I paradossi di Zenone 8843062670, 9788843062676

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BUSSOLE / 441 FILOSOFIA E SCIENZA

Vincenzo Fano

I paradossi di Zenone l a ristampa, luglio 2012 i a edizione, febbraio 2012 © copyright 2012 by Carocci editore S.pA, Roma Editing e impaginazione Fregi e Maiuscole, Torino Finito di stampare nel luglio 2012 dalle Arti Grafiche Editoriali Srl, Urbino isbn 978-88-430-6267-6

Riproduzione vietata ai sensi di legge (art. 171 della legge 22 aprile 1941, n. 633)

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Carocci editore

Indice

A Lucia, Pigna e Tito

Introduzione 1.

7

Nel regno di Zenone

9

1.1. Presentazione informale dei paradossi di Zenone 1.2. Considerazioni storiografiche 15 1.3. Attualità di Zenone 17 Ringraziam enti Ringrazio Liana Lomiento e i suoi studenti, poiché ho presentato una prima bozza di queste riflessioni durante il suo corso di filosofia antica. Sono grato poi ai colleghi di Utrecht, Dennis Dieks, Fred Muller e gli altri, che hanno commentato con il consueto acume un seminario suH’argomento della Freccia. Inoltre, è stato fondamentale per me lo scambio con Milos Arsenijevié, deH’Università di Belgrado, nonché con M onica Ugaglia, con la quale condivido la passione per la fisica di Aristotele. È stato molto importante il confronto quotidia­ no con i giovani che mi hanno dato spunti e suggerimenti: Adriano Angelucci, Claudio Calosi, Pierluigi Graziani, Giovanni Macchia, Tommaso Panajoli, Massimo Sangoi e Monica Tombolato. M i sono confrontato su questi temi con molti altri colleghi e amici, fra cui Lars Aagaard-M ogensen, Fabio Acerbi, Alexander Afriat, Mario Alai, Stefano Bordoni, M auro Dorato, Vittorio De Palma, Michel Ghins, Francesco Orilia, Mario Piazza, Ferruccio Franco Repellini, Ken Saito, Nicola Semprini, Gino Tarozzi, Isabella Tassani, Angelo Vistoli e tutte le altre persone che senz’altro sto dimenticando. Un ringraziamento particolare a tutti coloro che hanno avuto la pazienza di starmi vicino in questi tre anni di lavoro.

2.

La Dicotomia

2.1. 2.2. 2.3. 2.it. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.

Formulazione del paradosso 20 Il solvìtur ambulando di Diogene il Cinico 22 La soluzione di Aristotele 23 Infinita divisibilità 28 Definizione basata sulla nozione di densità 33 Lo spazio è un insieme denso di punti? 34 La densità del tempo 35 Bergson e la spazializzazione del tempo 40 Soluzione analitica del paradosso 41 La misurabilità del tempo 44

3.

L’Achille

20

46

3.1. Formulazione del paradosso 46 3.2. L’interpretazione di Russell 50 3.3. Il supercompito di Achille 52

4. Nota Il riquadro contrassegnato dalla bussola 0 contiene un approfondimento.

9

Il Grande e il Piccolo

57

4.1. L’argomento contro la pluralità 4.2. Democrito 62

57

5

Introduzione

4·3· Riformulazione del paradosso 65 4.4. Breve storia del continuo e dell’infinito 4.5. La soluzione 86

67

La risposta di Aristotele è penosa. Bayle (1740,

5.

La Freccia

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

Formulazione del paradosso 89 Eliminare la determinatezza 92 Eliminare la premessa della regione 94 Che cos’ è il moto? 97 Eliminare la premessa della quiete con la teorìa at-at La nozione di occupare una regione 114

6

89

Conclusioni

119

Bibliografia

121

Zenone di Elea, p. 476)

In questa breve risposta [di Aristotele] c’è tutto. Hegel (1825-26, p. 144)

103

Si tramanda (ad es. Diogene Laerzio 9,25-29) che Zenone avesse orga­ nizzato una congiura contro il tiranno della sua città Elea. Dopo essere stato arrestato, fu interrogato e denunciò come suoi complici gli amici del tiranno. Disse poi che voleva confessare, per cui il tiranno avvicinò Γorecchio alla bocca di Zenone che glielo morse e tenne la presa finché non fu ucciso. Altri dicono che, per non denunciare i suoi compagni, si tagliò la lingua con i denti e la sputò in faccia al tiranno. Com e nota Giorgio Colli (1964, p. 32), anche se ammiriamo il coraggio di Zenone, non è detto che, dal nostro punto di vista, la sua posizione aristocratica fosse migliore di quella del tiranno che, per quanto sia, si basava sul consenso di almeno una parte del popolo. D i certo Zenone conosceva il valore della parola e del silenzio. Com e per tutti i filosofi precedenti a Socrate, di lui abbiamo pochi frammenti, ma su di essi si sono esercitate le migliori menti della filosofia, da Aristotele a Russell. E, soprattutto, Zenone è il primo filosofo che, a nostra conoscenza, invece di asseverare le proprie tesi le argomenta, tanto che viene consi­ derato da Aristotele l’inventore della dialettica, intesa come discussio­ ne razionale. In un recente libro su di lui, pubblicato in Italia nel 1998, che raccoglie le lezioni tenute da Giorgio Colli nel 1964, Zenone viene presentato come un filosofo che, andando oltre Parmenide, sarebbe approdato alla sofistica. C olli (1964, pp. 53-4)’ però, che in queste pagine, per fortuna, di rado si abbandona a un linguaggio sapienziale, non coglie la differenza fra certezza e verità, così chiaramente spiegata, ad esempio, da Marconi (2007, pp. 29 ss.). Sicuramente Aristotele e forse anche Zenone erano consapevoli che non si può mai essere del tutto certi delle proprie affermazioni, ma questo non significa che non ci siano credenze false e credenze vere e che la discussione argomentata 7

non sia il miglior modo di lare trionfare le seconde a discapito delle prime. Forse Zenone è il primo ad aver compreso che la verità non si rivela in un’intuizione sovrasensibile, ma che ogni tesi va discussa; inoltre probabilmente non è arrivato a concludere che la discussione è un agone fine a sé stesso, come si attribuisce ad alcuni pensatori sofisti posteriori. Oggi, in un momento in cui varie forme di dogmatismo, non solo religioso, ma anche filosofico e scientifico, prendono piede, il valore liberatorio dell’argomentare va ribadito con forza. E questo 10 si può lare in modo eccellente riprendendo in considerazione i suoi paradossi e la loro fortuna. L’impatto di questi ragionamenti è stato sterminato, tanto che Enzo M elandri (1968, pp. 319-20) nota: «Si potrebbe scrivere per intero 0 quasi una storia della filosofìa riferen­ dosi alle argomentazioni che se ne sono volute trarre [dai paradossi di Zenone, N.eLR.] ». In un certo senso, in questo libro, abbiamo provato a realizzare contemporaneamente tre compiti: in primo luogo, abbiamo discus­ so, anche se in modo parziale, le fonti dei ragionamenti di Zeno­ ne, ipotizzando talvolta piccole varianti interpretative. Tuttavia, in seguito, ci siamo soffermati soprattutto sull’analisi teorica dei paradossi, che ha portato al dispiegamento delle più diverse teorie fisiche, matematiche e metafisiche. Infine, non abbiamo trascurato di raccontare, anche se in modo incompleto, la storia della fortuna degli argomenti zenoniani. N el primo capitolo presenteremo i quattro problemi che intendiamo trattare in modo informale, aggiungendo poi alcune considerazioni generali di carattere storico e teorico. M entre nei quattro capitoli successivi discuteremo i paradossi nel seguente ordine: Dicotomia, Achille, Grande e Piccolo, Freccia. 11 libro non presuppone nessuna conoscenza particolare, né di filo­ sofia o matematica, né di fisica 0 logica, in quanto introduce breve­ mente tutte le nozioni che utilizza; tuttavia in alcune parti richiede al lettore un po’ di pazienza, perché l’argomentazione è molto articolata. Lo sforzo verrà però ripagato con la comprensione di alcuni aspetti fondamentali e spesso trascurati dell’immagine scientifica del mondo che l’uomo è stato in grado di mettere a punto in 2.500 anni di ricerca. 8

l. Nel regno di Zenone 1.1. Presentazione informale dei paradossi di Zenone In questo capitolo introduttivo, procederemo nella maniera seguen­ te: per prim a cosa forniremo una presentazione inform ale e un po’ narrativa dei quattro paradossi di cui vorremmo trattare. N el prossimo paragrafo, in particolare, daremo qualche succinta infor­ mazione documentaria e storica. Infine, proveremo a mostrare in che senso ancora oggi valga la pena occuparsi di tali paradossi sul piano teorico.

1.1. 1. La Dicotomia Carlo è in casa con la sorella Gianna e ha visto che poco prima lei era in camera che studiava i paradossi di Zenone. Dalla sua camera, dove sta giocando al computer, Carlo si reca in cucina per bere una bibita, dove trova la sorella che si sta preparando il caffè. Dato che Gianna prima era in camera sua e adesso è in cuci­ na, egli deduce prontamente che “ Gianna è andata dalla sua camera in cucina” . D ove il verbo “ andare” indica un moto. Immaginiamo a questo punto il seguente dialogo fra Carlo e Zenone: zenone

Gianna, per andare da camera sua alla cucina, ha dovuto percorrere la

prima metà del tragitto, giusto?

Carlo Certamente. zenone

Poi ha dovuto attraversare la metà della metà successiva, cioè il quarto, che

segue. Non ti pare?

CARLO È ovvio. zenone

E prima di raggiungere la cucina ha dovuto camminare per la successiva

metà di un quarto, cioè un ottavo, del percorso. Corretto?

Carlo Senz’altro. zenone carlo zenone

E questa divisione può essere reiterata all’infinito, 0 sbaglio? Non sbagli. Dunque Gianna, per andare dalla sua camera alla cucina, avrebbe dovuto

attraversare una quantità infinita di tratti di percorso: per quanto essa vada veloce, per ogni tratto ha senz’altro impiegato una quantità finita di tempo; siccome qual-

9

siasi numero, anche piccolo, moltiplicato per infinito dà infinito, dovrebbe impiegare

so da quando l’hai vista l'ultima volta in camera sua è senz’altro finito, Gianna non è

una quantità infinita di tempo perterminare il suo tragitto. Dato che il tempo trascor­

ancora arrivata alla metà del percorso.

so da quando l’hai vista l’ultima volta in camera sua è senz’altro finito, Gianna non è ancora arrivata.

Carlo resta un po’ perplesso, poiché Gianna è lì davanti a lui. Anzi no, è tornata in camera a studiare un libro sul grande maestro di Elea. Zenone avrebbe potuto causare l’inquietudine di Carlo anche in un altro modo:

Carlo resta di nuovo un po’ perplesso, anche se G ianna è ormai immersa nello studio in camera sua. N ella figura la vediamo la situazione descritta nel primo dialogo, mentre nella figura ìb quella del secondo. A questo punto Carlo, dopo uno dei due dialoghi, potrebbe chiedere: carlo

zenone

Gianna, per andare da camera sua alla cucina, ha dovuto percorrere la

zenone

Ma io ho visto Gianna in cucina! Infatti, a rigore di logica quello che hai visto è un’illusione. Quante altre

prima metà del tragitto, giusto?

volte i sensi ti hanno ingannato? Come dice il mio seguace Cartesio [1641, p. 198], «ora

Carlo Certamente.

ho appurato che talvolta i sensi ingannano e che non è prudente fidarsi interamente

zenone

Prima di arrivare alla metà, è però dovuta arrivare alla metà della metà,

di coloro da cui una volta siamo stati ingannati».

cioè a un quarto, del percorso. Non ti pare?

Carlo È ovvio.

Ecco, questa è una form ulazione inform ale del paradosso della

ZENONE E prima di raggiungere un quarto del percorso ha dovuto camminare per la

Dicotomia.

metà di un quarto, cioè il primo ottavo, del percorso. Corretto? cArlo zenone carlo zenone

1. 1. 2. L’Achille Deve essere rimasto stupito il lettore medio ameri­

Senz’altro. E questa divisione può essere reiterata all’infinito, o sbaglio? Non sbagli. Dunque Gianna, per andare dalla sua camera alla cucina, avrebbe dovuto

attraversare una quantità infinita di tratti di percorso; per quanto essa vada veloce, per ogni tratto ha senz’altro impiegato una quantità finita di tempo; siccome qual­ siasi numero, anche piccolo, moltiplicato per infinito dà infinito, dovrebbe impiegare una quantità infinita di tempo perterminare il suo tragitto. Dato che il tempo trascor­

FIGURA 1 A Camera

Cucina

Camera

Cucina

B

10

cano, nelle mani del quale sia capitata una delle m ilioni di copie del fortunato volum e di Arthur Bloch (1977, p. 31 ), L a legge d i M urphy, leggendo l’Osservazione d i Zenone secondo cui 1 altra coda va più. veloce” ! Com e D on Abbondio all inizio dell v i l i capitolo dei Promessi sposi, egli si sarà chiesto: “ Zenone, chi era costui?” . Gli sarebbe bastato prendere in mano la traduzione inglese (1971) della raccolta La pecora nera e altrefavole (1969) dello scrittore latinoame­ ricano Augusto Monterroso, che narra in poche righe come nella gara la tartaruga arrivò prima, ma modestamente dichiarò alla stam­ pa che per tutto il tempo della corsa aveva avuto paura di perdere, dato che il suo avversario era sempre alle sue calcagna, tanto che un decimillesimo di un trilionesimo di secondo dopo di lei, come una freccia e maledicendo un certo Zenone di Elea, Achille tagliò il traguardo. Quel lettore stupito, per avere una spiegazione più precisa del paradosso di Achille e della tartaruga, restando in ambito letterario, avrebbe potuto anche avvalersi di J. L. Borges, che, nella 11

©

Achille nel paese delle meraviglie

L’idea di Hofstadter di inserire nel suo libro i dialoghi fra Achille e la tartaruga proviene senz’altro dal dialogo proposto dal matematico e scrittore inglese Lewis Carroll (1895) - l’autore di Alice nel paese delle meraviglie - che, sulla rivista filosofica “Mind”, immagina che il Pievelo­ ce abbia raggiunto la tartaruga e si sia seduto comodamente su di essa. Quest’ultima stupita gli chiede come abbia fatto a riprenderla. Il guerrie­ ro greco le risponde semplicemente che c’è riuscito - soiviturambulando (“si risolve camminando”) allora l’animale gli propone un regresso all’infinito ancora più difficile di quellozenoniano, che possiamotraslare in linguaggio moderno, senza però travisarne il senso originale: in un sistema formale L (che sia sufficientemente ricco), il teorema A è deriva­ bile sulla base delle regole di inferenza R dagli assiomi S. Questa deri­ vazione, tuttavia, non è detto che sia un teorema di L Dobbiamo quindi introdurre un sistema formale ^ in cui dagli assiomi S1 e dalle regole R1 sia derivabile il teorema “Se S e R, allora A”. Ma questa derivazione, a sua volta, non è detto sia una proposizione di Lr Per cui dovremo consi­ derare un ulteriore sistema formale L2 ecc. Come osserva al riguardo il filosofo wittgensteiniano Peter Lynch (1958, p. 57) la morale di Carroll è che « l’effettivo processo di trarre un’inferenza, che è dopo tutto il cuore della logica, è qualcosa che non può essere rappresentato come una formula logica». È possibile che Carroll in questa sua nota sia stato influenzato da un dialogo scritto dal filosofo inglese Shadworth Hodgson (1880) - amico di William James - sempre su “Mind”, nel quale Zenone si fa convincere da Filofrono (amante della prudenza) che il suo Achille è sbagliato. Filofrono confuta - su linee molto simili a quelle aristote­ liche - sia il fatto che Achille dovrebbe avere a disposizione un tempo infinito, sia che dovrebbe compiere un impossibile supercompito (cfr. p a r . 3.3). Hodgson, a sua volta, si ispira agli scritti del poeta romantico Samuel Taylor Coleridge (1818, voi. 111, pp. 114-5), secondo cui Achille riposa «sul trucco di assumere un minimo di tempo mentre nessun mini­ mo di spazio è ammesso assieme a ll’esigere da ciò che è intelligibile (noumeno) le condizioni peculiari agli oggetti dei sensi (phainomena)».

12

Metempsicosi della tartaruga - un brano della raccolta Discussione del 1932 (voi. 1, pp. 393-4) - cosi lo descrive da par suo: Achille corre dieci volte più velocemente della tartaruga e le concede un vantaggio di dieci metri. Achille percorre quei dieci metri, la tartaruga percorre un metro; Achil­ le percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga un millimetro; Achille Piè veloce il millimetro, la tartaruga un decimo di millimetro e così infinitamente, senza raggiungerla...

Forse però la presentazione più concisa ed efficace resta quella di Aristotele (Fisica, 2390,15 ss., trad. it. 1973 p. 160): Questo [ragionamento] intende provare che il più lento, correndo, non sarà mai sorpassato dal più veloce: infatti, necessariamente, l’inseguitore dovrebbe giungere prima là donde il fuggitivo è balzato in avanti; sicché necessariamente il più lento conserva una certa precedenza.

Ricordiamo anche che i dialoghi fra la tartaruga e Achille percorrono l’intero poliedrico libro di Hofstadter (1979), Godei, Escher, Bach, e che il Piè veloce, quando Zenone gli racconta il paradosso omoni­ mo, risponde: «Giuro che questi ragionamenti hanno un tallone d’Achille!» (ivi, p. 34) (cfr. riquadro di approfondimento). 1.1.3. Il Grande e il Piccolo La professoressa di matematica disegna un segmento alla lavagna e dice: “ Ecco il segmento A B , contiene un numero infinito di punti” . Paolo guarda un po’ perplesso quell’ag­ geggio così piccolo che dovrebbe contenere infiniti punti e chiede: “ Prof, ma quanto sono grandi questi punti La professoressa, presa un po’ alla sprovvista, risponde: “ Beh, sono piccolissim i” . Paolo riflette ancora un momento e, mentre la professoressa sta per ripren­ dere a spiegare, interviene nuovamente: “ Però, per quanto piccoli, un numero anche piccolissimo moltiplicato per infinito dà sempre infinito; ce lo aveva detto lei l’anno scorso!” . La professoressa di matematica comincia ad annaspare: “ Beh, hai ragione, in un certo 13

senso, i punti, essendo indivisibili, sono lunghi zero” . Così l’inse­ gnante è convinta di essersela cavata, ma non aveva previsto l’inter­ vento di Francesca: “ Prof, ma se i punti sono lunghi zero, anche se sono infiniti, zero moltiplicato per qualsiasi numero dà comunque zero, per cui risulterebbe che il segmento A B è di lunghezza nulla” . Paolo e Francesca hanno appena riformulato il paradosso di Zenone detto “ del Grande e del Piccolo” e la loro professoressa di matema­ tica si è seduta alla scrivania in preda a forte disagio.

1.1.4. La Freccia Paolo sta curiosando nel ripostiglio fra le vecchie cose del nonno e trova un disco in plastica di media grandezza. Lo apre e dentro appare un lungo nastro largo circa un centimetro, nero, tutto arrotolato. Guardandolo controluce si rende conto che esso è una serie lunghissima di piccole immagini translucide quasi tutte uguali nelle quali un bambino seduto sul vasino frigna e si agita. Paolo dubbioso corre da suo padre Carlo a chiedere lumi sullo strano ritrovamento. Quest’ultimo intenerito si rende conto che quello è un vecchio filmato in Super 8 ripreso da suo padre quando lui aveva poco più di un anno. Prova a spiegare a Paolo che quello è di fatto un video. Per Paolo i video sono di solito dei dischi di plastica iridescenti, per cui non capisce. Allo­ ra Carlo - che stava leggendo un poliziesco appassionante - gli spiega con un po’ di impazienza che con un’apposita macchina si faceva passa­ re quella pellicola davanti a una lampada, cosicché quelle immagini stampate venivano proiettate su un muro e si vedeva così il film che lo rappresentava intento nel suo compito fisiologico. Paolo è sempre più interdetto e domanda: “ M a così si proiettano sul muro una serie di fotografie, non il movimento di te che fai la popò!” . Il papà si rende conto del problema e spiega a Paolo che se quelle immagini vengono proiettate sul muro alla giusta velocità il nostro occhio non è in grado di distinguerle e così ci appare un movimento e non una serie di foto­ grafie. Allora Francesca, che stava ascoltando in silenzio, sbotta: “ M a allora forse tutto quello che noi vediamo muoversi non è altro che una somma di immobilità, cioè noi ci muoviamo a scatti come Paolo sul vasino nella pellicola? Potrebbe essere, quindi, che noi siamo sempre fermi, come in quelle vecchie fotografie? E che la percezione continua

del movimento sia solo un’illusione?”. Carlo non vede l’ora di tornare al suo romanzo, ma Francesca ha ragione. Poco dopo la nascita del cinema, nel 1907, un famoso filosofo francese, Henri Bergson (1907, parte xv), dirà proprio che la descrizione del movimento proposta dalla scienza moderna ha questo carattere “ cinematografico” . Egli propone la sua riflessione a partire da un ampio dibattito che coinvolse la filo­ sofia francese degli anni a cavallo del secolo sui paradossi di Zenone e in particolare su quello della Freccia che, come vedremo, assomiglia proprio al dubbio formulato da Francesca.

1.2. Considerazioni storiografiche I paradossi di Zenone che discuteremo sono tramandati essenzialmente da Aristotele in un lungo passo della Fisica (239^ 5 - 24oa, 18), dove troviamo la Frec­ cia, l’Achille, la Dicotomia e lo Stadio - quest’ultimo non lo discu­ teremo. Per quanto riguarda il quarto che tratteremo, cioè quello del Grande e del Piccolo, la fonte principale è invece il commento alla Fisica aristotelica di Simplicio (139,5 -14 0 ). Si tenga conto che Aristotele vive poco più di un secolo dopo Zenone, mentre Simplicio vive nel v i secolo d.C ., cioè 1.000 anni dopo. Egli, però, afferma di essere ancora in possesso di un libro di Zenone (ivi, 140, 27). Zeno­ ne, invece, è vissuto nel v secolo a.C. Zenone, come afferma giustamente Barnes (1982, p. 186), è una sorta di “ protosofista” , nel senso che il suo contributo teorico è costitui­ to soprattutto di argomenti sottili senza una visione d’insieme. In effetti, Proclo, nel suo commento al Parm enide di Platone (694,25), riferisce che i paradossi erano quaranta. N ella storia recente dei paradossi di Zenone il punto di partenza è senz’altro l’opera di Paul Tannery (1885 e 1887), il grande storico della filosofia e della matematica, noto fra l’altro per aver curato le opere di Cartesio. Egli si basa sul lavoro filologico di Zeller (1856 e 1869), ma ha una comprensione più profonda del valore logico dei frammenti dell’Eleate. A seguito anche dell’opera di Tannery, come raccontato da Cajori (1915, pp. 255-8), negli anni novanta del x i x secolo si svilup­ pa in Francia un vivace dibattito, sia dal punto di vista storico che da quello teorico. Tannery è anche colui che tiene a battesimo due miti 15

storiografici, che avranno grande successo: in primo luogo che i quat­ tro argomenti riportati in sequenza da Aristotele abbiano un qualche ordine logico; in secondo luogo che Zenone, con i suoi ragionamen­ ti, voglia difendere la dottrina del suo maestro Parmenide contro Γatomismo matematico dei pitagorici. Su queste tesi lo storico della filosofia antica Barnes (1982, pp. 182-6) esprime giustamente un certo scetticismo. Benché non sia chiaro chi siano i critici di Parmenide, sembra però ragionevole, come raccontato da Platone (Parm enide, 128), che l’intento di Zenone sia stato quello di difendere le dottrine del maestro e in particolare l’assenza di molteplicità. Com e afferma Simplicio (Phys., 139, 5) «colui che sostiene l’esistenza della molte­ plicità viene ad ammettere tesi contraddittorie» (Diels, Kranz, 1952, trad. it. p. 302). In questo senso Zenone è il primo a praticare in sede filosofica la valutazione dei costi e dei benefici di una tesi; egli, infetti, se ha ragione Platone, difende il maestro, mostrando che chi sostiene la pluralità e il movimento va incontro a paradossi ancora più grandi di quelli che derivano dalla dottrina parmenidea dell’Uno. Il dibattito francese è stato punto di partenza di una svolta fondamentale nell’ambito degli studi sui paradossi di Zenone, in quanto ha stimolato le geniali riflessioni del giovane e coltissimo Bertrand Russell (l90ia, p. 327), il quale nei suoi Prìncipi d i matematica sentenzia così: In questo mondo capriccioso, nulla è più capriccioso della fama presso i posteri. Una delle più notevoli vittime della mancanza di senno è Zenone di Elea. Malgrado abbia inventato quattro argomentazioni tutte smisuratamente sottili e profonde, la stupi­ dità dei filosofi a lui successivi proclamò che Zenone non era altro che un ingegnoso giocoliere e le sue argomentazioni erano tutte sofismi. Dopo 2.000 anni di continua confutazione, questi sofismi sono stati nuovamente enunciati e formarono la base di una rinascita della matematica, a opera di un professore tedesco, il quale probabil­ mente non sognò che esistesse qualche legame fra lui e Zenone.

Il professore sopraccitato è il grande matematico Weierstrass e le analisi di Russell sono il punto di partenza di qualsiasi recente rifles­ sione sui paradossi di Zenone. Nella prima metà del Novecento sono stati compiuti numerosi studi 16

storiografici importanti sugli argomenti di Zenone, dei quali dare­ mo in parte conto nei prossimi capitoli. Però l’altra pietra miliare, da una prospettiva filosofica, nel dibattito sui paradossi sono senz’ altro gli studi del filosofo della scienza A d o lf Grùnbaum, che culminano nel suo libro del 1968. N ei quarantanni successivi non è successo molto dal punto di vista teorico, anche se la letteratura è tutt’altro che scarna. M olti punti sia tecnici che storici sono stati precisati, ma il quadro non si è più modificato radicalmente. Lo studio più recente e accurato è senz’al­ tro quello di Faris (1996) e dal punto di vista analitico la voce della StanfordEncyclopedia ofPhilosophy di Huggett (2009). Infine, l’ ope­ ra che discute meglio il rapporto fra la fisica antica e quella contem­ poranea è senz’altro quella di W hite (1992), che finora non ha rice­ vuto tutta l’attenzione che meriterebbe.

I.3. Attualità dì Zenone U no dei pilastri della fisica contem­ poranea è senza dubbio il princìpio di indeterminazione di Heisen­ berg, che afferma rìmpossibilìtà di una contemporanea misurazio­ ne della posizione e della velocità delle particelle. Questa scoperta ha suscitato in uno dei principali artefici della teoria, cioè Louis de Broglìe (1947, p, 134), una riflessione per noi significativa. In un certo senso, la struttura teorica della meccanica quantistica sancisce l’incompatibilità fra una puntuale descrizione spazio-temporale di ciò che accade a livello microfisico —le variabili spazio e tempo, cioè la traiettoria - e una comprensione dinamica ed evolutiva dei feno­ meni - le variabili velocità ed energia. E questo, secondo Broglie, è esattamente ciò che affermava Zenone con i suoi paradossi sul moto: la freccia, ad esempio, non può essere in moto e allo stesso tempo occupare una precisa posizione nello spazio. In un recente articolo, il fisico russo Zurab Sìlagadze (2005) sviluppa un ampio discorso sul rapporto fra le teorie più recenti della fisica contemporanea e i paradossi di Zenone. In particolare si sofferma sull’effetto Zenone quantistico (cfr. riquadro di approfondimento a p. 117), sui supercompiti (cfr. pa r . 3-3)» sui paradossi dell’infinito (cfr. PAR. 4 4 ) e anche sui problemi di localizzazione dei microgget17

ti dovuti aH’indeterminazione quantistica. A lla fine del saggio egli afferma (ivi, p. 2920):

Intendo usare i paradossi di Zenone sul moto per sostenere che l’applicazione dei concetti matematici al mondo fisico porta paradossi. [...] Questo saggio pone l’atten­ zione sulla possibilità di leggere i paradossi per sostenere che la matematizzazione

La conclusione principale di questo articolo è che la fisica è bella. Questioni sorte

della realtà fisica non è un’assunzione irinocente. [...] Suggerisco che il punto di Zeno­

2.500 anni or sono ed esaminate diverse volte non si sono ancora esaurite. I paradossi

ne potrebbe essere stato che la descrizione matematica del moto è problematica.

di Zenone trattano di aspetti fondamentali della realtà, come localizzazione, moto, spazio e tempo. Nuove e inaspettate sfaccettature di queste nozioni si rivelano di volta in volta e ogni secolo trova meritevole ritornare a Zenone sempre di nuovo. Il processo di avvicinamento alla soluzione definitiva dei paradossi di Zenone sembra senza fine e la nostra comprensione del mondo circostante è ancora incompleta e frammentaria.

È diffìcile non sottoscrivere pienamente queste splendide parole. In un articolo, molto informato, la filosofa canadese Trish Glazebrook (2001) rilegge i paradossi di Zenone come una critica ai pitagorici, ma non al loro presunto atomismo matematico - come T an n ery- bensì alla tesi secondo cui la realtà sarebbe numero. Probabilmente questa interpretazione è insostenibile, poiché non ci sono evidenze testuali in tal senso; tuttavia, resta il fatto che, dopo la matematizzazione della fisi­ ca nel Seicento, a opera di Galilei, Keplero, Huygens e Newton, critica­ ta con acume a quel tempo da Berkeley e rimessa in discussione alla fine dell’Ottocento da Mach, Bergson e Husserl, forse parte dell’attualità degli argomenti di Zenone è proprio questa. Aristotele, nella sua Fisica, pur essendo un ottimo matematico, tende a usare il meno possibile la matematica e per buoni motivi: l’essenza della natura è il movimento e gli enti matematici sono immobili, per cui non si comprende come essi possano descriverla (Fisica, 11,2). La rivoluzione scientifica è riuscita in qualche modo a superare questa difficoltà. Tuttavia la fisica del Nove­ cento è stata caratterizzata da una profonda revisione della sua struttu­ ra logica, a causa dell’avvento delle teorie quantistiche e relativistiche. In questo contesto si è riproposto anche il problema dell’irragionevole efficacia della matematica nella spiegazione fisica del mondo, come affermava il grande fisico Eugene Wigner (i960). La lettura di Glaze­ brook, pur essendo storicamente discutibile, è teoricamente ragione­ vole e insiste proprio sulla rilevanza dei paradossi nella riproposizione di questo problema (Glazebrook, 2001, pp. 194-5): 18

Questo non significa però che abbracciamo la tesi della filosofa italia­ na, docente nel Regno Unito, Alba Papa-Grimaldi (1996), secondo la quale le soluzioni matematiche dei paradossi non colgono il punto posto da Zenone - né mai lo coglieranno. In questa prospettiva, gli avanzamenti matematici non avrebbero alcuna rilevanza metafisica e troverebbero il loro uso appropriato solo nel “ rendere più. veloci i jet” (ivi, p. 300). Per cui tali considerazioni matematiche “ nemmeno scalfiscono la superficie” del problema metafisico di Zenone, cioè la possibilità di concettualizzare il passaggio dall’uno ai molti (ivi, p. 305). Benché le diverse possibili formalizzazioni vadano sempre utilizzate con spirito critico, esse di fatto consentono una formulazione rigoro­ sa dei problemi e un’analisi delle possibili soluzioni che difficilmen­ te si possono raggiungere con il linguaggio ordinario della filosofia. Perciò prendiamo le distanze da queste forme di misticismo, che oggi purtroppo sono alquanto comuni. Concludiamo riportando le parole del grande storico della filosofia ellenistica Richard Sorabji (1983, p. 321), che tanto ha fatto per riva­ lutare un’immensa mole di materiale teorico spesso trascurata, cioè quella dei commentatori tardoantichi di Aristotele: Spesso possiamo vedere che la conclusione scandalosa di Zenone non segue, ma nel cercare di scoprire esattamente dove egli ha sbagliato, impariamo le cose più sorprendenti sullo spazio e il tempo - cose che non avremmo appreso se avessimo tralasciato i paradossi considerandoli come cosa già sbrigata.

In pratica ancora oggi, dopo 2.500 anni, vale la pena studiare i para­ dossi di Zenone non tanto perché di per sé stessi sono argomentazio­ ni convincenti, quanto perché aiutano a riflettere su spazio, tempo, continuo, discreto, materia e movimento. 19

2. La Dicotomia In questo capitolo entreremo nel corpo vivente delPargomentare zenoniano. Sarà un percorso impegnativo, perché affronteremo alcu­ ni temi, come la divisibilità del continuo, la natura dello spazio, del tempo e del movimento, che poi, nei prossimi capitoli, daremo in parte per acquisiti. Prenderemo le mosse da una formulazione il più. precisa possibile del paradosso trasmesso da Aristotele, che non tradi­ sca troppo lo spirito del testo tramandato. Dopo di che esamineremo la risposta dello Stagirita, mostrando come egli fosse consapevole dei due corni del problema, cioè quello dell’infinità temporale secondo la grandezza e secondo la quantità: ovvero l’apparente necessità che un moto duri un tempo infinito e che le sue tappe siano infinite. Analiz­ zeremo poi la natura continua dello spazio e del tempo e la nozione di punto spaziale e temporale, mostrando anche che la nozione antica di “ infinita divisibilità” non è facilmente formalizzabile. In conclusione presenteremo la soluzione standard del paradosso, dopo una digres­ sione sul concetto di spazializzazione del tempo proposto da Bergson.

2.1. Formulazione del paradosso Nel paragrafo 1.1.1 abbiamo visto una presentazione informale del paradosso della Dicotomia; in pratica esso nasce dal fatto che un corpo non riuscirà mai a percorrere un tragitto, perché prima dovrà raggiungere il suo punto medio, poi il punto di mezzo di quello che resta e così via all’infinito. Adesso, però, dobbiamo indagare questo argomento con maggiore dettaglio e precisione. A tal fine proviamo a presentarlo per punti, ì. Supponiamo che un corpo C si muova da a a b, due differen­ ti luoghi spaziali, con velocità costante. Supponiamo inoltre, per semplicità, che la distanza fra a e b sia uguale a ι m e il viaggio duri t s. Se ipotizziamo che la velocità di C sia costante, essa sarà di ι m/s. Per intenderci questa è più o meno la velocità di una persona che passeggia tranquillamente, come ad esempio Gianna nella sua casa. Dobbiam o ora chiederci quanto tempo impieghi C ad attraversa­ re metà del percorso, cioè 0,5 m. Ricordiamoci che il tempo di un 20

tragitto è uguale alla distanza da percorrere divisa per la velocità del moto. A d esempio, Firenze dista da Roma 300 km; se un’auto viaggia mediamente a 100 km/h impiegherà: spazio tem po = — ----velocità

300 km 100 km/h

Questo significa che C per percorrere metà tragitto impiegherà: . spazio 0,5m . . 1 tempo = — -----= —---- = 0,5 s=—s velocità 1 m/s 2 Analogamente, per percorrere un quarto della distanza, cioè 0,25 m: spazio 0,25 m Λ 1 tempo = — ----- = -------- = 0,25 s=— s velocità 1 m/s 4

In generale, secondo la cinematica classica, C impiega esattamente i IM unità di tempo per percorrere un qualsiasi tratto di lunghezza 1 IM contenuto in ab. 2. Supponiam o poi che lo spazio compreso fra a e b sia infinita­ mente divisibile. Più avanti (PAR. 2.4) vedremo che la nozione di “ infinitamente divisibile” non è precisabile, per quanto ne sappia­ mo; ma per ora manteniamola ancora per parziale fedeltà storica. Resta comunque un’ulteriore ambiguità neH’infinìta divisibilità che compare in questa ipotesi: vedremo ( par . 4·4·2), infatti, che in base alla moderna definizione di infinito, contro la nostra intuizione, esìstono diverse forme di infinito; in particolare una meno nume­ rosa, che è quella dei numeri naturali 1, 2, 3 ... e una più numerosa, che è quella dei numeri reali, cioè di tutti i numeri, compresi quelli con infiniti decimali che sì succedono senza una regola, come ad esempio π (pi greco), il rapporto fra la circonferenza e il diametro di un cerchio, che è uguale a 3,141592... L’ infinito “ più piccolo” viene anche chiamato “ numerabile” e quello più grande “ non numerabi­ le” . In questo contesto ci riferiamo all’infinito numerabile, anche 21

se, per la moderna teoria dell’infinito, i punti di un segmento sono un’infinità non numerabile; ma adesso questo non ci interessa. 3. Allora possiamo dire che C, per andare da a a b, deve percorrere una serie infinita di intervalli di spazio adiacenti, il primo dei quali è lungo 1/2 m, il secondo 1/4, il terzo 1/8 ecc., che possiamo così indicare: i

I

I

J_

2 ’ 4 ’ 8 ’ " ' 2" ” '·

( x)

La successione è simile a quella della figura la. Prendiamo, infatti, in considerazione solo il caso in cui Gianna si avvicina sempre di più alla meta, ma non arriva mai, tanto l’altro, cioè quello in cui non riesce neanche a partire, è simmetrico. 4. Dato che C si muove a velocità finita, cioè 1 m/s, per attraversare ognuno degli intervalli della successione (1) impiegherà una quantità finita di tempo. 5. Una somma infinita di numeri finiti non può che dare infinito, per cui C adopererà una quantità infinita di tempo per andare da a a b. Dunque C non arriverà mai a destinazione. Vediam o così che i dubbi instillati da Zenone a Carlo hanno un certo fondamento logico. A una mente matematicamente educata apparirà subito qual è la fallacia nel ragionamento di Zenone, cioè l’enunciato del punto 5: “ Una somma infinita di numeri finiti non può che dare infinito” . Infatti, noi possediamo la matematica per affermare che la somma infinita dei membri della successione (1) dà l e non infinito (cfr. riquadro di approfondimento a p. 61). Detto questo, in un certo senso, si potrebbe affermare che la questio­ ne sia risolta. In realtà un esame storico-filosofico dell’argomento appena presentato aiuterà a comprendere molti aspetti non banali sullo spazio, il tempo, la loro quantificazione e Γinfinito.

d.C .) è noto soprattutto per averci trasmesso un ampio trattato sulle biografie dei filosofi greci. N el v i libro di tale volume si raccontano le vite dei cosiddetti “ cinici” , e in particolare di Diogene di Sinope - quello che viveva in una botte, per intenderci. Secondo Diogene Laerzio, Diogene di Sinope, quando qualcuno provò a dimostrargli che il moto non esiste, si alzò in piedi e se ne andò. È probabile che la prova propostagli si basasse sugli argomenti di Zenone. E la risposta divenne proverbiale come solvitur ambulando (si risolve camminan­ do), come a dire che bisogna basarsi sull’esperienza e sulla pratica per risolvere questo problema. Il senso performativo del gesto di Dioge­ ne di Sinope non è però risolutivo, poiché è vero che il movimento è empiricamente evidente, ma l’esperienza potrebbe comunque esse­ re ingannevole, soprattutto se la logica ci mostra che il movimento è impossibile. Si può anche dire così: molti sono d’accordo che il movimento è evidente e che coloro che lo ritengono un’ illusione sono sulla strada sbagliata; ciò malgrado dobbiamo dimostrare in che senso i loro argomenti sono fallaci, cioè ci resta il compito di sostenere argomentativamente l’opinione più comune.

2.3. La soluzione dì Aristotele I passi significativi per compren­ dere la discussione aristotelica della Dicotomia sono sostanzialmente tre e li riportiamo per intero qui di seguito. a) Il primo [argomento] intende provare l’inesistenza del movimento per il fatto che l’oggetto spostato deve giungere alla metà prima che al termine finale: ma questo ragionamento noi l’abbiamo demolito nei discorsi precedenti ( Fisica, 239b, 11-14, trad. it. 1973 p. 160).

b) Perciò è falsa l’assunzione fatta nell’argomento di Zenone, che in un tempo finito è impossibile attraversare infinite cose 0 toccare una ciascuna infinite cose. Difatti, tanto la lunghezza quanto il tempo, e, in generale, ogni cosa continua si dicono infiniti

2.2. Il solvitur ambulando di Diogene il Cinico Prim a di

in due sensi, cioè 0 relativamente alla divisione 0 per gli estremi. Invero, in un tempo

affrontare la soluzione aristotelica del paradosso, vale la pena segui­ re un aneddoto, che in realtà riguarda tutti i paradossi di Zenone, contro la possibilità del m ovimento. Diogene Laerzio ( in secolo

finito non è possibile toccare cose infinite relativamente alla quantità, ma è possibile

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toccare cose infinite relativamente alla divisione, giacché in questo senso anche il tempo stesso è infinito. Sicché risulta che è nel tempo infinito, non nel tempo finito,

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che si attraversa l’infinito, e che è con gli infiniti [momenti], non con i finiti, che si toccano infinite cose (Fisica, 2333,21-30, traduzione di F, Repellini). c)

Allo stesso modo si deve replicare a chi, riprendendo l’argomento di Zeno­

ne, domanda se ammettiamo che la metà debba essere attraversata ogni volta, e che queste metà sono infinite, e che quindi è impossibile aver attraversato infinite cose; oppure ad alcuni che domandano in modo diverso, assumendo che insieme al percorrere la metà si ha il contare una ciascuna ogni metà che anteriormente si genera, sicché, una volta attraversata l’intera linea, risulta che si è contato un nume­ ro infinito; e su questo, c’è accordo che è impossibile. Invero, nelle prime discussioni sul movimento abbiamo dato una soluzione dell’aporia, basandoci sul fatto che il tempo ha in sé stesso infinite [parti]; infatti, non c’è nulla di assurdo nell’assumere che in un tempo infinito si attraversino infinite [parti]: l’infinito inerisce allo stesso modo alla lunghezza e al tempo. Ma questa soluzione è sì sufficiente per rispondere a chi fa quelle domande (giacché la questione era se è possibile attraversare 0 conta­ re in un tempo finito infinite [parti]), però non è sufficiente riguardo alla cosa e alla verità. Infatti, se uno lascia da parte la lunghezza e la questione se è possibile attra­ versare in un tempo finito infinite [parti], e studia queste questioni riguardo al tempo stesso (giacché il tempo contiene infinite divisioni), allora questa soluzione non sarà più sufficiente; si deve invece asserire il vero, quello che abbiamo enunciato subito sopra. Se si divide la linea continua in due metà, ci sì serve di un solo punto come di due; infatti, ne facciamo un inizio e una fine; così fa sia chi conta sia chi divide in metà. Se si divide così, non saranno continui né la linea né il movimento. Infatti, il movimento continuo è dì un continuo, e in ciò che è continuo sono sì presenti infinite metà, però non in atto, bensì in potenza. Se si pongono metà in atto, non si produrrà un movimento continuo, bensì si produrrà arresto: proprio questo è chiaro che risul­ ta nel caso di chi conti le metà, giacché gli è necessario contare un solo punto come due; infatti, esso sarà la fine di una metà e l'inizio dell’altra, qualora non si conti la linea continua come una, ma come due metà. Sicché a chi domanda se è possibile attraversare infinite (parti) 0 nel tempo 0 nella lunghezza, si deve rispondere che in un senso è possibile, in un senso no. Se sono infinite in atto, non è possibile, se sono in potenza, è possibile. Infatti, chi si muove in modo continuo ha attraversato per accidente infinite (parti), ma in senso assoluto no: è accidentale per la linea essere infinite metà, ma è altro la sostanza e l’essere della linea (Fisica, 263a/»-b9; traduzio­ ne di F. Repellini).

Il frammento a presenta brevemente il paradosso e presumibilmente rimanda al passo b. Quest’ultimo è inserito in quella parte della Fisi­ ca in cui si discute il continuo. In particolare Aristotele ha appena dimostrato che se la grandezza (lo spazio) è infinitamente divisibile 10 è anche il tempo (cfr. PAR. 2 .7). Dopo di che egli osserva che: «Nella metà di un dato tempo si percorre la metà di una data gran­ dezza e, insomma, in un tempo minore una grandezza minore: iden­ tiche, infatti, saranno le divisioni del tempo e quelle della grandezza» (Fisica, 233a, 14-17, trad. it. 1973 p. 142). Subito dopo Aristotele attacca con l’argomento di Zenone. Per cui possiamo con ogni probabilità parafrasare così il ragionamento dello Stagirita: abbiamo appena mostrato che non solo lo spazio (grandez­ za; M et., ìozoa, 9 ss.), ma anche il tempo è infinitamente divisibile. Inoltre, le divisioni del tempo possono essere in corrispondenza con quelle dello spazio. La divisione dello spazio che compare nel para­ dosso non è secondo le estremità (cioè non stiamo parlando di uno spazio infinito), ma secondo la divisione, ovvero è uno spazio finito infinitamente divisibile. Anche il tempo lo è. Quindi, non abbiamo una corrispondenza fra uno spazio infinito e un tempo finito, ma fra spazio e tempo infiniti nel senso della divisione. Questa è una prima ragionevole soluzione aristotelica del paradosso, che riformuleremo con maggiore precisione nel paragrafo 2.9. 11 frammento c viene subito dopo che Aristotele ha discusso se un punto del moto di un corpo sia in atto o in potenza; e conclude che se è un punto in cui il corpo arriva e riparte - come ad esempio l’estre­ mo di un moto pendolare —allora è in atto, altrimenti un punto in mezzo a un moto è solo in potenza. N ell’argomentazione che segue sulla Dicotomia utilizzerà questa conclusione. Dopo di che Aristote­ le presenta nuovamente il paradosso; poi ricorda brevemente la sua soluzione e con ogni probabilità fa riferimento a quanto detto nel passo b. A questo punto egli nota un ulteriore aspetto dell’ argomen­ to di Zenone, che non è riconducibile al fatto che per percorrere un insieme infinito di spazi finiti occorrerebbe un tempo infinito, ma che in generale non sia possibile compiere un insieme infinito di atti, per il semplice fatto che l’infinito non ha un ultimo termine (Faris, 25

1996, pp. 14-7; White, 1992, pp. 168 ss.)· In altre parole non sarebbe possibile che il corpo C andasse d a a z b , perché dovrebbe compiere un’infinità di attraversamenti e un’infinità non ha un termine finale, per cui non può arrivare in b. Questo varrebbe indipendentemente dalla lunghezza degli intervalli. In altre parole, qui Aristotele si sta ponendo con ogni probabilità il problema che i moderni teorici dei supercompiti (ossia realizzare un numero infinito di atti in un tempo finito) sollevano rispetto alle soluzioni standard del paradosso della Dicotomia, cioè a quelle basa­ te sul fatto che la successione Sn = 1 - 1 / 2 ” per n che tende all’infinito tende a 1 (cfr. riquadro di approfondimento a p. 42). Per comprendere l’importanza della successione S n per la D ico­ tomia, riconsideriamo la successione infinita (x): 1/ 2 ,1/ 4 ,1/ 8 ... Il termine generico di questa successione è 1/2”. M ano a mano che n tende all’infinito esso misura quanto manca al corpo C per arrivare a destinazione. Sappiamo che il tragitto complessivo di C è lungo 1, quindi la successione Sn = 1 —1/2" rappresenta lo spazio percorso dal corpo C. Si può facilmente mostrare che tale successione, se n tende all’infinito, tende a x, visto che x/2” tende a 0. Dunque una somma infinita di intervalli non è detto che sia uguale all’infinito e il corpo può arrivare a destinazione. In termini moderni il problema dei supercompiti è duplice: in primo luogo non si comprende come si possa realizzare un numero infini­ to di moti in un tempo finito, indipendentemente dal fatto che la loro somma abbia lunghezza finita; in secondo luogo, il fatto che la successione S ntenda a x per n che tende all’infinito riguarda i termini della successione e non il punto d’arrivo; x, infatti, non è un membro di tale successione. Quindi, avendo dimostrato che Sn tende a x non abbiamo ancora provato che il corpo C arrivi a destinazione. Quando, nel frammento c Aristotele afferma: Infatti, se uno lascia da parte la lunghezza e la questione se è possibile attraversare in un tempo finito infinite [parti], e studia queste questioni riguardo al tempo stesso (giacché il tempo contiene infinite divisioni), allora questa soluzione non sarà più sufficiente.

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È probabile che si ponga proprio il primo dei due nuovi problemi. Q ui la questione non è più quella della finitezza del tempo e della lunghezza degli intervalli, ma quella di esaurire un compito infinito. La risposta di Aristotele a questo problema, è, come quasi sempre, straordinaria e verrà riscoperta da Griimbaum (X968, pp. 78 ss.) più di 2.000 anni dopo. La possiamo parafrasare come segue; il tratto di spazio ab, che il corpo C deve percorrere, può essere inteso in due sensi: o come continuo, cioè, secondo la definizione (Fisica, 227a, xo ss.) in modo che non ci siano limiti interni, oppure spezzettato in infiniti intervalli. N el primo caso gli infiniti intervalli sono solo in potenza, nel secondo sono, invece, in atto. N on ci sono problemi a percorrere infiniti intervalli in potenza, mentre è ovvio che è impos­ sibile attraversare infiniti intervalli in atto. Infatti, se gli infiniti inter­ valli sono in potenza di fatto il corpo C li percorre solo accidental­ mente, mentre se sono in atto, allora sorge il problema. U na delle caratteristiche della scienza moderna è quella di aver rinunciato alla distinzione fra potenza e atto. N on tanto perché nella nostra ontologia non possiamo ammettere enti possibili oltre a quelli reali - cosa che molti filosofi fanno - quanto perché un ente possibile è quasi sempre individuato in modo impreciso. A d esempio, si noti la differenza fra queste due semplici definizioni: “ L’insieme dei vestiti che si trova nel mio arm adio” ; “ L ’insieme dei vestiti che potrebbe trovarsi nel mio armadio” . Il primo insieme è perfettamente deter­ minato, mentre il secondo non è definito con esattezza. Dunque, anche se la risposta aristotelica all’xxlteriore problema che abbiamo posto è ragionevole, essa non è del tutto adegixata rispetto ai nostri standard di rigore. La distinzione fra divisione infinita in atto e in potenza è stata in un certo senso resa con precisione da Grùnbaum mediante la contrap­ posizione fra staccato-run e legato-run. Il prim o funziona così: il corpo C per andare da a a b, che distano x m l’uno dall’altro, impie­ ga, come sappiamo, x s; proviamo a immaginare che il moto di C sia così strutturato: nel primo quarto di secondo percorre mezzo metro, poi sta fermo un quarto di secondo; nell’ ottavo di secondo successivo percorre un quarto di metro e poi sta fermo un ottavo di secondo e 27

così via. È chiaro che in questo caso C percorre un numero infinito di intervalli di spazio staccati l’uno dall’altro, cioè —direbbe Aristo­ tele —in entelechia (in atto). Il legato-run, invece, è il percorso senza interruzioni. Per esso il problema non si pone neanche, perché di fatto si tratta di un unico moto. C ioè la questione di esaurire un numero infinito di compiti non sussiste. Anche così si potrebbe ancora obbiettare: benché non dividiamo effet­ tivamente la distanza ab, resta il fatto che qualsiasi affermazione riguar­ dante la successione degli Sn non è detto che valga per il punto b, che non appartiene a essa. Com e giustamente nota Laraudogoitia (2009, par. 3.2), per risolvere definitivamente questo problema, occorre invo­ care una sorta di “principio di continuità” : ovvero se lo spazio è conti­ nuo, allora non sussiste nulla fra la serie infinita degli intervalli compresi in ab e il punto d’arrivo b. Per cui il corpo C non può che arrivare in b. Questo non solo vale per la fisica contemporanea, ma era vero anche per Aristotele (cfr. White, 1992, p. 147). In definitiva Aristotele nel frammento b affronta con i suoi limitati mezzi il problema di attraversare un insieme infinito di spazi finiti in un tempo finito e nella seconda parte del frammento c mostra come sia possibile esaurire un presunto insieme infinito di compiti. E giunto il momento di indagare con maggiore precisione la nozio­ ne di “ infinita divisibilità” , che lo Stagirita poteva usare in accordo con la sua distinzione fra potenza e atto - si tratta, infatti, di infinita divisibilità e non di infinita division e—mentre noi dobbiamo ragio­ nare in modo diverso.

2 .4 . Infinita divisibilità

N el passo 2 (PAR. 2.1) della nostra formulazione del paradosso della Dicotom ia abbiamo assunto che lo spazio fosse “ infinitamente divisibile” . Questa nozione circola ampiamente nella Fisica di Aristotele, ma dal nostro punto di vista non è sufficientemente precisa. O meglio, come vedremo nel para­ grafo 4.4, da Cantor in poi si interpreta l’infinita divisibilità di un segmento di spazio come l’affermazione che esso è costituito da un insieme infinito e non numerabile di punti. M a questo comporta una rivoluzione completa rispetto alla concezione aristotelica e non 28

solo, secondo la quale l’infinito può esistere solo in potenza, poiché qui si parla di infinito in atto. Per cui, se vogliamo restare nello spiri­ to dell’antico dibattito, dovremo provare a definire con rigore la nozione aristotelica inmitivamente ragionevole di infinita divisibili­ tà senza avvalerci del moderno concetto di punto matematico. La locuzione “ infinitam ente divisibile” che dobbiam o esplicare riguarda la fisica e non la matematica, perché nell’argomento della Dicotomia è un tratto di spazio che dovrebbe essere infinitamente divisibile. Inoltre, non ci stiamo chiedendo se lo spazio sia o meno infinitamente divisibile, ma quale sia il senso di questa espressione. Poniamoci innanzitutto il problema di come si possa procedere all’ in­ finito nella divisione. Anche se oggi i fisici teorici spesso prescindono completamente dalla struttura della percezione, sarebbe ragionevole supporre che quando introduciamo dei concetti della fisica ci atte­ nessimo almeno a un principio di percepibilità naturalisticamente inteso. Ovvero nelle nostre teorie fisiche possiamo ammettere solo quelle entità teoriche (non osservabili) per le quali siamo in grado di spiegare perché non le percepiamo o le percepiamo con una struttu­ ra decisamente diversa da come la teoria le delinea. Possiamo allo­ ra procedere nel modo seguente: diciamo che un tratto di spazio è infinitam ente divisibile se, presa una parte di esso piccola quanto si vuole, essa è divisibile. Potrebbe sorgere qualche dubbio sull’espres­ sione “ piccola quanto si vuole” , poiché sotto un certo lim ite di piccolezza non abbiamo nessuna possibilità fisica di controllare la divisibilità, comunque venga definita. Forse la tecnologia attuale ci consentirebbe di arrivare fino all’àngstrom, ma quale sia il limite non ha importanza perché è comunque finito. È quindi chiaro che l’espressione “ piccola quanto si vuole” ci porta nell’ambito dell’inos­ servabile. D ’altra parte possiamo concepire una tecnologia sempre più. avanzata, che ci consentirà di arrivare a livelli sempre più bassi, per cui anche se una parte piccola quanto si vuole non è osservabile, in linea di principio si potrebbe scendere nel piccolo sempre di più, per cui essa non è completamente avulsa dall’ambito della nostra percepibilità (in linea del resto con quanto avrebbe pensato Aristote­ le, che era fortemente empirista). 29

Dobbiam o affrontare adesso la seconda parte della nostra espres­ sione, cioè “ divisibile” . C he cosa siano dei tratti di spazio “ divisi” fra loro tutti lo sappiamo. Ad esempio nella seguente figura i tratti spaziali A e B sono divisi da una discontinuità percettiva. A

B

Il problema sta nello stabilire che cosa significhi che siano divis^z/z. Consideriamo per semplicità una striscia di spazio rettilinea senza divisioni percettive, come la seguente:

N el caso precedente una discontinuità sopravveniva rispetto alle due strisce —una bianca e una nera —per cui era semplice individuare alfinterno del continuo bidimensionale un continuo unidimensio­ nale che fungesse da divisore. In questo caso, invece, non possiamo procedere alla stessa maniera, dato che nella striscia non sussistono discontinuità percettive. Roeper (2006, p. 212) sostiene che, anche se non consideriamo la striscia senza divisioni percettive come costituita da linee unidimen­ sionali, tuttavia tramite i metodi di Dedekind e Cantor per definire i numeri reali (cfr. PAR. U-U-U) potremmo individuare al suo inter­ no dei continui unidimensionali che dividerebbero la regione. Se questo fosse vero, allora usando quelle procedure potremmo definire la divisibilità della striscia in questione. Occorrerebbe una discus­ sione dettagliata del problema, ma si ha la sensazione che i metodi del “ taglio” o di un insieme di regioni con proprietà di convergenza presuppongano la divisibilità della striscia, piuttosto che definirla. C i sono stati molti altri tentativi di rendere rigoroso l’antico concetto di infinita divisibilità, discuteremo però solo di quello di Brouwer. Atten e Dalen (2002, p. 517) affermano recisamente che «Brouwer è stato il primo a mostrare come incorporare nella matematica un punto già sottolineato da Aristotele: un insieme di elementi discreti 30

non può rappresentare il continuo geometrico o intuitivo». In altre parole il grande matematico olandese e fondatore deH’intuizionismo avrebbe trovato un modo per definire il continuo sulla base di una concettualizzazione simile a quella dell’infinita divisibilità di Aristo­ tele. Vediamo brevemente se questa affermazione è corretta. La tecnica sviluppata da Brouwer (1930), e ripresa da Kreisel (1968) e Troelstra (1983), a grandi linee procede nella maniera seguente. Consideriamo le sequenze grandi quanto si vuole di 0 e 1. Sequenze di fatto sempre finite, ma che sono aperte, cioè che si possono svilup­ pare indefinitamente nel tempo. Il numero di tali sequenze, per quanto grande quanto si vuole, è finito. Tuttavia è possibile renderlo infinito numerabile considerando tutte le sequenze che sono espri­ mibili algoritmicamente, cioè con regole del tipo: “ Il primo numero è 0; se un elemento è 0, il successivo è i e viceversa” . Questo algorit­ mo si sviluppa nella sequenza: 0 10 10 10 1... Sappiamo che l’insieme di questo tipo di sequenze è infinito numerabile. C hi è rigorosamen­ te intuizionista (Swart, 1992) - cioè non ammette nessun tipo di oggetto che non sia effettivamente costruibile avendo a disposizione un tempo lungo quanto si vuole —non accetterebbe questo passag­ gio, che effettivamente neanche Brouwer accolse, perché non è stata fornita una definizione intuizionista della nozione di sequenza che si sviluppa sulla base di una legge algoritmica. Possiamo tuttavia ampliare ulteriormente il numero di sequenze, considerando tutte le sequenze il cui principio generatore è del tutto libero, cioè non è determinato da una legge algoritmica. Vedremo nel paragrafo 4.4.4 che per il teorema della diagonale di Cantor tale numero è infinito più che numerabile. Q ui bisogna però procedere con molta cautela. La matematica intuizionista ha necessariamente un elemento intensionale, cioè i suoi oggetti non possono essere iden­ tificati come insiemi infiniti di elementi, cosa che, invece, accade nella cosiddetta “ matematica classica” . Nella matematica intuizionista, che ammette solo oggetti effettivamente costruiti da processi mentali, da un punto di vista estensionale, il numero di sequenze libere, come vengono chiamate, è necessariamente finito, perché non possedia­ mo nessuna regola per sapere come estendere indefinitamente tali 31

sequenze, essendo, appunto, libere, e per Brouwer tali sequenze devo­ no avere un numero finito di elementi, per quanto grande quanto si vuole. N oi sappiamo, però, che essendoci un numero infinito più che numerabile di sequenze infinite di o e 1, quelli che potremmo chiama­ re “ i principi intensionali di generazione di tali sequenze” sono un’in­ finità più che numerabile, anche se non li possiamo rappresentare tutti algoritmicamente. E possibile fornire degli assiomi che determi­ nano questa infinità più che numerabile di sequenze libere. Possiamo poi considerare ognuna di queste sequenze come la generatrice di una possibile divisione di un continuo, associando a l l’operazione “ dividi a metà e prendi la parte destra” , mentre a o “ dividi a metà e prendi la parte sinistra” . Diciamo allora che qualcosa è infinitamente divisibile quando è rappresentabile come l’unione di tali sequenze. La procedura di costruzione del continuo appena delineata ha molte­ plici vantaggi. In primo luogo, le divisioni non sono mai ben defi­ nite, poiché di fatto la sequenza viene progressivamente individuata nel tempo, per cui esse non sono così puntuali come i numeri reali o i punti di un segmento; hanno cioè sempre una sorta di alone di indeterminazione, il che le rende più vicine all’intuizione. In secon­ do luogo, il numero delle divisioni possibili è infinito più che nume­ rabile, per cui il paradosso di Zenone del Grande e del Piccolo (cfr. CAP. it) non può essere formulato. In terzo luogo, per una tale strut­ tura è possibile dimostrare il teorema della non separabilità, che affer­ ma che, presi due gruppi di divisioni A e B tali che assieme costitui­ scano l’intero continuo e che non hanno alcun elemento in comune, necessariamente o A o B b uguale alla totalità delle divisioni. Questo significa che il continuo così costituito è effettivamente continuo, cioè non è un insieme di punti. Sembra, quindi, che l’affermazione iniziale di Atten e Dalen sia corretta. M a, come notato da Swart (1992), tale metodo non è del tutto intuitivo, poiché non esiste nessuna procedura effettiva per determinare l’insieme delle sequenze guidate da una legge né di quelle libere, per cui resta un ineliminabile elemento di astrattezza. Inoltre, la procedura presuppo­ ne i numeri 0 e 1 come entità autonome e non come caratteristiche immanenti alle cose. Infatti, Aristotele (Fisica, 2i9b, 5 ss.) ammette solo 32

numeri nel senso di ciò che è numerato o numerabile. Questo si river­ bera anche nelle operazioni che abbiamo associato a 0 e 1, cioè “ dividi a m età... ” , Infatti, dividere a metà presuppone che si sia già individuato con precisione un punto del continuo. Rimaniamo quindi dell’idea che, nonostante il fàscino della proposta intuizionista, la nozione aristo­ telica di infinita divisibilità resti molto difficile da formalizzare. In definitiva, per precisare il senso del passo 2 del nostro argomento, dobbiamo rivolgerci al moderno concetto di punto matematico che introdurremo nel prossimo paragrafo, per poi discuterlo più ampia­ mente nel capitolo 4.

2.5. Definizione basata sulla nozione di densità N ella prospettiva di Aristotele “ essere infinitamente divisibile” ed “ essere composto da indivisibili” sono due proprietà in contraddizione, cioè tali che l’una esclude l’altra. Egli, infatti, contro l’atomismo, dedica molti sforzi a dimostrare rinfinita divisibilità di spazio e tempo. La ragione intuitiva di tale contraddizione è che, se qualcosa è compo­ sto da indivisibili dì grandezza finita non può che contenerne un numero finito, visto che qualsiasi cosa nell’universo aristotelico, compreso l’ universo stesso, è di dimensioni finite. N ella prospet­ tiva moderna, invece, introdotta da Cantor, “ essere composto da indivisibili” e “ contenere un numero infinito di indivisibili” non sono due proprietà in contraddizione, neanche per un’entità finita. A patto che, come vedremo meglio nel capitolo 4, l’infinito sia più che numerabile. D unque un segmento può essere composto da un’infinità più che numerabile dì punti. Il punto è un particolare tipo di sottoinsieme del segmento che ha la caratteristica di non possedere sottoinsiemi propri (un sotto insieme A dell’insieme B si dice proprio quando non coincide con B ). Un segmento deve poter contenere infiniti punti, dato che i punti sono inestesi e quindi in un segmento ce ne possono stare quanti se ne vuole. Per adesso alla domanda come può l’unione dì un insieme anche infinito dì punti inestesi formare qualcosa di esteso, come il segmento stesso, non rispondiamo. N e riparleremo alla fine del capitolo 4. 33

Vedremo meglio che cosa significa un insieme continuo di punti, per ora è importante afferrare la distinzione fra un insieme infinito di punti ma discreto e un insieme denso. Per cogliere tale differenza, si pensi alla diversità fra i numeri naturali 1 , 2 , 3 . . . e i numeri razionali, cioè le frazioni. I numeri naturali, pur essendo infiniti, sono tali che fra due di essi non sempre c’è un terzo elemento, così ad esempio il numero 3 segue immediatamente il z. Per contro i numeri razionali sono tali che fra due di essi è sempre possibile trovarne un terzo, per quanto vicini li si scelga. Infatti, prese due frazioni quanto si vuole vicine fra loro, quali ad esempio 99/100 e 98/100, ne individuiamo facilmente un’altra che è più piccola della prima e più grande della seconda, come 985/1.000. Lo stesso accade fra 985/1.000 e 986/1.000; basta scegliere 9.855/10.000 e così via. Si può vedere un fenomeno analogo anche con la rappresentazione dei numeri razionali median­ te numeri decimali: fra 0,99 e 0,98 c’è almeno il numero 0,985, fra 0,985 e 0,986 c’è almeno il numero 0,9855 ecc. U n insieme infinito che ha questa caratteristica si dice denso. Per quello che dobbiamo dire per adesso a proposito della Dicotomia, basta ipotizzare che lo spazio sia denso, cioè che un segmento di spazio contenga una quantità infinita di punti tali che presi due qualsiasi di essi, per quanto vicini, è sempre possibile trovarne uno che stia fra loro. Questa nozione, non coinvolgendo l’infinito più che numerabi­ le, è più vicina al concetto antico di infinitamente divisibile.

2.6. Lo spazio è un insieme denso di punti? Quando si propo­ ne un’ipotesi matematicamente esatta sulla natura di un oggetto reale, è opportuno confrontarla con la percezione (Grùnbaum, 1968, p. 44). Questo perché, anche se la percezione è parzialmente illusoria, essa è la prima nostra fonte di conoscenza e quindi va rispettata. U n continuo spaziale percepito, come ad esempio un tratto di matita nera su un foglio bianco, non viene colto come un insieme denso di punti. Certo possiamo definire in esso dei m inim i percepibili, considerando che la percezione visiva spaziale possiede una soglia. Possiamo anche dire che esso è in potenza formato da un insieme finito e discreto di minimi percepibili. M a tali m inim i non risultano

evidenti attualmente. Possiamo quindi affermare, con Grùnbaum , che la percezione non testimonia contro l’affermazione che lo spazio sia composto da un insieme denso di punti, anche se non testimonia neanche a favore di questa tesi. L’argomento più forte a favore del fatto che lo spazio fisico sia compo­ sto da un insieme denso di punti è, invece, il successo delle attuali teorie fisiche: meccanica classica, meccanica quantistica, relatività ristretta e generale, elettromagnetismo, elettrodinamica quantistica e modello standard. Tutte queste teorie presuppongono uno spazio fisico denso (in realtà continuo), per cui, se abbracciamo una forma di realismo scientifico, anche moderato, arriviamo alla conclusione che, per quanto ne sappiamo, lo spazio fisico è denso. Il realismo scientifico moderato, infatti, afferma che le migliori spiegazioni di un dato dominio di oggetti sono almeno in parte vere anche riguardo a ciò che non è osservabile. Dove il termine “ vere” va inteso nel senso della verità come corrispondenza. Dunque è ragionevole supporre che lo spazio fisico sia effettivamente denso.

2.7 · La densità del tempo

N el paragrafo precedente abbiamo esaminato i motivi a favore della tesi secondo cui lo spazio è denso, che è una premessa dell’argomento di Zenone. Abbiamo anche detto che la soluzione aristotelica del paradosso si basa sull’infinita divi­ sibilità del tempo (PAR. 2.3). D unque se vogliam o formulare una soluzione che sia consona allo spirito dello Stagirita, ma che rispet­ ti i nostri standard di rigore, dobbiamo argomentare a favore della densità del tempo. Per discutere il problema, così come abbiamo fatto nel caso dello spazio, dobbiamo prendere in considerazione un esempio concreto. Là era stata la spazialità insita in un tratto di matita su un foglio bianco, qui potrebbe essere la temporalità di una palla che si muove su una pista di bowling. Ciò che differenzia la palla da bowling dal tratto di matita è il movimento. Tratteremo a lungo questo concetto nel capitolo 5, adesso però notiamo che ci sono almeno due diver­ se concezioni del movimento che si contrappongono: la cosiddet­ ta “ teoria at-at” , secondo la quale “ essere in m ovim ento” signifi­ 35

ca “ essere in luoghi diversi in istanti diversi” , e quella aristotelica, secondo la quale il movimento è l’atto di ciò che è in potenza in quanto in potenza (ad es. Fisica, zoia, 10-11 e aoib, 4-5), La prima è una teoria precisa e, di fatto, è quella accettata dalla maggior parte degli studiosi, ma è non solo poco intuitiva, ma anche problemati­ ca, perché implica, come vedremo (PAR. 5.5), una radicale forma di indeterminismo. La seconda, invece, è oscura, ma rende certamente meglio l’idea del movimento come qualcosa di non rappresentabile in modo completo nello spazio e nel tempo (cfr, riquadro di appro­ fondimento). Per fare un esempio, la teoria at-at afferma che se Gian­ na alle 15.20 è in camera sua e alle 15.21 è in cucina, allora si è mossa. Per Bergson (1889, pp. 64-70) questo non è il movimento, ma “ il già mosso”, cioè un fatto compiuto. In effetti, se Gianna sparisse dalla sua stanza alle 15.20 e ricomparisse in cucina alle 15.21 non potremmo dire che fra le 15.20 e le 15.21 si stava muovendo, possiamo al massi­ mo dire che si è mossa, cioè che non è più nello stesso luogo. Per Aristotele, invece, il movimento implica necessariamente un’analisi ontologica in termini di ciò che è attuale e di ciò che è potenziale. In prima approssimazione potremmo dire che il movimento è Fattuali­ tà di una potenzialità. Ad esempio, Gianna nella sua camera potrebbe andare in cucina, e fra le 15.20 e le 15.21 realizza questa possibilità. Se questa fosse stata la definizione aristotelica di movimento, di nuovo faremmo confusione con il già mosso, cioè il passaggio dalla potenza all’atto sarebbe solo un modo ontologicamente diverso di descrivere qualcosa di simile a quello che racconta la teoria at-at. È forse per questa ragione che Aristotele aggiunge quella strana postilla: il movi­ mento è l’attualità di una potenzialità in quanto in potenza. Infatti, quel “ in quanto in potenza” sta a indicare che non stiamo parlando di “ già mosso” , ma di movimento, cioè questo passaggio deve conte­ nere in sé ancora potenzialità, ossia deve essere qualcosa di incom­ pleto (Brentano, 1862, pp. 52 ss.; Kostman, 1987; Ross, 1936, p. 45). Tutto ciò è molto interessante, ma irrimediabilmente impreciso (cfr. White, 1992, pp. 96-101). Possiamo migliorare la teoria at-at del movimento dicendo che la palla da bowling è in moto in un ceno istante t se, preso un lasso di 36

tempo t piccolo a piacere, che comprende t, in istanti diversi di ts essa sì trova in luoghi diversi. In pratica, affinché ci sia movimen­ to, deve esserci continuità del moto. In questo modo, usando una procedura ispirata al metodo rigoroso di Weierstrass, abbiamo reso un po’ più intuitiva la teoria at-at (Russell, 19 14 K p. 139). Dunque, data questa definizione del movimento, viene naturale affermare che la palla da bowling si muove nel lasso di tempo At, se si muove in tutti gli istanti che appartengono a At. Detto questo, vediamo subito qual è la differenza rispetto alla teoria at-at nuda e cruda: infatti, per quest’ultima, affinché Gianna si muova è sufficiente che si trovi alle

©

Aristotele e il movimento

L'interpretazione del concetto di movimento in Aristotele che abbiamo accolto nel testo non è l'unica possibile. Per quanto riguarda la teoria aristotelica del movimento, sulla base del passo Fisica, 20la, 30 ss., la maggior parte degli interpreti, ad esempio Hussey (1983, pp. 58 ss.) e Kosman (1969), sostiene che il senso è il seguente: chiamiamo c il corpo che sì muove e C la proprietà che resta invariata durante il movi­ mento, mentre A e fi sono rispettivamente la proprietà che c perde e quella che cacquista. Allora questi autori sostengono che il movimento non è ìl passaggio da c(C, A) a c(C, B), ma il passaggio da c(C, A, pBj a c(C, 6), dove con pB indichiamo la potenza di essere B. In realtà questa interpretazione non va d’accordo con quanto Aristotele dice, subito dopo, del movimento implìcito ìn una costruzione e ancora del fatto che ìl movimento è un atto incompleto. C’è anche un’altra interpreta­ zione, dovuta a Heìnaman (1994), secondo cui il movimento sarebbe ìl passaggio da c(C, pM) a c(C, B), dove pM sarebbe la potenzialità di muoversi. A questo si riferirebbe la postilla “in quanto in potenza”. Nel testo, fra tutte le possìbili interpretazioni, abbiamo scelto non tanto quella storiograficamente più fondata, quanto quella teoricamente più interessante. In questo senso un corpo inizia a muoversi quando passa da c(C, A) a c(C, pB), cioè quando non è più A ed è in potenza B. Si veda anche Anagnostopoulos (2010).

37

15-20 in camera sua e alle 15.21 in cucina, mentre per la teoria at-at modificata questo non basta, perché deve muoversi anche in tutti gli altri istanti. Com e vedremo meglio nel capitolo 5, questa definizione lascia dei problemi aperti, però è probabilmente il meglio che abbiamo potuto fare a tutt’oggi, grazie al genio di Weierstrass. Se il movimento è questo e siamo certi che la palla da bowling sia in movimento, allora il tempo non può che essere denso, perché nella nostra definizione di movimento abbiamo introdotto il concetto di “ lasso di tempo piccolo a piacere” che ha senso solo se il tempo è infinitamente divisibile o meglio, in termini moderni, denso. Però, conformemente alla nostra ottica empirista, dobbiamo prendere in considerazione anche che cosa dice l’esperienza. Secondo molti autori il tempo percepito, a differenza dello spazio, sarebbe discontinuo. Si vedano ad esempio autori classici come James (1911,passim) eW hitehead (1929,passini), ma anche contem­ poranei quali Griinbaum (1968, pp. 45 ss.) e Dumm ett (2000); di opinione opposta è, invece, M ckie (1987). La temporalità vissuta, infatti, sarebbe scandita dal farsi presente di situazioni successive. Tuttavia sembra più naturale affermare che, cosi come nel caso dello spazio, la continuità o discontinuità della temporalità dipenda dalla struttura percettiva di ciò che stiamo percependo: cioè se percepiamo il movimento della palla da bowling la sua temporalità sarà continua, mentre se stiamo percependo il battito del nostro cuore la tempora­ lità sarà discontinua. Questa tesi del resto è confermata anche dai più recenti studi di psicologia cognitiva (Fingelkurts, Fingelkurts, 2006). Dunque, dal punto di vista percettivo, rispetto al tempo siamo in una situazione simile a quella dello spazio, cioè non lo percepiamo necessariamente come composto da un numero finito di m inim i indivisibili, né però, ovviamente, la percezione testimonia a favore della tesi secondo cui sarebbe composto da un insieme infinito di istanti. Anche in questo caso, tuttavia, possiamo affermare, come abbiamo fatto per lo spazio, che le m igliori teorie fisiche presup­ pongono che il tempo sia denso; perciò abbiamo buone ragioni per 38

Θ

L'argomento di Griinbaum

Chiamiamo “fatto” una certa entità fisica Cminimamente individuata che si trovi a un certo istante in un determinato luogo. Se una stessa enti­ tà fisica si trova nel punto spaziale a al tempo fffe nel punto spaziale bai tempo tb, diciamo che i due fatti Fa e Fbsono “genidentici”. La relazione di genidentità è una sorta di primitivo. Partiamo da questo principio. In tutte le teorie fisiche attuali, presi due qualsiasi fatti genidentici Foe

Fp se a è diverso da b, allora taè diverso da tb. Qui dovremmo prendere in considerazione la non località quantistica, in accordo con la quale sembrerebbe che una particella possa stare in due luoghi diversi simul­ taneamente, anche se in modo probabilistico. Tuttavia la meccanica quantistica è una teoria che non può essere interpretata realisticamente (Tarozzi, 1981), per cui questa non località è più un fatto matematico che una caratteristica del mondo. Inoltre, più che non località, si tratta di non separabilità, per cui l’oggetto fisico unico si trova, in un certo senso, in un unico ampio luogo che comprende a e b (cfr. Fano, 2004). Ora viene il punto ontologico fondamentale che rende possibile il trasferimento della densità dello spazio al tempo. Se F0e Fòsono duefatti genidentici, con a diverso da b, allora esiste un insieme lineare e denso di fatti genidentici rispetto a Fa e Fbche ha Fae Fbcome estremi, ovvero la traiettoria del corpo Cda fifa b. Anche questo è vero in tutte le teorie fisiche contemporanee. Occorre riprendere in considerazione il caso della meccanica quantistica, che sembra violare tale principio, in quanto in generale non è possibile ricostruire la traiet­ toria delle particelle. Tuttavia, come dicevamo, la non località è in realtà una non separabilità. Per cui la traiettoria esisterà anche se sarà molto larga. Ora prendiamo una qualsiasi coppia di fatti genidentici Fa e Fb riguardanti il corpo C; essi, secondo il punto 1, non saranno simultanei. Ma, in base al punto 2, esisterà sempre un insieme denso e lineare di fatti (tutti genidentici con Foe FJ che ha come estremi FaeFb, chiamia­ molo Fab. Tutti gli elementi di Fabsono genidentici fra loro, dunque per il punto 1, nessun membro di Fabsarà simultaneo a un altro membro di Fab. Questo significa che esiste un insieme denso di istanti temporali.

39

ritenerlo tale. M a qui abbiamo un’ulteriore freccia al nostro arco. G ià Aristotele (Fisica, 233a, 13 ss.) afferma che a causa del moto, che lega lo spazio con il tempo, se uno è infinitamente divisibile anche l’altro lo sarà. L ’argomento aristotelico è stato inconsapevolmente riformulato da Griinbaum (1968, pp. 56 ss.; cfr, riquadro di appro­ fondimento). Possiamo dunque affermare che, una volta accettata la densità dello spazio, siamo naturalmente portati ad assumere anche quella del tempo.

2.8. Bergson e la spazializzazione del tempo Vale la pena notare che la tesi secondo cui il tempo sarebbe un insieme lineare di istanti è andata incontro a una critica radicale nel pensiero di Berg­ son (1889, pp. 50 ss.). Il filosofo francese prende le mosse dal fatto che l’unico vero principio di individuazione di cui disponiamo nella nostra rappresentazione è lo spazio; ovvero, se vogliamo rappresenta­ re un collettivo di entità, inteso come un insieme di unità, dobbiamo avvalerci della dislocazione spaziale delle unità stesse. Dopo di che egli nota che, mano a mano che ci inoltriamo nella profondità dei contenuti della nostra coscienza, ci rendiamo conto che essi perdono la loro individuazione e si compenetrano. Per cui Bergson distingue fra una temporalità spazializzata che dà origine al tempo della scien­ za e una durata in cui il tempo vissuto non è più un insieme di istanti che si susseguono. Dunque il tempo non sarebbe adeguatamente rappresentato da una serie lineare di istanti. A questa analisi Bertrand Russell (i9i4a, pp. 13 ss.) ha risposto che ci sono tre nozioni diverse di collettivo di unità che vanno tenute distinte, cioè un collettivo materialmente inteso, ad esempio “ dieci mele” , i singoli numeri, ad esempio “ dieci” , e il concetto generale di “ numero” . L’affermazione secondo cui per individuare i membri di un collettivo è necessaria la spazialità è vera solo per la prima nozione, cioè quella concreta (“ dieci mele” ). Perciò l’edificio argomentativo di Bergson poggerebbe su un piede instabile: non è vero che l’unico principio di individuazione delle entità è la loro dislocazione spaziale. A queste osservazioni il seguace di Bergson, H. Wildon Carr (Russell, i9i4a, p. 28), ha giustamente risposto che Bergson non ha affermato

l’impossibilità in generale di individuare un’unità senza la spazialità, ma l’impossibilità nell’ambito della nostra rappresentazione, ovvero Bergson si riferisce di fatto solo al primo dei tre concetti distinti da Russell, per cui l’analisi di Russell non è una critica, ma una confer­ ma di quanto afferma il filosofo francese. Dunque il problema posto da Bergson sembra restare in piedi. Premessa nascosta dell’argomento di Bergson è, però, che un concetto abbia valore scientifico solo se può essere rappresentato. Il tempo, nella fisica matematica, può essere definito senza alcun riferimento diretto alle nostre rappresentazioni, perciò chiamarlo “tempo spazializzato” è esagerato. Resta però il fatto che l’analisi standard del tempo nella scienza naturale non coglie tutti gli aspetti del tempo vissuto. Il filosofo italiano Vittorio Mathieu (1954, cap. 2) ha notato che per Bergson esistono una serie di piani diversi della temporalità: di quelli più esterni, dove vale un principio di individuazione quantitativo, cioè spazializzante, si occuperebbe la scienza naturale matematizzata, mentre per quelli più interni, in cui domina il qualitativo e lo spazio è assente, occorre un’analisi estranea alla scienza naturale. In pratica non possiamo negare la validità della rappresentazione dello spazio come insieme di istanti, anche se essa coglie solo una parte dell’am­ bito della temporalità. Bisogna però notare che questa distinzione raffigura forse in modo adeguato la situazione attuale delle nostre conoscenze, ma non è detto che permarrà in futuro. Ovvero, può essere che, nell’avvenire, sia possibile trovare opportune concettualizzazioni anche della dura­ ta, cioè degli aspetti più profondi del tempo, utilizzando strumenti diversi da quelli attuali (cfr. Fano, i996a, p. 225, e 2009).

2.9. Soluzione analitica del paradosso Possiamo cosi riassu­ mere la nostra argomentazione contro il paradosso della Dicotomia, restando il più possibile nello spirito di Aristotele. 1. Se lo spazio è un insieme denso di punti, allora anche il tempo è un insieme denso di istanti. 2. Allora il corpo C percorre l’intervallo di spazio i /Μ nel lasso di tempo 1 !M .

3-

La somma di tempi ©

1 2

8

Euclide e le serie

La Proposizione 35 del Libro ix degli Elementi di Euclide ha il seguente

2

(2)

si avvicina sempre di più. a ι senza superarlo. 4. Lo spazio è continuo, quindi C dopo 1 s arriverà effettivamente in b, cioè C non realizza un insieme infinito di compiti e non fa nessun salto per arrivare a destinazione. Per quanto riguarda il punto 1 vi abbiamo dedicato i paragrafi 2.6 e 2.7. Il fatto che la somma (2), presentata nel punto 2, non superi mai 1 è una cosa ben diversa dalla dimostrazione che essa converga a 1, lo dimostreremo nel successivo riquadro di approfondimento.

enunciato (Acerbi, 2007, p. 1223): «Qualora siano quanti mai si voglia numeri di seguito in proporzione continua, e siano sottratti sia dal secondo che d all’ultimo uguali al primo, sarà come l’eccesso del secondo rispetto al primo, così l’eccesso dell’ultimo rispetto a tutti quelli prima di sé stesso». I numeri in proporzione continua fra loro sono quelli in progressione geometrica: a, aq, aqz, aqz.... aq"

Dove n può essere grande a piacere (“quanto si voglia”). Il secondo è aq, l’ultimo è aq", il primo è a. Chiamiamo SM la somma di tutti i nume­ ri eccetto l’ultimo. Allora nel nostro linguaggio Euclide afferma che:

C D Snnon supera 1 Poniamo:

a q - a _ aq” - a a 5 „_,

„ 1 1 1 «S ——I--- Κ..Ί·--*

24

T

(3)

Da cui:

Dividiamo la (3) per 2 da entrambe le parti:

a(q"-l) -

s i i 1 1 -- ---- 1---K..4----1---— 2

4 8

T 2n*

(4)

Per cui:

Sottraiamo la (4) dalla (3) membro a membro, ottenendo:

__ i_ 2

sn= 5„_, +aq’‘ = 0

(f-X + t f - q q -1

( 6)

2

Cioè:

Dalla (5) si vede che n può diventare grande quanto si vuole, ma Sn non sarà mai maggiore di 1.

42

q- 1

Nella somma (3) a = q = 1/2. Sostituendo questi valori nella (6) otte­ niamo:

che è proprio la (5). Dunque Euclide - e forse anche Aristotele (Phys., 206b, 16 ss.) - conosceva la dimostrazione che Sn è sempre minore di 1.

Per risolvere la Dicotomia abbiamo deciso di usare questa afferma­ zione più debole, perché, contrariamente a quanto pensano molti studiosi (ad es. Huggett, 1999, pp. 42-3, e 2009, par. 3.3) è sufficiente (come mostrato da Grùnbaum, 1968, p. 72), e perché si tratta di un teorema che già Euclide, più giovane di Aristotele di poche decine di anni, conosceva, quindi non lontano dallo spirito dello Stagirita. Su tutto questo cfr. il riquadro di approfondimento alla pagina prece­ dente. Infine il punto 4 si riferisce alla questione dei supercompiti già esaminata nel paragrafo 2.3.

2.10. La m isurabilità del tempo N el paragrafo precedente abbiamo visto una riformulazione contemporanea della soluzione aristotelica del paradosso della Dicotomia. C i rimane però un ulti­ mo tassello. Siamo sicuri che possiamo sommare la lunghezza degli intervalli temporali esattamente come sommiamo i numeri? Ovvero, come si misura la lunghezza di un intervallo temporale e come si può presupporre che tali lunghezze siano additive? In effetti, se il tempo fisico è rappresentabile come un insieme lineare (cfr. riquadro di approfondimento) e denso di istanti, lo possiamo mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri razionali. Inoltre, possiamo costruire tale corrispondenza in modo che, se un istante è prim a di un altro, allora il numero corrispondente è minore e se è dopo allora è maggiore. Dopo di che possiamo facilmente definire la “ distanza temporale” o la “lunghezza di un intervallo temporale” fra

due istanti come la differenza fra i due corrispondenti numeri razio­ nali. In questo modo otteniamo una misura delle distanze temporali. C i chiediamo ora se tali distanze siano additive, cioè se esiste un’ope­ razione fisica, chiamiamola tale che presi due qualsiasi intervalli temporali Ta e Th, se vale Tau Tb = Γ , allora la lunghezza di T sia uguale alla somma della lunghezza di Z e di quella di Th. È chiaro che gli intervalli temporali non si possono spostare facilmente come quelli spaziali, però possiamo immaginare di formare l’intervallo Γ somma a partire dagli intervalli T e Tb, facendo iniziare Tt esatta­ mente quando finisce T . Dunque, l’operazione esiste, per cui la misura delle lunghezze temporali è additiva (Carnap, 1966, cap. 8). N e segue che possiamo applicare il semplice calcolo (3) - (5) per mostrare che la somma degli intervalli temporali non eccede mai l’unità. D i m odo che il paradosso della D icotom ia di Zenone, già risolto da Aristotele, anche rispetto alla fisica e alla matemati­ ca contemporanea, risulta superato. Ricordiamoci, però, che nella nostra analisi ci siamo spesso avvalsi di istanze fondate empiricamen­ te, cioè la nostra argomentazione non è stata meramente concettua­ le, per cui il futuro della ricerca empirica potrà modificare queste conclusioni.

(§ / Ordine lineare Una relazione R è lineare rispetto a un insieme T, quando, presi due qualsiasi elementi di T, t e t., R è tale che ovale t Rt.o t.Rt ; se t Rt., allora non tbRta e viceversa se tbRta non tRtb, se taRtb e tbRtc, allora taRtc. Cioè R è totale, antisim metrica e transitiva. Per gli istanti del tempo fisico (se non prendiamo in considerazione le curve di tipo tempo chiuse della relatività generale) Resiste, cioè è “prima di” 0 “dopo di”.

45

3. L’Achille In questo capitolo il nostro compito sarà più facile che nel preceden­ te, perché, come già osservato da Aristotele, l’Achille è logicamente molto simile alla Dicotomia. Tuttavia questo paradosso, anche per il suo andamento narrativo, è forse quello che ha avuto più succes­ so fra filosofi, scienziati e letterati, per cui racconteremo un poco anche la sua storia. Prenderemo le mosse dalla formulazione analiti­ ca del paradosso, per poi esaminare una serie di possibili soluzioni, tutte più o meno equivalenti. In seguito discuteremo brevemente la fantasiosa interpretazione del primo Russell e accenneremo alla vasta letteratura nata dal concetto di “ supercompito” . Concetto che, però, come vedremo, pur essendo interessante dal punto di vista metafisi­ co, non è molto rilevante per l’Achille in quanto tale.

In pratica il distacco fra Achille e la tartaruga diminuisce progressi­ vamente seguendo la successione:

(7) 4. Dunque per raggiungere la tartaruga Achille deve attraversare un insieme infinito di tratti spaziali. 5. M a per attraversare un insieme infinito di tratti spaziali occorre un tempo infinito, quindi Achille non raggiungerà mai la tartaruga. Una prima possibile soluzione potrebbe essere quella prospettata dal matematico francese Frontera (1892), il quale nota che se dividiamo il tempo della corsa fra Achille e la tartaruga in intervalli uguali T, la serie degli spazi percorsi dai due corridori sarà: sun - d + ( T + τ + T + ...) v

^

3.1. Formulazione del paradosso Risolto il paradosso della

sAci= ( J + T + T + . . . ) V

Dicotomia diventa relativamente facile affrontare il più famoso degli argomenti di Zenone, cioè quello della corsa fra Achille e la tartaru­ ga. L ’argomento può essere formulato come segue. 1. Lo spazio è un insieme denso di punti. D i questa premessa molto ragionevole abbiamo già discusso nel paragrafo 2.6. 2. Achille parte con una velocità costante Velai puntoci e si muove in linea retta verso il punto B, che è situato a una distanza dà&A·, da B parte la tartaruga con una velocità costante v minore di V, muoven­ dosi anch’essa in linea retta e nella stessa direzione. 3. Se la velocità media è uguale allo spazio percorso diviso per il tempo trascorso, allora, data una certa velocità media V, il tempo necessario per coprire una certa distanza d è uguale a d diviso per V. Perciò dopo un tempo t = d JV Achille arriva nel punto B. M a nello stesso tempo la tartaruga è arrivata nel punto C la cui distanza da B è d = t v , dato che la tartaruga viaggia a velocità v. Sostituendo in quest’ultima uguaglianza il valore di f , si ottiene d^ = dvIV. Dopo un ulteriore tempo ti = d J V = d vIV 1 Achille è arrivato nel punto C, ma la tartaruga sarà nel punto D la cui distanza da C h d i = d j v = di? IV 1.

Se T e diverso da 0 è chiaro che le serie (8) sono entrambe divergenti, cioè vanno all’infinito. Questo significa che Achille e la tartaruga non si muovono nel ristretto spazio in cui le limita Zenone. E anche ovvio che la serie sAch rapidamente supererà la serie sMri, dato che Vè maggiore di v, colmando il divario dato dallo svantaggio iniziale d. Tuttavia questa soluzione non è adeguata, perché mostra solo come si possa argomentare a favore del fatto che Achille superi effettiva­ mente la tartaruga, ma non spiega quale sia l’eventuale errore nel ragionam ento di Zenone. Il paradosso sta proprio nel fatto che abbiamo molte ragioni per pensare che Achille sorpassi la tartaruga e quindi non si comprende come mai si possa anche dimostrare il contrario. D i fatto, come nota Aristotele (Fisica, 239K 18-19), la soluzione del paradosso è molto simile alla precedente: «Questo ragionamento [l’Achille] è appunto quello della Dicotomia» (cfr. anche G rùn baum, 1968, pp. 105-9). Per cui la sua soluzione seguirà una via simile a quella tracciata nel capitolo precedente:

h6

W!

1. a partire dalla densità dello spazio occorre argomentare a favore della densità del tempo (PAR. 2.7); 2. bisogna poi mostrare che è possibile introdurre una metrica additiva per il tempo (PAR. 2.10); 3. T

infine, bisogna mostrare che la somma dei tempi d

dv

dv1

dv*4

V

V2

V3

Vn

-----+...

(9 )

non supera mai un certo limite finito. Q ui non è necessario ripetere le argomentazioni a favore dei punti 1 e 2, già illustrati. Per quanto riguarda il punto 3, invece, con un meto­ do simile al riquadro di approfondimento a p. 42, si dimostra che: r„ =

(10)

Siccome K è maggiore di v, vn/V ” sarà sempre minore di 1; 1 meno un numero compreso fra 0 e 1 dà un numero minore di 1, quindi la parte fra parentesi tonde dell’equazione (10) sarà sempre minore di 1. Ne segue che Γ sarà sempre minore di d / ( V - v). Dunque la somma (3) sarà sempre finita. Chiediamoci a questo punto quale sia il significato fisico della quan­ tità d ì{ V —v). Per quel che ne sappiamo, il primo che ha calcolato questa quan­ tità è stato Gregorio da S. Vincenzo, un matematico belga allievo di Clavio, che nel 1647 pubblica un voluminoso trattato dal titolo Quadratura circuii, in cui affronta il problema di Achille utilizzando la sua teoria delle serie infinite, uno dei primi abbozzi di tale discipli­ na della matematica moderna. Alla Proposizione 80 del Libro 11 della Parte n Gregorio dimostra che se prendiamo una serie di segmenti di lunghezza a, a!q, atq1. .. la loro somma infinita è pari a

Nella serie (9) abbiamo ehe a = d /V e q = V/v. Sostituendo questi valo­ ri nella (11) si ottiene che la somma infinita (9) è proprio d t { v - V). Gregorio conclude nello scolio alla Proposizione 87 che Achille raggiungerà la tartaruga esattamente dopo un tempo pari a di ( v - V). Che quello sìa ristante in cui Achille raggiunge la tartaruga lo vediamo anche in modo più semplice, usando la cinematica e senza fare appello alle serie infinite (Ushenko, 1946). Costruiamo due assi cartesiani e nelle ascisse rappresentiamo la posizione su s di Achille e della tartaru­ ga, mentre nelle ordinate il tempo che passa t (FIG. 2). Allora avremo che la posizione dì Achille in funzione del tempo sarà rappresentata dalla retta s = Vt, mentre quella della tartaruga dalla retta s = d + vt. Uguagliando le due ascisse, cioè le due posizioni, troviamo V t= d + vt, da cui t = dt{ V —v). Che è l’ordinata del punto 0 in cui si incontrano le due rette, cioè l’istante in cui Achille raggiunge la tartaruga. Dunque, se la somma (9) non supera mai la quantità d / ( V -v ), questo significa che il ragionamento di Zenone dimostra solamente che Achil­ le non raggiungerà mai la tartaruga nell’intervallo temporale d l( V -v ) , cioè prim a d i raggiungerla, il che è assolutamente ovvio. Il fatto che Aristotele fosse consapevole della logica sottostante alla soluzione del paradosso dì Achille, che abbiamo appena ricostruito, anche se forse non dì tutti i dettagli matematici, è desumibile dalla sua conclusione dell’analisi dell’argomento dì Achille; «Ma in realtà è falso ritenere che ciò che precede non venga raggiunto: infatti, solo fin quando precede, non viene raggiunto» (Fisica, 239b, 26-28, corsivo mìo).

qa

^ 48

(11 ) 49

Il fatto che l’istante in cui Achille acchiappa la tartaruga sia dato da d / ( V - v) lo si può comprendere in un’ulteriore maniera, come ha mostrato il pragmatista americano Peirce (1931-58, voi. 6, p. 178), il quale nota che, se Achille e la tartaruga si trovassero su un tapis roulant che viaggia in senso contrario alla loro corsa alla stessa velo­ cità v della tartaruga, allora, per un osservatore a terra, la tartaruga starebbe immobile e Achille si muoverebbe verso di lei a velocità ( V - v ) ; quindi, siccome il tempo è uguale allo spazio diviso per la velocità, il Piè veloce raggiungerebbe l’animale dopo un tempo pari a d / ( V -v ) .

3.2. L’interpretazione di Russell All’inizio dello scorso secolo Bertrand Russell (i90ia, pp. 327, 340-1, e I90ib, pp. 116-7), sugge­ stionato dal dibattito francese della fine dell’Ottocento e in parti­ colare da N oèl (1893), interviene sul paradosso di Achille. Secondo Noèl, i quattro paradossi servono a Zenone per mostrare l’impossi­ bilità del movimento. In particolare la Dicotom ia proverebbe che non è possibile che un qualsiasi movimento inizi —in effetti, come abbiamo visto in una delle due formulazioni, Gianna non uscirebbe neanche dalla sua stanza - , mentre l’Achille escluderebbe anche la possibilità che tutto sia in movimento da sempre, cioè senza bisogno di cominciamenti dei moti, mostrando l’assurdità del moto relativo. Questa è una strana interpretazione, molto congetturale, che Russell rende ancora più fantasiosa. Egli afferma, infatti, che la premessa del ragionamento dell’Eleate sarebbe che il tutto ha più elementi della parte. Ovvero se Achille avesse raggiunto la tartaruga, avrebbe dovuto percorrere una distanza maggiore. M a questo è impossibile, perché l’argomento di Zenone mostra che sussiste una corrisponden­ za uno-a-uno fra le tappe della corsa dei due contendenti. Dunque, se vale che il tutto deve avere più elementi della parte, è impossibile che Achille abbia compiuto un tragitto più ampio. Secondo Russell il paradosso si risolverebbe notando con C antor (cfr. PAR. 4.4.2) che per due insiemi infiniti l’equinumerosità non impedisce il fatto che uno sia più grande dell’altro. Russell, da par suo, rende la cosa particolarmente vivida riferendosi al povero Tristram Shandy che 50

nel romanzo di Sterne aveva iniziato a scrivere la storia della sua vita, impiegando due anni a raccontare i primi due giorni. Andando avanti così non ce l’avrebbe mai fatta, pensava. Il filosofo inglese nota però che, se la vita di Shandy fosse durata all’infinito, egli avrebbe potuto completare la sua biografia, perché si potrebbe costruire una corrispondenza uno-a-uno fra le coppie di anni che egli impiega a scrivere e le coppie di giorni che racconta. Russell viene poi a sapere che la sua formulazione è storicamente infondata, soprattutto grazie all’ intervento dell’autorevole pensatore inglese Broad (1913) su “ M in d ” , la più importante rivista filosofica britannica; Broad mostra che l’argomento di Russell, pur essendo corretto, non ha molto a che fare con l’Achille di Zenone e che la fallacia dell’argomento originario sta nel fatto che i bergsoniani, i quali utilizzano il ragionamento dell’Eleate per avvalorare la tesi secondo cui il movimento non potrebbe essere rappresentato mate­ maticamente, si sbagliano, perché non si può dedurre dal fatto che Achille e la tartaruga non si incontrano in nessuno dei punti della serie costruita da Zenone il fatto che non si incontrino in nessun punto in generale. L ’anno successivo, tornando sulla questione, Russell (i9i4b, pp. 168-9) nota semplicemente che una somma infi­ nita di intervalli temporali non necessariamente comporta un tempo infinito. Tuttavia la prima versione russelliana dell’Achille capita fra le mani dell’anziano pragmatista americano W illiam James (1911, pp. 156-9 e 180-5), il quale considera questo argomento di Zenone come la prova che il continuo non può essere costituito da infiniti punti (lo stesso dicono Enriques e De Santillana, 1937, p. 52), perché altrimenti il Piè veloce non raggiungerebbe mai la tartaruga, dato che dovrebbe compiere un’infinità di passi da un punto all’altro e l’infinito, si sa, non ha un termine. Per questa ragione egli critica Russell, che non avrebbe colto il vero senso del paradosso di Zenone. Peirce (1931-58, voi. 6, p. 182), su questo punto, polemizza con il suo concittadi­ no, ma in realtà sembra confermare che, se spazio e tempo vengono concepiti come insiemi densi di punti, il supercompito di toccare tutti questi punti non è realizzabile. D i opinione diversa è invece 51

il filosofo e matematico W hitehead (1929, p. 69) —coautore, assie­ me a Russell, dei Principia mathematica - il quale, pur apprezzando fanalisi di James del continuo, considera l’Achille una mera fallacia matematica. N el prossimo paragrafo approfondiremo ancora tale questione.

3.3· Il supercompito di Achille N el paragrafo 2.3 abbiamo visto che Aristotele, discutendo della Dicotomia, si pone due distinti problemi: in primo luogo, quello di attraversare un insieme infini­ to di intervalli di spazio in un tempo finito; in secondo luogo, egli si chiede come sia possibile che trascorrano un insieme infinito di istanti. L ’infinito non finisce mai; dunque come possono passare un’infinità di istanti? La risposta di Aristotele è semplice: in un tratto finito di tempo sussistono infiniti istanti solo in potenza. Sappiamo però che questa nozione di “ potenza” è difficile da inquadrare all’interno della scienza naturale moderna. Questo secondo problema è stato affrontato in modo ampio in sede contemporanea sotto l’etichetta dei “ supercompiti” , cioè della possi­ bilità di realizzare un insieme infinito di atti in un tempo finito. In realtà già Simplicio nel suo commento alla Fìsica di Aristotele (10x3, 1 ss. e 1014, x ss.), sottolinea solo questo aspetto del problema. Tutta­ via il primo a sollevare la questione in un dibattito più recente è stato il filosofo del linguaggio ordinario J. O. W isdom (X94X, p. 6x) in un singolare articolo apparso sempre su “ M in d ” . Prima di tornare a trattare la nozione di supercompito, merita esami­ nare brevemente la proposta di soluzione del paradosso delineata dal filosofo della scuola di Cambridge. W isdom sostiene che la premessa al punto x (par . 3.1) del ragionamento di Zenone è falsa, cioè che lo spazio non è costituito da un insieme denso di punti. Egli argomenta che ogni misurazione, per quanto precisa, ha un limite finito, per cui lo spazio che separa Achille dalla tartaruga è costituito da un insieme fin ito di intervalli. In conseguenza di ciò l’infinita rincorsa fra i due contendenti, illustrata dal filosofo di Elea, non può di certo verificarsi. Giustam ente A. D. R itchie pochi mesi dopo, sempre su “ M in d ” , gli risponde che, benché di certo le misurazioni degli 52

intervalli di spazio abbiano un limite finito, questo non significa che 10 spazio sìa composto da questi intervalli finiti. Avevamo già visto questo punto nel paragrafo 2.6: sebbene la nostra percezione abbia una soglia, ciò che percepiamo non ci appare come costituito da minimi percepibili. Per risolvere il paradosso relativamente al supercompito di Achille si potrebbe anche ragionare nella maniera seguente (Viotto, 2009): in meccanica quantistica, nella sua interpretazione ortodossa - che è ancora dominante - non è possibile determinare contemporanea­ mente, al di sotto dì una certa soglia, la posizione e la velocità di un microggetto, per cui mano a mano che Achille si avvicina alla tarta­ ruga cì si trova a ragionare su distanze per le quali vale il principio di indeterminazione di Heisenberg. Questo significa che non si può più misurare la distanza fra Achille e la tartaruga. Se abbracciamo una prospettiva fortemente empirista della scienza, cioè sosteniamo che le teorie scientifiche nulla affermano su ciò che non può essere misu­ rato, allora possiamo sostenere che tale distanza non esiste. Per cui Achille avrebbe effettivamente raggiunto la tartaruga. Tuttavia questo argomento non sembra corretto per diversi motivi: in primo luogo 11 princìpio di indeterminazione non afferma che la distanza è nulla, ma che è indeterminata, il che è diverso; in secondo luogo esso non si applica a oggetti macroscopici come Achille e la tartaruga. Inoltre, anche ammesso che accettiamo la concezione antirealista della scienza, che a noi sembra comunque un po’ riduttiva (cfr. Fano, 2 0 0 5, cap. 5), l’antirealista non afferma la non esistenza di ciò che non è osservabile, ma l’impossibilità dì sapere se esista o meno (cfr. Van Fraassen, X980). Perciò, anche in una prospettiva antirealista, non possiamo sostenere che tale distanza non esista, poiché sarebbe un’affermazione metafisica ancora più ingiustificata dell’affermazione che esista. Infine notiamo che, se lasciamo del tutto indeterminata la velocità di Achille, stando alle nostre attuali conoscenze, potremmo misurare la sua posizione con tutta la precisione che desideriamo, per cui potremmo sapere se Achille abbia raggiunto 0 meno la tartaruga. Torniamo ai supercompitì, presentando l’argomentazione del filoso­ fo analìtico M ax Black (X95X), che è stata senz’altro una svolta negli 53

Achille è connesso? Si noti che in topologia (Munkres, 2000, p. 98) si dice che una sequenza di punti xJf x2, xy ... nello spazio Xconverge al punto x di X, se per ogni intorno U di x esiste un intero positivo Λ/tale che xn appartiene a U per ogni n> N. Com esi vede dalla definizione, anche se abbiamo dimostrato che la serie dei punti in cui Achille raggiunge la posizione precedente della tartaruga converge al punto in cui il Piè veloce acchiappa l’anim ale, questo non significa che ci arrivi, perché il punto di convergenza non è detto che faccia parte della sequenza. Sempre rifacendoci alla topologia, si chiam a separazione di uno spazio topologico Xu n a coppia A e B di insiemi di Xdisgiunti non vuoti e aperti la cui unione dà X. Si dice che X è connesso se non ammette separazioni. Possiamo allora sostenere che se lo spazio percorso da Achille nel raggiungere la tartaruga non fosse connesso, allora egli re a liz­ zerebbe più di un compito. Si profila a ll’ orizzonte un rischio anche maggiore. Se sosteniamo, come abbiamo fatto finora, che lo spazio è un insieme denso e infinito di punti, non è detto che sia un insieme connesso. Anzi, si può dimostrare che i numeri razionali - un insieme infinito e denso - sono totalmente disconnessi, cioè che i soli insiemi connessi di Qsono gli insiemi che contengono un solo numero (ivi, p. 149). Questo significa che nel percorso di Achille potrebbero esserci un numero infinito di separazioni e quindi la sua rincorsa diventereb­ be un supercompito, cioè uno staccato-run. Tuttavia l’ipotesi che domina la fisica consolidata è che lo spazio non sia adeguatamente rappresentato da un insieme di punti solo denso, ma da un insieme effettivamente connesso, come quello dei nume­ ri reali. Dunque Achille non fa salti, né si può dire che il suo arrivo sia separato dal suo percorso. Vedremo meglio nel paragrafo 4.4 le caratteristiche della rappresentazione dello spazio mediante i numeri reali; per ora basti il poco che abbiamo detto per mostrare che la corsa di Achille non è un supercompito.

studi sull’Achille. Egli nota, per prima cosa, che sussiste un’impor­ tante differenza fra una serie infinita di numeri e una somma finita. Quando vogliamo sommare, ad esempio, i tempi della serie (9) non possiamo di fatto compiere questa operazione, ma dobbiamo stabilire quale sia il limite (se esiste) a cui tale somma infinita converge. Detto questo, Black nota che, anche se abbiamo dimostrato matematicamente che la serie dei tempi (9) non è divergente - per cui il percor­ so di Achille per raggiungere la tartaruga dura un tempo finito - e inoltre abbiamo dimostrato che essa converge proprio al limite in cui Achille raggiunge la tartaruga, non è ancora detto che Achille ce la faccia, perché egli, per ottenere il risultato, deve realizzare una serie infinita di compiti o di atti. Dopo di che l’autore prova a mostrare

Θ

Massimi, minimi e valori estremali

Consideriamo la seguente funzione y= /[x):

Come si vede, /è definita per i valori di xche vanno da 0 ad A. I valori estremali di /sono proprio x= 0 e x= A. Infatti x= 0 è l’estremo inferio­ re, cioè in questo caso yha il valore più basso in assoluto, mentre per x = A y ha il valore più alto. Non bisogna confondere però i massimi e i minimi di una funzione con i suoi valori estremali. Ad esempio, la funzioney=/(x) ha un minimo p erx = me un massimo p e rx = M. Me mnon sono i punti in cui la funzione è massima 0 minima in assoluto, ma solo relativamente alla loro zona. Secondo Black, per individuare un atto, occorrono due punti che siano un massimo 0 un minimo 0 un valore estremale.

55

che l’espressione “ serie infinita di atti” è autocontraddittoria. N on esaminiamo questo punto, che ha sollevato un ampio dibattito, ben riassunto in Laraudogoitia (2009), ma seguiamo l’argomentazione per quel che riguarda l’Achille. Black (1951, p. 102) definisce il concet­ to di atto nella maniera seguente: «Per “ atto” intendo un qualcosa che è distinto dal suo ambiente per avere un inizio e una fine definiti». Nella sua risposta del 1965 all’ampio dibattito seguito al suo saggio del 1951, Black (1965, p. 115) precisa questa definizione, osservando che, se un corpo C è caratterizzato da una grandezza variabile m, si dice che, nell’intervallo temporale i —t%, C ha compiuto un atto se e solo se la variabile m agli istanti r e t%ha valori estremali o comunque un massimo 0 un minimo (cfr. riquadro di approfondimento alla pagina precedente). In pratica, da questa definizione deriva che una palla che rimbalza fra due muri paralleli, ogni volta che compie un viaggio da una parete all’altra ha realizzato un atto. Discende però anche che sia Gianna che si reca in cucina, sia Achille che raggiunge la tartaruga eseguono un solo e unico compito e non un’infinità, dato che nessuna variabile che li riguarda si comporta in quel modo discontinuo. Com e abbiamo visto nel paragrafo 2.3, questa è proprio la distinzione proposta da Griinbaum fra legato-run e staccato-run: il problema dei supercompiti si pone solo per il secondo e né Gianna nella Dicoto­ mia, né Achille realizzano uno staccato-run. Del resto lo stesso Aristo­ tele (Fisica, 2Ó2a, 19 ss.), subito prima di affrontare questo problema in relazione al fatto che possano trascorrere un insieme infinito di intervalli temporali, nota che in un continuo - cioè, diremmo noi, quando m è una costante o comunque non assume un valore estre­ male o un massimo un minimo - il movimento è discontinuo solo in potenza, in atto è, per contro, continuo. Se, invece, un corpo fosse spostato fino a D e poi tornasse indietro, in D il moto sarebbe discon­ tinuo e non continuo, cioè in D ci sarebbe un estremo non solo in potenza, ma anche in atto. Per contro il moto di Achille è continuo e quindi non si può parlare di un insieme infinito di compiti.

56

4. Il Grande e il Piccolo D opo la “ pausa” del capitolo 3, ci troviamo di nuovo ad affrontare un tema molto difficile, come nel capitolo 2. Q ui incontriamo il nucleo dell’argomentazione zenoniana contro la pluralità. N el primo paragrafo, avvalendoci del semplice formalismo della mereologia estensionale, cioè una teoria formale della parte e del tutto, formu­ liamo l’argomento generale proposto dall’Eleate. Vedremo però che il vero e proprio paradosso del Grande e del Piccolo è stato enunciato correttamente solo da Democrito, come riportato da Aristotele. Nel paragrafo 4.3 riformuleremo il ragionamento del filosofo atomista e, prima di discuterne la soluzione moderna, messa a punto da Griinbaum, saremo costretti a un lungo excursus di storia della matematica sul concetto di infinito, di dimensione e di misura. N on sarà sempli­ ce, ma la soddisfazione di comprendere fino in fondo il modo in cui la fisica moderna intende la continuità dello spazio e del tempo sarà una notevole ricompensa.

4 .1. L’argomento contro la pluralità In questo libro ci stiamo occupando soprattutto dei ragionamenti di Zenone contro il movi­ mento. In questo capitolo, invece, discuteremo uno degli argomenti dell’ Eleate contro la pluralità. D i tale complessa argomentazione, che è stata tramandata per lo piò da Simplicio (Phys., 138-141), analiz­ zeremo in dettaglio il tema che potremmo chiamare dell’infinita divisibilità di una grandezza. Tale passaggio è però inserito in un ragionamento più articolato che merita una certa attenzione. A noi sembra che l’argomento di Zenone detto “ del G rande e del Piccolo” voglia mostrare che nulla è divisibile. C i sono diversi sensi del termine “ divisibile” (cff. riquadro di approfondimento a p. 63). In questo contesto ne prenderemo in considerazione solo due: 1. em piricam ente divisibile, cioè che è concretamente possibile separare qualcosa in almeno due parti; 2. concettualmente divisibile, cioè che l’intero ha almeno due parti che possono essere individuate, anche se non è detto che sia possibile 57

separarle empiricamente. A d esempio, il nucleo deirelio-4 è empiri­ camente divisibile in due protoni e due neutroni, mentre un protone è solo concettualmente divisibile nei tre quark che lo compongono. È chiaro che se qualcosa è empiricamente divisibile lo è anche concet­ tualmente. Si ha la sensazione che l’argomento di Zenone verta sulla nozione di “ concettualmente divisibile” , per cui d’ora innanzi ci rife­ riremo solo a quest’ultima. Chiamiamo monismo la seguente tesi: ~ [ 3x 3y ( x * y ) ]

(12)

Cioè non esistono due entità distinte. Il simbolo 5 x significa “ esiste almeno un x tale che” ; è la negazione “ non” ; x h y indica “x è diverso day ” . Difficile negare che Parmenide, e quindi anche Zeno­ ne, sostenga questa tesi. Detto questo, procediamo con l’esporre l’ar­ gomento di Zenone. Filopono (Pbys., 80, 23), commentatore della Fisica di Aristotele di poco precedente a Simplicio, osserva che l’Eleate prende le mosse dal fatto che ciò che è continuo è infinitamente divisibile. È ragionevole ritenere che con l’espressione “ continuo” Zenone volesse indicare qualcosa che ha estensione o grandezza. In pratica con Makin (1998, p. 844) possiamo sostenere che la premessa nascosta degli argomenti di Zenone contro la pluralità sia del tipo “ ciò che ha grandezza è divisibile” . Tuttavia non possiamo assumere sic etsim pliciter che se qualcosa ha grandezza allora è divisibile, perché, per Parmenide —e quindi anche per Zenone —l’Uno ha grandezza, ma non è divisibile. Dobbiamo quindi assumere qualcosa del tipo:

3 xD ivx —> V x(G rx —> D ivx)

(13)

D ove D ivx significa “x è divisibile” , G rx indica “x ha grandezza” e >” è l’implicazione del calcolo proposizionale - che è falsa solo se l’antecedente è vero e il conseguente è falso, altrimenti è sempre vera - , infine V x vuol dire “ per ogni x tale che” . Detto in parole, se almeno un’entità è divisibile, allora, se qualcosa ha grandezza, essa è divisibi­ 58

le. Chiamiamo quest’ultima premessa della divisibilità. Il conseguente vale solo se esiste almeno un ente divisibile; l’Uno di Parmenide non è divisibile e quindi nell’universo eleatico esso non vale, per cui l’Uno può essere esteso senza essere divisibile. Accanto a questa premessa aggiungiamo: 'd x (D ivx—> Prx)

(14)

Cioè se qualcosa è divisibile, allora ha parti proprie (P r); in questo caso parliamo di premessa della partizione. Una parte si dice “ propria” quando non è identica all’ intero. È , invece, im propria, quando è l’intero stesso, poiché in senso improprio ogni oggetto è parte di sé stesso. Che questa fosse una premessa dell’argomento di Zenone è riportato sia da Simplicio (Pbys., 13 9 ,19 ) sia da Temistio (cfr. Lee, 1936, p. 13). D a (14) è facile dedurre: \/xD ivx —» V xPrx

(14*)

Cioè distribuire il quantificatore universale. In una qualsiasi teoria mereologica (Varzi, 2009), dall’esistenza di parti proprie è deducibile la negazione del monismo. Cioè:

3xPrx —> [(Ξ ζ Β /Ο ζ^ )]

(*5)

In pratica, s e x ha parti proprie, allora esisteranno almeno due entità diverse; Vlastos (1967, p. 370) sembra interpretare in questi termini Simplicio (Pbys., 140,34). Tuttavia egli critica Zenone perché dedu­ ce dal fatto che almeno un’entità abbia parti proprie la negazione del monismo, che invece sembra essere un ragionamento del tutto lineare (Vlastos, 1967, p. 369). Infine assumiamo: 'dxG rx

(16)

C io è tutto ciò che esiste ha grandezza. Chiam iam o quest’ ulti59

ma.premessa d e ll’estensione. Simplicio (Phys., 139, 5) riporta questa premessa del ragionamento di Zenone, che viene anche adeguatamente motivata.

Dalla (20*) e dalla (15), ancora una volta per modusponens, inferiamo la negazione del monismo:

A questo punto proviamo ad assumere per assurdo - dal punto di vista di Zenone —che qualcosa sia divisibile, cioè:

(3z 3y ( z ^ y )

BxD ivx

(17)

D a (17) e dalla premessa della divisibilità (13), per modusponens, otteniamo: V*( G rx —> D ivx)

(18)

Cioè, distribuendo il quantificatore universale: \/xG rx —> V xD ivx

(18*)

Ricordiamo che il modus ponens consente di dedurre B da “A impli­ ca B ” e “A ” . A d esempio, da “ Se piove, G igi prende l’ombrello” e “ Piove” possiamo dedurre “ Gigi prende l’ombrello” . D alla premessa dell’estensione (16) e da (18*), sempre per modus ponens, otteniamo: \fxD ivx

(19)

Cioè che ogni entità è divisibile. Ora, dalla premessa della partizione (14*) e da (19), ancora una volta mediante modusponens, otteniamo:

MxPrx

(20)

Cioè ogni entità ha parti proprie. Zenone sarebbe d’accordo nell’assumere che esiste almeno una cosa, cioè l’ Uno e quindi da (20) possiamo dedurre:

BxPrx 60

D unque dall’ asserzione (17) che qualcosa è divisibile si ottiene la negazione del monismo. È perciò interesse di Zenone mostrare che nulla sia divisibile. D a qui l’argomento del Grande e del Piccolo, che si sviluppa così. Com e abbiamo visto, dalla premessa per assurdo SxD ivx, cioè che esiste almeno un’entità divisibile, è deducibile che ogni entità è divi­ sibile e quindi ha parti proprie (20). Se così stanno le cose, dal p rin ­ cipio d i supplementazione debole (Varzi, 2009) si può allora dedurre che - nella mereologia estensionale —ogni entità è composta da un numero infinito di parti. Il principio di supplementazione debole afferma che se un oggetto ha una parte propria, allora ne ha almeno un’altra distinta. A d esempio, se un tavolo ha come parte propria una gamba, avrà come parte propria anche il resto del tavolo stesso. N e segue che i modelli di una mereologia in cui vale (15) hanno un numero infinito di elementi. C ioè, se ogni entità ha una parte propria è facile vedere che ogni entità ha un numero infinito nume­ rabile di parti nidificate, ovvero una dentro l’altra. Zenone, però, non ragiona in questi termini m ereologici, bensì nota che ciò che ha estensione è infinitamente divisibile (Simplicio,

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Somme infinite

Conviene chiarire che se sommiamo 1/2 ,1 Ih, 1/8..., anche se la somma ha infiniti addendi, il risultato non è infinito, ma 1. E questo forse Zenone non lo sa (cfr. Zeuthen, 1896, par. 2.6), ma certamente Aristo­ tele {Phys. 206b, 16 ss.) ne è consapevole. Se, invece, gli addendi sono tutti uguali, per quanto piccoli, una somma infinita dà infinito. Tutta­ via, come vedremo nel paragrafo 4 -4 4 , se il numero degli addendi è infinito non numerabile, la somma risulta indeterminata.

(20*) 61

Phys.. 139, 27). Si chiede poi quale sia i l risultato d i tale infinita d ivi­ sione. Egli risponde che le possibilità sono solo due: o ne risultano parti senza estensione e allora se ne deriva che l’entità da cui eravamo partiti è senza estensione (ivi, 139 ,10 ), per cui, a causa di (16), ciò da cui eravamo partiti è svanito; oppure per quanto piccole, tali parti ultim e hanno grandezza, e allora se ne deduce che l’entità da cui eravamo partiti aveva grandezza infinita. Si capiscono così le parole che Simplicio (ivi, 139, 5) attribuisce all’Eleate: «Se c’è il molteplice, questo molteplice è grande e piccolo: grande fino a essere infinito in grandezza, piccolo fino a non avere grandezza di sorta» (Diels, Kranz, 1952, B2, trad it. p. 302). 4 .2. Democrito La seconda parte dell’argomento zenoniano del paragrafo precedente è inficiata da due punti deboli: in primo luogo, oggi sappiamo che nel caso della somma di un’infinità p iù che nume­ rabile di intervalli non possiamo dedurre la lunghezza della somma facendo la somma delle lunghezze e sappiamo anche che un segmen­ to è composto da un’infinità piò che numerabile di punti. Torne­ remo in seguito su questo punto. In secondo luogo, non è corretto parlare, come sembra fare l’Eleate, del risultato di una divisione infi­ nita. A questa questione dedica una bella pagina Griinbaum (1968, pp. 130-2), che chiama tale errore la “ fallacia di Bernoulli” in rife­ rimento a uno scambio epistolare fra Johann Bernoulli e Gottfried W ilhelm von Leibniz. Essa può essere imputata anche a personalità del calibro del filosofo americano Charles Sanders Peirce, al mate­ matico tedesco Paul du Bois-Reymond (fratello del fisiologo Emil) e a eminenti studiosi di Zenone come H enry Lee e Paul Tannery. In effetti è contraddittorio parlare di un ultimo termine di una serie discreta e infinita, come se lo si potesse raggiungere in analogia a un qualsiasi altro numero ordinale finito. La formulazione corretta di questo paradosso la dobbiamo in realtà a quello che forse è discepolo di un discepolo di Zenone, cioè Demo­ crito, allievo di Leucippo. E la tramanda con chiarezza Aristotele nel D ella generazione e della corruzione (3i6a, 14-34). Lo Stagirita vuole sostenere che tutte le grandezze sono divisibili, 62

0

Divisibilità

La nozione di “divisibilità di un corpo” merita un’adeguata analisi. Sembra che al riguardo siano in gioco due opposizioni: quella fra divi­ sibilità concettuale (c) ed empiria (e) e quella fra divisibilità fisica (f) e percettiva (p). La divisibilità concettuale si riferisce alla possibilità logi­ ca di dividere un corpo, mentre quella empirica alla concreta possibi­ lità di realizzare la divisione. Ad esempio, un punto materiale, cioè il corrispondente di una terna di numeri reali nello spazio fisico interno a una particella, non è divisibile neppure concettualmente. Un corpo è fisicamente divisibile quando ha parti proprie che hanno un ruolo nelle leggi della fisica. Così, ad esempio, un protone è fisicamente - ma non empiricamente - divisibile in tre quark, mentre un atomo di idrogeno è sia fisicamente che empiricamente divisibile in un protone e un elet­ trone. Un corpo è, invece, percettivamente divisibile quando riusciamo a percepire delle sue parti, come nel caso di una piccola macchia che comunque palesa una certa estensione, seppur minima. Per contro, un punto su un foglio di carta è fisicamente ed empiricamente divisibile, ma non percettivamente. In generale vale che ciò che è empiricamente 0 fisicamente 0 percettivamente divisibile lo è anche concettualmente e ciò che è percettivamente divisibile lo è anche fisicamente ed empi­ ricamente. Inoltre, non è detto che ciò che è fisicamente divisibile lo sia anche empiricamente, mentre vale il viceversa. Con i diagrammi di Venn si possono così organizzare questi quattro concetti.

63

cioè che non esistono atomi estesi. A tal fine cerca di comprendere come mai Democrito, che ragiona adeguatamente da fisico e non su basi astrattamente logiche (ivi, 3i6a, io ss.), si sia convinto di tale dottrina. Aristotele ha nella massima considerazione l’opinione di Democrito, il solo filosofo che si sia occupato di questi problemi in modo non superficiale (ivi, 3i5a, 34 ss.). Egli ritiene però che uno degli argomenti che ha convinto il filosofo di Abdera ad abbracciare l’atomismo sia stato un ragionamento simile al paradosso del Grande e del Piccolo di Zenone. Aristotele, tuttavia, nella sua esposizione, non si riferisce al risulta­ to (impossibile) di un’infinita divisione, come Simplicio attribuisce invece a Zenone, ma prende in considerazione la possibilità concet­ tuale di dividere simultaneamente dappertutto una grandezza. C i chiediamo allora quale sarebbe la grandezza di ognuno di questi atomi indivisibili. Essi non possono avere grandezza, perché altri­ menti sarebbero ancora divisibili, in accordo con la (18). Per Demo­ crito, invece, tali grandezze sarebbero indivisibili e (probabilmente) in numero finito, poiché, se fossero infinite, la grandezza sarebbe infinita. Tuttavia, prosegue Aristotele, questi elementi non posso­ no avere neanche grandezza nulla o essere punti, poiché altrimenti la grandezza che andrebbero a formare sarebbe nulla. Dunque una grandezza non può essere infinitamente divisibile. Questo sarebbe un argomento che ha portato Democrito all’atomi­ smo. La risposta di Aristotele è facile da immaginare: una grandezza è sì divisibile in ogni punto, ma questo non vuol dire che sia divisibile simultaneamente in ogni punto. E questo perché in una grandezza è possibile individuare solo un punto alla volta. Ovvero il fatto che si possa individuare un punto dappertutto nella grandezza non signi­ fica che la grandezza sia composta tutta da punti, cioè che ci sia un punto dappertutto. Infatti, una grandezza è continua e il continuo non può essere composto da punti (Fisica, 23ib, 1 ss.). Com e giusta­ mente nota W hite (1992, pp. 201-2), dall’affermazione “ In ogni punto è possibile che un continuo sia diviso” non si può dedurre “ È possibile che un continuo in ogni punto sia diviso” . Per renderse­ ne conto, è sufficiente fare l’analogia con “ O gni singola donna può 64

essere la moglie di M ario” ed “ È possibile che tutte le donne siano la moglie dì M ario” ; dalla prima (senso distributivo) di certo non possiamo Inferire la seconda (senso collettivo). Così Aristotele sfila a Democrito la carta decisiva a favore del suo atomismo e può prose­ guire sulla sua strada dell’infinita divisibilità dei corpi.

4.3. Riformulazione del paradosso In questa discussione, in maniera un po’ indifferente, stiamo applicando il paradosso del Gran­ de e del Piccolo a intervalli continui di numeri reali, a segmenti, a tratti lineari di spazio fisico e a corpi. In relazione alla nostra argomentazione non fa molta differenza, poiché una particella, ad esempio, occupa a un certo istante di tempo un certo volume, all’interno del quale possia­ mo individuare un piccolo tratto lineare dì spazio fisico che, stando alle nostre conoscenze attuali, può essere rappresentato sia geometri­ camente da un segmento sia algebricamente da un intervallo continuo dì numeri reali. Per cui il nostro paradosso si applica indistintamente a tutte e quattro le entità. Tuttavìa tali quattro nozioni andrebbero tenu­ te distìnte. Per semplicità adesso formuleremo il paradosso prendendo in considerazione tratti lineari di spazio fisico. 1. U n tratto lineare e contìnuo di spazio fisico di lunghezza L è composto da un’infinità di punti indivisibili. 2. (a) I punti hanno lunghezza nulla, oppure (b) hanno lunghezza piccola finita. 3. Se vale (b) allora il tratto lineare risulta di lunghezza infinita (Grande). 4. Se vale (a) allora ìl tratto lineare risulta di lunghezza nulla (Pìccolo). 5. Dunque un tratto di spazio fisico lineare e continuo non può essere costituito da un’infinità dì punti indivisibili. Si noti che, assumendo il punto 1, abbiamo aggirato il problema della divisione del tratto di spazio presente nella formulazione di Simplicio. Ovvero abbiamo preso le mosse dall’ipotesi che esso sia attualmente costituito da un’infinità di punti. N on ha importanza se rappresentiamo tale infinità in atto o in potenza (cfr. p a r . 4-4-2), l’importante è che gli infiniti punti ci siano nel segmento. 65

In secondo luogo dobbiamo chiederci che cosa siano i punti. Essi sono senz’altro entità indivisibili in senso concettuale, per cui a rigore dovrebbero avere comunque lunghezza nulla. Però, per eliminare qual­ siasi tipo di scappatoia, abbiamo preso in considerazione anche la possi­ bilità che i punti abbiano grandezza finita; possibilità che viene esclusa dal punto 3 del ragionamento e che non esamineremo ulteriormente. Dunque, se vogliamo sostenere il punto 1, cioè che lo spazio è costitui­ to da un’infinità di punti, dobbiamo riuscire a bloccare gli effetti del punto 4 dell’argomentazione. Teniamo conto che per lo più da Gali­ lei in poi una premessa implicita o esplicita della fisica matematizzata è proprio l’ipotesi che lo spazio sia composto da un’infinità di punti, per cui non trovare una soluzione al paradosso vorrebbe dire lasciare un notevole problema aperto nei fondamenti della fisica moderna. È significativo il fatto che a parte pochissimi, come Galilei, Leibniz, Hume, Kant, Bolzano e qualche altro - fra i quali, si noti bene, un solo scienziato - nessuno si è preoccupato molto dell’argomento che abbiamo proposto. Questo è da ricondurre al sano opportunismo metodologico del fisico, che Einstein ha cosi efficacemente rappre­ sentato (Einstein, 1949, p. 630). Tuttavia nella seconda metà dell’O t­ tocento i matematici, e in particolare Cantor, hanno avviato una revisione nel concetto di continuo che ha consentito di trovare una ragionevole via d’uscita dal paradosso. In un certo senso il primo che ha formulato a ragion veduta, dalpunto d i vista logico, l’ipotesi che lo spazio è costituito da infiniti punti è proprio Cantor (1885, pp. 275-6), il quale nota che non è mai stato soddisfatto di come i fisici teorici abbiano sempre lasciato nel vago la natura degli ultimi elementi della materia e dello spazio. Solo con la sua teoria dell’infinito, infatti, si può affermare che si tratta di punti indivisibili, che nel caso dell’etere avrebbero cardinalitàpiù che numerabile. Questa osservazione isolata è poco chiara; di fatto noi ipotizziamo che lo spazio stesso sia compo­ sto di un’infinità più che numerabile di punti. Tuttavia, come vedre­ mo, essa sarà il punto di partenza del lavoro in cui Grùnbaum (1952) chiarirà come la teoria di Cantor può aiutare a risolvere il paradosso. Per arrivare a formulare il concetto, in questo contesto essenziale, di insieme di cardinalità non numerabile, che abbiamo appena utilizza­ 66

to, l’umanità ha seguito un lungo e complesso percorso, che provere­ mo a riassumere per cenni nel paragrafo seguente.

4.11. Breve storia del continuo e dell’ infinito Se prendia­ mo in mano la recente ristampa anastatica della traduzione italiana degli Elem enti di Euclide, realizzata dal grande matematico e filolo­ go urbinate Federico Com m andino (1575, pp. 204-5), troviamo la Proposizione 117 del x Libro che afferma l’incommensurabilità della lunghezza della diagonale di un quadrato rispetto a quella del lato. Benché il X Libro degli Elem enti tratti di alcuni aspetti delle lunghez­ ze incommensurabili, alla fine di esso questo enunciato e la dimo­ strazione che se ne dà sono certamente un inserimento non originale. Per questo le versioni recenti degli Elem enti, come ad esempio quella del 2007 curata da Fabio Acerbi, la includono fra le proposizioni spurie. Dunque dobbiamo chiederci quale sia la dimostrazione origi­ nale di questo teorema. Rispetto al nostro problema, la scoperta delle grandezze incom ­ mensurabili, probabilmente avvenuta nel contesto della matemati­ ca greca verso il 430 a.C ., gioca un ruolo importante (Knorr, 1975, p. 40). Questo risultato esercita un tale fascino, che, benché non siano conservate testimonianze attendibili sulle procedure seguite dai matematici antichi (ivi, p. 21), è difficile sottrarsi al desiderio di ipotizzare quale sia stata la maniera in cui lo si sia dimostrato. In effetti da parecchi decenni nessuno si cimenta più in queste rico­ struzioni un po’ fantasiose. A d esempio il recente volume di Acerbi (2010, pp. 11-3) si attiene strettamente alle fonti e quindi non discu­ te la scoperta dell’incommensurabilità, che non è tramandata. Così non è stato nella prima metà del x x secolo, quando troviamo almeno i contributi di Heath (1921, voi. 1, pp. 90-1), Hasse e Scholz (1928), Waerden (1940) e Fritz (1945). Inoltre, l’opera che ha segnato una svolta negli studi della matematica greca, cioè Knorr (1975), riporta ancora un’ipotesi sulla scoperta che ci interessa (ivi, cap. 2), la quale, per quanto ne sappiamo, resta la congettura migliore, anche perché, come dicevamo, negli ultimi trent’anni non ci si è più avventurati in questo tipo di terreno. 67

4 4 .1. La scoperta dell'incommensurabilità Aristotele parla spesso dei pitagorici, riferendo la loro tesi secondo cui tutto l’universa è costitui­ to da numeri (ad es. M et., io8ob, 14 ss.). Possiamo interpretare questa dottrina non come un’affermazione del cosiddetto “ atomismo nume­ rico” (Tannery, 1887, pp. 250-1), cioè l’idea che la realtà sia costituita da punti indivisibili che possono essere contati, ma (cfr. tra gli altri Furley, 1967, cap. 3) come la tesi secondo cui tutto è misurabile mediante rapporti fra numeri interi, così come capita alle armonie musicali. Se vale quest’ultima affermazione, allora, usando un linguaggio moder­ no, il rapporto fra la lunghezza della diagonale di un quadrato e il lato deve essere un numero razionale. Proviamo a questo punto a ipotizzare che tale rapporto sia dato dai numeri n (lato) e m (diagonale). Nel Menane platonico (82C ss.), Socrate, per illustrare la dottrina della conoscenza come reminiscenza, conduce un ragazzo incolto a compren­ dere come si costruisce un quadrato dall’area doppia di un quadrato dato (FIG. 3). In tale figura uno dei quattro quadrati piccoli, chiamiamolop, ha area uguale a un quarto del quadrato grande, chiamiamolo G. Inoltre, il quadrato delimitato dalle linee tratteggiate, chiamiamolo Tr, ha area dimezzata rispetto a G e quindi area doppia rispetto ap. Il fatto che Platone utilizzi questo esempio potrebbe essere prova della diffusione di tale costruzione, per cui Knorr (1975, p. 26) ipotiz­ za che essa abbia giocato un ruolo importante nella ricerca sulle gran­ dezze incommensurabili. Vediamo come. Diciamo che m sta a n come la lunghezza della diagonale di Tr sta

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alla lunghezza del lato dì Tr. Se ipotizziamo di aver ridotto m e n ù mìnimi termini, allora il massimo comun divisore fra m e n è 1, per cui m e n non possono essere entrambi numeri pari, altrimenti sareb­ bero entrambi divisìbili per 2. Nella seconda metà del v secolo a.C. probabilmente una teoria dei numeri pari e dispari era già abboz­ zata; possiamo perciò assumere che fosse noto il seguente teorema: se un numero quadrato è pari, allora lo è anche il numero di cui è quadrato. Esempio: 16 è un numero quadrato pari e anche 4 è pari. Chiamiam olo “ teorema K ” . In effetti ai pitagorici erano probabil­ mente noti i teoremi 28 e 29 del Libro ix degli Elem enti di Euclide, secondo cui il prodotto dì un numero dispari per un numero dispari è dìspari e il prodotto di un numero pari per un numero pari è pari (ivi, p. 140); da cui deriva come corollario il teorema K. A questo punto, sempre avendo in mente la figura precedente, possia­ mo ragionare così: l’area di Tr è il doppio dì un numero quadrato, cioè l’area d ip> quindi è un numero pari, per cui - per il teorema K —la lunghezza n del lato dì Tr deve essere un numero pari. La diagonale di 7 r è il lato dì G , la cui area è senz’altro pari, visto che è il doppio dì quella di Tr. Quindi - sempre per il teorema K - anche la lunghezza della diagonale di Tr deve essere un numero pari. Dunque anche m deve essere un numero pari. D ’altra parte avevamo detto che m e n non possono essere entrambi numeri pari. Per cui sembra che ì numeri m e n , che misurerebbero il rapporto fra la lunghezza della diagonale e quella del lato del quadrato Tr, non esistono, in quanto dovrebbero essere e non essere pari. A riprova del fatto che la dimostrazione dell’incommensurabilità del lato e della diagonale dì un quadrato avesse un andamento per assurdo, sta anche la testimonianza dì Aristotele (An. P r., 4ia, 23 ss. eA n. Post., 89a, 29-30); benché essa, piò che una vera e propria dimostrazione per assur­ do in senso moderno, probabilmente era il rendersi conto che è impossi­ bile trovare i numeri m en cercati (Knorr, 1975, p. 24). Per contro la dimostrazione del teorema 117 del Libro x (PAR, k - k ) , che troviamo nella tradizione manoscritta degli Elem enti, è senz’altro più tarda, poiché Alessandro di Afrodisia ( η -in secolo d.C.)» nel suo commento al brano aristotelico degli A nalitici prim i appena menzio­ 69

nato, mostra di possedere un manoscritto degli Elem enti senza quella proposizione. N on sappiamo se i pitagorici del tardo v secolo a.C. abbiano seguito questa strada nella loro dimostrazione, né tale prova ha suscitato parti­ colare impressione sui matematici, che hanno continuato più o meno indisturbati il loro lavoro. Per cui non si può certo parlare di “ crisi dei fondamenti” , come tanti hanno fatto in passato (cfr. ad esempio la criti­ ca di Acerbi, 2010, par. 2.1.3); tuttavia tale dimostrazione ha provato che non si possono misurare tutte le possibili lunghezze di un segmento mediante i numeri naturali. Probabilmente per questa ragione Euclide tende ad affrontare molti problemi che riguardano le grandezze geome­ triche senza usare l’aritmetica. Aristotele, inoltre, negli A nalitici secondi (7ja, 35 ss.), esemplifica il “passaggio in un altro genere” nel dimostrare proprio utilizzando l’esempio dell’aritmetica e della geometria. È stato un processo lungo quello che ha progressivamente portato alla concezione unitaria della matematica moderna, cioè alla fusione fra aritmetica e geometria. Nonostante la Geometria di Cartesio (1637* voi. v i, pp. 367 ss.) abbia dato un contributo decisivo, introducendo un vero e proprio calcolo algebrico delle grandezze geometriche, chi per primo ha affermato recisamente una completa corrispondenza fra numeri e grandezze geometriche è stato forse Stevin (1585) nella sua Aritmetica. Egli stabilisce infatti - contro la tradizione euclidea - che l’unità è già un numero, visto che sommandola a sé stessa si producono gli altri numeri; come se un pezzetto di pane non fosse fatto di pane. Lo zero, invece, è disomogeneo rispetto ai numeri, come il punto nei confronti della linea. Quindi anche le frazioni dell’unità sono numeri; e perfino i numeri irrazionali - allora chiamati “ sordi” una traduzio­ ne latina (surdus) di un termine arabo {asamm) che significa, appun­ to, sordo, un modo un po’ forte di esprimere il greco àlogos, cioè “ senza rapporto” , o “ non esprimibile” . In pratica Stevin - e dopo di lui Wallis (1655 e 1657), ma anche, sebbene obtorto collo, Newton (1684) - ipotizza una perfetta corrispondenza fra i numeri e le gran­ dezze geometriche. D i fatto, però, come vedremo fra poco, solo con Cantor nella seconda metà deH’Ottocentosi è compreso come costrui­ re tale relazione. M a torniamo agli antichi nel paragrafo seguente. 70

4.4.2. Aristotele N ella seconda parte del Libro n i della Fisica, Aristotele si pone il problema dell’infinito. È molto difficile interpre­ tare queste pagine (cfr. Ugaglia, 2012), tuttavia proveremo a mettere in luce alcuni punti che sono stati poi essenziali nella discussione millenaria di questa importante nozione. Aristotele si pone soprat­ tutto il problema dell’ infinito fisico e non matematico (Fisica, 204a, 34 ss.). L ’infinito è ciò che non si può percorrere (ivi, 204a, 14); o anche, l’infinito non è ciò al di fuori di cui non c’è nulla, ma ciò al di fuori di cui c’è sempre qualcosa (ivi, 207a, 1-2). Potremmo forse così parafrasare la definizione aristotelica, avvalendoci delle tecniche messe a punto da Cauchy e Weierstrass: un predicato P è infinito se preso un qualsiasi numero naturale n, in un qualche istante di tempo t esistono almeno n + 1 oggetti che sono P (cfr. Hussey, 1983, pp. x x -x x i). Questo è quello che possiamo chiamare l’infinito fisi­ co secondo la quantità - non ci occuperemo qui dell’infinito fisico secondo la grandezza, cioè, ad esempio, di un corpo di dimensioni infinite; argomento che peraltro impegna ampiamente Aristotele in queste pagine. Tale tipo di infinito, secondo la terminologia aristo­ telica, è già un infinito in atto e non si può dare per diversi motivi; in primo luogo perché qualsiasi parte desunta da esso sarebbe infinita (Fisica, 204a, 26-7). Si ha qui la sensazione che Aristotele si riferisca al paradosso dell’infinito secondo il quale la parte è equinumerosa rispetto al tutto.

71

L ’infinito attuale, infatti, ha la spiacevole caratteristica di violare, in un certo senso, uno degli assiomi fondamentali del pensiero mate­ matico fin dai tempi di Euclide (Libro i, N ozioni comuni-, 8), cioè che il tutto è maggiore della pane. Vediamo qui di seguito come. Si dice che due insiemi sono equinum erosi se è possibile costruire una corrispondenza biunivoca fra essi. Una corrispondenza è biuni­ voca quando è possibile associare a ogni elemento del primo insieme uno e un solo elemento del secondo, né accade che due elementi del primo vengano associati allo stesso del secondo e tutti gli elementi del secondo insieme sono utilizzati. Esaminiamo in questo senso la figura 4. N el diagramma della figura 4a due oggetti del primo insieme vengono messi in corrispondenza con uno stesso oggetto del secondo. N el diagramma della figura 4b uno stesso oggetto del primo insieme viene messo in corrispondenza con due del secondo. Nel diagramma della figura 4C la corrispondenza è uno a uno, ma resta fuori un oggetto del secondo insieme. Solo il diagramma della figura 4d rappresenta una corrispondenza biunivoca. Basandoci sulla nozione così definita possiamo dire che, ad esempio, gli insiemi {Gigi, Marina, Filippo} e {1, 2, 3} sono equinumerosi. Il numero di elementi che compongono un insieme verrà chiamato da Cantor la sua “ potenza” (M àchtigkeit). Ora consideriamo i seguenti tre insiemi: i numeri naturali N , i nume­ ri naturali TVsenza i primi 1.000 elementi e i numeri naturali pari. Fra essi è possibile costruire una corrispondenza biunivoca nella maniera seguente: N

1

2

3

N> 1.000

1.001

1.002

1.003

N pari

2

h

6

...

Questo significa che i tre insiemi sono equinumerosi, cioè hanno la stessa potenza. M a ciò è paradossale, perché i numeri pari e i numeri naturali maggiori di 1000 sono sottoinsiemi propri di N . Cioè sembra che il tutto e la parte siano in un certo senso uguali! 72

N o n possiamo certo dire che Aristotele avesse in mente un argo­ mento così articolato —che è stato formulato in questo modo solo da Galilei (1638, p. 44), Leibniz (1679, p. 338) e Bolzano (1851, par. 21) 2.000 anni dopo - quando affermava che qualsiasi parte dell’infinito sarebbe infinita, però è possibile che quella fosse una prima indica­ zione in questo senso. Per evitare questi paradossi, occorre negare l’infinito in atto e accet­ tare solo quello in potenza, che forse possiamo così definire in senso aristotelico: un predicato P è infinito in potenza se al tempo t c’ è almeno un oggetto che è P e vale una legge naturale per cui se al tempo t c’è un numero n di oggetti che sono P , esiste un tempo i successivo in cui sono n + 1. In pratica, l’infinito in potenza si disten­ de nel tempo. Ricordiamoci che per Aristotele (Fisica, 222b, 6-7) il tempo è inestinguibile. Così, ad esempio, possiamo dire che un corpo è infinitamente divisibile, nel senso che, per quanto dividiamo resta sempre qualcosa da dividere. Teniamo anche presente che per Aristotele (Fisica, 2i9b, 1-2) il tempo è semplicemente un parame­ tro del movimento, per cui, come sottolineato da Ugaglia (2012), è quest’ultimo che sta alla base dell’infinito in potenza.

4 .4 .3.Galilei In molti hanno contrapposto la scienza aristotelica a quella galileiana (Melandri, 1968, pp. 623 ss.); in realtà, almeno per quanto riguarda la fisica, i motivi di continuità sono altrettanti di quelli di discontinuità, come ha mostrato, ad esempio, Ugaglia (2003) e prima di lei Duhem (1913-59) e Anneliese M eier nei suoi splendidi libri. Tuttavia resta il fatto che i D iscorsi e dim ostrazio­ n i matematiche intorno a due nuove scienze (Galilei, 1638) segnano una svolta sul problema dell’infinito. Lo scienziato pisano, infatti, sostiene esplicitamente che un pezzo di materia possa essere compo­ sto da un numero infinito di atomi indivisibili (ivi, pp. 33, 37 e 42). Egli si rende anche conto dei paradossi che questa tesi favorisce. U n primo accenno è di Simplicio (il fisico peripatetico del dialogo, non il commentatore della Fisica di Aristotele del v i secolo d.C .): «Quel comporre la linea di punti, il divisibile di indivisibili, il quan­ to [ciò che ha grandezza] di non quanti, mi paiono scogli assai duri 73

da passargli» (ivi, p. 38). Poi Salviati stesso (il portavoce di Galilei) formula, in un certo senso, il corno “ del Piccolo” del paradosso del Grande e del Piccolo di Zenone (ivi, p. 43), cioè si chiede come si possa ottenere qualcosa di divisibile da una somma di indivisibili. La risposta di Galilei rimanda al fatto che nel caso dell’infinito non valgono le proprietà del finito. Simplicio aveva incalzato notando che se un segmento è composto di infiniti punti un segmento più grande sarà composto da un numero di punti più grande dell’infinito: «Ora questo darsi un infinito maggior dell’ infinito mi par concetto da non poter esser capito in veruno modo» (ivi, p. 43). Com e abbiamo visto, Aristotele aveva già accennato a questo para­ dosso. Galilei risponde che per l’infinito non valgono le proprietà di minoranza, maggioranza e uguaglianza che valgono nel caso fini­ to. Per dimostrare questo costruisce una corrispondenza biunivoca fra i numeri naturali e i numeri quadrati, mostrando il paradosso dell’equinumerosità di un insieme infinito e di un suo sottoinsieme che abbiamo visto nel paragrafo 4.4.2. Dopo di che sempre Salviati (ivi, p. 46) nota che i punti indivisibili che costituiscono la materia devono essere inestesi, altrimenti ogni pezzo di materia sarebbe di grandezza infinita. È questo il corno “ del G ran d e” del paradosso zenoniano. A ll’osservazione di Sim plicio, secondo cui le infinite parti in un segmento possono essere solo in potenza, Salviati giustamente risponde che un segmento composto da infinite parti in potenza o in atto deve restare della stessa lunghezza, per cui tale distinzione non è rilevante (lo stesso ha detto Cantor, 1888, p. 393). Se le parti infinite avessero una lunghezza finita, quindi, anche se in potenza, produr­ rebbero un segmento infinito. Q ui sembra andata persa la distinzione aristotelica fra infinito in atto e in potenza. Infatti, per lo Stagirita un segmento non contiene infi­ nite parti neanche in potenza, se per potenza si intende a un istante dato, ma solo nel corso di un’indefinita divisione nel tempo. E con questo concetto di potenza il problema posto da Galilei non si pone, perché la continua divisione del segmento produce parti sempre più piccole, la cui somma, anche infinita, è convergente. Dunque se un

segmento a un dato istante contiene infinite parti, esse in realtà sono già in atto. Per cui di fatto Simplicio non riesce a formulare bene quella che era la posizione di Aristotele. Per certi versi l’appello di Galilei alle proprietà peculiari dell’infinito, per risolvere il paradosso del Grande e del Piccolo, è molto simile alla strada che seguirà Griinbaum (1952) più di 300 anni dopo, fattosi forte, però, della teoria dell’infinito di Cantor. 4.4.4.Cantor Consideriamo l’insieme dei numeri naturali da 1 a 10 - chiamiamolo A - e quello dei numeri naturali da 11 a 20 - chiamia­ molo B . È chiaro che fra A e B è possibile costruire una corrisponden­ za biunivoca, per cui A e B sono insiemi equinumerosi, cioè hanno la stessa potenza. G li insiemi di numeri naturali possono essere ordi­ nati. A d esempio, possiamo ordinare sia A che B con la relazione “ minore di” , in modo che avremo: A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Diciam o che due insiemi hanno la stessa “ numerazione” (.Anzahl), se data una qualsiasi successione del primo è possibile trovare una successione del secondo tale che se due elementi an e am del primo sono tali che a è minore di a , allora anche fra i due corrispondenti b η e b m vale che bη è minore di bτη. A

1

3

2

10

7

9

5

4

6

8

B

11

13

12

20

17

19

15

14

16

18

Abbiamo messo in una successione a caso A e trovato una successione di B che preserva l’ordine. Questo si può fare sempre, per cui A e B hanno la stessa numerazione. Si può dimostrare che tutti gli insiemi finiti di numeri naturali, se hanno la stessa potenza, cioè sono equinumerosi, hanno anche la 75

stessa numerazione. Le cose cambiano, invece, per gli insiemi infini­ ti. Consideriamo l’insieme di tutti i numeri naturali TV; non possia­ mo certo dire che esso abbia un ultimo elemento, dato che è infini­ to. Tuttavia possiamo considerarlo nel complesso e aggiungerci un nuovo elemento, che chiamiamo ηχ. È chiaro che TVe (TV, » ) hanno la stessa potenza, cioè sono equinumerosi. N o n per questo, però, essi hanno la stessa numerazione, poiché non è possibile costruire una corrispondenza biunivoca che mantenga anche l’ordine. Nella tabella succcessiva abbiamo costruito la corrispondenza biunivoca, ma, come si vede, l’ordine non è preservato, perché ηχ è prima invece che dopo. N N, n

1

2

nt

1

3 2

4

5

...

3

4

...

Per questa ragione Cantor introdurrà il numero ω per indicare la numerazione di TVe il numero ω + 1 per indicare quella di TV, n . La potenza verrà poi chiamata “ numero cardinale” di un insieme e la numerazione “ numero ordinale” di un insieme (Cantor, 1894). D unque risulta che gli insiemi finiti che hanno lo stesso cardinale hanno anche lo stesso ordinale, ma non è così per gli insiemi infiniti. Cantor (1879-84, p. 168) considera questa la caratteristica che meglio contraddistingue gli insiemi a cardinalità infinita. Dunque, da un punto di vista ordinale, 1 + ω = ω, che però è diverso da ω + 1. Analizziamo questo punto, considerando l’insieme dei numeri natu­ rali dal 2 in avanti e sommando a esso da un punto di vista ordinale il numero 1. Se l’i viene prima allora abbiamo il solito ordinale dei numeri naturali ω, mentre, se viene dopo siamo costretti ad aggiun­ gerlo e otteniamo l’ordinale ω + 1. G li insiemi infiniti hanno questa caratteristica, che è matematicamente equivalente al fatto che possono essere messi in corrisponden­ za biunivoca con un loro sottoinsieme proprio, come nell’esempio di Galilei, o al fatto che hanno un numero di elementi superiore a qualsiasi numero naturale. 76

4.4.5.I numeri razionali A questo punto possiamo chiederci se l’in­ sieme dei numeri razionali, cioè le frazioni, abbia la stessa cardinalità dei numeri naturali. D i primo acchito verrebbe da dire che i nume­ ri razionali sono infinitamente più numerosi dei naturali, poiché, ad esempio, oltre all’i e al 2, incontriamo tutte le frazioni comprese nel mezzo. Inoltre i numeri razionali sono dem i, cioè dati due qualsiasi numeri razionali q e qi tali che q è minore di q , è sempre possibile trovare un altro numero razionale più grande di q e più piccolo di q%. Questa proprietà non vale, invece, per i numeri naturali. D i fatto, però, possiamo facilmente disporre i numeri razionali in questo modo:

Si ottiene così un’infinita tabella quadrata. A questo punto si elencano i numeri delle diagonali in successione seguendo le frecce e si ottiene: 1 2 M 2 3 Γ Γ 2 ’ 3 ’ 2 ’ l ’"· Si eliminano i doppioni e la successione diventa: 1 1 I I 1 f 1’ 2’ 3’ Γ '" Questa successione contiene tutti i razionali e si può facilmente mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Si noti 77

però che essa non è ordinata in modo crescente. N é è possibile trova­ re per i numeri razionali un tale ordine. Si provi a pensare qual è il successivo di 1/1: 11/10, oppure 101/100 o addirittura 1.001/1.000? È chiaro che non è possibile individuarlo. Dunque i numeri razionali, pur essendo dal punto di vista cardinale equivalenti a quelli naturali, dal punto di vista ordinale sono diversi. 4.4.6.I numeri reali N e segue che i numeri naturali e quelli razio­ nali hanno la stessa cardinalità. Viene ora spontanea la domanda se anche per i numeri reali valga lo stesso principio. Cantor nel 1874 dimostra per assurdo che non è possibile costruire una corrispon­ denza biunivoca fra i reali e i naturali. Poi nel 1890 fornirà una prova più semplice dello stesso teorema. Proponiamo qui una bozza della prova del 1890. Consideriamo l’insieme G costituito da tutte le successioni infinite di 0 et. Teorema della diagonale d i Cantor. (7 ha cardinalità maggiore di quel­ la dei numeri naturali.

Prendiamo la successione formata con gli elementi della diagonale principale (su sfondo grigio): s00’, s11, s 22’, s 33 ... Definiamo ora una successione D = dx, d^ d , d^... in modo che, se s = 0, allora df = 1 e, se su = 1, allora a, è composto da un’ infinità di punti indivi­ sibili; 2b. in quanto indivisibili, i punti hanno lunghezza nulla; 3b. non è possibile sommare un’infinità non numerabile di lunghezze; 4b. per cui il tratto lineare e continuo di spazio fisico ha lunghezza indeterminata-, 5b. dunque il tratto lineare e continuo di spazio fisico non è costitui­ to da punti indivisibili. In questo ragionamento, fra i punti ìb e 4b non sussiste una vera e propria contraddizione, come nel caso precedente, in quanto la 87

composizione del segmento tramite punti non porta a determinare la sua lunghezza con un numero diverso da Z; tuttavia il fatto che tale valore sia indeterminato mal si concilia con l’affermazione iniziale che il segmento sia lungo Z, Per risolvere questo nuovo dilemma, si può procedere usando il teorema di Cantor secondo cui qualsiasi intervallo di numeri reali è equivalente a un insieme finito o numerabile di intervalli non dege­ neri. Α 1Γunione di questi intervalli si applica poi l’additività nume­ rabile, ottenendo nuovamente la lunghezza Z. C i si potrebbe chiedere tuttavia se sia possibile definire un concet­ to di “ ultra-additività” (Massey, 1969, p. 337; Skyrms, 1983; White, 1992., pp. 9-10), cioè un concetto di misura la cui somma è applicabi­ le anche nel caso di un’infinità non numerabile. La risposta è affer­ mativa, come sarebbe facile mostrare; ma questa definizione, nel caso delle lunghezze, non sarebbe una buona esplicazione del concetto di misura, poiché ricreerebbe il paradosso del Grande e del Piccolo. La soluzione proposta si basa, infatti, sul fatto che la teoria della misura messa a punto dopo Cantor consente di parlare coerentemente di un segmento come un insieme infinito più che numerabile di punti di lunghezza nulla. Invece, se si reintroduce l’additività ricompare la contraddizione. Dunque concludiamo che la matematica post-cantoriana ha prodot­ to strumenti adeguati per affrontare il paradosso del Grande e del Piccolo.

88

5. La Freccia Questo è l’unico capitolo del libro che ha esito aporetico: ovvero sembra che il paradosso della Freccia, adeguatamente riform ula­ to dal filosofo americano della fisica Arntzenius, stando alle nostre conoscenze, non può dirsi risolto. Questo argomento di Zenone ha suscitato difficili questioni interpretative del testo tramandato da Aristotele, che qui non affronteremo approfonditamente. Per contro, le soluzioni messe in campo chiamano a raccolta le più diverse teorie matematiche e metafisiche, dall’analisi non standard al concetto cate­ goriale di “ infinitesimo” di John Bell, fino alla teoria at-at del moto. Dedicheremo molte pagine all’esame del concetto di movimento e ai tentativi di rappresentarlo in termini spazio-temporali. Il risultato delle nostre indagini sembra confermare che non siamo in grado di produrre in modo coerente tale raffigurazione, per cui verrebbe da dire che aveva r a g i o n e Aristotele, nel ritenere il movimento qualcosa di primitivo. Forse in questo senso dovrebbero orientarsi le contem­ poranee ricerche sulla gravità quantistica, piuttosto che proseguire nel rimescolare, indebolire e arricchire i vecchi concetti newtoniani.

5.1. Formulazione del paradosso In fisica m atem atica il tempo è rappresentato dai numeri reali, in modo che esistono inter­ valli temporali finiti, indicati con un simbolo del tipo ( f , t j , dove f è il numero reale che corrisponde all’inizio dell’intervallo e ti quello che corrisponde alla fine dell’intervallo. L ’intervallo temporale può comprendere o meno uno o entrambi i suoi estremi. Indichere­ mo l’inclusione con una parentesi quadra; ad esempio l’intervallo f i , r J comprende anche gli istanti f e t2, mentre 1’intervallo [ i , t2) comprende solo i , ma non ty U n intervallo temporale può anche essere composto da un solo istante e allora lo indicheremo con t. Un generico intervallo lo si può anche etichettare T Per semplicità, nella nostra discussione, ci occuperemo di oggetti a una dimensione, ma non dovrebbe essere difficile generalizzare il nostro argomento a corpi tridimensionali. Lo spazio verrà quindi rappresen­ 89

tato da intervalli di numeri reali ( r , r ) , come nel caso precedente, che chiameremo “ regioni” . Una generica regione la si può anche indicare con R. È chiaro che regioni e intervalli temporali sono continui. A questo punto è semplice introdurre il predicato “ Il corpo O occupa la regione R durante il tempo T \ che si può indicare o con L ( 0 , R, T), oppure con L ( 0 , (j , s j, ( f , t j ) , nel caso in cui volessimo esplicitare gli estremi deH’intervallo temporale e/o della regione spaziale occupata dal corpo O. Alla fine del capitolo torneremo su questa nozione; ades­ so notiamo solo che “ occupare” significa “ occupare completamente” , cioè gli estremi del corpo coincidono con quelli della regione. Teniamo anche presente che ci riferiamo a corpi macroscopici, per i quali gli effetti quantistici sono quindi irrilevanti, e che viaggiano a velocità lontane da quelle della luce e all’interno di campi gravi­ tazionali deboli, di modo che anche le teorie relativistiche non si applicano. Ora introduciamo i predicati che condurranno le danze della nostra discussione, cioè “ Il corpo O è in moto durante l’intervallo T ” e “ Il corpo O è in quiete durante l’intervallo 7”’ , cioè M ( 0 , T) oppure M ( 0 , ( f , t j ) e Q ( 0 , T) oppure Q( 0 , ( r , t j ) . Per adesso anche questi due predicati resteranno degli indefiniti, m a vedremo che sono possibili diverse loro interpretazioni, che portano a conclusioni differenti. Tutti i nostri enunciati vanno considerati a partire dalla quantifica­ zione universale sull’ambito dei corpi e su tutti gli istanti, cioè tutti dovrebbero iniziare con una locuzione del tipo “ Per ogni corpo e per ogni istante... ” , Per semplicità omettiamo questo elemento. Adesso possiamo introdurre la prima premessa dell’argomento della Freccia. Premessa d e ll’incom patibilità: un corpo non può essere in moto e in quiete nello stesso istante:

moto (M ( 0 , t) o Q (0 , ti)), che potrebbe essere messa in discussione dall’istanza aristotelica secondo cui nell’istante non si dà né quiete né moto (Fisica, 234a, 24 ss.), ripresa da Chappell (1962) e Zangari (1994). Tuttavia, in generale sembra ragionevole anche quella che potremmo chiamare “ premessa della determinatezza” . Premessa della determinatezza·, un corpo in un istante o è in quiete o

non (M ( 0 , ti) e Q (0, ti)).

D opo di che introduciamo la premessa della quiete·, un corpo che in un istante occupa una singola regione è in quiete:

Questa premessa è molto ragionevole, ma non va confusa con l’af­ fermazione secondo cui in un istante un corpo è o in quiete o in 90

è in moto: M ( 0 , t) o Q ( 0 , t) Passiamo ora al punto successivo. Premessa della regione·, un corpo, che sia in quiete o in moto, in un istante occupa una sola regione: (M ( 0 , t) o Q( 0 , t)) —> (3 j.V r.Z ( 0 , sP t) e {L ( 0 , Sj, t) - 4 r. = si)) In effetti la premessa della regione potrebbe valere anche in una forma generalizzata: in un istante un corpo occupa solo una regione: ((3 ì .V T Z( 0 , s? t) e (L ( 0 , r , t) -4 r. = si)) O vvero un corpo occupa comunque una singola regione anche se il suo stato di moto è indeterminato. Vedrem o meglio in seguito perché la premessa della determinatezza è necessaria per la teoria fisi­ ca, per cui manteniamo questa forma più precisa. È chiaro che, dalla premessa della determinatezza e dalla premessa della regione deduciamo per modus ponens che in ogni istante un corpo occupa una e una sola regione: (3 r.V r.(L { 0 , sp t) e (L ( 0 , sf t)) - 4 s. = r.

(3 r.V i.(Z( 0 , r , t) c L ( 0 , sf t)) 4 i; = i.)) -4 Q(0 , t) 91

Vedremo in seguito come, a partire dalla definizione della nozione di moto e quiete, questa premessa potrebbe essere messa in discussione. Eravamo arrivati ad affermare che ogni corpo occupa una singola regione; da questo e dalla premessa della quiete, per modusponens, arriviamo alla conclusione che un corpo è in quiete. C ioè, ricor­ dandoci quanto detto all’inizio, tutti i corpi sono in quiete. M a, se sono in quiete, per la premessa dell’incom patibilità, non sono in moto. Dunque i moti che percepiamo sono apparenti: aveva ragio­ ne Parmenide? Chiaramente no. Resta però il fatto che dobbiamo trovare una rappresentazione m atematica del m oto che non dia origine a paradossi come questo. Per arrivare alla conclusione, abbiamo utilizzato quattro premesse, cioè la premessa dell’incompatibilità, quella della determinatezza, quella della regione e quella della quiete. Tutte e quattro sono state messe in discussione in m odi molto vari. Q ui non ci occuperemo però della prima, a causa dell’eccessiva radicalità della sua elimina­ zione (tuttavia cfr. i riferim enti nelle Letture consigliate). Q uindi restano tre gruppi di possibili soluzioni, che esamineremo separa­ tamente. 5 -2. Eliminare la determinatezza Bisogna prim a di tutto notare che l’eliminazione della premessa della determinatezza non è sufficiente a disinnescare il paradosso della Freccia, perché esso può essere riformulato senza di essa, utilizzando quella che abbiamo chiamato “premessa della regione generalizzata” . Per cui le critiche della premessa della determinatezza si accompagnano alla messa in discussione di un’altra premessa. D i fatto, si prende le mosse dalla premessa della determinatezza per arrivare a eliminare la premessa della regione o la premessa della quiete. A d esempio, Zangari (1994) nota che per determinare lo stato di moto in un istante occorre valutare la velocità. A tal fine bisogna dividere lo spazio percorso per il tempo trascorso, ma nell’istante queste quantità valgono entrambe 0, per cui dovremmo valutare l’operazione 0/0. A questo punto Zangari distingue giustamente fra “ forme indeterminate” e “ forme indefinite” : le prime hanno infi­ 92

nite soluzioni, mentre le seconde nessuna. A d esempio, l’equazione 5/0 = x non ha alcuna soluzione, poiché nessun numero moltiplica­ to per 0 dà 5. Per contro l’equazione x = x è indeterminata, poiché qualsiasi valore di x la soddisfa. In particolare l’equazione x = 0/0 ha infinite soluzioni. Per vederlo, basta trasformarla in 0 x x = 0 e notare che qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0. Questo significa che la velocità istantanea di un corpo è indeterminata, cioè essa può essere sia uguale a 0 che diversa da 0 (nel paragrafo 5.5 discuteremo più in dettaglio la nozione di velocità istantanea). Dunque non solo non vale la premessa della determinatezza, ma neanche quella della regione, cioè nell’istante un corpo non è né in moto né in quiete, anche se occupa una sola regione. Per cui l’argomento della Freccia viene bloccato. Inoltre, siccome in istanti diversi la freccia è in regio­ ni diverse, globalmente possiamo dire che è in moto. C om e vedremo meglio nel paragrafo 5.5, l’indeterminatezza dello stato di moto nell’istante ha conseguenze fisiche inaccettabili, poiché com porterebbe una sorta di indeterm inismo radicale, del tutto contrario ai dati effettivamente osservati. Q uindi, dopo il fondamentale articolo di Arntzenius (2000), di cui parleremo diffusamen­ te, questa prospettiva risulta insostenibile. M cLaughlin e M iller (1992) hanno suggerito una soluzione dei para­ dossi di Zenone del moto mediante l’assiomatizzazione proposta da E. Nelson (1977) dell’analisi non standard formulata da Robinson (1966). L ’assiomatizzazione della cosiddetta “ teoria interna degli insiemi” si basa sui normali assiomi di Zermelo e Frànkel - compre­ so l’assioma della scelta —più altri tre assiomi riguardanti un nuovo predicato monadico chiamato “ standard” . Tale predicato è definito in modo che gli insiemi standard siano sempre finiti, cosicché, se un insieme è infinito, allora contiene almeno un oggetto non standard. Tra gli oggetti non standard ci possono essere anche numeri infini­ ti e infinitesimi. Entrambe queste categorie violano il principio di Eudosso-Archimede, secondo cui un numero, per quanto piccolo, se moltiplicato per un numero naturale sufficientemente grande, può diventare più grande di qualsiasi numero. Notiam o, inoltre, che in un insieme a cui appartengono anche numeri infiniti, il postulato di 93

Eudosso-Archimede non vale anche per un’altra ragione: non esiste nessun numero finito che moltiplicato per un altro numero finito è in grado di produrre un numero piti grande di un numero infinito. A questo punto, la mossa epistemologica di M cLaughlin e M iller è quella di ammettere come risultati dell’osservazione solo numeri standard, cioè finiti e quindi non infinitesimi. Il che sembra molto ragionevole, poiché le nostre misure, per quanto precise, non potran­ no mai determinare un numero infinito di numeri decimali di un’os­ servabile. D opo di che l’argomento di Zenone si applica solo alle posizioni della freccia che corrispondono a numeri standard, cioè concretamente misurabili. N ulla possiamo dire, invece, dell’infinità più che numerabile di altre posizioni che la freccia assume durante il suo tragitto, le quali corrispondono a numeri non standard e quindi esse non sono osservabili; dunque in quegli istanti di tempo non vale la premessa della determinatezza. Inoltre, siccome all’inizio dell’in­ tervallo la freccia è in una regione e alla fine in un’altra, dobbiamo dire che di fatto la freccia globalmente è in moto. L ’argomento proposto è molto stimolante, ma lascia aperte numero­ se questioni, poiché esso introduce una matematica non archimedea che probabilmente non è un ambiente molto confortevole perla fisi­ ca matematizzata. In essa, ad esempio, un corpo potrebbe viaggia­ re con una velocità talmente piccola che, moltiplicata per qualsiasi numero, non sarebbe mai osservabile. Osserviamo, infine, che entrambi gli approcci esaminati in questo paragrafo accertano l’esistenza del moto solo sulla base del fatto che la freccia in istanti diversi è in regioni diverse —la cosiddetta “ teoria at-at” . Vedremo nel paragrafo 5.4 che quest’ultima è tutt’altro che scevra da questioni irrisolte.

5.3. Eliminare la premessa della regione La soluzione che Aristotele (Fisica, 2390, 7) adotta esplicitamente per risolvere la Frec­ cia è quella di negare l’esistenza degli istanti, cioè non si può dire che il tempo sia composto da una quantità infinita di istanti indivisibili. Ovvero, per quanto si divida il tempo - che comunque, in quanto continuo, è infinitamente divisibile —si ottengono sempre intervalli

finiti e non istanti. Vediam o che cosa succederebbe all’argomento della Freccia come lo abbiamo formulato noi. Se così stanno le cose, dovremmo dire che non esistono oggetti del tipo sopra definito, cioè come [f], ovvero intervalli di numeri reali che contengano un solo numero; o meglio, tali intervalli, dal punto di vista matematico, esistono, naturalmente, ma a essi, dal punto di vista fisico, non corri­ sponde nulla. In questo caso la premessa della regione diventerebbe premessa della regione senza istanti. U n corpo, che sia in quiete o in moto, in un intervallo finito di tempo occupa una sola regione: (M ( 0 , [il5i j ) o Q( 0 , [t±, i j ) ) - » (3 r.V rA ( 0 , sp [t, f j ) e (L( 0 , Sj, [ f , f j ) r- = Sj)) È evidente che questa tesi non è vera, poiché un corpo che occupa una singola regione per un intervallo finito di tempo è in quiete, per cui se O è in moto il sopraccitato condizionale è senz’ altro falso; in questo caso il paradosso della Freccia sarebbe risolto. Su questa linea di pensiero si è mosso, ad esempio, il filosofo pachista­ no Shamsi (1973); tuttavia nel paragrafo 2.7 abbiamo già argomentato a favore del fatto che il tempo, almeno stando alle nostre conoscenze attuali, è un insieme denso (continuo) di punti indivisibili. Quindi la presente soluzione, almeno per ora, è empiricamente falsificata. È possibile mettere in discussione la premessa della regione anche mediante “ l’analisi infinitesimale liscia” , una maniera diversa di sviluppare il calcolo, basata sulle idee del grande matematico Lawvere e sviluppata soprattutto da John L. Bell (2008). G li infinitesimi sono stati progressivamente banditi dall’analisi, in quanto, come nota­ to da Berkeley (1734), sono oggetti contraddittori, cioè numeri che prim a vengono posti come piccoli ma diversi da 0 e poi vengono uguagliati a 0 (cfr. riquadro di approfondimento a p. 108). Si può però costruire una matematica coerente, comprensiva di num e­ ri infinitesimi, rinunciando tuttavia al principio del terzo escluso, cioè all’ affermazione secondo cui tutti gli enunciati sono veri oppure falsi. È chiaro che se non vale il terzo escluso, non vale neanche l’af95

fermazione secondo cui la doppia negazione è uguale all’affermazio­ ne. Infatti, se un enunciato a è vero (falso), non a sarà —per il terzo escluso - falso (vero) e —sempre per il terzo escluso - non non-a tornerà a essere vero (falso). Dunque, se non vale il terzo escluso, questa deduzione non sarà più possibile. In un contesto in cui non vale il terzo escluso possiamo procedere così per definire gli infinite­ simi: essi sono numeri che né sono uguali a o, né sono diversi da o, cioè, se ε è un infinitesimo, non vale né l’enunciato ε = o, né ε Φ o. Per essi, inoltre, vale ε2 = o. Cosi, ad esempio, la derivata si può definire mediante il ragionamento stigmatizzato da Berkeley; ossia la derivata sarà l’oggetto A tale che: / ( * + e) - / ( j )

A

ε

senza fare il limite per ε che tende a o. Inoltre, non valendo il prin­

Che cos’è una derivata Ricordiamo che per determinare la derivata di una funzione si fa la differenza fra la funzione in un p u n to le in un altro punto poco distan­ te (x+ e), che è il numeratore dell’equazione precedente; si divide poi per l’incremento, cioè ε; poi bisogna calcolare q uesto rapporto facen­ do tenderee a 0. In questo modo si ottiene una misura della pendenza della funzione in quel punto; infatti, tanto più è grande il numeratore jlx + e) -flx), cioè tanto più aumenta la funzione p e rii piccolo incre­ mento e, tanto più la curva sarà pendente.

cipio della doppia negazione, si può dire che, se gli estremi di una distanza infinitesima sono indistinguibili, cioè η ο η χ ΐ χ + ε, questo non significa che essi coincidano. D ate queste premesse, nell’analisi infinitesimale liscia, intorno a qualsiasi punto di qualsiasi curva liscia è possibile individuare un microsegmento rettilineo, identificato da due punti indistinguibili, ma non coincidenti. Inoltre, la lunghezza al quadrato dì tale micro­ segmento è uguale a o. Questo viene chiamato il “ principio della mìcrorettilinearità” . D a questa impostazione sì deriva che il tempo non è costituito da istanti, ma da “ intervalletti” (timelets) e lo spazio da “ lineette” (linelets). Per cui non sì può affermare, come fa la premessa della regione, che in un certo istante del moto la freccia occupi una certa regio­ ne ben definita; quindi una premessa essenziale del paradosso della Freccia viene a cadere. In effetti, in ogni intervalletto di tempo, la freccia sì muoverà lungo una lineetta di spazio. In questa prospettiva non vale neanche la premessa della quiete, poiché in ogni intervalletto dì tempo il corpo avrà una velocità istan­ tanea ben definita. N on si può neanche affermare con Arntzenius (2000) e Tooley (1988, p. 232), che la velocità così definita non sia istantanea, in quanto definita su un intervalletto di tempo, poiché, come nota giustamente Sm ith (2003, p. 266 in nota), in questa impostazione l’ intervalletto di tempo è l’unità minima di tempo, per cui in tale cornice teorica la velocità così definita è la più determinata possibile data la struttura stessa del tempo. Nonostante l’interesse e l’eleganza dì questa impostazione, non sembra però ragionevole una fisica matematizzata che rinunci al terzo escluso. In essa, ad esempio, poniamo dì aver dimostrato che su un corpo non agiscono forze, cioè che su di esso “ non F Φ 0”, allora non potremmo affermare che “ F = 0”, dato che non vale la doppia negazione.

5 .4. Che

COS’ è il moto? È opportuno ora proporre una possi­ bile definizione dei concetti di moto e quiete in termini di spazio e tempo. N o n ci occuperemo qui della distinzione fra “ moto assoluto” e 96

97

“ moto relativo” , poiché diamo per assunto che sia dato un sistema di riferimento rispetto al quale individuare il moto. Il nostro discorso riguarda quindi solo moti relativi. Si noti anche che, dopo la rivolu­ zione relativistica, in un certo senso, l’unico moto assoluto è quello della luce, la cui velocità c = 300.000 km/s è uguale in tutti i sistemi di riferimento, mentre qualsiasi altro moto, anche accelerato, può essere eliminato usando le leggi della fisica generalmente covarianti della relatività generale. Teniamo presente che non sono pochi gli autori che considerano il moto come qualcosa di irriducibile alle nozioni di spazio e tempo. Rispetto al rapporto fra lo stato di moto di un corpo e le sue posizioni nello spazio e nel tempo si possono sostenere almeno quattro diversi punti di vista. 1. Eliminazionismo·. i concetti di moto e velocità vanno eliminati dalla teoria fìsica, cioè solo i termini “ regioni spaziali” e “ intervalli temporali” hanno effettivamente riferimento, mentre “ velocità” e “ moto” sono solo delle abbreviazioni. 2. Riduzionismo·, moto e velocità sono identici a una qualche rela­ zione fra spazi e tempi; questo è un punto di vista molto comune, che esamineremo in dettaglio. 3. Sopravvenienza·, il moto e la velocità sono proprietà indipendenti dalle posizioni e dai tempi, ma del tutto determinate da questi ultimi assieme alla forza impressa e alla massa inerziale. Questa posizione è ontologicamente diversa dalla precedente e, come vedremo, anche se dal punto di vista fisico è molto simile, la sua maggiore ricchezza ontologica, ancorché non economica, potrebbe aiutare a risolvere il paradosso della Freccia. 4. Autonomia·, il moto e la velocità di un corpo non solo sono qualcosa di ontologicamente diverso dalla sua posizione spazio-temporale, ma non sono neanche determinati da essa. Vedremo che questa prospet­ tiva, nell’ambito della teoria fisica attuale, è insostenibile. 5.4.I. L’elim inazionism o II punto di vista elim inazionista era probabilmente sostenuto da Parmenide. Infatti, Sim plicio (1.000 anni dopo) riporta questi versi del filosofo Eleate (D iels, Kranz, 98

1952, Β8, corsivo mio): «Non resta ormai che pronunciarsi sulla via che è. Lungo questa sono indizi in gran numero. Essendo ingenera­ to è anche imperituro, tutt’intero, unico, immobile e senza fine». Questo punto di vista viene ripreso recentemente da Emanuele Severi­ no (2008, pp. 350-1), secondo il quale, se accettiamo l’evidenza empiri­ ca del divenire, dobbiamo affermare che l’ente non è e quindi cadiamo in contraddizione. Il ragionamento di Severino è però fallace. A d esem­ pio, se Tizio, che secondo la nostra opinione è sempre molto simpati­ co, si comporta in modo antipatico, verrebbe da dire: “ È impossibile che Tizio abbia fatto questo!” . D ’altra parte è successo, per cui è la nostra teoria a essere sbagliata e non l’ evidenza del suo comportamen­ to. Analogamente, se dalla nostra teoria risulta che il divenire è impos­ sibile o contraddittorio, non dobbiamo negare l’evidenza del divenire, ma cambiare teoria. È indubbiamente difficile costruire una teoria non contraddittoria del divenire, ma questo non autorizza a negare la realtà di esso; né possiamo negare la realtà del divenire semplicemente perché implica la “ follia” che nulla è veramente necessario e tutto va verso la morte (ibid.). A molti non piace il fatto che non si riesca a trovare un ente necessario e che tutto sembri effimero, ma i nostri sentimenti non possono portarci alla negazione della realtà. Hermann W eyl (1926, p. 140) afferma invece: Il mondo oggettivo è sem plicem ente: non accade. Soltanto allo sguardo della mia coscienza, in movimento lungo la linea d’ universo che fappresenta la vita del mio corpo, una sezione di questo universo può offrirsi come un’immagine chefluttua nello spazio e che cambia continuamente nel tempo.

Egli sembra quindi sostenere un punto di vista parmenideo, ma ha ragione Griinbaum (1968, p. 23) a negare la compromissione del gran­ de fisico-matematico con la filosofia dell’essere. In realtà Weyl nota che nella prospettiva della relatività generale si cerca il massimo dell’oggettività, cioè quelle leggi della fisica che sono generalmente covarianti, ovvero indipendenti del tutto dal punto di vista dell’osservatore, sia dalla sua posizione sia dal suo stato di moto. W eyl, perciò, non sta negando il moto, ma la realtà della distinzione fra passato e futuro. M a 99

questo è un altro problema, che qui non tratteremo (cfr. Fano, 2009). Lo stesso Russell (i90ib, p, 106) si abbandona a questa affermazione parmenidea:

la dimensione temporale alle altre tre spaziali (ad es. Whitehead, 1920, p. 114). A tal proposito Quine (1987, p. 224) dice: Il sistem a [spazio-temporale a 4 dimensioni] non porta a ripudiare il mutamento a

Weierstrass, bandendo rigorosamente dalla matematica l’ impiego degli infinitesimi

favore dì una staticità eterna, come alcuni hanno supposto: il mutamento è ancora là,

[cfr. riquadro di approfondimento a p. 108, N.d.A.], ha dimostrato infine che viviamo

con tutte le sue fresche sorprese; semplicemente, esso viene incorporato. Affermare

in un mondo immutabile, e che la freccia in volo è realmente ferma.

che un corpo cambia significa dire che ì suoi ultimi stadi differiscono dai suoi stadi precedenti, proprio come le parti superiori differiscono dalle parti inferiori.

In realtà Russell (i90ia, par. 447) è più. preciso, poiché sostiene che, dopo la rigorizzazione weierstrassiana deiranalisi, non è più. possibile parlare di uno stato di moto istantaneo. Questo però non significa che non si dia cambiamento; quest’ultimo, infatti, come vedremo, potrebbe essere semplicemente l’occupare luoghi diversi a istanti diversi del tempo. Quella di Russell è, come osserva giustamente Tooley (1988, p. 226), una teoria statica del cambiamento.

E ancora, Quine (1980, p. 123): L’ opposizione a una veduta quadridim ensionale è una curiosità degna di esam e. Parte di questa opposizione è un ovvio fraintendimento: l’ idea che il tempo sia ferm a­ to, il cambiamento sia negato e tutto sia congelato eternamente in una quarta dimen­ sione. Questi sono timori dì gente eccessivamente nervosa che sopravvaluta il potere delle parole. Il tempo come quarta dimensione è ancora tempo, e le differenze lungo

Newton (1687, p. 6 ) afferma: «Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in locum absolutum», ovvero il moto assoluto è lo spostamento di un corpo da un luogo assoluto a un altro luogo assoluto. N ella letteratura filosofica anglosassone, questa definizione di origine medievale è stata chiamata la "teoria at-at del m oto” , cioè «at one place at one instant and at another place at another instant» (Weìnberg, 1948, p. 168). Lo stesso Russell (i9 0 ib , p. 10 9 ), quando è m eno “ controlla­ to ” , sostiene questa forma semplice di teoria at-at, come quella di Newton: «Quando un corpo si muove, tutto quel che si può dire è che si trova in un luogo in un dato momento e in un altro in un altro momento». Salvo poi aggiungere (ivi, p. 110, corsivo mio): «Il moto consiste unicamente nel fatto che i corpi sono a volte in un luogo e a volte in un altro, e che negli istanti intermedi sono in luoghi intermedi». La parte enfatizzata in corsivo è, come vedremo, la caratteristica di quella che potremmo chiamare "teoria at-at sofisticata” . Una variante della teoria at-at si è imposta soprattutto dopo l’avven­ to della teoria della relatività speciale, che ha parzialmente assimilato 5 ·4 ·2 . Il r id u z io n is m o

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la quarta dimensione sono ancora cambiamenti.

Questo è un modo diverso dì “ ridurre” il concetto di moto. D ì fatto nel prosieguo di questo capitolo ci occuperemo a lungo della teoria at-at del moto e, brevemente, della teoria quadridimensionalista. Vedremo che, con buona pace di Quine, il “ nervosismo” relativo a questa definizione di movimento non è ancora del tutto sedato e per buone ragioni. Tooley (1988) prova a definire la velocità istantanea come una proprietà intrìnseca di un corpo x a un dato istante, intesa come un ente teorico v che soddisfi i due seguenti assiomi (nel caso classico): 5 . 4 . 3 . La s o p r a v v e n ie n z a

s(x,t,) = s(x, f,) + jv( .*,/)