 I L 8aIWert 30 ,06,01 (Euro) (11): 0,00 I Kapitalwert 30,06,01 (Euro) (12 - 11): 0,00 Z

I I I I

Marktwerttableau

Datum 3).12.02 3).00 02 3).12.01 Max! 3).00 01

1

5

Marlttwart

Zins-

S

\&1'01

9.120.961,68 7.547.169,81 7.493.43),58 24.161 .5E2,07 -23.750 000,00 411 .562,07 100,00 360,00 1,05 421 725,63

V V V

Z E A

P P U

A

8 - 1 "5 8-1"5.6 " 7

1

6 -1,.1202

Zins-

S Marlttwart S S Zahlungootrom S quotient IEwol \&1'01 1,ü700 U 9.759.429 ,00 N 1,0600 U 8.000.000 ,00 N 1,0250 U 9.120.961 ,68 I 0,0350 U 8.000.000 ,00 N : (2) L Marktwert Gegen.zahlungstrom 30,06,01 [Euro) : ß) Marktwert Kunden.zahlungstrom 30,06,01 [Euro) Tilgungsplan-' Zahlungs stromtableau : (4 - 2 .3) Kapitalwert 30,06,01 [Euro) opportunitätszins-I Zins margentableau : (4a) Zinstage [fage) : (4b) Jahresbasis [fage) : (4c) Ein.Jahres.zinsfaktor : (4d - 4 " 4c' (4a / 4b)) Kapitalwert 30,12,01 [Euro) faklor

Elnzelgeschiiftsergebnlstableau

Qllllortunitätszins-l Zinsmaraentableau 1 Datum

2

KundenZahlungs...... m

S

(Endwe~

KapItalwert Kunden· S Zahlungootrom 30.116.01

\&1'01

\&1'01

3).00.01 -23.750.000,00 E 3).1201 8.000 000,00 E 3).00.02 8.000.000,00 E 3).12.02 9.759.429,00 E Tilgungsplan-J Zahlungsstromtableau

411 .562,07 E

11

S

ZI ...

4

S

(Endwe~

\&1'01

-24.161.562 ,07 8.000.000 ,00 8.000.000 ,00 9.759.429 ,00

I I I I

5

Kumulierte Zlnstage (Tagel

0,00 100,00 360,00 540,00

S

P P P P

Jahrnb ..... (Tagel 360,00 360,00 360,00 360,00

6- 4/5

S

P P P P

Zlnstage. quotient 0,00 0,50 1,00 1,50

S

I I I I

Marktwerttableau

1 Datum

3- 1 3 -1 -2 GegenZahlungs...... m

Hundert

13

12 -1111

S

ZI ..... uotient

S

EI...

15 - 3"14' - 6

14 - 12 • 13

S

Zlnofaklor

S

Zahlungsstrom

S

(BalW8~

3).00.01 3).12.01 3).00.02 3).12.02

1'1

6,42 I 100 P 6,42 I 100 P 6,42 I 100 P 6,42 I 100 P 6,42 V : (8) Opportunitätslins (%) 8,23 E : (9) Effektivlins [%J 1,80 A : (10 - 9 . 8) Zinsmarge [\IJ

0,0042 0,0642 0,0042 0,0642

I I I I

1 P 1,0042 I 1 P 1,0042 I 1 P 1,0042 I 1 P 1,0042 I L BalWert 30,06,01 (EuroJ (16): Kapitalwert 30,06,01 (EuroJ (17 - 16):

IEwol -24.161 .562 ,07 7.754.858,57 7.517.228,92 8.889.474,58 0,00 0,00

I I I I I Z

Etfektlvzlnstableau EinzelgeschiiftsergebniBtableau

Abb. 5.190: Einzelgeschäftsergebnisrechnung: Zinsergebnisrechnung Aktivgeschäft

603

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

604

Tilaunasplan-l Zahlunasstromtableau 1 1 - 11

Datum 3O.ffi.01 30.12.01 3O.ffi .02 30.12.02

Anfangskapital IE..o]

S

2

3

4

Kapltalzufuhrl -abflu& IE..o]

S Mlndastr8l8N8 S

Zinstage

IE..o]

n_1

10.(lXJ.(XX1 ,00 0,00 0,00 -10.927.270,00

0,00 P 10 (lXJ (lXJ ,00 I 10.300.000,00 I 10.609.000,00 I 7

Datum

B U U V

U U U U

9 - 1· 6 · 7 / 8

8

S

Zins

-200.(lXJ ,00 5.(lXJ,00 5.000,00 205.000 ,00

S

Hundert

I'!I]

IE..o]

6,00 I 100 P 6,00 I 100 P 6,00 I 100 P 6,00 I 100 P 6,00 P : Nominalzi ns [%)

3O.ffi .01 30.12.01 3O.ffi.02 30.12.02

0,00 300.000,00 309.000,00 318.270,00 927.270,00

0,00 180,00 180,00 180,00

P P P P

Zinstage quotient

S

360,00 360,00 360,00 360,00

o,SO o,SO o,SO

(EUro]

10.000.000,00 I 10.300.000,00 I 10.609.000,00 I 0,00 Z (1 0) Zins [Euro)

10.000.000,00 300.000,00 309.000,00 -10.609.000,00

I I I

13 - 2.3 Zahlungsstrom (EUro]

S

TIlgung

S

0,00 I

P P P P

12 - 2 .9

S

Endkapital IEwo]

I I I I I :

JahrHbaois

n_]

11 - 1.2.9

S

Zins

6 - 415

5

S

9.800.000,00 5.000,00 5 .000,00 -10.722.270,00

I I I I

S A A A A

Effektivzinstableau Marktwerttableau

Effektivzinstable au

Opportunitätszins I Zinsm ar gentableau

1 Datum

3O.ffi .01 30.12.01 3O.ffi.02 30.12.02

2

Zahlungsstrom (Endwert) IEwol

9 .800.000 ,00 5.000,00 5.000,00 -10722.270,00

3

KumulIerte Zinstage

S

S

n_]

0,00 180,00 360,00 540,00

E E E E

P P P P

5

4 - 2/3

J ahrHbaals

n_ 1

360,00 360,00 360,00 360,00

S

Zinstage quotient

S

0,00 I 0,50 I 1,00 I 1 ,SO I Effektiv zins nach ISMA p.a. [%):

Tilgung.plan.1 Zahlu ngsstrom1ableau

P P P P

6

S

Zins I'!II

S

Hundert

6,11 I 6,11 I 6,11 I 6,11 I 6,11 A,V

100 100 100 100

P P P P

opportunitätszin s-I Zin smargentableau

7- 5/6

Datum

Zinsquotient

0,ffi11 0,ffi11 0,ffi11 0,ffi11

3O.ffi .01 30.12.01 3O.ffi .02 30.12.02

9 - 7.8

8

S

S

Eins

Zinstaktor

10 - 1 · 9' · 4

S

1,ffi11 I 1,ffi11 I 1,ffi11 I 1,ffi11 I L Ba rwert 30 .06 .01 [Eu ro) (11 ): Kapita lwert 30 .06 .01 [Eu ro) (12 - 11): 1 1 1 1

I I I I

P P P P

Zahlungs....om (BaIWert) IE..ol

S

9.800.000 ,00 4.853,90 4.712,07 -9.809.565 ,98 0,00 0,00

I I I I I

Z

Marktwerttable au

Datum

30.12.02 3O.ffi.02 30.12.01 Max!

I 3O.ffi.01

1

5

Marktwert

Zinsfaktor

(EUrol

-10.020.813,08 4.716,98 347.052,15 -9.669.043,95 9 800.000,00 130.956,05 180,00 360,00 1,05 134 190,02

S

6S

Marktwert

8- 1·5 8 - 1 · 5.6 · 7

7

1 30 _12_02

S

Zinsquotient

S Zahlungsstrom

(EUrol

V 1,0700 U 1,(l)OO U V V 1,0250 U -10.020.813,08 I 0,0350 U Z : (2) L Marktwert Gegen.za hlungstrom 30.06 .01 [Euro) E : ß) Marktwert Kunden.za hlungstrom 30.06.01 [Euro) A P P U A

: : : : :

(4 - 2 + 3) Kapitalwert 30.06.01 (Euro) (4a) Zinstage (Tage) (4b) Jahresbasis (Tage) (4c) Ein.Jahres.zinsfaktor (4d - 4 • 4c' (4a 14b)) Kapitalwert 30.12.01 (Euro)

S

(EUrol

-10.722.270,00 5(lXJ,00 5000,00

N N N

Tilgungsplan -! Zahlungs str omtableau opportunitätszins-' Zins margentableau

Elnzelgesch äftsergebnlstableau

Opportunitätszins-l Zinsmaraentable au 1

Datum

strom

S

Kapitalwert Kunden S Zahlungsstrom

30.06.01

(Endwert) (EUrol

3Offi.01 30.12.01 3O.ffi .02 30.12.02

3- 1 3 - 1 -2

2

Kunden Zahlungs-

9.800.000,00 5.000,00 5.000,00 -10722.270,00

IEwol

E E E E

130.956,05 E

GegenZahlungsstrom (Endwert) (EUrol

9.669.043,95 5.000,00 5.000,00 -10722.270,00

4

S

Kumulierte Zinst.ge

S

n_1

0,00 180,00 360,00 540,00

I I I I

6- 4/5

5

P P P P

JahrHbaois

n_1

360,00 360,00 360,00 360,00

S

Zinst.ge quotient

S

0 ,00 I

P P P P

o,SO

I

1,00 I 1 ,SO I

Tilgungsplan-I Z8hlu ngsstromtableau Marktw erttableau

7

Datum ~

3O.ffi .01 30.12.01 3O.ffi .02 30.12.02

11

S

Zins I'!II

Hundert

12 - 1 / 11

S

Zinsquotlent

13

S

15 - 3 · 14' - 6

14 - 12 • 13

S

Eins

Zinstaktor

S

ZahlungsIIIrom (Barwart)

S

(EUro1

7,07 I 100 P 7,07 I 100 P 7,07 I 100 P 100 P 7,07 I 7,07 V : (8) Opportu nitätszins (%) 6,11 E : (9) Effektiv zins (%) 0,96 A : (1 0 - 8 - 9) Zinsmarge (%)

0,0707 0,0707 0,0707 0,0707

I I I I

1 1 1 1

P P P P

1,0707 1,0707 1,0707 1,0707

I I I

I

L Ba rwert 30 .06.01 [Euro) (16) : Kapita lwert 30.06.01 [Euro) (11 - 16):

9.669.043,95 4.832,20 4.670,02 -9.678.546,17 0,00 0,00

I I I I I

Z

Effekbvzlnstableau Einzelgeschifftsergebnis1ableau

Abb. 5.191: Einzelgeschäftsergebnisrechnung: Zinsergebnisrechnung Passivgeschäft

5.3 Demonstration eines Konfigurationsprozesses am Beispiel eines numerisch spezifizierten Gleichungsmodells für Finanz-/Kreditinstitute EinzelgeschäftsergebnisrechnungoRisikoergebnisrechnung Aktivgeschäft TilBunsselan~

Datum 30 CE.Ol 30 12 01 30 CE 02 30 12 02

Zahlungsstromtableau

1 1 - 11 ....'.ngsS kapital tEUrO) 0,00 P ·24.000.000,00 I ·16.840.000,00 I ·9 429 400 ,00 I

2

30 CE 01 30 12 01 3O.CE 02 30 12 02

""I

S

S

S

Dilogio

)Euro) 250 000,00 8

8 U U V

Hundert

Zlna

S

S

)Euro) 7,00 I 100 P 7,00 I 100 P 7,00 I 100 P 7,00 I 100 P 7,00 P : Nominalzins [%]

0,00 -840000,00 ·589 400 ,00 ·330 029,00 ·1.759 429 ,00

5

S

ZI.... g.

IT_)

0,00 lE1Joo lE1J,oo lE1J,oo

P P P P

11 - 1.2.9

9 - 1' S' 7 /8

8

1

Zlna

Datum

4

]

Kapltallufuhrl .• bnu' )Euro) ·24.000 000,00 8 000 000 ,00 8 000 000 ,00 9 759 429 ,00

I I I I I :

S- 4/5

J.h.... _

S

ITOIIIl

360,00 36000 360,00 36000

)Euro) ·24 000 000 ,00 ·16840000 ,00 ·9.429 400 0,00 (10) Zins (Euro]

I I I Z

quotient

P P P P

000 0,50 0,50 050

S I I I I

1] - 2 1] - 2 +l

12 - 2.9

S

Endkaplta)

Zlnstage-

S

TIlgung )Euro) ·24000.000,00 7.160 000,00 7.410.600 ,00 9429 400,00

I I I I

Zahlungs-

lIrom )Euro) ·23 750 000,00 8000000,00 8.000 000 ,00 9759 429,00

S I I I I

Marktwerttableau 1 Datum

]

•• rktwert

, I. I CE. ,I . M.x'

Zlna.

S

faktor

5

4 ' 1"""

Is

1S

.arktwert

Zlna-

quotient

)Euro) Eto'• 8. . 23,:Ii V ,es: 15. 186. /,45 V J25( 13. 18. V ~ ~ : (2) L M.rktwe rt des K.pit.,s 30,06.0' (Euro) 13. 1.53

Is

IS - ~ :~: ! '5

s

)Euro) 9 ' ?!"W, 24.IJ:

N N

...!'I.

W,

Risikokostenbbleeu

Risikokostentableau ] 4 - 1/ ] ' 2 2 .arktwert RisIkotosten S Mln.. Hunden S S dnKopltllls 30.06.81 )Euro !Euro 47813 034 53 E ·100 P ·239 CES,17 I

1 Datum 30 CE.Ol

_Urat. ""I

S

050 U

5

S

S

ZI ....g.

IT_) 1EIJ ,00 P

Ein.Jahres.linsfaktor (7): Risikokosten 30.12.01 (Euro] (8 - 4 ' 1 • (5 / S)) :

M.rktwertt.bleau

Jahr........

S

.J!!II!l

360,00 P lOS U ·2449611,91 A

Elnzelgeschiftsergebnisteble.u

Einzelgeschäftsergebisrechnung: Betriebsergebnisrechnung Aktivgesch äft Verrentunastableau 1 Datum

30 CE 01 30.12.01 3O.CE.02 30 12 02

G.buhr

)Eurol 1.500,00 1.200,00 1.200 00 2000,00

2

S

K....n

S

P P P P

)Eurol 500,00 200 00 200 00 600 00

U U U U

3- 1 .2 p.rloden. K.pltlllwert ')EurO) 1.000,00 1 000 00 1.000,00 1 400,00

S I I I I

Marktwerttableau 1 Datum

30.1202 31 CE 02 30.1201 3O.CE.Ol Max!

•• rktwert

4

)Euro) ln,41 V 943.40 V 93:,93 V 1.000 00 V 4.182,74 I 4.182,74 Z 1EIJ ,00 P 36000 P lOS U 42t1l,03 A

5-

Zlna-

S

raldor

S

S

1,01202

.arktwert

S

)Eurol

1,0700 U I,CEOO U 1,0250 U 1,0000 U

7 - 1' 4 1 - 1 · 4.5 · S p.riod.n. Kopltalwert )Euro) 1.400,00 1.000,00 1.000,00 0.0350 U 1.000,00

Zlna-

quotient

l .n,41 I

S

: (2) 2 Marktwe rt Pe ri ode n.Kapitalwerte 30.06.01 [Euro) : ß - 2) K.pitalwert 30,06,01 (Eu ro) : ß.) Zi nst.go [hge) : ß b) J.hresb.sis [f.ge)

S N N N N

: ßc) Eln.Jahres-Zlnsfaktor

: ß d - 3 ' 3e' ß. / 3b)) K.pit.lwert30.12.01 (Euro)

Elflzelgesch8ftsergebmstableau

Einzelgeschäftsergebnisrechnung: Betriebsergebnisrechnung Passivgeschäft

,

Verrentunastableau Datum 3O.CE 01 30.12.01 3O.CE.02 30.12.02

Gebuhr

)Eurol 1.000,00 800 00 800 00 900,00

2

S

K....n

S

P P P P

!Euro 200,00 100,00 100 00 300,00

U U U U

3- 1 .2 Perioden. Kopltalwert )Euro 80000 70000 70000 600,00

S I I I I

Marktwerttableau' Perioden KaDitaiwert 1 Datum 311202 31 CE 02 30 12 01 31 CE 01

.arktwert )Euro) 560 75 660,30 663,78 800,00 2 . 6B4,~

Max!

2 . 6B4,~

1EIJ ,00 360,00 1 ,OS 2751,21

4

S V V V V

5-

Zlna-

faldor

S

1,0700 U I,CEOO U 1,0250 U 1,0000 U

7 - 1 '4 1 - 1 · 4.5 · S Perioden. quotient Kopltalwert )Euro) 600.00 700,00 0,0350 U 700,00 800,00 S

1,01202

•• rktwert

S

)Euro)

560,75 I

Zlna-

I : (2) 2 Marktwert Perioden.Kapitalwerte 30.06.01 [Euro] Z : ß - 2) K.pit.lwert 3O.0S,01 (Euro)

S

S N N N N

P : ß.) Zinst.ge [f.ge) P : ß b) Jahresbasis [Tage)

U : ß c) Eln.Jahres-Zinsfaktor A : ßd - 3 • 3e' ß. 13b)) K.pitalwert 30,12.01 (Euro)

Ek1zelgesch8ftsergebnistableau

Abb. 5.192: Einzelgeschäftsergebnisrechnung: Risiko- und Betriebsergebnisrechnung

605

606

Gesamtergebnisrechnung 1m Lichte der integr ierten Zielplanung Zentralergebnisrechnung ' Vermögensposition zinsabhängiges Geschäft Marktwerttableau: Zentraldis~osition 1 Marktwert (Eurol

30.12.02 30.06.02 30.12.01

-899.851 ,40 V 7.551 .886,79 V 7.840.482,73 V 14.492.518,12 A.Z : (2)

Max!

4 = ' ' '.12.02

3

Datum

S

Zinsfaktor

S

1,0700 U 1,0600 U 1,0250 U

Marktwert (Eurol

5 S

Z1nsquotient

-899.851,40 I

S

0.0350 U

L Marktwert 30.06.01 [Euro[

6 - 1"3 6-1"3+4"5 Summen-Zahlungsstrom (Eurol ·962.841 ,00 8005000.00 8005.000.00

S N N N

fristentransformationst8lbleillu

Marktwerttableau: Zentraldis~ositi on 1

3

Datum

Marktwert (Eurol

30.12.02 30.06.02 30 .12.01

-908.340 ,57 V 7.848.039,22 V 8.005000,00 V 14.944.698,65 A. Z : (2)

Max!

S

5

4 - 1...12.02

llnsfaktor

S

Marktwert (Eurol

S

Z1nsquotient

S

1.0600 U 1,0200 U 1,0000 U

6 -1*3 6-1"3+4 " 5 Summen-Zahlungsstrom (Eurol -962841.00 8005000 .00 8005000.00

L Marktwert 30.12.01 [Euro)

S N N N

Fristentransformationstableau

Marktwerttableau: Marktbereic h 1 Datum 30 .12.02 30.06.02 30.12.01 30.06.01 Max!

Marktwert (Eurol -899.851,40 7.551 .886,79 7.840.482,73 -13.950.000,00 542.518 ,12 542.518,12 180,00 360,00 1,05 555.915,65

4 S

1,0700 1,0600 1,0250 1,0000

V V V V I Z

6

5 - 1...12.02

lInsfaktor

S U U U U

Marktwert (Eurol

S

lInsquotient

-899.851,40 I

S

0,0350 U

: (2) L Marktwert 30.06.01 [Euro) : (3 = 2) Kapitalwert 30,06.01 [Euro) : P (3a) linstage [Tage) P : (3b) Jahresbasis [Tage) U : (3e) Ein..lahres-Zinsfaktor A : (3d = 3' 3e A (3a / 3b)) Kapitalwert 30.12.01 (Euro)

7 - 1 *4 7-1"4+5"6 Summen-Zahlungsstrom (Eurol -962.841 ,00 8005.000,00 8005 .000,00 -1 3.950 .000,00

S N N N N

Fristentransformationstableau

Fristentransformationstableau 1

2

3 = 1 -2

4

Marktwert 30.12.01

Marktwert 30.06.01

Vermögens. änderung

Erwirtschaftet vom S Marktberelch S Kapitalwert 30.12.01

(Eurol

(Eurol

S

(Eurol 14.944.698,65

S

(Eurol E

14.492.518,12 E

452 .180,53 I

555.915,65 E

Marktwerttableau:

Marktwerttableau:

Marktwerttableau:

Zentraldisposrtion

Zentraldisposrtion

Marktbereich

Zentralergebnisrechnung' Sonstige Vermögenspositionen Performancetableau: Aktien 1 Marktwert 30.12.01 (Eurol

S

2.000.000,00

U

2 Marktwert 30.06.01 (Eurol

S

1.500.000,00 U

3 = 1 ·2 Vermögens. änderung (Eurol

S

500.000,00 A

Zentralergebnistableau

Performancetableau: Immobilien 1 Marktwert 30.12.01 (Eurol

S

2 Marktwert 30.06.01 (Eurol

21 .1 00000,00

U

21000.000,00 U

S

3 - 1 -2 Vermögens. änderung (Eurol

S

100000,00 A

Zentralergebnistableau

Performancetableau: O~tionen 1 Marktwert 30.12.01 (Eurol 800000,00

S U

2 Marktwert 30.06.01 (Eurol

S

900.000 ,00 U

3 - 1 -2 Vermögensänderung (Eurol

S

-100.000,00 A

Zentralergebnistableau

Performancetableau: Inventar 1 Marktwert 30.12.01 (Eurol 900000,00

S U

2 Marktwert 30.06.01 IEurol

S

1000.000,00 U

3 - 1·2 Vermögens. änderung IEurol -100.000 ,00

Zentralergebnistableau

Abb. 5.193: Zentralergebnisrechnung

5- 3.4 Erwirtschaftet von lentraldlsposltlon Kapitalwert 30.12.01 (Frlstentransformationsbeitrag) (Eurol

S

-103 .735,12 A Zentralergebnistableau

5.3 Demonstration eines Konfigurationsprozesses am Beispiel eines numerisch spezifizierten Gleichungsmodells für Finanz- jKreditinstitute

607

Einzelgeschäftsergebnistableau

1 Aktivgeschäft Ergebnisbeitrag (Euro! 421.725,63 -244.968,91 4.286,03 Marktwerttableau

2 3 4 Passivgeschäft Passivgeschäft S AktIvgeschäft S S Ergebnisbeitrag Ergebnisbeltrag Ergebnisbeltrag [~

1,80 E

E E E

Zinsmargentableau

Risikokostentableau

5-1+3

Gesamtgeschäft Ergebnisbeltrag (Euro) 1%) ~Eurol 134.190,02 E 0,96 E 555.915,65 -244.968 ,91 7.037,24 2.751,21 E L Gesamtgeschäft Ergebnisbeitrag (4): 317 .983,98

Marktwerttableau

Zinsmargentableau

S

S Ergebniskomponenten (Bezeichnung! I Zinsergebnis I Risikoe~ebnis I Betriebsergebnis A Einze~eschäftserqebnis

Gesamtergebmstableau

Risikokostentableau

Zentralergebnistableau 1 Ergebnisbeltrag (Euro! -103.735,12 500.000,00 100.000,00 -1 00. 000 ,00 -100000,00 L Ergebnisbeitrag (2): 296.264,88

S Ergebniskomponenten ~Bezeichnung!

E E E E E A

Fristentransformation Aktien Immobilien Ojltion Inventar Zentraler,qebnis

Fnstentransformotlonstableau Performancetableau Gesamtergebnistableau

Gesamtergebnistableau 1

L

Ergebnisbeitrag (Euro! 317 .983,98 296.264,88 Ergebnisbeitrag (2): 614 .248,86

S Ergebniskomponenten

(Bezeichnung! E Einzelqeschäftserqebnis E Zentralergebnis I Gesamte!!lebnis

Elnzelgeschöftsergebmstableau Zentralergebnistableau

Abb. 5.194: Gesamtergebnisrechnung Gemäß Abb. 5.194 beträgt das Plan-Gesamtergebnis 614.248,86 EurO.201

Die in den Abbildungen 5.190 auf Seite 603 bis 5.194 dargestellte Berechnung des Gesamtergebnisses ist im Lichte der integrierten Zielplanung als reine Zielverpflichtungsplanung zu interpretieren. Um dies zu zeigen, werden die in den Modelltableaus der Abbildungen 5.190 auf Seite 603 bis 5.194 verwendeten Topziel- und Basisgrößen - mit Ausnahme der mathematischen Hilfsgrößen, Z.B. Hundert oder Eins, - in den Abbildungen 5.195 auf der nächsten Seite bis 5.197 auf Seite 610 systematisch dargestellt.

201Vgl. Abb. 5.194 Gesamtergebnistableau Spalte 2.

608

Gesamtergebnisrechnung im Lichte der integrierten Zielplanung

Basisgrößen Basisziele

El}lebniselement

- Kapitalabfiuß 30.06.2001 - Disagio 30.06.2001

Wert

Tableau

Zins-I Risikoergebnis Tilgungsplan-IZahlungsstromtableau -24.000.000.00 Zins-I Risikoergebnis Tilgungsplan-IZahlungsstromtableau 250.000,00

Einheit

Euro Euro

Entscheidungsvariablen

- Restschuld 30.12.2002 Zins-I Risikoergebnis Ti lgungsplan-IZahlungsstromtableau < l> - Effektivzins Zinsergebnis Effektivzinstableau ~ ~ - Marktwert Zahlung 30.12.2002 Zinsergebnis Marktwerttableau ~ 'g - Marktwert Zahlung 30.06.2002 Zinsergebnis Marktwerttableau " :::l - Marktwert Zahlung 30.12.2001 Zinsergebnis Marktwerttableau 2" :; - Marktwert Kapital 30.12.2002 Risikoergebnis Marktwerttab leau .g ~ Marktwert Kapital 30.06.2002 Ris ikoergebnis Marktwe rttab leau [~' - Marktwert Kapital 30.12.2001 Risikoergebnis Marktwerttableau (I) ~ - Marktwert Perioden-Kapitalwert 30.12.2002 Betriebsergebnis Marktwerttableau ~ ;;. - Marktwert Perioden-Kapitalwert 30. 06.2002 Betriebsergebnis Marktwerttableau ;:::: ~ - Marktwert Perioden-Kapitalwert 30.12.2001 Betriebsergebnis Marktwerttableau '" c:l - Marktwert Perioden-Kapitalwert 30.06.2001 Betriebsergebnis Marktwerttableau ~ ~"I-+:::-.:::O~PPlo:::rt~u;ni:.:; tä::. :·ts.:;:.:z:.in: : .s:~_ _ _ _ _ _ _--1I----,Z:::i:ns:.:e::.J